/
Автор: Лаллеман Ж.
Теги: анализ алгебра математика дискретная математика естественные науки издательство мир алгебраическая теория полугрупп
Год: 1985
Текст
I.
и
Перевод с английского
И. О. Корякова
под редакцией
Л. Н. Шеврина
Москва «Мир» 1985
Pure & Applied Mathematics
A Wlley-lnterscience Series of
Texts, Monographs & Tracts
SEMIGROUPS AND
COMBINATORIAL
APPLICATIONS
Gerard Lallement
Pennsylvania State University
A Wlley-lntersclence Publication
John Wiley & Sons, New Vork-Chichester-Brisbane. Toronto
ББК 22.144 +22.174
Л 20
УДК 517.1 + 517.8
Лаллеман Ж.
Л 20 Полугруппы и комбинаторные приложения: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1985. — 440 с, ил.
Книга известного американского математика, посвященная основам алгебраи*
ческой теорнн полугрупп н приложениям к задачам дискретной математики —
теории автоматов, формальных языков н кодов. Она является первой в мировой
литературе монографией такого характера и содержит многие существенные ре-
результаты нз дайной области. Независимость и доступность изложения, много-
многочисленные примеры и упражнения позволяют книге служить основой для спец-
спецкурсов н спецсеминаров, пособием для студентов.
Книга будет полезна широкому кругу читателей: специалистам по алгебре,
дискретной математике, математической лингвистике, теоретической кибернетике,
информатике.
1702070000-460 ББК 22.16
Л 041@1)—85 il-bi}>4-1 517.1 + 517.8
Редакция литературы по математическим наукам
© 1979 by John Wiley & Sons, Inc. All Rights
Reserved. Authorized translation from English
language edition published bv John Wiley &
Sons, Inc.
© перевод на русский язык, «Мир», 1985
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Тот простейший факт, что бинарная операция соединения
цепочек символов — равно как и операция последовательного
выполнения преобразований произвольной системы — ассоциа-
ассоциативна, служит одним из главнейших источников появления
полугрупп в многочисленных ситуациях и предопределяет воз-
возможность разнообразных теоретико-полугрупповых приложений.
В числе таковых — приложения, которые названы в предлагае-
предлагаемой книге комбинаторными. Термин комбинаторные указывает,
здесь на различные области, проблематика которых так или
иначе связана с рассмотрением структуры слов. Если говорить
несколько более конкретно, то речь идет в первую очередь о
некоторых алгебраических аспектах теорий автоматов, фор-
формальных языков и кодов. Эти аспекты начали систематически
разрабатываться с середины 50-х годов (упомянем пионерские
работы С. К. Клини, М. О. Рабина и Д. Скотта, В. М. Глуш-
кова, Н. Хомского, М. П. Шютценберже), будучи стимулируемы
в определяющей степени задачами прикладной направленности,
такими, например, как построение теоретических основ для раз-
разработки языков программирования.
Хотя исследования в указанных аспектах для каждой тео-
теории развиваются в значительной мере самостоятельно, между
ними существуют органичные связи. Одна из причин, объяс-
объясняющая наличие подобных связей и заключающая в себе пред-
предпосылки для унификации, состоит как раз в том, что многие
феномены упомянутых теорий имеют в сущности полугруппо-
полугрупповую природу. Подчас она выявляется сразу — на уровне исход-
исходных определений: так, например, (формальный) язык — это
попросту произвольное подмножество свободного моноида, код
(в терминологии, используемой в данной книге) — это любое
подмножество свободного моноида, которое порождает свобод-
свободный подмоноид и является в нем свободным базисом. Уже та-
такой уровень доставляет естественную платформу для внедрения
полугруппового подхода в соответствующие теории. Но это
внедрение становится намного более глубоким и более плодо-
плодотворным за счет появления важнейших «производных» полу-
полугрупп рассматриваемых объектов (моноид переходов автомата,
синтаксический моноид языка и т. п.) и связанного с этим
использования необходимых атрибутов — понятий, методов-, ре-
результатов — алгебраической теории полугрупп (отношения Гри-
Грина и группа Шютценберже 5)-класса, вполне простые полу-
полугруппы и теорема Риса — Сушкевича, сплетения и теорема
Крона — Роудза о декомпозиции конечных моноидов и многое
в Предисловие редактора перевода
другое). Теория полугрупп, следовательно, дает не только
язык для описания тех или иных феноменов обсуждаемой об-
области, но н метод для их изучения.
Полугрупповой подход к упомянутым теориям стал осуще-
осуществляться, в большей или меньшей степени, фактически с самых
первых относящихся сюда исследований. Отметим, что приме-
применительно к теории автоматов его постоянно пропагандировал
В. М. Глушков, и в созданной им школе выполнено немало важ-
важных работ в этом направлении. Благодаря многолетней инициа-
инициативе М. П. Шютценберже такой подход применительно к теории
языков и кодов привел к значительным достижениям в работах
созданной им школы. За прошедшие годы в этих направлениях
накоплено много фактов, содержащихся в нескольких сотнях
публикаций, разбросанных по разным журналам, сборникам,
препринтам и т. п. Некоторые из них уже находили отражение
в монографической литературе. Включение полугрупп в иссле-
исследовательский обиход по вопросам, относящимся к обсуждаемой
тематике, в соответствующих книгах1) осуществлялось с разной
степенью насыщенности и последовательности: от сообщения
определений и некоторых элементарных сведений-ориентиров
до целых разделов или даже использования полугрупп в каче-
качестве одной из сквозных нитей.
Однако до появления монографии Лаллемана не было книг,
где теоретико-полугрупповая методология применительно к ком-
комбинаторным областям демонстрировалась бы в столь последо-
последовательном и основательном виде. Представляемый сейчас совет-
советскому читателю труд заполнил ощутимый пробел в литературе,
чем прежде всего и определяется его значение.
Автор монографии является воспитанником упомянутой
выше известной французской алгебраической школы, руководи-
руководимой М. П. Шютценберже; уже более пятнадцати лет он живет
в США, работая профессором Пенсильванского университета.
Профессор Ж- Лаллеман — один из ведущих в мире специали-
стов-полугрупповиков; он известен своими работами и собствен-
собственно по алгебраической теории полугрупп, и по вопросам, относя-
относящимся к тематике написанной им книги.
Как уже ясно из сказанного выше, основная концепция книги
Лаллемана — полугруппы, выступающие как инструмент для
описания, классификации и решения широкого круга проблем
комбинаторного характера. Перед автором стояла заведомо
нелегкая задача систематизации большого массива предше-
') На русском языке см., например, Арбиб (ред.) Г1968], Бауэр, Гооз
[1973/74*], Биркгоф, Барти [1970*], В. М. Глушков, А. А. Летичевский,
А. Б. Годлевский [1983*1, В. М. Глушков, Г. Е. Цейтлин, Е Л. Ющенко
[1978*1, Гросс, Лантен [1967], Калман, Фалб, Арбиб [1969*], Ал. А. Марков
[1982*]; из зарубежный книг, ив переведенных на русский язык, в первую оче-
очередь стоит отметить двухтомную мбнографию Мленберга [1974, 1976].
Предисловие редактора перевода 7
ствующих исследований, и выполнена она весьма удачно как с
точки зрения отбора материала, так и с точки зрения его орга-
организации и изложения. В книгу включено немало существенных
результатов о языках и кодах, не отражавшихся ранее в моно-
монографической литературе, в том числе, полученных в недавние
годы; понятно, что содержание монографии в большой степени
несет на себе отпечаток школы, из которой вышел автор1). До-
Доказательства многих помещенных в книге результатов модифи-
модифицированы Лаллеманом (иногда довольно значительно) и отли-
отличаются от оригинальных большей простотой, общностью или
другими усовершенствованиями.
Построение книги в общих чертах таково. Основные объекты
рассматриваемых приложений — автоматы, языки, коды — изу-
изучаются в гл. 6—9 и части гл. 5; это центральный раздел книги,
занимающий около половины ее объема. Последующие главы
10 и 11, стоящие несколько особняком и не связанные между
собой, посвящены интересным вопросам, охватываемым темой
книги в ее широком понимании. В одиннадцатой главе рассма-
рассматриваются комбинаторные в собственном смысле приложения,
группирующиеся вокруг так называемой Главной теоремы
Мак-Магона. Здесь вскрывается опять-таки полугрупповая при-
природа этой старой теоремы комбинаторики, обобщаемой затем
с помощью удобного для подобных комбинаторных приложений
понятия факторизации свободного моноида. Что касается деся-
десятой главы, то ее содержание — вместе с частью содержания
гл. 5 — точнее было бы отнести не к комбинаторным приложе-
приложениям полугрупп, а собственно к комбинаторной теории полу-
полугрупп. Это направление в теории полугрупп, исследования в ко-
котором начались, по существу, в 30—40-х годах (работы
А. И. Мальцева, А. А. Маркова, Э. Поста), самым тесным обра-
образом связано с алгоритмическими проблемами и проблематикой
условий конечности, а в последнее время обогащается содержа-
содержательными связями с теорией многообразий. Глава 10 представ-
представляет— впервые в монографической литературе — небольшой, но
важный фрагмент данного направления, посвященный главным
образом проблемам бернсайдовского типа, как для абстрактных,
так и для линейных полугрупп2). Наконец, материал гл. 1—4
') Могу обратить внимание заинтересованного читателя на довольно де-
детальную рецензию на книгу Лаллемана, содержащую небезынтересные ком-
комментарии, касающиеся истоков основной ее проблематики: J. F. Perrot, Semi-
Semigroup Forum, v. 24, № 4 A982), p. 385—390.
2) Некоторые другие вопросы комбинаторной теории полугрупп уже рас-
рассматривались ранее в монографической литературе: см., например, А. А. Мар-
Марков [1954, гл. 6], Е. С. Ляпин [I960, гл. 9 и 101, Клиффорд, Престон [1961,
§ 1.10 и 1.121, [1967, гл. 9 и 12], Редей [1965*], С. И. Адян [19661, Ю. И. Хме-
левский [1971], Лантен [1972]; из недавних книг см. Ал. А. Марков [1982*,
гл. 1, § 5], Лотэр [1983°] (последнее имя — коллективный псевдоним группы из
11 авторов). Однако можно сказать, что книга, достаточно полно и последова-
последовательно освещающая это направление, еще ждет своего создания.
8 Предисловие редактора перевода
представляет собой отличное введение в некоторые фундамен-
фундаментальные разделы теории полугрупп, причем с определенным
(достигающим кульминации в четвертой главе) акцентом в сто-
сторону конечных полугрупп, что естественно объясняется направ-
направленностью книги. Этот материал, на котором базируется даль-
дальнейшее изложение, помимо служебной роли внутри данной мо-
монографии имеет и самостоятельную ценность, особенно если
учесть, что, во-первых, ранее выходившие на русском языке
книги по теории полугрупп давно разошлись, а во-вторых, и в
указанных главах имеются новшества как в содержательном, так
и в методическом плане.
Монография Лаллемана, отличаясь в целом глубокой теоре-
теоретической проработкой исследуемых вопросов, демонстрирует ряд
впечатляющих примеров консолидации различных теоретико-
полугрупповых результатов и методов. Используемый в ней ма-
математический аппарат включает также разнообразные средства
из других разделов математики: необходимый арсенал теории
алгоритмов, различные теоретико-групповые атрибуты, фор-
формальные степенные ряды, цепи Маркова и другие теоретико-
вероятностные мотивы, сведения из теории алгебр Ли и др.; это,
несомненно, повышает математический интерес книги.
Дополнительную ценность книге придает то, что автор пре-
предусматривает использование ее в качестве учебного пособия и
она может служить основой для спецкурсов и спецсеминаров.
С этой целью в книгу включены иллюстрирующие примеры и
некоторые алгоритмы, часть материала вынесена в упражнения
(иногда с указаниями для решения). Впрочем, упражнения,
как это нередко бывает в учебно-монографических книгах,
играют двоякую роль, выполняя отчасти и справочную функцию:
в некоторых из них формулируются дополнительные полезные
факты, которые не вошли в основной текст и, кстати, на часть
которых в самом тексте имеются неоднократные ссылки. Что
касается «тренировочных» функций, то их с успехом могут
также выполнить местами опущенные или лишь намеченные
автором выкладки в доказательствах, проведение каковых
оставляется читателю; последовательное выполнение читателем
такой работы будет несомненно способствовать овладению
предметом. Кое-где в тексте отмечаются открытые проблемы,
что может стимулировать дальнейшие изыскания в соответ-
соответствующих направлениях.
Таким образом, монография Лаллемана .обладает целым
рядом достоинств и представляет многоплановый интерес.
Можно надеяться, что она будет интересна широкому кругу
читателей: специалистам по алгебре, дискретной математике,
теоретической кибернетике, математическому обеспечению ЭВМ,
математической лингвистике и др. В частности, многие алге-
алгебраисты, вероятно, впервые ознакомятся по данной книге с
Предисловие редактора перевода 9
представленными в ней аспектами своей науки, имеющими при-
прикладную ориентацию; специалистам в прикладных областях по-
полезно будет познакомиться с некоторыми алгебраическими
основами той научной дисциплины, название которой наиболее
адекватно передается терминами computer science и инфор-
информатика.
Автор проявил большой интерес к выходу своего труда в
СССР. Он прислал несколько списков исправлений, изменений
и добавлений, с готовностью откликался на различные просьбы
и вопросы, возникавшие в процессе нашей работы над перево-
переводом. Можно сказать, что эта работа проходила в тесном сотруд-
сотрудничестве с автором, за что мы с переводчиком весьма ему
признательны. При переводе, помимо указанных автором, были
сделаны и другие исправления и модификации; в частности,
в нескольких местах переводчик тем или иным образом моди-
модифицировал доказательства. Все эти изменения согласованы с
автором, одобрены им и в переводе почти нигде не оговари-
оговариваются. Автор пополнил библиографию работами, упоминае-
упоминаемыми в добавлениях, включенных в основной текст книги.
Кроме того, некоторые дополнения к библиографии сделаны ре-
редактором перевода; соответствующие работы упоминаются в
примечаниях: это в основном учебники и монографии на русском
языке, перекликающиеся с материалом книги, а также примеча-
примечательные в каком-либо отношении (большей частью недавние)
статьи, относящиеся к затрагиваемым в книге вопросам.
Область, которой посвящена настоящая книга, развивается
весьма динамично и довольно быстро обогащается новыми ре-
результатами и подходами. Только за пять лет, прошедших после
выхода оригинального издания, по тематике, отраженной в
книге, опубликовано более сотни работ, не считая многочислен-
многочисленных препринтов, и написаны четыре монографии, непосредствен-
непосредственно примыкающие к монографии Лаллемана (см. перечень по-
последних и их краткую характеристику в предисловии автора
к русскому изданию). Актуальность книги Лаллемана на этом
фоне подтверждается, кроме всего прочего, и тем, что число
ссылок на ее оригинальное издание неуклонно растет. Ду-
Думается, что эта книга — благодаря удачному отбору материала,
включающего ряд основополагающих фактов из данной об-
области,— не потеряет своего значения в течение достаточно дол-
долгого времени.
