/
Теги: комбинаторный анализ теория графов математика комбинаторика теория групп точные науки
Год: 1980
Текст
ERGEBNISSE DER MATHEMATIK UND IHRER GRENZGEBIETE 89
A SERIES OF MODERN SURVEYS IN MATHEMATICS
Roger C. Lyndon
Paul E. Schupp
COMBINATORIAL
GROUP
THEORY
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
1977
Р.ЛИНДОН
П.Шупп
КОМБИНАТОРНАЯ
ТЕОРИЯ
ГРУПП
Перевод с английского
Ю. А. БАХТУРИНА
под редакцией
В. Н. РЕМЕСЛЕННИКОВА и
В. А. РОМАНЬКОВА
Издательство «Мир»
Москва
1980
УДК 519.1+519.4
Систематическое и современное изложение комбинаторной тео-
рии групп. Значительная часть книги посвящена геометрическим
методам и теории малых сокращений, представлены разделы по
биполярным структурам Столлингса, разрешимости проблемы тож-
дества слов и др. В книге отражены интенсивные исследования
последнего десятилетия. От книги Магнуса и др. с тем же названием,
вышедшей в издательстве «Наука» в 1975 г., она выгодно отлича-
ется подбором материала и способом изложения.
Книга может служить как учебным пособием, так и источни-
ком информации для математика-специалиста. Она будет полезна
всем, кто занимается теорией групп и смежными вопросами.
Редакция литературы по математическим наукам
1702030000
20203-005
041 (01)-80 5‘W
© By Springer-Verlag Berlin Heidel-
berg 1977
All Rights Reserved
Authorized translation from English
language edition published by
Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-
New York.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1980
От редакторов перевода
В настоящее время в теории групп выделилась вполне самостоя-
тельная обширная область исследований, так называемая комби-
наторная теория групп. Принадлежность к ней определяется или
способом задания группы — через порождающие и определяющие
соотношения,— или тем, что результаты получаются с помощью
комбинаторных рассуждений. Сюда же относят изучение свободных
конструкций: свободного произведения, свободного произведения
с объединенной подгруппой, HNN-расширения.
Способ задания группы с помощью порождающих и определяю-
щих соотношений уходит корнями в топологию: он применялся
вначале для фундаментальных групп многообразий. Его простота
и универсальность сыграли важную роль в развитии теории групп.
Наличие такого способа непременно должно проявляться в родст-
венности ряда черт топологии и теории групп. И действительно,
многие вопросы, рассматриваемые в комбинаторной теории групп,
имеют топологические аналоги. Это относится к алгоритмическим
проблемам, теоремам о вложении, свободным конструкциям и т. д.
Предлагаемая читателям книга Линдона и Шуппа как бы про-
должает известную одноименную книгу Магнуса, Карраса и Соли-
тэра [1974], являющуюся введением в теорию свободных конструк-
ций и групп, заданных порождающими и определяющими соот-
ношениями. Она содержит изложение различных современных
подходов в данной области. Важнейшие из них — геометрические
методы и теория малых сокращений. Эффективные методы исследо-
вания в комбинаторной теории групп, к которым кроме рассмат-
риваемых в книге можно отнести теорию действия групп на де-
ревьях, развитую Серром и Бассом, гомологические методы, диф-
ференцирование Фокса, переход к многообразиям разрешимых
групп и т. д., позволяют по-новому взглянуть на основополагаю-
щие факты теории, переживающей сейчас качественные изменения.
Книга Линдона и Шуппа написана на основе ряда статей (в ос-
новном ее авторов), опубликованных в различных математических
журналах, и является хорошим обзором по данной тематике,
охватывающим довольно обширную библиографию. Нет сомнений,
что эта книга заинтересует математиков-теоретиков разных спе-
циальностей. В особенности она полезна специалистам по теории
6
От редактору перевода
групп и алгебраической топологии. Ее можно рекомендовать также
студентам, желающим войти в курс современных исследований по
теории групп.
В. Н. Ремесленников
В. А. Романьков
Омск
14 июля 1979 в.
Вильгельму Магнусу
Предисловие
Возникшая на основе идей Галуа теория групп на начальном
этапе своего развития была почти исключительно теорией конечных
групп. Идея абстрактной бесконечной группы получила явственное
воплощение в работе Кэли об аксиомах группы, однако и тогда
время глубоких исследований по бесконечным группам не настало.
Лишь сложившаяся позже школа в теории групп, выдающуюся
роль в которой играл О. Ю. Шмидт, занялась отчасти отысканием
для бесконечных групп аналогов результатов, справедливых для ко-
нечных групп. Важное влияние на развитие теории групп оказало
признание роли групп в геометрии в работах Клейна, причем
многие из рассмотренных им групп были бесконечными. Существен-
ным толчком стало также развитие теории непрерывных групп,
начатое Ли. Одним из главных стимулов для изучения бесконечных
дискретных групп было развитие топологии: упомянем, в частности,
работы Пуанкаре, Дэна и Нильсена. Именно этот последний сти-
мул наиболее важен в настоящем контексте, так как он естествен-
ным образом побуждал изучать группы, заданные порождающими
и определяющими соотношениями.
Для последних лет характерен неуклонный рост интереса к бес-
конечным дискретным группам как при систематическом развитии
абстрактной теории, так и в приложениях к другим областям.
Продолжали укрепляться связи с топологией. Влияние результа-
тов из области логики и теории алгоритмов особенно сильно стало
ощущаться в теории бесконечных групп, а через нее и в топологии,
после того как П. С. Новиков и Бун привели примеры групп с алго-
ритмически неразрешимой проблемой равенства слов.
Большую роль в развитии идей Дэна сыграл Магнус, в свою
очередь оказавший весьма сильное влияние на современные иссле-
дования. Книга «Комбинаторная теория групп» Магнуса, Карраса
и Солитэра, появившаяся в 1966 г.1) и сразу же ставшая классиче-
ской в упомянутой в заглавии области, была посвящена Дэну.
Наше восхищение этой работой побудило нас дать нашей книге
то же название. Надеемся, что нам удалось сделать еще один шаг
См. Магнус, Каррас, Солитэр [1974],— Прим, ред.
8
Предисловие
в систематическом и углубленном изложении и обзоре данного
предмета.
Нам кажется, что область комбинаторной теории групп вполне
разумно очерчена в книге Магнуса, Карраса и Солитэра. Нет
необходимости перечислять здесь все те проблемы, которыми
мы будем заниматься,— для этого можно использовать оглавление
книги. Хочется упомянуть лишь два общих метода, пронизываю-
щих все изложение. Первый из них — «линейный» метод Ниль-
сена, играющий важную роль в главах I и IV. Этот метод связан
с формальным представлением элементов группы с помощью дан-
ного множества порождающих. Второй, более геометрический, ме-
тод, созданный Пуанкаре и Дэном и охватывающий большую часть
современных исследований в теории малых сокращений, важен
во второй, третьей и особенно пятой главах. Он связан с формаль-
ным представлением элементов нормальной подгруппы М группы G
с помощью сопряженных к элементам данного множества, нормаль-
ным замыканием которого в G является М.
Мы сделали заметный акцент на связях с топологией, на рас-
суждениях примитивной геометрической природы и на связях
с логикой. В нашем изложении мы пытались совместить ясность
и замкнутость в себе (на весьма скромном уровне) с достаточной
полнотой ссылок на исследования в рассматриваемой области.
Значительные различия в стиле отдельных частей книги вызваны
(помимо упомянутых соображений) тем, что каждая глава писалась
лишь одним из авторов, хотя и в тесном сотрудничестве с другим.
Тем не мерее мы считаем, что этот стиль изложения приемлем для
книги такого характера.
Мы не видим необходимости объяснять, почему мы включили
тот илц иной материал, но хотим оправдаться в том, что некоторые
темы Мы пропускали. Разумеется, есть немало важных разделов
теории групп, которые никому не придет в голову включать в ком-
бинаторную теорию групп, например, большая часть теории ко-
нечных групп. Пограничная область, которую мы не пытались
затрагивать здесь,— это теория групп с условиями конечности.
Кроме упомянутых остается целый ряд важных тем, которые, по
нашему мнению, принадлежат к комбинаторной теории групп,
однако если и были упомянуты в настоящей книге, то совсем бегло,
поскольку мы никоим образом не рассчитывали улучшить уже
имеющиеся отличные изложения этих тем. Упомянем некоторые
из них.
1. Коммутаторное исчисление и теория Ли. Прекрасное изло-
жение дано в гл. 5 книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1974].
Заметки Ф. Холла «Нильпотентные группы» были переизданы в
1970 году х).
х) Русский перевод, см. Ф.'Холл [1968].— Прим. ред.
Предисловие
9
2. Многообразия групп. Определяющей работой является книга
X. Нейман [1969]
3. Линейные группы. Наиболее подходящие к нашей теме —
монографии Диксона [1973] и Верфрица [1973].
4. Группы, действующие на деревьях. Мощный метод Басса и
Серра — центральный в нашей теме. Обзор этой теории содер-
жится в широко распространенных заметках Серра [1974], пред-
назначенных для публикации в серии «Lecture Notes» издательства
«Шпрингер».
5. Концы групп. Развитие этого предмета Столлингсом [1968,
1968, 1970 и 1971] ') и Суоном [1969] также находится в центре
внимания в рассматриваемой нами области. Прозрачное и глубокое
изложение этого предмета с несколько иной точки зрения дано
в книге Коэна [1972].
6. Теория когомологий. Из множества отличных источников
наиболее близкой к духу нашего изложения кажется книга Грюн-
берга [1970] * 2).
Мы хотели бы обратить внимание на несколько других книг,
имеющих отношение к нашей тематике. Для изложения истории
теории групп в начале нашего века мы отсылаем читателя к книге
Вуссинга [1969]. Книга Куроша в ее различных изданиях и пере-
водах остается наряду с книгой Магнуса, Карраса и Солитэра
классическим источником информации о бесконечных группах.
В книге Кокстера и Мозера [1972], помимо других вещей, содер-
жатся представления для целого ряда групп, большей частью
геометрической природы. Многое заимствовано нами из книги
Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970]. Изложение теории фуксовых
групп с комбинаторной точки зрения можно, кроме того, найти
в заметках Макбета [1961] и в книге Магнуса [1974]. Элементарное
изложение основных связей между топологией и теорией групп
имеется в книге Масси (см. Масси, Столлингс [1977]). С подробным
изложением алгоритмических проблем в теории групп читатель
встретится в книге Миллера III [1971]3).
9 См. русский перевод в книге Масси и Столлингса [1977].— Прим, перев.
2) Нам хотелось бы сделать следующее добавление этому списку. Для реше-
ния знаменитой проблемы Бернсайда о существовании бесконечных конечно по-
рожденных групп конечного периода П. С. Новикову и С. И. Адяну потребовалось
развить богатую комбинаторную технику исследования. Подробное и усовершенст-
вованное ее изложение с другими приложениями содержится в книге С. И. Адяна
[1975].— Прим. ред.
3) Нам бы хотелось особо выделить книгу М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзля-
кова [1977*]. В ней содержится концентрированное изложение основ теории групп,
включающее ряд глубоких теорем. Несомненно, что эта сравнительно новая и еще
недостаточно известная за рубежом книга сыграет важную роль как в формиро-
вании молодых математиков, так и в развитии самой теории групп.— Прим. ред.
10
Предисловие
БЛАГОДАРНОСТИ
Предложение написать такого типа книгу мы получили от Пи-
тера Хилтона, редактора шпрингеровских изданий, в письме,
написанном в Монпелье. Весьма удачно поэтому, что готовая ру-
копись отсылается в издательство также из Монпелье.
Первый из авторов (Р. Л.) представил первоначальный вариант
некоторой части этой работы на семинаре в Морхаус-колледже,
Университет г. Атланты, осенью 1969 г. Более поздние варианты
были разработаны и представлены на лекциях в Мичиганском уни-
верситете, а также во время короткого визита в колледж Куин
Мери, Лондонский университет. Большая часть работы была про-
делана в Лангедокском университете науки и техники, Монпелье,
в 1972/73, а также в нынешнем учебном году; в течение короткого
времени работа проводилась в Бирмингамском университете. Ав-
тор благодарит эти университеты, а также Рурский университет,
Бохум, за гостеприимство. Он с благодарностью отмечает также
поддержку Национального научного фонда (США) и Совета по
научным исследованиям (Великобритания).
Второй автор (П. Ш.) благодарит Иллинойсский университет
за то, что был направлен в Центр высших исследований при этом
университете на 1973/74 академический год. Он также благодарен
за теплый прием в различные периоды подготовки этой книги,
оказанный колледжем Куин Мери, Лондон, и Манитобским уни-
верситетом.
Мы оба весьма обязаны коллегам и студентам как упомянутых,
так и некбторых других университетов за обсуждения и критику.
За помощь в подготовке рукописи мы благодарим госпожу Баррьер
и госпожу Монд. Мы благодарим д-ра Алису Петерс и Роберто
Минио из издательства «Шпрингер» за большую помощь и прояв-
ленное терпение.
Р. Линдон, Монпелье, 1974
П. Шупп, Урбана, 1974
Постскриптум, февраль 1977. Перед отправкой рукописи в на-
бор мы получили возможность сделать ее более современной за счет
небольших вставок в текст книги и пополнения библиографии.
Глава I
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И ИХ ПОДГРУППЫ
1. Введение
Говоря неформально, группа является свободной на некото-
ром множестве порождающих, если между этими порождающими
нет никаких соотношений, кроме тривиальных, т. е. таких, которые
имеют место между элементами произвольного множества в произ-
вольной группе. Мы уточним это определение следующим образом.
Определение. Пусть X — подмножество некоторой группы F.
Тогда F называется свободной группой с базисом ') X, если выпол-
няется следующее условие: для любого отображения <р множества X
в группу Н существует его единственное продолжение <р*, являю-
щееся гомоморфизмом группы F в группу Н.
Заметим, что требование единственности продолжения <р* экви-
валентно тому, что X порождает группу F.
Предложение 1.1. Пусть Ft и F2— свободные группы с бази-
сами Xi и Хг соответственно. Эти группы изоморфны тогда и
только тогда, когда множества Xi и Х2 имеют одинаковую мощ-
ность.
□ Предположим, что Д — взаимно однозначное отображение мно-
жества Xi на множество Х2. Положим f2=fr\ Тогда отображения
Д и f2 определяют отображения <рх: Xi->f2 и <р2: X2->fi. Эти по-
следние продолжаются до гомоморфизмов <р’: Ft^F2 и <р2: F2-+Fi.
Однако гомоморфизм ддф2: действует на множестве Хц
как тождественное отображение fif2=ix, и, следовательно, яв-
ляется продолжением отображения вложения X^Fi. Поскольку
тождественный гомоморфизм iFt : F^Fr также продолжает это
отображение вложения, то, согласно требованию единственности,
<рГф2=^,- Аналогично <р2ф1=1^. Отсюда вытекает, что чд —
изоморфизм группы Ff на группу F2.
х) В отечественной математической литературе приняты термины «система
свободных образующих» или «свободное порождающее множество» и др. В то же
время, если речь идет о свободных объектах в (квази)многообразиях, принят
именно термин «базис» (см., например, Мальцев А. И. Алгебраические системы.—
М.: Наука, 1970). Это последнее обстоятельство и краткость термина «базис», иск-
лючительно часто повторяющегося в тексте, определили наш выбор,— Прим,
перев,
12
Г л. 1. Свободные группы и их подгруппы
Осталось показать, что группа F определяет кардинальное
число |Х|. Подгруппа W группы F, порожденная квадратами всех
элементов этой группы, нормальна, a F/N — элементарная абелева
группа ранга |Х|. (Если множество X конечно, число \F)N\=2'Xi
конечно; если кардинальное число |Х( бесконечно, то \F/N\ = \Х I.) □
Следствие 1.2. Все базисы данной свободной группы F имеют одну
и ту же мощность, называемую рангом группы F. □
Заметим, что свободная группа ранга 0 тривиальна.
Предложение 1.3. Если группа порождается множеством из п
элементов (п конечно или бесконечно), то она является фактор-
группой свободной группы ранга п.
Предположим сейчас (это будет доказано в следствии 1.7), что
для любого наперед заданного множества существует свободная
группа, для которой это множество является базисом. Пусть группа
G порождается множеством SsG, |S|=n, и пусть f — взаимно одно-
значное отображение некоторого множества X на S. Рассмотрим
свободную группу F с базисом X. Тогда отображение f определяет
отображение <р: X-+G, а это последнее продолжается до гомомор-
физма <р*: F-*-G. Поскольку образ S множества X при этом отобра-
жении порождает группу G, <р* отображает группу F на всю груп-
пу G. □
Класс свободных групп можно охарактеризовать и без исполь-
зования базисов. Это вытекает из того обстоятельства, что в кате-
гории групп проективные объекты свободны.
Определение. Группа Р называется проективной, если выпол-
няется следующее условие: для любых двух групп G и Н и любых
гомоморфизмов у из G на Н и л из Р в Н существует гомофорфизм <р
из Р в G, такой, что фу=л.
Определение. Отображение р группы G на подгруппу S назы-
вается ретракцией, a S называется ретрактом группы G, если
р2=р или, что то же самое, ограничение отображения р на S тож-
дественно.
Предложение 1.4. Проективные группы — это в точности рет-
ракты свободных групп.
□ Пусть Р — проективная группа. В определении проективной
группы положим Н=-Р, л-ip (тождественное отображение груп-
пы Р) и, используя предложение 1.3, возьмем в качестве G свобод-
ную группу с гомоморфизмом у из G на Р. Согласно определению
проективности, в этом случае существует <р: P-+G, такое, что <py=iP.
Рассмотрим R=Pq>^G и положим р=у<р. Тогда Gp=Gy<p~P<p=R
1. Введение 13
и р2=уфуф=у1рф=уф=р. Таким образом, р—ретракция и R—
ретракт группы G. Поскольку Pq>=R и ФУ = «Р, то ф—изомор-
физм из Р на R. Поскольку, далее, R — ретракт свободной группы,
то такова же и группа Р. □
Отметим здесь, что подгруппа свободной группы, порожденная
частью базиса, очевидно, является ретрактом, но не каждый ре-
тракт свободной группы представляет собой группу такого вида;
контрпример можно найти в книге Магнуса, Карраса и Солитэра
[1974, с. 149].
Для доказательства следующего утверждения нужно использо-
вать тот факт (см. предложение 2.11), что всякая подгруппа сво-
бодной группы свободна.
Следствие 1.5. Проективные группы свободны. □
Вернемся теперь к вопросу о существовании свободных групп.
Оно следует из общих принципов универсальной алгебры (см. Кон
[1968]), но мы предпочитаем дать явную конструкцию. Пусть дано
множество X; забегая вперед, назовем его элементы порождаю-
щими. Предположим, что Y — некоторое множество, не имеющее
общих элементов с X, и между ними установлено взаимно одно-
значное соответствие тр X-+Y. Если х £ X и хт|=г/, то будем писать
также уу\=х (так что т] превращается в инволюцию на множестве
X и У). Напишем при этом у=х~\ х—у1 и назовем элементы хи у
взаимно обратными. Будем писать также У=Х-1 и Х±г=Х U X-1.
Элементы множества Х±х — это буквы.
Слово — это конечная последовательность букв, щ=(ах, ..., ап),
п^О, at^X^1. Если п=0, то щ=1 — пустое слово. Множество
W=W (X) всех слов является полугруппой относительно операции
приписывания слов (это свободная полугруппа с единицей и бази-
сом Х±х). Вместо однобуквенного слова (а,) мы будем писать просто
at (возникающая при этом двусмысленность неопасна); это позво-
ляет Нам записать w в виде w~ai ... ап, т. е. как произведение од-
нобуквенных слов. Продолжим инволюцию т| на W, полагая ют] =
=щ-1=ц-1 . . . ц^1. Понятно, что т| — инволютивный антиавтомор-
физм: (uv)-1=v_1u_1, 1-1=1.
Определим длину |щ| слова w=ai ... ап как число |щ|=м. Ясно,
что \uv\ = |u| + lu|, |1|==0.
Элементарное преобразование слова w состоит из вставки или
вычеркивания подслова вида аа~г, а СХ±Х. Два слова иф и w2 назы-
ваются эквивалентными, Wi~w2, если существует последователь-
ность элементарных преобразований, ведущая от Wi к w2. Понятно,
что это отношение эквивалентности на множестве IF; более того,
оно согласовано со структурой полугруппы с единицей с инволю-
тивным антиавтоморфизмом на W: из «i~u2 и следует, что
UiV1~u2v2, а из щ~и2 следует, что Это позволяет перейти
14
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
к факторполугруппе F=W)~, которая, очевидно, является груп-
пой. Убедимся в том, что она на самом деле является свободной
группой, базисом которой служит множество образов элементов
х£Х.
Слово называется приведенным, если оно не содержит ни одного
подслова вида аа-1, а£Х±г. Рассмотрим множество Wg приведен-
ных слов. Покажем, что каждый класс эквивалентности слов из W
содержит в точности одно приведенное слово. Прежде всего, по-
нятно, что всякий класс эквивалентности содержит хотя бы одно
приведенное слово, так как последовательным вычеркиванием
подслов вида аа-1 можно от любого слова w перейти к приведенному
слову. Достаточно теперь показать, что различные приведенные
слова и и v неэквивалентны. Предположим, что u=wt, w2, ...
. ., wn=v — цепочка, ведущая от и к V, в которой каждое wi+i полу-
чается из Wi элементарным преобразованием причем
число минимальное из возможных. Поскольку u^=v
и и, v — приведенные слова, то п>\, l&y2l>luhl и |и?л_113>|&у7г|.
Поэтому найдется номер i (1<1<м), такой, что |&у;-+1|.
Таким образом, получается из Wt вычеркиванием подслова
аа"1, a w! + i получается из wt вычеркиванием подслова ЬЬ~г. Если
эти подслова совпадают, то в противоречии с мини-
мальностью числа N. Если эти подслова имеют общую часть, но
не совпадают, то wt содержит подслово аа-1а и wi+i полу-
чаются заменой этого подслова на а, так что снова wl-_1=wi+i.
В оставшемся случае, когда указанные подслова не пересекаются,
можно заменить wt результатом w вычеркивания обоих этих под-
слов, что щает возможность получить новую цепочку между и и v
с N'=N—4, что снова противоречит минимальности числа N.
Имеется и другое, принадлежащее ван дер Вардену [1948],
доказательство того же факта (см. также Артин [1947]). Для каж-
дого х С X определим подстановку хД на множестве 1У0, полагая
w(xk)=wx, если wx — приведенное слово, и w(x/X)=u, если w*=
--их-1. Пусть П — группа подстановок множества Wo, порожден-
ная подстановками хД, х£Х. Обозначим через Д* мультиплика-
тивное продолжение отображения Д до отображения Д*: Ц7->П.
Если Ui~u2, то uiA*=u2&*; более того, 1 (иД*)=и0 — приведен-
ное слово, такое, что и0~и. Отсюда следует, что если ui и и2 —
приведенные слова и ui~u2, то u1=u2. Отметим, что Д* индуци-
рует изоморфизм группы F=WI~ с П.
Предложение 1.6. F — свободная группа, базисом которой яв-
ляется множество [X] классов эквивалентности элементов из X,
причем |[Х]| = |Х|.
□ Предположим, что Н — произвольная группа, и пусть <р отоб-
ражает множество [X] классов эквивалентности элементов х С X в Н.
Для доказательства равенства |[Х]] = |Х| заметим, что если Xi,
1. Введение
15
х2 £ X, причем Xi#=x2, то kilyjxj, поскольку однобуквенные
слова Xi и х2 приведены. Тогда <р определяет отображение ф,: Х->-Н,
при котором [х]<р=хф1. Определим продолжение ф£ отображения фх
из W в Н, полагая кхр1*=(лф . .. х«")фГ=(Х1ф1)е* ... (хпф1)еп, xt £ X,
ег = ±1. Если w-i и w2 эквивалентны, то &У1ф*=щ2ф*, так что ф^
отображает эквивалентные слова в один и тот же элемент группы Н
и, следовательно, индуцирует отображение ф* : F-+H, очевидно,
являющееся и гомоморфизмом и продолжением отображения ф. □
Следствие 1.7. Для любого множества X существует свободная
группа, для которой X — базис. □
Предложение 1.8. Пусть ф — гомоморфизм группы G на сво-
бодную группу F с базисом X, и предположим, что ф отображает
подмножество S группы G взаимно однозначно на множество X.
Тогда подгруппа Gp(S) группы G, порожденная множеством S,
является свободной группой с базисом S.
□ Обозначим через ф: X-+G отображение, обратное к ограничению
отображения ф на S. -Тогда ф продолжается до гомоморфизма ф*:
F-*-G, причем его образом является Gp (S). Поскольку ф*ф дейст-
вует на X тождественно, это тождественный гомоморфизм группы F,
откуда следует, что ф* взаимно однозначно и, значит, является
изоморфизмом из F на Gp (S), отображающим X на S. □
Предложение 1.9. Пусть X — подмножество группы G, такое,
что ХпХ-1 = 0. Тогда X является базисом некоторой свободной
подгруппы G тогда и только тогда, когда нетривиальны все произ-
ведения вида w=xt ... хп, где ri^l, xt £ Х±х и х,х(+1у=1 для всех I.
□ Предположим сначала, что некоторое такое w равно 1. Пусть ф
отображает X инъективно в базис Y некоторой свободной группы F.
Поскольку (%1ф) ... (хпф)¥=1 в F, отображение ф нельзя продол-
жить до гомоморфизма из Gp (X) в F. Таким образом, Хне является
базисом для Gp(X).
Предположим, что, напротив, ни для какого такого w не вы-
полняется &у=1. Пусть F — свободная группа с базисом У и отоб-
ражение ф: У->Х устанавливает взаимно однозначное соответствие
между У и X. Обозначим через ф* единственное продолжение отоб-
ражения ф до гомоморфизма ф*: F-+G. Если и — произвольное
нетривиальное приведенное слово из F, то по нашему предполо-
жению щ=«ф*#=1; поэтому ф*—мономорфизм. Так как Уф*=Х,
то Еф* = Ор(Х) и ф*—изоморфизм из F на Gp(X), отображаю-
щий У на X. Поскольку F — свободная группа с базисом У, то
Gp (X) — свободная группа с базисом X. □
Слова представляют элементы свободной группы F с данным
базисом X примерно в той же степени, в какой матрицы представ-
16
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
ляют линейные преобразования. Так, о слове w мы часто будем
говорить как об элементе w этой группы, но из контекста всегда
будет ясно, о чем идет речь. Для экономии места в дальнейшем,
когда мы будем говорить о свободной группе F, то будем подразу-
мевать, что X — ее базис. Кроме того, в отличие от предыдущего,
символ |w| будет обозначать впредь длину приведенного слова
для w относительно базиса X.
Если и и v—элементы группы F, то всегда |ыц|^|ы|+|ц|;
в самом деле, предполагая слова и и v приведенными, мы можем
найти «1, Vi, z, такие, что «=п1г, v=z-1v1, причем, слово uv=u1v1
приведено. При этом говорят, что части z и г-1 сократились. Изу-
чение возможностей для такого сокращения при образовании про-
изведения двух или более слов лежит в основе метода Нильсена,
к изложению которого мы сейчас и переходим.
2. Метод Нильсена
Основной инструмент при изучении свободных и некоторых
близких к ним групп — это теория сокращения. Пусть F — сво-
бодная группа с базисом X. Слова w над X представляют элементы
группы F, а символ |да| обозначает длину приведенного слова,
эквивалентного w. Будем говорить, что произведение ц)=щ ... ип
приведено (или что это равенство приведено), если не только в F
справедливо равенство w=Ui ... ип, но и |u)| = |u1l + .. .+lunl;
скажем также, что это равенство выполняется без сокращения
(справа). В общем случае, если щ и и2 — некоторые элементы из F,
то существуют однозначно определенные а1( а2 и Ь, такие, что
u1=a1b~1, w2=ba2, щи2=ащ2, где все произведения приведены.
Будем говорить, что подслово &-1 слова щ и подслово b слова и2
сократились. Отметим, что |uj«2l =l«il + l«2l—2|&|^|ы1| + |и2|. При
перемножении более чем двух элементов положение, естественно,
может оказаться’ намного более сложным. Метод Нильсена осно-
вывается на том факте, что некоторые разумные предположения
ограничивают возможности для такого сокращения; в частности,
некоторые локальные предположения о величине сокращения в
произведении двух или трех сомножителей ведут к глобальным
выводам о величине сокращения в произведении произвольного
числа сомножителей.
Подобные рассуждения, связанные с сокращением, были впер-
вые применены Нильсеном для доказательства теоремы о подгруп-
пах. Эта теорема, грубо говоря, связана со следующей проблемой:
для данного подмножества U свободной группы F требуется охарак-
теризовать элементы подгруппы Gp ([/), порожденной этим множест-
вом. Столь же важной проблемой является характеризация эле-
ментов нормального замыкания множества U в F. Рассуждения
Нильсена вполне можно назвать линейными, поскольку в них
2. Метод Нильсена
17
существенно участвуют линейные массивы символов и преобразо-
вания этих массивов. Напротив, решение второй проблемы естест-
венно ведет к рассмотрению двумерных конфигураций и того, что
можно назвать геометрической теорией сокращения. Здесь мы
будем заниматься исключительно линейной теорией; о геометриче-
ской теории речь пойдет в главах III и V.
Такими методами в 1921 году Нильсен впервые доказал, что
каждая конечно порожденная подгруппа свободной группы сама
является свободной группой; это теорема Нильсена о подгруппах.
Шрайер (см. 3.8), используя несколько иные методы, доказал
то же самое утверждение без предположения о конечной порожден-
ное™; это утверждение называется теоремой Нильсена — Шрайера
о подгруппах. Она может быть получена также и обобщением
метода Нильсена (см. предложение 2.9). Однако идейно наиболее
простыми ее доказательствами являются доказательства, основан-
ные на применении несложных топологических рассуждений (см.
III.3.3). Мы приводим здесь вариант нильсеновского доказательства
теоремы о подгруппах отчасти из-за его элементарности, отчасти
ввиду его тесной аналогии с известными методами из линейной
алгебры, но главным образом ввиду многих важных приложений
вводимого метода.
При рассмотрении подмножеств группы G часто технически
удобно мыслить их вполне упорядоченными, т. е. считать их век-
торами вида U=(ult и2, ..) конечной или бесконечной длины.
Впрочем, это не значит, что мы не будем использовать тот же сим-
вол U для обозначения соответствующего неупорядоченного мно-
жества, а в дальнейшем во многих случаях нам будет удобнее
работать с множеством U^1, состоящим из элементов и и п-1, где
U.
Определим три типа преобразований вектора С/=(и1, и2, ...):
(Т1) заменить некоторый щ элементом и^1;
(Т2) заменить некоторый элемент щ элементом где 1#=/;
(ТЗ) вычеркнуть некоторый элемент пг, если п; = 1.
Во всех трех случаях имеется в виду, что элементы uh при h=/=i ос-
таются неизменными. Эти преобразования называются элементар-
ными нильсеновскими преобразованиями', произведение таких пре-
образований называется просто нильсеновским преобразованием, ре-
гулярным в том случае, когда отсутствуют сомножители типа (ТЗ),
и сингулярным в противном случае.
Легко видеть, что каждое преобразование типа (Т1) или (Т2)
имеет обратное, также являющееся регулярным нильсеновским
преобразованием, откуда следует, что регулярные нильсеновские
преобразования образуют группу. Легко также видеть, что эта
группа содержит любую перестановку, оставляющую на месте
почти все элементы а также содержит преобразования, перево-
18
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
дящие ut в один из элементов utuj, UjU/1, u}Ui, uj^ut, где (при-
чем uh остаются на месте при h^=i). Мы иногда будем расширять
наше определение и причислять только что упомянутые преобразо-
вания к регулярным элементарным нильсеновским преобразова-
ниям.
Предложение 2.1. Если U переводится в V некоторым нильсе-
новским преобразованием, то Gp (t/)=Gp (V).
□ Утверждение очевидно для любого элементарного нильсенов-
ского преобразования и, следовательно, может быть доказано ме-
тодом математической индукции. □
Рассмотрим теперь вектор [/=(«!, и2, ...), где каждое иг лежит
в свободной группе F с базисом X. Как обычно, обозначим через
|&у| длину приведенного слова, представляющего w. Рассмотрим
элементы Vj, v2, v3 вида ut1 и назовем вектор U N-приведенным,
если для любой такой тройки выполняются следующие условия:
(NO)
(Nl) влечет за собой |t»iV2|>IvJ, |v2|;
(N2) Oil'll и v2v3y=l влекут за собой |цщ2Уз1>1У11—Iv2I+Iv8|.
Предложение 2.2. Конечный вектор U=(ui, ..., мп) может быть
нильсеновскими преобразованиями переведен в N-приведенный век-
тор V.
□ Предположим сначала, что U не удовлетворяет условию (N1).
Тогда, возможно после перестановки на множестве U*1, получим
lUiUjKIUjl, где UiUj^l. Поскольку ясно, что неравенство |u2|<|u|
невозможно в свободной группе, то /=/=г. Однако в этом случае
преобразование (Т2), заменяющее ut на UtUj, уменьшает сумму
2|иг|. Опираясь на индукцию, можно предполагать, что эта сумма
сведена к минимуму и, значит, что U удовлетворяет условию (N1).
После преобразований вида (ТЗ) можно предполагать, что U удов-
летворяет также и (NO).
Рассмотрим теперь тройку t»i=x, v2=y, v3—z, такую, что xz/#=l
и z/z#=l. По условию (N1) имеем |ху|^|х| и Iz/zl^lzl, т. е. часть
элемента у, сокращающаяся в произведении ху, не превышает по-
ловины от у. То же самое можно сказать о части у, сокращающейся
в произведении уг. Таким образом, мы получаем, что х=ар~\
y—pbq-1, z=qc и все произведения приведены, откуда xy=abq~x
и yz~-=pbc, причем и эти произведения приведены. Если Ь^=\, то
произведение xyz=abc приведено, так что Ixyzl — ixl—|z/l + lzl +
+ 1&|>|х|—1г/1 + 1г|, значит, (N2) выполняется для этой тройки.
Предположим поэтому, что Ь=1, т. е. что х=ар~\ y=pq~1, z=qc,
и, следовательно, условие (N2) нарушено. Заметим, что =
<|х|/2, |г|/2 и p^q.
2. Метод Нильсена
19
В этом случае мы имеем право, применяя преобразования типа
(Т2), не изменяющие 2|пг|, заменить х~1=ра~1 на (xy)~1=qa~1i
либо заменить z=qc элементом yz=pc. Чтобы устранить ситуацию,
описанную выше, нам следует установить приоритет слов, левые
половины которых начинаются со слова р, над словами, левые по-
ловины которых начинаются с q (или наоборот). Точнее, предпо-
ложим, что множество X(J X-1 букв вполне упорядочено. Эта упо-
рядоченность индуцирует лексикографическую полную упорядо-
ченность u<v на множестве приведенных слов из F. Назовем левой
половиной слова w начальной отрезок L(w) длины [(Ы + 1)/2].
Определим, наконец, полную упорядоченность пар {оу, иг1}, по-
лагая {иь, и’Г1}<{и»8, и^Г1} тогда и только тогда, когда либо
min{Z, (®i), L (u^JCmin}/, (w2), L (W21)}, либо эти два минимума
равны и max{L(u)i), L(uT1)}<max{L(u)2), L(w21)}. Будем писать
просто Wi<w2, если {u»i, u/rl}<{u>2, и)?1}. Предположим теперь, что
х=ар~1, y=pq~1 и z—qc, как и выше. Если p<Zq (лексикографиче-
ски), то yz=pc<z=qc\ если же q<.p, то xy~aq~1<x==ap~t. Предпо-
ложим, что множество элементов п, преобразованиями (Т2) сделано
минимальным относительно упорядоченности «<«'. При этом
свойства (NO) и (N1) сохраняются, а только что проведенное рас-
суждение показывает, что тройки х, у, z описанного вида встре-
титься не могут, так что выполнено и условие (N2). □
Отметим, что во всех случаях, кроме £/±1 = {1}, условие (NO)
является следствием условия (N2); действительно, если 1, U^1,
а п#=1, то тройка и, 1, п-1 нарушает условие (N2).
Следующий шаг в рассуждениях Нильсена мы проведем в слегка
более сильной форме, с успехом использованной Цишангом для
случая свободных произведений в 1970 году.
Предложение 2.3. Предположим, что U — (конечное или беско-
нечное) множество, удовлетворяющее условиям (NO) — (N2). Тогда
с каждым и в и±]- можно связать слова а (и) и т(и),т(и)^=\, такие,
что равенство
и=а (и)т (и)а (п-1)-1
приведено, и если
w=ui ... ut, t^O, ut С [/±х, где М(М;+1#=1,
то т(щ), ..., m(ut) остаются несокращенными в приведенной
форме слова w. [В более явной форме этот вывод может быть записан
так', для любого i,
|и»| = 1«1 ... щ-щ (и,)1 + \т («01 + 1° («Г• • • «*1.1
□ Для каждого u^U^1 определим а (м) как самый длинный на-
чальный отрезок слова и, сокращающийся в произведении им#=1,
20
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
v^U^1. По свойству (N2) начальный отрезок а (и) и конечный
отрезок (а(и-1)-1 не исчерпывают и, так что и=а(и)т(и)а(и~1)~1
для некоторого m («)=/=!. Если теперь w означает то же, что и выше,
обозначим через w' результат произведения в неприведенном слове
щ . ut всех сокращений между соседними сомножителями щ,
ui + 1. Тогда ... m’t, где т\— средний отрезок слова щ,
содержащий m{ut). Поскольку п?'-у=1 и так как между пг(- и m'l+i
нет сокращений, w' — приведенное слово, т. е. w' — приведенная
форма слова w. □
Следствие 2.4. Если U удовлетворяет условиям (NO) — (N2)
и w=Ui ... ut, i^Q, ut £ U*1, где все utui+1 отличны от I, mo Iwl^t.
□
Предложение 2.5. Если U удовлетворяет условиям (NO) — (N2),
то группа Gp ([/) свободна, a U — ее базис.
□ Это непосредственно следует из предложения 1.9 и след-
ствия 2.4. □
Предложение 2.6. (теорема Нильсена о подгруппах). Каждая
конечно порожденная подгруппа свободной группы свободна.
□ Пусть F — свободная группа с базисом X, и предположим, что
подгруппа G порождена конечным множеством U^F. По предло-
жению 2.2 U нильсеновскими преобразованиями может быть пере-
ведено в N-приведенное множество V. По предложению 2.1 G=
=Gp (U) = Gp (V). Согласно следствию 2.4, G — свободная группа
с базисом V. □
Предложение 2.7. Пусть F — свободная группа конечного ран-
га п. Тогда она не может быть порождена менее чем п элементами,
и если U — множество из п элементов, порождающее группу F, то
U — базис для F.
□ Применим рассуждения из доказательства предложения 2.6
при дополнительном предположении G=F. По определению ниль-
сеновских преобразований IVICI^I- Однако V — базис для F,
откуда |V|=rank F=n, так что п^|[/|. Далее, если \U\-=n, то
|[/1 = 1 VI, и, следовательно, ни одно из преобразований вида (ТЗ)
не было применено при переходе от U к V. Тогда V является обра-
зом множества U при регулярном нильсеновском преобразовании,
а значит, U — образ V при обратном регулярном нильсеновском
преобразовании. В то же время, используя индукцию, нетрудно
доказать, что образ базиса при регулярном нильсеновском пре-
образовании снова является базисом. □
Предложение 2.8. Пусть F — свободная группа с базисом X,
и допустим, что вектор U удовлетворяет условиям (NO) — (N2).
2. Метод Нильсена
21
Тогда Х±г П Gp (G)=X±1 П U^1. В частности, если U — базис для
F, то —
□ Рассмотрим xgXnGp(G). Имеем х=иг ... ut, f^Q, ut£U±i,
причем все UtUi+l отличны от 1. Согласно следствию 2.4, 1 = |х|^/,
откуда 1=1 и x=Ui С U*1. Отсюда следует, что X±1nGp(G)^
sX±1 Г) U±l. Обратное включение очевидно. Если Gp (U)=F, то
X±1^U±1. Обратное включение снова очевидно (например, вслед-
ствие предложения 1.1). □
Рассуждение Нильсена было применено к случаю произвольных
подгрупп свободных групп Федерером и Йонссоном [1950]. Доказа-
тельство, приводимое нами здесь, основано на использовании упо-
рядоченности <.
Предложение 2.9. Допустим, что G — подгруппа свободной
группы F. Для любого g£G определим G^=Gp({/i; hcG и h<_g}).
Тогда множество X = {g; g£G и g^.Gg) является N-приведенным
базисом подгруппы G.
□ Убедимся сначала, что А порождает G. Предположив, что это
не так, рассмотрим наименьший элемент g из G—Gp (Л). Поскольку
все h£G, такие, что /i<g, лежат в Ор(Д), имеем g£Gg. Однако
в этом случае g £ А по определению.
Предположим теперь, что х и у — различные элементы мно-
жества А. ЕбПи при любом выборе знаков е и 6 элемент (№г/6)±:1
меньше х либо у, то получаем противоречие. Например, если х<_у
и ху<у, то у £ Gp ({х, ху}) в противоречие с включением у^А.
Теперь уже доказательство предложения 2.2 показывает, что мно-
жество А является У-приведенным. □
Федерер и Йонссон имели дело с более общей упорядоченностью.
Они доказали следующее:
Предложение 2.10. Пусть G — подгруппа свободной группы
F, вполне упорядоченная произвольным отношением таким, что
|g| < |/i| влечет за собой g<Zh. Для любого g£G определим Gg=
= Gp({/i; h$G и h<Zg}). Тогда X={g; g^G и g^Gg} является
базисом для G. □
Из предложения 2.9 немедленно вытекает теорема Нильсена —
Шрайера о подгруппах.
Предложение 2.11. Произвольная подгруппа любой свободной
группы сама свободна. □
Обратимся к применению приведенных выше построений. Сле-
дующий результат принадлежит Нильсену (см. Федерер и Йонссон
[1950, теорема 3.1П). Этот аналог теоремы из линейной алгебры
22
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
является лишь весьма частным случаем теоремы Грушко — Неймана
(см. Ш.З).
Предложение 2.12. Пусть <р — гомоморфизм конечно порожденной
свободной группы F на свободную группу G. Тогда F обладает базисом
Z=Zil)Z2, таким, что <р отображает Gp(Zi) изоморфно на G, а
Gp(Z2) в 1.
□ Рассмотрим некоторый упорядоченный базис X=(xi, хп)
группы F. Тогда последовательность (Ххср, ..хпср) элементов груп-
пы G произведением элементарных нильсеновских преобразований
может быть переведена в последовательность («j...ип), где для
некоторого т, 0 т п, иг..........ит является М-приведенным
базисом группы G и ит+1 = .. .=«п = 1. В этом случае аналогичное
произведение нильсеновских преобразований группы F переводит
X в базис Z вида Z=(zu ..., гп) группы F, такой, что гг<р=иь
Предложение доказано. □
Предложение 2.13 Допустим, что V есть N-приведенное под-
множество свободной группы F и w—uY ... ип, где каждое и, С
и никакое UtUi+1 не равно 1. Тогда \w\^nu |re>| |«il.....|un|.
□ В доказательстве предложения 2.3 мы видели (см. следствие
2.4), что некоторая часть каждого слова ut сохраняется в w, так что
п. Из того же рассуждения усматривается, что при переходе
от ut.. .Uj к Ut.. .UjUJ+1 может сократиться не более половины слова
Uy+i, так что |«г.. .Uj\ | «г... и/+1|. Учитывая это и применяя умно-
жение на Uj слева и справа, получаем сначала |«г| С | UtUi+1l ..
.. . .ип\, а затем и | «г.. ,ип\ «,-_!•. .un|^... luf.. ,unl =
= |и1 □
Хор [1976], используя абстрактные функции длины (см. 1.9
ниже), назвал множество U слабо приведенным, если никакое про-
изведение «Г1 ,. .иЕ", и > 1, ut С U, е4=±1, и®< иЕ!+^у=1, не может
быть короче нйкакого собственного подслова. Это понятие слабее
понятия М-приреденного множества, однако допускает более про-
стые и изящный рассуждения. Существование слабо приведенного
порождающего множества для произвольной свободной группы
доказывается бев труда и влечет за собой все обычные следствия.
Когда мы говорим об элементе w или множестве элементов Wt в
свободной группе F с фиксированным базисом X, мы имеем в виду,
что заданы слова, представляющие эти элементы. Неважно, яв-
ляются эти слова приведенными или нет. Таким образом, проблема
равенства в свободной группе тривиальна: если дано слово ш, то
оно представляет элемент 1 группы F тогда и только тогда, когда
его приведенная форма является пустым словом. Проблема сопря-
женности лишь чуть менее тривиальна.
2. Метод Нильсена
23
Предложение 2.14. Проблема сопряженности в свободной группе
разрешима.
□ Слово w=yi.. .уп, yi С Х±! называется циклически приведенным,
если оно приведено и ynyY #= 1. Ясно, что любой элемент группы w
имеет вид w=a~1w1a, где слово Wi циклически приведено. Если
нужно проверить, сопряжены ли некоторые два слова, можно
эффективно перейти к проверке сопряженности двух циклически
приведенных слов, сопряженных с данными. Докажем индукцией по
|с|, что если слова w и w' =c~1wc оба циклически приведены, то ш'
является циклической перестановкой слова w. Действительно, если
с Д= 1, |re>'| = |iej| и w циклически приведено, то должны быть
сокращения либо между с-1 и ш, либо между w и с, однако лишь
между одной из этих пар. Если, скажем, имеет место первая
из названных возможностей, то c=yd и ш=уи (равенства приведен-
ные), где у^Х^1 и ay'=d_1y_1 yuyd=d~l (uy)d, что позволяет
применить предположение индукции. □
Предложение 2.15. Если-группа F свободна, то для любого wg F,
имеем |id < |оу2| <... .
□ Запишем w=a~1w1a, причем Wi циклически приведено. Тогда
имеет место приведенное равенство wn—a~1Wia, откуда |ш"|=2[а| Д-
+n|ie’il. □
Предложение 2.16. Свободная группа не имеет кручения: если
шп=1 при n=£Q, то 10=1. □
Предложение 2.17. Если а, b — элементы свободной группы
F, такие, что ат и Ьп коммутируют, ат, п #= 0, то а и b — сте-
пени некоторого общего элемента с.
□ По предложению 2.7 G=Gp{a, 6} — свободная группа ранга не
более 2, причем ранг равен 2, только если (а, Ь) — базис. Ясно, что
последний случай исключается. Таким образом, G циклична. □
Предложение 2.18. В свободной группе F отношение «а и b ком-
мутируют» (а*-+Ь) является отношением эквивалентности на мно-
жестве неединичных элементов.
□ Нужно доказать, что из а.<-> b и b «-> с следует а <-> с для любых
а, Ь, с #= 1. По предложению 2.17 имеем а=ир, Ь=и9 для некото-
рого и и некоторых целых чисел р, q Ф 0, а также b~vr, c=vs
для некоторого v и некоторых целых чисел г, s=£ 0. Снова используя
2.17, мы видим, что из u‘>=vr следует, что и и v — степени некото-
рого общего элемента г. Поэтому а и с коммутируют как степени
некоторого общего элемента г. □
24
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 2.19. Если w — нетривиальный элемент свободной
группы F, то нормализатор NF (Gp{®}) группы Gp{o>} в F цикли-
чен.
□ Если и нормализует Gp {ю}, то «-1kju=kj±1. Заметим теперь, что
w не сопряжен с w-1. Чтобы убедиться в этом, можно предполо-
жить, что слово w циклически приведено; тогда из сопряженности
w и оу-1 следовало бы, что ю-1 — циклическая перестановка слова
w, скажем, что w=pq и w~r=qp. В то же время w~1 = (pq)~r=q~1p~1,
и из приведенного равенства qp=q~1p~1 следует, что <7=<7-1, р=р~\
а это по предложению 2.16 дает </=р = 1 в противоречие с w 1.
Таким образом, нормализатор группы Gp {ш} является и ее центра-
лизатором, а этот последний по предложению 2.17 абелев. В то же
время абелева свободная группа циклична. □
Есть целый ряд других групп, в которых централизаторы цик-
личны. В проективных линейных группах PSL (2, R) и PSL (2,С)
все абелевы подгруппы — либо циклические, либо четверные груп-
пы; таким образом, в любой подгруппе, не содержащей четверных
групп, централизаторы всех неединичных элементов цикличны.
В 1975 г. Адян показал, что этим же свойством обладают и свобод-
ные бернсайдовские группы для больших нечетных показателей.
Подобные результаты для групп с малым сокращением были полу-
чены Гриндлингером [1962], Липшуцом [1972], Камерфордом [1974]
и Трюффо [1974].
Предложение 2.20. Для любых двух элементов свободной группы
можно эффективно выяснить, являются ли они степенями одного
и того же элемента и коммутируют они или нет. □
Предположим, что G — группа и Я — ее конечно порожден-
ная подгруппа. Проблема вхождения для элементов из G в Н состоит
в вопросе о существовании алгоритма, позволяющего выяснить,
какие из элементов группы G лежат в Н. Преобразования Нильсена
решают проблему вхождения в конечно порожденные подгруппы
свободных групп.
Предложение 2.21. Для данного конечного подмножества U
конечно порожденной свободной группы F существует алгоритм,
позволяющий по элементам группы F выяснять, лежат они в Gp (77)
или нет.
□ Упорядоченность < на F является эффективной. В процессе
нильсеновского приведения множества U мы последовательно
переходим от U к V через последовательность множеств t/j, ...
..., Um=V, где каждое Ui+1 получается из Ut одним элементарным
нильсеновским преобразованием, 7/,+1<{/г для любого Кт и ни
одно элементарное нильсеновское преобразование, примененное к V,
2. Метод Нильсена
25
не дает множества W, такого, чтобы Доказательство пред-
ложения 2.2 показывает, что множество V является М-приведенным.
Поскольку имеется лишь конечное число элементарных нильсенов-
ских преобразований, V эффективно находится по U. Согласно пред-
ложению 2.13, элемент w лежит в Gp (V) тогда и только тогда, когда
w=Vi.. ,vn для некоторых vt С Vi1 и п ^Ы. Выписывая все такие
произведения, можно эффективно решить, равен w одному из них
или нет. □
Следующее предложение доказано Молдаванским [1969]:
Предложение 2.22. Пусть F — свободная группа. Существует
алгоритм, который по двум данным конечным подмножествам
U и V группы F определяет, сопряжена ли подгруппа с
некоторой подгруппой группы Н=Ср(У) и сопряжена G с самой
подгруппой Н или нет.
□ Обозначим через т максимум длин элементов из U и V. Сформу-
лируем сначала такое утверждение:
(*) Если w-1Gw^H для некоторого F, то w~4jw сопряжена в
Н с i^Gie^, где wa — некоторый элемент из F для которого |io0[
т.
Сначала покажем, как наше предложение следует из (*), а затем
докажем и (*). Итак, пусть (*) имеет место. Легко видеть, что группу
F можно предполагать конечно порожденной. Тогда число элементов
w £F с конечно. Для каждого такого w и каждого u£U
можно решить, верно ли включение w-1uw £ Н. После этого дела-
ется вывод, верно ли, что w~4JwsH, и верно ли, следовательно,
что w~1GwsH. Проделаем все это для любых w, для которых liedC
Согласно (*), это выясняет вопрос, лежит ли некоторая со-
пряженная с G подгруппа в Н. Снова согласно (*), G сопряжена с Н
в точности в случае, когда w~1Gw=H при некотором w длины
Мы уже видели, как найти все w с для которых w~'GwsH.
Для каждого такого w мы теперь можем решить, верно ли, что
и, следовательно, верно ли, что w~lGw=H.
Осталось доказать (*). Оставим в стороне тривиальный случай,
когда G=l. В нетривиальном случае, заменяя G на сопряженное
множество, можно считать, что U содержит нетривиальный цик-
лически приведенный элемент. Можем также предполагать, что У —
это М-приведенное множество порождающих группы Н. Итак,
пусть ur'Gw^H при некотором w£F. Если w0=gwh для некоторого
g£G и h£H, то группа af^1Gw9 сопряжена в Н с группой w~1Gw.
Таким образом, истинность утверждения (*) для w0 эквивалентна
его истинности для ша. Выберем такой элемент wa наименьшей дли-
ны; достаточно доказать, что |io0|^m. Для упрощения обозначений
будем в дальнейшем вместо w0 писать w.
26
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Будем вести доказательство методом от противного, предполагая,
что т. е. что и\, |о| для всех и С U и v С V. Фиксируем
в U некоторый элемент и, нетривиальный и циклически приведен-
ный. Тогда одно из слов w~xu и uw приведено; можно, например,
считать, что uw приведено. Минимальность элемента w, точнее его
длины, среди всех элементов двойного смежного класса GwH дает
|да-1и|^|ау_ 11, откуда следует, что в произведении w~1u сокраща-
ется не более половины элемента и, причем, конечно, то же верно
и для произведения w-'uw. Так как Ы>|и|, отсюда получаем, что
в произведении w~*uw сохраняется более половины сомножителя
w~1 и весь сомножитель w.
Поскольку w~Juw С И, то w~1uw—v1.. .vn для некоторых С У±г,
и>1, причем ни для какого i не выполняется ого(+1 = 1. Сохраняя
наши предыдущие предположения, выберем w так, чтобы число п
было минимальным. Покажем, что В самом деле, предполо-
жим, что уп=ог1. Из М-приведенности множества V и отсутствия
равенств угу;-+1 = 1 следует, что произведение w~1uw~v1.. Лп-^Г1
оканчивается по меньшей мере половиной слова ур1. Так как оно
также оканчивается на все слово w и поскольку отсюда
следует, что в произведении wa=wvt сокращается не менее половины
слова Vj, откуда |ю0|^|ш|, и фактически в силу минимальности
слова w имеем |ю0|=|да|. Однако Wo1uwo=v2.. .o„_j в противоречие
с минимальностью числа п. Таким образом, мы показали, что vn=V=
5^=011.
Далее, слово iy-1«o>=y1.. ,vn начинается не менее чем с половины
слова оъ а также и слова аг1. Поскольку |a)|>|t>il, отсюда следует,
что w'1 начинается не менее чем с половины слова Однако из
минимальности слова w вытекает, что так что w-1 начи-
нается не более чем с половины слова vt. Короче, начинается
в точности с половины слова vt. Аналогично оно оканчивается в
точности половиной слова ип. Предположим, что Так как
а>-1 начинается .с половины слова a w оканчивается половиной
слова vn, в произведении vnVi сокращается половина слова оъ и все
это слово сокращается в произведении vntv>2- В силу того что vnVi=£l
и У1У2¥=1, это противоречит А-приведенности множества V. Анало-
гично, если |ип|^|У11, то мы приходим к противоречию, состоящему
в том, что ип полностью сокращается в произведении vn-tVnVi. □
Следующие два предложения легко доказываются только что
приведенными рассуждениями.
Предложение 2.23. Для любых конечных подмножеств 1Д, ...
..., Un и Vi, ..., Vn свободной группы F алгоритмически разрешима
проблема существования w£F, такого, что w~1Gp (Ui)wsGp (Vi)
или w~1Gp(Ui)w=Gp(Vi) для всех i. □
2. Метод- Нильсена
27
Предложение 2.24. Для любых элементов щ, ..., ип и vt, . ..
. . .,vn свободной группы F алгоритмически разрешима проблема суще-
ствования элемента w£F, такого, что w~1uiw=vi для всех /.□
Проблема вхождения в случае свободного произведения изуча-
лась Михайловой [1958, 1959, 1966, 19681, в случае нильпотентного
произведения Щепиным [1965]; см. также работы Щепина [19681
и Классена [1970].
Следующие два предложения принадлежат Федереру и Йонссону
[19501.
Предложение 2.25. Допустим, что F — свободная группа с ко-
нечным базисом X, и пусть А — часть некоторого базиса для F.
Тогда F обладает базисом А и В, таким, что самый длинный эле-
мент множества В не длиннее самого длинного элемента множества
А.
□ Нам дано, что при некотором В множество A U В — базис груп-
пы F. Пусть т — максимум длин элементов а£А. Так как замена
множества А стандартным методом М-приведенным множеством А'
заменяет т на т' т, мы можем считать, что А является М-при-
веденным. Можно считать, что и В тоже М-приведено. Если неко-
торый элемент b£B имеет длину \Ь\^.т, мы можем удалить его из В
и присоединить к А; таким образом, можно предполагать, что |b|>m
для всех b С В. Остается показать, что допущение В^=0 ведет к
противоречию. Будем считать, что величина М=2|Ы, Ь£В, явля-
ется минимальной. Далее, поскольку А и В М-приведены по от-
дельности, то \ху\ >1x1, |у|, если ху#=1 и элементы х и у либо оба
лежат в А±х, либо оба лежат в B±l. Если x£A±l и у^В^1, т. е.
Ixl^mdyl, и при этом (N1) нарушается, то |ху|<|у|, и, заменяя
у на ху, мы можем уменьшить М. Таким образом, (N1) имеет место.
Мы можем предполагать также, что если x=ab~1£A±1 и а<Ь
(как в доказательстве предложения 2.2), то ни один из элементов
множеств А*1 или B±l не начинается с Ь. Тогда, как и прежде,
Ixyzl^lxl—lyl+lzl для всех у^А*1. Можно считать также, что это
неравенство выполняется и для любых элементов х, у, гСВ±х.
Остается рассмотреть случай, когда у С В±х и хотя бы один из эле-
ментов х, г, например х, лежит в А±х. Тогда, поскольку |х|<|у|
и не более половины х сокращается в ху, менее половины элемента у
сокращается в ху; точно так же, не более половины от у сокращается
в уг, т. е. некоторая часть от у сохраняется в xyz, что влечет за
собой выполнение условия (N2). Итак, мы показали, что множество
A U В М-приведено. Поскольку A U В порождает группу F, из пред-
ложения 2.13 вытекает, что все элементы этого множества имеют
длину 1. Это противоречит наличию в В элемента Ь, для которого
|Ь|>т>1. □
28
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
Предваряя более общее определение, скажем, что свободная
группа F является свободным произведением своих подгрупп Fi и
F2, и запишем F=Fj*F2, если /\=Ор(Х1), F2=Gp (Х2), причем
Х!Г)Х2=0 и Xi U X 2 — базис группы F; в этом случае говорят
также, что Ft и F2 — свободные множители группы F.
Предложение 2.26. Если V — конечное подмножество конечно
порожденной свободной группы F, то алгоритмически разрешимо,
является Gp(t7) свободным множителем группы F или нет.
□ По предложению 2.5 можно считать, что V — базис свободной
группы Gp(t/). Далее, если один из базисов для Gp (U) является
частью базиса группы F, то таковы же и все остальные базисы.
Таким образом, достаточно выяснить, является ли множество U
частью некоторого базиса группы F. Пусть ц=гапк(Е), A = |t/|,
и предположим, что т — максимум длин элементов и € U. По пред-
ложению 2.25, если U (J V —базис группы F, то можно считать, что
V имеет вид Е={щ, ..., un-k}, где для всех i. С другой
стороны, для любого данного множества V={t>i, ..., эле-
ментов группы F приведением множества V U V можно выяснить,
используя предложение 2.5, является ли U (J V базисом этой группы.
Итак, беря для проверки все такие V, в которых |цг| т, мы выяс-
няем, является U частью базиса группы F или нет. □
Это предложение следует также из одной теоремы Уайтхеда
(4.25), а также из результатов Бирман и Топпинга (см. 1.10 ниже).
Предложение 2.27. Пусть и и w — нетривиальные некоммути-
рующие элементы свободной группы F. Тогда найдется целое п, такое,
что |ау_"иау"К|ау_("+1)нау"+1|<;. .. .
□ Достаточно доказать, что в некотором w~nuwn, n>Q, сохраня-
ется не менее половины начального сомножителя и>~п и не менее
половины конечного сомножителя wn. Положим w=a~1w1a, где
слово иц циклически приведено, и рассмотрим ц1=а«а-1. Если
требуемое будет доказано для winUiwJ, то все в порядке и для
w~nuwn=a~x (WinU!Wi)a. Таким образом, можно предполагать, что
слово w циклически приведено. По предложению 2.15
для достаточно большого р>0 и, следовательно, uwp=v, причем
vw приведено. Тогда приведена и бесконечная последовательность
a=vww... . Если для некоторого д>0 часть слова w~l> сохраняется,
в и?_?со, то часть слова w~i сохраняется и в w~Qvwr=w~l>uwp+r,
и утверждение верно для n^q, р+r. В противном случае со начи-
нается с w4 для всех <7>0, так что a>=www. .. . Отсюда кусо=со,
а поскольку ы—vww..., получаем wuww.. .=vwww... . Однако в
этом случае, рассматривая начальные отрезки длины + мы
получим wv=vw, и w коммутирует с u=vw~p, что противоречит
условию предложения. □
3. Подгруппы свободных групп
29
Заметим, что бесконечные слова были использованы в работе
Линдона [I960]; настоящее доказательство аналогично доказатель-
ству из работы Линдона и Шюценберже [1962].
3. Подгруппы свободных групп
Предложение 3.1. Свободная группа, ранг которой больше 1,
содержит свободную подгруппу бесконечного ранга.
□ Пусть х, у — различные элементы некоторого базиса свобод-
ной группы F и V — множество всех элементов вида у~пхуп, n£Z.
Счетное множество U является /V-приведенным, значит, служит
базисом свободной подгруппы Gp(C7) счетного бесконечного
ранга. В качестве более естественного примера можно привести
коммутант [F, F], также имеющий бесконечный ранг (см. Леви
[1940]). □
Следующая теорема принадлежит Такахаси [1951].
Предложение 3.2. Пусть Тг — свободная группа и Fi^F^...,
где Fi+1 — подгруппа в Ft, не содержащая никакого элемента никако-
го базиса группы Ft. Тогда по отношению к любому базису группы
Fr любой нетривиальный элемент группы F, имеет длину
следовательно, nF; = l.
□ Индукция по i. Случай z = l тривиален. Пусть X, — некоторый
базис для Ft и w С Fi+l, w=^=l. Так как w С Fi+1^Fh w содержится в
подгруппе, порожденной некоторым конечным подмножеством
Y<=X.i, причем можно считать, что Y является У-приведенным; в
этом случае w=yt.. ,уп, п^1, у, С и любое произведение yjyj^i
нетривиально. По предположению п=£1. Если п=2 и y2^ylt то уАу2—
элемент некоторого базиса для Ft и w^=yiy2, если z/2=z/i и w=yiy2=
=yl, то Ы = \yl\>\yi\^i по предположению индукции. Наконец,
если и^З, то, как мы видели в предложении 2.3, w содержит по
меньшей мере половину от yt и уп и некоторую букву х из у2, так что
IW] >|г/11/2+ |х| + \уп |/2>1/2+1 + i/2>z. □
Следующее предложение доказано Леви [1930, 1933].
Предложение 3.3. Пусть Fx — свободная группа и F^F^...,
причем каждая подгруппа Fi+i является собственной характери-
стической подгруппой в Ft. Тогда p\Fг = 1.
□ Поскольку любое взаимно однозначное отображение одного
базиса группы Ft на другой индуцирует автоморфизм этой группы,
любой элемент одного базиса может быть переведен в любой элемент
другого базиса подходящим автоморфизмом группы Ft. Таким
образом, если характеристическая подгруппа F!+1 группы Ft со-
держит хотя бы один элемент некоторого базиса для F,, то она
30 Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
содержит и все остальные, а следовательно, совпадает с Ft. Таким
образом, F(.+1 не содержит никакого элемента никакого базиса
для Fit что позволяет получить нужный вывод применением пред-
ложения 3.2. 1
Предложение 3.4. Ряд коммутантов свободной группы имеет
тривиальное пересечение.
□ Если свободная группа F имеет ранг 0 или 1, то [F, F] = l и ут-
верждение тривиально. Если ранг группы F не менее 2, то и [F, F]—
свободная группа, ранг которой не меньше 2. По индукции таким
образом можно доказать, что все последовательные коммутанты
имеют ранг не менее 2. Если ранг F не менее 2, то это неабелева
группа, a F)[F, F] — нетривиальная абелева группа, откуда [F,
F]cF. Итак, мы видим, что ряд коммутантов является строго
убывающим, что позволяет применить для окончательного вывода
предложение 3.3. См. также книгу А. Г. Куроша 11967, 3-е изд.,
§ 361. □
Доказательство аналогичного утверждения о нижнем централь-
ном ряде будет приведено в разд. 1.10.
В 1932 г. Хопф поставил следующий вопрос: может ли конечно
порожденная группа быть изоморфной своей собственной фактор-
группе? В соответствии с этим группа G называется хопфовой, если
любой гомоморфизм этой группы на себя является изоморфизмом.
Нехопфовы группы будут рассмотрены нами позже (см. гл. IV).
Тот факт, что конечно порожденные свободные группы хопфовы,
следует из рассмотрения нильсеновских преобразований. Доказа-
тельства его были даны Нильсеном [19211, Магнусом [19391 и Феде-
рером и Йонссоном [1950].
Предложение 3.5. Любая конечно порожденная свободная группа
хопфова.
□ Предположим, что F — свободная группа с базисом X, и пусть
Ф — гомоморфизм из F на F. Поскольку Хер порождает F, по пред-
ложению 2.7 имеем |Хф|^|Х|. Так как всегда |Хф|^|Х|, то |Х<р| =
= 1Х|. Снова по предложению 2.7 в этом случае Хф — базис для F,
откуда вытекает, что отображение ф, переводящее один базис в дру-
гой, является автоморфизмом группы F. □
Группа G называется кохопфовой, если любое взаимно однознач-
ное отображение из G в G является отображением «на». Из предло-
жения 3.1 ясно, что никакая нетривиальная свободная группа не
обладает этим свойством.
Объединение возрастающей цепочки свободных групп является
локально свободной группой (т. е. группой, в которой каждое
конечное подмножество порождает свободную группу). Эта группа
3. Подгруппы свободных групп
31
не обязана быть свободной; например, аддитивная группа всех
рациональных чисел локально свободна, но не свободна.
Предложение 3.6. Объединение возрастающей цепочки свободных
групп ограниченного конечного ранга — хопфова группа.
□ Рассмотрим .., где каждая группа Ft — свободная
группа ранга не более г, а г — некоторое конечное число. Положим
G=UF; . Проведем доказательство индукцией по г. Если г=0, то ут-
верждение тривиально. Предположим, что ОО и что N — нетриви-
альная нормальная подгруппа в G, такая, что G/N^G\ постараемся
вывести отсюда противоречие. Каждая факторгруппа
A N) — конечно порожденная подгруппа локально свобод-
ной группы G^G/N, следовательно, она свободна и как фактор-
группа группы Fj имеет ранг не более г. Поскольку и G=UE;,
некоторое пересечение Fkf\N нетривиально, откуда Ftf\N^]. для
всех i^k. Если i^k, то образы порождающих группы Ft удовле-
творяют в FJ (Ft A N) некоторому нетривиальному соотношению, а
значит, ранг группы Fi/fFiftN) строго меньше г. Теперь группа
G/2V является объединением возрастающей цепочки групп
FtN/N, i^k, причем ранг каждой из этих групп не превосходит
г—1. По предположению индукции группа G/N хопфова, откуда
вытекает, что и G^G/N хопфова. □
В [1948] Нильсен рассмотрел свободное произведение G=Gj#...
...*Gn конечного числа конечных циклических групп и ядро
К (часто называемое декартовой подгруппой группы G) естествен-
ного отображения группы G на прямое произведение G групп G;.
Он показал, что К — свободная группа [это на самом деле следует из
теоремы Куроша (см. III.3 далее)], получил (конечный) базис для К.
и дал формулу для ранга группы К. В [1965] Круль провел такое
же рассуждение в случае, когда все Gt — бесконечные циклические
группы, а значит, G — свободная группа и /(=[G, G]. В [1973]
Линдон заметил, что рассуждения Нильсена проходят и для про-
извольных групп Gt, давая при этом базис для К, причем в случае,
когда все группы Gt конечны (но в остальном произвольны), формула
Нильсена для ранга группы /С остается справедливой и может
быть записана в виде
rank (К) — 1
('“Той)
Можно заметить, что эта формула является обобщением формулы
Шрайера (см. предложение 3.9) и некоторых случаев формулы
Римана — Гурвица (см. разд. II 1.7); наиболее общая формула, од-
нако, была получена Чизуэллом [1973].
32 Г л. /. Свободные группы и их подгруппы
Заметим еще, что некая формула, обобщающая приведенную
нами, была получена Куном [1952] в качестве следствия его доказа-
тельства теоремы Куроша; следуя работе Леви [19401, он вычисляет
также порождающее множество для G'=[G, G], где G=G,*G2, в
терминах групп [G;, GJ и G?/[Gf, GJ. Именно это позволяет ему по-
лучить формулы, обобщающие вышеупомянутые формулы Нильсена
и формулы Такахаси [1944].
Следующее предложение является вариантом одной теоремы
Бернса [1969], включающей в себя несколько результатов М. Хол-
ла [1949]; основные идеи восходят к Шрайеру [1927].
Предложение 3.7. Пусть F — свободная группа с базисом X
и Т — подмножество в F, такое, что каждый начальный отрезок
(приведенного) слова из Т снова лежит в Т. Предположим, что зада-
но действие л группы F на Т, такое, что для всех t из Т преобразо-
вание л(/) переводит 1 в t. Для любого w(zF запишем да=1-л(да) и
y(w)=ww-1. Тогда
(1) из h, t2 £Т, xlt х2$ X иу (tiXt) =у (t2x2)^=\ следует, что ti —
—t2 и Xi=x2;
(2) множество Y всех у (tx)^l, где t^T и х^Х, является базисом
некоторой свободной подгруппы.
□ Пусть G — подгруппа, порожденная всеми y(w), w £F. Пока-
жем сначала, что Т — (правая) трансверсаль для G. Для любого и> С F
имеем w=y (w)w, у (ш) С G, w С Т, откуда F=GT. Если w С F, то
w£T, и, следовательно, да=1-л(да) и да-л(ш)-1=1. Так как эле-
менты у (а>) порождают G, то 1 • л (g)=1 для всех g С G, т. е. что g~ 1.
Предположим теперь, что GG=G/2 для некоторых ti, t2^T. Тогда
откуда 1 = 1-л (Л/71) = 1-л (Л)-л (Z2)-1 и G=l,n(G)=
= 1-л(/2)=/2. Таким образом, Т — действительно трансверсаль.
Покажем далее, что множество Y порождает G. Для этого
вычислим, что для любых w С F и х С X имеют место соотноше-
ния y(w)y(wx) — (ww~1)(wx(wx)~1) = wxwx~1 = y(wx); здесь мы
использовали, что поскольку Т — трансверсаль и w характери-
зуется тем, что Gw = Gw, w£T, то Gwx — Gwx и wx = wx. По-
скольку у (wx) С Gp (К), отсюда следует, что у (дах) С Gp (У), как
только у (w) £ Gp (У), откуда по индукции все у (w) лежат в Gp (У),
а значит, G = Gp(y).
Для завершения доказательства мы должны показать, что
если ш = у(/1х1)е- ... у(/„хп?л, где п>1, б Т, х^Х, е,- = ±1,
все у (G-xJ отличны от 1 и ни для какого i одновременно не
выполняется G = G+v xr = xi+n ei~ — ei+i’ то u>=#l. По опре-
делению у (tx) = txt'-1, где t' = tx£T. Так как t'x-1 = txx-1 =
~ txx-1 — t — t, то у (tx)-1 = = y(t'x-1). Это позволяет
3. Подгруппы свободных групп
33
нам записать w = у . у {tnyn), гДе У^Х*1- Рассмотрим
возможные сокращения в произведении yzyz+i =
X(.ti+xyi + lti^Y Если t'i-Hi + l = u=^l, то слово yzyz+i =/,z/z«//z+1/ui
приведенное. Действительно, в противном случае, предполагая
по симметрии, что слово yyi не приведенное, мы получили бы,
что ZJz/r1 — начальный отрезок слова ti + l, откуда Кур1 и у,г1=
= у (/jz/г1) = 1, yz==l. Таким образом, часть z/z может потеряться
в произведении только в том случае, когда /z = /z+i, откуда
yzyz+1==/zz/zz/z+lZz;} и, кроме того, //,.= урК- Отсюда следует, что
пара yz, yz+] нарушает предположения относительно w (что до-
казывает утверждение (1)). Теперь мы видим, что в приведенной
форме слова w все буквы z/z сохраняются, следовательно, w=£l. □
Мы отложим на время те приложения, для которых Бернс дока-
зал это предложение, и выведем из него два результата, которые
первоначально этим методом получил Шрайер. Первый из них —
это теорема Нильсена — Шрайера.
Предложение 3.8. Каждая подгруппа свободной группы свободна.
□ Предположим, что F — свободная группа с базисом X, и пусть
Н — некоторая подгруппа группы F. Назовем частичной шрайеров-
ской трансверсалью для Н в F множество Т, такое, что для различ-
ных t £ Т подмножества Ht различны и каждый начальный отрезок
любого элемента из Т принадлежит Т. Поскольку объединение
возрастающей цепочки частичных шрайеровских трансверсалей —
частичная шрайеровская трансверсаль, существует максимальная
частичная шрайеровская трансверсаль Т. Если t£T, х^Х±г и
tx^HT, то мы можем присоединить tx к Т, что противоречит мак-
симальности Т. Таким образом, Т — шрайеровская трансверсаль.
Правым умножением F переставляет смежные классы Ht', это
индуцирует действие л группы F на Т по формуле Htw—Н (t-л (ш)).
Таким образом, Тил удовлетворяют предположениям предложения
3.7. Проверим, что группа G из заключения этого предложения
совпадает с Н. Во-первых, из w G Hw следует, что у (ш)=шда~х G Н,
т. е. G^H. Во-вторых, из w£H следует, что w=i = 1, откуда w~
==y(w)£G и, значит, HsG. □
Предложение 3.9. Если F — свободная группа ранга, большего
1, и Н — подгруппа конечного индекса \F : Н\, mo Н — группа ко-
нечного ранга, причем
I р. — rank(w)~1
1 1“ rank (F)-1 ’
□ Положим /=rank(F), й=гапк(/7) и j—]F : Н\ = |Т|. Числов
пар t С Т, х£Х, таких, чтоу(/х) = 1, является числом пар, для кото-
рых tx£T и, следовательно, числом пар tx, t2^T, таких, что tx
равно приведенному слову t^y, где у С Х±х . Далее, каждый элемент
2 № 653
34
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
ti^T определяет такую пару за исключением случая, когда /1=1,
так что d=|7'|—1=/—1. Таким образом, h= (|Т\• IX!)—d=jf—
—(i—1) и h—l=j(f—1), что и требуется. □
Замечание. Как мы увидим позже, предыдущее предложение и
особенно его доказательство могут быть интерпретированы геомет-
рически. Полученная формула тесно связана с формулой Римана —
Гурвица (см. III.7).
Следующее предложение Бернса является усиленным вариантом
теоремы М. Холла и является частичным обращением предыдущего
предложения. См. также работу Треткоффа [1975].
Предложение 3.10. Пусть F — свободная группа, А —конечное
подмножество из F и Н — конечно порожденная подгруппа группы
F, имеющая с А пустое пересечение. Тогда И является свободным
множителем подгруппы G конечного индекса в F, пересечение которой
с А также пусто.
□ Предположим, что X — базис для F. Рассмотрим некоторую
шрайеровскую трансверсаль Ti для Н в F. Если w£F, то w будет
обозначать представитель для w в Ти определенный условием Hw=
~Hw, Ti. Согласно 3.7, базисом подгруппы И является множе-
ство Y1, состоящее из всех нетривиальных у (tx)=txtx~1, где t£Ti,
х(г X. Обозначим через Т2 объединение множества элементов /£ Tt
и tx£Tlt таких, что у (tx) С Къ вместе с множеством элементов а при
любом а£А. Тогда T2sT\. Пусть теперь Т состоит из всех началь-
ных отрезков элементов из Т2; поскольку T2^Ti и Ti — шрайеров-
ская система, TsT^ Так как группа И конечно порождена, множе-
ство У1 конечно; поскольку конечно и А, то Т2 конечно. В ре-
зультате конечно и Т.
Для любого данного х С X пусть Тх — множество элемен-
тов t Т, таких, что tx£T. Определим р(х): Тх —< Т ра-
венством t - р (х) = tx. Тогда р (х) взаимно однозначно, так как
ij-р(х) = /2-р(х) влечет за собой t,x = t2x, Htpc^ Ht2x, Htl=Ht2,
а значит, поскольку tlt t2^Tlt t1 = t2. Это позволяет продолжить
p (x) до перестановки л (х) на множестве Т; получаем, таким
образом, действие л группы F на Т. Если tfzT, х£Х и txfzT,
то tx£Tlt tx — tx и t -п(х) = tx. Переставляя t и tx, увидим, что
из t б Т, х X и tx~x £ Т следует t • л (х-1) = /х-1. Если t ~ у1 ...
••• Уп< У^Х*1, то с помощью индукции убеждаемся, что
1 • л (i) = 1 л (t/j) ... л (yn) = lyi ... yn = t. Таким образом, Тил
удовлетворяют предположениям предложения 3.7.
Пусть G и Y связаны с Т и л так же, как и в 3.7. Поскольку
Т — трансверсаль для G и Т конечна, группа G имеет конечный
индекс. Предположим, что y = y(tx)=£l принадлежит базису Yt
для Н; тогда, согласно определению множества Т, имеют место
3. Подгруппы свободных групп зь
включения t, tx^T и t-n{x) = tx по определению л. Следова-
тельно, у = tx (t- л (х))'1 #= 1 принадлежит базису Y группы G.
Однако из включения Yt s Y следует, что Н — свободный мно-
житель для G. Окончательно, чтобы убедиться в пустоте пересе-
чения группы G с А, предположим, что а£А. Поскольку
HClA = 0, а=£1 и а£7\ «=#1, получаем, что a£G. Так
как На = На, aa~l£H^G, то из a^G вытекает a^G. □
Следующее предложение принадлежит Гринбергу [1960].
Предложение 3.11. Если конечно порожденная подгруппа Н
свободной группы F содержит нетривиальную нормальную подгруппу
этой группы, то она имеет конечный индекс в F.
□ Пусть где l=£N<]F. По предложению 3.10 некото-
рая подгруппа G = H*K имеет конечный индекс в F. Предполо-
жим, что Н имеет бесконечный индекс; тогда H=£G, откуда
К=#1. Запишем базис X для G в виде X = X1\jX2, причем
H = Gp(X1), K = Gp(X2). Пусть l=£u£N<=H,
Поскольку N — нормальная подгруппа, k~1uk^Nl=H. Однако
понятно, что k~xuk не является словом от образующих Xt
группы Н. Таким образом, Н не может иметь бесконечный
индекс. □
Следующий факт непосредственно вытекает из доказанного.
Предложение 3.12. Каждая нетривиальная конечно порожденная
нормальная подгруппа конечной группы имеет конечный индекс. □
Приведем доказательство Бернса теоремы Хаусона [1954]; см.
также работу Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.13. Пересечение двух конечно порожденных под-
групп свободной группы является конечно порожденной подгруппой.
□ Пусть Н и К-конечно порожденные подгруппы свободной
группы F. По предложению 3.10 в F существуют подгруппы
конечного индекса Н' = H*U и К'=К*К- По теореме Куроша
о подгруппах (которая будет доказана в дальнейшем, см. II 1.3)
из того, что Н — свободный множитель в FT, следует, что
НПК'— свободный множитель в Н'пК'', аналогично из того,
что X — свободный множитель в К', следует, что Н Г) К — свобод-
ный множитель в Н[}К'- Таким образом, Н Q К—свободный
множитель в Н' 0 К' • Поскольку Н' и К' — подгруппы конечного
индекса, такова же и Н' р\К'. [Подгруппа Н' Г)К' — стабилизатор
для (EF, К') при действии группы F правыми умножениями на
конечном множестве пар смежных классов (H's, K's).] По пред-
положению 3.9 Н' 0 К' имеет конечный ранг. Следовательно, и
2*
36
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
свободный множитель Н Г) К. группы Н' П К' — группа конечного
ранга. □
Свойство Хаусона группы G, состоящее в том, что конечно по-
рожденные подгруппы И и К этой группы имеют конечно порожден-
ное пересечение НПК, сохраняется (как показано Баумслагом в
1966 г.) при построении свободных произведений, а его обобщение,
при котором на И, К и И Л К налагаются некоторые дополнительные
требования, было изучено Молдаванским [19681. В то же время есть
группы, не обладающие этим свойством. Пример такой группы G
с одним определяющим соотношением был дан в 1969 году Каррасом
и Солитэром: в этой группе G имеются две конечно порожденные
подгруппы Н и К, пересечение Н Л К которых не может быть порож-
дено конечным множеством элементов. Необходимо, конечно, чтобы
хотя бы одна из подгрупп Н и К имела бесконечный индекс; в
данном примере таковы обе подгруппы. В этом примере Н и К —
свободные нормальные подгруппы группы G, эквивалентные отно-
сительно некоторого автоморфизма группы G, и НпК=Ю, G],
X. Нейман [1956; добавление в 1957 г.] указала границы для
ранга пересечения двух конечно порожденных подгрупп свободной
группы в терминах рангов пересекаемых подгрупп. Гринберг
[1960] показал, что свойством Хаусона обладают фуксовы группы,
а Бернс [1974] получил границы для этого случая. В статье Бернса
[1972] изучается свойство Хаусона для свободных произведений
с объединенной подгруппой.
Изложим пример Карраса и Солитэра [1969] группы, не обладаю-
щей свойством Хаусона.
Предложение 3.14. В группе G=(x, у, ху2х~1=у2) нормальные
замыкания Н и К элементов х и z=xy являются свободными нор-
мальными подгруппами ранга 2, в то время как H[\K-AG, G] —
свободная нормальная подгруппа бесконечного ранга.
□ Рассмотрим G= (х, у; ху2х~1—у2). Заменяя ху на z с помощью
преобразований Титце, получим для G представление G~ (z, у;
zy2z~2~y2), так что G обладает автоморфизмом а, переводящим х
в г и оставляющим на месте у. Пусть И — нормальное замыкание
для х в G и К—На. — нормальное замыкание для г. Обозначим че-
рез х каноническое отображение из G на G0=G/[G, G], свободную
абелеву группу, порожденную образами х0 и у0 элементов х и у.
Тогда Нх= (х0) и Дх= (х0у0). Если g £ G и gn=x$y%, то g£H тогда
и только тогда, когда й=0, и g £ К тогда и только тогда, когда а=Ь,
так что gG.HnK тогда и только тогда, когда а=й=0, т. е. Н 0 К~
=[G, G],
Подгруппа Z = <y2> является центром группы G, причем
27 П 2 = 1. Таким образом, Н ^Н, образ группы Н в G = G/Z =
3. Подгруппы свободных групп
37
= (х, у, у2= 1) = <х> *<//>, является свободным произведением
бесконечной циклической группы <х> и группы <«/> порядка 2.
Поскольку Н, нормальное замыкание элемента х в G, не содер-
жит у, она тривиально пересекается с любой подгруппой, сопря-
женной с <z/> и, значит, по теореме Куроша о подгруппах
является свободной группой. Далее, элемент g£G лежит в Н
тогда и только тогда, когда он имеет четное число множителей
у, т. е. если g имеет вид g-= Д (xa‘yxOiy) хс. Пусть и = уху, тогда
g = II (ха‘иь') хс. Поэтому х и и порождают Н, более того, из
хиу^их следует, что они образуют базис для Н. Поэтому эле-
менты х и и = у~гху группы Н, отображающиеся на х и и, об-
разуют базис для Н. Итак, Н и К = На — свободные группы
ранга 2.
Таким образом, Н имеет в качестве базиса элементы х и
v = x~Yu = [х, у]. Далее, Н/(Н(]К), где Н П К = [G, G],— беско-
нечная циклическая группа, порождающим которой является
образ элемента х. Поэтому Н (]К — нормальное замыкание базис-
ного элемента v группы Н в этой группе. В этом случае Н(\К
имеет М-приведенный базис (по отношению к х, v), состоящий
из всех элементов x~lvx‘, i£Z, т. е. имеет бесконечный ранг. □
Следующее предложение является теоремой Гринберга [I960];
см. также работу Карраса и Солитэра [1969].
Предложение 3.15. Если конечно порожденная подгруппа Н сво-
бодной группы не содержится ни в какой подгруппе бесконечного
ранга, то Н имеет конечный индекс в F.
□ Можно предполагать, что F— свободная группа ранга больше 1.
По предложению 3.10 некоторая подгруппа H'—H*U имеет конеч-
ный индекс. Если U=l, то все в порядке. Предположим, что t/#=l.
Тогда U бесконечна и имеет тривиальное пересечение с ядром N
естественной ретракции из H'=H*U на U. Отсюда следует, что N
имеет бесконечный индекс в Н', а значит, и в F. По предложению
3.12 подгруппа N имеет бесконечный ранг. Поскольку H^N, полу-
чаем противоречие. □
Следующее предложение (Каррас и Солитэр [1969]) содержит
утверждение, обратное к предыдущему.
Предложение 3.16. Если И — конечно порожденная подгруппа
свободной группы F, ранг которой больше чем 1, и Н имеет конечный
индекс в F, то она не может строго содержаться ни в какой подгруп-
пе этой группы такого же ранга, как и у нее.
38 Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
□ Предположим, что ранг F больше 1. Пусть H^GsF. Из конеч-
ности индекса \F : Н\ следует, что |F : G| и |G : Н\ — конечные чис-
ла. По предложению 3.9
. | F: G | = —T-7FT~г =5= 1 > откуда rank (G) > 1.
1 1 rank(F) —1 J v '
Снова применяя 3.9, получим
I G: Н I = rank (G) —1 1 ’ 0ТКУДа Гапк Гапк
причем равенство имеет место, лишь когда |G : Я| = 1, т. е. когда
G=H. □
Следующие два предложения заимствованы из работы Карраса
и Солитэра [1969].
Предложение 3.17. Если Н — конечно порожденная подгруппа
свободной группы F, имеющая нетривиальное пересечение с каждой
нетривиальной нормальной подгруппой группы F, то Н имеет конеч-
ный индекс в F.
□ Можно предполагать, что ранг группы F больше 1. По пред-
ложению 3.10 некоторая подгруппа — имеет конечный
индекс, так что если U—\, то все доказано. Пусть U 1 и
обозначим через N ядро естественной ретракции из И' = И
на Н\ тогда N Н' и Н (У N = \. Из того, что И' содержится
в нормализаторе N F(N) группы N в F и Н' имеет конечный
индекс, вытекает, что подгруппа NF(N) также имеет конечный
индекс и поэтому N обладает лишь конечным числом сопряжен-
ных в F. Следовательно, пересечение М этих сопряженных имеет
конечный индекс в F, так что М =/= 1. Таким образом, 1 =£ М <] F,
в то время как М N, и из Н П N = 1 следует Н П М = 1 в про-
тиворечие с предположениями относительно Н. □
Б. Баумслаг [1966] показал, что если G — собственное свобод-
ное произведение и Н — конечно порожденная подгруппа в G,
содержащая нетривиальную нормальную подгруппу этой группы, то
Н имеет конечный индекс в G. См. также статьи Карраса и Солитэра
[1969, 1973].
Частичным обращением доказанного служит
Предложение 3.18. Если Н имеет конечный индексе свободной
группе F, то она имеет нетривиальное пересечение с каждой нетри-
виальной подгруппой группы F.
□ Действительно, если Н имеет конечный индекс в какой-либо груп-
пе F, то она имеет нетривиальное пересечение с каждой бесконечной
подгруппой G этой группы, ибо для некоторых различных элемен-
3. Подгруппы свободных групп
39
тов gi и ga группы G должно выполняться Hgt—Hgz, откуда 1=£
ей па □
Предложение 3.19. Пусть Н—подгруппа свободной группы F
с базисом X, и предположим, что Т — шрайеровская трансвер-
саль для И, которая минимальна в том смысле, что для любых
t£T, w£F с Ht = Hw выполняется Определим w для
произвольного w^F, полагая Hw = Hw, w£T. Тогда множество U
нетривиальных элементов y(tx) = txtx~1, где t£T, х£Х, яв-
ляется N-приведенным базисом для И.
□ В процессе доказательства предложения 3.7 было замечено,
что в любом произведении w = yx ... у„, n^l, Y,€^±l,
y(.yf+1 =/= 1, сохранялась средняя буква yt £ Х^1 каждого сомно-
жителя у; = t/y^yr1. Из этого следует условие (N2). Выполнение
(N1) вытекает из того, что в произведении Y1Y2 сокращаются
самое большее части txyTl и /2, и, поскольку длины | tl | и
отличаются не более чем на 1, эти части составляют не более
половины слов Y1 и Ya- □
Предложение 3.20. Пусть Н — подгруппа свободной группы F
с базисом X, и предположим, что группа F вполне упорядочена
отношением w<gw', таким, что U3w<.w' следует |да|^|ш'|, а также
wu<Zw'u, если wu, w'u — приведенные слова. Пусть Т — трансвер-
саль, минимальная относительно w<gw' в том смысле, что из t£T,
wfz F и Ht=Hw следует, что t^w. Тогда Т — шрайеровская транс-
версаль для Н.
□ Нужно показать, что из t = txu С Т следует tx£T. Однако
Htx=Ht' для некоторого I'£Т, и если tx=£t', то должно вы-
полняться t' <gtx, т. е. и t'u<gtxu = t, причем Ht'u = Ht в про-
тиворечие с предложением. □
Если U есть Л/-приведенное множество свободной группы F
с базисом X и u=ab~1£ причем \а\ = |&|, то а называется изо-
лированным, если не содержит никакого v=^=u вида v—ac. По
аксиоме (N2) в таком элементе и по крайней мере одно из слов а, b
изолировано.
Следующие два предложения также взяты из статьи Карраса
и Солитэра [1969].
Предложение 3.21. Пусть F — свободная группа с базисом X,
и предположим, что U есть N-приведенный базис некоторой под-
группы Н этой группы. Предположим, что Тх состоит из всех на-
чальных отрезков а элементов и С U^1, таких, что |а|^|н|/2. Далее,
каждое изолированное слово содержится как часть а или b в точности
в одном элементе u=ab~1 £ U, таком, что |а| = |£>|. Для каждого
40
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
такого и выберем одну такую изолированную часть а и образуем
множество Т вычеркиванием всех таких а из Тг. Тогда Т — транс-
версаль для некоторой подгруппы G группы F, содержащей Н в ка-
честве свободного множителя.
□ Поскольку Т замкнуто относительно взятия начальных отрез-
ков, мы можем, как и в доказательстве предложения 3.8, опреде-
лить действие л группы F на Т, такое, что для t имеем 1 -л (/)=/.
По предложению 3.7 множество Y элементов y(tx)=tx(t-л (х))-1=#1,
где t£T, х^Х, образует базис для подгруппы G группы F с транс-
версалью Т. Далее каждое и £ U может быть записано в виде и=
=Z1z/^1, при ti, t2£T и у^Х±г, где |/il = |/2|, если |ы| нечетно и l/J
и |/2| отличаются на 1, если |ы| четно. В любом случае u=y(t1y) Е ¥±г-
Таким образом, возможно, заменяя некоторое и £ U на и'1, полу-
чаем UsY, так что И — свободный множитель группы G. □
Предложение 3.22. В прежних обозначениях предположим, что X
и U — конечные множества. В этом случае Т конечно и Н имеет ко-
нечный индекс в F тогда и только тогда, когда (|Х\—1) • IТ\ = I U\—1.
□ Конечность Т следует из конечности (J. Можем предполагать,
что |Х|>1. Допустим теперь, что Н имеет конечный индекс j в F.
Поскольку G=H*K для некоторого К и так как |G : Н\ конечен,
К. — \\ итак, G=H, Т — трансверсаль для Н и j=\T\. Доказываемое
равенство следует теперь из 3.9. Обратно, предположим, что это
равенство выполняется. Поскольку G имеет конечный индекс |Т|
и базис Y, имеем (|Х|—1)|7'| = |У|—1. Это вместе с данным равен-
ством влечет за собой |(/| = |У|. Поскольку U^Y и так как Y ко-
нечно, отсюда следует, что U—Y и H=G — подгруппа конечного
индекса. □
Доказанное позволяет по данному множеству U свободной
группы F определить, имеет подгруппа Gp({7) конечный индекс
или нет.
4. Автоморфизмы свободных групп
Ключом к изучению автоморфизмов свободной группы является
следующее наблюдение. Если F — свободная группа с базисом X,
то каждый автоморфизм группы F переводит X в некоторый другой
базис и, наоборот, любое взаимно однозначное отображение множе-
ства X на какой-либо базис группы F определяет некоторый авто-
морфизм. Это положение вполне аналогично ситуации, имеющейся
в линейной алгебре. Используя это наблюдение и введенный им
ранее метод, Нильсен в [1924] получил конечное представление
группы Aut(F) автоморфизмов конечно порожденной свободной
группы F в терминах порождающих и определяющих соотношений.
4. Автоморфизмы свободных групп
41
Мы будем следовать его идеям при получении порождающих группы
Aut(/?), а определяющие соотношения будут найдены с помощью
более современных методов.
Из определения свободной группы F с базисом X следует, что
любое отображение <р множества X в F определяет некоторый эн-
доморфизм группы F, который мы будем обозначать также буквой <р.
Рассмотрим, в частности, следующие эндоморфизмы. Для любого
х из X пусть ах — эндоморфизм, переводящий х в х-1 и оставля-
ющий множество X — х на месте. Для любых х, у из X, таких,
что х^=у, определим как эндоморфизм, переводящий х в ху
и оставляющий X — х на месте. В обоих случаях нетрудно заме-
тить, что образ множества X снова является базисом, так что аж
и — автоморфизмы. Покажем, что если множество X конечно,
то эти автоморфизмы порождают Aut(F).
Доказательство этого факта весьма просто и по существу сов-
падает с доказательством аналогичного результата для линейных
пространств. Однако уже в линейной алгебре возникает один мо-
мент, достаточно тривиальный, но могущий вызвать некоторую
путаницу; несмотря на риск сделать из мухи слона, поясним, о чем
идет речь. Стандартное рассуждение в линейной алгебре показы-
вает, что произвольная матрица М элементарными преобразова-
ниями строк может быть приведена к некоторой канонической
форме М*, т. е. РМ=М*, где Р— произведение элементарных
матриц. Если М квадратна и обратима, то М* = 1 (единичная мат-
рица), и из равенства РМ=М* = 1 получаем, что М=Р~\ Это
позволяет сделать вывод о том, что общая линейная группа порож-
дена элементарными преобразованиями. Некоторая неясность в
этом рассуждении возникает из-за того, что, применяя к М по-
следовательные элементарные преобразования, мы строим произ-
ведение Р, перемножая элементарные матрицы, соответствующие
этим преобразованиям, в обратном порядке.
Чтобы провести параллель наиболее ясным образом, введем
матричные обозначения для эндоморфизмов свободной группы F
относительно фиксированного базиса X. В качестве «матрицы»
эндоморфизма <р мы рассмотрим упорядоченное множество U = («1,
и2, ...), где Ut=Xi<f рассматривается как слово над X. Если ф —
второй эндоморфизм, то есть два естественных способа применения
эндоморфизма ф к U; согласно первому, С/ф=(«1ф, «2ф, • •), в то
время как, согласно второму, V=(ult у2> • •), где каждое и, полу-
чается из и, тем же способом, каким хгф получается из Xj, т. е.
если хгф= ф, (xi, х2, ...), то Vi =фг («1, и2, ...). Проверка показывает,
что [7ф — матрица, соответствующая произведению <роф, а V —
матрица для фоср. Если мы отождествим эндоморфизмы с их мат-
рицами (при фиксированном X, конечно), то проведенное обсуж-
дение сводится не к чему иному, как к правилу перемножений
матриц,
42
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Заметим, что это «матричное» исчисление для эндоморфизмов
свободной группы, несмотря на всю свою соблазнительность (см.
статью Линдона [1966]), оказалось практически бесполезным, если
не считать применения X. Нейман аналогичных идей при изучении
многообразий [1969]. Обычная техника счета, так же как и понятия
определителя, следа и т. д., очевидным образом отсутствуют. Часть
из этой техники, однако, может быть использована, если заменить
эти «матрицы» матрицами в обычном смысле над некоторым кольцом,
например над целочисленным групповым кольцом группы F![F, F],
как сделано в исчислении Фокса (см. 1.10).
В 1974 году Бирман показала, что если ..., хп — базис сво-
бодной группы F и «1, ..., ип — некоторые элементы из F, то эн-
- доморфизм, определенный отображением х, является автомор-
физмом тогда и только тогда, когда якобиан Фокса с ком-
понентами из группового кольца ZF обратим. Топпинг (1973] не-
зависимо доказал некоторые частные случаи этого результата.
Было установлено, что если Ф — свободная метабелева группа
с базисом Xi, ..., хп и «!,..., ип — элементы из Ф, то отображение,
определенное посредством xt «г, является автоморфизмом тогда
и только тогда, когда якобиан Фокса, вычисленный на этот раз
над групповым кольцом группы Ф/[Ф, Ф], имеет определитель
при некотором ^СФ/[Ф, Ф] ')
Еще одно наблюдение. В обозначениях, введенных выше, при-
менение элементарных нильсеновских преобразований типа (Т1)
и (Т2) к U= («1, w2, • • •) сводится просто к перемножению неко-
торых ах и ржу, т. е. к переходу от U к V=axU или V=pa:iZf/.
По этой причине мы будем говорить об ах и $ху как об элементарных
(регулярных) нильсеновских преобразованиях.
Теперь мы готовы доказать результат, о котором говорилось
выше, но в слегка обобщенной форме.
Предложение 4.1. Пусть F — свободная группа с базисом X,
и обозначим через Kuif(F) подгруппу группы Aut(F), порожденную
элементарными нильсеновскими преобразованиями ах и |Зху. Тогда
Auty (F) плотна в Aut(F) в том смысле, что если щ, ..., ип — эле-
менты из F и a£Aut(F), то существует PCAuty(F), такой, что
ща=«1Р, ..., «na=wnp. В частности, если F имеет конечный
ранг, Aut/(F)=Aut(F).
□ При доказательстве ограничимся рассмотрением более сложного
случая бесконечного множества Х= (xlt х2, ...). Найдется конечное
подмножество Y=(xi, ..., хр) множества X, такое, что щ, ..., ип
Ч Аналогичное утверждение для групп вида F/ [А, А] доказано А. Ф. Крас-
никовым (Мат. заметки, 1978, т. 24, № 2, с. 167—173).— Прим. ред.
4. Автоморфизмы свободных групп
43
лежат в Gp(E). Понятно, что достаточно найти 0 £ Aut^E), такой,
что хга=хг|3, Поскольку Ха-1 — базис для F, конечное
множество Y содержится в Gp(Za-1) при некотором конечном под-
множестве Z множества X; можно предполагать, конечно, что
r=Z=(Xi, ..., xq), p^q.
Пусть U = Za~1 = (u1, . .., ufl), ы^х,^-1. По предложению 2.2
некоторое нильсеновское преобразование |3 переводит U в $U = V,
где V приведено. Поскольку группы Gp (V) = Gp (U) = Gp (Za-1) =
= Gp(Z)a-1 имеют ранг q, преобразование p регулярно. По-
скольку, далее, Y s Gp (Za-1) = Gp (И), по предложению 2.8
Y cRi*, что позволяет после несущественных замен в {3, а зна-
чит, и в V = считать, что V = (xlt ..., хр, vp+1, ..., и,) для
некоторых vp+1, ..., vq. Итак, имеем V = f>U = f>Za~1.
Вектор Z является начальным отрезком вектора X, так что
Za-1 — начальный отрезок той же самой длины q вектора Ха-1.
Поскольку р состоит только из преобразований, включающих
лишь первые q компонент матрицы, pZa-1 — это не что иное, как
начальный отрезок длины q вектора рХа-1. Итак, V—начальная
составляющая длины q вектора РХа-1. Но X—матрица тождест-
венного автоморфизма, откуда pXa-l = pa-1. В частности, для
1 i-я компонента xt вектора V — это i-я компонента xJJa-1
для Ра-1; в этом случае xl~xl^a~i и х,-0 = х(а, что и требова-
лось доказать. □
Можно дать характеризацию группы Aut/(E), не зависящую
от выбора какого-либо фиксированного базиса.
Предложение 4.2. Автоморфизма принадлежит группе Autf(F)
тогда и только тогда, когда группа F обладает базисом X, таким,
что а изменяет лишь конечное число элементов из X.
□ Если a — элементарное нильсеновское преобразование, отно-
сительно некоторого базиса X, то ясно, что оно изменяет лишь
конечное число элементов из X; понятно, что то же самое верно
и для любого конечного числа таких преобразований. Обратно,
предположим, что некоторый автоморфизм а оставляет на месте
все элементы хг при £^п некоторого базиса X=(xi, х2, ...). Тогда
Xa=(ult ..., ип, хп+1, хп+2, ...) — базис для F, и некоторым
регулярным нильсеновским преобразованием у, оставляющим на
месте все х, при i>n, мы можем минимизировать число S I, где
Xay—iyi, ..., ип, хп+1, ...). Тогда вектор Хау будет удовлетво-
рять (N1), а выполнение (NO) следует из того, что Хау — базис.
Дальнейшими регулярными нильсеновскими преобразованиями
можно добиться и выполнения (N2). По предложению 2.8 Xj, ...
...,хпЕ (Хау)*1, т. е. Xj, ...,хп—это некоторые из vf1, что позво-
ляет после незначительного изменения автоморфизма у считать,
что Ui=Xi, ..., vn=xn. Но тогда ау=1 и а=у-1 лежит в Autj(E). □
44
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Замечание. Если F — свободная группа со счетным бесконеч-
ным базисом X, то симметрическая группа на X изоморфно вложима
в Aut(F), так что эта последняя несчетна. В то же время ясно, что
группа Aut^ (F) счетно порождена и, следовательно, счетна.
Преобразования 0^ и а; составляют достаточно разумное мно-
жество порождающих для Aut(F). Однако можно быть и более эко-
номными. С другой стороны, мы будем иногда считать элементар-
ными A-преобразованиями все преобразования, которые переводят
некоторое х, в элемент х,хр или х^1Х{, j^i (оставляют на месте все
вместе со всеми автоморфизмами, переставляющими мно-
жество X±l.
Если F имеет бесконечный ранг, то приведенные выше преоб-
разования порождают не Aut(F), а лишь подгруппу тех автомор-
физмов, которые изменяют лишь конечное число из данных базис-
ных элементов. Описание множества порождающих в бесконечном
случае (в духе доказательства предложения 4.1 или по аналогии
с коммутативным случаем) представляет трудности лишь в смысле
обозначений.
Дайер и Форманек [1975] доказали следующее
Предложение 4.3. Если F — свободная группа конечного ранга
г>1, то группа Aut(F) совершенна, т. е. Aut(F) имеет тривиаль-
ный центр и каждый автоморфизм этой группы внутренний. □
Согласно одному замечанию Бернсайда [1911], достаточно до-
казать, что группа внутренних автоморфизмов для F характери-
стична в Aut(F). Во второй статье Дайер и Форманек [1976] пока-
зали, что совершенна группа Aut (А), где N — уже свободная
нильпотентная группа класса 2 и ранга r^=0, 1, 3 х).
Предваряя дальнейшее, сделаем несколько замечаний относи-
тельно связей с коммутативной теорией. Для этого предположим,
что F — свободная группа конечного ранга, и положим F' = [F, F]
(коммутант группы F), F = F/F'. Группа F —свободная абелева
или Z-модуль с базисом X, равным образу базиса X в F. Пере-
ходя к аддитивным обозначениям для F, получим Aut (F) =
= GL (п, Z), где п = | X |. Нильсеновские порождающие группы
Aut (F) индуцируют следующие порождающие для GL (n, Z):
Р<7: xt^—> Xi + Xj, где (трансвекции);
a,-: x,-i—>—х,- (отражения).
Предположим, что U — упорядоченное множество элементов груп-
пы F, которым соответствуют элементы щ С F вида и^'Е.СцХ], сц С Z.
1) См. также дальнейшую работу тех же авторов в Amer, J, Math. 1977, т. 99,
№ 4, с, 713—753.— Прим, перев.
4. Автоморфизмы свободных групп 45
Нильсеновское приведение множества U (относительно фиксиро-
ванного базиса X) индуцирует приведение матрицы С=(сц) к
ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк (без
использования преобразований столбцов). Замена множества U
его образом при некотором автоморфизме группы F (этот процесс
будет рассмотрен в связи с теоремой Уайтхеда, см. 4.19) соответ-
ствует преобразованиям столбцов.
В 1932 г. Нильсен получил не только описанные выше порож-
дающие группы Aut(F), но также и определяющие соотношения;
используя их, Б. Нейман ([1932], см. также Б. Нейман и X. Нейман
[1951]) получил порождающие и определяющие соотношения для
группы Aut(F).
В предложении 4.17, следуя Маккулу, мы изложим этот ма-
териал; его можно найти также и в книге Кокстера и Мозера
[1965, стр. 89].
Используя элементарный факт, согласно которому преобразо-
вания и а,- порождают Aut (F) GL (n, Z) для конечного п,
выводим следующее
Предложение 4.4. Естественное отображение из Aut(F) на
Aut(F) является эпиморфизмом. □
Мостовски доказал аналогичный результат для случая, когда
F заменяется на свободную группу произвольного многообра-
зия; см. X. Нейман [1969, стр. 148].
Ясно, что ядро этого отображения содержит группу внутренних
автоморфизмов группы F, однако при п>2 оно содержит ее соб-
ственным образом, так как, например, автоморфизм сс : х2>—> x^x^Xi,
xsi—> очевидно, не является внутренним автоморфизмом.
Следующее предложение доказано Нильсеном [1918] (см. также Чан
[I960]).
Предложение 4.5. Пусть F—свободная группа ранга 2. Тогда
ядро естественного отображения из Aut (F) на Aut (F)^GL (2, Z)—
это группа внутренних автоморфизмов группы F.
□ Понятно, что группа I внутренних автоморфизмов содержится
в ядре К- Для доказательства обратного мы будем использовать
тот факт, что G = GL (2, Z) порождена элементами
с определяющими соотношениями (см. Кокстер и Мозер [1965,
гл. 7])
Л“ = 1, Л8В4=1, (ЛС)*=1 и (ВС)?=1.
(Это легко выводится из известной структуры группы PSL (2, Z)
как свободного произведения.) Теперь следующие элементы
46
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
группы Aut (А)
| I [ Xi->y,
а: ₽: < у: <
( у*—>ху, г ( у^х, ( у^х,
очевидно, отображаются на Л, В и С. Чтобы показать, что естест-
венное отображение из Aut (А)// на G является изоморфизмом и,
следовательно, K—I, достаточно проверить, что элементы а8, а3[32,
(ау)2, (Ру)2 группы Aut (А) лежат в /; это достигается несложным
вычислением. □
Если g — элемент конечного порядка п в GL (2, Z), его собст-
венные числа должны быть корнями многочлена деления круга
Фп (х), который должен быть делителем характеристического мно-
гочлена для g, т. е. иметь степень не более 2. Следовательно, п=1,
2, 3, 4 или 6. В 1974 г. Мескин заметил, что GL(2, Z) имеет три
класса сопряженных элементов порядка 2 и по одному порядка 3,
4 и 6. Им доказано следующее
Предложение 4.6. Если F — свободная группа ранга 2, mo Aut (F)
содержит элементы конечного порядка п только при п=1, 2, 3, 4.
Имеется четыре класса сопряженности элементов порядка 2, один —
порядка 3 и один — порядка 4. □
(Кручение в группах GL(n, К), К — произвольное поле,
рассмотрено в работах Шпайзера [1956, стр. 210] и Вольвачева
[1965].)
В произвольной группе G автоморфизмы этой группы, индуци-
рующие тождественные отображения в группе G=G/[G, G], были
названы Бахмутом I А-автоморфизмами. Будем употреблять
запись IA (G) для обозначения ядра естественного отображения из
Aut(G) в Aut(G); к этим группам мы вернемся позже. Символом
JA(G) мы будем обозначать группу внутренних автоморфизмов
группы G. (К сожалению, эти обозначения почти противоположны
обозначениям Баумслага и Тейлор [1968].) Ясно, что в произволь-
ной группе G J A (G) — нормальная подгруппа группы IA (G).
Мы видели, что JA(F) = IA(F), когда F — свободная группа
ранга 2, но что J A (F) — собственная подгруппа в IA (F), если F —
свободная группа ранга >2. Баумслаг и Тейлор [1968] показали,
что для произвольной свободной группы F факторгруппа
IA (F)/JA (F) — группа без кручения. Мы приведем один из ва-
риантов их доказательства.
Лемма 4.7. Пусть F—свободная группа, а С IA (F) и aN С J A (F)
для некоторого Тогда если х—некоторый элемент произ-
вольного базиса X для F и Fn — произвольный член нижнего цен-
трального ряда для F, то существует элемент k£Fn, такой,
что ха сопряжен с xk.
4. Автоморфизмы свободных групп
47
□ Утверждение тривиально для п=1 и содержится в предпо-
ложении a£IA(F) для п = 2. Далее рассуждаем по индукции,
предполагая, что при некотором п 2 элемент ха сопряжен с xk,
где k £ Fn. Мы будем использовать два хорошо известных факта
о коммутаторной структуре (см. Магнус, Каррас и Солитэр
[1974, гл. 5]). Первый из них элементарен: из а £ IA (Г) и k С Fn
следует, что ба = 6 (mod Fn+1). Из этого факта вытекает, что
xaNs=xkN. По предположению aN£ JA(F), откуда xaN= и~1хи =
= х[х, w] для некоторого u^F. Следовательно, kN=\x, и]
(modEn+1). Согласно стандартным фактам относительно модуля
E„/Fn+i, из того, что х—член базиса и [х, и] = 67V(mod Fn + 1),
получаем [х, u] = 6(mod Fn+l) при некоторому. Если у —сопря-
жение элементом и-1, то ха—сопряженный с элементом хау,
а так как ха—элемент, сопряженный с xk, он сопряжен и
с (xk) у = хаб = х [х, и]-1 k = х (mod Fn+1). Итак, ха сопряжен
с xk' при некотором k' £Fn+l. Шаг индукции сделан. □
Предложение 4.8. Если два элемента и и v свободной группы F
не сопряжены в F, то для каждого простого р существует гомомор-
физм из F на конечную р-группу Р, такой, что образы элементов
и и v в Р не сопряжены.
□ Будем следовать доказательству Баумслага и Тейлор, отмеча-
ющих помощь Г. Хигмана 9-
Без потери общности можно предполагать, что каждый поро-
ждающий встречается в и или в и.
Пусть Д' —базис группы F. Проведем индукцию^ по сумме
|и|Н-|п| длин элементов и и v. Если образы и и и элементов
и и v в F=F/[F, Е] различны, то g = u~x v— нетривиальный
элемент конечно порожденной свободной абелевой группы F
и имеет нетривиальный образ в абелевой р-группе Е/Еге для
достаточно большого е. Образы элементов и и и в этой абелевой
группе тогда различны и потому не сопряжены. Это, между
прочим, позволяет избавиться от случая, когда ранг F не пре-
восходит 1, и доказать основание индукции. _
Итак, мы можем предполагать, что и = и и что ранг группы F
не менее 2. В этом случае существует отображение <р из F на Z,
такое, что u—v лежит в ядре. Можно рассмотреть и индуци-
рованное отображение ф из F на 7.р, такое, что и и и лежат
в ядре N этого отображения. Поскольку Хер порождает Zp,
Xjtp^= 1 для некоторого хг £ X, для которого, в частности, и xjp
порождает/^. Таким образом, Т = {1, хп ..., xf'1}— трансверсаль
для N в F и метод Шрайера (см. предложение 3.8 выше) дает
*) Предложение доказано в работе В. Н. Ремесленникова [1971].— Прим. ред.
48
Гл. /. Свободные группы и их подгруппы
для N базис Y, состоящий из всех нетривиальных элементов
вида т(/, x) — txtx~1, где t£ Т, х£Х и tx— представитель для
tx в Т. Как и прежде, запишем т (/, х-1) = т (/х-1, х)-1. Тогда,
если w в N имеет вид w= sx. . ,sn, s,- g X U X-1, то относительно Y
n
слово w может быть записано в виде w' = Д т (Sj... s,_lt s;).
i= 1
Таким образом, |а/|^|с0|. Если w начинается с хи то первый
сомножитель в произведении для w'— это т(1, х) = 1, откуда
|и/ | < |о»|.
Однако элементы и и v лежат в У, и один из них, скажем и,
содержит Xj. После возможной замены обоих элементов на обратные
к ним и замены элемента и некоторой его циклической перестанов-
кой, мы можем предполагать, что и начинается с Xi. Тогда |u'|<|w|
и \v'|^|v|, что позволяет применить предположение индукции.
Сказанное дает основание сделать вывод о том, что в N имеется
нормальная подгруппа Ki, такая, что P^N/Ki — конечная р-
группа, в которой образы элементов и и v не сопряжены. Поскольку
N имеет конечный индекс р в F и Ki нормальна в У, Ki имеет лишь
конечное число сопряженных Ки .... Km (где m=l или m=p)
в F. Пусть K=c\Kt- Тогда существует гомоморфизм из P—NIK
в прямое произведение групп Pi=NlKi', поскольку эти последние
изоморфны конечной р-группе Рг, Р — конечная р-группа. Более
того, естественный гомоморфизм из N на Р^ может быть пропущен
через Р, так что образы элементов и и v в Р не сопряжены. По-
скольку N имеет индекс р в F, а К нормальна в F, подгруппа
— N/К имеет в P'—FIK индекс р. Итак, Р' — конечная р-группа,
являющаяся образом группы F при отображении, оставляющем
элементы и и v несопряженными. □
Отметим, между прочим, что только что доказанное предложение
очень тесно связано с понятием финитной аппроксимируемости от-
носительно сопряженности; см. Мостовски [19661, Стиб [1970,
19711 и особенно Блэкберн [1965]1).
Предложение 4.9. Если и и v — элементы свободной группы F,
не сопряженные в F, то для некоторого п их образы не сопряжены
в F/Fn.
□ По предыдущему предложению существует некоторая конечная
р-группа P=F/N, в которой образы элементов и и v не сопряжены.
Однако /эп = 1 для некоторого п, откуда FnsN, и гомоморфизм
из F на Р можно пропустить через F/Fn. Образы элементов и и v
в F/Fn не могут быть сопряжены, так как иначе и образы и и v
в Р были бы также сопряжены. □
См. также Каргаполов [1967], Ремесленников [1969, 1971].— Прим, перев.
4. Автоморфизмы свободных групп
49
Лемма 4.10. Если a^JA(F), где F—свободная группа, и
aN А (У7) для некоторого N 1, то ха сопряжен с элементом х
при любом базисном элементе х группы F.
□ Это непосредственно следует из 4.7 и 4.9. □
Предложение 4.11. (Баумслаг — Тейлор). Если a^lA(F), где
F —некоторая свободная группа, и aN£JA(F) при некотором
1, то a£JA (F).
□ Это тривиально, если ранг группы F меньше 2. Предположим,
что ранг F по меньшей мере 2, причем х, у, ...—различные
элементы ее базиса. По лемме 4.10, умножая а на подходящий
внутренний автоморфизм, можно считать, что хрс=х. Если уа
не имеет вида и~1уи для некоторого и = ха, то по лемме 4.10
он имеет такой вид при и —xhvxk, где v нетривиален, и начи-
нается и заканчивается буквами, отличными от х, х~г. Далее,
ху также элемент некоторого базиса для F, так что элемент
(ху)а сопряжен с ху. Оцнако (ху)а= (ха) (уа) = хх~>го~1х~ЛухЛохк
имеет циклически приведенную форму xv~1x~hyxAv, которая длин-
нее, чем ху, и, значит, не может быть сопряжена с ху. Отсюда
выводим, что уа = х~ауха для некоторого а. Если ранг F равен 2,
то а — это сопряжение элементом ха, и все доказано. В против-
ном случае, если г— еще один элемент нашего'базиса, теми же
самыми рассуждениями можно получить za = х~ьгхь при некото-
ром Ь. Элемент yz входит в некоторый базис группы F, так что
(уг)а сопряжен с yz. Но (yz)a - х~ауха~ьгхь имеет циклически
приведенную форму хъ~ауха~ьг, более длинную, чем уг, и не со-
пряженную с yz, если только не выполняется а~Ь. Это дока-
зывает, что существует одно-единственное число а, такое, что а
переводит каждый элемент данного базиса в его сопряженный
посредством ха, т. е. а —сопряжение элементом ха. □
Следствие 4.12. Если F — свободная группа, то IA (F)/JA (F) —
группа без кручения. □
Следствие 4.13. Если F — свободная группа, то IA (F) — группа
без кручения.
□ Если ранг группы F меньше 2, утверждение тривиально. В про-
тивном случае группа F имеет тривиальный центр, следовательно,
она изоморфна JА и является группой без кручения. Наш резуль-
тат непосредственно следует теперь из 4.12. □
Следствие 4.14. Если G —произвольная конечная подгруппа
в Aut (А), где F —свободная группа ранга п, то естественный
гомоморфизм из Aut (F) на Aut (F/[F, F])ssGL(«, Z) изоморфно
отображает G на некоторую подгруппу в GL (п, Z). Q
50
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Следствие 4.15. Если свободная группа F ранга п имеет авто-
морфизм порядка N при некотором целом N, то в GL(/i, Z)
имеется элемент порядка N. □
Обозначим через SA(F), где F—свободная группа, прообраз
подгруппы SL (n, Z) при естественном отображении из Aut (F)
на GL(n, Z); тогда для любого п!>1 подгруппа SA(F) имеет
индекс 2 в Aut (F). Элементы из SA (F) называются собственными
автоморфизмами группы F.
Заметим, что изучение группы автоморфизмов свободной
группы обобщается до изучения группы автоморфизмов свобод-
ного произведения; см. Фукс-Рабинович [1940, 1941], а также
Курош [1967].
Нильсен [1924] для случая и Магнус [1935] для всех п
показали, что если F — свободная группа ранга п, то IA (F)
порождается автоморфизмами aijk\ Х/ь-^-Х/ [лу, xft] (и xfti—>хАдля
h^i) для всех i, /, k, таких, что j^=k. Нильсен показал, что
IA (F)—нормальное замыкание в Aut (У7) элемента а112:
Изучение ядра IA(F) и образа GL(n, Z) естественного отобра-
жения из Aut(/) в Aut^/7/!/7, Л]) может быть обобщено. Действи-
тельно, если ср — произвольный гомоморфизм некоторой группы G
на другую группу И, то можно задаться вопросом, какие элементы
группы Aut (Я) индуцируются при ф элементами группы Aut(G),
какие элементы из Aut (G) оставляют на месте ядро отображения ф
и, таким образом, индуцируют автоморфизмы группы Н и какие
среди них индуцируют тождественный автоморфизм группы И.
Андреадакис [1965] показал, что если F — свободная группа
ранга <?>2, то естественное отображение р.п из Aut]/7) в Aut(F/Fn),
где п>2 и Fn есть n-й член нижнего центрального ряда группы F,
не является эпиморфизмом; он показал, что ядра отображений рп
составляют центральный ряд для Aut (F), имеющий тривиальное
пересечение. Он показал, что, с другой стороны, если п^т, то
естественное отображение из Aut]/7//7,,) в Aut(/7/Fm) все же яв-
ляется эпиморфизмом. Андреадакис получил и другие результаты,
которые, впрочем, слишком технические, чтобы их поместить здесь.
Некоторые из результатов Андреадакиса были независимо получены
Бахмутом [1965].
Бахмут [1965] изучал похожие проблемы для свободных метабе-
левых групп Q=FIF", где F" — второй коммутант свободной группы
F. Он показал, что если ранг свободной группы F равен 2, то по
аналогии с результатом Нильсена IA (Ф)=7А (Ф), но если ранг
q>2, то, хотя JA (F) как факторгруппа метабелевой группы метабе-
лева, группа IA (F) даже не является разрешимой.
Бахмут [1965] ввел матричное представление группы IA (Ф),
рсцованное на матричном представлении для Ф, открытом Магнусом
4. Автоморфизмы свободных групп
51
[1935]. Пусть R — коммутативное кольцо над Z, содержащее не-
зависимые обратимые элементы sb ..., sq и Л, ..tq. Магнус пока-
зал, что отображение ц из Ф в GL(2, /?), определенное равенством
*^0 1/
является мономорфизмом. Для w из F мы будем обозначать через
w образ w в Ф и через w° образ w в F°=F/[F, F], Будет удобно отож-
дествлять элементы s; с x°t и, следовательно, F° с подгруппой муль-
типликативной группы кольца R, порожденной элементами в,.
Бахмут заметил, что для любого w из F
_ /w° b(w)\
= 1 J’
где b(w) = ^Ujti, и на самом деле w(- = (dw/dx,)0, где dwjdxt —
производные Фокса (см. разд. 10 ниже), а оператор ° продол-
жает естественное отображение из F в F° до отображения груп-
пового кольца ZF группы F в групповое кольцо ZF° группы F°.
Следовательно, если записать 1{ = йх(, то
w dw\°
0 1 J ’
где dw = ^l(dw/dxl)dxl. Далее, Бахмут показал, что при отобра-
жении ц каждый автоморфизм а£М(Ф) индуцирует автомор-
физм а группы Фр, задаваемый правилом
s,- dxA0 _ i'xl d(xza)\°
0 1 J а=\о 1 ) ’
чем доказано, что отображение В, переводящее каждый а из
Aut (Ф) в его якобиан (д (х(а)/дху)°, является точным представ-
лением группы IA (Ф) матрицами порядка q над коммутативным
кольцом ZF°. Это представление, лежащее в основе многих ре-
зультатов Бахмута, Чин в [1968] назвал представлением
Б ах му та.
Отклоняясь от темы, заметим, что группа Aut(F) получает
аналогичное точное матричное представление В' над некоммута-
тивным кольцом ZF, если каждому а £ Aut (F) сопоставить его
якобиан
юр =
В самом деле, аналогичное утверждение верно для мульти-
пликативной полугруппы эндоморфизмов а группы F, ибо, как
мы увидим в разд. 10, по элементам матрицы <хВ' == (Zty) можно
4. Автоморфизмы свободных групп
51
[1935]. Пусть R — коммутативное кольцо над Z, содержащее не-
зависимые обратимые элементы sb ..., sQ и Л, ..tq. Магнус пока-
зал, что отображение ц из Ф в GL(2, /?), определенное равенством
(si Ч\
= J’
является мономорфизмом. Для w из F мы будем обозначать через
w образ w в Ф и через w° образ w в Fa=F/[F, F], Будет удобно отож-
дествлять элементы s; с x°i и, следовательно, F° с подгруппой муль-
типликативной группы кольца R, порожденной элементами st.
Бахмут заметил, что для любого w из F
_ (w° b(w)\
1 ;>
где b (w) = 2 uiti’ и на сам0м Деле ы,-= (dtw/dx,)0, где dwjdxt —
производные Фокса (см. разд. 10 ниже), а оператор ° продол-
жает естественное отображение из F в F° до отображения груп-
пового кольца ZF группы F в групповое кольцо ZF° группы F°.
Следовательно, если записать — то
_ /ау dw\°
= 1
где dw^=^(dw/dxi)dxi. Далее, Бахмут показал, что при отобра-
жении р каждый автоморфизм а£/Д(Ф) индуцирует автомор-
физм а группы Фр, задаваемый правилом
/Sj dXjY _ АХ[ d(Xia)\°
\0 1 / “ = \0 1 ) ’
чем доказано, что отображение В, переводящее каждый а из
АцЦФ) в его якобиан (д (х,а)/дху)°, является точным представ-
лением группы IА (Ф) матрицами порядка q над коммутативным
кольцом ZF°. Это представление, лежащее в основе многих ре-
зультатов Бахмута, Чин в [1968] назвал представлением
Бахмута.
Отклоняясь от темы, заметим, что группа Aut(F) получает
аналогичное точное матричное представление В' над некоммута-
тивным кольцом ZF, если каждому а С Aut (F) сопоставить его
якобиан
В самом деле, аналогичное утверждение верно для мульти-
пликативной полугруппы эндоморфизмов а группы F, ибо, как
мы увидим в разд. 10, по элементам матрицы аВ' == (Ьц) можно
52
Г л. I. Свободные группы и их подгруппы
восстановить а с помощью формулы х/х—1 = 22 МЛ7~ 1)- БиР'
ман [1973] показала, что эндоморфизм а обратим, т. е. является
автоморфизмом тогда и только тогда, когда матрица аВ' обра-
тима. Топпинг [1973] доказал, что если F— свободная группа
с базисом \х, у^, то w£F—элемент некоторого базиса в том и
только том случае, когда в Zf имеются элементы р, q, такие,
что р (dwldx) + q (dw/dy) = 1.
Бахмут 11966] установил, что в Aut (Ф/Фп) пересечение естест-
венного образа группы АФ(Ф) с ядром естественного отображения
в Aut(®/®„_j) является свободной абелевой группой; им же вы-
числен ранг этой свободной абелевой группы и показано, что ес-
тественные образы в Aut (Ф/Ф?) групп Aut (F) и Aut (Ф) совпадают,
причем при q^2 они являются собственными подгруппами группы
Аи1(Ф/Ф9). Он спрашивает, не является ли естественное отобра-
жение из Aut (А) в АиЦФ) на самом деле эпиморфизмом. Чин [1972]
показывает, что при q=3 естественное отображение из IA (F) в
IA (Ф) не является эпиморфизмом, более того, естественный образ
группы IA(F) в АиЦФ/Фд) имеет индекс 2 в образе группы IA (Ф)
в той же группе.
Все упомянутые статьи содержат и некоторые другие результаты.
В частности, статья Чина [1968] содержит дальнейшие результаты
о группе АиЦФ) и группах Аи1(Ф/Фп), а статья Бахмута [1967],
за которой последовала статья Бахмута и Мочизуки [1967], посвя-
щена аналогичным проблемам для групп FIF"(F')m, где (А')Я! —
группа, порожденная всеми m-ми степенями элементов из F' =[F, F]
и Г=[Г, Г].
В заключение упомянем классический результат Нильсена [1927];
(см. также Цишанг [1964] и Розенбергер [1972]), согласно которому
если G= (X; г) — каноническое представление фундаментальной
группы замкнутого 2-многообразия с одним определяющим соотно-
шением и F — свободная группа с базисом X (см. разд. II.1), то
каждый автоморфизм группы G индуцируется некоторым автомор-
физмом группы F. Это неверно для произвольного представления с
одним определяющим соотношением (см. Маккул, Петровски [1972]
и Цишанг 11969]).
Пусть G — фундаментальная группа поверхности, или, более
общо, некоторая фуксова группа, причем G—F/N, где F — свобод-
на. Связи между Aut (А) и Aut (G) для этого случая были получены
Печински, Розенбергером, Нильсеном и Цишангом. См. разд. 1.5.
Вернемся к двум центральным проблемам теории групп авто-
морфизмов свободных групп, поставленным Уайтхедом [1936].
Первая из них такая: для двух заданных упорядоченных подмно-
жеств U= (ult ..., ип) и V— (Ui, ..., vn) свободной группы F опре-
делить, существует ли автоморфизм а группы F, переводящий U
в V, т. е. такой, что где вторая: существует ли
автоморфизм а, переводящий Gp(G) в Gp(V)? Первая проблема
4. Автоморфизмы свободных групп
53
была решена самим Уайтхедом с использованием топологических
методов в размерностях не выше 4. Доказательство в духе комбина-
торной теории групп было дано Рапопорт [1958]; доказательство,
которое мы приводим ниже, является усовершенствованием ее до-
казательства из работы Хиггинса и Линдона [1974]. Совсем недавно
Вальдхаузен (не опубликовано), используя существенным образом
теорию 3-многообразий, дал короткое решение обеих проблем. Мы
приведем также принадлежащее Маккулу [1974] усовершенство-
вание рассуждений Хиггинса и Линдона, с помощью которого ему
удалось получить представление для группы автоморфизмов ко-
нечно порожденной свободной группы и для некоторых стабилиза-
торов в свободной группе.
Заметим, что на языке введенных ранее «матриц» проблема сов-
падения Gp((7) с Gp(V) — это проблема левой эквивалентности
матриц U и V, т. е. существования невырожденной матрицы Р,
такой, что V=PU\ первая проблема Уайтхеда — проблема суще-
ствования невырожденной матрицы Q, для которой V—UQ; вторая
проблема Уайтхеда — проблема существования невырожденных
матриц Р и Q, для которых V=PUQ.
Заметим также, что, как мы уже видели ранее (2.14, 2.22), ана-
логи проблем Уайтхеда для внутренних автоморфизмов имеют до-
вольно простые решения.
Начнем с некоторых идей, играющих важную роль в доказа-
тельстве теоремы Уайтхеда, а также представляющих определенный
собственный интерес. Сначала определим циклическое слово длины п
как циклически упорядоченное множество из п букв оц, индексиро-
ванных элементами i из Zn; приведенным циклическим словом мы
будем, как правило, называть циклическое слово, в котором ага,-+1#:
У=1 для всех i (индексы берутся по модулю п). Циклическое слово
можно мыслить как множество всех циклических перестановок не-
которого циклически приведенного слова; поэтому циклические
слова находятся во взаимно однозначном соответствии с классами
сопряженности свободной группы F.
С каждым циклическим словом w можно связать функцию фш:
X±1XX±I-»-Z, такую, что фш(х, у), где х и у из X±l, является чис-
лом отрезков одного из видов ху~1, ух~1 в слове w. Заметим, что
фш-'=Фи>- Мы будем часто опускать ссылку на слово w и писать
<pw(x, у)=х-у, если A, B^X±l, то А-В определяется как сумма
всех а- Ь, где а £ A, b£ В. Эта функция очевидным образом обладает
следующими свойствами:
Л-В>0, А-В=В-А, (А+В)-С=А-С+В-С
(мы пишем А+В вместо А и В в случае, когда А ПВ=0),
а-а—0, а-Х±1=число букв а или а-1 в w.
54
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
- Эта функция (х, у) тесно связана со звездным графом (или
коинициальным графом), о котором речь пойдет ниже (1.7); с неболь-
шими изменениями в обозначениях звездный граф имеет в качестве
вершин множество X±l, причем между вершинами х и у имеется
Фи> (х, У) ненаправленных ребер.
Определим теперь автоморфизм Уайтхеда группы F как авто-
морфизм т одного из двух следующих видов:
1) т переставляет элементы множества X±l;
2) т переводит каждый элемент Х±* в один из элементов х, ха,
а-1х или а'1 ха при некотором фиксированном «множителе» а£ Х±г.
Пусть Q — множество всех преобразований Уайтхеда. Если
т — преобразование второго типа, то мы пишем т=(А, а), где А
состоит из всех х£ Х±х, таких, что хт=ха или хх=а~1ха, включая
а, но исключая а~1. Ясно, что
(А, а)-* = (Я—а+а-1, а-1);
более того, если А'=Х±Х—А — дополнение к А, то легко проверить,
что
(*) (А', а"1) (А, а)-1 = (Х±х — а, а-1) = х
есть внутренний автоморфизм, переводящий каждый элемент х в
аха~1, и, следовательно, для любого циклического слова w имеем
(**) ш(А, а) = ш(А', а~1).
Если w — циклическое слово и т=(А, а)—преобразование
Уайтхеда второго типа, определим D (т, и»)=|игг|—|и>|; вместо
D (т, да) мы будем часто писать D (т).
Предложение 4.16. Пусть w — циклическое слово и г=(Л, а),
тогда D(x, w)=A-A'—а-Х±х.
□ Пусть w’ — неприведенное циклическое слово, получаемое из
w заменой каждой буквы х на ст без сокращения. Предположим,
что w” — результат вычеркивания всех подслов аа~1 и а~ха из w’.
Покажем, что w” — приведенное слово. Буква а-1 может появиться
при переходе от w к w' только перед буквой х из w, где ху=а±х;
аналогично буква а может появиться только вслед за буквой у
из w, такой, что у^=а±А. Таким образом, w' не содержит подслова
а~ха. Предположим теперь, что подслово аа~х возникает из под-
слова ух слова w, так что в w' имеем уаа~1х\ тогда в w" мы снова
имеем приведенное подслово ух. Предположим теперь, что одна из
букв подслова аа~х, скажем а, была в слове w, а буквы а~х не было.
Тогда подслово уах из w переходит либо в уаа~хх, либо в уааа~хх
в слове w', т. е. в ух либо уах в слове ау"; в первом случае уфх~\
а во втором у=А=а~\ поэтому конечный результат в w" — приведен-
ное подслово.
4. Автоморфизмы свободных групп
55
Теперь мы видим, что D(x, w), очевидно, равняется D,—D2,
где Dx — число букв а±г, возникающих в процессе перехода от w
к w', сохраняющихся в wx=w", a D2 — число букв а±г, пропада-
ющих при переходе от w' к w". Если буква а в w' возникает из буквы
х в w, то хх — это ха либо а-1ха (и хУ-tz-1), так что х£А—а; если
х встречается в подслове ху"1 слова w, то вновь возникающая буква
а не сократится в том и только том случае, когда у £ А'. Аналогично
буква а-1 в слове w, возникающая из буквы х-1 слова w, не сокра-
щается в том и только том случае, когда х-1 встречается в подслове
ух-1, где у£А' и xgA—а. Таким образом, DX=(A—а)-А'. Буква
а, присутствующая в слове w, сокращается в w" тогда и только
тогда, когда она встречается в подслове ах-1, где х£А—а, анало-
гично буква а-1 из w может сократиться в том и только том случае,
когда она встречается в подслове ха-1, где х£ А—а. Таким образом,
D2= (Д—а)-а. Окончательно имеем D (т,ау)= (Д—а)-А’— (Д—а)-а=
=Д• Д'— (Д'+Д)-а+а-а=Д• Д'—а-Х^+О. □
Теорема Уайтхеда будет доказана нами сначала в весьма огра-
ниченной формулировке.
Предложение 4.17. Пусть w и w' —циклические слова, w' =
=ауа для некоторого aEAut(F), и предположим, что |ау'|^|ш|.
Тогда a=Xi.. ,хп, п^О, где ть ..., тп g Q и где для любого Q<Zi<Ji
имеем |огГ1 ... тг|^|щ|, причем неравенство строгое во всех случаях,
кроме \w'| = |ау|.
Лемма 4.18. Предположим, что w — циклическое слово и u=w<j,
v=wx, где ст, Предположим, что и причем
хотя бы одно неравенство является строгим. Тогда ст-1т=р1... рп,
пуО, где р1г ..., рп € & и еде для любого 0<л<.п выполняется
неравенство lupi ... pj<|ay|.
□ Выведем сначала предложение из леммы. Пусть w и w’=wa—
слова, удовлетворяющие условиям предложения. Поскольку ниль-
сеновские преобразования являются преобразованиями Уайтхеда
и порождают группу Aut (А), можно записать а=Т] . .. хп, п^О,
где ть ..., тп£П. Положим m=max{|urr1 ... тг|; 0<?’<л}. Если
утверждение предложения не выполняется для данного представ-
ления автоморфизма а в виде произведения преобразований Уайт-
хеда, то п^2 и либо т^|ау|>|ау'|, либо т>|ау| = |ау'|. Достаточно
показать, что в этом случае мы можем найти новое представление
для а в виде произведения преобразований Уайтхеда, причем
т'^т и значение ItOTj ... тг|=/и достигается для меньшего числа
индексов I.
Итак, предположим, что п^2 и что либо m^\w\>\w'\, либо
~ \w' I. Пусть i — наибольший индекс, такой, что 1иц1=т,
где Wt=wXi ... т;. Тогда Применим лемму,
56
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
полагая w=wt, о=тД, т=тг+1; тогда тгт(.+1=рх ... pft, k^O,
все р, лежат вй и layy-jPi •.. pj\<Z\wt\—m для 0<д<Х. Заменяя
пару тг, Tl+i в последовательности тп последовательностью
ръ ..pk, мы получаем представление для а с необходимыми свой-
ствами. □
Перейдем теперь к доказательству леммы. Предположим, что
w — циклическое слово, что u~wa, v=wx, где ст, и
причем либо |п|<Ы, либо Зп)<|оу|. Заметим, что
(***) |оу|>у (М + 1о1).
Пусть w, м=ауст и о=шт такие, как выше, причем ст=(Л, а),
х=(В, Ь), и положим ст=(А', ст1), т=(В', Ь-1). Тогда предполо-
жения сохраняются, если заменить ст на ст или т на т, поскольку по
(**) u=wa и v=wr. Заметим, что если заключение леммы верно при
ст, замененном на ст, то оно верно и в первоначальной формулировке.
Предположим, что рх, . .., рп — элементы множества й, такие, что
о-1т=р1 . .. рп и что |мрх . .. р,КЫ при По свойству
(*) ст=стх, где х — сопряжение элементом а. Тогда ст-1=х_1ст-1
и ст-1т=х-1р1 ... рп. Теперь х$Н и |их| = |п|, так что заклю-
чение верно для последовательности х, plt ..., рп, если только
|ux| = |ul<lay|. Если это не выполняется, то |о|<|оу|. Тогда ст-1т=
=Рх . .. рпХ, где X сопряжено с х и, следовательно, является
внутренним автоморфизмом, т. е. произведением внутренних ав-
томорфизмов Х1( ..., Xmgfi. Имеем теперь о-1т=р1 ... р,(Хх ...
... кт и |upi ... рпХх ... Х;| = |оХ1 ... Хг| = |о|<|ау|, так что заклю-
чение верно для последовательности ръ ..рп, Хъ . .., Хт.
Имея доказанное в виду, мы можем не только свободно менять
местами ст и т в силу симметрии, но также заменять ст на ст и т на т.
Случай 1. т переставляет буквы. Тогда |о| = |ау|, откуда
Положим п=2, причем pi=r и р2=т-1ст-1т.
Рассмотрев этот случай, мы будем впредь считать, что ни т,
ни ст не является перестановкой букв; это позволяет нам записать
ст=(Л, а) и т= (В, Ь).
Случай 2. А П В=0 и Ь=а~\ В этом случае мы можем положить
п=1 и р1=ст-1т= (Д+В—а, а~1).
Случай 3. А р В=0 и а-1 £ В'. В этом случае можно положить
п=2 и Р1=т, р2=т-1ст_1т. Чтобы понять, что р2£й, проверим, что
т-1стт — это ст, если Ь~' £А', и (Д+В—Ь, а), если Ь~1^А. Остается
показать, что |пт|<|ау|. Для этого рассмотрим неприведенные цик-
лические слова w' и и', получающиеся из w и и применением пре-
образования т. Вхождения букв х£В—b в w находятся во взаимно
однозначном соответствии с аналогичными вхождениями в a=w(j,
4. Автоморфизмы свободных групп
57
Следовательно, ]w']—Ы = |п'|—\и\. Далее, w и и получаются из
w’ и и' вычеркиванием подслов Мт1; покажем, что и' содержит
столько же подслов вида Ыг1, сколько и w'.
Подслово bb-1 слова w может встретиться только в одном из
подслов р' вида xbb-1, bb^y-1 или xbb^y1, возникающем из под-
слова р слова w одного из видов хй-1, Ьу~г или ху-1, где х, у € В—Ь.
Поскольку х, у, b£A, такое подслово встречается в u=w<j в нетро-
нутом виде, а значит, дает вхождение подслова Ыг1 в и . Таким
образом, |ur|—lul^lurvl—Ы; используя (*) и тот факт, что wx—v,
мы получаем lurKJul Д- |и|—|ю|<2|ау|—|ау| = |ю|.
Случай 4. ДпВ = 0, общий случай. Заметим, что из АпВ=0
следует а =^=Ь. Согласно случаю 2, мы можем предполагать, что
а#=Ь-1. Согласно случаю 3, можно считать, что a~l£B nb^^A:
Положим ст' = (А, Ь-1) и т' = (В, а-1). Согласно предложению 4.16
и определению преобразований ст', т', имеем D (ст')Д- D (т') =
= D (ст) Д-£>(т); из (*) получаем D (ст) Д-£) (т) = | и | Д-| — 2 ]ш> |<0.
Отсюда Р(ст')Д-0 (т') < 0 и одно из слагаемых, скажем О(т'),
отрицательно. Положим п = 3 и возьмем в качестве рп р2, р3 такие
преобразования: рТ = ст-1т' = (А Д-аД- а~1, а-1) (В, а~1) = (АА-В—
— а, а-1), р2 —автоморфизм, переводящий а в b'1, b в а-1 и
оставляющий на месте все остальные буквы, р3 = (В —а-1Д-а—
— b-\-b~\ а). Вычисление показывает, что т'-1т = р2р3, откуда
ст-1т = Pip2p3. Теперь D (т') = | wx' | — | w | < 0 и ир1 = (w) (ст~1т')=
=шх', так что | up! | < | w |. Поскольку р2 — перестановка, | upjp21=
= |ир1|<|йУ|.
Случай 5. ДпВ=/=0. Сведем этот случай к случаю 4. Заме-
тим, что, согласно (***), D (ст) Д-0 (т) < 0, откуда по 4.16
(|) А-А'+В-В'— а-Х*1 — Ь-Х±г < 0.
Запишем
А2 = А', Bt=B, Вг = В' и Pij = Aif\Bf.
Тогда
А • А' Д- В' В' = Aj- А2 Вх- В2 — Рц • Рп Д- Р22- РггА~ 2Р12’ Вм
ВпД- Р22-Р22;
аналогично, переставляя Вг и В2, получаем
А-А -\~B-B Р12 Р !2 Д- Р 21 • Р21-
Поэтому (t) дает
Рц-Р'^Р^.-Р^-а-Х^-Ь.Х^1 <0,
(П) Р^Р^ + Р^Р^-а-Х^-Ь-Х^1 <0.
58
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Пусть х —одна из букв a, a~l, b, Ь~х и Р(х)—то пересече-
ние P/j, которое содержит х; заметим, что х-1(£Р(х). Покажем,
что по меньшей мере для одного выбора элемента х преобразо-
вание (Р(х), х) уменьшает | w |. Если множества Р (х) различны
для 4 различных выборов элемента х, то из 4.16 и (ff) получаем
2D(P(x), х) = 2^(х)-/’(х)'-2х-Х±1 =
= 2 рИ Р'ч -2 (а • Х±х -J- b • Х±1) < О,
откуда следует, что некоторое D(P(x), х) меньше 0. В оставшемся
случае некоторое PtJ не содержит ни один из элементов а}=а,
а2 = а~х, bx = b и b2 = b~x. Поскольку а; £ Д,- = Pix + Pi2, имеем
ai£Pik ПРИ аналогично bj£Phj для h=£i. Либо i = k и
h = j, либо и h =И= /; в любом случае из системы (ff) получаем
D(P(az), a{) + D(P(b,), b,) =
= Pik.p’ik + Phj.p'.h~a-X±x-b-X±x <0,
так что опять D (Р (х), х) < 0 для некоторого х.
Переставляя, если нужно, <т и т, можно предполагать, что
х — это а или а-1, а согласно (*»), можно считать, что х = а.
В этом случае Р{х) — это Рхх или РХ2, откуда, снова в силу (**),
примененного к т, мы можем считать, что Т’(х) = />12. Далее
имеем а£В' и D (Д Г) В', а) < 0. Пусть 0 = (Д П В', а) и и)х = ау0;
тогда | wx | < | w |. Рассмотрим р,: = ст-10 = (Д' U В' — а~х, а); ясно,
что Справедливы неравенства |wx | < |w), |и|^|и>|,
где ^ = №(4 0 6', а) и п = ау(В, Ь). Поскольку Д(1В' и В имеют
пустое пересечение, по случаю 4 можно найти р2, ..., pn £ Q,
такие, что 0-1т = р2.. ,рп, причем | а^р, ... рг | < (w | для всех
0 < i < п. Последовательность рп р2, ...,р„, таким образом,
удовлетворяет заключениям леммы. □
Предложение 4.19. Пусть wx и w2 — элементы свободной группы
F. Тогда алгоритмически разрешима проблема существования ав-
томорфизма группы F, переводящего в w2.
□ Мы можем предполагать, что группа F конечно порождена.
Обозначим через (а^) и (ау2) циклические слова, ассоциированные с
wt и w2. Поскольку имеется лишь конечное число преобразований
Уайтхеда, методом проб и ошибок можно проверить, уменьшает
ли какое-либо из них длину слова (гх»1), и, если это так, заменить
(цУ1) на один из более коротких образов; итак, слово (Мг) можно
заменить циклическим словом, длина которого уже не уменьшается
преобразованиями Уайтхеда. Согласно предложению 4.17, (a^i)
теперь имеет минимальную длину среди всех его образов под дей-
ствием группы Aut (F). Можно предполагать, что и (ау2) минимально
в том же смысле. Автоморфизм, переводящий (ад) в (а>2), сущест-
вует только в том случае, когда эти элементы имеют равные длины;
4. Автоморфизмы свободных групп
59
пусть их общая длина равна числу п. Множество V циклических
слов группы F длины п конечно. Рассмотрим их как вершины
некоторого графа, в котором ребро, соединяющее (ау) € V и (а/) £ V,
имеется в том и только том случае, когда некоторое преобразо-
вание Уайтхеда переводит (ау) в (ау'). Согласно предложению 4.17,
автоморфизм, переводящий (аУ1) в (ау2), существует, когда (аух) и
(ау2) можно соединить связным путем.
Проведенное рассуждение позволяет нам определить, имеется
автоморфизм а £ Aut (А), такой, что (аУ1)а= (и»2), или нет, и найти
такой автоморфизм в случае существования. Однако равенство
(аУ!)а= (ау2) эквивалентно сопряженности элемента аУ1<х элементу
а>2, т. е. существованию автоморфизма а' С Aut (F), такого, что
a/ia'=a>2. □
Постараемся теперь видоизменить предложение 4.17, рассмат-
ривая вместо одного циклического слова ау конечное множество цик-
лических слов ауъ ..., Wt и заменяя рассмотрение длины [ау| слова
ау на рассмотрение суммы длин 2la>hl слов wi> • • •> wt- В этом случае
доказательство предложения 4.17 проходит без дальнейших изме-
нений и влечет за собой следующее
Предложение 4.20. Пусть w±, ..., wt и w[, ..., w\ — цикличе-
ские слова, такие, что ау1а = а>{, ...,wt<x = w't для некоторого
a g Aut (F), и предположим, что 21^1 минимально среди всех
21<^/га/1> где a'gAut(F). Тогда а = т1...т„, п^О, где Tn ...
..., т„ £ Й и где для любого 0 < i < п имеем 21 а'лт1 • • • 1
<21№л1- причем неравенство строгое всегда, кроме, возможно,
случая 2Н1 = 2К1- □
Рассуждениями, аналогичными приведенным в первой части
доказательства предложения 4.19, мы получаем следующее
Предложение 4.21. Пусть иц, ..., Wt и w[, ..., w't—цикличе-
ские слова в свободной группе F. Тогда алгоритмически разрешима
проблема существования автоморфизма а £ Aut (F), такого, что
w1a=w'i, . .wta=w't. □
Перейдем теперь к рассуждениям Маккула [1974], дополняющим
лемму 4.18. Получим с их помощью предложение 4.23, аналогичное
предложению 4.17, для обычных, не циклических, слов, а также
представление для группы автоморфизмов конечно порожденной
свободной группы.
