/
Автор: Скорняков Л.А. Мельников О.В. Ремесленников В.Н. Романьков В.А. Шестаков И.П.
Теги: алгебра математика линейная алгебра теория чисел теория групп
ISBN: 5-02-014426-6
Год: 1990
Текст
СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
О. В. МЕЛЬНИКОВ, В. Н. РЕМЕСЛЕННИКОВ,
В. А. РОМАНЬКОВ, Л. А. СКОРНЯКОВ,
И. П. ШЕСТАКОВ
ОБЩАЯ АЛГЕБРА
Поя, общей ршаддаей Л. А. СКОРШКОВА
Том 1
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990
ББК 22.144
О28
УДК 512.05 @83)
Серия «Справочная математическая
библиотека» издается с 1974 года
Общая алгебра. Т. 1/ О В. Мельников,
В. Н. Ремесленников, В. А. Романьков и др.
Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1990.— 592 с. — (Справ, мат.
б-ка). —ISBN 5-02-014426-6 (т. 1).
Первый том содержит разделы: отношения, отображения,
частично упорядоченные множества, группы, кольца, модули,
линейные алгебры. Кррме основных определений, авторы стре-
стремились ограничиться изложением результатов, которые могут
быть полезны за пределами рассматриваемой области алгебры.
Доказательства не приводятся.
Для математиков, не ивляющихся специалистами в соот-
соответствующих разделах алгебры, а также для потребителей
алгебры как математиков, так и других специалистов.
Табл. 1. Ил. 5. Библиогр.: 421 назв.
Рецензент
академик АН МССР В. А. Андрунакиевич
1602040000—108 „ ©«Наука». Физматлит, 1Э90
449°
°053@2)-90449°
ISBN 5-02-014426-6 (т. I)
ISBN 5-02-014335-9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ,,. 8
Глава I ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ЧАСТИЧНО
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 11
§ 1 Множества, отношения и отображения 11
1.1. Алгебра подмножеств A1). 1.2. Соответствия и
отображения A5). 1.3. Отношения, эквивалентности,
фактормножества B2). 1.4. Умножение соответствий
и отображений B7). 1.6. Учение о мощности C1).
§ 2. Частично упорядоченные множества 35
2.1. Частично упорядоченные множества C5). 2.2. Цепи
E3). 2.3. Полные решетки (структуры) F1).
Литература •.... 64
Глава II. ГРУППЫ 66
§ 1 Основные понятия теории групп 66
1.1. Определения и основные свойства F6). 1.2. Сво-
Свободные группы (96). 1.3. Задания и конструкции групп
A07). 1.4. Многообразия групп A29). 1.5. Группы с усло-
условиями конечности A46).
§ 2. Разрешимые группы 155
2.1. Нильпотентиые и полициклические группы A55).
2.2. Разрешимые группы A68).
§ 3. Группы с дополнительной структурой 176
3.1. Топологические группы A76). 3.2. Строение локально
компактных групп A92). 3.3. Проконечные группы B06).
3.4. Упорядоченные группы B24).
§ 4. Разное 233
4.1. Группы автоморфизмов B33). 4.2. Когомологии групп
B45). 4.3. Уравнения в группах B58). 4.4. Алгоритми-
Алгоритмические вопросы B66). 4.5. Связь с топологическими
пространствами B71).
Литература 286
Глава III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ .' 291
§ 1. Общие определения 291
1.1. Основные определения B91). 1.2. Идеалы C00).
1.3. Алгебра умножений и дифференцирований C04).
1.4. Радикалы C07).
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Ассоциативные кольца 310
2.1. Специфические элементы C10). 2.2. Идеалы C15).
2.3. Групповые и полугрупповые кольца, кольца степен-
степенных рядов C28). 2.4. Тела, локальные кольца, регуляр-
регулярные кольца C35). 2.5. Условия обрыва цепей C44).
2 6. Радикалы C53). 2.7. Свободные алгебры, Р1-алге-
бры, многообразия алгебр C61). 2.8. Вложение колец,
кольца частных C72).
§ 3. Неассоциативные кольца и алгебры 380
3.1. Основные классы неассоциативных колец C80).
3.2. Общие свойства неассоциативных алгебр C83).
3.3. Композиционные алгебры C92). 3.4. Альтернативные
алгебры C97). 3.5. йордановы алгебры D04). 3.6. Моно-
Моноассоциативные алгебры, близкие к альтернативным и
йордаиовым D19). 3.7. Алгебры Лн D26). 3.8. Алгебры
Мальцева и бинарно лиевы алгебры D36).
§ 4. Модули 441
4.1. Основные определения D41). 4.2 Специальные
классы модулей D57). 4.3. Элементы гомологической
алгебры D70). 4.4. Радикалы, кручеиия, чистота D89) .
4.5. Абелевы группы E00). 4.6. Гомологическая класси-
классификация колец E11).
§ 5. Кольца и модули с дополнительной структурой .... 533
5.1. Топологические кольца и модули E33). 5.2. Норми-
Нормированные кольца'E43). 5.3. Упорядоченные кольца E47).
5.4. Кольца с инволюцией E51). 5.5. Другие дополни-
дополнительные структуры E56).
Литература 561
Предметный указатель 573
Указатель обозначений 589
СОДЕРЖАНИЕ ВТОРОГО ТОМА
Глава IV. Полугруппы
§ 1. Вводные замечания
1 I. Первоначальные определения н соглашения. 1.2. Некоторые важ-
важные примеры.
§ 2. Основные типы элементов, подмножеств и отношений в
полугруппе
2.1 Идемпотенты и свазаиные с ними другие особые элементы. Воз-
Возникающие здесь классы полугрупп. 2.2. Конгруэнции и гомоморфизмы.
2.3. Связки полугрупп. 2.4. Подполугруппы и порождающие множест-
множества 2.5 Определяющие соотношения. 2.6. Идеалы и делимость.
2 7. Отношения Грнна.
§ 3. Простые полугруппы
3 I Основные понятия и свойства. 3.2. Рисовскне матричные полу-
полугруппы над группой или группой с нулем. Теорема Риса-Сушкевича.
§ 4. Разложения и расширения
4.1. Архимедовы полугруппы и их полурешеточные разложения-
4.2. Сдвиги. 4.3. Идеальные расширения. 4.4. Полупрямые произве-
произведения и сплетения. Теорема Крона — Роудза. 4.5. Амальгамы. 4.6. Урав-
Уравнения над полугруппами. 4.7. Финитно аппроксимируемые полугруппы.
4.8. Вложения.
§ 5. Регулярные полугруппы
5.1. Множество идемпотентов и естественный частичный порядок,
5.2. Конгруэнции на инверсных полугруппах. 5.3. Свободные инверсные
и клиффордовы полугруппы.
§ 6 Эпигруппы
6 I. Классы уиьпотентности. 6.2. Периодические и локально конечные
полугруппы. 6.3 Нильполугруппы.
§ 7. Многообразия и близкие классы
7 I. Тождества. 7.2. Структурные аспекты. 7.1. Решетка подмногообра
зий. 7.4. Квазимиогообразин. 7.5. Псевдомиогообразия.
§ 8. Алгоритмические и теоретико-модельные аспекты
8 I. Проблема равенства слов и родственные алгоритмические пробле-
проблемы. 8 2. Элементарные свойства. Разрешимые и неразрешимые теории.
§ 9 Комбинаторные приложения полугрупп
9.1. Языки. 9 2 Автоматы. 9.3. Коды.
§ 10. Представления полугрупп преобразованиями
10.1. Представления и полигоны; основные понятия и свойства. 10.2. Ра-
Радикалы, связанные с представлениями.
Литература
6 СОДЕРЖАНИЕ ВТОРОГО ТОМА
Глава V. Решетки
§ 1. Общие свойства решеток
1.1. Основные определения. 1.2. Подрешвтки, идеалы, фильтры.
1.3. Специальные элементы. 1.4. Свободные решетки.
§ 2. Полумодулярные и модулярные решетки
2.1. Полумодулярные решетки. 2.2. Модулярные решетки. 2.3. Коорди-
натнэация.
§ 3. Дистрибутивные решетки
3.1. Основные определения и критерии дистрибутивности* ЗЛ2. Алге»
браические конструкции. 3.3. Идеалы. Пополнения. Бесконечная Ди-
Дистрибутивность. 3.4. Дистрибутивные решетки с относительными до-
дополнениями. Псевдодополнения.
§ 4. Булевы алгебры
4.1. Общие определения и решеточные свойства. 4.2. Алгебраические
конструкции. 4.3. Идеалы н фильтры. 4.4. Представления булевых
алгебр. 4.5. Категорные вопросы. 4.6. Меры иа булевых алгебрах.
4.7. Булевы конструкции в алгебре. 4.8. Некоторые неднстрнбутивиые
обобщения булевых алгебр.
§ 5. Другие классы решеток
5.1. Представления полных решеток. 5.2. Решетки, наделенные топо-
топологической структурой. 5.3. Многообразия решеток. 5.4. Некоторые
обобщения решеток*
Литература
Глава VI. Универсальные алгебры
§ 1. Основные понятия теории универсальных алгебр и алге-
алгебраических систем
I.I. Алгебры и подалгебры. 1.2. Гомоморфизмы алгебр. 1.3. Прямое
произведение алгебр. 1.4. Конгруэнции и факторалгебры. 1.5. Подпря-
мые произведения и другие конструкции. 1.6. Алгебраические систе-
системы. 1.7. Многоосновные алгебры. 1.8. Клоны операций.
§ 2. Многообразия, квазимногообразия и другие классы универ-
универсальных алгебр
2.1 Предмиогообразня алгебр. 2.2. Многообразия алгебр. 2.3. Прималь-
ные алгебры и их обобщения. 2.4. Независимость и эквивалентности
многообразий. 2.5. Квазимногообразия н другие аксиоматизируемые
классы алгебр.
§ 3. Сопутствующие структуры универсальной алгебры
3.1. Эндоморфизмы алгебры и смежные вопросы. 3.2. Конгруэнции ал-
алгебр. 3.3. Спектры многообразий. 3.4. Логические конструкции в уни-
универсальных алгебрах. 3.5. Независимость в алгебрах. 3.6. Алгебраиче-
Алгебраические теории.
§ 4. Специальные классы универсальных алгебр
4.1. Мультиоператорные группы и кольца. 4.2. Обобщенные полугруп-
полугруппы, группы и кольца. 4-3. Полугруды, груды, кольцоиды. 4.4. Унарные
и другие алгебры. 4.5. Квазигруппы и лупы.
Литература
СОДЕРЖАНИЕ ВТОРОГО ТОМА
Глава VII. Категории
§ 1. Основные понятия теории категорий
1.1. Определения категории и примеры. 1.2. Двойственная категория
и принцип двойственности. 1.3. Подкатегории, идеалы и диаграммы
категорий. 1.4. Мономорфизмы, эпиморфизмы, биморфизмы и изомор-
изоморфизмы. 1.5. Специальные классы мономорфизмов и эпиморфизмов.
1.6. Терминальные н инициальные объекты категорий; категории с
нулевыми морфизмами. 1.7. Произведения и копроизведения. 1.8. Си-
Системы образующих и инъективные объекты.
§ 2. Функторы, категории диаграмм и монады
2.1. Функторы н их естественные преобразования. 2.2. Категории функ-
функторов, пределы и копределы функторов. 2.3. Сопряженные функторы.
2.4. Монады.
§ 3. Специальные классы категорий
3.1. Регулярные н точные категории. 3.2- Нормальные категории.
3.3. Конкретные категории. 3.4. Локально представимые н локально
порожденные категории. 3.5. Предаддитнвные и аддитивные категории.
3-6. Предабелевы категории. 3.7. О1-категорни. 3.8. Моноидальные,
замкнутые и относительные категории. 3.9. Топосы.
Литература
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В настоящее время алгебраический язык проник,
пожалуй, во все разделы математики и во многие из
ее приложений. В свою очередь, алгебра обогатилась
многими новыми идеями и результатами как в клас-
классических ее областях (группы, кольца), так и в на-
направлениях, развившихся за последнее пятидесятиле-
пятидесятилетие (полугруппы, решетки, универсальные алгебры,
категории). Конечно, по всем этим разделам алгебры
написаны многочисленные монографии и обзорные
статьи. Однако теперь уже, пожалуй, невозможно
написать монографию, отражающую все основные
идеи и направления, скажем, теории групп. Отбор ма-
материала, осуществляемый автором каждой из таких
монографий, неизбежно субъективен. Поэтому в по-
поисках нужных результатов приходится перебирать,
в значительной степени наугад, большое число раз-
различных источников. Настоящий справочник имеет
своей целью облегчить эту работу. В нем, наряду
с основными определениями, представлены многочис-
многочисленные результаты, включенные в те или иные моно-
монографии и обзоры, а также приведен обширный спи-
список монографической и обзорной литературы по со-
соответствующим разделам общей алгебры. В ряде
случаев упоминаются и отдельные результаты, отра-
отраженные только в журнальных публикациях, и тогда
необходимые ссылки приводятся непосредственно в
Тексте. Подчеркнем, что при написании справочника
не ставилось цели отразить современное состояние
этих теорий. Поскольку справочник адресован глав-
главным образом не специалистам, приоритет отдается
результатам, которые могут быть полезны за преде-
пределами рассматриваемой области алгебры. Никаких до-
доказательств не приводится. Авторы приводимых ре-
результатов, как правило, не указываются. Исклк^че-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА 9
ние составляют теоремы с установившимися назва-
названиями. В тех случаях, когда соответствующий мате-
материал может быть найден практически в любом учеб-
учебнике по алгебре, не дается даже точных ссылок. Ав-
Авторы старались не злоупотреблять перекрестными
ссылками. В частности, при изложении теории групп
и теории колец многие факты, которые можно из-
извлечь из теории универсальных алгебр, приводятся
для рассматриваемых специальных случаев. Так что
при желании читатель может не обращаться к гла-
главам VI или VII.
От читателя требуется знакомство с линейной ал-
алгеброй, включая матричное исчисление. При рассмот-
рассмотрении вопросов, лежащих на границе алгебры с ло-
логикой и топологией, логические и топологические по-
понятия, как правило, не определяются.
За пределами настоящего справочника остались
коммутативная алгебра (в частности, теория полей),
конечные группы, линейные группы, представления
групп и некоторые другие разделы: границы общей
алгебры достаточно неопределенны. Сравнительно
мало внимания уделено алгебрам Ли. Надеемся, что
эти разделы алгебры будут отражены в других выпу-
выпусках справочника по математике.
Редактор глубоко благодарен Т. А. Гуровой,
С. Ю. Максимову, А. П. Мишиной и А. А. Понома-
Пономареву за помощь при подготовке рукописи к печати.
. . \ Л. А. Скорняков
Глава I написана Л. А. Скорняковым, глава II —
О. В. Мельниковым (пп. 3.1—3.3), В. Н. Ремеелев-*
никовым (§ 2 и пп. 3.4, 4.2, 4.4) и В. А. Романько-
вым (§ 1 и пп. 4.1, 4.3, 4.5), глава III—Л. А. Скор-
Скорняковым (кроме § 3) и И. П. Шестаковым (§ 3).
Лев Анатольевич Скорняков A924—1989) внес
значительный вклад в развитие алгебры — не только
свокг.'и трудами, среди которых несколько моногра-
монографий и учебных пособий, но и подготовкой исследова-
исследователей, работающих в различных областях алгебры,
многоплановой редакторской деятельностью и дру-
другими видами научной активности. Настоящий спра-
справочник был последней инициативой Л. А. Скорнякова,
и работе над ним наш соавтор и титульный редактор
отдавал, мужественно борясь с неизлечимым неду-
недугом, весь свой темперамент неутомимого пропаган-
пропагандиста алгебраических знаний.
Мы посвящаем наш труд светлой памяти
Льва Анатольевича.
'"и " В. А. Артамонов, О. В Мельников,
В Н. Ремесленников, В. А. Романьков,
< В. Н Салий, Л. Н. Шеврин,
И. П. Шестахов, Е Г. Шульгейфер
ГЛАВА I
ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, ЧАСТИЧНО
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1. Множества, отношения и отображения
1.1. Алгебра подмножеств. Понятия «множество»
и «элемент принадлежит множеству» примем в ка-
качестве неопределимых, становясь тем самым на наив-
наивную точку зрения в этом вопросе. Символ х ^ А оз-
означает, что элемент х принадлежит множеству А,
а хфА — отрицание этого утверждения. Множество
А называется подмножеством множества В (в обо-
обозначениях /4 s S), если каждый элемент, принадлежа-
принадлежащий множеству Л, принадлежит множеству В. Другими
словами, это означает справедливость утверждения:
если j;g/1, то х^В. Множества А и В называют-
называются равными (в обозначениях А = В), если они
состоят из одних и тех же элементов, т. е. если
А^В и йеЛ. Запись А а В означает, что А^В,
но А ф В. Впрочем, нередко символ с: используется
вместо <=,. Совокупность всех подмножеств множества
А называется его булеаном и обозначается через
$(Л) или 2Л.
Если <% — некоторое свойство, которым могут об-
обладать или не обладать элементы множества А, то
через
{х | х е А, х обладает свойством <5\
обозначается подмножество множества А, состоящее
из всех его элементов, обладающих свойством <%. На-
Например, если А — множество целых чисел, то
{х\х^А последняя цифра в десятичной записи
числа х есть 0 или 5}
12 ГЛ I ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч У МНОЖЕСТВА
— это множество всех целых чисел, делящихся на 5.
Если Х[, х2, -.., хп — все элементы множества А, то
часто пишут
А = {хъ хъ .... *„}.
В частности, запись А={х} означает, что А состоит
из единственного элемента х. Во многих случаях вме-
вместо {х} пишется просто х. Множество, не содержа-
содержащее ни одного элемента, обозначается через 0 и на-
называется пустым. В соответствии с общим определе-
определением 0 s А для любого множества А. Ясно, что
А ^ В и В ^ С влечет за собой А<=С.
Если А и В — какие-либо множества, то их пере-
пересечение А[\В и объединение А\}В определяются ра-
равенствами
А{\В = {х\х(= А и хев В}
и
ЛиВ = {х\хе А или х^В}.
Объединение А [} В называется дизъюнктным (иначе,
свободным), если А[}В = 0. Для множеств А и В
эквивалентны следующие утверждения: A) A s В;
B) А{]В = А; C) А[}В = В. Подмножество
А\В = {х\х^ А и хфВ)
называется дополнением множества В в А (рис. 1.1).
Для любых множеств А, В и С справедливы следую-
следующие равенства.
А{]А = А, А[)А = А,
А(]В = В[\А, А[)В = В[)А,
А(\0 = 0,
= {А\В)[)(АПВ)[)(В\А),
= (А[)В)\((А\В)[)(В\А)),
А\В = А\(А{]В),
А = {АПВ)[}(А\В).
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 13
Множество
А + В = (А\В)[](В\А)
называется симметрической разностью множеств А и
В (рис. 1.2). Для симметрической разности справед-
справедливы следующие соотношения:
А + В = В+ А, (А + В) + С = А + (В + С),
А+0 = А, А+А=0,
Пересечение и объединение может быть опреде-
определено для любого набора множеств. Именно, если
Ркс 1.1 Рис. 1.2
{Ai,|ieS} — множество подмножеств Аь некоторого
множества, где индексы i пробегают множество 3 (не
исключено, что АЬ = АК, где i и х—различные эле-
элементы множества 3),то пересечение П{А,,| i еЗ}и объ-
объединение UM111-e 3} определяются равенствами
П {A 11 «= 3} = {* I * «= А для всех i е 3}
и
U {A% ]i е= 3} = {х\х е= А хотя бы для одного ieS)
соответственно. Вместо |"|{A|i^S} и U {A U е 3}
часто пишут П А и И А, а иногда даже просто
ПА и U А. Если 3 = 0. 2, ..., п}, то обычно ис-
используется запись .4, П А2 П • ■ • П Ап и Ах U Л2 U ■ • • U Ал
п п _
или П А и U А- Объединение U{Ali^3) наэы-
i 1
U
1=1
вается дизъюнктным (или свободным), если А П А«=0
14 ГЛ I ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч У. МНОЖЕСТВА
при i Ф к. Если 3 = U {3x1 "ЕЙ} — дизъюнктное
объединение, то
П ( П лл= П
U ( U лл= U
Эти соотношения можно рассматривать как обобще-
обобщение ассоциативности Обобщением дистрибутивности
служат равенства
A U (П {В, 11 е- 3}) = П {A U В, U е 3},
Подчеркнем, что последнее соотношение простого
обобщения на бесконечный случай не допускает (см.
§ 5 гл! V).
Если рассматриваются лишь подмножества фик-
фиксированного множества М и A s M, то подмножество
М\Л называется просто дополнением подмножества
А и обозначается через А. При этом справедливы ра-
равенства
~0=М,
{законы де Моргана).
Множество {Л^еЗ} непустых подмножеств мно-
множества А называется покрытием множества А, если
А — UMi,ji еЗ}. Покрытие называется разбиением,
если А,,[}А.Л = 0 при i=^x. Таким образом, Л яв-
является дизъюнктным объединением своего разбиения.
Другими словами, множество {4t|ie5} непустых
подмножеств множества А является его разбиением,
если каждый элемент а е А принадлежит в точности
одному из подмножеств At.
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 15
Если А и В — произвольные множества, то назо-
назовем парой символ (а,Ь), где а^А и Ь^В. Пары
(а, Ь) и (а', Ь') считаются равными, если а = а' и
b = Ь'. Множество всех пар {(a,b)\a^A, b e В}
называется прямым (или декартовым) произведением
множеств А и В и обозначается через А X В. Под-
Подчеркнем, что как понятие пары, так и вводимое ниже
понятие последовательности в нашем изложении яв-
являются неопределимыми: определено лишь равенство
пар и последовательностей. Если стоять на менее на-
наивной точке зрения, то парой' следовало бы называть
множество {{а}, {а, Ь}}, т. е. множество, элементами
которого служат одноэлементное множество {а} и
двуэлементное множество {а,Ь}. Заметим еще, что
отличие пары (а, Ь) от двуэлементного множества
{а, Ь) заключается в том, что {а, Ь} = {&, а}, а (а, Ь) =
= (Ь,а) лишь при а = Ь.
Если Аи ..., Ап — любой конечный набор мно-
множеств, то назовем последовательностью, или строкой,
или кортежем длины п символ (аь ..., ап), где а, е
еА,. Последовательности (av ..., ап) и (a'v ..., oQ
считаются равными, если al = a'l при t=l, ..., п.
Множество всех таких последовательностей назы-
называется прямым произведением множеств Аь ..., Ап
п
и обозначается через At X • ■ • X Ап или Ц Л,. Отме-
тим, что, имея определение прямого произведения
двух множеств, можно вполне строго определить пря-
прямое произведение любого (не обязательно конечного)
набора множеств. Этот вопрос обсуждается в п. 1.2.
1.2. Соответствия и отображения. Подмножество
р множества А X В называется соответствием (или
бинарным отношением) между множествами А и В.
Если (a, b) e р, то говорят, что элемент а находится
в отношении р с элементом Ь. Вместо (а, Ь)ер часто
пишут apb, а иногда — р(а,Ь). Соответствия pS
дЛХ^ и a s С X D называются равными, если
А = С, В = D и р = а как подмножества множества
А X В. Если А и В — конечные множества, скажем,
А = {1, 2, ..., т) иВ={1,2, ..., п), то каждому со-
соответствию р между множествами А и В можно сопо-
сопоставить матрицу размера т X п, в которой на пересе-
пересечении t-й строки и /-го столбца стоит 1, если (», /)е р,
16 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч У. МНОЖЕСТВА
я 0 в противном случае. Если А и В изобразить как
множества точек на плоскости и соединить i с / стрел-
стрелкой в том и только том случае, когда (i, j) е p, то воз-
возникает направленный граф. В рассматриваемом слу-
случае соответствие р однозначно восстанавливается как
по своей матрице, так и по своему направленному
графу. Конечно, и матрицу и граф можно рассматри-
рассматривать и в случае бесконечных множеств, но здесь выиг-
выигрыш в наглядности намного меньше. Об умножении
соответствий см. п. 1.4.
Если р — соответствие между множествами А и В,
то обозначим через р* (употребляются также обо-
-I
значения р~' и р) соответствие между множествами В
и А, определяемое условием
р* = {F, а)\(а, Ь) ер}.
Матрицей соответствия р# служит матрица, получен-
полученная из матрицы соответствия р транспонированием,
а граф соответствия р* получается из графа соответ-
соответствия р изменением направления стрелок на проти-
противоположное. Отметим еще, что pcff влечет за собой
Р* EU*.
Областью определения (иногда первой проекцией)
соответствия р называется множество
Domp = {a|a e Л, (а, Ь) ер для некоторого бе В},
а образом или областью значений — множество
Imp = {&|6e/?, (а, Ь) ер для некоторого аеЛ}.
Ясно, что Domp = Imp* и Domp* = Imp. Если
Dom р = А, то говорят, что соответствие р всюду
определено. Всюду определенное соответствие часто
называют многозначным отображением. Если а е А,
то множество
р(а) = {6|6еВ, (а, Ь) ер}
называется образом элемента а при соответствии р.
Если X £ А, то множество
называется образом множества X при соответствии
р, или сечением соответствия р по множеству X. Се-
ченне соответствия р по одноэлементному множеству
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 17
ф$ совпадает с образом элемента х. Если fteft, то
«ИОЖество
р-1(Ь) = {а\а^А, (а, Ь) ер}
называется прообразом элемента Ь при соответствии
р. Этот прообраз совпадает с образом элемента Ь
при соответствии р* Прообраз множества Y Е В оп-
определяется равенством
и совпадает с образом множества Y при соответствии
р#. Если XS/4, то соответствие
р\х = РП(ХХВ) = {(х, Ь)\хе:Х, (х, 6)ер}
называется ограничением (или сужением) соответ-
соответствия р на подмножество X.
Проиллюстрируем введенные понятия на следующем примере:
А = {аи аг, а3), В = {Ьи Ьг, Ьз, &J и р = {(at, fti), (at, b2),
(ai> &з), (a2, fti)}. Матрицей соответствия р служит
1110.
f \
1 0 0 0}
^0 0 0 (K
а ее градом -
Далее, Dom р= {ai, аг}, Im р = {bu Ьг, Ьз}, p(ai)=={bi, Ьг> Ьз},
р(а2) = {б^, р(аз) = 0, прообразом элементов Ьг и 6з служит
одноэлементное-множество {ai}, прообразом элемента bi — мно-
множество {at, аг}, а прообраз элемента 64 пуст. Наконец,
Соответствие называется полным, если оно совпа-
совпадает с А X В, т. е. состоит из всех пар (а, 6). Все эле-
элементы матрицы, соответствующей полному соответ-
соответствию, равны 1. Если р — полное соответствие, то со-
соответствие р* также полно.
Соответствие р называется частичным отображе-
отображением множества А в множество В, если для каждого
18 ГЛ. 1. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ. Ч. У. МНОЖЕСТВА
aeDomp множество р(а) оказывается одноэлемент-
одноэлементным. В соответствии с определением равенства соот-
соответствий частичные отображения р и а из А в В
равны тогда и только тогда, когда Dom p = Dom в
и р(ж)=а(х) для всех же Dom р. Ясно, что, имея
частичное отображение в смысле данного определе-
определения, мы каждому элементу из Domp ставим в соот-
соответствие однозначно определенный элемент из В. Та-
Таким образом, предложенное определение по существу
совпадает с наивным. Если исходить из наивного оп-
определения (правда, формально оно не может служить
определением), то соответствующее соответствие на-
называют графиком частичного отображения.
Отображением множества А в множество В (или
полным отображением, или функциональным соответ-
соответствием) называется такое частичное отображение р
из А в В, что Dom p = А. В этом случае каждому
элементу из А ставится в соответствие однозначно
определенный элемент из В. Заметим, что на частич-
частичное отображение р из А в В можно смотреть как на
полное отображение из Domp в В. Символ q>: А-*-В
означает, что ф является отображением множества А
в В. Подчеркнем еще, что согласно определению ра-
равенства соответствий отображения q>: A->B и ф:
C-*-D равны, если А = В, C = D и <p(x) = i$>(x) для
всех хеА. Если a e А, то элемент ф (а) называется
образом элемента а. При этом говорят также, что
отображение ф ставит в соответствие элементу а эле-
элемент ф(а). Прообразом элемента Ъ из В при отобра-
отображении ф называется такой элемент ае.А, что ф(а) =
= Ь, а полным прообразом элемента Ь — множество
всех его прообразов. Полный прообраз элемента мо-
может оказаться пустым. Образ ф (X) подмножества
X £ А определяется равенством
а полный прообраз (p~l(Y) подмножества KsB —
равенством
Множество ф(Л) называется образом отображения ср
и обозначается через Im ф.
Если ф: А-*-В — отображение и 1еУеЛ, то
ф(Х)сф(К). Для любого множества {At|ieS} под-
I 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 19
множеств множества Л справедливы соотношения
<р( U ал= U <р(А), ф-'( П лл= П ф-'
Vie=3 ) ie3 \ieS ) ie-3
И
Я) ( П АЛ £= П Ф
A4], с. 373,376).
Последнее включение может оказаться строгим, —
например, если Alf)A2 = 0, а В ={Ь}.
Если А' — подмножество множества А и (р: А-*~В,
то про отображение ф': А'-*- В, где ф'(ж) = ф(ж) для
всех же Л', говорят, что оно является сужением или
ограничением отображения ц> на А'. В этом случае
часто пишут, что ф' = (р|д, а про отображение (р го-
говорят, что оно является продолжением или расшире-
расширением отображения ф'. Заметим, что нельзя сказать,
что ф = ф', поскольку у ф и <р' разные области опре-
определения.
Отображение ф: А-*-В называется постоянным
или константой, если найдется такой элемент b е В,
что q>(x) = b для всех же Л.
Отображение U: А-*-А, где 1,4 (ж) = х для всех
хеА, называется тождественным (вместо 1А упо-
употребляют также обозначение i(U).
Отображение ф: А-*-В называется вложением или
инъективным отображением, если для любых а', а"е
е/1 равенство ф(а')=ф(а") влечет за собой а' =а".
Другими словами, при вложении различные элементы
множества А переходят в различные элементы мно-
множества В. Если А — подмножество множества В, то
вложение ф: Л->5, где ф(ж) = ж для всех же Л, на-
называется каноническим или естественным. Канони-
Каноническое вложение подмножества Л в 5 совпадает с ог-
ограничением отображения 1В на подмножество Л. Ото-
Отображение ф: Л-»-В называется наложением или
сюръективным отображением (говорят также, что ф
отображает А на В), если для всякого b e В найдется
такой элемент а^А, что ф(а)~&. Другими словами,
при наложении каждый элемент из В имеет хотя бы
один прообраз. Отображение, являющееся вложением
и наложением одновременно, называется взаимно од-
однозначным или биективным, а также биекцией. Про
20 ГЛ I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч У. МНОЖЕСТВА
взаимно однозначное отображение ф: А->5 часто го-
говорят, что оно устанавливает взаимно однозначное
соответствие между элементами множеств А и В. Для
отображения конечного множества б себя инъектив-
ность, сюръективность и биективность — равносиль-
равносильные условия. О связи этих понятий с понятиями моно-
мономорфизма и эпиморфизма см. п. VII. 1.4.
Если ф — отображение множества Л в себя, то эле-
элемент йё А называется инвариантным или неподвиж-
неподвижным относительно ф, если ф(а) = а. Подмножество
ХеА называется инвариантным относительно ф,
если фA)£1 Разумеется, подмножество X оказы-
оказывается инвариантным, если инвариантны все его эле-
элементы, но не наоборот. Если а 6Е Л, то множество эле-
элементов, получаемых из а многократным последова-
последовательным применением отображения ф, называется
орбитой. Любая орбита оказывается инвариантным
подмножеством.
Каждому отображению ф: А->5 соответствует
отображение ф(ф) булеана ф(Л) в булеан ф(#), оп-
определяемое равенством ф(ф) (Х)= ф(Х) для всех
XsA. Отображение ф(ф) оказывается вложением,
наложением или биекцией тогда и только тогда, когда
соответствующим свойством обладает отображение ф.
Вместо ф(ф) обычно пишут просто ф.
Существует взаимно однозначное соответствие Г
между подмножествами множества Л и отображе-
отображениями множества Л в двуэлементное множество
{0, 1}, определяемое условием:
, если а 6Е X,
I, если а ф. X,
для любого Х^А.
На элемент (а, Ь) прямого произведения ЛХ^
можно смотреть как на отображение двуэлементного
множества {1, 2} в дизъюнктное объединение Ли В,
определяемое равенствами (а, &)A) = аи (а,Ь)B) =
= Ь. Это наблюдение позволяет определить прямое
произведение Ах X ••• ХА„ как множество всех ото-
отображений а множества {!,...,«} в дизъюнктное
объединение А\\] ... \]Ап, где а(г)бЕЛ,. При этом
даже экземпляры одного и того же множества, высту-
выступающего в качестве различных А„ считаются непере-
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 21
секающимися множествами. О возможной формали-
формализации этого предположения см. [4], п. 11.4 8. С дру-
другой стороны, каждое отображение а множества {!,...
..., п} в дизъюнктное объединение Ai\j .. !J An, где
a(i)^At, можно рассматривать как строку (аA), ...
..., а(п)) или (аь ..., ап). Таким образом, предло-
предложенное определение согласуется с наивным опреде-
определением из п. 3.3. При этом новое определение до-
дословно переносится на случай, когда число сомножи-
сомножителей не предполагается конечным: прямым произ-
произведением непустого семейства непустых множеств
{/Ii|ie3} называется множество всех отображений
а множества 3 в дизъюнктное объединение U{^i|i^
еЗ}, ставящих в соответствие каждому индексу
ie3 элемент at^A,, Существование таких отобра-
отображений вытекает из аксиомы выбора (п. 2.1), приме-
примененной к множеству UMi|i^3}- Отображение а ча-
часто изображают в виде строки ( .., аи ...), i-й коорди-
координатой которой служит элемент а^Л, Отображение
ixu ставящее в соответствие каждой строке а ее i-ю
координату аи оказывается наложением и называется
i-й проекцией. Для любых отображений qv 5->Л,„где
В — некоторое множество, существует одно и только
одно отображение ф: В ~* П At такое, что nt((p(&)) =
= (pi(b) для всех 1ёЗи1)ёВ (ср. п. VII. 1.7). Если
3 = П Эх. то справедливо равенство
П ( U аК1)= U ГП алПх)),
а если Ш ф 0 и 3КФ0 Для всех х е 5?, то—и ра-
равенство
П( П А*)= П (ИАк
В частности, если $ ф 0, то
П
([4], с. 120, 122).
Пусть М—непустое множество. Соответствие р£
еМХ?(М) называется отношением зависимости,
если выполнены следующие условия: 1) если х е A s
^М, то (х. Л)ер; 2) если хеМ, йбАдМ,
22 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
(х,Л)Е=р и (х,А\{а})(£р, то (а, (Л\{а})U{*})е= р;
3) если х <= М, А, В s Af, (я, Л) <= р и (а, В) е р для
всех а^А, то (^В)бр; 4) если хеМ, ДдМ и
(я, Л) ер, то (^Л')бр для некоторого конечного
подмножества А'^А. Если (я, Л)ер, то говорят, что
х зависит от А. Если каждый элемент множества А
зависит от В, то скажем, что Л зависит от В, и будем
писать р(Л, В). Если р(Л,В) и р(В, А), то множества
Л и В называются эквивалентными. Если Л эквива-
эквивалентно В, а В эквивалентно С, то Л эквивалентно С.
Если р(Л, В) и р(В, С), то р(Л, С). Если р(А,В) и
В^С, то р(Л, С). Множество Л^М называется «е-
зависимым, если (а, Л\{а})^р для всех а^А. Не-
Независимое множество Л называется максимальным,
если для любого х е ЛГ\Л множество Ли{*} не яв-
является независимым. Если Л — максимальное неза-
независимое множество, то (х, Л) ер для любого лгсеМ.
Эквивалентные независимые множества имеют одну
и ту же мощность. Одну и ту же мощность имеют и
любые два максимальных независимых множества.
Теорема о замене: если Л и В — эквивалентные не-
независимые множества и С ^ А, то найдется такое
подмножество В'еВ, что В'1_1(Л\С) независимо и
эквивалентно Л.
Система Q непустых подмножеств множества М
совпадает с системой независимых подмножеств неко-
некоторого отношения зависимости в том и только том
случае, когда AgfieQ влечет /leQ,a/l9fi,AG
eQhB^Q влечет A\j{b}^Q для некоторого Ь е В.
При этом для данной системы Q, удовлетворяющей
этим условиям, соответствующее отношение зависи-
зависимости р определяется условием: (а, Л) ер, если най-
найдется такое конечное подмножество Л'^Л, что Л'е
e=Q, a A'\J{a}<£Q (см. [21], § 3; [22], § 7; [17]).
Примеры. 1) М — произвольное непустое множество,
р = {(х. А) \х е А = М}; 2) М — линейное пространство над
полем Я, р = {(я, Л)|х= ^ ^аа> где ^' — конечное подмно-
жество множества А}; 3) .М — расширение поля Р, р = {(я,Л)|я
является корнем многочлена с коэффициентами из поля, поро-
порожденного конечным подмножеством множества А} (см. [5], §74).
1.3. Отношения, эквивалентности, фактормноже-
фактормножества. Отношением (точнее, бинарным отношением)
на множестве Л называется подмножество множества
§ !. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 23
ЛХ^- Другими словами, отношение — это соответ-
соответствие множества А с самим собой. Отношение
{(а, а)|аеЛ}
называется диагональю или тождественным отноше-
отношением и обозначается через Ад (употребляются также
обозначения ЕА и 0А). На диагональ можно смотреть
и как на тождественное отображение \А множества А
на себя. Легко видеть, что диагонали соответствует
единичная матрица. Множество Л Х^ также является
отношением. Оно называется полным отношением и
часто обозначается через VA.
Отношение р на множестве А называется рефлек-
рефлексивным, если (х,х)^р для всех ie! Другими сло-
словами, отношение р рефлексивно, если Ад £ р. Отно-
Отношение р называется симметричным, если (х, i/)ep
влечет за собой (у,х)^р, антисимметричным — если
(х, i/)Ep и (у, х)е р влечет за собой х = у, и тран-
транзитивным, если (х, 1/)бр и (i/,2)Ep влечет за собой
(х,г)бр. Симметричность отношения р означает
справедливость соотношения р# s p, равносиль ого
р = р#, антисимметричность равносильна включению
рПр#^Ал. Если {ptji e 3} — множество рефлексив-
рефлексивных [симметричных, антисимметричных, транзитив-
транзитивных] отношений на множестве А, то Л рг также яв-
ляется рефлексивным [симметричным, антисиммет-
антисимметричным, транзитивным] отношением на Л, В случае
рефлексивных или симметричных отношений то же
самое верно и для (J р . Однако для антисиммет-
ричных или транзитивных отношений это, вообще го-
говоря, не так. Пересечение всех транзитивных отноше-
отношений, содержащих данное отношение р, оказывается
транзитивным отношением, которое называется тран-
транзитивным замыканием отношения р. Если р — это
транзитивное замыкание, то (а, &)е р тогда и только
тогда, когда найдутся такие элементы хо, Xi,...,xn^
е А, что а = хо, Хп = Ь и (xltXi+\)^ р при ; = 0, 1,...
.... п—1.
Отношение р на множестве А называется эквива-
эквивалентностью (или отношениям эквивалентности), если
оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Как
24 ГЛ. I ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
диагональ, так и полное отношение на множестве А
являются эквивалентностями. В качестве нетривиаль-
нетривиального примера эквивалентности укажем отношение па-
параллельности на множестве прямых обычного про-
пространства (нужно только считать, что каждая прямая
параллельна самой себе). Если р — эквивалентность
на множестве А и аеЛ, то подмножество
р (а) = {х | х i= А, {а, х) <= р}
называется классом эквивалентности р (иногда смеж-
смежным классом). Все классы диагонали одноэлементны,
полное отношение обладает единственным классом
(он совпадает со всем множеством), классами отно-
отношения параллельности служат множества параллель-
параллельных между собой прямых. Множество различных
классов эквивалентности является разбиением мно-
множества А. Наоборот, если дано разбиение множества
А, то отношение, состоящее из всех таких пар (х,у)^
еЛХА что хну принадлежат одному и тому же
подмножеству разбиения, оказывается эквивалент-
эквивалентностью.
Если р — эквивалентность на множестве А, то под-
подмножество flg/4 называется р-насыщенным, если для
любого х е А из Ь е В и (х,&)Ер вытекает, что
хеВ, Для р-насыщенности подмножества необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно совпадало с объедине-
объединением некоторого множества классов эквивалентности
р. Если В — произвольное непустое подмножество в At
то множество
В = U {Р (Ь) I b 6= В)
оказывается р-насыщенным. Оно содержится во всех
р-насыщенных подмножествах, содержащих В, и на-
называется р-насыщением подмножества В.
Пересечение любого множества эквивалентностей
на множестве А является эквивалентностью. Пересе-
Пересечение всех эквивалентностей, содержащих данное от-
отношение р, называется эквивалентным замыканием
этого отношения. Если {ptjie3}—некоторое множе-
множество эквивалентностей на множестве А, то наимень-
наименьшая эквивалентность, содержащая все pt, совпадает
с транзитивным замыканием объединения U{pi|i^ З}.
Если р' и р" — эквивалентности на множестве А, то
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 25
объединение р' U р" оказывается эквивалентностью
в том и только том случае, когда пересечение любого
класса эквивалентности р' с любым классом эквива-
эквивалентности р" или пусто или совпадает с одним из этих
классов. О множестве эквивалентностей как частично
упорядоченном множестве см. п. 2.6.
Множество классов эквивалентности р на множе-
множестве А или, что то же самое, множество подмножеств,
образующих соответствующее разбиение, называется
фактормножеством множества А по эквивалентности
р и обозначается через А/р.
Примеры 1) А — множество зерен, насыпанных в меш-
мешки Для зерен а и 6 положим (а, 6) е р, если они лежат в
одном мешке Тогда классом эквивалентности служит множе-
множество зереи, лежащих в одном мешке, а фактормножеством
Л/р — множество мешков 2) А — множество всех целых чисел,
Ац и Ai состоят из всех четных и нечетных чисел соответствен-
соответственно. Тогда {Ац, А^ оказывается разбиением множества А, и если
р — соответствующая эквивалентность, то Л/р — множество, со-
состоящее из двух элементов Ass и Ai.
Если р — эквивалентность на множестве А, то
отображение я множества А на фактормножество
Л/р, при котором каждому элементу а из Л ставится
в соответствие класс эквивалентности, в котором этот
элемент лежит, называется естественным или кано-
каноническим. Ясно, что естественное отображение яв-
является наложением.
В рассмотренных выше примерах имеем: 1) п(х)—мешок,
в котором лежит зерно х, 2) п(х) = Ао, если к четно, и п(х) =
= Ai, если х нечетно
Ядром отображения <р: A -v В называется отно-
отношение
Ker«p ={(*', х")\х', х"^А, Ф(*') = Ф (*")}.
Нетрудно проверить, что Кег ф — эквивалентность.
Следовательно, можно рассматривать фактормноже-
фактормножество Л/Кегф. Имеют место теорема о гомоморфизме
для множеств: если ф: А-+В— наложение и я: A -v
-*-Л/кегф — естественное отображение, то существует
взаимно однозначное отображение у-. B-+A/Kerq> та-
такое, что п(а)= %(ц>(а)) для всех ае/!, и теорема
о факторизации: если ф: А-*-В, ф: Л-vC и Кег ср s
Е Кег ip, то условие %((р(х))= ty(x) для всех хе/1
определяет отображение %: Imcp-^C. В частности,
26 ГЛ I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
если ф — наложение, то существует такое отображе-
отображение %: В—*-С, что ty(x) = %(q>(x)) для всех х^А. Эти
теоремы можно проиллюстрировать диаграммами
А/Кет
И
соответственно. Формулировки этих результатов, ис-
использующие произведения отображений, приведены
в п 1.4. Если, далее, р и б — эквивалентности на мно-
множестве А и р Е б, то на фактормножестве Л/р можно
определить отношение
е/р = {{р (х), р (у)) \х, ус: А, (х, у) е= б},
которое оказывается эквивалентностью. Отображе-
Отображение Г, где Г(б)=б/р, устанавливает взаимно одно-
однозначное соответствие между эквивалентностями на А,
содержащими р, и эквивалентностями на А/р. При
этом р 9 в' £ 8" тогда и только тогда, когда rF')s
сГ(в').
Рефлексивное и симметричное отношение назы-
называется толерантностью. Если т — толерантность на
множестве А и ае/1, то подмножество {х\ (а, я)е т}
называется классом толерантности. Классы толерант-
толерантности образуют покрытие множества А. Если дано по-
покрытие {/ltjie3} множества А, то отношение
% = {(х, у)\х, у е Ai для некоторого i e 3!
оказывается толерантностью. Однако классы этой то-
толерантности не обязаны совпадать с множеством
{<4t|te3}. Например, если толерантность % опреде-
определяется покрытием {Аи Л2, Л3}, где A3^Ai\j^2 и
Ai (\A2¥:z 0 (рис. 1.3), то к числу классов толерант-
толерантности принадлежит объединение А\ \jA2, а Л3 классом
толерантности не является. Класс К толерантности т
называется максимальным, если К s L, где L — не-
некоторый класс толерантности т, влечет за собой
К = L. Покрытие {/?tlie3} множества А совпадает
с множеством всех максимальных классов некоторой
толерантности тогда и только тогда, когда для любых
f 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 27
ig3 и З'^З включение Дс U Ак влечет за со-
бой П,Лх£Д ([15], с. 109, теорема 3.9).
Определение бинарного (или двуместного) отноше-
отношения естественно обобщается на «-местный случай;
V/ Л,
Рис. 1.3
если-М — некоторое множество, то подмножество Р
прямого произведения Ап = А X • • ■ X А называется
п раз
п-арным (или п-местным) отношением или предика-
предикатом на множестве Л. Если для любых п\, ..., ая_1,
Ь, се Л из (аь ..., an_i, &)еР и (аь ..., ап^,с)(=
е Р вытекает, что Ь = с, то отношение Р называется
функциональным. Если при этом для любых aj, ...
..., ап-1 ^ А имеем (ai, ..., an_i,a)eP для некото-
некоторого аеД то Р очевидным образом определяет ото-
отображение множества Л" в Л. Унарное (одноме-
(одноместное) отношение часто называют свойством. Некото-
Некоторые общие свойства n-арных отношений можно найти
в [20], гл. 9—12.
1.4. Умножение соответствий и отображений. Если
р — соответствие между множествами Л и В, а о —
соответствие между множествами В и С, то их произ-
произведением называется соответствие между множества-
множествами Л и С, определяемое как
ро = {(а, с)\(а, х)<=р и (к, с) <= о
для некоторого х i
В).
В качестве примера рассмотрим случай, когда А — множе-
множество женщин, В — множество мужчин, С — множество автобу-
автобусов, (а, 6) Ер означает, что женщина а является женой муж-
мужчины 6, а F, с) е а — что мужчина 6 сидит в автобусе с.
Тогда (а, с) е ра означает, что женщина а имеет мужа, кото-
который сидит в автобусе с.
28 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
Матрица произведения двух соответствий равна
произведению матриц сомножителей, если сложение
и умножение осуществлять по следующим правилам:
1 + 1 = 1+0 = 0+1 = 1, 0 + 0 = 0, 0-0 = 0-1 =
= 1-0 = 0 и 1-1 = 1. Умножение соответствествий ас-
ассоциативно, т. е. (ро)т = р(от), причем из существо-
существования левой части этого равенства вытекает суще-
существование правой и наоборот. Отсюда следует, что
произведение нескольких соответствий не зависит от
расстановки скобок, что дает возможность использо-
использовать запись pip2 ... ря (подчеркнем, что определено
лишь произведение двух соответствий!). Если р^
Е А X В, то Адр = р = рАв или, что то же самое,
1лр = р = р1в. Справедливо также равенство (рст)* =
= ст*р#, причем опять существование одной из частей
этого равенства влечет существование другой. Соот-
Соответствие всюду определено тогда и только тогда,
когда Дл^рр#, и оказывается отображением в том и
только том случае, когда, кроме того, справедливо со-
соотношение р*р£Дв. Для всякого соответствия р
справедливо включение р^рр#р и существуют та-
такие отображения ф и t|), что р = ф#ф. Соответствие
рдЛХВ называется бифункциональным или квази-
квазиоднозначным, если рр*р^р, что эквивалентно равен-
равенству рр#р = р. Равносильны следующие свойства со-
соответствия р: A) р дифункционально; B) если а',
а"еЛ и р {а') П р {а") ф 0, то р {а') = р {а"); C) если
Ь', Ь"^В и р# (&') П р# Ю ф 0, то р# (&') *= р# (Ь")
([10], с. 34, теорема 1).
Если ф и ф — частичные отображения из А в В и
из В в С соответственно, то, согласно общему опре-
определению,
Dom ф^ = {х \ х е Dom ф и ф (х) е Dom ф}
и фф (х) = ^ (ф (х)) для любого хеОоШфф. Послед-
Последнее равенство выглядит более естественным, если
писать xq> вместо ср(х): именно, мы имеем х(<$$) =
= (xq>)ty. Желание сохранить запись образа элемента
х при отображении ф в виде q>(x) привело к тому, что
многие авторы используют произведение (мы будем
обозначать его как фоф), определяемое равенством
q> ° ty(x) = (${■§(х)). Ясно, что произведение двух ча-
частичных отображений является частичным отображе-
£«J § 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 29
нием. То же самое верно для многозначных отобра-
отображений и рефлексивных отношений. Транзитивность
отношения р равносильна включению рр s p. Произ-
Произведение эквивалентностеи б'б" оказывается эквива-
эквивалентностью тогда и только тогда, когда б' и б" пере-
перестановочны, т. е. б'б" = б"б'.
Произведение двух отображений также оказы-
оказывается отображением. Произведение двух вложений,
наложений или взаимно однозначных отображений
является вложением, наложением и взаимно одно-
однозначным отображением соответственно. Если фф
(или ^ о ф) — вложение, то ф оказывается вложением.
Если ф1|э (или ^ о ф) — наложение, то наложением ока-
оказывается ф. Всякое отображение ф: А->-В можно
представить в виде ф=яе, где я— наложение А на
Im ф, а е — естественное вложение Im q> в В. Отобра-
Отображение ф является вложением тогда и только тогда,
когда фф#=1л. а наложением — в том и только том
случае, когда ф*ф=1в. Отображение ф: В-+-А назы-
называется обратным отображению ф, если фф = \А и
■фф = Ь- Обратное отображение существует в том и
только том случае, когда ф взаимно однозначно. При
этом само обратное отображение оказывается взаим-
взаимно однозначным. Для каждого взаимно однозначного
отображения ф существует только одно обратное
отображение, что позволяет обозначить его через ф.
ЯСНО, ЧТО ф~1=ф*.
Если ф — отображение конечного множества А в себя и,
скажем, А = {1, 2 «}, то ф задается двустрочной матри-
матрицей
/ 1 2 ... п Ч
V Ф A) ФB) ... <p(n)J-
Отображение <р оказывается взаимно однозначным тогда и
только тогда, когда в нижней строке нет одинаковых чисел.
Если
12 34 /12 3
то
12 34 /123
j НО •фф = <роф ^
Этот пример показывает, что умножение отображений (а тек
более соответствий) не коммутативно.
30 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
Если ф: А-+В, tj>: Л-vC, Х: В-*-С, р: B-+D и
a: C~*-D, то можно рассмотреть диаграммы
А z *-Л
Говорят, что эти диаграммы коммутативны, если ф =
= ФХ и фр = iMO соответственно. Коммутативность
отображений ф и ф множества А в себя означает
коммутативность диаграммы
•J I
Л —*■ А
Коммутативность определяется и для более сложных
диаграмм. Грубо говоря, она означает, что результат
последовательного перемножения отображений по
пути, ведущему из одной вершины в другую, не зави-
зависит от выбора этого пути. Язык диаграмм часто по-
позволяет выразить более наглядно те или иные выска-
высказывания, касающиеся произведений отображений.
В частности, теорема о гомоморфизме для множеств
может быть сформулирована так: если <р: А-*-В —
наложение, а я; Л->-Л/Кегф — естественное отобра-
отображение, то для подходящего взаимно однозначного
оторажения % коммутативна диаграмма
A/Ker
Теорема о факторизации допускает такую формули-
формулировку: если ф: А-*-В — наложение, ty: А-**С — про-
S 1. МНОЖЕСТВА. ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ $1
извольное отображение и Ker qp s= Ker $, то суще-
ствует коммутативная диаграмма
Приведем еще один полезный результат: если 0' и
в" — эквивалентности на множестве Л и 9's6", a
я': Л-»-Л/е', яГ: Л-*Л/6" и я:
/ )
естественные отображения, то коммутативна диа-
диаграмма
А *- Л/6'
-I J"
(Д/6')/F7В')
где х — взаимно однозначное отображение, опреде-
определяемое равенством %(Q"$a)) = n(B'(a)) для всех
flE/4.
1.5. Учение о мощности. Краеугольным камнем
здееь служит теорема Кантора—Бернштейна: если
существуют взаимно однозначные отображения мно-
множества Л на подмножество множества В и множества
В на подмножество множества Л, то существует
взаимно однозначное отображение множества Л на
множество В.
Множества А и В называются эквивалентными,
если существует взаимно однозначное отображение
множества Л на множество В. Множества, эквива-
эквивалентные множеству всех натуральных чисел, назы-
называются счетными.
Теорема Кантора—Бернштейна позволяет устано-
установить теорему о сравнении множеств: для любых двух
множеств А и В существует одна и только одна из
следующих возможностей:
1) Л эквивалентно В;
2} А эквивалентно подмножеству множества В,
по В не эквивалентно никакому подмножеству мно-
множества А;
32 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
3) В эквивалентно подмножеству множества Л,
но Л не эквивалентно никакому подмножеству мно-
множества В.
В первом случае говорят, что мощности множеств
А и В равны (или что эти множества равномощны)
и пишут Card A = Card В, во втором — что мощность
множества А меньше мощности множества В
(в записи Card Л <cCardB), а в третьем — что мощ-
мощность множества В меньше мощности множества А.
Легко проверить, что для конечных множеств сравне-
сравнение по мощности равносильно сравнению по числу
элементов. Отметим другой вариант теоремы о срав-
сравнении множеств: для двух множеств существует одна
и только одна из следующих возможностей: 1) А эк-
эквивалентно В; 2) А отображается на В, но В не ото-
отображается на А; 3) В отображается на А, но А не
отображается на В.
Подчеркнем, что изложенное выше не определяет
само понятие мощности, а только обеспечивает воз-
возможность сравнивать множества по их мощности.
Чрезвычайно важны следующие два факта: 1) мощ-
мощность любого множества меньше мощности множе-
множества всех его подмножеств (т, е. Card/4<Card5K(y4));
2) мощность множества всех конечных подмножеств
бесконечного множества А равна мощности множе-
множества А. Нередко оказывается полезной теорема; если
{/4v|ie3} — семейство неодноэлементных множеств
и Л tf] Ay. = 0 при 1=И= х, то
Card f (J AWCard ( П АХ
Отметим еще несколько соотношений, касающихся
мощностей множеств А, В и С:
I) если Card4<CardB и Card В < Card С, то
Card A < Card С; 2) если Carat A s=: Card В и
Card В < Card А, то Card A = Card В; 3) если
Cardy4<CardB, то Card (Л X С)< Card (В X С);
4) если А бесконечно, а В счетное, то Card В ^
< Card А и Card (Л U 5) = Card Л; 5) если Л беско-
бесконечно и Ап = АХ---ХА, то CardЛ'1 = Card/l;
п раз
6) каждое бесконечное множество Л можно предста-
представить в виде объединения попарно не пересекающихся
эквивалентных ему подмножеств, причем мощность
§ 1. МНОЖЕСТВА, ОТНОШЕНИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ 33
множества этих подмножеств равна мощности множе-
множества Л; 7) если А — бесконечное множество, то, ка-
каково бы ни было множество В, Card (Ли В) ^
sg: max (Card Л, Cafdfi}; 8) если А и В — непу-
непустые множества, причем В бесконечно и Card А ^Г
< Card В, то Card (Л X В) = Card В.
На мощность множества Л можно смотреть и как
на новый объект, обычно называемый кардинальным
числом или кардиналом. Наряду с обозначением
Card Л часто используется символ \А\. Таким обра-
образом, |Л| = |В| тогда и только тогда, когда А и В
эквивалентны. Кардинальным числом конечного мно-
множества служит число его элементов. Кардинальное
число счетного множества обозначается через Ыо,
а кардинальное число множества всех его подмно-
подмножеств (совпадающее, кстати сказать, с кардинальным
числом множества всех действительных чисел) — че-
через Si.
Долгое время оставался открытым вопрос существует ли
такое кардинальное число С, что Хо < С < Ki- Оказалось, одна-
однако, что как утверждение о существовании такого с, так и отри-
отрицание этого утверждения совместимо с общепринятой аксиома-
аксиоматикой теории множеств (см [8]).
Если а, Ь, с — кардинальные числа, Л и В — мно-
множества, такие, что |Л| = а и \В\ — Ъ, то положим:
аъ — кардинальное число множества всех
отображений множества В в множество Л.
Тогда
(a-
Еслн at) i
и
т-Ь) + с
аЪ + с
еЗ. -
==a +
a(b +
= a6ac
(b-
- с), ((
xb) с = а
с) ==ab + ас,
аБс = (а6
а <2а.
-кардинальные числа, то
16=3
Па
L
U А,
i е=3
П А|,
(Ьс),
положим
где А1 — такие множества, что |Л1|=4».
34 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
Тогда
П <n=I
п
и, если fU<bt, isS, то
Отметим теорему Кё'нига: если S — бесконечнее
множество и at < bt для всех i e S, то
S at < П К , V, ,
В частности, если 1 < ал < ая+ь то
а, + а2 + «з + • • • < ai<i2a3 • • • *
Конфинальный характер cf(m) кардинального
числа m определяется как наименьшее среди таких
кардинальных чисел Ь, что найдутся множество 5
мощности Ь и отображение ф множества 3 в множе-
множество кардинальных чисел, меньших т, для которых
X ф (i) = от. Если cf (от) = т, то кардинальное число
m называется регулярным. Кардинальное число, не
являющееся регулярным, называется сингулярным.
Если m — кардинальное число, то наименьшее среди
кардинальных чисел, больших т, всегда регулярно.
Бесконечное кардинальное число т называется
слабо недостижимым, если оно регулярно и для лю-
любого a < ш. существует такое кардинальное число Ъ,
что a < Ь < т. Кардинальное число т называется до-
доминантным, если a < ш. влечет 2а < от. Слабо недо-
недостижимое кардинальное число называется сильно не-
недостижимым, если оно регулярно и доминантно. Если
принять обобщенную континуум-гипотезу, т. е. счи-
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 35
тать, что ни для какого кардинального числа а не су-
существует такого кардинального числа с, что а < с <
< 2а, то классы слабо и сильно недостижимых кар-
кардинальных чисел совпадают.
Кардинальное число m называется измеримым,
если существуют множество А, где |Л| = т, и функ-
функция f: <р(Л)-»-{0, 1}, такие, что f(A)=l, f({a}) = 0
для всех а е А и
У" ОО \ ОО
IU. ) = £/(*
\i=0 / 1=0
f
для любой последовательности Хо, Х\, Х2, ... попарно
непересекающихся подмножеств множества Л. Карди-
Кардинальное число, большее некоторого измеримого кар-
кардинального числа, измеримо. Из измеримости карди-
кардинального числа 2т вытекает измеримость ш. Каждое
кардинальное число, меньшее первого сильно недо-
недостижимого числа, неизмеримо. Первое измеримое кар-
кардинальное число сильно недостижимо. Первое сильно
недостижимое кардинальное число неизмеримо. Во-
Вопрос о существовании измеримых кардинальных чи-
чисел (или, точнее, о совместимости их существования
с общепринятой аксиоматикой теории множеств) от-
открыт. Известно, однако, что первое измеримое кар-
кардинальное число должно быть намного больше пер-
первого несчетного сильно недостижимого кардинального
числа ([9], гл. IX)
§ 2. Частично упорядоченные множества
2.1. Частично упорядоченные множества. Рефлек-
Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение
называется порядком. Это отношение обычно обозна-
обозначают символом ^ и пишут а ^ Ь вместо (а, Ь)<= ^.
Если ^ — порядок, то отношение ^# (напомним, что
а <Г# Ь означает, что Ь^а) также является поряд-
порядком, который называется дуальным или двойственным
порядку ^. Этот факт влечет справедливость прин-
принципа двойственности: если верна какая-либо теорема
о частично упорядоченных множествах, сформулиро-
сформулированная в общелогических терминах и терминах по-
порядка, то верна и двойственная ей теорема, получае-
получаемая заменой всех знаков порядка ^ на ^ и обратно,
3fr ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
причем общелогические термины остаются без изме-
изменения. Это, однако, не означает, что справедливость
какого-либо утверждения для конкретного частично
упорядоченного множества влечет справедливость для
него и двойственного утверждения.
Запись а < Ь означает, что а ^.Ь и аФЪ. Отно-
Отношение < часто называют строгим порядком,. Для
того чтобы отношение р оказалось строгим порядком,
необходимо и достаточно, чтобы оно было транзитив-
транзитивным, антирефлексивным (т. е. ара не имеет место ни
при каком а) и сильно антисимметричным (т. е. ни
для каких а и Ь соотношения apb и Ьра не могут вы-
выполняться одновременно). Объединение строгого по-
порядка с диагональю оказывается порядком. Записи
а^.Ь и а < Ъ означают отрицание соотношений
а ^ Ъ и a <ih соответственно. Подчеркнем, что
а^. Ь, вообще говоря, не влечет Ь^а. Если же
а ^ Ъ влечет за собой Ь ^ а, т. е. для любых а и Ь
имеет место а^Ъ или b ^ а, то порядок называется
линейным. Всякий порядок на множестве А, рассмат-
рассматриваемый как подмножество множества ЛХЛ, яв-
является подмножеством некоторого линейного порядка
на А ([9], с. 267, теорема 8). С порядком тесно свя-
связано тернарное отношение «между»:
(а, Ь, с) дд (а <! Ь <! с или с <! Ь ^ а)
(см. [3], с. 62—64). ' ':
Непустое множество, на котором зафиксирован не-
некоторый порядок, называется частично упорядочен-
упорядоченным (а иногда и упорядоченным). Всякое непустое
множество является частично упорядоченным множе-
множеством с диагональю в качестве порядка. Такое ча-
частично упорядоченное множество называется триви-
тривиальным или дискретным. Если Р — частично упорядо-
упорядоченное множество с порядком ^ и 0 ф Q s P, то Q
является частично упорядоченным множеством с по-
порядком (QXQ)fl^- В этом случае, допуская неко-
некоторую вольность речи, говорят, что Q является ча-
частично упорядоченным множеством с порядком ^.
Таким образом, каждое непустое подмножество ча-
частично упорядоченного множества является частично
упорядоченным множеством с тем же самым поряд-
порядком. Частично упорядоченное множество с линейным
порядком называется линейно упорядоченным мно-
§2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 37
жеством или цепью (подробнее см. п. 2.3).- Если для
любых элементов а и Ь частично упорядоченного мно-
множества Р найдется такой элемент с е Р, что а^си
Ь ^ с [что c^La и с^Ь], то Р называется направ-
направленным вверх [вниз]. Иногда в этом случае говорят,
что Р фильтруется вправо [влево].
Примеры. 1) (N, ^;)—множество натуральных чисел с
обычным порядком; 2) (N, |)—множество натуральных чисел,
где a ^g: b означает, что а делит Ь (т. е Ь = ас для некоторого
натурального числа с), 3) множество %(М) всех подмножеств
некоторого множества М, где А ^ В означает, что А е В;
4) множество всех действительных функций на отрезке [0, 1],
где /^ q означает, что f(x) ^ g(x) для всех х е [0, 1]; 5) мно-
множество всех точек плоскости, где Р ^ Q означает, что или P = Q
илн Р ф Q и PQ — вертикальная прямая. Цепями оказываются
(N, О и ф(М), если М — одноэлементное множество. Все ука-
указанные частично упорядоченные множества, кроме последнего,
направлены как вверх, так и вниз.
Частично упорядоченным множеством, двойствен-
двойственным (или дуальным) частично упорядоченному мно-
множеству Р с порядком ^ называется частично упоря-
упорядоченное множество Р с порядком ^*.
Рефлексивное и транзитивное отношение назы-
называется квазипорядком или предпорядком. Непустое
множество, на котором зафиксирован некоторый ква-
квазипорядок, называется квазиупорядоченным.
В качестве примера квазиупорядоченного множества, не яв-
являющегося частично упорядоченным, укажем множество всех
целых чисел, где а ^ Ь означает, что а делит Ь; здесь, напри-
например, 3< — 3 и — 3 < 3, но 3 Ф — 3
Если Q — квазиупорядоченное множество, то отно-
отношение
6 = {{х, у)\х, y<=Q, x<iy и у<х)
оказывается эквивалентностью. При этом фактормно-
фактормножество Q/0 можно превратить в частично упорядо-
упорядоченное множество, положив 6(х)^ 0(г/), если х^у
(корректность этого определения легко проверяется).
Рефлексивное и антисимметричное отношение на-
называется турниром.
Элементы а и Ь частично упорядоченного множе-
множества Р называются сравнимыми, если имеет место
a sg: b или Ь г£С а. Два элемента тривиального ча-
частично упорядоченного множества, очевидно, срав-
сравнимы тогда и только тогда, когда они совпадают. Про
38 ГЛ I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
несравнимые элементы а и Ь часто говорят, что они
параллельны и пишут а\\Ь. Непустое подмножество
частично упорядоченного множества называют цепью
[антицепью], если любые два элемента из этого под-
подмножества сравнимы [или равны, или несравнимы].
Цепь С в частично упорядоченном множестве Р на-
называется максимальной, если для любого х е Р\С
подмножество С[]{х} цепью уже не является. Ча-
Частично упорядоченное множество, не содержащее ни
бесконечных цепей, ни бесконечных антицепей, ко-
конечно. Говорят, что длина [ширина] частично упоря-
упорядоченного множества Р равна п, если в Р существует
цепь, содержащая п + 1 элемент [антицепь, содержа-
содержащая п элементов], и нет цепей [антицепей], содер-
содержащих большее число элементов.
Цепью в частично упорядоченном множестве (N, |) (при-
(пример 2) выше) является подмножество {2п\п = 0, 1, 2, ...}, а
антицепью — множество всех простых чисел Примером макси-
максимальной цепн служит любая вертикальная прямая в примере 5).
Частично упорядоченное множество Р называется
связным, если для любых а, Ь е Р найдутся такие
Х\, ..., хп^Р, что а=Х\, Ь=хп и xt сравним с xl+\
при i—1 п— 1.
Элемент v частично упорядоченного множества Р
называется наибольшим, если х ^ v для всех ieA
Если же и ^ х для всех хеР, то элемент и назы-
называется наименьшим. Наибольший элемент часто назы-
называют единицей, а наименьший — нулем. Конечно, ча-
частично упорядоченное множество может не содержать
ни нуля, ни единицы. Таким, в частности, будет неод-
неодноэлементное тривиальное частично упорядоченное
множество. Однако более одного наибольшего эле-
элемента частично упорядоченное множество содержать
не может. То же самое верно и для наименьшего эле-
элемента. Частично упорядоченное множество, обладаю-
обладающее наибольшим [наименьшим] элементом, называет-
называется ограниченным сверху [снизу], а частично упорядо-
упорядоченное множество, ограниченное как сверху, так и
снизу, просто ограниченным.
Наибольшим элементом в частично упорядоченном множе-
множестве (N, |) служит 0, а наименьшим — 1 В частично упорядо-
упорядоченном множестве $(М) эти роли играют 74 и 0 соответствен-
соответственно. Не содержат ни наибольшего, ни наименьшего элемента
частично упорядоченные множества примеров 4) н 5) на с. 37.
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 39
Частично упорядоченное множество (N, ^) содержит наимень-
наименьший элемент 0, а наибольшего элемента не содержит.
Элемент w частично упорядоченного множества Р
называется максимальным, если из w ^ x для неко-
некоторого хеР вытекает w — х. Если из х^т для не-
некоторого хеР следует, что х — т, то т называется
минимальным элементом. Легко проверяется, что вся-
всякий наибольший элемент является максимальным,
а всякий наименьший элемент — минимальным. Об-
Обратное, вообще говоря, места не имеет. Так, напри-
например, в тривиальном частично упорядоченном множе-
множестве всякий элемент является как максимальным, так
и минимальным. Всякое конечное частично упорядо-
упорядоченное множество содержит как максимальные, так и
минимальные элементы.
Пусть Р — квадрат с вертикальными боковыми сторонами
н порядком, описанным в примере 5) на с. 37. Тогда все
точки верхней [нижней] стороны этого квадрата максимальны
[минимальны].
Отличный от минимального и максимального эле-
элемент частично упорядоченного множества Р назы-
называется талией, если он сравним с любым элементом
из Р.
В частично упорядоченном множестве
талией служит элемент а В цепи все элементы, кроме наиболь-
наибольшего и наименьшего, являются талиями
Если А и В— подмножества частично упорядочен-
упорядоченного множества Р, то говорят, что А конфинально
[коинициально] В, если для любого Ь е В найдется
такой элемент а е А, что Ъ ^ а [что а ^ Ъ\. Подмно-
Подмножество, конфинальное [коинициальное] самому Р,
называется конфинальным [коинициальным}.
Если А—непустое подмножество частично упоря-
упорядоченного множества Р, то верхним [нижним] кону-
конусом множества А называем множество всех таких эле-
элементов хеР, что а ^ х [х ^ а] для всех а<=А.
Верхним [нижним] конусом пустого множества будем
40 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
считать само множество Р. Верхний и нижний конусы
множества Л будем обозначать символами АА и А4
соответственно. Элементы, принадлежащие верхнему
конусу ЛА [нижнему конусу Лу] называются мажо-
мажорантами [минорантами] множества Л. Подмножество
Л называется ограниченным сверху [снизу], если
АА =^= G5 fЛ^ =^= (/)]
В частично упорядоченном множестве (N, |) имеем
{18, 12}л= {множество всех чисел из N, делящихся на 18 и
12 одновременно} = {36/z|/z = 0, 1, 2. ...};
{18, 12}v — {множество всех чисел из N, делящих 18 и 12
одновременно} = {1, 2, 3, 6}.
В частично упорядоченном множестве функций (пример 4)
на с. 37) верхний конус {sin x, cos х!л — это все функции, гра-
графики которых лежат в горизонтально заштрихованной области
= sin.r
Рис. 1.4
иа рис. 1.4. Графики функций, входящих в нижний конус
{sin х, cos x}v, лежат в области с вертикальной штриховкой на
том же рисунке.
Если А и В — подмножества частично упорядо-
упорядоченного множества Р, то имеют место следующие
утверждения: а) если /Igfi, то Лл э ВА и Л"'эВ7;
д) (A\JB)A=AAf\BA; e) {A \j Bf = А7 (] Bv; ж) эле-
элемент а^Р максимален [минимален] тогда и только
тогда, когда а& — {а} [когда av — {a\].
Если а, Ь — элементы частично упорядоченного
множества Р, то множество >
[а, Ь)р =
, а <х < 6}
называется замкнутым интервалом (или просто ин-
тервалом). Ясно, что а — наименьший элемент интер-
интервала [а,Ь]р, а Ь — его наибольший элемент. Заметим
еще, что [a, b]P — aA[\bv. Если а = Ь, то [а, Ь]Р =
= {а}. Если афЬ, но [а, Ь]Р ={а, Ь), то такой ин-
§ 2 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 41
тервач называется простым. В этом случае говорят,
что Ь покрывает а. Рассматриваются также полуот-
полуоткрытые интервалы или полуинтервалы
(а, Ь]Р = {х\х<=Р, а < х < Ь}
и
[а, Ь)Р = {х\хе=Р, а < х < Ь)
и открытый интервал
{а, Ь)Р = {х\х<=Р, а < х < Ь).
Если [а, Ь]р — простой интервал, то (а,Ь)Р = 0.
Нижний конус av, где а^Р, называется инициаль-
инициальным или начальным интервалом, а верхний конус
аЛ — финальным интервалом. Инициальный интервал
иногда обозначается как (-«-, а]Р или (—оо, а]р,
а финальный — через [а,-э~)Р или [а,4-оо)Р. Если Р
содержит наименьший элемент 0, то начальный ин-
интервал av совпадает с [0, а]Р. При наличии наиболь-
наибольшего элемента 1, финальный интервал аЛ равен
[а, 1]Р. Индекс Р в обозначениях интервалов часто
опускается.
Элементы, покрывающие наименьший элемент ча-
частично упорядоченного множества Р (если, разумеет-
разумеется, он существует), называются атомами (иногда,
точками), а элементы, покрываемые наибольшим эле-
элементом — коатомами или дуальными атомами. Ча-
Частично упорядоченное множество Р называется атом-
атомным [коатомным], если для любого а из Р, отличного
от его наименьшего [наибольшего] элемента, найдет-
найдется атом р ^ а [коатом с ^ а]. Атомы являются ми-
минимальными элементами множества Р\{0}, а ко-
коатомы — максимальными элементами множества
Р\{1}. Ясно, что частично упорядоченное множество,
дуальное атомному, коатомно.
Примерами атомных частично упорядоченных множеств слу-
служат (N, ^С) и (N \ {1}, |). В первом случае имеется единствен-
единственный атом 1, а во втором атомами являются все простые числа
и только они (см. примеры на с. 37).
Цепь а0 sg; а\ sg; ... sg; an, принадлежащая ча-
частично упорядоченному множеству с нулем 0 и еди-
единицей 1, называется композиционным рядом, если
а0 = 0, а„=\ и все интервалы [alt a«+i], i — 0, 1, ...
..., п-—1, — простые. Разумеется, композиционный
42 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
ряд существует не всегда. Число п называется дли-
длиной композиционного ряда. Цепь С, лежащая в ча-
частично упорядоченном множестве Р, называется неуп-
лотняемой, если из того, что С{]{а}, где а е Р \ (СА (J
(JCV), является цепью, вытекает, что а^С. Дру-
Другими словами, между любыми двумя различными эле-
элементами цепи С нет элементов, не принадлежащих
С. В частности, композиционный ряд является не-
уплотняемой цепью. Если же из композиционного
ряда удалить 0 или 1, то возникает неуплотняемая
цепь, не являющаяся композиционным рядом.
Частично упорядоченное множество Р называется
градуированным, если задано отображение h множе-
множества Р в множество целых чисел с обычным поряд-
порядком, обладающее следующими свойствами: 1) если
х, у^Р и х < у, то h(x) < h(y); 2) если х покры-
покрывает у, то h(x) = h(у) -j- 1 • Всякое такое множество
удовлетворяет условию Жордана—Дедекинда: все
композиционные ряды любого замкнутого интервала
имеют одну и ту же длину.
Подмножество V частично упорядоченного мно-
множества Р называется выпуклым подмножеством, идеа-
идеалом и фильтром (часто дуальным идеалом), если
справедливы импликации
((а, Ь €= V) & (х €= Р) & (а < х < Ь)) => (х е= V),
((a eFL(ieP)&K a)) =>(x<=:V)
и
((a el/)&(jteP)&K x)) ^(iel/)
соответственно. Другими словами, идеал [фильтр] —
это подмножество, содержащее вместе с любым эле-
элементом а весь нижний конус av [верхний конус аА].
К числу выпуклых подмножеств принадлежит любой
интервал. Примерами идеала и фильтра служат ини-
инициальный и финальный интервалы соответственно.
Как идеал, так и фильтр, а также их пересечение
оказываются выпуклыми множествами.
Частично упорядоченное множество называется
конечно свободным, если все содержащиеся в нем ан-
антицепи конечны. Такое частично упорядоченное мно-
множество может содержать лишь счетное множество
попарно не сравнимых идеалов ([20], §§ 4.3, 7.2).
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 43
Широко применяемая в математике трансфинитная
индукция базируется на том факте, что следующие
свойства частично упорядоченного множества Р рав-
равносильны: A) (условие минимальности) всякое не-
непустое подмножество множества Р является частично
упорядоченным множеством, содержащим минималь-
минимальный элемент; B) (условие индуктивности) если все
минимальные элементы множества Р обладают неко-
некоторым свойством Ж и из того, что все элементы х из
Р, удовлетворяющие условию х < а, обладают свой-
свойством Ж, вытекает, что элемент а также обладает
свойством ч£, то свойством <§ обладают все элементы
множества Р; C) (условие обрыва убывающих це-
цепей) для всякой последовательности а^ ^ а2 ^ ...
... ^ ak ^ ... элементов из Р найдется такой номер
я, что а„ = ап+1 = ап+2 = ...
Для частично упорядоченного множества Р экви-
эквивалентны и такие свойства: A) (условие максималь-
максимальности) всякое непустое подмножество множества Р
является частично упорядоченным множеством, содер-
содержащим максимальный элемент; B) (условие обрыва
возрастающих цепей) для всякой последовательности
а\ ^ а2 ^ ... ^ ak ^ ... элементов из Р найдется
такой номер л, что ап = ап+\ = а„+2 = ...
Частично упорядоченное множество, удовлетво-
удовлетворяющее условию минимальности, иногда называют
артиновым или фундированным, а удовлетворяющее
условию максимальности — нётеровым. Нётеровым
называют также частично упорядоченное множество
Р, удовлетворяющее такому условию: для любой по-
последовательности а\, а.2, ■■■ элементов из Р найдутся
такие числа i и у, что i < j и at ^ а,- ([7], с. 356).
Цепь, удовлетворяющая условию минимальности,
называется вполне упорядоченным множеством.
К числу вполне упорядоченных множеств принадле-
принадлежит цепь натуральных чисел с обычным порядком.
Подробнее см. п. 2.4.
Важную роль во всей теоретико-множественной
математике играют следующие эквивалентные друг
другу утверждения: A) (аксиома выбора) для вся-
всякого непустого множества М существует такое ото-
отображение ф множества всех подмножеств множества
М в множество М, что ф(Л)еЛ для всякого подмно-
подмножества А ^ М; B) (теорема Цермело) на всяком
44 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
непустом множестве можно задать порядок, превра-
превращающий его во вполне упорядоченное множество;
C) (теорема Хаусдорфа) всякая цепь любого частично
упорядоченного множества может быть вложена в
максимальную цепь; D) (лемма Куратовского—Цор-
на) если верхний конус любой цени частично упоря-
упорядоченного множества Р не пуст, то Р содержит мак-
максимальные элементы; E) если верхний конус любой
вполне упорядоченной цепи частично упорядоченного
множества Р не пуст, то Р содержит максимальные
элементы; F) если любая цепь частично упорядо-
упорядоченного множества Р имеет точную верхнюю грань,
то Р содержит максимальные элементы; D#) Если
нижний конус любой цепи частично упорядоченного
множества Р не пуст, то Р содержит минимальные
элементы.
Подчеркнем, что утверждается эквивалентность
приведенных выше утверждений, а не справедливость
какого-либо из них.
Частично упорядоченное множество, в котором
верхний конус любой цепи непуст, иногда называют
индуктивным.
Отображение ф частично упорядоченного множе-
множества Р в частично упорядоченное множество Р' назы-
называется изотопным [антиизотонным] если а ^ Ь вле-
влечет ф(а)<фF) 1<р(&Х<р(а)].
Если Р -г- множество положительных целых чисел, упорядо-
упорядоченное по делимости (см. пример 2) на с. 37), а Р' — то же
множество с обычным порядком, то тождественное отображение
\р изотонно. Изотонным оказывается отображение ф: SP(Atf)-»-
-*-(N, ^), где <р(Х)—число элементов подмножества X S М.
В качестве примера антиизотопного отображения укажем
q>: SP(Atf) -»-SP(Atf), где (f(X)—дополнение подмножества X ^ М.
Частично упорядоченные множества Р и Р' назы-
называются изоморфными [антиизоморфными], если су-
существует изоморфизм [антиизоморфизм] Р на Р', т. е.
такое взаимно однозначное отображение ф множе-
множества Р на множество Р', что a $Z b имеет место для
а, Ъ е Р тогда и только тогда, когда ф(а)^фF),
[фF)^ф(а)] в Р'. Для практических целей часто
оказывается полезным следующее утверждение: если
Р и Р' — частично упорядоченные множества, <р: Р->-
-*-Р' — наложение и a ?SZ b в Р тогда и только тогда,
когда ф(а)^фF) [фF)^ф(а)] в Р', то ф — изо-
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 45
морфизм [антиизоморфизм] частично упорядоченного
множества Р на Р'.
Взаимно однозначное изотонное отображение может не быть
изоморфизмом. Действительно, если Р — неодноэлементное ча-
частично упорядоченное множество с тривиальным порядком, а
Р' — то же самое множество с нетривиальным порядком, то
тождественное отображение множества Р на себя — это изотон-
изотонное и взаимно однозначное отображение Р на Р', не являющее-
являющееся изоморфизмом.
Если ср: Р-уР' — изотонное отображение, то пол-
полный прообраз любого элемента из Р' оказывается вы-
выпуклым подмножеством. Произведение двух изотон-
ных отображений изотонно. Изотонно и произведение
двух антиизотонных отображений. В частности, про-
произведение двух антиизоморфизмов оказывается изо-
изоморфизмом. Если изотонное отображение ср: Р ->■ Р'
сюръективно, то образ идеала, фильтра и выпуклого
множества из Р является соответственно идеалом,
фильтром и выпуклым подмножеством множества Р'.
Для сюръективного антиизотонного отображения об-
образы идеала, фильтра и выпуклого множества яв-
являются фильтром, идеалом и выпуклым множеством
соответственно.
Изотонное отображение ср: Р->Р' называется ре-
зидуальным, если существует таксе изотонное ото-
отображение ср': Р'-*Р, что х =s; ср' (ср (х)) для всех
х е Р и (р((р'(х')) ^ х' для всех /еР'. Изоморфизм
является частным случаем резидуального отображе-
отображения. Совокупность всех резидуальных отображений
частично упорядоченного множества в себя образует
полугруппу, свойства которой тесно связаны со свой-
свойствами этого частично упорядоченного множества
(см. [16]).
Изотонное [антиизотонное] отображение частично
упорядоченного множества в себя называется эндо-
эндоморфизмом [антиэндоморфизмом] этого множества.
Изоморфное [антиизоморфное] отображение частично
упорядоченного множества на себя назовем автомор-
автоморфизмом [антиавтоморфизмом]. Совокупность всех
эндоморфизмов [автоморфизмов] частично упорядо-
упорядоченного множества Р является полугруппой [груп-
[группой], которую условимся обозначать через End P
[через AutP]. Частично упорядоченное множество
46 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
называется жестким, если тождественное отображение
является его единственным автоморфизмом.
Пусть k — натуральное число. Частично упорядо-
упорядоченное множество Р называется k-транзитивным, если
для любых его ^-элементных подмножеств А я В, изо-
изоморфных как частично упорядоченные множества, су-
существует ф е Aut P такой, что <р(А) = В, и k-одно-
родным, если любой изоморфизм ^-элементного под-
подмножества А 5= Р на ^-элементное подмножество
В^Р продолжается до автоморфизма частично упо-
упорядоченного множества Р. Если Р /г-транзитивно
[^-однородно] для всех натуральных k, то оно назы-
называется ^-транзитивным [а-однородным]. Из &-одно-
родности, очевидно, вытекает ^-транзитивность. Об-
Обратное, вообще говоря, неверно. Для бесконечной
цепи С при k ^ 2 эквивалентны следующие свойства:
A) С &-транзитивна; B) С ^-однородна; C) С
со-транзитивна; D) С не содержит ни наименьшего, ни
наибольшего элемента и любые два ее неодноэле-
неодноэлементных интервала изоморфны. Если А^2 и Р — не-
нетривиальное бесконечное ^-транзитивное частично
упорядоченное множество, то справедливо одно из
следующей утверждений: 1) Р — ординальная сумма
антицепих А, В и С, причем 1 ^ |Л | +|С| ^ А—1;
2) Р — дизъюнктное объединение попарно изоморф-
изоморфных бесконечных 2-транзитивных цепей CL, где i e 3,
причем 1 ^|3| ^\Р\ и х\\у, если jteCiiije Cy., где
1фх; 3) если С—неодноэлементная максимальная
цепь из Р, то С бесконечна, 2-транзитивна и выпол-
выполняется одно и только одно из следующих условий:
а) Р изоморфно лексикографическому произведению
С УС т., где га — тривиально упорядоченное множество
мощности га ^ 2; б) Р — дизъюнктное объединение
множеств Q и R, каждое из которых изоморфно лек-
лексикографическому произведению СХш, причем х\\у
для любых л:е Q и у е R, т. ;> 2 и 2т—1 ^ k;
в) p = Q{J\P(P) и QflIP(/)) = 0, где
IP (р) = {х | х <= Р и х || у для всех у se P \ {х}} ^ 0,
a Q изоморфно множеству СХи, где ш +|1Р(Р) |^
^ k; 4) Р связно и содержит бесконечную цепь и
множество {x,y,z}, где х < у, x\\z, y\\z\ при этом вы-
выполняется в точности одно из с. 'дующих условий:
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 47
а) если а, Ъ е Р, то найдется сеР такой, что с < а,Ь
и аУ — цепь; б) если а, Ъ е Р, то найдется сеР та-
такой, что a, b <L с и аА — цепь; в) существуют эле-
элементы аь яг, &ь fo, Ci, с2 е Р такие, что ai||6i, а2|!&2,
Ci < аь 6i и а2, Ь2 < с2. Частично упорядоченное
множество, удовлетворяющее условию 2), ю-одно-
родно. Если Р — бесконечное частично упорядоченное
множество, m—кардинальное число и 2^т^|Р|,
то эквивалентны утверждения: A) если А, В^Р
и |Л | = |fi| = m, то Л и В изоморфны; B) если А,В <=
ЕР и |Л|^|й| = т, то А и 5 элементарно эквива-
эквивалентны; C) выполнено одно из следующих условий:
а) Р тривиально; б) Р — цепь и m < ц0; в) |Р| = т,
и Р изоморфно или цепи [0, а), где а—наименьший
трансфинит мощности т, или цепи, двойственной ей
([19], §§3,4).
Пусть {Ptjie3} — множество попарно не пересе-
пересекающихся частично упорядоченных множеств, причем
3 также частично упорядочено. Упорядоченной сум-
суммой частично упорядоченных множеств PL называется
дизъюнктное объединение Р= (J Р1у где а^Ь для
16ЕЕЗ
а, Ъ е Р означает, что или а, &еР, для некоторого
ieS на<6в Pi, или аеР^ b <= Рк и i < к. Упо-
Упорядоченная сумма называется кардинальной, если
3 — тривиально упорядоченное множество, и орди-
ординальной, если 3 — цепь. Ординальная сумма цепей
оказывается цепью. Частично упорядоченное множе-
множество, не представимое в виде ординальной [карди-
[кардинальной] суммы отличных от него подмножеств на-
называется ординально [кардинально] неразложимым.
Всякое частично упорядоченное множество является
ординальной [кардинальной] суммой своих ординаль-
ординально [кардинально] неразложимых подмножеств ([П],
§ 1.2).
Прямым произведением множества {PijieS} ча-
частично упорядоченных множеств называется прямое
произведение этих множеств с порядком ^,гДе а^Ь
для а, бе П Л означает, что a(i)^6(i) для всех
igS. Если 3 — частично упорядоченное множество,
удовлетворяющее условию минимальности, то упоря-
упорядоченным произведением частично упорядоченных
множеств Pi называется прямое произведение этих
48 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
множеств с порядком ^, где а ^ Ь определяется ус-
условием: если a(i)^6(i), то a(x)<ib(x) для некото-
некоторого к < I. Если 3 — вполне упорядоченное множе-
множество, то упорядоченное произведение называется лек-
лексикографическим. В этом случае а < Ь означает, что
для некоторого хеЗ имеем a(i)=6(i), если i < к
и а(к)<СЬ(к). Лексикографическое произведение це-
цепей оказывается цепью, а лексикографическое произ-
произведение конечного числа вполне упорядоченных мно-
множеств вполне упорядочено ([11], § 1, 2).
Пусть снова {Pt|ie,5}— множество попарно не
пересекающихся [частично упорядоченных] мно-
множеств, 3—направленное вверх множество и для лю-
любых I, и е 3, где i ^ к, определено [изотонное] отобра-
отображение р1К: РЬ->РК, причем /?tl=lP и i^x^J, вле-
влечет р1Крк} = ра- В этом случае говорят, что задан
прямой спектр или индуктивная система множеств.
На множестве Р = [} Р1 зададим эквивалентность =,
полагая, что х^у, где igP,, и j/ePj, если най-
найдется индекс и е 3 такой, что к <; ц, % ^ ц и ркA (х) =
= рщ(х). Фактормножество Р/= называется индук-
индуктивным или прямым пределом прямого спектра
|Pt, plK} и обозначается как Пт^, р1И} или Y\mPc
Если Ру. — частично упорядоченные множества, то
для классов [а], [Ь] е Р/= полагаем [а] ^ [Ь], если
а' ^ Ъ' для некоторых а! ^\а\ и Ъ' е [Ь]. Это опре-
определение оказывается корректным и превращает ПтР,.
в частично упорядоченное множество. Если р — есте-
естественное отображение Р на Р/=, то через pt обоз-
обозначим ограничение р на Рь.
Если {Рь, рьк} — прямой спектр и заданы [изотон-
ные] отображения qp: Pi~>Q, где ig^. Q — некото-
некоторое [частично упорядоченное] множество и i^x
влечет за собой Р1Кфк = ф1, то существует'одно и
только одно [изотонное] отображение q>: lim Pt->Q
такое, что р1ф = ф1 для всех ig5- Отображение ф
оказывается наложением тогда и только тогда, когда
Q= U 1тф, а вложением в том и только том слу-
чае, когда для любого i е 3 соотношения х е Рь,
§ 2 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 49
(/еР( и <pt (х) = cpt (у) влекут за собой существование
такого xeS, что i < х и р1К(х) = р1К (у).
Пусть опять {PL |i e 3} — множество попарно не
пересекающихся [частично упорядоченных] множеств,
3 — направленное вверх множество и для любых
I, к<=1, где i^>c, определено [изотонное] отобра-
отображение пИ1: Р-л-*Ри причем nu=l.pl, a i^x^A,
влечет itxKitKl = nxt. В этом случае говорят, что задан
обратный спектр или проективная система множеств.
Проективным или обратным пределом этого спектра
называется множество
lim /\ = {а |а е ПЛ, a(i) = лИ1 (а(и)), если is^
I 3
Если Q — некоторое [частично упорядоченное] мно-
множество, %: Q->A, i е 3, — [изотонные] отображения
и ф1 = фклИ| при i^>c, то существует одно и только
одно [изотонное] отображение ф: Q->\imPt такое,
что ф (х) (i) = фь (х) для любых ie3 и •* е Q. или.
что то же самое, я1ф = ф, где it —естественная
проекция JJ-Pi на Pi- Отображение ф оказывается вло-
вложением в том и только том случае, когда для любых
различных х, ц е Q найдется такой индекс ie3i
что фь(х) Ф фь(г/) ([4], III. 1.10—III. 1.12; см. также
п. VII. 2.2).
Пусть Р—частично упорядоченное множество и
А ^ Р. Наименьший [наибольший] элемент верхнего
[нижнего] конуса множества А (если он существует)
называется точной верхней [нижней] гранью множе-
множества А. В частности, точной верхней [нижней] гранью
пустого множества считается наименьший [наиболь-
[наибольший] элемент частично упорядоченного множества Р.
Точную верхнюю [нижнюю] грань множества А в ча-
частично упорядоченном множестве Р будем обозначать
suppA [infp Л ]. Впрочем, индекс Р часто будет опу-
опускаться. Подчеркнем, что suppA и infP А (если они су-
существуют)— однозначно определенные элементы -мно-
-множества Р, ибо, как было отмечено выше, АА [Av\
содержит не более одного наименьшего [наибольшего]
элемента. Определение точной верхней грани множе-
множества А можно перефразировать так: и = supP А в том
50 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
и только в том случае, если а =£С и для всех а е Л и
имеем и =£С х всякий раз, когда a =sC x для любого
ае/1. Аналогичную перефразировку допускает и оп-
определение точной нижней грани. Отметим, что точная
нижняя грань двух различных атомов всегда суще-
существует и равна наименьшему элементу, а точная верх-
верхняя грань любых двух различных коатомов совпадает
с наибольшим элементом. Для любых двух элементов
а и Ь частично упорядоченного множества Р рав-
равносильны следующие условия: A) а ^ Ъ\ B) а =
= inf{a,6}; C) Ъ = sup {a, b}. Точную верхнюю [ниж-
[нижнюю] грань двух элементов часто называют их объ-
объединением [пересечением].
Примеры. 1) sup(N<){4, 6} = 6, inf(N><){4, 6} = 4",
2) sup(N i){4,6}=12, inf(N |({4, 6} = 2; 3) В частично упоря-
упорядоченном множестве SP(Af) точная верхняя грань совпадает с
объединением, а точная нижняя грань — с пересечением, а в ча-
частично упорядоченном множестве функций (пример 4 на с 37)
имеем su.p{f, g} = А, где h(x) = max{f (x), g{x)} для всех
лге[0, 1].
Частично упорядоченное множество Р называется
деревом, если каждое его двуэлементное (а значит,
и любое конечное) подмножество име-
имеет точную нижнюю грань и для лю-
любого а е Р нижний конус а? явля-
является цепью. Пример дерева см. на
рис. I. 5.
Если Р — частично упорядоченное
множество, А, В ^ Р и А ■= В, то
supp/l^suppfi и infp £? <£: infp Л в
случае, когда указанные точные грани
Рис. 1.5 существуют. Если А ^Р и АА Ф 0,
то supp A — infp (AA), причем из суще-
существования одной из частей этого равенства вытекает
существование другой. То же самое справедливо и
для равенства infp А = supp (Лу), если Av ф 0.
Обобщенная ассоциативность. Если {Л^еЗ} —
некоторое множество подмножеств, ^частично упоря-
упорядоченного множества Р и А = [){АЬ\ i e 3}, то в слу-
случае существования точных граней supp А и sup? Л,, для
всех igS имеет место равенство
supp Л = supP {supp At 11 <= 3),
/ § 2 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 51
а в предположении существования точных граней
infp А и infp Л,, для всех ig3 — равенство
infp A = infp {infp А 11 <= 31-
Отметим также неравенство
sup{inf {л:1Х}}< inf {sup {xlK}},
справедливое в случае существования его обеих частей.
Если А и Q — подмножества частично упорядочен-
упорядоченного множества Р и А [}С}ф 0, то в случае, когда су-
существуют точные верхние грани supP (A (] Q) и
supQ (Л f]Q), to supP(A f] Q) ^ supQ(A (] Q)- Если же
существует supP (Л (]Q)eQ, то supP (/lf]Q) = supQ^n
f]Q). Аналогично в случае существования точных
нижни\ граней infP (Л f] Q) и infQ (Л П Q) имеем
infQ(A П Q) ^ infp (Л П Q), а в случае существования
infP(AflQ)eQ получаем infp (Л (] Q) = infQD П Q) ■
Заметим, что из существования supQ Л, где Л S Q S Р, во-
вообще говоря, не вытекает существования sup? А. Например,
Р = {а,Ь, с, d),
Q = {a,b,c},
supQ{a, b} = с,
supp {a, b} не существует.
Более того, обе точные грани могут существовать, но не сов-
совпадать друг с другом. Например,
Р = {а, Ь, с, d),
Q={a, b, d),
supp {a, b} = c,
supQ {a, b} = d.
Если ф — изотонное отображение частично упоря-
упорядоченного множества Р в частично упорядоченное мно-
множество Р' и А — подмножество множества Р, то
(Л) ^ qp (supp Л)
q>(inf
52 ГЛ I ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч У. МНОЖЕСТВА
при условии, что указанные точные грани существуют.
Приведенные неравенства часто оказываются стро-
строгими. Например,
?'■ 1
Ф@) = 0,
= 1 ф С — SUpp' {с, с} =
о о
Однако если ср — изоморфизм, то
. А) = зирр'ф(Л) и ф(шГр А) = infP' ф (Л)
всякий раз, когда соответствующие точные грани су-
существуют. С той же оговоркой для антиизоморфизма
ср: Р->-Р' имеет место
Л) = т
и cp(infP A) =supp-cp(,4).
Пусть Р — частично упорядоченное множество с
нулем и Г (Р)—множество его всех интервалов. По-
Положим
Т0(Р) = {[а,Ь] [ [а, &]<=Г(Р) и [а, Ь] — артиново
частично упорядоченное множество}
и
Та(Р) = {[а, 6] Ik
и если а ■■
Ъп
Ь,
U
имеем
то существует такое п, что для любого
[bt + u 6,]
Если Г(Р)=Га(Р) для некоторого трансфинита а, то
говорят, что Р имеет размерность Крулля. Наимень-
Наименьшее из таких а называется размерностью Крулля ча-
частично упорядоченного множества Р и обозначается
через K-dimP. Имеют место следующие утвержде-
утверждения: 1) K-dimP^p тогда и только тогда, когда су-
существует такая последовательность ах > а2 > ....
§ 2 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 53
что K-dim [ап+ь ал] ^ р для всех достаточно больших
п; 2) Если K-dim Р = а, то для любого |3 < а суще-
существует такая последовательность а,\ > а2 > ■ ■ ■, что
K-dim[a,i+1, ап] ^ р для каждого п; 3) Нётерово ча-
частично упорядоченное множество имеет размерность
Крулля; 4) Р не имеет размерности Крулля тогда и
только тогда, когда оно не содержит цепи {2т —
— n|meZ, (jgN) ([24], § 3.1).
2.2. Цепи. Частично упорядоченное множество Р
называется цепью или линейно упорядоченным мно-
множеством (а также total ordered set или simple
ordered set), если любые два его элемента сравнимы,
т. е. для любых a, b е Р имеет место или а ^ Ь, или
Ъ^а. Другими словами, цепь — это непустое множе-
множество, на котором задан некоторый линейный порядок.
Вся-кое подмножество цепи само является цепью. Вся-
Всякий максимальный [минимальный] элемент цепи яв-
является наибольшим [наименьшим]. Цепь, состоящая
из п элементов, изоморфна цепи {1, 2, ...,«} с обыч-
обычным порядком Для каждой мощности с существует
такая цепь мощности с, что все цепи мощности с со-
содержатся в ней в качестве подцепей ([9], с. 333, тео-
теорема 1). Для установления изоморфности цепей поле-
полезен следующий факт: если цепь С" изоморфна началь-
начальному отрезку цепи С", а цепь С" — финальному
отрезку цепи С", то цепи С и С" изоморфны ([25],
с. 22, теорема 1.44).
Цепь С называется плотной, если для любых а,
freC, где а < Ь, найдется такой элемент хеС, что
а < х < 6. Другими словами, плотность цепи озна-
означает, что между любыми двумя ее различными эле-
элементами располагается отличный от них элемент или
что она не содержит простых интервалов. Рассмат-
Рассматриваются также га-плотные цепи, где любой неодно-
неодноэлементный интервал имеет мощность га (см. [20],
[25]). Любая счетная плотная цепь, не имеющая ни
наибольшего, ни наименьшего элемента, изоморфна
цепи рациональных чисел с обычным порядком ([9],
с. 222, теорема 2). Отсюда можно вывести, что каж-
каждая бесконечная плотная цепь содержит подцепь,
изоморфную цепи рациональных чисел.
Говорят, что подмножество М цепи С плотно в С,
если для любых a, JeC, где а < 6, найдется такой
элемент jcgAI, что а < х < Ь. Например, рациональ-
54 ГЛ I. ОТНОШЕНИЯ. ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
ные числа образуют плотное подмножество в цепи
действительных чисел с обычным порядком. Про плот-
плотную цепь можно сказать, что она плотна в себе. Лю-
Любые два плотных подмножества цепи С конфинальны
и коинциальны одна другой.
Цепь, не содержащая бесконечных плотных под-
подмножеств, называется разреженной (или рассеян-
рассеянной). В качестве примеров укажем множество целых
чисел и множество {1/п|п = ±1, ±2, ...} с обычным
порядком. Каждая цепь С допускает представление
С = £ {Ci 11 e 5} в виде ординальной суммы, где С\ —
разреженные цепи, а цепь 3 плотна ([9], с. 220, тео-
теорема 5). Любое множество разреженных цепей ква-
зиупорядочено относительно вложимости, причем ча-
частично упорядоченное множество, соответствующее
этому квазиупорядоченному множеству, вполне упоря-
упорядочено [20], п. 8.4.4.
Всякая счетная цепь вложима в цепь Q рациональ-
рациональных чисел с естественным порядком. Цепь, содержа-
содержащая счетное плотное множество, вложима в цепь дей-
действительных чисел. Если цепь содержит подцепь
[0, а) для каждого тансфинита ее счетной мощности,
то она содержит Q ([20], § 5.3).
Если цепь содержит счетное плотное подмноже-
подмножество, то любое бесконечное множество попарно не
пересекающихся неодноэлементных интервалов этой
цепи счетно. Гипотеза Суслина утверждает, что спра-
справедливо и обратное. Однако оказалось, что как эта
гипотеза, так и ее отрицание совместимы с обычной
аксиоматикой теории множеств ([3], § VIII. 12; [20],
§ 5.6).
Сечением цепи С называется ее разбиение на два
подмножества А и В так, что а < Ъ для любых ае/1
и b e В. Множества А и В называются нижним и
верхним классом сечения соответственно. газличают-
ся следующие типы сечения: скачок — в нижнем клас-
классе имеется наибольший элемент, а в верхнем классе —
наименьший, дедекиндово сечение — в нижнем [верх-
[верхнем] классе имеется наибольший [наименьший] эле-
элемент, но в верхнем [нижнем] классе наименьшего
[наибольшего] элемента нет, щель — в нижнем клас-
классе нет наибольшего элемента, а в верхнем — наимень-
наименьшего. Цепь называется непрерывной, если все ее се-
сечения дедекиндовы. Отсюда вытекает, что для лю-
§ 2 ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 55
бого непустого подмножества непрерывной цепи су-
существует как точная верхняя, так и точная нижняя
грани. Если непрерывная цепь, не содержащая ни
наибольшего, ни наименьшего элемента, содержит
счетное плотное подмножество, то она изоморфна
цепи действительных чисел с обычным порядком
([25], с. 37, теорема 2.30). Каждая цепь вкладывается
в непрерывную цепь с сохранением всех существую-
существующих в ней точных граней ([9], с. 218, следствие 3;
ср. п. 2.3).
Если ф — изотонное наложение цени С на цепь X,
то С представляется в виде ординальной суммы
где
Выбрав в каждом интервале q>~l(x) по одному эле-
элементу, мы получим подцепь X' цепи С, изоморфную
цепи X. При этом изоморфизм цепи X' на X осуще-
осуществляет ограничение отображения <р на X'. Приведен-
Приведенное выше разбиение является ядром отображения ф.
При исследовании строения цепей важную роль иг-
играют изотонные отображения, смежные классы ядер
которых определяются следующим образом:
cF (а) = {у | у е С, [а, у]с — конечное множество},
cw (а) = {у | у е С, [а, у]с — вполне упорядоченное
множество},
Cs (а) = {У IУ е С, [а, у]с — разреженное множество}.
Цепь С называется k-транзитивной, если для лю-
любых ее подмножеств {аи ..., аг} и {Ь\, ..., br}, где
г <; k, ai < а2 < ... < аг и Ь{ < Ь2 < ... < Ьг,
существует такой автоморфизм ср цепи С, что ф(а,) =
= 6, при i= 1, 2, ..., г. Описание строения 1-транзи-
1-транзитивных цепей можно найти в ([25], с. 123, следствие
8.6). Всякая 2-транзитивная цепь оказывается плот-
плотной и ife-транзитивной для любою k, а список конеч-
конечных и счетных _2-транзитивных цепей исчерпывается
одноэлементной цепью и цепью рациональных чисел
с обычным порядком ([25], с. 31, следствие 2.13, пред-
предложение 2.14). Ясно, что 1-траизитивная, а значит,
и ^-транзитивная цепь не может иметь ни наиболь-
наибольшего, ни наименьшего элемента. В связи с этим
56 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
естественно определение: цепь С интервально одно-
однородна, если она изоморфна любому из своих неодно-
неодноэлементных интервалов. Полными интервально одно-
однородными цепями являются одноэлементная и двуэле-
ментная цепи, а также отрезок [0, 1] действительных
чисел с обычным порядком. Мощность любой интер-
интервально однородной цепи не превосходит мощности
континуума (Скорняков Л. А.//Алгебра. — М.:
Изд-во МГУ, 1989. —С. 142—183).
Если в цепи С объявить открытыми множествами
саму цепь С, а также все ее открытые, начальные и
финальные интервалы, то С становится нормальным
хаусдорфовым топологическим пространством. Это
топологическое пространство компактно в том и толь-
только том случае, когда цепь С полна (т. е. infc Л и
supc^ существуют для любого подмножества А^С).
Топологическое пространство С связно тогда и толь-
только тогда, когда цепь С плотна в себе и условно полна
(т. е. infc Л и эирсЛ существуют для каждого огра-
ограниченного подмножества А ^ С (см. [3], §§ X. 7, X. 8).
Цепь, в которой каждое непустое подмножество
содержит наименьший элемент, называется вполне
упорядоченным множеством (well ordered). Элементы
вполне упорядоченного множества называют транс-
финитами, а также трансфинитными числами, поряд-
порядковыми числами, ординальными числами и орди-
ординалами.
Вполне упорядоченным множеством является всякая конеч-
конечная цепь. Естественным образом упорядоченное множество на-
натуральных чисел также вполне упорядочено. Множество всех
целых чисел не является вполне упорядоченным относительно
естественного порядка, так как оно не имеет наименьшего эле-
элемента. Однако оно становится вполне упорядоченным, если уста-
установить порядок следующим образом:
1<2<3< ... <0< — 1 < — 2 < — 3< ...
Другим примером не вполне упорядоченной цепи служит отре-
отрезок действительных чисел ("О, 1].
Отметим простейшие свойства вполне упорядочен-
упорядоченных множеств: 1) вполне упорядоченное множество
не может быть изоморфно своему начальному от-
отрезку; 2) если цепь С и цепь, двойственная ей, вполне
упорядочены, то С конечно; 3) всякая цепь содержит
конфинальное вполне упорядоченное множество.
§2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА .is. £ 57
Из определения вполне упорядоченного множества
вытекает, что оно всегда содержит наименьший эле-
элемент 0. Последующие элементы естественно обозна-
обозначать через 1, 2, ... и т. д. Если а — некоторый транс-
трансфинит, то нижний конус av, из которого удален
элемент а, называется начальным отрезком и обозна-
обозначается через [0, а). Символ [0,0) понимается как пу-
пустое множество. Если а Ф 0 и начальный отрезок
[0, а) не содержит наибольшего элемента, то транс-
трансфинит а называется предельным. Примером предель-
предельного трансфинита может служить число 0 в рассмот-
рассмотренном выше вполне упорядоченном множестве целых
чисел. Для всякого трансфинита а среди трансфини-
тов верхнего конуса аА, отличных от а, существует
наименьший, который будем обозначать через сс + 1.
Если a — предельный трансфинит, то
: ';;■•';; [о, a)= U [о, р). ;/;'. . "'. ' ,..
■ ■■■' |3<а ■ . '• '- ■-'.
Всякий трансфинит а представим в форме а = a0 + k,
где ссо — предельный трансфинит или 0, а k — неот-
неотрицательное целое число. Если Q — вполне упорядо-
упорядоченное множество и 3 ^ Q, то или U [0, t)=Q, или
и [0, I) = [0, а) для некоторого aeQ.
Решающим фактом, обеспечивающим возможность
сравнивать множества, является теорема о сравнении
вполне упорядоченных множеств: для двух вполне
упорядоченных множеств Р и Р' осуществляется одна
и только одна из следующих возможностей:
1) Р изоморфно Р'\
2) Р изоморфно начальному отрезку множества Р'\
3) Р' изоморфно начальному отрезку множества Р.
Если а — некоторый трансфинит, то трансфинит-
трансфинитной последовательностью типа а или а — последова-
последовательностью называется отображение ф начального
отрезка [0, а) в какое-либо множество А. Если мно-
множество А состоит из трансфинитов (нельзя сказать
подмножество множества трансфинитов, ибо совокуп-
совокупность всех трансфинитов множеством не является!), и
из р < 7 < ее следует, что ф(Р) < ц>(у), то трансфи-
трансфинитная последовательность называется возрастаю-
возрастающей. Если ф — возрастающая а — последовательность,
58 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
где а — предельный трансфинит, то наименьший из
трансфинитов |, удовлетворяющих условию: фG)<1
для всех у < а, называется пределом последователь-
последовательности ф и обозначается как Птф(у). Говорят, что
V <а
трансфинит К конфинален предельному трансфиниту
а, если К является пределом некоторой возрастающей
а — последовательности. Трансфинит, конфинальный
предельному, сам является предельным. Трансфинит
% конфинален предельному трансфиниту а тогда и
только тогда, когда начальный отрезок [ОД) содер-
содержит конфинальное подмножество, изоморфное началь-
начальному отрезку [0, а).
Если ф и г|) — возрастающие трансфинитные после-
последовательности, X — предельный трансфинит и
6 = limi|)(Y), то lim q>(Q = lim ф (-ф (у)). Отсюда выте-
> ?8 *
кает, что если предельный трансфинит а конфинален
предельному трансфиниту р, а р конфинален предель-
предельному трансфиниту у, то а конфинален у. Трансфинит-
Трансфинитная последовательность типа а называется непрерыв-
непрерывной, если ф(|3) = lim ф(|) для каждого предельного
трансфинита |3 < а. Трансфинит б, для которого
фF) = 6, называется критическим трансфинитом по-
последовательности ф.
Трансфинит называется регулярным, если он не
конфинален никакому меньшему трансфиниту и син-
сингулярным в противном случае.
Во многих случаях трансфинит а удобно рассмат-
рассматривать как вполне упорядоченное множество [0, а).
В частности, эта точка зрения позволяет говорить
о мощности трансфинита а. Наименьший среди транс-
трансфинитов данной бесконечной мощности называется
начальным. Начальный трансфинит счетной мощности
как правило обозначается через w или шо- Как цепь
он изоморфен цепи натуральных чисел с естествен-
естественным порядком. Множество всех начальных трансфи-
трансфинитов мощности, меньшей данной, скажем га, вполне
упорядочено и потому может отождествляться с не-
некоторым трансфинитом а. Начальный трансфинит
мощности m обозначается через wa. Трансфинит а на-
называется индексом начального трансфинита мощности
га. Различным начальным трансфинитам соответствуют
различные индексы. Каждый трансфинит является
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 59
индексом некоторого начального трансфинита. В ча-
частности, а>1 — это первый несчетный трансфинит. Вся-
Всякая несчетная разреженная цепь содержит подцепь,
изоморфную Wi или ю* (см. [25], с. 87, теорема 5.28).
Трансфиниты о)а+1 регулярны при любом а (см. [9],
с. 307, теорема 1). Каждый предельный трансфинит
а конфинален некоторому начальному трансфиниту.
Этот трансфинит оказывается наименьшим среди
трансфинтов, конфинальных а. В частности, счетные
трансфиниты и только они конфинальны о).
Начальный трансфинит о)а называется слабо не-
недостижимым, если он регулярен, а а— предельный
трансфинит. Например, о) = оH слабо недостижим,
а о)Ш) будучи сингулярным, слабо недостижимым не
является. Если а > 0, то о)а слабо недостижим тогда
и только тогда, когда a = o)a = cf(a), где cf(a) —
наименьший среди таких трансфинитов |, что а кон-
конфинален 0)£.
Поскольку ординальная сумма и ординальное про-
произведение вполне упорядоченных множеств вполне
упорядочены, то сумму a + р и произведение ар
трансфинитов аир можно определить условиями
[О, а)+[0, Р) = [0, а+р)
и
■1 [0, а)-[0, Р) = [О,ар)
соответственно, где + означает ординальную сумму,
• — ординальное произведение, а равенство — изомор-
изоморфизм цепей. Корректность определения вытекает из
теоремы о сравнении вполне упорядоченных множеств.
Используя трансфинитную индукцию, можно опреде-
определить степени трансфинита а, положив а0—1, а^+| =
= а& • а и а& = Пт а11, если £ — предельный трансфинит.
6
Пусть, далее, ao=l, ai=0), az = 0)ю, аз=(о)ю)ш
и т. д. Предел этой последовательности limara яв-
гс<ю
ляется наименьшим среди трансфинитов |, удовлетво-
удовлетворяющих соотношению о)^ = |. Трансфиниты е, для ко-
которых выполняется равенство о)е == е, называются эп-
г.илонговыми или е-ординалами.
60 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ. ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
Операции над трансфинитами обладают следую-
следующими свойствами:
1) Если р < y, то а + Р < а + у.
2) Если а<р, то а+У<Р + У-
3) Если а ^ р, то существует один и только один
трансфинит у такой, что р = а -\- у (этот трансфинит
обозначается как р—а).
4) Если у^а < Р. то а — Y < Р — Y-
5) Если y < Р ^а. то а — р ^а — у. ■ - : ' . :
6) Если f1 < y и а ф 0, то ар <ау.
7) Если а^р, то oy^Py-
8) Если y < Р, то а (р — y)< ар — щ
9) Если I\ Ф 0, то для любого а найдутся такие y
и р, что a = PY + pnp<p.
10) Эквивалентны следующие свойства трансфи-
нита а ФО: A) а аддитивно неразложим (т. е. не
представим в виде а = р + у, гДе р, v < a) < B) I +
+ ее = а для каждого | <С а; C) а = ш^ для неко-
некоторого | (см. [9], с. 261, теорема 7; [23], с. 457, тео-
теорема 7; с. 462, теорема 3).
11) Начальные трансфиниты аддитивно неразло-
неразложимы (см. [9], с. 282, теорема 9).
12) Трансфинит а мультипликативно неразложим
(т. е. не представим в виде а = Ру, где р, у < а)
в том и только том случае, когда или а — простое
натуральное число, или а = огшР) для некоторого
трансфинита р, или а = wp + 1 для некоторого транс-
финита р (см. [23], с. 467, теорема 8).
13) Если a < р и y > 1. то Ya < YP-
14) Если P'<Y, то aP<av.
15) aP+v = al3av.
16) (aP)v = al3v.
Возведение в степень можно использовать для
представления трансфинитов в виде, напоминающем
представление натуральных чисел в десятичной си-
системе: именно, если у > 1 и 1 ^ а < у6, то суще-
существуют натуральное число п и последовательности
Рь р2. ■ • ■. $п и бь б2, . . ., б„ такие, что
0<Р( < Y, б„< ... <б2<б[
и
a = Y6lP1+Y62P2+ ••• +y4«-
Различные аспекты теории цепей отражены в [3],
[9], [20] и [25].
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 61
2.3. Полные решетки (структуры). Частично упо-
упорядоченное множество называется полной решеткой
или полной структурой, если всякое его подмноже-
подмножество (в том числе пустое) имеет точную нижнюю и
точную верхнюю грани. Впрочем, приведенное опре-
определение оказывается избыточным, так как справед-
справедлива теорема: если всякое подмножество частично
упорядоченного множества Р (включая пустое) имеет
точную нижнюю [верхнюю] грань, то Р — полная ре-
решетка.
Полными решетками являются отрезок [0, 1] с обычным по-
порядком, множество всех подмножеств некоторого множества,
упорядоченное по включению, всякая конечная цепь. Из сфор-
сформулированной выше теоремы вытекает, что полными решетками
оказываются множество всех подгрупп данной группы, мно-
множество всех замк утых подмножеств топологического простран-
пространства, всякое вполне упорядоченное множество с наибольшим
элементом и др.
Если ср: L-+U — изоморфизм частично упорядо-
упорядоченных множеств, являющихся полными решетками,
то для любого А ^ L имеет место
cp(supL /l) = supL'cp(y4) и cp(infL A) = \niL>y{A).
Любой интервал [а, Ь]ь полной решетки L является
полной решеткой, причем
SUP[a. Ы Л = SUPp Л И inha.b] A = MpA
для любого непустого подмножества А<=[а,Ь]р.
Каждое изотопное отображение ср полной решетки L
в себя обладает неподвижной точкой, т. е. существует
такая точка a^L, что ц>(а) = а. Если же каждое изо-
тонное отображение частично упорядоченного мно-
множества Р в себя обладает неподвижной точкой, то
всякая максимальная цепь из Р является полной ре-
решеткой.
Прямое произведение полных решеток является
полной решеткой. Упорядоченная сумма [упорядочен-
[упорядоченное произведение] полных решеток оказывается пол-
полной решеткой, если множество индексов является пол-
полной решеткой [и удовлетворяет условию минималь-
минимальности] .
Изотонное отображение ср частично упорядочен-
упорядоченного множества Р в себя называется оператором за-
замыкания, если л;^ф(х) и хр(ц>(х)) = ц>(х) для всех
62 ГЛ. I. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
Примеры: 1) Р — полная решетка всех подпространств
топологического пространства, ср(Х)—замыкание подпростран-
подпространства X; 2) Р — полная решетка всех непустых подмножеств ли-
линейного пространства над некоторым полем, (р{Х)—линейная
оболочка множества X; 3) Р — частично упорядоченное множе-
множество с наибольшим элементом 1, ср(л:) = 1 для всех teP.
Если ф—оператор замыкания на частично упоря-
упорядоченном множестве Р и *еР, то ц>(х) называется
(р-замыканием элемента х, а элемент х, для которого
q>(x) = x, называется ц>-замкнутым.
В приведенных выше примерах ср-замкнутыми элементами
оказываются замкнутые подпространства, линейные подпростран-
подпространства и 1 соответственно.
Если ф — оператор замыкания на полной решетке
Р, то частично упорядоченное множество L всех
ф-замкнутых элементов из Р, рассматриваемое как
подмножество частично упорядоченного множества
Р, также является полной решеткой. При этом наи-
наибольший элемент полной решетки Р принадлежит L
и для всякого непустого подмножества А множества
L имеет место
infL Л = infp Л и supjr,/4 = (p(supP Л).
Кроме того, для всякого ieP справедливо
Ф (х) = inf P {ы | ы е Р, х <; ы = ф (и)}.
Отсюда вытекает, что для равенства операторов за-
замыкания ф и г|з на полной решетке Р необходимо и
достаточно, чтобы множества ф- и ^-замкнутых эле-
элементов совпадали. Подмножество L полной решетки
Р совпадает с множеством всех ф-замкнутых эле-
элементов для некоторого оператора замыкания ф на Р
в том и только том случае, когда L содержит наиболь-
наибольший элемент полной решетки Р и infp Л g L для лю-
любого подмножества А £ L.
Пусть теперь М — частично упорядоченное множе-
множество с наименьшим элементом 0 и наибольшим эле-
элементом I.- P — полная решетка всех подмножеств мно-
множества М, содержащих 0, и
L = {X\X<=P, X^^=
Для каждого х е М положим
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 63
(здесь и дальше не различаются х и {х}). Тогда L —
полная решетка, а 0 — изоморфизм частично упоря-
упорядоченного множества М на подмножество полной ре-
решетки L. При этом справедливы следующие утверж-
утверждения: 1) если 0 ф A s M и inf/M^ существует, то
Q(inlMA) = infz.9(-4); 2) если 0^ЛеМ и эирмЛ
существует, то 0(supM/4) = supz.0(/4); 3) если XgL,
то найдутся такие подмножества А и В множества М,
что X = supLQ{A)= inlLQ(B). Таким образом, любое
частично упорядоченное множество вкладывается
в полную решетку. Описанная конструкция назы-
называется пополнением сечениями (а также пополнением
Макнейла). Она является далеко идущим обобщением
известного пополнения цепи рациональных чисел сече-
сечениями и явля тся в некотором смысле наиболее
экономной. Именно, если М, L и 0 имеют тот же
смысл, что и выше, а ср — изоморфизм частично
упорядоченного множества М на подмножество
некоторой полной решетки V, то существует та-
такой изоморфизм -ф частично упорядоченного множе-
множества L на подмножество полной решетки V, что
Ч1 (9 (*)) = Ф (*) Для всех х^М. Если М, L и 0 имеют
тот же смысл, а V—полная решетка, содержащая М
в качестве частично упорядоченного подмножества,
то для существования изоморфизма \|з полной ре-
решетки V на полную решетку L такого, что \|з(ср(л:)) =
= х для всех х^М, необходимо и достаточно, чтобы
V обладала следующими свойствами: (i) если 0 ф
ф v e V, то найдется такое непустое подмножество
A s М, что u = supi//4; (И) если 1 ф v e V, то най-
найдется такое непустое подмножество В s M, что и =
= ШуВ ([11],§3).
Пополнение сечениями цепи является цепью. По-
Пополнение сечениями прямого произведения двух ча-
частично упорядоченных множеств, каждое из которых
обладает наименьшим и наибольшим элементами,
изоморфно прямому произведению пополнений сече-
сечениями сомножителей. Требование существования наи-
наибольших и наименьших элементов существенно.
Конкретным представлением полной решетки на-
называется ее изоморфизм на полную решетку всех
ф-замкнутых подмножеств полной решетки ЩGИ) всех
подмножеств некоторого множества М. Оператор
замыкания ср на полной решетке Р называется
64 ГЛ. 1. ОТНОШЕНИЯ, ОТОБРАЖЕНИЯ, Ч. У. МНОЖЕСТВА
алгебраическим, если для любой цепи С s P имеет
место Ф(и(Х|Хе С} = {]{у{Х) \Х <= С}. Элемент с из
полной решетки L называется компактным, если с =
= supz.A, где A^L, влечет за собой c = suplF для
некоторого конечного подмножества Fs/1, Полная
решетка называется алгебраической, если каждый ее
элемент равен точной верхней грани- 'некоторого мно-
множества компактных элементов. Алгебраические ре-
решетки и только они обладают конкретными пред-
представлениями с алгебраическим оператором замыкания.
Алгебраическим оказывается второй из приведенных выше
операторов замыкания. Решетка всех подпространств линейного
пространства является алгебраической. Ее компактными эле-
элементами служат конечномерные подпространства. Алгебраиче-
Алгебраической решеткой оказывается также цепь (N, ^), дополненная
наибольшим элементом.
Подробнее см. [11], § 3. См. также п. V. 5.1.
Поскольку пересечение любого множества экви-
валентностей на фиксированном множестве М яв-
является эквивалентностью и существует наибольшая
эквивалентность Vm = М X М, то совокупность веек
эквивалентностей на М оказывается полной решет-
решеткой, которую будем обозначать через EqM. Если
SsEqM, то supEqAfS ={{a,b) \а, Ъ <= М и суще-
существуют элементы xq, Х\, ..., хп €= М и эквивалент-
эквивалентности 0о, 0i, ..., б»-, е Н такие, что а = х0,
(xi,Xi+\)^Qi при i = 0, 1 п—1 и х„ = Ь}. Экви-
Эквивалентность supEqAfS является транзитивным замы-
замыканием множества S и совпадает с объединением
всевозможных конечных произведений эквивалентно-
эквивалентностей из S. Если 3 ={0Ь ..., 0„} конечно и 6*6/ =
= 0/6/ при любых i, /е{1 пг}, то supEqMH =
= 01 ... 6m.
Связи теории частично упорядоченных множеств
с различными областями математики рассмотрены
в [18].
ЛИТЕРАТУРА
1. А л е к с а п д р о в П. С. Введение в теорию множеств и
общую топологию.—М.: Н;<ука, 1977.
2. Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы об-
общей топологии в задачах и упражнениях. — М.: Наука, 1974.
3. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.
4. Бурбаки Н. Теория множеств. — М.: Мир, 1965.
5. Ван дер ВарденБ. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
6. Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982. :
§ 2. ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 65
Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные
модели. — М.: Наука, 1980.
К о э н П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. —
М.: Мир, 1969.
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств.—•
М.: Мир, 1970.
Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука,
1970.
Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М.: Нау-
Наука, 1982.
Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. — М.: Нау-
Наука, 1983.
Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная
математика. — М.: Мир, 1966.
Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.; Л.: ОНТИ, 1937.
Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок.—М.: Нау-
Наука, 1971.
В 1 у t h Т. S., J а п о w i t z M. F. Residuation theory. — Ox-
Oxford; London: Pergamon Press, 1972.
Bryant V., Perfect H. Independence theory in combina-
tories. An introductiory account with applications to graphs
and transversales. — London: Chapmen and Hall, 1980.
В u d а с h L., G r a w В., M e i n e 1 Ch., Waack S. Algebraic
and topological properties of posets. — Leipzig: Teubner, 1988.
D г о s t e M. Structure of partially ordered sets with transitive
automorphism groups//Memoirs Amer. Math. Soc.— 1985.—
V. 57, N 334.— 100 p.
F r a i s s ё R. Theory of relations. — Amsterdam; New York;
Oxford: North-Holland, 1986.
Jacobson N. Basic algebra. II. San Francisco: W. H. Free-
Freeman and Co., 1980.
К e r U s z A. Vbrlesungen fiber Artinsche Ringe. — Budapest:
Akad. Kiado, 1968.
К 1 a u a D. Allgemeine Mengenlehre. — Berlin: Akademie Ver-
lag, 1964.
Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded and filte-
filtered rings and modules. Lect. Notes Math., 1979, N758, 148 p.
Rosensteih J. G. Linear orderings. — New York; Acade-
Academic Press, 1982.
ГЛАВА II
ГРУППЫ
В настоящей главе изложены вопросы, относя-
относящиеся к общей теории групп, а также к теориям упо-
упорядоченных и топологических групп. Конечные груп-
группы, группы Ли, линейные и алгебраические группы,
а также теория представлений групп здесь не рас-
рассматриваются. Результаты, специфические для абе-
левых групп и групповых колец, можно найти в гл. III.
Систематическое изложение основ теории групп мож-
можно найти в монографиях [17], [28], [65], [109].
Сведения о новейших результатах теории групп
можно почерпнуть из обзоров ВИНИТИ (см. [3], [6],
[29], [42], [44], [47], [55]).
§ 1. Основные понятия теории групп
1.1. Определения и основные свойства. Бинарной
операцией на множестве Мф0 называется отображе-
отображение а: МУ1М-*-М. Операция сопоставляет упорядо-
упорядоченной паре (mi,m2) элементов множества М элемент
т% = а(т\,т?) того же множества. Обычно бинар-
бинарную операцию обозначают каким-либо знаком, на-
например, о, используя при этом запись т% = т.\°тг.
Если операция о ассоциативна, т. е.
(т, о ггц) о mz =
= ml°(m2om3) для всех mt^M, г = 1, 2, 3,
то пара (М, о) называется полугруппой. В полугруп-
полугруппе нет необходимости указывать порядок выполне-
выполнения операции, т. е. можно писать mi°m2° ... °пгп,
мысленно расставляя скобки произвольным образом.
Полугруппа (G, о) называется группой, если вы-
выполнены следующие условия:
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 67
существует нейтральный элемент е е G, для кото-
которого g*e = eog — g при всех ge G;
любой элемент g ё G имеет Ьбратный, т. е. такой
элемент g~l e G, что g° g~l = g~* ° g = е.
Заметим, что каждая группа содержит в точности
один нейтральный элемент и для каждого элемента
группы существует точно один обратный.
Иногда удобно считать, что наряду с бинарной
операцией в группе определены нульарная операция,
отмечающая нейтральный элемент, и унарная опера-
операция взятия обратного ~': G-> G, g>—>g~l. Справед-
Справедливы формулы:
(g~Tl = g, (§i°g2° • • • °§п)~1 = Snl°Sn-i° • • • °ST1-
Естественно определяются целые степени элемен-
элементов с очевидными свойствами:
8nWi8°S° ••• °g (« раз),
§~пШ8~1°8~1° ■■• °ё~1 (п Раз), rae=N;
^°dTf^ gn°gm = gn+m, (g»fl = g>™> n,m(=Z.
Переставлять множители местами в группах, во-
вообще говоря, нельзя. Элементы g и / группы G назы-
называются перестановочными или коммутирующими, если
gof = fоg. Если любые два элемента группы G ком-
коммутируют, то группа G называется коммутативной
или абелевой.
Операция в группе часто обозначается символом
-f- [символом •] и называется сложением [умноже-
[умножением] . При этом группа называется аддитивной
[мультипликативной], ее нейтральный элемент назы-
называется нулем [единицей] и обозначается символом О
[символом 1]. В аддитивной группе элемент, обрат-
обратный к элементу а, называют противоположным и обо-
обозначают —а; вместо a", seZ, пишут па. В мульти-
мультипликативной группе вместо f-g часто пишут fg.
Примеры аддитивных групп: 1) (Z, +). (Q. +),
(R, +), (С, +) —аддитивные группы кольца Z и полей Q, R, С
соответственно. Пишут просто: Z, Q, R, С. 2) Произвольное
кольцо К по сложению — абелева группа. В частности, кольцо
многочленов P[xi, #2, •. ■] и кольцо М(п, Р) квадратных мат-
матриц порядка п над полем Р — абелевы группы. 3) Векторное
пространство R", п е= N, равно как н произвольное линейное
пространство V над полем Р относительно сложения — абелевы
68 • - ' ГЛ. И. ГРУППЫ
группы. В частности, линейные пространства всех функций
Fra 6| и всех непрерывных функций С[а j,, заданных на интер-
интервале fa, b],— по сложению абелевы группы.
Примеры мультипликативных групп. 1) Q*,
R*, С* — мультипликативные группы полей Q, R, С соответ-
соответственно, т. е. множества их ненулевых элементов относительно
умножения. В общем случае Р gfj (Я\{0}, •)—мультиплика-
•)—мультипликативная группа поля Р. 2) К* ■— мультипликативная группа (ас-
(ассоциативного) кольца К с единицей, т.е. множество его обра-
обратимых элементов относительно умножения. Например, Z*={±1},
P[xi, хг, ...]* = Р*, М(п, Р)* = GL(n, P) (Я —поле).
В дальнейшем мы, как правило, говорим о муль-
мультипликативных группах. Речь идет, естественно, толь^
ко о форме записи, не умаляющей общности рассуж-
рассуждений. Почти всюду группа обозначается одной бук-
буквой без указания операции.
Множество всех элементов группы G называется
основным множеством групгцы и обычно обозначается
той же буквой G. В зависимости от то?о, конечно или
нет основное множество, группа G называется конеч-
конечной или бесконечной. Число элементов n = \G\ ко
нечной группы G называется ее порядком. Группа
порядка один Е = {е) называется единичной или три-
тривиальной. Говорят, что бесконечная группа имеет бес-
бесконечный порядок. Ей можно сопоставить кардиналь-
кардинальное число и = |(?|—мощность основного множества
группы G.
Пусть множество всех простых чисел, делящих по-
порядок \G\ конечной группы, содержится в множестве
простых чисел я. Тогда группа G называется (конеч-
(конечной) п-группой. В частном случае п = {р} группа G
называется конечной р-группой.
В любой группе G разрешимы уравнения ха=Ь,
су = d, решения которых единственны: x=ba~l, у =
= с~Ч.
Пусть М, N—подмножества (основного множе-
множества) группы G. Полагаем М ш{т~1 \пг^ М),
MN g= {tnn ImeiH, fteJV}cG.
Подгруппой И группы G называется ее подмноже-
подмножество, само являющееся группой относительно инду-
индуцированной операции умножения в G. Подмножество
Н s G является подгруппой в том и только том слу-
случае, если геЯи Я замкнуто относительно умноже-
умножения и взятия обратного, т. е. НН s Я, H~l S Н (легко
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 69
видеть, что на самом деле это равенства). Примем
для подгруппы обозначение Я ^ G. Подгруппа Я ^ G
называется собственной, если Н ф G, что записываем
как Я < G.
Пересечение любой совокупности подгрупп данной
группы — снова подгруппа. Объединение двух под-
подгрупп будет подгруппой в том и только том случае,
если одна из них содержит другую. Объединение воз-
возрастающей (возможно, трансфинитной) цепи под-
подгрупп Hi ^. Н2^. ... ^ На ^ ... — снова подгруппа.
Пусть М ^ G — некоторое подмножество группы.
Про множество Mg ^=£ {mg \ m е М} s G говорят, что
оно получается правым сдвигом М на элемент gsG.
Аналогично, gM ^ {gm | m е М} — множество, полу-
получаемое левым сдвигом М на geG. Если Я ^ G —
подгруппа, то Hg—правый, a gH — левый смежные
классы группы G по подгруппе Я. Элемент g назы-
называется представителем как Hg, так и gH. Ясно, что
g = eg = ge <= Hg П gH. Равенства Hg{ = Hg2, fiH =
= f2H выполнены в тех и только тех случаях, когда,
соответственно, g2 = h\gi, fz = f\h2 для некоторых эле-
элементов h\, h2 e Я. Любой элемент, входящий в смеж-
смежный класс, может быть выбран его представителем.
Разносторонние смежные классы Hg, fH могут пере-
пересекаться собственным образом. Односторонние смеж-
смежные классы Hg\, Hg2 (или f[H, f2H) либо совпадают,
либо не пересекаются. Подгруппа Я является как ле-
левым, так и правым смежным классом (с представи-
представителем е). Других подгрупп среди смежных классов
по Н нет. Все смежные классы имеют одинаковую
мощность, равную \Н\. Группа G разбивается в объ-
объединение непересекающихся односторонних смежных
классов одинаковой мощности. Мощность \G:H\ мно-
множества различных односторонних смежных классов не
зависит от выбора стороны и называется индексом
подгруппы Я в группе G.
Конечные индексы обладают следующим свой-
свойством мультипликативности: если К ^ Я <; G, то
|G:#||#:/C| = |G:/C|. В частности, справедлива
теорема Лагранжа: пусть Я — подгруппа конечной
группы G, тогда имеет место формула
\G\ = \H\\G:H\.
70 ГЛ. II. ГРУППЫ
Как следствие теоремы Лагранж.а получаем: порядок
любой подгруппы конечной группы делит порядок
группы; подгруппа (конечной) я-группы сама будет
(конечной) я-группой.
Теорема Лагранжа, вообще говоря, не допускает
обращения. Если число т делит порядок \G\, это еще
не значит, что существует подгруппа Н ^ G порядка
т. Впрочем, если т = р1— степень простого числа, то
такое обращение имеет место (см. теорему Силова).
Пусть #i, #2 — подгруппы группы G. Двойным-
смежным классом группы G по упорядоченной паре
подгрупп (Яь Я2) с представителем g e G называется
множество элементов HigH2={high2\hi e Hit i =
= 1, 2}. Двойные смежные классы но фиксированной
паре подгрупп (Яь Я2) либо совпадают, либо не пе-
пересекаются. Их число (мощность) обозначим | G:
(ЯЬЯ2)|.
Пусть G — группа, g, h^G. Элемент gh=hgh
называется сопряженным к элементу g с помощью
элемента h.
Скажем, что элемент gi e G сопряжен с элемен-
элементом g2eG в группе G, если найдется элемент h e G,
для которого g'[ — gr Тогда и элемент g2 сопряжен
с элементом gi в силу равенства g{ = g% l. Сопряжен-
Сопряженность— отношение эквивалентности на множестве эле-
элементов группы G. Все элементы разбиваются на не-
непересекающиеся классы эквивалентности [g], которые
называются классами сопряженности. Среди них обя-
обязательно есть хотя бы один одноэлементный класс
[е]. Группа G тогда и только тогда абелева, когда
все ее классы сопряженности одноэлементные.
Пусть MeG — подмножество группы. Полагаем
Мg57f{m8|meM} и называем Ме подмножеством,
сопряженным с М посредством элемента geG. Ана-
Аналогично предыдущему множество всех подмножеств
группы G разбивается на непересекающиеся классы
сопряж-енности [М].
Элемент g^G централизует элемент fteG, если
h8 = h или, что то же самое, gh = hg. Централиза-
Централизатор Со(М) подмножества M^G определяется как
множество всех элементов geG, централизующих
каждый из элементов meAf. Заметим, что Са(М) —
подгруппа в G. Если M = {h}, то Ca{h) называется
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 71
централизатором элемента h e G. Если М = G, то
подгруппа С(G)^iCa{G) называется центром группы
G. Центр C(G) состоит из тех и только тех элемен-
элементов, которые перестановочны с любым из элементов
группы G.
Говорят, что элемент g e G нормализует подмно-
подмножество М <= G, если Мг = М. Это значит, что при
любом m e M имеем ms е M и, кроме того, для каж-
каждого т\ е М существует тг е М такой, что mf = mv
Нормализатор No (M) определяется как множество
всех элементов g e G, нормализующих М. В любом
случае Na{M)— подгруппа в G. Если Я < G, то Н <
^Ng(H). Ясно также, что CG(M)< NG(M).
Для элемента g^G имеем C0(g) = N0{g). Ин-
Индекс | G : No {g)\ совпадает с мощностью класса [g]
сопряженных с g элементов группы G, Аналогично,
индекс \G:No(M)\ совпадает с мощностью множе-
множества [М] всех сопряженных с М подмножеств
группы G.
Отображение ц>: G-*-H группы G в группу Я на-
называется гомоморфизмом, если q>(g\g2) =
для всех g\, g2 e G.
Из определения следует, что q>(e) = (ё
^ф(^)- Итак, ф — гомоморфизм в том и только том
случае, если ф перестановочно с групповыми опера-
операциями. Композиция гомоморфизмов ф: G-> Я, -ф: Я—>
-*■ К — также гомоморфизм ф\|з: G-*-K. Образ под-
подгруппы Л ^ G при гомоморфизме ф: G "-*-Н—под-
"-*-Н—подгруппа ф(Л)^Я. Полный прообраз подгруппы В ^
^ Я — подгруппа ф-1 (В) ^ G.
Взаимно однозначный гомоморфизм ф: 0->Я на-
называется изоморфизмом. Для изоморфизма ф суще-
существует обратное отображение ф-1: Я->0, также яв-
являющееся изоморфизмом.
Группы G и Я называются изоморфными (обозна-
(обозначение: G=^H), если существуют изоморфизмы, пере-
переводящие одну на другую. Изоморфизм групп является
отношением эквивалентности в классе всех групп.
Изоморфные группы имеют совершенно одинаковые
алгебраические свойства (если, конечно, не рассмат-
рассматривать какие-то дополнительно определенные на них
структуры). В абстрактной теории групп к ним отно-
относятся как к одинаковым объектам.
72 - гл- и. группы
Примеры. 1) Группа GL(n, Р) отображается на мульти-
мультипликативную группу Р* поля Р гомоморфизмом det: GL(n, P)-*-
-*-Р*, А\—■> det A. 2) Аддитивная группа R изоморфна мульти-
мультипликативной группе R+ положительных действительных чисел
в силу изоморфизма exp: R -> R+, r\—> ег (заметим, что
Гомоморфизм, являющийся отображением «на»,
называется сюръективным гомоморфизмом или эпи-
эпиморфизмом. В случае групп это согласуется с теоре-
тико-категориым определением эпиморфизма. Если
гомоморфизм отображает группу на ее образ взаимно
однозначно, то он называется инъективным гомомор-
гомоморфизмом, или мономорфизмом, или вложением. При
мономорфизме образ группы изоморфен ей самой, мо-
может быть с ней отождествлен, что оправдывает тер-
термин «вложение». Любая подгруппа Н ^ G вложена
в G как абстрактная группа.
Гомоморфизм ф: G-*-G группы в себя называется
эндоморфизмом. Множество всех эндоморфизмов
группы G обозначается End G и является полугруп-
полугруппой относительно композиции. Изоморфизм ф группы
G на себя называется автоморфизмом группы G. От-
Относительно композиции множество всех автоморфиз-
автоморфизмов группы G является группой, которая называется
группой автоморфизмов группы G и обозначается
AutG.
Среди всех автоморфизмов группы G выделяются
внутренние автоморфизмы og, geG, определяемые
условием ag(h) = h8 для всех /г е G. Легко проверить,
что сг -i = a~', ff/??r' = VlV1' Поэтому отобра-
отображение сг: G->AutG, где o{g) = o„-i, оказывается
гомоморфизмом. Образ группы G при гомоморфизме
о называется группой внутренних автоморфизмов
группы G и обозначается Inn G. Группа G абелева
тогда и только тогда, когда InnG={id0}, где id0 —
тождественный автоморфизм группы G.
Подгруппа Л ^ G называется эндоморфно допу-
допустимой (или вполне характеристической), если для
любого ф е End G имеем ф(Л)<;Л. Подгруппа Л^
^ G автоморфно допустима (характеристична), если
Ф (Л) = Л для любого ф е Аиt G.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 73
Совокупность {g"jneZ} степеней элемента g
группы G является подгруппой в G. Она называется
циклической подгруппой, порожденной элементом g,
и обозначается <g>. Подгруппа <g> конечна в том и
только том случае, если g" = е для некоторого л е N.
Если п — минимальное число с этим свойством, то
оно называется порядком элемента g и обозначается
\g\. Легко видеть, что gk = g1, k, feZ, тогда и
только тогда, когда k = imo&n. Поэтому j ^r j =====
= j <g"> |. По теореме Лагранжа порядок любого эле-
элемента конечной группы G делит порядок группы. Если
для любого fieN имеем gn =fi= e, то все степени gn,
fieZ, различны между собой. В этом случае под-
подгруппу <g> называют бесконечной циклической и го-
говорят, что g — элемент бесконечного порядка. Груп-
Группа, в которой нет неединичных элементов конечных
порядков, называется группой без кручения. Группа,
в которой порядок любого элемента конечен, назы-
называется периодической. Пусть я — множество простых
чисел, включающее все возможные простые делители
порядков элементов периодической группы G, тогда G
называется п-группой. Если я = {р}, то G называется
р-группой. Если порядки всех элементов периодиче-
периодической группы G делят число neN, то п называется
периодом (экспонентой) группы G.
Группа G называется циклической, если суще-
существует элемент geG такой, что G = <g>. Элемент
g называется в этом случае порождающим элемен-
элементом группы G. Все циклические группы порядка /isN
изоморфны между собой и обозначаются С(п) или
Z(n) (среди них аддитивные группы вычетов по мо-
модулю п и мультипликативные группы всех комплекс-
комплексных корней из 1 степени я). Все циклические группы
бесконечного порядка также изоморфны между со-
собой и обозначаются С(оо) или Z, так как среди них
содержится аддитивная группа целых чисел.
Любая подгруппа циклической группы — снова
циклическая группа. Если Е ф А ^ <g>, то А = <gm>,
где m = min{|£|=^ 0\gk e А}. При <g>~Z имеем
i4~Z; при <g>~Z(n) получаем Ac^Z(n/m).
Любая группа простого порядка р является цик-
циклической группой Z(p). Только в таких группах нет
собственных неединичных подгрупп.
74 гл. и. группы ■•
Пусть G — конечная группа, pk — наибольшая сте-
степень простого числа р, делящая \G\. Следующие ут-
утверждения составляют известную теорему Силова.
1) Для любого числа 0 ^ / ^ k в группе G най-
найдется подгруппа Hi порядка р1.
2) Если 0 ^ / ^ k— 1, то любая подгруппа Я/ по-
порядка р1 содержится в некоторой подгруппе Нг+\ по-
порядка pl+l.
В частности, подгруппы порядка рк и только они
являются максимальными р-подгруппами группы G.
Они называются силовскими р-подгруппами группы G.
3) Все силовские р-подгруппы группы G сопря-
сопряжены между собой.
4) Число силовских р-подгрупп в G сравнимо
с единицей по модулю р и делит порядок группы G.
Подгруппа Я <; G называется нормальной под-
подгруппой или нормальным делителем группы G, что
обозначается H^G, если выполнены следующие экви-
эквивалентные условия:
A) ffs = H для любого geG, т. е. G = Na{H);
B) Hg = gH для любого g e G;
C) hs е Я для любых Aefl, g e G.
Если Я <3 G — собственная подгруппа, то пишем
Н<\ G.
Группа G называется простой, если в ней нет не-
неединичных собственных нормальных подгрупп.
Пересечение любой совокупности нормальных под-
подгрупп в группе есть нормальная подгруппа. Образ
нормальной подгруппы при эпиморфизме или полный
прообраз при гомоморфизме — снова нормальные
подгруппы. Если Я <] G, то Са (Я) <] G. Подгруппа
Я ^ G всегда нормальна в своем нормализаторе
Na{H)—наибольшей среди всех подгрупп группы G,
содержащих Я в качестве нормальной подгруппы. Пе-
Пересечение Hq^ f] Hf есть наибольшая нормальная
f <= а
подгруппа в G, лежащая в Я. Назовем Яо сердце-
сердцевиной подгруппы Я (по-английски core of a sub-
subgroup Я). Если Я О G, К < G, то К П Я <| К.
Если А, В — подгруппы в G, то АВ не обязательно
подгруппа. Если одна из подгрупп А, В нормальна
в G, то АВ = ВА — подгруппа в G. ЕЪш А, В — нор-
нормальные подгруппы в G, то АВ = ВА — также нор-
нормальная подгруппа в G.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 75
Свойство «быть нормальной подгруппой» не тран-
зитивно: из того, что Н^К, K<^G, еще не следует,
что Н ^G (см. пример на с. 90). Если К <] G,
то сопряжение аг: К-*-К элементом g^G опреде-
определяет автоморфизм группы К- Если Я ^ К—авто-
морфно допустимая подгруппа в К, то она допустима
и относительно всех ае, geG, что равносильно нор-
нормальности Н ^G.
Примеры. 1) Все подгруппы абелевой группы А нор-
нормальны в А. Все подгруппы из центра C(G) группы G нормаль-
нормальны в G. 2) Подгруппа SL(n, Р) матриц с определителем 1 нор-
нормальна в GL(n, Р) (Р — поле). 3) Централизатор С0(М) под-
подмножества М s G нормален в нормализаторе No(-M) того же
подмножества.
Полный прообраз единичной подгруппы Е ^ Я при
гомоморфизме ср: (?-># называется ядром гомомор-
гомоморфизма ф и обозначается Кегф. Ядро Кегф — нормаль-
нормальная подгруппа группы G. Эпиморфизм ф: G-*-H яв-
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда
Кег ф = Е.
Пусть Н <3 G—нормальная подгруппа. Множе-
Множество всех различных смежных классов {Hg\g e G}
с операцией умножения HgiHg2^!Hgig2 образует
группу G/H, которая называется факторгруппой
группы G по нормальной подгруппе Н. Корректность
введенного выше умножения смежных классов имеет
место, если только Я—нормальная подгруппа.
Отображение ср: G-*-G/H, где q>(g) = Hg, являет-
является эпиморфизмом и называется естественным или ка-
каноническим гомоморфизмом группы G на фактор-
факторгруппу G/H. Заметим, что Кег ц> = Н.
Для произвольного эпиморфизма q>:G->H имеет
место изоморфизм а: б/КеГф~#, где а(КеГф-£-) =
(О
Примеры. 1) G/E~G, GjG~.E; 2) 2/(п)ы2 (га), Z (ra)/(/n> ^
ш Ъ ((п, т)); 3) GL (n, P)/SL (п, Р) ~ Р* (Р — поле); 4) С*/Т с*. R+,
где Т = {геС ||z| = l}—мультипликативная группа всех
комплексных чисел, модуль которых равен единице.
Последовательность групп и гомоморфизмов
называется точной в (г+ \)-м члене, если q>t(Gt) =
= Кег фг+1. Последовательность (*) называется точ-
76 гл. и. группы
кой, если она точна в каждом своем члене. Короткая
точная последовательность, по определению, имеет вид
E-*R-^G-^*H-*E, (**)
где i — вложение нормальной подгруппы R в группу
G, ф — эпиморфизм, крайние стрелки соответствуют
очевидным гомоморфизмам. Точность означает, что
Кф = #. Ясно, что G/R = G/Ker ф с^ Н.
Если R — нормальная подгруппа группы G, фак-
факторгруппа по которой G/R изоморфна группе Н, то
говорят, что G — расширение (нормальной) подгруп-
подгруппы R посредством группы Н. Такому расширению со-
соответствует короткая точная последовательность (**),
причем ф индуцирует изоморфизм G/R — H.
Пусть А, В— нормальные подгруппы группы G,
причем А ^ В. Тогда В/А ^ G/A и справедлива фор-
формула
(G/A)/(B/A) ы GjB.
Пусть А — подгруппа, В — нормальная подгруппа
группы G, тогдаВПЛ^Л и справедлива формула
А/В П А ~ АВ/В.
Пусть X — подмножество в группе G. Пересече-
Пересечение всех подгрупп Я <; G, содержащих X, есть наи-
наименьшая подгруппа, содержащая X. Она обозначает-
обозначается <Х> (используются также обозначения гр(Х),
гр(х\х^Х), (X) и т. п.) и называется подгруппой,
порожденной множеством X. Если G = <Х>, то гово-
говорят, что X — множество порождающих элементов
группы G. Группа G называется конечно порожден-
порожденной, если существует конечное множество X ее по-
порождающих элементов. Если при этом \Х\ = п, то го-
говорят, что G п-порождена.
Примеры. 1) Группа G 1-порождена тогда и только
тогда, когда она циклическая. 2) Группа SL(n, Z) порождена
множеством всех трансвекций /,у = е + е,у, где ец — матричная
единица, т. е. матрица, в которой иа пересечении 1-Й строки и
/-го столбца стоит единица, а на остальных местах — нуль (е —
единичная матрица).
В явной записи элементы подгруппы <Х>=^ G вы-
выглядят следующим образом. Назовем групповым сло-
словом в алфавите X формальное выражение v = x\lx22...
... хепп, х{^Х, ef = ±l. Каждое слово записывает
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 77
определенный элемент группы G, который также обо-
обозначим через v. Верно и обратное, любой элемент под-
подгруппы (Ху имеет запись указанного вида. Заметим,
что разные слова могут записывать один и тот же
элемент. Подробнее об этом говорится в пп. 1.2, 1.4.
Пусть G — группа, порожденная множеством эле-
элементов X. Известен стандартный способ получения
множества порождающих элементов подгруппы Н ^.G
через X и множество Т представителей (правых)
смежных классов группы G по подгруппе Я. Считаем,
что ееГ как представитель Я. Подгруппа Я порож-
порождается множеством элементов S(T, X) ={ [tx(tx)~l \t^T,
хеX}, где g^T — представитель смежного класса Hg,
gz=G. Заметим, что tx~i(tx4ri = (tlx (&)~1)~\^=гх~х.
По записи элемента ь = х\хх*£ ... xsnn e Я получаем
запись того же элемента в порождающих S(T, X):
• • • \.X\X2 • • • Xn-\ ' Xn ' e\>
так как v = e. Подгруппа конечного индекса Я ко-
конечно порожденной группы G сама конечно порож-
порождена. Кроме того, Я содержит эндоморфно допу-
допустимую в G подгруппу К также конечного индекса.
Элемент [g, f] jg gfg" f~ называется коммутато-
коммутатором элементов g, [ёC, Заметим, что [g,f]~l =
= [/>g]> [g>f]fg = gf> T- e- коммутатор характеризует
«разницу» между fg и gf ([g, f] = e тогда и только
тогда, когда fg = gf)- Коммутант G' группы G опре-
определяется как подгруппа, порожденная множеством
всех коммутаторов. Коммутант G' — нормальная под-
подгруппа в G, факторгруппа по которой G/G' абелева.
Если факторгруппа G/N абелева, то нормальная под-
подгруппа N^G содержит коммутант G'. Равенство
G' = Е имеет место тогда и только тогда, когда
группа G абелева.
Степень Gk, ISigN, группы G по определению есть
подгруппа, порожденная всеми элементами вида gk,
g gs G. Имеем G* <j G. Факторгруппа G/Gk — группа
периода k.
Отметим, что любой элемент коммутанта [сте-
[степени] записывается как произведение коммутаторов
?8 ■ гл. п. группы
{степеней], и в общем случае эту запись нельзя свер-
свернуть в коммутатор [степень].
Элемент gfe G называется не по рождающим, если
его можно безболезненно убрать из любого множе-
множества, порождающего G, т, е. из G = (X\J {g}} всегда
следует G — <Х>. Подгруппа Я ^ G называется мак-
максимальной, если Н Ф G и любая подгруппа К ^ G,
строго содержащая Я, совпадает с G. Заметим, что
бесконечная группа может не иметь максимальных
подгрупп. Подгруппой Фраттини <P(G) группы G на-
называется пересечение всех ее максимальных подгрупп,
если они существуют, и сама G в противном случае.
Множество всех непорождающих элементов группы G
совпадает с подгруппой Фраттини <P(G).
Пересечение всех нормальных подгрупп, содержа-
содержащих данное подмножество R группы G, является наи-
наименьшей нормальной подгруппой, содержащей R. Она
обозначается <§;/?>• или </?}G и называется нормаль-
нормальным замыканием R в G.
Запись вида v = (г*-/1 (г**)'1 ... (r^)S\, rt e R,
е,- = ± 1, gi^G, i = l, 2, ..., k, определяет элемент
■Ье ((/?)). Наоборот, любой элемент v e ((/?)) может
быть (неоднозначно) записан таким способом. По-
Понятие нормального замыкания ((Я)) подгруппы H^.G
двойственно введенному ранее понятию сердцевины Но.
Рассмотрим основные операции над группами.
1°. Прямые и декартовы произведения.
Пусть Gu G2, ■■■, Gn — группы. Множество G = Gxy^
X G2 X • ■ • X Gn последовательностей (gu g2, . .., gn),
g{^G{, с умножением (glt g2, .... gn)(fitf2, ■■■Jn) =
==(§ifit 82Ы ■••> gnfn) является группой, которая на-
называется прямым произведением групп G;. При этом
группы G[ называются множителями прямого произ-
произведения. С точностью до изоморфизма прямое произ-
произведение не зависит от порядка множителей. Множе-
Множество последовательностей (е, е, ..., gt, е, ..., е), где
gi e Gt стоит на i-м месте, составляет подгруппу, изо-
изоморфную множителю Gt.
Пусть Ga, аеА, — произвольное семейство групп.
Множество G = J]_Ga всех функций f: A->UGa та-
таких, что /(a)e Ga для любого а, с умножением, оп-
определяемым равенством (fg) (a) = /(a)g(a), является
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 79
группой, которая называется декартовым произведе-
произведением групп (множителей) Ga- Значение /(а) назы-
называется а-компонентой элемента / е G ■ Множество
всех элементов /gG таких, что /(р)=е при $фа,
образует подгруппу, изоморфную множителю Ga,
Определим множество supp (f) = {а | / (а) Ф е}, ко-
которое называется носителем элемента f e G = Ц Ga.
Множество всех элементов f e G с конечными носите-
носителями является подгруппой, которая называется пря-
прямым произведением групп Ga, ae'A, и обозначается
G = И Ga. Если множество А = {1, 2, ..., п} конечно,
то декартово и прямое произведения совпадают с про-
произведением G\ X G2 X • • • X Gn-
Используя компонентные вложения, отождествим
множители декартова и прямого произведений с их
подгруппами.
Группа G тогда и только тогда изоморфна пря-
прямому произведению своих подгрупп Ga, aeA, когда
выполнены следующие условия: 1) все Ga — нормаль-
нормальные подгруппы в G; 2) подгруппа, порожденная всеми
Ga, совпадает с G; 3) пересечение любой подгруппы
Ga с подгруппой, порожденной остальными Gg, p ф
фа, равно единичной подгруппе Е.
Пусть pra: G->Ga — гомоморфизм декартова про-
произведения G = И Ga на множитель Ga, определенный
формулой pra (/) = / (а). Назовем pra а-проекцией
декартова произведения. Подгруппа Н ^.G назы-
называется поддекартовым произведением групп Ga, aeA,
если для любого а имеем рга(Я) = Са.
Пусть\ для любого оеА существует гомомор-
гомоморфизм фа некоторой группы Я в группу семейства Ga.
Естественным образом определяется гомоморфизм
(ф„): #->IlGa, для которого Ан-»(фа(А)).
Пусть в группе G задано семейство нормальных
подгрупп Na, aeA. Пусть фа: G->G/Na — естествен-
ные^гомоморфизмы. Ядром гомоморфизма (фа): G—>
~* Л G/Na является N = ()Na (тедрема Ремака).
Если группы Ga) aeA, аддитивны, то вместо
G = Л Ga, G = JlGa часто пишут, соответственно,
(
80 ГЛ. II. ГРУППЫ
(в конечном случае G{®G2® ■■■ @Gn), называя их
декартовой и прямой суммами групп Ga, aeA.
Группы Ga называются слагаемыми групп G, G.
Через GK обозначают прямую сумму (степень) и
изоморфных слагаемых.
Примеры. 1) Группа R", «sN, есть прямая сумма п
экземпляров группы R. В общем случае аддитивная группа ли-
линейного пространства V размерности х над полем Р есть прямая
сумма х экземпляров аддитивной группы Р. Компоненты эле-
элементов — это их координаты в фиксированном базисе. 2) Груп-
Группа Fja щ есть декартова сумма групп Ra ^ R, a e [a, 6], где
a-компонента функции f e F^a щ есть ее значение f(a).
2°. Прямые пределы. Частично упорядочен-
упорядоченное множество индексов Л называем направленным
(вверх), если для любых элементов %, \i e Л суще-
существует элемент veA такой, что %, fi^v. Пусть
Л — направленное множество, {Gx | % е Л} — семейство
групп. Предположим, что для каждой пары % ^ \х.
задан гомоморфизм ц!: G^-^G^ такой, что при любых
fi^A^v имеем i^^^ и всегда i£ = idG В этой
Ситуации говорим, что задан прямой спектр 'S' =
= \G%, ij;, Л}. По заданному прямому спектру ^
построим новую группу G = limG?", которая назы-
называется прямым (индуктивным) пределом групп G\
1еЛ. Идея построения заключена в отождествлении
элемента gx^G со всеми его образами i£(g^) gG11
при jj, ^ %. Для этого на теоретико-множественном
объединении U Gx определим эквивалентность, пола-
полагая gk — g-p, для gx e Gx, g-p, <= G^, если существует
такое veA, что %, u^v и i£(&0= ^(ё'ц)- Пусть
[§Л обозначает класс эквивалентности, определяемый
элементом gx^Gk. Умножение классов задается
правилом [g*] [g,j = К (ЯьК (£цI для v>%' ^ Это
умножение корректно определено и задает на мно-
множестве G классов [g\] структуру группы.
Примеры. 1) Пусть группа G есть объединение некото-
некоторого множества {Gk\k<sK} своих подгрупп. Положим ki < k2,
если Gki ^ Gki. Пусть i^\ Gki -> Gfe, — вложение. Предположим,
что заданный на Л" порядок оказался направленным. Тогда
группа G изоморфна прямому пределу Пщ Gfe.
J 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 81
В частности, каждая группа есть прямой предел конечно
порожденных подгрупп, группа Q является прямым пределом
своих циклических подгрупп.
2) Рассмотрим возрастающую цепь циклических подгрупп
С(р) <: С(р2) <...<С(р") <... (р простое), в которой вло-
вложения осуществляются по правилу g( i—>g^+l, если С (/?') =
= (g[), i=l, 2, ... Прямой предел С (р°°) = lim С (р1) есть
объединение указанной цепи. Группа С(/?°°) называется квази-
квазициклической р-группой. Она бесконечна, хотя каждая ее соб-
собственная подгруппа — циклическая С(рк), £= 1, 2, ... Муль-
Мультипликативная группа всех комплексных корней из единицы
степеней рк, k— 1, 2 р — простое, изоморфна группе С(р°°).
Мультипликативная группа всех комплексных корней из едини-
единицы произвольных степеней изоморфна прямому произведению
JJ С (pi квазициклических р-групп по всем простым р.
р
Пусть G = limG —прямой предел, отвечающий
прямому спектру S? = {G\ i£, Л}. Отображение ik:
GK-+G, gi>—*- [gx], IgA, является гомоморфизмом.
Полагаем G^^ix(Gx). Отметим некоторые свойства
прямых пределов.
1) G = UG,.
2) Gb^Gp, если A,<(i.
3) Если все i^ — мономорфизмы, то и ^ — моно-
мономорфизмы, поэтому Gl~G}., % е Л.
4) Пусть 2? = {G\ i£, Л} — другой прямой спектр.
Предположим, что существуют гомоморфизмы ср^:
Gl-+Gl, перестановочные в понятном смысле с гомо-
гомоморфизмами i^, i£ (X, ,u е Л). Тогда естественно опре-
определен гомоморфизм ср: lim Gx—> lim G\ гдеф([^])==
3°. Полупрямые произведения и рас-
расширения посредством автоморфизмов.
Пусть в группе G есть нормальная подгруппа N и
подгруппа Н такие, что G = NH, N [\ Н = Е. Тогда G
является расширением N посредством H^G/N. Го-
Говорят, что G — полу прямое произведение (нормаль-
(нормальной) подгруппы /V на подгруппу Н. Используется
одно из следующих обозначений: G = N>~H, G =
= N><iH,G = NZ}H.Прямое произведение G = N~)(
X Н является частным случаем полупрямого произ-
произведения G = iV>- H.
82 ГЛ. П. ГРУППЫ
Говорят, что расширение G нормальной подгруппы
N посредством группы Я расщепляется, если суще-
существует подгруппа Н ^G, изоморфная Я и такая, что
G = N>~ H. В этой ситуации говорят, что нормаль-
нормальная подгруппа N дополняема подгруппой Н.
Пример (теорема Шура — Цассенхауза). Пусть А — нор-
нормальная подгруппа конечной группы G. Если порядок п= \А\
и индекс m = \ G: А | взаимно просты, то А дополняема в G
подгруппой В порядка m и любые два таких «дополнения» со-
сопряжены в G.
В полупрямом произведении G = А/ >■ Н любой эле-
элемент допускает однозначную запись g = nh, n ^ N,
h^H. Умножение выполняется по правилу: п^1^п.2п<=
= n^hxhv «,eJV, h^H, i=\, 2.
Приведенное определение полупрямого произведе-
произведения является внутренним. Для построения полупря-
полупрямого произведения достаточно знать, как элементы
группы Я «сопрягают» элементы нормальной под-
подгруппы N. Если группа G = iV>- H уже построена, то
каждое сопряжение элементом Аей подгруппы АГ
задает автоморфизм а(/г)е Aut N.
Пусть а: Н —>K\iiN — гомоморфизм. Внешнее полу-
полупрямое произведение G = N>-0 Я состоит из множе-
множества пар (п, li), neJV, АеЯ, с умножением по правилу
(яр hx)[nv A2)dif("i(Al)' hA)- ПРИ этом е = (е> е)<
(п, h)~[ = \{п~[) , h~ ). Отображения ср: H—>G,
где ф(А) = (е, к), и а|э: N~>G, где of>(n) = (n, e), яв-
являются вложениями. Отождествляя Н и N с их обра-
образами в G, мы видим, что G = N>~ Я в смысле внут-
внутреннего определения полупрямого произведения.
Важный частный случай полупрямого произведе-
произведения возникает при H^AutN. Группа G = N>~ Ы на-
называется полипрямым расширением N посредством
группы автоморфизмов Н. Группа Hoi N jj^t N >■ Aut .V
называется голоморфом группы N.
Пример. AutZ = ZB), так как Z обладает, кроме тож-
тождественного, только одним автоморфизмом умножения на —1.
Поэтому Hoi Z = Z > Z B).
4°. Сплетения групп. Пусть А, В — произ-
произвольные группы. Пусть А= Ц Аь — прямое, А =
§ !. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП gg
= IT Ab — декартово произведения изоморфных ко-
ь <= в
пий Аь группы А, индексированных элементами
группы В. Сопоставим каждому элементу b0 e В авто-
автоморфизм рЬо е Aut А сдвига индексов в А. Это значит,
чго элемент (аь) группы А переходит при рь в эле-
элемент (аььа). Отображение р: В -*■ Aut А, для которого
рф) = рь, 6еЕб,_дает вложение группы В в группу
Aut Л. Группа А инвариантна относительно любого
автоморфизма pb, b e В, то же отображение р инду-
индуцирует также вложение грудпы В в группу Aut A.
Декартовым сплетением группы А с группой В назы-
называется группа G = А г В ={ А >-р В, прямым сплете-
сплетением— группа G = AaB = A>~pB. Декартово сплете-
сплетение группы А с группой В часто обозначается через
AWvB, а прямое — через AwtB (wreath product).
Ясно, что АгВ^Аг В.
Группа А (соответственно А) называется базисной
подгруппой сплетения АгВ (соответственно А г В).
Диагональю Diag(B, А) сплетения АгВ называется
подгруппа базисной подгруппы А, состоящая из по-
постоянных функций (аь), аь = а, в силу сделанного
в самом начале отождествления Ab~A (J е В). Оче-
Очевидно, что Diag(S, A)c~A.
Если /С<Л, L<S, то К~гЬ<:А7в, К г К, АгВ.
Если АфЕ, то С(Л г В) = Diag(В, C^))<Diag(B, Л)—
подгруппа постоянных функций со значениями в С (А),
в то время как С(ЛгВ)=£, если группа В беско-
бесконечна (в случае | В | < оо имеем АгВ — АгВ). Эпи-
Эпиморфизм _ф: А -> К индуцирует эпиморфизмы ■ф:
АгВ-+Кг В, ^:'АгВ->КгВ (функция (ab) e Л заме-
заменяется на функцию (ф(аь)) ^К). Полный аналог
последнего утверждения с заменой Л на В неверен.
Любое расширение группы Л посредством группы
В вложимо в декартово сплетение G = AzB.
Возьмем конечную цепь длины п
Оо<01<...<0„ (*)
вложенных друг в друга подгрупп группы G. Гово-
Говорят, что цепь (*) возрастает от Go до Gn (убывает от
84 ГЛ. II. ГРУППЫ
Gn до Go). Цепь (*) строго возрастает {убывает),
если каждое включение в ней строгое. Наряду с ко-
конечными цепями подгрупп (*) рассматривают произ-
произвольные возрастающие
G0<G1<G2< ... <G,< ... (**)
и убывающие
G0>G!>G2> ... >G,> ... (***)
цепи групп. Группа G удовлетворяет условию макси-
максимальности для подгрупп (условию max), если любая
строго возрастающая цепь (**) в ней конечна. Такие
группы называются нётеровыми. Необходимым и до-
достаточным условием нётеровости группы является ко-
конечная порожденность всех ее подгрупп. Группа G
удовлетворяет условию минимальности (условию min),
если любая строго убывающая цепь (***) в ней ко-
конечна. Такие группы называют артиновыми. Приве-
Приведенные свойства группы G переносятся на ее под-
подгруппы и эпиморфные образы.
Для произвольного теоретико-группового свойства
естественно определяются условия максимальности и
минимальности для подгрупп, обладающих этим свой-
свойством. Например, так определяются условия maxn и
minn максимальности и минимальности для нормаль-
нормальных подгрупп.
Цепи (*), (**), (***) называются нормальными ря-
рядами, если все их члены Gt нормальны в группе G.
Если выполнено более слабое условие — нормаль-
нормальность Gi в Gi + l для (*), (**) и G; в G(_i для (***), то
ряды (*), (**), (***) называются субнормальными.