Свердловск, октябрь 1984 Л. Н. Шеерин
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ
ИЗДАНИЮ
В 1963 г., когда я начинал работать над докторской диссер-
диссертацией в Парижском университете и еще изучал основы алге-
алгебраической теории полугрупп, я обнаружил, что советские полу-
полугрупповые школы очень активны и в них ведутся плодотворные
исследования, Я почувствовал тогда, что возможность читать
публикации советских авторов, не ожидая перевода, была бы
немалым преимуществом, и решил научиться читать по-русски,
по крайней мере настолько, чтобы понимать статьи и книги
в интересующих меня областях. Закончив самообучение, я на-
начал— и продолжаю с тех пор — читать оригинальные труды
советских исследователей всякий раз, когда это возможно. Как
следствие, многие из соответствующих статей и книг оказали
значительное влияние на мою собственную работу, и в част-
частности, как заметит читатель, на настоящую книгу. Поэтому
появление русского перевода книги делает мне честь и достав-
доставляет особое удовольствие, и я глубоко обязан профессору
Л. Н. Шеврину, по инициативе которого была начата и под вни-
внимательным руководством которого доведена до успешного завер-
завершения работа над этим переводом.
По поводу содержания книги я отсылаю читателя к своему
предисловию к американскому изданию. Благодаря ряду чита-
читателей этого издания, и в особенности Л. Н. Шеврину и И. О. Ко-
рякову, были устранены многие содержавшиеся в нем ошибки
и неточности. Кроме того, отдельные места в русском издании
модернизированы добавлением новых результатов и библиогра-
библиографических ссылок. Однако, учитывая, что главная цель книги —
познакомить читателей с основами алгебраической теории полу-
полугрупп и ее избранными приложениями к формальным языкам и
комбинаторике, я не ощутил необходимости отразить все достиг-
достигнутые после 1979 г. продвижения в представленных здесь на-
направлениях, тем более что недавно появилось несколько книг,
всесторонне исчерпывающих темы, затронутые настоящей кни-
книгой. Мне хотелось бы упомянуть прежде всего следующие:
— «Комбинаторика на словах» Лотэра [1983°], где собраны
воедино разрозненные результаты и методы, связанные с ком-
комбинаторными свойствами слов. Многие из них излагаются и ис-
используются здесь, в гл. 5—11.
— «Рациональные ряды и определяемые ими языки» Бер-
стеля и Ройтенауэра [1984°], которая содержит систематическое
изложение теории рациональных языков с точки зрения фор-
формальных степенных рядов над полукольцами (см. гл. 9, § 4 на-
настоящей книги).
Предисловие к русскому изданию 11
— «Многообразия формальных языков» Пэна [1984°], кото-
которая представляет собой весьма полное изложение недавних
исследований, группирующихся вокруг теоремы Эйленберга о
псевдомногообразиях (см. гл. 6, § 5, и гл. 7 настоящей книги).
— «Теория кодов» Берстеля, Перрена и Шютценберже
[1985°], охватывающая практически все известные на сегодня
результаты о кодах (см. гл. 8 настоящей книги).
Мне хочется выразить свою искреннюю признательность мно-
многим читателям американского издания, обратившим мое вни-
внимание на ошибки, опечатки и неточности в этом издании. Заме-
Замечания, высказанные К. Ройтенауэром, И. Кобаяси, П. Хиггин-
сом и, конечно, И. О. Коряковым и Л. Н. Шевриным, были
особенно полезны и помогли сделать русский перевод книги
определенно более совершенным по сравнению с оригиналом.
Приняв в свое время участие в переводе на французский язык
книги «Лекции по общей алгебре» А. Г. Куроша, я в состоянии
в полной мере оценить количество труда, которого требует по-
подобное предприятие. Из интенсивной переписки и обсуждений,
продолжавшихся в течение всего периода работы над подготов-
подготовкой русского издания настоящей книги, вполне очевидно, что
И. О. Коряков и Л. Н. Шеврин выполнили перевод и соответ-
соответственно редактирование превосходным образом. Я чрезвычайно
благодарен им за этот труд, который, как мне представляется,
вносит весьма ценный вклад в международное научное сотруд-
сотрудничество.
Юниверсити-Парк, Пенсильвания Жерар Лаллеман
Июль 1984
ПРЕДИСЛОВИЕ
Цель этой книги — изложить те разделы теории полугрупп,
которые непосредственно связаны с теорией автоматов, алге-
алгебраической лингвистикой и комбинаторикой. Последние 20 лет
все большее число публикаций по указанным математическим
дисциплинам содержало результаты и методы, свойственные
алгебраической теории полугрупп. Это привело к значительному
обогащению и расширению границ самой теории, содействовало
ее становлению в качестве важной области алгебры. В то же
время это проявило способность теории полугрупп обеспечить
удобный общий фундамент для унификации и прояснения це-
целого ряда проблем в таких областях, которые на первый взгляд
казались никак не связанными друг с другом.
Настоящая книга задумана как учебное пособие для студен-
студентов-старшекурсников и аспирантов, специализирующихся в ма-
математике и вычислительной науке1), а также как справочное
пособие для исследователей, интересы которых связаны с ассо-
ассоциативными структурами. Для чтения первой ее половины
(гл. 1—4) достаточно знакомства с начальными сведениями из
элементарной алгебры (определения группы, кольца, поля, ре-
решетки и т. п.). Во второй половине книги, где анализируются
взаимосвязи между полугруппами, автоматами, языками и ком-
комбинаторикой, нередко приходится привлекать и другие разделы
математики (например, логику, теорию вероятностей). В подоб-
подобных случаях, побуждаемые желанием удержать изложение в
разумных пределах, мы даем соответствующие определения или
приводим в надлежащей форме нужные нам результаты, отсы-
отсылая читателя за дальнейшими деталями к подходящей литера-
ре. В конце каждой главы помещены дополнительные литера-
литературные ссылки и исторические комментарии, а также ряд упраж-
упражнений с указаниями для решения.
Главы 1—4 вместе с разделами гл. 5, посвященными свобод-
свободным полугруппам и моноидам, содержат фундаментальные
понятия и результаты алгебраической теории полугрупп (отно-
(отношения Грина, теорему Сушкевича — Риса, основную теорему
') В оригинале — computer science; с конца 60-х годов в большинстве ев-
европейских языков, исключая английский, в этом же смысле употребляется
термин «информатика»; см. Бауэр, Гооз [1973/74*], с. 5, 7 и особенно 437
(здесь и во всех аналогичных ситуациях ссылки иа страницы даются по рус-
русскому переводу, если таковой имеется). См. также соответствующие термино-
терминологические комментарии в начале статьи Кнута «Алгоритмы в современной
математике и вычислительной науке», сб. под ред. А. П. Ершова и Кнута
[1982*]. — Прим. пврвв. и ред.
Предисловие 13
декомпозиции для полугрупп преобразований). В гл. 5 помимо
свободных полугрупп, языков и кодов кратко обсуждаются
алгоритмы и понятие разрешимости, поскольку это постоянно
возникающие в приложениях темы. В гл. 6 мы излагаем эле-
элементы теории автоматов, включая теорему Клини и недавнюю
теорему Эйленберга о псевдомногообразиях. Основное внима-
внимание в этой главе уделяется моноидам преобразований и син-
синтаксическим моноидам распознаваемых языков. Предмет об-
обсуждения в гл. 7 — операция порождения подмоноидов языками
(итерация) и ее влияние на синтаксические моноиды. Здесь, в
частности, показывается, что более глубокие результаты о язы-
языках, выразимых с использованием итерации, решающим обра-
образом зависят от исследования языков, порождаемых префикс-
префиксными кодами. Такое исследование служит целью гл. 8, где
излагаются основные результаты из этой области, тесно свя-
связанной с группами подстановок и комбинаторикой. Переходя
в гл. 9 к контекстно-свободным языкам (они называются здесь
алгебраическими), мы описываем наиболее простые их свойства,
показываем их связь с алгебраическими степенными рядами от
некоммутирующих переменных и характеризуем положение ра-
рациональных языков в этом большем классе. В последних двух
главах мы рассматриваем дальнейшие связи между полугруп-
полугруппами и комбинаторными вопросами, касающимися соответствен-
соответственно проблемы Бернсайда и Главной теоремы Мак-Магона.
Эта книга не претендует на то, чтобы охватить Bet сущест-
существующие приложения теории полугрупп. Я отобрал ряд вопро-
вопросов, руководствуясь двумя связанными друг с другом сообра-
соображениями. Во-первых, я хотел подчеркнуть генерические, «обще-
«общеродовые», аспекты теории полугрупп, поскольку ее специфиче-
специфические, «видовые», аспекты (т. е. изучение полугрупп per se)
представлены уже в нескольких книгах (например, в двухтом-
двухтомнике Клиффорда и Престона [1961, 1967]')). Во-вторых, я
хотел отчетливо показать, как изучение полугрупп, рассматри-
рассматриваемых в качестве представителей генерической структуры,
вплетается в изучение «более комплексных» ветвей математики,
наподобие теории автоматов, теории формальных языков и ком-
комбинаторики в целом.
Большая часть представленного здесь материала постепенно
возникла из нескольких специальных курсов, которые я читал
студентам второго года специализации на факультетах матема-
математики и вычислительной науки Пенсильванского университета
в 1970—1975 гг., а также из многочисленных бесед с коллегами
и студентами, затевавшихся мною на различных семинарах в
') Из книг, появившихся в 70-х годах и трзктующих те или иные воп-
вопросы алгебраической теории полугрупп, можно также указать монографии
Петрича [1973, 1977*] и Хауи [1976]. — Прим. ред.
14 Предисловие
течение того же периода времени. Критика и советы многих
моих слушателей принесли немало пользы, и всем им я выра-
выражаю свою благодарность.
Ж. Ф. Перро пригласил меня на период 1975/76 академи-
академического года войти в состав группы лекторов для студентов
третьего цикла обучения ') в Университете Пьера и Марии Кюри
(Париж VI). Прочитанный тогда мною курс охватывал широ-
широкий круг вопросов, содержащихся в гл. 2, 3 и 5—9. Это пре-
предоставило мне благоприятнейшие возможности для завершения
окончательного плана данной книги, и я хочу поблагодарить
Ж. Ф. Перро, Ж. Берстеля, Д. Перрена и Ж. Сакаровича за
многие полезные советы и весьма денные обсуждения, прохо-
проходившие в очень дружеской атмосфере.
Мой бывший студент М. Кинан тщательно прочитал всю
рукопись, и я глубоко благодарен ему за постоянную помощь
в улучшении изложения. Я также очень признателен Ж. Ф. Пер-
Перро, Д. Перрену и Ж. Жакобу за их многочисленные замечания
и советы, касающиеся гл. 7, 8 и 10.
Почти 15 лет назад М. П. Шютценберже познакомил меня
е автоматами, языками и комбинаторикой. Эта книга, в кото-
которой я попытался отразить его пионерские исследования и сти-
стимулирующее воздействие его идей, — лишь малая толика моей
признательности и моего личного долга ему.
Юниверсити-Парк, Пенсильвания Жерар Лаллеман
Январь 1979
') Это 5-й и 6-й годы обучении. — Прим. ред.
1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
И ПРИМЕРЫ
Цель этой главы — ввести основные понятия алгебраической
теории полугрупп. Наряду с определениями и простейшими
свойствами мы указываем два наиболее важных источника при-
примеров: полугруппы преобразований на множестве и полугруппы,
заданные образующими и определяющими соотношениями. Ряд
утверждений в этой главе помещен без подробных доказа-
доказательств. Читатель может найти собственные доказательства или
обратиться к подходящей книге по алгебре (см., например, Бур-
баки [1970, гл. I]1)).
1. Полугруппы и моноиды
Определение 1.1. Полугруппой (S, •) называется непустое
множество S вместе с бинарной операцией •, удовлетворяющей
ассоциативному закону: х- (y-z) — {х-у) -z для любых х, у,
геХ. Элемент leS называется единицей, если 1-х = х-1 = х
для любого JteS. Элемент OeS называется нулем, если 0-х =
= х-0 = 0 для любого jceS. Если S имеет единицу или нуль,
то они единственны. Это не обязательно так для правых (или
левых) нулей: элемент 26S есть правый нуль, если x-z = z
для любого х е S. Идемпотентом называется такой элемент
eeS, что е-е = е. Полугруппа S называется коммутативной,
если х-у = у-х для любых х, у eS.
Для обозначения бинарной операции на полугруппе исполь-
используются также и другие символы, такие, как +, *, °. Например,
множество N натуральных чисел является коммутативной полу-
полугруппой как относительно сложения +, так и относительно
умножения •. В теоретических рассуждениях мы вместо х-у
пишем просто ху, за исключением ситуаций, затрагивающих не-
несколько бинарных операций.
Если х\, хч, ..., хп — элементы полугруппы S, то мы опре-
определяем произведение х\Хч... хп индуктивно, как {Х\Хч... хп-\)хп.
Например, х\Х%хгх*, есть {{х\х<г)Хг)х^. Доказательство с помощью
') См. также соответствующие главы -книг, упомянутых в конце этой
главы, — Прим.. ред.
16 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
индукции по п показывает, что все произведения, полученные
какой-либо расстановкой пар скобок в последовательности
*i*2 ... хп, равны уже определенному произведению х\х2 ... хп-
В случае х\ = х2 = ... = х„ = х произведение х\х2 ... хп обо-
обозначается посредством х", причем справедливы обычные правила
возведения в степень, а именно хтхп — хт+п, (хт)п = хтп для
всех т, neN. Если полугруппа 5 коммутативна, то можно по-
показать, что Xix2 ... Хп = *я(о*яB) • • ■ хп{п) для любой переста-
новки л множества {1, 2 п}.
Операцию, заданную на полугруппе S, можно распространить
на подмножества из S следующим образом. Для любых двух
подмножеств А, В из 5 определим А-В как множество всех
произведений а -Ь, где а^А, Ь^В. Это задает структуру полу-
полугруппы на множестве 5я (S) всех подмножеств из 5; обозначения
и соглашения, введенные выше для S, сохраняют силу и для
Определение 1.2. Гомоморфизмом полугруппы (S, •) в полу-
полугруппу (S', *) называется отображение ф множества 5 в мно-
множество S', такое, что ф(х•</)== <р(х)*у(у) для любых х, y^S.
В этом случае используется запись ф: E, ^-^(S', *). Если гомо-
гомоморфизм ф сюръективен, то мы называем его гомоморфизмом S
на S', a S' называем гомоморфным образом полугруппы S. Изо-
Изоморфизмом S на 5' называется гомоморфизм, который одновре-"
менно инъективен и сюръективен. Гомоморфизм 5 в себя назы-
называется эндоморфизмом, а изоморфизм на себя — автомор-
автоморфизмом.