Пусть F — свободная группа конечного ранга п с базисом Х~
= {xi, ..., хп}. Пусть й—множество преобразований Уайтхеда
относительно множества X и A=Aut(A). Поскольку й содержит
нильсеновские преобразования, й порождает А. Мы рассмотрим
представление с порождающими, отображающимися на множество
й. Точнее, пусть й — множество, находящееся во взаимно одно-
60
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
значком соответствии с й, Ф — свободная группа с базисом Q и
<р — отображение из Ф на А, переводящее каждый в соот-
ветствующий Обозначим через М<|Ф ядро отображения ср.
Мы опишем некоторое конечное множество R^N, нормальным за-
мыканием которого в Ф окажется N, так что для группы А будет
получено представление (см. II. 1) в виде A = (Q; R).
Если r=uv~l£N, где u<p==u, wp = o, то в А выполняется
соотношение u = v. Мы будем, как это принято, при описании R
выписывать не элементы этой нормальной подгруппы, а соотно-
шения u = v. Здесь и n v записаны как произведения u - of...
. . .он1, v — т,1...е,-, fi = ± 1, элементов из Й и обратных к ним,
причем соответствующий элемент г равен произведению
Г=О1‘. . -Oehh (/... т^)-1.
По определению Q—объединение двух множеств и Q2,
в пересечении которых лежит только 1; Qj состоит из всех о С Q,
которые переставляют элементы из Л=ХиХ-1, а й2 — из всех
ogQ, имеющих вид <г=(Л, а). Множество очевидным образом
порождает подгруппу At группы А порядка 2"-п1, состоящую
из всех элементов а С Л, осуществляющих перестановки множе-
ства L. Если Ф1 — подгруппа в Ф, порожденная множеством Й1(
то ограничение (р, отображения ср на Фг отображает Ф! на Лх.
Ясно, что ядро гомоморфизма ср,—это нормальное замыкание
в Ф, некоторого конечного множества Rr Мы будем предпола-
гать, что такое множество R1 уже выбрано, и постараемся полу-
чить R в виде R = Rt(j R2.
Опишем R2 как множество, состоящее из элементов г£Ф,
определенных приведенными ниже соотношениями (R1)—(R6).
В них а и b означают а-1 и 6-1.
(R1) (Л, а)-1 = (Л — а 4-а, а).
(R2) (Л, а) (В, а) = (ЛиВ, а), где Af)B={a}.
(R3) (В, й)~1(Л, а)(В, Ь) = (Л, а), где Л Г) В=0, а^В, Ь^А.
(R4) ' (В, Ь)-1(А, а)(В, Ь) = (А + В-Ь, а},
где ЛпВ=0, а$В, Ь^А.
(R5) (Л, а)(А— a-j-a, b) = (a, Ь, а, 5)(Л — b + b, а)
где bgЛ, Ь^А, а^=Ь,
и (а, Ь, а, Ь) обозначает автоморфизм, индуцированный выписан-
ной циклической перестановкой множества L.
(R6) о~1(Л, а)а = (Аст, ао), где
4. Автоморфизмы свободных групп
61
Понятно, что R^N. Обозначим через N2 нормальное замы-
кание множества R2 в Ф. Для дальнейшего удобно заметить, что
М2 содержит соотношения трех следующих видов:
(R7) (Л, «) = (Л—а, а)(А', а) = (А’, a)(L~a, а).
(R8) (L — Ь, Ь) (Л, d) (L — Ь, Ь) = (Л, а), где Ь^а иЬ,Ь{А’.
(R9) (L — b, b) (Л, a) (L — b, b) = (Л', а), где b^=a, Ь£А и b£A'.
Приведенные соотношения вытекают из следующих вычислений,
в которых используются только соотношения (Rl) —(R6). Согласно
(R2) и (R1), получаем для (R7)
(L — a, а) = (Л, a) (L — Л — а А-а, d) ~ (L — А — а А~ а, а) (Л, а) =
= (Л, а)(Л', а)-г = (Л', а)-1 (Л, а).
Для (R8), используя (R4), получаем
(Л' — Ь, Ь) (Л, а) = (Л, a) (L — b~ а, Ь),
откуда, согласно (R2),
(L-&, &)(Л, а)(Л—F, ft) = (Л+"&,&)(Л'— Ь,Ъ)(Л, a)(L-~b, b) =
= (A + b, b)(A, a)(L — b — a,b) (L—b—а, b) (аА~Ь, Ь) =
= (Л А~Ь, Ь)(А, а)(а + Ь, Ь);
из (R4) и (R1) вытекает, что
(Л -j-Ь, Ъ) = (А-аА-а, а)-1 (аА-Ь, Ь) (Л — а А-а, а) —
= (Л, а) (а + &, Ь)-1 (Л, а)-1,
так что _ _
(L~b, Ь)(Л, a)(L—b, Ь) — (А, а).
Для доказательства (R9) заметим сначала, что по (R2) и (R6)
(L—Ь,Т>){А, а) = (Ь—Ь,Ъ)(А—Ь, а) (аА-b, а)~
= (Л — b, a) (L — Ь, Ь) (а + Ь, а),
в то время как, согласно (R1),
(Л', а)~1 = (А’— аА-а, а).
Сочетая эти соотношения и используя (R2), получаем
(Л', а)'1 (Ь-Ь,ЬЦА, а) =
= (L — a — b, a)(L—b~a, b)(aA-b, b)(aA-b, a).
Далее, согласно (R5),
(L — a — b,b)(L — a — b, a)^<s(L—a — b, b),
62
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
где ст = (а, Ь, а, Ь). По (R1)
(L — а — Ь, Ь')~х (L — a — b, а) = и(L~a—b, b)'1
и
(L — a — b, a)(L — b— a, b) = (L — a — b, b)o,
поэтому
(Д', a)-1 (L — b, ~b)(A, а) = (L — a — b, b)u(a + b, b) (a-(-b, a).
Снова используя (R5), получаем
о (а +3, Ь) (а + Ь, а) = а (а + Ь, Ь),
откуда по (R2) и (R1)
(А', а)-1 (L — b, b)(A,a) — (L — a—b, b) (a + b, b) (a-}~b, a) (a+b, a)*=
= (L—T>, ~b).
Таким образом, (R9) доказано.
Если Gj, стй£й, то будем говорить, что соотношение
Oj ... стй=1 выполняется по модулю если ...
другими словами, это соотношение является следствием соотно-
шений (Rl) —(R6). Поскольку свободная группа F' с базисом
X' = {*1, .... Xn-J является подгруппой группы F, естественно
рассматривать A' = Aut(F') как подгруппу в А, а множество й'
преобразований Уайтхеда группы F' как подмножество в Q. По-
нятно, что означает равенство Oj ...стй=1 по модулю N'2 для
элементов ..., <тй£й'. Используя эту терминологию, мы мо-
жем сформулировать найденное Маккулом усовершенствование
леммы 4.18.
Предложение 4.22. Пусть и, v, w — циклические слова группы F,
такие, что И —wo, v = wx, где а, | и |, и либо
|«| < |ш|, либо Тогда найдутся рп .prgQ, та-
кие, что
(А) ст-1т = рх. . .рг и
(В) ] ырх... р, ] < } оу [ для
Более того,
(С) соотношение o-1T = pi...pr выполняется по модулю П2;
(D) если и, TgQ', то рп ..., рг£й' и ст-Ч = рх.. ,рг по
модулю
□ Из доказательства леммы 4.18 следует в каждом случае
существование последовательности р1? ..., рг, такой, что ст-1т =
= Рх...рг и (upj.. .р,-1 < для 0 < i < г. Назовем такую по-
следовательность прямым путем. В некоторых случаях этот путь
4, Автоморфизмы свободных групп
63
удовлетворяет условиям (А) и (В). В то же время некоторые из
этих путей получены заменой некоторого ст = (А, а) на ст = (А', а)
или т = (В, Ь) на т = (В', Ь); если, скажем о£й', то хп(£А, от-
куда хп £ А' и ст СЙ', так что полученный путь не обязан лежать
в й'. В каждом таком случае мы получим второй путь, который
уже обязан лежать в Q'.
Заметим, что из соображений симметрии стих можно пере-
ставить. Это позволяет нам рассмотреть лишь три частных слу-
чая, к которым сводится общий случай. Эти случаи таковы:
случай I. xgQf, случай II. ст, t£Q2 и А П В=0; случай III.
ст, т£й2 и А В. Понятно, что в случае I лемма верна, если
Р1 = т, р2 = т-1стт. Мы перенумеруем подслучаи случаев II и III
так, что если (А, а) и (В, Ь) попадают в подслучай III.i, то
(А, а) и (В', Ь) попадают в подслучай ПЛ.
Подслучай 1 2 3 4 5
Случай II. А(}В = 0 а£В’ Ь£А' а£В' Ь£А а£В Ь Ф а, а£В ~Ь£А
Случай III. Ь=а а£В Ь£А' а£В Ь£А а£В Ь£А' Ь ф а, а£В Ь^А
Для каждого из случаев ПЛ путь р1( ..., рг, удовлетворя-
ющий условиям (А) и (В), дается в доказательстве леммы 4.18.
Рассмотрение показывает, что р,- = (С, с) для каждого i, где
С^АиВ, c = a±l, д*1; отсюда следует, что если ст, т£й', то
каждое р,- лежит в откуда рп ..., ргСЙ'. Чтобы доказать,
что равенство ст-1т = р1. . . рг выполняется по модулю М'2, мы будем
заменять получающиеся ниже цепи, заменяя L на £/ = Х'иА'-1
и беря все дополнения в L’. При доказательстве (С) каждый раз
будет предъявляться цепочка равенств, доказывающих, чтост-1т =
= рх.. .рг, причем дополнительным рассмотрением нетрудно уста-
новить, что каждый шаг получается применением одного из со-
отношений типов (Rl) —(R9).
В каждом случае IH.i пара ст, т попадает в случай ПЛ, что,
как и выше, дает путь pi, ..., р'п, такой, чтост-1т = pi.. .р„. Из этого
равенства, выполняющегося по модулю М2, мы получим подхо-
дящую последовательность рп ..., рл и снова доказательство
того, что выполняются условия (А) — (D). Для удобства мы будем
рассматривать случаи в таком порядке: II.1, III.1.......III.5.
64
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Случай 11,1.
Имеем r= 1, рх = (Л + В—а, а).
Цепь равенств следующая:
(Л, а)-1 (В, а) = (Л — а + а, а) (В, а) (Л + В — а, а).
Случай III. 1.
Снова г= 1, pi = (Л + В' — а, а).
Согласно II. 1, имеем ц-Ч —р{ по модулю М2. Положим р, =
= (Л'пВ + а, а) и, используя предыдущее равенство, получим
следующую цепь:
(Л, а)-1 (В, а) = (Л, а)-1 (В', а) (В —а, а) =
= (Л + В' — а, а) (L — а, а) = (Л' П В 4- а, а),
Случай II.2.
Pi = (B, b), р2 = (Л, а)-1.
Цепь:
(Л, а)~ЦВ, Ь) = (В, Ь)(А, а)-*.
Случай II 1.2.
pi = (В, Ь), р2 = (Л, а)~\
Р! = (В, Ь), р2 = (Л, а)"1.
Цепь:
(Л, а)-1 (В, Ь) = (А, а)-1 (В', b)(L-b, b) =
= (B',b)(A, a)~l(L — b,b) —
= (В, b)(L-b,b)(A, a)~l(L — b, b) =
= (В, Ь)(А, а)"1.
Случай П.З.
Pi = (B,fe), р2 = (Л + В-Ь, а)~».
Цепь:
(Л, а)-1 (В, Ь) = (В, Ь) {В, Ь)~1 (Л, а)-1 (В, Ь) =
= (В, Ь)(А + В-Ь, а)~\
Случай II1.3.
р; = (В',Ь), р2 = (Л + В'— Ь, а)-1;
Pj = (B, b), р2 = (Л' ПВ+F, а)~1.
4. Автоморфизмы свободных групп
65
Цепь:
(Л, а)'1 (В, £) = (Л, а)-1(В',£)(В-Ь, Ь) =
= (B;b)(A + B'—b,a)-1(L~b,b) =
= (В, b) (L-b,b)(A + B' -b, a)-1 (L—b,
= (В, Й)(Л'ПВ+Ь, а)-1.
Случай П.4.
р1 = (А +В—а, Ь), р2 = (Л, а)-1;
он получается из П.З перестановкой стих.
Случай III.4.
р( = (Л + В' — а, Ь), р2=(Л, а)-1;
р! = (Л'ПВ + а, Ь), р2 = (Л, а)"1.
Цепь:
(Л, а)"1 (В. &) = (Л, а)-1 (В', b)(L-b, b)^
= (Л + В'-а, Ь)(Л, а)"1^-^, б) =
= (Л,ПВ + а, b)(L—b, b)(A, a)~'(L-b, b) =
— (А'ПВ + а, Ь)(А, а)-1.
Случай 11.5. Здесь выделяется два подслучая (см. доказатель-
ство случая 4 в лемме 4.18).
Случай II.5а.
| w (В, а) | < |а>|.
Здесь Р1 = (Л + В — а, а), р2 = (а, Ь, а,Ь), р3 = (В — а + а — b + b,а).
Цепь:
(Л, а)-1(В, Ь) = (Л —а+а, а)(В, а)(В — а + а, а)(В, Ь) =
— (А + В — а, а)(В—а + а, а)(В, Ь) =
— (А + В—а, а) (а, Ь, а, Ь) (В —а + а—b + b, а).
Случай 11.5b.
| ю (Л, Ь) | < | w |.
В силу симметрии имеем
pi = (Л — а + а, F), р2 = (а, Ь, а, Ь), р3 = (Л + В—Ь, Ь).
Случай III.5a.
| w (Вг, а) | < | w |.
Р1 =(Л+В'—а, а), р2 = (а, Ь, а, Ь), р3 = (« + а — b + b, а);
Р| = (Л'Г)В + а, а), р2 = (а, b, a, b), р3 = (В + Ь — Ь + а~-а,а).
3 Я» 653
66
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Цепь:
(Л, а)-1 (В, Ь) = (Л, а)*1 (S', b) (L-b, b) =
= (Л + В' — а, а) (а, Ь, а, Ь) х
Х(В' — а + а — b + b, a)(L — b,b) =
= (Л' П В 4-я, а) (L — a, а) (а, Ь, а, Ь)х
X (В' - а + а — b + b, a)(L — b, b) =
= (Л' рВ + а, а)(а, b, a, b)(L — b,b)x
X(В' — а + а — b+b, a)(L — b, b) =
=(Л' П В 4-а, а) (а, Ь, а, Ь) (В 4-а — а + Ь — Ь, а).
Случай II1.5b.
|to (Л, Ь) | < | w |.
Pi = (Л — а + а, Ь), рг = (а, Ь, а,Ь), р3 = (Л 4-В' — Ь, Ь);
Рх = (Л — а + а, Ь), р2 = (а, Ь, а, Ь), р3 = (Л' П В + b, Ь).
Цепь:
(Л, а)-1 (В, Ь) = (А, а)-1 (В', b)(L-b, b) =
= (Л —а + а, Ь) (а, Ь, а, Ь) (Л 4-В' — b, b) (L—Ь, Ь) =
= (А — а + а, Ь)(а, Ь, а, Ь) (А' П В + b, Ь).
Итак, рассмотрение частных случаев завершено. При рассмот-
рении общего случая, когда ни одно из соотношений ЛрВ=0,
Л В, В <=; А не имеет места, мы, как и в доказательстве лем-
мы 4.18, видим, что некоторое | w (Р (х), х) | меньше | w |, что
позволяет, переставляя, если нужно, стих, предполагать, что
х ~а либо х = а, т. е. что | аул | < |щ|, где л —одно из преобра-
зований (Л П В, а), (ЛрВ', а), (Л'рВ, а) или (Л'рВ', а).
Отсюда следует, что | wn | < | w |, где л — одно из преобразований
(ЛрВ, а), (ЛрВ', а), (Л'рВ, а) или (Л и В, а). Если л имеет
последнюю из приведенных форм, положим ul — wn, откуда
и1 = ии~1л. Согласно 11.1 или II 1.1, видим, чтост-1л = р1 выпол-
няется по модулю Л/2 для некоторого pt С Ц и фактически p^Q',
если о, x£Q'. Теперь из II или III следует, что л-1т = р2...рг
в соответствии с леммой, откуда, как и требуется, о-1т —
= Pi - • -Рг- □
Непосредственным следствием предложения 4.22 является
Предложение 4.23. Пусть U = (ып .... ura), V = (v1, .... vm)
и W = (w1, .. ., w^), где ut, vit Wj —элементы группы F, и пусть
о, x£Q таковы, что u^w^, v^WjX при Полагая
I I — УI wi 1> предположим, что | U |, |У|^|117| и что либо
4. Автоморфизмы свободных групп
67
|f/|<|IF|, либо |V| < | UZ |. Тогда найдутся р„ рг£Й,
такие, что соотношение ст"1! = р, ... рг выполняется по модулю
У2, а | С/р, ... р( | < | W | для всех 0 < i < г.
□ Пусть F* — свободная группа с базисом Х*={хг..........хп+,};
тогда все ut, v{, W; лежат в F s F*. Определим циклические
слова
« = (Щхп+1 ... итхп+1), v = (ст,хп+1... цях„+1),
= + , ... wmxn + l)
в группе F. Тогда и = акт, v = wx, |u|, | v | | w| и либо |и|<
< | w |, либо |v| < |а>|. По предложению 4.22 существуют р,, . . .
..., pz£Q', такие, что соотношение ст-1т = р, . .. рг выполняется
по модулю N2, причем | up, ... р,-1 < | w | для 0 < i < г. Но из
| up, ... р,-1 < | а> | вытекает, что | С/р, ... р,-1 < | W |. □
Предложение 4.24. Пусть U = (и1, ...,ит), где все щ лежат
в F, и предположим, что ag Aut (F), таков, что | Ihx | | U |.
Тогда а = р, ... рг, р,- С Н, причем | С/ р, ... р,-1 | U | для 1 i
^г, и равенство строгое, кроме случая |£/а| = |£/|.
□ Это вытекает из 4.23 точно так же, как 4.17 вытекает из 4.18. □
Предложение 4.25. Пусть f/=(u,, . . . , ит), V = (v,, . . . , vm),
где все щ, Vj лежат в F. Тогда алгоритмически разрешима проблема
существования agAut(F), такого, что Ua=V.
□ Это вытекает из 4.24 точно так же, как 4.19 вытекает из 4.17. □
Следующее предложение является первоначальной версией ре-
зультата Маккула о представлении группы автоморфизмов свобод-
ной группы порождающими и определяющими соотношениями.
Предложение 4.26. Группа А автоморфизмов свободной группы
F конечного ранга является конечно представленной и
A = (Й; R)
—- ее конечное представление. Менее формально А порождена мно-
жеством Q преобразований Уайтхеда, причем каждое соотношение
между элементами из Q следует из соотношений между элементами
из й, и соотношений вида (R1) — (R6).
□ Достаточно показать, что если ст,, . . . , олС£1 и ст,. . .стл = 1, то
это соотношение является следствием соотношений из R. Пусть
^=(х,, ...,%„) и Ui^-Uoi. . .стг; тогда Un^--Uh=U. Положим
u?=max {|С/г|}>п и будем вести доказательство индукцией по т
и по числу множеств Uit таких, что \Ut\=m. Если т=п, то каждое
ог лежит вй,и ст,. . ,стЛ=1 является соотношением между элемента-
ми множества й,. Если т>п и i — последний индекс, такой, что
з*
68
Гл. /. Свободные группы и их подгруппы
\Ui\=m, то KiCm и |£/г_1К1 Ut\, I£7г+il<|t/J. По предложению
4.22 огстг+1=р1. . .pft по модулю М2 для некоторых р, £й, причем
|£/;_ipi. . .pj\<\Ui\=m для 0</<£. Таким образом, заданное соот-
ношение по модулю N2 следует из соотношения Сть . .стг_1Р1. . .
.. .pkui + 2- -oh. Однако в этом соотношении либо либо т' ~
=т с меньшим числом вхождений величины т, следовательно, по
предположению индукции данное соотношение является следствием
соотношений R. Таким образом, ст1Ф. .<тЛ=1 — следствие соотноше-
ний R. □
Маккул в [1974] из предложения 4.26 получил данное Нильсе-
ном [1924] представление группы A=Aut(F). В качестве порождаю-
щих Нильсен брал подмножество й°=й?ий2 множества й, состоя-
щее из некоторых нильсеновских преобразований. Более точно, й“
состоит из перестановок (хг, xj), i^=j, и (хц ху1) для всех i. Множе-
ство й![ состоит из всех преобразований
(хг+х>, X;): X, -> ХгХ; ДЛЯ 1=#/
и всех преобразований
(хгЧ-^Т1, X/-1): xzh->x7xz для i j.
Ясно, что Й? порождает А1 и что й° порождает А. В качестве
определяющих соотношений Нильсен взял множество R° = U
где Ri определяет Ап a R2 состоит в сущности из всех соотно-
шений в множестве R2 из доказательства Маккула, включающих
порождающие лишь из Й°.
Чтобы доказать, что нильсеновское множество R° является пол-
ным множеством определяющих соотношений, Маккул преобразует
представление Нильсена с помощью преобразований Титце. Вначале
он присоединяет в качестве новых образующих элементы, обратные
к элементам из й£, присоединяя при этом и тривиальные опреде-
ляющие соотношения. Затем он присоединяет все (А, а), которых
нет в множестве Нильсена (т. е. в которых IА |>2), вводя для каж-
дого из них определяющее соотношение вида (A, а)=(аА+а, а). . .
. . ,(аг+а, а), где щ, . .. , аг и а — различные элементы множества А.
Наконец, он использует эти последние соотношения и индукцию по
|А| для встречающихся в рассуждении преобразований (А, а), что-
бы показать, что все соотношения из R2 имеют место.
Нильсен заметил, что фактически группа Aut (А) порождается
любым множеством порождающих для Ai вместе с единственным
элементом из й2. Таким образом, А порождается перестановками
(xi, х2), (xi, xf1), (xi, х2, ... , хп) вместе с преобразованием Xi н->
н-> XiX2; Нильсен привел и множество определяющих соотношений
относительно этих порождающих. Б. Нейман [1932] уменьшил
порождающее множество до трех элементов. (Эти последние факты
можно найти в книгах Кокстера и Мозера [1965, стр. 85] и Магнуса,
Карраса и Солитэра [1974, стр. 175].)
5. Стабилизаторы в Aut (F)
69
Из одного результата Нильсена [1924] и Магнуса [1934] следует,
что IA (F)— нормальное замыкание в Aut (Л) единственного эле-
мента a=(xi+xr1+x2, х2): хг x^XiX^. Таким образом, из полу-
ченных представлений для Aut(F) можно получить представление
для Aut (F)/IA (F)=GL (n, Z) присоединением еще одного опреде-
ляющего соотношения а=1.
Заметим, что вопрос об алгоритмической разрешимости пробле-
мы, переводит ли некоторый а С Aut (F) последовательность W=
=(wit .... wn) в некоторую последовательность W' базисных эле-
ментов, был разрешен ранее теоремой Федерера и Йонссона (см.
выше 2.26). Несмотря на это, предложенный метод проще в приме-
нении; например, весьма короткое вычисление показывает, что ни-
какое преобразование Уайтхеда не уменьшает длину слова хух~1у~1
или слова х2 (рассматриваемых как циклические слова относитель-
но базисных элементов х, у), что доказывает невозможность включе-
ния этих элементов группы F в какой-либо ее базис.
Хор (препринт) получил существенное упрощение доказатель-
ства теоремы Уайтхеда, а также полученного Маккулом конечного
представления для Aut (F), где F — конечно порожденная свободная
группа, анализируя геометрию звездного коинициального графа.
5. Стабилизаторы в Aut(F)
Перейдем теперь к изучению стабилизатора данного множества
слов или циклических слов в группе Aut(F). Перед доказательством
одного весьма общего результата Маккула мы упомянем некоторые
более частные результаты.
При достаточно общем слове w, содержащем все образующие,
можно было бы ожидать, что его стабилизатор Aw должен быть ма-
лым или даже тривиальным: экстремальный пример свободной
группы ранга 1 показывает, что стабилизатор любого нетривиаль-
ного элемента тривиален. Однако результаты Нильсена и Цишанга,
которые мы приводим ниже, показывают, что в некоторых важных
случаях Aw может быть весьма большим. Первый из этих результа-
тов принадлежит Нильсену [1918]; см. также Стиб [1972, стр. 117].
Предложение 5.1. Пусть F — некоторая свободная группа ранга
2 с базисом {х, у}, и пусть w — циклическое слово, определенное ком-
мутатором [х у]. Тогда любой автоморфизм группы F переводит w
в w или щ-1, откуда следует, что Aw — группа SA (F) собственных
автоморфизмов группы F, имеющая индекс 2 в Aut (F).
□ Несложной проверкой убеждаемся в том, что каждый элемен-
тарный нильсеновский автоморфизм переводит w в w или а>-1,
причем собственные автоморфизмы оставляют w на месте, а несоб-
ственные переводят w в w-1. □ См. также Мальцев [1962].
70
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Хорошо известно, что аналогичный результат не имеет места для
свободных групп ранга, большего 2 (см. Магнус, Каррас и Солитэр
[1974, стр. 175]). Этот же факт содержится в следующем предложе-
нии.
Предложение 5.2. Пусть F — свободная группа ранга не менее 2
и w — нетривиальный элемент этой группы, причем (да) — ассо-
циированное с ним циклическое слово. Тогда образ А(да) стабилизатора
А(да) имеет бесконечный индекс в А =Aut (F)/JA (F), кроме того слу-
чая, когда w имеет вид да=[х, y]k, k^=0, где {х, у} — базис группы F.
□ Предположим, что группа A(w) имеет конечный индекс. Тогда
орбита {(да)ос; а £ Aut (F)} конечна и длины элементов (да)а ограниче-
ны, скажем I (да)а|<В для всех a g Aut (F). Ясно, что w должно вклю-
чать все образующие любого базиса для F. Предположим, что а,
а~1, Ь, с — различные элементы из X11, причем (да) имеет подслово
Ьс-1. Если а — автоморфизм а: b*-+ba, то ал' вставляет N букв а
между Ь и с-1, ни одна из которых не может сократиться. Таким об-
разом, |(да)аЛ'|^М, где N произвольно, что противоречит условию
I(да)аЛ'|<;В. Фиксируя а, мы делаем вывод, что если Ь=/=а, а~\ то
(да) не имеет подслова Ьс~1, где с=£а, а~1, Ь. Однако приведенная
форма для (да) не содержит подслова ЬЬ~\ Поэтому некоторое а'=^1
лежит между любыми последовательными вхождениями букв Ь,
с-1, отличных от а, а~1. То же самое рассуждение с заменой а на b
показывает, что всегда г = ±1. Поэтому третья буква, начиная с а,
есть а или а-1 и аналогичное утверждение верно для Ь. Более того,
если (да) содержало бы подслово aba, то применяя последовательно
автоморфизм а: а н-> ab мы получаем |(да)аЛ'|^Л?, что невозможно,
как и выше. Таким образом, после возможной перестановки букв
a, a~l, b, b~Y получаем ш=[а, b]k, k=^=0. Наконец, {а, Ь} — базис,
так как если бы_Х содержало еще один элемент с, то, как и прежде,
автоморфизм aN: а acN давал бы слово (w)aN неограниченной
длины. □
В некоторых случаях Alw) очень мал, и эти случаи в определен-
ном смысле типичны.
Предположим, что слово да из F, свободной группы ранга п,
таково, что любое преобразование Уайтхеда, не являющееся ни
перестановкой множества Х*1, ни внутренним автоморфизмом,
увеличивает длину этого слова. Из предложения 4.17 следует, что
А(да) содержится в образе в А подгруппы группы Aut (F), состоящей
из автоморфизмов, переставляющих Х^1, откуда |А(да) |^п!2".
Два наименьших примера: (1) w=x3y3, где {х, у} — базис; в этом
случае |A(w)|=2; (2) w=x2y2x~1y~1, где {х, у} — базис; тогда
I ^lw> 1 = 1-
5. Стабилизаторы в Aut (F)
71
Другим примером обращения предложения 5.1 является резуль-
тат Дэна, Магнуса и Нильсена (см. Магнус [1930]), согласно кото-
рому если F — свободная группа ранга 2 с базисом {х, у} и эндо-
морфизм а группы F оставляет на месте ai=[x, у], то а — автомор-
физм. Цишанг [1966] показал, что если F — свободная группа с ба-
зисом {%1, ... , x2g} и да=[%1, х2]. . .lx2g-i, x2g], то каждый эндо-
морфизм, который оставляет на месте w, является автоморфизмом.
Определение группы А^ для w выписанной формы или для w—
—xf. . .Хп соответствует одной известной проблеме, возникающей в
топологии и анализе, в решении которой ощутимый прогресс был до-
стигнут лишь в работах Маккула (см. 5.5).
Цишанг [1962] изучает стабилизатор Aw для w=xa11. . ,хапп, где
, в свободной группе F с базисом{х1( . ..,хп}. Как отмечено, слу-
чай, когда все а; равны 2 (и п^З), является трудным. Если все at
равны 1, т. е. w=Xt.. ,хп, то, как показал Артин [1947], Aw — это
группа кос В. Если все at больше 2, то Цишанг [1962] показал, что
Aw состоит из всех автоморфизмов вида х, н-> и^х^ли^1, где л —
перестановка, причем эти автоморфизмы лежат в группе кос В.
Цишанг [1962] показывает также, что два элемента .. ,хапп
и z=%i‘... Xfn свободной группы с базисом Ц1, х2, . ..}, где все аг,
bt больше или равны 2, эквивалентны относительно автоморфизма
группы F тогда и только тогда, когда т=п и Ь( получаются пере-
становкой показателей at.
□ Дадим набросок доказательства этого факта. Ясно, что если по-
следнее условие выполнено, то w и z эквивалентны. Предположим
теперь, обратно, что w и z эквивалентны. Нетрудно заметить, что
длина любого из этих слов не может быть уменьшена преобразова-
ниями Уайтхеда. По предложению 4.17 |ai| = |z| и существует по-
следовательность слов wlt=w, Wi, ... , wt=z, таких, что всегда
|даг| = |гЦ и (ail+1)=(aif)at для некоторого преобразования Уайтхеда
аг. Пусть для каждого Xj число вхождений букв xj и ху1 в wt есть
сг?-; обозначим через С, упорядоченное множество (сг1, ci2, . ..).
Если аг переставляет множество Х±г, то ясно, что Сг+1 — результат
перестановки на множестве С/. Если аг —(А, а), где а=х^1, то ясно,
что все Си остаются без изменения при j^=k. Поскольку |ai| =2сг?-
также остается без изменения, отсюда следует, что и cih не изменяет-
ся и Ci+l=Cj. Таким образом, C0=(ai, ... , ап, 0, 0, ...) — пере-
становка множества Ct=(bi, ... , bn, 0, 0, . ..). □
В той же работе [1962] Цишанг вычисляет группу Aw для всех
слов w=xayb в свободной группе F ранга 2 с базисом {х, у}.
□ Дадим один из вариантов его рассуждений. Без потери общности
можно предполагать, что а, Ь~^0. Оставим в стороне случай ai=l,
а если а=1 или Ь=1, т. е. если w — базисный элемент, то будем
72
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
считать, что ш=х. Таким образом, можно считать, что либо w~xa,
а^\, либо w=xayb, а, Ь^2. Рассмотрим пять возникающих случаев
в отдельности.
Случай 1. w=xa, а^\. Если 0 оставляет на месте w, то он дол-
жен оставлять на месте и единственный корень степени а из него,
т. е. х. Поскольку х0=х и уд порождают F, уд должен иметь нор-
мальную форму уд=х/1у±1хк. Таким образом, а: у >—> ху и р,- уу->
н->ух'1 образуют базис для свободной абелевой подгруппы А'
группы Aw и Aw — расщепляемое расширение свободной абелевой
группы А' ранга 2 при помощи инволюции е: pi—»р-1, причем со-
пряжение элементом е переставляет элементы аир.
Случай 2. w=xayb, а, Ь>2, а^=Ь. Никакое преобразование Уайт-
хеда, не являющееся перестановкой, не может оставлять неизменной
длину слова (w), и лишь тривиальная перестановка оставляет неиз-
менным (да). Таким образом, Aw состоит полностью из внутренних
автоморфизмов, точнее, является циклической группой, порожден-
ной автоморфизмом ы==хш, переводящим каждый элемент и из F
в дапда-1.
Случай 3. w=xaya, а>2. В этом случае есть единственная не-
тривиальная перестановка л: х <-> у, оставляющая на месте (да),
которая дает внешний автоморфизм а=лххя: х >—» хаух~а, уу-+х,
переводящий да в себя. Далее а2=о>, так что A w — бесконечная цик-
лическая группа с порождающим а.
Случай 4. w = x2yb, b > 2. В этом случае имеются две суще-
ственно различные последовательности преобразований Уайтхеда,
сохраняющие длину (да), произведение элементов которых нетри-
виально. Первая последовательность: о^, ...,оь, л, где О; = ...
...=o6 = a: хн->хр-1 и л: уу-э-у"1. При этом о* л: ху-^-хуь,
у^-ь-у"1 переводит да в хуьх\ далее а = ог’лхд.: х>—>х2уьх~1,
у>--^ху~1х~1 лежит в Aw. Другая последовательность: .
...=т6 = т: х>—*у-1х, за которой следует л, причем тьл:
ху—*уьх, уу-э-у"1 переводит да в ybxybxy~b. Однако элемент
т6лх ь из Aw снова равен а. Опять а2~ы, т. е. и на этот раз
Aw — бесконечная циклическая группа с порождающим а.
Случай 5. w = x2y2. Образ Aw группы Aw при естественном
гомоморфизме из Aut (F) на GL (2, Z) стабилизирует вектор
да = (2, 2). Согласно результату Нильсена (предложение 4.5), ядро
этого отображения —группа внутренних автоморфизмов для F;
отсюда следует, что если В —любая подгруппа из Aw, отобра-
жающаяся на Aw, то Aw = JB, где J — множество внутренних авто-
морфизмов из Aw. Фактически /—бесконечная циклическая
группа с порождающим ю, центральная в Aw.
В группе GL(2, Z) преобразование q) с определите-
лем — 1 стабилизирует вектор (2, 2). Вычисления показывают,
5. Стабилизаторы в Aut (F)
73
что если какое-либо преобразование Т =
Я\
sJ
с определителем
+ 1
стабилизирует (2, 2), то Т=09
я +1
—я
-(,-!)> ГДЕ ₽ =
— ___। . Таким образом, аир порождают Aw. Вычисле-
ния показывают, что элементы a: xi—>x2y2x~1, у^->ху^1х~1 и
х>—>х2у, у^-^-у~гх~1у группы Aut (F) принадлежат Ат. Поскольку
а и р отображаются на а, р, группа В, порожденная этими автомор-
физмами, отображается на Aw. Отсюда следует, что а, (3 и у
порождают группу Aw.
Пусть у: хн->х2ух~2, yi-э-х. Вычисления показывают, что
а2 = уа = о> и что ау = ра>, поэтому Aw порождена автоморфизмами
а и у. Далее, Aw= Aw/J имеет порождающие а и у, такие, что
а2=у2=1, причем р = ау — элемент бесконечного порядка, т. е.
Ак,= (а, у; а2 = у2 = 1). Теперь каждый элемент группы Aw един-
ственным образом представим в форме a>m6, где б —произве-
дение чередующихся сомножителей а и у. Отсюда следует, что
Aw имеет представление вида (а, у, ®; а2 = у2 = ю), так что
Аю = (а, у; а2=у2). □
Следующий результат был установлен Дайер и Скоттом [1975].
Предложение 5.3. Если F — конечно порожденная свободная
группа и а — автоморфизм конечного порядка этой группы, то мно-
жество элементов группы F, которые остаются на месте при авто-
морфизме а, является свободным множителем в F. □
Приводимое ниже замечание принадлежит Шеницеру [1955].
Предложение 5.4. Пусть F — свободная группа с базисом X и
w — обычное или циклическое слово, длина которого минимальна сре-
ди длин сопряженных с ним под действием группы Aut (F) слов. Если
в слове w встречается в точности п различных элементов из X, то в
каждом слове wa, а С Aut (F), встречается самое меньшее п различ-
ных элементов из X.
□ По предложению 4.17 существует цепочка toa=u0, Ui, ... , Ut~
=w, где каждое ui+i равно мгаг для некоторого преобразования
Уайтхеда аг, причем |ыг-+1|^|ыг-|. Если wa содержит меньше эле-
ментов множества X, чем ш, то некоторое ui+l должно содержать
больше элементов множества X, чем ut. Отсюда следует, что ог =
=(А, х1*11) для некоторого х из Х±х, встречающегося в иг, но не в
и1+г. Однако в этом случае ui+1 должно было бы быть результатом
одной или большего числа вставок буквы x±l в w(-, что невозможно
в силу неравенства |«г+11^|иг-|. □
74
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Из двух предыдущих результатов вытекает следующее
Предложение 5.5. Пусть F — свободная группа с базисом X и
w — обычное слово, длина которого минимальна среди длин слов, со-
пряженных с ним под действием группы Aut (А), содержащее все
элементы множества X. Тогда стабилизатор этого слова в Aut (А)
является группой без кручения.
□ Из предположений следует, что множество X конечно. Пусть а—
элемент конечного порядка в стабилизаторе элемента w. По пред-
ложению 5.3 множество Н неподвижных точек автоморфизма а яв-
ляется свободным множителем группы F. Отсюда следует, что H=F,
поскольку w б И, а по предложению 5.4 w не лежит ни в каком соб-
ственном свободном множителе группы F. Таким образом, а=1. □
Заметим, что если F — свободная группа с базисом {х, у} и
w — циклическое слово w=(xyx~1y~1), то w неподвижно при авто-
морфизме а: х^-э-у"1, у*-*х порядка 4. В то же время верно сле-
дующее.
Предложение 5.6. Если w — циклическое слово минимальной дли-
ны, содержащее все элементы базиса группы F, и а — автоморфизм
конечного порядка п, оставляющий на месте ш, то п делит Ы.
□ Пусть U7={a,i, ... , дат}—обычные слова, соответствующие
слову w, тогда т делит |ау|. Пусть G— группа, порожденная авто-
морфизмом а. Поскольку никакой нетривиальный элемент группы G
не оставляет на месте ни одно из Wt, то каждая орбита под действием
группы G на W имеет длину п. Таким образом, п делит т и, следо-
вательно, |tw|. □
Наконец, мы приведем очень важную теорему Маккула [1975],
относящуюся к описанию стабилизаторов в группе Aut (F) конечных
последовательностей циклических слов.
Предложение 5.7. Пусть F — свободная группа с конечным ба-
зисом X, и предположим, что и=(щ, . .. , ит) — конечная последо-
вательность циклических слов над X. Пусть Аи— подгруппа груп-
пы А = Aut (А), стабилизирующая каждое из слов щ, ... , ит. Тогда
существует эффективная процедура, связывающая с каждым из та-
ких множеств U конечное представление группы Аи.
□ Мы дадим эффективную конструкцию конечного 2-комплекса А,
фундаментальная группа которого изоморфна Аи. Вначале мы бу-
дем предполагать, что U минимально в том смысле, что | С/| = || .
. ,.+1ит| не может быть уменьшено никаким автоморфизмом
группы F. В качестве множества вершин Ка графа А мы возьмем
множество всех образов V=Ua, а С А, таких, что |У| = |[/|. Очевид-
но, что это множество конечно и по теореме Уайтхеда может быть
5. Стабилизаторы в Aut (F)
75
найдено эффективно. Образуем теперь 1-скелет К1 графа К введе-
нием направленного ребра e=e(V, т) от V к Vx, если V и Кт принад-
лежат К°, а т лежит в й; положим е-1=(Кт, т-1). Снова ясно, что
К1 конечно, причем его построение эффективно.
Определим теперь морфизм <р из группоида путей в К1 в свобод-
ную группу Ф с базисом Й, сопоставляя каждому ребру e=e(V, т)
метку е<р=т. Построение графа К завершается следующим образом:
если р — (приведенная) петля в К1, метка р<р которой является од-
ним из соотношений множества R предложения 4.26, то мы вводим
2-клетку с границей р.
Тождественное отображение множества й индуцирует гомомор-
физм 6 из Ф на А. Если р — петля с вершиной в U в К, то, очевид-
но, рфб — элемент подгруппы Аи. Более того, в силу предложения
4.26, если р и р' — гомотопные петли с вершиной в U в К, то рфО=
=р'фО. Таким образом, <р6 индуцирует гомоморфизм ср из л (К’, U)
в Аи.
Поскольку U минимально, из предложения 4.19 следует, что
если | t/a| = | U\ для некоторого а из Л, то а=тх. . ,xg, где т, лежат в
й и каждое Uli. . л, лежит в К°. Таким образом, существует петля р
с вершиной в U в К, такая, что /лрО=а. Это показывает, что ср —
эпиморфизм.
Остается показать, что ср — мономорфизм, т. е. что если р —
петля с вершиной в U в К, для которой /?ф0=1, то р гомотопна 1
в К,. Пусть такое р является произведением ех.. ,ek ребер et с мет-
ками ех<р=тг из й. Обозначим через Z множество всех циклических
слов длины 2, т. е. Z=(xtxf, i^j), и пусть z(p)=max {|Ztx. ,.тг|;
Будем вести доказательство индукцией по z(p).
Нетрудно заметить, что множество Z минимально, так что на-
чальный шаг индукции состоит в том, что z(p) = |Z|. Понятно, что
если |Za| = |Z| при некотором а^Л.то на самом деле а ^Йх. Таким
образом, из z(p) = \Z\ следует, что все |Ztx. . ,тг| равны |Z|, откуда все
тх.. ,тг лежат в Йх, так что и все тг лежат в йх. В этом случае соотно-
шение тх. . .Tft=l является следствием соотношений системы /?х из
предложения 4.26. Поскольку I Ux^. . .т,| = |U\, то из построения
графа К вытекает, что петля р гомотопна 1 в К.
Для проведения шага индукции предположим, что z(p)>|Z| и
что наше утверждение верно для всех р', таких, что z(p')<z(p).
Пусть W—(UZ, Z)=(U, ... , U, Z), где часть U повторяется z=
=z(p) раз. Будем писать U^UXi.. .xit Z;=Ztx.. .т; и Wi = Wxi. . ,т£;
понятно, что Wi^UlZi) и |U7t| =zlt/Д + |Z£| =z|С7Ц-|Zz|.
Пусть h — наибольший индекс, такой, что \Zhl =z; поскольку
Z0=Zh=Z, Q<Zh<Zk. Достаточно показать, что петля р гомотопна
петле р', такой, что значение г достигается величинами |ZJ| =
==IZt(. ,.т-| только для тех значений индексов i<h, для которых
12,|=г. По выбору числа h имеем и ПГЛ+1КПГЛ|. Из
76
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
предложений 4.18 и 4.26 следует, что R содержит определяющее
соотношение вида г=тЛтЛ+1(о1. . .af)-1, такое, что |Ц7Л_1о1.. ,ау| <
<|при В качестве петли р' предлагается взять петлю р,
в которой ребра ehehJrl заменены на путь с меткой ai.. ,о(; для дока-
зательства того, что такая петля р' имеется в К и что она гомотопна
петле р, остается доказать, что для всех 1<д<? имеем
Однако |W\_i<ii. . .O;I<IW\I, т. е. z\Uh_iOi. . .<J}\+\Zh ^оц. ..
. . t/|+z; отсюда следует, что z\L/h_1o1. . .oj|<z|t/|+z(p).
Предположим, что . .Оу|^|77| + 1; тогда приходим к лож-
ному неравенству z(|(714-1)<г|t/|+z. Предложение доказано. □
Похожим образом Маккул получает аналогичные результаты
для подгруппы группы А, осуществляющей перестановку элементов
Ui и нг1, лежащих в наперед заданной группе; ему удается полу-
чить аналогичные результаты также для обычных, не циклических,
слов.
В случае когда U состоит из единственного циклического квад-
ратичного слова, Маккул (не опубликовано) показал, что Aut(F)^
=Л1(К0)> гДе Ко — конечный 2-комплекс, построение которого ана-
логично проведенному в предложении 5.7, но в котором, однако,
вершины V и Vr соединены ребром, лишь когда т — элементарное
нильсеновское преобразование.
Важное следствие результатов Маккула относится к группам
классов отображений (см. обсуждение в книге Магнуса — Карра-
са— Солитэра [1974, с. 182—189]). Пусть М—замкнутое 2-мно-
гообразие; тогда группа классов отображений &#(2И) определяется
как группа всех автоморфизмов многообразия М по модулю под-
группы тех из них, которые деформируются до тождественного ото-
бражения. По теореме Нильсена [1927] (см. также Харви и Маклах-
лан, в печати) группа &^(Л1) изоморфна группе dut(n(7W)) внешних
автоморфизмов группы л(М) по модулю группы внутренних авто-
морфизмов. Далее, фундаментальная группа л (Л1) имеет представ-
ление л(Л1) = (Х; г) с одним определяющим соотношением; по дру-
гой теореме Нильсена [1927] каждый автоморфизм группы л (Л4)
индуцируется некоторым автоморфизмом свободной группы F с ба-
зисом X, причем этот автоморфизм обязательно должен оставлять на
месте нормальное замыкание N элемента г. (Одно из доказательств
этого было дано Цишангом [1966], доказательство с помощью теории
малых сокращений дано Шуппом, не опубликовано.) Согласно одной
теореме Магнуса (II.5.8), такой автоморфизм группы F обязан пере-
водить г в элемент, сопряженный с г или г-1. Пусть Аи— стабили-
затор неупорядоченной пары [/={(/•), (г)-1}, где (г) и (г)-1 — цик-
лические слова, определенные словами г и г-1. Рассмотрим группу
duty, равную А у по модулю группы внутренних автоморфизмов
группы F. Тогда имеется отображение f из duty на dut(n(Al)), а
6. Уравнения над группами
77
значит, и на &/Z(44). Ядро К этого отображения было найдено Бир-
ман [1969]; кроме тривиальных случаев, оно равно образу группы
л (/И) при естественном явном вложении g. Таким образом, во всех
интересных случаях мы получаем точную последовательность
1 л (М) -> Outy-> <^(М) -> 1.
Отсюда следует, что группа (Л4) конечно определена, причем такое
представление может быть найдено эффективно. Аналогичные резуль-
таты верны и для более общего случая, когда М является фактор-
пространством гиперболической плоскости под действием фуксовой
группы.
Хатчер и Терстон (не опубликовано), используя теорию Морса,
получили общую формулу, из которой единым образом вытекает ко-
нечная определенность этих групп.
6. Уравнения над группами
Проблема присоединения элементов к группам была поставле-
на Б. Нейманом [1943] по аналогии с соответствующей проблемой в
теории полей. Например, если дана группа би ее элементg£G, то
можно спросить, вложима ли G в группу Н, в которой g является
квадратом некоторого элемента х группы И, g=x2. Рассмотрим более
общую ситуацию. Пусть W — множество элементов Wj=Wj(ylt ...
... , ym; £i, ... , £п) свободной группы Ф с базисом yi, ... , ут,
£i, ... , пусть G — данная группа и gu ... , gm — данные эле-
менты этой группы. Тогда речь может идти об описании гомомор-
физмов <р из Ф в некоторую группу И, содержащую G, для которых
T(-<p=g; и аур=1 при всех wj. Естественно называть W системой
уравнений w}(glt ... , gm; ... , £л) = 1 с коэффициентами gt из
G и неизвестными и называть множество элементов
«решением» этой системы.
Один из вариантов этой проблемы — решение уравнений в G,
т. е. при наложении ограничения H~=G, и тогда элементы xk =
= ^<р должны быть найдены в самой группе G. Еще более частный
случай получается, когда речь идет о решении систем уравнений
Wj=Wjdi.......£„) без коэффициентов. Эти последние проблемы,
к которым мы вернемся позже, были почти полностью решены в том
случае, когда W состоит из единственного уравнения да=1, а группа
G свободна.
Первый важный результат по проблеме присоединения элемен-
тов— это теорема Б. Неймана [1943], относящаяся к присоедине-
нию корней.
Предложение 6.1. Пусть G — произвольная группа и I — неко-
торое множество индексов. Пусть gi, i(zl, — элементы из G, a mt —
натуральные числа. Тогда G можно вложить в группу Н, содержащую
элементы Xi, такие, что для всех i £ / имеем х?' = gt.
78
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
□ Очевидные рассуждения сводят проблему к решению единствен-
ного уравнения Qm=g. Рассмотрим циклическую группу С с по-
рождающим х порядка тп, если g — элемент конечного порядка п,
и бесконечного порядка, если g — элемент бесконечного порядка.
Тогда подгруппы A=Gp(x“) в С и A'=Gp(g) в G изоморфны.
По теореме Шрайера [1927] группы С и G изоморфно вкладываются
в свободное произведение Н группы С на группу G с подгруппами
А и А', объединенными посредством изоморфизма, переводящего
хт в g\ более того, в этой группе xm—g. □
Второй важный результат в этой области — теорема Хигмана,
Неймана и Нейман [1949].
Предложение 6.2. Пусть G — произвольная группа, I — задан-
ное множество индексов, g( и g'i, i € I,— некоторые элементы из G.
Тогда группу G можно вложить в группу Н, содержащую элемент х,
такой, что x~1gtx=gi для каждого i £1,в том и только том случае,
когда существуют изоморфизмы из Gp {g,} в Gp {g'(}, переводящие
gi в g'(. □
Необходимость условий очевидна; она показывает, что уравне-
ния над группами не всегда разрешимы. Доказательство достаточ-
ности в классическом своем варианте требует применения свобод-
ных произведений с объединенной подгруппой и является прототи-
пом обширной и важной области теории групп — теории HNN-pac-
ширений, о которой речь пойдет ниже (IV.2). До этого же момента
мы откладываем доказательство предложения 6.2, а также и других
результатов в этом направлении, зависящих, как правило, от спе-
циальной, но весьма фундаментальной техники, которая будет
изложена позже.
Весьма общий результат Герстенхабера и Ротхауза [1962], по-
лученный топологическими средствами, показывает, что если груп-
па G может быть вложена в компактную связную группу Ли, то
система Wi = l, . .. , дап = 1 из /г уравнений над Gen неизвестными
. .. , £п имеет решение, если определитель из сумм показателей
etj неизвестного в Wi отличен от нуля. Применение этого резуль-
тата дает частичное решение проблемы, приписываемой Керверу в
книге Магнуса, Карраса и Солитэра (стр. 414) и Лауденбаху Серром
[1974]. Пусть G=(X; R) и G*=(X*-, R*), где X* содержит один до-
полнительный порождающий, не лежащий в X, и R* содержит одно
дополнительное соотношение; проблема состоит в следующем:
верно ли, что из 6=^=1 следует G*tM? Соображение о том, что данная
проблема для случая конечной группы могла бы быть решена опи-
санным выше методом, стало нам известно (не непосредственно) от
А. Кассона (не опубликовано); детальное доказательство, приводи-
мое ниже, принадлежит П. Нейману.
6. Уравнения над группами
79
Предложение 6.3. Пусть G — конечная группа, X — бесконеч-
ная циклическая группа и N — нормальное замыкание одного элемен-
та в свободном произведении G*X. Если G=^l, то и (G*X)/N=£1.
□ Предположим, что х — порождающий группы X и N — нор-
мальное замыкание элемента w = . .. gnxen, где каждое из
gi лежит в G, а е,- в Z. Если сумма показателей е = ег-\-е„
не равна ±1, то образ элемента х в G* = {G * X)/N, очевидно,
нетривиален. Предположим поэтому, что е=1.
Вложим G в унитарную группу U. Поскольку U связна, мы
можем для каждого 1 — 1, ..., п определить путь у,-: [0, 1]—> U,
такой, что у;(0)=1 и у(-(l) = g;. Определим теперь отображение
у: U х [0, !]—>•[/, полагая у (h, t) = ух (t)he* .. . у„ (t)hen для всех
h^U, t С[0, 1]. Поскольку е=1, у(-, 0) является тождествен-
ным отображением на U, а из топологических соображений сле-
дует, что у(-, 1) отображает U на всю группу U. Поэтому в U
существует элемент h, такой, что y(/i, 1) = . gnh.en ~ 1.
Следовательно, существует отображение <р из G* в U, тождест-
венное на G и переводящее х в h. Поскольку G*cp содержит G,
то из G 1 следует, что G* 1. □
Возвратимся к проблеме решения уравнений в группах. Эта
проблема независимо возникла также и в математической логике,
точнее, в теории моделей. Элементарным языком теории групп
является язык первой ступени, в котором единственным нелогиче-
ским символом является символ бинарной функции, интерпретиру-
емый как групповое умножение; этот элементарный язык, в част-
ности, не позволяет говорить прямо о таких теоретико-множествен-
ных понятиях, как порядок элемента, подгруппа или цепь подгрупп.
Элементарной теорией класса групп называется множество предло-
жений из элементарного языка, истинных во всех группах данного
класса. В такой постановке возникают две естественные и до сих пор
не решенные проблемы. Первая: различны ли элементарные теории
двух свободных групп различных рангов? И вторая: разрешима
ли теория класса всех свободных групп?
Отклоняясь несколько в сторону, обсудим кратко первый вопрос.
Нетрудно заметить, что среди всех свободных групп лишь группы
ранга 0 (т. е. тривиальные) выделяются предложением (Yx)(xx=x)
и только группы ранга не выше 1 выделяются предложением
(Yx)(Yz/)(xz/=z/x). Однако неизвестны, например, элементарные
предложения, выделяющие свободные группы ранга 2 и свободные
группы ранга 3: Для сравнения мы поместим предложение, которое,
как замечено Тарским (не опубликовано), выделяет среди свобод-
ных абелевых групп в точности группы ранга 2; оно выглядит так:
(3x)(3z/)(Vz)(3u)(u2 = z или u2 = zx или u2 = zy или u2 = zxy).
80
Г л. 1. Свободные группы и их подгруппы
Частичные результаты по обсуждаемой проблеме получены Сасер-
дотом [1972, 1974]г).
Обратимся теперь к вопросу о разрешимости теории некоторого
класса свободных групп: пусть дано высказывание на элементарном
языке теории групп, и требуется определить, истинно ли оно во
всех группах рассматриваемого класса. Если этот класс пуст или
содержит только тривиальные группы, положительный ответ оче-
виден. Для класса свободных групп ранга 1 (т. е. бесконечных цик-
лических групп) положительное решение проблемы есть классиче-
ский результат Прессбургера [1929]. Для сравнения упомянем, что
элементарная теория свободных абелевых групп (так же как и тео-
рия всех абелевых групп) разрешима, в то время как теория сво-
бодных абелевых полугрупп, как известно, неразрешима.
Именно в связи с этими проблемами Р. Вот (не опубликовано)
поставил следующую проблему: истинно ли предложение
(Vx) (Vу) (Уг) (х2угг* = 1 =$> ху = ух)
во всех свободных группах? Положительное решение было получено
Линдоном [1959], а дальнейшие результаты были получены Г. Баум-
слагом [1960], Шенкманом [1959], Шютценберже [1959] и Линдоном
и Шютценберже [1962], доказавшими, что любые элементы свобод-
ной группы х, у, г, удовлетворяющие соотношению xmynzP=l при
т, п, р^2, содержатся в некоторой циклической подгруппе. Шют-
ценберже [1959] показал, что из равенства [х, y]=zk при /г>1 в сво-
бодной группе вытекает принадлежность элементов х, у и z некото-
рой циклической подгруппе, а значит, на самом деле, z=l. Иначе
говоря, никакой нетривиальный коммутатор в свободной группе не
является собственной степенью. Это утверждение следует также из
полученных позднее более общих результатов Карраса, Магнуса
и Солитэра [I960] и Г. Баумслага и Стейнберга [1964].
Аналогичная проблема для свободных метабелевых групп (т. е.
групп вида F/F", где F" — второй коммутант свободной группы F),
изучалась Г. Баумслагом и Малером [1965] и Линдоном [1966].
Решение проблемы Вота было обобщено Уиксом [1974] на случай
свободных произведений. Он показал, что если G — свободное про-
изведение двух групп, причем ни одна из них не имеет элементов
второго порядка и каждая удовлетворяет условию, что из x2z/2z2=l
следует ху=ух, то G также удовлетворяет этому условию.
Аналогичные проблемы для полугрупп изучались Лантэном
[1970, 1972]; см. также Нива [1970]. Формула для полугрупп, дока-
занная Лантэном, была перенесена на случай групп Пиолле [1975];
она тесно связана с вариантом формулы Римана — Гурвица, най-
денным Хором, Каррасом и Солитэром (см. ниже III.7.8).
0 Ю. И. Мерзляков доказал совпадение позитивных теорий свободных неа-
белевых групп (Алгебра и логика, т. 5, 19бб, № 4, с. 25—42).— Йрим. ред.
6. Уравнения над группами
81
Решение проблемы Вота может быть переформулировано сле-
дующим образом: если х, у, z — элементы свободной группы F,
такие, что x2y2z2=l, то свободная подгруппа U, порожденная х, у, г,
имеет ранг не выше 1. Это можно обобщить следующим образом.
Пусть W— произвольная система уравнений a»,(gi, ... , £п)=1,
внутренний ранг Ir (1Г) которой мы определим как максимум рангов
подгрупп U свободных групп F, порожденных решениями xh=£,hq>
системы W. Если Ф — свободная группа с базисом и
G — факторгруппа, получаемая из Ф наложением соотношений Wj=
= 1, то Ir (VE) есть, очевидно, максимальный ранг свободных гомо-
морфных образов группы G. Это позволяет определить внутренний
ранг Ir (G) для произвольной группы как максимальный ранг ее
свободных гомоморфных образов; это понятие является двойствен-
ным к понятию «внешнего ранга», т. е. минимального ранга свобод-
ных групп F, таких, что G — гомоморфный образ группы F. Ясно,
что «внешний ранг» G — это наименьшая мощность порождающего
множества группы G. Это понятие независимо возникло также и в
теории фундаментальных групп 3-многообразий и привело Джако
[1972] к следующей теореме, для которой он дал геометрическое до-
казательство:
Предложение 6.4. Пусть 0=0^02 (свободное произведение).
Тогда Ir(G)=Ir(G1)+Ir(G2).
□ Пусть сначала фг (г = 1, 2) — гомоморфизм группы G,- на сво-
бодную группу Ft максимального ранга Ir (Gt). Тогда дь и ф2 имеют
общее продолжение до гомоморфизма ф из G на F=F1*F2, свободную
группу ранга Ir (GJ+Ir (G2). Это доказывает, что Ir(G)^Ir(Gi) +
+ Ir(G2). Для доказательства обратного предположим, что ф —
гомоморфизм группы G на свободную группу F максимального ран-
га Ir (G). Если Е1=О1ф и Е2=О2ф, то можно построить индуцирован-
ный гомоморфизм из K*F2 на F, так что ранг группы F не превосхо-
дит ранга группы F^F2, т. е. Ir (G)^Ir (Gj)+Ir (G2). □
Известно (см. Цишанг [1962]), что если w строго квадратично от-
носительно Xi, . .. , хп, то 1г (ш) равно [п/2], целой части числа п/2.
Это следует из предложения 7.13, но в случае w=xf.. .х2п содержится
в более общем результате Линдона, Макдоноу и М. Ньюмана [1973].
Мы приведем несколько более сильный вариант их результата (Лин-
дон [1973]), опирающийся на одну лемму из линейной алгебры.
Лемма 6.5. Пусть q— некоторое натуральное число >1 и А =
= есть (пХт)-матрица с элементами из поля К, содержащего
элемент ы, такой, что шч=—1. Допустим, что для всех ily ... , iq,
где Is^in^n,
т
... <%i , =0.
/=1 ’
Тогда rank (Д) ffl/2.
82
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
□ Можно рассмотреть векторное пространство V над полем К
с базисом ех, ет. Если для любого i, —
то положим '
т
P(alit .... а,- )= • • %/•
? /=1 »
Подмножество S из V назовем нуль-множеством, если Р (at, ...
... , aq)=0 для всех ai, ..aq£S; поскольку Р, очевидно, полили-
нейно, подпространство N, порожденное нуль-множеством 5, само
является нуль-множеством. Нам нужно доказать, что если N —
нуль-подпространство размерности п, то п^.т/2.
Проведем доказательство индукцией по т, причем случай т=1
тривиален. Предположим, что т^2, п>т!2, и постараемся полу-
чить противоречие; заметим, что по предположениям п^2. Пусть
аъ ... , ап, как и выше,— базис для N и Д=(а;;). Ясно, что эле-
ментарные преобразования строк или перестановка столбцов мат-
рицы А не изменяют положения. Тогда можно добиться того, что
. /1 0\
левый верхний угол матрицы А имеет вид( g । I, а затем и вид
11 <в\ я '
f q I ), т. е. что А имеет вид
/1 ы а[ \
А = \ ° 1 «2 1.
\0 О А'/
Предположим, что V' есть (т—2)-мерное подпространство, по-
рожденное элементами е3, ... , ет. Тогда «!, а3 и а3, ... , ап лежат
в V'. Покажем, что aj, а3, ... , ап образуют нуль-множество. Если
, bq — элементы этого множества, не все равные а[, то пер-
вые две компоненты не дают вклада в Р (Ьг, ... , bg), так что его
значение не изменяется, если вместо а[ подставить fli, а оно по
предположению равно нулю. В оставшемся случае все bj равны а{,
причем по предположению Р(аг, ... , ц1)=0 и Р(п1, ... , ai) =
= 1|?+о)'?+Т>(а;, ... , п[), что, согласно со«=—1, дает P(a'lt ...
... , а()=0.
Далее из предположения п>т/2 следует, что п—1>(т—2)/2,
а это дает линейную зависимость п—1 элементов множества а{,
а3, ... , ап (предположение индукции). Поскольку множество а3,
... , ап предполагалось линейно независимым, а'г является линей-
ной комбинацией этих элементов. Таким образом, продолжая пре-
образования строк, мы можем получить «1=0. Однако тогда Д(П1,
а2, ... , a2)=0+wчто невозможно. □
Рискнем предположить, что если г — наименьшее положитель-
ное число, такое, что К содержит элементы on....«г^0, для ко-
торых wf+.. ,+и?=0, то для указанной матрицы А имеем
rank (Д)^т/г.
6. Уравнения над группами
83
Для применения этой леммы заметим, что если К — поле конеч-
ной характеристики р и p=p(mod 2), то всегда можно взять <в=—I.
Предложение 6.6. Пусть ЛГ>1 — некоторое целое число и Ui, ...
... , ит—элементы свободной группы, такие, что Ui...Um=l.
Тогда группа, порожденная элементами Ui, ... , ит, имеет ранг
п^т/2.
□ Пусть хи ..., хп — базис свободной группы F, порожденной
элементами иь .... ит. Пусть F = FlF', где F'= [F, F]; тогда
F—свободная абелева группа, базис которой составляют эле-
менты —образы элементов х{. Пусть F = F/Fp, где р — простое
число; тогда в аддитивной записи F — векторное пространство
над Тр, базисом которого являются xf —образы элементов xt.
п _
Предположим, что х“<7 (mod F'); тогда в F для образов
_ п _
выполняется равенство ui='^ia.i]-xi, где <xtJ — образы в Тр це-
лых чисел atj из Z. Пусть Л = (а17). Если ранг (тх п)-матрицы А
меньше п, то элементы и7- порождают собственное подпростран-
ство в F в противоречие с тем, что и}- порождают F. Таким
образом, rank (Л) = и, и остается доказать, что rank (Д) т/2.
Выберем простое число р, делящее Af, и запишем N=qM, где
q=pe для некоторого е^1, причем р не делит М. Пусть R — ассо-
циативное кольцо многочленов над Zp от некоммутирующих пере-
менных Xi, ... , Хп, a J — идеал в R, порожденный неизвестными
Xt. Пусть R=RIJ4P, а Xi — образы переменных Хг в R и J — об-
раз идеала J. (Заметим мимоходом, что кольцо R конечно, причем
его аддитивный базис над Zp состоит из всех одночленов степени
<№)
Элементы 1 + Х, кольца R имеют мультипликативные обратные
(1 + х,о-1 = 1 - х, + •••+(- Х/У"”1
и, значит, порождают подгруппу G мультипликативной группы
R этого кольца. (Следовательно, G — конечная р-группа экспо-
ненты ре+1.)
Пусть р — гомоморфизм из F на G, определенный равенствами
х;р = 1-j-Х,-. Легко видеть, что если «у. (mod F'), то .
х°р = 1 +аХ;4-С/(
UjP = 1 + У + С J,
84
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Тогда
=(1 + 2 “//*/+=1 + (2 аи* i+с/)4=
^1 + (2a;/Xz)4mod J29)
и
(u/) JA == 1 + М (mod J29).
Поэтому
(u? ... 2 aijX-i ) (mod J*9)-
i= i \i=i J
Поскольку Ui ... = 1 и p не делит M,
m / n \ q
2 2al7xf =0.
/•=1 \i=l /
Коэффициент при . Xj в (2a//-^/)? равен alti... cq ,,
поэтому в 2(2«i/X-i}9 он равен P (alt, ..., aQ = 2 ®/,l • • • aiqi •
Итак, все P (a;,, a,) равны 0, откуда по лемме 6.51
rank (Л) /п/2. □
Из только что полученного результата следует, что если
N > 1, то Ir (Xi .. . х#) /п/2; полагая х2 = xr1, xt = х3-1 и т. д.,
легко видеть, что эта оценка является точной.
Приводимое ниже следствие является решением проблемы, по-
ставленной при М=2 М. Ньюманом в статье Линдона и М. Нью-
мана [1973]. Оно принадлежит Линдону, Макдоноу и М. Ньюману
[1973].
Следствие 6.7- Для каждого и каждого N>\ в некоторой
группе G существует произведение п экземпляров N-степеней, не
представимое в виде произведения менее чем п экземпляров N-cmene-
ней.
□ По предложению 6.6, если G свободная группа с базисом Xi, . ..
... , хп и xf.. .Хп =Ui. . .Um, то после перенесения в правую часть
получим n=rank(G)^(n+m)/2, откуда следует, что п^Дп. Доказа-
тельство предложения 6.6 показывает, что на самом деле в этом
следствии в качестве G можно взять конечную р-группу, где р —
произвольный простой делитель числа N. □
Мы упоминали, что любое строго квадратичное относительно
переменных хх, ..., хп слово подходящим автоморфизмом может
быть приведено к виду о» = х?...х| (g^. п) или w= [хп х2] ...
. . . [х2г_1( xj, (2gи). Это будет доказано в предложениях 7.6
и 7.14. Мы сформулируем частичный аналог следствия 6.7.
6. Уравнения над группами
85
Предложение 6.8. Если F—свободная группа с базисом
х1г ..., x2g и элементы щ, ..., и2т из F таковы, что
[%1, Х2] . . . [x2g_lt X2g] = [ux, U2] . . . [u2m_j, u2a],
mo m^ g.
□ Доказательство аналогично доказательству предложения 6.6. □
Продолжая в том же духе, заметим, что Линдон и М. Ньюман
[1973] показали неразрешимость, вообще говоря, уравнения [х, у]=
=и[и2 (в частности, когда х, у — различные свободные порождаю-
щие свободной группы); при этом [х, у\=(х~уу~1У(уху~1Уу2. При-
ведем две теоремы, содержащие этот результат. В формулировке
первой из них будем использовать для членов нижнего централь-
ного ряда группы F обозначения FA=F, Fn + 1=[Fn, F],
Предложение 6.9. Если w — произведение двух квадратов в сво-
бодной группе F и w лежит в Fn для некоторого п, то образ этого
элемента в Fn/Fn+1 является квадратом.
□ Пусть w = u2v2 и w£Fn. Если п=1, то w = (iw)2 (mod F2).
Предположим теперь, что n> 1, т. е. w£F2, (uv)2 = 1 (modF2) й,
так как F/F2 — группа без кручения, uv = k£F2. Далее, v = u~1k
и ^ = u2(u-lft)2 = [u, k] k2 = k? (mod F3). Здесь, отклоняясь от
принятого нами обозначения, мы записали uku~1k~1 = [u, &].
Индукцией по п>2 покажем, что если п^2, то из w£Fn сле-
дует k£Fn. Это было доказано при п = 2; поэтому будем пред-
полагать справедливость этого утверждения при некотором п 2.
Если w£Fn+l, то w£Fn и по предположению индукции k£Fn.
Однако тогда [и, k]£Fn+l, и из равенства w=[u, следует,
что /г2 С Fn+i- Поскольку Дп/Д„+1 — группа без кручения, k£Fn+1.
Шаг индукции сделан. Предположим теперь, что w£Fn, п^2.
Мы уже показали, что тогда k£Fn, откуда [ц, k]£Fn+1 и щ =
= [«, A]A2s&2(modFn+1). □
Заметим, что из доказанного следует, что если xi, ... , хп —
элементы базиса группы F и х^х», то ш=[[.. .[[х1( х2], х3]. ..], хп]
не является произведением двух квадратов.
Основная идея в доказательстве следующей теоремы принадле-
жит Макдоноу (см. Линдон, Макдоноу и М. Ньюман [1973]).
Предложение 6.10. Пусть F — свободная группа с базисом
х^ ... , х2п. Тогда существуют элементы щ, ... , ит в F, такие,
что
[хх, х2] ... [х2п_х, х2п] = щ ... ит
в том и только том случае, когда т^2п+~ 1.
□ Покажем сначала, что данное уравнение имеет решение при
m=2n+l, а значит, и при m^2n-H. Будем использовать уже упо-
86
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
минутый факт, состоящий в том, что [хъ x2l — ululv2. Мы будем ис-
пользовать также и то, что для любых элементов а, Ь, с произволь-
ной группы существуют элементы и, v, w, такие, что a2 [b, c] = u2v2w2
(это легко доказать самостоятельно, однако см. гл. I книги Масси
(Масси и Столлингс [1977]). По индукции предположим, что
[Х1, х2] . . . [х2п_3, х2п_2] = ц? . . . u2n_2w2. Тогда можно записать
V2 [х2„-1, Х2п] = Uln-iUlnV'2-
Для доказательства обратного предположим, что равенство име-
ет место. Пусть G=F/F3 (Т7')2 (мы можем даже положить х2=1 для
каждого х, чтобы превратить G в конечную 2-группу). Образы эле-
ментов Xi и и, в G мы будем обозначать теми же буквами. Пусть
сг;=[хг, Ху]. Тогда каждый элемент ц из G единственным образом
представим в виде
« = П<' П где а,- С Z, d„ С Z2.
1=1 I</
Тогда
l<i
Поскольку все х2 и все с,-у лежат в центре группы G,
II
i Л /
s aikajk
са
Если ам —образ числа aik при каноническом отображении из Z
на Z2, А = («,/) — матрица над Z2 и а1- = (а/1, . .., а/и) —i-я строка
в А, то из соотношения и2 ... и2т = [х1, х2] ... [х2„_1; х2п] выте-
кает, что
_ _ ( 1, если {i, j\ = {2h — 1, 2Л} для 1 < h < n,
ai'ai=\ л
7 (Ов противном случае.
(Uf-aj — скалярное произведение векторов). Понятно теперь, что
Д-ДТГ = В, где ДТг — матрица, полученная транспонированием
л о /0 1\
матрицы А, а В —прямая сумма п матриц вида I j qI, т. е.
матрица ранга 2п. Таким образом, rank (Д) 2п. В то же время
tn
^i-O-i = = G для каждого i влечет за собой равенство нулю
/=1
суммы т столбцов матрицы А, откуда гапк(Д)^т—1. Поэтому
т— 1>2п. □
Ясно, что произвольная группа допускает гомоморфизм на три-
виальную группу, откуда Ir(G)^0; иными словами, произвольная
6. Уравнения над группами
87
система уравнений без коэффициентов допускает тривиальное ре-
шение. Легко решить также для произвольной конечно порожден-
ной группы G вопрос о справедливости для нее неравенства Ir (G)^l,
т. е. вопрос о существовании эпиморфизма этой группы на беско-
нечную циклическую группу: это будет тогда и только тогда, когда
в G/[G, G] имеется элемент бесконечного порядка. Если И7 — сис-
тема уравнений относительно конечного множества неизвестных
gi, . . . , и ац— сумма коэффициентов при переменной Ег в ws,
это эквивалентно условию, что ранг матрицы (a;J меньше п. Обрат-
но, если — нетривиальное конечное множество уравнений отно-
сительно конечного множества неизвестных £1( . . ., %п, то из 1.7
следует, что 1г(И^)<л. Если г) — элемент некоторого базиса для Ф
и все Wj содержатся в нормальном замыкании элемента г] в Ф, то,
очевидно, проекция ср изФ в Ф, получаемая при г) н-> 1, дает решение
ранга п—1, так что 1г(Ц7)^п—1. А. Стейнберг [1971] доказал
следующее частичное обращение:
Предложение 6.11. Если W= {w} для некоторого нетривиального
элемента свободной группы Ф ранга п, то lr(W)=n—1 тогда и
только тогда, когда W лежит в нормальном замыкании некоторого
элемента базиса группы Ф. □
Еще один результат в этом направлении был опубликован
Баумслагом и Стейнбергом независимо. См. Г. Баумслаг и
А. Стейнберг [1964], Г. Баумслаг [1965] и А. Стейнберг [1964].
Предложение 6.12. Пусть W={w}, где w=w1(^1, . . ., с„
и Wi не является членом никакого базиса группы Ф, свободной группы
от порождающих . . ., £п, в которой wl не является собственной
степенью и fc>l. Тогда Ir (W)<Zn—1. □
Случай = £г] содержится в уже цитированной работе
Шютценберже.
Столлингс [1975] помещает пример Линдона некоторой группы
с одним определяющим соотношением G = (x1, . . ., г), где г —
произведение п (п — 1)/2 сомножителей [х“'7, x°G']b‘/, i<j, причем
все at, различны и а^Ьц = 2Л' для некоторого фиксированного ЛЕ
У этой группы нет неабелевой свободной факторгруппы.
Обратимся теперь к некоторым общим фактам о решениях систем
уравнений в свободных группах. Вначале приведем два простых
замечания.
Предложение 6.13. Если W — некоторое множество слов в сво-
бодной группе Ф и W = Wa — образ множества W при некотором
автоморфизме группы Ф, то Ir (W') = 1г (№). □
88
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 6.14. Если W — множество слов свободной группы
Ф и W° получается из W, если положить ^=1 для некоторого по-
рождающего то 1г(Г)>1г(Г°). □
В связи с предложениями 6.13 и 6.14 заметим, что если ср — про-
извольное решение системы W, т. е. 1Г<р=1 и 1^'=1Га, то ф' =
=а-1ср — решение системы W'. Пусть ф — произвольное решение;
определим |ф|=21Е(-ф|, где длина слов берется относительно произ-
вольного фиксированного базиса свободной группы £/=Фф. Эле-
ментарное нильсеновское преобразование группы Ф вида >£т],
где £ и г) — некоторые из If1, будет называться регулярным преоб-
разованием, связанным с системой W, если некоторое циклическое
слово, сопряженное с элементом из W, содержит подслово (It]-1)*1.
Преобразование вида 1 будет называться сингулярным преобра-
зованием, связанным с системой W, если встречается в некотором
циклически приведенном сопряженном элемента w из W. Предпо-
ложим теперь, что система W нетривиальна и что все £,ф отличны
от 1; тогда последовательность регулярных элементарных преобра-
зований, связанных с W, переводит W и ф в W и ф', такие, что
|ф'|^|ф| и £,ф' = 1 для некоторого I. Далее, ф' индуцирует решение
ф" системы W" , полученной из W сингулярным преобразованием
1. Повторяя этот процесс, либо убавляющий число £г, встречаю-
щихся в W, либо, если это число фиксировано, уменьшающий |ф|,
мы окончательно придем к W* и ф*, где W* тривиальна. Ясно, что
£7=Фф=Фф* и что С/=Фф* имеет ранг не более п—s, где $ — число
примененных сингулярных преобразований. Более того, значение
решения ф* может быть выбрано произвольно на п—s элементах £г
нового базиса группы Ф, не аннулированных сингулярными пре-
образованиями. Будем говорить о последовательности Tlt . . ., rt
преобразований, связанных с системой W, если для любого /,
<гг— регулярное или сингулярное преобразование, связанное с
Wt, . . . г,-!. Итак, мы доказали следующее
Предложение 6.15. 1r(W)=n—s, где s — минимальное число син-
гулярных преобразований в некоторой последовательности, связанной
с W и приводящей W к тривиальной форме. □
Кажется, что применение этого предложения реально лишь
в случае, когда система W существенно квадратична, т. е. когда W
состоит из множества степеней w=sm{si элементов из множества 5,
такого, что каждый порождающий h встречается (как или Sf1)
не более двух раз в элементах множества S. Действительно, в этом
случае множество систем IK', получающихся из W с помощью после-
довательностей, связанных с W, конечно. По этой причине, а также
вследствие их важности в связи с изучением групп с плоскими
диаграммами Кели и фуксовых групп квадратичные множества изу-
чаются нами особо.
7. Квадратичные множества слов
89
7. Квадратичные множества слов
Большую часть излагаемого ниже материала можно найти в
работах Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972], хотя, согласно их
ссылке, основные идеи восходят к Нильсену [1918] и в неявном виде
содержатся в стандартной процедуре, применяемой при классифи-
кации компактных 2-многообразий; см., например, книгу Масси
(Масси, Столлингс [1977]) . В ситуации, близкой к рассматриваемой,
они были использованы Линдоном [1959] и Цишангом [1964].
Пусть F — свободная группа с базисом X и S — некоторое мно-
жество циклических слов над F. Назовем множество 5 квадратич-
ным над подмножеством XQ множества X, если никакой элемент s
из 5 не содержит никакого х из X (ни х+1, ни х-1), за исключением
лежащих в Хо, а эти последние входят в элементы из S не более чем
дважды. Множество S называется строго квадратичным над Хо, ес-
ли при этом каждый х из Хо встречается в точности дважды. Для
любого подмножества 5 свободной группы Fc базисом X определим
граф инцидентности J (S) как неориентированный граф, вершинами
которого являются элементы множества S. Вершины sx и s2 соеди-
няются ребром (с меткой х), если некоторый элемент х£Х встреча-
ется как в Si, так и в s2 из 5. Назовем множество S связным, если
связен J(S).
Очевидно следующее
Предложение 7.1. Можно подобрать такое множество /, 0(£/,
что существует разбиение множества X на подмножества Хо и
Xi, i£l,u разбиение множества S на связные подмножества Sir i £ I,
такие, что Хо есть множество элементов из X, не встречающихся в
элементах из S и Xt—это в точности множество букв х£Х,
встречающихся в St, для каждого i£l.
Это предложение позволяет сводить изучение подмножеств S
группы F к тому случаю, когда они связны и содержат все х из X.
Нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 7.2. Предположим, что Т — неориентированное дерево, со-
держащее некоторый бесконечный путь. Тогда можно ориентировать
ребра дерева Т таким образом, чтобы оно не содержало никакого бес-
конечного убывающего пути и чтобы в нем не было максимального эле-
мента.
□ Пусть и0— произвольная вершина дерева Т\ тогда существует
бесконечный путь, не проходящий через и0- Пусть Тв состоит из
объединения всех бесконечных путей, не проходящих через v0.
Мы ориентируем То вверх в направлении от у0; по определению гра-
фа То относительно такой ориентации он не содержит максимального
элемента, в то время как любой убывающий путь из Та кончается
90
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
на v0. Каждая компонента К дополнения для То в Т прикреплена к То
в единственной точке v и по определению не содержит бесконечного
пути. Мы ориентируем каждое такое К вверх по направлению к V.
Ясно теперь, что Т с данной ориентацией не содержит бесконечных
убывающих цепей и максимальных элементов. □
Лемма 7.3. Предположим, что Хо— частично упорядоченное
подмножество множества X, удовлетворяющее условию обрыва убы-
вающих цепей. Для каждого х из Хо пусть рх и qx— элементы из F,
содержащие х' из Хо, только если х’<Сх. Тогда существует автомор-
физм группы F, переводящий каждый х из Хо в pxxqx.
□ Пусть а — эндоморфизм группы F, такой, что xa=pxxqx для
каждого х С Хо и х<х—х для каждого х £ X—Хо. Достаточно построить
эндоморфизм р, обратный к а. Понятно, что необходимо и достаточ-
но, чтобы хр = (/?хр)-1х((?хр)-1 для каждого х из Хо и %р=х для всех
х из X—Хо. Поскольку порядок на Хо удовлетворяет условию ми-
нимальности, условия леммы позволяют дать рекурентное определе-
ние эндоморфизма р. □
Следующие три предложения разбирают три возможных случая
для связного квадратичного множества S над X.
Предложение 7.4. Пусть S квадратично над X, связно и беско-
нечно. Тогда некоторый автоморфизм группы F переводит S в не-
которое подмножество базиса X.
□ Обозначим через J граф инцидентности множества S. По пред-
положению он связен. Поэтому существует максимальное дерево
Т в 5, содержащее все вершины графа J. Поскольку Т бесконечно,
но локально конечно, по лемме Кёнига оно содержит бесконечный
путь. Ориентируем Т, как это сделано в лемме 7.2. Из отсутствия в
Т максимальных элементов следует, что каждая вершина s соедине-
на с некоторой высшей вершиной s' ребром с меткой x=x(s). Выбе-
рем по одному x=x(s) для каждого s из S и обозначим через Хо мно-
жество всех таких x=x(s). Поскольку S квадратично и х встреча-
ется и в s, и в s', он встречается в s в точности один раз, так что
(заменяя s на s-1, если нужно) можно предполагать, что s=pxxqx
для некоторых слов рх и qx, не содержащих х. Ориентация дерева Т
индуцирует упорядоченность на множестве S вершин, удовлетворя-
ющую условию минимальности; следовательно, упорядоченным ста-
новится и множество Хо элементов x(s), s из 5. Из определений сле-
дует, что рх и qx содержат х' из Хо, лишь когда x'=x(s'), где s'—
элемент, предшествующий s. Таким образом, условия леммы 7.3
выполнены и обратный к приведенному в ней автоморфизму пере-
водит s в x(s), а значит, S — в подмножество Хо из X. □
7. Квадратичные множества слов 91
Предложение 7.5. Пусть S квадратично над X, но не строго
квадратично, а также конечно и связно. Тогда существует автомор-
физм группы F, переводящий S в подмножество множества X.
□ Предположим, что J и Т означают то же, что и выше. Поскольку
S не строго квадратично, существует s0 в S, содержащее порождаю-
щий Хо из X, не встречающийся в остальных словах s' из S. Ориен-
тируем Т навстречу s0. Положим x0=x(s0) в Хь, а остальные x=x(s)
из Хо, как и прежде. Поскольку Т конечно, индуцированный поря-
док на Хо снова удовлетворяет условию минимальности и заключе-
ние вытекает из 7.3. □
Если S — произвольное множество циклических слов свободной
группы F, то говорят, что нильсеновское преобразование а связано
с S, если либо а сингулярно и вычеркивает некоторую букву, встре-
чающуюся в S, либо а регулярно и некоторое вхождение буквы,
возникающей в S после применения а, сокращается при переходе
к приведенной форме множества Sa; в этом последнем случае для
некоторых букв х и у имеем ха=ху, причем некоторый элемент из
S содержит подслово (ху-1)^. Если S конечно и квадратично, то,
понятно, а связано с S тогда и только тогда, когда |Sa|^|S|, где
IS|=y|s|. Скажем, что последовательность нильсеновских преоб-
sgS
разований ai, . . ., ап связана с S, если для любого i, a,
связано с Sax . . . at_l.
Предложение 7.6. Пусть S строго квадратично над X, конечно
и связно. Тогда некоторый автоморфизм а группы F переводит S
в S'=Sa следующего вида: S' = {si, . . ., sn}, где 5х=Х1, . .., sn_x=
=х„_1 и sn=Xi . . . x„_x^, причем хи . . ., х„_1— элементы из X,
a q имеет вид q=\yu г/2] • • • [г/2г-1, У-^ или q=yl . . .у2&, где yt —
различные элементы из X — {xi, . . ., xn_t}. Более того, переход от S
к S' может быть осуществлен последовательностью преобразований,
связанной с S.
□ Докажем сначала, что можно перейти к такому множеству
S', которое отличается от описанного в лемме лишь тем, что q
должно быть строго квадратичным над подмножеством Хй из X, не
содержащим хъ . . ., хл_х. Если , то доказывать нечего. Рас-
суждая ПО ИНДУКЦИИ, ПреДПОЛОЖИМ, ЧТО k<Jl И ЧТО 8!=%!, . . ., sh =
~Xk, причем S' связно и строго квадратично над некоторым подмно-
жеством Хо множества X. Если k=n—1, то, согласно сделанным
предположениям, s;i содержит каждую из букв хъ. . ., xh в точности
один раз, а все остальные буквы, которые вообще встречаются,
встречаются дважды. Некоторая последовательность элементарных
преобразований, связанная с S' и заменяющая хх на некоторый со-
пряженный с элементом х^1 элемент, приводит sn к виду ххг; повто-
рение этого процесса приводит s„ к виду хх . . . х„_х7, где q строго
92
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
квадратично над Хо, как это и требуется. Если k<.n—1, то из связ-
ности множества S' следует, что sft+1 содержит некоторый xk+i, от-
личный от xlt . . ., xk. Можно предполагать, что sk+1~xk+Au, где
и не содержит xk+i. Далее, последовательность элементарных пре-
образований, связанная с S', переводит sft+1 в хк+1, оставляя слова
Si, . . sh без изменения. Более того, получающаяся система S"
очевидным образом строго квадратична над некоторым подмноже-
ством Хо множества X, конечна и связна. Предположение индукции
теперь доказывает высказанное утверждение.
Остается доказать, что если w=pq, где q строго квадратично над
множеством порождающих Хо, не встречающихся в р, то некоторая
последовательность элементарных преобразований, связанная с w,
переводит w в элемент w'=pq', где q' имеет один из двух видов, опи-
санных выше. Заметим сначала, что последовательность элементар-
ных преобразований необходимого вида переводит рх2 [у, г] г в
px2y2z2r. Поэтому при проведении индукции по длине слова q до-
статочно показать, что pq может быть переведено в слово одного
из двух видов: px2q' или р [х, у] q'. Если q содержит некоторый х
из Хо дважды в одной и той же степени, то можно предполагать,
что q=uxvxz. Можно перевести xv в х, т. е. q в <?' = ux2y_1z. Теперь
отображение хь-> u-1xu переводит q' в q"=x2uv~1z. В оставшемся слу-
чае каждый х в q встречается один раз как x+l и один раз как х-1.
Если мы выберем пару х±х и хТ1 так близко друг к другу, как это
возможно, то некоторый у±г между ними встретится, причем гД1
между ними нет. Переставляя х, х-1, у, у-1, если нужно, получим
q=uxvyzx~1ty~1s. Преобразование, заменяющее vyz на у, переводит
q в q'~uxyx~lt'y-'s'. Преобразование, заменяющее х-1/' на х-1,
переводит q в q”~u xyx~1y~1s'. Наконец, сопряжение элементов х и
у элементом и' дает q"'=[x, y]u's'. □
Свяжем с произвольным множеством S циклических слов над
свободной группой F с базисом X так называемый звездный граф
2 (S). (Этот граф называется ^инициальным графом в работах Хора,
Карраса и Солитэра. В неявном виде он рассматривается Ньювир-
том [1968], в работе которого буква L есть не что иное, как число свя-
зных компонента 2 (S); см. также Санатани [1967].) Множество вер-
шин графа 2 есть множество L=XUX-1 букв. Для каждого вхож-
дения подслова ут1у2 или y~\yi в слово из S вводится ненаправлен-
ное ребро, соединяющее вершины уг и г/2- (Будем считать, что цик-
лическое слово у длины 1 содержит вхождение подслова уу, так что
с его помощью возникает ребро, соединяющее у-1 с у.) Заметим, что
2 (S) —это граф функции <р§0/ь Уг)—УгУг> введенной в связи с
преобразованиями Уайтхеда (не считая того, что х и х-1 поменя-
лись местами), в том смысле, что угу2 есть в точности число ребер,
соединяющих уг и у2 (или, точнее, г/Г1 и у21).
Конечное множество S будет называться минимальным, если
7. Квадратичные множества слов
93
никакой автоморфизм группы F не уменьшает |S| = 2|s|, sgS. За-
метим, что если S несвязно, то 2 (S) распадается на компоненты
S (Sj), где S;— связные компоненты множества S; более того, из
каждого х, не встречающегося в S, возникает пара изолированных
точек х и х-1 в 2 (S). Даже если множество S связно и содержит все
порождающие, множество 2 (S) не обязано быть связным. Однако
можно доказать следующее
Предложение 7.7. Если S связно, минимально и содержит все х
из X, то граф 2 (S) связен.
□ Предположим, что граф 2 (S) не связен. Тогда множество L
вершин может быть разбито на два непустых подмножества А и А'
такие, что никакое ребро не соединяет вершину из Л с вершиной из
А', т. е. что А А' = 0. Если А=А-1, то также и Д'=Л'-1, что поз-
воляет разбить S на подмножество Slt содержащее порождающие,
встречающиеся в Л, и подмножесто S2, содержащее порождающие,
встречающиеся только в А'; таким образом, S несвязно, что невоз-
можно. Следовательно, некоторое а встречается в Л, а а-1— в А'.
Если о — преобразование Уайтхеда о= (Л, а), то по предложению
4.16 |Sa| — |S| =А• А'—a-L=—a-L<zO, откуда |So|<|S| в про-
тиворечие с минимальностью множества S. Остается сделать вывод,
что граф 2 (S) связен. □
Заметим, что если множество S квадратично, то в каждой вер-
шине сходится не более двух ребер, а если S строго квадратично и
содержит все порождающие, то в каждой вершине сходится в точ-
ности два ребра, так что, если вдобавок S конечно, 2 (S) является
объединением циклов. Докажем теперь частичное обращение пред-
ложения 7.7.
Предложение 7.8. Пусть S конечно и строго квадратично, а
граф 2 (S) связен. Тогда S связно, минимально и содержит все по-
рождающие.
□ Очевидно, что S связно и содержит все порождающие. Заметим,
что, поскольку 2 является объединением непересекающихся циклов,
невозможно разбиение множества вершин L на две части А и А', та-
кие, что А-А'=1. Предположим теперь, что множество S не мини-
мально. Тогда по предложению 4.17 |So|<|S| для некоторого пре-
образования Уайтхеда о=(Л,«). По предложению 4.16 имеем
|So|—|S|=A-A'—а-£<0, так что A-A'<Za-L=2. Поскольку
АхА'=А=1, отсюда следует, что Д-А'=0в противоречие с предполо-
жением о том, что 2 связен. Таким образом, S минимально. □
Напомним, что если S конечно и строго квадратично, то |So|^
^|S| для элементарного нильсеновского преобразования о в точ-
ности в том случае, когда о связано с S. Символом k(S) мы будем
94
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
обозначать число связных компонент графа 2 (S), за исключением
изолированных точек.
Предложение 7.9. Если о — элементарное нильсеновское пре-
образование, связанное с конечным строго квадратичным множеством
S, то либо |So| = |SI и k(So)=k(S), либо |So| = |S|—2 и k(So) —
=k(S)—1.
□ Можно считать, что о определяется отображением х>—>ху, где
S содержит подслово хг/-1; далее, S должно содержать подслово
(хг)*1 для некоторого г из L. Если г ^=y-1, то |So| = |S| и подслова
ху~Ч и (хг)*1 множества S заменяются на подслова xt и (xyz)=1 из
S. Поэтому 2 (So) получается из 2 (S) заменой дуг z=x~1—y~1 и
у—t дугами z—у-1 и у—х-1—t. При этом, понятно, число k (S) ос-
тается неизменным. Если г=г/-1, то |So| = |S|—2 и подслова ху~Н
и (ху-'Е)^1 из S заменяются подсловами xt и (xs)*1 из S. Таким об-
разом, 2 (So) получается заменой цикла x"Yy~1 двумя вершинами
х-1 и у-1 и дуги t—у—s из 2 (S) дугой t—х-1—s. Понятно, что это
уменьшает k(S) на 1. □
Для доказательства следующего результата нам понадобится
одно предложение о неприведенных множествах S.
Предложение 7.10. Пусть S — конечное строго квадратичное
множество неприведенных циклических слов. Предположим, что S'
получается вычеркиванием подсловахх-1 из S. Тогда k(S')=k(S) —1,
за исключением случая, когда хх-1— элемент из S.
□ Если хх-1 не есть элемент множества S, то подслово yxx-1z из S
заменяется подсловом yz в S'. Тогда дуга г/-1—х—z вместе с циклом
с единственной вершиной х-1 заменяется одной дугой у-1—z. Если
хх-1 принадлежит S, то при переходе теряются два цикла, каждый
с единственной вершиной х или х-1. □
Предложение 7.11. Пусть S строго квадратично и минимально,
a S' получается из S, если положить х*—> 1 для некоторого х, встре-
чающегося в S, и затем перейти к приведенному множеству. Тогда
либо |ST = |S|—2 и \k(S’)—/j(S)|<1, либо |S'|==|S|—4 и k(S') =
~k(S).
□ Пусть Si— (возможно, неприведенное) множество, получающееся
из S при xi—> 1. Если St оказалось приведенным, то S'=S! и |S'| =
= |S|—2. Если S или содержит два элемента х и х-1, или один эле-
мент х2, то 2 (S) содержит цикл хх-1 и 2 (S') получается вычерки-
ванием этого цикла, так что k(S'\=k(S)—1. В противном случае,
поскольку Si приведено, S содержит подслова (uxw)*1 и (шхг)*1
(где совпадения букв и*1, . . ., г*1 не исключаются), которые заме-
няются в S' на подслова (ww)*1 и (даг)*1. Таким образом, дуги
и-1—х—ю-1 и v—х-1—z в 2 (S) заменяются на дуги и-1—v и ау-1—z
7. Квадратичные множества слов
95
в 2 (S'), Если две упомянутые дуги встречаются в одном и том же
цикле и в одном и том же направлении в 2 (S), то этот цикл заме-
няется на другой цикл в 2 (S'), причем fe(S) остается неизменным.
Если эти дуги встречаются в одном и том же цикле, но в противо-
положных направлениях, то этот цикл заменяется в 2 (S') на два
различных цикла, откуда fe(S')=£(S)+l. Если эти дуги встреча-
ются в разных циклах, то они заменяются на один цикл в 2 (S') и
k(S')=k(S)—1.
Предположим теперь, что Si не приведено. Можно заметить, что,
поскольку S минимально, оно не содержит подслов (и~1х2и)±1,
(u~1v~1xvu)±1 или пары подслов (и~1хи)±г и (v~1xv)±1. Поэтому в S
должны быть подслова (uv^xvw)^1 и (zx/)±x, переходящие в приведен-
ные подслова (uw)±1 и (zl)^1 множества S'. Значит, дуги и-1—v~l—w
и z~l—х—v—х~г—t графа 2 (S) заменяются на дуги и-1—w и z-1—t
в 2 (S'), так что k(S) остается без изменения. □
Предложение 7.12. Пусть q и q'—минимальные строго квадра-
тичные циклические слова, и предположим, что q' получается из q
последовательностью преобразований, связанной с q, такой, что лишь
одно преобразование сингулярно. Тогда \q'| = I7I—2 либо \q'I = I7I—4.
□ Поскольку условия предложения не меняются, если к q приме-
няются регулярные преобразования, связанные с q, то можно счи-
тать, что данная последовательность начинается с сингулярного
преобразования а : Xi—> 1. Если q=x2, то q'=l, и все в порядке.
Если k(qa)=kq = \, то qa минимально и, значит, \q'| = 17<х|; по пред-
ложению 7.11 17'1 = 1^1—2 или \q' | = |<?|—4. Остается рассмотреть слу-
чай k(qa.)=j£A\ тогда по 7.11 fe(na)=2 и |g-ot| = |^|—2. Согласно пред-
ложению 7.9, последовательность имеет вид а, . . ., рп, где р,
регулярны и для некоторого k имеем |7арх . . . хI = = |<?|—2,
/2(70$! . . . Р*-1)=/г(7а)=2, в то время как ,70$! . . . 0й| = |7а|— 2=
= l7l—4, /2(0$! . . ,pfe)=£(7a)—1 = 1. По предложению 7.8 7"=
=7«Pi . . . минимально и последовательность . . (Зп не
изменяет ни 7", ни /2(7"). Тогда 1^'1 = 17"! = I7I—4. □
Предложение 7.13. Если q — минимальное строго квадратичное
слово, то 1г(7) равно [I7I/4], целой части числа I7I/4.
□ Рассматривая отображение, переводящее х2 в xr1, xt в х3-1, . . .,
а при нечетном числе порождающих п последнее хп в 1, легко убе-
диться, что 1г(7)^[п/2]. Для доказательства обратного допустим,
что 1г(7)=п—s; согласно предложению 6.15, имеется последователь-
ность преобразований, связанная с 7, которая переводит 7 в 1 и
содержит s сингулярных преобразований. Тогда мы имеем последо-
вательность 7о=7, 71, • . 7^=1, в которой каждое q, строго квад-
ратично и получается из qi-1 последовательностью, связанной с
71-! и содержащей одно сингулярное преобразование. Далее, до-
96 Г л. 1. Свободные группы и их подгруппы
полнительное регулярное преобразование переводит qt в некоторое
минимальное Ясно, что \qt I, в то время как по предложению
7.11 —4, откуда —4. Поэтому получаем
O=l9,|>|gol—4s=|<7l—4s, т. е. 1г(<?)=и—s^n~\q\/4=n—п/2~
—п/2. □
Предложение 7.14. Пусть S — конечное минимальное строго
квадратичное множество циклических слов. Тогда Ir (S) = 11S|/4],
□ Последовательностью регулярных преобразований, связанной
с S, можно, используя предложение 7.6, привести S к виду S =
= {xi, . . ., хр, хг . . . xpq} (также минимальному), в котором q —
минимальное строго квадратичное слово относительно оставшихся
базисных элементов хр+1, . . . , хп. Очевидно, что Ir (S) = Ir (<?), и
остается применить предложение 7.13. □
Это предложение установлено Цишангом [19651; см. также Джа-
ко [1972]. Аналогичный, но несколько более тонкий результат был
получен Лантэном [1969] при изучении уравнений в свободных по-
лугруппах; Пиолле [1975] получил формулу Лантэна для случая
свободных групп, тем самым найдя более точный результат, чем
предложение 7.14. См. также Шапиро и Зонн [1974].
8. Уравнения в свободных группах
Займемся теперь уравнениями в свободных группах, содержа-
щими константы; примеры показывают, что описание всех решений
требует введения параметров, пробегающих элементы свободной
группы F, а также параметров, принимающих значения в множестве
Z целых чисел. Для решения этой проблемы Линдон [I960] ввел по-
нятие R-группы, где R — произвольное кольцо с единицей. А именно
7?-группа — это группа G, снабженная действием кольца R, т. е.
отображением GxK->G(b обозначениях (g, r)i-*gr), подчиняющим-
ся следующим требованиям: g1=g, gr+s=grgs, grs= (grY, (g~1hg)r —
=g~1hrg. Категорию /?-групп можно рассматривать как некомму-
тативный аналог категории ^-модулей. Понятие Z-группы, разуме-
ется, сводится к понятию группы. Возможность возведения элемен-
та группы в степень, равную действительному числу, известна из
теории групп Ли. Ф. Холл [1968] в связи с мультипликативной фор-
мулой для элементов, представленных в виде произведения степеней
в соответствии с собирательным процессом, предложил возможность
возведения элементов в степени, равные элементам кольца R, более
общего, чем Z, и содержащего для каждого г подходящий аналог би-
номиальных коэффициентов (£) для всех k£Z. Группы такого рода
изучались Каргаполовым, Ремесленниковым, Романовским, Ро-
маньковым и Чуркиным [1969], решившими проблему равенства
и ряд других алгоритмических проблем для некоторых групп та-
кого сорта.
8. Уравнения в свободных группах
9?
Линдон рассмотрел только случай, когда R — кольцо всех
многочленов с целыми коэффициентами от конечного множества пере-
менных v1( . . vn. Из общих принципов универсальной алгебры
следует, что существует свободная R-группа (в обычном смысле уни-
версальной алгебры) F* с данным базисом xlt . . ., хт, и легко за-
метить, что F* содержит обычную свободную группу F с тем же ба-
зисом. Полагая теперь v1<p=R1, . . ., vnip=kn, где klt . . ., kn£Z,
a Vi, . . vn— переменные, мы получаем ретракцию ср кольца R
на Z и индуцированную ретракцию ср' из F* на F. Линдон доказал
следующее
Предложение 8.1. Пусть R, F* и F те же, что и выше. Предпо-
ложим, что w — элемент группы F*, такой, что для любой ретрак-
ции ср кольца R на Z и индуцированной ретракции ср' группы F* на
F имеем шср' = 1. Тогда w=l. □
Предложение 8.2. В тех же обозначениях проблема равенства
слов в F* разрешима. □
Линдон [1960] применил эти идеи к решению уравнений над сво-
бодными группами, содержащими произвольные константы, но
лишь одно неизвестное. Пусть Ф — свободная группа с базисом
li, • рассмотрим щ(|1, . . ., £П)€Ф. Предположим, что F —
свободная группа с базисом Хъ . . ., Хт и и2, . . ., ип— данные
элементы группы F. Проблема состоит в определении всех x£F, та-
ких, что, полагая £i<p=x, t2<(>--u2, . . ., %п<р=ип, мы получаем го-
моморфизм ср: Ф-^F, такой, что иу<р=1. Менее формально, если даны
и2, • • ип £ F, то требуется найти все х£ F, такие, что w(x, и2, ..
. . ., un)=l. Параметрическим словом в этом контексте называется
элемент свободной R-группы F* с базисом . . ., хт, где R со-
держит достаточное число переменных v;. Множество значений па-
раметрического слова w — это множество элементов wq>' £ F для всех
ретракций ср' группы F* на F, индуцированных ретракциями ср
кольца R на Z. Линдон получил следующую теорему:
Предложение 8.3. Пусть R, F*, F, w и иг, . . ., ип определены,
как выше. Тогда существует конечное множество W^F* параметри-
ческих слов, таких, что множество всех значений элементов w£W
состоит в точности из тех x£F, для которых w(x,u2, .., ип) = 1. □
Лоренц [1963] обобщил этот результат на конечные системы
уравнений с одним неизвестным, показав, что множество решений
задается конечным множеством параметрических слов вида ab^ccFe,
где р. и v — параметры. Он показал также [1963], что проблема су-
ществования решений алгоритмически разрешима, причем то же
самое верно для систем с двумя неизвестными [1965]. Аппель [1968]
показал, что множество решений одного уравнения с одним неиз-
вестным задается конечным множеством слов вида a IF-с с одним па-
4 » 653
98
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
раметром р, и Лоренц [1968] доказал то же самое для конечных сис-
тем уравнений с одним неизвестным. Аппель [1968] показал, что
для трех или более переменных множество всех решений не обяза-
тельно задается конечным множеством параметрических слов. См.
также Хмелевский [1966, 1967] и Асельдеров [1969].
В некотором смысле близкой проблемой является проблема под-
становки. Снова пусть w(^, . . ., £п) — элемент свободной группы
Ф с базисом 51, • • •, 5п- Пусть g — произвольный элемент группы G.
Можно спросить, существует ли гомоморфизм ср: Ф->0, такой, что
w<p=g? Другими словами, имеет ли элементу вид£=£&(«!, . . ., ип)
для некоторых элементов щ, . . . ип группы G? Мы коснемся этого
вопроса лишь в случае, когда G — свободная группа1). Если п=1,
то проблема тривиальна, поскольку тогда w=lm для некоторого
mgZ, а проверка того, является ли g т-й степенью элемента сво-
бодной группы, достаточно шаблонна. Первый значимый резуль-
тат был получен Уиксом [1962], рассматривавшим случай о>=
=[£i, ?2- Он получил следующее решение.
Предложение 8.4. Элемент g свободной группы F является ком-
мутатором тогда и только тогда, когда он сопряжен с циклически
приведенным словом вида uvwu~iv~yw~x. □
Недавно Уикс [1971, 19721 получил новые результаты в этом
направлении.
Шупп [1969] доказал следующее
Предложение 8.5. Пусть ш(51, £г) — произвольный элемент сво-
бодной группы Ф с базисом 5i. 5а- Пусть F — свободная группа и
g — произвольный элемент из F. Тогда разрешима проблема суще-
ствования гомоморфизма <р из Ф в F, такого, что wtp=g. □
Частный случай предложения 6.8, состоящий в том, что произ-
ведение двух коммутаторов не обязано само быть коммутатором (за-
мечено Бреннером, не опубликовано) легче получить из предложе-
ния 8.4. См. также Мальцев [1962], Эдмундс [1975] и Хмелевский
[1971, 1972].
9. Абстрактные функции длины
Все, что было доказано до этого момента, основано на идеях
Нильсена, в частности на простой, но исключительно важной идее
подсчета количества сокращающихся букв при переходе к приве-
денной форме произведения двух приведенных слов свободной груп-
пы. Как мы увидим позже, вполне аналогичные идеи появляются
и в других частях теории, особенно при изучении свободных про-
Ч Неразрешимость аналогичной проблемы для произвольных элементов
свободных нильпотентных групп ступени 9 доказана В. А. Романьковым. Ал-
гебра и логика, т. 16, 1977, № 4, с. 457—471.— Прим, перев.
9. Абстрактные функции длины
99
изведений, свободных произведений с объединенной подгруппой и
расширений Хигмана — X. Нейман — Б. Неймана. Каждый, кто
рисовал картинки для пояснения такого сорта доказательств, дол-
жен признать, что они носят существенно геометрический характер,
хотя возникающая при этом геометрия — это простая геометрия
отрезков прямой. Нет сомнений, что такая форма рассуждений имеет
и дальнейшие приложения, в которых тот факт, что длины слов —
целые числа (это существенно для доказательства по индукции),
может не играть роли. Подход, эскиз которого предлагается чи-
тателю, возник из рассмотрения тесной аналогии между теорией
сокращения в свободных /?-группах F* (описанных выше) и обыч-
ных свободных группах, а несколько сформулированных ниже ре-
зультатов, относящихся к группам с функцией длины, принимаю-
щей действительные значения, показывают, что возможны и даль-
нейшие приложения. Прежде чем перейти к основной части, обсу-
дим функции длины как для свободных групп, так и для свободных
произведений.
В попытке аксиоматизировать рассуждения Нильсена Линдон
[1963] выдвинул следующие аксиомы. Во-первых, имеется произ-
вольная группа G и функция из G в N, множество натуральных чи-
сел, которую мы запишем как gt—» |gl. Для удобства определим
d(g, ^)=y{|gl+|ft|—|g/i-1|}; эта величина — или целое, или по-
луцелое число, причем в случае обычной функции длины в свободной
группе она обозначает длину наибольшего конца слова, общего у
g и h. Сформулируем следующие аксиомы:
(А1) |х| 0 и |х| = 0ф»х=1;
(А2) =
(АЗ) d(x, у)^0;
(А4) из d(x, y)^d(x, г) следует d(y, z) = d(x, 2);
(А5) из d(x, y) + d(x~1, у-1) > |х | = | у\ следует х — у.
Очевидно, что эти аксиомы верны для обычной функции длины в
свободной группе F относительно данного базиса X, а также для
обычной функции длины в свободном произведении F=F1* ...*Fn
относительно данного разложения. В свободном произведении име-
ются нетривиальные неархимедовы элементы х, т. е. такие, что
(это элементы свободных сомножителей и сопряженные с
ними). С другой стороны, в свободной группе выполняется следую-
щая аксиома (см. предложение 2.15):
(АО) из 1 следует |х| < |№|.
С добавлением аксиомы (АО) аксиома (А5) становится излишней.
Следующие два результата вполне оправдывают аксиомы, посред-
ством которых мы ввели функцию длины.
4*
100
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Предложение 9.1. Пусть G — произвольная группа, снабжен-
ная функцией длины, удовлетворяющей аксиомам АО, .... А4.
Тогда она — свободная группа, более того, G может быть вложена
в свободную группу F с базисом X, таким, что данная функция дли-
ны на G является ограничением на G функции длины на группе F
относительно базиса X. □
Предложение 9.2. Предположим, что группа G снабжена функ-
цией длины, удовлетворяющей аксиомам А1, . . А5. Тогда ее можно
вложить в свободное произведение F, такое, что данная функция
длины на G является ограничением на эту подгруппу функции длины
на группе F относительно данного разложения. □
Первая теорема, конечно, обобщает теорему Нильсена о под-
группах; вторая, если ее сформулировать в полном объеме, содер-
жит теоремы Куроша и Грушко — Неймана (см. III. 5).
Естественно возникает вопрос: каковы те группы, которые об-
ладают функцией длины, принимающей значения в некоторой упо-
рядоченной абелевой группе, отличной от Z? Случай групп, в ко-
торых функция длины удовлетворяет аксиомам АО, . . ., А5 и
принимает значения в аддитивной группе действительных чисел R,
был рассмотрен Харрисон [1972], но оказался очень сложным.
Разумным является предположение, что такая группа будет под-
группой свободного произведения F реплик Ег аддитивной группы
R действительных чисел, в которой функция длины определена сле-
дующим образом: если w=Wi . . . wk, где последовательные wt—
это нетривиальные элементы из различных Fj, го ltd =21®; 1> гДе
длина |йу;| в Fj соответствует обычной абсолютной величине в R.
В этом направлении ею были доказаны следующие результаты:
Предложение 9.3. Каждая максимальная абелева подгруппа
группы G изоморфна подгруппе группы R. □
Предложение 9.4. Каждая подгруппа группы G, порожденная
двумя элементами, либо свободна, либо абелева. □
У Харрисон имеются также частные результаты, относящиеся
к 3-порожденным подгруппам.
Абстрактные функции длины изучались в работе Нива [1970].
Чизуэлл [1976] показал, что если группа G снабжена целочислен-
ной функцией длины, удовлетворяющей аксиомам Al, А2 и А4,
причем d (х, у) — всегда целое число, то G действует на дереве Т с
вершиной Ри таким образом, что для всех х из G величина |х[ есть
длина приведенного пути в Т из Ро к хР0. Затем он показывает, что
А5 выполняется в том и только том случае, когда стабилизатор каж-
дого (направленного) ребра тривиален, а АО выполняется тогда и
только тогда, когда стабилизатор каждой вершины тривиален и
никакой элемент из G не обращает ребра. Из теории Серра и Басса
10. Представления свободных групп', исчисление Фокса 101
(Серр [1968/69]) следует, что если выполняется условие А5, то G
является свободным произведением, а если выполняется условие АО,
то G — свободная группа. Чизуэлл устанавливает также связь меж-
ду такими функциями длины и биполярными структурами Столлин-
гса (см. IV.6). Для действительных функций длины, удовлетворя-
ющих Al, А2 и А4, аналогичная конструкция дает представление
группы G как группы изометрий множества Т, на этот раз снабжен-
ного структурой линейно связного и стягиваемого метрического
пространства.
10. Представления свободных групп; исчисление Фокса
Представлений в классическом смысле свободных групп более
чем достаточно; например, линейные группы над действительными,
комплексными и даже просто целыми числами изобилуют свободными
подгруппами. Этими группами занимались достаточно много: см.
III. 12, 13. Отметим здесь, что если ограничиться только счетными
свободными группами, то по предложению 3.1 достаточно найти
свободные линейные группы ранга 2, а для большинства случаев
достаточно рассматривать такие группы как подгруппы двумерных
линейных групп. (В то же время Бахмут и Мочизуки [1976] под-
нимают вопрос о нахождении свободных подгрупп ранга^З группы
GL (2, С), не содержащихся в свободных подгруппах ранга 2.) Мы
вернемся к этим вопросам позже (III. 12).
Здесь же мы обсудим два представления несколько иной приро-
ды; оба они найдены Магнусом [1935, 1939]. Первое — это пред-
ставление некоммутативными степенными рядами.
Пусть Р — свободное ассоциативное (некоммутативное) кольцо с
единицей и с базисом . . ., £п; его элементы — многочлены с це-
лыми коэффициентами от некоммутирующих переменных . . ., %п.
Предположим, что П — ассоциированное с Р кольцо степенных
рядов; это кольцо можно рассматривать как пополнение кольца Р
относительно топологии, определенной степенями фундаментального
идеала А=(£г, . . ., £п); его элементы суть формальные суммы
n=2nv, где nv—однородные многочлены степени v. Идеал А
является ядром отображения р из Р на Z, определенного равенствами
£гр=0 для всех г, l^i^n.
Предложение 10.1. Пусть F— свободная группа с базисом
Xf, . . ., хп и П — кольцо степенных рядов относительно переменных
Bi, • • определенное выше. Тогда отображение р: хг(—>1-)-^
определяет изоморфизм из F в мультипликативную группу Пх об-
ратимых элементов кольца П.
□ На самом деле то же утверждение верно, если потребовать до-
полнительно 11=0. Предположим, что это сделано. Тогда
102
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
= 1+£г, хр*р=1—ti, откуда следует, что xfp = 14-a5i Для всех
a£Z. Теперь,если w£F и щ=/=1, то можно записать w—x°'. . . ха^ ,
причем ij=#=i/+1 и все а, отличны от 0. Тогда iqi= (Ц-й1£(1) . . .
... (1 и общий коэффициент при одночлене EZi . . .t.ik равен
й1 . . . ah=/=0, так что &щ=#1. □
Коэффициенты при одночленах более высоких степеней эле-
мента ищ даются аналогом формулы Тейлора, где следует исполь-
зовать высшие производные Фокса (см. Чен, Фокс и Линдон [1958]).
Андреадакис [1969] дает аналогичное представление для сво-
бодных произведений произвольных циклических групп.
Несколько иное, но связанное с этим представление свободной
группы степенными рядами получил Фукс-Рабинович [1940, 1940]
(см. также Линдон [1953]).
Первое приложение данного представления принадлежит Маг-
нусу:
Предложение 10.2. Если F—свободная группа и ее нижний
центральный ряд определен формулами F1=F, Fn+1=[Fn, F], то
пересечение подгрупп Fn тривиально.
□ Из формулы
(*) [*» У\~1 =х-1//’1 (ху—ух)—х~1у~1 ((х—1) (у— 1) — (у— 1) (х—1)),
где [х, у] =х~1у~1ху, мы получаем, что если х— 1 £ А® и у — 1 £ А",
то [х, у]— 1£А'я+'!. Отсюда с помощью индукции можно дока-
зать, что если w£Fn, то щр — 1 С А". Теперь, если w£Fn для
всех п, то щц—1 С А" для всех п\ поскольку, очевидно, пересе-
чение всех А" равно нулю, щц=1 и по предложению 10.1 имеем
w -= 1. □
Группы Dn (F), состоящие из всех ш, таких, что w=l (mod А"),
обычно называются размерными подгруппами. Мы дадим для них
другое определение, которое годится для любых групп и совпадает
с этим в случае, когда группа свободна. Вместо кольца П мы будем
использовать целочисленное групповое кольцо 1G данной группы G,
а А определим как идеал, порожденный элементами g—1, где g^G;
тогда Dn(G) определяется как группа, состоящая из всех g, таких,
что gs=U (mod А"). Как мы увидим позже, Магнус показал, что
если F — свободная группа, то Fn~Dn(F) для всех п; гипотеза
Gn=Dn(G) для всех п и всех групп G стала тем, что Сандлинг
11972] справедливо назвал проблемой с дурной славой. Эта гипоте-
за о размерных подгруппах была доказана для большого числа
случаев, и все-таки в 1972 году Рипе нашел контрпример. Соберем
вместе часть из этих результатов, следуя при этом статье Сандлинга
[1972].
Формула (*) показывает, что Gn^Dn (G) для всех п и всех G.
Предположим, что для некоторой группы G и некоторого п имеет
tO. Представления свободных групп', исчисление Фокса 103
место строгое включение G„cDn(G). Пусть G=G/Gn; тогда легко
видеть, что Gn = 1, a Dn (G)^=l. Таким образом, чтобы доказать эту
гипотезу для любого п и класса групп, замкнутого относительно
гомоморфизмов, достаточно доказать, что в этом классе из Gn = l
следует Dn(G) = l. В частности, достаточно рассматривать нильпо-
тентные группы, и, так как ясно, что все сводится к конечно порож-
денным группам, достаточно рассматривать лишь конечные р-груп-
пы. Ясно, что Gi=Z?i(G)=G для всех групп G. Используя метод
Сандлинга, докажем результат Хигмана о том, что G2=Z)2(G) для
всех групп G. Достаточно показать, что из G2=l следует D 2 (G) = 1.
Предположим, что G2=l, т. е. что группа G абелева. Аддитивная
группа ZG+ кольца ZG является свободной абелевой группой, при-
чем ее базисом служат элементы g^G. Определим отображение ср:
ZG+—>-G, полагая g<p=g. Поскольку <р переводит (х—1)(у—1) =
=ху—х—z/+l в ху-х~х -у'1 -1 = 1, то А'^Кегф. Теперь, если g#=l,
т0 —l)cp=g• 1-1 = g=£l, так что g—1(£Кег<р ng—l^A2, g^D2(G).
Это показывает, что O2(G) = 1. См. также работу Грюнберга [1970;
разд. 4.1].
Пасси [1969] показал, что если G есть р-группа и р>2, то G3 =
=Z??(G), а Моран [1970] доказал, что для произвольной р-группы
G Gp_1=Dp^1 (G). Однако Рипе [1972] опроверг гипотезу о размер-
ных подгруппах, построив пример 2-группы G, для которой G4 = l,
но D4=^=l.
Сандлинг [1972] предложил видоизмененное определение раз-
мерной подгруппы, которое в известном смысле ближе к магнусов-
скому определению в случае свободных групп. В любом случае,
имея в виду контрпример Рипса, кажется разумным перейти к
соответствующим образом видоизмененной гипотезе о размерных
подгруппах. Пусть В — множество всех g—1 для g£G. Пусть L —
кольцо Ли в ZG, порожденное множеством В относительно опера-
ции лиева умножения u*v=uv—vu; как обычно, положим LI=L и
Ln+1=Ln*L. Определим теперь п-ю лиеву размерную подгруппу Ln(G)
группы G как совокупность всех g, таких, что g^l (mod (L")),
где (Ln) — идеал в ZG, порожденный подкольцом Ln.
Предложение 10.3. Для всех групп G и всех п имеем Gn S
sl„(G)£D„(G).
□ Это немедленно следует из формулы (*). □
Магнус [1937] установил, что Gn = Ln (G) = Dn (G) для всех nt
если G —свободная группа. На самом деле им было доказано
большее. Пусть X —базис для F и Во состоит из х—1 для всех
х£Х; Магнус доказал, что тогда L — свободное кольцо Ли (над
кольцом коэффициентов Z), свободными порождающими которого
являются элементы множества В„. Он показал, что если g€G„,
to в ZG выполняется равенство g= 1 + ^4-6 , где —однород-
104 Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
ный элемент степени п из Ln и 6ggAn+1. Если мы запишем абе-
левы группы Gn/Gn+i и LnilLn+1 аддитивно, то для каждого п
отображение X: gt—является аддитивным отображением из
GjGn+i на Ln]Ln+l\ из всех этих отображений вместе склады-
вается аддитивное отображение X из G = 2 G„/Gn+1 в£. Более того,
для каждых тип можно определить спаривание из G„/Gn+1
и Gm/Gm+i в Gn+m/Gn+m+i, переводящее образы элементов u£Gn
и v^Gm в образ элемента [«, и]СGn+m. Относительно возникаю-
щего при этом в G умножения получается лиево кольцо, а X
осуществляет изоморфизм кольца Ли G на кольцо Ли L.
Сандлинг [1972] показывает, что Gn=Ln{G) для произвольной
группы G и п^б, причем если G есть р-группа, в которой (G2)p—1,
то Gn =Ln (G) для всех п. Отсюда следует, что если и есть контрпри-
мер к гипотезе Gn=Ln(G) для всех п и всех G, то он значительно
сложнее группы Рипса.
Возвращаясь к размерным подгруппам, определенным ранее,
заметим, что Цассенхауз [1940] доказал результаты, подобные ре-
зультатам Магнуса, в которых ZG заменено на ZmG, где Zm=Z/mZ,
m>0. В частности, он ввел понятие модулярной размерной подгруп-
пы Dn (ре, G) для случая, когда т=ре. Цассенхауз охарактеризовал
эти группы для е=1 и свободной группы G, а Лазар [1953] обобщил
этот результат на случай произвольной группы G. Эта ситуация из-
учалась затем Дженнингсом [1941, 1955] и Лазаром [1953], зани-
мавшимися связями между дискретными группами и различным об-
разом ассоциированными с ними кольцами Ли. Обзор теории раз-
мерных подгрупп над произвольными кольцами коэффициентов дан
Сандлингом [1972]. Заметим также, что Пасси (см. [1968]) ввел
идеалы в ZG, ассоциированные с различными многочленами, обоб-
щающие сразу определения как размерных, так и лиевых размер-
ных подгрупп..
Перед тем как перейти к еще одному представлению Магнуса,
коротко напомним основные факты о производных Фокса (Фокс
[1953, 19541; Кроуэлл и Фокс [1967]).
Пусть К —свободная группа с базисом X и ZF — групповое
кольцо для F над кольцом целых чисел. Обозначим через е: ZF —> F
пополняющее отображение, индуцированное тривиальным отобра-
жением е0: F—*1. В данном контексте мы определим производ-
ную как линейное отображение Z): ZF—>-ZF, удовлетворяющее
условиям D\ = 0 и
(1) D (mv) — Du-v&-]-u-Dv.
Легко видеть, что D полностью определяется значениями Dxt для
всех X/ из X и что любой выбор значений Dxt определяет неко-
торое дифференцирование. На самом деле для некоторых элемен*
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 105
тов duldxi из ZF
причем производные Фокса ди!дх( вычисляются следующим обра-
зом: если и = yt ... уп £ F, где tjj £ X U X*1, то duldxi~'^iy1 ...
... yj_i(dyj/dxl'), где dy/dx( = Q, если уфх^1, dxtldxt=\ и
дхр1/дх1 = — х^1.
Заметим, что отображение 1—е: u>->u —ие является диффе-
ренцированием, так что (1) дает
(2) и—u8 = £-g-(xz-l).
Между прочим, из того, что е и 1—е — взаимно ортогональные
ретракции кольца ZF (проекции), следует, что ZF разлагается как
Z-модуль в прямую сумму подгруппы Z и ядра A = ZF(1—е)
отображения е. Более того, рассматриваемый как левый идеал,
А является свободным ZF модулем с базисом х,—1, где х^Х.
Действительно, если предположить, что верно соотношение
'£lvi(xi— 1) = 0, то, применяя каждый оператор д/дх/, легко ви-
деть, что v:- = 0. (Для дальнейших сведений об идеале А и свя-
занных с ним идеалах см. Коэн [1972].)
Опишем, наконец, второе представление Магнуса (см. также
разд. 1.4 выше). Пусть dZF — свободный левый ZF-модуль с ба-
зисом из элементов вида dx;, соответствующих буквам х{ из X.
Для любого и из ZF определим
из dZF. Тогда для w из F корректно определено умножение
матриц
/ w dw\
^ = (^0 1 )’
и это дает точное представление ц группы F.
Более полно вопросы, поднятые в настоящем разделе, будут
изучены позднее (см. II.3).
11. Свободные произведения с объединенной
подгруппой
Метод Нильсена можно обобщить на случай свободных про-
изведений и свободных произведений с объединенной подгруппой.
В разд. 1.9 мы отметили, что этот метод в аксиоматической форме в
применении к свободным произведениям дает теоремы Куроша и
106 Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Грушко — Неймана. Обобщение метода Нильсена было предприня-
то Цишангом [1970), получившим результат, нашедший применение
при изучении рангов фуксовых групп (см. Цишанг [1970] и Печинь-
ски, Розенбергер и Цишанг [19701). Подобными же методами можно
получить аналог теоремы Куроша для свободных произведений с объ-
единенной подгруппой. Это результат Карраса и Солитэра в несколь-
ко измененной форме. Пусть G — свободное произведение групп
Hv, v£l, с объединенной подгруппой А и G* — подгруппа в G;
тогда пересечения G* Г) Н§, vg/, g^G, порождают нормальную
подгруппу V группы G*, являющуюся древесным произведением
некоторых из этих пересечений, и G* — (расщепляемое) расширение
нормальной подгруппы V при помощи свободной группы. Можно
получить также частичный аналог теоремы Грушко — Неймана
(см. Смит [1976]). Как отмечено ниже, многие из этих результатов
обобщаются на случай HNN-расширений, древесных произведений
и более общих произведений, связанных с графами.
Мы приводим доказательства лишь результатов, относящихся к
произведениям с объединенной подгруппой; в частности, для теоре-
мы Карраса — Солитэра приведено такое доказательство, из кото-
рого в качестве частного случая следует теорема X. Нейман (см.
IV. 6.6 ниже) и теорема Куроша (см. III.5.1). Теми же самыми
рассуждениями легко доказываются теоремы Цишанга и Смита.
Согласно одному замечанию Розенбергера [1974], ограничения в
теореме Цишанга неустранимы и аналог теоремы Грушко — Ней-
мана, принадлежащий Смиту, должен быть частичным, поскольку
примеры Бернса, Карраса, Петровски и Пужицки показывают, что
естественный прямой аналог теоремы Грушко — Неймана для
свободных произведений с объединенной подгруппой неверен.
Несмотря на то что мы следовали идеям разд. 1.9, особенно при
изложении результатов Цишанга, наше изложение не является
аксиоматическим. Более того, любая аксиоматизация в духе разд. 1.9
с использованием только универсальных аксиом дает больший класс
групп. Действительно, как показывает приведенный ниже пример,
подгруппа G* свободного произведения с объединенной подгруппой
G= * Hv не обязана быть произведением с объединенной подгруп-
А
пой пересечений G* П Д® и каких-либо других собственных под-
групп группы G*.
Пример. Пусть А = (а; а3), Н = (а, Ь; а3, Ь2, аь = а), К =
~(а, с; а3, с2, ас = а~1), и пусть G=--H*K-
А
Положим d = bc и G* = Gp (a, d). Тогда G* = (п, d; a3, ad = п'1).
Заметим, что центр Z группы G* является бесконечной цикли-
ческой группой с порождающим d2.
Предположим теперь, что G* = U*V, где все подгруппы U, V
в
И В различны. Тогда Z должен содержаться в В и G = G*(Z =
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
107
= U*V, где U = U/Z, V — V/Z, B = B/Z и все U, V, В различ-
в _
ные. Отсюда следует, что G должна иметь бесконечный порядок.
В то же время понятно, что G = (a, d\ a3, d2, ad = a~1) — диэд-
ральная группа порядка 6.
Займемся теперь доказательством упомянутых выше теорем
Карраса — Солитэра, Цишанга и Смита, сопровождая их различ-
ными более фрагментарными замечаниями. Будем предполагать,
что определение и наиболее элементарные свойства свободных
произведений с объединенной подгруппой читателю уже известны
(см. ниже IV.2).
Пусть G — свободное произведение групп Hv, v£7, с объеди-
ненной подгруппой А. Условимся относительно терминологии и
обозначений. Если и С G, то либо и С А, либо u=h1... hm для некото-
рого т^\, где каждый элемент й, лежит в Н^—А для некоторого vt
и vt^vi+1. В последнем случае число т и последовательность (vx,...
.. ., vm) однозначно определены элементом и; этого нельзя сказать
(за исключением случая т=1 или А = 1) о сомножителях тем не
менее мы называем произведение ht.. .hm нормальной формой для и.
[Здесь мы допускаем обычную вольность речи: нормальная форма —
это не произведение /ii.. .hm, которое просто равно самому элементу
и, а последовательность (Tij, ..., hm).] Для рассмотренного выше эле-
мента и определим длину |ы|, полагая |н|=0, если и£А, и 1и1=т
в противном случае.
Будем писать x=Ui.. ,ип и говорить, что произведение Uj.. ,ип
приведенное, если x=Ui.. .ип и |x| = |«i|+.. .+1«п|. Аналогично №
sp-1 (hk)r означает, что x=p~4ikr и |х| =|р-11+1/г£1+И. Если
x==uiU2=ViV2, где |п2| = ф2|, то и2=а«2 для некоторого а^А, т. е.
Au2=Av2.
Если х, y^G, то существуют р, q, г, h и k, где h=k=l или
lhl = lkl = lhk! = l, такие, что
x = p~lhq, y = q-1kr и ху= р~у (hk) г.
Скажем, что q или некоторый отрезок слова q сократился в произве-
дении ху, в случае, когда |/1| = |/г| = \hk\ = 1, скажем, что часть h
слова х слилась с частью /г слова у и дала часть hk. Если x=u1u2, то
скажем, что х кончается на «2.
Следуя работе Цишанга [19701, мы будем существенно исполь-
зовать тот факт, что каждый элемент ugG может быть записан в
виде
u^p-Viq, где = и
здесь Ар, Aq и AhA однозначно определены элементом и. Если
|й|=1, то ]м| нечетно. Если |и| четно, то либо и£А и|и| = 0,
либо можно предполагать, что А = 1 и u^p~xq. Если Ap = Aq,
то можно предполагать, что u = p~lhp, где обязательно |й|=1.
108
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Мы используем полную упорядоченность смежных классов Ар,
обладающую следующими свойствами:
если | р | < | q |, то Ар < Aq\
если | р | = | q | и р н= р,рг, q = q^, | р21 = | q2|, то из Ар.г < Aq,
следует Ар < Aq.
Такую упорядоченность легко построить индукцией по |р| с исполь-
зованием аксиомы выбора. Во многих случаях аксиома выбора не
нужна, например если группа G конечно порождена или если нас
интересует упорядоченность некоторого семейства классов Ар, со-
держащего лишь конечное число классов Ар для любой заданной
величины |р|.
Все рассуждения, связанные с сокращениями, которые нам будут
нужны впоследствии, носят одинаковый характер, и мы докажем
сейчас лемму технического характера, содержащую все эти рассуж-
дения как частные случаи.
Лемма 11.1. Пусть о = (и1, ait иа, аа, ..., ut, at), t^l, где
и^р^Чг^, [р,| == ||, |/ij< 1,
для каждого i, 1 C i < t,
ai = gu ••• gin/, gi/ = hp.'J, |/i,7|= 1 или gij-^A,
причем для каждого j, 1С/^я,-,
I gij I < I «/H I- I gij • • • ginUi^ | = | M/ + i |,
в то время как at£A. Пусть
w = u1ai ... utat.
Предположим, что для каждого i, 1,
(1) I «11» |и/+’1К|и,-Я/«/+1|;
(2) если Api^Aqj, mo | ui+1| < | 1;
(3) если Aqi+1 < Api + 1, то | щ | < | |.
Тогда верны следующие утверждения:
(4) если Apt<zAqt и \ht | = 0, то w = zqtat для некоторого г;
(5) во всех случаях, кроме Apt < Aqt и | ht | = 0, имеем ut sse zxqt,
w = z1xlqtat для некоторых z, z1 и x, x^Hj—A для какого-то
v £ 7;
(6) если Aqt < Apt и \ ht\ = 1, mo w для некоторого zt\
(7) |«i|, ..., | ut | Cl I-
□ Достаточно рассмотреть случай, когда а< = 1. Пусть о( = (и!, аи...
... tit) и Wi^UiOr... Ut. Тогда ог удовлетворяет тем же самым пред-
положениям (1), (2), (3), что и о/=о. Будем вести доказательство
методом индукции. Случай 1 = 1 тривиален. Для проведения шага
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
109
индукции положим 1</^/; предположим, что выполнены усло-
вия (I), (2), (3) и заключения для и выведем заключения для wt.
Введем следующие упрощающие обозначения:
«,• = « = p~lhq, | р | = | q |, | h | 1;
ui+i = v = r-^ks, |r| = |s|, |/г|^1;
ai = g^g1 • • gn, где |g, ... g„vj = [o| для всех i;
= W’.
Если Ap=Aq, то после преобразования и можно предполагать, что
|/г| = 1 и p=q. Если |Л|=0, то после преобразования и можно счи-
тать, что ft=l, u=p~lq. Аналогично будем считать, что из Ar—As
следует r=s и |/г| = 1, а также, что из |/г|=0 следует k—\. Будем
использовать такую лемму:
Лемма 11.2. gv=r'~lk's, где либо г'=г, либо r'=rg~1 и |г'| = И,
причем или k, k' £HV—А для некоторого v£l, или k=k' = l.
Доказательство леммы 11.2 индукцией по п сводится
к случаю п=1 и gEE=hP‘, |/г,|=1, либо g£A*. Случай g£A*
очевиден. В оставшемся случае имеем в силу наших предполо-
жений |§К|и| и |gv| = |v|. Однако из |g | | v| следует
IР* I Iг |> и если |р*| = |Г1, то |/г|= 1. Если | р* | = | г |, то после
подходящего преобразования имеем р*=г. Теперь g = hrt, v ^r~1ks,
причем |r| = |s| и |/?| = 1. В этом случае из | gv | = | v | следует,
что в произведении gv = r~1htks сомножители /г» и k сливаются
и дают h*k = k', где k, k' лежат в одном Hv — А. Таким обра-
зом, gv = r~1k's, как и требовалось. Если |р, |<|г|, то можно
предполагать, что г = 1\Ьхр*, где | [ = 1, и что в произведении
gr~1 = p~1h^,hilr~1 часть hji'1 сливается. Тогда для г' = rg-1 имеем
|г' | = | г | и gv^ r'~1ks, как и требовалось. Это завершает дока-
зательство леммы 11.2.
Рассмотрим теперь случай i = 2, несущий в себе основную
тяжесть рассуждения по индукции. В этом случае о2 = (ц, а, о).
Будем использовать условия (I), (2), (3) для получения не-
обходимых заключений, принимающих теперь форму
(4') из Ar < As и & = 1 следует w^zs для некоторого эле-
мента г;
(5') во всех случаях, кроме Аг <. As и k=l, имеем v = zxs,
uavsszp^s для некоторых г, zt и для х, хг^Нч — А при некото-
ром v £ /;
(6') если As < Аг и |&|=1, то uavsazjzs для некоторого zx;
(7') |ы|, |и| ^\uav\.
Заметим сначала, что (7') содержится в (1). Чтобы доказать
(4'), предположим, что Ar<As и /г = 1, так что v==r~1s и а№=г'-1з
для такого г', как и выше. По предположению (1) |ц|^|нац|, так что
110
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
в произведении аиможет сократится, самое большее, подслово г'-1,
причем если оно сокращается, то объединений не получается. По-
этому auv оканчивается на з.
Докажем теперь (6'). Пусть As<cAr и |Л| = 1. По (3) Iwlduaul,
откуда вытекает, что снова сокращается не более чем г'-1, а если
г'-1 сокращается, то k не объединяется. Таким образом, uav окан-
чивается на ks.
Докажем теперь (5'). Согласно (1), |и|^|иаи|, откуда снова сок-
ращается, самое большее, г'-1. Если г'-1 сокращается и |/г| = 1,
то k, самое большее, сливается, давая некоторое fej из того же Hv—А,
что и k, и uav оканчивается на /г^. Если г'-1 сокращается и 6=1, то
| и | = | uav | и по (3) Лг<Лз. Поскольку k= 1, Ar^=As. Но тогда
Ar<As и /г = 1, что противоречит предположениям п. (5'). Остается
случай, в котором сокращается часть, меньшая чем г'*1. Но тогда
uav оканчивается на s, а предыдущая буква х или остается без изме-
нения, или сливается, давая букву хг из того же Hv—А, что и х.
Тем самым доказательство случая г=2 закончено. Остается рас-
смотреть случай 2<t^Z. Докажем сначала утверждения (4'), (5'),
(6')- Имея в виду уже рассмотренный случай г =2, заметим, что до-
статочно показать, что в произведении w'av сокращается не большая
часть слова v, чем та, которая сокращается в uav, причем если сокра-
щение по величине одинаково, то слияние в w’av наблюдается только
тогда, когда оно есть в uav.
По предположению индукции w’ оканчивается на q. Если q не
сокращается в uav, то как uav, так и w'av оканчиваются на qav, и
все в порядке. Таким образом, можно предполагать, что q сокраща-
ется как в uav, так и в w'av. По предположению (1) |ц|^|иаи|,
так что в произведении uav в сомножителе и сокращается, самое
большее, часть q.
Пусть Ap^Aq. Тогда, согласно (2), |о|<|иаи|. Поскольку q
сокращается в uav, отсюда следует, что |</Ку |ы|, откуда |/i| = l.
Отсюда следует также, что h не сливается. Далее, из |/i| = 1 вытекает,
что мы не находимся в условиях (4), откуда, согласно (5), получаем
u=zxq, w'^z^q для некоторых z, z, и х, Xj из одного и того же
Hv—А. Поскольку х не сливается в uav, то он не может слиться
или сократиться в w'av. Это устанавливает доказываемый результат
для случая Apt^Aq.
Пусть теперь Aq<zAp. По предположению (1) |и|^|«аи|, так что
в uav сокращается часть, не большая q. Если |Л| = 1, то из (5) полу-
чаем w'=z,hq, откуда следует, что h не сокращается в w'av и, далее,
что h сливается в w'av в том случае, когда h сливается в uav. Итак,
все доказано в случае, когда \h\ = 1. Пусть теперь й=1. По (5) м=г
^zxq, w't^ZtXiq для некоторых z, Zi и некоторых х, xt из одного и
того же Hv—А. Теперь из |о|^|ыац| следует, что в uav нет ни
слияний, ни сокращений подслова х, но отсюда следует, что в w'av
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 111
нет ни слияний, ни сокращений подслова xv. Это завершает дока-
зательство п. (4'), (5'), (6').
Чтобы доказать (7'), заметим, что, поскольку v сокращается
или сливается в w'av не более, чем в wav, и Iuav], то |да'|^
^.\w'av\. Теперь w' =wi_l nw'av=Wt, откуда IWj-J^IWil. Посколь-
ку по индукции InJ,..., 1, то и |«il,...,
Остается показать, что т. е. что |о|^|да'ао|. Это, од-
нако, следует из двух таких фактов. Во-первых, и=и^х, w’=wi^1,
так что по индукции |п|^|да'|. Во-вторых, мы показали, что w'
сокращается или сливается в w'av не больше, чем и в uav. Это завер-
шает доказательство п. (7'), а значит, и индуктивное доказательство
леммы 11.1. □
Изучим теперь семейство всех подгрупп Нр^, р£/, p£G.
Пусть t7=U£, множество всех u—hP, |/i)^l, т. е. всех а£ А вместе
с u=hP, \h\ = 1. Покажем, что U является «древесным объединением»
дерева, вершинами которого являются группы и группа А,
в уточняемом позже смысле и что G получается из соответствующего
древесного произведения добавлением соотношений сопряжения,
имеющих вид uv—w, где и, v, w£U.
Если С £ ‘ё, то можно записать
C = HpnQ, p = hx...hm, m>0, h^H^.-A и Hz=/=14+i
для О «С i sC m— 1.
Положим CA — Ap. Если рУ=1, то откуда Сй^С —
£сли р=1, то С — Н^й, откуда С° = Л, и мы поло-
жим С' = А. Проверка по длине показывает, что С(]С'=С°.
Определим теперь граф Г с множеством вершин Г) {А}. Если
С=//р , причем р^=1, то введем ребро между С и С' и припишем ему
группу C°=CqC'. Для каждого С=ЯЦо мы введем ребро между С
и А и припишем ему группу Л=СГ)С°=СГ) А. Очевидно, что Г —
дерево, которое можно ориентировать вверх от корня А.
Утверждается, что U — теоретико-множественное древесное
объединение семейства С{ёиА как множеств, т. е. что U полу-
чается из дизъюнктного объединения изоморфных экземпляров групп
С и А путем отождествления для каждой пары групп С и С'
подгрупп, соответствующих включениям группы ребра С° в С и С.
В более явном виде это выражено в следующем предложении.
Предложение 11.3. Пусть Сх, С2£11>и{Д} и D = CX/\C2—
точная нижняя грань групп Сх и С2 в смысле ориентированного
дерева Г. Тогда C^C^^D.
□ Если Сх или С2 равна А, то утверждение тривиально. Можно
предполагать, следовательно, что С\ = Н^а, С2 = HqVa для p = h1... hm,
q = kx... kn, подчиняющихся ранее оговоренным условиям. Пред-
112
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
положим, что т~^п, и будем рассуждать индукцией по т. На-
чальный случай т = 0, п = 0 тривиален. Случай Сг = С2 также
тривиален, так что можно предполагать =/= С2. Пусть g £ Сх Г) С2.
Тогда g = hP для некоторого и аналогично g = kq, k g HVo.
Если h(£A, то g^hT — запись в нормальной форме; но элемент
g = k'i £ С2 не может иметь такую нормальную форму, в которой
последовательные множители лежат в расположенных в этом
порядке. Таким образом, h С А и g С С® е С'х. Мы показали, следо-
вательно, что С\ Г) С2 s С{ П С2. Очевидно, С[ Г) С2 = D. Теперь по
предположению индукции C[QC2^D, откуда и получается
WsD. □
Покажем теперь, что G получается из древесного произведения G
дерева Г наложением всех справедливых соотношений вида uv=w,
где и, v, w g U. Прежде всего, древесное произведение G порожда-
ется древесным объединением U дерева Г и получается наложением
на U всех соотношений, определяющих групповую структуру в груп-
пах-вершинах, т. е. всех верных соотношений uv=w, где и, v, w—
элементы из некоторого С £$5. Пусть Rt — множество таких соот-
ношений; тогда G имеет представлениеG=(U; Ri). Обозначим через
R2 множество всех верных соотношений uv=w, где и, v, w£U.
Тогда наше утверждение принимает форму
Предложение 11.4. G=(J7; /?ь /?2).
□ Это утверждение будет следовать из такого факта. Пусть о= («ъ
и2,.. ., ut), U[ £ U. Тогда w=Ui.. .ut равно 1 только тогда, когда
о можно привести к тривиальному виду ст0=(1) последовательными
преобразованиями, заменяющими некоторую часть ut, ui+1 одной
из следующих:
a: UtUi+1, если UtUj+i^U;
Р: и! + 1, иЧм, где | «"'+11 < | и, |;
у: «“Г1, где | | < | w,-+11.
Можно предполагать, что ни t, ни У|ut | не уменьшается применени-
ем такого сорта преобразований. Можно предполагать также, что
лексикографический ранг последовательности |ст| = (|«i,..
не может быть увеличен. Если и^А, i<Zt, то преобразование (у)
не изменяет ни t, ни I и не уменьшает |ст|. Таким образом, можно
считать, что все £ А перешли в конец последовательности о, а вви-
ду (а) и минимальности t, что такой сомножитель не более чем один,
т. е. что Uj^A для i<Zt. После присоединения тривиального сом-
ножителя в конце, если нужно, и возможной переиндексации, мы
можем восстановить единообразное обозначение, предполагая, что
ст= («!,.. ., uf) удовлетворяет всем предыдущим предположениям и,
кроме того, ut(fA для l^i a ut £ А. Проверим, что о удовлетво-
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 113
ряет предположениям леммы 11.1, где а; = 1 для К.1. Поскольку
щ £ U для всех i, условие (2) не требует проверки, в то время как
(1) принимает форму |«;|, \ul+l\^\utui+1\. Пусть ui=u=p~1hp,
u!+1—v=q~1kq, где |Л| = 1^1 = 1. Предположим сначала, что |и|^
<|у|. Выведем противоречие из предположения |tw|<;|u|. Из этого
предположения следует, что подслово hp слова и сокращается в
произведении uv. Теперь из |«|^|v| следует Ipl^lql. Если 1р| =
=|<7l, то из сокращения слова р следует, что pq~r С А, и можно счи-
тать p=q. Далее из сокращения подслова h вытекает, что h и k
лежат в одной и той же группе №. Однако тогда все элементы
и, v и uv лежат в одной подгруппе С=Н%, что противоречит пред-
положению о том, что t не может быть уменьшено преобразованием
(а). Если то hp должно сократиться в произведении uq~l,
откуда \qtrЧ<|д|. Но из этого следует luu-1Klvl в противоречие с
минимальностью величины 21“/! относительно преобразований (у).
Случай симметричен рассмотренному.
Доказанное позволяет применить лемму 11.1, чтобы, согласно
(4), вывести IwidH, так что и>=#1. □
Частный случай доказываемого ниже предложения 11.9 ут-
верждает, что на самом деле G является древесным произведе-
нием некоторого подграфа Го дерева Г; в качестве графа Г„
можно взять просто подграф с вершинами А и Hv для всех v£/,
так что это утверждение тривиально.
Изучим теперь подгруппу G* группы G. Пусть £* — множе-
ство всех С* = СГ|С* для С С %, и пусть 4*=4пб*. Положим
£7* = ий’*, и пусть М — подгруппа в G, порожденная множест-
вом U*. Понятно, что N — нормальная подгруппа в G*.
Построим теперь граф Г*, аналогичный графу Г, вершины
которого помечены элементами множества и {/!*}• Для его по-
строения просто заменим каждую вершину С или А вершиной С*
или А*, а метку С° на каком-либо ребре заменим меткой С°*=
=С*° = С° П G*. Граф Г* можно упростить в следующем смысле.
Может случиться так, что C* = CnG*, где С = Н^, на самом
деле содержится в Ар, так что С* s С°* е С'*; не исключено
даже, что С* = С*. Чтобы исправить это, перейдем к новому
графу Г** следующим образом. Если е — ребро, соединяющее С
и С' в Г и е* — соответствующее ребро в Г*, концами которого
на этот раз являются группы С* и С'*, и если C*sC'*, то мы
стянем ребро е* в точку. Таким образом, вершина в Г** полу-
чается стягиванием некоторого поддерева в Г*. Если Со —метка
в графе Г вершины, соответствующей корню стягиваемого де-
рева, то тогда все метки вершин этого поддерева суть группы С*,
такие, что C*sCJ. Пометим получившуюся вершину графа Г**
группой Cq.
114 Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Пусть %** — множество меток вершин графа Г**. Понятно, что
U %** — U — U* и что U* — древесное объединение графа Г**.
Более того, различные точки графа Г** помечены разными мет-
ками, так что можно отождествить вершины с метками, кото-
рыми они помечены. Наконец, если С* £ $**, то существует един-
ственный кратчайший р, такой, что С* = впредь в за-
писи С* = Нрц П G* мы будем иметь в виду именно такой элемент р.
Доказательства предложений 11.3 и 11.4 позволяют получить
аналогичные результаты для Г**. Множество U* является дре-
весным объединением дерева Г**, где метки С* и А* рассматри-
ваются просто как множества. Группа N получается из древес-
ного произведения N дерева Г** наложением множества 7?‘ всех
верных соотношений uv = w, где и, v, w£U*. Если обозначить че-
рез R* множество всех верных соотношений uv = w, где и, v, w
принадлежат некоторому С* то группа N имеет представ-
ление N = (U*, R{, R*2)-
Покажем теперь, что N является древесным произведением
некоторого поддерева А дерева Г** без наложения дополнитель-
ных определяющих соотношений. Для этого определим S) как
множество групп С* = С П G*, С = Н^, С* € $**, Для которых смеж-
ный класс Др минимален среди классов Apw, w £ V. Пусть Г=U.®.
Нам следует показать четыре вещи:
I. Множество <2)(j {4*} является множеством вершин некото-
рого поддерева А дерева Г**.