Факторгруппы Gi + [/Gi для (*), (**) и Gt/Gi+l для (***)
называются факторами соответствующих рядов.
Подгруппа Я группы G называется субнормальной
глубины п (в обозначениях: И <3reG), если существует
субнормальный ряд (*) от единичной подгруппы
Е = Go до G = G».
Если группа G конечна, то легко построить суб-
субнормальный ряд (*) при некотором п от Е = Go до
G = Gn, факторы которого просты.
Многие важные классы определяются наличием
в группах конечных или бесконечных субнормальных
рядов с теми или иными свойствами. Группа G назы-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 85
вается полициклической, если в ней существует ряд
(*) от Е — Go до G = Gn, все факторы которого —
циклические группы. Если все факторы изоморфны Z,
то G называется поли-Z-группой. В общем случае
группа G, в которой существует субнормальный ряд
(*) от Е = Go до G = Gn, все факторы которого об-
обладают теоретико-групповым свойством сё>, назы-
называется поли-%'-группой.
Группа G называется разрешимой, если в ней су-
существует субнормальный ряд (*) от Е = Go до G =
= Gn, все факторы которого абелевы. Наименьшее
число п, для которого существует указанный ряд на-
называется ступенью разрешимости группы G. В ча-
частности, абелевы группы — это в точности разреши-
разрешимые группы ступени 1. Разрешимые группы ступени
2 часто называют метабелевыми. Группа G назы-
называется сверхразрешимой, если в ней существует нор-
нормальный ряд (*) от Е — Go до G = Gn с цикличе-
циклическими факторами.
Пусть H^.G. Наличие в G цепи (*), (**) или
(**«) позволяет определить соответствующую цепь
в Я, полагая Я< = Н П G,-. Аналогично, для эпиморф-
ного образа K = q>{G) возникают цепи с общим чле-
членом /G = (p(G»). Свойства [суб] нормальности рядов
при таком соответствии сохраняются. Подгруппы и
факторгруппы поли-^-группы G сами будут поли-"<Р-
группаыи, если свойство Ч? переносится, соответствен-
соответственно, на подгруппы и эпиморфные образы.
Два [суб] нормальных ряда (*) называются изо-
изоморфными, если они имеют одинаковую длину и ме-
между их факторами можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие, при котором соответствующие
факторы изоморфны. Ряд, содержащий все члены
другого ряда, называется его уплотнением.
Любые два [суб] нормальных ряда (*) от Е = Go
до G = Gn обладают изоморфными уплотнениями
{теорема Шрайера).
Пример. Конечная группа G обладает, как уже отмеча-
отмечалось, субнормальным рядом (*) от Е = Go до О = Gn, все
факторы которого — простые группы. Любой субнормальный ряд
(*) от Е = Go до G = Gn (без повторений) уплотняется до
ряда с тем же свойством. Поскольку дальнейшее уплотнение без
повторений невозможно, все такие ряды имеют одну и ту же
длину, а факторы представляют одинаковые множества конеч-
конечных простых групп (не обязательно различных).
Пусть xlt х2, ... — элементы группы G. Напомним,
что коммутатором элементов хи х2 называется эле-
элемент [дгр д:2] =х1х2х~1хг1- Простой коммутатор веса
п^З определяется индуктивно по формуле [х{, х2, ...
■ ■■, xn]^[[xi, x2, ..., xn_i], xn]. Специальное сокра-
сокращение [хи пх2] или [хь х2; п] используется для про-
простого коммутатора [хи х2, х2, ..., х2] веса я + 1.
Зафиксируем основные свойства коммутаторов, из-
известные как коммутаторные тождества:
1) {ху, x2]~l = [x2, Xi],
2) [хуХ2, х3] = [х2, x3]Xi [х{, х3] = [х2, х3] [х3, х2, х{] [хи х3]
и [*i, х2х3] = [хи х2][хь x3]X2 = [xi, х2\ [хи х3] [х3, хи х2],
3) [xlt x-l] = ([xr x2p) =[x2, х.Цх^ х2, х-1]
— 1
-1
xv x2]l ) =К- *i]K. ч-
[х-\ xv x3]x'[x-\ x2, Xlf[xT\ x3,
4) [
(тождество Витта).
Замечание. Иногда коммутатор понимают как
[х, у] = х~1у~[ху. Соответственно изменяются все фор-
формулы.
Пусть Xi, Х2, ..., Хп — не элементы, а подмноже-
подмножества группы G. Определим взаимный коммутант Хх
и Х2 формулой
№, Х2] =f <[ху, х2] |хг еХь i=\, 2). ;
Индуктивно полагаем для я
Если Xh Х2 < G, то [Ху, Х2] = [Х2, Ху]. Если Ху ^ G,
J2<G, то [Ху, Х2]^Ху.
Коммутант G' группы G определяется формулой
G'= [G, G]. Продолжив построение, получим второй
GB) = [С, С], третий G<3> = [G<2\ GB>] и т. д. коммутанты.
Введем обозначения: 60G = G, 61G = G/, ..., 6nG =
= G(re), .... Получим ряд коммутантов
G = 60G > e,G > ... > 6nG > ...,
являющийся нормальным. Более того, все члены этого
ряда эндоморфно допустимы в G и все его факторы
абелевы. Группа G разрешима ступени п тогда и
только тогда, когда 6a_iG ф Е, 8nG = Е,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 87
Нормальный ряд '. f-?-
... G,-<GJ + 1 <Gi+2< ■ ■ ■ " '":'.'
называется центральным в G, если Gi+l/Gi^.C(G/Gt)
для любого i. Группа G называется нильпотентной,
если существует центральный ряд конечной длины
от Е = Go до G = Gn- Наименьшее число п для всех
таких рядов называется ступенью нильпотентности
группы G. Нильпотентные группы ступени 1 — это
в точности абелевы группы. Нильпотентные группы
ступени п разрешимы ступени от =s^ п, разрешимые
группы не обязаны быть иильпотентными.
Пусть ZoG^rfE, t,iG^C(G). Если подгруппа C,nG^G
уже построена, полагаем t,n+\G—полный прообраз
C(G/t,nG) относительно естественного гомоморфизма
G-*-G/t,nG. Получим центральный ряд
который называется верхним центральным рядом
группы G.
Пусть Y1G55 G, Y2G|7fG'- Если подгруппа \nG уже
построена, полагаем Yn + iG ^ [Stfi, G]. Получим цент-
центральный ряд
который называется нижним центральным рядом
группы G. Члены нижнего центрального ряда эндо-
морфно допустимы в G.
Группа G нильпотентна ступени / тогда и1' только
тогда, когда t,t-\G=^G, £/G = G или, что равносиль-
равносильно, yiG^E, yt+\G = Е. Таким образом, верхний и
нижний центральные ряды нильпотентной группы
имеют наименьшую длину среди всех центральных
рядов от Е до G.
Любая подгруппа и эндоморфный образ /-сту-
пенно нильпотентной группы также нильпотентная
группа ступени k ^ I.
О свойствах разрешимых и нильпотентных групп
см. § 2.
Пусть W — теоретико групповое свойство. Говорят,
что G — почти-%'-группа, если в G найдется подгруп-
подгруппа конечного индекса, обладающая свойством <8. Осо-
Особенно часто речь идет о почти разрешимых, почти
нильпотентных и почти полициклических группах.
,88 . гл. и. группы. . ,
Верхний центральный ряд можно продолжить
трансфинитным образом, беря в качестве ta+iG пол-
полный прообраз C(G/t,aG) относительно естественного
гомоморфизма G—>-G/EaG, если ординал а непреде-
непределен, и полагая £BG = U t,aG для предельного орди-
нала р. Для произвольного ординала а подгруппа
t,aG называется а.-гиперцентром группы G. Так как
мощность группы G не может быть превышена, най-
найдется ординал X такой, что для всех \i^ X имеем
£p.G = £;a,G. В этом случае подгруппа НС (G) ^ £a,G на-
называется гиперцентром группы G. Группа G назы-
называется гиперцентральной, если G = HC(G)*.
Более общим, чем понятие [суб] нормального ряда
является понятие [суб] нормальной системы. Возрас-
Возрастающей [суб]нормальной системой подгрупп группы
G называется семейство ее подгрупп {Ga|a^ j3}, ин-
индексированное ординалами, меньшими или равными
ординалу C со следующими свойствами:
1) Ga^Gy, если <x<y; 2) Go = £ и G^^G; 3) Ga<]
^Ga+i (в случае нормальной системы Ga^G для
всех а); 4) G^ = (J Ga, если X— предельный ординал.
Свойство 4) обеспечивает замкнутость системы
по объединениям. Факторами системы {Ga|a<;|3}
называются факторгруппы Ga+\/Ga. Ординал р назы-
называется ординальным типом этой системы. Иногда при-
приходится говорить о возрастающей системе, для которой
свойство 2) заменяется на Go = Н и Gp = G. Под-
Подгруппа Н ^ G называется достижимой в G (в симво-
символах: Н j^L G), если существует такая субнормальная
система. Аналог глубины в этом случае — ординал р.
Двойственным образом вводится понятие убываю-
убывающей [суб] нормальной системы, замкнутой по пересе-
пересечениям. Наконец, в общем случае, [суб] нормальной
системой подгрупп группы G называется множество
[суб] нормальных подгрупп Ga^Gt где a — орди-
ординалы, содержащее Go = Е и G$ = G, линейно упоря-
упорядоченное по вложению, замкнутое относительно лю-
любых объединений и пересечений. Вместе с любым эле-
элементом Ga система содержите* т5 П Gx и Ga 5г, и Gv-
Требуется, чтобы Ga^Ga, тогда GtJGa — фактор
системы. Нормальность системы, как обычно, означает,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 89
что все ее члены нормальны в G. Наличие в G сис-
системы с определенными условиями на факторы выде-
выделяет специальные классы групп Куроша — Чернико-
Черникова. Подробнее см. в п. 1.5.
Определим группы подстановок и действия групп.
Пусть Мф0 — произвольное множество. Совокуп-
Совокупность всех взаимно однозначных отображений qp: Af->
->М относительно композиции образует группу
SymmM, которую мы будем называть симметриче-
симметрической группой на множестве М. Произвольный элемент
ф е Symm M называется подстановкой, а произволь-
произвольная подгруппа Н < Symm M — группой подстановок
на множестве М.
Если М—конечное множество из п элементов, то
можно считать, что Af = Nrajj=-{1, 2, ..., п). Группу
Sn |j^ Symm Nre называют симметрической группой
степени п, а любую ее подгруппу — группой подста-
подстановок степени п. Произвольная подстановка ст se Sn
/1 2 ... п
записывается в виде ст = | .,. ,„ч ,
V сгA) стB) . .. а(п
{1,2, . . ., п) = {ст A), стB), . . ., ст(я)}. Правильный по-
порядок первой строки взят для удобства записи. Еди-
Единица в Sn — тождественная подстановка е =
/1 2 ... п\
= 1 I. Обратная к ст подстановка
получается переменой строк (и упорядочением первой
строки путем перестановки столбцов). Порядок груп-
группы Sn равен я!
Подстановка а называется четной, если она может
быть приведена к е после четного числа перемен мест
ее элементов из второй строки. В противном случае
а нечетна. Четность не зависит от выбора упомянутых
перемен. Четность обратной подстановки о~1 совпа-
совпадает с четностью ст. Правила четности для произве-
произведения подстановок: чч = нн =ч, чн = нч = н. Множе-
Множество всех четных подстановок образует нормальную
подгруппу А„ индекса 2 в Sn, порядок которой ра-
равен я!/2.
Цикл — это подстановка, при которой часть сим-
символов циклически перемещается, т. е. Л->/г-»-...
... ->/(-> Л, а остальные остаются на месте. В записи
цикла (/i, /2, ..., It) участвуют только перемещаемые
а-1
90 гл. и. группы , ,
символы, t — длина цикла, его четность (как подста-
подстановки) противоположна четности числа t. Если циклы
не имеют общих действительно переставляемых сим-
символов 1\, 12, ..., It, то они называются независимыми.
Любая подстановка разложима в произведение транс-
транспозиций, т. е. циклов длины 2: a ={h, 12) (/3, h) •••
... {lm, lm+i) (не обязательно независимых). Четность
числа множителей равна четности а. Любая подста-
подстановка однозначно раскладывается в произведение не-
независимых циклов а = (/i, /2, ..., lr) (trii, tn2, ...
..., ms) ... (pi, p2> •••> Pt) ■ Порядок записи нева-
неважен, так как независимые циклы перестановочны
между собой. По множеству чисел {г, s, ..., t} опреде-
определяется порядок \а\, равный н.о. к. {г, s, ..., t}. Две
подстановки <xi, а2 e Sn сопряжены в Sn тогда и толь-
только тогда, когда указанные множества {r,s, ..., t)
для них одинаковы.
Подгруппа А„ называется знакопеременной группой
степени п. Если взять многочлен f (хи х2, ..., хп) =
= П (Х{ — Xi) от коммутирующих переменных
1/<
и применить к его индексам подстановку а, то получим
многочлен/(лг„A),.*:о<2), .... *а<л)) = П (xa(i)—xa(i))
либо совпадающий с f (хь х2, ..., хп), если а четна,
либо отличающийся от него знаком, если о нечетна.
При п^З группа Sn некоммутативна: (A, 2) A, 3) =
= A,2,3) ф A,3) A,2) = A,3,2)). Очевидно, А2=£, А3^СC).
Группа А4 содержит собственную неединичную нормальную под-
группу К={е, A,2) C,4), A, 3) B, 4) A, 4) B, 3)} ~ СB) X СB),
фактор по которой AJK изоморфен СC).
Пример. Вот один из простейших примеров, показываю-
показывающих, что свойство «быть нормальной подгруппой» не транзитив-
но. Подгруппа L= {е, A, 2) C, 4)} ~ СB) нормальна в (абеле-
вой) группе К, но не является нормальной в А4, так как со-
сопряжение элементом A, 2, 3) переводит A, 2) C, 4) в A, 3)Х
ХB, 4)^1.
Начиная сп = 5 все знакопеременные группы А„
просты. Группа Sn обычно вкладывается в Sn+1 ото-
отображением а*-^- а, где a (i) ^0 (/) при i = 1, 2, .. ., п,
а (п -f- 1) = п -f- ]. Объединение S^^LlS^ симметри-
симметрических групп называют группой финитных подстано-
подстановок. Каждый элемент aeSM является подстановкой
множества N, оставляющей на месте почти все сим-
символы п е N. Естественно определяется четность под-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 91
становок из Soo. Все четные постановки составляют
группу А<х> четных финитных подстановок. Группа
А™ проста.
Теорема Кэли: отображение G—>-SymmG, при ко-
котором образ элемента g^G есть подстановка h i—>•
I-J>hg, h^G (правый сдвиг), является вложением.
Итак, любая группа G изоморфна группе подста-
подстановок О ^ Symm G. Если G — конечная группа по-
порядка п, то она вложима в группу Sn.
Рассмотрим теперь произвольную группу подста-
подстановок G^SymmvW. Элементы mi, m^ se M назы-
называются G-эквивалентными, если существует такая
подстановка geG, что g{iri\) = m?.. Легко видеть, что
G-эквивалентность действительно является отноше-
отношением эквивалентности. Любой класс эквивалентности
[m], m se М, называется G-орбитой. Стабилизатор
элемента m в группе подстановок G — это подгруппа
St<J (m) Set (S e G \g{m) = m). Мощность орбиты [m]
равна индексу |G:Stc(m)|. Группа подстановок G
называется транзитивной, если все элементы множе-
множества М G-эквивалентны или, что равносильно, если
в М имеется ровно одна орбита — само М. Группа
подстановок G называется полурегулярной, если
Sto {m) = E для любого m se M. Если G к тому же
еще и транзитивна, то она называется регулярной
группой подстановок.
Легко видеть, что образ группы G в группе
Symm G, определенный описанным выше вложением,
является регулярной группой подстановок.
Транзитивная абелева группа подстановок A =s^
^ Symm M регулярна.
До сих пор мы рассматривали подгруппы симмет-
симметрической группы Symm M. Перейдем теперь к их про-
прообразам относительно гомоморфизмов.
Гомоморфизм p.: G->SymmM группы G в сим-
симметрическую группу называется подстановочным пред-
представлением группы G. Мощность \М\ именуется сте-
степенью представления \i. Представление называется
точным, если оно является вложением.
Пусть G — группа, М — непустое множество. Пра-
Правым действием G на М называется отображение р:
My^G-^M, (m, g)>—>mg, для которого me = m,
mgig2 — (mgl)g2 при всех meM, g{, g2^G. Анало-
Аналогично, левое действие G на М — это отображение
92 гл. п. группы
X: G~X.M -*■ М, (g,m)t~^gm, для которого ет = т,
gig2m = gi {gm), m(=M, gu g2 <= G. От одного легко
перейти к другому, полагая gm = mg~[, m e M, g e G.
В дальнейшем мы говорим о правом действии.
Любое представление определяет действие и на-
наоборот.
Элементу g e G отвечает подстановка (%: т>—> mg,
т^М. Получаем гомоморфизм р,: G->Symm M,
gi—> [ig. Наоборот, по гомоморфизму fi: G->SymmM,
g*-*-\i{g), определяем действие формулой тё7^с
= \i(g~[) (m).
Представление (действие) (i транзитивно [ [по-
[полу] регулярно], если группа подстановок \i(G) тран-
зитивна [ [полу] регулярна]. Стабилизатором эле-
элемента me M в произвольной группе G называется
подгруппа SiG(m)^=l{g(=G\\i{g)m = mg = m}. Ор-
Орбиту [т] обозначают также mG. Мощность \mG\
совпадает с индексом | G : StG (m) |.
Приведем два чаще всего встречающихся типа
представлений произвольной группы G.
Сопряжение. Пусть М — некоторая совокуп-
совокупность подмножеств группы G, замкнутая относитель-
относительно сопряжений элементами из G. Для всякого geG
определим отображение ag: M-+M, где аё(т) = тв~~ ,
являющееся действием. В этом случае Sto(m) =
==Лго(т); при этом заметим, что о мощности |mG|
уже говорилось на с. 71. Группа G действует сопря-
сопряжением на множестве своих подгрупп, элементов, под-
подгрупп [элементов] какой-либо нормальной подгруп-
подгруппы и т. д.
Правые сдвиги. Пусть М — некоторая сово-
совокупность подмножеств группы G, замкнутая относи-
относительно правых сдвигов на элементы из G. Для вся-
всякого g^G определим отображение pg: M-*~M, где
Pg(m)— mg, являющееся действием G на М. Если М
состоит из элементов группы G, то действие регу-
регулярно и соответствует вложению, указанному в тео-
теореме Кэли. Можно взять в качестве М множество
всех правых смежных классов Hg группы G по под-
подгруппе Н.
Мы видели только что возможность индуцирования
действия группы G на подмножество Af Е М, если N
G-допустимо, т. е. из я е N, g e G следует ng e N.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 93
Пусть А и В — группы подстановок на множе-
множествах М и N соответственно. Определим группу под-
подстановок G множества P = M\N, которая называется
подстановочным сплетением групп А я В. Абстракт-
Абстрактно эта группа G выглядит как полупрямое произведе-
произведение базисной группы Л = ЦЛ„—прямого произведе-
произведения групп An, n^N, изоморфных А, на группу В,
элементы которой действуют на А как подстановки
индексов.
Если а^А, b e В, n^N, то подстановки а(п)^
е Ап и b множества Р задаются формулами
а(п): (т, л) t-> (me, n), {m, n')t-^(m, n'), если пфп',
b: (m, п)н-* (т, nb).
При исследовании достаточно сложно устроенного
объекта мы обращаем внимание на его фрагменты,
а затем составляем по ним целостную картину. Фраг-
Фрагменты группы — это прежде всего ее подгруппы и
эпиморфные образы. Упрощая, ограничимся конечно
порожденными подгруппами и конечными эпиморф-
ными образами.
Пусть ?? — некоторое теоретико-групповое свой-
свойство. Группа G называется локально-^?-группой, если
любая конечно порожденная подгруппа Н ^ G обла-
обладает свойством <g7. Важными классами в теории групп
являются возникающие таким способом локально ко-
конечные, локально разрешимые, локально нильпотент-
ные группы.
Любая локально конечная группа является перио-
периодической. Обратное неверно. Существуют бесконеч-
бесконечные конечно порожденные периодические группы (см.
п. 1.5); при нечетном п ^ 665 существуют бесконечные
конечно порожденные группы периода п (см. тео-
теорему Новикова — Адяна). Подробнее о свойствах ло-
локально конечных и периодических групп см. в п. 1.5.
Теоретико-групповое свойство W называется ло-
локальным, если любая группа G, являющаяся ло-
кально-'ё'-группой, является ^-группой. Например,
коммутативность — локальное свойство, а конеч-
конечность — нет.
Для локальности свойства "W достаточно, чтобы ^
записывалось так называемыми квазиуниверсальными
формулами исчисления предикатов (детальнее см.,
например, [17]).
94 гл. п. группы
Пусть ф: G->/C — эпиморфизм групп. Многие важ-
важные свойства элементов, подгрупп, подмножеств груп-
группы G присущи также их образам в /С. Например,
если порядок элемента g e G делит п, то и порядок
его образа q>(g)^K делит п; если элементы g, f e G
перестановочны, то их образы ф(£), ф(/)е/С пере-
перестановочны. Эпиморфизмы сохраняют также сопря-
сопряженность, возможность извлечь из элемента какой-
либо корень и многое другое. Эпиморфизмы могут
нарушать различия и изменять размеры. Разные эле-
элементы могут отобразиться в один, бесконечная под-
подгруппа в конечную и т. п. Основная идея изучения
группы методом ее аппроксимации состоит в рассмот-
рассмотрении достаточно большого множества ее эпиморф-
ных образов, позволяющих восстанавливать наличие
(или отсутствие) в группе того или иного свойства.
При определении аппроксимируемости рассматри-1
вается сохраняющееся при эпиморфизмах свойство "g7
и класс групп Ж, могущих служить эпиморфными
образами при аппроксимации данной группы. Гово-
Говорят, что группа G аппроксимируется относительно
свойства *& классом групп Ж, если нарушение W в G
ее элементами (подгруппами, подмножествами) вле-
влечет нарушение W их образами при некотором эпимор-
эпиморфизме, ф: G-+K, /(g j. Обычно ф— это некоторый-
предикат. Приведем наиболее важные примеры.
Группа G называется финитно аппроксимируемой
(ФА-груПпой), если для любого элемента е ф g e G
найдется эпиморфизм фг: G-*■ К на конечную группу;
при котором (figigfj^e. Условие ФА равносильно
тому, что пересечение M(G) всех нормальных под-
подгрупп конечных индексов группы G равно единичной
подгруппе Е. По теореме Ремака факторгруппа
G/M(G) вложена в декартово произведениеЦО/ЛГя,,
где {N^}—семейство всех нормальных подгрупп ко-
конечных индексов группы G. ФА-группа G вложена
в декартово произведение конечных групп. Верно и
обратное, любая подгруппа декартова произведения
конечных групп есть ФА-группа.
Свойство ФА переносится на подгруппы и конеч-
конечные расширения. Прямое сплетение АгВ ФА-групп
А и В является ФА-группой тогда и только тогда,
когда либо группа А абелева, либо группа Я конечна.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 95
Группа G называется финитно аппроксимируемой
относительно сопряженности (Ф КС-группой), если
для любой пары не сопряженных между собой эле-
элементов gij g2 e G найдется эпиморфизм ф : G-*K
на конечную группу, при котором образы q>(gi),
(£) не сопряжены в К.
Свойство ФАС не переносится на подгруппы и
конечные расширения.
Группа G называется финитно аппроксимируемой
относительно вхождения в [конечно порожденные]
подгруппы (ФАВ- [ФАВК. п.-группой]), если для лю-
любой [конечно порожденной] подгруппы fl<G и лю-
любого элемента цфН найдется эпиморфизм ф^: G-+K
на конечную группу, при котором q>g(g)%£ q>(H)^. К.
Рассматривают также аппроксимируемость беско-
бесконечными группами, чаще — нильпотентными без кру-
кручения и свободными.
Очень важна связь между аппроксимируемостью
и разрешимостью в группе алгоритмических проблем
(см. п. 4.4).
Рассмотрим группы с операторами. Пусть G —
группа, в — некоторое множество, каждому элементу
0 которого сопоставлен эндоморфизм группы G с тем
же обозначением. Множество в называется областью
операторов, а группа G — группой с операторами или
Q-группой. Подгруппа Н г£Г G называется 0-допусти-
мой или В-подгруппой, если для любых элементов
АеЯ.беб имеем В (h) e Я.
Примеры. 1) Любая группа G — группа с пустым мно-
множеством операторов. 2) 0-подгруппами группы G при в =
= End G являются эндоморфно допустимые, при в = Aut G —
автоморфно допустимые, при в = Inn G — нормальные под-
подгруппы. 3) Модуль А над кольцом К можно рассматривать как
/(-операторную абелеву группу, так как умножение (справа) на
элемент k e К определяет эндоморфизм А.
Гомоморфизм @-групп ф: 0->Я кроме обычных
свойств должен удовлетворять равенствам ф(в(§г)) =
— 0(ф(£Г)) для всех g^G, 8g6. Очевидным обра-
образом вводятся остальные «морфизмы». Факторгруппа
G/N в-группы G по в-допустимой подгруппе Af сама
является в-группой (Q(Ng) =f NQ{g)). [Суб] нормаль-
нормальный ряд или система в-группы G определяется как
и раньше, только все подгруппы должны быть
в-допустимыми (тогда существуют в-факторы).
96 гл. п. группы
Неединичная в-группа G называется @-простой, если
в ней нет неединичных собственных в-подгрупп.
Имеет место полный аналог теоремы Шрайера.
Неединичная в-подгруппа Я ^ G называется
Q-прямым множителем G, если существует такая не-
неединичная в-подгруппа К ^ G, что G = Н X К.
в-группа G называется прямо неразложимой, если
ее нельзя представить указанным способом в виде
прямого произведения неединичных в-подгрупп. Если
на в-группе G выполнены условия максимальности и
минимальности для в-прямых множителей (они рав-
равносильны), то существует разложение
в прямое произведение прямо неразложимых 0-под-
групп.
Пусть G есть в-группа, в которой выполнены ус-
условия максимальности и минимальности для нормаль-
нормальных в-подгрупп. Если
g^h{xh2x ... хнг=к1хк2х ... xks
—два разложения в прямое произведение прямо не-
неразложимых в-групп, то /• = s и существует в-авто-
морфизм а группы G, индуцирующий тождественный
автоморфизм на факторгруппе G/C(G) (такие авто-
автоморфизмы называются центральными), что после под-
подходящей перенумерации а(Я,-) = Д"» и G = К.\ X
Х#2Х ... XKiXHi+yX ... ХНГ Для всех 1=1,
2, ..., г (теорема Крулля—Ремака—Шмидта).
1.2. Свободные группы. Множество X порождаю-
порождающих элементов группы F называется свободным мно-
множеством или базисом, если любое отображение X в
произвольную группу G продолжается до гомомор-
гомоморфизма F в G. Группа, обладающая множеством сво-
свободных порождающих, называется свободной.
Свободную группу часто обозначают буквой F,
а. если необходимо указать множество свободных по-
порождающих X, то пишут F(X) и говорят, что F — сво-
свободная группа над X.
Для любого множества X существует свободная
группа F{X). Свободные группы F(X), F{Y) изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда существует
взаимно однозначное соответствие между множе-
множествами X и У.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 97
Мы видим, что свободная группа F(X) полностью
и однозначно определяется мощностью и множества
X. Поэтому она обозначается также символом FK*
Мощность х называется рангом свободной группы Fn.
Удобно считать, что Fq = Е. Легко видеть, что
F\ ~ Z. Все остальные свободные группы FK, х ^ 2,
некоммутативны.
Произвольная группа G, порожденная множеством
Y мощности I, будет эпиморфным образом любой
свободной группы Fn, если х ^ i. Отсюда следует,
что любая группа G представима (неоднозначно) как
факторгруппа G = F/N любой свободной группы до-
достаточно большого ранга.
Элемент sgF(Z) записывается как слово v =
= xB.lxe.2 ... хг-п, х- е! е. = ±1, в алфавите X. Счи-
11 г2 1п '/ '
таем, что пустое слово записывает единицу. Слова
v, w называются графически равными, что обозна-
обозначается v3Ew, если они идентичны в своей записи.
Очевидным образом вводятся понятия подслова (без
пропусков букв), длины слова и т. д.
Операции вставки и вычеркивания подслов вида
хех-в, х е X, е = ±1, не меняют элемента, записы-
записываемого словом. Слова v, w называются эквивалент-
эквивалентными, если одно из них получается из другого после-
последовательным применением конечного числа операций
указанного вида.
В любой группе G, порожденной множеством X,
эквивалентные слова в алфавите X записывают рав-
равные элементы. В свободной группе F(X) неэквива-
неэквивалентные слова в алфавите X записывают разные эле-
элементы. Можно считать, что свободная группа F{X)
состоит из классов эквивалентности [v] слов в алфа-
алфавите X относительно умножения [и] [v] jg [uv], где uv
обозначает слово, полученное приписыванием слова v
справа к слову и.
Слово v в алфавите X называется несократимым,
если v не содержит подслов вида хгх~Л, х<=Х, е =
= ±1. Используя только операцию вычеркивания
подслов хех~е, ^gI, e = ±li можно провести к не-
несократимому виду любое слово v. Значит, любое сло-
слово v эквивалентно несократимому слову.
Любой класс эквивалентности [v] содержит толь-
только одно несократимое слово. Элементами свободной
98 гл. п. группы
группы F{X) можно считать несократимые слова
в алфавите X относительно операции умножения
.vw^f(vw)', где штрих означает переход от слова vw
к эквивалентному ему несократимому слову. При та-
таком подходе можно говорить о длине элемента сво-
свободной группы F{X) относительно базиса X, имея
в виду длину записи этого элемента в виде несокра-
несократимого слова в алфавите X. Если v~jLx&1 ... хе,п —
несократимое слово, то через v~l обозначим слово
х~г"- . . . х~е\ записывающее обратный к v элемент.
ln 'l
Обычно не вдаются в подробности и говорят о сло-
словах в алфавите X как об элементах свободной группы
F(X), и наоборот.
Группа F, порожденная множеством X, является
свободной группой над X в том и только том случае,
если различные несократимые слова в алфавите X
записывают в F разные элементы.
Примеры. 1) Представление Санова группы Fz- Группа
матриц G(m), порожденная множеством -X" = ■! ( V
A msN) при /п^2 свободна иад X. Группа Gil)
m 1/ | У
несвободна. 2) Представление Магнуса группы Fn. Пусть К =
= Z[[Y]] — кольцо- формальных степенных рядов с целыми коэф-
коэффициентами от некоммутирующих переменных множества У
мощности х. Подгруппа F{X) ^ К* мультипликативной группы
кольца К, порожденная множеством элементов Х = {^а=1 +
+ Уа I Уа ^ У}, свободна над X.
Несократимое слово v^lx^x^2 . . . х*п, xi eI, e; =
= ±1, называется циклически несократимым, если
либо i\=£in, либо ei = е„. Любое несократимое слово
w однозначно представимо в виде wZ°Luw'u~x, где ш'
уже циклич-ески несократимо. В свободной группе
F{X) любое слово сопряжено с циклически несо-
несократимым словом. В свою очередь, все циклически
несократимые слова, сопряженные с данным цикли-
циклически несократимым словом v IE хе;1хе.г .. . хе,п, х, е X,
е. = ±1, в свободной группе F(X) исчерпываются
циклическими перестановками слова о: vt^lv,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 99
Отметим некоторые элементарные свойства сво-
свободных групп.
1) Свободные группы не имеют кручения.
2) Пусть v — несократимое слово, записанное
в виде v -2-tiv'u~l, где v' — циклически несократимо.
Корень k-й степени (k ge N) из элемента v в группе
F(X) единственен существует тогда и только тогда,
когда слово о' графически равно произведению
ww ... w (k раз). Корень имеет вид vkl>luwu~l.
В частности, из любого элемента v можно извлечь ко-
корень максимальной степени vmax.
3) Централизатор любого элемента v ф- е свобод-
свободной группы F есть бесконечная циклическая группа
(Ошах). Элементы и, oGf перестановочны тогда и
только тогда, когда они принадлежат одной цикли-
циклической подгруппе. Центр группы FK при и ^ 2 равен
единичной подгруппе Е.
Любая подгруппа произвольной свободной груп-
группы сама свободна (теорема Нильсена — Шрайера).
Пусть Я—подгруппа "свободной группы F{X). Си-
Система Т представителей правых смежных классов
F(X) по Я называется шрайеровой, если «еГи лю-
любое начальное подслово несократимого слова оеГ
также принадлежит Т. Для любой подгруппы Я про-
произвольной свободной группы F(X) существует шрайе-
рова система представителей Т. В п. 1.1 построено
множество порождающих элементов S(T,X) под-
подгруппы Я. Базисом подгруппы Я как свободной груп-
группы может быть выбрано подмножество S(T, X)oS
sS(r, X), состоящее из всех неединичных элементов.
Пусть х—'ранг группы F{X), j — индекс неединич-
неединичной подгруппы H^.F(X), i — ранг Я как свободной
группы. Имеет место формула: (%—l)/=i—1.
Приведем теперь некоторые сведения о базисе ко-
конечно порожденной подгруппы H?£ZF(X), заданной
своими порождающими элементами. Пусть \w\x—•
длина слова w в алфавите X.
Для слова четной длины естественно определяются
его левая и правая половины. Пусть w-2-tiv, где и —
слово наименьшей возможной длины такой, что
| и \х > у I w \х. Слово и называется старшим началом
слова w. Аналогично определяется понятие старшего
конца слова w. Подмножество W — {wi,w2, ..., wn)
100 гл. п. группы
непустых несократимых слов в алфавите X назы-
называется нильсеновым, если выполнены условия: i) стар-
старшее начало и старший конец любого слова шц не
является, соответственно, началом или концом ни од-
одного из слов xifj, j ¥= i, e = ±1, 2) левая половина лю-
любого слова Wi не является началом ни одного из слов
да?, j =^= it е = ± 1. Любое нильсеново множество слов
W составляет базис порожденной им подгруппы Я =
W
Если V—бесконечное множество'слов в группе
F(X), каждое конечное подмножество которого ниль-
нильсеново, то V составляет базис порожденной им под-
подгруппы Я = V
Пример. В свободной группе Fz(X), где X— {х\, х?),
множество элементов V = {х^х^х^1 т е Zj составляет базис
подгруппы Н — (V) ~ Fq .
Отметим в этой связи, что локально свободная группа не
обязана быть свободной. Пример тому — группа Q, в которой
любая конечно порожденная подгруппа — циклическая бесконеч-
бесконечного порядка.
Следующие преобразования упорядоченного на-
набора W = {wi,Wi, ..., wn} элементов свободной груп-
группы F(X) называется нильсеновыми: 1) перестановка
элементов, 2) замена wt на wr1, 3) замена w-t на
тлю*, i=f=\, е=±1, 4) замена w{ на ufiw., i=/=j, e =
= ±1.
Нильсеиовы преобразования не изменяют подгруп-
подгруппы, порожденной множеством W. Произвольный набор
W можно перевести конечной последовательностью
нильсеновых преобразований, не увеличивающих на
каждом шаге суммарную длину слов, в набор
W = {w[, w'2, . .., w'k, 1, 1, . .., 1}, где WH — {w\,
w'2, . . ., w'^ — нильсеново множество. Отсюда следует,
ЧТо Я = <\F> = (Wh), причем Wh—базис Я. Пере-
Переход от If к Wh осуществляется алгоритмически с по-
помощью обычного перебора.
Свободная группа Fn, л е N, не может порождать-
порождаться менее чем п элементами. Любое множество из п
элементов, порождающее Fn, является ее базисом.
Группа Р называется проективной, если для лю-
любых групп G и Я, любых эпиморфизма <р: G ~> Н и
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 101
гомоморфизма *ф: Р-+Н существует гомоморфизм
%: Р ~> G, делающий коммутативной диаграмму
Любая свободная группа F(X) проективна. Верно
и обратное, любая проективная группа свободна.
Подгруппа Я группы G называется ее ретрактом,
если существует эпиморфизм a: G -*- Я, тождествен-
тождественный на Я (это равносильно существованию полупря-
полупрямого разложения G=N>~H). Все ретракты свобод-
свободной группы Fn, neN, допускают следующее описа-
описание: если R ^ Fn — ретракт, то найдется множество
свободных порождающих X —{xi, х2, ..., хп} группы
Fn и элементы видаг1 = х1и1, г2 = х2«2. •••. rk = xkuk,
Ui^((xk+l, ...,xn)), свободно порождающие R.
Простейший случай: г\ = хи г2 = х2, ..., rk = xk, т. е.
R— свободный множитель Fn (см. п. 1.3). Не все
ретракты групп Fn их свободные множители.
Любая конечно порожденная подгруппа Я свобод-
свободной группы F является свободным множителем неко-
некоторой подгруппы G ^ F конечного индекса (теорема
М. Холла).
Любая свободная группа F обладает свойством
Хаусона: пересечение ее конечно порожденных под-
подгрупп конечно порождено. Если Fm, Fn^F—под-
Fn^F—подгруппы конечных рангов свободной группы и Fr=
= Fm(\Fn, то г—1 г^2(т—1)(я—1) —min{m—1,
п—1}. Более того, если Fm, Fn допускают вложения
в подгруппы Л, В < F в качестве подгрупп конечных
индексов г, / соответственно, то г— 1 ^ 2(/тг— 1) (п —
— 1)—min{/(m—1), i(n—1)}. Если пересечение Fr
имеет конечный индекс в одной из пересекаемых под-
подгрупп, скажем, в Fm, тф\, то \Fm: Fr\<2(n—1).
В частности, при п = 2 имеем Fm ^ Fn. Кроме того, из
конечности индексов \Fm:Fr\, \Fn:Fr\ следует ко-
конечность индекса \(Fm, Fn) : Fr\ (Burns R. G., Im-
r i с h W., S e r v a 11 u s B.//Can." Math. Bull. — 1986. —
У. 29, N 2. — P. 204—207).
102 гл. п. группы
Неединичная нормальная подгруппа N свободной
группы Fn, n e N, конечно порождена тогда и только
тогда, когда индекс \Fn: N\ конечен.
Свободные группы аппроксимируются относитель-
относительно сопряженности классом конечных р-групп для лю-
любого простого числа р. Свободные группы финитно
аппроксимируемы относительно вхождения в конечно
порожденные подгруппы. Заметим, что последним
свойством не обладает прямой квадрат F2~X,F2.
Пересечение всех членов нижнего центрального
оо
ряда j~| ynF свободной группы F равно Е. Тем более
верно, что пересечение всех членов ряда коммутантов
оо
[\ 8nF равно Е. Все факторы yiF/yi+\F (ieN),
8)F/8)+iF (/= 0, 1, ...)—свободные абелевы группы
(см. п. 1.4). Если ранг группы F конечен, то факторы
4iF/yi+\F (ieN) также имеют конечные ранги, од-
однако, в этом случае лишь фактор SoF/diF = F/F' среди
факторов ряда коммутантов имеет конечный ранг.
Группа .Fob обладает автоморфио, но не эндо-
морфно допустимыми подгруппами. Гаковы, напри-
например, наименьшие автоморфно допустимые подгруппы
группы F(X), X = {xi,x2, ■■■}, содержащие элемент
v = [x\, (х\)х\ {хХ)х%} (см. [47]) или элемент w = x\x\
(Клейман Ю. Г.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1983.— Т. 47, № 1. —С. 37—74).
Пусть G — конечно порожденная группа с задан-
заданным (конечным) множеством порождающих элемен-
элементов Х = {хи х2, .... хп}. Функцией роста группы G
относительно X называется функция у: N-»-N, сопо-
сопоставляющая числу «eN число всех различных эле-
элементов группы G, записываемых (несократимыми)
словами в алфавите X длины не больше п. Пусть
у_и(п)—число всех несократимых слов в алфавите X
длины не больше п. Очевидно, что в любом случае
у(п) ^yi{n) для всех neN. Как уже отмечалось,
у = ун в том и только в том случае, если X—базис
(свободной) группы F.
На множестве функций роста вводится отношение
предпорядка <: у\ <у2 тогда и только тогда, когда
найдется ^eN такое, что у\{п)^ У2(яп) для всех
neN. Полагаем у\ ~ у2, если 71^ Y2 и "V2 ^Yi- Класс
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ЮЗ
эквивалентности [у], содержащий функцию роста у
группы G, не зависит от выбора множества поррж-
дающих X и называется степенью роста группы G.
Функция уп(п) эквивалентна показательной функ-
функции, для определенности 2". Более того, если группа G
содержит свободную подгруппу F2 (а значит, и Раа),
то ее функция роста также эквивалентна 2". Функция
роста любой конечно порожденной нильпотентной
группы эквивалентна какой-либо степенной функции
nk(k^N). Известно, что почти разрешимая группа
G имеет степенной рост (в понятном смысле) тогда
и только тогда, когда она почти нильпотентна. В про-
противном случае G имеет показательный рост. Класс
групп, каждую из которых можно получить из конеч-
конечных и абелевых групп последовательностью операций
взятия подгрупп, эпиморфных образов, расширений
и прямых пределов, называют классом элементарных
групп. Для него также справедливо высказанное
выше утверждение: либо элементарная группа G почти
нильпотентна, и тогда у нее степенной рост, либо —
нет, и тогда рост показательный.
Для любого простого числа р существует конти-
континуум неизоморфных 2-порожденных р-групп, функции
роста которых не эквивалентны ни степенной, ни по-
показательным функциям. Существуют группы без кру-
кручения с тем же свойством. (Г р и горчу к Р. И.//Ал-
гебра и логика.—1984.— Т. 23, № 4. — С. 383—394;
Мат. сб.—3985.— Т. 126, № 2. — С. 194—214).
Интересна связь между наличием в группе сво-
свободной подгруппы, функцией роста группы G и воз-
возможностью определить в пространстве всех ограни-
ограниченных функций над группой G инвариантное среднее
(см. [14]). Группа G называется аменабельной, если
такая возможность реализуема. Все элементарные
группы (в том числе, все локально разрешимые груп-
группы) аменабельны, Существование неэлементарных
аменабельных групп вытекает из цитированного выше
результата Григорчука. Все группы непоказательного
роста аменабельны. Конечно порожденные периоди-
периодические группы не элементарны.
Отметим также, что достаточным признаком не-
неаменабельности группы G является наличие в ней
подгруппы F2. Этот признак не является необходи-
необходимым: группы из теоремы Ольшанского (см. 150)
104 гл. и. группы
аменабельны и; очевидно, не содержат F2 (Ольшан-
(Ольшанский А. Ю.//Успехи мат. наук.— 1980. — Т. 35,
№ 4.— С. 199—200); то же самое верно относительно
свободных бернсайдовых групп Вт (п), где т ^ 2, п
нечетно и я ^ 665 (Ад ян С. И.//Изв. АН СССР.
Сер. мат.—1982. —Т. 46, № 6. —С. 1139—1149).
Говорят, что для группы G имеет место альтерна-
альтернатива Титса, если любая конечно порожденная под-
подгруппа Н в G либо почти разрешима, либо содержит
F2. Всякая матричная группа над полем обладает
более сильным свойством. Она либо есть расширение
разрешимой группы посредством матричной периоди-
периодической группы, либо содержит подгруппу Fz. Для ко-
конечно порожденной матричной группы G или в слу-
случае, если поле имеет характеристику нуль, заключе-
заключение эквивалентно приведенному ранее (см. [40]).
Группа G называется делимой (раньше чаще гово-
говорили «полной»), если для любого элемента g e G,
любого числа heN существует элемент f e G такой,
что \п = g (f—«корень п-тл степени из элемента g»).
R-группой называется группа с однозначным извле-
извлечением корней (если f1 = f1, neN, то fi = f2). Дели-
Делимая ^-группа именуется D-группой. Свободные груп-
группы, иильпотентные группы без кручения являются
/^-группами. Известно, что любую группу G можно
вложить в делимую группу G. При этом, если G пе-
периодична, локально нильпотентна или разрешима сту-
ступени I, то G можно выбрать соответственна периодич-
периодичной, локально нильпотентной или разрешимой ступени
I группой.
Любая свободная группа F вложима в делимую
группу F , построение которой можно осуществить
вполне определенным образом. При этом FQ оказы-
оказывается минимальной среди делимых групп, содержа-
содержащих F (Lyndon R.//Trans. Amer. Math. Soc— I960.—
V. 96, N3. —P. 518—533).
Аналогичное утверждение верно, если заменить F
на нильпотентную группу без кручения или метабе-
леву /?-группу G. Группа GQ в этом случае также ниль-
нильпотентна (той же ступени) или метабелева (см.
[47]).
Можно определить общее понятие группы G над
кольцом К с 1, потребовав, чтобы для каждого k^K
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 105
отображение g<—> gk отвечало условиям:
g, AseG, k, ku k2^K.
Относительно такого подхода и конструктивных
построений FK см. упомянутую выше работу Линдона.
Относительно основных определений и свойств,
касающихся групповых колец ZG и гр}дшовых алгебр
PG см. п. III. 2.3. Дифференцированием в групповом
кольце ZG называется любое отображение D: ZG -*•
-»-ZG, удовлетворяющее условиям:
D(r, + r2) = D{r,) + D(r2), D(r,r2) = D(r1)e(r2) + r{D(r2),
где е — гомоморфизм тривиализации. Подчеркнем, что
это определение отлично от стандартного дифферен-
дифференцирования в кольце из п. III 5.5. Дифференцирование
D достаточно определить на группе G, а затем про-
продолжить на ZG по линейности. Сумма дифференциро-
дифференцирований снова дифференцирование. Если D — дифферен-
дифференцирование, ro^ZG, то определимо дифференцирова-
дифференцирование Dr0: r^-^D(r)ro. Заметим, что для любого
дифференцирования D выполнены свойства: D A) = О,
D (£-') = - g-'D(g), D (gn)=i^D(g), если 1 Фё^в,
n<=Z, где 8£~* = g"-1 + gn~2 + .. . + 1 при п > О,
~Г- -ё'1 ~ё~2- ■ ■ ■ ~ёЛ при п<0.
Пусть F— свободная группа над X. Всякому х,^ X
соответствует единственное дифференцирование Dt =
в кольце ZF, называемое (частным) диффе-
диффе^
ренцированием Фокса по Xi, такое, что
dxk f I, если k = i,
дх{ 10, если k Ф i.
Для любых элементов г\, г2, ... е ZF найдется
одно и только одно дифференцирование в кольце ZF,
что D{xk) = rk, k=l, 2, ... Более того, для любого
reZF имеем D (г) = / -^— гг. Дифференцированием
является отображение г*—*г—e(r), reZf.
106 гл. и. группы
Основной формулой дифференцирования называют
равенство
Если г = f^F, то получаем f — 1 = 7, "Т^** — ■')•
г"
Если элемент f = f(hu h2, ..., hn)^F записан как
слово от hu h2, .,.,Anef, то для любого -дифферен-
-дифференцирования D имеем равенство D (f) = ^ -~ D (ht).
Важным является следующее обобщение. Пусть
N<^F, ф: F-+F/N—естественный гомоморфизм, оп-
определяющий гомоморфизм колец ф: ZF-^-ZF/N с тем
же обозначением. Будем рассматривать композиции
/)ф для дифференцирований кольца ZF, получая зна-
значения в ZF/N. Ограничимся частными дифференци-
дифференцированиями. Получающееся отображение (-=—J ==
= ~я— Ф: Z-f -> ZF/N назовем частным дифференцирова-
дифференцированием со значениями в ZF/N. При этом остаются спра-
справедливыми аналоги приведенных выше формул.
Все значения (-~—j элемента f e F равны нулю
в том и только том случае, если f e N'. Элемент
fef принадлежит N тогда и только тогда, когда
Эти утверждения позволяют рассматривать Г——)
V axi /ф
как частные дифференцирования группы F/N' или
кольца ZF/N' со значениями в кольце ZF/N. Они иг-
играют важную роль при исследовании групп типа
F/N'.
Любую абелеву нормальную подгруппу А группы
G можно превратить в (левый) модуль над кольцом
ZG, полагая
Можно также рассматривать А как модуль над коль-
кольцом ZG/A, переходя от элементов g e G к их обра-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 107
зам в G/A (действие определяется как ga = аг, где
g — прообраз g в G, и не зависит от выбора g).
В частности, если N ^F, то N = N/N' — модуль
над кольцом ZF/N, который называется модулем со-
соотношений.
Пусть F/N нециклична, тогда для любого элемента
От^гЕ ZF/N найдется элемент а е N с условием
аг=£0 (см. [47]).
В частности, центр группы F/N' лежит в N/N'.
Пусть G— произвольная группа, g — фундамен-
фундаментальный идеал кольца ZG. Подгруппа D£G jrfGf|(l +
+ 91). г е N, называется i-й размерной подгруппой
группы G. Легко показать, что ytG ^ DtG для любого
ieN.
Для свободной группы F имеем ytF = D,\F при
любом i е N. Справедливо более общее утверждение:
если факторы нижнего центрального ряда группы
G — группы без кручения, то D,G = y,G при любом
ieN.
Для любой группы G имеем yxG = D\G, y2G =
= D2G; если G является р-группой (простое р^З),
то y3G = D3G. Существует 2-группа G, для которой
| D4G/74G | = 2. Пока нет примеров групп G, для ко-
которых один из факторов DnG/ynG содержал бы не-
нетривиальный элемент нечетного порядка.
Пусть 6т = н. о. к. {1, 2, ..., т}. Пусть сх = с2= 1
п-2 fn-2\
исл = П 4 * Для л^З. Тогда для любой группы G,
любого neN, период группы DnG/ynG делит crf. В ча-
частности, если G является р-группой (р — простое), то
DnG = ynG при п ^ р + 1 (теорема Сёгрена).
См. [87].
Пусть L — кольцо Ли, порожденное в кольце ZG
множеством элементов {g—l|geG}, L2' (ieN) —
его лиева степень. Пусть 11 = 1(Ь1) — идеал, порож-
порожденный в ZG кольцом Ь. Подгруппа LDfi ^ G П A + ')
называется i-й лиевой размерной подгруппой группы
G. При любом i имеем y,G ^LD,G ^D G. Для лю-
любой группы G, любого i ^ 6 имеем ytG = LDiG. Во-
Вопрос о совпадении y,,G = LD,G для всех ieN пока
открыт.
1.3. Задания и конструкции групп. Пусть G — про-
произвольная группа, X — множество порождающих ее
108 > ' гл. и. группы
элементов. Соотношением группы G относительно X
называется равенство v = 1, где v — любое слово
в алфавите X, записывающее единицу группы G. До-
Допустимо называть соотношением также равенство
и = v, где и, v — слова в алфавите X, записываю-
записывающие одинаковые элементы группы G. Ясно, что в этом
случае мы имеем дело с соотношением uv~l = 1.
Левые части всех соотношений v = 1 группы G
образуют нормальную подгруппу N свободной груп-
группы F = F(X). Подгруппа N— это ядро гомоморфиз-
гомоморфизма F на G, при котором X отображается тождествен-
тождественно. В этом случае G =? F/N.
Подмножество /? s N называется множеством оп-
определяющих слов группы G относительно X, если N
является нормальным замыканием R в F. Соответ-
Соответствующее множество соотношений {r = ljre/?} на-
называется множеством определяющих соотношений
группы G относительно X. Говорят, что соотношение
■JD — 1 вытекает, следует или выводимо из множества
соотношений {s = l|se.S}, если эде«5>> в груп-
группе F. Любое соотношение w = 1 вытекает из мно-
множества определяющих соотношений {г—1|ге/?}.
Выбор множества определяющих слов /? неодно-
неоднозначен.
Пусть R — множество определяющих слов группы
G в алфавите X. Говорят, что <Х|| {г = l|rei?}> или,
более кратко, <^||i?> — задание (или представление)
группы G через порождающие элементы и определяю-
определяющие соотношения. В последнее время в советскую ли-
литературу введен термин генетический код <Jf||/?> (или
просто код) группы G.
Если группа G задана специальным образом (мат-
(матрицами, подстановками и т. п.), то для полноты кар-
картины вместе с кодом <X||/?>, задающим G как аб-
абстрактную группу, необходимо привести отображение
Ф множества X на множество конкретных порождаю-
порождающих элементов группы G. Задание (X\\R}f называется
копредставлением группы G.
Примеры. 1) (X||0) — код свободной группы F (X).
2) (х И дс" =1) — код циклической группы Z (га); 3) (х^ х2, ...
\
(*jxkJ=l A</</г-2<га-3))ф, где <р: х{ h-» (i, I + 1), -
копредставление симметрической группы Sn.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 109
Коды многих хорошо известных групп приведены
в книге Коксетера и Мозера [21].
При заданном множестве R s F важно иметь хо-
хорошее представление о словах w 6E F, выводимых из
R. Для этой цели эффективен геометрический метод
исследования. Представим его основные компоненты
(подробности см. в [30], [48]).
Будем обозначать через dS границу, а через S —
замыкание любого подмножества S плоскости R2.
Карта — это конечное множество М, состоящее из
вершин (точек R2), ребер (ограниченных гомеоморф-
гомеоморфных образов открытого единичного интервала в R2)
и областей (ограниченных гомеоморфных образов от-
открытого единичного круга в R2). Различные состав-
составляющие не пересекаются и удовлетворяют следующим
требованиям: 1) если е — ребро, то {е} = eU {t1} U {w}
для некоторых вершин v, w, 2) граница дО каждой
области есть связное множество, совпадающее
с {е{} U {e2} U • • ■ U {еп} Для подходящих ребер еи е2,
..., еп. Зафиксируем для каждого ребра е одну из
двух возможных ориентации, что позволяет говорить
о его начале а(е) и конце со(е)—вершинах из М:
То же самое ребро е с противоположной ориентацией
обозначается е~х, его начало а(е~') = со(е), конец
(о(е~') = <х(е). Удобно считать, что (е~1)~1 = е. Путь
р — это последовательность ребер е\, е2, ..., ет та-
кая, что оэ(е;) = a(e;+i). Путь р замкнут, еслл его
начало a (p) jfj a (ej) совпадает с концом ш (р) ^f со (ет),
приведен, если е.фет^ для всех i=\, 2, ..., m —
— 1. Очевидным образом определяется обратный путь
р-\ длина пути и т. п. Выберем на R2 одну из двух
возможных ориентации и ориентируем в соответствии
с ней каждую область О. Для любой точки v e дО
существует единственный замкнутый приведенный
путь р с началом в v, обходящий О в соответствии
с заданной ориентацией. Если М связна и одноевязна,
то аналогично определяется замкнутый приведенный
путь р, обходящий дМ в соответствии с заданной
ориентацией и начинающийся (кончающийся) в лю-
любой заданной вершине v e дМ. Такие пути назовем
граничными.
Диаграммой D над множеством циклически несо-
несократимых слов R sF(I) называется пара, состоящая
ПО гл. и. группы
из связной односвязной карты М и функции ф, сопо-
сопоставляющей каждому ребру ееЛ элемент ф(е) = л;8,
iel, e = ±l, причем ф(е~') = ф(е)-1. Требуется,
чтобы для любого (приведенного) граничного пути
р = еь е2, ..., ет произвольной области О слово
являлось бы циклической перестановкой одного из
слов г е R±l.
Лемма ван Кампена: несократимое слово v при-
принадлежит нормальному замыканию «i?>> множества
циклически несократимых слов R^F(X) в том и
только в том случае, если существует диаграмма D
над R и такой (приведенный) граничный путь р =
= е\, е2, ..-, еп границы дМ соответствующей карты
М, что v 21ф(р).
Более того, можно выбрать такую диаграмму D
с указанными свойствами, что для любой пары ее об-
областей О\, О2 и их общего граничного ребра ее
е дО: П дО2 справедливо 9(pi)¥= ф(рг), если гранич-
граничные пути этих областей имеют вид ер1 и е~1р~1. Та-
кие диаграммы называются редуцированными (при-
(приведенными) .
Лемма ван Кампена позволяет использовать в ис-
исследованиях не только наглядную интуицию, но и
различные формулы и неравенства из комбинаторной
геометрии (см. [30], [48]).
Аналогичным образом строятся также так назы-
называемые кольцевые диаграммы, внутренний и внешний
граничные пути которых «записывают» сопряженные
по модулю «/?>> слова группы F(X) (см. [30]).
Очевидна связь с алгоритмическими проблемами
равенства и сопряженности в группах (см. п. 4.4).
Введем на множестве всех кодов отношение экви-
эквивалентности, полагая (X\\R} ~ <У||5>, если изо-
изоморфны группы F(X)/«R}) и ^(У)/«5>>.
Элементарными преобразованиями Тице кода
|| называются преобразования следующих типов:
а) добавление к R слова »е((/?)); б) вычеркивание
из R слова w е«7?\{да}>>; в) добавление к X буквы
у (£ X с одновременным добавлением к R слова
v1°Lyw~x, где w — любое слово в алфавите X; г) уда-
удаление из X буквы х, если в R есть слово vjLxw~1,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
где w — слово в алфавите ^\{л:}, с одновременной
заменой х на w во всех словах re)?.
Теорема Тице: коды групп эквивалентны тогда и
только тогда, когда существует переход от одного
к другому последовательностью (возможно, бесконеч-
бесконечной) преобразований Тице.
Если эквивалентные коды конечны, т. е. состоят
из конечных множеств порождающих и соотношений,
то переход в теореме Тице можно осуществить ко-
конечной последовательностью преобразований. Заме-
Заметим, что даже в этом случае нет эффективного спо-
способа произвести указанный переход в произвольном
случае. См. по этому поводу п. 4.4.
Пусть (X\\R} — код группы G. Отображение ф
множества X в произвольную группу Н продолжается
до гомоморфизма ф группы G в группу Н в том и
только том случае, если при гомоморфизме ф группы
F(X), продолжающем ф (и существующем по свой-
свойству базиса свободной группы), определяющие слова
из R переходят в единицу.
Для проверки приведенного условия нужно запи-
записать определяющие слова r^R в алфавите X, а за-
затем в каждое из них вместо букв х е X подста-
подставить их образы ф(л:)е# и посмотреть, будет ли по-
получившееся слово записывать единицу в группе Н.
Код группы G/N записывается по коду <X||i?>
группы G следующим образом. Пусть U — множество
слов в алфавите X, записывающих такое множество
элементов группы G, нормальное замыкание которого
в G совпадает с N. Тогда Fpynna G/N имеет код
aiu?utf
Покажем теперь, как, зная код (X\\R} группы G,
выписать код <У|| V> ее подгруппы Н. Считаем, что
G = F/N, где F=F(X), N = «/?». Пусть Я—пол-
Я—полный прообраз Н в F относительно естественного го-
гомоморфизма F на F/N. Пусть Т — шрайерова система
представителей правых смежных классов F по Я.
Пусть Y = S(T, X)o — множество свободных порож-
порождающих группы Я, определенное в п. 1.2. Если h^H,
то через p(h) обозначим запись h в виде (несокра-
(несократимого) слова в алфавите Y (алгоритм получения
такой записи описан в п. 1.1, нужно только вычерки-
вычеркивать элементы S(T, X), равные 1 и поэтому не вхо-
входящие в S(T,XH).
112 гл. п. группы
Пусть V— множество всех слов в алфавите У вида
p(trt-1), t^T, r^R, тогда код <K||t7) задает под-
подгруппу Н ^ G.
Группа G называется конечно определенной, если
существует задающий G конечный код <yY||/?>.
Для любого кода <Х||/?> конечно определенной
группы G найдется конечный подкод (XiWRi}, Xi si,
Ri S R, также задающий группу G. Расширение лю-
любой конечно определенной группы посредством конеч-
конечно определенной группы снова конечно определено.
Пусть Y = {уи у2, ...} — конечный или счетный
алфавит. Существуют различные эффективные способы
нумерации (полугрупповых) слов вида ykiyk2 ... ykfl
в алфавите Y натуральными числами. Например,
можно сопоставить слову w^°lykyk . . . yk номер
У (да) def P\ lPi2 ■ ■ ■ Рпп> гДе в качестве pt берется 1-е
простое число. Соответствие w-*-y(w), как легко ви-
видеть, взаимно однозначное. Сопоставим конечному
или счетному алфавиту X = {xi,x2, ■..} алфавит
У = -X*J ={jcifcl, xt\ ...}. Любому (групповому) сло-
слову w в алфавите X соответствует (полугрупповое)
слово -w' в алфавите Y. Определим y{w) как y{w').
Можно говорить о нумерации элементов группы F(X),
рассматривая их как несократимые слова в алфавите
X. Пустому слову присваиваем при этом номер 1. Под-
Подмножество U^.F(X) называется рекурсивным, ре-
рекурсивно перечислимым и т. п., если рекурсивно, ре-
рекурсивно перечислимо и т. п. соответствующее под-
подмножество номеров {у (и) \и е £/}£ N. Если вместо
у взять какую-либо другую эффективную нумерацию
б, то совокупности рекурсивных и рекурсивно пере~
числимых множеств не изменяются.
Группа G называется рекурсивно определенной,
если для нее существует код <Х||/?> с конечным мно-
множеством X и рекурсивно перечислимым множеством
R. Оказывается, что в этом случае группа G обладает
также кодом <X||$> с рекурсивным множеством Р..
Конечно порожденная группа G рекурсивно опре-
определена тогда и только тогда, когда G вложима в не-
некоторую конечно определенную группу (теорема Хиг-
мана).
Группа Я называется универсальной группой
класса Ж, если любая группа К^Ж вложима в Н.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ИЗ
Если при этом Я е Ж, то Я называется универсаль-
универсальной Ж-группой.
Существуют универсальные конечно определённые
группы.
Любая универсальная конечно определенная груп-
группа содержит изоморфные образы всех рекурсивно
определенных групп. Множество рекурсивно опреде-
определенных групп таким образом счетно. Существует кон-
континуум конечно порожденных не рекурсивно опреде-
определенных групп.
Сейчас известны примеры универсальных конечно
определенных групп с 12 определяющими соотноше-
соотношениями. Точная нижняя граница г числа соотношений
универсальных конечно определенных групп пока не
установлена. Можно гарантировать, что г ^ 2, так
как группы с одним соотношением имеют много
специфических свойств (см. ниже) и по этой при-
причине не могут быть универсальными. Скорее всего,
г = 2.
Рас^лотрим некоторые классы конечно определен-
определенных групп.
Группы с одним соотношением G = <лгь х2,
..., *„||г= 1>, где г — циклически несократимое сло-
слово из Fn = F(xu х2, ..., х„), обладают следующими
свойствами. 1) 'Если из г не извлекается корень соб-
собственной степени в Fn, то группа G не имеет круче-
кручения, групповое кольцо ZG— делителей нуля и, более
того, ZG вложимо в тело. 2) Если rmax — корень мак-
максимально возможной степени k ^ 2 из элемента г в Fn,
то все элементы конечных порядков в G записываются
как слова в алфавите X вида (grmax g~1I, 1 ^ I ^
^ k — 1, в то же время в G найдется подгруппа ко-
конечного индекса без кручения, а централизатор C0(h)
любого элемента 1 =й=/геС — циклическая группа.
3) Любое собственное непустое подслово из г записы-
записывает неединичный элемент группы G. 4) При п ^ 3
центр группы G равен Е; при п = 2 либо группа G
абелева, и тогда G~Z или G с*. Z © Z, либо G неабе-
лева, и тогда C(G)~Z или Е; при п = \ очевидно,
что G~Z или Z(n), neN. 5) Каждая подгруппа
И ^ G либо разрешима, либо содержит F2. Если в G
есть кручение, то в первом случае Я или циклическая,
или бесконечная диэдральная группа. 6) Если G
не имеет кручения, то она локально индикабельна.
114 гл. п. группы
Индикабельность означает существование эпиморфиз-
эпиморфизма на Z.
Теорема Магнуса о свободе: если в задании груп-
группы G = (x\, x2, -.., *я1к=1> циклически несократи-
несократимое слово г содержит в своей записи хп, то элементы
Х\, Х2, ■ ■ ■, хп-\ порождают в G свободную подгруппу
и составляют в ней базис.
Известно, что группа G = (xv x21| x^xl2x^x" = 1)
финитно аппроксимируема, если (k + m) {I + п)фО
или k = —m, l = —п (здесь и далее все параметры —
ненулевые целые числа). Поэтому наибольший инте-
интерес вызывают группы указанного вида, для которых
только одна из сумм k -\- m, I -\- n равна 0.
Группы Баумслага — Солитера имеют код Gkt =
= {xv x2\xlxlx~x=-xl2).'S^-cm, что Gk[d±G[k.
Группа Gkl обладает эндоморфизмом q>m: хх н->хх,
х2у->х2п. Если (k, /)^1, то ф^, —эпиморфизм; если,
кроме того, \k\, | /|> 1, то 1 Ф \х1х2х~1,/ х2] еКегфА,
и группа Gki при этих предположениях нехопфова
и не финитно аппроксимируема (группа G называется
хопфовой, если любой эпиморфизм ф: G -*• G является
автоморфизмом).
Приведем ряд наиболее интересных результатов
о группах Баумслага — Солитера и их обобщениях.
1) При |>1 и непустых несократимых словах и(х),
v(x) группа 0 = <г/, хи ..., xn\\{y-lu(x)ylv(x))t = 1>
финитно аппроксимируема, в частности, ФА-группой
является группа G =<#1,л:2|| {х\х12х™х£){ = 1) (А1-
lenby R. В. J. Т., Tang С. Y.//J. Algebra.—
1981.—V. 71, N 1.— Р. 132— 140). 2) Верно условное
утверждение: если G = (X\,x2\\(x\xl2x'lnx2v)s = 1) фи-
финитно аппроксимируема, то и группа H = (xi,x2, ...
...,*„, Уи Уь ..., yA(u(x)kv(y)'u(x)mv(y)")° = 1>
является финитно аппроксимируемой для любых
непустых несократимых слов и(х), v(y), не являю-
являющихся собственными степенями в свободной группе
(Allenby R. В. J. Т., Tang С. Y.//Math. Ргос.
Cambridge Phil. Soc —1985. —V. 97, N 2. —P.
225—230). Группа Gki хопфова, если l = klr, \k\,
\l'\>\, k и / имеют одни и те же простые делители
(Collins D. J., Levin F.//Arch. Math.—1983. —V. 40,
N 5.-P. 385-400).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
115
Кроме того, имеют место следующие факты:
G = <xi, X2, ..-, xp,yi, .... yq\\(u(x)kv(y)l)s= 1> есть
ФА-группа, Glk и Н = (хи х2\\ (x\x™)s = 1) являются
ФАС-группами (Tang С. Y.//Proc. Amer. Math.
Soc —1982. —V. 86, N 3. — P. 379—384).
Группы Фибоначчи F (г, п) задаются кодом
V* V* li V* V
Л2> *•■» Лл|| Л£
1=1, 2, ..., n,
mod n).
Приведем некоторые данные об этих группах, заклю-
заключив их в таблицу. На (г, п) -пересечении указана либо
группа F(r,n), либо ее порядок (Ка — группа кватер-
кватернионов, см. [17], [21]).
п
г
2
3
4
5
6
7
1
Е
ZB)
Z<3)
ZD)
ZE)
ZF)
2
£
ZC)
24
ZE)
48
3
Кь
ZB)
63
oo
ZE)
342
4
ZE)
oo
ZC)
624
125
oo
5
Z A1)
ZB2)
oo
ZD)
7775
?
6
oo
1512
oo
ZE)
117 648
7
ZB9)
8
oo
9
10.
II....
oo
При п> 5г имеем \F(r, n)j = oo. Если п делит г,
то F(r,n)~Z(r—1),если rslmodn, то F(r,n) —
метациклическая (т. е. расширение циклической по-
посредством циклической) группа порядка k^n(rn —
— 1), при s > 1 группа FBs+1,2) является мета-
циклической порядка 4s(s + 1).
*) Newman M.//Austral. Math. Univ. — 1988. — Preprint
N 26.
116 ГЛ. II. ГРУППЫ
Если d = (r+l,n) и d > 3, или d = 3 и п четно,
то \F(r,n)\ = oo (Thomas R. M.//Bull. London
Math. Soc. — 1983. — V. 15, N 4. — P. 384—386).
Для любой группы G может существовать только
конечное множество пар (г,п) таких, что G^F(r,n),
причем всегда F(n, п + 1) =- FBn—\,п), если п ^ 2.
Любая конечная группа представима как фактор-
факторгруппа некоторой группы F(r,n).
Пусть А (г, п) ~F (r, n)/F (г, п)''. Порядок а (г, п) =
= | А {г, п) | всегда конечен. Пусть г = kn-\- s, 0 ^ s ^
<!n—1, тогда 5=5^=1 влечет a(r,ri) = ——-r-a(s,n);
s = 1 влечет a (r, ri) = n(r — 1); s = 0 влечет a (r, n) =
= r—1; s = n—1 влечет a(r,n) = (r — 1J"~'; s =
= я —2 влечет a(r, n) = у (г - 1) Bn + (-1)"+1)-
Подробности о группах Фибоначчи см. в [91].
Обобщенная группа Коксетера G (М) определяется
по симметрической матрице M = (mtl), 1 <л, j ^.п,
с неотрицательными целыми элементами: О(М)Ш
— /г у у \\ут"—1 (i—1 9 п\ (г г \тИ =
= 1 (l^i</^«)). В частных случаях получаем
группы Дика D (I, m, n) = (xlt х2\х[ = х% = (х^)"
(I, т, п ^ 2)) и треугольные группы А (/, т, п) ^ц
— /г г 5- II г2—г2—г2 — (yy\1—(г\-\т—!у у \п— 1
\Л1> Л2> А3||Л1 Л2 Л3 \Л\Л2) VX2'V3j Y^drl) *
(I, m, n > 2)).
В группе D(l,m,n) элементы х\, Х2, х\х2 имеют
порядки I, m, n соответственно. Группа D(l,m,n)
вложима в проективную специальную линейную груп-
группу PSL B, С).
При s (/, от, п) ^ у + — + — ^ 1 группа D (I, т, п)
содержит в качестве подгруппы конечного индекса
фундаментальную группу ориентируемой поверхности
положительного рода g (см. п. 4.5) и является, следо-
следовательно, бесконечной. Если s(l,m,n)<. 1, то g > 1,
и группа D(l, m, п) содержит группу Р2-
Группы D(l, m, п) иногда так же, как и А(/, т, п),
называют треугольными. Обобщенно треугольными
при этом называют группы D (I, in, n; w)^(xv x2\x\ =
= x2n = wn=--l (I, m, n^z2)), где w^lx\lxs2l ... x\kx\k
(k ^ 1, 0 < Ti < I, 0 < s; .< m). Элементы хи x2, w e
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 117
е D (I, m, n; w) имеют порядки I, m, n соответственно.
Существует гомоморфизм q>: D(l, m, n; w)->PSLB, С),
для которого образы q>(#i), <f(x2), <f{w) также имеют
указанные порядки I, m, n соответственно. Если
s{l, т, п) ^ 1, то группа D(l, m, n; w) содержит инди-
кабельную подгруппу Н ф Е конечного индекса и,
следовательно, является бесконечной. Если s (I, m, п) <
< 1, подгруппу Н можно выбрать таким образом,
что существует эпиморфизм ср: Н -> F2, в частности,
D {I, m, n; w) содержит в этом случае подгруппу F2
(Baumslag G., Morgan J. W., Shalen P. B. //
Math. Proc. Cambr. Phil. Soc. — 1987. — V. 102.—P.
25-31).
Группы Фокса задаются кодом: F(k, ц j^f (xu
x2jxlx^ = xl2x1> x2x\ = x\x2 (k, leN)). При (k, l) Ф 1
группа F(k, i) бесконечна, при (k, l) = \ — метацикли-
ческая порядка \k — If. Группа трилистника Т jj=j
= (xv x21]x\ = х2\ интересна тем, что для i= 1,2 она
порождается также парами элементов xf+1, xli+1,
однако не может быть задана одним соотношением
между ними.
Дефицитом кода G = (xu х2 хп \\г1 =г2= . ..
... = rm = 1) называется число d = n — m.
Обобщенная теорема о свободе: если d ^ 0, то
среди заданных порождающих элементов группы G
найдутся d элементов, порождающих в G свободную
подгруппу Fd и, следовательно, образующих в ней ба-
базис (Романовский Н. С.//Алгебра и логика.—
1977. —Т. 16, № 1. —С. 88—97).
Если дефицит d ^ 2, то группа G содержит под-
подгруппу конечного индекса, допускающую эпиморфизм
на группу F2 (Baumslag В., Р г i d e S. J.//J. Lon-
London Math. Soc—1978. —V. 17, N 3. — P. 425—426).
To же самое верно, если d= 1, но при этом хотя бы
одно из слов п является собственной степенью в сво-
свободной группе (S toh r R.//Math.Z.— 1983.— Bd 182,
N 1.—S. 45—47). Задание Z = (xux2\\xi = 1> пока-
показывает существенность последнего условия.
Дадим понятие о группах с малым сокращением.
Пусть R — симметризованное множество определяю-
определяющих слов, т. е. множество циклически несократимых
слов, содержащее вместе с каждым своим элементом
обратный к нему и все его циклические перестановки.
118 , гл. п. группы
Общее начальное подслово двух различных слов из
R называется куском. Рассматриваются следующие
условия относительно кода (X\\R}: 1) <&'(%), 0 << % е
eR, — длина любого куска меньше А, (А.<1) от
длины соответствующего слова; 2) <& (k), ieN,—
никакой элемент из R не разбивается в произведе-
произведение менее чем k кусков; 3) 2Г(а), 3<geN, — для
любого набора элементов г,, г2, ..., г е R, г1Ф rr^lt
по крайней мере одно из слов rir2, г%гъ, ■ ■ ■, гч-\Гц,
ТцГ\ не сократимо. Под группой с малым сокращением
понимается группа, в которой выполняется одно из
условий 1) — 3).
Заметим, что из ^"A/6) следует %?(k-\- 1).
Любая конечно определенная группа допускает
код (его можно эффективно получить из данного кода,
в котором длина каждого куска не превышает 1/5 дли-
длины соответствующего слова (Гольберг А. И.//Ус-
И.//Успехи мат. наук.—1978.—Т. 33, № 6.—С. 201—202).
Группы, удовлетворяющие условию ^"A/5) имеют
разрешимые проблемы равенства и сопряженности
(см. п. 4.4). В группе, удовлетворяющей условию
Ф"A/6) любое слово w, записывающее единицу со-
содержит подслово v, являющееся куском, и такое, что
I О I > -^г I Ш |.
Подробности о группах с малым сокращением см.
в [30].
Введем группы, связанные с алгебрами Каца —
Муди. Пусть А = (аи), 1 ^ t, / ^ п, — обобщенная
матрица Картана, т. е. аи = 2, ац — неотрицательные
целые для i^j, причем ац=0, если ац = 0. Поло-
Положим для i Ф j тц = 2, 3, 4 или 6, если ацйц = 0, 1,2
или 3 соответственно. В остальных случаях- пусть
ttiij = 1.
Группа W (Л) в порождающих хь х2, ..., хп за-
задается соотношениями следующих типов: 1) x.x\xjl =
== x^xj2', 2) х.Х/Х. ... =XjXixs ... {тпц множите-
множителей с каждой стороны). Абелева подгруппа Тщ —
— {x2i\i=\, 2, ...,п) нормальна в W (А). Пусть
W (М) — обобщенная группа Коксетера, соответствую-
соответствующая М с порождающими уи у2, ..., уп. Ядром эпи-
эпиморфизма W{A) -> W (М), где хг ь-> yt {i = 1, 2, ..., п),
служит ТB) (см. [93]).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП J19
Определим группы Стейнберга. Пусть Л — ассо-
ассоциативное кольцо с 1,3 < n e N. Группой Стейнберга
St(n,Л) называется группа, порожденная всеми эле-
элементами вида хц(%) AеЛ, 1^1ф;^п) и имею-
имеющая следующее множество определяющих соотноше-
соотношений: 1) Xi;Ck)Xii(ll)=Xij(l+ [l); 2) [ХцA), Хц{\1)) —
= Xu(X\i) при 1Ф1, [хц(А,),хы([х)] = 1 при \Фк,
1Ф1.
Существует канонический гомоморфизм оп: St(n,
A)-+GL(n, Л), для которого оп{хц(к,))= /</(А,). Груп-
Группа Стейнберга St(A) определяется как естественный
индуктивный предел St(A)= lim St (n, Л). Группа
St(A) является универсальным центральным расшире-
расширением группы E(A)^f[GL(A), GL(A)], где GL{A)={
=f lim GL(n, A) (cm. [41]).
Свободным произведением семейства групп
{Ga|aeA} называется группа G— *Ga со следую-
следующими свойствами: 1) любая из групп Ga вложена в G,
2) группа G порождена подгруппами Ga, 3) любое
семейство гомоморфизмов ф«: Ga—>~H в произволь-
произвольную группу Я однозначно продолжается до гомомор-
гомоморфизма ср: G-*-H.
Для любого семейства групп Ga, aeA, существует
единственное с точностью до изоморфизма свободное
произведение G = * Ga.
Группа G = * Ga может быть задана следующим
образом. Возьмем коды Ga = <-^all^a>, считая, что
Ха П Хр = 0 при а ф р. Тогда G = <UXa|IU^a>.
Операция свободного произведения ассоциативна
и коммутативна. Для конечного набора множителей
она обычно записывается как G = G\ * G2 * ... * Gn.
В группе G = * Ga любой элемент однозначно
записывается в виде g = gxgi ... gn, где все множи-
множители gt неединичны, соседние из них принадлежат
разным группам Ga, Gp. Единице соответствует пу-
пустая запись. Описанная запись называется нормаль-
нормальной или несократимой формой элемента g, а ее дли-
длина— длиной элемента g. Произвольное произведение
S = gig2, ... gn, где множители gt принадлежат груп-
группам Gat, можно сократить или привести к нор-
нормальной форме, последовательно вычеркивая единич-
единичные множители и заменяя произведения
120 i. " ГЛ- "• ГРУППЫ ■ . :
элементами g't = glg1+l, если giy g[+l принадлежат од-
одной и той же группе Gr. Нормальная форма называется
циклически несократимой, если она либо имеет длину
/^1, либо элементы g\ и gn принадлежат разным
группам Ga, Gn. Любая нормальная форма длины
1^2 сопряжена с циклически несократимой нормаль-
нормальной формой. Циклически несократимые нормальные
формы длины I ^ 2 сопряжены между собой тогда и
только тогда, когда одна из них является цикличе-
циклической перестановкой другой.
Отметим элементарные свойства свободных произ-
произведений. Говорим «[циклически] несократимый эле-
элемент», имея в виду его нормальную форму в группе
G = * Ga. При этом считаем, что сомножителей Ga
не менее двух и все они неединичны.
1) Элементы конечного порядка группы G суще-
существуют, если только они есть в сомножителях Ga, при-
причем каждый элемент geG порядка fceN сопряжен
с некоторым элементом ga e Ga порядка k. 2) Если
g — циклически несократимый элемент группы G дли-
длины / ^ 2, то корень степени fceN из g единствен и
существует тогда и только тогда, когда g разбивается
на k одинаковых полслов: g^Jih ... h. В частности,
из любого циклически несократимого элемента g
длины / ^ 2 извлекается корень максимальной сте-
степени gmax- Произвольный элемент g сопряжен с цик-
циклически несократимым элементом g' (т. е. g =
= fg'f~{)> и если g' = hk, k e= N, то g = (fhf-1)". Соот-
Соответствие h^ffhf~x между корнями из элементов g и
g' взаимно однозначно. Если длина gf не меньше 2,
то элемент g также обладает единственным корнем
максимальной степени gmax- 3) Централизатор лю-
любого элемента geC, сопряженного с циклически не-
несократимым элементом длины I ^ 2, есть бесконечная
циклическая группа <gmax>. Центр свободного произ-
произведения, единичен. 4) Ядро очевидного гомоморфизма
G на прямое произведение G^JlGa называется де-
декартовой подгруппой D(G)^G. Декартова подгруппа
D(G) является свободной группой. Подгруппа D(G)
изоморфна группе Z тогда и только тогда, когда G =
= ZB)*ZB) — бесконечная диэдральная группа. Во
всех остальных случаях группа D(G) некоммутативна.
Пример. Проективная специальная линейная группа
PSLB, Z) = SLB, Z)/{±E} изоморфна свободному произведе-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 121
нию своих подгрупп1 (I )\ ~ Z B) и / j\ ~ Z C)
'(черта — образ в PSLB,Z)).
Строение подгрупп свободного произведения опи-
описывается теоремой Куроша: подгруппа Я ^ G =
= * Ga есть свободное произведение вида
где F— свободная группа, а элементы ga являются
представителями двойных смежных классов HgaGa;
более того, если | G : Н\ = m << оо, то ранг г группы
F вычисляется по формуле г = 2 (гп — пга) + 1 — fn,
а
где гпа — число различных двойных смежных клас-
классов HfGa, feG (т. е. \G:(H,Ga)\).
Теорема Грушко—Неймана: если q>: fn-+G =
= *Ga — эпиморфизм свободной группы конечного
ранга на свободное произведение, то группа Fn разла-
разлагается в свободное произведение Fn = * Fa (свобод-
(свободных групп) такое, что <f(Fa)= Ga для всех а.
Отсюда следует, что наименьшее число порождаю-
порождающих элементов группы G = * Ga равно сумме соот-
соответствующих чисел сомножителей Ga.
Свободное произведение двух или более нееди-
неединичных групп неразложимо в прямое произведение
двух или более неединичных групп.
Свободным произведением групп G\, G2 с объеди-
объединенной подгруппой (объединением) А ^ Gu G2 назы-
называется такая группа G = Gx *a G2, что: 1) группы G\,
G2 вложены в G, при этом Gi(]G2 = А, 2) G =
= <GbG2>, 3) любая пара гомоморфизмов ф,-: G* ->•
-*■ Н, i^l, 2, в произвольную группу Я, совпадаю-
совпадающих на А, однозначно продолжается до гомоморфизма
ф: G—*-H.
Группа G = G\ *A G2 с указанными свойствами су-
существует и единственна. Иногда говорят о свободном
произведении групп G\, G2 с объединением. по паре
изоморфных подгрупп А\с^А2 (Л,-^ G,-, i = 1, 2).
Изоморфизм ф; Ai-*-A2 при этом фиксируется, и мы
приходим к приведенному выше определению после
отождествления А\ с А2 в силу ф.
Группу G = G\ *a G2 можно задать следующим об-
образом. Пусть Gi = <.X\\R), G2 = <У||5>, причем X f] У ==
= 0. Возьмем множество порождающих элементов
122 - . гл. п. группы
{cia} группы Л и запишем каждый из них в виде
слов аа = wa (х) и аа = va (у) от порождающий
из X и Y, соответственно. Тогда
G = (X U У IIR U 5 U К (Jc) va (у)'1}).
Обобщением введенного понятия является кон-
конструкция древесного произведения. Пусть Т — дерево
(т. е. связный граф без циклов), вершинам которого
взаимно однозначно соответствуют группы Ga. Пусть
каждому неориентированному ребру ееГ между Ga
и Gg соответствует общая подгруппа Ае ^ Ga, Gp
(или пара отождествленных изоморфных подгрупп
Ла~Лр, Аа < Ga, Лр < Gp). Стянем
Ае
€а. 2—б-р
в вершину Ga*AeG^. Продолжая этот процесс (воз-
(возможно, трансфинитный), получим в конце концов
граф с единственной вершиной G. Группа G не
зависит от порядка выполнения стягиваний и назы-
называется древесным произведением семейства групп Ga
относительно дерева Т. Если Ga = <^all#a>. где Ха(]
П Хр = 0 при а Ф р, то группа G может быть задана
кодом G = <U Xa|| U ^a U {Ае = Ga (] Gjj} >, где соотно-
соотношения, символически обозначенные ^e = GanGp, со-
соответствуют ребру е с вершинами Ga, Gp и записы-
записываются так же, как это делалось для свободного про-
произведения с объединением.
Для древесного произведения G имеют место оче-
очевидно переформируемые аналоги определяющих
свойств свободного произведения с объединением: со-
сомножители Ga вложены в группу G, причем Ga П
|~)G|j—Ле, если е — ребро с вершинами Ga и Gp,
группа G порождена группами Ga, любое семейство
гомоморфизмов фа: Ga->- H в произвольную группу,
совпадающих на группах Ае, однозначно продолжает-
продолжается до гомоморфизма ф: G-*~H.
Примеры. 1) Группа SL B, Z) изоморфна свободному произ-
произведению подгрупп (I |) ~ Z D) и П 1) ~ Z F)
с объединенной подгруппой /| 1) ~ Z B), 2) Пусть
Р [х] — кольцо многочленов над полем Р от переменной х. Тогда
GL B, Р [х]) = GL B, Р) *ит 2 Я, где UT B, Р) - группа верхних
v § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 123
и /■« f(x)\
унитреугольных матриц, Я — группа матриц вида ( I
О фа, реР, f(x)e=P[x]. 3) Пусть число d e= N свободно от
квадратов, Orf — кольцо целых в поле Q (д/—d). Группа
Vd Ш PSL B> °d) = SL B- °d)/f ± £> называется группой
Бьянки. При всех d ф Ъ группа Г^ представляется в виде
свободного произведения с объединением Г, = G. * Н.
a d Ad d
собственных подгрупп. Если кольцо Orf неевклидово, т. е.
d ф 1, 2, 3, 7, 11, то можно взять Hd = PEB, Orf) — образ
( !
(p ! )
случае Hd не зависит от d (F г о h m а п С, F i п е В.//С. R. Math.
Rep. Sci., Canada. — 1986. — V. 8, N6. — P. 353—356).
Выберем в сомножителях группы G = Gi *д G2 си-
системы представителей правых смежных классов Т1А,
7*M по подгруппе А, включающие 1. Любой неединич-
неединичный элемент g^G записывается в виде g = gig2 ...
... gn, где все gi¥=\ и соседние принадлежат разным
множителям. Любой неединичный элемент g e G од-
однозначно записывается в нормальной форме g =
= а/1/2 • ■ • /т, где а е А, 1 Ф /; е Ты или fM, при-
причем соседние из /,• лежат в разных множествах Тм,
/^1, 2. Если т^2 и элементы /i и /т принадле-
принадлежат разным множествам Гм, /^1, 2 то элемент g
имеет бесконечный порядок. Более того, элемент g
конечного порядка группы G обязан быть сопряжен
с элементом того же порядка одного из сомножите-
сомножителей. В частности, свободное произведение с объеди-
объединением определено в классе групп без кручения.
Перейдем к конструкции HNN-расширения. Пусть
А с~ В — пара изоморфных подгрупп группы G с фик-
фиксированным изоморфизмом ф. Назовем HNN-расши-
рением G группы G с ассоциированными (в силу ф)
подгруппами А, В группу со следующими свойствами:
1) группа G вложена в G; 2) группа G порождена
группой G и элементом tt причем для любого эле-
элемента аеД имеем ф(а)=а'; 3) любой гомоморфизм
■ф группы G в произвольную группу Я такой, что
,|)(а) = 1|э(ф(а))'г для некоторого фиксированного эле-
элемента /iel/ и любого элемента а ев А, однозначно
продолжается до гомоморфизма if: G^-H, при кото-
котором "ф (/) = А. ", .;
124 ГЛ. II. ГРУППЫ ,
HNN-расширение G группы G с указанными свой-
свойствами существует и единственно. Если группа G за-
задается кодом <X||i?>, а группа А порождена элемен-
элементами {йа|аеА}, то группа G может быть задана
кодом G = (X[){t}\\R[) {<ф(аа)~' |а е= А}), где t ф X.
Каждый элемент g eG может быть единственным
образом записан в нормальной форме g = gotmfitm2. . .
. . . frtmr+l, где §Ф nii^ Z, за исключением, быть мо-
может, rar+ieZ, элементы \\ф\— представители пра-
правых смежных классов ТА, Тв группы G по подгруппам
А, В соответственно (предполагаем, что 1 ^ТА(]ТВ),
причем если т.; > 0, то f: <= ТА, если mi <С 0, то fi e
е Тв, а элемент goeG произволен.
Графом групп (©, Г) называется связный неориен-
неориентированный граф Г, в котором: а) каждой вершине
ке1/(Г) и каждому ребру ее£(Г) сопоставлены
группы Gv, Gs соответственно; б) для любого е е
е E(Y) указаны вложения группы Ge в группы Gv, Gw,
где вершины v, w соединяются ребром е (если v = w,
то вложения, вообще говоря, разные). Пусть Т—мак-
Т—максимальное поддерево графа Г (Г обязательно содер-
содержит все вершины графа). Обозначим через G(Т) дре-
древесное произведение относительно Т. Для каждого
ребра ее Г\Г группа G(Т) содержит пару подгрупп
изоморфных Ge, так что можно сконструировать
HNN-расширение, для которого они ассоциированы.
После того, как будут проделаны все такие HNN-pac-
ширения, получится фундаментальная группа я(®,
Г, Т) графа групп (©, Г) относительно максимального
дерева Т. Группа я(®, Г, Т) не зависит от последова-
последовательности выполнения при ее построении HNN-pac-
ширений. С точностью до изоморфизма при всех Т
группы я(®, Г, Т) одинаковы. Пишем я(®, Г), убирая
из названья упоминание о Т. Группа п(®, Г) назы-
называется фундаментальной группой графа групп Г.
Пример. Если Г — дерево, то п(®, Г)—древесное произ-
произведение. Если Г состоит из одной вершины v и одного ребра е,
то я(®, Г) является HNN-расширением Gv с ассоциированными
образами группы Се в Gv
Теория групп, действующих на деревьях, суще-
существенно развита Бассом и Серром (см. [59], [80],
[112]).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 125
Граф Г включает множество вершин ]/{Т)ф0,
множество ориентированных ребер Е(Г), отображе-
отображения а, со: £(Г)->-У(Г), сопоставляющие ребру е <=
е£(Г) его начало а(е)еУ(Г) и конец со(е)е У(Г),
инверсию ребер -': Е(Г)-*~Е(Г), где е;—>е~{, причем
а(е)— сй(е~'), со(е) = а(е~л), е Ф е~\ (е-])-'=е.
Группа G действует на графе Г, если определен
гомоморфизм ф: G->-Autr. Группа G действует без
инверсий (ребер), если для любого g e G, любого
ее£(Г) имеем <p(g)e ф е~1. При действии без инвер-
инверсий определен фактор граф r\G, вершинами и реб-
ребрами которого служат орбиты вершин и ребер в Г.
Группа G действует на Г свободно (без неподвижных
точек), если для любой вершины сеУ(Г), любого
неединичного элемента g <= G имеем (p(g) (у)Ф v.
Группа, действующая свободно на дереве Т, сама
свободна. Верно и обратное, каждая свободная груп-
группа действует свободно на некотором дереве.
Группа G тогда и только тогда представляется
в виде л(®, Г), когда G действует на некотором де-
дереве Т (теорема Серра).
Подгруппа Я^я(®, Г) также действует на де-
дереве Т, поэтому # = я(©',Г/) для некоторого графа
групп (®',Г). "
В случае конкретных свободных конструкций —
свободного произведения с объединением и HNN-pac-
ширения приведенную теорему можно детализиро-
детализировать. См. по этому поводу [59], [112].
Говорят, что группа G обладает свойством FA,
если всякое дерево, на котором действует G, имеет
неподвижную вершину (цеУ(Г) неподвижна отно-
относительно действия <р: G^AutF, если q>(g)v = v для
всех geG).
Счетная группа G тогда и только тогда обладает
свойством FA; когда: a) G не имеет факторгруппы,
изоморфной Z; б) G не представляется как G =
= G, *л G2, где А Ф Gu G2; в) G конечно порождена.
Если не накладывать условие счетности на группу
G, то приведенное утверждение также верно, только
условие в) нужно заменить на в') G не является объ-
объединением строго возрастающей последовательности
собственных подгрупп. Например, бесконечная декар-
декартова степень неабелевой конечной простой группы яв-
является FA-группой. Условия а), б) эквивалентны
126 ГЛ. II. ГРУППЫ
тому, что при действии без инверсий группы G на де-
дереве Т образ каждого элемента g e G оставляет не-
неподвижной некоторую вершину снУ(Г). При вы-
выполнении этого условия либо образы всех элемен-
элементов из G оставляют неподвижной некоторую вершину
иеУ(Г), либо G является объединением возрастаю-
возрастающей последовательности стабилизаторов вершин из
У (Г). Например, каждая проконечная (см. п. 3.3)
группа удовлетворяет этому условию (Bass H.//Com-
mun. Algebra.—1976. —V. 4, N 12).
Приведем другие характеризации и некоторые об-
общие свойства свободных конструкций. Функцией дли-
длины на группе G со значениями в упорядоченной абеле-
вой группе А называется отображение /: G-*-A, отве-
отвечающее следующим условиям: 1) /A) = 0, 2) l(g~1) =
= l(g), 3) d(g,f)> d(g,h) влечет d(g, h) = d(f, h),
где d(a, b) ^ 1 (/ (a) + l(b)-l {ab'1)).
Перечисленным условиям удовлетворяет обычная
функция длины l(g) = \g\x в свободной группе F(X)
и очевидная функция длины в свободном произведе-
произведении групп, соответствующая нормальной форме записи
его элементов.
Пусть /: G-*-Z— целочисленная функция длины,
удовлетворяющая условиям: 4) I(g2)> l(g) при g¥=l,
5) (l(gJ)eZ. Тогда группа G вложима в свободную
группу F(X) таким образом, что l(g) = \g\x для всех
g^G (значит, группа G сама свободна).
Пусть целочисленная функция длины /: G->-Z
удовлетворяет условиям: 6) d(g, f)+ d(g~l,f-1) >
> l(g)=Hf) влечет g=f; 7) если l(g),g ¥= 1, четно,
то I(g2)>l(g); 8) I(g2)¥=l(g)+L Тогда группа G
вложима в свободное произведение групп таким об-
образом, что / индуцируется очевидной функцией длины
в нем.
Биполярной структурой на группе G называется
разбиение G на попарно непересекающиеся подмно-
подмножества В, SS, 55*, 5*5, 5*5*, удовлетворяющее сле-
следующим условиям (буквы X, Y, ... употребляются
вместо 5, 5*, причем всегда (X*)* = X): а) В — под-
подгруппа в G, б) если b e В, g e XY, то gb^XY,
в) если g<= XY,то g-' <= YX, г) если gelF, /ie Y*Z,
то gh e XZ, д) для всякого элемента g e G найдется
такое число meN, что любое представление g =
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 127
— ё]&2 • • • £п< где 8{ ^Х]-1%1> Удовлетворяет условию
п^т, е) 55* Ф0.
Пример. Полагаем для G = G} * G2, что В = A, SS —
множество всех элементов, нормальная форма которых f =
= fifz ■ ■ ■ fr такова, что fi, f, e Git аналогично определяются
остальные множества по соответствию Gi-+-S, G2-»-$*.
Используя нормальную форму элемента из HNN-расшире-
ния G, нетрудно определить биполярную структуру на G.
Группа G тогда и только тогда обладает биполяр-
биполярной структурой, когда она разлагается в свободное
произведение с объединением собственных подгрупп
или представляется как HNN-расширение (см. [30],
[38]).
Пример. На группе G= GLB, P[x]) определима бипо-
биполярная структура, дающая разложение G = Gi *л Сг из приме-
примера 2) на с. 122. ЗдесВ В = UTB, Р) —подгруппа верхних уни-
треугольных матриц. Все матрицы из GLB, P) \UTB, P) отно-
относят к SS, Матрица D = (di/) принадлежит SS, если ст. da ^
^ ст. du и ст. diz =£j ст. dz2 (ст. — степень); D e SS*, если
ст. di2 ^ ст. йц; и ст. dl2 > ст. d22;D e S*S, если ст. dl2 > см. du
и ст. di2 ^ ст. dn\ D e S*S*, если ст. dl2 > ст. du и ст. di2 >
> СТ. ^22.
Конечно порожденная группа G почти свободна
в том и только том случае, когда G является фунда-
фундаментальной группой я(®, Г) конечного графа Г ко-
конечных групп Gv, ое^Г), для которой соответ-
соответствующие ассоциированные подгруппы принадлежат
одной из групп Gv. Другими словами, группа G до-
допускает код G — (t\, h, ..., H\\R, Z,!i = yWi, .. ., Lnn =
Mn)> в котором Я — древесное произведение конеч-
конечного множества конечных групп Gv, v e V(T), с объ-
объединением по подгруппам Ge, e^E(T), где V(T),
Е(Т)—множества вершин и ребер конечного дерева
Т, а подгруппы Li ~Af; принадлежат одной из вершин
Gv, v = v(I), i= 1, 2, ..., п.
Справедлива обобщенная формула Шрайера, по
которой вычисляется ранг г свободной подгруппы ко-
конечного индекса / в группе с приведенным выше за-
данием:/- = /П Т17[+ ^ -[щ - ^ Jg^)+
ее=Я(Г)
+ 1. Расширение свободной группы посредством
циклической группы простого порядка Z(p) есть
128 ГЛ. II. ГРУППЫ
свободное произведение групп, каждая из которых изо-
изоморфна либо группе Z, либо прямому произведению
2(р) на свободную (возможно, единичную) группу
(KarrassA., PietvowskiA.,Solitar D.//J. Aust-
Austral. Math. Soc. — 1973. —N 4. — P. 458—466). Счет-
Счетная почти свободнай группа вложима в конечно по-
порожденную почти свободную группу (Scott G. Р.//
Bull. London Math. Soc— 1974, — V. 6, N 3. —P.304—
306). Последняя — всегда ФАС-группа (Dyer J. L.//
J. London Math. Soc. — 1979. — V. 20, N 2. — P. 215—
221).
Почти свободные группы без кручения свободны
(см. теорему Столлингса—Суона в п. 4.2).
Свойства ФА, ФАС, ФАВК. п переносятся на сво-
свободные произведения с объединением по конечной
подгруппе и на HNN-расширения с конечными ассо-
ассоциированными подгруппами. Группа G = G{ *д G2 есть
ФА-группа, если G\, G2—конечно порожденные ниль-
потентные группы или свободные группы, а подгруппа
А — циклическая группа (Dyer J. L.//J. Austral.
Math. Soc—1980. — A 29, N 1. —P. 35—51; Ша-
Шахова H. Г.//Вестн. МГУ. Сер. мат., мех.— 1981,
№ 5. — С. 57—62). Другой достаточный признак фи-
финитной аппроксимируемости группы G = G\*A G2:
а) А является ФА-группой и для любых элементов
gi^ Gi\A, i = l, 2, найдутся нормальные подгруппы
конечных индексов N t ^ Gt такие, что gi ф. NiA, б) для
всякой нормальной подгруппы конечного индекса
N <з А существуют нормальные подгруппы конечных
индексов Ni-^Gi, »=1, 2, такие, что А/'!ГМ = Л^2П
ПЛ<Л' (Wehr fritz В. A. F.//J. London Math.
Soc—1981. —V. 24, N 1. —123—126).
Пусть группа G задается одним соотношением в
свободном произведении локально индикабельных
групп G\ и G2, т. е. G = Gj * G2/<<r>>. Предположим,
что элемент г циклически несократим и имеет длину
1^2 в свободном произведении Gi*G2. Тогда группы
G] и G2 естественным образом вложены в группу G
и группа G сама является локально индикабельной
(Бродский С. Д.//Сиб. мат. ж.— 1984. —Т. 25,
№ 2. —С. 84—103; Howie J.//Math. Z.—1982.—
Bd 180, N 4. —S. 445—461). Пусть G = *GO —сво-
—свободное произведение произвольных групп, г — цикли-
циклически несократимый элемент в G длины 1^2, т ^4,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 129
тогда группы Ga естественно вложены в группу
G/«rm>> (Howie J.//London Math. Soc. Lect. Note
Ser. —1986. —N 121. —P. 215—213).
Пусть группа G задается одним соотношением, яв-
являющимся собственной степенью в свободном произ-
произведении циклических групп, т. е. имеет код G —
п ^ 2, т ^ 2, U = О или U ^ 2, г(х)— циклически не-
несократимое слово в свободном произведении <*!>* ...
... *(хп), включающее в. запись хп. Тогда (Xi,x2, ...
.... л:п_1> =s:<^i>*<jc2>* ••• *<-«n-i> (Fine В., Ho-
Howie J., Rosenberger G.//Proc. Amer. Math.
Soc. — 1988. — V. 102, N 2. — P. 249—254). При п ^ 4
группа G содержит подгруппу F2. Если п = 3 (llt l2,
k)¥= B,2,2), то G также содержит подгруппу F2. При
n = 3, (/], l2, l3) = B, 2, 2) группа G либо содержит под-
подгруппу F2, "либо является расширением индекса 2 груп-
группы Z © Z. Для п = 2 группа G имеет код (xv xlxf =
== xl = r (x)m = 1\ и является обобщенной треуголь-
треугольной группой.
1.4. Многообразия групп. Пусть v(x) = v(xux2, ...
..., хп) — групповое слово (см. с. 76). Его значением
в произвольной группе G называется элемент v(g)=
= v(gi,g2, ..., gn), полученный подстановкой вме-
вместо переменных Х\, х2, ..., хп элементов g]t g2, ..., gn-
Говорят, что на группе G выполнено тождество
1»Cс)=1, если все значения слова v(x) в группе G
равны единице. Часто тождеством называют само
слово v(x) с указанным свойством.
Вместилищем всех тождеств служит свободная
группа счетного ранга F над Х = {х\,х2, ..., хп, ...}.
Слово B.ef будет тождеством группы G в том и
только том случае, если при любом гомоморфизме
ср: F -+- G имеем <р(и)= 1.
Пусть V s F—множество слов. Класс SB(V) всех
групп, для которых любое слово v ^ V является тож-
тождеством, называется многообразием, заданным или
определенным множеством тождеств V.
Отметим некоторые многообразия. 1H — многообра-
многообразие всех групп, задается пустым множеством тождеств;
2) I — единичное многообразие, состоящее из единич-
единичной группы Е, задается тождеством х= 1; 3) Ъп, п е
е N,— многообразие всех групп периода п, задается
130 ГЛ. II. 1РУППЫ
тождеством f=l и называется бернсайдовым много-
многообразием периода {экспоненты) п; 4) 91 — многообра-
многообразие всех абелевых групп, задается тождеством [xit х2] —
= 1; 9t«, we N,— многообразие всех абелевых групп
периода п, задается тождествами [х,, х2] = 1, х^ = 1
(других многообразий, состоящих только из абелевых
групп нет); 5) 9t\ fee N,— многообразие всех разре-
разрешимых групп ступени не больше k, задается тожде-
тождеством dk\x)=\, где dl{x) = [х\,х2], dk(x) при k^2
определяется по рекуррентной формуле dk (xp х2, ...
•■•> *2*) = [d*-l(*l» •••• *2*-0'd*-l(*2*-> + P •••• *2*)j«
многообразие SI2 иногда обозначается 2ft и называется
многообразием всех метабелевых групп; 6) 2fti — мно-
многообразие всех центрально метабелевых групп, за-
задается тождеством [ [ [хи х2], [хз, х4] ], х5] — 1, состоит
из всех групп с условием G/C(G)e3ft или, что то же
самое, G" ^.C(G), частный случай многообразия ШЙ,
ieN, задаваемого тождеством [ [ [хь х2], [*3j*4]].
х5, х6, ..., Xi+k]=\; 7) 9U, ieN, — многообразие
всех нильпотентных групп ступени не больше k, за-
задается тождеством ck(x)=\, где Ci(x) = [хь х2],
Ck(x) при k ^ 2 определяется рекуррентно по фор-
формулам ck(xu x2, ..., xk) = [ck-i(xu .... xk-\), xk];
8) <£*, feeN, — многообразие всех энгелевых групп
индекса не больше k, задается тождеством е& (Jc) ^= 1,
где ei(x) = [xj, x2], ek(x) при k^2 определяется ре-
рекуррентно по формулам ek(xhx?)= [ek-\{x\,xz),х2] =
= [xi,kx2].
Если G — группа, то Var G — многообразие, по-
порожденное группой G. Оно состоит из всех групп, на
каждой из которых выполнены все тождества, имею-
имеющие место в G. Более общо: если Г—класс групп, то
многообразие Var Г, порожденное Г, состоит из всех
групп, на каждой из которых выполнены все тожде-
тождества, имеющие место в любой из групп класса Г.
Очевидно, что произвольное многообразие S на-
наряду с любой группой GeS содержит все ее под-
подгруппы и эпиморфные образы, а вместе с любым се-
семейством групп их декартово произведение. Отсюда
ясно, например, что неединичное многообразие не мо-
может состоять из конечных групп, что классы всех пе-
периодических, локально конечных, [локально] разре-
разрешимых и [локально] нильпотентных групп многооб-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 131
разиями не являются. Очевидным образом вводится
понятие подмногообразия ® s S. Принято называть
абелевым, разрешимым, локально конечным и т. п.
многообразие, состоящее из абелевых, разрешимых,
локально конечных и т. п. групп.
Класс групп S ф 0 является многообразием тогда
и только тогда, когда S замкнут относительно опера-
операций взятия подгрупп, эпиморфных образов и декар-
декартовых произведений (теорема Биркгофа).
Слово »Gf является, по определению, следствием
множества слов V s F, если v = 1 — тождество в лю-
любой группе Gel(^). Множество V\ s F следует из
множества V% s F, если любое слово oeFi является
следствием W Множества слов Vu V2^F эквива-
эквивалентны, если они следуют друг из друга. Если V\,
Vi — эквивалентные множества, то они определяют
одинаковые многообразия, т. е. 5B(Vi) = Ш(]/2)- В лю-
любом множестве слов V s F замена его части на экви-
эквивалентную не меняет многообразия 2B(V). Например,
перенумерация переменных в некоторой совокупности
слов из V не меняет 5B(V).
Совокупность слов хт\ /=1, 2, ..., эквивалентна
одному слову хт, где т = н.о.д.{т/.|»= 1, 2, ...}.
Если в многообр-азии S выполнено тождество хт = \,
т е N, и /п — наименьшее число с этим свойством, то
m называется периодом или экспонентой многообра-
многообразия S. В противном случае говорят, что многообразие
© имеет экспоненту 0. Произвольное слово nef либо
является коммутаторным, т. е. »е F', либо эквива-
эквивалентно паре слов xm, meN, и у' <= F'.
Множество всех тождеств (как элементов свобод-
свободной группы F = F(xuX2, ...) многообразия S обозна-
обозначим через V(S). Множество V(S) — наибольшее среди
всех эквивалентных множеств слов V<=:F, опреде-
определяющих многообразие S.
Множество V(S) совпадает с пересечением ядер
всех возможных гомоморфизмов группы F в группы
многообразия S. В частности, V(S)—эндоморфно до-
допустимая подгруппа в группе F.
Подгруппа Н ==С G называется вербальной, если Я
порождена всеми значениями некоторого множества
слов W*= F в группе G (в обозначениях: Я = W(G)).
Вербальная подгруппа W(G) эндоморфно допустима
в группе G.
132 ...:■■.; >.;-•-• гл. п. группы •■*■. , • ...
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например,
любая ненулевая вербальная подгруппа абелевой группы А со-
совпадает с тА для некоторого m e N. В то же время в группе
A=Z(p)®Z(p2) (р —простое) р-слой А [р] ^ {а <= А | ра = 0}
зндоморфно допустим, но не равен единственной ненулевой соб-
собственной вербальной подгруппе рА группы А.
Каждая эндоморфно допустимая подгруппа сво-
свободной группы FH {%— любое кардинальное число)
вербальна.
Если Я— эндоморфно допустимая подгруппа груп-
группы F, то Я = W(F) для некоторого множества слов
l^Sf. В этом случае можно считать, что W = Я.
Очевидно, что F/H e 2B(Ш') = ЗВ(Я). Существует
взаимно однозначное соответствие а между многооб-
многообразиями и эндоморфно допустимыми подгруппами
группы F = F(X], X2, •••)> определенное равенствами:
а F)= V(E) и а-'(Я) = 2В(Я).
Эндоморфно допустимое замыкание множества
слов W ^ F, т. е. наименьшая эндоморфно допусти-
допустимая подгруппа Я ==С F, содержащая W, равно
V(%(W)). Слово »ef будет следствием W тогда и
только тогда, когда v e V(%(W)). Множества слов
W], W2<=: F эквивалентны тогда и только тогда, когда
равны их эндоморфно допустимые замыкания в F.
Включение многообразий S £ S) равносильно обрат-
обратному включению V(S);>:V(®) соответствующих им
эндоморфно допустимых подгрупп группы F.
Пересечение многообразий S f) ® есть наибольшее
многообразие, содержащееся одновременно в S и 2).
Это позволяет определить в частично упорядоченном
по включению множестве многообразий операцию
взятия точной нижней граниб Л 2) =jj| S П®. Очевидно,
что У F Л Ф) = (V F), У (©)) < Z7.
Наименьшее многообразие, содержащее ® и ®, по-
получается замыканием класса групп SU® относи-
относительно операций взятия подгрупп, эпиморфных обра-
образов и декартовых произведений. Это многообразие
является точной верхней гранью многообразий ®, ®
в частично упорядоченном по включению множестве
многообразий и обозначается SV®. Заметим, что
V(E V®)= VF)fl V(S>).
Из всего сказанного сейчас следует, что все мно-
многообразия с операциями Л, V образуют решетку
LatO. Указанное выше отображение а является анти-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 133
изоморфизмом решетки LatO на решетку всех эндо-
морфно допустимых подгрупп группы F. Решетка
LatO модулярна, но недистрибутивна (см. с. 141).
Если S — произвольное многообразие, то LatS озна-
означает решетку всех его подмногообразий.
Многообразие S®, состоящее из всех расширений
групп многообразия S посредством групп многообра-
многообразия ®, называется произведением многообразия ® на
многообразие ®. Саму операцию называют умноже-
умножением многообразий.
Операция умножения многообразий ассоциативна.
Очевидны соотношения: Об = 60 = 0, 16 = 61=6,
из которых видно, что множество всех многообра-
многообразий является полугруппой с единицей и присоеди-
присоединенным нулем. Справедливы следующие соотноше-
соотношения: 1) если 6, £ 62, ©! ;= ©2, то (&!©! ^ 62©2; 2) если
ф^Ои 61©<62Ф, то б!^62, в частности, 6^ =
= 622) влечет 6, = 62 (сокращение справа); 3) если
6 ф 0 и 6©! ^ 6©2, то ©, s ©г, в частности, 6©! =
= 62J влечет <$I = 3J (сокращение слева).
Примеры. 1) Многообразие Я*, JeN, есть k-я степень
многообразия Я; 2) Ш4 — многообразие всех расширений абе-
левых групп посредством иильпотентных групп ступени не боль-
больше k; 3) 9U91 — многообразие всех расширений нильпотентных
групп ступени не больше k посредством абелевых групп;
■*) ^k k k ^^ft^ft • • • ^k —многообразие полиниль-
потентных групп сигнатуры (k{, fe ki).
Многообразие, не представимое в виде произведе-
произведения неединичных многообразий, называется неразло-
неразложимым. Неразложимы, например, любое многообра-
многообразие нильпотентных групп и любое многообразие про-
простой экспоненты.
Любое многообразие 6 ф 0, 1 однозначно пред-
ставимо в виде произведения 6 = 6^2 . . . 6fe нераз-
неразложимых многообразий (теорема Нейманов — Шмель-
кина). Если ®£Й- многообразия, отличные от 0, 1, и
SD = 2I2J . . . 2); — также разложение в произведение
неразложимых многообразий, то найдется много-
многообразие § такое, что 2) £ § ^ 6 с разложениями
§ = -&1&2 •.. Ф, = -&1&2 • • • #4 в произведения не обя-
обязательно неразложимых многообразий, для которых
выполнены включения ©4 s $*, / = 1, 2, ..., /;
^'с^ / = 1, 2, .... £ (Ольшанский А. Ю,//
13Л ГЛ. II. ГРУППЫ
Весгк. МГУ. Сер. мат., мех. — 1986. — № 6. т~
С. 61—64).
Коммутатор [S, Щ многообразий б, 2) опреде-
определяется равенством V ([(£, ©]) = [У (&), V (©)}.
Множество слов V s Z7 = J7 (xj, x2, ...), задающее
многообразие S, называется базисом (тождеств) мно-
многообразия 6. Многообразие S называется конечно ба-
базируемым (к. б.), если для него можно выбрать кок
нечный базис V = {vuv2, ..., и„}. В этом случае <&
можно задать одним тождеством v = 1, где v — произ-
произведение слов vi, V2, ..., vn, записанных на непересекаю-
непересекающихся множествах букв Xt s X, i=\, 2, ... Много-
Многообразие S называется наследственно конечно базируе*
мым (н. к. б.), если к. б. любое его подмногообразие
®^S. Многообразие S стабильно конечно базируе-
базируемо (с. к. б.), если для любого к. б. многообразия S»
произведение 6® также к. б. Заметим, что произведе-
произведение S3) не к. б., если хотя бы одно из многообразий
6, ® не к. б.
Приведем известные факты о конечной базируе-
мости. 1) Любое многообразие нильпотентных 91 ^9U,
ieN, или метабелевых S £ S12 групп с. к.б. Более
того, любое многообразие S=9lAVSl2, ^eN, с. к. б.
2) Любое многообразие S s Э1Д Л Шк, *eN, с. к. б.
В этом случае, если 2) к. б., то и S V ® к. б.
Множество всех с. к, б. многообразий замкнуто от-
относительно операций произведения, пересечения и
коммутирования, следовательно, многообразия W,
leN, и другие многообразия, определенные «поли-
«полилинейными» коммутаторными тождествами (т. е. тож-
тождествами, полученными из разных букв xi с помощью
только операции коммутирования), также являются
с. к. б. Это относится, скажем, к многообразиям Wlk,
£eN; yiklk2...kr ki, /eN, и т. п. 3) Если <5, S> —
с. к. б. многообразия взаимно простых экспонент, то
многообразие S V® также с. к. б. 4) Известные с. к. б.
бернсайдовы многообразия — S92, 233, S36. 5) Любое из
многообразий aft*., feeN, н. к. б. Существуют не с. к. б.
многообразия SsSJl,. 6) Любое из многообрааий
ШкЛ%%, %%h %%, k, /eN, н. к.б. (относитель-
(относительно 31*31 см. (Кр а си л ьников А. Н.//11 Всес. симп.
по теории групп. Тезисы сообщ. — Свердловск, 1989.—
С. 65)). 7) Многообразие Var G к. б., если G конечна,
сверхразрешима или является расширением конечной
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП {35
группы посредством нильпотентной. 8) Многообразие
($Щп, которое составляют все локально конечные
группы периода neN, имеющие абелевы силовские
^-подгруппы, к. б. Не известно, будет ли к. б. в об-
шем случае многообразие Var G, если G — полицик-
«иическая или матричная группа.
Существует континуум не к. б. многообразий.
Пересечение убывающей цепи не к. б. многообра-
многообразий также не к. б. Значит, любое не к. б. многообра-
многообразие содержит минимальное подмногообразие с этим
свойством, называемое предельным многообразием.
Предельных многообразий бесконечно много. В ре-
решетке многообразий LatO присутствуют континуаль-
континуальные интервалы ® с ®, целиком состоящие из не к. б.
многообразий. Не всегда из конечной базируемости
&, 2) следует конечная блзируемость SVS (но всегда
к, б. многообразие S Л ®, для которого базисом мо-
может служить объединение базисов из S, ®).
См. относительно приведенных фактов [3], [45],
147].
Базис V многообразия 2B(V) называется независи-
независимым, если ни одно из слов v e V не следует из сово-
совокупности остальных слов V\ {v}.
Пример. Если п — нечетное число и п ^ 1003, то множе-
множество слов V = { [*{"', *2J }• гДе параметр р пробегает' все про-
простые числа, является независимым базисом многообразия SB(V)
(см. [1]). Подмножества V S V определяют континуум различ-
различных многообразий SB(V').
Существует многообразие <5^§17, не обладающее
независимым базисом тождеств (Клейман Ю. Г.//
Изв. АН СССР. Сер. мат. —1983. —Т. 47, № 1.—
С. 37—74).
Среди примеров не к. б. многообразий укажем
S 233 р — простое, задаваемое тождествами (х?х% .. .
... хр)рг=1, п=\, 2, ..., 234?1, 23р2„6, р — простое,
«eN, 6 — многообразие экспоненты, делящейся на р
(Клейман Ю. Г .//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1973. -Т. 37, №1. —С.95—97; — 1974.-Т. 38, № 3.—
С. 475-483).
Многообразие S ненулевой экспоненты т назовем
периодическим периода (экспоненты) т. По опреде-
определению S ■£ Ът. Локально конечное многообразие обя-
обязано быть периодическим. Бернсайдовы многообразия
136 гл. п. группы -■ ■
Ът при т = 2, 3, 4, 6 локально конечны. Теорема
Новикова—Адяна утверждает, что многообразие ЗЗт
при нечетном т ^ 665 не локально конечно. Относи-
Относительно этой теоремы и других фактов, касающихся
бернсайдовых многообразий см. п. 1.5.
Класс локально конечных групп периода т по-
порождает локально конечное многообразие тогда и
только тогда, когда порядки всех п-порожденных
подгрупп, п = 1, 2, ..., в нем ограничены значениями
некоторой функции {(п,т). В частности, локально
конечные группы простого периода р в силу теоремы
Кострикина (см. п. 1.5) образуют многообразие йр,
называемое кострикинским.
Группа G называется критической, если G не при-
принадлежит многообразию, порожденному ее собствен-
собственными факторами Н/К, где Н < G, К <3 #. Многооб-
Многообразие S называется кроссовым, если оно локально
конечно, конечно базируемо и содержит только ко-
конечное множество критических групп.
Многообразие S тогда и только тогда кроссово,
когда S = Var G, G — конечная группа.
Конечные простые группы являются критическими,
причем неизоморфные из них порождают разные мно-
многообразия. В общем случае неизоморфные конечные
группы могут порождать одинаковые многообразия.
Пример. Имеем Var D8 = Var Ks, где D8, Ks — группы
диэдра и кватернионов восьмого порядка (см. [3]).
Многообразие S называется почти кроссовым, если
само © не кроссово, однако все его собственные под-
подмногообразия кроссовы. Замечено, что любое некрос-
сово многообразие содержит почти кроссово подмно-
подмногообразие.
Разрешимые почти кроссовы многообразия исчер-
исчерпываются следующим списком: 1) Я, 2) %%, р — про-
простое, 3) %Р%%, р, q, r — различные простые,
4) kp(%q A%), q — нечетное простое, р ф q — про-
простое, 5) 31р C34 Л 912), р — нечетное простое. Иными
словами, каждое разрешимое многообразие либо по-
порождено конечной группой, либо содержит одно из
перечисленных многообразий, причем эти возможно-
возможности взаимно исключаются.
Любое подмногообразие к. б. локально конечного
многообразия групп обладает независимым базисом.
' § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 137
В частности, всякое разрешимое локально конечное
многообразие имеет независимый базис (Ольшан-
(Ольшанский А. Ю.//Тр. семинара им. И. Г. Петровского.—
1578. —Т. 3. —С. 139—146).
Существуют неразрешимые почти кроссовы мно-
многообразия групп. Например, многообразие йр Л @р_2
при простом р 15= 5 неразрешимо и почти кроссово
(см. теорему Размыслова в п. 1.5).
Группа F называется свободной группой многооб-
многообразия S, если: 1) F e S, 2) существует такое множе-
множество X порождающих элементов группы F, называемое
ее множеством свободных порождающих или базисом
(относительно многообразия S), что любое отображе-
отображение % множества X в произвольную группу Яей од-
однозначно продолжается до гомоморфизма группы F в
группу Н. Обозначим F через F(X, ®). Мощность %
множества X называется рангом группы F(X, S). Ясно,
что обычные определения свободной группы, ее базиса
и ранга относятся к многообразию всех групп 0.
Для любого неединичного многообразия S и лю-
любой мощности х существует единственная с точностью
до изоморфизма группа /•",,.(S), являющаяся свобод-
свободной группой многообразия S ранга х. Если V— базис
многообразия S, то FK (®) ~ FH/V(FH).
Пример. Группы, свободные в многообразии Я, называют
свободными абелевыми группами. Свободная группа F.A (Щ =
= Fh/fh ранга х изоморфна прямой сумме 0й Z х экземпля-
экземпляров группы Z, которую также записываем Z*.
Для любого локально конечного многообра-
многообразия S определяется порядковая функция fs(«)dif
дц | Fn F) |. Если многообразия 6Ь 62 локально ко-
нечны, то /лл(л) = /л(л)/в1.((»-1)/в>)+ 1).
Существует континуум локально конечных много-
многообразий с попарно различными порядковыми функ-
функциями. Локально конечное многообразие S нильпо-
тентно тогда и только тогда, когда функция log /s
имеет степенный рост.
Пример. Два многообразия (J, Ф s ЯрШ.р, Л %lq, р — про-
простое, q = р3 + р2 + р + 2. одно из которых задается дополни-
дополнительным тождеством \xi, x2, px3, pxit ..., р*Р+г, Р3*р+з1 = 1,
а другое — тождеством [хи *2> р2*3, р2^, •■•, Р%+2, рхр+3] = 1,
различны, но имеют одинаковые порядковые функции.
138 ГЛ. II. ГРУППЫ
О порядковых функциях многообразий см. Оль-
Ольшанский А. Ю.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1973. — Т. 37. — С. 89—94.
Многообразие S называется шрайеровым, если лю-
любая подгруппа группы /^(S) для любого % свободна
в многообразии S. Шрайеровы многообразия исчер-
исчерпываются следующим списком: 0, 1, 91, %р, р — простое.
При Xj S X подгруппа <Х,> группы FX(X, S) сво-
свободна в S над Х\ (т. е. с базисом Х\). В частности,
группа Fn(&) вложима в Fn+i(($.) при любом «eN.
Многообразие S называется регулярным, если, на-
наоборот, Fn+\ (S) нельзя вложить в /•"«((£) ни при ка-
каком fteN. Хорошо известно, что многообразие всех
групп 0 нерегулярно. Например, коммутант Fn' сво-
свободной группы Fn при любом п 15= 2 — свободная под-
подгруппа счетного ранга, что дает вложение группы Faa
в группу Fa. Многообразие S =ф= 0, каждая свободная
группа Fn(®), «eN, которого допускает конечный
нормальный ряд Е = No^ N} <Q N2 <3 •■• ^JNfe —
= Fn(<S), факторы которого Nt+i/Ni или локально ко-
конечны, или локально разрешимы, регулярно. Регу-
Регулярны все многообразия нильпотентных и разреши-
разрешимых групп, произведения локально конечных и ло-
локально разрешимых многообразий и т. д.
Существуют нерегулярные многообразия, отлич-
отличные от 0. Например, при нечетном п ^ 665 имеет ме-
место вложение группы Fm{35n), m e N, в группу F208n),
что дает нерегулярность многообразия S3n при задан-
заданных условиях (см. [1]). Более того, при тех же пред-
предположениях группа Fctoffin) также вложима в /^(ЗЗя)
(Ширванян В. Л.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1976. —Т. 40, № 1._ С. 190—208).
Пусть 6, 2)—многообразия, свободные группы
которых аппроксимируются конечными р-группами
при одном и том же простом р. Пусть y£F,,(S2)) —
подмножество, свободно порождающее по модулю
V (/чс ((£©)), где V — базис тождеств многообразия Ф,
©-свободную подгруппу. Тогда У свободно порождает
E©-свободную подгруппу (К)^/?иF©). В частности,
если элементы множества Y s FK(W), !eN, независи-
независимы по модулю коммутанта F^(%;). то 00 = ^0'. &')•
Справедливо более общее утверждение. Пусть
У, | У | ^ 2, — подмножество элементов свободной по-
линильпотентной группы /^(З^,^ ... kt), I e ^V. Тогда У
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 139
является базисом группы (Y) = F(Y, 3\kxk2...k^) в том
и только том случае, когда элементы из У линейно
независимы над Z по модулю коммутанта F' C1. . . \
Кодом группы G в многообразии S называется
перечень <<Ш;®>, где G ~ F(X, ©)/«/?». Множе*
ство слов R в алфавите X называется множеством
определяющих слов группы G относительно S. Мно-
Множество {/•=l[rei?} называется множеством опре-
определяющих соотношений группы G относительно @,
Если к тому же указано отображение <р: Х-*- G на
множество порождающих элементов группы G, то
приходим к понятию непредставления (X\\R; ©>ф от-
относительно S. Остальные термины аналогичны абсо-
абсолютному случаю (S = О, нужно только отмечать соот-
соответствующее многообразие. Очевидно, что любую
группу GeS можно задать бесконечным множе-
множеством различных кодов относительно S. По аналогии
с абсолютным случаем © = 0 говорят о группах ко-
конечно определенных в многообразии ®, которые могут
не быть конечно определенными (в 0). Например, лю-
любая группа Fn(SI') при п, 1^2 не конечно опреде-
определена, хотя в W ее множество определяющих соотно-
соотношений пусто.
В многообразиях 3\кхь2...к, (а значит, в многооб-
многообразиях 9U, St' и т. д.) справедлив аналог обобщенной
теоремы о свободе (см. § 2). Существуют многообра-
многообразия, скажем, Var G, где С — конечная неразрешимая
группа, где такой аналог не имеет места (см. [47]).
Ступень разрешимости [нильпотентности] любого
разрешимого [нильпотентного] многообразия 6 огра-
ограничена, так как S замкнуто относительно операции
взятия декартовых произведений. Следовательно, лю-
любое разрешимое [нильпотентное] многообразие S яв-
является подмногообразием некоторого многообразия
Если S — разрешимое многообразие и 6 3?912, то
®£S3n9U33m Для некоторых чисел п, k, m e N (Кар-
гаполов М. И., Чуркин В. А.//Алгебра и логи-
логика.—1971.—Т. 10, № 6. —С. 651—657). Заключение
приведенного утверждения остается справедливым,
если заменить условие разрешимости 6 на пред-
предположение о принадлежности © как подмногообра-
подмногообразия произведению конечного числа разрешимых и
140 ГЛ. II ГРУППЫ . . "
локально конечных многообразий (Groves J. R. I.//
Bull. Austral. Math. Soc. — 1971— V. 5, N 1. —P. 95—
109; Bull. Amer. Math. Soc.— 1972.— V 7, N 3 —
P. 437—441).
Существует неабелево многообразие,'все конеч-
конечные группы которого абелевы (О л ь ш а н с к и й А. Ю.//
Мат. сб. —1985. —Т. 126, № 1. —С. 59—82).
Многообразие 232 абелево, 933 — %' ®6 = 232S3S2A
Л 233232583 разрешимо. Многообразия 234, 239, 23Р А. ®р_2,
р ^э 5—простое (и вместе с ними все многообразия
^4т> 23эт. 23рш, т е N), неразрешимы (см. теорему
Размыслова в п. 1.5). Для многообразия (£2 справед-
справедливы строгие включения Ш2 с= (§2 с: 3?3- Любое много-
многообразие 6 £ (§3 экспоненты, взаимно простой с 5,
разрешимо (Gupta N.//Can. Math. Bull. — 1972. —
V. 15, N 4.-P. 523-524).
Многообразие SI2 удовлетворяет условию мини-
минимальности для подмногообразий. Поэтому каждое ме-
табелево многообразие является точной верхней
гранью конечного множества многообразий, нераз-
неразложимых относительно операции V нетривиальным
образом. Однозначность такого разложения нару-
нарушается при недистрибутивности решетки многообра-
многообразий. К сожалению, даже в достаточно узких подре-
шетках нильпотеитных и разрешимых многообразий
имеет место недистрибутивность (см. далее).
Если метабелево многообразие S не локально ко-
конечно, то оно представимо в виде S — Si'V S2 V S3>
где Si = S(m§l для некоторого «eN, S2 однозначно
представимо как точная верхняя грань конечного
множества многообразий вида Э1Дт Л §B, k, meN,
©з локально конечно.
Решеткой Многообразия S назовем решетку Lat S
всех его подмногообразий. Покрытием многообразия
© в некоторой решетке L называется многообразие
2) гэ S из L такое, что между 6 и S в L нет других
многообразий. В решетке LatO всех многообразий
любое собственное подмногообразие GcO имеет бес-
бесконечно много покрытий (Ольшанский А. Ю.//Тр.
семинара им. И. Г. Петровского.— 1978. — Т, 3.—
С. 139—146). Существуют многообразия © с 5) с St7
такие, что (S имеет независимый базис, но не обла-
обладает в 5) покрытием, значит не определяется в 5) не-
независимым базисом в его естественном определении
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 141
(Клейман Ю. Г.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1983. —Т. 47, № 1. —С. 37—74).
Дистрибутивны решетки следующих многообра-
многообразий: 1) к, 3h,^ls',^) многообразия метабелевых р-групп
(р — простое) ступени нильпотентности не больше
р+1; 3) многообразия метабелевых групп конечной
экспоненты, р-группы (р — простое) в котором имеют
ступени нильпотентности не больше р; 4) многооб-
многообразия %т%„, т, neN, если квадрат любого простого
делителя числа т не делит п, в частности, многооб-
многообразия 21рйДр, р — простое, <:sN.
Недистрибутивны решетки следующих многообра-
многообразий: 1) ад, Л ЭТц, 2) %2%А%, 3) «Л'Л^р+г,
р — простое, 4) многообразия О.^Щ.РЖР1П (р — простое),
1 Ф п е N, (р, я) = 1, состоящего из групп, силов-
ские р-подгруппы которых имеют ступень нильпо-
нильпотентности не больше р+1.
Пусть Mkl — множество всех подмногообразий
многообразия 212 Л 3tk, 4eN, a Mki, />1, — множе-
множество тех многообразий из Mki, свободные группы
которых не содержат элементов порядков 2, 3, ...,/.
Пусть p(k) — наибольшее простое, не превышающее
к — 2, если &>3, и p(k)=l, если k=\, 2, 3. Для
любого k подрешетка MkP(k) дистрибутивна, для k > 3
подрешетка MkP(k)-i недистрибутивна (Б е л о в Ю. А.//
Вопр. теории групп и гомолог, алгебры. — Ярос-
Ярославль. — 1979, № 2. — С. 55—68).
Решетка многообразия Spfe Л 9^, р — простое,
k, !eN, дистрибутивна тогда и только тогда, когда
/<:3 или 1 = 4 и р > 2, или 1 = 5 и р > 5. Решетка
всех многообразий групп р-примарной экспоненты
ступени нильпотентности I < p есть подпрямое произ-
произведение / решеток, каждая из которых является пря-
прямым произведением решеток Ар\ где а пробегает
подходящее множество индексов А. Множество А и
функция ф не зависят от числа р. Символ А™ обозна-
обозначает решетку, дуальную решетке всех подгрупп
р-примарного индекса в свободной абелевой группе
^mB0 = Zm (Клячко А. А.//Упорядоченные мно-
множества и решетки. Вып. 1. — Саратов, 1971. —
С 31-42).
Говорят, что многообразие S имеет конечный ак-
аксиоматический ранг ra = га{&), если S можно задать
142 ■- гл. п. группы
базисом тождеств от га переменных и число г( — ми-
минимальное с этим свойством. В противном случае,
если такого числа га не существует, гозорят, что ®
имеет бесконечный аксиоматический ранг.
Любое многообразие & порождается свободной
группой Fa,(Qi) счетного ранга. Говорят, что много-
многообразие 6 имеет конечный базисный ранг гь = Гь{&),
если ® порождается свободной группой F Гъ (&) и чис-
число гь — минимальное с этим свойством. Если такого
числа Гь не существует, то говорят, что 6 имеет бес-
бесконечный базисный ранг.
Примеры. 1) Поскольку существует вложение группы F
в группу F2, имеем rfc@)=2. 2) При fe^2 имеем rbGlk_,) —
= k — 1. Более того, если 3t ft Л $Ш2 <= ® <= 9tft, к > 2, то rb (&) >
>fe—1. Если при этом группа Ffc (&) не имеет кручения, то
г6F)<й— 1. В частности, rfc (9lft Л St') = fe — 1 при fe, i > 2.
3) Группа /^ (St2) аппроксимируется группой F2 (SI2), т. е. для
любого элемента 1 ф g e F^ (SI2) существует гомоморфизм <р
группы F^ (Ш) в группу F2 (?t2) такой, что <р (g-) # 1. Отсюда
следует, что rfr (W) = 2. 4) Группа f (SR.) при г = 1,2 аппро-
аппроксимируется, соответственно, группой F^ (ffl-Л, значит, Var F^ /SRЛ=
= УагЯ2(НЛ;), « = 1, 2. Однако базисный ранг гь(Щ.), «=1, 2,
строго больше — ои равен четырем. При k ^ 3 цепь многообразий
Var F BRft) строго возрастает при п = 2, 3 fe — 1 и
Многообразие 6 называется многообразием
ского типа, если ® порождается своими нильпотент-
ными группами без кручения. При дополнительном
предположении об отсутствии кручения в факторах
нижних центральных рядов свободных групп FK(&)
многообразие называется магнусовым. Класс магну-
совых многообразий строго меньше класса многооб-
многообразий лиевского типа. Оба класса замкнуты относи-
относительно операции произведения многообразий. При-
Примеры магнусовых многообразий: 0, 91&, %l, k, I e N, и
многообразия, полученные из многообразий 9tfe с по-
помощью конечной последовательности пересечений и
умножений.
Не существует такого счетного семейства групп
G; е I7, что каждое подмногообразие SsSt7 порож-
порождалось бы некоторым его подсемейством. Более того,
для любого класса групп Ж мощности меньшей, чем
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 143
континуум, найдется континуум многообразий Es^
с одним и тем же запасом групп из Ж (Клей-
(Клейман Ю. Г.//Сиб. мат. ж.— 1982.—Т. 23, № 6.—
С. 117—132).
Множество М групп многообразия (S называется
дискриминирующим для К, если для любого множе-
множества слов vl(xl, хъ .... хп), v2(xu х2, .... хп), ...
. . ., vm{xu х2, . . ., хп), не являющихся тождествами
в К, найдется группа GeM, а в ней — элементы glt
g2, ■■ ■, gn такие, что vt(gu g2, . . ., gn) Ф 1 при / =
= 1, 2, ..., т. В этом случае S = VarM. Если мно-
многообразие К порождается множеством групп Г, а мно-
многообразие © дискриминируется множеством групп Д,
то многообразие <3 = (Ш дискриминируется, и, сле-
следовательно, порождается множеством всех сплетений
G г D, где G е= Г, D е= А.
Говорят, что на группе G выполнено квазитожде-
ство & »<(#) = 1 =>v(y) — 1, если подстановка
вместо у = (г/,, г/2, • • •, г/„) в групповые слова оДу), у(^)
любого набора g=(gu g2, • ■ •, gn) элементов группы G
дает либо vt (g) ф 1 для некоторого i, либо у (g) = 1.
Другими словами, квазитождество есть универсаль-
универсальная формула определенного вида с обычным для тео-
теории моделей понятием выполнимости.
Квазимногообразием £} называется класс всех
групп, на которых выполнено каждое из квазитож-
квазитождеств данного семейства Е. Говорят, что Е задает
или определяет О.
Тождество v(y)=l эквивалентно квазитождеству
t/i = r/t ==>-1; (^f) = 1, следовательно, любое многообра-
многообразие является квазимногообразием.
Множество квазимногообразий замкнуто по пере-
пересечениям. Определены соответствующие включениям
операции взятия точной нижней Д и точной верхней
V граней. Получаем решетку квазимногообразий
LatqO, которая даже не модулярна.
Примеры. 1) Класс всех групп без кручения является
квазимногообразием, задаваемым квазитождествами ух = 1 =*■ у^ =
= 1, «= 1, 2, ... 2). Если Г — семейство групп Ga, то О = q (Г)—
наименьшее квазимногообразие, которое содержит все группы
Ga. Говорят, что О порождено семейством Г. В частности,
<t(G) — квазимногообразие, порожденное группой G. 3) Класс
всех локально индикабельных групп является квазимиогообра-
J44 , : -. - ■'. - ГЛ. II. ГРУППЫ .-г-.-»_- - :
зием, задаваемым множеством квазитождеств <§j, °/ C^I» • • •
г = 1 т
..., уп) = I =*- t/j = 1, / = 1, 2, ..., п, таких, что группа
<Уи Уг, .-., Уп\\и-г(уи у2, ..., у„) = 1, i = 1, 2, ..., m> не об-
обладает гомоморфизмом на группу Z. 4) Все линейно упорядочи-
упорядочиваемые группы образуют квазимногообразие, относительно за-
задания которого см. п. 3.4.
Произведение квазимногообразий О<Э определяется
как класс всех групп, являющихся расширениями
групп из О посредством групп из ©. Произведение
О€5 само является квазимногообразием. Квазимно-
Квазимногообразие q(F(&)), порожденное группой F(S), сво-
свободной в многообразии & и не имеющей кручения, не-
неразложимо в произведение O=<3i@2 собственных
подквазимногообразий. Если группа /"(б) имеет кру-
кручение, то это утверждение, вообще говоря, неверно.
Например, квазимногообразие q(F(Я2Я3)) = 5Г2§Гз Раз"
ложимо в произведение (Федоров А. Н.//Йзв. ву-
вузов. Сер. мат. — 1986. — № 6.—С. 34—39).
Пусть @~ — класс всех конечных групп. Многооб-
Многообразие Var^~ совпадает с многообразием всех групп 0.
В то же время квазитождество #j~1#2#i#2= ' =*-
^ [#2. У\\2 = У2 выполнено в каждой конечной
группе Д", но не выполнено в группе G с кодом
(*,, x2\\x~lxlxlx-3=l), т.е. Ge£q{3T) и ч(Р)фО.
Из общей теории (см. п. VI. 2.1) следует, что лю-
любое квазимногообразие О ф 1 имеет свободные груп-
группы /V. (О) произвольного ранга х с обычными свой-
свойствами.
Квазимногообразия замкнуты относительно взятия
подгрупп и декартовых произведений.
Если любая конечно порожденная подгруппа Я
группы G вложима в некоторую группу К квазимно-
квазимногообразия О,' то GeQ. Относительно гораздо более
тонкого критерия принадлежности данному квази-
квазимногообразию— локальной замкнутости см. [34].
°° i
Пример. Класс Ж всех групп К с условием | | Кр = Е,
l-\
р — фиксированное простое, не является квазимногообразием.
Действительно, любая конечно порожденная подгруппа квази-
квазициклической группы С(р°°)—циклическая р-группа С(р"), но в
то же время имеем С(р°°)р = С(р°°), следовательно, С(р°°)ф Ж.
Класс групп Ж является квазимногообразием
в том и только том случае, если £ejf и класс Ж
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 145
замкнут относительно подгрупп и фильтрованных про-
произведений (см. [34]).
Конечно определенная группа G принадлежит ква-
квазимногообразию (((Г), если она аппроксимируется
группами из совокупности Г или, что равносильно,
если группа G вложима в декартово произведение
групп из Г.
Совокупность квазитождеств 2, задающих квази-
квазимногообразие О, называется базисом квазитождеств
или просто базисом этого квазимногообразия. Квази-
Квазимногообразие О называется конечно базируемым
(к. б;), если для него существует конечный базис. Ба-
Базис 2 квазимногообразия О называется независимым,
если любое собственное подмножество 2' с 2 задает
квазимногообразие, отличное от 2. Говорят, что ква-
квазимногообразие О имеет конечный [бесконечный] ак-
аксиоматический ранг, если О можно [нельзя] задать
базисом 2 от конечного множества переменных.
Бесконечный аксиоматический ранг имеют квази-
квазимногообразия q(Fn) (л 5* 2), q(Fn(W)) (n, I > 2)
(Будкин А. И.//Мат. сб.—1980. —Т. 112, № 4.—
С. 647—655), q(G), где G — конечная группа с хотя бы
одной неабелевой силовской подгруппой (Ольшан-
(Ольшанский А. Ю.//Сиб. мат. ж.— 1974.— Т. 15, № % —
С. 1409—1413). Среди простых конечных групп толь-
только группы PSLB, р"), р2п Ф Imod 16, и группа Янко
/ имеют абелевы силовские подгруппы по всем про-
простым р. Конечные базисы квазитождеств каждой из
этих групп указаны в работе Федоров А. Н.//Вестн.
МГУ. Сер. мат., мех. —1983. —№ 5. —С. 16—18.
Если квазимногообразие О не содержит бесконеч-
бесконечного множества циклических групп простых порядков
и в то же время содержит бесконечную циклическую
группу, то О имеет независимый базис. В частности,
квазимногообразие q(G), порожденное группой без
кручения G, имеет независимый базис (Буд-
(Будкин А. И.//Мат. заметки.— 1982.— Т. 31, № 6.—
С. 817—825).
Покрытием квазимногообразия О в некоторой
решетке квазимногообразий L называется такое
квазимногообразие Q 'jSeL, что между О и @
нет других квазимногообразий из L. Не всякое квази-
квазимногообразие имеет покрытие в решетке всех
146 гл. п. группы
квазимногообразий. Если квазимногообразие О имеет
независимый базис, то О имеет бесконечно много по-
покрытий в решетке всех квазимногообразий. Значит,
существуют квазимногообразия, не обладающие не-
независимым базисом. В каждой из решеток подквази-
многообразий О, Э12, Я2 множество квазимногообразий,
не имеющих покрытий в соответствующей решетке и
содержащих свободные группы многообразия конти-
континуально (Будкин А. И.//Сиб. мат. ж. — 1986.—
Т. 27, № 3. — С. 28—33).
Базисным рангом квазимногообразия О назы-
называется такое наименьшее число п, если оно суще-
существует, что О= q(G), где G есть n-порожденная груп-
группа. Базисный ранг любого квазимногообразия О, зам-
замкнутого относительно прямых сплетений (т. е. из А,
Вей следует ЛгВеб), равен двум. Заметим, что
если класс Ж групп замкнут относительно прямых спле-
сплетений, то и квазимногообразие ц(Ж) также замкнуто
относительно прямых сплетений (Будкин А. И.//
Мат. сб.—1983. —Т. 121, № 4. — С. 510—522).
1.5. Группы с условиями конечности. Условием
конечности называется теоретико-групповое свойство,
присущее всем конечным группам. Сюда относятся
конечная порожденность и конечная определенность,
периодичность и локальная конечность, условия мак-
максимальности и минимальности для подгрупп или нор-
нормальных подгрупп, свойство группы иметь конечные
классы сопряженных элементов или вербальные под-
подгруппы конечной ширины и т. п.
Рассмотрим конечно порожденные и конечно оп-
определенные группы. Любая подгруппа конечно порож-
порожденной группы счетна. Произвольная счетная группа
G вложима в 2-порожденную группу Н. При этом,
если группа G задана п определяющими соотноше-
соотношениями, то и Я можно задать п определяющими соот-
соотношениями. Существует бесконечное счетное множе-
множество неизоморфных 2-порожденных групп.
Всякая счетная я-группа вложима в 2-порожден-
2-порожденную я-группу. Любая счетная группа из произволь-
произвольного многообразия <& вложима в 2-порожденную
группу из многообразия (Ш2. В частности, любая счет-
счетная разрешимая группа ступени / вложима в 2-по-
2-порожденную разрешимую группу ступени / + 2. Оценка
в общем случае не улучшается, так как далеко не
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 147
всякая счетная абелева группа А вложима в 2-
(и даже конечно) порожденную метабелеву группу В.
Одна из причин этого — финитная аппроксимируе-
аппроксимируемость В, которая в случае вложимости А в В пере-
переносится на А. Нельзя, например, взять A=Q или
А — С(р°°), так как делимые группы не финитно
аппроксимируемы. В конечно порожденных нильпо-
тентных и, более общо, полициклических группах лю-
любая подгруппа также конечно порождена. Любая ко-
конечно порожденная нильпотентная [полициклическая]
группа вложима в 2-порожденную нильпотентную
[полициклическую] группу. Подробности см. в [47].
Произвольная счетная ФА-группа G вложима
в 2-порожденную ФАС-группу Н таким образом, что
элементы группы G будут сопряжены в группе Я
тогда и только тогда, когда их образы сопряжены во
всех конечных факторгруппах группы G (Романь-
ков В. А.//ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1984.—
Препринт № 515. —23 с).
Классы периодических и локально конечных групп
замкнуты относительно взятия подгрупп, гомоморф-
гомоморфных образов, прямых произведений и расширений.
Любая р-подгруппа (р— простое) произвольной
группы G содержится в некоторой максимальной
р-подгруппе группы G, которую называют силовской
р-под группой группы G. В отличие от конечного слу-
случая силовские р-подгруппы произвольной группы G
могут оказаться не только не сопряженными между
собой в G, но даже и не изоморфными.
Пример. В свободном произведении G = Pi * Рг р-групп
любая силовская р-подгруппа сопряжена либо с Pi, либо с Р*.
Если известно, что в группе G силовская р-под-
р-подгруппа Р имеет только конечное множество сопря-
сопряженных, то можно гарантировать, что любая силов-
силовская р-подгруппа группы G сопряжена с Р, и их чис-
число сравнимо с 1 по модулю р.
В теории локально конечных групп имеют место
специальные теоремы о силовских подгруппах. Так,
если Р—конечная силовская р-подгруппа локально
конечной группы G,to все остальные силовские р-под-
группы также конечны и сопряжены с Р. Если лю-
любая счетная подгруппа локально конечной груп-
группы G имеет только счетное множество силовских
148 .'■".' ' ГЛ. П. ГРУППЫ
р-подгрупп, то все силовские р-подгруппы группы G
сопряжены. Силовские р-подгруппы счетной локально
конечной группы G сопряжены в том и только том
случае, если их счетное множество.
Для любого простого числа р существуют беско-
бесконечные конечно порожденные р-группы. Более того,
для любого числа neN существует бесконечная
(п + 1)-порожденная р-группа, в которой все «-по-
«-порожденные подгруппы конечны (теорема Голода).
Заметим, что эти группы не могут быть разреши-
разрешимыми и тем более нильпотентными. Свободную груп-
группу бернсайдова многообразия Э„, имеющую ранг т,
обозначим через Вт(п) и будем называть свободной
бернсайдовой группой (ранга т, периода п).
Известная в теории групп проблема Бернсайда —
это вопрос о существовании бесконечной группы
Вт(п) при некоторых т, «eN, Она решается сле-
следующей теоремой: для любого нечетного числа п ^
^665 группа Вт(п), т ^ 2, бесконечна (теорема
Новикова—Адяна); см. [1]. При этом централизатор
неединичного элемента g^.Bm(n) цикличен и, следо-
следовательно, абелевы подгруппы такой группы Вт(п) —
конечные циклические. Эти группы Вт(п) не являют-
являются конечно определенными.
/ т \ / т \
Известно, что | Вт B) | = 2т, | Вт C) |=Зт+ ^Пз )f
\ Вт D) | < оо (точный порядок вычислен в частных
случаях: |£2D)| = 212, |£3D)| = 269, | В4 D) | = 2422),
|ВтF)| = 2г3^Из)) где л = (т-1)З(
s = (m— 1J'"+ 1. Вопрос о конечности групп Вт(п),
т~^2, при других п, в частности, при я = 5,
п = 21 A^3), остается открытым.
Обозначим через fm(n) верхнюю границу для по-
порядков конечных /n-порожденных групп периода п.
При | Вт (п) | = k < оо имеем fm (n) = k. В общем слу-
случае конечность |Bm(n)| и fm(n) не равносильны. Из-
Известная в теории групп ослабленная проблема Берн-
сайда — это вопрос о конечнозначности функции
fm(n) ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСвЛ ГП, П. fW '-i -^'' ■ ■
Пусть п = р[1р[2 ... р!/— примарное разложение
периода п. Предположим, что ослабленная проблема
Бернсайда решается положительно для каждого из
§ I, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 149
примарных сомножителей р\\ £=1, 2, ..., г. Тогда
существует конечная верхняя граница gm(n) для по-
порядков конечных разрешимых /л-порожденных групп
периода п {теорема Холла — Хигмана).
Для простого периода п = р функция fm(p) конеч-
нозначна (теорема Кострикина); см. [24].
Отсюда и из разрешимости любой конечной груп-
группы, порядок которой не делится на квадрат простого
числа, получаем конечнозначность функции fm(pip2 • ■ ■
... pr) (pi — различные простые).
Пусть Кщ(р), р — простое, m e N, — свободная
группа ранга m в локально конечном кострикинском
многообразии групп j?p (см. п. 1.4). Тогда fm(p) =
= \Km(p)\.
Отметим также результаты, касающиеся беско-
бесконечно порожденных групп конечного периода.
1) Пусть Boo(p,k) — свободная группа бесконеч-
бесконечного ранга в многообразии Эр Л Sfe, p — простое. При
k ^ р — 2^3 группа Boo(p,k) неразрешима. 2) Груп-
Группа В»D) неразрешима (теорема Размыслова).
Для групп простого периода условия разреши-
разрешимости и нильпотентности равносильны. Заметим,
также, что любая группа из @з, не имеющая элемен-
элементов порядка 5, разрешима (Gupta N.//Can. Math.
Bull.—1972. —V. 15, N 4. —P. 523—524). Любая
группа из @3, не имеющая элементов порядков 2 и 5
нильпотентна. В то же время существует группа
G е Щ периода 4, не являющаяся нильпотентной;
см. [17].
Бесконечная локально конечная группа содержит
бесконечную абелеву подгруппу (теорема Каргапо-
лова — Холла — Кулатилаки).
Группа U называется универсальной локально ко-
конечной группой, если выполнены следующие условия:
1) U содержит копию любой конечной группы К;
2) если Кь K2^U — изоморфные конечные под-
подгруппы, то они сопряжены в U. Существует един-
единственная счетная универсальная локально конечная
группа, и любая счетная локально конечная группа
в нее вложима. Для больших мощностей аналог
этого утверждения не имеет места (см. [47]).
Известны примеры бесконечных простых конечно
порожденных групп конечных периодов. Например,
при простом р ^ 665 пересечение Nm(p) членов
150 • гл. п. группы
нижнего центрального ряда группы Вт(р), т ^ 2,—
бесконечная конечно порожденная подгруппа конеч-
конечного индекса. Факторгруппа Nm(p)/Mm(p) по макси-
максимальной нормальной подгруппе Мт(р) — искомая ко-
конечно порожденная бесконечная простая группа пе-
периода р.
Рассмотрим группы с условиями максимальности
и минимальности. Класс нётеровых групп замкнут от-
относительно подгрупп, гомоморфных образов и расши-
расширений. Разрешимая группа является нётеровой в том
и только том случае, если она полициклична. Нёте-
рова 2-группа конечна.
1) Существует бесконечная некоммутативная 2-по-
рожденная простая группа А, любая собственная не-
неединичная подгруппа которой — циклическая группа
бесконечного порядка. 2) Существует бесконечная
некоммутативная 2-порожденная группа В, любая
собственная неединичная подгруппа которой — цик-
циклическая группа простого порядка (при простом
р > 1075 такая группа В есть в многообразии Эр)
(теорема Ольшанского); см. [48].
Ясно, что Л, Be max, В е min. Заметим, что эта
теорема решает проблему Шмидта о существовании
бесконечной неабелевой группы, все собственные под-
подгруппы которой конечны (абелев пример — группа
Класс артиновых групп замкнут по подгруппам,
гомоморфным образам и расширениям. Каждая ар-
тинова группа периодична.
Бесконечная почти разрешимая группа G являет-
является артиновой в том и только том случае, когда G—
конечное расширение прямого произведения конеч-
конечного множества квазициклических групп (теорема
Черникова).
Такие группы называют черниковскими. Любая
[почти]локально разрешимая группа с условием ми-
минимальности [почти] разрешима, а значит, черни-
ковская.
Произвольная локально конечная группа G с ус-
условием минимальности является черниковской. Бо-
Более того, заключение этого утверждения верно и при
более слабом предположении о наличии условия ми-
минимальности у всех абелевых подгрупп группы G
(теорема Шункова). т
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП JH1
Любая 2-группа с условием минимальности яв-
является черниковской (теорема Шмидта).
Рассматриваются различные обобщения условия
минимальности. Говорят, что группа G удовлетво-
удовлетворяет слабому условию минимальности, если любой
убывающий ряд подгрупп d ^ ... ^ G,~$z G(+] ~$z ...
«почти» стабилизируется на конечном шаге, т. е. су-
существует число г, для которого все индексы | G,-+*:
:Gj+(+i|, ^ = 0, 1, ..., конечны. В класс групп со сла-
слабым условием минимальности, кроме артнновых
групп, попадают, например, все полициклические
группы.
Локально разрешимая группа G тогда и только
тогда удовлетворяет слабому условию минимально-
минимальности, когда в ней найдется нормальная подгруппа ко-
конечного индекса Н такая, что: 1) периодическая часть
Т(Н) есть прямое произведение конечного множества
квазициклических групп; 2) факторгруппа Н=Н]Т (Н)
обладает конечным субнормальным рациональным
рядом Я = #о £> #i [> • ■ • [> Hi = Е конечного типа.
Здесь «рациональный» означает, что все факторы
Hi/Hi+i вложимы в группу Q, «конечного^ типа» —
что любая факторгруппа любого фактора Н{/Н{+1 по
неединичной циклической подгруппе есть прямая сум-
сумма конечного множества циклических и квазицикли-
квазициклических групп. Для локально конечных групп слабое
условие минимальности равносильно обычному усло-
условию минимальности (Зайцев Д. И.//Укр. мат. ж.—
1968. — № 20. — С. 472—482).
Условия максимальности и минимальности для
нормальных подгрупп, обозначаемые, соответственно,
как maxn и minn, формулируются так же, как и обыч-
обычные условия max и min. Нужно только заменить
в формулировках слова «подгруппа» на «нормальная
подгруппа».
Конечно порожденная группа G, являющаяся рас-
расширением абелевой группы посредством полицикли-
полициклической группы EЩ}-группа) удовлетворяет условию
тах„ (теорема Ф. Холла).
В частности, конечно порожденные группы из мно-
многообразий SlSlfc, Щ.2 удовлетворяют maxn.
Всякая локально нильпотентная группа с усло-
условием minn является черниковской группой (см. [Ш9]).
152 ...>., гл. п. группы
В группе Вт(п) при нечетном п ^ 665 и ш^бб
существует бесконечная система дополнительных оп-
определяющих соотношений, независимых по модулю
тождества хп=1. Отсюда следует существование
в группе Вт(п) бесконечных возрастающих и убы-
убывающих рядов нормальных подгрупп, т. е. на Вт(п)
не выполнены условия тах„ и тшл. Аналог этого
утверждения для любого т ^ 2 известен при состав-
составном нечетном п = ks, где k ^ 665 и s > 2
(Ад ян С. И.//Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1981.—
Т. 45, № 5. —С. 931—947).
Рассмотрим группы с конечными классами сопря-
сопряженных элементов. Элемент g группы G называется
FC-элементом, если g имеет в G конечное множество
сопряженных элементов или, что то же самое, если
индекс | G : Са (g) | конечен. Множество всех FC-эле-
ментов группы G образует автоморфно допустимую
подгруппу FC(G), содержащую центр C(G). Под-
Подгруппа FC(G) называется FC-центром группы G.
Группа G называется FC-группой, если G = FC(G).
Абелевы группы, прямые произведения конечных
групп, и их прямые произведения между собой яв-
являются FC-группами.
Прямые произведения конечных групп обладают
более сильным, чем «быть FC-группой», свойством:
они локально нормальны. Это значит, что любое нор-
•мальное, т. е. инвариантное относительно внутренних
автоморфизмов, конечное подмножество элементов
группы G содержится в конечной нормальной под-
подгруппе N <3 G. Следующая теорема позволяет сво-
сводить изучение FC-rpynn к исследованию локально
нормальных подгрупп.
Произвольная группа G является FC-группой в том
и только том случае, когда G вложима в прямое про-
произведение абелевой группы без кручения и локально
нормальной группы.
В частности, периодическая группа G будет FC-
группой тогда и только тогда, когда G локально нор-
нормальна. Факторгруппа FC-группы G по ее центру фи-
финитно аппроксимируема.
Прямые произведения конечных групп, их под-
подгруппы и гомоморфные образы локально нормальны.
Однако не любая локально нормальная группа мо-
может быть получена таким способом. Приведем основ-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 153
ные факты: 1) Счетная локально нормальная группа
G вложима в прямое произведение конечных групп
в том и только том случае, если G финитно аппрок-
аппроксимируема. 2) Произвольная финитно аппроксими-
аппроксимируемая локально нормальная группа является гомо-
гомоморфным образом подпрямого произведения конеч-
конечных групп. 3) Счетная локально нормальная группа
является гомоморфным образом подпрямого произве-
произведения конечных групп. Вместе с тем существует не-
несчетная локально нормальная группа, не являющаяся
гомоморфным образом подпрямого произведения ко-
конечных групп. 4) Факторгруппа по центру G/C(G)
финитно аппроксимируемой локально нормальной
группы является подпрямым произведением конеч-
конечных групп. 5) Коммутант финитно аппроксимируемой
локальной нормальной группы есть подпрямое произ-
произведение конечных групп.
Группа G называется ограниченно сопряженно ко-
конечной или BFC-группой, если существует такое число
я, что в каждом классе сопряженности не более п
элементов из G.
Группа G является BFC-группой тогда и только
тогда, когда коммутант G' конечен.
Для того чтобы р-подгруппа Р локально нормаль-
нормальной группы G являлась ее силовской р-подгруппой,
необходимо и достаточно, чтобы пересечение Р с лю-
любой конечной нормальной подгруппой К группы G
было бы силовской р-подгруппой группы К- Другими
словами силовская р-подгруппа Р должна быть объ-
объединением силовских р-подгрупп конечных нормаль-
нормальных подгрупп группы G.
Автоморфизм ф группы G называется локально
внутренним, если на любом конечном подмножестве
A'EG отображение qp: K-+<f(K) совпадает с неко-
некоторым отображением af. K~*-Kf, где а[ — внутренний
автоморфизм, отвечающий элементу f группы G. Си-
ловские р-подгруппы локально нормальной группы
G локально сопряжены, т. е. переводятся одна на дру-
другую локально внутренним автоморфизмом группы G.
Конечность числа силовских р-подгрупп и их сопря-
сопряженность между собой — эквивалентные условия
в классе локально нормальных групп.
Пусть G — группа, в которой элементов каждого
конкретного порядка, включая бесконечный, конечное
154 гл. ii. группы -i
число. Такие группы называются FO-группами или
слойно конечными группами. 1) Произвольная FO-
rpynna локально нормальна. 2) Каждая черников-
ская почти центральная группа является FO-rpyn-
пой. 3) Локально нормальная группа G будет FO-
группой тогда и только тогда, когда все ее силовские
подгруппв1 являются черниковскими. Поэтому, эпи-
морфный образ FO-группы тоже есть FO-rpynna.
Относительно FC-, BFG-, FO-rpynn см. [12].
Пусть G— произвольная группа, w(G)— ее вер-
вербальная подгруппа, определяемая словом w. Будем
говорить, что. w(G) имеет ширину I, если любой эле-
элемент g^w(G) представляется как произведение /
значений слов ш±] в группе G, причем / — минималь-
минимальное число с этим свойством. Если такого / не суще-
существует, то говорят, что ширина подгруппы w(G) бес-
бесконечна.
Так как при любом эпиморфизме ц>: G-*-H,
<р(ш(<2)) = w(H), ширина подгруппы w(H) не пре-
превосходит ширину подгруппы w(G). Однако при пере-
переходе к подгруппам и расширениям групп ширина мо-
может существенно измениться. Суммируем известные
факты о ширине вербальных подгрупп. 1) Любая не-
неединичная собственная вербальная подгруппа свобод-
свободного произведения групп G — Gi * G2, отличного от
бесконечной группы диэдра ZB)*ZB), имеет бескб-
нечную ширину. В частности, любая вербальная под-
подгруппа свободной группы Fn, n~^% имеет бесконечную
ширину. 2) Любая вербальная подгруппа полицик-
полициклической (в частности, конечно порожденной ниль-
потентной) группы имеет конечную ширину. Любая
вербальная подгруппа конечно порожденной почти
нильпотентной группы имеет конечную ширину. 3) Лю-
Любая вербальная подгруппа конечно порожденной
группы G е Шуб, feeN, имеет конечную ширину.
4) Если GeSlE — конечно порожденная разрешимая
группа, где 6 — класс, в котором каждая конечно по-
порожденная группа удовлетворяет условию тах„, то
коммутант G' имеет конечную ширину относительно
слова w =[хи х2]. В частности, приведенное утверж-
утверждение имеет место для конечно порожденных Ш.Щ-
групп. 5) Второй коммутант F% (Я12Щ имеет беско-
бесконечную ширину относительно слова w = [[xl,x2],
[]]. Относительно 2) и 5), а также обзора приве-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 155
денных утверждений см. (Романьков В. А.//Ал-
гебра и логика.—1982. —Т. 21, № 1. —С. 60—72).
В некоторых случаях известно точное значение
для ширины I коммутанта G'. Если G = Fre(9f{2), то
1 = [п/2], если G — F2(W3), то 1=1, в остальных слу-
случаях G = Fn($lk), rc!>2, /г!>3, имеем 1 = п. То же
самое верно, если вместо G = Fn (9?fe) брать
G = Fn (% П %2) или G = FB(«2) (Алламберге-
н о в X. С, Р о м а н ь к о в В. А. //Докл. АН Уз. ССР.—
1984. — № 4.— С. 14— 15).
Можно говорить о ширине элемента g e ш (G) как
0 наименьшем числе множителей в записи
g = wxw2 ■■■ wr, где ш,- — значение слова до или да
в группе G. Пусть g = g^g2 . . . gn e= G, * G2* ... * Gre,
1 ф gb e G£, — элемент свободного произведения ко-
конечно определенных групп. Очевидно, что g eG'
в том и только том случае, если gt e G\, i = 1, 2, ..., п.
Пусть ширина каждого множителя g. как элемента G[
равна lt. Тогда ширина g^G' равна J = ]C;=i^£
(Goldstein R. Z., Turner E. C.// Contemp.
Math. — 1985. — V.44. — P. 69 — 72).
Если индекс центра \G : C(G) \ конечен, то и ком-
коммутант G' конечен (лемма Шура).Если факторгруппа
G/t,kG конечна, то и подгруппа yk+\G конечна. Если
подгруппа yk+iG конечна, то и факторгруппа G
конечна.
§ 2. Разрешимые группы
2.1. Нильпотентные и полициклические группы.
Нормальный ряд
с абелевыми факторами GtJGl + l будет центральным
в группе G, если действие группы G на его факто-
факторах, определенное формулой {yGi + l) ox^fxyx~lGi+i,
xeG, у е G{, оказывается тождественным. Послед-
Последнее на языке взаимных коммутантов означает, что
[G, Gt]^Guu 1<£<л.
Для членов нижнего {ytG} и верхнего {£/G} цен-
центральных рядов произвольной группы G справедливы
156 — гл. п. группы . -
включения: [ymG, ynG]^ym+nG (m,neN), [ymG,
X>nG] ^ tn-mG (ri^z m ^ 1). Группа G нильпотентна,
если она обладает центральным рядом конечной
длины.
Приведем некоторые свойства нильпотентных
групп.
1) Если G — нильпотентная группа и Я— такая
подгруппа, что G = HG', то Я = G, в частности, ком-
коммутант G' содержится в подгруппе Фраттини <D(G)
группы G. 2) Если G — нильпотентная группа и
Е ф Я <j G, то ЯПl\G ф Е. 3) Если А — любая мак-
максимальная абелева нормальная подгруппа в нильпо-
нильпотентнои группе G, то А совпадает со своим центра-
централизатором С о (А). 4) Любая подгруппа конечно по-
порожденной нильпотентнои группы конечно порождена,
т. е. конечно порожденные нильпотентные группы нё-
теровы. 5) Произведение NM нормальных нильпо-
нильпотентных подгрупп произвольной группы G — снова
нормальная нильпотентиая подгруппа в G*).
Совокупность Т (G) периодических элементов ниль-
нильпотентнои группы G является подгруппой, распадаю-
распадающейся в прямое произведение своих примарных
(т. е. р-) подгрупп.
Базисные коммутаторы свободной группы F с ба-
базисом хи ..., хт определяются по индукции:
1) Ci = xi, i=\, 2, ..., г, — базисные коммута-
коммутаторы веса один: ш(д:,)=1. 2) Пусть базисные комму-
коммутаторы весов, меньших п, уже определены и упорядо-
упорядочены так, что коммутаторы веса i следуют за комму-
коммутаторами меньших весов, и между собой упорядочены
произвольным способом. Тогда базисными коммута-
коммутаторами веса п являются коммутаторы^ = [Cj, С/], где:
а) С; и Cj — базисные коммутаторы и а>(с,-) +а>(с/) =
= п; б) с,- > Cj, и если с,- = [cs, ci], то с/ 2э Ct.
Если F — свободная группа с базисом хи х2, . . ., хг
и с, < с2 < • ■ • < ct — упорядоченная последователь-
последовательность всех базисных коммутаторов весов 1, 2, ..., п,
то произвольный элемент fef однозначно предста-
представим в виде f = c[l ... с1/ modyn+lF, /.eZ. Образы
при естественном гомоморфизме \nF -*-ynF/yn+iF ба-
*) Произведение всех нильпотентных нормальных подгрупп
Fitt G группы G называется подгруппой Фиттинга группы G.
Подгруппа Fitt G нормальна в G и локально нильпотентна.
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ - 157
зисных коммутаторов веса п образуют базис свобод-
свободной абелевой группы ynF/vn+\F- . " '
Примеры. 1) 'Пусть R — ассоциативное кольцо с едини-
единицей, тогда группа UT(n, R) нильпотентна ступени п—1.
2) Пусть R— ассоциативное кольцо с единицей, S — его под-
кольцо со свойством S" = 0. Тогда G = <1 -}- х|х е S) — под-
подгруппа мультипликативной группы R*. Обозначим через G(/) =
= <1 + х | х «= S1). Тогда [G<'>, G<'>] < GC+", и группа G ниль-
нильпотентна.
Пусть G— группа операторов, действующая на
группе N. Семейство {JV,-10 ^ i ^ k} G-операторных
подгрупп из N назовем флагом длины k, если No = N,
Nk = E и Ni+l ^ Nit i = 0, . . ., k — 1. Действие G на
флаге назовем нильпотентным, если индуцированное
действие G на N;/N;+\ является тождественным для
всех i, 0 ^ i <L k.
Если G действует на флаге длины k точно и ниль-
потентно, то G является нильпотентной группой сту-
ступени ^^B )• Если флаг — центральный ряд для N,
то ступень G не более чем k— 1.
Если G-операторная группа N является векторным
пространством над полем, а элементы из G дей-
действуют как линейные преобразования, то нильпотент-
нильпотентность действия G означает, что в N существует та-
такая база, относительно которой все элементы из G
будут представлены унитреугольными матрицами.
Нильпотентные действия важны в исследованиях по алге-
алгебраической топологии. Если X — линейно связное топологиче-
топологическое пространство и G — его фундаментальная группа, то G
действует на всех гомотопических группах Лп{Х). Говорят, что
пространство является нильпотентным, если все эти действия
являются нильпотентными; в частности, группа G в этом случае
также является нильпотентной. Теорема Уайтхеда о гомотопи-
гомотопической эквивалентности односвязных CW-комплексов обобщает-*
ся на нильпотентные пространства.