Определение 1.3. Моноид (М, •, 1) — это множество М с та-
такими бинарной операцией и выделенным элементом 1, что
(М, • ) есть полугруппа с единицей 1. Полугруппа (М, •) назы-
называется полугруппой моноида (М, • , II). Гомоморфизмом мо-
моноида (М, •, 1) в моноид (М', *, 1') называется полугрупповой
гомоморфизм ф: (М, -)-*-(М', *), для которого фA)=Г. Тот
же смысл, что и в определении 1.2, имеют термины «гомомор-
«гомоморфизм на», «эндоморфизм» и «автоморфизм».
Для произвольной полугруппы E, •) следующим образом
определим моноид этой полугруппы:
(S, •, 1), если S имеет единицу 1;
(S U A}> *. 1)> где 1 9= •$> х*у — х • у,
х*\ = \*х — х, 1*1 = 1 для всех х,
y^S, если S не имеет единицы.
') Таким образом, переходя от моноида к его полугруппе, мы просто «за-
«забываем» о «выделенное™» единицы. В оригинале использ'уется термин under-
underlying semigroup, но это словосочетание почти не встречается далее в книге,
и мы решили обойтись без него. — Прим. перев. и ред.
1. Полугруппы и моноиды 17
Полугруппа моноида M(S) обозначается обычно через 51.
Поскольку любой моноид обладает нолугрупповой структурой,
ряд понятий, определяемых для полугрупп, определяется тем
самым и для моноидов. Таковы, в частности, понятия подполу-
подполугруппы, подгруппы, идеала.
Определения 1.4. Подполугруппой полугруппы S называется
такое подмножество Т из S, что х\ е Т и х2 е Т влечет за собой
Х\х2 е Т. Это равносильно включению Т2 s Т. Подгруппой полу-
полугруппы 5 называется подполугруппа из S, являющаяся группой.
Подчеркнем, что если S — моноид, то единица подгруппы не
обязана совпадать с единицей 5.
Для произвольного непустого подмножества А полугруппы
S существует наименьшая подполугруппа в S, содержащая А.
Она состоит из всех конечных произведений элементов из Л и
обозначается через <Л> или Л+, если последнее обозначение бо-
более удобно (см. разд. 2.4). В случае, когда А содержит только
один элемент х, мы пишем <л:> и называем эту подполугруппу
циклической. Любое подмножество А из S, для которого (A)-=S,
называется множеством образующих') полугруппы S; такое
множество всегда существует: можно взять, например, A —S.
Множество всех подполугрупп из S частично упорядочено
по включению, и любые две подполугруппы Т\, Т2 имеют наи-
наибольшую нижнюю границу infGb /2) = T^i П ^2 и наименьшую
верхнюю границу sup(rb Т2) = (^ {] Т2}. Таким образом, под-
подполугруппы произвольной полугруппы образуют решетку (см.
Биркгоф [1967]).
Определения 1.5. Правым идеалом полугруппы S называется
непустое подмножество R из S, такое, что ге/? hjceS влечет
за собой rx<=R. Это равносильно включению RS £ R. Анало-
Аналогично, левым идеалом полугруппы 5 называется ее непустое
подмножество L, удовлетворяющее условию SL s L. Двусто-
Двусторонний идеал (называемый просто идеалом, когда невозможна
путаница) — это подмножество /, являющееся одновременно ле-
левым и правым идеалом. Он удовлетворяет условию /5 U S1 = /.
Наименьший правый идеал, содержащий подмножество А из
S, есть ASl=A[jAS, а наименьший идеал, содержащий А,
есть SMS1 = A \J AS[]SA \JSAS. Частично упорядоченное мно-
множество всех идеалов является дистрибутивной решеткой: в ней
inf(/b /2)== ЛП /2, sup(/b h) = h\)h.
Подмоноидом (Р, •, 1) моноида (М, •, 1) называется такое
подмножество Р из М, что Р2 Е Р и 1еР. Таким образом, под-
подполугруппа моноида не обязана быть подмоноидом. В частности,
подгруппа моноида М тогда и^олько тогда является подмонои-
') Или порождающим
18 Г л 1. Элементарные определения и примеры
дом, когда она состоит из элементов, имеющих обратные отно-
относительно 1. Множество всех JteM, допускающих обратные эле-
элементы х', такие, что хх'= х'х = 1, образует группу U обрати-
обратимых элементов моноида М, и подгруппы из М, являющиеся под-
моноидами, совпадают с подгруппами группы U. Аналогично,
правый (левый двусторонний) идеал из М тогда и только тогда
является подмоноидом, когда он совпадает с М.
Замечание 1.6. Некоторые авторы называют сюръективный
гомоморфизм эпиморфизмом. Согласно обычному определению
из теории категорий, эпиморфизмом полугруппы S в полугруппу
S' называется такой гомоморфизм ф, что для любых гомомор-
гомоморфизмов 0i: S'-*-T, G2: S'-+T из 01оф = 92оф следует 0i = 02
(ф называется также сократимым справа). Следующий пример
показывает, что эпиморфизмы в этом смысле не обязательно
сюръективны. Пусть ф — естественное вложение полугруппы
(N, •) в (Q+, •). гДе Q+ обозначает множество всех положи-
положительных рациональных чисел. Очевидно, гомоморфизм ф не
сюръективен. Тем не менее если 0i (ф (л))= 02 (ф (п)) для всех
fteN, то 0,A)==01(фA)) = 02(фA)) = 02A). Поэтому и
0i: Q+-+-T, и 02: Q+-+T отображают группу (Q+, •) в подгруппу
G из Т с единицей Gi A) = 62 A). Отсюда следует, что в группе
О мы имеем 0, (p/q) = в,(р) @!(?))-• =02(/>) (F2(?))-> =
= 02(р/<7) Для всех p/?sQ+, т. е. 0i = 02. Таким образом, ф
сократим справа, но не сюръективен.
Аналогично определяется мономорфизм, как гомоморфизм,
сократимый слева. Упражнение 1.7 показывает, что мономор-
мономорфизмы совпадают с инъективными гомоморфизмами.
2. Примеры: полугруппы
преобразований, свободные
полугруппы
Мы рассмотрим здесь ряд фундаментальных примеров полу-
полугрупп. Некоторые из них будут часто использоваться для иллю-
иллюстрации результатов последующих глав. Полугруппы преобра-
преобразований (разд. 2.3) и свободные полугруппы (разд. 2.4) играют
центральную роль в приложениях.
2.1. Бинарные отношения на множестве
Бинарным отношением на множестве А называется произ-
произвольное подмножество р декартова произведения АХ.А. На
множестве !М(А) всех бинарных отношений на А определена
операция °: для любых р, яе^(Л)
роа-= {(*, у)<=АХА: (х, г)ер и (г, у)еа
для некоторого геЛ},
2. Полугруппы преобразований, свободные полугруппы 19
Множество 38(А) вместе с этой операцией является полугруп-
полугруппой. Последняя станет моноидом, если объявить выделенным
отношение равенства е = {(х, х): леЛ}. В ${А) имеется так-
также нуль — пустое отношение. Включение множеств определяет
на Зв{А) естественный частичный порядок, и этот частичный
порядок двусторонне совместим с умножением1) (рЕи влечет
за собой p°xS0°T и торЕТоа). Полугруппа 3&{А) содержит
много интересных подполугрупп. Например, определив р-1 ра-
равенством
Р ={(■«, у)^АХА: {у, х)е=р},
легко проверить, что идемпотенты р из &В(А), удовлетворяющие
условиям р — р~' и'е£р, т. е. отношения эквивалентности на
А, образуют в !М(А) подполугруппу (см. разд. 3.1). Другие при-
примеры подполугрупп $(А) даны ниже.
Если множество А конечно, каждое отношение ре^(Л)
можно представить посредством квадратной матрицы ц.(р),
строки и столбцы которой индексированы элементами из А, а
на пересечении х-й строки и у-ro столбца стоит 1, если (х, у) ер,
и 0, если (х, у)фр. Для получения матрицы (л(р°ст) достаточно
обычным способом перемножить матрицы ц(р) и ц(а), если
принять в качестве операций на множестве {0, 1} следующие
ассоциативные сложение и умножение: 0 + 0 = 0, 0+1 = 1 +
+ 0=1 + 1 = 1, 00 = 0-1 = 1-0 = 0, 1-1 = 1. Изоморфизм
рь-*|.i(p) называется представлением полугруппы 3!(А) буле-
булевыми матрицами.
2.2. Преобразования и частичные
преобразования на множестве
Полугруппой всех преобразований на множестве А 2) назы-
называется подполугруппа £ГГ(Л) полугруппы 3&(А), состоящая из
всех бинарных отношений /, удовлетворяющих условиям
A) для любого х &А существует такой !/еЛ, что (х, у) s f;
B) если (х, y)ef и (х, у') э f, то у = у'.
Полугруппа &~г(А) действует на множестве А справа3); это
действие обычно указывают, записывая (x)f = у всякий раз,
когда (х, y)^f. Группа 9>Т{А) обратимых элементов полугруппы
') В оригинале — compatible; в русской литературе употребляется также
термин «стабилен (или устойчив) относительно умножения». — Прим.. перев.
2) Эту полугруппу называют также «полная полугруппа преобразований
иа множестве Л» или «симметрическая полугруппа на множестве А-». —Прим
ред.
8) Говорят, что полугруппа S действует на множестве А справа, если для
любых 1еД, s^S однозначно определен элемент иеЛ, причем x(st) =
= (xs) t для любых х е A, s, t s S. — Прим. перев.
20 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
3'г{А') состоит из всех подстановок на множестве А и назы-
называется симметрической группой на множестве А. Полугруппа
Т,(А) является подполугруппой полугруппы &Т,(А) частич-
частичных преобразований на множестве А, состоящей из всех бинар-
бинарных отношений /, удовлетворяющих лишь условию B) из ука-
указанных выше. Еще одна важная подполугруппа в $(А) — это
полугруппа Уг(А), которая состоит из всех частичных взаимно
однозначных преобразований на множестве А. Бинарное отно-
отношение / тогда и только тогда принадлежит полугруппе £УГ{А),
когда оно удовлетворяет условию B) и двойственному условию
B') если (*, у) е= f и (х\ у) <= /, то х — х'.
Следующий рисунок иллюстрирует различные включения в
А
Все полугруппы на этом рисунке являются фактически подмо-
ноидами моноида !М(А).
Полугруппа (S, *), двойственная к полугруппе (S, •), опре-
определяется операцией *, где х*у — у-х для любых х, t/e S. Полу-
Полугруппы, двойственные к подполугруппам из &(А), введенным
выше, обозначаются через 2Ti(A), &5Ti{A), 9"t(A), S^i(A). Они
состоят из преобразований, действующих на А слева, и вместо
(х, y)^f для f<=F~i(A), &Тг(А), ... мы пишем 1(х) = у1).
Булева матрица \i(f), представляющая (в случае конечного А)
элемент f ^.&ЗГГ(А), содержит в каждой строке не более одного
ненулевого элемента. Такая матрица называется мономиальной
по строкам. При умножении таких матриц правило 1 + 1 = 1
никогда не используется, и его вполне можно заменить правилом
1 + 1=0. Отсюда вытекает, что отображение f>—=»^(f) при
\&Т{А) является представлением матрицами над двухэле-
') Часто буквы т и / в обозначениях 9~r{A), &~i(A) и т. п. опускаются,
так как из контекста бывает ясно, какая именно полугруппа рассматривается.
Рисунок выше, таким образом, относится и к правым, и к левым полугруп-
полугруппам. — Прим. ред.
2. Полугруппы преобразований, свободные полугруппы 21
ментным полем {0, 1}. Имеется двойственное представление
полугруппы t?2Ti{A) матрицами, мономиальными по столбцам,
с элементами из {0, 1}.
2.3. Полугруппы и моноиды преобразований
Полугруппой преобразований на множестве А называется
произвольная подполугруппа из 2ГГ{А). Аналогично, моноид
преобразований на А определяется как подмоноид моноида
Тт{А). Для получения многочисленных примеров полугрупп
(или моноидов) преобразований удобно просто указать их обра-
образующие. Например, при А = {1, 2, 3} преобразования
2 3
) И ^=
порождают полугруппу преобразований, содержащую семь эле-
элементов:
23\ /12
) yx{
и три постоянных преобразования. Моноид преобразований, по-
порожденный х и у, содержит еще один элемент — тождественное
преобразование. Обычно полугруппу (или моноид) преобразо-
преобразований представляют ориентированным графом, вершинами ко-
которого служат элементы из А, а дуга t-*-/ (i, /еЛ) определена
и помечена образующим g всякий раз, когда ig = j. Приведем,
например, граф описанной выше полугруппы преобразований:
х
Полугруппы преобразований, задаваемые таким способом, иг-
играют важную роль в теории автоматов, где множество А назы-
называется множеством состояний автомата, а множество образую-
образующих полугруппы преобразований называется множеством вхо-
входов (или входных сигналов). Граф из нашего примера пред-
представляет множество состояний лифта, обслуживающего три
этажа, движения которого подчиняются входным сигналам
х(~ вверх) иу(=вниз).
Важность полугрупп и моноидов преобразований подчерки-
подчеркивается следующим результатом, аналогичным известной в тео-
теории групп теореме Кэли.
Предложение 2.3.1. Любая полугруппа изоморфна некоторой
полугруппе преобразований. Аналогично, любой моноид изомор-
изоморфен моноиду преобразований.
22 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
Доказательство. Для данной полугруппы S определим ото-
отображение ф: S-+3Tr(Sl), положив ф(а) = ра, где ра — внутрен-
внутренний правый сдвиг на S1, определяемый равенством хра = ха для
всех ^eS1. Легко проверить, что ф — инъективный гомомор-
гомоморфизм. Доказательство для моноидов аналогично. □
Наряду с полугруппами преобразований на абстрактном мно-
множестве А часто приходится изучать полугруппы, возникающие
при рассмотрении на множестве А некоторой математической
структуры и состоящие из преобразований, связанных с этой
структурой. Так, например, множество А может быть векторным
пространством над полем, и тогда рассматриваются полугруппы
S линейных преобразований пространства А. Примеры таких
полугрупп можно получить, фиксируя некоторый базис в Л и
представляя образующие полугруппы S матрицами над данным
полем.