II. V является древесным объединением дерева А, если группы
в вершинах рассматриваются просто как множества.
III. V порождает N.
IV. N является древесным произведением дерева А.
Для доказательства п. I достаточно показать, что если вер-
шина С* графа .Г** принадлежит множеству S), то вершина, ле-
жащая непосредственно под С*, также принадлежит или равна А*.
Предположим, что С' — H^r\G* лежит в <3), где p = ht.. .hm —
нормальная форма элемента р. Тогда вершина, лежащая непо-
средственно под С* в Г**, имеет вид С\ = mftG*, причем
i —наименьшее число, такое, что лежит в <ё**. Если числа I
с этим свойством нет, то такой вершиной является А*. Далее
Ci = П G*, где р^ргд. Если С\ не лежит в S), то для неко-
торого w£N имеем Clw = Hq® (]G*, причем Aqw < Aq. Однако
из этого следует Apw < Aq в противоречие с предположением о
том, что С* Е S).
Утверждение II непосредственно следует из 11.3.
Для доказательства утверждения III введем для каждого п^О
подгруппу Nn группы N, порожденную А* и всеми С* = Н$о f) G*
из $*, для которых введем также подгруппу Л4Л, порож-
И. Свободные произведения с объединенной подгруппой
115
денную А* и всеми такими С* из 3). Покажем методом индукции,
что Nn = Mn. Если и = 0, то из того, что лежит в S),
если только она не лежит в А*, получаем M0 = Af0. Для прове-
дения шага индукции достаточно будет предположить, что если
С*, как и выше, лежит в £*, а <?*“' —в S), то w является про-
изведением элементов и = ^<?, для которых | q | < | р |.
Для доказательства же последнего утверждения достаточно
показать, что если |рда|^|р|, то w является произведением
упомянутого вида. Итак, пусть | pw | | р где w — u1...ut,
Ujt-zU- Доказательство предложения 11.4, в котором левое и
правое меняются местами, показывает, что последовательность
(«,, ..., ut) без изменения элемента w может быть преобразована
в последовательность (a, ..., аД, где а^А и последова-
тельность (ult ..., vs) удовлетворяет предположениям, зеркаль-
ным к тем, которые приведены в лемме 11.1. Пусть р' = ра
и w' = vi...vs. Тогда \p'w' = Если мы сможем
показать, что ^ = /1’, причем |<7|<]р|, то останется приме-
нить индукцию по s. Пусть vx = k4. Тогда по утверждению (5)
из леммы 11.1 в зеркальном виде получаем w' == q~1k'z, где k,
k'£Hv — A, v£7. Кроме того, (4) из 11.1 дает | j <7 | w’ |, откуда
следует что q~x составляет меньше половины слова w'. Теперь
p'w' = pq~'k'z, и из условия | p'w' | | р | вытекает, что q"1 со-
кращается, a k' сливается. Однако тогда | р' | | q~xk' | > | q |.
Докажем, наконец, IV. Нами уже показано, что N имеет
представление W = (17*; R*lt R*2), где R[ состоит только из соот-
ношений вида = верных в JV, и, v, w все лежат в неко-
тором С* £ %**, а /?2 состоит из всех верных соотношений uv=w,
где и, v, wG.U*. Нам следует показать, что N имеет представ-
ление М = (1/;7\), где 1\ состоит из всех соотношений uv — w,
а и, v, w лежат в некотором С*£@).
Имеем V s 17*; выберем для каждого u£U*—V выражение и
через порождающее множество V. Каждая группа С* С #** сопря-
жена с некоторой группой С*г-1£.®; выберем такой г для каж-
дой С*, рассматривая г как некоторое слово над V. Тогда каж-
дый и£С* из Й’** —имеет вид ц* для некоторого и0 £ С*г~‘ С GD.
Выберем такое выражение и = иг0 для и через порождающее мно-
жество V. Для и из V запишем и —и, z=l.
Если р: uv — w — соотношение в R*, то и —и*, v = v*uw = wz0,
где г одно и то же, так что выраженное через порождающее
множество V соотношение р приобретает вид р: tiffinw%. Однако
это соотношение является следствием соотношения uovo=wl) из 7\.
Пусть р: = ц —соотношение из Rj. Выраженное через по-
рождающее множество V, оно приобретает вид р: заме-
тим, что, поскольку и и v сопряжены, и0 и и0 лежат в одной и
116 Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
той же группе С* С S). Таким образом, р эквивалентно равен-
ству вида р: = и0, где и0 ии0 лежат в некотором С* = 77^ Л G* £ @).
Пусть u0 = p~4ip и о0 = p~lkp, h., — А.
Поскольку то по утверждению III имеем w = v1...vs
для некоторых v^V. Таким образом, произведение компонент в
последовательности ст = (v^1, •, ^i-1. «о> ик • vt> ио) равно 1 и,
как мы видели в доказательстве предложения 11.4, сводится к 1
последовательным применением преобразований (а), (Р), (у). Дока-
зательство утверждения IV будет закончено, если мы покажем,
что эти шаги правомерны при выполнении соотношений Т\, т. е.
что в каждом случае ut, u{+i лежат в одной и той же груп-
пе С* € £>•
Нам понадобятся следующие четыре леммы о свободных про-
изведениях с объединенной подгруппой.
Лемма 11.5. Пусть и^пр, v = kq, heH^ — A, k^Hv—A и
uv£U. Тогда если |p| = |<7|, то v^kp, p = v и — А. Если
| р | < | q |, то qtp, | q± | 1, h = bq', b С А и u — bq.
□ Предположим, что\р |=| q |. Если Ap^Aq,muv^p~lh{pq~l)kq
и из uv^U следует, что Ap = Aq. Таким образом, Ap = Aq,
q = ap, а£А и y = для k1 = ka. Теперь uv = p~1 (hkr) р, и, так
как элемент из U не может иметь четную положительную длину,
часть hk должна сократиться или слиться, так что p = v.
Предположим теперь, что |/?|<|<?|. Если q = qxp не имеет
места, то, как и выше, произведение uv можно привести, не за-
трагивая частей р~г и q, и из uv^U следует q = qrp. Таким
образом, q^q-tp, | qt | 1 и «t? = p~1hq^ikqip, откуда hq^kq^U.
Поскольку элемент из U не может иметь четную положительную
длину, h не может ни сократиться, ни остаться без изменения;
таким образом,/i сливается. Теперь из w = (hqi1) kqx С U следует,
что Aqlh~l = Aq1, qih"1 = b~1q1 для некоторого!? g Л, так чтоh = bq',
и u=hP=bq'r> — bq. □
Лемма 11.6. Если u = hp, | h | = 1, а£А и tta^U, то а = Ьр,
be А.
□ Здесь приведенной формой для иа является иа = p~1h(pa), и
из ua£U следует, что Ар = Ара, откуда ра = Ьр для некоторого
be А и а = Ьр. □
Лемма 11.7. Пусть и, v такие же, как и выше, и предполо-
жим, что |ua|^|u|. Тогда либо uv eU, либо |<?|<|/?| и uv^hp’
для р’ = pv, |/?'| < |/?|.
□ Если |р| = |<?|, то, как и прежде, можно предполагать, что
p = q, а из |на|<|«| можно вывести, что так что
p = v. Пусть Ы<|<?|; как и раньше, отсюда получаем q^q^p
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 117
и uv = p~1qi1k~1qi1hq1p. Теперь из | | | и | следует, что
| <7Г1£~1<71/ЧГ1^‘711 И однако qi1hq1 С U и, используя предыдущее
неравенство, получаем qr1hql=b^A, h—bPi, u = bQ. Следова-
тельно, мы находимся в условиях второго случая леммы 11.5,
причем uvС U.
Пусть |<?|<|р|. Если <7-1 не сокращается в pq~l, то должно
выполняться неравенство |/w|>|p| и uv = h<pvy. Таким образом,
p==ptq, | Pj | 1 и p'=pv = pAhq. Из указанного неравенства
теперь следует, что h сокращается или сливается, причем
|р'|<1р1- □
Лемма 11.8. Если u = hp, | h | = 1, а£А и |ио| <|«|, то
u = h1, |/ij| = l и ua = hj£A.
□ Если | р | 1, то ua^hpa приведено, причем |и°| = | и\. Если
|р| = 0, т. е. pg А, то из u^hp следует, что причем
j/ij | = 1. Теперь из | иа | < | и\ следует | иа | = 0, т. е. что иа С А. □
Вернемся теперь к доказательству утверждения IV. При вы-
полнении шага (а) мы имеем пару (и, v), такую, что и, v£V, а
uv£U. Пусть u^C*£S), v^C*2£S)', тогда из 11.5 и 11.6 сле-
дует, что и, и и, следовательно, uv лежат или все в С* или все
вСз; таким образом, данное соотношение следует из системы 7\.
При выполнении (Р), (у) можно предположить по симметрии
для и С Cj С <3) и "о С-2 С -®, что | uv | < | и |. Если и, v £ А, то
заключение очевидно, если же в точности один из этих элемен-
тов лежит в А, то заключение следует из 11.6. По 11.7 доказа-
тельство закончено для всех случаев, кроме |<?|<|р| nuD = hp',
p' — pv и | р'| <|/?|. Однако при выполнении этих условий
Apv<^Ap, что противоречит минимальности класса Ар.
Тем самым нами доказано следующее
Предложение 11.9. N является древесным произведением де-
рева Д. □
Докажем теперь, что дополнением к N в G* служит некоторая
свободная группа F.
Предположим, что элементы группы G вполне упорядочены,
так что, если u = p~1hq, |р| = |^|, | h ] 1 и v^r~yks, |r] = |s|,
|Л|^1, то и < v, как только |и|<|и|; если |и| = |и|, то и < у
при условии, что Ар < Аг\ если |и| = |и|, Ар = Аг, то «<упри
условии, что Aq < 4s. Пусть S —множество, получающееся из
вполне упорядоченного множества G* вычеркиванием каждого и,
содержащегося в подгруппе, порожденной группой N и элемен-
тами v < и. Пусть W = S U S-1. Для u£W будем писать и* вместо
того из элементов и, и~1, который лежит в S, т. е. того эле-
мента, для которого и*^.и*~1. После некоторых предварительных
118
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
замечаний мы покажем, что S —базис свободной группы F и
ЛГ П F=l.
Фиксируем такие обозначения. Положим и = p-1hq, \p\-\q\,
й|< 1; если Ap = Aq, то можно считать, что p = q, а если
h | — 0, то можно считать, что h — 1 и и p~xq. Положим u=r-1fes,
г | = | s |, |^| ^1; если Ar = As, то г = s, и если | k | = 0, то 6 = 1
и и = t-1s. Будем обозначать также через g элемент вида g=g1. ..
.. .gn, где для всех i, 1 < i < п, gt g U*,\ gi | < |v | и \gi. . .g„y| = | v |.
Лемма 11.10. Если u£U, | и | | v | и |ио| = |и|, то ио =
^r'~1k's, где или г' = г, или r' = ru~1, |г'| = |г|, причем либо
k, k'£HV — А для некоторого v£l, либо k=--k' = l.
□ Поскольку |ии| = |и|, подслово р слова u = hp сокращается
в произведении uv и h сливается. Из | и | | v | следует |р|^|г|.
Если | р | — | г |, то Ар —Аг и, преобразуя v, можно считать, что
р — г. Далее, из |и|^|и| следует, что |й|=1 и что h и k сли-
ваются, давая k' = hk, |k' | = 1. Тогда uv^r~1k's. Если |р|<
<|г|, то r = t\h}p, l/ц | = 1 и т'-1 = иг-1 = p-'/i'rf1 для/1'= /йр1,
□
Лемма 11.11. Если g, v такие же, как и выше, то gv^= r'~1k's,
где r' = r или r' = rg~\ | г' I = | г |, причем либо k, k' £HV — А для
некоторого v^I, либо k = k’=\.
□ Это доказывается индукцией с помощью леммы 11.10. □
Лемма 11.12. Если u£U, |и | < | и | и | uv | | о |, то |«®|<
< 1«1-
□ Снова в uv подслово р сокращается, a h сливается или сокра-
щается с буквой hL слова и. Таким образом, v^p~1h1z, || = 1
и | hhy 1. Теперь из | v | < I и | следует, что | г | < | р |. Поскольку
u° — (hhd}z, где \hht | 1, то ] uv | < | и |. □
Лемма 11.13. Если u^U и |и|, |«и|<|ц|, то |ыс'|<1«|.
□ Из |о|<|«| получаем И<|р|. Неравенство |ыо|<|ц| позволяет
заключить, что по меньшей мере одна буква, помимо подслова г-1
слова v, сокращается в слове uv, а также, поскольку И + l^lpl, в
слове p'=pv, откуда Ip'KIpl. Однако uv—hp', так что li^KIwl. □
Лемма 11.14. Если v^W, то M<|ugu|.
□ Предположим, что Поскольку v—r~1ks, gv=r'~lk's,
причем |s| = |r| = |г'|, и так как подслово s первого сомножителя v
должно сократиться в произведении, то As=Ar', так что можно
предполагать s=r' и gv^s~1k"s, причем |fe"| = l. Однако тогда gv £ U*
и включения g, gv^N противоречат v € W. □
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 119
Лемма 11.15. Если v£W, то либо IvKIv^gvl, либо v-1gv^ U*.
□ Предположим, что |o-1gu|^|u|. Тогда v~1gv=s~1k~1r r'~1k's,
где |r| = lr'l, откуда г'=аг, а£А, и u-1gu=s~l(k~la~1k')s, причем
Лемма 11.16. Если и, v£W и uv=£l, то |«|, |t»ICI«gfl.
□ По предположению w^=u-1; кроме того, вследствие 11,14
мы можем считать, что u^v. Таким образом, u*^v*', предположим,
что и*<и*. Тогда |и|<|и|, и если |Hgu|<|o|, то (ugv)*<.v* в проти-
воречие свСГ Если ст*<и*, следует применить рассуждение,
симметричное к приведенному. □
Лемма 11.17. Если и, v£W, ии^Ы. и Ap<ZAq, то |v|<|ugv|.
□ Допустим, что |ugu|^|o|. По лемме 11.16 имеем |и|^|и| = |ugo|.
Теперь в произведении ugv=p~1hqr'-1ks сомножитель q должен
сократиться, а буква h слиться. Но |«|^|и| влечет за собой |<?|^
<|г'1; таким образом, независимо от того, имеет место |<?| = |г'| или
I^KIr'l, получаем ugv=r"~ik"s, |&"| = 1, где г оканчивается на q,
а г" — на р. Далее, из Ap<Aq следует Аг"<Аг и (ugu)*<y* в про-
тиворечие с тем, что и, v£W. □
Обратимся к доказательству того, что S — базис свободной
группы F и что N Г) Е= 1. Рассмотрим последовательность о= (u1)t..
.... ст5), s^l, где каждое vt либо лежит в £/*, либо лежит в W, и
предположим, что щ . .. us = l. Достаточно показать, что произведе-
ние и>=щ.. .vs сводится к 1 посредством соотношений, выполняю-
щихся в Af, тривиальных соотношений вида У;СТ,-+1 = 1 между эле-
ментами множества W и множества R3 соотношений р: u£=v для
и, v g U* и g g W, определяющих действие множества W (а значит,
и F) на М. Более точно, достаточно показать, что о можно свести к
тривиальной последовательности ст0=(1) последовательным при-
менением шагов (а), (0), (у), соответствующих упомянутым выше
соотношениям, т. е. переходов от (о;, oi + 1) к («', и') или (г), где
равенство що, + 1=иД' или щст; + 1=? основано на этих соотношениях.
Мы назовем эти шаги разрешенными.
Будем последовательно видоизменять о=(щ,..., и5) разрешен-
ными шагами до получения новой последовательности о*, удовлет-
воряющей условиям леммы 11.1. Согласно п. (7) леммы 11.1, тогда
будет ясно, что Vi.. .vs=l возможно лишь когда о* — тривиальная
последовательность.
Как и в доказательстве предложения 11.4, заменой части (vt,
и<+1) на (VjVi+1) в случае, когда щ, vi+l g А*, вставкой тривиальных
членов а; = 1 и циклической перестановкой элементов Vt мы можем
заменить ст на последовательность t=(zz1, аи и2, а2,..., ut, at), где
все — либо элементы из Wt либо элементы из U*—А*, а все
120
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
а, лежат в Л*. (Мы исключили тривиальный случай, когда все vt
лежат в А*.)
Для проведения доказательства по индукции необходимо рас-
смотреть несколько более общий класс последовательностей т.
Мы разрешим элементам а, принимать те же значения, что и в фор-
мулировке леммы 11.1 в случае, когда !< / и + для
и^х^и*—А* и i=t мы будем продолжать считать, что а^Л*.
Сформулируем теперь частный случай нашего результата.
Предложение 11.1&.Если все и все UiUi+l отличны от 1, то
ш=#1.
□ В предположении, что все и(- лежат в IF, из леммы 11.17 вы-
текает выполнение условий леммы 11.1. Тогда, согласно п. (7) этой
леммы, получаем и>=/=1. □
Следствие 11.19. S — базис некоторой свободной группы F.
□ Это следует из 11.18, если рассмотреть последовательность т=
= («!,«!, иа, а2,..., ut,at), f^l, где ut£W, utul+i^=i и а; = 1 для
всех i. □
Теперь мы готовы заняться деталями доказательства следующего
предложения.
Предложение 11.20. G* является полупрямым произведением
N на F
□ Возвращаясь к введенным выше обозначениям, заметим, что
нам нужно привести т разрешенными шагами к такому виду, в кото-
ром все тройки («г, at, ui+i) удовлетворяют условиям леммы 11,1.
Чтобы упростить обозначения, будем писать (и, а, и) вместо («;,
Uh ^/4-1)*
Рассмотрим вначале случай и, v£W. По леммам 11.16 и 11.17
тройка (и, а, и) удовлетворяет условиям леммы 11.1 во всех случаях,
за исключением того, когда ии=1 и uav£U*—А*. В этом случае,
используя разрешенное преобразование, основанное на действии
группы F на N, мы можем заменить (и, а, о) на (uav). По предпо-
ложению а,-! является произведением ai_i=gl.. .gn сомножителей
gj€ U*. Заменим часть (а1_1, и, а, у) последовательности т частью
(glt...,gn, uav); после введения, если понадобится, нескольких
членов 1 мы получим новую последовательность т' с требуемыми
свойствами. Величина t может при этом возрасти, но число t0 эле-
ментов Ut С W при этом убывает.
На первом этапе нашего приведения последовательности т
мы будем предполагать, что ta уменьшено таким способом, насколько
это возможно. В таком случае можно считать, что каждая тройка
(и, a, v), где и, v£W, удовлетворяет предположениям леммы 11.1.
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 121
Рассмотрим далее случай, когда и, v£U*—А*. Согласно нашим
общим предположениям о т, отсюда следует, что а£А*. Теперь,
рассуждая в точности так же, как и в предложении 11.4, можно
применить преобразования (а), (0), (у), разрешенные в силу соот-
ношений между элементами из N, чтобы либо уменьшить /, либо,
оставляя I неизменным, уменьшить 21«г|, либо, оставляя t и У|иг|
неизменными, увеличить лексикографический ранг строки |т| =
=(|и,-11,..где uik — это те uit которые лежат в U*—А*.
Используя индукцию по этим величинам относительно упомянутого
порядка, можно предполагать, что каждая тройка (и, a, v), в кото-
рой и, v£U*—А*, удовлетворяет ограничениям леммы 11.1.
Остается рассмотреть такие тройки (и, а, и), в которых один из
элементов и, v лежит в W, а другой — в U*—А*. Докажем вначале
выполнение свойства (1) из леммы 11.1. Предположим, что «£(/*—
A*, vgW и |у|^|и|. Если (1) не выполняется, т. е. если |иау|<
<|и|, то из леммы 11.13, в которой vзаменено Haav, получаем
<|и|. Однако тогда величина У|щ| может быть уменьшена заменой
тройки (и, a, v) на (a, v, uav), причем это преобразование разре-
шено действием группы F на У. Получаем противоречие с тем, что
величина 5 |щ| по нашим предположениям разрешенными преобра-
зованиями не уменьшается. Допустим теперь, что ItzKIvl, но (1)
не имеет места, т. е. |«ап|<|п|. Тогда (uav)*<v*. Так как ua£ N,
это противоречит тому, что у С W. Таким образом, (1) доказано для
—A* nvgW. Из соображений симметрии это утверждение
верно и когда и £ W и v£ U*—А*.
Установим теперь (3) из 11.1. Пусть As<cAr. Тогда U, откуда
у С W и «С U*—А*- Предположим, что (3) не имеет места и |иао|^
С1«|. Согласно (1), отсюда следует luav! = lul и |у|^|и|. Таким об-
разом, подслово г'"1 слова av=r'~1k's должно сократиться в произве-
дении uav в подслове р слова u^p-1hp, поскольку |у|^|м|, а значит,
и Ir'KIpl. Тогда р==р\г' для некоторого рг. Из |мау| = |«| можно
вывести, что р' =pav=--piks имеет ту же длину, что и р. Поскольку
и v^r~1ks^ U7, то Ar' =Ara~F^Ar и As<Ar^Ar'. Так как р
оканчивается на г', а р’ оканчивается на s то Ap'<zAp. Если заме-
нить (и, а, у) на (а, и, и'), где и' =uav=p'~1hp', то Apt уменьшится
для одного из Ui^hpi в т без ущерба для остальных предположений.
По индукции можно предполагать, что множество этих Apt
минимально. Тогда описанная выше ситуация становится невозмож-
ной, так что (3) выполнено.
Рассуждение, симметричное приведенному, показывает, что
Ap<zAq влечет за собой |y|<|tzavl. Для доказательства утверждения
(2) остается показать, что Ар = Aq влечет за собой |у|<|пау|.
Однако из Ap=Aq следует, что U*—А* и, значит, W. Пред-
положим, что |«ау|^|у|; тогда по утверждению (1) IwICM = lway|.
Более того, ai^1^A*, так что |а,-_1|=0<|у| и ]ai.piav] = \uav\ =
“|йу| = |у|. Таким образом, мы можем использовать соотношение
122
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
из N для замены (м^, п,-!, u, a, v) на (и!_1, ai_1ua, v), что умень-
шит t в противоречие с предположениями относительно т. Тем самым
(2) доказано.
Итак, все условия леммы 11.1 выполнены, а с помощью этой лем-
мы доказательство предложения 11.20 получается уже приведен-
ными рассуждениями. □
Совокупность доказанных выше утверждений позволяет дока-
зать следующий вариант теоремы Карраса — Солитэра.
Предложение 11.21. Пусть G — свободное произведение групп Hv,
где v пробегает данное множество индексов I, с объединенной подгруп-
пой А. Предположим, что G* — некоторая подгруппа в G и N — нор-
мальная подгруппа группы G, порожденная группами С* =p~1Hvp п
f) G* для всех р из G и всех v £ /. Тогда N — древесное произведение
некоторого семейства групп С* и G*/N — свободная группа. □
Для получения теоремы X. Нейман (см. также IV. 6.6. ниже)
напомним, что все объединяемые подгруппы в древесном произведе-
нии N лежали в подгруппах, сопряженных с А. Таким образом,
если G* имеет тривиальное пересечение со всеми подгруппами, со*’
пряженными с А, то N — свободное произведение некоторого се-
мейства групп С*.
Действие группы F на N не обязательно является свободным,
но оно свободно в случае, когда С* имеет тривиальное пересечение
со всеми подгруппами, сопряженными с А. Тогда F переставляет
подгруппы С* в ё*, причем никакой нетривиальный элемент груп-
пы F не оставляет на месте никакую подгруппу С*. Пусть $ —
множество групп C*=ff£nG*, для которых Ар минимально среди
всех сопряженных группы С* элементами из G*. Тогда, как и раньше
при рассмотрении множества S), мы видим, что подгруппа Е, порож-
денная группами С* из <£, является свободным произведением
этих С*, что W — нормальное замыкание подгруппы Е в G* и что
G* — свободное произведение групп Е и F.
Тем самым доказана теорема X. Нейман [1948]; см. IV.6.6 ниже.
Предложение 11.22. Пусть G= * Hv, v£l, и предположим, что
А
6* — подгруппа в G, пересечения которой со всеми сопряженными
подгруппы А тривиальны. Тогда G* — свободное произведение не-
которых подгрупп НР^Г\ G*, pG Е gGG, и некоторой свободной под-
группы. □
В случае 4 = 1 получается теорема Куроша [1934]; см. III.5.1
ниже.
Цишанг занимался конечными подмножествами группы G, в
частности, конечными порождающими подмножествами этой груп-
пы. Пусть дано некоторое конечное подмножество XeG. Исполь-
зуя то же самое отношение порядка, что и выше, можно применить
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой
123
конечную последовательность элементарных нильсеновских пре-
образований, чтобы получить множество Y, такое, что Gp(X) =
= Gp (Y), причем если х, 1/£У±хи xt/#=l, тох*, у*<(ху)*. Рассмот-
рим теперь последовательность <т= (щ,..., иг), /^1, в которой все щ
лежат в У±х и utui+1^=\. В процессе применения разрешенных
преобразований, использованных в доказательстве предложения
11.20, сопрягающие преобразования, переводящие (u, a, v) в (а,
v, tiav), где u^.U, W, или в (о0-1"-1, и, а), где v£U, u£W,
не дают никакого сокращения. Таким образом, применимы только
преобразования, основанные на соотношениях группы У, и, в преж-
них обозначениях, G*=Gp(E) является свободным произведением
групп W и F. В частности, согласно лемме 11.1, условия [uil,...
..., = |и,.. ,ut\ могут не выполняться лишь в том случае,
когда соответствующие условия не выполняются для некоторой
подпоследовательности, у которой все нг лежат в U. Таким образом,
мы получаем вариант теоремы Цишанга, причем точная формули-
ровка может быть восстановлена из приведенного доказательства.
Предложение 11.23. Если X — конечное подмножество группы
G=XHV, v£l, то последовательностью нильсеновских преобразо-
А
ваний X можно перевести в множество Y со следующим свойством.
Пусть щ,..., Ut^Y^1, f^\ и все utui+1 отличны от 1. Тогда либо
|«11. .«tl,
либо для некоторых h, k, uh,..., uh — сопряженные
элементов из Hv, и для некоторого i, h^i^k,
|«л • • • I < I «/I- □
Непосредственным следствием приведенного построения являет-
ся результат Смита [1976]. Если <р—гомоморфизм из конечно по-
рожденной свободной группы F в G, то F — свободное произведение
групп Го, Ец .. ., Fn, где Fo отображается при <р в G инъективно
и для l^i н группа Грр лежит в некотором Н^, р£/, pgG.
Розенбергер [1974], анализируя результат Цишанга, показывает
на примерах, что ни одна из возможностей, появляющихся в заклю-
чении упомянутого выше варианта теоремы Цишанга, не может быть
обойдена. Он же иллюстрирует примерами невыполнимость для
свободных произведений с объединенной подгруппой теоремы
Грушко — Неймана (см. III.3.7). Точнее, он показывает, что ни
одно из приводимых ниже двух утверждений, вообще говоря, не
обязано быть справедливым для G=//1*//2-
А
(I) Если конечное множество X порождает G, то оно может
быть переведено нильсеновскими преобразованиями в множество
У^Н^Н2.
(II) Rank (G) > Rank (Z/J + Rank (//2) — Rank (Л).
124
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
Как он замечает, Маккул и Петровски [1971] установили справед-
ливость утверждения (I) в случае, когда А нормальна в G. В качестве
контрпримеров к I и II Розенбергер берет две группы из бесконеч-
ного семейства фуксовых групп, найденного Бернсом, Каррасом,
Петровски и Пужицки (неопубликовано) при построении (на самом
деле единственных) контрпримеров к утверждению Цишанга о рангах
фуксовых групп (см.ниже III.7). Эти группы имеют вид
G = (Х,, . . ,, Хи, X, — . . . = Хп_, — Хп = 1, Хх. . . Хп = 1),
для четного я>4 и нечетного т 3.
Такая группа G порождается множеством Х = \х1х2,... ,XiX„_i}.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
(i) (х,х2) (х3х,) (х,х4)... (xxx4_2) (x^-jxj = x,.., x4_4Xf
и
(ii) (x2x,) (х,х3) (x4Xj)... (x„_2xx) (x,xn_t) = x2...xn~,
лежат в Gp (X), откуда, перемножая, получаем
(Xj.. .x„_i)2 = xT2€Gp(X).
Поскольку x„ имеет нечетный порядок, отсюда следует, что х„£
gGp(X). Теперь х„1 = х1.. .х„-1г откуда, согласно (i), х, g Gp (X).
Наше утверждение теперь очевидно.
В качестве контрпримера как к I, так и к II, Розбенбергер
берет группу G при п = 4. Пусть = (хх, х2, х2 = х%= 1), Н2 =
= (х3х4; х3= х™= 1); тогда А = П Н2 = Gp (а), где а = х±х2 =
= (х8х4)-1, и G = Нг* Н2. Далее, G порождается множеством Х =
— {xtx2, XjX3), в то время как, разумеется, она не может быть
порождена никаким двухэлементным множеством Y s (J Н2.
Таким образом, 1 не имеет места. Более того, Rank(G) =
= Rank (77,) = Rank (772) = 2, a Rank (Л) = 1, так что и II неверно.
Примером группы, в которой I верно, а II неверно, служит
группа G при п = 6. Возьмем 77, = (х,, х2, х8; хх = х2 = х3=1),
772 = (х4, х6, хв; х| = х| = х?‘= 1), так что G = 77, * 77 2 для A = Gp (а),
где а = XjXjXa = (XjXjXe)-1. Теперь G порождена Y = {ххх2, XjXj,
х4х6, х4хв}. Чтобы убедиться в этом, заметим, что(х6х4) (х4хв) (ххх2)=
~ (х6хв) (х,х2) = (х4х3х2хх) (ххх2) = х4х3 £ Gp (V), а (ххх3) (х3х4) = ххх4
и (ххх3) (х3х6) = ххх5 лежат в Gp (У). Но тогда X — {ххх2, ..., хххб}е
s Gp (У) и G = Gp (X) = Gp (У). Здесь Y s Ях U 77а, так что I спра-
ведливо, а II снова не верно.
Кун [1952] доказал теорему о подгруппах для G= * Hv, vg I, в
случае, когда А нормальна, и выделил частный случай, когда А
нормальна и G*n^ = l. Мы уже отметили теорему X. Нейман
(11.22). Другое ее доказательство было дано Имрихом [1975]. Дока-
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой 125
зательство Карраса и Солитэра их теоремы о подгруппах свободных
произведений с объединенной подгруппой использует шрайеровский
переписывающий процесс. Этот метод был использован Фишером
{19751, обобщившим их результат до теоремы о подгруппах древес-
ного произведения. Чипман [19731, используя рассуждения, свя-
занные с накрывающими пространствами, доказывает весьма об-
щую теорему о подгруппах некоторого произведения групп относи-
тельно некоторого графа, где используемый граф не обязан быть
деревом. Хиггинс 11966} использовал группоиды для обобщения на
свободные произведения без объединенных подгрупп сильной формы
теоремы Грушко — Неймана, принадлежащей Вагнеру [1957].
Также используя группоиды, Ордман [1971] распространяет этот
результат на отображения свободных произведений с объединенной
подгруппой в свободные произведения. Чизуэлл [1973] дает доказа-
тельство теоремы Грушко — Неймана по методу Серра [1968/691,
использующему группы, действующие на деревьях. Каррас и Со-
литэр [1971] дают теорему о подгруппах HNN-групп, а Коэн [19721,
также используя метод Серра, доказывает уточненную форму их
результата.
Глава II
ПОРОЖДАЮЩИЕ И СООТНОШЕНИЯ
1. Введение
Очень часто группы описываются как факторгруппы свободных
групп: G=F/N. Если F — свободная группа с базисом X, a N —
нормальное замыкание в F некоторого множества R, то говорят, что
пара (X; R) — представление для G, что не вполне формально за-
писывается в виде G=(X; R).
Если X — множество образов х в G элементов х из X, то X
порождает G. Если r=r (xlt.. хп) — элемент из R, то в G верно
равенство r(xlt..хп) = 1. Допуская вольность речи, принято назы-
вать X множеством определяющих порождающих для G, а равенства
г=1, где r£ R,— множеством определяющих соотношений. Принято
и сами элементы г называть соотношениями. Элементы w из N назы-
ваются следствиями множества R определяющих соотношений.
Зачастую мы будем упрощать теоретико-множественные обозна-
чения и, например, вместо
G=({a, b}-, {a2, b3, (ab)2})
писать
G= (а, Ь; а2, b3, (ab)2).
Часто бывает приятнее в записи представления для группы записы-
вать соотношения в форме равенств, а не слов; в этом случае преды-
дущее представление принимает вид
G=(a, b; a2=l, b3 = l, a~1ba=b~1).
Можно, наконец, в записи представления опускать порождающие,
если все они встречаются в записи определяющих соотношений;
при этом соглашении получаем
G=(a2, b3, (ab)2).
Магнус, Каррас и Солитэр определяют представление как тройку
(X, R, гр), где X и R означают то же, что и выше, а гр — гомоморфизм
из F на G с ядром N. Такое определение строже, но это та строгость,
которая нам не понадобится.
Представление (X; R) называется конечно порожденным, если
множество X конечно, и конечно определенным, если конечно /?;
при этом и группа G=(X; R) называется конечно порожденной и
1. Введение
127
конечно определенной соответственно. Представление (X; R) назы-
вается конечным, если и X, и R конечны; в этом случае группа
G=(X; R) называется конечно представленной '). Конечное пред-
ставление конечной группы получается из ее таблицы умножения:
в качестве порождающих следует взять все элементы g, группы G,
в качестве определяющих соотношений — все равенства вида gtgj —
=gk, которые справедливы в G. Таким образом, представление группы
можно мыслить себе как сокращенную запись таблицы умножения.
Многие важные бесконечные группы допускают конечное представ-
ление. С другой стороны, Б. Нейман [1937] показал, что существует
несчетно много неизоморфных групп, порожденных двумя элемен-
тами; отсюда следует, что существует много конечно порожденных
групп, не обладающих конечным представлением.
Понятно, что группа определяется своим представлением с
точностью до изоморфизма. С другой стороны, мы увидйм, что даже
наличие конечного представления еще не очень большая информа-
ция о группе G. Если X или R не являются конечными, то часто их
описывают с помощью параметров. Такие представления естествен-
ным образом возникают для групп матриц над данным кольцом или
полем; см., например, Цассенхауз [1969], Бер и Меннике [1968],
Битам [1971], Суон [1971]1 2).
В важном частном случае множество X индексировано некото-
рым множеством /, состоящим из всех натуральных чисел либо
являющимся конечным подмножеством множества натуральных
чисел. В этом случае нетрудно определить простой код (или гёделев-
скую нумерацию) /, устанавливающий взаимно однозначное соответ-
ствие между F и множеством натуральных чисел. В математической
логике имеется точное определение рекурсивного или рекурсивно
перечислимого множества U натуральных чисел; интуитивно можно
представлять себе рекурсивное множество U как множество, для
которого существует алгоритм, позволяющий определять, принад-
лежит данное натуральное число этому множеству или нет; для ре-
курсивно перечислимого множества U существует алгоритм, позво-
ляющий в некотором порядке перенумеровать все элементы данного
множества. Будем употреблять эту терминологию и в случае груп-
пы F, говоря, что подмножество R группы F рекурсивно или рекур-
сивно перечислимо, когда этим свойством обладает множество /(/?);
это определение не зависит от выбранного кода.
Скажем, что представление (X; R) рекурсивно, если X индекси-
ровано указанным выше множеством / и при этом R рекурсивно
перечислимо. Такая терминология может показаться довольно
странной, но позднее мы увидим, что если группа обладает представ-
1> Обычно определяют только два класса: конечно порожденные группы,
когда множество X конечно, и конечно определенные, когда X и R конечные,—
Прим. ред.
2> А также Н. С. Романовский [1971 *] и Г. А. Носков [1975*].— Прим, ред.
128 Гл. 11. Порождающие и соотношения
лением, в котором R рекурсивно перечислимо, то она обладает и
представлением, в котором R рекурсивно. Замечательная теорема
Г. Хигмана [1961] утверждает, что конечно порожденная группа G
имеет рекурсивное представление тогда и только тогда, когда она
может быть вложена в конечно представленную группу. Из приведен-
ного выше результата Неймана и соображений мощности следует,
что имеется много групп, не допускающих рекурсивного представ-
ления.
Проблема равенства слов — первая из трех фундаментальных
алгоритмических проблем, поставленных Дэном в 1912 году. Во-
прос состоит в следующем: пусть дано представление G=(X; 7?);
существует ли алгоритм, выясняющий по любым двум элементам
Шх и щ2 группы F, представляют эти элементы один элемент группы G
или нет? Эквивалентно, есть ли алгоритм, решающий, лежит w=
в N или нет? Если такой алгоритм существует, т. е. если М
рекурсивно, то говорят, что проблема равенства слов для представ-
ления (X; R) группы G разрешима. Фундаментальный результат
П. С. Новикова [1955] (см. также Бун [1959]) состоит в построении
группы G с неразрешимой проблемой равенства слов. (См. также
Бриттон [1963], Г. Хигман [1961], Ротман [1973] и раздел IV.7
данной книги.)
Вторая из проблем Дэна — проблема сопряженности: определить
для произвольных и w2 из F, представляют они сопряженные эле-
менты группы G или нет? Третья проблема — проблема изоморфизма'.
определить, задают два данных конечных представления изоморфные
группы или нет? Для случая канонических представлений фунда-
ментальных групп замкнутых 2-многообразий все эти три проблемы
были решены самим Дэном [1912]; обобщения этих результатов бу-
дут рассмотрены нами в гл. V. Мы хотим отметить (см. предложение
5.4 настоящей главы), что в 1932 году Магнус показал разрешимость
проблемы равенства слов в случае групп с одним определяющим
соотношением, т. е. групп с представлением (X; R), в котором R
состоит из одного элемента. Неизвестно, не будет ли разрешима
проблема равенства слов для всякого представления, в котором R
состоит из двух элементов. Неизвестно также, не будет ли разреши-
ма проблема сопряженности для всякого представления с одним
определяющим соотношением.
Ясно, что решение проблемы сопряженности содержит в себе
решение проблемы равенства. Интуитивно легко поверить в то,
что проблема сопряженности существенно труднее проблемы ра-
венства, поскольку она содержит дополнительную переменную
под квантором существования в том смысле, что речь идет о сущест-
вовании элемента и в F, такого, что w^ui'ts^u лежит в N. И дей-
ствительно, существуют конечно представленные группы с разреши-
мой проблемой равенства слов, но неразрешимой проблемой сопря-
женности; см. Фридман [1960], Коллинз [19691, Миллер III [1971].
2. Конечные представления
129
Проблема изоморфизма еще труднее. Возможно, наиболее пора-
зительный из имеющихся в этой области результатов — результат
С. И. Адяна [1955] и Рабина [1958], показывающий, что неразрешим
даже очень частный случай проблемы изоморфизма, а именно про-
блема изоморфизма группы, заданной конечным представлением,
тривиальной группе. Дальнейшую информацию по алгоритмическим
проблемам в теории групп можно найти в работе Миллера III [1971].
В настоящей главе к алгоритмической неразрешимости мы уже боль-
ше не вернемся; напротив, будет доказано несколько результатов
в положительном направлении.
2. Конечные представления
Основная теорема Тице [1908] связывает различные конечные
представления одной и той же группы.
Пусть (X; R) — произвольное представление. Пусть г — про-
извольный элемент из N и R'=R\J {г}. Понятно, что (X; R) и (X;
R') определяют изоморфные группы.
С другой стороны, предположим, что задано (X; R), и пусть Х' =
=Х(J {х}, где х(£ X; если w — произвольный элемент из F и R' =
=R (J {г}, где г=х-1ш, то легко видеть, что (X; R) и (X'; R') опре-
деляют изоморфные группы.
Будем называть указанные выше переходы от данного представ-
ления к некоторому другому, а также обратные к ним преобразо-
ваниями Т ице.
Предложение 2.1. Два конечных представления задают одну и ту
же группу в том и только том случае, когда от одного из них к дру-
гому можно перейти конечной последовательностью преобразований
Тице.
□ Понятно, что два представления, конечные или бесконечные,
связанные конечной последовательностью преобразований Тице,
определяют изоморфные группы. Для доказательства обратного
предположим, что два конечных представления (Хх; Rt) и (Х2; Д2)
определяют изоморфные группы. Для /=1, 2 обозначим через Ft
свободную группу с базисом X,-, и пусть Л/; — нормальное замыкание
в Ft подмножества Ri^Fi. Можно предполагать, что дана группа G
и два отображения <рг из/7; на G с ядрами X;. Можно предполагать,
конечно, что XjAX2=0. Пусть F — свободная группа с базисом
X=Xi(jX2. Тогда фх и ср2 вместе определяют отображение из X
в G, продолжающееся до гомоморфизма <р из F в G. В самом деле,
если рассматривать Л и F2 как подгруппы в F, то <р — единствен-
ное общее продолжение гомоморфизмов <pi и <р2.
Для каждого x^Xi выберем wx£F2, такой, что х<р=м>хф, и
обозначим через Si конечное множество слов sx=x~lwx. Определим
•$2 аналогичным способом. От представления (Xi; Ri) к представле- 5
5 № 653
130 Гл. II. Порождающие и соотношения
нию (X; Ri (JS2) можно перейти конечной последовательностью
преобразований Типе, каждое из которых вводит новый порождаю-
щий х £ Х2 и соотношение х-1&ух g S2, выражающее х через Х2. Ясно,
что ядро N отображения ф из F на G является нормальным замыка-
нием в F множества T?iUS2. Понятно также, что (Т?2 U Si)<p=l,
поскольку R2[]S^N. Конечной последовательностью преобразо-
ваний Тице можно присоединить элементы из T?2(jSi по одному к
7?! U S2, чтобы получить представление (X; 7?)=(Х; /?i (J R2 U и S2)
группы G.
Нами показано, что от (Xi; Rd к (X; R) можно перейти конечной
последовательностью преобразований Тице. Из соображений сим-
метрии подобным же образом можно перейти от (Х2; /?2) к (X; R).
Отсюда следует, что возможен и переход от (Xi; Ri) к (Х2; /?2). □
Следует подчеркнуть, что предложение 2.1 не дает решения про-
блемы изоморфизма даже в случае, когда проблема равенства слов
разрешима для обоих данных представлений. Действительно,
процедура выбора множеств и S2 неэффективна. Преобразования
Тице использовались для доказательства того, что разрешимость
проблемы равенства или сопряженности — инвариант конечного
представления группы; впрочем, даже более общее утверждение
может быть доказано следующим несложным рассуждением.
Предложение 2.2. Если для данного конечно порожденного пред-
ставления группы G разрешима проблема равенства слов или сопря-
женности, то соответствующая проблема разрешима и для любого
конечно порожденного представления той же самой группы.
□ Пусть (Xf, 7?i) и (Х2; /?2) — два представления одной и той же
группы G: допустим, что в (Х2; Rd разрешима проблема равенства
(сопряженности) и что Х2 конечно. Рассмотрим произвольную функ-
цию <р из Х2 в Fi, такую, что для любого х£Х2 элементы х и хф
представляют один и тот же элемент группы G; отображение ср
продолжается до гомоморфизма из К2 в Ft с теми же самыми свойст-
вами. Понятно, что гомоморфизм <р эффективно вычислимый: если
дана конечная таблица значений хер для х£Х2, то, чтобы получить
ш<р для любого w £ F2, достаточно применить подстановку. Однако
теперь, чтобы решить, представляют ли два элемента ity и w2 из К2
один и тот же элемент (или сопряженные элементы) группы G, до-
статочно вычислить и ау2<р и применить алгоритм для представ-
ления (Xi; R^. □
Преобразования Тице полезны в частных случаях для доказа-
тельства того, что два данных представления определяют изоморф-
ные группы, и особенно для упрощения данного представления.
С их помощью бывает удобно доказывать, что некоторые инварианты
конечных представлений на самом деле являются инвариантами
представляемых ими групп.
2. Конечные представления
131
Сформулируем теперь один результат Магнуса [1934] о представ-
лениях конечно порожденных групп. Пусть А — конечно порож-
денная абелева группа с порождающим множеством. .,хп, опре-
деленная множеством соотношений s, = Дх]Ч как абелева группа,
т. е. так, что все соотношения между элементами Xj следуют из
равенств s, = l и тождества коммутативности. Назовем матрицу М =
=(сц), число строк в которой бесконечно, матрицей соотношений
группы А. Основная теорема о конечно порожденных абелевых груп-
пах и ее варианты дают различные канонические формы для М, из
которых можно получить инварианты группы А.
Предложение 2.3. Пусть G — конечно порожденная группа,
A —GAG, G] — ее факторгруппа по коммутанту и М — (сц) — ко-
нечная (тХп)-матрица соотношений для А. Тогда G обладает
представлением G={x1,..., xn; r\, гг,...), таким, что
Г( = ЦхД (mod [F, F]) для 1 i /п
и
1 (mod [F, F]) для г > m.
□ Пусть G= (X; R), где X конечно, a R, возможно, бесконечно.
Оно определяет матрицу соотношений М для А, в которой п=|Х|
столбцов и, возможно, бесконечно много строк. Выберем конечное
число из этих строк, скажем первые т штук, так, чтобы они порож-
дали группу строк матрицы Л1; прибавляя подходящие целочислен-
ные линейные комбинации этих строк к остальным, можно считать,
что эти остальные строки равны нулю. Проделаем те же преобразо-
вания с представлением, умножая все г, с номерами, большими т,
на подходящие произведения степеней элементов /у,..., гт\ тогда
(mod [F, F]) для всех От. Итак, мы имеем матрицу М и пред-
ставление (X; R), связанные описанным образом.
Любая другая конечная матрица соотношений М' для А может
быть получена из М последовательностью (i) элементарных преоб-
разований строк; (ii) элементарных преобразовании столбцов;
(iii) преобразований, переводящих М. в ЛГ=(*°), или обратных
к ним. Далее, элементарное преобразование строк может быть
индуцировано заменой элемента rt на гр1 или на rtrjt j=£i. Элемен-
тарное преобразование столбцов может быть индуцировано заменой
элемента х} на хр1 или Х]Хь, k^j. Третий тип преобразований может
быть индуцирован преобразованием Тице, вводящим новый порожда-
п
ющий xn+i вместе с новым соотношением Гт+1==(ПА7'я+1/)л:л+о
/=1
или обратным к такому преобразованием. Таким образом, мы можем
перейти последовательностью преобразований Тице к новому пред-
ставлению (X'; R’), индуцирующему матрицу соотношений М'. □
5*
132
Гл. II. Порождающие и соотношения
Имеется несколько проблем, связанных с тем, какие пары чисел
|Х| =п и |Д|=т могут появиться в некотором представлении данной
группы. Минимальное значение числа п равно, очевидно, рангу
г (G) группы G, т. е. наименьшему числу порождающих группы G.
По предложению 1.2.7 это согласуется с прежним определением
ранга свободной группы. Очевидно, что r(G)=0, только если G=l, и
г(G) = l в точности, когда G — нетривиальная циклическая группа.
По теореме Грушко — Неймана (IV. 1.8), если G — свободное про-
изведение, G=G!*G2, то r(G)—r (G1)+r(G2). В случае свободного
произведения с объединенной подгруппой сколько-нибудь удовлет-
ворительных результатов о рангах не имеется, однако такая формула
была найдена в 1970 году Цишангом при наложении весьма ограни-
чительных условий на объединяемую подгруппу и ее положение
в перемножаемых группах; эта формула оказалась полезной при
определении ранга фуксовых групп; см. также Рапапорт [1964],
Печиньски, Розенбергер и Цишанг [1975]. Было показано, что многие
конечные простые группы имеют ранг 2, см. Кокстер [1936, 1937],
Кокстер и Мозер [1965], Дуглас [1951], Дж. Миллер [1900, 1901,
1902, 1908, 1920], Синков [1936, 1937, 1938] и Макбет [1967]. Дей-
ствительно, Дж. Миллер [1900] показал, что, за небольшими исклю-
чениями, каждая симметрическая или знакопеременная группа
может быть порождена элементом порядка 2 и элементом порядка 3.
На самом деле, Г. Хигман (не опубликовано; см. Дей и Уайголд
[1971]) доказал, что, с очень небольшим числом исключений, каждая
знакопеременная группа может быть порождена элементом порядка 2
и элементом порядка 3, причем их произведение — элемент поряд-
ка 7; эти группы, таким образом, являются факторгруппами зна-
менитой треугольной группы (2, 3, 7) с представлением G= (х2=
=у3= (хг/)’ = 1). (Мы вернемся к этим треугольным группам в
разд. II 1.7.) С этими группами связаны группы (/, т, п\ р) с пред-
ставлениями xl.=ym= (xy')n=[x, у\Р = \-, последние изучались Бра-
хана [1931], Кокстером [1940] и Синковом [1937]; см. также Макбет
[1961] и Лич [1965].
Ранги групп фуксова типа, нециклических групп G=(a1,...,
ag, bi,..., bg, xt,..., Xp, .., x^p, x^ .. xpQ), где Q=lalt ftj...
... [ag, bg], также определены. Если p=0, то из рассмотрения
факторгруппы по коммутанту очевидно, что r(G)=2g. Если р>0, то
понятно, что один из порождающих может быть удален преобра-
зованиями Тице, откуда г (G)<2g+р—1; Цишанг [1970] показал,
что равенство имеет место при g>0, а также и в большинстве слу-
чаев, когда g=0. Бернс, Каррас, Петровски и Пужицки (не опубли-
ковано) заметили, что если g=0, р четно и/п,=.. .=тр_1=2, а тр
нечетно, то r(G)=p—2. Печиньски, Розенбергером и Цишангом
[19751 было показано, что это единственные исключения: во всех
остальных случаях при g=0 имеем r(G)=p—1.
Значительное внимание было уделено нахождению компактных
2. Конечные представления
133
представлений для классических линейных групп над конечными
полями и специальными кольцами; см. Бер и Меннике [1968]; Кне-
зер [1964]; Меннике [1967]; Цассенхауз [1969]; Санди [1972].
Для данного конечного множества S порождающих группы G
можно рассматривать всевозможные представления G=(X; R),
в которых X находится во взаимно однозначном соответствии с S;
при этом естественно спросить о наименьшей величине для /п=|/?|.
Если (X; /?)=1, то, факторизуя F по коммутанту, можно заметить,
что обязательно т^п, причем при R=X это значение т=п дости-
гается. Эндрюз и Кертис [1965, 1966] предположили, что если три-
виальная группа имеет сбалансированное представление, т. е. (X;
/?)=1, m=n конечны, то R можно перевести в X последователь-
ностью преобразований, каждое из которых является либо элемен-
тарным нильсеновским преобразованием, либо состоит в замене
некоторого элемента сопряженным. Эта проблема широко изучалась
Рапапорт [1964, 1968, 1968, 1973]. Рапапорт [1973] отмечает связан-
ную с упомянутой проблему Вальдхаузена: если G=(X; R) — ко-
нечное представление, в котором ri>r(G), верно ли, что нормальное
замыкание для R в F обязательно содержит некоторый базисный
элемент группы F.
По аналогии с коммутативным случаем возникла следующая
проблема. Для данного конечного представления G=(X; R) группы
G, в котором ш = |/?|^п=|Х|, определим дефицит d равенством
d—n—т. Верно ли, что некоторое подмножество Хо мощности d
из X отображается в G на базис некоторой свободной подгруппы? х)
Если d=0, то утверждение тривиально. При d=l факторгруппа
G/[G, G] является конечно порожденной бесконечной абелевой груп-
пой, поэтому образ некоторого х из X обязан иметь бесконечный
порядок, т. е. составлять базис для свободной группы ранга 1.
Тривиально утверждение и в другом крайнем случае, когда d~n,
т. е. когда R пусто. Если d=n—1, т. е. когда R состоит из одного
определяющего соотношения, заключение вытекает из теоремы о
свободе (см. ниже предложение 5.1). Первый случай, когда вопрос
остается открытым,— случай группы G=(x!, х2, х3, х4; г1( г2); верно
ли, что образы некоторых хг и xj порождают в G свободную под-
группу ранга 2? Один результат Штаммбаха [1968] дает достаточные
условия для положительного ответа в общем случае.
Внимательно изучался вопрос о связи между п=|Х| и т=\
в случае, когда G=(X; R) — конечная группа. Понятно, что обя-
зательно т^т, причем каждая циклическая группа имеет пред-
ставление, в котором т=п—\. Представление называется мини-
мальным, если п — наименьшее возможное, т. е. n=rank (G). Фрухт
[1955] показал, что среди абелевых групп лишь циклические обла-
дают минимальным представлением, в котором т=п. Б. Нейман
Верно, см. Романовский [1977*].— Прим, ред.
134 Гл. II. Порождающие и соотношения
11956] (см. также Кокстер, Мозер [1965, стр. 11]) нашел минимальное
представление для диэдральных групп порядка 26 в случае, когда
число k нечетно; И. Джоунз [1969] показывает, что в случае четного k
необходимы три соотношения. Б. Нейман [1956] построил семейство
конечных групп, обладающих минимальными представлениями,
для которых m=n=2. Шур [1904] показал, что мультипликатор
конечной группы с т—п тривиален, а Б. Нейман [1956] выдвинул
гипотезу, что верно и обратное; эта гипотеза была опровергнута Суо-
ном в работе [19651. Меннике [1959] построил семейство ко-
нечных групп, обладающих минимальными представлениями с
m=n=3. Пусть G= (xj, х2,х3;л, г2,г3), где rl=xi+1xixi+lXiaw,
причем индексы берутся по модулю 3. Группа G тривиальна при
t=—1, +1 и бесконечна при t——2, 0; в остальных случаях G
конечна и имеет ранг 3. Макдональд [1962] продемонстрировал класс
конечных групп вида G= (a, b; с~1ас=а, c~1bc=b), где с=[а, Ы,
т. е. для которых m=n=2; Уомсли [1974] показал, что для такой
группы G и нечетного простого числа р максимальная р-фактор-
группа группы G—конечная р-группа с т=п^.2. Другие группы
с т=п=2 были построены Шенкманом [1967]. Меннике [1959] пред-
положил, что для минимального представления конечной группы не
может быть m=n=3, причем должно выполняться т^п(п—1)/2.
Однако Кострикин в 1964 г. (см. Хупперт [1967, стр. 402])
для п, равного любой степени числа 2, построил р-группу, допускаю-
щую минимальное представление с п порождающими и т= (Зп2+
+6п)/8 соотношениями; позже [1969] он улучшил этот результат
до /п= (п2+3п—1 )/3. Он заметил (не опубликовано), что если опре-
делить у как минимум чисел т!пг для минимальных представлений
конечных групп, то по приведенному результату у^Д/3, в то время
как по результату Голода и Шафаревича [1964] имеем y^l/41).
(Заметим, однако, что Голод и Шафаревич определяют пг как число
определяющих соотношений группы G как про-р-группы, т. е. как
размерность пространства H2(G, Z/pZ).) Фактически Голод и Шафа-
ревич показали, что для конечной группы т^(п—1)2/4; Акагава
[1968] улучшает этот результат для конечных р-групп, показав, что
в этом случае т^Ур/ (р+\)п(п—1)/2.
Дефицит конечного представления G=(X; R) определяется как
d=n—т=\Х\—1/?|. Предположим, что нормальное замыкание мно-
жества R не является замыканием менее чем т элементов. Согласно
Баумслагу и Солитэру [1962], одно время существовала гипотеза,
что для данной группы G дефицит постоянен для всех представлений,
удовлетворяющих этому дополнительному предположению, или по
крайней мере для всех минимальных представлений, удовлетворяю-
Ч Как сообщил А. И. Кострикин, в препринте Wisliceny доказано, что
ассимптотически это соотношение равно J/4,— Прим, перед.
2. Конечные представления
135
щих этому предположению, причем даже была попытка доказать эту
гипотезу (Петреско [1955]). Однако Г. Хигман заметил, что нехоп-
фова группа Баумслага — Солитэра G=(x, у, х~1у2х=у3), разу-
меется, имеющая ранг 2, порождается также элементами х и z=yi,
но в этих порождающих не может быть определена одним соотноше-
нием.
□ Дадим доказательство этого факта. Пусть F — свободная группа
ранга 2 с порождающими х и у. Положим г=у3х~1у~2х и обозначим
через W нормальное замыкание для г в F, а через <р — каноническое
отображение из F на F/N=G. В группе G имеем
1у*, х\=у-*х-гу*х=у-*у3=у3
(иными словами, выписанные элементы из F имеют равные образы
в Gi и
[[г/4, xl, х]~у~2х~1у2х=у~2у3=у,
откуда следует, что G порождена (образами) элементов х и г=у\
Пусть z}; тогда ограничение фх гомоморфизма ср на Ft
отображает А на G. Предположим, что ядро гомоморфизма
является нормальным замыканием одного элемента s=s (х, г) группы
Ft, и выведем отсюда противоречие.
Пусть F — нормальное замыкание элемента у в F; тогда базисом
группы F является совокупность элементов у1=х~1ух{, i£Z. Оче-
видно, что N содержится в F и является нормальным замыканием
в F элементов rt=ys{yi-^, i£Z. Более того, F^FifyF обладает
базисом, состоящим из элементов z;=r/4, так что Л\ содержится в
Fj и является нормальным замыканием элементов sp=x~lsxl. За-
меняя элемент s подходящим сопряженным, можно предполагать,
что s=s(z0, ..., zft) для некоторого в этом случае элементы
st получаются подстановкой: 5г=$(гг, ..zi+k).
Поскольку в G выполняется соотношение t/la=x“lt/8x, элемент
U==zjzf2 группы Fi лежит в Л^. Будем использовать теорему о
свободе (П.5.1) в ступенчатой форме. Поскольку и лежит в нор-
мальном Замыкании Nt элементов в группе Ft и содержит только
?о и zlt то он является следствием только соотношения s0, a s0 вклю-
чает в себя самое большее z0 и zlt т. е. й=1 и s0=s(z0, Zj). Применим
теорему о свободе еще раз. В группе F, базис которой составляют
yi, элемент s0=s(z/J, yf) является следствием элементов г^^ур^,
откуда вытекает, что s0 является следствием только г0. Другими
словами, в группе Н= (у0, уг; yl^yl) выполняется соотношение
s(z0, Zi); нетрудно понять, что любое соотношение между элемен-
тами z0=t/J и Zi=z/f в этой группе является следствием соотношения
z%=z2. Итак, в группе Л элемент s (z0, Zi) является следствием эле-
мента u=z^! 2. Тем самым показано, что в группе 7t элемент и
136
Гл. II. Порождающие и соотношения
является следствием элемента s0, и наоборот. Обращаясь еще к
одной теореме Магнуса (II.5.8), мы получаем, что s=se сопряжен
в Flt а значит, и в Л с элементом и или обратным к нему. Поэтому
Mi также является нормальным замыканием элемента и.
Чтобы получить противоречие, остается показать, что не каж-
дое соотношение между элементами х, г, которое выполняется в
группе G, является следствием соотношения и-- z'tx~'z~ix. Мы
видели, что в G выполняется соотношение y=[z, х, xl. Поэтому
выполняется и соотношение z=[z, х, х]4; покажем, что именно это
соотношение не вытекает из и. Переходя к zb нам нужно показать,
что элемент v=z^ (z^z^z^ не является следствием элементов
Из предположения, что v является следствием элемен-
тов Si, вытекало бы, снова по теореме о свободе, что v является
следствием только s0 и si, т. е. что v представляет тривиальный
элемент в группе R= (z0, zlt z2; 4=z?, zf=z£). Однако К является
свободным произведением с объединенной подгруппой (см. ниже
IV.2) циклической группы (z0; 0) и группы /С2= (zi, z2; Zi=z|),
причем объединяются циклические подгруппы Li и Ь2 с порож-
дающими z® и zj путем отождествления порождающих. Слово v
может быть записано в виде n=z^1-z1- (z0- (z1“1z2zr1))3-z0- (zj^Za),
причем выделенные сомножители лежат попеременно в Лл и /С2,
но не в Li или L2. Из теоремы о нормальной срорме для свободного
произведения с объединенной подгруппой (III.2.5) вытекает, что
в К. □
В качестве следствия более сложного результата Рапапорт [1964]
получает, что если свободная группа F ранга г имеет конечное
представление F~ (X; 7?), то d=|X|—|/?|=г; в этом можно убе-
диться переходом к факторгруппе по коммутанту. Она устанав-
ливает также, что, если некоторая группа G имеет конечное пред-
ставление G— (X; г) с одним определяющим соотношением, то для
любого конечного представления G=(X'; R') той же самой группы
d' = |X'|—\=d= |Х|—1. В частности, привлекая соображения
симметрии, видим, что два представления одной и той же группы,
каждое с одним определяющим соотношением, обязаны содержать
одно и то же число порождающих. Ею приведен следующий пример.
Пусть Сг—(Xi, Ri), G2=(X2; R2)— конечные представления;
предполагая, как обычно, XinX2=0, видим, что их свободное
произведение G имеет представление G=(X1uX2; Т^иЯг). В ее
примере ни одна нормальная подгруппа V,, порожденная множест-
вом Ri в Ft, не является нормальным замыканием менее чем тг —
= |7?tl элементов, однако нормальная подгруппа N, порожденная
в F множеством Ri |J R2, является нормальным замыканием менее
чем m1+m2^=\Ri U AM элементов (F— свободная группа с базисом
XiU^Q- Она приводит также пример конечного представления
G= (X; R), в котором нормальное замыкание множества R не яв-
2. Конечные представления
137
ляется замыканием менее чем /и=|/?| элементов, однако при этом
существует представление G= (X |j {х}; R'), где х(£Х, элементы из
X представляют одни и те же элементы из G в обоих представлениях
и |Л'1=иг.
Магнус [1939] доказал, что если группа G имеет конечное пред-
ставление G= (X; R), такое, что d=|X|—|/?|=r(G), то это свободная
группа; Штаммбах [1967] нашел новое доказательство.
Дальнейшее изучение дефицита производилось в работах Грюн-
берга [1970] и Уомсли [1970, 1973].
Хигман, Б. Нейман и X. Нейман [1949] показали, что каждая
группа G с конечным представлением G= (X; R) может быть вло-
жена в группу G'=(X'; Д'), такую, что |Х|=2 и |Д'] = |Д|.
Если G=F/N, где F— свободная группа, то, вообще говоря,
не любой автоморфизм группы F оставляет X на месте. Те же, что
оставляют, индуцируют автоморфизмы группы G, однако, вообще
говоря, не любой автоморфизм группы G индуцируется некоторым
автоморфизмом группы F. Розенбергер [1972] называет представ-
ление G= (X; Д) квазисвободным, если Aut (А) естественным образом
отображается на Aut (G), т. е. если любой автоморфизм группы F
оставляет N на месте и любой автоморфизм группы G индуцируется
некоторым автоморфизмом группы F. Он показывает, что если G
не является свободной группой, то представление G= (X; г) этой
группы с одним определяющим соотношением квазисвободно в
том и только том случае, когда оно имеет вид G— (х; хп), причем
п=2, 3, 4 или 6, либо G— (х, у, [х, г/]") для некоторого и#=0. Он
замечает, что обычное представление четверной группы G— (ха, у2,
(хг/)2) является квазисвободным. Он выводит также из результатов
Андреадакиса, Бахмута и Чина (см. 1.4) квазисвободность естест-
венных представлений групп F/F2, F/Fs и F/F"(F')!>, где р — про-
стое число; в то же время естественные представления для F/F"
и F/Fn, п^З, где F — свободная группа ранга не менее 2, не яв-
ляются квазисвободными.
Розенбергер [1972] называет представление почти квазисвобод-
ным, если любой автоморфизм группы G индуцируется некоторым
автоморфизмом группы F. Нильсен [1918] показал, что представ-
ление G=-([«!, бх].. .[ag, bg]) или G= (cj, ..., с2) фундаментальной
группы G замкнутого 2-многообразия является почти квазисвобод-
ным. Розенбергер [1972] показал, что если соотношение Q в первом
(ориентируемом) случае заменить на Qk, то вывод сохраняется;
см. также Лужицки [1972]. Цишанг [1970] показывает, что в этом
случае любое представление G= (X; г) группы G с одним опреде-
ляющим соотношением может быть приведено к данному канони-
ческому виду некоторым автоморфизмом, индуцированным авто-
морфизмом группы F; если |X|=2g, то при Х'= (й1....ag, blt ...,
•.., bg) существует автоморфизм группы F, переводящий X в X'
и г в Q. Печиньски [1973] устанавливает тот же самый результат
138
Гл. II. Порождающие и соотношения
во втором (неориентируемом) случае. Цишанг получает аналогич-
ный результат для фуксовых групп G= (х?>, ..х$р, Xi ... xpQ)
в предположении, что |X|^2g+p. Розенбергер [1974] доказывает
аналогичный результат в случае, когда р>0, для представлений
с 2g+p—1 порождающими. Из него следует, что все возникающие
при этом представления квазисвободны.
Несмотря на наличие теоремы Магнуса (II.5.8) о том, что rt
и г2 имеют одно и то же нормальное замыкание в группе F с бази-
сом X в том и только том случае, когда сопряжено с г2 или с г2 \
неверно, что два представления Gj = (X; rj и G2= (X; г2) опреде-
ляют изоморфные группы в том и только том случае, когда сущест-
вует автоморфизм группы F с базисом X, переводящий /д в г2 или
г2х. Контрпримеры были независимо найдены Маккулом и Пет-
ровски [1971] и Цишангом [1970]. Маккул и Петровски рассматри-
вают семейство групп, впервые появившееся у Шрайера [1924],
именно групп вида Gktl=(x, у, xk=yl), k, 1>0. Коротким остроум-
ным вычислением с использованием преобразований Тице они
показывают, что если l=pt+2 для некоторых р>0 и £>1, то Gkl
также обладает представлением Gfti г = (х, у; у= (xky~tjp). Далее
любое преобразование Уайтхеда, за исключением перестановок
(см. 1.4), увеличивает длину как rt=xky~l, так и г2=у(хку~г)Р-,
по предложению 1.4.17 отсюда следует, что никакой автоморфизм
свободной группы F с базисом х, у не может перевести гг в г2 или
Г71-
В связи с этими фактами см. Мецлер (препринт); ср. также
с приведенным ниже предложением 5.8.
Прайд [1974] показал, что представление G— (a, b, t\ ип=\,
t~lat=bn), где п^2, е=±1, а и — некоторое слово, содержащее
и а и & с положительной экспонентой, является квазисвободным.
Это включает в себя случай групп G— (la, 1]п), п^2, изученных
Пужицки и Розенбергером, а также групп G— ((t~1a2ta~3)n), где
п^2. Для n=l G является нехопфовой группой Баумслага —
Солитэра. Браннер [19741 изучал эти группы при п—1. Он заметил,
что для всех т^О пара а2т, b порождает G, что определяет ото-
бражение <рт из F, свободной группы с базисом х, у, на G, перево-
дящее х в а2т и у в Ь, причем его ядро — некоторая подгруппа
Nm. Он показывает, что если т=?=т', то не существует автоморфизма
а группы F, такого, что <pm—aqv. Для каждого т подгруппа Nm
является нормальным замыканием двух элементов х-1[х, у2] и [х,
у~тхут]\ при пг—\ второй элемент — лишний, а при т=2, как
показал Хигман (см. выше), Х2 не является нормальным замыка-
нием одного элемента. Данвуди и Петровски [1973] показали, что
группа трилистника G= (a2=b3) имеет бесконечное число пар по-
рождающих, неэквивалентных в предыдущем смысле, и что по
меньшей мере относительно одной из этих пар G не может быть
определена одним определяющим соотношением. Некоторые основ-
2. Конечные представления
139
ные идеи, используемые при этом, можно найти в работе Б. Ней-
мана и X. Нейман [1951].
Серр [1974] называет группу когерентной, если каждая ее
конечно порожденная подгруппа конечно представлена. Дж. Скотт
[1973] показал, что фундаментальная группа любого замкнутого
3-многообразия является когерентной. Серр задает вопрос о коге-
рентности групп SL(3, Z), GL(n, Q), SL(n, F[/]), SL(n, F[Z, Z-1]);
здесь F — конечное поле, Я/] — кольцо многочленов над F от
переменной t, a F[i, Я1] — кольцо «L-многочленов» (многочлены
Лорана) вида t~kp (t), где р (t) — обычный многочлен. Заметим, что,
как известно, группы GL(n, Q) и SL(n, Z) не являются когерентными.
Некоторые группы обладают представлением G= (X; R), таким,
что X инвариантна относительно некоторой подгруппы группы
Aut (F), индуцированной подгруппой симметрической группы Р
множества X; в этом случае можно предполагать, что Р оставляет
R на месте. В II.6 мы рассмотрим случай Х=(хг; tgZ), причем
Р — группа сдвигов хг|—>xi+p. Понятно, что симметрическая группа,
знакопеременная группа и некоторые другие группы, возникаю-
щие в геометрических ситуациях, естественным образом допускают
представления, являющиеся симметрическими в этом смысле.
Случай, когда R состоит из одной орбиты, был рассмотрен Эмерсоном
[1969]. Если дано такое симметрическое представление, то ясно,
что Р действует как группа автоморфизмов группы G. Если Р имеет
представление Р= (Г; Q), то понятно, что расщепляемое расширение
Н группы G при помощи Р имеет представление Н= (Y U Xf, Q и Ri),
где Xi — множество представителей орбит множества X относи-
тельно действия группы Р, a Ri получается в результате выраже-
ния представителей орбит множества R относительно Р через эле-
менты из Xi и их сопряженные под действием элементов из Р.
Таким образом, если G= (Xi, ..., xn; rlt ..., rn) и перестановка
b; Xi и-> xl+1 (индексы берутся по модулю п) переводит г} в rJ+i, то
Н обладает представлением H=(xlt b\ bn=\, w(xu b)°=l), где w—
некоторое слово, сумма показателей которого относительно b
равна 0.
Конвей [1965, 1967] ввел семейство групп Fn, обладающих сба-
лансированными представлениями вида
Fn^ (xlt ..., хп; XiX2-=x8, ..., х„_1х„=х1, xnxi=xa);
мы называем их группами Фибоначчи. Нетрудно показать, что Я, • • •»
..., Я имеют порядки 1,1, 8, 5, 11. Кокстер и Мендельсон (см.
Конвей [1967]) показали, что группа Я бесконечна, а Мендельсон
показал, что Я бесконечна. Конвей [1967] доказал, что Я беско-
нечна для достаточно больших п, а Линдон (не опубликовано)
средствами теории малых сокращений установил, что Я бесконеч-
на для всех п^Н. Джонсон [1974] ввел более общий класс групп
Я, (^1» • •Xni xixl+i ••• xl+r-l~xl+r’ 1 mod п).
140
Гл. II. Порождающие и соотношения
Имеем F2,n=Fn- Он показал, что F3ti бесконечна, a F5i 5 имеет
порядок 22; в то же время Кемпбелл (см. Джонсон [1974]) показал,
что F3t в имеет порядок 23337, и нашел ее силовские подгруппы.
Дальнейшее изучение этих групп см. в работе Джонсона [1976].
Минимальная мощность множества R с нормальным замыканием
N для свободной группы G— (X; R) при данном X является, веро-
ятно, не слишком четким способом измерения величины удаления
группы G от свободной группы F с базисом X, поскольку сущест-
вуют различные способы определения зависимости или частичной
сводимости множества R соотношений. Обсуждение одного из ас-
пектов этого вопроса в духе теоремы о свободе и близких к ней
вопросов дано в работе Линдона [1962]. Другой, при этом весьма
плодотворный способ определения меры независимости множества
соотношений дается теорией малых сокращений-, см. гл. V. Третий
способ выяснения зависимости соотношений состоит в рассмотрении
числа существенно различных путей, которыми может быть полу-
чена данная последовательность соотношений; точная форма этой
проблемы, рассматриваемая в П.З, ведет к понятию когомологи-
ческой размерности. Мы вернемся к одному из аспектов данного
подхода в следующем абзаце, а через абзац будет рассмотрен еще
один способ подхода к этой проблеме. Взаимоотношения между
этими подходами в настоящее время еще далеко не ясны.
Суон [1965] рассмотрел обобщение понятия дефицита пред-
ставления. Предположим, что группа G имеет свободную резоль-
венту (см. П.З)
—> Л4„Л40Z0,
в которой Mi — свободные ZG-модули конечных рангов /г. Он
рассматривает знакопеременную сумму рп=/о—А+-. •+ (—l)nfn-
В частности, если G имеет конечное представление G— (X; R), то
можно положить /Ь=1, Д=|Х|, откуда р0=1, pi=l—|Х|
и р2=1—|Х|+|7?| = 1—d, где d — дефицит представления. Далее,
fs — мера сферичности представления (см. III.11), т. е. мера зави-
симости между соотношениями, и в этом смысле р3=1—d+f3 дает
поправку первого порядка d'=d—f3 к предыдущему определению
дефицита. Суон получает обширную информацию о связях между
возможными значениями этих инвариантов резольвенты, однако,
к сожалению, эти результаты близки к завершенности лишь в
предположении о конечности группы G. Заметим, что именно в
этой статье можно найти упомянутый выше контрпример к гипотезе
Неймана, т. е. указана группа G= (X; R), для которой |/?|^|Х|,
но мультипликатор H2(G, Z) равен 0.
Уолл [1961] рассматривает случай, когда G имеет конечную
резольвенту, т. е. резольвенту, у которой Л4;—0 для всех i, больших
некоторого п. В этом случае инвариантом группы G является ха-
рактеристика Эйлера — Пуанкаре х(G)=f0—Д+.,.+ (—1)"/п. Серр
2. Конечные представления
141
[1969, 1971] распространяет это определение на случай групп Н,
содержащих подгруппу G конечной когомологической размерности
в определенном выше смысле, полагая %(Д) = |Д : G|-1%(G); он
замечает, что эта величина также является инвариантом подобной
группы И; им вычислена величина %(Н) для некоторых групп та-
кого типа. Каррас, Петровски и Солитэр [1974] аксиоматизируют
характеристическую функцию на классе С групп, инвариантном
относительно изоморфизмов, полагая, что если G и Н принадлежат
С и G имеет конечный индекс в Н, то %(G) = |/7 : G|%(/7). В част-
ности, если С содержит все конечные группы, то % (G) = 1/|G| для
конечной группы G; более того, если Н и две ее подгруппы конеч-
ного индекса Gi и G2 лежат в С, причем Gi и G2 изоморфны, то они
должны иметь один и тот же индекс. Характеристическая функция
Уолла удовлетворяет еще одной аксиоме: если Gr и G2 лежат в С,
в данном случае в классе всех групп конечной когомологической
размерности, то свободное произведение G=Gx*G2 также лежит в
С, причем х(С) = х(С!)4-х(С2)—1. Для класса С конечных расши-
рений конечно порожденных групп Столлингс (в печати) обобщает
эту формулу и получает ц (Gi*G2)=p (Gi)+p (G2)—ц(А) в случае
А
свободного произведения с конечной объединенной подгруппой А.
Каррас, Петровски и Солитэр находят обобщение результата Стол-
лингса, включающее в себя случай свободного произведения
с объединенной подгруппой в комбинации с HNN-расширением.
Эти результаты связаны с результатами Брауна [1974], Чизуэлла
[1976], Вердье [1973], а также с формулой Римана — Гурвица (см.
III.7) и ее обобщением, принадлежащим Хору, Каррасу и Солитэру
(в печати) и относящимся к случаю неевклидовых кристаллогра-
фических групп.
Милнор [1963] ввел понятие функции роста конечно порожден-
ной группы. Это понятие уже изучалось в частных случаях Краузе
[1953] и Сварком [1955]. Пусть X — конечное множество порож-
дающих группы G, т. е. G=F/N, где F — свободная группа с бази-
сом X. Для каждого натурального числа п пусть у(п) — число эле-
ментов группы G, которые могут быть представлены элементами w
из F, такими, что |ю|^/г. Если выбрано второе конечное множество
X' порождающих группы G, то функции у и у' эквивалентны в сле-
дующем смысле: существуют натуральные числа k и k', такие, что
для всех п имеем у(п)^.у' (kn) и у' (n)^.y(k'n). Милнор спрашивает,
верно ли, что любая функция у всегда эквивалентна в этом смысле
многочлену от п или экспоненциальной функции от п. Он предпо-
ложил, что у растет как многочлен в том и только том случае, когда
G содержит нильпотентную подгруппу конечного индекса. Во
второй статье [1968] он замечает, что величина у(п)’/п всегда схо-
дится к некоторому числу а из интервала l^nCoo и что у экспо-
ненциальна, когда а>1. Он устанавливает связь, возникшую при
142
Гл. II. Порождающие и соотношения
рассмотрении этих идей, между кривизной риманова многообразия
и степенью роста его фундаментальной группы. Он приводит не-
которые примеры и связывает общее понятие с результатами Ке-
стена [1959] о собственных значениях случайных блужданий на
группе. Вулф [1968] продолжает изучать связи между кривизной
и степенью роста и, кроме того, показывает, что если группа G
обладает конечно порожденной нильпотентной подгруппой конеч-
ного индекса, то она растет как многочлен, а также, что если в
полициклической группе G нет конечно порожденной нильпотент-
ной подгруппы конечного индекса, то ее рост экспоненциален. Мил-
нор [1968] показывает, что неполициклическая разрешимая группа
имеет экспоненциальный рост, доказывая тем самым свою гипо-
тезу для всех конечно порожденных разрешимых групп.
Жюстен [1971] показал, что если функция роста конечно порож-
денной группы или подгруппы удовлетворяет условию y(ti)<Zn (п+
+3)/2, то эта функция удовлетворяет условию y(ti)<Zkti для неко-
торого k. Адян [1975] показал, что свободная бернсайдовская группа
В (т, п) экспоненты пет порождающими имеет экспоненциальный
рост. Дальнейшие результаты о функции роста см. в работах Басса
[1973].
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений,
связи с когомологиями
Мы уже отмечали, что благодаря основной теореме о конечно
порожденных абелевых группах структура такой группы может
быть восстановлена по матрице соотношений, связанной с каким-
либо представлением этой группы как абелевой группы с конечным
числом порождающих и определяющих соотношений. Аналогичные
методы не столь легко приложимы к неабелевым группам, а резуль-
таты, получаемые с их помощью, не так полны. Тем не менее один
метод такого рода, введенный Фоксом, был с успехом использован
при изучении групп узлов и зацеплений. Детальное рассмотрение
проведено в книгах Кроуэлла и Фокса [1967] и Бирман [1974].
Мы дадим обозрение некоторых основных идей.
Пусть F — свободная группа с базисом X и ZF — групповое
кольцо группы F над кольцом целых чисел Z. Для каждого х £ X
свободная производная д/дх: ZF-+ZF была описана в 1.10; эти
производные характеризуются тем, что д/дх — производная и ду/дх=
~^ху (дельта Кронекера), у б X, либо тем, что верна формула (*)
(*) ш-i = У ^(x“i)’ weF-
хе X
Пусть G = (X; /?); будем обозначать буквой ср как канониче-
ское отображение из F на G=-F/N, так и индуцированное им
отображение из ZF на ZG. Запишем G — G/[G, G] и обозначим
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений
143
через <р индуцированное отображение из ZF на ZG. Мы будем
использовать одну и ту же букву w для обозначения как неко-
торого элемента свободной группы F, так и его образов в G и
G, если из контекста ясно, об элементе какой группы идет речь.
Матрицей Якоби представления называется матрица
т ( дг, \
J = ТтЛ <Р
дх/Щ
с элементами из кольца ZG; обычно бывает удобнее перейти к
профакторизованной матрице Якоби J = (drjdxj) ф над коммута-
тивным кольцом ZG.
Как обычно, мы определим детерминантный идеал Dt порядка i
матрицы J как идеал кольца ZG, порожденный всеми минорами
i-го порядка этой матрицы. Легко проверить, что конечная по-
следовательность детерминантных идеалов Z\, D2, ... не изменя-
ется преобразованиями Тице, может лишь удаляться или встав-
ляться единичный идеал в качестве Di. Таким образом, по пред-
ложению 2.1 нетривиальная часть последовательности Dlt D2, ...
является инвариантом группы G. Эта теория возникла в случае,
когда G является фундаментальной группой дополнения к узлу в
3-пространстве; в этом случае G — бесконечная циклическая группа
с порождающим, скажем t, а наивысший отличный от нуля детер-
минантный идеал является главным идеалом, образующий (со
старшим коэффициентом 1) которого есть некоторый многочлен от t,
называемый многочленом Александера данного узла.
Дадим краткий очерк связей этих идей с теорией когомологий;
более детальное изложение см. у Грюнберга [1970].
Продолжим использование введенных выше обозначений. Три-
виальное отображение е: G->1 индуцирует пополняющее отображение
е: ZG->Z, ядром которого является пополняющий идеал Ко (или
фундаментальный идеал) кольца ZG. Легко видеть, что для и=
=^gg б ZG (cg £ Z, g£G) иг равно 2cg> сумме коэффициентов
элемента и, и что Ко порожден элементами х—1, х £ X. На самом
деле из формулы (*) видно, что Ко порожден элементами х—1 как
левый идеал кольца ZG. Если мы рассмотрим ZG как (свободный)
левый ZG-модуль Мо, то Ко — его подмодуль. Пусть Mi — свобод-
ный левый ZG-модуль, базисом которого является множество эле-
ментов бх, находящихся во взаимно однозначном соответствии с
элементами х базиса X; определим отображение dx: Mt-^M2, по-
лагая dr. 6xi——1. По построению di отображает Mt на Ко- Не-
трудно заметить, что ядро Kt отображения di есть подмодуль мо-
дуля Mt, состоящий из всех элементов бг= 2 (дг/дх)дх, где r£N,
причем Kt порожден элементами бг, где г £ К. Пусть М2 — свобод-
ный левый ZG-модуль, базисом которого является множество эле-
ментов г, находящихся во взаимно однозначном соответствии с
144
Гл. II. Порождающие и соотношения
элементами г из /?; определим отображение d2: полагая
d2: r*—>8r. По построению d2 отображает М2 на КЛ. Об интерпрета-
ции его ядра К2 мы будем говорить позже.
Итак, мы имеем последовательность левых ZG-модулей, которую,
разумеется, можно продолжить до бесконечности и получить при
этом свободную резольвенту
d$ dg d\ dQ
... —> M2 —* Mi —> Mo —> z
в следующем смысле: модули Л4,- — свободные ZG-модули и после-
довательность точна, т. е. для каждого i образ отображения di+i
равен ядру отображения Д- (в качестве d0 берется е).
По определению Ко = MjK^ где базисом для является
множество элементов 8xj, a Ki порожден элементами 8r t =
= 2 (dri/dXj) 8xj, где r; £ R. Таким образом, матрицу Якоби можно
рассматривать как матрицу соотношений левого ZG-модуля Ко, а
J— как матрицу соотношений левого ZG-модуля ZG(£)K0-
Можно показать также, что Ki=M2/K2=K/lK, К], где послед-
няя группа естественным образом наделена структурой ZG-модуля.
Назовем модуль N=N/[N, N] модулем соотношений данного пред-
ставления; если G=F/N, то понятно, что он зависит от F и N,
но не от выбора множества R. Этот модуль в значительной мере
также является инвариантом группы G (см. Линдон [1962]). Точнее,
если Л\ и М2 — два модуля соотношений, полученных из конечных
представлений одной и той же группы G, то существуют два свобод-
ных ZG-модуля Pi и Р2, таких, что М1фД.=М2ф^2- Очевидно,
что N порожден образами элементов г множества R. Грюнберг [1970]
показал, что если G — конечная группа и если и Уа — модули
соотношений, полученные из конечных представлений, таких, что
|Л’1| = |Х2|, то минимальное число порождающих одно и то же как
для Mi, так и для М2. Данвуди [1972] показал, что это утверждение
может быть неверным для бесконечных групп. Если G — группа
трилистника, G= (а2=й3), то ясно, что модуль соотношений Л\,
связанный с этим представлением, порождается одним элементом;
Данвуди указал второе представление G= (Х2; R2), в котором |Х2| =
= |/?2|=2, причем ассоциированный модуль соотношений М2 не
может быть порожден одним элементом. (Отсюда следует, что М2 не
является замыканием одного элемента; для сравнения см. Данвуди
и Петровски [1973].) В этом случае, согласно результату Линдона
([1950]; см. ниже II.5), Nt изоморфен ZG, свободному ZG-модулю
ранга 1; Данвуди доказывает, что M^ZG^M^ZG^ZG^ZG, так
ЧТО Nif проективен; он же показывает, что М2 не свободен, а также не
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений
145
может быть представлен в виде N ^ZG^M ни для какого модуля М.
Он показывает, что модуль соотношений М для представления
(7= (х, у; х6) может быть порожден одним элементом, не являющимся
образом никакого порождающего модуль N элемента, опровергая
тем самым одну гипотезу Уолла [1966].
Обратимся теперь к ядру К 2 отображения d2: M2-*Mi. Элементы
модуля М2 суть элементы вида гДе У; € ZG и £ Р. Нами
использована аддитивная запись, поскольку мы имеем дело с мо-
дулями, а также умножение на операторы слева (а не справа),
поскольку мы пользуемся формализмом, возникшим не в теории
групп, а в топологии. Сохраним запись операторов слева, но перей-
дем к мультипликативной записи, получая тем самым p=IJ7i'r/.
Значения щ/2 в K-l=N тогда приобретают вид р(12=Ц7'гг по модулю
[N, У1. (Здесь при с £ Z и g С G имеем {c^r=grcg~1, а смысл символа
V ясен из соображений линейности.) Таким образом, Х2 состоит из
тех р, для которых pd2=l и которые соответствуют «соотношениям
между соотношениями» вида 1р^гг=г1 (mod[M, ЛП), или, в явной
форме, вида IIg‘/“1C>gy=l (mod [У, У]), где gj£G, е,=±1. Они
обычно называются тождествами для соотношений-, мы вернемся
к ним позднее.
Заметим, что Оянгурен [1968] изучил действие группы G на N,
а также индуцированное им комплексное представление в случае,
когда G конечна.
Выписанная выше свободная резольвента, ассоциированная с
представлением, может быть использована для получения неко-
торой информации о когомологиях и гомологиях группы. К наи-
более важным общим формулам относится формула Хопфа: №(G,
Z)s(Xn[/?, Я)/[У, У] (Хопф [1942]; см. также Линдон [1950];
об этом и близких инвариантах см. также Оянгурен [1966], Стол-
лингс [1966], Штаммбах [1966]). С помощью этого метода удается
получить информацию о когомологиях свободного произведения
с объединенной подгруппой; см. Линдон [1950] и Суон [I960, 1969].
Если G=l, то получаем свободную резольвенту 0->-ZG=Z->-Z,
в которой Л41=0. Если G свободна, то она обладает резольвентой
0->.Vfi-»-M0=ZG->-Z, в которой Л42=0. Среди первых вычислений
в теории когомологий групп, произведенных в исходных статьях
Эйленберга и Маклейна [1949], были вычисления когомологий
для циклических групп. Используя методы Райдемайстера [1934]
и Магнуса [1930], Линдон обобщил их результаты на случай групп
с одним определяющим соотношением G= (X; г). Если г не является
собственной степенью в F, т. е. не представляется в виде r~sn, п>1,
то G имеет резольвенту 0->M2->-Mi->-Mo=ZG->-Z->l.
Группа G имеет когомологическую размерность п, cAG=n, если
она обладает свободной резольвентой, в которой Л4(=0 для всех
146
Гл. II. Порождающие и соотношения
1>п, но ни в какой резольвенте Мп не равен нулю. Из приведенного
выше замечания следует, что, если G= 1, то cdG=0, если G свободна
и нетривиальна, то cdG= 1, и если G определена единственным
соотношением, не являющимся собственной степенью, то cdG^2.
(Более глубокое определение условия cdG=n состоит в том, что п —
наименьшее число, такое, что Нп (G, М)=0 для всех ZG-модулей М.)
Очевидно, что из cdG=0 следует G=l. Знаменитой гипотезой стала
гипотеза Эйленберга и Ганеа [1957] о том, что если cdG== 1, то группа
G свободна; она была доказана Столлингсом [1968] для конечно
порожденных и Суоном [1970] для произвольных групп G. Группы
с cdG=2 изучены не полностью. Линдон [1950] показывает, что
если G определена одним соотношением, которое не является соб-
ственной степенью, то ее модуль соотношений N свободен и его
базисом является образ этого соотношения; в 1962 году он получил
обобщение этого результата. Серр [1971] спрашивает, верно ли, что
при cdG^2 группа G имеет представление, такое, что М свободен
и его базисом служат образы элементов из /?.
Если G=(X; г), причем г — собственная степень, то cdG=oo;
Линдон [1950] показал, что в этом случае имеет место обобщение
результата Эйленберга и Маклейна для циклических групп и G
имеет периодические когомологии: Hn+i{G, M)^Hn(G, М), п^2.
Геометрической размерностью gdG группы G называется наи-
меньшая размерность асферического клеточного комплекса, фун-
даментальной группой которого является G. Известно, что при cdG=/=
Ф2 имеем gdG=cdG, а при cdG=2 имеем gdG^2. Эйленберг и Мак-
лейн поставили проблему: верно ли, что из cdG=2 следует gdG=2;
Дайер и Васкес [1973] получили положительный ответ для групп
с одним определяющим соотношением.
Мы заметили ранее, что из таблицы умножения группы G по-
лучается представление, в котором X находится во взаимно одно-
значном соответствии с G, a R состоит из всех верных соотношений
длины 3. Свободная резольвента, естественным образом возни-
кающая из этого представления,— это и есть стандартная резоль-
вента Эйленберга и Маклейна. [Это замечание было использовано
Столлингсом [1968] для доказательства того, что каждая группа
обладает симплициальным комплексом Кэли (см. гл. III).]
Несколько иная резольвента была построена Грюнбергом [1960,
1967, 1970]. Пусть G=F/N, где F — свободная группа с базисом
X, и У — базис свободной группы N. Обозначим через F ядро по-
полняющего отображения из ZF на Z, а через 5? ядро естественным
образом возникающего отображения из ZF на ZG. Мы заметили,
что еГ как левый ZF-модуль свободен и его базисом служат все
х—1, х£Х\ Грюнберг показывает, что 5? как ZF-модуль свободен,
а его базисом служат у—1 для всех у £ У. Им доказана следующая
теорема.
4. Метод Райдемайстера — Шрайера
147
Предложение 3.1. Пусть G=F/N, a IF и 91 определены как
выше-, тогда G обладает свободной резольвентой вида
... — 5ВД8 —► F91F91IF912 91,/Я,2 -* <F/<F9l —> zg —z —> о. □
В связи с этим см. также работы Хьюза [1966] и Гильденхьюза
[1976].
4. Метод Райдемайстера — Шрайера
Важный результат Райдемайстера [1932] и Шрайера [1927]
позволяет из представления группы G и подходящей информации
о подгруппе Н этой группы получать представление группы Н.
Исходная теорема Райдемайстера отличается от того варианта,
который приводится нами, более слабой посылкой и более сложным
заключением; с другой стороны, Магнус, Каррас и Солитэр (стр. 93)
улучшили помещенные здесь результаты. Давно известно (см.,
например, Цишанг, Фогт, Колдьюи [1970]), что эти понятия имеют
естественную геометрическую интерпретацию.
Напомним (см. 1.3.8), что шрайеровской трансверсалью под-
группы Н свободной группы F с базисом X называется подмноже-
ство TsF, такое, что для различных t из Т смежные классы Ht
различны, объединение классов Ht равно F и каждый начальный
отрезок элемента из Т снова лежит в Т.
Предложение 4.1. Пусть G^F/N, F —свободная группа с ба-
зисом X, N — нормальное замыкание множества R в F, <р — кано-
ническое отображение из F на G. Пусть Н — подгруппа группы
G, И — ее полный прообраз в G относительно <р и Т — шрайеров-
ская трансверсаль для Н в F. Для данного w из F определим w£T
условием
Hw = Hw, w£T.
Для t£T и хб X положим
у (/, х) = tx (fx)-1, у (t, х-х) = tx~l (/х~х)~х = у (tx~', х)-1.
Тогда Н обладает представлением Н = (Х*\ R*} следующего вида.
Пусть XY состоит из всех элементов у(Сх)=/=1, где t^T,
х С X, Xi — множество элементов у (/, х)*, находящихся во взаимно
однозначном соответствии с аналогичными элементами из Хг, и
Ft — свободная группа с базисом Xi- Определим функцию х из F
в Flt полагая для w = yt.. .ytt, у^ХУдХ"1,
т (щ) = у (1, Z/J*... у (z/t..z/z)*... у (!/!...!/„-!, Упу.
Тогда R* состоит из всех т (/г/-1), где t^T и r£R.
□ В предложении 1.3.7 прямым применением метода Нильсе-
на было установлено, что —базис свободной подгруппы
148
Г л. II. Порождающие и соотношения
группы F. Это позволяет, не внося неясность, упростить обозна-
чения, отождествляя Х{ с Х1 и К с F^, таким образом, y(t, х)* =
= у(/, х). Еще одно прямое вычисление, проделанное ранее, по-
казывает, что т (да) = даю-1, откуда, в частности, при w € //имеем
т (да) = w. Далее = Я, а тогда из t £ Т, г С R вытекает trt~1 £ М
и = Поэтому s X, и, следовательно, нормальное
замыкание Л\ множества R± в Ft лежит в N. Для завершения
доказательства будет достаточно показать, что и, обратно, N s Л\.
Пусть w£N, тогда <о является произведением сомножителей р =
~иги~\ где u£F, r^R^1. Поскольку p^N^H, то т(р)=р.
Покажем, чтор£Л\. Еслии = /, то Hu — Ht, u = h.t для не-
которого h£H. Тогда р = от'1 = т(uru-1) = т(htrt~1h~1) =
= т (h) т (/Д-1) т (/i)-1 = hr h~x £ Л\. Поэтому □
Следующее предложение (Магнус, Каррас, Солитэр, [1974,
стр. 99]) немедленно вытекает из приведенного рассуждения.
Предложение 4.2. Пусть Н — подгруппа конечного индекса в
группе G. Если G конечно порождена, то и Н конечно порождена.
Если G конечно представлена, то и Н конечно представлена. □
В заключение этого краткого обсуждения заметим, что преоб-
разование т из свободной группы F с базисом X в свободную группу
F* с базисом X* является первым примером того, что Магнус, Кар-
рас и Солитэр назвали переписывающим процессом', этот процесс
употребляется ими в значительно более общей ситуации.
5. Группы с одним определяющим соотношением
Группы с одним определяющим соотношением G= (X; г) при-
влекли к себе большое внимание. Исторически впервые ими заин-
тересовались по-той причине, что таковы фундаментальные группы
2-многообразий. Эти группы представляют собой также естественное
расширение класса свободных групп, с которыми они обнаружи-
вают определенное сходство; выяснилось, что в определенной сте-
пени они допускают явное описание.
Наиболее ранние результаты, относящиеся к классу всех групп
с одним определяющим соотношением, были доказаны Магнусом
более или менее единообразным методом. Этот метод использовал
индуктивное рассуждение, которое требовало перехода к более
широкому классу групп. Определим ступенчатое представление
G= (X; R) следующим образом. Прежде всего допустим, что /=Z
или / = {1, 2, . .., п} и что Y — подмножество в X, являющееся
объединением непересекающихся множеств Yt, i£l. Пусть R —
— {гр, где J— линейно упорядоченное множество и каждое
Г; циклически приведено и содержит некоторый порождающий из
Y. Для каждого г3 обозначим через а> наименьший индекс i, такой,
5. Группы с одним определяющим соотношением 149
что г, содержит порождающий из Y t, а через <о} — наибольший
такой индекс i. Представление будет называться ступенчатым, если
из /</г следует и
Ступенчатые представления интересны не только в связи с той
ролью, которую они играют в проведении индуктивных рассужде-
ний, но также и потому, что многие свойства, которыми обладают
группы G; = (X; rz) с одним определяющим соотношением, остаются
верными и для них. Такие результаты, а также дальнейшее обоб-
щение понятия ступенчатого представления можно найти в работе
Линдона [19621.
Очень сильный метод Магнуса сопряжен тем не менее с боль-
шими вычислениями. Некоторые из результатов, полученных этим
методом, можно получить, и даже в большей степени общности,
более прозрачными методами. Однако имеются и результаты, для
которых иных доказательств не найдено. По этой причине мы фор-
мулируем ряд утверждений о группах с одним определяющим соот-
ношением, а также о группах со ступенчатым представлением, не
приводя их доказательств в этом разделе. В следующем разделе
будут приведены два важных результата, иллюстрирующих маг-
нусов метод доказательства.
Первый общий и притом один из наиболее поразительных и
наиболее полезных результатов о группах с одним определяющим
соотношением — это теорема о свободе, сформулированная Дэном
и доказанная Магнусом [1930]. Несколько иное доказательство
можно найти у Линдона [1972], см. также Шупп [1976]. Эта теорема
является аналогом очевидного факта из линейной алгебры; ка-
жется, ее название произошло из такой формулировки. Пусть
G= (X; г) и соотношение г, которое можно считать циклически при-
веденным, содержит элемент х из X. Тогда (образ множества) X—х—
базис свободной подгруппы группы G. Дадим теперь формулировку,
которая, очевидно, эквивалентна приведенной.
Предложение 5.1. Пусть F — свободная группа с базисом X
иг — циклически приведенный элемент группы F, который содержит
некоторый порождающий х из X. Тогда каждый нетривиальный
элемент из нормального замыкания элемента г в F также содержит
х. □
На самом деле из доказательства Магнуса получается следую-
щий более общий результат.
Предложение 5.2. Пусть (X; R)—ступенчатое представление
(в тех обозначениях, в которых оно введено выше). Предположим,
что некоторое следствие w множества R содержит порождающие
У из Yi только для i из некоторого интервала a^i^co. Тогда w
является следствием тех г}, которые содержат порождающие у
щ Yi лишь для I, лежащих в том же интервале. □
150
Гл. II. Порождающие и соотношения
Непосредственным следствием теоремы о свободе является
положительное решение проблемы простого присоединения корней
в случае свободных групп (1.6).
Предложение 5.3. Пусть F — свободная группа, viy....wn —
нетривиальные элементы этой группы и alt .... ап — ненулевые
целые числа. Тогда группу F можно вложить в группу G, содержа-
щую элемент g, такой, что Wiga', ..., wnga”=l.
□ Пусть F — свободная группа с базисом X; эту группу можно
вложить в свободную группу Fi с базисом Х^Х и {-О, причем
можно предполагать, что х(£Х. Пусть r=w1xa^, ..., wnxa" — эле-
мент группы Fi, X — нормальное замыкание этого элемента в Fj
и <р — каноническое отображение из Ft на G=F1/X. Понятно, что
г циклически приведено и зависит от образующего х группы Fb
По теореме о свободе имеем N П F=l. Однако в этом случае ф ото-
бражает F изоморфно в G, причем элемент £=хф группы G очевид-
ным образом удовлетворяет данному соотношению. □
Типичный пример обобщения предложения 5.2 получен Линдо-
ном [19621, причем в этом примере множества У, индексированы
точками i n-мерного вещественного пространства, а интервал, упо-
мянутый в предложении 5.2, заменен некоторым выпуклым мно-
жеством.
Естественно попытаться найти обобщение теоремы о свободе
для свободных произведений. Пусть F=GX*G2 — свободное произ-
ведение иг — циклически приведенный элемент из F, не содержа-
щийся в Gi; можно было бы надеяться, что нормальное замыкание
N элемента г в F не пересекается с Gt. Однако это неверно, причем
контрпример прост, хотя все известные контрпримеры относятся,
по-видимому, к одному и тому же простому типу. Пусть Gi порож-
дена элементом gi порядка 2, а б2 — элементом g2 порядка 3;
положим r—g}g2. Легко видеть, что .V=F. Шик [1962, 19731 изучал
дополнительные условия на г, при выполнении которых требуемое
заключение все же справедливо.
Второй основной результат в теории групп с одним определя-
ющим соотношением — это решение Магнусом [1932] проблемы
равенства слов для таких групп.
Предложение 5.4. Для каждого представления с одним опреде-
ляющим соотношением разрешима проблема равенства слов. □
В соответствии с предыдущими замечаниями доказательство
на самом деле дает нечто более сильное.
Предложение 5.5. Для каждого ступенчатого представления
разрешима проблема равенства слов. □
S. Группы с одним определяющим соотношением
151
Доказательство Магнуса на самом деле дает результат, кото-
рый сильнее в несколько ином, более интересном направлении.
Это так называемая расширенная проблема равенства слов или
частный случай обобщенной проблемы равенства (проблемы вхож-
дения).
Предложение 5.6. Пусть G=(X; г), Ха— рекурсивное подмно-
жество множества X и Go — подгруппа группы G, порожденная
образом множества Хо. Тогда разрешима проблема распознавания
по элементу группы, представляет он элемент из Go или нет. □
Б. Ньюман [1968] доказал следующее обобщение сформулиро-
ванного результата (решив одну проблему Линдона [1962]).
Предложение 5.7. Пусть F — свободная группа с базисом X.
Предположим, что Хг и Х2 — рекурсивные подмножества в X, а
Fi и F2 — порожденные ими подгруппы группы F. Пусть г — про-
извольный элемент из F и N — его нормальное замыкание в F. Тогда
FiNF2 — рекурсивное подмножество в F. □
Заметим, что предложение 5.5 легко выводится из предложения
5.6; не сложнее и его вывод из более общих результатов о свободных
произведениях с объединенной подгруппой.
Анализ границ применимости доказательства Магнуса предло-
жения 5.4 дан Каннонито и Гаттердамом [1973].
Б. Ньюман [1968] решил проблему сопряженности для групп
с одним определяющим соотношением и кручением, однако неиз-
вестно, для любого ли представления с одним определяющим соот-
ношением разрешима проблема сопряженности. Упомянутые выше
контрпримеры Маккула — Петровски и Цишанга лишают нас
возможности решать «в лоб» проблему изоморфизма между группами,
заданными представлениями с одним определяющим соотношением.
Неизвестно, существуют ли группы с двумя определяющими соот-
ношениями и неразрешимой проблемой равенства слов.
Еще один результат, доказанный Магнусом [1931] с использо-
ванием того же самого основного метода,— это
Предложение 5.8. Если два элемента ft и г2 некоторой свободной
группы F имеют одно и то же нормальное замыкание в F, то rt
сопряжен либо с г2, либо с г2\ □
Один из вариантов магнусова доказательства этого результата
будет дан в разд. II.6.
Гриндлингером найдено обобщение предложения 5.8 на случай
некоторых групп с малым сокращением [1961].
Магнус [1931] доказал тем же самым методом следующий резуль-
тат, который можно получить также как следствие предложения 5.17.
152
Гл. Il. Порождающие и соотношения
Предложение 5.9. Пусть г, и г2 — элементы свободной группы
F, такие, что для некоторого положительного целого п элемент
Гу лежит в нормальном замыкании элемента г2. Тогда и г у лежит
в нормальном замыкании элемента г2. □
Уайтхед [1936] (см. также Магнус, Каррас, Солитэр [1974,
стр. 1771) доказал следующее
Предложение 5.10. Если G=(X; г) —свободная группа, то либо
г=1, либо г — элемент некоторого базиса группы F.
□ Можно предполагать, что F имеет конечный ранг п^Л и что
г^=1. По предложению 1.2.10 rank G^n—1, в то время как факто-
ризация по коммутанту дает rank G^n—1. Теперь можно применить
теорему Грушко — Неймана IV. 1 или, для простоты, результат
Федерера — Йонссона 1.2.11, чтобы сделать вывод о том, что F
обладает базисом уи ..., уп, таким, что образы элементов уъ ...
..., z/n_x образуют базис для G. Поскольку г и уп имеют одно и то
же нормальное замыкание в F, согласно результату Магнуса 5.8,
элемент г сопряжен с уп или у~х и, значит, является элементом
некоторого базиса группы F. (Можно было бы также обратиться к
теореме о свободе, чтобы получить, что из принадлежности элемента
уп нормальному замыканию элемента г следует, что г сопряжен
с ykn для некоторого k, причем из того, что G — группа без круче-
ния, получаем &=±1.) □
Доказательство Уайтхеда было топологическим. Приведенное
нами доказательство основано на данном в книге Магнуса, Кар-
раса, Солитэра (стр. 295, упражнение 20) и слегка ином доказа-
тельстве Оста [1974].
Предложение 5.11. Группа G= (X; г) не может быть порождена
п—1 элементом, если только г не является элементом некоторого
базиса свободной группы F с базисом X. □
Шеницер [1955] определил условия, при которых группа с од-
ним определяющим соотношением разлагается в свободное произ-
ведение. Он заметил сначала, что если w — элемент свободной
группы F, длина которого минимальна относительно действия
группы Aut (Г), и если а — преобразование Уайтхеда, отличное от
перестановки букв, такое, что |июс| = |цу|, то а не может вводить в
wa никакой порождающий, который не встречается в записи w.
Используя результат Уайтхеда 1.4.20. он выводит следующее
Предложение 5.12. Если rt и гг—элементы свободной группы
F минимальной длины относительно действия группы Aut(F)
и эквивалентные относительно этого действия, то число порож-
дающих, фактически встречающихся в гг, совпадает с числом порож-
дающих, фактически встречающихся в П
5. Группы с одним определяющим соотношением
153
По теореме Грушко — Неймана (III.5), если G= (X; ^ — соб-
ственное свободное произведение, G=Gi*G2, то, применяя автомор-
физм группы F, можно считать, что базис X для F является объе-
динением непересекающихся множеств Хх и Х2, образы которых
порождают Gi и С2 соответственно. Однако в этом случае цикли-
чески приведенное слово г должно содержать порождающие только
из одного из множеств Хг и Х2. Этот факт вместе с предложением
5.12 дает
Предложение 5.13. Пусть G= (xt, ..., хп; г), где г — элемент
минимальной длины относительно действия группы Aut (А), со-
держащий в точности порождающие хх, ..., xk для некоторого k,
(F^k^n. Тогда G^G1»G2, где Gi= (xlf ..., Xk', г) — неразложимая
в свободное произведение группа, a G2 — свободная группа с базисом
• • •> хп- Q
Важным следствием является
Предложение 5.14. Если G — группа поверхности, то она не
мажет быть собственным свободным произведением. □
Сформулируем далее один результат Магнуса [1931] и связан-
ный с ним результат А. Стейнберга [1971]. Здесь примитивным эле-
ментом свободной группы называется элемент некоторого базиса
этой группы.
Предложение 5.15. Если F — свободная группа и нормальное
замыкание в F некоторого элемента q содержит примитивный
элемент р, то q сопряжен с р или с p~Y и, таким образом, сам при-
митивен. □
Предложение 5.16. Пусть q — произвольный элемент свободной
группы F и р — ее примитивный элемент. Если пересечение их
нормальных замыканий не содержится в [Z7, F], то q сопряжен с р
или с р~\ □
Кручение в группах с одним определяющим соотношением изу-
чалось Каррасом, Магнусом и Солитэром [1960] с использованием
метода Магнуса. Каждый нетривиальный элемент г свободной
группы F может быть записан в виде r—sm для некоторого макси-
мального т; элемент s единствен и называется корнем из г. Если
^=1, то говорят, что г не является собственной степенью.
Они доказали следующее
Предложение 5.17. Если G—(X\ г), где гф1, и r=sm, причем
т максимально, то образ s элемента s в G имеет порядок т и каж-
дый периодический элемент группы G сопряжен с некоторой степенью
элемента s. □
154
Гл. II. Порождающие и соотношения
Предложение 5.18. Если G=(X; г) и г не является собственной
степенью, то G — группа без кручения. □
Грюнберг [1970] дал когомологическое доказательство этого
результата.
Предложение 5.19. Если G= (X; г), где r=sm и т максимально,
а и не является степенью элемента s, то циклические подгруппы
группы G, порожденные образами элементов s и u~lsu, имеют три-
виальное пересечение. □
Магнус, Каррас и Солитэр замечают, что предложение 5.18 сле-
дует из результата Линдона [1950] (см. также III. 10). Заметим,
что предложения 5.17 и 5.19 аналогичны классическим результатам
о фуксовых группах (см. ниже II 1.7). Они доказывают следующий
результат, вытекающий также из 5.18 и одного результата Шют-
ценберже [1959] (см. 1.6).
Предложение 5.20. Если 0= (X; г), где r=[u, и] для некоторых
и и v, то G — группа без кручения. □
Фишер, Каррас и Солитэр [1972] получили еще один результат
о группах с одним определяющим соотношением, также аналогич-
ный результатам о фуксовых группах (см. III.7.11).
Предложение 5.21. Если G= (X; г), то G —обладает нормаль-
ной подгруппой конечного индекса, не имеющей кручения. □
Они показывают также, что если G= (X; г), r=sm и т макси-
мально, то подгруппа группы G, порожденная всеми периодиче-
скими элементами, является свободным произведением всех под-
групп, сопряженных с циклической подгруппой, порожденной
образом элемента s.
Центр группы G— (X; г) с одним определяющим соотношением
был изучен Мурасуги [1964], доказавшим следующее
Предложение 5.22. Пусть G= (X; г). Если |Х|>3, то центр
группы G тривиален. Если |Х| =2 и G неабелева, то центр группы
G — либо бесконечная циклическая группа, либо тривиальная груп-
па. □
Баумслаг и Тейлор [1968] доказывают
Предложение 5.23. Существует алгоритм для определения
центра группы с одним определяющим соотношением. □
Мы дадим доказательство одного результата, который подразу-
мевается в доказательствах приведенных выше теорем.
Предложение 5.24. Если G= (X; г) — абелева группа, то |Х|^2.
Если |Х|=2, то F имеет базис а, Ь, такой, что либо г—Ь, либо
S. Группы с одним определяющим соотношением
185
г=[а, д]. Таким образом, G — либо циклическая группа, либо сво-
бодная абелева группа ранга 2.
□ По предложению 5.22 имеем |Х|^2. Поэтому можно предпо-
лагать, что |Х|=2. Произведя, если нужно, замену базиса, можно
считать, что Х={а, Ь} и что сумма показателей при а в г равна
нулю. Поэтому г лежит в В, нормальном замыкании элемента b
в F, и базисом подгруппы В служат элементы bk=a~kbak. Нор-
мальное замыкание элемента г в F равно тогда нормальному за-
мыканию в В элементов rh, где гй — это элемент г, записанный
через порождающие bh, a rh получается из г0 увеличением индексов
при bh на h. Можно предполагать, что все rh циклически приведены
как слова в алфавите {рь}.
Поскольку мы предположили, что группа G абелева, то
=[Ь, а] лежит в N и, значит, по предложению 5.2 является след-
ствием тех rh, которые содержат только Ьй и bi. Ясно, что г0=г^=1
содержит некоторый bt, поэтому там есть некоторый наименьший
bt и наибольший bj, j^i. Поскольку р=/=1 является следствием толь-
ко тех rh, которые содержат лишь Ьа и bi, не может случиться так,
что Если j=i'+l, то имеется единственное rh, содержащее
только Ьо и bi, причем р является следствием этого rh. Поскольку р
примитивен в В, по предложению 5.16 отсюда следует, что rh со-
пряжен либо с р—[а, &J, либо с р-1, т. е. г сопряжен в F с р или р~1.
Остается рассмотреть случай /=i. В этом случае Гл=ЭД? для неко-
торых k и т и г сопряжен с Ьт. Однако тогда из абелевости группы
G получаем т=±1, т. е. r=d±1. Поэтому группа G оказывается
бесконечной циклической. □
Пусть F — свободная группа с базисом хц ..хп и w—w(xt,
..., хп) — некоторый элемент этой группы. Говорят, что группа
G удовлетворяет тождеству, или тождественному соотношению,
®=1, если w(gi, ..., gn) = l для всех gi, .... gn из G, или, более
точно, если w лежит в ядре произвольного гомоморфизма из F в G.
Случай, когда ю=1 (как элемент группы F),— это случай тривиаль-
ного тождества, выполняющегося во всякой группе. Общая теория
тождеств в группах составляет предмет теории многообразий групп,
обширно представленной в книге X. Нейман [1969]. Мы упоминаем
об этих идеях здесь лишь в связи со следующей теоремой Д. И. Мол-
даванского [1969].
Предложение 5.25. Пусть G — группа, определенная одним со-
отношением, и И — некоторая ее подгруппа, удовлетворяющая,
нетривиальному тождеству. Если G — группа без кручения, то Н
либо локально циклическая (т. е. такая, в которой каждая конечно
порожденная подгруппа циклическая), либо метабелева вида Н—
~ (х, у, х~1ух=уп). Если G имеет кручение, то Н либо цикличе-
ская, либо бесконечная диэдральная, Н= (х, у; х2=у2—1). □
156
Гл. II. Порождающие и соотношения
----------------------------------------------------------
Б. Ньюман [1968] доказал следующее
Предложение 5.26. Пусть G — группа с одним определяющим со-
отношением и Н — ее абелева подгруппа. Тогда Н — или локально
циклическая группа, в которой, каждый нетривиальный элемент
является p-степенью лишь для конечного числа простых р, или сво-
бодная абелева группа ранга 2. Если G — группа с одним определя-
ющим соотношением и с кручением, а Н — разрешимая подгруппа
в G, то Н или циклическая, или бесконечная диэдральная. □
Каррас и Солитэр [1971] доказали следующее предложение, см.
также Чеботарь [1971].
Предложение 5.27. Пусть G — группа с одним определяющими
соотношением. Тогда каждая ее подгруппа или содержит свободную
группу ранга 2, или разрешима. Более того, если G — группа с\
кручением, то каждая ее подгруппа или содержит свободную nod-s
группу ранга 2, или является циклической группой, или бесконечной,
диэдральной группой. □
Следующая теорема принадлежит Б. Ньюману [1968]; доказа-j
тельство, данное Маккулом и Шуппом, будет приведено позже;
(IV.5).
Предложение 5.28. Пусть G= (X; г), где r—sn, п>\. Предпо-
ложим, что и и v — элементы свободной группы F с базисом X —
представляют один и тот же элемент группы G, причем некоторси
буква х из X встречается в и, но не входит в v. Тогда сущгствуеп
подслово слова и, которое также является и подсловом в г или г~-
и длина которого больше (и—1) |s|. □
Следующий результат Вайнбаума [1972] доказывается геомет-i
рическими средствами.
Предложение 5.29. Пусть F — свободная группа с базисом X
иг — циклически приведенный элемент этой группы. Тогда нор-
мальное замыкание этого элемента в F не содержит никакого соб-
ственного подслова слова г. □
Б. Ньюман [1968] доказал
Предложение 5.30. Если G — группа с одним определяющим
соотношением и с кручением, то централизатор любого ее нетри-
виального элемента является циклической группой. □
Баумслаг и Грюнберг [1967] поставили следующую проблему;
Верно ли, что каждая 2-порожденная подгруппа группы с одни»
определяющим соотношением обладает нетривиальной конечно^
факторгруппой?
5. Группы с одним определяющим соотношением
157
Ри и Мендельсон [1968] матричными методами доказывают сле-
дующее
Предложение 5.31. Пусть G= (a, b\ sm), где т>\ us не сопряжен
ни с какой степенью элемента а или элемента Ь. Тогда для всех
достаточно больших п пара а и Ьп — базис некоторой свободной
подгруппы группы G. □
Мескин [1972] рассмотрел вопрос о финитной аппроксимиру-
емости групп с одним определяющим соотношением.
Группа G называется SQ-универсальной, если каждая счетная
группа изоморфна подгруппе некоторой факторгруппы группы G.
(Это понятие подробнее изучается ниже в разд. V.10.) Сасердот и
Шупп [1974] доказали следующее
Предложение 5.32. Каждая группа G, обладающая представ-
лением по меньшей мере с тремя порождающими и с одним опре-
деляющим соотношением, является SQ-универсальной. □
Результаты Миллера III (1969 г., не опубликовано) и Эншела и
Стиба [1974] содержат решение проблемы сопряженности для групп
вида G= (X, t; t~1pt=q), где р и q — слова над X, не содержащие
порождающего t.
Упомянем здесь также некоторые результаты, относящиеся к
перенесению свойств свободных групп на группы с малым сокраще-
нием (среди которых, конечно, немало важных групп с одним оп-
ределяющим соотношением). Симур (диссертация, Иллинойский
университет, 1974 г.) и Трюффо [1974] обобщили результат Лип-
шуца [1972], показав, что 1/6-группа обладает лишь циклическими
централизаторами нетривиальных элементов. Ими обобщен также
и другой результат Липшуца [1972] и показано, что если g — эле-
мент бесконечного порядка в 1/6-группе, то при т^=±п элементы
gm и g" не сопряжены. (См. также Эншел [1973], Липшуц [1971].)
Исключительный случай, относящийся к сопряженности элементов
g и g-1 в группах с малым сокращением, был полностью изучен
Камерфордом [1974].
Шапиро и Зонн [1974] изучали свободные факторгруппы группы
с одним определяющим соотношением.
Линдон [1950] вычислил когомологии групп с одним определя-
ющим соотношением, обобщив тем самым результаты Эйленберга
и Маклейна для циклических групп. Используя метод Магнуса, а
также идеи Фокса и Райдемайстера, он показал, что если G= (X; г)
и г не является собственной степенью, то существует свободная
резольвента
0 —> ZGZ —> 0,
в которой УИ1 — свободный ZG-модуль ранга 1. Отсюда следует,
что когомологическая размерность группы G не превышает 2,
158
Гл. II. Порождающие и соотношения
причем ввиду результата Столлингса [1968] эта размерность равна
в точности 2, если только G не является свободной. В этом случае
модуль соотношений N=N/[N, IV] является свободным цикличе-
ским ZG-модулем. Если г является собственной степенью, то суще-
ствует резольвента, в которой все М, — циклические модули;
резольвента бесконечна, но имеет период 2. (См. Суон [1969].)
В этом случае N не является свободным, но цикличен и определя-
ется одним соотношением. (Мы вернемся к этим вещам в разд.
III. 10.) В своей статье Линдон привел некоторые соображения,
относящиеся к резольвентам, связанным с представлениями сво-
бодных произведений с объединенной подгруппой; его идеи были
впоследствии развиты Суоном [1969]; см. также Гильденхьюз [1974,
1975].
6. Подход Магнуса к группам с одним определяющим
соотношением
Нами уже неоднократно упоминался общий метод, примененный
Магнусом к проблемам теории групп с одним определяющим соот-
ношением. Многие из этих проблем были успешно решены этим
методом в работах как самого Магнуса, так и других авторов. Этот
метод включает в себя некую редукцию, которая на практике не
всегда достаточно элегантна, и некоторые из результатов, полу-
ченных данным методом, теперь доказываются более красивыми
или более сильными методами. Тем не менее остаются и такие
результаты, которые не удается получить сколько-нибудь отлич-
ными от исходного методами. Сам метод более или менее едино-
образен, и мы удовлетворимся здесь двумя примерами. Первый из
результатов Магнуса, полученных этим методом,— теорема о сво-
боде 5.1; два других важных результата, получающихся этим ме-
тодом,— положительное решение проблемы равенства слов для
групп с одним определяющим соотношением (5.4, 5.5, 5.6) и пред-
ложение 5.8. Приводимое здесь нами доказательство — это по
существу первоначальное доказательство Магнуса теоремы о сво-
боде; варианты этого доказательства дали Линдон [1972] (см. ниже)
и Бернс [1974]. Видоизмененный вариант его решения проблемы
равенства слов приведен в разд. IV.5 ниже. Нами приведено здесь
также практически первоначальное доказательство предложения
5.8, данное Магнусом.
Два вспомогательных результата играют существенную роль в
рассуждениях. Первый—основная теорема Шрайера [1924], га-
рантирующая существование свободного произведения двух групп
с объединенной подгруппой. Этот результат стал известен Магнусу
лишь перед выходом статьи из печати, так что он смог лишь в под-
строчном примечании отметить, что использование этого результата
6. Подход Магнуса
159
упрощает доказательство. Второй состоит в том, что свободная
группа F с базисом хъ ..хп всегда может быть вложена в свобод-
ную группу F' с базисом уи х2, ..., хп, в которой для произ-
вольного положительного т; этот результат является следствием
теоремы Шрайера, но еще легче получается из теоремы Нильсена
о подгруппах. Из этого результата вытекает, что если г — некото-
рый элемент свободной группы F ранга больше 1, то F всегда может
быть вложена в свободную группу F', как и выше, причем сумма
показателей некоторого элемента базиса группы F' в записи слова г
равна нулю.
Доказательство теоремы о свободе. Для
щоведения доказательства методом математической индукции тре-
5уется доказать на первый взгляд более сильный результат 5.2.
Понятно, что теорема о свободе содержится как частный случай
в предложении 5.2. Чтобы подготовить почву, покажем, что 5.2
вытекает из предложения 5.1. Поскольку каждое следствие
бесконечного множества соотношений является следствием неко-
торого его конечного подмножества, достаточно рассмотреть слу-
чай, когда I конечно, /={1....п}. Случай п=1 —это и есть
федложение 5.1, так что будем вести доказательство по индукции.
Чожно предполагать, что R = {ri, ..гт}, аг=1 и ®m=n. Пусть
¥'=Х—Yn, Y'—Y—Yn, R'—R—{rm}. Тогда представление G' =
= (X'; Д') удовлетворяет посылкам предложения 5.2 при п'=п—1,
>ткуда по предположению индукции получается, что нормальное
замыкание N' множества R' в свободной группе F' с базисом X'
не содержит нетривиальных соотношений между порождающими
?= (X—Y) (J Л и • • • U Yn_1. Таким образом, образ Н' группы
7=(Z) в С—это свободная группа, базисом которой является
)браз множества Z. Подобным же образом положим Х"=Х— (Ki U • • •
• U Лг-х)- У"=УП и R"={rm}. Тогда представление G’= (X", Д")
удовлетворяет условиям предложения 5.2 при п"=1, откуда следует,
что образ Н" группы U в G" является свободной группой, базисом
которой служит образ множества Z. Осталось с помощью теоремы
Шрайера сделать вывод о том, что G является свободным произ-
зедением групп G' и G", в котором объединены подгруппы Н' и Н".
Если в обозначениях из 5.2 интервал J— (а, ..., со) не содержит
п, то и по теореме Шрайера w£N'. В этом случае дока-
зываемый результат устанавливается применением предположения
индукции к G'= (X'; N'). Симметричным образом разбирается слу-
чай, когда J не содержит 1. В оставшемся случае J={1...п}
и доказывать нечего. Таким образом, доказательство эквивалент-
ности предложений 5.1 и 5.2 закончено.
Начнем теперь доказательство предложения 5.1 индукцией по
Длине слова г. Можно предполагать, что G= (X; г), где г — нетри-
виальное циклически приведенное слово, содержащее каждый
160
Гл. II. Порождающие и соотношения
порождающий из множества X. Сохраняя индексы для других
целей, будем писать X={t, а, Ь, ..., z}. Случай, когда Х={^} и
F, G — циклические группы, тривиален и содержит в себе базис
индукции по |г|.
Рассмотрим сначала случай, когда сумма показателей при не-
котором порождающем, скажем t, в г равна нулю; это означает,
что г лежит в нормальном замыкании Fr элементов а, Ь, ..., zb F. Тог-
да N<$Fj и, следовательно, w^F1. Далее, F^ порождается множе-
ством Xi элементов аг=/_'а/‘, ..., Z;=/-Zz/Z, t£Z. Действительно,
вставляя в нужных местах подходящую степень элемента t, можно
произвольный элемент и из F переписать в виде u~tPu', где и' —
некоторое слово над Xi. Если «СЛ, то р=0 и и=и'. По критерию
Нильсена — базис группы Fj. Если s—u~lru, где и записано в
виде u=tpu', как и выше, то s=u'~lrpu', где rp—t~PrtP. Таким об-
разом, N является нормальным замыканием в множества 7?i=
= {ri=t~irt,\ i’6Z}.
Заметим, что гг получается из г0 увеличением индексов у всех
aj, . .., г, на /; таким образом, мы получаем ступенчатое представ-
ление. Более того, все гг имеют одну и ту же длину; она равна,
очевидно, общему числу вхождений букв, отличных от t и /-1.
Следовательно, длина |г0| слова г0 как слова над Хх меньше длины
слова г над X.
Теперь нужно показать, что w содержит t, а также все буквы
а, . .., г. Для начала возьмем Yi — fat, ..., гД. Слово г содержит t
и некоторое подслово xetky1, где е, /=±1, а х, у — это неко-
торые а, ..., г. В этом случае г0 как слово над Хх будет содержать
xh + k и Уь Для некоторого h; таким образом, а0<<в0. Ясно, что
для всех i и что из К.] следует аг<а; и По предпо-
ложению индукции w как слово над Xt не может содержать буквы
только из Уо; но тогда w как слово над X должно содержать t. Да-
лее, чтобы доказать, что w содержит, например а, положим Г( =
= {аД. Поскольку г содержит а, г0 должно содержать некоторый
элемент а,, откуда снова по предположению индукции делаем вы-
вод, что w как слово над Xt должно содержать некоторый а; и,
следовательно, как слово над X должно содержать а.
Остается разобрать случай, когда никакой порождающий не
встречается в г с суммой показателей, равной нулю. Мы уже пред-
положили, что X содержит по меньшей мере два элемента t и а.
Достаточно показать, что w содержит, скажем, а. Пусть т — сумма
показателей при t в г и а — сумма показателей при а. Вложим F
в свободную группу F' с базисом х, а..z, причем xa—t. Поскольку
w — следствие соотношения г в F, то то же самое верно в F'. Группа;
F' обладает еще одним базисом Х* = {х, а*, Ь, ..., г}, где а*—ах~х4
Как слово над этим базисом г имеет нулевую сумму показателей при^
X- Перейдем, как и прежде, к подгруппе F[ группы F' с базисом]
X' = {aJ=x-za*xz, Ь1~х~1Ьх‘.....Z;=x“zzxz; Длина слова|
6. Подход Магнуса
161
г относительно этого базиса равна, очевидно, общему числу вхож-
дений в г как слово над X букв, отличных от t и /-1, т. е. меньше
длины г как слова над X. Это позволяет применить предположение
индукции и вывести, что w как слово над X' содержит некоторый
элемент а*, а значит, как слово над X содержит а. Это завершает
доказательство теоремы о свободе. □
Доказательство предложения 5.8. Предполо-
жим, что два элемента г и s свободной группы F с базисом X имеют
одно и то же нормальное замыкание N в этой группе. Нам нужно
доказать, что г сопряжено с s или s-1. Можно предполагать, что г
и s нетривиальны и циклически приведены. По теореме о свободе,
поскольку каждое является следствием другого, они содержат в
точности одни и те же порождающие. Можно предполагать, что
X={t, а, . .., z} и что и г и s содержат все эти порождающие. Случай
одного порождающего тривиален, и мы не будем его разбирать. Этот
случай составляет базис индукции по длине слова г. Как и прежде,
вкладывая F в большую группу F', если это нужно, можем считать,
что сумма показателей при t в г равна нулю. Как и выше, перейдем
к подгруппе Ki с базисом Л’1={а1-, ..., гг} и заметим, что M<jFi
является нормальным замыканием в Ft как множества Fi={r,;
igZ}, так и множества Si={s;; igZ}.
Некоторое гр будет содержать а0 как at наименьшего индекса
и некоторое ат наибольшего индекса. Аналогично некоторое s(;
будет содержать а0 как at наименьшего индекса и некоторое ап
наибольшего индекса. Если п<7н, то по теореме о свободе, приме-
ненной к представлению (А\; R^, получаем противоречие с тем,
что sq является следствием множества 7?i. Таким образом, п^-т
и по симметрии п=т. Однако в этом случае по теореме о свободе
sq — следствие слова гр и, симметрично, гр — следствие слова sq.
Эго означает, что гр и sq имеют одно и то же нормальное замыкание
в Fi. Поскольку гр как слово над Xi короче, чем г как слово над X,
по предположению индукции можно заключить, что г сопряжено
в Fj с sy1. Однако тогда гр сопряжено с s^1 в F; поскольку гр со-
пряжено с г, a sq с s, то г сопряжено с s±x в F. Таким образом, дока-
зательство предложения 5.8 закончено. □
Глава III
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
1. Введение
Мы уже отмечали сильное влияние геометрии, топологии и не-
которых глав анализа на зарождение и развитие комбинаторной
теории групп, а также применение геометрических и топологических
методов в абстрактной теории групп. Здесь мы развиваем некоторые
простейшие из этих методов, отчасти потому, что упомянутые связи
интересны сами по себе, отчасти для того, чтобы дать геометрические
доказательства некоторых теорем, уже доказанных где-либо дру-
гими способами, а также чтобы подготовить почву для тех геомет-
рических идей, которые возникают при рассмотрении теории малых
сокращений в гл. V этой книги. Мы попытались включить в гл. III
все результаты геометрического характера, которые соответствуют
нашей теме и достижимы теми ограниченными средствами, кото-
рыми мы располагаем, за исключением систематического изложе-
ния теории малых сокращений.
Значительна доля давно известных фактов. Они зачастую ос-
таются безымянными, так как многие идеи, хотя и важны, очень
естественны и возникли независимо у многих авторов. Упомянем
лишь старые работы Кэли, Дика, Фрике и Клейна, Пуанкаре и
несколько более поздние — Дэна, Нильсена, Райдемайстера, Трель-
фаля.
Ряд понятий, доказательств и теорем в этой главе более или
менее прямо заимствован из книги Цишанга, Фогта и Колдьющ
[1970], а также из статьи Цишанга [1966], а многие отличаются oi'
их изложения несущественно. Цишанг, следуя Райдемайстеру
предложил заменить, насколько это возможно, аналитические со
ображения комбинаторно-геометрическими. Хор, Каррас, Соли
тэр [1972, 1973] переходят к чисто комбинаторно-групповым аргу
ментам вместо геометрических. Мы попытались соединить резуль
таты Хора, Карраса и Солитэра с подходом в духе Цишанга
Однако мы отдали предпочтение систематическому использовании
комплексов Кэли (соответствующих общей топологической точк
зрения), возвращаясь к дуальным фуксовым комплексам (отвечаю
щих обычному аналитическому подходу), только если мы ощу
щали их реальное преимущество.
Привлечение геометрических методов, как они здесь понй
маются, а особенно соображений, связанных с накрывающим!
2. Комплексы
163
пространствами, и их обобщений, получило широкое распростра-
нение. Среди недавних работ в этой области, кроме книги Цишанга,
Фогта и Колдьюи, отметим статьи Чипмана 11973], Кроуэлла и
Смита (препринт), Гриффитса [1967, 1967], Хиггинса [1964, 1971],
Ордмана [1970, 1971], Ротмана [1973, 1973] и Треткоффа [1975].
Треткофф (препринт) изложил, в частности, теорию групп, дейст-
вующих на деревьях, построенную Серром [1968/69] и Бассом, в тер-
минах накрывающих пространств.
2. Комплексы
Начнем с чисто комбинаторных определений одномерного и
двумерного комплексов, которые однако несколько шире обычных.
Термины граф и одномерный комплекс мы употребляем как си-
нонимы. Определим одномерный комплекс С как совокупность двух
множеств V и Е и трех отображений а: со: £->•]/ и т)!.- Е-+Е.
Назовем элементы множества V вершинами (или точками), а эле-
менты множества Е — ребрами. Назовем также а (е) началом реб-
ра е из Е, а со (е) — концом этого ребра и скажем, что е идет из
а(е) в а(е). Назовем, наконец, ребро гц (е) обратным к е, или про-
тивоположноориентированным ребром, и будем писать г)1(е)=е-1.
Условия, налагаемые на эти отображения, состоят в том, что т]£
должно быть инволюцией без неподвижных элементов, а ребро е~х
идет из со (е) в а(е).
По существу мы определили неориентированный граф, так как
требуем, чтобы комплекс С содержал вместе с каждым ребром об-
ратное к нему. Иногда мы употребляем термин неориентированное
ребро, понимая под этим пару (е, е~1} взаимно обратных ребер.
Когда же мы будем говорить о задании ориентации на неориентиро-
ванном графе, то это можно мыслить как выбор одного ребра из
каждой пары взаимно обратных ребер.
Путь в С — это конечная последовательность ребер, обозначае-
мая через р=вг ... еп, п^Л, причем для l</i'<n ребро e,+i начи-
нается там, где кончается eit т. е. а (е;+1)=со (е;). Число 1р1=п
называется длиной пути р. Путь начинается в точке a(p)=a(ei)
и кончается в точке со (р) = со (е„); если эти две точки совпадают,
р называется петлей. Удобно не вводить в рассмотрения единст-
венный пустой путь, а лучше для каждой вершины v определить
путь 1с без ребер, начинающийся и кончающийся в v, при этом 10
есть петля длины 0. (Формально мы могли бы положить 1о=ц,
определяя а(ц) = со(ц)=и и |и|=0.) Обратным к р является путь
Р~х=е^ ... ер1.
Если p—et ... еп есть петля, то и любая циклическая переста-
новка p'—pt ... pnpi ... р^ пути р также является петлей; на-
зовем множество всех циклических перестановок петли р цикличе-
ским путем или циклом. Путь приведен, если он не содержит пути
6»
164
Гл. III. Геометрические методы
вида ее-1; петля или соответствующий цикл является циклически
приведенной, если она приведена и e^e^1. Путь прост, если для
1=#/ имеем a (ef)=#a (г,-) и и (ег)#=® (г,-).
Двумерный комплекс С состоит из одномерного комплекса С1
(своего одномерного остова), множества F двумерных клеток, или
граней, и двух отображений д и т]2, определенных на F. Каждой
клетке D из F отображение д ставит в соответствие циклически при-
веденный цикл dD в С1, границу клетки D, а отображение т]2 ставит
в соответствие грани D другую грань, г]2 (D) =D~\ обратную к D;
потребуем, чтобы цикл d(D-1) был обратным к 5(D) в естественном
смысле. Вершина v лежит на грани D, если она является началом
некоторого ребра в dD; при этом контуром клетки D, или ее гра-
ничным путем с началом в точке v, является любая петля в цикле
dD, которая начинается в точке v. Наиболее интересен случай,
когда цикл dD прост, откуда будет следовать единственность кон-
тура для каждой вершины клетки D.
Заметим, что при нашем определении каждый одномерный ком-
плекс будет и двумерным комплексом с пустым множеством граней.
Понятна геометрическая сущность этих определений, и мы без
колебаний будем аппелировать к геометрической интуиции.
Путь в двумерном комплексе С — это путь в его одномерном
остове. Множество П(С) всех путей комплекса С имеет некоторую
алгебраическую структуру. Определим произведение pq двух пу-
тей р и q при условии, что ®(р)=а(<7), как продолжение р с по-
мощью q. Это умножение ассоциативно: если определено одно из
произведений p(qr) или (pq)r, то также определено и другое и они
совпадают. Имеем 1ада-р=р и р-1ида=р, и, если определено
произведение pq, то (pq)~1=q~1p~1. (Можно было описать П(С)
как категорию или частичную полугруппу с инволютивным анти-
изоморфизмом.)
Определим отношение \-эквивалентности между путями р и р'
(пишем р~р'), которое имеет место тогда и только тогда, когда
1
можно перейти от р к р' с помощью нескольких последовательных
шагов, каждый из которых состоит в вычеркивании или ‘вставке
пути вида ее”1. Очевидно, это действительно отношение эквива-
лентности и даже конгруэнция на П(С), т. е. если р~р' и q~q',
1 1
а произведение pq определено, то определено и p'q', причем
pq~p'q', а если р~р', тор”1~р'”1. Таким образом, можно перехо-
1 11
дить к факторструктуре П1(С) структуры П(С) по этому отноше-
нию эквивалентности. Поскольку рр”'~1а(Р), то ГР(С) является
1
структурой с обратимыми элементами, т. е. группоидом (или кате-
горией с обратимыми морфизмами).
Легко видеть (точно так же, как и при обращении с приведен-
2. Комплексы
165
ними словами в свободных группах), что каждый путь 1-эквива-
лентен единственному приведенному пути. В частности, нетри-
виальная приведенная петля из П(С) не отобразится в один из
нейтральных элементов (идемпотентов) в П1(С).
Определим отношение 2-эквивалентности между путями р и р'
(пишем р~р'), если можно перейти от одного к другому вычерки-
ваниями и вставками путей вида ее'1 или вида q, где q есть контур
с началом в некоторой вершине какой-либо грани D. Очевидно,
это отношение также является конгруэнцией на П (С), а фактор
по ней — опять-таки группоид, фундаментальный группоид п (С)
комплекса С. Ясно, что П1(С)=П1(С1)=л(С1)— фундаментальный
группоид одномерного остова С1 комплекса С, а л (С) есть естест-
венный гомоморфный образ группоида л (С1).
Заметим, что для любой вершины v подмножество П (С, и) в
П(С), состоящее из всех петель с началом в v, есть полугруппа,
а ее образ л (С, v) в л (С) является группой, фундаментальной
группой комплекса С в точке v. Хорошо известно, что в том инте-
ресном случае, когда комплекс С связен, все его фундаментальные
группы в различных точках сопряжены, а значит, изоморфны,
хотя обычно не при помощи каких-то единственных естественно
заданных изоморфизмов. Последнее является одной из причин
того, что фундаментальные группоиды удобнее в топологии. Отме-
тим также, что теория группоидов может быть развита абстрактно
и применена изящно и с большой пользой для решения задач ком-
бинаторной теории групп; систематически это было осуществлено
Хиггинсом [1971], и мы уверены, что его методы должны оказаться
естественным инструментом для решения некоторых вопросов,
с которыми мы встретимся ниже. Однако в интересах упрощения
мы будем обращаться к группоидам очень редко. Заметим, что
идеи, весьма близкие к теории группоидов Хиггинса, развиты
Кроуэллом и Смитом [1974] J).
Приступим теперь к изучению некоторых комплексов, свя-
занных с группами или их представлениями.
Предложение 2.1. Если С — одномерный комплекс, a v — его
вершина, то группа л (С, v) свободна.
□ Поскольку очевидно, что л (С, п) совпадает с л (Cv, о), где Cv
есть связная компонента комплекса С, содержащая v, то мы мо-
жем предполагать дополнительно, что комплекс С связен. Дерево
есть одномерный связный комплекс без нетривиальных циклов.
По лемме Цорна в С содержится некоторое максимальное дерево Т.
Тогда Т содержит каждую вершину х вместе с единственным при-
х) Нам представляется, что оценка авторами возможностей теории фунда-
ментальных группоидов завышена.—Прим. ред.
166
Гл. III. Геометрические методы
веденным путем vx в Т от v к х. Каждому ребру е, идущему,
для определенности, из вершины х в вершину у, сопоставим петлю
e = vx-e-vy~1. Пусть е — это класс эквивалентности петли е в G =
=л (С, о), а X — множество, состоящее из всехе=#1. Если р=ех...г„—
некоторая петля с началом в v, то, очевидно, ех.. ,ёп, поэтому
X порождает группу G. Кроме того, так как (е~1) = (е)-1, то
Х~г~Х. Мы покажем, что G является свободной группой с сим-
метризованным базисом X, т. е. что если w — е^.. .еп, п>0, где
е^Х и etei+i Ф 1, i = 1, ..., п — 1, то w#= 1. Пусть р = в1... еп.
Нам нужно показать, что приведенная форма для р как слова от
ребер Sj нетривиальна. Но из определения петель ег видно, что
после сокращений путь р примет вид p = oxz-e1.. ,en-vyh\ кото-
рый является приведенным, так как etei+1 1 влечет за собой
е; е;+хУ'1. Из единственности приведенной формы в л (С) заклю-
чаем, что рУ'1, а значит, w^l. □
Предложение 2,2. Пусть С —конечный связный одномерный
комплекс, a v — произвольная вершина. Пусть, далее, у0 — это число
вершин в С, а у^ —число неориентированных ребер (т. е. неупо-
рядоченных пар {е, взаимно обратных ребер). Тогда л (С, о)
является свободной группой ранга Ti — +1 •
□ Используем обозначения предыдущего доказательства. Заме-
тим, что, если е принадлежит Т, то 1, в то время как в про-
тивном случае е является приведенным и нетривиальным. Поэто-
му X состоит из тех элементов е, которые находятся во взаимно
однозначном соответствии с ребрами е, не принадлежащими де-
реву Т, откуда следует, что ранг группы л (С, о) равен ух—-т,
где т есть число неориентированных ребер в Т. Поскольку Т —
дерево с числом вершин у0, тоу0 = т+ 1. Утверждение доказано. □
С каждым представлением G = (X; R), где все г из R цикли-
чески приведены, мы свяжем специальный комплекс К (X; R)
с единственной вершиной. Во-первых, К содержит единственную
вершину V, а также ребра х (из v в о) для каждого элемента х
из X вместе с обратными х~1. Таким образом, каждый путь в К
есть петля. Во-вторых, если г — хр. .хепп£ R, где х{ $ X, е~ ±1,
то вводим грань D с контуром х"‘.. .хепп (начало вр) и грань D~r.
Предложение 2.3. Если G=(X-, R), а К=К(Х', R) —комплекс,
связанный с этим представлением описанным выше способом, то
л (К, t»)ssG.
□ Пусть <р — отображение из свободной группы F с базисом X
в л (К1), переводящее каждый элемент х из X в класс эквивалент-
3. Накрывающие отображения
16?
ности петли х. Поскольку {у} есть максимальное дерево в К1,
изложенные выше соображения показывают, что <р в действитель-
ности — изоморфизм группы F на л (К1). Пусть х — естественное
отображение из л (Д1) на л (Д). Очевидно, что /?<р содержится в ядре
гомоморфизма х. С другой стороны, из определений видно, что если
две петли р и р' находятся в отношении р~р', то их классы экви-
валентности из л (Д1) равны по модулю Rtf. □
Если представление G=(X; R) конечно, то комплекс Д(Х; R)
конечен. Если G=(X; R) есть представление с помощью таблицы
умножения, в котором каждый элемент из R имеет длину 3, то каж-
дая грань в Д (X; R) является треугольником, а комплекс Д —
симплициальным комплексом. Каждое представление G=(X; R)
может быть превращено в такое, что все соотношения имеют дли-
ну 3, по существу триангуляцией всех граней. Новое представление
будет конечным, если таковым являлось первоначальное.
Комплексы Д(Х; R) родственны комплексам Д(л, п) Эйлен-
берга и Маклейна (см. Маклейн [1966]). Как мы увидим ниже, они
весьма близки к комплексам Кэли.
3. Накрывающие отображения
Следующее далее изложение более или менее прямо заимство-
вано из книги Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970]. Общая и изящ-
ная, но очень абстрактная трактовка этих вопросов может быть
найдена у Хиггинса [1971].
Понятно, что отображение из одного двумерного комплекса С
в другой двумерный комплекс С должно сохранять размерность и
отношение инцидентности. Мы будем иметь дело лишь с не развет-
вленными накрытиями: в дальнейшем от накрытия f требуется,
чтобы оно было отображением «на», причем на любом множестве
ребер и граней, инцидентных с каждой фиксированной вершиной,
оно должно быть взаимно однозначным.
Предложение 3.1, Если f: С'—> С— накрытие, a v'—вершина
комплекса С, то f индуцирует мономорфизм f* из л(С',о')
в л (С, v'f).
□ Если р' является петлей с началом в v' комплекса С', то,
очевидно, ее образ р = р'f в С есть петля с началом в вершине
v~v'f комплекса С. Пусть р[ и р2 — элементарно эквивалентные
петли комплекса С'с началом о', т. е. p\ = u'q’-p', a p2 — u'q'^}', где
^1<7а-1есть контур грани D' в С. Тогда образ qyq^1 есть контур гра-
ни D в С, и образы — uq-p и р2 = uq2v петель р[ и р2 эквивалентны
в С. Поэтому f индуцирует гомоморфизм f* из л (С', v') в л (С, о).
Но накрывающее отображение взаимно однозначно на множестве
Ребер, инцидентных с фиксированной вершиной. Отсюда с по-
168
Гл. 111. Геометрические методы
мощью индукции по длине приведенного пути р выводится, что
если р начинается в вершине v и v'f — v, то существует единст-
венный приведенный путь р' в С', который начинается в v' и для
которого выполняется равенство p'f = p. Допустим, что р' есть
петля в С' и что p’f ограничивает клетку D в С. Поскольку f
есть отображение «на», существует грань D’, такая, что D’f = D.
Тогда f отображает границу клетки D' на p’f, и по свойству
единственности, отмеченному выше, отсюда следует, что петля р'
должна ограничивать D’. Это означает, что f* является на самом
деле мономорфизмом. □
Следующее предложение, устраняя одномерный случай, суще-
ственно подготавливает предложение 3.4.
Предложение 3.2. Пусть С —связный одномерный комплекс,
v—вершина в С, а Н —некоторая подгруппа в л (С, и). Тогда су-
ществует связный одномерный комплекс С и накрывающее отобра-
жение f: С —> С, переводящее некоторую вершину v' из С в v и
индуцирующее изоморфизм f* группы л (С', и') на подгруппу Н
группы л (С, и).
□ Пусть Т—максимальное дерево в С. Тогда для каждой вер-
шины х в С существует единственный путь vx из и в х. Если
е — некоторое ребро комплекса С из вершины х в вершину zajo
е обозначает элемент из л (С, о), определенный петлей vx-e-vy-1
с началом в v. Пусть W— множество смежных классов Hg груп-
пы л (С, и) по подгруппе Н. В качестве множества вершин комплекса
С возьмем множество V" = VxlT, где V—это множество вершин
комплекса С. В качестве множества ребер комплекса С возьмем
множество Е' — ExW, где Е есть множество ребер комплекса С.
Если е' = (е, Hg)'— ребро в С, где е идет из вершины х в вершину
у комплекса С, то условимся, что е' идет от вершины х' =(х, Hg)
к вершине у’ = (у, Hge) комплекса С'. Легко проверить, что С
является комплексом. Проекции из V на V и из Е' на Е, оче-
видно, определяют накрывающее отображение f: С—*С.
Зафиксируем в комплексе С точку v' = (v, Н). Ясно, что v'f — v.
Теперь мы покажем, что образ группы л (Cr, v') при отображе-
нии f* содержится в Н. Пусть р' = ef.. .е'п — путь в С, начина-
ющийся в v'. Если e't = (et, Hgt), то p'f = p = e1...en. Тот факт,
что р' есть путь в С, означает, что Hgi+1 — Hgfii для каждого
г, l^i<n. Поэтому р' оканчивается в у' = (у, Нег.. .е„), где
у —конец пути р. Если путь р' замкнут, то мы должны получить
y = v и Нех.. . е„ = Н, а следовательно, ег.. .еп£Н. Это означает,
что петля р в С представляет элемент е1.. .еп взН. Мы показали,
что если р' есть петля с началом в v', представляющая элемент g'
3. Накрывающие отображения
169
из л(С', гУ), то p'f представляет элемент g’f* группы л (С, v),
который лежит в Н.
Осталось показать, что образ группы л (С, о’) при отображе-
нии f* есть вся подгруппа Н. Пусть p = et.. .е„ — петля с на-
чалом вив комплексе С, которая представляет элемент g из Н.
Тогда er...en также представляет путь р. Так как et.. .ёп£Н, то
путьр=е(.. ,е'п с началом в о' в комплексе С', где =(<?;•, Не1.. .ё^),
есть на самом деле петля в С' с началом в v', представляющая
элемент g’ из л (С', о'), такой, что g'f* = g. □
Тем самым подготовлено еще одно классическое и, возможно,
наиболее естественное доказательство теоремы о подгруппах Ниль-
сена и Шрайера.