Любая конечно порожденная нильпотентная груп-
группа без кручения (Jf-группа) является подгруппой
группы UT(n,Z) для подходящего числа п. В свою
очередь, подгруппы из UT(n,Z) являются ./Г-груп-
пами.
Для группы UT(n,Z) строится, начиная с клетки
в правом углу, центральный ряд с циклическими фак-
факторами без кручения. Поэтому и для любой ./Г-группы
158 гл- и-
также существует центральный ряд, факторы кото-
которого изоморфны Z.
Пусть R — биномиальное кольцо, т. е. область це-
целостности, содержащая Z в качестве подкольца и
вместе с каждым элементом % все биномиальные
коэффициенты:
Нильпотентная группа G ступени т называется
R-степенной, если для любых ieG и % е R одно-
однозначно определен элемент хке G, причем выпол-
выполняются следующие аксиомы (х,у,хи ..., хп — произ-
произвольные элементы из- G; К, \i—произвольные эле-
элементы из R):
ij X == Х7 X Х^1 —
О) Aj Ag • • • л>п — I
где %i{x) есть i-е слово от хи х2, ..., хп, определяе-
определяемое рекуррентно из соотношения
х\х'2 ...х*а = х\ (х) т2 (д:^)... т£_,(;с)( '-• )т, (х),
в свободной группе с базисом хи ..., хп.
Пусть G есть ^-степенная группа. Подгруппу Я
группы G будем называть R-степенной подгруппой,
если она замкнута относительно возведения в любую
степень %^R. Замыкание HR подгруппы Н есть наи-
наименьшая ^-степенная подгруппа, содержащая Я. Если
для множества {gJ;|ie/} элементов группы G под-
подгруппа (gijie/)" равна G, то множество {gjjie/}
называется системой порождающих ^-степенной груп-
группы G. Группа G называется группой без R-кручения,
если для всех geG, ^e R из равенства gK = 1 сле-
следует, что либо К = 0, либо g = 1.
Упорядоченный набор элементов щ, ..., ип назо-
назовем мальцевской базой ^-степенной группы G, если:
1) каждый элемент х из G можно единственным
способом представить в виде
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 159
2) пусть Gt = <Ы/, ..., un}R, тогда цепочка подгрупп
G = G] ^ ... образует центральный ряд группы G.
Элементы U{x), t2(x), ..., tn(x)— координаты
элемента х в базе Mi, м2, ..., ип. Координаты tt(xy)
произведения элементов х и у в фиксированной маль-
цевской базе являются многочленами над кольцом
Rz {Rz — кольцо частных для R, в котором обра-
обращаются элементы из Z) от 2я переменных t;(x), tj(y).
Аналогично, если ^е^, то координаты ti{xx) яв-
являются многочленами над кольцом Rz от n-f 1 пе-
переменной tt(x), К. Тем самым на степенной ^-группе
G, имеющей мальцевскую базу, определена струк-
структура аффинной алгебраической группы (см. [40],
[63]).
Если R — кольцо главных идеалов и G — конечно
порожденная ^-степенная группа без ^-кручения, то
мальцевская база в G всегда есть, а группа G изо-
изоморфна ^-подгруппе UT{n,R) для подходящего п.
Если S — подкольцо R, то группу G называют
S-onpedeленной, если существует мальцевская база
группы G, в которой умножение и возведение в сте-
степень задаются многочленами с коэффициентами из S.
Пусть G и Н—произвольные ^-степенные группы.
Структура ^-степенной группы позволяет среди гомо-
гомоморфизмов <р: G-+H естественно выделить следующие
подклассы:
1) R-гомоморфизмов, для которых (g*-)* = (g<p)*'
при любых ge G, ^eR;
2) R-скрещенных гомоморфизмов, для которых су-
существуют такой эндоморфизм 0 кольца R, что (^)ф =
— (g<t)M при любых gs G, X^R.
Теория категорий нильпотентных Я-групп парал-
параллельна теории нильпотентных групп и развита в [66],
[118].
Пусть G. является ^-степенной группой с маль-
цевской базой ии ..., ип; /г, gi, i= I, ..., п, — мно-
многочлены умножения и возведения в степень в этой
базе. Если # ^ S и S — биномиальное кольцо, то
можно построить новую группу Gs, называющуюся
S-пополнением группы G. Элементами Gs служат все-
всевозможные формальные произведения и{х . . . и^, £ге
eS, а умножение и возведение в степень задаются при
помощи многочленов ft, gi, i = 1, ..., п. При таком
160 гл. п. группы
определении Gs становится 5-степенной группой. Это
координатное определение пополнения пригодно толь-
только для групп, обладающих мальцевской базой. Опи-
Опишем категорный подход к определению пополнений
при следующих ограничениях:
1) рассматриваемые кольца R,S— являются коль-
кольцами главных идеалов,
2) ^-степенные группы являются группами без
^-кручения.
Пусть R ^ 5 — кольца, а N есть ^-степенная груп-
группа. Тогда 5-группа G будет называться тензорным
S-пополнением группы N, если существует ^-гомо-
^-гомоморфизм a: N-+- G такой, что для любой 5-группы Н
и C-гомоморфизма Лг-># существует однозначно оп-
определенный 5-гомоморфизм у: G-+H, делающий диа-
диаграмму
N ±_^G
н
коммутативной. Группу G будем обозначать через Ns.
Тензорное 5-пополнение ^-группы N определено
с точностью до 5-изоморфизма. Если в группе N су-
существует мальцевская база, то категорное и коорди-
координатное определения приводят к одной и той же
группе Ns.
о р
Пусть Nt—*■ N2—*■ !\f3 — точная последователь-
последовательность i^-групп. Тогда однозначно определены 5-гомо-
морфизмы as и |3S продолжающие а и J3, и после-
довательь.ость Ni—*■ N2—* N3 также является точ-
точной.
Если G — нильпотентная группа без кручения,
R = Z, S = Q, то группа GQ называется мальцевским
пополнением группы G. Если R=Z, S=Zp, то группа Gzp
называется р-адическим пополнением G. Подробнее
о тензорных S-пополнениях см. Мясников А. Г.,
Ремесленников В. Н.//Сиб. мат. ж.— 1982.—
Т. 23, №5. —С. 152—167.
Пусть я—множество простых чисел, a G — ниль-
нильпотентная группа. Говорят, что группа G п-локаль-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 161
на, если для каждого рфя отображение х\—>хр яв-
является биекцией. В силу этого определения конечная
р-группа является р-лвкальной группой. Если G есть
л-локальная группа, то она не содержит элементов
порядка р для р ф.к. Если я состоит из пустого мно-
множества, то G я-локальна тогда и только тогда, когда
G — делимая группа без кручения.
Абелева группа является я-локальной тогда и
только тогда, когда она допускает структуру Z| —,
я -
модуля.
Если G есть я-локальная группа и Н — ее под-
подгруппа, то Н является я-локальной тогда и только
тогда, когда она к'-изолирована (т. е. если gp e Я
для рфп, то ge#).
Теорема о локализации: пусть G — любая нильпо-
тентная группа, я — произвольное множество простых
чисел, тогда существуют а-локальная группа G>x и
гомоморфизм 0Л: G->Gji такие, что для любого го-
гомоморфизма a: G->#, где Н есть я-локальная груп-
группа, найдется единственный гомоморфизм р, для кото-
которого диаграмма
является коммутативной.
Подробнее о локализациях нильпотентных групп
см. [118]. Отметим, что л-локализация группы G —
это тензорное Zj —, р<^я!-пополнение группы. К со-
сожалению, в полном объеме теория тензорных S-no-
полнений пока еще не разработана.
Рассмотрим размерные подгруппы и точные пред-
представления. Пусть G — группа, ZG — целочисленное
групповое кольцо G, e: ZG->Z — кольцевой гомомор-
гомоморфизм тривиализации, продолжающий отображение
G->1. Ядро s — разностный (фундаментальный)
идеал g = {£ nsg\ Y, ng = 6}. Для натурального чис-
числа i i-я размерная подгруппа для G есть DiG= G (]
162 ГЛ. II. ГРУППЫ
ПA + 8') (см- п- 2.4). Непосредственно проверяется,
что y(G < DiG.
Если G — нильпотентная группа без кручения, то
существует такое число т, что DmG = Е; если, кроме
того, Ge J и G ступени с, то т = с-\- 1.
Пусть G — некоторая ^-группа ступени с, и пусть
nG — ранг свободного Z-модуля ZG/gc+1. Тогда дей-
действие G правыми умножениями на ряде
ZG/Q = go/S1 > 97'92 > > 9C/9C+1 > 0
определяет точное вложение а0: G-> UT(na, Z). На-
Назовем вложение ас каноническим представлением
Л?-группы G, a число Па — степенью канонического
представления.
Отметим связь нильпотентных групп с кольцами
Ли. Обозначим через NT(п, К)—множество верхне-
верхнетреугольных матриц над полем К нулевой характери-
характеристики с нулями на главной диагонали.
Для любого x = e-)-tte UT{n, К) (е — единичная
матрица) положим
= u-±u2+ ... + (—1)"
а для любого v e NT (п, К)— •
Тогда
log: С/Г (n, K)^NT(n, К) >!;-,»,,
exp: NT(n, K)^UT{n, К)
— взаимно обратные отображения, и для коммути-
коммутирующих матриц х, у имеем
log ху = Jog х + logy,
а для коммутирующих матриц и, v e NT(n,K)— -
exp (ы -f- v) = (exp u) (exp v).
Линейное пространство NT (n, К) над полем К.
становится алгеброй Ли, если положить (и, о)= uv —
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ {03
—'«ЯГ. Для любого вектора т = (ти ..., тг) с нату-
натуральными координатами определим
= [х, у, ..., у, х, ..., х, ...],
(и, v)ih = (u, v, ..., v, и, ..., и, ...).
раз
Существуют рациональные числа km такие, что для
любых двух матриц и, v^NT(ti,K) матрица
и * v = и + v + 2 km (и, v)л
in
(формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа) удов-
удовлетворяет равенству
(ехр и) (exp v) = ехр (и * v).
Для любых х, y^UT(n,K) logxy = (log*)*(logг/).
Для любой подгруппы G из UT(n,K) положим
L(G) = К log G. Тогда:
1) L(G) есть подалгебра Ли для NT(n,K);
2} expL(G) есть подгруппа UT(n,K);
3) если G есть /(-степенная подгруппа, то
expL(G) = G;
4) если ср есть К-автоморфизм /(-степенной группы
G из UT(n,K), то отображение ф: log*i—-э- \og(<$(x))
х ^ UT (п, К) является автоморфизмом алгебры Ли
L(G); верно и обратное, автоморфизм алгебры Ли
L(G) определяет автоморфизм группы G.
Категория /(-степенных нильпотентных групп и ка-
категория нильпотентных алгебр Ли над К, где К —
поле нулевой характеристики, изоморфны.
Переходя от поля К к кольцу Z, отметим, что
logUT{n, 2) не является Z-модулем, хотя и суще-
существует такое число гп, что mZlogG^logG для лю-
любой подгруппы G из UT(n,Z) (m зависит только п).
Группа G называется решеточной группой, если
log G является аддитивной группой матричного
кольца. Группа матриц
6*
164 * ГЛ. II. ГРУППЫ i:
— пример решеточной группы. Пусть G есть Л'-груп-
па, а0 — ее каноническое представление. Тогда пере-
пересечение всех решеточных подгрупп UT(na,Z), содер-
содержащих ao(G), является решеточной группой и обо-
обозначается Glat; [Glat: G] < оо. Аналогично, подгруппу
G из UT(n,Z) назовем лиевой группой, если log G
является кольцом Ли. Пересечение всех лиевых под-
подгрупп, содержащих ao(G), является лиевой подгруп-
подгруппой и обозначается GLie; [GLie : G] < оо.
С нильпотентной группой можно связать кольцо
Ли другим способом через понятие ассоциированного
кольца Ли (см. [24]). Последний метод оказался осо-
особенно плодотворным при решении проблем бернсай-
дова типа.
Группа G называется полициклической, если суще-
существует субнормальный ряд
с циклическими факторами. Рассмотрим основные
свойства полициклических групп.
Число бесконечных факторов в ряде (*) является
инвариантом полициклической группы; его называют
числом Хирша и обозначают h(G). Если H^G, то
h(H)^.h(G); h(H) = h(G) в том и только том слу-
случае, когда |G:#|<'oo. Если TV^jG, то h(G) =
= h(N)-\- h(G/N). Подгруппы и факторгруппы поли-
полициклических групп также являются полициклическими
группами. Ряд коммутантов полициклической группы
G не более чем через п—1 шаг обрывается на еди-
единице, т. е. группа G является разрешимой. Кроме
того, группа G конечно определена и финитно аппрок-
аппроксимируема. Абелевы и нильпотентные группы являют-
являются нолициклическими в том и только том случае,
когда они конечно порождены. Если каждая конеч-
конечная факторгруппа группы G нильпотентна, то и сама
группа G нильпотентна. Любая бесконечная полицик-
полициклическая группа содержит бесконечную абелеву нор-
нормальную подгруппу без кручения. Для любого нату-
натурального числа т факторгруппа G/Gm конечна.
В каждой полициклической группе существует
подгруппа конечного индекса, являющаяся расшире-
расширением нильпотентной группы посредством абелевой
группы.
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 165
Подгруппа Фиттинга Fitt G полициклической груп-
группы G является максимальной нормальной нильпотент-
ной подгруппой. Факторгруппа G/Fitt G для полицик-
полициклической группы G почти абелева.
Любая полициклическая группа G изоморфна под-
подгруппе группы GL(m,Z) при некотором т. Более
того, группы Aut G и Hoi G также могут быть вло-
вложены в группу GL(n,Z) при некотором п.
Пусть N — некоторая ЛР-группа и Л = Q log (o.NN)—
алгебра Ли. Автоморфизм ср группы N называется
полупростым [унипотентным], если соответствующий
автоморфизм ф алгебры Ли Л диагонализируемый
[унипотентный]. Говорят, что полициклическая
группа G, содержащая G, есть полупростое расщеп-
расщепление для G, если: 1) G = МУ- Т, где Af = Fitt(G)
есть ^-группа, Т — свободная абелева группа;
2) Т действует полупросто на М; 3) G <] G, Ст (М) = Е,
-q = MG = GT, 4) M = (M(]G)CM(T).
Полициклическая группа G называется расщеп-
расщепляемой, если она допускает полупростое расщепле-
расщепление. Два расщепления G\ и G2 группы G эквива-
эквивалентны, если между ними существует изоморфизм,
тождественный на G. В любой полициклической груп-
группе есть расщепляемая автсшорфно допустимая под-
подгруппа конечного индекса. Полупростые расщепления
для расщепляемой группы с точностью до эквива-
эквивалентности составляют конечное множество классов
полупростых расщеплений.
Если G = Af >* Т — некоторое полупростое расщеп-
расщепление для G, то G точно действует на ряде ZG/g =
= 9O/91#*S91/92#*S ■■■ ^9с/9с+1^О, и это действие ин-
индуцирует каноническое вложение а^-: G ->GL(n-Q, Z),
где n-Q~nM — степень канонического представления
группы М.
Пусть «ь ..., ak — полный набор попарно неэкви-
неэквивалентных канонических представлений полупростых
расщеплений для расщепляемой группы G. Тогда ка-
каноническое вложение для расщепляемой группы G
есть
<хс: G-+GL(nG, Z), gi~-^ diag (a{g akg),
166 гл. п. группы
и па = п\ + •■• + rik, где щ — степень канонического
представления ai, i = 1, ..., k.
Для произвольной группы G обозначим через sG
наименьшее натуральное число среди таких чисел s,
что Fs (где F = Fitt(G)) — группа без кручения,
/G = min {t s= N \FsGn — расщепляемая подгруппа};
Gsplit ад jFsGio'. Тогда отображение^: G-+GL(nG, Z)t
индуцированное aG ,it, называется каноническим пред-
представлением группы G; nG = j G : Gsp)it|nG . —степень
канонического представления.
Рассмотрим Q-определенную алгебраическую под-
подгруппу А группы GL(n,C) (см. 63). Для подкольца
R из С обозначим A (i?) = А П GL{n,R). Подгруппа Г
из A (Q) называется арифметической в А, если Г ^
<Л(Ц) и Г соизмерима с ЛB), т. е. ГП^B) имеет
конечный индекс в Г и в А(Т). Любая разрешимая
арифметическая группа почти расщепляема на ниль-
потентную и абелеву части. Более точно, в G есть та-
такая подгруппа конечного индекса Н, что Н — N s* T,
где JV является ,/Г-группой, Т — свободной абелевой
группой, Льобая ,/Г-группа, а потому и любая конечно
порожденная нильпотентная группа является ариф-
арифметической группой. Существуют полициклические
группы, не являющиеся арифметическими. Например,
пусть A ~Z3, Т с^Ъ2 и Т действует на Q®A непри-
водимо, а F—свободная нильпотентная группа сту-
ступени 2 и двумя свободными порождающими; р: Z7-»-
-*-Т — каноническое накрытие. Тогда группа G = Л>~
>• jF, где f e FfleficTByer на А сопряжением как эле-
элемент E(f) не является арифметической.
Арифметические подгруппы конечно определены и
конечные подгруппы в них составляют конечное мно-
множество сопряженных подгрупп.
Описание групп автоморфизмов конечно порожден-
порожденных нильпотентных групп основано на следующих
двух результатах:
а) Если G] и G2 соизмеримые (т. е. обладающие
изоморфными подгруппами конечного индекса) ко-
конечно порожденные нильпотентные группы, то Aut G\
и Aut G2 также соизмеримы.
б) Если G есть ,/Г-группа и G = GUe, то Aut G
совпадает с группой автоморфизмов соответствую-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 167
щего кольца Ли, а потому является арифметической
группой.
Группа автоморфизмов конечно порожденной ниль-
потентной группы является арифметической. Однако
группа автоморфизмов полициклической группы не
обязана быть арифметической группой.
Если G — полициклическая группа и Л = Aut G, то
существует В 4^ Л такая, что А/В — конечно порож-
порожденная почти абелева группа, В — арифметическая
группа.
Любая полициклическая группа является ФАС-
группой (теорема Ремесленникова—Форманека).
Из этого результата следует: 1) положительное ре-
решение проблемы сопряженности в классе полицикли-
полициклических групп (см. п. 4.4); 2) решение конгруэнц-про-
блемы для разрешимых подгрупп из GL(n,Z).
Пусть G — полициклическая группа, представлен-
представленная как подгруппа группы GL(n,Z), и Km—{g^
<= GL(n,Z) \g= emodm}, O^meN. Тогда: a) G =
= П GKm> б) в G положительно решается конгруэнц-
m
проблема, т. е. каждая подгруппа конечного индекса
в G содержит G П Km Для некоторого пгфО.
Определим на полициклической группе G ^
^GL(n, Z) две топологии: проконечную топологию
(см. п. 33) и конгруэнц-топологию (базис окрестно-
окрестностей единицы состоит из подгрупп Km П G, meN).
Предыдущий результат допускает следующую тополо-
топологическую переформулировку: а) каждая полицикличе-
полициклическая группа G<£iGL(n,Z) замкнута в конгруэнц-топо-
логии группы GL(n,Z); б) если G — полициклическая
группа, G ^ GL(n, Z), то конгруэнц-топология на G
совпадает с проконечной топологией.
Пусть G — полициклическая группа, #" (G) — мно-
множество ее конечных гомоморфных образов.
Существуют почти циклические нильпотентные сту-
ступени 2 группы G и Н такие, что fF(G) = &'(H), но
сами группы не изоморфны. Соответствующие коды
групп: G=<a,&||a25=l, Ь~1аЬ = а6}, Н =(c,d\\a25 =
= 1, d-'cd=cI1>.
Если G — полициклическая группа, то все полицик-
полициклические группы Н такие, что 2Г\Н) = 2F (G), состав-
составляют конечное множество классов изоморфных
групп {теорема Груневальда — Пиккеля — Сегала).
168 гл. и. группы
Мощность этого множества называют родом группы.
Полициклические группы рода 1 пока не описаны.
Полициклические группы—наиболее широкий
класс групп, в котором все классические алгоритми-
алгоритмические проблемы нашли положительное решение.
Любая полициклическая группа является ФА-,
ФАВ-, ФАС-группой, а потому в ней разрешимы про-
проблемы равенства, вхождения и сопряженности.
Проблема изоморфизма разрешима для класса
полициклических групп (теорема Груневальда — Се-
гала).
Разрешающий алгоритм базируется на следующих
трех основных алгоритмах. Пусть G — полицикличе-
полициклическая группа, заданная порождающими и определяю-
определяющими соотношениями.
Алгоритм 1. По группе G алгоритм вычисляет
верхнюю границу t для числа ta, определенного на
с. 166.
Алгоритм 2. По группе G и числу t~> ta алго-
алгоритм вычисляет число по (г) и находит целочисленное
представление aa{t): G-> GL(na{t), Z), т. е. выпи-
выписывает матрицы, соответстьующие данным порождаю-
порождающим группы G.
Алгоритм 3. Для данного числа п и полицик-
полициклических подгрупп Л и В из GL(n,Z), заданных по-
порождающими матрицами, алгоритм дает ответ на во-
вопрос о сопряженности А и В в GL(n,Z).
2.2. Разрешимые группы. Для произвольной группы
G равносильны следующие условия:
A) G обладает конечным субнормальным рядом
с абелевыми факторами,
B) G обладает конечным нормальным рядом
с абелевыми факторами,
C) ряд коммутантов G ^ G' ^ ... ^ G(n) ^ ...
через конечное число шагов обрывается на единице.
Группа G разрешима (см. с. 85), если выполнено
одно из условий A) — C). Ряды подгрупп в A) — C)
называются разрешимыми рядами. Наименьшее п со
свойством G(n) = Е — ступень разрешимости группы
G. Разрешимые группы ступени разрешимости <1п
составляют многообразие, обозначаемое через §1". При
п=\ — это многообразие абелевых групп, при п =
= 2 — многообразие метабелевых групп. Нильпотент-
ные и полициклические группы также являются разре-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 169
шимыми. Класс разрешимых групп замкнут относи-
относительно подгрупп, факторгрупп и расширений. Произ-
Произведение двух нормальных разрешимых подгрупп в про-
произвольной группе является разрешимой подгруппой.
В произвольной линейной группе G (в том числе
и в конечной группе) существует единственная мак-
максимальная нормальная разрешимая подгруппа. Эта
подгруппа называется разрешимым радикалом груп-
группы G, и в факторгруппе по ней нет неединичных раз-
разрешимых нормальных подгрупп.
Пусть F — свободная группа, N^F, N' — комму-
коммутант N. Тогда группа G = F/N' является расшире-
расширением абелевой группы N/N' посредством группы Н =
= F/N. Группа F/N' изоморфна подгруппе сплете-
сплетения АгН, где А — свободная абелева группа, ранг
которой совпадает с рангом F (вложение Магнуса —
Шмелькина). Если Н—разрешимая группа ступени
п, то G — разрешимая ступени п-\- 1, и если Н — сво-
свободная разрешимая группа, то G — также свободная
разрешимая группа ступени разрешимости на единицу
больше. Эта конструкция позволяет индукцией по
ступени разрешимости получать результаты о свобод-
свободных разрешимых группах и группах, близких к ним.
Свободные разрешимые группы являются ФА-,
ФАС-группами, а потому в них положительно ре-
решаются алгоритмические проблемы равенства и со-
сопряженности. Факторы нижнего центрального ряда
свободной разрешимой группы являются свободными
абелевыми группами.
Если G = <*ь ..., Xk\\n=l, ..., /ч=1> — код
разрешимой группы G в многообразии %п, п^1, я
I < k, то среди элементов хи ..., xk можно выбрать
k — / таких, образы которых порождают в G свобод-
свободную разрешимую группу ступени п (Романов-
(Романовский Н. С.//Алгебра и логика, 1977. — Т. 16, № 1.—
С. 88—97).
Рассмотрим группы конечного ранга. Рангом
группы G называется наименьшее число г со свой-
свойством: все конечно порожденные подгруппы G порож-
порождаются не более чем г элементами. Если такого числа
не существует, то говорят, что G — группа бесконеч-
бесконечного ранга.
Примеры. 1) Пусть р — простое число. Ранг силовской
р-подгруппы GL(n, Z/pmZ) ие превосходит числа Eя—1)я/2.
170 гл. п. группы
2) Все конечно порожденные подгруппы группы Т(п, Q) тре-
треугольных матриц порядка п над Q являются группами конеч-
конечного ранга.
Класс групп конечного ранга замкнут относи-
относительно подгрупп, факторгрупп и расширений. Следую-
Следующий результат выясняет влияние структуры абелевых
подгрупп разрешимой группы на структуру самой
группы.
Всякая разрешимая группа, ранги абелевых под-
подгрупп которой конечны, сама имеет конечный ранг
(теорема Карга/голова).
Среди разрешимых групп конечного ранга наибо-
наиболее изучены минимаксные группы, т. е. такие группы,
в которых есть конечный ряд, факторы которого удов-
удовлетворяют либо условию максимальности, либо усло-
условию минимальности для подгрупп. Класс минимакс-
минимаксных групп замкнут относительно подгрупп, фактор-
факторгрупп и расширений; разрешимая минимаксная группа
имеет конечный ранг.
Если А — абелева минимаксная группа, то А =
= В®С, где С — конечно порожденная группа,
а В — прямая сумма конечного числа квазицикличе-
скюс групп.
Если G— разрешимая минимаксная группа, то в
ней существует нормальный ряд Е <] R^F <] G такой,
что R— прямое произведение конечного числа квази-
квазициклических групп, F/R — Fitt G/R, F/R — нильпо-
тентная группа, G/F — конечно порожденная почти
абелева группа.
Конечно порожденная разрешимая группа конеч-
конечного ранга является минимаксной группой (теорема
Зайцева—Робинсона).
Если R — коммутативное кольцо с единицей, то
группа T(n,R) является разрешимой, причем ее ком-
коммутант содержится в группе UT(n,R), а потому ниль-
потентен.
Пусть G— разрешимая группа матриц, G =^
^.GL(n,K), и поле К алгебраически замкнуто.Тогда
в группе G существует триангулируемая (т. е. со-
сопряженная подгруппе из Т(п,К)) нормальная под-
подгруппа Т конечного индекса в G, не превосходящего
некоторого числа, зависящего только от п (теорема
Колчина—Мальцева).
Эта теорема определяет структуру линейной раз-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 17|
решимой группы: конечное расширение группы с ниль-
потентным коммутантом. Все разрешимые группы, не
удовлетворяющие этой структуре (например, свобод-
свободные разрешимые группы ступени /^3), не являются
линейными.
Ступень разрешимости любой группы G, лежащей
в GL(n,K), где К—поле, не превосходит некоторого
числа, зависящего только от п.
Пусть G — конечно порожденная метабелева груп-
группа. Если при этом G' — группа без кручения, то G
точно представима матрицами над полем характери-
характеристики нуль (Ремесленников В. Н.//Алгебра и
логика, 1969. —Т. 8, № 3. —С. 72—76), а если G'
есть р-группа, то G представима точно матрицами над
полем характеристики р (Wehr fritz В. A. F.//Can.
J. Math.—1975. —V. 27, N 6. — P. 1355—1360).
Разрешимая группа G конечного ранга точно пред-
представима матрицами над полем характеристики нуль
тогда и только тогда, когда в G существует нормаль-
нормальная нильпотентная подгруппа N без кручения, такая,
что G/N почти абелева (М ерзляков Ю. И.//Ал-
гебра и логика, 1968. —Т. 7, № 3. —С. 63—104).
Приведем некоторые свойства конечно определен-
определенных разрешимых групп. Группа G, заданная кодом
G = (a, s, t\\a( = aas, [s, /]=l=[a, as]} является
метабелевой, а ее коммутант — свободная абелева
группа бесконечного ранга. Более того, каждая ко-
конечно порожденная метабелева группа может быть
вложена в конечно определенную метабелеву группу
(см. [116]).
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Для
каждой конечно порожденной подгруппы G группы
T(n,R) существует коммутативное кольцо 5, содер-
содержащее R, и конечно определенная подгруппа G груп-
группы Т(п, S), которая содержит образ G в T(n,S) (см.
[116]).
Пример. Пусть R = Z[l/p] — кольцо рациональных чисел,
знаменатель которых есть степень простого числа р, G — группа
матриц формы ' ,
• ! f 1 * * * 1 ' '" '
172 ' "•' гл. п. группы
над кольцом R с диагональными элементами вида рк, k e Z.
Группа О конечно определена, а ее центр состоит из матриц с
единственной звездочкой в правом верхнем углу, а потому изо-
изоморфен R+; в частности, G — группа, центр которой не конечно
порожден (см. [116]).
Конечно определенные метабелевы группы можно
характеризовать при помощи геометрических инва-
инвариантов, теория которых была развита Бири и Штре-
белем (см. [116]). Пусть А — свободная абелева группа
ранга п, тогда Нот (Л, R) — действительное линей-
линейное пространство размерности п с евклидовой метри-
метрикой. Назовем два гомоморфизма эквивалентными,
если они отличаются друг от друга на положительное
действительное число. Классы эквивалентных гомо-
гомоморфизмов [а] без нуля образуют компактное тополо-
топологическое пространство 5(А), изоморфное сфере 5"~г
в R". Для каждого ае Нот (Л, R) определим множе-
множество
4 = {ае Л|а(а)>0}.
Тогда Аа — полугруппа, и пусть ZAa— подкольцо в
целочисленном групповом кольце ЪА группы А (по-
(построение 2Аа зависит только от [а]). Наконец, для
каждого конечно порожденного ZA-модуля М оп-
определим геометрический инвариант 2m={MgS (A) \
М конечно порожден над ZAa}; —Ем— противопо-
противоположное (на сфере) множество для Ем-
Будем говорить, что конечно порожденный ZA-mo-
дуль ручной, если Ем1К—Z«) = S(.A). Оказывается,
что каждое расширение аддитивной группы ручного
модуля М с помощью конечно порожденной абелевой
группы А является конечно определенной группой.
Предположим, что G — конечно порожденная ме-
табелева группа и G*b—G/G'. Пусть М — конечно
порожденный 2ОаЬ-модуль, полученный из G' дей-
действием Gab при помощи сопряжений. Тогда следую-
следующие условия эквивалентны:
A) G — конечно определенная группа,
B) Af>-Gab — конечно определенная группа,
C) М — ручной 20аЬ-модуль.
Пусть G — конечно порожденная %%-группа, т. е.
расширение абелевой группы А посредством полицик-
полициклической G/A. Превратим А в Z(G/A) -модуль, пола-
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ 173
гая; что G/A действует на А сопряжениями. В силу
конечной определенности полициклической группы
G/A модуль А получается конечно порожденным, а
групповое кольцо Z(G/A) удовлетворяет условию мак-
максимальности для правых идеалов. Многие вопросы об
ШР-группах удается переформулировать и решить в
терминах модулей над групповыми кольцами полицик-
полициклических групп. Основополагающей в этом направле-
направлении является теорема Роузблейда — Холла: если К—■
алгебраическое расширение конечного поля и G—■
почти полициклическая группа, то всякий простой
/CG-модуль конечномерен. Из этой теоремы следует
конечность монолитических конечно порожденных
Шр-групп (группа называется монолитической, если
пересечение всех ее неединичных нормальных подгрупп
также неединично). Так как любая группа аппрокси-
аппроксимируется своими монолитическими факторгруппами,
то всякая конечно порожденная Шр-группа является
финитно аппроксимируемой группой. Для широкого
класса конечно порожденных Шр-групп получен более
тонкий вариант финитной аппроксимируемости. Имен-
Именно, пусть G — конечно порожденная группа с абелевой
нормальной подгруппой А, такой, что G/A полицик-
лична. Если А является р-группой, то G почти вся ап-
аппроксимируется конечными р-группами. Если А —
группа без кручения, то для почти всех простых чисел
р группа G почти вся аппроксимируется конечными
р-группами (Segal D.//J. London Math. Soc.—■
1975. —V. И, N 4. —P. 445—452).
Рассмотрим обобщения нильпотентности. Основ-
Основными из них являются три: локальная нильпотент-
нильпотентность, энгелевость и нильпотентная аппроксимируе-
аппроксимируемость.
Говорят, что группа локально нильпотентна, если
все ее конечно порожденные подгруппы нильпотентны.
Локально нильпотентными группами являются:
1) группы UT(оо, К), К — поле, являющиеся ин-
индуктивными пределами семейств групп {UT(n, К),
neN};
2) гиперцентральные группы — группы, обладаю-
обладающие возрастающим центральным рядом;
3) группы с кормализаторным условием — группы,
в которых нормализатор любой собственной подгруп-
подгруппы строго больше этой подгруппы.
174 ГЛ. II. ГРУППЫ
Подгруппы и факторгруппы локально нильпотент-
ных групп сами локально нильпотеитны. Результаты
п. 2.1 о пополнениях и локализациях переносятся на
локально нильпотентные группы, ибо возникающие
при их доказательствах функторы перестановочны
с индуктивными пределами.
Элементы конечного порядка локально нильпо-
тентной группы образуют подгруппу T(G), разлагаю-
разлагающуюся в прямое произведение своих силовских под-
подгрупп, а всякая максимальная подгруппа группы G
является нормальной. Во всякой группе произведение
двух нормальных локально нильпотентных подгрупп
есть локально нильпотентная подгруппа (теорема
Плоткина — Хирша). Подгруппу, порожденную в про-
произвольной группе нормальными локально нильпотент-
ными подгруппами, называют радикалом Плоткина—
Хирша.
Класс (S энгелевых групп строго содержит класс
локально нильпотентных групп. Многообразие ограни-
ограниченных энгелевых групп @„ строго содержит многооб-
многообразие всех нильпотентных групп ступени / ^ п.
Энгелева группа с конечными абелевыми подгруп-
подгруппами является конечной нильпотентной группой, в ча-
частности, конечная энгелева группа нильпотентна. Вся-
Всякая л-энгелева разрешимая группа без кручения,
а также n-энгелева линейная группа нильпотентна.
Группа G нильпотентно аппроксимируема, если
|~| ynG = E. Более общо, пусть X — класс групп. Груп-
п
па G называется ^-аппроксимируемой (GgsJ), если
для всякого gGG\{l} существует гомоморфизм
ф: G-*-К, где /(еЖ, такой, что (pig)^^. Введем
обозначения для классов: 51 — класс всех нильпотент-
нильпотентных групп, 9?о—класс нильпотентных групп без кру-
кручения, %р — класс всех конечных р-групп, \— класс
нильпотентных групп конечного р-примарного пе-
периода. О следующих ниже результатах см. в [88].
а) Классы групп R%, R9t, RWP замкнуты относи-
относительно подгрупп и декартовых произведений.
б) Свободные, свободные нильпотентные, свобод-
свободные разрешимые группы принадлежат классам R4U,
в) Пусть G — произвольная группа, g — фунда-
фундаментальный идеал ее целочисленного группового
§ 2. РАЗРЕШИМЫЕ ГРУППЫ [75
оо
кольца. Тогда f] g" = 0 тогда и только тогда, когда
n=i _
либо G e R%), либо G дискриминирует \j 3ip (группа
р
дискриминирует класс групп X, если для любого на-
набора хь ..., j:bgG\{1} существует такой гомомор-
гомоморфизм ф: G -*К, К gX, что ф (я,) Ф 1, . .., ф (хт) Ф 1).
г) Для свободной группы F ранга ^2 и N <^F
эквивалентны следующие условия:
A)
B) П 9" = 0, где G = F/N.
n=l
д) Свободное произведение нильпотентно аппрок-
аппроксимируемых групп не обязано быть нильпотентно ап-
аппроксимируемой группой; примером служит группа
СB)*СC).
е) Классы групп R% и Я5р замкнуты относительно
свободных произведений.
Группа Ggs31 называется нильсвободной или па-
расвободной ранга г, если она содержит свободную
группу F ранга г, такую, что естественный гомомор-
гомоморфизм F/ynF -^G/ynG является изоморфизмом для
всех п ^ 1. Группа <а, b, c\\a2b2 = с3) является ниль-
нильсвободной ранга 2, но не свободной группой.
Говорят, что группа локально разрешима, если все
ее конечно порожденные подгруппы разрешимы (ср.
с. 93). Подгруппы и факторгруппы локально разре-
разрешимых групп сами локально разрешимы. Отметим
ряд свойств локально разрешимых групп.
а) Локально разрешимая группа без кручения ко-
конечного ранга является разрешимой.
б) Локально разрешимые линейные группы над
полем являются разрешимыми.
в) Всякая периодическая локально разрешимая
группа, у которой ранги абелевых подгрупп конечны,
сама имеет конечный ранг (Горчаков Ю. М.//ДАН
СССР.— 1964.— Т. 156, № 1. —С. 17—20).
г) Существует локально разрешимая группа без
кручения бесконечного ранга, все абелевы подгруппы
которой имеют конечный ранг.
д) Произведение двух нормальных локально раз-
разрешимых подгрупп группы не всегда является ло-
локально разрешимой подгруппой.
176 ' ГЛ. II. ГРУППЫ
Отказываясь от условия конечности ряда в опре-
определении разрешимой группы, получаем классы обоб-
обобщенных разрешимых групп, называемые классами Ку-
роша—Черникова. Первые из этих классов опреде-
определяются следующим образом:
SN—группа1 обладает разрешимой субнормальной
системой;
SN' [SN^] — группа обладает разрешимой систе-
системой, вполне упорядоченной по возрастанию [по убы-
убыванию] ;
SN — всякую субнормальную системы группы
можно уплотнить до разрешимой субнормальной си-
системы. Если в этих определениях заменить слово «суб-
«субнормальная» на слово «нормальная», то получаем со-
соответственно классы: SI, SI' [Sfi], SI, если же заме-
заменить слово «субнормальная» на слово «центральная»,
то получаем соответственно классы: Z, Z' \Z'\, Z.
Говорят, что для абстрактного теоретико-группо-
теоретико-группового свойства справедлива локальная теорема, если
всякая группа, локально обладающая этим свойством,
сама обладает этим свойством. Для свойств SN, SI,
Z, SN, SI, Z справедлива локальная теорема (тео
рема Мальцева).
§ 3. Группы с дополнительной структурой
Систематическое изложение общей теории тополо-
топологических групп можно найти в монографиях [7], [8],
[52], [58]. Теории упорядоченных групп посвящены
монографии [20], [22], [39], [72], а теории проко-
нечных групп — '[25], [57], [104].
Все необходимые для понимания факты из общей
топологии имеются в книге Келли [19].
3.1. Топологические группы, Множество G, являю-
являющееся одновременно группой и хаусдорфовым тополо-
топологическим пространством, называется топологической
группой, если групповые операции непрерывны. Фор-
Формально это выражается в требовании непрерывности
отображения (х, y)t-^ ху~1 из прямого произведения
пространств G X G в пространство G. В этом случае
топология на множестве элементов группы G назы-
называется групповой.
Говорят, что топологическая группа G обладает
каким-либо топологическим свойством (компактна, ди-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 177
скретна, связна и т. п.), если этим свойством обла-
обладает топологическое пространство G. Алгебраические
свойства G (абелевость, нильпотентность и т. д.) от-
относятся к ее групповой структуре.
Гомоморфизмом топологической группы G в топо-
топологическую группу Н называется непрерывное ото-
отображение ф: G->#, являющееся гомоморфизмом
групп (т.е. (p(gig2)=q>(gi)q>{g2) Для всех gug2^G).
Часто гомоморфизм топологических групп называют
непрерывным гомоморфизмом. Гомоморфизм ф: G->
->■ Н называется (топологическим) изоморфизмом,
если существует гомоморфизм ty: #->G топологиче-
топологических групп, являющийся обратным к ф отображением.
В этом случае топологические группы G и Н назы-
называются изоморфными (с обычным обозначением
G^H)*).
Для любого g^G отображения lg: xi—^gx (ле-
(левый сдвиг) и rg: xt-^-xg (правый сдвиг) являются го-
гомеоморфизмами пространства G. Поэтому простран-
пространство G однородно; для любых а, Ь е G гомеоморфизм
ha~l переводит точку а в точку Ъ. В частности, аб-
абстрактный гомоморфизм ф: G-># непрерывен, если
он непрерывен в единице ее G.
Из однородности G вытекает, что топология G оп-
определяется ее топологией в точке. А именно, если
{£/,-Jie/}—базис окрестностей единицы группы G,
то семейство [gUi\g ^.G, j'e/} является базисом то-
топологии пространства G.
Критерий базиса в единице: семейство U подмно-
подмножеств абстрактной группы G, каждое из которых со-
содержит единицу eeG, является базисом окрестно-
окрестностей единицы некоторой групповой топологии на G
тогда и только тогда, когда выполнены следующие
условия:
а) для любых U, Veil и для любой точки х е
se U П V существует такое Fell, что xW s U (]V;
б) для любого O'gU найдется такое W e U, что
WW-1 <= U;
*) В некоторых старых работах гомоморфизмами топологи-
топологических групп назывались только открытые непрерывные гомо-
гомоморфизмы, а гомоморфизмы в нашем определении — представле-
представлениями. Основанием для такой терминологии служило то, что
теорема об изоморфизме для топологических групп (см. далее)
справедлива для открытых непрерывных гомоморфизмов. ,
178 гл. п. группы
в) для любого (УеИ и произвольного элемента
geG существует такое Ifei, что gWg~l s U;
г) пересечение всех множеств из U содержит толь-
только единицу е (условие хаусдорфовости).
Наименьшая мощность базы окрестностей еди-
единицы топологической группы G называется ее ло-
локальным весом и обозначается Wo(G); весом G
называется наименьшая мощность w(G) базы тополо-
топологии группы G. Топологическая группа G удовлетво-
удовлетворяет первой аксиоме счетности [второй аксиоме счет-
ности], если ее локальный вес [ее вес] счетен.
Пространство топологической группы вполне регу-
регулярно *).
Существуют топологические группы, пространства
которых не являются нормальными. Пример такой
группы будет приведен ниже.
Пространство локально компактной топологиче-
топологической группы нормально.
Примеры топологических групп. Одной из це-
целей этого перечня является введение стандартных обозначений
для ряда часто встречающихся топологических групп.
1) Аддитивная группа R" n-мерного векторного простран-
пространства над полем вещественных нисел с обычной топологией.
Группа R" часто называется п-мерной векторной группой.
2) Группа Z целых чисел с дискретной топологией. Мульти-
Мультипликативная группа Т комплексных чисел модуля 1 с тополо-
топологией индуцированной топологией комплексной плоскости. Груп-
Группа Т называется группой окружности или одномерным тором.
3) Аддитивная группа Zp целых р-адических чисел; базис
окрестностей нуля образуют подгруппы pmZp, m ^ 0. Аддитив-
Аддитивная группа Qp всех р-адических чисел; группа Zp является в Qp
открытым множеством.
4) Полные линейные группы GL(n, R) над полем веществен-
вещественных чисел R и GL(n, С) над полем комплексных чисел С. То-
Топология на GL(n, R) индуцируется топологией п2-мерного век-
векторного пространства R", в которое она естественным образом
вкладывается; аналогично для GL(n, С). Эквивалентная тополо-
топология задается базисом системы окрестностей единицы {Wm\m =
= 1, 2, ...}, где Wm состоит из таких матриц (ац), что \аи — 1|,
|а(/| < 1//п для всех 1 <: i Ф / <: п.
5) Группа унитарных матриц U(n, С)—подгруппа GL(n, С)
С индуцированной топологией.
Все перечисленные выше группы локально компактны, груп-
группа Z дискретна, группы Т и U(n, С) компактны. Группы R", Т,
GL(n, С), U(n, С) связны, группы Zp и Qp вполне несвязны,
*) Полная регулярность пространства топологической груп-
группы является, иа самом деле, следствием более слабого, чем хаус-
хаусдорфовость, условия: достаточно потребовать замкнутости одно-
одноточечных подмножеств (аксиома отделимости Го).
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 179
Произвольная абстрактная группа, снабженная
дискретной топологией, является топологической
группой.
Любая хаусдорфова топология на конечной группе
дискретна. Существуют также бесконечные группы,
даже счетные, на которых нельзя определить неди-
недискретную (хаусдорфову) групповую топологию.
Пример. Счетной нетопологизируемой группой может слу-
служить группа G = А(т, п)/Ст, где А(т, п)—построенная в [1]
группа без кручения, центр С которой изоморфен Z, а фактор-
факторгруппа А(т, п)/С — бесконечная группа нечетного периода
т. ^ 665. В группе G каждый неединичный элемент принадле-
принадлежит одному из следующих т замкнутых в любой групповой
топологии подмножеств: Ки — {di, йг dm~t) — все нееди-
неединичные элементы из С/Ст, Ki = {g e G\gm = di), I = 1, 2, ...
..., m — 1. Поэтому {е}—всегда открытое в G подмножество
(Ольшанский А. Ю.//Вестн. МГУ. Сер. мат., мех.— 1980.—
№ 3. — С. 103).
Всякая бесконечная абелева группа допускает не-
недискретную групповую топологию; подробнее см.
п. 3.2.
Приведем один из наиболее распространенных
приемов топологизации групп. Пусть в группе G за-
задано некоторое семейство подгрупп U, обладающее
следующими свойствами:
а) для любых #ь #2 из 11 найдется такая под-
подгруппа #3 е U, что #з ^ Н\ П #2",
б) если #eU, g^G, то g#g-'eU;
в) пересечение всех подгрупп из U состоит только
из единицы ееС
Множество U удовлетворяет условиям критерия
базиса в единице и может быть взято в качестве ба-
базиса окрестностей единицы некоторой групповой то-
топологии на G. Получившаяся топологическая группа
G является вполне несвязной.
Типичным примером топологии такого вида яв-
является топология подгрупп конечного индекса на фи-
финитно аппроксимируемой группе. Можно брать не все
подгруппы конечного индекса; например, р-адическая
топология на группе Z задается базисом окрестностей
нуля из подгрупп pmZ, m =0, 1,2, ...
Еще один пример — финитарная топология на
группе Symm(X) подстановок некоторого множества
X. Базисом окрестностей единицы объявляется си-
система подгрупп #f = {ae Symm(X) |a(*) = x для
180 • гл. и. группы - '
любого A'eF}, где F пробегает все конечные под-
подмножества множества X.
В качестве частного случая получаем топологию
Крулля на группе Галуа G(L/K) бесконечного рас-
расширения Галуа L/K полей. Группа G(L/K) считается
вложенной в Symm(L) и снабжается индуцированной
топологией. Группа Галуа G(L/K) является компакт-
компактной и вполне несвязной группой.
Подгруппой Я топологической группы G назы-
называется ее подгруппа (в алгебраическом смысле),
снабженная топологией, индуцированной топологией
пространства G. Подгруппа топологической группы
является топологической группой. Замыкание Я под-
подгруппы Я в G также является подгруппой. Если Я—
нормальная подгруппа топологической группы G, то
замыкание Я— также нормальная подгруппа. Ядро
Кег ф непрерывного гомоморфизма ф группы G в
группу Я является замкнутой нормальной под-
подгруппой.
Подгруппа Я называется локально замкнутой,
если для любой точки /jg// найдется такая ее окре-
окрестность U в G, что U(]H замкнуто в U. Локально
замкнутая подгруппа является замкнутой. В частно-
частности, замкнуты открытые и локально компактные под-
подгруппы.
Для любого подмножества X топологической груп-
группы G существует наименьшая замкнутая подгруппа
(X), порожденная (иногда говорят топологически по-
порожденная) подмножеством X. Подгруппа (X) совпа-
совпадает с замыканием подгруппы {X}.
Элемент g топологической группы называется
компактным, если порожденная им подгруппа (g)
компактна, и чистым, если (g) = (g)^Z. В локально
компактной группе всякий элемент либо компактен,
либо чист. Это вытекает из следующего более об-
общего утверждения: если Я ~ Z или W~R и ф — не-
непрерывный гомоморфизм Я в локально компактную
группу G, то либо ф — изоморфизм Я на подгруппу
Ф (Я) группы G, либо ф (Я) — компактная подгруппа G.
Для замкнутой подгруппы Я топологической груп-
группы G пространство смежных классов G/H (для оп-
определенности, левых) снабжается топологией, в ко-
которой открытыми подмножествами считаются образы
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 181
открытых подмножеств G при каноническом отобра-
отображении ф: G->G/H, gi-^gH. Отображение ф автома-
автоматически оказывается открытым. Определенная выше
топология на G/H совпадает с фактортопологией;
если для некоторого топологического пространства X
и отображения %: G/H-+X композиция %ф: G-+-X
непрерывна, то % — непрерывное отображение.
Топологическое пространство G/H однородно. Из
замкнутости Н в G вытекает полная регулярность
G/H.
Если N— замкнутая нормальная подгруппа, то
пространство G/Nc обычным умножением (xN) [yN) gg{
щ={ xyN является топологической группой, фактор-
факторгруппой G по N. Каноническое отображение ф: G-*-
-*-G/N — непрерывный и открытый сюръективный го-
гомоморфизм (естественный гомоморфизм).
Теорема об изоморфизме: если ф: G-+H — непре-
непрерывный и открытый сюръективный гомоморфизм, то
Я~ G/Кегф.
Пример. Гомоморфизм х I—>e2nix: R-> Т индуцирует изо-
изоморфизм R/Z ~ Т.
Если ф только непрерывен, то он индуцирует лишь
непрерывный абстрактный изоморфизм группы
G/Кег ф на Н. Не всякий непрерывный гомоморфизм
открыт: тривиальный пример — тождественное ото-
отображение id: Gd-+- G, где G — недискретная топологи-
топологическая группа, Gd — та же группа с дискретной топо-
топологией.
Если G, Н — локально компактные группы, а груп-
группа G а-компактна, то непрерывный гомоморфизм G
на Н всегда открыт.
Напомним, что о-компактным называется тополо-
топологическое пространство, представимое в виде объеди-
объединения счетного семейства компактных подмножеств.
Локально компактные группы со второй аксиомой
счетности, а также связные локально компактные
группы, а-компактны.
Пусть Н — замкнутая подгруппа, JV — замкнутая
нормальная подгруппа топологической группы G. Ес-
Естественный гомоморфизм G на G/N индуцирует изо-
изоморфизм Н/Н f]N с* HN/N, если либо N компактна,
либо подгруппы Н и HN локально компактны, а Н
182 ГЛ. II. ГРУППЫ
а-компактна. В общем случае это утверждение ме-
места не имеет.
Пусть N^M— две замкнутые нормальные под-
подгруппы топологической группы G. Тогда G/M с^
(G/N)/(M/N)
(
Если в определении топологической группы отка-
отказаться от требования хаусдорфовости, то замыка-
замыкание {ё} в G единицы является нормальной подгруп-
подгруппой и G/{e} — хаусдорфова группа. При этом произ-
произвольный непрерывный гомоморфизм -ф группы G
в хаусдорфову группу Н пропускается через фактор-
факторгруппу G/{e}, т. е. -ф = ■ф'ф для некоторого непре-
непрерывного гомоморфизма я|/: G/{e}->H и естественного
ф: G->G/{e}. Факторгруппа G/N может быть опре-
определена и для незамкнутой нормальной подгруппы N;
при этом {ё0} =N/N, где е0 — единица G/N.
Если N — замкнутая нормальная подгруппа G, то
будем говорить, что топологическая группа G являет-
является расширением группы N посредством G/N.
Теорема о расширении: если N— нормальная под-
подгруппа топологической группы G и обе группы N и
G/N компактны [локально компактны], то группа
G также компактна [локально компактна].
В топологической группе G связная компонента
единицы Go является замкнутой нормальной под-
подгруппой. Связной компонентой элемента g e G будет,
в силу однородности G, смежный класс gG0. Таким
образом, факторгруппа G/Go состоит из компонент
связности пространства G.
Группа G/Go вполне несвязна (т. е. ее связная
компонента состоит только из единицы). Для локаль-
локально компактных группы из полной несвязности выте-
вытекает нульмерность пространства.
Если G — локально компактная Ьиилне несвязная
группа, то каждая окрестность единицы G содер-
содержит открытую и, следовательно, замкнутую под-
подгруппу.
В любой окрестности единицы компактной вполне
несвязной группы содержится открытая нормальная
подгруппа.
Пусть N — замкнутая нормальная подгруппа ло-
локально компактной группы G. Тогда связная компо-
компонента единицы группы G/N равна замыканию образа
Go при естественном гомоморфизме.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 183
Если G — связная топологическая группа, то свя-
связен ее образ при произвольном непрерывном гомо-
гомоморфизме. Подгруппы и факторгруппы вполне несвяз-
несвязной группы также вполне несвязны. Если N— нор-
нормальная подгруппа топологической группы G и обе
группы N и G/N связны [вполне несвязны], то и
группа G связна [вполне несвязна].
Введем прямые произведения. Пусть {G(|/e/}—
семейство топологических групп. Его прямое произ-
произведение И G{ определяется как декартово (или пол-
ное прямое) произведение групп G,-, ig/, снабжен-
снабженное тихоновской топологией: базисом топологии
объявляется система подмножеств вида II Ut, где
Ut — открытые подмножества в G{, причем Ut = G{
для почти всех (всех за исключением конечного
числа) индексов / е /.
Прямое произведение конечного числа групп G\,
G2, .., Gn обычно обозначается G1XG2X ••• X Gn.
Для каждого подмножества/^/ определена про-
проекция рг/: Ц G,-> Ц Gjt переводящая набор (*,•),• е/
I S / / S /
в «усеченный» набор (*/)/е/; рг, — непрерывный и
открытый гомоморфизм.
Прямое произведение И G,- семейства топо-
логических групп вместе с набором проекций ргг,
ie /, однозначно определяется следующим универ-
универсальным свойством: для произвольного множества не-
непрерывных гомоморфизмов р( некоторой топологи-
топологической группы Я в группы G/, / е /, существуе; един-
единственный непрерывный гомоморфизм qp: Н -> И Gt
i/
удовлетворяющий для каждого ie/ соотношению
Pi = (рг«) о ф.
Связная компонента единицы прямого произве-
произведения Ц d равна Ц Gi0, где Gi0 — связная компо-
le/ is/
нента единицы группы G,-, i е /.
Если все группы Gt, i'g/, компактны, то ±1 G,-
также компактно.
Прямое произведение семейства локально ком-
компактных групп d, I e /, локально компактно тогда
184 .:■.■'.. ГЛ. П. ГРУППЫ. :.- .;...- ;
и только тогда, когда группы d компактны для почти
всех i'g/.
Если прямое произведение И Gt нормально, то
i е/
для всех i е= /, кроме, возможно, счетного числа,
группы Gi счетно компактны (т. е. из всякого покры-
покрытия группы Gi счетным семейством открытых мно-
множеств можно выбрать конечное подпокрытие). По-
Последнее утверждение позволяет дать следующий яв-
явный пример топологической группы, пространство ко-
оо
торой не нормально: прямое произведение ±1 Z счет-
/ = i
ного числа дискретных групп Z.
Для любого подмножества J ^ I совокупность
таких элементов (хг) е= И Gh что xt=e для всех
i <=/
i^J, является замкнутой подгруппой группы И Glt
is/
изоморфной И Gj. В случае J = {i} эту подгруппу
/s/
обозначим через G't; для каждого ie/ G\ — нор-
нормальная подгруппа И G{, называемая иногда пря-
мым сомножителем. Говорят, что группа G есть пря-
прямое произведение некоторой системы своих замкну-
замкнутых нормальных подгрупп Nh i e= /, если существует
изоморфизм G са Ц d, переводящий Af,- в прямые
i s/
сомножители G't, i e= /.
Сформулируем критерии разложимости в прямое
произведение, а) Если группа G локально компактна,
Nх, N2, •••, Nm — замкнутые а-компактные нормаль-
нормальные подгруппы G, то G является их прямым произ-
произведением тогда и только тогда, когда G = NXN2 ■ ■ ■ Nп
и NXN2 ... Nk{] Nk+l = Е для всех k = 1, 2, . .., m — 1.
б) Компактная группа G является прямым произве-
произведением семейства {Л^г|/е/} своих замкнутых нор-
нормальных подгрупп тогда и только тогда, когда G то-
топологически порождается множеством (J ./V,- и
п 'е/
I | М/ = Е, где Mj — подгруппа группы G, тополо-
топологически порожденная всеми Nt для i'g/\ {/}.
Определим полупрямые произведения и группы
автоморфизмов. Обозначим через Aut N группу (то-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 185
пологических) автоморфизмов топологической груп-
группы N. Будем говорить, что задано действие группы
Я на N, если зафиксирован гомоморфизм X: Н-*-
-*-AutN; условимся обозначать h-n = Ц/г) (я) для
Ле//, не N. Если Я — также топологическая груп-
группа, то действие Я на N называется непрерывным,
если непрерывно отображение Н~Х. N -*■ N, (h,n)t—>
н-э-Й-П.
Пусть Я, N — топологические группы и Я непре-
непрерывно действует на N. Полупрямым произведением
G = N>~H называется топологическая группа, про-
пространством которой является произведение про-
пространств Л^ХЯ, а групповые операции опреде-
определены по формулам (щ, h{) (n2, h2) gf, (щ (Л, • п2), й^г),
(л, /г) дд (/г • п, /г). Отметим, что непрерывность
так определенных групповых операций эквивалентна
непрерывности действия Я на N.
В группе G = N>-H содержится изоморфная N
замкнутая нормальная подгруппа N' = {(n, e) \n e N}
н изоморфная Я подгруппа Н' ={(е, h) \h e Я}; при
этом ограничение на Н' естественного гомоморфизма
G^-G/N' является топологическим изоморфизмом
Я' на G/N'.
Предположим, что в топологической группе G
имеется замкнутая нормальная подгруппа N и замк-
замкнутая подгруппа Я такие, что ограничение естествен-
естественного гомоморфизма G-+-G/N является изоморфизмом
Я на G/N. Тогда говорят, что G является полупря-
полупрямым произведением N и Я, или что группа G рас-
расщепляется над N. При этом отображение N>- Н->
-> G, (n, h)>—> nh, является топологическим изомор-
изоморфизмом, где полупрямое произведение N~>~H соот-
соответствует действию h-n = hnh-1 группы Я на N.
def
Пусть теперь N — замкнутая нормальная подгруп-
подгруппа топологической группы G. Тогда эквивалентны
следующие свойства: A) G расщепляется над N;
B) группа G локально компактна, и существует та-
такая замкнутая а-компактная подгруппа Я, что G =
= Nil, .N П Я = Е\ C) существует такая замкнутая
подгруппа Я группы G и такой непрерывный эндо-
эндоморфизм if: G^-G, что Keri|j=./V, i|j(G) = # и
'ф(h) = h для любого ЛеЯ.
886 iv гл. и. группы
Если группа N локально компактна, то ее группа
автоморфизмов может быть превращена в топологи-
топологическую группу. Групповая топология на AutN за-
задается базисом системы окрестностей единицы (тож-
(тождественного автоморфизма), состоящей из подмно-
подмножеств вида
W (К, t/) = {ae Aut N |a*1 (k) k~le=U
для любого k g К),
где К пробегает множество компактных подмножеств_
N, U — некоторый базис системы окрестностей еди-
единицы N.
Действие группы Н на локально компактной груп-
группе N непрерывно тогда и только тогда, когда соот-
соответствующий гомоморфизм X: H-+-AutN непрерывен.
Группа AutR" топологически изоморфна GL(n, R).
Группы AutZ" и AutT" дискретны и изоморфны
GL(n, Z). Группы AutZp и AutC(/?°°) топологически
изоморфны мультипликативной группе Z* кольца Zp
целых р-адических чисел (с естественной топологией),
группа AutQ —мультипликативной группе Q* поля
р-адических чисел.
Если G — локально компактная вполне несвязная
группа или компактная абелева группа, то группа
Aut G нульмерна.
Если G — топологическая группа, то для каждого
g^-G внутренний автоморфизм ag: x>—>gxg-1 яв-
является топологическим, а гомоморфизм G -*■ Aut G,
переводящий g e G в ag, непрерывен. Для локально
компактной нормальной подгруппы N группы G огра-
ограничение на N внутренних автоморфизмов определяет
непрерывный гомоморфизм G^-AutN.
Если G — связная группа, N — локально компакт-
компактная нормальная подгруппа G, являющаяся либо
вполне несвязной, либо компактной абелевой груп-
группой, то ./V содержится в центре G.
Рассмотрим проективные и индуктивные пределы.
Частично упорядоченное множество Л называется на-
направленным, если для любых к, j.i e Л найдется та-
такое vgA, что К ^ v, \1 ^ v.
Пример направленного множества дает множество
N натуральных чисел с естественным порядком.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 187
Проективная (или, иначе, обратная) система то-
топологических групп над Л состоит из набора тополо-
топологических групп Gi,), G Л, и множества непрерывных
гомоморфизмов (связывающих гомоморфизмов проек-
проективной системы) g£: G%->G для каждой пары i~^\i
элементов из Л, удовлетворяющих следующим усло-
условиям: а) ф£ = 1с!0 для всех 1еЛ; б) Ф;Ж = ф£ для
всех троек v^\i^X из Л.
Пределом проективной системы {Gv ф£ [ X, це Л},
или проективным пределом, называется топологи-
топологическая группа G = \\raG% вместе с множеством не-
непрерывных гомоморфизмов {проекций) ф^: G -> G^,
1еЛ, удовлетворяющих условиям: 1) ф;1ф*- = ф для
всех % ^ ц; 2) если Н — некоторая топологическая
группа, я^: H->G%, ileA,—такое множество непре-
непрерывных гомоморфизмов, что "Ф^Ф^ ^ "Фи Для всех к^ц
из Л, то существует единственный непрерывный гомо-
гомоморфизм я|з: H->G такой, что 1^ = %, Для всех
Я.е=Л.
Из универсального свойства прямого произведения
вытекает, что в качестве HmG^ можно взять (зам-
(замкнутую) подгруппу в Ц Gx, состоящую из таких эле-
ментов (gK), что gy, = ф£ (gjj для всех X > \i из Л;
проекцией ф^ будет тогда ограничение проекции рг\
И Gx->Gk. Отсюда вытекает, что совокупность под-
множеств ф~'(£/А гДе ^Л, U% — окрестности
единицы в группе Gx, образует базис окрестностей
единицы в группе G = lim G^.
В частности, каждая окрестность единицы в G
содержит для некоторого К ядро Кег фа..
Если в проективной системе все группы G% ком-
компактны [вполне несвязны], то ее предел lim G^,—
также компактная [вполне несвязная] группа.
Подмножество S направленного множества Л
называется кофинальным, если для любого 1еЛ
в подмножестве 2 найдется элемент ц^Я. Типичный
пример кофинального подмножества в Л — подмно-
подмножество {% е Л | К ^ и-} Для произвольного цеА. Для
188 ГЛ. П. ГРУППЫ
кофинального 2 ^= А система {G^, <p£[^, и- ^ 2} явля-
является проективной системой над 2, подсистемой исход-
исходной проективной системы над Л. Ее предел HmXeSG^
изоморфен пределу НтЯбЛ0я; изоморфизм дает огра-
ограничение проекции ptj.: И G%-> И Gx. Поэтому, если
группы Gx проективной системы обладают тем или
иным свойством при всех К ^ ц для некоторого цеЛ,
то можно, уменьшив проективную систему, считать,
что G^ обладают этим свойством для всех к.
Далее, если положить G'x = q>x(G), где G = limGv
то U}'v фА| — проективная система над Л с сюръек-
тивными связывающими гомоморфизмами ц>'% (рав-
(равными ограничениям дЛ на G^) и тем же проективным
пределом: lim G'X = G.
Если связывающие гомоморфизмы ф£ проектив-
проективной системы сюръективны и ядра КегдЛ компактны
для всех К ^= ii из Л, то проекции д\: lim G%-+Gx
сюрьективны и открыты. Ядра Кегф^ компактны.
Таким образом, группа G = limG;l является про-
проективным пределом своих факторгрупп. Верно и об-
обратное: если G — топологическая группа, Кх — ком-
компактная нормальная подгруппа G для каждого Я из
направленного множества Л и Кх^К^ для всех
X^\i, то G = iimG/Kx (в качестве связывающих гомо-
гомоморфизмов в проективной системе рассматрива-
рассматриваются естественные гомоморфизмы G/Kx-+G/KVk =
(GIK)/(KdKJ
Примеры. 1) Zp = lira Z (pn) со связывающими гомомор-
гомоморфизмами q>Jf: x I—> xp . 2) JJ Gt— lim JJ G(, где F пробе-
пробеге/ ~^~ ie=F
гает совокупность всех конечных подмножеств в /, для F st
связывающее отображение Д С(-^ JJ G{ — проекция. 3) То-
isL ie=F
пологическая группа G является компактной и вполне несвязной
тогда и только тогда, когда G = lira Kv где К^ — конечные груп-
группы. 4) Частным случаем предыдущего является представление
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 189
группы Галуа G(LJK) бесконечного расширения L/K в виде
G (LJ К) — lim G (L.//C), где {L. |г <г /} — все конечные расшире-
расширения Галуа поля К, содержащиеся в L. Для L; Э L,- связываю-
связывающий гомоморфизм G(LilK) на G(Lj/K) определяется ограниче-
ограничением на L/ автоморфизмов из G(Li/K).
Теорема о непустоте: предел проективной системы
непустых компактных пространств всегда непуст.
Индуктивная (или прямая) система топологиче-
топологических групп G% со связывающими гомоморфизмами
1Й: G^ —> G при Х^и, из направленного множества
Л, индуктивный предел G = lim G% с гомоморфизмами
\,%: Gx-*-G определяются двойственно проективным
системам и пределам, т. е. направления гомоморфиз-
гомоморфизмов заменяются на противоположные. Точно так же,
как и для проективных пределов, индуктивный пре-
предел не изменяется, если ограничиваться лишь индек-
индексами из некоторого кофинального подмножества Л.
Заменяя группы Gx на их факторгруппы, можно по-
получить индуктивную систему с тем же пределом G и
инъективными гомоморфизмами ц,: Gk-+-G. Таким об-
образом, G = lim Gx представляется в виде индуктив-
индуктивного предела системы своих подгрупп i^(G^); при
этом G совпадает с объединением подгрупп ii(Gx),
lei
Если Л — направленное множество, G , АеЛ, —
Такое множество открытых подгрупп топологической
группы G, что G^^,GK при X ^ ц и G= (J G , то
dsA
G = \imGl (в качестве связывающих гомоморфизмов
берутся вложения G11 в Gx).
Метрика и равномерные структуры на топологи-
топологических группах определяются следующим образом.
Топологическая группа G называется метризуемой,
если на пространстве G существует метрика, тополо-
топология которой совпадает с исходной топологией на G.
Метрика р называется левоинвариантной, если
9{gx,gy)= p(x,y) для любых g, х, у<= G.
Топологическая группа метризуема тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности. При этом метрика может быть выбрана лево-
инвариантной.
190 гл. п. группы
Локально компактная окомпактная группа пред-
ставима в виде проективного предела своих метри-
зуемых факторгрупп.
В случае, когда топологическая группа не удов-
удовлетворяет первой аксиоме счетности, на ней рассмат-
рассматриваются равномерные структуры, обобщающие по-
понятие метрики.
На пространстве каждой топологической группы G
можно ввести следующие равномерные структуры.
а) Левая равномерная структура 3?g'- в качестве
базиса системы окружений диагонали в G X G берет-
берется система подмножеств L(U) = {(х, у) е G X
X G\x~ly <= U}, где U пробегает некоторый базис U
окрестностей единицы в G.
б) Правая равномерная структура 3ta'. берется
система подмножеств R (U) = {(х, у) <= G X G | ху-1 <=
££/[/£«}.
в) Двусторонняя равномерная структура $g- бе-
берется система подмножеств B(U) = L(U)f\ R(U) ,U e
ell.
Топологии, определяемые каждой из этих равно-
равномерных структур на G, совпадают с исходной топо-
топологией группы G. Левая и правая равномерные струк-
структуры изоморфны между собой; изоморфизм опреде-
определяется отображением х>—^х~1, igG.
Пример. Пусть G — метрнзуемая топологическая группа,
р — левоинвариаитная метрика на G, II = {U& \ е > 0} — базис
системы окрестностей единицы, где 1/Е = {g e G | p (g, e) < е}.
В этом случае (х, у) <s L (£/е) тогда и только тогда, когда
р {х, у) < е.
Отсутствие в топологической группе G счетного
базиса системы окрестностей единицы приводит к не-
необходимости рассматривать направленности элемен-
элементов G, т. е. наборы {%i\k е Л} элементов х% е G с на-
направленным частично упорядоченным множеством
индексов Л.
Говорят, что направленность {^|АеЛ} в G схо-
сходится к элементу g gG, если для любой окрестности U
точки g в G найдется такой индекс ц = ц((/)еЛ,
что хх е U для всех X ^ ц. Направленность {х% \ X е Л}
элементов топологической группы G называется
направленностью Kowm (или, иначе, фундаменталь-
фундаментальной направленностью) в левой [в двусторонней] рав-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 191
номерной структуре на G, если для любой окрестно-
окрестности единицы U из базиса % найдется такой индекс
ц = и- (U) е= Л, что x~lxv <= U [x^lxv <= U и л^л;-1 <= £/]
для всех Л, v^u. Всякая 'сходящаяся направлен-
направленность в G является направленностью Коши в двусто-
двусторонней равномерной структуре и, следовательно, в
левой равномерной структуре.
Топологическая группа G называется полной в ле-
левой (или в двусторонней) равномерной структуре,
если каждая направленность Коши в этой структуре
является сходящейся (к некоторому элементу из G).
Пополнением топологической группы G в равномер-
равномерной структуре 3'о или JfG называется полная в 3?q
или, соответственно, в J?g группа G, содержащая G
в качестве плотной подгруппы.
Если топологическая группа G полна, то G = G.
Топологическая группа G, полная в 3?а, полна и
в структуре J/G. Обратное неверно. Пополнение топо-
топологической группы в левой равномерной структуре
существует не всегда. Для его существования необ-
необходимо и достаточно выполнения следующего усло-
условия: если {лга.|А,еЛ}—направленность Коши в ле-
левой равномерной структуре, то и {x^'j^eA} —
также направленность Коши в этой структуре.
Если топологическая группа G обладает базисом
окрестностей единицы, состоящим из таких U, что
gi/g~' = £/ для всех jgG, to пополнение G в So
существует. В частности, абелевы группы пополняемы
в левой равномерной структуре.
Пример не пополняемой в левой равномерной структуре
группы дает группа Syram(X) для бесконечного множества X
(последовательность {ап = A, 2; ..., re)|reeN} является по-
последовательностью Коши в левой равномерной структуре, но не
в правой). Не будучи полной в левой равномерной структуре,
группа Symm(X) полна в двусторонней равномерной структуре.
Любая топологическая группа G пополняема в
двусторонней равномерной структуре. Если G попол-
пополняема и в 9?о, то ее пополнения в SB а и в Мо совпа-
совпадают. Для любой плотной подгруппы G топологиче-
топологической группы Я существует изоморфное вложение Я
в пополнение <5 группы G, которое переводит в себя
все элементы из G. Отсюда вытекает единственность
пополнения топологической группы.
192 ГЛ. II. ГРУППЫ , л
Топологическая группа G полна в 9$G тогда и
только тогда, когда G замкнута в любой содержащей
ее топологической группе.
Замкнутая подгруппа полной топологической
группы полна.
Если полная топологическая группа G удовлетво-
удовлетворяет первой аксиоме счетности, N— замкнутая нор-
нормальная подгруппа G, то факторгруппа G/N полна.
Расширение полной группы с помощью полной груп-
группы является полной группой. Прямое произведение
семейства полных топологических групп является
полной группой. Каждая локально компактная груп-
группа полна в левой равномерной структуре.
В приведенных утверждениях полнота может по-
пониматься как в левой, так и в двусторонней равно-
равномерной структуре."Существуют топологические груп-
группы, полные в левой структуре, обладающие непол-
неполными факторгруппами по замкнутым нормальным
подгруппам.
Пусть N&, АеЛ, — такая система нормальных
подгрупп топологической группы G, что каждая ок-
окрестность единицы в G содержит Ni для некоторого
1еЛ и для любых 1, цеЛ найдется такой veA,
что Nv ^ Ni П Av Тогда если все группы G/Ni полны,
то G = \\mGIN%.
3.2. Строение локально компактных групп. Топо-
Топологическая группа G называется локально евклидо-
евклидовой, если существует окрестность единицы U в G, го-
меоморфная окрестности W начала координат евкли-
евклидова пространства R". Гомеоморфизм a: U-+-W, пе-
переводящий единицу eeG в начало координат R",
определяет локальную систему координат в G:a(u) =
= («i, «2, ••-, ип), «; g R, для ке[/. В этих коор-
координатах групповые операции G задаются набором не-
непрерывных вещественнозначных функций. Точнее, су-
существует такая окрестность V s W начала координат
и непрерывные функции щ: УХ^-^-R, J=l. 2, ...
..., п, такие, что для и, иеа~'(У) элемент w =
= uv~l принадлежит U и Wt = \it(ui, «2, •••> «я.
Vi, V2, ••-. Vn) ДЛЯ /= 1, 2, ..., П.
Если в топологической группе G на некоторой ок-
окрестности единицы можно выбрать локальную си-
систему координат, в которой групповая операция за-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 193
дается аналитическими функциями \ц, i = 1, 2, ..., п,
то G называется группой Ли. Замкнутая подгруппа
и факторгруппа группы Ли (по замкнутой нормаль-
нормальной подгруппе) являются группами Ли. Пятая про-
проблема Гильберта, а точнее, вопрос, в который она
трансформировалась в процессе развития теории то-
топологических групп, заключается в следующем: яв-
является ли всякая локально евклидова топологическая
группа группой Ли?
Локально евклидова группа всегда локально ком-
компактна, а ее пространство локально связно. Из опре-
определения группы Ли вытекает, что она локально евкли-
евклидова. Положительное решение пятой проблемы Гиль-
Гильберта (см. [10]) основано на следующей серии ут-
утверждений.
Локально компактная группа G является группой
Ли тогда и только тогда, когда существует окрест-
окрестность единицы, не содержащая нетривиальных под-
подгрупп.
Если G— локально компактная группа с компакт-
компактной факторгруппой G/Go, то G является проектив-
проективным пределом групп Ли.
Это утверждение эквивалентно существованию в
каждой окрестности единицы U группы G компакт-
компактной нормальной подгруппы К, факторгруппа G/K, по
которой является группой Ли. Кроме того, произ-
произвольная локально компактная группа содержит от-
открытую подгруппу с компактной факторгруппой по
связной компоненте.
Локальной группой Ли L называется образ неко-
некоторой окрестности единицы W в группе Ли И при
таком гомеоморфизме qp: W -> L с: G, что ф(а>1ш~1) =
= ф (wx)(p(w2)~l для всех wu w2^WczH таких, что
В каждой окрестности единицы U локально ком-
компактной группы G содержится окрестность единицы
V, представимая в виде прямого произведения У==
= L X К, где L — локальная группа Ли, К—ком-
К—компактная подгруппа группы G.
Если группа G не является вполне несвязной, то
существует такая окрестность единицы U в G, что
для любого разложения У=1Х/( содержащейся
в U окрестности размерность dim L > 0.
194 ГЛ. II. ГРУППЫ
Если dim G < оо, то в разложении V — L X К ок-
окрестности единицы можно считать группу К вполне
несвязной.
Так как локально евклидова группа G конечно-
конечномерна, то отсюда и из локальной связности группы
G вытекает, что К—единичная группа, т. е. в G со-
содержится открытая локальная подгруппа Ли. Это
означает, что G — группа Ли.
Если G — топологическая группа, N <Jj G и группы
N и G/N являются группами Ли, то G — также
группа Ли.
Проективно лиевыми называют локально компакт-
компактные группы, представимые в виде проективных преде-
пределов групп Ли. Приведем некоторые их свойства.
Если G — локально компактная группа с компакт-
компактной факторгруппой G/Go, то любая компактная под-
подгруппа G содержится в максимальной компактной
подгруппе и каждые две максимальные компактные
подгруппы сопряжены в G между собой.
Пусть G — локально компактная группа с ком-
компактной факторгруппой G/Go, К — некоторая макси-
максимальная компактная подгруппа G. Тогда в G най-
найдутся изоморфные R подгруппы L\, L2, .... Ln такие,
что отображение (k, h, /2> .... /п)ь-> 6/1/2 ■■■ In яв-
является гомеоморфизмом произведения /CX^-iX ...
... XL» на G.
Отсюда, в частности, вытекает связность макси-
максимальных компактных подгрупп связных локально ком-
компактных групп. Поэтому из следующего утверждения
можно получить полную информацию о максималь-
максимальных связных абелевых подгруппах в связных ло-
локально компактных группах.
Если G — компактная связная группа, то каждый
элемент из G содержится в максимальной связной
абелевой подгруппе; все максимальные связные абе-
левы подгруппы G попарно сопряжены и совпадают
со своими централизаторами.
Компактная группа G делима тогда и только
тогда, когда она связна.
Локально компактная связная группа изоморфна
факторгруппе (/СХ М) /D, где К—компактная связ-
связная группа, не имеющая связных абелевых нормаль-
нормальных подгрупп, М — локально компактная связная
группа, все компактные нормальные подгруппы ко-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 195
торой лежат в центре, D — вполне несвязная под-
подгруппа центра группы К ХМ. Компактная связная
конечномерная группа изоморфна факторгруппе
(R"X L X K)/D, где L — полупростая компактная
группа Ли, К—абелева компактная вполне несвяз-
несвязная группа, D—конечно порожденная дискретная
подгруппа центра группы R" X L X К.
Если G — локально компактная группа, то на се-
семействе J? всех борелевских подмножеств существует
мера т, обладающая следующими свойствами:
а) т(К)<.оо для любого компактного подмно-
подмножества К',
б) т(£/)>0 для любого открытого подмноже-
подмножества U;
в) мера т регулярна;
г) мера т левоинвариантна, т. е. m(gM)= т(М)
для всех MeJ, ge G. Эта мера называется левой
мерой Хаара на G. Свойствами а) — г) она одно-
однозначно определяется с точностью до постоянного мно-
множителя. Другими словами, если ти mi — две левые
меры Хаара на G, то гп2(М) = ст.\{М) для некото-
некоторого с <= R, с > 0.
Интеграл Хаара (интеграл по левой мере Хаара)
на G левоинвариантен в следующем смысле:
\f{gx)dx=\f{x)dx
для любого geG. Если а — топологический авто-
автоморфизм группы G, то \ f (a~l (x)) dx также является
левым интегралом Хаара на G. Поэтому существует
такое число Д(а)>0, называемое модулем автомор-
автоморфизма а, что
Если а — внутренний автоморфизм G, соответствую-
соответствующий элементу g, то А (а) называется модулем A()
элемента geG. Имеет место соотношение
Отображение at—^-A(a) является непрерывным гомо-
гомоморфизмом топологической группы Aut G в мульти-
мультипликативную группу положительных вещественных
R* R
у
чисел R*+ ca R.
•196 гл. п. группы
Отображение g>—>A(g) является непрерывным го-
гомоморфизмом G в R"j_.
Группа G называетсяунимодуляркой, если A(g) =
= 1 для всех g e G или, эквивалентно, левый интег-
интеграл Хаара является одновременно правоинвариант-
ным. Компактные группы унимодулярны. Это может
быть обобщено до следующего утверждения:
Если в локально компактной группе G левая и
правая равномерные структуры совпадают, то G уни-
модулярна.
Локально компактные группы конечной меры
Хаара исчерпываются компактными группами. На
компактной группе G мера Хаара выбирается с до-
дополнительным условием m(G)=l и определяется им
однозначно.
Для любого неединичного элемента g компактной
группы G существует такое непрерывное неприводи-
неприводимое унитарное конечномерное представление р: G->-
-*-U(n, С), что g ф Кег р (теорема Петера—Вейля).
Отсюда немедленно вытекает проективная лие-
вость компактных групп.
Существуют локально компактные и даже ди-
дискретные группы, не имеющие нетривиальных конеч-
конечномерных представлений. С другой стороны, если
группа G локально компактна, g e G и g=£ е, то су-
существует бесконечномерное непрерывное неприводи-
неприводимое унитарное представление, ядро которого не со-
содержит g. Это утверждение- влечет теорему Петера—
Вейля, так как каждое непрерывное неприводимое
унитарное представление компактной группы конеч-
конечномерно.
Для локально компактной группы G с компакт-
компактной факторгруппой G/Go пересечение ядер всех ко-
конечномерных непрерывных неприводимых унитарных
представлений является единичной подгруппой тогда
и только тогда, когда Go ~ R" X К, где п ^ О, К —
компактная группа.
Определим двойственность Понтрягина. Исполь-
Используя аддитивную запись групповой операции, группу
окружности Т можно считать состоящей из веще-
вещественных чисел по модулю 1 (т. е. отождествлять Т
с R/Z).
Характером локально компактной абелевой
(л. к. а.) группы G называется непрерывный гомо-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 197
морфизм %: G—>Т. Совокупность G* всех характеров
группы G превращается в топологическую группу,
если групповые операции на ней задать равенствами
(Xi + %2)(g) = Xi(g) + X2(g), (—X)(g) = —%(g) для
def def
X, Х\> Хг е G*у g G G, а топологию определить базисом
системы окрестностей нуля, образованным подмноже-
подмножествами G* вида W(K, £/) = {xe=G*|x(tf)= V), где К
пробегает компактные подмножества G, U — некото-
некоторый базис системы окрестностей нуля в Т. Эта группа
G* называется группой характеров группы G.
Отметим, что всякое неприводимое унитарное пред-
представление абелевой группы одномерно. Так как одно-
одномерные унитарные матрицы — просто комплексные
числа модуля 1, то получаем, что характеры л. к. а.
группы разделяют ее точки.
Отображение g>~>(x(g)) л. к. а. группы G в ком-
компактную группу И Т является инъективным непре-
рывным гомоморфизмом.
Это утверждение позволяет на бесконечной абе-
абелевой группе G построить недискретную групповую
топологию. Для этого G вкладывается в компактную
группу И Т и снабжается индуцированной топо-
логией.
Пусть G, Н — л. к. а. группы, ф: G-+-H—непре-
G-+-H—непрерывный гомоморфизм. Обозначим через ф* отобра-
отображение из Я* в G*, заданное равенством <p*(%(g)) =
= %(ф(ёг)) Для X е ^*> g ^ G. Для любой л. к. а.
группы G группа характеров G* также является л. к. а.
группой.
Если ф: G-+Н—непрерывный гомоморфизм л. к. а.
групп, то ф*: Я* ->- G*—также непрерывный гомо-
гомоморфизм. При этом из открытости ф вытекает откры-
открытость ф*.
Справедливо равенство (фг|э) * = г|)*ф* для любых
непрерывных гомоморфизмов г|г. С?—>-//, ф.' Н^>-К.
л. к. а. групп.
Гомоморфизм ф* называется двойственным к ф;
группу характеров G* часто называют двойствен-
двойственной к G.
Так как G* — л. к. а. группа, то можно определить
ее группу характеров G**. Обозначим через ро
198 ГЛ. II. ГРУППЫ
отображение из G в G**. задаваемое равенством
Ра (В) (%) = X (g) Для хеС, ^С
Для любой л. к. а. группы G отображение р0 яв-
является топологическим изоморфизмом G на G**. Если
ф: G-+H—непрерывный гомоморфизм л. к. а. групп,
то'рнЦ> = ®**Pg (теорема двойственности Понтрягина).
Эта теорема позволяет отождествлять группы G
и G**, а также гомоморфизмы ф и ф**.
Если обозначить через LCA категорию локально
компактных абелевых групп и непрерывных гомо-
гомоморфизмов, то переход к двойственным группам и
гомоморфизмам оказывается контравариантным функ-
функтором из LCA в LCA. Теорема двойственности утверж-
утверждает, что этот функтор является двойственностью
LCA в себя в том смысле, что его квадрат — автоэк-
автоэквивалентность категории LCA.
Примеры. 1) Z'^T, T*^Z, R*OiR, Zp^Cip™)
С (р°Т ~ Хру Q* ^ Qp. 2) Если ф: G-+G переводит g ев G в
ng для seN, то ф*(х) = п% для всех % е G*.
Пусть Я — подгруппа л. к. а. группы G. Аннуля-
тором Н называется подгруппа Ях группы G*, со-
состоящая из таких характеров %, что %{h)—Q для
любого АеЯ. Аннулятор Ях всегда замкнут; Ях =
= (Я)±; HLL = H, если Я замкнута; Gx = {0} и
{0}x = G*. Если {p:'G-*H — непрерывный гомомор-
гомоморфизм л. к. а. групп, то Кег (ф*) = Aтф)х, 1т(ф*) =
-(КегФ)х.
Если Hit ie/, — семейство замкнутых подгрупп
л. к. а. группы G, то ( [\ ЯЛ1 = <Я/" | i e />,
Vie/ /
Из теоремы двойственности вытекает, что свой-
свойства л. к. а. группы G полностью определяются свой-
свойствами ее группы характеров G*. Переход от свойств
G к свойствам G** и обратно позволяет полнее изу-
изучить структуру л. к. а. групп.
Если Я — замкнутая подгруппа л. к. а. группы G,
то
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 199
В обоих случаях изоморфизм индуцируется двой-
двойственным отображением ф*, где ф — естественный го-
гомоморфизм G на G/H в первом случае и вложение
Я в G во втором.
Л. к. а. группа G компактна тогда и только тогда,
когда G* дискретна. Л. к. а. группа G связна тогда
и только тогда, когда все элементы в G* чистые.
Л. к. а. группа G вполне несвязна тогда и только
тогда, когда все элементы в G* компактные. Л. к. а.
группа G не имеет элементов конечного порядка
тогда и только тогда, когда в G* плотна подгруппа
p(G*) для любого простого р. Для компактной абе-
левой группы К ее размерность dim К конечна тогда
и только тогда, когда конечен Q-ранг гапко/С* ди-
дискретной группы К*. При этом dim/(= rank0A*.
Л. к. а. группа G метризуема (т. е. локальный вес G
счетен) тогда и только тогда, когда группа G* а-
компактна. Вес w(G) л. к. а. группы G равен весу
w(G*} ее группы характеров.
Отметим, что в силу теоремы двойственности, каж-
каждое из утверждений выше содержит, в действитель-
действительности, два утверждения. Так, например, вместе с пер-
первым из них справедливо утверждение:
Л.к. а. группа G дискретна тогда и только тогда,
когда G* компактна.
Введем несколько обозначений для л.к. а. груп-
группы G:
Ю — множество компактных элементов группы G;
из коммутативности G вытекает, что tG — замкнутая
подгруппа;
def
nG = {ng\g(=G},
def
Для л. к. а. группы G имеют место следующие ра-
равенства:
б) (nG)L = G*[n],
Пусть Я—подгруппа л. к. а. группы G. Тогда:
если Я открыта, то Ях компактна: если Я омпактна,
то Ях открыта.
• ГЛ. П. ГРУППЫ
Пусть Gi, /е/, — множество л. к. а. групп и в
каждой группе G£- выделена компактная открытая
подгруппа Н[. Обозначим через Ц (Gt \ Яг) подгруппу
прямого произведения Ц Glt состоящую из таких
элементов (gi), что gi е Яг для почти всех индексов
|'е/. Определим на группе 11 (G£-: Яг) топологию,
i<=i
объявив открытым содержащееся в ней компактное
(в тихоновской топологии) прямое произведение
Пя,
i е=/
Построенная группа Ц (G{ '. Яг) называется ло-
кальным прямым произведением групп Gt с отмечен-
отмеченными подгруппами Ни она всегда локально ком-
компактна. Если группы Gt компактны, то 11 (Gt '■ Gi) =
= ll Gi. Если группы Gi дискретны, то П (Gc : {еЛ) =
= 2 Gt — прямая сумма абелевых групп (с дискрет^
ной топологией).
Для любого семейства л. к. а. групп G,- с отмечен-
отмеченными компактными открытыми подгруппами Hi л
(П (G£: Я ,))* =, 1Ш : Я г1).
is/ (e/
Пусть теперь {G?, фА} — проективная система
л. к. а. групп над некоторым направленным множе-
множеством Л. Тогда {р*}, (фМ*} является индуктивной
системой над Л. Обратно, если Юк, фН — индуктив-
индуктивная система, то MG1)*, (фА)*} — проективная система
над Л.
Если G^limG^ — л. к. а. группа, то G* = limG*.
Если G = \imGk — л. к. а. группа, то G* = lim(G).
Пусть G, Я—л. к. а. группы, Hom(G, Я)—множе-
Я)—множество непрерывных гомоморфизмов из G в Я. Опреде-
Определив сложение на Hom(G, Я) по формуле (ф + if>) (g) =
= ф(<§г)+'Ф(<§г) Для ф, феНот(СЯ), g e G, и то-
топологию, взяв в качестве базиса системы окрестно-
окрестностей нулевого гомоморфизма семейство подмножеств
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 201
W(K, ^) = {ф|ф(-/С) £ U), где К пробегает компакт-
компактные подмножества G, U—некоторый базис системы
окрестностей нуля в Я, получим топологическую
группу Hom(G, Я).
Если G, Я — л. к. а. группы, то отображение
Ф>—>ф* задает топологический изоморфизм Hom(G,
Я) =~ Нот (#*,G*).
Для любой л. к. а. группы G отображение а>—>
i—^(а*)- задает топологический изоморфизм Aut G ~
-AutG*.
Произвольная л. к. а. группа G представляется
в виде G ~ R" X Н, где я < оо, л. к. а. группа Я об-
обладает открытой компактной подгруппой.
Элементарной л.к. а. группой называется группа
вида R" X Тт X Z' X Л где 0 < /, т, я< оо, .F — ко-
конечная группа. Класс элементарных л. к. а. групп со-
совпадает с классом компактно порожденных (т. е. то-
топологически порожденных своим компактным под-
подмножеством) абелевых групп Ли.
Каждая л. к. а. группа является объединением
(индуктивным пределом) своих открытых компактно
порожденных подгрупп.
Л. к. а. группа Я компактно порождена тогда и
только тогда, когда Я ~ R" X Z' X К, где 0 ^ /,
я << оо, К—компактная группа.
Компактно порожденная л. к. а. группа Я пред-
представляется в виде проективного предела своих эле-
элементарных факторгрупп.
Каждая л. к. а. группа представима в виде проек-
проективного предела своих факторгрупп, изоморфных пря-
прямым произведениям вида R" X Тт X А где 0^
^ т, я < оо, D — дискретная группа.
Л. к. а. группа вида R" X Тт X А где 0 ^ пг, я < оо,
D — дискретная группа, является объединением (ин-
(индуктивным пределом) своих открытых элементарных
подгрупп.
Пусть Я — л. к. а. группа с компактной открытой
подгруппой К', рассмотрим ряд подгрупп в Я:
В этом ряду Яо — связная компактная группа,
H/tH — дискретная группа без кручения, tH/H0 —
л.к. а. вполне несвязная группа, все элементы кото-
которой компактны.
202 гл. "• группы ' .' ;
Класс связных компактных абелевых групп и
класс дискретных абелевых групп без кручения двой-
двойственны друг другу. Локально компактная вполне
несвязная абелева группа, все элементы которой
компактны, является расширением компактной вполне
несвязной группы посредством дискретной периоди-
периодической группы. Классы компактных вполне несвяз-
несвязных абелевых групп и дискретных периодических
абелевых групп также двойственны друг другу.
Любая компактная абелева группа без кручения К
имеет вид К = К0ХК, где Ко—П^5, 5 — группа
характеров дискретной группы Q, а К ^ К/Ко —
^nirpzp.
р
Компактная периодическая абелева группа изо-
изоморфна прямому произведению конечных цикличе-
циклических групп, порядки которых ограничены в совокуп-
совокупности.
Топологическая группа называется монотетиче-
ской, если она топологически порождена одним своим
элементом.
Локально компактная монотетическая группа либо
изоморфна Z, либо компактна. Топологическая абе-
абелева группа К является компактной монотетической
группой тогда и только тогда, когда локальный вес
связной компоненты К не превосходит мощности кон-
континуума, а факторгруппа К/Ко= И Lp, где для каж-
р
дого простого числа р группа Lp изоморфна либо Zp,
либо Z(p") с п ^ 0, или, что эквивалентно, груп-
группа характеров К" дискретна и вложима в пря-
мую сумму X С(р°°) Ф Ш Q. где N [ — мощность кон
р
тинуума.
Пусть G — локально компактная вполне несвяз-
несвязная абелева группа, все элементы которой компактны.
Тогда для любого g e G подгруппа <g> изоморфна
факторгруппе группы Ц Zp. Элемент geG назы-
р
вается р-элементом, если <g> изоморфна либо Zp,
либо Z(pn), п ^ 0. В л. к. а. вполне несвязной группе
множество ее р-элементов образует подгруппу Gp,
иногда называемую р-силовской подгруппой.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 203
Пусть G— л. к. а. вполне несвязная группа, все
элементы которой компактны. Тогда G = Gp для не-
некоторого простого числа р в том и только том слу-
случае, когда для Н = G* также Н = Нр. Группа G раз-
разлагается в локальное прямое произведение G =
— TJ.(Gp:Kp) своих р-силовских подгрупп, где КР —
р
=Gpn К для произвольно выбранной в G компактной
открытой подгруппы К.
Рассмотрим обобщенно нильпотентные и разреши-
разрешимые группы. Топологическая группа G называется
разрешимой, если существует такой конечный ряд
замкнутых подгрупп G, что Gi+i ^ Gt для любого i =
= 0* 1, ..., п—1 и все факторы ряда Gi/Gi+i абе-
левы. Группа G нильпотентна, если в ней существует
такой ряд (*) замкнутых подгрупп, что Gi^G для
всех t = l, 2, ..., п и Gi/Gi+i содержится в центре
факторгруппы G/Gi+i.
Для того чтобы топологическая группа была раз-
разрешимой или нильпотентной, необходимо и доста-
достаточно, чтобы она обладала этим свойством как аб-
абстрактная группа.
Примеры. 1) Группа UT(n, К) унитреугольных матриц,
т.е. таких матриц (а,-,), что ац = 0 при i>/ и ац=\, яв-
является нильпотентной. 2) Группа Т(п, К) верхних треугольных
матриц является разрешимой.
Если в этих примерах К — некоторое локально компактное
поле (С, R или Qp), то получаем примеры нильпотентных и
разрешимых локально компактных групп.
Если G — локально компактная связная разреши-
разрешимая группа, то ее коммутант G' — нильпотентная
группа.
Связная компактная разрешимая группа абелева.
Локально компактная группа G называется про-
ективно нильпотентной [проективно разрешимой],
если в любой окрестности единицы U группы G со-
содержится такая нормальная подгруппа N, что. G/N—r
нильпотентная [разрешимая] группа. Другими сло-
словами, проективно нильпотентные [проективно разре-
разрешимые] группы — это в точности проективные пре-
пределы нильпотентных [разрешимых] групп.
204 ГЛ. н. группы
Локально компактная группа G называется ло-
локально проективно нильпотентной [локально проек-
тивно разрешимой], если любое конечное подмиоже:
ство G топологически порождает проективно нильпо:
тентную [проективно разрешимую] подгруппу. Связная
локально проективио нилыютентная [локально про-
проективно разрешимая] группа является нильпотентной
[разрешимой].
Если G — компактно порожденная локально про-
проективно нильпотентная группа, то G— проективный
предел нильпотентных групп Ли.
Если G — локально проективно нильпотентная
группа, то:
а) множество tG компактных элементов из G яв-
является замкнутой подгруппой;
б) Go и tG поэлементно перестановочны;
в) связная компонента (tGH группы tG является
центральной подгруппой в Go и совпадает с tG f] Go;
г) факторгруппа G/tG — локально нильпотентная
группа Ли без компактных элементов;
д) подгруппа N = Go- tG открыта в G и изоморфна
факторгруппе (L\tG)/С, где L — связная односвяз-
ная нильпотентная группа Ли, С — такая замкнутая
подгруппа прямого произведения Ly^tG, что СП
(") tG = Е, С П L — дискретная группа.
Если G — вполне несвязная локально проективно
нильпотентная группа, все элементы которой ком-
компактны, то для любого простого числа р множество
р-элементов из G образует замкнутую нормальную
подгруппу Gp и группа G разлагается в локальное
прямое произведение G — JJ {GP:KP), где KP = GP(]
р
П К для произвольно выбранной в G открытой ком-
компактной подгруппы Л'.
Множество U замкнутых подгрупп топологической
группы G называют субнормальным рядом в G, если:
а) U содержит единичную подгруппу Е и саму
группу G и линейно упорядочено по включению;
б) для любого подмножества l£ll подгруппы
LJ Я и П Н принадлежат П;
Wei Яе£
в) если подгруппы К и Я из U образуют скачок
ряда (т. е. К < Н и между К и Н нет подгрупп из U),
то К—нормальная подгруппа Н.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 205
Субнормальный ряд U в G называется разреши-
разрешимым, если для любого скачка К <\ Н ряда U фактор-
факторгруппа Н/К абелева. Ряд U называется нормаль-
нормальным, если все подгруппы из U—нормальные под-
подгруппы в G. Центральным называется такой нор-
нормальный ряд в G, что для любого скачка К, <\ Н фак-
факторгруппа Н/К содержится в центре G/K.
Определим классы Z, Z и N обобщенно ниль-
потентнЫх топологических групп следующим об-
образом:
G e Z, если G обладает центральным рядом;
G eZ, если каждый нормальный ряд в G можно
уплотнить до центрального;
G e fJ, если каждая подгруппа из G принадлежит
некоторому субнормальному ряду в G.
Классы RN, RN, RI и RI обобщенно разреши-
разрешимых групп определяются следующим образом:
G e RN, если в G существует разрешимый суб-
субнормальный ряд;
G e RI, если в G существует разрешимый нор-
нормальный ряд;
G e RN, если любой субнормальный ряд в G
можно уплотнить до разрешимого субнормального
ряда;
G e RI, если любой нормальный ряд в G можно
уплотнить до разрешимого нормального ряда.
Множество 3? замкнутых подгрупп топологиче-
топологической группы G называется локальной системой, если
G является объединением всех подгрупп из 9? и для
любых К, Н е 9? найдется такая подгруппа М е SB,
что К < М, Н < М.
Локальная теорема: если X — один из введенных
выше классов Z, Z, N, RN, RN, RI, RI и локально
компактная группа G обладает локальной системой
из подгрупп, принадлежащих классу X, то G также
принадлежит X.
Типичным примером локальной системы является
множество всех конечно порожденных подгрупп то-
топологической группы.
Локально компактная локально проективная раз-
разрешимая группа принадлежит каждому из классов
206 • гл. п. группы
Локально компактная локально проективно ниль-
потентная группа принадлежит каждому из классов
Z, N.
Каждая локально компактная группа G обладает
замкнутым локально проективно ннльпотентным ра-
радикалом Р(G) (т. е. наибольшим среди локально
проективно нильпотентных нормальных подгрупп
группы G).
Если G/Gq — компактная группа, то P(G)—про-
P(G)—проективно нпльпотентная группа.
Локально компактная группа G с компактной
факторгруппой G/Go обладает замкнутым проективно
разрешимым радикалом.
В каждой локально компактной группе G суще-
существует замкнутая нормальная подгруппа R0{G) — наи-
наибольшая среди связных разрешимых нормальных
подгрупп G. При этом RQ(G/R0(G)) = E.
В связной локально компактной группе G суще-
существует замкнутый разрешимый радикал R{G). При
этом R(G/R(G)) = E.
Пусть G — связная локально компактная группа
и £>(G) = £. Тогда G единственным образом предста-
вима в виде G = W. St где Si — связные простые
i е/ '
группы Ли, компактные для почти всех индексов
i из /.
3.3. Проконечные группы. Топологическая группа,
представимая в виде проективного предела конечных
групп, называется проконечной. Класс проконечных
групп совпадает с классом компактных вполне не-
несвязных групп.
Примеры. 1) Если G — такая ФА-группа, топология на
которой задана системой окрестностей единицы U, состоящей
из нормальных подгрупп конечного индекса, то пополнение
G J^f Ншдо eU G//V — проконечная группа. Если U — множество
всех нормальных подгрупп конечных индексов [индексов, деля-
делящихся только на простые числа из множества я, или индексов,
равных степеням некоторого простого числа р], то G назы-
называется проконечным пополнением \про-я-пополнением или про-р-
пополнением].
В частном случае G = Z получаем: группа целых о-адиче-
ских чисел Хр = lim Z/pnZ — про-р-пополнение Z, Zn ^ Jj Zp —
■* рея
при-к-пополненне Z. Проконечное пополнение Z будем обозна-
обозначать через Z,
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 207
2) Гвдппа Галуа G(L/K) расширения Галуа ЦК полей
проконеадая группа. Она представляется в виде проективного
предела своих конечных факторгрупп G (L / К) = lim G (Li / К),
где Lt пробегает все содержащиеся в L расширения Галуа поля К
конечной степени. Произвольная проконечная группа изоморфна
группе G(L/K) для подходящего расширения Галуа ЦК.
Через ©(/С) условимся обозначать абсолютную группу Га
луа поля К, т.е. группу G(Kse!>/K), где /Cssp — сепарабельное
замыкание К. Имеют место изоморфизмы: @(РЯ)~2,, где Fg-
конечиое поле; ®(C((t))) ^ Z, где C((t))—поле формальных
степенных рядов над алгебраически замкнутым полем С нулевой
характеристики.
Если G = limG/£/— проконечная группа, Н — ее
замкнутая подгруппа, то Я = lim HU/U.
Если N — нормальная замкнутая подгруппа про
конечной группы G = lim G/U, то G/N = lim G/NU.
Для любой замкнутой подгруппы Н проконечной
группы G существует непрерывное сечение a: G/H-+G
к естественному отображению qp: G->G/H, g^-^-gH,
т. е. фа = ido/я.
Системой порождающих проконечной группы G
называется подмножество X в G, топологически по-
порождающее группу G и обладающее следующим
свойством: любая окрестность единицы группы G
содержит почти все элементы из X. Через d(G) обо-
обозначим наименьшую из мощностей систем порождаю
щих G.
Пример. Если G = JJ Lt — прямое произведение своих
is/
конечных циклических подгрупп Ц = <§■;>, то множество
{gi\l^[} является системой порождающих X; d(G) sg |/|.
Каждая проконечная группа обладает системой
порождающих.
Если d(G) бесконечно, то d(G)= wo(G); если
d{G) < со, то локальный вес wQ(G) счетен.
Сверхнатуральным числом называется формальное
произведение Цр"р, где р пробегает множество всех
простых чисел, 0<«р<оо. Произведение двух сверх-
сверхнатуральных чисел Пр"р и Цртр определяется как
Црпр+тр. Для множества Щ р"р i ge/} сверхнату-
сверхнатуральных чисел их наименьшее общее кратное равно, по
208 ГЛ. И. ГРУППЫ
определению, Пр"р, где ntp — sup {яр | i e /}, а их
наибольший общий делитель равен IIpfep, где &р =
= min{np| i е /}. Говорят чгэ простое число q делит
сверхнагуральное число Ц рпр, если nq > 0.
Индексом подгруппы Н проконечной группы G на-
называется наименьшее общее кратное |G:#| мно-
множеств индексов \G : HU\, где 0 пробегает совокуп-
совокупность открытых нормальных подгрупп G. Порядок
\G\ проконечной группы G определяется как индекс
в G единичной подгруппы. Порядок подгруппы, по-
порожденной элементом geG, называется порядком
элемента g и обозначается |g|. Через n(G) усло-
условимся обозначать множество простых чисел, деля-
делящих порядок группы G.
Очевидно, что если К ^Н — замкнутые подгруппы
проконечной группы G, то \G : K\ = \G : Н \\ Н : К\.
Если множество замкнутых подгрупп {//г|г'е/} про-
проконечной группы таково, что для любых i, /e/
найдется такое fee/, что Hk ^.Htf\ H}, то индекс
I G: [\ Hi равен наименьшему общему кратному мно-
| is/
жества индексов | G : Я; |, ie/,
Отметим простейшие свойства проконечных групп.
Пусть ^—класс конечных групп, замкнутый относи-
относительно подгрупп, факторгрупп и конечных прямых
произведений. Проконечная группа G называется про-
W-группой, если G — lim Gx, где все Gx e W; это экви-
эквивалентно тому, что все конечные факторгруппы G
принадлежат классу W. Так образованные классы
про-^-груп"п могут быть охарактеризованы как замк-
замкнутые относительно замкнутых подгрупп, фактор-
факторгрупп и прямых произведений классы к проконечных
групп; при этом Я$ совпадает с классом конечных
групп из Ш.
Классы проконечных групп с перечисленными
выше свойствами называются многообразиями про-
проконечных групп. Если все группы G%, leA, некото-
некоторой проективной системы проконечных групп при-
принадлежат многообразию про-^-групп, то предел
lim Gx — также upo-'S'-rpynna.
Примеры многообразий проконечиых групп.
1) Про-р-группы; соответствующий класс *S состоит из конеч-
§ 3, ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 209
ных р-групп. Проконечная неединичная группа G является про-
р-группой тогда и только тогда, когда n(G) = {р}. 2) Про-я-
группы, где к — некоторое множество простых чисел; класс
Ч? — все конечные я-группы. Группа G является про-я-группой
тогда и только тогда, когда RJG)eii. 3) Проразрешимые
группы; 9—кл^сс всех конечных разрешимых групп. 4) Про-
нильпотентные группы; 'S — класс всех конечных нильпотентных
трупп.
Для многообразия npo-'S'-rpynn и проконечной
группы G обозначим через Ч?# (G) пересечение всех
открытых нормальных подгрупп группы G, фактор-
факторгруппы по которым принадлежат Ф. Факторгруппа
<?у = й/Ч?* (G) является наибольшей про-^-фактор-
группой группы G. Точнее, если -ф — непрерывный
гомоморфизм G в npo-'S'-rpynny Н, то ■ф = гроф для
гомоморфизма *ф0: G -> Н и естественного гомомор-
физма ф группы G на факторгруппу G .
Примеры. 1) Если 9 — класс конечных р-групп, К — не-
некоторое поле, то группа ©р (К) = © (Ю/'ё'* (© (К)) есть группа
Галуа G(KPIK), где Кр — максимальное р-расширение поля К,
т. е. объединение всех конечных расширений Галуа L/K с р-груп-
пами Галуа G(LJK) в фиксированном сепарабельном замыкании
поля К. 2) Если <S — класс конечных разрешимых групп, К —•
поле, то ©s (К) = © (К)/®1* (® (К)) — группа Галуа максималь-
максимального разрешимого расширения KsoU/K. 3) Для ФА-группы G и
многообразия про-в'-групп группа G является про-'З'-пополне-
нием группы G, т. е. пополнением G в топологии нормальных
подгрупп конечного индекса с факторгруппами из 9 (заметим,
что эта топология не всегда хаусдорфова).
Замкнутая подгруппа Н проконечной группы G
называется холловской, если порядок *|#| и индекс
\G:H\ взаимно просты. Для некоторого множества
к простых чисел п-холловской подгруппой G назы-
называется такая холловская подгруппа //, что я(Н)^л
и \G :H\ не делится ни на одно простое число из я.
При я={р} я-холловские подгруппы называются
р-силовскими.
Ясно, что тт-холловские [р-силовские] подгруппы G
являются максимальными про-я-подгруппами [про-р-
подгруппами] в G.
Произвольная проконечная группа обладает р-си-
р-силовскими подгруппами для каждого простого числа
р. Любые две р-силовские подгруппы проконечной
210 . ГЛ. И. ГРУППЫ
группы G сопряжены в G. Любая про-р-подгруппа
проконечной группы G содержится в некоторой р-ся-
ловской подгруппе.
Если р— простое число, я'— множество всех от-
отличных от р простых чисел, то зх'-холловская под-
подгруппа называется иногда р-дополнением.
Проконечная группа G проразрешима, тогда и
только тогда, когда G обладает р-дополнением для
каждого простого числа р.
Произвольная проразрешимая группа обладает
я-холловскими подгруппами для каждого множества
я простых чисел. Любые две я-холловские подгруппы
проразрешимой группы G сопряжены в G. Любая
про-я-подгруппа проразрешимой группы G содер-
содержится в некоторой я-холловской подгруппе G.
Проконечная группа G пронильпотентна тогда и
только тогда, когда для каждого простого числа р ее
р-силовская подгруппа является нормальной под-
подгруппой.
Если G — пронильпотентная группа, то G = JJ_GP,
р
где Gp есть р-силовская подгруппа G.
Если N— нормальная подгруппа проконечной
группы G, являющаяся ее холловской подгруппой, то
G = JV>- Н для # ~ G/W, и все такие подгруппы Н
попарно сопряжены в G.
Подгруппой Фраттини Ф(б) проконечной группы
G называется пересечение всех максимальных замк-
замкнутых подгрупп G. Отметим, что произвольная замк-
замкнутая подгруппа группы G содержится в открытой
максимальной подгруппе G. Для про-р-группы G
имеем <t>(G)=GP[G,G].
Подгруппа Фраттини проконечной группы про-
пронильпотентна.
Если HQ)(G)—G для некоторой замкнутой под-
подгруппы Н группы G, то Н = G.
Обозначим через M(G) пересечение всех макси-
максимальных замкнутых нормальных подгрупп проконеч-
проконечной группы G.
Для произвольной проконечной группы G фактор-
факторгруппа G/M(G) изоморфна прямому произведению
некоторого множества конечных простых групп.
Замкнутая подгруппа Н проконечной группы G
называется достижимой, если существует такой транс-
§3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 211
финитный ряд замкнутых подгрупп
G = Ki>K2>--->Ka = H,
что /Ся+1</Ся для всех Ко и /См= f] ^х Для
любого предельного числа (х ^ а. Нетрудно видеть,
что подгруппа Н достижима в проконечной группе G
тогда и только тогда, когда подгруппы HU субнор-
субнормальны в G для всех открытых нормальных подгрупп
U из G. Если Н — достижимая замкнутая подгруппа
проконечной группы G, то из HM(G)—G вытекает
H=G.
Определим когомологии проконечных групп. Пусть
G — проконечная группа. Абелева группа А с ди-
дискретной топологией, на которой определено непре-
непрерывное действие группы G, называется дискретным
G-модулем.
Эквивалентны следующие утверждения: A) А —
дискретный б-мо^уль, B) Л = ||Ли, где Аи =
и
= {a^A\ga — a для любого g^U}, a U пробегает
множество открытых нормальных подгрупп группы G.
Примерами дискретных G(L/K) -модулей могут
служить аддитивная L+ и мультипликативная L*
группы поля L.
Рассматривая подмодули Аи дискретного G-mo-
дуля А как модули над конечными группами G/U,
образуем для каждого п ^ 0 систему дискретных
абелевых групп Hn(G/U, Au) — групп когомологии
конечных групп G/U, где U пробегает множество U
открытых нормальных подгрупп G. Если U ^ V —
элементы из U, то естественный гомоморфизм G/U
на G/V и вложение Av в Аи определяют гомомор-
гомоморфизмы Hn(G/V, Av) в Hn(G/U, Au). В результате по-
получается индуктивная система абелевых групп. Пре-
Предел
Hn(G, A) = lim Hn {G/U, Аи)
этой системы называется п-мерной группой когомоло-
когомологии проконечной группы G с коэффициентами в ди-
дискретном G-модуле А.
Отображение, ставящее в соответствие каждому
дискретному G-модулю А абелеву группу Hn(G, A),
212 ГЛ. П. ГРУППЫ
является функтором из категории дискретных G-mo-
дулей в категорию дискретных абелевых групп.
Пусть Я— замкнутая подгруппа проконечной
группы G, А — дискретный Я-модуль. Дискретный
G-модуль Ма (Л) определяется как множество таких
непрерывных отображений f; G^-A, что h-f(g) —
= f(hg) для всех h^H, g^G, на котором опера-
операция сложения определена по формуле (fi -f f2) {g) =
= Mg)-T-Mg) Для g<^G> a действие группы G —
равенством (g ■ f) (x) = f (xg), x e G.
В случае, когда Я— единичная подгруппа, по-
построенный модуль обозначается через Ма(А) и назы-
называется коиндуцированными. В этом случае А — про-
произвольная абелева группа.
Совокупность функторов Hn(G,A), я ^ 0, из кате-
категории дискретных G-модулей в категорию абелевых
групп обладает следующими свойствами и однозначно,
с точностью до эквивалентности, определяется ими:
а) H°(G,A) = Aa;
б) H"(G,A) = 0 для всех я^1 и произвольного
коиндуцированного модуля А;
в) любой точной последовательности 0 —>-^—>-.8 —>-
—>-С—»-0 дискретных G-модулей соответствует точная
когомологическая последовательность
. . . -> Нп (G, А) -> Нп (G, В) -> Нп (G, С) ->
Если Я — подгруппа проконечной группы G, А —
дискретный Я-модуль, то гомоморфизм Ма (Л) -> Л,
/<—>/(е), определяет изоморфизм групп когомологий
H"{G, Ма (Л)) ^ Я" (Я, Л) для всех я^О (лемма
Шапиро).
Скрещенным гомоморфизмом называется такое
отображение f: G^*-A, что f(gh) = f(g)-]-g-f(h).
Отображения g>—>g-a — а, где а^А, называются
главными скрещенными гомоморфизмами. Группа
Hl(G,H) изоморфна факторгруппе группы всех не-
непрерывных скрещенных гомоморфизмов из G в Л по
подгруппе главных скрещенных гомоморфизмов.
Пусть Л — периодический дискретный G-модуль,
Ар — его р-примарная часть. Тогда Нп (G, Л) ==
= Y, Hn(G, Ap) для всех «>0.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 213
Если G — про-я-группа, р^яи дискретный G-mo-
дуль А является р-труппой, то Hn(G,A) = 0 для всех
п 5г 1.
Пусть G— проконечная группа, р — простое число.
Когомологической р-размерностью cdp G группы G
называется наименьшее число я такое, что Hq(G,A) =
= 0 для всех q > п и произвольного дискретного
G-модуля Л, являющегося р-группой. Если такого
числа п не существует, то cdp G = <х>. Когомологиче-
Когомологической размерностью cd G группы G называется
sup (cdp G) по всем простым числам р.
Для проконечнои группы G когомологическая
р-размерность cdp G ^ я тогда и только тогда, когда
//"+' (G, Л) = 0 для любого простого дискретного G-
модуля Л периода р.
Если G — про-р-группа, то единственным простым
G-модулем периода р является тривиальный модуль
Z/pZ. "
Если Н — замкнутая подгруппа проконечнои груп-
группы G, то cdp H г^ cdp G для любого простого р. Ра-
Равенство имеет место, если индекс [G: Н\ не делится
на р или если группа G не имеет элементов порядка
р, а подгруппа Н открыта.
Отметим, что если в G есть элементы порядка р,
то cdp G = оо. Кроме того, cdp G = cd Gp, где Gp есть
р-силовская подгруппа группы G.
Пусть N — замкнутая нормальная подгруппа про-
проконечнои группы G, m = cdp N и n = cdp(G/A/) ко-
конечны. Тогда cdP G <C m + п. Равенство имеет место,
если N содержится в центре G или N — про-р-группа,
а группа когомологий Hm{N, Z/pZ) конечна.
Пусть G — такая про-р-группа, что группы
Hl>{G,Z/pZ) конечны для всех ^ = 0, 1, ..., я. По-
Положим
%п (G) = Е (- О" dimZ/pz H" (G, Z/pZ).
0
Неравенство cdp G ^ я равносильно равенствам
%n(U) = \ G: U\%n(G) для всех открытых подгрупп
U грунпы G.
Если я = cdpG, то %n(G) называется характери-
характеристикой Эйлера — Пуанкаре про-р-группы G и обозна-
обозначается %(G).
214 ГЛ. II. ГРУППЫ
Определим свободные проконечные группы. Ото-
Отображение f множества X в проконечную группу G
называется сходящимся, если для любой окрестности
единицы U группы G множество X\f-l(U) конечно.
Пусть класс npo-'g'-rpynn является многообразием.
Про-Ф'-группа F<g называется свободной про-^б-груп-
про-^б-группой, если она содержит такую систему порождающих
X, что любое сходящееся отображение X в какую-
либо npo-'g'-rpynny H продолжается до непрерывного
гомоморфизма F%. в Я. Система порождающих X
чаето называется свободной базой группы F<$, а мощ-
мощность X — ее рангом rank F<g.
Свободная про-^-группа ранга 1 изоморфна груп-
группе Ц Lp = Z C&), где Lpc^Zp, если любая степень р
р
делит порядок какой-либо группы из W, или Lp =s
~ Ъ/ркЪ, где pk — наибольшая из степеней р, деля-
делящих порядки групп из Я£.
На абстрактной свободной группе F(X) над X вве-
введем топологию с базисом системы окрестностей U, со-
состоящим из таких нормальных подгрупп N, что
\F(X):N\< сю, F{X)/N^<el и N содержит почти все
элементы из X. Тогда пополнение F% — limw<=u.F {X)/N
является свободной про-^-группой со свободной ба-
базой X.
Любая npo-'g'-rpynna G изоморфна факторгруппе
свободной про-^-группы Fc ранга rank Fc = d{G).
npo-'g'-rpynna G изоморфна свободной проф-
профгруппе бесконечного ранга % тогда и только тогда,
когда для любой про-^-группы А локального веса
Wq{A)<.'h и конечной нормальной подгруппы К^А
произвольный непрерывный гомоморфизм р группы
G на А/К поднимается до гомоморфизма а группы
G на А (т. е. фа = |3 для естественного гомомор-
гомоморфизма А на А/К).
Конечно порожденная npo-'g'-rpynna G изоморфна
свободной npo-'g'-rpynne конечного ранга п тогда и
только тогда, когда d(G) — n и любая конечная груп-
группа из W с п порождающими изоморфна некоторой
факторгруппе G.
Примеры. 1) Задача погружения над полем К состоит
из расширения Галуа L/K конечной степени и сюрьективного
гомоморфизма (р: A^*-G(L/K), где А — некоторая конечная
группа. Ядро Кег ср часто называют ядром задачи погружения.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 215
Решением задачи погружения является такое расширение Галуа
Ml К, что М э L, G(MIK) £^ А и при этом изоморфизме ф сов-
совпадает с гомоморфизмом ограничения G(M/K.) -*■ G(L/K).
Если группа Галуа ©г {К) = © (K)J'S* (© (К)) максималь-
максимального ^-расширения поля К удовлетворяет первой аксиоме счет-
ности, то она является свободной про-в'-группой счетного ранга
тогда и только тогда, когда над К разрешима любая задача по-
погружения с группой А, принадлежащей классу 9.
2) Пусть Qab и Qsolv — максимальные абелево и, соответ-
соответственно, разрешимое расширения поля рациональных чисел Q.
Тогда G(Qsolv/Qab)—свободная проразрешимая группа счетного
ранга.
3) Группа Галуа ®Р(К) максимального р-расширения про-
произвольного поля К характеристики р > О является свободной
про-р-группой.
4) Если К — алгебраически замкнутое поле нулевой харак-
характеристики, K(i)—поле рациональных функций над К, то абсо-
абсолютная группа Галуа ®(K(t))—свободная проконечная группа
ранга, равного мощности поля К.
Предположим, что класс ?? конечных групп замк-
замкнут относительно образования расширений, Н — под-
подгруппа свободной про-^-группы Ffg ранга х.
Если Н открыта в F<g, то Н — свободная проф-
профгруппа, ранг которой равен и, если % бесконечно, либо
равен \F'<g :Н\(у.— 1)+1, если х конечно.
Если ранг х бесконечен, но вес w(F<g /H) про-
пространства смежных классов меньше х, то Н — сво-
свободная npo-'g'-rpynna ранга х.
Если в предыдущей теореме класс ?? отличен от
класса р-групп, то в свободных проф-группах суще-
существуют не свободные подгруппы (например, р-силов-
ские подгруппы F<g).
Про-р-группа G является свободной про-р-груп-
про-р-группой тогда и только тогда, когда cdp G ^ 1.
Любая замкнутая подгруппа Н свободной про-р-
группы Fp является свободной про-р-группой. Если
индекс Н в Fp бесконечен, то rank Н = rank Fp, если
rank Fp бесконечен, и rank H счетен.если rankJpp<;co.
Если про-р-группа G без кручения содержит от-
открытую подгруппу, являющуюся свободной про-р-
группой, то G — также свободная про-р-группа.
Пусть Q — некоторое компактное кольцо с едини-
единицей. Чаще всего используются кольца Zp целых р-ади-
ческих чисел и их прямые произведения Zn = Ц Zp
рея
для некоторого множества к простых чисел, являю-
являющиеся соответственно про-р-пополнениями и про-я-
216- - • ■ ■ ■" "■■ гл. iг. группы -•■• -■•'••■ ■
пополнениями кольца Z целых чисел. Проконечное
пополнение Z обозначается через Z.
Для проконечнои группы G пополненное группо-
групповое кольцо Q[[G]] над Q определяется как проектив-
проективный предел системы обычных групповых колец
Q[G/U] конечных факторгрупп G/U группы G со
связывающими гомоморфизмами Q[G/U] на ЩО/У]
для U ;g; V, индуцированными естественными гомо-
гомоморфизмами G/U на G/V. При этом Q[G/V] рас-
рассматриваются как компактные кольца, гомеоморф-
ные прямому произведению \G/U\ экземпляров
кольца Q.
Пусть М — проконечная абелева группа, на кото-
которой задано непрерывное действие проконечнои группы
G. Если л(М)^п, то это действие продолжается до
непрерывного действия кольца Zn [[G]], т. е. М являет-
является проконечным Ъп [[С]]-модулем.
Примером проконечного Zn [[GJJ-модуля может служить
аддитивная группа кольца Ъп [ [G] ]. Этот модуль является сво-
свободным Zn [ [GJJ-модулем ранга 1; его свободной порождающей
служит единица eQ кольца Ък [ [G] ]. Свободным Ъп [ [G] ]-моду-
лем ранга х называется прямое произведение JJ Хп [ [G ] ] у.
экземпляров свободного модуля ранга 1 (где х = | / |). Свобод-
Свободной базой так определенного свободного Хк [ [G]]-модуля
является множество fe. |ге Л, где е. — единица прямого сом-
сомножителя гл[[С]] с индексом ie/.
Предположим, что класс W замкнут относительно
образования расширений,/^ — свободная npo-'S'-rpyn-
па со свободной базой X,G = F^jR — ее факторгруппа.
Существует точная последовательность проконеч-
ных Ъп \\G\\-модулей
где л—множество всех простых чисел, делящих по-
порядки групп из <ё, а действие группы G на R/[R,R]
индуцировано сопряжением в группе F<g.
Факторгруппа F<g\\R, R] вкладывается в полупря-
полупрямое произведение УИ=Г Ц 2п [[G]X\>- G. Это вло-
вложение индуцировано гомоморфизмом F<g в М, пере-
переводящим х е X в элемент (ех, X), где ех — единица
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 217
прямого сомножителя Zn[[G]] с индексом х, х—
образ х в группе G.
В случае многообразия про-р-групп, к изучению
копредставлений, т. е. заданий про-р-групп в виде
факторгрупп свободных про-р-групп, может быть при-
привлечена теория когомологий.
Пусть G = Fp/R, где Fp— свободная про-р-груп-
па, R ^ F р. Системой соотношений G в этом копред-
копредставлений называется подмножество S S. R, топологи-
топологически порождающее R как нормальную подгруппу
в Fp и такое, что произвольная окрестность единицы
Fp содержит почти все элементы из S. Наименьшую
из мощностей систем S соотношений обозначим че-
через dFp(R).
Копредставление G = FpjR называется минималь-
минимальным, если R^.(Fp)p [Fp, Fp]. Если копредставление
минимально, то rank Fp = d(G); при d(G)<oo верно
и обратное. Положим г (G) = dFp(R) для минималь-
минимального копредставления; г (G) обычно называется чис-
числом соотношений про-р-группы G. Оно не зависит,
как показывает следующее утверждение, от выбора
минимального копредставления.
Для про-р-группы G справедливы следующие ра-
равенства:
d(G) = dimZ/PzH1(G, Z/pZ), ;, .;. ' ' '
.-, r(G) = dimz/pzH2(G, Z/pZ). ,
Если G = Fp/R, где Fp — свободная про-р-группа,
то cdp G ^ 2 тогда и только тогда, когда R/[R,R] —
свободный Zp [ [G] ] -модуль.
npo-'g'-rpynna G^ называется проективной в мно-
многообразии npo-'g'-rpynn, если для каждой npo-'g'-rpyn-
пы А и нормальной подгруппы N < А произвольный
непрерывный гомоморфизм G в A/N поднимается до
гомоморфизма G в А.
Для того чтобы G была проективной в многооб-
многообразии npo-'g'-rpynn, достаточно выполнения сформули-
сформулированного выше условия поднятия гомоморфизмов
лишь для конечных А и абелевых нормальных под-
подгрупп N, лежащих в подгруппе Фраттини Ф(Л).
npo-'g'-rpynna G проективна в многообразии про-
^ тогда и только тогда, когда она является
218 " гл. п. группы
ретрактом некоторой свободной
т. е. F<g> G.
Примеры. 1) Абсолютная группа Галуа ®(К) поля К
является проективной, если над К любая задача погружения с
абелевым ядром имеет несобственное решение (решение в ал-
алгебрах Галуа). Из проективности ®(К) вытекает существование
несобственного решения для любой задачи погружения над К.
2) Если алгебраическое расширение К поля Q содержит все
корни из единицы, то группа ®(К) проективна.
Класс ?? конечных групп называется насыщенным,
если для любой конечной группы К из К/Ф(К)^'%'
вытекает /(е?. Если класс ?? замкнут относительно
образования расширений, то он насыщен.
Проективность в многообразии проФ-групп экви-
эквивалентна проективности в многообразии всех проко-
нечных групп тогда и только тогда, когда класс W яв-
является насыщенным.
Проконечные группы, проективные в многообра-
многообразии всех проконечных групп, называются просто про-
проективными.
Пусть G — проФ-группа, где W — некоторый на-
еыщенный класс конечных групп. Следующие утверж-
утверждения эквивалентны:
A) G— проективная группа;
B) G изоморфна подгруппе свободной проф-
профгруппы;
C) cdG< 1;
D) р—силовская подгруппа группы G является
свободной про-р-группой для любого простого числа р.
Если G, Н — две проективные группы и G/Q)(G)^
~#/Ф(#),то G ~Н.
Для любой проконечной группы М с Ф(М) = Е
существует такая проективная группа G, что
/GM
()
Для насыщенного многообразия проФ-групп под-
подгруппы свободных проФ-групп классифицируются
своими факторгруппами по подгруппе Фраттини. Од-
Однако эта классификация малоэффективна, так как не-
необозрима совокупность проконечных групп с триви-
тривиальной подгруппой Фраттини.
Предположим, что класс ?? конечных групп замк-
замкнут относительно образования расширений. Пусть
для проконечной группы G и конечной простой груп-
группы 5 rs{G) означает наибольшее из таких кардиналь-
. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 219
ных чисел и, что G обладает факторгруппой, изо-
изоморфной IP'S. Если G, Я—две достижимые подгруп-
подгруппы бесконечных индексов в свободной npo-'g'-rpynne
F% и rs{G) = rs{H) для всех конечных простых
групп S, то G ~ Я. Подгруппы конечных индексов
в F% являются свободными про-^-группами.
npo-'g'-rpynny G назовем однородной, если она
бесконечна и для любой про-^-группы А с Wo(A) <
<i wo(G) и конечной нормальной подгруппы К, ^ Л,
содержащейся в М(Л), произвольный непрерывный
гомоморфизм G на А/К поднимается до непрерыв-
непрерывного гомоморфизма G на А.
Если G, Н — две однородные npo-'g'-rpynnbi, w0 (G)=
= йу0 (Я), G/M (G) ~ Я/М (Я), то G~H.
Дли любого прямого произведения F = HS; где
5j — конечные простые группы, существует однород-
однородная npo-'g'-rpynna G произвольного локального веса
wQ{G)~^\r\ с факторгруппой G/M(G)~F.
Нетривиальная npo-'g'-rpynna G изоморфна дости-
достижимой подгруппе бесконечного индекса в свободной
npo-'g'-rpynne ранга % тогда и только тогда, когда G
однородна и a>o(G) = 3<+. Здесь и+ = и, если карди-
кардинальное число % бесконечно и %+—мощность счет-
счетного множества, если и конечно.
Однородная npo-'S'-rpynna G изоморфна замкну-
замкнутой нормальной подгруппе бесконечного индекса сво-
свободной про-^-группы тогда и только тогда, когда
C(p)(G) = 0 или rc{p){G) = wo{G) для каждого про-
простого числа р.
Если Я—достижимая замкнутая подгруппа свобод-
свободной про-^-группы, то Я содержит открытую нор-
нормальную подгруппу, изоморфную свободной проф-
профгруппе.
Если Н—замкнутая нормальная подгруппа сво-
свободной про-^-группы, то каждая собственная откры-
открытая нормальная подгруппа Н изоморфна свободной
про-^-группе.
Подробнее об этих фактах см. Мельни-
Мельников О. В.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—1978. —Т.
42, № 1. —С. 3 — 25; Докл. АН БССР. —1978.—
Т. 22, № 8. — С. 677—680.
Введем свободные проконечные произведения.
Пусть {Gi\i е /} — семейство групп из некоторого
220 гл. п. группы
многообразия npo-'g'-rpynn. Множество гомоморфиз-
гомоморфизмов ф(-: Gj—>•//, / е /, где Я—некоторая проконеч-
ная группа, называется сходящимся, если каждая от-
открытая подгруппа Я содержит образы q>j(G,-) для
почти всех индексов / е /.
Свободным про-Ч?-произведением множества групп
{GJ/e/} называется npo-f-группа G = *^G( вместе
is/
со сходящимся множеством гомоморфизмов фг-: Gt->
->G, /e/, удовлетворяющая следующему универ-
универсальному свойству: если 1|);: Gi~^H, /e/, — сходя-
сходящееся множество гомоморфизмов в npo-f-группу Я,
то существует единственный гомоморфизм со: G —>//,
для которого if, = соф; при всех г е /.
Свободное npo-f-произведение -х-*1 Gt можно полу-
чить как пополнение абстрактного произведения Z,
множества групп G,- /е/, в топологии, заданной
системой таких нормальных подгрупп N группы L,
что |L:jV|<oo, I/Af e^, jV содержит подгруппы
Gt для почти всех /е/ и jV f) G; открыто в исходной
топологии на G,- для всех i e /.
Гомоморфизмы ф,- групп G,- в свободное про-^-про-
изведение * Gt инъективны; свободные сомножители
(е/
G; отождествляются обычно с подгруппами в #•*" G;,
i e/
своими образами при фг.
Каждая свободная npo-'S'-rpynna F% ранга v. явля-
является свободным произведением х экземпляров сво-
свободных циклических npo-f-групп Z(f). При этом
свободные сомножители F-g совпадают с подгруп-
подгруппами (х), где х пробегает некоторую свободную базу
X группы ¥<g.
Если Я—открытая подгруппа свободного про-^-
произведения G= ** Gt и класс W замкнут отно-
i e/
сительно расширений, то Я следующим образом
представляется в виде свободного про-^-произве-
дения:
* ** H()gGtg
где для /е/ подмножество S;£^G является полной
системой представителей двойных смежных классов G
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 221
по (Я, G,), F<g — свободная npo-'g'-rpynna конечного
ранга, равного ; ,.
Z (\G:H\~\G:(H, Gt)\-\G:H\+\ ; ";'
(G i 1 d e n h u у s D., R i b e s L.//Trans. Amer. Math.
Soc. _ 1973. _ V. 186. — P. 309—329).
Пусть G = ■** G{, класс f замкнут относительно
i ев I
расширений, H-t — подгруппа G; для каждого / e /,
Я— подгруппа G, порожденная всеми Ht, /e /. Тогда
Н= ** Н{.
i ml
Если К — конечная подгруппа свободного про-'?'-
произведения G = *% Gt, класс <& замкнут относи-
iml
тельно расширений, то K^gGig для некоторых
/е/, g^G. При этом если К Л hGjhT1 ф Е, то j = i,
G
Примеры. Пусть v — некоторое нормирование поля К.
Подгруппой разложения @„ над v называется подгруппа ®(К),
состоящая из таких автоморфизмов сепарабельного замыкания
Ksep, которые оставляют неизменными какое-либо фиксирован-
фиксированное продолжение нормирования v на Ksep- Множество подгрупп
разложений над заданным v представляет собой класс сопря-
сопряженных подгрупп в ®(К).
1) Пусть К—алгебраически замкнутое поле нулевой ха-
характеристики, K(t) — поле рациональных функций над ним, 2 —
множество всех дискретных /(-нормирований поля K(t), за ис-
исключением одного (выбранного произвольным образом). Тогда
иад каждым »eJ можно выбрать подгруппу разложения ©„
в ®(К) так, что © (К) = * ©о — свободное проконечное про-
изведение.
2) Пусть К — некоторое гильбертово поле, т. е. поле, для
которого справедлива теорема Гильберта о неприводимости.
Среди гильбертовых полей находятся поле Q, поле K'(t) ра-
рациональных функций над произвольным полем К', а также их
конечные расширения. Предположим, что в ®(К) выбрано ко-
конечное множество подгрупп разложений ©Vi, ©v2' ••■> ®о„> гДе
Kj, v2, ..., vn— нормирования К, не обязательно различные.
Тогда в произвольно заданной окрестности единицы U группы
®(К) существуют такие элементы Xi, Хг, . .., х„, что подгруппа
®(К), порожденная подгруппами х\®и ХТ • X2®v X2 • •••
•••. хп®„ х~\ является их свободным проконечным произве-
п
Дением.
Рассмотрим специальные классы про-р-групп.
Аналитической р-адической группой называется
222 ГЛ. II. ГРУППЫ .-«!■•■•. .. •; ,
множество G, являющееся одновременно группой и ана-
аналитическим пространством над полем Qp /э-адических
чисел, если групповая операция (х,у)<~^>ху-1 опреде-
определяет аналитическое отображение G X G~>- G. Размер-
Размерность аналитического пространства G над Qp будем
называть р-адической размерностью G. Каждая ана-
аналитическая /э-адическая группа является локально
компактной вполне несвязной топологической группой.
Примеры. 1) Полная линейная группа GL(n, Qp) и ее
замкнутые подгруппы — аналитические р-адические группы.
2) Пусть X == (xi, X2, ..., х„), Y = (г/i, у2, ... ,у„) — два
набора из п переменных. Набор F = (Fit F2, . .., Fn) формаль-
формальных степенных рядов F,-eZp[[X, Y]] от 2я переменных назы-
называется формальной группой над Ър размерности п, если
F(X, 0) = X, F@, У) = У, F(U, F(V, W)) = F(F(U, V), W).
Стандартная аналитическая р-адическая группа размерно-
размерности п определяется как пространство
с операцией умножения, заданной по формуле gh = F(g, h),
g, h e G. Единицей этой группы является элемент @, 0, ..., 0),
и существует такой набор ф = (фь ф2, ... > ф«) формальных
степенных рядов ф,- е ZP[[X]], что g\—> 4>(g)—операция обра-
обращения в группе G.
Стандартная аналитическая р-адическая группа является
про-р-группой без кручения. Каждая аналитическая р-адическая
группа содержит открытую подгруппу, являющуюся стандартной.
Тем самым изучение аналитических р-адических групп сводится
к изучению аналитических про-р-групп.
Следующие утверждения о про-р-группе G экви-
эквивалентны:
A) G — аналитическая р-адическая группа.
B) Группа G конечно порождена и существует
такая открытая подгруппа U, что коммутант [U, U]
содержится в множестве U^ = {b? \ h e £/}.
C) Существует такое п < оо, что d(U)^n для
любой открытой подгруппы U из G. В этом случае
d(H) ^ n для всех подгрупп Я из G.
Если G — аналитическая /э-адическая группа, то ее
подгруппы и факторгруппы также являются анали-
аналитическими р-адическими группами.
Пусть G — топологическая группа N^.G. Если iV
и G/N — аналитические р-адические группы р-адиче-
р-адических размерностей тип соответственно, то G — ана-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 223
литическая /э-адическая группа /э-адической размер-
размерности т + п.
Если G — компактная /э-адическая аналитическая
группа, то ее группа автоморфизмов Aut G — также
аналитическая /э-адическая группа.
Если G — аналитическая про-/?-группа, то r(G)>
> —j^— (теорема Голода — Шафаревича).
Эта теорема (в ее первоначальном варианте с конечной
р-группой) была доказана для получения отрицательного реше-
решения проблемы башни полей классов, которая эквивалентна сле-
следующему вопросу: можно ли для всякого расширения поля Q
конечной степени найти содержащее его расширение К поля Q
конечной степени с числом классов /г* = 1?
Про-/?-группа G называется группой Пуанкаре
размерности п, если:
а) cdpG=^n;
б) группы Hq{G, Z/pZ) конечны для всех q и
H*(G, Z/pZ)~Z/pZ;
в) кап-произведение
w: Н" (G, Z/pZ) X Нп-" (G, Z/pZ) -> Z/pZ
является для любого q ^ n невырожденной билиней-
билинейной формой над полем из р элементов. Аналитиче-
Аналитическая про-/?-группа G без кручения является группой
Пуанкаре размерности, равной /э-адической размер-
размерности G.
Группы Пуанкаре размерности 2 известны как
группы Демушкина. Так как для групп Демушкина
H2(G,Z/pZ) ~ Z/pZ, то они являются про-р-группами
с одним определяющим соотношением. Определяющие
соотношения групп Демушкина полностью вычис-
вычислены.
Пусть группа Демушкина G представлена в виде
G = Fp/R, где Fp — свободная про-/?-группа ранга
n = d(G), R — нормальная подгруппа Fp, порожден-
порожденная элементом г. Факторгруппа G/[G,G] изоморфна
п
X Д Zp, где q = pm, 0 < m < оо. Тогда в Fp
свободная база {xi, x2, .....
исло п четно и
,, х2] [х3, х4] ... [*„_,*, хп];
существует такая свободная база {хих2, ..., д:„},что:
1) при ^=7^=2 число п четно и
224 гл- п- группы
2) при q = 2 и нечетном п
3) при q = 2 и четном п -.,' :>
Г~Х1 [Xl' *2J l*3> Xi\ •■• [Хп~1' Хп\
ИЛИ '
4 [* *] К *]
Х\ \XV *2]
Примерами групп Демушкина являются группы Галуа ©"(/()
максимальных р-расширений конечных расширений К поля
р-адических чисел Qp, содержащих первообразный корень р-й
степени из единицы. При этом числа п, q и f, фигурирующие
в предыдущем утверждении, имеют интерпретацию в терминах
поля К; в частности, л= \K:QP\ +2..
Для конечно порожденной про-р-группы G с чис-
числом образующих d(G)^2 и одним определяющим
соотношением эквивалентны следующие утверждения:
(а) G — группа Демушкина;
(б) г(£/)=1 для любой открытой подгруппы U
группы G;
(в) d(U) = \G: U\ (d{G)~2) +2 для любой от-
открытой подгруппы подгруппы 0 группы G.
3.4. Упорядоченные группы. Множество G, являю-
являющееся одновременно группой и частично упорядочен-
упорядоченным множеством, называется упорядоченной группой
(у. группой), если для любых элементов х, у, z, t из G
выполнена аксиома однородности: неравенство х ^ у
влечет неравенство txz ^ tyz. Дополнительные огра-
ограничения на частичный порядок ^ выделяют следую-
следующие основные классы у. групп:
а) линейно упорядоченные группы (л. у. группы) —
класс у. групп, для которых отношение йС является
отношением линейного порядка;
б) решеточно упорядоченные группы — класс у.
групп, для которых частично упорядоченное множе-
множество является решеткой;
в) направленные группы — класс у. групп, в ко-
которых для любых элементов х, у из группы найдется
элемент z такой, что х ^ z, у ^ г.
Примеры. 1) Аддитивная группа R поля действительных
чисел с традиционным отношением порядка язляется л. у. груп-
группой. 2) Обозначим через Fx совокупность всех действительно-
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 225
значных функций на множестве X. Естественным способом опре-
определим на Fx операцию сложения функций, а отношение частич-
частичного порядка определим правилом: f ^ g, f, g e Fx, тогда и
только тогда, когда f (х) ^ g(x) для всякого х из X. Получен-
Полученная структура на Fx является решеточно упорядоченной группой.
3) Пусть X — произвольное линейно упорядоченное множество.
Обозначим через А (X) множество всех автоморфизмов X, т. е.
взаимооднозначных отображений X на себя, сохраняющих по-
порядок. Зададим на А (X) структуру решеточно упорядоченной
группы. Для любых ф, ij> из А (X) групповую операцию опреде-
определяем как суперпозицию ф и ф, т.е. (ф»ч|))(лг) == -ф(ф(дг)),
tel, а отношение частичного порядка определяем так: ф ^ i|>
тогда и только тогда, когда ц>(х) ^ ty(x), xe.X. Эта у. группа
называется решеточно упорядоченной группой автоморфизмов
линейно упорядоченного множества X. 4) Свободная группа F
ранга Js2 допускает структуру л. у. группы многими способами.
Приведем один из них. Пусть F = \iF ^ y2F ^ .'. . ^ ynF ^
^= Vn+iF ^ .. .— нижний центральный ряд группы F. Тогда
факторы yaF/ya-t-iF являются свободными абелевыми группами
и при естественном ограничении на ранг F могут быть вложены
в R с естественным порядком. Зафиксируем линейный порядок
P(VaF/\n+iF), я = О, 1, ... Группа F становится л. у. группой,
если положить х е Р[F)-*=*- xyn+iF e P(ynFlyn+\F) при условии,
что х е \nF \yn+tF (определение P(G) см. ниже).
Элемент g у. группы G называется положитель-
положительным (неотрицательным), если g > 1 (соответственно
g^\). Множество P(G) положительных элементов
у. группы G называется положительным конусом и
обладает следующими свойствами:
1) P(G)-P(G)<P(G),
2) P(G)()P(Gr1 = 0, , Г ,
3) хР (G) х-1 < Р (G) для всех х из G.
Если G — л. у. группа, то, кроме того, выполнено ус-
условие
4) G = P(G)[)P(G)~l [){!}■
Если G — направленная группа, то выполнены усло-
условия 1)—3), а также . !
5) G = P(G)-P(G)~l.
Обратно, если в группе G имеется подмножество
Р, удовлетворяющее условиям 1) — 3), то G можно
превратить в у. группу, полагая х < у тогда и только
тогда, когда xy~l e Р. При так определенном порядке
оказывается, что P(G) = P. Если, кроме того, множе-
множество Р удовлетворяет условию 4), то G — л. у. группа,
226 гл. п. группы
а если — условию 5), то G—направленная груп-
группа. Следовательно, можно отождествлять порядок
у. группы с ее положительным конусом.
Если G — у. группа, Н — ее подгруппа, то Н сама
является у. группой относительно индуцированного
с G порядка, причем Р{Н)= Н (] P(G). Подгруппа Я
у. группы G называется выпуклой, если для любых
элементов х, у, z из G таких, что x^.y^.z и х, ге
е Н, выполнено у е Н. У. подгруппы у. группы R бу-
будем называть действительными группами.
Групповые гомоморфизмы в категории у. групп,
сохраняющие порядок, называются порядковыми го-
гомоморфизмами. Если G, Н—у. группы и ср: G-+H —
групповой гомоморфизм, то ф оказывается порядко-
порядковым гомоморфизмом тогда и только тогда, когда
ф(Р((?)) ^ Р(Н). Изоморфизм (автоморфизм) яв-
являющийся порядковым гомоморфизмом, называется
порядковым изоморфизмом (автоморфизмом). Ядро
порядкового гомоморфизма у. группы является вы-
выпуклой нормальной подгруппой.
Если в у. группе G имеете» выпуклая нормальная
подгруппа N, то факторгруппу G/N можно превра-
превратить в у. группу, положив xN ^ yN тогда и только
тогда, когда в N найдется такой элемент z, что х ^
^ yz. Для у. групп справедлива теорема о гомомор-
гомоморфизмах: если ф — порядковый гомоморфизм G на Н
с ядром N, то существует порядковый изоморфизм ф
у. группы G/N на Н такой, что ф = 'фе, где е — есте-
естественный гомоморфизм G-> G/N.
Декартовым произведением у. групп {Gi, i e /} на-
называется у. группа G = И Gi, являющаяся декарто-
t i
вым произведением групп Gu с функциональным по-
порядком: f ^ g для f, g^O тогда и только тогда,
когда f(i)*S^g(i) для всех ie/. Прямым произведе-
произведением и. групп_ {Gi, i e /} называется у. подгруппа
Если множество индексов / вполне упорядочено
и {d, i e /}—семейство у. групп, то на декартовом
произведении Ц Gt можно ввести лексикографиче-
ский порядок, полагая f < g тогда и только тогда,
когда f =ji= g и существует такой элемент i e /, что
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 227
f(i)< S(i) и fU) = g(i) Для всех / < '• Этот порядок
превращает группу Д G,- в у. группу, называемую
/б/
лексикографическим произведением семейства у. групп
{G/,/е/}. Эта группа обозначается через Ц G,-.
is/
Пусть абстрактная группа G содержит нормаль-
нормальную у. подгруппу N и факторгруппа G/N является
также у. группой, причем y~lxy ^P(N) для любого х
из P(N) и любого у из G. Тогда G можно превратить
в у. группу, полагая х> 1, если xN^P(G/N) или
х е jV и *eP(jV). При таком определении порядка
на G группа N оказывается выпуклой подгруппой
у. группы G, P(G)[]N = P(N) и положительный ко-
конус у. факторгруппы G/N совпадает с P(G/N). Если
N есть решеточно упорядоченная группа и G/N—
л. у. группа, то G оказывается решеточно упорядо-
упорядоченной группой. Если N и G/N — л. у. группы, то та-
такой же оказывается и G.
Всякая л. у. группа G является группой без кру-
кручения. Более того, если S(x) — наименьшая нормаль-
нормальная полугруппа, содержащая х е G, х=^=\, то Хф.
ф. S (х). Последнее свойство является необходимым, но
не достаточным для возможности введения на группе
порядка, превращающего ее в л. у. группу. Введение
такого порядка допускают любые абелевы группы без
кручения, любые нильпотентные группы без круче-
кручения, или, более общо, группы, аппроксимируемые
нильпотентными группами без кручения, а также сво-
свободные, свободные разрешимые, свободные полиниль-
потентные группы.
Класс групп, допускающих превращение в л. у.
группу, замкнут относительно подгрупп, а также пря-
прямых, декартовых и свободных произведений.
Если G — л. у. группа, то множество S(G) ее вы-
выпуклых подгрупп обладает следующими свойствами:
{}(G G(G
) {l}S(G), GZ();
2) множество 2(G) линейно упорядочено по вклю-
включению;
3) E(G)—полное множество, т. е. для любого
множестве {#,-, / е /} подгрупп из S(G), f)
228 ГЛ. II. ГРУППЫ
4) если А и В — соседи в 2(G), то их нормализа-
нормализаторы N(A) и N(B) совпадают, А <\ В, В/А— абе-
лева группа без кручения, [[N(A), N(A)], B]^A;
5) если х gG, A^H(G)nx(g~]xgl) . .. (g~lxgn)<= A,
то х е А;
6) если Л и В — соседи в 2(G), то у. группа В/А
порядково изоморфна некоторой действительной
группе.
Обратно, если в группе G имеется система под-
подгрупп 2*(G), удовлетворяющая условиям 1)—6), то
G можно превратить в л. у. группу, таким образом,
что 2*(G) будет множеством (не обязательно всех)
выпуклых подгрупп л. у. группы G.
На группе G тогда и только тогда можно ввести
порядок, превращающий ее в л. у. группу, когда для
любого конечного набора неединичных элементов
Xi, ..., хп найдется такой набор чисел ei, ..., е„
(е, = ±1 при i= 1, .... п), что 1 £=S(x*\ .... *°«).
Отсюда, вытекает, что класс групп, допускающих пре-
превращение в л. у. группы, является квазимногообра-
квазимногообразием.
Архимедовой называется такая у. группа G, в ко-
которой для любых элементов х, у из G из того, что
хп < у для всех neZ следует х < 1. Для л. у. груп-
группы это эквивалентно следующему: для любых х> 1,
у > 1 из G найдутся такие натуральные числа т, п,
что хт > у и уп > х. Л. у. группа G является архи-
архимедовой тогда и только тогда, когда в ней нет соб-
собственных выпуклых подгрупп. Описание архимедовых
л. у. групп дается классической теоремой Гельдера:
л. у. группа тогда и только тогда является архимедо-
архимедовой, когда она порядково изоморфна некоторой под-
подгруппе аддитивной группы поля действительных чисел
с естественным порядком, т. е. является действитель-
действительной группой.
Группа G называется доупорядочиваемой, если
каждый ее частичный порядок может быть продол-
продолжен до линейного порядка. Группа G является доупо-
доупорядочиваемой тогда и только тогда, когда выполнены
условия:
1) если 1 Фх<= G, то l<£S(x);
2) если х, у, z e G, х Ф 1 и у, z е 5 (х), то 5 (у) Л
5(H
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 229
Всякая абелева группа без кручения и всякая
нильпотентная группа без кручения являются доупо-
рядочиваемыми группами. Свободная группа ранга
^2 неДоупорядочиваема. Класс доупорядочиваемых
групп замкнут относительно прямых произведений,
локально замкнут, но не замкнут относительно под-
подгрупп и декартовых произведений.
Всякую л. у. группу G можно превратить в тополо-
топологическую группу, если в качестве предбазы окрестно-
окрестностей единицы G взять множество открытых интерва-
интервалов <*-',х}= {у «= G\x~l < у < х), xt=P(G). Эту
топологию называют интервальной. В интервальной
топологии л. у. группа G является локально связной
и локально компактной тогда и только тогда, когда
в G имеется наименьшая выпуклая подгруппа, поряд-
ково изоморфная аддитивной группе R с естествен-
естественным порядком.
Л. у. группа G называется топологически полной,
если всякая ее фундаментальная последовательность
сходится к некоторому элементу из G. Всякая
л. у. группа допускает порядковый изоморфизм на
подгруппу топологически полной л. у. группы.
Решеточно упорядоченные группы называются
также l-группами (lattice — «решетка»). В /-группе
для любых ее двух элементов х, у существует их точ-
точная нижняя грань х А у, называемая пересечением
элементов, и их точная верхняя грань х V у, называе-
называемая объединением элементов, причем выполнены со-
соотношения:
Vi если и^.х, и^.у, то и ^.х А У,
если x^.v,y^.v, то x\/y^.v.
Во всякой /-группе G справедливы следующие
утверждения: ■ ,-,;
а) <G; •> — группа;
б) <G;V,A>— решетка;
в) для произвольных элементов х, у, z, t из G
х (у д z) t = xyt Л xzt, x(yV z)t = xytV xzt.
Верно и обратное, если алгебраическая система О
сигнатуры /^<-,-1, 1, Л, V> удовлетворяет аксиомам
230 ГЛ. II. ГРУППЫ
а)—в), то она является решеточно упорядочен
ной группой относительно частичного порядка: х ^ у
тогда и только тогда, когда хЛ(/ = х (или, что то же
самое, х\/у = у). Так как аксиомы а) — в) записы-
записываются в развернутом виде тождествами сигнатуры
/, то можно говорить о многообразии решеточно упо-
упорядоченных групп.
Во всякой /-группе тождественно выполняются
следующие равенства:
х V (У А г) = (х V у) Л (* V г), ''' ,_;,
(xVy)~1 = x~1 АУ'1, (хАу)~1 = х~1 V у~\:
х(х А у)~1У = х V У, х(х V уУ1У = х Л У- '
Первые два из этих тождеств показывают, что ре-
решетка произвольной /-группы является дистрибу-
дистрибутивной.
Всякий элемент х /-группы G определяет сле-
следующую тройку элементов: x+ = jcV1 — положитель-
положительная часть элемента х, г = хЛ1—отрицательная
часть элемента х, \х\= xVх-1 — модуль элемента х.
В произвольной /-группе выполнены следующие соот-
соотношения:
х = х+х-, х+х~ = х~х+, х+ А(х-)~1=1,
= х(хАу-Т\ (ху)+<х+у+,
если ху = ух, то | ху |<| х || у |,
1\ = (xV у)(хАуГ\
Элементы х, у /-группы называются ортогональ ■
ными (в обозначениях хА-у), если |*|Л|г/|^1. Ор-
Ортогональные элементы /-группы перестановочны, и
если x-Ly, то 1*1:V|#| = |jc| \y\. Во всякой /-группе
G справедлива лемма о разложении: если х, у-и ...
..., у„ е P(G) их< yiy2 ... уп, то в G найдутся эле-
элементы z\, 22, . • •, zn такие, что 1^2;^ уи при / =
= 1, 2, .... п, hx=z1z2 ... zn.
§ 3. ГРУППЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ 231
Подгруппа Я /-группы G называется 1-подгруп-
пой, если л: V у е Я и х Л у^. Я для любых х, у е Я.
Всякая /-подгруппа Я /-группы G является /-группой
относительно порядка, индуцированного на Я поряд-
порядком G. Множество выпуклых /-подгрупп /-группы G
является полной дистрибутивной подрешеткой ре-
решетки всех подгрупп G.
Наряду с понятием порядкового гомоморфизма в
теории /-групп широко применяется понятие 1-гомо-
морфизма, т. е. такого отображения /-групп, которое
сохраняет все операции сигнатуры / = <•,-', 1, V, Л>.
Взаимнооднозначный /-гомоморфизм /-групп назы-
называется 1-изоморфизмом.
Ядром /-гомоморфизма q>: G ->- Я является вы-
выпуклая нормальная /-подгруппа в G. Последняя на-
называется также [-идеалом. Факторгруппа G/N /-
группы G по ее /-идеалу N является /-группой и есте-
естественный гомоморфизм G на G/N является /-гомо-
/-гомоморфизмом.
Определим спрямляющие подгруппы и поляры.
Если Я— выпуклая /-подгруппа /-группы G, то мно-
множество правых смежных классов G/H является ре-
решеткой относительно порядка: Нх^ Ну в G/H тогда
и только тогда, когда найдется такой элемент z из
Я, что х ^ zy. Выпуклая /-подгруппа Я /-группы G
называется спрямляющей l-подгруппой, если множе-
множество G/H линейно упорядочено. Выпуклая /-под-
/-подгруппа Я /-группы G является спрямляющей тогда и
только тогда, когда множество выпуклых /-подгрупп
G, содержащих Я, линейно упорядочено по включе-
включению. Всякая выпуклая /-подгруппа любой /-группы
является пересечением спрямляющих подгрупп.
Если G есть /-группа и IgG, To множество
X1 = {z/ e G| |г/|Л|л:|=1 для всякого хеХ} являет-
является выпуклой /-подгруппой и называется полярой мно-
множества X. Множество всех поляр /-группы является
полной булевой алгеброй относительно включения,
но не всегда является подрешеткой решетки выпук-
выпуклых /-подгрупп. Для поляр в /-группе выполнены со-
соотношения:
r.t ■" ■•'-1
=X-L, если IsG, :f41; '''■'
если rsIsC.1: "
232 гл. п. группы.
У. группы, приведенные в примерах 1)—4) на
с. 224—225, являются /-группами. Особую роль в
теории /-групп играет группа А (X) автоморфизмов
л. у. множества X. Если f, g^A(X), то (/V,g")(x) =
= max(f(x), g(x)) и (f Л g) (x) =mm (f (x), g(x)) для
любого х е X.
Всякий /-гомоморфизм /-группы G в /-группу
А (X) называется /-представлением.
Всякая /-группа имеет точное /-представление
в /-группу А (X) автоморфизмов подходящего л. у.
множества X (теорема Холланда).
Важнейшими подмногообразиями многообразия
всех /-групп являются следующие:
Ш — многообразие абелевых 1-групп,
Ю — многообразие линейно аппроксимируемых
групп, задаваемое тождеством (яЛ y~lx~ly)\/ 1 = 1,
/33 — многообразие нормальнозначных l-групп, за-
задаваемое тождеством |*||г/|Л|г/|2|л:|2=|л:||г/|,
Ш — многообразие жестких l-групп, задаваемое
тождеством лН | у \ х \ у \ ~2 V I = 1.
Многообразие /D совпадает с классом всех /-групп,
являющихся /-подгруппами декартовых произведений
линейно упорядоченных групп; следовательно, Ю-
группы аппроксимируются л. у. группами. Всякая ло-
локально нильпотентная /-группа содержится в ID.
Многообразие /23 состоит из всех тех /-групп G,
в которых для любой пары (А, В) выпуклых /-под-
/-подгрупп, где А и В — соседи, выполнено А<\ В. Это
многообразие отлично от многообразия всех /-групп,
но содержит любое собственное подмногообразие
/-групп.
Многообразие Ш состоит из всех тех групп, кото-
которые обладают центральной системой подгрупп с фак-
факторами без кручения.
Множество всех многообразий /-групп является
полной дистрибутивной решеткой континуальной мощ-
мощности.
Упорядоченная группа G называется порядково
полной, если каждое непустое ограниченное сверху
подмножество X из G имеет в G точную верхнюю грань.
Всякая порядково полная у. группа является абеле-
вой. Произвольная архимедова /-группа вкладывает-
вкладывается в некоторую порядково полную /-группу, и следо-
следовательно, абелева. Во всякой /-группе G имеется ар-
/ § 4. РАЗНОЕ 233
химедово ядро Ar(G), т. е. /-идеал, содержащий все
архимедовы выпуклые /-подгруппы G.
Группа G, на которой задано отношение линейного
порядка ^, называется правоупорядоченной, если не-
неравенство х ^ у в G влечет неравенство xg ^ yg для
любого g e G. Конус Р (G) положительных элемен-
элементов правоупорядоченнойгруппы обладает свойствами:
а) Р-Р^Р;
б). Р(] Р-1 =0;
в) P{jP-i[}{\}=G.
Во всякой /-группе G конус P(G) есть пересече-
пересечение некоторого множества правых порядков. Более
того, у. группа G тогда и только тогда порядково изо-
изоморфна некоторой подгруппе /-группы, когда Р (G)
есть пересечение некоторых правых порядков группы G.
Упорядоченная группа называется группой Рисса,
если она удовлетворяет интерполяционному свойству:
для любых элементов Х\, хг, у\, г/2 из G таких, что
Xi ^ г/л i = 1, 2, найдется такой элемент г, что xi ^
<; z ^ yt, i= I, 2. Группы Рисса часто встречаются
в функциональном анализе.
Всякая /-группа является группой Рисса. В на-
направленных группах Рисса справедливы многие ут-
утверждения, верные для /-групп, например, лемма
о разложении, теорема о дистрибутивности решетки
выпуклых нормальных подгрупп.
§ 4. Разное
4.1. Группы автоморфизмов. Факторгруппа группы
автоморфизмов Aut G по подгруппе внутренних авто-
автоморфизмов Inn G называется группой внешних авто-
автоморфизмов группы G и обозначается через Out G.
Имеет место короткая точная последовательность
E->lnnG -^> AutG —•* Out G^E,
где i—вложение, к — естественный гомоморфизм.
Кроме того, существует короткая точная последова-
последовательность
Е -* С (G) -^ G -^> Inn G -* Е,
где % — вложение, о — гомоморфизм, сопоставляющий
произвольному элементу ge G, внутренний автомор-
автоморфизм ag-i: f^g-ifg, /e G.
234 гл- И- группы ч
Группа G называется совершенной, если C(G) = E
и Out G = Е. В этом случае G =^ Inn G = Aut G.
Группа Aut G является подгруппой группы
Symm(G) и, следовательно, если G — конечная группа
порядка п, то Aut G также конечна и |AutG|^/z!.
Группа Aut G может оказаться конечной и в случае,
когда сама группа G бесконечна. Например, AutZ~r
~ZB). Хорошо известно, что факторгруппа G/C(G)
неабелевой группы G всегда нециклична.
Примеры. 1) Группа автоморфизмов свободной абелевой
группы Ап = Fn(%) ~ Z" ранга п изоморфна группе GL(n, Z).
Группа автоморфизмов элементарной абелевой р-группы Ап(р)
ранга п (т.е. группы Ап (р) ~ Z (р) ф ... ф Z (р) = Z (р)*), кото-
п
рую можно рассматривать как векторное пространство размер-
размерности п над полем из р элементов, изоморфна группе
GL(n, Z/pZ). В общем случае группа автоморфизмов (невырож-
(невырожденных линейных преобразований) векторного пространства V
размерности п над полем Р есть группа GL(n, P). 2) Пусть
Z(/z) = (g} — циклическая группа. Отображение g —>-gk, I <
^й^л—1, однозначно продолжается до автоморфизма а&
группы Ъ(п) тогда и только тогда, когда (к, л)= 1. Отображе-
Отображение k + nZ i—> ай при (k, n) = 1 определяет изоморфизм из
мультипликативной группы (Z/«Z)* кольца вычетов по модулю л
иа группу AutZ(ra). Следовательно, AutZ(ra)—абелева группа
порядка ф(я), где ф — функция Эйлера.
Для N^G через Aut (G, N) обозначим группу
всех автоморфизмов группы G, оставляющих N инва-
инвариантной и индуцирующих тождественное отображе-
отображение в факторгруппе G/N. Через Stab(G, N) ^
^Aut(G, N) обозначим подгруппу всех автоморфиз-
автоморфизмов действующих тождественно на N и G/N, назы-
называемую группой стабильных автоморфизмов. Группа
Cent G ggj Aut (G, С (G)) называется группой централь-
центральных, а группа IAutG^Aut (G, G')—группой Ik-авто-
Ik-автоморфизмов группы G.
Любой автоморфизм cceAutG индуцирует авто-
автоморфизм a^AutG/N, если N—автоморфно допу-
допустимая подгруппа группы G. В частности, группа
Aut F автоморфизмов свободной группы F гомоморфно
отображается в любую группу Aut/rF), где F(E) =
= F/V(F) — свободная группа многообразия E =
)
Конечно порожденная и финитно аппроксимируе-
аппроксимируемая группа G является хопфовой группой. В этом
§ 4. РАЗНОЕ 235
случае группа Aut G также финитно аппроксимируе-
аппроксимируемая (но не всегда конечно порождена).
Заметим, что хопфовыми являются свободные
группы конечных рангов, конечно Порожденные ниль-
потентные и, более общо, полициклические группы,
конечно порожденные группы матриц над полем, сво-
свободные разрешимые группы конечных рангов и т.д.
Пусть А—абелева нормальная подгруппа группы
G. Группа когомологий Hl(G/A,A) (см. п. 4.2) ин-
интерпретируется как факторгруппа Stab(G, Л)/1пги G,
где 1ппл G — группа внутренних автоморфизмов груп-
группы G, соответствующих элементам из А. Во многих
случаях H1(G/A,A) = E, т. е. Stab (G, А) = lnnA G
(см., например, Саркисян Р. А.//Сиб. мат. ж.—
1972. —Т. 13, № 5. —С. 1090—1106).
Рассмотрим группы автоморфизмов свободных
групп. Пусть Fn = F(X)—свободная группа ранга
n ^ 2 с базисом X = {х\,Х2, ■■■, хп). Группа kutFn
конечно определена. Она порождается множеством
нильсеновых автоморфизмов, заданных на X следую-
следующими отображениями;
lkl Xkh~^'Xk1' Xjh-^Xj ПрИ j ф k,
Tft/: *fti—>*/ xit->xk (кф1), XjV-^x-j при j ф k, /,
Ры- x,hv-^xhxi (кф1), Xj^-^x, при j ф k,
j при 1фк, _■.
k, l,j = \, 2, ... , n
Группа Aut,Fn порождается также автоморфиз-
автоморфизмами ц, т12, Р12 вместе с автоморфизмом я, пере-
переставляющим элементы из X по длинному циклу:
хх 1—5- х2 >—■> х3 и-»- . .. и-»- хп f—э- jfj. При п = 4, 6, 8, ...
группа AutF,, порождается автоморфизмами п и
1
п = Ъ, 7,9, ... группа Aut Fn
порождается автоморфизмами ty и % = яц12 ... 1„.
Определяющие соотношения группы Aut Fn в вы-
выписанных множествах порождающих элементов вы-
выглядят громоздко (см. [31], [101]).
В настоящее время наиболее удобной для поль-
пользования системой порождающих элементов групп
Aut Fn, n ^5 2, считается система автоморфизмов Уайт*
хеда. Автоморфизмы Уайтхеда 1-го типа определяются
236 гл- п. группы
подстановками множества X±l = {xf\ xfl, ...
..., **'}> согласованными на xfl. Они составляют
расширенную группу подстановок Sn порядка 2" • п\.
Автоморфизмы Уайтхеда 2-го типа записываются
в виде (А, а), где аеЛ El*1, а-' ф.А. Автоморфизм
(А, а) оставляет на месте элементы а*1 и/отображает
произвольный элемент х е X^Xfa*1} по следующему
правилу: х*->а-хха, если x±l е А,х>~>ха, если х е Л,
лг-'^Л; л:*—^a-'л:, если г'е/!, хфА\ х>—>х, если
л^'^еЛ. Легко видеть, что (Л,а)-1=(Л—а-}-.
-f-a-^a-1) в упрощенной записи, где «минус» озна-
означает удаление, а «плюс» — добавление элемента.
Множество определяющих соотношений группы
AutFn может быть выбрано как объединение мно-
множеств R1 определяющих соотношений конечной группы
Sn и R2 определяющих соотношений следующих ви-
видов: 1) (Л, а)-' = (Л —a+fl, a-1), 2) (Л, а) (В, а) =
= (A U В, а), если Л Г) В={а), 3) (В,Ь)~1 (Л, а) (В, Ь) =
= (А, а), если А[}В = 0, а ф. В, Ь'1 ф. А,
4) {В, Ь)-\А, а), {В, Ь) = (А[)В — Ь, а), если А(]В =
= 0, а-1фВ, ИеЛ, 5) (Л, a) (A-a + a'1, 6) =
= xab-i(A — b+ b~\ а), если b ^ A, b~l ф А, афЬ,
где то6-1 — автоморфизм 1-го типа, заданный отобра-
отображением ai—*-b~[, b\—?-a, -vi—?-л; при х ф сГх, Ь*1,
6) с (Л, а) а = (с (Л), a (a)) для любого автоморфизма
1-го типа о (М с С о о IJ.//J. London Math. Soc. — 1974.
—V.8. — P. 259—266)
Группа IAut Fn, ti^.2, порождается конечным мно-
множеством автоморфизмов, заданных следующими ото-
отображениями:
<Vnk- *k >-*- [xt, X[] xk (i Ф 1; i, I ф k),
Xj l—> Xj ПрИ / ф k,
■ф.;: x^x^jxr-1 ,r AФ]), xkv->xk при кф].
Группа IAut F2 совпадает с группой Inn^^:^-
Группы IAut Fn и IOut Fn ^= IAut Fn/lnn Fn, n > 2,
не имеют кручения. Центр группы OutFra, n^3
единичен (L u e A. S. T.//Bull. London Math. Soc. —
1979. —V. 11, N 1. —P. 6—7).