Полезная техника, использующая полугруппы преобразова-
преобразований, состоит в задании гомоморфизма ф какой-либо (вообще
говоря, специальной) полугруппы 5 в полугруппу &~,(А) для
некоторого множества А; тем самым преобразования из <p(S)
«индексируются» элементами из 5. Этот метод широко приме-
применяется в анализе, где в роли S обычно используется одна из
аддитивных подполугрупп поля С комплексных чисел. Напри-
Например, если А — банахово (= полное нормированное векторное)
пространство и для каждого JteSsC определен эндоморфизм
(= ограниченное линейное преобразование) <р(х) пространства
А, то полугруппа преобразований <p(S) называется однопара-
метрической полугруппой эндоморфизмов. Книга Хилле и Фил-
липса [1957] целиком посвящена теории таких полугрупп пре-
преобразований в рамках банаховых пространств. В качестве дру-
другого примера возьмем полугруппу S = (N, +), пространство А
с мерой и потребуем, чтобы образующий / = фA) полугруппы
<p(S) был преобразованием, сохраняющим меру (т. е. чтобы
прообраз относительно t любого измеримого подмножества А'
из А имел ту же меру, что и А'). Такие полугруппы преобразо-
преобразований являются предметом изучения в эргодической теории
(конкретные примеры и дальнейшие понятия см. у Халмоша
[1956, 1959]).
2.4. Свободные полугруппы и моноиды
Пусть А — непустое множество, называемое алфавитом, эле-
элементы которого будем называть буквами. Определим слово в
алфавите А как непустую конечную последовательность х\х2 ...
... хп элементов из А. Таким образом, два слова Х\Хч ... хт и
У1У2 ■ ■ • Уп равны тогда и только тогда, когда они совпадают
как последовательности, т. е. когда т = п и Х\ = уи х2 = уз, ...
2. Полугруппы преобразований, свободные полугруппы 23
..., хт = Ут. На множестве А+ всех слов определим бинарную
операцию:
Х\Х2 ... Xm-\j\\j% ... Уп'=Х1Х2 ... Хтуф ... \jn.
Эта операция на А+, называемая ино'гда конкатенацией, оче-
очевидно, ассоциативна, и А+ называется свободной полугруппой
на множестве А. Поскольку мы не различаем буквы хеЛ и
однобуквенные слова хе/1+, импликация х\х2 ... хт = у\у2 ...
... уп=*~ т = п и xl = yl, х2 — у2,...,хт = ут выражает тот
факт, что каждое слово w еД+ допускает единственное разло-
разложение в произведение элементов из А. Заметим, кроме того, что
А является множеством образующих для А+.
Рассмотрим отображение / из А в N, определенное равен-
равенством /(х)=1. Единственная возможность продолжить I до
гомоморфизма из А+ в аддитивную полугруппу N состоит в том,
чтобы положить l{xix2 ... Xm) = m. Для произвольного w <= А+
число l(w) называется длиной слова w. Однозначная продол-
продолжаемость отображения / до гомоморфизма, определенного на
всей полугруппе А+, является частным случаем следующего
результата.
Предложение 2.4.1. Для любого отображения ср множества
А в полугруппу 5 существует единственный гомоморфизм, ф сво-
свободной полугруппы А+ в S, такой, что ф (х) = ср (я) для всех
ке/1. Далее, гомоморфизм ф сюръективен тогда и только
тогда, когда у(А) есть множество образующих полугруппы S.
Доказательство. Для слова w — х\Х2 ... хп из А+ равенство
ф(ку) = ф(лп)ср(л:2) . ..ф(л:п) реализует единственную возмож-
возможность определения ф(да). Ясно, что отображение фз —гомомор-
—гомоморфизм. Множество ф (Л) тогда и только тогда порождает 5,
когда для любого seS имеем s = ф((/1)ф((/2) ... ф(Ут) =
= Ф(У1#2 ••• Ут) для некоторых г/1, у2, ..., ут<^А. Это равно-
равносильно сюръективности ф. П
Доказанное предложение можно применять к порождающему
множеству А полугруппы 5, взяв в качестве ф отображение
включения А в S. Это приводит к следствию, на котором бази-
базируется понятие копредставления полугруппы (§ 4).
Следствие 2.4.2. Любая полугруппа S является гомоморфным
образом свободной полугруппы А+ на произвольном множестве
А, порождающем S.
Моноид свободной полугруппы на А называется свободным
моноидом на множестве А и обозначается посредством А*. Его
можно определить непосредственно, как это было сделано для
Ал . Единственное изменение касается определения слова: сло-
словом в свободном моноиде Л* называется произвольная, воз-
24 Гл. 1, Элементарные определения и примеры
можно пустая, конечная последовательность элементов из А.
Пустая последовательность определяет пустое слово, обозна-
обозначаемое символом 1, которое служит выделенным элементом
в А*. Предложение 2.4.1 и его следствие остаются истинными
при замене слова «полугруппа» словом «моноид». Любое под-
подмножество L свободного моноида А* называется языком над
алфавитом А. В свободных полугруппе или моноиде слово ш
называется подсловом слова w', если w' = uwv1); слово w на-
называется левым (соответственно правым) делителем слова w',
если w' — wv (соответственно ш' = uw). Число вхождений буквы
х е А в слово w называется степенью слова w относительно х
и обозначается через dx(w).
3. Эквивалентности на множествах.
Конгруэнции на полугруппах
В этом параграфе мы напоминаем ряд элементарных резуль-
результатов об отношениях эквивалентности и конгруэнциях. Большая
часть доказательств оставляется читателю в качестве упраж-
упражнения.
3.1. Эквивалентности
Отношением эквивалентности или просто эквивалентно-
эквивалентностью2) на множестве S называется такое бинарное отношение р
на S, что е£р, р£р-| и р°р£р. Эти свойства отношения р
называются соответственно рефлексивностью, симметричностью
и транзитивностью. Подмножество х= {/eS: (x, /)ер} на-
называется классом элемента х по модулю р или просто р-классом.
Множество 5 является дизъюнктным объединением классов по
модулю р, а множество всех этих классов, обозначаемое по-
посредством 5/р, называется фактормножеством множества 5 по
модулю р. Подмножество Т из 5, содержащее в точности один
элемент из каждого р-класса, называется трансверсалом3) мно-
множества S по модулю р. Любое отображение 8: S^>-S' опреде-
определяет на S эквивалентность Кег 0 ={(х, у)е 5X5: 0(х)== 8(у)}.
Если 0 сюръективно, то отображение 0: S/Ker 0 ^» S', определяе-
определяемое равенством Q(x) = Q(x) для любого xeS, является биек-
') Определение полслова в свободной полугруппе — как и в моноиде —
не исключает ситуации, когда и, v пусты. — Прим. перев.
г) В качестве синонима автор называет разбиение (partition), но под раз-
разбиением обычно понимают совокупность классов (по модулю) эквивалентно-
эквивалентности. — Прим. перев.
3) В оригинале «cross-section»; мы используем употребительный в рус-
русском языке термин (см., например, Кон f 1965])- Кроме tov', мы будем гово-
говорить, что подмножество Т и отношение р трачсверсальны (и каждое из них
трапсверсально другому). — Прим. перев.
3. Эквивалентности на множествах 25
цией (теорема об изоморфизме для множеств). Существует
также биекция произвольного трансверсала множества 5 по
модулю Кег 0 на S'.
Частичное упорядочение бинарных отношений индуцирует
структуру решетки на множестве всех, эквивалентностей на S.
В самом деле, для произвольных эквивалентностей pi и р2 на 5
мы имеем
inf (pi, p2) = Pi П P2. sup(pb p2)= U (Pi U РгГ;
верхняя грань sup(pi, p2) обозначается также через pi V p2.
Таким образом, (x, y)epi V p2, если и только если существуют
такие элементы гь z% ..., zn^S, что х = z\, у = zn и
(zi,2i+i)epi U р2 для всех i = 1, 2, ..., п — 1. В случае
р1Ор2 = р2ор, можно доказать, что pi V р2 = pi °p2 = p2°pi.
Для данного бинарного отношения 8 на 5 существует наимень-
наименьшая эквивалентность рF), содержащая 0: р(8)= е (J (9 U б) л
где @ U в-1) ^, называемое транзитивным замыканием отношения
в U в, дается формулой
(в и в-')«= и (в и е-1)"-
Вместо записи (х, у)ер для эквивалентности р мы будем
также писать хру, когда последнее обозначение более удобно.
3.2. Конгруэнции
Конгруэнция на полугруппе 5 определяется как отношение
эквивалентности р на множестве 5, устойчивое относительно
умножения слева и справа, т. е. хру влечет за собой zxpzy и
xzpyz для любых х, у, z^S. Правая (соответственно левая)
конгруэнция на 5 — это эквивалентность, устойчивая относи-
относительно умножения лишь справа (соответственно слева). Множе-
Множество всех конгруэнции (соответственно правых конгруэнции, ле-
левых конгруэнции) на полугруппе S является подрешеткой ре-
решетки эквивалентностей на S.
Для данной конгруэнции р на полугруппе 5 через х обозна-
обозначим р-класс, которому принадлежит элемент х ^ S: х —
= h'eS: хрх'}. На множестве S/p о_пределяется полугруппо-
полугрупповая структура, если положить х-у = ху для любых х, y^S.
Легко проверить, что приведенное определение произведения
х-у не зависит от выбора элементов х, у в соответствующих
классах и что S/p наследует свойство ассоциативности. Полу-
Полугруппа S/p называется факторполугруппой полугруппы S по
конгруэнции р. Из определения операции на S/p вытекает, что
отображение %р; S-^-S/p, заданное равенством %р{х) = х, есть
гомоморфизм на S/p.
26 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
Обратно, если дан сюръективный гомоморфизм 8; S-+S',
определим на S конгруэнцию Кегб (ядерную конгруэнцию ото-
отображения 8):
Кег 9 ={(*,</)<= SXS: В(х) = В(у)}.
Единственная возможность сделать диаграмму гомоморфизмов
коммутативной, т. е. удовлетворяющей равенству 9°<
это положить 8 (х) = 8(х) для любого xsS, где х — %Кег$(х)-
Этот результат является частным случаем следующей теоремы ').
Теорема об изоморфизмах. Пусть 8: S ->- S' — гомоморфизм
полугруппы S на полугруппу S', р — конгруэнция на S, для кото-
которой Кег 8 s р. Определим бинарное отношение р' на S', положив
р'= {(л:', (/')eS'XS': существуют такие х, y&S, что
хру, В(х) = хГ, 6 (у) = у'}.
Тогда
(a) отношение р' есть конгруэнция на S';
(b) существует единственное отображение 6 из 5/р в S'/p',
такое, что Q°%p = %p,°Q, причем 6 — изоморфизм;
(c) отображение р <—> р' определяет изоморфизм решетки
всех конгруэнции на S, содержащих Кег 8, на решетку всех кон-
конгруэнции на S'.
3.3. Некоторые примеры
a. Рисовские конгруэнции. Для произвольного идеала / полу-
полугруппы 5 определим отношение p/ = e(J(/X^). Это отношение
является конгруэнцией, классы которой суть идеал / и одноэле-
одноэлементные множества. Она называется конгруэнцией Риса, а фак-
торполугруппа 5/р/ обозначается также через 5// и называется
факторполугруппой Риса полугруппы 5 по идеалу /.
b. Синтаксические (или главные) конгруэнции. Пусть L —
произвольное подмножество полугруппы S. Для x^S определим
множество всех контекстов элемента х относительно L:
Conti(x)= {(и, v)e=SlXSl: uxv^L}.
') Как хорошо известно, сформулированная теорема верна для любых
универсальных алгебр; см., например, А. И. Мальцев [1970], Кон [1965].—
Прим. ред.
4. Копредставления полугрупп и моноидов 27
Синтаксическая конгруэнция Рь (называемая также двусто-
двусторонней главной конгруэнцией), соответствующая множеству L,
определяется условием: xPlij, если и только если Conti(x) =
= ContL(y).
Легко, проверить, что L есть объединение классов по модулю
Pl. Более того, Pl — наибольшая конгруэнция на S, для которой
L является объединением классов.
Правая (соответственно левая) главная эквивалентность, со-
соответствующая множеству L, обозначается посредством Р{[]
(соответственно Pl) и определяется аналогично с использова-
использованием правых (соответственно левых) контекстов данного эле-
элемента относительно L. Например,
р([] = {(*, у) е 5 X 5: ие1-«-(/иб[ для любого v s S1}.
Это наибольшая правая конгруэнция на 3, для которой L яв-
является объединением классов.
Все понятия и утверждения этого параграфа без изменений
переносятся на моноиды.
4. Копредставления полугрупп
и моноидов
Копредставления') полугрупп изучались уже на ранних эта-
этапах истории полугрупповых исследований, что обусловливалось
их важностью для понятия разрешимости в логике (см. Туэ
[1914], Пост [1947]). Здесь мы укажем обычную терминологию
с единственной целью — обеспечить получение примеров.
Определение 4.1. Для данной полугруппы 5 множество А на-
называется множеством порождающих символов относительно ото-
отображения ф: A-+-S, если продолжение ф отображения ср на сво-
свободную полугруппу А+, определяемое равенством ф (ххх2... х„) =
= ф(л:|)ф(л:2) ... Ц)(хп) для любого слова xxxi ... хп^А+, яв-
является гомоморфизмом Л+ на 5.
Если А — множество порождающих символов для 5 относи-
относительно ф и два слова до, w' <= А+ удовлетворяют равенству ф(да)=
= ф(о/)> то говорят, что на 5 выполняется соотношение w = до'
или что »■=■!»' есть соотношение в S.
') В оригинале «presentation». Для этого понятия — задания полугруппы
с помощью образующих и определяющих соотношений — в руоской литературе
часто используется термин «представление». Однако оловом «представление»
переводится и английское «representation», очень часто используемое в данной
книге для представлений полугрупп матрицами и преобразованиями на множе-
множестве. Поэтому мы остановились на термине «копредставление», также употреб-
употребляемом в рассматриваемом смысле. — Прим. пврев. и ред.
28 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
Для данного множества соотношений {wi = w'i, /еЛ в 5
слово р'еД^ непосредственно выводимо из слова уеЛ+ отно-
относительно {wt = w\, i e= /}, если либо и = rwis и у' = rw'ts, либо
v—rw'ts и v' = rwls для некоторых ie/, r, s e Л*. Словно
у' е Л+ выводимо из слова у е Л+ относительно |шг = 'w'l, i s Л,
если существуют слова Уо, Уь •••, vn, п^О, такие, что у = у0,
у' = у« и y*+i непосредственно выводимо из vk @ ^ £ < я)
относительно {а>г = да,, /е/}. Иными словами, у' выводимо из
у, если у может быть переведено в слово у' применением конеч-
конечного числа раз следующего правила: если данное слово содер-
содержит подслово Wt (или ш)\) для некоторого i e /, заменить w-t на
w\ (или w\ на ш4).
Если у' выводимо из у относительно {wt = w\, i e /j, то
у = у' есть соотношение в 5, поскольку равенство ф(о>(-) = ф (ш^)
влечет за собой ф (rtw^s) = ф (гш^). Мы говорим в этом случае,
что соотношение у = у' есть следствие исходного множества
соотношений {о^ = w\, i e /j. Если же все соотношения в 5
являются следствиями из \wl = w'l, ie/j, пара (Л; \wt = w'u
ie/}\ называется копредставлением полугруппы S, определен-
определенным отображением <р').