Предложение 3.3. Каждая подгруппа свободной группы свободна.
□ Пусть Е = (Х; 0) —свободная группа и // — ее подгруппа.
Тогда существует одномерный комплекс С (например, К (X; 0)),
такой, что фундаментальная группа л (С, о) в любой вершине v
изоморфна F. Поэтому мы можем считать Н подгруппой в л (С, и).
По предыдущей теореме существует одномерный комплекс С', та-
кой, что группа л (С, о') изоморфна Н. Поскольку С есть одно-
мерный комплекс, то по предложению 2.1 группа л (С', о'), а
значит, и группа Н свободна. □
Теперь распространим предложение 3.2 на двумерные ком-
плексы.
Предложение 3.4. Пусть С — связный двумерный комплекс, v —
вершина в С, а Н — некоторая подгруппа группы л (С, о). Тогда
существует связный двумерный комплекс С и накрывающее отобра-
жение f: С-+С, переводящее некоторую вершину v' комплекса С'
в вершину v и индуцирующее изоморфизм f* группы л (С', v') на под-
группу Н группы л (С, о).
□ По предложению 3.2 можно построить накрывающее отображе-
ние 71 одномерного остова С'1 некоторого пространства С на одно-
мерный остов С1 комплекса С, такое, что f1 отображает л (С'1, v')
на прообраз И' подгруппы Н в л (С, о). Расширим С'1 до двумерного
комплекса С', а /1 — до отображения С на С следующим образом.
Если р' есть замкнутый путь в С'1, образ которого р ограничивает
грань D комплекса С, то введем грань D' комплекса С' с границей
р' и определим D'f=D. Это превращает f в накрывающее отобра-
жение из С на С.
Пусть р есть петля с началом в v из С, представляющая элемент
h подгруппы Н группы л (С, v), а также элемент h из прообраза Н1
подгруппы Н вл (С1, и). Тогда f1* отображает некоторый элемент h'
группы л (С'1, v') в й, а значит, /* переводит образ элемента й'
170 Гл. III. Геометрические методы
в группе л (С', и') в элемент h из Н. Это показывает, что /* отобра-
жает л (С', v') на Н. По предложению 3.1 f* является мономорфиз-
мом. □
Следующее утверждение есть слабая форма теоремы Зайферта
11933] и ван Кампена [1933] о фундаментальной группе объединения
пространств.
Предложение 3.5. Пусть двумерный комплекс С есть объедине-
ние связных подкомплексов Cit где i пробегает некоторое множество
индексов I. Пусть, далее, v — общая вершина всех С{, причем раз-
личные комплексы Ct не имеют других общих вершин. Тогда л (С, у) =
= *<е/л(С;, v)—свободное произведение групп л(Сь v).
□ Выберем максимальное дерево Tt комплекса Ct для каждого
i С I. Тогда эти деревья имеют единственную общую точку v, а их
объединение Т есть максимальное дерево в С. Как и выше, сущест-
вует единственный путь vx в Т к каждой вершине х из С, а с каждым
ребром е, идущим от х к у, мы свяжем элемент е=их-е-иу~х группы
F=a(C1, v). Для е из дерева Т, очевидно, е=1, остальные элементы
е дают симметризованный базис L=XuX-1 для свободной группы
F. Если Lt есть множество таких элементов е для е из Сг, то, оче-
видно, L есть дизъюнктное объединение множеств £г, а каждое
множество Lt есть симметризованный базис для группы Ft=ft (С1, V),
рассматриваемой как подгруппа в F.
Осталось показать, что ядро N естественного гомоморфизма
группы F=n (С1, о) на О=л (С, v) есть нормальное замыкание мно-
жества R элементов из F, каждый из которых лежит в одной из
подгрупп Ft. Но N является по определению нормальным замыка-
нием элементов г из л (С1, v), определенных петлями р с началом
в вершине v вида p=qsq~x, где q есть путь из v в некоторую вер-
шину v', a s — граница, начинающаяся в v', некоторой грани D
комплекса С. Заменяя элемент г сопряженным, мы можем считать
путь q минимальным. Тогда при наших предположениях о С пет-
ля р должна целиком принадлежать некоторому комплексу Сг.
Если p~ei ... еп, то все ej лежат в Сг, a ... еп, причем все ej
принадлежат Тг. Тем самым установлено, что 0=л(С, v) есть* сво-
бодное произведение, как и утверждалось. □
Ниже мы приводим доказательство теоремы Куроша о под-
группах, взятое непосредственно из книги Цишанга, Фогта и Кол-
дьюи. Эта теорема часто формулируется более точно (см., напри-
мер, Маклейн [1958]). Уточнения могут быть извлечены из при-
водимого здесь доказательства.
Предложение 3.6. Пусть G — свободное произведение групп Gt,
где i пробегает множество индексов I, а Н — подгруппа в G. Тогда
Н есть свободное произведение свободной группы и групп, которые
3. Накрывающие отображения 171
сопряжены с подгруппами свободных множителей Gt группы G.
□ По утверждению 2.3 для каждой группы Gz существует связ-
ный комплекс С,- с вершиной vit такой, что Gz л (Cz, vz). Об-
разуем комплекс С как дизъюнктное объединение комплексов Cz,
соединенных ребрами е,- (выходящими из вершин vz) с общей
вершиной V. Теперь группа Gz л (Cz, vz), очевидно, изоморфна
группе л (С(-, v), где Cz = CzUez. По утверждению 3.5 л (С, и) =
= * л (Ci, v), и мы можем предполагать, что G = л (С, v), а также
Gz = n(Cf, и).
По предложению 3.2, если Н является подгруппой в G, то
существует накрывающее отображение f некоторого связного комп-
лекса С на С, которое индуцирует изоморфизм f* группы Н =
= л (С, V) на Н, причем vf = v. Компоненты Kj подкомплексов C;f~^
не пересекаются, и С есть объединение этих компонент Kj с од-
номерным комплексом L = Uezf-1, у которого только вершины
могут быть общими с Ку. Пусть в каждой компоненте Ку выбраны
максимальные деревья Tj. Включим их в максимальное в С де-
рево Т. Предположим, что v — такая вершина из С, что vf — v.
Как и выше, К = л(С1, v)—свободная группа с базисом X, со-
стоящим из элементов х = е, отвечающих парам ребер {е, е-1}
комплекса С, не принадлежащих дереву Т. Следовательно, базис X
может быть разбит на множества X/ и XL в зависимости от при-
надлежности ребра_е множествам К/ или L.
Отметим, что H — F/N, где N есть нормальное замыкание
множества элементов г, определяемых петлями р = sqs~* с началом
в v из С, где q — граница для некоторой грани D комплекса С.
Заменяя элемент г сопряженным, можем считать, что s принад-
лежит дереву Т и, значит, г есть слово, записанное на буквах
х = е для ребер е, принадлежащих границе q клетки D. Поскольку
грань D должна лежать на некоторой компоненте Ку, все эти х
принадлежат Xj. Следовательно, N есть нормальное замыкание
объединения множеств Ку, зависящих от Ху. Так что Н есть сво-
бодное произведение групп Hj = (Xj\ и свободной группы
Hl = (Xl-, 0). у „ ,
Остается рассмотреть группы Пу. Пусть Ку — компонента CJ-1',
a s —путь в Т из v в вершину ю, такую, что wf = v. Тогда sf
есть петля с началом v в С, представляющая некоторый элемент h
из G. Но каждый элемент х = е в Ху представим петлей p = sqs~i
с началом v из С, где q есть петля с началом w в Ку.
Поэтому qf — это петля с началом v в Ci, представляющая неко-
торый элемент g из Gz, a pf представляет элемент hgh~l группы
hGft-*. Отсюда следует, что /* отображает Hj изоморфно на под-
172 Гл. III. Геометрические методы
группу группы /iG,/!-1. Значит, подгруппа И, изоморфная группе Н,
есть свободное произведение таких подгрупп HJ* из hGth~l
и свободной группы HLf*. □
Следующая теорема Грушко — Неймана была независимо до-
казана Грушко [1940] и Нейманом [1943], а в случае бесконечного
числа порождающих — Вагнером [1957]. Несколько более общее
утверждение доказано Хиггинсом [1966] с помощью группоидов,
а при еще более общих предположениях — Линдоном [1963];
см. также статьи Линдона [1965] и Коэна [1972] Приведенное ниже
доказательство — это, в сущности, переработанное Масси доказа-
тельство Столлингса [1965]; см. Масси и Столлингс [1977].
Предложение 3.7. Пусть F — конечно порожденная свободная
группа и а — гомоморфизм из F на свободное произведение А = *
групп А^, AgA. Тогда F есть свободное произведение групп FK,
F= * так что F\a=A^ для каждого AgA.
□ Пусть X — базис для F, а Н — комплекс без двумерных кле-
ток с единственной вершиной v и ребрами е, находящимися во
взаимно однозначном соответствии с элементами х из X. Если ха —
=аг ... at — нормальная форма в А= * Ах, то разобьем соответ-
ствующее ребро: е=ех ... et. Пусть К° — полученный комплекс,
который мы рассматриваем как двумерный комплекс без двумерных
клеток. Определим морфизм ср из реберного группоида комплекса
К° в А, полагая для упомянутых х и е ег<р=
Мы займемся рассмотрением конечных двумерных комплек-
сов К с отмеченной вершиной и, оснащенных морфизмом ср из ре-
берного группоида в А. Для каждого А определим подкомплекс
Дх в К (не обязательно связный), состоящий из всех ребер е, удов-
летворяющих условию е<рС Ах, и всех двумерных клеток, ограни-
ченных петлями, все ребра которых лежат в Кк- Рассмотрим сле-
дующие свойства:
(1) существует изоморфизм 0: л(Д, v)^F, такой, что если р
есть петля с началом в v, а [р] — ее гомотопический класс, то
[р]0а=рср;
(2) п Ах есть дизъюнктное объединение деревьев.
Очевидно, что К° обладает этими свойствами.
Покажем, что, если данный комплекс К обладает свойствами
(1), (2), а пересечение л^х несвязно, то можно изменить К, чтобы
получить новый комплекс К' с теми же свойствами и такой, что пере-
сечение л^х имеет на одну компоненту меньше, чем л^х- Для
этого дадим одно определение и сформулируем лемму. Связка опре-
деляется как путь р, соединяющий точки в различных компонентах
пересечения л^х, такой, что р^Кк для некоторого А и р<р=1.
Лемма 3.8. Если Л-Кх несвязно, то существует связка.
3. Накрывающие отображения
173
Мы отложим доказательство леммы.
Допустим, комплекс К таков, что р К-,. несвязно. По лемме
существует связка р. Образуем К', добавляя к К ребро е с теми
же конечными точками, что и у связки р, и клетку с границей
ре~х. Доопределим ф посредством формулы еср=1. Проверка по-
казывает, что К' удовлетворяет условиям (1) и (2) и что p/Q
имеет на одну компоненту меньше, чем рК?..
После повторения этой конструкции появится комплекс К,
удовлетворяющий (1) и (2) и такой, что рКх есть дерево. Из
построения К можно усмотреть, что различные и Kv не имеют
общих двумерных клеток, а их общие ребра —только те, кото-
рые принадлежат пересечению р Кк, так что A Kv = П Ах- Из
теоремы Зайферта—ван Кампена III.3.5 следует тогда, что
л (К, v)= п). Из (1) вытекает, что если FK — n(Kx, v),
то F= и Поскольку а отображает F на А, то
FKa = AK. □
Докажем теперь лемму. Так как рЛ\ несвязно, существует
путь р в К, соединяющий v с некоторой вершиной v' из другой
компоненты пересечения р Поскольку а отображает F на А,
существует петля q с началом в v из К, такая, что щр = рф.
Пусть г = <7-1р. Тогда г является путем от v к v', причем лр= 1.
Представим г в виде r = r1r2...rf, где соседние rz не лежат
в одном Кк- Так как v' ^=v, то r^= 1 и 1. Выберем по точке
в каждой компоненте пересечения р Кк в качестве «основных то-
чек», причем так, чтобы v и v' оказались среди них. Выберем,
далее, для 1 <1 i < t путь ut в р из конечной точки пути rt
к основной точке той компоненты пересечения р которая
содержит ее. Пусть s = s1.. .st, где sx = s2 = ыр1г2ц2, ..., s/_1 =
= st = u7-irt> очевидно, sq> = r<p=l.
Теперь мы выбросим все sz, которые являются петлями, удов-
летворяющими условию sz(p= 1, и объединим соседние sz, лежащие
в одном Тем самым получим произведение s' = s^...sz. Оста-
лось убедиться в том, что з'ф = 5ф=1 и что соседние пути sz
лежат в разных К}., а потому соседние элементы 5,-ф принадлежат
различным группам Ак. Повторяем это построение, чтобы полу-
чить произведение s" = .. ,st„, такое, что $"ф=1, соседние 8;ф
лежат в разных Ак и ни один из путей si не является петлей,
такой, что s/ф = 1. Кроме того, поскольку s" идет от и к и',
^^1. Но в свободном произведении А соотношение (s'/ф).,.
• ..(8^ф)=1 означает, что некоторый сомножитель s’/ф равен 1.
Ввиду того что мы исключили все петли, такие, что sz ф = 1, путь Si
должен начинаться и кончаться в основных точках различных
компонент из рА\. Следовательно, s"i есть связка, что и требо-
валось. □
174
Гл, III. Геометрические методы
4. Комплексы Кэли
Прежде чем обратиться к точным определениям, сделаем не-
сколько неформальных замечаний. Хорошо известно, что Кэли
[1878] показал, что каждая абстрактная группа, удовлетворяющая
одной из стандартных систем аксиом, изоморфна группе подста-
новок. В самом деле, правое регулярное представление А отобра-
жает группу G изоморфно на некоторую группу подстановок ее же
элементов. Каждому элементу g g G соответствует подстановка
gA: hr—>hg. У нас нет какого-либо указания на то, что Кэли рас-
сматривал подстановки g\ как множества упорядоченных пар,
однако такой взгляд указывает подход к еще одному из важных
открытий Кэли [1878], а именно цветных групп или групповых
диаграмм (Gruppenbild).
При взгляде на g\ как на множество {(/i, hg); h£G} упорядо-
ченных пар естественно представить его графом с множеством
вершин V=G и с (ориентированными) ребрами из h к hg для каж-
дой упорядоченной пары (/i, hg) в gX Если же рассматривать не-
сколько различных gA сразу, то легко различать их с помощью
раскраски ребер, относящихся к разным g&, в разные цвета. Это,
по существу, и есть диаграмма Кэли группы G относительно мно-
жества X рассматриваемых элементов g. Эта диаграмма, очевидно,
связана в точности тогда, когда X порождает группу G, и мы ни-
чего не потеряем, ограничиваясь этим случаем.
Нам удобно несколько изменить запись и предполагать, что G
задана как факторгруппа свободной группы F с базисом X. Удобно
также для h £ G и w £ F обозначать через hw произведение в G эле-
мента h и образа слова w. Введем, далее, для каждого h £ G и х С X
ребро из h в hx и пометим его, но не цветом, а самим элементом х.
После добавления обратных ребер это дает диаграмму Кэли, отве-
чающую одномерному остову комплекса Кэли, который мы сейчас
определим точно.
Пусть G=(X; R), где R является множеством циклически приве-
денных слов в свободной группе F с базисом X. Построим ком-
плекс Кэли С—С(Х; R) этого представления. В качестве множества
вершин возьмем V=G, в качестве множества ребер выберем GXL
(декартово произведение), где L=X U X-1, а множеством граней
будет G X (R U R'1)- Ребро (g, у) для g£G, y£L идет по определению
от g к gy; обратным является (gy, у-1). Комплекс Кэли оснащается
размечающей функцией, которую мы зададим, прежде чем перейти
к граням. Каждому ребру e=(g, у) мы сопоставляем метку eq—у.
Заметим, что (е-1)ф=(вф)“1. Продолжаем далее функцию ф муль-
типликативно: пути p=et...en в качестве метки сопоставляем
слово рф=(С1ф) .. • (епф). Таким образом, pq — приведенное слово,
если и только если р — приведенный путь. Очевидно, ф индуцирует
гомоморфизм из фундаментального группоида л (С1) на F. Для
4. Комплексы Кэли
175
любой вершины v функция <р устанавливает взаимно однозначное
соответствие между множеством путей, начинающихся в и, и мно-
жеством всех слов. Кроме того, мы иногда будем писать рф для
элементов из F и даже для элементов группы G, определенных
словом рф. Тогда можно заметить, что если р начинается в и, то
его концом будет ц(рф); в частности, р является петлей тогда и
только тогда, когда рф содержится в нормальном замыкании W
множества R в F. Теперь приступим к граням. Для g £ G и s £ (J
грань D определяется обычно границей dD цикла, определенного
петлей р с началом g и меткой рф=х.
Метка границы клетки D с началом в некоторой точке будет
называться граничной меткой. Мы видим, что множество R * гра-
ничных меток состоит из всех циклических перестановок приведен-
ных слов из R и обратных к ним.
Под автоморфизмом а комплекса Кэли мы понимаем автомор-
физм двумерного комплекса С, сохраняющий метки: для каждого
ребра е выполняется равенство (га)ф=вф. Ясно, что у комплекса С
те же самые автоморфизмы, что и у комплекса С1. Следующее ут-
верждение является просто переформулировкой того, что центра-
лизатор правого регулярного представления в полной симметри-
ческой группе на множестве элементов из G есть левое регулярное
представление.
Предложение 4.1. Автоморфизмы комплекса С(Х; R)—это
в точности отображения, индуцированные левыми сдвигами на эле-
менты h из G:
g^hg, (g, y)*->(hg, у), (g, r)^(hg, г). □
Тем самым получено важное следствие: комплекс С однороден
в том смысле, что группа его автоморфизмов транзитивна на мно-
жестве вершин. Из этого утверждения также следует, что не су-
ществует нетривиального автоморфизма, оставляющего на месте
вершину или ребро.
Справедливость следующего утверждения следует, по существу,
из самой конструкции.
Предложение 4.2. Комплекс С(Х; R) односвязен, т. е. л(С(Х;
₽))=1.
□ Пусть р — петля с началом в и. Нужно показать, что р~\.
Поскольку рф С N, a N есть нормальное замыкание множества R,
то рф=Д ... fn, где fi^UtSiUp1 для некоторых щ С F и s; С R U R'1-
Но каждое слово /г является меткой петли р^сф^1, где vt с мет-
кой ut идет от v к о(ыгф), a tt — граничная метка с началом в ц(ыгф)
грани (ц(ыгф), S/). Так как /г~1, рг~1, а также p~pt ... рп, при-
чем р;~1 для всех I, то получаем р~1. □
Следующее теперь очевидно,
176 Гл. III. Геометрические методы
Предложение 4.3. Комплекс К(Х; R) есть факторком-
плекс комплекса С(Х; R) по группе его автоморфизмов х). □
5. Планарные комплексы Кэли
В начале настоящего параграфа наше изложение непосредст-
венно основано на идеях Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972].
Их цель была несколько иной — доказать ряд важных теорем, не
прибегая даже к самой элементарной геометрии и топологии. Мы
быстро выходим из таких рамок, возвращаясь к подходу в духе
Цишанга, Фогта и Колдьюи, но избираем при этом некоторый про-
межуточный путь, используя впредь ограниченное число отмечен-
ных выше фактов о геометрии двумерных комплексов. Допуская
небольшое изменение определения диаграммы Кэли, предложенное
уже самим Кэли, мы сможем применить схожие методы к группам
изометрий гиперболической плоскости, которые могут содержать
отражения — неевклидовым кристаллографическим группам, ис-
следованным Уилки [1966], Макбетом [1967] и Хором (препринт).
Поскольку, если не менять определений, неевклидовы кристалло-
графические группы не попадают в круг рассматриваемых здесь
вопросов, то мы отложим их изучение до § 8.
Сосредоточим теперь внимание на вопросе, каковы группы, до-
пускающие такие представления G=(X; R), что соответствующий
комплекс Кэли С=С(Х; R) вложим в двумерное многообразие.
Точный смысл, который нужно придать слову «вложим» в этом
контексте, станет ясен из дальнейшего. Назовем такой комплекс
(локально) планарным. На самом деле, ввиду того что комплекс С
односвязен, если он вообще допускает такое вложение, он вложим
в плоскость или сферу, причем в сферу (в локально конечном слу-
чае) в точности тогда, когда группа G конечна. Для конечных
групп эту задачу решил Машке [1896]; такие группы — это по су-
ществу конечные группы изометрий двумерной сферы. Для беско-
нечных групп ответ также хорошо известен (см., например, Ци-
шанг [1966] и Цишанг, Фогт и Колдьюи [1970]). Это суть фуксовы
группы (включая группы с неориентируемым факторпространством)
и некоторые свободные произведения циклических групп.
Предположим, что G=(X; R) и комплекс С=С(Х; R) вложим
в двумерное многообразие М и, более того, что он уже вложен в М.
Единственное предположение относительно этого вложения со-
стоит в том, что некоторая окрестность каждой вершины вложима
в плоскость. Под геометрической гранью мы будем понимать пару
т. е. ориентируемую область многообразия вместе с двумя
своими ориентациями. Допустим, что в R содержится два различ-
9 Комплекс С(Х, R), вообще говоря, не является накрывающим для К(Х, R),
как ошибочно указано в оригинале (сообщено Р, Линдоном), — Прим, ред,
5. Планарные комплексы Кэли
177
ных сопряженных элемента, скажем r=uv и r'=vu. Тогда для лю-
бой вершины х две грани (х, uv) и (хи, vu) должны иметь одну и
ту же границу. Поскольку г=^г', то это не тот частный случай,
который предусмотрен конструкцией комплекса С, и эти две грани
различны. Следовательно, имеется две геометрические грани с оди-
наковой границей, и их объединение есть топологическая сфера,
а значит, все многообразие М. Тот же вывод получается, если один
из элементов множества R сопряжен с обратным к другому. В обоих
случаях одномерный остов комплекса С есть общий граничный
цикл, откуда следует, что G является конечной циклической груп-
пой и имеет представление G=(x; хт). Таким образом, исключая
этот случай, мы можем предполагать, что ни один элемент из R
не сопряжен с другим элементом из R или с обратным к такому
элементу.
Как и раньше, R* означает множество всех циклических пере-
становок элементов из R и им обратных, а корень s из элемента
г^=1 есть единственный такой элемент, что r=sm с максимальным т.
Пусть S — множество всех корней элементов из R, a S* — мно-
жество элементов, сопряженных с элементами из S и им обратными.
Очевидно, что S* есть множество всех корней элементов из R*.
Предложение 5.1. Если комплекс С планарен, то множество S
квадратично над X.
□ Если xgX, sgS ns содержит вхождение буквы х в виде x+l
или х-1, то существует единственная циклическая перестановка $*
элемента $±х, которая начинается с этого вхождения буквы х.
Следовательно, вхождения х в виде х или х-1 в элементы из S на-
ходятся во взаимно однозначном соответствии с элементами из R*,
начинающимися с х.
Для каждого г G. R* существует ровно одна петля р с началом
в данной вершине v и меткой рц>=г. Имеется ровно одно ребро е,
выходящее из и и удовлетворяющее условию е<р=х. Это ребро мо-
жет быть начальным не более чем у двух петель. Следовательно,
существует не более двух элементов r£R*, начинающихся с х. □
Напомним (см. 1.7), что звездный граф 2 (S) множества S слов
над X — это граф с множеством вершин L—X U X-1 и неориенти-
рованными ребрами, соединяющими элементы у и г из L, если
в некоторый элемент из S* входит у~хг или (в случае, когда г—у-1)
если у принадлежит множеству S*.
Остальная информация, которую можно извлечь из геометриче-
ского предположения планарности, состоит в следующем.
Предложение 5.2. Пусть конечное подмножество So в S строго
квадратично над конечным подмножеством Хр из X. Тогда Se=S,
^о=Х и S (S) есть цикл,
178
Гл. III. Геометрические методы
□ Зафиксируем вершину v и некоторую ориентацию окрестности
этой вершины. При этом имеет смысл говорить о некотором цикли-
ческом порядке, в котором находятся ребра с началом вой мет-
ками из Lo=-Xo U ХД скажем, ..., е2/, причем егф=г/,, 1=
==|Х0|. По предположению каждый встречается дважды в So,
а значит, уже знакомые нам рассуждения показывают, что имеется
ровно две грани с вершиной v и граничными путями р и р', кото-
рые, выходя из v, начинаются с ребра eit а их метками являются
степени различных элементов s и s' из S*. Пути р и р' оканчиваются
ребрами е-1 и е'-1, где е и е'— ребра, выходящие из v. Их метки
у и у' входят в s и s', а следовательно, принадлежат множеству Хо-
Отсюда вытекает, что е и е' совпадают с е{_ t и ei+i.
Мы установили, что между соседними (в циклическом порядке)
ребрами ег и е1+1 есть клетка Dit граница которой с началом в вер-
шине v имеет метку вида гг=зГ‘, s, £ S*. Но эти ребра et и клетки
Dt образуют окрестность вершины v. Значит, среди них содер-
жатся все клетки и ребра с вершиной v. Поэтому Хй—Х и S0=S.
Поскольку граница клетки Dt содержит отрезок е^е(, в ее метке
есть вхождение yi\yi, т. е. yt и у{+i связаны в 2 (S). Следовательно,
2(S) является циклом. □
Определим теперь F-группы как группы, обладающие конечным
представлением G=(X; /?), таким, что множество S корней из эле-
ментов множества R является строго квадратичным над X и имеет
циклический звездный граф. Более явную характеризацию таких
групп дают предложения 5.3 и 5.4. По существу это фуксовы груп-
пы (с ориентируемым или неориентируемым факторпространством),
исключая те, которые разлагаются в свободные произведения цик-
лических групп.
Предложение 5.3. Каждая F-группа обладает представлением
вида
0 = (xit ..., хр, yit ..., у„; X?*, ..., х^р, Xi...xpq),
где р, п^О, все т{ больше 1 и либо
<7 = [i/i. Z/2] • • • l>2£-i> H2g] для п = 2g,
либо
Q = lfi---yg для n = g.
□ Как следует из 1.7, можно преобразовать систему S с помощью
подходящей последовательности автоморфизмов из F, приводя ее к
виду Si=Xi, ..., sp_1=xp^1, Sp=Xi... xp_xq для некоторого р и сло-
ва q, имеющего одну из двух написанных выше форм над некоторым
подмножеством Уо множества остальных порождающих Y. Так как
граф 2 (S) связен, то (см. 1.7.8) система S минимальна, а поскольку
5. Планарные комплексы Кэли
179
она строго квадратична над X, ее общая длина равна 2|Х|. Следо-
вательно, полученная из S таким преобразованием система имеет
ту же длину, а значит, содержит все порождающие. Таким обра-
зом, получаем представление группы G вида
G = (хп ..., xp-i, yt, .... у„; xTl, ..., xmppf, spp),
где все mt больше или равны 1, з/, = х1.. .xp_rq, a q имеет одну
из нужных форм. Преобразованием Тице введем новую образую-
щую хр и новое соотношение xpsp. Соотношение s™p может быть
заменено при этом соотношением х™р. После удаления всех xf,
для которых т{ = 1, и перенумерации х; представление приобретает
требуемый вид. □
Легко видеть, что каждая группа вида 5.3 есть F-rpynna.
Предложение 5.4. Группа, обладающая представлением, комп-
лекс Кэли которого вложим в двумерное многообразие, является
либо F-группой, либо свободным произведением циклических групп.
□ По предложению 5.1 планарная группа G обладает представле-
нием G=(X; R), где множество S корней элементов из R квадра-
тично над X. Множество S распадается на связные компоненты Sf,
а базис X может быть разбит на множества Хг так,что каждое Sj
квадратично над Хг и множество Хй, состоящее из порождающих,
не встречающихся в S. Пусть Ri — множество элементов, корни
которых лежат в S;. Ясно, что группа G разлагается в свободное
произведение группы Go=(Xo; 0) и групп Сг=(Хг; Ri). По пред-
ложению 5.2 если некоторое Si конечно и строго квадратично над
Xiy то Si=S, Xt = X, граф S (S) связен и G—Gi является по опреде-
лению F-группой. В противном случае каждое St или бесконечно,
или конечно, но не строго квадратично. Некоторый автоморфизм
группы F, затрагивающий лишь элементы из Xt, позволяет считать
(см. 1.7.4 или 1.7.5), что SisX,. Поэтому G, есть свободное произ-
ведение циклических групп, а так как Go — свободная группа, то
группа G является свободным произведением циклических групп. □
Каждая F-группа, очевидно, конечна или счетна. Ясно также,
что мощность планарной группы не больше, чем континуум, а для
групп этой мощности вложение комплекса Кэли, по-видимому,
Должно быть весьма патологическим. Если потребовать, чтобы
вложенный комплекс был локально конечным, то, очевидно, группа
Должна быть конечно порожденной. Мы не предполагаем этого,
но следующую теорему посвящаем группам с не более чем счетным
множеством порождающих.
Предложение 5.5. Пусть G является либо F-группой, либо сво-
бодным произведением не более чем счетного числа циклических
180
Гл. III. Геометрические методы
групп. Если группа G конечна, то она обладает представлением,
комплекс Кэли которого вложим в сферу, а если бесконечна,— то
представлением, комплекс Кэли которого вложим в плоскость.
□ Известно, конечно, гораздо больше. На основе геометрических
и аналитических представлений можно, разумеется, получить
гораздо более сильные результаты, однако приведенное скромное
утверждение допускает более элементарное доказательство. Пусть
сначала G — это F-группа или свободное произведение с представ-
лением G=(X; К), таким, что множество S корней из элементов,
лежащих в К, строго квадратично над X, а граф S (S) цикличен.
Это означает, что ребра и грани с вершиной v образуют некоторую
окрестность N (о) точки v. Такие множества N (р), очевидно, покры-
вают комплекс С, а значит, каждая точка (не обязательно вершина)
в геометрической реализации комплекса С имеет окрестность,
гомеоморфную кругу. Отсюда следует, что С является связным дву-
мерным многообразием без края. В силу 4.2 комплекс С односвя-
зен и является плоскостью или сферой. Если группа G конечна,
то в С содержится конечное число клеток, а следовательно, этот
комплекс должен быть сферой, а не плоскостью. Если же группа G
бесконечна, то комплекс должен быть плоскостью, ибо легко ви-
деть, что С есть объединение бесконечной возрастающей последо-
вательности топологических кругов, таких, что граница каждого
находится внутри следующего. Такое объединение не может быть
сферой.
Пусть теперь G разлагается в свободное произведение цикличе-
ских групп, G=(xb i£/; хГ', i£/), где множество индексов /
не более чем счетно, а все т£- больше или равны 0. Если группа G
конечна, то она циклична и является F-группой — случай уже
рассмотренный, так что считаем группу G бесконечной. Выберем
вершину v на плоскости и для каждого i£l выпустим из v пару
ребер ег, et', расположенных так, что между ег и e'i (при обходе вер-
шины v) нет никаких ребер. Если тг>0, то строим петлю /г длины
т; с началом в v, первым ребром е, и последним ребром е--1. По-
метим все ребра петли /г буквой х;. Если Dt — область, ограничен-
ная петлей lt, то ее граничной меткой является xTfi. Если же тг=0,
то выберем два бесконечных пути lt и Г{, выходящих из v и не имею-
щих других пересечений. Первый начнем ребром eit а второй —
ребром е}, сопоставляя всем ребрам первого пути метку xit а ребрам
второго пути — метку xj1. Пусть Dt — неограниченная область,
расположенная между lt и Г{ при обходе v по часовой стрелке.
(Все это можно проделать без особенностей. Например, мы можем
взять v в начале координатной системы, а каждую Di в правом
верхнем секторе, заключенном между лучами, выходящими из v
с наклонами l/2i и 1/ (2i’4-l).) Образованный комплекс обозначим
пока через Со.
5. Йланарные комплексы Кэли
181
Предположим теперь по индукции, что мы уже имеем комплекс
Сп, который содержит Див котором звезда каждой вершины и'
содержится в подкомплексе С (v'), изоморфном подкомплексу ком-
плекса Со. Можем считать комплекс С (v') максимальным с этим
свойством. Если С (o') не изоморфен еще всему Со, то мы можем
расширить С (o') тем же способом, каким мы перед этим конструи-
ровали комплекс Со. Обозначим через Сп+1 результат применения
такой процедуры ко всем С (o') для о' £Сп, скажем, в порядке воз-
растания длины кратчайшего пути из о к о'. Тогда объединение
всех Сп есть, очевидно, комплекс Кэли для данного представле-
ния. □
Мы дадим более эффективное построение комплекса Кэли пред-
ставления, обладающего планарным комплексом Кэли. Оно дает
очень простое решение проблемы равенства слов для таких групп,
хотя такое доказательство, видимо, менее изящно и полезно, а
кроме того, имеет меньше приложений, чем другие доказательства.
Для произвольного графа С определим расстояние d(v, v')
между двумя его вершинами v и v' как минимальную из длин путей,
соединяющих их. Тогда для любого п^О и любой вершины v шар
радиуса п с центром в v — это подкомплекс Вп(С, V), множество
вершин которого есть У={у'; d(v, v’)^.n}, а ребрами и гранями
являются те ребра и грани из С, которые не инцидентны никаким
другим вершинам, кроме точек из V.
Лемма 5.6. Если для некоторого представления G=(X; R) одно-
мерный остов В\ шара Вп(С, 1) в С=С’(Х; R) при каждом п коне-
чен и его можно эффективно построить, то для этого представ-
ления проблема равенства слов разрешима.
□ Пусть задано w £ F, и нужно определить, содержится ли w в N.
Пусть р — путь в комплексе С с началом в 1 и меткой ш. Тогда
N в том и только том случае, когда р является петлей, т. е. кон-
чается в 1. Но ясно, что р содержится в В\ для п=|ш|. Если В\
строится эффективно, то можно проверить, является ли 1 концом
пути р. □
Предложение 5.7. Если представление (X; R) имеет планарный
комплекс Кэли, то проблема равенства слов для этого представле-
ния разрешима.
О Можно считать, что G=(X; R) — бесконечная F-группа. Мы
Должны показать, как построить В„(С) для С=С(Х; R) и произ-
вольного п. Допустим, что некоторый двумерный комплекс К яв-
ляется комбинаторным кругом, причем его ребра помечены элемен-
тами из L так, что (е~ 1)<р=(е<р)-1, а ф — (сохраняющий метки)
гомоморфизм комплекса К в С, являющийся инъективным на клет-
182 Гл. III. Геометрические методы
ках, за исключением, возможно, вершин на границе дК. Ясно, что
ф не может быть эпиморфизмом и дК=£0. Пусть некоторое ребро е
в дК инцидентно грани D комплекса К. Образ еф отделяет в С £>ф
от некоторой другой грани D'. Пусть 0 — вложение D' в С, а К'—
факторпространство дизъюнктного объединения К U D' по ядру
отображения фU 9: K\]D’-*C. Обозначим через ф' индуцирован-
ное отображение из К' в С. (Обычно К' является объединением К
и £>' с отождествленным отрезком границы р, содержащим е; но
если р отождествляется со всей dD', то два конца отрезка р в К
станут одной точкой в К'.) Из предположения относительно ф и
инъективности отображения 0 следует, что ф' инъективно, за ис-
ключением, может быть, вершин в дК' Имеется также индуциро-
ванный гомоморфизм о из К в К', такой, что оф'=ф.
Очевиден способ, каким нужно каждый раз выбирать ребро е,
чтобы, повторяя эту конструкцию, мы могли построить К*, ф*
(удовлетворяющие тем же условиям, что и К, ф) и отображение о*:
такое, что о*ф*=ф, причем дополнительно получить вклю-
чение Ks(K*—дК*). Начнем теперь с комплекса Ко, содержащего
единственную вершину у0, и отображения ф0: у0|—> 1 € С. Выбирая
подходящие Kn+i=Kn, получаем отображения фп: Кп-^С и оп:
Кп^Кп+±, такие, что все пары Кп, Фп удовлетворяют требованиям
К к И ф, что Опфп+1=фп и Кп^(Кп+1—дКп+1). Проверка локаль-
ного строения показывает, что прямой предел Кт этой системы
изоморфен комплексу С при индуцированном отображении ф^:
Из условия Кп^(Кп+1—dKn+i) с помощью индукции выво-
дится, что BntC^Kntyn- Значит, фл+1 отображает Bn(Kn+i, Уо)-
на Вп(С, 1) изоморфно. Зная способ построения комплекса K„+fj
мы также получим Bn(Kn+i, v0), а значит, Вп(С, 1) и BJ(C, 1). Ц
Нужно подчеркнуть, что в противоположность построению Ци<
шанга [1966] мы заранее считаем, что С лежит в плоскости. ИначА
не было бы гарантии инъективности отображения фл. Более общая
конструкция комплексов Кэли приведена ниже в § III. 12.
Отметим одно обобщение предыдущего утверждения. Скажем,,
что некоторый связный двумерный комплекс К удовлетворяет
условию максимальности, если для любой вершины у0 и любого
(замкнутого) комбинаторного круга Q в К максимальное значение
d(po, v) для всех v из Q достигается на границе dQ. Линдон [19671
показал, что каждый двумерный комплекс типа С (3,6) или С (4,4)
в смысле гл. V удовлетворяет условию максимальности, и из хо-
рошо известных свойств F-групп нетрудно вывести, что в комплексе
Кэли любого строго квадратичного представления такой группы
также выполнено условие максимальности. В следующем утверж-
дении предполагается, что представление рекурсивно; это автома-.
тически выполняется, если R конечно.
6. F-группы. Продолжение
183
Предложение 5.8. Если комплекс Кэли некоторого представле-
ния удовлетворяет условию максимальности, то проблема равенства
слов для этого представления разрешима.
□ Нужно опять доказать конструктивность одномерного остова
Вп шара Вп=Вп(С) комплекса Кэли С. Построим одномерный ком-
плекс А с метками из Y следующим образом. Вершинами в А будут
все элементы w из F, длина которых не больше п. Если для некото-
рого у из L как w, так и wy принадлежит А, то введем ребро е с мет-
кой у, идущее от w к wy, а также ему обратное. Определим отноше-
ние sxu на вершинах комплекса А, которое имеет место в точности
тогда, когда существует путь от w к и, являющийся произведением
путей вида zqz~x, где метка пути q принадлежит R*. Это есть, оче-
видно, отношение эквивалентности; более того, его можно расши-
рить до эквивалентности на ребрах из А, которая сохраняет инци-
дентность и метки. Поэтому мы можем рассмотреть факторпрост-
ранство В комплекса А по модулю этого отношения. Оно, очевидно,
конечно и конструктивно, и мы собираемся доказать, что В изо-
морфно В„.
Заметим сначала, что Вп односвязно. Для этого мы должны
показать, что, если р — петля в Вп, то она стягиваема в Вп.Очевид-
ная редукция позволяет считать р простой петлей. Поскольку С
односвязен, р есть граница комбинаторного круга Q в С. Условие
максимальности говорит теперь о том, что круг Q лежит в Вп, ибо
в Вп находится его граница р.
Для изоморфизма между В и В„ достаточно показать, что если
w — некоторая вершина в Л и ее образ в С при очевидном отобра-
жении есть вершина 1, то w и 1 имеют одинаковый образ в В, т. е.
w& 1. Предположение означает, что путь р в С с меткой w является
петлей и что р лежит в Вп. Из стандартных соображений p~pt ...
1
... pt, где каждый pt имеет видг^г-1 для z, q из Вп, причем метка
пути q принадлежит R*. Поскольку путь р из А с меткой w
1-эквивалентен произведению путей pt из А с теми же метками,
что у pt, причем pt идет из вершины 1 в вершину w, то из опреде-
ления следует, что 1&W. □
6. F-группы. Продолжение
Мы собираемся теперь установить некоторые хорошо известные
утверждения о фуксовых группах с помощью методов, базирую-
щихся в основном на комплексах Кэли. Здесь мы избираем проме-
жуточный способ между использованием классических метриче-
ских и аналитических соображений и совсем негеометрическим ме-
тодом Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972]. Из обоих этих ис-
точников мы многое позаимствовали. Для некоторых целей кажется
предпочтительнее рассматривать не комплекс Кэли, а дуальный
184
Гл. III. Геометрические методы
комплекс, взятый из обычного аналитического подхода. Его мы
будем называть фуксовым комплексом. Однако поначалу в нем
потребности не возникает. Книга Цишанга, Фогта и Колдьюи
по-прежнему существенно используется.
Назовем комплекс Кэли С(Х; R) строго планарным, если он
планарный, но не сферический, т. е. если он планарный и беско-
нечный.
Предложение 6.1. Нетривиальный автоморфизм строго планар-
ного комплекса С не имеет неподвижных точек и геометрических
ребер', если он обладает инвариантным непустым конечным объеди-
нением граней, то оставляет на месте ровно одну грань.
□ Рассмотрим группу G=(X; /?) с планарным комплексом Кэли
С=С(Х', R). Мы видели, что все автоморфизмы комплекса С за-
даются с помощью левых умножений на элементы из G. Пусть
а — автоморфизм, определяемый левым умножением на элемент
g=^\ из G. Тогда а не может оставлять неподвижной какую-то вер-
шину h, ибо иначе gh=h. Если бы неподвижным оставалось геомет-
рическое ребро {е, е-1}, то, поскольку его конечные точки не ос-
таются на месте, они должны переставляться, а значит, перестав-
лялись бы ребра е и е-1, что невозможно, ибо они имеют’ противо-
положные метки. Отсюда мы также заключаем, что а не может
оставлять на месте простую дугу, так как в этом случае остава-
лись бы на месте или средняя вершина или среднее ребро этой дуги.
Предположим теперь, что а оставляет на месте некоторое конеч-
ное объединение граней Е. Поскольку а переставляет конечное
множество вершин в Е, некоторая степень автоморфизма а должна
оставлять на месте одну из них. Как и выше, отсюда следует, что g
имеет конечный порядок п>1. Выберем теперь некоторый конеч-
ный связный подкомплекс S, содержащий Е и аЕ. Тогда объеди-
нение Е' всех glS для /=0, 1, ..., п—1 конечно, связно и инвари-
антно относительно а. Если Е"— объединение Е' и конечных ком-
понент его дополнения, то Е" конечен, связен, односвязен и ин-
вариантен относительно а.
Упрощая обозначения, можем считать, что комбинаторный
круг Е инвариантен относительно а. Мы покажем индукцией по
числу граней в Е, что а оставляет на месте единственную грань в Е.
Если в Е только одна грань, то утверждение тривиально. Если бы
в Е входило ровно две грани, то автоморфизм а должен был бы
оставлять на месте геометрическое ребро, разделяющее их, что, как
мы видели, невозможно. Тогда можно предположить, что в Е есть
по крайней мере три грани. Легко видеть далее, что должна су-
ществовать такая грань D в Е, что часть границы dD, лежащая
на границе множества Е, является простой дугой. Поскольку авто-
морфизм а не может оставлять на месте эту дугу, то он не может
оставлять на месте и D, и то же самое относится и к любой его не-'
6. F-группы. Продолжение
185
тривиальной степени. Поэтому a‘D —это п различных граней, каж-
дая из которых пересекается с дЕ по некоторой простой дуге. Если
aJD следует за D при обходе дЕ, то а' обязательно имеет порядок п,
а значит, порождает ту же группу, что и а. После замены а на а1'
можем считать, что D, aD, ..., ап~Ч) расположены в циклическом
порядке вдоль дЕ. Если a'D не пересекаются, то Е'=Е—Ua‘D
опять является кругом, инвариантным относительно а, и утвержде-
ние выводится по индукции. Легко видеть, что если D пересекает
некоторую грань a‘D, то грань D должна пересекать aD и a-1D.
Более того, если бы грань D пересекала какую-то а'Т), кроме aD
и a~yD, то r\a‘D было бы точкой, неподвижной относительно а.
Таким образом, можно предполагать, что D пересекает aD, a~TD,
но не другие a‘D.
При п=2 пусть V — дополнение к объединению внутренностей
граней D и aD, a Vo — компонента в VП Е, содержащая D[\aD.
Отметим, что Ео есть цепь простых дуг и кругов, а а переворачи-
вает эту цепь. Однако автоморфизм а не может оставлять инва-
риантной некоторую простую дугу; более того, он не может пере-
ставить два соседних круга, ибо иначе он оставлял бы неподвижной
их общую точку. Поэтому некоторый круг в остается на месте
и заключение получается по индукции.
Пусть п>2 и D'— объединение грани D с замыканиями всех
ограниченных компонент дополнения к D(]aD. Тогда D' f]aD' =о,
где а — это или точка р—q на дЕ, или простая дуга из точки р,
лежащей на дЕ, во внутреннюю точку q круга Е. Теперь замечаем,
что a<7=#<7, a dD' состоит из о, а~ха, дуги на дЕ от а~гр к р и дуги т
от a~lq к q. Таким образом, Ua'x есть простая замкнутая кривая,
инвариантная относительно а, которая поэтому ограничивает
меньший круг Е' в круге Е, причем Е' инвариантен относительно а.
Утверждение опять же получается по индукции.
Этим закончено индуктивное доказательство того, что инва-
риантный комбинаторный круг содержит ровно одну инвариант-
ную грань. Отсюда следует, что нетривиальный автоморфизм а
может оставлять на месте не более одной грани, ибо при наличии
двух инвариантных граней автоморфизм а имел бы, как и выше,
конечный порядок и обе эти грани включались бы в некоторый ин-
вариантный комбинаторный круг. □
Предложение 6.2. Пусть группа G—(X\ R) имеет планарный
комплекс Кэли С=С(Х; R), a S — множество корней из R = {sm(s);
s £ S}. Тогда каждый 1 нетривиальный элемент конечного порядка
в G есть образ слова и^и"1, где s — однозначно определенный
элемент из S, показатель b единствен, если 0<.b<jn(s), а слово
и единственно с точностью до замены на и‘'—us‘.
□ Допустим, что элемент g из G имеет конечный порядок п>1.
Если D — некоторая грань, то конечное объединение Е граней
186
Гл. III. Геометрические методы
g‘D инвариантно и по предыдущему утверждению g оставляет на
месте единственную грань Do. Пусть Do имеет граничную метку
г g R с началом в некоторой вершине и на границе dDa. Так как g
оставляет на месте DB, то gu лежит на dD0 и Do обладает граничной
меткой г с началом в gu. Если t — метка дуги на dD0, идущей из|
и в gu, то r=tn, а так как r=sm(J> для некоторого s g S, то /=s*j
для некоторого b, 0<b<Zm(s), и nb—m(s). Теперь, согласно опре-1
делению слова t, gu=ut. Значит, g есть образ слова utu~1=usbu~1.1
Единственность слова s следует из единственности грани Do, а
единственность числа b — из выбора метки t.
Кроме того, выбор слова и однозначен с точностью до замены
на us1. □
Из сказанного выше следует, что образы слов s в G имеют по-
рядки, равные m(s), что циклические группы Gs, порожденные
образами таких s, для которых m(s)>l, представляют собой мно-
жество представителей классов сопряженности максимальных не-
тривиальных конечных циклических подгрупп в G и что эти под-
группы Gs самонормализуемы. Отсюда следует, в частности, что
если все m(s) равны 1 (например, если G есть свободная группа
или фундаментальная группа замкнутого двумерного многообра-
зия, отличного от проективной плоскости), то G — группа без
кручения.
Представления, описанные в 5.3, являются каноническими в том
смысле, что если отбросить конечные циклические группы и счи-
тать 2^т^.. .^mp, то группы с разными представлениями такого
вида не изоморфны. Приведем ниже лишь схему доказательства.
Сначала заметим, что при п=0 и р^.2 или п=1 (откуда q=t/i) и
комплекс С является конечным циклическим. Из последую-
щих результатов ясно, что лишь в этих случаях группа G является
конечной циклической. Эти случаи исключим из дальнейших рас-
смотрений.
Мера группы G по определению (см. 7.8 ниже) равна p(G) =
=п—2+^(1—(Пт;)). Можно проверить, что при p(G)<0 имеем
1=1
п=0 и р=3. Далее получаем, что или (гщ, т2, т3)=(2, 2, п) для
некоторого п, а значит, G — диэдральная группа порядка 2п, или
(mi, m2, m3)=(2, 3, п) для и=3, 4, 5, т. е. G — одна из трех групп
вращений правильных геометрических тел. Все эти группы ко-
нечны и не изоморфны.
Из общей теории следует, что при p(G)^0 группа G бесконечна,
однако мы приведем следующее прямое доказательство. Если
п=1, т. е. q=yl, то (исключая всегда циклические случаи) G по-
лучается добавлением квадратного корня из элемента к свободному
произведению циклических групп, а значит, бесконечна. В других
случаях при п=#0 можно заметить, что факторгруппа G/[G, G]
б. F-группы. Продолжение
187
бесконечна. Если п=0, то достаточно перейти к гомоморфному
образу и рассмотреть случай р=3, а при р=4 — те ситуации, когда
(mi, «з, есть (2, 2, 2, п) или (2, 2, 3, п) для некоторого п^2.
При р=3 выберем более экономное представление G=(x°, уь, (ху)с)
и соответствующий комплекс Кэли С. Мы получим из С новый ком-
плекс С*, стягивая каждую клетку с граничной меткой у в точку.
Тогда из каждой вершины комплекса С* выходит 2Ь ребер, разде-
ляющих чередующиеся а-угольники и с-угольники. Если предпо-
ложить, что С, а следовательно и С*, конечен и потому сферичен,
то вычисление характеристики дает (1/а)+(1/6)+(1/с)>1. Значит,
G есть одна из перечисленных выше групп с p(G)<0. В случае
(2, 2, 2, п) выберем представление G=(x2, у2, г2, (xyz)n) с комплек-
сом Кэли С. Образуем С*, склеивая двухугольники с граничными
метками х2, у2 или г2 в одно ребро. В таком случае С* состоит из
Зя-угольников, встречающихся по 3 в каждой вершине, чего не
может быть для конечного комплекса на сфере. Для (2, 2, 3, п),
G=(x2, у2, z3, (xyz)n) мы склеим каждый двухугольник с граничной
меткой х2 или у2 в ребро, а каждую клетку с граничной меткой z3
стянем в точку. Полученный так комплекс С* состоит из 2/г-уголь-
ников, сходящихся по 6 в каждой вершине, что опять-таки невоз-
можно для конечного комплекса на сфере.
Доказывая, что все эти группы не изоморфны, достаточно рас-
сматривать бесконечные группы, для которых, согласно 6.2, после-
довательность т^.. ,^тр является инвариантом. Если /г=#0,
то пусть Т — подгруппа, порожденная всеми элементами конеч-
ного порядка, G*=G!T, a G**=G*/[G*, G*]. Очевидно, что G*=(g)
и G**— свободная абелева группа ранга п в случае <7=[«/i, у21 • • •
••• Ь/п-1, Уп\ а в случае q=yl ... у2 группа G** есть прямое про-
изведение группы порядка 2 и свободной абелевой группы ранга
п— 1.
Заметим также, что ни одна из таких групп не является свобод-
ным произведением циклических групп. Это следует из 11.5.14,
но мы приведем здесь прямое доказательство. Если G является
свободным произведением циклических групп, среди которых г
экземпляров бесконечны, то группа G*=G/T, определенная выше,
имеет ранг г, а это показывает, что при г>0 группа G не изоморфна
группам типа 5.3. При п=0 из 3.6 выводим, что mt суть порядки
Циклических множителей, a G может быть изоморфна фуксовой
группе И, только если G есть свободное произведение конечного
числа конечных циклических групп порядков ш, т2, ..., тр,
в то время как Н — фуксова группа с теми же тг и п=0. Но тогда
Н1[Н, Н] получается из конечной абелевой группы G/[G, G] добавле-
нием нетривиального соотношения, поэтому Н1[Н, Н\ и G/[G, G]
не изоморфны, а значит, группа G не изоморфна группе Н.
188
Гл. III. Геометрические методы
7. Фуксовы комплексы
Существует классический метод (см. Пуанкаре [1882], Макбет
[1963], Бенсон и Гроув [1971]) извлечения представления дискрет-
ной группы из замощения пространства, на котором она действует,
образами подходящей фундаментальной области. Для рассматри-
ваемых здесь групп он, грубо говоря, состоит в том, что необходимо
доказать дуальность (в смысле, объясняемом ниже) такого замощения
комплексу Кэли этого представления. Поскольку мы хотим ис-
пользовать указанную связь, не вникая в аналитические рассмот-
рения, приведем чисто комбинаторное определение замощения фун-
даментальными областями, которое назовем фуксовым комплексом.
В основном приводимые ниже рассуждения с минимальными
изменениями распространяются на все планарные группы. Однако,
преимущественно имея дело с фуксовыми группами, мы оставляем,
таким образом, зачастую в стороне конечные планарные группы
и несколько меньше уделяем внимания тем группам, которые раз-
лагаются в свободные произведения циклических.
Тогда все комплексы, которые у нас встретятся, мы можем счи-
тать вложенными в плоскость. Из технических соображений удоб-
нее впредь считать гранями все компоненты дополнения одномер-
ного остова, в том числе и те, которые неограниченны. При таком
соглашении все рассматриваемые комплексы гомеоморфны пло-
скости. Известно, что упомянутые замощения для фуксовых групп
могут быть выбраны без всяких патологий (даже многоугольни-
ками). Этим же свойством обладают приведенные выше построения
для планарных комплексов Кэли. Поэтому в ходе нашего обсуж-
дения все комплексы подразумеваются многоугольными, в част-
ности каждое ребро гомеоморфно отрезку (конечному или беско-
нечному) действительной оси, каждая грань гомеоморфна замкну-
тому кругу или замкнутой полуплоскости, а множество вершин не
содержит предельных точек. Мы предполагаем также, что пересе-
чение двух граней или пусто, или состоит из одной вершины, или же
из одной простой дуги (конечной или бесконечной). Такие ком-
плексы назовем планарными. Бесконечная планарная группа G
обладает представлением с комплексом Кэли С, планарным в уста-
новленном смысле, причем G действует (слева) как группа автомор-
физмов указанного комплекса С. В частности, мы видели, что G
регулярна на множестве вершин из С.
Под фуксовым комплексом группы G мы понимаем планарный
комплекс, на котором G действует (слева) как группа автоморфиз-
мов, регулярная на гранях, т. е. G транзитивна на множестве гра-
ней и никакой нетривиальный элемент не оставляет на месте ни-
какую грань. Из технических соображений нам удобно считать
пересечение двух граней, если оно непусто, одной вершиной или
одним ребром, за одним исключением. Именно, если некоторый
7. Фуксовы комплексы
189
элемент g из G (обязательно инволюция) переставляет две грани
D и О', пересекающиеся по дуге р, и переставляет при этом концы
дуги р, то мы требуем, чтобы эта дуга состояла из двух геометри-
ческих ребер, переставляемых с помощью g.
Два планарных комплекса К и L называются дуальными, если
существует взаимно однозначное соответствие между их клетками,
при котором грани одного комплекса сопоставляется вершина дру-
гого, внутренняя для этой грани, а ребру одного комплекса соответ-
ствует ребро другого, пересекающее данное ровно один раз и не
пересекающее никаких других ребер.
Для рассматриваемых групп с некоторой натяжкой верно, что
каждый фуксов комплекс определяет дуальный комплекс Кэли и об-
ратно. Это в самом деле так, если на фуксовы комплексы наложить
дополнительное условие, что они не должны допускать отражений,
т. е. никакое ребро не остается на месте при действии нетривиаль-
ного элемента из G. Это же верно, если допустить отражения в фук-
совых комплексах, но изменить определение комплекса Кэли тем
безобидным на вид способом, который в действительности был
предложен уже самим Кэли [1878]. Определим сначала видоизменен-
ное представление. Пусть Ft — свободная группа с базисом X, а
F2—свободное произведение групп второго порядка {1, х}, где
х пробегает множество J. Пусть, далее, F —свободное произведе-
ние Fi и F2, R — подмножество в F, a N — его нормальное замыка-
ние в F. Если G=F/N, то скажем, что тройка (X, J, R) есть видоиз-
мененное представление для G. Видоизмененный комплекс Кэли
такого представления определяется точно так же, как и обычный
комплекс Кэли, с одним исключением: для вершины v и элемента
х из J существует только одно ребро, исходящее из v, с меткой
х(=х-1), а следовательно, не существует граней с граничной меткой
х2 для x(z J. Заметим, что к этой категории можно отнести и обыч-
ные комплексы Кэли, полагая J — 0.
Мы ввели эти понятия, связанные с отражениями, в интересах
дальнейшего изложения и унификации формулировок ряда основ-
ных результатов. Группы, фуксовы комплексы которых допускают
отражения,— это так называемые неевклидовы кристаллографиче-
ские группы (Уилки [1966]), о которых известно несколько меньше,
чем о классических фуксовых группах, и мы отложим до следующего
раздела (см. II 1.8 ниже) изложение некоторой специальной инфор-
мации о них.
Предложение 7.1. Пусть у группы G есть фуксов комплекс К.
Тогда G обладает видоизмененным представлением G=(X, J; R),
видоизмененный комплекс Кэли С=С(Х, J\ R) которого дуален к К.
Кроме того, если элемент g из G отображает грань D комплекса К
в грань gD, a v и v' —вершины комплекса С, лежащие в D и gD соот-
190
Гл. III. Геометрические методы
ветственно, то v'=gv. Если К — комплекс без отражений, то в ка-
честве С можно взять обычный комплекс Кэли.
□ Выберем грань Da в К. Пусть L — множество таких элементов g
из G, что Do и gD0 имеют общее ребро. Поскольку g~1D0nO0=
—g~l(D„ П gD), тоg-1 принадлежит L, если^б L. Обозначим через J
множество отражений из L, т. е. тех нетривиальных элементов, ко-
торые оставляют на месте ребра на границе грани Do. Пусть X —
это множество, в которое входит ровно один элемент каждой пары
{g, g-1}> содержащейся в L — J. Мы установим, что X U J порож-
дает группу G, для чего достаточно показать, что L порождает эту
группу. Для любого элемента из G выберем путь на плоскости из
точки внутри Do в некоторую точку, внутреннюю для gDB. По-
скольку множество вершин комплекса К не имеет предельных точек,
путь р может проходить лишь через конечное число вершин, и де-
формацией в окрестностях этих вершин можно добиться того, чтобы
р не проходил ни через какую вершину. Тогда путь р проходит
последовательно через gtID0, ... , gnD0, где g’0=I и gn=g, причем
gtDf, и gi+iD0 имеют общее ребро. Если для 0^л<п записать gt+i—
=gthi+1, то, поскольку у граней gtDB и gi+iD9=gthi+iDB есть общее
ребро, грани DB и hi+1DB также имеют общее ребро, а значит, hi+i
лежит в L. Но g=hi.. ,hn принадлежит в таком случае подгруппе,
порожденной множеством L. Для определения видоизмененного
представления возьмем группу F, порожденную множествами X и J,
находящимися во взаимно однозначных соответствиях с X и J, и
индуцирующим гомоморфизмом 6 из F на G. Множество R будет
определено автоматически, как только мы построим одномерный
остов видоизмененного комплекса Кэли С.
Имитируя барицентрическое подразделение, выберем для каж-
дой грани D из К внутреннюю точку v (D), а для каждого ребра е —
внутреннюю точку v(e); наконец, для каждого ребра е на границе
клетки D выберем путь p(D, е) из v(D) в v(e). Эти пути можно вы-
брать так, чтобы они не пересекались (за исключением конечных то-
чек) и чтобы весь путь p(D, е), кроме точки v(e), находился внутри
грани D. В качестве вершин в С мы возьмем точки v(D)-, при соот-
ветствии v(gD0)i->g группа G действует на них, как и требуется.
Далее, для данной грани gD0 все грани, имеющие с ней общее реб-
ро,— это в точности грани ghD0 для h 6 L\ для каждой из них введем
реброе* =р(gDB, e)p(ghD0, е)-1 из v(gDB) в v(ghD0) и припишем ему
в качестве метки прообраз элемента h в L=X U X-1 U J Этим закан-
чивается построение одномерного остова С1 комплекса С, и грани
определяются как компоненты дополнения к С1. Множество R со-
ставляем, выбирая для каждой ограниченной грани из С с началом
в v(po) граничную метку г, которая (в понятном смысле) начинает-
ся в v(Dq). Тогда грани и элементы из R связаны так, как и должны
7. Фуксовы комплексы
191
быть связаны в диаграмме Кэли. Из стандартных соображений яс-
но, что нормальное замыкание множества R есть ядро N отображе-
ния 0 из F на G, т. е. С=С (X, J; R) действительно является видоиз-
мененным комплексом Кэли для G. □
Докажем теперь обратное.
Предложение 7.2. Если группа G имеет конечное видоизмененное
представление G=(X, J; R), такое, что комплекс С=С(Х, J\ R)
строго планарен, то у нее есть фуксов комплекс К, дуальный к С.
Комплекс К не имеет отражений тогда и только тогда, когда дан-
ное представление является обычным.
□ Предположим, что С уже вложен в плоскость как планарный
комплекс. Таким образом, группа G как множество вершин комплек-
са С может быть отождествлена с некоторым множеством точек пло-
скости. Мы подразделим комплекс С, выбирая внутри каждой грани,
конечной или бесконечной, точку v(D), точку v(e) внутри каждого
ребра, а для каждой грани D и каждого ребра е ее границы dD —
путь p(D, е) из v(D) в v(e), такой, что он расположен внутри D,
кроме конца v(e), причем эти пути не пересекаются, если не считать
точки v(D). Пусть Q — одномерный комплекс, состоящий из одно-
мерного остова комплекса С и новых точек и путей (каждое ребро
комплекса С считается, конечно, теперь за два ребра в Q). Обозна-
чим через С* комплекс, одномерный остов которого — это Q, а
грани — все компоненты дополнения к Q в плоскости.
Каждая грань в С* оказывается частью некоторой грани D из С,
и на ее границе имеется единственная вершина g комплекса С. Обо-
значим такую грань через (D, g). Таким образом, грани комплекса
С* взаимно однозначно соответствуют таким парам (D, g), что g
лежит на dD. Пусть S(g) — объединение граней f(D,g) для. всех D,
инцидентных с g. Поскольку допускаются неограниченные клетки
D, то объединение всех граней D, инцидентных с g, содержит неко-
торую окрестность точки g; и легко видеть, что S (g) есть конечный
многоугольник с внутренней точкой g. Ясно, что S (g) не пересе-
каются, если не считать границ, и их объединение есть вся пло-
скость. Пусть К — комплекс, грани которого — это все S (g), а
ребрами и вершинами являются такие ребра и вершины из С*,
которые лежат на границе некоторой клетки S (g). Ясно, что комп-
лекс К дуален к С.
Действие группы G на С естественным образом продолжается до
действия на С*. Для h из G имеет место равенство hf(D, g)=f(hD,
fig), а значит, hS(g)=S(hg). Следовательно, при индуцированном
действии К является фуксовым комплексом для G.
Каждое геометрическое ребро е* комплекса К разделяет пару
граней S(g) и S(gx) для некоторого х из L=XUX-1U/ и пересе-
кает ребро е комплекса С между g и gx. Если нетривиальный эле-
192
Гл. III. Геометрические методы
мент h из G оставляет на месте е*, то он должен осуществлять пере-
становку на множестве {g, gx}, а так как элемент h не может остав-
лять на месте g или gx, он должен переставлять их, а значит, пере-
ворачивать направленное ребро е. Но тогда е и е~1 должны иметь
одинаковую метку, откуда получим, что х=х-1 в F и х лежит в J.
Поскольку hg=gx, то h=gxg~1. Обратно, если элемент h имеет та-
кой вид, то он оставляет на месте е*. Таким образом, К. — комплекс
без отражений тогда и только тогда, когда 7=0. □
Доказательство следующей теоремы близко к рассуждениям по-
добного типа у Дика [1882, 1883] (см. также книгу Бернсайда [1955,
гл. 18]).
Предложение 7.3. Если К — фуксов комплекс для группы G,
а Н — подгруппа в G, то Н обладает фуксовым комплексом L, каж-
дая грань которого есть объединение граней из К..
□ По лемме Цорна существует подкомплекс Е в Д', который яв-
ляется объединением граней из Д и максимален относительно сле-
дующих свойств:
(1) Е 2-связен: каждая пара граней в Е может быть соединена
2-цепью в Е, т. е. цепью, соседние члены которой имеют общее
ребро;
(2) Е не содержит пар конгруэнтных граней D и hD, h£H.
Мы покажем, что
(3) каждая грань в К конгруэнтна некоторой грани из Е.
Предположим, что (3) неверно, т. е. что некоторая грань комп-
лекса К. не конгруэнтна никакой грани в Е. Очевидно, комплекс Д
2-связен, значит, существует 2-цепь £>0, Di, ... , Dn=D от некото-
рой грани Do из Е к D. Допустим, что грань D и цепь выбраны так,
что п минимально. Если бы оказалось, что п>1, то из минималь-
ности п следовало бы, что конгруэнтна некоторой грани
hDn_! из Е. Это давало бы цепь hD меньшей длины с теми
же свойствами. Мы заключаем, что п=1, а значит, E'=E\jD удов-
летворяет условиям (1) и (2) вопреки максимальности подкомплек-
са Е.
Докажем, что
(4) подкомплекс Е односвязен.
Допустим, это неверно, что означает наличие ограниченной ком-
поненты U у дополнения к Е в Д. В U содержится некоторая грань
D, и из (3) выводим, что D=hD' для некоторой грани D' из Е и
h£H, W=l. По свойству (1) подкомплекс Е, а вместе с ним и НЕ,
2-связен. Далее hE и Е не пересекаются по условию (2). Грань
hD'^hE лежит в U, значит, hE^U. Пусть V=E[)U. Тогда под-
комплекс V 2-связен, и он ограничен внешней границей р под-
комплекса Е. Из сказанного и включения делаем вывод, что
hV^UaV. С помощью повторений получим l/z>/iVz>/i2Vz)...
7. Фуксовы комплексы
193
вопреки локальной конечности комплекса /С. Теперь можно взять
в качестве L планарный комплекс, гранями которого являются об-
разы hE подкомплекса Е для всех h С Н. Заметим, что, если под-
комплекс Е конечен, то его границей служит простая замкнутая
кривая, а Е — комбинаторный круг. Если же подкомплекс Е бес-
конечен, то его граница состоит из бесконечных в обе стороны
простых кривых. При этом L есть комплекс в расширенном смысле,
допускающий неограниченные клетки. □
Наше изложение следующей классической теоремы похоже на
доказательство Хора, Карраса и Солитэра [1971, 1972], хотя они и
не использовали геометрию.
Предложение 7.4. Если G есть F-группа, то каждая ее подгруппа
Н конечного индекса опять-таки является F-группой, в то время
как любая подгруппа Н бесконечного индекса есть свободное произве-
дение циклических групп.
□ Мы не будем рассматривать конечные F-группы, так как они
являются в точности конечными группами изометрий сферы. Беско-
нечные же F-группы, как мы видели в доказательстве предложения
5.5, обладают комплексом Кэли, (конечные) грани которого запол-
няют плоскость. Мы знаем (5.2), что, обратно, группа с таким комп-
лексом Кэли имеет представление с конечным и строго квадратич-
ным множеством корней S и связным звездным графом, а поэтому
является F-группой. Мы отмечали, что если планарный комплекс
локально конечен и все его грани конечны, то то же самое верно
и для дуального комплекса, так как вершина дуального комплекса
принадлежит грани, а грань дуального — звезде вершины перво-
начального комплекса.
Таким образом, группа G имеет комплекс Кэли, все грани кото-
рого конечны. Следовательно, у дуального фуксова комплекса К
все грани также конечны. Если Н имеет конечный индекс / в G, то
Н обладает фуксовым комплексом F, в котором каждая грань яв-
ляется объединением / граней из К, а значит, конечна. Но тогда у
Н есть дуальный комплекс Кэли с конечными гранями, откуда сле-
дует, что Н есть F-группа. Если же подгруппа Н имеет бесконечный
индекс, то у нее есть фуксов комплекс L, каждая грань которого
является объединением бесконечного числа граней из /С, а значит,
бесконечна. Тогда подгруппа Н обладает представлением Н=
~(Х-, R), таким, что комплекс С(Х; R) дуален к L, а потому плана-
рен, но у него не все грани конечны. В таком случае группа Н пла-
нарна и имеет не строго квадратичное представление. Следователь-
но, она должна разлагаться в свободное произведение циклических
групп. □
Обратимся к другой классической теореме, доказательство кото-
рой опять же подсказано работой Хора, Карраса и Солитэра [1971,
7 № 653
194
Гл. III. Геометрические методы
1972]. После некоторой подготовки мы дадим комбинаторный вари-
ант формулы Римана и Гурвица для индекса. См. Линдон [1976].
Начнем с комбинаторного определения угла. Если К — планар-
ный комплекс, то определим угловую меру на Д' как вещественно-
значную функцию а, определенную на тройках (и, е, е'), где е и е' —
ребра, исходящие из вершины у, и удовлетворяющую следующему
условию:
если ei, ... , еп, п>1, есть система ребер, выходящих из верши-
ны v и расположенных в циклическом порядке, то а (у, elt е2)+...
.. . +a(t>, en_i, en)+a(v, en, 6i)=2n.
Вместо a(v, et, e,) будем писать ai;-. Тогда в случае л=2 это ус-
ловие дает ai2+a2i=2n, а в случае п=3 получим a12+a23+a3i=
=2л. Комбинируя эти равенства, получаем:
если ei, е2, е3 — ребра, расположенные в циклическом порядке
вокруг вершины о, то
Cti з=СС1 г-!-& 2 3 •
Для данной угловой меры а определим кривизну х(р) замкнутого
пути p=ei.. .еп формулой
х(р)=(л—а12)+.. .+(л—п)+(л—ап,1).
По аналогии с формулой Гаусса — Бонне определим площадь
подкомплекса S, ограниченного простым замкнутым путем, как
A (S)=x (р)—2л.
Предложение 7.5. Пусть SiuS2 — два подкомплекса с простыми
границами планарного комплекса К, ас — угловая мера на К и А —
ассоциированная с ней мера площадей. Допустим, что Si и S2 пере-
секаются лишь по одной граничной дуге. Тогда A (Si U S2)=X (Si)+
+X(S2).
□ Пусть общая для Si и S2 граничная дуга а идет от вершины щ
к вершине и2. Пусть, далее, углы в этих точках на границе под-
комплекса Si равны «1 и Pi, а на границе S2 равны а2 и р2. Тогда
S=Si U S2 имеет граничный угол ai+a2 в точке щ и p2+pi в точ-
ке и2. Если и — некоторая внутренняя точка дуги а, в которой Si
и S2 имеют углы Vi и у2, то У1+у2=2л, а значит, (л—у])+(л—у2) =
=0. Таким образом, x(dS) отличается от суммы x(dSi) и x(dS2)
только добавлением разности [(л—(ai+a2))+(n—(Pi+p2))l—[(л—
—<Х1)+(Л—Р1)+(л—а2)+(л—р2)]=—2л, короче, х (dS)=x(dSi)+
+x(dS2)—2л. Отсюда следует, что A (S)=A (Si)+X (S2). □
Следствие 7.6. Пусть подкомплекс S планарного комплекса К
является объединением граней Du ... , Dn, причем каждое объеди-
нение Di U D2 U • • .Dt, l^i^n, ограничено простой замкнутой кри-
вой. Пусть, далее, а есть угловая мера на К, а А — ассоциированная
мера площадей. Тогда А (5)=Д (£>i)+.. .+А (Dn). □
7. Фуксовы комплексы
195
Предложение 7.7. Если К — фуксов комплекс группы G, то су-
ществует угловая мера а на К, инвариантная относительно G.
□ Пусть M=KJG— комбинаторное двумерное многообразие. (Оче-
видно, переход к факторпространству логически оправдан.) Мы
знаем, что G имеет представление G=(X; R) с комплексом Кэли
С=С(Х; R), дуальным к комплексу К, и с множеством R = {r=smls);
sCS), где S — конечное множество слов в F, строго квадратичное
над базисом X. Орбиты множества S) граней комплекса С при дей-
ствии группы G имеют вид S)r для всех г С R, где S)r состоит из всех
граней, носящих граничную метку г. Следовательно, орбиты мно-
жества Т3 вершин комплекса К имеют вид ср'эг — они состоят из
всех вершин в К, дуальных граням D из FDr. Поэтому для каждого
r£R существует одна вершина vr в М. Если D есть грань из С с гра-
ничной меткой r=sm{s}, то, как мы уже знаем, ее стабилизатор CD
(относительно действия G на С) цикличен, порожден элементом, со-
пряженным с s, и имеет порядок m(s). Если v — дуальная вершина
из М, то, следовательно, она является точкой ветвления кратности
m(s) при проекции К -> М. Поэтому, выбрав на М угловую псевдо-
меру так, чтобы сумма углов в каждой вершине vr равнялась 2л/т (s),
и подняв ее в К, мы получим настоящую инвариантную угловую
меру на R. Ясно, что любая инвариантная угловая мера на К может
быть задана таким способом. □
Из каждой вершины vr на М, где r=s"ltJ!), выходит |s| (длина s)
ребер, а значит, столько же минимальных углов. Меры этих углов
подчиняются лишь одному условию — их сумма равна 2n/m(s).
Кроме того, условия для разных вершин из М независимы. Таким
образом, мы видим, что в вершине vr множество угловых мер ес-
тественным образом гомеоморфно (топология очевидна) пространст-
ву RN-1, а множество всех угловых мер на /С — пространству
2 <|s|-l>
RsgS
Покажем далее, что мера площадей А, ассоциированная с неко-
торой инвариантной угловой мерой а, в сущности, не зависит от а.
Это является прямым следствием такой теоремы.
Предложение 7.8. Пусть G — это F-группа с представлением
G=(X; R), где R={s“;'s); s£S} в обозначениях разд. Ш.4. Пусть
К — фуксов комплекс для G, а А — грань из К- Если а —произволь-
ная угловая мера на К и и — связанная с ней кривизна, то
х (дД) = 2л (I X | - V —y-Л.
4 ’ I х—ь т (s) )
\ s е S /
□ Достаточно будет установить эту формулу для грани А (1) из К,
дуальной вершине 1 из С. Итак, у комплексов С и К существует
общее барицентрическое подразделение В, и действие группы G
продолжается очевидным образом на В. Если вершина g из С лежит
196
Гл. III. Геометрические методы
на границе клетки D, то имеется ровно два треугольника в В, со-
держащихся в D и инцидентных с g; обозначим объединение этих
треугольников через Д(£), g). Очевидно, что грань Л(£)в Д', дуаль-
ная вершине g, является объединением этих Д(£), g) для всех гра-
ней D из С, инцидентных с g.
Два ребра границы клетки Д(П, g), исходящие из вершины v=
—Dv, дуальной грани D, являются отрезками смежных ребер ком-
плекса Д', выходящих из V. Пусть a(D, g) — угол от одного ребра
до другого, измеряемый так, чтобы Д(£), g) локально находилась в
заключенном между ними секторе. Тогда по определению угловой
меры сумма всех а(£), g) для фиксированной грани D и всех g на
ее границе должна быть равной 2л. Заметим также, что (опять же
по определению) вклад в вершине v в кривизну пути д& (g) состав-
ляет л—а(£>, g), откуда n(d&(g)) есть сумма чисел л—a(D, g) по
всем D, инцидентным с g.
Вычислим х(Д(1)). Существует одна грань D с вершиной 1 для
каждого сопряженного с элементом г из R. Рассмотрим фиксирован-
ный элемент r=sm(s} в R и грань D с начинающейся в 1 граничной
меткой г. Различные сопряженные г' z г имеют вид г'=и~1ги, где и
пробегает собственные начальные отрезки слова s. Соответствую-
щие Д(£)', 1) конгруэнтны тогда при действии группы G подкомп-
лексам Д(£>, и) из D. Совокупность всех Д (£>, g) находится во вза-
имно однозначном соответствии с собственными начальными отрез-
ками g=s‘u, где 0^i<m(s), а и те же, что и выше. Суммированием
в указанных границах получим
£a(D', 1) = £«(D, «) = 4) £«(D, S)-^.
Поскольку существует ]s| граней D', граничные метки кото-
рых с началом в 1 сопряжены с г, то
£[л-а(/)', 1)] = л |s| —-
Чтобы вычислить х (<ЭД (1)), мы должны просуммировать
л —а(£), 1) по всем граням с вершиной 1, т. е. просуммировать
полученные формулы по всем г £R или, что то же самое, по всем
sgS. Имеем
х(дД(1)) = л £|8|-2л
seS ses
Теперь, поскольку S строго квадратично на X, S|s| = 2|X| и
seS
\ /
7. Фуксовы комплексы
197
Величина р = | Х|— Т (\/tn(sy)— 1 является, очевидно, инва-
s 6 S
риантом F-группы G = (X; R) относительно преобразований, при-
мененных к этому представлению, и известна под названием меры
p(G) группы G. В терминах этой меры установим формулу Ри-
мана и Гурвица.
Предложение 7.9. Если G есть F-группа, a G' — подгруппа
в G конечного индекса j, то G' является F-группой и
; ... Ц (°')
7 9(G)'
□ Из 7.4 нам известно, что G' есть F-группа, а также что если К. —
фуксов комплекс для G, то G' имеет фуксов комплекс К', каждая
грань Л' которого является объединением (в смысле 7.3) / граней А
из К- По предложению 7.6 любая инвариантная угловая мера а на
К индуцирует меру на К', и ассоциированная мера площадей удов-
летворяет равенству Л (А')=/А (А). Сокращением множителей 2л
получим требуемую формулу. □
Впервые формула Римана — Гурвица была установлена для ди-
скретных (фуксовых) групп с компактной фундаментальной об-
ластью, где p(G) являлась гиперболической мерой любой фунда-
ментальной области. Однако формула сохраняется и в случае, когда
обе группы являются свободными произведениями конечного числа
циклических групп (при условии, что случай р=0 циклической или
бесконечной диэдральной группы истолкован должным образом),
несмотря на то, что в этой ситуации р не допускает обычной метриче-
ской интерпретации. Этот факт был отмечен Зингерманом [1970] 11.
Если G — свободное произведение циклических групп порядков
т^, ... , тр, то p(G) = S (1—1/т;)—1. В случае когда G есть сво-
бодное произведение конечного числа конечных циклических групп
G;, а Н — декартова подгруппа, т. е. ядро естественного отображе-
ния группы G на прямое произведение групп G;, формула Римана —
Гурвица была установлена Нильсеном [1948] (см. также Линдон
[1973]). Линдон [1973] заметил, что аргументы Нильсена достаточ-
ны, если Ог:— произвольные конечные группы порядков mt, и вы-
сказал предположение, что формула применима к любой подгруппе
Н конечного индекса в G. Справедливость этого предположения
была, по-видимому, давно известна Ф. Холлу; см. также Леви [1940],
Кун [1952], Стиб [1970]. Используя методы Серра [1969], Чизуэлл
[1973] вывел для индекса формулу, включающую это предложение,
формулу Римана — Гурвица и, вероятно, другие результаты.
Для знакомства с другими обобщениями функции меры и смеж-
ными вопросами см. Браун (в печати), Чизуэлл [1973, 1976], Серр
*> Доказательство см. в работе Маклахлана [1971*]-— Прим. ред.
198
Гл. III. Геометрические методы
[1968/1969, 1971], Вердье [1973], Уолл [1961]. Родственную формулу
Кнезера см. в книге Цишанга, Фогта и Колдьюи [1970, стр. 50].
(См. обсуждение в разд. II.2.)
Формула Римана — Гурвица налагает ограничения на типы под-
групп конечного индекса в фуксовой группе G. Имеются также оче-
видные ограничения на возможные порядки периодических элемен-
тов в любой подгруппе Н группы G. Однако вопрос, подгруппы Н
каких типов действительно встречаются в G и сколько появляется
классов сопряженности для каждого типа, представляется трудным.
Он исследовался Гринбергом [1963], Миллингтоном [1969], Зингер-
маном [1970, 1972] и Хором [1976]; классическую задачу, где G —
модулярная группа, осветил Ранкин [1969] п. Вопрос о нормальных
подгруппах в G и соответствующих факторгруппах, особенно конеч-
ных факторгруппах, привлек большое внимание; см. Зингерман
[1972]. Для модулярной группы G=(a2, b3) это есть уже упоминав-
шийся вопрос о том, какие группы порождаются элементом а
порядка 2 и элементом b порядка 3. Группа G=(a2, b3, (ab)1), т. е.
G=(2, 3, 7), какбыло замечено еще Гурвицем [1891], является фуксо-
вой группой с наименьшим (положительным) значением p(G)=l/42.
Мы отмечали результат Хигмана о том, что почти все знакопере-
менные группы являются факторгруппами этой группы; ее конеч-
ные факторгруппы рассматривались далее Макбетом [1961]; см.
также Лич [1965].
Гриффитс [1967] показал, что каждая F-группа G финитно ап-
проксимируема. Сах [1969] доказывает как это, так и то, что если G
бесконечна, то существует нормальная подгруппа N без кручения,
такая, что группа G/N конечна и разрешима. Далее он показывает,
что если p(G)>0, то такая подгруппа AZ может быть выбрана так, что
конечная группа G/N содержит произвольную конечную простую
группу в качестве композиционного фактора. Он также рассматри-
вает гомоморфизмы из группы (Z, т, п) в PSL (2, /<), где К — ал-
гебраически замкнутое поле характеристики р>0, такие, что их об-
раз конечен, а образы порождающих сохраняют порядки /, т, п\
им показано, что обычно существует много нормальных подгрупп N,
удовлетворяющих условию G/M^PSL(2, pt) для некоторого /.
Следующее утверждение показывает, что, кроме конечного чис-
ла исключительных случаев, абелевы подгруппы планарных групп
цикличны.
Предложение 7.10. Каждая абелева подгруппа планарной группы
или циклическая, или свободная абелева ранга 2. Планарными груп-
пами, содержащими свободную абелеву подгруппу ранга 2, являются
следующие (для краткости даем лишь список определяющих соотно-
шений представления):
*) См. также работы А. Д. Медных (1978*, 1979*].— Прим, ред.
7. Фуксовы комплексы
199
(1) ([//1. О;
(2) да);
(3) (%1, xt х.1х,2уг)\
(4) (х?, xf, х2, х|, Xj^XgXj;
(5) (х(, xt xf, XiXjXj);
(6) (x'f, xt Xg, xxtx,);
(7) (x?, x2, xf, x1x2x3).
□ Пусть G — планарная группа и H — ее абелева подгруппа. Если
Н есть свободное произведение циклических групп, то она циклична,
ибо абелева. Если нет, то И является F-группой конечного индекса
в G. При р>0 циклическая подгруппа элемента Xj порядка mi сов-
падает, как мы видели, со своим нормализатором, а значит, со всей
группой Н, т. е. Н опять-таки циклична. Осталось разобрать слу-
чай р=0, когда Н имеет единственное определяющее соотношение
q. Если <7=[yi, у2], то Н — свободная абелева группа ранга 2. При
q=y2 группа Н циклическая порядка 2. Для любых других нетриви-
альных q группа Н не может быть абелевой (по теореме о свободе
(см. гл. IV) или потому, что Н есть нетривиальное свободное произ-
ведение с объединенной подгруппой). Мы показали, что Н или цик-
лическая, или свободная абелева группа ранга 2.
Проверим теперь, какие F-группы G могут содержать свободную
абелеву подгруппу Н ранга 2. Как нам известно, группа G должна
быть планарной F-группой и Н имеет в ней конечный индекс. Но
вычисление показывает, что р(Я)=0. С помощью формулы Рима-
на — Гурвица получим, что p(G)=0 (иначе говоря, группа G долж-
на быть евклидовой). Тогда из p(G)=О следует, что ц^2. Если
п=2, то обязательно р=0, т. е. имеем случаи (1) или (2) нашего ут-
верждения. В случае (1) сама группа G является свободной абеле-
вой ранга 2. В случае (2) комплекс Кэли С комбинаторно является
правильным замощением евклидовой плоскости квадратами. Легко
найти пару элементов, которые (с помощью левого умножения) дей-
ствуют на С как ортогональные отображения; или же можно обра-
титься к известному из основ топологии факту (либо к теореме Рай-
демайстера — Шрайера; см. Цишанг, Фогт и Колдьюи [1970,
стр. 21]), что группа (2) содержит группу (1) как подгруппу ин-
декса 2.
При п—1 условие p(G)=0 влечет за собой равенства р=2 и
/И1=т2=2, т. е. случай (3). Если теперь мы образуем видоизменен-
ную диаграмму Кэли (см. II 1.4 выше) по отношению к инволюциям
*i и х2, то опять получим комбинаторно правильное замощение
плоскости квадратами и можем найти Н, как и раньше.
Если п=0, то, как показывает проверка, условие p(G)=0 вы-
полняется лишь в случаях (4) — (7). Для каждого из них рассмот-
200
Гл. III. Геометрические методы
рим более экономное представление вида
G = (xl, xf‘, •••. (хх...х _1)т/’).
Для (4) видоизмененная диаграмма Кэли относительно инволю-
ции %1 комбинаторно дает правильное замощение евклидовой пло-
скости шестиугольниками, которое опять позволит нам найти два
независимых отображения. В видоизмененной диаграмме Кэли для
(5) все вершины имеют кратность 3, в то время как грани имеются
двух сортов: треугольники с граничными метками х% и 12-угольни-
ки, граничные ребра которых поочередно помечены буквами а
и х2. Образуем новый граф С', на котором действует группа G, с по-
мощью изменения схемы Кэли, стягивая каждую треугольную грань
в точку. Тогда С есть правильное замощение плоскости шестиуголь-
никами. Теперь легко найти пару элементов, доставляющих неза-
висимые отображения на С, и породить свободную абелеву под-
группу ранга 2 в G.
Случай (6) рассматривается совершенно аналогично. В видоизме-
ненной диаграмме Кэли С мы стянем каждую прямоугольную грань
с меткой х| в точку. Полученный граф С' снова является правиль-
ным замощением плоскости квадратами. Стягивая в обычной диаг-
рамме Кэли для случая (7) каждую грань с меткой в точку,
приходим к правильному замощению плоскости треугольниками. □
Отметим, что методы, подобные примененным выше, могут быть
использованы для доказательства в простых случаях бесконечности
некоторых F-групп, например группы G—(xf, xt х$, XiX2x3) при
п^б (см. Линдон [1974]).
Мы замечаем также, что из 7.10 следует, что в любой фуксовой
группе (F-группе с p(G)>0) все централизаторы циклические.
Знаменитая'теорема, сформулированная Фенхелем (см. Бун-
гард и Нильсен [1951]) и доказанная Фоксом [1952] (см. также Мен-
нике [1968] и Фейер [1971]), утверждает, что каждая F-группа со-
держит подгруппу без кручения конечного индекса. Доказательство
Фокса основано на детальном изучении конечных групп подстано-
вок. Нам не известно доказательство, которое было бы полностью в
духе настоящего изложения. Мы приводим рассуждения, основан-
ные на представлении таких групп матрицами. Такой подход нахо-
дится в соответствии с идеями, которые будут обсуждаться позднее.
Это доказательство, по существу, мы находим у Цишанга, впервые
же оно приведено Макбетом. Нужно отметить, что с помощью по-
хожих рассуждений Сельберг [1960] показал, что в конечном расши-
рении /’-группы без кручения G два элемента бесконечного порядка
тогда и только тогда сопряжены, когда они сопряжены в любой ее
конечной факторгруппе. Стиб [1972] установил последнее утвержде-
7. Фуксовы комплексы
201
ние для всех F-групп. См. также Маккул [1969], Маккул и Шупп
[1973].
Для доказательства придется использовать классический факт
(находящийся в стороне от настоящего метода), что каждая беско-
нечная F-группа изоморфна конечно порожденной подгруппе дроб-
нолинейной группы PSL(2, R).
Предвосхищая понятие, которое более полно рассматривается
ниже (IV.4), назовем группу G финитно аппроксимируемой, если
для любого нетривиального элемента g £ G существует гомомор-
физм <р группы G на некоторую конечную группу Н, такой, что
g<p=£l. Заметим, что в этом случае если gT, ... , gn — конечное мно-
жество нетривиальных элементов из G, а дь, . .., <рп — гомоморфиз-
мы из G в конечные группы Ни ... , Нп, такие, что <pi, .... gn<pn=A=
7^=1, то (pt индуцируют гомоморфизм <р группы G на (конечную)
подгруппу Я прямого произведения НЛ<...хНп, такой, что
gi<P....£пФ#=1.
Центральный довод может быть приведен в более общей форме.
Предложение 7.11. Любая конечно порожденная подгруппа из
SL(/z, F) при любом п^\ и произвольном поле F финитно аппрокси-
мируема.
□ Пусть А — конечно порожденная подгруппа в SL(n, F). Най-
дется конечно порожденное подкольцо R в F, такое, что A s
^SL(n, R). Для любого простого идеала / кольца R группа
SL(n, R) аппроксимируется конечными группами SL (п,
т=1, 2, ... , так как |/?/7,л|<;оо и п /я=0. Поэтому и А финит-
т=1
но аппроксимируема. □
Предложение 7.12. Каждая F-группа содержит подгруппу ко-
нечного индекса без кручения.
□ Если F-группа G конечна, то утверждение тривиально. Таким
образом, мы можем предположить, что группа G строго планарна и
ввиду замечания, сделанного выше (но не доказанного), изоморфна
конечно порожденной подгруппе в PSL (2, R), а значит, фактор-
группе подгруппы G из SL(2, R) по подгруппе {1, —1}. По пред-
ложению 7.11 группа G финитно аппроксимируема, откуда легко
выводится, что и G финитно аппроксимируема. Для группы G,
представленной канонически, обозначим через А конечное подмно-
жество всех нетривиальных степеней элементов ... , хр. Тогда
существует гомоморфизм ср группы G на конечную группу Д, такой,
что atp^l для всех agA. Пусть N — ядро отображения ср. Под-
группа N имеет конечный индекс в G и не содержит ни одного а из А.
Но, как известно из 6.2, каждый нетривиальный элемент конечного
202
Гл. III. Геометрические методы
порядка в G сопряжен с некоторым а£А. Следовательно, в N нет
нетривиальных элементов конечного порядка. □
Всегда можно выбрать N как группу поверхности, т. е. фунда-
ментальную группу замкнутого двумерного многообразия, а следо-
вательно (см. Цишанг, Фогт и Колдьюи), замкнутого ориентируе-
мого многообразия. Тогда ясно, что число п для G должно совпадать
с числом п' =2g для N. Для данной группы G и конечной группы Г
вопрос о числе гомоморфизмов из G на Г с ядром, изоморфным N,
был рассмотрен Ллойдом [1972].
Мы видели, что каждая подгруппа конечного индекса в Е-груп-
пе сама оказывается F-группой. С другой стороны, можно исследо-
вать вопрос, каковы группы, содержащие /'-группу как подгруппу
конечного индекса. Очевидная проверка показывает, что нужно
наложить некоторые другие ограничения, если мы хотим избежать
тривиальности. Была высказана гипотеза, что если группа G без
кручения и содержит Е-подгруппу конечного индекса, то G также
Е-группа. Рассуждения Цишанга [1971], устанавливающие этот
факт, к сожалению, зависят от недоказанного утверждения Краве-
ца [1959]. Однако этот пробел был устранен Цишангом [1974].
Следующее утверждение есть небольшое обобщение более слабо-
го результата из статьи Цишанга.
Предложение 7.13. Если в группе без кручения есть централь-
ная свободная абелева подгруппа конечного индекса, то и сама группа
свободная абелева.
□ Допустим, что G — группа без кручения и Л — центральная
свободная абелева подгруппа конечного индекса. Пусть А вложена
в прямую сумму А экземпляров аддитивной группы рациональных
чисел, a G — прямая сумма G и Л с объединенной подгруппой А.
Тогда А нормальна в G и GIA^GIA=H— конечная группа. По-
скольку G является центральным расширением делимой группы А
с помощью конечной группы Н, расширение расщепляется и G изо-
морфна прямой сумме А и Н. Пусть аир — индуцированные про-
ектирования группы G на А и на Н, причем отображение а тождест-
венно на А. Если^ £ G и ga=l, то Gp (g)a=l, значит, р отображает
Gp (g) изоморфно в Н, а так как Н конечна и G — группа без круче-
ния, отсюда следует, что g=l. Таким образом, а отображает G в Л
изоморфно и а тождественно на А. Если g лежит в G, но не в Л, то
некоторая степень gn принадлежит подгруппе А, поэтому (ga)" g А.
Следовательно, группа Ga порождена конечным множеством таких
корней ga из элементов подгруппы А, а потому является свободной
абелевой группой. □
7. Фуксовы комплексы
203
Сделаем несколько других замечаний, относящихся к тем F-rpyn-
пам, которые являются фундаментальными группами двумерных
многообразий, т. е. имеют вид 5.3 с р=0 и обладают представлением
G={cj). Их группы автоморфизмов привлекают большое внимание.
По основному результату Нильсена [1927] (эту теорему и другие см.
в книгах Магнуса, Карраса и Солитэра и Цишанга, Фогта и Кол-
дьюи), если G—л (Л1) — фундаментальная группа замкнутого дву-
мерного многообразия М, то группа ее внешних автоморфизмов
Out (G)=Aut (G)/JA (G), где J A (G) — группа внутренних автомор-
физмов группы G, изоморфна группе А (М) всех автогомеоморфиз-
мов многообразия М по модулю группы всех изотопий (компоненты
1 в А(Л1)). Вторая теорема Нильсена [1927] (см. также Цишанг
[1966] и Печиньски [1972]) утверждает, что каждый автоморфизм
группы G= (q) индуцирован некоторым автоморфизмом группы F.
Это означает, что группа Out (G) изоморфна стабилизатору подгруп-
пы N в Aut(F) по модулю внутренних автоморфизмов группы F,
т. е. по (II.5) — подгруппе A {(q), (q~1)}, стабилизирующей множе-
ство циклических слов {(q), (g-1)} в Out(F). Порождающие для
Out (G) (а также для Aut (G)) могут быть найдены из работы Ниль-
сена или из 1.5.1. Краткий список порождающих с простым тополо-
гическим смыслом был получен Ликоришем [1963, 1964], однако
нетопологического доказательства этого результата мы не знаем.
Как замечено ранее в 1.5.5, конечные представления для таких
групп могут быть получены с помощью результатов Маккула. См.
также работы Бирман [1969, 1970] и Бирман и Хилдена [1971]. От-
метим, что Нильсен [1942] показал, что каждая конечная цикличе-
ская группа в Out (G) является естественным изоморфным образом
группы из Aut(G) п. Кравец [1959] пытался доказать, что по ана-
логии с (1.4.14) каждая конечная подгруппа в Out(G) есть естест-
венный изоморфный образ подгруппы из Aut(G), однако его рас-
суждения неполны; см. Цишанг [1974].
Ранг (минимальная мощность множества образующих) F-группы
G вычислен. Во-первых, если G свободна или не является конечно
порожденной, то ответ очевиден. Далее, если р=0, т. е. G=(X; q),
то rankG=|X|. Если G=(Sj, . .. , sp, X; , s™p, Sj. . ,spq),
<7=#1, to rankG=|X|+p—1. Если G=(sj, ... , sp; s["i, . .. ,spp,
Sj.. .sp), р^З, то, за отмеченным ниже исключением, rank G=p—1.
Этот результат принадлежит Цишангу [1970], который проглядел,
однако, исключительный случай. Бернс, Каррас, Петровски и Пу-
жицки (не опубликовано) заметили, что следующий случай являет-
ся особым. Для групп последнего типа, если р четно, т1=...
••.=тр_1=2, а т.р нечетно, то rank G=p—2. Окончательный вариант
J) Это верно и для любой конечной разрешимой группы, см. Макбет [1962].
Маклахлан и Харви [1975].— Прим. ред.
204
Гл. Ill. Геометрические методы
(исправляющий некоторые ошибки Цишанга [1970]) приведен Пе-
чиньски, Розенбергером и Цишангом [1975].
F-группы G=(z/b ... , уп-, q) вида 5.3 суть фундаментальные
группы замкнутых двумерных многообразий. По аналогии со (стро-
го) квадратичными множествами слов Ньювирт [1970] называет
множество S слов в F n-ичным, если каждый порождающий из X
встречается в элементах из S точно п раз. Он показал, что если
G есть фундаментальная группа замкнутого «-мерного многообра-
зия, то для некоторой свободной группы F\ свободное произведение
G*Fi имеет представление (X; R) с п-ичным множеством R. Хор (не
опубликовано) показал, что для п=3 сама группа G обладает таким
представлением. Марковым [1958] (см. Масси, Столлингс [1977,
стр. 158]) доказано, что каждая конечно представимая группа яв-
ляется фундаментальной группой некоторого замкнутого «-мерного
многообразия для любого «^4. Хотя многое здесь известно, но пол-
ного описания множества представлений, дающих фундаменталь-
ные группы 3-мерных многообразий, нет. По этому поводу мы от-
сылаем к Столлингсу (см. Масси, Столлингс [1977]).
Отметим еще лишь два частных утверждения. Во-первых, Скотт
[1973] показал, что каждая конечно порожденная подгруппа фунда-
ментальной группы 3-мерного многообразия обладает конечным
представлением. Во-вторых, известно, что любое замкнутое 3-мерное
многообразие М имеет разложение с одной нульмерной клеткой,
одной 3-мерной и одинаковым числом 1-мерных и 2-мерных клеток.
Поскольку фундаментальная группа G у многообразия М такая же,
как у его двумерного остова, можно заключить, что G имеет сбалан-
сированное представление G=(X; R), удовлетворяющее условию
|Х| = |7?|. Ньювирт [1968] дал чисто теоретико-групповой способ
решения вопроса, какие многообразия связаны таким образом с дан-
ным сбалансированным представлением, если таковые вообще су-
ществуют. (Мы. отмечали ранее, что число L компонент звездного
графа существенно участвует в его рассуждениях.) Для некоторых
маленьких представлений этот алгоритм был упрощен и использован
Стивенсом (в печати) и Осборном и Стивенсом (в печати).
О когомологиях F-групп см. у Керрана [1972].
8. Планарные группы с отражениями
Исследуем теперь класс групп, впервые изученных Уилки [1966]
и названных им (2-мерными гиперболическими) неевклидовыми кри-
сталлографическими группами, или NEC-группами. Это дискретные
группы, которые в отличие от фуксовых групп могут содержать от-;
ражения или, аналитически, преобразования верхней полуплоскости!
вида
Л д аг+Ь
cz-[-d
8. Планарные группы с отражениями
205
для действительных a, b, с, d, ad—bc=—1, где несть комплексно
сопряженное к z.
Мы ограничимся нахождением класса представлений, который
содержит все NEC-группы, и только такие группы. По вопросам
классификации NEC-групп см. работы Макбета [1967], Тукья [1972]
и Келлера [1973]. Теорему о подгруппе и об индексе см. у Хора,
Карраса и Солитэра [1973]. О кручении в этих группах см. книгу
Цишанга, Фогта, Колдьюи.
Стоит отметить, что мы допустили уже в /'-группах элементы,
которые изменяют ориентацию их комплекса Кэли или фуксова
комплекса, однако, как мы увидим, рассматриваемые сейчас группы
образуют более широкий класс. Они представляют собой попросту
дискретные группы изометрий гиперболической плоскости. Для
удобства наших комбинаторных рассмотрений определим NEC-
группу как группу, действующую на двумерном комплексе К, кото-
рый комбинаторно является (гиперболической) плоскостью, при-
чем действие регулярно на гранях комплекса К. Подчеркнем, что
теперь опускается прежнее условие, что только тривиальный элемент
из G может фиксировать какое-либо ребро.
Назовем элемент группы G четным, если он сохраняет ориен-
тацию комплекса К, и нечетным в противном случае. Рассмотрим
теперь нетривиальный элемент из G, оставляющий на месте ребро е
комплекса К. В любом случае он должен переставлять две грани
в К, разделенные ребром е, а значит, является инволюцией. Если он
переставляет концы ребра е, то является, как легко понять, четным.
В этом случае можно изменить К, вводя новую вершину v, делящую
ребро е на две части, и считать, что§, оставляя на месте щ перестав-
ляет (учитывая ориентацию очевидным образом) две части ребра е.
Для каждого g это может быть проделано единообразно, более того,
это можно сделать одновременно для всех элементов такого вида.
Совершенно так же, как в случае фуксовых комплексов для /'-групп
можно, не теряя общности, считать, что, если элемент из Составляет
на месте ребро, то он оставляет неподвижными оба его конца.
Нетривиальный элемент из G (обязательно инволюция), оставля-
ющий на месте ребро комплекса К, будем называть отражением
в этом ребре. Если теперь приступить к построению из фуксова ком-
плекса К дуального комплекса Кэли С, то все, как и прежде, идет
хорошо, кроме того, что, когда х — отражение, в каждой вершине
имеется лишь одно ребро е* из С, помеченное и меткой х и меткой
*-1. Эта ситуация была предусмотрена в определении видоизме-
ненного комплекса Кэли, где к F добавлено множество инволюций
У. Таким образом, мы имеем видоизмененное представление G=
=(Х, J-, R) с комплексом С=С(Х, J; R), дуальным к К, где J есть
прообраз в F подмножества отражений среди порождающих груп-
пы G.
Цель настоящего раздела состоит в том, чтобы, используя при-
206
Гл. III. Геометрические методы
веденные выше соображения, получить нечто вроде канонической
формы для представления NEC-группы. Аргументы аналогичны тем,
которые были заимствованы нами у Нильсена, Хора, Карраса и
Солитэра и Цишанга, Фогта и Колдьюи при рассмотрении Ё-групп.
Доказываемая теорема 8.1 не нова, но довольно сложно формули-
руется, поэтому мы предпочитаем отложить доказательство до тех
пор, пока не познакомимся с доводами, благодаря которым теорема
окажется не только верной, но и естественной.
Предполагается, что G есть NEC-группа с фуксовым комплексом
К и видоизмененным представлением G=(X, J\ R), комплекс Кэли
которого дуален к К. Не вдаваясь в дальнейшее рассмотрение ком-
плекса К, будем менять представление, не изменяя J, чтобы свести
его к частично каноническому виду.
Напомним, что из каждой вершины (видоизмененной) диаграммы
Кэли С выходит ровно одно ребро для каждой метки множества
L = X[}X~1{] J. Для каждой вершины g образуем циклически
упорядоченное (в естественном смысле) множество R (g), составив
его из положительных граничных меток на гранях с вершиной g,
начинающихся с g. В частности, для каждого элемента из L
в R (g) содержится ровно одно слово, начинающееся с данного
элемента. Пусть S (g)— множество корней из элементов множе-
ства 7?(g). Заметим, что если элемент h четен, то R (gh) = R (g),
а для нечетного h получим R (gh) — R (g)'1 (с обратным поряд-
ком). В частности, если pq принадлежит R (g) и элемент р четен,
то qp принадлежит R (gp) = R (g), если же р нечетен, (qp)~l ле-
жит в R (g).
Пусть S = S(1); тогда для каждого xgJ существует ровно
один элемент tx = xu в S, начинающийся с х. Поскольку элемент х
нечетен, (их)~1 = хи~1 $ S, откуда хи = хи~1, и~и~\ а инволю-
ция и имеет вид аусг1 для некоторого y£.J. Значит,
tx== хауа-1 для некоторых y£J и а.
Точно так же в S есть ровно один элемент t'x, оканчивающийся
на х, и
tx = bzb~1x для некоторых z £ J и Ь.
Заметим, что tx и Сх сопряжены со своими обратными. Теперь
мы покажем, что любой элемент t множества S, включающий
в себя х, сопряжен с tx или с t'x. Если t содержит х, то можно
записать t = uxv. При четном и получим xvu^S, откуда xvu~tx.
Если элемент и нечетен, то (xvu)~r = u~1v~1x £S, а значит,
u~1v~1x = t'x, t сопряжен с xvu = t'x~1, а так как t*"1 сопряжен
с tx, то и t сопряжен с tx.
Допустим теперь, что х встречается дважды в-/х, т. е. tx =
= xuxv для некоторых и, v. Если хи — четный элемент, то xvxu £ S,
откуда xvxu = tx, но из xuxv=xvxu следует, что хи и xv являются
8. Планарные группы с отражениями
207
степенями одного элемента w, т. е. tx есть собственная степень
элемента w вопреки тому, что tx— корень. Поэтому хи нечетен
и (xvxu}-1 = u~1xv~lх CS, откуда u~1xv~lx = t'x, txl сопряжен
с tx, а значит, tx и tx сопряжены. На самом деле мы убедились,
что циклическая перестановка xvxu элемента tx совпадает с
Так как разные циклические перестановки корня различны, эле-
мент tx имеет вид хи хи для единственного и; это означает, что х
встречается в tx только дважды. Далее, 1Х имеет вид хауа~\
причем х не может входить в а, ибо иначе х входил бы и в а-1,
т. е. встречался бы в tx более, чем два раза. Следовательно,
х = у и tx = xaxcr1, а tx =а~1хах.
Покажем, что в tx = xaya~1 элемент а не содержит ни одной
буквы г из множества J. Если бы г встречался в а, тог входил
бы и в а-1, т. е. г=#х, у. Кроме того, tx был бы сопряжен
с /г = гсгс-1, а так как tz содержит х, то в tz элемент х должен
встречаться дважды, откуда у = х и 1Х — хах~'а. Но а имеет вид
uzv а потому tx = xuzvxv~xzu~1. Если хи — четный элемент, то
zvxv~1zu~1xu лежит в S, значит, совпадает с tz, а следовательно,
u-1xu = (rxu_1)-1 = oxr~1 и ^'= (гпхо-1)2, что невозможно, ибо lz—
корень. Если же хи —нечетный элемент, то точно так же при-
ходим к невозможному равенству tz = (vxv~1z)2.
На множестве вершин J построим граф Г, вводя неориенти-
рованное ребро между х и у для каждого элемента tx = xaya~y.
Из сказанного выше вытекает, что если tx = хах~1а~1, то в Г есть
компонента, состоящая из цикла длины 1 с одной вершиной х.
Для любого другого х имеем /Х = хнуи~1 и t^—bzb^x сопряжен
с tz — zb~1xb, т. е. х принадлежит ровно двум ребрам. Следова-
тельно, граф Г распадается на циклы Гу, /=1, .... т.
С циклом Fy = (Xyi, ..., Xjnj) мы свяжем множество Ту, со-
стоящее из всех Сл = ^ул’ где индекс меняется циклически по
модулю Пу. Ясно, что объединение Т* множеств Ту содержит все tx.
В следующей теореме обоснованы уже все утверждения, кроме
последнего.
Предложение 8.1. Пусть G есть NEC-группа. Тогда G обла-
дает представлением G = (X{]J\ U Ri U R2) следующего вида:
J есть дизъюнктное объединение упорядоченных множеств Jj —
= (Хух, ..., Xjn^, Ну^ 1. Множество Ra состоит из всех xjh для
XJh£J
Множество Rt является объединением множеств
Здесь mJh —положительные целые числа и tJk = x^haJhxhlt+lajh
(индекс h изменяется циклически по модулю щ), где aJfl—слова,
208
Гл. III. Геометрические методы
содержащие лишь порождающие из X. Множество R2 состоит из
слов вида rk = s™k, где тк положительные целые числа, a sk—слова,
содержащие только буквы из X. Наконец, в множестве всех aJh
и всех sk каждый порождающий из X встречается ровно два раза.
□ Осталось только доказать последнее утверждение. Мы знаем,
что для каждого z из X существует ровно один элемент в 7?(1),
начинающийся с г, и один, начинающийся с г-1. Это уже дает раз-
личные вхождения буквы z в определяющие соотношения, откуда
следует, что z встречается по крайней мере дважды. Наоборот, вхож-
дение z в элемент из U R2 дает элемент из R (1), начинающийся с
г или г-1, причем различные вхождения, либо вхождения в разные
соотношения дают начала разным элементам множества R(X).
Осталось убедиться, что вхождение буквы г в некоторое ау-Л
(дающее два вхождения в //7г) дает единственный элемент из 7?(1),
начинающийся с г или г-1. Упрощая обозначения, положим
tJ./l=t=xaya~1, где a=uzv, т. е. t=xuzvyv~1z~1u~1. Поскольку х и у
нечетны, а все остальные множители четны, циклическая переста-
новка, полученная перемещением начального отрезка хи в конец
слова t, не принадлежит /?(1), но обратный элемент, оканчиваю-
щийся на z-1, лежит в R (1). Однако перемещение отрезка хи г в
конец дает элемент (oxo-1z_1«~1x«z)_1=z_I«_1xuzoxo-1 множества
/?(1). Другая возможность получения элемента из 7?(1), начинающего-
ся с г или г-1, состоит в перемещении в конец четного отрезка, вклю-
чающего в себя обе буквы х. Для этого нужно переставить в конец
отрезок xuzvxv-1. Но это дает тот же элемент из R (1), что и раньше.
Таким образом, показано, что данное вхождение z (или аналогично
г-1) в некоторое слово ар, дает только один элемент множества
/?(1), начинающийся с z или z~1, чем и заканчивается доказатель-
ство. □
9. Сингулярные подкомплексы
Определим сингулярный подкомплекс S двумерного комплекса С
как пару (S, /), где S есть двумерный комплекс, a f — отображение
из S в С, которое сохраняет размерность и инцидентность. Мы бу-
дем иметь дело исключительно с сингулярными подкомплексами
комплекса Кэли С=С(Х; R) группы G с представлением G= (X; R).
В целом кажется более естественным работать с комплексом Кэли С,
хотя иногда предпочтительнее рассматривать факторкомплекс К=
= К(Х; R) (см. 4.3). Так или иначе, естественное отображение ком-
плекса С на К позволяет считать каждый сингулярный подкомплекс
в С сингулярным подкомплексом также и в К. Если S — сингуляр-
ный подкомплекс в С, то метки на С индуцируют метки на S. Мы
часто будем употреблять термин диаграмма для сингулярного под-
комплекса, снабженного этими индуцированными метками, а по-
5. Сингулярные подкомплексы
209
меченный таким образом сингулярный подкомплекс S будем назы-
вать диаграммой над представлением (X; /?). Заметим, что связная
диаграмма S более или менее однозначно определяет отображение f
из S в С: для данных вершин v в S и и' в С существует ровно одно
отображение f из S в С, которое сохраняет метки и переводит v в v'.
Мы будем сейчас рассматривать только два основных типа син-
гулярных комплексов S. В первом случае S является связным и
односвязным собственным подкомплексом комбинаторной сферы и
называется простой диаграммой или сингулярным кругом. Во вто-
ром S есть вся комбинаторная сфера и называется сферической диа-
граммой или сингулярной сферой. Нам будут встречаться также диа-
граммы, являющиеся дизъюнктными объединениями конечного чис-
ла поддиаграмм этих двух типов. Если диаграмма S, сферическая,
то граница dSt пуста. Если же 5г — это непустой сингулярный
круг, то граница dS, непуста, и, начиная с любого направленного
ребра Ci на dSt, получим единственное направленное ребро ег над
Si, начало v которого совпадает с концом ребра ег и такое, что не су-
ществует элементов в S;, инцидентных с v и лежащих правее отрез-
ка б!б2. Продолжая так, мы составим цикл ребер elt ... , еп на гра-
нице диаграммы Si, каждое из которых связано с предшествующим
(в циклическом порядке), как указано выше, причем они исчерпы-
вают dSi. Петля р=бь . ,еп, которая не обязательно является про-
стой, будет в этом случае называться граничным путем или гранич-
ным циклом для Si, а метка на р — граничной меткой.
Как мы видели (4.2), комплекс Кэли С=С(Х; R) для представле-
ния G=(X; R) односвязен. Однако неверно, что каждый замкнутый
путь в С ограничивает сингулярный комбинаторный круг (S, f)
в нашем теперешнем понимании, ибо нельзя требовать, чтобы f
сохраняло размерность. Чтобы исправить это, мы заменили выше по-
нятие сингулярного комбинаторного круга понятием простой диа-
граммы. Ниже мы увидим (9.2), что каждый замкнутый путь в С
есть образ границы dS при отображении некоторой простой диаграм-
мы S в С. Пример этой конструкции приведен в V.I.
Начнем с описания некой модификации диаграммы (или сингу-
лярного подкомплекса S в определенном выше смысле) в случае,
когда некоторая граничная метка не является приведенным словом.
Допустим, что некоторая компонента S; диаграммы S имеет гранич-
ный путь p=6i. . .еп, граничная метка которого оказывается не-
приведенным словом. Тогда два соседних ребра е, и ei+1 имеют про-.
тивоположные метки и будут поэтому отображаться в противопо-
ложные ребра в С. Если и ei+i — противоположные ребра в Sit
то они образуют «отросток» на границе компоненты 5г. Удаление
этих двух ребер вместе с вершиной, которая является концом для
ei и началом для е1+1, дает диаграмму S) с граничным путем р' =
^£1.. .б;_1бг + 2- . .еп, который не может быть тривиальным (т. е.
получена из St уничтожением отростка). Если и не явля-
210
Гл. 1П. Геометрические методы
ются противоположными в а егег+1 — не петля, то можно отож-
дествить et и ерК, чтобы получить новую диаграмму S) с нетривиаль-
ным граничным путем р', как и выше. Если же р=ег-е/+1 есть петля,
ограничивающая St, то мы опять отождествляем е; и ерК, но те-
перь получаем сферическую диаграмму S- с пустой границей. Мы
называем все эти операции склеиванием границы диаграммы S.
Остается возможность, когда е;е( + 1 является петлей, но ограни-
чивает только часть Т диаграммы Sf. В этом случае Т и дополнение
U к Т в S,- имеют только одну общую вершину. Мы сперва разде-
лим их, т. е. заменим U и Т изоморфными непересекающимися ком-
плексами S’i и Т'. Далее, так как у Т граничный путь будет изо-
морфной копией петли etei+1, мы можем, как и выше, склеить эту
петлю, заменив таким образом Т' сферической диаграммой S}.
Мы называем операцию замены диаграммы S, двумя комплексами
S'( и S} разрезанием с последующим склеиванием.
Предложение 9.1. Если S есть сингулярный подкомплекс (в оп-
ределенном выше смысле), то при помощи последовательного разреза-
ния и склеивания можно получить сингулярный подкомплекс S',
каждая из компонент ... , Sn которого является или сингуляр-
ным кругом с приведенной (при любой начальной точке, т. е. цикли-
чески приведенной) граничной меткой или сингулярной сферой.
□ Это выводится из определения разрезания и склеивания индук-
цией по полной длине границы dS. □
Важным следствием предыдущего предложения является такая
теорема ван Кампена [19331.
Предложение 9.2. Пусть G=(X\ R) и w — приведенное слово,
представляющее элемент нормального замыкания N множества R
в F. Тогда существует простая диаграмма S* над диаграммой Кэли
С=С(Х; R), такая, что граничная метка на S* с началом в вершине,
v есть w.
□ Заметим, что случай щ=1 не является исключением; при этом по-
лучается тривиальная диаграмма S* с единственной точкой V. Чтобы
устранить рассмотрение вырожденных случаев, считаем, что w=^=\
в свободной группе F. Поскольку w содержится в N, это есть приве-
денная форма некоторого неприведенного слова w’ вида ш’ =р1г1рр1. ..
...РпГпРР1, где все г,- лежат в Ди#-1- Для каждого wi=piripT1
построим диаграмму S;, состоящую из пути pt с началом в вершине
v, и концом в точке v'{, за которым следует петля с началом v't и мет-
кой rt и путь рр1, возвращающий в vt. Итак, S; есть диаграмма с гра-
ничной меткой Wt. Если мы выберем вершину v в С и потребуем,
чтобы vtfi=v, то сингулярная диаграмма (Sh ft) определится одно-
значно. Пусть S — объединение всех S, с отождествленными вер-
шинами vt (и без других общих вершин), a f — объединение всех ft.
9. Сингулярные подкомплексы
211
Ясно, что S — простая диаграмма. Применим теперь склеивание и
разрезание к S. На каждом шагу мы имеем диаграмму с компонен-
тами So, ... , SK, где So имеет граничную метку ш0, представляю-
щую тот же элемент в N, что и w, а остальные S; — сферические
диаграммы без границ. Индукцией по длине слова w0 мы обязатель-
но получим в таком случае, что w0 полностью приведено, а значит
w0=w. Тогда S0=S* имеет нужные свойства. □
Следствия этой теоремы ван Кампена будут широко представле-
ны в гл. V. Сделаем только два отступления, чтобы привести пояс-
няющие примеры, для которых развитой к настоящему моменту тех-
ники достаточно. Первый пример, для которого иное доказательство
было предложено Линдоном [1962], интересен своей аналогией с ре-
зультатом Крейга [1957] в математической логике.
Предложение 9.3. Пусть F — свободная группа с базисом X и
пусть Y, Z^X, P^Gp(Y), Q^Gp(Z). Если Q^Ncl^/3), то сущест-
вует множество Al^Gp (У Q Z), такое, что AlsNcl.//3) и Qs
<=Nc1f(A1).
□ Не уменьшая общности, можно предположить, что X=Y[jZ,
Q состоит из одного элемента q (нетривиального циклически приве-
денного), а множество Р конечно и циклически приведено. Тогда
в представлении G=(X; Р) элемент q принадлежит нормальному
замыканию N множества Р в свободной группе F с базисом X. По
утверждению 9.2 существует простая диаграмма S над (X; Р) с гра-
ничной меткой q. Пусть S' — результат удаления всех внутренних
ребер в S. Тогда каждая грань D' в S' является объединением гра-
ней D из S, а поскольку граничные метки этих граней D лежат в
7>^Gp(K), все ребра на границах граней D' из S' лежат в Y (J У-1.
С другой стороны, граница каждой клетки D' из S' является частью
границы dS, значит, имеет метки, содержащиеся в q, а следователь-
но, принадлежащие ZuZ-1. Поэтому у каждой грани D' в S' метка
находится в Gp(K QZ). Если в качестве XI взять множество гранич-
ных меток граней D' из S', то из связи между S и S' легко вывести,
что условия предложения выполнены. □
В качестве второго следствия теоремы 9.2 ван Кампена мы приве-
дем доказательство теоремы о свободе Дэна и Магнуса (см. II.5.1).
Предлагается пересмотренный вариант доказательства Линдона
[1972]; очень близкие соображения высказал Вайнбаум [1972].
Предложение 9.4. Пусть г — циклически приведенный, элемент
свободной группы F с базисом X, aw — произвольный нетривиальный
элемент из нормального замыкания слова г в F. Тогда каждый х£ X,
который встречается в г, встречается также и в w.
212
Гл. III. Геометрические методы
Оба доказательства — как оригинальное доказательство Маг-
нуса, так и приводимое ниже — проводятся по индукции, и, хотя
это две разные индукции, оба они устанавливают более общую фор-
му теоремы о свободе. Чтобы ее сформулировать, мы назовем пред-
ставление G=(X; 7?) ступенчатым, если и R, и некоторое подмно-
жество Ха<=Х линейно упорядочены, так что
(1) каждый элемент г в R циклически приведен и содержит не-
который х £ Хо;
(2) если г, г' $R и г</', то г содержит некоторый х£ Хо, кото-
рый предшествует всем х С Хо, встречающимся в г', а в г' содержится
некоторый х £ Хо, встречающийся после всех вхождений элементов
из Хо в г.
Предложение 9.5. Пусть G = (X; R)—ступенчатое представ-
ление и w лежит в нормальном замыкании множества R в F.
Если ш=/=1, rno w содержит некоторый х £ Хо. Допустим, далее,
что ха является наименьшим из элементов множества Хо, вхо-
дящих в w, а хь — наибольшим. Тогда w лежит в нормальном
замыкании множества Ro в F, где Ra состоит из тех г £ R, ко-
торые содержат лишь такие х£Х0, что ха^.х^хь.
Доказательство предложения 9.4. Чтобы вы-
вести 9.4 из 9.5, допустим, что х £ X встречается в г, и применим 9.5,
считая /? = {/"}, Х0={х}. □
Доказательство предложения 9.5. Ввиду тео-
ремы 9.2 ван Кампена предыдущее предложение эквивалентно сле-
дующему. □
Предложение 9.6. Пусть G=(X\ R) — ступенчатое представле-
ние, а Л — нетривиальная диаграмма над этим представлением.
Если х — наибольший или наименьший из элементов множества Хо,
встречающихся в виде метки на ребрах диаграммы Л, то х является
меткой на некотором ребре границы <9 Д.
Будет проводиться доказательство «от противного». Оно приме-
нимо и к случаю, когда Л есть конечное разбиение сферы. При этом
получается следующее. Определим приведенную диаграмму как
диаграмму, не содержащую поддиаграмм Д', обладающих ровно
двумя клетками и таких, что метка на dtX приводима к тривиально-
му элементу в F.
Предложение 9.7. Если G=(X; R)—ступенчатое представле-
ние, то над ним не существует приведенных сферических диа-
грамм. □
Доказательство предложения 9.6. Доказа-
тельство будет вестись индукцией по числу граней в Д. Сделаем не-
сколько упрощающих предположений. Во-первых, можно считать
9. Сингулярные подкомплексы
213
диаграмму Л приведенной. Во-вторых, достаточно ограничиться
случаем, когда А (если она не является сферой) есть комбинатор-
ный круг. Далее можно считать, что X и R конечны, скажем R =
= {Г1, ... , гт}, т^Л и Г1<. . .<.ггп, что каждый элемент х£Х
встречается в некотором гг и что гд и гт действительно встречаются
в качестве граничных меток граней из А.
Пусть дана диаграмма А, для которой предложение неверно,
хотя оно верно для всех диаграмм с меньшим числом граней. Отсюда
получится противоречие. Мы рассматриваем сначала случай, когда
т>1, а затем сводим к нему и случай т=\.
Пусть т>1. Пусть Ki— подкомплекс в А, состоящий из всех
(замкнутых) граней с граничными метками rm, а К2 состоит из всех
граней с граничными метками ц для i<Zm. Если произвольная ком-
понента из Ki не односвязна, то она заключает в себе некоторую
компоненту из К2, а если последняя не односвязна, она заключает
в себе другую компоненту комплекса /G. Продолжая таким обра-
зом, мы найдем или односвязную компоненту Aj комплекса Ки
или односвязную компоненту А2 комплекса К2, которая полностью
заключена в Xi, т. е. дХ2<=дК!. Ясно, что At и А2 — это диаграммы,
с меньшим числом граней, чем А.
Если получилась диаграмма An то можно утверждать, что ни
одно из ребер е границы дАх не имеет метки хь (хь — наибольший из
х£ Хо, входящих в гт, а значит, наибольшая из всех меток на Aj).
Если е лежит на дХ, то это верно по предположению. В противном
случае е отделяет диаграмму At от некоторой клетки F с граничной
меткой гг, i<jn, и е(р=^хь, ибо хь не встречается в г;. Это противоре-
чит предположению индукции.
Если же мы получим диаграмму А2, то пусть ха — наименьший
из х £ Хо, встречающихся как метка на ребрах Х2. Тогда ха — наи-
меньший х £ Хо для некоторого гг при i<m и не встречается в гт.
Следовательно, ха не встречается как метка на границе никакой
клетки с граничной меткой гт, а поэтому и на d/G. Так как dA2s
sd/G, то ха не встречается как метка на дХ2, что (после обращения
порядка) приводит к противоречию с предположением индукции.
Теперь мы будем сводить случай т=1 к уже рассмотренному
случаю т>1. В доказательстве Магнуса случай т=\ (одно соотно-
шение г с нормальным замыканием М в свободной группе F) сводит-
ся к случаю бесконечного числа более коротких соотношений rt
в некоторой подгруппе Fu причем N есть нормальное замыкание
всех rt в F1. В данном контексте аналогичную роль играет изменение
меток диаграммы А, возможно, после подразделения ребер. Вообще
говоря, в А, быть может, после подразделения ребер, будет некото-
рое «случайное» совпадение меток на некоторых ребрах в том смыс-
ле, что некоторые ребра несут одинаковые метки, хотя все предпо-
ложения будут сохранять силу и в том случае, если метки на этих
ребрах выбраны различными. Некоторые технические соображе-
214
Гл. III. Геометрические методы
ния, приводимые ниже, направлены на то, чтобы исключить такие
случайные совпадения. За исключением нескольких легко переби-
раемых случаев, это ведет к диаграмме А' с т'>1 и измененными
метками, такой, что утверждение для А' влечет за собой доказывае-
мое утверждение и для А.
Впредь мы считаем, что т—\, и введем циклически приведенную
запись г=ух. . .уп, п>\., yt£L. Мы предполагаем, что все х£Х
входят в г, но некоторый х0 не встречается как метка ни на каком
ребре границы (ЗА. Очевидно, можно считать в дальнейшем, что г
не является истинной степенью. Допустимо также предположение,
что г содержит х0 более одного раза, ибо в противном случае группа
G обладала бы базисом X—{х0}.
Для обозначения «позиций» в слове г (и обратном к нему) ис-
пользуем множество Р={1, .... п}х {+1, —1}; удобно будет пи-
сать (t, + 1)=т]г и (г, /)-1 = (г, —/)• Определим функцию л: Р L =
=Х иХ-1, полагая т]±1л=г//1:1, так что г]гл — это буква, встречаю-
щаяся на месте т]£ в г. Поскольку г не является истинной степенью,
для каждой грани F существует единственная базисная петля уР
с началом в базисной точке vp на dF, обходящая dF в том или ином
направлении и такая, что уф=г. Если уР=ех.. ,еп, то положим
Если ребро е лежит между двумя гранями и Е2, а
Р1=ефР1, p2=etyP2, то мы считаем, что pi~p2. Транзитивное замыка-
ние этого отношения на Р обозначается через рх~р2- Из определе-
ния следует, что рх~р2 влечет за собой и рхл=ргл. Зна-
чит, pi«p2 влечет за собой и рхл=р2л. Поскольку у^У-1
для z/С L, то pofcp-1.
Пусть L — множество классов эквивалентности [р] элементов
из Р при отношении рх~р2. Обозначим через X множество таких
[pl, что рл £ X, и положим [р]-1 = [р-1]. Тогда Л=ХиХ-1 и X Г\
П Х-1 = 0. Пусть F — свободная группа с базисом X. Тогда отоб-
ражение л: Р L индуцирует отображение, которое по-прежнему
обозначается л, из L на L, переводящее X на X, и оно продолжается
до гомоморфизма л из F на F. Введем функцию <р, сопоставляющую
ребрам из А метки из L, полагая e<p=[exp/=J, где е принадлежит гра-
нице dF. Тогда А превращается с этой новой функцией меток в диа-
грамму над представлением (X; г), где г=ух. . ,уп, г/г=[т],]. Заметим,
что ф=срл и что, если х0 £ X, причем хол=хо, то х0 является меткой
на некотором ребре в А, но не является меткой ни на одном ребре
из «ЗА.
Теперь можно опустить тильду, получив еще одно условие:
если yt=y±\ то тр«П/±1-
Пусть р — произвольный гомоморфизм из F в аддитивную груп-
пу целых чисел Z+, такой, что гр=0. Тогда для любой базисной пет-
9. Сингулярные подкомплексы
215
ли уР, а значит, и для любой петли у в А имеем у<рр=О. Следова-
тельно, если бъ б2 — два пути из одной вершины в другую, то
61фр=62фр. Выберем грань Ео с базисной точкой vPi> и для всех
вершин v из А определим va как общее значение бсрр для всех путей
б ИЗ Vp° в V.
Пусть X* = XxZ, F—свободная группа с базисом X*, а
L* = X* U X*-1. Для y£L, у = х±х, х С X положим у (i) = (х, i)*1 6
С Л*. Определим новую функцию <р*, сопоставляющую ребрам
диаграммы А элементы из L*, полагая е<р* = у (i), где etp = у = х±г,
a i = va для начальной вершины ребра е^. Тогда
Тг.Ф* = г (0) = уг (г\) ... уп (i„),
где
^=(У1 • • • если r/A € X,
и
Ч = если у^Х'1.
Следовательно, для любой грани F
TFФ* = г (й) = У1 («1 + й) ... уп (in + й),
где h = vp<J. Теперь А (с функцией <р*) является диаграммой над
Д* = {г(/г); h£Z\, и если X’ = {х0 (й); й£7}, причем в X* и R*
порядок индуцирован порядком на Z, то представление (X*; R*)
ступенчатое. Кроме того, никакой x0(/i)£XJ не является меткой
на (ЗА. Если грани в А имеют граничные метки у^ср* = г(й) для
более чем одного значения h, то мы попадаем в случай т > 1 с
неизменившимся числом граней на А, и доказательство заканчи-
вается.
Высказанные соображения не проходят, только если ufo = 0
для базисных точек vy всех граней F. Допустим, что так оно и
есть. Пусть рг « р2. Это соответствует двум отмеченным вхожде-
ниям некоторого у в г в одной из следующих форм: r = uywyz
или r = uywy~1z. Определим значение р на интервале между
точками, отвечающими двум позициям буквы у. В первом случае
это J(plt p2) = (yw)p, во втором —J (/?,, р2) = (ywy-1) р = (ш) р.
Заметим, что если р± « р2 « р3, то J (pt, р3) = J (ри р2) + J (р2, р3).
Поэтому, если pt ~ р2 влечет за собой J (рп р2) = 0, то из рг « р2
следует J (рп р2) = 0.
Пусть р2, причем pjn = р2п = у и рх = ефг,, р2 = ефр2, как
и выше. В зависимости от того, одинаковую или противополож-
ную ориентацию имеют у^, и ур,, возможны два случая. Если
ориентация одинаковая, то r = uywy~^z и е отвечает выделен-
ному вхождению у в уг2<р и вхождению у~1 в уг/р. Пусть v—на-
чало ребра е. Тогда на у/.-, имеем ир = то— ирг, а на у^, получим
(иг/ш^-1)р = w — v2o. Если и1о = уао = 0, то up = (uywy-i) р и
216
Гл. III. Геометрические методы
J (р1, р2) = (до) р = 0. В случае когда ориентации противоположны,
r~uywyz и е соответствует, скажем, первому вхождению у в
и второму вхождению в yp/р. Если vto = u2o = 0, то здесь
получится ир = (ш/до)р и опять J (plt р2) = 0. Таким образом,
предположение, что все цро равны 0, влечет за собой равенство
/ (рп р2) = 0 при р1 ~ р2, а поэтому из pt « р2 следует J (plt р2) = 0.
Чтобы завершить доказательство, достаточно показать, что р
можно выбрать так, что при некоторых рг № р2 мы получим
J (pi, р2)у=0. То есть мы должны указать в г (или некоторой
циклической перестановке слова г±х) вхождение ywy с (удо)р#=0
или вхождение уму1 с дор 0.
Функция р определена своими значениями pz = xzp, которые
подчинены единственному ограничению: = где а,-—сум-
ма показателей вхождений xt в rz. Допустим сначала, что неко-
торый а,- равен 0. Если в г± 1 входит х(их{, где и не содержит
xh то мы могли бы выбрать (xzu) р = xzp up произвольно. В
противном случае, поскольку xz встречается по крайней мере
дважды, слово г (или циклическая перестановка слова г±х) обя-
зательно имеет вид г = xiulxplv1.. .XiUkXilvk, причем xz невстре-
чается в uh, vh. Если некоторая буква у встречается и в uz и в
Vj, то можно выделить вхождение ywy± 1 в Ujxpfy, в котором
слово до содержит xz лишь один раз, а значит, величина (z/до) р
(или дор) может быть сделана произвольной. Следовательно, можно
предполагать, что в uz и в vr нет общих букв. Теперь, если,
скажем, vt содержит какой-то х]у причем а7У=0, то можно до-
биться того, чтобы i>iP^=0, если только в vz не содержатся все
такие хг Поэтому в любом случае позволительно считать, что
Uj содержит Xj только при условии Uy = 0. Наконец, если выб-
рать вхождение Х/ДОХ/(е, ± 1) в х^х^ при кратчайшем воз-
можном до, то до будет содержать некоторый хй только один раз,
а так как ай = 0,'то значение дор можно сделать любым.
Осталось рассмотреть случай, когда все at отличны от 0. Если
в слове г (или циклической перестановке слова г± х) есть вхож-
дение вида xzuxrx, где и не содержит xz, то можно выбрать up 0.
Итак, мы можем предполагать, что каждый xz входит в г везде
с одним и тем же показателем, например -f-1. Тогда, если в г
есть подслово xzuxz, то легко выбрать (xzu) р^=0, кроме случая,
когда все Xy#=xz встречаются в и. Значит, теперь можно считать,;
что между любыми двумя вхождениями произвольного xz есть
вхождение каждого другого Ху. Но это означает, что для неко-!
торой перестановки индексов л
Г = (Хя (!)..• Хя (п)У, t Js 1.
Поскольку г не является собственной Степенью, /=1. Одна-
ко тогда х0 содержится в г только один раз вопреки предполо-
жению. Этим заканчивается доказательство предложения 9.6. □
10. Сферические диаграммы
217
10. Сферические диаграммы
В предыдущем разделе мы отбросили сферические диаграммы,
глядя на них лишь как на неизбежное неудобство. Однако они имеют
теоретико-групповое значение, которое мы теперь выявим. Прежде
чем приступить к этому, отметим, что использовались и другие
типы сингулярных подкомплексов, или диаграмм, помимо син-
гулярных кругов и сингулярных сфер. Сингулярные кольца, или
кольцевые диаграммы, применены Шуппом [1968, см. V. 5] в связи с
проблемой сопряженности. Шупп (не опубликовано) использовал
диаграммы двумерных многообразий для исследования решений
квадратных уравнений в группах и для доказательства теоремы
Нильсена, что для канонического представления G= (X; г) группы
поверхности каждый автоморфизм в G= индуцирован некоторым ав-
томорфизмом свободной группы F с базисом X.
Повторяясь, мы определим сферическую диаграмму над представ-
лением G= (X; R) как пару (S, /), где S есть конечная комбинаторная
сфера, a f — сохраняющее размерность отображение из S в С=
=С(Х;/?). Назовем сферическую диаграмму приведенной, если
она не содержит никакого сингулярного подкруга So ровно с двумя
клетками, такого, что его граничная метка представляет тривиаль-
ный элемент в F. Если в S содержится такой подкомплекс, не сов-
падающий со всем S, то после удаления этого подкомплекса и скле-
ивания полученной диаграммы получится новая сферическая ди-
аграмма S', имеющая на две грани меньше; если же S состоит
только из двух таких граней, то S'— пустая диаграмма. В любом
случае переход от S к S' называется приведением. Сферическая ди-
аграмма называется тривиальной, если ее можно привести к пустой
диаграмме. Представление G= (X; R) и его комплекс Кэли С(Х; R)
называют асферическим, если не существует нетривиальных сфери-
ческих диаграмм над (X; R) 1).
Вопрос о зависимостях между соотношениями, который изу-
чался Пайфером [1949], Райдемайстером [1949] и Линдоном [1950],
тесно связан с такими сферами. В первом приближении зависи-
мости между соотношениями представления (X; R) — это равенст-
во u^i'Ui1 ... unrennUn 1 = 1, где rt£R, u^F, е,- = ±1, которое
выполняется в F. Однако всегда есть некоторые тривиальные
равенства такого сорта, и чтобы принять их в расчет, введем
понятие преобразования Пайфера.
Пусть л = (рх, ..., рп)—некоторая последовательность элемен-
тов в группе G. Преобразование Пайфера первого рода состоит в
замене л на л' = (р[, .... р„), где для некоторого i, 1 i < п,
ИЛИ Pi = Pi+i и p[+i = priiPzP/+i,
J) Используемое здесь определение асферичности отличается от обычного,—
Прим. ред.
218
Гл. Ill. Геометрические методы
ИЛИ
P'i = PiPi»P? и p'i+i = /?,-,
причем в любом случае p'j = Pj для j^i, i + 1. Преобразование
Пайфера второго рода состоит в замене л на л'= (/?!, . ..,рН1,
Pim ’Рп)’ если PiPt+i^)- Ясно, что во всех случаях про-
изведения рг. . .рп и р[.. .рп представляют один и тот же элемент
группы. (Преобразования этого вида были рассмотрены в несколь-
ко ином контексте Гриндлингером [I960].)
ЕслиО=(Х; R) и plt . . ., рп сопряжены с элементами из R U R-1,
причем pi . . . рп = \ в F, то мы называем л= (ръ . . ., рп) зависимо-
стью между соотношениями данного представления. Если ее нельзя
укоротить с помощью преобразований Пайфера, то л называется
приведенной, а если л сводится преобразованиями Пайфера к пустой
последовательности л'(с п'=0), то эта зависимость тривиальна.
Предложение 10.1. Представление является асферическим тогда
и только тогда, когда не существует нетривиальных зависимостей
между его соотношениями.
□ В доказательстве предложения 9.2 было показано, что для любой
последовательности л= (ръ . .., рп) элементов pt, сопряженных
с элементами из R\}R~l, существует сингулярный круг, гранич-
ная метка которого с началом в некоторой вершине о0 равна непри-
веденному слову pi .. . рп. Обозначим этот сингулярный круг через
5(л). Если л — зависимость между соотношениями представления
G= (X; R), то граничная метка на S (л) представляет тривиальный
элемент группы F, а значит, склеиванием границы круга S (л) по-
лучим сферическую диаграмму S'. Покажем, что, наоборот, каждую
сферическую диаграмму можно получить таким путем. Пусть S —
нетривиальная сферическая диаграмма; она должна иметь более
одной грани. Выберем грань £>х в S и вершину va на Di. Тогда
S — Dt есть сингулярный круг, а поэтому он изоморфен сингуляр-
ному кругу £i на’ плоскости. Определим сингулярный круг Si на
плоскости, добавляя к Ei (копию) Di так, чтобы они имели только
общую вершину v0 (точнее, ее образ). Очевидно, что диаграмма S
получается из Si посредством склеивания и разрезания (в случае,
когда Ei имеет тривиальную граничную метку), Di имеет метку pi
из R U £-1, a Ei— метку q из N с началом в и0. Если Ег состоит из
одной грани, то доказывать нечего, так как слово q сопряжено с
некоторым элементом из £и£-1 и круг Si изоморфен S(л) для
л=(р!, q). В противном случае £i имеет более одной грани, и мы
выбираем грань D2 на границе круга Ег и простую дугу а на d£t от
ц0 к точке v на D2. Это можно сделать так, чтобы вершина v0 содер-
жалась в £i—D2. Ясно, что £t получается посредством склеивания
из диаграммы £2, состоящей из двух частей £2 и £2, у которых об-
щая лишь вершина vQ, причем первая изоморфна D2[]a, а вторая
Ei—D2. Теперь уже £2 имеет на одну грань меньше, чем £х. Значит,
10. Сферические диаграммы
219
повторение приведенного рассуждения приводит к сингулярному
кругу Е, состоящему из подкомплексов Е'2, . , Е„, у любых двух
из которых общей является лишь вершина v0. При этом Ег можно
получить склеиванием круга Е, a Е) имеют граничные метки pit
сопряженные с элементами из Следовательно, круг Е
изоморфен S (р) для р= (р2, • •, Рп)- Но тогда объединение Dt
и Е с единственной общей вершиной v0 изоморфно 8(л), где л==
= (ръ . . рн), и S получается склеиванием этого комплекса.
Легко видеть, что сферическая диаграмма 8, полученная из
8 (л) склеиванием и разрезанием, является приведенной тогда и
только тогда, когда приведенной является 8 (л). Так что для завер-
шения доказательства достаточно показать, что диаграмма S (л)
приведена, если и только если приведена зависимость л.
Если зависимость л' получена из л преобразованием первого
рода, то, как показывает проверка, приведенные диаграммы, полу-
чаемые из S (л) и 8 (л') склеиванием и разрезанием, одинаковы;
поэтому 8(л) приведена тогда и только тогда, когда приведена ди-
аграмма 8(л'). Допустим теперь, что диаграмма S (л) не приведена,
т. е. она содержит подкруг с клетками Dt, Dj и тривиальной гранич-
ной меткой. Если, предположим, /</, то преобразования первого
рода, сопрягающие pj посредством pi+v . . ., р^ по очереди,
позволяют считать, что /=t-f-l, откуда мы выводим равенство
PiPi + 1—l, т. е. зависимость л не приведена.
Наоборот, если л не приведена, то после преобразований пер-
вого рода можем считать, что ptpi+1=li для некоторого I. Но тогда
в S (л) содержится подкомплекс 80=8(л0), где л0= (pi, pi+l), с
тривиальной граничной меткой. Значит, диаграмма 8 (л) не приве-
дена. □
Теперь мы покажем, что асферичность влечет за собой условие
(см. ниже I. 1), которое было рассмотрено Линдоном [1950].
Предложение 10.2. Если G= (X; R) — асферическое представле-
ние, и ни один элемент из R не сопряжен другому или обратному к
нему, то выполняется следующее условие:
(1.1) Пусть pi . . . рп = \, причем каждый сомножитель pi ра-
вен иу^ир1 для некоторых ut£F, rt^R и ег = ±1. Тогда индексы
разбиваются на пары (i, j), такие, что rt=rh et=—ej и UjNCit
где Ct (централизатор слова rt) является циклической группой, по-
рожденной корнем в, из г i=sTl
□ Доказываем индукцией по п с тривиальным основанием /1=0.
По предложению 10.1 асферичность представления означает, что
зависимость л=(ръ . . ., рп) приводима. Поскольку ни условие, ни
заключение не меняются при преобразованиях Пайфера, моя-но
считать, что Р/Р(+1=1. Отсюда следует, что г, и сопряжены, а
220
Гл. 111. Геометрические методы
значит, rt=ri+l и e,=—e;+i, причем с=«г1«1-+1 централизует
элемент г,. Но тогда c£Ct и утверждение доказано. □
Условие (1.1) может быть сформулировано более элегантно. На-
помним, что с представлением G= (X; R) связан естественный
G-модуль /V = /V/[/V, /V], модуль соотношений представления. Для
элемента п из N обозначим через п его образ в N, а элемент w~ynw,
где w£F, запишем, не опасаясь двусмысленности, в виде n-w.
Предложение 10.3. Условие (1.1) эквивалентно тому, что N
является прямой суммой циклических G-модулей порожденных
образами г, элементов г, из R и определяемых единственным соот-
ношением г,-81=гь где st — корень из rt1).
□ В соответствии с уже установленными обозначениями, которые
стали стандартными, мы рассматриваем N как левый (а не правый)
G-модуль, т. е. пишем w-n^^wnw1. Допустим, что справедливо
(1.1). Предположим, что в N выполняется соотношение 2е4и;-гг=0
между элементами ri( где ег = ±1, а «г — элементы из F. Тогда в N
выполняется соотношение
П иуУит1 = k,
где k — элемент из [М, /V]. В этом случае k является произведением
коммутаторов [р, q] элементов, сопряженных с элементами из
R и Z?-1, т. е. произведением сомножителей вида p^q^pq. Значит,
/г-1 разлагается в произведение сомножителей p'f, которые раз-,
биваются на пары, как в условии (1.1). Теперь, если рц^и^и/1,
то мы имеем соотношение pi. . . pnk~1=pi . . . р„р[ . . . р'т=1.
По предложению 10.2 сомножители здесь разбиваются на пары,
но мы видели', что сомножители р) разбиты на пары, значит, и сом-
ножители вида pt можно разбить на пары. Но если рг и ру входят в.
одну пару, то Г;=Г;, е,=—в} и Ui=ujc для некоторого с£С,. По-
этому в N получится eiui-ri+ejuj-rj=±ui (rt— с-г,), где с=$ для
некоторого h. Значит, данное соотношение в N есть следствие со-
отношений вида Эт° показывает, что строение модуля .V
такое, как утверждалось. □
Следствие 10.4. Если представление G= (X; R) асферично и ни-
какой элемент из R не является истинной степенью, то модуль со-
отношений N есть свободный G-модуль.
При обычном определении асферичности N — свободный модуль,— Прим,
ред.
10. Сферические диаграммы
221
□ После возможного удаления лишних элементов из R, мы можем
считать, что ни один элемент в R не сопряжен с другим или об-
ратным к нему. Теперь применимо предложение 10.3, и, поскольку
каждый корень 8г=г, представляет тривиальный элемент из G,
определяющее соотношение г(-8;=гг тривиально. □
Ввиду замечаний из II.3 G = (X; R) обладает свободной ре-
зольвентой вида
... Д М2Л Л Д 1,
где Л12/Кег da ^jV. Если N — свободный G-модуль, мы можем
положить M2 = N, а Л43, ТИ4, ... =0, получая свободную резоль-
венту вида
r\ d* di e
... —► 0 -+ АГ —> Л10 —► 1.
В принятой терминологии это выражается следующим образом.
Следствие 10.5. Если представление G= (X; R) асферично и ни.
один элемент из R не является собственной степенью, токогомоло-
гическая размерность группы G не превосходит двух. □
Отметим, что если группа G не свободна, то в силу результатов
Столлингса [1968] и Суона [1969] (см. также Коэн [1972]) ее кого-
мологическая размерность в точности равна 2. Заметим также, что
если некоторый элемент из R является собственной степенью, то
когомологическая размерность группы G бесконечна, но когомо-
логии группы G имеют период 2, т. е. можно построить резольвен-
ту, в которой 2И2=Л14 = . . ., Л13=7И5= . . ., d3=d5= . . . ndt=de=
. . . (В связи с этим см. Линдон [1950].) Упомянем еще статью Дайе-
ра и Васкеса [1973], в которой рассматривается асферичность ком-
плексов Кэли.
Обратимся теперь к условию, которое обеспечивает асферич-
ность. Если G=(X; R), то нормальное замыкание N множества R
в свободной группе F с базисом X является свободным как под-
группа свободной группы F. Оно порождается элементами, сопря-
женными с элементами из R. Естественно поставить вопрос (см.
Линдон [I960]), обладает ли N базисом В, состоящим из трансформ
элементов множества R.
Допустим, что в N есть такой базис В. Тогда В имеет вид В=
— {uru'1-, r£R, u£U(r)} для некоторых подмножеств U(г) в F.
Если для данного элемента г базис В содержит элементы b=uru~l и
b'=u'ru'-1, где u'=wu, w g N, то b'=wbw~1 и два базисных элемента
bub' сопряжены в N, а следовательно, должны совпадать. Поэтому
мы можем выбрать каждое U (г) внутри трансверсали V (г) для М
в F, т. е. смежные классы uN^Nu различны для и £ U (г). Более того,
222
Гл. III. Геометрические методы
если с принадлежит централизатору С (г) элемента г в F и и'=ис, тс
uru~1=ulru' ~1, так что можно считать, что каждое U (г) содержит
ся в левой трансверсали V (г) для NC (г) в F, т. е. все uNC (г) дл»
и € U (г) не пересекаются.
Рассмотрим теперь случай, когда каждое U (г) является полно!
левой трансверсалью для NC(r) в F.
Предложение 10.6. Допустим, что представление G= (X;
удовлетворяет следующему условию:
(1.2) N обладает базисом В= {uru~1-, r£R, u£U (г)}, где для каю
дого г G.R подмножество U (г) является полной левой трансверсальк
для NC (г) в F.
Тогда представление (X; R) асферично.
□ Ввиду 10.1 достаточно будет показать, что при выполнении,
условия (1.2) нет нетривиальных зависимостей между соотноше-
ниями. Допустим, что л = (рп . . . , рп) есть приведенная зависи-
мость между соотношениями, причем п^ 1. Здесь каждое pt рав-
но u/p’uf1 для некоторых r, ^R и е(=±1. Поскольку.