§ 4. РАЗНОЕ
237
Любой автоморфизм q>eAutFra, n ^ 2, индуци-
индуцирует автоморфизм свободной.абелевой группы Ап =
= FnjF'n. Ядром соответствующего эпиморфизма
Aut/*■„-> Лut Ап ~ GL(n,Z) служит группа IAut Fn.
Группа Aut F2 есть расширение группы InnF2 ^ F2
посредством группы GLB, Z). Известны также пред-
представления:
AutF2 ~ (Z * Z)> (Z C) * Z C))> (Z D)> Z B)),
Aut F2 c~ Aut (Z B) * Z B) * Z B)) ~
~ (Z B) * Z B) * Z B))> (Z C) * Z B))> Z B) ~
~ (Z B) * Z B) * Z B))>(Z B) * Z B) * Z B))>(Z C)*Z B))
(DjokovicD. Z.//Proc. Amer. Math. Soc. — 1983.
— V.88, N2.-P. 218-220; Козлов Г. Т.//Тезисы
докл. 8-й Всес. конф. по мат. лог. Москва, 1986.—
С. 85).
Любой автоморфизм группы F2 переводит элемент
[хи х2] в элемент вида {[х\,х2\е)±х для некоторого
g^F2.
Любой элемент конечного порядка ср е Aut Fn пе-
переходит при эпиморфизме Aut Fra—>- GL (n, Z) в эле-
элемент того же порядка ф. Однако в общем случае это
не будет отображением «на». Например, нет прооб-
/1 -14
раза того же порядка у элемента I . 1е
eGLB, Z), имеющего порядок 6.
Элементы конечных порядков группы Aut Fz со-
составляют шесть классов сопряженности в соответ-
соответствии со следующей таблицей:
— . „_ ^
порядки элементов
количество классов
представители классов
2
4
Т,2, 1,, lj!,2, k2l P21L1
3
1
T12P211I
4
1
T12ll
В группе Aut F3 восемь классов сопряженности
элементов порядка 2, по три класса — элементов по-
порядков 3 и 4, четыре класса — элементов порядка 6
238 ГЛ. II. ГРУППЫ
(Me Cool J.//Trans. Amer. Math. Soc —1980. —
У. 260, N 1.— P. 309—318).
Конечная группа К вложима в группу AutFn,
п^-2, тогда и только тогда, когда в К найдется не-
непустая система подгрупп {Я/, G/, L,-\i e /, /е/} со
свойствами: 1) Gt <Ht, 2) Z (| К : Gt I -1 К : Я, |) +
+ 2 I К : ^/1 ^ п> 3) в К нет неединичной нормальной
подгруппы, лежащей во всех Gt и Lj. Пусть я (G) —
множество конечных порядков элементов из G. Число
k k к
т = р, 1р22 ... pss, Pi — различные простые, kt e N,
принадлежит я (Aut F'n} в том и только том слу-
чае, если 2(ргг — р/') ^ л. Для п^ 2, если л+1 —
простое число, то я (Out Fn) = я (Aut/7,,) (J {2л + 2},
в остальных случаях я (Out/•"„) = jx(Aut ,Fn).
Группа Out Fn, я ^ 2, не вложима в группу Out Fn+1
(Храмцов Д. Г.//Мат. заметки—1985.— Т. 38,
№ 3. — С. 386—392; Алгебра и логика. — 1987.— Т. 26,
№ 3. — С. 376—394).
Пусть G — конечная подгруппа группы Aut Fn,
neN. Подгруппа Fn всех элементов группы Fn, не-
неподвижных относительно элементов группы G, яв-
является свободным множителем группы Fn (D у е г J. L.,
Scott G. P.//Communs Algebra.—1975. —V. 3,
N 3. — P. 195—201). Если ф — автоморфизм или даже
произвольный эндоморфизм группы Fn, то подгруппа
F% неподвижных относительно ф элементов группы Fn
конечно порождена (G e r s t е п S. M.//Adv. Math. —
1987. —V. 64. —P. 51—85; Goldstein R. Z., Tur-
Turner E. C.//Contemp. Math.—1985. —V. 44. —P. 69—
72). Более того, для любой подгруппы G^AutFn,
«eN, группа^ конечно порождена (Губа В. С.//
Тезисы сообщ. 11 Всес. симп. по теор. групп, Сверд-
Свердловск, 1989. —С. 148—149).
Если U — (щ, и2, ..., ии) — упорядоченный набор
элементов свободной группы Fn, neN, то группа
Stab U ^ Aut Fn всех автоморфизмов группы Fn,
оставляющих U неподвижным, конечно определена.
Аналогичное утверждение справедливо также для
группы Stabc Fn < Aut.Fn всех автоморфизмов группы
Fn, оставляющих на месте упорядоченный набор
§ 4. РАЗНОЕ 239
[] = (["i]> [], •••, [uk]) классов сопряженности
элементов из Fn (Me Cool J.//J. Algebra.— 1975.—
V. 35, N 1—3. — P. 205—213).
Говорят, что нетождественный автоморфизм ср
группы Fn имеет конечную орбиту, если существует
неединичный элемент w e Fn и число IfeeN такие,
что q>k(w) = w. Оказывается, что для любого п^-2
существуют автоморфизмы -ф е Aut Fn без конечных
орбит (Scharlemann M., Squier C.//Contemp.
Math.—1983. —V. 20. —P. 341—346).
Автоморфизм ф произвольной группы G назы-
называется степенным, если он действует тождественно на
решетке всех подгрупп группы G. Подгруппа всех сте-
степенных автоморфизмов произвольной группы G яв-
является абелевой финитно аппроксимируемой нормаль-
нормальной подгруппой группы Aut G. Автоморфизм ф назы-
называется нормальным, если он действует тождестзенко
на решетке всех нормальных подгрупп конечных ин-
индексов группы G, и р-нормальным, р — простое, если
Ф действует тождественно на решетке всех нормаль-
нормальных подгрупп р-примарных индексов группы G. Лю-
Любой р-нормальный автоморфизм свободной группы
Fn, neN, p — нечетное простое, является внутрен-
внутренним (Lubotzky A.//J. Algebra.—1980. —V. 63,
N 2. —P. 494—498).
Пусть G= *Gi, i'e/, — свободное произведение
конечного числа неразложимых (в свободное произве-
произведение) собственным образом сомножителей. Удобно
использовать запись G = * Gi*F(X), где для любого
/е/ группа G, не изоморфна группе Z, a F(X)—сво-
F(X)—свободная группа. Тогда группа Aut G порождается ав-
автоморфизмами следующих типов: 1) Факторные ав-
автоморфизмы. Каждый множитель G/, i e /, отобра-
отображается на себя. Они составляют подгруппу, изоморф-
изоморфную группе Ц Aut Gt. 2) Перестановочные автомор-
физмы. Зафиксируем для каждой пары Gk, Gi,k,l^I,
изоморфных множителей изоморфизм аы- Считаем
ЭТИ ИЗОМОрфизМЫ СОГЛаСОВаННЫМИ, Т, е. <Xkm = ^ЫЩт,
если это имеет смысл. Автоморфизм переставляет
часть изоморфных множителей согласно аы, действуя
тождественно на остальные. Составляют конечную
подгруппу К. 3) Автоморфизмы Уайтхеда. а) Зафик-
24р гл. п. группы
сируем элемент 1 Ф g e Gj, j e /. На множитель G-,
и на часть других множителей Gfe, k e /' S /, авто-
автоморфизм действует тождественно. Остальные множи-
множители 'Gi, /e P\J', сопрягаются по правилу Gi—>Gf ,
/>—>/г . Каждый из элементов iel переводится
в один из элементов х, xg~1, gx, gxg~1. б) Зафикси-
Зафиксируем элемент х0 е X. Часть множителей Gj, / е /' s /
отображается тождественно, остальные Gk, k e J\J',
по правилу Gk~*G%°-, f i—* fx°. Элемент х — x0 и часть
других элементов xel'sl отображаются тожде-
тождественно, остальные — в один из элементов хх~\ xQx,
xoxxQ .
Если все группы Gj, AutG, (j e /) конечно опре-
определены, то и группа Aut G конечно определена (Gil-
(Gilbert N. D.// Proc. London Math. Soc. — 1987. —
У. 54. —P. 115—140).
Из результатов о группах автоморфизмов свобод-
свободных произведений с объединением отметим только
один. Если G = Gi *я G2 — свободное произведение
с объединением конечных групп, то Aut G = А\*вАг —
также свободное произведение с объединением конеч-
конечных групп (Karrass A., Pietrowski A., Soli-
tar D.//Contemp. Math. — 1984. — V. 33. —P. 328—
340).
Отразим влияние группы автоморфизмов на ис-
исходную группу. Рассмотрим уравнение Aut G' = Я
с неизвестной группой G. Это уравнение не имеет ре-
решений, если, например, Я — одна из групп следую-
следующего списка: Z, ZBn-j-l) (neN), S6, Am (тФ\,
2, 8), Fy. (кФО), бесконечная черниковская группа,
нильпотентная периодическая группа неограниченного
периода. Не существует конечно порожденной группы
G, для которой Н с~ SL B, Z).
Бесконечная абелева группа G, для которой Н с^. D?,n —
группа диэдра порядка 2л, существует тогда и только тогда,
жогда п = 1, 2, 6. Бесконечная абелева группа G, для которой
Н — обобщенная группа кватернионов Кп порядка 2", п :== 3,
существует тогда и только тогда, когда п = 3. Конечная абе-
абелева группа Я может быть реализована как группа Aut G бес-
бесконечной группы G в том и только том случае, когда порядок
группы Я четен и Я является прямой суммой циклических групп
ZB), ZC), ZD), причем если Я обладает элементом порядка 12,
то Н должна обладать элементом порядка 2, не являщимся
шестой степенью (Fournelle T. A.//J. Algebra. — 1983.—
V. 80, N 1.—Р. 106—112).
§ 4. РАЗНОЕ 241
Пусть G — группа, для которой H = AutG — счет-
счетная нильпотентная периодическая группа. Тогда Я
имеет конечный период, группа Inn G конечна и эле-
элементы группы G конечных порядков образуют конеч-
конечную подгруппу. Более того, в группе Я элементы по-
порядков взаимно простых с 6 образуют конечную под-
подгруппу. В то же время существует группа G, для ко-
которой Н = Aui G — счетная метабелева периодическая
группа неограниченного периода (R о b i n s о n D. J. S.
//Quartery J: Math. — 1979. —V. 30. —P. 351—364).
Если Я—конечная группа, то уравнение Aut G =
= Я в классе конечных групп может иметь только
конечное множество решений (Iyer H. K-//Rocky
Mountain J. Math.— 1979.—V. 9, N 4. —P. 653—670).
Заметим, что указанное множество может состоять
более, чем из одного элемента. Например, группы
ZC) и ZD) имеют группы автоморфизмов, изоморф-
изоморфные группе ZB).
Если Я = Aut G — конечная группа для произволь-
произвольной группы G, то группа Inn G ~ G/C(G) ^ Я также
конечна. Это влечет конечность коммутанта С.В рас-
рассматриваемом случае элементы конечных порядков
группы G образуют конечную подгруппу T(G)^G'.
Из периодичности G следует ее конечность. Если
группа G конечно порождена, то она является расши-
расширением циклической подгруппы из C(G) посредством
конечной группы. Нильпотентная группа G имеет ко-
конечную группу автоморфизмов Я в том и только том
случае, если индекс \G:C(G)\ и группа Aut C(G)
конечны, см. (Robinson D. J. S.//Proc. London
Math. Soc. — 1974. — V. 35. — P. 34—54).
Автоморфизм ф группы G называется регулярным,
если (p(g) = g, где g e G, влечет g= 1. Если конеч-
конечная группа G имеет регулярный автоморфизм про-
простого нечетного порядка, то группа G нильпотентна.
Для произвольного автоморфизма ф е Aut G мно-
множество неподвижных точек Gv называют также цен-
централизатором Са(<р)- Автоморфизм ф называется
почти регулярным, если его централизатор Са (ф) ко-
конечен. Пусть ф — почти регулярный автоморфизм пе-
периодической группы G, для которого ф2 = id (т. е.
Ф — инволюция). В этом случае группа G локально
конечна и почти разрешима. Более того, в G имеется
нильпотентная ступени k ^ 2 подгруппа конечного
242 гл. п. группы
индекса, индекс и коммутант подгруппы [G, <qp>] =£Г
^ G =SS Hoi G также конечны в G (Ш у н к о в В. П./
Алгебра и логика. — 1972.— Т. П. —С. 470 — 493;
Беляев В. В., Сесекин Н. O.//Studia Scien.
Math. Hungarica.—1982. — V. 17. —P. 137—141).
Рассмотрим группы автоморфизмов разрешимых
групп. Нильпотентная группа G порождается сово-
совокупностью элементов gt тогда и только тогда, когда
абелева группа G/G' порождается образами gi этих
элементов. Если G=F(X, ®) — свободная группа
в некотором нильпотентном многообразии © s kk, то
любое отображение X-^G, x*—^xvx, vx e G'', опреде-
определяет автоморфизм группы G.
Пусть Fn,m=Fn(^m) — свободная группа ранга п
в многообразии всех нильпотентных групп ступени
k^tn. При т = 1, 2 гомоморфизмы индуцирования
ат: Aut Fn-*- Aut Fn, m являются эпиморфизмами.
Если т ^ 3, то ат уже не является отображением «на».
Возьмем, например, п = 2, тогда любой автоморфизм ф е Aut F2
переводит элемент \xi, x2] в элемент ([xit Хг]8)±л, g e f2, в то
время как автоморфизм %: Xi>—?-^i[^i, Хг]2, Хг>—>Хг группы Fz, з
(базисы групп мы обозначаем одинаково) переводит [*ъ х%\ в
[■*ь хг\ ([-*ь Х2\) ; следовательно, х не индуцируется автомор-
автоморфизмом из Aut Иг.
Группа Aut Fn, т при я ^ т~^2 порождается че-
четырьмя нильсеновыми автоморфизмами ц, pi2, T12, я
и (т — 2)-мя автоморфизмами 6^: Х\*—*-Х\\х\, х%, ...
..., xk], к = 3, 4, ..., т. Если п ^ 4, то нильсеновы
автоморфизмы заменяются двумя порождающими
группу kntFn элементами, следовательно, в этом слу-
случае группа AxxtFn m имеет т порождающих элементов
(Andreadakis S.//Arch. Math. — 1984. — V. 42,
N 4.— P. 296—300).
Если конечно порожденные нильпотентные группы
соизмеримы, т. е. в них есть изоморфные подгруппы
конечных индексов, то и группы их автоморфизмов со-
соизмеримы. Обратное неверно, так как существуют не-
неизоморфные конечно порожденные нильпотентные
группы без кручения, группы автоморфизмов которых
изоморфны (см. [47]).
Конечная нециклическая р-группа имеет неединич-
неединичный внешний автоморфизм {теорема Гашюца).
Справедливо аналогичное утверждение для любой
нильпотентной р-группы. Существует нильпотентная
§ 4. РАЗНОЕ 243
группа без внешних автоморфизмов. Конечно порож-
порожденная нильпотентная группа полициклического ранга
/ ^ 2 имеет неединичный внешний автоморфизм. Для
/ = 1 вопрос о его существовании открыт. Существует
совершенная полициклическая группа без кручения
полициклического ранга 1 = 7. С кручением такой
пример найден среди метабелевых групп полицикли-
полициклического ранга / = 4, см. ([47], Robinson D. J. S.//
Rend. Sem. Mat. Univ. badova.—1980. —V. 62.—
P. 281—294).
Группа автоморфизмов почти полициклической
группы конечно определена (см. [40]).
Любая конечная группа G представима в виде
G = Aut H/CentH, где Н есть 2-ступенно нильпо-
■тентная группа периода р2. Группу Н можно выбрать
также в классе 2-ступенно нилыгатентных групп без
кручения (Не ineken H., Liebeck H.//Arch.
Math. —1974. —V. 25, N 1. —P. 8—16; Liebeck H.//
J. London Math. Soc. — 1975. —V. 10, N 3. —P. 349—
356).
Пусть Sn, n = Fn(%k) — свободная разрешимая
группа ранга п в многообразии %k всех разрешимых
групп ступени не больше к. Известно, что Inn S2, к =
= IAutS2, k для любого k. Гомоморфизмы kwiFn-*-
->Aut5ra, 2 при n = 2 и я ^ 4 являются эпиморфиз-
эпиморфизмами, следовательно, группы AutSra, 2 при п =2 или
п ^ 4 порождаются образами нильсеновых автомор-
автоморфизмов и, следовательно, конечно порождены. В то
же время, группа AutS3, 2 не является даже конечно
порожденной. См. по этому поводу обзорные статьи
[74], [100].
Пусть А = dk-iSn, ь. — последний неединичный член
ряда коммутантов группы Sn, и- Очевидно, что 5П, к-\ ^
c^Sn,k/A. Все автоморфизмы группы Sn, к, тожде-
тождественные на А, являются внутренними. Группа
Aut(Sn, к, А) допускает изоморфное представление
матрицами над групповым кольцом 2Sn, k-\ по правилу
где хь х2 хп — базис 5n> k, ф£ Aut (Sni k, A),
д ,
~jfe частная производная Фокса со значением
244 ГЛ. II. ГРУППЫ
в ZSrafe_i (см. п. 1.2) В частном случае группы
Aut {Sn 2> S'n 2) правая часть (*) состоит из тех и
только тех матриц, которые стабилизируют вектор
(*i — 1, х2 — 1, ..., хп — 1).
Пусть группа G представлена как G = f/iV, N ^ F.
Пусть ~д частная производная Фокса на группе
G со значениями в кольце Z(F/N) (см. п. 1.2). Тогда
группа k\xt(G,N/N') допускает изоморфное представ-
представление матрицами по правилу, аналогичному (*).
Пусть Fn(Mi)—свободная группа ранга я в мно-
многообразии центрально-метабелевых групп Wli. Группа
Aut/7raB4i) конечно порождена при я^4 и беско-
бесконечно порождена при я = 2, 3. Если Х = {х\, Х2, ...
..., хп}—базис Fn(Mi), то при я :> 4 она порождает-
порождается нильсеновыми автоморфизмами и, тц, pi2, я (точ-
(точнее, их аналогами) и автоморфизмом a: Xi>—^-Xi[[xi,
Х2], [хз,Х4]]- Пока неясно, можно ли убрать из мно-
множества порождающих элемент а, т. е. не будет ли го-
гомоморфизм Aut Fn -*- Aut Fn(№i) эпиморфизмом
(Stohr E.//Akad. Der. Wissens chaften der DDR.—
Berlin, 1985).
Если конечно порожденная группа G есть расши-
расширение абелевой группы посредством полициклической
группы, то на группе Aut G выполнена альтернатива
Титса: произвольная конечно порожденная подгруппа
Н <Г Aut G либо содержит F2, либо почти разрешима.
Прямое сплетение Н = Кг2, где К—конечная груп-
группа, вложимо в группу Aut G для некоторой конечно
порожденной разрешимой группы G. Однако Н не со-
содержит F2 и не почти разрешима в случае, если К не
разрешима (см. [47]). Можно ли вложить любую
счетную группу Н в группу Aut G для подходящей ко-
конечно порожденной разрешимой группы G, пока не
известно.
С каждой группой G связана последовательность
групп автоморфизмов AlG = Aut G, Ai+1G = Aut A'G,
i = 1, 2, ... Если C(G) = E, то C(A'iG) = E для всех i
и существуют естественные вложения A'G ^A'+1G.
Можно определить группу AaG для любого порядко-
порядкового ординала а, беря на предельном шаге объедине-
объединение всех предыдущих групп: AaG= (J A G, и пола-
3
3<
гая Лр+1О = Aut A&G. Получим башню автоморфиз-
§ 4. РАЗНОЕ - 245
мое AaG. Последовательность групп автоморфизмов
конечной группы G стабилизируется на конечном
шаге, т. е; существует п е N такое, что An+1G = AnG.
Если G — произвольная группа, то башня ее групп
автоморфизмов стабилизируется на некотором орди-
ординале а. Для любого наперед заданного а найдется
группа G(a), башня групп автоморфизмов которой
стабилизируется в точности, начиная с a (Tho-
(Thomas S.// гос. Amer. Math. Soc. — 1985. —V. 95,
N2. —P. 166—168).
Пусть центр группы G единичен. Тогда группы G
и AlG являются подгруппами группы A2G. Группа
AlG совершенна в том и только том случае, когда G
автоморфно допустима в A2G. Группа K\xtFn совер-
совершенна при любом я = 2, 3, ... Группа G=Fn/N',
где N — автоморфно допустимая подгруппа Fn, ле-
лежащая в F'n, если факторгруппа Fn/N аппроксими-
аппроксимируется нильпотентными группами без кручения, также
имеет совершенную группу автоморфизмов Aut G.
Отсюда следует совершенность групп автоморфизмов
Aut Fn{%1) свободных разрешимых групп ступени /^2
ранга я 1^2 (Dyer J. L., For ma nek E.//Bull. Amer.
Math. Soc. — 1975. — V. 81, N 2. — P. 435—437).
Группы AutFnC&o) совершенны при пф\, 3.
Группа A2F3($l2) представляется в виде A1F3Cl2)^" (ф).
где ф — внешний автоморфизм группы А'.РзС^г), имею-
имеющий порядок 2, и сама совершенна (Dyer J. L.,
Formanek E.//Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.—
1976.—V. 79, N2.— P. 271—279).
4.2. Когомологии групп. Глубокое взаимодействие
между алгеброй и топологией достигается через груп-
группы гомологии и когомологии топологического про-
пространства, а потому истоки когомологической теории
групп находятся в равной степени в алгебре и в то-
топологии. В этом пункте отражен алгебраический ас-
аспект теории и приведены приложения теории когомо-
когомологии к теории групп.
Введем комплексы, резольвенты и G-модули. Пусть
R — произвольное кольцо с единицей. Последователь-
Последовательность
—
/^-модулей Хп и их гомоморфизмов dn называется
цепным комплексом, если произведение dndn+i=Q
246 гл. п. группы
для всех neZ. Более компактное обозначение
(Хп; dn) или просто X. Гомоморфизмы dn называют
дифференциалами, элементы групп Zra(X) = Ker dn—
циклами, элементы группы Вп(Х) = Im dn+i — грани-
границами {размерности я). Группы гомологии комплекса
X определяются формулой Нп(Х) = Zn(X) /Вп(Х).
Точность последовательности (*) означает, что
Ker dn = Im dn+i, т. е. что Нп(Х) = 0 для всех п. Ре-
Резольвентой /^-модуля А называется точный комплекс
вида
. . . —> Лп »- . . . —*■ Ai > Aq >- Л —*■ U.
Резольвента называется свободной, если Хп — свобод-
свободные /^-модули.
Можно рассматривать комплексы, расположенные
по возрастанию индексов
"^ .п. '
Хп -—> Xn+1 -> ' "
Такие комплексы называют коцепными и говорят со-
соответственно о коциклах Zn (X) = Ker dn, кограницах
Bn(X) = lmdn-1 и когомологиях Нп(Х).
Пусть G — некоторая группа, ZG—ее целочислен-
целочисленное групповое кольцо. В дальнейшем термин G-модуль
означает то же, что ZG-модуль. Мы рассматриваем
правые G-модули, однако любой правый G-модуль
А можно считать также левым G-модулем отно-
относительно действия ga = ag~\ flG,4, g^.G. Обозна-
Обозначим A ® В и A<g)aB тензорное произведение G-мо-
дулей А и В над Z и над ZG соответственно. Пуст,ь
С — абелева группа, на которой G действует триви-
тривиально, т. е. eg = с, с^С, g^.G. Абелеву группу
С ® ZG можно считать G-модулем относительно дей-
действия (с®r)g= с®rg, c^C, reZG, g^G. Такие
модули называют индуцированными. Двойственно,
обозначим Нот(Л,Б) и Нотс(Л,В) группы гомомор-
гомоморфизмов qp: А-*-В над Z и над ZG соответственно.
Абелеву группу Hom(ZG, С) можно считать G-мо-
G-модулем относительно действия (qp(g)) (r) = 4>(g~lr),
Ф е Hom(ZG, С), r^ ZG, geG. Такие модули назы-
называют ко индуцированным и. . , ,;., , .
§ 4. РАЗНОЕ 247
Для определения групп гомологии и когомологий
выберем свободную резольвенту тривиального G-mo-
дуля Z
. . . —> Хп —%■ ,. . —> Xi —1-> Хо —*• Z -> О (**)
и пусть Л— произвольный G-модуль. Рассмотрим
комплекс
д д
... -*Хп ®G Л —X .. . ~>ХХ ®G Л-Л-Х0®о Л->0,
где дп(хп® а) = dnxn® а, хп^Хп, а&А. Этот комп-
комплекс, вообще говоря, не является точным. Его группы
гомологии называют группами гомологии группы G
с коэффициентами в G-модуле А и обозначают
Hn(G, А). Двойственно, рассмотрим коцепной комп-
комплекс.
О -> Home (Xo, A) -2l HomG (X;, Л) -> ...
... -> HomG (Xn, А)-£>...,
где dn(f)xn+i = f(dnXn+i), Xn+i^Xn+i, feHomc (Xn, A).
Его группы когомологий называют группами когомо-
когомологий группы G с коэффициентами в G-модуле А и
обозначают Hn(G,A). Можно доказать, что группы
Hn(G,A) и Hn(G,A) зависят лишь от G и Л, но не
зависят от выбора свободной резольвенты (**).
Бывает часто удобно группы (ко)гомологии рас-
рассматривать вместе. Для этого введем обозначения
Я,(G, А)=фНп(G, Л) и Я* (G, Л) = 0 Нп(G, Л).
>0 >0
Если а: А1~>А2 — гомоморфизм G-модулей, то
отображения Хп ®G Al ~>Xn ®G Л2 индуцируют гомо-
гомоморфизмы групп гомологии а„: Hn{G, Л;)—> Hn{G, Л2).
Аналогично, имеются гомоморфизмы a": #"(G,j4i)-»-
->Яп@, Л2). Группы Я„@, —) и Hn(G,—) являются
ковариантными функторами второго аргумента.
Пусть
0->Л-^£-^С-*0 (***)
точная последовательность G-модулей. Тогда суще-
существует длинная точная последовательность групп го-
(****)
243 ГЛ. II. ГРУППЫ
Отображения а„ и р„ индуцированы отображениями
аир. Так как а—мономорфизм, а р — эпиморфизм,
то можно считать, что Л ^ В, С = В/А. Так как мо-
модуль Хп свободен, то Хп®аА^Хп®аВ и, следова-
следовательно, Х„®0С = ХП®0В/Д„®0Л.
Пусть z — цикл, представляющий некоторый эле-
элемент /1еЯ„(G, С). Образ элемента z' = dnz в Хп~\ ®о
®GC равен нулю, поэтому z' e Xn_i <8>GЛ. Так как
dn_idn = 0, то г' — цикл, представляющий некоторый
элемент ti e Я„_; (G, Л). По определению bnh=h' и
б„ называется связывающим или граничным гомомор-
гомоморфизмом. Последовательность (*■»**) функториально
зависит от последовательности (***). Это означает,
что коммутативная диаграмма
0->Л ->В ->С ->0 ,
определяет коммутативную диаграмму длинных точ-
точных последовательностей групп гомологии
...-//„ + 1(G,C) ^Я„@, Л) ->Hn(G,B) ->Hn(G, A)-*...
I I I I
Длинная точная последовательность групп когомо-
логий определяется аналогично и имеет вид
яп— I an an
.. . -> Hn~l (G, С) »- Я" (G, Л) —> Я" (G, 5) --*
-> Я" (G, С) ^Х ...
Группы гомологии обладают следующими тремя
свойствами, которые можно было бы взять в качестве
их определения.
а) Ho(G, Л) = 2®0Л — наибольший фактормо-
дуль модуля Л, на кодором группа G действует три-
тривиально;
б) для каждой короткой точной последователь-
последовательности G-модулей существует функториально завися-
зависящая от нее длинная точная последовательность групп
гомологии;
в) Hn(G,Л) = 0, если Л — индуцированный G-mo-
дуль и л > 0.
§ 4. РАЗНОЕ 249
Свойствами а) — в) группы Hn(G,A) определяют-.
ся однозначно.
Для любого G-модуля Л обозначим Л° тривиаль-
тривиальный G-модуль с той же самой аддитивной группой.
Имеется эпиморфизм Л° ® ZG ->■ A (a® gt—>ag] и,
следовательно, точная последовательность
О -* А' -> Л° ® ZG -> Л -> 0.
Связывающие гомоморфизмы относительно этой по-
последовательности
6„: Я„(О, ^-^„..(G, А') ; ч
являются изоморфизмами для всех п > 1 и
Я, (G, Л) ~ Кег (Яо (G, Л') -> Яо (G, Л ® ZG)). '''
Эти изоморфизмы называют изоморфизмами сдвига
размерности.
Рассмотрим функториальную зависимость по пер-
первому аргументу и замену групп. Если <р: Я -> G — го-
гомоморфизм групп и Л — некоторый G-модуль, то А
можно считать также Я-модулем, полагая ah=acp(h),
а е Л, /гей. Очевидно, имеется эпиморфизм 2®#Л =
= 2<8>ОЛ, который по свойству а) можно интерпре-
интерпретировать как эпиморфизм Н0(Н, A)—*-H0(G, А). С по-
помощью сдвига размерности получим гомоморфизм
Нп(Н, А)-+ Нn{G, А). В этом смысле Я„(—, Л)— кова-
риантный функтор первого аргумента. Аналогично,
имеется вложение HomG(Z, Л)—>-Hom//(Z, Л), которое
интерпретируется как гомоморфизм H°(G,A)—*-
-*-Н°(Н,А). Сдвигая размерность, получим гомомор-
гомоморфизмы Hn{G,A)-+Hn{H,A), т. е. Я"(—, Л)— контра-
вариантный функтор первого аргумента. Пусть Я —
подгруппа в G. Тогда вложение H-+G индуцирует
гомоморфизмы ограничения и коограничения
res: Hn{G,A)->Hn(H, Л), сог: Нп{Н, А)~> Hn(G, А).
Для любого Я-модуля С рассмотрим абелеву груп-
группу C®HXG, где ZG считается левым Я-модулем отно-
относительно умножения на элементы Я слева. На С ®
® ZG можно ввести структуру правого G-модуля, по-
положив (с® r)g = c<8> rg, c<=C, re ZG, g^G. Имеют
место изоморфизмы
Нп(Н, C)~Hn(G, С® ZG), п>0.
250 гл. п. группы
.Эти изоморфизмы называют заменой групп. Двой-
Двойственное утверждение
Нч (Я, С) ~ Нп (G, Нотя (ZG, С)).
Определим стандартную резольвенту произвольной
группы G. Обозначим через Хп, «=1,2 свобод-
свободный G-модуль со свободными порождающими
(gi gn), где gi^G, gi¥=l. Считаем, что Хо по-
порождается одним символом ( ). Удобно также счи-
считать, что (gi gn) = 0, если gi = 1 для некото-
некоторого i. Определим гомоморфизмы dn: Xn-^Xn-.i равен-
равенством
dn(gl gn) = (gl gn-l)gn +
I ;
+ 2 (fifl gi-l,gigi + U ■■■,en) + (-l)n{g2 gn)
i l
и гомоморфизм e: Xo-*-Z равенством е( )^1. Про-
Проверяется что последовательность G-модулей Xn и го-
гомоморфизмов dn, e — свободная резольвента тривиаль-
тривиального G-модуля Z. Она называется стандартной резоль-
резольвентой группы G.
Пусть А — некоторый G-модуль. Скрещенными
гомоморфизмами a: G-+-A называют отображения,
удовлетворяющие равенству a{gig2) =u(gi)g2+a(g2).
Скрещенный гомоморфизм называется главным, если
для некоторого элемента а е A a(g) = ag — а. Из
формулы для дифференциалов следует, что Я! (G, А) —
это факторгруппа группы скрещенных гомоморфизмов
по подгруппе главных скрещенных гомоморфизмов.
Аналогично, H2(G,A)—факторгруппа группы отобра-
отображений a: Gy^G-^-A, удовлетворяющих равенству
a (gu gz) ■ ёъ — а igu g2gs) + «(g,^2> g3) — а (g2, g3) = 0
по подгруппе, состоящей из отображений вида
a (gi, g2) = Р (fifi) g2 — Р (gig2) + Р (g2),
где Р: О-»-Л — некоторое отображение, РA) = 0.
Для определения резольвенты Грюнберга предпо-
предположим, что группа G представлена как факторгруппа
G = F/N, где F — свободная группа, TV ^ F. Обозна-
Обозначим через g фундаментальный идеал кольца ZG. Если
/ — произвольный правый идеал кольца ZF, то / —
свободный ZF-модуль, следовательно, I/In — свобод-
§ 4. РАЗНОЕ 251
ный ZG-модуль, где п — идеал, порожденный элемен-
элементами вида х—1, JteA/. Рассмотрим последователь-
последовательность
-> п2/п3 -^ fn/fn2 -^ n/ftt -^ f/fit -^ ZF/n -^ Z -> О
(здесь f — фундаментальный идеал кольца ZF). Член
Хга этой последовательности определяется по формуле
Xn = nk/nk+l при n = 2k, Xn = Uk/fak+1 прия = 2й + 1,
а гомоморфизмы drt индуцированы вложениями nfe->
-vfn*~\ ftlfe->nfe, e — тривиализация. Очевидно, эта по-
последовательность является резольвентой. По предыду-
предыдущему замечанию она состоит из свободных G-модулей
и, следовательно, может быть использована для вы-
вычисления [ко] гомологии группы G.
Если G = F — свободная группа, то резольвента
Грюнберга принимает вид
поэтому при п~>\ Hn{F, A) = Hn(F, Л) = 0 для лю-
любого F-модуля А.
Пусть С(т)—циклическая группа порядка т с по-
порождающим t. Представим С{т) как факторгруппу
F/N бесконечной циклической группы с порождаю-
порождающим х по подгруппе N, порожденной хт. Тогда в ре-
резольвенте Грюнберга все модули — свободные цикли-
циклические, т. е. изоморфны ЪС(т), а сама резольвента
принимает вид
-> ZC (т) -^ .. . -> ЪС (т) —* 1С (т) -^ 1 -* О,
где йп — умножение на r = t—1 при нечетном п и на
R — I + t + ... + tm+i при четном п. А потому для
любого С(т)-модуля А имеем
H2k (С (т), А) = {а е= А | Ra = 0}/гА, „^
H2k-i (С И, Л) = {а е А | га = 0}/RA, k>0.
В частности, для тривиального С{т)—модуля А
Hik (С (т), А) = 0, Яа_, (С (т), Л) = Z/mZ, /г > 0.'
В последовательности Грюнберга верно, что
ZF/r~ZG, f/fw=:f®FZG, Kerdi = tt/fn, поэтому для
252 гл. п. группы
любого представления группы G в виде G = F/N
имеет место точная последовательность
О -> ir/fit -> f ® р ZG --> ZG -> Z -> О!
Пусть JVab—факторгруппа N по ее коммутанту N'.
Сопряжение элементами x^F индуцирует на iVab
структуру G-модуля. Отображение xN'i—->(х—l) + fn
определяет изоморфизм G-модулей и, следовательно,
имеет место точная последовательность
О _» л/аЬ -> f ® p ZG -> ZG -> Z -> 0.
Модуль iVab носит название модуля соотношений груп-
группы G.
Предположим, что G задается одним соотношением
v(xi, ..., Xk)=\. Тогда iVab — циклический G-модуль
с порождающим vN'. Известно, что если слово v не
равно собственной степени никакого другого слова
группы F, то JVab — свободный G-модуль с порождаю-
порождающим vN', т. е. последняя последовательность свобод-
свободная резольвента тривиального G-модуля Z. Поэтому
если G — группа с одним соотношением и без круче-
кручения, то при п > 2 для любого G-модуля А имеем
Hn{G,A) = Hn{G,A) = 0.
Пусть G = G;*sG2 — свободное произведение групп
G; и G2 с объединенной подгруппой 5. Тогда для лю-
любого G-модуля А существует длинная точная последо-
последовательность
(corg>, corGA corG +corG
-* Hn (S, A) 1 Hn (G,, A) 0 Hn (G,, Л) ! >•
где через cor обозначены отображения коограничения
для соответствующих подгрупп, а через 8п:—некото-
8п:—некоторый связывающий гомоморфизм. В частности, для сво-
свободного произведения G = Gi*G2 имеют место изо-
изоморфизмы
Нп (G, Л) ~ Нп (G,, ЛH Я„ (G2, Л) (п > 1).
Аналогичные результаты справедливы для когомо-
логий.
Пусть 5 и Т — две изоморфные подгруппы в G и
a: S-*-T — некоторый изоморфизм между ними. Обо-
Обозначим G HNN-расширение группы G относительно
§ 4. РАЗНОЕ 253
а. Тогда для любого б-модуля А существует длинная
точная последовательность
corj— а сог^
->Я„@, Л)^>Я„_!E, Л)->...,
где бга — некоторый связывающий гомоморфизм (ана-
(аналогично для когомологий).
Пусть G = Gi X G2— прямое произведение групп
Gi и G2. Если Х^— некоторый Ормодуль, XW — G2-
модуль, то тензорное произведение Х(!> 0 ХB) обладает
естественной структурой G-модуля: (х\ 0 л:2) (ёГь ^г) =
= Xig'i 0 X2g2- Если модули Х(!) и XW свободны над
G\ и Ог соответственно, то Х(!)®ХB) — свободный
G-модуль. Пусть (Х*\ d»») и (Jftf), d«») — свободные
резольвенты тривиального модуля Z над G\ и Ог- Рас-
Рассмотрим G-модули Хп = ф X(fe!) ® X(z2) и гомомор-
физмы с?„: Х„->Х„_Ь определенные равенством
Тогда (Xn,dn)—свободная резольвента тривиального
G-модуля Z и
Я„ (G, X G2, Z) = ( © Я* (G,, Z) 0 Я/ (G2) Z)) 9
(во втором слагаемом участвует функтор Тог (см.
[32], [62]); если группы гомологии Я*(—, Z) хотя бы
одной из групп G\ или G2 не имеют кручения, то вто-
второе слагаемое равно нулю).
Пусть G — свободная абелева группа, О = фОг,
где Gi—бесконечная циклическая с порождающим ки
Для каждой группы G,- имеется свободная резольвента
О -> ZG,- ^~* ZGi -> Z -> О,
где rf^ — умножение на х,-—1. Тензорное произведе-
произведение этих резольвент изоморфно внешней алгебре Л =
= Azg(G) группы G над кольцом ZG. Дифферен-
Дифференциал dn на свободных порождающих xix Л . • • Л Xin
254 гл. п. группы
однородной компоненты Л„ действует по формуле
dn(xil Л ••• Л xifi) =
i
= Х (-О""'*/. Л ... Л xi; A ... Axtn(xt.-l),
где Xi означает пропуск xi.. Если G имеет конечный
ранг г, то Н„ (G, Z) = 0 при п > г и Нп (G, Z) — сво-
свободная абелева группа ранга () при 0 <!«<>.
Теоремы об универсальных коэффициентах: для
любого тривиального G-модуля Л имеют место изо-
изоморфизмы
Нп (G, A) ~ Hn (G, Z) ® Л 0 Тог (Я„_, (G, Z), Л),
:Hn(G, A) ~ Ext (Hn^(G, Z), Л)®Нот(Я„@, Z), Л).
Эти формулы подчеркивают особую роль Z как
модуля коэффициентов. Вторая формула показывает,
что когомологии в случае тривиального модуля коэф-
коэффициентов сводятся к гомологиям. В качестве след-
следствия имеем: если группы Hn(G,Z) — свободные абе-
левы, то
Hn(G, Z)~Hom(tfrt(G, Z), Z).
Укажем топологическую интерпретацию групп гомологии.
Пусть X — связное локально связное топологическое простран-
пространство и G — его фундаментальная группа. Если X асферично (т. е.
если его гомотопические группы, начиная со второй, тривиальл
ны), то имеет место изоморфизм
а„: Нп (X) -> Нп (G, Z),
где слева стоят группы гомологии топологического простран-
пространства X, а справа — гомологии группы G, определенные чисто ал-
алгебраически. Для любой абстрактной группы G такое простран-
пространство X существует и единственно с точностью до гомотопиче-
гомотопической эквивалентности. Его называют пространством K(G, 1) или
классифицирующим пространством группы G. Например, если
G — свободная группа, то K(G, 1)—букет окружностей, если
G — свободная абелева группа ранга г, то K(G, 1) есть г-мер-
ный тор, если G — группа крашеных кос (см. п. 4.4), то
K(G, I)—подпространство «-мерного комплексного пространства
С, состоящее из точек (zi, ..., zn) с различными 2,-. Изомор-
Изоморфизмы а„ позволяют привлекать к вычислению групп Hn(G, Z)
топологические соображения.
Рассмотрим когомологии в малых размерностях.
Пусть G = Л>- В — полупрямое произведение абеле-
вой группы Л и группы В. Обозначим через / группу
§ 4. РАЗНОЕ 255
автоморфизмов группы G, действующих тождественно
на Л и в факторгруппе G/A. Если а е /, то для лю-
любого 6еВ имеем a(fr) = frau, где аь^.А. Функция
f: В-*А, определенная равенством f{b) = аь, является
скрещенным гомоморфизмом, причем если а — внут-
внутренний автоморфизм, соответствующий элементу
а^-А, то / — главный скрещенный гомоморфизм. Это
устанавливает изоморфизм между группой #!(В, Л)
и факторгруппой / по подгруппе внутренних автомор-
автоморфизмов, индуцированных элементами а е А. Если
ае/, то а.(В) — дополнение А в G, поэтому НХ(В,А)
можно интерпретировать как факторгруппу группы
всевозможных дополнений по подгруппе, состоящей из
дополнений, сопряженных В с помощью элементов
а^А.
Пусть снова В — произвольная группа и Л — неко-
некоторый В-модуль. Рассмотрим всевозможные расши-
расширения
\AGB\
в которых сопряжения элементами из G индуцируют
на Л данную структуру В-модуля. Два таких расшире-
расширения с группами G\ и Ог называются эквивалентными,
если существует изоморфизм Gi->G2, тождественный
на подгруппе Л и факторгруппе В = G/A. Рассмотрим
далее теоретико-множественное сечение i: В->
->G(i(l) = 1). Отображение f: ВХВ->Л, определен-
определенное равенством
b Ь2),
позволяет установить взаимно однозначное соответ-
соответствие между элементами группы Н2(В,А) и классами
эквивалентных расширений группы Л с помощью груп-
группы В. Нулевому элементу группы Н2(В,А) соответ-
соответствует полупрямое произведение АУ-В.
Собственно, изложенные выше факты были одной
из мотивировок введения групп когомологии абстракт-
абстрактной группы.
Рассмотрим гомологии в малых размерностях. Для
любой группы G имеет место изоморфизм Hi(G, Z)~
==: G/G'. Действительно, умножая резольвенту Грюн-
Грюнберга тензорно на Z, получим, что Я; (G, Z) ~ з/д2,
где g — фундаментальный идеал кольца ZG. Отобра-
Отображение gG't—>{g—1)+82 устанавливает изоморфизм
256 гл. п. группы
G\G' ~ g/g2. Если G = F/N, где F — свободная групиа,
то
II, (G, Z) ~ N П /="/[#, F] {формула Хопфа).
Для конечной группы G группу #2(G, Z) называют
мультипликатором Шура группы G. Это один из важ-
важных инвариантов конечных простых групп.
Теоретико-групповую интерпретацию имеет также
группа Hi(G, Z/2Z). Если G — произвольная группа
без инволюций, то
Я4(О, Z/2Z)
(Кузьмин Ю. В.//ДАН СССР, 1987.—Т. 196, №2.—
С. 267—270). Здесь, как и раньше, G = F/N, где F —
свободная групиа. Эта формула позволяет обнаружить
2-кручение в свободных группах некоторых многооб-
многообразий, заданных коммутаторными тождествами (на-
(например, в свободных центрально-разрешимых груп-
группах).
Строение группы связано и с ее гомологическими
свойствами. Пусть G\ и G2—произвольные группы.
Если гомоморфизм ф: Gi-^G2 индуцирует изомор-
изоморфизм Hi(GuZ)^Hl(G2,Z) и эпиморфизм H2(Gi,Z)-+-
->Я2(О2, Z), то ф индуцирует изоморфизм колец Ли
L{G\) -^/.(Ог), построенных по нижнему централь-
центральному ряду групп G; и G2 (Stall ings J.//J. Algeb-
Algebra.—1965.— ^ 2.— P. 170—181).
Если группы G\ и G2 конечны и индуцированные
гомоморфизмы Hn(Gu Z)->#rt(G2, Z)— изоморфизмы,
то ф — также изоморфизм. В этом смысле конечная
группа определяется своими гомологиями (Culler M.//
Ргос. Amer. Math. Soc, 1978. —V. 72. N 1. —P. 218—
220).
Конечная группа G нильпотентна тогда и только
тогда, когда для любого простого делителя р порядка
группы G и любого простого нетривиального G-mo-
дуля А (рЛ=0) имеем Я"(О,Л) = 0 для всех л^О
(Stammbach U.//J. Pure and Appl. Algebra.—
1977. —N П. —Р. 293—301).
Введем обозначение H(G) = ®H2"(G, Z/pZ), H(G) — ком-
коммутативная подалгебра Z/pZ-алгебры H*(G, Z/pZ).
Размерность Крулля алгебры H(G) совпадает с максималь-
максимальным рангом элементарных абелевых р-подгрупп группы G (тео-
(теорема Квиллена).
§ 4. РАЗНОЕ 257
Гомологическая алгебра дает теории групп такие
важные характеристики как размерность и эйлерова
характеристика. Гомологическая размерность hd G
группы G определяется как наименьшее число d та-
такое, что для любого G-модуля А имеют место равен-
равенства Hn(G, А) = 0 при п> d. Аналогично определяет-
определяется когомологическая размерность cd G (для счетных
группы cd G ^ hd G + 1) •
Группа G свободна тогда и только тогда, когда
cd G = 1. Отсюда вытекает, что группа без кручения,
содержащая свободную подгруппу конечного индекса,
сама свободна (теорема Столлингса—Суона).
Чистым рангом ргЛ абелевой группы А называют
dim<^<g)Q. Если группа G разрешима, то ее чистый
ранг — это, по определению» сумма рангов факторов
ее ряда коммутантов.
Для разрешимой группы G имеем cd G=pr G < оо
тогда и только тогда, когда G — конструируемая
группа без кручения (теорема Гилденхьюза—Крофол-
лера—Штребеля),
Класс конструируемых групп определяется как
наименьший класс групп, содержащий единичную
группу и замкнутый относительно конечных расшире-
расширений и HNN-расширений, в которых базовая группа
и ассоциированные подгруппы конструируемы.
Эйлерова характеристика группы G определяется
равенством
Для того чтобы определение имело смысл, надо потре-
потребовать, чтобы число слагаемых в правой части было
конечно и чтобы все слагаемые были конечны. Пер-
Первое достигается наложением условия hd G < оо. Для
выполнения второго условия достаточно потребовать
существования резольвенты тривиального G-модуля Z,
состоящей из конечно порожденных проективных
G-модулей (модуль проективен, если он изоморфен
прямому слагаемому свободного модуля). Группы,
удовлетворяющие этим двум условиям, называются
группами типа FP. Если Н — подгруппа конечного ин-
индекса в группе G, то i(£i) = \G : H\%(G). Это свойство
позволяет определить эйлерову характеристику для
группы типа VFP, т. е. для групп G, которые
9 Общая алгебра, т. 1
258 гл. п. группы
обладают подгруппой конечного индекса Н типа FP,
\G:H\-
При таком определении %(G) становится рацио-
рациональным, не обязательно целым числом.
а) Если простое число р делит знаменатель %(G),
то в G есть элементы порядка р. Например,
X(SLB, Z)) = —1/12, а потому в SLB, Z) есть эле-
элементы порядка 2 и 3.
б) Если pk делит знаменатель %{G), то в G есть
подгруппа порядка р* (теорема Брауна). Если груп-
группа G конечна, то х(^)= 1/1 ^Ь поэтому для конечной
группы G теорема Брауна превращается в первую
теорему Силова.
в) Пусть \ ^*-А-+-G-*-В-*~ \ — короткая точная по-
последовательность групп, в которой группы А и В яв-
являются группами типа VFP. Если G почти без круче-
кручения, то она является группой типа VFP и %((?) —
И)Д)
хИ)х()
г) Пусть l-*-A-+G-+B-*-]—такое групповое
расширение, что группа А не имеет кручения и яв-
является группой типа VFP, а В есть р-группа. Если
Р ■f %(A), то расширение расщепляется.
4.3. Уравнения в группах. Уравнением в теории
групп называют выражение вида
где v(gj)~v{gu g2, ..., gn, yu y2 ym)~ груп-
групповое слово от элементов gu gz, ■■■, gn (коэффициен-
(коэффициентов) данной группы G, над которой рассматривается
уравнение, и неизвестных у{, у% ..., ут. Допустима
также запись уравнения в виде v(g, y) — w(f,y), эк-
эквивалентная записи v (g, у) w (f, у)~1 = 1.
Решением уравнения (*) в группе H^G называют
набор элементов h = (hu h2 hm) группы Я, для
которого v (g, h)= \ — верное равенство. Говорят, что
уравнение (*) разрешимо над группой G, если оно
имеет решение в некоторой группе Н ^ G.
Пусть G(Y)= G*F(Y) — свободное произведение
группы G и свободной группы F(Y) счетного ранга
над Y = {уи у2, ...}. Левую часть произвольного урав-
уравнения (*) можно считать элементом группы <3(У).
§ 4. РАЗНОЕ . 259
Считаем, что слово v(g, у) циклически редуцировано
как элемент группы G(Y) и включает в свою запись
хотя бы одну переменную #,-.
Очевидным образом вводится понятие системы
уравнений
vi(g, У)= 1. *е/, (**)
над данной группой G, решения системы (**) над
группой G и т. д.
Система уравнений (**) разрешима над G в том
и только том случае, когда группа G вложена в груп-
группу 6 = G(y)/«{o;(g,y)|iG/}» естественным гомо-
гомоморфизмом G-+-G.
Пусть а,-,- означает сумму показателей степеней,
с которыми неизвестная у,- входит в запись слова и,-.
Система {**) называется неособенной, если строки
матрицы А =(ац) линейно независимы над Q. Основ-
Основной нерешенный в настоящее время вопрос в теории
уравнений — о справедливости гипотезы Кервера—
Лауденбаха—Хоуви: всякая неособенная система урав-
уравнений (**) разрешима над любой группой G.
Пример. Если g, f — элементы произвольной группы G,
имеющие разные порядки, то уравнение ygy~l = f не разрешимо
над G. Есть предположение, что над группой без кручения раз-
разрешимо любое уравнение.
Пусть Ж— класс уравнений определенного типа.
Говорят, что уравнения класса Ж алгоритмически
разрешимы, в группе G, если существует алгоритм,
определяющий, имеет ли произвольное уравнение из
Ж над группой G решение в группе G или не имеет.
Рассмотрим уравнения в свободных группах. При
циклически несократимых словах f,gi,g2^F уравне-
уравнения yk=f, 4eN, ygilf = §2 решаются в F графи-
графически. Как отмечалось на с. 99, в первом случае
решение у = а существует и единственно, если
f ^_аа ... а, во втором случае решение у = Ь осуще-
k
ствляет циклическую перестановку g\ до g2, а общее
решение имеет вид у = Ьс, где cGCf(gi). Графиче-
Графическое решение допускают в свободной группе F также
уравнения [г/р г/2] = / и y\y\ = g. Это следует из та-
таких фактов: 1) циклически несократимый элемент
f e F является коммутатором в F в том и только том
260 гл. п. группы
случае, если / совпадает с циклической перестанов-
перестановкой слова вида г_2_uvwu~]v~]w~* (заметим,: что
uvwu~1v~*w-1 = [uw~\ wv]); циклически несократи-
несократимый элемент вида s = f2f2 есть циклическая переста-
перестановка одного из слов вида u2v2, uvwu~ywv, u2wv2w~\
Уравнение (*) называется квадратичным, если
в запись его левой части каждая неизвестная из у
входит в точности дважды, причем оба раза в степе-
степенях + 1 или —1. Существует достаточно простой алго-
алгоритм, определяющий разрешимость квадратичного
уравнения (*) в свободной группе. При этом можно
рассматривать обобщение уравнения (*), допуская
для коэффициентов параметры как показатели сте-
степеней. Параметры могут принимать целочисленные
значения, причем эта возможность ограничивается на-
наложением на них системы линейных неравенств с це-
целыми коэффициентами. Формально обобщенное урав-
уравнение, о котором идет речь, имеет вид «^'и,^2 ...
... g\kuk=\,rjie Ui^G(Y), gi^G, Xi— целочислен-
целочисленные параметры, связанные системой неравенств
1 2 $tiXi ^ 0 IP;,- e Z \.
U-i )
Кроме того, квадратичные
уравнения алгоритмически разрешимы в свободных
произведениях групп и в группах с условиями малых
сокращений (Comerford L. P., Edmunds С. С.//
J. Algebra.—1981. —V. 68, N 2. —Р. 276—297; Coo-
temp. Math.—1984. —V. 33. —P. 159—196; Comer-
f ord L. P.//J. Algebra.— 1981.—V. 69.—P. 175—185),
Любое уравнение (•*) алгоритмически разрешимо
во всякой свободной группе (Мака ни н Г. С.//Изв.
АН СССР. Сер. мат.— 1982. —Т. 46, № 6. —С. 1199—
1273).
Известно описание общего решения произвольного
уравнения или системы уравнений от одной неизвест-
неизвестной в свободной группе. Общее решение представлено
конечным множеством параметрических слов вида
ab%c с целочисленным параметром X. Подробнее см.
в [30].
Пример. Уравнение [[*ь У\\, [х2, У)]] = 1 имеет в сво-
свободной группе F(xt, Хг) общее решение, задаваемое словами
#*, х2, (*) ^г) » где ^ принимает произвольное значение в Z.
§ 4. РАЗНОЕ .' 261
Уравнение от двух или более переменных, вообще
говоря, уже не допускает общего решения, записывае-
записываемого конечным множеством слов с целочисленными
параметрами. Ничего не дает также допущение пара-
параметров, принимающих значения в самой свободной
группе.
Пример. Уравнение [уи г/г] = [jCi, х2] в свободной группе
F{xi, хг) имеет общее решение, задаваемое бесконечной после-
последовательностью пар слов: (я,, х2), (хгх2\ х2), (х^х^, х2 (я;**')'').
(«1*2' (*2 (х1х2'У')к2' Х2 (*lx2')')' • • •• КОТОРУЮ нельзя опреде-
определить через конечное множество слов с целочисленными пара-
параметрами.
Уравнения вида v(y)~g, g^G, называют беско-
эффициентными. Пусть G = F(<&)— свободная группа
некоторого многообразия ©. Если ранг Р{Щ не мень-
меньше, чем число неизвестных в v(y), то можно опреде-
определить элемент v(x)^F(<$,), заменяя в v(y) различные
неизвестные различными элементами базиса X груп-
группы F(©). Бескоэффициентное уравнение имеет реше-
решение в группе F(&) в том и только том случае, если
элемент g является образом элемента v (x) при каком-
нибудь эндоморфизме группы Р(Щ. Вопрос о суще-
существовании эндоморфизма группы G, переводящего
произвольный элемент jeCb произвольный элемент
|еС, называют проблемой эндоморфной сводимости
в группе G. Для групп, свободных в многообразиях-,
эта проблема называется также проблемой подста-
подстановки. Об ее алгоритмических аспектах см. далее и
в [47], 155].
Пусть F = F (X) — свободная группа. Верны сле-
следующие утверждения о разрешимости в ней бескоэф-
бескоэффициентных уравнений. 1) Уравнение [у1,у2] = Уз,
fe>2, имеет в F решение только при [уи Ы = #з= 1.
2) Уравнение вида [уи у2][у3, У<\ ■■■ [Ут-и Ут\ =
~\х\, х2] ■■■ [xn-i, хп] имеет решение в F тогда и
только тогда, когда т^п. 3) Уравнение вида
\УиУ2] [Уз, У*] ■■■ \Ут-и Ут\ = [*и «г!*, k>2, имеет ре-
решение в F, если т > 2 [fe/2] + 2, в частности, [х^^-1,
х~1ххх2х-[2\ [х21хгх2, х22\ = [*,, л;2]3. 4) Уравнение
У\у\у\ = \х1, х2] имеет решение в F: г/, = хгх2, у2 =
~х~1х-1х2, у3 = х2К 5) Ранг подгруппы, поролс-
денной в F компонентами решения уравнения вида
262 ГЛ. И. ГРУППЫ
у\у\ ... укт=\, k~^2, не превышает т/2. 6) Ранг
подгруппы^ порожденной в F компонентами решения
уравнения вида у\1у\гу*"=\, k^2, не превышает 1.
7) Если в уравнении v(y) = v (уи .. ., ут) = fh, k > 2,
слово v (у) не является истинной степенью и не вхо-
входит ни в какой базис (т. е. не является примитив-
примитивным элементом) группы F (Y), то компоненты любого
решения а вместе с элементом f порождают в F (Y)
подгруппу ранга, не превосходящего т— 1.
Определенный способ записи общего решения про-
произвольного бескоэффициентного уравнения в свобод-
свободной группе предложен в (Разборов А. А.//Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1984. —Т. 48, № 4.—
С. 779—832).
Пусть Г = Г(а) — однопорожденный свободный не-
неассоциативный группоид. Его элементами являются
слова а, а2, {а2)а, а(а2), (а2) (а2) и т. п. Каждое из
них имеет естественную длину и однозначно опреде-
определяется расстановкой скобок. Если Z\, 22, ..., zn — про-
произвольный набор переменных или элементов какой-
нибудь группы, то элемент ^еГ длины п показывает,
как нужно расставить скобки в Z\Z2 ... zn, чтобы
получить сложный коммутатор, обозначаемый че-
через [2i, 22, ..., 2„]у. Например, [zu z2, z3, z4](o,)(o2) =
= [[2i. 2г], [23, 24]]. Пусть f = Г (й) — однопорожден-
однопорожденный свободный коммутативный неассоциативный груп-
группоид, Г -> Г, у н-э" Y. — естественный гомоморфизм.
Уравнение [уиу2, ..., y,i]y = [xu *2, ■■■, хп]&, у, б^Г,
разрешимо в свободной группе F = F(X) тогда и
только тогда, когда у = 6. При этом компоненты лю-
любого решения f составляют базис в подгруппе
F(xu х2, ..., xn)^F (Rips E.//Isr. J. Math.— 1981.—•
V. 39, N 4. —P. 326—340).
Любая бесконечная система уравнений над сво-
свободной группой от конечного числа переменных экви-
эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме (Г у -
б а В. С.//Мат. заметки. — 1986. —Т. 40, № 3.—
С. 321—324).
Рассмотрим понятие аппроксимируемости уравне-
уравнений. Пусть ф: G-^-H — некоторый эпиморфизм. Урав-
Уравнению v(g, y)= 1 с коэффициентами из G сопоставим
уравнение v(h, у)=\ с коэффициентами h = q>{g)
§ 4. РАЗНОЕ 263
из Я. Разрешимость первого из них в G влечет разре-
разрешимость второго в Я. Первое уравнение называется
аппроксимируемым в классе групп Ж, если его нераз-
неразрешимость в G влечет неразрешимость второго урав-
уравнения для какого-либо эпиморфного образа Н^Ж
группы G.
Пока не известно, будет ли класс ЗГ всех конеч-
конечных групп аппроксимировать любое уравнение с ко-
коэффициентами из свободной группы F. Известно лишь-
следующее. 1) Уравнение вида ygy-l = f, gt f^.F,
аппроксимируется любым классом @~р всех конечных
р-групп. 2) Уравнение вида y\=*f, f^F, аппрокси-
аппроксимируется классом @~р всех конечных р-групп при усло-
условии p-ffe. 3) Уравнение y\y\y\ = f, f e F, не всегда ап-
аппроксимируется классом @~s конечных простых групп,
поскольку любой элемент конечной простой группы К
представим как произведение ЩЩЩ, h[^.K- 4) Урав-
Уравнение вида [у\,у2] ■■■ [y2n-i,y2n] = f, f^F, где f не
представим в Fn как произведение п коммутаторов,
не аппроксимируется классом всех нильпотентных
групп, так как любой элемент п—; порожденной ниль-
потентной группы представим как произведение п ком-
коммутаторов. 5) Уравнение вида [yi,y2] = fk, l^feF,
k ^ 2, не аппроксимируется классом конечных про-
простых групп &~s, так как в любой группе H^.@~s все
элементы являются коммутаторами.
Рассмотрим вопрос о разрешении уравнений над
группами. Свободные конструкции позволяют решать
над любой группой G уравнения вида у\ = g, iieN,
?eG, и вида ylgly^l = g2, g{, g2^G, при условии,
что ] gi l = lg21-
Из теоремы Магнуса (с. 114) легко следует, что
над свободной группой разрешимо любое уравнение.
Любое уравнение разрешимо над любой локально ин-
дикабельной группой, в частности, над произвольной
группой с одним соотношением без кручения (Брод-
(Бродский С. Д.//Сиб. мат. ж. — 1984. — Т 25, № 2.—
С. 84—103).
Если группа G вложима в связную компактную
группу Ли, то любое неособенное уравнение
t;(gf,у)= 1 (т. е. такое уравнение, сумма показателей
степеней при у в левой части которого не равна
нулю) разрешимо над группой G. В частности, любое
264 гл. п. группы
неособенное уравнение разрешимо над произвольной
конечной; или более общо, финитно аппроксимируе-
аппроксимируемой группой.
Если все показатели степеней, с которыми неиз-
неизвестная у входит в запись части уравнения v(g,y) = 1,
имеют один знак, то указанное уравнение разрешимо
над любой группой G. Уравнение v(g, у)к = \ при
k^ 2 разрешимо над любой группой G, не имеющей
элементов порядков 2, 3 (Егоров В. Н.//Иваново,
1983, 25 с, № 1127-83 Деп.). Для неособенного урав-
уравнения v{g, y)=\ существует такое натуральное чи-
число k, что уравнение v(g, у)к = 1 разрешимо над лю-
любой группой G. При этом k можно подобрать таким
образом, что оно будет не больше числа 4 ^] | а; | -f
i
~Ь 11 ai, гДе а' — показатели степеней у в записи
v(g,y). Как мы видим, k не зависит от G (Makar-
Limanov L. Makar-Limanov O.//J. Algebra.—
1985. —V. 93, N 1. —P. 165—168). Уравнение
ё\Уё2УёзУ~у = 1 разрешимо над любой группой G
(Howie J.//Proc. Edinburgh Math. Soc. — 1981.—
V. 26, N 2.— P. 89—96).
Группа G называется алгебраически замкнутой
(а.з.), если любая конечная система уравнений над G,
разрешимая над G, имеет решение в самой группе G.
Любая группа вложима в а. з. группу той же мощ-
мощности. Любая а. з. группа проста.
Группа G называется экзистенциально замкнутой
(э. з.), если любая конечная система уравнений и не-
неравенств, разрешимая над G (при естественном опре-
определении неравенства v(g, у)Ф w(f, у) и его разреши-
разрешимости), разрешима уже в самой группе G. Однако это
определение по существу не дает ничего нового, так
как неединичные а. з. группы являются также э. з.
Рассмотрим уравнения в разрешимых группах.
Пусть G — конечно порожденная нильпотентная груп-
группа без кручения, и\, Мг, ..., "г — ее мальцевская база.
Произвольному элементу g — u^^u®2^ ... иа/{8) вза-
взаимно однозначно соответствует строка {&i(g),
a2(g), ■■■, ®r(g)) целочисленных координат. Введем
для произвольной переменной yi строку ее координат
(a\{tji), ■■■, ar{yi)) с неопределенными компонента-
компонентами. Любому значению переменной у; в группе G отве-
§ 4. РАЗНОЕ 265
тает значение введенной строки в Zr. Поскольку при
групповых операциях строки координат преобразуются
по полиномиальным формулам, зависящим только от
выбора мальцевской базы, любое уравнение с коэф-
коэффициентами из G эквивалентно некоторой системе
диофантовых уравнений от неопределенных компонент
неизвестных а;(у,-), г'=1, 2, ..., г; /=1,2, ...
Для любого диофантова уравнения D можно по-
построить бескоэффициентное уравнение в свободной
нильпотентной группе G = Fn($lk) достаточно боль-
большого ранга п при k ^ 9, имеющее решение в G в том
и только том случае, если уравнение D разрешимо
в целых числах. Аналогичное утверждение верно, если
в качестве G брать свободную разрешимую группу
ступени / ^ 2 достаточно большого ранга (Р о м а н ь -
ков В. А.//Алгебра и логика.— 1977. — Т. 16,№ 4.—
С. 457—471; Сиб. мат. ж.— 1979.— Т. 20, № 3.—
С. 671—673).
Пример. Существуют уравнения над нилытотентными
группами, не разрешимые в больших нильпотентных группах.
Таковы, скажем, уравнения вида ygky~l = gl, где gk Ф gl. Как
правило, подобные примеры легко строятся также для много-
многообразий групп.
Пусть К — связный 2-мерный CW-комплекс, для
которого Jti(/()~G. Сопоставим каждому ребру ее
е E(L)\E(K) некоторого большего связного комп-
комплекса L.гэ К переменную у = у(е), считая, что
г/(е-1) = ^-1. Свяжем с каждой гранью fle
е D(L)\D(K) слово v(D), получающееся при про-
прохождении граничного пути р е 3D. Получим систему
уравнений {v{D) = 1 \D es D{L)\D{K)\ над G. На-
Наоборот, по любой системе уравнений можно построить
такую пару комплексов Lzd К, что описанная кон-
конструкция приводит к данной системе уравнений. Не-
Неособенность этой системы равносильна равенству
Н2(К, L) — 0. Она разрешима над G тогда и только
тогда, когда гомоморфизм щ (К)с^ G->-Jti(L) является
вложением. Переходя к фактор комплексу M = L/K,
для которого Н2(М) = 0, можно дать другую равно-
равносильную формулировку разрешимости неособенной си-
системы уравнений над G на языке сферических диа-
диаграмм (см. Howie J.//Math. Proc. Cambridge Phil.
Soc— 1984. — V. 96, N 2. — P. 257—270).
266 гл. п. группы
4.4. Алгоритмические вопросы. Две основные алго-
алгоритмические проблемы могут быть определены сле-
следующим образом.
Проблема равенства (Ден, 1910 г.). Пусть груп-
группа G задана конечным кодом. Существует ли алго-
алгоритм, выясняющий по двум произвольным групповым
словам от порождающих элементов группы, опреде-
определяют ли они один и тот же элемент группы?
Проблема изоморфизма (Титце, 1908 г.). Пусть
Ж—класс всех конечных групповых кодов. Суще-
Существует ли алгоритм, выясняющий по любой произ-
произвольной паре кодов из Ж, определяют ли они изо-
изоморфные группы?
Более формальные формулировки этих и других
алгоритмических проблем используют теорию нуме-
нумераций и теорию рекурсивных множеств. Именно,
пусть G = (X\\R} — конечный код группы. Тогда G
является факторгруппой свободной группы F(X) с ба-
базой X по нормальной подгруппе N, порожденной мно-
множеством R. Пусть a: F{X)-^-N— лексикографическая
нумерация элементов F(X). Для группы G проблема
равенства разрешима тогда и только тогда, когда
множество a(N) рекурсивно. Это определение разре-
разрешимости проблемы равенства для группы G не зави-
зависит ни от выбора гёделевой (рекурсивно перечисли-
перечислимой) нумерации элементов группы F(X), ни от вы-
выбора конечного кода группы G.
Пусть Ж — рекурсивно перечислимый класс конеч-
конечных групповых кодов, |3: Ж-^-N — инъективная гёде-
лева нумерация кодов из Ж и М — подмножество
N X N, состоящее из всех таких пар (k, I), для кото-
которых коды р-1 (к) и p-'(/) определяют изоморфные
группы. Проблема изоморфизма для класса Ж разре-
разрешима в том и только в том случае, когда множество М
является рекурсивным.
Другие подходы к постановке алгоритмических за-
задач можно формулировать на языке алгоритмов над
словами (А. А. Марков), на языке канонических си-
систем Поста, на языке машин Тьюринга. В настоящее
время подавляющее большинство математиков верят
в тезис о том, что все эти подходы являются эквива-
эквивалентными.
В классическом варианте проблема равенства ста-
ставится для конечно определенной группы. Для коррект-
§ 4. РАЗНОЕ 267
ности ее рассмотрения необходимо и достаточно,
чтобы группа была задана эффективным способом.
Так, проблема может быть поставлена для конечно
порожденной группы с рекурсивно перечислимым мно-
множеством определяющих соотношение (точнее для
кода такого вида). Такие группы называются рекур-
рекурсивно определенными. Отметим на неформально»!
уровне некоторые другие алгоритмические проблемы.
Будем говорить «элемент», имея в виду его запись
через порождающие группы. Поскольку вопросы алго-
алгоритмические, будем опускать слова «существует ли
алгоритм...».
Проблема сопряженности (Ден). Сопряжены ли
два произвольных элемента группы?
Проблема вхождения (Нильсен, Магнус). Входит
ли произвольный элемент в подгруппу, заданную по-
порождающими элементами?
Проблема автоморфной сопряженности (Уайтхед).
Является ли один из двух произвольных элементов
группы автоморфным образом другого?
Проблема равенства в общем случае решена отри-
отрицательно: существует конечно определенная группа
с неразрешимой проблемой равенства (теорема Но-
Новикова),
В основе конструкции Новикова лежит результат
Тьюринга о неразрешимости проблемы равенства для
полугрупп с сокращением. Конструкция примера в
дальнейшем была значительно упрощена — группы:
Буна (Boone W. W.//Ann. Math. —1959.— V. 70.—
P. 207—265), группы с нормальным базисом (см. [6]),
группы Бриттона (Britton J. L.//Ann, Math.—
1963.—V. 77. — P. 16—32); последние строятся с ис-
использованием свободных конструкций.
Группа с одним соотношением всегда имеет разре-
разрешимую проблему равенства (теорема Магнуса).
Не известно, разрешима ли проблема равенства
в группе с двумя соотношениями.
Пусть m — произвольная тьюрингова или таб-
табличная степень в иерархиях рекурсивно перечис-
перечислимых множеств, тогда существует конечный код
такой, что соответствующая степень множества a (N)
равна т.
Примеры кодов групп с разрешимой проблемой ра-
равенства дает теория малых сокращений (см. п. 1.3).
2$8 гл. п. группы
Если код группы G удовлетворяет одному из усло-
условий ^F) или ^"A/5) (см. с. 118), то в группе G раз-
разрешима проблема равенства (теорема Линдона).
Результат Линдока является экстремальным, по-
поскольку известно, что любая конечно ©пределенная
группа допускает код (его можно получить эффек-
эффективно из данного конечного кода), в котором длина
каждого куска не превышает 1/5 длины соотношения.
Разрешимость проблемы равенства в группах с ма-
малым сокращением вытекает из возможности приме-
применения к ним алгоритма Дена (либо его модификации),,
основанного на следующем факте: если несократимое
слово w определяет единицу в группе G, то w содер-
содержит более '/г некоторого соотношения из R. Алгоритм
очевиден: длину w (w — 1) можно уменьшить, не из-
изменяя его значения в G.
Конечно порожденная группа G = (gi, g2, ..., gn)
тогда и только тогда имеет разрешимую проблему ра-
равенства, когда выполнено одно из следующих условий:
а) существуют вложения G ^ 5 ^ Т, где 5 — про-
простая, Т — конечно определенная группа;
б) G вложима в любую алгебраически замкнутую
группу;
в) существует выполнимая формула первого по-
порядка групповой сигнатуры Ф(х\, xz, ..-, хп) такая,
что из Я|= Ф(АЬ А2, ■■-, hn) для группы Я следует
вложимость G в Я, продолжающая отображение g\—>
t~>hit t=l,2, ..., п.
Арифметическая структура множества Ш всех ко-
конечно определенных групп с разрешимой проблемой
равенства слов при любой гёделевой нумерации доста-
достаточно сложна:
а) множество Ш не является рекурсивно перечис-
лймым; более точно оно лежит в классе £3 иерархии
Клини—Мостовского [56];
б) не существует равномерного алгоритма, решаю-
решающего проблему равенства во всех конечных кодах
групп из класса ffl.
Приведем результаты, касающиеся марковских
свойств, проблемы сопряженности и других алгорит-
алгоритмических вопросов.
а) Для любых двух тыоринговых степеней т^Я
в иерархии рекурсивно перечислимых множеств суще-
существует конечно определенная группа, для которой т —
§ 4. РАЗНОЕ 26Й
степень сложности проблемы равенства, а п — пробле-
проблемы сопряженности.
б) Группа с условием f F) (или <g"(l/5)) имеет
разрешимую проблему сопряженности.
в) Разрешимость проблемы сопряженности не пе-
переносится на конечные расширения (Гор яга А. В.,
Киркинский А. С.//Алгебра и логика.— 1975.—
Т. 14, № 4.— С. 393—406).
г) Не известно, разрешима ли проблема сопряжен-
сопряженности в группах с одним соотношением.
Проблема вхождения неразрешима уже в группе
^Х-Рг, а ее разрешимость не следует из условий ма-
малого сокращения.
Проблема изоморфизма любой данной конечно
определенной группе неразрешима (теорема Адяна),
Вопрос о разрешимости проблемы изоморфизма в
классе групп с одним соотношением открыт.
Классический результат, утверждающий разреши-
разрешимость проблемы автоморфной сопряженности для на-
наборов элементов свободной группы, принадлежит
Уайтхеду.
Пусть *& — абстрактное групповое свойство, вы-
выполненное в некоторой конечно определенной груп-
группе О\ и не выполняющееся в любой канечно опреде-
определенной группе, содержащей фиксированную конечно
определенную группу G2. Такие свойства называют
марковскими.
Если ^ — марковское свойство, то класс всех ко-
конечных кодов групп, обладающих свойством '&', не яв-
является рекурсивным; другими словами, свойство <&
алгоритмически нераспознаваемо (теорема Адяна—
Рабина).
Марковскими являются следующие свойства: быть
единичной, циклической, конечной, свободной, абеле-
вой, нильпотентной, разрешимой группой и т. д.
Существует 3-ступенно разрешимая конечно опре-
определенная (в классе всех групп) группа с неразреши-
неразрешимой проблемой равенства (Харлампович О. Г.//
ИАН СССР. Сер. мат.— 1981, —Т. 45, № 4.—С. 854—
873). Проблема равенства разрешима в многообра-
многообразиях 2£2 и ЗШ (см. [55] и Харлампович О. Г.//
Алгебра и логика.— 1987. —Т. 26, № 4. — С. 481—501).
Для любого многообразия групп ©, содержащего
ЭсзЯ, существует конечно определенная в <5 группа с
g70 гл. ii. группы
неразрешимой проблемой равенства (Епанчин-
ц е в В. И., К у к и н Г. П.//Алгебра и логика.— 1979.—
Т. 18, № 3. —С. 259—285).
Проблема равенства разрешима для свободных
разрешимых групп, свободных полинильпотентных
групп.
Проблема сопряженности разрешима в многообра-
многообразии метабелевых групп, а также для свободных раз-
разрешимых и свободных полинильпотентных групп (см.
[55]).
Проблема вхождения разрешима в многообразиях
9l29t, Ш»; (см. [6]). Не известно, как решается про-
проблема изоморфизма в классе метабелевых групп.
Связь между финитной аппроксимируемостью и
разрешимостью проблемы равенства получается из
следующих соображений. Пусть ФА-группа G задана
конечным кодом. Тогда множество a (TV) является ре-
рекурсивно перечислимым множеством. Пусть {yV,|ie
е/}—множество всех содержащих N нормальных
подгрупп конечного индекса свободной группы F и
Р: /->N — гёделева нумерация множества /. Так как
G является ФА-группой, то N = Г) N{ и a(F\N) =
= U a (F \ N(). По теореме о проекции рекурсивно
перечислимого множества, отсюда следует, что мно-
множество a(F\JV) также рекурсивно перечислимо,
а потому a(N) — рекурсивное множество. Следова-
Следовательно, в группе G разрешима проблема равенства.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены
для конечно определенных групп из классов ФАС и
ФАВ-групп.
Пусть G — конечно определенная группа. Тогда:
1) если G является ФА-группой, то в G разрешима
проблема равенства, 2) если G является ФАС-груп-
пой, то в G разрешима проблема сопряженности,
3) если G является ФАВК. п.-группой, то в G разре-
разрешима проблема вхождения в конечно порожденные
подгруппы.
Свойство ФА переносится на подгруппы, на пря-
прямые и свободные произведения, на конечные расшире-
расширения. Сплетение АгВ групп А и В является ФА-груп-
ФА-группой тогда и только тогда, когда А и В — ФА-группы
и выполнено одно из условий: 1) А—абелева группа,
§ 4. РАЗНОЕ 271
2) В — конечная группа. Произвольная конечно по-
порожденная линейная группа является ФА-группой.
Конечно порожденная группа, являющаяся расшире-
расширением абелевой группы с помощью полициклической
группы, является ФА-группой.
Свойство ФАВ переносится на свободные произве-
произведения и конечные расширения, но не переносится на
прямые произведения. Произвольная почти полицик-
полициклическая группа является ФАВ-группой.
О фундаментальных группах многообразий см., например,
[38]. Это понятие было введено в 1892 г. Пуанкаре и дало
основание для использования комбинаторной теории групп в
топологии. Существующие в топологии проблемы алгоритмиче-
алгоритмического характера, такие, как проблема гомеоморфизма, проблема
гомотопической тривиальности путей (стягиваемости), проблема
эквивалентности узлов, находят адекватное свое отражение в
аналогичных проблемах для фундаментальных групп. Основная
проблема топологической характеризации на поверхностях — это
вопрос о стягиваемости замкнутой кривой в точку. Соответствую-
Соответствующий алгоритм был построен Деном.
Решена проблема равенства для произвольной фундамен-
фундаментальной группы узла. В настоящее время усилиями Тёрстена и
других авторов для широкого класса 3-многообразий также ре-
решена проблема равенства. Так как любая конечно определенная
группа реализуема как фундаментальная группа 4-многообразия,
то проблема стягиваемости для 4-многообразия неразрешима.
Проблема гомеоморфизма неразрешима уже в классе триангу-
триангулируемых 4-многообразий. Не существует алгоритма, распознаю-
распознающего пятимерную сферу.
Геометрическое решение проблемы равенства для группы
кос почти очевидно. Проблема сопряженности для неё также
имеет положительное решение. Проблема эквивалентности узлов
пока не решена.
4.5. Связь с топологическими пространствами. Че-
Через П[ (X) обозначим фундаментальную группу линей-
линейно связного топологического пространства X.
Примеры. 1) Пусть S" есть я-мерная сфера, тогда
n^S'j^Z и nt(Sn) = Е (единичная группа) прн и ^ 2.
2) Пусть R2(«)—плоскость с п выколотыми точками, тогда
ni(R2(/z)) ~ Fn — свободная группа ранга п. 3) Для «бутылки
Клейна» К имеем Kt (К) ^ G, где группа G задается кодом
( !1
Фундаментальная группа произведения двух про-
пространств изоморфна прямому произведению их фун-
фундаментальных групп, т. е. щ(Ху, У)~ щ (Х)Х Щ{¥)-
Непрерывное отображение /: X-*-Y топологиче-
топологических пространств индуцирует гомоморфизм /*: ni(X)-*-
272 гл. ii. группы
—>-arti (У) их фундаментальных групп. Если f — гомото-
гомотопическая эквивалентность, то f* — изоморфизм.
Если X — деформационный ретракт У, то т{Х)~
^ni(V), в частности, если пространство У стягиваемо,
то m(Y) = E.
Пусть W[, W2 — линейно связные открытые под-
подмножества пространства X такие, что X =Wi\jW2 и
W[f\W2¥^0— линейно связно. Для всех рассматри-
рассматриваемых здесь фундаментальных групп выберем базис-
базисную точку хо е W[ П W2, а через is* обозначим индуци-
индуцированные гомоморфизмы, соответствующие вложе-
вложениям. Коммутативная диаграмма
является выталкивающим квадратом (push out square).
Это значит, что для любой группы Я, любой пары
гомоморфизмов ф.,: nt(Wi)-*-H (t = l,2) таких, что
ij^qpj = 12,Ф2, существует единственный гомоморфизм
ф3: щ {X)-*- Н такой, что 13<ф3 = ф1, ^.Фз^Фг (теорема
Зейферта—ван Кампена).
Если в приведенной выше диаграмме группа
nl(W[C\W2) естественно вложена в ni(W[) и ni(W2),
то Я[ {X) ~ nl(Wi)*ni(w1(\w^ni(W2)-
Пусть X — пространство с выделенными гомео-
морфными друг другу линейно связными подпростран-
подпространствами W[, W2. Пусть пространство X получается из
X присоединением ручки WX[0, 1], основания кото-
которой (W, {0}) и (W, {1}) естественно отождествлены
с W[, W2 соответственно. Если в приведенных усло-
условиях группы xi(Wi) естественно вложены в л{(Х), то
ni(X) есть HNN-расширение группы Я[(Х) с ассоции-
ассоциированными подгруппами Hi (№,-), /=1,2.
Для любой группы G существует пространство X,
для которого Л[ {X) ~ G.
Если У — линейно связное ^-пространство, G —
группа, ф: щ (Y)-*-G — гомоморфизм, то найдется вло-
вложение i: Y^>-X такое, что яу(Х)~С . ■• . . ■
5 4. разное 273
Для любой подгруппы Я^Я1(У) существует на-
крмзающее отображение f: X-*-Y такое, что
f*(&i(X)) = Я; а если f: X-*-Y—накрывающее ото-
отображение топологических пространств, то f»: щ(Х)-*"
-*-^i(Y)—вложение (теорема о накрывающих отобра-
отображениях) .
Представим идею фундаментальной группы в ее
комбинаторном виде. Рассматриваемые здесь комп-
комплексы и отображения предполагаются чисто комбина-
комбинаторными и алгебраическими.
Граф или одномерный комплекс Г состоит из мно-
множества вершин V (Г) Ф0, ребер £(Г), инволюции
~!: Е (Г) -> Е (Г), е\—*-е~1, для которой е~хФе, (е~1)~1=е,
пары отображений а, со: £(Г)->У(Г), где а (е) — на-
начало ребра е, со (е) — конец ребра е, согласованных
с инволюцией, т. е. а (е~') =со (е), со (е~') = а (е). Ото-
Отображение f: Г1->Г2 графа Г! в граф Г2 состоит из
согласованных отображений fv: V (Г\) -> V (Г2),
fB: Eirj^Eir,), т. е. fB(e~') = (fE(e))~l, fv(a(e)) =
= a(fE(e)), fv (со (е)) = со (/Б (е)). Если Г\ ориентирован,
а f — отображение «на», то f индуцирует ориентацию
на Г2. Графы и их отображения образуют катего-
категорию, снабженную функторами «вершины» и «ребра»
в категорию множеств.
Путь в графе Г — это упорядоченный набор ре-
ребер еи еъ ..., еп, где со(et) = a(e,-+1). Его начало
а(Р) Ш a(ei)> конец ш(р) 5^ и(е„), длина п. Каждой
вершине о е V (Г) соответствует единичный путь 10
из пустого множества ребер, для которого аA„) =
= соA0) n=f и. По определению, обратный к пути
р = ер е2, .... е„ путь р-1 есть е~\ e~]_v ..., е.
Путь замкнут, если а(р) = со(р), приведен, если
ei^er^ для всех 1=1,2, ..., о—1, прост, если
а(е;)^а(е/) при £ ^ j. Произведение р\р2 путей pi
и р2 определяется в случае, если cu(pi) = a(/?2), до-
добавлением пути р2 за путем р\. Пути р{ и р2 назы^
ваются эквивалентными, если от pi к р2 можно пе-
перейти конечной последовательностью вычеркиваний и
вставок соседей ее-1. Каждый класс эквивалентности
[р] содержит единственный приведенный путь. Мно-
Множество всех классов эквивалентности с индуцирован-
индуцированной частичной операцией умножения образует фунда-
фундаментальный группоид у(Г). Отображение f: Гц-»--Га
274 гл. п. группы
индуцирует гомоморфизм f»: ^(Г^-^уСГг) фундамен-
фундаментальных группоидов. Если Г линейно связен, то мно-
множество всех классов эквивалентности путей с началом
и концом в фиксированной точке хоеГ относительно
умножения образуют фундаментальную группу лцГ),
изоморфный тип которой не зависит от выбора х0.
Фундаментальная группа графа я, (Г) свободна.
Имеют место аналоги теоремы Зейферта—ван
Кампена и теоремы о накрывающих отображениях.
При этом накрывающим называется отображение £:
Fi —*- Г2, являющееся отображением «на» и взаимно-
взаимнооднозначно переводящее множество ребер, инцидент-
инцидентных любой заданной вершине оеК(Г1), в аналогич-
аналогичное множество относительно вершины [(в)еУ(Г2).
Если f сохраняет ориентацию, то любой путь р в Гг
однозначно поднимается до пути f-1 (р) в ГЧ, если
только фиксировать прообраз f-1 (a(p)) = a(f-! (p))-
Пусть Го, Гь Г2 — графы, иг. Г0-^Г*, fe=I,2,—
отображения, не нарушающие ориентацию. Тогда най-
найдется граф Гз, единственным образом определяющий-
определяющийся следующими свойствами: 1) существуют отображе-
отображения хк: Г*->-Гз, k= 1. 2, делающие диаграмму
коммутативной; 2) для любых отображений %k: Гц--» Г,
fe = l, 2, в некоторый граф Г таких, что ци1 = ци2
существует единственное отображение хэ: Г3->Г с
условием т£х3 = х£, t = l,2 (вариант выталкивающе-
выталкивающего квадрата). Пусть v0 е Го, vk = \.k (vo){k= I, 2),
U3=iiTi(uo) = i2T2(uo), тогда щ (Гз, из) =(т:1,(щ (Ги Vi}),
t2* (Гэ, v2)). Другими словами, аыталкивающий квад-
квадрат реализует подгруппу, порожденную образами фун-
фундаментальных групп (и верхнюю грань в решетке
подгрупп). Пусть уг. Г;->-Гз, £ = 1,2, — отображения.
Выберем в Ti X Гг такие пары (еь е2), {vi,v2)r что их
компоненты имеют одинаковые образы в Гз- Соберем
8 4. РАЗНОЕ 275
из таких пар подграф Го £ Fi X Гг. Расслоенным про-
произведением называется коммутативный квадрат .
Если имеется такой квадрат, причем о(еУ (Г,-)
<; = 0, 1, 2, 3), рг1(оо) = ид, pr2(i>o) = o2 и Yi("i) =
= Yi(v3 — v3> a Yi и \2 — иммерсии (индуцирующие
вложения множеств ребер инцидентных с лю-
любой вершиной о е У(Гг) (i= 1, 2), в соот-
соответствующее множество для ее образа), тогда
Y,.(»i(r,, fi))nY2,Mr2> а2))^Рг<Л;,(л(Т0, о0)).
Другими словами, расслоенное произведение реали-
реализует пересечение фундаментальных групп (S tai-
tailing sJ. P. //Invent. Math.- 1983. — V.71. — P.551—
565; Gontemp. Math. — 1985. - V.44. — P.79 — 84).
Двумерный комплекс (или просто комплекс) К
имеет в качестве одномерного остова граф Г. Кроме
множеств V(K), E{K) комплекс К может включать
также множество граней D{K), на которых задана
инволюция -1: D(K)-*-D(K), dt-^-dr1, со свойствами
й.~хфй, (d-l)-x = d. Каждой грани d сопоставляется
замкнутый циклический путь р = dd, состоящий из
обычного замкнутого пути p — elt .... еп и всех его
циклических перестановок. Если d соответствует р =
~dd, то d~! соответствует р~[ (p~!jae~!, e~^lt ...
..., е~*}.Отображение f: K[-+K.2 комплекса К\ в комп-
комплекс Ki определяется как совокупность тройки согла-
согласованных отображений fv: V(Ki)-*-V(K3), U'- Е(К\)~*-
-+E(K2), Id: D(Ki)-*-D(K2), где согласование на de
e D(Ki) заключается в том, что образ при / от dd
совпадает с df(d), а образ при f от d~l совпадает
с f(d)-i.
Пути pi и р2 называются гомотопными, если от pi
к р2 можно перейти последовательностью вставок и
вычеркиваний ее~1 или подиути q, где q^dd для
276 ГЛ. П. ГРУППЫ
некоторой грани d e D(К). Фиксируя начальную точку
Vo^V(K), получаем фундаментальную группу Я) {К, v0)
комплекса К, элементами которой являются классы
эквивалентности [р] замкнутых путей с началом vq.
Если К линейно связен, т. е. соответствующий граф
линейно связен, что предполагается, то изоморфный
тип группы щ (К, vq} не зависит от выбора «0 — полу-
получаем фундаментальную группу комплекса л^{К).
Группа Я! (К) имеет код ({[хе]\е^.Е(К)\Т}\\
{lrd\ = 1 \d e D(K)}), где Т — максимальное дерево
в К (точнее, в одномерном остове К), xe = [vo,a(e)],
е, [ш(е), и»], где е — одно из двух ребер {е, е~1}, не
принадлежащих Т, [vuv2] — единственный приведен-
приведенный путь из вершины V[ по дереву Т в вершину и2;
i"d = [v0, а(р)], р, [ш(р), v0], где d — произвольная
грань в D(K), p^dd — какой-нибудь ее граничный
путь.
Наоборот, по любому коду (X\\Ry можно опреде-
определить комплекс К такой, что группа щ(К) задается
этим кодом. Для этого вначале возьмем граф Г =
= Г(Х), состоящий из одной вершины и к = [X] ре-
ребер (петель), взаимно однозначно соответствующих
элементам из X. Выберем на каждом ребре е = е(х)
направление, сопоставляя полученному упорядочен-
упорядоченному ребру элемент х, а противоположно направлен-
направленному ребру е~1 — элемент х~\ Для каждого опреде-
определяющего слова rei? введем грань d = d(r), гранич-
граничный путь которой получается, если записывать после-
последовательно ребра, соответствующие буквам в запи-
записи г. Полученный комплекс К является искомым.
Для комплексов справедливы полные аналоги
теоремы Зейферта — ван Кампена и теоремы о накры-
накрывающих отображениях. При этом накрывающим
называется такое отображение комплексов f: K[—*-К.ъ,
которое есть отображение «на», накрытие соответ-
соответствующих графов, взаимно однозначно отображающее
множество ребер из граничного пути р е 3d любой
грани d^.D(Ki) на соответствующее множество для
ее образа /(^)е£)(/С2) (каждое ребро считается
столько раз, сколько раз оно появляется в граничном
пути). См. по этому поводу [30], [80].
Фундаментальная группа ni{Sg,r), где Se,r — связ-
связная компактная ориентируемая поверхность рода g
с г компонентами края, модель которой — сфера с
§ 4. РАЗНОЕ 277
g ручками и г дырами, может быть задана кодом
(аи Ьи а2, Ъъ ..., ag, bg, clt c2, ...
, r||flfc[,
k=i t-i
Фундаментальная группа n[(Qg,r) (g^sO) связ-
связной компактной неориентируемой поверхности рода g
с г компонентами края, модель которой — сфера
с g вклеенными листами Мёбиуса и г дырами, может
быть задана кодом
II r e
и х2,..., хе, уи у2,..., уг|П«//Пл? =
Как следствие отметим, что для группы гомологии
справедливы изоморфизмы: Н{ (Sgi 0) ~ Z2s, H{ (Sgj r) ~
~ Z23+r~l при г > 1, Ну (QgtQ) ~ ZBHZe4, Я! (Qe'r) ~
~Z2+^' при г>1.
Известна теорема Радо, согласно которой любую
компактную поверхность (с краем) X можно триан-
триангулировать, т. е. разбить на подмножества 7\-, i =
= 1,2, ..., п, гомеоморфные треугольникам А,-, 1 =
= 1,2, ..., п, в плоскости R2, правильно прилегаю-
прилегающим друг другу (см., например, [38]). Зафиксировав
гомеоморфизмы pr- Ai-*-^, i = 1,2, ..., п, получим
граф Т{Х), вершины и ребра которого соответствуют
вершинам и ребрам треугольников А,-. Пусть Т — мак-
максимальное дерево в Г(Х), каждому ребру которого
ееГ приписан элемент 1. Ребра ееГA)\Г прону-
пронумеруем, упорядочим и припишем каждому из них свой
элемент Xi = x(et), считая, что х(ег1) = х~1. Тогда
группа Л[(Х) может быть задана кодом <{x(}||{r; = l}>,
где каждое слово г,- получается как произведение букв
хе., е = ± 1, соответствующих ребрам при обходе во-
вокруг Т,, /=1,2, ..., п.
Пусть теперь М есть 3-многообразие, G — конечно
определенная подгруппа фундаментальной группы
ni(M). Тогда существует компактное 3-многообра-
3-многообразие N и иммерсия f: N-+M такие, что f»: fti(yV)->-
-vjxi(M) является мономорфизмом на G. Если при
этом О = Л[(М), то в качестве f можно выбрать не
только иммерсию, но и вложение.
278
ГЛ. П. ГРУППЫ
Известен следующий список всех конечно порож-
порожденных абелевых групп, которые могут быть фунда-
фундаментальными группами 3-многообразий (с указанием
многообразий):
группы
много-
многообразия
Е
D2X/
Z
D2XT
Z0Z
т2х/
Z0Z0Z
т2хт
Z 0 Z B)
р2хт
Z(p), Р>1
Здесь D2 — круг, / — интервал, Р2 — проективная пло-
плоскость, L(p, 1) — линзовое пространство, Т и Т2 — од-
одномерный и двумерный тор соответственно.
Известен также полный список нильпотентных
фундаментальных групп замкнутых (возможно, не-
ориентируемых) 3-многообразий (Thomas C.//Proc.
Cambridge Phil. Soc—1968. —V. 64. —P. 303—306).
Конечно порожденная группа, изоморфная фунда-
фундаментальной группе некоторого 3-многообразия конеч-
конечно определена (теорема Скотта—Шалена).
Группы кос Артина задаются следующими кодами:
5ra = (crlt cr2, ..., an_i\\[alt сг;]=1 при \i — /|>2,
aiai + iat= ai+iatai+i> l^t'^i — 2). Относительно их
реализации в R3 см. [29], [36].
Полагаем £ = (Т[(Т2 ... сг„_1, тогда £аг£~'= <ri+1 для
l^t ^п — 2, значит, Вп = (ои £). Имеем В\ = Е,
В2 ^ Z, а центр группы Вп при п~^3— бесконечная
циклическая группа, порожденная элементом £".
Существует эпиморфизм ф„: Bn—>Sn (nsN), для
которого ф(сг() = (i, i -f- 1), i=l, 2, ..., n—1. Ядро
Сга^Кегф„ называется группой крашеных кос Артина
и порождается множеством элементов Y«; = °y-i •••
... 0£ + 1cr2(jr' ... arjp где 1^1</^/г, в которых
может быть задана следующим копредставлением:
( (Y//11 1 < t < / < п} || {[Yi/, уы] = 1, если i<i<k<l,
или i<k<Kf, Y;/Y**Y/fe = Y^Y/feY»/, если t < / < /г,
/Y.-fc, если i < j < k, Yj/jY^Y^Y^1 =
если i < j < k < iy
Подгруппа Сп автоморфно допустима в Вп. Для
любого эпиморфизма р: Bn->Sn найдется автомор-
автоморфизм [а е Inn Bn такой, что реализуется одна из еле-
§ 4. РАЗНОЕ 279
дующих возможностей: 1) цр = я, где я (сгг) =
= A, 2,..., п), 1<£<п— 1,2) я = 4, цр: с^ н-э-
н-*{1, 2, 3, 4), £->A, 2), 3) п = 6, цр: а, .->
*-^A, 2)C, 4) E, 6), £н-^ A,2,3) D, 5). Факторгруппа
CJC'n—свободная абелева группа ранга B)> ее ба-
базис составляют образы элементов \ц, \ ^.i < j ^.п.
Все подгруппы следующей цепи: Е=Сп (п) <1
<С„(«-1)<... <Сп(\) = Сп, где Сп(г) = ({Чц\1<
=О"</, г < / ^.п}) нормальны в С„. Подгруппа
M')aa<Yi.r + i. YB,r + i, •••. Yrfr + i)<CnC) (r=l, 2, ...
.,., ft—1) свободна ранга г с базисом из указан-
указанных порождающих элементов. Образы групп Fn(r)
порождают факторы С„(г)/С„(г-f 1), причем Fn (г) П
ПСге(^+1) = £ при всех г, т. е. С„ (г) = С„<г + 1)>
><)())( )
/)(
Группа В3 может быть задана кодом ^гр ^2|лч=л:2)>
т. е. S3 является свободным произведением с объе-
объединением двух бесконечных циклических групп.
Группа Б4 разлагается в свободное произведение
групп А = (х1, х2\\х\ = х1) и В = (#,, y2\y\ = yf)
с объединенной подгруппой N = {z{, z2, z3 j| z\ = г2 = z|).
При этом за порождающие групп А, В, С можно
принять элементы х{ = cr1cr2cr3, gl = ola2a3al, zl — x2l =
= УТ1У2Уч Z2 = Х2 = Уг> гз=хЛхГ1=У1У2У7[- Группы Вп,
п~^Ь, не имеют разложений ни в какое древесное
произведение собственных подгрупп (К а г г a s s A.,
Р i e t r ow s k i A., S о 1 i t a r D. // Contemp. Math. —
1984.-V.33.-P. 341-352).
Зададим на базисе Х = {хи х2, ..., хп} свободной
группы Fn = F(X) автоморфизмы тг: x(*-^xi + u
к l( l2
7
i+i7+iii+v кк
..., п—1). Отображение Вп-+ A.utFn, гд«
1=1, 2, . . ., п — 1, однозначно продолжается до изо-
изоморфного вложения. Произвольный автоморфизм
aeAutFra принадлежит образу группы Вп при этом
вложении в том и только в том случае, если:
1) а переводит элементы базиса X в сопряженные
к ним, т. е. i^^^ef,, 2) а(хЛ ... хп) =
= х{х2 . . . хп. Внутренний автоморфизм группы Fn,
отвечающий элементу хух2 ■ ■ ■ хп, порождает центр
группы Вп.
280 гл. п. группы
Добавим некоторые сведения о'б автоморфизмах
групп кос Артина: 1) при п ^ 4 группа Aut Bn совер-
совершенна, 2) Out53^ZB), группа Aut (Aut B3) совер-
совершенна (Dyer J. L., Grossman Е. К.), 3) Aut B4 =s
~AutF2 (см. работу Karrass—Pietrowski—Solitar, ци-
цитированную выше).
Группой • классов отображений или модулярной
группой Тайхмюллера компактной ориентируемой по-
поверхности Sg рода g называется группа Ме всех со-
сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов (можно счи-
считать также, диффеоморфизмов) Sg, рассматриваемых
с точностью до изотопической эквивалентности. Груп-
Группа М* всех гомеоморфизмов (диффеоморфизмов) по-
поверхности Sg, также рассматриваемых с точностью до
изотопической эквивалентности, содержит Ме в каче-
качестве нормальной подгруппы индекса 2. Расширение
М до М* расщепляется.
Любой сохраняющий ориентацию гомеоморфизм
поверхности Sg изотопически эквивалентен произведе-
произведению скручиваний Дена. Известно, что группа Мх по-
порождается двумя изотопическими классами скручива-
скручиваний Дена; минимальное число изотопических классов
скручиваний Дена, достаточное для порождае\юсти
группы Mg при g^2, равно 2g-fl. Любая группа Mg,
g ^з 2, может быть порождена четырьмя элементами
(не обязательно отвечающими скручиваниям Дена).
Группы Mg конечно определены, причем, определяю-
определяющие соотношения для упомянутых выше 2g -f- 1 по-
порождающих элементов явно выписаны (W a j n -
ryb B.//Isr. J. Math. — 1983. —V. 45, N 2, 3.—
P. 157—172).
Группа Ме естественным образом, действует на
фундаментальной группе ni(Sg). Установлено, что
Mi~SL{2, Z) и Mg~ Outni{Sg) при g > 2. Любой
автоморфизм группы я-i (Sg) индуцирован автомор-
автоморфизмом СВОбоДНОЙ ГруППЫ Fig-
Отметим некоторые другие известные алгебраиче-
алгебраические свойства групп Mg, g ^ 2.
1) Группа Ме почти без кручения; более точно,
в Мё существует нормальная подгруппа Гг=Кег(Ме-»-
-+Aut {Hx (Sg, ZC))) индекса /<34^2, не имеющая
кручения.
2) Группа Mg финитно аппроксимируема.
§ 4. РАЗНОЕ 281
3) Любая разрешимая подгруппа группы Ме почти
абелева, а ранг любой ее абелевой подгруппы не пре-
превосходит числа 3g — 3.
4) Любая подгруппа G ^ Mg либо содержит F2,
либо является почти абелевой группой (более точно,
либо G П Tg содержит F2, либо G [\Fg — свободная
абелева группа ранга l^3g — 3).
5) Конечно порожденная подгруппа G ^ Mg либо
почти абелева, либо содержит максимальную подгруп-
подгруппу бесконечного индекса.
6) Подгруппа Фраттини d)(G) конечно порожден-
порожденной подгруппы G ^ Мё нильпотента и почти абелева
(заметим, что Ф(Мё) = Е). (См. Иванов Н. В.//
Докл. АН СССР.— 1984. —Т. 275, № 4. — С. 786—
789; Функц. анализ и его прилож. — 1987. — Т. 21,
№ 2. —С. 76—77.)
Если Sg, *— компактная поверхность рода g с вы-
выделенной точкой *, то Mgi * — группа гомеоморфизмов
поверхности Sg, *, фиксирующих * и рассматриваемых
с точностью до изотопии, также фиксирующей *. Ана-
Аналогично, если Sg,m — поверхность рода gem гранич-
граничными окружностями, то Mg,m — группа гомеоморфиз-
мов, фиксирующих граничные точки, взятых с точ-
точностью до изотопии, также фиксирующей граничные
точки.
Пусть S — компактная поверхность из числа вве-
введенных нами (Sg, Sg*, Sgm). В силу связности S ее
первая группа гомологии Hi(S, Z) изоморфна фактор-
факторгруппе группы Я) (S) по коммутанту, т. е. свободной
абелевой группе. Группа классов отображений Ms
естественным образом действует на группе H\(S, Z),
а ядро гомоморфизма, связанного с этим действием
называется подгруппой Торелли TS^MS. Группа Ts
конечно определена (см. [92], [100]).
Имеют место изоморфизмы: Out Ж* ~ Out M2 ~
с~ Z B) © Z B) и Out Mg ~ Z B), Out M*g ~ Е при g > 3
(см. McCarthy J. D. // Invent. Math. — 1986.—
V. 84.— P. 49—71).
Пусть М — мёбиусова группа, т. е. группа всех
дробно-линейных преобразований
^^f+I1 ad-bc=\ (a, 6, с, rfeC)
расширенной комплексной плоскости C = CU{°°}-
282 гл. п. группы
Группа М изоморфна группе PSLB, С) и обладает
естес! венной топологией, индуцированной топологией
группы SLB, С). Подгруппа G^M дискретна в том
и только том случае, если ее прообраз дискретен в
SLB,C).
Примеры дискретных подгрупп в SLB, С): 1) ко-
конечные подгруппы; 2) модулярная группа SLB, С);
3) группа Пикара SLB,Z[i]), где Z[t] = Z + iZ —
кольцо целых гауссовых чисел.
Преобразование f, указанное выше, называется эл-
эллиптическим, если квадрат его следа £ = (tr/J=:
= (a-f-dJ удовлетворяет неравенствам 0 ^ t < 4,
параболическим, если t = A, гиперболическим, если
t > 4, и локсодромическим, если t^[0, -j-°°)-
Говорят, что группа G гомеоморфизмов хаусдор-
фова топологического пространства X на себя дей-
действует разрывно, если для любого компакта К s X
множество {g e G\g(K)f\ КФ 0} конечно.
Группа G < М [G < PSL{2, R)] дискретна тогда
и только тогда, когда G действует разрывно в про-
пространстве Н3 [плоскости Н2] Лобачевского (теорема
Пуанкаре).
Подгруппа G ^ М (не обязательно дискретная)
называется элементарной, если некоторая G-орбита
в пространстве H3 = H3U{°°} конечна. Полный спи-
список реализуемых возможностей для дискретной эле-
элементарной подгруппы G ^ М выглядит так; Z(«)
fnEN)—группа вращений, Dn (/ieN) — группа сим-
симметрии правильного плоского и-угольника (группа ди-
диэдра), А4 — группа симметрии тетраэдра, S4 — окта-
октаэдра, А5 — икосаэдра, расширение группы Z или груп-
группы Z Ф Z посредством группы Z (q), q = 1, 2, 3, 4 или 6,
прямая сумма Z(n)®Z или ее расширение посред-
посредством группы ZB) (более детально см. в [4]).
Заметим, что для дискретной группы G ^ М экви-
эквивалентны условия: A) G состоит из эллиптических
преобразований и Е, B) элементы G имеют неподвиж-
неподвижную точку в Н3, C) G конечна.
Дискретная группа G ^ М называется фуксовой,
если относительно нее инвариантен некоторый откры-
открытый круг (или полуплоскость) ДсС, в котором G
действует разрывно. Можно предполагать, что Д —
единичный круг или Н2, и рассматривать G ^
^ PSL{2, R) как дискретную группу изометрий.
§4- РАЗНОЕ 2&3
Если фуксова группа G ^ PSL B, R) элементарна,
то она или циклическая Z(n), или сопряжена с под-
подгруппой <g,А></>SLB, R), где g: z*->kz (k > 1),
ft: 2>-> — 1-/г. Часто фуксовыми называют только
неэлементарные группы. Заметим, что подгруппа
G ^ PSL B, R) элементарна, если любые два эле-
элемента gi, g2^G бесконечного порядка имеют об-
общую неподвижную точку (равносильно тому, что
Если неэлементарная фуксова группа G такова, что
униформизуемая ею поверхность S = Н2' \ G имеет ко-
конечную гиперболическую площадь, то G называется
группой 1-го рода, в противном случае G — группа
2-го рода. Предельное множество A = A(G) (неэле-
(неэлементарной) фуксовой группы G есть замыкание мно-
множества неподвижных точек ее локсодромических или
параболических элементов (наименьшее по включе-
включению непустое замкнутое подмножество С, инвариант-
инвариантное относительно G). Известно, что Л принадлежит
границе дА. Если Л = дА, то G — фуксова группа
1-го рода, если Л ф дА — 2-го рода.
Всякая конечно порожденная фуксова группа G
обладает конечным множеством классов сопряженно-
сопряженности максимальных циклических подгрупп [<gi>] по-
порядков mi, г =1,2, ..., г, содержащих все эллипти-
эллиптические элементы из G, а также конечным множеством
классов сопряженности максимальных циклических
подгрупп [<//>], /=1,2, ..., s, бесконечных поряд-
порядков, содержащих все параболические элементы из G.
Если G — группа 2-го рода, то в ней имеется также
конечное множество классов сопряженности [{hk}\,
k=l,2, ..., t, так называемых граничных макси-
максимальных циклических подгрупп, состоящих из гипер-
гиперболических элементов (без условия граничности их
бесконечно много). Если g — род поверхности S =
= А\ G, то набор (g; mu m2, ..., m/, s; t) называется
сигнатурой группы G.
Неэлементарная конечно порожденная фуксова
группа G заданной сигнатуры (g; mi, тг, ..., mr; $; t)
существует тогда и только тогда, когда выполнено не-
неравенство
284 гл. п- группы
Фуксова группа 1-го рода сигнатуры (g; /щ,
..., mr; s; 0) может быть задана кодом
, х2, ..., xr, aiy blt ..., ag, bg, p,, .... ps\x™
g
Фуксовы группы 1-го рода изоморфны тогда и
только тогда, когда их сигнатуры (с точностью до пе-
перестановки чисел пи, t=l,2, ..., г) одинаковы. Ко-
Конечно порожденные фуксовы группы точно предста-
вимы целочисленными матрицами.
Неэлементарная фуксова 2-порожденная группа
обладает одним и только одним из следующих кодов:
1) (xv х21| > ~ F2, 2) (*„ х21| хр = 1 (р > 2)) ~ Z (р) * Z,
)<|| l(<< >5))()Z()
4) (*,, х2\\хр = xZ = (Xlx2)r= у
+ ~ + т" < 1 ) ) ^ D (p, q, г) — группа Дика, 5) (я,,
х21| [*,, х2]р = 1 (р > 2)>, 6) (*,, х2, х31| *? = х\ = х\ =
= (х.х2хзу =l(p = 2k+l>3)) = {x{x2, х2хъ).
Иногда группы D(p,q,r) называют треугольными.
Треугольная группа в этом смысле сигнатуры @; р, q,
г; 0; 0) при условии 1 1 < 1 — это фуксова
группа 1-го рода, являющаяся подгруппой индекса 2
в группе, порожденной отражениями относительно
сторон треугольника с углами я/р, я/q, я/г в смысле
геометрий Лобачевского, см. [69], [97].
Дискретная группа G ^ М называется клеиновой
группой 1-го рода, если Л = С = дН3 (Л определяется
аналогично предыдущему) и клеиновой группой 2-го
рода (иногда просто клеиновой группой) в остальных
случаях. Частный случай — фуксовы и квазифуксовы
группы. Квазифуксовой называется группа, обладаю-
обладающая в С инвариантной областью, ограниченной жор-
дановой кривой. Они также делятся на группы 1-го
и 2-го рода, см. [27].
Если в С имеется 2л попарно непересекающихся
замкнутых кругов В,-, г = 1,2, ..., 2и, и gi — преобра-
преобразования из М, переводящие внутренность В,- во внеш-
§ 4. РАЗНОЕ 285
ность Bi+n, t=l,2, ..., п, то группа (gu g2, •-., gn>
клейнова. Она свободна и состоит (кроме единицы)
только из локсодромических элементов. Такие группы
называются классическими группами Шоттки. Нако-
Наконец, существуют обобщения введенных понятий на бо-
более высокие размерности, см. [27].
Пусть G — дискретная группа движений евклидо-
евклидовой или неевклидовой плоскости Е, имеющая компакт-
компактную фундаментальную область (см. [68], [69]).
Тогда она задается одним из следующих кодов:
1) порождающие элементы:
па) s,, s2, ..., sm(m>0); пб) а,, Ьи а2, ЪЪ ..., ае,
bg (g> 0) или пб') vu v2, . .., vg(g> 0); пв) еи е2, .. .
пг) с,,, с12, ..., ch щ + ь . .., cq> m<j+i
2) определяющие соотношения:
са) sh.l=\, Лг>2, г =1,2, ..., т; сб) с2..= \,
i= 1, 2, ..., q; j = 1, 2, ..., т,- 4- 1; св) (сг,/+tC(-;)ft^' = 1,
hij^2, i= 1, 2, ..., <7; / = 1,2, ..., тг; Сцв^^ mi + \ei ^1,
/= 1, 2, . .., <?; сг) П«; П [a/t Ь,] П е, = 1 или
сг') Д s
При этом, если поверхность S = Е \ G ориентируема,
то берутся порождающие пб) и соотношения пг), а
если — иет, то берутся пб') н пг') вместе со всеми
остальными порождающими и соотношениями.
Группа, заданная представленным выше кодом,
реализуется как дискретная группа движений сферы
(>), евклидовой (=) или неевклидовой (<) плоско-
плоскости в зависимости от выполнения соотношений
/=1 6=1
где / = 4g, если поверхность S ориентируема, и / = 2g,
если поверхность S иеориентируема.
Каждая из групп, заданных одним из указанных
выше кодов, содержит в качестве подгруппы конеч-
конечного индекса некоторую фундаментальную группу
замкнутой поверхности. .
286 гл. п. группы
ЛИТЕРАТУРА
5. Адян С. И. Проблема Бернсайда я тождества в груп-
группах. — М.: Наука, 1975.
2. Бахтурин Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Нау-
Наука, 1985:
3. Бахтурин Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тождества//
Итоги науки и техники. Совр. проблемы мат. Фундамен-
Фундаментальные направления. — Т. 18. — М.: ВИНИТИ, 1988.—
С. 117—247.
4. Бердон А. Геометрия дискретных групп. — М.: Наука,
1986.
5. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.
6. Б о к у т ь Л. А., К у к и и Г. П. Неразрешимые алгоритми-
алгоритмические проблемы для полугрупп, групп и колец//Итоги нау-
науки и техники. Алгебра, топология, геометрия. — Т. 25. — М.:
ВИНИТИ, 1987. —С. 3—66.
7. Бурбаки Н. Общая топология. Топологические группы.
Числа и связанные с ними группы и пространства. — М.:
Наука, 1969.
8. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Свободные алгебры
Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1976.
' 9. В ей ль А. Интегрирование в топологических группах и его
применения. — М.: ИЛ, 1950.
10. Г л ушков В. М. Строение локально бикомпактных групп
и пятая проблема Гильберта//Успехи мат. иаук. — 1957. —
Т. 12, № 2.— С. 3—41.
11. Глушков В. М. О строении свободных локально биком-
бикомпактных групп/УМат. сб.— 1959.— Т. 48, № 1, —С. 75—
92.
12. Горчаков В. М. Группы с конечными классами сопря-
сопряженных элементов. — М: Наука, 1978.
13. Граев М. И. Теория топологических групп. 1//Успехи мат.
наук. 1950, — Т. 5, № 2. — С. 1 — 56.
14. Гринлиф Ф. Инвариантные средние на топологических
группах.—М.: Мир, 1973.
15. Джекобе он Н. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
16. Ершов Ю. Л. Теория нумераций. — М.: Наука, 1977.
17. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы тео-
теории групп. — 3-е изд. — М.: Наука, 1982.
18. К а р т а н А., Эй лен б ер г С. Гомологическая алгебра.—
М.: ИЛ, 1960.
19. Келли Дж. Общая топология. — М.: Наука, 1981.
20. Ко корин А. И., Копытов'В. М. Линейно упорядочен-
упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972.
21. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие
элементы и определяющие соотношения дискретных групп. —
М.: Наука, 1980.
22. Колытов В. М. Решеточио упорядоченные группы.—М.:
Наука, 1984.
23. Копытов В. М., Медведев Н. Я. Многообразия реше-
точно упорядоченных групп//Успехи мат. наук. —1985.—
Т. 4, № 3. — С. 117—128.
24. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.
25. Кох X. Теория Галуа р-расширений.— М.: Мир, 1973.
ЛИТЕРАТУРА 2f7
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М.:
Мир, 1967,
К р ушка ль С. Л,, Апанасов Б, Н,, Гусевский Н. А.
Клей новы группы и униформизания в примерах и зада-
задачах,— Новосибирск: Наука, 1981.
Курош А. Г. Теория групп, — 3-е изд.—М,: Наука, 1967.
Лин В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и
пространства//Итоги кауки и техники. Алгебра, топология,
геометрия. — Т. !7. — М.: ВИНИТИ, 1979.— С. 159—228.
Лин дон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп.—
М.: Мир, 1980.
Магнус В., КаррасА., СолнтэрД. Комбинаторная
теория групп. Представления групп в терминах образующих
и соотношений. — М.: Наука, 1974.
Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
Мальцев А. И. Избранные труды. — Т. I, II. — М.: Нау-
Наука, 1976.
Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука,
1970.
Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсианые функции.—■
2-е изд. — М.: Наука, 1986.
Марков А. А. Основы алгебраической теории кос/Др.
МИАН СССР. —Т. 16.—1945.
Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов.—
М.: Наука, 1984.
Масси У., Столлинге Дж. Алгебраическая топология.
Введение. — М.: Мир, 1977.
Медведев Н. Я. Многообразия решеточно упорядочен-
упорядоченных групп. — Барнаул: Алт. гос. ун-т., 1-987.
Мерзляков Ю. И. Рациональные группы.—2-е изд.—
М.: Наука, 1987.
М и л н о р Дж. Введение в алгебраическую /С-теорию. —
М.: Мир, 1974.
Мишина А. П. Абелевы группы//Итоги науки и техники.
Алгебра, топология, геометрия. — Т. 5. — М.: ВИНИТИ,
1967.— С. 9—44; —Т. 10.—М.: ВИНИТИ, 1972. — С. 5 —
45; —Т. 17. —М.: ВИНИТИ, 1979. —С. 3—63.
Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение ло-
локально компактных абелевых групп.—М.: Мир, 1980.
Мухин Ю. Н. Топологические грушш//Итоги науки и
техники. Алгебра, топология, геометрия. — Т. 20. — М.:
ВИНИТИ. — 1982. — С. 3—69.
Нейман X. Многообразия групп. — М.: Мир, 1969.
Новиков СП. Тояология//Итоти науки и техники. Совр.
проблемы мат. Фундаментальные направления. — МЛ
ВИНИТИ, 1986.— С. 5—252.'
Носков Г. А.. Ремесленников В. Н., Романь-
к о в В. А. Бесконечные группы//Итоги науки н техники.
Алгебра, топология, геометрия. — Т. 17. — М.г ВИНИТИ.
1979.— С. 65—157.
Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотно-
соотношений в группах. — М.: Наука, 1989.
Платонов В. П. Строение топологических локально про-
ективно нильпотентных групп и групп с нормадизаторным
условием//Мат. сб.— 1967.—Т. 72, № 1. —С. 38—58.
288 гл- п- группы
50. П л о т к и н Б. И. Группы автоморфизмов алгебраических
систем. — М.: Наука, 1966.
51. П лотки н Б. И., В овей С. М. Многообразия представ-
представлений групп. Общая теория, связи и приложения. — Рига:
Зинатне, 1983.
52. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — 4-е изд. — М.:
Наука, 1984.
53. Протасов И. В. Локальные теоремы для топологических
групп//Изв. АН СССР. Математика. — 1979. —Т. 43, № 6.—
С. 1430—1440.
54. Разрешимые и простые бесконечные группы//Новое в за-
заруб, науке. Математика. — Вып. 21. — М.: Мир, 1981.
55. Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Теоретико-
модельные и алгоритмические вопросы теории групп//Итоги
науки и техники. Алгебра, топология, геометрия. — Т. 21.—
М.: ВИНИТИ, 1983.— С. 3—79.
56. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффектив-
эффективная вычислимость. — М.: Наука, 1972.
57. С е р р Ж.-П. Когомологии Галуа. — М.: Мир, 1968.
58. С е р р Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир,
1969.
59. С е р р Ж.-П. Деревья, амальгамы и 51-2//Математика/Сб.
пер. — 1974. — Т. 18, № 1. —С. 3—5!, № 2.—С. 3—27.
60. Ф у к с Д. Б. Классические многообразия//Итогь науки и
техники. Совр. проблемы мат. Фундаментальные направле-
направления. — М.: ВИНИТИ, 1986.— С. 253—317.
61. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические систе-
системы. — М.: Мир, 1965.
62. Ф у к с Л. Бесконечные абелевы группы. — М.: Мир, 1974,
ч. 1; 1977, ч. 2.
63. Хамфри Д. Линейные алгебраические группы. — М.: Нау-
Наука, 1980.
64. X а м ф р и Д. Арифметические группы. — М.: Мир, 1983.
65. Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1982.
66. X о л л Ф. Нильпотентные группы//Математика/Сб. пер. —
1968.— Т. 12, № !. —С. 3—36.
67. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический ана-
анализ. — Т. 1. —М.: Наука, 1975.
68. Цишанг X. О разложениях дискретных групп движений
плоскости//Успехи мат. наук.— 1981. — Т. 36, № 1.—
С. 173—194.
69. Цишанг X., Фогт Э., Колдевай Х.-Д. Поверхности
и разрывные группы. — М.: Наука, 1988.
70. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами систе-
системы подгрупп. — М.: Наука, 1980.
71. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры//Итоги
науки и техники. Совр. проблемы мат. Фундаментальныг
направления.—Т. П. —М.: ВИНИТИ, 1986.
72. A n d e r s о n M., F e i 1 Т. Lattice-ordered groups. An in-
introduction. Dordrecht etc.: Reide! Pub!. Сотр., 1988.
73. Babakhanian A. Cohomological methods in group the-
theory. — New York: Marcel Dekker, 1972. — (Pure and Appl.
Math. — V. 11).
74. Bachmuth S., Mochizuki H. Y. The tame range of
automorphism groups and GZ.n//Group Theory. Proa. Singa-
ЛИТЕРАТУРА 289
pure Group Theory Conference. — Berlin; New York: Walter
de Gruyter, 1989.— P. 241—252.
В a u m s la g G. Lectures on nilpotent groups. — Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc., 1971.
Baumslag G. A survey on groups with a single defining
re!ation//London Math. Soc. Lect. Note Ser. —1986. —
V. 12!. —P. 30—58.
Bieri R. Homological Dimension of Discrete Groups.—
London: Queen Mary College Math. Notes, 1976.
В i g a r d А., К e i m e ! K., Wolfenstein S. Groups et
anneaux reticules. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer,
1977.
Cohen D. E. Groupes of cohomological dimension one. —
Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1972.
Cohen D. E. Combinatorial Group Theory. A Topological
Approach. — London: Queen Mary College Math. Notes, 1977.
D e h n M. Papers on Group Theory and Topology. — New
York; Berlin; Heidelberg; London; Paris; Tokyo: Springer,
1987.
Dicks W. Groups, Trees anf Projective Modules. — Berlin;
Heidelberg; New York: Springer, 1980.
Donkin S. Polycyclic groups, Lie algebras and algebraic
groups//J. reine angew. Math. — 1982. — V. 326. — P. 104—
123.
G i 1 d e n h u у s D., S t r e b e 1 R. On the cohomology of
soluble groups//.!. Pure and Appl. Algebra. — 1982. — V. 26,
№ 3. — P. 293—323.
Griffith P. Infinite Abelian Groups Theory. — Chicago:
University of Chicago Press, 1970.
Gruenberg K- W. Cohomologica! topics in group theory.—
Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1970.
Gupta N. Free Group Rings//Contemp. Math. — Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc. — V. 66, 1987.
Hartley B. Topics in the theory of nilpotent groups//
Group Theory. Essays for Philip Hall. — London Math. Ser.,
1984.— P. 61—120.
Hilton P. J., S t a m m b а с h U. A course in homological
algebra. — Berlin; Heidelberg; New York; Springer, 1971.
J а с о W. Lectures on three manifold topology. — Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc, 1980.
Johnson D. L. Topics in the Theory of Group Presenta-
Presentations. — London Math. Soc. Lect. Note Ser. — 1980. — V. 42.
Johnson D. L. A survey of the Torelly group//Contemp.
Math. — 1983. — V. 20. — P. 165—180.
К а с V. G. Constructing groups associated de infinite-dimen-
infinite-dimensional Lie algebras//Infinite Dimensional Groups with Appli-
Applications. — New York, 1968.
Kaplansky I. Infinite abelian groups. — Michigan, 1954
and 1969.
К e g e 1 O. H., W e h r f r i t z B. A. F. Locally Finite Groups.
Amsterdam: North-Holland, 1973.
L a z a r d M. Groupes analytiques p-adiques//Publ. Math.
IHES. 1965. — V. 26.
Lyndon R.C. Groups and geometry. — London Math. Soc.
Lect. Note Ser. 1985. —V. 101. i
0 Общая алгебра, т. 1
290 гл. п. группы
98 Magnus W. Residually finite groups//Bu!l. Amer. Math.
Soc. — 1969. — V. 75. — P. 305—316.
99. Magnus W. The uses of 2 by 2 matrices in combinatorial
group theory: A survey//Resultate der Math.— 1984.—
V. 4.-P. 171 — 192.
100-Moch i z u ki H. Y. Automorphisms of solvable groups.—
Part II//London Math. Soc. Lect. Note Ser.—1986.—V. 12!.—
P. 15—29.
101. Nielsen J. Collected Mathematical Papers. — Birkhauser,
1986.
102-О 1 s a n s ki i A. Yu. On a geometrical method in the combi-
combinatorial group theory//Proc. Intern. Congr. Math. Warsza-
wa. — 1983. — P. 415—424.
103. Remeslennikov V. N., Romanovskii N. S. Algorith-
Algorithmic problems for solvable groups//Word Problems II.—
1980.— P. 337—346.
104. Ribes L. Introduction to profinite groups and Galois coho-
mology. — Kingston, Canada, 1970.
105. Rimlinger F. Pregroups and Bass — Serre theory//Mem.
Amer. Math. Soc— 1987. — V. 65, N 361.
106. Robinson D. J. S. Finiteness conditions and generalized
soluble groups. — New York; Heidelberg; Berlin; Springer,
Part 1, Band 62; Part 2, Ibid., Band 63, 1972.
107. Robinson D. J. S. A new treatment of soluble groups
with finiteness conditions on their abelian subgroups//Bull.
London Math. Soc— 1976. —V. 8, N 2. — P. 113—129.
108. Robinson D. J. S. A contribution to the theory of groups
with finitely many automorphisms//Proc. London Math.
Soc. — 1977. — V. 37. — P. 34—54.
109. Robinson D. J. S. A Course in the theory of groups.—
New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1982.
110. Schupp P. A survey of SQ-universality. — New York; Hei-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1973.— P. 183—188. — (Lect. Not-
Notes Math. — V. 319).
111. Segal D. Polycyclic groups. —- Cambridge, 1983.
112. Serre J.-P. Trees. — Berlin; Heidelberg; New York: Sprin-
Springer, 1980.
113. Stammbach V. Homology in group theory. — New York;
Heidelberg; Berlin: Springer, 1973.
114. Still we 11 J. The word problem and the isomorphism pro-
problem for groups//Bull. Amer. Math. Soc. — 1982. — V. 6,
№ 1. —P. 33—56.
115. Still well J. Classical topologv and combinatorial group
theory. — New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1980.
116. Strebel R. Finitely presented soluble groups//Group The-
Theory. Essays for Philip Hall. London Math. Soc, 1984. —
P. 257—314.
117. Thurston W. P. Three dimensional manifolds. Kleirrian
groups and hyperbolic geometry//Bu!l. Amer Math. Soc. —■
1982. —V. 6, N 3. — P. 357—381.
118. War fie Id R. B. Nilpotent groups. — New York; Heidel-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1976.
119 Weiss E. Cohomology of groups.—New York: Acad. Press,
1969. .
ГЛАВА III
КОЛЬЦА И МОДУЛИ
В § 1 настоящей главы излагаются общие свойства
колец. В § 2 и § 3 рассматриваются вопросы, специ-
специфичные для ассоциативных и неассоциативных колец
соответственно. Как уже отмечалось, теория полей и
коммутативных ассоциативных колец остается за пре-
пределами рассмотрения (см. о них [19], [40], [152],
[203]). Сравнительно мало внимания уделено коль-
кольцам и алгебрам Ли. Модулям посвящен § 4. При этом
гомологическая алгебра изложена в минимальном
объеме. В частности, практически не затронута /(-тео-
/(-теория. Наконец, в § 5 рассмотрены топологические, час-
частично упорядоченные, дифференциальные, разностные,
фильтрованные и градуированные кольца. Довольно
мало внимания уделено модулям с дополнительной
структурой. Рассмотрены также кольца, на которых
действует некоторая группа. Из других не нашедших
отражения в справочнике вопросов отметим теорети-
теоретико-модельные вопросы [127], конструктивные аспекты
[213], алгоритмические задачи [15], [58], свойства
аддитивной группы кольца [92], [145], гл. XVII, и его
мультипликативной полугруппы [234]. В последней
работе рассматриваются и другие вопросы, лежащие
на границе теории колец и теории полугрупп.
§ 1. Общие определения
1.1. Основные определения. Абелева группа R на-
называется кольцом, если на ней определено умножение,
ввязанное со сложением дистрибутивными законами:
(а -\- Ь) с = ас + be и а (Ь -\- с) = аЪ + ас.
В качестве примеров колец укажем: кольцо Z целых чисел,
кольцо Mn(R) квадратных матриц порядка п с действительными
элементами и кольцо V трехмерных векторов с обычным сло-
сложением и векторным произведением в качестве умножения.
10*
2Э2 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если (R, -\-, •)—кольцо, то (R, -{-) называется его
аддитивной группой, a (R, •)— мультипликативным
группоидом. Если на кольце (R, +, •) задать новое
умножение о, положив a ob = Ьа, то (R, +, °) также
оказывается кольцом, которое называется кольцом,
инверсным или противоположным кольцу R. Из дан-
данного кольца R можно получить новые кольца R^~~> и
/?<+), задав новые умножения [ , ] и { , } равенства-
равенствами [a, b] = ab— Ьа и {a, b} = ab-\-ba соответственно.
Одноэлементное кольцо называется нулевым.
Если 0 — нуль аддитивной группы кольца R, то
аО = Оа = 0 для любого не]?. Справедливы также
равенства а(—Ь) = (—а)Ь = —ab и (—а) (—b)—ab.
Вычитание определяется равенством а — b = a -j-
+ (—b), где —b— элемент, противоположный b (ср.
п. II. 1.1). Дистрибутивные законы распространяются
на вычитание: (а — Ь)с=ас — be и а(Ь — с)= ab —
■—ас, а также на случай нескольких слагаемых:
Ei)(EmE ЕМ/
Каждую абелеву группу /? можно превратить в
кольцо, положив ab = 0 для всех a, b e R. Такое
кольцо называется кольцом с нулевым умножением.
Подмножество S кольца R называется подкольцом,
если OsS и а -\- Ь, —a, ab e S всякий раз, когда
a, b e S. Каждое подкольцо кольца R является коль-
кольцом относительно операций, заданных в R. Тривиаль-
Тривиальными подкольцами являются само R и одноэлемент-
одноэлементное множество {0}. Подкольцом кольца Z служит, на-
например, множество всех четных чисел. В качестве
примера подкольца V можно указать совокупность
векторов, лежащих на фиксированной прямой. Это
подкольцо является кольцом с нулевым умножением.
Пересечение любого непустого множества подколец
кольца R оказывается подкольцом. Поэтому для лю-
любого непустого подмножества Хе/? существует наи-
наименьшее подкольцо, содержащее множество X. Про
это подкольцо говорят, что оно порождается множе-
множеством X. Оно совпадает с множеством всех сумм все-
всевозможных произведений элементов из X. Например,
множество {15,6} порождает в Z подкольцо, состоя-
состоящее из всех чисел, делящихся на 3.
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 293
Кольцо R называется ассоциативным, если (ab)c=
= a (be) для любых а, Ь, се R, т. е. если мультипли-
мультипликативный группоид является полугруппой. Если ab =
= Ьа для всех a, b e R, то кольцо R называется ком-
коммутативным. Кольцо, являющееся коммутативным и
ассоциативным одновременно, называется ассоциа-
ассоциативно-коммутативным. Ассоциативным [коммутатив-
[коммутативным] является кольцо, инверсное ассоциативному
[коммутативному]. Ассоциативно-коммутативным яв-
является кольцо Z, а также всякое кольцо с нулевым
умножением. Кольцо Мп(К) ассоциативно, ио при
п^2 не коммутативно. Кольцо V не ассоциативно и
не коммутативно. Существуют коммутативные, но не
ассоциативные кольца (см. § 3). Однако, говоря
о коммутативном кольце, чаще всего подразумевают,
что оно является и ассоциативным. Термин «кольцо»
часто употребляется в смысле «ассоциативное кольцо».
Левой [правой] единицей кольца R называется та-
такой элемент е, что еа = а [ае = а] для всех a^R.
Под единицей понимается элемент, являющийся левой
и правой единицей одновременно, т. е. такой эле-
элемент е, что еа = ае = а для всех а е R. В кольце не
может быть более одной единицы. Более того, если R
содержит левую единицу е' и правую единицу е", то
е' = е", причем е' оказывается единицей. Очень часто
единицу кольца обозначают символом 1. Нулевое
кольцо — это единственное кольцо, в котором единица
совпадает с нулем.
Ьдиницами колец Z и Мп (R) служат ! и | '" | соот-
■0 0 ... 1
ветственно. Кольцо V единицы не имеет. Если RS — полутруппо-
вая алгебра (сы. п. 2.3) полугруппы левых нулей (см. п. IV. 2.1),
то все элементы из RS оказываются правыми единицами. Под-
Подчеркнем, что единица подкольца может не быть единицей са-
(а 0\
мэго кольца. Например, матрицы вида I I образуют под-
кольцо S кольца /? = Мг(К) и ( „ „ ) служит единицей в S,
но не в У?.
Кольцо R называется линейной алгеброй или про-
просто алгеброй над ассоциативно-коммутативным коль-
кольцом Ф с единицей (а также Ф-алгеброй), если R
294 гл- HI. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
является Ф-модулем нХ(аЬ) — (Ха)Ь =а(ХЬ) для лю-
любых 1еф и а, Ь е R. Особенно важен случай, когда
Ф — поле и, следовательно, R является линейным про-
пространством над Ф. В этом случае алгебра называется
конечномерной, если она является конечномерным
пространством над Ф. Всякое кольцо можно рассмат-
рассматривать как алгебру над кольцом целых чисел.
Примерами алгебр над полем Ф могут служить кольцо
матриц Мп(Ф) и кольцо многочленов Ф[х]. Первая из них ко-
конечномерна, а вторая нет. Поле комплексных чисел и тело ква-
кватернионов являются алгебрами над полем действительных чисел.
Однако тело кватернионов алгеброй над полем комплексных
чисел не является.
Если R — алгебра над полем Фи {et| i e 3} — база
линейного пространства R, то е,еи= 2 c\%ev где
с*жеФ, причем для каждых тх лишь конечное число
элементов с^и отлично от нуля. Элементы с^и назы-
называются структурными константами алгебры R. Зада-
Задание структурных констаит полностью определяет ум-
умножение в алгебре R. Для ее ассоциативности [ком-
[коммутативности] необходимо и достаточно, чтобы
Z ^CL = Ь»С К« = <] Для любых 1> к> Х> I*.
v, реЗ. Все сказанное дословно повторяется в слу-
случае, когда Ф — произвольное ассоциативно-коммута-
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, a R — свободный Ф-модуль.
Всякое кольцо R может быть вложено в кольцо R1
с единицей: элементами кольца R1 служат пары
(а,т), где а е R, meZ, а операции определяются
равенствами:
(а, т) + (Ь, п) = (а + 6, т -\- п)
и - ■]
,, (а, т) (Ь, п) = {аЪ + "а + mb, пт). ';
Элементы кольца /? отождествляются с парами вида
(а, 0), единицей служит пара @, 1). Если R ассоциа-
ассоциативно [коммутативно], то ассоциативно [коммутатив-
[коммутативно] и кольцо R1. Аналогично для Ф-алгебры R строит-
строится Ф-алгебра R1 с единицей:/?1 = {(а, Х)\а е R, X е
еФ}, (а, Х) + (Ь, ц) = (а +Ь,К+ ц), (а, X) (Ь, |») =
= (ab + ца+Xb, Хц), |(а, Х)=Aа, Щ для любых
a, bs=R и X, ц, |е Ф. Про кольцо [алгебру] /?' го-
говорят, что оно получено из R внешним присоединением
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 295
единицы. Отметим, что если в R существовала едини-
единица, то единица в /?' отлична от нее. Кроме того,
кольцо R оказывается идеалом в R1.
Подалгеброй линейной алгебры над полем [коль-
[кольцом] Ф называется подкольцо, являющееся подпро-
подпространством [подмодулем]. Алгебра над полем Ф на-
называется локально конечной, если все ее конечно по-
порожденные подалгебры конечномерны.
Кольцо целых чисел является подкольцом поля комплекс-
комплексных чисел, но не будет подалгеброй алгебры комплексных чисел
над полем действительных чисел.
Элемент а алгебры R над полем Ф называется
алгебраическим, если существует такой ненулевой
многочлен f(x) над полем Ф, что /(а) = 0. Алгебра R
называется алгебраической, если все ее элементы ал-
алгебраические. Если все элементы алгебры R над по-
полем Ф являются корнями многочленов над Ф, степени
которых ограничены в совокупности, то говорят, что
R — алгебраическая алгебра ограниченной степени.
Алгебраической алгеброй ограниченной степени ока-
оказывается всякая конечномерная алгебра над любым
полем. Проблема Куроша: всякая ли алгебраическая
алгебра над полем локально конечна? Отрицательный
ответ дал Е. С. Голод ([96], гл. 8).
Отображение q> кольца R в кольцо S [Ф-алгебры R
в Ф-алгебру S] называется гомоморфизмом, если
Ф(а + Ь) = (р(а) + ср(Ь) и q>(ab) — q>(a)cp(b) для лю-
любых а, Ь е R [а также q>(ka) = kq>(a) для любых
1еФ и ae=R]. Подчеркнем, что знаки -\- и • в левой
и правой частях этого равенства имеют различный
смысл: слева — это операции в кольце R, а справа —
в кольце S. Взаимно однозначный гомоморфизм на-
называется изоморфизмом. Если ф: R-+S — изомор-
изоморфизм, то обратное отображение ф~' также оказывается
изоморфизмом, и потому такие кольца R я S есте-
естественно назвать изоморфными. Если второе условие
из определения гомоморфизма заменить на ц>(аЬ) =
= Ф(&)ф(а), то придем к определению антигомомор-
антигомоморфизма. Взаимно однозначный антигомоморфизм на-
называется антиизоморфизмом. Гомоморфизм [антиго-
[антигомоморфизм] кольца или алгебры в себя называется
эндоморфизмом [антиэндоморфизмом} этого кольца
или этой алгебры. Автоморфизм [антиавтоморфизм]
2% ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
кольца или алгебры определяется как изоморфизм
[антиизоморфизм] этого кольца или этой алгебры на
себя. Если а — обратимый элемент ассоциативного
кольца R и q>(x) — a-lxa, то q> оказывается автомор-
автоморфизмом кольца R, который называется внутренним.
Если ф—наложение ассоциативного кольца R на об-
область целостности R', причем q>(a -f- b) = q>(a) -f- <p(fc),
ф(а2) = (ф(а)J и q>(abc) = q>(a)cp(b)q>(c) для любых
a, 6, се/?, то ф оказывается гомоморфизмом или ан-
антигомоморфизмом (Хуа Л о Кен//Успехи мат.
наук.— 1955. —Т. 8, Х° 3. — С. 143—148).
Примеры. 1) R— кольцо многочленов над полем S и
ф(/(')) = fO) Для всех f@ ^ /? (ф — гомоморфизм);
2) R— произвольное кольцо, S—кольцо, инверсное кольцу /?,
и ц>(х) = х для всех «ei? (ц>—антиизоморфизм); 3) R— поле
комплексных чисел и ц>(г) =z для всех гей (ц>—автомор-
(ц>—автоморфизм); 4) R — кольцо матриц над полем Р и ц>(А)—матрица,
транспонированная кЛеЯ (ц> — антиавтоморфизм).
Пусть ф: R->-S — гомоморфизм колец [Ф-алгебр].
Если X — подмножество в R, то положим q>(X) =
= {ф(л;) \х е X}. Если X — подкольцо [подалгебра]
в R, то ц>(Х) оказывается подкольцом [подалгеброй]
в S. В частности подкольцом [подалгеброй] в S ока-
оказывается ф(/?) = 1тф. Это подкольцо оказывается ас-
ассоциативным [коммутативным] кольцом, если ассо-
ассоциативно [коммутативно] кольцо R. Если в кольце R
имеется единица 1, то фA) служит единицей кольца
Im ф, но может не быть единицей кольца S. Элемент
фA) обязан быть единицей кольца S в случае, когда
Ф—гомоморфное наложение, т. е. q>(R) = S. Напро-
Напротив, ф@) всегда является нулем кольца S.
Если {/?ijieS} — семейство колец [Ф-алгебр], ю
прямое произведение множеств Rlt т. е. совокупноегь
строк (..., ui, ...), где at e /?i или, что то же самое,
множество всех таких отображений а множества 3
в дизъюнктное объединение {] Rt. что o(i)gJ?(
(ср. п. I. 1.2) можно превратить в кольцо [ф-алгеб-
ру], определив операции покомпонентно, т. е.
(..., аи ...) + (■■-, К, ...) = (■■■,ai + b, ■■•)
и
( , а„ ...)( . ., Ьи .. .)==(..., аА, ••■)
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 297
[а также
к(..., ait ...) = (•■-, М, ■••)
для любого 1еФ].
Это кольцо называется прямым произведением или
полной прямой суммой колец [Ф-алгебр] Rt н обозна-
обозначается через П Rlt а при 3 = {!> ■■■> п) — через
/?! Ф ... Ф Rn или /?i X ■ ■ ■ X Rn. Если все кольца /?,,
ассоциативны, коммутативны или обладают единицей,
то то же самое справедливо и для их прямого произ-
произведения.
Пусть /?= П /?i. Отображение ли ставящее в св-
1€=3
ответствие каждой строке ее i-ю координату, является
гомоморфизмом прямого произведения на кольцо [ал-
[алгебру] Ri, который называется естественной проек-
проекцией. Кольцо [Ф-алгебра] R изоморфно прямому про-
произведению П Rh тогда и только тогда, когда суще-
к^з
ствуют гомоморфные наложения nt кольца R на коль-
кольца Rlt обладающие следующими свойством: каковы бы
ни были гомоморфизмы <Pi кольца [ф-алгебры] S в
кольца [Ф-алгебры] Rt существует один и только
один гомоморфизм ф кольца [Ф-алгебры] R в кольцо
[Ф-алгебру] S такой, что nl(q>(x)) = <pl(x) для любого
x^S (ср. п. VII. 1.7).
Подиольцо 5 кольца R = И i?t, состоящее из всех
1Е=3
таких строк, у которых почти все координаты (т. е.
все, кроме, быть может, конечного числа их) ргввы
нулю, называется внешней прямой суммой колец i?v
и обозначается через J]® Rh. Отметим, что в случае
бесконечного множества индексов 3 прямая сумма
ненулевых колец единицы не имеет, даже если едини-
единицей обладает каждое из колец Rt. Если 3 конечно, то
внешняя прямая сумма совпадает с прямым произве-
произведением. Все сказанное остается в силе и для алгебр.
Говорят, что кольцо R представлено в виде подпря-
мого произведения колец /?t, i<=3, или что R яв-
является подпрямьш произведением колец R» или что R
разлагается в подпрямое произведение колец Rlt если
существует такое гомоморфное вложение ср кольца R
298 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
в прямое произведение Ц Rlt что фяь оказывается
гомоморфным наложением R на /?t для каждого ie S.
Подпрямое произведение называется тривиальным,
если для некоторого i e S гомоморфизм <pnt оказы-
оказывается изоморфизмом. Кольцо называется подпрямо
неразложимым или монолитным, если всякое его пред-
представление в виде подпрямого произведения оказы-
оказывается тривиальным. Кольцо R подпрямо неразло-
неразложимо тогда и только тогда, когда пересечение всех
его ненулевых идеалов отлично от {0}. Это пересече-
пересечение называется сердцевиной или монолитом кольца.
Всякое кольцо представляется в виде подпрямого про-
произведения подпрямо неразложимых колец. Внешняя
прямая сумма колец является частным случаем под-
подпрямого произведения. Подпрямое произведение, со-
содержащее прямую сумму, называется специальным.
Подпрямое произведение колец Rb, i e 3, называется
несократимым, если для любого я> е 3 гомоморфизм
<ря<*>, где я<и> — естественная проекция П /?i на
П /?ь не является вложением. Это равносиль-
ie3\(x)
но тому, что для любого xgS пересечение
П Кег еря,, =^ {0}. Грубо говоря, несократимость
ie3\ {и}
означает, что нельзя обойтись меньшим числом сомно-
сомножителей. Все сказанное остается справедливым для
алгебр.
Говорят, что кольцо R аппроксимируется кольцами
из некоторого класса I, если для каждого ненулевого
а е R найдется гомоморфизм q>: R->-S такой, что
Set и ц>(а)^=0. Если класс f замкнут относительно
подколец (т. е. вместе со всяким кольцом содержит
и все его подкольца), то аппроксимируемость коль-
кольцами из класса f равносильна разложимости в подпря-
подпрямое произведение колец из f. Все сказанное справед-
справедливо и для алгебр. В частности, алгебра над полем
называется финитно аппроксимируемой, если она ап-
аппроксимируется конечномерными алгебрами.
Если А и В — алгебры над ассоциативно-коммута-
ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей, то тензорное произве-
произведение Ф-модулей А ®фВ (см. п. 4.1) становится Ф-ал-
геброй, если положить (а' ® Ь') {а" ® Ь") =а'а" ® Ь'Ь"
и А,(а<8>6) = Яа® Ь для любых К е Ф, а, а', а"^А
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 299
и Ъ, Ь'', Ь" е В. Эта алгебра называется тензорным
или кронекеровым произведением алгебр А и В. Тен-
Тензорные произведения Л®ф£ и В®фА изоморфны.
Если Л и В — ассоциативные [коммутативные] алгеб-
алгебры, то ассоциативным [коммутативным] будет и их
тензорное произведение. Если А есть ф-алгебра, a W—
ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, со-
содержащее Ф в качестве подкольца с той же самой
единицей, то Ч*&>фА естественным образом превра-
превращается в ^-алгебру (см. [87], с. ПО—111). Ассоциа-
Ассоциативная алгебра А с единицей 1 над полем Ф изоморф-
изоморфна тензорному произведению своих подалгебр В и С,
содержащих 1, тогда и только тогда, когда для лю-
любых [некоторых] баз {еь\ i е 3}я {/и|х <= ®} алгебр В
и С соответственно имеем elfii = fney для любых i e 3
и к е $, а множество {et/M|ie 3, xei?} служит ба-
базой алгебры А (см. [31], с. 156, предложение 2).
Представлением ассоциативной алгебры А над по-
полем Ф называется ее гомоморфизм в алгебру ли-
линейных преобразований конечномерного линейного
пространства над полем Ф или, что то же самое,
в алгебру матриц над полем Ф. Точным называется
представление, являющееся вложением. Всякая конеч-
конечномерная алгебра А с единицей имеет точное представ-
представление, ибо умножение справа на элемент ае/1 яв-
является линейным преобразованием Г (а) линейного
пространства А. При этом T(ab) = T(a)T(b) для лю-
любых а, Ь е А. Классические аспекты теории представ-
представлений отражены в [56] и [76], § 55. Современной
теории представлений с широким использованием кол-
колчанов посвящена монография [245]. В обзо'рных
статьях [109] и [243] рассматриваются представле-
представления конечномерных алгебр конечного типа, т. е. таких,
что множество неизоморфных неразложимых модулей
над ними конечно. Обстоятельный обзор теории пред-
представлений артиновых алгебр дан в [241]. Представ-
Представлениям колец матрицами над телом посвящека моно-
монография [251].
Натуральное число п называется характеристикой
кольца R, если па = 0 для всех а е R и kb Ф 0, при
0 ф Ь е R, Ь^фк^Ъ и k <.тг. Если па ф 0 всякий
раз, когда 0Ф а ев R и O^neZ, то говорят, что ха-
характеристика колыша R равна нулю. Кольцо может не
1шеть характеристики. Например, ее нет у внешней
300 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
прямой суммы кольца вычетов по модулю 2 и кольца
вычетов по модулю 3. Если же характеристика есть,
то она равна нулю или простому числу. Характери-
Характеристика алгебры над полем совпадает с характеристи-
характеристикой поля.
1.2. Идеалы. Подмножество / кольца [Ф-алгебры]
R называется двусторонним идеалом (часто просто
идеалом), если Ое/, а а,6е/ влечет а — be/ и
аг, га е / для любого re/? [а также Яае/ для лю-
любого ЯеФ1. Запись I <\ R обычно означает, что / —
двусторонний идеал кольца [Ф-алгебры] R. Ясно, что
идеал кольца R является его подкольцом и служит
идеалом любого подкольца кольца R, в котором он
содержится. Аналогично, идеал Ф-алгебры R является
ее подалгеброй и служит идеалом любой подалгебры
алгебры R, в которой он содержится.
Само кольцо R и множество {0} являются идеала-
идеалами. Совокупность всех четных чисел является идеалом
кольца целых чисел, а множество всех многочленов
без свободного члена — идеал в кольце многочленов.
В кольце и ф-алгебре с нулевым умножением идеа-
идеалами служат любые подгруппы аддитивной группы
и любые подмодули [подпространства] соответствен-
соответственно. Отсюда видно, что идеал алгебры, рассматривае-
рассматриваемой как кольцо, может не быть идеалом алгебры. Од-
Однако, если R есть Ф-алгебра с единицей 1, то множе-
множество {АЛ|Х<~Ф} оказывается подалгеброй алгебры R,
изоморфной кольцу Ф. Поэтому в этом случае можно
считать, что фей. Отсюда вытекает, что при нали-
наличии единицы любой идеал кольца R оказывается
идеалом Ф-алгебры R.
Если ф: R-+S — гомоморфизм колец [Ф-алгебр],
то множество Кег q> ={jc|jc е R, q>(jc) = O} оказывается
идеалом кольца [Ф-алгебры] R. Этот идеал назы-
называется ядром гомоморфизма q>. Гомоморфизм q> ока-
оказывается изоморфизмом в том и только том случае,
когда Кегф = {0}.
В случае гомоморфизма ер, указанного в примере 1) на
С.296,'Кег Ф= {/@1/A) =0}.. .
Идеал / кольца или алгебры R называется харак-
характеристическим [вполне характеристическим], если
<р(л:)<~/ для любого д. е / и любого автоморфизма
[эндоморфизма] кольца или алгебры R.
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 301
Пересечение любого множества идеалов кольца
[алгебры] снова является идеалом этого кольца [ал-
[алгебры] . В частности, идеалом оказывается пересече-
пересечение всех идеалов кольца [алгебры] R, содержащих
данное подмножество X s R. Про этот идеал говорят,
что он порождается множеством X. Отметим, что этот
идеал является наименьшим идеалом, содержащим
множество X. Разумеется, всякий идеал является под-
кольцом. Однако подкольцо, порожденное множе-
множеством X, как правило меньше идеала, порожденного
этим множеством. Идеал, порожденный одним элемен-
элементом as/?, называется главным и часто обозначается
через (а). Если R— ассоциативное кольцо [Ф-алгеб-
ра], то имеем
(а) = |Е xtay{ + £ и,а + £ avk + %а | хи yt, и,»
vk <= R, AeZ[)ie Ф]},
а при наличии в кольце R единицы —
Идеал М кольца [алгебры] R называется мини-
минимальным, если МФО и не содержит идеалов кольца
[алгебры] R, отличных от {0} и М, и максимальным,
если M^R и не содержится ни в каком идеале
кольца [алгебры] R, отличном от М и R.
Каждый минимальный идеал является главным.
В кольце или алгебре R с левой [правой] единицей
всякий идеал, отличный от R, вкладывается в некото-
некоторый максимальный идеал. Однако R может не содер-
содержать минимальных идеалов. Их, например, нет в
кольце целых чисел. Кольцо R называется простым,
если R не является кольцом с нулевым умножением
и не содержит идеалов, отличных от {0} и R. В таком
кольце {0} является максимальным идеалом, а R ми-
минимальным. В кольце целых чисел Z максимальными
являются главные идеалы Ър, где р — простое число.
Среди ассоциативно-коммутативных колец с единицей
простыми кольцами являются поля и только они.
К числу простых относятся и все кольца матриц над
телами (и, в частности, над полями). Более того, про-
простым оказывается кольцо матриц над любым простым
ассоциативным кольцом. Отметим, что любая абелевЗ
302 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
группа R простого порядка, рассматриваемая как
кольцо с нулевым умножением, не содержит идеалов,
отличных от {0} и R, но простым кольцом не является.
Поскольку любой идеал / кольца [Ф-алгебры] R
является подгруппой аддитивной группы и последняя
коммутативна, то можно рассмотреть факторгруппу
/?//. Эта факторгруппа становится кольцом [Ф-алгеб-
рой], если для любых смежных классов а + / и b -\-1,
где atb^R, положить (а + /) (b + /) = ab -\-1 {и
Х(а + 1) = Ха + I Для любого 1еф]. Построенное
таким образом кольцо [Ф-алгебра] называется фак-
торкольцом квльца R [факторалгеброй алгебры R] по
идеалу I. Отображение л: R-*-R/I, где я(х) = х + /
для всех х е R, оказывается гомоморфным наложе-
наложением или, что то. же самое, сюръективным гомомор-
гомоморфизмом, который называется естественным или кано-
каноническим. Идеалы кольца целых чисел Z исчерпы-
исчерпываются множествами вида Ъп. Факторкольцо Z/Zn
называется кольцом вычетов по модулю п.
Факторкольцо ассоциативного [коммутативного]
кольца ассоциативно [коммутативно]. Если кольцо R
содержит единицу 1, то класс 1 -\-1 служит единицей
факторкольца. Способ построения такого кольца R,
что для данных колец S и Т имеет S cz I <1 R и
R/I са: Т описан в [240], § 52. Имеет место теорема
о гомоморфизме: если ф: /?->S — гомоморфное нало-
наложение колец [Ф-алгебр], то факторкольцо [факторал-
гебра] R/I изоморфно кольцу [Ф-алгебре] S. При
этом изоморфизм %: S-^/^/Кегф может быть выбран
так, что для всех x^R имеем %((р(х)) = я(х), где
я — естественный гомоморфизм R на /?/Кегср. Дру-
Другими словами, диаграмма
F/Kercp
оказывается коммутативной.
Между идеалами факторкольца [факторалгебры]
R/I и идеалами кольца [алгебры] R, содержащими
идеал /, существует взаимно однозначное соответ-
§ I. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 303
ствие Г, сохраняющее порядок (см. п. 1.2.1). Оно
определяется условием
где / ^ Н <1 R. Отсюда вытекает, что факторкольцо
[факторалгебра] оказывается простым тогда и только
тогда, когда / — максимальный идеал.
Пусть ф: R-+S— гомоморфизм колец [алгебр].
Если / — идеал в /?, то ср(/)—идеал в Im ф, а если
Ф — наложение, то и в S. Если / и / — идеалы в F(
и КеГфЕ/, то ф(/Г)-О = ф(/)Пф(-О. Последнее оста-
остается справедливым и в • случае, когда / и / — под-
кольца [подалгебры]. Если 7— подкольцо [подалгеб-
[подалгебра] или идеал в S, то множество ф-1 G) оказывается
подкольцом [подалгеброй] или идеалом в /? соответ-
соответственно. При этом КегфЕф"~'(/) и ф (/)/Ker q>~ /.
Если /, / — идеалы кольца [алгебры] R, то множе-
множество / -f-/ = {х + #|хе I, у е /} оказывается идеа-
идеалом, который называется суммой идеалов / и /. Этот
идеал порождается объединением /U/. Для любого
множества идеалов {/t|ie3} назовем их суммой
идеал /, порожденный объединением и Д. Этот
идеал / состоит из всех элементов х, представимых
в виде х = xi + ... + хт, где xk e /lft для некоторых
iteS и обозначается через /= ^ /ь а в случае,
когда 3={1, ...,п}, — через / = h -\- ...-\-1а. Сумма/
называется прямой (в этом случае пишут /= J^® /t,
а для конечного множества слагаемых 1 — 1х@ ...
... Ф/n), если выполнено хотя бы одно из следующих
эквивалентных между собой условий:
A) в представлении a = ai-{- ... + ада> где 0 Ф
Ф afe e /t и и, ..., im различны, существующем по
определению суммы идеалов, элементы ai опреде-
определяются однозначно;
B) I, ft E /и = 0 для любого ь е: 3;
C) если х, + ■ ■ ■ + *т = 0, где хк е /^ и ц, . . ., t n
различны, то х\ = ... = хт = 0.
Если /^ХеД—прямая сумма идеалов, то
S
Д/к=0 для любых различных i и и из 3- Поэтому
если кольцо [алгебра} R совпадает с прямой суммой
304 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
5^ш /t своих идеалов, то оно изоморфно внешней
прямой сумме этих идеалов, а если 3 конечно,
то — и их прямому произведению. Наоборот, если
R = И Ri — прямое произведение и хе5, то мно-
жество RrK всех таких строк а из R, что itt (а) = О
при всех i ф у. оказывается идеалом в R, который как
кольцо [алгебра] изоморфен RK. Прямая сумма этих
идеалов совпадает с внешней прямой суммой колец
[алгебр] Rt.
Если /—идеал кольца [алгебры] R, то даже для
ассоциативно-коммутативного случая идеал кольца
[алгебры] / может не быть идеалом в R. Однако если
R = I© /, то любой идеал кольца [алгебры] / оказы-
оказывается идеалом в R.
Пусть / и / — идеалы кольца [алгебры] R. Тогда
(/ + /)//п/ ^ (/// п/) е (/// п/) и / + /// ~ ///п/.
В частности, / ф /// ~ /. Если, кроме того, /Q/, то
R/I ~ (RII)I(J/I). Если, наконец, ц>: R-+S — гомомор-
гомоморфизм колец [алгебр], то
1.3. Алгебры умножений и дифференцирований.
Пусть А — алгебра над ассоциативно-коммутативным
кольцом Ф с единицей. В частности, А может быть
кольцом, т. е. алгеброй над кольцом Z. Если а^А,
то через La и Ra обозначим отображения алгебры А
в себя, определяемые как La(x) = ах и Ra{x) = xa
для любого а е А соответственно. Эти отображения
называются соответственно операторами левого и пра-
правого умножения на элемент а. Подалгебры алгебры
ЕпAфЛ эндоморфизмов Ф-модуля А (при Ф = Z рас-
рассматриваем А как абелеву группу), порожденные мно-
множествами {La\a^A} и {Ra\a еЛ}, называются со-
соответственно алгеброй левых и правых умножений
алгебры А (в обозначениях L(A) и /?(Л)). Подал-
Подалгебра, порожденная объединением L(A)\jR(A) назы-
называется алгеброй умножений алгебры А и обозначается
через М(А). Если А — ассоциативная алгебра и в ка-
качестве умножения в Епс1фЛ принято фоф (см.п. 1.1.4),
то алгебра А изоморфна L(A) и антиизоморфна R(A)
причем изоморфизм [антиизоморфизм] Г определяется
равенством Г (a) — La [T(a) — Ra] для всех а(=А.
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 305
Если В — подалгебра алгебры Л, то через МА(В)
обозначается подалгебра алгебры М(А), порожденная
всеми операторами 1_ь и Rb, где b e В,
Рассматривается также лиева алгебра умножений
алгебры А, определяемая как подалгебра алгебры Ли
(Епс1фЛ)(-), порождаемая всеми операторами La и Ra,
где а^А, и обозначаемая через Lie Л. Ясно, что
ОЛМ(Л)Н
)
Свойства алгебры А, разумеется, связаны со свой-
свойствами ее алгебры умножений. Например, алгебра А
нильпотентна (т. е. найдется такое натуральное п, что
произведение любых п элементов из Л с любым рас-
распределением скобок равно нулю) тогда и только тогда,
когда нильпотентна ассоциативная алгебра М(А).
Если конечномерная алгебра А над полем Ф является
прямым произведением простых, то такой же оказы-
оказывается и алгебра М(А).
Отображение d кольца А в себя называется диф-
дифференцированием, если d{x-\- £/) = d(*) + d(y) и
d(xy) = d(x)y-{-xd(y) для любых х, у ^ А. Если А —
алгебра над ассоциативно-коммутативным кольцом Ф
с единицей, то дополнительно требуется, чтобы
d(hx) = 'kd(x) для любых 1ёФ и jtei Каждому
элементу а из Л отвечает дифференцирование а, опре-
определяемое равенством а(х) = ах — ха для всех Jtei
Такие дифференцирования называются внутренними.
Совокупность дифференцирований на любом кольце Л
образует кольцо Ли относительно операции [d't d"\ =
= а" ° d" — d"°dr. Это кольцо называется кольцом,
дифференцирований кольца R и обозначается через
Der А. Если с(е Der А и а ge Л, то [d, a) = d(a) и, сле-
следовательно, внутренние дифференцирования образуют
идеал кольца Der Л. Если Л есть Ф-алгебра, то кольцо
Der Л становится Ф-алгеброй, если для любых 1ёФ,
d^DerA и Jte/4 положить (kd) (x) = d(A-x). При
этом ka = ha для любых 1,еФи а е Л, т. е. внутрен-
внутренние дифференцирования образуют идеал алгебры диф-
дифференцирований.
Если d^DerA, то справедлива формула Лейб-
Лейбница:
для любых х, у е А.
306 ГЛ. Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если Л есть Ф-алгебра и феЕпс1фЛ, то равносиль-
равносильны следующие условия: A) среОегЛ; B) 1ф(а) =
= (poLa — La о ф для любого аеЛ; C) R$(a\=q> ° На —
— Ra°(p для любого а^А.
Если А — ассоциативная алгебра и «еД то, оче-
очевидно, а = La — Ra. Если А — алгебра Ли и а, Ь^А,
ТО La=—Ra И Rab = Rb°Ra—RabRb-
Каждое дифференцирование конечномерной алгеб-
алгебры А над полем характеристики нуль оказывается
внутренним, если А является прямым произведением
простых алгебр и или ассоциативна, или является ал-
алгеброй Мальцева (в частности, алгеброй Ли), или со-
содержит одностороннюю единицу. То же самое верно
для любой центральной простой конечномерной ассо-
ассоциативной алгебры над произвольным полем. Размер-
Размерность алгебры дифференцирований n-мерной ассоциа-
ассоциативной алгебры над полем, не являющейся алгеброй
с нулевым умножением, не превосходит п2 — п. Если
А — простое ассоциативное кольцо с инволюцией, его
размерность над центром не менее 5 и 2Л=Л, то
дифференцированием оказывается всякое такое ото-
отображение б кольца А в себя, что б (х -\- у) = б (х)
+ 6(г/) и &{хх*) = 8(х)х* -\-хЬ(х*) для любых х,
ЕсЛи в ассоциативном кольце Л справедлива импли-
импликация (Bх = 0) =*- (х = 0)) и существует такое диф-
дифференцирование d, что для любого j(eA элемент d{x\
обратим или равен нулю, то А или тело, или кольцо
матриц второго порядка над телом ([68], с. 69, 71;
[31], с. 224, теорема 2; [172], теорема 4.1.3; [96},
с. 99, следствие; см. также [55], § 10, и [90], пп. 7.27—
7.30, 7.37—7.40).
Если d — нильпотентное дифференцирование алгеб-
алгебры Л над полем (т. е. d" =0 для некоторого п), то
отображение
l + df + + +
оказывается автоморфизмом алгебры Л.
О дифференцированиях первичных и полупервич-
полупервичных ассоциативных колец см. [68], с. 69; [93], тео-
теорема 21; [31], § IV. 14, а о дифференцированиях ко-
колец многочленов и степенных рядов — [23], п. IV. 5.8—
IV. 5.10.
5 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 307
1.4. Радикалы. Пусть $—некоторый класс алгебр
над ассоциативно-коммутативным кольцом Ф, содер-
содержащий вместе с любой алгеброй все ее идеалы и го-
гомоморфные образы. В частности, если Ф = Z, то $
является классом колец. Радикалом на классе S£ на-
называется отображение х класса Й в себя, обладающее
следующими свойствами: 1) x(R)— идеал алгебры R;
2) x(x(R)) = x(R); 3) если <р: R-*-R'— гомоморфное
наложение алгебр, то <p(t(/?))s x(R'); 4) x(R/x(R))==
= {0}.
Пусть x— радикал. Алгебра R называется х-ради-
кальной, если x(R) = R, и г-полупростой, если x{R) =
= {0}. Идеал x{R) называют х-радикалом алгебры R.
Идеал / алгебры R называется х-радикальным, если
t (/) = /.
Грубо говоря, каждый радикал t сводит изучение класса
всех алгебр из if к изучению двух меньших классов колец
т-полупростых и t-радикальных. Правда, на практике изучению,
как правило, поддается лишь одни из этих классов.
Тривиальными примерами радикалов служат отображения
x(R) = {0} и t(R) = R для всех R е №. В первом случае все
алгебры оказываются t-полупростыми, а {0} — единственной
т-радикальной алгеброй. Прямо противоположная ситуация на-
наблюдается во втором случае. Менее тривиальный пример до-
доставляет определение:
Г {R) = {х\х е R, пх = 0 для некоторого neZ}
В этом случае т-радикальными оказываются алгебры с периоди-
периодической аддитивной группой, а т-полупростыми — алгебры с ад-
аддитивной группой без кручения. Примером т-полупростого коль-
кольца может служить поле действительных чисел, а примером t-pa-
дикалыюго — любое кольцо вычетов.
Если t и з — радикалы на классе $:, то полагаем
t <; s, если x{R)^0(R) для любой алгебры Set.
Эквивалентны следующие утверждения о радикалах
ihs: (I) t< s; B) всякая t-радикальная алгебра из
М 9-радикальна; C) всякая s-полупростая алгебра
из $ t-полупроста.
Если х — радикал на классе Ж и /?е$, то:
1) x(R) = R тогда и только тогда, когда R не имеет
ненулевых t-полупростых гомоморфных образов;
2) т(/?) = {0} тогда и только тогда, когда R не содер-
содержит ненулевых т-радикальных идеалов; 2) сумма лю-
любого множества t-радикальных идеалов алгебры # яв-
является t-радикальным идеалом: 4) x(R) — наибольший
т-радикальный идеал алгебры R; 5) Y
308 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
т-радикальный идеал в R}; 6) пересечение любого
множества таких идеалов / из R, что t(R/I)= {0},
удовлетворяет этому условию; 7) x(R) =Л{^>|^>1^-идеал
в R и t(R/P) = {0}}; 8) t(R)— единственный т-ради-
т-радикальный идеал алгебры R, факторалгебра по которому
t-полупроста ([1], с. 91—93).
Радикал т называется идеально наследственным,
если r(I) = t(R)(}I для любой алгебры R и ее идеа-
идеала /, и наследственным, если все идеалы т-радикаль-
ного кольца t-радикальны. Если т — наследственный
радикал и любой идеал t-полупростой алгебры т-полу-
прост, то т оказывается идеально наследственным.
В классе ассоциативных (и даже альтернативных) ал-
алгебр наследственность и идеальная наследствен-
наследственность— равносильные свойства.
Если 3R — подкласс класса $, то радикал % назы-
называется нижним радикалом, определяемым классом 34,
если для любой алгебры R из $: имеет место
%(/?) = П{* (Я) |т —такой радикал, что все .-,,.
алгебры из Ш г-раднкальны).
Если класс 231 замкнут относительно гомоморфных об-
образов и R e St, то R = xm(R) тогда и только тогда,
когда существует цепочка подалгебр
О £= Д, S ... <= Ra <= Ra+l <= . . . <= Ry = R
такая, что Ra — идеал алгебры Ra+u Ra+JRa^.Tt
и^а= и ^й — идеал алгебры R, если а — предельный
Р<а р
трансфинит ([1], с. 116, предложение 5).