Любая полугруппа E, •) имеет очевидное копредставление
<5; {ху = х-у для всех i.yeS}),
определенное тождественным отображением на 5, причем все
соотношения имеют вид ху — х-у, где ху обозначает двухбук-
венное слово из S+, а х-у — однобуквенное слово из S+, полу-
полученное вычислением произведения х-у в 5. Это специальное ко-
копредставление называется таблицей умножения полугруппы S.
Задавать полугруппы с помощью таблиц, умножения обычно
бывает трудно: для произвольных множества Л и отображения
/: АХА^-А копредставление
<Л; xy — f(x,y) для всех х, уеАJ)
не является, вообще говоря, таблицей умножения полугруппы;
например, для копредставления {a, b\ aa = a, ab = a, ba = b,
ЪЬ = а} следствием его соотношений будет равенство а — Ь, так
как а = ЪЪ = ЪаЪ = Ъа = Ъ.
Чтобы построить копредставление данной полугруппы 5,
нужно
') А соотношения wt = wt, (e/, называются определяющими соотноше-
соотношениями полугруппы S. — Прим. перев.
2) Начиная с этого места мы будем, как правило, опускать фигурные
скобки, заключающие соотношения или элементы множества порождающих
символов. — Прим. перев,
4. Копредставления полугрупп и моноидов 29
(a) найти множество А образующих для 5; затем взять в
качестве ср: A-*-S естественное отображение включения;
(b) найти множество пар (w{, ш,)е/1+ХА+, таких, что
наименьшая конгруэнция на А+, содержащая эти пары, совпа-
совпадает с ядерной конгруэнцией гомоморфизма ф: A+->S. (См.
предложение 2.4.1.)
Следующее утверждение обосновывает часть (Ь) этого по-
построения.
Предложение 4.2. Пусть ср — такое отображение множества
А в полугруппу S, что продолжающий гомоморфизм ф: А+—>S
сюръективен, и пусть {(wt, w\), /е/} —подмножество в А+Х,А+.
Следующие условия равносильны:
(a) (A; wt = Шр i e /^ есть непредставление полугруппы S,
определенное отображением ср;
(b) наименьшая конгруэнция на А+, порожденная всеми па-
парами (wp w't), i e /, совпадает с Кег ф.
Доказательство. Для слов v, »'еЛ+ будем писать vbv', если
и только если v' непосредственно выводимо из v относительно
\wi = w\, ie I}. Наименьшая конгруэнция на А+, порожденная
всеми парами (wt, w\}, i'e/, совпадает с транзитивным замы-
замыканием 6t отношения 6(v6tv', если и только если г/ выводимо
из у). Пусть (Л; wi = w'i, ie/)- копредставление полугруппы
5, определенное отображением ср. Тогда vbv' означает, что
v' = rw\s и v = rwts (или наоборот). Отсюда вытекает, что
ф(и') = ф(г)ф(^)фE) = ф(г)ф(да(.)фE) = ф(у), т. е. 6<=Кегф.
Обратно, из ф(о) = ф(*/) следует, что равенство v = v' есть
соотношение в 5. Тогда v = v' есть следствие из \wt = w\, i e /},
что означает vbtv'. Завершив доказательство равенства б( =
= Кегф, мы показали тем самым, что из (а) следует (Ь). На-
Наконец, непосредственно видно, что из (Ь) следует (а).
Если полугруппа 5 допускает копредставление (Л; wt = w'h
/s/\, в котором А (соответственно /) конечно, то 5 назы-
называется конечно порожденной полугруппой (соответственно полу-
полугруппой с конечным числом соотношений). Если конечны оба
множества А, I, то 5 называется конечно копр ед став ленной или
конечно определенной.
Из предложения 4.2 выводим
Следствие 4.3. Пусть А — непустое множество, 9 — бинарное
отношение на А+, р@) — наименьшая конгруэнция на А+, со-
содержащая 0. Тогда полугруппа 5 = Л+/р@) имеет копредстав-
копредставление Р = (А; w — wr для всех (w, ш')е8>. Любая полугруп-
полугруппа, допускающая копредставление Р, изоморфна S.
30 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
Таким образом, чтобы задать полугруппу, достаточно выпи-
выписать множество образующих А, множество соотношений \wt =
—-w't, i^IX (описание всех пар из указанного выше 8) и
объявить искомой полугруппой 5 факторполугруппу полугруп-
полугруппы А+ по конгруэнции, порожденной всеми парами {wt, w\),
ie/. Это описание резюмируется фразой: «Пусть 5 задана
копредставлением (A; wt = w{, i e/^». Два копредставления Pi
и Рг с одним и тем же множеством образующих называются
эквивалентными, если все соотношения из Рг являются след-
следствиями соотношений из Р\, и наоборот.
Все понятия и результаты настоящего параграфа легко пе-
переносятся на моноиды. Но одна особенность заслуживает упо-
упоминания. В копредставлении моноида могут встретиться соот-
соотношения вида w = 1, каково бы ни было множество А; если же
копредставление полугруппы 5 содержит соотношение вида
w — l, это означает, что 1еД, и если имеется в виду, что 1
есть единица в 5, то соотношения а\ = а, \а = а должны быть
следствиями определяющих соотношений полугруппы 5.
Примечание. Если полугруппа или моноид содержит нуль О,
последний может быть добавлен к порождающему множеству
А, а соотношения а0 = 0а = 00 = 0 для любого а^А могут
быть добавлены к другим соотношениям. Когда нуль 0 появ-
появляется в определяющих соотношениях, мы будем предполагать,
не отмечая этого явно, что 0 является образующим и что вы-
выполняются указанные выше соотношения (см. упр. 1.8).
Пример 4.4. Мы называем полугруппу с одним образующим
циклической полугруппой. Свободная циклическая полугруппа
имеет копредставление (х; 0). Она изоморфна полугруппе
(N, +)• Любая другая циклическая полугруппа задается ко-
копредставлением
A) (х;/'-
Если г — наименьшее среди чисел п (i&I), a m — наибольший
общий делитель чисел mi (ie/), то копредставление A) экви-
эквивалентно копредставлению
B) <*; хт = xr+m).
Доказательство. Соотношение ха = х$ является следствием
соотношения xr = xr+m тогда и только тогда, когда а, р rg: r и
a^P(modm). Отсюда вытекает, что все соотношения в A)
суть следствия из хГ = xr+m. Обратно, соотношение из A), со-
содержащее в своей левой части хг, имеет для каждого ге/ и не-
некоторого целого ti следствие хт = хг+ ', где г■\-ti~^. п. Отсюда
выводим, что / = xr+tt+mi = /+m< для каждого is/. Поэтому
4. К.опредставления полугрупп и моноидов 31
xr = xr+2V"' для любой положительной линейной комбинации
2&,т; с коэффициентами fceZ. В частности, поскольку m
является такой линейной комбинацией, равенство xr = xr+m
есть следствие соотношений A). □
Циклическая полугруппа, имеющая копредставление (х; хт =
= xr+m}, обозначается через CV, т. Множество ее элементов есть
{*, х2, ..., xr, xr+l хг+т-1}. Подмножество {xr, xr+1, ...
.,., хТ+т~х} из Сг, т является циклической группой, изоморфной
аддитивной группе Zm = 7,/rnZ целых чисел по модулю т; изо-
изоморфизм устанавливается отображением xk\—>k-\- mZ. Мы на-
называем число т периодом, а число г циклической глубиной1)
элемента х. Полугруппа, все циклические подполугруппы кото-
которой конечны, называется периодической.
Пример 4.5. Бициклический моноид определяется как моноид
преобразований на множестве №— {0, 1, 2, ...}, заданный сле-
следующим графом:
у
Бициклический моноид допускает копредставление <а, Ъ;
а6 = 1>, определенное отображением ср, для которого ц>(а) — х,
<р(Ь) = у.
Доказательство. Ясно, что ху — тождественное преобразова-
преобразование на №; следовательно, равенство аЪ = 1 является соотноше-
соотношением в бициклическом моноиде. Из любого слова w в (а, Ь}*
можно вывести относительно соотношения ab = 1 слово вида
bman (m, ле№), Таким образом, любое соотношение в нашем
моноиде, не являющееся следствием из ab=\, эквивалентно
соотношению вида b'a1 = bman. Но равенство ylxl = ymxn вле-
влечет за собой j = n (так как Oy'xi = j и Оутхп = п) и i = m
(так как, взяв &ГЗгтах(/, т), получим ky{xn = k — / + п и
kymxn — k — т-\-п). Поэтому бициклический моноид не удовле-
удовлетворяет никаким соотношениям, кроме следствий соотношения
ab = ]. □
Обозначим через ^(а, Ь) моноид, заданный копредставле-
нием'<а, Ь; аЪ = 1>. Он изоморфен моноиду всех пар неотрица-
неотрицательных целых чисел с умножением
где
* — у — х — у, если x~$zy, и х — у —0, если х < у.
') В оригинале «cycle-depth»; употребителен также термин индекс. —
Прим. перев.
32 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
Как полугруппа, бициклический моноид имеет более сложное
копредставление
(а, Ь\ aba = a2b = а, ЬаЬ — аЬ2 = ЬУ.
Чтобы проиллюстрировать некоторые понятия, введенные в
этой главе, мы укажем одно интересное свойство бициклического
моноида: Ф(а, Ъ) является фактормоноидом свободного моноида
А*, где А = {а, Ь}, по синтаксической конгруэнции Pl, соответ-
соответствующей одному важному языку LsA*, к описанию которого
мы сейчас переходим. Предположим, что буква а представляет
символ (— левую скобку, а буква Ъ представляет символ ) —
правую скобку. Тогда слова ааЪаЪЪ и aababa представляют со-
соответственно системы скобок (( ) ( )) и (( ) ( ) (. Первая си-
система является правильной скобочной системой, т. е. может
быть получена из алгебраического выражения удалением всех
других символов, кроме скобок, тогда как вторая система не-
неправильна. Определим язык L как множество всех слов из А*,
представляющих правильные скобочные системы; L называется
ограниченным языком Дика над двухбуквенным алфавитом или
правильным скобочным языком. Справедливо равенство
L = {w e А*: для любого разложения w = uv имеет место
Его доказательство с помощью индукции по длине слов остав-
оставляется читателю.
Свойство 4.6. Пусть А = {а, Ъ) и L — правильный скобоч-
скобочный язык над А. Фактормоноид моноида А* по синтаксической
конгруэнции Pl, соответствующей языку L, является бицикли-
ческим моноидом.
Доказательство. Для любых и, -»еЛ' мы имеем uabv<=L
тогда и только тогда, когда u\v^.L, откуда abPiA. Обозначив
Pi-класс слова w^A* через w, мы видим, что моноид Q =
— A*/Pl порождается классами а, Ъ и что равенство аЪ — 1
является соотношением в Q. Для доказательства того, что в Q
не выполняются никакие соотношения, кроме следствий из
аб=1, достаточно показать, что из (b'a1, bman)^Pt следует
i = m и / = п. Предположим, что (b'a1, bman)<= PL и, например,
i ^ т. Поскольку ambmanbn e L, получаем ambtalbn e L. Из
определения языка L выводим т-\- j = i -\- п, причем i ^ m
дает / :зг п. Однако условие на степени левых и правых делите-
делителей слов из L, примененное к делителям u=amb' и v = a<bn,
дает m rg: i, п ^ /. Отсюда выводим i = m, j = п, заканчивая
доказательство того, что <а, б; ab — 1> есть копредставление
моноида Q. □
Упражнения 83
Библиографические замечания
Различные аспекты алгебраической теории полугрупп представлены в
нескольких книгах. Первая из них принадлежит А. К. Сушкевичу [1937]. Книги
Е. С. Ляпина [1960] и Клиффорда и Престона [1961, 1967] являются стандарт-
стандартными книгами для ссылок. Более поздние книги не столь всеобъемлющи, как
две предыдущие, ио делают упор на отдельных важных разделах алгебраиче-
алгебраической теории полугрупп (см. Петрич [1973], Хауи [1976]). Топологическим полу-
полугруппам посвящены книги Паалман-де-Миранды [1964] и Хофмана и Мостерта
[1966].- Важный вклад в теорию полугрупп преобразований, принадлежащий
Крону и Роудзу, представлен в книге под ред. Арбиба [1968]. Эти результаты
также излагаются в значительно улучшенном виде Эйленбергом [1976].
Упражнения
1. Правым сдвигом иа полугруппе S называется преобразование р е
е^"гE), удовлетворяющее равенству (а6)р=аFр) для любых а, Ь е S.
Множество Tr(S) всех правых сдвигов на 5 является подмоноидом в &~r(S).
Следующие свойства полугруппы S равносильны;
(a) любое преобразование на S является правым сдвигом;
(b) S — полугруппа правых нулей (т. е. ху = у для любых х, (/e=S).
2. На полугруппе S все преобразования будут эндоморфизмами тогда и
только тогда, когда S — либо полугруппа правых нулей, либо полугруппа ле-
левых нулей.
3. Правые нули моноида 0~Г(А) всех преобразований на множестве А
суть постоянные отображения. Они образуют идеал /, содержащийся во всех
идеалах из @~Г(А). Моноид всех правых сдвигов иа / изоморфен моноиду
Г г (А) (А. И. Мальцев [1952]).
4. Каждый правый сдвиг моноида М является внутренним правым сдви-
сдвигом. Если элемент a s M обратим справа (т. е. существует такой deM, что
ab = 1), то внутренний правый сдвиг р0 инъективен. Если моноид М конечен,
то равенства ab = 1 и Ъа = 1 равносильны (т. е. обратимость справа влечет
обратимость).
5. Пусть 5 — полугруппа ив — идемпотен? из S. Группа Не обратимых
элементов моноида eSe является максимальной (по включению) подгруппой
в S. Если идемпотенты е и f из S различны, то максимальные подгруппы Не
и #f не пересекаются.
6. Полугруппа S называется правой группой, если S проста справа (т. е.
5 является своим единственным правым идеалом, или, что равносильно, 5 =
= aS для всех as S) и является полугруппой с левым сокращением (т. е.
равенство ах = ау влечет за собой х = у).
(a) Множество Е идемпотентов правой группы непусто и является полу-
полугруппой правых нулей.
(b) Для любого идемпотента е в правой группе S множество Se есть
максимальная подгруппа, и S= \Je^ESe.
(c) Полугруппа S тогда и только тогда является правой группой, когда
5 изоморфна прямому произведению О\Е, где О — группа, Е — полугруппа
правых нулей (А. К. Сушкевич [1928, 19371).
7. Пусть х, у е 5, х Ф у, и А = {а, &}. Существуют два различных гомо-
гомоморфизма fti, $2 свободной полугруппы Л+ в S, такие, что Фг(Д) = {х, у),
1=1, 2. Отсюда следует, что любой мономорфизм (т. е. сократимый слева
гомоморфизм) ф: S-vT инъективен. Обратное утверждение тоже верно.