U (г;) является левой трансверсалью для ХС(г;), а подгруппа
нормальна в F, то можно записать каждый элемент и; в виде и,- =(
= n,v,c,-, где п,- е N, Vj £ U (г,-) и с,- € С (г,). Тогда р,- = пдупт1, где
q. = оддр1 € В. Выразим каждый элемент nt в виде слова над
базисом В. При этом выражение для р{ в форме рг- = п Д^пр1 не
будет приведенным словом над В, если и,- оканчивается на сте-
пень элемента q,, скажем п^пд?, где т максимально. Но тог-,
да замена п{ на п\ не повлияет на наши рассуждения. Таким
образом, мы можем считать, что никакое слово р(-= пд^пр1 не
допускает сокращений.
По предположению р1...р„=1. По предложению 1.2.2, по-
скольку все слова pz имеют нечетную длину, какое-то из ни?
сокращается более чем наполовину соседним сомножителем. Мь
можем считать, что р,- сокращается больше чем наполовину г
произведении р,р/ + 1, а значит, отрезок q^nq1 в р; сокращается.
Если он сокращается как раз с отрезком , тор,р/+1 = 1
вопреки предположению, что зависимость л приведена. Если о|
сокращается полностью в ni+1, то слово Pi'+x = p,pi+iPFl короче)
чем р,-+1, и преобразованием Пайфера первого рода можно за)
менить л последовательностью л', сумма длин слов р) в которо!
меньше, чем сумма длин слов р,, и индукция по этой сумме за!
канчивает разбор данного случая. Наконец, если в р( + 1 сокра
щается отрезок, больший чем M,+ipz‘++11, то оставшаяся част!
слова р/+1 полностью сокращается в щ, значит, pT+iPtPi + i корой
че, чем р,, и, опять применяя преобразование Пайфера первого
рода, мы заканчиваем индукцией по сумме длин слов pz. □
11. Асферические группы
223
Мы можем предложить лишь частичное обращение предложения
10.6.
Предложение 10.7. Если представление G=(X; R) асферично и
ни один элемент из R не сопряжен с другим или обратным к нему,
а В — произвольный базис для N, состоящий из элементов, сопря-
женных с элементами из R, то В удовлетворяет условию (1.2).
□ Достаточно показать, что для любых u£F и r£R существует
некоторый элемент v в uN, такой, что wv-1 лежит в В. Поскольку
иги'1 принадлежит подгруппе N, a N обладает базисом В, то urir1
равно произведению р элементов ре(1, где pt = щгщД С В. Теперь к
равенству (uru~1)p~1= 1 применяем предложение 10.2, и это для не-
которого i дает г=г;, е; = 1 и щ ^uNC,, т. е. цг=ус при некоторых
v £ uN, с £ С,, a virvil=vrv~'i лежит в В. □
Сопоставляя 10.6 и 10.7, получаем такое
Следствие 10.8. Если G= (X; R) и N обладает базисом, состоящим
из элементов, сопряженных с элементами из R, который удовлетво-
ряет условию (1.2), то каждый такой базис удовлетворяет условию
(1.2). □
Модули соотношений N для конечных групп G=F/N изучались
Оянгуреном [1968], который рассматривал комплексное представ-
ление, индуцированное действием группы G на N. Их исследовал
и Уильямс [1973]. Он показал, что при достаточно большом |Х| из
равенств G= (X; 7?i) = (X; R2) следует, что jVi~M2. Вопрос о спра-
ведливости этого факта при минимальном |Х| остается открытым.
Им приведены также условия, при которых модуль N обладает про-
ективным слагаемым.
11. Асферические группы
Обратимся теперь к вопросу, какие группы допускают асфери-
ческие представления. Ввиду 10.6, если у группы есть представ-
ление, удовлетворяющее условию (1.2), то оно асферическое.Свойство
(1.2) вперые было установлено Коэном и Линдоном [1963] для пред-
ставлений с одним определяющим соотношением, а также в более
общей ситуации для ступенчатых представлений (см. 9.5). Получе-
но следующее
Предложение 11.1. Если G—(X; R), причем R состоит из
единственного соотношения или, вообще, если представление ступен-
чатое, то оно асферическое. □
Мы не доказываем здесь это утверждение, однако отметим, что
Каррасом и Солитэром [1970] дано более простое и объемлющее до-
224
Гл. III. Геометрические методы
казательство, чем у Коэна и Линдона. Из предложения 11.1 следует
утверждение Линдона [1950] о том, что в этом случае нет нетриви-
альных зависимостей между соотношениями, а когомологии такие,
как описанные в III. 10. Геометрическое доказательство, содержаще-
еся в доказательстве Линдона теоремы о свободе, приведено в 9.7.
Шик [1953] доказал частный случай теоремы 11.1.
Коэн и Линдон [1963] получили также следующий результат,
применимый к большинству групп, в которых проблема равенства
слов разрешима посредством алгоритма Дэна (см. § V.4.).
Предложение 11.2. Пусть G= (X; /?), и предположим, что
каждое приведенное слово для нетривиального элемента w из N со-
держит отрезок, составляющий более половины приведенного слова
для некоторого элемента из R*. Тогда N имеет базис В, состоящий
из элементов, сопряженных с элементами множества R.
□ По утверждению 1.2.7 в N существует базис U, такой, что под-
группа N вполне упорядочена относительно порядка и<щ, такого,
что из следует u<v, и если N, и С U и и><и, то Nu=
= Gp {v; v £ U, v<u}. Доказываем по индукции, предполагая, что
Nа обладает базисом Ва, состоящим из элементов, сопряженных с
элементами множества R. Нужно показать, что X'=Gp {Ntt, и}
имеет такой базис В'и. Но по предположению u=-aqb, где q состав-
ляет более половины некоторого элемента r=pq из R*. Тогда и’ —
=u(b~1r~1b)=apb короче, чем и, откуда и' £Na. Из того, что
Ва U {и} есть базис для N'u, что и С Na и что и=и' (Ь~ггЬ), следует,
что В[р=В и {b-1rb} есть базис для N’u. □
За некоторыми исключениями, из теории малых сокращений
следует, что строго планарные F-группы удовлетворяют предполо-
жению, а значит, и заключению предположения 11.2. Цишанг
[1965], однако, предложил прямое геометрическое доказательство
этого факта.
Предложение 11.3. Если G= (X; R) и комплекс С(Х; R) пла-
нарный и заполняет плоскость, то в N есть базис, состоящий из
элементов, сопряженных с элементами множества R.
□ Выбирая начальную точку v0, легко понять, что С является
объединением цепочки CisC2s. . . , где каждый комплекс Ct
есть топологический круг, причем Ci— единственная грань Do,
содержащая ц0, а каждый С„+1 получен из Сп добавлением некоторой
грани Dn. Для каждой грани Dn выберем простую дугу уп в Cn_j
от вершины ц0 до вершины vn на Dn Г)Сп_1, не имеющую с Dn других
общих точек. Пусть Дп=Цпи?п; тогда граница бп комплекса Ап
с началом в у0 имеет метку рп, сопряженную с элементом из R±i,
Эти метки рп составляют базис для подгруппы N' группы N, ибо
соответствующие граничные пути бп представляют базис для фунда-
11. Асферические группы
225
ментальной группы одномерного остова С1 комплекса С, а любая
зависимость между рп влекла бы за собой зависимость между (го-
мотопическими классами) 6П.
Осталось проверить, что N'=N, для чего достаточно установить,
что каждый замкнутый путь X в С является произведением путей
6л \ Путь X принадлежит некоторому Сп, и мы ведем доказательство
индукцией по п. Ясно, что можно считать X петлей с началом в
Vo, состоящей из отрезка Xj внутри Сп_1 до точки на dDn, отрезка а,
содержащегося в dDn, и отрезка Х2 внутри С„_1 до точки v0. Пред-
положение индукции позволяет нам, во-первых, считать, что Xj
идет от v0 до vn, что а — граничный путь для Dn с началом vn и что
Х2 идет от оп назад к и0- Во-вторых, можно считать Хх=уп и Х2=у"1.
Но тогда Х=6П. □
Можно надеяться перенести геометрические рассуждения такого
рода на другие случаи, когда из иных соображений известно, что
существует базис из элементов, сопряженных с элементами множе-
ства R, а может быть, и на другие представления, асферичность
которых известна.
Асферичность некоторых представлений известна из топологи-
ческих соображений. Для групп ручных узлов это следует из глу-
боких результатов Папакирьякопулоса [1957)]. Для групп альтер-
нированных узлов это установлено Ауманном [1956], а также выво-
дится с помощью комбинаторных аргументов из результатов Вайн-
баума [1971] и Аппеля и Шуппа [1972]. Более тривиально утвер-
ждение о том, что все планарные представления асферичны. Так,
если (А, 6) — приведенная сингулярная сфера над любым ком-
плексом Кэли С=С (X; /?), то не может быть складок’, для различных
граней Di и D2, граничащих вдоль ребра е, грани иД26различ-
ны и граничат вдоль е8. Это означает, в частности, что геометриче-
ский подкомплекс А6 в С имеет пустую границу. Но планарный
комплекс не может содержать непустой конечный подкомплекс без
границы.
Последнее рассуждение можно уточнить. Вообще говоря, в
(А, 6) могут быть «точки ветвления»: звезда с выколотой вершиной v
из А может «n-кратно» отображаться на проколотую звезду вершины
об при произвольном ti^l. Это означает, однако, что кратность
отображения 6 одинакова для соседних, а значит, и для всех граней.
В таком случае в соответствии с кратностью для граней мы
называем отображение 6/п-кратным, хотя оно может иметь раз-
ные кратности на вершинах и ребрах. Если Dr из А отображается
на Djb в С, то можно найти подкомплекс Ai в А , содержащий Dlt
связный, односвязный и взаимно однозначно отображающийся при
6 на АД Если Ai=А, то 6 является взаимно однозначным, а А6 есть
(несингулярный) сферический подкомплекс в С. В противном слу-
чае (Af, 6i) (где 6Х— ограничение 6 на AJ является сингулярным кру-
8 № 653
226
Гл. III. Геометрические методы
гом с граничной меткой, представляющей 1, и склеивание компле]
са Д1 дает сингулярную сферу Д', взаимно однозначно отображав
щуюся на Д'б', т. е. опять-таки (Д', 6') является сферой в С. Отсю;
следует, что если комплекс С не асферичен, то он содержит сфер!
Приведенные выше соображения показывают, что если (Д, 6) 4
сильно приведенная диаграмма, т. е. она не содержит собственно1
сингулярного круга, имеющего хотя бы одну грань с граничной ме
кой, представляющей 1, в частности если (Д, б) есть сингулярна
сфера с минимальным возможным числом граней, то б отображав
Д взаимно однозначно на сферу Дб в С. Отсюда видно также, что кая!
дая сингулярная сфера (А, б) есть сумма сфер в С в следующее
смысле. Для некоторых сфер . ., Sn, у которых вершина |
в С общая, Д есть результат склеивания сингулярных круга
Дъ .. ., Дп с общей вершиной и, причем б отображает каждый А
взаимно однозначно на Sh a v на V. Например, если в С есть тольй
одна сфера S для каждой вершины, в частности если комплекс <
сам является сферой, то любая сингулярная сфера есть сумма взг
имно однозначных накрытий некоторой такой сферы S. В этом слу
чае каждая зависимость между соотношениями есть следствие едий
ственной такой зависимости, связанной с S, a АГ (с образами х эле
ментов из X в качестве порождающих) определяется (возможными
соотношениями s-r=Q для каждого образа г элемента г из R вмест|
с еще одним соотношением, выделенным из зависимости, котора|
связана со сферой S.
Отметим, что доказательство комбинаторно-геометрическими ме
тодами асферичности некоторых представлений с «малым сокращй
нием» было дано Линдоном [19661, который рассматривал некотори
аналогичные результаты для факторгрупп свободных произведении
и Шуппом [1971]—для факторгрупп свободных произведений с"
объединенной подгруппой.
Эти же доводы приводят к следующему результату Коэна и
Линдона, аналогичному теореме из логики, касающейся «перестрой^
ки доказательства».
Предложение 11.4. Пусть G—(X\ R)—ступенчатое предстал
ление, как в 9.6~ Пусть, далее, рр^иу^'иТ1, С F, г, £R, ег = + 1 1
приведенная форма слова w=pt . . . рп содержит специальные nd
рождающие xt только при at^.is^b. Тогда преобразованиями ПайфЛ
ра формальное произведение (pt, . . ., рп) может быть переведено |
формальное произведение (<?lt . . . , qm), такое, что qt . . ,qm прей
ставляет (разумеется) тот же элемент из N, что и слово л
и что каждое слово qj равно vjr/'vj'1 для некоторого элемеА
та г,, который содержит порождающие Xi только при ал
□
12. Диаграммы смежных классов
227
12. Диаграммы смежных классов и представления
подстановками
Одно основное и элементарное утверждение в теории групп под-
становок состоит в том, что если группа G действует транзитивно,
скажем справа, на множестве Q, а Н — подгруппа, оставляющая на
месте данный элемент со £ Q, то множество й как множество с опера-
торами из G изоморфно семейству смежных классов Hg при сопо-
ставлении, переводящем cog в Hg. Те же идеи, которые были пред-
ложены для объяснения построения диаграмм Кэли, теперь при-
водят к обобщению — к диаграммам смежных классов. Более точно,
пусть G — группа, Н — подгруппа, а X — подмножество в G (ко-
торое в наиболее интересных случаях порождает группу G). Опре-
делим соответствующую диаграмму смежных классов как помечен-
ный граф Г следующим образом. Множество вершин в Г есть мно-
жество Q смежных классов Hg для g £ G. Ребра находятся во взаим-
но однозначном соответствии с Qx(Xu^-1); с каждой парой
(/7g, х) (для ggG и х С X (J Я-1) мысвязываем ребро е=е(g, х), иду-
щее от Hg к Hgx и имеющее метку х. Обратным является ребро
e-1=e(gx, х-1). Эти диаграммы оказались весьма полезными, од-
нако мы ограничимся здесь лишь одной-двумя темами, особенно
близкими к нашему подходу, а также ссылкой на Кокстера и Мозера
[1972], где можно найти подробную информацию.
Приведем сначала одно доказательство хорошо известного след-
ствия формулы Шрайера 1.3.9. Это легкое следствие упомянутой
формулы, но приводимое доказательство представляется более про-
зрачным.
Предложение 12.1. Если G—группа, порожденная конечным
множеством из п элементов, а Н — подгруппа конечного индекса j
в ней, то Н порождается некоторым множеством, состоящим из
не более чем т элементов, где т—1 =/ (п—1).
□ Для любого слова w от порождающих X группы G существует
единственный путь с меткой w из вершины Н графа Г в вершину
Hw. В частности, р является петлей с началом в Н тогда и только
тогда, когда Hw=H,т.е. w£H. Поскольку Н имеет конечный индекс,
то множество й конечно, и существует конечный базис ръ . . ., рт
для петель с началом вН. Группа л (Г) свободно порождена элемен-
тами, определяемыми этими ph а Н порождается их образами в G.
Поэтому Н порождается некоторым множеством, состоящим из
не более чем т элементов. Но, как мы видели ранее (2.2), л (Г) —
свободная группа ранга т, где m=yi—уо+1, у0—число вершин в
Г, а ух— число неориентированных ребер. Для каждой вершины
существует не более 2п ориентированных ребер, а так как каждое
ориентированное ребро сосчитано дважды, то y^nj, где )=у»—
8*
228 Гл. III. Геометрические методы
число вершин. Следовательно, мы получаем, что m=nj—/+1, а
это и требовалось. □
Обрисуем связь между диаграммами Кэли и способом Тодда
и Кокстера перечисления смежных классов. Диаграмма Кэли
С = С(Х‘, R) для симметризованного представления G = (X; R)
может быть построена индуктивна как предел Сх последователь-
ности диаграмм Са при отображениях уар: Са—>-Ср, а <0. Огра-
ничимся случаем, когда представление конечно, а Ст есть предел
последовательности Со, Сх, С2, ... конечных диаграмм при отоб-
ражениях уАг, определенных отображениями уА: Ck->-Ck+1. Удобно
считать, что множества X и R упорядочены, и на каждом шаге
задавать порядок на вершинах диаграмм Ck.
Начнем, выбрав диаграмму Со, состоящую из единственной
вершины V. Предположим теперь, что диаграмма Ck задана и по-
строим Ck+i вместе с yft и порядком на вершинах диаграммы Ck+1.
Возможны три случая.
Случай 1. В некоторой вершине v диаграммы Ch начинается
путь р, не являющийся петлей, граничная метка г которого лежит
в R. Выберем первую такую вершину, а для нее — единственный
путь с наименьшим возможным г. Пусть р идет от v к и'. Определим
отношение на вершинах из Cft, полагая и=и', если существуют пути
q из v в и и q' из v' в и' с одинаковой меткой. Порождаемое отноше-
ние эквивалентности дает и эквивалентность на множестве ребер,
которая сохраняет инцидентность и метки. В качестве Cft+1 возьмем
фактор диаграммы Ck по этому отношению эквивалентности, причем
yfe— проекция. Упорядочим вершины из Ck+i в соответствии с на-
именьшими их прообразами.
Случай 2. Такой ситуации, как в первом случае, нет, но для не-
которой вершины v и некоторой буквы у=х±г (х£ X) не существует
ребра, выходящего из и, с меткой у. Выберем первую такую вершину
и, а для нее — первый такой элемент х. Положим у=х, если нет
ребра, выходящего из v с меткой х; в противном случае г/=х-1.
Диаграмму Ck+1 получаем из Ch добавлением новой вершины и вме-
сте с ребром из v в и, имеющим метку у. Отображение yh— это вло-
жение. Вершины в Ck упорядочены, как и раньше, а новая вершина
и следует за ними.
Случай 3. Ситуации, описанные в двух предыдущих случаях, от-
сутствуют. Определим тогда CkJri—Ck с тождественным yh.
Если С^ есть предел диаграмм Ck при отображениях yft, то
легко понять, что диаграмма Ст изоморфна диаграмме Кэли С.
Очевидно, что если для Ck имеет место случай 3, то Ccx>=Cft, и
поскольку диаграмма Кэли Ст для этого представления конечна,
то группа G должна быть конечной. Немногим труднее сообразить,
12. Диаграммы смежных классов
229
что, наоборот, если группа G конечна, то для некоторого k диаграм-
ма Ck попадает в случай 3, а значит, Ст=Ск.
Испытаем теперь метод перечисления смежных классов в част-
ном случае смежных классов по тривиальной подгруппе Н=1.
Интересно для данного представления G= (X; R) выяснить, яв-
ляется ли группа G конечной, найти ее порядок и получить ее пред-
ставление подстановками (на самом деле регулярное представле-
ние), если она конечна. Мы предполагаем, что каждый порождаю-
щий х из X встречается (как х или х-1) в некотором соотношении
г из R, иначе, очевидно, группа G бесконечна. Мы не требуем, да-
лее, чтобы множество R было симметризовано. Способ будет состо-
ять в том, чтобы расположить некоторый вариант изложенной выше
конструкции в табличной форме, пригодной для эффективных вы-
числений.
Интуитивно последовательные шаги в построении диаграммы
состоят в составлении надлежащим образом списков наименований
для вершин по порядку на каждой петле с меткой г, где r£R. Для
каждого г £R образуем таблицу этих списков и на некоторых шагах
(примерно соответствующих случаю 2 в приведенной выше кон-
струкции) добавляем новые списки к этим таблицам. На других
шагах (отвечающих случаю 1) мы устанавливаем некоторую эк-
вивалентность между наименованиями в нашей таблице, означаю-
щую, что они являются названиями одной и той же вершины.
Пусть слово г £ R, скажем г=уг.. ,уп, приведенное, и все yi лежат
в XUX~\ Составим для г таблицу, как показано ниже, помечая
внутренние вертикальные разделительные линии буквами z/lt ..уп.
У1 Уг ••• Уп-i Уп
Vj V2 us ... un_j u„ un+1
Строчка в этой таблице означает, как отмечалось, что и,,
v2, . . ., v„, vn+1 суть расположенные по очереди вершины на петле
с меткой г, а и„+1 есть та же самая вершина, что и vx.
В дополнение к этим таблицам удобно представлять себе от-
дельный список соотношений между вершинами vt, хотя вся
информация и содержится на самом деле в таблицах. Особо для
каждой строчки vlt v2, .-vn+l, как выше, мы выпишем соотно-
шения
У1У1 = f2, Ms = t's» -^vn-iyn-i:=va, vnyn = vn+1,
а также соотношение un+1 = Uj. Кроме того, вместе с соотноше-
нием мы фиксируем также соотношение vkyi1 = vl-, далее,
если дано равенство то вместе с viyk = vl запишем ujyk = vl,
вместе с vlyk = vi запишем vtyk = Vj, а вместе с vt=‘Vk запишем
230 Гл. III. Геометрические методы
------------------------------------—------------------ м
V,- — vk. Практичнее заменить вхождения ut их индексами i — 1
2......
Алгоритм начинается с записи первой строки 1, 2, . . п,
в первую таблицу, где п—длина первого r£R. Вся извлекаема!
отсюда информация записана, как указано выше. С этого момент!
происходит следующее. Допустим, что некоторый номер kr появлй!
ется в таблицах, но не в каждой таблице начинает некоторую стро|
-ку. Выберем первый такой номер klt и пусть г=уъ . . . уп~ перво!
такое слово г £ R, что не начинает строки в таблице для г, равна
как и любой k[, для которого записано равенство kx—k'x. Ставим
kr на первое место в новой строке таблицы для г. Если уже записан^
равенство &jZ/i=£2 для некоторого минимального k2, то ставим
на второе место в строке. Продолжая таким образом, мы, возможно]
закончим строку, поставив некоторый /гп+1 на последнее место; н
этом случае запишем равенство k1—kn+1 вместе с его следствиями]
как указано выше. В противном случае мы придем к некотором^
kh на /i-м месте, IsgTi^n, такому, что не зарегистрировано равен^
ства khyh—kj. Тогда завершим строчку, записав ее в виде klt k2, .. ]
. . ., kh, I, l+\, ... т, ky, где I, Z+l, . . ., m суть первые числам
еще не появившиеся в таблице, и опять записываем соответствую-;
щие равенства. Остается возможность, при которой на некоторой
шаге не найдется числа k и таблицы, не содержащей строки, начи-]
нающейся с k или с некоторого k', такого, что уже записано равен-^
ство k=k'. В этом случае алгоритм кончается.
Если группа G конечна, то обращение к диаграмме Кэли показы-
вает, что алгоритм должен завершаться. Польза от алгоритма как
раз в обратном: если алгоритм оканчивается, то G конечна. Пусть,
в самом деле, он завершается. Можно заменить каждый номер k
наименьшим k', для которого записано равенство k=k'. Тогда мно-
жеством чисел, появляющихся в таблицах, будет {1, 2, . . ., N}
для некоторого N, и каждый такой номер начнет ровно одну строку
в каждой из таблиц (и закончит ту же строку). Более того, для каж-
дого и каждого// £XUX~* информация hy=kзанесена рог
для одного k € Q. Тогда первый столбец таблицы для г—ух . .
есть перестановка на Q, значит, второй столбец таблицы также
ляется перестановкой на Q, а следовательно, отображение йь—
есть подстановка. Теперь таблицы дают конечную диаграмму Кэли
для группы G с N вершинами, поэтому G имеет порядок N, а отобра-
жения ht-^-hy определяют регулярное представление группы G.
Тем же самым путем перечисляются смежные классы Hg по«
некоторой подгруппе Н группы G. Содержимым таблицы являются,
теперь смежные классы, а чтобы алгоритм был эффективным, мы;
должны уметь распознавать, когда смежные классы Hg и Hg' сов-s
падают. В остальном все идет, как и прежде, и алгоритм завершает]
работу в точности в том случае, когда Н имеет в G конечный индекс!
[G: H]=N, и дает полную диаграмму смежных классов или, есл|
12. Диаграммы смежных классов 231
взглянуть иначе, представление группы G своим действием на смеж-
ных классах по Н.
Для бесконечных групп., как и для конечных, немало сведений
о строении группы G может быть получено из сравнительно скуд-
ных данных о ее действии на множестве й. Суть в том, что й как
G-множество изоморфно прямой сумме G-подмножеств, являющихся
диаграммами смежных классов для подгрупп группы G. Самым
первым примером этого являются, возможно, рассуждения, по-
средством которых Пуанкаре в [1882] получает представление для
фуксовых групп из знания их действия на перемещениях фундамен-
тальной области и в [1883] аналогичный результат для клейновых
групп, действующих на 3-мерном гиперболическом пространстве.
За подробностями отсылаем к Маскиту [1971].
Интересующие нас здесь теоремы имеют более простую природу.
В них множество Й не наделено какой-либо дополнительной струк-
турой. Прототипом для таких теорем представляется «.теорема ком-
бинирования» Клейна [1883] (см. также Форд [1951]), дающая ус-
ловия, при которых фуксовы группы являются свободными произ-
ведениями некоторых подгрупп. Кажется, Макбет [1963] впервые
заметил, что справедливость этой теоремы не зависит ни от какой
структуры, аналитической или какой-нибудь другой, на множестве
Й. В чем-то схожие идеи содержатся в работе Титса [1969]; см. также
Диксон [1973]. Ради простоты мы приводим результат Макбета в его
наиболее элементарной форме (см. Линдон и Ульман [1968]).
Предложение 12.2 Пусть группа G подстановок на множестве й
порождена двумя подгруппами G1 и G2, a и й2—непересекаю-
щиеся непустые подмножества в Й, такие, что
1 у= g, С G, влечет за собой Й^,ей2,
ly=g2£G2 влечет за собой й^2ей,.
Тогда или G есть свободное произведение G = GX*G2 (без
объединенной подгруппы), или же |G,| = |G, | = 2 и G является
диэдральной группой.
□ Допустим, например, что |G, | > 2 и 1, g[, g, — различные эле-
менты из Gf. Поскольку Qtgrg'r' П Q = 0, й,£, и й^( —непере-
секающиеся непустые подмножества в й2. Поэтому из l=^g,^G1
следует fi,g, с: й2. Достаточно показать, что если w = gxg2.. .g2n,
причем l^g,, gs, ..., g^-^G, и l#=g2, g4, ..., g2„€G2 при
1, to u>y=l. Но из того, что Qlgtg2c:Q2g2sfij и ^g21._!g21c:
ей,, по индукции выводится, что й,ш с: Й, и Утвержде-
ние тривиально, если | G, | = 1 или |G2| = 1. Остается случай,
когда G, — {1, а} и С2 = {1, Ь), причем а2 — b* = 1. Можно считать,
что любое другое соотношение имеет вид (а6)л = 1. Если таких
соотношений нет, то G = C2*C2 — бесконечная диэдральная группа.
232
Гл. III. Геометрические методы
Если же (ab)n=\ для некоторого наименьшего п^1, то G есть
конечная группа диэдра порядка 2п. □
Отметим обратное: если G=G!*G2, то при регулярном представ-
лении группы G правыми умножениями на Q=G можно найти мно-
жества, удовлетворяющие условию этого предложения. Имен-
но: составим Qi из всех нетривиальных элементов w группы G, нор-
мальная форма которых оканчивается на множитель из G2, а й2—
из всех ойМ, заканчивающихся сомножителем из Gj. Подобные за-
мечания можно отнести и к обобщениям предложения 12.2, отмечае-
мым ниже.
Иллюстрацией применения этой теоремы является теорема Сано-
ва [19471.
/1 2\ /1 0\
Предложение 12.3. Матрицы A=l j ) « В =( % j 1 над Z
образуют базис свободной группы.
□ Группа G = Gp{A, В} является подгруппой в Z/ = Gp{A, /},
/О 1\
где J = l j о/’ 3 B=JAJ. Нам нужно установить, что Ат'Вп'...
... АтьВпк^= \ при условии, что & >1 и все mt, п;=£=д. Значит,
нужно показать, что Ал/Ал/ ... /АРпУ=1, если п^1 и все
р(-У=О. Пусть Н действует как группа дробно-линейных преоб-
разований римановой сферы С* = Си |оо}> где г А — г + 2, a zJ = 1/z.
Положим = {z; | г | < 1}, a Q2 = {г; | г | > 1}. Тогда S^A^sQa
при р#=0 и sQj. По предложению 12.2 группа Н является
свободным произведением бесконечной циклической группы Н1,
порожденной матрицей А, и группы Н2 = {1, J}. Отсюда все
следует. □
С помощью приведенных аргументов можно точно так же пока-
/1 АЛ д_/1 0\
зать, что группа G (А), порожденная матрицами А=1 _ )ио — I
1 j \К 1 у
свободна с базисом {А, В} при любом А^С, таком, что |А|^2. На-
чиная с Санова, аргументы такого рода были последовательно раз-
виты Бреннером [1955], Чаном, Дженингсом, Ри [1961], Линдоном
и Ульманом [1969], которые показали, что то же самое утверждение
имеет место для чисел X, принадлежащих существенно большей
области в С*, хотя полученные области, очевидно, не наилучшие из
возможных. Из 12.3 немедленно вытекает, что группа G(A) свободна,
если число А трансцендентно или алгебраично, но некоторое сопря-
женное с ним А' таково, что |А'|^2. С другой стороны, известны не-
которые алгебраические X, для которых группа G(A) не свободна.
Однако неизвестно, например, существует ли какое-то рациональное
А, 0<|А|<2, такое, что группа G(A) свободна. Значения А=3/2,
4/3, ?/з, 5/4 (и числа, которым они кратны) были исключены Линдоном
12. Диаграммы смежных классов
233
и Ульманом [1969], значение 7/4 — независимо Конвеем и Бренне-
ром, значение 8/s — Бреннером (все не опубликовано) х).
Вопрос, каковы пары элементов из PSL (2, R), порождающие
дискретные группы, свободные произведения или свободные группы,
исследовался также Фукс-Рабиновичем [1940], Ньюманом [1968],
Пужицки и Розенбергером [1972], Розенбергером [1972], Уомсли
[1973], Чарноу [1975]. О свободных подгруппах линейных групп
см. Донияхи [1940], Де Грот [1956], Шверчковски [1958], Титс
[1972], Верфриц [1973]. О свободных подгруппах групп с малыми
сокращениями см. работу Коллинза [1973].
Теорема Макбета 12.2, так же как и аналогичные результаты для
свободных произведений с объединенной подгруппой и для HNN-
расширений, были получены Маскитом [1965, 1968], см. [1971].
В его теоремах, как в условии, так и в заключении, есть топологи-
ческие условия; ниже мы приводим варианты, не содержащие рас-
смотрений такого типа.
Предложение 12.4. Пусть группа G порождена двумя своими
подгруппами Gi и G2 с пересечением Gi Г) G2=H. Допустим, что И
является собственной подгруппой как в Glt так и в G2, и ни в одной
из них ее индекс не равен 2. Пусть G действует на множестве Q,
a Q] и Q2 — не пересекающиеся непустые подмножества в Q.
Предположим, что
(1) QJGi-^sQ^ Q2(G2-/7)sQi;
(2) QjHcQj, Q2Z/ = Q2.
Тогда группа G = G1*//G2 — свободное произведение групп Gi и G3
с объединенной подгруппой Н.
□ Допустим, что |Gji//) > 2. Если g^G]—Н, то найдется f^Gt,
такой, что смежные классы Н, Hg, Hf различны, а значит
gf~1^G1—Н. По условию (1) Qjg, QJ, Q1gf~1sQ2, откуда
l^gsQf. Поскольку = то QJnn2f = 0; поэтому
QignHJ = 0. А так как Q1fy=0, то Qxgc:fi2. Если |С2:Д| > 2,
то мы рассуждаем так же. Таким образом, или из g^Gt— Н
следует Qjg<zQ2, или из g£G2 — H следует QjgcQj.
Достаточно показать, что и/ =/= 1, если w = hgyg2... gn, где
h^H, а элементы gf принадлежат поочередно множествам —Н
и 62—Н, причем йу=1, если п = 0. Случай п<2 следует из
определения подгруппы Н. Предположим, что п 2 и, не умень-
шая общности, что gn gs, . ..£Gi — Н, a g2, g4, ...£G2 — H.
Из условий (1) и (2) имеем Q2//sQ2,
где одно из двух последних включений собственное, так
что ^/igigsscQi. По индукции, если Q2hgl ... g2mc:Cli, то
*) Подробное освещение этой задачи см. в обзоре Ю. И, Мерзлякова [1978 *],—
Прим, ред,
234
Гл. Ill, Геометрические методы
Ш • .g2/B+1cfi2, аеслиЙ2^.. .§2и+1а:й2, тоЙ2^.. .gim +2czЙР
Следовательно, Q^czQj или й2шсй2, и в любом случае Q2w^
=#й2, т. е. w^= 1. □
Предложение 12.5. Пусть G — группа подстановок на множе-
стве й, порожденная подгруппой Go группы G вместе с некото-
рым элементом f£G. Предположим, что Н+1—такая подерут
в Go, что подгруппа Н_t = fH+1f-1 также содержится в С
Допустим, что й является дизъюнктным объединением непуст!
множеств Й_1Т й0 и й+1, таких, что
1) (й„иЙо)Г<=Йо, о = ±1;
2) если g£Ga, g<£Ha, то й^сй,, о = ±1.
Тогда G есть HNN-расширение группы Go при изоморфизме
Н+1 на И-!, осуществленном посредством сопряжения эле мо-
том f.
□ (Отметим, что один из двух случаев в (1) влечет за собой
другой.) Пусть G — соответствующее HNN-расширение. Тогда G
отображается на G, а поэтому действует на й. Нужно показать,
что группа G действует точно. Но каждый нетривиальный эле-
мент в G сопряжен слову w одного из следующих видов: w
= g€Ga,w = fanMiw= fa1lg1... fanngri. Здесь n > 1, 0, g, £ G(1,
gi^HO[, где a,==a,/|af| = Sgn(af).
Если w = g^=l, то w действует точно, ибо Go действует точно.
Заметим далее, что если а 0 и а = Sgn (а), то 0 #= Qofa, Йар = й0
и Г) &afa ~ 0, а значит, й0/ст <z йа. Следовательно, &ofa-----
— Qofafa~a cz ОДа~а £Й„. Это доказывает, что w = fa действует
не тривиально на й. В оставшемся случае Qofa‘ a£ia., и из (2)
следует <z йст ^; sQ0- По индукции йооу cz Йо, поэтому w
действует не тривиально. □
Заметим, что похожие идеи появились у Кальме [1969] и Титса
[1969]; см. также Тукья [1972]. Тесно примыкает сюда понятие
биполярной структуры (см. IV. 6 ниже), введенное Столлингсом
[19651; см. также Масси и Столлингс [1977]. Имея в виду, с одной
стороны, предложения 12.4 и 12.5, а с другой стороны — результат
Столлингса [1968], нетрудно в случаях свободного произведения
с объединенной подгруппой и HNN-расширения описать множества,
встречающиеся в условиях утверждений 12.4 и 12.5, в терминах,
которые появляются при определении биполярной структуры, и
наоборот. Главное достоинство понятия биполярной структуры сос-
тоит, видимо, в том, что оно позволяет естественно и единообразно
излагать близкие вопросы для свободных произведений с объеди-
ненной подгруппой и для HNN-расширений.
13. Графы Бера
235
Суон [19711 использует фундаментальные области для получе-
ния порождающих и соотношений групп SL (2, /), где I — кольцо
целых чисел поля Q (К—т).
13. Графы Бера
Бер [1962] применил для изучения строения групп один метод
из теории графов, который тесно связан с диаграммами смежных
классов и, как правило, приводит к изучению этих диаграмм.
Это очень близко идеям Серра [1969]. Мы приведем основной ре-
зультат Бера, после чего отметим его главные приложения и упо-
мянем о его применении Бером [1967], Бером и Меннике [1968]
и Серром [1969] при изучении ими общих линейных групп GL(n, R)
над некоторыми кольцами R.
Понятие функции расстояния, или метрики, на множестве V
стандартно; d есть функция d: VxV->R, удовлетворяющая следу-
ющим аксиомам:
(1) d(u, v)^0, причем d(u, и)=0 тогда и только тогда, когда
и—и;
(2) d(u, v)=d(v, и)-,
(3) d(u, v)+d (v, w)^d(u, w).
Для v£ V и r£R шар с центром v и радиуса г есть Sr(v)=
— {и; d(u, y)sg>}.
Установим теперь основной результат Бера [1962].
Предложение 13.1. Пусть d — целозначная функция расстояния
на множестве V. Предположим, что
(I) для любого v£V и / 1 шар St(v) конечен’,
(II) существует число 1, такое, что для всех y^V и всех
если р, q(zS[(v), то при некотором п существуют pQ =
— р, р2, ..., pn = q в St (у), для которых d (р0, q)> d (ри 9) > ...
• • > d (pn, 9) = О и d (pt, PJ, d (plt p2).d (pn_lt p„) < k.
Допустим, что группа G действует на V транзитивно и
сохраняет расстояние d(ug, vg) = d(u, у) для и, v£V и g^G.
Тогда, если стабилизатор Н в G некоторой вершины и обладает
конечным представлением, то и сама группа G имеет конечное
представление.
Перед доказательством этого предложения попробуем объяснить
идею на примере важного частного случая. Пусть С—граф, и пред-
положим, что он локально конечен, т. е. в каждой вершине сходится
лишь конечное число ребер. Определим расстояние d(u, и) между
двумя вершинами как длину кратчайшего пути между ними и на-
зовем такой путь наименьшей длины геодезической. Граф С назы-
вается локально выпуклым, если каждый шар Sn (у) таков, что любая
236
Гл. III. Геометрические методы
пара его точек соединяется некоторой геодезической, содержаще!
ся в Sn (v).
Предложение 13.2. Пусть С —локально конечный и локально вы
пуклый граф, а группа G действует на вершинах, и ребрах графа Q
сохраняя расстояния, и транзитивно на множестве вершин. Тогда
если стабилизатор вершины в группе G обладает конечным представ
лением, то и сама группа G имеет конечное представление. □
□ Вернемся теперь к доказательству предложения 13.1. Выбереи
вершину о £ V, и пусть Н — стабилизатор точки о. Предполагаем]
что группа Н имеет конечное представление Н= (Хо; Но}, где Хц=ч
=Х^1 — симметризованный базис свободной группы Fo. Шар (о|
конечен, а поскольку G действует транзитивно, то существует ксй
нечное множество элементов g, переводящих о во все вершины og=a
из Sft (о). Обозначим через Хг множество, состоящее из этих эле!
ментов g и им обратных вместе с 1. Докажем теперь три леммы w
следствие.
Лемма А. Множество X = Хо и Хг порождает группу G.
□ Нужно показать, что любой g£G лежит в G0 = Gp(X). Из
условия (II), в частности, следует, что существуют точки р0 = о,
Pi, •••> P„ = °g< такие, что все d(pit Pi+1)^k. Благодаря тран-
зитивности группы G можно считать, что Pt ^og^ где g0 = 1,
a gn = g. Тогда инвариантность расстояния позволяет из нера-
венства d(og(-, ogi+1)^.k вывести d(o, ogi + 1grl)^k, откуда
oSt+igi1 € Sfe (°)- Теперь же og^gr^ox для некоторого х С Хг
и gi+^gi1 = hx при некотором h из стабилизатора Н точки о.
Поэтому gc+jgr1 € со. Следовательно, (gng„Ai)... (^gor) = g„g„1 = g
принадлежит группе Go. Тем самым лемма А доказана. □
Пусть w — некоторое слово длины | w 36 + 3 от элементов
из X, представляющее некоторый элемент h^H. Мы выберем
некоторое слово w0 от образующих из Хо, также представляю-
щее h. Пусть 7?! состоит из конечного множества слов
связанных таким способом с конечным множеством рассматри-
ваемых слов оу. Положим Д = ДоиД1. Покажем, что G = (X; Д).
Лемма В. Для vСV и glt • gnG,G
d(v, vgt... g„)^ Sd(v, vg{).
1 = 1
□ Чтобы доказать это, отметим, что d (о, vgy... g„) ^d (v, vgn) -f-
+ d (vgn, ogj ... g„) и что d (vgn, ugx .. • g„) = d (v, vgt ... gn_j.
По индукции можно предполагать, что d(v, vgr ...
n- 1
C 2 d(v, vgi), откуда выводится утверждение леммы. □
13. Графы Бера
237
Лемма С. Пусть g—слово на образующих множества X длины
s, v£V и u = vg. Тогда при некотором п найдутся элементы
Х1,...,х„£Х, такие, что gx1...x„=\, x,(zX0 для i > sk,
а также d (о, ихг ... xz) max {d (о, у), d (о, и)} при 0 i п.
□ Для начала положим p = og и I = max {d(p, и), d(o, и)}.
Тогда и о и р лежат в Sz(«), и по условию (II) существуют
точки р0 = о, рг, ..., рт = р в St(u) для некоторого т d (о, р),
такие, что все d(pi, Pi+1)^k. Мы хотим выбрать по индукции
элементы g0 = l, glt .... gm, такие, что p^ogf и gp1 = gT^x,-,
где xzC^i- Чтобы показать возможность такого выбора, допу-
стим, что g0, ..., g^ уже выбраны для некоторого i^m.
Но pi = og' при некотором g' £G, причем d(p, og'gi11) =
= d(ogi-x< og') = d(pi.x, Pi^k. Поэтому og'gr\ €Sk (о), а зна-
чит, og'giJi = oxi1 для некоторого х(&Хх- Следовательно,
g'grX = hxi1 при некотором h £ //.Положим gz = /i-1g'. Тогда
ogi~°g'~Pi> а из g’gi-x^hxi1 и gt1 = g'~1h получаем равен-
ство gigr-x = Xt\
Теперь g/1 = Xj ... х{ для любого i, в частности g^1 = х, ... хт.
Поэтому og= p — pm — ogm и ogg-l = o, откуда gg^ = h£H и
gXx... xm=h. Далее, h~1=xm+1 • хп при некоторых хт+1,.. . ,х„£
£Х0, и мы имеем равенство gx1...xn=l. Если g = y1...yJ
для некоторых у^Х, то все d(o, oyz) меньше или равны k, и
по предыдущей лемме мы получим d (о, p) = d (о, оуг ... ys}
S
с 2d(0, оу •) ks, следовательно, т ks и неравенство i > ks
;=i
влечет за собой xz С Хо.
Поскольку d(o, v)—d(og, ug) = d{p, и), то max{d(o, о),
d{o, u)} = 1, и осталось показать, что все d(p, uxt xz) меньше
или равны I. Если то d(p, ихг . . xl) = d(o, ugi1) =
= d(ogz, u)=d(pt, u)^.l, ибо pz£Sz(u). Если же
то Xx ... xz = (Xj ... xm)(xm+1 ... xz) = g^h при некотором h£H
и d (0, uxx ... x;) — d (0, ug~4i) = d (oh'1, ug^1) = d (о, ихг ... xm)
</. □
Следствие D. Пусть g—слово от элементов множества X,
причем |g| = s^3. Пусть также v£V и u = vg. Тогда по модулю
нормального замыкания N множества R в свободной группе F
с базисом X выполняется некоторое соотношение g = xx ... х„,
xz £ X, так что все d (о, охх ... xz) меньше или равны max {d(p, v),
d(o, и)}. □
Закончим теперь доказательство предложения 13.1. Пусть
ш = а1...а„—слово на элементах базиса X, которое представ-
ляет элемент 1 в G. Нужно показать, что w^N. Со словом а>
мы свяжем последовательность W точек рй’^°> Pi — oai> •••
238
Гл. III. Геометрические методы
. .., pi - оах ... рп = 0. Доказываем индукцией по
= max (d(o, pit 0 i п}.
Случай 1. 6^6. Так как d(p, pi)^.k для любого i, «
Pi = oxi при некотором х^Хц причем можно выбрать х0=1 |
х„ = 1. Пусть Ui = xi_1aixT1. Тогда ouz = o, т. е. и^ Н. Поскольку
R»^N, то по модулю N получим uz = w.z для некоторого слов!
М/ от элементов из Хо. Поэтому да------- иг ... «„ = «, ... Вместе с с|
произведение иг ... ип также представляет 1, значит, их ... и„ кай
соотношение между порождающими Хо группы Н следует из
а потому Uj...u„sl (mod jV). Следовательно, w= 1 (mod N).
Случай, 2. 6 > k. Для каждой точки pz выберем xz^X1 и
p'i^PiXT1 так, чтобы d(o, pz) < б. Если d(o, pz)<6, то просто
полагаем xz=l и p't = pi- В остальных случаях d (о, Pi) — 8 и
по условию (II) существует некоторая точка q, для которой
d(o, и d(q, pi)<d(o, р;). В таком случае q = ox; при
некотором xiGX1. Положим p'z = pzxz-1. Тогда d(o, р}) =
= d (о, р,хг1) =d (oxz, Pi) = d (q, pt) < d (о, p,.) = б, t. e. d (o, p'z) < 6.
Поскольку p’i = p'i-iXi^aiXl1, то, записывая gz = х^с^х;-1, из
следствия D получаем по модулю N соотношение gz = xzi ... хц„
причем все х;7СХ, а все d(o, p'i-jX^ ... хи) max {d (о, pLJ,
d(o, p'i)} < б. Если записать уг, ..., ут вместо хп, ..., x1Zi, . ..
.. . , хп1, ..., хп/п, то получим w = w' (mod N), где w' = ух ... ут.
Ввиду описанной выше конструкции все d(o, оуг ... yj) меньше б,
откуда индукцией по б выводится, что w' = 1 (modX). □
Опишем теперь одно из основных применений Бером этого
метода, упрощенное, однако, тем, что рассматривается случай
кольца Z целых величин в поле Q, единственное простое p£Z и
специальная алгебраическая группа SL(n, R), где R есть кольцо
всех рациональных вида alpk, a, k£Z. Положим М = Rn и о = Z”—
подмодуль Z-модуля М. Тогда G = SL(/i, R) естественно дейст-
вует на М, и og является Z-подмодулем в /И, изоморфным о,
при каждом g£G. Пусть V — множество таких og для всех g£G.
Как видно из определения, G действует транзитивно на V. Ста-
билизатор точки о в G есть, очевидно, группа // = SL(n, Z),
рассматриваемая как подгруппа группы G.
Для каждой пары элементов и и v из V существует, как
легко видеть, наименьшее число е^О, такое, что peu^.v\ оно
определяет функцию dl (и, v). При п > 2 не обязательно d1 (и, v) —
= d1(v, и), и, чтобы исправить это, определим d(u, v) =
= max {dt(u, и), б/Ди, и)}. Ясно, что d является функцией рас-
стояния, инвариантной относительно G, и что условие (I) выпол-
нено; Бер показал также, что и условие (II) имеет место для
&=1.
13. Графы Бера
239
При п=2, как хорошо известно, группа Н имеет конечное пред-
ставление Н=(а,Ь; а*=Ь\ а*=1) (см. 1.4.5), следовательно, и
группа G обладает конечным представлением. Кроме того, в прин-
ципе можно вычислить образующие и соотношения для G, приве-
денные в доказательстве предложения 13.1. Даже в простейших
случаях это вычисление, выполненное шаблонно, становится гро-
моздким, но, проведя его искусно, Бер и Меннике [1968] получили
сравнительно простые представления таких групп.
Случай п=2 широко изучался, особенно Серром [1969]. Непо-
средственное упрощение состоит в том, что уже функция di симме-
трична, т. е. d=di. Это вытекает из того факта, что, изменяя базис
как для и, так и для о, мы можем всегда прийти к случаю, когда и
имеет базис {a, PJ, a v — базис {pda, где d=d(u, v). Кроме
того, последовательность и0—и, ult . . ., ud=v, где ut имеет базис
{р‘а, p~{fl}, является геодезической от и к и; этим устанавливается
связность множества V.
Серр ввел несколько иные определения, используя GL(2, R)
там, где мы использовали SL (2, R). Он взял в качестве множества
вершин V* множество классов эквивалентности о* модулей оЛ,
где X пробегает множество ненулевых скаляров, и определил рас-
стояние между и* и и*, где и имеет базис {а, р}, a v — базис {раа,
}, формулой d*(u*,v*) — \a—b\. При этих определениях он
показал, что V* есть дерево, a d* совпадает с длиной пути между
вершинами. Он показал также, что индуцированное действие не-
которых подгрупп из G*, содержащих SL(2, R), на множестве V*
таково, что применима теория групп, действующих на деревьях.
Для таких групп он вывел из этой общей теории, что если и* ио* —
две вершины из V*, соединенные ребром u*v*, то G* есть свободное
произведение стабилизаторов этих вершин Gu. и Со. с объединен-
ным стабилизатором ребра Gu,v,.
Серр использовал это в случаях р = 2 и р==3, передоказав
конечную представимость для SL (2, R), полученную Бером и
Меннике [1968]. Это можно также рассматривать как обобщение
того факта, что SL (2, Z) есть свободное произведение цикли-
ческих групп С4 и С, с объединенной циклической подгруппой С2.
Результат Серра в частном случае, которым мы ограничимся,
содержится в одном утверждении, принадлежащим Ихаре [1966].
Предложение 13.3. Пусть р—простое число, a R—кольцо
рациональных чисел вида a/pk, a, k£Z,. Пусть Н есть группа
всех целочисленных матриц с определителем 1 и с^з
ее 0 (mod р), рассматриваемая как подгруппа в SL(2, Z). Тогда
SL(2, R) есть свободное произведение двух экземпляров группы
SL (2; Z), у которых объединены соответствующие подгруппы Н. □
240
Гл. III. Геометрические методы
Следующий результат Нагао [1959] получен Серром теми же
методами.
Предложение 13.4. Пусть F—поле, a F[Z]—кольцо много-
членов от одной переменной над F. Пусть, далее, Т (F) — группа
невырожденных матриц над F, где с = 0, рассматриваемая
как подгруппа в GL(2, F), а также в GL(2, Наконец,
пусть Т (F [/])—аналогичная подгруппа в GL(2, /’[/]). Тогда
GL(2, F[7]) есть свободное произведение экземпляров групп
GL(2. F) и Т (F [/]) с объединенными подгруппами Т (F). □
Краткое описание группы SL2 над локальными полями и одно
из изложений теории Серра групп, действующих на деревьях, чи-
татель найдет у Басса [1973]. О результатах, связанных с предло-
жениями 13.3 и 13.4, см. ниже IV.6.9.
Глава IV
СВОБОДНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И HNN-РАСШИРЕНИЯ
1. Свободные произведения
В этой главе мы займемся определениями, свойствами и приложе-
ниями произведений групп, составляющих основу при построении
комбинаторной теории групп. Начнем с изучения свободных произ-
ведений.
Определение. Пусть А и В — группы с представлениями А =
= {cii, . . .; Г1, . . .) и В=(&1, соответственно, причем
пересечение порождающих множеств {ai, . . .} и {/?ь . . .} пусто.
Свободным произведением АхВ групп А и В называется группа
(1) Д *В = <а1, ...; гх, ....«к .. .>.
Группы А и В называются множителями произведения АхВ.
Убедимся теперь в том, что свободное произведение не зависит от
выбора представлений для групп А и В.
Лемма 1.1. Свободное произведение А*В однозначно определя-
ется группами А и В. Кроме того, А* В порождается подгруппами
А и В, изоморфными группам А и В соответственно, причем
л п в=1.
□ Пусть A' — <.ai, ...; г[, ...у и В' = <&;, ...; si, ..^ — неко-
торые другие непересекающиеся представления для А и В соот-
ветственно и
(2) А' * В' = <Х, ..., b{, ...; г[, ... >.
Рассмотрим изоморфизмы ф: А—> А' и %: В—>В'. Отобра-
жение ф»х: А* В—> А'* В', заданное посредством формул
>ф(аг) и является гомоморфизмом, поскольку
соотношения переходят в соотношения. Отображение ф~1»х~1.
такое, что а/ь-*ф-1(аЭ и Ь/ь-э-Х"1 (^/)> обратно к ф*х, откуда
А' * В' Д * В. Пусть А — подгруппа в А * В, порожденная эле-
ментами а,-, а В—подгруппа в А* В, порожденная элементами bj.
Ясно, что А * В порождена подгруппами А и В. Для доказатель-
ства изоморфизма Д^Д отобразим А в А, полагая тр а{>—>at.
Проекция лА группы А * В на А, определенная посредством azi—>а.,
такова, что л^т) —тождественное отображение на Д.
242
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Поэтому А А и аналогично В В. Поскольку ллт] отобра-
жает все элементы из В в 1, имеем ДПВ = {1}. Учитывая най-
денные изоморфизмы, мы будем отождествлять А с А, В с В и
рассматривать А и В как подгруппы в А*В. □
Мы остановились на случае двух множителей лишь ввиду удоб-
ства обозначений.
Если {Лг; г‘С / } — произвольное семейство групп, то их свобод-
ным произведением, в обозначениях * А(, называется группа, пред-
ставление которой является объединением ненересекающихся предо-
ставлений групп Лг. Как и выше, свободное произведение Р=*Л<
не зависит от выбора представлений для множителей. Верны и дру-
гие заключения леммы 1.1.
Из теоремы об определении гомоморфизмов на представлениях
непосредственно вытекает, что свободное произведение Р==*Л,
обладает следующим свойством универсальности:
1. Существует фиксированное семейство гомоморфизмов
1’С/}, где т],-: Л,-—такое, что (J Л/(Л/) порождает Р.
Ze 1
2. Для любой группы G и любого семейства i£l} гомо-
морфизмов /р Л,-—>-& существует гомоморфизм ф: Р—>-G, такой,
что диаграмма
’iz Р м>
лД>о
ч
коммутативна для всех i£l.
Из общих соображений следует, что любые две группы, обладав
ющие таким свойством универсальности, изоморфны. Свойство уни4
версальности, таким образом, может рассматриваться как определи
ние свободного произведения. На языке теории категорий свободней)
произведение является копроизведением в категории групп.
Перейдем к основной теореме о свободных произведениях.
Определение. Приведенной последовательностью (или нормалЫ
ной формой) называется последовательность . . ., gn, п^О, эле
ментов группы Л«В, таких, что каждый gt отличен от 1 и каждый я
лежит в одном из множителей Л или В, причем последовательны!
g;, gl+i не лежат в одном и том же множителе (п может равняться
нулю, когда последовательность пуста).
Пример. Если А*В= (а, Ь\ а1, Ь6.), то последовательности
а5, Ь3, a2, b приведена, в то время как а, Ьь, а и а2, а3, Ь3 н|
приведены. I
Основным результатом о свободных произведениях являете^
1. Свободные произведения
243
Теорема 1.2. (Теорема о нормальной форме для свободных про-
изведений.) Рассмотрим свободное произведение А*В. Тогда имеют
место два таких эквивалентных утверждения:
(I) Если w=gi . . . gn, п>0, причем последовательность gt, . . .
..., gn приведена, то в А*В.
(П) Каждый элемент w из А»В единственным образом пред-
ставляется в виде произведения w—gr . . . gn, где gi.gn — при-
веденная последовательность.
□ Покажем прежде всего, что утверждения (I) и (II) эквива-
лентны. В утверждении (II) имеется в виду, что 1 есть произ-
ведение элементов пустой последовательности. Следовательно,
из (II) немедленно вытекает (I). Предположим, что верно утверж-
дение (I). Пусть w = gt---gn и w^=ht.. . hm приведены. Тогда
1 = gi • • • g„hm h^1. Последовательность glf ..., gn, .h;1
не является приведенной лишь в случае, когда hm лежит в том
же множителе, что и gn. Далее, последовательность glf ...,gn-v
gnhm> hm-i, .... Лр1 не является приведенной, лишь когда 1,
т. е. hm = gn. Рассуждая по индукции, получаем т = п Vihi = gi,
1=1, ..., п.
Проведем доказательство, используя гомоморфизм в группу
подстановок. (Эта идея принадлежит Артину [1947] и ван дер
Вардену [1948].) Пусть W — множество всех приведенных после-
довательностей из А» В. Для каждого элемента a £ А определим
подстановку а на множестве W следующим образом. Если « = 1,
то а —тождественная подстановка. Если а=Н=1 и gt, ...,gn —
некоторая приведенная последовательность, то
a, Si...gn, если gi £ В,
agi, >, gn, если gr ^A,agi^=\,
g2, .... gn, если g^a-1.
Для доказательства того, что а — подстановка на множестве
IE, заметим, что а-1 обратна к а. Легкая проверка показывает, что
если а, а' £ А, то аа’=аа'. Отображение <р : а-+а является, таким
образом, гомоморфизмом из Л в S(W), группу подстановок на мно-
жестве W. Определим подобным же образом гомоморфизм ф : Ь—^Ь.
В этом случае существует гомоморфизм <р*ф : A*B^-S (IE). Да-
лее, каждый элемент w из Д*В естественным образом может быть
представлен как некоторое произведение w—gi . . . gn, где после-
довательность gt, . '. ., gn приведена. Однако подстановка (<р*ф) (да)
переводит пустую последовательность в последовательность gi, ...
. ., gn: следовательно, да=/=1 при п>0. □
Теорема о нормальной форме позволяет определить функцию
длины для элементов свободного произведения. Если элемент да
244
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
из G—A»B имеет нормальную форму gi . • • gn, то число п назы-
вается его длиной, в обозначениях |оу|=п. Если u(ait bj)— неко-
торое непустое слово от аг и bj, то можно записать . uh,
где каждое щ есть слово или только от at, или только от bj, никакое
ut не является пустым (хотя оно может быть тривиальным в G) и
ut, ui+l не лежат в одном множителе группы G. Подслова «т, . . uk
называются слогами слова и. Понятно, что k~^\u\.
Из теоремы о нормальной форме непосредственно вытекает
Следствие 1.3 Если А и В — конечно порожденные группы с
разрешимой проблемой равенства слов, то таковаже и группа А*В. □
Пусть и и v—элементы из А*В, имеющие нормальные формы
u=gt . . • gn и u=/ii . . . hh. Если gn и hj лежат в различных мно-
жителях, то произведение uv имеет нормальную форму gi .. . gnhi. ..
. . . hk. Если h^gp1, то скажем, что Bi и gn сокращаются в произве-
дении uv. После некоторого числа сокращений мы можем прийти
к gi . . . gthj . . . hk, где gi и hj лежат в одном и том же множителе,
но hj^gp1. Скажем, что gt и hj слились при переходе к нормальной
форме произведения uv.
Элемент w из А*В с нормальной формой w=gt . . . gn называ-
ется циклически приведенным, если gn и g^ лежат в различных мно-
жителях или если п<1. Для циклической приведенности требуется,
чтобы gn Hgt не могли сократиться или слиться, если п>1. Назовем,
последовательность слабо циклически приведенной, если gn^gi1
или /rSCl. При этом определении gn и g\ могут лежать в одном мно-
жителе, но при они не должны сокращаться.
Положение с сопряженностью в свободных произведениях весьма
близко к случаю свободных групп. Имеет место
Теорема 1.4. (Теорема о сопряженности для свободных произве-
дений.) Каждый элемент из А»В сопряжен с некоторым, цикличе-
ски приведенным элементом. Если u=gi . . . gn и v=hi . . ,hm —
циклически приведенные элементы, сопряженные в Л «В, и п>1,
то т=п и последовательности gr, . . ., gn и Ьц, . .., hm получа-
ются друг из друга циклической перестановкой. Если п^1, то
т=п и и, v лежат в одном и том же множителе и сопряжены
в нем.
□ Понятно, что произвольный элемент сопряжен с циклически
приведенным элементом. Если пип — сопряженные циклически
приведенные элементы, то положим u—cvc-1 и будем рассуждать
индукцией по |с|. Если |с| =0, то все следует из теоремы о нормальной
форме. Пусть с=щ . . . ck — приведенная форма для с, k^\. Заме-
тим, что равенство
&i---gn^Cf-CjJii...hmCb1 ...с?
1. Свободные произведения
245
не может выполняться, если между ch и hi или hm и с*1 нет сокраще-
ний. (В этом случае gi ... gn не было бы циклически приведенным.)
В том же случае, когда сокращения имеются, скажем между ск и /гъ
получается равенство
S1 • • • gn = ci • • • \
что позволяет использовать индукцию. □
Следствие 1.5. Если А и В — конечно порожденные группы с
разрешимой проблемой сопряженности, то такова же и группа
А*В. □
Теорема 1.6. (Теорема о кручении в свободных произведениях.)
Элемент и конечного порядка в группе А*В сопряжен с некоторым
элементом конечного порядка из какого-либо множителя этой группы.
□ Пусть и=£1 . . . gn— циклически приведенный элемент, сопря-
женный с и. Если и>1, то нормальная форма для vk имеет вид
gx gn • gi - gn^l- □
Следующая лемма аналогична соответствующей лемме для пря-
мых произведений.
Лемма 1.7. Пусть А и В — подгруппы группы G, такие, что
А и В порождают G, А Г) В={1}, и если glt . . ., gn— приведенная
последовательность с п>0, то gi . . .gn=#l. Тогда G^A*B.
□ Из сделанных предположений следует, что гомоморфизм <р:
A*B^rG, индуцированный отображением ах—>а и Ьх—>Ь, является
изоморфизмом. □
Замечание. Пусть G=X*B. Множество {aba^b"1', l^a^A,
!#=&£/?} является базисом некоторой свободной подгруппы
группы G.
Утверждение легко проверяется, если заметить, что слишком
большие сокращения невозможны. Таким образом, если А имеет
по меньшей мере два нетривиальных элемента, а В=#{1}, то свобод-
ное произведение А»В содержит свободные подгруппы ранга 2,
а значит, и счетного ранга.
Доказательство приводимого ниже утверждения принадлежит П.
Нейману. (См. Д. Коэн [1972]).
Утверждение. Никакая группа G не может одновременно разла-
гаться нетривиальным способом в прямое и свободное произведение.
□ Предположим, что G=A*B, где Л=#{1} и В=^{1}. Пусть g—ab,
1#:а£ А, и l^Ab С В. Легкая индукция по длине элемента с показыва-
ет, что если с коммутирует с g, то с является степенью элемента g.
Таким образом, централизатор элемента g бесконечный циклический.
246 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Предположим теперь, что G=DxE, где О=^{1} и Е#={1}. 31|
пишем g=de, где<1 С D и е £ Е. Централизатор элемента gравен Н X
где Н — централизатор элемента d в D, а К — централизатор эл||
мента е в Е. Таким образом, централизатор С элемента g являете^
нетривиальным прямым произведением. Этого не может быть, п0|
скольку бесконечная циклическая группа не разлагается в нетр^
виальное прямое произведение. □
Две наиболее важные теоремы о свободных произведениях
это теорема Грушко [19401 и Неймана [1943) и теорема Куроии
[1934]. Лучшие доказательства этих теорем привлекают теорий
графов. Доказательства приведены выше в разд. III.3.
Теорема 1.8. (Теорема Грушко — Неймана.). Пусть F — свобод
ная группа и <р : F^-^A, — гомоморфизм из F Ha*At. Тогда сущг\
ствует разложение группы F в свободное произведение F*=*Fti
такое, что q(Ft)=At. □
Наиболее часто применяется такое
Следствие 1.9. Если G=Xi* . . . и ранг (минимальное числ
порождающих) группы А{ равен rt, то ранг группы G равен
. • -А-Гп-
□ Пусть r=rank G. Тогда существует гомоморфизм <р из свободной
группы F ранга г на G. По теореме Грушко — Неймана F=*/?f,
где <р(/?г)=Лг. Следовательно, ранг каждой группы Ft не меньше
г;. Поскольку объединение свободных порождающих множеств для
Ft является свободным порождающим множеством для F, имеем
г^Г1+.. .+гп. С другой стороны, поскольку Aj порождают G, то,
понятно, Г^Гх+. . .+гп- □
Теорема 1.1.0. (Теорема Куроша о подгруппах). Пусть G~
=*Ai и И — подгруппа в G. Тогда Н является свободным произве-
дением H=F*(*Hj), где F — некоторая свободная группа, а каж-
дое Hj — это пересечение подгруппы И с некоторым сопряженным
какого-либо множителя At группы G. □
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
и свободные произведения с объединенной подгруппой
В этом разделе мы введем две конструкции, играющие основную
роль в комбинаторной теории групп. Это свободное произведение
с объединенной подгруппой (введенное Шрайером в 1926 г.) и. рас-
ширения Хигмана — Нейман—Неймана (введенные Г. Хигманом,
Б. Нейманом и X. Нейман в 1949 г.). С самого начала сделаем уда-
рение на том, что эти конструкции во многом параллельны, так чтс
лучше всего смотреть на них, как на две составляющие одного И
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
247
того же основного понятия. Более того, несколько позднее мы дадим
единую схему (введенное Столлингсом понятие биполярной структу-
ры) для обеих конструкций.
Дадим теперь определение этих конструкций. Пусть
G = <хп ...; и, ... > и Н = <_у1г . . .; $1( ... >
— некоторые группы. Предположим, что A^G и В^Н — некото-
рые подгруппы в этих группах, такие, что существует изоморфизм
ср: Л—>-В. Тогда свободным произведением групп G и Н с подгруппа-
ми А и В, объединенными посредством изоморфизма <р, называется
группа
<хп ..., уг, ...; rt...st, ..., а = <р (а), а € Л>.
Условимся об одном обозначении. Если G — некоторая группа
с заданным представлением, то запись
<G, г, ..и, .. .>
обозначает, что к порождающим и определяющим соотношениям
группы G присоединены выписанные добавочные порождающие и
определяющие соотношения. Имеется в виду, что любые дополни-
тельные порождающие отличны от порождающих группы G. Это поз-
воляет нам записать свободное произведение с объединенной под-
группой в виде
<_G*H-, а = ф(а), а£Л>.
Иногда это обозначение будет даже сокращаться до
<G * Н\ А = В, <р>.
Основная идея свободного произведения с объединенной под-
группой состоит в том, что подгруппа А отождествляется со своим
изоморфным образом (р(А)^Н. Свободное произведение с объеди-
ненной подгруппой зависит от G, И, А, В и изоморфизма <р. Группы
G и Н называются множителями свободного произведения с объе-
диненной подгруппой, а Л и В называются объединенными подгруп-
пами.
Будем называть отныне расширение Хигмана — Нейман — Ней-
мана просто HNN-расширением. Дадим определение этой конструк-
ции. Пусть G — группа, А и В — ее подгруппы, а ср: Л->В —
изоморфизм. Назовем HNN-расширением группы G относительно
А, В и <р группу
G* = <G, t\ t~lat = ф (а), а С Л>.
Группа G называется базой группы G*, t — проходной буквой, а
Л и В — связанными подгруппами.
Заметим, что как свободное произведение с объединенной под-
группой, так и HNN-конструкции включают в себя две подгруппы
248
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-рааиирения
и изоморфизм между ними. Нестрого говоря, данные конструкции
представляют собой то, что можно назвать «несвязным» и «связным»
вариантами одной и той же основной идеи. В свободном произведе-
нии с объединенной подгруппой А и В —подгруппы разных групп
G и Н. В HNN-расширении А и В уже содержатся в одной группе.
Для читателя, знакомого с фундаментальными группами, дадим
маленький обзор топологической ситуации, часто служащей
обоснованием для изучения свободных произведений с объединенной
подгруппой. Предполагается, что все рассматриваемые простран-
ства и подпространства линейно связны. Если X — некоторое
топологическое пространство, то л, (X) обозначает фундаменталь-
ную группу этого пространства. Пусть X и У — пространства и
U, V — открытые линейно связные подпространства в X и У соот-
ветственно, такие, что имеется гомеоморфизм h : U^V. Выберем
начальную точку u£U для фундаментальных групп пространств U
и X. Аналогично выберем начальную точку h(u)=v£ V. Существует
гомоморфизм ц : (L/)^-nt(X), определяемый рассмотрением петли
в U как петли в X. Предположим, что т] и аналогично определяемый
гомоморфизм б : Лх (У)^-Л1 (У) инъективны. Гомеоморфизм h ин-
дуцирует изоморфизм й* : Л1 ((/)—>-Л! (У). Предположим, что мы
отождествили U и V посредством h и получили новое пространство
Z. При сделанных предположениях теорема Зейферта — ван Кам-
пена (см. Масси, Столлингс [1977]) гласит:
л, (Z) = <Я1 (X) * л,- (У); л, (U) = лх (У), h*>.
Похожей топологической интерпретацией обладает' HNN-pac-
ширение. Предположим, что U и V — подпространства некоторого
линейно связного пространства X. Пусть U и V удовлетворяют тем
же предположениям, что и выше. Обозначим через I единичный ин-
тервал и образуем C=U XI. Отождествим 1/Х{0}с[/и[/Х{1}сГ
посредством гомеоморфизма h. Пусть Z — полученное пространство.
(Фактически мы присоединили ручку к X.) Снова с помощью теоре-
мы Зайферта — ван Кампена получаем
л, (Z) = <л, (X), t; t-^ (U) t = Л1 (У)>.
Для удобства обозначений мы рассмотрим случай HNN-pac-
ширений с одной проходной буквой. Общая же ситуация такова.
Пусть G —группа, / — множество индексов. Предположим, что
даны семейства {Д,-; i£l} и {Bz; i£l} подгрупп группы G и
семейство {<pz;ig/} отображений, таких, что для каждого i£l
отображение <р,-: At—>-В,-— изоморфизм. Тогда HNN-расшире-
нием с базой G, проходными буквами tt, и связанными под-
группами А; и Bj, называется группа
G* = <G, t( (i С /); tfa(tt = <p(. (а,), а,- £ Л,>.
2. Расширения Хигмана —Нейман — Неймана
249
Аналогично пусть {Gz; — семейство групп. Пусть А —
некоторая группа и {<pz; i^/} — семейство отображений, таких,
что каждое <pz: А—>GZ— мономорфизм. Тогда свободным произ-
ведением групп Gi с объединенными подгруппами <р,- (А) назы-
вается группа
P = <*GZ; <pz (а) = ф/(а), а С A,
Принято изучать вначале основные свойства свободных произве-
дений с объединенной подгруппой, а затем переходить к HNN-
расширениям. Поскольку нам кажется, что по многим причинам
стоит поступить наоборот, мы примем за основу конструкцию HNN-
расширения.
Предположим, что G* = (G, t~1at=q>(a), а£А), есть HNN-
расширениё. Рассмотрим два определения, которые позволят нам
сформулировать теорему о нормальной форме для HNN-расширений.
До конца этого параграфа буква g, с индексами или без, будет обоз-
начать элемент группы G. Если g рассматривается как слово, то это
слово от порождающих группы G, т. е. в него не входит ни t, ни 1~\
Буква е, с индексами или без, будет обозначать 4-1 или —1.
Определение. Последовательность g0, &*, gi, . . ., ten, gn (ri^O)
называется приведенной, если в ней не встречаются подряд буквы
Г1, gb t, где gte А, и t, gj, t-1, где gj С В.
В своей основополагающей статье Хигман, X. Нейман и Б. Ней-
ман доказали, что G вкладывается в G* с помощью отображения
gi-^g. Остальную часть теоремы о нормальной форме для HNN-
расширений доказал Бриттон [1963], и этот результат обычно на-
зывают леммой Бриттона *).
Лемма Бриттона. Если последовательность ga, ts', . . ., /е«, gn
приведена и п^1, то gote‘ . . .ftng^l в G*. □
Произведения элементов двух различных приведенных последо-
вательностей могут оказаться равными в G*. Чтобы действительно
получить нормальную форму, нужны некоторые уточнения. Выберем
некоторое множество представителей правых смежных классов груп-
пы G по подгруппе А и множество представителей правых смежных
классов группы G по подгруппе В. Мы будем предполагать, что 1
является представителем как А, так и В.
Выбранные множества не меняются до конца обсуждения.
Если g£G, то через g обозначается представитель смежного
класса Ag, а через g — смежного класса Bg.
Определение. Нормальная форма — это последовательность
g0, , ..., tE", g„ (n^Q), в которой
*) Каноническая форма элементов HNN-расширения по существу была введе-
на П. С. Новиковым [1954].— Прим. ред.
250 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
(i) g0 — произвольный элемент из G,
(ii) если В; = — 1, то gt — представитель некоторого смежного)
класса по А в G,
(iii) если е,- = 4-1, то ^ — представитель смежного класса п<|
В в G,
(iv) нет последовательных вхождений tE, 1, t~E.
Следующее рассмотрение и пример иллюстрируют наше опре-,
деление нормальной формы. Определяющие соотношения
(1) t^at — <р(а), а$А,
HNN-расширения могут быть записаны в виде
(2) t~ra = <р (a) Z-1.
Сопрягая обе части соотношения (1), можно получить
(3) /W-1 = <р-1 (6), be В,
что эквивалентно равенству
(4) tb = <p-l(b}t.
На соотношения (2) и (4) можно смотреть как на квазикоммутп-
пшвность. Эти соотношения позволяют перебросить элемент а^ А
через t"1 справа налево, заменив его при этом на <р(а). Аналогично
можно перебросить Ь£В через t справа налево, заменив его при этом
на Двигаясь такими шагами справа налево, мы можем
каждый элемент из G* привести к виду g0/e‘ . . . tEngn, где последова-
тельность g0, /«>, . . ., Iе”, gn — нормальная форма.
Пример. Пусть F~{c, d). Положим F* = {с, d, t; t~1ct=di). По-
скольку с и d2 имеют бесконечный порядок в F, F* является HNN-
расширением группы F. В качестве представителей смежных классов^
по подгруппе А'={с) выберем все свободно приведенные слова (Л
с и d, которые не начинаются с с. Множество представителей классов
по B={d2) состоит из всех свободно приведенных слов от с и di
которые не начинаются ни о какой степени элемента d, за исключе-1
нием, возможно, dl.
Пусть
w—cdt~Ic3tdicdt~tc3d3.
Вычислим нормальную форму для w, двигаясь справа налево. По-
скольку представитель для Ac3d3— это d3 и ^"lc*=d,<~,) имеем
w=cdt~1c3td^cd',t~ld3.
Поскольку представитель для Bdfcd? равен dcd7 и fcf4=c2/, имеем
w=cdl~lc‘ldcd4~id'i.
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
251
Из соотношения /_Jc5/=dl° получаем
w=cd12cd7t~1d3,
где cd12cd7, t"1, d3— уже нормальная форма.
Теорема о нормальной форме имеет две эквивалентных формули-
ровки (I) и (II). Заметим, что (I) — это комбинация теоремы Хиг-
мана, Нейман и Неймана с леммой Бриттона.
Теорема 2.1. (Теорема о нормальной форме для HNN-расши-
рений.) Пусть G* = <.G, t; t^at = <р(а), а С Л> — некоторое HNN-
расширение. Тогда
(I) Группа G вкладывается в G* посредством отображения
Если gote' ... tEngn = 1 в G*, где п~^ 1, то последователь-
ность g0, te', ..., ttn, gn не является приведенной.
(II) Каждый элемент и> группы G* имеет единственное пред-
ставление w=g9te'... tengn, где последовательность ga, tE', ...
..., tBn, gn — нормальная форма.
□ Докажем сначала, что формулировки (I) и (II) эквивалентны.
Предположим, что имеет место утверждение (II). Понятно тогда,
что G вкладывается в G* при отображении g^-g, поскольку
нормальной формой элемента g является последовательность g.
Предположим теперь, что g0, tE', gn ..., tEn, gn — приведенная
последовательность с n^l. Двигаясь справа налево, можно
перейти к нормальной форме g„, tE',g[, ...,tE’i,g'n с тем же
числом /-символов. Таким образом, g0/e> ... tengn^= 1.
Предположим теперь, что верно (I). Допустим, что
g0/e>g! ... t*ngn -=hot4ii ... t^hm,
где обе соответствующие последовательности имеют нормальную
форму. Если п = т = 0, то ge = /i0 по первой части утверждения
(I). Предположим, что т > 0. Тогда
1 =ge/e’ ... t^gnh-H-^ ...
Последовательность, соответствующая правой части, не является
приведенной лишь в том случае, когда 8„ = 6m, a gji^1 лежит
в подходящей подгруппе. Если, например, е„ = бт =— 1, то gn
и hm — представители смежных классов по А в G, a g^^^A.
В этом случае gn = hm. Поэтому получаем
g0/e> ... /8"-‘gn_I = /i()/e> ...
что позволяет вывести результат индукцией по т.
При проведении доказательства теоремы будем следовать идее
Артина — ван дер Вардена и заставим G* действовать подстанов-
ками на множестве нормальных форм. Интуитивно действие группы
G должно быть следующим: умножить слева и привести к нормаль-
252
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
ной форме. Пусть W — множество нормальных форм из G* и
S (U7) — группа всех подстановок на множестве W. Гомоморфизм,
ф : G* —>-5 (ЦГ) будет задан, если мы определим его на G и t и пока
жем, что определяющие соотношения переходят в 1.
При g е G определим T (g), полагая
(g)(go. te‘, g„) = gga. te', gn.
Таким образом, 'F(g) просто домножает первый элемент последо|
вательности на g. Ясно, что 4f(g'g) = Т(g')4f(g). В частности!
Т (g) (g-1) = 1 w = (g-1) У (g)- Следовательно, T (g) — подста!
повка множества W и Т — гомоморфизм из G в S(U7). I
Определим Т (/) следующим образом. Пусть ga, glt ..j
. ..,/e",g„— некоторая нормальная форма. Еслие^ —— 1 HgoeBj
то
^(OCgo. t'1.....ten, gn) = <₽-1(go)gi. ^.g2......^".g„.
В противном случае
^(O(go> te'......gn) = <P-100. C go. gi. •••> /e”. gn.
где ga = bg0,b£B.
Необходимо проверить, что 4f(/)— действительно подстановка
множества W. Мы хотим показать, что 'F(Z) имеет обратный
Ч’,(/~1), определенный следующим образом. Пусть g0, te', ...
..., ten, gn — некоторая нормальная форма. Если et = +1 и gQ £ А,
то
^^(go. t1,---, ^”>gn) = <p(go)gi, *e’.g2. •••> ten>gn-
В противном случае
^(^_1)(go, .....ten> gn) = <P(a)> *-1> go- te‘, •
где g0 = ag0, a СД.
Проверка равенства 4f(/-1)4r(/) = разбивается на два|
случая. Пусть g„, tEi, .. .,tEn, g„ — некоторая нормальная форма.!
Если мы находимся в условиях первого пункта определения для|
Ч^/), то ej = — 1 и go еВ- Заметим, что невозможны соотношения
е2 = +1 и gx е ^4, поскольку мы имеем дело с нормальной фор-
мой. Тогда
(0(go. gn) = <₽-1(go)gi> g2, • - , ten, gn-
По предыдущему замечанию мы находимся в условиях второго
пункта определения преобразования Tf/-1). Поскольку gt —пред-
ставитель смежного класса и <р-1 (g0) е А, представитель смеж-
ного класса Л<р-1 (g0)gi равен gr. Поэтому
4f(i-1)(<p-1(g<.)gi. ^E!.g2. •••. ^”.gn) = go. ^"‘.gi. •••, ien, gn
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
253
Если мы в условиях второго пункта определения для Чг(/), то
очевидно, что
'Р (О (g<>, • • • > tRn > gn) = go, • • , , g„-
Таким образом, W (/-l) T (t) = 1^. Сходная проверка показывает,
что Т (/)¥ (/-1) = и что T(b) = Т (/-1) Т (<р-1 (b)) Т (Z) при b£B.
Таким образом, Т — действительно гомоморфизм из G* в S (U7).
Для завершения доказательства необходимо только заметить,
что если g0, te>, ...,tSn, gn — некоторая нормальная форма, то
4(got^ ... t£*gn)(J) = g0, te<..t^,gn.
Таким образом, произведения элементов в различных нормальных
формах представляют различные элементы группы G*. □
Для большинства целей нет необходимости в выборе представи-
телей в смежных классах. Таким образом, мы будем использовать
почти без исключений теорему о нормальной форме в формулировке
(I). Важно, что G вкладывается в G* и что у нас есть критерий ра-
венства единице элементов из G*.
Начиная с этого момента, мы не будем особенно заботиться о
формальном различии между последовательностью^, ?г, ., tSn,
gn и произведением gote' . . . /е" gn. Из контекста будет понятно,
о чем именно идет речь. Еслиш— слово из G*, то можно записать
w = g^ ... tE"g„,
где соответствующая последовательность не обязательно приведена.
Рассмотрим операции, называемые t-редукциями и состоящие (i)
в замене подслова вида t~1gt, где£ С А, на <р (g) или (ii) в замене под-
слова вида tg t~\ где g С В, на q>-1 (g). Конечная последовательность
/-редукций приводит w к виду
W =g'ot6> ... t6*g'k,
где соответствующая последовательность приведена. Если /?>0,
то, согласно лемме Бриттона, w' и, значит, w отличны от 1 в G*.
Если &=0, то по теореме Хигман — Нейман — Неймана ш'=1 в
G* в том и только том случае, когда w' = 1 в G. Процесс осущест-
вления /-редукций эффективен, если мы можем сказать, какие слова
из G представляют элементы из А или В, и если функции <р и <р-1
эффективно вычислимы. (Это последнее условие всегда выполня-
ется, если группы А и В конечно порождены.) Таким образом,
Следствие 2.2. Пусть G* = (G, t\ i~xAt = B, <р> — некоторое
TANN-расширение. Если в G разрешима проблема равенства слов
и проблемы вхождения в А и В, а <р и ц>~1 эффективно вычислимы,
то в G* разрешима проблема равенства слов. □
254
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Слово ш вида g9tR‘ ... tengn называется приведенным, е<
приведенной является последовательность g0, /е>, ... ,tRn, gn.
Лемма 2.3. Пусть и -=gote> . .. tRng„ и v = hot6' ... t6mhm — npi&
веденные слова. Предположим, что u = v в G*. Тогда т==п
е,- = 6(-, i = 1, ..., п.
□ Из u = v получаем
1 =gots' .. te"gjim1t~6m ... i-^ho1.
Поскольку и nv—приведенные слова, единственный случай, npi
котором последовательность перестает быть приведенной,— эт1
когда еп=8т, a gnhml лежит в подходящей подгруппе А или В,
Производя последовательные Лредукции, видим, что вг=бг для все!
i и п=т. □
Припишем каждому элементу г g G* длину следующим образом
Пусть w —произвольное приведенное слово из G*, представляюще!
г. Если w=gots‘ . . .te"gn, то длиной г, в обозначениях |г|, называ
ется число п вхождений буквы /±1 в w. Согласно предыдущей лемме
длина определена корректно. По этому определению длины все;
элементов g из базовой группы G равны нулю.
В HNN-расширениях естественным образом определяются цц|
клически приведенные элементы. Именно: элемент w=got^ ..]
. . .tE” называется циклически приведенным, если все циклически!
перестановки последовательности g0, te>, . . ., приведены. Па
нятно, что каждый элемент группы G* сопряжен с некоторым ц|
клически приведенным элементом.
Теорема 2.4. (Теорема о кручении в HNN-расширениях^
Пусть G*= (G, t; t~'At=B, <p> — некоторое HNN-расширений
Тогда каждый элемент конечного порядка в G* сопряжен с некоторЫл
элементом конечного порядка базовой группы G. Таким образом, |
G* имеются элементы порядка п тогда и только тогда, когда такЦ
элементы имеются в G.
□ Доказательство то же самое, что и для случая свободных прй
изведений. Если и — некоторый элемент из G*, рассматриваем еп
циклически приведенное сопряженное v=got^ . . . tSngn. Есл|
nC^l, то
Vm =gotei • . • t^g^ . . . 1гп . . . gote' . . . t&n =# 1
по лемме Бриттона. □
Теорема о сопряженности для Н NN-расширений принадлеж||
Коллинзу [1969] и обычно называется леммой Коллинза.
Теорема 2.5. (Теорема о сопряженности для HNN-расшир^
ний.) Пусть G* = (G, t; t~lAt = В, q>> — некоторое HNN-расшир^
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана
255
чие. Пусть u = g<jtEi ... te", п~^ 1, и v — сопряженные циклически
приведенные элементы из G*. Тогда |м| = |ц| и и можно полу-
чить из v, беря подходящую циклическую перестановку о* эле-
мента v, оканчивающуюся на 1г”, и сопрягая затем элементом г,
где г если г„ = — 1, и г£В, если е„=1.
□ Будем доказывать индукцией по |с(, что если v*— произвольная
циклическая перестановка слова v, которая оканчивается на /-
символ, и cv*c~1^=u, то выполняется заключение теоремы. Если
|с| =0, то •
g^' . . . ten — chot6' . . . t6'"C~l или
1 = g'o^‘ • • • tenct~6m . . . .
Поскольку единственная возможная /-редукция получается
на месте /8'"с/-вт, то должно быть с£А, если е„ = — 1, и с£В,
если еп=1. Рассматривая последовательные /-редукции так же,
как и в доказательстве леммы 2.2, получаем n = m и, более того,
6г= 8;, 1=1, . . . , П.
Предположим теперь, что приведенная форма для элемента с
имеет вид с= c0/v> .../v*-icJt_1/v*cft, где £>1. Тогда
и = cotyt... tvk-ick_1f,bckh0t6*hi...
• • (»)
Поскольку и циклически приведено, в правой части равенства
должны произойти некоторые /-редукции. Единственные возмож-
ности—это /7*сй/г0/61 и /^с*1/"7*. Для определенности пусть
yft = — 1 и ckh0£A. Тогда 6j = l и
t-1ckhot = beB. (*»)
Поскольку yk = — 1, то, используя последнее равенство и
вставляя член bb~l, переходим от (*) к
и — сЛ№ ... f>>‘-lck_1bh1t6t.. .t&mCkxtbb~1ckhit~'ik~l.. t~'liCox. (***)
Из (**) имеем tb = ckhot, откуда, заменяя подчеркнутое вхож-
дение члена tb в (***), можно получить
« = c0/v. ... Hk-ick_Ab ... hm^1t^hot} . /-^c,?1.
Поскольку средний член является циклической перестановкой
слова v, можно применить предположение индукции.
Если же теперь u=zv*z~1, где z из А или В, то из леммы 2.3
выводим, что последовательность букв в и* в точности та же, что
Ч в и. □
256
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Перейдем к свободным произведениям с объединенной подгруп-
пой. Пусть G и Н — группы с подгруппами A^G и В^Н, причем
<р : А^-В — изоморфизм. Построим группу
Р = <0 * Я; а = <р(а), a g Ay.
Ее можно рассматривать как факторгруппу свободного произве-
дения по нормальной подгруппе, порожденной множеством
{а<р(а)-1; а £ Л}. Последовательность си . . сп, п^О, элементов
из G*H называется приведенной, если
(1) каждое с, лежит в одном из множителей G или Н,
(2) последовательные сг, с/+1 лежат в разных множителях,
(3) если п>1, то никакое с( не лежит ни в А, ни в В;
(4) если п—1, то С1#=1.
Понятно, что каждый элемент из Р равен произведению элементов
некоторой приведенной последовательности. С другой стороны,
верна
Теорема 2.6. (Теорема о нормальной форме для свободных произ-
ведений с объединенной подгруппой.) Если с±, . . ., сп —приведен-
ная последовательность, п^\, то произведение Cj ... сп отлично
от 1 в Р. В частности, G и Н вкладываются в Р посредством отобра-
жений g>—> g и h>—>h.
□ Группа F* = <G*H, /; f-'at = <p (a), a £ Ay является HNN-рас-
ширением свободного произведения G*H. Определим ф: Р—*F*t
полагая
( = если g£G,
( ф (ft) = h, если h £ Н.
Отображение ф .является гомоморфизмом, поскольку определяю-
щие соотношения для Р переходят в 1. Если n= 1 и 1 =^=с1 = а^ А,
то ф(а) = ^_1а/ = <р(а)=И= 1. Во всех остальных случаях ф перево-
дит приведенную последовательность clt ..., сп элементов из Р
в приведенную последовательность элементов из F*. (Например,
'^(.fl1g1h2g2) = hlt-1g1th2t~1g2t, причем для всех i имеем g;^A,
hj^B). Поэтому доказываемая теорема вытекает из теоремы о нор-
мальной форме для HNN-расширений. □
Как и в случае HNN-расширений, имеется эквивалентная форму-
лировка теоремы о нормальной форме, в которой речь идет о пред-
ставителях смежных классов по А и В, причем получается однознач-
ное представление элементов.
Предыдущее доказательство показывает, что на самом деле ото
бражение ф является вложением. Таким образом, группа Р из(|
морфна подгруппе в F*, порожденной группами t~lGt и Н.
3. Некоторые теоремы о вложении
257
Последовательность clf . . сп элементов из Р называется цик-
лически приведенной, если все циклические перестановки этой по-
следовательности приведены. Как и прежде, любой элемент из Р
сопряжен с циклически приведенным элементом. Теорема о круче-
нии для свободных произведений с объединенной подгруппой дока-
зывается обычным способом.
Теорема 2.7. (Теорема о кручении.) Каждый элемент конечного
порядка в P=(G*H; А=В, <р) сопряжен с некоторым элементом
конечного порядка в G или Н. □
Теорема о сопряженности для свободных произведений с объе-
диненной подгруппой (см. теорему 4.6 Магнуса, Карраса и Соли-
тэра) выводится из леммы Коллинза точно так же, как теорема о
нормальной форме для свободных произведений с объединенной под-
группой выводится из теоремы 2.1.
Теорема 2.8. (Теорема о сопряженности для свободных произве-
дений с объединенной подгруппой.) Пусть P=(G*H\ А=В, <р)—
свободное произведение с объединенной подгруппой. Предположим,
что и=с1 . . ,сп— циклически приведенный элемент из Р, где п^2.
Тогда каждое циклически приведенное сопряженное элемента и мо-
жет быть получено циклической перестановкой элемента сг ... сп
и последующим сопряжением элементом из объединяемой части А. □
3. Некоторые теоремы о вложении
Результаты изучения основных свойств HNN-расширений поз-
воляют доказать несколько замечательных теорем. В своей статье
1949 года Хигман, Б. Нейман и X. Нейман доказали следующий
знаменитый результат.
Теорема 3.1. Каждая счетная группа С может быть вложена
в группу G, порожденную двумя элементами бесконечного порядка.
Группа G обладает элементом конечного порядка тогда и только
тогда, когда такой элемент есть в С. Если С конечно представлена,
то такова же и G.
□ Предположим, что группа С =<£?!, с2, ...; sn ...> задана
счетным множеством порождающих. Пусть F = C*<a, Ь>. Мно-
,жество
{а, Ь~гаЬ, b~2ab2, ..., b~nabn, ...}
свободно порождает свободную подгруппу в <а, Ь>, поскольку
оно нильсеновски приведено. Подобным же образом множество
{Ь, сщ-^а, ..., спа~пЬап, ...}
9 №653
258
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
свободно порождает свободную подгруппу в F. (Чтобы проверить
это, следует рассмотреть проекцию л группы F на <а, by, такую,
что ан-э-а, b>—>b, с, н-> 1 для всех I. Поскольку образы b, а~‘Ьа'\
1, — свободные порождающие, то же можно сказать и об ука-
занном множестве.)
Таким образом, группа
G = </?, t~'at = b, t~lb~1 ablt == с{а~‘ba‘, i^l>
является HNN-расширением группы F. Значит, С вкладывается в G.
Из определяющих соотношений немедленно получается, что группа
G порождается элементами t и а. Из теоремы о кручении в HNN-pa-
сширениях следует, что в G есть элемент порядка п в том и только
том случае, когда он есть в С. Предположим, наконец, что С~
= (ci, . . ., ст', Si, . . ., sk) конечно представлена. Соотношения
из определения HNN-расширения t~1at=b, t~1b-‘ab‘t=cia~‘ba‘ лег-
ко устраняются применением преобразований Тице, поскольку
каждое из этих соотношений содержит единственное вхождение не-
которого порождающего (именно b или с;). □
Следующая теорема принадлежит Б. Нейману [1937].
Теорема 3.2. Существует 2s» неизоморфных порожденных
групп.
□ Пусть S — произвольное множество простых чисел. Положим
T'S=2C'„, где Ср — циклическая группа порядка р, и вложим каж-
дую такую группу Tsb некоторую 2-порожденнуюGsспособом пре-
дыдущей теоремы. Группа Ts, а значит, и Gs обладают элементами
порядка р тогда и только тогда, когда p£S. Из существования
2х» различных множеств простых чисел следует, что и групп Gs не
менее 2Х«. □
Одна из теорем о вложении, доказанных в оригинальной статье
Хигмана, Б. Неймана и X. Нейман,— это
Теорема 3.3. Любая счетная группа С может быть влом с на
в счетную группу G, в которой все элементы одного и того же порядка
сопряжены.
□ Вначале следует вложить группу С в группу С*, в которой
любые два элемента из С одного и того же порядка сопряжены.
Для этого надо рассмотреть множество {(а;, &Д i£l} всех упоря-
доченных пар элементов группы С, имеющих одинаковый порядок.
В этом случае группа
С* = <с, /,•, i С /; tjUitj1 = bit i С />
обладает нужным свойством. Для доказательства теоремы положим
G0=C. Используя индукцию, предположим, что G, уже определена.
3. Некоторые теоремы о вложении
259
Вложим G, в группу G;+1 так, чтобы в ней все элементы одного и
того же порядка группы G, были сопряжены. Тогда группа
00
g*=Ug<-
i = 1
имеет все необходимые свойства. □
Напомним, что группа G называется полной, если для каждого
элемента g £ G и каждого натурального п уравнение g=yn разрешимо
в G. (Другими словами, из каждого элемента извлекается корень
степени п для любого п.)
Теорема 3.4. Любая счетная группа С может быть вложена
в счетную полную простую группу G.
□ Сначала вложим С в счетную группу К, в которой есть элемен-
ты всех порядков. (Такова, например, прямая сумма групп С, Z
и циклических групп порядка п для всех п.) Вложим затем К*(х)
в 2-порожденную группу U, в которой оба порождающих имеют бес-
конечный порядок. Наконец, вложим U в счетную группу G, в ко-
торой все элементы одинакового порядка сопр5»жены. В итоге мы
получаем вложения
СG.
Утверждается, что группа G одновременно проста и полна.
Пусть ly=y<]G. Поскольку К содержит элементы всех порядков и
все элементы одного и того же порядка сопряжены в G, группа N
содержит элемент l=^z £ К. Далее, x~1z~1x С N, так что x-1z-1xz —
элемент из N бесконечного порядка. Отсюда по свойству сопряжен-
ности в G следует, что и порождающие группы U лежат в N. Таким
образом, K<=U<=N. Поскольку К. содержит элементы всех порядков
и все элементы одинакового порядка сопряжены в G, то N=G.
Для проверки полноты рассмотрим g £ G, и пусть п — произволь-
ное натуральное число. Пусть т — (возможно, бесконечный) по-
рядок элемента g. Поскольку G содержит элементы всех порядков, в
G есть элемент z порядка тп. Так как г" имеет порядок т, существует
v£G, такой, что g=v~1znv. Следовательно, g— (v~1zv)n. □
Согласно последней теореме и тому, что существует 2х» групп
с двумя порождающими, счетных простых неизоморфных групп
должно быть не менее 2х". (Любая отдельно взятая счетная группа
содержит не более чем Но подгрупп с двумя порождающими.)
Большинство способов для построения бесконечных простых групп
приводит к группам, которые не являются конечно порожденными.
Первое доказательство существования конечно порожденной простой
бесконечной группы было дано Хигманом лишь в 1951 году. Вра-
9*
260
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
боте Камм [1953] построено 2х» неизоморфных 2-порожденных про-
стых групп без кручения. Замечательная теорема Ф. Холла [1974]
утверждает, что каждая счетная группа может быть вложена в ко-
нечно порожденную простую группу. Число порождающих было
впоследствии понижено А. П. Горюшкиным [1974] и Шуппом [1976]
до двух. Теорема Холла будет доказана нами с использованием
одной конструкции Рабина [1958], хорошо известной в связи с до-
казательствами неразрешимости проблемы распознавания ряда
теоретико-групповых свойств. (К алгоритмическим проблемам мы
обратимся в следующем разделе.) В изложении конструкции Рабина
мы следуем работе Миллера III [1971].
Теорема 3.5. Каждую счетную группу С можно вложить в про-
стую группу с шестью порождающими.
□ Вначале вложим С в счетную простую группу S. Затем вло-
жим свободное произведение S * <х> в 2-порожденную группу U,
выбранные порождающие щ и и2 которой имеют бесконечны!"
порядок. Тогда группа
J = <U, ylt у2; у^щу^иХ, у^и2уг = и1>
является HNN-расширением группы U с проходными буквами
и у2- Группа
/С = <7, z; z~1y1z = yi, z~1yiz = y^>
является HNN-расширением группы J.
Рассмотрим теперь группу
Q = <r, s, t; s~1rs = ri, t~1st = s2y.
Полагая P= {r, s; s-1rs=r2), видим, что P — это HNN-расши-
рение группы (г), a Q есть HNN-расширение группы Р с проход-
ной буквой t. Утверждается, что г и t свободно порождают свобод-
ную подгруппу ранга 2. Действительно, пусть V — произвольное
нетривиальное свободно приведенное слово на г и 1; предположим,
что К=1 в Q. Если V не содержит t, то оно совпадает с гп при неко-
тором /1=^0. Однако г имеет бесконечный порядок в Q, так что это
невозможно. Поэтому V содержит t. По лемме Бриттона, приме-
ненной к Q над Р, слово V содержит подслово tzRt~R, где R не со-
держит t и лежит в подгруппе (s) или (s2) в зависимости от знака е.
Поскольку V свободно приведено и содержит только /иг, подсло-
во R должно иметь вид гп для некоторого /г=А0. Таким образом, в
Р выполняется равенство rn=s}', где п=й0. Однако это невозможно
по лемме Бриттона, примененной к Р. Итак, мы пришли к противо-
речию. Утверждение доказано.
Пусть w — элемент группы S, такой, что w=/=l. Коммутатор
L&y, x]—w~1x~1wx имеет бесконечный порядок в [/. Как и в доказа-
тельстве предыдущего утверждения, видим, что [ю, х] и z свободно
3. Некоторые теоремы о вложении
261
порождают свободную подгруппу в К. Это позволяет рассмотреть
свободное произведение
D = <K*Q; r — z, t = [uy, x]>
с объединенной подгруппой.
Утверждается, что если N<^D, то N f) 5={1} или N=D. Действи-
тельно, предположим, что УП5у={1}. Поскольку 5 проста, w£N.
Таким образом, в факторгруппе DIN выполняется да=1. Однако сей-
час мы увидим (это основной пункт конструкции Рабина), что из
ш=1 следует DIN= {1}. В самом деле, из w=l следует [w, х]=1, от-
куда, используя определяющие соотношения, получаем /=1, s= 1,
r=l, 2=1, £/1=1, 4/2=1, Ui=l и u2=l. Таким образом, N—D.
Существует нормальная подгруппа М в D, являющаяся макси-
мальной относительно свойства М Г)5={1}. Поскольку 5 вклады-
вается в DIM, вследствие упомянутой максимальности и доказан-
ного выше свойства DIM — простая группа. Число порождающих
группы D равно 6, так как порождающие г и t могут быть удалены. □
Из теоремы 3.2 непосредственно следует, что существует 2s»
простых групп с шестью порождающими. Интересное свойство тео-
ремы Холла — ее доказуемая неконструктивность. Напомним, что
группа называется рекурсивно представленной, если она обладает
представлением с конечным числом порождающих и рекурсивно пе-
речислимым множеством определяющих соотношений. Кузнецов
[1958] отметил, что верна
Теорема 3.6. Для рекурсивно представленной простой группы
разрешима проблема равенства слов.
□ Пусть G==<Xi, ..., хп; Гр ...>. Если С=(1); то результат,
понятно, верен, так что предположим, что G=/= ]1}. Пусть х^= 1 —
фиксированный элемент из G.
Если w — произвольное слово из G, то пусть Gw— группа, полу-
чающаяся из G добавлением w к определяющим соотношениям. Тогда
Gw = <Xi.....х„; w, г1( г„ ...>.
Если w=l, то, конечно, Gw изоморфна G. Если в G, то из про-
стоты группы G следует, что G& — тривиальная группа. В частности,
х=1 в Gw тогда и только тогда, когда в G. Таким образом,
Gw также рекурсивно представлена.
Хорошо известным способом легко показать, что в рекурсив-
но представленной группе множество слов, равных единице, ре-
курсивно перечислимо. Поэтому алгоритм, решающий проблему ра-
венства слов в G, таков. При заданном w перечисляем слова, равные
единице в G, и одновременно перечисляем слова, равные единице в
Gw. Если да=1 в G, то w появляется в первом списке, если в G,
262
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
то во втором списке появляется х. Остается дождаться, пока осу-
ществится одна из этих возможностей. □
Предположим, что конечно представленная группа И с неразре-
шимой проблемой равенства существует. (Это будет доказано в
разд. 7.) По теореме Холла Н может быть вложена в простую груп-
пу G с 6 порождающими. Таким образом, проблема равенства слов в
G неразрешима. Поскольку G проста, из теоремы Кузнецова следует,:
что G не может быть рекурсивно представленной.
Мы еще не сказали ничего о конечно представленных бесконеч-?
ных простых группах. Первый пример такой группы найден Р. Томп-’
соном в 1969 г. Г. Хигман [1974] указал tfo неизоморфных конечн^
представленных бесконечных простых групп. Открытым остается|
интересный вопрос: каждая ли конечно представленная группа <3
разрешимой проблемой равенства слов вкладывается в конечно пред-1
ставленную простую группу? Теорема Кузнецова показывает, чтя
разрешимость проблемы равенства слов — необходимое условие
существования такого вложения. В разд. 7 мы докажем следующую
теорему Буна и Хигмана [1974]: проблема равенства слов разрешима
в некоторой конечно порожденной группе тогда и только тогда, когда»
эта группа может быть вложена в простую подгруппу в конечна
представленной группе.
4. Некоторые алгоритмические проблемы
В настоящем разделе будет предполагаться, что конечно пред4
ставленные группы с неразрешимой проблемой равенства существуй
ют. (Это будет доказано в разд. 7.) Обратимся вначале к теорем^
С. И. Адяна [1955] и Рабина [1958], согласно которой большинстве!
теоретико-групповых свойств алгоритмически нераспознаваемо. Со!
ответствующая теорема для полугрупп была доказана ране
А. А. Марковым [1947]. В его работе возникло понятие марковскоП
свойства, определение которого мы приводим ниже.
Пусть Р — свойство конечно представленных групп, котор|
сохраняется при изоморфизме. Свойство Р называется марковскц
если
(1) существует конечно представленная группа Gj со свойством Р'Г
(2) существует конечно представленная группа G2, которая не
может быть вложена ни в какую конечно представленную группу со
свойством Р.
Среди известных примеров марковских свойств — свойство быть
тривиальной (в качестве G2 можно взять любую конечно представ-
ленную нетривиальную группу), конечной, абелевой, свободной
и группой без кручения. Свойство Р называется наследственным,
если из того, что G обладает этим свойством, следует, что и все ее
подгруппы им обладают. Любое наследственное свойство конечно
4. Некоторые алгоритмические проблемы
263
представленных групп является марковским, если только существу-
ют конечно представленные группы без этого свойства. Чтобы ука-
зать примеры ненаследственных марковских свойств, заметим, что
если Р — произвольное свойство, такое, что для всех конечно пред-
ставленных групп, обладающих этим свойством, разрешима пробле-
ма равенства слов, то это марковское свойство. Действительно,
пусть Н — конечно представленная группа с неразрешимой пробле-
мой равенства слов. В каждой конечно представленной группе, в
которую вкладывается Н, неразрешима проблема равенства слов, и,
следовательно, эта группа не обладает свойством Р. Таким образом,
по теореме 3.6 простота является марковским свойством. Иметь
ранг 2 — это не марковское свойство, поскольку каждая конечно
представленная группа может быть вложена в конечно представ-
ленную группу ранга 2 методом Хигмана— Нейман — Неймана.
Теорема 4.1. Пусть Р — произвольное марковское свойство ко-
нечно представленных групп. Тогда не существует алгоритма, по-
зволяющего определять, обладают или нет конечно представленные
группы свойством Р.
□ Пусть Gi и G2— соответствующие свойству Р конечно представ-
ленные группы из определения марковского свойства. Пусть, далее,
И — конечно представленная группа с неразрешимой проблемой
равенства слов. Рассмотрим произвольное слово w от порождаю-
щих группы Н. Исходя из группы G2*H и слова w, построим группу
Ew, используя уже введенную конструкцию Рабина. Напомним,
что при HNN-вложении, исходя из данного представления для
можно эффективно выписать представление для 2-
порожденной группы U, в которую вкладывается G2*H*{x}.
Как и выше, положим
J = <U, ylt уе, уе'щу^и2!, уе1агу2 = и1>,
K=-<J, г\ z~1y1z = yt, z~1yiz = yl>,
Q-^r, s, t\ s^rs — r9, t~lst~s2/,
DW= <K*Q', r = z, i = [«y, x]>.
^Наконец,
Пусть л№— указанное представление для группы Ew, соответ-
ствующее этой конструкции. Исходя из слова w от порождающих
Группы Н можно эффективно описать процедуру выписывания ко-
нечного представления лш. При рассмотрении конструкции Рабина
® предыдущем разделе мы видели, что если w^=l в Н, то С2 вклады-
вается в Ew. Таким образом, Ew не обладает свойством Р. Если
®=1 в Н, то Z?w = {1}, так что Ew изоморфна Gt и, значит, обладает
свойством Р. Следовательно, группа Еш с представлением ли обла-
264
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
дает свойством Р тогда и только тогда, когда w=l в Н. Таким обра-з
зом, с помощью алгоритма, решающего вопрос о наличии у конечнс!
представленных групп свойства Р, можно решать проблему равен!
ства слов в Н. Поскольку в Н проблема равенства слов неразрешима!
такой алгоритм невозможен. □
На самом деле доказательство теоремы показывает, что рекур.
сивно нераспознаваемы и многие свойства, не являющиеся мар.
ковскими. Назовем свойство Р конечно представленных групп не-
совместимым со свободными произведениями, если:
(1) существует конечно представленная группа Съ обладающая
свойством Р и такая, что
(2) если А — произвольная нетривиальная конечно представ-
ленная группа, то A*Gi не обладает Р.
Например, пусть г — произвольное натуральное число. Свой-
ство иметь ранг г несовместимо со свободными произведениями,
так как по теореме Грушко — Неймана если Сх имеет ранг г и
А^{1}, то ранг группы G^A строго больше г. Пусть Сх— произ-
вольная конечно представленная группа. Снова по теореме Груш-
ко — Неймана свойство быть изоморфной группе Gi несовместимо
со свободными произведениями.
При совершении последнего шага конструкции теоремы 4.1
было видно, что если w=l в Я, то Ew изоморфна группе Gt. Если
в Н, то Ew является свободным произведением группы Gj и
некоторой нетривиальной группы. Таким образом, доказательство
показывает, что если Р несовместимо со свободными произведения-
ми, то не существует алгоритма, определяющего, задает ли конеч-
ное представление группу со свойством Р. В частности, если дана
некоторая конечно представленная группа Gi, то нельзя сказать,
какие конечные представления — представления группы Gi.
Укажем теперь конструкцию К. А. Михайловой [1958], с. по-3
мощью которой автор показала, что прямое произведение двух сво
бодных групп может обладать конечно порожденной подгруппе!
с неразрешимой проблемой вхождения. Пусть
Я=<х1, ..., х„; Гр .... г,л>
— некоторая конечно представленная группа. Обозначим через
Fn свободную группу с базисом (хъ . . ., хп}. Будем обозначать
элементы прямого произведения FnxFn упорядоченными парами
(u, v). Пусть LH — подгруппа в FnxFn, порожденная парами
(xz, xt), i = 1, ..., п,
(1, г/, / = 1, .... т.
Лемма 4.2. Пара (и, и) лежит в LH тогда и только тогда,
когда u=v в Н.
4, Некоторые алгоритмические проблемы
265
□ Понятно, что если (и, v)£LH, то и = v в Н, так как каждый
из порождающих обладает этим свойством. Предположим, что
у = и в Н. Пара (и, и) лежит в LH, поскольку все диагональные
пары (х/, лежат в LH. Из равенства u — v в Н следует, что
в Fn
V = UII (c/rj'cr1) .
Поэтому в Fn х Fn
(и, v) = (w, и) П (с,., Ci) (1, г-') (ст1, ст1),
откуда (и, v)£LH. □
Согласно этой лемме, проблема вхождения в LH в группе Fnx
X Fn эквивалентна проблеме равенства слов в И. Взяв в качестве И
группу с неразрешимой проблемой равенства слов, получаем, что
верна
Теорема 4.3. Пусть п^2. Тогда существует конечно порожден-
ная подгруппа LH группы Fn х Fn, такая, что проблема вхождения
элементов из Fn xFTl в LH неразрешима. □
Пусть G — некоторая конечно порожденная группа. Проблема
порождения в G разрешима, если существует алгоритм, который
по любому данному конечному подмножеству элементов этой груп-
пы определяет, совпадает или нет подгруппа, порожденная этим
подмножеством, со всей группой G.
Снова рассмотрим конструкцию Михайловой, начиная с неко-
торой конечно представленной группы Н. Заметим, что Н= {1}
тогда и только тогда, когда u=v для всех пар (и, v) слов от порож-
дающих группы И. По лемме 4.2 это бывает в точности тогда, когда
Fn~F nxFn.
Конструкция Рабина дает класс представлений с шестью поро-
ждающими, следовательно, проблема тривиальности для представ-
лений с шестью порождающими неразрешима. Поскольку конечно
представленная группа И равна {1} тогда и только тогда, когда
F„=Fn XFn, проблема порождения для FexFt неразрешима. Тот
же результат для любого п>6 может быть получен простым добав-
лением новых порождающих символов к представлению и, кроме
того, добавлением этих новых порождающих в качестве определяю-
щих соотношений. Таким образом, мы получаем такой результат
Миллера III [1971].
Теорема 4.4. Пусть н^б. Тогда проблема порождения для
Fn X Fn неразрешима. □
266
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Проблемы, относящиеся к группам FnXFn, представляют значив
тельный интерес из-за их тесной связи с задачами о 3-многообра-
зиях. Фундаментальная группа связной компактной ориентируемо^
поверхности рода g имеет вид
. g
Sg = \alt blt ag, bg, П[«/> М = 0»
i = 1
где [a,-, b^ — коммутатор ar1bp1aibi. Вопрос об односвязности дан
ного 3-многообразия эквивалентен такому: является ли гомомор
физм из Sg в FgxFg сюръективным. Это в свою очередь экви
валентно проблеме порождения для FgxFg, ограниченной щ
подмножества {уг, zn ..., yg, zg} из 2g элементов, удовлетворяю
щих соотношению
g
П [//,-. г,]=1
в группе FnxFn.
Пусть <р: Sg—>FgxFg—эпиморфизм. Говорят, что ср сущей
ственно пропускается через свободное произведение, если существуй!
нетривиальное свободное произведение А*В, Лу={1}, Вф {1}, и
гомоморфизмы ф и а, такие, что ф: Sg—>-А*В—эпиморфизм |
диаграмма
Se
\ч>
А » В---► Fgx Fg
а
коммутативна.
Содержанием гипотезы Пуанкаре является догадка о том, чтя
всякое компактное связное и односвязное 3-многообразие гомео!
морфно 3-сфере. Сформулируем замечательную теорему СтоллйнН
са [1962] и Джако [1969].
Теорема 4.5. Гипотеза Пуанкаре верна в том и только том слу-
чае, когда для каждого £>1 каждый гомоморфизм ср : Sg->-Fgx Fg из
Sg на Fg X Fg существенно пропускается через свободное произведе-
ние. □
Соберем теперь вместе несколько теорем, относящихся к свой-
ству групп быть финитно аппроксимируемыми или быть хопфовыми.
Напомним, что группа G финитно аппроксимируема, если для каж-
дого нетривиального элемента g=/=l из G существует гомоморфизм <р
из G в конечную группу К, такой, что <р(£)=тМ. Выбор группы К и
гомоморфизма ср зависит, конечно, от элемента g. Из определения
ясно, что если И — прямое произведение некоторого семейства фи-
нитно аппроксимируемых групп, то И сама финитно аппроксимируе-
4. Некоторые алгоритмические проблемы
267
ма. Равным образом подгруппы финитно аппроксимируемых групп
финитно аппроксимируемы.
Финитная аппроксимируемость свободных групп следует из су-
ществования точного представления свободной группы ранга 2 це-
лочисленными матрицами (Санов [1947]). Например, матрицы
1 2\ /1 0\
О l) И <2 1/
—свободные порождающие некоторой свободной подгруппы группы
GL(2, Z).
Связь между конечно представленными финитно аппроксими-
руемыми группами и алгоритмическими проблемами дается сле-
дующей теоремой. Доказательство опирается на идею «конечной
сводимости», высказанную Маккинси в 1943 г. и впервые применен-
ную в случае групп Дайсоном [1964]х).
Теорема 4.6. Проблема равенства слов в конечно представленной
финитно аппроксимируемой группе G разрешима.
□ Пусть G== Ui, . . ., хп; Г1, . . ., гт). Поскольку G конечно пред-
ставлена, множество слов, равных единице в G, эффективно пере-
числимо. Покажем, что и множество слов, не равных в G единице,
может быть перечислено эффективным образом. Фиксируем алфавит
У1, у2, . . . .В этом алфавите мы можем эффективно перечислить
все представления, получающиеся из таблиц умножения конечных
групп. Произвольный гомоморфизм из Gb некоторую конечную груп-
пу/(вполне определен своим действием на порождающих . . ., хп.
Таким образом, «кандидат» на роль гомоморфизма из G в /< — это
п-ка (fej, . . ., kn) элементов группы К. Отображение хг £г является
гомоморфизмом тогда и только тогда, когда каждое rt переходит в 1.
Поскольку проблема равенства слов в К разрешима, выполнение
данного условия можно проверить. Таким образом, мы можем эф-
фективно перечислить множество (pi, ср2, фз, • • • всех гомоморфиз-
мов из G в конечные группы. Значит, можно эффективно перечис-
лить и множество всех образов <рг- (w), где w — слово от порождаю-
щих группы G. Если некоторое <рДдо) отлично от 1, до и мы
помещаем w в список слов, отличных от 1. Поскольку G финитно
аппроксимируема, для любого слова w £ G, отличного от единицы,
существует некоторое фг, такое, что фг(геф/=1. Таким образом, мы
действительно выписываем все слова, отличные от 1 в G. Этим
доказательство теоремы завершается. □
9 На самом деле связь между алгоритмическими проблемами и финитной ап-
проксимируемостью алгебр относительно соответствующего предиката установил
А. И. Мальцев [1958].— Прим. ред.
268
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Дайсон [1974] и Мескин [1974] продемонстрировали примеры
конечно порожденных рекурсивно представленных финитно ап-
проксимируемых групп с неразрешимой проблемой равенства слов.
Нам понадобится одна теорема М. Холла [1949].
Теорема 4.7. Пусть G—конечно порожденная группа. Тогда
число подгрупп данного конечного индекса п в G конечно. Если Н —
подгруппа конечного индекса в G, то в Н содержится подгруппа К,
являющаяся характеристической в G и имеющая в G конечный индекс.
□ Пусть п — натуральное число. Для каждой подгруппы Н ин-
декса п выберем полное множество clt . . сп представителей пра-
вых смежных классов группы G по подгруппе Н, причем Cj = l.
Правым умножением группа G переставляет смежные классы Нс;.
Это индуцирует гомоморфизм фя из G в симметрическую группу 5„
перестановок множества {1, . . ., п} следующим образом. Для лю-
бого g £ G символ i переводится перестановкой (g) в символ
/, если HCig=Hcj. Поскольку Нщ=Н, перестановка TH(g) остав-
ляет символ 1 на месте тогда и только тогда, когда gG.H. Если Н и
L — две различные подгруппы индекса п, то существует элемент g,
лежащий лишь в одной из этих подгрупп. Таким образом, ^(g)^
=#ll’r(g) и гомоморфизмы фя, различные. Поскольку G конечно
порождена, существует лишь конечное число гомоморфизмов из G
в Sn, откуда и следует конечность числа подгрупп индекса п.
Пусть теперь Н — подгруппа индекса п в G, и пусть Нь . . .
tn
...Нт—все различные подгруппы индекса п. Положим А
1=1
Тогда К имеет конечный индекс как пересечение конечного числа
подгрупп конечного индекса. Пусть а — произвольный автоморфизм
группы G. Поскольку образ а(Дг) каждой подгруппы снова яв-
ляется подгруппой индекса п, а. переставляет подгруппы Hi. Зна-
чит,
т
«(Ю=П«№)=^
<=1
и К характеристична в G. □
Обозначим через Aut (G) группу автоморфизмов группы G.
Следующая теорема принадлежит Г. Баумслагу [1963] (и Смир-
нову [1963*] — Ред.)
Теорема 4.8. Группа автоморфизмов Aut (G) конечно порожден-
ной финитно аппроксимируемой группы G сама финитно аппрокси-
мируема.
□ Пусть A=Aut(G),H предположим, что 1=/=а£А. Тогда в G есть
элемент с, такой, что а (с) с~1=с*^=\. Поскольку G финитно аппрок-
4. Некоторые алгоритмические проблемы
269
симируема, в ней найдется подгруппа Н конечного индекса, такая,
что с*£Н. По предыдущей теореме Н содержит характеристическую
подгруппу Л, имеющую в G конечный индекс. В силу характеристич-
ности подгруппы К. можно определить гомоморфизм ip: A->Aut (G/K),
полагая
Ф(₽) U<g]=W).
В итоге Aut(G//Q конечна и ф(а)^=1. □
Так как свободные группы финитно аппроксимируемы, из этой
теоремы вытекает, что группа автоморфизмов свободной группы
конечного ранга сама финитно аппроксимируема. Пусть
Fa> = <x1, хг, х3, . . .>
— свободная группа ранга Afo от указанных порождающих. Убе-
диться в том, что Aut (Fo) не является финитно аппроксимируемой,
можно следующим способом. Поскольку Aut (Fra) содержит симме-
трическую группу на {Xi, х2, . . .}, она содержит бесконечную про-
стую группу А. Ясно, что А не является финитно аппроксимируе-
мой, поэтому и Aut (Fo) не является финитно аппроксимируемой.
Напомним, что группа G хопфова, если каждый сюръективный
эндоморфизм 0: G->G является инъективным. Эквивалентным обра-
зом G является хопфовой, если она не изоморфна никакой своей
собственной факторгруппе. Проблема существования конечно пред-
ставленных нехопфовых групп возникла в топологическом контек-
сте (Хопф [1931]). Примеры нехопфовых конечно порожденных
групп были даны Б. Нейманом [1950] и Г. Хигманом [1951]. Про-
стейшая нехопфова группа дается следующим примером Баумслага
и Солитэра [1962].
Теорема 4.9. Группа G=(b, t; t~1b2t=b3) нехопфова.
□ Определим 0: G->G, полагая 0(t)=/ и B(b)—b2. Применение ото-
бражения 0 возводит в квадрат обе части определяющего соотноше-
ния, так что 0 определено корректно. Поскольку t и ft2 лежат в об-
разе этого отображения и t-1b2/=b3, отображение 0 сюръективно.
Применяя 0 к коммутатору [/-1W, b], получаем
0 ([/-‘М, b]) = [i-W, b3] = [b\ 62]=1.
Однако
[t-'bt, b] = t-1btbt~1b-1tb-1^l в G
по лемме Бриттона, что обеспечивает нетривиальность ядра отобра-
жения 0. □
Замечание. Пусть тип — пара ненулевых взаимно простых чи-
сел, не равных по модулю 1. Тогда приведенное доказательство на
самом деле показывает, что нехопфовой является каждая группа
(6, /; t~1bmt=bn).
270
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Теорема Мальцева [1940] показывает, что все конечно порожден-
ные финитно аппроксимируемые группы хопфовы.
Теорема 4.10. Конечно порожденная финитно аппроксимируе-
мая группа G хопфова.
□ Пусть 6: G-*G — гомоморфизм на с ядром К. Предположим, что
п — произвольное натуральное число. Поскольку G конечно по-
рождена, по теореме Холла существует лишь конечное число под-
групп ЛЛ, . . ., Mh индекса п. Пусть Лг = 0-1 (Л4г). Легко проверить,
что [G : Lj\=n. Так как прообразы подгрупп Mt различны, а число
подгрупп Mt конечно, набор подгрупп Lt совпадает с набором
подгрупп Mt. Таким образом, К содержится во всех Mt. Однако
из-за произвольности числа п тогда К содержится в пересечении
всех подгрупп конечного индекса. Поскольку G финитно ап-
проксимируема, это пересечение равно {1}. Таким образом, /<={1}
и 0 — автоморфизм. □
Миллер III и Шупп [1971] показали, что каждая конечно пред-
ставленная группа может быть вложена в конечно представленную
хопфову группу. (См. V.10). Отсюда следует существование конеч-
но представленных хопфовых групп с неразрешимой проблемой ра-
венства слов. Конструкция Миллера III [1971] дает конечно пред-
ставленные финитно аппроксимируемые группы с неразрешимой
проблемой сопряженности. Используя эту конструкцию, Миллер
III может доказать, что если Fr — свободная группа ранга г^З,
то существует конечно порожденная подгруппа А в Aut (Fr),
такая, что проблема вхождения элементов из Aut (Fr) в А неразре-
шима.
5. Группы с одним определяющим соотношением
Основные теоремы о группах с одним определяющим соотноше-
нием, теорема о свободе и теорема о разрешимости проблемы равен-
ства слов, были доказаны Магнусом в начале 30-х годов. В настоя-
щее время существует хорошо развитая теория групп с одним опре-
деляющим соотношением. (См. разд. II. 5, где рассмотрены некото-
рые аспекты этой теории.) В настоящей главе некоторые из основных
теорем о группах с одним определяющим соотношением будут до-
казаны с использованием HNN-расширений. Д. И. Молдаванский
[1967] в своей работе о подгруппах групп с одним определяющим
соотношением заметил, что если G — группа с одним определяющим
соотношением г, причем это определяющее соотношение циклически
приведено и содержит некоторый порождающий в суммарной степени
0, то G является HNN-расширением некоторой другой группы Н
с одним определяющим соотношением. Приводимые здесь доказа-
тельства следуют работе Маккула и Шуппа [1973]. Основная стра-
5. Группы с одним определяющим соотношением
271
тегия — использование индукции по длине определяющего соот-
ношения и метод работы в случае, когда сумма показателей не равна
нулю,— без изменений взята из работ Магнуса [1930, 1932].
Теорема 5.1. (Теорема о свободе.) Пусть G={t, b, с, . . .; г),
причем г циклически приведено. Если L — подмножество из {t, b,
с,.. .,}, не содержащее некоторого порождающего, встречающегося в
записи г, то подгруппа М, порожденная множеством L, порождена им
свободно.
□ Достаточно рассмотреть множества L, содержащие все порожда-
ющие группы G, за исключением одного. Доказательство будем ве-
сти индукцией по длине слова г. Если г содержит лишь один порож-
дающий, то теорема верна. Таким образом, можно предполагать
что G содержит не менее двух порождающих, скажем tub, встре-
чающихся в г. Возникает два случая.
Случай 1. Предположим, что сумма показателей ог (г) при не-
котором порождающем /, встречающемся в г, равна нулю. Пред-
ставим G как HNN-расширение некоторой группы Н с одним опре-
деляющим соотношением, причем это соотношение $ будет иметь
длину, меньшую длины слова г. Заменяя г, если нужно, на его под-
ходящую циклическую перестановку, можно предполагать, что г
начинается с Ь±г. Для любого целого I положим bt — Ebtr1, ci —
и так далее. Как элемент свободной группы F= {t, b, с, . . .)
элемент г принадлежит нормальной подгруппе группы F, порожден-
ной элементами Ь, с, .... Это позволяет переписать г как цикличе-
ски приведенное слово s от порождающих bt, ct, . . ., причем дли-
на слова s строго меньше длины слова г. При переписывании слова г
нужно просто заменить каждое вхождение порождающего, отлич-
ного от t, этим же порождающим с индексом I, где i — сумма пока-
зателей при вхождениях буквы t, предшествующих данному вхож-
дению порождающего. (Например, если г равно ЬЧ~гсЧ>Чс\ то s
равно boC-ibltC?-)
Пусть р и т — соответственно минимальный и максимальный
индексы при Ь, действительно встречающиеся в s. (Заметим, что Ь<}
непременно встречается, поскольку мы предположили, что г начи-
нается с Ь*1.) Утверждается, что G обладает представлением
</, ..., Ьт, сг, dit ... (z € Z); s= 1, tbJt-1 = bj + l
(j=fi> .... m— 1), tcit-1 = ci+1, ... (i£Z)>.
Для проверки этого утверждения обозначим через G* группу,
определенную этим новым представлением. Отображение <p: G —»•
G*, определенное посредством
bt->bu, ci—>с0, и т. д.,
272
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
является гомоморфизмом, поскольку ф (г) = s. С другой стороны,
отображение т): G* —> G, определенное посредством
>Z'W-', и т. д.,
является гомоморфизмом, поскольку все определяющие соотноше-
ния группы G* при этом переходят в 1. Из того, что фт] и т]ф —тож-
дественные отображения групп G и G* соответственно, следует, что.
Ф — изоморфизм.
(Продолжая наш пример, видим, что если
G = </, Ь, с; &2/-1с262/с2>,
то новое представление для G имеет вид
<t, b_lt b0, Ci (i£Z); bfcLjb^cl, tb_1t-r = bli,
tcit-1 = ci+i (z£Z)>.)
Положим теперь // = <ЬЦ, ..., bm, clf d!t ... (i£Z); s=l>.
Из предположения индукции следует, что подгруппы X и Y
группы Н, порожденные соответственно множествами (Ьц, ...
.. . , Ьт-1, с^ di,.. . (t € Z)} и {6ц+1, ...,bm, cit dt, Z)}, свобод-
но порождены выписанными элементами. В частности, отображения
bj>—^bj+1, с,-ь->с(-+1, ... (p^/</n, i^Z) продолжаются до изо-
морфизма 0: X—+Y. Таким образом, G представлена как HNN-
группа с базой Н.
Предположим вначале, что данное нам подмножество первона-
чального порождающего множества группы G есть L={b, с, .. .}.
Заметим, что по меньшей мере один из порождающих группы Н с
ненулевым индексом встречается в s (иначе t не могло бы входить в
г с суммой показателей, равной нулю). По предположению индук-
ции L свободно порождает свободную подгруппу группы Н, а зна-
чит, и группы G.
Предположим теперь, что L={t, с, . . .}. (Опущенный порожда-
ющий — это Ь.) Пусть w — нетривиальное свободно приведенное
слово от {/, с, . . .}. Если ut(w)^=Q, то w=£A. в G, поскольку каждое
слово, равное 1 в G, должно свободно равняться произведению со-
пряженных слова г±х.
Если ut (w)=0, то перепишем w как слово в алфавите J= {cit . . .}
в соответствии с той же процедурой, которая применялась для г.
Тогда получим свободно приведенное нетривиальное слово to*.
По предположению индукции J свободно порождает свободную под-
группу группы Н. Таким образом, w*^l. Поскольку w*=w в G,
получаем, что в G.
Случай 2. С точностью до переобозначения порождающих в слу-
чае 1 рассмотрены все ситуации, за исключением той, в которой каж-
дый порождающий встречается в г в суммарной степени, не равной
нулю. Предположим, что L~{b, с, .. .}. Пусть оДг)=а и ^(г)^
5. Группы с одним определяющим соотношением
273
Отображение Т, при котором
t\—> г/х_р, >х“, с>—>с, ,
является гомоморфизмом группы G в группу
С = <.у, х, с, г(ух~$, х“, с, ...)>.
Обозначим через rj результат циклического приведения слова
г(ух~$, х“, с, . . .). Тогда оЛ.(г1)=0 и у встречается в гх. Группу С
можно переписать как HNN-группу с проходной буквой х. Если $ —
то, что получается из (г/х_₽, х“, с, . . .) после переписывания, то
длина слова $ меньше длины слова г, так как все х-символы
устранены. Отсюда следует, что подгруппа группы С, порожденная
множеством {х, с, . . свободно порождена этим множеством,
а отсюда вытекает, что и множество {х“, с, . . .} свободно порож-
дает соответствующую подгруппу. Поскольку Т переводит b в х“,
с в с, . . ., понятно, что L порождает свободную подгруппу группы
G. Тем самым теорема доказана. □
Нам понадобится еще одно соображение относительно группы С и
отображения Т, введенных в случае ненулевой суммы показателей.
По теореме о свободе элемент b имеет бесконечный порядок в G.
Таким образом, группа C'={t, b, с, . . ., х; г, Ь=ха) является
свободным произведением группы G и бесконечной циклической
группы (х) со склейкой подгрупп при Ь=ха. Однако С получается
из С при помощи преобразований Тице, заключающихся в добав-
лении нового порождающего у и нового определяющего соотноше-
ния t=yx~$ и удалении затем порождающих b и t с заменой их в г
на ха и ух~$. Таким образом, отображение Т : G->C является вло-
жением.
Обратимся теперь к теореме Карраса, Магнуса и Солитэра [I960],
дающей характеризацию элементов конечного порядка в группах с
одним определяющим соотношением.
Теорема 5.2. Пусть G=(t, b, с, . . .; г), где г циклически приве-
дено. Группа G является группой без кручения, если г не является
собственной степенью в свободной группе (t, Ъ, с, . . Если г=
=ип, п>1, где и само не является собственной степенью, то и имеет
порядок п в G и все элементы конечного порядка в G сопряжены со
степенями элемента и.
□ Эта теорема практически непосредственно вытекает из теоремы,
характеризующей элементы конечного порядка в HNN-rpynnax.
Доказательство, конечно, проводится индукцией по длине слова г.
Если г включает в себя только один порождающий, то теорема вер-
на. Поэтому можно предполагать, что г включает в себя по меньшей
мере два порождающих t и Ь. Если г содержит некоторый порождаю-
щий, скажем t, в суммарной степени, равной нулю, то, как и прежде,
274
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
G можно рассмотреть как HNN-расширение с базой
Я = <Ьц, ... ,bm, Cl, ... (i£Z); s=l>,
где s — это г в переписанном виде. Заметим, что s является п-й сте-i
пенью в том и только том случае, когда г есть п-я степень. По пред-
положению индукции Н и, следовательно, G — группы без кру-
чения, если только г не является собственной степенью. Если
г=ип, п>1 (где и не является собственной степенью), то s=vn,
где v — результат переписывания слова и. Предположение индукции
гарантирует, что единственные элементы конечного порядка в Н и,
следовательно, в G — это сопряженные степеней элемента и, при-
чем v имеет порядок п. Поскольку в G имеем u=v, все в порядке.
В случае когда ни один порождающий не встречается в г с сум-
мой показателей, равной 0, следует перейти к группе
С = <.у, х, с, ... ; г (ух~®, х“, с, ...)>
так, как это делалось выше. В этом случае элемент гг— циклически
приведенная форма элемента г(ух~&, х“, с, . . .) — является п-й
степенью в том и только том случае, когда г есть п-я степень. Из
инъективности отображения Т: G->C следует, как и в предыдущем
случае, что G не имеет кручения, если только г не является собст-
венной степенью. Если г=ип, п>1, то запишем Поскольку
V(u) сопряжен с иъ то и имеет порядок п в G.
Остается только показать, что все элементы из G, имеющие ко-
нечные порядки, сопряжены со степенями элемента и. Нам нужно
проверить, что если два элемента из ¥ (G) сопряжены в С, то они со-
пряжены и в G. Для этого, как и при рассмотрении отображения Т,
запишем
C = <G»<x>; Ь = х“>.
Предположим, что cgc~1=g', где g, g' g G. Пусть c=Cf . . . ck— при!
веденная форма для с в смысле свободного произведения с объедая
ненной подгруппой. Имеем
ci- • -CkgCk1- -c^ — g'.
Без потери общности можно предполагать, что ch=xr По теорем
о нормальной форме для свободных произведений с объеднненно
подгруппой приведенное выше равенство может иметь место лиШ
в том случае, когда g лежит в объединяемой подгруппе. В этом слу
чае xJgx~j=x^xnx~J=g. Поскольку ck.1~g\^G,
Ct- • -Ci-2 (giggi1)^ -CTl = g',
так что доказываемый результат получается индукцией по длиЦ|
элемента с. □
5. Группы с одним определяющим соотношением
275
Займемся теперь проблемой равенства слов. Напомним, что проб-
лема вхождения элементов рекурсивно представленной группы
//=(S; D) в некоторую подгруппу К называется разрешимой, если
существует алгоритм, который по данному слову w в алфавите S
определяет, верно или нет, что w£K. Для простоты будем говорить,
что К разрешима в Н, если разрешима проблема вхождения элемен-
тов из Н в К.
Обсуждая основные свойства HNN-расширений, мы сделали сле-
дующее наблюдение. Пусть Н — группа с разрешимой проблемой
равенства. Предположим, что X и Y — подгруппы группы Н, раз-
решимые в этой группе, и 0 ; X-YY — рекурсивный изоморфизм.
Тогда в HNN-расширении
G = <H, /; t~lXt — Y, 0>
разрешима проблема равенства слов. (Дело в том, что процесс осу-
ществления /-редукций при сделанных предположениях эффекти-
вен.)
В процессе представления группы G с одним определяющим соот-
ношением в виде HNN-расширения некоторой другой группы Н
с более коротким определяющим соотношением связанные подгруп-
пы были порождены подмножествами порождающих группы Н.
Это побуждает нас рассмотреть проблему вхождения именно в такие
подгруппы.
Теорема 5.3. Пусть G= {t, b, с,. . .; г) — счетно порожденная
группа с одним определяющим соотношением, причем г циклически
приведено. Если М — подгруппа, порожденная некоторым рекур-
сивным подмножеством L заданного порождающего множества
для G, то проблема вхождения элементов из G в М разрешима.
□ Как обычно, доказательство проводится индукцией по длине
определяющего слова г. Если г содержит только один порождаю-
щий, то G является свободным произведением свободной и конеч-
ной циклической групп. Из теоремы о нормальной форме для сво-
бодных произведений следует тогда, что в этом случае теорема имеет
место. Рассмотрим теперь случай, когда сумма показателей слова г
относительно некоторого порождающего, скажем t, равна нулю. Как
и прежде, рассмотрим группу G как HNN-расширение
G = <H, t\ t~1Xt = Y'>,
Где группа Н с одним определяющим соотношением имеет более ко-
роткое определяющее соотношение. Заметим, что к подгруппам X
и. Y группы Н может быть применено предположение индукции.
Значит, процесс осуществления /-редукций в G эффективен. В ча-
стности, проблема равенства слов в G разрешима.
276 Гл, IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Для множества L имеются три возможности. Сначала будем пред-
полагать, что L содержит все порождающие , входящие в г. Тогда
G является свободным произведением группы Glt зависящей от по-
рождающих, действительно встречающихся в г, и свободной группы
G2, порожденной множеством S остальных порождающих. Исполь-
зуя разрешимость проблемы равенства слов в G, можно эффективно
вычислить нормальную форму w—Wi . . . wn произвольного эле-
мента w этой группы как свободного произведения. По теореме о
нормальной форме для свободных произведений и благодаря тому,
что G2 свободна, получаем, что w С K=GpL тогда и только тогда, кой
да wt С Gp (Л Г) S) для каждой нормальной компоненты wt, лежаще!
в G2. Поскольку L Г) S — рекурсивное подмножество свободного
порождающего множества для G2, группа Gp (Л п S) разрешима j
G2.
Вторая возможность состоит в том, что в L={b, с, . . .} не входит
буква i. В этом случае, отождествляя b с Ьо и т. д., видим, что L
содержится в базе Н группы G. По предположению индукции под
группа K=Gp L разрешима в Н. Если теперь дано произвольно^
слово w из G, то эффективно вычислима его /-приведенная форм^
w*, равная слову w в G. По лемме Бриттона w£K тогда и только той
да, когда w* является /-свободным. В этом же последнем случае ме1
можем решить, принадлежит w* подгруппе К или нет.
Наконец, имеется возможность, когда £ = {/, с, . . .} содержит
проходную букву /, но не содержит некоторый порождающий, ска-
жем Ь, встречающийся в г. Используя обозначения, введенные для
процесса переписывания, мы можем предполагать, что b — по-
рождающий с ограниченной областью значений индекса. Пусть
w — произвольное слово из G. Поскольку / £ L, то tw£K=Gp L тогда
и только тогда, когда wt=wt~a гдеа=аг(к>). Таким образом,
ot(w1)=0. Если Wi С К, то w равняется некоторому слову, в кото-
ром не содержится никакое Ь. Решающее соображение состоит ;
следующем. Поскольку b — порождающий с ограниченной обла
стью значений индекса, из леммы Бриттона следует, что применени
всевозможных /-редукций в слове £ К с o((tt)i)=0 приводит ’
/-свободному слову w*. Пусть Б* = {сг-, . ..(/СZ)}s// и K*=Gp L*i
Группа К* разрешима в Н по предположению индукции. Подвод^
итог всему проделанному, получаем, что w £ К, тогда и только тогда;
когда w' £К*. Тем самым доказательство для случая нулевой сумм||
показателей относительно некоторого порождающего закончен^
Предположим теперь, что все порождающие встречаются в I
с суммой показателей, отличной от нуля, и что М — подгрупп®
порожденная множеством L={b, с, .. .}. Снова рассмотрим группа
С. Поскольку отображение Т: G->C — вложение, w(t, b, с, ...) С
тогда и только тогда, когда w(yx~^, х~а, с, . . .)С'Г(М). Как Я
в предыдущем случае, подгруппа К, порожденная множество!
{х , с, . . .}, разрешима в С. Поскольку К свободно порожден^
5. Группы с одним определяющим соотношением
277
этими порождающими, подгруппа 'F(M), порожденная множеством
{х“> с, • . разрешима в К и, следовательно, в С. Таким образом,
М разрешима в G. Этим доказательство теоремы закончено. □
Читатель, несомненно, заметил, что при работе с группами, оп-
ределенными одним соотношением, в основном приходится иметь
дело с подгруппами, порожденными частью порождающего множест-
ва группы, не содержащей некоторого порождающего, входящего
в запись определяющего соотношения.
Определение. Пусть G= (X; г), где г циклически приведено.
Подгруппа М группы G называется подгруппой Магнуса, если она
порождена подмножеством L множества X, в котором отсутствует
по меньшей мере один порождающий, входящий в запись слова г.
Для перехода к новой теме переключим сначала внимание на
свободные произведения. Пусть Р—А*В — нетривиальное сво-
бодное произведение. Используя теорему о нормальной форме для
свободных произведений, нетрудно проверить, что если с£Р—А,
то сАс~1П А = {1}. Обобщением этого свойства является определе-
ние антинормальной подгруппы X группы G как такой подгруппы,
что из g^X следует gXg-1 ПК={1). Из сделанного выше замечания
вытекает, что если F= {X) — свободная группа с базисом X и
Y—X, то подгруппа X, порожденная множеством Y, антинормальна
в F. Б. Ньюман [1968] показал, что если G — группа с одним опре-
деляющим соотношением и с кручением, то любая подгруппа Маг-
нуса этой группы антинормальна в ней. В связи с этим докажем
удивительно общий результат Багерзаде [1973].
Теорема 5.4. Пусть G={t, b, с, . . .; г), где г циклически при-
ведено. Если М — подгруппа Магнуса в G и g^M, то gMg~l fl М —
циклическая группа.
□ По теореме о свободе и сделанным выше замечаниям достаточно
доказать эту теорему для подгрупп М, порожденных множествами,
содержащими все порождающие группы G, за исключением одного,
входящего при этом в запись слова г. На дальнейшее примем такое
соглашение об обозначениях: будем считать, что b встречается в за-
писи слова г и что М — подгруппа, порожденная всеми порождаю-
щими, за исключением Ь.
Как всегда, проводим индукцию по длине слова г. Если г вклю-
чает в себя лишь один порождающий, то либо G=M, либо G явля-
ется свободным произведением свободной группы М и некоторой не-
тривиальной конечной циклической подгруппы. В этом случае наш
результат вытекает из замечаний об антинормальности, предшест-
вующих формулировке теоремы.
Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда г включает в себя
в точности два порождающих, скажем b и t. В этом случае G является
278
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
свободным произведением групп М и К.= (b, t\ г), в котором объеди-
нена циклическая подгруппа (О. Сокращенно
G = <Л1 * К; t — ty.
Предположим, что g^M и gmg~1=m', где т, т' £М. Запишем
=gig2 . . • gn в виДе приведенной формы в свободном произведении
с объединенной подгруппой. Без потери общности можно считать, что
gn£X- Предположим сначала, что п—1. Имеем
g1mgr1 = m'.
По теореме о нормальной форме для свободных произведений
объединенной подгруппой данное равенство может выполнят!
лишь тогда, когда т лежит в объединенной подгруппе. Следовате!
но, m=tk для некоторого целого k. Таким образом, gMg-1^®
и теорема доказана.
Предположим теперь, что п^2.. Имеем
gi- -gn-ignmg^gn-i- - -gr^m'.
Как и прежде, gnfngn1=tk для некоторого k. Снова применяя теор|
му о нормальной форме, видим, что gn-itkgn-i должно равнять!
степени элемента t. Поскольку М — свободная группа, сопряжен!
элементом g„_x £М может переводить степень элемента t в стелете
элемента t лишь в том случае, когда gn_} = tl. Однако это противо-
речит тому, что gn_1 — часть приведенной формы для g.
Предположим теперь, что г включает в себя по меньшей мере
три порождающих, скажем /, b и с. Предположим, что один из по-
рождающих, отличных от Ь, например I, входит в г с суммарной сте-
пенью 0. Как и прежде, представим G в виде HNN-расширения
0 = <Я, /; tXt'^ — Yy.
Допустим, что для некоторого g С G—М группа J=gMg~* П -М и
циклична. Поскольку М свободна, a J лежит в М и не являете
циклической, то J — свободная группа ранга не менее 2. Следов!
тельно, коммутант J’ группы J — свободная нециклическая группа
Далее,
(1) J' sgM’g-^M’,
где М' — коммутант группы М. Решающее замечание: поскольку
в М не содержится b и все элементы из М' имеют суммарную
степень 0 по i, группа М' содержится в базе Н. Фактически
M'sH*, где Н* — подгруппа Магнуса группы Н, порожденная
множеством порождающих, не содержащим ни одного bt. Заметим
также, что Н* s X П Y.
Сопрягая обе части равенства (1) элементом g, получаем
(2) g’V'gs М'
5. Группы с одним определяющим соотношением
279
Предположим, что g имеет HNN-длину 0, т. е. что g£H.
Поскольку gtfcM, то и g^M'. Используя предположение индук-
ции, получаем противоречие, состоящее в том, что Н* — подгруппа
Дагнуса в Н, a g~rJ'g—нециклическая группа. Предположим
теперь, что
g'^go^’gi-• -iZngn
—HNN-приведенная форма, п^Л. Если gn С М, то tEngnM'gn4~Eni=
, что позволяет заменить g-1 элементом g0.. .ten-ig„-1 более
короткой длины. Поэтому можно предполагать, что g„^M.
В частности, g не лежит ни в одной из связанных подгрупп X
или Y. Для определенности предположим, что е„=1.
Для каждого / £ J' имеем
gotSi- . .g^eM'.
По лемме Бриттона это может случиться лишь в том случае,
когда gJg^X. Поскольку J'sATsX, имеем J'^g~1Xgn П X,
что противоречит предположению индукции.
Тем самым доказательство завершено в случае, когда некоторый
порождающий, отличный от Ь, встречающийся в записи слова г,
имеет суммарную степень 0. В доказательстве использован суще-
ственным образом тот факт, что порождающий Ь, не содержащий-
ся в М, стал порождающим группы Н с ограниченной областью зна-
чений индекса. Если в г нет порождающего, отличного от Ь, с сум-
марной степенью 0, то нужно использовать то, что в записи г со-
держится по меньшей мере два порождающих t и с, отличных от Ь.
Используем стандартный прием превращения суммы показателей
в 0 при помощи порождающих t и с. Отображение Т: G—вклады-
вает подгруппу М группы G в подгруппу Магнуса М* группы С,
где снова опущенный порождающий — порождающий с ограничен-
ной областью значений индекса, если записывать С как HNN-pac-
ширение. Теперь доказываемый результат получается, как и в пре-
дыдущем случае. □
В случае групп с одним определяющим соотношением и с кру-
чением очень точное решение проблемы равенства слов дается «ор-
фографической теоремой» Б. Ньюмана [1968].
Теорема 5.5. Пусть G=(t, b, с, . . .; г"=1), где г циклически
приведено и га>1. П редположим, что w~v в G, причем слово w сво-
бодно приведено в алфавите {t,b, с, . . .} , а в v нет некоторого по-
рождающего, встречающегося в w. Тогда w содержит подслово S,
одновременно являющееся и подсловом слова г-'г, имеющее длину, более
чем в (га—1)/га раз превосходящую длину слова гп.
□ Предположим, что в G выполняется равенство w=v и в v отсут-
ствует некоторый порождающий, скажем I, встречающийся в w,
280 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
но отсутствующий в определяющем слове г. Пусть К — подгруппа
в группе G, порожденная всеми порождающими, за исключением t.
Тогда б=К*(/) и v£K. Запишем w в слоговой форме в свободном
произведении: w=wr . . . wn, где некоторое Wj является нетриви-
альной степенью порождающего /. По теореме о нормальной форме
для свободных произведений равенство w=v может выполняться
лишь в том случае, когда для некоторого i в /С верно равенство
а»г = 1. Однако если заключение теоремы верно для равенства
то оно верно и для равенства w~v. Итак, нам нужно рассмотреть
лишь случай таких равенств, в которых отсутствует порождающий,
встречающийся в определяющем соотношении гп. Доказательство,
естественно, будет проводиться индукцией по длине слова г. Если г
содержит только один порождающий, то результат верен, так что
можно предполагать, что слово г содержит не менее двух порождаю-
щих.
Случай 1. Рассмотрим сначала случай, когда некоторый порол
дающий t содержится в г так, что (г)=0. Как и прежде, будем ра<
сматривать G как HNN-группу с базой
Н = .....bm, ch ... (igZ); P»=l>.
Связанные подгруппы X и Y свободно порождены множествам
•••, ^га-1, С;, ... (t£Z)} И {£ц+1, ..., Ьт, С;, ... (/ С 23
соответственно. ;
Предположим, что w—свободно приведенное слово от t, b, с,
и что w (t, b, . ..) = у(£>, ...), где t входит в w, но не вход£
в v. Из равенства w(t, b0, ...) = v(b0, ...) следует, что w можвЦ
быть /-редукциями сведено к /-свободному слову w*. Под /-редук-
цией, являющейся просто сдвигом индексов, мы понимаем замену
подслова /Eu(6z, с;, . ..)/~Е, е = ±1, на u(bi+R, ci+E, ...), где все
порождающие, встречающиеся в и, в явном виде встречаются
среди заданных порождающих группы X (если е= 1) или У (если
е = — 1). Смысл рассмотрения таких редукций состоит в том, что
если w' получается из w /-редукциями, являющимися пре' го
сдвигом индексов, то w может быть получено из w' заменой эле-
ментов 6,-, cz, ... в w' на СЬа1~‘, t'cot~', ... и последующим сво-
бодным приведением, причем единственные буквы, которые могут
сократиться при свободном приведении,— это /-символы.