Если Ш — подкласс класса Ж, то радикал t3" назы-
называется верхним радикалом, определяемым классом 9Л,
если t^ — наибольший из всех таких радикалов т, что
все алгебры из класса 9Л t-полупросты. Если 8: со-
состоит из ассоциативных алгебр, то верхний радикал t*
существует для любого абстрактного класса 9Л (по-
(последнее означает, что вместе с каждой алгеброй
класс Ш содержит все алгебры, изоморфные ей). В об-
общем случае это, вообще говоря, не так. Однако если
любой ненулевой идеал любой алгебры из 9Л имеет
ненулевые гомоморфные образы, принадлежащие 9Я,
то. радикал t81 существует и для любой алгебры R из
§ 1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 309
М имеет место
xw(R) = ^{I\I— идеал в R, не имеющий нену-
ненулевых гомоморфных образов, принадлежащих Ш}.
Любой радикал совпадает с некоторым верхним
радикалом для подходящего подкласса Ш (см. [1],
с. 99, следствие 2; с. 100, следствие 3).
Если класс всех простых алгебр из $ разбить на
два непересекающихся подкласса $' и ф", то суще-
существуют такие радикалы t, что все алгебры из ф' t-pa-
дикальны, а все алгебры из ф" t-полупросты. Имен-
Именно, можно положить г = rqj' или г = г*".
Пусть 2ГС— подкласс класса $, замкнутый относи-
относительно гомоморфных образов. Положим
Ш~1 = {R\R^R, ненулевые идеалы алгебры R
не принадлежат Ш},
~lM = {R\R e R, ненулевые гомоморфные образы
: алгебры R не принадлежат Ш},
Возникающая таким образом возрастающая це-
цепочка классов алгебр называется цепью Куроша. Ал-
Алгебра R оказывается %- радикальной тогда и только
тогда, когда R е2Я(а) для некоторого трансфинита а.
Если ® — класс всех алгебр над полем Ф, а класс
5Й ф- ЭЛA) вместе со всякой алгеброй содержит все ее
идеалы, то 2й(а) фШ^а+1) для любого трансфинита а.
Напротив, если все алгебры из $ ассоциативны, то
SKW = ш«»+и) для любого а (см. [1], с. 113, предло-
предложение 3; предложение 5; теорема 1).
Подкласс <3 класса $ называется радикальным
[полупростым}, если существует такой радикал t, что
<3 совпадает с классом всех r-радикальных [т-полу-
простых] алгебр из №. Эквивалентны следующие свой-
свойства подкласса $Я класса $: A) 3? радикален; B) 3?
обладает следующими свойствами: а) 3? замкнут от-
относительно гомоморфных образов; б) в любой алгеб-
алгебре !Я из Я сумма любого множества идеалов, являю-
являющихся алгебрами из 3?, сама принадлежит 3?; в) если
Т — сумма всех идеалов алгебры R из $, являющихся
310 гл. ш. кольца и модули
алгебрами из $, то R/T не содержит ненулевых идеа-
идеалов, являющихся алгебрами из 3?; г) в любой алгеб-
алгебре /? из $ объединение любой цепи идеалов, являю-
являющихся алгебрами из Э?, само принадлежит Я; д) если
/ — такой идеал алгебры R из $, что /еЖи /?//еЗ?,
то и i?G!I; C) 3? обладает свойствами а), б) и в);
D) обладает свойствами а), б) ид); E) 9? обладает
свойствами а), г) и д); F) алгебра R ge SR тогда и
только тогда, когда любой ненулевой гомоморфный
образ алгебры R содержит ненулевой идеал, являю-
являющийся алгеброй из Щ. Для подкласса ф класса ® рав-
равносильны следующие условия: A) ф полупрост; B) ^
обладает следующими свойствами: а) любой ненуле-
ненулевой идеал любой алгебры R из ф имеет ненулевые
гомоморфные образы, принадлежащие ф; б) если
идеалы It, igS, алгебры R ен $ таковы, что ^//te!p
для всех igS, to R/ f) Аей; в) класс ф замкнут
относительно подпрямых произведений; г) если идеа-
идеалы It, ie3, алгебры R из $ образуют цепь по вклю-
включению и /?//,, ее $ для всех ie3, то /?/ Г) /к <= ^;
д) если Р — пересечение всех таких идеалов / алгебры
R ge $, что /?// ge $, то Р не имеет ненулевых гомо-
гомоморфных образов, принадлежащих ф; е) если / — та-
такой идеал алгебры R из $, что / ее ф и /?//е!р, то и
/?е$; C) ф обладает свойствами а), б) ив); D) <$
обладает свойством а) и если любой некулевой идеал
алгебры R из $ имеет ненулевые гомоморфные обра-
образы, принадлежащие классу ф, то ^е$. Заметим, что
идеалы алгебры, принадлежащей полупростому клас-
классу, могут ему не принадлежать ([1], с 94, теорема 1;
с. 97, теорема 2, теорема 3; с. 101—102, следствие 4).
§ 2. Ассоциативные кольца
На протяжении этого параграфа под кольцом все-
всегда понимается ассоциативное кольцо. В частности,
коммутативное кольцо — это всегда ассоциативно-ком-
ассоциативно-коммутативное кольцо,
2.1. Специфические элементы. Если X, Y — подмно-
подмножества кольца R, то через XY обозначается совокуп-
п
ность всевозможных сумм вида J^ xi4u гДе %i e X,
§2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 311
у*). Для любых X, Y,Z^R имеет место (XY)Z=
= X(YZ) и, следовательно, произведение Х\ ... Хт,
где Xi^R, не зависит от расстановки скобок. Если X
и Y содержат 0, то справедливы и равенства (X -j-
-f y)Z = XZ+KZ и Z{X+Y) = ZX + ZY, где Zs«
и Х-Ь Y= {х + у\хе=Х, ye= Y]. Если X и У —под-
кольца [подалгебры], то для коммутативного кольца
{алгебры] R подмножество XY оказывается подколь-
цом [подалгеброй]. Однако в общем случае это
не так.
Элемент а кольца R называется левым [правым]
делителем нуля, если существует такой ненулевой эле-
элемент b^R, что ab — 0 [ba = O]. Кольцо, в котором
нет делителей нуля, отличных от 0, называется коль-
кольцом без делителей нуля, а при наличии единицы, от-
отличной от 0, — областью целостности (иногда просто
областью) или целостным кольцом.
Примером области целостности служит кольцо целых чисел.
В кольце матриц второго порядка над полем делителем нуля
/О 1 \
является, например, матрица А = I I, ибо А2 •= 0.
Элемент а кольца R называется нильпотентным,
если а" = 0 для некоторого натурального п. Если при
этом а"~1ф0, то п называется индексом нильпотент-
нильпотентности элемента а. Конечно, всякий нильпотентный
элемент является делителем нуля. Указанная выше
матрица А является нильпотентным элементом индек-
индекса 2. Элемент а называется строго нильпотентным,
если в любой последовательности а0, а\, аъ, ..., где
а0 = а и «же aiRai для некоторого номера п имеем
пп+\ = Ял+2 = ■■■ =0. Всякий строго нильпотентный
элемент нильтотентен. Для коммутативных колец
верно и обратное.
Элемент а кольца R с единицей называется обра-
обратимым справа [слева], если ab = 1 [Ьа = 1] для не-
некоторого b e R. Элемент, обратимый справа и слева,
называется обратимым. Обратимый справа [слева]
элемент не может быть правым [левым] делителем
нуля. Каждый обратимый элемент обладает един-
единственным левым и единственным правым обратным,
причем эти обратные совпадают между собой. Этот
*) Иногда под XY понимают множество {ху\х<^Х, г/еУ}.
Но, как правило, в этом случае делается специальная оговорка.
312 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
единственный элемент обозначается через or1 и назы-
называется обратным для а. Для обратимых элементов а
и b справедливо равенство (ab)-1 — b~la~l. Отсюда
вытекает, что обратимые элементы кольца с единицей
образуют группу, называемую группой обратимых
элементов и обозначаемую через U(R). Заметим, что
U(Z) = {1,— 1}, а и{Мп(Ф)), где Ф — поле, состоит
из всех невырожденных матриц. Подчеркнем, что од-
односторонне обратимый элемент может иметь не-
несколько соответствующих обратных. Если а — н-ильле-
тентный элемент индекса п в кольце R с единицей, то
1 — а — обратимый элемент, ибо
A - а) A + а + а2 + . .. + а"-') = 1 =
= A+а + а2+ ... + a»-i)(l-a),
Разумеется, обратим и элемент \ -\- а.
Элемент г кольца R называется центральным, если
аг = га для любого а е R. Совокупность всех цен-
центральных элементов кольца R является подкольцом,
которое называется центром кольца R и обозначается
через 3{R). Если R — кольцо [Ф-алгебра] с единицей,
то п\ e{jR) для любого целого числа п [АЛ ^{R) для
любого 1еФ].
Если X — подмножество кольца R, то множество
Cent(X) = {r \r <= R, хг = гх для всех jtel)
оказывается подкольцом, которое называется центра-
централизатором множества X. Централизатор самого коль-
кольца R совпадает с его центром. Если R — алгебра, то
централизаторы ее подмножеств и, в частности, центр
оказываются подалгебрами. Если R — Ф-алгё&ра
с единицей 1, то Ф1 ^g(R). Если Ф1 =3W» то ал-
алгебра R называется центральной. Размерность цен-
центральной простой алгебры над полем всегда является
точным квадратом (см. [96], с. 91, следствие).Центра-
следствие).Централизатор элемента а из кольца или Ф-алгебры R, оче-
■' '■ . ' га
видно, содержит все элементы вида /1 zfl\ гДе Zt s
(УВ некоторых случаях верно и обратное. Так,
если F— свободная алгебра с единицей над Ф и
й£Ер\Ф\, то Cent{a}
(см. [49], с. 306, теорема 8.5). Если /? = М„(Ф), где
2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 313
Ф — поле и А <= R, то
т
в том и только том случае, когда элементарные дели-
делители характеристической матрицы А — tE взаимно
просты (см. [26], с. 184, следствие 1). При тех же
обозначениях
Cent (Cent {A}) = | Z, M' I *, e Ф, 0<meZ
для любой матрицы А [63], с. 195, теорема 4). Если
S — простая подалгебра алгебры Л1П(Ф) и FeS, то'
Cent (Cent (S)) = S (см. [30], с. 197—198, теорема 19).
Элемент е кольца R называется идемпотентом илц
идемпотентным элементом, если е2 = е. Как 0, так и 1
являются идемпотентами. Если е — идемпотент коль-
кольца Rt то eRe— кольцо с единицей е. Если R — кольцо
с единицей и е — идемпотент, то 1 — е также оказы-
оказывается идемпотентом. В кольце с единицей каждый
идемпотент, отличный от 0 и 1, является как левым,
так и правым делителем нуля, ибо еA — е) = 0 =
= A — е)е. Если е и /—идемпотенты и ef = fe, то
ef—идемпотент. В общем случае это не так. Идемпо-
Идемпотенты е и / называются ортогональными, если ef =
== 0 = fe. Ортогональны, в частности, идемпотенты е
и 1 — е. Если е\ еп — попарно ортогональные
идемпотенты и е = е\ + ... + еп, то е2 = е и eei —
= е,е = е,- для любого i.
Если е и f — идемпотенты кольца R (возможно,
без единицы), а / — его радикал Джекобсона, то ока-
оказываются эквивалентными следующие утверждения;
A) eR и fR изоморфны как правые /^-модули; B) ^е
и Rf изоморфны как левые /?-модули; C) (е+/) (R/J)
и (/ + />{/?//) [(R/J)(e + J) и (R/J)(f + J)] изо-
изоморфны как правые [левые] (R/J)-модули; D) суще-
существуют такие элементы u.v^R, что euf = и, fve = v,
UV = e и vu = f (см. [31], § III. 7, III. 8).
Если е — идемпотент кольца R, то даже при отсут-
отсутствии в кольце R единицы полагают по определению
314 >ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
и
A — е) R A — е) = {х — ех — хе + ехе | к е R}.
Все эти множества являются подкольцами (а первые
два даже левым и правым идеалом соответственно).
При наличии в кольце R единицы они совпадают
с множествами R{1 — е), A — e)R и A — e)R{l — е)
соответственно. Аддитивная группа кольца R разла-
разлагается в прямые суммы
R = Re@R(\-e),
R = eR®(l-e)R
и
R = eRe@eR{l - е)® A - ё) Re + A -e)R(l - e).
Эти разложения называются левым, правым и дву-
двусторонним пирсовским разложением соответственно.
Таким образом, при двустороннем пирсовском разло-
разложении каждый элемент x^R представляется в виде
х = ехе + (ех — ехе) + (хе — ехе) + (х — ех — хе -\- ехе),
при левом — в виде
х = хе + (х — хе), '■
и при правом — в виде ' .
х = ех + (х — ех).
Рассматривается также пирсовское разложение отно-
относительно системы {в\ еп) попарно ортогональных
идемпотентов, где е\ + ... + еп = 1, являющееся раз-
разложением в прямую сумму аддитивной группы кольца
R, а именно,
п п
Я = Z E etRe,.
Это позволяет представить каждый элемент кольца R
в виде /г X «-матрицы А, на (£, /)-м месте которой
стоит элемент из группы е//?е/. При этом произведение
элементов вычисляется по правилам обычного умно-
умножения матриц. Если идемпоненты е(- центральны, т. е.
e,<=3(#), то eiRej = O при 1Ф\ и /? =/?ei Ф ...
... Ф Ren. При этом Ret оказываются двусторонними
идеалами кольца R, а само R изоморфно внешней
прямой сумме колец Ri Ф ... Ф Rn. Отметим, что
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 315
каждое из колец Ret обладает единицей ей Идемпо-
тент е называется неразложимым или примитивным.,
если его нельзя представить в виде суммы двух нену-
ненулевых ортогональных идемпотентов. В кольце матриц
второго порядка над телом неразложимым оказывает-
( 1 0 \
ся, например, идемпотент I 1.
Элемент а кольца R называется регулярным, если
уравнение аха = а разрешимо в R. В этом случае
элементы ах и ха оказываются идемпотентами. Более
того, ае Ra = Rxa и а е aR = axR. Регулярность
элемента а равносильна равенству Ra [} aR = aRa
(см. [256], с. 71). К числу регулярных принадлежат
все обратимые и идемпотентные элементы.
Элемент а' кольца R называется правым [левым]
квазиобратным для а <= /?, если а-\- а' — аа' = О [а +
+ а' — а'а = 0]. Элемент, обладающий как правым,
так и левым квазиобратным, называется квазирегу-
квазирегулярным. Квазирегулярный элемент а обладает един-
единственным квазиобратным элементом а', определяемым
равенствами а-\- а' — аа' = О = a -f- a' — а'а. При этом
любой правый [левый] квазиобратный для а совпа-
совпадает с этим элементом а'. Если R — кольцо с едини-
единицей, то элемент а обладает правым [левым] квазиоб-
квазиобратным тогда и только тогда, когда элемент 1 — а
обладает правым [левым] обратным. При этом, если
с—правый [левый] обратный для 1 — а, то 1 — с —
правый [левый] квазиобратный для а. К. числу ква-
квазирегулярных относятся все нильпотентные элементы.
Если на кольце R определить присоединенное умно-
умножение о, положив a °b = a -f- b — ab, то это умноже-
умножение оказывается ассоциативным. Другими словами
(R, о) оказывается полугруппой. Единицей этой по-
полугруппы служит 0, а обратимыми элементами — ква-
квазирегулярные элементы и только они. Для любых
a,b,c^R имеем (a -f- Ь) °с = а ° с + Ь ос — с и а°
о (b-\-c)=a°b-\-a°c — а. Иногда под присоединен-
присоединенным умножением понимают операцию а*Ь = а +
-f b + ab.
2.2. Идеалы. Подмножество / кольца R назы-
называется левым [правым] идеалом, если Ое/, а — Ье=1
и ra^I [ar^I] для любых я,6е/ и ген^?. Для
определения левого или правого идеала I Ф-алгеб-
ры R дополнительно требуется, чтобы Ха ев. I для
316 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
любых 1еФ и а е /. Другими словами, левый [пра-
[правый] идеал Ф-алгебры R — это левый [правый] идеал
кольца R, являющийся подмодулем Ф-модуля R, а в
случае, когда Ф — поле, — подпространством. Если
Ф-алгебра R содержит левую [правую] единицу, то
это дополнительное требование автоматически выпол-
выполняется для любого левого [правого] идеала кольца R.
Двусторонний идеал, очевидно, является как левым,
так и правым идеалом. Запись / <11 R [I <\rR] озна-
означает, что / — левый [правый] идеал кольца или ал-
алгебры R. В коммутативном кольце понятия левого,
правого и двустороннего идеала совпадают. Ясно, что
как каждый левый, так и каждый правый идеал
кольца [алгебры] является подкольцом [подалгеб-
[подалгеброй]. Примером левого [правого] идеала в кольца
. служит множество всех матриц вида ( ? 0
(о \)\
Если К <\il <\i R, то, как правило, К не является
левым идеалом в R. Аналогичное положение имеет
место для правых и двусторонних идеалов. Однако,
если / — двусторонний идеал в R, К — двусторонний
идеал в / и Н — двусторонний идеал в R, порожден-
порожденный Множеством К, то Н3 ^ К ^ Н s / (лемма Анд-
рунакиевича— см. [1], с. 33, лемма 5).
Правый [левый] идеал / кольца R называется су-
существенным, если 1{}Н=^0 для любого ненулевого
правого [левого] идеала Н кольца R.
Кольцо называется инвариантным слева [справа]
или левым [правым] дуокольцом, если все его левые
[правые] идеалы являются двусторонними. Кольцо R
с единицей инвариантно слева [справа] тогда и только
тогда, когда aR s Ra [Ra s aR] для любого а <= R.
Левый [правый] идеал / кольца R называется мо-
дулярн'ым, если существует e^R такой, что х — xes/
х — ме/] для всех .ve/. Если R содержит правую
левую] единицу, то всякий левый [правый] идеал
модулярен.
. Пересечение любого множества левых [правых]
идеалов кольца или Ф-алгебры /? является левым [пра-
[правым] идеалом в R. В частности, левым [правым] идеа-
идеалом оказывается пересечение всех левых [правых]
Идеалов, содержащих данное подмножество X^R. Про
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 317
этот левый [правый] идеал говорят, что он порожден
множеством X. Элемент а кольца или Ф-алгебры R
принадлежит левому [правому, двустороннему] идеа-
идеалу, порожденному множеством X, тогда и только тогда,
когда представим в виде а = г1х1 + ... + rmxm-\-
■■■ Л-КУп [a = xlrl+ ... +xmrm
Vp <i <, Vi Кп\
где г., sr uk, vt <= R, x., x'p x"k, yt^X, а Л. <= Z или Ф
в зависимости от того, об идеале кольца или Ф-алге-
Ф-алгебры идет речь. Если в кольце R есть единица, то
приведенные выше формулы упрощаются до а =
= гххх + ... +rmsm, a — xlrl+ ... +xmrm и а =
^r1jc1s1+ ... + rmxmsn соответственно. Про левый
[правый, двусторонний] идеал, порожденный конеч-
конечным множеством, говорят, что он конечно порожден.
Если Х = {хх, ..., хп}, то левый [правый, двусто-
двусторонний] идеал /, порожденный множеством X, назы-
называется п-порожденным. В этом случае / = Rxx + ...
... +Rxn + Zxl+ ... +Zxn[l = XiR+ ... +xnR +
4- Zx, + . . . + Zxn, r=RxxR + . .. + RxnR + RXl+ ...
. . . + Rxn + XiR + . . . + xnR + ZXi + . . . + Zxn\, если
речь идет об идеале кольца, и I = Rxx + • • • + Rxn +
+ Фх1+...+Ф*„ [I = XiR+ ...+xnR + Oxx+ ...
...+ Фхп, I=Rx,R + ... -f RxnR + Rxx + ... + Rxn+
+ xxR+ ... +xnR + 4>xx+ ... + Фхп], если речь
идет об идеале Ф-алгебры. При наличии в кольце R
единицы как для идеала кольца, так и для идеала ал-
алгебры имеем
J = Rxx+ ... +Rxn =
= {r,x,+ ... +rnxn\rx, ..., rn^R),
I = XlR+ ... +xnR =
= {x,r,+ ... +xnrn\rx, ..., rn<=R)
и •'•'
■' I = RXxR+ ... +RxnR
соответственно. Левый [правый, двусторонний] идеал
/ кольца R, порожденный одним элементом а, называет-
называется главным. При этом без предположения о существо-
существовании в кольце R единицы приведенные выше фор-
формулы приобретают вид / — ^й + Фа ={га -{- Ы \ г е R,
318 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
?, А,<=Ф} и r =
ra-\-as + ka\r, s, rh ^e/?, A. s=ф|
соответственно, где Ф = Z, если имеется в виду идеал
кольца. В этом случае нельзя, однако, утверждать,
что а е Ra \j aR \j RaR. При наличии единицы левый,
правый и двусторонний идеалы, порожденные элемен-
элементом а, равны Ra, aR и RaR соответственно. Если а —
идемпотент, то то же самое верно и при отсутствии еди-
единицы. Заметим еще, что если е2 = ее/?, то x^Re
[х <= eR] тогда и только тогда, когда х = хе [х = ех].
Идемпотенты ей/ кольца R с радикалом Джекоб-
сона / называются эквивалентными, если выполнено
одно из следующих равносильных друг другу условий:
A) eRatfR как правые /^-модули; B) Re ~ Rf как
левые /^-модули; C) eR/eJ ~fR/fJ как правые
/?//-модули; D) Re/Je ~ Rf/If как левые /^//-модули;
E) существуют u,v^R такие, что euf = и, fve = v,
uv = e и vu = f (см. [31] §§ III. 7, III. 8).
Суммой левых [правых] идеалов /t, i e 3, кольца
или алгебры R называется совокупность всех конеч-
конечных сумм вида xl{ -f- ... + Xin, где jc^e/^. Эта
сумма совпадает с левым [правым] идеалом, порож-
порожденным объединением (J /t и обозначается через
X h. Если 3={1, ..., п}, то пишут h -f- ••• +/п.
Сумма левых [правых] идеалов называется прямой,
если каждое слагаемое имеет нулевое пересечение
с суммой остальных. В случае конечного числа сла-
слагаемых это означает, что (/i + ... -f- Ii-X + h+\ -f- ...
... -f- In)f\Ii = 0 для каждого /. Чтобы указать, что
сумма прямая, вместо X Л, и 1\-\- ... -\- 1п обычно
пишут XI® Л и /i Ф ... Ф/„ соответственно. Для
суммы Л + •■• -\-1п равносильны следующие утверж-
утверждения: A) /,Ф ... Ф/„; B) (/,+ ... +Л_,)П/,- = О
для каждого i; C) если л:, -\- ... + хп = х\-\- ...
.., + х'п, где xt, х\ е/г, то л:г = х'г для каждого /, D)
если *i + ... -f- л:„ = 0, где Xi е /*, то л:,- = 0 для
всех I. Отметим, что [прямая] сумма односторонних
идеалов совпадает с их [прямой] суммой как под-
подгрупп аддитивной группы кольца.
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 319
Если е—идемпотент кольца [алгебры] /?,торавно-
сильны следующие утверждения: A) e=ei-f- ... -\-еп,
где е,- — попарно ортогональные идемпотенты; B)
Re = Rel@...@Ren; C) eR = etR@ ... © enR. Кроме
того, если eR = /, © ... © /ге [/?е = Lt 0 ... © Ln]-
прямая сумма правых [левых] идеалов, то е=е\-\- ...
... + еп, где ег — попарно ортогональные идемпотен-
идемпотенты и h = eiR [Li = Ret]. Если R обладает единицей 1,
1 = е\ -f- ... + еп, где е« — попарно ортогональные
идемпотенты, и еG?е*— локальные кольца, то говорят,
что R обладает диаграммой Адзумаи. Это имеет
место тогда и только тогда, когда R — полулокальное
SBI-кольцо. Если R обладает диаграммой Адзумаи
и {е^, ..., е,-т}— максимальная система попарно не-
неэквивалентных идемпотентов, входящих в эту диа-
диаграмму, то (е*,+ ... +eim)R(eil+ ... + e;j на-
называется базисным кольцом [алгеброй] кольца [ал-
[алгебры] R. Любые два базисных кольца [алгебры] J?
изоморфны, причем изоморфизм может быть выбран
продолжаемым до внутреннего автоморфизма кольца
[алгебры] R. Полулокальное 5В/-кольцо [алгебра}
называется самобазисным, если R является своим соб-
собственным базисным кольцом [алгеброй]. Это равно-
равносильно разложимости факторкольца [факторалгеб-
ры] R по его радикалу Джекобсона в прямое произ-
произведение конечного множества тел ([90], пп. 18.23—
18.28).
Следующие свойства идемпотента е кольца или
алгебры R равносильны: A) е — примитивный ндем-
потент; B) если eR = 1\ © h—прямая сумма правых
идеалов, то 1\ = 0 или /2 = 0; C) если Re = L\ Ф Li—
прямая сумма левых идеалов, то L\ = 0 или £,2 = Ф.
Другими словами, неразложимость идемпотента е
означает, что неразложимы правый /^-модуль eR и ле-
левый /?-модуль Re. Эти модули называются главными
правым и левым неразложимыми модулями соответ-
соответственно. Если идемпотенты можно поднимать по мо-
модулю радикала Джекобсона / кольца R, а фактор-
кольцо R/I классически полупросто, то идемпотент е
из R оказывается неразложимым тогда и только то-
тогда, когда неприводим правый [левый] (R/J) модуль
eR/eJ [Re/Je] (см. [76], § 6.3, лемма).
320 гл. ш. кольца и модули
Левый [правый, двусторонний] идеал / называется
Аильпотентным, если /" = 0 для некоторого п. Послед-
Последнее означает, что произведение любых п элементов из
/ равно нулю. Если при этом /"-' =^0, то п называется
индексом нильпотентности идеала /. Идеал индекса 2
лазывается идеалом с нулевым умножением. Кольцо R
называется нильпотентным, если R" = 0 для некото-
некоторого п. Нильпотентным кольцам посвящена моногра-
монография [198]. Если /—ненулевой нильпотентный левый
[правый] идеал кольца или алгебры R, то IR-\-I
[/?/ + /]—ненулевой нильпотентный двусторонний
идеал кольца или алгебры R соответственно. Если R
содержит правую [левую] единицу, то IR -\-1 = IR
[RI -\-1 = RI]. Таким образом, любое кольцо [алгеб-
[алгебра] , содержащее односторонние ненулевые нильпо-
тентные идеалы, содержит и ненулевой двусторонний
нильпотентный идеал. Если / — двусторонний нильпо-
нильпотентный идеал кольца R и факторкольцо R/I нильпо-
тентно, то оказывается нильпотентным и само коль-
кольцо R. Сумма конечного числа нильпотентных левых
[правых, двусторонних] идеалов нильпотентна ([45],
следствие 9.3.7(в)).
Левый, правый или двусторонний идеал / назы-
называется Т-нильпотентным справа [слева], если для лю-
любой последовательности аи а2, ■ ■■ элементов из / най-
найдется такой номер п, что а\ ... ап = 0 [ano.n-i •••
... ai=0]. Ясно, что каждый нильпотентный идеал
Г-нильпотентен как справа, так и слева.
Левый [правый, двусторонний] идеал называется
левым [правым, двусторонним] ниль-ш)еалом, если он
состоит из нильпотентных элементов. К числу ниль-
идеалов принадлежат все нильпотентные и даже все
Г-нильпотентные справа или слева идеалы. Кольцо
[алгебра], являющееся ниль-идеалом, называется
ниль-кольцом [ниль-алгеброй]. В коммутативном
кольце совокупность всех нильпотентных элементов
образует ниль-идеал. В общем случае это не так:
кольцо матриц над полем не содержит ненулевых
идеалов, отличных от самого кольца, хотя в ней есть
ненулевые нильпотентные элементы. Если кольцо R
содержит двусторонний ниль-идеаЛ / и факторкольцо
R/I является ниль-кольцом, то ниль-кольцом оказы-
оказывается и само кольцо R. То же самое верно и для
алгебр. Если R — ниль-алгебра над несчетным полем,
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 321
то нильалгеброи оказывается и алгебра матриц над R
(см. [31], с. 39, следствие 2). С ниль-идеалами свя-
связаны две не решенные до сих пор проблемы: 1) Бу-
Будет ли правым ниль-идеалом сумма двух правых
ниль-идеалов? (проблема Кёте); 2) Существуют ли
простые нилькольца? Отметим, что примеры простых
колец, совпадающих со своим радикалом Джекобсона,
построены ([13], ч. I, § 8).
Кольцо называется локально нильпотентным, если
всякое его конечно порожденное подкольцо нильпо-
тентно. Всякое локально нильпотентное кольцо, оче-
очевидно, является ниль-кольцом. Если Ф-алгебра яв-
является локально нильпотентным кольцом, то нильпо-
тентна всякая ее конечно порожденная подалгебра.
Если кольцо R содержит локально нильпотентный
двусторонний идеал / и факторкольцо R/I локально
нилыютентно, то локально нильпотентно и само коль-
кольцо R. То же самое верно и для алгебр ([31], с. 285,
лемма). Подалгебра конечномерной алгебры над по-
полем, обладающая базой, состоящей из нильпотентных
элементов, нильпотентна ([76], § 4.6; [90], п. 13.28).
В частности, конечномерная ниль-алгебра над полем
всегда нильпотентна. Однако бесконечномерная ниль-
алгебра может не быть даже локально нильпотентной
(пример Голода, см. [96], гл. 8). Тем не менее, алгеб-
алгебраическая ниль-алгебра ограниченной степени над по-
полем оказывается локально нильпотентной ([96], тео-
теорема 6.4.4).
Левый [правый] идеал М кольца или алгебры R
называется максимальным, если М ф- R, но всякий
отличный от R левый [правый] идеал, содержащий М,
равен М. Другими словами, максимальный левый
[правый] идеал — это максимальный элемент час-
частично упорядоченного множества левых [правых]
идеалов кольца R отличных от R. Левый [правый]
идеал М кольца или алгебры R называется минималь-
минимальным, если МфО, но всякий ненулевой левый [пра-
[правый] идеал кольца R, лежащий в М, совпадает с М.
Другими словами, минимальный левый [правый]
идеал — это минимальный элемент частично упорядо-
упорядоченного множества ненулевых левых [правых] идеа-
идеалов кольца или алгебры R. В кольце Af2(R) левый
идеал \(а, ) а, & е rI является как минимальным,
322 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
так и максимальным. То же самое можно сказать
о правом идеале этого кольца <(". Q J a, fteRJ.
В любом кольце [алгебре] содержащем левую [пра-
[правую] единицу, существуют максимальные левые [пра-
[правые] идеалы. Однако, например, в кольце целых чи-
чисел минимальных идеалов нет. Если М — минималь-
минимальный левый [правый] идеал кольца R, то или М2 = О,
или М = Re [M= eR], где 0 ф е2 = е <= R. При этом
если М2 ф 0, то подкольцо eRe кольца R оказывается
телом. Отметим, что Офа^М влечет M = Ra
[M = aR]. Всякая сумма минимальных левых [пра-
[правых] идеалов равна прямой сумме минимальных ле-
левых [правых] идеалов. Правда, эти прямые слагае-
слагаемые не всегда можно выбрать из уже имеющихся
слагаемых. При наличии в кольце R единицы все ска-
сказанное является частным случаем утверждений, ка-
касающихся ^-модулей (см. п. 3.1).
Сумма всех минимальных левых [правых] идеалов
кольца или алгебры R оказывается двусторонним
идеалом и называется левым [правым] цоколем
кольца или алгебры R. Если в кольце нет минималь-
минимальных правых [левых] идеалов, то его правый [левый]
цоколь считается равным нулю. Однородной компо-
компонентой правого [левого] цоколя кольца R называется
сумма всех минимальных правых [левых] идеалов,
изоморфных как правый [левый] ^-модуль фиксиро-
фиксированному правому [левому] идеалу. Цоколь равен пря-
прямой сумме своих однородных компонент ([31], гл. IV,
§ 2). Если кольцо [алгебра] не содержит ненулевых
односторонних нильпотентных идеалов, то его [ее]
правый и левый цоколи совпадают. Более того, одно-
однородные компоненты этих цоколей совпадают и яв-
являются простыми кольцами ([31], с. 101, теорема 1).
С каждым подмножеством Y кольца R связываются
его левый и правый аннуляторы, обозначаемые, соот-
соответственно, через Ann; Y и Ann, Y и определяемые ра-
равенствами
Аппг У = {х \х е R, ху = 0 для всех i/gF} >.
и
Annr У = {х ] х е R, ух = 0 для всех yeF).
Эти аннуляторы оказываются левым и правым идеа-
идеалом соответственно. Левый [правый] идеал кольца R
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 323
называется аннуляторным, если он совпадает с левым
[правым] аннулятором некоторого подмножества
Y ^ R. Если R— алгебра, то всякий аннуляторныи ле-
левый [правый] идеал кольца R является левым [пра-
[правым] идеалом алгебры.
Если Н—правый идеал, порожденный множе-
множеством Y, то Ann/У = Ann; Я. Для левого идеала L,
порожденного множеством Y, справедливо равенство
Ann, Y = Аппг L. Очевидно, что Y\ s Y2 влечет
Ann; Yi э Ann/ Y2 и Annr Y\ э Ann, Y2- Справедливы
также соотношения
^ (Ann, (Ann, Y)) = Ann, Y
и ~
АппДАппг (Ann, К)) = Апп,Т.
Равенство Аппг а —- Ann/ a = {0} для любого ненуле-
ненулевого элемента а из кольца R, очевидно, означает, что
R — кольцо без делителей нуля.
Если R — кольцо с единицей и e2=eei?, то
Annt(eR) = R(l—e) и knnr(Re) = (l — e)R. Левый
[правый] аннулятор левого [правого] идеала оказы-
оказывается двусторонним идеалом. Если / — двусторонний
идеал, то идеал Ann / = Ann/ / f] Annr / называется ан-
аннулятором идеала /. Имеет место равенство
Ann (Ann (Ann /)) = Ann /,
a/g/ влечет Ann /^ Ann/. Двусторонний идеал на-
называется аннуляторным, если он является аннулято-
аннулятором некоторого двустороннего идеала. Если /—анну-
/—аннуляторныи идеал, то Ann (Ann /) ^/.
Кольцо R называется первичным, если // ф {0}
для любых его ненулевых двусторонних идеалов / и /.
Первичность кольца R равносильна каждому из сле-
следующих свойств: A) Ann/L={0} для любого нену-
ненулевого левого идеала L; B) Аппг#= {0} для любого
ненулевого правого идеала Я; C) если 0 ф a, b e R,
то aRb ф {0} (см. [96], лемма 2.1.1). Первичность
группового кольца RG равносильна первичности коль-
кольца R и отсутствию в G конечных нормальных под-
подгрупп ([12], с. 23, теорема 21).
К числу первичных относится всякое простое
кольцо. Простым кольцом является всякое тело, а
также кольцо матриц над телом. Простое кольцо R
324 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
с единицей, содержащее минимальный левый [пра-
[правый] идеал L, изоморфно кольцу матриц над некото-
некоторым телом D (см. [87], с. 112, теорема 1; [90], т. 1,
с. 407, теорема 7.7). При этом D изоморфно eRe, где
L = Re (см. п. 2.1). При отсутствии единицы R оказы-
оказывается изоморфным плотному кольцу линейных пре-
преобразований конечного ранга над некоторым телом,
содержащему хотя бы одно ненулевое преобразование
конечного ранга ([30], с. 115; [55], с. 250). Центр
простого кольца с единицей оказывается полем. Если
А — центральная простая алгебра над полем Ф, a W —
расширение поля Ф, то тензорное произведение W® фА
оказывается центральной простой Y-алгеброй ([90],
п. 13.9). Тензорное произведение двух центральных
простых алгебр над полем Ф также оказывается цен-
центральной простой Ф-алгеброй ([96], теорема 4.1.1).
Тензорное произведение простой алгебры с единицей
над полем Ф и центральной простой алгебры над тем
же полем — простая Ф алгебра ([87], с. 115, теоре-
теорема 2). О конечномерных центральных простых алгеб-
алгебрах см. п. 2.5.
Кольцо, не содержащее ненулевых двусторонних
(или, что то же самое, левых или правых) нильпотент-
ных идеалов, называется полупервичным. Конечно,
всякое первичное кольцо полупервично. Двусторонний
идеал Р кольца R называется [полу] первичным, если
R/I— [полу] первичное кольцо. Первичность идеала Р
равносильна тому, что для любых двусторонних идеа-
идеалов 1 и J включение IJ ^ Р влечет I <=Р или / s P-
Коммутативные первичные кольца — это в точности
кольца без делителей нуля. Ясно, что первичность
кольца означает первичность его нулевого идеала.
Первичным, очевидно, является всякий максимальный
двусторонний идеал. Двусторонний идеал полуперви-
полупервичен тогда и только тогда, когда он совпадает с пере-
пересечением всех содержащих его первичных идеалов.
Это равносильно разложимости любого полупервич-
полупервичного кольца в подпрямое произведение первичных. Все
сказанное остается в силе и для алгебр. Если Ф —
поле характеристики 0, то групповая алгебра ФО
полупервична. Если Ф — поле характеристики р > 0,
то ФО полупервична тогда и только тогда, когда еди-
единица группы является единственным элементом конеч-
конечного порядка, кратного р, индекс централизатора
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 325
которого конечен. Для первичности алгебры (DG не-
необходимо и достаточно, чтобы единица группы G была
единственным элементом, индекс централизатора ко-
которого конечен ([90], п. 26.10; [233], § 5). 1Ъ-,""'. ' 1^'i.
Двусторонний идеал / кольца [алгебры] R назы-
называется вполне простым, если для любых a,b e R
включение й,йе/ влечет за собой ае/ или бе/.
Двусторонний идеал / кольца R оказывается вполне
простым тогда и только тогда, когда в факторкольце
R/I нет делите, ей нуля. Для коммутативного кольца
понятия первичного и вполне простого идеала совпа-
совпадают и соответ 'твующий идеал называется простым.
Элемент коммутативного кольца R нильпотентен тогда
и только тогда, когда он принадлежит пересечению
всех простых итеалов этого кольца ([60], с. 173, след-
следствие 1).
Полупервичное кольцо R представляется в виде
несократимого подпрямого произведения первичных
колец тогда и только тогда, когда частично упорядо-
упорядоченное множество ненулевых аннуляторных двусто-
двусторонних идеалов кольца R атомно или, что равносиль-
равносильно, коатомно. Сомножители могут быть выбраны
имеющими ненулевой цоколь в том и только том слу-
случае, когда любой ненулевой двусторонний идеал коль-
кольца R содержит минимальный правый левый идеал
([1], с. 268, теорема 1; с. 276, теорема 5). Если R —
полупервичное кольцо и е2 = е е R, то минимальность
правого идеала eR равносильна минимальности левого
идеала Re. Отсюда вытекает, что левый и правый цо-
цоколи полупервичного кольца совпадают. Все сказан-
сказанное верно и для алгебр над любым коммутативным
кольцом с единицей ([31], с. 100, следствие; [57],
с. 105, предложение 4). Групповое кольцо RG оказы-
оказывается полупервичным тогда и только тогда, когда
кольцо R полупервично и порядки нормальных под-
подгрупп группы G не являются делителями нуля в R (см.
[57], с. 250, предложение 8; [39], с. 67, теорема 13.2).
К числу полупервичных относится всякое кольцо,
не содержащее ненулевых нильпотентных элементов.
Для того чтобы кольцо обладало этим свойством не-
необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо
в виде подпрямого произведения колец без делителей
нуля. Это подпрямое произведение может быть вы-
выбрано несократимым в том и только том случае, когда
326 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
каждый ненулевой двусторонний идеал кольца R со-
содержит двусторонний идеал кольца R, являющийся
кольцом без делителей нуля или, что равносильно, час-
частично упорядоченное множество ненулевых аннуля-
торных двусторонних идеалов кольца R атомно или
коатомно. Ненулевое кольцо разлагается в прямую
сумму простых колец тогда и только тогда, когда оно
полупервично и все его двусторонние идеалы аннуля-
торные. Ненулевое кольцо R без ненулевых нильпо-
тентных элементов разлагается в прямую сумму про-
простых областей целостности тогда и только тогда, когда
оно удовлетворяет условию минимальности для глав-
главных двусторонних идеалов и каждый ненулевой [каж-
[каждый минимальный] двусторонний идеал кольца R со-
содержит идемпотент. Все сказанное остается справед-
справедливым и для алгебр ([1], с. 288, теорема 1; с. 291,
теорема 2; с. 277, теорема 6; с. 371, теорема 2; с. 247—
248, теорема 4 (а)).
Кольцо R называется примитивным справа, если
оно содержит такой максимальный модулярный пра-
правый идеал М, что {x\x^R, Rx £ М} = {0}. Если R
содержит единицу, то это равносильно существованию
точного неприводимого унитарного правого ^-модуля.
Примитивное слева кольцо определяется аналогично.
Примитивное справа кольцо может не быть прими-
примитивным слева (Irving R. S.//Math. Ann.— 1979.—
Bd 242, № 2. — S. 177—192). Двусторонний идеал
примитивного справа [слева] кольца является прими-
примитивным справа [слева] кольцом ([31], § II. 4). Любое
примитивное справа [слева] кольцо первично (|31],
§ IV. 9; [96], лемма 2.1.2). Коммутативными прими-
примитивными кольцами являются поля и только они. Если
R — примитивное справа кольцо и е2 = еЕ/?, то
кольцо eRe также примитивно справа ([31], § III. 7).
Всякое простое кольцо с ненулевым правым [левым]
цоколем примитивно справа [слева].
Двусторонний идеал / кольца R называется при-
примитивным справа [слева], если примитивно справа
[слева] факторкольцо R/I. Для правой [левой] при-
примитивности двустороннего идеала кольца R с едини-
единицей необходимо и достаточно, чтобы он являлся ан-
нулятором некоторого неприводимого унитарного пра-
правого [левого] ^-модуля ([90], п. 26.12). ■
Примитивные справа кольца с ненулевым правым
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 327
цоколем и только они изоморфны плотному кольцу
линейных преобразований линейного пространства
над телом, содержащему хотя бы одно ненулевое пре-
преобразование конечного ранга. При этом умножение
преобразований определяется равенством х(фг|з) =
= (хф)г|). Кольцо с единицей примитивно справа тогда
и только тогда, когда оно изоморфно плотному кольцу
линейных преобразований линейного пространства над
телом. Оба утверждения остаются справедливыми и
для примитивных слева колец, если иметь в виду
умножение, определяемое равенством (ф о if) (я) =
= ф(ФМ) ([31], § 1.2—1.4, IV. 8, VI. 9; [90], пп. 19.22,
19.23А; [96], § 2.1). Примитивная алгебраическая ал-
алгебра над полем Ф, индексы нильпотентности элемен-
элементов которой ограничены в совокупности, изоморфна
кольцу матриц над алгебраической Ф-алгеброй с де-
делением ([31], с. 342, теорема 2).
Левый [правый, двусторонний] идеал / называется
идемпотентным, если /2 = /. Любой левый [правый,
двусторонний] идеал, содержащий ненулевой идемпо-
тент, идемпотентен. Кольцо [алгебра] R называется
наследственно идемпотентным, если все его главные
двусторонние идеалы идемпотентны, и вполне идемпо-
идемпотентным, если для любого а е R главные двусторон-
двусторонние идеалы, порожденные элементами а и а2, совпа-
совпадают. Следующие свойства кольца или алгебры R эк-
эквивалентны: A) R вполне идемпотентно; B) ни один
из гомоморфных образов кольца [алгебры] R не со-
содержит ненулевых нильпотентных элементов; C) лю-
любой подпрямо неразложимый гомоморфный образ
кольца [алгебры] R является кольцом [алгеброй] без
делителей нуля; D) если a,b^R, то (a)(](b) = (ab),
где (и) — главный двусторонний идеал, порожденный
элементом и. Эквивалентны между собой и следующие
утверждения: A) R — наследственно идемпотентное
кольцо [алгебра]; B) любой гомоморфный образ
кольца [алгебры] R полупервичен; C) все двусторон-
двусторонние идеалы кольца [алгебры] R пояупервичны;
D) любой подпрямо неразложимый гомоморфный об-
образ кольца [алгебры] R первичен; E) сердцевина
любого подпрямо неразложимого гомоморфного об-
образа кольца [алгебры] R является простым кольцом
[простой алгеброй]; F) если /ь /2 <| R, то /, П h =
~ l\h', G) для любого a^R найдутся такие
328 ГЛ. Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
элементы хи ..., хп, у\, ..'., уп, Z\, ..., гяе/?, что
a=YuXiayiazl (см. [1], с. 352—355).
i— 1
Если / — двусторонний идеал кольца R, то говорят,
что идемпотенты можно поднимать по модулю идеа-
идеала I, если для всякого идемпотента e^R/I найдется
такой идемпотент e^R, что ё = е-\-1. Идемпотенты
можно поднимать по модулю любого ниль-идеала.
Если двусторонний идеал / кольца R квазирегулярен
(т. е. все его элементы квазирегулярны — ср. п. 2.6)
и идемпотенты можно поднимать по модулю идеала /,
то, каково бы ни было конечное или счетное множество
{ei, ёг, .-.} попарно ортогональных идемпотентов фак-
торкольца R/I, кольцо R содержит такое соответствен-
соответственно конечное или счетное множество {ei, ег, ■ ■ ■ } по-
попарно ортогональных идемпотентов, что ё» = et -f /
для каждого i. Для несчетного множества идемпотен-
идемпотентов этот результат теряет силу. Заметим еще, что
всякий односторонний нильидеал квазирегулярен
([90], пп. 22.14, 22.18). Если идемпотенты можно под-
поднимать по модулю радикала Джекобсона кольца R,
то R называется SBl-кольцом.
В заключение приведем китайскую теорему об ос-
остатках: если /i, ..., 1п — двусторонние идеалы коль-
кольца R, то отображение ч>- R/ П /,• ■->■ (R/Ii) Ф • • • ©
©(/?//„), где <р(а+ Q /4) = (а + /,, .... a + Ia), яв-
является изоморфизмом колец в том и только том слу-
случае, когда Ii^-Ij = R для любых различных i и / (см.
[90], п. 18.30).
Подгруппа Q аддитивной группы кольца R назы-
называется квазиидеалом, если RQOQR^Q. В качестве
примера квазиидеала, не являющегося идеалом, ука-
укажем на множество матриц, у которых вне фиксирован-
фиксированного места стоят нули. Квазиидеалам посвящена мо-
монография [256].
2.3. Групповые и полугрупповые кольца, кольца
степенных рядов. Если R— кольцо с единицей 1 и G —
группа с единицей е, то обозначим через i?@) абелеву
группу, элементами которой служат всевозможные
формальные суммы вида X ^gg, где Xg^R и почти
" §2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 329
все Xg равны нулю, а сложение определяется равен-
равенством
Групповым кольцом группы G над кольцом R (оно
обозначается через RG) называется группа /?@> с ум-
умножением, определяемая равенством
£ bgg)( £ и^ = £ f £ *.x\
geG / Uefi / ts(J J,}e(!
Это определение означает, что произведение двух
формальных сумм вычисляется по обычным правилам
умножения многочленов с последующим приведением
подобных членов. В случае, когда R — поле, говорят
о групповой алгебре над полем R. Если кольцо R ком-
коммутативно, то на RG можно смотреть как на кольцо
функций из группы G в кольцо R, принимающих не-
ненулевые значения лишь в конечном числе точек, со
сверткой в качестве операции умножения.
Каждый элемент g группы G отождествляется
с элементом lg, а каждый элемент X^R— с элемен-
элементом Хе. В частности, единицу кольца RG можно рас-
рассматривать и как единицу кольца R и как единицу
группы G. Кроме того, при принятом соглашении
имеем Xg = gX для любых е R и g e G. Отсюда,
в частности, вытекает, что коммутативность группо-
группового кольца RG равносильна коммутативности коль-
кольца R и группы G.
Сказанное выше можно трактовать как существо-
существование гомоморфизма ф кольца R в кольцо RG и гомо-
гомоморфизма г|з группы G в мультипликативную полу-
полугруппу кольца RG, причем ф(^-И(£) = t(g)<p(^) Для
любых iiel? и geG. Более того, если Ф — гомомор-
гомоморфизм кольца R в кольцо S, W — гомоморфизм груп-
группы G в мультипликативную полугруппу кольца S, при-
причем <$(X)W(g) = W(g)Q>(X) для любых X<=R и g<=G,
то существует такой гомоморфизм % кольца RG в
кольцо S, что %(ц>{Х)) = Ф(Х) для всех X^R и
% (г|з (g)) = цг (g) для всех geG. Это свойство может
быть принято в качестве определения группового
кольца. Подчеркнем, что изоморфизм колец RG и RH
вообще говоря, не влечет за собой изоморфизм групп
G и Я (см. [230], с. 661, теорема 2.2).
330 гл. ш. кольца и модули
Если а= Yj *-gg — элемент из RG, то множество
jsfi
называется носителем элемента а, а элемент tr а = Хи
где 1 — единица группы G, его следом. Если Ф —
поле, характеристика которого или равна 0, или не
делит порядки элементов группы G, принадлежащие
носителю идемпотента еЕФб, то tra=O. Если ф—•
поле и e2 = ee<PG, то tr e принадлежит простому
подполю поля Ф. Более того, если е =т^ 0, 1 и Ф—поле
характеристики 0, то 0 < tr е < 1 (см. [39], пп. 2.20,
2.21).
Носитель любого идемпотента порождает конечную
подгруппу группы G в том и только том случае, когда
или все конечно порожденные подгруппы группы G
конечны, или все идемпотенты кольца RG центральны.
Если е — центральный идемпотент кольца Фй, где
Ф — поле, то Supp e — конечная нормальная подгруппа
группы. Если при этом G конечна, то /1 ^gS лежит
t's=G
в центре кольца ФС тогда и только тогда, когда
hg='b'h-v h для любого h^G (см. [12], с. 31, тео-
теоремы 27 и 28; [16], с. 96, теорема 6; [88], с. 193, тео-
теорема 8; [230], с. 136—137, теоремы 3.8 и 3.9).
Если Н—подгруппа группы G, то через шЯ обо-
обозначим правый идеал кольца RG, порожденный мно-
множеством {1—• h\h e #}. Если множество X порождает
подгруппу Н, то ш// порождается множеством {1 —
— х\х^Х}, Идеал ш# оказывается двусторонним
в том и только том случае, когда подгруппа Я нор-
нормальна. При этом ©Я совпадает с ядром гомо-
гомоморфизма <р: RG ~> R(G/H), где ф( 2 ~^ge} ~
= Л ^g(gr + j//)- Двусторонний идеал ©G называется
g« g
фундаментальным идеалом кольца RG. Он служит яд-
ядром гомоморфизма е: RG^-R, где е ( X \
\g<sG
= И К, и, следовательно, шС { 2 2
Гомоморфизм е называется тривиализацией кольца
RG (см. [39], пп. 1.6—1.10).
Для любой бесконечной подгруппы Н группы G
имеем Ann/(со//) ={0}. Если же подгруппа Я конечна,
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 331
то Аппг (мЯ) = RG ( £ h\. В частности, конечность
V/i<sH )
порядка элемента g^G равносильна том}, что 1 —g
оказывается левым [правым, двусторонним] делите-
делителем нуля в RG (см. [39], пп. 1.12, 1.16).
Если Ф — поле, a G или сверхразрешимая группа
без кручения, или расширение полициклической груп-
группы без кручения с помощью конечной, то групповая
алгебра CPG не содержит делителей куля (см. [233],
теоремы 37.3 и 37.5).
Если R— кольцо характеристики 0 не содержащее
ненулевых нильпотентных элементов, и а = ^ % g —
нильпотентный элемент группового кольца RG, то
Х\ = 0. Более того, носитель элемента а не содержит
центральных элементов группы G. Последнее утверж-
утверждение остается справедливым и в случае, когда харак-
характеристика кольца R равна р, но G не содержит эле-
элементов порядка р (см. [39], с. 19, предложение 2.14;
с. 20, следствие 2.15).
Систематическое изложение теории групповых ко-
колец можно найти в [12], [39] и [230]. Условия при-
принадлежности группового кольца тому или иному клас-
классу колец даны при рассмотрении этих классов. По
этому поводу см. также обзор [155]. О радикалах
групповых колец см. п. 2.6, а также [184]. Коммута-
Коммутативным групповым алгебрам посвящена монография
[183]. С групповыми кольцами конечных групп свя-
связана монография [201], а с целочисленными группо-
групповыми кольцами — [260].
Если в определении группового кольца взять в ка-
качестве G полугруппу, то приходим к определению по-
полугруппового кольца полугруппы G над кольцом R.
Если полугруппа G содержит нуль 0, то множество
R0 = {r0\r^R} оказывается двусторонним идеалом
кольца RG и факторкольцо RG/R0 называется сжа-
сжатым полугрупповым кольцом.
Кольцо Mn(R) всех матриц порядка п над коль-
кольцом R можно рассматривать как полугрупповое коль-
кольцо RG, где
если & = /,
если кф1.
0,
332 ' ГЛ. UU КОЛЬЦА И 1М0ДУЛИ
Коммутативным полугрупповым кольцам посвящена
монография [154]. См. также обзор [77].
Обобщением кольца матриц служит кольцо инци-
инцидентности: его элементами являются функции /: G X
X G-*■ R, где R— данное кольцо, G — квазиупорядо-
ченное множество, в котором для любых a, b e G,
удовлетворяющих неравенству а ^ Ь, интервал
[a, b] = {x\a^x^b}
конечен, а кольцевые операции определяются равен-
равенствами
£ fix, г) g (г, у), если
0 в противном случае.
Формальные степенные ряды £ ^ixl, где Ki при-
г=0
надлежит некоторому кольцу R с единицей, при есте-
естественном определении операций в предположении, что
Хх = хК для всех K^R, образуют кольцо, которое
называется кольцом степенных рядов и обозначается
через ^? [[*]]. Если R — тело, то обратимыми оказы-
оказываются ряды с ненулевым свободным членом и только
они, а каждый левый [правый] идеал кольца R [ [х] ]
оказывается двусторонним и порождается элемен-
элементом хт для некоторого натурального т. Рассматри-
Рассматриваются и кольца степенных рядов от нескольких пе-
переменных, а также кольцо рядов Лорана, состоящее
из формальных рядов с конечным числом отрицатель-
отрицательных степеней. Если R — тело, то кольцо рядов Лорана
также оказывается телом. О степенных рядах над
коммутативными кольцами см. [120].
Если R — кольцо, G — полугруппа, о — отображе-
отображение полугруппы G в множество эндоморфизмов коль-
кольца R и р = {pg, h | g, h e G} — некоторое множество об-
обратимых элементов кольца R, то группу /?<°) можно
превратить в кольцо (не обязательно ассоциативное),
если положить
шей
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 333
где через \аау(х) обозначается образ элемента \xy^R
при эндоморфизме о(х). Получившееся кольцо оказы-
оказывается ассоциативным, если
iPhk f>hk = Phf>hk
для любых g, h, k e G и X ^ R и называется в этом
случае скрещенным произведением полугруппы G и
кольца R с системой факторов р при дефекте а, а обо-
обозначается через (G, R, р, а). Если Я, це R и g, h e G,
то Xg-\ih = X\ia^e)pg, h{gh). Если 0 — нуль полугруп-
полугруппы G, то, как и выше, R0 оказывается двусторонним
идеалом кольца (G, R, р, а). Факторкольцо (G, R, р,
o)/R0 называется сжатым скрещенным произведе-
произведением. Если G — моноид (в частности, группа), то
р I = p'jr<f) и pf(') = pI , для любых g^G. Кроме
того, если 1СТ<«) = 1 при любом g^G (в частности,
если G — группа или o(g)<=AutR при всех geG),
то рр^ • 1 оказывается правой единицей кольца (G, R,
р, о). Этот элемент оказывается двусторонней едини-
единицей, если p^'j^'^pj =X и, в частности, если Я<1<') = &
для всех K^R. Отметим, что полугруппа G является
подполугруппой мультипликативной полугруппы коль-
кольца (G, R, р, а) лишь при условии, что pg, к = 1 для
любых g, h e G, ибо g-Л = pg, /,gA.
Скрещенным или скрученным полугрупповым коль-
кольцом называется кольцо (G, ^?, р, а), где G — моноид
и 1 а(г) = pg A = 1 для любых g,h^G. Это кольцо
обозначается через (G, ^?, а). При этом для любых
X,H<=Rng,h<^G имеем
Kg- [ih = K\ia(s) (gh)
т. е. а оказывается антигомоморфизмом моноида G
в полугруппу End R эндоморфизмов кольца R. Заме-
Заметим, что о становится гомоморфизмом, если в качестве
умножения в Endi? принять о (см. п. I. 1.4). Скручен-
Скрученное полугрупповое кольцо становится обычным полу-
групповым кольцом, если Xa(g~> = К для всех K^R.
334 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Для определения кольца (G, R, о), где G={x"|n =
= 0,1,2, ...}, достаточно выбрать элемент ст(х)е
eEndi?. Возникающее таким образом кольцо назы-
называется скрученным кольцом многочленов. Аналогич-
Аналогичным образом можно определить скрученное кольцо
степенных рядов и скрученное кольцо рядов Лорана.
Если R— тело и а(х) — его гомоморфное вложение
в себя, то скрученное кольцо рядов Лорана оказы-
оказывается телом, которое называется телом Гильберта.
Если R— поле рациональных функций от у над по-
полем Ф и о ( , , j = \у i , то центр соответствую-
соответствующего тела Гильберта совпадает с Ф. Тем самым по-
построен пример тела, бесконечномерного над своим
центром.
Ряд свойств скрученных произведений, в особенно-
особенности связанных с первичностью и полупервичностью,
можно найти в [233]. В частности, если Я — под-
подгруппа конечной группы G, то полупервичность коль-
кольца (R, G, р, -а) влечет полупервичность кольца (R, Н,
р, о) (см. [233], теорема 18.9).
Особенно важно скрещенное произведение кольца
с его группой автоморфизмов (не обязательно всех),
определяемое как (G, R, о), где G — группа автомор-
автоморфизмов кольца R и o(g) = g для всех geG, и обо-
обозначаемое через R*G. Если группа G конечна, коль-
но R полупервично и |G|A, = 0, где ?,е/?, влечет
X = о, то кольцо R*G также оказывается полупервич-
полупервичным. Если G — конечная группа, R просто и R*G по-
полупервично, то R*G разлагается в прямое произведе-
произведение простых колец, причем число слагаемых не пре-
превосходит \G\. Кольцо /?*G оказывается простым, если
R — простое кольцо с единицей и G не содержит внут-
внутренних автоморфизмов кольца R, отличных от тожде-
тождественного. Если G — конечная группа автоморфизмов
поля Ф, то их скрещенное произведение оказывается
центральной простой алгеброй над полем
F = {I || е=Ч>, 1а(г) = I для всех g^ti)
([216], теоремы 7.4, 7.13, 2.3; [101], § V.5). О пер-
первичных и полупервичных скрещенных произведениях
см. [185]. Ряд результатов о кольцах Ф*С, где Ф —
поле, можно найти в [116]. См. также [231].
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 335
Если R— кольцо с единицей, а — его эндоморфизм
и б — а-дифференцирование (т. е. 6(А,-|- ц)^б(^) +
+ 6(ц) и 6(кц) = 6A)ц+а(кN(ц) для всех X,\i<=R,
то на множестве R [х] многочленов над R определим
произведение
где X^R, которое естественным образом распростра-
распространяется на любые элементы из R[x]. Возникающее та-
таким образом ассоциативное кольцо называется коль-
кольцом косых многочленов или кольцом дифференциаль-
дифференциальных многочленов и обозначается через R[x,ol,8]. Ал-
Алгебра Вейля А}(ф) над полем Ф изоморфна
Ф [у] [х, 1«.']. гДе ' — обычное дифференцирование в
кольце Ф[г/]. Если а — тождественный автоморфизм,
то кольцо косых многочленов оказывается нётеровым
слева, если нётерово слева кольцо R, и простым, если
R — простое кольцо с аддитивной группой, не содер-
содержащей ненулевых периодических элементов. Если R —
тело, то R [х, а, б] не содержит делителей нуля и яв-
является кольцом главных левых и главных правых
идеалов ([16], пп. 1.9—1.12, 2.3; [90], пп. 7.27—7.30).
2.4. Тела, локальные кольца, регулярные кольца.
Телом называется кольцо с единицей, в котором каж-
каждый ненулевой элемент обратим. Впрочем, достаточно,
чтобы каждый ненулевой элемент обладал левым
[правым] обратным ([87], с. 113, лемма 2). Поле—•
это, по определению, коммутативное тело. Всякое ко-
конечное тело коммутативно, т. е. является полем ([87],
с. 207, теорема 2; [31], с. 266, теорема 1; [51], с. 468,
теорема 1; [76], с. 307; [96], теорема 3.1.1). Простей-
Простейший пример тела, не являющегося полем, — это тело
кватернионов, которое можно получить, рассмотрев
/ а Ь\
множество матриц вида I - I над полем комп-
комплексных чисел с обычными операциями ([88], с. 101).
В качестве другого примера укажем кольцо косых ря-
рядов Лорана над полем ([76], § 19.7). Кольцо R с еди-
единицей оказывается телом тогда и только тогда, когда
в нем нет левых [правых] идеалов, отличных от {0}
и R, а также тогда и только тогда, когда в нем нет
отличных от {0} и R квазиидеалов. Пример группы
вычетов по простому модулю с нулевым умножением
показывает, что наличие единицы существенно. Всякое
336 гл. ш. кольца и модули
счетное тело вкладывается в тело, порожденное двумя
элементами ([14], теорема 13).
Всякое тело является алгеброй над своим центром,
который всегда оказывается полем. В частности, тело
кватернионов — алгебра над полем действительных
чисел. Тело кватернионов содержит и поле комплекс-
комплексных чисел, но алгеброй над ним не является.
Если тело является алгеброй над коммутативным
кольцом Ф с единицей, то Ф оказывается полем. Тело,
являющееся алгеброй над полем Ф, часто называют
алгеброй с делением. Конечномерная алгебра над по-
полем, не содержащая делителей нуля, является телом
([31], с. 231—232). Любая алгебра с делением над
конечным полем коммутативна ([31], с. 267, теоре-
теорема 2). Алгебраическая алгебра с делением над алгеб-
алгебраически замкнутым полем Ф совпадает с Ф (см. [90],
п. 13.4). Всякая конечномерная алгебра с делением
над полем действительных чисел изоморфна или полю
действительных чисел, или полю комплексных чисел,
или телу кватернионов (теорема Фробениуса — см.
[87], с. 202, теорема 1; [55], гл. V, § 8; [96], с. 101).
Если К—подтело тела D, то D можно считать как
правым, так и левым линейным пространством над К.
Заметим, что размерности этих линейных пространств
могут оказаться различными. Однако они совпадают,
если К принадлежит центру В(Щ тела D, или если D
конечномерно над 3(D). В этих случаях условимся
обозначать эту общую размерность через [D: К] (см.
[31], с. 256, теорема 1). Если [D : 3 Ф) ] < оо и Р —
максимальное подполе тела D, то ${D)^P,
D®.JmP~Mn(P), где n = [D:P] и [D:Q{D)) =
= [D:/>]2 = [P:3(D)]2 (см. [31], с. 263, предложе-
предложение 1; [96], с. 95, следствие, теорема 4.2.2).
Если К — подтело тела D и и~{Ки ^ К для любого
ненулевого и <= К, то или К = D, или K^S(D) (тео-
(теорема Картана—Брауэра—Хуа — см. [31], с. 271, след-
следствие; [76], с. 306).
Конечномерная алгебра с делением D над полем Ф
называется циклической, если D содержит такое цик-
циклическое расширение Р поля Ф (т. е. {(plqjeAut/3,
q>(£) = £ для всех I <= Ф} —циклическая группа), что
[Р:Ф]2 = [О:Ф] (см. [76], гл. 15).
Телам посвящены монографии [136], [140] и [249].
О кватернионах см. [125] и [269], а о конечных по-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 337
лях—[61]. Отметим также обзоры [104], [128] и
[132]. Строение конечномерных алгебр с делением де-
детально обсуждается в [174].
Кольцо R называется локальным или вполне при-
марным, если оно содержит такой двусторонний
идеал /, что R/I является телом. Это означает, что / —
наибольший левый [правый] идеал кольца R, отлич-
отличный от R. Заметим, что / совпадает с радикалом Дже-
кобсона кольца R. Для кольца R с единицей равно-
равносильны следующие свойства: A) R локально; B) все
необратимые элементы кольца R содержатся в отлич-
отличном от R двустороннем идеале; C) необратимые эле-
элементы кольца R образуют отличный от R двусторон-
двусторонний идеал; D) если a^R, то а или 1 — а — обрати-
обратимый элемент; E) если a^R, то или а, или 1 — а —
обратимый слева [справа] элемент; F) сумма двух
необратимых элементов необратима ([57], с. 123,
предложение 1; [90],. п. 18.10А). Простейшим приме-
примером локального кольца, не являющегося телом, слу-
служит подкольцо кольца Q, состоящее из всех рацио-
рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на
фиксированное простое число. Другим важным при-
примером являются кольца степенных рядов от одной пе-
переменной над полем. Из локальности группового коль-
кольца RG вытекает, что R — локальное кольцо, тело
R/J(R) имеет характеристику р, а порядок любого
элемента из G является степенью числа р (т. е. G
является р-группой). Обратное верно, если группа G
локально конечна ([39], с. 73, теорема 16.2).
Кольцо R называется регулярным, если уравнение
аха = а разрешимо для любого a^R, т. е. если ре-
регулярны все элементы кольца R. В частности, регуляр-
регулярным кольцом оказывается любое тело. Эквивалентны
следующие свойства кольца R: A) Р регулярно, т. е.
уравнение аха = а разрешимо для любого a^R;
B) каждый главный левый [правый] идеал кольца R
порождается идемпотентом; C) каждый конечно по-
порожденный левый [правый] идеал кольца R порож-
порождается идемпотентом; D) каждый главный левый
[правый] идеал кольца R выделяется прямым слагае-
слагаемым; E) каждый конечно порожденный левый [пра-
[правый] идеал кольца R выделяется прямым слагаемым;
F) как сумма, так и пересечение двух главных левых
[правых] идеалов кольца R являются главными
338 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
левыми [правыми] идеалами, и если / и /—главные
левые [правые] идеалы кольца R, причем 1^1, то
/ =/Ф К для некоторого главного левого [правого}
идеала К кольца R; G) если Н — правый, a L — ле-
левый идеалы кольца R, то HL = Н f] L; (8) QRQ = Q
для любого квазиидеала Q кольца R; (9) если Я2 =
= Н — правый, a L2 = L — левый идеал кольца R, то
HL — квазиидеал кольца R (см. [87], с. 93, теорема 1;
[256], с. 69, теорема 9.3).
Условие F) показывает, что главные левые [пра-
[правые] идеалы регулярного кольца образуют дедекин-
дову решетку с относительными дополнениями. Из
условия B) нетрудно вывести, что радикал Джекоб-
сона регулярного кольца равен нулю. Теоретико-мо-
Теоретико-модульная характеризация регулярных колец дана в
п. 4.6.
В регулярном кольце всякий левый делитель нуля
оказывается правым делителем нуля и наоборот, а
всякий неделитель нуля обратим. Если R — регуляр-
регулярное кольцо, то решетки его главных левых и главных
правых идеалов антиизоморфны, причем антиизомор-
антиизоморфизм Ф определяется равенством Ф(L)= АппгL (см.
[161], с. 15, теорема 2.5). Регулярное кольцо, не со-
содержащее бесконечного множества попарно ортого-
ортогональных идемпотентов, классически полупросто.
Регулярным оказывается кольцо матриц над лю-
любым регулярным кольцом и, в частности, над телом
([87], с. 96, теорема 2), а также кольцо всех эндо-
эндоморфизмов любого линейного пространства над телом.
Более того, регулярное кольцо изоморфно такому
кольцу в том и только том случае, когда оно первично,
самоинъективно справа и обладает ненулевым правым
цоколем ([161], с. 100, теорема 9.12). Этому кольцу
уделено много внимания в монографии [234]. Отме-
Отметим также обзор [274] о подкольцах кольца линейных
преобразований векторного пространства над телом,
сконцентрированный вокруг теоремы плотности и тео-
теоремы Голди.
Всякая алгебраическая алгебра без нильпотентных
элементов регулярна. Если R есть PF-кольцо, то экви-
эквивалентны следующие утверждения: A) R регулярно;
B) /2 = / для всякого двустороннего идеала / коль-
кольца R, C) каждый левый идеал кольца R равен пере-
пересечению некоторого множества максимальных левых
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 339
идеалов; D) R является F-кольцом, т. е. все простые
левые ^-модули инъективны.
Если R — регулярное кольцо и е2 = е е R, то коль-
кольцо eRe также регулярно. Регулярны прямое произве-
произведение и прямая сумма регулярных колец, фактор-
кольцо и двусторонний идеал регулярного кольца и
кольцо матриц над регулярным кольцом ([87], с. 96,
теорема 2). Групповое кольцо RG регулярно тогда и
только тогда, когда R — регулярное кольцо, каждая
конечно порожденная подгруппа группы G конечна и
порядок любой конечной подгруппы группы G обра-
обратим в кольце R (см. [57], с. 238, предложение 2; [39],
с. 64, теорема 10.4; [12], с. 43, теорема 39),
Важный подкласс класса регулярных колец обра-
образует строго регулярные или абелевы регулярные
кольца, в которых, по определению, разрешимо урав-
уравнение а2х = а. Равносильны следующие свойства ре-
регулярного кольца R: A) R строго регулярно; B) R
не содержит ненулевых нильпотентных элементов;
C) каждый левый [правый] идеал кольца R является
двусторонним; D) все идемпотенты кольца R цен-
центральны; E) для каждого a^R уравнение аха = а
имеет единственное решение; F) для всякого первич-
первичного двустороннего идеала Р кольца R факторкольцо
R/P оказывается телом ([161], с. 26, теорема 3.2).
К числу строго регулярных относятся булевы кольца,
определяемые как кольца с единицей, в которых а2=а
для любого а. Все булевы кольца коммутативны и
удовлетворяют тождеству а + а = 0. Они тесно свя-
связаны с булевыми алгебрами (см. п. V. 4.4). Булевы
кольца оказываются 2-кольцами, если под р-кольцом,
где р — простое число, понимать такое кольцо R, что
аР = а и ра = 0 для любого а^ R. О булевых коль-
кольцах см. [100].
Другой подкласс класса регулярных колец обра-
образуют и-регулярные кольца, в которых уравнение
аха = а имеет в качестве решения обратимый эле-
элемент. К числу «-регулярных принадлежат строго ре-
регулярные кольца ([161], с. 38, следствие 4.2), кольца
матриц над «-регулярными кольцами ([161], с. 40,
следствие 4.7), регулярные кольца, у которых индексы
нильпотентности нильпотентных элементов ограни-
ограничены в совокупности ([161], с. 75, следствие 7.11) и
непрерывные слева или справа регулярные кольца.
340 гл. ш. кольца и модули
Регулярное кольцо R называется непрерывным
[ао-непрерывным] слева, если решетка g его главных
левых идеалов полна [К0-полна сверху] и для любого
главного левого идеала L^R и любой [счетной] воз-
возрастающей цепочки {LJie/} главных левых идеалов
из R имеет место
L П {sup ^ Lb 11 <= /j = sup ^ {Lf\Lb\i^ J}.
Регулярное кольцо непрерывно [^-непрерывно] слева
в том и только том случае, если каждый его [счетно
порожденный] левый идеал является существенным
подмодулем в некотором его главном левом идеале.
Если R — непрерывное [^-непрерывное] слева регу-
регулярное кольцо и е! = сЕ^, то кольцо eRe также не-
непрерывно [Ко-непрерывно] слева. Непрерывным
[^-непрерывным] слева оказывается и прямое про-
произведение непрерывных слева регулярных колец.
Регулярное кольцо, непрерывное как слева, так и
справа, называется непрерывным. Непрерывное регу-
регулярное слева кольцо R оказывается непрерывным
тогда и только тогда, когда для любого главного ле-
левого идеала L ^ R и любой убывающей цепочки
{LJie/} его главных левых идеалов справедливо
равенство
L + inf^ {Lt 11 6= /} = inf ^ {L + Lt 11 <= /}.
Любой ненулевой двусторонний идеал непрерыв-
непрерывного регулярного кольца содержит центральный идем-
потент. Отсюда вытекает простота любого непрерыв-
непрерывного регулярного кольца, не разложимого в прямую
сумму. Любое непрерывное регулярное кольцо пред-
ставимо как подпрямое произведение простых «-регу-
«-регулярных самоинъективных слева и справа колец ([161],
следствия 13.4, 13.24, 13.26, 13.28 и 14,4, предложе-
предложения 13,6, 13.7 и 14.5),
Двусторонним аналогом регулярности служит би-
регулярность: кольцо называется бирегулярным, если
каждый его главный двусторонний идеал порождается
центральным идемпотентом. Бирегулярным является,
в частности, всякое простое кольцо -с единицей. Каж-
Каждый двусторонний идеал бирегулярного кольца яв-
является пересечением его максимальных двусторонних
идеалов. Всякое бирегулярное кольцо с единицей изо-
изоморфно кольцу глобальных сечений с бикомпактными
§ 2, АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 341
носителями пучка простых колец с единицей над би-
бикомпактным вполне несвязным хаусдорфовым про-
пространством и всякое такое кольцо сечений бирегу-
лярно ([29], с. 11—12, теорема I). В коммутативном
случае классы регулярных, строго регулярных и бире-
гулярных колец совпадают, а простые кольца в по-
последней теореме заменяются полями. Приведем более
алгебраический вариант этого результата: если R—
бирегулярная алгебра с единицей над полем Ф и все
ее примитивные факторалгебры изоморфны одной и
той же конечномерной алгебре К над Ф, то R изо-
изоморфна алгебре всех непрерывных функций на неко-
некотором вполне несвязном компактном пространстве со
значениями в алгебре К (см. [31], с. 312, теорема 2).
Групповое кольцо RG, где R коммутативно, оказы-
оказывается бирегулярным в том и только том случае, когда
R бирегулярно, каждый элемент группы G лежит в ко-
конечной нормальной подгруппе и порядок любого эле-
элемента из G обратим в R (см. [12], с. 44, теорема 40).
Кольцо R называется л-регулярным, если для лю-
любого a^R найдутся натуральное число п и элемент
х е R такие, что апхап — ап. Каждый левый [пра-
[правый] идеал л-регулярного кольца или содержит нену-
ненулевой идемпотент или является ниль-идеалом, а л-ре-
гулярное кольцо, не содержащее ненулевых нильпо-
тентных элементов, оказывается бирегулярным ([30],
с. 304, предложение 3).
Близки к регулярным бэровские кольца, опреде-
определяемые тем условием, что каждый левый (или, что при
наличии единицы равносильно, каждый правый) анну-
лятор порождается идемпотентом. Примерами бэров-
ских колец служат кольца эндоморфизмов линейных
пространств над телами и кольцо ограниченных опе-
операторов гильбертова пространства. Бэровское кольцо
называется абелевым, если все его идемпотенты цен-
центральны, и конечным по Дедекинду, если ху = 1 вле-
влечет за собой ух=\. Идемпотент е бэровского коль-
кольца R называется абелевым [конечным], если бэрово
кольцо eRe абелево [конечно по Дедекинду]. Разли-
Различаются следующие типы бэровских колец: ISing — ко-
конечные по Дедекинду кольца, содержащие абелев
идемпотент, не принадлежащий никакому собствен-
собственному прямому слагаемому; Iinf — бесконечные по Де-
Декинду (т. е. не содержащие ненулевых конечных
342 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
центральных идемпотентов) кольца, содержащие абе
лев идемпотент, не принадлежащий никакому соб-
собственному прямому слагаемому; Пцп (или IIj)—ко-
IIj)—конечные по Дедекинду кольца без ненулевых абелевых
идемпотентов, содержащие конечный идемпотент, не
принадлежащий никакому собственному прямому сла-
слагаемому; Пш — бесконечные по Дедекинду кольца
с условием, указанным при определении IIfin; III —
кольца без ненулевых конечных идемпотентов. Каж-
Каждое бэровское кольцо единственным способом разла-
разлагается в прямую сумму колец перечисленных типов
([182], с. 12, теорема 12).
Левым риккартовым (или левым РР-кольцом, см
п. 4.6) называется кольцо, в котором левый аннулятор
любого элемента порождается идемпотентом. К числу
риккартовых относятся все регулярные и бэровские
кольца. О теоретико-модульной характеризации рик-
риккартовых колец см. п. 4.6. Левое риккартово кольцо
не обязано быть правым риккартовым. Может не быть
риккартовым и кольцо матриц над риккартовым
кольцом.
Полурегулярным называется SBI-кольцо, факгор-
кольцо которого по его радикалу Джекобсона регу-
регулярно. Полурегулярность кольца R с единицей равно-
равносильна тому, что для каждого его конечно порожден-
порожденного правого идеала / найдется такой идемпотент
е е R, что eR *= I и равенство A—e)R[\I-\-K = I,
где К — правый идеал кольца R, влечет К = / (дру-
(другими словами, A — e)R[\I—малый подмодуль пра-
правого /^-модуля /). Левосторонний вариант этого усло-
условия также эквивалентен полурегулярности кольца
(Nicholson W. K.//Canad. J. Math.—1976.—
V. 28, № 5.— P. 1105—1120).
Информацию о «-регулярных кольцах см. п. 5.4.
Кольцо называется дистрибутивным [цепным] сле-
слева, если решетка его левых идеалов дистрибутивна
[является цепью] (напомним, что в общем случае эта
решетка лишь модулярна). Если R — кольцо и
A,B<=R, то положим '
(A:B) = {x\x<^R, Вх<=А}.
Нётерово слева кольцо R дистрибутивно слева тогда
и только тогда, когда оно инвариантно слева и
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 343
R = (А : В) -\-(В : А) для любых левых идеалов А и
В кольца R или В=(В:А)А для любых левых идеа-
идеалов В <=, А кольца R. Левая дистрибутивность нё-
терова слева кольца равносильна тому, что каждый
его левый идеал равен произведению первичных дву-
двусторонних идеалов. Нётерово справа и слева кольцо
дистрибутивно слева тогда и только тогда, когда оно
изоморфно прямому произведению цепных слева ар-
тиновых колец и инвариантных слева наследственных
слева нётеровых слева областей целостности. Левое
кольцо Безу дистрибутивно в том и только том слу-
случае, когда все его максимальные левые идеалы яв-
являются двусторонними. Полулокальное кольцо дистри-
дистрибутивно слева тогда и только тогда, когда оно яв-
является левым кольцом Безу, а его факторкольцо по
радикалу Джекобсона разлагается в прямое произве-
произведение конечного множества тел. Дистрибутивное слева
кольцо разлагается в прямую сумму конечного числа
областей Оре в том и только том случае, когда оно
антисингулярно и удовлетворяет условию максималь-
максимальности или для левых аннуляторов, или для прямых
сумм левых идеалов. Кольцо многочленов R [х] ди-
дистрибутивно слева тогда и только тогда, когда R —
коммутативное регулярное кольцо. Левая дистрибу-
дистрибутивность кольца R [ [х]] степенных рядов равносильно
тому, что R — строго регулярное счётно инъективное
кольцо. Описаны дистрибутивные слева групповые
кольца с коммутативными кольцами коэффициентов.
Если все нильпотентные элементы кольца R централь-
центральны или R удовлетворяет условию минимальности для
левых аннуляторов, то R оказывается дистрибутивным
слева тогда и только тогда, когда все его максималь-
максимальные левые идеалы являются вполне простыми идеа-
идеалами и соответствующие левые кольца частных суще-
существуют и оказываются цепными слева кольцами ([9],
и.
Кольцо, решетка двусторонних идеалов которого
дистрибутивна, называется арифметическим. Арифме-
тичность кольца равносильна справедливости в нем
китайской теоремы об остатках. Коммутативное нёте-
нётерово кольцо арифметично тогда и только тогда, когда
каждый его ненулевой идеал равен произведению мак-
максимальных идеалов. Об арифметических кольцах
см. [110], §§ IX. 2, IX. 3.
344 гл. ш. кольца и модули
2.5. Условия обрыва цепей. Как правило, удовлет-
удовлетворительное описание того или иного класса колец *)
удается получить лишь при условии, что те или иные
цепочки односторонних или двусторонних идеалов со-
соответствующих колец обрываются. Точнее, говорят,
что возрастающая [убывающая] цепочка Хо S Х\ ^
еХ2^ • ■ ■ [^о э X] э Х2 Э ...] подмножеств коль-
кольца R обрывается или стабилизируется, если найдется
такой номер п, что Хп == Xn+i для любого /. Если в
кольце R обрываются возрастающие [убывающие]
цепочки подмножеств, удовлетворяющих тому или
иному условию, то говорят, что кольцо R удовлетво-
удовлетворяет условию максимальности [минимальности] для
этих подмножеств. Например, R удовлетворяет усло-
условию максимальности для двусторонних идеалов, если
обрывается всякая возрастающая цепочка двусторон-
двусторонних идеалов.
Кольцо называется артиновым [нётеровым] слева,
если обрывается любая убывающая [возрастающая]
цепочка его левых идеалов.
Артиново [нётерово] слева кольцо не обязано быть артино-
артиновым [нётеровым] справа. В самом деле, кольцо всех матриц вида
/а р \
I I, где аир- произвольные действительные числа, а
г любое рациональное число, иётерово и артиново слева, но
ни нётерово, ни артиново справа. Однако если кольцо артиново
слева и нётерово сирава, то оно артииово справа ([126], с. 55,
теорема 4.1).
Всякое артиново слева кольцо R, аддитивная груп-
группа которого не содержит квазициклических подгрупп
(в частности, если R содержит левую или правую
единицу), оказывается нётеровым слева ([187], с. 232,
теорема 10.10; [76], § 4.5). На несправедливость об-
обратной импликации указывает пример кольца целых
чисел. Тем не менее, если кольцо R нётерово слева
и справа, а его левый цоколь имеет ненулевое пересе-
пересечение с каждым ненулевым левым [правым] идеалом,
то R артиново слева и справа ([126], с. 58, теоре-
теорема 4.6).
*) Все сказанное в этом пункте о кольцах, если только не
оговорено противное, остается справедливым для любых Ф-ал-
гебр, а также при одновременной замене прилагательного «ле-
«левый» на «правый» и наоборот. Подчеркнем еще, что в случае
алгебр под правым, левым или двусторонним идеалом следует
понимать соответствующий идеал алгебры (см. пп. 1.2 и 2.2)'
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 345
Прямая сумма конечного множества артиновых
[нётеровых] слева колец артинова [нётерова] слева
факторкольцо артинова [нётерова] слева кольца, а
также кольцо матриц над ним артиново [нётерово]
слева. Если кольцо R артиново [нётерово] слева и
e'1 = e^R, то артиново [нётерово] слева и кольцо
eRe. Более того, кольцо R с единицей оказывается
артиновым [нётеровым] слева тогда и только тогда,
когда 1 = е + f, где e2 = eEi?, f2 = f <= R, ef = 0 = fe,
кольца eRe и fRf артиновы [нётеровы] слева, eRf —
конечно порожденный левый eRe-модулъ и fRe—ко-
fRe—конечно порожденный левый f/?f-модуль ([47] теоре-
теорема 10.5; [76], с. 122, следствие Ь). Групповое кольцо
RG оказывается артиновым слева тогда и только
тогда, когда кольцо R артиново слева, а группа G ко-
конечна ([39], с. 69, следствие 14.7; [12], с. 33, теоре-
теорема 30). Критерий левой нётеровости группового кольца
пока не найден. Артиново слева кольцо вкладывается
в артиново слева кольцо с единицей в том и только
том случае, когда его аддитивная группа не содержит
квазициклических подгрупп ([187], с. 240, теоре-
теорема 10.27). Существование единицы у коммутативного
артинова кольца R равносильно отсутствию полного
аннулятора, т. е. Ann R = {0} (см. [187], с. 237, тео-
теорема 10.21). Аддитивная группа нильпотентного арти-
артинова кольца разлагается в прямую сумму конечного
числа р-групп ([187], с. 229, теорема 10.7). Кольцо,
в котором обрывается всякая убывающая цепочка
подколец, оказывается счетным, а всякое его конеч-
конечное подмножество порождает конечное подкольцо
(Шнейдмюллер В. И.//Мат. сб. — 1950. — Т. 27.—
С. 219—228).
Кольцо R нётерово слева тогда и только тогда,
когда каждый его левый идеал конечно порожден.
При наличии в кольце левой единицы это означает, что
для каждого его левого идеала L найдутся такие эле-
элементы аи ..., ап, что L = Ra\ -\- ... + Ran. Любой
односторонний ниль-идеал нётерова слева кольца
нильпотентен ([57], с. 115, предложение 6; [90],
п. 9.15). То же самое верно для колец, в которых об-
обрываются возрастающие цепочки односторонних анну-
ляторных идеалов ([180], с. 24, следствие 3.3; [96],
теорема 7.3.3). Кольцо многочленов над нётеровым
слева кольцом нётерово слева (теорема Гильберта
346 ГЛ. Ill КОЛЬЦА И МОДУЛИ
о базисе— [87], с. 103, теорема 1). То же самое верно
и для кольца степенных рядов. Ьсли R ^S *= Mn(R),
то S нётерово справа тогда и только тогда, когда R
нётерово справа. Нётерово справа и слева кольцо R
с первичным радикалом N разлагается в прямую
сумму полупервичных и артиновых справа и слева ко-
колец в том и только том случае, когда N = cN — Nc
для любого с из R такого, что с -f- jV не является де-
делителем нуля в R/N. Центр З(^) полупервичного
кольца R нётеров тогда и только тогда, когда R нёте-
нётерово справа и является конечно порожденным
3(Я)-модулем ([208], пп. 1.1.4, 4.1.9, 13.6.14). Суще-
Существуют простые нётеровы справа кольца с делителями
нуля, но без идемпотентов, отличных от нуля и еди-
единицы (Залесский А. Е., Нерославский О. М.//
Commun. Algebra. — 1975.—V. 5, № 3. — P. 231—244).
Некоммутативным нётеровым кольцам посвящена мо-
монография [205], а конечным кольцам — монографии
[36J и [211].
Для нильпотентного кольца равносильны условия
обрыва возрастающих цепей подгрупп аддитивной
группы, подколец, правых, левых и двусторонних идеа-
идеалов. Подкольца конечно порожденного нильпотентного
кольца конечно порождены ([198], § III. 4).
О конечных нильпотентных кольцах см. [198],
гл. V.
Важным частным случаем нётерова слева кольца
является кольцо главных левых идеалов, в котором,
по определению, каждый левый идеал является глав-
главным. Приведенный выше пример показывает, что
кольцо главных левых идеалов не обязано быть даже
нётеровым справа. Нётерово справа кольцо главных
левых идеалов разлагается в прямую сумму первич-
первичных колец и примарных артиновых слева колец ([90],
п. 20.97). Артиново слева кольцо главных левых идеа-
идеалов с единицей разлагается в прямую сумму примар-
примарных колец главных левых идеалов ([90], п. 19.45).
Первичное кольцо главных левых идеалов изоморфно
кольцу матриц над областью, удовлетворяющей ле-
левому условию Оре ([90], предложение 10.21). Кольцо
главных левых идеалов удовлетворяет условию об-
обрыва убывающих цепей нильпотентных правых идеа-
идеалов в том и только том случае, когда оно разлагается
в прямую сумму конечного числа первичных колец
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 347
главных левых идеалов и артиновых справа и слева
примарных колец ([180], с. 88, теорема 8.1). Полу-
Полупервичные кольца главных левых идеалов и только
они разлагаются в конечную прямую сумму первичных
колец главных левых идеалов (Johnson R. Е.//Са-
nad. J. Math.—1963. —V. 15, № 2. — P. 297—301).
Кольцо матриц над кольцами главных левых и глав-
главных правых идеалов обладает тем же свойством ([30],
с. 148, теорема 40).
Коммутативное кольцо главных идеалов является
прямой суммой областей главных идеалов и кольца
главных идеалов с единственным простым идеа-
идеалом, причем этот идеал нильпотентен ([40], ч. I,
с. 282, теорема 33). Для любых двух элементов а и b
из области главных правых и главных левых идеа-
идеалов R существуют наибольший общий левый делитель
(а, Ь) и наименьшее левое кратное [а, Ь], определяе-
определяемые однозначно с точностью до обратимого правого и
левого множителя соответственно. При этом Ra -f-
+ Rb = R(a,b) и Ra[\Rb = R[a,b\ (см. [30], с. 54,
теорема 2). Справедлива и теорема о разложении
на неприводимые множители ([30], с. 70, тео-
теорема 5).
Эквивалентны следующие свойства кольца R с еди-
единицей: A) R удовлетворяет условию максимальности
для аннуляторных правых идеалов; B) R удовлетво-
удовлетворяет условию минимальности для аннуляторных левых
идеалов; C) для всякого правого идеала / кольца R
найдется такой конечно порожденный правый идеал
!'*=!, что Ann;/ = Arm;/'. Любое подкольцо кольца,
удовлетворяющего условию максимальности [мини-
[минимальности] для аннуляторных правых идеалов, само
удовлетворяет этому условию. Ниль-кольцо, удовлет-
удовлетворяющее условиям максимальности как для левых,
так и для правых аннуляторных идеалов, нильио-
тентно ([90], пп. 7.23.2, 7.23.3, 20.23, т. I, с. 488,
упр. 2).
Кольцо R называется правым кольцом Голди, если
оно удовлетворяет условию максимальности для анну-
аннуляторных правых идеалов и прямых сумм правых
идеалов. Ниль-кольцо Голди нильпотентно ([90], т. I,
с. 488, упр. 2). Полупервичное кольцо оказывается
правым кольцом Голди тогда и только тогда, когда
оно антисингулярно справа и удовлетворяет условию
348 ГЛ. III. КОЛЬЦА И .МОДУЛИ
максимальности для прямых сумм правых идеалов
([90], п. 9.13).
Кольцо называется классически полупростым, если
оно изоморфно прямой сум*е конечного числа полных
матричных колец над телами. Для кольца R с едини-
единицей эквивалентны следующие утверждения: A) R
классически полупросто; B) R— артиново слева
[справа] кольцо, не содержащее ненулевых нильпо-
тентных- двусторонних (а значит и односторонних)
идеалов; C) R артиново слева [справа] и его радикал
Джекобсона равен нулю; D) R разлагается в прямую
сумму своих минимальных левых [правых] идеалов
(т. е. R вполне приводимо слева [справа]); E) R со-
совпадает со своим левым [правым] цоколем; F) каж-
каждый левый [правый] идеал кольца R порождается
идемпотентом; G) для каждого левого [правого]
идеала Н кольца R найдется такой левый [правый]
идеал Н', что R = Н ф Н'\ (8) R — артиново слева
[справа] регулярное кольцо; (9) R — нётерово слева
[справа] регулярное кольцо; A0) R — регулярное
кольцо главных правых [левых] идеалов; A1) R не
содержит ненулевых нильпотентных двусторонних
идеалов и совпадает с суммой своих минимальных
квазиидеалов (теорема Веддербарна—Артина — см.
[87], с. 122, теорема 2; [76], § 3.5; [31], § III. 3;
[256], с. 56, теорема 8.1). Теоретико-модульная ха-
рактеризация классически полупростых колец дана
в п. 4.6.
Из теоремы Веддербарна—Артина нетрудно выве-
вывести, что кольцо разлагается в конечную прямую
сумму тел тогда и только тогда, когда оно артиново
слева или справа и не содержит ненулевых нильпо-
нильпотентных элементов. Каждое из условий A) — D) вле-
влечет существование единицы ([96], с. 34, следствие 2).
Из определения классически полупростого кольца вид-
видно, что оно разлагается в прямую сумму простых ко-
колец. Оказывается, что такое разложение единственно
([31], с. 69, теорема 2). Каждый двусторонний идеал
классически полупростого кольца порождается цен-
центральным идемпотентом ([87], с. 125, лемма 3).
Групповое кольцо RG классически полупросто,
тогда и только тогда, когда кольцо R классически по-
полупросто, a G—конечная группа, порядок которой
обратим в R (см. [39], с. 67, теорема 12.2). В частно-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 349
сти, групповая алгебра конечной группы над полем Ф
классически полупроста тогда и только тогда, когда
характеристика поля не делит порядок группы (тео-
(теорема Машке — см. [87], с. 204, теорема 16; [51],
с. 365, теорема 2).
К числу классически полупростых колец относятся,
разумеется, все конечномерные алгебры R над по-
полем Ф, не содержащие ненулевых нильпотентных
идеалов (односторонних или двусторонних). Если
поле Ф алгебраически замкнуто (в частности, если
ф—поле комплексных чисел), то R разлагается в
прямую сумму алгебр матриц над полем Ф. Порядок
этих матриц равен размерности минимальных правых
[левых] идеалов алгебры R. Если щ, .... пт — раз-
размерности всех таких, например, правых идеалов,
попарно неизоморфных как правые /^-модули, то
<Нтф/? = п\ +...+п2т и dlma, 3(R) = m (dirao
означает размерность над полем Ф). Если G — конеч-
конечная группа, то dim© 3(Фб) равна числу классов со-
сопряженности группы G (см. [88], с. 201, теорема 15,
с. 205, теоремы 17 и 18; [90], п. 13.5).
Конечномерная алгебра А над полем Ф называется
сепарабельной, если ^-алгебры W®oA классиче-
классически полупросты для всех расширений W поля Ф. Это
равносильно классической полупростоте Ф алгебры
Ф <S> ф А для некоторого алгебраически замкнутого
расширения Ф поля Ф (см. [90], п. 13.16). Если А —
конечномерная алгебра над полем Ф, / — радикал
Джекобсона алгебры А и A/J — сепарабельная Ф-ал-
гебра, то аддитивная группа алгебры А разлагается
в прямую сумму А = В Ф /, где В —однозначно опре-
определенная подалгебра алгебры А, изоморфная A/J
(теорема Веддербарна—Мальцева — см. [90], п. 13.18;
[56], с. 450).
Сепарабельным алгебрам посвящена монография
[137].
Скажем, что кольцо R удовлетворяет правому усло-
условию Артина—Риса, если для всякого его правого
идеала Н и любого двустороннего идеала / найдется
такое натуральное число п, что Н [\In *= HI. Всякое
коммутативное нётерово кольцо удовлетворяет усло-
условию Артина—Риса ([126], следствие 11.8). Пусть те-
теперь R — нётерово справа и слева кольцо, удовлетво-
удовлетворяющее правому и левому условиям Артина—Риса, и
350 гл. ш. кольца и .модули
/—его полупервичный идеал. Тогда
<e?R(I) = {x\x <= R, х-\-1— неделитель нултг^в R/I}
удовлетворяет правому и левому условиям Оре и для
радикала Джекобсона соответствующего класси-
классического кольца частных R?R(/) равен hR{!) (см. [208],
п. 4.2.11).
Если А— конечномерная центральная простая ал-
алгебра над полем Ф, то Ф®ФЛ оказывается централь-
центральной простой. Т-алгеброй для любого расширения W
поля Ф, а~\Д°(8>ф/4, где А0 — алгебра, инверсно изо-
изоморфная А, изоморфна алгебре Мп(Ф), где п — раз-
размерность алгебры А. Отсюда вытекает, что А — сепа-
рабельная алгебра ([76], с. 282). Если подалгебра В
конечномерной центральной простой алгебры А над
полем Ф проста и ср — гомоморфизм алгебры В в А,
то найдется такой обратимый элемент ugA, что
Ц>(х) = игххи для всех ieB [теорема Нётер—Сколе-
ма), а централизатор централизатора алгебры В в А
совпадает с В (см. [76], §§ 12.6, 12.7). Для всякой
конечномерной центральной простой алгебры А над
полем Ф существует поле расщепления (или разложе-
разложения), т. е. такое расширение Ч? поля Ф, что Ч*" ® ф А
изоморфна алгебре Мп(Ф) для некоторого п (см. [90],
т. I, с. 587; [96], § 4.3).
Конечномерные центральные простые алгебры над
полем Ф называются подобными, если Mm (Ф ®ф Л) =
= Мп(Ф <8> ф'В) для подходящих шип. Это равно-
равносильно тому, что базисные алгебры алгебр А и В изо-
изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалент-
эквивалентности алгебр, А и В в смысле Мориты. Отношение по-
подобия оказывается отношением эквивалентности. Если
[А] — класс этой эквивалентности, содержащий ал-
алгебру А, то определение [А] [В] = [A <S> ф В] превра-
превращает множество классов в периодическую абелеву
группу, которая называется группой Брауэра поля Ф
(см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31],
§ V. 13; [90], т. I, с. 587). Каждая конечномерная
простая алгебра над полем Ф подобна некоторой ал-
алгебре с делением над полем Ф. Отсюда вытекает, что
группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одно-
одноэлементна ([76], с. 285). О связи группы Брауэра
поля Ф со скрещенными произведениями расширений
поля Ф и их группами Галуа см. [96], § 4.4, а о вы-
вычислении групп Брауэра— [76], гл. 15, 17, 18. О ко-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 351
нечномерных алгебрах и их представлениях см. также
[34], [56], [101] и [135]. Описание алгебр малой раз-
размерности приведено в [16], п. 2.2.
Кольцо R называется полулокальным, если его
факторкольцо R/J по его радикалу Джекобсона / —
классически полупростое кольцо. Если R— полуло-
полулокальное кольцо, a, b e R и Ra -f- Rb ~ R. то RaRb =
= RbRa. Если же Ra = bR — двусторонний идеал
кольца R, то aR = Ra = bR = Rb (см. [90], 19.43).
Если полулокальное SBI-кольцо R содержит единицу,
то R = e\R@ ... ®enR, где et — неразложимые по-
попарно ортогональные идемпотенты, l=ei-j- ••• + еп
и e;Ret — локальные кольца. При этом, если R =
= f\R® ... (BfmR — другое разложение с теми же
свойствами, то т = п и найдется такой обратимый
элемент и е R, что при подходящей нумерации f,-=
= и~хе(и для всех L Полулокальное кольцо с нильпо-
тентным радикалом Джекобсона называется полупри-
марным. Полупримарное кольцо оказывается артино-
вым слева [справа] тогда и только тогда, когда оно
нётерово слева [справа]. Подчеркнем, что всякое ар-
тиново слева или справа кольцо оказывается полупри-
марным SBI-кольцом ([31], с. 89, теорема 4, с. 91,
теорема 2; [90], пп. 18.26, 18.32).
Кольцо R называется примарным, если фактор-
кольцо R/J по его радикалу Джекобсона J изоморфно
кольцу матриц над некоторым телом, т. е. просто и
классически полупросто. Любое примарное SBI-кольцо
(в частности, всякое артиново или нётерово слева или
справа кольцо) изоморфно кольцу матриц над локаль-
локальным кольцом. Если R и 5 — локальные кольца,
Mm(R) = Mn(S), a eij и fki — соответствующие матрич-
матричные единицы, то найдется такой обратимый элемент
и^ Mm(R), что S = u~lRu и при подходящей нумера-
нумерации имеет место f,-,- = игхец и для любых i и / (см.
[31], с. 87, теорема 1, с. 92, теорема 3; [57], с. 128,
предложение 4).
Назовем правой размерностью Крулля кольца R
размерность Крулля правого 7?-модуля R. Таким об-
образом, правая размерность Крулля артинова справа
кольца равна нулю, а любое нётерово справа кольцо
обладает размерностью Крулля. Отметим, что суще-
существуют нётеровы области с любой размерностью Крул-
Крулля ([163], теорема 9.8). Для коммутативных колец
352 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
существование конечной размерности Крулля равно-
равносильно конечности длины частично упорядоченного
множества простых идеалов ([163], предложение 7.8).
Правая размерность Крулля кольца R (если она су-
существует) совпадает с точной верхней гранью размер-
размерностей Крулля всех конечно порожденных правых
/^-модулей (U63], лемма 1.1), а также с правой раз-
размерностью Крулля факторкольца R/B, где В— ниж-
нижний ниль-радикал кольда R ([163], следствие 5.8).
Любое нильподкольцо кольца с правой размерностью
Крулля нильпотентно ([163], теорема 5.1). Любое
кольцо с правой размерностью Крулля удовлетворяет
условию максимальности для первичных и полупер-
полупервичных идеалов ([163], теоремы 7.1 и 7.6). Каждый
полупервичный идеал кольца с правой размерностью
Крулля равен пересечению конечного числа первич-
первичных ([163], предложение 7.3). Полупервичное кольцо
с правой размерностью Крулля оказывается правым
кольцом Голди ([163], следствие 3.4). Если R — про-
простое нётерово справа и слева кольцо, имеющее пра-
правую и левую размерность Крулля, равную 1, и конеч-
конечную глобальную размерность, то R эквивалентно в
смысле Мориты некоторой области целостности. Од-
Однако не всякое простое нётерово справа и слева коль-
кольцо изоморфно даже кольцу матриц над областью це-
целостности ([126], теорема 14.19). Отметим, что пра-
правая размерность Крулля нётерова справа кольца R
равна 1, если для любого существенного правого
идеала 7 кольца R = R/N, где N — верхний ниль-ра-
ниль-радикал кольца R, R/I оказывается артиновым правым
^-модулем ([163], следствие 5.8 и предложение 6.1),
а также если R — коммутативная область целостно-
целостности, все факторкольца которой, не являющиеся по-
полями, артиновы. Единице равна и размерность цело-
целочисленного группового кольца конечной группы
([163], с. 72). К правой размерности Крулля близка
правая размерность Габриэля, также определяемая
как размерность Габриэля правого /^-модуля R (см.
[163], [221]).
Отметим еще размерность Гельфанда—Кириллова,
определяемую для алгебры R с единицей над полем Ф
и обозначаемую через GK-dim/?. Чтобы определить ее,
обозначим через Ф[У] подалгебру алгебры R, порож-
порожденную ее линейным подпространством V. Далее по-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 353
яожим
dv (л) = (Нтф (Ф + V + V2 + ... + Vя),
и, наконец,
GK-dim R = sup {GK-dim Ф [V] \ <Итф V < Ыо)
(см. [197] и [223], гл. 10).
Кольцо с R с единицей называется конечным по
Дедекинду, если для любых х, у е R равенство ху = 1
влечет ух = 1. К числу колец, конечных по Дедекинду,
относятся кольца, удовлетворяющие условию макси-
максимальности для аннуляторных правых идеалов или пря-
прямых сумм, кольца, удовлетворяющие условию мини-
минимальности для аннуляторных правых идеалов или
прямых слагаемых, кольца, самоинъективные справа
и слева. Кольцо R конечно по Дедекинду одновре-
одновременно с его факторкольцом по радикалу Джекобсона.
Линейное пространство над телом оказывается конеч-
конечномерным тогда и только тогда, когда кольцо его ли-
иейных преобразований конечно по Дедекинду. Коль-
Кольцо, не являющееся конечным по Дедекинду, содержит
бесконечный набор матричных единиц, т. е. такое мно-
множество {eti\i, j = 1, 2, ...}, что eneik = etk и ецеы = 0
при \Фк (см. [90], пп. 10.6.3, 10.6.4, 19.39, 19.40).
Групповая алгебра над любым полем характеристики
нуль конечна по Дедекинду ([39], с. 23, теорема 2.22).
Кольцо называется [строго] ограниченным справа,
если всякий его ненулевой существенный правый
идеал [всякий его ненулевой правый идеал] содержит
ненулевой двусторонний идеал. Этим кольцам посвя-
посвящена монография [174].
2.6. Радикалы. Зафиксируем коммутативное коль-
кольцо Ф с единицей и будем говорить о Ф-алгебрах. На-
Напомним, что всякое кольцо является Z-алгеброй, так
что все сказанное о Ф-алгебрах остается справедли-
справедливым и для колец, если только не указаны какие-либо
ограничения на Ф. Определение радикала и его свой-
свойства, не являющиеся специфическими для ассоциатив-
ассоциативных колец, рассмотрены в п. 1.4. Для любого ра-
радикала г в классе ассоциативных колец справедлива
1
2
a
4
Радикал Бэра
или нижний
ниль-радикал,
или первичный
радикал
Радикал Ле-
Левицкого или
локально ниль-
потентный ра-
радикал
...
Радикал Кете
или верхний
ниль-радикал
• ', '■
Радикал Дже-
кобсона или
квазирегуляр-
иый радикал
w
<%
ж
f
(А)
Лересечение всех пер-
первичных идеалов алгеб-
алгебры А
■
Сумма всех локально
нильпотентиых двусто-
двусторонних идеалов алгеб-
алгебры А или пересечение
всех таких ее первичных
идеалов Р, что А[Р не
содержит ненулевых ло-
локально ннльпотентных
двусторонних идеалов
Сумма всех ниль-итеа-
лов алгебры А или пе-
пересечение всех таких ее
первичных идеалов Р,
что AfP не содержит
ненулевых двусторон-
двусторонних ниль-идеалов
Наибольший двусторон-
двусторонний квазирегулярный
идеал алгебры А, или
сумма всех квазирегу-
квазирегулярных правых [левых]
идеалов алгебры А, или
пересечение всех моду-
модулярных максимальных
правых [левых] идеалов
алгебры А, или пересе-
пересечение всех примитивных
справа [слева] идеалов
алгебры А
1ч ' )
Характерияация
радикальных
алгебр
Любая ненуле-
ненулевая фактор-
алгебра содер-
содержит ненулевые
нильпотентные
двусторонние
идеалы
Локально ниль-
попрнтные ал-
ебры
... ,.; ■■.
:,' .
HKiib-аЛгеЙры
о ■ / > ; ■
"■ ' -> Г
а) Квазирегу-
ляриые ал-
алгебры;
б) алгебры, не
имеющие
примитив-
примитивных фактор-
алгебр
Характеризация
r-полупростых алгебр
Полупервичные алгебры
а)
б)
а)
б)
а)
б)
Не содержит ненулевых
локально нильпотент-
ных двусторонних идеа-
идеалов;
разлагается в подпря-
мое произведение пер-
первичных алгебр, не со-
содержащих ненулевых
локально иильпотент-
ных двусторонних идеа-
идеалов
Не содержит ненулевых
двусторонних ниль-
идеалов;
разлагается в подпря-
мое произведение ее
первичных алгебр, не
содержащих ненулевых
двусторонних ниль-
идеалов
Не содержит ненулевых
квазирегулярных пра-
правых [левых] двусторон-
двусторонних идеалов;
различается в подпря-
мое произведение при-
примитивных справа {сле-
{слева] алгебр
,| - ,... .
Та
Нижний или верхний
радикал
Нижний радикал, опре-
определяемый классом всех
нильпотентных алгебр,
а также верхний ради-
радикал, определяемый клас-
классом всех первичных ал-
алгебр
Нижний радикал, опре-
определяемый классом всех
локально нильпотент-
нильпотентных алгебр
Нижний радикал, опре-
определяемый классом всех
ни ль-алгебр
■ v \
Верхний радикал, опре-
определяемый классом всех
примитивных справа
[слева] алгебр
• ,;
• ■■ ; •
блица 1
Ссылки
[1], § 1.1;
131],
гл. VIII;
[90],
пп. 26.3,
26.11;
[57],
§ 3.2
[1]. § 1.2;
[31],
гл. VIII
/
[1],§1.2
..
[Ц, § 1.3;
[87],
§ IV.6;
[31],
§§ 1-2,
1.5-1.11;
[57],
§ 3.2;
[76],
§§ 4.3,
4.4;
[90],
гл. 18,
пи.
26.13—
26.21;
[96],
гл. 1-2
356
ГЛ. III. КОЛЬЦА. И МОДУЛИ
5
6
Радикал Брау-
Брауна — Маккоя
или присоеди-
неино простой
радикал
Обобщенный
ниль-радикал
или радикал
Андрунакиеви-
ча
м
т
$1-
(А)
Пересечение всех таких
максимальных двусто-
двусторонних идеалов М ал-
алгебры А, что А/М со-
содержит единицу
Наименьший среди та-
таких двусторонних идеа-
идеалов / алгебры А, что
Afl не содержит нену-
ненулевых нилыютентных
элементов
Характерызадня
радикальных
алгебр
а) Присоеди-
Присоединение прос-
простые алгеб-
алгебры;
б) алгебры, не
имеющие
факторал-
гебр с левой
[правой]
двусторон-
двусторонней едини-
единицей
Среди фактор-
алгебр нет ал-
алгебр без дели-
делителей нуля
лемма Андерсона—Ливийского—Сулиньского: если
/ О R, то г (/)< R (см. [258], теорема 1.7).
Радикал г называется наднильпотентным [поды-
демпотентным], если все нильпотентные алгебры т-ра-
дикальны [r-полупросты]. Для подыдемпотентности на-
наследственного радикала необходимо и достаточно,
чтобы все т-радикальные алгебры были идемпотент-
ными. Если задан класс П простых алгебр, то верх-
верхний радикал, определяемый классом всех подпрямо
неразложимых алгебр с сердцевиной, принадлежащей
П [не принадлежащей П], оказывается наднильпо-
наднильпотентным [подыдемпотентным] наследственным ради-
радикалом ([1], с. 202, теорема 1). Для того чтобы любой
наследственный радикал в классе всех Ф-алгебр был
наднильпотентным или подыдемпотентным, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы Ф было локальным кольцом с
нильпотентным максимальным идеалом. В частности,
Ф может быть полем ([1], с. 224, теорема 9). Наслед-
Наследственный радикал называется специальным, если лю-
любая т-полупростая алгебра представляется как под-
прямое произведение первичных т-полупростых ал-
алгебр. Всякий специальный радикал наднильпотентен.
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 357
Продолжение
Характеризацин
т-полупростых ал1 ебр
Подпрямое произ !едение
а)
б)
простых алгебр с еди-
единицей
Г ■ ' •'.■'.'
Не содержит ненулевых
нильпотентных элемен-
элементов;
подпрямые произведе-
произведения алгебр без делите-
делителей нуля
Нижний или верхний
радикал
Верхний радикал, опре-
определяемый классом всех
простых колец с едини-
единицей
• i ■ '. ' . •'■■
Верхний радикал, опре-
определяемый классом всех
алгебр без делителей
нуля
Ссылки
[И,
[П.
§ 4.4
J
§ 4.2
Однако существуют неспециальные наднильпотентные
радикалы.
Важнейшие наднильпотентные радикалы собраны
в таблице 1. Дополнительно к сведениям, приведен-
приведенным в этой таблице, отметим, что все эти радикалы
специальны. Для любой алгебры А справедливы вклю-
включения
Для каждого из этих включений найдется алгебра,
для которой оно является строгим. Если алгебра А
удовлетворяет условию минимальности для двусторон-
двусторонних идеалов, то <%(А) — нильпотентный идеал ([1],
с. 358, теорема 1). Если алгебра А артинова справа
или слева, то Я{А) = 2{А) = Ж(А) = f (А) = Т{А),
причем этот идеал совпадает с наибольшим нильпо-
тентиым правым [левым, двусторонним] идеалом ал-
алгебры А (см. [1], с. 346, теорема 4). Если алгебра А
дистрибутивна слева, то $(.4) оказывается наиболь-
наибольшим ниль-идеалом алгебры А (см. [9], п. 4.2). Для
358 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
любой нётеровой справа или слева алгебры А имеем
Л£(А) = Ж(А), а для любой коммутативной алгебры К
справедливо S (К) = Ж(К) = $1 (К) = ®{К) и / (К) =
= £Г(К). Для любой алгебры А идеал 2? (А) содер-
содержит все односторонние локально нильпотентные идеа-
идеалы, a j?-полупростые алгебры таких ненулевых одно-
односторонних идеалов не содержат.
Для описания элементов, принадлежащих идеалу
SS(A), назовем непустое подмножество X алгебры А
т-системой, если для любых х', х" е X найдется такой
элемент аеА, что /а/' е X Оказывается, что ниж-
нижний ниль-радикал &(А) алгебры А состоит из тех и
только тех элементов х^А, что любая /л-система, со-
содержащая х, содержит нуль.
Присоединенно простой радикал 3~(А) алгебры А
состоит из всех таких элементов а алгебры А, что
А = | сх — х + ус— у+ Z(*«c#—*;#,•)!*, у, xit (
для любого элемента с, принадлежащего двусторон-
двустороннему идеалу алгебры А, порожденному элементом а.
Наиболее употребительным среди перечисленных
радикалов являются радикалы Джекобсона и Бэра.
Если А — алгебра с единицей, то ? (А) равен пересе-
пересечению всех максимальных правых [левых] идеа-
идеалов алгебры А и совпадает с каждым из множеств
{х\ 1 + ху обратим для всех у е А} и {у\ 1 + ху обра-
обратим для всех х^А}. В частности, если х е ? (А), то
\-\-х и 1—х обратимы. Для любой алгебры А как
равенство ха = а, так и равенство ах = а, где хе
е f (А) и а е А, влечет а = 0. Если каждый правый
[левый] идеал алгебры А, не являющийся ниль-идеа-
лом, содержит ненулевой идемпотент, то f (А) оказы-
оказывается ниль-идеалом ([31], § IX. 4). Для любой ал-
алгебры Л справедливы равенства/"(Мп(A) )=Mn(f (А))
при любом п и f(eAe) = ef(A)e, если е2 = е ^ А (см.
[31], с. 25, теорема 3; с. 77, предложение 1). Если
алгебра А не содержит ненулевых двусторонних ниль-
идеалов, то f (A[t]) = O (см. [31], с. 27, теорема 4).
Если А коммутативна и f(A) = 0, то А представ-
представляется как подпрямое произведение полей ([31], с. 32,
теорема 2). Если А — алгебра над бесконечным по-
полем Ф и размерность алгебры А над Ф меньше мощ-
мощности поля Ф, то f (A)—ниль-идеал. В частности, это
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 359
имеет место для любой конечно порожденной алгеб-
алгебры А над несчетным полем ([31], с. 38, теорема 2,
с. 39, следствие 1). Если А — алгебра над полем Ф,
a W — алгебраическое и сепарабельное расширение
поля Ф, то /(¥®Ф А)=>Ч?®9?(А) (см. [90],
п. 26.16). Если R— кольцо и R -f- Z1 — кольцо, полу-
полученное из R стандартным присоединением единицы, то
f(R + Z\) = f(R) ([31], с. 25, теорема 2). Если А
есть У-полупростая алгебра над полем Ф и W — ко-
конечное расширение Галуа поля Ф, то W ® ф А являет-
является /-полупростой ^-алгеброй ([90], п. 26.15). Если
А—конечномерная, а В—/"-радикальная алгебра над
полем Ф, то алгебра А0фВ /-радикальна ([31],
с. 182, теорема 1).
Для группового кольца RG равенство f (RG) = 0
установлено в следующих случаях: 1) R — несчетное
поле характеристики 0 ([90], п. 26.11); 2) R — поле,
являющееся трансцендентным расширением поля ра-
рациональных чисел и, в частности, поле комплексных
чисел ([39], с. 45, следствие 6.8); 3) G— разрешимая
группа и порядки ее элементов обратимы в R (см.
[39], с. 46, п. 6.14). Если G — разрешимая группа и
Ф—поле, то f (Фй) локально нильпотентен и как
двусторонний идеал порождается радикалом Джекоб-
сона групповой алгебры некоторой локально конечной
нормальной подгруппой группы G (см. [39], с. 50, тео-
теорема 6.27). Если Н — нормальная подгруппа конеч-
конечного индекса п в группе G и Ф — поле, то
{f {ФО))п <= f (ФЯ), ФС <= f (OG).
При этом f (ФО) = f (ФН) ■ Фв, если п обратимо в Ф
(см. [230], с. 278, теорема 2.7). Радикалу Джекобсона
групповых колец посвящена монография Карпилов-
ского [184]. См. также [39], § 6, и [230], гл. 7.
Если Ж(R) = 0 и порядки элементов группы G не
являются делителями нуля в R, то для группового
кольца RG имеем X(RG) = 0 (см. [12], с. 22, тео-
теорема 19).
Для любой ненулевой ^"-полупростой алгебры А
равносильны следующие утверждения: A) А удовлет-
удовлетворяет условию минимальности для главных двусто-
двусторонних идеалов; B) любой главный двусторонний
идеал алгебры А является алгеброй с условием
360 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
минимальности для двухсторонних идеалов; C) любой
ненулевой двусторонний идеал алгебры А разлагается
в конечную прямую сумму простых алгебр с единицей;
D) А разлагается в прямую сумму алгебр с едини-
единицей. Для ненулевой 0~-полупростой алгебры оказы-
оказываются равносильными и следующие свойства: A) А
удовлетворяет условию минимальности для двусто-
двусторонних идеалов; B) А обладает единицей и удовлет-
удовлетворяет условию минимальности для главных двусто-
двусторонних идеалов; C) любой двусторонний идеал ал-
алгебры А является алгеброй с единицей; D) А разла-
разлагается в конечную прямую сумму простых алгебр
с единицей. Ненулевая алгебра классически полупро-
полупроста тогда и только тогда, когда она ^"-полупроста,
удовлетворяет условию минимальности для модуляр-
модулярных главных двусторонних идеалов и любой из ее не-
ненулевых двусторонних идеалов содержит минималь-
минимальный правый [левый] идеал ([1], § 4.4).
Если т—некоторый радикал на классе всех Ф-ал-
гебр, то наибольший среди радикалов г', удовлетво-
удовлетворяющих условию т(Л)Пт'(Л) = 0 для любой Ф-алгеб-
ры А, называется дополнительным к радикалу т и обо-
обозначается через т*. Если т — наследственный радикал,
то г* совпадает с верхним радикалом, определенным
классом всех подпрямо неразложимых Ф алгебр с
т-радикальной сердцевиной. Кроме того, оказываются
эквивалентными следующие свойства произвольной
Ф-алгебры А: A) х*(А) = А; B) т(Л//) = 0 для лю-
любого двустороннего идеала / алгебры А; C) А/1 раз-
разлагается в подпрямое произведение подпрямо нераз-
неразложимых алгебр с т-полупростой сердцевиной для
любого двустороннего идеала / алгебры А (см. [1],
с. 188—189, теорема 3).
В качестве примеров подыдемпотентных радикалов
укажем радикалы 98* и зФ*, дополнительные к радика-
радикалам $ и зФ соответственно. Радикал 93* называется
наследственно идемпотентным, а зФ* — вполне идемпо-
идемпотентным. Для любой алгебры А идеал зФ*(А) является
наибольшим вполне идемпотентным идеалом алгеб-
алгебры А, а &* (А) состоит из всех таких элементов re A,
что для любого а из двустороннего идеала алгебры А,
порожденного элементом г, имеет место а— ]£ х,ш/га.гг
для подходящих xi, yh 2, ■ <= А. Если т — подыдемпо-
§2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 361
тентный радикал, го 1(/4)д#(Л) для любой алгеб-
алгебры А (см. [1], § 4.5).
Наконец, рассмотрим антипростой радикал 38**,
двойственный к радикалу J?*. Этот радикал специа-
специален. Если наследственный радикал г таков, что все
простые алгебры т-полупросты, то х(А)^$* (А) для
любой алгебры А. Алгебра оказывается ^**-радикаль-
ной тогда и только тогда, когда она антипроста, т. е.
никакой из ее двусторонних идеалов не допускает го-
гомоморфизма на простую алгебру. Если алгебра А
удовлетворяет условию минимальности для главных
двусторонних идеалов, то 38**(А) = $(А) (см. [1],
с. 356—357, предложение 4, с. 358, теорема 1).
Радикалам посвящены монографии [1], [139] и
[258].
2.7. Свободные алгебры, PI-алгебры, многообразия
алгебр*). Пусть Ф — коммутативное кольцо с едини-
единицей и X — непустое множество. Свободной Ф-алгеброй
[с единицей] с системой свободных порождающих X
называется Ф-алгебра F [с единицей], порожденная
множеством X [объединением Х[] {1}] такая, что для
всякого отображения ф множества X в любую Ф-ал-
гебру [с единицей] А существует такой гомоморфизм
■ф: F-*- А, что ф (х) = ■ф (х) для всех ieI. Если в при-
приведенном определении считать, что F и А — коммута-
коммутативные алгебры, то приходим к определению комму-
коммутативной свободной алгебры [с единицей] с системой
свободных порождающих X. При Ф = Z получаем
определение свободного кольца [с единицей] и сво-
свободного коммутативного кольца [с единицей], — ср.
п. VI. 3.1. Свободная Ф-алгебра [с единицей] с си-
системой свободных порождающих X изоморфна полу-
полугрупповой алгебре Фд, где G — свободная полугруппа
[свободный моноид] с системой свободных порождаю-
порождающих X. Если при этом Х= {х\, ..., хп}, то свободная
коммутативная Ф-алгебра с единицей [свободная ком-
коммутативная Ф-алгебра] с системой свободных порож-
порождающих X изоморфна кольцу многочленов Ф[*1, ...
..., хп] [без свободного члена]. Элементы свобод-
свободной полугруппы [свободного моноида] G часто назы-
называют одночленами. Полистепенью одночлена да —
— w(xi, ..., Хщ) назовем строку (k\ km), где
*) Автор благодарен В. Н. Латышеву за помощь при напи-
написании настоящего пункта.
362
ГЛ. 11Г. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ki — число вхождений элемента xj в этот одночлен.
Линейная комбинация одночленов одинаковой поли-
полистепени называется полиоднородным многочленом.
Полиоднородный многочлен степени A,1, ..., 1) на-
называется полилинейным. Линейная комбинация одно-
одночленов, каждый из которых содержит все элементы
фиксированного подмножества Х'^Х, называется нор-
нормальным. Каждый элемент из F можно представить
как сумму однородных многочленов.
Каждая Ф-алгебра [с единицей] изоморфна фак-
торалгебре F/K, где F— подходящая свободная Ф-ал-
Ф-алгебра [с единицей]. Более того, если алгебра порож-
порождается множеством X, то в качестве F можно взять
свободную Ф-алгебру с системой свободных порож-
порождающих X. Таким образом, каждая ф-алгебра А опре-
определяется множеством X и идеалом К. Если идеал К
порождается множеством {/\|i е=,3}, то говорят, что
это множество является системой определяющих со-
соотношений алгебры А в системе порождающих X. Сле-
Следовательно, любую Ф-алгебру можно задать, указав
систему порождающих и систему определяющих соот-
соотношений.
Определим несколько важных алгебр над полем Ф
(напомним, что [a, b] — ab — Ъа):
Название
Алгебра Вейля
или алгебра
дифференциаль-
дифференциальных операторов
Алгебра Грасс-
мана или внеш-
внешняя алгебра
Алгебра Клиф-
Клиффорда квадра-
квадратичной формы
Обозна-
Обозначение
Л„(Ф)
Gn
С (л, f)
Система
порождаю-
порождающих
X1, - . ., Xrii
У\ Уп
Xi, . . ., Xfi
«i еп
Система определяющих
соотношений
Г 1, если ( = /',
[хг у/1 {о, если 1ф),
x.x. + х:х. = 0
e.e. + e.e.~2al.^0,
п
где { = ^ aijXiXj,
i. / = 1
причем а{. = a...
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 363
Алгебра Вейля является нётеровой справа и слева
областью целостности, а в случае, когда Ф — поле ну-
нулевой характеристики, еще и простой. В качестве базы
алгебры Вейля можно выбрать множество
Элементы алгебры Вейля можно рассматривать и как
линейные дифференциальные операторы
,/,... /, <? <? ,
где о' ' = —;— ... -з—, действующие в ялгеоре
h H
многочленов Ф[хи ..., хп].
Базой алгебры Грассмана может служить множе-
множество
Умножение в Gn часто обозначается знаком Л. Если
/,= Z ¥/еС-»то
/i Л •-. Л /„ = det (с{1) ■ (х1 Л • • • Л л:„).
Рассматривается и бесконечная алгебра Грассмана
Goo, определяемая порождающими х\, Х2, ... и теми же
соотношениями, что обычная алгебра Грассмана. В ал-
алгебре Goo справедливо тождество [ [х, у], z] = 0.
При рассмотрении алгебры Клиффорда обычно
предполагается, что характеристика поля Ф отлична
от 2. В качестве базы алгебры Клиффорда можно вы-
выбрать множество
{хч -■- *«•*!'! < ••• <Ч-
Если / = 0, то C(n,f)=Gn (см. [16], пп. 1.14—1.17;
[208], п. 1.3.5).
Рассматривается и обобщенная алгебра Вейля
An(R), где R — произвольное кольцо. Она порождает-
порождается множеством /?U{#i, ■ • •» *«» Уи ■ • -. Уп}, причем
умножение для элементов из Д остается прежним,
\xi, г] = 0 = [у,-, г] для всех / е /? и выполнены
364 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
соотношения, определяющие обычную алгебру Вейля.
Если R нётерово справа или является областью цело-
целостности, то An(R) обладает тем же свойством. Если
R — тело характеристики 0, то кольцо An(R) просто
([208], п. 1.3.8).
О свободных кольцах и алгебрах см. также [7],
[49], [128] — [131]. Кольцам, определяемым порож-
порождающими и определяющими соотношениями посвяще-
посвящена монография [189]. Совокупность М счетных сумм
однородных многочленов образует Ф-алгебру, которая
называется алгеброй Магнуса. Множество #={1+,
+ f|feAf, f не имеет свободного члена} оказывается
группой, называемой группой Магнуса. Ее подгруппа
{1+х|л:еХ} оказывается свободной группой ([7],
п. 4.2-).
Если F — свободная алгебра над коммутативным
кольцом Ф с единицей и с системой свободных порож-
порождающих Х\,Х2, ... И O=^f(X\, ..., ^)Gf, TO ГОВО-
ГОВОРЯТ, что Ф-алгебра А удовлетворяет полиномиальному
тождеству f(x\, ..., хп) = 0 или что в алгебре А вы-
выполняется это тождество, если f(a\, ..., ап) = 0 для
любых а\, ..., ап^А.
Укажем некоторые из наиболее важных тождеств:
1) тождество коммутативности— ,
2) стандартное тождество степени п —
Sn(xi, ..., хп)— X (—1)а
где о пробегает все подстановки на множестве {1, ...
..., п}, (—1)а=1 или —1 для четной или нечетной
подстановки соответственно; 3) тождество Капелли
степени п —
Кп{хи х2, ..., хп, уи у2, ..., уп) =
= Z (-1)<7У,^A)^аB) • • " ?
а
где а — имеет тот же смысл, что и выше.
Если Ф — коммутативная алгебра над полем, то
Мге(Ф) удовлетворяет стандартному тождеству <S2n=0
(см. [230], с. 175 теорема 1.9, [76], с. 500; [96],
с. 148). Полупервичная алгебра над полем удовлетво-
удовлетворяет некоторому тождеству степени п тогда и только
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 365
тогда, когда ока удовлетворяет тождеству Sn = О (см.
[230], с 250, теорема 4.1). Если алгебра над полем
удовлетворяет некоторому тождеству степени п, то
для подходящего т она удовлетворяет тождеству
(Sn(xi, ..., Хп))т = 0 (см. [230], с. 251, теорема 4.3).
Дополненная нулем совокупность левых частей
всех тождеств, которым удовлетворяет фиксированная
ф-алгебра А, образует вполне характеристический
двусторонний идеал свободной Ф-алгебры F, который
называется идеалом тождеств или Т-идеалом алгеб-
алгебры А. Каждый вполне характеристический идеал Т
алгебры F является идеалом тождеств факторалгеб-
ры F/T. Односторонний идеал свободной Ф-алгебры F
оказывается Т-идеалом (разумеется, двусторонним)
тогда и только тогда, когда он замкнут относительно
всех дифференцирований алгебры F (В. Н. Латышев).
Обозначим через УЯ(Ф) идеал тождеств алгебры
Мп(Ф). Если Ф — поле характеристики 0, то для лю-
любого Г-идеала Т найдется такой номер п, что х ев Т
в том и только том случае, когда х = um<*> для неко-
некоторого «ёС»(Ф). Если Т — некоторый идеал тож-
тождеств, то факторкольцо F/T не содержит делителей
нуля тогда и только тогда, когда Т = УЯ(Ф) для неко-
некоторого п.
Тождество f(X], ..., хп) = 0 называется полиодно-
полиоднородным, полилинейным или нормальным, если тако-
таковым является его левая часть. Системы тождеств
называются равносильными, если выполнение в неко-
некоторой алгебре всех тождеств одной из этих систем
влечет выполнение в этой алгебр всех тождеств вто-
второй системы. Это равносильно тому, что наименьшие
Г-идеалы, содержащие, соответственно, @ и £, совпа-
совпадают. Каждая система тождеств равносильна некото-
некоторой системе нормальных тождеств. Если Ф — беско-
бесконечное поле, то любая система тождеств равносильна
системе полиоднородных тождеств. Если же ф — поле
характеристики 0, то каждое тождество равносильно
полилинейному ([7], п. 3.1).
366 гл. ш. кольца и модули
Алгебра, удовлетворяющая какому-либо тожде-
тождеству, называется Pl-алгеброй. Очевидно, к числу
PI-алгебр относятся все коммутативные алгебры. Бо-
Более того, выяснилось, что для PI-алгебр остаются
справедливыми многие свойства коммутативных ал-
алгебр или хотя бы свойства, близкие к ним. Отметим,
что упорядоченные PI-алгебры и PI-алгебры, изоморф-
изоморфные подалгебрам свободной алгебры, коммутативны.
Тензорное произведение двух PI-алгебр оказывается
PI-алгеброй. Если кольцо является конечно порожден-
порожденным модулем над коммутативным кольцом, то оно
также оказывается PI-кольцом. К числу PI-алгебр
относится и всякая алгебраическая алгебра ограничен-
ограниченной степени над полем.
Во всякой PI-алгебре А над полем Ф, порожден-
порожденной элементами аь ..., ап, выполняется условие
ограниченности высот {теорема Ширшова о высоте):
существуют слова vu ..., vm в алфавите a = {ai, ...
..., ап} и натуральное число h такие, что всякое
слово и в алфавите а представляется в виде линейной
комбинации слов vr.' ... vr-d, где d =£^ h, а каждое из
слов vik содержит лишь буквы, входящие в и. Всякий
одночлен в алфавите vlt и2, .-- и слово и содержат
одни и те же буквы в алфавите а. В коммутативном
случае в качестве слов vi можно взять сами буквы ai
(см. [37], с. 128). Отсюда вытекает, что всякая ко-
конечно порожденная алгебраическая PI-алгебра над
полем конечномерна, а конечно порожденная ниль-Р1-
алгебра нильпотентна. Любая Ф-алгебра с тожде-
тождеством хп = 0 локально нильпотентна. Если Ф — поле,
характеристика которого равна 0 или превышает п, то
все Ф-алгебры, удовлетворяющие тождеству х" = 0,
нильгготентны, причем индекс нильпотентности не пре-
превышает 2п—1 (теорема Нагаты—Хигмана — см. [37],
с. 129, следствия 1 и 2; с. 153, следствие 1; [96], тео-
теоремы 6.4.3 и 6.4.4). Ю. П. Размыслов понизил эту
границу до п2 (см. [79], теорема 33.1).
Примитивная алгебра А над полем, удовлетворяю-
удовлетворяющая тождеству степени d, изоморфна алгебре Mn(D),
где D — тело, причем размерность алгебры А над цен-
центром &(D) тела D не превосходит целой .части от
(d/2J. Отсюда вытекает, что любая PI-алгебра А над
полем Ф с нулевым радикалом Джекобсона представ-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 367
ляется как подпрямое произведение матриц над те-
телами, причем как размерность матриц, так и размер-
размерности тел над их центрами ограничены в совокупно-
совокупности. Кроме того, идеал тождеств алгебры А совпа-
совпадает с Уп(Ф) для некоторого п ([76], с. 510; [96],
теорема 6.3.1; [13], ч. 2, с. 44—45).
Любой ненулевой двусторонний идеал полупервич-
полупервичной PI-алгебры над полем имеет ненулевое пересече-
пересечение с ее центром, что в частности, указывает на нетри-
нетривиальность центра такой алгебры ([230], с. 211, тео-
теорема 4.9). Первичная PI-алгебра А над полем обла-
обладает правым классическим кольцом частных Q отно-
относительно своего центра 3(Л)- При этом Q изоморфна
алгебре матриц над телом D, имеющим конечную раз-
размерность над своим центром, Q = A 0 B(D), а идеалы
тождеств алгебр А и Q совпадают ([13], ч. 2, с. 48,
теорема 3).
Верхний ниль-радикал конечно порожденной PI-ал-
PI-алгебры над нётеровым кольцом оказывается нильпо-
тентным (Braun A.//J. Algebra. — 1984. — V. 89,
№ 2.— P. 375—396; Львов И. В. Теорема Брауна
о радикале конечно порожденной PI-алгебры. Пре-
Препринт № 63. — Ин-т мат. СО АН СССР, Новосибирск,
1984). Если Р — первичный идеал наследственного
справа PI-кольца R, то R/P — наследственное справа
нётерово справа и слева кольцо (А г m е п d a r i z E. Р.,
Hajarnavis С. R.//J. Algebra. — 1988. —V. 116,
№ 2.— Р. 502—505).
Групповая алгебра Ф<7 над полем характеристики 0
оказывается PI-алгеброй в том и только том случае,
когда группа G содержит абелеву подгруппу конеч-
конечного индекса. В случае поля характеристики р необ-
необходимо и достаточно, чтобы G содержала подгруппу
конечного индекса, коммутант' которой является ко-
конечной р-группой ([12], с. 28, теорема 25; [230},
с. 196, следствие 3.8, с. 197, следствие 3.10).
Всякая PI-алгебра над полем, не содержащая не-
ненулевых ниль-идеалов, вкладывается в алгебру мат-
матриц над коммутативным кольцом (даже над прямым
произведением полей) и, в частности, удовлетворяет
некоторому стандартному тождеству. Все алгебры
многообразия Ш алгебр над полем характеристики О
вложимы в алгебры матриц над коммутативными
кольцами тогда и только тогда, когда для всех
368 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
алгебр из 23 справедливы тождества [хи tji] ... [хп,
г/я] =0 и [хи ..., хп]у\ ... yn[zi, ..., Zn] = 0, где
[а, Ь\ = а'о — Ъа и [ах аш\ = [ [аи ..., at], ai+i]
(см. [96], теорема 6.3.2; [14], с. 105, теорема 9, с. 104,
теорема 8).
В некоторых случаях алгебра оказывается Р1-ал-
геброй, если некоторое полиномиальное тождество вы-
выполняется на какой-либо из ее подалгебр. Например,
если G — конечная подгруппа группы автоморфизмов
алгебры А над полем характеристики 0 и {х|л:е/1,
§■(*) = л: для всех gGG} оказывается PI-алгеброй, то
н сама А является PI-алгеброй ([93], с. 77, теоре-
теорема 12). В качестве примера противоположной ситуа-
ситуации приведем такой результат: если А—подалгебра
простой алгебры В, конечномерной над своим центром
3(В) и идеалы тождеств алгебр А и В, рассматривае-
рассматриваемых как алгебры над простым подполем поля 3(В),
совпадают, то А = В (см. [96], теорема 6.3.3).
Тождествам посвящены обзор [7] и монографии
G9], [176], [239], [248]. История исследования Р1-ал-
гебр рассмотрена в [101].
Элемент f свободной алгебры без единицы над по-
полем Ф называется центральным полиномом ранга п,
если f (А) е 3 Щп(Ф)) = {№ | А, е Ф, £ — единичная
матрица} для любой А е Мп(ф) и f(Ao)¥zO для неко-
некоторой матрицы Ло s Мп(Ф). Центральные полиномы
любого ранга п существуют для любого поля ФГЦент-
ральным полиномом ранга 2 служит f = xy — yz (см.
[13], с. 45, с. 47, теорема 2; [76], с. 505, 506, 508—
509). Детальное рассмотрение результатов, связанных
с центральными полиномами можно найти в [248],
Appendix А. См. также [7], п. 5.4.
Класс всех Ф-алгебр, удовлетворяющих некоторой
системе тождеств, называется многообразием. Класс й
оказывается многообразием тогда и только тогда,
когда он замкнут относительно подалгебр, факторал-
гебр и прямых произведений. Алгебры из многообра-
многообразия $ часто называют ^-алгебрами. Алгебра G назы-
называется свободной алгеброй многообразия $ с системой
Свободных порождающих X, если GgS, I порождает
3 и для любого отображения ф множества X в любую
алгебру А из 3 найдется такой гомоморфизм я|к G~*-A,
что ф (л:) = if»(х) для всех х е X. Если F — свободная
Ф-алгебра, многообразие -3J определяется системой
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 369-
тождеств 5; и Г C3)—наименьший Г-идеал, содержа-
содержащий все левые части тождеств из £, то F/T(%) оказы-
оказывается свободной алгеброй многообразия 93. Всякая
ЭЗ-алгебра является гомоморфным образом подходя-
подходящей свободной 33-алгебры. Радикал Джекобсона лю-
любой свободной 93-алгебры оказывается Г-идеалом и со-
совпадает с ее ниль-радикалом. Среди свойств 33-сво-
бодной алгебры F над бесконечным полем отметим:
1) П Fn = {0}; 2) F аппроксимируется конечно-
мерными нильпотентными алгебрами; 3) F хопфова
([248], пп. 2.4.3, 2.4.7; [7], п. 3.2).
Если S3 — некоторое многообразие Ф-алгебр и G —
свободная 33-алгебра со счетным множеством свобод-
свободных порождающих, то в качестве системы тождеств,
определяющих многообразие S3, можно взять любой
набор 3 элементов из свободной Ф-алгебры, порож-
порождающий ядро гомоморфизма F на G как Г-идеал.
Если набор 3 может быть выбран конечным, то гово-
говорят, что S3 обладает конечным базисом тождеств
([76], § 20.1). Оказывается, что конечным базисом
тождеств обладает любое многообразие алгебр над
полем характеристики 0 (Кем ер А. Р. //Алгебра и
логика.—1987. —Т. 26, № 5. — С. 597—641). Для лю-
любого многообразия S3 алгебр над коммутативным коль-
кольцом Ф характеристики 0 найдется такой номер п, что
Мя(Ф)еЗЗ, но МЯ+1(Ф)^33 ([76], § 20.4).
Про наименьшее многообразие, содержащее дан-
данный класс ф-алгебр, говорят, что оно порождается
этим классом. В частности, можно говорить о много-
многообразии, порожденном одной алгеброй А и обозначае-
обозначаемом как Var Л. Если алгебра А конечна, то многообра-
многообразие Var А конечно базируемо, т. е. обладает конечным
базисом тождеств (Львов И. В.//Алгебра и ло-
логика. — 1973. — Т. 12, № 3. — С. 269—297; К г u s e R.//
J. Algebra.—1973. —V. 26, № 2. — Р. 298—318). Ба-
Базис тождеств многообразия Var Л обычно называют
базисом тождеств алгебры А. Например, базис тож-
тождеств алгебры Мп(Ф), где Ф — поле, состоит из
{[*, у]2, 2] = 0 и стандартного тождества 54 (*ь *2, £з,
Jt4) = 0, а базис тождеств алгебры Тп(Ф) верхних тре-
треугольных матриц порядка п над произвольным полем
Ф — из одного тождества [х\, х2] ... [х2п~\, х2п] = 0
(см. [7], пп. 1.3, 5.3). Если А и В — простые конечно-
370 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
мерные алгебры над алгебраически замкнутым полем,
то УагЛ=УагВ влечет Л ~ В (см. [7], п. 5.4).
Алгебра А называется критической, если она не
принадлежит многообразию Уаг(Л_), порожденному
всеми факторалгебрами ее подалгебр, не изоморфны-
изоморфными самой алгебре А. Всякая критическая алгебра под-
прямо неразложима. Если Л — критическая алгебра,
то критической является и алгебра матриц над ней.
Если Л и В — критические алгебры и УагЛ=УагВ,
то Уаг(Л ) = Var(£ ) (см. [7], п. 4.3).
Если S3—многообразие алгебр над полем Ф харак-
характеристики 0, не совпадающее с многообразием всех
Ф-алгебр, то в любой алгебре из 23 выполняются все
тождества алгебры Mn(G) при подходящем п, где G—
алгебра Грассмана (Кем ер А. Р.//Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1984. —Т. 48, № 5.— С. 1042—1059). Для
многообразия 23 алгебр над бесконечным полем Ф эк-
эквивалентны следующие условия: A) все конечно по-
порожденные алгебры из S3 представимы; B) все ко-
конечно порожденные алгебры из 23 финитно аппрокси-
аппроксимируемы; C) все конечно порожденные алгебры из 25
хопфовы, т. е. всякий их сюръективный эндоморфизм
оказывается автоморфизмом; D) все конечно порож-
порожденные алгебры из 2) удовлетворяют условию макси-
максимальности для двусторонних идеалов; E) каждая ко-
конечно порожденная алгебра из 2) удовлетворяет тож-
тождеству
[хи . .., xn]yi ... уп[хи ..., хп] = 0,
где [xi *,,] = [[*!, ..., xn-i],Xn]; F) в любой
алгебре из 3 справедливо тождество
[х, у, у, ..., у]уп[х, у, . .., у] = 0;
G) в любой алгебре из 2) выполнено тождество вида
хупх= X '*1 (Ф)
(8) S3 не содержит многообразия, определяемого тож-
тождеством x[y,z]t=0. Если в многообразии 9S алгебр
над произвольным полем Ф выполнены тождества
вида
[ху,У\\ ■■■ [х„, Уп\ = ®
и
[хь ..., xn]yt ... уп \zu ..., za] = 0,
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 371
то все алгебры из 2) представимы. Если Ф — поле ха-
характеристики 0, то верно и обратное ([64], с. 98—116;
[16], п. 4.9). Со свободными кольцами многообразий
(иногда их называют относительно свободными ал-
алгебрами) связана некоммутативная теория инвариан-
инвариантов (см. [148]). В обзоре [146] обсуждается, когда
кольцо инвариантов свободной 23-алгебры относитель-
относительно некоторой ее группы автоморфизмов конечно по-
порождено или является относительно свободной ал-
алгеброй.
Очевидным образом определяется пересечение мно-
многообразий. Объединением многообразий считается мно-
многообразие, порожденное их теоретико-множественным
объединением. Относительно этих операций совокуп-
совокупность всех многообразий Ф-алгебр образует полную
модулярную решетку. Атомами этой решетки при
Ф = Z служат многообразия, задаваемые тождества-
тождествами рх = О и ху = О или /н; = 0 и 1р=л;, где р — неко-
некоторое простое число. При р = 2 получаем многообра-
многообразие булевых колец. Если 23—некоторое многообра-
многообразие Ф-алгебр, то через й B3) обозначим подрешетку
решетки всех многообразий, состоящую из всех много-
многообразий, принадлежащих 23. Решетка 8B)) антиизо-
морфна решетке Г-идеалов свободной 23-алгебры. Мно-
Многообразия с дистрибутивной решеткой йB3)— это мно-
многообразия с ненулевым тождеством вида ссу[х,у]-{-
+ PU. у]у = ® Для некоторых а, р е ф (см. [7],
п. 2.3). Если 2) и 2В— подмногообразия многообра-
многообразия 9ЭТ, то класс алгебр ^el таких, что для неко-
некоторого идеала I <\ А имеем /s5i и A/I e Ш, оказы-
оказывается подмногообразием многообразия ЗЭТ, которое
называется произведением многообразий 3 и Ш внутри
Ш и обозначается через 23 о ж 98 (см. [16], п. 5.4).
Пусть X — счетное множество. Рассмотрим символ
5? = <%(л:,, .... хп), полученный из i, :„е1 с
помощью операций +, —, • и -'. Говорят, что тело D
удовлетворяет рациональному тождеству 32 = 0, если
для любых d\, ..., dn^D элемент (d\, .... dn) либо
равен 0, либо не определен, т. е. на некотором шаге
вычисления мы получаем О. Рациональное тождество
называется тривиальным, если ему удовлетворяет лю-
любое тело. Примером такого тождества может служить
х — (л: — (у~1 — х)'1) —хух = 0. ..,,.,
372 гл. ш. кольца и модули
Нетривиальному тождеству
\{х, [у, х]х[у, x]~lf, z] = 0 р .
удовлетворяют тела, являющиеся алгебраической ал-
алгеброй степени 3 над своим центром. Если (х\, ...
..., Хя) = 0 — нетривиальное рациональное тождество,
то найдется такое натуральное число т, что для лю-
любого тела D с бесконечным центром З(^), удовлетво-
удовлетворяющего этому тождеству, имеем dim3(D)D^m (см.
[248], теорема 3.2.21, [16], п. 5.4).
Пусть .Р = Ф(л:1, х2 У\, уг, ...}—свободная
алгебра над полем Ф со свободными порождающими xt
и у{, где/, /=1,2 ЕслиДх, хт, ух yn)^F,
то говорят, что Ф-алгебра R = МГ(Ф) удовлетворяет
тождеству / (х\, . . ., хт, уи . . ., уп) = 0 со следом, если
для любых матриц Ль . .., Ат, Вь . . ., Вп из R имеет
место
/(.4„ .... Ат, Тг(Я,)£ Tr(BJ£) = 0,
где Тг(Х) — след матрицы X. Любое тождество со сле-
следом, которому удовлетворяет алгебра R, является ло-
логическим следствием аксиом Ф-алгебры и тождества
со следом
где £*(^1 tr) — такой многочлен, что
совпадает с элементарным симметрическим многочле-
многочленом Ok от 2\, ..., zr. Заметим, что последнее тожде-
тождество вытекает из известной теоремы Гамильтона—
Кэли, утверждающей, что каждая матрица является
корнем своего характеристического многочлена ([79],
теорема 27.1).
О некоторых других обобщенных тождествах см.
§5.
Естественным обобщением PI-колец служат коль-
кольца, удовлетворяющие УЭ-предложениям (см. [248],
Appendix В).
2.8. Вложение колец, кольца частных. При иссле-
исследовании колец нередко оказывается полезным вло-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 373
жить рассматриваемое кольцо в кольцо, обладающее
теми или иными дополнительными свойствами. В пер-
первую очередь остановимся на вложении колец в тела.
Разумеется, вкладываемое кольцо должно быть коль-
кольцом без делителей нуля. В коммутативном случае это
условие оказывается и достаточным: всякое коммута-
коммутативное кольцо без делителей нуля вкладывается в
поле ([88], с. 96, теорема 8). Однако существуют
кольца без делителей нуля, не вложимые в тело ([87],
с. 88, теорема 1). Более того, существуют такие коль-
кольца, не вложимые в тело, что их мультипликативная
полугруппа ненулевых элементов вложима в группу
([14], с. 93, теорема 1). Далее, назовем кольцо R об-
обратимым, если для каждого ненулевого а ge R най-
найдется кольцо, содержащее R в качестве подкольца
с той же самой единицей, в котором элемент а обра-
обратим. Обратимым оказывается всякое кольцо R с еди-
единицей, все правые [левые] идеалы которого, порож-
порожденные двумя элементами, свободны как правые [ле-
[левые] ^-модули. Этот результат позволяет установить
существование обратимых колец, не вложимых в тело
([14], с. 95, теоремы 4 и 5).
Если S — мультипликативно замкнутое подмноже-
подмножество неделителей нуля кольца R (т. е. х, у ge S влечет
jo/eS), то кольцо Q называется правым [левым]
кольцом частных кольца R относительно S, если R —
подкольцо в Q, каждый элемент из 5 обратим в Q и
для каждого a gQ найдутся такие г ge R и s ge S, что
a = rs~l [a = s~lr]. Для существования такого коль-
кольца Q необходимо и достаточно выполнение правого
левого] условия Оре: если г ge R и s ge S, to rs'=sr'
[s'r==r's] для подходящих r' ge R и s' ge 5. Если S
совпадает с множеством всех неделителей нуля коль-
кольца R, то соответствующее правое [левое] кольцо част-
частных называется классическим правым [левым] коль-
кольцом частных кольца R. Если кольцо Q является клас-
классическим правым [левым] кольцом частных кольца R,
то говорят также, что R является правым [левым]
порядком в кольце Q. Артиновым справа классическим
правым кольцом частных обладает любое нётерово
справа наследственное справа кольцо ([90], пп. 9.1,
16.9; [96], теорема 7; [57], § 4.6; [208] п. 5.4.2).
Если кольцо R не содержит делителей нуля и об-
обладает классическим правым [левым] кольцом част-
374 РЛ. HI. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ных, то последнее оказывается телом. Таким образом,
для вложимости кольца R без делителей нуля в тело
достаточно, чтобы для любых a,b^R, где ЬфО, су-
существовали такие u,v ge R, что 0 ф аи = bv [0 ф
ф иа — vb]. В частности, таким телом частных обла-
обладают любое PI-кольцо без делителей нуля и любая
групповая алгебра Q)G, где Ф поле, a G — нильпо-
тентная группа без кручения ([7J, гл. 2, п. 1.1; [16},
п. 5.2). В тело вкладываются также групповые ал-
алгебры упорядоченных групп, групповые алгебры групп
без кручения с одним соотношением, кольца R, все
конечно порожденные правые [левые] идеалы кото-
которых свободны как правые [левые] /^-модули и, в част-
частности, свободные ассоциативные алгебры ([14], с. 89,
теорема 2, с. 99, теорема 7, с. 97, следствие 5). Из-
Известен критерий вложимости кольца R в тело, связан-
связанный с рассмотрением матриц над R (см. [49], с. 349).
О гомоморфизмах в тело см. [14], § 3.
Кольцо R с единицей обладает классическим пра-
правым кольцом частных, являющимся классически полу-
полупростым [артиновым справа простым] кольцом, тогда
и только тогда, когда R — полупервичное [первичное]
правое кольцо Голди — теорема Голди ([90], пп. 9.13,
10.14; [96], теоремы 7.2.1—7.2.3). О существовании
классического правого кольца частных, являющегося
полулокальным кольцом см. [90], п. 18.47.
Любая алгебра над полем вложима в простую ал-
алгебру. Если исходная алгебра является рлгеброй без
делителей нуля, то и простая алгебра может быть вы-
выбрана такой же ([14], с. 103, теоремы 1 и 2).
Кольцо Q называется обобщенным правым [ле-
[левым] кольцом частных кольца R относительно муль-
мультипликативно замкнутой системы S ненулевых элемен-
элементов из R (подчеркнем, что S может содержать дели-
делители нуля), если существует гомоморфизм ср кольца R
в Q, обладающий следующими свойствами: 1) если
r^R и ф(г)=0, то rs = 0 [sr = Q] для некоторого
sgS; 2) если s^S, то cp(s) обратим в Q; 3) если
a<=Q, то a = (p(r)(p(s)-1 [a = (p(s)-1q>(r)] для под-
подходящих r^R и se5. Для существования обобщен-
обобщенного правого кольца частных необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы для R и S выполнялось левое условие Оре
и равенство sr = 0, где sgShcg/?, влекло за собой
rsr = 0 для некоторого s'gS ([90], п. 16.9).
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 375
Более детальные сведения о классических и обоб-
обобщенных кольцах частных можно найти в обзоре [35].
Отметим также обзор [129], где, в частности, рас-
рассматривается аналог поля рациональных функций для
свободной ассоциативной алгебры над полем.
Для обобщенного правого кольца частных Q коль-
кольца R относительно мультипликативно замкнутой си-
системы S весьма полезна конструкция Герасимова.
Именно, пусть Ж— множество квадратных матриц
вида «=( о /й ) над кольцом R, где а' — строка,
'а — столбец, a^R, а0 — верхняя треугольная мат-
матрица с элементами из S по диагонали (случай а=(а)
не исключается). Матрицы а и Ь из Ж будем считать
эквивалентными (в обозначениях: а ~ Ь), если от а
к Ь можно перейти с помощью конечного числа сле-
следующих преобразований: 1) прибавление к стоке
[столбцу] строки [столбца] с большим [меньшим]
номером, умноженной слева [справа] на элемент из R;
2) вычеркивание строки [столбца], проходящей [про-
[проходящего] через матрицу а0, все элементы которой [ко-
[которого] нули, за исключением стоящего на диагонали
матрицы а0, с одновременным вычеркиванием столбца
[строки], проходящего [проходящей] через этот же.
диагональный элемент матрицы а0. На множестве Ж
определим операции Фи©, положив
/а' У а + Ь\ / а' аУ ab\
а ф Ь = [ а0 0 'а } и aQb={ao >ay 'а£ .
V о ь° 'ь / V о ь° 'ь'
Если а ~ с и ft ~ d, тоа©6~ c(BdnaQb~c(Dd.
Поэтому эти операции корректно определены на фак-
фактормножестве М=М1 ~. Множество М превращает-
превращается в кольцо, изоморфное Q. При этом изоморфизме
элементы r^R переходят в (г), а элементы s-\
где sgS, — в ( ). Ядро гомоморфизма кольца
R в Q состоит из всех таких re/?, дл. которых
( и' и" \ ( v, 'v \
существуют матрицы и = { и0 а) ии = ^ц0 „v ) ,
где и0, v°—верхние треугольные матрицы с элемен-
элементами из S на диагонали, и', и" — строки, v', v" — столб-
столбцы и ио = B о) (см. [14], п. 3.3; [16], п. 5.3).
376 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если г — кручение на классе всех правых /?-моду-
лей и S — его радикальный фильтр (см. п. 3.5), то
положим
/?-=lim НоггьД/, R/x(/?)).
/eg
Если а, бе R%, то можно считать, что а е
eHoms(/, /?/г(/?)) и 6eHomR(/, /?/r(/?)), где/,/eg".
Заметим, что любой гомоморфизм а: / —>■ R/x(R) можно
представить в виде произведения естественного ото-
отображения /->-//г(/) и гомоморфизма а: !/х (f)-> R/x(R).
Определим гомоморфизм а е HomR (//r (/), /?/т (/?)),
положив сг (л: + *(/)) = * + *(/?) для всех л: е/. Таким
образом, получаем диаграмму:
Если теперь J'= {х\х-^ J, b (x) ^Imu], то /' <= $"
и для любого л: е/' можно положить аб (л:) = а (Ь (х)),
где b — ограничение гомоморфизма Ь на /'. Ясно,
что аб е Нотя (/', R/x(R)). Оказывается, что при та-
таком определении умножения Rg становится кольцом,
которое называется кольцом частных кольца R отно-
относительно кручения х. Если для любых г, х ^ R поло-
положить Ф (г) (х) = гх + х (R), то ф (г) еНотя (R, R/x (R))
и Ф оказывается гомоморфизмом кольца RbR%. Если
T = tir, где W—инъективный эндоциклический пра-
правый ^-МОДуЛЬ, ТО R% ИЗОМОрфнО КОЛЬЦУ ElldEnd W W,
(заметим, что такой модуль W существует для любого
кручения). Естественный гомоморфизм кольца R в R&
оказывается локализацией правого ^-модуля R отно-
относительно кручения т. Этот гомоморфизм является вло-
вложением, если W—точный модуль ([47], § II. 2—II. 4).
О локализации нётеровых колец см. [181].
Если т—кручение Ламбека, то в качестве W
можно взять инъективную оболочку кольца R, рас-
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 377
сматриваемого как правый /^-модуль. Кольцо част-
частных Qmax(R) относительно этого кручения называется
максимальным или полным правым кольцом частных
кольца R. Если R антисингулярно как правый R-mo-
дуль, то R является подкольцом своего максимального
правого кольца частных Qmax(R), которое в этом слу-
случае оказывается регулярным и самоинъективным
справа кольцом. Кроме того, Qmax(R) оказывается
инъективной оболочкой правого ^-модуля R, а ра-
радикальный фильтр кручения Ламбека состоит из всех
существенных правых идеалов кольца R. Если R —
полупервичное правое кольцо Голди, то Qmax(R) со-
совпадает с классическим правым кольцом частных
кольца R (см. [90], пп. 16.12, 16.14; [57], § 4.3).
С понятием максимального кольца частных тесно
связана конструкция ортогонального пополнения по-
полупервичного кольца. Ортогональным пополнением
полупервичного кольца А с полным правым кольцом
частных Qmax(R) называется такое наименьшее под-
подмножество O(R) кольца Qmax(R), что для любого се-
семейства попарно ортогональных центральных идемпо-
тентов {£у|уеГ} и любого семейства {ау\у^Г}^А
существует элемент a^O(R) такой, что еу а =е YaY
для всех v е Г. Кольцо O(R) оказывается полупер-
полупервичным. Если ш — двусторонний идеал центра С мар-
тиндейловского кольца частных полупервичного коль-
кольца R, то факторкольцо О (R)/mO (R) первично. Более
того, если формулировка некоторой теоремы записана
в виде хорновской формулы и множество идеалов,
в которых верна эта теорема, всюду плотно в спектре
кольца С, то эта теорема справедлива и в O(R). Кон-
Конструкция ортогонального пополнения оказывается по-
полезной при переносе результатов о строении первич-
первичных колец на полупервичные кольца (см. [10], § 8).
О гомоморфизмах колец в полупростые алгебры
см. [251].
Назовем ф-алгебру R представимой, если для под-
подходящего п она вложима в алгебру Мп(С), где С —
коммутативное кольцо. Если Ф — поле, то каждая ко-
конечно порожденная представимая алгебра финитно ап-
яртжсимируема. Если поле бесконечно, то размерности
аппроксимирующих алгебр могут быть выбраны огра-
ограниченными в совокупности. Для любого поля Ф
Ф-алгебра, аппроксимируемая алгебрами,размерности
378 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
которых ограничены в совокупности, представима
([64J, с. 98—116; [16], п. 49).
Если R— полупервичное кольцо и f—совокупность
всех двусторонних идеалов кольца, аннуляторы кото-
которых равны нулю или, что то же самое, являющихся
существенными подмодулями левого [правого] ^-мо-
^-модуля R, то положим
Q' = {(/,f)|/e=f, f<=HomR(I,R)
где / и R рассматриваются как левые ^-модули}.
На множестве Q' определим эквивалентность ~, пола-
полагая (/, f) ~ (/, g), если некоторого идеала Kef имеем
K^If]J и f\K = g\K. Фактормножество Q = Q'/~>
становится полупервичным кольцом, если положить
где [/, f]—класс, содержащий пару (/, f). При этом
Я оказывается подкольцом кольца Q. Кольцо Q назы-
называется левым мартиндейловским кольцом частных
кольца R. Центр кольца Q является регулярным само-
инъективным кольцом и оказывается полем в том и
только том случае, когда кольцо R первично. Заме-
Заметим еще, что f — фильтр и Q = lim {Hom^ (I, #)lf}
(см. [172], гл. 3; [216], § 1.3). ~*
Если R — первичное кольцо с единицей, то сим-
симметрическое мартиндейловское кольцо частных Qs(R)
определяется любым из следующих жвивалентных
друг другу условий:
A) Qs(R) = {q\q принадлежит левому мартиндей-
ловскому кольцу частных и qB s R для некоторого
ненулевого двустороннего идеала В кольца R);
B) Qs{R) = {q\q принадлежит правому мартиндей-
ловскому кольцу частных и Aq^R для некоторого
ненулевого двустороннего идеала А кольца /?};
C) (i) R — подкольцо в QS(R) с той же самой
единицей,
(и) если q e QS{R), то существуют такие не-
ненулевые двусторонние идеалы А, В кольца R,
что Aq, qB s R,
(iii) если q <^QS(R) n О Ф I <3 R, то как lq=0,
так и ql = 0 влечет ^ = 0, -: . . ■
§ 2. АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 379
(iv) еслуГрфА, B<\R,f: RA^RR и g: BR-^RR-
гомоморфизмы модулей и (af)b = a(gb), то
существует q e QS(R), для которого af = aq,
gb = qb при любых а еЛ, b ge В.
Мартиндейловские кольца частных полупервичны.
Если исходное кольцо R не содержит делителей нуля,
то то же самое верно и для Q. Подкольцо кольца Q,
порожденное объединением его центра и кольца R, на-
называется центральным замыканием кольца R (см.
[233], § 10).
Локализациям колец посвящены монографии [123],
[124], [157], [158], [220], [228], [257] и обзор [122].
Затронуты они в монографии [46] и обзоре [35]. Об
инъективности колец частных см. [143]. Обзор ре-
результатов, связанных с локализацией нётерова коль-
кольца по первичному идеалу, дан в [122].
Контекстом Мориты, или Морита-контекстом, или
ситуацией предэквивалентности называется пятерка
(/?, rMs, SNr, Ф, т|з),
где R и S — кольца, RMS и SMR— бимодули, а <р:
М ®s N --> R и if: jV <S)r M >S — гомоморфизмы бимо-
дулей, причем ф(а'® Ь)а" = a'if (ft® а") и ij)(ft'<g> a)ft"=
= &'ф(а®6") для любых а, а', а" <= Л1 и 6, 6', b"<=N.
Гомоморфизмы ф и if часто обозначаются (—, —)
и [ —, —] соответственно. Множества (М, N) =
= {ф(а, b)\ae=M, b <ee N} и [М, N] = {$(Ь, а)\ае=М,
b ge N} оказываются двусторонними идеалами колец R
и S соответственно и называются следами контекста
Мориты. Если S = EndsM и iV= HomR(M, R), то кон-
контекст Мориты называется стандартным. Решетки кру-
кручений в категориях правых R- и 5-модулей, где R и S
входят в контекст Мориты, оказываются изоморфны-
изоморфными. Если ф — наложение, то ф оказывается изомор-
изоморфизмом, а М и N — образующими ^-модулями и ко-
конечно порожденными проективными 5-модулями. Кро-
Кроме того, г|) индуцирует изоморфизм как бимодулей М
и Homs(jV,5), так и бимодулей jV и Homs(jV, 5).
Пусть, далее, (/?, RMS, sNR, S, ф, ^—ситуация экви-
эквивалентности, т. е. ф и if — изоморфизмы. Если М —
проективный образующий правый 5-модуль и R==
= Ends M, то функторы —®RM и —®sJV — взаимно
обратные эквивалентности категорий правых R-
380 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
и 5-модулей. Взаимно обратными эквивалентностями
этих категорий оказываются и функторы М ®s — и
N®s—- Как М, так и N являются проективными об-
образующими R- и 5-модулями. Отображения ф и if ин-
индуцируют изоморфизмы как бимодулей М, Homs(N,S)
и HomR(N,R), так и бимодулей N, HomR(N, R) и
Horns (N, S) (см. [46], § 10; [90], пп. 12.7, 12.10).
Если задан контекст Мориты, то множество
( N s J матриц yb a J , где г е #, sgS, aeM и
b^N, превращается в кольцо с единицей, если в ка-
качестве сложения взять обычное сложение матриц, а
умножение определить равенством
t г' а' \/ г" а" \ _ ( г'г" + Ф (а' ® Ъ") г'а" + a's"
\Ь' s')\b" s")~\ b'r" + s'b" s's"+y{b'®a
Если N = 0, то кольцо Г„ J называется тривиаль-
тривиальным расширением кольца R. Тривиальные расширения
и их обобщения, так называемые полутривиальные
расширения, рассматриваются в [149] и [151].
§ 3. Неассоциативные кольца и алгебры
3.1. Основные классы неассоциативных колец. По-
Понятие кольца, введенное в § 1, является слишком об-
общим для построения сколь-либо содержательной
структурной теории произвольных колец. Для полу-
получения интересных структурных результатов нужно на-
наложить некоторые дополнительные условия на опера-
операцию умножения. В зависимости от вида наложенных
ограничений при этом получаются различные классы
колец.
Одним из наиболее естественных ограничений яв-
является условие ассоциативности умножения. Класс
ассоциативных колец занимает важное место в теории
колец и наиболее хорошо изучен. Однако в матема-
математике и ее приложениях часто возникают и другие
классы колец, в которых условие ассоциативности
умножения уже не всегда выполняется. Такие кольца
называются неассоциативными. В этом параграфе мы
рассмотрим основные классы неассоциативных колец
и приведем наиболее важные понятия и результаты,
описывающие строение колец из этих классов.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 381
С целью единообразного рассмотрения колец и ал-
алгебр над полем удобно ввести понятие алгебры над
ассоциативно-коммутативным кольцом Ф, имеющим
единицу. Именно, левый унитальный Ф-модуль А на-,
зывается алгеброй над Ф (или Ф-алгеброй), если на
нем задано умножение (а, й)ь—*■ ab^A, удовлетворяю-
удовлетворяющее условиям
(аа + $Ь)с=а(ас) + р (be),
a (ab + Рс) = a (ab) + р (ас)
для любых а, Р е Ф; а,Ь,с^А. Кольцо Ф при этом
называется кольцом скаляров. Если Ф = Х—кольцо
целых чисел, то понятие Ф-алгебры превращается в
обычное определение кольца. В дальнейшем, если не
оговорено противное, под алгеброй мы будем пони-
понимать алгебру над произвольным ассоциативно-комму-
ассоциативно-коммутативным кольцом скаляров Ф; под конечномерной
алгеброй—конечномерную алгебру над полем.
Первым классом неассоциативных алгебр, подверг-
подвергшимся серьезному и систематическому изучению, яви-
явились алгебры Ли, впервые возникшие в теории групп
Ли. Алгебра L называется алгеброй Ли, если ее опе-
операция умножения антикоммутативна, т. е.
х2=0,
и удовлетворяет тождеству Якоби '
J (х, у, z) ^ (xy) z + (yz) х + (zx) y = 0. ",' '*
Если А — ассоциативная алгебра, то алгебра Л<->,
полученная введением на Ф-модуле А нового умноже-
умножения с помощью коммутатора
[х, у] S ху — ух,
удовлетворяет вышеупомянутым тождествам и, следо-
следовательно, является алгеброй Ли. Этот пример доста-
достаточно общий, так как по теореме Пуанкаре—Биркго-
фа—Витта любая алгебра Ли над полем изоморфна
подалгебре алгебры А^~> для подходящей ассоциатив-
ассоциативной алгебры А.
По аналогии с коммутатором или лиевым умноже-
умножением [х,у] в ассоциативной алгебре А можно ввести
симметрическое (йорданово) умножение
382 гл. ш. кольца и модули ■■•"•
Впрочем, над кольцом скаляров, содержащим 1/2,
удобнее рассматривать операцию f
1
так как в этом случае степени элемента х относитель-
относительно этой операции совпадают с его степенями в ал-
алгебре Л. Алгебру, полученную введением на Ф-моду-
леЛ умножения х-у, обозначают через Л<+>. Заметим,
что отображение х \—>-^х устанавливает изоморфизм
между алгеброй Л<+> и соответствующей алгеброй
с операцией умножения х ° у.
Алгебра Л<+> коммутативна, т. е. удовлетворяет
тождеству
ху = ух,
и, вообще говоря, уже не ассоциативна, хотя и удов-
удовлетворяет следующему слабому условию ассоциатив-
ассоциативности:
х2 (ух) = (х2у) х.
Алгебры, удовлетворяющие двум приведенным
тождествам, называются йордановыми.
Алгебры вида Л<+> для ассоциативной алгебры Л
и их подалгебры называются специальными йордано-
йордановыми. Они уже не являются столь универсальными
примерами йордановых алгебр, как алгебры Л(~> и их
подалгебры в случае алгебр Ли. Существуют йорда-
новы алгебры (над любым полем), которые не изо-
изоморфны подалгебрам алгебры Л<+> ни для какой ассо-
ассоциативной алгебры Л. Такие алгебры называются ис-
исключительными.