8. Произвольная полугруппа частичных преобразований на множестве .4
изоморфна полугруппе преобразований на множестве ЛиМ, где s^A. Для
моноидов справедливо аналогичное утверждение. Полугруппа частичных пре-
преобразований описывается графом, вершинами которого служат элементы из А,
2 Зак. 474
34 Гл. 1. Элементарные определения и примеры
а помеченная дуга i —>} указывается тогда, когда ix определено, причем
ix = j (i, /еЛ). Например, граф
У
описывает полугруппу S, порожденную элементами
2 3
/ 1 2 3\
(-12)
и
Полугруппа S имеет копредставление
(х, у; х3 = 0, у2 = 0, уху = 0, ух2у = у, х*ух* = х*}.
9. (а) Моноид, заданный копредставленнем (х, у; хух = 1), есть группа,
изоморфная группе (Z, +)•
(Ь) Полугруппа, заданная копредставлением (х, у; уху = х, хух = у),
изоморфна группе кватернионов при отображении х i—> i, у i—> j (Магиус,
Каррас, Солитэр [1966] с. 18, упр. 7).
10. Свободный коммутативный моноид С (А) на множестве А задается
копредставлением (А; ху = ух для любых х, у&А). Любой коммутативный
моноид является гомоморфным образом свободного коммутативного моноида.
Свободный коммутативный моноид С (А) на конечном или счетном множестве
А изоморфен подмоиоиду моноида ( N, •, 1).
11. (а) Пусть конечный моноид М задан копредставлением (A; R), где
R — бинарное отношение на свободном моноиде А*, и пусть Q(R)—коигруэи-
цня на А*, порожденная отношением R. Существует такое число JsN, что
любое слово w е А* эквивалентно по модулю $(R) слову длины < k.
(b) Пусть k — такое, как в (а), и Л& = U*=o^ • Мононд М допускает
копредставление <Л; $;(/?) П (At, X А)}. Таким образом, любое копредстав-
копредставление конечного моноида эквивалентно конечному копредставлению (Эйлеи-
берг, Шютценберже [1976]).
12. Моноидом «однозначных-» (unambiguous) отношений иа множестве А
называется произвольный подмоиоид М моноида &(А) всех бинарных отно-
отношений на А, удовлетворяющий условию: для любых pi, p2 e M включение
(a, b) e pi о р2 выполняется тогда и только тогда, когда существует един-
единственный с <= А, для которого (а, с) е pi и (с, Ь) <= р2. Любой моноид преоб-
преобразований является моноидом «однозначных» отношений. Любой моноид М
«однозначных» отношений на А изоморфен некоторому моноиду М', состоя-
состоящему яз ЛХ^-матриц над кольцом 2 (с обычным умножением матриц),
элементы которых — 0 и 1. Мы называем М' моноидом @, 1) -матриц. Две
матрицы
/0 1 0\ /0 0 1\
■( 1 0 1 ), у=* 1 0 1 ]
40 00/ 4100/
порождают моноид {0, 1)-матриц из десяти элементов (Боэ [1976]).
Глава С ОТНОШЕНИЯ ГРИНА
Первый шаг в прояснении алгебраической структуры полу-
полугрупп был сделан А. К. Сушкевичем [1928]. Этот шаг состоял
в точном определении природы минимального идеала конечной
полугруппы. Позже Грин [1951] ввел пять фундаментальных
отношений эквивалентности на полугруппе. Они оказались су-
существенными для понимания строения полугруппы как в ло-
локальном, так и в глобальном аспектах. С локальной точки зре-
зрения отношения Грина ведут к понятию координатной системы
для ^-класса, что позволит нам в гл. 3 получить результаты
Сушкевича в качестве частного случая гриновской теории.
Общий облик гл. 2 следующий. Мы начинаем с изложения
элементов общей теории идеалов, обсуждая главным образом
понятия минимального идеала и простой полугруппы. Затем
мы приступаем к детальному изучению отношений Грина, до-
доводя его до понятия максимальной подгруппы ^-класса, рас-
рассмотрения локальных систем координат и определения ^-пред-
^-представлений, введенных Шютценберже [1957].
1. Элементарная теория идеалов
Двусторонний идеал / полугруппы S называется минималь-
минимальным идеалом, если для любого идеала /sS из / <=, I следует
1 = 1. Если / — минимальный идеал и / — любой другой идеал,
то пересечение I(]J непусто, поскольку I-J^I(]J; кроме того,
включение / П / s / влечет равенство I [\J — I и поэтому /д/.
Таким образом, минимальный идеал является универсально
минимальным (т. е. наименьшим) и, следовательно, единствен-
единственным. По этой причине минимальный идеал полугруппы (если
он существует) называют иногда ее ядром.
Любая конечная полугруппа обладает минимальным идеа-
идеалом. С другой стороны, в полугруппе (N, +) любой идеал
имеет вид п + N для некоторого neN, и m + Nsn + N тогда
и только тогда, когда m ^ п; это показывает, что полугруппа
(N, +) не имеет минимального идеала.
Полугруппа называется простой, если она не содержит идеа-
идеалов, отличных от самой себя1). Если полугруппа S проста, то
') Такие полугруппы называют также идеально простыми. — Прим. ред.
2*
36 Гл. 2 Отношения Грина
для любого а е S выполняется равенство SaS = S. Обратно,
если SaS = S для любого aeS, то, взяв идеал / в S и элемент
йё/, получим S — SaS s /, т. е. S = I, и потому S проста.
Следовательно, чтобы доказать простоту полугруппы S, доста-
достаточно предъявить по крайней мере одну пару х, у— решение
уравнения хау=Ь— для любых a, b^S. Пользуясь этим,
можно проверить простоту следующих полугрупп:
(a) бициклический моноид ^(а, Ь) (см. гл. 1, пример 4.5);
(b) полугруппа всех 2Х2-матриц Г Д где г, seQ,
г> 0, s > 0, с обычным матричным умножением;
(c) минимальный идеал произвольной полугруппы.
Понятия минимального правого (соответственно левого)
идеала и простой справа (соответственно слева) полугруппы
определяются очевидным образом. Следующее предложение,
принадлежащее Клиффорду [1948], а для конечных полугрупп
доказанное еще Сушкевичем, указывает связь между мини-
минимальным идеалом и минимальными односторонними идеалами.
Предложение 1.1. Если полугруппа S обладает минимальным
правым {соответственно левым) идеалом, то объединение всех
минимальных правых (соответственно левых) идеалов из S сов-
совпадает с минимальным идеалом I полугруппы S. Если R— ми-
минимальный правый, a L — минимальный левый идеалы, то мно-
множество Rf\L — R-L является максимальной подгруппой из S,
содержащейся в I.
Доказательство. Если R — минимальный правый идеал полу-
полугруппы S, то для любого а е S множество aR будет правым
идеалом. Покажем, что на самом деле правый идеал aR мини-
минимален. Пусть R' — какой-нибудь правый идеал, содержащийся
в aR. Множество {y^R: ay^R'} непусто, так как для любого
хе/?' найдется такой у е R, что х = ау. Это множество тоже
является правым идеалом. В силу минимальности R, для лю-
любого y^R имеем ау в R', т. е. aR Е R'. Отсюда вы-
вытекает равенство aR = R', которое устанавливает минималь-
минимальность правого идеала aR и одновременно тот факт, что объеди-
объединение / всех минимальных правых идеалов из S является левым
(и потому двусторонним) идеалом. Если / — произвольный
идеал в S, то R-J E R f|/ ^ R. Из минимальности R следует
R П / ,= R, откуда R ^ J. Это доказывает, что / является мини-
минимальным идеалом в S. Наконец, для произвольного минималь-
минимального левого идеала L рассмотрим множество Q = RL, которое
содержится в R(]L. В силу минимальности R и L, для любого
яеймы имеем aR = R и La = L. Отсюда вытекают равенства
aG = G = Ga, и аксиомы частных показывают, что О — группа.
Единица е группы G является идемпотентом полугруппы S, ле-
I. Элементарная теория идеалов 37
жащим в R{]L. Из равенств eR = R и Le = L следует, что лю-
любой элемент х е R f) L удовлетворяет соотношениям х = ех =
— хе = ехе = (ех) е е 7? • L. Поэтому G = RL = R{]L. Если G' —
подгруппа из S с той же единицей е, то равенства G' = eG' =
= G'e влекут за собой включение G' s R П L = G, доказываю-
доказывающее максимальность G. □
Чтобы проиллюстрировать предложение 1.1 путем вычисле-
вычисления минимальных идеалов полугруппы преобразований S S
S&~r(A) на конечном множестве Л, напомним некоторые хо-
хорошо известные факты об отображениях произвольного мно-
множества А в себя. Для преобразования х^.Э~,(А) множество Ах
называется образом х и обозначается Im x, а эквивалентность
Кегл:, определенная на А условием (а, р)е Кег х, если и только
если ах = $х, называется ядром х. Теорема об изоморфизме для
множеств (см. гл. 1, разд. 3.1) говорит о существовании биекции
из Л/Ker х на Imx. Общее кардинальное число множеств
Л/Kerx и Imx называется рангом преобразования х и обозна-
обозначается rank х.
Лемма 1.2. Для данных преобразований х, у из ТГ(А) вклю-
включение Im^slmy (соответственно Кег х э Кег у) выполняется
тогда и только тогда, когда существует такое преобразование
г е 3~Г(А), что х = zy (соответственно х = yz). Далее, rank x ^
^ rank у тогда и только тогда, когда существуют и, уе£Г, (Л),
такие, что х = uyv.
Доказательство. Предположим, что Imxslmy. Для каж-
каждого аеЛ элемент ах лежит в Imx и поэтому в Imy. Следова-
Следовательно, для каждого аеЛ можно выбрать один элемент у^А,
для которого уу = ах, и положить olz = у. Отсюда следует, что
azy = ax для любого аеЛ, т. е. x = zy. Аналогично, если
Кег х э Кег у, определим преобразование г произвольным обра-
образом на дополнении множества Imy в Л, а для у е Imy выберем
такое а<=Л, что ау = у, и положим yz = ax. Условие Кегхэ
эКегг/ гарантирует корректность определения г. Ясно, что
ayz = ах для любого аеЛ, т. е. x = yz. Обратные утвержде-
утверждения очевидны. Для доказательства последней части леммы за-
заметим, что при условии rank x <: rank у можно указать преоб-
преобразование t^3~r(A), такое, что Кег?= Кегл; и Im^slmy.
Для этого в качестве Imt выберем произвольное подмножество
из 1тг/, равномощное множеству Im*, и определим t, отобразив
каждый класс отношения Кегл; на некоторый элемент из Imt
так, чтобы различные классы отображались на различные эле-
элементы из Im t. Это гарантирует, что Кег t = Кег х и Imt^lmy.
В силу первой части леммы, х = tv и t = иу, что дает х = uyv
для некоторых и, v s 3~r(A). □
38 Гл. 2. Отношения Грина
Пусть S^!7~r(A)—полугруппа преобразований на конечном
множестве А. Определим минимальный ранг полугруппы S как
min(rank.*:).
Предложение 1.3. Пусть S — полугруппа преобразований на
конечном множестве А и г — ее минимальный ранг. Минималь-
Минимальный идеал I полугруппы S совпадает с множеством всех xeS,
для которых rank х = г. Минимальный правый {соответственно
левый) идеал, содержащий преобразование х е /, состоит из
всех y^S, для которых Кегя=Кегу (соответственно 1тл: =
= lmy).
Доказательство. Множество / = {ie S: rank x = г} — идеал
в S, поскольку rank(x-y) ^ min(rankx, rank у) для всех х, yeS.
Покажем, что Sx есть минимальный левый идеал из S для лю-
любого хе). Пусть L — левый идеал и L^Sx. По лемме 1.2 для
любого i/eL имеем Imyslmjc, откуда, в силу минимальности
ранга х, Imx= Imy. В частности, Imx = Ime для идемпотента
ее! (идемпотент существует, так как S конечна). По лемме 1.2
найдется такое 2G^,(A), что x = ze. Это влечет равенство
х = хе, откуда igLb потому Sx = L. Следовательно, для лю-
любого ле/ левый идеал Sx минимален. Согласно предложению
1.1, идеал / будет минимальным идеалом в S. Мы уже доказали,
что если y^Sx, где дге/, то \my = lmx. Обратно, предполо-
предположим, что для элемента i/eS имеет место \my-lmx. Исполь-
Используя идемпотент ee=S*, мы, как и выше, из условия \my= Ime
выводим равенство у = уе, доказывающее, что у е Sx, откуда
Sx = {у se 5: Im у = Im х). Доказательство равенства xS =
х= {у s S: Кегу = Кегя} аналогично. □
Метод нахождения минимальных идеалов полугруппы пре-
преобразований S состоит в следующем.
(a) Начиная с произвольного элемента *e=S, вычисляем
последовательно множества 1т(ху) для всех y^S. Найдется
такой элемент yo^S, что множество 1т(хуо) имеет наимень-
наименьшую мощность; при этом условии г = хуо ен /.
(b) Как только элемент ге / получен, различные множе-
множества lm(zt), <g=S, определяют минимальные левые идеалы, а
различные эквивалентности Ker(te) определяют минимальные
правые идеалы. Следующий простой пример иллюстрирует дан-
данный метод.
Пример 1.4. Пусть полугруппа S порождается циклом х =.
= A23456) длины шесть и преобразованием
/1 2 3 4 5 64
f==U 14 5 6 1Л
I. Элементарная теория идеалов 39
Поскольку х— подстановка, ясно, что rank гх = rank г для
любого ze S. Следовательно, некоторая степень преобразования
у будет элементом минимального идеала. В самом деле, такими
элементами оказываются
\Г
/1 2 3 4 5 64
:U 1 6 1 6 l) И У* =
12 3 4 5 6'
16 16 16.
Минимальными образами служат следующие множества:
{1, 6} = 1т<Д {2, 1} = Ыу3х, {3, 2} =1гауЧ\ {4, 3} = lmyh\
{1, 4}=lmy3x2y, {5, 4} = 1ту3х\ {2, 5} =\ту3х2ух, {6, 5}-
= 1ту3х2у2, {3, 6} = 1ту3х2ух2. Единственной максимальной
эквивалентностью будет') A 35j24 6) = Кег у3 — Кег ху3 =
= Кегу4. Минимальный идеал / содержит только один мини-
минимальный правый идеал (сам идеал /) и девять минимальных
левых идеалов, каждый из которых есть циклическая группа по-
порядка 2. Идеал / можно представить следующим образом:
У3
У'
ifx
у4х
у3х2
У*х2
у3х3
У*х3
У3х2у
У3х4
У*х*
у3 у? ух
у*х2ух
У^х2у2
У*х2у2
у3х2ух2
tfx'yx2
В случае когда полугруппа S содержит нуль 0, она имеет
тривиальный минимальный идеал / = {0}. Идеал / полугруппы
S называется 0-минимальным, если / ф {0} и для любого идеала
/ в S из включений {0} s 7 Е / следует / = {0} или J — I. Полу-
Полугруппа может иметь несколько 0-минимальных идеалов.