Произведем в первоначальном слове w все возможные /-редук-
ции, которые являются просто сдвигом индексов. Предположим,
что мы пришли к такому слову w', к которому подобные редук-
ции уже не применимы, но w' все еще не является /-приведен-
ным. Тогда w' содержит подслово /Еи/-е, где и /-свободно, и и
само не является словом от заданных порождающих групп X или
Y (в зависимости от е), но равно некоторому слову г от этих
порождающих. Таким образом, в г отсутствует некоторый пороЖ-
5. Группы с одним определяющим соотношением
281
дающий группы Н, встречающийся в и, и в Н имеет место равен-
ство u = z. По предположению индукции и содержит подслово Q
слова Р±п нужной длины. Поскольку для получения w' мы просто
сдвигали индексы, слово w может быть восстановлено по w' заме-
ной каждого bh ... на ... и последующего свободного
приведения, при котором сокращаются только /-символы. Заметим,
что подслово S слова и, восстанавливающееся из Q, будет содер-
жать подслово слова г'--п желаемой длины, даже если мы не будем
принимать во внимание никакие вхождения букв в начале
или в конце слова S.
Если w приводится к /-свободному слову w* простым сдвигом
индексов, то w* обязано содержать некоторый порождающий с не-
нулевым индексом и w* = v в Н. По предположению индукции
да* обязано содержать подслово Q слова Р±п нужной длины. Как
и прежде, отсюда следует, что w содержит подходящее подслово S
слова г±п и, более того, S можно выбрать так, чтобы оно не на-
чиналось и не оканчивалось на /±1. (Позже нам понадобится тот
факт, что подслово S можно выбрать так, чтобы оно не начина-
лось и не кончалось на проходную букву /.)
Предположим теперь, что равенство w(t, b0, с0, ...) =
— v(t, с0, ...) выполняется в группе G, причем Ьо входит в w, но
не входит в V. По лемме Бриттона at (w) = at (п) = а для какого-то а.
Следовательно, wt~a = vt~a. Поскольку в слове vt~a сумма показа-
телей при вхождениях буквы t равна 0, оно не содержит /^-симво-
лов и его можно переписать в виде /-свободного слова и* сдвигом
индексов. В G выполняется равенство да/_“ = ц*. Как и ранее,
если wt~a не сводится к /-свободному слову сдвигом индексов, то
wt~a обязано содержать подслово S слова г±п необходимой длины,
не начинающееся и не оканчивающееся на Из последнего
условия получаем, что S—подслово слова w. Если wt~a сводится
к /-свободному слову w* сдвигом индексов, то некоторое bt встре-
чается в w*. Из равенства да*=ц* в Н, согласно предположению
индукции, получаем, что w* содержит подслово Q слова Р±п
желаемой длины. Как и в первой части настоящего абзаца, в этом
случае в w содержится подслово S слова г±п нужной длины,
причем S не начинается и не оканчивается на /£1.
Случай 2. Предположим, наконец, что все порождающие, встре-
чающиеся в г, имеют ненулевую суммарную степень. Пусть в G
выполняется равенство w(t, Ь, .. .) = v(b, ...), где / входит в w,
но не входит в v. Пусть a — at(r) и р = сгь(г). Отображение У,
определенное посредством /и->i/x_p, b<—>х“, щ—>с, ....является
вложением группы G в группу С~(у, х,с, .. .; гг (ух~^, х“, с, ...)>.
Пусть w' — результат свободного приведения слова w(yx~^, х“,
с, ...) и и' —слово и(х“, с, ...). Слово w' содержит вхождение
буквы у, а и' —нет. Как и в случае 1, да' содержит подслово Q'
282
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
слова г±л(ух_р, х“, с, ...) нужной длины, причем Q' не начи-
нается и не оканчивается на х±х. Отсюда следует, что w содержит
необходимое подслово слова г±п. □
Доказанная теорема была использована Б. Ньюманом [1968]
для решения проблемы сопряженности в группах с одним опреде-
ляющим соотношением и кручением. Проблема сопряженности для
групп с одним определяющим соотношением, являющихся свобод-
ным произведением двух конечно порожденных свободных групп с
объединенной циклической подгруппой, была решена С. Липшуцем
[1966]. В заключение заметим, что проблема сопряженности для
групп с одним определяющим соотношением в общем виде все еще
не решена и представляется очень трудной.
6. Биполярные структуры
В своей работе 1971 г., посвященной теории концов, Столлин!
(см. Масси и Столлингс [19771) показывает, что если G — конечно1
порожденная группа с бесконечным числом концов, то G может быть
представлена в виде нетривиального свободного произведения с
объединенной подгруппой или HNN-расширения, в котором объ-
единяемые (соответственно связанные) подгруппы конечны. В своем
доказательстве Столлингс вводит понятие биполярной структуры.
Биполярные структуры обеспечивают характеризацию группы или
как нетривиального свободного произведения с объединенной под-
группой, или как HNN-расширения. Мы применим эту характе-
ризацию для получения теоремы X. Нейман [1949] о конечно порож-
денных подгруппах свободных произведений с объединенной под-
группой и HNN-расширений.
Обратимся к определению биполярной структуры на группе^
(Читатель, знакомый с работой Столлингса, заметит два небольшй
отличия в нашем определении. При работе с концами существенна
что упоминаемая ниже подгруппа F конечна. Здесь, разумеете!
мы должны допустить бесконечные подгруппы F. Не нужно н^
и имеющееся у Столлингса множество S.)
Определение. Биполярной структурой на группе G называется
разбиение группы G на пять взаимно непересекающихся подмно-
жеств F, ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*, удовлетворяющее следующим
аксиомам (буквы X, Y, Z употребляются вместо Е и Е*, причем1
считается, что (Х’*)* = Х и т. д):
1. F — подгруппа группы G.
2. Если f^F и g^XY, то gf^XY.
3. Если g£XY, то g-^YX (аксиома об обратном).
4. Если g С XY и /г С Y*Z, то gh С XZ (аксиома о произведении
5. Если g£G, то существует целое N(g), такое, что если д|
6. Биполярные структуры
283
некоторых gi......gnZG и Хо........Хп имеют место включения
лг(:Х^_1Хг и g=gi . . . gn, то n^N (g) (аксиома ограниченности).
6. ЕЕ*=£0 (аксиома нетривиальности).
Покажем теперь, что каждое нетривиальное свободное произве-
дение с объединенной подгруппой и каждое HNN-расширение обла-
дают биполярной структурой. Пусть G= F=^(F)}-~
свободное произведение с объединенной подгруппой, где F и tp(F) —
собственные подгруппы в Л и В соответственно. (Может быть так,
что F={1), т. е. G может оказаться обычным свободным произведе-
нием.) Биполярную структуру на G можно определить следующим
образом. Подгруппа F группы G — это и есть подгруппа F из би-
полярной структуры. Каждый элемент gZG — F имеет представ-
ление вида
g = c1...c„,
где никакое с, не лежит в F, каждое с, лежит в одном из множителей
А и Б и последовательные с;, с!+1 принадлежат разным множителям.
Из теоремы о нормальной форме для свободных произведений с
объединенной подгруппой следует, что число п и множители, из
которых берутся сг, одни и те же для любого представления с упо-
мянутыми ограничениями. Определим множества ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е
и Е*Е* следующим образом:
g€EE тогда и только тогда, когда q £ А и cnZA,
gZ.EE* тогда и только тогда, когда сх Z А и cnZB,
gZE*E тогда и только тогда, когда c1ZB и cnZA,
gZE*E* тогда и только тогда, когда с^В и cnZB.
Аксиомы проверяются непосредственно. Например, если gZ ХУ
и kzy*Z, то g и h обладают представлениями
g = c1...c„ и /1 = ^...^,
где сп и dx лежат в различных множителях. В этом случае пред-
ставление для gh имеет вид
Cj... . .dm,
так что аксиома 4 выполняется. Число X (g) в аксиоме 5 —это
просто длина элемента g в смысле свободных произведений с
объединенной подгруппой. Поскольку F и ф (F) — собственные
подгруппы в А и Б соответственно, существуют элементы cZ А—F
и dZ.B—ф^). В этом случае cdZEE*, что доказывает аксиому
нетривиальности.
Рассмотрим теперь HNN-случай. Пусть
G = <H, t- tFt-1 = ф (F)>
— некоторое HNN-расширение. Определим биполярную структуру
на G следующим образом. Подгруппа F группы G — это подгруппа F
биполярной структуры. Каждый aneMeHTg^G—F имеет представле-
284 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
.—в
ние в виде произведения элементов некоторой приведенной поел
довательности, например,
g = hate'hi. ,.tenhn,
где каждое й, лежит в Н.
Положим
g £ ЕЕ тогда и только тогда, когда или h0 £ Н — F, или 1г0 g F
и ef = + 1, и при этом либо hn£H—F, либо hn£F
и е„ —— 1;
g£EE* тогда и только тогда, когда или h0 £ Н — F, или й0 £
£ F и ег — + 1, и при этом hn £ F и еп = + 1;
g С Е*Е тогда и только тогда, когда h0£F и ef = — 1 и при
этом или hn£H — F, или hn£F и еп = —1;
g£E*E* тогда и только тогда, когда h„£F, гх = — 1 и при этом
и е„ -+ 1.
В частности, все элементы из Н—F лежат в ЕЕ. Из леммы Брит-
тона следует, что данные определения не зависят от выбора приве-
денной последовательности, представляющей элемент g.
Проверим аксиому о произведении (аксиома 4). Как и в случае
свободных произведений с объединенной подгруппой, суть состоит
в том, что если g £ XY и й £ Y*Z, то приведенная последовательность
для gk получается приписыванием последовательности для k к
последовательности для g. Пусть g=ft0/®‘ . . . te»hn и k—k0t6i . . .
.. . tbmkm. Предположим, что g £ ХЕ и й £ E*Z. Тогда hn £ Н—F или
hn £ F и еп=—1, в то время как й0 С F и §!=—1. Таким образом, по-
следовательность
hot^... te» (hnk0) №. ..t6mkm
приведена и gk £ XZ. Та же схема работает npng £ ХЕ* и k С EZ. Для
проверки аксиомы ограниченности рассмотрим произведение g=gi. Г
. . .gn, где gi £ Xi^Xi. Из условия gt С ХД^Х^ следует, что в ЕЕ м
жет содержаться, самое большее, половина элементов gt. Каждь
элемент g^EE должен содержать в своей приведенной фор»
/-символ. Поскольку мы увидели, что приведенная последовател!
ность для g может быть получена объединением приведенных п<
следовательностей для gt и слиянием элементов из И в начале |
конце последовательностей для gt, понятно, что п не превосходи
удвоенного числа /-символов в приведенной форме элемента g.
Наконец, t£EE*, что доказывает аксиому нетривиальное.™.
Заметим, что одна группа может обладать многими различными
биполярными структурами. Рассмотрим, например, фундаменталь-
ную группу поверхности рода 3. Биполярные структуры, возникаю-
щие из рассмотрения группы G как свободного произведения с об/«
единенной подгруппой, например
G = <a, b, с, d, е, [a, й] [с, d] = [f, е]>,
6. Биполярные структуры
285
и как HNN-расширения:
G = <a, b, с, d, е, f-, f~1ef = e[d, c][fc, а]>,
различаются существенным образом.
Найдем теперь некоторые следствия из аксиом биполярной
структуры. Приводимая ниже последовательность из четырех лемм
принадлежит Столлингсу (см. Масси и Столлингс [1977]). Пусть G —
группа с биполярной структурой. Элемент g С G называется непри-
водимым, если g лежит в F или g лежит в XY и не равен никакому
произведению hk, где h С XZ и k£Z*Y. Из аксиомы ограниченности
(аксиома 5), непосредственно вытекает, что G порождена неприво-
димыми элементами. В силу аксиомы об обратном (аксиома 3) и
того, что F — подгруппа, g неприводим тогда и только тогда, когда
неприводимым является элемент g-1.
Лемма 6.1. Если g^XY, h£YZ и h неприводим, то либо
gh£F, либо gh^XW для некоторого W.
□ Если gh£F, то все в порядке. Предположим, что gh£X*W.
Тогда g-1 € УХ по аксиоме об обратном. В этом случае h = g~'L (gh),
что противоречит неприводимости элемента h. □
Лемма 6.2. Если h^ZX, g£XY и h неприводим, то либо
hg^F, либо hg^WY для некоторого W.
□ Доказывается аналогично лемме 6.1. □
Лемма 6.3. Если g€.XY и h^YZ — неприводимые элементы,
то элемент gh неприводим и лежит в F и XZ.
□ По леммам 6.1 и 6.2 имеем gh£F\.\XZ. Если gh не явля-
ется неприводимым, то gh С XZ и gh = pq, где р С XW и <? С W*Z.
Имеем g = p(qh~1). Поскольку А-1 С ZK — неприводимый элемент,
то qh~l^F или qh"1 £W*V по лемме 6.1. Однако qh~l W*V,
поскольку в противном случае g был бы приводим. Поэтому
qh~l£F. Таким образом, g = р (qh.-1) С XW по аксиоме 2. Анало-
гично h~1 = q~1 (q^1), откуда h-1^ZW* по аксиоме об обратном
и аксиоме 2. Следовательно, h С W*Z. Это противоречит тому,
что g С XY и АС У2. □
Лемма 6.4. Если g€.XY, f^F и g неприводим, то gf —не-
приводимый элемент множества XY. Аналогично fg — неприводи-
мый элемент множества XY.
□ По аксиоме 2 имеем gf^XY. Если gf приводим, то gf = pq,
где p^XW и q£W*Y для некоторого W. Но тогда g = p(qf~1)-
Поскольку p£XW и qf-1 £W*Y по аксиоме 2, получаем проти-
воречие с неприводимостью элемента g. По аксиоме об обратном
286
Гл. IV. Свободные произведения и 'HNN-расширения
и первой половине доказательства g-1/-1— неприводимый Э|
мент из YX. Таким образом, fg—неприводимый элемент из XY
Теперь мы в состоянии доказать характеризационнуютеоре^
Столлингса.
Теорема 6.5. Группа G обладает биполярной структурой тогд(
и только тогда, когда она является или нетривиальным свободны^
произведением с объединенной подгруппой (возможно, обычным с<
бодным произведением), или HNN-расширением.
□ Предположим, что G обладает биполярной структурой. Onpqj
ЛИМ
Gt = F U {х; х — неприводимый элемент из ЕЕ),
G2 = F|j{x; х — неприводимый элемент из £*£*}.
Утверждается, что G, и G2— подгруппы группы G. Обратный
элементу группы лежит в Gi по аксиоме 1 и аксиоме об обратном..
Рассмотрим произведение hk двух элементов из Gi. Если и h, и k
лежат в F, то hk С F, поскольку F — подгруппа. Если оба h, k —
неприводимые элементы из ЕЕ, то по лемме 6.3 либо hk£F, либо
hk — неприводимый элемент из ЕЕ. Если в точности один из эле-
ментов h, k лежит в F, то hk — неприводимый элемент из ЕЕ, со-
гласно лемме 6.4. Аналогичным образом подгруппой оказывается и
G2.
Случай 1. Если в ЕЕ* нет неприводимых элементов, то G= (G^
*G2; F=F>.
Поскольку элементы из Е*Е — это обратные к элементам из
ЕЕ*, в Е*Е нет неприводимых элементов. Таким образом, в Gj U G2
содержатся все неприводимые элементы группы G. Поскольку груп-
па G порождена неприводимыми элементами, множество Gi и G2
порождает ее. _ _
Возьмем непересекающиеся экземпляры Сц и G2 групп Gj и G2.
При любом элементе g/CG,-, i = l, 2, пусть gt обозначает соот-
ветствующий элемент из G,-. Рассмотрим
G = ^G1»G2", F = F>.
Определим^: G—>G, полагая 4>(gi) = gi, если g1£G1 и ф^2)~
= g2, g2€G2. Утверждается, что ф— изоморфизм. Отображение
ф —это отображение на G по замечанию из предыдущего абзаца.
Далее, понятно, что ф является взаимно однозначным на Gl и
G2. Если элемент g не лежит ни в каком множителе группы G, то
запишем g = c1...cn, где каждое с; лежит в некотором множи-
теле, никакое с; не лежит в F и последовательные cz, с/+1 лежат
в разных множителях. Образы с,- = ф (с() идут, таким образом,
6. Биполярные структуры
287
поочередно из ЕЕ и Е*Е*. Тогда по аксиоме о произведении
ф(Й = с1...с„
лежит в одном из множеств XY и не равен 1. Таким образом,
ф —- изоморфизм.
Если бы F не была собственной подгруппой хотя бы в одной из
групп Glt G2, скажем F=Ci!, то Gi U G2=G2. Поскольку G2 тогда
порождала бы G, у нас вышло бы G=G3sF U ЕЕ, что противоречит
аксиоме нетривиальности ЕЕ*=£0.
Случай 2. Если в ЕЕ* имеется нетривиальный элемент t, то
G = <G1, V,
Покажем сначала, что Gi U {О порождает G. Если g— непри-
водимый элемент из Е*Е, то tg — неприводимый элемент из
Ft) ЕЕ по лемме 6.3 и g=/-1(/g). Неприводимые элементы из ЕЕ*
суть обратные к неприводимым элементам из Е*Е. Если g — не-
приводимый элемент из Е*Е*, то gt-1 — неприводимый элемент из
F{}E*E по лемме 6.3.
Понятно, что сопряжение элементом t индуцирует некоторый
изоморфизм ф между F и некоторой подгруппой ф (F) группы G.
Проверим, что tFt~1^Gi. Если f£F, то tf— неприводимый элемент
из ЕЕ* по лемме 6.4, откуда (tf)l-1 по лемме 6.3 — неприводимый
элемент из F U ЕЕ.
Напомним, что Gi—подгруппа в G и что G^F и ЕЕ. Элемент t
лежит в множестве ЕЕ*, не пересекающемся с F()EE. Следователь-
но, при любом выборе элементов^ и^2 из Gt и е=±1 имеемgiFgiffc
djF. Это наблюдение часто будет использоваться в неявной
форме.
Пусть Gi — изоморфный экземпляр группы Gx и
Г; 7ЁГ-1 = ф7Ё)>.
Определим ф : G->G, полагая ф (ii)=gi, если g^Glt и ф(7)=/. Мы
знаем, что ф —отображение на G, ввиду того что Gx и {0 порождает
G. Если g £ G—Gi, то g может быть записан как произведение
элементов некоторой приведенной последовательности, скажем
g = g07e'..~tengn, п>1,
где каждый g{ лежит в Gv Нам нужно показать, что
Ф (g) = gotE'- • -tengn^ 1.
При построении биполярной структуры для произвольных
HNN-расширений мы дали схему размещения элементов по мно-
жествам XY. Утверждается, что ф(й') лежит в некотором XY в
соответствии с этой схемой. (В настоящем контексте Gx играет
288
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
роль группы Н.) Доказательство проведем индукцией по п. Сна-
чала проанализируем случай п>1. Из тех же рассуждений
очевидным образом будет следовать и случай п=1.
Рассмотрим знак числа гп-1. Предположим, что е„_1 = 1. Тогда
? = где w = gQ..-gn-2t. Элемент w лежит в ХЕ* по
предположению индукции. Не может быть одновременно gn_A С F
и еп = —1, так как последовательность для g приведена. Пред-
положим, что е„ = — 1. Тогда £ЕЕ. Вне зависимости оттого,
gn£EE или gn£F, по лемме 6.3 или аксиоме 2 получаем t~1gn £
€£*£. Таким образом, wgn_, (t~1gn) 6 ХЕ по аксиоме о произ-
ведении. Предположим, что е„ = 1. Снова независимо от gn_± С ЕЕ
или gn-i € F получаем С ЕЕ*. Если g„ 6 ЕЕ, то w £
£ХЕ. Если gn-^F, то w(g„-1t)g„ С ХЕ*.
Предположим теперь, что e„_j =—1. Запишем g’=f/“1gn_1X
X/e”g,., где и = ga.. .gn-2. Допустим, что v не состоит из одного
g0£F. Утверждается, что тогда v£XE, так как в противном
случае v должно было бы оканчиваться на tgn_2, где gn-2£F.
Это противоречит тому, что первоначальная последовательность
для g является приведенной. Далее, <-1g-n_1— неприводимый
элемент из Е*Е независимо от того, gn^y^EE или g„~i€E.
(Нужно применить одну из лемм 6.3 или 6.4). Предположим,
что еп=1. Тогда t~1gn^xt С F U Е*Е* по лемме 6.3. Включение
t^gn-it С F невозможно, так как из него следовало бы С ф (Е),
а это противоречит приведенности исходной последовательности
для Таким образом, t~lgn^xt СЕ*Е*. Если gn£EE, то
Xg„-jOgn€XE, а если gn£F, то v(t-1g„.lt)g„eXE*. Наконец
допустим, что е„ = —1. Тогда 1~^„£Е*Е и v(t-1gn_1)(t~1gn)^
£ХЕ. Для случая v С F результат легко вытекает из приведев
ного рассуждения.
Случай п—1 без труда получается при исследовании аналоги1!
ным образом произведения gote'gi. Итак, мы видим, что g'='»|5(d
лежит в одном из множеств ХУ и не может равняться 1. Следов^
тельно, ф взаимно однозначен и потому является изоморфизмов!
Это завершает доказательство теоремы. □
Мы убедились, что группа G обладает биполярной структурой
в том и только том случае, когда G — нетривиальное произведение
с объединенной подгруппой или HNN-расширение. Используем
теперь характеризацию в терминах биполярной структуры для
доказательства одной теоремы X. Нейман [1948] о конечно порож-
денных подгруппах свободных произведений с объединенной под-
группой или HNN-расширений.
Теорема 6.6. Пусть G = (.A*B‘ Е = ф(Е)>— нетривиальное
произведение с объединенной подгруппой. (Соответственно пусть
G = <X, t~lFt = ф (Е)>— некоторое HNN-расширение.) Предпо-
6. Биполярные структуры
289
лоэким, что И— конечно порожденная подгруппа в G и все сопря-
женные с ней в G подгруппы пересекают F тривиальным обра-
зом. Тогда
Н = К*(*аНа),
где К — некоторая свободная группа и каждое На — это пересе-
чение подгруппы Н с некоторой подгруппой, сопряженной с одним
из множителей (соответственно с базой) группы G.
Теорема остается справедливой и без предположения о конеч-
ной порожденное™ группы Н. Полное рассмотрение теорем о под-
группах для свободных произведений с объединенной подгруппой
и HNN-расширений см. в статьях Серра [1974] или Карраса и Соли-
тэра [1970, 1971]. Из теоремы непосредственно вытекает
Следствие 6.7. Пусть G = <A*B-, F = <p(F)> — нетривиальное
свободное произведение с объединенной подгруппой. (Соответст-
венно пусть G = (A, t\ tFt-1 = q> (F)> — некоторое HNN-расшире-
ние.) Если Н — конечно порожденная подгруппа в G, тривиально
пересекающаяся со всеми сопряженными с множителями А и В
(соответственно с базой Л) подгруппами группы G, то Н сво-
бодна. □
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая
Лемма 6.8. Пусть G = <А * В\ F = ф (Е)> — нетривиальное
свободное произведение с объединенной подгруппой. Пусть И —
конечно порожденная подгруппа в G. Тогда либо Н содержится
в подгруппе, сопряженной с одним из множителей группы G,
либо в некоторой подгруппе, сопряженной с группой И, содер-
жится циклически приведенный элемент длины не менее 2. Ана-
логичным образом пусть G = (A, t\ tFt-1 = ф(Е)> — некоторое
HNN-расширение. Если Н —конечно порожденная подгруппа eG,
то или Н содержится в некоторой сопряженной с базой А под-
группе, или в некоторой сопряженной с группой Н подгруппе
содержится циклически приведенный элемент длины не менее 2.
О Докажем эту лемму для свободных произведений с объединен-
ной подгруппой. Аналогичным образом можно провести доказа-
тельство для HNN-расширений. Доказательство проводится индук-
цией по s, сумме длин элементов конечного множества порождаю-
щих для И. Если s=l, то Н содержится в некотором множителе.
Пусть H=(ht, ..., hn). Если какое-либо ht циклически приведено
и его длина не менее 2, все в порядке. Предполагая, что это не так.
запишем каждое ht в приведенной форме ...ck (возможно,
&=1), тогда а и Си лежат в одном и том же множителе. Если два
Цорождающих для Н, скажем ht и hj, начинаются и кончаются эле-
ментами разных множителей, произведение hihj циклически при-
10 Лб53
290
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
ведено и имеет длину, не меньшую 2. Поэтому предположим, чТо
приведенные формы для всех ht начинаются и оканчиваются ца
элементы из одного и того же множителя, скажем А. Если все h-
имеют длину 1, На. А. Поэтому предположим, что /i,=Ci ... с4)
£>1, Ci, ch С Л, для некоторого i. Заменим группу Н на с^Нс^
= {hl, ..., h^), где h^c^hjCi. Сумма длин элементов й‘- меньше
суммы длин элементов hj. Лемма доказана. □
Вернемся к доказательству теоремы 6.6. Читатель, знакомый
с доказательством Столлингса гипотезы Серра в конечно порожден-
ном случае, заметит, что, хотя мы не упоминаем о концах, общая
стратегия нашего доказательства та же самая.
Доказательство теоремы 6.6. Будем использо-
вать обозначения из формулировки этой теоремы. Если Н содер-
жится в некоторой сопряженной с множителем (соответственно
с базой) группы G подгруппе, результат получается тривиальным
образом, поэтому допустим, что этот случай не имеет места. Будем
вести доказательство по п — минимуму числа порождающих груп-
пы Н. Если п=1, то Н— (hi) не содержится ни в какой сопряженной
с каким-либо множителем подгруппе, т. е. hi имеет бесконечный
порядок и, значит, группа Н свободна.
Допустив, что результат верен при 1^/г^й, докажем его для
n=k+l. Заметим, что подгруппа Н группы G имеет представление
приведенного в формулировке теоремы вида тогда и только тогда,
когда таким представлением обладают все сопряженные с Н под-
группы. По лемме 6.8 некоторая сопряженная с группой Н под-
группа Н* содержит циклически приведенный элемент длины,
большей чем 1. Заменим Н на Н*.
Наделим G биполярной структурой, связанной с рассмотрением
группы G как.свободного произведения с объединенной подгруп-
пой или как HNN-расширения. Биполярная структура на Н*
получается взятием теоретико-множественных пересечений мно-
жества Н* с множествами F, ЕЕ и т. д. Итак, Ен,=Н* Г) F, ЕЕ);.--
—H*f\EE* и т. д. Заметим, что аксиомы 1—5 для биполярной
структуры наследственные, значит, они сохраняются в предла-
гаемой биполярной структуре для Н*. Нам нужно проверить ак-
сиому нетривиальности. Однако в Н* содержится циклически
приведенный элемент h* длины не менее 2, следовательно, один из
h* или (й*)-1 лежит в ЕЕ*. Таким образом, ЕЕ*н,=£0.
По предположению относительно Н имеем //*ПЕ={1}- Но
Ея.= {1} означает, что Н*—нетривиальное свободное произве-
дение, скажем Н*=Н1»Н2. По теореме Грушко — Неймана Hi
и Н2 имеют меньшее число порождающих, чем Н*. Поэтому по
предположению индукции Нг и Н2 имеют разложения желаемого
типа. Однако очевидно, что свободное произведение двух групп
6. Биполярные структуры
291
с разложением нужного типа имеет разложение такого же типа,
-рем самым теорема доказана. □
Мы завершим этот раздел, указав, что биполярные структуры
могут оказаться полезными при доказательстве того, что различные
группы имеют хорошее разложение в свободное произведение
с объединенной подгруппой или представление в виде HNN-расши-
рения. Следующая теорема принадлежит Нагао [1959]. (См. III.12.)
Теорема 6.9. Пусть ЛЫ — кольцо многочленов от одной пере-
менной над полем К- Тогда
GL2(K[x]) = <GL2(K)*7’; U = U>,
где U — группа верхних треугольных матриц над К, а Т — группа
матриц вида (о1 &**)> где ki и k2 — ненулевые элементы из К и
f(x)
Обобщение результата Нагао можно найти у Серра [1974].
Самый легкий путь доказательства результата Нагао —прямое
доказательство. В то же время оказывается, что GL2(K[xl) обла-
дает весьма естественной биполярной структурой, которую мы и
собираемся описать.
□ Пусть F=U, и пусть все матрицы GL2(K) — U лежат в ЕЕ.
Если / £/С[х], то пусть 6(f) — степень многочлена f. Рассмотрим
теперь произвольную матрицу M — f'A , где по меньшей мере
\/21 /22/
одно вхождение имеет степень, большую нуля. Положим
М£ЕЕ тогда и только тогда, когда 6 (f12)^ 6 (fu) и 6 (f12)
^6(f22), c
M g ЕЕ* тогда и только тогда, когда 6 (f12)^ 6 (fH) и 6 (f12) >
> 6 (/22),
М С Е*Е тогда и только тогда, когда 6 (f12)> 6 (fu) и 6 (fi2)
^6(f22),
М С Е*Е* тогда и только тогда, когда 6 (f12)> 6 (fn) и о (fl2) >
>5(М)-
Короче говоря, степень элемента f12 сравнивается со степенями
элементов на главной диагонали. Аксиома об обратном является
непосредственным следствием формулы для обращения 2 X 2-матриц:
"^~1=аёГл1(-б1 Для пРовеРки аксиомы о произведении и ак-
сиом для склеиваемой части, кажется, достаточно проделать не-
сколько умножений. Аксиома ограниченности справедлива, по-
скольку эти умножения показывают, что если M^XY и N£Y*Z,
ТО максимум степеней элементов матрицы MN строго больше сте-
пеней элементов из М или N. □
Ю*
292
Гл. IV. Свободные произведения и 'НЫЫ-расширения
7. Теорема Хигмана о вложении
Алгоритмы для решения многих конкретных задач были най-
дены задолго до того момента, когда появилось точное определение
понятия «алгоритм». В каждом случае положительного решения
алгоритмической проблемы, например проблемы равенства слов
для групп с одним определяющим соотношением, алгоритм бывал
фактически найден, и все соглашались с тем, что получена эффек-
тивная разрешающая процедура. В то же время понятно, что отри-
цательные результаты о разрешимости можно получить только
после выработки точного определения «алгоритма», поскольку
доказательство несуществования требует обозрения всех возможных
алгоритмов. Такое точное определение появилось в 30-х годах.
После его появления стало возможным заменить интуитивные
понятия «эффективной разрешимости» и «эффективной перечисли-
мости» точными понятиями «рекурсивное™» и «рекурсивной пере-
числимости».
В 50-х годах П. С. Новиков [1952, 1955] и Бун [1959] незави-
симо доказали, что существуют конечно представленные группы
с, неразрешимой проблемой равенства. В 1961 году Г. Хигман до-
казал замечательную теорему, в которой твердо устанавливается
тот факт, что связь между логическим понятием рекурсивное™ и
вопросами о конечно представленных группах не только не слу-
чайна, но весьма глубока. Напомним, что представление назы-
вается рекурсивным, если оно имеет конечное число порождаю-
щих и рекурсивно перечислимое множество определяющих соот-
ношений.
Теорема 7.1. (Теорема Хигмана о вложении.) Конечно порожден-
ная группа G может быть вложена в некоторую конечно представ-
ленную группу в том и только том случае, когда G рекурсивно пред'
ставлена.
Наша цель в настоящем разделе — доказательство теоремы
Хигмана о вложении и некоторых ее следствий.
Перед доказательством теоремы Хигмана о вложении рассмот
рим некоторые ее следствия, при формулировке которых будею
придерживаться интуитивного понятия «рекурсивности». Когдг
мы рассмотрим точное определение понятия «рекурсивности», нами
будет доказано существование рекурсивно перечислимого нерекур-
сивного множества S положительных целых чисел. С помощью
этого факта из теоремы Хигмана о вложении без труда получается
пример конечно представленной группы без алгоритма равенства.
Такой пример будет дан прямо сейчас. На самом деле все факты,
необходимые для построения примера конечно представленной
группы с неразрешимой проблемой равенства слов, получаются
уже где-то на середине доказательства теоремы о вложении. В этом
7. Теорема Хигмана о вложении
293
месте доказательства мы снова вернемся к неразрешимости проб-
лемы равенства слов.
Теорема 7.2. Существует конечно представленная группа Н
с неразрешимой проблемой равенства слов.
□ Пусть S — рекурсивно перечислимое нерекурсивное множество
натуральных чисел. Положим
G = <a, b, с, d\ a~‘ba‘ —c~‘dc‘, i£S>.
Понятно, что проблема равенства в G неразрешима, так как
a~nban=c~ndcn
выполняется в G в том и только том случае, когда п £ S. Поскольку
множество определяющих соотношений группы G рекурсивно
перечислимо, она может быть вложена в конечно представленную
группу Н. Из того, что G — конечно порожденная группа с нераз-
решимой проблемой равенства слов, следует, что проблема ра-
венства слов должна быть неразрешимой и в Н. □
Следующая теорема принадлежит Хигману [1961].
Теорема 7.3. Существует конечно представленная группа Н,
в которую вложима любая рекурсивно представленная группа.
□ Множество всех конечных представлений С;=(Хг; естест-
венным образом счетно и рекурсивно перечислимо. Ясно, что можно
выбрать такую нумерацию, при которой все Хг — последователь-
ные непересекающиеся отрезки некоторого множества X = {xt,
х2, ...}. Понятно, что в этом случае (X; U/?f) — рекурсивное
представление для группы G, изоморфной свободному произведе-
нию групп Gt и, следовательно, содержащей подгруппы, изоморф-
ные любой конечно представленной группе. Поэтому по теореме
Хигмана — Нейман — Неймана G может быть вложена в некото-
рую рекурсивно представленную 2-порожденную группу G*. Вло-
жим затем G* в некоторую конечно представленную группу Н.
Ясно, что в И содержится экземпляр каждой конечно представлен-
ной группы. Еще раз применяя теорему Хигмана о вложении, ви-
дим, что в И содержится экземпляр каждой рекурсивно представ-
ленной группы. □
Обратимся теперь к одной теореме Буна и Хигмана [1974],
дающей сжатую алгебраическую характеризацию конечно порож-
денных групп с разрешимой проблемой равенства слов.
Теорема 7.4. Проблема равенства слов в конечно порожденной
группе G разрешима в том и только том случае, когда G вложима
в простую подгруппу конечно представленной группы.
294
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
□ Допустим, что G может быть вложена в простую подгруппу
некоторой конечно представленной группы Н. Тот факт, что проб-
лема равенства слов в G разрешима, фактически содержится в тео-
реме Кузнецова (теорема 3.6). Поскольку G конечно порождена
и вложима в конечно представленную группу, множество слов,
равных 1 в G, рекурсивно перечислимо. Поэтому достаточно по-
казать, что множество слов, не равных единице в G, также рекур-
сивно перечислимо. Пусть ф: G-+-H — вложение, такое, чтоф(С)^5,
где S — простая подгруппа в Н. Выберем фиксированный элемент
l=#s£S. Для произвольного w£G пусть Hw — группа, получаю-
щаяся из Н добавлением определяющего соотношения ф(да). По-
скольку S проста, если ф(да)#=1 в Н, все элементы из S, в част-
ности s, равны 1 в Hw. Таким образом, в G тогда и только
тогда, когда s=l в Hw. Поскольку G конечно порождена, а Н№
конечно представлена, множество w, таких, что s=l в Hw, рекур-
сивно перечислимо.
Теперь нам нужно показать, что если G — конечно порожденная
группа с разрешимой проблемой равенства, то G может быть вло-
жена в простую подгруппу некоторой конечно представленной
группы. Первый шаг состоит во вложении группы G в простую
группу S с рекурсивным множеством определяющих соотношений.
Конструкция группы S напоминает конструкцию группы, в кото-
рой любые два элемента одного и того же порядка сопряжены,
однако нужно заботиться о разрешимости проблемы равенству
слов.
Поскольку в G разрешима проблема равенства слов, множеств,
{(«1, Vi), (и2, v2), ...}
пар элементов группы G, ни один из которых не равен 1, рекуЦ
сивно. Пусть
G1 = <G-, xt, ti t{lulXTluix1t = vlxi1uiXi, i^l>.
Элементы UtX^UiXi и ViX^UiXf как элементы свободного произвел
дения циклически приведены, и их длина равна 4. Поэтому он|
являются элементами бесконечного порядка, более того, проблей
вхождения в циклические подгруппы, порожденные этими элемещ
тами, единообразно разрешима. Таким образом, Gi есть ENN!
расширение группы G*(xi), такое, что проблема равенства слов
в Gi разрешима.
Предположим, что группа Gh определена, и введем Gk+i, ис-
ходя из Gk, как это проделано в предыдущем абзаце. Пусть
S= U Gk.
*=i
В силу единообразия нашего процесса построения проблема ра-
венства слов в S разрешима. Проверим простоту группы S. Пред-
7. Теорема Хигмана о вложении
29э
положим, что и и v — нетривиальные элементы из S. Подберем
индекс k—1, такой, что и и v лежат в GA_X. В этом случае сущест-
вует проходная буква р, такая, что в Gk имеет место соотношение
р~1их~^ихкр = VX~kUXk.
Разрешая это уравнение относительно v, мы видим, что v лежит
в нормальном замыкании элемента и. Поскольку и и v произволь-
ные, группа S является простой.
Множество определяющих соотношений группы S рекурсивно.
Поэтому по теореме Хигмана — Нейман — Неймана S может быть
вложена в рекурсивно представленную 2-порожденную группу Д.
По теореме Хигмана о вложении К может быть вложена в конечно
представленную группу Н. Цепочка вложений
доказывает теорему. □
Для доказательства теоремы Хигмана о вложении нам требуется
иметь точные определения понятий «рекурсивности» и «рекурсив-
ной перечислимости». В свое время было дано много определе-
ний: через машины Тьюринга, через формальные системы, через
Х-вычислимость и т. д. Все предложенные определения оказались
эквивалентными. Именно эквивалентность этих формально совер-
шенно различных понятий привела логиков к убеждению, что
точно определенное понятие рекурсивности является удовлетвори-
тельной формализацией интуитивного понятия «эффективности».
Это философское кредо называется тезисом Чёрча — Тьюринга.
На практике это означает, что если кто-либо доказал, что некото-
рая функция f не является рекурсивной, то другим не следует
тратить время на нахождение процедуры (обязательно нерекурсив-
ной) для вычисления функции /, которая в каком-либо смысле
«эффективна».
Совершая резкий переход к новым для читателя вещам, рас-
смотрим некоторые понятия, связанные с многочленами с целыми
коэффициентами. Пусть Р(Хи ..., Xft)— целочисленный много-
член (от нескольких переменных). Строчка целых чисел (zj, .. .,z&)
называется корнем многочлена Р, если
P(zi.....zft)=0.
Определение. Подмножество S из Z" называется диофантовым,
если существует многочлен P(Xlt ..., Хп; Ylt ..., Ym), такой,
что
(si, ..., sn)gS тогда и только тогда, когда Р(si, ..., sn; Yt, ...
..., Ут) имеет целый корень.
Будем говорить, что Р перечисляет S.
296 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Нетривиальным примером диофантова множества является мно-
жество N всех натуральных чисел. Действительно, по знаменитой
теореме Лагранжа целое число неотрицательно в том и только том
случае, когда оно представимо в виде суммы четырех квадратов.
Таким образом, s£N тогда и только тогда, когда многочлен
P(s;Yt, У4)=У?+.. .+У4—s имеет корень.
Заметим, что диофантово множество естественным образом
интуитивно эффективно перечислимо. В самом деле, пусть Р (Xi, . ..
..., Xn; Yi, ..., Ym) — некоторый многочлен, перечисляющий S.
Перенумеруем эффективным образом все («+т)-ки (sj, ..., sn;
di, ..dm) целых чисел. При выборе каждой такой строки вычис-
лим P(sf, ..., sn; di, ..., dm) и посмотрим, равно ли полученное
число 0. Если да, то поместим (si, ..., sn) в список элементов мне*
жества S. Если нет, перейдем к следующей (га+т)-ке. I
Одной из самых известных алгоритмических проблем являета
10-я проблема Гильберта. Гильберта интересовало нахождение аЛч
горитма, определяющего по данному многочлену P(Xi, ..., Хт)
с целыми коэффициентами, имеет Р целый корень или нет. Ю. В. Ма-
тиясевич [1970] показал, что такого алгоритма не существует.
При решении 10-й проблемы Гильберта Матиясевичем было до-
казано на самом деле много большее. Именно он установил, что
все рекурсивно перечислимые множества диофантовы! Этот резуль-
тат в настоящее время является основным в теории рекурсивных
функций. Для наших целей удобно рассматривать диофантовост
как определение рекурсивной перечислимости. Такой подход може
быть обоснован двояко. Во-первых, он позволит нам объяснит
некоторые основные факты о рекурсивно перечислимых множен
вах с минимумом логического формализма. Во-вторых, при дога
зательстве теоремы Хигмана о вложении мы сможем следоваТ
работе М. К. Валиева [1968], в которой весьма изобретательно и(
пользуется диофантов характер рекурсивно перечислимых мн<
жеств.
Читатель, предпочитающий стандартное определение «реку{
сивности», может иметь в виду теорему Матиясевича, устанавлга
бающую эквивалентность этого определения и определения, пред-
лагаемого ниже. Точно так же мы не собираемся доказывать, что
некоторые очевидным образом «эффективно перечислимые» мно-
жества, которые встретятся нам в дальнейшем, являются диофан-
товыми. Достаточно сказать, что это можно сделать. Мы настоя-
тельно рекомендуем читателю статью Дейвиса [1973], в которой
можно найти отличное изложение результата Матиясевича.
Определение. Множество SsZ" называется рекурсивно пере-
числимым, ести оно диофантово. Множество S называется рекур-
сивным, если как оно, так и его дополнение Z”—S рекурсивно
перечислимы.
7. Теорема Хигмана о вложении
297
Для начала нам необходимо продемонстрировать рекурсивно
перечислимые, но не рекурсивные множества. Подход к этому дает
«нумерация», т. е. сопоставление натуральных чисел всему, что
может встретиться. Поскольку это впервые было сделано Гёделем,
получаемые числа называются «гёделевскими номерами». Введем
нумерацию для многочленов следующим образом. Определим
функцию a: Z->-N, полагая
. . (2|z| + l, если г^О,
а г (2|z|, если z > 0.
Эта функция, разумеется, взаимно однозначна.
Зафиксируем Хо, Xi, ..., Хп, ... в качестве бесконечного мно-
жества переменных. Поставим в соответствие каждому одночлену
Т = сХе(\...Х‘п,
х 1п
где 0 =/= с £ Z, каждое е{ больше или равно 1 и iY < i2 < is <...
... < i„, число
где p(j} есть /-oe простое число. (Так, Р(5Х3Х«) = 21033132.)
Каждый ненулевой многочлен Р от Xt единственным обра-
зом записывается в виде суммы одночленов
Р = Т1+...+Тк,
где Т{ различаются не только коэффициентами из ZhP(7’1) <...
... < Р (Тк). Сопоставим каждому многочлену Р такого вида
число
У(Р)~2^ ...рЪР ,
Понятно, что по данному многочлену его гёделевский номер у(Р)
вычисляется эффективно.
Теорема 7.5. Существует рекурсивно перечислимое нерекурсив-
ное множество натуральных чисел.
□ Рассмотрим
S{у (Р(XIt, ..., Xi^)); Р (е, Xit, ..., Х^) имеет корень,
где е = у (Р)}.
Иначе говоря, S — множество гёделевских номеров многочле-
нов, таких, что если в этот многочлен, вместо первой из встречаю-
щихся переменных подставить его гёделевский номер, то получен-
ный многочлен имеет корень. Интуитивно ясно, что множество S
эффективно перечислимо, С другой стороны, его дополнением яд-
298
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-рааиирения
-ч
ляется множество S*=Z—S = {г; г не принадлежит множеств
значений функции у или г=у(Р(Х1-1, Х1п)), но многочл
Р(?(Р), Х.„ Х,„) не имеет корней).
Если S* рекурсивно перечислимо, то существует многочлен)
перечисляющий S*. Таким образом, z£S* тогда и только тог|
когда Q(z, Х(2, ..., Х(т) имеет корень.
Можно применить классический диагональный метод. Пуй
e*=y(Q). Зададим вопрос, в каком из множеств, S или S*, лея^
е*. По определению множества S*
е* £ S* тогда и только тогда, когда Q (е*, Х1г, ..., Х(„) имеет коре^
Однако в этом случае е*=у(<?)£5 по определению. Этим проти|
речием завершается доказательство теоремы. □
Доказательство теоремы Хигмана о вложении начнем введение
одного из ключевых понятий Хигмана.
Определение. Подгруппа Н конечно порожденной группы|
называется удобной х) в G, если группа
GH = <G, t-, t~1ht = h, h£H>
вложима в конечно представленную группу.
Заметим, что если
Н s G <= К,
причем G и X конечно порождены и Н удобна в К, то Н удобна в |
Это замечание часто будет использоваться в неявной форме.
Следующая лемма показывает, какое отношение имеет понят^
удобности к нашим целям.
Лемма 7.6. (Метод подъема Хигмана2).) Если R — удобнй
нормальная подгруппа конечно порожденной группы F, то F/|
может быть вложена в конечно представленную группу.
По предположению группа
Fr = <F, t\ t~lrt = r, r£R>
вложима в конечно представленную группу Н. Предположим, что
Xi, ..., хп — данные порождающие группы F. Сохраняя конечную
представленность группы Н, будем считать, что элементы хи ..., хп
содержатся среди порождающих символов данного конечного пред-
ставления группы Н. Пусть F — изоморфный экземпляр группы F
с порождающими хг, ..., хп. Если w— некоторое слово на по-
рождающих группы F, tow^F будет обозначать то же слово, в ко-
тором Х[ заменены на х,.
1) В оригинале «benign».— Прим. ред.
%) В оригинале «the Higman горе trick»,— Прим, ред.
7. Теорема Хигмана о вложении
299
В группе FR подгруппа L, порожденная множествами F и
t~iFt, является свободным произведением групп F и t-1Ft с объеди-
ненной подгруппой R. Определим гомоморфизм <р: L-+F/R, полагая
<р(да)=ау и <p(£~W) = l. Определение корректно, так как согласовано
с объединением.
Рассмотрим группу HX.FIR. Для обозначения элементов группы
будем использовать упорядоченные пары. Рассматривая L как
подгруппу в Н, определим отображение ф: L-^LxFiR, полагая
ф (/)=(/, <р(/)); понятно, что оно инъективно. Поэтому можно об-
разовать HNN-расширение
K=<HxF/R, s; s-x(Z, 1)s = (Z, <p(Z)), /£Д>.
Множество определяющих соотношений для К может быть пред-
ставлено как объединение определяющих соотношений для F/R,
определяющих соотношений для И, соотношений, согласно которым
порождающие группы Н коммутируют с порождающими группы
FIR, и соотношений s-1(/, l)s=(/, <р (Z)) над некоторым множеством
порождающих группы L. Поскольку все участвующие в рассмотре-
нии группы конечно порождены, а Н конечно представлена, для
доказательства того, что К конечно представлена, достаточно по-
казать, что определяющие соотношения группы ~FJR следуют из
остальных соотношений. Предположим, что w — слово от порож-
дающих группы F/R, такое, что w=l в F/R. Тогда соответствую-
щее слово w от порождающих группы F лежит в R. Далее,
s(w, 1) s-1 = (w, w).
Поскольку w£R, то i-1ayi=w, так что
(w, l) = (w~lwt, 1).
Однако по определению отображения <р
\)s=(w, 1).
Отсюда вытекает 10=1. Таким образом, К — конечно представлен-
ная группа, в которую вложена группа F/R. □
Поскольку любая рекурсивно представленная группа имеет
вид F/R, где F — конечно порожденная свободная группа, a R —
рекурсивно перечислимая нормальная подгруппа в F, то лемма
показывает, что для доказательства теоремы Хигмана о вложении
достаточно показать, что рекурсивно перечислимые подгруппы
конечно порожденных свободных группы удобны. В этом состоит
общая стратегия доказательства.
Для перехода к изучению удобных подгрупп нам понадобятся
некоторые начальные примеры и способы построения удобных под-
300
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
групп исходя из подгрупп, про которые уже известно, что они яв^
ляются удобными. Если И и К — подгруппы группы G, то Gp{n
К) — подгруппа в G, порожденная множествами Н и К. В данно;
разделе обозначение (G, t; будет означать HNN-pacni|
рение группы G, такое, что t~1ht=h для всех h£H.
Лемма 7.7. Пусть G — конечно порожденная группа, вложим^
в конечно представленную группу.
(i) Каждая конечно порожденная подгруппа группы G удобна в fl
(И) Если Н и К — удобные подгруппы eG,mo Н П К и Gp {Н,К}
удобные подгруппы в G.
□ Утверждение (i) очевидно, так что можно перейти к доказ!
тельству п. (ii). По предположению Gh — <(j, t\ tr1 Ht — Hy мож^
быть вложена в конечно представленную группу М, a Gk = <G,
s"4<s = /<> вкладывается в конечно представленную группу А/*
Свободное произведение с объединенной подгруппой
Р = <М*У; G = G>
конечно представлено, поскольку G конечно порождена. Легк|
проверить, что подгруппа Gp{G, ts} группы Р изоморфна группу
<G, и\ и-1 (Я П К) « = Я П К>,
причем изоморфизм задается посредством отображения
u^-^-ts. Таким образом, И ПЯ — удобная подгруппа.
По лемме Бриттона в Р
Gp {Я, ^ = Gp{s-1Gs, f]G.
Поскольку группы в правой части конечно порождены, а для пер<
сечений лемма уже доказана, Gp{Н, Д’) — удобная подгруппа. С
С этого места мы будем следовать доказательству Валиева [1968
Приводимый-здесь вариант включает в себя несколько дальне
Ших упрощений, найденных Валиевым после опубликования первс
начального доказательства и любезно предоставленных нам (н|
опубликовано). Главный шаг — это
Лемма 7.8. (Основная лемма.) Пусть S — рекурсивно перечив
лимое множество целых чисел. Тогда подгруппа
Gp{aSM; z €5}
удобна в свободной группе <а0, Ьо, с0>.
□ Шаг 1. Будем существенным образом опираться на диофантов
характер множества S. Существует многочлен Р(Х„, ..., Х<)
с целыми коэффициентами, такой, что
(1) г0 С S тогда и только тогда, когда 3zlt ...zt[P(zB, ...,zt) = 0].
Даже такая характеризация слишком сложна для прямого
использования. Эту характеризацию можно переформулировать
7. Теорема Хигмана о вложении
301
так:
(2) z0 С S тогда и только тогда, когда 3z1... гт<Ж (г„,..., гт),
где <^(г0, .... гт)— конъюнкция элементарных формул вида
Х(. = с (с —целое число),
Х/ = Х/,
+ = (i, /, k — различные),
Х[ = Xi'Xj (0 < / < t < / т).
(Ограничение на индексы в формуле последнего типа есть техни-
ческая деталь, которая будет использована впоследствии.)
Для читателя, незнакомого с такого рода приемами, приве-
дем пример. Пусть Р — многочлен -Х1А~Х0, и допустим, что
z0£S тогда и только тогда, когда Р(гй, Xit Хг) имеет корень.
Вводя вспомогательные переменные, запишем
Х4 = 6, X6 = Xlt X4-XS = X3,
х7 = х2, х8 = х2, х7-х8 = х6,
Хн = -1, х12 = хв, х11-х12 = х10,
х13 = х3 + х10, х14=х13+х0, Х14 = 0.
Взяв в качестве <М{Хй, ..., Х14) конъюнкцию этих формул,
получим, что
z0£S тогда и только тогда, когда 3z4.. .z14<^(z0, ..., г14).
Шаг 2. Используя представление (2), постараемся свести
проблему доказательства леммы к доказательству удобности не-
которых частного вида подгрупп свободной группы
F = <ав, Ь9, с0...ат, Ьт, ст>.
С каждой строкой (г0, ..., гт) свяжем некоторое кодовое
слово w^za..гт) в свободной группе F. Именно, положим
wtz , \ =c~Zm b1 a~Zm.. .c Z1 Ь~Та~г‘az°bn cz“az'b< cZl.. .aZmb„fiz'n.
Пусть
4 = Gp{sy(Zo..zm);(20, .... zm)€Z“+1}.
Заметим, что множество слов .......гт) является базисом груп-
пы А, так как оно нильсеновски приведено.
Будем использовать букву Г как переменную, обозначающую
либо формулу о^, либо одну из элементарных формул, входящих
в <М. Если Г(Х0, ..., Х,л)— некоторая формула, то положим
Дг = Gp {^(г„.гт) ; г (г0.....2т) истинна}.
302
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Для формул
х =с> Х,. = Х,, Xi + X^X,, Xi-X.^Xt
будем использовать обозначения
Л?, A?, j> Al д i, A}, jt
соответственно. Тогда
4^/ = Gp{ui(Zo 2m); z,- = zy}
и т. д.
Покажем теперь, что если подгруппы Ach A^ jt Л|,у, i и A'it }i г
удобные подгруппы группы F, то и подгруппа
Gp {a20°b0cz0°; zeeS}
удобна в F, а следовательно, в <а0, Ьо, с^.
В самом деле, пусть Г,, ..., Гр — элементарные формул,
конъюкцией которых является формула о4Ь. Заметим, что
р
= П Лг9-
<7=1
Включение s очевидно, а обратное включение вытекает из тог!
что множество всех кодов .......свободно. Отметим такЖ!
что
Gp{a^oco°; 20€<S} = Gp{Xa^, au со ..., am, bm, cm}n
f)Gp{a0, b0, cB
Доказываемое заключение вытекает, следовательно, из леммы 7.’
Шаг 3. Для'доказательства того что Ар (где Г — элементарно
формула) удобна, построим конечно представленную группу Л
содержащую F, такую, что для каждой формулы Г существу]
конечно порожденная подгруппа Lp группы М., удовлетворяюще
условию
Lp f) F — Др-
В этом случае наше доказательство будет завершено применением
леммы 7.7 еще один раз.
Группа М будет построена в два этапа, каждый из которых
есть HNN-расширение с несколькими проходными буквами.
(I) Группа F* получается из F добавлением порождающих
t0, ..., tm и определяющих соотношений
t^bit; = Й/Ь/С,.,
коммутирует с остальными порождающими группы F Д
каждого i, 0 i fiC пг.
7. Теорема Хигмана о вложении
303
Понятно, что F* есть HNN-расширение группы F, так как
сопряжение каждым tt переводит свободное порождающее мно-
жество для F в некоторое свободное порождающее множество.
(II) Группа М. получается из F* добавлением порождающих
/( где индексы пробегают множество упорядоченных пар (/, /),
где 0 < I < j т. Добавим также для каждой пары (/, /) опре-
деляющие соотношения
pjt i коммутирует с каждым из остальных порождающих
группы F и с tt.
Подгруппа группы F*, ассоциированная с рд1/, есть Gp {F, tt}.
Пусть Et — свободная группа F*(tt>. Понятно, что отображе-
ние ф/, I, такое, что Cj переходит в /гс7, а все остальные порож-
дающие переходят в себя, является автоморфизмом группы Et.
Пусть фд\ — отображение, обратное к фд z. Для проверки того,
что отображение ф;, ; определяет автоморфизм группы Gp{F,
в F*, достаточно убедиться в том, что и ф/; h и ф;;\ переводят все
определяющие соотношения группы Gp{F, tt} в 1. Для опреде-
ляющего соотношения tTYCjtt = су имеем
Ф/, i Vz) ~ = cj^i — ticj ~ Ф/, i (с/)>
фд Ъ = t^Cj = фд1, (с7).
Это и доказывает утверждение.
Шаг 4. Утверждается, что для каждой элементарной формулы
Г существует конечно порожденная подгруппа Lr группы М,
такая, что ЛгП/7 = Лг. Именно:
£f = Gp{tW(o..о, с, о о), 5^=/},
L“/ = Gp{ay(0...о, ts(s^i, j), titj},
Z-Z/, z = Gp {аУ(о ts(s^i, j, I), t{ti,
Lir/rZ=Gp{ay(0...0), j, I), t;pJtl, tjplfl}.
Для доказательства утверждения заметим сначала, что простой
проверкой обнаруживается, что
(D ...гт) Л = ..z;_i, z,. + e, zf+f z„),
(2) p-j^t w^,.pl I = ...г^, где z'l = zt + ezy и z's = zs для
s#= I.
(При проверке формулы (2) нужно помнить, что 0 < I < /.)
Назначение порождающих t{ и pjtl теперь понятно. Если Г —
элементарная формула, то из определения группы LF и равенств
(1) и (2) следует, что ЕгПЕэДг- Однако обратное включение
легко получается при помощи леммы Бриттона, так как если
Некоторый элемент и из Дг содержится в F, он должен приво-
304
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
диться к некоторому слову w из F последовательными реду|
циями, связанными с проходными буквами. Это, однако, обесп^Ц
чивает вхождение w^Ap, завершая тем самым доказательство
леммы. □
Основной леммы 7.8 вполне достаточно для доказательства су.
шествования конечно представленной группы с неразрешимой npotf*
лемой равенства слов. (Заметим, что при доказательстве предыд!
щей леммы нам нужна была только лемма 7.7. Лемма 7.6 не испол|
зовалась.)
Теорема 7.2. Существует конечно представленная группа
с неразрешимой проблемой равенства слов.
□ Пусть S —рекурсивно перечислимое нерекурсивное множеств|
натуральных чисел. По лемме 7.8 подгруппа
В = Gp {asbcs;
— удобная подгруппа в свободной группе /< = <а, Ь, су. ГЙ
скольку подгруппа Gp {azbcz\ г £ Z} свободно порождена ук(
занными порождающими,
г £ S тогда и только тогда, когда azbcz £ В.
Поскольку В удобна, существует вложение ф группы /Св я|
= </С, t\ t~r, Bt = By в некоторую конечно представленнуя
группу Н. Из того, что /Св есть HNN-расширение, для прои|
вольного у£К получаем
у^В тогда и только тогда, когда t~1yt = y.
Следовательно,
zgS тогда и только тогда, когда ф(аг6сг) = ф (/-1агЬсг/).
Поэтому решение проблемы равенства слов в Н позволяет ре-
шать вопрос о принадлежности множеству S. Поскольку S не ре-
курсивно, проблема равенства слов в Н должна быть неразре-
шимой. □
Теперь нам предстоит завершить доказательство теоремы Хиг-
мана о вложении. Отметим сначала, что, поскольку стандартное
вложение Хигмана — Нейман — Неймана в 2-порожденную группу
сохраняет рекурсивность представлений, достаточно показать, что
удобными являются рекурсивно перечислимые подгруппы свобод-
ной группы L={a, b).
Нам нужно точно определить, что мы имеем в виду, когда гово-
рим, что множество W слов от порождающих а и b рекурсивно
перечислимо. Для этого эффективно сопоставим каждому слову
wgL некоторый гёделевский номер y(w). Тогда будем говорить,
что множество W рекурсивно перечислимо, если рекурсивно пере-
7. Теорема Хигмана о вложении
305
числимо множество
у (IF) = {у(цу); te/^IF}.
Придадим пустому слову гёделевский номер 0. Если w — про-
извольное непустое слово, не обязательно приведенное, от симво-
лов a, b, а~1, Ь~1, то y(w) — номер, получающийся, если рассмат-
ривать w как число в десятичной системе счисления, причем буквы
a, b, а~\ Ь~1 — это соответственно цифры 1, 2, 3, 4. Так, y(to)=21,
а у(а-162)=322.
С каждым словом w свяжем кодовое слово gw в свободной группе
F=(a, b, с, d, е, h}, такое, что
gw = whc^ dev
Пусть
G = Gp{g№; w—слово от a, b, ст1, b'1}
— подгруппа в F, порожденная всеми кодовыми словами. Заметим,
что G свободно порождена выписанными порождающими.
Рассмотрим подгруппу N^L, порожденную множеством XsL.
Поскольку группа
y = Gp{/i, a, b, c‘de‘; i£y(X)}
свободно порождена указанными порождающими, в F
W = Gp{GnK, h, с, d, e}f]Gp{a, Ь}.
Предположим, что X рекурсивно перечислимо. В этом случае
множество у(Х) рекурсивно перечислимо, так что по лемме 7.8
подгруппа Y удобна. Если мы установим, что и G удобна, останется
только применить лемму 7.7 и доказательство теоремы будет за-
кончено.
Для доказательства того, что G удобна, рассмотрим HN.N-
расширение F* группы F, полученное добавлением проходных
букв 4, ^=а±1, й±х и определяющих соотношений
tKa = atK, tKb = btK,
t?dtK = с?
С помощью этих соотношений легко проверить, что если
w = Xi... кп — слово от а, Ь, а~\ Ь"1, то
(*) ... t^hdt^ ...tKn = whey Wdey <“-> = gw.
Из определяющих соотношений следует также, что если w —
слово, оканчивающееся на букву к, скажем w=uk, то
(** ) Шк1 = hukhey 1 =
₽= ukk->hcy шЧксу A)d&y ^Ч^еУ w =
306
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Утверждается, что в F*
G — Gp{hd, ta, ta-ч tb, /b-Jf)/7.
Из соотношения (*) очевидно, что G содержится в правой части.
Для доказательства обратного включения мы будем использовать
лемму Бриттона. Пусть Т — свободно приведенное слово от hd
и tK. Если Т £F, то существует последовательность слов Т =
= Т0, Tit ..., Tm, в которой каждое слово Tl+i получается
из редукцией относительно одной проходной буквы, а Тт не
содержит проходных букв. Утверждается, что в каждом Т, из
того, что г — некоторое подслово между двумя последовательными
вхождениями проходных букв, т. е. Т{ = причем г не
содержит проходных букв, следует г£б. Так как hd£G, это
верно для Т. Из (*) вытекает, что если z£G, то t^zt^^G.
Таким образом, нам нужно беспокоиться только о редукциях
относительно проходных букв, имеющих вид hzt^1, где г С G.
Запишем
2 = ^...g®n,
п
где е,- = ±1 и нет последовательных вхождений взаимно обрат-
ных элементов gw, g^1. Заметим, что при свободном приведении
этого произведения вхождения подслов
(cv С"/) d)Ei в остаются
несокращенными. Из определения функции у следует также, что
если w = uk, то
у (аа) == у (X) (mod 10).
Далее, подгруппа Ск, связанная с tK, свободно порожден
элементами h, а, Ь, с10, е10 и cv A>dev Л>. Если г £ Ск, то г можн
записать в виде
где t/,- —слова от h, а, b и d, причем для 1 <i слова у{
непусты. Из вида порождающих для Сд, ясно, что каждое nt
конгруэнтно по модулю 10 одному из чисел
0, ±У(А).
Заметим, что если 0—буква, отличная от Л, то ±у(0) не кон-
груэнтно по модулю 10 ни одному из приведенных выше чисел.
Кроме того, в элементах из С-,. нет вхождений подслова hd.
Следовательно, г лежит в СЛ только в том случае, когда для.
каждого кодового слова gw., входящего в представление слова г
в виде произведения, wt оканчивается на букву X. Однако тогда
в силу (**) снова является произведением кодовых слов.
Это завершает доказательство теоремы. □
8. Алгебраически замкнутые группы
307
8. Алгебраически замкнутые группы
Мы завершим эту главу одной темой, благодаря которой не-
давно появилось несколько замечательных теорем. Пусть G —
некоторая группа. Символом W (xj, gh) будем обозначать некоторое
слово от переменных X; и элементов gh С G.
Конечное множество уравнений
WitXj, gft)=l (Z=l, ..., tn)
и соотношений
называется совместимым с G, если существует группа Я и вло-
жение tp: G —> Н, такое, что система
Ф(&)) = 1 (i=l, т),
Vt(Xj, (p(gk))¥=l (/ = 1, п)
имеет решение в Н.
Группа А называется алгебраически замкнутой, если каждое
конечное множество уравнений и указанного типа соотношений,
совместимое с А, имеет решение уже в А. Понятие алгебраически
замкнутой группы введено У. Скоттом [1951], которым была до-
казана
Теорема 8.1. Каждая счетная группа С может быть вложена
в алгебраически замкнутую группу А.
□ Первый шаг состоит во вложении группы С в группу С*, в ко-
торой каждое совместимое конечное множество уравнений и соот-
ношений указанного вида с коэффициентами из С имеет решение.
Число конечных систем уравнений и соотношений указанного
вида с коэффициентами из С счетно. Фиксируем некоторую нуме-
рацию Si, S2, ... этих систем. Пусть С0=С. Допустим, что С{^
уже определена и содержит С. Тогда С, определяется следующим
образом. Если S, не совместима с С^, то полагаем Ci=Ci_1.
Если S, имеет решение в некотором расширении И группы Cf_lt
определим Сг как подгруппу группы Н, порожденную вложенной
группой фг(С,-_1) и элементами hi, ..., ht группы Н, подстановка
которых вместо переменных решает систему S,. Отождествим
Cz_i с ее образом в Сг. Заметим, что С; счетна.
Пусть
00
с* = U ci-
i=l
Определим теперь новую возрастающую цепь групп следующим
образом. Пусть Ав—С*. Допустим по индукции, что А, уже опре-
308
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
-----------------------------------------------------------
делены. Как и в предыдущем абзаце, построим счетную группу
Л/+1, содержащую At и такую, что любая конечная система урав-
нений и соотношений указанного в определении совместимости
вида с коэффициентами из Лг, которая совместима с Ai+i, имеет
решение в AJ+i. Тогда группа
СО
л=и
1=1
алгебраически замкнута. Легко понять, что слово «счетная» в фор*
мулировке теоремы может быть заменено на «имеющая мощность
не более Я-р> без изменения существа доказательства. □
Вскоре после появления статьи Скотта Б. Нейман [1952] пока-
зал, что алгебраически замкнутые группы просты. Позже он за-
метил, что алгебраически замкнутая группа не может быть конечно
порожденной [1973].
Теорема 8.2. Каждая алгебраически замкнутая группа проста.
Алгебраически замкнутая группа не может быть конечно порож-
денной.
□ Пусть А — алгебраически замкнутая группа. Допустим, что
и а#=1 —произвольная пара нетривиальных элементов из А.
В свободном произведении Л*(х) элементы wxw~1x~l и axw~1x~i
имеют бесконечные порядки. Это позволяет рассмотреть HNN-
расширение
<Л»<х>, t; twxw~lx~1t~1 = axw~rx-i'>.
Рассмотрим t и х как переменные. Поскольку уравнение
twxw~1x~1t~1 = axw^x-*
имеет решение в некотором расширении группы Л и Л алгебраи-
чески замкнута, существует решение и в Л. Разрешая оба урав-
нения относительно а, мы видим, что а лежит в нормальном замы-
кании элемента w. В силу того что элементы а и w произвольные
нетривиальные, получаем, что А проста.
Пусть 1=#а£Л. Поскольку соотношение ах^ха имеет решение
в некотором расширении группы Л (скажем, в Л*(х)), центр груп-
пы А тривиален. С другой стороны, покажем, что каждая конечно
порожденная подгруппа группы Л имеет нетривиальный центра-
лизатор. Пусть {аъ ..., ап} — конечное подмножество из Л. Мно-
жество уравнений и соотношений
ЪУ^уа,, ..., апу = уап, у^\
ймеет решение в Лх<у). Так как Л алгебраически замкнута,
имеется решение и в Л.
8. Алгебраически замкнутые группы
309
Таким образом, централизатор подгруппы Н, порожденной
множеством {ai, ..ап}, нетривиален. Значит, Н=АА. □
Из определения алгебраически замкнутой группы непосредст-
венно вытекает, что каждая конечная группа вкладывается в каж-
дую алгебраически замкнутую группу. В самом деле, если G —
конечная группа с различными элементами g^= 1, gi, ..., gn а таб-
лицей умножения gigj=gk, то конечная система
х^-А— 1» == •••> »
xix] = xk, 1 < i, j ^п
имеет решение в AxG и, следовательно, в А.
Далее, заметим, что каждая конечно представленная группа
G = <Xf, .... х„; г,= 1, .... rm=l>
аппроксимационно вложима в каждую алгебраически замкнутую
группу. Под этим мы понимаем, что если l#=te>£G, то существует
гомоморфизм <р: G-э-Л, такой, что <р(и>)#=1. Для доказательства
этого нужно просто заметить, что система
г,- (*у) = 1 > i=l» • • •. т>
w (Ху) =£ 1
имеет решение в AxG и, значит, некоторое решение
rz (fly) = 1, i = 1, ..., т
W (fly) =£ 1
в А. Отображение <p: G->4, такое, что Xj>—>aj, является гомоморфиз-
мом, поскольку каждое определяющее соотношение переходит
в единицу. Понятно, что ф(и>)тМ.
Перед доказательством следующей теоремы нам нужно ввести
еще одно определение. Будем говорить, что группа G бесконечно
рекурсивно представлена, если она обладает представлением вида
G= <хг, i С N; Г1, г2, ...},
где множество всех г, рекурсивно перечислимо.
Читатель заметил, что нами не приведено еще ни одного явного
примера алгебраически замкнутой группы, а доказательство су-
ществования в высшей степени неконструктивно. Сейчас мы уви-
дим, что ввиду теоремы Миллера III, которую мы собираемся до-
казать, такая неконструктивность неизбежна.
Теорема 8.3. Никакая алгебраически замкнутая группа не может
быть бесконечно рекурсивно представлена.
□ Предположим, что некоторая алгебраически замкнутая группа А
имеет бесконечное рекурсивное представление
4 = <хо i6N; rn ra,
310 Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
------------------------------------------------------------d
Поскольку А проста, данное ее представление имеет разрешим
проблему равенства слов по теореме Кузнецова (теорема 3.
Пусть
G = <Zi, zn, sx, .sm>
— конечно представленная группа с неразрешимой проблемой р
венства слов. Методом, вполне аналогичным тому, который испол
зуется для доказательства того, что в финитно аппроксимируем!
конечно представленных группах проблема равенства слов разр
шима, покажем, что решение проблемы равенства слов для данно1
представления группы А может быть использовано для решен*
проблемы равенства слов в G. Поскольку в G проблема равенст*
слов неразрешима, полученное противоречие заставит нас сделач
вывод, что для А не существует бесконечно рекурсивного пре^
ставления.
Поскольку G конечно представлена, множество слов, равных
в G, рекурсивно перечислимо. Для решения проблемы равенств!
слов в G достаточно поэтому показать, что и множество слов, в
равных 1, рекурсивно перечислимо. Перенумеруем все n-ки (wu
.. ., wn) слов от порождающих символов хг группы А. Функция ггн->а
определяет гомоморфизм из G в А тогда и только тогда, когда кая
дое определяющее соотношение Sj группы G переходит в 1, т. 1
s,(u>i) = l в А. Используя решение проблемы равенства слов в Л
мы можем эффективно проверить это условие. Это позволяет эа
фективно перенумеровать все гомоморфизмы <pi, <р2, • из G в А
Пусть Vj, v2, ...— перечисление всех слов из G. Диагональньи
процессом мы можем эффективно перенумеровать все образы <р;- (ид
Используя решение проблемы равенства в Л, мы можем пром
рить, верно ip, (ц;-)=/=1 в А или нет. Если да, то v,#=l в G, и мы м<|
жем поместить в список слов, не равных 1 в G. Однако мы отмв
чали, что G аппроксимационно вложима в А. Это означает, чТ1
каждое слово Vj=£l в G попало в составленный нами список. Итам
нами показано, что проблема равенства слов в G разрешима, есл|
проблема равенства слов в А разрешима для любого представлю
ния. Как отмечено выше, отсюда следует, что А не может имет|
бесконечного рекурсивного представления. □ ]
Теория алгебраически замкнутых групп находилась в спячк^
до того момента, когда Б. Нейман [1973] доказал следующую заме'
нательную теорему.
Теорема 8.4. Каждая конечно порожденная группа с разрешимся
проблемой равенства слов может быть вложена в каждую алгебра^
чески замкнутую группу.
□ По теореме Буна и Хигмана (теорема 7.4) G вложима в простуд
подгруппу S некоторой конечно представленной группы
Н • • • > 2n, fj, • • •,
8. Алгебраически замкнутые группы
311
Выберем элемент 1у=ш£5. Система уравнений и соотношений
г{(г}}= 1, 1 = 1, ...» т,
W{Zj)=£l
имеет решение в АхН и, следовательно, в А, так как А алгебраи-
чески замкнута. Пусть alt . ап — элементы из А, удовлетворяю-
щие выписанным уравнениям. Отображение ггн->а; определяет
гомоморфизм <р: Н-+А, поскольку каждое определяющее соотно-
шение гг группы Н переходит в 1. Поскольку 5 проста, то из <р(и) = 1
для произвольного ly=u£S следует <р(ш) = 1. Однако <р(ш)у=1.
Значит, ограничение отображения <р на S является вложением.
В частности, <р вкладывает G в Л. (Нейман доказал свою теорему
до теоремы Буна и Хигмана, которая привлечена нами для выяв-
ления связи между вложениями в алгебраически замкнутые группы
и существованием достаточно большого числа простых подгрупп
в конечно представленных группах.) □
В 1972 г. Макинтайр доказал другую замечательную теорему,
а именно обращение теоремы Неймана. Точнее говоря, если ко-
нечно порожденная группа G вложима во все алгебраически замк-
нутые группы, то в ней разрешима проблема равенства слов. Объ-
единяя эти две теоремы, мы получаем следующую алгебраическую
характеризацию свойства иметь разрешимую проблему равенства:
в конечно порожденной группе G проблема равенства слов разре-
шима в том и только в том случае, когда G вложима в каждую ал-
гебраически замкнутую группу. Замечательная черта этой характе-
ризации состоит в том, что она характеризует понятие из области
эффективности — обладать разрешимой проблемой равенства слов—
в терминах совершенно дикого класса, ни одна из групп которого
не обладает эффективным представлением!
Перейдем к доказательству теоремы Макинтайра.
Теорема 8.5. Если конечно порожденная группа G вложима во
все алгебраически замкнутые группы, то в ней разрешима проблема
равенства слов.
□ По данной конечно порожденной группе
H = <hi, ..., hn\ rf, rt, ...>
с неразрешимой проблемой равенства слов мы должны построить
алгебраически замкнутую группу А, в которую /У нельзя вложить.
Пусть xIt х2, ...— перечисление счетного множества порож-
дающих символов. (Они окажутся порождающими группы Д.)
Пусть Ух, о2, ...— счетное множество переменных. Пусть также
So, Si, ...— перечисление всех конечных множеств уравнений и
соотношений типа «не равно», включающих в себя элементы х и v.
Рассмотрим, наконец, перечисление Тх, т2, ... всех п-ок слов над X;
и множество ги .zn из п переменных, отличных от хг и Vi,
312
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
Конечное множество уравнений и соотношений
W {[Xj, Vj)<= 1, i=l......т,
1=1, ..., n,
совместно, если существует группа G и элементы ар bk из G, таю
что
Wi(aj, by) = l, i=l......т,
YAar 1, / = 1, .... п,
в G.
Группа А будет построена в несколько этапов. Общая стра1^
гия, используемая для этого построения, весьма проста. На эт|
пах с нечетными номерами, 2i'+l, если система S; уравнений
соотношений типа «не равно» совместима с тем, что мы уже пое!ч
роили, постараемся обеспечить ей решение. На этапе с четными
номерами, 21, постараемся обеспечить, чтобы подгруппа, порож-
денная элементами i-й и-ки т;, была неизоморфна группе Н.
На каждом шаге k мы будем иметь конечное множество Xk
уже использованных порождающих символов и конечное множество
уже обработанных систем уравнений и соотношений. Пусть
Xo=0=So. Допустим, что и уже определены. Пост-
роим ХА и следующим образом.
Предположим сначала, что k нечетно, k=2iA~l. Тогда X* со-
стоит из XA_j и всех порождающих символов Xj, встречающихся
в записи системы S,.
Рассмотрим систему St, скажем
Wh{Xj, уу)= 1, /г=1, ..., т,
Ut(Xj, 1=1, ..., d.
Предположим, что система 2^ и Sz совместна.
Допустим, что переменные, встречающиеся в S, — это V/t, ...,
Выберем порождающие символы хк„ ..., хкд, не встречающиеся
в Хк. (Это, конечно, возможно, так как множество Х\ конечно.;
Пусть Хк—это X'k и Xk„ ..., Xk9. Пусть также —это
№„(хр Xkf)=l, /i=l, ..., т,
Ut (xjt Xk.) ф 1, 1 = 1, ..., d.
Понятно, что система совместна.
Если несовместна, то положим Xk = X'k и SA, = Sft_1.
Допустим теперь, что k = 2i. Используем остроумное рассуж-
дение Макинтайра. Пусть rz = </1г ..., /„> есть /-я n-ка из
списка всех слов от порождающих символов Xj. Предположим,
что Хк состоит из Xk-! и всех порождающих, встречающихся
р компонентах n-ки т^.
8. Алгебраически замкнутые группы
313
Определим теперь четыре множества слов от переменных
г,, •••. гп- Пусть
Д+ = {ш (Zf....z„); w (hlf ..., hn) = 1 в Н}
и
A- = {u(Zi, 2n); «(/if, Л„)^=1вЯ}.
Заметим, что, поскольку проблема равенства в Н неразрешима,
хотя бы одно из множеств Д + и А- не является рекурсивно пере-
числимым.
Пусть Ak—группа с порождающим множеством Xk, опреде-
ляющие соотношения которой суть равенства да=1 в2Ь1. Пусть
D+ = {w(zit ..., г„); иД/j, ..., /„)=1 в Ak}.
Поскольку Ak конечно определена, D+ рекурсивно перечислимо.
Для каждого слова u(zlt ..., z„) определим Ak<a как группу,
получающуюся из Ak добавлением определяющего соотношения
u(ti, .... tn)- Поскольку каждая Ая конечно представлена, мно-
жество слов от порождающих Xk, равных 1 в Ак< а, рекурсивно
перечислимо. Используя диагональную нумерацию, видим, что
множество
/)- = (н(г1( ..., zn); в 2A_f имеется соотношение
w =/= 1, такое, что ®=1 в Ak, Д
рекурсивно перечислимо. (Кратко: слово и лежит в D~, еслй
добавление соотношения «(<!, .... tn) противоречит некоторому
соотношению вида to=/=l в 2ft_f.)
Поскольку D+ и D~ оба рекурсивно перечислимы, а одно из
Д+, Д~ не является таковым, то либо /?+=й=Д+, либо D~^A~.
Рассмотрим четыре возможности. Допустим, что Д+— D+^=0.
Выберем у$Д+— D+. Тогда v(tit .... /„)У=1 в Ak. Образуем 2ft
добавлением соотношения v(tit ..., /„)=/= 1 к 2ft_i. (Понятно,
что 2А совместна.)
Если D+— Д+=7^0, то выберем v£D+ — Д+. Тогда v(tit ...
... ,tn) =* 1 в Ак. Образуем 2\ добавлением уравнения v(/lt ...,/„)= 1
к 2A_j. Если 0+=Д+ и А~ —О~#=0, выберем и£Д~— D~.
Образуем 2k добавлением уравнения v(tit ... /п) = 1 к2Ь1. По-
скольку v^D~, все соотношения типа «не равно» из 2ft-1 вы-
полняются в Ак'Г1 и 2Л совместна. Если D + =Д+ и D~—то
выберем v£D~—А". Поскольку v£D~, v (tit .... ^п)¥=1 в Ак.
Образуем 2Й добавлением соотношения v tn)^=I к 2А_1#
Пусть В— произвольная группа с множеством порождающих
X^X.k, в которой выполнены все уравнения и соотношения из 2fe.
Возможное соответствие hj i-* не может определять изоморфизм
314
Гл. IV. Свободные произведения и HNN-расширения
из Н в В, поскольку оно некорректно на элементе v(hi, ..., hri)t
где выбор v предложен выше.
Используя индукцию, можно считать, что множества 2fe опре-
делены для всех kC^O. Положим
СО
2=(_К
k-l
Пусть А — группа с порождающим множеством X={xt, х2, ...}
и множеством определяющих соотношений, состоящим из всех
уравнений о>=1 из 2. Утверждается, что все уравнения и соотно-
шения одновременно удовлетворяются в А. Это ясно для уравнений,
поскольку они являются определяющими соотношениями. Предполо-
жим теперь, что соотношение «=/=1 находится в 2, а из определяю-
щих соотношений для А вытекает соотношение и=1. Тогда н=1
выводится из конечного числа соотношений, скажем Wi= 1, ...
.. ., wm=l. Выберем индекс k столь большим, чтобы все уравнения
щу=1, /=1, ..т, и соотношение лежали в 2ft. Получим
противоречие с тем, что 2Й совместно.
Поскольку все соотношения из 2 выполняются в А, группа А
по построению алгебраически замкнута и никакая ее подгруппа
не изоморфна группе Н. Тем самым доказательство закончено. □
Первоначальное доказательство Макинтайра использует неко-
торые понятия математической логики и работает в весьма общей
постановке. Действительно, читатель, вероятно, заметил, что мно-
гие из приведенных рассуждений по характеру своему относятся
к области универсальной алгебры и практически не используют то,
что мы работаем с группами. Обратим внимание, в частности, на
случай полугрупп с единицей. В этом случае конечная система
уравнений и соотношений приобретает вид
= У/), i=l......и,
(8/. «//)#= Zk(sjt у/), k=\,...,m,
так как перенос из одной части в другую невозможен. Поскольку
мы работаем в многообразии полугрупп с 1, можно предполагать,
что все гомоморфизмы переводят 1 в 1. Этот раздел был написан
таким образом, что не только формулировки всех теорем, но, за
одним исключением, и все доказательства остаются справедливыми,
если заменить слово «группа» на слова «полугруппа с 1». Исключе-
нием является доказательство теоремы о том, что алгебраически
замкнутая полугруппа с 1 является простой. Это было установлено
Б. Нейманом [1973], но приводимое нами ниже доказательство взято
из работы Буна и Хигмана [1974].
□ Пусть А —алгебраически замкнутая полугруппа с 1. Пусть и
и и — произвольная пара неравных элементов и w — произвольный
Глава V
ТЕОРИЯ МАЛЫХ СОКРАЩЕНИЙ
1. Диаграммы
В 1911 году Дэн поставил проблемы равенства слов и сопряжен
ности для произвольных групп и одновременно предъявил алго-
ритмы, решающие эти проблемы для фундаментальных групп замк-
нутых ориентируемых двумерных многообразий. Решающим свойст-
вом этих групп является то, что (за тривиальными исключениями)
они определены одним определяющим соотношением г с тем свойси
вом, что если s — циклическая перестановка элемента г или г-»
такая, что s=£r~l, то сокращение в произведении rs является весьм!
незначительным. Алгоритмы Дэна были распространены на ои
ширные классы групп, обладающих представлениями, в которы!
определяющие соотношения удовлетворяют аналогичному треба,
ванию малого сокращения. Вначале исследования сосредоточив^
лись вокруг решения проблемы равенства слов для групп G, пред!
ставленных в виде факторгрупп с малым сокращением некоторый
свободных групп F. Затем теория была расширена на случай^
когда F — свободное произведение, свободное произведение с объ(
единенной подгруппой или HNN-расширение. Более того, полученй
сильные результаты алгебраического характера, например, удалое!
классифицировать периодические элементы и взаимно коммутирую*
щие элементы в факторгруппах с малым сокращением.
Дэн использовал геометрические методы, основанные на приме-
нении регулярных мозаик на гиперболической плоскости. Рас-
пространение его результатов на более широкие классы групп шло
вначале по линии применения рассуждений из комбинаторной
теории групп, связанных с учетом сокращений, без привлечения
геометрии. Геометрический характер рассуждений Дэна был вос-
становлен позже, на этот раз в рамках элементарной комбинатор-
ной геометрии. В настоящее время теория малых сокращений пред-
стает как унифицированная и мощная теория. Цель настоящей
главы — развитие центральных идей этой теории и демонстрация
некоторых важных и типичных результатов.
Изложим основную идею нашего геометрического подхода.
Допустим, что группа G имеет представление G=(X; R). Пусть
F — свободная группа с базисом X и N — нормальное замыкание
множества R в F. Тогда, конечно, G—F/N. Элемент w из F представ-
ляет единицу в факторгруппе G тогда и только тогда, когда w £
1. Диаграммы
317
Далее, w£N тогда и только тогда, когда в свободной группе F
он является произведением элементов, сопряженных с элементами
множества R±r, скажем w=ci ... сп, где с^и^иу1, г, или гр1 ле-
жат в R. С каждым таким произведением мы свяжем некоторую
диаграмму на евклидовой плоскости, содержащую всю сущест-
венную информацию о произведении сг ... сп. Мы увидим далее,
что диаграммы являются удовлетворительным инструментом при
изучении принадлежности элементов нормальной подгруппе N
группы F, а значит, и при изучении равенства в факторгруппе G.
Диаграммы были введены ван Кампеном [1933], не нашедшим им,
впрочем, большого приложения. Насколько нам известно, идея
ван Кампена оставалась в забвении в течение тридцати лет. Лин-
дон [1966] независимо пришел к идее диаграмм сокращения и ис-
пользовал их для того, чтобы начать изучение теории малых сокра-
щений с геометрической точки зрения. В то же время Вайнбаум
[1966] обнаружил статью ван Кампена и также использовал диаг-
раммы для доказательства некоторых результатов в теории малых
сокращений.
Пусть Е2 — евклидова плоскость. Если SsE2, то через dS
обозначена граница множества S, через S — его топологическое
замыкание, а через —S — множество Е2—S. Вершина — это неко-
торая точка из Е2. Ребро — ограниченное подмножество из Е2,
гомеоморфное открытому единичному интервалу. Область — огра-
ниченное множество, гомеоморфное открытому единичному кругу.
Карта М — конечный набор попарно непересекающихся вершин,
ребер и областей, удовлетворяющих следующим условиям:
(1) если е — ребро из М, то имеются вершины а и b (не обяза-
тельно различные), такие, что e=e(j {a}{J {Ь}.
(ii) Граница dD каждой области D из М связна, причем для
некоторых ребер et, ..., еп из М имеем dD=6i и .. L)en.
Буква М будет использоваться также для обозначения теоре-
тико-множественного объединения своих вершин, ребер и областей.
Граница для М будет обозначаться символом дМ.. Если e=e(J {«} U
U {Ь}, то говорят, что а и b — концы ребра е. Замкнутое ребро —
это ребро е вместе с его концами.
Мы будем рассматривать карты вместе с ориентацией. Ребро
можно направить в любую сторону. Если е — ориентированное
ребро, идущее от концевой точки vt к концевой точке v2, то vt —
начальная вершина этого ребра, а о2 — конечная вершина. Противо-
положным образом ориентированное ребро, обратное к ребру е,
обозначается через е-1 и идет от у2 к у2.
Путь — это последовательность ориентированных замкнутых
ребер ..., еп, такая, что начальная вершина ребра ei+i — это
конечная вершина ребра et, l^t^n—1. Можно рассматривать
пустой путь. Концы пути — это начальная вершина ребра и
318 Гл. V. Теория малых сокращений
конечная вершина ребра еп. Замкнутый путь, или цикл,— это
такой путь, в котором начальная вершина ребра ех является ко-
нечной вершиной ребра еп. Путь называется приведенным, если он
не содержит последовательной пары ребер вида ее-1. Приведенный
путь в1 ... еп называется простым, если при i^=j начальные точки
ребер et и различны.
Поскольку М планарен, области из М и компоненты из — М
можно ориентировать таким образом, что при прохождении границ
областей из М и компонент из —М каждое ребро из М будет прой-
дено дважды — по одному разу в каждом из возможных направ-
лений. Если D — область из М с данной ориентацией, то любой
цикл минимальной длины, включающий в себя все ребра из dD,
в котором все ребра ориентированы в соответствии с ориентацией
области D, называется граничным циклом этой области. Если М
связна и односвязна, то граничный цикл для М — это цикл а мини-
мальной длины, содержащий все ребра из границы для М и не
имеющий самопересечений в том смысле, что если ег и е,.+1 — последо-
вательные ребра цикла а, такие, что et оканчивается вершиной ей
то ер1 и ei+i — соседние ребра в циклически упорядоченном мш>
жестве всех ребер карты М, начинающихся вершиной о.
Диаграммой над группой F называется ориентированная кар-
та М вместе с функцией <р, сопоставляющей каждому ориентирован-
ному ребру е карты М метку <р(е) из F таким образом, что если
е — ориентированное ребро из М, а е-1 — противоположным об-
разом ориентированное ребро, то ф(б_1)=ф(е)_1.
Если а — путь в М, a=et ... ей, то положим ф(а)=ф(в1).. .
• • ф(еь). Если D — область из М, то ее меткой называется эле-
мент <р (а), где а — граничный цикл области D.
Пусть F — свободная группа с данным базисом. С каждой ко-
нечной последовательностью (ci, ..сп) нетривиальных элементов
свободной группы F можно связать диаграмму М (съ ..., сп), яв-
ляющуюся ориентированной картой с функцией метки ф со зна-
чениями в F, удовлетворяющей следующим условиям:
(i) Если е — ребро из М, то <р(е)=й=1.
(ii) М связна и односвязна с выделенной вершиной О на дМ*
Существует граничный цикл et ... et карты М, начинающийся
в О и такой, что произведение ф ... ф (е() приведено и ф (е^ ...
... ф(е()=С1 ... сп.
(iii) Если D — произвольная область из М. и et ... е}- — произ-
вольный граничный цикл этой области, то ф (е^ ... ф (е_, ) — цикли-
чески приведенная перестановка некоторого с,.
Теорема 1.1. Если F—свободная группа, то для произвольной
последовательности Ct, ..., сп, п^О, нетривиальных элементов
из F существует диаграмма М (си .,сп), удовлетворяющая усло-
виям (i) — (iii).
1. Диаграммы
319
□ Каждый элемент с свободной группы может единственным об-
разом быть записан в виде uru-1, где ига-1 приведено, а г цикли-
чески приведено. Запишем таким образом каждый
Доказательство проводится индукцией по п. Если п—0, то берем
в качестве М одну вершину О.
Если п=1, с1=игм-х, то возьмем вершину Ui и петлю е в точке Vf
с меткой г. Если й=1, то положим O=Vi и М построена. Если
то добавим вершину О вне петли е и дугу из О в с меткой и.
Рис. 1.1. Первый этап построения в случае п>1.
Для поступим следующим образом. В качестве диаграммы
М' возьмем диаграммы Mlt ..., Мп, построенные для каждого
сомножителя съ ..., сп, расположив их по порядку вокруг общей
базисной точки О.
Если произведение (ц^цр1) ... (и^пИЙ1) приведено, то М'
удовлетворяет условиям (i) — (iii) и является искомой диаграммой.
Предположим, что М' не удовлетворяет условию (ii), т. е. произве-
дение не является приведенным. Если ребро е имеет метку s=Xi ...
... Xj (каждое xt — порождающий или обратный к нему), то е
можно разделить на части вь ..., ejt сопоставив каждому et мет-
ку xt. Это позволяет считать, что каждое ребро обладает меткой,
являющейся порождающим или обратным к нему.
Идея состоит в отождествлении последовательных ребер, метки
которых взаимно обратны. Пусть а — граничный цикл диаграммы
М', начинающийся в О. Тогда tp(a)=Ci ... сп. По предположению
а содержит два последовательных ребра ей/, таких, что элементы
ф(е) и ф(/) взаимно обратны. Пусть ui и у2, v2 и v3 — соответст-
венно начала и концы ребер е, /. Предположим, что vx не совпадает
ни с у2, ни с v3. Перегибом вокруг у2 приклеим е к / (не важно,
совпадают v2 и vs или нет). Никаких других изменений в М' не
вносим (рис. 1.2).
В полученной диаграмме М" граница дМ" содержит меньше ре-
бер, чем а. Если v3 отлично от и и2, можно действовать дальше
точно так же.
Допустим теперь, что Vi=v3. В этом случае замкнутые ребра е
и / образуют петлю б с вершиной vx. Образуем М" вычеркиванием
320
Гл. V. Теория малых сокращений
дуги б—Vi и той части диаграммы М', которая лежит внутри б.
Снова число ребер в дМ" меньше числа ребер в а. В обоих случаях
М" удовлетворяет условиям (i) и (Ш). Повторением этого процесса
в конце концов приходим к диаграмме М со свойствами (i) — (пД
Таким образом, М — искомая диаграмма. □
Иллюстрируем построение из теоремы 1.1 для последователь-
ности ca'lbc~l, сЬ~хс~хас~^, са~*с\
Даже этот простой пример показывает, что сокращение —
двумерный процесс. Область, соответствующая элементу Ь~хс~уа,
не имеет ребер на границе полученной в конце концов диаграммы.
В следующей лемме дается обращение теоремы 1.1.
Лемма 1.2. (Лемма о нормальной подгруппе.) Пусть М — связ-
ная односвязная диаграмма с областями Du ..., Dm. Допустим,
что а — граничный цикл для М, начинающийся в вершине v0£dM,
и пусть &у=ф(а). Тогда существуют метки rt областей Dt и эле-
менты ut из F, l^i^m, такие, что
. Диагаи^).
1. Диаграммы
321
(Кроме того, элементы щ удовлетворяют ограничениям на длину,
сформулированным в замечании, следующим за доказательством
настоящей леммы.)
□ Индукция по т. Если т=0, то доказывать нечего, однако за-
метим, что в этом случае М — дерево, и поэтому <р(а) = 1. Предпо-
Рис. 1.4.
ложим теперь, что теорема верна для карт с k областями, и допус-
тим, что М — карта с £+1 областями.
На карте М обязательно должна быть область D, такая, что
dD Г) дМ содержит ребро. Построим новую карту М', выбрасывая
из М ребро е из Карта М' по-прежнему связна и одно-
связна. (См. рис. 1.4.)
Запишем а = реу. Существует граничный цикл ет) области D,
начинающийся ребром е. Пусть <р (Р)=Ь, ф (e)=z, <р (у)=с и <р (r])=d.
Тогда ш = ф(а)=Кгс. Граничный цикл р карты М', начинаю-
щийся в у0, равен Рт]—1т, откуда ф(р)==М-1с.
По предположению индукции области карты М' (т. е. области
карты М, отличные от D) можно занумеровать так, что bd~1c =
(щгущ-1) ... (и^Г/Щь1), где г{ — метка области Dt,
Теперь w = bzc — (bd~1c) (c~1dzc) и dz~ метка для D. Взяв D в ка-
честве Dk+l, dz в качестве rft+1 и с-1 в качестве uk+1, получаем
утверждение леммы. □
Замечание. Пусть Км ~ 51ф (ei) I» где суммирование произво-
i=i
Дится по всем ориентированным ребрам карты М. Заметим, что
мы сопрягаем лишь элементами, являющимися метками частей
'карты М'. Кроме того, Км'<Км- Следовательно, |н,.|^тКм,
i = 1, ..., т.
Подмножество R свободной группы F называется симметри-
рованным, если все элементы из R циклически приведены и из
r Е R следует, что все циклические перестановки элементов r±l
также лежат в R.
11 № 653
322
Гл. V. Теория малых сокращений
Определение. Пусть R — симметризованное подмножество эде.
ментов группы F. Назовем диаграмму М R-диаграммой, если ддя
любого граничного цикла б любой области D из /И имеем <р(6) £
Пусть R — симметризованное подмножество свободной группы р
и N — нормальное замыкание в F множества R. В качестве след,
ствия теоремы 1.1 и леммы 1.2 мы получаем такой факт. Если w
произвольный элемент из F, то w£N тогда и только тогда, когда
существует связная односвязная R-диаграмма М, такая, что метка
на границе карты М равна w. Таким образом, связные односвязные
диаграммы — удовлетворительный инструмент при изучении при-
надлежности нормальным подгруппам.
2. Предположения о малом сокращении
Перейдем теперь к формулировке предположений о малом сок-
ращении. Для закрепления обозначений и терминологии рассмот-
рим свободную группу F с базисом X. Буквой назовем элемент мно-
жества Y порождающих и обратных к ним. Слово w — это конечная
строка букв w—yi ... ут. Мы не будем проводить различия между
w и представляемым им элементом группы F. Единицу группы F
обозначим через 1. Каждый элемент из F, отличный от 1, единст-
венным образом представим в виде приведенного слова w=yt ... ут,
в котором никакие две последовательные буквы У]У]+1 не образуют
пары вида Xtxp1 или xp'xi. Целое число п называется длиной эле-
мента w и обозначается через |о>|. Приведенное слово называется
циклически приведенным, если уп не является обратным к z/j. Если
в произведении z=yt ... уп не происходит сокращений, будем
писать ... уп.
Подмножество R из F называется симметризованным, если все
элементы из R циклически приведены и для каждого г из R все
циклические перестановки элементов г и г-1 также лежат в R.
Предположим, что ц и г2 — различные элементы из R, такие,
что Г1=бС1 и r2~bc2. В этом случае элемент b называется куском
относительно множества R. (Поскольку в каждый момент вре-
мени мы будем работать только с одним симметризованным множест-
вом, слова «относительно /?» будут опускаться, и мы будем просто
говорить, что b — кусок.) Поскольку b сокращается в произведении
rixr2 и R симметризовано, кусок — это просто подслово некоторого
элемента из R, которое сокращается в произведении двух не взаимно
обратных элементов из R.
Предположения о малом сокращении состоят в том, что куски —
относительно малые части элементов из R. Обычное условие имеет
метрический вид С' (X), где X — положительное действительное
число.
Условие С'(1). Если r£R, r^abc, где b — кусок, то 1&КА,|/'Ь
2. Предположения о малом сокращении
323
Тесно связанным с приведенным является неметрическое усло-
вие С{р), где р — некоторое натуральное число.
Условие С(р). Никакой элемент из R не является произведением
Менее чем р кусков.
Заметим, что из С'(X) следует С(р) для К<Л/(р—1). В качестве
примера рассмотрим фундаментальную группу замкнутого ориенти-
руемого 2-многообразия рода g, имеющую представление
6 = <«!, ЬХ) ... ag, bg, a^br1^ ... a^b^Ugh^.
В этом случае R состоит из циклических перестановок элементов
г и г-1, где г —это а^Ь^афу ... a^b^Ugbg. Понятно, что нетри-
виальные куски — это просто буквы и R удовлетворяет условиям
С DWg— 1)) и С (4g). Группы, имеющие представление G=<X; /?>,
для которого R удовлетворяет условию С' (1/6), иногда назы-
ваются 1/6-группами. Аналогично определяются 1/8-группы и т. д.
Иногда бывает нужным условие Т (р), где (/ — натуральное
число. Кратко поясним интуитивный смысл этой гипотезы.
Условие T(q). Пусть 3^h<Zq. Предположим, что п, ..., rh —
элементы из R, такие, что последовательные элементы rt, ri+i
не являются взаимно обратными. Тогда по крайней мере одно из
произведений rtr2, ..., rh_1rh, rht\ приведено.
Только что введенные условия могут быть распространены на
случай свободного произведения или свободного произведения
с объединенной подгруппой, если использовать подходящим обра-
зом определенные нормальные формы и связанные с ними функции
длины. Точные определения условий сокращения в более общих
ситуациях будут даны позже.
Мы будем последовательно употреблять введенные выше обоз-
начения. Буква F будет обозначать свободную группу на порождаю-
щем множестве X, a R будет обозначать симметризованное под-
множество в F, нормальным замыканием которого в F является
подгруппа N. G будет обозначать факторгруппу F/N.
Перейдем к изучению геометрических следствий предположе-
ний о малом сокращении.
Пусть R — симметризованное подмножество свободной груп-
пы F. Последовательность а, ..., сп элементов, сопряженных с эле-
ментами множества R, называется минимальной R-последователь-
ностью, если произведение ... сп не может быть записано
Как произведение менее чем п сопряженных с элементами из R.
Пусть М — произвольная диаграмма над F. Допустим, что Di
*D2 — (не обязательно различные) области из М с ребром esdDi П
ПаЙа. Пусть eSi и 62е-1—граничные циклы областей и £>а
соответственно. Положим <p(6j)=/i и <р(62)=/а. Диаграмма М назы-
вается приведенной, если всегда
11*
324
Г л. V. Теория малых сокращений
Лемма 2.1. Диаграмма М минимальной R-последовательносщц
приведена.
□ Пусть w=Ct ... сп, где с1у сп — минимальная /?-последо-
вательность и М — диаграмма для с1у ..., сп. Предположим, что
М не приведена. Используя обозначения из данного выше опреде-
ления, допустим сначала, что имеются различные области Dt и £)2
из-за которых диаграмма /И оказывается неприведенной. Вычерк’
нув е, объединим Dt и Э2 в одну область D с граничной меткой 1.
Обозначим полученную диаграмму через М'. Поскольку £>, и Ds
были различными, М' продолжает оставаться связной и односвяз-
ной. Однако М' имеет ту же граничную метку ш, что и М, но на
одну область меньше. По лемме о нормальной подгруппе (лемма 1.2)
w является произведением сопряженных меток областей из М'.
Все области из М', за исключением/), помечены элементами из R.
Метка на D равна 1 и может быть вычеркнута из произведения.
Следовательно, w равно произведению qx ... qn_2 сопряженных
с элементами из R, что противоречит минимальности исходной по-
следовательности Ci, ..., сп.
Осталось рассмотреть случай, когда два граничных цикла 6(
и 62 одной и той же области D делают М неприведенной. Это озна-
чает, что две циклические перестановки одного и того же элемента
свободной группы взаимно, обратны. В свободной группе такого
быть не может. □
Пусть М — некоторая карта. Граничной вершиной или гранич-
ным ребром мы будем называть вершину или ребро из дМ. Гранич-
ной областью карты М называется такая область D из М, что
dD (]дМ=£ф. Таким образом, если D — граничная область карты
М, то dD Q дМ не обязано содержать некоторое ребро, но может
состоять из одной или более вершин. Вершина, ребро или область
карты М, не являющиеся граничными, называются внутренними.
Если v — вершина карты М, то d(v) — степень вершины и —
есть число ориентированных ребер с начальной вершиной v. Таким
образом, если оба конца некоторого ребра е совпадают с v, мы счи-
таем е дважды. Если D —область из М, то d(D) — степень об-
ласти D — есть число ребер в граничном цикле для D. Символ
i(D) обозначает число внутренних ребер из О, причем снова ребро,
встречающееся в граничном цикле для D дважды, считается два
раза.
Из построения следует, что большинство рассматриваемых нами
диаграмм не имеет внутренних вершин степени 1. Предположим,
что в некоторой /^-диаграмме имеется два внутренних ребра et
и е2, встречающихся в одной вершине степени 2. Тогда вершина v
может быть вычеркнута, а ребра ev и ег объединены в одно ребро е
с меткой <p(e)=<p(ei)<p(e2). Таким образом, мы можем предпола-
3. Основные формулы
325
гаТь, если угодно, что если М есть R-диаграмма, то все ее внутрен-
не вершины имеют степень как минимум 3.
Лемма 2.2. Пусть R —симмет ризованное множество элемен-
тов свободной группы F и М— приведенная R-диаграмма.
(1) Если R удовлетворяет условию С {k), то каждая область D
из М, такая, что dDf]dM не содержит ребер, имеет степень
diP»k-
(2) Если R удовлетворяет Т (т), то каждая внутренняя вер-
шина v карты М имеет степень d(v)^m.
U Покажем сначала, что если е — внутреннее ребро для /И, то
метка с = <р(е) является куском. Поскольку е —внутреннее ребро, е
лежит на общей границе областей Dx и £>2 карты М. Значит,
и £>а имеют метки rt и г2 в R, такие, что гг = са и г2—с~1Ь.
Поскольку R симметризовано, cb'^R. Из приведенности диа-
граммы М следует, что а^=Ь~1. Таким образом, с — кусок по
определению. Если D — область из М и все ребра из dD внут-
ренние, скажем dD=--e, ... ed{D}, где <p(ei) = ci-, то меткой для D
является г — ct ... cd {D} £ R и г —произведение d(D) кусков.
Поэтому из С (k) следует, что d (£>) k для всех областей из М,
таких, что dD П дМ не содержит ребра. Это показывает, в част-
ности, что любая внутренняя область карты М имеет степень как
минимум k.
Предположим теперь, что v—внутренняя вершина степени h
и elt ..., eh — взятые по порядку ориентированные ребра, про-
ходящие через V. Тогда для каждого I (по модулю A) ei+l и ер1 —
последовательные ребра на границе некоторой области £),• карты Л4.
Существуют пути а,-, такие, что граница для £>,- есть цикл с вер-
шиной v вида Если /,• —метка на eit а аг — метка на ait
то Dt имеет метку г,- =frlalfi+i.
Поскольку М приведена, никакое rt не равно гр\, и так как
каждый элемент ft отличен от 1, в каждом из произведений 1\г2,
rh-trh< rhri имеется сокращение, так что Т (т) нарушается для
mp>h. Таким образом, из условия Т (т) следует, что d(v)^m для
любой внутренней вершины v карты М. □
Геометрическая интерпретация предположений о малом сокра-
щении показывает, что нам следует заняться изучением карт, в
Которых степени вершин и областей удовлетворяют некоторым
Неравенствам.
3. Основные формулы
Результаты о картах, полученные в настоящем разделе, явля-
ются комбинаторными обобщениями свойств регулярных мозаик на
плоскости и в настоящем варианте принадлежат Линдону [1966];.
326
Гл. V. Теория малых сокращений
ч
сходные результаты в других контекстах были использованы Бла-
ном [1940, 1941] и Фиалой [1946]. Имеется лишь три регулярных
мозаики на плоскости — треугольники, квадраты и шестиуголь-
ники. Типы более общих карт, которые будут рассмотрены нами,
распадаются на три соответствующих класса.
Пусть р и q—натуральные числа, такие, что 1/р+1/</ = 1/2. Хо-
рошо известно, что единственные натуральные решения суть (3, 6),
(4, 4) и (6, 3). В наших рассмотрениях возникает два типа карт.
Если М — непустая карта, все внутренние вершины которой имеют
степень не менее р, а все области имеют степень не менее q, то она
будет называться [р, qj-картой. Если Л4 — непустая карта, все
внутренние вершины которой имеют степень не менее р, а все
внутренние области имеют степень не менее q, то она будет назы-
ваться (/?, q)-Kapmoil.
Знаки суммирования У будут означать суммирование по вер-
шинам или областям карты М. Таким образом, ^dfv) есть сумма
степеней всех вершин карты М, a ^d.(D) — сумма степеней всех
областей карты М. Обозначение 2’ будет употребляться для сум-
мирования по граничным вершинам или областям, а 2° — сумми-
рование по внутренним областям или вершинам. Таким образом,
2’d(y) — сумма степеней всех граничных вершин карты М, а
2°^(О) — сумма степеней всех внутренних областей. В случае
необходимости будет добавляться индекс, именующий карту, о
которой идет речь.
Пусть М — произвольная карта. Тогда V будет означать число
вершин карты М. (Мы будем избегать использования индексов
для обозначения карты, если только речь не будет идти о более
чем одной карте.) Число неориентированных ребер карты М будет
обозначаться буквой Е, а число областей этой карты — буквой F.
Символ V обозначает число граничных вершин карты М, F' —
число граничных областей и Е' — число граничных ребер с учетом
кратности. Если М связна и односвязна, то Е' — число ребер в
граничном цикле для М. Чтобы получить Е' в общем случае, нужно
сложить числа ребер в циклах, необходимых для описания границы
карты М. Заметим, что, возможно, имеет место Е'>Е. Пусть Q —
число компонент карты М и h — число дырок (т. е. число ограни-
ченных компонент дополнения к М) этой карты. Допустим, что
и q — натуральные числа, такие, что \lp-\-\lq=\/2.
Следующие формулы лягут в основу наших рассмотрений.
Теорема 3.1. Пусть М — произвольная карта. Тогда
(3.1)
3. Основные формулы
32?
(3.2) p(Q-/i) = £- [f + 2 -d(v)] +£°[p-d(v)] +
+fX^-d^]+f (y-£')-
□ Используем формулу Эйлера 1 = V—E+F для связного графа Г
(неограниченные области при делении плоскости графом Г в учет
Не принимаются). Пусть Г есть 1-скелет карты М. Суммируя по
связным компонентам, возможно, несвязного графа, получим Q=
^V—E+F.
Верны следующие равенства:
(1) (Q-h) = V-E + F.
(2) 2E = '£d(v). (Сумма степеней вершин учитывает каждое
ребро дважды.)
(3) 2£ = £d (£) + £•.
Пусть п — положительное действительное число. Исключим Е
из приведенных выше равенств.
(]') 2(n + l)(Q-h)==2(n + l)V-2(n-|-l)£-|-2(n + l)F,
(2') 2E = £d(v),
(У) 2пЕ = n'Yd (£>) ф-пЕ
Используя (2') и (3'), получаем из (Г)
(4) 2(п + 1)(Q-/1) = 2(п+ 1)V-£d(v) +
+ 2(n+\)F-n^d(D)-nE'.
Поскольку V — число вершин, a F — число областей, имеем
(5) 2(n-M)(Q-/0 = 2[2(n+l)-d(v)] +
+ n-£^Kl±l)_d(Z))]_rt£-.
Суммируя отдельно по граничным и внутренним вершинам,
получаем
(6) 2(n+l)(Q-/i) = 2-[2(«+1)-d(K)] +
+ £°[2(п+ 1)-d(v)] + n£ p±l)-d(D)] - пЕ'.
Пусть р=2 («+ 1) и q=2(n-\- 1)/7г. Тогда п=p/q, \/р-\-l/q=\l2
и (р + 2)/2 = р/<? + 2.
В этом случае (6) можно переписать в виде
(7) р (Q - Л) = 2- [р - d (!>)] + 2° [р —1 (!>)] +
Это и есть формула (3.1). Нам нужно расщепить первую сумму
в (6). Если мы суммируем п по граничным вершинам, то 2’ п =
328
Гл. V. Теория малых сокращений
= nV' = (p/q)V'. Поэтому
(8) P(Q —Л) = 2’ [« + 2 —d(v)] + S'n + 2°[P —^(у)] +
(9) p(Q-/i) = £'[f + 2-d(v)]+^°[p-d(v)] +
T *1
Получили формулу (3.2). □
Перед выводом некоторых следствий теоремы 3.1 рассмотрим
дуальные карты.
Дуальная карта М* для данной карты М строится следующим
образом. Выберем точку v} в каждой области Dt карты М. Набор
точек vi есть множество вершин карты М *. Если Dt и D2 — области
из М, такие, что £>i=#Z)2, но у и О2 есть общее ребро е, проведем
ребро е* из vl в v2, пересекая е, но не пересекая другие ребра карты
М или уже построенные ранее ребра карты М*. Поскольку e^dD^ п
Г)д£>2, ребро е внутреннее для М. Кроме того, если в области D
карты М имеется ребро е, такое, что D лежит по обе стороны этого
ребра, то рисуем петлю с вершиной в vf, пересекающую е, но не
пересекающую другие ребра. Вершины и ребра множества М*
образуют граф Г*. Области карты М* определяются как области,
ограниченные графом Г* и содержащие внутренние вершины карты
М.
Эта конструкция совпадает с обычной конструкцией дуального
графа для некоторого плоского графа, если не считать того, что
граничные ребра для М не принимаются во внимание. То же по-
строение может быть проделано иначе. Рассмотрим 1-скелет Г карты
/И, делящий плоскость на различные области (в том числе и неог-
раниченные). Построим дуальный граф Г*. Вычеркнем вершины
и любые содержащие их ребра, которые соответствуют областям,
не являющимся областями карты М. Получится М*.
Мы видим, что М* обладает следующими свойствами:
(1) Вершины V* карты М* находятся во взаимно однозначном
соответствии с областями D карты М, причем v*£D. Если v* со-
ответствует области D, то, поскольку одно ребро проводится из
и* через каждое внутреннее ребро границы д (£>), имеем d (v*)=i (£>).
(2) Ребра е* карты М* находятся во взаимно однозначном соот-
ветствии с внутренними ребрами е карты М.
(3) Области D* карты М* находятся во взаимно однозначном
соответствии с внутренними вершинами v карты /И, причемv£D*.
Если v — внутренняя вершина карты М, то в v имеется d(v) ребер.
Каждое из этих ребер пересекается одним ребром из /И*, и при этом
образуется область D* из М*, такая, что d(D*)=d(v).
3. Основные формулы
329
(4) Граничные вершины v* карты М* находятся во взаимно од-
нозначном соответствии с граничными областями D карты М. Дей-
ствительно, предположим, что v* получается из области D карты М.
Если dD П дМ^0, то имеется вершина с2 € dD А дМ и можно по-
строить кривую X, лежащую целиком в D, соединяющую v* с и2
и не пересекающую никакое ребро из М или М*. Кривую X можно
поэтому продолжить в —Л4, лежащее в — М*. Следовательно,
п* — граничная вершина для М*. Если dD A dM=0, то любая
вершина из dD является внутренней вершиной карты М. Для каж-
дого ребра из dD имеется ребро, исходящее из v* и пересекающее
это ребро, и эти ребра связаны последовательностью ребер, прохо-
дящих через области, имеющие граничное ребро, исходящее из
некоторой вершины на dD. Таким образом, v* — внутренняя вер-
шина карты Л4*.
(5) Если М имеет h дырок, то М* имеет h или менее дырок.
(6) Если М есть карта типа (р, q), то М* есть карта типа [q, р].
Лемма 3.2. Если М — карта без изолированных вершин, то
□ V есть число граничных вершин карты М, а Е' — число гра-
ничных ребер, взятых с подходящей кратностью. □
Следствие 3.3. (Формула кривизны.) Пусть М — обносвязная
Ip, q]-Kapma, собержащая не менее deyx вершин. Toeda
<3-3) Е„ [т+з-'М »
□ Предположим вначале, что не все вершины карты М изолиро-
ванные. Пусть — подкарта карты М, получающаяся вычерки-
ванием из М всех изолированных вершин, и —число компонент
карты Мг. По лемме 3.2 Поскольку М является
[р, р]-картой и не имеет дырок, из формулы (3.2) следует, что
pQi С 2 м, [p/q + 2 — d (н)], поскольку в этой формуле положи-
тельным может быть только первый член.
Если имеется Qo изолированных вершин и /Ио состоит из этих
вершин, 2м0 [p/q + 2 — d (u)] = Qo [p/q + 2]. Если M состоит только
из изолированных вершин, Q0^2. В обоих случаях 2 м [p/q +
+ 2-d(y)]>p. □
Следствие 3.4. (Формула кривизны.) Пусть М — обносвязная
(q, р)-карта, содержащая более чем обну область. Toeda
<3 4> Ем [f + 2-'(0)] >₽•
□ Пусть М* — карта, дуальная к карте М. Тогда М* есть [р, pl-
карта, удовлетворяющая условиям следствия 3.3. Если V* — вер-
330
Г л. V. Теория малых сокращений
шина карты М*, получающаяся из области D карты М, то d(v*]
—i(D), и заключение вытекает из следствия 3.3. □
Следствия 3.3 и 3.4 лежат в основе теории малых сокраще-
ний. Мы будем называть эти результаты «формулой кривизны».
Для иллюстрации происхождения этого названия рассмотрим ре-
гулярное покрытие Т плоскости треугольниками и предположим,
что S — произвольная конечная подкарта из Т, границей которой
является простая замкнутая кривая. Тогда общая кривизна при
обходе всей границы для S равна 2л. Вычислим кривизну другим
способом. Пусть v — граничная вершина для S. Внутренний угол
в точке v равен [d(y)—1 ]2л/6. Кривизна в точке v равна, таким об-
разом, л—[d (ц)—1]2л/6=[4—б!(ц)]2л/6. Общая кривизна тогда
равна 2л=25[4—с!(у)]2л/6, откуда следует, что 2s [4—d(v)] = 6.
Все внутренние области для S имеют степень 3, а все внутренние
вершины имеют степень 6. Мы показали, что для общей [6, 31-
карты М, являющейся односвязной, 2мИ—d(v)]^6. Аналогичная
интерпретация применима в случае покрытия плоскости квадратами
и шестиугольниками.
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
Изучая проблему равенства слов для фундаментальных групп
ориентируемых 2-многообразий, Дэн установил, что свободно при
веденное слово w, определяющее единицу в фундаментальной группу
содержит более половины некоторой циклической перестанови
определяющего соотношения или слова, обратного к нему.
Отсюда получаем алгоритм Дэна для решения проблемы ра-
венства. Предположим, что группаGимеет представление G=<Xi,...
..., хп\ R), где /? — рекурсивное симметризованное множество
определяющих соотношений, причем установлено, что свободно
приведенное нетривиальное слово, равное 1 в G, содержит более
половины элемента из R. Пусть w — нетривиальное слово из G.
Если ьа=1 в G, то w можно представить в виде w^bcd, где для не-
которого г из R имеем r=ct и |/|<|с|. Далее, для каждого такого
г имеем |г|<2|ш|. Множество S всех слов от хъ ..., хп, имеющих
длину менее 2|да|, конечно. Поскольку R рекурсивно, можно эф-
фективно выписать все элементы из /?'=Лп£. Если мы найдем
подходящее г, то w=bt_1d в G и bt~ld — слово меньшей длины.
Конечное число таких редукций приводит либо к 1, давая «дока-
зательство» того, что w=l в G, либо к слову ш*, длина которого не
может быть уменьшена, доказывая тем самым, что w в G отлич-
но от 1.
Наиболее значительный результат теории малых сокращений
состоит в том, что алгоритм Дэна сохраняет силу для множеств
R, удовлетворяющих или метрическому условию С' (1/6), или ус-
ловию С' (1/4) и 7Д4). Более того, справедлив существенно более
4. Алгоритм Дона и лемма Гриндлингера
331
сильный результат, полученный Гриндлингером в 1960 году й из-
вестный теперь как лемма Гриндлингера. При нашем подходе
лемма Гриндлингера получится как следствие усиленного варианта
формулы кривизны (теорема 4.3).
Лемма 4.1. Пусть /И —односвязная карта типа (q, р), где
(q, р) — это одна из пар (3,6), (4,4), (6,3). Допустим, что для каж-
дой области D карты М, такой, что dD не содержит ребра из дМ,
верно d(D)^p. Тогда граница произвольной области карты М —
простая замкнутая кривая.
□ Рассмотрим область D карты Л4 и предположим, что в dD име-
ется петля т], причем т] не совпадает с dD. Тогда петля и вся часть
карты М, внутренняя по отношению к т], образуют односвязную
подкарту Д карты М. Среди всех таких петель т] из dD выберем
такую, для которой число областей карты Д минимально.
Поскольку при выборе петли р требовалась минимальность числа
областей, в т] П дМ имеется самое большее одна вершина и0- Ис-
ключая Vo, все вершины карты Д внутренние для Л4 и их степень
не менее q. Поскольку р не содержит никакого ребра из границы
карты М, ни одна область из Д не содержит ни одного граничного
ребра этой карты. Согласно предположениям относительно М,
отсюда следует, что все области карты Д имеют степень не менее р.
Поэтому Д является [q, р]-картой. Если бы Д имела только одну
вершину, то она состояла бы из одной или более областей, ограни-
ченных петлями в точке v0, что противоречит предположению о
том, что М есть (q, р)-карта. Это позволяет нам теперь предполо-
жить, что в Д имеется более одной вершины.
В этом случае по следствию 3.3 ZkWp+%—d(v)]^q. Однако,
поскольку лишь v0 может дать положительный вклад в эту сумму,
—d(v)]<Cq/p+2<Zq, чего не может быть. □
Пусть М — произвольная карта. Экстремальным кругом карты
М называется подкарта Д карты М, которая топологически является
кругом и обладает граничным циклом elt ..., еп, таким, что ребра
<?!...еп встречаются в том же порядке в некотором граничном
цикле всей карты М.
Лемма 4.2. Пусть М. — связная односвязная карта, не имеющая
вершин степени 1. Если граница для /И не является простой замк-
нутой кривой, то /И обладает по меньшей мере двумя экстремаль-
ными кругами.
□ Проведем доказательство индукцией по числу т областей карты
А4. Если т=1, то М — это простой замкнутый путь. Предположим
теперь, что т>1, и рассмотрим произвольный граничный цикл
6=et ... еп карты М. Пусть а=е(1 ... — кратчайший замк-
нутый подпуть пути 6. Поскольку М не содержит ни одной вершины
332
Гл. V. Теория малых сокращений
степени 1, в а нет последовательных ребер вида е, е~х. Таким об-
разом, а — простой замкнутый путь, ограничивающий некоторый
экстремальный круг карты М. Пусть J' — подкарта карты Л1,
ограниченная циклом б — а. Поскольку J' может иметь вершины
степени 1, удалим по одной все эти вершины и содержащие их ребра.
С помощью этого процесса мы получаем подкарту J карты М, к
которой применимо предположение индукции. Если dJ — простая
замкнутая кривая, то J — экстремальный круг карты М. Если dJ
не является простой замкнутой кривой, то J содержит два экстре-
мальных круга и по меньшей мере один из них экстремален в М. □
Пусть D — область карты М. Будем говорить, что dD л дМ —
последовательная часть карты М, если <ЗОГ1<ЗЛ1—объединение
последовательности .....еп замкнутых ребер и ребра ..., еп
встречаются в данном порядке в некотором граничном цикле для
D и некотором граничном цикле для М.
Если М — карта, то 2м[р/<7+2—1(D)] означает суммирование
только по тем граничным областям D карты М, для которых
dDftdM—последовательная часть границы дМ. Если 1/p-J-l/</ = 1/2
то p/q+2=p/2+l. Оба эти равенства будут использоваться в наши|
вычислениях.
Теорема 4.3. Пусть М — связная односвязная (q, р)-картш
Предположим, что М не содержит вершин степени 1 и что в Д
имеется более одной области. Допустим, что для любой области J|
из М либо d(py^p, либо dD[\dM содержит ребро. Тогда
□ Докажем сначала теорему для таких карт М, для которых дМ -ч
простой замкнутый путь. Доказательство будем вести индукцие!
по числу т областей карты М. I
Предположим, что т=2. Единственная возможность заключается
в том, что М состоит из двух областей Dj и D2, имеющих единствен
ное общее ребро. Поэтому i(Dj) = l, j=l,2, и теорема справедлива.'
Предположим теперь справедливость теоремы для всех карт,
удовлетворяющих предположениям теоремы и имеющих t областей,
Поскольку единственные области карты Med (D)<Zp — эт<|
области D, для которых dD Г1 дМ содержит некоторое ребро, толька
эти области дают положительный вклад в сумму 2^[р/2-|-1—i (О)]|
Из следствия 3.4 вытекает, что
2'м[р/2+ 1 — i (D)]^p.
Следовательно, если все области D карты М, такие, что dDndM
содержит некоторое ребро, обладают тем свойством, что dD Л дМ —•
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
333
последовательная часть границы ЭМ, то
и все в порядке.
Предположим теперь, что в М имеется область Е, такая, что
дЕПдМ содержит ребро, но не является последовательной частью
границы дМ. Тогда М — Е имеет по крайней мере две компо-
ненты, скажем (Ц и С2, каждая из которых содержит некоторую
область. Пусть Л11 = С1и£’ и Mi = C2U Е.
Если D — область карты Mj, / —1, 2, то dD П dMj = dD П дМ,
кроме случая D = E. Единственная область, общая для и М2,—
это Е, и ЦЕ) не менее 1 как в Мх, так и в Л42.
Применяя предположение индукции к М, и М2, получаем
» е; и+<°>]+е; Н+1 -•’<d>] >
Худший вариант —это когда Е встречается в обеих суммах и в
каждой i (£) = 1. Тогда
М Е ; 1-Ю)] + Е «, [f +1—- (О)] э= р.
D =£ Е D =# Е
Этим доказательство теоремы в случае, когда дМ — простая замкну-
тая кривая, полностью завершено.
Если граница для М не является простой замкнутой кривой,
по лемме 4.2 в карте М имеется не менее двух экстремальных
кругов, скажем и К2. Если некоторое /Q состоит из единст-
венной области О0, то dD„ Г) дЛ4 — последовательная часть грани-
цы дМ и [р/2 + 1 — i (О)] — р/2-f- 1. Если некоторое со-
держит более одной области, то 2х/ [Р/2 + 1 — i (О)] р по пер-
вой части доказательства теоремы. Поскольку экстремальный
круг связан с остальной частью карты М единственной верши-
ной, в может быть не более одной области Е, такой, что
дЕ П дК[ — последовательная часть в Э/((., но дЕ П дМ не является
последовательной частью для дМ. Собирая вместе вклады кру-
гов и К2, получаем ^M[p/q+ 2 — i (D)]^ р. □
Определение. Слово s называется j-остаточным (по отношению
к R), если некоторое г С R имеет вид r=s6i ... b,, где blt ..., Ц —
куски.
Смысл этого определения раскрывается в следующей теореме.
Теорема 4.4. Пусть F — свободная группа. Пусть R — сим-
метризованное подмножество из F и N — его нормальное замыка-
ние. Предположим, что R удовлетворяет условиям С (р) и T(q),
где (р, q) — одна из пар (6,3), (4,4), (3,6).
334
Гл. V. Теория малых сокращений
Если w£N, то некоторая циклическая перестановка ;
слова w либо лежит в R, либо имеет вид w*=u1s1 ... unsn, где коз
doe sh является i (5к)-остаточным. Число п элементов sk и чиа
i(sh) удовлетворяют соотношению
п
Е [f+ 2-i(sft)]>p.
В частности, если R удовлетворяет условиям
(i) С (X) для X у или
(ii) С (R) и Т (4) для Х^у,
то каждый нетривиальный элемент w^N содержит подслово1
некоторого г £R, такое, что,
(i) | s | > (1 — ЗХ) | г | > у | г | или
(ii) |s| > (1 —2Х)| г | > у |г|.
□ Пусть w — нетривиальный элемент из N и w' — его цикличесК
приведенная перестановка. Пусть М—диаграмма минимальной1
/^-последовательности для w'. Тогда либо М состоит из единствен-
ной области, и тогда w' С R, либо М удовлетворяет условиям тео-
ремы 4.3.
Пусть D — область из М, такая, что o=dD Г) дМ — последова-
тельная часть границы дМ. Предположим, что о начинается в вер-
шине Пх и оканчивается в п2. Поскольку dD по лемме 4.1 является
простым замкнутым путем, существует граничный цикл от области
D. Запишем s=<p (о) и /=<р (т). Теперь st g R, так как этот элемент
метка для D. Таким образом, s — подслово элемента из R.
Если а — произвольный граничный цикл для М, то <р(а) -
циклически приведенная перестановка w* элемента и/. Предп*
ложим, что а начинается в вершине v0, не являющейся внутренн
по отношению к дуге о. Из того, что о — последовательная час
для дМ, выводим, что а=а1оа2. Таким образом, s — также подсло
ДЛЯ W* .
Зададимся вопросом, насколько велико подслово s. Мы знаем,j
что метка на внутреннем ребре является куском. Если i(D)=/^
то t — произведение / кусков и s является /-остаточным. «
Выберем какой-нибудь граничный цикл а, который не начи-'
нается ни в какой вершине, внутренней к некоторой дуге вида
dDQdM. Тогда для всех D, таких, что dDftdM — последователь-
ная часть для М, элемент <р(д£) рд/И) является подсловом в слове
ш*=<р(а) и, кроме того, /-остаточен, где Тогда первая
часть теоремы следует из формулы 2м[М/+2—i(D)]^p.
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
335
В условиях С! (X), 1/6, имеем (q, р) = (3, 6), и формула
принимает вид
Для того чтобы имело место неравенство, должны быть по крайней
мере две области Dh, для которых i(Dh)^3. Соответствующие слова
sk имеют длины, большие, чем (1—3X)|rft|. При выполнении условий
С' (К), Х^1/4, и Т (4) имеем 2^[3—t(D)J^4. Отсюда следует наличие
по меньшей мере двух областей, таких, что г (0)^72.
В любом случае для w£N запишем w=uw'u~1, где слово w’
циклически приведено. Поскольку подходящая циклическая пере-
становка слова w' содержит по меньшей мере два вхождения более
чем половины элемента из R, отсюда следует, что w' содержит по
меньшей мере одно такое вхождение. □
Если s — слово из F, то обозначение s>cR, где с — рациональ-
ное число, указывает на то, что существует r£R, приведенная
форма которого имеет вид r^st и |s|>c|r|.
Более детальный анализ числа областей и чисел i(D), необхо-
димых для того, чтобы выполнялось неравенство 2м14-»(О)]>6,
влечет за собой такой результат.
Теорема 4.5. (Лемма Гриндлингера для 1/6-групп.) Пусть R
удовлетворяет условиюС (1/6). Предположим, что w— нетривиаль-
ное циклически приведенное слово, такое, что w£N. Тогда либо
(1) w£R,
либо некоторая циклически приведенная перестановка w* элемента w
содержит одно из следующих:
(2) два непересекающихся подслова, каждое из которых> (5/6)/?,
(3) три непересекающихся подслова, каждое из Komopux>(4/6)R,
(4) четыре непересекающихся подслова, два из которых> (4/&)R
и dea>3/6R.
(5) пять непересекающихся подслое, четыре из Komopbix>3lQR
и odHo>4l§R, или
(6) шесть непересекающихся подслое, каждое из Komopbix>3/6R.
□ Укажем схему доказательства. С геометрической точки зрения
настоящая теорема является незначительным усилением предыдущей
теоремы в частном случае, когда/? удовлетворяет условию С (1/6).
Пусть w' — циклическая перестановка элемента w и М — диа-
грамма минимальной ^-последовательности для w'. Подслово s
слова w', такое, что s>(/76)/?, получается из области D такой, что
1(D)—6—/. Решающим обстоятельством является то, что если М
не содержит ни одной области внутренней степени 0 или 1, то ре-
зультат получается из теоремы 4.4 прямым вычислением. Напри-
мер, если все области D, которые дают положительный вклад в
сумму 2м[4—i (D)l, имеют внутреннюю степень 3, то таких областей
должно быть не меньше шести.
336
Гл. V. Теория малых сокращений
Хотя заключение данной теоремы сформулировано в терминах
подслов, мы можем мыслить о каждой из возможностей (1) — (gj
как об условии на области, дающие положительный вклад в сумму
Например, (3) утверждает, что М содержит не менее
трех областей, имеющих внутреннюю степень не более 2 и таких,
что пересечение каждой из границ этих областей с дМ является
последовательной частью этой границы.
Имея это в виду, докажем индукцией по числу т областей из
М, что М. содержит области, необходимые для выполнения заклю-
чения теоремы. Если т=1, то w'£R. Если /п=2, то в М имеется
две области, обе внутренней степени 0 или 1, и имеет место случай
(2) из заключения теоремы. Предположим теперь, что т'^гЗ. Как
мы заметили выше, если М не содержит областей внутренней степени
О или 1, то заключение вытекает из теоремы 4.4. Предположим
теперь, что М содержит некоторую область О,, для которой i'(Di)=l.
Построим карту М', удаляя и dDt Г) дМ из М. По предположению
индукции теорема для М' верна. Однако нетрудно заметить, что
карта, полученная присоединением области к одному ребру карты,
удовлетворяющей заключениям (1) — (6), также удовлетворяет
этим заключениям.
Допустим, наконец, что /И содержит область внутренней сте-
пени 0. Тогда дМ не является простым замкнутым путем, так что
в М. имеется по меньшей мере два экстремальных круга. По пред-
положению индукции каждый из этих кругов удовлетворяет од-
ному из условий (1) — (6). Поскольку экстремальный круг при-
креплен к остальной части карты Л4 в одной вершине, легко про-
верить, что М должна удовлетворять одному из требуемых заклю-
чений. □
Похожий анализ дает соответствующую теорему в случае выпол-
нения условий С'(1/4) и Т (4) (см. статью Гриндлингера [1965]).
Теорема 4.6. Пусть R удовлетворяет С'(1/4) и Т (4). Допустим,
что w — нетривиальное циклически приведенное слово, такое, что
w£N. Тогда либо
(1) w $ R,
либо некоторая циклическая перестановка w* слова w содержит или
(2) два непересекающихся подслова, каждое из которых >(3/4)R,
или
(4) четыре непересекающихся подслова, каждое из которых^
(1/2)/?. □
Для групп G=C¥; R), в которых применим алгоритм Дэна,
имеется весьма естественное определение понятия «приведенный»;
Определение. Слово w от порождающих X называется R-npue&,
денным, если w свободно приведено и не содержит подслова S|
такого, что s> (1/2)/?. Назовем w циклически R-приведенным, если
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера
337
w циклически приведено в свободной группе и все его циклические
перестановки являются /^-приведенными.
Заметим, что, согласно алгоритму Дэна, единственное Д-при-
веденное слово, равное единице в G,— это сама единица. Кроме
того, если X конечно, а 7? рекурсивно, то от слова w можно эффек-
тивным образом перейти к /^-приведенному слову, равному w в G.
А именно следует все время заменять подслова, которые >(1/2)/?,
более короткими словами, равными им в нашей группе. Вообще
говоря, разные /^-приведенные слова могут представлять один и
тот же элемент группы. Например, если
G = </alt t\, а2, b2, aplbpiaibiailb^la2biy,
то
= b^a^b2a2.
Укажем историческую последовательность идей настоящего
раздела.
Методы Дэна [1911, 1912] были геометрическими. Он исполь-
зовал тот факт, что с фундаментальной группой G ориентируемого
замкнутого 2-многообразия связано регулярное покрытие гипер-
болической плоскости, составленное из преобразованных экземп-
ляров фундаментальной области для G. Используя гиперболическую
метрику, Дэн установил, что нетривиальное слово w, равное 1 в
G, содержит более половины элемента из R. Райдемайстер [1932]
указал, что заключение Дэна следует из комбинаторных свойств
мозаик без метрических соображений.
В. А. Тартаковский [1949] начал алгебраическое изучение
теории малых сокращений. Тартаковский решил проблему равен-
ства для конечно представленных факторгрупп свободных произ-
ведений циклических групп по симметризованному R, удовлетво-
ряющему условию С(7). Бриттон [1957] независимо исследовал
факторгруппы произвольных свободных произведений по R, удов-
летворяющему С'(1/6). Условие треугольника Г(4) было введено
Шиком [1956], решившим проблему равенства для R, удовлетво-
ряющего С'(1/4) и Т(4). Гриндлингер [1960] доказал лемму Гринд-
лингера и получил несколько других важных результатов. Позднее
(1964, 1965] он изучил условие С'(1/4) и 7(4).
Общая геометризация теории малых сокращений принадлежит
Линдону [1966]. Как мы уже заметили ранее, существование нуж-
ного нам типа диаграмм было обнаружено ван Кампеном [1933]. Лин-
дон независимо открыл эти диаграммы и геометрическое значение
предположений о малом сокращении. Кроме того, в 1966 году на
работу ван Кампена натолкнулся Вайнбаум, сумевший затем при-
менить эти диаграммы для геометрического доказательства леммы
Гриндлингера в случае С'(1/6). Формула кривизны ^[ (p/q)+2—
—i(D)]^p принадлежит Линдону [1966].
338
Гл. V. Теория малых сокращений
-9
5. Проблема сопряженности
Изучение сопряженности мы начнем с обсуждения алгоритма^
найденного Дэном [1912] для решения проблемы сопряженносп|
в фундаментальных группах замкнутых 2-многообразий. Пустй
G—(X; R), где X конечно, a R рекурсивно,— группа, в которой
работает алгоритм Дэна для решения проблемы равенства. Пусти
и' и г' — два элемента группы G. Эти элементы можно эффективный]
образом заменить сопряженными и и г, являющимися циклический
/^-приведенными словами. Возникают два тривиальных случая!
Если и и, и z равны 1, то они, конечно, сопряжены в G. Если ж0
один из них равен 1, а другой нет, то они, конечно, не сопряжены]
в G. Проблема равенства сводится, таким образом, к рассмотрении^
пар нетривиальных циклически /^-приведенных слов. Будем го*
ворить, что алгоритм Дэна решает проблему сопряженности в Gi
если существует фиксированное целое k, такое, что выполнен^
следующее условие:
Два нетривиальных циклически /^-сопряженных слова и и г
сопряжены в G тогда и только тогда, когда существуют цикличе^
ские перестановки и* и г* слов и и г соответственно, такие, чтс|
и*=сг*с-1 в G, где с — подслово некоторого r£R, удовлетворяю^
щего неравенству на длины IrKfemax (|ы|, |г|).
Приведенное условие влечет за собой разрешимость проблемы
сопряженности по следующей причине. Поскольку X конечно^
имеется лишь конечное число элементов г £ R, удовлетворяющий
данному ограничению на длины, а из рекурсивности множества /^
следует, что все такие элементы г могут быть эффективно найдены!
Ввиду разрешимости проблемы равенства в G тогда можно решить]
выполняется ли выписанное выше равенство для произвольны!
перестановок элементов и* и г* и произвольного из конечной]
числа элементов с, подлежащих рассмотрению.
Гриндлингер [I960] показал, что алгоритм Дэна решает про*
блему сопряженности для случая, когда F — свободная группа]
и R удовлетворяет условию С'(1/8). Гриндлингер [1965, 1966] поч
казал, что незначительное обобщение алгоритма Дэна решает проч
блему сопряженности для R, удовлетворяющего условию С' (1/61
и конъюнкции условий С'(1/4) и Т(4) соответственно. Геометриче|
ское доказательство этих результатов дано Шуппом [1970].
Перейдем к интерпретации сопряженности в терминах диаграмму
Назовем связную карту М кольцевой картой, если —М состоим
в точности из двух компонент. Пусть М — некоторая кольцевая;
карта. Буквой К обозначим неограниченную, а буквой Н огранив
ченную компоненты множества—М. Назовем дМ Г) дК внешней'^
а д/ИПд# внутренней границей карты М. Цикл минимальной]
длины (т. е. без самопересечений), содержащий все ребра внешней;
(внутренней) границы карты М,— это внешний (внутренний)*
5. Проблема сопряженности
339
граничный цикл карты М. (Здесь следует сказать об ориентации.
Ориентация граничных циклов находится в соответствии с ориен-
тацией карты М. Таким образом, внешние граничные циклы на-
правлены против часовой стрелки, а внутренние — по часовой
стрелке.)
Пусть F — свободная группа и R — симметризованное подмно-
жество ее элементов. Как обычно, N обозначает нормальное замы-
кание множества R в F, a G — факторгруппу F/N. Убедимся в
том, что кольцевые диаграммы — удовлетворительное средство для
изучения сопряженности в G.
Лемма 5.1. Пусть М — кольцевая R-диаграмма. Если и — метка
на внешнем граничном цикле для М, a z~l — метка на внутреннем
граничном цикле для М, то и и z сопряжены в G.
□ Поскольку М связна, существует простой путь 0, соединяющий
внешнюю границу для М с внутренней границей для М. Допустим,
что 0 начинается в вершине щ и кончается в вершине v2. Пусть
Рис. 5.1.
о— внешний граничный цикл для М., начинающийся в»1, ит —
внутренний граничный цикл для М, начинающийся в v2. Положим
ф(о)=«1, и <р(0)=£>.
Разрезом вдоль пути 0 перейдем от /И к связной односвязной
карте М' (см. рис. 5.1). Граничный цикл для М' равен о0т0-1,
так что u1bZi1b~1^.N по лемме 1.2. Теперь результат следует из
того, что щ и Zi — сопряженные элементов и и z соответственно. □
Лемма 5.2. Пусть и и z — два циклически приведенных слова
из F, не лежащие в N и не являющиеся сопряженными в F. Если и и г
представляют некоторые сопряженные элементы группы G, то
существует приведенная кольцевая R-диаграмма М, содержащая
не менее одной области, такая, что если <з=ег ... es и x—fi ...
. fk — соответственно внешний и внутренний граничные циклы
карты М, то произведение <р (еД ... ф(е5) приведено и является
сопряженным элемента и, а произведение <р (Д) ... <р (/fe) приведено
и является сопряженным элемента г~1.
340
Гл. V. Теория малых сокращении
□ Поскольку и и z представляют сопряженные элементы группы
G, элемент и равен некоторому произведению ррх ... рп, где р=
=сгс-1, а каждое р, равно e/fC/-1 при г, £ R. Среди всех таких про-
изведений, равных и, выберем такое р'р[ ... р'т для которого
число т минимально. Пусть М' — диаграмма для последователь-
.. р'т. Поскольку и не сопряжено с г в F, должно быть
мере одно pt. Так как u^N, то понятно, что облает
не будет вычеркнута при построении диаграммы М
ности рр[ .
по меньшей
с меткой z
Если a=ei ... es — граничный цикл для М', начинающийся
некоторой базовой точке о0, то <р (ех) ... <p(es) приведен и равен и?
Рис. 5.2.
Удаляя область с меткой г, перейдем от М' к новой карте М.~
Тогда М — искомая диаграмма. Наконец, из минимальности числа'
т следует, что диаграмма М приведена (как в доказательстве ле.ммь^
2.1). □
Назовем М диаграммой сопряженности для элементов и и «
Построение диаграммы сопряженности не требует наложения к|
ких-либо условий на R. Если R удовлетворяет условиям сокр«
щения С{р) и T(q), то М по лемме 2.2 является кольцевой (q, р
картой.
Обратимся теперь к случаю, когда R удовлетворяет одному п
условий сокращения С (1/6) или С' (1/4) и Г (4). Пусть и и z— н|
тривиальные циклические ^-приведенные слова, которые сопряжец
в G, но не являются сопряженными в F. Наша цель —описать refl|
метрию диаграммы сопряженности М для элементов и м г. Нами
будет получена очень сильная структурная теорема. Мы докажем^
что либо все области карты М обладают ребрами на обеих грани-
цах, либо М имеет «толщину» двух областей, как показано на рис.'
5.2 (Рис. 5.2(a) иллюстрирует случай С'(1/6), а рис. 5.2(b) иллк>
стрирует случай С'(1/4) и Ё(4). Число областей внутри слоя пере4
менно.) 4
Теорема 5.3. (Структурная теорема для подходящих кольце-
вых Р-диаграм.) Пусть R удовлетворяет одному из условий
5. Проблема сопряженности
341
(1) С'(1/6);
(2) С'(1/4) и Т(4).
Допустим, что имеют место три предположения'.
(А) М — приведенная кольцевая R-диаграмма.
(В) Пусть а и т — соответственно внешняя и внутренняя
границы для М. Если D — такая область, что а1 = dD Г) о связен,
то неверно, что <р (о,) > (1/2) R. Допустим, что то же предпо-
ложение верно при замене а на т.
(С) М не содержит области D, такой, что dD содержит
ребро как из о, так и из т.
Пусть (q, р}—это (3,6) или (4,4) в случаях (1) и (2) соответ-
ственно. Тогда М удовлетворяет трем условиям:
(i) Для каждой области D граница dD содержит некоторое
граничное ребро карты М.
(ii) i (£>) = р/q 4-2 для всех областей D карты М.
(iii) d(y) = q для всех внутренних вершин v карты М.
□ Мы будем доказывать теорему только в случае (1). Доказатель-
ство в случае (2) отличается лишь используемыми числами.
Как обычно, мы можем предполагать, что М не имеет вершин
степени 2. Докажем сначала, что о и т — замкнутые простые пути.
Действительно, допустим, что в о имеется петля Т], т]=4=о. Тогда т]
вместе со своей внутренностью является односвязной /^-диаграммой
ЛД. Однако в этом случае по теореме 4.3 АД должна содержать
некоторую область D, противоречащую условию (В) из предполо-
жений. То же замечание применимо к т.
Допустим теперь, что D — область карты М, такая, что т] =
=dD Г) о — последовательная часть цикла о. Покажем, что dD
обладает по меньшей мере четырьмя внутренними ребрами. По-
скольку R удовлетворяет С'(1/6) и метка на любом внутреннем
ребре является куском, то если бы D имело три или менее внут-
з
ренних ребер, должно было бы выполняться l<p(r])l>-g- И, где г —
метка области D. В этом случае область D находилась бы в проти-
воречии с предположением (В). То же самое рассуждение приме-
нимо к областям D, таким, что dD П дМ — последовательная часть
цикла т.
Покажем, что в М нет областей D, таких, что dD По несвязно.
Предположим, что такая область D существует. Тогда М—D
имеет компоненту, являющуюся непустой односвязной подкартой
К карты М. Пусть D выбрано среди областей из М, для которых
dD П дМ несвязно, таким образом, что число областей в К мини-
мально. Из этого свойства минимальности для D вытекает, что
если Dj — произвольная область из К, такая, что дО}Г\а=£0,
то множество dDj(]o связно. Пусть K'=K(]D. Тогда каждое мно-
жество dKftdDj связно и каждая такая область Dj карты К', кроме
342
Гл. V. Теория малых сокращений
D, имеет по меньшей мере четыре внутренних ребра в К'. Однако
по теореме 4.3 К' содержит не менее двух граничных областей,
каждая из которых имеет, самое большее, три внутренних ребра.
Следовательно, некоторая область из К’, отличная от D, имеет,
самое большее, три внутренних ребра, чего не может быть. Такое
же рассуждение применимо к области D, такой, что dD п т несвязно.
Из отсутствия вершин степени 2 следует, что если D — произ-
вольная область карты М, то dD П dM содержит, самое большее,
одно граничное ребро. Если dD содержит некоторое граничное
ребро, то i(D)^4. Если dD не имеет ребра в dM, то d(D)7^7.
Применим теорему 3.1 к дуальной карте М* для карты М.
Имеем
(5.1) 6(QM.-/iM«)<SM.[4-d(u)] + S°M.[6-d(v)] +
+ 2SU3-d(D)]+2(VM.-EMt).
Поскольку М* имеет не более одной дырки, 6 (Qm* — Лм») О
Так как каждая область карты М имеет внутренние ребра;
М* не имеет изолированных вершин и Ум* ^7. Ем*. Следовательно.
(5-2) 0 < 2м- (4-d (v)] + Zm* С6 ~d М + 22м- [3 -d (°)]-
Используя соответствие между картой и дуальной картой, получаем
(5-3) 0 < 2м [4 - i (О)] + 2м [6-d (°)] + 2 2м [3-d М]-
Мы показали, что ни один член в первой сумме не является поло-
жительным. Кроме того, ни один член в последней сумме не яв-
ляется положительным. Понятно, что любой член в средней сумме
был бы отрицательным, значит, в М нет внутренних областей.
Если бы для некоторой граничной области выполнялось z(Z))>4,
то первая сумма была бы отрицательной; значит, i(D)=4 для всех
областей D карты М. Сходным образом из рассмотрения послед-
него члена получаем d(u)=3 для всех вершин v карты М. □
Теорема 5.4. Допустим, что R ydoenemeopnem odHOMy из условий
(1) С'(1/6);
(2) С'(1/4) и Т(4).
Пусть и и г — нетривиальные циклически R-npueedeHHbie эле-
менты группы F, не сопряженные в этой группе.
Toeda и и г сопряжены в G в том и только том случае, Koeda
существует элемент h группы F, такой, что и* h~1z*h в G,
ede и* и г* —циклически npueedeHHbie элементы, сопряженные с и
и г соответственно, и h ydoenemeopnem cAedyioipuM условиям:
(i) h = by или h = b1b2, ede кaжdoe bJy /=1,2, является nod-
словом, элемента rj из R. (Если R ydoвлemвopяem условию C'(l /8),
mo h~b1.)
(ii) | rf\ < 2q max (| и |, | z |), где q равно 3 или 4 в случае (1)
или (2) соответственно.
5. Проблема сопряженности
343
Таким образом, если F конечно порождена, a R рекурсивно,
то проблема сопряженности в G = F/N алгоритмически разрешима.
□ Достаточность очевидна. Допустим поэтому, что и и z сопря-
жены в G. Сделанные предположения дают возможность построить
диаграмму сопряженности М для и и z. Пусть о и г — соответст-
венно внешняя и внутренняя границы карты М. Возникают две
возможности:
Случай 1. Предположим, что существует область М, граница
которой содержит ребра как из о, так и из т. Доказательство тео-
ремы 5.3 показывает в этом случае, что если Е — область карты
М, такая, что дЕ не содержит ребра, лежащего и в о и в т, то i (Е)^
^p/q+2. Следовательно,
^+2-'(0)]<Е'„ [f+2-Z(£>)] ,
где 2м означает суммирование только по тем областям, которые
содержат ребра, лежащие одновременно впит. Таким образом,
существует по меньшей мере одна область D, такая, что i (О)
Ср/<7 + 2.