Изучение исключительных йордановых алгебр су-
существенно опирается на знание свойств алгебр еще
одного класса, несколько более широкого, чем класс
ассоциативных алгебр. Это альтернативные алгебры,
определяемые тождествами
х2у = х (ху), ух2 == (ух) х.
Алгебры, удовлетворяющие первому [второму] из
этях тождеств, называются левоальтернативными [пра-
воальтернативными]. Ясно, что всякая ассоциативная
алгебра альтернативна.С другой стороны, любые два
элемента альтернативной алгебры порождают ассо-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 383
циативную подалгебру, так что альтернативные ал-
алгебры довольно близки к ассоциативным.
Если Л — альтернативная неассоциативная алгеб-
алгебра, то присоединенная алгебра Л<+> по-прежнему яв-
является йордановой (и даже специальной) алгеброй,
в то время как коммутаторная алгебра Л(~> уже не
является алгеброй Ли. Тем не менее нетрудно пока-
показать, что в этом случае алгебра Л<~~> удовлетворяет
следующему тождеству Мальцева:
J {х, у, xz) = I (ж, у, z) х,
где J(x, у, z) = (xy) z + (уг) х + (zx)y — якобиан эле-
элементов х, у, г. Антикоммутативная алгебра, удовлет-
удовлетворяющая тождеству Мальцева, называется алгеброй
Мальцева. Всякая алгебра Ли является алгеброй
Мальцева; с другой стороны, всякая двупорожденная
алгебра Мальцева является лиевой. Последнее усло-
условие определяет класс бинарно лиевых алгебр, более
широкий, чем класс алгебр Мальцева. Если в кольце
скаляров Ф есть 1/2, этот класс можно задать тож-'
дествами
Альтернативные алгебры, йордановы алгебры и ал-
алгебры Мальцева наряду с алгебрами Ли являются
основными и наиболее изученными классами неассо-
неассоциативных алгебр. Этим классам алгебр и посвящена
основная часть данного параграфа. В п. 3.6 мы рас-
рассмотрим также некоторые другие классы неассоциа-
неассоциативных алгебр.
3.2. Общие свойства неассоциативных алгебр.
Пусть Л—произвольная алгебра. Положим Л1 =
= У4(°> = Л, и далее по индукции
Л"+1= £ А1 ■ А', А1п+1) = А1п) ■ А1п\
где для подмножеств В, С алгебры Л через В-С обо-
обозначается Ф-подмодуль, порожденный всеми произве-
произведениями be, b е В, с^С. Алгебра Л называется
нильпотентной, если найдется такое п, что Л" = 0, и
разрешимой, если Л<т> = 0 для некоторого т. Наи-
Наименьшие числа п и т с указанными свойствами назы-
называются соответственно индексом нильпотентности
и индексом разрешимости алгебры Л. Легко видеть, что
384 ' ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
алгебра А нильпотентна индекса п в том и только том
случае, когда произведение любых п ее элементов
с любой расстановкой скобок равно нулю и суще-
существует ненулевое произведение п—1 элементов. Вся-
Всякая нильпотентная алгебра разрешима, но обратное,
вообще говоря, неверно. Сумма двух разрешимых
(двусторонних) идеалов алгебры А—снова разреши-
разрешимый идеал. Если А конечномерна, то А содержит наи-
наибольший разрешимый идеал 5 = 5(Л); при этом фак-
торалгебра A/S не содержит ненулевых разрешимых
идеалов. Идеал S(A) называется разрешимым ра-
радикалом конечномерной алгебры А.
В основе структурной теории конечномерных ассоциативных
алгебр лежит понятие нильпотентного радикала (т. е. наиболь-
наибольшего иилыштентного идеала), факторалгебра по которому не
содержит нильпотентных идеалов и разлагается в прямую сумму
полных матричных алгебр над телами. В неассоциативном слу-
случае класс нильпотентных алгебр, в отличие от разрешимых, не
замкнут относительно расширений (т. е. алгебра А может содер-
содержать нильпотентный идеал / с нильпотентной факторалгеброй АН,
а сама не быть нильпотентной). Поэтому нильпотентный ради-
радикал существует не во всех конечномерных алгебрах (например,
он не существует в алгебрах Ли). Более того, в общем случае
конечномерная алгебра может содержать несколько различных
максимальных нильпотентных идеалов. В этих условиях на пер-
первую роль выходит разрешимый радикал S(/4). Он лежит в ос-
основе структурных теорий конечномерных алгебр Ли и алгебр
Мальцева нулевой характеристики; в случаях же альтернатив-
альтернативных и йордановых алгебр, где существует иильпотентный ради-
радикал, S{A) совпадает с этим радикалом.
Элемент а алгебры А называется нильпотентным,
если нильпотентна порожденная им подалгебра в Л.
Если все элементы алгебры [идеала] иильпотентны,
то такая алгебра [идеал] называется ниль-алгеброй
[ниль-идеалом]. В общем случае класс ниль-алгебр
не замкнут относительно расширений. Однако при до-
дополнительном определенном ниже условии моноассо-
моноассоциативности или ассоциативности степеней это свой-
свойство выполняется.
Алгебра А называется моноассоциативной или ал-
алгеброй с ассоциативными степенями, если каждый ее
элемент лежит в некоторой ассоциативной подалгебре.
Нетрудно показать, что все рассматривавшиеся в
п. 3.1 алгебры являются моноассоциативными. Над
полем характеристики 0 класс моноассоциативных ал-
алгебр можно задать тождествами (см., например,
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 385
Гайнов А. Т.//Успехи мат. наук.— 1957. — Т. 12,
№ 3. — С 141 — 146)
9 9 / 9 \ 9 9
лгх = хх , (хх) х = х~х~.
В моноассоциативной алгебре естественным обра-
образом определены степени ап элемента а (я 2== 1); при
этом выполнены равенства (ап)т = апт, апат = ап+т,
и элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда
ап = 0 для некоторого п.
Заметим, что в общем случае в неассоциативной алгебре
степень элемента является неоднозначным понятием; более того,
произведение нескольких равных сомножителей может равняться
нулю при одной расстановке скобок и быть отличным от нуля
прн другой расстановке.
Всякая моноассоциативная алгебра А содержит
единственный максимальный двусторонний ниль-идеал
Nil Л; при этом факторалгебра Л/Nil Л не содержит
ненулевых двусторонних ниль-идеалов, т. е. является
ниль-полупростой алгеброй. Идеал Nil Л называется
ниль-радикалом алгебры Л. Если Л — конечномерная
моноассоциативная алгебра, то 5(Л)£ Nil Л; при этом
включение может быть строгим, как показывает при-
пример алгебр Ли, в которых Nil Л = Л. Ниже мы уви-
увидим, что в конечномерных альтернативных и йордано-
вых алгебрах идеал Nil Л нильпотентен. В частности,
в этих случаях №1Л=5(Л). В случае конечномер-
конечномерных коммутативных моноассоциативных алгебр идеал
Nil Л может быть не нильпотентным (Suttles D.//
Not. Amer. Math. Soc. — 1972. — V. 19. — A-566), од-
однако вопрос о его разрешимости открыт.
Строение ниль-полупростых конечномерных комму-
коммутативных моноассоциативных алгебр известно: всякая
такая алгебра над полем F характеристики, отличной
от 2, 3 и 5, имеет единицу и разлагается в прямую
сумму простых алгебр, каждая из которых либо йор-
данова, либо является алгеброй степени 2 над полем
положительной характеристики (Albert A. A.//Trans.
Amer. Math. Soc. — 1950. — V. 69. — P. 503—527; Ko-
koris L. A.//Ann. Math. —1956.— V. 64, N 3.—
P. 544—550). Поясним, что степенью алгебры А над
полем F называется максимальное возможное число
взаимно ортогональных идемпотентов в скалярном
расширении F®FA, где F — алгебраическое замыка-
замыкание поля F. Упомянутые выше исключительные
386 гл. ш. кольца и модули
алгебры степени 2 описаны в работе Oehmke R. Н.//
Trans. Amer. Math. Soc—1962. —V. 105.— P. 292 —
313. Описание простых йордановых алгебр будет
дано в п. 3.5.
В общем случае структура ниль-полупростых ко-
конечномерных моноассоциативных алгебр остается не-
неизвестной. Удается получить описание этих алгебр
пока лишь при некоторых дополнительных ограниче-
ограничениях (см. п. 3.6). Эффективным методом изучения
моноассоциативных алгебр является переход к при-
присоединенной коммутативной моноассоциативной ал-
алгебре Л(+>, так как свойства алгебры Л(+) часто дают
существенную информацию о свойствах Л.
При рассмотрении неассоциативных алгебр полез-
полезным оказывается понятие ассоциатора
(х, У, z)~(xy)z — x(yz).
Идеал D(A) алгебры А, порожденный всеми ассо-
ассоциаторами, называется ассоциаторньш идеалом ал-
алгебры А. Двойственным к нему является понятие ас-
ассоциативного центра N (А) алгебры Л:
N{A)^f{ne=A\(n, А, А) = (А, п, Л) = (Л, А, п) = 0}.
Алгебра Л ассоциативна тогда и только тогда, когда
£>(Л) = 0 (либо N{A) = A). Центром 3(<4) алгебры А
называется множество
3 (Л) = {z €E N (Л) | [г, х] = 0 для любого х е Л).
Во всякой алгебре Л ассоциативный центр и центр
являются подалгебрами. Кроме того,
D (А) = (Л, Л, Л) + (АА,А)А ={А,А,А) + А(А,А,А).
Доказательство вытекает из следующих двух тож-
тождеств, справедливых во всякой алгебре:
х (у, z, t) + (х, у, z) t = (ху, z, t) — (х, yz, t) + (х, у, zt),
[ху, z] — x [у, z] — [х, z]y = (x, у, z)-(*, z, у) + (z, х, у).
Более общим понятием, чем центр, является поня-
понятие центроида Г (Л) алгебры Л, который определяется
как множество таких элементов у^ЕпёЛ, для кото-
которых справедливы равенства (ху)у = (ху)у = х(уу)
при любых х,у^А. Иначе говоря, Г(Л)—-это цен-
централизатор алгебры умножений М(Л) в алгебре
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 387
End Л (см. § 2). Если в Л есть единица, то Г (Л) и
3(Л) изоморфны; если Л — простая алгебра, то
Г (Л) — поле. Алгебра Л над полем F называется цен-
центральной, если T(A) = F.
Алгебра Ф^ [X] из класса 3R с множеством порож-
порождающих X называется свободной в классе Ш? (или
Ш-свободной) с множеством свободных порождающих
X, если всякое отображение множества X в произволь-
произвольную алгебру Л из Ш единственным образом продол-
продолжается до гомоморфизма Фш [Х\ в А.
Свободная неассоциативная ф-алгебра Ф{Х} яв-
является свободным модулем над Ф с базисом из всех
неассоциативных слов от элементов множества X. Не-
Неассоциативные слова определяются индуктивно: эле-
элементы множества X — это слова длины 1; если и и v —
слова соответственно длин п и пг, то символ (u) (v)
означает слово длины п-\-пг, при этом (и) (v) = (и}) (vi)
тогда и только тогда, когда и = щ, v = V\. На прак-
практике слопа длины 1 обычно не заключают в скобки
и, например, вместо ((xj) (х2)) ((х3) (х4)) пишут
(х\х2) (xsx4). Элементы алгебры >Ф{Х} можно пред-
представлять себе как неассоциативные некоммутативные
многочлены от переменных из X. ПустьМ = {ft (x\, ■ ■ ■
. . ., хп.) | i е Л — какое-то множество элементов из
Ф{Х}. Класс 3/J всех Ф-алгебр, удовлетворяющих всем
тождествам ft(xu ..., х„;) = 0, I e /, называется мно-
многообразием алгебр, заданным множеством тождеств М.
Например, все альтернативные Ф-алгебры образуют
многообразие, заданное тождествами /1(^1,^2) =
= (XjXi) Х2 — Xi (Х1Х2) , /2 (М, Х2) = Х\ (Х2Х2) — (хгХ2) Х2.
Ясно, что и другие рассмотренные нами в п. 3.1
классы алгебр являются многообразиями. Во всяком
многообразии £Ш существуют свободные алгебры: если
9Л задается системой тождеств {fa}, то 2Я-свобод-
ная Ф-алгебра Фта [X] изоморфна факторалгебре
Ф{Х}/Т(Т1), где Т (Щ — идеал алгебры Ф{^}, порож-
порожденный множеством {/„ (уи ..., уПа) | yt e Ф {X}}. Так,
свободная йорданова Ф-алгебра Jord[X] изоморфна
факторалгебре алгебры Ф{Х} по идеалу Т(Jord), по-
порожденному всевозможными элементами вида [fv f2],
(f'p f->. fi), гДе ?{<^Ф{Х}. Идеал Т(Ш) называется
идеалом тождеств многообразия Ж.
388 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Говорят, что неассоциативное слово v имеет сте-
степень щ по Xi, если v содержит х* ровно nt раз. Если
многочлен / является линейной комбинацией неассо-
неассоциативных слов одной и той же степени nt no х,-, то f
называется однородным по xi степени пи многочлен /,
однородный по каждой входящей в него переменной,
называется полиоднородным. Например, многочлен
х\х2 — (я^з) х, + х\ однороден по Х\ степени 2, но не
полиоднороден, многочлен ((х,л;4) х2) хх + (ххх2^ (х4х^—
— х\ (Х2Х'д полиоднороден. Полиоднородный мно-
многочлен, имеющий степень 1 по каждой входящей в
него переменной, называется полилинейным. Всякий
неассоциативный многочлен однозначно представля-
представляется в виде суммы полиоднородных многочленов, ко-
которые называются его полиоднородными компонента-
компонентами. Многообразие 34 называется однородным, если
для всякого f^TCR) все полиоднородные компонен-
компоненты f также принадлежат Т(Ш).
Всякое многообразие алгебр над бесконечным по-
полем однородно. Все введенные в п. 3.1 многообразия
алгебр являются однородными (йордановы Ф-алгеб-
ры — при условии, что 1/2еФ) (см. [37], гл. I).
Пусть ЗЙ — некоторое многообразие Ф-алгебр. Пред-
Предположим, что для алгебры А из Ш и Ф-модуля М опре-
определены билинейные композиции Л X М-+-М, 7W X Л->-
—э-TW, записываемые для а^А и теМ как am и та.
Тогда прямую сумму МФА модулей М и А можно
превратить в алгебру над Ф, определив умножение по
правилу (аг + тх) (а2 -j- т2) = ща2 + {тха2 + Щ'щ), где
at еЛ, mt e M. Полученную алгебру называют
расщепляемым нулевым расширением алгебры А с по-
помощью М. Если алгебра ЛФМ снова принадлежит
классу ЗЛ, то М называют бимодулем над алгеброй А
(или А-бимодулем) в классе Ш.
Например, если Ш — класс всех алгебр над Ф, то
никаких условий, кроме билинейности операций am
и та, не требуется в определении бимодуля в 2Й.
Если Ш — класс всех ассоциативных алгебр, то бимо-
дульные операции должны удовлетворять условиям
(та) b — т (ab), (am) b = a(mb), (ab)m = a(bm)
для всех a, b e A, m^. M, т. е. мы получаем обычное
определение ассоциативного бимодуля.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 389
В классе алгебр Ли соответствующие условия для
бимодульных операций имеют вид
am = — та, т (ab) = (та) Ъ — (mb) а.
Вообще, если многообразие Т1 определяется сово-
совокупностью полилинейных тождеств (fi (х{, ..., ХпЛ —
= 0 | i ее А, то нетрудно видеть, что М является би-
модулем над алгеброй Л ее 2Л в 2Л тогда и только то-
тогда, когда выполнены соотношения
f;(au ..., ак_ъ т, ak + u ..., аП() = 0
(k = 1, . .., nt; ie/) для любых uj еЛ, т es M.
Бимодуль М над альтернативной алгеброй А яв-
является альтернативным А-бимодулем тогда и только
тогда, когда в расщепляемом нулевом расширении
А® М выполнены соотношения
(а, т, а) = 0, (а, т, b) = (m, b, a) = (b, а, т)
для любых а,Ь^А, т^М. Если А—йорданова ал-
алгебра, то М будет йордановым А-бимодулем, когда
am = ma, (a2, m, a) = 0, (a2, b, m) + 2 (am, b, a) = О
для любых а, Ъ es A, m es M.
Если многообразие Т1 задается конечным числом
тождеств, то и бимодули в Ш определяются конечным
числом соотношений. Естественным образом, как и
в случае ассоциативных алгебр, определяются поня-
понятия подбимодуля и факторбимодуля.
Если М — некоторый Л-бимодуль, то отображения
р(а): т^—^-та и к (a): mi—^*am являются эндомор-
эндоморфизмами Ф-модуля М, а отображения а(->р(а),
а\—>Я(а) суть Ф-линейные отображения из алгебры Л
в алгебру EndM. Пара (рД) Ф-линейных отобра-
отображений из Л в алгебру EndM эндоморфизмов некото-
некоторого Ф-модуля М называется бипредставлением
алгебры А в классе ЗЯ, если М, наделенный компози-
композициями ma = mp(a), am = mk(d), является бимоду-
лем над Л в классе 9Л. Ясно, что понятия бимодуля
и бипредставления взаимно определяют друг друга.
С помощью рассмотренных выше соотношений, опре-
определяющих бимодули в различных классах, мы можем
легко выписать условия, задающие бипредставления
в этих классах. Например, альтернативные бипред-
390 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ставления задаются условиями:
[к (а), р(с)] = 0,
[л (а), р (Ь)] = р (й) р (а) - р (Ьа) = к фа) - А (а) Я (Ь). {*>
Всякую алгебру Л можно естественным образом
рассматривать как бимодуль над собой, интепретируя
та и am как умножение в алгебре А. Такие бимо-
бимодули и соответствующие им бипредставления a *-^Ra,
а<—> La называются регулярными. Подбимодулями
регулярного бимодуля А являются двусторонние идеа-
идеалы алгебры А. Если 9Л — однородное многообразие,
то для любой алгебры А е Ш1 ее регулярный бимо-
бимодуль является бимодулем в классе 3JL
При рассмотрении какого-либо семейства линей-
линейных преобразований часто бывает полезным перейти
к обертывающей ассоциативной алгебре этого семей-
семейства. Так, обертывающей алгеброй семейства {Ra,
La\a^A} является алгебра умножений М(А). В слу-
случае произвольных бипредставлений при изучении
обертывающей алгебры семейства {р(а)Д(а)|аеЛ}
оказывается полезным введение универсальной муль-
мультипликативной обертывающей алгебры U (А).
Покажем, как строится эта алгебра, на примере альтерна-
альтернативных алгебр.
Пусть А — альтернативная алгебра над Ф, В = А Ф А" —
прямая сумма Ф-модулей, где Ф-модуль А" изоморфен А отно-
относительно изоморфизма at—»а". Рассмотрим тензорную алгебру
Т(В) = ФФВ Ф (В® В)®(В ® В <g> В)® .. . Для любой пары
(р, 'к) Ф-линейных отображений из Л в End M мы можем по-
построить Ф-линейное отображение ф: В -*- End M, полагая
ф(а + 6°) = р(а) + к(Ь). По свойству тензорной алгебры ф
продолжается единственным образом до гомоморфизма ассоциа-
ассоциативных алгебр <р: Т(В) -*■ End M. Нетрудно видеть, что пара
(р, к) будет альтернативным бипредставленнем (т. е. удовлетво-
удовлетворять тождествам (*)) тогда и только тогда, когда Кег ф содер-
содержит следующее множество элементов:
а" ®а — а® а", а" ® Ь — Ь ® а" — Ъ ® а + Ьа,
а" ® b — b (g}a° — (baf + a" ® 6°; a, SeA
Обозначим через / идеал алгебры Т(В), порожденный этим мно-
множеством, через U (А)—факторалгебру Т(В)//, и пусть
М: а<—>а-\-1, 3?: а>—> а" + / — Ф-линейные отображения из А
в U(A). Ясно, что пара E?, 2) удовлетворяет тождествам (*);
при этом для любого альтернативного бипредставления
(р, к); Л-*-End M существует единственный гомоморфизм ассо-
ассоциативных алгебр ф: U(A) -*-End М, для которого р = Я ° ф,
к = 9? о ф_ Тем самым М можно рассматривать как правый
(ассоциативный) (/(Л)-модуль. Обратно, всякий правый U(A)-
§ 3. НЕЛССОЦИАТКВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 391
модуль является альтернативным Л-бимодулем относительно
композиций та = тЯ(а), ат = тЗ?(а). Алгебра U\A) назы-
называется универсальной мультипликативной обертывающей алгеб-
алгеброй для алгебры А (в классе альтернативных алгебр).
Аналогичным образом строятся универсальные
мультипликативные обертывающие алгебры в других
классах алгебр (см. [177], с. 88). Заметим, что для
лиевой алгебры L алгебра U(L)—это ее обычная
универсальная (биркгоф-виттовская) обертывающая
(см. п. 3.7); если А ассоциативна, то U(А) с^ Л# ®
® (А#)°, где алгебра Л# получена из А присоедине-
присоединением внешним образом единицы, а (Л#)° антиизо-
морфна А*. Отображения |и^в общем случае не
являются инъективными. Однако если А вложима
в алгебру В e ЗЯ с единицей, то это так. В частности,
в случаях ассоциативных, альтернативных и йордано-
вых алгебр отображения Я и S инъективны.
Если (р, Я) — произвольное бипредставление ал-
алгебры А {в классе SFI), то обертывающая алгебра се-
семейства (р(а), Я(а)]аеЛ} является гомоморфным
образом алгебры U(A). В частности, если Т1 — одно-
однородное многообразие, то алгебра умножений М(А)
и, более общо, алгебра МВ(А) для любой надалгебры
В е 2Л алгебры А суть гомоморфные образы алгебры
U(А). Вообще, введение алгебры V(А) сводит задачу
описания бипредставлений алгебры А к определению
строения алгебры V(А) и описанию правых (ассоциа-
(ассоциативных) представлений алгебры U(А) (см. [177]).
Отметим, что понятие правого модуля и правого представ-
представления, играющие фундаментальную роль в теории ассоциатив-
ассоциативных алгебр, не всегда допускают столь же простое и естествен-
естественное определение в других классах алгебр (кроме случаев комму-
коммутативных и антикоммутативных алгебр, где понятия представ-
представления и бипредставления, по сути дела, совпадают). Так, до сих
пор не известно, можно ли определить правый альтернативный
модуль конечным числом соотношений. По этому поводу см.
Слинько А. М., Шестаков И. П.//Алгебра и логика.—
1974. — Т. 13, № 5. — С. 544—587, где определяется и изучается
понятие правого представления в произвольном многообразии
алгебр и строится теория правых представлений альтернативных
алгебр.
Алгебра А называется Х2-градуированной алгеб-
алгеброй или супералгеброй, если А = Ао® Аи где А;А,-^
£Лг+;, i, j e Z2. Например, алгебра Грассмана G =
= Go Ф G\ является супералгеброй, если через Go
392 ГЛ. Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
[Cj] обозначить подмодуль, порожденный словами
четной [нечетной] длины от порождающих алгебры G.
Пусть Щ— некоторое однородное многообразие ал-
алгебр; тогда супералгебра А = Ло ® Ах называется
ЗЯ-супералгеброй, если ее грассманова оболочка
G (A) ;q GQ ® Ло + G] ® Л| принадлежит многообразию
9й. Сама 2Я-супералгебра Л, вообще говоря, не при-
принадлежит многообразию 5Ш; ее четная часть Ло яв-
является подалгеброй, лежащей в Ш, а нечетная часть
Л] является -ЭД-бимодулем над подалгеброй Ло. Если
известны тождества, задающие многообразие ffl, то
можно выписать «супертождества», определяющие
2Н-супералгебры. Например, супералгебра Л=Л0ФЛ]
является лиевой супералгеброй, если в ней верны
тождества
aia/ + (-l)"'a/a£ = 0,
(-\)ik (aiai) ak + (-1)"" {a,ak) a, + (-l)fc/ (afca,-) a,- = 0;
альтернативные супералгебры определяются тожде-
тождествами
(ait ah ak) + {-\)lk{at, ak, a;) = 0, ;'!
(a;, a,, ak) + (~\)ij (a,, ait ak) = 0; , : '
йордановы супералгебры — тождествами
{~l)l{i+k)(ata,, ak, at) + (~-\)iii + k) (ajah ak, cf) + ■
+ (_!)/(' + *>(а,а,., afc) a,) = 0,
где всюду as e Л5, s = i, j, k, /g{0, )}.
3.3. Композиционные алгебры. Алгебра Л с едини-
единицей 1 над полем F характеристики ф 2 называется
композиционной, если на векторном пространстве Л
определена невырожденная квадратичная форма
п(х), удовлетворяющая равенству
п(ху) = п(х)п(у). (*)
В этом случае говорят также, что форма п(х) допус-
допускает композицию на Л. Типичнейшие представители
композиционных алгебр — это поля вещественных чи-
чисел R и комплексных чисел С, тело кватернионов Н
и алгебра чисел Кэли (октонионов) О, взятые с ев-
евклидовой нормой п(х) — (х, х) = |а-|2. Первые три из
них ассоциативны, а алгебра О дает нам первый и
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 393
важнейший пример альтернативной неассоциативной
алгебры. Равенство (*), расписанное в ортонормиро-
ванном базисе для каждой из этих алгебр, дает тож-
тождество вида
= г\ + г\+... + г\, k=\, 2, 4, 8,
где Zi билинейно выражаются через хГ, ys. Ниже мы
увидим, что значения £=1,2,4,8 для тождеств та-
такого вида — единственно возможные.
Всякая композиционная алгебра А альтернативна
и квадратична, т. е. каждый элемент а е Л удовлет-
удовлетворяет равенству
а2 — t {а) а + п (а) = О,
где t(a) — линейная форма на А со значениями в
поле F. Элементы t{a) и п(а) называются соответ-
соответственно следом и нормой элемента а. Линейное ото-
отображение а\—з- а = t(a)—а является инволюцией ал-
алгебры А (т. е. а = а и аЪ = Ьа для любых а, 6еД),
сохраняющей неподвижными элементы поля F. Об-
Обратно, если А — альтернативная алгебра над F с еди-
единицей 1 и инволюцией х>—^х такой, что элементы
t (х) = х -f- х и п (х) = ueF для всех х е Л, то квад-
квадратичная форма п(х) удовлетворяет равенству (*).
Пусть теперь А — алгебра над полем F с едини-
единицей 1 и инволюцией at—*-a, причем a -f- a, ad^F
для любого а е А. Зафиксируем aeF, а Ф- 0, и опре-
определим на векторном пространстве А® А операцию
умножения: (аь а2) ■ {а3, а4) = (ага3 — аа^, a{ai -f- a3a2).
Полученная алгебра (А, а) называется алгеброй, по-
полученной из А с помощью процесса Кэли—Диксона.
Ясно, что А изоморфно вкладывается в (Л, а) и что
dim (Л, а) = 2 dim Л. Пусть v =@,1), тогда v2 = —а
и (Л, а) = A® vA. Для произвольного элемента х =
= ах -f- va2 е (Л, а) положим х=п\—va2. Тогда х-\-х,
heF, и отображение х\—>х есть инволюция алгеб-
алгебры (Л, а), продолжающая инволюцию а^-^-а алгеб-
алгебры А. Если квадратичная форма п(а)= аа невырож-
невырождена на Л, то квадратичная форма п(х) = хх невы-
невырождена на (Л, а); при этом форма п(х) допускает
композицию на (Л, а) тогда и только тогда, когда А
ассоциативна.
394 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Таким образом, последовательно получаются сле-
следующие примеры композиционных алгебр над F:
1) F'—поле характеристики ф2.
2) С(а) = (/7, а), афО. Если многочлен х2 + а
неприводим над F, то С (а) является полем; в против-
противном случае C(a)^jFX^-
3) H(a, P) = (C(a), Р), $фО; —алгебра обобщен-
обобщенных кватернионов. Эта алгебра ассоциативна, но не
коммутативна.
4) О(а, р,^) = (Н(а, P),y), уф 0,— алгебра Кэ-
Кэли—Диксона. Эта алгебра уже неассоциативна, по-
поэтому на ней индуктивный процесс построения компо-
композиционных алгебр обрывается.
Если F = R — поле вещественных чисел, то опи-
описанная конструкция дает при а = р = у = 1 класси-
классические алгебры комплексных чисел С = СA), кватер-
кватернионов Н = Н A, 1) и чисел Кэли 0 = 0A, 1, 1).
Всякая композиционная алгебра изоморфна одной
из приведенных выше алгебр типов 1)—4) (см. [37,
с. 46]). Отсюда вытекает, что невырожденная квад-
.ратичная форма п(х), определенная на конечномерном
векторном пространстве У над полем F характеристики
Ф2, тогда и только тогда допускает композицию, ко-
когда dim/? V = 1, 2, 4, 8, и в некотором (каноническом)
базисе пространства V форма п (х) соответственно имеет
вид: п (лг)=лг§; п (x)=xl+axf, n (x)=(x\ +ах2)+$(х22+ах2)
или п (х) = \(xl + ах]) + р (д| + ах2,)] + у \{х\ + ах\) +
+ р {х\ + ах))], где aj.ye F, apY Ф 0. Пусть С (а) =
= F@Fvu Н(а, Р) = С (а) 0 С (а) о2, О (а, р, у) =
— Н (а, р) 0 Н (а, р) у3 (везде прямая сумма векторных
пространств). Тогда v2x=—a, v22 =—- р, v2^ = — у,
vt — — vit vlvi = — VjVi при 1ф\, и элементы ео=1,
el = vl, e2 = v2, e3 = v3, ei = vlv2, e5=v2v3, e6 = v1(v2v3),
e7 = vxvz образуют канонический базис алгебры
О (а, р, у). Заметим, что еь = — еи eiei^= — е^е^ при
i, /^1, 1ф}. Если 0 = 0A, 1, 1) — алгебра чисел
Кэли, то ё\ = —1 для всех г ^ 1 и eiej = Xek, Я. = ±1
для любых i, /^l, i ф} и подходящего k^l; при
этом для любой циклической перестановки а симво-
символов i, j, k верно еО@^ст(/) = Mi(fe)- С учетом этих свойств
таблица умножения в алгебре О полностью опреде-
определяется условиями:
7;
при j > 0.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 395
В случае произвольных а, р, y^F положим формально
VV V V V
1 J_ ^
e — Va?Y ee> e7 = VaY ep тогда элементы е^ перемно-
перемножаются как числа Кэли, а таблица умножения эле-
элементов e-i будет содержать лишь целые положитель-
положительные степени параметров а, р, у:
exe2 = eA, e2e4 = $e{, ese6 =
Таблицу умножения в алгебре чисел Кэли можно
задать также с помощью диаграммы:
6
При этом нумерация вершин может быть произ-
произвольной, так как разным нумерациям соответствуют
изоморфные алгебры. Приведенная нумерация согла-
согласована с каноническим базисом.
Композиционная алгебра Л называется расщепляе-
расщепляемой, если в ней выполнено одно из следующих экви-
эквивалентных условий:
A) п(х)=0 для некоторого хфО из Л; B) ху—0
для некоторых х ф О, уфЬ из Л; C) Л содержит не-
нетривиальный идемпотент (т. е. такой элемент ефО, 1,
что е2 = е).
Алгебра Л называется алгеброй с делением, если
для любых а,Ъ (афО) из Л в Л разрешимы урав-
уравнения
ах = Ь, уа=Ъ.
Если каждое из этих уравнений при афО имеет един-
единственное решение и Л содержит единицу, то Л назы-
называется телом. Всякая конечномерная алгебра без де-
делителей нуля является алгеброй с делением, поэтому
всякая композиционная алгебра либо расщепляема,
либо есть алгебра с делением (и даже тело).
Примеры расщепляемых композиционных алгебр над по-
полем F; 1) A = FXF с инволюцией (а, Р) = (Р, а). 2) А =
396 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
= M2{F)—алгебра 2 X 2-матриц над F с симплектяческой *ин-
волгоцкей
•б У V-v
3) Л = О (F) —матричная алгебра Кэли — Диксона, состоящая
Га и\
из множества матриц вида | j , где а, р е F, a и, v — век-
V v р/
торы из трехмерного векторного пространства F3, с обычными
матричными операциями сложения и умножения на скаляр и
следующим умножением:
(а и \ / у z \ / ау -{- (и, w) аг + бн — v X
о /I , = , а , , , „, , , ,
v р / \ w о / \ yv -}- pw ~г и X ^ рб ~г (^' ^)
где для векторов х, г/ е Z73 через (х, г/) обозначено их скаляр-
скалярное произведение, а через ж X У — «векторное» произведение.
Инволюция в алгебре O(f) определяется так же, как и в ал-
(а и\
гебре M-z(F)t при этом для элемента а = ( I мы имеем
\v р /
л (а) = аа = ар — (и, о), / (а) = а + й = а + Р-
Всякая расщепляемая композиционная алгебра
над полем F изоморфна одной из алгебр: Fy^F,
M2(F), O(F) (см. [37], с. 62). Композиционная ал-
алгебра над алгебраически замкнутым полем F всегда
расщепляема, поэтому над таким полем F существует
всего четыре неизоморфных композиционных алгебры.
Такова же классификация композиционных алгебр
над полями р-адических чисел Qp, так как любая
квадратичная форма от пяти и более переменных над
Qp представляет нуль. Над полем R вещественных чи-
чисел существует всего семь неизоморфных композици-
композиционных алгебр; три расщепляемых и четыре алгебры
с делением R, С, Н, О. Последние четыре алгебры
являются единственными конечномерными альтерна-
альтернативными алгебрами с делением над R. Существуют
и неальтернативные конечномерные алгебры с деле-
делением над R. В общем случае они не описаны, однако
справедлив следующий фундаментальный результат:
конечномерные алгебры с делением над R существуют
лишь в размерностях 1, 2, 4, 8 (Адаме Дж. Ф.//
Сб. пер.: Математика.— 1961.—Т. 5, № 4.—С. 3—86).
Классификация композиционных алгебр над по-
полями алгебраических чисел также известна (Jacob-
son N.//Rend. Circ. Mat. Palermo.—1958.— V. 7.—
P. 55—80).
§ 3. НЕ сОТцИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 397
Композиционные алгебры рассмотрены в моногра-
монографиях [37], [177J: [249].
3.4. Альтернативные алгебры. Рассмотрим тожде-
тождество правой альтернативности
(х, у, у) = 0.
Подставив сюда у -\- z вместо у и воспользовавшись
дистрибутивностью, получим
(х, у, г) + (х, г, у) = 0.
Проделанная операция называется линеаризацией ис-
исходного тождества по у. Линеаризуя аналогичным об-
образом тождество левой альтернативности, получим
(х, z, у) + (z, х, у) = 0.
Из полученных тождеств следует, что в альтернатив-
альтернативной алгебре (а. а.) ассоциатор (л;, у, z) является зна-
знакопеременной (альтернативной) функцией своих ар-
аргументов. В частности, в а. а. Л справедливо тожде-
тождество
(ж, у, х) = 0.
Алгебры, удовлетворяющие последнему тождеству, на-
называются эластичными. Например, любая коммута-
коммутативная или антикоммутативная алгебра эластична.
Далее, во всякой а. а. справедливы тождества
. . ; (х, у, yz) = (х, у, z) у,
^ ■ (х, у, zy) = у (х, у, z),
из которых легко следуют известные тождества Му-
фанг:
(ху ■ z) у = х (yzy) — правое тождество Муфанг,
(yzy) х — у (z ■ ух) — левое тождество Муфанг,
(ху) (zx) = х {yz) x — центральное тождество Муфанг.
С помощью этих же соотношений и их линеаризации
доказывается теорема Артина: в а. а. А любые два
элемента порождают ассоциативную подалгебру
([37], теорема 2.2).
Из теоремы Артина и теоремы Веддерберна о ко-
конечных ассоциативных телах, утверждающей, что лю-
любое такое тело коммутативно и порождается как
398 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
кольцо одним элементом, легко вытекает следующий
результат: всякое конечное альтернативное^ тело ас-
ассоциативно (и коммутативно). Этот результат имеет
важное приложение в теории проективных плоско-
плоскостей— из него следует, что всякая муфангова конеч-
конечная проективная плоскость дезаргова (см. [83]).
Из теоремы Артина следует также, что всякая
а.а. А моноассоциативна и в ней однозначно опреде-
определен ниль-радикал Nil Л.
Пусть А — а. а., М — альтернативный Л-бимодуль,
(рД)—бипредставление алгебры А, ассоциированное
с М. Говорят, что А действует нильпотентно на М,
если нильпотентна подалгебра <р (A)\j Я(Л)>, порож-
порожденная в алгебре EndM множеством p(A)[j'k(A).
Если х^А, то говорят, что х действует нильпотентно
на М, если подалгебра <р(л;)Д(л;)> нильпотентна. Из
определения альтернативного бипредставления сле-
следует, что алгебра <р(х)Д(л;)> коммутативна и
р(хк) = p(x)k, Х(хк) = X(x)k. Отсюда видно, что если
элемент х нильпотентен, то он действует нильпотент-
нильпотентно на любом бимодуле.
Если каждый элемент а. а. А над полем F дей-
действует нильпотентно на конечномерном альтернатив-
альтернативном Л-бим( дуле М, то и А действует нильпотентно
на М.
Рассматривая регулярное бипредставление, мы по-
получаем, что в конечномерной а. а. А всякая ниль-под-
алгебра нильпотентна. В частности, ниль-радикал
Nil Л конечномерной а. а. А нильпотентен ([249],
с. 30).
Факторалгебра A/NUA не содержит ненулевых
ниль-идеалов, т. е. является ниль-полупростой. Ко-
Конечномерная ниль-полупростая а. а. изоморфна пря-
прямой сумме простых алгебр, каждая из которых либо
ассоциативна и является алгеброй матриц над неко-
некоторым телом, либо есть алгебра Кэли—Диксона над
своим центром ([249], с. 43, 56).
Конечномерная а. а. А над полем F называется
сепарабельной, если для любого расширения К поля/7
алгебра Ак = K®fА является ниль-полупростой. Как
и в случае ассоциативных алгебр, это эквивалентно
тому, что алгебра А является прямой суммой про-
простых алгебр и центр каждой ее простой компоненты
является сепарабельным расширением поля F.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 399
Следующая теорема обобщает на а.а. классиче-
классическую теорему Веддерберна—Мальцева из теории ас-
ассоциативных алгебр. Пусть А — конечномерная а. а.
над полем F, N*=N\\A — ее нильрадикал. Если фак-
торалгебра A/N сепарабельна над F, то А = В® N
(прямая сумма векторных пространств), где В — под-
подалгебра алгебры А, изоморфная A/N. Если F—поле
характеристики Ф2, 3 и Вх — другая подалгебра ал-
алгебры А, изоморфная A/N, то найдется такой внут-
внутренний автоморфизм ф алгебры А, что В\ = В (см.
[249], с. 59, 90, а также McCrimmon K.//J. Al-
Algebra. — 1974. — V. 28, N 3. —P. 484—495).
Внутренние автоморфизмы а. а. в общем случае
выглядят довольно сложно (см. цитированную выше
статью). Однако над полем характеристики нуль ав-
автоморфизм ф можно выбрать из подгруппы, порож-
порожденной автоморфизмами вида exp D (см. п. 1.1), где
D — нильпотентное внутреннее дифференцирование
алгебры А, лежащее в радикале ее алгебры умноже-
умножений М(А). -
В а. а. Л для любых х, у ^ А оператор
™х, у = R[x, у] L\x, у\ 3 [Lx, Ry\
является внутренним дифференцированием (см.
п. 1.1). Если в А есть единица и в кольце скаляров
есть 1/3, то всякое внутреннее дифференцирование
алгебры А имеет вид
где N (А) — ассоциативный центр алгебры А.
Пусть О—алгебра Кэли—Диксона над полем F
характеристики, отличной от 2 и 3. Тогда алгебра
дифференцирований Der О является 14-мерной про-
простой центральной алгеброй Ли. При этом Der О =
= InderO, и всякое дифференцирование D из Der О
имеет вид D — £ Dx., y xu yt <= О (см. [249], с. 87).
i
Вместе с известными фактами о дифференцированиях
простых центральных ассоциативных алгебр этот ре-
результат влечет, что всякое дифференцирование D ко-
конечномерной сепарабельной а. а. А характеристики
=5^2,3 является внутренним и имеет вид (*). При
этом в случае характеристики 0 можно взять а — 0.
400 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Отметим еще, что конечномерная а. а. А характе-
характеристики 0 является ниль-полупростой тогда и только
тогда, когда полупроста (в смысле разрешимого ра-
радикала) алгебра Ли Der A.
Как и в случае ассоциативных алгебр, всякий аль-
альтернативный бимодуль над сепарабельной а. а. вполне
приводим. Если А — конечномерная а. а., М — точный
неприводимый альтернативный Л-бимодуль, (р,Я) —
соответствующее бипредставление алгебры А, то либо
М — ассоциативный бимодуль над (ассоциативной)
алгеброй А, либо имеет место один из случаев: 1) А—
алгебра обобщенных кватернионов, Я — (правое) ас-
ассоциативное неприводимое представление А, р(а) =
= Х(а) для любого иеУ1; 2) А — алгебра Кэли—
Диксона, М = А — регулярный Л-бимодуль (J а -
cob son N.//Osaka Math. J.—1954. —V. 6.—
P. 1—71).
В структурной теории бесконечномерных а. а. наи-
наиболее важную роль играют квазирегулярный и пер-
первичный радикалы.
Квазирегулярный радикал Rad/4 а. а. А является
прямым обобщением соответствующего понятия из
теории ассоциативных алгебр и допускает несколько
эквивалентных характеризаций: A) Rad/4 — наиболь-
наибольший правый [левый] квазирегулярный идеал алгеб-
алгебры А; B) Rad/4 равен пересечению всех максималь-
максимальных модулярных правых [левых] идеалов алгебры Л;
C) Rad-Д равен пересечению ядер всех неприводимых
правых [левых] представлений алгебры А.
Здесь, как и в случае ассоциативных алгебр,
идеал / называется квазирегулярным, если каждый
элемент х^1 квазиобратим (т. е. элемент 1—х об-
обратим в алгебре Л#, полученной из Л присоединением
внешним образом единицы); правый идеал / назы-
называется модулярным, если существует такой элемент
ееЛ, что х — ех е / для любого ie-4.
Алгебра Л называется полупростой, если RadЛ=0,
и примитивной (справа), если в Л есть максималь-
максимальный модулярный правый идеал, не содержащий нену-
ненулевых двусторонних идеалов. Всякая полупростая
а. а. изоморфна подпрямой сумме примитивных ал-
алгебр, каждая из которых, в свою очередь, либо ассо-
ассоциативна, либо является алгеброй Кэли—Диксона
([37], теоремы 10.2, 10.4, 10.5).
§ 3. НЕАССОЦНАТИВНЬШ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 401
Первичный радикал а. а. А определяется как наи-
наименьший идеал Р(А), для которого факторалгебра
А/Р(А) полупервична (т. е. не содержит ненулевых
нильпотентных идеалов). При этом сам идеал Р(А),
вообще говоря, может не быть нильпотентным (хотя
является ниль-идеалом). Всякая полупервичная ал-
алгебра изоморфна подпрямой сумме первичных алгебр
(т. е. таких алгебр, в которых произведение любых
двух ненулевых двусторонних идеалов всегда отлично
от нуля). Примерами первичных алгебр могут слу-
служить простые алгебры или алгебры без делителей
нуля.
Всякая простая неассоциативная а. а. является ал-
алгеброй Кэли ^Диксона над своим центром ([37],
с. 181). В частности, любое альтернативное тело либо
ассоциативно, либо является алгеброй Кэли—Диксона
над своим центром.
Со всякой простой центральной алгеброй тесно
связана серия первичных алгебр. Пусть А — некото-
некоторая центральная алгебра над полем F. Подкольцо
В £ А называется центральным порядком в А, если
его центроид Z содержится в F и кольцо частных
Z~lB = {г-гЬ\0 ф z^Z, b e В} совпадает с Л. Легко
видеть, что всякий центральный порядок простой ал-
алгебры является первичной алгеброй. Центральные
порядки в алгебрах Кэли — Диксона называются
кольцами Кэли—Диксона. Этими кольцами, за исклю-
исключением некоторых «патологических» случаев, исчерпы-
исчерпываются первичные а. а.
Всякая первичная неассоциативная а. а. характе-
характеристики фЗ является кольцом Кэли—Диксона ([37],
с. 230).
Ограничение на характеристику, вообще говоря,
существенно. Однако его можно заменить, например,
условием отсутствия в алгебре А абсолютных делите-
делителей нуля (т. е. таких элементов а, для которых
аАа = 0) либо условием отсутствия в А ненулевых
локально нильпотентных идеалов. Напомним, что ал-
алгебра А называется локально нильпотентной, если
каждая конечнопорожденная подалгебра в А нильпо-
тентна. Во всякой а. а. А существует наибольший ло-
локально нильпотентный идеал ЫМ(Л), который назы-
называется локально нильпотентным радикалом алгеб-
алгебры А. Радикал ЫЧ(Л) содержит все односторонние
402 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
локально нильпотентные идеалы алгебры А и все аб-
абсолютные делители нуля; факторалгебра A/LN(A)
является LN-полупростой и изоморфна подпрямой
сумме первичных LN-полупростых алгебр.
Радикалы Nil Л, Rad Л, ЬЫ(Л) и Р (А) связаны
включениями
Rad A = Nil A = L
которые, вообще говоря, являются строгими уже в
случае ассоциативных алгебр. В конечномерных а. а.
все эти радикалы совпадают с обычным нильпотент-
ным радикалом. Более того, они совпадают в классе
артиновых а. а. (т. е. алгебр, удовлетворяющих усло-
условию минимальности для правых идеалов), для кото-
которых справедливо обобщение классической ассоциа-
ассоциативной теории: во всякой артиновой а. а. А радикал
Rad Л нильпотентен; алгебра А будет полупростой
артиновой тогда и только тогда, когда она является
конечной прямой суммой полных матричных алгебр
над телами и алгебр Кэли—Диксона ([37], теоремы
12.2, 12.3).
Отсюда нетрудно вывести, что в артиновой а. а.
всякая нильподалгебра нильпотентна. В частности,
в классе артиновых алгебр свойства разрешимости и
нильпотентности эквивалентны. При некоторых огра-
ограничениях на характеристику эти свойства эквивалент-
эквивалентны и для конечно порожденных алгебр и их под-
подалгебр. В общем случае это не так — над любым полем
существуют примеры разрешимых не нильпотентных
а. а. Тем не менее, разрешимость и нильпотентность
в классе а. а. связаны достаточно тесно: если А —
разрешимая альтернативная Ф-алгебра, то подалгеб-
подалгебра А2 нильпотентна, а если 1/3 еФ, то (Л"K = 0для
некоторого п (Пчелинцев С. В.//Тр. ин-та мат.
СО АН СССР.— 1984. —Т. 4. —С. 81 —101). Отметим
еще, что над полем характеристики 0 всякая альтер-
альтернативная ниль-алгебра ограниченного индекса разре-
разрешима ([37], с. 161).
Многие вопросы теории а. а. сводятся к изучению
строения свободных алгебр и Vl-алгебр, т. е. алгебр,
удовлетворяющих существенным полиномиальным
тождествам, — таким тождествам, которые не являют-
являются следствиями ассоциативности.
§3 ПГ\С^С1|ИАТИЗ"Ь'Е КОЛЬЦ\ II АЛГЕБРЫ 4СЧ
Приведем основные свойства свободных а. а. ([37],
гл. 13; И л ь т я к о в А. В.//Алгебра и логика.— 1984.
— 23, № 2.— С. 136—158; Пчелпнцсв С. В.//Изв.
АН СССР. Сер. мат.—1986. —Т. 50, № 1; Филип-
Филиппов В. Т.//Тр. Ин-та мат. СО АН ССС^». — 1984.—
Т. 4.— С. 139— 15G; Шестаков И. П.//Мат. сб.
1983. —Т. 122, № 1.—С. 31—40). Пусть A=A\t[X] —
свободное альтернативное кольцо от множества сво-
свободных порождающих X; 3(Л) и N (А)—центр и ас-
ассоциативный центр кольца А. Тогда: 1) [x,y]4^N (А)
и (х, у, zL е 3 {А) для любых х, у, z<=A; 2) при
{Х\>2 кольцо А не первично, а при \Х\>3~
не полупервично; 3) Rad A = LN(A) = {хеЛ | *"(*> =
= 0} = Г (О) Л D (А), где Г (О)—идеал тождеств мат-
матричной алгебры Кэли — Диксона O(Z), а £>(Л)— ассо-
циаторный идеал кольца Л; 4) если |Х|<оо, то
Rad Л нильпотентен; 5) если |Х| < | У| < оо, то в
АН[Х] выполнено некоторое тождество, не выпол-
выполняющееся в Alt [У]; 6) при достаточно большом А'
в аддитивной группе кольца Alt[X] есть ненулевые
элементы порядка 3.
Свойства 1)—4) выполнены и в свободной а. а.
Л?=АНр[Х] над произвольным полем F; свойство
5) — над полем F характеристики ф2. Если F — поле
характеристики ф2,3, то RadЛF = 0 при 1X1 = 3; на-
наконец, если F — поле характеристики 0, то RadЛF
нильпотентен при любом\X.
Изучение строения альтернативных PI-алгебр про-
проходит, в основном, по образцу ассоциативной Р1-тео-
рии. К настоящему времени многие принципиальные
результаты этой теории перенесены на а. а. Одним из
эффективных методов изучения альтернативных
PI-алгебр является переход к алгебрам из других
классов, так или иначе связанных с данной PI- ал-
алгеброй Л. Например, нетрудно проверить, что алгебра
Л(+> для а.а. Л является специальной йордановой ал-
алгеброй (см. п. 3.1), причем если Л является PI-алгеб-
рой, то Л(+> — йорданова PI-алгебра. С использова-
использованием этой связи в классе альтернативных PI-алгебр
положительно решается проблема Куроша: если в
альтернативной PI-алгебре Л всякая однопорожден-
ная подалгебра конечномерна, то и всякая конечно
порожденная подалгебра алгебры Л конечномерна
([37], теорема 5.6). В общем случае эта проблема
404 гл- ш- КОЛЬЦА II МОДУЛИ
решается отрицательно уже для ассоциативных ал-
алгебр (хотя для тел ответ неизвестен). Решение про-
проблемы для а. а. существенно опирается на случай
специальных йордановых алгебр. Приведем важный
частный случай этого результата: а. а. с тождеством
х" =0 локально нильпотентна.
Наряду с йордановой алгеброй Л(+>, часто полезно
привлекать к изучению свойств а. а. А алгебру правых
умножений R(A), которая наследует многие свой-
свойства А. Например, если А — конечно порожденная
PI-алгебра, то такова же и алгебра R(A), и мы мо-
можем применить в этом случае к изучению А развитую
ассоциативную PI-теорию. На этом пути доказывает-
доказывается, например, что в конечно порожденном альтернатив-
альтернативном PI-кольце или конечно порожденной PI-алгебре
над полем квазирегулярный радикал ' нильпотентен
(Шестаков И. П.//Мат. сб.— 1983.— Т. 122, № 1.—
С. 31—40).
В последнее время начали изучаться альтернатив-
альтернативные супералгебры (см. п. 3.2). Всякая первичная аль-
альтернативная супералгебра А=А0-\-А\ характери-
характеристики =5^=2,3 либо ассоциативна, либо Лi = 0 и Ло—
кольцо Кэли—Диксона (Зельманов Е. И., Шес-
Шестаков И. П.//Тез. сообщ. 19-й Всесоюз. алгебр,
конф. — Львов, 1987).
3.5. Йордановы алгебры. Напомним, что алгебра
называется йордановой (й. а.), если она удовлетво-
удовлетворяет тождествам
ху = ух, (х2у) х = х2 (ух).
В этом пункте мы предполагаем, что кольцо скаля-
скаляров Ф содержит 1/2 (основное поле F имеет харак-
характеристику, не равную 2).
Рассмотрим основные примеры й. а.
1. Пусть А — ассоциативная алгебра. Тогда, как
отмечалось в п. 3.1, алгебра Л(+) является й.а. Вся-
Всякий Ф-подмодуль / в А, замкнутый относительно опе-
операции х ■ у = -к(ху -\- ух), образует подалгебру ал-
алгебры Л<+) и, следовательно, является й.а. Такая й.а.
/ называется специальной, а подалгебра Ао в А, по-
порожденная /. называется ассоциативной обертываю-
обертывающей для /. Свойства алгебр А и Л(+> тесно связаны:
Л является простой (первичной, нильпотентной) то-
тогда и только тогда, когда соответствующим свойством
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 405
обладает Л(+>. Алгебра Л<+> может оказаться йорда-
новой и для неассоциативной А. Например, если Л—
правоальтернативная (в частности, альтернативная)
алгебра, то Л(+) — специальная й. а. (см. п. 3.6).
2. Пусть X — векторное пространство размерности
больше 1 над полем / с заданной на X симметриче-
симметрической невырожденной билинейной формой f(x,y). Рас-
Рассмотрим прямую сумму векторных пространств
/(X, f) = F ® X и зададим на ней умножение фор-
формулой
(а +х)$+у) = (ар + f (х, у)) + (ш/ + И-
Тогда J(X,f)—простая специальная й. а.; обертываю-
обертывающей для нее является алгебра Клиффорда Cl(X,f)
билинейной формы f, В случае, когда £=1^ и f(x,y) —
обычное скалярное произведение на X, алгебру
J(X,f) называют спин-фактором и обозначают через
Vn, где п— 1 = dimFX-
3. Пусть А — ассоциативная алгебра с инволюцией
*. Множество Н(A, *) = {ft e A \h = h*} симметриче-
симметрических относительно * элементов замкнуто относительно
йорданова умножения х-у и поэтому является специ-
специальной й. а. Например, если D — композиционная ас-
ассоциативная алгебра над F с инволюцией d>-^d и
Mn(D)—алгебра матриц п-го порядка над D, то ото-
отображение S: (aii)i—>(a.ji) является инволюцией в
Mn(D), и множество Ь-эрмитовых матриц H(Dn) =
= H(Mn(D),S) является специальной й.а. Если ал-
алгебра А «-проста (т. е. не содержит таких собствен-
собственных идеалов /, что 1*^1), то алгебра Н(А,*) про-
проста; если А «-первична, то Н(А,*) первична. В част-
частности, все алгебры Н(О„) простые. Всякая алгебра
вида Л<+> изоморфна алгебре Н(В, •»), где Б=ЛХ^°,
алгебра А° антиизоморфна А, (аи а2)* = (аг, а.\)-
4. Если D = О — алгебра Кэли—Диксона, то соот-
соответствующая алгебра эрмитовых матриц Н(Оп) бу-
будет й.а. только при п ^ 3. В случаях п = 1, 2 полу-
получающиеся алгебры изоморфны некоторым алгебрам
из примера 2 и* следовательно, специальны. Алгебра
/^(Оз) не является специальной и дает нам пример
простой исключительной й. а. Йорданова алгебра /
называется алгеброй Алберта, если /<8>/С~Я(О3)
р
для некоторого расширения К поля F. Всякая алгебра
406 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Алберта проста, исключительна и имеет размерность
27 над центром.
Пусть / — й.а., a,b,c^J. Рассмотрим регулярное
бипредставление а*—>La, а\—>Ra алгебры /. Тогда
La = Ra, [Ra', Ra] = 0,
Ra'b - RbRa' + IRaRbRa ~ 2RaRba = 0.
Линеаризуя последнее соотношение по а, получим
Rac Ь — RbRac + RaRbRc + RcRbRa ~ RaRbc ~ RcRba=0. (*)
Отсюда легко следует, что для любого k ^ 1 опера-
оператор Rak принадлежит подалгебре A^EndJ, порож-
порожденной операторами Ra, Ra*. Так как А коммутатив-
коммутативна, то мы имеем [Rab, Ran]=0 для Л1°бых k,n~^\,
что равносильно условию (ak,J,ar-) = 0. В частности»
всякая й.а. / моноассоциативна, и в ней однозначна
определен ниль-радикал Nil /. Как и в случае альтер-
альтернативных алгебр, справедлива теорема: если /—ко-
/—конечномерная й. а., то радикал Nil / нильпотентен, а
факторалгебра //Nil / изоморфна прямой сумме про-
простых алгебр ([177], с. 195, 201).
Важным примером полупростых й. а. над R яв-
являются формально вещественные й. а., т. е. такие ал-
алгебры, в которых равенство л:2-|-г/2 = О влечет а—
= у = 0. Конечномерные формально вещественные
й. а. характеризуются как прямые суммы простых ал-
алгебр одного из видов: R, Vn, #(Rn)> H(Cn), #(Н„),
Я(О3), где С — поле комплексных чисел, Н — тело
кватернионов, О — алгебра чисел Кэли ил^З (Jor-
(Jordan Р., von Neumann J., Wigner E.//Ann. Math.—
1934. — V. 36. — P. 29—64). Сходным образом описы-
описываются простые конечномерные алгебры над алгеб-
алгебраически замкнутым полем F: всякая простая конеч-
конечномерная й. а. над алгебраически замкнутым полем F
изоморфна либо F, либо алгебре J(X,f), либо ал-
алгебре эрмитовых матриц H(Dn), п ^ 3, над компози-
композиционной алгеброй D, ассоциативной при п > 3 (см.
[177], с. 204). Поскольку конечномерная коммута-
коммутативная моноассоциативная ниль-полупростая алгебра
над полем характеристики 0 является йордановой, то
данная теорема дает одновременно описание простых
конечномерных коммутативных моноассоциативных
алгебр характеристики 0, не являющихся ниль-ал-
гебрами.
§ 3. НЕАССОЦНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ Л <7
В конечномерной й. а. / с сепарабельной фактор-
алгеброй //Nil / верен также аналог классической
теоремы Веддерберна—Мальцева об отщеплении ра-
радикала и сопряженности полупростых фактороз
([177], с. 292, 305).
Строение йордановых бимодулей над й. а. / опре-
определяется строением ее универсальной мультиплика-
мультипликативной обертывающей алгебры U(J), которая опре-
определяется как факторалгебра тензорной алгебры Т (/)
по идеалу, порожденному множеством элементов вида
«2 <g> а — a <g> a2, a2b — Ъ ® а2 + 2а <g> Ь ® а — 2а <g> Ьа, где
а, Ъ е /. Линейное отображение р: /->EndM является
представлением й. а. / (или, что эквивалентно, пара
(р, р) является бипредставлением /) тогда и только
тогда, когда существует гомоморфизм ассоциативных
алгебр <р: £/(/)-> End M, совпадающий с р на элемен-
элементах из /, отождествленных с их каноническими обра-
образами в U(J). Поэтому описание йордановых /-бимо-
/-бимодулей сводится к определению строения алгебры U(/)
и изучению ее ассоциативных представлений. Конеч-
Конечномерная й.а. / сепарабельна тогда и только тогда,
когда U(J) сепарабельна. Отсюда следует, что вся-
всякий Йорданов бимодуль над сепарабельной конечно-
конечномерной й. а. вполне приводим. Строение алгебр U(J)
известно для всех простых центральных конечномер-
конечномерных й.а. / (см. [177], с. 272, 284). Тем самым опре-
определены и неприводимые /-бимодули (они соответ-
соответствуют простым компонентам алгебры £/(/)).
Примеры 1) Пусть / — алгебра Алберта. Тогда U(J) —
= F X Mzi (F). Компонента F соответствует тривиальному одно-
одномерному /-бимодулю, a Mz~,(F)—регулярному /-бимодулю. Так
как тривиальные бимодули мы обычно не считаем неприводи-
неприводимыми, то всякий неприводимый /-бимодуль изоморфен регуляр-
регулярному бимодулю 2) J=J(X,f). Тогда V(J) = FX Cl(X, f)X
Xfl(X, f), где D(X, f)—алгебра мезонов, определяемая как
факторалгебра Т(Х)/1, где Т(Х)—тензорная алгебра простран-
пространства X, а / — идеал в Т(Х), порожденный всеми элементами
вида х ® у ® х — f (х, у)х, где а, у е X. Можно показать, что
D(X, f) изоморфна подалгебре алгебры Cl(X, f)®Cl(X, f), по-
порожденной элементами вида х ® 1 + 1 ® х, х е /.
Если й. а. / 'содержит идемпотент е, то оператор Re
удовлетворяет равенству ReBRe—1) (Re—1) = 0, по-
поэтому для / имеет место следующий аналог разложе-
разложения Пирса из теории ассоциативных алгебр;
/ = /l©/l/2©/0,
408 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
где /;=/;(е) = {хе/]к = ц}; при этом j]<=Ji,
JJ\I2 S /1/2, JiJj = 0, /?/2 S /1 + Jo, i, 7 = 0, 1; / ^= y.
Более общо, если в / есть единица 1 = X сь где
ег — ортогональные идемпотенты, то /=ф/,;-, где
/м =/i (<?<), /ч=/1/2(<?г)П/1/2(е/) при /=^=/; при этом
компоненты Jrj перемножаются по правилам:
Jii^Jii, JijJa^Jij, Jij £= 1ц -\- Jjj,
JiJii = 0 при i ф j;
hihi=®, если /, /, k, l различны.
Ортогональные идемпотенты с\, е2 называются
сильно связанными, если существует такой элемент
и[2 е /|2, что 42i2 = е\~\~ е2- Отношение сильной свя-
связанности транзитивно. Справедлива координатизаци-
онная теорема, описывающая строение и. а., содержа-
содержащих л ^ 3 сильно связанных идемпотентов, сумма
которых равна единице: всякая такая алгебра изо-
изоморфна йордановой алгебре H(Dn) эрмитовых матриц
над альтернативной (ассоциативной при л>3) алгеб-
алгеброй D с инволюцией *, оставляющей неподвижными
в D лишь элементы из ассоциативного центра (не
обязательно все) ([177], с. 133). В частности, всякая
й.а. /, содержащая более трех сильно связанных ор-
ортогональных идемпотентов, специальна.
С каждой и. а. / связано несколько интересных
алгебр Ли. Мы уже знаем некоторые из них: это ал-
алгебра дифференцирований Der/, лиева алгебра умно-
умножений Lie/ и алгебра внутренних дифференцирова-
дифференцирований Inder/ = Der / f] Lie /. Определим теперь струк-
структурную алгебру Strl / и суперстуктурную алгебру
(или конструкцию Титса — Кантора — Кёхера) K(J).
Пусть /—й.а. с единицей 1, a,b,c^J. Из равен-
равенства (*) на с. 406 кососимметризацией по а, Ь по-
получаем
Rla.e.b)=[Rc, [Ra,
Так как (а, с, b) = c[Ra,Rb), то оператор [Ra, Rbl
оказывается дифференцированием алгебры /. Кроме
того, Lie J = Rj + [R/,Rj], где Rj = {Ra\ a e= /}. Так
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 409
как Der/n^/ = 0- то мы имеем Inder / == Der /f|
р Lie/ = [Rj,Rj], т. е. всякое внутреннее дифферен-
дифференцирование в / имеет вид D = £ [Rat, Rbt], щ, bt e/.
Одновременно доказано, что Lie/ = Rj © Inder / —
прямая сумма Ф-модулей с умножением
где a, b е /; D, D' e Inder /. Если взять здесь D и Z)'
из алгебры Der/, то та же формула будет задавать
умножение на Ф-модуле /?/©Der/. Полученная ал-
алгебра снова является алгеброй Ли, которая назы-
называется структурной алгеброй алгебры / и обознача-
обозначается Strl /.
Пусть /—конечномерная полупростая й. а. над
полем характеристики 0. Тогда Der / = Inder/ —
вполне приводимая алгебра Ли. Если / не содержит
простых слагаемых размерности 3 над центром, то
алгебра Der/ полупроста ([119], с. 285).
Приведенное ограничение существенно, так как
Der Уз—одномерная алгебра Ли. Для центральной
простои й.а. / алгебра Der/ является простой за ис-
исключением алгебр J(X,f), где dimX = 2,3,5, и ал-
алгебры H(Fa). Если J = H{Dn), где л ;> 3 и D—ком-
D—композиционная алгебра размерности d над F, то раз-
размерность алгебры Der/ задается таблицей
d
dim (Der/)
1
п(п — 1)/2
2
и2- 1
га Bге+1)
8
52 (я = 3)
В частности, алгебра Der#(O3)—простая 52-мер-
52-мерная алгебра Ли.
Структурная алгебра Strl / для конечномерной по-
полупростой й. а. / уже не является полупростой, так
как она содержит в своем центре элемент /?i = Id/, где
1 —единица алгебры /. Пусть Jo={x<=J\tr(Rx)=O},
тогда J=F ■ 1 ф /0 и Strl / = F ■ Я, © Rja © Der /. Легко
видеть, что (Strl/J=#/o© Der/. Подалгебра Strlo/=
— ^/„©Der/ коразмерности 1 в Strl/ называется
приведенной структурной алгеброй алгебры /.
4!0 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Пусть / — центральная простая й. а. конечной
размерности л>1 над полем характеристики 0.Тогда
Stri.i/ — полупростая алгебра Ли ([119], с 293)
Если J — Н(Dn), где я^З и D — композиционная
алгебра размерности d над F, то алгебра Strl0/ про-
проста при d = l,4,8, а при d = 2 является прямой сум-
суммой двух изоморфных простых алгебр.
Например, алгебра Strlo#(Q3) является простой
алгеброй Ли размерности B7—1)+ 52 = 78.
Тройным йордановым произведением элементов
а, Ъ, с й.а. / называется выражение {abc}— (qb)c-\-
-\-{cb)a — b(ac). Положим (ja, ь(х) = {ахЬ}, Va, &(*) =
= {abx), Ua = Ua.a. Заметим, что если в / есть еди-
единица, то обычное умножение выражается через трой-
тройное, так как Ra = Vi,a; кроме того, Va, ъ = Rab —
— [Ra, Rb] e= Strl /.
Рассмотрим вновь структурную алгебру Strl / =
= Rj Ф Der /. Зададим отображение * алгебры Strl /
в себя, полагая (#a-|-D)* = —Ra-\-D. Легко видеть,
что * — автоморфизм порядка 2 алгебры Strl/. Обра-
Образуем Ф-модуль K(J) = J ф Strl /Ф J, где I изоморфен
/ относительно изоморфизма а^—^а. Определим те-
теперь умножение на K(J), полагая
[a+T + b, c + S + d] =
= (aS - сТ) + (Vat d - Ve> b + [T, S]) + (bS* - aT).
Полученная алгебра K(J) является алгеброй Ли, ко-
которую называют суперструктурной алгеброй или кон-
конструкцией Титса—Кантора—К'ёхера для /.
Соответствие /->/((/) функториально, и суще-
существует тесная связь между свойствами алгебр / и
КA). Алгебра / проста (полупроста, разрешима) то-
тогда и только тогда, когда такова же K(J) (см. [177],
с. 329—333).
Алгебра K(J) допускает менее формальное толкование.
Пусть Pol/ — векторное пространство полиномиальных отобра-
отображений из / в /.Известно, что Pol/ образует алгебру Ли относи-
относительно скобок Пуассона [р, q] (х) |д — ■ q (х) -^—- р (х)
— алгебру Ли полиномиальных векторных полей на /
(см. п. 3.7). Нетрудно убедиться, что К (/) изоморфна подалгеб-
подалгебре алгебры Pol /, состоящей из квадратичных полиномов ви -
да а + Тх + {xbx}, где а, Ь е /, Т е= Strl /.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 411
Примеры. 1) Пусть / = R. Тогда K(R) состоит из мпо-
гочлеиов вида р(х) = pt + р2х + р3*2, где p,eR; при этом
[р, ?](*) = P'(x)<l(x) —Ч'(Х)Р(Х) = (P2
+ 2(<?3pi — )
Следовательно, .K(R) ~ slB, R) (см. п. 3.7). 2) Пусть / — ал-
алгебра Алберта. Тогда K(J) простая ал1ебра Ли размерности
27 + 79 + 27 = 133
Конструкция Титса — Кантора — Кё'хера позволяет на са-
самом деле получить не одну алгебру Ли, а целую серию. Имен-
Именно, пусть Н — произвольная подалгебра алгебры Strl/, содер-
содержащая подалгебру Яу + Inder/; тогда Ф-модуль Kh(J)=J®
@Н®1 является подалгеброй в КA). Все алгебры Kh(J) яв-
являются 3-градуированными, т е имеют вид L = L_i Ф La Ф Lit
где L,L, s L, + l, I i = 0 при |г'| > 1; при этом L_i = /, Lo = Н,
7
Элемент а й.а. / с единицей 1 называется обра-
обратимым, если оператор Ua = 2R2a — Ra> обратим в
End /. Легко видеть, что а обратим тогда и только
тогда, когда 1 лежит в образе Ua- Положим а—
= aUa , тогда а~х также обратим и (flH)-' = a.
Если А — ассоциативная алгебра, то а обратим в А
тогда и только тогда, когда он обратим в Л(+), при
этом а-1 один и тот же как в А, так и А^+К Если в й . а
/ каждый ненулевой элемент обратим, то / назы-
называется й. а. с делением. Заметим, что из обратимости
элемента а в й. а., вообще говоря, не следует обра-
обратимость оператора Ra, поэтому в й. а. с делением
уравнения ах = Ь (а Ф 0) не всегда разрешимы.
Если в ассоциативной алгебре А зафиксировать
обратимый элемент с и определить новое с-умножение
a-b = acb, то полученная алгебра Л'с) снова будет
с
ассоциативной, причем элемент с-1 будет единицей
в Л(с). Аналогично, для й. а. / с обратимым элементом
с алгебра /(с), полученная введением на / с-умноже-
с-умножения а-Ъ = {acb}, будет й. а. с единицей с~К Алгебра
с
/(с) называется с-изотопом алгебры /. Две й.а. назы-
называются изотопными, если одна из них изоморфна изо-
изотопу другой; соответствующий изоморфизм называет-
называется изотопией.
В ассоциативном случае алгебры А и Л(с) всегда изоморф-
изоморфны отображение х\—=> хс~1 есть изоморфизм А на Л(с), поэтому
понятие изотопии здесь не играет особой роли. В йордановом
412 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
случае ситуация другая; алгебра J(c) может быть не изоморф-
изоморфной /. Например, алгебра / = Н(R2) не содержит нильпотент-
ных элементов, а ее изотоп J(c> для с = е12 + e2t содержит
нильпотентный элемент еп: е1{ ■ еи = еп (ei2 + е%\) еи = 0. Тем
с
не менее многие важные свойства й а , например, простота, спе-
специальность инвариантны относительно изотопии; изотопным й. а.
соответствуют изоморфные структурные и суперструктурные ал-
алгебры ([177], с. 328).
Изотопия й. а. / на себя называется автотопией
(иначе говоря, автотопия — это изоморфизм алгебры
на свой изотоп). Совокупность всех автотопий й.а. /
образуют группу, которая называется структурной
группой алгебры / и обозначается Str/. Группа Str/
является алгебраической группой, ее алгебра Ли есть
структурная алгебра Stii/. Автоморфизмы / — это ав-
автотопий, оставляющие неподвижной единицу 1 алгеб-
алгебры /. Более общо, два изотопа /(а) и /(&) изоморфны
тогда и только тогда, когда существует автотопия, пе-
переводящая а я Ь.
Ряд важных теорем теории й. а. выполняется «с точностью
до изотопии», т. е. их заключениям удовлетворяют не рассматри-
рассматриваемые алгебры, а лишь некоторые их изотопы. В связи с этим
и группа Str/ часто оказывается более полезной, чем группа
автоморфизмов Aut/. Например, для й.а. нет естественного по-
понятия внутреннего автоморфизма, в то время как для любого
обратимого ое/ оператор U~ является «внутренней автото-
автотопией» из / в Ра К Все это наводит на мысль о существовании
некоторого алгебраического объекта, объединяющего й. а. / и
все ее изотопы и имеющие группу Str/ своей группой автомор-
автоморфизмов. Такой объект действительно существует — им является
йорданова пара (/, /).
Иордановой парой (й.п.) над полем F характери-
характеристики ^=2,3 называется пара V~ (V+, V") векторных
пространств с двумя трилинейными отображения-
отображениями Va X V~° X У°, сг=±, записываемыми в виде
(х, у, z)r~*{xyz) и удовлетворяющими тождествам
{xyz} = {zyx},
{ху {uvz}} — {uv {xyz}} = {{xyu} vz} — {u {yxv} z}.
Пусть V(J) = (J, J), где / — й.а. над F и {xyz} —
тройное йорданово произведение в /. Тогда V(J) —
й. п., для которой Aut V(J) c=;Str /. Если V— (V+, V ) —
произвольная й. п., то для любого аеР поостран-
:тво V~° с операцией умножения х ■ у = {хау} обра-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 413
зует й. а. /а- Если элемент а при этом обратим, то
у ~V{Ja) ■ Таким образом, (унитальные) й.а. «с точ-
точностью до изотопии» можно рассматривать как й. п.
с обратимыми элементами.
Векторное пространство Т, на котором определена
трилинейная операция {xyz}, удовлетворяющая тож-
тождествам из определения й. п., называется йордановой
тройной системой (й. т. с). Например, всякая й.а. яв-
является й.т.с. относительно тройного йорданова про-
произведения; прямоугольные рХ ^-матрицы образуют
й.т.с. Mp,q(F) относительно операции {хух} = ху'х
(трилинейная операция {xyz} в й.п. и й.т.с. полу-
получается линеаризацией по х квадратичной операции
{хух}), где у1—матрица, полученная транспонирова-
транспонированием матрицы у. Со всякой й. т. с. Т естественным
образом связана й.п. V(T) = (T, T). Не любая й.п.
получается таким образом, так как существуют й. п.,
у которых dim V+ ф dim V~. В паре V(T) есть инво-
инволюция (fi, £г)'—>(h, ti). Обратно, всякая й.п. с инво-
инволюцией имеет вид V(T) для подходящей й.т.с. Т.
Таким образом, й.т.с. можно рассматривать как й.п.
с инволюцией.
Приведем еще три примера й.п.: 1) V = (Мр, q(F), Mq,p(F)),
{хух} = хух. Легко видеть, что V~ V(T) для й т с. Т = Мр ,(Л,
рассмотренной выше; 2) V(R) = (R-,, R,), где R = R-t@)Ro(D
© Rt—ассоциативная 3-градуированная алгебра (R,R, s R,-+l,
Ri=0 при |(| > 1); {хух} = хух Если при этом R — простая
алгебра и ^_, + R, Ф 0, то V(R) — простая й п.; 3) V(L) =
= (£-i, Li), где L = L-\ Ф La Ф Li есть 3-градуированная ал-
алгебра Ли; {xyz} = {[х, у], г]. Примером такой алгебры Ли яв-
является суперструктурная алгебра L = K(J) для й.а. /• при этом
V(L) ~ V(J).
Подробнее о й. п. и й.т.с. см. [202], [209], 1265],
[224].
В последнее время активно изучается еще один
важный вид йордановых структур — йордановы су-
супералгебры (см. п. 3.2). Как и в случае обычных ал-
алгебр, существует тесная связь между йордановыми и
лиевыми супералгебрами; в частности, конструкция
Титса—Кантора—Кёхера обобщается на йордановы
супералгебры. С помощью этой связи на основе из-
известной классификации простых конечномерных су-
супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем
характеристики 0 (см. К а с V. G,//Commun. Algeb-
Algebra.—1977.—V. 5. —P. 1375—1400) получена класси-
414 гл. ш кольца и модули
фикация простых йордановых супералгебр с теми же
ограничениями. Как заметил недавно И. Л. Кантор,
приведенная в вышеупомянутой работе классифика-
классификация содержит пробел: пропущена серия простых йор-
дановых супералгебр, связанных с градуировками га-
мильтоновых супералгебр Ли.
Типичный пример йордановои супералгебры — это
алгебра Л<+>в, получающаяся введением на векторном
пространстве ассоциативной супералгебры Л=Л0ФЛ,
5 1
йорданова суперумножения х ■ у = -у (ху + (— 1)г/ ух),
хеЛ,-, у е А,-. Супералгебра / называется специаль-
специальной, если она вложима в подходящую алгебру Л(+)в.
Например, если в Л=Л0ФЛ1 есть суперинволюция
* (т. е. А]^А. и (*«/)* = (—1)г/ у*х* для х^А., у <=
е Л, то совокупность суперсимметрических элемен-
элементов Н(А, *) = {хе Л \х* = х) образует подалгебру в
A(+)s. Если X = Х0Ф Х\ — векторное пространство, на
котором определена суперсимметрическая билинейная
форма / (/ симметрична на Хо, кососимметрична на
Хи f(Xi,X,-) = 0 при i¥=j), то J(X, f) = F®X с умно-
умножением
(а + х) (р + у) = (ар + / (х, у)) + (ау + рх)
образует йорданову супералгебру с J0 — F(BX0,
/i =Х\. Для любой Z2-rpaflyHpoBaHHoft й.а. / = /оФ/i
ее грассманова оболочка G (У) = Go ® /о + G\ <8> /i яв-
является йордановои супералгеброй.
Вещественная й. а. / называется SB-алгеброй, если
на ней определена полная норма || ||, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям: 1) ||а6|| ^||а|| • ||6||, 2) ||а2||^||а||2,
3) ||а2||^||а2 + Ъ2\. Конечномерные /S-алгебоы — это
в точности формально вещественные й.а. Примерами
бесконечномерных /S-алгебр служат алгебра В{Н)
■самосопряженных ограниченных операторов в гиль-
гильбертовом пространстве Н (с йордановым умноже-
умножением) и алгебра C(S, Я(О3)) всех непрерывных функ-
функций на компакте S со значениями в Я(О3), где О —
алгебра чисел Кэли. Эти примеры достаточно общие,
•как показывает следующая теорема, аналогичная
теореме Гельфанда—Наймарка для С*-алгебр: для
любой /5-алгебры / существуют комплексное гиль-
•бертово пространство Н и компактное топологическое
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 41 &
пространство S такие, что / изометрически изоморф-
изоморфна замкнутой подалгебре алгебры S (Я)XС (S, #(Оз))
(см. [168], с. 155—156).
В основе современной структурной теории й. а.
лежат понятия абсолютного делителя нуля, невырож-
невырожденной алгебры и невырожденного радикала.
Элемент а Ф 0 й. а. / называется абсолютным де-
делителем нуля, если JUa — 0. Алгебра /, не содержа-
содержащая абсолютных делителей нуля, называется невы-
невырожденной. Наименьший идеал / алгебры /, для ко-
которого факторалгебра /// невырождена, называется
невырожденным радикалом алгебры /. Мы будем
обозначать его через rad/.
Примеры. i) Пусть / = А<+>, где А ассоциативна. Тогда
абсолютные делители нуля в Л(+) — это такие элементы а, для
которых аАа = 0. Алгебра Л<+> невырождена тогда и только
тогда, когда А полупервична. Радикал гас!Л<+> совпадает с пер-
первичным радикалом алгебры А. 2) / — конечномерная й. а. Тогда
rad / = Nil / наибольший нильпотентный идеал в /, и / невы-
невырождена тогда и только тогда, когда она полупроста.
Всякая невырожденная й. а. изоморфна подпрямой
сумме первичных невырожденных алгебр, которые
характеризуются как алгебры / одного из видов
(Зельманов Е. И.//Сиб. мат. ж. —1983.— Т. 24,
№ 1. —С. 69—104):
1) / — центральный порядок (см. с. 401) в й. а.
билинейной формы J(X,f);
2) Ai+)<l J s Q(A){+\ где Л —первичная ассоциа-
ассоциативная алгебра, Q(A)— ее мартиндейловское кольцо»
частных;
3) Н (А, *)<]/ ЕЯ (Q(A), ■*), где А — ассоциатив-
ассоциативная первичная алгебра с инволюцией *;
4) / — кольцо Алберта (т. е. центральный порядок
в алгебре Алберта).
В частности, всякая первичная невырожденная
и. а. либо специальна, либо является кольцом Ал-
Алберта.
Условие невырожденности в теореме существенно:
С В. Пчелинцев (Изв. АН СССР. Сер. мат.— 1986.—
Т. 50, № 1) построил пример (специальной) первич-
первичной й. а., обладающей базисом из абсолютных дели-
делителей нуля и, естественно, не являющейся алгеброй
Ни одного из типов 1)—4).
416 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Всякая простая й. а. является невырожденной, по-
поэтому описание простых й.а. следует из описания
первичных невырожденных й. а. При этом простые
й. а. характеризуются как алгебры одного из типов:
1) J = J(X,f);
2) /=Л<+>, где А — ассоциативная простая ал-
алгебра;
3) / = #(Л,*), где Л— простая ассоциативная
алгебра с инволюцией *;
4) / — алгебра Алберта.
Аналогичным образом описываются й. а. с деле-
делением: нужно только в случаях 2) и 3) считать, что
А—тело, в случае 1) квадратичная форма f(x, х) не
должна представлять квадратов элементов из поля F,
а в случае 4) / также должна удовлетворять некото-
некоторым дополнительным условиям (см. [177], с. 416,
421).
Понятие абсолютного делителя нуля и невырож-
невырожденности естественным образом переносятся на й.п.
и й. т. с. Первичные невырожденные и простые й. п.
и й.т. с. также описаны (Зельманов Е. И.//Сиб.
мат. ж.—1983. —Т. 24, № 4. —С. 23—37; 1984. —
Т. 25, № 5. —С. 50—62; 1985. —Т. 26, № 1. —С. 71 —
82). Приведем классификацию простых й.п.: йорда-
нова пара V проста тогда и только тогда, когда она
имеет один из видов: 1) V = {R-\,R\), где R = R-\®
(BR0(BR\ — простая 3-градуированная ассоциативная
алгебра, #_,+#, =?«=0; 2) V = (H(R-U*), #(Я,,*)),
где R — та же, что и в 1), с инволюцией *, сохраняю-
сохраняющей градуировку; 3) V=V(J(X,f); 4) V = (MU2(O),
Mi, 2 (О0))—пара 1 X 2-матриц над алгеброй Кэли—
Диксона О с умножением {хух} = х(у1х), где у1—мат-
у1—матрица, транспонированная к у, 0° антиизоморфна О;
5) У==У(/),где/ — алгебра Алберта.
Обратимся теперь к рассмотрению свойств ра-
радикала rad/. Во всякой й.а. / определены, как и в
случае альтернативных алгебр, квазирегулярный ра-
радикал Rad/ (наибольший квазирегулярный идеал),
ниль-радикал Nil/, локально нильпотентный LN(/)
и первичный Р(/) радикалы, связанные включениями
Rad/э Nil/э LN(/K Р(/). (Впрочем, до сих пор
неясно, является ли идеал Р(/) «настоящим радика-
радикалом», так как неизвестно, может ли полупервичная
й.а. содержать Р-радикальные идеалы). Место ра-
§ 3. НЕАССОЦИАГИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 417
дикала rad/ среди этих радикалов показывает тео-
теорема: во всякий й. а. / верны включения LN(/K
^rad/ = P(/), каждое из которых, вообще говоря,
может быть строгим (Зельманов Е. И.//1982.—
Т 23, № 6. —С. 100—116; Пчелинцев С. В.//
Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1986. —Т. 50, № 1).
В частности, в произвольной й.а. / любое множество
абсолютных делителей нуля порождает локально
нильпотентный идеал.
В конечномерных й. а. все упомянутые выше ра-
радикалы совпадают. Более того, они все совпадают
в классе й.а. с условием минимальности для внут-
внутренних (или квадратичных) идеалов. Последние слу-
служат аналогами односторонних идеалов ассоциативных
алгебр и определяются как такие Ф-подмодули К
й.а. /, в которых {kak}<=:K для любых k^K, ae/.
Примеры. 1) Пусть / = Л( + ), где А ассоциативна. Тогда
всякий односторонний идеал алгебры А является внутренним
идеалом в Л(+). 2) Для любого ое/ множество JUa =
= {xUa\x e /} является внутренним идеалом й.а. /.
Для й. а. справедлив следующий аналог классиче-
классической теории Веддерберна—Артина: если й. а. / удов-
удовлетворяет условию минимальности для внутренних
идеалов, то Rad/ нильпотентен и конечномерен, а
факторалгебра //Rad/ разлагается в конечную пря-
прямую сумму простых й.а. следующих видов: 1) й.а.
с делением; 2) Н (А, *) для ассоциативной артиновой
«•-простой алгебры А с инволюцией *; 3) J(X,f);
4) алгебра Алберта ([37], с. 389, 394; [177], с. 179).
Многие результаты из теории альтернативных
алгебр о связи разрешимости и нильпотентности спра-
справедливы и для й.а. Например, всякая конечно порож-
порожденная разрешимая й.а. нильпотентна; если / разре-
разрешима, то /2 нильпотентна; над полем характеристи-
характеристики 0 йорданова ниль-алгебра ограниченного индекса
разрешима. В то же время в отличие от альтер-
альтернативных алгебр в конечно порожденных й. а. могут
содержаться разрешимые, но не нильпотентные под-
подалгебры.
Свободные й.а. изучены сравнительно слабо. Од-
Одним из наиболее глубоких результатов об их строе-
строении является теорема Ширшова, утверждающая, что
свободная й. а. от двух порождающих специальна
418" ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
([37], с. 90). Свободная й.а. J [X] при |АГ|^3 не спе-
специальна и содержит делители пуля, а при достаточно
большом числе порождающих rad/[X]=7^0 (Медве-
(Медведев Ю. А.//Сиб. мат. ж.— 1985. Т. 26, № 2 — С. 140—
148). Для специальных й.а. роль свободной алгебры
играет свободная специальная й.а. SJ[X], которая
определяется как наименьший Ф-подмодуль в свобод-
свободной ассоциативной алгебре Ass[X], содержащий X и
замкнутый относительно йорданова умножения. Эле-
Элементы й.а. SJ[X] называются йордановыми элемен-
элементами алгебры Ass[X]. Легко видеть, что S/[X]s
£ H(Ass[X], *), где *— инволюция алгебры Ass[/Y],
тождественная на X: (х\х2 ■ ■■ хп)*=хп ... х2хх. Й.а.
Н(Ass[X], *) порождается множеством X и всевоз-
всевозможными тетрадами {xiXjXkXi}= xiXjXkxi + xiXkx,Xi',
при |Х|^3 она совпадает с й.а. SJ[X], а при |^|>
> 3 — строго содержит ее (так как тетрады не яв-
являются йордановыми элементами). Никаких крите-
критериев йордановости элементов из Ass[X] при |Х|>3
пока не найдено.
Всякая специальная й. а. является гомомофным
образом алгебры SJ[X\, однако обратное не всегда вер-
верно. Например, факторалгебра SJ [х, у, z] //, где / —
идеал, порожденный элементом х2 — у2, является ис-
исключительной. Отсюда следует, что класс SJord всех
специальных й.а. нельзя задать с помощью тождеств.
Пусть л: J[X]^SJ[X]—каноническое гомоморфное
наложение, тогда Кегл^Опри |Х|^3. Элементы из
Кегл называются s-тожд ест вами; они выполняются
во всех специальных й. а., но не являются тожде-
тождествами в классе всех й. а. Примером такого тожде-
тождества является s-тожд ест во Гленни G (x,y,z) = K(x, у,
z) — K(y,x,z), где
К (х, у, z) =■ 2 {{у {xzx} у} z (ху)} - {у {х {z (ху) z) х) у}.
Обозначим через SJord класс всех й.а., удовлетво-
удовлетворяющих всем s-тождествам, и через Jord — класс всех
й.а. Тогда справедливы строгие включения SJord с:
с SJord с Jord (алгебра Алберта йе удовлетворяет
тождеству Гленни, поэтому не лежит в SJord). Воп-
Вопрос об описании s-тождеств пока остается открытым.
Неясно даже, следуют ли они все из конечного числа
s-тождеств.
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 419
Заметим, что класс SJord можно задать квазитож-
квазитождествами, т, е, выражениями вида (f(x) = 0 =ф- g(x) =
= 0). Однако этого нельзя сделать с помощью конеч-
конечного числа квазитождеств. Более того, недостаточно
даже любого числа квазитождеств от ограниченного
набора переменных (Сверчков С, Р.//Алгебра и
логика. — 1983, — № 5,— С, 563^573),
И. а. называется йордановой Vl-алгеброй, если в
ней выполнено некоторое тождество, не являющееся
s-тождеством. Для йордановых PI-алгебр справедли-
справедливы аналоги основных структурных теорем из теории
ассоциативных PI-алгебр. Так, например, если / —
йорданова PI-алгебра над полем F, то 1) №1/ =
= LN(/) = rad/; 2) если / первична и невырождена,
то она является центральным порядком в простой й, а,
с тем же тождеством: 3) если / проста, то либо / ко-
конечномерна над центром, либо J = J (X, f); 4) если /
конечно порождена, то Rad/ нильпотентен (Зель-
манов Е, И.//Сиб. мат. ж. —1983.— Т. 24, № 1.—
С, 69—104; Медведев Ю, А.//Изв. АН СССР,—
Сер. мат.—1988. —Т. 52, № 1. —С. 64—78).
Отметим, что условие невырожденности / в 2) и
условие конечной порожденности / в 4) являются су-
существенными.
К^ак и в случае альтернативных алгебр, эффектив-
эффективным методом изучения йордановых PI-алгебр являет-
является переход к различным обертывающим алгебрам.
В связи с этим отметим следующий результат: если
/ — конечно порожденная йорданова PI-алгебра, то
универсальная мультипликативная обертывающая ал-
алгебра U (J) является (ассоциативной) PI-алгеброй
(Медведев Ю. А.//Изв. АН СССР. Сер. мат.—
1988. —Т. 52, № 1. —С. 64—78), а если / специальна,
то ее ассоциативная обертывающая алгебра также яв-
является ,PI-алгеброй (Шеста ков И. П.//Мат. сб.—
1983. —Т. 122, № 1.—С. 31—40).
3.6. Моноассоциативные алгебры, близкие к аль-
альтернативным и йордановым. Как и в предыдущем
разделе, мы предполагаем, что 1/2еФ и F поле ха-
характеристики =7^2.
Естественным обобщением класса йордановых ал-
алгебр на некоммутативный случай является класс ал-
алгебр, удовлетворяющих йорданову тождеству
{х2у) х = х2(ух).
420 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
При наличии в алгебре единицы из этого тождества
легко следует тождество эластичности
(ху)х = х(ух).
Таким образом, если мы хотим, чтобы вводимый нами
класс алгебр был устойчив относительно присоедине-
присоединения к алгебре единицы, то мы должны добавить
к йорданову тождеству тождество эластичности. Ал-
Алгебры, удовлетворяющие этим двум тождествам, на-
называются некоммутативными йордановыми (н. й.).
При этом йорданово тождество можно заменить лю-
любым из следующих тождеств:
х2(ху) = х(х2у), (ух) х2 = (ух2) х, (ху)х2 = х(ух2).
Пусть А — н. й. алгебра, а^А. Тогда операторы
JRa, La, La? порождают в алгебре умножений М(А)
коммутативную подалгебру, содержащую все опера-
операторы i?afe, Lam\ k, m=l, 2, ... В частности, всякая
н. й. алгебра моноассоциативна.
Условие перестановочности операторов умножения
на степени одного элемента полностью характеризуют
н. я. алгебры, так как определяющие их тождества
в операторном виде являются частными случаями
этого условия ({LX2, Rx] = [Lx, R;] = 0).
Еще одна характеризация н. й. алгебр такова: это
эластичные алгебры А, для которых присоединенная
алгебра Л<+' является йордановой.
Класс н. й. алгебр содержит кроме йордановых,
все альтернативные алгебры, а также произвольные
антикоммутативные алгебры. Приведем новые при-
примеры н. й. алгебр.
Пусть А — алгебра над полем F, K^F, %Ф\/2.
Определим на векторном пространстве А новое ум-
умножение
a-b = %ab + (l —X)ba.
Полученную алгебру обозначим через А<-1\ Переход
от алгебры А к Aw обратим: Л=(Л^))(^ для \i =
= -^г г-. Свойства алгебр А и Aw довольно тесно
связаны: идеалы [подалгебры] алгебры А являются
идеалами [подалгебрами] в А&\ алгебра Л(*> нильпо-
тентна, разрешима, проста тогда и только тогда, ко-
когда соответствующим свойством обладает А. Если
§ 3 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 421
А — ассоциативная алгебра, то нетрудно проверить,
что AW является ни. алгеброй. При этом если в Л не
выполнено тождество [ [х, у], г] = 0, то А{%) неассоциа-
неассоциативна. В частности, если А — простая некоммутатив-
некоммутативная ассоциативная алгебра, то Л(Х) дает нам пример
простой неассоциативной н.й. алгебры. Алгебры вида
Л(М для ассоциативной алгебры А называются рас-
расщепляемыми квазиассоциативными алгебрами. Более
общо, алгебра А называется квазиассоциативной, если
некоторое ее скалярное расширение — расщепляемая
квазиассоциативная алгебра. Всякая квазиассоциатив-
квазиассоциативная алгебра также будет н. й. алгеброй.
Пусть 0 ф аи ..., О Ф ап е F, и алгебры А (at) =
= (F, а,), ..., А(аи ..., ап) = (А(а1 an-i), ап)
получены из F последовательным применением про-
процесса Кэли—Диксона. Тогда А(а\, ..., ап) — простая
центральная квадратичная н. й. алгебра размерности
2". Вообще, любая квадратичная эластичная алгебра
является н. й. алгеброй.
Пусть А — конечномерная моноассоциативная ал-
алгебра, на которой определена билинейная симметриче-
симметрическая форма (х, у), удовлетворяющая условиям:
1) (xy,z) = (x,yz) для любых х, у, z e А; 2) (е,е)фО,
если е2 = е ф 0; 3) (х, у) = 0, если ху — нильпогент-
ный элемент. Тогда Nil A = Nil A<-+> = {хеЛ | (х, А) =
= 0}, и если характеристика поля F не равна 2, 5, то
факторалгебра Л/№!Л является н.й. алгеброй ([249],
с. 136).
Всякая конечномерная ниль-полупростая н.й. ал-
алгебра над полем F имеет единицу и разлагается в
прямую сумму простых алгебр. При этом если харак-
характеристика F равна нулю, то каждое из простых сла-
слагаемых есть алгебра одного из следующих видов:
(коммутативная) йорданова алгебра; квазиассоциа-
квазиассоциативная алгебра; квадратичная эластичная алгебра
([249], с. 142).
Над полями положительной характеристики суще-
существует еще один тип простых н.й. алгебр. Именно,
алгебра А с единицей 1 называется нодальной, если
любой элемент из А представляется в виде сс-1-}-/г,
где a s F и п нильпотентен, и при этом нильпотент-
ные элементы не образуют подалгебру в А. Нодаль-
ных алгебр не существует в классах альтернативных
и йордановых алгебр, а также в классе н.й. алгебр
422 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
характеристики 0 Всякая модальная алгебра гомо-
гомоморфно отображается на некоторую простую нодаль-
ную алгебру.
Пусть Л — простая конечномерная н. й. алгебра
над F. Тогда Л либо антикоммутативна, либо удов-
удовлетворяет тому же заключению, что в случае ниль-
полупростых алгебр характеристики 0, либо является
нодальной алгеброй. В последнем случае char/r =
= р > 0, алгебра Л(+) изоморфна ^"-мерной ассоциа-
ассоциативно-коммутативной алгебре усеченных многочленов
F [ж,, ...,хп], х? = 0, и умножение в Л задается
формулой
с df ag
и /=i ' '
где точка означает умножение в Л(+), с,, — —с,,.—
произвольные элементы из Л, среди которых хотя бы
один обратим в Л(+) ([249], стр. 144).
Конструкция, описанная выше, не всегда дает про-
простую алгебру. Однако все такие алгебры размерности
р2—простые, и для каждого четного п существуют
простые алгебры такого вида размерности рп.
В отличие от случая альтернативных и йордано-
вых алгебр в классе н.й. алгебр, вообще говоря, не
выполняется аналог теоремы Веддерберна об отщеп-
отщеплении ниль-радикала.
Промежуточное положение между произвольными
моноассоциативными алгебрами и н.й. алгебрами за-
занимают эластичные моноассоциативные алгебры.
Пусть Л — конечномерная алгебра этого вида над по-
полем характеристики 0. Отображение хь-^[а,х] яв-
является дифференцированием присоединенной комму-
коммутативной моноассоциативной алгебры Л(+), а так как
ниль-радикал моноассоциативной алгебры характери-
характеристики 0 устойчив относительно дифференцирования
(Слинько А. М.//Сиб. мат. ж.— 1972. — Т. 13,
№ 6. — С. 1395—1397), то справедливо включение
[Л, №1 Л(+>]е Nil Л(+), откуда следует, что ШЛ'*'^
<] Л и Nil Л<+> = Nil Л. Значит, (A/Nil Л)<+> =
= Л(+)/№1 Л(+) — ниль-полупростая конечномерная
коммутативная моноассоциативная алгебра. Над по-
полем характеристики 0 все такие алгебры йордановы,
поэтому A/Nil А — н.й. алгебра. Итак, всякая конеч-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 423
номерная нильполупростая эластичная моноассоциа-
моноассоциативная алгебра над полем характеристики 0 является
н. й. алгеброй. В общем случае справедлива следую-
следующая теорема: если А — конечномерная ниль-полупро-
стая эластичная моноассоциативная алгебра над бес-
бесконечным полем характеристики Ф% 3, то А имеет
единицу и разлагается в прямую сумму простых ал-
алгебр, каждая из которых либо н. й. алгебра, либо не-
некоторая алгебра степени 2 над полем положительной
характеристики (Oehmke R. H.//Ann. Math.—
1958. —V. 68. —P. 221—230; Proc. Nat. Acad. Sci.
USA.—1969. —V. 63, N 1. —P. 40—41).
Алгебры последнего вида пока не описаны. Некоторый ме-
метод их описания дан в работе В I о с k R. E.//Proc. Nat. Acad. Sci.
USA —1968 —V. 61, № 2 — P 394—397, где доказано, что
для каждой такой алгебры А алгебра Л(+) также является про-
простой алгеброй (известного строения). В работе Mayne J. Н.//
Trans. Amer. Math. Soc. — 1972. — V. 172.— P. 69—81 приве-
приведен пример эластичной моноассоциативной простой алгебры сте-
степени 2, которая не коммутативна и не является н. й. алгеброй.
Строение произвольных конечномерных ниль-полупростых
моноассоциативных алгебр пока не ясно. Известно, что в этом
случае возникают новые простые алгебры, среди которых есть
нодальные алгебры, даже над алгебраически замкнутым полем
характеристики 0.
Пример. Пусть V—векторное пространство над полем F
размерности 2п с невырожденной кососимметрической билиней-
билинейной формой (х, у). Определим на векторном пространстве А =
—F © V умножение по правилу (а + у)(Д -j- и) = (аД +(t/, «)) +
+ (а« + ру). Тогда А является алгеброй над F, которая квад-
квадратична (и, следовательно, моноассоциативна), проста и но-
дальна.
Среди алгебр, не удовлетворяющих тождеству эла-
эластичности, наиболее изученными являются правоаль-
тернативные алгебры. Напомним, что алгебра назы-
называется правоальтернативнои (п. а.), если в ней выпол-
выполнено тождество
(ху)у = ху2.
Пусть А — п.а. алгебра над Ф, тогда в алгебре ее
правых умножений R(A) для любых а, Ь^А выпол-
выполнены соотношения
Ла! = Ra, Ra-b == Ra ' Rb>
где а • Ъ = -у (ab + Ъа) — умножение в присоединен-
присоединенной алгебре Л<+>. Следовательно, отображение a>~>Ra
является гомоморфизмом алгебры Л(+> в специальную
424 ГЛ HI- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
йорданову алгебру R(A)i+K Если в А есть единица,
то это отображение инъективно. Так как класс п. а.
алгебр замкнут относительно присоединения к алгебре
единицы, отсюда следует, что для всякой и. а. алгеб-
алгебры А присоединенная алгебра Л(+) является специаль-
специальной йордановой алгеброй.
Приведенное утверждение позволяет применить
к изучению п. а. алгебр развитый аппарат теории йор-
дановых алгебр. Именно на этом пути получены наи-
наиболее сильные результаты теории п. а. алгебр.
В п. а. алгебре А для любого а е А имеют место
соотношения
RakRan = Rak+n\ k, n =1, 2, 3, ...
В частности, всякая п. а. алгебра А моноассоциативна
и в ней однозначно определен ниль-радикал Nil Л.
Факторалгебра A/Nil А альтернативна (Скосыр-
ский В. Г.//Алгебра и логика.— 1984.—Т. 23, № 2.—
С. 185—192).
Таким образом, всякая простая п. а. алгебра, не
являющаяся ниль-алгеброй, альтернативна (и, следо-
следовательно, либо ассоциативна, либо является алгеброй
Кэли—Диксона). Всякая п. а. алгебра без нильпо-
тентных элементов альтернативна. В п.а. алгебре А
для любых а,Ь^А элемент (а, а, Ь) порождает
ниль-идеал в А.
В общем случае идеал, порожденный ассоциатором
{а, а, Ь), не является разрешимым. Однако неясно,
не будет ли он ниль-алгеброй фиксированного огра-
ограниченного индекса. Известно лишь, что (а, а,ЬL = 0.
Подпространство L алгебры А называется право-
нильпотентным, если L(n =0 для некоторого п, где
L, = L,, L, = L, L,.
Пусть А — п. а. ниль-алгебра ограниченного индек-
индекса. Тогда всякое конечномерное подпространство в А
правонильпотентно ([37], с. 407). В частности, конеч-
конечномерная п. а. ниль-алгебра правонильпотентна и по-
поэтому не может быть простой алгеброй. В то же вре-
время она может быть ненильпотентной.
Ограничение «не ниль» в описании простых п.а.
алгебр в общем случае существенно: Михеев И. М.
(Алгебра и логика.—1977. —Т. 16, № 6. —С. 682—
710) построил пример простой п. а. ниль-алгебры (с
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 425
тождеством х3 = 0), не являющейся альтернативной.
Таких примеров нет среди правоартиновых п.а. ал-
алгебр, как показывает следующая теорема: если Л—
п. а. алгебра, удовлетворяющая условию минимально-
минимальности для правых идеалов, то идеал N=NilA пра-
вонильпотентен, а факторалгебра A/N является
полупростой артиновой альтернативной алгеброй
(Скосырский В. Г.//Алгебра и логика.— 1985.—
Т. 24, № 2. —С. 205—210).
Условие правой артиновости здесь нельзя заменить
на левую: в упомянутой выше простой ниль-алгебре
нет собственных левых идеалов.
Как и в случае некоммутативных йордановых ал-
алгебр, в классе п. а. алгебр, вообще говоря, не выпол-
выполняется теорема Веддерберна об отщеплении радикала.
Кроме правоальтернативных алгебр, важным при-
примером неэластичных моноассоциативных алгебр яв-
являются алгебры типа (у, б), возникшие при изучении
классов алгебр, обладающих следующим структурным
свойством: если /—идеал алгебры А, то /2 — тоже
идеал в А. Пусть 5Й—некоторое однородное многооб-
многообразие моноассоциативных алгебр, все алгебры кото-
которого удовлетворяют вышеприведенному условию, при-
причем Ш содержит все ассоциативные алгебры. Тогда
либо Ш — подкласс альтернативных алгебр, либо ЗЯ
задается тождествами:
(х, х, х) = 0,
(х, у, z) + (у, z, х) + (г, х, у) = 0,
(х, у, г) + у {У, х, г) + б (z, х, у) = 0,
где у и б— такие фиксированные скаляры, что у2 —
— 62-f 6= 1.
Алгебры, удовлетворяющие этим тождествам, на-
называются алгебрами типа (у, б).
Пусть А — конечномерная алгебра типа (у б) над
полем F характеристики ф% 3, 5. Тогда радикал
Nil Л нильпотентен, а факгоралгебра А = Л/Nii А
ассоциативна. Если при этом алгебра А сепарабельна
над F, то Л=5ф]\тПЛ, где В — подалгебра в А,
изоморфная Л (Никитин А. А.//Алгебра и логи-
логика,— 1974.— Т. 13, № 5. —С. 501—533).
Всякая простая (не обязательно конечномерная)
алгебра типа (у, б) характеристики Ф2, 3, 5 ассоциа-
426 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
тивна (Марковичев А. С.//Алгебра и логика.—
1978 —Т. 17, № 2.—С. 181— 200; N g S eon g N a m//
Comm. Algebra.—1984. —V. 12, № 9—10. —С. 1125—
1137).
В то же время существуют первичные неассоциа-
неассоциативные алгебры типа (у, 8) (Пчелинцев С. В.//
Изв. АН СССР. Сер. мат.—1986. —Т. 50, № 1).
В этих алгебрах, как и вообще во всякой неассоциа-
неассоциативной алгебре типа (у, б), содержатся ненулевые ло-
локально нильпотентные идеалы.
3.7. Алгебры Ли. Напомним, что алгебра L над
кольцом скаляров Ф называется алгеброй Ли, если
умножение в L удовлетворяет тождествам
л:2 = 0 (антикоммутативность),
{ху) z + (yz) х + (zx) у = 0 (тождество Якоби).
Если А — ассоциативная алгебра над Ф, то алгеб-
алгебра Л<~> с новым (скобочным) умножением [х,у] =
= ху — ух, как отмечалось в п. 3.1, является алгеброй
Ли над Ф. В связи с этим операцию умножения в ал-
алгебрах Ли часто обозначают через [х,у]. Всякий
Ф-подмодуль L алгебры А, замкнутый относительно
операции [ , ], является алгеброй Ли. Если ф =
= F—поле, то приведенная конструкция является
универсальной: по теореме Пуанкаре — Биркгофа —
Витта любая алгебра Ли L над F изоморфно вкла-
вкладывается в алгебру Л<~> для подходящей ассоциатив-
ассоциативной алгебры А (см. [32], с. 178; [87], с. 170).
Пусть V—некоторый Ф-модуль, А = Endo V. Ал-
Алгебра Ли (End !/)<-> называется алгеброй Ли эндо-
эндоморфизмов Ф-модуля V и обозначается через gl(V).
Если V — свободный модуль над Ф ранга п, то вме-
вместо gl(V) употребляется обозначение gl(n, Ф). Заме-
Заметим, что gl(n^)~Mn^)<--\ где Мп(Ф)—ассоциа-
Мп(Ф)—ассоциативная алгебра матриц порядка п над Ф.
В случае, когда Ф = Р—поле, алгебры Ли вида
gl(n, F) называют обычно полными линейными ал-
алгебрами Ли, а их подалгебры — линейными алгебрами
Ли. Важную роль в структурной теории конечномер-
конечномерных алгебр Ли играют следующие четыре семейства
At, Bt, Сi, Di (/]^1) линейных алгебр, которые назы-
называются классическими алгебрами Ли.
Аг: Пусть dimVr = /+l. Обозначим через sl(V)
или s/(/-f-I, i7) множество всех эндоморфизмов век-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 427
торного пространства с нулевым следом; тогда st(V)
оказывается подалгеброй (и даже идеалом) в gl(V),
называемой специальной гинейной алгеброй Ли. За-
Заметим, что dims/(/+ I, F) = 1A + 2).
Bf. Пусть dimV' = 2/+l и /—невырожденная
симметрическая билинейная форма на V, матрица ко-
/10 0
торой в некотором базисе V имеет вид I 0 0 £/
\0 £, 0
где Ei — единичная матрица порядка /. Ортогональ-
Ортогональной алгеброй Ли оB1+ 1, F) называется подалгебра
о(V) алгебры gl(V), состоящая из всех эндоморфиз-
эндоморфизмов ф пространства V, кососимметрических относи-
относительно формы f (т. е. удовлетворяющих условию
/(ф(у) w) =—f(v ф(ш))); при этом dimoB/ +
+ \,F) = 1B1+1).
Ci\ Пусть dim У = 2/ и /—невырожденная косо-
- ( ° El\
симметрическая форма на V с матрицей I л /•
Симплектической алгеброй Ли называется подалгебра
sp(V) или spBl,F) алгебры gl(V), состоящая из всех
эндоморфизмов пространства V, кососимметрических
относительно формы f; при этом dimspBl, F) =
= 1B1+1).
Dr. Ортогональная алгебра Ли о B1, F) определя-
определяется аналогично случаю Bt, только здесь dim V = 21
/0 Et\
и матрица формы f имеет вид I I, при этом
\tt 0 /
Если F—поле характеристики 0, то все классиче-
классические алгебры Ли Л/, 5/, С/, Di (l^l) и Dt A^3)
являются простыми.
Приведем теперь примеры несерийных или особых простых
конечномерных алгебр Ли над F.
Пусть О = O(F)—матричная алгебра Кэли — Диксона
над F, / = Я(О3)—йорданова алгебра эрмитовых матриц по-
порядка 3 над О (алгебра Алберта). Тогда алгебры G2 = Der О,
F4 = Der/, Ее == Strb / (приведенная структурная алгебра ал-
алгебры /) и Е7 = КA) (конструкция Титса — Кантора—Кёхера
для /) являются простыми центральными алгебрами Ли соответ-
соответственно размерностей 14, 52, 78 и 133. Алгебра Е8 строится с
помощью следующей конструкции Титса. Пусть t(a)—след
элемента а в алгебре О, tr(x) —след матрицы х в алгебре /,
Оо и /о — множества элементов с нулевым следом соответ»
428 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ственно в О и в /. Для а, ЬеОих, ущ/ положим а * Ь =
= аЪ ■?-t {.ab), х * у = ху — tr (жг/); тогда а * & е О0,
х*уе/о. Рассмотрим прямую сумму векторных пространств
Е8 = Der О Ф Оо ® /о Ф Der / и определим на ней антикомму-
антикоммутативное умножение по правилам: 1) Der О Ф Der / — подалгеб-
подалгебра в Е8, являющаяся прямой суммой алгебр; 2) [а (§> х, D] =
= aD <g> x, [a <g> x, Е] = а ® хЕ для D е= Der О, fisDer /, asO0
х е= /0; 3) [a <g) д:, 6 <8> у] = — /г (дгу) Da< ь + (а * b) ® (.v * у) +
+ -1 < (аи) [/?л, ^] для всех e,is OQ, х, у <= /„, где £>a> & =
= ^[а, 61 ~~ L\a. Ь\ ~ 3 [^а" ^б] s Der 0- Полученная алгебра Е8
оказывается простой алгеброй Ли размерности 248. Простые ал-
алгебры Ли G2, F4, Ее, Е7, Е8 называются особыми или исключитель-
исключительными алгебрами Ли.
Приведенными примерами исчерпываются все про-
простые конечномерные алгебры Ли над алгебраически
замкнутым полем нулевой характеристики: всякая та-
такая алгебра изоморфна или одной из классических
алгебр А, (/> 1), В, A^2), С, (/^3), Dt (/$t4),
или одной из особых алгебр G2, F4, Еб, Е7, Eg, причем
все перечисленные здесь алгебры неизоморфны
([32], с. 163).
Структурная теория конечномерных алгебр Ли име-
имеет законченный вид лишь над полем F характеристи-
характеристики 0. Пусть L — конечномерная алгебра Ли над F,
S = S(L)—ее разрешимый радикал, N = N(L) — наи-
наибольший нильпотентный идеал или ниль-радикал ал-
алгебры Ли L. Идеал N {А) определен однозначно во
всякой конечномерной алгебре Ли А, так как в любой
алгебре Ли сумма двух нильпотентных идеалов яв-
является нильпотентным идеалом. Включение S 3 N
может быть строгим, но если N = 0, то и 5 = 0. В по-
последнем случае алгебра L называется полупростой.
Факторалгебра L/S является полупростой; всякая по-
полупростая алгебра над F изоморфна прямой сумме
простых алгебр. Обратно, прямая сумма простых ал-
алгебр всегда является полупростой алгеброй ([32],
с. 84). Аналогом теоремы Веддербёрна—Мальцева об
отщеплении радикала в конечномерных ассоциатив-
ассоциативных алгебрах для алгебр Ли служит теорема Леей—
Мальцева—Хариш-Чандра, утверждающая, что L
содержит полупростую подалгебру B^^L/S, для кото-
которой L = B($S (прямая сумма векторных про-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 429
странств); при этом, если 5j—другая такая полупро-
полупростая подалгебра, то В\ =фE), где ф — автоморфизм
алгебры L, являющийся произведением автоморфиз-
автоморфизмов вида exp D, D — нильпотентное внутреннее диф-
дифференцирование вида D — Rx, x<=N (см. [32], с. 105—
106). Для любого дифференцирования D алгебры L
верно включение SD<=N, поэтому LS = L2[}S<=N.
В частности, L разрешима тогда и только тогда, ко-
когда L2 нильпотентна ([32], с. 63, 87). Если F — F, где
р—алгебраическое замыкание поля F, то подалгеб-
подалгебра L алгебры gl{n,F) разрешима тогда и только то-
тогда, когда она изоморфна некоторой подалгебре ал-
алгебры верхнетреугольных «Х^-матриц t(n,F) —
= {(а,-/)е gl{n, F)\uij = 0 при />/}. Если L — раз-
разрешимая алгебра над F = F размерности п, то в L
существует последовательность идеалов L = Ln'^>
tdLu-i'Z} ... гэ Lo = 0 такая, что dim L,- = j для всех
/ = 0,1, ..., га (теорема Ли — см. [32], с. 62; [28],
с. 22).
Элемент х антикоммутативной алгебры А назы-
называется энгелевым (индекса п), если оператор jRx ниль-
потентен (индекса га); алгебра А называется энгеле-
вой, если все ее элементы энгелевы. Конечномерная
алгебра Ли L нильпотентна тогда и только тогда,
когда она энгелева (теорема Энгеля). Всякий эле-
элемент x^N(L) является энгелевым. Обратно, если
x^S(L) и х энгелев, то xe=N(L) (см. [32], с. 47).
Определим на векторном пространстве алгебры L
над F (char.F = 0) билинейную форму К (форму
Киллинга), полагая К(х, у) = ir(RxRy). Форма /(сим-
/(симметрична и ассоциативна: К(х,у)=К(у, х), К(ху, г) =
= K(x,yz). Критерий Картана утверждает, что ал-
алгебра L полупроста [разрешима] тогда и только тогда,
когда форма К невырождена [когда K(L2, L) = 0].
Радикал S(L) совпадает с ортогональным до-
дополнением к L2 относительно К (см. [32], с. 80,
82, 86).
Эффективным средством изучения конечномерных
алгебр Ли является теория представлений или лие-
лиевых модулей. Линейное отображение р: A-+End$> V
называется (правым) представлением ф-алгебры
•Ли А, если для любых a, b <= A
р (ab) = р (а) р (Ь) — р (b) p (а).
430 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Иначе говоря, представление р — это гомоморфизм
алгебр Ли р: A->-gl(V). В этом случае простран-
пространство V называется лиевым А-модулем. Ввиду анти-
антикоммутативности понятие лиева модуля эквивалентно
понятию лиева бимодуля (см. п. 3.2): достаточно по-
положить av = —va (a e A, v^V). Частным случаем
представления является регулярное представление
xt—^Rx, ядро которого совпадает с центром %>{А) ал-
алгебры Ли А: &(А) = {а е А \аА =0}. Конечномерная
алгебра Ли L над полем F характеристики 0 полу-
полупроста тогда и только тогда, когда любой конечно-
конечномерный (лиев) L-модуль вполне приводим {теорема
Вейля — см. [17], с. 67—68). Если L разрешима и
р = F, то всякий неприводимый конечномерный L-uo-
дуль одномерен ([28], с. 22). Всякая конечномерная
алгебра Ли имеет точное конечномерное представле-
представление {теорема Адо—Ивасавы — см. [32], с. 223, 225).
Основным инструментом при изучении представ-
представлений алгебры Ли L над Ф является понятие универ-
универсальной ассоциативной обертывающей алгебры U{L),
которая определяется как факторалгебра тензорной
алгебры T{L) по идеалу /, порожденному множеством
элементов вида а®Ь — Ь®а—[а, Ь], где a,b^L.
Для любого представления р: L-+EndV существует
однозначно определенный гомоморфизм ассоциатив-
ассоциативных алгебр ф: U {L)-+EndV такой, что р(а) =
= ф(а-}~-0 Для любого а <= L. Если L является сво-
свободным модулем над Ф с базисом {е;|/е/}, то U{L)
также является свободным Ф-модулем с базисом из
1 и одночленов вида
ё/, ® ё/2® ••• ®ё/„, /i</2< •••</„, ге>1,
где ei = ei -f- /. В частности, элементы {ё;} линейно
независимы в U{L), так что отображение а*~>й яв-
является вложением L в U(L) {теорема Пуанкаре—
Биркгофа—Витта, см. [32], с. 178, [81], с. 27). Для
любой алгебры Ли L над полем алгебра U{L) не
имеет делителей нуля. Если L конечномерна, то U {L)
нётерова справа и слева и обладает правым и левым
телами частных ([32], с. 186).
Свободная Ф-алгебра Ли L [X] с множеством сво-
свободных порождающих X является свободным моду-
модулем над Ф (в отличие, например, от свободного аль-
альтернативного кольца, где есть 3-кр^чение).
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 431
Укажем один из способов выбора базиса в Z-[A']. Упорядо-
Упорядочим каким-либо образом множество X, распространив затем
этот порядок до частичного лексикографического порядка на
множество всех ассоциативных слов от X. Ассоциативное сло-
слово и назовем правильным, если для всякого представления
и = «i«2 справедливо неравенство и > «2«i. Если и, v — пра-
правильные слова и и = vvt, то будем считать, что v > и. Неассо-
Неассоциативное слово \ii\ назовем правильным, если: 1) правильно
ассоциативное слово и, получающееся из [«] опусканием скобок,
2) из [и] = [v] [w] следует, что [v\ и [w] правильные, 3) из
[ц] = [[ел] [vz]] [w] следует, что о2 =SS w. Тогда множество всех
правильных неассоциативных елов от X образует базис свобод-
свободного Ф-модуля L[X] (базис Ширшова — см. [6], с 74; [98], с. 65).
Всякая подалгебра свободной алгебры Ли над по-
полем сама свободна ([6], с. 81). Пусть Ass[X]—сво-
Ass[X]—свободная ассоциативная алгебра над Ф, тогда алгебра
L[X] изоморфна подалгебре алгебры Ли Ass[X](->,
порожденной множеством X (см. {6], с. 73). В част-
частности, U(L[X])~ Ass[X], и можно считать, что
L[X]sAss[X]. Элементы из L [X] называются лие-
лиевыми элементами алгебры Ass [X]. Рассмотрим линей-
линейное отображение я: Ass[X]->-L{X], заданное на одно-
однородных элементах так: яA) = 0, n(xi) = xl, л(Х]Х2 ...
... хп) = [[х\, Х2], ■■■, хп]. Если однородный элемент
ayeAss [X] степени п ^ 1 является лиевым, тоя(ш) =
= nw (см. [6], с. 88). Другой критерий лиевости эле-
элементов из Ass[X] выглядит так: элемент w лиев то-
тогда и только тогда, когда А(ш)= 1 ® w + w <8> 1, где
A: Ass [X]->■ Ass [X] ® Ass [X] — такое диагональное
отображение, что: 1) А — гомоморфизм, 2) А(х) =
= х®\ + \®х, хевХ (см. [81], с. 32; [6], с. 367).
Алгебры А = Ass [X] и L = L [X] можно естествен-
естественным образом пополнить до алгебр А и £ формальных
степенных ассоциативных и лиевых рядов от X. Если
Ф = F—поле характеристики 0, то для всякого
ряда а из А без свободного члена однозначно опре-
оо
Еап
—г. В частности, элементы из
п\
L не имеют свободных членов, поэтому можно рас-
рассмотреть множество eL. Это множество мультиплика-
мультипликативно замкнуто: для любых а, Ь^С существует од-
однозначно определенный элемент с^С, для которого
lalb = Iе. Положим с = а°Ь, тогда множество С отно-
относительно операции о образует группу (группу Маг-
Магнуса). Подгруппа этой группы, порожденная X,
432 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
является свободной группой со свободным порождаю-
порождающим множеством X (см. [6], с. 374). Явное выраже-
выражение для х о у в виде лиева ряда от х, у дает формула
Кемпбелла—Хаусдорфа ([6], с. 371; [29], с. 193):
по Г k I b I ~\
( \\ ^-\ 1 X у
*,!/,! ... km\lm\
т=\ йг + /г->0
где символ \ххх2 .. . хп] означает — [... [[*,, х2], х3)> ■ • ■
...,хп]. Нетрудно вычислить первые члены этого
ряда:
х°у = х + у +
+ -j- Iх' У\ + ~п К*' УЪ У^ + 12 №' *].*]+•••
Приведем теперь примеры конструкций колец и алгебр Ли
из групп.
1) Кольцо Ли свободной группы. Пусть G —■
группа и {G") — невозрастающин центральный ряд этой группы.
оо
Рассмотрим аддитивную абелеву группу gr G = £у grrt G, где
л = 1
grn G = Gn/Gn+l. Отображения ф„т: GnjGn+l X GmIGm + i ->-
-*■ Gn^"'!Gn+m+', определенные правилами (хО1*1, yGm+l) I—>
I—>[х, г/]О"+т+', где \х, у] = х~1у~1ху, индуцируют билинейные
отображения <p,lm: grn G X grm G -*■ grn+m G, которые продол-
продолжаются до билинейного отображения gr G X gr G-*■ gr G, за-
задающего на gr G структуру кольца Ли. Кольцо gr G порождает-
порождается множеством gr(,G и называется кольцом Ли группы G. Если
G= G[X]—свободная группа над X, то gri G — свободная абе-
лева группа иад X и кольцо gr G[X] изоморфно свободному
кольцу Ли L[X] (см. [61, с. 378).
2) Алгебра Ли алгебраической группы. Мат-
Матрица А = (at,) е!,(Ф) называется нулем системы многочленов
{ра{хц)}— Ф [*;/]' если Pa(aij) ~ ° для всех а- Говорят, что
система {Ра} определяет алгебраическую группу над Ф, если для
любой ассоциативно-коммутативной ф-алгебры К с единицей
множество G(K) всех нулей системы {Ра} в Мп (К) является
подгруппой в GL(n, К ). Пусть G — алгебраическая группа над Ф
и К — Ф[е]—свободная (как Ф-модуль) алгебра над Ф с бази-
базисом 1, е, где е2 = 0. Тогда совокупность всех матриц 1еМл(Ф),
таких, что 1 -f- гХ е О(Ф[е]), является подалгеброй алгебры Ли
gl(n, Ф), называемой алгеброй Ли алгебраической группы G
([81], с. 12). Например, ортогональная алгебра Ли о(К) про-
пространства V относительно невырожденной симметрической били-
билинейной формы / является алгеброй Ли ортогональной группы
этой формы, а симплектическая алгебра Ли — алгеброй Ли сим-
плектической группы. Для конечномерной алгебры А над по-
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 433
лем F алгебра Der А оказывается алгеброй Ли группы Aut А.
Если / — конечномерная йорданова алгебра, то ее структурная
группа Str / — также алгебраическая группа, алгеброй Ли кото-
которой является структурная алгебра Ли Strl J.
3) Алгебра Ли группы Ли. Группой Ли называется
гладкое га-мерное многообразие G, снабженное групповым зако-
законом, для которого операции умножения и перехода к обратному
элементу являются гладкими отображениями G X G в Gh Gb
G соответственно. Любая окрестность U единичного элемента
е е G, гомеоморфная евклидову пространству R", является ло-
локальной группой Ли: существует такая окрестность Ui e U точ-
точки е, что для элементов х, у е Ui определены операции умно-
умножения и взятия обратного (со значениями в U). Совокупность
касательных векторов в точке е ко всем гладким путям g(t),
выходящим из точки е, образует касательное пространство Те =
= R". Пусть a, be Те — касательные векторы к путям g(t),
h(t). Тогда касательный вектор к пути k(t), где k(P) =
= g(t)h(t) [h(t)g(t)]~\ —билинейная функция векторов а, Ь;
таким образом, Те превращается в га-мерную алгебру над R,
которая назынается касательной алгеброй (локальной) группы
Ли G. Алгебра Те = L(G) антикоммутативна и является алгеб-
алгеброй Ли. Для конкретных вычислений полезен координатный спо-
способ построения алгебры L(G). Пусть (%', ..., хп)—локальная
система координат в G с центром в точке е. Закон умножения
в G задается в этой системе координат гладкой функцией
Ф(%, у), где х = (х>, ..., хп), у = (у1, ..., г/"),Ф = (ф', ..., ф");
в частности, ср(%, 0)= <р@, х) = х. Разложение <р в ряд Тей-
Тейлора в точке х = у = 0 с точностью до членов третьего и более
высокого порядков имеет вид ф (х, у) — х + у +2j bt-xlyi +
i, j
+ ... Положим с11 = Ьц— fc,;, тогда L(G) - алгебра с базисом
е\, ..., еп и таблицей умножения е(е^ = 2^ Сцеъ,- Всякая конеч-
k
номерная алгебра Ли над R является алгеброй Ли некоторой
локальной группы Ли G: умножение в G вычисляется через ум-
умножение в L с помощью ряда Кемпбелла — Хаусдорфа (*), ко-
который сходится в достаточно малой окрестности нуля. Локаль-
Локальная группа Ли определяется своей алгеброй Ли однозначно с
точностью до изоморфизма. Каждый гомоморфизм алгебр Ли
Двух локальных групп индуцируется однозначно определенным
гомоморфизмом этих локальных групп ([81], с. 231, 251, 253).
Приведенные результаты дословно сохраняются, если заменить
термин «локальная группа Ли» термином «связная односвязная
ipynna Ли» ([81], с. 256).
Развитие теории бесконечномерных алгебр Ли во
многом инициировано их связями с группами и про-
происходит под заметным влиянием теории групп. Пере-
Переход к присоединенному кольцу Ли часто облегчает
и позволяет решить теоретико-групповую проблему.
Говорят, что алгебра Ли удовлетворяет п-му усло-
условию Энгеля, если всякий ее элемент энгелев индек-
434 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
са п. Всякая алгебра Ли, удовлетворяющая и-му
условию Энгеля, над полем характеристики 0 или
р > п, локально нильпотентна ([52], с. 35). Отсюда
следует положительное решение ослабленной пробле-
проблемы Бернсайда для групп показателя р. Долгое время
оставался открытым вопрос справедливости вышеупо-
вышеупомянутой теоремы без ограничений на характеристику.
Недавно он был решен положительно Е. И. Зельма-
новым (Сиб. мат. ж.— 1989. — Т. 30, № 6), что дало
также положительное решение ослабленной проблемы
Бернсайда для любого показателя. Над полем харак-
характеристики 0 всякая алгебра, удовлетворяющая и-му
условию Энгеля, нильпотентна ([52], с. 163). В то же
время для любого простого р ^ 5 существуют нениль-
потентные (р — 2)-энгелевы алгебры над произволь-
произвольным полем F характеристики р (см. [52], с 156). Эле-
Элемент а алгебры Ли L называется тонким сэндвичем
{абсолютным делителем нуля, ниль-элементом поряд-
порядка 2), если а — энгелев индекса 2, т. е. (La) а = 0.
Любая алгебра Ли над полем F характеристики 0
или р > 5, порожденная конечным множеством тон-
тонких сэндвичей, нильпотентна ([52], с. 156). В общем
случае конечно порожденная энгелева (неограничен-
(неограниченного индекса) алгебра Ли может быть ненильпотент-
ной ([52], с. 13).
Важным источником бесконечномерных алгебр Ли
являются векторные поля на многообразии. Пусть
М — гладкое многообразие и А— алгебра гладких
функций на М. Векторным полем на М называется
произвольное дифференцирование алгебры Л. Алгебра
Ли Der А называется алгеброй Ли векторных полей
на М и обозначается VectM. В локальной системе ко-
координат на М произвольное векторное иоле можно
записать в виде D = ^ Ft -^—-, ^еЛ, при этом
i
коммутатор (или скобка Пуассона) [D\,D2\ вектор-
векторных полей D, = У Pi -;— и D2=Y\Qi-g^- записы-
i i
вается в виде
>.. ад -1 «,£■.*,-! (*.
$
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 435
Если М — группа Ли, то подпространство в VectM,
состоящее из всех левоинвариантных векторных по-
полей, является конечномерной подалгеброй, совпадаю-
совпадающей с алгеброй Ли группы М.
В случае произвольного поля F для любого /г-мер-
ного пространства V над F можно по аналогии опре-
определить алгебру Ли Pol V полиномиальных векторных
полей на V, которая изоморфна алгебре Wn диффе-
дифференцирований кольца многочленов F[x\, ..., х„]. Рас-
Рассмотрим алгебру Ля внешних дифференциальных
форм от dxu ..., dxn над F\x\, ..., хп]. Каждое диф-
дифференцирование D из Wn продолжается до дифферен-
дифференцирования алгебры А„ согласно правилу.
п
D(df) = d (Df), где dg = £ |fr dxt, g e F [*, xa].
1 = 1
г
Пусть ms = dxx Л • • • Л dxn, юя = Z dxt Л dxi+r, .
Г
n = 2r; <oK = dx2r+, + £ (*,+r dxt - xt dxt ), л = •
= 2г-}-1; тогда подпространства
^={O^»|flK) = K. fe=F[xv...,xn}}
являются подалгебрами в Wn. Алгебры Wn, Sn, Hn
и Кп называются соответственно общей, специальной,
гамильтоновой и контактной алгебрами Ли картанов-
картановского типа. Над полем характеристики нуль все они
просты и бесконечномерны.
Аналоги рассмотренных алгебр существуют и над
полем F характеристики р > 0. Для их получения
нужно в приведенной выше конструкции вместо коль-
кольца многочленов F[x\, ..., хп] взять кольцо «усечен-
«усеченных многочленов» F\xv ..., хп\хР — 0']. Соответ-
Соответствующие алгебры Wn, Sn, Hn, Kn в этом случае конеч-
конечномерны, причем либо они сами, либо некоторые их
разрешимые степени являются простыми алгебрами,
которые также называют алгебрами Ли картановского
типа. В каждой из этих простых алгебр L для любого
существует такой i/ei, что ./?! = ./? Простые
436 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
алгебры Ли с таким свойством называются ограни-
ограниченными или р-алгебрами. Для всякой конечномерной
простой алгебры Ли L над С существует ее ограничен-
ограниченный простой аналог L(F) над произвольным полем F
характеристики р >- 0. Для построения алгебры L(F)
в алгебре L выбирается базис, в котором таблица ум-
умножения имеет целочисленные структурные констан-
константы {базис Шевалле — см. [175], с. 147), затем Z-ли-
нейная оболочка этого базиса редуцируется по мо-
модулю р до алгебры над Zp, далее кольцо скаляров
расширяется до F и, если необходимо, полученная ал-
алгебра факторизуется по центру. Ограниченные про-
простые алгебры вида L(F) называются классическими.
Над алгебраически замкнутым полем F положитель-
положительной характеристики р > 7 каждая конечномерная
ограниченная простая алгебра Ли либо классиче-
классическая, либо является алгеброй картановского типа
(Block Я. Е., Wilson R. L.//J. Algebra. — 1988. —
V. 114, N 1.—P. 115—259).
3.8. Алгебры Мальцева и бинарно лиевы алгебры.
Напомним, что алгеброй Мальцева называется анти-
антикоммутативная алгебра, удовлетворяющая тождеству
/ (х, у, xz) = / (х, у, z) х.
Раскрыв в этом тождестве якобианы, с учетом анти-
антикоммутативности можно переписать его в виде
xyzx -f- yzx2 -f- zx2y = xy ■ xz, (*)
где для удобства записи опускаются скобки в лево-
нормированных произведениях: xyzx = (xy-z)x,yzx2—
= (yz-x)x, и т. д. Если характеристика основного
поля F отлична от 2, то из тождества (*) следует
тождество
xyzt -f- yztx -f- ztxy -f- txyz = ty ■ xz, (**)
которое (вместе с антикоммутативностью) обычно
принимается за определение алгебр Мальцева иад
полем F произвольной характеристики. Заметим, что
(*) следует из (**) при t — х.
Всякая алгебра Ли является алгеброй Мальцева.
С другой стороны, в каждой алгебре Мальцева А лю-
любые два элемента порождают лиеву подалгебру, т. е.
А является бинарно лиевой алгеброй ([64], с. 344).
Класс бинарно лиевых алгебр над полем F характе-
§ 3 НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 437
ристики ф2 образует многообразие, которое зада-
задается условием антикоммутативности и тождеством:
J(xy,x,y) = 0.
Как отмечалось в п. 6.1, для всякой альтернатив-
альтернативной алгебры А коммутаторная алгебра Л<-> является
алгеброй Мальцева. Пусть О = О(а, Р, у)—алгебра
Кэли—Диксона над F. Тогда О = F Ф М, где М —
подпространство, натянутое на базисные вектора ei
(i > 0) из канонического базиса алгебры О. Нетрудно
проверить, что М является подалгеброй (и даже идеа-
идеалом) в алгебре Мальцева О(~}, при этом М ~ 0{~]/F,
и если характеристика F отлична от 2, то Af = {jce
еО|/(л:) = 0}. Алгебра М = М(а, |3, у) центральна,
проста и имеет размерность 7 над F. Если char.F=^3,
то она нелиева. Любая центральная простая алгебра
Мальцева над полем F характеристики =^2 либо яв-
является алгеброй Ли, либо алгеброй типа М(а, $,у)
(Кузьмин Е. Н.//Алгебра и логика. — 1967. — Т. 7,
№ 4.— С. 48—69; Филиппов В. Т.//Алгебра и ло-
логика. — 1976. — Т. 15, № 2. —С. 235—242). Алгебры
М(а, Р, у) и М(аг, р', "у') изоморфны тогда и только
тогда, когда изоморфны соответствующие им алгебры
Кэли—Диксона О (а, р, у) и О (а', р', у').
Еще один класс примеров алгебр Мальцева возникает в
связи с аналитическими лупами Муфанг. Множество элемен-
элементов G называется лупой, если на G определены операции умно-
умножения, правого и левого деления -, /, \, такие, что в G есть
единица е н для любых х, у е G выполнены равенства
х/у ■ У =--' У ■ У\х = (ху)/у = у\(ух) — х.
Лупа G называется альтернативной, если любые два ее элемен-
элемента порождают подгруппу в G; G называется лупой Муфанг,
если в ней справедливо тождество
ху ■ zx = х (yz) х.
Всякая лупа Муфанг является альтернативной; примером
лупы Муфанг может служить множество обратимых элементов
произвольной альтернативной алгебры с единицей. Лупа G на-
называется аналитической, если G — аналитическое многообразие и
луповые операции аналитичны на G. По аналогии с группами
Ли естественным образом определяются также аналитические
локальные лупы и их касательные алгебры. Касательная алгебра
аналитической локальной лупы Муфаиг [альтернативной лупы]
является мальиевской [бинарно лиевой]. Каждая конечномерная
•'ад R алгебра Мальцева [бинарно лиева алгебра] есть касатель-
касательная алгебра локальной лупы Муфанг [альтернативной лупы],
определенной однозначно с точностью до локальных изоморфиз-
изоморфизмов ([64], с. 341; Кузьмин Е. Н.//Алгебра и логика.—1971.—
438 ГЛ. Ill КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Т. 10, № 1. — С. 3—22). Любая локальная аналитическая лупа
Муфанг локально изоморфна аналитической лупе Муфанг в це-
целом. Каждая конечномерная алгебра Мальцева над R является
касательной алгеброй связной односвязной аналитической лупы
Муфанг (в целом), определенной однозначно с точностью до
изоморфизма (Кердман Ф. С.//Докл. АН СССР.— 1979. —
Т. 249, № 3. — С. 533—536). Последние результаты неверны в
более общем случае бинарно лиевых алгебр и альтернативных
луп: конечномерная бинарно лиева алгебра над R может не
быть касательной алгеброй аналитической альтернативной лупы
в целом.
Приведем основные факты структурной теории ко-
конечномерных алгебр Мальцева над нолем F характе-
характеристики 0 (см. Кузьмин Е. Н.//Алгебра и логика.—
1968.— Т. 7, № 4.— С. 48—69). Пусть Л— конечно-
конечномерная алгебра Мальцева над F, S (Л)—ее разреши-
разрешимый радикал. Алгебра А полупроста (т. е. 5(Л) = 0)
тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую
сумму простых алгебр, каждая из которых либо про-
простая лиева, либо является семимерной алгеброй
М(а, p,v) над своим центроидом Г Э F; а, |3, у <= Г.
Как и в случае алгебр Ли, альтернативных и йорда-
новых алгебр, имеет место теорема об отщеплении
радикала и сопряженности полупростых факторов от-
относительно внутренних автоморфизмов, которые в
данном случае определяются как произведения авто-
автоморфизмов вида exp D, где D — нильпотентное внут-
внутреннее дифференцирование вида Rxy -f- [Rx, Ry\. На
пространстве алгебры А определен аналог формы
Киллинга К(х, у) = tr(RxRy)- Эта форма симметрич-
симметрична, ассоциативна, и для нее справедливы аналоги кри-
критериев Картана полупростоты и разрешимости для
алгебр Ли: алгебра А полупроста [разрешима] тогда
и только тогда, когда форма К невырождена [когда
К (А, Л2) = 0]. Кроме того, имеют место включения
S(A)-A<=N(A), S(A)D<=N(A), где D — произвольное
дифференцирование А, N (А)—наибольший нильпо-
тентный идеал (ниль-радикал) в Л. В частности, если
Л разрешима, то Л2 нильпотентна.
Линейное отображение р: Л-^EndV называется
(правым) представлением алгебры Мальцева А, если
для любых а,Ь,с^А справедливо соотношение
р (ab ■ с) = р (а) р (Ь) р (с) — р (с) р (а) р (Ь) +
+ p{b)p(ca)-p(bc)p(a).
§ 3. НЕАССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ 439
В этом случае V называется мальцевским А-модулем.
Ввиду антикоммутативности понятие мальцевского
модуля эквивалентно понятию бимодуля: достаточно
положить аи = —va (a^A, »s7). Частным слу-
случаем представления является регулярное представле-
представление x*—>Rx.
Если все операторы р(х), лгеЛ, нильпотентны, то
нильпотентна и порожденная ими подалгебра в
End V (аналог теоремы Энгеля). Если при этом р —
почти точное представление (т. е. р не содержит в
своем ядре ненулевых идеалов А), то алгебра А также
нильпотентна. Для представлений разрешимых ал-
алгебр Мальцева над полем характеристики 0 справед-
справедлив аналог теоремы Ли о триангулируемости. Всякое
представление полупростой алгебры Мальцева харак-
теристки 0 вполне приводимо (аналог теоремы Вей-
ля). Если V — точный неприводимый Л-модуль
^charF = 0), то алгебра А проста и имеет место один
из случаев: 1) А = М(а, р\ у), V — регулярный Л-мо-
Л-модуль; 2) А — алгебра Ли, V—лиев модуль; 3) Л ф
ФУ-Аг® Vu где A1^stB,F), dim l/,=2, р(а)=а*,
где а* — матрица, присоединенная к a^Ah
Теорема Энгеля в классической формулировке
остается справедливой и для конечномерных бинарно-
лиевых алгебр произвольной характеристики: если
каждый оператор Rx нильпотентен, то алгебра А ниль-
нильпотентна (Кузьмин Е. Н.//Сиб. мат. ж.— 1967.—
Т. 8, № 5.— С. 1026—1034). Пусть А — конечномер-
конечномерная бинарно лиева алгебра над полем характеристи-
характеристики 0, V—бинарно лиев Л-модуль. Если Л разрешима,
то Л2 нильпотентна и действует ну V нильпотентно;
если Л полупроста и Vo — аннулчтор алгебры Л в мо-
модуле V, то Л — алгебра Мальцева и V/Vo — мальцев-
ский Л-модуль (Гриш ко в А. Н.//Изв. АН СССР.
Сер. мат.— 1980.— Т. 44, № 5. —С. 999—1030). В об-
общем случае Л не разлагается в полупрямую сумму
радикала и полупростой подалгебры.
Во всякой алгебре Мальцева Л над полем F ха-
характеристики ф2 существуют наибольший локально
конечный идеал L(A) и наибольший локально нильпо-
тентный идеал LN(^4). Если при этом Л слабо энге-
лева (т. е. для любых х, у е Л существует такое число
п = п(х,у), что xRy = 0), то L(A) = LN(A), кроме
того, в этом случае LN(A/LN(A)) = 0. Алгебра А
440 Г Л III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
локально нильпотентна тогда и только тогда, когда она
слабо энгелева и любой се лиев гомоморфный образ
локально нильпотентен (Филиппов В. Т.//Алгебра
и логика.—1976.— Т. 15, № 1. —С. 89—109). В част-
частности, всякая алгебра Мальцева над полем, удовлетво-
удовлетворяющая я-му условию Энгеля, локально нильпотент-
нильпотентна. Как и в случае алгебр Ли, отсюда следует по-
положительное решение аналога ослабленной про-
проблемы Бернсайда для луп Муфанг простого периода
(Гриш ков А. Н//Докл. 'АН СССР.— 1985. —
Т. 285, № 3. — С. 534—536).
При изучении свободных алгебр Мальцева харак-
характеристики Ф2,3 важную роль играет следующая
функция Филиппова:
g (х, у, z, t, u) = J ([x, у, xz], t, u) + J ([x, t, yz], x, и),
где [х, у, z] = Зху-z—J(x,y,z). Эта функция косо-
симметрична по у, z, /, и и обращается в нуль, если
у, геЛ3 или t/, z,/еЛ2; в частности, алгебра А2
удовлетворяет тождеству g — О. В свободной алгебре
Мальцева Mk с k ^ 5 порождающими функция g —
ненулевая, поэтому при k ^ 5 тождества алгебры
A = Mk и Л2 различаются. В алгебре М4 выполнено
тождество g = 0, а если k ^ 5, то Mk удовлетворяет
тождеству g(x\, ..., х5)х6 ... хп = 0 при n = k-\-2,
но не удовлетворяет аналогичному тождеству при
n = k-\-l, так что для любого k ^ 4 тождества ал-
алгебр Mk и Mk+\ различны (Филиппов В. Т.//Тр.
Ин-та мат. СО АН СССР. — 1984.— Т. 4. — С. 139—
156). Кроме того, алгебры Mk при k ^ 5 имеют нетри-
нетривиальный центр и потому заведомо не полупервичны.
Свободная алгебра Мальцева счетного ранга также
имеет нетривиальный центр: ему принадлежат, напри-
например, элементы вида g(x\, ..., xs)y2, которые, вообще
говоря, ненулевые. Полупервичные алгебры Мальцева
удовлетворяют тождеству g = 0.
Первичные и полупервичные алгебры Мальцева
характеристики 3 являются лиевыми. Всякая первич-
первичная нелиева алгебра Мальцева характеристики Ф% 3
является центральным порядком в подходящей алгеб-
алгебре М(а, р, у) (Филиппов В. Т.//Мат. заметки,—
1982.— Т. 31, № 5. —С. 669—678). Любая полупер-
полупервичная алгебра Мальцева над полем F характери-
характеристики Ф2 вкладывается в коммутаторную алгебру
§ 4 МОДУЛИ 441
подходящей альтернативной алгебры. В общем слу-
случае вопрос о справедливости такого результата (ана-
(аналога теоремы Пуанкаре—Виркгофа—Витта) остается
открытым.
Об алгебрах Мальцева см. также [193].
§ 4. Модули
В этом параграфе*), если не оговорено противное,
под кольцом понимается ассоциативное кольцо с еди-
единицей.
4.1. Основные определения. Правым модулем над
кольцом R (не обязательно с единицей!) или правым
R-модулем называется коммутативная группа М, для
которой определены произведения ar e M для любых
а е М и re/?, причем (a -f- b)r = ar -f- br, a (r-f- s) =
= ar-\-as и a(rs) = (ar)s для любых a,b^M и
r, s e 5. Подчеркнем, что символ -f- в левой и правой
частях второго равенства имеет различный смысл:
слева он означает сложение элементов кольца R, а
справа — сложение элементов группы М. Различный
смысл имеет также подразумеваемый в третьей фор-
формуле символ умножения: rs означает произведение
элементов кольца R, a (ar)s и a(rs)—произведение
элемента из группы М на элемент кольца R. Анало-
Аналогично определяются левые модули, где произведение
записывается как га. Если кольцо R коммутативно,
то разницы между правыми и левыми модулями нет,
ибо, положив га = аг для r^R, a^M, мы превра-
превращаем правый ^-модуль М в левый, поскольку
(rs) a = (sr) a = a (sr) = (as) r = r (sa)
для любого se/?.
Если R — кольцо с единицей, то правый [левый]
i^-модуль М называется унитарным, если а\ = а
[\а = а] для любого аеМ. В дальнейшем под моду-
модулем всегда понимается унитарный модуль.
Правым [левым] модулем над кольцом R является
любой из его правых [левых] идеалов. В частности,
любое кольцо с единицей является как правым, так
и левым модулем над собой. Линейные пространства
*) Автор глубоко благодарен А. В. Михалеву и А. А. Туган-
Саеву за полезные замечания по содержанию этого параграфа
442 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
над полем Р — это в точности Р-модули. Всякую абе-
леву группу можно рассматривать как модуль над
кольцом целых чисел.
Если М — правый ^-модуль, то имеет место:
а0 = 0г = 0, (—а)г = а{—г) = — аг,
{а — Ь) г — аг — br, а (г — s) = ar — as,
где a, b е М и г, s e R.
Заметим, что символ 0 в первой формуле обозна-
обозначает как нуль кольца R, так и нуль группы М. Точно
так же в последних двух формулах в различных
смыслах используется символ — .
Если R и S — кольца с единицей, то абелева груп-
группа В называется R-S-бимодулем, если В является ле-
левым ^-модулем и правым S-модулем, причем
(га) s = r {as)
для любых г е R, а^В и se5. Всякий правый [ле-
[левый] ^-модуль является Z-i^-бимодулем [^-Z-бимоду-
лем]. Кольцо R оказывается как R-S-, так и S-R-бн-
модулем для всякого подкольца S кольца R, содержа-
содержащего единицу кольца R. Всякий правый модуль М
над коммутативным кольцом R можно считать
#-./?-бимодулем, если положить га = аг для любых
rei? и ael Если М есть ^-S-бимодуль, то часто
говорят, что имеет место ситуация «Ms.
Отображение ср правого модуля М над кольцом R
в правый модуль М' над тем же кольцом называется
гомоморфизмом, если
для любых а, Ъ е М и rei?. Взаимно однозначный
гомоморфизм называется изоморфизмом. Если суще-
существует изоморфизм модуля М на модуль М'', то эти
модули называются изоморфными. Гомоморфизм
[изоморфизм] модуля М в себя [на себя] называется
эндоморфизмом [автоморфизмом] модуля М. Произ-
Произведение двух эндоморфизмов снова оказывается эн-
эндоморфизмом. Так что совокупность всех эндомор-
эндоморфизмов является моноидом. Совокупность всех авто-
автоморфизмов образует группу — подгруппу этого монои-
моноида. Эндоморфизмы свободного правого ^-модуля с ба-
базой, состоящей из п элементов, можно отождествить
§ 4. МОДУЛИ 443
с яХ /z-матрицами над R, причем автоморфизмам со-
соответствуют обратимые матрицы. Группу, состоящую
из таких матриц, называют линейной группой. По-
Подробнее см. [38]. О частично обратимых гомоморфиз-
гомоморфизмах см. [186].
В качестве примеров гомоморфизма модулей укажем отоб-
отображения:
а) множества матриц порядка п над произвольным полем
в множество л-мерных строк, где
Ф(Л) = (аи, ..., а1п);
б) множества матриц порядка 2 в множество четырехмер-
четырехмерных строк, где
ЧС
в) множества n-мерных столбцов над полем (или даже над
кольцом) Р в себя, определяемое равенством
*с:ье>
где А некоторая фиксированная матрица порядка п над по-
полем Р.
Изоморфизмом оказывается гомоморфизм ф. Гомоморфизм %
является изоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица
невырождена.
Подмножество N правого модуля М над кольцом R
называется подмодулем, если OeJV, a,b e N влечет
а + Ъ е Af и ar^N для всех г е R. Подмодуль N
модуля М называется [вполне] характеристическим
или [вполне] инвариантным, если для любых автомор-
автоморфизма [эндоморфизма] ф модуля М и элемента x^N
имеем ф(х)е Af.
Пересечение любого множества подмодулей мо-
модуля М является подмодулем.
Если М — правый /^-модуль, то выражение вида
alrl + ... + amrm,
где al^,M и rt^R, будем называть линейной комби-
комбинацией элементов аи ■■■, ат. Если все п=0, то ли-
линейная комбинация называется тривиальной. Если
элемент равен линейной комбинации элементов
о-и ..., ат, то говорят, что он выражается через си-
систему щ, = {аи ..., ат}. Если система % бесконечна,
444 гл Iu КОЛЬЦА И МОДУЛИ
то выражаемость элемента через систему 31 опреде-
определяется как его выражаемость через некоторую конеч-
конечную подсистему системы St. Если каждый вектор си-
системы 31 выражается через систему 31', то скажем, что
система 31 выражается через систему 31'. Если систе-
система 31 выражается через систему 31', а система 31' — че-
через 31", то система 31 выражается через систему 31".
Если X—подмножество правого ^-модуля М, то
обозначим через L(X) и назовем линейной оболочкой
подмножества X множество всех элементов из М, ли-
линейно выражающихся через X Если Х= {а}, то вме-
вместо L(a) часто пишут aR Линейная оболочка любого
подмножества X модуля М является подмодулем, со-
совпадающим с пересечением всех подмодулей моду-
модуля М, содержащих подмножество X. Другими сло-
словами, линейная оболочка множества X — это наимень-
наименьший подмодуль модуля М, содержащий множество X.
Если M = L(X), то говорят, что X — система по-
порождающих или система образующих модуля М, а
также, что М порождается множеством X.
Если ф. М-*-М' — гомоморфизм модулей и 0 ф
ф X <=, М, то полагаем
В частности, cp(Af)=Im(p. Если X — подмодуль мо-
модуля М, то ф(Х)—подмодуль модуля М. В частно-
частности, Imcp — подмодуль модуля М', который называется
образом гомоморфизма ср Если Н' — подмодуль мо-
модуля М', то множество
оказывается подмодулем модуля М, который назы-
называется полным прообразом подмодуля #'. В частно-
частности, подмодулем является множество
которое называется ядром гомоморфизма ф. Инъек-
тивный [сюръективный] гомоморфизм называется
также гомоморфным вложением [наложением]. Вся-
Всякий гомоморфизм ф: М-*-Мг представляется в виде
Ф = па, или ф = аод, где я: М-*-1пкр — гомоморф-
гомоморфное наложение, а а: 1тф—*-М' — естественное гомо-
гомоморфное вложение. Гомоморфное вложение [наложе-
[наложение] модулей часто называют мономорфизмом [эпи-
§ 4 модули 445
^орфизмом], что в этом случае согласуется с теоре-
тико-категорным значением этих терминов (см.
п. VII. 1.4).
Пара (ф, ст) называется полулинейным отображе-
отображением правого ^-модуля А в правый S-модуль В, если
ф — гомоморфизм абелевой группы А в группу В, а —
гомоморфизм кольца R в кольцо S, аA) = 1 и ср(аг) =
= ф(а)а(г) для любых а^А и rei?. Если R = S
и а — тождественный автоморфизм кольца R, то полу-
полулинейное отображение превращается в гомоморфизм
правых ^-модулей.
Если Н—подмодуль правого ^-модуля М, то фак-
факторгруппа М/Н превращается в правый .R-модуль,
если для любых а е М и re]? положить (а + Н)г =
= аг-\-Н. Этот модуль называется фактормодулем
модуля М по подмодулю Н. Отображение я: М-*-М/Н,
где %(х) = х -\- Н для всех х е М оказывается гомо-
гомоморфным наложением, которое называется естествен-
естественным гомоморфизмом.
Между подмодулями фактормодуля М/Н и подмо-
подмодулями модуля М, содержащими подмодуль Н, суще-
существует взаимно однозначное соответствие Ф, сохра-
сохраняющее порядок (ср. п. 113). Оно определяется
условием
{
где Н^К^М. Заметим, что Ф(К) — п{К), где я —
естественный гомоморфизм.
Имеет место теорема о гомоморфизме: если qp: M->
-*~Af — гомоморфное наложение правых модулей над
кольцом R, Кег ф — подмодуль модуля М, являющийся
ядром этого гомоморфизма, я: М -*■ Af/Ker ф — есте-
естественный гомоморфизм, то существует изоморфизм %:
М'-->-Af/Ker ф такой, что ф% = я. Другими словами,
оказывается коммутативной диаграмма
М/Кегср
Если К., Н — подмодули модуля М и К £ Н, то
MIH{MII), где HIK— образ подмодуля Я
446 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
при естественном гомоморфизме М на М/К. Если <р.
М ->М' и -ф: Af —>М" — гомоморфизмы модулей,
1тф==Л1' и Кегф^Кег^, то существует такой гочо'
морфизм %: М'—>М", что ФХ = 'Ф. Это равносильно
коммутативности диаграммы
<Р
Коядро и кообраз гомоморфизма ф: М-^-М' опре-
определяются как Coker ф = уИ/Im ф и Coim ф = Af/Ker ф
соответственно. Конечно, Coim ф ~ уИ/Ker ф. Гомомор-
Гомоморфизм ф оказывается вложением [наложением] тогда
и только тогда, когда КеГф = 0 [СокеГф — Oj.
Эквивалентность 0 на правом ^-модуле М назы-
называется конгруэнцией, если (a,b), (c,d)^Q влечет
(а-\-с, b + d) e 0 и [ar, br) e 6 для любого r<=R. Раз-
Разбиение, соответствующее конгруэнции (см. п. I. 1.3),
называется допустимым разбиением. Разбиение мо-
модуля М оказывается допустимым тогда и только то-
тогда, когда оно является разбиением его аддитивной
группы по некоторому подмодулю Я. Этот подмодуль
совпадает с классом разбиения, содержащим 0. При
этом, если обозначить через [х] класс конгруэнции 0,
содержащий элемент хе Д то [х] — х-\-Н и эквива-
эквивалентны следующие условия: A) (х,(/)еб; B) х —
— yl=H; C) х^у-\-Н. Вместо (а,Яев часто пи-
пишут а9Ь, а =з b (mod 0) или а == b (mod //).
Суммой подмодулей St, ie3. модуля М называ-
называется совокупность всех конечных сумм вида sti + ■ ■ •
. ..+s/m, где st e 5i4. Сумма подмодулей оказы-
оказывается наименьшим подмодулем модуля М, содержа-
содержащим все подмодули St. Она совпадает с линейной
оболочкой объединения U Sl и обозначается через
16=3
£ St. Если 3 = {1 я}, то пишут Sy + ... +Sn.
ie=3
Для любого гомоморфизма ф модуля М в модуль М'
имеет место ф ( ^ 5Л == S Ф (Si) и Ф f П 5Л G
Vis=s / iss Vi<=3 /
S fl фE^), причем последнее включение может ока-
3
§ 4 МОДУЛИ 447
ться строгим. Впрочем, если Кег <=, Sb для всех i f= 3,
Ш
Для любых подмодулей А и В модуля М имеет
место (А + В)/В^А/А(]В.
Совокупность 3?(М) подмодулей модуля М явля-
является частично упорядоченным множеством по вклю-
включению- При этом точная верхняя [нижняя] грань лю-
любого множества подмодулей совпадает с их суммой
[пересечением]. Таким образом, 3?(М) оказывается
полной решеткой называемой решеткой подмодулей
модуля М. Эта решетка модулярна (дедекиндова),
т. е., если А <= С, то (Л + В) Л С = А + В Л С для лю-
любых А, В, Се 9?{М), но, как правило, не дистрибу-
дистрибутивна.
Сумма /I Sb называется прямой, если каждое
слагаемое имеет нулевое пересечение с суммой осталь-
остальных. Прямую сумму подмодулей St> iej, обычно
обозначают через 2j Si или 2-, Si, а если 3 = С- • •
i<=3 ie3
..., п}, то через S[® . . . ©Sm. Сумма и, в частности,
прямая сумма не зависит от порядка слагаемых.
Если S = S{ + . . . -\-Sm, то эквивалентны следующие
свойства:
т. е. (S1+...+S,_1 +
+ 5<-+i + • • • + 5т) Л 5г = 0 для каждого г;
B) (S,+ ...+Sl)[]Si + l^Q при i=l, 2, ...
...,m-l;
C) каждый элемент s из S единственным спосо-
способом представляется в форме
5=5^ ... +Sm,
где s, (= S,;
D) если Sj e S, и S) + ... + sm = 0, то s4 = 0 для
всех г.
В частности, сумма S + Т двух подмодулей явля-
является прямой тогда и только тогда, когда Sf\T = O.
Имеет место теорема о транзитивности разложения
в прямую сумму: если S = Si © ... ® Sm — прямая
сумма, то
... @sm)
448 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
для каждого i; если
и
для каждого г, то
...®sml©...©smV
Этот результат остается в силе и для бесконечного
множества слагаемых.
Если М — 2_j А = £ Вх, то эти два разложе-
ния называются изоморфными, если существует такое
взаимно однозначное отображение а множества 3 на
множество Й, что Л1~5аA) для любого ie3. Если
для указанных разложений модуля М существуют та-
такие разложения
• А = E%V|l из) и ' ..
что изоморфны разложения AI== 2j Аи и М =
c^v, то говорят, что данные разложения
обладают изоморфным продолжением.
Если Af,,, i е 3,— множество правых ^-модулей, то
прямое произведение И М^ множеств Ми можно пре-
вратить в правый ^-модуль, положив
(. . ., al( . ..)/■ = (..., atr, .. .)
для любых (..., at,...), (. . ., 6t> .. .)s= Ц 4fv и
rei). Этот модуль называется прямым произведе-
произведением (иногда просто произведением или полной пря-
прямой суммой) модулей ML. Правый ^-модуль М изо-
§ 4. МОДУЛИ 449
морфен прямому произведению Ц My. тогда и только
тогда, когда существуют гомоморфные наложения jit:
д|_+-Л1и ieS, и каковы бы ни были правый ^-мо-
^-модуль А и гомоморфизмы фс: А-+¥н, существует един-
единственный гомоморфизм ф: А-*-М такой, что фП1 = ф1
для всех ie5 (ср. п. VII.1.7). Подмножество пря-
прямого произведения Ц Mlt состоящее из всех строк,
у которых лишь конечное число координат отлично
от нуля, оказывается подмодулем, который называется
внешней прямой суммой модулей Mlt а также копро-
изведением. Внешняя прямая сумма совпадает с пря-
прямым произведением тогда и только тогда, когда мно-
множество индексов 3 конечно. Внешняя прямая сумма
является прямой суммой своих подмодулей
которые изоморфны модулям Мь. Поэтому внеш-
нюю прямую сумму также обозначают через £, ML.
is=3
Употребляются также обозначения £ Mt и JT ^t.
Правый ^-модуль S изоморфен внешней прямой
сумме Jj ^l Т0ГДа и только тогда, когда существуют
гомоморфные вложения ctl: Mt-*-S, ig5, и каковы
бы ни были правый ^-модуль А и гомоморфизмы ф^
My,—*-А, существует единственный гомоморфизм ф:
S-^-M такой, что стьф == ф1 для всех ie5 (ср.
п. VII.1.7).
Обратим внимание на то, что внешняя прямая
сумма и внешнее прямое произведение не зависят от
порядка слагаемых и сомножителей в том смысле, что
для любого взаимно однозначного отображения> а
множества 3 на себя имеют место изоморфизмы
и П м^ Ц
3
В частности МУ®М2 с^ М2®МУ.
Если М = М{Ф ... ®Мт, Ni — подмодуль модуля
Mt и N = N\ + ... +Nm (заметим, что эта сумма ав-
автоматически оказывается прямой), то фактор модуль
430 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
M/N изоморфен внешней прямой сумме (Mi/Mi)® ...
... ®(Mm/Nm). В частности, (ЛГ, © М2)/М, я? М2. Для
любых подмодулей А и В произвольного модуля М
имеет место изоморфизм, (Л -f- 5)/Л П В ~ (А/А\]В) ©
®(B/Af]B), где в правой части имеется в виду внеш-
внешняя прямая сумма.
Говорят, что подмодуль ./V модуля М выделяется
прямым слагаемым, если М = Л' Ф N' для некоторого
подмодз'ля N' £ М. Из последнего результата выте-
вытекает, что если подмодуль N мод>ля М выделяется
прямым слагаемым, то М содержит подмодуль, изо-
изоморфный фактормодулю M/N.
Если существует гомоморфизм правых R-моду-
со
лей qp: И Л, —> *£, BL и % ~ фильтр главных левых
идеалов кольца R, то с}ществует Ra^ff такой, что
для всех i e 3, кроме, быть может, конечного числа
их,
t * ! X У Ой \. Ч
где Я1 — естественная проекция прямой суммы на jSt.
Отсюда вытекает, в частности, что прямое произведе-
произведение счетного множества экземпляров группы Z не вло-
жнмо в качестве сервантной подгруппы ни в какую
счетно порожденную абелеву группу (лемма Чейза —
см. {90], пп. 20.20, 20.22).
Говорят, что модуль А-обладает свойством [конеч-
[конечной] замены, если для любого модуля В и любого
[конечного] множества модулей {CJieS} равенство
А ® В = А ф ( Xе СЛ влечет за собой А © В =
—А(&(}-1 вЛ, где В1^С1. Свойством замены обла-
дает вся1>ий квазиинъективный модуль. Неразложи-
Неразложимый модуль обладает свойством замены тогда и
только тогда, когда кольцо его эндоморфизмов ло-
локально ([90], ч. 2, с. 115; [90], т. 2, с. 47, упр. 8).
Различные аспекты, касающиеся разложения модуля
в прямую сумму, в частности, связанные со свойст-
свойством замены, рассмотрены в {275]. Вопросы продол-
продолжаемости прямых разложений с теоретико-категор-
ной точки зрения рассматриваются в [170].
§ 4. МОДУЛИ 451
£СЛИ <j—направленное вверх частично упорядо-
упорядоченное множество, {Mi[ie3}—семейства правых
jR-модулей и для любых i, хеЗ, где i =g: -л, заданы
гомоморфизмы ф1И: М^-^М.Л, причем фи —тожде-
—тождественный автоморфизм модуля Mt и Ф^Фия. = Фа, если
i ^ х ^ Я, то говорят, что задан прямой спектр моду-
модулей. Модуль М называется пределом этого прямого
спектра шля просто прямым пределом, еслиЛ|=|х|х =
= {..., а\, . ..)<= II М и «pvx (xL) = хА,- если i£k)
Каждый модуль является прямым пределом своих
конечно порожденных подмодулей и изоморфен пре-
пределу некоторого прямого спектра конечно представи-
мых модулей ([73], п. 0.11; ср. п. I. 2.1 и VII. 2.2).
Подмодуль N правого .^-модуля М называется су-
существенным или большим, если он имеет ненулевое
пересечение с любым ненулевым подмодулем моду-
модуля М. Другими словами, если О^аеМ, то О ф
Фаг<^Ы для подходящего г е R. Если N — суще-
существенный подмодуль модуля М, то говорят также, что
М — существенное расширение модуля N. Подмо-
Подмодуль N правого ^-модуля М называется косуществен-
ны.11 или малым, если для любого подмодуля Н s M
равенство N -f- Н — М влечет за собой Н = М.
Говорят, что подмодуль D ^-модуля М является
дополнительным для подмодуля A s M или А-высо-
ким, если A[]D==0, но (D + xR)f\A Ф0 для любого
А-еЛ1\£). Подмодуль В s M оказывается дополни-
дополнительным для подмодуля А £ М, если А П В = 0 и
A-f-В — существенный подмодуль модуля М. Подмо-
Подмодуль модуля М называется замкнутым, если он не
имеет отличных от него существенных расширений,
принадлежащих М. Подмодуль модуля М оказывается
замкнутым тогда и только тогда, когда он является
дополнительным для некоторого подмодуля модулч М.
Подмодуль А модуля М называется минимальным
{максимальным], если для любого подмодуля XsM
соотношение 0 Ф X s А [А ^ X Ф М] влечет за собой
Х — А. Таким образом, минимальный [максималь-
[максимальный] подмодуль является минимальным [максималь-
[максимальным] элементом частично упорядоченного по включе-
включению множества ненулевых [отличных от М] подмоду-
подмодулей модуля М. Пересечение [сумма] двух различных
452 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Минимальных [максимальных] подмодулей моду-
модуля М равна {0} [совпадает с М]. Сумма всех ми-
минимальных подмодулей модуля М называется его цо-
цоколем и обозначается через SocM Если модуль не
содержит минимальных подмодулей, то его цоколь
считается равным нулю. Пересечение всех максималь-
максимальных подмодулей модуля называется его радикалом
(точнее, радикалом Джекобсона; подробнее см. п. 4.4).
Радикал модуля М, не содержащего максимальных
подмодулей, считается равным М, Отметим, что цо-
цоколь является вполне приводимым модулем (см.
п. 4.2).
Множество всех гомоморфизмов правого ^-моду-
^-модуля М в правый ^-модуль М' превращается в абелеву
группу, если для любых гомоморфизмов <р и \$> из М
вМ'и любого хеМ положить
Нулем этой группы служит гомоморфизм Омм', где
Омм' (х) = 0 для всех х е М. Определенная таким об-
образом абелева группа называется группой гомомор-
гомоморфизмов из М в М' и обозначается через Hom«(M, M').
В частности, абелевой группой оказывается и множе-
множество HomR(M, M). Поскольку произведение гомомор-
гомоморфизмов является гомоморфизмом, то это множество
оказывается кольцом с единицей, которое называется
кольцом эндоморфизмов модуля М и обычно обозна-
обозначается через End Mr пли просто End Ж Как отмеча-
отмечалось в п. 1.1.4, произведение отображений множества
в себя можно определить как qp-ф и как qp°i£>. Это дает
две возможности для превращения множества EndM
в кольцо. Тождественное отображение множества
End M на себя является антиавтоморфизмом этих ко-
колец. Если М — простой правый [левый] ^-модуль, то
End M — тело (лемма Шура — см. [90], п 3.10.1 (в);
[96], теорема 1.1.1). Некоторые специальные свойства
колец эндоморфизмов рассматриваются в [225] и
[252].
Пусть V—линейное пространство над телом D.
Подкольцо R кольца линейных преобразований про-
пространства V называется плотным, если для* любого
конечного линейно независимого множества Х\ хп
из V и любых у\ t/n^V имеем <${xi) — y, {i —
= 1 п) для подходящего <р е/?. Говорят, что
§ 4. МОДУЛИ 453
ранг линейного преобразования ф конечен, если под-
подпространство Imqp конечномерно. Совокупность всех
линейных преобразований конечного ранга оказыва-
оказывается двусторонним идеалом кольца всех линейных
преобразований. Имеет место теорема плотности:
если М —простой правый ^-модуль, S — EndR M (на-
(напомним, что S — тело), Х[ Хп^М — линейно не-
независимые над 5 элементы из М и уи ..., уп (= М, то
существует r^R такой, что x,r = yt для /= 1, ..., п.
Отсюда вытекает, что кольцо R примитивно справа
в том и только том случае, когда оно изоморфно плот-
плотному кольцу линейных преобразований некоторого ли-
линейного пространства над телом ([90], пп. 19.22,
1923А; [96], теорема 2.1.2; [31], §11.2).