Пример 1.5. (а) Пусть Si и S2 — непересекающиеся полу-
полугруппы с минимальными идеалами Л и /2 соответственно; обра-
образуем множество 5 = Si U 52U {0}, где 0§£SiLJS2, и определим
на S операцию, положив xrx2 = x2'Xi = 0 для *ieSiU{0},
jc2 g S2 U {0} и сохранив умножение в S] и S2 (такая полугруп-
полугруппа S называется ^-объединением полугрупп S\ и S2); 0-мини-
мальными идеалами полугруппы S являются /i U {0} и hl){0}.
(b) Пусть S — множество мощности >1 и 0 — выделенный
в S элемент. Определим на S операцию равенством х-у = 0 для
всех х, у е S. Полученная полугруппа называется полугруппой
с нулевым умножением2). Для любого xeS, x ф 0, множество
х=т^0, множество {х, 0} является 0-минимальным идеалом.
Чтобы распространить понятие простоты на полугруппы S
с нулем, можно рассматривать полугруппы лишь с двумя идеа-
') Ниже здесь и в дальнейшем эквивалентность на множестве часто ото-
отождествляется с соответствующим разбиением множества и обозначается ука-
указанием классов. — Прим перев.
2) В оригинале — полугруппа с нулевым квадратом (of square zero).—
Прим. перев.
40 Гл. 2. Отношения Грина
лами: S и {0}. Тривиальным примером такой полугруппы слу-
служит двухэлементная полугруппа с нулевым умножением. Удоб-
Удобно исключить ее из класса 0-простых полугрупп, которые опре-
определяются следующим образом.
Определение 1.6. Полугруппа S с нулем 0 называется 0-про-
стой, если S2=^= {0} и S имеет только два идеала: {0} и S.
Следствие из следующей леммы обеспечит нам характери-
зацию 0-простых полугрупп в терминах разрешимости уравне-
уравнения хау — Ь.
Лемма 1.7. Если I есть 0-минимальный идеал полугруппы S,
то либо Р — {0}, либо 1x1 = I для любого xg/, хФ0.
Доказательство. Если 12ф{0), то 0-минимальность / дает
/ = /2 = /3. Множество /={ле/: 1x1 = {0}} является идеалом
в S, содержащимся в /. Из равенства / = / следовало бы
/3={0}, что противоречит условию /=^={0}. Поэтому /=={0}
и 1x1 = I для х е /, х ф 0. D
Следствие 1.8. Полугруппа S с нулем 0 является ^-простой
тогда и только тогда, .когда S=^={0} и SaS = S для любого
ае5, афО.
Доказательство. Если S 0-проста, то Б2ф {0} и, по лемме 1.7,
SaS = S для любого aeS, а ф 0. Обратно, если SaS = S для
некоторого а ф 0, то S2 ф {0}. Если / — ненулевой идеал в S и
х е /, х ф 0, то S = SxS = /, откуда S = I. О
Следствие 1.9. Если I есть ^-минимальный идеал полугруппы
S, то либо h = {0}, либо I является 0-простой подполугруппой
в S.
Полугруппа S, заданная копредставлением
(х, у, г; х2 — х, Ху = ух = z, xz = zx^= у, yz = zy = z2 =
имеет 0-минимальный идеал /= {у, z, 0}. Заметим, что это ко-
представление является таблицей умножения для S. Данный
пример показывает, что 0-минимальный идеал может быть по-
полугруппой с нулевым умножением и в этом случае он может
иметь более двух элементов.
Не существует никакого удовлетворительного аналога пред-
предложения 1.1, который выражал бы связь между 0-минималь-
ными правыми или левыми идеалами и 0-минимальными идеа-
идеалами. Дальнейшие результаты в этом направлении см. в книге
Клиффорда и Престона [1967, гл. 6].
Возвращаясь к классу полугрупп с минимальными идеалами,
введем максимальные цепи идеалов.
I. Элементарная теория идеалов 41
Определение 1.10. Главным идеальным рядом полугруппы S
называется конечная цепь ^с /2с ... с 1п = 5 идеалов из 5,
где h — минимальный идеал, a h является максимальным среди
идеалов из S, содержащихся в h+i, k = 1, 2, ..., n— 1. Фактор-
полугруппы Риса h+i/h и идеал h называются факторами этого
ряда.
Полугруппами с главными идеальными рядами являются, на-
например, конечные полугруппы и полугруппа End* V всех линей-
линейных преобразований конечномерного векторного пространства
V над полем К (полугруппа End# V рассматривается в разд. 4Ь).
Вообще говоря, полугруппа может иметь несколько различных
главных рядов. Однако, справедлива
Теорема 1.11 (теорема Жордана — Гёльдера для главных
идеальных рядов). Если цепи /,с/2с ...c/m = S и 1[ с: 1'2 с
с: ... с: I'n=S являются главными идеальными рядами полугруп-
полугруппы S, то пг = п, /, = /' и для некоторой подстановки п множе-
множества {1, 2, ..., пг— 1} факторы Ik+1jlk и I'n{k)+Xjl'n{k) изоморф-
изоморфны при каждом k, I ^ k < m.
Для доказательства можно использовать тот факт, что ре-
решетка идеалов полугруппы дистрибутивна и, следовательно,
модулярна (определение модулярной решетки см. в следующем
параграфе, формула B.2.1)). Эта теорема прямо вытекает так-
также из следующей леммы, которая иллюстрирует понятие ^"-клас-
^"-класса, вводимое в следующем параграфе.
Лемма 1.12. Пусть 1 — идеал полугруппы S и J — максималь-
максимальный идеал из S, строго содержащийся в I. Для произвольного
ае/\/ обозначим через 1{а) множество всех таких xe.SlaS\
что S^S1 a S^S1. Тогда 1(а) является идеалом в S и фактор
полугруппы Риса SlaSl/I(a) и I/J изоморфны.
Доказательство. Поскольку множество 1(а) содержит
J(]SlaS\ оно непусто и, очевидно, является идеалом в S. В силу
максимальности J мы имеем /US'aS1 = /. Далее, ш/ для
любого x<=SlaSl\I(a); если х е /, то S^aSl = SlxSl E /, что
противоречит условию а ф J. Таким образом, условие хе
eS'a51\/(a) влечет x^I\J. Обратно, x^l\J влечет je
<=S]aSl; если ш/(а), то SlxSlc=SlaS1 и J [j Sl xSl cz I; тогда
из максимальности / вытекает равенство J\JS]xSl = J, откуда
jce/, что противоречит условию. Поэтому Jte S1aS1\/(a). Это
завершает доказательство изоморфности факторполугрупп
Уа^/Ца) и ///. D
Главными факторами полугруппы S называются факторполу-
группы Риса вида S^S^^a) и минимальный идеал (если он
42 Гл. 2. Отношения Грина
существует). Лемма 1.12 прямо показывает, что когда S обла-
обладает главным идеальным рядом, факторы этого ряда изоморфны
главным факторам полугруппы S, откуда и вытекает доказа-
доказательство теоремы 1.11. В следующем параграфе мы увидим, что
множество SlaSl\I{a) есть /-класс элемента а. Заметим, что
множество 1(а), если оно непусто, является максимальным
идеалом из S, содержащимся в S^S1. В самом деле, если / —
такой идеал из S, что I(a)cz I <=:SlaS\ то, взяв ле/, хф.1(а),
получим SlaSl — S^S1 s/ и, следовательно, l = S1aS1. Из
этого замечания вытекает, что полугруппа S'aS1//^) является
О-минимальным идеалом полугруппы S/I(a). Учитывая след-
следствие 1.9, мы установили следующий результат:
Предложение 1.13. Главные факторы полугруппы либо про-
просты, либо 0-просты, либо полугруппы с нулевым умножением.
Таким образом, исследование полугрупп, допускающих глав-
главные идеальные ряды, можно разбить на две части: (а) изучение
строения 0-простых и простых полугрупп; (Ь) изучение всех
идеальных расширений полугруппы S посредством полугруппы
Т, т. е. изучение всех полугрупп 2, обладающих таким идеалом
5, изоморфным полугруппе S, что факторполугруппа 2/S изо-
изоморфна полугруппе Т. Идеальные расширения обстоятельно
изучаются в книге Петрича [1973].
2. Определения и свойства отношений
Грина
Отношения Грина на полугруппе S определяются формулами
Следующая диаграмма показывает систему включений меж-
между этими эквивалентностями:
If.
Из определения видно, что 01 (соответственно ££) есть левая
(соответственно правая) конгруэнция. Остальные отношения
являются, вообще говоря, просто эквивалентностями. Класс
элемента as5 обозначается прописной латинской буквой, cq-
2. Определения и свойства отношений Грина 43
ответствующей эквивалентности, с индексом a: Ra обозначает
52-класс элемента a, La — соответственно З'-класс и т. д. Отме-
Отметим, что /а = 51а51\/(а), где идеал /(а) определен в лем-
лемме 1.12.
Предложение 2.1. Любая правая конгруэнция, содержащаяся
в 9?, коммутирует с любой левой конгруэнцией, содержащейся
в 91.
Доказательство. Пусть Я, S 9? и р £ 91— правая и левая кон-
конгруэнции соответственно. Допустим, что (а,Ь)^Х°р, или, что
равносильно, (а, с)е! и (с, d)ep для некоторого се5. Из
включений (а, с)^.9? и (с, iNJ? выводим существование та-
таких a, tieS1, что а = ис, b = cv. Отсюда следуют равенства
av = ucv = ub = d. Но (а, с)е! влечет (av, cv)^K, т. е.
(d, 6)еХ. Аналогично (с, djep влечет (ис, «ijep, т. е.
(a, rfjep. Следовательно, (a, b)epj>A, и Я°р£р°Я. Доказа-
Доказательство включения р°Я£Яор двойственно приведенному
выше. □
Следствие 2.2. 25 = ^V5' = ^o^ = 2'ol
Доказательство. Так как E?«И7) о (91° 9?) = 91° 91° SB og'c
£$°i?, отношение 32° .2? — эквивалентность на S. Учитывая
включение й^э^и^1 и определение отношения 91V 2?
(см. гл. 1, разд. 3.1), получаем равенство 91V 2? = 91° 2?.
Другое следствие предложения 2.1, отмеченное Манном
[1964] и представляющее независимый интерес, состоит в сле-
следующем. Предположим, что р и а — конгруэнции, содержащиеся
в Зв. Тогда конгруэнции рПо и р »о = а°р = pV о также со-
содержатся в 36 и решетка всех конгруэнции, содержащихся в 36,
в силу их перестановочности удовлетворяет условию
B.2.1) если тер, то pn(oVT) = (pflo)VT.
Решетка, удовлетворяющая условию B.2.1), называется мо-
модулярной. В любой группе отношение 36 — универсальная кон-
конгруэнция, и поэтому решетка всех конгруэнции на группе, или,
равносильно, решетка всех нормальных подгрупп модулярна.
Пусть R и L суть 91- и З'-класс соответственно. Если R П L ф
ф 0, то R = Ra, L = La для любого а е R П L. Отсюда следует,
что и R, и L содержатся в Da. Обратно, если R и L лежат в
одном ^-классе полугруппы 5, то для x^R, у eL существует
такой йе5, что x9ta и а2?у, т. е. а <= R ПL. Следовательно,
^)-класс D полугруппы S можно изобразить с помощью следую-
следующей egg-box-диаграммы'), клетки которой являются 5^-клас-
•) Этот термин навеян образным представлением возникающего «прямо-
«прямоугольника» 5^-классов в виде коробки нз-под яиц. Как и в русском песеводе
44 Гл. 2. Отношения Грина
сами полугруппы S, лежащими в D
B.2.2)
а
1
1
i
Несложные вычисления показывают, что в полугруппе всех
2Х2-матриц вида
а О
a,
, a>0, b>0,
с обычным умножением матриц выполняются равенства 52 =
= i?=Ж = 3) и эти отношения совпадают с отношением ра-
равенства, тогда как отношение f является универсальной кон-
конгруэнцией. Этот пример показывает, что, вообще говоря, 3)Ф$.
Однако в конечных полугруппах отношения 3) и f совпадают
(более общо, 3) = f в устойчивой полугруппе; см. ниже опре-
определение 3.8 и предложение 3.9).
Предложение 2.3. Если полугруппа S конечна, то SD = f.
Доказательство1). Предположим, что afb, или, что равно-
равносильно, uav = b и xby = а для некоторых и, v, х, у — S1. От-
Отсюда получаем (xu)a(vy) = а и, следовательно, (xu)"a(vy)n = a
для любого «eN. Поскольку S конечна, согласно примеру 4.4
из гл. 1 существуют такие k, /e N, что (xu)k = е = е2, (vyI =
= I = f2. Это приводит к равенствам (xu)kla(vy)kl = а = eaf,
откуда получаем {xu)ka = еа = а = а\ = a(vyI. Следователь-
Следовательно, иа&а и av&a. Первое соотношение влечет uavSfav, т. е.
имеем bSav и av$la, что доказывает соотношение bSDa. Поэтому
/ей) и, так как обратное включение всегда справедливо,
? = 2). U
Существует естественный частичный порядок на множестве
классов каждого из отношений Ж, 52, 9?, f. Например, частич-
книги Клиффорда и Престона [1961] (в которой использовался термин «egg
box-picture»), подыскание этому термину полного русского эквивалента не ка-
казалось нам актуальным. — Прим. перев. и ред.
х) Приведенное доказательство в действительности охватывает и случай
периодической полугруппы. — Прим. ред.
2. Определения и свойства отношений Грина 45
ный порядок на множестве 52-классов определяется условием:
Ra ^ Rb, если и только если aS1 s bSl. Для глобального описа-
описания полугруппы S наиболее важен частичный порядок на мно-
множестве /-классов, определяемый -условием: Ja ^ /ь, если и
только если S^S1 ^SlbSl. Частично упорядоченное множество
/-классов мы назовем остовом (frame) полугруппы S. Полу-
Полугруппы, в которых SD = f, могут быть описаны в терминах их
остова и локального строения различных ^-классов, что и яв-
является нашей главной целью в этой главе1).
Следующая лемма носит фундаментальный характер. Она
показывает, что любые два .Э^-класса (соответственно й-клас-
са), лежащие в одном и том же £2)-классе, равномощны. Отсюда
следует, что все клетки на egg-box-диаграмме B.2.2) имеют
одинаковые размеры.
Лемма 2.4 (лемма Грина). Предположим, что элементы а и
Ъ полугруппы S ^-эквивалентны, и пусть р«, р» — внутренние
правые сдвиги S, соответствующие таким элементам и, v e S1,
что au=*b, bv = a. Тогда ри и р0— взаимно обратные биекции
La на Ьь и Lb на La соответственно. Они сохраняют Ж-классы,
т. е. для любых х, у из La {соответственно из Lb) соотношение
хЖу выполняется тогда и только тогда, когда хиЖуи {соответ-
{соответственно xvS/eyv).