При выполнении условия С'(1/6) имеем i(£))^4. Значит,
более 2/6 метки г границы dD встречается в границе карты М.
Поэтому более 1/6 метки г должно встречаться либо в <р(о),
либо в <р(т). Следовательно, справедливо одно из неравенств
| г | < 61 и |, | г | < 61 z При выполнении условия С'(1/4) полу-
чаем | г | < 81 и | или |г| <8|г|. Этим утверждение (ii) доказано.
Существует простой путь 0 от а к т, для которого 0 dD.
Разрезая карту М вдоль пути 0, мы приходим к простой связной
карте М'. Имеем u*b (z*)~1b~1 £ N, где и* и г* — циклически при-
веденные элементы, сопряженные с и и г соответственно, а b —
метка на 0.
Случай 2. Допустим, что ни одна граница областей карты М
не содержит ребер, лежащих одновременно в о и т. В этом слу-
чае применима теорема 5.3. Пусть Мг — объединение пути о и
замыканий всех областей, границы которых содержат некоторое
ребро из а. Аналогично определим Л42, заменяя а на т. Тогда
/И1иА/2 = Л4, причем как /И:, так и /И2— кольцевые карты.
Возьмем произвольную область Dr с граничным ребром е на
внутренней границе карты Мг. Ребро е является ребром на пе-
ресечении границ для Dj и для некоторой области О2 из М>. В этом
случае мы можем построить простой путь 0 от о к т, проходя-
щий вначале по границе области Dit а затем по границе обла-
сти D2. Разрезая М вдоль пути 0, мы получаем, что u*b (г*)-1 Ь-1 £ /V.
Метка на 0 равна Ь1Ь2, где bj — метка на части пути 0, лежа-
щей в D(.
344
Гл. V. Теория малых сокращений
Допустим, что Г! —метка для Dx. Поскольку = p/q -{-2,
более 2/6 этой метки входит в и в 1/6-случае. При выполнении
же условий С'(1/4) и Г (4) более 1/4 метки гг входит в и. Тоже
замечание справедливо и при рассмотрении части метки обла-
сти D2, входящей в г-1.
Если допустить, что R удовлетворяет условию сокращения
С'(1/8), то диаграммы, удовлетворяющей предположениям теоремы;
5.3, существовать не может, поскольку из этого условия и ус-)
ловия (В) следовало бы, что область D, не содержащая ребер,)
лежащих войт, одновременно обязана иметь, самое меньшее]
пять внутренних ребер. Из этого вытекала бы отрицательности
суммы в неравенстве (5.3), чего не может быть. Таким образом]
диаграмма М для и и г должна содержать некоторую область ci
ребрами на обеих границах карты М, и мы находимся в условиях)
случая 1. □
Несмотря на то что предыдущая теорема решает проблему со-'
пряженности, в ней обходится вопрос о точном описании струю)
туры диаграммы сопряженности в случае, когда имеется область,;
содержащая ребро из обеих границ. Это будет сделано в следующей
теореме.
Теорема 5.5. Допустим, что R удовлетворяет либо С'(1/6), либо
С'(1/4) и Г (4). Допустим, что
(А) М — приведенная кольцевая R-диаграмма.
(В) Пусть aui — соответственно внешняя и внутренняя граз
ницы карты М. Если D — область карты М, такая, что o^dD п я
связно, то неравенство <р (oi)>( 1 /2) R не имеет места. Допустим cnpai
ведливость этого предположения и при замене о на т.
(С) Существует область Е карты М, такая, что дЕ пересекает^
обе границы этой карты.
Тогда каждая область D из М имеет ребра как на о, так и на
и i(D)^2.
□ Начнем с определений. Островом карты М назовем ее подкарту,
ограниченную простой замкнутой кривой вида оуа, где и
Т1=т. Мостом назовем ребро из а А т. Покажем, что карта М «вы-
глядит» так, как изображено на рис. 5.3. Если М не содержит
островов, то каждая область имеет внутреннюю степень 2. В про-
тивном случае М состоит из различных островов, связанных мо-
стами или соприкасающихся в общих вершинах. Область внут-
ренней степени нуль сама является островом, а область внутренней
степени один лежит на конце некоторого острова.
Как и прежде, будем доказывать теорему только для С (1/6^
случая. Доказательство для случая С (1 /4) и Т (4) отличается лип
числами. Как обычно, будем предполагать, что М не содерж!
вершин степени 2. Из предположений (А) и (В), точно так же, кг
5. Проблема сопряженности
345
в теореме 5.3, вытекает, что если D — область, пересекающая,
самое большее, одну из границ карты М, то i (0)^4. Более того,
, нет областей, граница которых пересекается с одной из границ
. карты М по несвязному множеству.
В процессе доказательства будем использовать индукцию по
(Числу т областей карты М. Если /п=1, то теорема справедлива.
Сделаем теперь специальное предположение, состоящее в том, что
если р — простой путь ото кт, содержащийся в границе некоторой
области D, то D не лежит по обе стороны от р. Позже мы покажем,
что если это предположение неверно, то М состоит из одной области.
Допустим, что М содержит область Е, такую, что i(£)=0.
Тогда Е является островом. Запишем дЕ=а1т} и предположим, что
Oi начинается в вершине vu а кончается в вершине v2. Построим
новую карту М', выбрасывая область Е вместе с ее границей (ис-
ключая точки щ и и2) и отождествляя щ с v2. Карта М' имеет меньше
областей, чем М, и удовлетворяет всем предположениям теоремы.
Поэтому по индукции теорема справедлива для М', а значит, и
для М.
Осталось рассмотреть случай, когда М содержит область Е,
такую, что i(E)^l и дЕ пересекает обе границы карты М. По-
скольку i(E)~^l, рядом с областью Е имеется область J, некоторое
ребро из границы которой входит в простой путь |3 от о к т, такой,
что $^дЕ. Построим новую карту М' следующим образом. Раз-
режем карту М вдоль пути р и присоединим экземпляр области
Е к той стороне пути (3, который граничит с областью J. (См. рис.
5.4.)
Заметим, что если некоторая область D карты М, D^=E, имеет
ребра как на о, так и на т, то пересечение границы dD и границы
для М' не является последовательной частью в дМ'. Кроме того,
если D имеет ребра только на одной границе для М, то 1(D) по-
прежнему не менее 4 в М'. По теореме 4.3
(5.4) SM4-»’Р)]> 6.
Согласно предыдущим замечаниям, только Ei и Е могут давать
положительный вклад в эту сумму. Поскольку i(Ei) по меньшей
346
Гл. V. Теория малых сокращений
мере равно 1, имеется только две возможности: либо i (ЕГ)=1' (E) = lt
либо г(Е'1)=2, и тогда i(E)=0. Используя лемму Гриндлингера
(теорема 4.5), покажем, что последняя возможность ведет к про-
тиворечию. В самом деле, поскольку М' содержит более чем одну
область и так как только Е^ и Е дают положительный вклад в сумму
(5.4), из i(£'i)=2 следует, что М' не может содержать двух обла-
стей, каждая из которых имеет внутреннюю степень, не превосхо-
дящую 1. Это противоречит лемме Гриндлингера. (В случае условий
С'(1/4) и Г (4) в этом месте следует использовать теорему 4.6.)
Поэтому в карте М' имеем i(E1) = \, a 1(E) равно 1 или 0. Таким
образом, на карте М область Е имеет в точности одно граничное
ребро на границе с областью J. Далее, если имеется область К по
другую сторону области Е, то пересечение границы области Е с К
содержит в точности одно ребро этой границы. То же самое рас-
суждение можно применить к К и J. Таким образом, двигаясь от
Е, мы можем доказать, что все области из того же острова, на
котором лежит Е, имеют внутреннюю степень, не превосходящую 2.
Если на карте М нет островов, то этот процесс движения от Е за-
метает ее всю, так что можно предположить, что М содержит ост-
рова. Построим карту /Иъ выбрасывая остров, на котором оказа-
лась область Е, и отождествляя концевые точки. К АД применимо
предположение индукции, и, значит, теорема справедлива как для
Mlt так и для /И.
Осталось оправдать сделанное нами специальное допущение.
Пусть некоторая область Е карты М такова, что по ней проходит
простой путь р от а к т и Е лежит по обе стороны этого пути. Перей-
дем к односвязной карте М', разрезая карту М вдоль пути р. (До-
полнительные области на этот раз не появляются.) Если М' со-
держит более чем одну область, то справедливо неравенство (5.3).
Поскольку Е — единственная область, которая может дать поло-
жительный вклад в правую часть этого неравенства, оно невозможно.
Значит, карта М обладает лишь одной областью. □
б. Проблема равенства слов
347
С этого момента действие будет развиваться по двум в равной
мере интересным, но независимым направлениям. Следующие три
раздела посвящены более детальному изучению геометрии (д, р)-
карт, решению проблем равенства слов и сопряженности в случае,
когда F — свободная группа, а конечное множество R удовлетво-
ряет неметрическим условиям С(р) и T(q), и приложениям к груп-
пам узлов.
Вторая возможность — переход к изучению алгебраических
приложений теории малых сокращений. Эти приложения исполь-
зуют теорию малых сокращений над свободными произведениями,
свободными произведениями с объединенной подгруппой и HNN-
расширениями. Читатель, интересующийся только алгебраиче-
скими приложениями, может перейти к разд. 9.
6. Проблема равенства слов
В этом разделе мы продолжим изучение свойств односвязных
[р, <?]-карт и разрешимость проблемы равенства слов при нало-
жении неметрических условий С(р) и Т(д). Полученные здесь
результаты принадлежат Линдону [1966]. Нашим основным резуль-
татом будет теорема о площади. С комбинаторной точки зрения
разумно определить площадь карты М или как число VM вершин
этой карты, или как число FM областей этой карты. Если читатель
нарисует несколько [р, <?]-карт, то он увидит, что они «растут по
направлению к границе», т. е. увеличение размера карты отра-
жается на ее границе. Мы покажем, что площадь односвязной [р, q]-
карты ограничена некоторой функцией, зависящей только от гра-
ницы. Из этого факта легко получается решение проблемы равен-
ства слов.
Лемма 6.1. Если М — [р, qj-карта, такая, что каждая ее
компонента является либо односвязной, либо кольцевой, то
(6.1)
и
(6.2) <7 Ел, [Р-“<(”)]
□ Перепишем формулу (3.1) в виде
EM = ^lP-d^ + j^lP-d^ + ^-d(D)-]-q(Q-h).
Поскольку М является [р, р]-картой и Q h, то только первый
член может быть положительным. Следовательно,
348 Гл. V. Теория малых сокращений
Пусть Л41 —подкарта карты М, получающаяся вычеркиванием
всех изолированных вершин. Из Улц Ем, с помощью леммы 3.2
получаем [р —d(v)].
Если изолированных точек нет, то заключение леммы дока-
зано. Если изолированные вершины имеются, то обозначим через
Qo их число, а через Л10— подкарту карты Л4, состоящую из
этих вершин. Тогда
7ЕмДР-^И = <$о> <2о==Ум0.
Поскольку V'M = V'm, +Ел4„, лемма доказана. □
Определение. Пусть М — произвольная карта. Граничный слой
карты М состоит из всех граничных вершин, ребер, содержащих
граничные вершины, и граничных областей карты М.
Если М — некоторая [р, 0-карта, введем обозначение
о(М) = 2м[р — d (03-
Теорема 6.2. (Теорема о площади.) Пусть Мг —односвязная
[р, q\-карта. Тогда
Двойственным образом пусть М — односвязная (q, р)-карта. Тогда
^£(2м[р-^)])2-
□ Докажем вначале, что если М есть [р, 0-карта, содержащая
некоторую внутреннюю вершину, а ЛД получается удалением гра-
ничного слоя карты М, то
а (Л4)—а (Л/1)/э2р.
Перейдем сначала от М к М', удаляя по одной граничные вер-
шины степени 1 и изолированные вершины. Если граничные вер-
шины степени 1 имеются, рассмотрим одну из них, скажем v. Пусть
М'" получается изМ удалением вершины v и ребра е, содержащего
V. Вершина v дает вклад р—1 в сг (Л4). Поскольку р>2, р—1>1.
Пусть v2— другая концевая точка ребра е. В карте М"' степень
d(v2) уменьшилась на 1, откуда о(М)—о(Л4'") = [(р—1)—1 ]>0 и
сг (Л4)^<г (ЛГ"). Будем удалять граничные вершины по одной, пока
они все не будут удалены. Обозначим через М" конечный результат
этого процесса. Тогда о (Л4)^о (Л4"). В результате удаляются все
компоненты карты М, являющиеся деревьями, а также всё шипы/
прикрепленные к М.
Пусть М' получается из М" вычеркиванием всех изолированный
вершин. Если их число равно Qo, то их вклад в сг(ЛГ') равен Qop.\
Следовательно,
6. Проблема равенства слов
349
Теперь мы в состоянии показать, что о(М')—o(Mi)J>2p. Мы
можем предполагать, что М не содержит изолированных вершин,
а также граничных вершин степени один, и не будем вводить М'.
(1) Пусть n = 2M[p-d(t')].
(2) Пусть rtj = 2м [P~^i (и)]> где dj —функция степени для Мг.
Пусть £ —множество ребер с концами на дМ.
(3) Пусть е,— число ребер в точности с одним концом на дМ.
(4) Пусть е2 —число ребер с двумя концами на дЛ4.
(5) Пусть s = '£Md(v). Тогда
(6) s = 81 + 2e2.
(7) Пусть f(v) = d(v) — (v). Тогда /(и) —число ребер, содер-
жащих v и лежащих в
Если v £ дAlj, то V — внутренняя вершина карты М nd(v)^p.
Следовательно, используя (7), получаем
(8) «1 = 5м, [Р-^1(0]С2м, [^(у)-^1(0] = 2м, Ж-
(9) 2м,Ну) = е1-
. (10) Можно записать п = 2м р — d (v) = рУм— s.
Отсюда, используя (6), (8) и (9), выводим
(11) п—пг = рУ'м — S — пг > рУ'м— s — 81 = рУ’м — 2s-)-282.
Поскольку в М нет изолированных вершин или граничных
вершин степени 1, имеем
(12) Ем<82.
Поэтому
(13) п — п^рУм — 2s + 21/m = 2[(p/2 + 1)1/m — s]
или, используя (5) и переписывая,
(14) п - П1 > 2 Ум [(р/2 + 1) -d (v)] = 2 Si, [(p/q) Д 2 - d (v)].
По следствию 3?3 эта последняя сумма не меньше 2р. Значит,
(15) о^-о^,)^.
Теперь нам нужно доказать, что VM^.(q/p2)a(M)2— (q/p2)n2.
Заметим, что это следует из леммы 6.1, если граничный слой
для М состоит из всей карты М. Действительно, в этом случае
Ум = Ум «С (<?/р) 2^[Р ~ d(v)] и 2м [р — d(v)]^p для всех не-
пустых карт. Будем вести доказательство индукцией по числу
вершин в М. Сделанное замечание позволяет нам считать, что М
содержит некоторую внутреннюю вершину.
Далее, Ум равно Ум плюс число вершин в граничном слое,
т. е. Ум = Ум, + Ум- По предположению индукции и лемме 6.1
имеем
Ум<^(»-2р)г + |п =
= ji [«2 — 4рдг + 4рг + пр] < [п2 — 2пр Д 4р2].
Заметим, что если п<2р, граничный слой должен состоять из всех
вершин карты М, так как в противном случае мы получим проти-
воречие с формулой (15). Это позволяет предположить, что п^2р,
350
Гл. V. Теория малых сокращений
-------------------------:----------:--:------------------4--
2рщ>4р2. Поэтому
^<^2 = ^(Л4)2.
Вторая часть теоремы непосредственно получается из первой пе-
реходом к дуальным картам. □
Теперь мы можем быстро доказать разрешимость проблемы
равенства слов для конечных множеств R, удовлетворяющих нашим
предположениям.
Теорема 6.3. Пусть F — конечно порожденная свободная группа,
R — конечное симметризованное множество элементов группы F
и N — нормальное замыкание множества R. Если R удовлетворяет
условию С (6) или условиям С (4) иТ (4), или С(3) иТ (6), то проблема
равенства слов в группе FIN алгоритмически разрешима х).
□ Пусть w — произвольное слово из F. Если w £ N, то рассмотрим
диаграмму М минимальной /^-последовательности для w. Тогда Л4
является (<?, р)-картой, где (q, р) — это (3,6), (4,4) или (6,3) в за-
висимости от случая.
По теореме о площади число областей в М не превосходит ве-
личины (д/р*)фм1р—Для области карты М неравенство
р—г(П)>0 выполняется только в том случае, когда dD содержит
некоторое граничное ребро. Поскольку не более Ы областей карты
М могут содержать граничное ребро, получаем
Если d = {qlp2) (р21 w |2) = q | w |а, число областей карты М не
превосходит d. Положим L = шах^.ея | г,-1.
По лемме 1.2 .ау = («(гМ-1) ... (u^r'u^1), где m^.d, ни одно;
\ut\ не превосходит d (L +1 w |) и все r'i лежат в Д. Так как*
каждое такое произведение лежит в N, остается сделать вывод,^
что w£N тогда и только тогда, когда ^ ^(ujrp/i'-1). . .(г/)пг'гп';-1),
где m^Zd и | и,-1 d (L 1 w |).
Имеется лишь конечное число таких произведений, и можно,
проверить, равно какое-нибудь из них слову w или нет. Таким
образом, проблема равенства слов в GIN алгоритмически разре-
шима. □
*) Как уже отмечалось, при Х<1 /5 из условия С'(А) следует условие С(в) и по
приведенной теореме в группе F/R проблема равенства слов разрешима. Заменим
в условии С'(А-) строгое неравенство на нестрогое и обозначим полученное условие
через С'(<Х). В работе А. И. Гольберга [1978*] указан несложный процесс пе-
реписки, переводящий конечное представление в ему эквивалентное, но уже удов-
летворяющее условию С'(<1/5), что говорит о невозможности усиления резуль-
тата Линдона в данных терминах,— Прим, ред.
7. Проблема сопряженности 351
7. Проблема сопряженности
В этом разделе мы докажем некоторые результаты, необходи-
мые для работы с кольцевыми (q, р)-картами и для решения про-
блемы сопряженности. Для иллюстрации несправедливости тео-
ремы о площади для кольцевых карт возьмем, например, прямо-
угольник, разделенный на тп квадратов, и изогнем его так, чтобы
получилось кольцо, причем отождествляться будут стороны, раз-
деленные на п отрезков. В результате имеем покрытие кольца
картой типа [4, 4]. Длина границы равна 2m, а число областей
равно тп, причем п произвольно. Таким образом, не может быть
такой функции от числа граничных вершин, которая ограничивала
бы число областей в кольцевой (<?, р)-карте.
Однако, если читатель попытается построить кольцевые (<?, р)-
карты с несколькими слоями, он увидит, что число областей в слое
обязано оставаться неизменным или возрастать по направлению
к одной или обеим границам. Пусть М — кольцевая (<?, р)-карта;
рассмотрим последовательность карт М=М0, Mlt ..., Mh, где Л4|+1
получается из Л4г удалением граничного слоя карты Mt. Нами
будет доказано существование функции от границы карты Л4,
ограничивающей число граничных областей в каждой из карт Л4г.
Именно это свойство позволит нам положительно решить проблему
сопряженности. Результаты этого раздела взяты из статьи Шуппа
11968].
Лемма 7.1. Пусть М есть [р, д\-карта, такая, что каждая ее
компонента либо односвязна, либо является кольцевой. Тогда
(71) Ем [f+2-rf(0] >0.
□ Доказательство аналогично выводу следствия 3.3 из основных
формул теоремы 3.1. □
Свяжем теперь дуальные карты с операцией удаления граничного
слоя.
Лемма 7.2. Если М — некоторая карта, М* — дуальная к ней
карта и получается из М удалением граничного слоя, то Ah
дуальна к карте М*.
□ Поскольку М* дуальна к карте М, внутренние вершины и из
М находятся во взаимно однозначном соответствии с областями D*
карты М*, причем v^D*. Более того, каждое внутреннее ребро е
из М пересекает в точности одно ребро е* из М*. Поэтому необхо-
димо показать, что ребра карты ЛД — это в точности ребра карты
М, пересекающие внутренние ребра карты М*. Это эквивалентно
тому, что ребро карты М* является граничным в этой карте в том
и только том случае, когда оно пересекает некоторое ребро карты М,
352
Гл. V. Теория малых сокращений
которое содержит граничную вершину карты М. Пусть е — внут
реннее ребро карты М, содержащее граничную вершину v из дЛ
(рис. 7.1(a)). Ребро е пересекается некоторым ребром е* карты Л1
в точке Р (не являющейся вершиной.) Часть дуги е от Р к v уходи
Рис. 7.1.
в —М, т. е. и в —М*. Поскольку е не может пересекаться никаки!
другим ребром карты М*, е* — граничное ребро для М*. |
Пусть е — некоторое ребро из М, обе концевые точки которой
являются внутренними вершинами для М (рис. 7.1(b)). Ребро (
пересекается ребром е* из М*. Последовательность ребер, отличньп
от е, которая соединяет вершины, получающиеся из областей J
карты М, на границе которых лежит Ci или с2, окружает е* со все
сторон, так что е* —внутренняя вершина карты М*. □
Следствие 7.3. Если М — некоторая карта, М* — дуальнс
к ней карта, а Мх и М\ получаются удалением граничных слоев i
М и М* соответственно, то М' — карта, дуальная к карте Мг. I
Если М— некоторая карта, то положим о'(Л1)=^м[р—i (D
и определим Р(Л1) как число областей в граничном слое для Л
Теорема 7.4. (Теорема о слое.) Пусть М — некоторая (q, р
карта, такая, что каждая ее компонента — это односвязная ш
кольцевая карта. Рассмотрим последовательность карт М=М
Mi, . .., Mh, где М, получается удалением граничного слоя из
а граничный слой для Mk совпадает с Mh. Тогда
(7.2) j- о' (М) max {р (М;); 1 = 0, .... /г}.
□ Допустим, что К — произвольная [р, (уЬкарта, каждая компот
нента которой односвязная или кольцевая. Утверждается, чт<|
если Ki — подкарта карты К, получающаяся из К удалением гра*|
ничного слоя, то
(7-3)
о(К)>о(Кг).
7. Проблема сопряженности
353
Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на доказательство
теоремы о площади, В части от начала доказательства до шага (14)
односвязность карты не была использована. Фактически там было
доказано, что для произвольной [р, </]-карты, обладающей внут-
ренней вершиной,
а (К)—a (Kf) > 2 [.Р/Q + 2—d (v)].
В настоящем доказательстве последняя сумма неотрицательна
по лемме 7.1. Поэтому а (К) a (Л\).
Пусть теперь Ма, ..., Mk — карты из формулировки теоремы.
Пусть М* — карта, дуальная к карте М. Рассмотрим последова-
тельность М* — Mo, М*, ..M*k карт, такую, что M*t+1 получается
из M*t удалением граничного слоя.
По следствию 7.3 каждая М* дуальна к карте Mt. По первой
части доказательства а (М*) а (М*) о (Л4^). Поскольку
М/ дуальна к карте Мг, имеем о (Ml) = о' (М(). В силу дуаль-
ности P(A1Z) = V^*. По лемме 6.1 имеем Это
доказывает теорему. Q
В соответствии с только что доказанным результатом нашей
основной стратегией при решении проблемы сопряженности будет
последовательное удаление граничных слоев из диаграмм сопря-
женности с целью получения новых диаграмм сопряженности. Тео-
рема 7.4 будет использована нами для ограничения длин меток на
границах новых диаграмм сопряженности. Определенную осто-
рожность следует проявлять в связи с тем, что удаление граничного
слоя из кольцевой карты ведет, вообще говоря, к карте, которая
не обязана быть кольцевой.
Пусть А — некоторая кольцевая карта и й — граничный слой
для А. Карта С=А—В может состоять из нескольких компонент.
Однако, самое большее, одна из этих компонент является кольце-
вой. Любую односвязную компоненту карты С мы будем называть
брешью в В. Таким образом, брешь — это связная односвязная
подкарта в А, которая не содержит ни одной граничной области,
но со всех сторон окружена граничными областями.
Пусть Ki, . .., Кп — бреши в б и В' —В U Ki U • • • U Кп. Тогда
Н=А—В' —это кольцевая компонента карты А—В, если вообще
кольцевая компонента имеется. В противном случае Н пусто. Бу-
дем говорить, что Н получается из А удалением граничного слоя и
брешей. Сформулируем одно достаточное условие того, что Н коль-
цевая диаграмма.
Пусть А — произвольная кольцевая карта, а о и т —соответ-
ственно ее внешняя и внутренняя границы. Пара (Dt, D2) обла-
стей из А (не обязательно разных) называется парой, связываю-
щей границы, если а П дО^ф, dD1ndD2=^ 0 и 0.
12 № 968
Гл. V. Теория малых сокращений
354
----------------------------------------------------------.
Лемма 7.5. Пусть А — кольцевая карта, обладающая по меньшец
мере одной областью. Допустим, что Н получается из А удаление^
граничного слоя и брешей в нем. Если не существует пар, связыва-
ющих границы в А, то Н — кольцевая карта, обладающая по мень-
шей мере одной областью.
□ ДЛусть о и т — соответственно внешняя и внутренняя границу
карты А. Если D — область из Л, такая, что dD П<т¥=0, то D ца.
зывается внешней граничной областью карты А. Аналогично оп-
ределяется внутренняя граничная область. Подобным же образом
будет проводиться различие между внутренними и внешними гра-
ничными вершинами и ребрами. Ни одна из областей D карты А
не может быть одновременно внешней и внутренней, поскольку в
этом случае пара (D, D) связывала бы границы в А.
Если К — брешь, она окружена граничными областями Db
Поскольку пары, связывающие границы в А, отсутствуют, последо-
вательные Di либо обе внутренние, либо обе внешние. Таким об-
разом, К окружена целиком внешними или целиком внутренними
граничными областями. В соответствии с этими двумя возможно-
стями К будет называться внешней или внутренней брешью.
Пусть Ci — объединение всех внутренних граничных вершин,
ребер, содержащих внутренние граничные вершины, внутренних
граничных областей и внутренних брешей. Заменяя слово «внут-
ренний» на слово «внешний», определим множество С2. Тогда В' =
=Ci и С2. Допустим, что ti — граница неограниченной компо-
ненты для —Ci, a Oi — граница ограниченной компоненты для —Сг.
Тогда Tj лежит внутри оу и ац, — границы для Н. Любая вер-
шина из оу или Tj лежит на границе некоторой граничной области
для А. Поскольку в А нет пар, связывающих границы, o1f}t1 = 0.
Так как Н содержит всю часть карты А, лежащую между щ и ти
в Н должна быть хотя бы одна область. □
Займемся теперь решением проблемы сопряженности.
Теорема 7.6. Пусть F — конечно порожденная свободная группа,
R — конечное симметризованное непустое подмножество в F и N —
нормальная подгруппа группы F, порожденная множеством R-
Если R удовлетворяет одному из условий С (6), С (4) и 7(4) или С(3)
и 7(6), то в G=F/N разрешима проблема сопряженности.
□ Перед доказательством приведем алгоритм, с помощью которого
мы собираемся решать проблему сопряженности в G. Допустим,
что имеют место предположения из формулировки теоремы. Пусть
Ю1 и wt — элементы из F. Пусть также L — длина самого длинного
слова из R. (Мы предполагаем, что 7^2.) Определим отношение
полагая тогда и только тогда, когда существует b из F,
такой, что |b|^7/2 и bw1b~1wi'1 С N. Поскольку группа F конечно
7. Проблема сопряженности ЗВб
порождена и проблема равенства в G разрешима, отношение ~
эффектнвно.
Допустим, что миг циклически приведены. Пусть d=q(lul-Hz!)
(где q равно 3, 4 или 6 в зависимости от случая). Рассмотрим W=
= {w, w£F, lanl^t/Л}. Определим отношение полагая «~~г
тогда и только тогда, когда существуют ani, . .., Wh из W, такие, что
и ~ ~ ~ wk ~ г.
Поскольку F конечно порождена, W — конечное множество. Легко
видеть, что все w, такие, что W и u~^w, могут быть эффек-
тивно выписаны. Мы будем доказывать, что «иг сопряжены в G
в том и только том случае, когда «~~г. Достаточность этого ус-
ловия тривиальна.
Допустим, что wgWnw* — циклическая перестановка слова w.
Ясно, что w~~w*, поскольку мы можем последовательно сопря-
гать порождающими группы F до тех пор, пока w не перейдет в
w*. Это свойство отношения ~~ будет часто использоваться нами
без дальнейших комментариев.
Пусть миг — циклически приведенные слова, представляющие
сопряженные элементы из G. Если «иг сопряжены в свободной
группе F, то г — циклическая перестановка слова « и «~~г по
сделанному выше замечанию. Предположим поэтому, что «иг
не сопряжены в F и М — диаграмма сопряженности для «иг.
Тогда М — кольцевая (q, р)-карта, такая, что (q, р)=(3, 6), (4, 4),
(6, 3) в зависимости от случая. Так как граничными метками для
М являются и и г-1, не может быть более |м|+|г) областей, имеющих
ребра на границе дМ. Если D — область из М, такая, что dD
не содержит ребер, имеем i(D)^p. Понятно, что
-рТлм W]^q(\u\ + \z\).
Пусть d—q(|«| + 1г|).
Рассмотрим теперь последовательность карт М=На, Hi,
..., Hh, где Н, получается из //,•_! удалением граничного слоя и бре-
шей карты Нa Hk — первая из карт, получающихся этим про-
цессом, в которой имеется пара, связывающая границы. Пусть также
М=Ма, Ми ..., Mk — последовательность карт, в которой Mt
получается из М1_1 удалением граничного слоя. По построению
число Р(Л1г) граничных областей в каждой Мt не меньше числа
Р(Я,) граничных областей в соответствующей Н(. По теореме 7.4
fi(Mi)^d, Q^i^k. Таким образом, $(Ht)^.d, OsSCt^fe.
Если i > 0, то каждое граничное ребро карты Ht является
ребром на границе некоторой области из граничного слоя карты
Я;_1. Таким образом, если аэ —метка на любом граничном слое
любого из Я/, i==0, .... k, то и
12*
356
Гл. V. Теория малых сокращений
Пусть <т, —внешняя граница карты Ht и rz—внутренняя гра.
ница этой карты. Обозначим через S{, t = 0, 1 подкарту
в М, состоящую из о(, oi+1 и всей части карты М, лежащей
между oz и oz+1. Определим Тit / = 0, k—\, как подкарту
в М, состоящую из tz, tz+1 и всей части карты М, лежащей
между т; и tz+1. (См. рис. 7.2).
По определению карт Sz, 1^0, каждая граничная область D
карты Sz пересекает как внешнюю, так и внутреннюю границу
для Sz. Существует простой путь yz от <rz к oz+1, такой, что
| <р (у) | L/2. Разрезая Sz по пути у,-, мы получаем sz~sz+1,
где sz и sf+i — соответственно метки внутреннего и внешнего гра-
ничного циклов для S;. Элемент sz+1 является меткой на внешнем
граничном цикле для Sz+1. Аналогично мы видим, что /z~/z+1,
где Ц1 и ti+1 — соответственно метки на внутреннем и внешнем
граничном циклах для Tz.
В Нк имеется пара (Dx, D2), связывающая границы этой карты.
В этом случае найдутся вершины UjCdDifldPs
и v2^dD2QTk. Существует простой путь dD1 от v0 к Vf
с меткой (?!, где \b1 |L/2, и простой путь (3, от vt к v2 с мет-
кой Ь2, где |й2|<1/2. Пусть |3 = |31|:}2. Обозначим через s метку
на внешнем граничном цикле для Нк, начинающемся в у0, а через
/-1 —метку на внутреннем граничном цикле для М, начинающемся
в v2. Разрезая М вдоль (3, получаем, что sb1b2t~rb^rbi1 С ЛГ. По-
этому
s ~ b21sbl
b2tbtl^t.
8. Приложения к группе узлов
357
Поскольку s0 и t0 — циклические перестановки элементов и и г
соответственно, имеем
Il Sg Sj Sfc S t tg Z.
Так как все х,- и tt лежат в W, нами установлено, что ~ г. □
8. Приложения к группе узлов
Одно из интересных направлений в теории малых сокращений —
приложение этой теории к решению проблем равенства и сопряжен-
ности для групп альтернированных ручных узлов. Мы будем пред-
полагать, что читатель знаком с небольшим количеством предвари-
тельных сведений об узлах и их группах, которые могут нам потре-
боваться (см. Кроуэлл и Фокс (19671). В этом разделе слово «узел»
всегда будет означать ручной узел в общем положении относительно
плоскости, на которую он проектируется. (Таким образом, в проек-
ции имеется лишь конечное число кратных точек, причем каждая
кратная точка — изолированная двойная.)
Глубокая теорема Вальдхаузена [1968] утверждает, что группа
любого ручного узла имеет разрешимую проблему равенства. Од-
нако даже мощные методы, развитые Вальдхаузеном с использова-
нием достаточно больших трехмерных многообразий, не проливают
никакого света на проблему сопряженности. Простой узел —
это узел, не являющийся объединением двух нетривиальных узлов.
(Хотя в настоящем историческом обзоре мы и упоминаем понятие
простого узла, в доказательстве оно не нужно.) Вайнбаум [1971]
обнаружил, что если G — группа простого альтернированного узла
К, то группа H=G*';X') — свободное произведение группы G на
бесконечную циклическую — обладает представлением, удовлет-
воряющим условиям предположения о малом сокращении С (4) и
Г(4). Затем Аппель и Шупп [1972] доказали, что проблема сопря-
женности алгоритмически разрешима для группы любого альтерни-
рованного узла.
При обсуждении проекций узла мы будем предполагать, что все
они лежат внутри некоторой плоскости, где мы и будем работать.
Если П — некоторая проекция узла, то дополнение множества П
в нашей плоскости состоит из конечного числа областей (связных
компонент), которые мы всегда будем обозначать через Хо,
. . . , Хт+1, где Хо — неограниченная область. Нам придется работать
с проекциями, обладающими некоторыми свойствами. Прежде всего,
исходя из произвольной проекции узла К, мы можем эффективно
перейти к проекции П, удовлетворяющей следующему условию:
(1) Произвольная вершина проекции П лежит на границе четырех
различных областей.
Допустим, что нам дана проекция П*, содержащая некоторую
вершину v, в которой встречается только три области. В плоскости
358
Гл. V. Теория малых сокращений
проекции П* существует простая замкнутая кривая 6, пересекаю-
щая П* только в точке v и разделяющая П* на две части. Повора-
чивая узел вокруг части проекции, лежащей внутри 6, мы можем
избежать пересечения в точке V. (См. рис. 8.1. Эта операция раскру.
чивания есть оператор Й.4, детально изученный Райдемайстером
[1932b].)
Если П* альтернированная, то такова же и новая проекция.
Операция раскручивания эффективна и уменьшает число пересече-
ний в проекции. Таким образом, через конечное число шагов мы
придем к проекции, удовлетворяющий условию (1). С этого момента
мы будем предполагать, что все проекции удовлетворяют усло-
вию (1).
Исходя из проекции П некоторого узла, мы можем найти пред-
ставление для группы G этого узла. Наиболее общепринятым яв-
ляется представление Виртингера. Однако в целях теории малых
сокращений необходимо прибегнуть к представлению Дэна группы G,
получаемому следующим образом. Пусть F — свободная группа от
порождающих Хо,..., Хт+1. (Мы намеренно используем для порож-
дающих группы F и областей дополнения к проекции П одни и те
же обозначения. Порождающий Xj соответствует пути, начинаю-
щемуся в базисной точке, расположенной над плоскостью Е проек-
ции П, протыкающему Е через Xj, проходящему под Е и возвра-
щающемуся в базисную точку через область Хо.)
Каждая вершина vt проекции П определяет соотношение, ri =
= XoX^1Xt.Xj1, где Ха, Xb, Хс, Xd — взятые по часовой стрелке
четыре области, встречающиеся в вершине vt, причем Ха граничит
с Хь вдоль линии, проходящей сверху и направленной в сторону
вершины Vj.
Тогда группой этого узла будет группа G = (Хо. Хя + 1; • • •
• • •» Г mt Хо ).
Присутствие определяющего соотношения Хо делает эту группу
неудобной для непосредственной работы. На самом деле мы будем
заниматься группой Н, которая получается из G вычеркиванием
определяющего соотношения Хо.
8. Приложения к группе узлов
359
Лемма 8.1. Группа Н = (Х0, ..., Хот+1; ...,ги> является
свободным произведением группы G и бесконечной, циклической
группы.
□ Пусть г) — эндоморфизм группы F, определенный равенствами
t](X0)==l и т](Х/) = Х/, где 1 Тогда G^<Xlt ...
Ха ' ’ хь
xd хс
Рис. 8.2.
.... Xm + i; ^(rj, т](rm)>. Пусть а —автоморфизм группы F,
такой, что а(Х0) = Х0 и а (Ху) = XjX0 для 1 + 1. Из вида
определяющих соотношений понятно, что а(г(.)== т] (г;) для
1 ьС i т.
Поскольку а —автоморфизм группы F, Н^<Х0, ..., Хда+1;
а(г,), ..., а(ги)>. По замечанию, сделанному выше, G ^<Xt, ...
..., Хи+1; а(/\)....a(rm)>. □
Из теории свободных произведений следует, что если проблема
сопряженности или равенства разрешима в G, то она разрешима в
Н, и обратно.
Проекция узла П называется элементарной, если в дополнение
к условию (1) она удовлетворяет такому условию:
(2) В пересечении любых двух областей содержится не более
одного граничного ребра. .
Если К — простой узел, то каждая его проекция с минимальным
числом пересечений является элементарной. Заметим, однако, что
элементарность — свойство именно проекций. Обратимся теперь к
основному результату Вайнбаума.
Теорема 8.2. Пусть II — альтернированная элементарная про-
екция. Тогда представление группы Н удовлетворяет условиям С (4)
и Т(4).
□ Имеется в виду, конечно, что R — симметризованное подмноже-
ство, порожденное соотношениями ги..., гт,—удовлетворяет уело-
360
Г л. И. Теория малых сокращений
виям С(4) и Г(4). Если С(4) не выполняется, то имеется кусок
XjX~k или XjlXk, получающийся из различных элементов г, $
множества R. Соответствующие области Х}, Хк пересекаются в
точности по одному ребру е. Соотношения г и s должны, таким
образом, возникать из вершин на концевых точках этого ребра.
Однако в этом случае, согласно нашему способу построения опре-
деляющих соотношений, в этой проекции должно быть два последо-
вательных пересечения сверху или два последовательных пересе-
чения снизу. Это невозможно, так как П альтернированная.
Если не выполняется условие Т (4), то существуют области
Xit Xj, Xk, такие, что пары Xt, Xf, Х}, Xk; Xk, Xt имеют общие
граничные ребра вц, ejk, ekt соответственно. Построим полный ду-
альный граф П* для графа П. Области Хг, Х}, Хк и ребра ei}, ejk,
eki соответствуют границе треугольника в П*, образованного
вершинами X], X], Хк и ребрами e*ti, e*k, e*ki. Пусть Т* — подкарта
в П*, состоящая из этого треугольника и всего, что лежит внутри
него. Заметим, что каждая область карты Т* имеет степень четыре,
так как каждая вершина карты имеет степень четыре. Пусть е* и
f*—соответственно числа ребер и областей из Т*. Поскольку
сумма степеней областей и числа граничных ребер равна удвоен-
ному числу ребер, имеем 4/*+3=2е*. Из невозможности этого ра-
венства и вытекает справедливость условия Г (4). Для дальнейших
ссылок отметим следующее: доказательство того, что R удовлетво-
ряет условию Г(4), не использует ни альтернированное™ проекции
П, ни того, что она является элементарной. □
Следующий наш шаг основан на работе Шуберта [1949], описав^
шего метод разложения узла на простые части. К счастью, нам
нужно работать только с проекциями. Проекция П будет называться
стандартной, если для нее выполняется условие (1) и следующее
условие:
(3) Существует фиксированная область Xf, такая, что ни одна
пара различных областей не имеет в пересечении более одного
ребра, за исключением пары Х\ и Хо (неограниченная область)]
В стандартной проекции свойство (2) элементарной проекций)
может нарушаться только областями Хо и Хг.
Лемма 8.3. Каждый узел К обладает стандартной проекцией.
Если К — альтернированный узел, то у К имеется альтернирован-
ная стандартная проекция.
□ Пусть П — некоторая проекция для К. Фиксируем область Xf,
имеющую общее граничное ребро с областью Хо. Назовем пару (Ха,
Хь) областей, для которых a<J>, плохой парой, если (Ха, Хь) не
является парой (Хо, Xi) и в пересечении Ха и Хь лежит более од-
ного ребра. Плохая вершина — это вершина, лежащая на границах
обеих областей плохой пары. Если проекция П не стандартна, выбе-
8. Приложения « группе, узлов
361
рем некоторую плохую пару (Ха, Хь). Поскольку в пересечении
областей Ха и Хь имеется более чем одно ребро, существует про-
стая замкнутая кривая Г, лежащая целиком внутри Ха и Хь и та-
кая, что вершины проекции П лежат по обе стороны от Г. Далее Г
можно выбрать так, что X, не лежит внутри кривой Г.
На интуитивном уровне суть рассуждения Шуберта состоит в
следующем. Пусть S — сфера, включающая в себя часть узла,
проекция которой ограничена кривой Г. Узел пронизывает сферу S
дважды. Зафиксируем точку, в которой узел входит в S. Сожмем
сферу и ее внутренность до достаточно малых размеров. Растягивая
узел, продернем S вдоль узла, так, чтобы она оказалась на незаня-
той части ребра е, находящегося на общей границе областей Хо и
Хь (См. рис. 8.3.)
Имея в виду приведенное описание, определим операцию перено-
са на проекции П следующим образом. Пусть П' — часть проекции
П, внутренняя по отношению к Г, а П" — часть проекции П, внеш-
няя по отношению к Г. Построим П* по П следующей процедурой:
(i) Вычеркнем П' и заменим ее простой дугой, лежащей
внутри Г и соединяющей концы части П".
(ii) Вычеркнем малую дугу 6 из ребра е. Заменим 6 кривой S,
геометрически подобной П', но столь малой, что S пересекает П
только в точках присоединения. Проделаем эту замену таким обра-
зом, чтобы ориентация при движении по узлу сохранялась.
(iii) Допустим, что проекция П альтернированная. Поскольку
проекция входит в Г один раз и один раз выходит из Г, каждая
вершина, внутренняя по отношению к Г, при движении по узлу
проходится дважды, один раз по верхней и один раз по нижней
дуге. Следовательно, если П альтернированная, то как П', так и
П" альтернированные. Когда S перемещается на ребро е, могут
возникнуть два последовательных прохождения сверху (снизу),
состоящие из последней вершины, пересекаемой в 2, и следующей
пересекаемой вершины. Если это случится, перевернем S. После
этого прохождения сверху и снизу в S поменяются местами и про-
екция П* становится альтернированной.
Теперь видно, что операция переноса уменьшает число плохих
вершин. Поэтому после конечного числа переносов мы перейдем к
стандартной проекции. Тип узла при этом не меняется ввиду того,
что мы использовали только допустимые преобразования узла. □
Пусть П — проекция, являющаяся стандартной, но не элемен-
тарной. Удалим из каждого ребра, общего для границ областей
Хо и Xi, по одной точке, не являющейся точкой пересечения. Это
разбивает проекцию II на части Jt, которые при соединении их сво-
бодных концов превращаются в элементарные проекции. Назовем
части Jt элементарными частями проекции II.
Если читатель вычислит представление Дэна для группы Н,
возникающей из альтернированной стандартной проекции, не явля-
362
Гл. V. Теория малых сокращений
ющейся элементарной, например из проекции с рис. 8.3, он увидит,
что условие С(4) не выполняется. Впрочем, в указываемом ниже
смысле это представление является достаточно приятным. А именно
пусть F — свободная группа, a R — конечное симметризованное
множество ее элементов длины четыре. Скажем, что R удовлетворяет
условиям С (4) и Т (4) для минимальных последовательностей, если
выполняются следующие два условия:
(1) Если в двух элементах rt, г2 множества R сокращается две
или более букв, то или или — элемент множества R.
(2) Если Г1, г2, г3 — элементы из R и во всех произведениях
Vi, г2г3 и г3гг имеется сокращение, то t\r3r3 — произведение не
более двух элементов множества R.
Лемма 8.4. Пусть F — свободная группа, R^F — конечное
симметризованное множество элементов длины четыре и N — нор-
мальное замыкание для R в F. Если R удовлетворяет условиям С (4)
и Т (4) для минимальных последовательностей, то в G—F/R разре-
шимы проблемы равенства слов и сопряженности.
□ При рассмотрении проблем равенства и сопряженности мы фак-
тически нуждались только в диаграммах для минимальных последо-
вательностей. Из предположения относительно R следует, что если
М — диаграмма минимальной последовательности, то Л4 есть (4,4)-
карта. Таким образом, доказательства теорем 6.3 и 7.6 решают
проблемы равенства и сопряженности в группе G. □
Пусть К — альтернированный узел и П — альтернированная
стандартная проекция этого узла. Допустим, что узел не является
элементарным, так как в противном случае можно прямо использо-
Рнс. 8.3.
8. Приложения к группе узлов
363
вать теорему 8.2. Оставшаяся часть настоящего раздела посвящена
доказательству того, что группа Н может быть представлена таким
образом, что для минимальных последовательностей выполняются
условия С (4) и 7(4).
Выберем ориентацию узла К- В каждой элементарной части Jt
рассмотрим первое и последнее встречающиеся при обходе узла
пересечения. Поскольку П альтернированная проекция, без потери
общности можно предположить, что первое пересечение проходится
сверху. Это пересечение называется верхним пересечением части
Ji. Подобным же образом последнее пересечение называется ниж-
ним пересечением для J t. Определим области 6/ь Vit Pi, Qi следую-
щим образом. Области Ut и V) — это области в точке нижнего пере-
сечения для Jit отличные от Хо и Xit причем U, примыкает к Хо,
а У, примыкает к Xt. Области Рг, Qt — это области в точке верхнего
пересечения для Jt, отличные от Хо и Хи причем Pt примыкает к Хо,
a Qt примыкает к Хг. (См. рис. 8.4.) Возможно, что Pt = Ut или
но оба эти равенства выполняться не могут, поскольку в
этом случае Pt и Q; примыкали бы друг к другу вдоль двух различных
ребер, что противоречило бы элементарности узла Jt.
Заметим, что в представлении Дэна симметризованное множество
соотношений, получающееся из соотношения, возникающего в точке
верхнего пересечения для Jпорождено элементом XiX^PtQ?1,
а соответствующее множество для точки нижнего пересечения порож-
дено элементом Представление, которое мы рас-
сматриваем, является представлением Дэна, пополненным симметри-
зованным множеством, порожденным соотношениями РiQi^QjPj*
(которые мы назовем производными соотношениями, соответствую-
щими верхнему пересечению) и VllU iUJ^V/ (которые мы назовем
производными соотношениями, соответствующими нижнему пере-
сечению), причем i, j пробегают множество всех пар различных
индексов элементарных частей узла /<. Любое из дополнительных
соотношений называется производным соотношением.
Если два соотношения из различных частей имеют общий порож-
дающий, то этот порождающий либо Хо, либо Xt, Следующее наблю-
364
Гл. V. Теория малых сокращений
дение является решающим в нашем доказательстве. В любом про.
изводном соотношении, соответствующем нижнему пересечению,
при рассмотрении двух последовательных вхождений порождаю-
щих из одной и той же элементарной части показатель меняется с
положительного на отрицательный. При рассмотрении последова-
тельных вхождений порождающих из разных элементарных частей
показатель меняется с отрицательного на положительный. Для
производных соотношений, соответствующих верхнему пересече-
нию, картина противоположная.
Напомним два следующих факта из доказательства теоремы 8.2.
Для соотношений, возникающих из каждой элементарной части,
выполняется С(4). Симметризованный набор соотношений, не яв-
ляющихся производными, удовлетворяет условию Т(4).
Для проверки условия С (4) для минимальных последователь-
ностей нам нужно показать, что если щ и г2 — соотношения, такие,
что /уГа имеет длину четыре или менее, то г^а либо тривиально,
либо является еще одним соотношением. Теорема 8.2 показывает,
что два соотношения из одной и той же элементарной части, не являю-
щиеся взаимно обратными, не могут сокращаться более чем на одну
букву. Если ни г1( ни г2 не является производным соотношением и
если они получаются из различных элементарных частей, то сокра-
тившиеся порождающие — это Хо и Xj. Поскольку соотношения из
каждой элементарной части удовлетворяют С (4), Tj — это соотно-
шение, соответствующее верхнему или нижнему пересечению своей
элементарной части. Так как в г2 сократились две буквы, г2 — это
соотношение, возникающее из соответствующего пересечения своей
элементарной части, а г\г2 — производное соотношение. Таким
образом, можно предположить, что одно из этих соотношений —
без потери общности можно считать, что это rlt— производное
соотношение. Поскольку рассуждение симметрично относительно
верхних и нижних пересечений, мы будем предполагать, что г\ —
производное соотношение, соответствующее верхнему пересечению.
Случай 1. Допустим, что равно РiQi^QiPf1. Если г2 — соотно-
шение, соответствующее некоторому пересечению в J,, то оно должно
иметь вид PjQ^X.! Х^1, так как для соотношений из элементарной
части выполняется С (4). Таким образом, r1r2=PiQrlX1X^1. Если
г2 — производное соотношение, соответствующее верхнему пересе-
чению, оно должно иметь вид PjQ^QkPk1 и Г1Г2 равно PtQi'QhPk1'
Допустим, наконец, что г2 — соотношение, соответствующее ниж-
нему пересечению. Тогда г2 обязано начинаться с UjVp1 (где Uj=Pj
и Vj—Qj). Это невозможно.
Случай 2. Пусть t\ равно Q^QjPj^Pt. Понятно, что г2 должно
быть производным соотношением. Если оно соответствует пересе-
чению сверху, оно должно равняться rf1. Если г2 соответствует
пересечению снизу, оно должно начинаться с Ui'Uj (где Ui=Pi и
8. Приложения к. группе узлов
365
Uj=Pj). Однако такая последовательность показателей невозможна
для соотношений, соответствующих пересечению снизу.
При проверке условия Т (4) для минимальных последователь-
ностей мы можем предполагать, что гг~ производное соотношение
и что в произведениях i\r2, ггг3 и r3rt в точности одна буква из каж-
дого сомножителя сокращается.
Случай 1. Допустим, что /-j —это PfQi'QjP'i'1. Если гг — про-
изводное соотношение, соответствующее пересечению сверху, то
произведение г/2 не является минимальным. Таким образом, эту
возможность следует отбросить.
Подслучай (i). Предположим, что Pj — Uj и r2 — U
Тогда г3 имеет вид VJA~lBPi’1. Поскольку Ру = U,, должно быть
Vy=#Qy. Следовательно, г3 является определяющим соотношением,
соответствующим пересечению снизу, r3 = V^Vr1UiU]'1. Однако
тогда Pt = Uj, что противоречит единственности элементарной
части, в которой лежит Р{.
Подслучай (ii). Случай, когда г, — производное соотношение,
в точности совпадает со случаями, когда t\ и г2 — производные
соотношения. (Надо рассмотреть последовательность r3, f\, г2.)
Таким образом, можно предполагать, что ни г2, ни г3 не являются
производными соотношениями. Тогда г2 получается из элемен-
тарной части Jа г3 получается из элементарной части J,-. По-
рождающий, сокращающийся в произведении г2г3, должен равняться
Хо или Ху. Далее, г2 начинается на Ру, a Pf примыкает к Хо.
Область Ру не может примыкать к Ху, так как тогда Ру, Хо
и Ху—три области, каждая пара из которых имеет в пересечении
общее ребро. Доказательство теоремы 8.2 показывает, что это
невозможно. Остается сделать вывод, что последняя буква в гг —
это Хт1. По условию С (4) на соотношения из элементарной части Ту
имеем r2 = PyQf’XjXo-1. Следовательно, г3 = ХаА~1ВР~г. По С(4)
в имеем r3 — XaXy1QiP7x. Значит, г2г3 не является мини-
мальным.
Случай 2. Допустим, что г^ — это Q71Q.jPJ1 РКак и прежде,
если г2 —производное соотношение, соответствующее пересечению
сверху, произведение t\r3 не является минимальным.
Подслучай (i). Если г2 —производное соотношение, соответ-
ствующее пересечению снизу, то Р,- = Ut и гг = Ui'ViVk 1Uk. Тогда
г3 имеет вид U^AB^Qf Поскольку Q(-#=VZ, r3 = РТ'Р&Р'Qt,
что влечет за собой неверное равенство Pi — Uk при i=#fe.
Подслучай (ii). Предположим, что ни г2, ни г3 не являются
производными. Тогда они оба получаются из некоторой элемен-
366
Гл. V. Теория малых сокращений
тарной части JПоскольку rlt г2, г3 имеют сокращения во всех
последовательных произведениях, тем же свойством обладает
и последовательность г[, гг, г3, где r'1 = Q[1XlX31P!. Это проти-
воречит условию Т (4) на соотношения из J t, если только одно
из соотношений г2, г3 не имеет вида Последнее предполо-
жение дает противоречие по той причине, что тогда одно из слов
г2, г3 не является циклически приведенным. Если, например,
r2 = (ri)-1> то G обязано начинаться с Qi1 и кончаться на Qt,
поскольку в г2г3 и r3t\ должно быть сокращение. Этим доказа-
тельство того, что пополненное представление для Н удовлетво-
ряет условию С (4) и Т (4) для минимальных последовательностей,
закончено. Таким образом, нами доказана
Теорема 8.5. Проблема сопряженности в группе G альтерниро-
ванного узла К алгоритмически разрешима. □
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
В этом разделе мы разовьем теорию малых сокращений над сво-
бодными произведениями. Основой изложения служит работа Лин-
дона [1966]. Если F— свободное произведение нетривиальных
групп Xj, то каждый неединичный элемент w из F единственным
образом представим в нормальной форме как w=yx. . .уп, где каждая
из букв у, является нетривиальным элементом одной из групп Xj,
причем соседние yt, yi+1 принадлежат разным свободным множите-
лям. Число п — длина элемента w, в обозначениях |и>|.
Если и = уг.. .ykc1.. .ct и ц = с/-1.. .c^1dl.. .ds в нормальной
форме, где то говорят, что буквы cv . . ., ct сократились
в произведении uv. Если yk и dt лежат в различных множителях
группы F, то w = uv имеет нормальную форму уг. .-.ykd1. . ,ds.
Возможно, что dj и yk лежат в одном множителе группы F, но
di^yk1- Положим a — ykd1. Тогда w = uv имеет нормальную форму
У1 • • -Ук-1а^2-• -dt- Будем говорить, что буквы yk nd, слились
и дали букву а в нормальной форме произведения uv.
Скажем, что слово w имеет приведенную форму uv, если нормаль-
ная форма для uv получается сцеплением нормальных форм для
и и V. Таким образом, в этом случае между и, v нет ни сокращений,
ни слияний. Скажем, что w имеет полу приведенную форму uv, если
w—uv и между и и v нет сокращений. Слияния вполне возможны.
Напомним, что элемент w из F с нормальной формой w=yt..
.. .уп называется циклически приведенным, если Itwl^l или ух и уп
лежат в разных множителях группы F. Скажем, что w слабо цикли-
чески приведено, если или Уп^уГ1- Таким образом, между уп
и i/i не может быть сокращения, но слияние допустимо.
Подмножество R группы F называется симметризованным, если
каждое r£R является слабо циклически приведенным и каждое
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
367
слабо циклически приведенное сопряженное элементов г и г-1
также лежит в R.
Слово b называется куском, если R содержит различные элемен-
ты и rt с полуприведенными формами rt=&Ci и г2=йс3. Заметим,
что последняя буква слова b не обязана быть буквой из нормаль-
ных форм для rt и г3.
Условие С (X): Если г £ R, r=bc в полуприведенной форме, где b—
кусок, то |&|<Х|г|. Чтобы отбросить патологические случаи, будем
в дальнейшем предполагать, что если г £R, то !<|>1/Х.
Для случая свободных произведений не представляет труда
сформулировать аналоги условий С(р) и T(q), но мы не будем де-
лать этого в явной форме. Мы будем работать только с метрическим
условием С (X), где Х^1/6. Для иллюстрации этой гипотезы, а
также чтобы показать важность данной теории в случае свободных
произведений, отметим, что условию С' (1/6) удовлетворяет «большая
часть» фуксовых групп 4
G = (ai, blt ag, bg, xt, x„, fit xj”* = 1, ..., x"«= 1,
g
ft-- •fkXf-Xn II [az,
1 = 1
Рассмотрим G как факторгруппу свободного произведения F =*
= (at, ... ,bg, x,..xm, ..., x^...........хлп) по нормальному
g
замыканию элемента Д.. .fkx1. • -xm П bj.
I
Поскольку в определении куска rf обязано быть лишь слабо
циклически приведенным и так как разложения rt — bc{ полупри-
веденные, предположение С (X) сильнее, чем это кажется. До-
пустим, что b — хг.. .х„ — нормальная форма для b и что
r1 = (x1...xn)(y1...yt)
и г2 = (Xj... х„) (?!•.. zs) — полуприведенные разложения, делающие
b куском. Предположим, что yt лежит в том же самом множи-
теле, что и х„. Если Zj =ylt то Xj.. .(х„у) снова является куском.
Однако если г1у=у1, то (xt..-(x„yj)). .zs) — полуприведен-
ное разложение для г2 и Xj.. .(x„t/i)— кусок. Если yt лежит в том
же самом множителе, что и xt, то rj = ((z/fXj).. .х„) (у}.. .yt-i)
и r'2 = (((/tXj)... х„) (Zj... zsytl) — полуприведенные разложения для
некоторых элементов из R и гг циклически приведен. Из этих
рассмотрений вытекает
Лемма 9.1. Предположим, что R удовлетворяет условию С'(Х) и
допустим, что элемент r£R имеет полуприведенное разложение
—b2.. .bjC, где blt..bj — куски. Если с'— максимальное подсловО
368
Гл. И. Теория малых сокращений
в с, состоящее из букв слова с, последовательно встречающихся в нор.
мальной форме циклически приведенного элемента г', сопряженного
с г, то |с'|>(1—/Х)|г'|. □
Эта лемма позволит нам делать в случае свободных произведений
выводы относительно длин, подобные тем, которые мы делали в слу.
чае свободных групп.
Перейдем к построению диаграмм над свободными произведения-
ми. Пусть — свободное произведение групп Хг и R — сим-
метризованное подмножество в F. С каждой последовательностью
/?!,..., рп элементов, сопряженных с элементами из R, мы свяжем
диаграмму М(р^,..., рп), которая будет связной односвязной ори-
ентированной планарной картой с выделенной вершиной О£дМ.
Карта М будет помечена функцией ср со значениями в F, удовлет-
воряющей следующим условиям:
(1) Существует граничный цикл st...st карты М, начинаю-
щийся в точке О, такой, что <p(st).. .<p(st)—полуприведенная
форма элемента w = рг.. .рп.
(2) Если D — произвольная область из М и ег, ...,е^~ребра
в граничном цикле 6 для D, то ср (ех)...ср (е^) полуприведено
и является слабо циклически приведенным элементом, сопряжен-
ным с одним из Р/.
Если р — некоторое сопряженное какого-либо элемента из R,
то можно записать р = иги~х, где либо м=1, либо и имеет нор-
мальную форму ц = г1...гА, r£R слабо циклически приведено
и имеет нормальную форму г = xt.. .хт, а гк не лежит в одном
множителе группы F ни с xt, ни с хт. В этом случае zt.. .г^...
.. .x^k1 • -гГ' —нормальная форма элемента pt.
Опишем прежде всего начальную конструкцию диаграммы М
для одного рг. Вершины будут делиться на два типа: первичные
и вторичные. Метка на каждом ребре карты М будет принадле-
жать некоторому множителю Х{ группы F, причем метки на по-
следовательных ребрах, встречающихся в первичных вершинах,
будут принадлежать различным множителям Xj. Метки на ребрах,
встречающихся во вторичных вершинах, будут принадлежать
одному множителю группы F. Назовем два последовательных
ребра е{, е\ с метками из одного и того же множителя сегментом,
а каждое из двух ребер, составляющих сегмент, полусегментом.
Для одного p = zt.. .гкхг.. -xmZk1.. . zf1 в нормальной форме
начальная диаграмма выглядит следующим образом. Если хг и хт
лежат в различных множителях группы F, то начальная диаграмма
для р — это петля с вершиной и, соединенной с базовой точкой О
некоторым путем. Путь Ov состоит из 2k ребер elt е[, ...,ek,ek>
где каждое ср {efi') = г,). Петля в точке v состоит из 2т ребер
о!х, di, .... dm, d'm, причем ср (d(d;) = xt-. Если Xi и хт лежат
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями 369
в одном множителе группы F, то считаем, что в конце пути Ov
есть еще одно ребро е и что петля в точке v состоит из ребер Ь,
dt, .... dm_i, d'm_lt с, где <р (dzd3 = xt, — 1. Три ребра
е, Ь, с, встречающиеся во вторичной вершине о, помечены так,
чтобы выполнялись необходимые (и допустимые) условия <p (eb) = xlt
Ф (се~1) = хт и <р (ей) = xmXj. Заметим, что на отдельно взятом ребре
метка может равняться 1, однако если е и / —два ребра из од-
ного сегмента, то произведение ф(е)ф(е') отлично от 1. Вершину О
считаем первичной вершиной.
Пример. Пусть /*’ = <«,&; а’>*<с; с^>. Возможные начальные
диаграммы для Ь3а3с3Ь~^ и Ь3агс3аЬ~2
вершины помечены звездочкой. (См.
показаны ниже. Первичные
Заметим, что выбор меток для полусегментов с общей вторич-
ной вершиной произволен. Этот произвол будет использован позже
при подгонке меток для ребер.
Начальная диаграмма для последовательности pt,..., рп со-
стоит из начальных диаграмм для каждого pit расположенных по
порядку вокруг базовой точки О. Начальная диаграмма обладает
нужными свойствами за исключением, возможно, свойства (1).
При отождествлении частей начальной диаграммы мы всегда
будем отождествлять первичные вершины с первичными, а вторич-
ные со вторичными, сохраняя эти различия. В дМ могут быть после-
довательные сегменты е, е' и f, f, такие, что е' и / разделены пер-
вичной вершиной, но метки ср (ее') и <p(ff) лежат в одном и том же
множителе группы F. В этом случае мы заменим метку на ребре f
на метку ф(е')~1, соответствующим образом подгоняя метки на дру-
гих ребрах, встречающихся во вторичной вершине, разделяющей f
и Отождествим ребра е' и /, имеющие теперь взаимно обратные
метки. Если ф(е)=#<р(/')-1, то можно перейти к рассмотрению других
370
Гл. V. Теория малых сокращений
ребер; если <р(е)=<р(/')-1, то можно отождествить и е с ['•, если ef
образует замкнутую петлю а и <р(а) = 1, то петля а вместе с ее
внутренностью может быть вычеркнута из диаграммы М.
Конечное число применений описанного выше процесса дает
диаграмму, удовлетворяющую условиям (1) и (2). По окончании
процесса можно, как обычно, удалить вершины степени два, объе-
диняя ребра и метки.
Лемма 9.2. Пусть F — свободное произведение и R — симметри-
зованное подмножество группы F, удовлетворяющее условию С (1/р),
где p^G. Тогда выполняются следующие утверждения;
(1) Если М — приведенная R-диаграмма, то метка на внутрен-
нем ребре является куском. Таким образом, d (D)>p для всех областей
D диаграммы М, таких, что dD П дМ не содержит ребра.
(2) Диаграмма минимальной R-последовательности является
приведенной.
□ Доказательство утверждения (1) в точности совпадает с рассуж-
дением из леммы 2.2. В то же время для доказательства утвержде-
ния (2) требуется немного порассуждать дополнительно. В свобод-
ной группе никакой элемент не может быть сопряжен со своим об-
ратным. Таким образом, при построении диаграмм над свободными
группами не может случиться так, что при отождествлении двух
ребер одной области диаграмма перестает быть приведенной. Для
свободных произведений эта возможность должна быть рассмотрена.
В точности так же, как в лемме 2.1, можно доказать, что в диа-
грамме минимальной ^-последовательности не может быть различ-
ных областей, делающих диаграмму неприведенной. Если при по-
строении карты М. в какой-либо области объединяются два ребра
одной и той же области, то пусть D — первая область, в которой
производится такого рода отождествление.
Должна существовать петля т), внутренняя по отношению к
остальной части границы dD. Петля т] не может иметь вершины
степени 1, так как это находилось бы в противоречии с тем, что мет-
ка на dD имеет нормальную форму. Следовательно, т] ограничивает
односвязную подкарту К карты М. Однако К приведена, посколь-
ку D — первая из областей, в которой отождествляются ребра.
Значит, К удовлетворяет утверждению (1) доказываемой леммы.
Используя то же рассуждение, которым в лемме 4.1 доказывалось,
что границы областей в (р, <?)-карте — простые замкнутые кривые,
получаем противоречие. Остается сделать вывод, что D не может
существовать. □
Согласно лемме 9.2, геометрия 2?-диаграмм для множеств R>
удовлетворяющих условию С (1/6), совершенно такая же, как в слу-
чае свободной группы. В частности, можно сделать вывод, что
теоремы 4.4 и 4.5, полученные из геометрических свойств приведен-
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
371
>ix /^-диаграмм, справедливы и в случае свободных произведений,
iia первый взгляд в этих теоремах утверждается, что в случае сво-
бодных произведений нетривиальный элемент w из нормального
замыкания М множества R в группе F имеет вид ai=tz1s1u2s2...
. . . UjSjUj+1 в полуприведенной форме, причем для каждого s, сущест-
вует r; g R, такое, что справедливо полуприведенное равенство
ri=Siti, а число / элементов s и их длины |s;| удовлетворяют заключе-
ниям теорем. Однако, используя лемму 9.1, можно сделать вывод,
что w=u1s[u2s2.. .u'jSjUj+1 в приведенной форме, где для каждого st
существует циклически приведенное rt £ R, такое, что справедливо
приведенное равенство г;=з;/г, а число / элементов $г и длины эле-
ментов Si удовлетворяют одному из заключений теоремы 4.5. Таким
образом, нами доказана
Теорема 9.3. Пусть F — свободное произведение, a R — симмет-
ризованное подмножество в F, удовлетворяющее условию С'(Х), где
%^1/6. Допустим, что N — нормальное замыкание множества R в
F. Тогда нетривиальный элемент w из N имеет приведенное разло-
жение
w=usv
в приведенной форме, причем существует циклически приведенный
элемент г £ R, такой, что справедливо приведенное равенство r=st
и |s|>(l— ЗХ)|г|.
Более того, для некоторого циклически приведенного элемента w*,
сопряженного с элементом w, имеем
W* = ZZ1S1M2S2 . . . UjSjUj + ,
в приведенной форме, причем для каждого s, существует циклически
приведенный элемент rt g R, такой, что ri=Siti в приведенной форме,
а число j элементов st и длины этих элементов удовлетворяют заклю-
чениям леммы Гриндлингера. □
В частности, в У не может быть элемента длины один. Мы выде-
лим особо это важное свойство факторгрупп свободных произведе-
ний с малым сокращением.
Следствие 9.4. Пусть F=*X{ — свободное произведение, R —•
симметризованное подмножество в F, удовлетворяющее условию
С' (1/6), и N — нормальное замыкание для R в F. Тогда естественное
отображение у: F-+F/N изоморфно вкладывает каждый множитель
группы F в группу FIN. □
Проведенные нами рассуждения не зависят от каких-либо пред-
положений о конечности или эффективности группы F или множест-
ва R. Вывод о том, что нетривиальный элемент из N содержит более
половины некоторого элемента из R, позволяет нам применить
372
Г л. V. Теория малых сокращений
алгоритм Дэна для решения проблемы равенства во многих случаях
когда F — свободное произведение, a R — бесконечное множество’
Посылки следующей теоремы позволяют нам эффективно использо-
вать алгоритм Дэна, чтобы попытаться уменьшить длину произволь-
ного слова w. В случае свободных произведений мы переходим либо
к слову w, представляющему 1 в F, либо к элементу из F, длину
которого далее уменьшить нельзя.
Теорема 9.5. Пусть F=Xl*. . .*Хп — конечно порожденное сво-
бодное произведение с разрешимой проблемой равенства слов. Допу-
стим, что R — симметризованное подмножество группы F, удов-
летворяющее условию С'(1/6). Предположим, что существует алго-
ритм, по данному слову c£F определяющий, существует, или нет
циклически приведенное слово г £ R, удовлетворяющее условиям |г|<;
<2|с| и r=cd в приведенной форме, и выдающий такое г, если оно
существует. (Из условия сокращения следует, что если такое слово
существует, то оно единственно.)
Пусть N — нормальное замыкание множества R в F. Тогда проб-
лема равенства в G=F/N алгоритмически разрешима. □
Для данного слова s £ F будем писать s>kR в случае, когда су-
ществует r£R, такое, что r=sl в приведенной форме и |s|>fe|r|.
Назовем слово w R-приведенным, если оно не представимо в виде
w=bsc в приведенной форме, причем s>(l/2)R. Слово w называется
циклически R-приведенным, если w циклически приведено и все
циклически приведенные перестановки этого слова R-приведены.
Займемся изучением сопряженности. Доказательство леммы 9.1,
показывающее, что диаграмма М минимальной R-последователь-
ности приведена, использует тот факт, что М односвязна. Поэтому
при нашем исследовании сопряженности мы будем предполагать,
что выполнено
Условие J: Если г £ R, то г и г-1 не сопряжены в F.
При условии J нам не придется беспокоиться о случае, когда
отождествление двух ребер одной и той же области приводит к
диаграмме сопряженности, не являющейся приведенной. Анализ
структуры диаграмм сопряженности в этом случае получается в
точности таким же, как и для свободных групп.
Теорема 9.6. Пусть F — свободное произведение, R — симметри-
зованное подмножество в F, N — нормальное замыкание для R в F и
G=F/N. Допустим, что R удовлетворяет условиям J и С'(1/6).
Предположим, что и и z — нетривиальные циклически R-npuee-
денные слова, сопряженные в G, но не в F. Тогда существует h^F,
такое, что u*=hz*h~1 в G, где и* и г* — циклически приведенные
элементы, сопряженные с элементами и и г соответственно, причем
h удовлетворяет следующему условию:
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями
373
(1) h=bt или h—b^b^, где каждое bj, /=1, 2,— это блок после-
довательных букв, входящих в некоторый циклически приведенный
элемент rj из R, такой, что И<6 max (|u|, |z|).
Более того, по крайней мере один из элементов и, г имеет длину,
большую 1.
Если F — конечно порожденная группа с разрешимой проблемой
сопряженности и существует алгоритм, который по данному c^F
определяет, существует или нет циклически приведенный элемент
r£R, такой, что |г|<6|с| и r=cd в приведенной форме, и предъявляет
элемент г, если он сушрствует, то проблема сопряженности разре-
шима и в G.
□ Геометрия диаграммы сопряженности М для и и г в точности
та же самая, как и в доказательстве теоремы 5.4. Будем использовать
обозначения из этой теоремы. В случае 1, когда имеется область D,
более 1/6 метки которой находится на одной из границ карты М,
существует простой путь 0 от о к т, такой, что 0^<3£>. Разрежем
карту М вдоль пути 0 и перейдем к односвязной карте М.'. Тогда
получим u’b(z')~1b-1 £ N, где и' и г'—слабо циклически приве-
денные элементы, сопряженные с элементами низ соответственно,
а b — метка на 0.
Для получения ситуации, требуемой заключением теоремы, воз-
можно, понадобится небольшая подгонка. Заметим, что и' цикличес-
ки приведен в том и только том случае, когда 0 не начинается во
вторичной вершине. Аналогично (г')-1 циклически приведен тогда
и только тогда, когда 0 не оканчивается во вторичной вершине.
Рассмотрим для примера случай, когда 0 и начинается, и окан-
чивается во вторичных вершинах. Этот случай иллюстрируется
рис. 9.2. Первичные вершины отмечены звездочкой.
374
Г л. V. Теория малых сокращений
Полусегменты и е'2 оба принадлежат границе dD. Пусть фО^)^
=Ui и q>(e2)=z2-1. Запишем u' = u2u-l и (z')-l=z^1zrl. Имеем
u'b(z')-1b-1 € Л/.
Вставляя zr‘z2 после (г')-1 и сопрягая элементом и1( получаем
(«!«2) (WjfeZa’1) (z^zy1) (z^-1^-1) с N.
Теперь u*=u!u2 и z*=z2zx — циклически приведенные элементы и
b^Uibz^1 —в точности подпоследовательность букв, встречающихся
в некоторой циклически приведенной метке для dD. Другие возмож-
ности, при которых р начинается или оканчивается полусегментом,
разбираются столь же легко, В случае (2), когда диаграмма сопря-
женности имеет толщину двух областей, поправка на вторичные
вершины также при необходимости может быть введена.
Тот факт, что один из элементов и, z имеет длину более 1, следует
очевидным образом из того, что более 1/6 части метки некоторой
области лежит на одной из границ карты М. На самом деле, исполь-
зуя доказательство теоремы 4.6, можно сделать вывод, что длины
обоих элементов и и z больше 1. Важным здесь является то, что
переход к факторгруппе G с малым сокращением не делает сопряжен-
ными те элементы множителей Xt группы F, которые не были сопря-
жены уже в этих множителях. □
10. Произведения с малым сокращением
В этом разделе мы обсудим некоторые алгебраические приложе-
ния теории малых сокращений.
Группа G называется npouseedenucM групп Xh если существуют
изоморфизмы vt из Xt в G, такие, что G порождается образами
(ViXj). В этом случае, если F— свободное произведение
то все vt одновременно продолжаются до эпиморфизма v из F на
G, ядром которого является ЛГ В случае когда N — нормальное
замыкание в F множества R, удовлетворяющего предположению
С'(1/6) о малом сокращении, группа G называется произведением
с малым сокращением. Заметим, что если и v: F^G имеет
ядро Л/, равное нормальному замыканию множества R, удовлетво-
ряющего условию С'(1/6), то по следствию 9.4 каждое v; — моно-
морфизм, где G — произведение с малым сокращением.
Мы увидим, что эти произведения обладают рядом хороших
свойств и являются мощным средством изучения проблем вложения
и присоединения решений уравнений над группами.
Наша следующая теорема показывает, что произведения с малым
сокращением хорошо себя ведут по отношению к кручению.
Теорема 10.1. (Теорема о кручении.) Пусть F — ceododnan
группа или ceododwe npouseedenue, a R — симметризованное nod-
10. Произведения с малым сокращением
375
множество в F, удовлетворяющее условию С' (1/8). Рассмотрим есте-
ственное отображение v: F-*-F/N.
Если w имеет конечный порядок в G=FIN, то либо
(i) w=v(w'), где w' — элемент конечного порядка в F, либо
(ii) некоторое r£R имеет вид r—vn, a w сопряжено с некоторой
степенью элемента v в G.
Теорема 10.1 утверждает, что все элементы конечного порядка в
G именно таковы, каких мы и ожидали. Если R не содержит собст-
венных степеней, a F — группа без кручения (что, конечно, имеет
место, когда F свободна), то F/N без кручения. В общем случае,
если R не содержит собственных степеней, произведение с малым
сокращением не привносит новых конечных порядков.
Основная идея в доказательстве принадлежит Липшуцу [1962].
Лемма 10.2. Пусть F — свободная группа или свободное призве-
дение. Предположим, что R — симметризованное подмножество в
F, не содержащее элементов длины 1. Если г ^R, г=хта в полу при-
веденной форме, т>\, и г не является собственной степенью в F,
то х и хт~1 — куски.
□ Запишем г=хт~1(ха) и г*=хт~1(ах). Тогда х"1-1 (и значит, х)
по определению является куском, если только не имеет места ха=ах.
Допустим, что ха=ах. Поскольку г циклически приведено и его
длина не равна 1, элементы х и а не могут лежать в одном и том
же сопряженном некоторого множителя группы F. Поэтому из
ха=ах следует, что х и а — степени одного и того же элемента.
Следовательно, г — собственная степень в F. □
□ Займемся доказательством теоремы 10.1. Пусть w — произволь-
ный элемент из F. Рассмотрим множество С всех элементов из F,
сопряженных с w в G. Понятно, что все элементы из С имеют тот же
порядок в G, что и w. Пусть z— элемент наименьшей длины в С.
Если |z| = l, то все в порядке. Действительно, поскольку множители
группы F вложены в G естественным отображением, z"=l в G тогда
и только тогда, когда z"=l в F. Заметим, что в силу минимальности
его длины элемент z циклически Д-приведен. Допустим, что |z|>l,
zn£N для некоторого п>\. Если z" £ R, то все в порядке.
По теореме 9.3 можно записать z"=z!uz2 в приведенной форме,
где некоторое циклически приведенное г £R имеет приведенный вид
r~uv и |«|>(5/8)|г|. Имеем uz2z1=(z*)n, где z* — некоторая цик-
лическая перестановка элемента с z.
Нам нужно сделать какие-то выводы относительно («*)л. Для
простоты обозначения отбросим «звездочку» и запишем tn*=
~ub в приведенной форме. Элемент и не может быть подсловом в г,
так как z является циклически Д-приведенным. Следовательно,
u«=zm( в приведенной форме, где пг>1 и t не начинается степенью
376
Гл. V. Теория малых сокращений
элемента г. Запишем z=ts в приведенной форме. (Возможно, /=1.)
Имеем r=uv= (ts)mtv в полуприведенной форме.
Рассмотрим вначале случай, когда т>\. Тогда (ts)m~l, (ts) и t
по лемме все являются кусками, если исключить тот случай, когда
is и t — степени одного и того же элемента. Если имеет место по-
следняя возможность, то z и г — степени одного и того же общего
элемента в F, и все в порядке. Если все (/s)m-1, ts и t — куски, то
u=(ts)mt — произведение трех кусков, так что его длина должна
быть меньше (3/8)|г|. Однако И. Следовательно, случай т>1
невозможен, если только г и г не являются степенями одного и
того же элемента, причем г — собственная степень.
Предположим теперь, что т—\. Тогда r=tstv. Если tstv=tvts в
F, то ts и tv коммутируют, откуда снова гиг — степени одного и
того же элемента. Если ts^tv, то t — кусок и 1/1<у И. В группе G
к
выполняется z—ts— (tv)~l. Однако из |u| = l/s/|> — И получаем
о
|to|<|/l + M<у |г|+ у |г|= ~ |г|. Это противоречит выбору z как
элемента минимальной длины и завершает доказательство. □
Теорема о кручении может быть распространена и на случай,
когда R удовлетворяет условию С' (1/6), однако тогда доказательст-
во несколько усложняется. При условии С'(1/6) для случая свобод-
ной группы F теорема о кручении была доказана Гриндлингером
[1960], а для случая свободного произведения F — Маккулом [1969].
Упомянем некоторые другие исследования алгебраических
свойств групп с малым сокращением. Пусть F — свободная группа.
Гриндлингер [1962, 1966] показал сначала для R, удовлетворяюще-
го условию С (1/8), а затем для R, удовлетворяющего условию
С'(1/6), что если-два элемента в G=F/N коммутируют, то они явля-
ются степенями одного и того же элемента. Трюффо [1974] и Симур
[1974] независимо усилили это утверждение, показав, что центра-
лизаторы нетривиальных элементов цикличны.
Пусть F — свободная группа или свободное произведение, a R
удовлетворяет С'(1/6) или С'(1/4) и Г (4). Допустим далее, что R
не содержит четных степеней и удовлетворяет условию J. КамерфорД
[1974] дает геометрическое доказательство того, что при этих усло-
виях никакой нетривиальный элемент из Сне сопряжен с обратным
к нему. В случае когда F свободна, a R удовлетворяет условию
С'(1/8), этот результат был получен ранее Гауди [1971]. Используя
то же самое предположение, Липшуц [1971] показал, что если а —
нетривиальный элемент из G и |/п|=£|п|, то ат и ап не сопряжены в
G.
Хорошо известна теорема Хигмана — Нейман — Неймана
[1949J, согласно которой счетная группа может быть вложена в
10. Произведения с малым сокращением
377
группу с двумя порождающими. Иллюстрируя полезность произве-
дений с малым сокращением, мы покажем, что эту теорему можно
усилить. Идея о возможности использования теории малых сокра-
щений в доказательстве теорем вложения восходит к Бриттону и
к Левину [1968].
Счетная группа К называется SQ-универсальной, если каждая
счетная группа может быть вложена в некоторую факторгруппу
группы /(.
Теорема 10.3. Пусть Р произвольное нетривиальное свободное
произведение P=X*Y, не являющееся свободным произведением
двух изоморфных экземпляров циклической группы второго порядка
С2. Тогда Р является SQ-универсальным.
□ Поскольку случай С2»С2 нами исключен, в одной из групп,
скажем X, можно выбрать два неединичных элемента Хг/=х2, а
в другой, Y,— неединичный элемент у. Пусть Н — произвольная
счетная группа с представлением S').
Пусть F=H*X*Y. Положим
rz = h, (хху) хгу (хху)2 х2у (х^)3 х2у... (х.уУ0 хгу
и для произвольного i
r{ = hi (р^у)30 х2у... (х^)80' х2у.
Пусть R — симметризованное множество, порожденное элементами
Г1. Нетрудно убедиться в том, что R удовлетворяет условию сокра-
щения С (1/10). Это следует из того факта, что никакой кусок не
может содержать подслова вида
(х2У {хху)к х2у (хгу)к+1 х2у)± Ч
Обозначим через N нормальное замыкание для R в F. Тогда
G=F/N — произведение с малым сокращением, содержащее в себе,
таким образом, все множители, в частности Н.
Понятно, что G порождаетсй образами групп X и Y, так как
в ней каждое г, равно 1 и, значит, каждое ht равно слову от хь х2 и
у. Более того, поскольку каждое гг содержит в точности одно ht,
соотношения из R могут быть устранены преобразованиями Тице,
переписывающими соотношения S в терминах элементов Xi, х2 и
у. Значит, на самом деле G является факторгруппой группы X*Y
и эта факторгруппа содержит Н. □
' Оказывается, что некоторые произведения с малым сокращением
имеют ограниченное число эндоморфизмов. Нам нужно напомнить
некоторые определения. Группа К называется холщовой, если каждый
эндоморфизм группы К на себя является автоморфизмом. Двой-
ственным образом К называется кохопфовой, если всякий взаимно
однозначный эндоморфизм этой группы является гомоморфизмом
378
Г л. И. Теория малых сокращений
«на». К называется совершенной, если все ее автоморфизмы внутрен-
ние, а центр тривиален.
Пусть F=H*Cm*Cn, где Н — произвольная счетная группа
а Ст и Сп — циклические группы порядков т^З и п^2. Миллер и
Шупп [1971] исследовали эндоморфизмы группы G—F/N, где N __
нормальное замыкание множества R, подобного введенному в дока-
зательстве теоремы 10.3. Они доказали, что G всегда совершенна и
хопфова. Кроме того, если Н не имеет элементов порядка т или не
имеет элементов порядка и, то G кохопфова. В частности, верна
Теорема 10.4. Любая счетная группа Н может быть вложена в
2-порожденную совершенную хопфову группу G. Если Н конечно пред-
ставлена, то такова же и G. Если в Н нет элементов некоторого
конечного порядка р, G может быть выбрана кохопфовой.
□ Пусть S)— произвольная счетная группа. По-
ложим F—H^C,*C1 и рассмотрим порождающие х, у групп Съ и С,
соответственно. Введем
г0 = ху ху2 (ху)2 ху2... (xy)aQ ху2-
и для любого i=l,2, ...
80 (f + 2)
П ((xy)J ху2).
) = 80( + 1
Симметризованное множество R, порожденное элементами гг (;Дг
^0), удовлетворяет условию С (1/10). Пусть G—F/N, где N — нор-
мальное замыкание множества R в F. Как и в теореме 10.3, G
является факторгруппой группы С6»(?, и может быть конечно пред-
ставлена, если такова Н. Далее, Н, Сь, С, вложены в G.
Покажем теперь, что группа G совершенна и хопфова. Пусть ф:
G-+G — эпиморфизм. Отображение ф определено своими значениями
на х и у, а ф(х) и ф(//) должны порождать группу G. Поскольку
R не содержит собственных степеней элементов из F и удовлетво-
ряет условию С' (1/10), любой элемент конечного порядка группы Н
должен лежать в некотором сопряженном некоторого множителя
группы F по теореме 10.1.
Таким образом, ф(х) и ty(y) лежат в сопряженных множителей
группы F. Заметим, что ни ф(х), ни ф(#) не могут равняться 1, так
как в противном случае G была бы циклической группой порядка,
делящего 5 или 7. Однако в G содержатся и С5, и С,. Значит, ф(*)
и ф (у) имеют порядки 5 и 7 соответственно.
Наш план состоит в доказательстве того, что ф отличается от
тождественного отображения внутренним автоморфизмом. Это ДО'
кажет, что G хопфова и что все ее автоморфизмы внутренние. Длй
упрощения обозначений буква ф будет сохраняться даже в случае>
10. Произведения с мальм сокращением
379
когда ф заменяется на его произведение с некоторым внутренним
автоморфизмом группы G.
Поскольку ф(х) лежит в подгруппе, сопряженной с группой Н
или С5, домножая ф на внутренний автоморфизм, будем считать, что
либо ф (х) С И, либо ф (х) g С6, а также что ф (y)=uvu~\ где v £ Н или
vCC7. Более того, можно предполагать, что и как элемент группы F
обладает следующими свойствами: (i) и не содержит более половины
элемента из R; (ii)u не оканчивается на букву, лежащую в том же
множителе, что и и, и (iii) и не начинается на букву, лежащую в
том же самом множителе группы F, что и ф(х).
Чтобы убедиться в возможности допущения (iii) заметим, что в
противном случае можно было бы дополнить ф внутренним автомор-
физмом, уменьшающим длину элемента и и оставляющим ф(х) в
том же множителе.
Покажем сначала, что и=1 в F. Поскольку ф(х) и ф(//) порож-
дают G, элементы х и у отличаются в F от слов в алфавите ф(х),
ф(г/) элементами из N. Рассмотрим некоторое слово
Wy = г/“1ф(х)и1иу'вш_1ф(х)и».. .uvmku~1 £ N.
По предположениям относительно и слово Wy имеет нормальный
вид, за возможным исключением сокращения длины 1 в начале (mi
может равняться нулю). Поскольку ф (х) (£ С„ Wy не равняется 1 в
F при условии ш#=1 или ф(#)(£С7.
Если Wy не равно тождественно 1, то оно должно содержать под-
слово, которое >7/107?.
Заметим, что каждый элемент из R имеет длину, большую 1000.
С другой стороны, из вида элементов множества R следует, что ни-
какой элемент из R не содержит подслов вида г/z-1, где |/| = 1 и
г=5^1. Поэтому должно быть все-таки и=1 и ФО/)£С7. Аналогичное
рассуждение дает ф(х) € С6.
Имеем ф(х)=хв и ф (у)=уу, причем ни один из этих элементов не
равен 1. Вычислим
ф (г0) = (Хбу7) . (Xei/V)80 x6y2V
Поскольку ф переводит соотношения в соотношения, ф (r0) $ N. Вы-
писанное слово имеет нормальную форму в F.
Таким образом, ф(г0) должно содержать более 7/10 некоторого
элемента из R. Понятно, что это невозможно, если не имеют место
сравнения 6=±l(mod5) и y=±l(mod 7). Утверждается, что ф
не может переводить х и у в обратные к ним элементы. Заметим, что
блоки вида [(x-1z/-iyx-1z/-1l, присутствующие в г^1, встречаются в
порядке убывания / (если читать слева направо). Даже если 6=
==у=—1, блоки такого вида в ф (г0) будут встречаться в порядке
возрастания степени j. Таким образом, ф(х)=х,ф(г/)=г/ и исходный
эпиморфизм — внутренний автоморфизм.
380
Г л. V. Теория малых сокращений
Чтобы убедиться в тривиальности центра для G, рассмотрим
wxw~1x~1, где w не содержит более половины элемента из R. Если
это нетривиальное слово, принадлежащее N, оно содержит 7/10
некоторого элемента из R, что невозможно; таким образом,
wxw~lx~1=—1 в F. Отсюда w=x& или 1. Таким образом, любой
элемент центра группы G является степенью элемента х. Понятно,
однако, что хб не лежит в центре для G, так как хух~ху~^\ в G.
Этим закончено доказательство хопфовости и совершенности груп-
пы G.
Докажем теперь, что если Н не имеет элементов порядка 5, то G
кохопфова. (В общем случае, если в Н нет элементов порядка р,
доказательство может быть проведено с использованием свобод-
ного произведения Н*Ср*Сд, где q — простое число, большее р.)
Пусть 0: G—>-G — некоторый мономорфизм. Поскольку 0 (х) должен
иметь порядок 5, он лежит в сопряженном группы С6. Дополняя 0
внутренним автоморфизмом, можем считать, что 0(х)=хв. Посколь-
ку 0 (у) должно лежать в подгруппе, сопряженной с группой Н или
группой С,, 0 (z/)=twu-1, где v£H или п£С7. Можно предполагать,
что и как элемент группы F имеет те же свойства (i), (ii), (iii), что
были отмечены ранее.
Справедливо соотношение
0 (r0) = x6uyu-1xeuu2u-1.. N.
Выписанное слово имеет нормальную форму и не равно 1 в F.
Таким образом, 0 (г0) должно содержать по меньшей мере 7/10 некото-
рого элемента из R. Как и прежде, это возможно лишь в том случае,
когда 0 — тождественное отображение. □
Универсальная конечно представленная группа Хигмана Н
(теорема IV.7.3) строго содержит экземпляр каждой рекурсивно
представленной группы. Никакая рекурсивно представленная груп-
па С, в которую, вкладывается Н, не может быть кохопфовой, так
как С изоморфна собственной подгруппе группы Н. В то же время
конструкция теоремы, примененная к группе Хигмана, дает конеч-
но представленную совершенную хопфову группу, содержащую
экземпляр любой рекурсивно представленной группы. В общем
случае применение этой конструкции к произвольной конечно
представленной группе с неразрешимой проблемой равенства слов
дает конечно представленную совершенную хопфову группу с
неразрешимой проблемой равенства слов.
11. Теория малых сокращений над свободными
произведениями с объединенной подгруппой
и НNN-расширениями
В этом разделе мы изучим теорию малых сокращений над сво-
бодными произведениями с объединенной подгруппой и HNN-pac-
ширениями. Условия сокращения будут естественными обобщения-
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями 381
ми обычных условий такого рода для свободных групп и свободных
произведений. Следуя работе Шуппа [1971], начнем со свободных
произведений с объединенной подгруппой. Будем использовать
следующую терминологию. Пусть Хъ. .., Хт — группы с собствен-
ными подгруппами Лг=Хг. Пусть A=Ai и фг: А^-А, — изомор-
физмы, i=2,..., т. Запись Е=(*Хг; Л=фг(Лг)) обозначает сво-
бодное произведение групп Хг, в котором подгруппы А, склеены
отображениями фг.
При рассмотрении нормальных форм для элементов группы F
принято выбирать системы представителей смежных классов для
каждой At в Xt. Мы намеренно не будем выбирать представителей
в смежных классах. Поскольку слово «приведенный» используется
нами в нескольких смыслах, мы отступим от обычного использова-
ния термина «нормальная форма». Начиная с этого места, нормаль-
ной формой неединичного элемента w£F мы будем называть после-
довательность z/i. .. уп, в которой каждое у, — элемент некоторого
множителя группы F, последовательные z/(- идут из различных мно-
жителей и никакое z/; не лежит в объединяемой части, если только
/г=И=1. При таком определении элемент может иметь много нормаль-
ных форм. В то же время число п, длина элемента w, постоянно на
множестве всех нормальных форм для w.
Слово ay=z/i . .. уп в нормальной форме называется циклически
приведенным, если /г^1или если уп и z/i лежат в различных множи-
телях группы F. Скажем, что w слабо циклически приведено, если
или п<1, или произведение ynyi не лежит в А.
Предположим, что и и v — элементы из F, имеющие нормаль-
ные формы u=yi... уп и p=Xi ... хт. Если ynXi лежит в объединяемой
части А, то говорят, что в произведении w=uv имеет место сокраще-
ние. Если уп и Xi лежат в одном и том же множителе, но упХт.^ А,
то говорят, что уп и Xi слились при переходе к нормальной форме
элемента uv. Говорят, что слово w имеет полуприведенную форму
щ. . .uh, если в произведении щ. . .uh нет сокращений. Слияния
вполне допустимы.
Подмножество R группы F называется симметризованным,
если из r£R следует, что г слабо циклически приведено и каждое
слабо циклически приведенное сопряженное элемента r±l также
лежит в R. Слово b называется куском (относительно /?), если суще-
ствуют различные элементы г2 из R, такие, что r1=bc1 и r2=bca
в полуприведенной форме.
. - Для положительного действительного числа X определим
Условие С (X): Если г £R имеет полуприведенную форму г = Ьс,
где Ь — кусок, то |&|<Х|г|. Далее, |г|>1/Х для всех г&R.
Условие С' (X) является достаточно сильным в случае свободных
произведений с объединенной подгруппой, поскольку при опреде-
382
Г л. V. Теория малых сокращений
лении кусков следует использовать все нормальные формы эле-
ментов из R. Таким образом, многое зависит от объединяемой части.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим следующий пример.
Пусть F = «х> * <у>; х2 = у2) — свободное произведение двух бес-
конечных циклических групп, в котором объединены квадраты
порождающих. Пусть « — натуральное число п>3и R — наимень-
шее симметризованное множество, содержащее (ху)п. Поскольку R
симметризовано, (yx)~"£R. Имеем (ху)"У= (t/х)-" в F, но, полагая
с = х2 = у2 (этот элемент лежит в центре для F), получаем
(ух)~п = (х-1//-1)" = (х ~1су~1с~1)п = (хус-2)" =
= (ху)" с~?" = (ху)"'1 ху-’4"'1’.
Таким образом, (ху)"-1х —кусок относительно R и условие С (X),
А, ^1/2, никоим образом не выполняется.
Займемся теперь построением диаграмм над свободными произ-
ведениями с объединенной подгруппой. Построение, в сущности, то
же самое, что и в случае обычных свободных произведений.
Пусть F=(*Xi; А =ф/ (Лг)) — свободное произведение групп
Xit в котором объединены подгруппы At. Пусть R — симметризо-
ванное подмножество из F, удовлетворяющее условию С'(1/6).
С каждой последовательностью/?!,..., рп элементов, сопряженных с
элементами из R, мы свяжем некоторую диаграмму М (ри..., рп),
являющуюся связной односвязной ориентированной планарной
картой с выделенной точкой О£дМ. Карта М помечена функцией <р
со значениями в F, удовлетворяющей условиям:
(1) Существует граничный цикл sx.. .st карты М, начинающийся
в О, такой, что cpta).. .<р (sf)—полуприведенная форма для w—
=Pi. -Рп-
(2) Если £>—произвольная область карты М и в^..&}—
ребра из граничного цикла 6 области D, то ср (ei).. .ср (е;-) — полупри-
веденное произведение, являющееся слабо циклически приведенным
элементом, сопряженным с некоторым элементом /?,.
Допустим на некоторое время, что диаграмма, удовлетворяющая
условиям (1) и (2), существует. Как обычно, можно предполагать,
что в М нет вершин степени два. Тогда точно так же, как в дока-
зательстве леммы 9.2 для диаграмм над свободными произведениями,
имеем:
(i) Если М — приведенная диаграмма, то метка на внутреннем
ребре карты М является куском. Таким образом, если R удовлетво-
ряет условию С (1/6), а М — приведенная R-диаграмма, то АГ
есть (3, 6)-карта.
(ii) Диаграмма минимальной последовательности приведена.
Эти наблюдения понадобятся нам при доказательстве следующей
теоремы.
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями 383
Теорема II.!. Пусть R — симметризованное подмножество в F,
удовлетворяющее условию С'(1/6). Для каждой последовательности
pi, ..рп элементов, сопряженных с элементами изД, существует
диаграмма, удовлетворяющая условиям (1) и (2).
□ Сопряженное р, элемента из Д может быть записано в виде р,=
=u;rjuf1, где либо щ = \, либо и, имеет нормальную форму =
=zb . .zft, г, С R слабо циклически приведено и имеет нормальную
форму г,=Х1. • -хт и zh не лежит в том же множителе группы F, что
и Xj или хт. Тогда гг. . .г^х^ . .xmz^.. .zp1 — нормальная форма для
pt при нашем расширенном определении нормальной формы.
Вспомним начальную конструкцию диаграммы над свободным
произведением. Для каждого рг начальные диаграммы строятся
точно таким образом. После этого начальная конструкция для по-
следовательности pi, . .. , рп будет состоять из начальных конст-
рукций для pi, расположенных по порядку вокруг базовой точки О.
Начальная диаграмма обладает всеми нужными свойствами, воз-
можно за исключением свойства (1). Произведение меток на ребрах
карты М не обязано быть приведенным.
Далее построение производится следующим образом. В М могут
быть последовательные сегменты е, е' и f, f, такие, что е' и f раз-
делены первичной вершиной v, но метки ср (ее') и ср (Д') лежат в од-
ном и том же множителе группы F. Если это так, заменим метку на
ребре / на <р(е')-1, подгоняя метки на других ребрах во вторичной
вершине, разделяющей f и f. Отождествим е' и /, метки которых
теперь взаимно обратны.
В случае диаграмм над свободными произведениями имеются
две возможности. Если ср (е)=#ср (/')-1, то можно перейти к рассмотре-
нию других ребер. Если ср (e)=tp (/')-1, то е и f могут быть отождест-
влены, а если ef образуют замкнутую петлю а, такую, что ср(а) = 1,
то петля а вместе с внутренностью может быть исключена из диа-
граммы М.
Над свободными произведениями с объединенной подгруппой
возможностей больше. Может случиться так, что два последователь-
ных ребра е и f границы дМ имеют метки х и у соответственно, та-
кие, что ху лежит в объединяемой подгруппе А, но ху отлично от
1. Если это так, то у—х~1а для некоторого а£А.
Пусть е начинается в вершине щ и кончается в вершине v2, a f
начинается в и2 и кончается в и8. Возникает два случая. Сначала
предположим, что vu v2, v3 — различные вершины. Допустим, что
[' не является последним ребром в дМ (граничном цикле, начинаю-
щемся в точке О). Пусть ребра, выходящие из v3 и не равные (/')-1 —
это fi, ... , fj в том порядке, в каком они встречаются в карте.
Пусть также q(ft)—yi, i=l, ... , j. (См. рис. 11.1.)
Заменим метку ребра f на х-1. Метки на ребрах ft заменим на
ау(. (Поскольку а лежит в склеенной части, ayt лежат в том же мио-
384
Г л. V. Теория малых сокращений
жителе группы F, что и у{.) Очевидно, что этот процесс сохраняет
метку на дМ. (с точностью до равенства в F, конечно) и свойство (2).
Ребра е п f теперь имеют взаимно обратные метки и могут быть
отождествлены. (Если f' — последнее ребро в дМ, то е не может быть
первым ребром в дМ, так как мы предполагаем, что щ и щ — раз-
Рис. 11.1.
личные вершины. В этом случае мы заменим метку ребра е на г/-1,
подгоним метки на ребрах, исходящих из Of, и отождествим е с /'.)
Покажем теперь, что случай, когда последовательные ребра е
и f имеют метки х и у, такие, что ху£А, но вершины ц1; о2, у, не
являются различными, невозможен. Если две из вершин совпада-
ют, то имеется петля 0 в дМ., такая, что | ср (0)1 = 1.
При построении начальной диаграммы петель длины 1 быть не
могло. Поэтому рассмотрим первый случай, когда такая петля воз-
никает. Поскольку мы рассматриваем первый такой случай, при
всех предыдущих отождествлениях ребер вершины vu v2, v3 были
различными. Пусть К — поддиаграмма в М, состоящая из петли 0
и ее внутренности. По первой части нашего рассуждения К удовлет-
воряет (1) и (2), а значит, и условиям (i) и (И), упомянутым перед
формулировкой теоремы. В этом случае метка на дК содержит более
половины нормальной формы некоторого элемента из R. Следова-
тельно, |ср(0)|>1, и, значит, мы получили противоречие.
Приходится сделать вывод, что если последовательные ребра е, f
отождествляются в процессе построения диаграммы М, то вершины
Vi, &2, vs различные. Таким образом, в конце концов мы приходим
к диаграмме, удовлетворяющей условиям (1) и (2). □
Отметим одно серьезное отличие от ситуации свободных групп и
свободных произведений. Над свободными группами или свобод-
ными произведениями диаграмма с условиями (1) и (2) существо-
вала для произвольной последовательности элементов. В рассмат-
риваемой ситуации для исключения возможности совпадения вер-
шин vt, v2, v3 пришлось опереться на условие малого сокращения
для множества R. Если бы е и f образовывали замкнутую петлю,
в которой vi=v3, то описываемая процедура подгонки ребер не сра-
ботала бы, поскольку пришлось бы менять метку на самом е.
Геометрия R-диаграмм для множеств R, удовлетворяющих усло-
вию С'(1/6), в точности такая, как в случае R, удовлетворяющих
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
385
соответствующему условию над свободной группой или обычным
свободным произведением. Это позволяет сделать обычный вывод.
Теорема 11.2. Пусть F — свободное произведение с объединенной
подгруппой, R — симметризованное подмножество в F и N — нор-
мальное замыкание для R в F, такое, что G=F/N. Допустим, что
R удовлетворяет условию С'(Х), где Хг=С1/6. Если w — нетривиаль-
ный элемент из N, то w=usv в приведенной форме и существует цик-
лически приведенное г £R, такое, что r=st в приведенной форме,
a |s|>(l— 3%)|г|.
В частности, естественное отображение v: F -> F/N изоморфно
вкладывает каждый множитель Xt группы F. □
Наш анализ геометрии возможных диаграмм сопряженности
для R, удовлетворяющего условию С'(1/6), проходит без изменений.
В частности, если R удовлетворяет дополнительному условию, со-
стоящему в том, что никакой элемент из R не сопряжен в F со своим
обратным, то два элемента длины 1 группы F сопряжены в F/N
тогда и только тогда, когда они сопряжены в F.
Хуже по сравнению со случаем свободной группы или свобод-
ного произведения обстоит дело с алгоритмическими проблемами.
Имеется две трудности. Во-первых, если r=zb . .zn — циклически
приведенный элемент из R, то ara~1=(pzi).. .(Zna'1) также цикличе-
ски приведенный элемент из R для любого а$А. Точно так же не-
управляемым является процесс использования различных нормаль-
ных форм одного и того же элемента. При рассмотрении проблемы
равенства, например, все, что мы знаем, это то, что если w — не-
тривиальный элемент из /V, то некоторая нормальная форма для w
содержит более половины какой-то нормальной формы некоторого
элемента из R. При попытке применить алгоритм Дэна для решения
проблемы равенства мы должны быть в состоянии решать следую-
щий вопрос. Пусть дана строка Sj.. .st элементов, каждый из которых
лежит в некотором множителе группы F и ни один не лежит в объ-
единяемой подгруппе. Существует ли циклически приведенный эле-
мент из R с нормальной формой Sj.. .stst+1. . .sn, такой, что О>1/2п?
Используя теорему 11.2, можно доказать, что многие свободные
произведения с объединенной подгруппой являются SQ-универ-
сальными.
Пусть А — подгруппа группы Н. Рассмотрим пару различных
элементов {х1( х2} из Н, причем ни один из них не лежит в А. Ска-
жем, что {хл х2} — блокирующая пара для Ав Н, если выполнено
следующее условие:
(1) Для любого а £ А, а=^=\, имеем xfaxf^A, l^i, j^2, е=±1,
6=±1. Заметим, что из (1) следует либо xfxf = l, либо x-xf&A,
l<i, /<2, е=±1, 6=±1.
Нами будет доказана
13 № 653
386
Гл. V. Теория малых сокращений
Теорема 11.3. Пусть Р={Н*К, А=В)— свободное произведе-
ние, в котором объединены подгруппы А и В групп Н и К. Если для
А в Н имеется блокирующая пара, то группа Р является SQ-уни-
версальной.
Существование блокирующих пар в группах с большой степенью
«свободности» не является неразумным условием. Рассмотрим для
примера следующую ситуацию. Пусть А — подгруппа группы Н.
Допустим, что в Н имеется подгруппа В, обладающая нетривиаль-
ным разложением в свободное произведение B=BV*B2, причем
jCBj. Тогда любая пара различных неединичных элементов из В2
является блокирующей парой для А в И.
М. Холл [1949; см. 1.3.7] показал, что если Н — свободная
группа, а А — конечно порожденная подгруппа из Н, то существует
подгруппа В конечного индекса в Н, для которой А является сво-
бодным множителем. Если А имеет бесконечный индекс в Н, то В
разлагается в свободное произведение В=А*В2, где В2 — нетриви-
альная свободная группа. Согласно замечанию из предыдущего
абзаца, для А в Н имеется блокирующая пара. Поэтому справедли-
во такое
Следствие 11.4. Пусть Н — свободная группа и А — ее конечно
порожденная подгруппа бесконечного индекса. Допустим, что К —
произвольная группа, в которой в качестве собственной подгруппы
содержится изоморфный экземпляр А' группы А. Тогда свободное
произведение с объединенной подгруппой Р=(Н*К', А=А') является
SQ-yнивереальным. □
□ Перейдем к доказательству теоремы 11.3. Пусть Р={Н*К\
А=В)— свободное произведение с объединенной подгруппой, та-
кое, что А и В — собственные подгруппы в Н и К. соответственно,
причем для А в Н-существует блокирующая пара {xj, х2). Идея до-
казательства — имитация доказательства аналогичного свойства
обычных свободных произведений. Допустим, что С — произволь-
ная счетная группа, С=<с1, ... ; S), где S — множество опреде-
ляющих соотношений между порождающими ct. Пусть А' — изо-
морфный экземпляр группы А. Построим С'=С*А' — обычное сво-
бодное произведение групп С и А'. Затем введем группу F=(C*
А'=А~В). Пусть у^К—В. Определим
Г1 = C^yx2y (Хх I/)2 х2у... (х^)8» х2у
и, вообще, положим
Г1 = сДх1уУй {i~"+'x2y. ..(х^ум х2у.
Пусть, наконец, Р — симметризованное множество, порожденное
элементами rt.
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
387
Рассмотрим два строго циклически приведенных элемента г, г'
из R. По теореме IV.2.8 элементы г и г' сопряжены с помощью
элементов из объединенной части А с циклическими перестановками
элементов г*1, выписанных выше. Таким образом, можно записать
r=axZi.. .Zntzr1 и r'=a2Zm- • .z;a:2"1, где z±. . .zn и zm. . ,z[ — цикличе-
ские перестановки двух из r±\ a alt а2€т1.
Рассмотрим теперь, каким может быть сокращение в произ-
ведении r'r = a2z'm. . .z'1a2laJz1.. .z^r1. Тот факт, что \хг, х2}—
блокирующая пара для А в Н, исключает возможность того, что
в произведении имеется много сокращений, за исключением, ко-
нечно, случая г'= г-1. Проиллюстрируем эту ситуацию.
Допустим, что несколько элементов z(- и zz сокращаются между
собой. Для того чтобы z{ и Zj могли сократиться, необходимо,
чтобы они лежали в одном множителе группы F. В каждом г,-,
за исключением одной буквы с,-, остальные поочередно встреча-
ющиеся буквы суть xt1, или xt1, или у*1. Таким образом, один
из Zj или z2 должен равняться некоторому х. Допустим, напри-
мер, что Zj равен у±г и что с,- не встречается среди сокращенных
букв Z.
Тогда r'r = а31г'т... z'3 (x^axt) z3. .. zna^, где а £ А — результат
предыдущего сокращения, т. е. a = z[a^1a1z1. Поскольку z2 и z2
сокращаются, должно быть х^ах^А. Однако {xlf х2} —блокиру-
ющая пара для А, так что это сокращение возможно лишь при
а=1 и х®х*=1. Таким образом, z2 = z^].
Далее, z3 и z3 — это некоторые у. Таким образом, или z3z3 = у±2,
или z3z3= 1. Конечно, в принципе возможно, что 1^=у±2=а*£Л.
Однако тогда z3 и z4 не могли бы сократиться, поскольку z4 и z4
суть элементы х, а включение xfa*x® £ А невозможно. Следова-
тельно, г3 = г^г. Таким образом, либо у = у~\ либо в силу того,
что все у, встречающиеся в одном элементе из R, находятся
в одной и той же степени, все у в г имеют степень, противопо-
ложную той, в которой они встречаются в г'. Возвращаясь
к первоначальному сокращению в r'r, получаем 1 = а = z[a31alz1 —
— уесц1а1у~е. Таким образом, а2'а1~1 и
Продолжая в том же духе, мы видим, что если г/ и zy- сокра-
щаются, то Zj = z'i'1. Более того, предположим в общем случае,
что Zy.-.z, и z's...zi сокращаются, причем si>6. Тогда можно
сделать вывод, что для каждого Zj, 1^/^s, z/ = z;71. Кроме
того, имеем <2j = <22.
Нетрудно убедиться в том, что если z4...z4 содержит после-
довательность букв вида [x2t/(x1y)ftx2y(x1y)ft+1x2i/]±1, то понятно,
о какой перестановке какого из rf1 идет речь, и мы имеем г' = г-1.
Нетрудно понять также, что если число s не меньше одной де-
сятой длины элемента г или г', то zx... zs содержит последова-
1Э*
388
Гл. V. Теория малых сокращений
дельность букв указанного вида. Таким образом, R удовлетворяет
условию С'(1/10).
По теореме 11.2 группа С вкладывается в G—F/R. Поскольку
каждое rt содержит в точности одну букву с, переписывая соотно-
шения множества S с помощью преобразований Тице на xlt х2 и у,
можно удалить все соотношения R. Таким образом, G действитель-
но является факторгруппой группы Р= А=В). □
Заметим, что теорема 11.3 может быть использована для доказа-
тельства того, что группа
Н = <а, Ь, с, d; Ь~'аЬ = a2, c~1bc = b2, d~1cd~c2, a~xda = d2y
с четырьмя порождающими и четырьмя определяющими соотноше-
ниями, использованная Хигманом [1951] для доказательства сущест-
вования конечно порожденной бесконечной простой группы, яв-
ляется SQ-универсальной. (См. Шупп [1973].)
При обсуждении теории малых сокращений над HNN-расшире-
ниями мы будем следовать работе Сасердота и Шуппа [1974]. Пусть
F— {Н, t; t^At—B, ф) есть HNN-расширение группы Н. Если w —
некоторый элемент группы F, то нормальная форма для w — это
произвольная последовательность
МЕ,/Ч-. .h.nie»hn+1 = w,
к которой неприменимы никакие /-редукции. Любые две нормаль-
ные формы элемента w содержат одно и то же число /-символов. Если
и и v имеют нормальные формы u=hots^ . ./in/e«/in+1 и ц=/^/\ ..
. . .t6mh'm+l, то скажем, что при составлении произведения uv про-
изошло сокращение, если либо еп =—1, hn+1h'0£A и б^!, либо
en = l, hn + 1h'0£B и 6t=—1. Скажем, что произведение w=uv при-
ведено, если при составлении произведения uv не было никаких со-
кращений.
Подмножество R^F называется симметризованным, если из г £ R
следует, что г циклически приведен и что все циклически приве-
денные элементы, сопряженные с т^1, лежат в R. Слово b называет-
ся куском (относительно R), если имеются различные элементы rh г2
из R, такие, что r1—bc1 и г2=Ьс2 в приведенной форме.
Для любого положительного числа X определим условие С'(%)
так:
Условие С'(А). Если r£R имеет приведенную форму r=bc, где
b — кусок, то |/>|<Х|г|. Кроме того, |г|>1/А для всех r£R.
Условие С'(А) является весьма сильным, так как для определе-
ния кусков следует использовать все нормальные формы всех эле-
ментов из R.
Пусть R — симметризованное подмножество группы F. С каж-
дой последовательностью pt, .,, , рп элементов, сопряженных с эле-
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
389
ментами из R, мы свяжем некоторую диаграмму М (ри ... , рп),
являющуюся связной односвязной ориентированной планарной
картой с выделенной точкой О, принадлежащей границе дМ кар-
ты М. Ребра карты М будут помечены функцией ф со значениями в
F, удовлетворяющей двум условиям:
(1) Если elt . .. , es — взятые по порядку ребра граничного
цикла карты М, начинающегося в точке О, то ф(е2). . -ф(е^) — при-
веденная форма элемента w—pr. . .рп.
(2) Если D — произвольная область карты М, а е,. ... , е, —
ребра некоторого граничного цикла для D, то ф (е^. . ,ф (е,) — при-
веденная форма некоторого циклически приведенного элемента, со-
пряженного с одним из Pi.
Если теперь р — циклически приведенный элемент, сопряжен-
ный с некоторым элементом из R, то можно записать р=иги~1, где
и — элемент, имеющий нормальную форму u=h1tsi.. .hntenhn+1,
ег = ±1, a r£R имеет нормальную форму
г = /еп + 1/1п + 2. . .ten + mhn+m + 1, еу= ±1,
причем некоторые из ht могут равняться 1.
Начальная диаграмма для одного р — это петля с вершиной и,
соединенной с базовой точкой О некоторым путем. Путь Ov состоит
из 2п+1 ребер еь fi, . . . , еп, fn, еп+1, где ф(ег)=/1г- и ф(Л)=/еь
Ребра, помеченные группой Н, называются Я-ребрами, а ребра,
помеченные элементами t±r, называются t-ребрами. Петля в точке и
состоит из 2т ребер
fn+i,en+l, ...,fn+m,en+m+l, где ф(e„+/) = /i„+/ и Ф (/л+/) =/е»+Л
Начальная диаграмма для последовательности рг, , рп со-,
стоит из начальных диаграмм для каждого pt, расположенных во-
круг базовой точки О. Начальная диаграмма обладает всеми обыч-
ными свойствами, за исключением, возможно, условия (1); произве-
дение меток на ребрах из дМ не обязано быть приведенным.
Допустим, что имеется дуга /ъ еи ... , eh, f2 в дМ, такая, что
<f>(f2) = t, ребра е;—это Я-ребра и произведение а=
=ф(еа). . .ф(еА) лежит в подгруппе А. Разделим ребро /2 на последо-
вательные ребра e'k, ... , е[, f3, eft+1 с метками ф(е'г)=ф(е()-1,
i=l, ... , k, ф(/3)=/ и ф(ей+1)=ф(а). (См. рис. 11.2.)
Поскольку в F выполняется соотношение t~lat=ty(a), то t—
=а-1/ф(п). Таким образом, произведение меток на ребрах из дМ
остается неизменным. Точно так же, если первоначальное ребро
принадлежало границе некоторой области D, то произведение меток
на ребрах граничного цикла для D остается без изменения. Далее
последовательно отождествим ребра e'i и е,, i=k, ... ,1, и ребра
Л, /3. Заметим, что эта процедура уменьшает число /-ребер в М.
390
Г л. V. Теория малых сокращений
Процедура для дуги Д, е±, . . . , f2 из дМ, такой, что <p(/i) =
=Д ф(Л)=/-1, суть /7-ребра, причем (f(e1)...(f(eh')=b^B, ана-
логична. Нужно разделить ребро /2 на ребра e’k, ... , е[, f3, eft+1
с метками ф/е'Хф/е;)-1, i—k, ... ,1, ф(/3) = /-1 и ф(сь + 1)=Ч’-1(Ь).
Затем надо последовательно отождествить et с е',, i=k, . .. ,1, и
/3 с Д. После конечного числа применений этих процедур мы при-
Рис. 11.2.
ходим к диаграмме, удовлетворяющей обоим условиям (1) и (2).
Итак, нами доказана
Теорема 11.5. Пусть R—симметризованное подмножество
группы G. Для любой последовательности pi, . , рп элементов, со-
пряженных с элементами из R, существует диаграмма, удовлетворяю-
щая условиям (1) и (2). □
Как обычно, выводится
Теорема 11.6. Пусть F=(H, t; 1~ХА1=В, -ф> есть HNN-pacwu-
рение группы Н. Допустим, что R — симметризованное подмноже-
ство группы F, удовлетворяющее условию С'(Х), 1/6, и N — нор-
мальное замыкание для R в F. Если w — нетривиальный элемент из
N, то w=wisw2 в приведенной форме, где существует циклически
приведенный элемент г £R, такой, что в приведенной форме r=sv,
причем |s|>(l—Х)|г|.
В частности, естественное отображение v: F -> FIN изоморфно
вкладывает группу Н в FIN. □
Как читатель уже, наверно, догадывается, мы собираемся дока-
зать, что многие HNN-расширения являются SQ-универсальными.
Теорема 11.7. Пусть Н*=(Н, t\ t~1At=B, ip) — некоторое
HNN-расширение. Если в И есть элемент гД=\, такой, что
z~'Aг П А = {1} = zBz"1 П В,
то группа Н* является SQ-универсальной.
□ Пусть C—(clt ... ; S) — произвольная счетная группа. Поло-
жим F~(C»H, t; t~xAt~B, ф). Рассмотрим элемент z из Н, удов-
летворяющий условиям теоремы, и построим симметризованное
множество R, порожденное элементами
f. — q / “1) +1 (Z—1)+2
Покажем, что R удовлетворяет условию С'(1/6). Пусть г и г'
элементы из R. Для изучения сокращения в произведении гг' |
11. Теория малых сокращений над HNN-расширениями
391
можем предполагать, что г кончается на /е, е=±1, а г' начинается
на t~s. Для определенности допустим, что г кончается на /. (Остав-
шийся случай аналогичен.) По лемме Коллинза (теорема IV. 2.5)
имеем r=6iS16r1 и r'=b2s2b:H, где sx и s2 — циклические переста-
новки элементов г*1, подобных выписанному выше, a bi и Ь2 лежат
в В. Из формы элемента rt легко видеть, что начальная строка вида
//z6/mze/nz6, 6=±1, вполне определяет циклическую перестановку
элемента гг. Таким образом, если в произведении гг’ сокращается
как минимум три блока со степенями элемента t, имеем s2=sf \ Три
последовательных блока со степенями элемента t имеют длину,
много меньшую 1/6 длины любого элемента из R, который может
нам встретиться. Значит, если в произведении гг' сокращается 1/6
часть одного из элементов г, г', имеем sa=sr1.
Для доказательства равенства г'=г~1 остается показать, что
&i=b2. После сокращения первых /-символов имеем tbi1b2t~1~
=Ф-1(^Г1^2)- После сокращения первого блока /-символов прихо-
дим к равенству
гг' — .. .tzb*z~1t~l...,
где 6*=ф-/(Ь3) С В для некоторого /. Поскольку сокращения про-
исходят и дальше, должно быть z&*z-1 £ В. Согласно предположени-
ям на z, отсюда следует, что й* = 1 и, значит, что □
Только что доказанная теорема имеет интересное приложение
к группам с одним определяющим соотношением. Напомним, что
группа с одним определяющим соотношением G— </, b, с, ... ; г),
где г циклически приведено, а некоторый из порождающих, входя-
щий в г, входит в суммарной степени 0, скажем а((г)=0, является
HNN-расширением некоторой другой группы с одним определяю-
щим соотношением; см. IV.5. Нам понадобится следующая
Лемма 11.8. Пусть G={a, b, ... ; г) — произвольная группа о
одним определяющим соотношением, имеющая не менее двух порож-
дающих. Тогда G обладает представлением {t, ; г'}, для кото-
рого at(r)=0.
□ Если сумма показателей при а или при b в г равна нулю, то в
качестве / следует взять тот элемент а или Ь, который подходит.
В противном случае проведем индукцию по (|оа(г)|4-|аь(г)|). Допус-
тим, что 0<|оа(г)«|оь(/-)|. Тогда G обладает представлением G=
= {а, Ь, ... ; г' >, где r'—r(ab~e, b, ...). При подходящем выборе
е=± 1 имеем |оь(г')|<|о6(г)|. Следовательно, у G есть представле-
ние нужного типа. □
Теорема 11.9. Пусть G={t, b, с, ...; г) — группа, представ-
ленная с помощью одного соотношения и по меньшей мере трех
порождающих. Тогда G является SQ-универсальной.
392
Гл. V. Теория малых сокращений
□ Как обычно, будем предполагать, что г циклически приведено
и по предыдущей лемме что ог(г)=0. Будем смотреть на G как на
HNN-расширение некоторой группы Н с одним определяющим со-
отношением. Обычно наиболее удобно считать, как это мы делали
в IV.5, что индексы при порождающих группы Н, отличных от
элементов вида Ь, пробегают множество всех целых чисел. Здесь мы
не будем делать этого. Пусть $ — это г в переписанном виде. Для
каждого порождающего х группы G пусть ц (х) — минимальный ин-
декс при х, входящем в s, а т(х) — максимальный индекс при
таком х. Положим
Н = <,bit Cj, . .., р. (&) i т (&), р (с) m (с), ...; s>.
Пусть U и V — подгруппы группы Н, заданные так:
U = <&z, Су, ..., р (b) i < т (b), р (с) j < т (с), ... >
и
V = <Ьг, Су, ..., р (b) < i т (&), р (с) < j т (с), ... >.
Тогда
0 = <Я, /; tUt-^Vy.
Предположим вначале, что p(ft)<m(ft) и р(с)</и(с). Пусть z—
=Ь^стт. Допустим, что Ui и и2 — два неединичных элемен-
та из U. Применяя теорему о свободе, видим, что равенство вида
zu1z~1=u2 не может выполняться в Н, поскольку ни правая, ни
левая его часть не содержит Ьт(Ь) (а Ьт{Ь) встречается в $). Ана-
логично, если Ci и t>2 — неединичные элементы из V, то невозможно
равенство z-1ViZ=u2, так как ни одна из частей не содержит сщп.
Таким образом,
zUz-'[}U = {l} = Vnz-1Vz,
и группа G является SQ-универсальной по теореме 11.7.
Если допущенные выше неравенства не имеют места, то предпо-
ложим для определенности, что ц(Ь)=т(Ь). Это означает, что ника-
кое bt не встречается среди порождающих подгрупп U и V. Поло-
жим г=ещс)стт (где, возможно, р(с)=/и(с)) и применим уже при-
веденное рассуждение. □
Одно из направлений, которое мы даже не затронули, это тео-
рия малых сокращений для полугрупп. Прекрасное изложение этой
теории с геометрической точки зрения можно найти у Реммерса
[1971].
В этой главе мы интересовались лишь теорией малых сокраще-
ний. Следует отметить -в то же время, что польза от примене-
ния диаграмм при доказательстве теорем ни в коей мере не ограни-
чивается теорией малых сокращений. Еще раньше диаграммы были
11. Теория малых сокращений на HNN-расширениями 393
использованы Линдоном 11972] при доказательстве теоремы о сво-
боде (II.5.1). Упомянем также геометрическое доказательство лемм
Бриттона и Коллинза, данное Миллером и Шуппом [1973]. Кроме
того, диаграммы были использованы в работе Гурвица Р. [1976],
где показано, что если G — свободное произведение двух свободных
групп с конечно порожденными коммутирующими подгруппами,
то проблема сопряженности в G алгоритмически разрешима.
Список литературы
Адельсбергер (Adelsberger Н.)
[1930] Uber unendliche diskrete Gruppen. J. Reine Angew. Math., 163, 103—124.
Адян С. И.
[1955] Алгоритмическая неразрешимость проблем распознавания некоторых
свойств групп.— Докл. АН СССР, т. 103, с. 533—535.
[1957] Неразрешимость некоторых алгоритмических проблем теории групп.—
Тр. Моск, матем. о-ва, т. 6, с. 231—298.
[1958] Об алгоритмических проблемах в эффективно полных классах групп.—
Докл. АН СССР, т. 123, с. 13—18.
[1966] Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для групп
и полугрупп.— Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 85, с. 1—123.
[1975] Проблема Бернсайда и тождества в группах.— М.: Наука.
Адян см. Новиков.
Акагава (Akagawa Y.)
[1968] On the number of fundamental relations with respect to minimal generators
of a p-group. J. Math. Soc. Japan, 20, 1—12.
Акка (Ackca J.)
[1974] Untergruppen speziell prasentierter Gruppen. Bonn: Gesellsch. fur Math,
und Datenverarbeitung.
Аккола (Accola R. D. M.)
[1968] On the number of automorphisms of a closed Riemann surface. Trans.
Amer. Marh. Soc., 131, 398—408.
Алберт, Томпсон (Albert A. A., Thompson J.)
[1959] Two-element generation of a projective unimodular group. Illinois J. Math.,
3 , 421—439.
Алтеи (Althoen S. C.)
[1973] A Seifert-van Kampen theorem for the second homotopy group. Thesis,
New York: City Univ, of New York.
[1974] A geometric realization of a construction of Bass and Serre. J. Pure Appl.
Algebra, 5, 233—237.
[1975] A van Kampen theorem, J. Pure Appl. Math., 6, 41—47.
Альфорс (Ahlfors L. V.)
[1964] Finitely generated Kleinian groups. Amer. J. Math., 86, 413—429.
Андреадакис (Andreadakis S.)
[1963] On some series of groups of automorphisms of groups. Bull. Soc. Math.
Grece, 4, 111—120.
[1965] On the automorphisms of free groups and free nilpotent groups. Proc.
London Math. Soc., 15, 239—268.
[1969] On the embedding of a free product of cyclic groups. Bull. Soc. Math. Grece,
10, 19—34.
[1969] On semicomplete groups. J. London Math. Soc., 44, 361—364.
[1971] Semicomplete one-relator groups. Bull. Soc. Math. Grece, 12, 1—6.
Аппель (Appel К. 1.)
[1968] One-variable equations in free groups. Proc. Amer. Math. Soc., 19, 912—
918.
Список литературы
395
11969] On two-variable equations in free groups. Proc. Amer. Math. Soc., 21,
179—181.
[1971] The conjugacy problem for tame alternating knot groups is solvable. Noti-
ces Amer. Math. Soc., 18, 42.
[1974] On the conjugacy problem for knot groups. Math. Z., 138, 273—294.
Аппель, Дьоруп (Appel К. I., Djorup F. M.)
[1968] On the equation zj. . .Zk=yn in a free semigroup. Trans. Amer. Math.
Soc., 134, 461—470.
Аппель, Шупп (Appel К. I., Schupp P. E.)
[1972] The conjugacy problem for the group of any tame alternating knot is sol-
vable. Proc. Amer. Math. Soc., 33, 329—336.
Артин (Artin E.)
[1947] The free product of groups. Amer. J. Math., 69, 1—4.
[1947] Theory of braids. Ann. of Math., 48, 101—126.
[1947] Braids and permutations. Ann. of Math., 48, 643—649.
[1950] The theory of braids. Amer. Scientist, 38, 112—119.
Асельдеров Ж- M.
[1969] Об уравнениях с одним неизвестным в свободной группе. Теория автома-
тов и методы формализованного синтеза электронных машин и систем.—
Труды семинара, Киев, 1968, с. 3—16.— АН УССР, Киев.
Ауманн (Aumann R. J.)
[1956] Asphericity of alternating knots. Ann. of Math., 64, 374—392.
Багерзаде (Bagherzadeh G. H.)
[1975] Commutativity in one-relator groups. J. London Math. Soc., 13, 459—471.
[1976] Commutativity in groups with bipolar structure. J. London Math. Soc.,
13, 443—453.
Бакли (Buckley J.)
[1967] On the D-series of a finite group. Proc. Amer. Math. Soc., 18, 185—186.
Бальцежик, Мычельски (Balcerzyk S., Mycielski J.)
[1956] On free subgroups of topological groups. Bull. Acad. Polon. Sci. Cl. Ill,
4, 415.
[1957] On the existence of free subgroups in topological groups. Fund. Math., 44,
303—308.
[1957] Some theorems on the representations of free products. Bull. Acad. Polon.
Sci. Cl. Ill, 5, 1029—1030.
[1961/ 62] On faithful representations of free products of groups. Fund. Math., 50,
63—74.
Басс (Bass H.)
[1972] The degree of polynomial growth of finitely generated nilpotent groups.
Proc. London Math. Soc., 25, 603—614.
[1973] Growth of groups. SL2 of local fields. Groups acting on trees. Queen’s
Papers in Pure and Applied Math. (Kingston), 36, 11—12; 13—15; 16—17.
[1976] Some remarks on group actions on trees. Comm. Algebra, 4, 1091 —1126.
Басс, Лазар, Серр (Bass H., Lazard M., Serre J.-P.)
[1964] Sousgroupes d’indice fini dans SL (n, Z). Bull. Amer. Math. Soc., 70,
385—392.
Баумслаг Б. (Baumslag B.)
[1966] Intersections of finitely generated subgroups in free products. J. London
Math. Soc., 41, 673—679.
[1967] Residually free groups. Proc. London Math. Soc., 17, 402—418.
[1968] Generalized free products whose two-generator subgroups are free. J. Lon-
don Math. Soc., 43, 601—606.
Баумслаг Г. (Baumslag G.)
[1959] Wreath products and p-groups. Proc. Cambridge Philos. Soc., 55, 224—
231.
[1960] On a problem of Lyndon. J. London Math. Soc., 35, 30—32.
[1962] On generalized free products, Math. Z., 78, 423—438.
396
Список литературы
[1962] A remark on generalized free products. Proc. Amer. Math. Soc., 13, 53—54.
[1962] A non-Hopfian group. Bull. Amer. Math. Soc., 68, 196—198.
[1963] Automorphism groups of residually finite groups. J. London Math. Soc., 38
117—118.
[1964] Groups with one defining relator. J. Austral. Math. Soc., 4, 385—392.
[1965] Residual nilpotence and relations in free groups. J. Algebra, 2, 271—282.
[1967] Finitely presented groups. Proc. Conf. Canberra, 1965, pp. 37—50. New
York: Gordon and Breach.
[1967] Residually finite one-relator groups. Bull. Amer. Math. Soc., 73, 618—
620.
[1968] On the residual nilpotence of certain one-relator groups. Comm. Pure Appl.
Math., 21, 322—326.
[1969] A non-cyclic one-relator group all of whose finite quotients are cyclic.
J. Austral. Math. Soc., 10, 497—498.
[1971] A finitely generated, infinitely related group with trivial multiplicator.
Bull. Austral. Math. Soc., 5, 131—136.
[1971] Positive one-relator groups. Trans. Amer. Math. Soc., 156, 165—183.
[1971] Lecture notes on nilpotent groups. In: Regional Conf. Ser. in Math. Amer.
Math. Soc., 2.
[1971] On finitely generated subgroups of free products. J. Austral. Math. Soc.,
12, 358—364.
[1974] Residually finite groups with the same finite images. Compositio Math.,
29, 249—252.
[1974] Some problems on one-relator groups. In: Proc. Conf. Canberra 1973.
(Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 75—81). Berlin — Heidelberg —
New York: Springer.
[1974] (Editor): Reviews on Infinite Groups, Parts I, II. Amer. Math. Soc.
[1976] A remark on groups with trivial multiplicator. Amer. J. Math., 97 , 863—
864.
Баумслаг Г., Бун, Нейман Б. (Baumslag G., Boone W. W., Neumann В. H. )
[1959] Some unsolvable problems about elements and subgroups of groups. Math.
Scand., 7, 191—201.
Баумслаг Г., Грюнберг (Baumslag G., Gruenberg K. W.)
[1967] Some reflections on cohomological dimension and freeness. J. Algebra, 6,
394—409.
Баумслаг Г., Каррас, Солитэр (Baumslag G., Karrass A., Solitar D.)
[1970] Torsion-free groups and amalgamated products. Proc. Amer. Math. Soc..
24, 688—690.
Баумслаг Г., Малер. (Baumslag G., Mahler K.)
[1965] Equations in free metabelian groups. Michigan Math. J., 12, 375—379.
Баумслаг Г., Солитэр (Baumslag G., Solitar D.)
[1962] Some two-generator one-relator non-Hopfian groups. Bull. Amer. Math.
Soc., 68, 199—201.
Баумслаг Г., Стейнберг (Baumslag G., Steinberg A.)
[1964] Residual nilpotence and relations in free groups. Bull. Amer. Math. Soc.,
70, 283—284.
Баумслаг Г., Тейлор (Baumslag G., Taylor T. (= Lewin T.))
[1968] The centre of groups with one defining relator. Math. Ann., 175, 315—319,
Баумслаг Г., Штребель (Baumslag G., Strebel R.)
[1976] Some finitely generated, infinitely related metabelian groups with trivial
multiplicator. J. Alg., 40, 46—62.
Баур (Baur W.)
[1973] Eine rekursiv prasentierte Gruppe mit unentschneidbaren Wortproblem-
Math. Z., 131, 219—222.
Бахманн, Грюненфельдер (Bachmann F., Griinenfelder L.)
[1972] Homological methods and the third dimension subgroup. Comment. MMh.
Helv., 47 , 526—531.
Список литературы
397
Бахмут (Bachmuth S.)
[1965] Automorphisms of free metabelian groups. Trans. Amer. Math. Soc., 118,
93—104.
[1966] Induced automorphisms of free groups and free metabelian'groups. Trans.
Amer. Math. Soc., 122, 1—17.
[1967] Automorphisms of a class of metabelian groups. Trans. Amer. Math. Soc.,
127, 284—293.
Бахмут, Мочизуки (Bachmuth S., Mochizuki H. Y.)
[1967] Automorphisms of a class of metabelian groups, II. Trans. Amer. Math.
Soc., 127, 294—301.
[1975] Automorphisms of solvable groups. Bull. Amer. Math. Soc., 81, 420—422.
[1976] Triples of 2x2 matrices which generate free groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 59, 25—28.
Бахмут, Форманек, Мочизуки (Bachmuth S., Formanek E., Mochizuki H. Y.)
[1976] lA-automorphisms of certain two-generator torsionfree groups. J. Algebra,
40, 19—30.
Бахмут, Хьюз (Bachmuth S., Hughes I.)
, [1966] Applications of a theorem of Magnus. Arch. Math., 17, 380—382.
Беге (Boge S.)
[1967] Definierende Relationen zwischen Erzeugenden der klassischen Gruppen.
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 30, 165—178.
Безверхний В. H.
[1972] Решение проблемы вхождения для одного класса групп.— Вопросы тео-
рии групп и полугрупп. Тула: Тульск. гос. пед. ин-т, с. 3—86.
Безверхний В. Н., Роллов Е. В.
[1974] О подгруппах свободного произведения групп.— Совр. алгебра, т. 1,
с. 16—31 (Ленинградский гос. пед. ин-т.).
Бейкер (Baker R. Р.)
[1931] Cayley diagrams on the anchor ring. Amer. J. Math., 53, 645—669.
Бенсон, Гроув (Benson С. T., Grove L. C.)
[1970] Generators and relations for Coxeter groups. Proc. Amer. Math. Soc., 24,
545—554.
[1971] Finite reflection groups. Bogden and Quigley.
Бер (Behr H.)
[1962] Ober die endliche Definierbarkeit verallgemeinerter Einheitengruppen.
J. Reine Angew. Math., 211, 123—135.
[1962] Ober die endliche Definierbarkeit von Gruppen. J. Reine Angew. Math.,
211, 116—122.
[1967] Uber die endliche Definierbarkeit verallgemeineres Einheitsgruppen. In-
vent Math., 4, № 4, 265—274.
[1969] Endliche Erzeugbarkeit arithmetisher Gruppen uber Funktionenkorpern.
Invent. Math., 7, 1—32.
[1975] Eine endliche Presentation der symplektischen Gruppe Sp4 (Z). Math. Z.,
141, 47—56.
Бер, Меннике (Behr H., Mennicke J.)
[1968] A presentation of the groups PSL (2, q). Canad. J. Math., 20, 1432—1438,
Бергман (Bergman G. M.)
[1968] On groups acting on locally finite graphs. Ann. of Math., 88, 335—340.
Бернс (Burns R. G.)
[1969] A note on free groups. Proc. Amer. Math. Soc., 23, 14—17.
[1971] On the intersection of finitely generated subgroups of a free group. Math.
Z., 119, 121—130.
[1972] On the finitely generated subgroups of a free group. Trans. Amer. Math,
Soc., 165, 293—306.
[1973] Finitely generated subgroups of HNN groups. Canad. J. Math., 25, 1103—
1112.
398
Список литературы
[1974] On the rank of the intersection of subgroups of a Fuchsian group. In: Proc.
Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 165—187).
Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
[1974] A proof of the Freiheitssatz and the Cohen — Lyndon theorem for one-
relator groups. J. London Math. Soc., 7, 508—514.
Бернсайд (Burnside W.)
[1902] On an unsettled question in the theory of discontinuous groups. Quart.
J. Math., 33, 230—238.
[1911, 1955] The theory of groups of finite order. 2nd ed. 1911. New York: Dover
[Reprint].
Бест (Best L. A.)
[1973] Subgroups of one-relator Fuchsian groups. Canad. J. Math., 25, 888—891.
Биггз (Biggs N.)
[1972] Cayley maps and symmetrical maps. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc.
72, 381—386.
Биндер Г. Я-
[1970] О двухэлементных базисах симметрической группы.— Известия высш,
учебн. завед., Математика, т. 92, с. 9—11.
Бинц, Нейкирх, Венцель (Binz Е., Neukirch J., Wenzel G. Н.)
[1971] A subgroup theorem for free products of pro-finite groups. J. Algebra, 19,
104—105.
Бирман (Birman J. S.)
[1968] Automorphisms of the fundamental group of a closed orientable 2-mani-
fold. Proc. Amer. Math. Soc., 21, 351—354.
[19691 On braid groups. Comm. Pure Appl. Math., 22, 41—72.
[1969] Mapping class groups and their relationship to braid groups. Comm. Pure
Appl. Math., 22, 213—238.
[1970] Abelian quotients of the mapping class group of a 2-manifold. Bull. Amer.
Math. Soc., 76, 147—150.
[1971] On Siegel’s modular group. Math. Ann., 191, 59—68.
[1974] An inverse function theorem for free groups. Proc. Amer. Math. Soc., 41,
634—638.
[1974] Braids, links and mapping class groups. Ann. Math. Studies, 82.
[1974] Mapping class groups and surfaces: a survey. Discontinuous Groups and
Riemann Surfaces, Annals of Math. Studies, 79, 57—71.
Бирман, Хилден (Birman J. S., Hilden H. M.)
[1971] On the mapping class groups of closed surfaces as covering spaces. Annals .
of Math. Studies, 66, 81—115.
Бирман, Чиллингсуорт (Birman J. S., Chillingsworth D. R. J.)
[1972] On the homeotopy group of a non-orientable surface. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 71, 437—448.
Битам (Beetham N. J.)
[1971] A set of generators and relations for the group PSL (2, q), q odd. J. London
Math. Soc., 3, 554—557.
Битам, Кэмпбелл (Beetham N. J., Campbell С. M.)
[1976] A note on the Todd —Coxeter coset enumeration algorithm. Proc. Edin-
burgh Math. Soc., 20, 73—78.
Блан (Blanc C.)
[1940] Une interpretation elementaire des theoremes fondamentaux de M. Nevan-
linna. Comment. Math. Helv., 12, 153—163.
[1941] Les reseaux Riemanniens. Comment. Math. Helv., 13, 54—67.
Бланчфилд (Blanchfield R. C.)
[1949] Applications of free differential calculus to the theory of groups. Senior
thesis, Princeton: Princeton University.
Блэкберн (Blackburn N.)
[I960] Note on a theorem of Magnus. J. Austral. Math. Soc., 10, 469—474.
[1965] Conjugacy in nilpotent groups. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 143—148.
Список литературы
399
Бовди А. А.
[1969] Размерные подгруппы.— Труды Рижского алгебраического семинара,
Латв. Гос. Ун-т, с. 5—7.
Боненблюст (Bohnenblust F.)
[1947] The algebraic braid group. Ann. of Math., 48, 127—136.
Борисов В. В.
[1969] Простые примеры групп с неразрешимой проблемой тождества.—Мат.
Заметки, т. 6, с. 521—532.
Борхо, Розенбергер (Borho W., Rosenberger G.)
[1973] Eine Bemerkung zur Неске-Gruppe G (%). Abh. Math. Sem. Univ. Ham-
burg, 39, 76—82.
Брайскорн (Breiskorn E.)
[1973] Sur les groupes de tresses d’apres V. I. Arnol’d. In; Sem. Bourbaki 1971—
1972 (Lecture Notes in Math., Vol. 317). Berlin — Heidelberg — New
York: Springer.
Брайскорн, Сайто (Breiskorn E., Saito K-)
[1972] Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen. Invent. Math., 17, 245—271.
Брандис см. Райдемайстер.
Браннер (Brunner A. M.)
[1974] Transitivity systems of certain one-relator groups. In: Proc. Conf. Canberra
1973 (Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 131—140). Berlin — Heidel-
berg — New York: Springer.
[1974] The determination of Fibonacci groups. Bull. Austral. Math. Soc., 11, 11—
14.
[1976] A group with an infinite number of Nielsen inequivalent one-relator pre-
sentations. J. Algebra, 42, 81—84.
Браун К. (Brown К. S.)
[1974] Euler characteristic of discrete groups and G-spaces. Invent. Math., 27,
229—264.
Браун P. (Brown R.)
[1967] Groupoids and van Kampen’s theorem. Proc. London Math. Soc., 17,
385—401.
Брахана (Brahana H. R.)
[1930] Pairs of generators of the known simple groups whose orders are less than
one million. Ann. of Math. 31, 529—549.
[1931] On the groups generated by two operators of orders two and three whose
product is of order eight. Amer. J. Math., 53, 891—901.
Бреннер (Brenner J. L.)
[1955] Quelques groupes libres de matrices. C. R. Acad. Sci. Paris, 241, 1689—
1691.
Бреннер, Маклеод, Олески (Brenner J. L., MacLeod R. A., Olesky D. D.)
[1975] Non-free groups generated by 2X2 matrices. Canad. J. Math., 27, 237—
245.
Бреннер, Уайголд (Brenner J. L., Wiegold J.) .
[1975] Two-generator groups, I. Michigan Math. J., 22, 53—64.
Бриттон (Britton J. L.)
[1956] Solution of the word problem for certain types of groups, I, II. Proc. Glas-
gow Math. Assoc., 3, 45—54; 3, 68—90.
[1958] The word problem for groups. Proc. London Math. Soc., 8, 493—506.
[1963] The word problem. Ann. of Math., 77, 16—32.
Буадрон (Boydron Y.)
[1971] Progressive dans les produits libres. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 273,
779—780.
[1975] Conjugaison des sous-groupes d’un groupe libre. C. R. Acad. Sci. Paris,
276, 1447—1448.
[1976] Algorithmes dans les produits libres. C- R- Acad. Sci. Paris Ser. A 282,
[35-138,
400
Список литературы
Бун (Boone W. W.)
[1954—1957] Certain simple unsolvable problems in group theory, I, II, III, IV,
V, VI. Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 57, 231—237, 492—497
(1954), 58, 252—256, 571—577 (1955), 60 , 22—27, 227—232 (1957).
[1958] The word problem. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A., 44, 265—269.
[1959] The word problem. Ann. of Math., 70, 207—265.
[1962] Partial results regarding word problems and recursively enumerable degrees
of unsolvability. Bull. Amer. Math. Soc., 68, 616—623.
[1966] Word problems and recursively enumerable degrees of unsolvability.
A sequel on finitely presented groups. Ann. of Math., 84, 49—84.
[В печати] The theory of decision processes in group theory; a survey, Amer.
Math. Soc., invited address; in: Bull. Amer. Math. Soc.
Бун, Коллинз (Boone W. W-, Collins D. J.)
[1974] Embeddings into groups with only a few defining relations. J. Austral.
Math. Soc., 18, 1—7, pp. 37—74.
Бун, Роджерс (Boone W. W., Rogers H. Jr.)
[1966] On a problem of J. H. C. Whitehead and a problem of Alonzo Church.
Math. Scand., 19, 185—192.
Бун, Хакен, Поенарю (Boone W. W., Haken W., Poenaru V.)
[1968] On recursively unsolvable problems in topology and their classification.
In: Contributions to Mathematical Logic (ed. K. Schiitte). Amsterdam:
North-Holland.
Бун, Хигман (Boone W. W., Higman G.)
[1974] An algebraic characterization of the solvability of the word problem.
J. Austral. Math. Soc., 18, 41—53.
[1975] An algebraic characterization of groups with soluble order problem. Stu-
dies in Logic, 80, 53—54.
Бун см. Баумслаг Г.
Бунгард, Нильсен (Bungard S., Nielsen J.)
[1951] On normal subgroups with finite index in F-groups. Mat. Tidsskr. В, 56—
58.
Бунгард см. Нильсен.
Бурде (Burde G.)
[1963] Zur Theorie der Zopfe. Math. Ann., 151, 101—107.
Бурде см. Цишанг.
Бьери (Bieri R.)
[1972] Gruppen mit Poincare — Dualitat. Comment. Math. Helv., 47, 373—396.
[1975] Mayer — Vietoris sequences for HNN-groups and homological duality.
Math. Z., 143, 123—130.
[1976] Normal subgroups in duality groups and in groups of cohomological dimen-
sion 2. J. Pure Appl. Alg., 7, 35—51.
[1975] Mayer — Vietoris sequences for HNN-groups and homological duality.
Math. Z., 143, 123—130.
Бьери, Экманн (Bieri R., Eckmann B.)
[1973] Groups with homological duality generalizing Poincare duality. Invent.
Math., 20, 103—124.
[1974] Amalgamated free products of groups and homological duality. Comment.
Math. Helv., 49, 460—478.
[1974] Finiteness properties of duality groups. Comment. Math. Helv., 49, 74—83.
Бьюмонт (Beaumont R. A.)
[1945] Groups with isomorphic proper subgroups. Bull. Amer, Math. Soc., 51,
381—387.
Бэр, Леви (Baer R., Levi F.)
[1930] Freie Produkte und ihre Untergruppen. Compositio Math., 3, 391—398,
Вагнер (Wagner D. H.)
[1957] On free products of groups. Trans. Amer. Math. Soc., 84 , 352—378,
Вайнбаум (Weinbaum С. M.)
Список литературы
401
[1966] Visualizing the word problem, with an application to sixth groups. Paci-
fic J. Math., 16, 557—578.
[1969] Partitioning a primitive word into a gen rating set. Math. Ann., 181,
157—162.
[1971] The word and conjugacy problem for the knot group of any tame prime al-
ternating knot. Proc. Amer. Math. Soc., 22, 22—26.
[1972] On relators and diagrams for groups with one defining relation. Illinois
J. Math., 16, 308—322.
Валиев M. K.
[1968] Об одной теореме Г. Хигмана.— Алгебра и логика, т. 9, с. 9—22.
[1973] Примеры универсальных конечно определенных групп.— Докл. АН
СССР, т. 211, с. 265—268.
Вальдхаузен (Waldhausen F.)
[1967] Gruppen mit Zentrum und 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten. Topology,
6, 505—51/ .