Любой левый [правый] ^-модуль М можно пре-
превратить в правый [левый] (End R) -модуль, если
Щ [фх], где хеМ и фе End R определить как образ
элемента х при отображении ф. При этом в первом
случае нужно иметь в виду произведение отображе-
отображений фф, а во втором фоф (см. п. 1.1.4). Свойства
(End М) -модуля М часто называют эндосвойствами
модуля М. Так, эндоконечность, эндопроективность,
эндоинъективность и т. п. модуля М означает, что М
является конечно порожденным, проективным, инъек-
тивным и т. п. (End M) -модулем. Всякий правый ^-мо-
^-модуль М является (End уИ)-/?-бимодулем. Вполне инва-
инвариантные подмодули модуля М — это в точности
подбимодули этого бимодуля. Правый ^-модуль М эн-
доплоский тогда и только тогда, когда левый (EndAf)-
модуль HomR(M, Q) инъективен для любого кообра-
зующего ^-модуля Q (Onodera T.//Hokkaido Math.
J. — 1978. — V. 7, N 2. —P. 179—182).
Кольцо эндоморфизмов левого (End« М) -модуля М,
где М — правый ^-модуль, называется бикоммутато-
ром или кольцом биэндоморфизмов, а также вторым
Централизатором правого ^-модуля М и обозначается
через BiendAi Равенство Гм(г) (х) = хт, где rei? и
х^Л4, определяет гомоморфизм Гм кольца R в коль-
кольцо BiendM, который называется гомотетией модуля М.
Если Л — абелева группа, то гомоморфизм Ф
кольца R в кольцо Endz А называется представлением
кольца R, если ФA)—1Л. Если задано такое пред-
представление Ф, то абелеву группу А можно превратить
в правый ^-модуль, положив аг = аФ(г) для любых
454 ГЛ 111 КОЛЬЦА II МОДУЛИ
а^А и rei? (разумеется, надо считать, что произ-
произведение фф в Endz 4 задается равенством лг(<рф) =
= (Хф)г|з. Наоборот, если А — правый /?-модуль, то
можно определить представление Ф кольца R в
Endz Л, положив сФ(г)—аг для любых ае,1 и
Если Л и 5— соответственно Г-./ч-бимодуль и
S-^-бимодуль (т. е имеет место ситуация TAR и sBR),
то для любых f еНот«(Л,В), s e S, t<=T, а^А
положим
Eф) (а) == sqr (а) и (ф/) (я) = ф (to).
Тогда 5ф, ф/ е Homff (Л, В), и это позволяет рассмат-
рассматривать Нот к (А, В) как S-Г-бимодуль. В частности,
для любого правого /?-модуля Л приведенные выше
определения превращают HomR (Л, R) в левый, а
Нот^ (/?, Л) в правый ^-модуль. При этом отобра-
отображение Ф: Ногпя (Ri A)^-A, где Ф(ф) = фA) для
любого ф е Нот^^" ,4), оказывается изоморфизмом
правых ^-модулей. В ситуации RAS и SBT абелева
группа Hom# (Л, В) превращается в S-Г-бимодуль,
если для любых ф е HomR (А, В), s e S, t еГ и а е А
положить (ф^) (а) = ф (as) и ftr (а) = ф(а)/. В частности,
если /И — правый [левый] ^-модуль, то абелева группа
M* = HomR(M, R) оказывается левым [правым] R-mo-
дулем, который называется дуальным к модулю М.
Более того, М" — снова правый [левый] ^-модуль.
Он называется бидуальным к модулю М. При этом
отображение Фм: М—>М", где Фм (х) (/) = /(х) для
любых /еЛ1* и х^М, оказывается гомоморфизмом
правых [левых] /^-модулей. Левые [правые] ^-модули
М* и М*** изоморфны. Если ф: Л -^ В — гомоморфизм
правых ^-модулей, го определим гомоморфизм <р*:
В" —>■ А* левых ^-модулей, положив ф* (g) (x) = g (ф (а;))
для любых g е В* и леА Если ф — наложение, то
Ф* оказывается вложением. Если т)з: В~>С — гомо-
гомоморфизм, то (фф)*= ^*ф*. Для любого правого ^-мо-
^-модуля М имеет место М"" = (Im Фж.)ф (Кег Ф'^) (см.
[45] п. 12.2).
Пусть теперь Л — правый, а В — левый ^-модули.
Рассмотрим свободную абелеву группу F с базой
ЛХВ, т. е. совокупность всевозможных формальных
сумм
}_, Я(а b)(a, b),
(а.Ь)свАХВ
§ 4 модули 455
где "к(а, »)£Zk лишь конечное множество коэффици-
коэффициентов i(a,b) отлично от нуля, с естественным опреде-
определением сложения. На F можно смотреть как на пря-
прямую сумму |ЛХ^| экземпляров абелевой группы Z
(ср. п. 4.2). Пусть, далее, К — подгруппа группы F,
порожденная всеми элементами вида
(а' + а", Ь)-{а', b)-(a", b),
(а, Ь' + Ь") - (а, Ь') - (а, Ь")
(от, Ь) - (а, тЬ),
где а, а', а" <=А, b,b',b"^B и r<=R. Факторгруппа
F/K называется тензорным произведением ^-модулей
Л и В и обозначается через A ®R В. Обозначим через
т естественный гомоморфизм F на A®RB и положим
а ® b =т(а, Ь). Подчеркнем, что каждый элемент из
А <8>/г В представляется как линейная комбинация эле-
элементов вида а ® b с целыми коэффициентами. Однако
такое представление не является однозначным. В част-
частности, возможно, что а <8> b == 0 при а,Ь^=0.
Пример: Z/Zm <8>z Z/Zn = 0, если н. о. д. (т, п) = 1.
Действительно, um -f- vn = 1 для некоторых и, о ё Z,
откуда
[х],п ® [«/]„ = [umx + vnx]m <8> [«/]„ = [vx]m п ® [«/]„ =
= [о f ]m ® [л«/]„ = М„ ® [0„] = О,
где [г] % — класс вычетов по модулю k, содержащий г.
Для любых а, а', а" <= Л, 6, b', b" ^ R и re/?
справедливы равенства: 1) (а'-\-а")®Ь=а'®Ь-\-а"®Ь;
2) a® (ft'+ 6") = а® Ь' + а®Ь"; 3) ar®b = a®rb\
4) 0®6 = а®0 = 0; 5) (—а) ® 6 = а ® (— Ь) = — (а® 6).
Пусть Л — правый, а В — левый ^-модули. Отобра-
Отображение ф множества Л X -б в абелеву группу G назы-
называется билинейным, если для любых а,а',а"^А,
b,b',b"^B и rej? справедливы равенства
Ф(а'+о", 6) = <р(а', Ь)+Ф(а^, 6),
Ф (а, Ь' + Ь") = ф (а, 6') + Ф (а, Ъ")
и
ф(аг, 6) — ф(а, г/?).
Если Л — правый, а В — левый /?-модули, то абе-
лева группа Г изоморфна тензорному произведению
456 гл- ш КОЛЬЦА И МОДУЛИ
A®rB тогда и только тогда, когда существует такое
билинейное отображение а прямого произведения
А X В в Т, что Ima порождает группу Т и для любой
абелевой группы Т и любого билинейного отображе-
отображения ср: Ау^В-^Т' найдется такой гомоморфизм a.Je-
левых групп г|к Т-*■ Т, что аЦ> = ср.
Если имеет место ситуация RAs и SBT, то абелева
группа A<g)sB становится /?-Г-бимодулем, если для
любых аеД b^B, r^R и /6Г положить г(а®&) =
= га®6 и (a<g)b)t = a<8)bt.
В ситуации дЛ^> s^r и r^t/ существует изоморфизм
7?-Ь'-бимодулей
Ф: (A®SB)<8)TC ->A®S(B®TC),
где
Ф ((а ® 6) ® с) = а ® F ® с)
для любых яеД бе В и сеС. Если имеет место
ситуация RAT, SBR и sCr, то существует изоморфизм
Г-G-бимодулей
Ф: HomgM, Homs(B, С)) ->Homs (В ®ЯА, С),
где
Ф (Ф) (b ® а) = ф (а) F)
для любых (peHomff(/l, Homs(B, С)), а^А и Ь^В.
В ситуации л/4$, sBr и и^т имеет место изомор-
изоморфизм /?-£/-бимодулей
Ф: Homs(A, HomT(B, С))-> Homr(/1 ®s S, Q,
где
для любых феНот^Л, Нотг(В, С)), йё/1 и 6 е В
(см. [44], § II. 5).
Если /S — правый /^-модуль, Q — аддитивная группа
рациональных чисел, a Z — группа целых чисел, то
абелева группа A* = Homz(^, Q/Z) становится пра-
правым /^-модулем, если для любых г е R, феЛ# и
а <= А положить (фг) (а) = ф (аг). Этот модуль Л* назы-
называется модулем характеров модуля А (см. п. 4.3).
На каждом правом .R-модуле М для любого п и
любого набора (ги ..., г„) элементов из i?, где rj-f- ...
... + rn=l, определена n-арная операция |гь ..., г„|:
(а,, . .., ап)\гу, . .., гп\ = а1Г1+ . . . +апгп.
§ 4. МОДУЛИ 457
Возникающая таким образом универсальная алгебра
называется аффинным модулем. Подробнее см. Os-
termann F., Schmidt J.//J. reine and angew.
Math. — 1966. —V. 224. —P. 44—57; Csakany B.//
Acta Sci. Math. — 1975. — V. 37, N 1—2.— P. 3—10;.
Сафуанов И. С.//Абелевы группы и модули.—
Вып. 4. —Томск, 1986. —С. 118—150.
Систематическое изложение основ теории модулей
на русском языке можно найти в учебниках [18], [44],
[45], [47], [48], [57], [62], [76], [87], [88], [90].
Из зарубежных монографий отметим [105], [108],
[115], [142], [173], [188], [237], [242], [272]. Теоре-
Теоретико-множественным и теоретико-модельным методам
в теории модулей и теории абелевых групп посвя-
посвящены монографии [99], [141], [231]. Интерес к этому
направлению связан, в частности, с тем, что, как вы-
выяснилось, ряд результатов гомологической алгебры и
теории абелевых групп зависит от выбора аксиома-
аксиоматики теории множества. Модули над групповыми
алгебрами рассматривались в [201], над цепными коль-
кольцами— в [150], а над коммутативными кольцами —
в [235], [247] и [267]. Поведение модулей при рас-
расширении основного кольца обсуждается в [166]. Тео-
Теория линейных автоматов, широко использующая
модули над коммутативными кольцами, изложена в
[121]. Регулярно публиковались обзоры по новейшим
результатам теории модулей (см. [65], [66], где ука-
указаны и все предыдущие обзоры).
4.2. Специальные классы модулей. Если х — эле-
элемент, а X—подмножество правого /?-модуля М, то
полагаем
Ann х = {г | г е R, хг = 0}
и
Ann X = {г | г е R, хг = 0 для всех х е X}.
Как Ann л: так и Ann X — правые идеалы кольца R.
Они называются аннуляторами элемента х и множе-
множества X соответственно. Аннулятор любого подмодуля
модуля М оказывается двусторонним идеалом. Дву-
Двусторонний идеал / кольца R оказывается аннулятором
некоторого неприводимого правого [левого] /?-модуля
тогда и только тогда, когда факторкольцо R/I прими-
примитивно справа [слева] ([90], п. 26.12). Если АппУИ=0,
то модуль М называется точным. Каждый правый
458 Г Л 1П КОЛЬЦА И МОДУЛИ
/?-модуль М можно рассматривать как правый
(/?/Лпп М)-модуль, если для любых леМ и г е R
положить x(r-f- Ann М) — хг. Этот (R/Ann М)-модуль
оказывается точным. Правый ^-модуль М точен то-
тогда и только то"да, когда соответствующее предстаз-
ление кольца R в EndxM оказывается вложением
Всякий модуль, содержащий точный подмодуль, точен.
В частности, точен любой правый ^-модуль, содержа-
содержащий R в качестве подмодуля. Модуль М называется
конечно точным, если R как подмодуль содержится в
прямой сумме некоторого конечного множества экзем-
экземпляров модуля М, и ограниченным, если Ann M =
= Ann х для некоторого х е М.
Правый R-модуль М оказывается точным тогда
и только тогда, когда его гомотетия Гм является вло-
вложением. Если же Гм является наложением R на
B;end М, то модуль М называется сбалансированным.
Пусть М** — модуль, бидуальный к правому ^-мо-
^-модулю М и Фдь' М-^М** — описанный в п. 4.1 гомомор-
гомоморфизм. Модуль М называется полурефлексивным [реф-
[рефлексивным], если Фм — вложение [изоморфизм]. По-
Полурефлексивный модуль называется также модулем
без кручения в смысле Басса (torsion less). Эквива-
Эквивалентны следующие свойства правого ^-модуля М:
A) М полурефлексивен; B) если Офх^М, то
ф{х) Ф 0 для некоторого <р е М* — Homff (M, R); C) М
изоморфен подмодулю прямого произведения некото-
некоторого множества экземпляров модуля R (см. [73],
с. 112, п. 2.38). Прямая сумма конечного числа моду-
модулей рефлексивна тогда и только тогда, когда рефлек-
рефлексивны все слагаемые. Если М — рефлексивный мо-
модуль, то модули М*, М", М""", ... также рефлексив-
рефлексивны ([45], п. 12.2).
Множество <У элементов правого ^-модуля F h<j-
зывается базой, если каждый элемент а из F един-
единственным способом представляется в форме а —
— Yj ere, где re e R, причем почти все ге равны 0.
ее?
Ясно, что база содержит лишь ненулевые элементы и
что правый ^-модуль R обладает одноэлементной ба-
базой {!}. Модуль, обладающий базой, называется сво-
свободным. Следующие свойства правого ^-модуля F
равносильны: A) F свободен; B) F содержит такое
подмножество 8, что, каков бы ни был правый ^?-мо-
i § 4 МОДУЛИ 459
яуль М и отображение <р множества 1"в М, найдется
такой гомоморфизм -ф модуля F в М, что \|>(е) = ф(е)
для всех е <=<%"; C) F изоморфен внешней прямой
сумме некоторого множества экземпляров правого
/^-модуля R. Всякий ненулевой правый модуль над
телом свободен и все его базы равномощны. Однако
существуют такие кольца R, что некоторые свободные
модули над ними (правда, обязательно обладающие
конечной базой!) допускают базы, содержащие раз-
различное число элементов ([87], с. 61—62). Про свобод-
свободный конечно порожденный модуль, все базы которого
содержат одно и то же число элементов, говорят, что
он обладает инвариантным базисным числом. Инва-
Инвариантным базисным числом обладают, например, все
конечно порожденные свободные модули над комму-
коммутативными кольцами, над PI-кольцами, над кольцами,
артиновыми [нётеровыми] слева или справа, над та-
такими кольцами R, что все кольца матриц Mn(R) ко-
конечны по Дедекинду ([90], п. 7.23.6). Каждый правый
^-модуль является гомоморфным образом свобод-
свободного. В частности, любой правый ^-модуль М, по-
порожденный п элементами, изоморфен фактормодулю
правого ^-модуля n-мерных строк над кольцом R.
Если F — свободный правый /?-модуль с базой
{еи ..., еп) ив качестве умножения в EndgF принято
ф огр (см. п. 1.1.4), то кольцо EndRF изоморфно
кольцу матриц Mn{R), причем изоморфизм Ж:
EndR F-^Mn(R) определяется условием, что /-м столб-
столбцом матрицы Ж (у), где qpeEnd/jF, служит столбец
где ф (et) — ехаи + ... -f enanl. Если же F — свободный
левый ^-модуль с базой {еи ...,еп} и в качестве
умножения в End^ F взкто фтр, то изоморфизм Ж:
Endд/7-^Mat,,/? определяется требованием, что г-й
строкой матрицы Ж(ф) служит (alU ..., а(п), где
^Ф = а„<?, + ... +а1Пеп.
Если придерживаться второго определения умно-
умножения и F — свободный левый /?-модуль с базой S,
то эндоморфизм ф принадлежит радикалу Джекоб-
сона кольца EnARF в том и только том случае, когда
460 ГЛ- т. кольца и модули
для базы & или, что равносильно, для любой базы
модуля F из равенств qp (е) = £ regg> гДе е<=& и
reg<=R, вытекает, что reg принадлежит радикалу Дже-
кобсона кольца R, и если Z-t = £ Rr^, то для любой
последовательности и, i2, ••• различных индексов из
& и любых йй е i, найдется такой номер п, что
G] ... а„ = 0. Заметим, что в случае конечного мно-
множества <§? второе условие выполняется автоматически
(Ware R., Zelmanowitz J.//Proc. Amer. Math.
Soc. — 1970. —V. 26, N 1. —P. 15—20). Если Л —
правый ^-модуль, a F — свободный левый ^-модуль
с базой & и Ai=A для всех /el", то отображение
ф: A ®rF-+ Y? Ав,
eel
где
Ф fa® £ ге<А = (. . ., атй, . . .), се/1, re<=R,
является изоморфизмом абелевых групп. Более того,
если F рассматривать как ^?-^?-бимодуль, то ф ока-
оказывается изоморфизмом правых ^-модулей. В частно-
частности, изоморфизмом правых ^-модулей является ото-
отображение ф: A -v/1 <8)R R, где ф (а) = а ® 1. Если А —
левый ^-модуль, то отображение ty: A -+R <8rA, где
ifi(a)= I ® а, оказывается изоморфизмом левых ^-мо-
^-модулей.
Правый ^-модуль называется конечно порожден-
порожденным, если он является линейной оболочкой некото-
некоторого конечного множества.
Примером конечно порожденного модуля служит модуль
«-мерных строк над произвольным кольцом R. Действительно,
положив
е. = @, ..., 0, 1, 0, ..., 0)
i-i
для любой строки а = (гь . .., г„), si e R, будем иметь
a = elrl + ... +епгп.
Для получения примера модуля, не являющегося конечно по-
порожденным, рассмотрим множество всех счетных последователь-
последовательностей элементов некоторого кольца R и определим на нем опе-
операции, полагая
(а,, а2, ...) + F,, Ь2, ...) = (а, +£,, а2 + Ь2, ...)
§ 4. МОДУЛИ
(а,, а2, ...) л = (а,л, а2г, •••)•
Заметим, что поскольку каждое кольцо с единицей, рассматривае-
рассматриваемое как модуль над собой, порождается одним элементом 1, то
ясно, что подмодуль конечно порожденного модуля может на
быть конечно порожденным.
Каждый подмодуль конечно порожденного моду-
модуля М отличный от М содержится в некотором макси-
максимальном подмодуле. Фактормодуль конечно порож-
порожденного модуля конечно порожден. Если подмодуль Я
модуля М и факгормодуль М/Н конечно порождены,
то конечно порожденным оказывается и модуль М.
Над коммутативным кольцом главных идеалов вся-
всякий конечно порожденный модуль разлагается в пря-
прямую сумму циклических подмодулей. Конечно порож-
порожденные модули над нётеровыми кольцами исследуют-
исследуются в [107]. '
Правый /?-модуль М называется конечно копорож-
денным, если в любом множестве {ML|ie3} его под-
подмодулей, удовлетворяющих условию {] Mt = 0 для
подходящего конечного подмножества Зо £ 3 имеет
место ("| Mi = 0. Фактормодуль М/Н произволь-
произвольна Зо
ного модуля М оказывается конечно копорожденным
тогда и только тогда, когда для любого множества
{Mt|ie3} подмодулей модуля М удовлетворяющих
условию [\ Mi=^ Н имеем Н = [~] Mt для подходя^
t >= 3 I сз Зо
щего конечного подмножества Зо £ 3 (см. [45], с. 52,
следствие 3.1.11).
Если модуль М = А@В разлагается в прямую
сумму счетно порожденных подмодулей, то то же са-
самое верно и для модулей А и В (см. [45], с. 348, тео-
теорема 13.6.4).
Модуль, порожденный одним элементом, называ-
называется циклическим. К числу циклических правых /?-мо*
дулей принадлежат все главные правые идеалы
кольца.
Правый /^-модуль М называется конечно предста-
вимым или конечно определенным, если существует
такой свободный правый ^-модуль F, что М изомор-
изоморфен фактормодулю F/K, где К — конечно порожден1
ный подмодуль модуля F. Если фактормодуль М/А
452 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
конечно представим, а М конечно порожден, то А ко-
конечно порожден. Модуль, изоморфный фактормодулю
R/aR, называется циклически представимым. Конечно
представимый правый модуль над цепным кольцом
разлагается в прямую сумму циклически представи-
мых подмодулей ([90], п. 20.41).
Модуль, являющийся своим минимальным подмоду-
подмодулем, называется неприводимым или простым. Други и
словами, неприводимым называется модуль, отлич-
отличный от нуля и не содержащий никаких подмоду-
подмодулей, кроме себя самого и нулевого. Разумеется, вся-
всякий минимальный подмодуль является неприводимым
модулем. Ясно также, что всякий неприводимый мо-
модуль является циклическим и порождается любым из
своих ненулевых элементов. Фактормодуль М/А ока-
оказывается неприводимым тогда и только тогда, когда
А—максимальный подмодуль модуля М. Простые
правые ^-модули и только они изоморфны фактор-
модулям R/H, где Н — максимальный правый идеал
кольца R.
Примером неприводимого модуля над кольцом целых чисел
служат группы простого порядка. Поле (и даже тело) является
неприводимым модулем над самим собой Минимальными идеа-
идеалами кольца Р X Р, где Р — поле, служат множества
{{к, 0)|iePJ, {@, х)\хе=Р) и {(х, х)\хе=Р}.
Модуль называется вполне приводимым или полу-
полупростым, если он разлагается в прямую сумму неко-
некоторого множества неприводимых модулей. Если мо-
модуль М равен сумме неприводимых модулей, то он
вполне приводим (но это не означает, что данная
сумма оказывается прямой!). Если М — вполне при-
приводимый модуль лМ = 2 e^i одно из его разло-
3
жений в прямую сумму неприводимых модулей, то:
1) все ненулевые подмодули и фактор модул и моду-
модуля М вполне приводимы, причем каждое из их непри-
неприводимых слагаемых изоморфно одному из модулей
Mi, 2) каждый подмодуль модуля М выделяется пря-
мы.н слагаемым; 3) каждый фактормодуль модуля М
изсыэрфен его подмодулю. Если
М = АЬ® ... ®Мт = М\® ... ®М'п
— два разложения вполне приводимого правого мо-
модуля М в прямую сумму неприводимых подмодулей,
' i ,, § 4 МОДУЛИ 463
т0 т = п и при подходящей нумерации М, си М\
для всех I.
Кольцо R с единицей называется вполне приводи-
приводимым справа, если R— вполне приводимый правый
/?-модуль. Другими словами, кольцо вполне приводимо
справа, если оно разлагается в прямую сумму своих
минимальных правых идеалов (число слагаемых авто-
автоматически оказывается конечным). Вполне приводи-
приводимыми справа [слева] оказываются классически полу-
полупростые кольца и только они (см. п. 2.5). Из указанных
выше результатов вытекает, что любой правый мо-
модуль над таким кольцом R вполне приводим и, более
гого, изоморфен внешней прямой сумме некоторых
минимальных правых идеалов кольца R.
Правый ^-модуль М называется локальным, если
выполнено одно из следующих эквивалентных друг
другу свойств: 1) М содержит наибольший собствен-
собственный (т. е. отличный от /И) подмодуль; 2) M/radM —
простой модуль. Модуль М называется локально пред-
ставимым, если М~М'/М", где М' и М" — локальные
модули.
Ненулевой правый ^-модуль М называется нераз-
неразложимым, если М = А ф В влечет за собой А = О или
В = 0.
Неразложимость модуля М равносильна тому,
что 0 и 1 являются единственными идемпотентами
кольца Endtf.M. В частности, М неразложим, если
End^M —локальное кольцо. Обратное верно, напри-
например, если модуль М инъективен (см. ниже). Имеет
место теорема Круля—Ремака—Шмидта: если М —
= 2 /4t = 2 В*., кольца Endtf/1,, локальны для
3 Я
всех ig3h модули Вн неразложимы для всех к е Й,
то существует такое взаимно однозначное отображе-
отображение а: З-vJf, что /lt~SCT(l) для всех ie3 (см. [45],
гл. 7). Подробному рассмотрению неразложимых мо-
дулей посвящена монография [212]. Неразложимые
модули над кольцом Ф [х, у) /I, где Ф — поле, а идеал
I порожден элементами х2, ху и у2, рассматриваются
в [164].
Если А и В — правые ^-модули, то гомоморфизм
феНотд(Л,В) называется тотальным неизоморфиз-
неизоморфизмом, если из условий Л=Л0ФЛь где А0ф0, В~
::=В0ФВ1 и ф(Л0)еВ0, вытекает, что ограничение ф
464 гл Ш- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
на Ло не является изоморфизмом. Положим
Tot (Л, Б) = {ф|ФеНотй(Л, В),
Ф — тотальный неизоморфизм}.
Модуль М называется тотальным, если ф, ifieTot(/l, В)
влечет ф + -ф е Tot (Л, В). К числу тотальных отно-
относятся все модули с локальным кольцом эндоморфиз-
эндоморфизмов. Подробнее см. [250].
Модуль называется однородным, если любые два
его ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересече-
пересечение или, что то же самое, если все его ненулевые под-
подмодули существенны. Однородность модуля равно-
равносильна неразложимости всех его ненулевых подмо-
подмодулей.
Натуральное число п называют размерностью Гол-
ди модуля М, если М содержит прямую сумму каких-
либо п своих ненулевых подмодулей и не содержит
таких прямых сумма, содержащих большее число
слагаемых.
Если модуль М обладает размерностью Голдн,
то он называется конечномерным (в смысле Голди).
Эквивалентны следующие свойства модуля М:
A) М — конечномерный модуль; B) М содержит ко-
конечное множество однородных подмодулей £/ь ..., Ип
такое, что сумма U\-\- ... -\-Un оказывается прямой
и является существенным подмодулем модуля М;
C) каждый подмодуль модуля М удовлетворяет усло-
условию максимальности для подмодулей, выделяющихся
прямыми слагаемыми; D) для каждой последователь-
последовательности А1'=А2^ ... подмодулей модуля М, где Л, вы-
выделяется прямым слагаемым в Л,-+ь имеем Д„ =
= Л„+1=Л,г+2= ... для некоторого номера п; E) для
каждой последовательности Ai^A2^ ... подмодулей
модуля М, где Л,-+1 выделяется прямым слагаемым
в Л,, имеем Ап = Ап+\ = An+2 = ... для некоторого
номера п; F) каждый подмодуль модуля М содер-
содержит конечно порожденный существенный подмодуль;
G) М удовлетворяет условию минимальности [мак-
[максимальности] для подмодулей, являющихся дополни-
дополнительными для каких-либо подмодулей; (8) М удов-
удовлетворяет условию минимальности [максимальности]
для замкнутых подмодулей. Если подмодуль Л мо-
модуля М и фактормодуль М/А конечномерны, то М
§ 4. МОДУЛИ 465
также конечномерен. При этом dim M ^ dim A +
-|- А\т(М/А), где dimX обозначает размерность Голди
модуля X. Если Mi, М2 и Мх Ф М2 — конечномерные
модули, то dim (Мх © М2) = dim Мх -f dim М2 (см. [90],
ч. 1, с. 260, предложение 4.19; [45], с. 166, упр. 11,
с 185, упр. 4; Loonstra F.//Lect. Notes Math.—
1983. —V. 1006. —С. 630—638).
Правый ^-модуль называется нётеровым [арти-
новым], если частично упорядоченное множество всех
подмодулей этого модуля удовлетворяет условию мак-
максимальности [минимальности]. Кольцо R с единицей
называется нётеровым [артиновым] справа, если оно
нётерово [артиново] как правый ^-модуль.
Наиболее популярный пример нётерова кольца — кольцо це-
целых чисел. Нётеровыми являются кольцо многочленов над полем
и, как уже отмечалось, любые конечномерные алгебры с еди-
единицей. Последние оказываются и артиновыми кольцами. Кольцо
целых чисел не артиново, ибо содержит бесконечную убываю-
убывающую цепь идеалов
Как нётеровыми, так и артиновыми является любое конечное
кольцо, а также кольцо матриц над телом. Кольцо действитель-
действительных функций на отрезке f0, lj не является ни артиновым, ни
пётеровым. Для доказательства достаточно рассмотреть идеалы
/„ = j/|f(x) = O, если 0<лг<—1
{ж« = 0. если l
для га = 1, 2.
Конечно порожденные правые модули над нётеро-
нётеровым [артиновым] справа кольцом нётеровы [арти-
новы]. Прямая сумма конечного числа нётеровых
[артиновых] модулей нётерова [артинова].
Пусть М — правый ^-модуль и А—его подмодуль.
Тогда эквивалентны следующие условия: A) М — нё-
теров модуль; B) А и М/А — нётеровы модули;
C) каждый подмодуль модуля М конечно порожден;
D) если {/lt|ie3}—непустое множество подмоду-
подмодулей модуля М, то 2 А = 2 ^i. гДе Зо — некоторое
ie3 ie3o
конечное подмножество множества 3- Оказываются
эквивалентными и следующие условия: A) М — арти-
нов модуль; B) А и М/А — артиновы модули;
466 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
C) каждый фактормодуль модуля М конечно копо-
рожден; D) если {/lt|ie3}—непустое множество
подмодулей модуля М, то f) At= f) Л, где Зо—
I <= 3 I с= Зо
некоторое конечное подмножество множества 3;
E) цоколь любого фактормодуля модуля М нётеров
и является существенным подмодулем. Если модуль М
нётеров [артинов], то всякий его сюръективный [инъ-
ективный] эндоморфизм оказывается автоморфизмом
([45], с. 146, теорема 6.1.2; [90], ч. 2, с. 113, след-
следствие 19.16В; [76], с. 99, лемма).
Модуль М, являющийся нётеровым и артиновым
одновременно, обладает композиционным рядом, т. е.
содержит такую цепочку подмодулей 0 = A0^A^ ...
... £±Ап = М, что Л1+1/Л, — простой модуль или, что
равносильно, А, — максимальный подмодуль модуля
Ai+i, г = 0, 1, ..., п—1. В этом случае говорят так-
также, что М — модуль конечной длины. Фактормодули
At+[/A, называются факторами композиционного ряда.
Если 0 = Во £ В{ = ... s6m = M — другой компози-
композиционный ряд модуля М, то m = n и между факторами
этих двух композиционных рядов можно так устано-
установить взаимно однозначное соответствие, что соответ-
соответствующие друг другу факторы будут изоморфными
модулями {теорема Жордана—Гёльдера). Обзор ре-
результатов, связанных с длиной модуля, дан в [165].
Возрастающим [убывающим] рядом Леей (Лоева,
Loewy) называется такая трансфинитная последова-
последовательность
0 = Мо cz M, с: ... cz Macz Ma+l сг . . .
[М =
подмодулей модуля М, что фактормодули Ma+/a
[М(а>/М(а+!)]—полупростые модули. Если М = Ма
для некоторого а, то модуль М называется модулем
Леей, а наименьшее из а с указанным свойством —
его длиной Леей. Если М — правый ^-модуль Лёви
конечной длины Лёви п и / — радикал Джекобсона
кольца R, то MJ" = 0. Если R полулокально, то верно
и обратное ([90], т. 2, с. 265). О длине Лёви проек-
проективных модулей см. [184].
Для вполне приводимого модуля М равносильны
следующие условия: A) М — сумма конечного числа
§ 4. МОДУЛИ 467
простых модулей; B) М — прямая сумма конечного
числа простых модулей; C) М — модуль конечной
длины; D) М нётеров; E) М артинов; F) М конечно
порожден; G) М конечно копорожден ([45], с. 191,
теорема 8.1.6). Если радикал Джекобсона / кольца R
нильпотентен. a R/J классически полупросто, то свой-
свойства C), D) и E) остаются равносильными для лю-
любого правого ^-модуля М (см. [45], с. 223, тео-
теорема 9.3.11). Если М — модуль конечной длины и
<реЕпс!дЛ1, то найдутся такие подмодули А, В £ М,
что М = А © В, (р(А)^А, ф(В)дВ, ограничение ф
на А является автоморфизмом модуля А, а ограниче-
ограничение ф на В — нильпотентным эндоморфизмом этого
модуля (т. е. для некоторого п имеем ф"(д:) = 0 для
всех х е В (лемма Фитинга). Отсюда вытекает, что
модуль конечной длины неразложим тогда и только
тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально. От-
Отметим еще, что для модуля М конечной длины любая
подполугруппа мультипликативной полугруппы коль-
кольца End M, состоящая из нильпотентных эндоморфиз-
эндоморфизмов, оказывается нильпотентной полугруппой ([76],
§5.3; [90], ч. 2, п. 17.16—17.27).
Модуль называется коатомарным, если всякий его
собственный подмодуль вкладывается в максималь-
максимальный. К числу коатомарных принадлежат вполне при-
приводимые модули и модули конечной длины. Модуль
называется полуартиновым [полунётеровым], если все
его ненулевые фактормодули обладают ненулевым
цоколем [если ни один из его ненулевых подмодулей
не совпадает со своим радикалом Джекобсона]. Нё-
тероз модуль оказывается полуартиновым тогда и
только тогда, когда он артинов ([45], с. 236—237).
Размерность Крулля K-dimM модуля М опреде-
определяется по индукции. Именно, размерность Крулля
артинова модуля считается, по определению, равной
нулю. Далее, полагаем, что размерность Крулля мо-
модуля М равна п, если М не имеет размерности Крул-
Крулля, меньшей, чем п, и для любой убывающей после-
последовательности Afi э Af2 з ... подмодулей модуля М
все фактормодули М,/М1+и за исключением, быть мо-
может конечного числа их, имеют размерность Крулля,
меньшую чем п. Это определение распространяется
на произвольные трансфиниты. Модуль может не
иметь размерности Крулля. Однако она есть у любого
468 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
нетерова модуля. Более того, если модуль М пред-
представлен как объединение трансфинитной последова-
последовательности модулей с размерностью Крулля, не превос-
превосходящей а, то и сам модуль М обладает размерностью
Крулля, не превосходящей а. Размерность Габриэля
G-dim М модуля М также определяется по индукции.
Именно, если М = О, то G-dim М = О, a G-dim M = а,
если G-dim М <£ а и для всякого отличного от М под-
подмодуля N модуля М найдется такой подмодуль
N'c=M, что №=N' и N<=Xc=N' влечет G-dim (X/N)<£
<f C и G-dim (N'/X) <C p для некоторого р<а. Если
jV— подмодуль модуля М, то М обладает размер-
размерностью Крулля [Габриэля] в том и только том слу-
случае, когда ею обладают и M/N. Имеет место
K-dim (М{ (В ••• © Мп) = sup {K-dim Mt 11 </<«},
G-dim f 2@ ЛгЛ = sup {K-dim Mt 11 e 3}
V3 /
K-dim M < G-dim M < (K-dim M) + 1,
а если М нётеров или K-dim М конечна, то G-dim Af =
^К-dimM+l. Если K-dimf J] Af t) существует, то
VtsJ /
второе из рассмотренных выше равенств справедливо
и для размерности Крулля. Кольцо R обладает раз-
размерностью Крулля[Габриэля] тогда и только тогда,
когда соответствующей размерностью обладает вся-
всякий конечно порожденный [всякий] ^-модуль. При
этом K-dim M ^ K-dim R для любого конечно порож-
порожденного ^-модуля М и G-dim M ^ G-dim R для лю-
любого ^-модуля ([223], §§3.1, 3.4, 4.1).
О размерности Гельфанда—Кириллова для моду-
модулей см. [197], гл. 5.
Если S, T, U — подмодули модуля М и S <=, U, го
(S+T)nU = S + T[\U (ср. п. V. 2.2). Если для лю-
любых подмодулей S, Т и U модуля М имеет место
E+ Т)(] U = S(] U+ Т{\ U, то он называется ди-
дистрибутивным.
Не всякий модуль дистрибутивен Например, если М — дву-
двумерное пространство над полем Р,
U = {(*, 0) | х е= Р), S = {@, у) | у е= Р} и Т = {(х, х) | х е= Р),
то
(S + Т) Л U = U Ф {0} + {0} = (S Л U) + (Т Л £/).
§ 4 МОДУЛИ 469
Поимер°м дистрибутивного модуля может служить кольцо це-
целых чисел, рассматриваемое как модуль над собой, а также лю-
любой неприводимый модуль и любой цепной модуль
Эквивалентны следующие свойства правого ^-мо-
^-модуля М: A) М дистрибутивен; B) если А и В — под-
подмодули модуля М и ф: А/А (]В-^~ В/А (]В— гомомор-
гомоморфизм, то ф —нулевой; C) aR + bR = {a + b)R +
-\-aRf\bR для любых а,Ь<=М; D) (а + b)R = aRf]
Г)(а + b)R + bR(](a + b)R для любых a, b e M;
E) bR = aR П bR + (b — a) R (] bR для любых a, b<=M;
F) (a : 6/?) + (b : aR) = R для любых a, b <= M (здесь
a: bR = {r\r<^ R, ar e /bi?}); G) для любых a, b <= R
существует правый идеал Н кольца R такой, что (а-\-
_f. b)R = aH + ЬН; (8) если /: М -v M' — гомомор-
гомоморфизм и А, В — подмодули модуля М, то f(Af}B) =
= f(A)[\f(B); (9) любые два различных минималь-
минимальных подмодуля любого фактор модуля модуля М не
изоморфны. Если R инвариантно справа, то к этому
списку можно добавить: A0) R = (А : В) -f- (В : А) для
любых конечно порожденных подмодулей А и В мо-
модуля М (здесь A:B={r\reBR, Ar^B}; A1) Л =
= В (В : А) для любого конечно порожденного подмо-
подмодуля В и любого подмодуля А модуля В; A2) ((A -f-
+ B)':C) = (i4:C) + E:C), где Л, 5, С —подмодули
модуля М, причем А и В конечно порождены;
A3) (А:(В(]С)) = (А :В) + (А:С), где Л, В, С — под-
модули модуля М, причем В и С конечно порождены.
Отметим еще несколько свойств произвольного ди-
дистрибутивного правого R—модуля М: 1) все макси-
максимальные [минимальные] подмодули модуля М вполне
инвариантны; 2) если каждый ненулевой фактормо-
Дуль любого подмодуля модуля М содержит макси-
максимальный [минимальный] подмодуль, то все подмо-
подмодули модуля М вполне инвариантны; 3) если R полу-
полулокально, то М — модуль Безу, т. е. все его конечно
порожденные подмодули циклические; 4) если R —
полуцепное справа кольцо, то М разлагается в пря-
прямую сумму однородных подмодулей; 5) если R инва-
инвариантно справа и М конечно порожден, то все его
подмодули вполне инвариантны ([48], [66], § 13; [9],
п. 4.2).
Модуль называется цепным, если для любых его
подмодулей А и В имеет место А *= В или В^А, и
полуцепным, если он разлагается в прямую сумму
470 Г Л III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
цепных подмодулей. Модуль, разлагающийся в пря-
прямую сумму дистрибутивных подмодулей, называется
полудистрибутивным.
4.3. Элементы гомологической алгебры. Строка
Л-—*■ В—* С, где А, В, С—модули, а ф и ф— го-
гомоморфизмы, называется точной последовательностью,
если Im ф = Кег я{?. Нетрудно заметить, что точность
ф Г ф "I
последовательности 0 —>- А —> В [Л —> В -> 0j озна-
означает, что ф—мономорфизм ftj) — эпиморфизм]. На-
Напомним, что в случае модулей мономорфизмами [эпи-
[эпиморфизмами] являются гомоморфные вложения и
только они. Последовательность Ао-*-А]-*- ... -*■ Ап
называется точной, если точны последовательности
Л,_1 ~*-Ai~*-At+i при t = l,2, ..., п—1. Точность бес-
бесконечной последовательности определяется точно так
же. В частности, последовательность 0~+А—>-В—*-
-*-С-*-0 точна, если точны последовательности 0->
~*-А~*-В, А->■ В-*- С и В~*-С-*-0. Следующие свой-
ства точной последовательности 0-> Л —> В—> С ~>п
эквивалентны: A) кр = 1а для некоторого ф: В ~* А;
B) tyn=\c Для некоторого tf: С-*-В; C) В =
==Aгп1)ФЯ для некоторого подмодуля Н S В; D) су-
существует такой эндоморфизм f модуля В, что /2 = /
и Im/ = Imi. Последовательность, обладающая пере-
перечисленными свойствами, называется расщепляющейся.
Напомним, что диаграммы
где А, В, С, D — модули, а ф, if, %, р, о— гомоморфиз-
гомоморфизмы модулей, называются коммутативными, если
фг£> = ра и фх — if соответственно. Часто оказывается
полезной лемма о пяти гомоморфизмах: если строки
диаграммы
A2 —■
|x2
в2-
>AX
Iх
-> Ao->-A_, ~
1 |X0 |X-1
-*Bo—> j5_i -
■> Л_2
> B_2
§ 4 МОДУЛИ 471
точны, а все ее квадраты коммутативны, то справед-
справедливы следующие импликации: 1) если хг — эпимор-
эпиморфизм, a xi и Х-1 — мономорфизмы, то %0 — мономор-
мономорфизм; 2) если xi и х-1—эпиморфизмы, а х-2 — моно-
мономорфизм, то хо — эпиморфизм. Отсюда вытекает, что
дня диаграммы
О ^ Л -> В ^ С -> О
|/ч !*о Iх —1
О-^Л'-^В'^С'^О
с точными строками и коммутативными квадратам^
из того, что %[ и х-1 —• мономорфизмы [эпиморфизмы]
вытекает, что хо—-мономорфизм [эпиморфизм]. От-
Отметим еще, что для диаграмм
О -* Л' -* В' -> С -* О
с точными строками и коммутативными квадратами
существуют гомоморфизмы р- С~*-С и сг А—> А' со-
соответственно, такие, что квадраты
В ^С Л -♦ В
I •: » I- 1
В'-у С А'-+В'<,
также оказываются коммутативными. В этом случае
говорят, что гомоморфизмы р и а дополняют данные
диаграммы до коммутативных диаграмм
О^Л -> В -^С -> О
V У I
О -> Л' -► В' -> С -> О
соответственно ([44], с. 20, предложение LI).
472 гл- ш- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Приведем еще лемму о змее: если
TV, —> N2 —> N3 -> О
—• коммутативная диаграмма гомоморфизмов моду-
модулей с точными строками, то существуют такие гомо-
гомоморфизмы модулей рь р2, ть т2 и д, что последова-
последовательность
Pi P2 д
Кег ф! —*■ Кег ф2 —*■ Кег ф3 —*■ Coker ф[ —>
—*- Coker ф2 —'-*■ Coker ф3
точна. При этом если ij)i —• мономорфизм, то pi также
мономорфизм, а если %2—-эпиморфизм, то %2 также
эпиморфизм ([76], § 11.3).
Модуль Р называется проективным, если всякая
диаграмма
Р
с точной строкой дополняется до коммутативной не-
некоторым гомоморфизмом Р—уА. Меняя в этом опре-
определении направление стрелок, приходим к следую-
следующему определению: модуль Q называется инъектив-
ным, если всякая диаграмма
Q
с точной строкой дополняется до коммутативной не-
некоторым гомоморфизмом S-^-Q. Следующие свойства
правого ^-модуля Р эквивалентны: A) Р проективсн;
B) всякая точная последовательность 0—*-А—*-В—*-
-*-Р-*-0 расщепляется; C) существует такой свобод-
свободный модуль F, что F = Р © Н для некоторого подмо-
подмодуля H^F; D) если Р= £ a^R, то существуют
ф1 е Р* = HomR(P, R) такие, что для каждого ^еР
§ 4. МОДУЛИ 473
множество {i|i<=3, ц>1(х)фО} конечно и х=
_ V а ф {"'<)", E) Р содержит такое подмножество <??,
чт0 р= £ eR, и существуют ф/еР* такие, что для
ee=S
каждого х<=Р множество {е | ее^", фв (.к) =7*= 0} конеч-
но и д;= 2 есре (х) ([45], с. 120). Эквивалентными
оказываются и следующие свойства правого ^-мо-
^-модуля Q: A) Q—• инъективен; B) всякая точная по-
последовательность 0-»-Q-»-/4-»-B-»-0 расщепляется;
C) существует такой инъективный модуль Q, что Q=
= Q ф Я для некоторого подмодуля Я s Q. Свойство
B) можно сформулировать и так: модуль Q выде-
выделяется прямым слагаемым из всякого модуля, содер-
содержащего его в качестве подмодуля. Прямая сумма
модулей проективна в том и только том случае, когда
проективно каждое слагаемое, а инъективность пря-
прямого произведения равносильна инъективности каж-
каждого сомножителя. Всякая абелева группа, являю-
являющаяся проективным Z-модулем, свободна. Если Р' и
Р" — проективные модули, а фактормодули Р'/К' и
РК" изоморфны, то Р' Ф К" £ё Р" Ф К' {лемма Ша-
нуэля — см. [49], с. 398). Абелева группа Q является
инъективным Z-модулем тогда и только тогда, когда
она делима (т. е. уравнение mx = q разрешимо в ней
для любых O^meZ и q^Q). Во многих случаях
оказывается полезным критерий Бэра: если всякая
диаграмма
Q
где х — естественное вложение правого идеала / в
кольцо R, дополняется до коммутативной некоторым
гомоморфизмом R-+Q, то правый ^-модуль Q инъек-
инъективен.
Инъективным модулям посвящены монографии
[143] н [253], а также обзор [206]. См. также [194].
Всякий свободный правый модуль проективен и,
следовательно, всякий правый модуль является гомо-
гомоморфным образом проективного. С другой стороны,
всякий правый ^-модуль М можно вложить в инъек-
инъективный правый ^-модуль Q. Это вложение можно осу-
474 гл- HI- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
щестзить наиболее экономным способом: модуль Q
может быть выбран так, что М является существен-
существенны!.? подмодулем модуля Q. В этом случае говорят,
что Q — инъективная оболочка модуля. М. Мономор-
Мономорфизм if: A-*-Q оказывается вложением модуля А в
его инъективную оболочку тогда и только тогда, ко-
когда любое вложение модуля Q в его существенное
расширение оказывается изоморфизмом. Если Q' и
Q" — инъективные оболочки модуля М, то они изо-
изоморфны над М, т. е. существует изоморфизм ф: Q'—Q"
такой, что q(x) = x для всех хе.М Любой инъектив-
ный модуль, содержащий модуль М, содержит и его
инъективную оболочку.
Можно говорить и о минимальном представлении
модуля как гомоморфного образа проективного: пра-
правый проективный /?-модуль Р называется проектив-
проективным накрытием или проективной оболочкой правого
/?-модуля М, если существует такой эпиморфизм я:
Р—*-М, что Кегя — косущественный подмодуль мо-
модуля Р. В отличие от инъективной оболочки не вся-
всякий модуль обладает проективным накрытием (см.
п. 3.6). Однако если л': Р'->-Ми л": Р"-*■ М — проек-
проективные накрытия модуля М, то ул" = л' для некото-
некоторого изоморфизма х- Р'-*-Р". Проективное накрытие
конечно порожденного модуля конечно порождено
([90], п. 22.11 (а)).
Правый /?-модуль называется полусовершенным,
если все его фактормодули обладают проективным
накрытием. Каждый гомоморфный образ полусовер-
полусовершенного модуля, а также проективное накрытие та-
такого модуля полусовершенны. Полусовершенность мо-
модуля равносильна полусовершенности его проектив-
проективного накрытия. Проективный модуль полусовершенен
тогда и только тогда, когда для каждого из его под-
подмодулей существует дополнительный ([45], § 11.1).
Каждый проективный модуль разлагается в пря-
прямую сумму счетно порожденных подмоделей. Любой
однородный подмодуль проективного правого /?-мо-
/?-модул я изоморфен некоторому правому идеалу кольца/?.
Если Р — проективный правый модуль над полусовер-
полусовершенным кольцом R, I—-радикал Джекобсона коль-
кольцами подмодуль PJ мал в Р (в силу леммы Накаямы
это имеет место, если Р конечно порожден), то Р изо-
изоморфен прямой сумме главных неразложимых правых
§ 4 МОДУЛИ 475
/^-модулей. Проективные правые модули Р' и Р" над
артиновым справа кольцом R с радикалом Джекоб-
сона / изоморфны тогда и только тогда, когда изо-
изоморфны правые ^//-модули P'/P'J и P"/P"J (см.
[45], следствие 13.6.5; [90], п. 20.16, 22.23; [76],
§ 6.2, 6.3).
Инъективная оболочка неприводимого модуля не-
неразложима. Неразложимый инъективный модуль со-
содержит не более одного минимального подмодуля.
Инъективный правый модуль над нётеровым справа
кольцом разлагается в прямую сумму неразложимых
подмодулей. Если каждый из инъективных модулей
Q' и Q" изоморфен подмодулю другого, то модули Q'
и Q" изоморфны. Равносильны следующие свойства
ненулевого иьъективного правого ^-модуля Q: A) Q
неразложим, B) Q является инъективной оболочкой
любого своего ненулевого подмодуля: C) каждый
подмодуль в Q однороден; D) Q является инъектив-
инъективной оболочкой некоторого своего ненулевого однород-
однородного подмодуля ([45], § 6.6).
Эндоморфизм ф проективного [инъективного] мо-
модуля М принадлежит радикалу Джекобсона кольца
EndvW тогда и только тогда, когда Imcp — несуще-
несущественный [Кегф—-существенный] подмодуль мо-
модуля Q. Кольцо эндоморфизмов неразложимого инъек-
инъективного модуля локально, а факторкольцо кольца эн-
эндоморфизмов любого инъективного модуля по его
радикалу Джексбсона регулярно ([45], теоремы 7.2.8,
9.6.1, 9.6.2).
Правый ^-модуль, являющийся проективным и
инъективным одновременно, разлагается в прямую
сумму конечно порожденных подмодулей. Если тгюй
модуль неразложим, то он изоморфен некоторому пра-
правому идеалу eR, где е2 = е е R. Если инъектквная
оболочка конечно порожденного модуля проективна,
то она конечно порождена ([45], следствия 13.6.6,
13 6.7; [90], п. 20.15).
Модуль называется -инъективным, если инъек-
тивна прямая сумма любого множества экземпляров
этого модуля. Эквивалентны следующие свойства пра-
правого ^-модуля Q- A) Q 2-инъективный; B) прямая
сумма счетного множества экземпляров модуля Q
инъектнвна; C) R удовлетворяет условию максималь-
максимальности для правых идеалов, являющихся аннуляторами
476 гл ш КОЛЬЦА И МОДУЛИ
некоторых подмножеств модуля Q (см. [90], ч. 2,
с. 179, предложение 20 ЗА).
Если а: А-^В — гомоморфизм модулей, то гово-
говорят, что модуль Q инъективен [проективен] относи-
относительно а, если для любого гомоморфизма qp: Л—>-Q
[ф- Q—кВ] имеем ср = сф для подходящего гомомор-
гомоморфизма if>: В—*-Q [ф = \fа для подход51щего гомомор-
гомоморфизма if>: Q—*-A]. В этой терминологии модуль ока-
оказывается инъективным [проективным] тогда и только
тогда, когда он инъективен относительно всех моно-
мономорфизмов [проективен относительно всех эпимор-
эпиморфизмов]. Критерий Бэра говорит, что для инъектив-
ности правого ^-модуля достаточно, чтобы он был
инъективен относительно естественных вложений в
кольцо R всех его правых идеалов.
Правый ^-модуль Р называется стабильно свобод-
свободным, если существуют такие натуральные г и s, что
PS>Rs~Rr+s (напомним, что R" = R © ... © R). Наи-
s
меньшее из таких г называется стабильным рангом
модуля Р. Стабильно свободный модуль, разумеется,
проективен. Стабильно свободный модуль стабильного
ранга 1 над коммутативным кольцом свободен. О ста-
стабильно свободных модулях см. [90], гл. 11.
Группа Гротендика кольца R, обозначаемая как
Ko(R), определяется как абелева группа, порожденная
множеством всех попарно неизоморфных конечно по-
порожденных проективных правых ^-модулей с опреде-
определяющими соотношениями [Р' + Р"\ = [Р'\ -\- [Р"], где
[Р\ — класс модулей, изоморфных модулю Р. Для ко-
конечно порожденных проективных правых /^-модулей
Р' и Р" эквивалентны следующие условия: A) [/>'] =
= [Р"]\ B) существует такой конечно порожденный
проективный правый ^-модуль Р, что Р' © Р ~ Р" ® Р;
C) существует такое натуральное s, что Р' © Rs ~
~P"®RS (см. [90], гл. 12).
Модуль называется квазиинъективным, если он
инъективен относительно естественных вложений в
него всех его подмодулей. Кроме инъективных, к числу
квазиинъективных относятся все вполне приводимые
модули. Модуль оказывается квазиинъективным тогда
и только тогда, когда он является вполне инвариант-
инвариантным подмодулем своей инъективной оболочки. Пря-
§ 4 МОДУЛИ 477
мое слагаемое квазиинъективного модуля квазиинъек-
тивно, но прямая сумма даже двух квазиинъективных
модулей мажет не быть квазиинъективной. По ана-
аналогии с инъективной оболочкой можно определить
квазиинъективную оболочку. Факторкольцо кольца эн-
эндоморфизмов квазиинъективного модуля по его ра-
радикалу Джекобсона регулярно, причем идемпотенты
можно поднимать по модулю радикала. Если Q—• ан-
антисингулярный квазиинъективный модуль, то кольцо
EndQ регулярно и самоинъективно справа. Эквива-
Эквивалентны следующие свойства квазиинъективного пра-
правого ^-модуля Q; A) Q эндоконечен; B) Q конеч-
конечно точен; C) Q эндоконечен и инъективен как
(R/Ann Q) -модуль. При выполнении этих условий Q
оказывается инъективным модулем ([90], ч. 2, 104—
111, 123, 126).
Самопроективные или квазипроективные модули,
т. е. модули, проективные относительно естественных
гомоморфизмов на свои фактормодули, — предмет мо-
монографии [171].
Модуль М называется малоинъекгивным, если для
каждого эндоморфизма ф любого его подмодуля А
найдется такой эндоморфизм гр модуля М, что ty(x) =
= ф(х) для всех ie/1, Назовем модуль М малопро-
малопроективным, если для любого его подмодуля А и любого
эндоморфизма ф фактормодуля М/А найдется такой
эндоморфизм я£ модуля М, что яф = ifut, где я— есте-
естественный гомоморфизм модуля М на М/А.
Правый ^-модуль G называется образующим [ко-
образующим], если всякий правый ^-модуль изомор-
изоморфен фактормодулю прямой суммы [подмодулю пря-
прямого произведения] некоторого множества экземпля-
экземпляров модуля G. Образующим является, например, само
кольцо R, рассматриваемое как правый ^-модуль.
Примером кообразующего служит прямое произведе-
произведение инъективных оболочек всех попарно неизоморф-
неизоморфных простых правых ^-модулей. Этот кообразуюший
вкладывается в любой другой кообразующий. Сле-
Следующие свойства правого ^-модуля G эквивалентны:
A) G — образующий; B) G сбалансирован и является
конечно порожденным проективным (End G) -модулем
(т. е. сбалансирован, эндоконечен и эндопроективен);
C) существует гомоморфизм модуля G в прямое про-
произведение некоторого множества экземпляров правого
/fTJ ГЛ 111 КОЛЬЩ И МОДУЛИ
/?-модуля R; D) существует эпиморфизм G на i?;
E) М — X Im ф для любого правого/?-моду-
q><=Hoii£(G, М)
ля .И, F) для любого ненулевого гомоморфизма пра-
правых Я-модулей ф: А-+В имеем щф§ для некоторого
п: G-+-A; G) прямая сумма некоторого множества эк-
экземпляров модуля G — образующий; (8) прямая сум-
сумма любого множества экземпляров модуля G — обра-
образующий; (9) любой проективный правый ^-модуль
изоморфен прямому слагаемому прямой суммы некото-
некоторого множества экземпляров модуля G. Оказываются
эквивалентными и следующие свойства правого /^-мо-
/^-модуля G: (I) G — кообразующий; B) f| Кегср—
<р е Hom# (M, в)
= 0 для любого правого ^-модуля М; C) для любого
ненулевого гомоморфизма правый ^-модулей ф: А-*-В
имеем фст ф 0 для некоторого гомоморфизма a: B—*-G;
D) прямое произведение некоторого множества эк-
экземпляров модуля G — кообразующий; E) прямое
произведение любого множества экземпляров мо-
модуля G — кообразующий; F) любой инъективиый пра-
правый /?-модуль изоморфен прямому слагаемому пря-
прямого произведения некоторого множества экземпляров
модуля G; G) G содержит инъективную оболочку
любого пряпмого правого ^-модуля ([90], ч. 1, с. 217,
404, 405; [45], с. 57—58, 101 — 102, 132—138; см. также
обзор [273]).
Правый ^-модуль D называется плоским, если для
любого мономорфизма о: А -*~В левых /^-модулей, лю-
бьн Хь ..., хпе D и любых ct\, ..., ап^А равев-
п
ство £^®ф(а1) = 0в абелевой группе D®RB вле-
п
чет за собой равенство £лг, ®а, = 0 в абелгвой
группе D®RA (это означает, что гомоморфизм
D®Ra — см. ниже — является мономорфизмом). Эк-
Эквивалентны следующие свойства правого ^-модуля D;
A) D — плоский модуль; B) для любого левого
идеала L кольца R, любых Х\, ..., xnG.D и любых
а
Г\, ..., rn<=L равекство ^ х/ь = 0 влечет за собой
П 1 = 1
равенство £ xt © г, = 0 в абелевой группе D<S>RL
§ 4 МОДУЛИ 4Т§
(это означает, что гомоморфизм D0R0, где <т — есте-
естественное вложение L в R, является мономорфизмом)-
т
C) для любого равенства *£j xlrl = d, где х, e D и
v > = 1
rt^R, найдутся такие элементы уи ..., уп е D и
я
г,ь • ••- r,m^R (i=\, ..., т), что а, = £ У/ч и
£ r,/t = 0; D) модуль D изоморфен фактормодулю
Р//С, где Р—проективный правый /?-мод\ль и KL =
— K[\PL для любого левого идеала L кольца R;
E) если 0 -> /С —>• F -*■ D ->0 — точная последователь-
последовательность и F — свободный правый ^-модуль, то для лю-
любого и^К найдется такой гомоморфизм ф: F-+-K,
что л(а(и)) = и; F) модуль характеров D* инъекти-
вен; G) D является прямым пределом проективных
{свободных] правых /^-модулей; (8) любой конечно
порожденный подмодуль модуля D принадлежит пло-
плоскому подмодулю модуля D.
Прямая сумма модулей оказывается плоской то-
тогда и только тогда, когда плоскими являются все сла-
слагаемые. Прямой предел плоских модулей — плоский
модуль. Если А — подмодуль плоского правого /?-мо-
/?-модуля Д, то фактормодуль D/A оказывается плоским
тогда и только тогда, когда AL = A f]DL для любого
конечно порожденного левого идеала L кольца R Ко-
Конечно представимъш плоский модуль проективен. Пло-
Плоские абелевы группы — это в точности абелевы груп-
группы без кручения.
С любыми двумя правыми /^-модулями А и В свя-
связана абелева группа НотR (А, В) (см. п. 4 2). Если
Ф е Нотя(#', В"), то обозначим через Иохпк(А, ц>)
гомоморфизм абелевой группы Нот/?(Л, В') в абелеву
группу Нот^<Д, В"), определяемый равенством
%HornR{A, ф) = "/Ф
для всех %<=HomR(A, В'):
4 i"
A ■ > В"
X Нот » (At ф)
480 гл- И1- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Если феНотй(Л', Л'), то рассмотрим гомоморфизм
абелевых групп
Ногпя(<р, В): HomR(A", B)-+HomR(A', В),
где
для всех % <= Ногпд (Л", В):
ХНотд(ф, В)
А' V В
*\ |'В
А" >■ В
Ерли ф «= Нот^ (В', В") и ф е= Нотй (В", В'"), то
Нот#(Л, ф'ф) = Нотй(Л, ф)Нотй(Л, if>),
а при (?еНотй(Д', Л") и -ф е Нот^ (Л", А'") имеем
Нотй(ф'ф, В) = Ногпд (ij), й)Нотй(ф, S).
В теоретико-категорных терминах это означает, что
HomR(A, —) и Нотя(—, В) являются, соответственно, ковари-
антным и контравариаптным функторами из категории правых
^-модулей в категорию абелевых групп (см. п. VII. 2.1).
Если ф: А'^-А и -ф: В^*-Вг — гомоморфизмы пра-
правых /^-модулей, то оказывается коммутативной диа-
диаграмма
Нотд(ф, В)
Нотй (Л, В)-- >■ Нотй(Л', В)
Это позволяет положить
Нот R (ф, -ф) = Нотй (ф, В) Нотй (Л', -ф) =
= Нотй (Л, if) Нотй (ф, В').
,-т\
Если Л = X! <4i — прямая сумма правых 7?-моду-
лей, то для любого правого ^-модуля В имеет место
изоморфизм абелевых групп
Z%1; s"i~ П Нот* (Л, 5).
к=3 / ie= 3
Если Л — правый ^-модуль, а В = П В,, — прямое
произведение правых ^-модулей, то имеет место изо-
изоморфизм абелевых групп
(А, П ВЛ <^ П HomR(A, В,).
\ i<=3 ) ieS
Если ф: А'-уА" — гомоморфизм левых /^-модулей
и В — правый ^-модуль, то имеется гомоморфизм абе-
абелевых групп
: A' ®RB^A" ®RB,
определяемый равенством
(а' ® Ь) (ф ®^ В) = (а'ф) ®^ В
для любых а' е А' и Ъ е В. Аналогично, для любого
левого ^-модуля А и гомоморфизма -ф: В'^ В" пра-
правых ^-модулей равенство
(а ® Ь') (Л ® R ф) = а ® (Ь'$)
определяет гомоморфизм абелевых групп
Л®ят|к А ®я В'-* A ®RB".
Если ф: А^*-А' и 1|з: В^*-В' — гомоморфизмы левых и
правых /^-модулей соответственно, то оказывается
коммутативной диаграмма
А ® д В >- Л' ®R S
Л ®„В' )-Л'®йв'
Это дает возможность положить
Ф ® л -ф = (ф ® л В) (Л' & я о])) = (Л ® я i|j) (ф ® л В').
Если Л = 2j ^i — прямая сумма правых [левых]
/^-модулей, то для любого левого [правого] /?-мо-
дуля В имеет место изоморфизм абелевых групп
i<=3
16 Общая алгебва. т.
482 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Аналогичный результат справедлив и для прямых
пределов:
В ®к(Пт Л,) ~ Hm(B 4)
[(lim Ab) <2> и В с^ Urn
Если 0 —> Л—>■ В—>• С —>0— точная последова-
последовательность правых /^-модулей, то для любых правого
/?-модуля X и левого /^-модуля Y оказываются точ-
точными последовательности абслевых групп
Нош^(Х, I)
0->Нотя(Х, Л) > UomR{X, В) >
Ното(Х, я)
у Нот* (X, С),
Нот^(л, X)
, X) > Нот«(В, X) >
Нот^ (I, X)
Н^. (Л, X),
Аналогичное утверждение справедливо и для точной
последовательности левых /^-модулей. Проективность
[инъективность] модуля X равносильна сюръективно-
сти гомоморфизма HomR(X,n) [гомоморфизма
НошяA, X)] для любой точной последовательности
О-> Л—*■ В—>• С -> 0 или, что то же самое, возмож-
возможности дополнить первую [вторую] последовательность
стрелкой —> 0. Как уже отмечалось, модуль Y является
плоским, если i <8>« Y— мономорфизм, что равносильно
возможности дополнить стрелкой 0-> третью диа-
диаграмму. Для правого /^-модуля X имеем: X — плоский
модуль тогда и только тогда, когда для любой точной
последовательности 0->Л~->В -*■ С -> 0 левых Я-:ло-
дулей оказывается точной последовательность
X ®£> I X !»£>Я
0 ->■ X ® R А > X ® R В ■ *■ X ® С -> 0.
Для каждого модуля /Л могут быть построены точ-
точные последовательности
§ 4. МОДУЛИ 483
где Pi — проективные, a Qt — инъективные модуля.
Этп последовательности называются проективной и
инъективной резольвентой модуля М соответственно.
Если Pn-i Ф 0 и Pk = 0 при k ^ n [Qn-i ФО и Qk = О
при k^n], то число п называется длиной соответ-
соответствующей резольвенты. Если модуль М обладает про-
проективной [инъективной] резольвентой длины я, но не
обладает соответствующей резольвентой меньшей дли-
длины, то говорят, что проективная [инъективная] раз-
размерность модуля М равна п и пишут p.dimAf =
=n [и dim M=n]. Правая [левая] глобальная раз-
размерность кольца R определяется как максимум проек-
проективных или, что то же самое, инъективных размерно-
размерностей правых [левых] /^-модулей. Правая и левая гло-
глобальные размерности нётерова справа и слева кольца
совпадают ([90], п. 8.23.1). Правая глобальная раз-
м-еркость кольца R равна нулю [единице] тогда и
только тогда, когда R классически полупросто [на-
[наследственно справа].
Если даны /?-модуль В и проективная резольвента
(*) /?-модуля М, то возникает последовательность
абелевых групп
Нотл (я„. В)
0->HomR(M, В) -?—>■ HomR(Pu B)->
Homo (л.. В) Нога» (я,, В)
■ v Нотл (Р2, В) »- Нотл (Р3, В)-*...
При этом
1т (Нот* (п„, В)) s Ker (Нотл (я„ + 1, В))
(л = 0, 1, 2,3, ...),
что позволяет рассмотреть факторгруппы
На(М, В) = Кег(Нотл(я„ + 1, В))/1т (Нотл (я„, В)),
которые, как оказывается, не зависят от выбора про-
проективной резольвенты модуля М. Аналогично, имея
модель А и инъективную резольвенту (**) модуля М
полечим последовательность абелевых групп
Нота (А, сг0)
0->HomR(A, М) >Нотл(Л, Q0)^
1:о.п^(Л, а|) Нот^ (Л, а2)
■ > Ногал (A, Qi) >- Нотл (Л, Q2) ->
Нот^ (Д а3)
у- Нотл (Л, Q3) -*-...
484 ГЛ III КСЛЬЦА И МОДУЛИ
При этом
Im (Нот* (А, о„) <= Кег (HomR (А, ап + 1))
(« = 0, 1, 2, 3, ...)
и факторгруппы
Нп (А, М) = Кег (Нот, (Л а„, ,))/Im (Нот* (Л, а„))
не зависят от выбора инъекгивной резольвенты. Более
того, для любых модулей А и В имеет место изомор-
изоморфизм
Вп(А, В)~Нп(А, В),
что позволяет положить
Ext* (Л, В)^=Н"(А, В).
Если 0 -> А —*■ В—*■ С-> 0 — точная последователь-
последовательность, то для любого модуля М существуют такие го-
гомоморфизмы абелевых групп
ExfR(M, i): Ext£(;W, A)->ExfR(M, В),
ExtnR(M, n): Ext%(M, В)-> ExfR (M, Q,
Ао: HomR(M, C)->E\tx(M, A),
An: ExtR(M, С)~>Ехй+]{М, А),
ExtR (i, M): ExtR (В, М) -> ExtJ (A, At),
j, M),
* (С,
и
Л":
что оказываются точными последовательности
Hottin (M, 0
О -> НотЛ (М, Л) »- Нот^ (М, Б) ->
Нотп(М, я) Ап
■ ь Нотл (М, С) ~> Extjj (Af, A) -*
Ext'(M, i) Ext'(M.n)
► ExtR{M, В) -> ExtlR{M, q
(M, -4) -> ■ • ■ -> Extr' (M, Q
E>in{M, i)
; A} 5». Ex\r (M, B)
Ext" (Л1, Я) А
" i%(M, C)—+ExinR+(M,
§ 4 МОДУЛИ 485
я
Нот о (я, М)
О -> Нот^(С, Af) *HomR{B, M)->
Нот (I, M) Д°
— > Нот* (Л, М) > Ext.!? (С, Af) ->
Ext' (л, Af) Ext> (i, M)
> Ext«(B, Af) —* Exti}(i4, Af) -
-^ Ext| (C, Af) ->...-> Extr' (Л, Af) ->
Д"-1 Ext" (я Af)
»-Ext£(C, Af) > Ext%(B, M)-^
Ext" (i, Af)
»- Ext* (Л, Af) —^ Ext«+ (C, Af) ■
Модуль М проективен [инъективен] тогда и только
тогда, когда Extj^AT, X) = 0 [Extj,^, Af) = 0] для
любого модуля X. Правая [левая] глобальная раз-
размерность кочьца R равна п тогда и только тогда,
когда Ext"+I(^, В) = 0 для любых правых [левых]
/^-модулей А и В, но Ext#(C, D) ф 0 для некоторых С
и D, Для любых абелевых групп А а В имеет место
Ext|(Л, S) = 0, т. е. глобальная размерность кольца Z
равна 1. Если gl. dim R — глобальная размерность
кольца R, то для кольца R[xu ..., хп] многочленов
от п переменных над R имеет место теорема Гиль-
Гильберта о сизигиях:
gl. dim /?[*,, ..., хп] = gl. dim /? + «•
В частности, gl. dimZ[xb ...,*„] = n + 1, a
yl. dimOfjc,, ..., х„] = д и gl.dim®^, x2, ...] = °o,
если Ф — поле.
Если (*) — проективная резольвента правого [ле-
[левого] /^-модуля М, а Л — произвольный левый [пра-
[правый] /^-модуль, то возникают точные последователь-
последовательности абелевых групп
486 1"Л III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
При этом
1т(Л ®я л„+1) ^Кег(Л <8>Rnn)
[ImK + 1 ® R Л) s Кег (я„ ®« Л)]
и факторгруппы
Г„ (Л, В) = Кег (Л ® R я„)/1т (Л ® R nn +,)
[Г; (Л, Б) = Кег (Л„ ®R Л)/1т (л„+1 ®л Л)]
не зависят от выбора проективной резольвенты. Для
любых левого ^-модуля Л и правого /^-модуля В
имеет место изоморфизм
Тп(А,В)~Т'п(А,В),
что позволяет определить абелеву группу
Если 0->Л—*■ В—*• С—>0 — точная последователь-
последовательность правых [левых] ^-модулей, то для любого ле-
левого [правого] модуля М существуют такие гомомор-
гомоморфизмы абелевых групп
, i): Tor«(M, Л)->Тог*(М, В),
«(М, п): Тог«{М, В)->Тог*(М, С),
Vo: Torf(Af, С)->Л/®^Л,
Vn: Tor«+1(M, C)->Tor«(M, Л)
[Tor«(i, M): Тог«(Л, M) -> Tor« (В, Л1),
г«(л, M): Tor«(B, iW)->Tor«(C, M),
Vq: Torf(C, М)-^Л®ЛМ,
и
*n- Tor«+1(C,M)->Tor«{A,M)],
§ 4 МОДУЛИ 487
что последовательность
.. . -* Тог«+1 (М, С) -^ Tor* (M, А) ->
1+ Тог« (М, В) _Jjl^t Tor« (M, В) -*
я) vn[
— Torf (Af, С) »- Тог«_, (М, Л) -> ...
Тог« (М, С) -^ Torf (M, А)
Л)
Torf (Af, Б) у Torf (M, С)
«+, (С, М) -^ Тог« (Л, М) ->
> Тог« (S, ЛО >- Тог« (С, /И)
-^- Тог«_, (Л, М) -> . . . -> Torf (С, М) ->
V[ Torf (i, M)
—> Torf (Л, М) >- Torf (В, М) ->
ТоГ[ (я, М) у'о
>• Torf (С, Щ —* A ®R M ->
оказывается точной. Правый [левый] /^-модуль М яв-
является плоским тогда и только тогда, когда
Torf(X, M) = 0 [Torf (М,Х) = 0] для любого левого
[правого] /^-модуля X Если Тог£+1(Л, В) = 0 для лю-
любых левого /^-модуля Л и правого /?-модуля В, но
Tor^(C, D) Ф 0 для некоторых С и Д то говорят, что
слабая глобальная размерность кольца R равна п.
Слабая глобальная размерность кольца может быть
определена и с помощью рассмотрения плоских ре-
резольвент, определяемых аналогично проективным.
Слабая глобальная размерность кольца не превосхо-
превосходит его правую [левую] глобальную размерность.
488 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Слабая глобальная размерность кольца R равна нулю
тогда и только тогда, когда R — регулярное кольцо.
Группа ExtlR(A, В) допускает и другую интерпре-
интерпретацию. Именно, пусть Ш,(А,В)—множество всех точ-
точных последовательностей я: 0->-fi—>• G->- Л ->-0. Если
tti, tt2 e St(Л, В), то положим <ti ~ а2, если диаграмма
а,: 0->йЛеЛ^1)
о2: 0^-В ^>G2-—> Л^-0
коммутативна для некоторого изоморфизма ср Отно-
Отношение ~ оказывается эквивалентностью, и фактор-
фактормножество %{А, В)/~ превращается в абелеву груп-
группу, если в качестве cti -f- a2 принять класс, содержащий
нижнюю строку коммутативной диаграммы
0
1
••J
в®в-
4
0->В-
1
0
0
1
1к
J-
-> н/к —>
1
0
0
1
л
■А
1
0
->0
4
где
Я = {(#!, g2) I (glf g2) eG,0 C2, я! (g,) = я2 (g2)},
/C = {F, -6)|6еБ},
' a' (b, -b) = (b, - b), a" (b, ~b) = (i, (b), - i2 (b)),
%' (b', b") = b' -{- b", x" — естественный гомоморфизм,
p (&', b") = (i, (br), i2{b")), x (gl, g2) = it, (gl).
Возникающая таким образом абелева группа изо-
изоморфна группе Ех^(Л, В) (см. [62], гл. III; [86]).
О кольце Ext^(Af, M) см. [253].
§ 4 МОДУЛИ 4в9
Каждый модуль можно рассматривать как функтор
из однообъектной предаддитивной категории в кате-
категорию абелевых групп. Поэтому естественным обоб-
обобщением модуля служит функтор из предаддитивной
малой категории (ее называют также кольцом с не-
несколькими объектами) в категорию абелевых групп.
Соответствующая теория развита в [214J и [215]
4.4. Радикалы, кручения, чистота. Будем говорить,
что на классе Mod-/? всех правых ^-модулей задан
предрадикал х, если в каждом модуле Л из Mod-./?
выделен подмодуль х(А), причем ф(г(Л))ег(В) для
любого гомоморфизма <р: А-^В. Предрадикал х на-
называется идемпотентным, если х{х(А)) = х(А) для
любого А е Mod-/?. С каждым предрадикалом г свя-
связаны два класса модулей
которые называются х-полупростыми (t-torsion-free)
и х-радикальными соответственно. Любой предрадикал
X обладает следующими свойствами: 1) класс f(t)
замкнут относительно подмодулей и прямых произве-
произведений; 2) класс £(t) замкнут относительно фактор мо-
модулей и прямых сумм; 3) f(т)Л£(*) = {0}; 4) если
Ле=£(т) и Bef(t), то Нотл(Л, В) = 0; 5) сумма
любого множества т-радикальных подмодулей любого
модуля t-радикальна; 6) если {/4i|ie3}— множество
подмодулей произвольного модуля А и все фактормо-
дули A/Ai t-полупросты, то t-полупрост и фактор мо-
модуль А /( Р) АА; 7) х(А) — вполне характеристиче-
ский подмодуль модуля А; 8) t(R) — двусторонний
идеал кольца /?; 9) Ax(R)^x{A) для любого правого
/?-модуля Л; 10) если Р — проективный правый ^-мо-
^-модуль, то x(P) = Px(R) (см. [46], с. 7—8).
Идемпотентный предрадикал х называется радика-
радикалом или идемпотентным радикалом, если т(Л/т(Л)) =
=== 0 для любого Л е Mod-/?. Подмодуль х(А) назы-
называется х-радикалом модуля Л. Если х(А) — 0
[х(А) = А] для всех Л е Mod-/?, то радикал г назы-
называется нулевым [единичным]. Каждый из этих ра-
радикалов называется тривиальным. Примером нетриви-
нетривиального радикала на Mod-Z служит 0, где а (А)—пе-
490 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
риодическая часть абелевой группы А. В качестве
другого примера можно указать радикал Ь, где
Ь(А)—наибольшая делимая подгруппа абелевой груп-
группы А. Фактормодуль т-радикального модуля всегда
т-радикален, а любой подмодуль t-полупростого мо-
модуля т-полупрост. Для любого радикала г и любого
правого ^-модуля А эквивалентны следующие свой-
свойства подмодуля Т^А: A) Г = г(Л); B) Tsx(A)
и т(Л/Г) = 0; C) Т — наибольший среди т-радикаль-
ных подмодулей модуля А; D) Т—максимальный
среди т-радикальных подмодулей модуля А; E) Т =
=[}{В\В^А, х(А/В) = 0}. Класс X правых R-мояу-
лей совпадает с классом всех r-радикальных модулей
для некоторого радикала г в том и только том случае,
когда i замкнут относительно гомоморфных образов
и обладает хотя бы одним (а значит, и всеми) из сле-
следующих эквивалентных друг другу свойств: A) X за-
замкнут относительно прямых сумм /т. е. AteJ для
всех ie5 влечет ^Г, /deJJH расширений (т. е.
3 /
для любой точной последовательности 0->-Л->-5->-
->-С->-0 из А,С^& вытекает, что BeJ); B) если
всякий ненулевой гомоморфный образ модуля А со-
содержит ненулевой подмодуль из S, то Л е £; C) если
модуль А обладает возрастающим рядом подмодулей
0 = А{ s ... •= Ла s Ла+1 с= ... с= ля = Л,
где Ла+1/Лое2 при любом а и Ла= (J Лй для пре-
дельных а, то Л е S. Для того чтобы класс 5 правых
-/^-модулей совпадал с классом всех т-полупростых мо-
модулей для некоторого радикала г, необходимо и до-
достаточно, чтобы класс 5 был замкнут относительно
подмодулей и удовлетворял хотя бы одному (а зна-
значит, и всем) из следующих эквивалентных друг другу
свойств: A) 5 замкнут относительно прямых произве-
произведений и расширений; B) если любой ненулевой под-
подмодуль модуля Л имеет ненулевой гомоморфный об-
образ, принадлежащий §, то Л е 5; C) если модуль Л
обладает убывающим рядом подмодулей
Л —Да ... а Ла=> Ла+1 э ... э Ла = 0,
§ 4. МОДУЛИ 491
где Аа(Аа+\<^Ъ для всех и и Ла= П^р Для пРе"
дельных а, то А <= %. Для данной пары (ft, X) классов
правых /^-модулей радикал х такой, что J и ? совпа-
совпадают с классами всех t-полупростых и t-радикальных
модулей соответственно, существует в том и только
том случае, когда fe5 тогда и только тогда, когда
Нотл(X, F) = О для всех ^eS, и Ге? тогда и
только тогда, когда WomR(T, У) = 0 для всех Y<=Ъ.
В свою очередь это равносильно выполнению следую-
следующих условий: 1) 505= {0}; 2) ft замкнут относительно
подмодулей; 3) % замкнут относительно гомоморфных
образов; 4) для всякого правого /^-модуля А суще-
существует точная последовательность 0—^У—>-Л—>-F—>-0,
где Гб? и Fe^. Если заданы классы ft и %, обла-
обладающие этими свойствами, то говорят, что задана
теория кручения (см. [73], [74], [46], [157], [158],
{257]).
Если А — правый /?-модуль, то обозначим через
гас1Л пересечение всех максимальных подмодулей мо-
модуля Л, а если таких подмодулей нет, то полагаем
гас1Л=Л. Тогда rad оказывается радикалом. При
этом rad Л называется радикалом Джекобсона мо-
модуля Л, а часто просто радикалом модуля Л. Отме-
Отметим некоторые свойства этого радикала: 1) если Л —
вполне приводимый модуль, то radA=0; 2) (лемма
Накаямы) если модуль Л конечно порожден, / — ра-
радикал Джекобсона кольца R и AJ = Л, то А = 0;
3) следующие свойства ненулевого модуля А равно-
равносильны: (а) ^Л=0; (б) для всякого ненулевого
элемента а е Л существуют простой модуль М и го-
гомоморфизм <р: А-*-М, для которых ср(а)^0;
(в) модуль А вкладывается в прямое произведение
11 (Л/Af,,), где {Mtjte^}—множество всех макси-
IS 2
мальных подмодулей модуля Л; (г) модуль М можно
вложить в произведение простых модулей; 4) если
Р — проективный правый /^-модуль, то rad P = PJ,
гДе /—радикал Джекобсона кольца R, и Р =^rad P,
если Р ф 0; 5) если Р—проективный правый R-mo-
Дуль, А — его подмодуль, A s rad Р и Р/А — плоский
правый /?-модуль, то Л =0.
Модуль Л разлагается в прямую сумму конечного
с неприводимых подмодулей в том и только том
492 ГЛ II! КОЛЬЦА И МОДУЛИ
случае, когда А артинов и rad Л =0. Модуль А ока-
оказывается конечно порожденным тогда и только тогда,
когда rad Л — косущественный подмодуль модуля Л,
а фактормодуль A/radA кон чно порожден ([45],
гл. 9, § 10.5).'
Радикал х называется кручением или наследствен-
наследственным радикалом, если любой подмодуль t-радикаль-
ного модуля t-радикален. Равносильны следующие
свойства радикала х: A) X—кручение; B) инъектив-
ная оболочка любого t-полупростого модуля t-полу-
проста; C) если А — подмодуль модуля В, то т(Л) =
= А(]х(В); D) если 0-» А ->-£-»- С-^0 — точная по-
последовательность правых /^-модулей, то последова-
последовательность 0-+х(А)-+х(В)-+х(С) также точна. Если
X — кручение, то т-радикальный модуль часто назы-
называют х-периодическим. Кручение х называется ста-
стабильным, если инъективная оболочка любого t-перио-
дического модуля t-периодична. Если класс т-полу-
простых модулей замкнут относительно перехода к
фактормодулям, то кручение X называется конаслед-
ственным. Конаследственность кручения х равносильна
существованию такого кручения з, что %(х) — %($)
(см. [158], гл. 5).
Оба тривиальных радикала являются кручениями.
В классе Mod-Z радикал з оказывается кручением,
а Ь нет. Класс всех полуартиновых модулей является
т-периодическим классом кручения, которое называ-
называется кручением Диксона. Почти очевидна эквивалент-
эквивалентность следующих свойств кольца R: A) радикал rad
на Mod-/? оказывается кручением; B) rad^=0 для
любого Л е Mod-/?; C) R— классически полупростое
кольцо.
Для всякого кручения х совокупность
©г = {Н | Я — правый идеал в R и x(R/H) = R/H}
оказывается радикальным фильтром, т. е. удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям: 1) если Яе^,, /( — пра-
правый идеал кольца R и Н^К, то К е <§%; 2) если
Н е= %х и r(= R, то
(Н : г) = {s | s е= /?, rsi=H}<= Ж,:
3) если Л^—правый идеал в R, H s К ^ &х и
{H:r)s=&x для любого ге/(, то Яе©",. При этом
х (А) = {а | а е= A, Ann а е= <ГГ}
§ 4. МОДУЛИ 493
для любого А е Mod-/?. Радикальный фильтр назы-
называется также идемпотентным топологизирующим
фильтром и топологией Габризля. Наоборот, если Ж —
радикальный фильтр и
для всех Л е Mod-/?, то vg оказывается кручением
на Mod-/? и // е $* тогда и только тогда, когда
tARIH) = RjH. Если If — радикальный фильтр и Я,
К её1, то Н [\К^<§ ■ Тривиальным кручениям соот-
соответствуют фильтры, состоящие из всех правых идеа-
идеалов и из одного нулевого идеала соответственно.
Кручение называется идеальным, если его ради-
радикальный фильтр совпадает с множеством всех правых
идеалов, содержащих фиксированный двусторонний
идеал. Если среди правых идеалов, принадлежащих
радикальному фильтру <§, имеется наименьший пра-
правый идеал /, то / оказывается двусторонним идеалом,
/2 = / и х(А) = А в том и только том случае, когда
А1 = 0. Разумеется, кручение rg оказывается иде-
идеальным.
Класс Ш правых /?-модулей называется радикально
полупростым, если для некоторых радикалов I и г'
на Mod-/? 9? совпадает как с классом г-радикальных,
так и с классом i'-полупростых правых /?-модулей.
Если г—кручение, то класс r-периодических правых
/?-модулей оказывается радикально полупростым в
том и только том случае, когда | | / е &х- Такое
кручение иногда называют кручением Джанса. Если
9? — радикально полупростой класс, Зг и 2/ — классы
всех r-полупростых и т'-радикальных модулей соот-
соответственно, то оказываются эквивалентными следую-
следующие условия: A) 5 = £'; B) г(г'(Л)) = 0 и
г'(ЛД(Л)) = Л/г(Л) для всех A(=Niod-R; C) Л ==
= Г(Л)®г'(Л) для любого Л<=Мос1-/?; D) i? ==
= т(/?л)ф t'(RR); E) г(/?д) = е/?, где е — централь-
центральный идемпотент (см. [73], с. 93, п. 2.20; [46], с. 26—
27, теорема 4.6).
Если г—-кручение на Mod/?, то существуют такие
правые /?-модули U и V, что
494 гл. in. кольца и модули
причем модуль U может быть выбран инъективным
([73], с. 89, п. 2.16).
На классе всех радикалов категории правых R-mo-
дулей может быть введен порядок $С: 1^5, если
t(M)£s(M) для любого правого /^-модуля М. Триви-
Тривиальные радикалы являются наибольшим и наименьшим
элементами этого частично упорядоченного класса.
Более того, в нем для любого подмножества суще-
существует точная нижняя, а значит, и точная верхняя
грань. Именно,
i = :nf(r КеЗ], если х(М)= П х(М) для любого
111 ' i<=3
правого /?-модуля М, и
sup {rt 11 е 3} == inf {§ | tt < § для всех i e 3}-
Если h J i e 3}—множество кручений, то inf | r I i e 3}
оказывается кручением и, следовательно, явля-
является точной нижней гранью в частично упорядочен-
упорядоченном множестве кручений (обратим внимание на то,
что совокупность всех кручений является множе-
множеством). Следовательно, совокупность кручений в кате-
категории правых /^-модулей оказывается полной решет-
решеткой— решеткой кручений. При этом, если г =
= sup{rl|ie3} в этой решетке, то г(М) = 0 тогда
и только тогда, когда tl(M) = 0 для всех ie3 (см.
[158], ч. 2). Если X — некоторое множество правых
/^-модулей, то про кручение sup{r<J> \X e X}, где
х(Х)—-наименьшее из таких кручений 5, что 2(Х)=Х,
говорят, что оно порождено множеством X. Кручение,
порожденное множеством всех простых правых /?-мо-
дулей [одним простым правым /^-модулем], называ-
называется полупростым [простым].
Если W—произвольный правый R модуль, то для
любого А е Mod-/? положим
г*(А)= Z Imq>
F, Л)
xw{A)= П
(р<=Ногпд(Д, W)
Тогда tw оказывается идемпотентным предрадикалом,
причем Ге?^) тогда и только тогда, когда Т яв-
§ 4. МОДУЛИ 495
ляется гомоморфным образом прямой суммы некото-
некоторого множества экземпляров модуля W, а
При этом xw оказывается наименьшим среди предра-
дикалов г, для которых l^e£(t) (мы говорим, что
t' < г", если г'(Л)£г"(Л) для всех ЛеМос!-/?).
В свою очередь, т№ оказывается предрадикалом, при-
причем tv(A/tw(A)) = О для всех Л eMod-/?. Кроме
того, Fe J(tr) в том и только том случае, когда F
вкладывается в прямое произведение некоторого мно-
множества экземпляров модуля W, а
X (tw) = {X | Hom^ {X, W) = 0}.
Более того, Xw оказывается наибольшим среди таких
предрадикалов г, то fej(t). Предрадикал Xw ока-
оказывается кручением тогда и только тогда, когда инъ-
ективная оболочка модуля W вкладывается в прямое
произведение некоторого множества экземпляров мо-
модуля W. Кручение t^, где R — инъективная оболочка
правого /^-модуля R, называется кручением Ламбека.
Радикальный фильтр кручения Ламбека состоит из
всех плотных правых идеалов кольца R, т. е. таких
правых идеалов /, что для любых O^sei? и b^R
при подходящем r^R имеем ог^О и Ьге/ (см.
[46J, § 5; с. 41—42; см. также [57]).
Для любого правого /^-модуля Л положим
sing Л = {х \х е A, Ann х — существенный правый
идеал}.
Оказывается, что sing Л — подмодуль модуля А, кото-
который называется сингулярным. Если sing Л =0, то мо-
модуль Л называется антисингулярным (non-singular).
Кроме того, sing оказывается идемпотентным предра-
предрадикалом, а если правый /^-модуль R антисингулярен,—
то и радикалом. Если для каждого Л е Mod-/? опре-
определить г (Л) как полный прообраз подмодуля
>ing^/singA) модуля Л /sing А при естественном го-
гомоморфизме Л на Л/sing/l (т. е. x(A)/singA =
= sing(A/singA)), то г оказывается кручением, кото-
которое называется кручением Голди. Это кручение ока-
оказывается наименьшим среди кручений, радикальный
рильтр которых содержит все существенные правые
496 ГЛ III КОЛЬЦЛ И МОДУЛИ
идеалы кольца R (см. [90], теорема 19.46А; [46],
с. 58).
Кручениям и радикалам посвящены монографии
[46], [73], [74], [113], [157], [158], [179], [200],
[257], [262].
Скажем, что на классе всех правых /?-модул ей за-
задана чистота со, если выделен класс мономорфизмов
фл со свойствами: 1) естественное вложение в любой
модуль его прямого слагаемого принадлежит фш;
2) если ф, if> е $а, то ц>\р е $а, 3) если фт|) е фи) и if> —
мономорфизм, то фе фщ; 4) если строки и столбцы
коммутативной диаграммы
0 0
о -> к — > л —
0 -> К — > В -^ D -> 0
точны и ф е §ш, то if e фщ; 5) если в указанной выше
диаграмме и, ф е §ш, то ф е |>ш. Мономорфизмы из §и
называются а-чистыми. Из 1) — 5) вытекает следую-
следующее усиление свойства 3): если ф1|) е |>ш, то ф е §и.
Условимся писать А^ШВ, если Л — подмодуль
модуля В и естественное вложение Л в В принадле-
принадлежит §ш. Используя это обозначение, условия 1)— 5)
можно выразить так: 1) если подмодуль Л модуля В
выделяется прямым слагаемым, то А^ШВ; 2) если
А<=ШВ и Bs^^C, то А<=аС; 3) если А^В^С и
А^ШС, то /lsB8; 4) если A<=aB и /С s В, то
Л//С ^=ffl B//C; 5) если /С s Л s В, /С sffl В и Л//С sffl S//C,
то А<=ШВ.
Если со — чистота, то обозначим через §^ сово-
совокупность всех таких эпиморфизмов л: А—* В, что
Кегф^шЛ. Эти эпиморфизмы назовем а-кочистыми.
Условие 4) равносильно условию 4*): если ах е |>^
и а — эпиморфизм, то те ■§>*, а условие 5) — усло-
условию 5*): если о, те§*, то стте§*. Кроме того,
если ох е §^, то т е |>^.
Если со — чистота, то для любой точной последо-
последовательности 0 ~> Л -^* В —*• С -> 0, где ф е §ш, молено
§ 4 модули 497
построить точные последовательности
Hornj; (X, ф)
О -> Нот* (X, А) > Нотя (X, В) ->
Homo (X, л) Д„
у Нот^ (X, С) —* со Extj, (X, Л) ->
Ext' (AT, Ф) Ext' (AT, я)
■ >- со Ext£ (J, В) >- со Ext^ (X, С)
О -* Нот* (С, J) > Нот« (В, J) -►
Ното(ф, X) д0
► Нот^ (Л, X) ~~> со Ext^ (С, X)
Ext' (я, X) Ext' (ф X)
R, X) »-a>ExtjjD, X),
где X — произвольный правый /?-модуль, а
coExt^t/, V) — некоторая подгруппа абелевой группы
Extjj (U, V). Наоборот, если в каждой из абелевых
групп ExVR(U, V) выделена подгруппа Ф (U, V), при-
причем Ext(cp, 1|))(Ф([/, 7))£Ф((/', К') для любых
ср: U' ~>U и -ф: V ~^\" и для любых I e Mod-/? и
точной последовательности О—>Л—>■ В—>С->0, оп-
определяющей элемент из Ф(Л,С) (см. п. 3.3), после-
последовательности
Homo (X, l)
О -► Hom^ (J, Л) »» Нот« (J, S) -►
Нотр(АГ, л) Л
>- Нотя (X, С)~^>Ф {X, А) ~>
Ext1 IX, i) Ext' (AT,я)
► Ф (X, В) ► Ф(Х, С)
и
Нот^ (я, X)
О -> HomR (С, X) у Нот« (В, X)-*
-^-^1 НотЛ(Л, Х)-^*Ф(С, X)-*
Ext' (л X) Ext' (i, AT)
»■ Ф(В, J) ► Ф(Л, J)
точны, то существует такая чистота со, что Ф((У, V) =
= со Ext}, (U, V) для любых £/, KeMod-/? (см. [73],
п. A.1)-A.4)}.
498 ГЛ Ш КОЛЬЦА. И МОДУЛИ
Имея чистоту со, можно строить относительную го-
гомологическую алгебру, т е. рассматривать понятия,
в определении которых мономорфизмы и эпиморфиз-
эпиморфизмы заменяются на со-чистые мономорфизмы и со-кочи-
стые эпиморфизмы соответственно. Например, модуль
называется ы-инъективным [а-проективным], если он
инъективен относительно всех со-чистых мономорфиз-
мономорфизмов [проективен относительно всех со-кочистых эпи-
эпиморфизмов] (см. [73], [74], [82], [157], [158], [257]).
Вопросам относительной конечности посвящена моно-
монография [101].
Кольцо R называется чисто полупростым справа,
если каждый правый /?-модуль разлагается в прямую
сумму нётеровых подмодулей. Кольцо R чисто полу-
полупросто справа и слева в том и только том случае, ко-
когда R—артиново справа кольцо конечного типа
(Sim son D.//J. Algebra.—1977.— V. 48, № 2.—
P. 290—294, ibid.— 1980. —V. 67, N 1. —P. 254—256;
см. также [277]).
Если U — подмодуль свободного правого ^-мо-
^-модуля F и 5с: U'—*- F— естественное вложение, то ска-
скажем, что модуль А FU-чист в В (в обозначениях
A ^Fu В), если A s В и для всякой коммутативной
диаграммы
U -*> F
•I
A -^ В
где i — естественное вложение, найдется такой гомо-
гомоморфизм \|j: F—*-A, что ф == yj\p. Оказывается, что от-
отношение ^fu обладает свойствами 1)—5), т. е.
.Р£/-чистота действительно является чистотой. При
этом A^fuBтогда и только тогда, когда Hom^iF/U, я),
где я: В—>-В/А — естественный гомоморфизм, являет-
является эпиморфизмом. Если Г={(/г, U)}—некоторое мно-
множество пар, где F—свободный правый /?-модуль, а
U— его подмодуль, то, положив А ^г В, если A <=Fv В
для всех (F, (/)еГ, получим чистоту, которую будем
называть Г-чистотой. Если Г состоит из всех таких
пар, где F — конечно порожденные свободные правые
/?-модули, a U — все их конечно порожденные подмо-
подмодули, то соответствующая Г-чистота называется уни-
§ 4 МОДУЛИ 499
аеосальной чистотой, а часто просто чистотой. Для
любой точной последовательности 0 —>■ А —*■ В —>■
JU. с —*■ 0 правых /^-модулей эквивалентны сле-
следующие утверждения: A) i — универсально чистый
мономорфизм; B) i<S)RM—мономорфизм для всякого
конечно представимого левого /^-модуля М; C) i®R
®RM — мономорфизм для любого левого /^-модуля М;
D) каждый конечно представимый правый /^-модуль
проективен относительно я; E) любая система линей-
линейных уравнений
п
Ylxlrl,=al (/=1, ...,m, as<=A, rt, <= /?),
разрешимая в В, разрешима в А; F) если 8: G'-*-
-*- G"—j-омоморфизм конечно порожденных свобод-
свободных левых /^-модулей, то
Itn(i ®/j8) = Im(fi(8i/?e)nim(i <8> G").
Любой правый /^-модуль является универсально чис-
чистым подмодулем модуля, допускающего компактную
топологию. Если со — универсальная чистота, то ока-
оказываются эквивалентными следующие свойства пра-
правого /^-модуля Q: A) Q со-инъективен; B) Q являет-
является прямым слагаемым некоторого модуля, допускаю-
допускающего компактную топологию; C) Q алгебраически
компактен, т. е. любая система линейных уравнений
разрешима в Q, если в Q разрешима всякая ее конеч-
конечная подсистема ([74], п. 1.45—1.47).
Если Г ={(/?,£/) | U е- Ж), где Ж — некоторое мно-
множество правых идеалов в R, то такую Г-чистоту на-
назовем ^-чистотой и будем писать A sg В вместо
А £=г В. Если множество Ж вместе с каждым правым
идеалом включает в себя и все содержащие его пра-
правые идеалы (в частности, если & — радикальный
фильтр), то соотношение Л£И8 равносильно каж-
каждому из следующих свойств: 1) если бе В и (А:Ь) =
= {/•]/• е/?, Ьг<=А}е=Ж, то @ : а — 6) = (Л : Ь) для
некоторого аеЛ;2) А выделяется прямым слагаемым
в любом модуле С, где A s С £= В, С/А= £® chR и
\У :сх)^<§ для всех ie3; 3) А выделяется прямым
500 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
слагаемым в любом модуле С таком, что A s С с= В,
C/A = cR и @:с)е<§Г; 4) всякий циклический пра-
правый /?-модуль w/?, где @:w)e<§T, проективен отнощ-
тельно естественного гомоморфизма В—>-В/А (см.
[73], п. 1 48). Активно изучалась относительная гомо-
гомологическая алгебра, связанная с «^-чистотой для слу-
случая, когда & — радикальный фильтр (см. [46], [157],
[158], [257]). Чистота подробно изучается в [73]
и [74]. См также обзор [82].
Гомоморфизм ф: M-+Q называется локализацией
модуля М относительно радикала т, если t(Q) = 0,
т(Кег ф)= Кег ф, t (Coker ф)= Coker <p и Q х-инъек-
тивен (т. е. инъективен относительно всех таких мо-
мономорфизмов а, что г (Coker a) = Coker а). Каждый
правый /?-модуль обладает локализацией относитель-
относительно радикала г в том и только том случае, когда с —
кручение. При этом r-инъективность равносильна
<§Гг-инъективности ([46], гл. II). О кольцах частных
относительно кручений см. п. 2.8.
Говорят, что правый /?-модуль А является рацио-
рациональным расширением своего подмодуля U или что А
рационален над U, если для любых а. Ъ е А, где Ь=?=0,
найдется такой элемент re/?, что are U и ЬгфО.
Всякое рациональное расширение существенно. Обрат-
Обратное верно, если sing U = 0. Модуль А является рацио-
рациональным расширением свого подмодуля U тогда и
только тогда, когда Нотй (K/U, А) = 0 всякий раз, ко-
когда U £= К Е А Если О — инъективная оболочка мо-
модуля U, то модуль U = {х | х е U, ц> (х) = 0, если ф е
^EndRU и <p(U) = 0} оказывается рациональным
расширением модуля U. Этот модуль О оказывается
рационально замкнутым подмодулем модуля О, т. е.
всякое рациональное расширение модуля О, лежащее
в О, совпадает с П. Модуль П является xq- инъектив-
ной оболочкой модуля U. Если sing£/ = 0, то U==U
(см. [90], ч. 2, с. 123, теорема 19.32; с. 129, след-
следствие 19.33; [46], с. 80—81).
4.5. Абелевы группы *). Группа называется абеле-
вой или коммутативной, если ее операция коммута-
коммутативна. Обычно эта операция называется сложением и
*) Автор благодарен А П. Мишиной за помощь при напи-
написании этого пункта.
4 МОДУЛИ
501
обозначается знаком +• Если G — абелева группа,
п — целое число и а е G, то
а + . . . + а, если п > 0,
па =
0,
если « = 0,
(—а) + • + (~а), если я < 0.
Тогда (т-\-п)а = та-\-па и (тп)а=т{па). Эти
соотношения показывают, что каждая абелева группа
является левым модулем над кольцом целых чисел Z.
Поскольку Z — коммутативное кольцо, то можно гово-
говорить просто о Z-модуле.
Порядком элемента а абелевой группы G называ-
называется наименьшее из таких положительных целых чи-
чисел п, что па = 0. Если п — порядок элемента а и
та = 0, то п делит т. Если а — элемент порядка pk,
где р—простое число, то k называется экспонентой
элемента а Если снова аеби р — простое число, то
наибольшее неотрицательное целое число г, для кото-
которого уравнение ргх = а имеет решение ieG, назы-
называется р-высотой элемента а и обозначается через
hp(a). Если уравнение ргх = а разрешимо при лю-
любом г, то элемент а называется элементом бесконеч-
бесконечной р-высоты (в обозначениях hp(a)= oo).
Группа G называется циклической, если G =
= {na|neZ}. Элемент а называется порождающим
или образующим этой группы G. Всякая конечная
циклическая группа изоморфна группе вычетов по не-
некоторому модулю п, т. е. факторгруппе Z/Zn. Класс
tn-\-Zn является образующим группы Z/Z/i тогда и
только тогда, когда числа тип взаимно просты. Лю-
Любая бесконечная циклическая группа изоморфна груп-
группе Z. Ее образующими служат числа 1 и —1. Цикли-
Циклическая подгруппа любой группы, порожденная элемен-
элементом а, часто обозначается через {а}. Квазицикличе-
Квазициклической группой или группой типа р°°, где р — простое
число, называется группа, являющаяся объединением
возрастающей последовательности циклических под-
подгрупп
(с,) <= (с2> <=...<= (с„> с: ...,
502 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
где рс,=0 и рсп = сп-и если п> 1. Группами типа
р°° являются факторгруппа QP/Z, где Qp — совокуп-
совокупность всех рациональных чисел со знаменателями
вида рп, и группа всех корней степени рп из единицы
(в обоих случаях п — произвольные целые числа). Лю-
Любые подгруппа и факторгруппа циклической группы
оказываются циклическими. Любая подгруппа группы
типа р°° совпадает с одной из циклических подгрупп
<Сп>.
Совокупность всех элементов конечного порядка лю-
любой абелевои группы G образует подгруппу T(G), ко-
которая называется периодической частью группы G.
При этом 7(G/r(G)) = 0. Если G = T(G), то груп-
группа G называется периодической, а если 7(G) = 0, то —
группой без кручения. Абелева группа G называется
смешанной, если 0 ф T(G) Ф G. Если G = T(G)® H,
то группа G называется расщепляющейся. Разумеет-
Разумеется, Т(Н) = 0. Примером нерасщеп ляющейся абелевои
группы служит прямое произведение H(Z/Zp), где р
р
пробегает все простые числа. Любая смешанная абе-
абелева группа с периодической частью Т оказывается
расщепляющейся в том и только том случае, когда
Т — прямая сумма ограниченной группы (т. е. такой
группы G, что nG =0 для подходящего п) и некото-
некоторого множества квазициклических групп ([92], § 100).
Абелевым группам без кручения посвящены моногра-
монографии [106] и [111], а их группам автоморфизмов — [11].
Абелева группа D называется делимой, если для
любого а е D и любого натурального числа п урав-
уравнение пх = а имеет в группе G хотя бы одно решение.
Всякая делимая группа разлагается в прямую сумму
квазициклических групп и групп, изоморфных груп-
группе Q всех рациональных чисел (однозначно с точ-
точностью до изоморфизма). Любую абелеву группу G
можно вложить в качестве подгруппы в делимую груп-
группу, причем в любой делимой группе, содержащей G,
имеется минимальная делимая подгруппа, в которой
лежит G. Эта подгруппа называется делимой оболоч-
оболочкой группы G и определяется однозначно с точностью
до изоморфизма. Всякая абелева группа G содержит
наибольшую делимую подгруппу D(G), причем
D(G/D(G)) = 0. Делимая подгруппа выделяется пря-
прямым слагаемым в любой содержащей ее абелевои
§ 4 МОДУЛИ 503
ovnne и, следовательно, является инъективным Z-mo-
nvaeM Если D{G) = 0, то группа G называется реду-
редуцированной ([92] ,§23, 24).
Свободной абелевой группой называется прямая
сумма некоторого множества экземпляров группы Z.
Свободная абелева группа имеет базу и все ее базы
павномощны. Всякая ненулевая подгруппа свободной
абетевой группы F свободна и мощность ее базы не
превосходит мощности базы группы F (ср. п. 3.2).
Всякая абелева группа изоморфна факторгруппе не-
некоторой свободной группы. Всякая конечно порожден-
порожденная абелева группа без кручения свободна. Абелева
группа F свободна в том и только том случае, когда
для любой абелевой группы G точная последователь-
последовательность Q-*-T{G)-*-G-*- F-*-Q расщепляется ([92],
§ 100; ср. п. 3.3).
Если все элементы абелевой группы G имеют по-
порядок, равный степени некоторого фиксированного
числа р, то G называется р-группой или примарной
группой. В любой периодической абелевой группе G
совокупность всех элементов, порядок которых имеет
вид рп (р — фиксированное простое число), представ-
представляет собой подгруппу Gp, называемую р-компонентой
группы G. При этом G=Yj Gp. Если G — счетная
р-группа, все ненулевые элементы которой имеют ко-
конечную высоту, то G — прямая сумма циклических
групп ([92], § 17.3). Но, например, совокупность всех
элементов конечного порядка в прямом произведении
11 Z/plZ оказывается р-группой без ненулевых эле-
элементов конечной высоты, которая в прямую сумму
циклических групп не раскладывается ([54], с. 156).
Абелева группа называется элементарной, если по-
порядки ее ненулевых элементов не делятся на квадрат.
Порядок любого ненулевого элемента элементарной
Р-группы равен р. Такие группы можно рассматривать
как линейные пространства над полем вычетов Z/pZ
и, следовательно, каждая из них разлагается в пря-
прямую сумму циклических групп порядка р (см. [92],
теорема 8,5).
Любая конечно порожденная абелева группа изо-
изоморфна прямой сумме циклических групп, причем в
качестве конечных прямых слагаемых могут быть
504 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
выбраны примерные циклические группы. Любая под-
подгруппа прямой суммы циклических групп сама разла-
разлагается в прямую сумму циклических групп. В прямую
сумму циклических групп разлагается всякая ограни-
ограниченная группа, а также, как сказано выше, всякая
счетная примерная группа, не содержащая ненулевых
элементов бесконечной высоты. Более того, примар-
ная группа разлагается в прямую сумму циклических
подгрупп тогда и только тогда, когда она является
объединением счетной возрастающей последовательно-
последовательности подгрупп, высоты ненулевых элементов каждой
из которых ограничены в совокупности (критерий Ку-
Куликова— см. [92], § 17; [54], с. 144).
Существует р-группа мощности Ki, не являющаяся
прямой суммой циклических групп, всякая счетная
подгруппа которой содержится в прямом слагаемом
этой группы, равном прямой сумме циклических групп
([92], § 75). Существует пример неизоморфных между
собой р-групп без ненулевых элементов бесконечной
высоты, каждая из которых изоморфна прямому сла-
слагаемому другой ([69], с. 14). В прямую сумму цикли-
циклических групп не разлагается никакая р-группа, содер-
содержащая ненулевые элементы бесконечной высоты.
В такой группе G эти элементы образуют подгруппу
G1. В свою очередь в С можно аналогичным образом
выделить подгруппу G2 = (G1I и т. д., беря на пре-
предельных местах пересечение уже построенных под-
подгрупп. В возникающей таким образом цепочке под-
подгрупп
G = G°zdG1zdG2zd ... zdGuzd Ga^[ =э . . .
последовательность факторов Ga/Ga+] называется по-
последовательностью Ульма группы G. Имеет место тео-
теорема Ульма: счетные редуцированные р-группы G и Н
изоморфны, если факторы их последовательностей
Ульма изоморфны при любом а (см. [54], с. 164; [92],
§77).
В любой р-группе G подмножество G[p]={g\g e
^ G, pg = 0} является подгруппой, которая называ-
называется цоколем группы G. Рассмотрим в G цепочку под-
подгрупп
§ 4 модули 505
epa + ]G = p(paG) и paG = f] /G, если а — предель-
ный трансфинит. При любом a ^ 0 факторгруппа
(paG) [p]/(pa+iG) [p]—прямая сумма циклических
групп порядка р. Мощности этих факторгрупп обозна-
обозначаются через fa(G) и называются инвариантами Уль-
ма—Капланского группы СДве счетные редуцирован-
редуцированные р-группы изоморфны тогда и только тогда, когда
они имеют одинаковые инварианты Ульма—Каплан-
ского. То же самое верно и для двух групп, являю-
являющихся прямыми суммами счетных редуцированных
р-групп ([92], § 77, 78).
Назовем р-группу А тотально проективной, если
она может быть порождена множеством X, элементы
которого связаны лишь соотношениями рх = 0 и
рх'^х", где х, х', /е! и х' ф х". Для тотальной
проективности р-группы А необходимо и достаточно,
чтобы ра Extz (A/paA, В) = 0 для любых группы В и
трансфинита а. Имеется и конструктивное описание
тотально проективных групп. Всякий класс редуциро-
редуцированных р-групп, содержащий все тотально проектив-
проективные р-группы и замкнутый относительно взятия пря-
прямых сумм и такой, что в нем неизоморфные группы
имеют различные инварианты Ульма—Капланского,
совпадает с классом тотально проективных р-групп
([92], §§81—83).
Если G — абелева группа без кручения, то харак-
характеристикой элемента а ££ G называется последователь-
последовательность %(a)=(kp, (a), hPl(a), . ..) его высот по всем простым
числам р], р2, ... Две характеристики называются эк-
эквивалентными, если символ <х> в них стоит на одних
и тех же местах и на почти всех остальных местах
стоит также одно и то же. Класс всех характеристик,
эквивалентных %(а), называется типом элемента а.
Рангом абелевой группы без кручения называется
мощность ее максимальной линейно независимой под-
подсистемы (линейные комбинации элементов группы рас-
рассматриваются лишь с целыми коэффициентами). Абе-
левы группы без кручения ранга I — это в точности
рациональные группы, т. е. группы, изоморфные под-
подгруппам аддитивной группы рациональных чисел. Все
такие группы неразложимы, а все ненулевые элементы
каждой из них имеют один и тот же тип, называемый
типом этой группы. Две группы без кручения ранга 1
506 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
изоморфны тогда и только тогда, когда их типы со-
совпадают.
Прямые суммы абелевых групп без кручения ран-
ранга 1 называются вполне разложимыми группами. Лю-
Любые два разложения вполне разложимой группы а
прямую сумму рациональных групп изоморфны. Пря-
Прямое слагаемое вполне разложимой группы само вполне
разложимо. Однако произвольная подгруппа — не
обязательно. Всякая абелева группа без кручения ко-
конечного ранга, очевидно, — прямая сумма неразложи-
неразложимых групп. При этом для любого натурального числа
& 2э 2 существует группа конечного ранга, обладаю-
обладающая прямыми разложениями как на 2, так и на k не-
неразложимых слагаемых. Для любых натуральных чи-
чисел тип, где k ^ п, существует такая группа G без
кручения ранга п, что для всякого разбиения числа п
на k целых положительных слагаемых, п = Г\-\- ...
... + Гк, найдется прямое разложение G = G] ® ...
... Ф Gk, где Gi — неразложимая группа ранга г, (i=
= 1,. ..., k). Существуют счетные абелевы группы
без кручения, не являющиеся прямыми суммами не-
неразложимых групп (и даже не имеющие ни одного не-
ненулевого неразложимого прямого слагаемого). Пря-
Прямые слагаемые прямых сумм групп конечного ранга
не обязаны снова быть прямыми суммами групп ко-
конечного ранга. Среди абелевых групп, не являющихся
группами без кручения, лишь примерные циклические
группы и группы типа р°° не разлагаются в прямую
сумму каких-либо подгрупп. Напротив, существуют
неразложимые группы без кручения любого ранга,
меньшего первого сильно недостижимого кардиналь-
кардинального числа. Для счетных абелевых групп без кручения
может быть построена полная система инвариантов
([92], §§ 27, 85, 86, 88, 90, 91, 93; [69], с. 12; [70],
с. 10).
Подгруппа А группы G называется сервантной,
если из а = пх, где а^А, x^G и п — натуральное
число, всегда следует существование такого элемента
бе Л, что a — nb. Пример сервантной подгруппы—■
периодическая часть T{G) группы G. В группах без
кручения сервантными являются те и только те под-
подгруппы, факторгруппы по которым — группы без кру-
кручения. В любой р-группе G существует сервантная
подгруппа В, равная прямой сумме циклических под-
§ 4. МОДУЛИ 507
групп, факторгруппа по которой — делимая группа.
Такая подгруппа В называется базисной подгруппой
группы G. Все базисные подгруппы данной р-группы
изоморфны между собой. Если £ = £ B%, где В,—
прямая сумма циклических групп порядка р\ а в G
нет ненулевых элементов бесконечной высоты, то
группа G изоморфна сервантной подгруппе группы
Т]_В{, содержащей £ &i- Если в сервантной подгруппе
А группы G порядки элементов ограничены в совокуп-
совокупности, то она всегда выделяется прямым слагаемым.
То же самое верно, если G/A —прямая сумма цикли-
циклических групп. Если все ненулевые элементы вполне
разложимой группы G конечного ранга имеют один
и тот же тип, го любая сервантная подгруппа груп-
группы G выделяется прямым слагаемым и потому вполне
разложима. Если и сама группа без кручения, и все
ее сервантные подгруппы неразложимы, то мощность
этой группы не превосходит мощности континуума
([54], с. 154—157; [92], §§ 27, 28, 86, 88).
Прямые суммы циклических групп и только оии
проективны относительно всех естественных гомомор-
гомоморфизмов А-+А/В, где В — сервантная подгруппа груп-
группы А. Всякая абелева группа изоморфна факторгруппе
прямой сумме циклических групп по сервантной под-
подгруппе ({92], § 30; [74], п. 1.50).
Абелева группа С инъективна относительно лю-
любого естественного вложения А в В, где А —сервант-
—сервантная подгруппа в В, тогда и только тогда, когда С
алгебраически компактна, т. е. С обладает любым из
следующих эквивалентных между собой свойств:
С) С — прямое слагаемое прямого произведения не-
некоторого множества примерных циклических и квази-
квазициклических групп; B) С — прямое слагаемое некото-
некоторой группы, допускающей компактную топологию;
C) С -прямая сумма делимой группы и редуциро-
редуцированной группы, полной в Z-адической топологии (т. е.
база окрестностей нуля состоит из всех подгрупп пС,
где п — натуральные числа); D) С — прямая сумма
Делимой группы и редуцированной группы А = Д Ар,
гДе каждая группа Ар полна в своей р-адической то-
топологии (т. е. база окрестностей нуля состоит из всех
подгрупп рпАр), а р пробегает все простые числа. Ал-
браически компактной оказывается всякая фактор-
508 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
группа Ug«/^ Gt, где G, — произвольные абелевы
группы. Редуцированные периодические алгебраически
компактные группы — это в точности абелевы группы,
порядки которых ограничены в совокупности. Любая
абелева группа изоморфна сервантной подгруппе не-
некоторой алгебраически компактной группы, причем
среди таких групп существуют минимальные. Все та-
такие минимальные алгебраически компактные группы
изоморфны между собой. Алгебраически компактная
группа выделяется прямым слагаемым во всякой груп-
группе, содержащей ее в качестве сервантной подгруппы
((92], §§38-41).
Периодически полной /?-группой называется перио-
периодическая часть р-адического пополнения прямой сум-
суммы циклических р-групп. Эквивалентны следующие
свойства редуцированной /?-группы G: A) G периоди-
периодически полна; B) G изоморфна периодической части
некоторой алгебраически компактной группы; C) G
инъективна относительно всех сервантны.х вложений
/?-групп; D) G выделяется прямым слагаемым из каж-
каждой абелевой /7-группы, в которой она содержится в
качестве сервантной подгруппы Прямое слагаемое
прямой суммы периодически полных /?-групп само раз-
разлагается в прямую сумму периодически полных
/?-групп. Любые два прямых разложения прямой сум-
суммы периодически полных /?-групп обладают изоморф-
изоморфными продолжениями. Для изоморфизма двух прямых
сумм периодически полных /?-групп необходимо и до-
достаточно, чтобы существовал изоморфи м их цоколей,
сохраняющий высоты элементов, взятые во всей груп-
группе. Периодически полные /?-группы обладают свой-
свойством замены ([92], §§ 68, 72, 73).
Если абелева группа С выделяется прямым сла-
слагаемым во всякой группе, содержащей ее в качестве
подгруппы, факторгруппа по которой — группа без
кр>чения, то С называется копериодической группой.
Группа С является копериодической тогда и только
тогда, когда она — зпиморфный образ алгебраически
компактной группы. Периодическая группа, а также
группа без кручения оказывается копериодической то-
тогда и только тогда, когда она алгебраически ком-
компактная. Любую абелеву группу G можно вложить
в копериодическую группу С так, что C/G будет де-
§ 4 модули 509
лимой группой без кручения. Всякую редуцированную
абелеву группу можно вложить в минимальную копе-
пиодическую группу (ее непериодическую оболочку).
Абелева группа С является копериодической тогда и
только тогда, когда она'инъективиа относительно лю-
любого вложения А в В, где А выделяется прямым сла-
слагаемым во всякой такой подгруппе Н, что A s Н ^ В
и njj\ — периодическая группа. В этом случае точная
последовательность 0-^-А —>- В—>- В/А —>-0 называется
периодически расщепляемой. Для периодической рас-
щепляемости точной последовательности 0 ->• А —>- В —>-
_>С->0 необходимо и достаточно, чтобы она принад-
принадлежала подгруппе D(Ext (С, А)). Напомним, что при
п> 1 Ext2(v4, В) = 0 для любых абелевых групп А
и В. Поэтому вместо Extz пишут просто Ext (см.
[92], §58; [70], с. 31).
Если В — прямое слагаемое абелевой группы G, то
пересечение
Л {С \С— подгруппа в G, В © С = G}
оказывается вполне характеристической подгруппой,
максимальной среди вполне характеристических под-
подгрупп группы G, имеющих нулевое пересечение с В.
Если А — вполне характеристическая подгруппа абе-
абелевой группы G = X Alt то Л—X(f4fMi) (CM-
[92], § 9).
Для изоморфизма двух р-групп достаточно, чтобы
были изоморфны их кольца эндоморфизмов ([92],
§ 108). Если р ^ 5, то достаточно, чтобы были изо-
изоморфны их группы автоморфизмов ([92], т. 2, с. 311).
Кольцо эндоморфизмов абелевой группы является
телом тогда и только тогда, когда эта группа изо-
изоморфна Q или Z/Z/?, где р — простое число. Для про-
простоты кольца эндоморфизмов абелевой группы А не-
необходимо и достаточно, чтобы А была изоморфна или
Q©-..©Q, или Z/7©...©Z/7, для некоторого т,
т т
где р — простое число. Кольцо эндоморфизмов в этом
случае изоморфно кольцу всех матриц конечного пО-
Р^дка над простым полем. Кольцо эндоморфизмов
абелевой группы А артиново справа или слева в том
и только том случае, когда А = В ф D, где В— конеч-
510 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ная группа, a D — делимая группа без кручения ко-
конечного ранга. Кольцо эндоморфизмов абелевои груп-
группы самоинъективно справа тогда и только тогда, когда
G = D Ф А, где D — делимая группа, а А — редуциро-
редуцированная вполне характеристическая сервантная под-
подгруппа прямого произведения прямых сумм изоморф-
ны\ циклических /7-групп, причем в случае, когда
йФО, А — периодическая группа. Кольцо эндомор-
эндоморфизмов периодической абелевои группы А оказывается
нётеровым слева или справа тогда и только тогда,
когда А — прямая сумма конечного числа коцикличе-
ских групп (группа С называется коциклической, если
существует такой элемент сбС, что всякий гомомор-
гомоморфизм ф: С-*-В, где ц>(с)фО, является мономорфиз-
мономорфизмом),— см. [92], § 111; Иванов А. В./Абелевы
группы и модули. — Томск, 1981. — С. 93—109.
Если А—периодическая абелева группа, то
Нот2(Л, С) оказывается редуцированной алгебраиче-
алгебраически компактной группой для любой абелевои группы G
(см. [92], § 46). Если же С—копериодическая группа,
то Homz(G, С)— копериодическая группа при любой
абелевои группе G (см. [92], т. 1, с. 271).
Точная последовательность а: 0 —*■ А —*■ В —*■
■—*■ С —*■ 0 называется сервантно точной, если Im i —
сервантная подгруппа в В. Если последовательность а
сервантно точна, то для любой абелевои группы О
сервантно точны последовательности
0->Hom(G, А) ^^Л Hom(G, В) ^^Hom(G, С)
0 -> Нот (С, G) и-^Л Нот (В, G) ^^1 Нот {A, G)
Первая [вторая] из этих последовательностей, допол-
дополненная нулем справа, оказывается точной для любой
сервантно точной последовательности а тогда и только
тогда, когда G является прямой суммой циклических
групп [G — алгебраически компактная группа]. Из
сервантной точности последовательности а вытекает
также сервантная точность последовательности
i ® О л ® О
0->/l®G *■ S®G ——*■ C®G->0
для любой абелевои группы G (см. [92], §§ 44, 60).
§4 модули 5П
Если А — группа без кручения, то группа Ext(G, Л)
алгебраически компактна для любой группы G (см.
[92], т. 1, с. 261). Редуцированные алгебраически ком-
компактные группы и только они изоморфны группам
вида
где р пробегает все простые числа, ар, „ — кардиналь-
кардинальные числа, а.р,„2(рп) для п ^ 1 — прямая сумма ар, п
циклических групп порядка рп, aPtoZ{p°°)—прямая
сумма ар,0 групп типа р°° (см. [70], с. 16). Группа
Ext (Л, В) оказывается делимой для любой группы А
[для любой группы В] тогда и только тогда, когда
В — делимая группа [Л — группа без кручения]. Ре-
Редуцированность группы Ext (Л, В) для любой группы Л
[для любой группы В] равносильна тому, что группа В
[группа Л] —прямая сумма редуцированной периоди-
периодической и делимой группы [периодической и свободной
групп] (см. [71], с. 27). Группа W, для которой
Ext (W, Z) = 0, называется группой Уайтхеда. К числу
групп Уайтхеда принадлежат все свободные абелевы
группы. Существование других таких групп зависит
от присоединения дополнительных аксиом к обычным
аксиомам теории множеств ([71], с. 32).
Энциклопедией по абелевым группам может слу-
служить [92]. Кольцам эндоморфизмов абелевых групп
посвящен обзор [156]. О частично упорядоченных
абелевых группах см. [162]. Новейшие результаты
теории абелевых групп отражены в обзорах [69J —
4.6. Гомологическая классификация колец. Здесь
имеются в виду результаты, устанавливающие связь
между свойствами кольца R и свойствами ^-модулей.
В первую очередь отметим, что кольцо R оказывается
телом, если все правые [левые] ^-модули или все ко-
конечно порожденные правые ^-модули свободны. Экви-
Эквивалентны также следующие свойства кольца R: A) R
классически полупросто; B) все правые [левые] идеа-
идеалы кольца R ииъективны как правые [левые] R-mo-
ДУли; C) все правые [левые] ^-модули инъектив-
ны; E) все конечно порожденные правые [левые]
512 ГЛ. Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
jR-модули инъективны; F) все циклические правые
[левые] ^-модули инъективны; G) все правые [левые]
^-модули проективны; (8) все конечно порожденные
правые [левые] /^-модули проективны; (9) все цикли-
циклические правые [левые] ^-модули проективны; A0) все
правые [левые] ^-модули квазиинъективны; A1) каж-
каждая максимальная линейно независимая система эле-
элементов любого правого [левого] ^-модуля порождает
этот модуль; A2) все правые [левые] ^-модули впол-
вполне приводимы; A3) все правые [левые] /?-модули ма-
лоинъективны; A4) все конечно порожденные правые
[левые] /^-модули малоинъективны; A5) все правые
[левые] ^-модули малопроективны; A6) все конечно
порожденные правые [левые] /^-модули малопроек-
малопроективны; A7) кольцо эндоморфизмов любого свободного
правого [левого] ^-модуля регулярно; A8) правая
[левая] глобальная размерность кольца R равна нулю
([44], с. 27, теорема 4.2; [85], теорема 5; [87], с. 136,
теорема 3; Цукерман Г. М.//Мат. заметки.—
1970. — № 3. —С. 369—380).
Кольцо R оказывается регулярным тогда и только
тогда, когда все правые [левые] ^-модули являются
плоскими ([45], теорема 10.49; [57], § 5.4). Регуляр-
Регулярность кольца R равносильна также выделяемостью
прямым слагаемым каждого конечно порожденного
подмодуля любого свободно правого [левого] R-wo-
дуля ([87], с. 46, лемма 1).
Теория ненулевых правых [левых] ^-модулей
модельно полна тогда и только тогда, когда R—
бесконечное простое регулярное кольцо (Тюкав-
кин Л. А.//Алгебра и логика. — 1982.— Т. 21, № 1.—
С. 73—83).
Кольцо R называется правым V-кольцом, если
каждый простой правый ^-модуль инъективен. Экви-
Эквивалентны следующие свойства кольца R: A) R — пра-
правое V-кольцо; B) каждый правый идеал кольца R
равен пересечению максимальных правых идеалов;
C) radM = 0 для любого правого ^-модуля М. Ком-
Коммутативное кольцо является V-кольцом тогда и только
тогда, когда оно регулярно ([90], пп. 7.32А, 7.32В).
Впрочем, коммутативность здесь можно заменить тре-
требованием, что каждый односторонний идеал кольца R
является двусторонним (Chandran V. R.//Pure ana
appl. Math. Sci. —1976. —V. 4, N 1/2. —P. 125—131).
§ 4. МОДУЛИ 513
Нётерово справа кольцо R характеризуется каж-
каждым из следующих свойств: A) все конечно порожден-
порожденные правые ^-модули нётеровы; B) все конечно по-
порожденные правые /?-модули конечно представимы;
C) все циклические правые /?-модули конечно пред-
представимы; D) все подмодули любого конечно порож-
порожденного правого ^-модуля конечно порождены;
E) предел прямого спектра инъективных правых
/?-модулей инъективен; F) любая прямая сумма инъ-
ектнвных правых /^-модулей инъективна; G) прямая
сумма любого множества экземпляров каждого из
инъективных правых /^-модулей инъективна; (8) лю-
любая прямая сумма инъективных правых /^-модулей
малоинъективна; (9) любая счетная прямая сумма
инъективных оболочек простых правых /^-модулей
инъективна; A0) каждый инъективный правый R-mo-
дуль разлагается в прямую сумму неразложимых под-
подмодулей; A1) существует такой кообразующий пра-
правый /^-модуль Q, что прямая сумма любого множества
экземпляров модуля Q инъективна; A2) существует
такая мощность ш, что каждый правый /^-модуль со-
содержится в прямой сумме ш порожденных модулей;
A8) существует такая мощность ш, что каждый инъек-
инъективный правый /?-модуль разлагается в прямую сумму
т-порожденных; A4) класс инъективных правых
/^-модулей описывается формулами узкого исчисления
предикатов на языке теории /^-модулей. Напомним,
что нётерово справа кольцо не обязано быть нётеро-
вым слева ([45], теоремы 6.5.1 и 6.6.4, с. 227; [90],
пп. 20.1, 20.3С, 20.3, 20.6, 20.7, 20.9, 20.19; [85], тео-
теорема 18; Е к 1 о f P., S a b b a g h G.//Ann. Math. Log. —
1971. —V. 2, N 3. —P. 251—295). Кольцо R оказы-
оказывается кольцом главных правых идеалов тогда и
только тогда, когда любой подмодуль свободного пра-
правого/^-модуля с базой {<?ь ..., <?„} порождается я эле-
элементами ([90], п. 10.22.2).
Если R — нётерово справа кольцо, г. gl. dim R <
< оо и все неразложимые проективные правые /?-мо-
Дули изоморфны между собой, то факторкольцо R/N,
Де N нильпотентный радикал, изоморфно кольцу
атриц над областью целостности. Более того,
с. • dim R ^ 2 тогда и только тогда, когда для любого
онечно порожденного правого /^-модуля М левый
-модуль HomR(M, R) проективен. Простое нётерово
17 Общая алгебра, т. 1
514 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
кольцо глобальной размерности 2 эквивалентно в
смысле Мориты простой нётеровой области. Однако
это не так, если глобальная размерность бесконечна
([16], п. 4.8). Если R полупервично, нётерово справа,
все конечно порожденные правые ^-модули имеют ко-
конечную проективную размерность и все конечно по-
порожденные проективные правые /?-модули стабильно
свободны, то R— область целостности ([16], п. 4.8;
[126], теорема 10.6; [233], теорема 37.4). Глобальной
размерности посвящена монография [228].
Кольцо R называется когерентным справа, если все
его конечно порожденные правые идеалы конечно
представимы. Правая когерентность кольца R равно-
равносильна каждому из следующих свойств: 1) каждый
конечно порожденный подмодуль любого проективного
правого ^-модуля конечно представим; 2) если Н—
конечно порожденный правый идеал кольца R, то пра-
правый идеал И : г = {s | s e R, rs e H) конечно порожден
для любого re/?; 3) прямое произведение любого
множества плоских левых ^-модулей — плоский левый
R-шоАулъ; 4) прямое произведение любого множества
экземпляров кольца R — плоский левый /?-модуль
([90], п. 11.34; [85], теорема 19).
Эквивалентны следующие свойства кольца Д
A) R артиново справа; B) каждый инъективный пра-
правый ^-модуль изоморфен прямой сумме инъективных
оболочек простых правых /^-модулей; C) каждое фак-
торкольцо кольца R содержит существенный артинов
правый идеал; D) каждый точный правый модуль
над любым факторкольцом кольца R конечно точен;
E) каждый квазиинъективный правый /?-модуль эн-
доконечен. ([45], теорема 6.6.4; [90], пп. 19.13А,
19.16А). Артиново справа кольцо может не быть ар-
тиновым слева. Эквивалентны следующие свойства
кольца R: A) каждый правый /?-модуль разлагается
в прямую сумму конечно представимых подмодулей;
B) R артиново справа, и существует лишь конечное
число попарно неизоморфных неразложимых правых
/^-модулей; C) все правые /?-модули Ко-категоричны
(Baur W.//J. Symbol. Log. — 1975. — V. 40, N 2,-
Р. 213—230). Если каждый правый /?-модуль разла-
разлагается [вкладывается] в прямую сумму конечно по-
порожденных модулей, то R оказывается артиновым
справа и каждый неразложимый инъективный правый
§ 4. МОДУЛИ 515
R модуль имеет конечную длину ([85], теорема 20;
[90], п. 20.17).
Кольцо R называется цокольным справа или полу-
артиновым справа, если каждый ненулевой правый
^-модуль имеет ненулевой правый цоколь. Следую-
Следующие свойства кольца R равносильны: A) цокольное
справа; B) если / — правый идеал кольца R, отлич-
отличный от R, то R/I содержит простой подмодуль;
C) каждый правый ^-модуль является модулем Лёви;
/4) R — правый /^-модуль Лёви. Эквивалентны также
следующие условия: A) каждый отличный от М под-
подмодуль любого правого /?-модуля М содержится в не-
некотором максимальном подмодуле; B) если N — от-
отличный от М подмодуль произвольного правого R-mo-
дуля М, то радикал фактор модул я M/N отличен от
M/N; C) каждый правый /^-модуль М обладает та-
таким убывающим рядом Лёви, что М(а) = 0 для неко-
некоторого а (см. [90], пп. 18.3, 22.10А, 22.32).
Говорят, что кольцо R имеет ограниченный [конеч-
[конечный] (правый) тип, если длины неразложимых пра-
правых ^-модулей ограничены в совокупности [суще-
[существует лишь конечное число попарно неизоморфных
неразложимых правых /^-модулей]. Артиново справа
кольцо ограниченного правого типа имеет конечный
тип ([76], гл. 7). Групповая алгебра конечной груп-
группы G над полем простой характеристики р имеет ко-
конечный тип тогда и только тогда, когда все силовские
р-подгруппы группы G цикличны ([76], с. 244). Са-
моинъективные алгебры конечного типа над алгебраи-
алгебраически замкнутыми полями рассматриваются в [270].
Кольцо R называется полусовершенным, справа,
если все циклические правые ^-модули обладают про-
проективным накрытием, или, что то же самое, если R
является полусовершенным правым /^-модулем. Вся-
Всякое полусовершенное справа кольцо оказывается по-
полусовершенным слева и наоборот. Эквивалентны сле-
следующие свойства кольца R: A) R полусовершенно
справа; B) все конечно порожденные правые R-mo-
Дули обладают проективным накрытием; C) фактор-
кольцо /?//, где / — радикал Джекобсона кольца R,
классически полупросто и для всякого идемпотента
е ^ R/J имеем ё = е + / для некоторого идемпотента
е е R; D) единица кольца R представляется в виде
сУммы попарно ортогональных неразложимых идемпо-
516 ГЛ Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
тентов; E) R разлагается в прямую сумму правых
[левых] идеалов, каждый из которых содержит в точ-
точности один максимальный подмодуль F) R— полуло-
полулокальное SBI-кольцо ([45], следствие 11.3.2; [90],
п. 22.13, 22.19; [47], теоремы 7.8 и 7.9). Поскольку
полусовершенное справа кольцо полусовершенно сле-
слева, то можно говорить просто о полусовершенных
кольцах. Если кольцо эндоморфизмов правого R-mo-
дуля М полусовершенно, то М разлагается в прямую
сумму неразложимых модулей ([47], теорема 8.7).
Если М — неприводимый правый модуль над полусо-
полусовершенным кольцом, то М изоморфен eR/eJ, где / —
радикал Джекобсона кольца R, причем eR оказы-
оказывается проективным накрытием модуля М (см. [90],
п. 22.23(а)).
Если R — полусовершенное кольцо с радикалом
Джекобсона / и 1 = е\ + ... + еп, где eL — попарно
ортогональные неразложимые идемпотенты, то при
подходящей нумерации каждый неразложимый идем-
потент кольца R изоморфен в точности одному из
идемпотентов еи ..., ег (см. п. 2.1). Если Р(е) — про-
проективное накрытие правого /^-модуля <?/, то
Р(е,)^(е,/г)'"® ... ®(erR)^r (/=1, ..., г),
где через Мг обозначена прямая сумма t экземпляров
модуля М, причем М° = 0. При этом числа tt, опреде-
определяются однозначно. Назовем колчаном кольца R ори-
ориентированный граф Г(./?), вершинами которого служат
идемпотенты в\, ..., ег, а стрелка <?;—>-<?, существует
в том и только том случае, когда tt, ф 0. Схема коль-
кольца R определяется аналогично, только в этом случае
считают, что из eL в е, идет в точности t4 стрелок.
Если R артиново справа, то T(R) содержит стрелку
е,—>-<?, тогда и только тогда, когда е]1е!Ф§. Полусо-
Полусовершенное кольцо и его базисное кольцо имеют изо-
изоморфные колчаны [схемы]. Нётерово справа и слева
полусовершенное кольцо (и, в частности, артиново
справа и слева кольцо) неразложимо в прямую сумму
двусторонних идеалов тогда и только тогда, когда
неориентированный граф, соответствующий колчану
этого кольца, связан ([47], теорема 10.7; [76], с. 128,
131). Дальнейшие результаты о колчанах и схемах
можно найти в [34], [47] и [76]. Основные резуль-
результаты теории представлений конечномерных алгебр, по-
« 4. модули 517
лученные в 70-е годы, кратко излагаются в [244].
При этом широко используются колчаны.
Всякий конечно представимый правый ^-модуль
обладает проективным накрытием тогда и только то-
тогда когда R полурегулярно (Nicholson W.//Canad.
j. Math.— 1976. — V. 28, N 5. —P. 1105—1120).
Кольцо R называется совершенным справа, если
оно удовлетворяет одному из следующих эквивалент-
эквивалентных между собой условий: A) каждый правый R-mo-
дуль обладает проективным накрытием; B) каждый
плоский правый ^-модуль проективен; C) R удовлет-
удовлетворяет условию минимальности для главных левых
идеалов (т. е. для любой последовательности Rai^
э/?й2Э^азЭ ..., где at<=R, для некоторого но-
номера п имеем Ran = Rctn+i = ■■■ ', D) каждый нену-
ненулевой левый ^-модуль имеет ненулевой цокаль и
левый /?-модуль R удовлетворяет условию минималь-
минимальности для прямых слагаемых (т. е. для любой последо-
последовательности L\ э Ьг э ... левых идеалов кольца R,
где R — Li(BL'i для подходящих левых идеалов L\,
имеем Ln = Ln + i = . . . для некоторого номера п); E) R
удовлетворяет условию минимальности для конечно
порожденных левых идеалов; F) каждый левый R-mo-
дуль удовлетворяет условию минимальности для ко-
конечно порожденных подмодулей; G) факторкольцо
R/J, где / — радикал Джекобсона кольца R, класси-
классически полупросто, а / Г-нильпотентен слева; (8) пря-
прямая сумма счетного множества правых /^-модулей R
полусовершенна; (9) R полусовершенно и радикал
Джекобсона каждого свободного правого ^-модуля
косуществен; A0) все плоские правые ^-модули ма-
лопроективны; A1) кольцо эндоморфизмов любого
проективного правого ^-модуля полурегулярно ([45],
§ П.6, Nicholson W.//Canad. J. Math. — 1976.—
V. 28, N 5.— P. 1105—1120). Совершенное справа
кольцо может не быть совершенным слева. Совершен-
Совершенное справа кольцо разлагается в прямую сумму про-
простых колец тогда и только тогда, когда оно полупер-
полупервично ([1], с. 281, теорема 5), а в прямую сумму тел
в том и только том случае, когда в нем нет нильпо-
тентных элементов ([1], с. 297—298, теорема 46).
Все проективные абелевы группы свободны. Сво-
Свободны и все проективные модули над локальными
кольцами ([90], п. 18.20). А. А. Суслин и Квиллен
518 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
независимо доказали, что все проективные модули над
кольцом многочленов Ф[#ь ..., хп], где Ф — поле,
свободны (С у ел и н А. А.//Докл. АН СССР.— 1976.—
Т. 229, № 5. —С. 1063—1066; [199]).
Для того чтобы все плоские правые ^-модули были
свободными, необходимо и достаточно, чтобы R было
локальным кольцом с Г-нилыютентным слева макси-
максимальным идеалом ([85], теорема 21). Для проектив-
проективности всякого циклического плоского правого R-mo-
дуля необходимо и достаточно, чтобы для любой це-
цепочки rxR £ r2R s ... , где r!+lr, = rl^R, нашелся
такой номер п, что rnR = rn+\R = ■■■ (см. [85], тео-
теорема 23).
Кольцо R называется наследственным [полуна-
[полунаследственным,] справа, если всякий [всякий конечно
порожденный] правый идеал кольца R проективен как
правый ^-модуль. Наследственная [полунаследствен-
[полунаследственная] коммутативная область целостности называется
дедекиндовым [прюферовым] кольцом. Эквивалентны
следующие свойства кольца R: A) R наследственно
справа; B) каждый подмодуль проективного правого
/?-модуля проективен; C) каждый фактормодуль инъ-
ективного правого ^-модуля инъективен. Правая по-
полунаследственность кольца R равносильна каждому из
следующих условий." 1) каждый конечно порожден-
порожденный подмодуль любого проективного правого ^-мо-
^-модуля проективен; 2) всякий левый подмодуль прямого
произведения любого множества экземпляров коль-
кольца R плоский; 3) прямое произведение любого множе-
множества экземпляров кольца R является плоским левым
R-модулем и Тог^(Л, В) = 0 для любых правого R-mo-
дуля А и левого ^-модуля В; 4) кольцо эндоморфиз-
эндоморфизмов любого свободного правого /^-модуля является
полунаследственным [риккартовым] слева; 5) кольцо
эндоморфизмов любого инъективного правого /?-мо-
дуля полунаследственно слева. Наследственное [по-
[полунаследственное] справа кольцо может не быть на-
наследственным [полунаследственным] слева ([44],
§§ 1.5, 1.6; [85], теорема 7, замечание 3; Len-
zing H.//Math. Z. — 1970. — Bd. 118, N 3. — S. 219—
240). Однако нётерово справа и слева наследственное
справа кольцо наследственно слева и разлагается в
прямую сумму первичных колец и колец, артиновых
справа ([47], теорема 11.4; [126], следствие 8.18, тео-
§ 4. МОДУЛИ 519
ема 8.22). Наследственность конечномерной алгеб-
пы R над полем равносильна проективности ее ра-
радикала Джекобсона, рассматриваемого как правый
/^-модуль ([34], с. 66, теорема 7.1).
Если F—свободный правый модуль над наслед-
наследственным справа кольцом R и последовательность
R® ...@R->F->M-*0
п
точна, то каждый подмодуль модуля М является пря-
прямой суммой некоторого конечного порожденного мо-
модуля и некоторого проективного модуля ([49], с. 225,
теорема 1.5). Все счетно порожденные правые [ле-
[левые] идеалы регулярного кольца оказываются проек-
проективными /^-модулями. В частности, всякое регулярное
кольцо полунаследственно ([85], теорема 3). Наслед-
Наследственным справа является и всякое полупервичное
кольцо главных правых идеалов. Если кольцо много-
многочленов R[x] полунаследственно справа или слева, то
R ~ регулярное кольцо (Р i 11 а у P.//Proc. Amer. Math.
Soc — 1980. — V. 78, N 4. — P. 473—474).
Кольцо R называется правым РР-кольцом, если
все главные правые идеалы кольца R проективны как
правые /^-модули, и риккартовым справа, если правый
аннулятор любого элемента из R является главным
правым идеалом, порожденным идемпотентом. Сле-
Следующие свойства кольца R эквивалентны: A) R—
правое РР-кольцо; B) R риккартово справа; C) все
циклические подмодули любого проективного правого
/^-модуля проективны. Риккартово справа кольцо не
обязано быть риккартовым слева ([85], теорема 10,
замечание 3). Нётерово и риккартово с обеих сторон
кольцо изоморфно прямой сумме первичных и арти-
новых с обеих сторон колец ([90], ч. 2, с. 49, упр. 15,
п. 20.30). Полупервичное риккартово справа кольцо,
не содержащее бесконечного множества попарно орто-
ортогональных идемпотентов, является прямой суммой
первичных колец ([126], предложение 8.23).
Все идеалы коммутативного кольца R оказываются
плоскими /^-модулями в том и только том случае,
когда R не содержит нильпотентных элементов, а ре-
решетка его идеалов дистрибутивна ([85], теорема 4).
Все [все конечно порожденные, все главные] пра-
правые идеалы кольца R являются свободными правыми
520 гл in кольца и модули
^-модулями тогда и только тогда, когда все [все ко-
конечно порожденные, все циклические] подмодули лю-
любого свободного правого /^-модуля свободны. Если все
главные правые идеалы кольца R свободны как пра-
правые ^-модули, то эквивалентны следующие свойства
кольца R: A) R не содержит делителей нуля; B) вся-
всякий правый [левый] делитель нуля из R является ле-
левым [правым] делителем нуля, C) если a, b e R и
ab = 3, то Ьа = 1 (т. е. R конечно по Дедекинду);
D) R не содержит идемпотентов, отличных от 0 и 3
([85], теоремы 33 и 13).
Кольцо R называется п-¥\-кольцом, если оно удов-
удовлетворяет одному (а значит, и всем) из следующих
эквивалентных друг другу свойств: A) любой правый
[левый] идеал кольца R, порождаемый п элементами,
является свободным правым [левым] /^-модулем с ин-
т
вариантным базисным числом; B) если ^ xlyl = 0,
где xlt yt e R и т^. п, то существует такая обратимая
А = (ач) над R, что для каждого /,
где 1^/^т, имеет место или 2j xkaki= 0 или
т
Л b.iyi, где F,,) —Л~~'; C) если т^п, F — свобод-
ный правый [левый] ^-модуль, G = R@ . .. © R и <р:
т
G -> F — гомоморфизм, то для подходящих гомомор-
гомоморфизмов i|> и % и натурального г^т оказывается ком-
коммутативной диаграмма
ф
Кег ф ■*- G >■ I m ф
где в нижней строке имеются в виду естественные вло-
вложение и проекция. Заметим, что l-FI-кольца — это
просто кольца без делителей нуля, а 2-Р1-кольца мо-
могут быть охарактеризованы как кольца без делителей
нуля, в которых сумма любых двух главных правых
[левых] идеалов, имеющих нулевое пересечение, яв-
является главным правым [левым] идеалом. Пересече-
-- > § 4 модули 521
ние любых двух главных правых [левых] идеалов лю-
любого 2-Р1-кольца является главным правым [левым]
идеалом. Кольцо, являющееся rt-FJ-кольцом для всех
натуральных п, называется полу-¥\-кольцом. Коль-
Кольцо R оказывается полу-Р1-кольцом в том и только том
случае, когда все конечно порожденные свободные
правые [левые] ^-модули обладают инвариантным
базисным числом, а все конечно порожденные правые
[левые] идеалы кольца R свободны как правые [ле-
[левые] R модули Всякое коммутативное 2-Р1-кольцо
является полу-Р1-кольцом. Правый модуль над полу-
FI-кольцом R оказывается плоским тогда и только то-
тогда, когда все его конечно порожденные подмодули
свободны ([49], §§ 1.1, 3.4, 3.5).
Кольцо R, все правые идеалы которого суть сво-
свободные правые ^-модули с инвариантным базисным
числом, называется кольцом свободных правых идеа-
идеалов или правым Fl-кольцом. Коммутативными FI-коль-
цами являются кольца главных идеалов и только они.
Каково бы ни было натуральное п, любая возра-
возрастающая цепочка Mi £ M2 s ... я-порожденных под-
подмодулей любого свободного правого модуля над пра-
правым FI-кольцом R обрывается (т. е. Мг = Мг+1 = ...
для некоторого г). Если R является правым и левым
FI-кольцом одновременно, то всякий элемент из R
либо обратим, либо представляется в виде произведе-
произведения элементов, не представимых в виде произведения
двух необратимых элементов ([49], § 3.2).
Кольцо R, инъективное как правый ^-модуль, на-
называется самоинъективным справа. Для правой само-
инъективности кольца R необходимо и достаточно,
чтобы каждый точный эндоконечный [точный эндоко-
нечный инъективный] правый ^-модуль был образую-
образующим правым ^-модулем ([90], п, 19.20). Если R само-
инъективно справа и /—его радикал Джекобсона, то
•^ = sing /? и R/J самоинъективно справа и регулярно
([90], п. 19.28). Если радикал Джекобсона самоинъ-
ективного справа кольца R равен нулю, то R оказы-
оказывается непрерывным сверху регулярным кольцом
([85], теорема 14). Если R является как правым, так
и левым кообразующим /^-модулем, то R самоинъек-
самоинъективно справа и слева ([90], п. 24 33(с)). Если R полу-
Примарно и является кообразующим правым R
лем, то R самоинъективно справа ([90], п. 24.10).
522 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
Кольцо R называется правым Ql-кольцом, если
всякий квазиинъективный правый ^-модуль инъекти-
инъективен. Всякое такое кольцо нётерово справа. Кольцо R
оказывается QI-кольцом тогда и только тогда, когда
прямая сумма любых двух квазиинъективных правых
/^-модулей квазиинъективна ([90], п. 20.4В).
Артиново справа кольцо называется квазифробе-
ниусовым или QY-кольцом, если l(r(L)) = L для лю-
любого его левого идеала L и г (/(#)) = H для любого
его правого идеала Н, где обозначено: г (L)=Annr(L),
1{Н) = Ann/ (Я). Конечномерная алгебра R над по-
полем Ф оказывается квазифробениусовой тогда и
только тогда, когда каждое неприводимое прямое сла-
слагаемое правого ^-модуля Hom<j>{./?, P) изоморфно не-
некоторому минимальному правому идеалу алгебры R.
Эквивалентны следующие свойства кольца R: A) R
квазифробениусово; B) отображение Мь-»М" =
= Нотл (М, R) определяет двойственность категорий
левых и правых конечно порожденных ^-модулей;
C) R артиново справа и слева и модули М* оказы-
оказываются простыми для любых простых ^-модулей М
как правых, так и левых; D) R артиново справа и
слева, правый и левый цоколи кольца R совпадают
и для любого примитивного идемпотента е кольца R
цоколи модулей eR и Re просты, E) R самоинъектив-
но слева или справа и артиново [нётерово] слева или
справа; F) R самоинъективно слева или справа и
удовлетворяет условию максимальности для левых
или правых аннуляторных идеалов; G) R нётерово
слева, г (/(//)) = // для каждого его правого идеала И
и r{L\ П L2) =r(Li)-\- r(L2) для любых его левых идеа-
идеалов L\ и /2; (8) R нётерово справа, l(r(L))— L для
каждого его левого идеала L и t(H1f\H2) = t(Ht)-i-
-j- /(//2) для любых его правых идеалов Н\ и //г;
(9) каждый инъективный правый [левый] ^-модуль
проективен; A0) каждый проективный правый [ле-
[левый] ^-модуль инъективен; A1) каждый плоский пра-
правый [левый] ^-модуль инъективен; A2) R самоинъек-
самоинъективно справа и слева и каждый его правый [левый]
идеал является правым [левым] аннулятором некото-
некоторого конечного множества элементов из R; A3) R со-
совершенно справа [слева] и каждый конечно порож-
порожденный левый [правый] ^-модуль вкладывается в
проективный /?-модуль; A4) R когерентно и совер-
§ 4 МОДУЛИ 523
Шенно справа [слева] и Ext# (М, /?) = 0 при любом
г ;> 1 для всех конечно представимых левых [пра-
[правых] ^-модулей М; A5) R удовлетворяет условию
максимальности для правых [левых] аннуляторных
идеалов и Ext# (М, R) = 0 при любом п > 1 для всех
конечно представимых правых [левых] ^-модулей М;
A6) R артиново справа и является инъективным ко-
образующим правым [левым] ^-модулем; A7) R ар-
артиново слева и справа, а каждый простой правый [ле-
[левый ] ^-модуль рефлексивен; A8) R артиново слева
и справа, радикал Джекобсона кольца R является
как правым, так и левым аннуляторным идеалом и
каждый из минимальных левых и правых идеалов
кольца R является левым и правым аннуляторным
идеалом соответственно; A9) кольцо эндоморфизмов
каждого свободного правого [левого] ^-модуля само-
инъективно справа; B1) конечно порожденные одно-
односторонние идеалы кольца эндоморфизмов любого про-
проективного образующего [инъективного кообразующе-
го] правого ^-модуля являются правыми или левыми
аннуляторными идеалами соответственно ([45], гл. 13;
[90], гл. 24; Гем интерн В. И.//Мат. заметки.—
1969. —Т. 6, № 5. —С. 533—540; Бродский Г. М.//
Мат. заметки.—1973.— Т. 14, № 4. — С. 527—534;
1974, 16, № 6, 933—942).
Каждый точный правый модуль над QF-кольцом
является образующим. Образующим оказывается и
каждый точный конечно порожденный проективный
модуль над QF-кольцом. Кольцо эндоморфизмов та-
такого модуля оказывается квазифробениусовым. Инъ-
ективные модули над QF-кольцом разлагаются в пря-
прямую сумму циклических подмодулей. Для коммутатив-
коммутативных колец верно и обратное. Глобальная размерность
QF-кольца, не являющегося классически полупростым,
бесконечна. Групповое кольцо RG оказывается квази-
квазифробениусовым тогда и только тогда, когда G — ко-
конечная группа, a R — квазифробениусово кольцо (цит.
выше). Всякое счетное самоинъективное справа коль-
Цо квазифробениусово (Lawrence J.//Proc. Amer.
Math. Soc. — 1977. —V. 65, N 2. — P. 217—220).
Равносильны следующие свойства кольца R: A) все
факторкольца кольца R квазифробениусовы; B) все
факторкольца 5 кольца R являются правыми [левы-
524 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ми] кообразующими 5-модулями; C) R совершенно
справа [слева] и все его факторкольца самоинъек-
тивны; D) R артиново справа и слева кольцо глав-
главных правых и главных левых идеалов (Койф-
ман Л. А.//Весник Моск. ун-та. Сер. мат.-мех.—
1971.—№ 5.—С. 7—И; Goursaud J. M.//C. r.Acacb
Sci. — 1970. —V. 270, N 6. — Р. 364—367; Ful-
Fuller К. R.//Math. Z.— 1968. —Bd 106, N 4. —S. 248—
260; [34], с. 168, теорема 4.1).
Квазифробениусово кольцо R называется фробе-
ниусовым, если правые или, что равносильно, левые
цоколи колец R и R/J, где / — радикал Джекобсона,
изоморфны как ^-модули. Конечномерная алгебра R
над полем Ф оказывается фробениусовой тогда и
только тогда, когда R и НоШф(^, Ф) изоморфны как
правые [левые] ^-модули ([45], §§ 13.4, 13.5). Базис-
Базисная алгебра конечномерной квазифробениусовой ал-
алгебры над полем фробениусова ([34], с. 164, теоре-
теорема 3.2).
Кольцо R называется псевдофробениусовым справа
или правым PF-кольцом, если R — инъективный кооб-
разующий правый ^-модуль. Равносильны следующие
свойства кольца R: A) R псевдофробениусово;
B) каждый точный правый ^-модуль является обра-
образующим; C) R — кообразующий правый ^-модуль, и
существует лишь конечное число попарно неизоморф-
неизоморфных простых правых ^-модулей; D) R —правый кооб-
кообразующий ^-модуль и каждый простой правый ^-мо-
^-модуль изоморфен некоторому минимальному правому
идеалу кольца R; E) каждый кообразующий правый
^-модуль является образующим; F) R — инъективный
конечно копорожденный правый ^-модуль; G) R —
инъективный полусовершенный правый ^-модуль с су-
существенным цоколем; (8) R — самоинъективное спра-
справа полулокальное кольцо, каждый ненулевой правый
идеал которого содержит минимальный правый идеал;
(9) R полулокально и каждый точный правый ^-мо-
^-модуль является кообразующим; A0) R самоинъективно
справа и левый аннулятор любого максимального
правого идеала кольца R отличен от нуля; A1) суще-
существует точный правый ^-модуль, вкладывающийся в
любой точный правый ^-модуль в качестве прямого
слагаемого (такие кольца названы правыми QF-3-коль-
цами) и r(L)^=0 для любого отличного от R левого
§ 4. модули 525
мпеала L кольца R (см. [45], теорема 12.5.2; [90],
п 24 32- Osofsky В. L.//J. Algebra. — 1966. — V. 4.—
р 373—387; 1968. —V. 8. — Р. 41—44; Utumi Y.//
Т Algebra.— 1967.— N. 1.— Р. 56—64; Azumaya G.//
Naeoya Math. J. — 1966. — V. 27, N 2. — P. 697—708;
Sugano A.//Osaka J. Math. — 1967. — V. 4, N 1.—
p !%7 160; Kato T.//T6hoku Math. J.— 1967.—V. 19,
N4 — P. 485—495; Proc. Japan Acad. — 1968.— V. 44,
N 3—P. 114—119; Rutter E. A.//Arch. Math.—
!969._V. 19, N 6. —P. 608—610). Правое PF-кольцо
может не быть левым PF-кольцом (Л> i s с h i п g e r F.,
Muller W.//Commun Algebra.— 1986.— V. 14, N 7.—
p. 1223—1227).
Кольцо R называется правым FPF-кольцом, если
каждый конечно порожденный точный правый ^-мо-
^-модуль является образующим. Коммутативное кольцо
оказывается FPF-кольцом в том и только том случае,
когда оно полунаследственно, а его кольцо частных
самоинъективно. Подробнее см. [144].
Квазифробениусовым кольцам и их обобщениям
посвящена монография [259].
Для того чтобы кольцо R было кообразующим пра-
правым ^-модулем, необходимо и достаточно, чтобы все
конечно порожденные односторонние идеалы кольца
эндоморфизмов любого свободного правого ^-модуля
являлись аннуляторными (Бродский Г. М.//Мат.
заметки.—1973.— Т. 14, № 4. — С. 527—534; 1974. —
Т. 16, № 6. —С. 933—942).
Под правым SP-кольцом или кольцом с правым
сингулярным расщеплением понимается такое коль-
кольцо R, что сингулярный подмодуль выделяется прямым
слагаемым в любом правом ^-модуле. Обзор относя-
относящихся к этим кольцам результатов дан в [261].
Элемент г кольца R называется тотальным, если
выполнено любое из следующих эквивалентных между
собой условий: A) умножение справа [слева] на г
принадлежит Tot (RR, RR) [Tot (RR, RR) ]; B) если 0=
— e = e e R и s e R, то e = sre \еф rse]; C) если
s <=; R и (srJ = sr, то sr = 0 [rs = 0]. Кольцо R на-
называется тотальным, если тотальность элементов
r, s e R влечет тотальность их суммы r-j-s. О тоталь-
тотальных кольцах см. [250], гл. VI.
Отметим некоторые результаты, касающиеся ха-
Рактеризации колец свойствами кручений над ними:
526 гл. ш. кольца и модули
1) все кручения категории правых ^-модулей триви-
тривиальны тогда и только тогда, когда R изоморфно
кольцу Мп(Т), где Т — артиново справа кольцо с един-
единственным максимальным правым идеалом; 2) все кру-
кручения категории правых ^-модулей конаследственны
в том и только том случае, когда R изоморфно конеч-
конечной прямой сумме совершенных слева колец, над каж-
каждым из которых все неприводимые правые модули изо-
изоморфны друг другу; 3) следующие свойства кольца R
эквивалентны: A) R полуартиново справа; B) R по-
лунётерово справа и его размерность Габриэля равна
0; C) радикал Джекобсона / кольца R f-нильпотен-
тен слева, a R/J полуартиново справа; D) полупро-
полупростое кручение в категории правых ^-модулей кона-
следственно; E) полупростое кручение в категории
правых ^-модулей стабильно и джансово; 4) если
R — нётерово справа кольцо, то следующие условия
эквивалентны: A) всякий ненулевой первичный пра-
правый идеал содержит ненулевой двусторонний идеал;
B) любой конечно порожденный правый ^-модуль ко-
конечно копорожден; C) любое кручение в категории
правых ^-модулей симметрично (т. е. каждый нену-
ненулевой правый идеал из соответствующего радикаль-
радикального фильтра содержит ненулевой идеал, также при-
принадлежащий этому радикальному фильтру). Подроб-
Подробнее см. [158], ч. VII.
Выше приводились результаты, характеризующие
те или иные свойства колец теоретико-модельными
свойствами модулей над ними. Известны также описа-
описания колец, проективные или плоские модули над кото-
которыми определяются формулами узкого исчисления
предикатов. Эти вопросы освещены в монографии
[238].
Отметим еще, что любой правый модуль над
счётным кольцом R оказывается No-категоричным в
том и только том случае, когда каждый правый и
каждый левый ^-модуль разлагается в прямую сумму
конечно представимых (Baur W.//J. Symb. Log.—
1975. —V. 40, N 2.— P. 213—230).
Пусть М — правый или левый ^-модуль и М* =
= HomR(M, R). Если X и S — подмодули модулей М
и М* соответственно, то положим
ли. Хт = {f\fe=M\ f (х) = 0 для всех х е= X}
§ 4. МОДУЛИ 527
2х = {а|аеЛ1, / (а) = 0 для всех /gS},
Кольцо ./? называется кольцом с полной дуальностью,
если для любого подмодуля А произвольного /?-мо-
дуля М (левого или правого) справедливо равенство
<дт\± = А. Следующие свойства кольца R эквивалент-
эквивалентны: A) R—кольцо с полной дуальностью; B) каж-
каждый конечно порожденный ^-модуль (как правый, так
и левый) рефлексивен; C) всякий циклический ^-мо-
^-модуль (как правый, так и левый) рефлексивен; D) каж-
каждый конечно копорожденный R-молулъ (как правый,
так и левый) рефлексивен; E) R— правый и левый
кообразующий ^-модуль; F) R самоинъективно спра-
справа и является левым кообразующим ./^-модулем; G) R
самоинъективно слева и является правым кообразую-
кообразующим R модулем; (8) R самоинъективно справа и сле-
слева, а каждый как п-равый, так и левый простой ^-мо-
^-модуль изоморфен минимальному правому или левому
идеалу кольца R соответственно ([45], теорема 12.1.1).
Кольцо R, являющееся правым полуцепным ^-мо-
^-модулем, называется полуцепным справа. Артиново
справа полуцепное справа кольцо называется обоб-
обобщенно однорядным справа. Кольцо, обобщенно одно-
однорядное справа и слева, называется обобщенно одно-
однорядным или рядным. Эквивалентны следующие свой-
свойства кольца R: A) R обобщенно однорядное; B) все
правые [левые] ^-модули полуцепные; C) каждый
правый [левый] ^-модуль разлагается в прямую сум-
сумму конечно порожденных цепных подмодулей; D) R
артиново справа [слева] и все правые [левые] ко-
конечно порожденные ^-модули полуцепные ([90],
п. 25.4.2; Скорняков Л. А.//Мат. заметки.—
1969. —№ 2.— С. 173—182; см. также Eisenbud D.,
Griffith P.//Pacif. J. Math. — 1971. —V. 36, N 1.—
P- 109—121). Если R — конечномерная алгебра над
полем, то к этому списку могут быть присоединены:
F) всякий неразложимый правый [левый] ^-модуль
изоморфен фактормодулю главного неразложимого
правого [левого] ^-модуля; G) всякий неразложимый
правый [левый] ^-модуль М является проективным
правым [левым] (R/Ann M) -модулем; (8) всякий не-
неразложимый правый [левый] ^-модуль М является
инъективным правым [левым] {R/Ann M)-модулем;
528 ГЛ. Ill КОЛЬЦА И МОДУЛИ
(9) для любого двустороннего идеала / алгебры R су-
существует ненулевой правый [левый] ^//-модуль, яв-
являющийся проективным и инъективным одновременно
([34], с. 172—173, теорема 1.1). Самобазисная конеч-
конечномерная алгебра над полем оказывается обобщенно
однорядной тогда и только тогда, когда ее радикал
является главным левым и главным правым идеалом
([34], с. 182, теорема 3.3).
Для полусовершенного кольца R равносильны сле-
следующие свойства: A) R полуцепное справа и слева;
B) каждый конечно представимый правый [левый]
^-модуль разлагается в прямую сумму локально пред-
ставимых подмодулей; C) каждый конечно предста-
представимый правый [левый] ^-модуль является полуцеп-
полуцепным ([90], п. 25.2.6). Полуцепным справа и слева ока-
оказывается всякое полусовершенное наследственное
справа полупервичное нетерово справа и слева кольцо
([47], теорема 11.8). Нетерово справа и слева полу-
полуцепное справа и слева кольцо изоморфно прямой
сумме артиновых и наследственных первичных колец
([90], п. 25.3.6). Нетерово справа кольцо оказывается
полуцепным справа тогда и только тогда, когда все
конечно порожденные правые ^-модули полуцепные.
Такие кольца представляются как прямые суммы об-
обобщенно однорядных колец, полусовершенных наслед-
наследственных первичных колец и колец, эквивалентных в
смысле Мориты факторкольцам колец матриц специ-
специального вида над цепными кольцами (Киричен-
(Кириченко В. В.//Ин-т мат. АН УССР. Препринт ИМ-75-1.—
Киев, 1975. —57 с; Докл. АН УССР. — 1976.— № 1,—
С. 9—12). Все конечно порожденные модули над
коммутативным кольцом R оказываются полуцепными
(такое кольцо часто называют кольцом Кёте) тогда
и только тогда, когда оно представляется в виде пря-
прямой суммы линейно компактных цепных колец, почти
максимальных областей Безу (кольцом Безу называ-
называется коммутативное кольцо, в котором сумма любых
двух главных идеалов является главным идеалом, а
почти максимальность означает, что факторкольцо по
любому идеалу, отличному от всего кольца, линейно
компактно) и факельных колец. Последние опреде-
определяются следующими свойствами: 1) /? не локально;
2) существует наименьший простой идеал Р обладаю-
обладающий следующими свойствами: а) Р—ненулевой цеп-
§ 4. модули 529
ной ^-модуль; б) каждый ненулевой элемент фактор-
кольца R/P принадлежит лишь конечному множеству
максимальных идеалов, а каждый его ненулевой про-
простой идеал содержится лишь в одном максимальном
идеале; в) локализация RP является почти максималь-
максимальным кольцом Безу (см. [118]).
Левая дистрибутивность кольца равносильна тому,
что все его инъективные неразложимые левые модули
являются цепными правыми модулями над своими
кольцами эндоморфизмов. Левая дистрибутивность
инвариантного справа и слева полупервичного кольца
равносильна тому, что все его идеалы являются пло-
плоскими. Все левые [правые] идеалы дистрибутивного
справа и слева полупервичного кольца, целого над
своим центром, являются плоскими. Описаны кольца,
над которыми каждый модуль разлагается в прямую
сумму дистрибутивных модулей ([9], п. 2.6; [65], § 13).
Пусть Л — алгебра над коммутативным кольцомФ.
Положим Ае = А° ®фЛ, где А° — алгебра, инверсная
алгебре А, и превратим Ае в Ф-алгебру, положив
(*' ® /) (*" О /') = х"х' ® у'у"
и
Я (х' <g> у') = kxr <8> у'
для любых х', х", у', у" е А и А, е Ф. Алгебра Ае на-
называется обертывающей алгеброй алгебры А. Алгеб-
Алгебра А становится правым Ле-модулем, если положить
а{х® у) = хау для любых а, х, у ^ А. Гомоморфизм
р: Ае-*-А правых Ле-модулей, где р(х ® у) = ху для
любых х, у^А, называется пополняющим отображе-
отображением, алгебры Л. Алгебра А называется сепарабельной,
если правый Лв-модуль А проективен. Эквивалентны
следующие свойства алгебры А: A) А сепара-
бельна; B) точная последовательность правых Ле-мо-
Дулей 0-vKerp-v Л e-v Л-v 0 расщепляется; C) суще-
m
ствует такой элементе = £ (е[ ® е") е Ае, что р (е)=
m m
= 1 и Yj e[ae" = ^е'ге"а для любого а е Л. Сепара-
бельная алгебра, являющаяся проективным Ф-моду-
лем, оказывается конечно порожденным Ф-модулем.
Если ф — поле, то любая сепарабельная Ф-алгебра
классически полупроста. В этом случае для сепара-
18 Общчя атгебра, т 1
530 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
бельности ф-алгебры А необходимо и достаточно,
чтобы она была конечномерной и для любого расши-
расширения ф' поля ф была классически полупростой Ф-ал-
Ф-алгебра Ф'®ФЛ (см. [76], гл. 10).
Центральная сепарабельная Ф-алгебра называется
алгеброй Адзумаи. Следующие свойства алгебры А,
являющейся конечно порожденным Ф-модулем, экви-
эквивалентны: A) А-—алгебра Адзумаи; B) А—проек-
А—проективный Ф-модуль и<р: А ®Ч(Л) А -> End,,M) А, где ф(а®
® b) (r) = arb, — изоморфизм; C) для любого макси-
максимального идеала m кольца Ф факторалгебра фЛ/тЛ —
центральная простая алгебра над полем Ф/m. Любая
алгебра Адзумаи оказывается и PI-кольцом, а любая
центральная простая алгебра — алгеброй Адзумаи.
Если А — коммутативная алгебра Адзумаи,то Мп(А) —
тоже алгебра Адзумаи. Если А —алгебра Адзумаи, то
эквивалентны следующие условия: A) А удовлетво-
удовлетворяет условию максимальности для двусторонних идеа-
идеалов; B) А нётерово слева и справа; C) кольцо З(^)
нётерово. Алгебры Адзумаи подробно рассматривают-
рассматриваются в монографии [137]. См. также [208].
Скажем, что кольца R и S эквивалентны в смысле
Мориты или подобны, если эквивалентны категории
правых R- и S-модулей, что равносильно эквивалент-
эквивалентности категорий левых R- и S-модулей. Кольцо R эк-
эквивалентно в смысле Мориты кольцу S в том и только
том случае, когда существует такой конечно порож-
порожденный проективный правый [левый] ^-модуль W,
что EndRW ~S. При этом каждому левому ^-мо-
^-модулю М ставится в соответствие левый 5-модуль
HomR(W, M), причем в качестве умножения в EndRW
принимается • (см. п.. 1.1.4), a sf, где s: W-*-W и
f: W-*-W, — произведение гомоморфизмов. Для пра-
правого ^-модуля М нужно в качестве умножения в
EndRW принять о, а в качестве произведения fs —
композицию fos. Далее, заметим, что Ends W* c^ R,
где W* = HomR{W, R), и что для любой правый [ле-
[левый] ^-модуль М изоморфен Homs{W*, Hom#(W, M)).
Поэтому каждому правому [левому] S-модулю М'
можно поставить в соответствие /^-модуль Woms(W*,
М'). Каждое кольцо эквивалентно в смысле Мориты
кольцу матриц над ним, а каждое полусовершенное
справа кольцо — своему базисному кольцу. Решетки
двусторонних идеалов колец, эквивалентных в смысле
§ 4. МОДУЛИ 531
Мориты, изоморфны. Для эквивалентности колец R
и R' в смысле Мориты достаточно, чтобы существо-
существовали проективный образующий правый ^-модуль W
и проективный образующий правый ^'-модуль W та-
такие, что кольца En&RW и End^, W изоморфны ([87],
6 VIH- 2, предложение 3 и 5; [90], пп. 4.29, 4.30, 4.36,
18.24; В о 11 а М. L.//J. Algebra. — 1984. — V. 87, N 1.—
р. 261—281). Заметим еще, что из эквивалентности
категорий аффинных R- и S-модулей вытекает изо-
изоморфизм колец R и S (Жожикашвили А. В.//
Мат. заметки. — 1978.— Т. 24, № 4. — С. 475—486).
Если U есть ^-S-бимодуль, Х — левый ^-модуль
и Y—правый S-модуль, то абелевы группы Х*ц =
= Hom/;(X, U) и Y*u = Homs(Y, U) можно рассматри-
рассматривать как правый S- и левый ^-модуль соответственно
(см. п. 3.1). При этом отображение Ф^: М-> М** =
= (M'vyut где Ф^ (х) (f) = f (х) для любых х е М и / е
е M'jj, оказывается гомоморфизмом левых ^-модулей,
если М — левый ^-модуль, и правых S-модулей, если
М — правый S-модуль. Если Ф^ оказывается изомор-
изоморфизмом, то модуль М называется £/-рефлексивным.
Если U-—инъективный кообразующий левый ^-мо-
^-модуль и инъективный кообразующий правый S-модуль,
R — £/-рефлексивный левый ^-модуль и 5 — £/-рефлек-
сивный правый S-модуль, то U называется контекстом
двойственности для R и S. Если такой контекст двой-
двойственности существует, то R и S оказываются полусо-
полусовершенными кольцами. При этом отображения, ставя-
ставящие в соответствие каждому ^/-рефлексивному левому
^-модулю X правый S-модуль Х*ц, а каждому U-реф-
лексивному правому S-модулю Y левый ^-модуль
Уц, осуществляют двойственность между категорией
^-рефлексивных левых ^-модулей и категорией tZ-реф-
лексивных правых S-модулей. Если кольцо R артиново
слева, то эквивалентны следующие свойства R-S-би-
модуля U: A) U — контекст двойственности для R и
5; B) кольцо S артиново справа, все конечно порож-
порожденные левые ^-модули и все конечно порожденные
правые S-модули ^/-рефлексивны; C) соответствия
X >—^ Х*ц и F 1—>Y*U, где X — конечно порожденные
левые ^-модули, a Y—конечно порожденные правые
■S-модул и, осуществляют двойственность между кате-
532 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
горией конечно порожденных левых ./^-модулей и ка-
категорией конечно порожденных правых 5-модулей.
Эта двойственность называется двойственностью Мо-
риты ([90], пп. 23.16, 23.18, 23.25).
С теми или иными аспектами двойственности для
модулей связаны работы [169], [194], [195], [218],
[275], [276].
Если М — правый ./^-модуль, то условимся обозна-
обозначать через &(М) решетку его подмодулей. Зафикси-
Зафиксируем правый ./^-модуль U и положим 5 = End# U.
Рассмотрим треугольную диаграмму
* ^ 2(Нотn(M,U))
где
Q (А) = {ф | ф <= Нотл (U, М), 1т<р£Л},
/C)=£ 1т ф,
N (А) = {ф | ф е Нотл (М, U), A s Ker ф},
К (Q) = П Кег ф,
■фей
й(Е) = {'ф|'феНот/г(М, U), 1|>ф = 0 для всех qieS},
SJ(Q) = {ф|ф eHorri/j (t/, 7И), 1рф:=0 для всех tfeQ}.
Отображения / и Q оказываются изоморфизмами ре-
решеток в том и только том случае, когда О удовлетво-
удовлетворяет следующим условиям: 1) если X — подмодуль
модуля М и фактормодуль модуля U, то X конечно
порожден; 2) каждый подмодуль модуля М изомор-
изоморфен фактормодулю прямой суммы некоторого множе-
множества экземпляров модуля U; 3) если X — подмодуль
модуля М, л: U-+X — эпиморфизм и <р: Un-*-X — го-
гомоморфизм, то ф = iJot для подходящего if: LJn-^-U:
§ 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 533
Для того чтобы отображения ;V и К были антиизо-
антиизоморфизмами решеток, необходимо и достаточно вы-
выполнение следующих требований: 1) если X — фактор-
модуль модуля М и подмодуль модуля U, то X конеч-
конечно копорожден, 2) каждый фактормодуль модуля М
изоморфен подмодулю прямого произведения некото-
некоторого множества экземпляров модуля U; 3) если Y —
фактормодуль модуля М, е. Y-*U—мономорфизм и
ф_ гомоморфизм, то ф=еф для подходящего ф:
О
4) если X — подмодуль модуля М и {Xt\i^%} —
направленное вниз множество подмодулей модуля М,
то П (X + Xt) = X+ fj Xi. Эти результаты имеют
многочисленные следствия (Бродский Г. у
Моск. мат. об-ва.—1983. — Т. 46. — С. 164—186).
§ 5. Кольца и модули с дополнительной структурой
5.1. Топологические кольца и модули. Кольцо /?
называется топологическим кольцом, если R является
хаусдорфоным топологическим пространством и опе-
операции а-\-Ь, аЬ и —а непрерывны по совокупности
своих аргументов Другими словами, для любой
окрестности W элемента а + b [ab] найдутся такие
окрестности U и V элементов а и b соответственно,
что u + vf=W [uv «= W] для любых uef/ивеК,
а для любой окрестности W элемента —а найдется
такая окрестность U элемента а, что —и е W для
всех и <= U.
Требование хаусдорфности часто не включается в
определение топологического кольца, а кольцо, топо-
топологическое в смысле только что данного определения,
называется отделимым или хаусдорфовым (см. [3J,
Мримерами топологических колец служат поля действитель-
ых и комплексных чисел с обычной топологией, а также кольца
атриц над ними, где в качестве окрестностей матрицы А = (ач)
534 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
рассматриваются множества U = {X = {хч)\\а,, — х,,\ <е для
всех i, /}, где 8 пробегает все действительные числа. Другие
примеры можно найти в п. 5.2
Гомоморфизм ф топологического кольца •/? в топо-
топологическое кольцо R' называется топологическим пли
непрерывным, если ф — непрерывное отображение то-
топологического пространства R в топологическое про-
пространство R'. Изоморфизм ф топологического кольца R
на топологическое кольцо R' называется топологиче-
топологическим, если ф — гомеоморфизм топологических про-
пространств R и R'. Ядрами топологических гомоморфиз-
гомоморфизмов топологического кольца R в те или иные тополо-
топологические кольца служат его замкнутые двусторонние
идеалы. Наоборот, имея замкнутый двусторонний
идеал / в топологическом кольце R можно превратить
факторкольцо R/I в топологическое кольцо, считая
открытыми все множества {и-\- /|«е Щ, где U—от-
U—открытое множество из R. При этом естественный гомо-
гомоморфизм я: R-+-R/I оказывается топологическим и
открытым (последнее означает, что образ открытого
множества открыт). Если идеал / не замкнут, то опре-
определенная таким образом топология на R/I не будет
хаусдорфовой. Имеет место и теорема о гомоморфиз-
гомоморфизме: если ф — открытый топологический гомоморфизм
кольца R на кольцо R', то существует такой тополо-
топологический изоморфизм % кольца R' на топологическое
факторкольцо ^/Кегф, что ф% = я, где я— естествен-
естественный гомоморфизм R на R/I.
Напомним, что система S окрестностей элементах
топологического пространства называется базой ок-
окрестностей элемента х, если каждая окрестность этого
элемента содержит некоторую окрестность из Б. Если
So—база окрестностей нуля топологического кольца R,
то So обладает следующими свойствами: 1) fj U =
= {0}; 2) если U, V е= 20, то W <= V П V для некоторого
W е 20; 3) если t/ e So, то К -f К Е f/ для некоторого
V е 20; 4) если U е So, то -7sC/ для некоторого
V е 20; 5) если U e Sq, то для некоторого V е 20
имеет место xy^U для любых х, y^V; 6) если
aei? и f/ e So, то для некоторого КеЕ0 имеет
место aK U Va s £/.
Наоборот, если в кольце i? выделена система под-
подмножеств So, обладающая свойствами 1)—5), то на
!» 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 535
множестве R существует одна и только одна тополо-
топология, превращающая R в топологическое кольцо и
имеющая систему 20 базой окрестностей нуля. При
этом для каждого aei? система
служит базой окрестностей элемента а, а замыкание
любого подмножества X ^ R совпадает с пересече-
пересечением П (X + U).
Каждое топологическое кольцо R обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из симметрических от-
открытых [замкнутых] подмножеств (подмножество U
называется симметрическим, если U =—U). Каждый
элемент из R обладает базой окрестностей, состоящей
из открытых [замкнутых] множеств. Всякая открытая
подгруппа аддитивной группы кольца R замкнута.
Факторкольцо кольца R по любому его открытому и
двустороннему идеалу дискретно. Связная компонента
нуля кольца R является его двусторонним идеалом,
факторкольцо по которому вполне несвязно. Локально
компактное вполне несвязное топологическое кольцо
обладает базой окрестностей нуля, состоящей из от-
открытых подколец, а компактное — из открытых ком-
компактных двусторонних идеалов. Компактное топологи-
топологическое кольцо с единицей всегда вполне несвязно
([3], §§ 1.2, 1.4—1.6; [78], §§ 19, 20, 25).
Замыкание подкольца, левого, правого или двусто-
двустороннего идеала топологического кольца является под-
кольцом, левым, правым или двусторонним идеалом
соответственно. При этом, если подкольцо коммута-
коммутативно, то коммутативно и его замыкание. Существуют
непростые топологические кольца, не содержащие не-
нетривиальных замкнутых идеалов. Центр топологиче-
топологического кольца замкнут, а связная компонента нуля
оказывается замкнутым двусторонним идеалом ([3],
предложение 1.4.7, следствие 1.4.9, предложение 1.4.38,
пример 1.4.17, предложение 1.4.39, следствие 1.4.23).
Если А и В — подмножества топологического коль-
Ца Я, то произведение замыканий этих множеств ле-
лежит в замыкании их произведения. Если эти множе-
множества компактны, то компактно и их произведение,
если а — обратимый элемент топологического коль-
Ца R, то эквивалентны условия: (а) U — окрестность
536 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
элемента хе/?; (б) Ua— окрестность элемента ха;
(в) aU — окрестность элемента ах. Эквивалентны
также условия: (а') В — открытое [замкнутое] под-
подмножество в R; (б') аВ — открытое [замкнутое] под-
подмножество в R; (в') Ва — открытое [замкнутое] под-
подмножество в R ([3], следствия 1.1.43, 1.1.45 и 1.1.47).
Если 0 фА s R, то множества
{y\ij^R и ху = 0 для всех х е А}
и
{y\y^R и г/х = О для всех х е Л}
оказываются замкнутыми правым и левым идеалами
кольца R соответственно. Недискретное топологиче-
топологическое кольцо без делителей нуля не содержит дискрет-
дискретных односторонних идеалов ([3], следствия 1.4.31 и
1.4.33).
Подмножество М топологического кольца R назы-
называется ограниченным слева [справа], если для любой
окрестности нуля W. найдется такая окрестность
нуля U, что ux^W [xu^W] для любых и е U и
х (= М. Ограниченное подмножество — это подмноже-
подмножество, ограниченное как слева, так и справа. Ограни-
Ограниченным оказывается, например, всякое компактное
подмножество. Замыкание ограниченного слева [спра-
[справа] множества ограничено слева [справа]. Если
Mi Мп — ограниченные слева [справа] подмно-
подмножества, то подмножества М\-\- ... + Мп, М\ ... Мп
и Mi U ... \}Мп также ограничены слева [справа].
Если ф — непрерывное и открытое гомоморфное нало-
наложение топологического кольца R на топологическое
кольцо R' и М — ограниченное слева [справа] под-
подмножество в R, то (р(М) — ограниченное слева [спра-
[справа] подмножество в R'. Топологическое кольцо R огра-
ограничено тогда и только тогда, когда оно обладает
базой So окрестностей нуля, состоящей из двухсто-
двухсторонних идеалов мультипликативной полугруппы коль-
кольца R (т. е. если ие (Уе20 и г е R, то иг, ru^ U)-
Ограниченное топологическое кольцо, обладающее ба-
базой окрестностей нуля, состоящей из подгрупп, обла-
обладает базой окрестностей нуля, состоящей из двусто-
двусторонних идеалов. Если R — локально компактное то-
топологическое кольцо, С — его связная - компонента
нуля и А — ограниченная слева [справа] подгруппа
аддитивной группы кольца R, то СА = О [АС = 0]-
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 537
Ограниченное справа или слева локально компактное
кольцо с единицей вполне несвязно ([3], следствия
165, 1.6.17 и 1.6.68, предложения 1.6.19 и 1.6.28, тео-
теоремы 1.6.34 и 1.6.67).
Топологическое кольцо R называется локально
ограниченным слева [справа], если оно обладает
ограниченной слева справа окрестностью нуля. Топо-
Топологическое кольцо R с базисом окрестностей нуля, со-
состоящим из подгрупп ат,итнвной группы, оказывается
локально ограниченным слева, справа или слева и
справа в том и только том случае, когда R обладает
такой базой окрестностей нуля, что одна из этих
окрестностей является подкольцом кольца R, а осталь-
остальные— левым, правым или двусторонним идеалом
этого подкольца соответственно ([3], теорема 1.6.48).
Элемент а топологического кольца R называется
левым [правым] топологическим (иногда, обобщен-
обобщенным) делителем нуля, если найдется такое подмноже-
подмножество Т s R, что ОфТ (здесь Т означает замыкание
множества 7") и Oeaf [Oefa]. Каждый левый
[правый] делитель нуля из R оказывается топологи-
топологическим левым [правым] делителем нуля. Обратимый
слева [справа] элемент ие может быть правым [ле-"
вым] топологическим делителем нуля. Элемент а ока-
оказывается левым [правым] топологическим делителем
нуля тогда и только тогда, когда в кольце R найдется
такая окрестность нуля V, что для любой окрестности
нуля V в R существует такой элемент b ^ R\V, что
а Ъ е= V [бае V]. Если ab — левый [правый] топо-
топологический делитель нуля, то либо а, либо Ь оказы-
оказывается левым [правым] топологическим делителем
нуля. Чтобы указать нетривиальный пример тополо-
топологического делителя нуля, рассмотрим кольцо R всех
непрерывных действительных функций на отрезке
[О, 1] с базой окрестностей нуля
Ue={f\f(=R, |f(x)|<e для всех х е= [0, 1]},
где 8= 1/2, 1/3, ... В этом кольце любая функция,
обращающаяся в нуль в точности в одной точке, ока-
оказывается топологическим делителем нуля, хотя обыч-
обычным делителем нуля не является ([3], замечание 1.8.2
и предложения 1.8.7, 1.8.9 и 1.8.12).
Подмножество jV топологического кольца R назы-
называется топологически нильпотентным, если для любой
538 ГЛ III КОЛЬЦА И МОДУЛИ
окрестности нуля U кольца R найдется такой номер п,
что Х\, .. , хт е U для любых т^п и Х\, ..., х„,еА".
В частности элемент а из R называется топологиче-
топологически нильпотентным, если для любой окрестности
нуля U найдется 7акой номер п, что ат е U для всех
т ^ п. Обратимый элемент а из R называется ней-
нейтральным, если ни а, ни а~х не являются топологиче-
топологически нильпотентными элемента mi.*
Интервал (—1, 1) поля действительных чисел с обычной
топологией состоит из топологически нильпотентных элементов,
но не является топологически нильпотетным подмножеством
К числу последних принадлежит, например, отрезок j"—1/2, 1/2J
Нейтральными элементами поля комплексных чисел с обычной
топологией служат числа с модулем, равным 1, и только они
Если М — некоторое множество, то множество g
подмножеств множества М называется фильтром на
множестве М, если 0^§ и для любых A, Beg и
С е М, где /1дС, имеем A f) В, Се§. Отметим, что
фильтром оказывается совокупность всех открытых
множеств, содержащих фиксированную точку тополо-
топологического пространства. Элемент а топологического
пространства F называется пределом фильтра % на F
(в обозначениях а = Ит ??, если для любой окрестно-
окрестности U точки а найдется такое подмножество /leg,
что А Е U. Каждый фильтр имеет не более одного
предела Фильтр g? на топологическом кольце R назы-
называется (аддитивным) фильтром Коши, если для лю-
любой окрестности U нуля кольца R найдется такое под-
подмножество /leg, что х — уе(/ для любых х, у е А.
Всякий фильтр на R, имеющий предел, оказывается
фильтром Коши. Топологическое кольцо называется
полным, если всякий фильтр Коши на нем имеет пре-
предел. Если R — топологическое кольцо, то на множе-
множестве R всех фильтров Коши на R определим отноше-
отношение = , положив g = ®, если совокупность открытых
множеств, принадлежащих фильтрам g и ®, одна и
та же. Тогда == оказывается эквивалентностью и фак-
фактормножество R = $/= становится полным топологи-
топологическим кольцом, если для любых g, @ e $ положить
Ш + [©] = [ \X\Xz R и существуют /leg и В е ®
такие, что a-J-iel для любых аеЛ и ^ей}] и
Щ [©] = [{X | J <= R и существуют Л s g и Be®
такие, что ab ^ X для любых а е /1 и бе fi}], где
[g] — класс эквивалентности =, содержащий X, и
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 539
принять в качестве базы окрестностей нуля подмно-
подмножества
{fB(U)\U — окрестность нуля в кольце R},
где
Если для любого ае/? положить
то ф оказывается топологическим изоморфизмом коль-
кольца R на подкольцо кольца #, причем в любой окрест-
окрестности элемента а из R содержится элемент <р(а), где
не]?. Поэтому кольцо # называется пополнением
кольца R- Если для кольца R справедливо какое-либо
тождество, то оно остается справедливым и для коль-
кольца /?. В частности, пополнение коммутативного кольца
коммутативно. Для любого топологического кольца R
существует такое полное кольцо S, что R топологиче-
топологически изоморфно S/I для подходящего замкнутого идеа-
идеала / кольца 5 (см. [20], п. III. 5.4; [2], §§ 1.3, 2.1).
Тело D называется топологическим телом, если оно
является топологическим кольцом и операция а~' не-
непрерывна, т. е. для любой окрестности W элемента а
найдется такая окрестность U элемента а, что м""'еУ
для всех и е U. Тело Д являющееся топологическим
кольцом, оказывается топологическим телом тогда и
только тогда, когда оно обладает такой базой окрест-
окрестностей нуля 2о, что для любой U^e2o найдется £/е20
такая, что (l + i^-'el + U? для всех u^U. Это
условие выполняется, если D обладает топологически
нильпотентной окрестностью нуля, что, в свою оче-
очередь, имеет место, если D недискретно и локально
компактно. Замыкание подтела топологического тела
является топологическим телом. Если 0 ф V Е D и U
открыто, то U~l = {и~х | и е U} также открыто. Огра-
Ограниченное слева [справа] и, в частности, компактное
топологическое тело дискретно ([3], теорема 1.2.13,
предложения 1.2.14, 1.4.42 и 1.6.18, следствие 1.4.51;
12], § 1.5).
Пополнение топологического тела D оказывается
топологическим телом тогда и только тогда, когда для
любого фильтра Коши ft на D, где \ш%фО, множе-
540 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
ство {/l-'l/legr} является фильтром Коши. Суще-
Существуют топологические тела, пополнение которых со-
содержит делители нуля. Фильтр gf на топологическом
теле называется левым [правым] мультипликативным
фильтром Коши, если для любой окрестности U еди-
единицы тела D найдется такое подмножество Де^, что
0^/1 и x~ly e U [xy~l e U] для всех х, у е А. Если
D— полное топологическое тело, а всякий левый муль-
мультипликативный фильтр Коши на D является правым
мультипликативным фильтром Коши и наоборот (в
частности, если D коммутативно), то всякий мульти-
мультипликативный фильтр на D имеет предел ([20],
п. III. 5.6).
Если тело D является недискретным локально ком-
компактным топологическим кольцом, то D содержит не-
ненулевые топологически нильпотентные элементы и
даже обладает топологически нильпотентной окрест-
окрестностью нуля ([3], теорема 1.2.41, следствия 1.8.42 и
1.8.46).
Связное локально компактное кольцо R (не обяза-
обязательно ассоциативное) без полных делителей нуля
(т. е. если cei? и cR = Re = 0, то с = 0) оказыва-
оказывается конечномерной алгеброй над полем действитель-
действительных чисел (Jacobson N., Tausski O.//Proc. Nat.
Acad. Sci. USA. — 1935. — V. 21. —P. 106—108). Ра-
Радикал Джекобсона компактно вполне несвязного коль-
кольца топологически нильпотентен. В любом компактном
кольце радикал Джекобсона совпадает с объедине-
объединением всех левых [правых] топологических нильидеа-
лов. Компактное кольцо без топологически нильпо-
тентных двусторонних идеалов или, что в этом случае
то же самое, с нулевым радикалом Джекобсона изо-
изоморфно топологическому прямому произведению ко-
конечных простых колец (Kaplansky I.//Amer. J.
Math.—1947. —V. 69, N 1. —P. 153—183).
Топология на правом ./^-модуле М называется ли-
линейной, если М обладает базой окрестностей нуля, со-
состоящей из подмодулей. В случае кольца можно го-
говорить о правой и левой линейных топологиях. Мно-
Множество линейных топологий кольца — предмет обзора
[160]. Модуль М называется линейно компактным,
если j| (аь + NL) = 0 для любого множества 3 смеж-
ных классов ctl~\-Nl при любом множестве {jVi,|ie,3}
§ 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 54!
замкнутых подмодулей. Кольцо R называется линейно
компактным справа [слева], если оно линейно ком-
компактно как правый [левый] ./^-модуль. Всякий ком-
компактный модуль с линейной топологией линейно
компактен. Линейно компактен и всякий модуль с ли-
линейной топологией, удовлетворяющий условию мини-
минимальности для замкнутых подмодулей. Всякий линей-
линейно компактный модуль полон. В частности, полно
любое кольцо, линейно компактное справа или слева
]§ 1.2).
Если 2 — совокупность всех окрестностей нуля то-
топологического кольца R, то / = П RU— ДВУСТОРОН-
ДВУСТОРОННЕЕ
ний идеал кольца R, который называется левым ядер-
ядерным идеалом. Кольца матриц над недискретными ло-
локально компактными телами и только они являются
недискретными простыми кольцами с единицей, обла-
обладающими ненулевым левым ядерным идеалом. Однако
существуют недискретные простые локально компакт-
компактные кольца с единицей и нулевым левым ядерным
идеалом, которые, разумеется, не изоморфны коль-
кольцам матриц над локально компактными телами
(Skornjakov L. A.//Math. Z.—1965. —V. 87.—
P. 241—251).
Пусть D — недискретное локально компактное
тело. Тогда имеет место один из следующих трех слу-
случаев: 1) D изоморфно полю действительных чисел, или
полю комплексных чисел, или телу кватернионов;
2) D — центральная конечномерная алгебра с деле-
делением над полем р-адических чисел; 3) D — централь-
центральная конечномерная алгебра над полем рядов Лорана
с коэффициентами из некоторого поля вычетов по
простому модулю ([78], § 27).
Нётерово слева кольцо R с единицей компактно
в топологии, базисом окрестностей нуля которой слу-
служат степени его радикала Джекобсона, в том и только
том случае, когда оно эквационально компактно, т. е.
любая система уравнений над R разрешима, если раз-
разрешима каждая из ее конечных подсистем. Всякое
эквационально компактное кольцо является ретрактом
некоторого компактного кольца. Нётерово слева эк-
эквационально компактное кольцо или конечно или
имеет мощность континуума ([167], с. 72, следствие 6.8;
с 60, теорема 4.13; с. 84, теорема 6.11; там же можно
542 ГЛ. III. КОЛЬЦ\ И МОДУЛИ
найти и другие результаты об эквационально ком-
компактных кольцах).
О топологических полях см. [271].
Правый модуль А над топологическим кольцом R
(не исключается, что топология на R дискретна) назы-
называется топологическим, если А — топологическая абе-
лева группа и для любых а^А, r^R и окрестности W
элемента аг найдутся окрестность U элемента а и ок-
окрестность V элемента г такие, что xs e W для любых
j(£ U и se V. База 20 окрестностей нуля топологиче-
топологического правого /?-модуля удовлетворяет следующим
условиям: 1) П ^ = {0}; 2) если U, V е= 2о, то W ~
^ IIЛ У для некоторого W <= 20; 3) если U <= 20, то
V-f-KsC/ для некоторого FeSj; 4) если £/ е Ео,
то -К£С/ для некоторого FeSj; 5) если С/ е 20,
то найдутся Fe^ и окрестность Т нуля в 7? такие,
что хг е (/ для любых xeF и геГ; 6) если U е
еЦ, и г ^ R, то • Кг s (У для некоторого F е 20;
7) если i/ е 20 и ue/1, to aT ^ U для некоторой
окрестности Г нуля в 7?. Наоборот, если в А вы-
выделена система 20 подмножеств, удовлетворяющая
условиям 1)—7), то существует одна и только одна
топология, превращающаяся А в топологический
правый ^-модуль и имеющая систему 2о базой окрест-
окрестностей нуля. При этом для каждого а система
2а = {а + U\L1 е= 2о}
служит базой окрестностей элемента а. Если А — то-
топологический правый 7?-модуль и 20 — база окрестно-
окрестностей нуля в А, то: 1) А обладает базой окрестностей
нуля, состоящей из симметрических открытых [за-
[замкнутых] множеств, 2) каждый элемент из А обла-
обладает базой, состоящей из открытых [замкнутых] под-
подмножеств; 3 замыкание любого подмножества X s A
совпадает с пересечением (| (X + (У); 4) всякая от-
крытая подгруппа аддитивной группы модуля А за-
замкнута; 5) связная компонента нуля модуля А явля-
является его замкнутым подмодулем; 6) если В — дис-
дискретный подмодуль в А и Ь е В, то Ann Ь — открытый
правый идеал кольца R.
Подмножество X топологического правого /?-мо-
дуля А называется ограниченным, если для любой
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 543
окрестности W нуля в А найдется такая окрестность Т
нуля в R, что xt e W для любых х е X и 1еГ. Всякое
компактное и, в частности, всякое конечное подмно-
подмножество любого топологического модуля ограничено.
Ограничено и замыкание всякого ограниченного под-
подмножества в любом топологическом модуле, а также
сумма и объединение любого конечного множества
ограниченных подмножеств.
Гомоморфизм ф топологического правого ^-мо-
^-модуля А в топологический правый ^-модуль В называет-
называется топологическим, если ср—непрерывное отображе-
отображение топологического пространства А в топологическое
пространство В. Изоморфизм ср: А —>■ В топологиче-
топологических правых 7?-модулей называется топологическим,
если ф—■ гомеоморфизм топологических пространств Л
и В. Ядром топологического гомоморфизма ц>: А-^-В
служит замкнутый подмодуль модуля А. Имея за-
замкнутый подмодуль К модуля А, можно превратить
фактормодуль А/К в топологический модуль; приняв
в качестве базы окрестностей нуля множество
{U-{-К}, где U пробегает некоторую базу окрестно-
окрестностей нуля модуля А. При этом естественный гомомор-
гомоморфизм я модуля А на фактормодуль А/К оказывается
топологическим и открытым (т. е. n(U) открыто в
А/К, если U открыто в А). Та же конструкция приме-
применима и без предположения о замкнутости подмо-
подмодуля К. Но в этом случае топологическое простран-
пространство А/К не будет хаусдорфовым. Фактормодуль по
открытому подмодулю дискретен. Фактормодуль по
связной компоненте нуля вполне несвязен. ТеоремЬ,
о гомоморфизме формулируется так: если ф: А-^-В-^-
открытый топологический гомоморфизм топологиче-
топологических правых 7?-модулей и ф — наложение, то суще-
существует такой топологический изоморфизм %: В—>•
->-/1/Кегф, что ф% —я, где я— естественный гомомор-
гомоморфизм А на Л/Кегф (см. [3], §§ 1.2, 1.4—1.6; [78],
§§ 19,20).
Прямые произведения и другие конструкции для
топологических колец и модулей рассматриваются в
[2], гл. 2.
5.2. Нормированные кольца. Ассоциативное коль-
До R называется нормированным, если каждому a^R
поставлено в соответствие неотрицательное действи-
544 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
тельное число ||а|| (оно называется нормой элемен-
элемента а), причем:
1) || а || = 0 тогда и только тогда, когда а = 0;
2) || a— ft || < || а ||+ 11 6 II Для любых a, b<=R;
3) ||а6|| = ||а||||6|| для любых a, b^R.
В качестве примеров нормированных колец можно указать
поля действительных и комплексных чисел, где II а II — модуль
числа а.
Нормированное кольцо R не содержит делителей
нуля и для его единицы 1 (если она существует)
имеем ||1||= 1. Если a,b<=R, то ||а|| = ||—а||, ||а+
и
Всякое кольцо без делителей нуля становится норми-
нормированным, если положить ||0||= 0 и ||а||= 1 при а Ф \.
Такую норму назовем тривиальной. Норма называется
неархимедовой, если вместо 2) выполняется более
сильное условие
2') ||а + &||<тах{||а||, ||&||}.
В качестве примера кольцо с неархимедовой нор-
нормой рассмотрим кольцо целых чисел, зафиксируем
простое число р и для каждого целого числа m ф О
положим ||m||=2~A, где k—■ количество сомножите-
сомножителей р, входящих в т. Кроме того, пусть ||0||=0. Это
определение превращает кольцо целых чисел в нор-
нормированное кольцо. Введенную норму можно распро-
распространить на поле рациональных чисел, положив
I I и ' ОпРеДеленная таким образом норма на-
называется р-адической.
Если || || — нетривиальная норма на поле рацио-
рациональных чисел, то или
II 11 = 1 Г,
где 0 < р <; 1, или
II 11 = 1 Г,
где | | означает р-адическую норму для некоторого
простого числа р, а о > 0.
Если в определении нормированного кольца усло-
условие 3) заменить на 3') IIаб 11^11 аII ||6||, то мы прихо-
приходим к определению псевдонормированного кольца.
§ 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 545
Последовательность а.\, а.2, ■■■ элементов псевдо-
нормированного кольца называется последователь-
последовательностью Коши, если для любого s > 0 найдется такой
номер п, что i,j>n влечет IIа, — а;||<е.
Псевдонормированное кольцо R называется пол-
полным, если всякая последовательность Коши элемен-
элементов из R имеет предел. Полное кольцо R называется
пополнением кольца R, если R^R и каждый элемент
из R является пределом некоторой последовательно-
последовательности элементов из R. Каждое псевдонормированное
кольцо обладает пополнением, которое определяется
однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняю-
сохраняющего псевдонорму. Пополнение коммутативного псев-
донормированного кольца коммутативно. Если D —
нормированное тело или поле, то его пополнение D
также является телом или полем соответственно. Для
псевдонормированных тел и полей это, вообще говоря,
не так ([87], с. 222, теорема 2).
Если R—псевдонормированное или нормирован-
нормированное кольцо и s — положительное действительное чис-
число, то положим
Ue = {x\xe=R, ||* ||< в}.
Легко проверяется, что система подмножеств {£/е|0<
<Се<С1} может быть принята за базу окрестностей
нуля, причем R становится топологическим кольцом.
Топологическое кольцо R называется нормируемым
[псевдонормируемым], если на R можно задать такую
норму [псевдонорму], что определяемая ею описан-
описанным выше образом топология на R совпадает с ис-
исходной. При этом R оказывается полным топологиче-
топологическим кольцом тогда и только тогда, когда оно полно
как нормированное кольцо.
Топологическое тело D нормируемо тогда и только
тогда, когда множество его топологически нильпотент-
ных элементов открыто и ограничено справа, а при
умножении топологически нильпотентного или ней-
нейтрального элемента на топологически нильпотентный
получается топологически нильпотентный элемент
([87], с. 234, теорема 2; [3], теорема 2.2.3; ,[55],
с- 358). Для нормируемости топологического поля не-
необходимо и достаточно, чтобы множество его топо-
топологически нильпотентных элементов было открыто,
546 гл. ш. кольца и модули
а объединение множеств топологически нильпотент-
ных и нейтральных элементов ограничено. Всякоело-
кально компактное тело нормируемо ([87], с. 241
теорема 2; [3], теорема 2.2.6; [55], § VI. 10).
Для псевдонормируемости топологического коль-
кольца R необходимо и достаточно, чтобы оно обладало
такой базой окрестностей нуля {£А|/: = 1,2, ...}, что
для любых i и j имеет место L/,+i + £A+iEtA и UM,^
Е Ul+I, а для любого а е R найдется такой номер п,
что aUk+n^Uk и Uk^na^ Uk для всех k. Для связ-
связного топологического кольца последнее требование
является следствием первых двух. Если топологиче-
топологическое кольцо с единицей содержит обратимый тополо-
топологически нильпотентный элемент d и ограниченную
окрестность нуля U такие, что dU = Ud, то это кольцо
псевдонормируемо. Всякая конечномерная алгебра А
над полем действительных чисел R (не обязательно
ассоциативная), псевдонормируема, причем ||Яа|| =
= |Я| ||а|| для любых >,gR и asA Напротив, поля
действительных и комплексных чисел и тела кватер-
кватернионов и чисел Кэли оказываются единственными
нормируемыми конечномерными алгебрами над по-
полем R (см. [3], теорема 2.1.4 и 2.1.11, следствие 2.1.9;
[55], с. 328—329).
О направлении в теории нормированных колец,
связанная с функциональным анализом, см, [27],
[75], [95], [204].
Если W — линейно упорядоченное кольцо, то коль-
кольцо R (подчеркнем, что кольца W и R не предпола-
предполагаются ассоциативными) называется нормированным
кольцом со значениями нормы в кольце W, если зада-
задано отображение со: /?->- W, обладающее следующими
свойствами: 1) со@) = 0; 2) если а=т^0, то со(а)>0;
3) (л(аЬ) = (л(а)а(Ь); 4) а(а — Ь)^(а(а) + а(Ь).
Если W—поле действительных чисел с обычным по-
порядком, то получаем обычное нормированное кольцо.
Из определения вытекает, что со(—а) — —&{Ь) и
©(а + Ь) ^ о>(а)+ а»F) для любых а, Ь е R. Если R—
линейно упорядоченное кольцо, то оно может быть
нормировано со значениями нормы в R: достаточно
положить
( а, если 0<ае/?,
a'fl'*"l-fl, если 0>а<=#.
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 547
с Ли для всякого положительного элемента w <= W
имеем w = w (а) Для некоторого a<=R, то: 1) если R
содержит единицу 1, то со A)—единица кольца W;
о) если R ассоциативно [коммутативно], то W также
ассоциативно [коммутативно]; 3) если R — тело, то
де^тело. Нормирование о> называется неархимедо-
вым, если условие 4) заменено на более сильное:
4') а(а — 6) ^ тах{со(а), а(Ь)}. Поскольку в опреде-
определении неархимедовой нормы сложение в кольце W
никакой роли не играет, то можно считать, что W —
линейно упорядоченный группоид. Всякое линейно
упорядоченное кольцо допускает неархимедово норми-
нормирование со значениями нормы в группоиде архимедо-
архимедовых классов этого кольца. При этом два элемента
кольца принадлежат, по определению, одному архи-
архимедову классу, если они порождают один и тот же
выпуклый идеал ([55], § VI. 4).
Кольцо R с единицей называется фильтрованным,
если в нем выделено множество % ={Fn\n ^ Z} под-
подгрупп его аддитивной группы, причем 1 ef0 и
FmFn £ Fm f „ для любых пг, neZ. Если |) F п = {0},
п ez
то, приняв % за базу окрестностей нуля, превратим R
в топологическое кольцо. Всякое Z-градуированное
кольцо оказывается фильтрованным- достаточно поло-
жить Fn ==■ 2] Rf Фильтрованные кольца и связан-
ные с ними фильтрованные модули рассматриваются
в монографии [222] (см. также [221]). О связи филь-
фильтрованных колец с псевдонормируемыми и градуиро-
градуированными см. [49], § 2.2, § 2.3; [222], гл. Dili). Ряд
результатов о фильтрованных кольцах имеется в [59]
и [233].
5.3. Упорядоченные кольца. Кольцо R (не обяза-
обязательно ассоциативное) называется частично [линейно]
Упорядоченным, если R — частично [линейно] упоря-
упорядоченное множество и для любых а, Ь, с е R справед-
справедливы импликации
(а < Ь) =>- (а + с < Ь + с)
((а < Ь) & (с > 0)) =*- ((ас < be) & (га < cb)).
■элемент а частично упорядоченного кольца называ-
называйся положительным [отрицательным], если , а ^ 0
548 ГЛ. Ш. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
[а =s^0]. Совокупность всех положительных элементов
частично упорядоченного кольца однозначно опреде-
определяет его порядок и называется положительным кону-
сом. Подмножество Р кольца R совпадает с положи-
положительным конусом некоторого частичного порядка на^
в том и только том случае, когда Р(](—Р) = {0}, P-f
-\-Р ^ Р и РР s Р. Порядок оказывается линейным
(т. е. R является цепью) тогда и только тогда, когда
Р[}(—P) = R (см. [55J, с. 301; [911, § VI. 1, VI. 2).
Гомоморфизм ф частично упорядоченного кольца^
в частично упорядоченное кольцо /?' называется по-
порядковым гомоморфизмом или о-гомоморфизмом, если
х ^ у, где x,y^R, влечет y(x)^Lq>(y). Если ср яв-
является изоморфизмом как колец, так и частично упо-
упорядоченных множеств, то он называется порядковым
изоморфизмом. Частично упорядоченные кольца R и
Rr называются изоморфными, если существует поряд-
порядковый изоморфизм R на Rr (а значит, и Rr на R).
Если ср: R-+-R'—порядковый гомоморфизм, то Кегф
оказывается выпуклым (как подмножество частично
упорядоченного множества) двусторонним идеалом
кольца R. Факторкольцо R/I по выпуклому двусторон-
двустороннему идеалу / становится частично упорядоченным
кольцом, если положить х -f- / ^ у + / в случае, когда
х ^ у в R. Таким образом, всякий выпуклый двусто-
двусторонний идеал частично упорядоченного кольца явля-
является ядром некоторого порядкового гомоморфизма.
Частично упорядоченное кольцо R называется ар-
архимедовым, если для любых а, Ъ е R справедлива им-
импликация
(VweZ па < Ь) =>- а = 0.
Всякое архимедово линейно упорядоченное кольцо ас-
ассоциативно и коммутативно. Более того, оно или яв-
является подгруппой аддитивной группы действительных
чисел с нулевым умножением или изоморфно некото-
некоторому подкольцу поля действительных чисел с есте-
естественным порядком. При этом во втором случае час-
частично упорядоченное кольцо не допускает порядковых
автоморфизмов, отличных от тождественного ([55],
с. 314; [91J, § VIII. 1).
Если /—минимальный выпуклый двусторонний
идеал ассоциативного линейно упорядоченного коль-
кольца R и I2 ф 0, то R не содержит нетривиальных вы-
§ 5 -ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 549
лых двусторонних идеалов. Более того, при этих
П^ овиях в R нет и односторонних выпуклых идеалов
ТР91], § VIH- 4).
Скажем, что кольцо R линейно упорядочиваемо,
если на R можно определить линейный порядок, пре-
впашающий его в линейно упорядоченное кольцо. Для
линейкой упорядочиваемое™ кольца необходимо и до-
достаточно, чтобы линейно упорядочиваемыми были все
его конечно порожденные подкольца. Кольцо без де-
делителей нуля линейно упорядочиваемо в том и только
том случае, когда всякая сумма четных произведений
его элементов отлична от нуля.
Для ассоциативно-коммутативного кольца это рав-
равносильно необращению в нуль любой суммы квадра-
квадратов ненулевых элементов. Среди классически полупро-
полупростых колец линейно упорядочиваемыми оказываются
тела, в которых —1 не может быть представлена как
сумма квадратов, и только они. Такие тела называ-
называются формально действительными ([55], с. 302, 305;
[91], § VII. 1, VII. 2). О формально действительных
полях см. [91], § VII. 3.
Положительный конус Р частично упорядоченного
тела D представляется как пересечение положитель-
положительных конусов, определяющих линейные порядки (в этом
случае говорят, что порядок на D является пересече-
пересечением линейных порядков), в том и только том случае,
когда Р содержит все произведения любых квадратов
из R (см. [91], § VII. 4). Общий критерий продол-
продолжаемости порядка частично упорядоченного кольца
до линейного дан в [91], § VII. 1.
Частично упорядоченное кольцо R называется реше-
точно упорядоченным или структурно упорядоченным,
если частично упорядоченное множество R является
решеткой. Если R—решеточно упорядоченное кольцо
с решеточными операциями V и Л, то оно обладает
следующими свойствами: 1) (aVb) + c = {a+c)V
V (b + с); 2) (a Ab) + c = (a + c)A(b + с); 3) ~(aVb) =
=== -а) Л (~Ь); 4) - (а А Ь) = (-а) А (~Ь); 5) (а V Ь) +
+ (а Л Ь) = а + Ь; 6) если с > 0, то (а V Ь) с > ас V be,
c{aV b)^cay cb, (a A b) с <,ac A be и с (а А 6) <
^caAcb. Эти соотношения могут быть приняты и
за определение решеточно упорядоченного кольца. Та-
Таким образом, на решеточно упорядоченные кольца
Можно смотреть как на универсальные алгебры сиг-
550 гл ш кольца и модули
натуры (+, —, 0, •, V, Л). Более того, поскольку
свойство 6) равносильно равенствам
((a Vb)(cV 0)) V ((а (с V 0)) V {Ь (с V 0)) =
= (а V Ь) (с V 0),
((с V 0) (а V Ь)) V (((с V 0) а) V ((с V 0) Ь)) =
= (с V 0) (а V Ь),
((а Л Ь) (с V 0)) Л ({а (с V 0)) Л (Не V 0))) =
= (а Л Ь) (с V 0)
и
((с V 0) (а Л Ь) Л (((с V 0) а) Л ((с V 0) 6)) =
= (с V 0) (а Л Ь),
то решеточно }порядоченные кольца образуют мною-
образие этой сигнатуры.
Если R — решеточно упорядоченное кольцо и a^R,
то элементы a+ = flV0, а" = аЛ0и | а | = а V (—а)
называются положительной частью, отрицательной
частью и модулем элемента а соответственно. Спра-
Справедливы следующие соотношения: 1) а = а+ -|~ а~~>
2) \а\=а+—а~ 3) а+Л(—а-) = 0; 4) |а + 6|<
<М + |&|; 5) |ай|<|а| |&|; 6) —\a\\b\s^ab.
Двусторонний идеал решеточно упорядоченного коль-
кольца R, являющийся выпуклой подрешеткой решетки R,
называется L-идеалом Конгруэнции решеточно упоря-
упорядоченного кольца суть разбиения по L-идеалам. Сум-
Сумма и пересечение двух L-идеалов снова являются
L-идеалами. Если / и / — два L-идеала кольца R, то
их L-произведением называется множество.
{x\x^R, | х \^\a\\b | для некоторых as/ и b e /}
([91], гл. IX, § 1). О радикалах решеточно упорядо-
упорядоченных колец см. [91], § IX. 3, а об их структурных
пространствах— [114], гл. 8—10.
Функциональным кольцом (а также f-кольцом или
F-кольцом) называется подкольцо прямого произведе-
произведения линейно упорядоченных колец, являющееся подре-
подрешеткой этого произведения. Ясно, что функциональное
кольцо решеточно упорядочено. Функциональные
кольца обладают следующими свойствами: 1) (а\/Ь)с=^
= acV be; 2) c(aV b) = ca Vcb; 3) (a Л b) с = ас Abe;
4) c(aAb) = caAcb; 5) \ab\ = \a\\b\; 6) a2>0;
§ 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 551
7) если а А Ъ = О, то ab = O. Последнее условие
оказывает, что функциональное кольцо без дели-
"елей нуля'линейно упорядочено. Эквивалентны сле-
следующие свойства решеточно упорядоченного кольца
R- (l)R функционально; B) если с^О и a/\b = Q,
to са Л Ь = ас Л Ь = 0; C) если с ;> 0, то множество
X* = {у\У е R х'А У = 0 для всех х е X} оказывается
/.-идеалом кольца R; D) ((Ь V 0) (а V 0)) Л ((-а) V 0) =
= (а V 0) F V 0) Л ((—а) V 0) = 0. Последнее свойство
показывает, что функциональные кольца образуют
подмногообразие многообразия решеточно упорядочен-
упорядоченных колец. Архимедово функциональное кольцо ассо-
ассоциативно и коммутативно ([91], гл IX, § 2).
О частично упорядоченных алгебрах Ли и йорда-
новыч алгебрах см. [5] и [50] соответственно Час-
Частично упорядоченные алгебры как основа некоммута-
некоммутативной или квантовой теории вероятностей рассмот-
рассмотрены в [80]
5.4. Кольца с инволюцией. Отображение * коль-
кольца R в себя называется инволюцией, если (а-\-Ь)*—
= a* -j- b*, (ab)* = b'a* и a*f = а для любых a, beR.
Если /? коммутативно, то его тождественное отобра-
отображение на себя оказывается инволюцией, которая на-
зызается тривиальной. Если R — кольцо матриц вто-
второго порядка над коммутативным кольцом, то равен-
равенство (а J =( J определяет инволюцию, кото-
которая называехся симплектической. Если R =А\ В и
о — антиавтоморфизм кольца А на В, то перестановоч-
перестановочной инволюцией называется инволюция, определяемая
равенством (а, Ь) * = (a-1 (b), о (а)).
Другие примеры I) R — поле комплексных чисел и
I* + Р*)* = а — pi; 2) R — тело кватернионов и (а + Р« + yi -f-
+ ok) * = а — |3j — y/ — б£, 3) A? — кольцо матриц над комму-
коммутативным кольцом и А* получается из матрицы А транспониро-
транспонированием Групповое кольцо RG, где R — кольцо с инволюцией -
Ассоциативное кольцо, на котором зафиксирована
некоторая инволюция -■*, называется кольцом с инво-
инволюцией. Алгебра R над коммутативным кольцом Ф
р еДиницей называется алгеброй с инволюцией, если
^ — кольцо с инволюцией и (%а)* = Ха* для любых
еФ и а е R. Гомоморфизм ср кольца /? с инволю-
552 ГЛ III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
цией в кольцо R' с инволюцией называется *-гомомор.
физмом, .если ср(а*) = ср(а)* для любого a^R. Под
■^-изоморфизмом понимается «-гомоморфизм, являю-
являющийся изоморфизмом колец. Двусторонний идеал /
кольца R с инволюцией оказывается ядром некото-
некоторого «-гомоморфизма тогда и только тогда, когда
х*е / для каждого х^.1. Факторкольцо по такому
идеалу естественным образом превращается в кольцо
с инволюцией, причем естественный гомоморфизм
оказывается ^-гомоморфизмом. Высказанному выше
условию удовлетворяет радикал Джекобсона коль-
кольца R.
Элемент а из кольца R с инволюцией называется
симметрическим [кососимметрическим (skew)], если
а* = а [а* = —а]. Следом [косым следом] называет-
называется элемент вида а-\-а* [вида а — а*]. Всякий след
[косой след] является симметрическим [кососиммет-
[кососимметрическим] элементом.
Совокупность @ всех симметрических элементов
кольца R с инволюцией оказывается йордановым коль-
кольцом относительно операции а°Ь = ab -\- Ьа. Если R —
простое кольцо и 2R=R, то йорданово кольцо ©также
оказывается простым. Если R — конечно порожденная
алгебра с инволюцией над коммутативным кольцом Ф
с единицей и 1/2еФ, то @ оказывается конечно по-
порожденной Ф-алгеброй (см. [172], следствия на с. 57
и 72, теорема 6.6.1).
Отображение ср множества <2 в кольцо R' с инво-
инволюцией называется J-гомоморфизмом, если ср (s2) =
= (cp(s)J и (<p(sts) = cp(s)cp(^)cp(s) для любых s, ^s=@.
Гомоморфизм йорданова кольца @ в йорданово коль-
кольцо ©' симметрических элементов кольца R' с инволю-
инволюцией оказывается /-гомоморфизмом, но не наоборот.
При некоторых условиях /-гомоморфизм может быть
продолжен до гомоморфизма кольца R в R' (см. [172],
теорема 4.2.2).
Если R — кольцо с инволюцией, то обозначим че-
через 5 и С подкольца этого кольца, порожденные всеми
его симметрическими и кососимметрическими элемен-
элементами соответственно. Каждое из следующих свойств
кольца R наследуется кольцом 5: 1) отсутствие ниль-
идеалов; 2) отсутствие локально нильпотентных идеа-
идеалов; 3) обращение в нуль радикала Джекобсона;
4) быть полупервичным правым [левым] кольцом
§ 5 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 553
Голди. Кольцо С оказывается полупервичным или не
содержит ниль-идеалов, если соответствующим свой-
свойством обладает кольцо R. Из алгебраичности или ло-
локальной конечности кольца S вытекает справедливость
соответствующего свойства для кольца R (см. [172],
теоремы 6.5.4—6.5.8). Если R = С и R = 2R, то любой
элемент а из R представим в виде
где с, ct, d, — кососимметрические элементы (см. [172],
теорема 2.1.11). Если R — простое кольцо с инволю-
инволюцией, размерность которого над центром больше 4, то
R = S (см. [172], теорема 2.1.6).
Кольцо R с инволюцией называется полунормаль-
полунормальным, если хх* = 0 влечет х*х = О для любого ig/J,
и нормальным, если хх* = х*х для всех х ge R. Если
хх* = О влечет х = О для каждого xg^, to инволю-
инволюция называется положительной или положительно
определенной (а также proper involution). Для полу-
полунормальности некоммутативного кольца R с инволю-
инволюцией, не содержащего ненулевых правых ниль-идеа-
ниль-идеалов, в котором каждый след [каждый косой след] или
нильпотентен или не является делителем нуля, необ-
необходимо и достаточно, чтобы R являлось порядком в
кольце матриц второго порядка с симплектической ин-
инволюцией или подпрямым произведением некоторого
кольца и кольца, антиизоморфного ему, с перестано-
перестановочной инволюцией (см. [172], с. 103, теорема 2.5.3).
В кольце R с положительной инволюцией равносиль-
равносильны следующие свойства элементов х и у: A) ху = 0;
B) х*ху = 0; C) x*xRy = 0 (см. [104], с. 10, предло-
предложение 1; с. 11, упр. ЗА.
Если R—простое кольцо с инволюцией, не совпа-
совпадающее со своим радикалом Джекобсона, и все следы
или все косые следы из R нильпотентны или обрати-
обратимы, то R оказывается телом или кольцом матриц вто-
второго порядка над полем с симплектической инволю-
инволюцией. К этому списку добавляется прямая сумма двух
антиизоморфных тел с перестановочной инволюцией,
если R — полупервичное кольцо с инволюцией, в кото-
котором обратимы все ненулевые симметрические элемен-
элементы или все ненулевые следы. То же самое имеет место,
554 гл- ln- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
если R некоммутативно и все его ненулевые косые
следы обратимы. К приведенному списку присоеди-
присоединяются коммутативные кольца с тривиальной инволю-
инволюцией, если радикал Джекобсона кольца R с инволю-
инволюцией равен нулю, а каждый его след [косой след]
обратим или нильпотентсн. Если в первичном кольце Г{
с инволюцией все следы или все косые следы нильпо-
тентны, то R или является порядком в кольце матриц
над полем с симплектической инволюцией, или же его
инволюция положительна (см. [ 172], теоремы 2.3.3,
2.1.7, 2.1.8, 2.3.1, 2.3.4 и 2.2.4, а также следствие по-
последней), В [172] и [10] содержатся и другие резуль-
результаты, касающиеся строения первичных и полупервич-
полупервичных колец с инволюцией.
Если D — тело с инволюцией, Z — его центр, 2D=D
и D' — такое подтело тела D, что u*D'u^D' для лю-
любого унитарного ueD (т. е. ии* = ii*u = !), то D'^Z,
если D' коммутативно и Штг Д > 4, и D' = D, если D'
не коммутативно и dimz£>> 16 (см. [172], теоре-
теорема 6.1.1).
Если F — свободная ассоциативная алгебра над ас-
ассоциативно-коммутативным кольцом Ф с единицей со
свободными порождающими Х\, . .., хт, у\, ..., уп и
и 0ф((х\, ..., хт, г/ь ..., yn)^F, то говорят, что
Ф-алгебра R с инволюцией удовлетворяет ^-полиноми-
^-полиномиальному тождеству f = 0, если f(av ..., am, b\, ...
. .. i ь*п) = 0 для любых a-,, b, <s R. Если кольцо R с
инволюцией, рассматриваемое как алгебра над Z,
удовлетворяет «-полиномиальному тождеству степе-
степени d, то для подходящего m ^ 1 кольц R удовлетво-
удовлетворяет полиномиальному тождеству {Sid), где S<zd —
стандартный полином степени 2d. Если при этом ра-
радикал Джекобсона кольца R равен нулю, то это верно
и для /и=1. Если f = f(x\, ..., хп) — ненулевой эле-
элемент свободной ассоциативной Z-алгебры G, R — коль-
кольцо с инволюцией и f(d\, ..., dn) = 0 для любых сим-
симметрических [кососимметрических] элементов di из R,
то для некоторого m 2> 1 кольцо R удовлетворяет тож-
тождеству (S2d)m = 0, где d — степень полинома f. При
этом, если R полупервично, то можно взять in = I
(см. {172], следствие 1 на с. 194, теоремы 6.5.1 и 6.5.2;
см. также [10], п. 8.24).
Элемент е кольца R с инволюцией называется про-
проекцией, если е2 = е = е*. На множестве проекций
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 555
можно определить частичный порядок, положив е ^ /,
сли e = ef или, что равносильно, е = fe. Элемент
hKbR называется частичной изометрией, что ww*w=w.
Кольцо R с инволюцией называется *-риккарто-
вым, если для любого а е R найдется такая проек-
проекция е, что
def
Проекция е определяется однозначно. Она называется
правой проекцией элемента а и обозначается через
гР(а). Нетрудно заметить, что в *-риккартовом кольце
для любого а е R существует такая однозначно опре-
определенная проекция f, что
f ) { }
def
Эта проекция называется левой проекцией элемента а
и обовначается через IP (а). Всякое *-риккартово коль-
кольцо содержит единицу и его инволюция положительна.
Если а <= R, то IP (а) = гР (а*). Если а, 6 <= R и аб = О,
то гР (а) • IP (а) = 0. Если w — частичная изометрия
из R, то w*w = rP(w) и ww* = IP (w). Проекция *-рик-
картова кольца образуют решетку, причем е V / =
= f + rP(e(l—f)) иед f = e — W{e(\—f)) для любой
пары проекций ей/. Если е—проекция из R, то eRe
является *-риккартовым кольцом. Центр «--риккартова
кольца оказывается «-риккартовым кольцом, причем
как левая, так и правая проекции центрального эле-
элемента лежат в центре ([104], § 1.3).
Кольцо R с инволюцией называется *-бэровским,
если для любого непустого подмножества Лей най-
найдется такая проекция е, что
eR == г (А) = {х \х <= R, Ах = 0}.
def
Отсюда вытекает существование такой проекций f, Ч¥&
Rf = l(A) = {x\xeER, xA = Q}.
def
Эквивалентны следующие свойства кольца R с инво-
инволюцией: A) кольцо R *-бэровское; B) R есть *-рик-
картово кольцо, решетка проекций которого полна;
w) R есть *-риккартово кольцо, любая ортогональная
система проекций которого имеет точную верхнюю
556 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
грань. Если 0 ф A s R, где R есть «-бэровское коль-
кольцо, то г(А) = A — g)R, где g = sup{rP(а) \а е А)
(см. [104], §1.4).
Детальному изучению «-бэровских колец посвяще-
посвящена монография [104]. См. также [182].
Регулярное кольцо с положительной инволюцией
называется ^-регулярным. Каждый главный правый
[левый] идеал «-регулярного кольца R порождается
однозначно определенной проекцией. Любое *-регу-
лярное кольцо является *-риккартовым, а если решет-
решетка его главных левых [правых] идеалов полна, то и
*-бэровским. Отображение, ставящее в соответствие
каждой проекции е проекцию 1 — е, оказывается анти-
антиавтоморфизмом решетки проекций. Если е — проекция,
то eRe является «-регулярным кольцом. Если решет-
решетка проекций -^-регулярного кольца R полна, то R не
содержит бесконечных ортогональных систем попарно
эквивалентных проекций (проекции ей/ называются
эквивалентными, если найдутся u<=eRf и v^fRe та-
такие, что е = ии и f = vu), а его проекции образуют
непрерывную геометрию ([84], §8; см. также п. V. 2.3).
Для первичности «-регулярного кольца необходимо и
достаточно, чтобы 0 и 1 были единственными его цен-
центральными идемпотентами ([84], с. 183).
Об инволюциях в кольцах операторов гильбертова
пространства см. [27], [75], а об эрмитовых формах
на модулях над кольцами с инволюцией— [67], при-
приложение 2.
5.5. Другие дополнительные структуры. Кольцо,
на котором зафиксировано некоторое множество 5)
дифференцирований, называется дифференциальным.
Обычно предполагается, что d\d2 = d2d\ для любых
d\, J2 ^ £>. Двусторонний идеал / такого кольца назы-
называется дифференциальным, если d(x)^I при любом
х^1 и rfeS. Гомом рфизм [изоморфизм] ср диффе-
дифференциального кольца R в [на] дифференциальное
кольцо R' с тем же набором дифференцирований 5)
называется дифференциальным, если q>(d(x)) =
= d{(f{x)) для любых deS и x^R. Дифференциаль-
Дифференциальные кольца называются изоморфными, если суще-
существует дифференциальный изоморфизм одного из них
на другое. Если ср: R-+-R' — дифференциальный го-
гомоморфизм, то Кег ф оказывается дифференциальным
идеалом. Факторкольцо R/I, где / — дифференциаль-
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 557
ный идеал, становится дифференциальным кольцом,
если положить d(х -f- /) = d(х) -)- / для любых хе^
и dsS. Дифференциальное кольцо R называется
дифференциально простым, если {0} и R являются
единственными его дифференциальными идеалами.
Дифференциально простое кольцо (не обязательно ас-
ассоциативное), содержащее минимальный двусторон-
двусторонний идеал, или просто, или изоморфно групповому
кольцу элементарной абелевой р-группы над простым
кольцом характеристики р (Block P. E.//Ann.
Math.— 1969. — V. 90, N 3. — Р. 433—459; см. также
[93], §6).
Элемент а дифференциального кольца R называет-
называется константой, если d(a) = 0 для любого дифференци-
дифференцирования d. Константы образуют подкольцо кольца R,
содержащее его единицу, если она существует. Если
R— ассоциативно-коммутативное дифференциальное
кольцо с одним дифференцированием ' и R = R[x, x',
х", ..., *(л>, ...] — кольцо многочленов над R отх, х'',
х", ..., то R становится дифференциальным кольцом,
если, сохранив дифференцирование, имевшееся в R,
дополнительно положить (*<">)' = х("+1) для любого
п ^ 0. Полученное таким образом дифференциальное
кольцо называется кольцом дифференциальных много-
многочленов от х. Это определение легко распространяется
на случай многих переменных и многих дифференци-
дифференцирований.
О кольцах частных дифференциальных колец см.
[93], § 6. Различные аспекты теории дифференциаль-
дифференциальных колец отражены в обзоре [68]. Наиболее развита
теория дифференциальных полей (см. [42]; [191], §2;
[192], [207], [236], [246]).
Пару (R, G), где R — ассоциативное кольцо, a G—
подгруппа группы автоморфизмов кольца R, назовем
G-кольцом или -кольцом с группой G. Если G не-содер-
жит внутренних автоморфизмов, отличных от тожде-
тождественного, то G-кольцо называется внешним. Эле-
Элемент а из R называется G-инвариантным, если g(a) =
= а для всех g^R. Множество R0 всех G-инварлант-
ных элементов кольца R оказывается подкольцом.
Подмножество X <= R назовем G-инвариантным, если
g(x)^X для любых geG ихе! Особое внимание
было уделено случаю, когда G — конечная группа и
число \G\ обратимо в R. Оказалось, что при этих
558 гл. ш. кольца и модули
предположениях справедливость тех или иных свойств
для кольца R° влечет их выполнение в кольце R.
К числу таких свойств относятся: 1) нильпотентность;
2) полупервичность; 3) удовлетворять левому [пра-
[правому] условию Оре; 4) примитивность всех первичны к
двусторонних идеалов; 5) быть PI-кольцом. Если R
полупервично, то к этому списку можно присоединить:
6) быть классически полупростым кольцом; 7) быть
левым [правым] кольцом Голди; 8) левая [правая]
нётеровость; 9) разлагаться в конечную прямую сумму
простых колец. При тех же ограничениях на группу G
кольцо R оказывается артиновым [нётеровым] слева
тогда и только тогда, когда R удовлетворяет условию
минимальности [максимальности] для G-инвариант-
ных левых идеалов кольца R. Аналогичный результат
справедлив для правых и двусторонних идеалов. Если
R — конечная прямая сумма простых колец, то то же
самое верно и для кольца Ra. Если G— конечная
группа, действующая на кольце R, содержащем ниль-
потентные элементы, / — ненулевой идеал кольца R
(правый или левый) и §■(/)=/ для всех g e G, то
1° Ф {0}. Если / — радикал Джекобсона кольца R, то
\G\/(Ra)^J(R)f]Ra <=J(Ra). Включения превраща-
превращаются в равенства, если \G\ обратимо в R (см. [93],
§ 2; [208], § 10.5; [216], гл. 5—7; [233], §§ 27, 28; см.
также [146]).
В ряде случаев между подгруппами G группы ав-
автоморфизмов кольца R и подкольцами Ra можно уста-
установить соответствие Галуа (см. [93], § 1; [148],
B16J). Можно рассматривать G-тождества или тож-
тождества с автоморфизмами, полученные включением в
сигнатуру элементов группы (см. [93], § 3; [216J,
гл. 3).
Кольцо R0 довольно тесно связано с косым груп-
групповым кольцом R*G. Например, если R — первичное
[полупервичное] внешнее G-кольцо и G конечна, то
как R0, так и R;:G первично [полупервично]. Кольцо
R*G, где G — конечна, оказывается полупервичным н
в случае, когда R первично и | G | г = 0, где г е R, вле-
влечет г = 0. Если R — простое внешнее G-кольцо с еди-
единицей и G конечна, то эквивалентны следующие
утверждения: A) Ra — простое кольцо; B) R — кооб-
разующий правый [левый] /?°-модуль; C) R—проек-
R—проективный правый [левый] /?°-модуль; D) R0 и R*G эк-
§ 5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ 559
вивалентны в смысле Мориты (см. [208], теорема
10 5.11, [216], теоремы 3.17 и 2.5).
Разностным кольцом называется кольцо R с за-
зафиксированным изоморфизмом А кольца R на его под-
кольцо S- Изоморфизм А называется преобразующим
оператором (transforming operator). Гомоморфизм ф
пазностного кольца R с преобразующим оператором А
в разностное кольцо R' с преобразующим операто-
оператором А называется разностным, если ср(А(а)) —Д'(ф(а))
для всех а е R. Разностный изоморфизм — это взаим-
взаимно однозначный разностный гомоморфизм. Идеал /
разностного кольца R называется разностным, если
хе/ влечет Д(х)е/. Если, кроме того, А(х)е/ вле-
влечет же/, то идеал / называется рефлексивным. Яд-
Ядрами разностных гомоморфизмов служат рефлексив-
рефлексивные идеалы и только они. В качестве примера раз-
разностного кольца можно указать кольцо многочленов
P[t] над полем Р, где A(f(t)) = f(t2) для всех f(t)<=
еР[/]. Совокупность многочленов без свободного
члена является его рефлексивным идеалом. Коммута-
Коммутативным разностным кольцам (впрочем, в основном
разностным полям) посвящена монография [133] (см.
также [68]).
Пусть G— аддитивно записанная группа (не обя-
обязательно абелева). Кольцо R с единицей называется
G'-градуированным или градуированным по группе G,
если аддитивная группа кольца R разложена в пря-
прямую сумму X Rg, причем 1g/?oh RgRh s Rg+h при
gz=G
любых g, ft<=G. Если R есть G-градуированное коль-
кольцо, а А — левый ^-модуль, причем А = X Ag и
ge=G
RgAf, S Ag+h для любых g, h e G, то А называется
G-градуированным R-модулем. Градуировка кольца R
[модуля А] называется строгой, если RgRh — Rg+n
[RBAh = Ag+h] для любых g,h^G. Градуированное
по группе G кольцо R оказывается строго градуиро-
градуированным тогда и только тогда, когда строго градуиро-
градуированы все G-градуированные левые 7?-модули. Эле-
Элементы из Rg и Ag, где geG, называются однородны-
•м" элементами степени g, а сами подгруппы Rg и Ag—
однородными компонентами кольца R и модуля А со-
соответственно. Кольцо или модуль, градуированные по
группе Z, называют просто градуированными. Если
560 ГЛ Г П. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
при этом все компоненты Rn (соответственно Ап), где
п < 0, обращаются в нуль, то градуировка называется
положительной.
Пример ы. 1) R — KG — групповое кольцо и Rs = Kg для
всех jsG; 2) R = K[xi, ..., хп]—кольцо многочленов, R,,—
множество всех многочленов степени п (это положительная
градуировка); 3) G—-группа вычетов но модулю 2, S — груп-
группа подстановок на множестве {1, ..., п], /?о = {^ Ка I К е ^">
а — четные подстановки}, Ri = { Т" Ятт | Ят е Л, т — нечетные
подстановки}.
Градуированное по типу G кольцо D назовем гра-
градуированным телом, если обратимы все ненулевые од-
однородные элементы. При этом компонента Do оказы-
оказывается телом. Кроме того, если G = Z, то или Dn = 0
при всех «=5^=0 или D—Dq[x, у] //, где идеал / порож-
порождается элементами ху— \, ух— 1 и кх — хц>(к), J,eDo,
а ф — фиксированный автоморфизм тела Do-
Подмодуль В G-градуированного модуля А на-
зывается градуированным, если В= /1 Ag f[ В.,Если
А и В — градуированные левые 7?-модули, то гомомор-
гомоморфизм ф модуля А в модуль В называется градуиро-
градуированным степени d, где deG, если ф (Ag) £ Bg+d для
всех geG. Ясно, что ядрами градуированных гомомор-
гомоморфизмов служат градуированные подмодули. Градуи-
Градуированные гомоморфизмы степени d образуют подгруп-
подгруппу НОМ1/1 (А, В) группы Нотц(А, В), а совокупность
НОМ/?(Л, В) всех градуированных гомоморфизмом
оказывается G-градуированной абелевой группой,
где НОЩ(А, В)= ЕеНОМ^(Л, В). Если группа G
d
конечна или А как обычный ^-модуль конечно порож-
порожден, то НОМ/?(Л, В)= Нотд(Л, В). Если в определе-
определениях проективного и инъективного модулей вместо
обычных гомоморфизмов рассматривать градуирован-
градуированные, то придем к определению градуированных проек-
проективного и инъективного модулей. Оказывается, что
всякий градуированный проективный [инъективный]
модуль проективен [инъективен] как обычный модуль.
Для проективных модулей верно и обратное. Однако
для инъективных модулей это не всегда так. Среди
других градуированных аналогов теоретико-кольцевых
и теоретико-модульных результатов отметим градуи-
ЛИТЕРАТУРА 561
рованные кольца частных, градуированный радикал
Джекобсона (включая теорему плотности), размер-
размерность Крулля для колец, градуированные регулярные
кольца, а также аналоги ряда результатов, относя-
относящихся к коммутативной алгебре. Отметим, что Z-rpa-
дуированный модуль удовлетворяет условию макси-
максимальности для градуированных подмодулей тогда и
только тогда, когда он нётеров.
Градуированным кольцам и модулям посвящена
монография [222] (см. также [59], [185], [196],
[221], [223]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Андрунакиевич В. А., Рябухи н Ю М. Радикалы
алгебр и структурная теория —М.: Наука, 1979.
2. Арнаутов В. И., В о д и н ч а р М. И., Г л а в а ц к и й СТ.,
Михалёв А. В. Конструкции топологических колец. — Ки-
Кишинёв: Штиинца, 1988.
3. Арнаутов В. И., Водинчар М. И., Михалёв А. В.
Введение в теорию топологических колец и модулей. — Ки-
Кишинёв, Штииица, 1981.
4. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную
алгебру. — М.: Мир, 1972.
5. А ю п о в Ш. А. Классификация и представление упорядо-
упорядоченных йордановых алгебр.—Ташкент: Фан, 1986.
6. Б а х т у р и н Ю. А. Тождества в алгебрах Ли. — М.: Наука,
1985.
7. Б а х т у р и н Ю. А., Ольшанский А. Ю. Тождества//
Итоги науки и техники. Современные проблемы математики.
Фундаментальные направления. — Т. 18. — М.: ВИНИТИ,
1987.— С. 117—240.
8. Бахтурин Ю. А., С л и н ь к о А. М., Шестаков И. П.
Неассоциативные кольца//Итоги науки и техники. Алгебра,
топология, геометрия.—Т. 18. —М: ВИНИТИ 1981 —
С. 3—72.
9 Б е й д а р К. И., Латышев В. Н., Марков В. Т., Ми-
Михалёв А. В., Скорняков Л. А. Ассоциативные кольца//
Итоги науки и техники. Алгебра, топология, геометрия. —
Т. 22. — М.: ВИНИТИ, 1984.— С. 3—116.
10. Б ей дар К. И., Михалёв А. В. Ортогональная полнота
и алгебраические систем ы//Успехи мат. наук. — 1985.—
Т. 40, № 6 —С. 79—115.
Ч. Беккер И. X., Кожухов С. Ф. Автоморфизмы абеле-
вых групп без кручения.—Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988.
12. Б овд и А. А. Групповые кольца. — Ужгород: Изд-во Уж-
Ужгород, ун-та, 1974.
13. Бокуть Л. А. Ассоциативные кольца. Т. 1. — Новосибирск:
изд-во НГУ, 1977; Т. 2. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1981.
14. Бокуть Л. А. Вложение колец//Успехи мат. наук.—
1987. — Т. 42, № 4. — С. 87-1 И.
15. Бокуть Л. А., Кукин Г. П. Неразрешимые алгоритми-
алгоритмические проблемы для полугругщ, групп и колец//Итоги
1Э Общая алгебра, т. 1
562 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
науки и техники. Алгебра. Топология, Геометрия. — Т. 25—
М.: ВИНИТИ, 1987. — С. 3—66.
16. Боку ть Л. А., Львов И. В., Харчен к о В. К. Неком-
Некоммутативные кольца//Итоги науки и техники. Современные
проблемы математики. Фундаментальные направления. —
Т. 18. —М.: ВИНИТИ, 1987.— С. 5—116.
17. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. — гл. I—III. — М.:
Мир, 1976; гл. IV—VI. — М.: Мир, 1972; гл. VII—VIII. —
М.: Мир, 1978; гл. IX. — М.: Мир, 1986.
18 Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы.—М.: Нау-
Наука, 1966.
19. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.—М.: Мир, 1971.
20. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры.—
М.: Наука, 1958.—(Пер. с 3-го фр. изд.*): М.: Наука 1968).
21. Бурбаки Н. Общая топология. Числа и связанные с
ними группы и пространства. — М.: Физматгиз, 1958.
22. Бурбаки Н. Общая топология. Использование веществен-
вещественных чисел, в общей топологии. Функциональные простран-
пространства. Сводка результатов. — М.: Наука, 1975.
23. Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядочен-
Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965.
24. Б у р б а к и Н. Алгебра. Гомологическая алгебра. — М.:
Наука, 1987.
25. Ваи-дер-В а р д е н Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1979.
26. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967.
27. Г е л ь ф а н д И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е. Ком-
Коммутативные нормированные кольца. — М.: Физматгиз, 1960.
28. Гото М., Гроссханс Ф. Полупростые алгебры Лн. —
М.: Мир, 1981.
29. Д а у и с Дж., Гофман К. Представление бирегулярных
колец пучками. — Математика/Сб. пер. — 1968.—Т. 12, №4.—
С. 3—24.
30 Джекобсон Н. Теория колец. — М.: ИЛ, 1947.
31. Джекобсон Н. Строение колец.—М.: ИЛ, 1961.
32. Д ж е к о б с о и Н. Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.
33. Д и к с м ь е Ж. Универсальные обертывающие алгебры. —
М.: Мир, 1978
34. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные ал-
алгебры.— Киев. Вища школа, 1980.
35. Елизаров В. П. Кольца частиых//Алгебра и логика.—
1969. —Т. 8, № 4.— С. 381—424.
36. Елизаров В. П. Конечные кольца. — М., 1986.
37. Же влаков К. А., Слинько А. М., Ш е с т а к о в И. П.,
Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.:
Наука, 1978.
38. Залесский А. Е. Линейные группы//Итоги иауки и тех-
техники. Алгебра, топология, геометрия. — Т. 21. — М.:
ВИНИТИ, 1983 —С. 135—182.
39. Залесский А. Е., Михалёв А. В. Групповые кольца//
Итоги науки и техники. Современные проблемы математи-
математики. Фундаментальные направления.—Т. 2. — М.: ВИНИТИ,
1973.—С. 5—118.
*) В это издание вошли только две главы из трех глав 1-го
издании, поэтому ссылки делаются на 1-е яздание.
ЛИТЕРАТУРА 563
4П Заоисский О., Самюэль Н. Коммутативная алгебра.
Т 1—2. —М.: ИЛ, 1963.
41'Калужнин Л. А. Введение в общую алгебру. — М.: Нау-
' ка, 1973.
42 Каплаиский И. Введение в дифференциальную алгеб-
' ру — М.: ИЛ, 1959.
43 Капланский И. Алгебры Ли и локально компактные
' группы. — М.: Мир, 1974.
44 К а р т а н А., Э й л е н б е р г С. Гомологическая алгебра. —
' М.: ИЛ, 1960.
45 Каш Ф- Модули и кольца. — М.: Мир, 1981.
46. К а ш у А. И. Радикалы и кручения в модулях. — Кишинёв:
Штиинца, 1983.
47 Кириченко В. В. Кольца и модули. — Киев: Изд-во КГУ,
' 1981.
48 Кириченко В. В., Михалёв А. В., Т у г а и б а е в А. А.
Ьведение в теорию колец и модулей. — Киев: Вища школа.
В печати.
49. Кои П. Свободные кольца и их связи. — М.; Мир, 1975.
50 К о п ы т о в В. М. Решеточно упорядоченные группы. — М.:
Наука, 1984.
51. Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука,
1977.
52. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда.—М.: Наука, 1987.
53. К у л и к о в Л. Я. Алгебра и теория чисел. — М.: Высшая
школа, 1979.
54. Курош А. Г. Теория групп.—М.: Наука, 1967.
55. Кур о ш А. Г. Лекции по общей алгебре. — М.: Наука,
1973.
56. К э р т и с Ч., Р а й н е р И. Теория представлений конечных
групп и ассоциативных алгебр. — М.: Наука, 1969.
57. Ламбек И. Кольца и модули. — М.: Мир, 1971.
58. Латышев В. Н. Комбинаторная теория колец. Сложность
алгебраических алгоритмов. — М.: Изд-во МГУ, 1987.
59. Латышев В. Н. Комбинаторная теория колец. Стандарт-
Стандартные базисы. — М.: Изд-во МГУ, 1988.
60. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
61. Л ид л Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. — М.: Мир,
1988.
62 Макленн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.
63. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры.—М.: Наука,
1970.
64. Мальцев А. И. Избранные труды. Т. 1. Классическая ал-
алгебра. — М.: Наука, 1976.
65. Марков В. Т., Михалёв А. В., Скорняков Л. А.,
Туганбаев А. А. Модули//Итоги науки и техники. Ал-
Алгебра, топология, геометрия. — Т. 19. —М.: ВИНИТИ,
1981.— С. 31 — 134.
66. М а р к о в В. Т., Михалёв А. В., Скорняков Л. А.,
Туганбаев А. А. Кольца эндоморфизмов модулей и
структуры подмодулей//Итоги науки и техники. Алгебра,
топология, геометрия. — Т. 21. —М.: ВИНИТИ, 1983. —
С. 183—254.
67. М и л н о р Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические били»
нейные формы. — М.: Наука,' 1986,
564 ГЛ. III. КОЛЬЦА И МОДУЛИ
68. М и х а л ё в А. В., Панкратьев Е. В. Дифференциаль-
Дифференциальная и разностная алгебра//Итоги науки и техники. Алгебра,
топология, геометрия. — Т. 25. — М.: ВИНИТИ, 1987. —
С. 67—139.
69. Мишина А. П. Абелевы группы//Итоги науки и теэншки.
Алгебра, топология, ' геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1967.—
с. 9—44.
70. М и ш и н а А. П. Абелевы группы//Итоги науки и техники.
Алгебра, топология, геометрия. — М.: ВИНИТИ, 1972.—
С. 5—45.
71. Мишина А. П. Абелевы группы//Итоги науки и техники.
Алгебра, топология, геометрия. — Т. 17. — М.: ВИНИТИ,
1979.— С. 3—63.
72. Мишина А. П. Абелевы группы//Итоги иауки и техники.
Алгебра, топология, геометрия. — Т. 23.—М.: ВИНИТИ,
1985.—С. 51—101.
73. М и ш и н а А. П., Скорняков Л. А. Абелевы группы и
модули. — М.: Наука, 1969.
74. Мишина А. П., Скорняков Л. A. Abelian groups and
modules.—Providence, Rhode Island: Amer. Math. Soc, 1976.
75. H а й м а р к М. А. Нормированные кольца.—M.: Наука,
1968.
76. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. — М.: Мир, 1986.
77. П о н и з о в с к и й П. С. Semigroup rings//Semigroup Fo-
Forum. — 1987. — V. 36, N 1. —P. 1—46.
'i 8. П о н т р я г и н Л. С. Непрерывные группы. — М., Наука,
1984.
i9. P а з м ы с л о в Ю. П. Тождества алгебр и их представле-
представлений. — М.: Наука, 1989.
80. Сарымсаков Т. А., Аюпов Ш. А., Хаджиев Дж.,
Чили и В. И. Упорядоченные алгебры. — Ташкент: Фан,
1983.
81. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. — М.: Мир, 1969.
82. С к л я р е н к о Е. Г. Относительная гомологическая алгебра
в категории модулей//Успехи мат. наук. — 1978. — Т. 33,
№ 3. —С. 85—120.
83. Скорняков Л. А. Проективные плоскости//Успехи мат.
наук.— 1951, Т. 4, № 6.—С. 112—154.
84. Скорняков Л. А. Дедекиндовы структуры с дополнения-
дополнениями и регулярные кольца. — М.: Физматгиз, 1961.
85. С к о р и я к о в Л. А. Гомологическая классификация ко-
лец//Мат. вестник. — 1967. — Т. 4, № 4. — С. 415—434.
86. Скорняков Л. А. Лекции по гомологической алгебра//
Мат. вестник. — 1968. —Т. 5, № 1. —С. 71—113.
87. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. — М.: Нау-
Наука, 1983.
88. С к о р и я к о в Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука,
1986.
89. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре.—М.: Наука, 1984.
90. Фей с К- Алгебра: кольца, модули и категории. — Т. 1.—
М.: Мир, 1977; Т. II. — М.: Мир, 1979.
91. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические систе-
системы. — М.: Мир, 1965.
92. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. I.—М,: Мир,
1974; Т. II. —М.: Мир, 1977.
ЛИТЕРАТУРА 565
93. Харченко В. К. Действия групп и алгебр Ли на неком-
некоммутативных кольцах//Успехи мат. наук. — 1980,—Т. 35,
№ 2. — С. 67—90.
94. Харченко В. К. Автоморфизмы и дифференцирования ас-
ассоциативных колец —Новосибирск, 1989.
95. X е л е м с к и й А. Я. Гомология в банаховых и топологи-
топологических алгебрах. — М.: Изд-во МГУ, 1986.
96. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.
97. Шевалле К. Теория групп Ли. Т. 3. — М.: Мир, 1958.
98 Ширшов А. И. Избранные труды. Кольца и алгебры. —
' М.: Наука, 1984.
99. Эклоф П. Теоретико-множественные методы в гомологи-
гомологической алгебре и теории абелевых групп.—М.: Мир,
1986.
100. Abian A Boolean rings. — Boston: Branded Press, 1976.
101 Albert A. A. Structure of algebras. — Provindence, RI:
Amer. Math. Soc, 1961. —210 p.
102. A 1 b u T, Nastasescu C. Relative finiteness in module
theory.— New York: Decker, 1984.— 190 p.
103. Amitsur S. A. Polinomial identities//Isr. J. Math.—1974.—
V. 19, N 1—2.— P. 183—189.
104. Amitsur S. A. Division algebras. A survey. — Providence,
R. I.: Amer. Math. Soc, 1982.— P. 3—26.— (Contemp. Math.
V.I3).
105. Anderson F. W., Fuller К. К. Rings and categories
of modules. — New York e. a.: Springer, 1973.
106. Arnold D. M. Finite rank torsion free Abelian groups and
rings. — New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1982.—
191 p. — (Lect. Notes Math. V. 931).
107. A u s 1 a n d e г М., В r i d g e r M. Stable module theory//Mefn.
Amer. Math. Soc— 1976, N 94.— 146 p.
108. A u s 1 a n d e r M., Buchsbaum D. A. Groups, rings, mo-
modules. — New York; London: Harper & Row Publ., 1974.
109. Bautista R., Gabriel P., Roiter A. V., Salme-
r о n L. Representation-finite algebras and multiplicative bas-
es//Invent. Math. — 1985. — V. 81, N 2. — P. 217—285.
ПО. В eh r ens E.-A. Ring theory. — New York; London: Acad.
Press, 1972.
111. Benabdallah K. Groupes abeliens sans torsion. — Mont-
Montreal: Press Univ. de Montreal, 1981.
112. Ber b er i a n S. K. Baer *-rings. — Berlin a. o.: Springer,
1972.
113. Bican L., К e p k а Т., N ё m ее Р. Rings, modules and pre-
radicals. — New York; Basel: Marcel Dekker, 1982.
114. Bigard A., Wolfe nslein S., Keimel K. Groupes et
anneaux reticules.— Berlin e. a.: Springer, 1977.
115. Blyth T. S. Module theory. An approach to linear algeb-
algebra.—Oxford, Clarendon Press Oxford Univ. Press, 1977. —
400 p.
116. Bonami L. On the structure of skew group rings. — Mun-
chen: Verlag R. Fischer, 1984.
117. Borceux F., Bossche G. van den. Algebra in a localic
topos with applications to ring theory. — New York; Heidel-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1983. —240 p.—(Lect. Notes. Math.
V . 1UOo J,
5бб гл. ш. кольца и модули
118. Brandal W. Commutative rings whose finitely generated
modules decompose. — Berlin a. o.: Springer, 1979.
119. Braun H., Koecher M. Jordan algebren. — Berlin: Sprin-
Springer, 1966.
120. Brewer J. W. Power series over commutative rings//Lect.
Notes in Pure and Appl. Math. — 1981. — V. 64.-96 p.
121. Brewer J. W., Bunce J. W., Vleck F. S. van. Linear
systems over commutative rings. — New York; Basel: M. Dek-
ker, Inc., 1986.— 200 p.
122. Brown K. A. Ore sets in Noetherian rings. — New York;
Heidelberg; Berlin: Springer, 1985.— P. 355—366. — (Lect.
Notes Math. V. 1146).
123. В u d а с h L. Quotientfunktoren und Erweiterungstheorie. —
Berlin: Deutsche Verlag der Wiss., 1967.
124. Budach L., Holzapfel R. P. Localizations of Grothen-
dieck categories. — Berlin: Deutsche Verlag der Wiss., 1975.
125. Casteljan P. de. Les quaternions.— Paris: Hermes,
1987.—190 p.
126. Chatters A. W., Hajarnavis С R. Rings wfth chain
conditions. — San Francisco a. o.: Pitman, 1980,
127. Cherlin G: Model theoretic algebra. Selected topics. — New
York; Heidelberg, Berlin: Springer, 1976. —236 p.—(Lect.
Notes Math. V. 521).
128. Cohn P. M. Skew fields constructions//London Math. Soc.
Lect. Notes Ser.—1977. — N 27.— 253 p.
129. Cohn P. M. Fractions//Bull. London Math. Soc.— 1984. —
V. 16, N 6 —P. 561—574.
130. Cohn P. M. Free rings and their relations. — London: Acad.
Press., 1985.
131. Cohn P. M. Principles of non-commutative algebraic geo-
metry//Rings and Geora., Dordrecht e. a., 1985, 3—37.
132. Cohn P. M. The construction of valuations on skew
fields. — Edmonton: Univ. Alberta, 1986.
133. Cohn R. M. Difference algebra. — New York: Intersci. Publ.,
1965.
134. Cozzens J., Faith C. Simple Noetherian rings. — Cam-
Cambridge: Cambridge Univ. Press., 1975.
135. Curtis C. W., Reiner I. Methods of representation theory.
Vol. 2.— New York: J. Wiley, 1987.
136. D a u n s J. A concrete approach to division rings. — Berlin:
Heldermann Verlag, 1982.
137. Demeyer F., In graham E. Separable algebras over
commutative rings. — New York; Heidelberg; Berlin: Springer,
1981.— 157 p.— (Lect. Notes Math.).
138. Dicks W. Groups, trees and protective modules. — New
York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1980.— 128 p. — {Lect.
Notes Math. V. 790).
139. Divinsky N. Rings and radicals.—Toronto: Univ. Toron-
Toronto, 1965.
140. Draxl P. K. Skew fields. —Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1983.
141. Eklof P. C, Mekler A. Almost free modules. S^t-theoretic
methods.— North-Holland Math. Library, 1988.
142. Faith С Algebra. Rings, modules and categoriec. Vol. 1.—
Berlin e. a.: Springer, 1981.
ЛИТЕРАТУРА 567
143 Faith С Injective modules and injective quotient rings.—
' New York: M. Dekker, 1982.
144 Faith C, Page S. FPF ring theory. — Cambridge; New
' York: Cambridge Univ. Press, 1984.
145 Feigel stock S. Additive groups of rings. — Boston e. a.:
' Pitman, 1983.
146 Fisher J. W. Invariants of finite linear groups acting on
relatively free algebras: a survey. Group actions on rings
Brunswick, Maine, 1984. — Providence, R. I.: Amer. Math.
Soc., 1985.— P. 81—86. — (Contemp. Math. V. 43).
147. Fis'her J. W., Osterburg J. Finite group actions on
noncommutative rings: a survey since 1970. Ring theory and
algebra HI conference.—New York; Basel: M. Dekker,
1980.— P. 357—393.
148. Formanek E. Noncommutative invariant theory. Group
actions on rings Brunswick, Maine, 1984. — Providence, R. I.:
Amer.Math. Soc, 1985. — P. 87—119. — (Contemp. Math. V. 43).
149. Fossum R. M., Griffith Ph. A., Reiten I. Trivial
extensions of Abelian categories. — New York; Heidelberg;
Berlin: Springer, 1975. — (Lect. Notes Math. V. 456).
150. Fuchs L. Modules over valuation domains. — Essen: Univ.
Essen, 1983.
151. Garcia-Herreros M. E. Semitriviale Erweiterungen und
generalisierte Matrizenringe. — Miinchen: Verlag R. Fischer,
1986.
152. Geramita A. V., Small Ch. Introduction to homological
methods in commutative rings//Queen's Pap. Pure and Appl.
Math. 1976.— V. 43. —352 p.
153. G i 11 m a n L., J e r i s о n M. Rings of continuous functions.—
Berlin e. a.: Springer, 1976.
154. Gilmer R. Commutative semigroup rings//Bull. Amer. Math.
Soc. — 1985. —V. 12, N 2. — P. 270.
155. Gilmer R. Property E in commutative monoid rings.—
Group and Semigroup rings. Proc. Int. Conf. Johannesburg
{7—13 July 1985), Amsterdam e.a., 1986, 13—18.
156. Gobel R., Endomorphism rings of Abelian groups. — New
York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1983. — P. 340—353. —
(Lect. Notes Math. V. 1006).
157. Golan J. S. Localization of noncommutative rings. — New
York: M. Dekker, 1975.
158. Golan J. S. Torsion theories. — New York: J. Wiley & Sons,
1986.
159. Golan J. S. Thirty open problems concerning torsion the-
theories. — Murcia: Univ. de Murcia, 1986.—24 p.
160. Golan J. S. Linear topologies on a ring. An overview.
Harlow; Longman, 1987, 104 p.
1Ы. Goodearl K. R. Von Neumann regular rings. — London
e.a.: Pitman, 1979.
162. Goodearl K. R. Partially ordered Abelian grouos with
interpolation. Amer. Math. Soc, Providrnce, R. I., 1986.
lb3. Gordon R., Rob son J. C. Krull dimension//Mem. Amer.
Tfi. Math. Soc-1973.-V. 133.-78 p.
/ / eJ *h e r C- Die unzerlegbaren Moduln uber ЩХ, Y]/
or с Milncrien: Math. Inst. Univ. Miinchen, 1979.—
568 гл. ш. кольца и медули
165. Guennoun M. Les hierarchilonguers//Quecn's Pap. Pure
and Appl. Math.— 1980.— V. 55 — 149 p.
166. G u r a 1 n i с к R. M. Modules under ground ring exten-
extension. — Lect. Notes Math., 1985, N 1142, 150—156.
167. Haley D. K. Equational compactness in rings — New York;
Heidelberg; Berlin: Springer, 1979.— 167 p. — (Lect. Notes
Math. V. 745).
168. Hanche-Olsen H., Stormer E. Jordan operator al-
algebras. — London e. a.: Pitman, 1984.
169. Hanna A., Shamsuddin A. Duality in the category of
modules. Applications. — Mflnchen: Math. Inst. Univ. Miin-
chen, 1984.— 34 S.
170. Harada M. Factor categories with applications to direct
decomposition of modules. New York: M. Dekker, Inc.,
1983.— (Lect. Notes in Pure and Appl. Math. V. 88).
171. Herrmann P.-Ju. Projective properties of modules. — Atun-
chen: Verlag R. Fischer, 1984.
172. Herstein I. N. Rings with involution. — Chicago, Lon-
London: Chicago Univ. Press, 1976.
173. H i 11 о n P. J., W u Y e 1 - С h i a n g. A course in modern
algebra. — New York e. a.: John Wiley and Sons, 1974, XII,
249 pp.
174. Honstetter W. Beschrankte Rihge und minimal subdi-
rekte Producte. — Munchen: Fischer, 1988.— 60 S. — (Al-
(Algebra -Ber. V. 15, N 58).
175. Humph roys J. E. Introduction to Lie algebras and repre-
representation theory. — Berlin e. a : Springer, 1978.
176. Jacobson N. Pl-algebras. An introduction. — New York;
Heidelberg; Berlin: Springer, 1975.— 115 p. — (Lect Netes
Math. V. 441).
177. Jacobson N. Structure and representations of Jordan al-
algebras.— Providence, R. I., 1968.
178. Jacobson N. Structure theory of Jordan algebras//Univ.
Arkansas Lect. Notes in Math.— 1981, —N 5.
179 Jara Martinez D. Teorias de torsion: zocalo у radical —
Santiago de Compostela: Univ. de Santiago de Cornpostela,
Depart, de Algebra у Fundamentos, 1983.
180. Jategaonkar A. V. Left principal ideal rings. — New
York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1970.— 146 p. — (Lect.
Notes Math. V. 123).
181. Jategaonkar A. V. Localization in Noetherian rings —
Cambridge; New York: Cambridge Univ. Press, 1986.
182. Kaplansky I. Rings of operators. — New York: Amster-
Amsterdam: W. A. Benjamin, inc., 1968.
183. Karpilovsky G. Commutative group algebras.— New
York: M. Dekker, 1983.
184. Karpilovsky G. The Jacobson radical of group algeb-
algebras. Amsetrdam: Norsh-Holland, 1987.
185. Karpilovsky G. The algebraic structure of crossed pro-
products.— Amsterdam: North-Holland, 1987.
186. Kasch F. Partiell invertierbare Homomorphismen und das
Total. — Munchen: Fischer, 1988.— 14 S. — (Algebra-Ber.
V. 15, N 60).
187. Kertesz A. Vorlesungen fiber Artinsche Ringe. — Budapest:
Akad. Kiado, 1968.
ЛИТЕРАТУРА '• .i.t 569=
„„ j^ertesz A. Lectures on Artinian rings. — Budapest: Akad.
isQ K'nebusch M., Kolster M. Wittrings. — Braunschweig:
F Wieweg & Sohn, 1982.
mo Koecher M. Jordan algebras and their applications.—
Minneapolis: Univ. Minnesota, 1962.
iqi Ко 1 chin E R. Differential algebra and algebraic groups.—
New York: Acad. Press, 1973.
192 Kolchin E. R. Differential algebraic groups. — New York:
' Aead. Press, 1985.
193. Koulibaly A. Contributions a la theorie des algebres de
Mal'cev. — Montpellier: Univ. Sci. et Techn. du Languedoc,
1985.
194. Kraemer J. Injective Moduln, (Morita)-Selbstdualitaten,
Zentren von Ritigen. — Miinchen; Verlag R, Fischer, 1985.
195. К i" a emer J. Characterizations of the existence of quasi-
seH-duality for complete tensor rings. — Miinchen: Fischer,
1987.— 80 S. — (Algebra-Ber. V. 14, N 56).
196. Krasner M., Vukovic M. Structure paragraduees (grou-
pes, anneaux, modules)//Queen's Papers in Pure and appl.
Math — 1987. — V. 77. — 163 p.
197. Krause G. R., Lenagan Т. Н. Growth of algebras and
Gelfand-Kirillow dimension. — Boston e. a.: Pitman, 1985.
198. Kruse R. L., Price D. T. Nilpotent rings. — New York
e. a.: Gordon and Breach, 1969.
199. Lam T. Y. Serre's conjecture. — New York; Heidelberg; Ber-
Berlin: Springer, 1978.— 227 p. — (Lect. Notes Math. V. 635).
200. Lambek J. Torsion theories, additive semantics and rings
of quotients —Berlin: Springer, 1971. — VI + 84 p.
201. Landrock P. Finite group algebras and their modules
London Math. Soc. Lect. Notes Ser., 1983, N 84, 274 pp.
202. Loos O. Jordan paars. — New York; Heidelberg; Berlin:
Springer, 1975.— 218 p.— (Lect. Notes Math. V. 460).
203. M a 11 i a v i n M.-P. Algebre commutative. Applications en
geometrie et theorie des nombers. — Paris: Masson, 1985.
204. M a 11 i о u s A. Topological algebres. Selected topics. — Am-
Amsterdam: North-Holland, 1986.
205. M a t h i а к К. Valuations of skew-fields and projective
Hjelmslev spaces. — Berlin e, a.: Springer, 1986.
206. Matlis E. Generalizations of divisible Abelian groups to
the theory of modules//Symp. math. 1st. Naz. Alta mat.
Francesco Severi, Roma, 1979.— V. 23. — P. 241 -250.
207. Matsuda M. First order algebraic differential equation.—
New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1980.— 110 p.—
(Lect. Notes Math. V. 804).
208. McConnell J. C, Robson J. С Noncommutative Noe-
n therian rings. — Chictester e. a.: J. Wiley & Sons, 1987.
*09. McCr i m m о n K. Jordan algebras and their applications—■
Bull. Amer. Math. Soc. — 1978. — V. 84, N 4. — P. 612—
627.
210. McCrimmon K. The Russian revolution in Jordan al-
gebras//Algebras, Groups, Geom. — 1984. — V. 1. N 1.—
P- 1—61.
'".McDonald B. R. Finite rings with identity. — New York:
M. Dekker, 1974.
570 гл- ш- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
212. Meltzer H. The structure of indecomposable modules.—
Leipzig: Teubner, 1986.-<-96 p.
213. Mines R., Richman F., Ruitenburg W. A course in
constructive algebra. — Berlin e. a.: Springer, 1987.
214. Mitchell B. Rings with several objects//Adv. Math. ~
1972. — V. 8, N 1. — P. 1 — 161.
215. Mitchell B. Separable algebroids//Mem. Amer. Math.
Soc. — 1985. — V. 57, N 333 — 96 p.
216. Montgomery S. Fixflri rings of finite automorphism
group of associative rings; — New York; Heidelberg; Berlin:
Springer, 1980 — 126 p.
217. Mucke С Zerlegungseigenschaften von stetigen und qua-
sistetigen Moduln. — Miinchen: Fischer, 1988.— 108 S. — (Al-
gebra-Bei. V. 15, N 57).
218. Miiller B. J. Morita duality—a survey//Abelian Groups
and Modules. Proc. Conf. Udine (Apr., 9—14, 1984). —Wien-
New York, 1984.— P. 395—414.
219. Myung H. Ch. Mal'cev-admissible algebras. — Boston:
Birkhauser, 1986
220. N a g a t a M. On flat extensions of a ring. — Montreal:
Press. Univ., 1975.
221. Nastasescu C, Oystacyen F. van. Graded and fil-
filtered rings and modules. — New York; Heidelberg; Berlin:
Springer, 1979.— 148 p. — (Lect. Notes Math. V. 758).
222. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Graded rings the-
theory. ^Amsterdam e. a.: North-Holland, 1982.
223. Nastasescu C, Oystaeyen F. van. Dimensions of ring
theory. — Dordrecht e. a.: D. Reidel Publ. Co., 1987.
224. Neher E. Jordan triple systems by the grid approach.—
New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1987.— (Lect. Notes
Math. V. 1280).
225. Netzsch R. Bialgebren in Endomorphismenringen. — Miin-
Miinchen: Fischer, 1979.— 146 S. — (Algebra-Ber, N 38)
226. Neumann J. von. Continuous geometry. — New Jersey:
Princenton, 1960.
227. Northcott D, G. A first course of homological algebra.
London, 1973.— XI+206 p.
228. Osofsky B. L. Homological dimensions of modules. —
Amer. Math. Soc, 1973.— 89 p.
229. Oystaeyen F. van, Verschoren A. Reflectors and
localization. Application to sheaf theory. — New York; Basel:
M. Dekker, 1979.
230. Passman D. S. The algebraic structure of group rings. —
New York: Wiley-Interscionse, 1977.— B Ed., Melbourne:
R. E, Krieger Pub!. Co., Inc., 1985).
231. Passman D. S. Algebraic crossed products. Group action
en rings Brunswick, Maine, 1984//Contemp. Math.— 1985. —
V. 43. — Providence, R. I.: Amer. Math. Soc. — P. 209—225.
232. Passman D. S. Group rings, crosses products and Galois
theory. — Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1986.— 71 p.
233. Passman D. S. Infinite crossed products. — Math. Depart-
Department Univ. of Wisconsin, 1988.
234. Pet rich -M. Rings and semigroups. —New York; Heidel-
Heidelberg; Berlin: Springer, 1974. — VIII + 182 p. — <Lect. Notes
Math. V. 38).
ЛИТЕРАТУРА 571
Pierce R. S. Modules over commutative regular rings.—
Providence, R. I.: Amer. Math. Soc, 1967.— 112 p. — (Mem.
Amer. Math. Soc. V. 70).
Pommaret J.-F. Differential Galois theory. — New York:
Gordon and Breach Sci. Publ., 1983.
Popescu N. Abelian categories with applications to rings
and modules. — London: Acad.'Press, 1973.
Prest M. Model theory and modules//London Math. Soc,
Lect. Notes Ser. — 1988. — V. 130.
Procesi С Rings with polynomial identities. — New York:
M. Dekker, 1973.
R e d e i L. Algebra. I. Teil. — Leipzig: Akad. Verlag. Geest &
Portig K.-G., 1959.
R e i t e n I. An introduction to the representation theory of
Artin algebras//Bull. London Math. Soc. — 1985. — V. 17,
N 3. — P. 209—233.
Renoult G. Algebre non commutative. — Paris: Gauthier —
Villars 1975.— IX, 181 pp.
Riedtmann С Algebres de type de representation fini
d'apres Bautista, Bogartz, Gabriel, Roiter et d'autres. Semi-
Seminar Bourbaki, v. 1984/85//Asterisque. — 1986. — N 133—
134. —P. 335—350.
Ringel С. М. Unzerlegbare Darstellungen endlich-dimen-
sionaler Algebren//Jahresber. Dtsch. Math.-Ver.— 1983.—
V. 85, N 2.— P. 86—105.
Ringel С. М. Tame algebras and integral quadratic
forms.— New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1984.—
376 p.— (Lect. Notes Math. V. 1099).
Ritt J. F. Differential algebra.— New York: Amer. Math.
Soc. Coll. Pub. N 33, 1950.
Roberts P. Homological inwarianls of modules over com-
commutative rings. — Montreal: Presses de j'Universete de Mont-
ieal, 1980.
R о w e n L. H. Polynomial identities on ring theory. — New
York: 1980.
Schafer R. D. An introduction to nonassociative algeb-
algebras.—London: Acad. Press, 1966.
Schneider W. Das Total von Moduln und Ringen. — Mun-
chen: Verlag R. Fischer, 1987.
Scho field A. H. Representation of rings over skew
fields.—Cambridge; New York: Cambridge Univ. Press,
1985.
Schulz R. The Descendnig Loewy Length of Endomorphism
Rings. — Miinchen: Fischer, 1981. — (Aigebra-Ber. V. 8,
N 41).
Schulz R. Ober den Erweiterungsring Ext^(M, M).~Mun-
chen; Fischer, 1984. — (Algebra-Ber. V. 11, N 50).
■bharpe D. W., Vamos P. Injective modules. — Cam-
Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1972.— IX, 190 p.
gpringer T. A. Jordan algebras and algebraic groups.—
°erlm e. a.: Springer, 1973.
Memfeld O. Quasi-ideals in rings and semigroups.—
Budapest: Acad. Kiado, 1978.
Menstrom B. Rings of quotients. An introduction to me-
mods of ring theory. — Berlin: Springer, 1975.
572 гл- ш- КОЛЬЦА И МОДУЛИ
258. S z a s z F. Radikale der Ringe. — Berlin: Deutsch. Verlag der
Wiss, 1975.
259. Tachikawa Hiroyuki. Quasi-Frobenius rings and ge-
generalizations. QF-3 and QF-1 rings. — New York; Heidelberg-
Berlin: Springer, 1973. — 172 p.— (Led. Notes Math. V. 351)'
260. Taylor M. Classgroup of group rings — Cambridge e a.',
Cambridge Univ. Press, 1984.
261. Teply M A history of the progress on the singular splitting
problem. — Universidad de Murcia, Dep. de Algebra у Funda-
menios, Murcia, 1984. — 46 p.
262. Teply M. Finiteness conditions on torsion theories. — Cra-
nada: Univ. de Granada, Facult. de Ciencias, Departam. de
Algebra у Fundamentos, 1985.— 78 p.
263. TomberM. L A short history of nonassociative algebras//
Hadronic J. — 1979. — V. 2. — P. 1252—1387.
264. Tomber's bibliography and index in nonassociative algebras/
Ed. Tomber M. L,— I—III. — Nonantum, Mass: Hadronic
Press, Inc, 1984.— 535 p.
265. Upmeier H. Symmetric Ranach manifolds and Jordan
C*-algebras. — Amsterdam e. a.: North-Holland, 1985.
Soc, 1987.
266. Upmeier H. Jordan algebras in analysis, operator theory
and quantum mechanics. — Providence, R. I.: Amer. Math.
267. Vasconcelos W. V Divisor theory in module catego-
categories.— Amsterdam e. a : North-Holland, 1974.
268. Vasconcelos W. V. The rings of dimension two. — New
York; Basel: Marcel Dekker, 1976 — 101 p.
269. Vigneras M-F. Ariihmetkjue des algebres de quater-
quaternions.— New York; Heidelberg; Berlin: Springer, 1980. —
169 p.— (Lect. Notes Math. V. 800).
270. Waschbiisch J. On self-injective algebras of finite repre-
representation type. — Mexico City: Univ. Nacional Autonoma de
Mexico, 1983.— 59 p.
271. Wiesiaw W. Topological fields. — Wroclaw: Wydawn.
Univ. Wrodawskiego, 1982.
272. Wisbguer R. Grundlagen der Modul- and Ringtheorie —
Munchen:R. Fischer, 1989.
273. Yahya S. M. Cogenerators in Abelian groups and modules//
Math. Galf. Area. Proc. I. Int. Conf., Riyadh. — 1984. —
P. 139—148.
274. Zelmanowitz J. M. On the Jacobson density theorem//
Contemp. Math — 1982. — V. 13.— P. 155—162.
275. Zelmanowitz J. M. Duality-theory for quasi-injective
modules.— Miinchen; Fischer, 1984. — 17 S. — (Algebra-Ber.
V. II, N 46).
276. Zelmanowitz J. M., J a n s e n W. Duality for Module
Categories. — Munchen: Fischer, 1988.— 33 S. — (Algebra-Ber.
V. 15, N 59).
*277. Zo liner A. Lokal — direkte Summanden. — Munchen: Fi-
Fischer, 1984.— (Algebra-Ber. V. 11, N 51).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа 500
Автоморфизм 45, 72, 295, 445
— внутренний 72, 296
— локально внутренним 153
— ннльсенов 235
— нормальный 239
—, орбита 239
— перестановочный 239
— полупростой 165
— почти регулярный 241
— степенной 239
— Уайтхеда 235, 239
— уннпотеитиый 165
— факторный 239
— центральный 96
Автотопня 412
Аддитивная группа кольца 292
Акеиома выбора 43
— счетности (первая и вторая) 178
Аксиоматический ранг (многообра-
(многообразия н квазимногообразия групп)
141, 145
Алгебра (линейная алгебра) 293
— Адзумаи 530
— Алберта 405
— алгебраическая 295
ограниченной степени 295
~- альтернативная 382, 402
артниова 402
■ примитивная 400
свободная 403
— антнкоммутативиая 381
энгелева 429
— аитнпростая 361
— ассоциативная обертывающая 404
— — 'универсальная 430
— оазисная 319
— бинарно лнева 383 436
— Вейля 362
— — обобщенная 363
— внешняя 362
— Грассмана 362
бесконечная 363
— групповая 329
ФФ
62
Дифференцирований 305
— внутренних 305
йорданова 382, 404, 419
— исключительная 382
— "^вырожденная 416
свободная 387. 417
— специальная 418
— с делением 411
"~ 9пециальная 382 404
ФРаЛЬНО
«*
ель„ая433
квадратичная 393
Алгебра
— квазиассоциативная 451
расщепляемая 421
— Клиффорда 363
— коммутативная 382
— композиционная 392
расщепляемая 395
— конечномерная 294
с делением циклическая 336
сепарабельная 349
— критическая 370
— Кэли — Диксона 394
матричная 396
— Лн 381, 426
алгебраической группы 432
векторных полей 434
группы Лн 433
картановского типа 435
линейная 426
ортогональная 427
полная 426
— снмплектическая 427
специальная 427
полупростая 428 *
простая исключительная 428 «
классическая 427
ограниченная 436
свободная 430
— локально конечная 295
нильпотентная 401
— Магиуса 364
— Мальцева 383, 436
— моноассоциатнвная 384
— наследственно идемпотентная 327,
— некоммутативная йорданова 420
— ниль-полупростая 385
— нульпотентная 305, 383
— нодальиая 421
— обертывающая 529
— обобщенных кватернионов 394
— относительно свободная 371
— первичная 401
— полупервичная 401
— правоальтернативная 382, 423
— правонильпотентиая 424
— представимая 377
— разрешимая 383
— самобазисиая 319, 528
— свободная 361
многообразия 368, 387
неассоциативная 387
— с ассоциативными степенями 384
— с делением 395
— е инволюцией 551
— сепарабельная 398, 629
— структурная 409
Приведенная 409
— суперструктурная 410
574
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра
— типа (Y, в) 425
— умножений 304
■ левых 304
■ лиева 305
■ правых 304
— уьиверсальная мультипликатив-
мультипликативная обертывающая 390
альтернативной алгебры
391
■— йорда 1Овой алгебры 407
— финитно аппроксимируемая 298
— центральная 312, 337
— чисел Кэли 394
— эластичная 397, 420
■—, т система 358
— t полупростая 307
— с радикальная 307
— г>-градунроваивая 391
JB алгебра 414
PI-алгебра 366
Ф алхебра 381
Алгебры подобные (конечномерные
центральные простые) 350
Алгоритм Деиа 268
Алгоритмическая разрешимость
(класса уравнений) 259
Альтернатива Титса 104, 244
Аииулятор 198, 322, 323. 457
Антиавтоморфизм 45, 295
Антигомоморфизм 295
Антиизоморфизм 44, 295
Антицепь 38
— максимальная 38
Антнэндоморфизм 45, 295
Аппроксимируемость группы 94
■ нильпотентрая 174
— кольца 298
Ж аппроксимируемость 174
Архимедов класс (элементов коль-
кольца) 547
Ассоциативность 65
— обобщенная 50 '
Ассоциатор 385 м
Атом 41 '
— дуальный 41 1 * 1
База модуля 458
— окрестностей элемента тополйга-
ческого кольца 534 '
— свободная группы F 214
Базнс группы 96
— квазнмногообразия групп 145
■ — независимый 145
— квазнтождеств 145
-J- свободной группы многообразия
137
— тождеств ачгебры 369
многообразия групп 134
— ■ — независимый 135
— Шевалле 436
— Ширшова 431
Базисное число (модуля) инвариант
ное 459
Базисный ранг квазлмногообразня
групп 146
многообразия групп бесконеч-
бесконечный 142
■ конечный 142
Башня автоморфизмов 244
Биекция 19
Бнкоммутатор модуля 453
Бимодуль 388, 442
— альтернативный 389
— Йорданов 389
— лиев 430
— мальцевский 439
— регулярный 390
Биполярная структура 126
Бнпредставление 389
Булеан 11
Вершина (карты) 109
Вес коммутатора 86
— топологической группы 178
— локальный 178
Включение многообразий групп 132
Вложение 19
— групп 72
— Магнуса — Шмелькина 169
— модулей 444
Внешняя прямая сумма колец, 297
модулей 449
Вполне упорядоченное множество
43, 56
, начальный отрезок 57
Выводимость соотношений 108
Выталкивающий квадрат 272
Геометрический инвариант 172
Гиперцентр 88
а-гнперцентр S8
Гипотеза Кервера — Лаудеибаха —
Хоувн 259
— Суслина 54
Глубина субнормальной подгруппы
84
Голоморф 82
Гомологическая размерность груп-
группы 257
Гомоморфизм 71, 95, 177, 295. 442
— градуированный степени п 560
— граничный 248
— двойственный 197
— дифференциальный 556
— естественный 75, 302, 445
— инъектияиый 72, 444
— канонический 75, 302
— коограиичения 249
— ограничения 249
— порядковый 226, 548
— разностный 559
— связывающий 248
— скрещенный 212, 250
главный 250
— й-скрещенный 159
— сюръектнвиый 72, 444
— топологический непрерывный 534
открытый 534
правых R модулей 543
/-гомоморфизм 562
/ гомоморфизм 231
^-гомоморфизм 159
* гомоморфизм 552
Гомоморфизмы дополняющие 471
Гомотетия модуля 453, 458
Гомотопия путей 275
Градуировка положительная 560
— строгая 559
Граница 246
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
575
Граничный гомоморфизм 248
Грань точная верхняя 49
_ — нижняя 49
Граф 273
_ групп 124
График частичного отображения 18
Группа 66
_ абелева Ь7, ЪШ
алгебраически компактная 507
вполне разложимая 506
копериодическая 508
, — оболочка 509
. f порядок элемента 501
, ранг 505
свободная 503
, тип 505
, — элемента 505
_ —, характеристика элемента 505
, экспонента элемента 501
— автоморфизмов 72
— ■— внутренних 72
внешних 233
— 1А-автоморфизмоа 234
— аддитивная 67
кольца (Z) 67, 292
полей Q, R, С 67
— алгебраически замкнутая 264
— аналитическая р адическая 221
стандартная 222
— артинова 84
— архимедова 228
— Баумслага — Солитера 114
— без кручения 73, 502
— без Д-кручення 158
— бесконечная 68
— Брауэра 350
— Бьяики 123
— векторная 178
— внешних автоморфизмов 233
— гиперцентральная 88
— гомоморфизмов (модулей) 452
— Гротенднка (кольца) 476
— двойственная 197
— действительная 226
— делимая 104, 473 502
— Демушкииа 223
— Днка 116
— Доупорядочиваемая 228
— единичная 68
— знакопеременная 90
— индикабельная 114
я -изолированная 161
— квазифуксова 284
— квазнциклическая 501
— Класснчес«ая Шоттки 285
£гаССОВО°б
коммутативная 67, 500
конечная 68
конечно определенная 112
в многообразии 139
"~ порожденная 76
конструируемая 257
кос Артина 278
коцнклнческая 510
SSKSV"—- ш
• ^-компонента 503
ли 193, 433
Группа
— Ли локальная 433
— линейно упорядоченная 224
— я локальная 160
— локально евклидова 192
■— локально конечная 93
— — нильпотеитная 93
— — нормальная 152
— — проективно нильпотентиая 204
— — — разрешимая 204
— — разрешимая 93, 175
— Магнуса 364, 431
■— метабелева 85
— метризуемая 189
— мебиусова 281
■— минимаксная 170
— модулярная Тайхмюллера 280
— монолнтическая 173
— монотетическая 202
— мультипликативная 67
— — кольца 68
— — полей Q, R, С 68
— — поля 68
— направленная 224
— иетерова 84
— иильпотентная 87
— ннльсвободная 175
— обобщенная Коксетера П6
— обобщенно треугольная П6
— обратимых элементов кольца 312
— ограниченная 502
— ограниченно сопряженно конеч-
конечная 153
— однородная 219
— окружности 178
— S определенная 159
— парасвободная 175
— периодическая 73, 502
—, периодическая часть 502
— подстановок 89
— ■— полурегуляриая 91
— ■— регулярная 91
— —, степень 89
— ■— транзитивная 91
— — финитных 90
— полинильпотентная 133
, сигнатура 133
— полициклическая 85, 164
— полная 104
— — топологическая 191
— л-порожденная 76
— почти ннльпотентная 87
— ■— полициклическая 87
разрешимая 87
— правоупорядочеиная 233
— прнмарная 503
— проективная 100, 218
■— проективно лиева 194
— — иильпотентная 203
■ разрешимая 203
— проконечная 206
— простая 74
— Й простая 96
— Пуанкаре 223
— разрешимая 85
— расщепляемая 165
— расщепляющаяся 502
— рациональная 505
— редуцированная 503
— рекурсивная 112
— Рекурсивно определив»»
— решеточная ЙЭ
576
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа
— решеточио упорядоченная 224
— Рисе а 233
— сверхразрешнмая 85
■— свободная 96
— — абелева 137
■— ■— бернсайдова 148
■ многообразия 137
— симметрическая 89
— слойно конечная 154
— с малым сокращением 118
— смешанная 502
— совершенная 234
— с операторами 95
— стабильных автоморфизмов 234
— Л-степенная 158
, система порождающих эле-
элементов 158
— структурная 412
— типа FP 257
— - р°° 501
VFP 257
— топологическая 176
— топологически полная 229
— треугольная 116
— тривиальная 68
— трилистника 117
— Уайтхеда 511
— универсальная класса 112
■ локально конечная 149
— уннмодулярная 196
— упорядоченная 224
■— Фибоначчи 115
— финитно аппроксимируемая (ФА-
группа) 94
— относительно вхождения
(ФАВ-группа) 95
сопряженности (ФАС-
группа) 95
— фуксова 282. 283
I рода 283
■ II рода 283
, предельное множество 283
■ , сигнатура 283
— фундаментальная графа групп
I *5
— характеров 197
■— хопфова 114
— центральных автоморфизмов 234
—, FC-центр 152
— циклическая 73, 501
— черннковская 150
— экзистенциально замкнутая 264
— элементарная 104, 503
— энгелева 130
BFC-rpynna 153
D группа 104
FC-rpyrina 152
FO-rpynna 154
Я?-группа универсальная 113
i-rpynna 229
р-группа 68, 503
f- квазициклнческая 81
■— периодическая 73
— периодически полная 508
— тотально проективная 505
я группа 68
— периодическая 73
Л-группа 104
©-группа 95
— прямо неразложимая 96
—, 9-прямой множитель 96
JC группа 157
Группы гомологии группы G с ко-
коэффициентами в G-модуле 247
— — комплекса 246
— когомологий группы G с коэф-
коэффициентами в G модуле 247
— — комплекса 246
Групповая алгебра 329
— топология 176
Групповое кольцо 329
■ пополненное 216
— слово 76
Группоид фундаментальный 273
Двойственности принцип 35
Двойственность Мориты 532
Двумерный комплекс 275
Действие группы 91, 125, 157,
185
— — левое 91
непрерывное 185
— — ннльпотенткое 157
полурегулярное 92
правое 91
разрывное 282
— — регулярное 92
свободное 125
транзитивное 92
Декартова сумма групп 80
Декартово произведение групп
, носитель элемента 79
упорядоченных групп 226
— сплетение групп 83
Делитель нуля левый 311
обобщенный 537
правый 311
— — топологический левый 537
правый 537
Дефицит кода 117
Диагональ 23
— сплетения групп 83
Диаграмма 109
— коммутативная 30, 470
— приведенная ПО
— редуцированная ПО
Дискриминирующее множество 143
Дистрибутивные законы 291
Дифференциал 246
Дифференцирование 105, 305
— внутреннее 303
— нильпотентное 306
— Фокса 105
— частное со значением в Z.F\4
106
«-дифференцирование 335
Длина композиционного ряда 42
— модуля Левн 466
— пути 109, 273
— резольвенты 483
— флаг а 157
— цикла 90
— частично упорядоченного мно-
множества 38
— элемента свободной группы 98
Дополнение множества 12
— подмножества 14
Древесное произведение групп
122
Дуальный модуль 454
— идеал 42
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
577
дуальный порядок 35
Йуокольцо левое 316
CZ правое 316
Единица группы 67
_ кольца 293
_ _ левая 293
_ _ матричная 353
_ частично упорядоченного мно-
жбствз 38
Естественный гомоморфизм 75, 302,
445
Естественная проекция 297
Задание группы 108
Законы де Моргана 14
Замена групп 250
Замыкднне кольца центральное 379
— транзитивное 23
ф-замыкание элемента 62
Значение слова 129
Идеал 42, 300
— аннуляторный 323
— ассоцнаторный 386
— внутренний 4!7
— вполне простой 325
характеристический 300
— главный 3011 317
— дифференциальный 556
— дуальный 42 <
— идемпотентный 327
— квазнрегулярнош 328, 400
— конечно порожденный М7
— левый 315
ядерный 541
— максимальный 30!
левый правый) 321
— минимальный 301
левый (правый) 321
— модулярный 316, 400
— нильпотентный 320
— Г-нильпотечтиый слева (справа)
320
— полупервичнын 324
—■ порожденный множеством 301
левый (правый) 317
— «-порожденный 317
— правый 315
— примитивный слева (справа) 326
— простой 325
~ г-Радикальный 307
— разностный 161, 559
— рефлексивный 559
— с нулевым умножением 320
— существенный 316
— тождеств алгебры 365
— — многообразия 387
— Фундаментальный 161 330
— характеристический 300
/-идеал 231
'-■идеал 550
Г-идеал 365
Идемпотент 3!3, 395
— абелев 341
— конечный 341
— неразложимый 315
— примитивный 315
Идемпотент центральный 314
Идемпотенты ортогональные 313
■—, поднимаемые по модулю идеа-
идеала 328
— сильно связанные 408
— эквивалентные 318
Изометрия частичная 555
Изоморфизм 71, 44, 295, 442
— дифференциальный 556
— над модулем 474
— непрерывный 534
— разностный 559
— топологический 177, 543
* изоморфизм 552
Изоморфизмы сдвига размерности
249 > 7
Изоморфные субнормальные ряды
85
Изотоп 411
Изотопия 411
Иммерсия 275
Инвариант геометрический 172
Инварианты Ульма — Каплаиского
505
Инволюция 393, 551
— перестановочная 551
— положительная 553
— положительно определенная (соб-
(собственная) 553
— симплектическая 551
— тривиальная 551
Индекс начального трансфнннта
мощности m 58
— нильпотентности 311, 320, 383
— подгруппы 69, 208
— разрешимости 384
Индуктивная система 48, 189
Индуктивный предел 48, 80, 189
Интеграл Хаара 195
Интервал 40
— инициальный (начальный) 41
— открытый 41
— полуоткрытый 41
— простой 41
— финальный 41
Интервальная топология 229
Инъективиая резольвента 483
Инъеитнвное отображение 19
Иорданова пара 412
— супералгебра 392, 413
— тройная система 413
йорданово произведение 381
тройное 410
Каноническое представление груп-
группы 166
, степень 166
■ ./V-группы 162
Кардинальное число (кардннал) 33
— — доминантное 34
измеримое 35
, конфинальный характер 34
регулярное 34
Кардинальное число снльио недо-
недостижимое 34
сингулярное 34
■ слабо недостижимое 34
578
предметный указатель
Карта 109
Квазиидеал 328
Квазимногообразие групп 143
конечно базируемое 145
— —, порожденное семейством групп
ИЗ
Квазнпорядок 37
Квазнтождество 143
Коатом 41
Когомологическая размерность 213,
257
Кограница 246
Код группы 108
в многообразии 139
генетический 108
Конндуцированный модуль 212, 246
Класс алгебр абстрактный 308
— — полупростон 309
— — радикальный 309
— групп Купоша — Черникова 176
Классифицирующее пространство
254
Класс колец, замкнутый относи-
относительно подколец 298
— модулей радикально полупростой
493
— сечения верхний 54
— — нижний 54
— сопряженности 70
— толерантности 26
— — максимальный 26
— эквивалентности 24
Колчан кольца 516
Кольца подобные 530
Кольцо 291
— абелево регулярное ЗЗФ
— Алберта 415
— арифметическое 343
— артнново 514
слева 344
справа 344, 465
— архимедово 548
— ассоциативное 293
— ассоциативно коммутативное 293
— базисное кольца 319
— без делителей нуля 311
— без полных делителей нуля 540
— Безу 343, 528
— биномиальное 158
— биэндоморфизмов 453
— булево 339
— бэрозское 341
абелево 341
Конечное по Дедекинду 341
— * бэровское 555
— вполне ндемпотеитное 327
приводимое справа 463
прнмарное 337
— вычетов по модулю п 302
— главных левых идеалов 346, 513
— Голди правое 347
— градуированное 559
— — по группе 559
— G-градуированное 559
— групповое 329
— дедекиндово 518
— дистрибутивное слева 34£
— дифференциальное 556
■ . константа 557
— дифференциально простое tSt
— дифференциальных мио
335, 557
— дифференцирований 305
Кольцо
— инвариантное слева (справа) 316
— инверсное 292
— квазифробеииусово 522
— Кете 528
— классически полупростое 348, 463
— когерентное справа 514
— коммутативное 293
— конечного типа 515
— конечное по Дедекииду 353, 520
— косых многочленов 335
— Кэли — Диксона 401
— леводистрибутивное 529
— линейно компактное (слева,
справа) 541
— линейно упорядоченное 547, 549
— Ли свободной группы 432
— локальное 337
— локально нильпотентное 321
— многочленов скрученное 334
— монолитное 298
— наследственное (справа) 518
— наследственно идемпотентиое 327
— неассопиативиое 380
— нетерово (слева, справа) 344, 465,
513
— ннльпотеитное 320
— нормированное ассоциативное 543
со значениями нормы в коль-
кольце 546
— нулевое 292
— обобщенно однорядное 527
— слева (справа) 527
—, обладающее диаграммой Адзу-
мая 319
— ограниченного типа 515
— ограниченное справа 353
— первичное 323
— подпрямо неразложимое 298
— полуартииово справа 515
— полугрупповое 331
сжатое 331
— полулокальное 343, 351
полупримгрное 351
— полунаследственьое справа 518
— полупервичиое 324. 377
— пол>регулярное 342
— полусовершенное 516, 528-
справа (слеза) 515
— полуцепное 528
справа (слева) 527
—, пополнение 539, 545
— почти максимальное 528
— примарное 351
— примитивное справа (слева^ 326
— простое 301
— противоположное 292
— прюберово 518
— псевдонормнрованлое 544
— — полное 545
— псевдофробениусово справа 524
— разностное 559
— регулярное 337
— — непрерывное 340
— справа (слева) 340
— — М о-непрерывное 340
— * -регулярное 556
— я-регуляриое 341
— «-регулярное 339
— решеточио упорядоченное 549
— риккартово левое (правое) 343,
519
предметный указатель
579
Кольцо
__ * риккартово 555
_- рядное 527
_ рядов Лорана 332
_ скрученьое 334
_ самобазнсное 319
— самонвъектнвное справа 521
_- свободное 361
. коммутативное 361
_ свободных правых идеалов 521
с группой 557
с инволюцией 551
. — нормальное 553
полунормальное 553
— скаляров 381
— с несколькими объектами 489
— с нулевым умножением 292
— совершенное справа 517
— с полной дуальностью 527
— с правым сингулярным расщеп
леннем 525
— степенных рядов 332
. скрученное 334
— строго ограиичеииое справа 353
■ регулярное 339
— структурно упорядоченное 549
— топологическое 533
локально ограниченное слева
(справа) 537
непрерывных действительных
функций иа отрезке 537
— — нормируемое 545
ограниченное 536
отделимое 533
— — полное 538
псевдонормируемое 545
хаусдорфово 533
— тотальное 525
— факельное 528
— фильтроввниое 547
— фробениусово 524
— функциональное 550
— целостное 311
— цепное слева 342
цокольное справа 515
— частично упорядоченное 547
— частных левое (правое) 373
— — классическое левое (правое)
373
~ — максимальное 377
* мартиидейловское левое (пра-
(правое) 378
— ■ симметрическое 378
— — обобщенное левое (правое) 374
относительно кручения 376
— полное правое 377
•— чисто полупростое справа 498
эчвационально компактное 541
— Эндоморфизмов 452
г-кольцо 550
^-кольцо 550
FI-кольцо правое 521 . »
rPF кольцо 525
" кольцо 557
— внешнее 557
Р-колоцо 339
гР кольцо правое (левое) 342, 519
«F кольцо 522
WI кольцо правое (левое) 522
Vt-vJ-кольцо правое (левое) 524
"-FI кольцо 520
|£ кольцо 525
bBI-кольцо 328
ля ко-
V-кольцо правое (левое) 612
Коммутант 77
— взаимный 86
Коммутатор 77, 381
— базисный 156
— векторных полей 434
— многообразий групп 134
— простой 86
Комплекс 275
— двумерный 275
— коцепной 246
— одномерный 273
— цепной 245
—, фундаментальная группа 276
Композиционный ряд 41, 466
■ , длина 42
Компоненты однородные (кольца)
559
р-компонеита группы 503
Конгруэнция 446
Конгруэвц-проблема 167
Конгруэнц-топология 167
Конец пути 273
Конкретное представление (полной
решетки) 63
Конструкция Герасимова 375
— Титса 427
— Титса — Каитора — Кехера 410
Коитекст двойственности (для к
лец) 531
— Мориты 379
, следы 379
стандартный 379
Континуум-гипотеза обобщенная 34
Коиус верхний 39
— нижний 39
— положительный 225, 548
Конфяиальный характер кардиналь-
кардинального числа 34
Кообраз 446
Копредставлеиие группы 109
— — минимальное 217
Копроизведеиие модулей 449
Кортеж 15
Коцепной комплекс 246
Коцикл 246
Коядро 446
Критерий Бэра 473
— Картаиа 429
— Куликова 504
Кронекерово произведение алгебр
299
Кручение 492, 526
— Голди 495
— Джонса 493
— Диксона 492
— идеальное 493
— конаследствеииое 492
— Ламбека 495
— полупростое 494
—, порожденное множестве* nj>«-
вых R модулей 494
— простое 494
— симметричное 526
— стабильное 492
Кручений решетка 494
Кручения теория 491
Кусок 118
Левый модуль над кольцом 441
Лексикографическое произведение
48, 227
580
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лемма Андерсона — Давинского —
Сулииьского 356
— Аидрунаниевнча 316
— ааи кампеиа ПО
— Куратовского — Цорна 44
— Накаямы 491
— о змее 472
— о пяти гомоморфизмах 470
— Фиттиига 467
— Шануэля 473
— Шура 155, 452
Лиева алгебра умножений алгебры
305
Линеаризация 397
Линейная алгебра (алгебра) 293
— комбинация (элементов модуля)
443
тривиальная 443
— оболочка подмножества 444
Линейно упорядоченная группа 224
— упорядоченное множество 36
Локализация модуля 500
Локальная система подгрупп 205
Локально "^-группа 93
Локальное прямое произведение
200
Локальный вес 178
Лупа 437
— альтернативная 437
— аналитическая 437
— Муфанг 437
Мажоранта 40
Мальцевская база 158
Мера Хаара 195
Метрика левоинварнантиая 189
Миноранта 40
Многообразие алгебр 368, 387
конечно базируемое 369
однородное 388
— —, порожденное классом алгебр
369
с конечным базисом тождеств
369
— групп 129
абелево 131
бернсайдово 130
конечно базируемое 134
кострнкинское 136
кроссово 136
— ■— локально конечное 131
наследственно конечно бази-
базируемое 134
— — лневского типа 142
магнусово 142
неразложимое 133
периодическое 135
, порожденное группой 130
почти кроссово 136
прокоиечиых 208
■ разрешимое 131
регулярное 138
стабильно конечно базируе-
базируемое 134
■ шрайерово 138
групп абелевых 232
жестких 232
линейно аппроксимируемых
232
нормальнозначных 232
Многочлен нормальный 362
Многочлен однородный 388
— полилинейный 362, 388
— полиоднородный 362, 388
Множества равиомощные 32
Множество вполне упорядоченное
43
— дискриминирующее 143
■ ~, начальный отрезок 57
— квазиупорядоченное 37
— линейно упорядоченное 36, 53
— максимальное независимое 22
—, мощность 32
— Направленное 80, 186
— независимое 22
— определяющих слов группы 108
относительно многообра-
многообразия 139
соотношений группы 108
— порождающих элементов груп-
группы 76
— пустое 12
— свободное (элементов группы)
96
— свободных порождающих 137
— частично упорядоченное 36
Множитель прямого произведения
групп 78
Модуль (R модуль) 441
— автоморфизма 195
— алгебраически компактный 499
— антисннгуляриый 495
— артинов 465
— аффиииый 457
—, база 458
— без кручення в смысле Еасса
458
— Безу 469
— бндуальный 454
— вполне приводимый 462
— главный неразложимый (правый,
левый) 319
— градуированный 559
ниъектнвиый 560
проективный 560
— G-градуированиый 559
— дискретный 211
— дистрибутивный 468
—, дуальный к модулю 454
— индуцированный 246
— ннъектнвный 472
относительно гомоморфизма
476
— и ниъектнвный 498
— 2-ннъектнвиый 475
— т-ннъектнвный 500
— квазиинъектнвный 476
— квазнпроективный 477
— коатомарный 467
— конндуцированный 212, 246
— конечно копорожденный 461
— конечной длины 466
— конечномерный в смысле ГолдИ
464
— конечно определенный 461
порожденный 460
представнмый 461
точный 458
— кообразующнй 477
— Лёви 466, 515
, длниа 466
— лииейио компактный 640
— локально представимый 463
— локальный 463
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
58f
^лоннъектнвный 477
„ малопроектнвньгй 477
_ неприводимый 462
_ неразложимый 463
_ нетеров 465
_ образующий 477
_ ограниченный 458
_ однородный 464
_- т пеонодическнй 492
_ плоский 478, 518
пзлуартннов 467
— полуднстрнбутнвный 470
_ полунётеров 467
— полупростой 462
_ т-полупростой 489
_ полурефлекснвный 458
— почусовершенный 474
— полуцепвой 469
—, порожденный множеством 444
— проективный 472
относительно гомоморфизма
476
— ш проективный 498
— простой 462
— т радикальный 489
— рациональный над подмодулем
500
— рефлексивный 458
— U рефлексивный 531
— ручной 172
— самопроективный 477
— сбалансированный 458
— свободный 458
— соотношений 252
— стабильно свободный 476
— топологический 542
— тотальный 464
— точный 457
— унитарный 441
— характеров 456, 478
— цепной 469
— циклический 461
— циклически представимый 162
— FU чистый 498
— элемента 230, 550
О модуль 246
Монолит кольца 298
Мономорфизм 72, 444
Мономорфизмы ш чистые 496
Морнта контекст 379
Мощность множества 32
— трансфинита 58
Мультипликативная группа кольца
J92
Мультипликатор Шура 256
Накрытие модуля проеынвное 474
Наложение ig, 444
Направленность 190
— Котам 190
— сходящаяся 190
Р-насыщение 24
О-насыщенное подмножество 24
Начало пути 273
Начальный отрезок вполне упоря-
упорядоченного множества 57
463°М°Р*НЗМ модУлей тотальный
Н
Ннль алгебра 320 384
Ннль идеал 320, 384
Ниль-кольцо 320
Нильпотентная аппроксимируемость
Ннльпотентное пространство 157
Ниль-раднкал 385
— алгебры Лн 428
— верхний (нижний) 354
— обобщенный ЗоЬ
Норма элемента кольца 544
— иеархимедова 544
— тривиальная 544
— р аднческая 544
Нормализатор 71
Нормальная форма элемента гвуп-
пы 119
Нормальное замыкание 78
Нормальный делитель 74
— ряд 84, 205
Нормирование неархимедово 547
Носитель эчеиента группового
кольца'330
Нуль 38, ЬТ
Область 109
— значений соответствия 16
— операторов 95
— определения соответствия 16
— целостности 311
Оболочка грассманова супералгеб-
супералгебры 392
— делимая группы 502
— инъективная модуля 474
— квазнинъектнвная модуля 477
— копернодическая абелевой груп-
группы 509
— проективная модуля 474
Образ гомоморфизма модуля 444
— отображения 18
— соответствия 16
— элемента при отображении 18
соответствии 16
Обратный предел 49
— спектр 49
Объединение множеств 12, 13
— — дизъюнктное 12, 13
свободное 12, 13
— многообразий алгебр 371
— элементов частично упорядочеВ-
ного множества 50
/ группы 229
Ограьнченне отображения 19
— соответствия 17
Одномерный комплекс 273
Однородная компонента цоколя 322
Однородные компоненты градуиро-
градуированного кольца 559
Одночлен 361
Оператор замыкания 61
• алгебраический 63
— преобразующий 559
— умножения левого (правого) 304
Операция бинарная 66
Орбита 20
— автоморфизма конечная 239
G-орбита 91
Ординал (ординальное число) 56
Ординальная сумма 47
Ординальный тип системы под-
подгрупп 88
582
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
е ординал 59
Ортогональность элементов 230
Относительная гомологическая
гебра 498
Отношение 22
— антирефлекснвиое 36
— антисимметричное 23, 36
— п арное (га местное) 27
— бинарное 15, 22
— зависимости 21
— полное 23
— рефлексивное 23
— симметричное 23
— тождественное 23
— транзитивное 23
— эквивалентности 23
Отношения перестановочные 29
Отображение 18
— антиизотоиное 44
— взаимно однозначное 19
— графов 273
— естественное 25
— изотоиное 44
— ииъективное 19
— каноническое 25
— комплексов 275
— многозначное 16
— обратное 29
— полное 18
— полулинейное 445
— постоянное 19
— резидуальное 45
— сюръективное 19
— сходящееся 214
— тождественное 19
— частичное 17
Отображения перестановочные 29
— пополняющие 529
Отрицательная часть элемента 230,
550
Параллельные элементы частично
упорядоченного множества 38
Первая проекция соответствия 16
Пересечение многообразий, 132, 371
— множеств 12, 13
— элементов 50, 229
Период группы 73
Периодическая часть группы 502
Период многообразия групп 130,
131, 135
Пирсовское рачложеиие аддитивной
группы кольца 314
Подалгебра 295
Подгруппа 68
— автоморфно допустимая 72
— арифметическая 166
— базисная 83, 507
— вербальная 131
— вполне характеристическая 72
— выпуклая 226 '
— декартова 120
— дополняемая 82
— лнева 164
— лиева размерьая 108
— локально замкнутая 180
— максимальная 78
— нормальная 74
—, порожденная множеством 76
— серваьтная F06
— снчовскач 202
Подгруппа
— собственная 69
— субнормальная 84
— топологической гр>ппы 180
— Тореллн 281
— Фиттиига 156
— Фраттини 78, 210
— характеристическая 72
— холловская 209
— циклическая 73
, порождающий элемент 73
— элементарная 282
— эндоморфно допустимая 72
— i размерная 107
— R степенная 158
/ подгруппа 231
— спрямляющая 23i
р подгруппа силовская 74
бескочечной группы 147
6-подгруппа 95
— допустимая 95
Подгруппы локально сопряженные
153
— соизмеримые 166
Поддекзртово произведение 79
Подкольцо 292
— плотное 452
—, порожденное множеством 292
Подмножество 11
— выпуклое 42
— группы рекурсивно перечислн-
чое 112
— ннвапиантиое относительно отоб-
отображения 20
— коинициальное 39
— конфииальиое 187, 39
— мультипликативно замкнутое (не-
(неделителей нуля кольца) 373
— нильсеноьо (групповых слов) 100
— ограниченное сверху (снизу) 40
слева (справа) в топологиче-
топологическом кольце 536
топологического модуля 542
— симметрическое топологического
кольца 535
—, сопряженное подмножеству
группы 70
— топологически нильпотеитное
топологического кольца 537
— G инвариантное 557
— р насыщенное 24
Подобные алгебры 350
Подмодулей решетка 532
Подмодуль 443
— большой 451
— вполне инвариантный 443
характеристически*", 443
—, выделяющийся прямым слагае-
слагаемым 449
— дополнительный 451
— замкнутый 451
— косущественный 451
— малый 451
— максимальный 451
— минимальный 451
— рационально замкнутый 500
— сингулярный 495
— существенный 451
— Д-высокий 451
Подпрямое произведение колец 297
— несократимое 298
■ — специальное 298
— тривиальное 298
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Подстановка 89
_ нечетная 89
_ четная 89
Подстановочное представление
группы 91
__ _ —, степень 91
точное 91
Покрытие <в частично упорядочен-
упорядоченном множестве) 41
— множества 14
_- многообразия групп 140
— квазимногообразия групп 145
Поле 335
— разложения алгебры jau
— расщепления алгебры 350
Полином центоальный степени п. 368
Полнетепень одночлена 361
Поли 4S i руппа 85
Поли Z группа 85
Положительная часть элемента 230,
550
Положительный конус 225, 548
— элемент 225
Полугруппа 66
Полугрупповое кольцо 331
сжатое 331
скрещенное (скрученное) 333
Полуинтервал 41
Полупростое расщепление (груп-
(группы) IG5
Полупрямое произведение 81, 184
внешнее 82
Полупрямое расширение 82
Полу FI-кольцо 521
Поляра 231
Пополнение ЬЗ, 160, 191, 377, 539, 545
— группы мальцевское 160
р адическое 160
— ортогональное полупервичного
кольца 377
— псевдонормироваиного кольца 545
— сечениями 63
— топологического кольца 539
— топологической группы 191
проконечиое 206
S-пополнение R группы 160
Пополненное групповое кольцо 216
Порядковая функция 137
Порядковое число 56
Порядок 35
— двойственный (дуальный) 35
— конечной группы 68
— лексикографический 226
— линейный 36
— строгий 36
— центральный 401
— алемента группы 73, 501
Последовательность 15
~гнйН247аЯ Т0чная ГР>ПП
когомологнй 248
— короткая точная 76
5^ош" нормированного
кольца
— периодически расщепляемая 509
— Расщепляющаяся 470
— серваитно точная 510
— точная 75 470
_M7Л8
^ — возрастающая 57
— непрерывная 58
—, предел 58
Последовательность Ульма 504
Почти & группа 87
Правый модуль над кольцом 441
Предел обратный (проективный)
49
— проективный 187
— прямой 451
— траисфиинтной последователь-
последовательности 58
— фильтра 538
Предикат 27
— функциональный 27
Предпорядок 37
Предрадикал 489
— идемпотеитный 489
Представление алгебры Ли 429
Мальцева 438
— ассоциативной алгебры 299
точное 299
— группы 108
— — относительно многообразия 139
— кольца 453
— конкретное полной решетки 63
— Магнуса 98
— Сапова 98
Преобразование гиперболическое
282
— линейное конечного ранга 453
— локсодромическое 282
— иильсеиово 100
— параболическое 282
— Тице ПО
— эллиптическое 282
Пример Голода 321
Присоединение единицы внешнее
294
Проблема автоморфиой сопряжен-
сопряженности 267
— Бернсайда 148
ослабленная 148
— вхождения 267
— изоморфизма 266
— Кете 321
— Куроша 295, 403
— подстановки 261
— равенства 266
— сопряженности 267
— эидоморфиой сводимости 261
Продолжение отображения 19
— изоморфное разложений модуля
в прямую сумму 448
Проективная система 49, 187
Проекции эквивалентные 556
Проекция естественная 297
■— кольца с инволюцией 554, 555
— проективного предела 187
— прямого произведения 21
— соответствия 16
Произведение квазимиогообразий
групп 144
— многообразий групп 133
■— подмногообразий алгебр внутри
многообразия 371
— путей 273
— соответствий 27
^.-произведение 550
Прообраз множества при соответ-
соответствии 17
— подмодуля полный 444
■— элемента 17
— — полный 18
Пространство иильпотеитиое 157
— о-компактиое 181
584
ПРЕД МЕТШЛЙ:- VHA3A ТЕ Л Ь
Процесс Кэли — Диксона 393
Про р пополнение 206
Про ч пополнение 206
Про <g группа 208, 214
Прямая сумма 80, 303 318, 447
внешняя 297, 449
полная 297, 448
Прямое произведение 15, 20, 21, 47,
28, 79 183 226, 297, 448
Прямой спектр 48, 80, 451
, предел 48, 80, 451
Путь 109
— граничный 109
— замкнутый 109, 273
— обратный 109
— приведенный 109, 273
— простой 273
Равенство слов графическое 97
Равномерна* структура 190
Равносильные системы тождеств
365
Равные бииарн-ые отношения 15
— множества 11
— соответствия 15
Радикал группы Плоткина — Хир-
ша 174
— — разрешимый 169
— модуля 452, 489, 49!
Джекобсона 452, 491
•— — единичный 489
идемпотентный 489
наследственный 492
нулевой 489
— — тривиальный 489
— на классе алгебр 307
Авдрунакиевича 356
— — антипростой 361
Брауна — Маккоя 356
Бэра 354
верхний 308
вполне идемпотентиый
360
— — — — Джекобсона 354
— — дополнительный (к ра
дикалу) 360
— идеально наследственный
308
— — — — квазирегуляриый 354 400
Кете 354
Левицкого 354
локально иильпотентиый
354, 401
— — - — иадчильпотеитрый 356
■— — наследственно идемпо
теитиый 360
наследственный 308
— — наследственный специ-
специальный 356
— — невырожденный 415
нижний 308
— — — — нильпотеитный 384
первичный 354, 401
— — — — подыдемпотентиый 356
разрешимый 384
х радикал алгебры 307
х радикал модуля 489
Разбиение множества 14
— модуля допустимее 446
Разложения модул-ч- в прямую сум-
сумму, изоморфное продолжение 448
изоморфные 448
Размерность (алгебры) Гельфан-
да—Кириллова 352
— (группы) гомологическая 257
когомологичееиая 213, 257
— (кольца) левая глобальная 483
•— — правая глобальная 483
Габриэля 352
слабая глобальная 487
— (модуля) Габриэля 468
— - Гельфанда — Киричлова 468
Голди 464
инъективная 483
Крулля 467
проективная 483
— (частично упорядоченного мно-
множества) Крулля 52
Разностный идеал 161, 55Q
Разрешимость над группой (урав-
(уравнения) 258
Ранг абелевой группы 505
чистый 257
— гр>ппы 97, 169, 505
■— квазимногообрззия групп лксно-
матическнй 145
— — — базисный 146
— линейного преобразования 453
— многообразия групп аксиомати-
аксиоматический 141, 142
— модуля стабильный 476
— свободной группы 97
Расслоенное произведение 275
Расширение 1р>ппы 76
расщепляемое 82
— кольца тривиальное 380
— модуля рациональное 500
существенное 451
— отображения 19
— топологической группы 182
HNN расширение группы 123
Расщепляемое нулевое расширение
388
Расщепляющаяся последователь-
последовательность 470
Ребро 109
Резольвента 246
— Грюнберга 250
— инъективиая 483
— проективная 483
— свободная 246
— стандартная 250
Ретракт 101
Решение уравнения (в группе) 258
Решетка (структура) алгебраиче-
алгебраическая 64
— кручений 494
— подмодулей 447, 532
— полная 61
Решеточио упорядоченная группа
224
Род группы 168
Ручка 272
Ручной модуль 172
Ряд Кэмпбелла — Хаусдорфа 432
— Леви возрастающий (убываю-
(убывающий) 466
— нормальный 84, 205
— разрешимый 168, 205
— субнормальный 204
— центральный 205, 87
ПРЕДМЕТИЬда УКАЗАТЕЛЬ
585
Сверхнатуральиое числе 2Ю
Свободная абелева грувпа 503
-база 214
_ про <ё группа 214
_ ф алгебра 361
Гвободиое произведение 119
___ групп с объединенной под
группой 121
_ прокоиечиое произведение 220
Свойство (унарное отношение) 27
— конечной замены 449
_ локальное 93
_ марковское 269
— Хаусоиа 101
Связывающий гомоморфизм 248
Сдвиг левый 69
— правый 69
Сердцевина кольца 298
подгруппы 74
Сечение "дедекиидово 54
— соответствия по множеству 16
— цепи 54
Сигнатура полинильпотеитной груп
пы 133
— фруксовой группы 283
Симметрическая разность 13
Система векторов, выражаемая
через систему 444
— индуктивная 48, 189
— образующих модуля 444
— определяющих соотношении ал
гебры 362
— подгрупп локальная 205
субнормальная (нормальная)
88
возрастающая 88
ординальный тип 88
убывающая 88
фактор 88
— порождающих модуля 444
прокоиечной группы 207
к степенной группы 158
— проективная 49 187
— уравнений неособенная 259
т система алгебры 388
с""емы тождеств равносильные
Ситуация предэквивалентности 379
—■ эквивалентности 379
Скачок 54
Скрещенное произведение 333 334
— — сжатое 333
След 552
— косой 552
Следствие множества слов 131
с'леды контекста Морнты 379
330 ЭЛемеьта группового кольца
Слово 9?
— неассоциативное 387
~ правильное 431
— несократимое 97
Сложен60"" иесокРатимое 98
Смежный класс 24
~ — двойной 70
—. представитель 69
•соответствие 15
^ дифункциональное 28
квазиоднозиачиое 28
— полное 17
— Функциональное 18
Соотношение (группы) 108
Сопряженности класс 70
Спектр обратный 49
— прямой 48
Сплетение декартово 83
— подстановочное 93
— прямое 83
Спин фактор 405
Сравнимые элементы (частично
упорядоченного множества)" 37
Стабилизатор элемента 91, 92
Степень алгебры 385
— группы 80
подстановок 89
— канонического представления 162
— роста 103
— подстановочного представления
91
— слова по переменной 388
Строка 15
Структ>ра (решетка) алгебраиче-
алгебраическая 64
— полная 61
Структурные константы алгебры
294
Ступень нильпотентности 87
— разрешимости 85
Субнормальный ряд 84
Сужение отображения 19
— соответствия 17
Сумма идеалов кольца 303 318
■ прямая 303, 318
Сумма подмодулей 446
Супералгебра 391
— альтернативная 392, 404
— йордаиова 392, 413
— лиева 392
Cxewa кольца 516
Талия 39
Тело 335, 395
— Гильберта 334
— градуированное 560
— кватернионов 335
— тополо) ическое 539
— формально действительное 549
Тензорное произведение 299, 455
Теорема Адо — Ивасавы 430
— Адяиа 269
— Адяиа — Рабина 269
— Аргина 397
— Биркгофа 131
— Брауча 258
— Веддербариа — Артина 348
— Веддербарна — Мальцева 549
— Вейля 430
— Гамильтона — Кэли 372
— Гашюца 242
— Гёчьдера 228
— Гилденхьюза — Крофоллера —
Штребеля 257
— Гильберта о базисе 345
о сизигиях 485
— Голди 374
— Голода 148
— Груневальда — Пикеля — Сегала
167
— Груневальда — Сегача 168
— Гоушко— Неймана 121
— Жордана — Гёльдера 466
— Зайцева — Ро''ь(>сона 170
586
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема
— Зейферта — ваи Кампена 272
— Кантора — Бернштейна 31
— Каргаполова 170
— Каргаполова — Холла — Кула-
тилаки 149
— Картана — Брауэра — Хуа 336
— Квиллена 256
— Кеиига 34
— китайская об остатках 328
— Колчииа — Мальцева 170
— координатизациониая 408
— Кострикииа 149
— Крулля — Ремака — Шмидта 96,
463
— Куроша 121
— Кэли 91
— Лагранжа 69
— ЛевИ — Мальцева — Хариш Чан-
дра 428
— Ли 429
— Линдоиа 268
— локальная Мальцева 176
— Магнуса 267
— Магнуса о свободе 114
— Машке 349
— Нагаты — Хигмана 366
— Нейманов-т-Шмелькииа 133
— Нетер — Сколема 350
— Нильсена — Шрайера 99
— Новикова 267
Новикова — Адяиа 148
— об универсальных коэффициен-
коэффициентах 254
— о гомоморфизме 25, 302, 445, 534,
543
— о замене 22
— о локализации 161
— Ольшанского 150
— о накрывающих отображениях
273
— о свободе обобщенная 117
— о сравнении вполне упорядочен-
упорядоченных множеств 57
множеств 31
о транзитивности разложения мо-
модуля в прямую сумму 447
— о факторизации 25
— Плоткииа — Хирша 174
— плотности 453
— Пуанкаре 282
— Пуанкаре — Биркгофа — Витта
426, 430
— Размыслова 149
— Ремака 80
— Ремесленникова — Формаиека
167
— Роузблейда — Холла 173
— Серра 125
- Сегрена 107
Силова 74
— Скотта — Шалена 278
— Столлингса — Суона 257
— Тице III
— Ульма 504
— Фробеииуса 336
Хаусдорфа 44
- Холла М 101
— Холла Ф 151
— Холландз 232
— Холла — Хигмана 149
— Ыермело 43
— Черникова 150
Теорема
— Ширшова 417
о высоте 366
— Шмидта 151
— Шрайера 85
— Шункова 150
— Шура — Цассенхауза 82
— Энгеля 429
Теория кручения 491
Тип абелевой группы 505
— элемента абелевой группы 505
Тождества с автоморфизмами 5Г>8
G-тождества 558
Тождество 129
— а тыериативиости левой (правой)
382
— Витта 86
— Гленки 418
— Капелли степени п 364
— коммутативности 364
— коммутаторное 86
— Мальцева 383
— Муфаиг 397
— нормальное 365
— полилинейное 365
— полиномиальное 364
существенное 402
— * полиномиальное 554
— полиоднородиое 365
— рациональное 37]
— со следом 372
— стандартное степени п 364
— тривиальное рациональное 371
— Якоби 381, 426 с %„.., е.
«-тождество 418 *' ЛО<1Г^ <
Толерантность 26
Топология Габриэля 493
— групповая 176
— интервальная 229
— Крулля 180
— линейная 540
— р адическая 507
— Z адическая 507
Тор одномерный 178
Точная верхняя грань подмножест-
подмножества 49
— нижняя грань подмножества 49
Транзитивное замыкание 23
Транспозиция (*п
Траисфинит (Т[ шсфинитное число)
56
— конфинальный 58
— критический 58
— начальный 58
слабо недостижимый 58
— неразложимый аддитивно 60
мультипликативно 60
— регулярный 58
— сингулярный 58
— предельный 57
— эпсилонговый 59
Триангуляция 277
Тривиализация 330
Тривиальное расширение кольца
380
Турнир 37
Умножение 67
— многообразий групп 133
— присоединенное иа кольце 315
Унарное отношение 27
предметный указатель
587
Универсальная «'-группа 113
Уплотнение ряда 85
Упорядоченная группа 224
__ направленная 224
_ — порядково полная 233
Упорядоченная сумма 47
Упорядоченное произведение 47
Уравнение 258
—, аппроксимируемое в кчассе
групп 263
— бескоэффициентное 261
— квадратичное 260
Условие Артина - Риса (правое)
349
— Жордана — Дедекинда 42
— индуктивности 43
— конечности 146
— максимальности 43, 84, 344
— минимальности 43, 84, 344, 517
— обрыва возрастающих цепей 43
убывающих цепей 43
— ограниченности высот 366
— Оре левое (правое) 373
Фактор (ряда групп) 84
— (системы подгрупп) 88
Факторалгебра 302
Факторгруппа 75, 181
Факторкольцо 302 '
Фактормножество 25 л
Фактормодуль 445
Факторы композиционного ряда 466
Фильтр 42 538
— идемпотентиый топологизнрую-
щий 493
— Коши аддитивный 538
мультипликативный левый
(правый) 540
— на множестве 538
— радикальный 492
Флаг 157
Форма квадратичная, допускающая
композицию 392
— Киллинга 429
Форма элемента группы, цикличе
ски несократимая 120
Формула Бейкера - Кэмпбелла -
Хаусдорфа 163
— обобщенная Шраиера 127
— Хопфа 256
Фундаментальная группа графа 274
— — комплекса 276
Фундаментальный группоид 273
— идеа^и 161, 330
Функция длины 126
— роста 102
Характер 196
Характеристика кольца 299
дилера — Пуанкаре 213
— эйлерова 257
элемента абелевой группы 505
Центр 71, 312, 386
Рс'цент'Гшг30004™8'
Централизатор 70, 312
Централизатор второй 453
Центральное замыкание кольца 379
Центральный полином степени п
368
— ряд 87, 205
Центроид алгебры 386
Цепной комплекс 245
Цепь 37, 38 53
— интервальио однородная 56
— Куроша (классов алгебр) 300
— непрерывная 54
— неуплотняемая 42
— плотная 53
в себе 54
—, плотное подмножество 53
— подгрупп возрастающая 83
строго 84
убывающая 83
строго 84
— полная 56
— разреженная (рассеянная) 56
— к транзитивная 55
— условно полная 56
Цикл 89, 246
Циклически несократимая форма
элемента группы 120
Циклы независимые 90
Цоколь левый (правый) алгебры
или кольца 322
Цоколь абелевой группы 504
Частично упорядоченное множест-
множество 36
артиново 43
— атомное 41
градуированное 42
двойственное (дуальное) 37
дискретное 36
— жесткое 46
— индуктивное 44
кардинально неразложимое
47
■ — коаточное 41
конечно свободное 42
- —, максимальный элемент 39
, минимальный элемент 39
—, наибольший элемент 38
— — —, наименьший элемент 38
— направленное вверх (вниз)
37
— иетерово 43
ограниченное 38
- — — сверху (снизу) 38
fe-однородное
— со однородное
ординально неразложимое
47
связное 38
— тривиальное 36
k транзитивное 46
- — ю-траизитиврое 46
— — — фильтруемое влево (впра-
(вправо) 37
фундированное 43
— , ширина 38
Число сверхнатурачьное 207
— Хирша 164
Чистота 496, 499
— универсальная 499
% чистота 499
Чистый ранг 257
588
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ширина вербальной подгруппы 154
— частично упорядоченного мно-
множества 3S
Шрайерова система (представите-
(представителей смежных классов) 99
Щень 54
Эйлерова характеристика 257
Эквизалентное замыкание (отноше-
(отношения) 24
Эквивалентность 23
— в смысле Мориты (колец) 530
— множества слов 131
— полупростых расщеплении 165
— путей 273
— слов 97
G эквивалентность (элементов груп-
группы) 91
Эквивалентные множества 22, 31
— расширения 255
Экспонента группы 73
— многообразия групп 130, 131 135
— элемента абетрвой группы 501
Элемент алгебраический 295
— бесконечной р высоты 501
—, выражающийся через счстему
443
— идсмпотентный 313
— инвариантный относительно от
ображегШя 20
— Йорданов 418
— нвазиобратимыи 400
— квазиобратный левый (правый)
315
— квазнрегутарный 315
— компактный 64, 180
— кососимметрический 552
— лнев 431
— максимальный 39
— минимальный 39
Элемент
— наибольший 38
— наименьший 38
— нейтральный 67, 538
— неотрицательный 225
— неподвижный 20
— иепорождающий 78
— ничьпотентиый 311, 384
—, нормализующий подмножество
группы 71
— образующий 501
— обратимый 311, 411
— — слева (справа) 311
— обратный 67, 312
— отрицательный 547
— положительный 225, 547
— порождающий 73, 501
— противоположный 67
— регулярный 315
— симметрический 552
— сопряженный 70.
— строго нильпотентиый ЗИ
— топологически нильпотентиый 538
— тотальный 525
— унитарный 554
— центральный 312
— чистый 180
— энгелев 429
— G инвариантный 557
— Ф замкнутый 62
FC-элечент 152
Элементы коммутирующие 67
— однородные степени g 559
— перестановочные 67
Эндоконечность 453
Эндоморфизм 45 72 295, 442
Эндопроективность 453
Эндосвойство 453
Эпиморфизм 72, 444
Эпиморфиччы И кочистые 496
Ядро гомоморфизма 75, 300, 444
— отображения 25
Якобиан 383
ТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
CG (M) 70
С (G), NQ (M) 71
GL (n, P) 72
SL (п, Р) 75
End G, Aut G, Inn G 72
с. .„ Out a 233
°) I g I 73, 208
<*>, С (я), Z (я) 73
11 Л1 #<JG 74
ieJS Я <|„ G 84
(X), гр (X) 76
[g, /] ?7
[л,, x2, ..., *„] 86
G' 77
[A",, X2], G(n> 86
Ф (G) 78, 210
supp (/) 79
ПО». ФОЦ78, 183
£^X G2 X • • • X Gn 79, 183
П G, 227
ргц, pry 79, 183
lim Gx 80, 189
limG. 187
^ , л
N>~ H 81, 185
#>-„# 82
Hoj^ N 82
Л г В, А г В 83
Л Wr В, АшВ 83
Diag(B, Л) 83
НС (G) 88
SymmAf, Sn, А„ 89, 179
Sn 236
StG (/n) 91, 92
F (X), FK 96, 97
F (X, IS), FK F) 137
v°w 97
fQ 104
590 УКАЗАТЕЛЬ
ZG, PG 105
(X§P) 108
F{r,n) 115
As, Ki 136
G (M) 116
D(l, m, n), Л(/, от, п) 116
£)(/, m, n, w) 116
f(fe, /> 117
4? (k), Ч?' (к), 0" (q) 118
St(n', A), St (A) 119
*Ga 119
G1*AG2 121
■K™ Gf 220
Z>(G) 120
PSL B, Z) 120
(©, Г) 124
я (®, Г, Г), я (©, Г) 184
Ж(V) 129
0. 1 129
33„ 129
Я, Я„, Щ* 130
Шк, Шк, % 130
V Г V Г 130
LatO, Lat (S) 132, 133
6S). [6, ©] 133, 134
Ч(Г), LatqO143
5" 144
KZ(P), B^ip.k) 149
ш (G) 154
Gs, GQ, GZp 159, 160
UT (n, K), NT (n, K) 162
FittG 165
T (n, K) 170
log, exp 162
Gab 172
9?i 9lr> 5ft . ?? 174
w (G), ieio(G) 178
G(LIK) 180
Go 182
G 191
Gm, ф* 197
ОБОЗНАЧЕНИЙ
ЯХ 198
© (/С) *207
d (G) 207
cdp(G), cdG 213
hdG 257
ti(G) 208
A^ ( Л \ J^A ( A \ о i о
% (G) 213, 257
*+, x-, \x\, x Ly 2ЭО
1% ID, /S, /Я 232
Aut (G, TV), Stab (G, JV) 234
Cent G, IAut G 234
^n, m 242
Zn (X), Bn (X), Hn (X) 246
Zn (X), Bn (X), H" (X) 246
A ® B, A <S>G В 246
Hn{G, A), Hn (G, Л) 211, 247
а„, а" 247
а„, ап 247
Pn, P" 248
bn, 6" 248
//„(-, A), Hn(—,A) 249
res, cor 249 '
AZG (G) 253
K(G, 1) 254
я, (X) 271
Я! (Г) 274
Глава Ш
Mn (Ф), Ф [^J 294
D CE\ CE\ D D V S/
A 1 \JJ • • - 41/ l\flt A ] /\ • • • s\
297
JJ/?t, 20/?i 297
2 /u, 20/i 303> 318
R/I 302
Z, /? 302
L (A), R (A), M (A) 304
Lie Л, Der/4 305
X(R) 307
rffi, r^ 308
ХГ 310
t/ (/?), S (R), Cent W 312
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
591
Аг%У,АппгУ322
Ann / 323
RG 329
SupP a, tr a 330
8 330
R [[*]] 332
R * G 334, 558
[£>: К] 336
(/1: В) 342
<Нтф/?349
GK-dimfl 352
gl. dim R 485
r gl. dim/? 513
й>, Х, / 354
#", .# 356
Л„ (Ф), Gn, С («, 0 362
Vn (Ф) 365
Var Л 369
Var (Л_) 370
/?, 376
Qmax (Я) 377
[*, у], х°у 381
л: ■ у 382
(х, 1/, z) 386
/ (х, у, г) 383
И(-> 381
Л<+) 382
Л", Л(п) 383
S(Л) 384
Nil Л 385
D(A),N{A), 8 (А), Г (Л) 386
% 1П Ф W, Jord [XI 387
Г (Ш) 387
У(Л) 391
U (L) 430
G (Л) 392
С (о), Н (о, Р), О (а, р, у) 394
Rad Л 400
р (A), LN (Л) 401
Strl / 409
Str/ 412
rad/415
*"!'. LN/, Rad/, P GL16
A"[nS/Uj4l8
Sjord, SJord, Jord 418
i(re> 424
Я <^4) 428
RAfs 442
Im ф, Кег ф 444
Coim Ф, Coker ф 446
E 5l 446
1®^. Ё^. 11^447,449
SocAf 452
(AT, M') 452
f^, EndAf 452
HOMR (A, B) 560
Л/* 454
A* 456
Л ®д В 455
Ann д:, Ann К 457
dim * 465
K-dimAf 467
G-dimAf 468
p. dim M, i. dim M 483
(Л, ф) 479
(ф, В), Нот^ (ф, ф) 480
Ф®ЙВ, Л ®д 1|), Ф ®R ^ 481
Ех^СЛ, В) 484
Ext^(Af, я), Ext^(n.Af) 484
Ext 509
До, Д„, Д°, Д" 484
Тог^ (Л, В) 486
Тог£ (М, я), Тог£ (я, М) 486
V0. Vre> V; V; 486
g (r), E (r) 489
^Л 491
Cg 493
rr, r^ 494
sing Л 495
S№ sr. s, 498, 499
/гр (а) 501
D(G), T (G) 502
A°, A* 529
йа|| 544
a+, a-, | a | 550
a* 551
rP (a), IP (a) 555
R° 557
Справочное издание
МЕЛЬНИКОВ Олгг Владимирович,
РЕМЕСЛЕННИКОВ Владимир Никанорович,
РОМАНЬКОВ Виталий Анатольевич,
СКОРНЯКОВ Лев Анатольевич
ШЕСТАКОВ Иван Павлович
ОБЩАЯ АЛГЕБРА
Том 1
Заведующий редакцией С. И- Зеленский
Редактор Ф. И. Кианер
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Л. В. Лихачева
Корректоры Н. Б Румянцева. О М Карпова
И Б №- 32384
Сдано в набор 17 11.89 Подписано л печати 20.09 90. Формат
84Х108/з2 Бумага тип № 2. Гарнитура литературная. Печать
высокая. Уел печ л 31,08 Уел кр.-отт. 31,08 Уч-изд. л. 34,05.
Тираж 30000 экз. Заказ № 346. Цена 2 р
Издательско производственное н книготорговое объединение
«Наука»
Главная редакция физико математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена
Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им Евгении Соколовой Государственного
комитета СССР по печати 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29,