[1968] On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large. Ann. of Math., 87,
56—88.
[1968] The word problem in fundamental groups of sufficiently large irreducible
3-manifolds. Ann. of Math., 88, 272—280.
[Препринт] Algebraic К-theory of generalized free products.
ван Бускирк см. Джиллет.
ван дер Варден (van der Waerden В. L.)
[1948] Free products of groups. Amer. J. Math., 70, 527—528.
ван Влек (van Vleck E. B.)
[1912] On the combination of non-loxodromic substitutions. Trans. Amer. Math.
Soc., 20, 299—312.
ван Кампен (van Kampen E. R.)
[1933] On the connection between the fundamental groups of some related spaces,
Amer. J. Math., 55, 261—267.
[1933] On some lemmas in the theory of groups. Amer. J. Math. 55, 268—273.
ван Эст (van Est W. T.)
[1953] Finite groups with generators А, В, C fn the relation Aa=Bb=Cc=ABC=
= 1. Nieuw Arch. Wisk., 1, 16—26.
Васкес см. Дайер.
Венцель см. Бинц.
Вердье (Verdier J.-L.)
[1973] Caracteristique d’Euler — Poincare. Bull. Soc. Math. France, 101, 441 —
445.
Верфриц (Wehrfritz B. A. F.)
[1971] 2-generator conditions in linear groups. Arch. Math., 22, 237—240.
[1973] Infinite linear groups. An account of the group-theoretic properties of in-
finite groups of matrices. Ergebnisse der Math., Bd. 76. Berlin — Heidel-
berg— New York: Springer.
[1973] Conjugacy separating representations of free groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 40, 52—56.
[1974] Two examples of soluble groups that are not conjugacy separable. J Lon-
don Math. Soc., 7, 312—316.
Витт (Witt E.)
[1937] Treue Darstellung Liescher Ringe. J. Reine Angew. Math., 177, 152—160.
Вольвачев P. T.
[1965] О порядке элемента матричной группы.— Изв. АН БССР, сер. физ.-мат.
наук, т. 2, с. 11—16.
Вулф (Wolf J. А.)
{1968] Growth of finitely generated solvable groups and curvature of Riemannian
manifolds. J. Differential Geometry, 2, 42]—446,
[Зуссинг (Wussing H.)
402
Список литературы
[1969] Die Genesis des Abstrakten Gruppenbegriff. Berlin: VEB Deutcher Verlap
Wiss. 8
Вэнсан см. Матье.
Ганеа см. Эйленберг.
Гарсайд (Garside F. А.)
[1969] The braid group and other groups. Quart. J. Math., 20, 235—254,
Гасснер (Gassner B. J.)
[1961] On braid groups. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 25, 10—22.
Гауди (Gowdy S.)
[1971] On Greendlinger eighth-groups. Thesis ,Temple Univ.
[1975] On r-th roots in eighth-groups. Proc. Amer. Math. Soc.,, 51, 253—259.
Герстенхабер (Gerstenhaber M.)
[1953] On the algebraic structure of discontinuous groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 4, 745—750.
Герстенхабер, Ротхауз (Gerstenhaber M., Rothaus O. S.)
[1962] The solution of sets of equations in groups. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
48, 1531—1533.
Гильденхьюз (Gildenhuys D.)
[1968] On pro-pgroups with a single defining relator. Invent. Math., 5, 357—366.
[1975] The cohomology of groups acting on trees. J. Pure Appl. Alg., 6, 265—274.
[1975] One-relator groups that are residually of prime power order. J. Austral.
Math. Soc., 19, 388—409.
[1976] Generalizations of Lyndon’s theorem on the cohomology of one-relator
groups. Canad. J. Math., 28, 473—480.
[1976] Amalgams of pro-p-groups with one defining relator. J. Alg., 42, 11—25.
Гладкий A. B.
[1961] О простых словах Дика.— Сиб. матем. ж., т. 2, с. 36—45.
[1961] О группах с ^-сократимым базисом.— Сиб. матем. ж., т. 2, с. 366—383.
Голдберг (Goldberg К.)
[1956] Unfmodular matrices of order 2 that commute. J. Washington Acad. Sci.,
46, 337—338.
Голдберг, Ньюман (Goldberg К., Newman M.)
[1957] Pairs of matrices of order two which generate free groups. Illinois J. Math.,
1, 446—448.
Головин О. H., Гольдина Н. П.
[1955] Подгруппы свободных метабелевых групп.—Матем. сб., т. 37, с. 323—336.
Голод Е. С.
[1964] О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах.— Изв. АН
СССР, сер. матем., т. 28, с. 273—276.
Голод Е. С., Шафаревич И. Р.
[1964] О башне полей классов.— Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28, с. 261—272.
Гольдина Н. П.
[1958] Решение некоторых алгоритмических проблем для свободных и свобод-
ных нильпотентных групп.— Успехи мат. наук, т. 13, с. 183—189.
Гольдина см. Головин.
Горюшкин А. Н.
[1974] Вложение счетных групп в 2-порождеиные простые группы.— Матем.
заметки, т. 16, с. 231—235.
Грегорак (Gregorac R. J.)
[1966] On generalized free products of finite extensions of free groups. J. London
Math. Soc., 41, 662—666.
[1967] A note on certain generalized free products. Proc. Amer. Math. Soc., 18,
754—755.
[1967] A note on finitely generated groups. Proc. Amer. Math. Soc., 18, 756—758.
Грегорак см. Олленби.
Гринберг (Greenberg L.)
[I960] Discrete groups of motions. Canad. J. Math., 12, 414—425.
Список, литературы
403
[1963] Maximal Fuchsian groups. Bull. Amer. Math. Soc., 69, 569—573.
[1966] Note on normal subgroups of the modular group. Proc. Amer. Math. Soc.,
17, 1195—1198.
[1967] Fundamental polygons for Fuchsian groups. J. Analyse Math., 18, 99—105.
Гриндлингер M. Д.
[1960] Dehn’s algorithm for the word problem. Comm. Pure Appl. Math., 13, 67—
83.
[1960] On Dehn’s algorithms for the conjugacy and word problems with applica-
tions. Comm. Pure Appl. Math., 13, 641—677.
[1961] An analogue of a theorem of Magnus. Arch. Math., 12, 94—96.
[1962] A class of groups all of whose elements have trivial centralizers. Math. Z.,
78, 91—96.
[1964] К магнусовой обобщенной проблеме тождества слов.— Сиб. матем. ж.,
т. 5, с. 955—957.
[1964] Решение проблемы сопряженности для одного класса групп, совпадаю-
щих со своими антицентрами, с помощью обобщенного алгоритма Дэ-
на.— Докл. АН СССР, т. 158, с. 1254—1256.
[1964] Решение проблемы тождества для одного класса групп алгоритмом Дэна
и проблемы сопряженности обобщением алгоритма Дэна.— Докл. АН
СССР, т. 154, с. 507—509.
[1965] Усиление двух теорем для одного класса групп.— Сиб. матем. ж., т. 6,
с. 972—984.
[1965] К проблемам тождества слов и сопряженности.— Изв. АН СССР, сер.
матем., т. 29, с. 245—268.
[1966] О проблеме сопряженности и совпадения с антицентром в теории групп.—
Сиб. матем. ж., т. 7, с. 785—803.
[1970] Сопряженность подгрупп свободных групп.— Сиб. матем. ж., т. 11,
с. 1178—1180.
Гриндлингер М. Д., Гриндлингер Е. И. (редакторы)
[1972] Вопросы теории групп и полугрупп.— Тульск. гос. пед. ин-т, Тула.
Гриффит П. (Griffith Р.)
[1970] Extensions of free groups by torsion groups. Proc. Amer. Math. Soc., 24,
677—679.
Гриффитс (Griffiths H. B.)
[1954, 1955] A note on commutators in free products, I, II. Proc. Cambridge Philos.
Soc., 50, 178—188; 51, 245—251.
[1963] On the fundamental group of a surface, and a theorem of Schreier. Acta
Math., 110, 1—17.
[1967] A covering-space approach to residual properties of groups. Michigan Math,
J., 14, 335—348.
[1967] A covering-space approach to theorems of Greenberg in Fuchsian, Kleinian
and other groups. Comm. Pure Appl. Math., 20, 365—399.
Гроссвальд (Grosswald E.)
[1950] On the structure of some subgroups of the modular group. Amer. J. Math.,
72, 809—834.
Гроссман (Grossman E. K.)
[1974] On the residual finiteness of certain mapping class groups. J. London
Math. Soc., 9. 160—164.
[1974] Representations of the automorphism groups of free groups. J. Algebra,
30, 388—399.
[1976] On certain permutation representations of mapping class groups. Math.
Z., 146, 105—112.
Гроссман И., Магнус В.
[1971] Группы и их графы,—М.: Мир, 197L
Гроув см. Бенсон.
Грушко И. А.
404
Список литературы
[1938] Решение проблемы тождества в группах с несколькими соотношениями
специального вида.— Матем. сб., т. 3, с. 543—551.
[1940] О базисах свободного произведения групп.—Матем. сб., 8, 169—182
Грюн (Griin О.)
[1936] Uber eine Faktorgruppe freier Gruppen. J. Deutsch Math., 1, 772—782,
Грюнберг (Gruenberg К- W.)
[19601 ......................
[1967
[1970
[1970
Resolutions by relations. J. London Math. Soc., 35, 481—494.
A new treatment of group extensions. Math. Z., 102, 340—350.
Uber die Relationenmoduln einer endlichen Gruppe. Math. Z., 118, 30—33,
Cohomological topics in group theory. (Lecture Notes in Math., Vol. 743.)
Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
Relation Modules of Finite Groups. CBMS Regional Conf. Series.
Роггенкамп (Gruenberg K- W., Roggenkamp K. W.)
'lion of the augmentation ideal and of the relation modules of a
finite group. Proc. London Math. Soc., 3, 149—166.
[1976]
Грюнберг, Роггенка
[1975] Decomposit
Грюнберг см. Баумслаг Г.
Грюненфельдер см. Бахманн.
Гупта Ч., Гупта Н. (Gupta С. К.., Gupta N. D.)
[1974] Power series and matrix representations of certain relatively free groups.
In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 318—
329). Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
Гупта H. см. Гупта 4.
Гурвиц A. (Hurwitz A.)
[1891] Uber Riemannsche Flachen mit gegebenen Verzweigungspunkten. Math.
Ann., 39, 1—61.
Гурвиц P. (Hurwitz R. D.)
[1974] The conjugacy problem in certain product groups, Thesis, University of
Illinois.
[1976] On the conjugacy problem in a free product with commuting subgroups.
Math. Ann., 221, 1—8.
Гуревич В. (Hurewicz W.)
[1931] Zu einer Arbeit von O. Schreier. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 8,
307—314.
Гуревич Г. A.
[1972] К проблеме сопряженности для групп с одним определяющим соотноше-
нием,— Докл. АН СССР, т. 207, с. 18—20.
[1973] К проблеме сопряженности для групп с одним определяющим соотноше-
нием,— Труды Матем. ин-та им. В. А. Стеклова т. 133, с. 109—120.
Дайер Э., Васкес (Dyer Е., Vasquez А. Т.)
[1973] Some small aspherical spaces. J. Austral. Math. Soc., 16, 332—352.
Дайер Дж. (Dyer J. L.)
[1968] On the residual finiteness of generalized free products, Trans. Amer. Math.
Soc., 133, 131—143.
[1969] On the isomorphism problem for polycyclic groups. Math. Z., 112, 145—
153.
[1976] A criterion for automorphisms of certain groups to be inner. J. Austral.
Math. Soc., 21, 179—184.
Дайер Дж., Скотт (Dyer J. L., Scott G. P.)
[1975] Periodic automorphisms of free groups. Comm. Algebra, 3, 195—201
Дайер Дж., Форманек (Dyer J. L., Formanek E.) (
[1975] The automorphism group of a free group is complete. J. London Math:
Soc., 11, 181—190.
[1975] Complete automorphism groups. Bull. Amer. Math. Soc., 81, 435—437<
[1976] Automorphism sequences of free nilpotent groups of class two. Math. Proci
Camb. Phil. Soc., 79, 271—279.
Дайер Дж., см. Ландман-Дайер.
Список, литературы
405
Дайсон (Dyson V. Н.)
[1964] The word problem and residually finite groups. Notices Amer. Math. Soc.,
11, 743.
[1974] A family of groups with nice word problems. J. Austral. Math. Soc., 17,
414—425.
Дайсон см. Хьюбер-Дайсон.
Данвуди (Dunwoody M. J.)
[1963] On relation groups. Math. Z., 81, 180—186.
[1963] On T-systems of groups. J. Austral. Math. Soc., 3, 172—179.
. [1964] Some problems on free groups, Thesis. Austral. Nat. Univ.
[1969] The Magnus embedding. J. London Math. Soc., 44, 115—117.
[1969] The ends of finitely generated groups. J. Algebra, 12, 339—344.
[1970] Nielsen transformations. In: Computational Problems in Abstract Algebra.
Proc. Conf. Oxford 1967, pp. 45—46. London — New York: Pergamon
Press.
[1972] Relation modules. Bull. London Math. Soc., 4, 151—155.
[В печати] A group presentation associated with a 3-dimensional manifold.
Данвуди, Петровски (Dunwoody M. J., Pietrowski A.)
[1973] Presentations of the trefoil group. Canad. Math. Bull., 16, 517—520.
Дейвис (Davis M.)
[1958] Computability and unsolvability, pp. 73—77. New York McGraw-Hill.
[1973] Hilbert’s Tenth Problem is unsolvable. Amer. Math. Monthly, 80, 233—
269.
Дейд (Dade E. C.)
[1959] Abelian groups of unimodular matrices. Illinois J. Math., 3, 11—27.
Де Грот (De Groot J.)
[1938] Die Gruppe der Abbildungsklassen. Acta Math., 69, 135—206.
[1939] Uber Abbildungen. Mat. Tidsskr. B, 25—48.
[1950] Ober Abbildungen geschlossener Flachen auf sich. Mat. Tidsskr. B, 146—
151.
[1956] Orthogonal isomorphic representations of free groups. Canad. J. Math., 8,
256—262.
Де Грот, Деккер (De Groot J., Dekker T.)
[1954] Free subgroups of the orthogonal group. Composition Math., 12, 134—136.
Дей (Dey I. M. S.)
[1965] Schreier systems in free products. Proc. Glasgow Math. Assoc., 7, 61—79.
Дей, Уайголд (Dey I. M. S., Wiegold J.)
[1971] Generators for alternating and symmetric groups. J. Austr. Math. Soc., 12,
№ 1, 63—68.
Деккер (Dekker T. J.)
[1958] On free groups of motions without fixed points. Nederl. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 61, 348—353.
[1959] On free products of cyclic rotation groups. Canad. J. Math., 11, 67—69.
[1959] On reflections in Euclidean spaces generating free products. Nieuw Arch.
Wisk., 7, 57—60.
Деккер см. Де Грот.
Джако (Jaco W.)
[1968] Constructing 3-manifolds from group homomorphisms. Bull. Amer. Math.
Soc., 74, 936—940.
[1969] Heegaard splittings and splitting homomorphisms. Trans. Amer. Math.
Soc., 144, 365—379.
[1971] Finitely presented subgroups of three-manifold groups. Invent. Math., 13,
335—346.
[1972] Geometric realizations for free quotients. J. Austral. Math. Soc., 11, 411—
418.
Джако см. Ивенс.
406
Список литературы
Дженнингс (Jennings S. А.)
[1941] The structure of the group ring of a p-group over a modular field. Trans
Amer. Math. Soc., 50, 175—185.
[1955] The group ring of a class of infinite nilpotent groups. Canad. J. Math., 7
169—187.
Джиллет, ван Бускирк (Gillette R., Van Buskirk J.)
[1968] The word problem and consequences for the braid groups and mapping class
groups of the 2-sphere. Trans. Amer. Math. Soc., 131, 277—296.
Джонсон (Johnson D. L.)
[1974] A note on the Fibonacci groups. Israel J. Math., 17, 277—282.
[1974] Extensions of Fibonacci groups. Bull. London Math. Soc., 7, 101—104.
[1974/75] Some infinite Fibonacci groups. Proc. Edinburgh Math. Soc., 19, 311—
314.
[1976] Presentations of Groups. London Math. Soc. Lecture Note Ser. 66, Cam-
bridge.
Джонсон, Модели (Johnson D. L., Mawdesley H.)
[1975] Some groups of Fibonacci type. J. Austral. Math. Soc., 20, 199—204.
Джонсон, Уомсли (Johnson D. L., Wamsley J. W.)
[1970] Minimal relations for certain finite p-groups. Israel J. Math., 8, 349—356.
Джонсон, Уомсли, Райт (Johnson D. L., Wamsley J. M., Wright D.)
[1974] The Fibonacci groups. Proc. London Math. Soc., 20, 577—592.
Джоунз Дж. (Jones J. M. T.)
[1974] Direct products and the Hopf property. J. Austral. Math. Soc., 17, 174—
196.
Джоунз И. (Jones E. C.)
[1969] Advanced Problem 5636. Amer. Math. Monthly, 72, 1124.
Дик (Dyck W.)
[1882, 1883] Gruppentheoretische Studien. Math. Ann., 20, 1—44; 22, 70—108.
Диксон (Dixon J. D.)
[1973] Free subgroups of linear groups. In; Lecture Notes in Math., Vol. 319,
pp. 45—56. Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
Донияхи X. A.
[1940] Линейное представление свободного произведения циклических групп.—
Уч. зап. ЛГУ, т. 55, с. 158—165.
Дуглас (Douglas J.)
[1951] On finite groups with two independent generators. Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A., 37, 604—610, 677—691, 749—760, 803—813.
Дурнев В. Г.
[1974] Об уравнениях на свободных полугруппах и группах.—Матем. заметки,
т. 16, с. 717—724.
Дьеруп см. Аппель.
Дэн (Dehn М.)
[1910] Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes. Math. Ann., 69, 137—
168.
[1912] Uber unendliche diskontinuerliche Gruppen. Math. Ann., 71, 116—144.
[1912] Transformation der Kurve auf zweiseitigen Flachen. Math. Ann., 72,
413—420.
Дюбюк П. E.
[1942] О подгруппах конечного индекса бесконечной группы.— Матем. сб.,
т. 10, с. 147—150.
Жюстен (Justin J.)
[1969] Proprietes combinatoires de certains semi-groupes. C. R. Acad. Sci. Paris
Ser. A 269, 1113—1115.
[1971] Groupes et semigroupes a croissance lineaire. C. R. Acad. Sci. Paris Ser.
A 273, 212—213.
IB печати] Characterization of the repetitive commutative semigroups. J. Al-
gebra.
Список литературы
407
Зайферт (Seifert Н.)
[1929] Konstruktion dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten. Jber. Deutsch. Math.
Ver., 38, 248—260.
[1933] Topologie dreidimensionale gefasserter Raume, Acta Math., 60, 141—230.
[1938] Bemerkungen zur stetigen Abbildung von Flachen. Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 12, 29—37.
Залесский A. E., Михалев A. B.
[1973] Групповые кольца.— Итоги науки и техники, вып. 2, с. 5—119.
Зигель (Siegel С. L.)
[1950] Bemerkung zu einem Satze von Jakob Nielsen. Mat. Tidsskr. B, 66—70.
[1957] Ober einige Ungleichungen bei Bewegungsgruppen in der nichteuklidischen
Ebene. Math. Ann., 133, 127—138.
Зингерман (Singerman D.)
[1970] Subgroups of Fuchsian groups and finite permutation groups. Bull. London
Math. Soc., 2, 319—323.
[1972] Finitely maximal Fuchsian groups. J. London Math. Soc., 6, 29—38.
[1974] On the structure of non-Euclidean crystallographic groups. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 76, 233—240.
[1974] Symmetries of Riemann surfaces with large automorphism groups. Math.
Ann., 210, 17—32.
[1976] Automorphisms of maps, permutation groups and Riemann surfaces.
Bull. London Math. Soc., 8, 65—68.
Зингерман см. Макбет.
Зонн см. Шапиро.
Иванов С. Г.
[1975] Проблема порождения для свободного произведения групп с объеди-
ненной подгруппой.— Сиб. матем. ж., т. 16, с. 1155—1171.
[1975] Шрайеровские системы в свободном произведении двух групп с объеди-
ненной подгруппой.— Мат. зап. Уральского гос. ун-та, т. 9, с. 14—34.
Ивасава (Iwasawa К.)
[1943] Einige Satze fiber freie Gruppen. Proc. Imp. Acad. Tokyo, 19, 272—274.
Ивенс Б. (Evans B.)
[1973] A class of nc groups closed under cyclic amalgamation. Bull. Amer. Math.
Soc., 79, 200—201.
[1974] Cyclic amalgamations of residually finite groups. Pacific J. Math., 55, 371—
379.
Ивенс Б., Джако (Evans В., Jaco W.)
[1973] Varieties of groups and three-manifolds. Topology, 12, 83—97.
Ивенс P. (Evans R. J.)
[1974] Free products of two real cyclic matrix groups. Glasgow Math. J., 15, 121—
128.
Имрих (Imrich W.)
[1975] On the Kurosh subgroup theorem. Seminar fiber Gruppen und Graphen.
Univ. Graz.
Ихара (Ihara Y.)
[1966] Algebraic curves mod p and arithmetic groups. Proc. Sympos. Pure Math,
Amer. Math. Soc., 9, 265—272.
[1966] On discrete subgroups of the two by two projective linear groups over p-adic
fields. J. Math. Soc. Japan, 18, 219—235.
Йонсон см. Федерер.
Калашников В. А., Курош А. Г.
[1935] Свободные произведения групп с объединенными подгруппами центров.—
Докл. АН СССР, т. 1, с. 285—286.
Кальме (Kalme С.)
[1969] A note on the connectivity of components of Kleinian groups. Trans. Amer,
Math. Soc., 137, 301—307.
Камерфорд (Comerford L. P., Jr.)
408
Список литературы
[1974] Real elements in small cancellation groups. Math. Ann., 208, 279—293.
[1975] Powers and conjugacy in small cancellation groups. Arch. Math., 26
357-360.
Камерфорд, Трюффо (Comerford L. P., Jr., Truffault B.)
[1976] The conjugacy problem for free products of sixth-groups with cyclic amal-
gamation. Math. Z., 149, 169—181.
Камм (Camm R.)
[1953] Simple free products. J. London Math. Soc., 28, 66—76.
Каннонито (Cannonito F. B.)
[1966] Hierarchies of computable groups and the word problem. J. Symbolic Lo-
gic, 31, 376—392.
Каннонито, Гаттердам (Cannonito F. B., Gatterdam R. W.)
[1973] The word problem and power problem in 1-relator groups are primitive
recursive. Pacif. J. Math., t. 61, № 2, 351—359.
Каннонито см. Бун.
Каплански (Kaplansky I.)
[1945] A note on groups without isomorphic subgroups. Bull. Amer. Math. Soc.,
51, 529—530.
Каргаполов M. И.
[1967] О конечнопорожденных линейных группах,—Алгебра и логика, т. 6
с. 17—20.
[1967] Финитная аппроксимируемость сверхразрешимых групп относительно
сопряженности.— Алгебра и логика, т. 6, с. 63—68.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Ремесленников В. Н.
[1960] Об одном способе пополнения групп.— Уч. зап. Пермск. ун-та, т. 17,
с. 9—11.
Каргаполов М. И. Ремесленников В. Н.
[1966] Проблема сопряженности для свободных разрешимых групп.— Алгебра
и логика, т. 5, с. 15—26.
Каргаполов М. И., Ремесленников В. Н., Романовский Н. С., Романьков
В. А., Чуркин В. А.
[1969] Алгоритмические проблемы для о-степенных групп.— Алгебра и логика,
т. 8, с. 643—659.
Каррас см. Баумслаг Г., Магиус, Фишер, Хо>.
Каррас, Магнус, Солитэр (Karrass A., Magnus W., Solitar D.)
[I960] Elements of finite order in groups with a single defining relation. Comm.
Pure Appl. Math., 13, 57—66.
Каррас, Петровски, Солитэр (Karrass A., Pietrowski A., Solitar D.)
[1972] Finite and infinite cyclic extensions of free groups. J. Austral. Math. Soc.,
16, 458—466.
[1974] An improved subgroup theorem for HNN groups with some applications.
Canad. J. Math., 26, 214—224.
[1974] Finite and infinite cyclic extensions of free subgroups. J. Austral. Math.
Soc., 16, № 4, 458—466
Каррас, Солитэр (Karrass A., Solitar D.)
[1957] Note of a theorem of Schreier. Proc. Amer. Math. Soc., 66, 696—697.
[1958] Subgroup theorems in the theory of groups given by defining relations.
Comm. Pure Appl. Math., 11, 547—571.
[1958] On free products. Proc. Amer. Math. Soc., 9, 217—221.
[1969] On the failure of the Howson property for a group with a single defining
relation. Math. Z., 108, 235—236.
[1969] On finitely generated subgroups of a free group. Proc. Amer. Math. Soc.,
22, 209—213.
[1969] On finitely generated subgroups of a free product. Math. Z., 108, 285—287.
[1969] On groups with one defining relation having an abelian normal subgroup,
Proc. Amer. Math. Soc., 23, 5—10,
Слисок литературы
409
[1970] The subgroups of a free product of two groups with an amalgamated sub-
group. Trans. Amer. Math. Soc., 150, 227—255.
[1971] Subgroups of HNN groups and groups with one defining relation. Canad.
J. Math., 23, 627—643.
[1971] The free product of two groups with a malnormal amalgamated subgroup.
Canad. J. Math., 23, 933—959.
[1972] On a theorem of Cohen and Lyndon about free bases for normal subgroups.
Canad. J. Math., 24, 1086—1091.
[1973] On finitely generated subgroups which are of finite index in generalized
free products. Proc. Amer. Math. Soc., 37, 22—28.
[В печати] On the presentation of Kleinian function groups.
Каррас см. Баумслаг Г.
Кац, Магнус (Katz R., Magnus W.)
[1964] Residual properties of free groups. Comm. Pure Appl. Math., 22, 1—13.
Кашинцев E. B.
[1969] Обобщение одного результата Гриндлингера.— Уч. зап. Ивановского
гос. пед. ин-та, т. 62, с. 152—155.
Келлер О. (Keller О.-Н.)
[1954] Eine Darstellung der Komposition endlicher Gruppen durch Streckenkomp-
lexe. Math. Ann., 128, 177—199.
Келлер P. (Keller R.)
[1973] Diplomarbert, Bochum.
Кемпбелл см. Битам, Робертсон.
Кемпбелл, Робертсон (Campbell С. М., Robertson Е. F.)
[1974, 1975] On matacyclic Fibonacci groups. Proc. Edinburgh Math. Soc., 19,
253—256.
[1975] A note on Fibonacci type groups. Canad. Math. Bull., 18, 173—175.
[1975] Applications of the Todd—Coxeter algorithm to generalised Fibonacci
groups. Proc. Roy. Soc. Edinburgh A, 73, 163—166.
Керран (Curran P. M.)
[1972] Cohomology of finitely presented groups. Pacific J. Math., 42, 615—620.
Кестен (Kesten H.)
[1959] Symmetric random walks on groups. Trans. Amer. Math. Soc., 92, 336—
354.
Кин (Keen L.)
[1966] Canonical polygons for finitely generated Fuchsian groups. Acta Math., 115,
1—16.
Киркинский А. С., Ремесленников В. H.
[1975] Проблема изоморфизма для разрешимых групп.—Мат. заметки, т. 18,
с. 437—439.
Классен В. П.
[1970] Проблема вхождения для некоторого класса групп.—Алгебра и логика,
т. 9, с. 306—312.
[1972] К проблемам вхождения и сопряженности для некоторых расширений-
групп,— Вопросы теории групп и полугрупп. Тула, с. 87—95.
Клейн (Klein F.)
[1883] Neue Beitrage zur Rietnannischen Funktionentheorie. Math. Am., 21,
141-218.
Клейн, Фрике (Klein F., Fricke R.)
[1890, 1892] Vorlesungen fiber die Theorie der Elliptischen Modulfunktionen, I,
II. Leipzig.
Клейн см. Фрике.
Кнапп (Knapp A. W.)
[1968] Doubly generated Fuchsian groups. Michigan Math. J., 15, 289—
304.
Кнезер (Kneser M.)
410
Список литературы
11964] Erzeugende und Relationen verallgemeinerter Einheitengruppen. J. Reine
Angew. Math., 214, 345—349.
Кнопп, Ленер, Ньюман (Knopp M. I., Lehner J., Newman M.)
(1965] Subgroups of F-groups. Mati. Ann., 160, 312—318.
Кокстер (Coxeter H. S. M.)
[1931] Groups whose fundamental regions are simplexes. J. London Math. Soc.,
6, 132—136.
[1934] Discrete groups generated by reflections. Ann. of Math., 35, 588—621.
[1935] The complete enumeration of finite groups of the form R?=(R/R/)*O'=1.
J. London Math. Soc., 10, 21—25.
[1936] The groups determined by the relation Sl=Tm={S~lT~lST)P= 1. Duke
Math. J., 2, 61—73.
[1936] An abstract definition for the alternating group in terms of two generators.
J. London Math. Soc., 11, 150—156.
[1937] Abstract definition for the symmetry groups of the regular polytopes in
terms of two generators. Part III: the rotation groups. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 33, 315—324.
[1939] The abstract groups Gm<P, Trans. Amer. Math. Soc., 45, 73—150.
[1940] A method for proving certain abstract groups to be infinite. Bull. Amer.
Math. Soc., 46, 246—25 .
[1951] The product of generators of a finite group generated by reflections. Duke
Math. J., 18, 765—782.
[1957] Groups generated by unitary reflections of period two. Canad. J. Math., 9,
243—272.
[1958] On subgroups of the modular group. J. Math. Pures Appl., 37, 317—319.
[1959] Factor groups of the braid group. Proc. 4th Canad. Math. Cong., 95—
122.
[1962] The abstract group G3,7,le. Proc. Edinburgh Math. Soc. 13, 47—61. A cor-
rection; ib., 189.
[1973] Cayley diagrams and regular complex polygons. Internat. Sympos. Comb.
Math. Colo. State Univ. 1971, pp. 88—93. Amsterdam: North — Holland.
Кокстер, Мозер (Coxeter H. S. M., Moser W. O. J.)
[1965] Generators and relations for discrete groups. Berlin — Gottingen — Hei-
delberg.
[1972] Generators and relations for discrete groups. Ergebnisse der Mathematik,
Bd. 14, 3rd ed. Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
Кокстер см. Тодд.
Колдьюи см. Цишанг.
Коллинз (Collins D. J?)
[1968] A new non-Hopf group. Arch. Math., 19, 581—583.
[1969] On embedding groups and the conjugacy problem. J. London Math. Soc.,!
1, 674—682.
[1969] On recognizing Hopf groups. Arch. Math., 20, 235—240.
[1969] Recursively enumerable degrees and the conjugacy problem. Acta Math.,
122, 115—160.
[1969] Word and conjugacy problems in groups with only a few defining relations.j
Zeit. Math. Logik Grund. Math., 15, 305—325.
[1972] On a group embedding theorem of V. V. Borisov. Bull. London Math. Soc.
4, 145—147.
[1973] Free subgroups of small cancellation groups. Proc. London Math. Soc.
26, 193—206.
Коллинз ci, Бун.
Кон (Cohn P. M.)
[1952] Generalization of a theorem of Magnus. Proc. London Math. Soc., 2, 297-i
310.
[1966] On the structure of GLa of a ring. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.,
30, 5—53.
Список литературы
411
[1968] A presentation of SL for Euclidean imaginary number fields. Mathematika,
15, 156—163.
[1968] Универсальная алгебра.— M.: Мир.
Конвей (Conway J. Н.)
[1965] Advanced problem 5327. Amer. Math. Monthly, 72, 915.
[1967] Solution to advanced problem 5327. Amer. Math. Monthly, 74, 91.
Копытов В. M.
[1968] Разрешимость проблемы вхождения в конечно порожденные разрешимые
группы матриц над полем алгебраических чисел.—Алгебра и логика, 7,
53—63.
Косей, Смит (Cossey J., Smythe N.)
[1975] HNN groups and groups with center. Knots, groups, and 3-manifolds. Ann.
Math. Studies, 84, 101—118.
Кострикин А. И.
[1965] К заданию групп образующими и определяющими соотношениями.—
Изв. АН СССР, сер. матем., т. 29, с. 1119—1122.
[1969] Algebraische Zahlentheorie. Вег. Tagung. Math. Forschung. Oberwol-
fach. Manheim. Bibliog. Inst.
Коэн Д. (Cohen D. E.)
[I960] Certain subgroups of free products. Matematika, 7, 117—124.
[1963] A topological proof ingroup theory. Proc. Cambridge Philos. Soc., 59, 277—
282.
[1970] Ends and free products of groups. Math. Z., 114, 9—18.
[1972] Groups of cohomological dimension one (Lecture Notes in Math., Vol.
245). Berlin — Heidelberg — New York; Springer.
[1973] Groups with free subgroups of finite index (In: Lecture Notes in Math.,
Vol. 319, pp. 26—44). Berlin — Heidelberg — New York; Springer.
[1974] Subgroups of HNN groups. J. Austral. Math. Soc., 17, 394—405.
Коэн Д., Линдон (Cohen D. E., Lyndon R. C.)
[1963] Free bases for normal subgroups of free groups. Trans. Amer. Math. Soc.,
108, 528—537.
Коэн P. (Cohen R.)
[1973] Classes of automorphisms of free groups of infinite rank. Trans. Amer. Math.
Soc., 177, 99—120.
Кра И. (Kra I.)
[1975] Автоморфные формы и клейновы группы.— М.; Мир.
Кравец (Kravetz S.)
[1959] On the geometry of Teichmiiller spaces and the structure of their modular
group. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A VI 278.
Краузе (Krause H. U.)
[1953] Gruppenstruktur und Gruppenbild, Thesis, Zurich: ETH Zurich.
Крейг (Craig W )
[1957] Three uses of the Herbrand — Gentzen theorem in relating model theory
to proof theory. J. Symbolic Logic, 22, 269—285.
Kpay (Crowe D. W.)
[1961] Some two-dimensional unitary groups generated by three reflections. Ca-
nad. J. Math., 13, 418—426.
Кроуэлл (Crowell R. H.)
[1959] On the van Kampen theorem. Pacific J. Math., 9, 43—50.
Кроуэлл, Смит (Crowell R. H., Smythe N.)
[1974] The subgroup theorem for amalgamated free products, HNN-constructions
and colimits. In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., VoL
372, pp. 241—280). Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
[Препринт] The Theory of Groupnets.
Кроуэлл P., Фокс P.
[1967] Введение в теорию узлов.— М.: Мир.
Круль (Krol М.)
412
Список, литературы
[1965] On free generators of the commutator subgroup of a free group. Bull. Acad.
Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys., 9, 279—282.
Кубота (Kubota R.)
[1965] The subgroup theorem. Arch. Math., 16, 1—5.
Кузнецов A. В.
[1958] Алгоритмы как операции в алгебраических системах.—Успехи мат.наук
т. 13, с. 240—241.
Куиллен (Quillen D. G.)
[1968] On the associated graded ring of a group ring. J. Algebra, 10, 411—418.
Кун (Kuhn H. W.)
[1952] Subgroup theorems for groups presented by generators and relations. Ann.
of Math., 56, 22—46.
Куо Ло (Kuo Lo T.-N.)
[1973] On groups of finite cohomological dimension. J. Algebra, 24, 460—464.
Курош А. Г.
[1934] Die Untergruppen der freien Produkte von beliebigen Gruppen. Math. Ann.,
109, 647—660.
[1937] Zum Zerlegungsproblem der Theorie der freien Produkte. Матем. сб. 2,
995—1001.
[1967] Теория групп, изд. 3-е.— М.: Наука.
Курош см. Калашников.
Кэли (Cayley А.)
[1878] On the theory of groups. Proc. London Math. Soc., 9, 126—133.
[1878] The theory of groups: graphical representations. Amer. J. Math., 1, 174—
176.
[1889] On the theory of groups. Amer. J. Math., 2, 139—157.
Кэмпбэлл см. Битам.
Лазар (Lazard M.)
[1953] Determination et generalisation des groupes de dimension des groupes lib-
res. C. R. Acad. Sci. Paris, 236, 1222—1224.
[1953] Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie. Ann. Ёсо1е Norm. Sup.,
71, 101—190.
Лазар см. Басс.
Ландман-Дайер (Landman-Dyer J.)
[1969] On the isomorphism problem for polycyclic groups. Math. Z., 112, 145—
153.
Лантэн (Lentin A.)
[1969] Contribution a une theorie des equations dans les monoides libres. Doctorat
cj’Etat, Paris:
[1970] Equations dans les monoides libres. Math. Sci. Humaines, 31, 5—16.
[1972] Equations dans les monoides libres. Paris: Gauthier — Villars.
Лауденбах (Laudenbach F.)
[1974] Topologie de la dimension trois. Homotopie et isotopie. Asterisque, 12,
Soc. Math. France.
Леви (Levi F. W.)
[1930, 1933] Uber die Untergruppen der freien Gruppen, I, II. Math. Z., 32,
315—318; 37, 90—97.
[1940] The commutator group of a free product. J. Indian Math. Soc., 4, 136—
144.
[1941] On the number of generators of a free product, and a lemma of Alexander
Kurosch. J. Indian Math. Soc., 5, 149—155.
Леви см. Бэр.
Левин (Levin F.)
[1962] Solutions of equations over groups Bull. Amer. Math. Soc., 68, 603—604.
[1964] One variable equations Fiver groups. Arch. Match., 15, 179—188.
[1968] Factor groups of the modular group. J. London Math. Soc., 43, 195—203.
Левинсон (Levinson H.)
Список литературы
413
[1970, 1972] On the genera of graphs of group presentations, I, II. Ann. New York
Acad. Sci., 175, 277—284; J. Combinatorial Theory, 12, 205—225.
Левинсон, Маскит (Levinson H., Maskit B.)
[1975] Special embeddings of Cayley diagrams. J. Comb. Theory В 18, 12—17.
Левинсон см. Рапапорт, Штрассер.
Ленер (Lehner J.)
[1960] Representations of a class of infinite groups. Michigan Math. J., 7, 233—
236.
[1963] On the generation of discontinuous groups. Pacific J. Math., 13, 169—170.
[1964] Discontinuous groups and automorphic functions. Math. Surveys, 8, Amer.
Math. Soc.
[1966] A short course in automorphic functions. Wfnston — Holt.
[1969] Lectures on modular forms. Nat. Bureau Standards Appl. Math. Ser., 61.
Ленер см. Кнопп.
Ленер, Ньюман M. (Lehner J., Newman M.)
[1965] Real two-dimensional representations of the modular group and related
groups. Amer. J. Math., 87, 945—954.
[1966] Real two-dimensional representations of the free product of two finite
cyclic groups. Proc. Cambridge Philos. Soc., 62, 135—141.
Ленер см. Кнопп.
Либек (Liebeck H.)
[1976] A test for commutators. Glasgow Math. J., 17, 31—36.
Ликориш (Lickerish W. B. R.)
[1963] Homeomorphisms of non-orientable 2-manifolds. Proc. Cambridge Philos,
Soc., 59, 307—317.
[1964] A finite set of generators for the homeotopy group of a 2-manifold. Proc.
Cambridge Philos. Soc., 60, 769—778; Corrigendum, 62, 679—681.
Линдон (Lyndon R. C.)
[1950] Cohomology theory of groups with a single defining relation. Ann. of Math.,
52, 650—665.
[1953] On the Fouxe-Rabinovich series for free groups. Port. Math., 12, 115—118.
[1959] The equation a2b2=c2 in free groups. Michigan Math. J., 6, 155—164.
[I960] Equations in free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 96, 445—457.
[I960] Groups with parametric exponents. Trans. Amer. Math. Soc., 96, 518—533.
[1962] Dependence and independence in free groups. J. Reine Angew. Math.,
210, 148—173.
[1963] Length functions in groups. Math. Scand., 12, 209—234.
[1965] Grushko’s theorem. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 822—826.
[1966] Dependence in groups. Colloq. Math., 14, 275—283.
[1966] Equations in free metabelian groups. Proc. Amer. Math. Soc., 17, 728—730.
[1966] On Dehn’s algorithm. Math. Ann., 166, 208—228.
[1967] A maximum principle for graphs. J. Combinatorial Theory, 3, 34—37.
[1972] On the Freiheitssatz. J. London Math. Soc., 5, 95—101.
[1973] Two notes on Rankin’s book on the modular group. J. Austral. Math. Soc.,
16, 454—457.
[1973] On products of powers in groups. Comm. Pure Appl. Math., 26, 781—784.
[1974] Geometric methods in the theory of abstract infinite groups'. Permutations:
actes du colloque, Paris V, 1972, pp. 9—14. Paris: Gauthier-Villars.
[1974] On non-Euclidean crystallographic groups. In: Proc. Conf. Canberra 1973
(Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 437—442). Berlin — Heidelberg —
New York: Spinger.
[1976] On the combinatorial Riemann-Hurwitz formula. Convegni sui gruppi
Infiniti, Rome 1973. New York and London: Acedemic Press, 435—439.
Линдон, Макдоноу, Ньюман (Lyndon R. C., McDonough T., Newman M.)
[1973] On products of powers in groups. Proc. Amer. Math. Soc., 40, 419—420.
Линдон, Ньюман (Lyndon R. C., Newman M.)
[1973] Commutators as products of squares. Proc. Amer. Math Soc., 39, 267—272.
414
Список, литературы
Линдон, Ульман (Lyndon R. С., Ullman J. L.)
[1967] Groups of elliptic linear fractional transformations. Proc. Amer. Math
Soc., 18, 1119—1124.
[1968] Pairs of real 2-by-2 matrices that generate free products. Michigan Math
J., 15, 161—166.
[1969] Groups generated by two parabolic linear fractional transformations. Canad
J. Math., 21, 1388—1403.
Линдан, Шютценберже (Lyndon R. C., Schfitzenberger M. P.)
[1962] The equation a^=bNcp in afreegroup. Michigan Math., J., 9,289—298.
Линдон см. Бун, Коэн Д., Хиггинс, Чен.
Липщуц М. см. Лишцуц С.
Липщуц С. (Lipschutz S.)
[1961] Elements in S-groups with trivial centralizers. Comm. Pure Appl. Math
13, 679—683.
[1961] On a finite matrix representation of the braid group. Arch. Math., 12, 7—12.
[1962] On powers of elements in S-groups. Proc. Amer. Math. Soc., 13, 181 —186.
[1962] On square roots in eighth-groups. Comm. Pure Appl. Math., 15, 39—43.
[1963] Note on a paper by Shepperd on the braid group. Proc. Amer. Math. Soc.,
14, 225—227.
[1964] An extension of Greendlinger’s results on the word problem. Proc. Amer.
Math. Soc., 15, 37—43.
[1965] Powers in eighth-groups. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 1105—1106.
[1966] Generalization of Dehn’s result on the conjugacy problem. Proc. Amer.
Math. Soc., 17, 759—762.
[1968] On powers in generalized free products of groups. Arch. Math., 19, 575—
576.
[1969] On the conjugacy problem and Greendlinger’s eighth-groups. Proc. Amer.
Math. Soc., 23, 101—106.
[1970] On Greendlinger groups. Comm. Pure Appl. Math., 23, 743—747.
[1971] On conjugate powers in eight-groups. Bull. Amer. Math. Soc., 77, 1050—
1051.
[1971] Note on indendent equation problems in groups. Arch. Math., 22, 113—116.
[1972] On conjugacy in Greendlinger eighth-groups. Arch. Math., 23, 121—124.
[1973] On powers, conjugacy classes and small-cancellation groups (In: Lecture
Notes in Math., Vol. 319, pp. 126—132). Berlin — Heidelberg-New York:
Springer.
[1973] Identity theorems in small-cancellation groups. Comm. Pure Appl. Math,!
26, 775—780.
[1973] On the word problem and T-fourth groups. In: Word Problems, pp. 4431
452. Amsterdam: North-Holland.
[1973] The conjugacy problem and cyclic amalgamations. Bull. Amer. Mafl
Soc., 81, 114-116.
Липшуц С., Липшуц M. (Lipschutz S., Lipschutz M.)
[1975] A note on root decision problems in groups. Canad. J.Math.,25, 702—7fl
Липщуц С., Миллер III (Lipschutz S., Miller C. F., Ill)
[1971] Groups with certain solvable and unsolvable decision problems. СотД
Pure Appl. Math., 24, 7—15.
Литвинцева 3. К.
[1970] О проблеме сопряженности для конечно определенных групп. ДальД
восточн. матем. сб., т. 1 с. 54—71.
Лич (Leech J. М.)
[1963] Coset enumeration on digital computers. Proc. Cambridge Philos. Sofl
59, 257—267. -
[1965] Generators for certain normal subgroups of (2, 3, 7). Proc. Cambric®
Philos. Soc., 61, 321—332.
Список литературы
415
[1966] Note on the abstract group (2, 3, 7). Proc. Cambridge Philos. Soc., 62,
7—10.
[1970] Coset enumeration. In: Proc. Conf. Oxford 1967, pp. 21—35. Oxford;
Pergamon.
Ллойд (Lloyd E. K.)
[1972] Riemann surface transormation groups. J. Combinatorial Theory, 13, 17—27,
Лоренц A.A.
[1963] Решение систем уравнений с одним неизвестным в свободных группах.—
Докл. АН СССР, т. 148, с. 1253—1256.
[1965] Бескоэффициентные уравнения в свободных группах.— Докл. АН СССР,
т. 160, с. 538—540.
[1968] Представления множеств решений систем уравнений с одной неизвест-
ной в свободной группе.— Докл. АН СССР, т. 178, с. 290—292.
Лузи (Losey G.)
[1960] On dimension subgroups. Trans. Amer. Math. Soc., 97, 474—486.
[1973] On the structure of O2(G) for finitely generated groups. Canad. J. Math.,
25, 353—359.
Льюин Дж. (Lewin J.)
[1967] A finitely presented group whose group of automorphisms is infinitely ge-
nerated. J. London Math. Soc., 42, 610—613.
[1970] On the intersection of augmentation ideals. J. Algebra, 16, 519—522.
Льюин Дж., Льюин T. (Lewin J., Lewin T.)
[1973] On center by abelian by one-relator groups. Comm. Pure Appl. Math.,
26, 767—774.
[1975] The group algebra of a torsion-free one-relator group can be embedded in
a field. Bull. Amer. Math. Soc., 81, 947—949.
Льюин T. (-Тейлор T.) см. Баумслаг Г., Тейлор.
Лэбьют (Labute J. Р.)
[1970] On the descending central series of groups with a single defining relation,
J. Algebra, 14, 16—23.
Магнус (Magnus W.)
[1930] Uber diskontinuierliche Gruppen mit einer definierenden Relation (Der
Freiheitssatz). J. Reine Angew. Math., 163, 141—165.
[1931] Untersuchungen fiber einige unendliche diskontinuierliche Gruppen. Math,
Ann., 105, 52—74.
[1932] Das Identitatsproblem ftir Gruppen mit einer definierenden Relation.
Math. Ann. 106, 295—307.
11934] Uber Automorphismen von Fundamentalgruppen berandeter Flachen.
Math. Ann., 109, 617—646.
[1934] Uber n-dimensionale Gittertransformationen. Acta Math., 64, 353—367.
[1935] Beziehungen zwisthen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring,
Math Ann., Ill, 259—280.
[1937] Uber Beziehungen zwischen hoheren Kommutatoren. J. Reine Angew.
Math., 177, 105—115.
[1939] Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen gegebener Gruppen.
Monatsh. Math., 47, 307—313.
[1939] On a theorem of Marshall Hall. Ann. of Math., 40, 764—768.
[1969] Residually finite groups. Bull. Amer. Math. Soc., 75, 305—316.
[1972] Braids and Riemann surfaces. Comm. Pure Appl. Math. 25, 151 — 161.
[1973] Rational representations of Fuchsian groups and non-parabolic subgroups
of the modular group. Nachr. Akad. Wiss. Gottingen Math.— Phys.
KI. II, 179—189.
[1974] Noneuclidean Tesselations and their Groups. New York and London:
Academic Press.
[1974] Braid groups: a survey. In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in
Math., Vol. 372, pp. 494—498). Berlin — Heidelberg — New York:
Springer.
416
Список, литературы
[1975] Two generator subgroups of PSL (2, C). Nachr. Akad. Wiss. Gottingen
Math.-Phys. KI. II, 7, 81—94.
Магнус см. Гроссман, Каррасс, Кац.
Магнус В., Kappac А., Солитэр Д.
[1974] Комбинаторная теория групп.— М.: Наука.
Магнус, Пелузо (Magnus W., Peluso А.)
[1967] On knot groups. Comm. Pure Appl. Math., 20, 749—770.
Маканин Г. С.
[1968] Проблема сопряженности в группе кос.— Докл. АН СССР, т. 182
с. 495—496.
[1972] О системах уравнений в свободных группах.— Сиб. матем. ж., т. 13,
с. 587—595.
Макбет (Macbeath А. М.)
[1961] Fuchsian groups. Dundee: Queen’s College.
[1962] On a theorem by J. Nielsen. Quart. J. Math., 13, 235—236.
[1963] Packings, free products and residually finite groups. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 59, 555—558.
[1961] On a theorem of Hurwitz. Glasgow Math. J., 5, 90—96.
[1965] Geometrical realizations of isomorphisms between plane groups. Bull.
Amer. Math. Soc., 71, 629—630.
[1967] The classification of non-Euclidean plane crystallographic groups. Canad.
J. Math., 6, 1192—1205.
[1967] Generators of the linear fractional groups. Symposium on Number Theory,
pp. 14—32. Houston: Amer. Math. Soc.
[1973] Action of automorphisms of a compact Riemann surface on the first ho-
mology group. Bull. London Math. Soc., 5, 103—108.
Макбет, Зингерман (Macbeath A. M., Singerman D.)
[1975] Spaces of subgroups and Teichmiiller space. Proc. London Math. Soc.,
31, 211—256.
Макбет, Хор (Macbeath A. M., Hoare A. H. M.)
[1976] Groups of hyperbolic crystallography. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 79,
235—249.
Макдональд Б. (MacDonald B. R.)
[1976] Automorphisms of GL (S, R). Trans. Amer. Math. Soc., 215, 145—159.
Макдональд Я- (MacDonald I. D.)
[1962] On a class of finitely presented groups. Canad. J. Math., 14, 602—613.
[1963] On cyclic commutator subgroups. J. London Math. Soc., 38, 419—422.
Макдоноу см. Линдон.
Макинтайр (Macintyre A.)
[1972] Omitting quantifier free types in generic structures, J. Symbolic Logic,
37, 512—520.
[1972] On algebraically closed groups. Ann. of Math., 96, 53—97.
Маккензи, Томпсон (McKenzie R., Thompson R. J.)
[1973] An elementary construction of unsolvable word problems in group theory.
In: Word Problems, pp. 457—478. Amsterdam: North-Holland.
Маккул (McCool J.)
[1969] Elements of finite order in free product sixth-groups. Glasgow Math.
J., 9, 128-145.
[1969] The order problem and the power problem for free product sixth-groups.
Glasgow Math. J.. 10, 1—9.
[1970] Embedding theorems for countable groups. Canad. J. Math., 22, 827—835.
[1971] The power problem for groups with one defining relator. Proc. Amer. Math.
Soc., 28, 427—430.
[1974] A presentation for the automorphism group of a free group of finite rank.
J. London Math. SSc., 8, 259—266.
[1975] On Nielsen’s presentation of the automorphism group of a free group.
J. London Math. Soc., 10, 265—270.
Список литературы 417
[1975] Some finitely presented subgroups fo the automorphism group of a free
group. J. Algebra, 35, 205—213.
Маккул, Петровски (McCool J., Pietrowski A.)
[1971] On free products with amalgamation of two infinite cyclic groups. J. Algeb-
ra, 18, 377—383.
[1972] On recognizing certain one relator presentations. Proc. Amer. Math. Soc.,
36, 31—33.
Маккул, Шупп (McCool J., Schupp P. E.)
[1973] On one relator groups and HNN extensions. J. Austral. Math. Soc., 16,
249—256.
Маклахлан, Харви (MacLachlan C., Harvey W. J.)
[1975] On the mapping-class groups and Teichmuller spaces. Proc. London Math.
Soc., 30, 495—512.
Маклейн (MacLane S.)
[1958] A proof of the subgroup theorem for free products. Mathematika, 5, 13—19.
[1966] Гомология.— M.: Мир, 1966.
Маклеод см. Бреннер.
Макхенри (MacHenry Т.)
[1973] A remark concerning commutator subgroups of free groups, Comm. Pure
Appl. Math., 26 , 785—786.
Малер см. Баумслаг Г.
Мальцев А. И.
[1940] Об изоморфном представлении бесконечных групп матрицами.— Мат.
сб., т. 8, с. 405—422.
[1958] О гомоморфизмах на конечные группы.— Уч. зап. Иванов, пед. ин-та,
т. 18, с. 49—60.
[1961] Неразрешимость элементарной теории конечных групп.— Докл.
АН СССР, т. 138, с. 771—774.
[1962] Об уравнении гхух~1у~1г~х=аЬа~1Ь~1 в свободной группе.— Алгебра
и логика, т. 1, с. 45—50.
Манглер (Mangier W.)
[1939] Die Klassen topologischer Abbildungen einer geschlossenen Flache auf
sich. Math. Z., 44, 541—554.
Марден (Marden A.)
[1967] On finitely generated Fuchsian groups. Comment. Math. Helv., 42, 81—85.
[1974] Schottky groups and circles. In: Contributions to Analysis. Academic
Press.
Марков A- A.
[1936] Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe. Матем. сб., т. 43,
с. 73—78.
[1945] Основы алгебраической теории кос.— Труды Мат. ин-та им. В. А. Стек-
лова, т. 16, с. 1—54.
[1947] О некоторых неразрешимых проблемах, касающихся матриц.— Докл.
АН СССР, т. 57, с. 539—542.
[1947] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных систем,—
Докл. АН СССР, 55, 587—590.
[1958] Zum Problem der Darstellbarkeit von Matrizen, Z. Math. Logik Grundla-
gen Math., 4, 157—168.
[1958] Неразрешимость проблемы гомеоморфии.— Докл. АН СССР, т. 121,
с. 218—220.
[1958] Неразрешимость некоторых проблем в топологии.— Докл. АН СССР,
т. 123, с. 978—980.
[1960] Insolubility of the problem of homeomorphy. In: Proc. Internal, Cong.
Cambridge, 1958, pp. 300—306. Cambridge Univ. Press.
Маскит (Maskit B.)
[1965] A theorem of planar covering surfaces with applications to 3-manifolds.
Ann. of Math., 81, 361—365.
14 №983,
418
Список литературы
[1967] A characterization of Schottky groups. J. Analyse Math., 19, 227—230.
[1965, 1968, 1971] On Klein’s combination theorem I, II, III. Trans. Amer. Math
Soc., 120, 499—509; 131, 32—39; Ann. of Math. Studies, 66, 297—316.’
[19711 On Poincare’s theorem for fundamental polygons. Advances Math., 7
219—230.
Маскит см. Левиьсон.
Масси У., Столлингс Дж.
[1977] Алгебраическая топология.— М.: Мир.
Матиясевич Ю. В.
[1970] Диофантовость перечислимых множеств.— Докл. АН СССР, т. 191
с. 279—282.
[1971] Диофантово представление перечислимых предикатов. Изв. АН СССР,
сер. матем., т. 35, с. 3—30.
Матье, Вэнсан (Mathieu Y., Vincent В.)
[1975] A propos des groupes de noeuds qui sont des produits libres amalgames
non triviaux. C. R. Acad. Paris 682, A1045—1047.
Мацумото (Matsumoto M.)
[1964] Cenerateurs et relations des groupes de Weyl gfeneralisfcs. C. R. Acad. Sci.
Paris. Ser. A, 258, 3419—3422.
Машке (Maschke H.)
[1896] The representation of finite groups, expecially of the rotation groups of
the regular bodies in three- and four-dimensional space, by Cayley’s
color diagrams. Amer. J. Math., 18, 156—194.
Мейо (Mayoh В. H.)
[1967] Groups and semigroups with solvable word problems. Proc. Amer. Math.
Soc., 18, 1038—1039.
Мендельсон (Mendelsohn N. S.)
[1964, 1965] An algorithmic solution for a word problem in group theory. Canad.
J. Math., 16, 509—516; correction., 17, 505.
Мендельсон см. Ри.
Меннике (Mennicke J. L.)
[1959] Einige endliche Gruppen mit drei Erzeugenden und drei Relationen. Arch.
Math. 10, 409—418.
[1961] A note on regular coverings of closed orientable surfaces. Proc. Glasgow
Math. Assoc., 5, 49—66.
[1965] Finite factor groups of the unimodular group. Ann. of Math., 81, 316—337.
[1967, 1968] Eine Bemerkung fiber Fuchssche Gruppen. Invent. Math. 2, 301—
305; corrigendum, 6, 106.
[1967] On Ihara’s modular group. Invent. Math., 4, 202—228.
Меннике см. Бер.
Мерзляков см. Каргаполов.
Мескин (Meskin S.)
[1969] On some groups with a single defining relation. Math. Ann., 184, 193—196.
[1972] Nonresidually finite one-relator groups. Trans. Amer. Math. Soc., 164,
105—115.
[1973] One-relator groups with center. J. Austral. Math. Soc., 16, 319—323.
[1974] Periodic automorphisms of the two-generator free group. In: Proc. Conf.
Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol., 372, pp. 494—498).Berlin-
Heidelberg — New York: Springer.
[1974] A finitely generated residually finite group with an unsolvable word prob-
lem. Proc. Amer. Math. Soc., 43, 8—10.
[1975] The isomorphism problem for a class of one-relator groups. Math. Ann.,
217, 53-57.
Мескин, Петровски, Стейнберг (Meskin S., Pietrowski A., Steinberg A.)
[1973] One-relator groups with center. J. Austral. Math. Soc., 16, 319—323.
Мецлер (Metzler W.)
[Препринт] Uber den Homotopietyp zweidimensionaler CW-Komplexe und Ele-
Список, литературы
419
mentartransformationen bei Darstellungen von Gruppen durch Erzeugende
und definierende Relationen.
Миллер III (Miller C. F., Ill)
[1968] On Britton’s theorem A. Proc. Amer. Math. Soc,, 19, 1151—1154.
[1971] On group-theoretic decision problems and their classification. Ann. of
Math. Studies, 68. Princeton University Press.
Миллер III, Шупп (Miller C. F. Ill, Schupp P. E.)
[1971] Embeddings into Hopfian groups. J. Algebra, 17, 171—176.
[1973] The geometry of HNN extensions. Comm. Pure Appl. Math., 26, 787—802.
Миллер III см. Липшуц C.
Миллер Дж. (Miller G. A.)
[1900] On the groups generated by two operators. Bull. Amer. Math. Soc., 7,
424—426.
[1901] On the groups generated by two operators of orders two and three respecti-
vely whose product is of order six. Quart. J. Math., 33, 76—79.
[1902] Groups defined by the orders of two generators and the order of their pro-
duct. Amer, J. Math., 24, 96—100.
[1908] The groups generated by two operators which have a common square, Arch.
Math. Phys., 9, 6—7.
[1909] Finite groups which may be defined by two operators satisfying two con-
ditions. Amer. J. Math., 31, 167—182.
[1920] Groups generated by two operators of order three whose product is of order
four. Bull. Amer. Math. Soc., 26, 361—369.
Миллингтон (Millington M. H.)
[1969] Subgroups of the classical modular group. J. London Math. Soc., 1,
351—357.
Милнор (Milnor J.)
[1968] Advanced problem 3603. Amer. Math. Monthly, 75, 685—686.
[1968] A note on curvature and fundamental groups. J. Differential Geometry,
2, 1—7,
[1968] Growth of finitely generated solvable groups. J. Differential Geometry,
2, 447—449.
Митал, Пасси (Mital J. N., Passi I. B. S.)
[1973] Annihilators of relation modules. J. Austral. Math. Soc., 16, 228—233.
Михайлова К. A.
[1958] Проблема вхождения для прямых произведений групп,—Докл. АН
СССР, т. 119, с. 1103-1105.
[1959] Проблема вхождения для свободных произведений групп.— Докл.
АН СССР, т. 127, с. 746—748.
[1966] Проблема вхождения для прямых произведений групп,—Матем.
сб., т. 70, с. 241—251,
[1968] Проблема вхождения для свободных произведений групп.—Матем.
сб., 75, 199—210.
Михалев А. В. см. Залесский А. Е,
Модели см. Джонсон.
Мозер см. Кокстер.
Молдаванский Д. И.
[1967] О некоторых подгруппах групп с одним определяющим соотношением.—
Сиб. матем. ж., т. 8, с. 1370—1384.
[1968]О пересечении конечно порожденных подгрупп.— Сиб. матем. ж.,
т. 9, с. 1422—1426.
[1969] Сопряженность подгрупп свободной группы.— Алгебра и логика,
т. 8, с. 691—694.
[1969] Об одной теореме Магнуса.— Уч. зап. Ивановен, гос. пед. ин-та. т. 44,
с. 26—28.
[1969] Метод Нильсена для свободного произведения групп.— Уч. зап. Ива-
новен. гос. пед. ин-та, т. 61, с, 170—182.
14*
420
Список литературы
Моран (Moran S.)
[1970] Dimension subgroups modulo n. Proc. Cambridge Philos. Soc., 68, 579—
582.
Мостовски (Mostowski A. W.)
[1961— 1962] On automorphisms of relatively free groups. Fund. Math., 50, 403—
411.
[1966] On the decidability of some problems in special classes of groups. Fund
Math., 59, 123—135.
[1969] Decision problems in group theory. Tech. Report, 19, Univ. Iowa.
Мочизуки см. Бахмут.
Мурасуги (Murasugi К.)
[1964] The center of a group with a single defining relation. Math. Ann., 155
246—251.
[1965, 1967] The center of the group of a link. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 1052—
1057; errata, 18, 1142.
Мычельски см. Бальцежик.
Harao (Nagao H.)
[1959] On GL (2, К [x]). J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A 10, 117—121.
Нагата (Nagata M.)
[1972] On automorphism group of k [x, у]. Lectures on Marh. Kyoto, 5,
Нейкирх см. Бини.
Нейман Б. (Neumann В. H.)
[1932] Die Automorphismengruppe der freinen Gruppen. Math. Ann. 107, 367—
386.
[1937] Some remarks on infinite groups. J. London Math. Soc., 12, 120—127.
[1943] On the number of generators of a free product. J. London Math. Soc.,
18, 12—20.
[1943] Adjunction of elements to groups. J. London. Math. Soc., 18, 4—11.
[1950] On a special class os infinite groups. Nieuw Arch. Wisk. 23, 117—127.
[1950] A two-generator group isomorphic to a proper factor group. J. London
Math. Soc., 25, 247—248.
[1952] A note on algebraically closed groups. J. London. Math. Soc., 27, 227—242.
[1953] On a problem of Hopf. J. London Math. Soc., 28, 351—353.
[1954] An essay on free products of groups with amalgamations. Philos. Trans.
Roy. Soc. London Ser. A 246, 503—554.
[1956] On a conjecture of Hanna Neumann. Proc. Glasgow Math. Assoc., 3, 13—17.
[1956] On some finite groups with trivial multiplicator. Publ. Math. Debrecen,
4, 190—194.
[1966] On characteristic subgroups of free groups. Math. Z., 94, 143—151.
[1973] The isomorphism problem for algebraically closed groups. In: Word Prob-
lems, pp. 553—562. Amsterdam: North-Holland.
Нейман Б., Нейман X. (Neumann В. H., Neumann H.)
[1950] A remark on generalised free products. J. London Math. Soc., 25, 202—204.
[1951] Zwei Klassen charakteristischer Untergruppen und Hirer Faktorgruppen.
Math. Nachr., 4, 106—125.
[1969] Embedding theorems for groups. J. London Math., Soc., 34, 465—479.
Нейман Б. см. Баумслаг Г., Хигман.
Нейман П. (Neumann Р, М.)
[1973] The SQ-universality of some finitely presented groups. J. Austral. Math.
Soc., 16, 1—6.
Нейман П., Ньюман M. (Neumann P. M., Newman M. F.)
[1967] On Schreier varieties of groups. Math. Z., 98, 196—199.
Нейман П., Уайголд (Neumann P. M., Wiegold J.)
[1964] Schreier varieties of groups. Math. Z., 85, 392—400.
Нейман X. (Neumann H.)
[1948, 1949] Generalised free products with amalgamated subgroups, I, II.
Amer. J. Math., 70, 590—625; 71, 491—540.
Список литературы
421
[1950J Generalized free sums of cyclical groups. Amer. J. Math., 72, 671—685.
[1956, 1957] On the intersection of finitely generated free groups. Publ. Math.
Debrecen, 4, 36—39; addendum, 5, 128.
[1969] Многообразия групп.— M.: Мир.
Нейман X. см. Хигман, Нейман Б.
Нива (Nivat М.)
[1970] Sur le noyau d'un homomorphisme du monoide fibre dans un groupe fibre.
Sem. Schiitzenberger— Lentin— Nivat 69/70, Paris.
Нильсен (Nielsen J.)
[1918] Die Isomorphismen der allgemeinen unendlichen Gruppe mit zwei Erzeu-
g.enden. Math. Ann., 78, 385—397.
[1919] Uber die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math.
Ann., 79, 269—272.
[1921] От Regning med ikke kommutative Faktoren og dens Anvendelse i Grup-
peteorien. Mat. Tidsskr. B, 77—94.
[1924] Die isomorphismengruppe der freien Gruppen. Math. Ann., 91, 169—209.
[1924] Die Gruppe der dreidimensionalen Gittertransformationen. Danske Vid.
Selsk. Mat., Fys. Medd., 12, 1—29.
[1924] Uber topologische Abbildungen geschlossener Flachen. Abh. Math. Sem.
Univ. Hamburg, 3, 246—260.
[1927, 1929, 1931] Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen
Flachen, I, II, III. Acta Math., 50, 189-358, 53, 1-76, 58, 87—167.
[1940] Uber Gruppen linearer Transformationen. Mitt. Math. Gesellsch. Ham-
burg, 8, 82—104.
[1942] Abbildungsklassen endiicher Ordnung. Acta Math., 75, 23—115.
[1944] Surface transformation classes of algebraically finite type. Danske Vid.
Selsk. Math.-Fys. Medd., 21, 1—89.
[1948] The commutator group of the free product of cyclic groups. Mat. Tidsskr.
B, 49—56.
[1946] Nogle grundlaeggende begreber vedrorende diskontinuerte grupper af li-
neaere substitutioner i en kompleks variabel. 11th Scand. Math. Cong.
Trondheim 1946, pp. 61—70.
[1955] A basis for subgroups of free groups. Math. Scand., 3, 31—43.
Нильсен, Бунгард (Nielsen J., Bundgaard S.)
[1946] Forenklede Bevizer for nogle Satningen i Flacktopologien. Mat. Tidsskr.
B, 1—16.
Нильсен см. Бунгард.
Новиков П. С.
[1952] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества.— Докл. АН
СССР, т. 85, с. 709—719.
[1954] Неразрешимость проблемы сопряженности в теории групп.— Изв. АН
СССР, сер. мат., т. 18, с. 485—524.
[1955] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества в теории
групп.— Труды МИАН СССР, т. 44, с. 3—143.
[1956] The unsolvability of the problem of the equivalence of words in a group
and several other problems in algebra. Czechoslovak Math. J., 6, 450—
454.
[1958] Uber einige algorithmische Probleme der Gruppentheorie. Jber. Deutsch.
Math. Verein, 61, 88—92.
Новиков П. С., Адян С. И.
[1968] О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в свободных
периодических группах нечетного порядка.— Изв. АН СССР, сер. мат.,
т. 32, с. 1176—1190.
[1968] Определяющие соотношения и проблема тождества для свободных пе-
риодических групп нечетного порядка.— Изв. АН СССР, сер. мат. т. 32,
с. 971—979.
Ньювирт (Neuwirth L. Р.)
422 Список литературы
11961] An alternative proof of a theorem of Iwasawa on free groups. Proc. Cam-
bridge Philos. Soc., 57, 895—896.
[1965] Knot groups. Ann. of Math. Studies, 56.
[1968] An algorithm for the construction of 3-manifolds from 2-complexes. Proc.
Cambridge Philos. Soc., 64, 603—613.
[1970] Some algebra for 3-manifolds. In: Topol, of Manifolds (Proc. fnst. Univ.
Georgia 1969, pp. 179—184). Chicago: Markhan.
[1974] The status of some problems related to knot groups. In: Topology Confe-
rence (Lecture Notes in Math., Vol. 375, pp. 209—230). Berlin — Heidel-
berg — New York: Springer.
Ньювирт см. Фокс.
Ньюман Б. (Newman В. В.)
[1968] Some results on one-relator groups. Bull. Amer. Math. Soc., 74, 568—571.
[1973] The soluble subgroups of a one-relator group with torsion. J. Austral.
Math. Soc., 16, 278—285.
Ньюман M. (Newman M.)
[1962] Some free products of cyclic groups. Michigan Math., J., 9, 369—
373.
[1964] Free subgroups and normal subgroups of the modular group. Illinois J.
Math., 8, 262—265.
[1967] Classification of normal subgroups of the modular group. Trans. Amer.
Math. Soc., 126, 267—277.
[1968] Pairs of matrices generating discrete free groups and free products. Michi-
gan Math. J„ 15, 155—160.
Ньюман M. см., Голдберг, Кнопп, Лененр, Линдон, Нейман П.
Оксли (Oxley Р.)
[1971] Ends of groups and a related construction. Thesis. Queen Mary College.
Олленби, Грегорак (Allenby R. B. J. T., Gregorac R. J.)
[1971] Generalised free products which are free products of locally extended resi-
dually finite groups. Math. Z., 120, 323—325.
Олленби, Танг (Allenby R. B. J. T., Tang C. Y.)
[1975] On the Frattini subgroup of a residually finite generalized free product.
Proc. Amer. Math. Soc., 47, 300—304.
[1975] On the Frattini subgroups of generalized free products and the embedding
of amalgams. Trans. Amer. Math. Soc., 203, 319—330.
Олески см. Бренненр.
Ольшанский А. Ю.
[1974] 0 характеристических подгруппах свободных групп,— Успехи матем.
наук, т. 29, С. 179—180.
Ордман (Ordman Е. Т.)
[1970] Subgroups of amalgamated free products. Bull. Amer. Math., Soc., 76,
358—360.
[1971] On subgroups of amalgamated free products. Proc. Cambridge Philos. Soc.,
69, 13—23.
Осборн (Osborne R. P.)
[1974] On the 4-dimensional Poincare conjecture for manifolds with 2-dimensional
spines. Canad. Math. Bull., 17, 549—552.
Осборн, Стивенс (Osborne R. P., Stevens R. S.)
[1974, 1977] Group presentations corresponding to spines of 3-manifolds, I, II, III,
IV. Amer. J. Math., 96, 454—471, Trans. Amer. Math. Soc., 234, 213—243,
245—251.
Oct (Aust C.)
[1974] Primitive elements and one relation algebras, Trans. Amer. Math. Soc.,
193, 375—387.
Оянгурен (Ojanguren M.)
[1966] Algebraischer Beweis zweier Formein von H, Hopf aus der Homologietheo-
rie der Gruppen. Math, Z., 94, 391—395. ' *
Список Литературы
423
[1967] Sur les presentations libres des groupes finis. C. R. Acad. Sci. Paris Ser,
A—B, 264, A60—61.
[1968] Freie Prasentierungen endlicher Gruppen und zugehorige Darstellungen.
Math. Z., 106, 293—311.
Пайфер (Peiffer R.)
[1949] Uber Identitaten zwischen Relationen. Math. Ann., 121, 67—99.
Папакирьякопулос (Papakyriakopoulos C. D.)
[1957] On solid tori. Proc. London Math. Soc., 32, 281—299.
[1957] On Dehn’s lemma and the asphericity of knots. Ann. of Math., 66, 1—26.
Парментер, Пасси, Сегал (Parmenter M. M., Passi I. В. S., Sehgal S. K.)
[1973] Polynomial ideals in group rings. Canad. J. Math., 25, 1174—1182.
Пасси (Passi I. B. S.)
[1968] Polynomial maps on groups. J. Algebra, 9, 121—151.
[1968] Dimension subgroups. J. Algebra, 9, 152—182.
[1969] Polynomial functors. Proc. Cambridge Philos. Soc., 66, 505—512.
Пасси, Сегал (Passi I. B. S., Sehgal S. K )
[1975] Lie dimension groups. Comm. Algebra, 3, 59—73.
Пасси, Шарма (Passi I. B. S., Sharma S.)
[1975] The third dimension subgroup mod n. J. London Math. Soc., 9, 176—182.
Пасси см. Мигал, Парментер.
Паттерсон (Patterson S. J.)
[1975] On the cohomology of Fuchsian groups. Glasgow Math. J., 16, 123—140.
Пелузо (Peluso A.)
[1967] A residual property of free groups. Comm. Pure. Appl. Math., 19, 435—
437.
Пелузо см. Магнус.
Петреско (Petresco J.)
[1954] Sur les commutateurs. Math. Z., 61, 348—356.
[1955/1956] Systemes minimaux de relations fondamentales dans les groupes de
rang fini. Sem. Dubreil — Pisot, Paris.
[1956] Sur les groupes libres. Bull. Sci. Math., 80, 6—32.
£1958] Sur le theoreme de KuroS dans les produits libres. Ann. Sci. Ecole Norm.
Sup., 75, 107—123.
[1962] Algorithmes de decision et de construction dans les groupes libres. Math.
Z., 79, 32—43.
[1967/1968] Pregroupes de mots et probleme des mots. Sem. Dubreil — Dubreil —
Jacotln — Lesieur — Pisot, Paris.
Петровски (Pietrowski A.)
[1974] The isomorphism problem for one-relator groups with non-trivial centre.
Math. Z., 136, 95—106.
Петровски см. Данвуди, Каррасс, Маккул.
Печиньски (Peczynski N.)
[1972] Eine Kennzeichnung der Relationen der Fundamentalgruppe einer nicht-
orientierbaren geschlossenen Flache, Diplomarbeit, Bochum; Ruhr-Univ.
[1978] Von Untergruppen der Triangel-Gruppen. Illinois J. Math., 22, № 3,
404—413.
Печиньски, Розенбергер, Цишанг (Peczynski N., Rosenberger G., Zieschang H.)
[1974] Uber Erzeugende ebener diskontinuierlicher Gruppen. Abstract. In: Proc.
Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 562—564).
Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
[1975] Uber Erzeugende ebener diskontinuierlicher Gruppen. Inventiones Math.,
29, 161—180.
Пиолле (Piolett D.)
[1971] Sur les systemes d’equations strictement quadratiques dans un monoide
libre. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A 273, 967—970.
[1972] Sur les equations quadratiques dans un groupe libre. C. R. Acad. Sci.
Paris Ser. A, 274, 1697—1699.
424
Список литературы
[1975] Equations quadratiques dans le groupe libre. J. Algebra, 33, 395—404.
Поенарю (Poenaru V.)
[1974] Groupes Discrets (Lecture Notes in Math., Vol. 421). Berlin — Heidel-
berg — New York: Springer.
Поенарю см. Бун.
Прайд С. (Pride S.)
[1976] Certain subgroups of one-relator groups. Math. Z., 146, 1—6.
[1972, 1973] Residual properties of free groups. I, II, III. Pacific J. Math., 43,
725—733; Bull. Austral. Math. Soc., 7, 113—120; Math. Z., 132, 245—248.
[1974] On the Nielsen equivalence of pairs of generators for certain HNN-groups.
In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol. 372, pp. 580—
588) Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
[1975] On the generation of one-relator groups. Trans. Amer. Math. Soc., 210,
331—364.
Пренер см. Эншел.
Прессбургер (Pressburger N.)
[1929] Uber die Vollstandigkeit eines gewissen Systems der Arithmetik ganzer
Zahlen, in welchem die addition als einzige Operation hervortritt. Comptes
Rendus ler Congr. Math. Pays Slaves, 92—101.
Приско (Prisco R.)
[1967] On free products, conjugating factors, and Hopfian groups, Thesis. Adelphi
Univ.
Пуанкаре (Poincare H.)
[1882] Theorie des groupes fuchsiens. Acta Math., 1, 1—62.
[1883] Memoire sur les groupes kleineens. Acta Math., 3, 49—92.
Пужицки (Purzitsky N.)
[1972] Two-generator discrete free products. Math. Z., 126, 209—223.
[1974] Canonical generators of Fuchsian groups. Illinois J. Math., 18, 484—490.
[1972] Real two-generator representation of two-generator free groups. Math. Z.,
127, 95—104.
[1976] All two-generator Fuchsian groups. Math. Z., 147, 87—92.
Пужицки, Розенбергер (Purzitsky N., Rosenberger G.)
[1972, 1973] Two generator Fuchsian groups of genus one. Math. Z., 128, 245—251;
correction, ibid., 132, 261—262.
Рабин (Rabin M. O.)
[1958] Recursive unsolvability of group theoretic problems. Ann. of Math., 67,
172—174.
Радемахер.. (Rademacher H.)
[1929] Uber die Erzeugenden von Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe.
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 7, 134—148.
Радо см. Холл M.,
Райбз (Ribes L.)
[1974] Cohomological characterization of amalgamated products of groups. J,
Pure Appl. Alg., 4, 309—317.
Райдемайстер (Reidemeister K.)
[1926] K.noten und Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, fl, 8-—23.
11927] Uber endliche diskrete Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 5,
33—39.
[1932, 1950] Einfiihrung in die kombinatorische Topologie. Braunschweig; reprin-
ted New York: Chelsea.
[1934] Homotopiegruppen von Komplexen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
1.0, 211—215.
[1949] Uber Identitaten von Relationen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 16,
114-118.
[1950] Complexes and homotopy chains. Bull. Amer. Math. Soc., Э6, 297—307.
Райдемайстер, Брандис (Reidemeister К., Brandis A.)
[1959] Uber freie Erzeugendensysteme der Wegegruppen eines zusammenhangen*
Список литературы
425
den Graphen. Sammelband zu Ehren des 250. Geburtstages Eulers, pp.
284—292. Berlin; Akademie — Verlag.
Райли (Riley R.)
[1972] Parabolic representations of knot groups. Proc. London Math. Soc,, 24,
217—242.
[1974] Hecke invariants of knot groups. Glasgow Math. J., 15, 17—26.
Райнер (Reiner I.)
[ 1955] Automorphisms of the modular group. Trans. Amer. Math. Soc., 80, 35—50.
[1961] Subgroups of the unimodular group. Proc. Amer. Math. Soc., 12, 173—174.
Райт (Wright D.)
[1976] The amalgamated free product structure of GL2(K [Xj, • . , X„]). Bull.
Amer. Math. Soc., 82, 724—726.
Райт см. Джонсон.
Ранкин (Rankin R. A.)
[1969] The modular group and its subgroups. Bombay: Ramanujan Inst.
Рапапорт (Rapaport E. S.)
[1958] On free groups and their automorphisms. Acta Math., 99, 139—163.
[1959] Note on Nielsen transformations. Proc. Amer. Math. Soc. 10, 228—235.
[1959] Cayley color groups and Hamilton lines, Scripta Math., 24 , 51—58.
[I960] On the commutator subgroup of a knot group. Ann. of Math., 71, 157—162.
[1964] On the defining relations of a free product. Pacific J. Math., 14, 1389—
1393.
[1964] Groups of order 1. Proc. Amer. Math. Soc., 15, 828—833.
[1968] Remarks on groups of order 1. Amer. Math. Monthly, 75, 714—720.
[1968] Groups of order 1: some properties of presentations. Acta Math., 121, 127—
150.
[1973] Finitely presented groups: the deficiency. J. Algebra, 24, 531—543,
Рапапорт, Левинсон (Rapaport E. S., Levinson H. W.)
[1972] Planarity of Cayley diagrams. Proc. Colloq. Kalamazoo.
Рапапорт см. Штрассер.
Ремесленников В. Н.
[1969] Сопряженность в полициклических группах.— Алгебра и логика,
т. 8, с. 404—411.
[1971] Финитная аппроксимируемость групп относительно сопряженности.—
Сиб. матем. ж., т. 12, с. 1085—1099.
Ремесленников см. Каргаполов, Киркинский.
Ремесленников В. Н., Соколов В. Г.
[1970] Некоторые свойства вложения Магнуса.— Алгебра и логика, т. 9,
с. 566—578.
Реммерс (Remmers J. Н.)
[1971] A geometric approach to some algorithmic problems for semigroups,
Thesis, Univ. Michigan.
Ремтулла (Rhemtulla A.)
[1968] A problem of bounded expressibility in free products. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 64 , 573-584.
Ри (Ree R.)
[1957] Commutator groups of free products of torsion free abelian groups. Ann.
of Math., 66, 380—394.
[1961] On certain pairs of matrices which do not generate a free group. Canad.
Math. Bull., 4, 49—51.
Ри, Мендельсон (Ree R., Mendelsohn N. S.)
[1968] Free subgroups of groups with a single defining relation. Arch. Math.,
19, 577—580.
Риис (Rips I. A.)
[1972] On the fourth integer dimension subgroup. Israel J. Math., 12, 342—346,
Робертсон см. Кемпбелл.
Робинсон Дж. (Robinson G. De B.)
426
Список литературы
[1931] On the fundamental region of a group, and the family of configurations
which arise therefrom. J. London Math. Soc., 6, 70—75.
Робинсон Д. (Robinson D. J. S.)
[1968] Residual properties of some classes of infinite soluble groups. Proc. London
Math. Soc., 18, 495—520.
[1972] Finiteness conditions and generalized soluble groups. Berlin — Heidel-
berg — New York: Springer.
Роггенкамп (Roggenkamp K. W.)
[1973] Relation modules of finite groups and related topics. Alg. i Log., 12,
351—359; 365.
Роггенкамп см. Грюнберг.
Роджерс см. Бун.
Розенбергер (Rosenberger G.)
[1972] Automorphismen und Erzeugende filr Gruppen mit einer definierenden
Relation. Math. Z., 129, 259—267.
[1972] Fuchssche Gruppen, die freies Produkt zweier zyklischer Gruppen sind,
und die Gleichungen x2Jry2+z2=xyz. Math. Ann., 199, 213—227.
[Препринт] Eine Bemerkung zu den Triangel-Gruppen.
[Препринт] Das eingeschrankte Isomorphieproblem ftir Fuchssche Gruppen.
[Препринт] Das eingeschrankte Isomorphieproblem filr Fuchssche Gruppen von
Geschlecht g^l.
[Препринт] Von diskreten Gruppen, die von drei Elementen der Ordnung zwei
erzeugt werden.
[1973] Uber Triangel-Gruppen. Math. Zeit., 132, 239—244.
[1974] Zum Rang- und Isomorphieproblem filr freie Produkte mit Amalgam,
Habilitationschrift. Hamburg.
[1976] Zum Isomorphieproblem ftir Gruppen mit einer definierenden Relation.
III. J. Math., 20, 614—621.
[1976] Zum Isomorphieproblem filr Gruppen mit einer definierenden Relation,
Illinois J. Math., 20 №6, 614—621.
[1977] Anwendung der Nielsenschen Kiirzungsmethode in Gruppen mit einer
definierenden Relation, Monatsh. Math., 84, 55—68.
[1978] Produkte von Potenzen und Kommutatoren in freien Gru ppen, J, of
Algebra, 53, 416—422.
Розенбергер см. Борхо, Печиньски, Пужицки.
Роллов см. Безверхний.
Романовский Н. С.
[1970] Теорема о свободе для групп с одним определяющим соотношением в
многообразиях нильпотентных и разрешимых групп данных ступеней—
Матем. сб., т. 89, с. 93—99.
[1974] О некоторых алгоритмических проблемах для разрешимых групп.—
Алгебра и логика, т. 13, с. 26—34.
Романовский см. Каргаполов.
Романьков см. Каргаполов.
Россет (Rosset S.)
[1976] A property of groups of nonexponential growth. Proc. Amer. Math. Soc.,
54, 24—26.
Ротман (Rotman J. J.)
[1973] Covering complexes with applications to algebra. Rocky Mountain J.
Math., 3, 641—674.
[1973] The Theory of Groups: An Introduction. 2nd ed. Boston: Allyn and Ba-
con.
Ротхауз (Rothaus O. 8.)
[1976] On the non-triviality of some group extensions given by generators and
relations. Bull. Amer. Math. Soc., 82, 284—28(j,
Ротхауз см. Герстенхабер.
Рум (Room T. G.)
Список литературы
427
11959/60] The generation by two operators of the symplectic group over GF (2).
J. Austral. Math. Soc., 1, 38—46.
Рышков С. C.
[1972] О максимальных конечных группах целочисленных матриц.— Докл.
АН СССР, т. 204, с. 561—564.
Саг, Уомсли (Sag Т. W., Wamsley J. W.)
[1973] Minimal presentations for groups of order 2n, n<6. J. Austral. Math.
Soc., 15, 461—469.
[1973] On computing the minimal number of defining relations for finite groups.
Math. Comp., 27, 361—362.
Сайто см. Брайскорн.
Санатани (Sanatani S.)
[1967] On planar group diagrams. Math. Ann., 172, 203—208.
Санди (Sunday J. G.)
[1972] Presentations of the groups SL (2, m) and PSL (2, n). Canad. J. Math.,
24, 1129—1131.
Сандлинг (Sandling R.)
[1972] The dimension subgroup problem. J. Algebra, 21, 216—231.
[1972] Dimension subgroups over arbitary coefficient rings. J. Algebra, 21,
250—265.
[1972] Subgroups dual to dimension subgroups. Proc. Cambridge Philos. Soc.,
71, 33—38.
[1972] Modular augmentation ideals. Proc. Cambridge Philos. Soc., 71, 25—32.
Санов И. H.
[1947] Свойство одного представления свободной группы.— Докл. АН СССР,
т. 57, с. 657—659.
Сансоне (Sansone G.)
[1923] 1 sottogruppi del gruppo di Picard e due teoremi sui finiti analoghi al
teorema Dyck. Rend. Circ. Mat. Palermo, 47, 273—333.
Сасердот (Saserdote G. S.)
[1972] Some unsolvable decision problems in group theory. Proc. Amer. Math.
Soc., 36, 231—238.
[1972] Elementary properties of free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 178,
127—138.
[1973] SQ-universal 1-relator groups. In: Lecture Notes in Math., Vol. 319,
p. 168. Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
[1973] On a problem of Boone. Math. Scand. 31, 111—117.
[1974] Almost all free products of groups have the same positive theory. J. Al-
gebra, 27, 475—485.
[1976] On the groups of Britton’s Theorem A. Canad. J. Math., 28, № 3, 635—639.
[1976] A characterization of the subgroups of finitely presented groups, to ap-
pear in Bull. Amer. Math. Soc., 82, 609—611.
[1977] Subgroups of finitely presented groups, submitted to Proc. London Math.
Soc., 35, 193—212.
[1976] Some logical problems concerning free and free product groups. Rocky
Mountain J. Math., 6, 401—408.
[1976] On the groups of Britton’s theorem. A. Can. J. Math., 28, 635—639.
Сасердот, Шупп (Sacerdote G. S., Schupp P. E.)
[1974] SQ-universality of HNN and 1-relator groups. J. London Math. Soc.,
7, 733—740.
Сасердот см. Фрид.
Сах (Sah С.-Н.)
[1969] Groups related to compact Riemann surfaces, Acta Math., 123, 13—42.
Сварк A. A.
[1955] Объемный инвариант покрытий.— Докл. АН СССР, 105, 32—34.
Сегал см. Парментер, Пасси.
428
Список литературы
Сексенбаев К.
[1965] К теории полициклических групп.— Алгебра и логика, т. 4, вып. 3,
с. 79—83.
Сельберг (Selberg А.)
[1960] On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces, pp. 147—
164. Colloq. Function Theory, Bombay.
Серби, Уомсли (Searby D. G., Wamsley J. W.)
[1972] Minimal presentations for certain metabelian groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 32, 342—348.
Cepp (Serre J.-P.)
[1965] Sur la dimension cohomologique des groupes profinis. Topology, 3, 413—
420.
{1969] Cohomologie des groupes discrets. C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A — B,
268, 268—271.
[1971] Cohomologie des groupes discrets. Ann. of Math., 70, 77—169.
[1968/69] Arbres, amalgames et SL2. Notes College de France 1968/69, ed. avec
H. Bass. [Имеется перевод: Математика, 1974, т. 18, № 1, с. 3—51; № 2,
с. 3—27.]
[1974] Amalgames et points fixes. In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes
in Math., Vol. 372, pp. 633—640). Berlin — Heidelberg — New York:
Springer.
[1974] Problems. In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lecture Notes in Math., Vol.
372, pp. 734—735). Berlin — Heidelberg — New York; Springer.
Серр см. Басс.
Сигал (Segal I. E.)
[1947] The non-existence of a relation which is valid for all finite groups. Bol.
Soc. Mat. Sao Paulo, 2, 3—5.
Сигал см. Хоутон.
Симмонс (Simmons H.)
[1973] The word problem for absolute presentations. J. London Math. Soc., 6,
275—280.
Синков (Sinkov A.)
[1936] The groups determined by the relations Sl=Tm=(S~1T-1ST)P~ 1. Duke
Math. J., 2, 74—83.
[1937] On the group-defining relations (2, 3, 7; p). Ann. of Math., 38, 577—584.
[1937] Necessary and sufficient conditions for generating certain simple groups
by two operators of periods two and three. Amer. J. Math., 59, 67—76.
[1938] On generating the simple group LF (2, 7n) by two operators of periods
two and three.-Bull. Amer. Math. Soc., 44, 449—455.
[1939] A note on a paper by J. A. Todd. Bull. Amer. Math. Soc., 45, 762—765.
[1969] The number of abstract definitions of LF (2, p) as a quotient group of
(2, 3, n). J. Algebra, 12, 525—532.
Симур (Seymour J. E.)
[1974] Conjugate powers and unique roots in certain small cancellation groups.
Thesis. University of Illinois.
Скотт Дж. (Scott G. P.)
[1973] Finitely generated 3-manifold groups are finitely presented. J. London
Math. Soc., 6, 437—440,
[1974] An embedding theorem for groups with a free subgroup of finite index.
Bull. London Math. Soc., 6, 304—306.
Скотт П. (Scott P.)
[1976] Normal subgroups of 3-manifold groups. J. London Math. Soc., 13, 5—
12.
Скотт У. (Scott W. R.)
[1951] Algebraically closed groups. Proc. Amer. Math. Soc., 2, 118—121.
Скотт П. см. Дайер.
Смит (Smythe N.)
Список литературы
429
[1976] A generalization of Grushko’s theorem to the mapping cylinder group.
Abstract, Notices Amer. Math. Soc., 23, A—419.
Смит см. Косей, Кроуэлл.
Соколов см. Ремесленников.
Солдатова В. В.
[1966] О группах с 6-базисом, 6 <1/4 и одним дополнительным условием.—
Сиб. матем. ж., т. 7, с. 627—637.
[1967] Об одном классе конечно определенных групп.— Докл. АН СССР,
т. 172, с. 1276—1277.
[1969] Решение проблемы тождества для одного класса групп.— Учен. зап.
Ивановен, гос. пед. ин-та, т. 44, с. 17—25.
[1969] О централизаторе любого элемента.— Учен. зап. Ивановск. гос. пед.
ин-та, т. 61, с. 209—224.
Солитэр см. Баумслаг Г., Каррас, Магнус, Фишер, Хор.
Соломон (Solomon L.)
[1969] The solution of equations in groups. Arch. Math., 20, 241—247,
Стейнберг A. (Steinberg A.)
[1964] On free nilpotent quotient groups. Math. Z., 85, 185—196.
[1971] On equations in free groups. Michigan Math. J., 18, 87—95.
Стейнберг А. см. Баумслаг, Мескин.
Стейнберг P. (Steinberg R.)
[1963] Generateurs, relations et revetements de groupes algebriques. Colloq.
Bruxelles, 1962. Louvain — Paris.
[1962] Generators for simple groups. Canad. J. Math., 14, 277—283.
Стендер П. В.
[1953] О применении метода решета к решению проблемы тождества для не-
которых групп со счетным множеством порождающих элементов и счет-
ным множеством определяющих соотношений.— Матем. сб., т. 32,
с. 97—107.
[1962] О примитивных элементах в свободной группе ранга 2.— Изв. высш,
учебн. завед, Математика, т. 5, с. 101—106.
Стиб (Stebe Р. F.)
[1968] Residual finiteness of a class of knot groups. Comm. Pure Appl. Math.,
21, 563—583.
[1969] On free products of isomorphic free groups with a single finitely generated
amalgamated subgroup. J. Algebra, 11, 359—362.
[1970] A residual property of certain groups. Proc. Amer. Math. Soc., 26, 37—42.
[1971] Conjugacy separability of certain free products with amalgamation. Trans.
Amer. Math. Soc., 156, П9—129.
[1971] Conjugacy separability of the groups of hose knots. Trans. Amer. Math.
Soc., 159, 79—90.
[1972] Conjugacy separability of certain Fuchsian groups. Trans. Amer. Math.
Soc., 163, 173—188.
[1972] Conjugacy separability of groups of integer matrices. Proc. Amer. Math.
Soc., 32, 1—7.
Стиб см. Эншел.
Стивенс (Stevens R. S.)
[1974] Classification of 3-manifolds with certain spines. Thesis. Colorado State
Univ.
Стивенс см. Осборн.
Столлингс (Stallings J. R.)
[1962/63] On the recursiveness of sets of presentations of 3-manifold groups. Fund.
Math., 51, 191—194.
[1963] A finitely presented group whose 3-dimensional integral homology is not
finitely generated. Amer. J. Math., 85, 541—543.
[1965] A topological proof of Grushko’s theorem on free products. Math. Z., 90,
1—8.
430
Список литературы
[19651 Centerless groups — an algebraic formulation of Gottlieb’s theorem.
Topology, 4, 129—134.
[1966] A remark about the description of free products of groups. Proc. Cambridge
Philos. Soc., 62, 129—134.
[1968] Groups of dimension 1 are locally free. Bull. Amer. Math. Soc., 74, 361—
364.
[1968] On torsion-free groups with infinitely many ends. Ann of Math., 88, 312—
334.
[1970] Groups of cohomological dimension one. Proc. Sympos. Pure Math.
Amer. Math. Soc., 17, 124—128.
[1971] Group theory and three-dimensional manifolds. Yale Monographs, 4.
[В печати] Characterization of free products of finitely many groups.
[1975] Quotients of the powers of the augmentation ideal in a group ring. Knots,
Groups, and 3-Manifolds, ed. L. P. Neuwirth. Ann. Math. Studies, 84,
101—118.
Сторк (Stork D. F.)
[1971] Structure and applications of Schreier coset graphs. Comm. Pure Appl.
Math., 24, 797—805.
Суон (Swan R. G.)
[1960] Periodic resolutions for finite groups. Ann. of Math., 72, 267—291.
[1965] Minimal resolutions for finite groups. Topology, 4, 193—208.
[1968] Generators and relations for certain special linear groups. Bull. Amer.
Math. Soc., 74, 576—581.
[1969] Groups of cohomological dimension one. J. Algebra, 12, 585—610.
[1971] Generators and relations for certain special linear groups. Advances Math.,
6, 1—77.
Супруненко Д. A.
[1963] О порядке элемента группы целочисленных матриц.— Докл. АН БССР,
т. 7, с. 221—223.
Такахаси (Takahasi М.)
[1944] Bemerkungen uber den Untergruppensatz in freien produkten. Proc.
Imp. Acad. Tokyo, 20, 589—594.
[1949] On partitions of free products of groups. Osaka Math. J., 1, 49—51.
[1950] Note on locally free groups. J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser.
A., Math., 1, 65—70.
[1951] Note on chain conditions in free groups. Osaka Math. J., 3, 221—225.
[1951] Note on word subgroups in free products of groups. J. Inst. Polytech.
Osaka City Univ. Ser. A, Math., 2, 13—18.
[1954] Primitive locally free groups. J. Inst. Polytech. Osaka City Univ. Ser. A.,
5, 81—85.
Танг см. Олленби.
Тартаковский В. A.
[1947] О проблеме тождества для некоторых типов групп.— Докл. АН СССР,
т. 58, с. 1909—1910.
[1947] О процессе погашения.— Докл. АН СССР, т. 58, с. 1605—1608.
[1949] Метод решета в теории групп.— Матем. сб., т. 25, с. 3—50.
[1949] Применение метода решета к решению проблемы тождества в некоторых
типах групп.— Матем. сб., т. 25, с. 251—274.
[1949] Решение проблемы тождества для группы с ^-сократимым базисом при
k—Q.— Изв. АН СССР, сер. мат., т. 13, с. 483—494.
[1952] О примитивной композиции.— Матем. сб., т. 30, с. 39—52.
Таусски (Taussky О.)
[1960] Matrices of rational integers. Bull. Amer. Math. Soc., 66, 327—345.
Таусски, Тодд (Taussky О., Todd^J.)
[1956] Commuting bilinear transformations and matrices. J. Washington Acad.
Sci., 46, 373—375.
Тейлор см. Баумслаг Г.
Список литературы
431
Титс (Tits J.)
[1961] Groupes et geometries de Coxeter. Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math.
[1969] Le probleme des mots dans les groupes de Coxeter. In: Sympos. Math.
Rome 1967/68, pp. 175—185. London: Academic Press.
[1970] Sur le groupe des automorphismes d’un arbre. Essays on Topology. Mem.
dediees a G. de Rham, Springer, 188—211.
[1972] Free subgroups in linear groups. J. Algebra 20, 250—270.
[1974] Buildings of spherical type and finite BN-pairs. Appendix 3: Generators
and relations (Lecture Notes in Math., Vol. 386). Berlin — Heidelberg —
New York: Springer.
Тице (Tietze H.)
[1908] Ober die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkei-
ten. Monatsh. Math. Phys., 19, 1—118.
Tox (Toh К. H.)
Problems concerning residual finiteness in nilpotent groups. Mimeograp-
hed. Univ, of Malaya.
Тодд, Кокстер (Todd J. A., Coxeter H. S. M.)
[1936] A practical method for enumerating cosets of a finite abstract group. Proc.
Edinburgh Math. Soc., 5, 25—34.
Тодд см. Таусски.
Томпсон (Thompson R. J.)
[Неопубликовано] A finitely presented infinite simple group.
Томпсон см. Алберт, Маккензи.
Топпинг (Topping 1. M.)
[1973] Free generators and the free differential calculus, Thesis. State Univ.
New York, Stony Brook.
Трельфалль (Threlfall W.)
[1932] Gruppenbilder. Abh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig Math.— Natur. KL,
41, 1—54.
Треткофф M. (Tretkoff M.)
[1973] A topological proof of the residual finiteness of certain amalgamated free
products. Comm. Pure Appl. Math., 26, 855—859.
[1975] Covering space proofs in combinatorial group theory. Comm. Algebra,
3, 429—457.
Треткофф К- (Tretkoff C.)
[1975] Nonparabolic subgroups of the modular group. Glasgow Math. J., 16,
90—102.
Треткофф см. Файн.
Тротт (Trott S.)
[1962] A pair of generators for the unimodular group. Canad. Math. Bull., 3,
245—252.
Троттер (Trotter H.)
[1964] An algorithm for the Todd-Coxeter method of coset enumeration. Canad.
Math. Bull., 7, 357—368.
Трюффо (Truffault B.)
[1968] Sur le probleme des mots pour les groupes de Greendlinger. G. R. Acad.
Sci. Paris Ser. A — B, 267, 1—3.
[1974] Note sur un thcorcme de Lipschutz. Arch. Math., 25, 1—2.
[1974] Centralisateurs des elements d’ordre fini dans les groupes de Greendlin-
ger. Math. Z., 136, 7—11.
[1974] Centralisateurs des elements dans les groupes de Greendlinger. C. R.
Acad. Sci. Paris Ser. A 279, 317—319.
Трюффо см. Камерфорд.
Тукья (Tukia P.)
[1972] On discrete groups of the unit disk and their automorphisms. Ann. Acad.
Sci. Fennicae A. L, 504, 1—45,
Удйголд (wiegold J.)
432
Список литературы
[1961] Some remarks on generalized products of groups with amalgamations.
Math. Z., 75, 57—78.
Уайголд см. Дей, Нейман П., Бреннер
Уайт (White А. Т.)
[1973] Graphs, Groups and Surfaces. Math. Stud., 8, Amsterdam: North-Holland.
Уайтхед (Whitehead J. H. C.)
[1936] On certain sets of elements in a free group. Proc. London Math. Soc.,
41, 48—56.
[1936] On equivalent sets of elements in a free group. Ann. of Math., 37, 782—800.
Уикс (Wicks M. J.)
[1962] Commutators in free products. J. London Math. Soc., 37, 433—444.
[1971] The equation x2y2=g over free products. Proc. Cong. Singapore Nat
Acad. Sci., 238-248.
[1972] A general solution of binary homogeneous equations over free groups
Pacific J. Math., 41, 543—561.
[1973] The arithmetic of a group. Bull. Singapore Math. Soc., 25—40.
[1974] A relation in free products. Proc. Conf. Canberra 1973. Springer Lecture
Notes 372, 709—716.
[1974] The symmetries of classes of elements in a free group of rank two. Math.
Ann., 212, 21—44.
[1975] Presentations of some classical groups. Bull. Austral. Math. Soc., 13,
1—12.
Уилки (Wilkie H. C.)
[1966] On non-Euclidean crystallographic groups. Math. Z., 91, 87—102.
Уилкенс (Wilkens D. L.)
[1976] On non-archimedean length in groups. Mathematika, 23, 57—61.
[Препринт] On non-archimedean length in groups.
Уильямс (Williams J. S.)
[1964] Nielsen equivalence of presentations of some solvable groups. Math. Z.,
137, 351—362.
[1973] Free presentations and relation modules of finite groups. J. Pure Appl.
Algebra, 3, 203—217.
Ульман см. Линдон.
Уолдингер (Waldinger H.)
[1965] On the subgroups of the Picard group. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 1373—
1378.
Уолл (Wall С. T. C.)
[1961] Rational Euler characteristics. Proc. Cambridge Philos. Soc., 57, 182—184.
[1966] Finiteness conditions for CW complexes, II. Proc. Roy. Soc. Ser. A 295
129—139. ’
Уомсли (Wamsley J. W.)
[1970] The multiplicator of finite nilpotent groups. Bull. Austral. Math Soc.
3, 1-8.
[1970] A class of three-generator, three-relation, finite groups. Canad. J. Math.
22 , 36—40.
[1970] The deficiency of metacyclic groups.Proc. Amer. Math. Soc., 24, 724—726.
[1971] Minimal presentations for certain group extensions. Israel J. Math., 9
459—463.
[1972] The deficiency and the multiplicator of finite nilpotent groups. J. Aus-
tral. Math. Soc., 13, 124—128.
[1972] A class of two generator two relation ffnite groups. J. Austral. Math. Soc.
14 , 38—40.
[1972] On a class of groups of prime-power order. Israel J. Math., 11, 297—298.
[1973] Minimal presentations for infinite groups. Bull. London Math. Soc., 5,
129—144.
[1973] On certain pairs of matrices which generate free groups. Bull. London
Math. Soc., 5, 109—HQ.
Список литературы
433
[1974] A class of finite groups with deficiency zero. Proc. Edinburgh Math.
Soc., 19, 25—29.
[1974] Some finite groups with zero deficiency. J. Austral. Math. Soc., 18, 73—75.
[1974] Some groups with trivial Schur multiplicator. J. Austral. Math. Soc.,
16, 507—510.
[1973] The deficiency of wreath products of groups. J. Algebra, 27, 48—56.
[Препринт] Presentations of class two p-groups. Trans. Amer. Math. Soc.
[1975] On a class of finite groups. J. Austral. Math. Soc., 19, 290—291.
Уомсли см. Джонсон, Саг, Серби.
Уэр (Weir A. J.)
[1956] The Reidemeister-Schreier and Kuros subgroup theorems. Mathematika,
3, 47—55.
Файн (Fine B.)
[1974] The structure of PSL2(R); R, the ring of integers in a Euclidean quadratic
imaginary number field. In: Discontinuous Groups and Riemann Surfaces.
Ann. Math. Studies, 79, 145—170.
[1975] The HNN and generalized free product structure of certain linear groups.
Bull. Amer. Math. Soc., 81, 413—416.
[1976] Fuchsian subgroups of the Picard group. Can. J. Math. 28, 481—485.
Файн, Треткофф (Fine В., Tretkoff M.)
[1976] The SQ-universality of certain arithmetically defined linear groups.
J. London Math. Soc., 13, 65—68.
Федерер, Йонссон (Federer H., Jonsson B.)
[1950] Some properties of free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 68, 1—27.
Фейер (Feuer R. D.)
[1971] Torsion-free subgroups of triangle groups. Proc. Amer. Math. Soc., 30,
235—240.
Фенхель (Fenchel W.)
[1948] Estensioni di gruppi descontinui e transformazioni periodiche delle su-
perficie. Rend. Accad. Naz. Lincei, Sc. fis.-mat. e nat., 326—329.
[1950] Bemarkingen om endelige grupper af abbildungsklasser. Mat. Tiddsk.
B, 90—95.
Фиала (Fiala F.)
[1946] Sur les polyedres a faces triangulaires. Comment. Math. Helv., 19, 83—90.
Фишер (Fischer J.)
[1975] The subgroups of a tree product of groups. Trans. Amer. Math. Soc., 210,
27—50.
Фишер, Каррасс, Солитэр (Fischer J., Karrass A., Solitar D.)
[1972] On one-relator groups having elements of finite order. Proc. Amer. Math.
Soc., 37, 297—301.
Фогт см. Цишанг.
Фокс (Fox R. H.)
[1952] On Fenchel's conjecture about F-groups. Mat. Tidsskr. B, 61—65.
[1953, 1954, 1956, 1960] Free differential calculue I, II, III, V. Ann. of Math.,
57, 547—560; 59, 196—210; 64 , 407—419; 77 , 408—422.
Фокс см. Кроуэлл, Чен.
Фокс, Ньювирт (Fox R. H., Neuwirti L.)
[1962] The braid groups. Math. Scand., 10, 119—126.
Форд (Ford L. R.)
[1951] Automorphic functions. 2nd ed., New York; Chelsea. [Имеется перевод
I изд.: Л. P. Форд. Автоморфные функции.— М.: ОНТИ, 1936 г.]
Форманек (Formanek Е.)
[1976] Conjugate separability in polycyclic groups. J, Algebra, 42, 1—10.
Форманек см. Бахмут, Дайер.
Фредерик (Frederick К- N.)
[1963] The Hopfian property for a class of fundamental groups. Comm. Pure
Appl. Math., 16, 1-8,
434
Список литературы
Фрид, Сасердот (Fried М., Sacerdote G. S.)
[1976] Solving diophantine problems over all residue class fields of a number
field and all finite fields. Ann. Math., 76, 203—233.
Фридман A. A.
[I960] О взаимоотношении между проблемой тождества и проблемой сопря-
женности в конечноопределенных группах.— Труды ММО, т. 9,
с. 329—356.
[1967] Степени неразрешимости проблемы тождества в конечноопределенных
группах.— М.: Наука, 1967.
[1973] Решение проблемы сопряженности в одном классе групп, Труды
МИАН, т. 133, с. 233—242.
Фрике (Fricke R.)
[1892] Uber den arithmetischen Charakter der zu den Verzweigungen (2, 3, 7)
und (2, 4, 7) gehorenden Dreiecksfunktionen. Math. Ann., 41, 443—468.
Фрике, Клейн (Fricke R., Klein F.)
[1897, 1901—1912] Vorlesungen uber die Theorie der automorphei Funktionen.
Vols. 1, II. Leipzig: Teubner 1897, 1901—1912.
Фрике см. Клейн.
Фрухт (Frucht R.)
[1955] Remarks of finite grouns defined by generating relations. Canad. J. Math.,
7, 8—17.
Фукс-Рабинович Д. И.
[1940] Beispiel einer diskreten Gruppe mit endlich vielen Erzeugenden und
Relationen die kein vollstandiges System der linearen Darstellungen
zulasst.— Докл. АН СССР, т. 29, с. 549—550.
[1940] Об одном представлении свободной группы. Учен. зап. ЛГУ, сер. мат.,
т. 10, с. 154—157.
[1940] On the determinators of an operator of the free group. Матем. сб. т. 7,
с. 197—208.
[1940] Uber die Nichteinfachheit einer lokal freien Gruppe. Матем. сб. т. 7,
с. 327—328.
[1940, 1941] Uber die Automorphismengruppen der freien Produkte, I, II. Матем.
сб., т. 8, с. 265—276; т. 9, с. 183—220.
Функе (Funcke К.)
[1975] Nicht frei aquivalente Darstellungen von Knotengruppen mit einer
definierenden Relation. Math. Zeit, 141, 205—217.
Хакен У. (Haken W.)
[1973] Connections between topological and group theoretical decision problems.
In: Word Problems, pp. 427—441. Amsterdam: Horth-Holland.
Хакен У. см. Бун.
Хакен ^Halten Н )
[1952] Zum Identitatsproblem bei Gruppen. Math. Z., 56, 335—362.
Хамфриз (Humphreys J. F.)
[1969] Two-generator conditions for polycyclic groups. J. London Math. Soc.,
1, 21—29.
Харви см. Маклахлан.
Хардер (Harder G.)
[1971] A Gauss-Bonnet formula for discrete arithmetically defined groups. Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup., 4, 409—455.
Харрисон (Harrison N.)
[1973] Real length functions in groups. Trans. Amer. Math. Soo., 174, 77—106.
Хаусон (Howson A. G.)
[1954] On the intersection of finitely generated free groups. J. London Math.
Soc., 29, 428—434.
Хемпель (Hempel J.)
[1072] Residual finiteness of surface groups. Proc. Amer. Math. Soe., 32, 323.
Киггинс (Higgins P. J.)
Список литературы
435
[1964] Presentations of groupoids, with applications to groups. Proc. Cam-
bsidge Philos. Soc., 60, 7—20.
[1966] Grushko’s theorem. J. Algebra, 4, 365—372.
[1971] Notes on categories and groupoids. London: Van Nostrand.
[1976] The fundamental groupoid of a graph of groups. J. London Math. Soc,,
13, 145—149.
Хиггинс, Линдон (Higgins P. J., Lyndon R. C.)
[1974] Equivalence of elements under automorphisms of a free group. J. London
Math. Soc., 8, 254—258.
Хигман (Higman G.)
[1940] The units of group-rings. Proc. London Math. Soc., 46, 231—248.
[1951] A finitely generated infinite simple group. J. London Math. Soc., 26,
61—64.
[1951] Almost free groups. Proc. London Math. Soc., 1, 284—290.
[1951] A finitely related group with an isomorphic proper factor group. J. Lon-
don Math. Soc., 26, 59—61.
[1952] Unrestricted free products and varieties of topological groups. J. London
Math. Soc., 27, 73—81.
[1961] Subgroups of finitely presented groups. Proc. Royal Soc. London, Ser.
A 262, 455—475.
[1974] Finitely presented infinite simple groups. Notes on Pure Math., 8, I. A. S.
Austral. Nat. Univ.
Хигман, Нейман Б., Нейман X. (Higman G., Neumann В. H., Neumann H.)
[1949] Embeddingtheorems for groups. J. London Math. Soc., 24, 247—254.
Хигман см. Бун.
Хилден см. Бирман.
Хиршон (Hirshon R.)
The intersection of the subgroups of finite index in some finitely presented
groups. Proc. Amer. Math. Soc., 53.
Хмелевский Ю. И.
[1964] Решение некоторых систем уравнений в словах, Докл. АН СССР,
т. 156, с. 749—751.
[1966] Бескоэффициентные уравнения в словах.— Докл. АН СССР, т. 171,
с. 1047—1049.
[1967] Решение уравнений в словах с тремя неизвестными. Докл. АН СССР,
т. 177, с. 1023—1025.
[1971, 1972] Системы уравнений в свободной группе, I, II. Изв. АН СССР,
сер. матем., т. 35, с. 1237—1268; т. 36, с. 110—179.
[1976] Уравнения в свободных полугруппах.— Труды МИАН, т. 107, с. 272.
Холл М. (Hall М., Jr.)
[1949] Coset representations in free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 67, 421 —
432.
Subgroups of finite index in free groups. Canad. J. Math., 1, 187—190.
A topology for free groups and related groups. Ann. of Math., 52, 127—139.
Subgroups of free products. Pacific J. Math., 3, 115—120.
The theory of groups. New York: Macmillan.
Generators and relations in groups—the Burnside problem. Lectures on
Modern Mathematics, II, Wiley, pp. 42—92.
[1949
[1950
[1953
[1959
[1964
Холл M., Радо (Hall M., Jr., Rado T.)
[1948] On Schreier systems in free groups. Trans. Amer. Math. Soc., 64, 386—
408.
Холл Ф. (Hall P.)
[1954] The splitting properties of relatively free groups. Proc. London Math.
Soc., 4, 343—356.
[1957] Nilpotent groups. Canad. Math. Cong. Univ. Alberta. Queen Mary College
Math. Notes. [Имеется перевод: Математика, т. 12, № 1, 1968, с. 3—36.J
436
Список литературы
[1958] Some word problems. J. London Math. Soc., 33, 482—496.
[1974] Embedding a group in a join of given groups. J. Austral. Math. Soc., 17,
434—495.
Хопф (Hopf H.)
[1931] Beitrage zur Klassifizierung der Flachenabbildungen. J. Reine Angew.
Math., 165, 225—236.
[1942] Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe. Comment. Math.
Helv., 14, 257—309.
[1944] Enden offener Raume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Com-
ment. Math. Helv., 16, 81—100.
[1945] Uber die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe gehoren.
Comment. Math. Helv., 17, 39—79.
Хор (Hoare A. H. M.)
[1969] Group rings and lower central series. J. London Math. Soc., 1, 37—40.
[1976] On length functions and Nielsen methods in free groups. J. London Math.
Soc., 14, 188—192.
[1979] Coinitial graphs and Whitehead automorphisms. Canad. J. Math., 31,
№1, 112—123.
Хор, Каррасс, Солитэр (Hoare A. H. M., Karrass A., Solitar D.)
[1971] Subgroups of finite index of Fuchsian groups. Math. Z., 120, 289—298.
[1972] Subgroups of infinite index in Fuchsian groups. Math. Z., 125, 59—69.
[1973] Subgroups of NEC groups. Comm. Pure Appl. Math., 26, 731—744.
Хор см. Макбет.
Хоровиц (Horowitz R.)
[1972] Characters of free groups represented in two-dimensional linear groups.
Comm. Pure Appl. Math., 25, 635—649.
[1975] Induced automorphisms on Fricke characters of free groups. Trans. Amer.
Math. Soc., 208, 41—50.
Хоутон (Houghton С. H.)
[1972] Ends of groups and the associated first cohomology groups. J. London
Math. Soc., 6, 81—92.
[1973] Ends of groups and baseless subgroups of wreath products. Compositio
Math., 27, 205—211.
Хоутон, Сигал (Hougthon С. H., Segal D.)
[1975] Some sufficient conditions for groups to have one end. J. London Math.
Soc., 10, 89—96.
Хупперт (Huppert B.)
[1967] Endliche Gruppen 1. Die Grundlehren der math. Wissenschaften, Bd. 134.
Berlin — Heidelberg — New York: Springer.
Хьюбер-Дайсон (Huber-Dyson V.)
[1964] The word problem and residually finite groups. Notic Amer. Math. Soc.,
11, 743.
[1974] The undecidability of free groups with a length function. Univ. Calgary
Math. Res. Paper, 221, 1—26.
Хьюз (Hughes I.)
[1966] The second cohomology groups of one-relator groups. Comm. Pure Appl.
Math., 19, 299—308.
Хьюз см. Бахмут.
Цассенхауз (Zassenhaus H.)
[1940] Ein Verfahren, jeder endlichen p-Gruppe einen Lie-Ring mit der Charakte-
ristik p zuzuordnen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 13, 200—207.
[1969] A presentation of the groups PSL (2, p) with three defining relations.
Canad. J. Math., 21, 310—311.
Циглер [Ziegler M.)
[1976] Gruppen mit vorgeschreibenem Wortproblem. Math. Ann., 219, 43—51.
Цишанг (Zieschang H.)
Список литературы
437
[1962] Uber Worte S^S®3 . . . S°p in einer freien Gruppen mit p freien Erzeu-
genden. Math. Ann., 147, 143—153.
[1962] Uber einfache Kurven auf Vollbrezeln. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,
25, 231—250.
[1963] On the classification of simple systems of paths on a surface of genus 2.—
Докл. АН СССР, т. 152, c. 841—844.
[1963] On a problem of Neuwirth concerning knot groups.— Докл. АН СССР,
t. 153, c. 1017—1019.
[1964] Uber einfache Kurvensysteme auf emer Vollbrezel vom Geschlecht 2,
Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 26, 237—247.
[1964, 1965] Alternierende Produkte in freien Gruppen, I, II. Abh. Math. Sem,
Univ. Hamburg, 27, 13—31; 28, 219—233.
[1964] Automorphisms of planar groups. Докл. АН СССР, 155, 57—60.
[1965] On simple systems of curves on handlebodies. Усп. матем. наук, 66, 230—
239.
[1966] Uber Automorphismen ebener diskontinuierlicher Gruppen. Math. Ann.,
166, 148—167.
[1966] Discrete groups of motions of the plane and planar group diagrams. Усп.
матем. н. 21, 195—212.
[1965, 1969] Algorithmen filr einfache Kurven auf Flachen, I, II. Math. Scand.,
17, 17—40, 25, 49—58.
[1967] A theorem of Nielsen, some of its applications and generalizations. In:
Труды 4-й Всес. тополог, конф., Ташкент, 1963, с. 184—201.
[1970] Uber die Nielsensche Kiirzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam.
Invent. Math., 10, 4—37.
[1971, 1974] On extensions of fundamental groups of surfaces and related groups.
Bull. Amer. Math. Soc., 77, 1116—1119; addendum, 80, 366—367.
[1973] Lifting and projecting homeomorphisms. Arch. Math., 24, 416—421.
[1973] Homology groups of susfaces. Math. Ann., 206, 1—21.
[1974] Addendum to: «On extensions of fundamental groups of surfaces and rela-
ted groups». Bull. Amer. Math. Soc., 80, 366—367.
[1977] Generators of the free product with amalgamation of two infinite cyclic
groups. Math. Ann., 227, 195—221.
Цишанг, Бурде (Zieschang H., Burde G.)
[1967] Neuwirthsche Knoten und Flachenabbildungen. Abh. Math. Sem. Univ.
Hamburg, 31, 239—246.
Цишанг, Фогт, Колдьюи (Zieschang H., Vogt E., Coldewey H.-D.)
[1970] Flachen und ebene diskontinuierliche Gruppen. Berlin — Heidelberg —
New York: Springer.
Цишанг, Эпштейн (Zieschang H., Epstein D. B. A.)
[1966] Curves on 2-manifolds: a counterexample. Acta Math, 115, 109—110.
Цишанг см. Печиньски.
Чан (Chang В.)
[1960] The atomorphism group of the free group with two generators. Michigan
Math. J., 7, 79-81.
Чандлер (Chandler B.)
[1968] The representation of a generalized free product in an associative ring.
Comm. Pure Appl. Math., 21, 271—288.
Чарноу (Charnow A.)
[1975] A note on torsion free groups generated by a pair of matrices. Canad. Math.
Bull., 17, 747—748.
Чеботарь A. A.
[1971] Подгруппы групп с одним определяющим соотношением, не содержа-
щие свободных подгрупп ранга 2.— Алгебра и логика, т. 10, с. 570—586.
[1972] Центр подгруппы группы с одним определяющим соотношением. Во-
просы теории групп и полугрупп.— Тульск. гос. пед. ин-т, Тула, с. 96—
105.
438 Список литературы
[1975] Подгруппы групп с одним определяющим соотношением, обладающие
нормальными делителями, удовлетворяющими тождеству.— Сиб]
матем. ж., т. 16, с. 139—148.
Чен, Фокс, Линдон (Chen К. Т., Fox R. Н., Lyndon R. С.)
[1958] Free differential calculus; IV. Ann. of Math., 63, 294—397.
Чизуэлл (Chiswell I. M.)
[1973] On groups acting on trees; Thesis. Ann. Abor: Univ. Michigan.
[1975] The cohomological dimension of a 1-relator group. J. London Math. Soc.,
11, 381—382.
[1976] Euler characteristics of groups. Math. Z., 147, 1—11.
[1976] Exact sequences associated with a graph of groups. J. Pure Appl. Alg.,
8, 63—74.
[1976] Abstract length functions in groups. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 80,
451—463.
[1977] An example at an integer-valued length function. J. London Math. Soc.,
6, 67—75.
Чиллингсуорт (Chillingsworth D. R. J.)
[1972] Winding numbers on surfaces, I, II, applications. Math. Ann., 196, 218—
249; 199, 131—153.
Чиллингсуорт см. Бирман.
Чин (Chein О.)
[1968] lA-automorphisms of free and free metabelian groups. Comm. Pure Appl.
Math., 21, 605—629.
[1969] Subgroups of M-automorphisms of a free group. Acta Math., 123, 1—12.
[1972] Induced automorphisms of free metabelian groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 31, 1—9.
Чипман (Chipman J. C.)
[1967] Van Kampen’s theorem for n-stage covers. Trans. Amer. Math. Soc.,
192, 357—401.
[1973] Subgroups of free products with amalgamated subgroups: a topological
approach. Trans. Amer. Math. Soc., 181, 87—97.
Чуркин см. Каргаполов.
Шапиро, Зонн (Shapiro J., Sonn J.)
[1974] Free factor groups of one-relator groups. Duke Math. J., 41, 83—88.
Шарма см. Пасси.
Шафаревич см. Голод.
Шверчковски (Swierczkowski S.)
[1958] On a free group of rotations of Euclidean space. Nederl. Akad. Wetensen
Proc. Ser’. A 61, 376—378.
Шевалле, Эрбран (Chevalley C., Herbrand J.)
[1931] Groupes topologiques, groupes fuchsiens, groupes libres. C. R, Acad.
Sci. Paris, 192, 724—726.
Шеиицер (Shenitzer A.)
[1955] Decomposition of a group with a single defining relation into a free pro-
duct. Proc. Amer. Math. Soc., 6, 273—279.
Шенкман (Schenkman E.)
[1959] The equation anbn—cn in a free group. Ann. of Math., 70, 562—564.
[1967] Some two generator groups with two relations. Arch. Math., 18, 362—363.
Шепперд (Shepperd J. A. H.)
[1961, 1962] Braids which can be plaited with their threads tied together at each
end. Proc. Royal Soc. Ser. A 265, 229—244.
Шерадски (Sieradski A.)
[1976] Combinatorial isomorphisms and combinatorial homotopy equivalences.
J. Pure Appl. Alg.„7, 59—95.
Шик (Schiek H.)
[1953] Bemerkung uber eine Relation in freien Gruppen. Math. Ann., 126,
376—376.
Список литературы
439
[1965] Gruppen mit Relationen X3=1(XK)3=1. Arch. Math. 6, 341—347.
[1955] Gruppen mit Relationen (abc)2=e. Math. Nachr., 13, 247—256.
[1956] Ahnlichkeitsanalyse von Gruppenrelationen. Acta Math. 96, 157—252.
[1962, 1965] Adjunktionsproblem und inkompressible Relationen, I, II. Math.
Ann., 146, 314—320; 141, 163—170.
[1962] Das Adjunktionsproblem der Gruppentheorie. Math. Ann., 147, 158—165.
[1973] Equations over groups. In; Word Problems, pp. 563—568. Amsterdam:
North-Holland.
Шмидт О. Ю.
[1959] Абстрактная теория групп. Избранные труды, Математика.— М.:
1959.
Шпайзер (Speiser А.)
[1956] Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung. Basel: Birkhauser.
Шпекер (Specker E.)
[1949] Die erste Kohomologiegruppe von Uberlagerungen und Homotopie-Eigen-
schaften dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten. Comment. Math. Helv.,
23, 303—333.
[1950] Endenverbande von Raumen und Gruppen. Math. Ann., 122, 167—174.
Шпехт (Specht W.)
[1959, 1960] Freie Untergruppen der binaren unimodularen Gruppe. Math. Z.,
72, 319—331.
Шрайер (Schreier O. J.)
[1924] Uber die Gruppen AaBb=l. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 3, 167—
169.
[1927] Die Untergruppen der freien Gruppen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg,
5, 161—183.
Штаммбах (Stammbach U.)
[1966] Anwendungen der Homologietheorie der Gruppen auf Zentralreihen und
auf Invarianten von Prasentierungen. Math. Z., 94, 157—177.
[1967] Ein neuer Beweis eines Satzes von Magnus. Proc. Cambridge Philos. Soc.,
63, 929—930.
[1968] Uber freie Untergruppen gegebener Gruppen. Comment. Math. Helv.,
43, 132—136.
Штрассер (Strasser E. R. (=Rapaport E. S.)
[1975] Knot-like groups. Knots, Groups, and 3-Manifolds. Ann. Math. Studies,
88, 119—133.
Штрассер, Левинсон (Strasser E. R. (=Rapaport E. S.), Levinson H. W.)
[1975] Planarity of Cayley diagrams: planar presentations. Proc. Conf. Boca Ra-
ton 1975. Utilitas Math., Winnipeg, pp. 567—593.
Штребель см. Баумслаг Г.
Шуберт (Schubert Н.)
[1949] Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten. S.-B. Heidel-
berger Akad. Wiss. Math.— Natur. KI. 57—104.
Шупп (Schupp P. E.)
[1968] On Dehn’s algorithm and the conjugacy problem. Math. Ann., 178, 119—
130.
[1969] On the substitution problem for free groups. Proc. Amer. Math. Soc.,
23, 421—423.
[1969] A note on recursively enumerable predicates in groups. Fund. Math.,
65, 61—63.
[1970] On the conjugacy problem for certain quotient groups of free products.
Math. Ann., 186, 123—129.
[1970] On Greendlinger’s Lemma. Comm. Pure Appl. Math,, 23, 233—240.
[1971] Small cancellation theory over free products with amalgamation. Math,
Ann., 193, 255—264.
[1973] A survey of small cancellation theory. In: Word Problems, pp. 569—589,
Amsterdam: North-Holl and,
440
Список литературы
[1973] A survey of SQ-universality. In: A Conference on Group Theory (Lecture
Notes in Math., Vol. 319, pp. 183—188). Berlin—Heidelberg—New York:
Springer.
[1974] Some reflections on HNN extensions. In: Proc. Conf. Canberra 1973 (Lec-
ture Notes in Math., Vol. 372, pp. 611—632). Berlin—Heidelberg—New
York: Springer.
[1976] A strengthened Freiheitssatz. Math. Ann., 221, 73—80.
[1976] Embeddings into simple groups. J. London Math. Soc., 13, 90—94.
Шупп см. Аппель, Маккул, Миллер III, Сасердот.
Шур (Schur I.)
[1904] Uber die Darstellungen der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare
Substitutionen. J. Reine Angew. Math., 127, 20—50.
Шютценберже (Schiitzenberger M. P.)
[1959] Sur [’equation a2 + n—b‘i + mci+P dans un groupe libre. C. R. Acad. Sci.
Paris, 248, 2435—2436.
Шютценберже см. Линдон.
Щепин Г. Г.
[1965] К проблеме вхождения для нильпотентного произведения конечно-
определенных групп,—Докл. АН СССР, т. 160, с. 294—297.
[1968] О проблеме вхождения в конечно определенных группах.—Сиб. матем.
ж., т. 9, с. 443—448.
Эдмундс (Edmunds С. С.)
[1975] On the endomophism problem for free groups. Comm. Algebra, 3, 7—20.
[1975] Some properties of quadratic words in free groups. Proc. Amer. Math.
Soc., 50, 20—22.
[1975] Products of commutators as products of squares. Canad. J. Math., 27,
1329—1338.
[1975] A short combinatorial proof of the Vaught conjecture. Canad. Bull. Math.,
18, 607—608.
Эйленберг, Ганеа (Eilenberg S., Ganea T.)
[1957] On the Lusternik—Schnirelmann category of abstract groups. Ann. of
Math., 65, 512—518.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
[1947] Cohomology theory in abstract groups, Ann. of Math.
Экманн см. Бьери.
Эмерсон (Emerson W.)
[1969] Groups defined by permutations of a single word. Proc. Amer. Math. Soc.,
21, 386-390.
Эндрюз, Кертис (Andrews J. J., Curtis M. L.)
[1965] Free groups and handlebodies. Proc. Amer. Math. Soc., 16, 192—195.
[1966] Extended Nielsen operations in free groups. Amer. Math. Monthly, 73,
21—28.
Эншел (Anshel M.)
[1971] The endomorphisms of certain one-relator groups and the generalized
Hopfian problem. Bull. Amer. Math. Soc., 77, 348—350.
[1972, 1973] Non-Hopfian groups with fully invariant kernel, I, II. Trans. Amer.
Math. Soc., 170 , 231—237; J. Algebra, 24, 473—485.
[1976] Conjugate powers in HNN groups. Proc. Amer. Math. Soc., 54, 19—23.
[1976] Decision problems for HNN groups and vector addition systems. Math.
Comput., 30, 154—156.
Эншел, Пренер (Anshel M., Prener R.)
[В печати] On free products of finite abelian groups.
Эншел, Стиб (Anshel M., Stebe P.)
[1974] The solvability of the conjugacy problem for certain HNN groups. Bull.
Amer. Math. Soc., 80, 266—270.
[1976] Conjugate powers in free products with amalgamation. Houston J. Math.,
2, 139-147.
Список литературы
441
Эпштейн (Epstein D. В. А.)
[1961] Finite presentations of groups and 3-manifolds. Quart. J. Math., 12,
205—212.
[1962] Ends, topology of 3-manifolds and related topics. In: Proc. Univ. Of
Georgia Inst., 1961, pp. 110—117. Englewood Cliffs, Prentice-Hall ПО-
НУ.
[1968] A group with zero homology. Proc. Cambridge Philos. Soc., 64, 99—601,
addendum ib. 1237.
Эпштейн см. Цишанг.
Эрбран см. Шевалле.
Эрдеи (Erdelyi М.)
[1955] Systems of equations over non-commutative groups. Acta Univ. Debrecen,
2, 145—149.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Гольберг А. И.
[1978*] О невозможности усиления некоторых результатов Гриндлингера
и Линдона, Усп. мат., наук, 33, Ns 6, с. 201—202.
Каргополов М. И., Мерзляков Ю. И.
[1977*] Основы теории групп.— М.: Наука.
Кокрофт (Cockroft W. Н.)
[1954*] On two-dimensional aspherical complexes. Proc. London Math. Soc.
34 , 375—384.
Маклахлан (Maclachlan C.)
[1971*] Maximal normal Fuchsian groups. Illinois J. Math., 15, 104—113.
Медных А. Д.
[1978*] Определение числа неэквивалентных накрытий над компактной рима-
новой поверхностью.— Докл. АН СССР, т. 238, Ns 2, с. 269—271.
[1979*] О неразветвленных накрытиях компактных римановых поверхностей.—
Докл. АН СССР, т. 244, Ns 3, с. 529—532.
Мерзляков Ю. И.
[1978*] Линейные группы.— В сб. Алгебра. Топология. Геометрия. 1978 (Итоги
науки. ВИНИТИ АН СССР). М.:, с. 35—89.
Носков Г. А.
[1975*] Автоморфизмы группы GLn(o) при dim Мах(о)<п—2.— Мат. замет-
ки, т. 17, № 2, с. 285—291.
Романовский Н. С.
[1971*] Образующие и определяющие соотношения полной линейной группы
над локальным кольцом.— Сиб. матем. ж., т. 12, Ns 4.
[1977*] Свободные подгруппы в конечно-определенных группах.— Алгебра и
логика, т. 16, Ns 1, с. 88—97.
Смирнов Д. М.
[1963*] К теории финитно аппроксимируемых групп.— Укр. матем. ж., т. 15,
с. 453—457.
Некоторые обозначения
Х — У = {х£Х', хфУ}, если VsX.
X + У = X U У, если X П У = 0.
| X | — мощность множества X.
N, Z, Q, R, С—множества натуральных, целых, рациональных,
действительных и комплексных чисел.
GL (п, X), SL (n, X), PL (п, X), PSL (n, X)—общая и специальная
линейная группы, проективная и специальная проективная
группы степени п над кольцом X-
1—тривиальная группа, Z (или С)—бесконечная циклическая
группа, Z„ (или С„)—циклическая группа порядка п.
<t/> или Gp<t/>—подгруппа в G, порожденная подмножеством
U или свободная группа с базисом U.
<_Х-, R>, (X; R), <x1( rit ..., гту—несколько вариантов
обозначения представления группы (самой группы) с порож-
дающими х£Х и соотношениями r£R.
H<)G означает, что Н—нормальная подгруппа в G.
G:H\ — индекс подгруппы Н в группе G.
—длина приведенной формы элемента w свободной группы,
й, k] — h~lk~lhk (иногда hkh~1k~1').
Н,Х] — подгруппа, порожденная всеми [Л, k], h£H, k£X.
Ga(U), Na(U)—централизатор и нормализатор подмножества
U в G.
Gp или Stab0(p)—стабилизатор для р под действием группы G.
Aut G— группа автоморфизмов группы G.
G х Н—прямое произведение.
G*H, * {Gz; <£/}, * G,-—свободное произведение.
G*H—свободное произведение с объединенной подгруппой
A = Gfltf.
<G, Н\ А = В, ф>—свободное произведение непересекающихся
групп G, И, в котором объединены изоморфные относительно
Ф подгруппы Льб', В^Н.
<G, t; t~lat = ф(й), а £ А> — HNN-расширение группы G.
Указатель терминов
автоморфизм 40. 175, 268
— собственные 50
— Уайтхеда 54
аксиома ограниченности 283
— нетривиальное™ 283
алгоритм Дэна 330, 338
алгоритмическая проблема 128, 26/
— — разрешимая 128
аппроксимационная вложимость 309
база HNN-расширения 247
базис 11
— енмметризованный 166
биполярная структура 282
блокирующая пара 385
брешь 353
— внешняя, внутренняя 354
буква 13, 322, 366
— проходная 247, 248
вектор 17
вершина 163, 317
— внутренняя 324
— вторичная 368
— граничная 324
— конечная 317
— начальная 317
— первичная 368
— плохая 360
взаимно обратные элементы 13
геодезическая 275
геометрическая размерность 146
гёделевский иомер 297
гипотеза о размерных подгруппах 102
— Пуанкаре 266
глобальные выводы 16
гомоморфизм, существенно пропускающийся
через свободное произведение 266
граница внешняя, внутренняя 338
граничная метка 209
граничный слой 348
грань 164
— геометрическая 176
— обратная 164
граф Бера 235
— инцидентности 89
— коинициальный звездный 54, 92
— локально выпуклый 235
— локально конечный 235
— (1-комплекс) 163
группа
— алгебраически замкнутая 307
— действующая на дереве 239
— клейнова 231
— когерентная 139
— конечно определенная 127
— — порожденная 126
— — представленная 127
— кохопфова 30, 377
— локально свободная 30
неевклидова кристаллографическая 189.
204
полная 259
— проективная 12
— простая 259—261
— рекурсивно представленная 261
— свободная 11
— — бернсайдовская 24
— совершенная 378
— треугольная 132, 198
— Фибоначчи 139
— финитно аппроксимируемая 201, 266
— фуксова 124, 178, 275
— фундаментальная 165
— хопфова 30, 269, 377
— цветная 174
группоид 164
— фундаментальный 165
дерево 165
детерминантный идеал 143
дефицит 133, 134
диаграмма 208, 318
— Кэли 174
— приведенная 323
— — сферическая 217
— простая 209
— сильно приведенная 226
— смежных классов 227
— сопряженности 340
— сферическая 209, 217
— — тривиальная 217
диофантово множество 295
длина 13, 107, 244, 254, 366
— границы 351
— пути 163
зависимость между соотношениями 218
каноническая форма матрицы 131
карта 317
— дуальная 328
— кольцевая 338
— получающаяся из некоторой другой удаг
лением граничного слоя и брешей 353
квадратичное множество 89
квазикоммутативность 250
когомологическая размерность 145
комплекс
— двумерный 164
— дуальный 189
=» Кэли 174
— — асферический 217
— — видоизмененный 189
— одномерный 163
— планарный 176, 188
— строго планарный 184
— фуксов 188
конец ребра 163
контур клетки 164
корень 153, 177, 295
коэффициент 77
кривизна 194
кусок 322, 367, 381, 38»
444
Указатель терминов
левая половина 19
лемма Бриттона 249
— Грнндлингера 335
— Коллинза 254
линейные рассуждения 16
локальные предположения 16
малое сокращение 316, 322
— — для минимальных последовательностей
362
матрица соотношений 131
мера 197
— угловая 194
— — инвариантная 195
метка 318
метод подъема Хигмана 298
минимальная R-последовательность 323
минимальное множество 92
многообразие групп 155
многочлен Александера 143
множество двумерных клеток 164
— значений параметрического слова 97
— определяющих порождающих 126
— определяющих соотношений 126
множители свободного произведения 241,
247
модуль соотношений 220
мост 344
накрывающее пространство 162
накрытие (неразветвленное) 167
начало пути 163
— ребра 163
неизвестные 77
нильсеновское преобразование 17
— — регулярное 17
— — — связанное с системой W 88
— — связанное с системой W 91
— — сингулярное 17
— — — связанное с системой W 88
— — элементарное 17
нормальная форма 107, 242, 249, 366, 381,
388
и уль-множество 82
область 317
— граничная 324
— — внешняя, внутренняя 354
определяющее соотношение 126
остов 164
остров 344
отражение 189, 205
пара, связывающая границы 353
перенос 361
переписывающий процесс 148
петля 163
плохая пара 360
площадь подкомплекса 194
подгруппа антннормальная 277
— декартова 31
— Магнуса 277
— объединенная 247, 249
— размерная 102
— — модулярная 104
— — лиева 103
— разрешимая 275
— Удобная 298
полуприведенная форма 366, 381
полусегмент 368
пополняющее отображение 143
пополняющий идеал 143
порождающие 13
последовательная часть карты 332
представление 126
— бесконечное рекурсивное 309
— Бахмута 51
— видоизмененное 189
— Дэиа 358
— квазисвободное 137
— конечное 127
— конечно порожденное 126
— минимальное 133
— подстановками 227
— почти квазисвободное 137
— рекурсивное 127
— сбалансированное 133
— ступенчатое 148, 212
преобразование Пайфера первого рода 217
— — второго рода 218
— Тице 129
приведение 217
приведенная зависимость 218
— последовательность 242, 249, 256
— форма 366
приведенное произведение 16, 107, 388
— равенство 16
проблема вхождения 151
— изоморфизма 128
— подстановки 98
— порождения 265
— равенства слов 22, 128
— — обобщенная 151
— — расширенная 151
— сопряженности 22, 128
проекция 241
— стандартная 360
— элементарная 359
произведение групп 374
— с малым сокращением 374
— свободное 28, 241, 249
— — с объединенной подгруппой 247
производная Фокса 105
производное соотношение 363
---соответствующее верхнему пересече-
нию 363
— — соответствующее нижнему пересече-
нию 363
путь 163, 317
— граничный 164, 209
— замкнутый 318
— обратный 163
— приведенный 163, 318
— простой 164, 318
— циклический 163
размечающая функция 174
разрезание 210
ранг 132
— внутренний 81
расстояние 181, 235
ребро 163, 317
— внутреннее 324
— граничное 324
— неориентированное 163
— обратное 163, 317
— противоположно ориентированное 163
рекурсивно перечислимое множество 127,
296
рекурсивное множество 127, 296
ретракт 12
ретракция 12
свободный миожитель 28
свойство
— марковское 262
— несовместимое со свободным произведе-
нием 264
— Хаусона 36
связанные подгруппы 247, 248
связка 172
связное множество 89
сДвиг индексов 280
Указатель терминов
445
сегмент 368
симметризованное подмножество 321, 322,
366, 381, 388
сингулярная сфера 209
сингулярный круг 209
— подкомплекс 208
система уравнений 77
— — без коэффициентов 77
складка 225
склеивание 210
слабо приведенное множество 22
слабо циклически приведенная последова-
тельность 244
следствие 126
слияние 107, 244, 366
слово 13, 322
— параметрическое 97
— приведенное 14, 254, 322
— — циклическое 53
— пустое 13
— циклически приведенное 322, 381
— — /^-приведенное 336, 372
— циклическое 53
слог 244
собирательный процесс 96
собственная степень 153
совместимое с группой множество уравне-
ний... 307
совместное множество уравнений... 312
сокращение 16, 107, 244, 366, 388
соотношения 126
способ Тодда — Кокстера 228
средний отрезок слова 20
стабилизатор 69
степень вершины 324
строго квадратичное множество 89
ступенчатая форма 135
сферичность 140
таблица умножения 146
тезис Чёрча — Тьюринга 295
теорема Грушко — Неймана 100, 123, 246
— Зайферта — ван Кампена 170, 210
— Карраса — Солитэра 122
— комбинирования Клейна 231
— Куроша о подгруппах 100, 170, 246
— Нильсена — Шрайера 20, 33, 169
— о вложении 257
— — кручении 374
— — — в группах с одним определяющим
соотношением 273
— — — в свободных произведениях 273
— — — в свободных произведениях с объ-
единенной подгруппой 257
— — — в HNN-расширеннях 254
— — нормальной форме для свободных
произведений 243
— — __ _ _ — с объединенной под-
группой 256
— — — — — HNN-расширений 251
— — площади 348
— — свободе 149, 211, 271, 393
— — слое 352
— — сопряженности для свободных про*
нзведеннй с объединенной подгруппой 257
— орфографическая 279
— Райдемайстера — Шрайера 147
— структурная для подходящих кольцевых
диаграмм 340
е- Уайтхеда 52а 55, 59
— характеризационная Столлингса 286
— Хигмана о вложении 292, 293
— X. Нейман о подгруппах 122, 288
теория сокращений геометрическая 17
— — линейная 16
тождественное соотношение 155
тождество для соотношений 145
тривиальная зависимость 218
тривиальное тождество 155
узел 225
уравнение в свободной группе 96
— над группой 77
условие С(Л), С'(А), Г(Л) 322, 323, 381, 388
условие максимальности 182
условие J 372
финитная аппроксимируемость относитель-
но сопряженности 48
формула кривизны 329
формула Римаиа — Гурвица 31, 33, 197
Шрайера 33
фундаментальный идеал 101
функция длины 98
— расстояния 235
— роста 141
характеристика Эйлера — Пуанкаре 140
центр 154
цикл 163, 318
— внешний, внутренний 338, 339
— граничный 209, 318
— циклически приведенный 164
циклически приведенная последователь-
ность 257
шар 181
шрайеровская трансверсаль 33
эквивалентные слова 13
экстремальный круг 331
элемент
— неприводимый 285
— нечетный 205
— примитивный 153
— слабо циклически приведенный 366, 381
— циклически приведенный 244, 254, 366
— четный 205
элементарная теория 79
элементарное преобразование 13
элементарные части проекция 361
элементарный язык 79
F-rpynna 178, 204
HNN-расширенне 247, 248
I А-автоморфизм 46
/-остаточное слово 333
/V-приведенное множество 18
N-прнведенный вектор 18
NEC-группа 204
[р, б]-карта, (р, й)-карта 326
/^-группа 96
/^-диаграмма 322
/^-приведенное слово
SQ-универсальная группа 157, 377
/-редукция 253
1/6-группа, 1/8-группа 323
1-эквивалентность 164
2-эквивалентность 165
Оглавление
От редакторов перевода................................................ 5
Предисловие ......................................................... 7
Глава I. Свободные группы и их подгруппы........................... 11
1. Введение ................................................. 11
2. Метод Нильсена............................................. 16
3. Подгруппы свободных групп.................................. 29
4. Автоморфизмы свободных групп............................... 40
5. Стабилизаторы в Aut (F).................................... 69
6. Уравнения над группами...................................... 77
7. Квадратичные множества слов................................. 89
8. Уравнения в свободных группах............................... 96
9. Абстрактные функции длины................................... 98
10. Представления свободных групп; исчисление Фокса............ 101
11. Свободные произведения с объединенной подгруппой........... 105
Глава II. Порождающие и соотношения . .................... 126
1. Введение............................................ 126
2. Конечные представления ...................................... 129
3. Исчисление Фокса, матрицы соотношений, связи с когомологиями 142
4. Метод Райдемайстера — Шрайера....................... 147
б. Группы с одним определяющим соотношением............ 148
6. Подход Магнуса к группам с одним определяющим соотношением. 158
Глава III. Геометрические методы....................................... 162
1. Введение .................................................. 162
2. Комплексы ................................................. 163
3. Накрывающие отображения.................................... 167
4. Комплексы Кэли............................................. 174
5. Планарные комплексы Кэли .................................. 176
6. F-группы. Продолжение...................................... 183
7. Фуксовы комплексы.......................................... 188
8. Планарные группы с отражениями............................. 204
9. Сингулярные подкомплексы................................... 208
10. Сферические диаграммы-..................................... 217
11. Асферические группы........................................ 223
12. Диаграммы смежных классов и представления подстановками . . 227
13. Графы Бера................................................. 233
Оглавление 447
Глава IV. Свободные произведения и HNN-расширения................ 241
1 Свободные произведения..................................... 241
2. Расширения Хигмана — Нейман — Неймана и свободные произве-
ведения с объединенной подгруппой . .......................... 246
3. Некоторые теоремы о вложении.............................. 257
4. Некоторые алгоритмические проблемы........................ 262
5. Группы с одним определяющим соотношением.................. 270
6. Биполярные структуры...................................... 282
7. Теорема Хигмана о вложении................................ 292
8. Алгебраически замкнутые группы . ,........................ 307
Глава V. Теория малых сокращений.............................. . 316
1. Диаграммы................................................ 316
2. Предположения о малом сокращении , ...................... 322
3. Основные формулы......................................... 325
4. Алгоритм Дэна и лемма Гриндлингера....................... 330
5. Проблема сопряженности.............................. 338
6. Проблема равенства слов . *.............................. 347
7, Проблема сопряженности.............................. 351
8. Приложения к группам узлов............................... 357
9. Теория малых сокращений над свободными произведениями . . . 366
10. Произведения с малым сокращением......................... 374
11, Теория малых сокращений над свободными произведениями с объ-
единенной подгруппой и HNN-расширениями....................... 380
Список литературы.............................................. 394
Некоторые обозначения ...................................... 442
Указатель терминов ......................................... 443
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-НО, ГСП, 1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».
Р. Линдон, П. Шупп
КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
Научный редактор Г. М. Цукерман
Мл. науч, редактор Ю. С. Андреева
Художник В. А. Чернецов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Л. П. Бирюкова
Корректор Е. Г. Литвак
ИБ № 1813
Сдано в набор 04.12.79. Подписано к печати 18.04.80.
Формат 60X90Vte- Бумага типографская № 2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем
14 бум. л. Усл. печ. л. 28. Уч.-изд- л. 29,19. Изд.
№ 1/0179. Тираж 7700 экз. Зак. № 653. Цена 2 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 голов-
ном предприятии ордена Трудового Красного Зна-
мени Ленинградского объединения «Техническая
книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский про-
спект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции
н ордена Трудового Красного Знамени Первой
Образцовой типографии имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам* издательств, полиграфии и книж-
ной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28