Доказательство. Из хЗ?а следует хи&аи = Ь. Поэтому ри
отображает La в Lb. Далее, существует такой элемент feS1,
что х = ta и
xpupv = xuv = tauv = tbv z=ta = x.
Это показывает, что преобразование р„р0 действует на La тож-
тождественно. Аналогичное рассуждение показывает, что р0 отобра-
отображает Lb в La и что pDpu — тождественное преобразование на Lb,
откуда вытекает первое утверждение леммы. Мы имеем xffixu
для любого х е La. Поэтому хШу влечет хиЖуи. Аналогично
хиЖуи влечет х = хтЖуиь = у. □
Замечание. Утверждение, двойственное лемме Грина, дает
биекции %и, %v, являющиеся внутренними левыми сдвигами,
между двумя 5?-классами, лежащими в одном ^-классе.
Предложение 2.5. (Миллер и Клиффорд [1956]). Для произ-
произвольных элементов a, b в полугруппе S включение ab e?Ra[\Lb
выполняется тогда и только тогда, когда Rb П La содержит идем-
потент.
1) Не следует, конечно, эту формулировку воспринимать буквально и ду-
думать, что названная цель в данной главе достигнута; приведенное высказыва-
высказывание автора носит, можно сказать, методологический характер — ив действи-
действительности многочисленные теоретико-полугрупповые исследования посвящены
конкретизации указанного подхода в различных ситуациях. — Прим. ред.
46 Гл. 2. Отношения Грина
Доказательство. Пусть ab e Ra П i-ъ- По лемме 2.4 сдвиг р»
задает биекцию La на L». Эта ситуация иллюстрируется следую-
следующей диаграммой:
•
с —
•
А,
р
га
•
• Ь
Существует элемент с ^Rb[] La, такой, что ср» = cb = b. Так
как сШ, существует такой и s Sl, что с = fru. Отсюда следует,
что bub = cb = b и поэтому с2 = bubu = bu = c. Обратно, если
с = с2 ^ Rt f\ La, то cb = b и ас = а. Из соотношения с$2Ь выво-
выводим а = achab, a из ci?a выводим b = cbS'ab, откуда ab e
Следствие 2.6. Для Ж-класса Н полугруппы S следующие
условия равносильны:
(a) Я содержит идемпотент;
(b) существуют элементы a, b e Я, такие, что ab e Я;
(c) Я — подгруппа в S;
(d) Я — максимальная подгруппа в S.
Доказательство. Очевидно, (а) влечет (Ь). Обратно, (Ь) вле-
влечет (а) в силу предложения 2.5, так как Я = Ra(]Lb—Rb(]La.
Ясно, что (d) влечет (с), а (с) влечет (а). Для доказатель-
доказательства того, что (а) влечет (d), воспользуемся тем свойством, что
для любого x.eS условие Hxf\HФ0 влечет Нх — Н (см.
ниже лемму 3.2) и, двойственно, хН [)Н Ф 0 влечет хН = Я.
Пусть е — идемпотент из Я. Тогда х = хв = ех для любого
х <= Я. Следовательно, Нх[\хН{\Нф0 и Нх = хН= Н, Со-
Согласно аксиомам частных для группы, Я — подгруппа в S.
Легко проверить, что любая подгруппа из S, для которой в
служит единицей, должна лежать в Я. □
Другим замечательным следствием леммы Грина является
изоморфность всех максимальных подгрупп, лежащих в одном
и том же ^-классе.
Следствие .2.7. Любые две максимальные подгруппы, лежа-
лежащие в одном 2Е)-классе полугруппы S, изоморфны.
Доказательство. Согласно следствию 2.6, две максимальные
подгруппы из S имеют вид Не, Hf для некоторых идемпотентов
е, feS. Так как Не и Hf лежат в одном ^-классе, существует
элемент a^Ref]Lf. Выполняются равенства еа = а и a'a — f
для некоторого а' е S. Леммз Грина и двойственная к ней лем-
2. Определения и свойства отношений Грина 47
ма утверждают, что композиция сдвигов ра и %а' определяют
биекцию из Не на Н; (см. диаграмму ниже), отображающую
идемпотент е на а'еа = а'а = f.
e
Pa
, -(
У
I
Заметим, что аа'а = af = а, откуда видно, что аа' — идем-
идемпотент в Ra. Тогда для любого z e Ra получим aa'&tz и по-
поэтому aa'z = z. В частности, аа'у = у для у&Не. Следова-
Следовательно, для любых х, у е Не
а'хуа = а'х(аа')уа —(а'ха) (а'уа).
Тем самым доказано, что отображение ху~>а'ха является изо-
изоморфизмом Не на Hf. □
Ввиду следствия 2.7 существование идемпотента в й)-классе
заслуживает специального исследования. С этой целью мы вво«
дим понятие регулярного элемента.
Определение 2.8. Элемент а полугруппы S называется регу-
регулярным, если в 5 существует такой элемент х, что- аха = а. По-
Полугруппа называется регулярной, если все ее элементы ре-
регулярны.
Если элемент а регулярен и аха
а, то элементы а и а' =
• а'. Любые два
= хах связаны равенствами аа'а = а и а'аа' ■
элемента а и а', удовлетворяющие этим равенствам, называются
инверсными друг к другу.
Примеры. Любой элемент из подгруппы является регуляр-
регулярным элементом полугруппы. Полугруппы titr{А) и End* V регу-
регулярны.
Следующий результат показывает, что регулярность является
фактически свойством ^-класса.
Предложение 2.9. 2)-класс D полугруппы тогда и только
тогда содержит регулярный элемент, когда все его элементы
регулярны. Если класс D регулярен, то любой 91-класс и любой
S-класс, лежащие в D, содержат хдтя бы один идемпотент.
Доказательство. Равенство а = аха равносильно соотноше-
соотношению аЗ'е, где е — е2 = ха, а также соотношению аЩ, где / =
=^= f2 =*= ах. Если а е D, то для произвольного iefl найдется
такой c^D, что aS'c и сШ>. Когда а регулярен, мы имеем
и поэтому с тоже регулярен. Аналогично, из регуляр-
48 Гл. 2. Отношения Грина
ности с и соотношения сШ следует регулярность элемента Ъ.
Вторая часть предложения очевидна. □
Если а' — инверсный к а элемент, то а&аа' и аа'&а'. Это
показывает, что все элементы, инверсные к а, лежат в ^-классе
элемента а (см. диаграмму B.9.1)).
и'а
• а
—-•
.а'
аа'
Ьп
• а
.f
■ .
.ь
B.9.1)
аЬ
B.9.2)
Обратно, пусть teS — такой элемент, что Raf\Lb содержит
идемпотент е, а Ьа[\Нь содержит идемпотент / (см. диаграмму
B.9.2)). Тогда, в силу предложения 2.5, ab&.He и Ьа^Н;. По
лемме Грина существует, и притом единственный, элемент
л:е#», такой, что xa=*f (поскольку ра задает биекцию Ьь на
La). Так как aft=*a, получаем аха = а. Но идемпотент ах ле-
лежит в Не (поскольку Ха задает биекцию Яь на Ra). Отсюда вы-
вытекает, что ах ===== е, откуда хах — х; элемент х — единственный
инверсный к а, лежащий в Нь. Мы доказали следующее пред-
предложение, принадлежащее Миллеру и Клиффорду [1956]:
Предложение 2.10. М-класс Нь тогда и только тогда содер-
содержит элемент х, инверсный к а, когда каждый из классов Ra D Lb
и LaORb содержит идемпотент. Далее, х — единственный в Нь
элемент, инверсный к а.
Отсюда вытекает, что мощность множества всех инверсных
к элементу a&S равна произведению card{e: e&a} -card{f: \3?а}.
Определение 2.11. Полугруппа называется инверсной, если
каждый ее элемент имеет единственный инверсный. В этом слу-
случае элемент, инверсный к а, обозначается через сгх.
Из замечания о мощности множества инверсных элементов и
предложения 2.9 вытекает, что полугруппа будет инверсной
тогда и только тогда, когда любой ее 52-класс и любой З'-класс
содержит в точности один идемпотент. Типичным1) примером
инверсной полугруппы служит полугруппа З^г(Л) всех взаимно
однозначных частичных преобразований на множестве А.
Следующее предложение характеризует инверсные полугруп-
полугруппы в терминах их идемпотентов.
') См. упр. 10 в конце главы. — Прим. перев-
8. Группа Шютценберже Ф-класса 49
Предложение 2.12. Полугруппа тогда и только тогда инверс-
инверсна, когда она регулярна и любые два ее идемпотента переста-
перестановочны.
Доказательство. Предположим, что полугруппа S регулярна
и ее идемпотенты перестановочны. Пусть а', а" — два инверсных
к элементу а. Из равенства аа'аа" = аа"аа' следует аа" — аа'.
Аналогично, а!а = а"а. Отсюда непосредственно получаем а' =
= а'аа' = а'аа" =* а"аа" = а". Обратно, пусть S — инверсная
полугруппа и е, f — два ее идемпотента. Чтобы упростить запись,
положим X'=(ef)~1. Несложная проверка показывает, что fxe —
идемпотент, инверсный к элементу ef. Поскольку идемпотент
является инверсным сам к себе, получаем fxe = ef. Это влечет
ef = fef = efe. Меняя в предыдущем рассуждении ролями в и f,
выводим \е = efe = fef, откуда ef = fe. □
Замечание. Правила вычисления инверсных элементов в ин-
инверсной полугруппе те же, что и в группе. Именно (а-1)-1 = а
и (аЬ)~1 = Ь-^а~1 (так как ab(b-xa~x)ab = a(bb~l) (a~1a)b =
= a(a~la) (bb~x)b =» ab и, аналогично, b~la~labb~la~l = b~la-1).
3. Группа Шютценберже ^-класса
Регулярность ^-класса D полугруппы представляется необ-
необходимым условием выявления некоторых особенностей строения
полугруппы, таких, в частности, как изоморфизм между макси-
максимальными подгруппами, лежащими в D. Однако аналог послед-
последнего результата имеет место и для произвольного ^-класса.
Основополагающая работа Шютценберже [1957] показывает,
как сопоставить произвольному 5^-классу Н группу подстано-
подстановок на множестве Н таким образом, чтобы группы подстановок,
сопоставленные любым двум 5^-классам из одного ^-класса
(регулярного или нет), были подобны в следующем
смысле.
Определение 3.1. Пусть S и Т — полугруппы преобразований
на множествах А и В соответственно (т. е. S^3~r(A), 7 s
SfFr(B)). Полугруппы S а Т называются подобными, если су-
существует изоморфизм ф из S на Т и биекция 8 из Л на В, та-
такие, что (8(а))ф(л;) = 8(ах) для любых а е A, x^S (т. е. диа-
диаграмма C.1.1) коммутативна для любого JteS),
C.1.1)
60 Гл. 2. Отношения Грина
Подобные группы подстановок S и Т являются подгруппами
симметрических групп ff'riA) и ^г(В) соответственно, которые
подобны в смысле определения 3.1.
Напомним, что группа подстановок G на множестве А на-
называется транзитивной (соответственно просто транзитивной
(или регулярной)), если для любой пары элементов аь а2^А
Существует (соответственно существует единственная) подста-
подстановка х е G, такая, что ахх = а2.
Лемма 3.2. Пусть R и L — соответственно 91-класс и 3?-класс
полугруппы S и Н = R(]L. Тогда для любого хе S1, либо
Hx{\R=*0, либо Нх есть Ж-класс R(]Lx. В частности,
Нх П Я J= 0 тогда и только тогда, когда Нх = Я.
Доказательство. Предположим, что b е Нх (]R и Ь = ах для
некоторого а е Я. Так как а31Ъ, по лемме Грина внутренний
правый сдвиг р* задает биекцию из La == L на Ьь = Lx, которая
отображает Я на 5^-класс Hx — R[\Lx. □
Множество Str(H)= {x eS1: Hx = H) называется правым
стабилизатором класса Я и, очевидно, является подмоноидом
в SK На Str(H) определим отношение ~, положив х ~ у тогда
И только тогда, когда hx = hy для некоторого (а значит, для
любого) Ag//. Это отношение является конгруэнцией на
Str(H). Обозначим через б канонический моноидный гомомор-
гомоморфизм Str(H) на Str(H)/~ =ГГ(Я) и назовем ГГ(Я) моноидом
Переходов (transition monoid) класса Я.
Теорема 3.3. Моноид переходов Т,{Н) Ж'-класса Я полу-
полугруппы S является просто .транзитивной группой подстановок
на Н. Если Ж-классы Нх и Н2 содержатся в одном 3)-классе из
$, то группы подстановок Tr(Hi) и ТГ(Н2) подобны. Если Н —
максимальная подгруппа в S, то ТГ(Н) и Я изоморфны.
Доказательство, (а) Для любого xeStr(#) и любого АеЯ
мы имеем hx36h. Поэтому существует такой у е S1, что hxy =
— h = h-\. Отсюда следует, что 8(х)8(г/) = 8(л;г/) = 8A). Ана-
Аналогично, из hxyx = hx = hx-\ выводим 8(у)8(х) = 8(ух) = 8A).
Это показывает, что ГГ(Я)—группа подстановок на Я. Для дан-
данной пары h\, I12&H существует такой JteS1, что h\X = hi.
Если h\x = h\y=-hi для некоторого i/eS1, то Ь(х)=Ь(у) по
определению 8. Поэтому группа подстановок IV(Я) просто тран-
зитивна на Я.
(Ь) Пусть Я1 = ^1П^1 и H2 = R2(]L2 — два 5^-класса, ле-
лежащих в одном 0-классе полугруппы S. Взяв йе Нх и 6е
s ./?i П L2, найдем и, не S1, такие, что а = Ьи, Ъ = av. По
лемме Грина ри и р» — биекции L2 на L^ и L\ на L2 соответ-
соответственно. Эти биекции переставляют 5^-классы из L2 и L\, лежа-
лежащие в одном и том же 5?-классе. Пусть xisSt, (Я,^ или, раз*
3. Группа Шютценберже Sb-класса 6i
носильно, Н\Х\=Н\. Тогда, положив Н ~ Li(]R2, покажем, что
Hxi = H. Эту ситуацию иллюстрирует диаграмма C.3.1),
C.3.1)
a
с
Ч
И
•
л
to
ги
ч
"г
Возьмем произвольный элемент с е Я и найдем такой z e S1,
что с = га. Так как ах\^.Ни имеем аЯах\, что дает za&zaxi
или c5?cxi. Отсюда получаем Нх1(]Я2ф 0 и, по лемме 3:2,
Нх\ = LiXi[~l^2 = Li[\R.2 = Я. Определим отображение
|з: 5Ъ(Я1)->-51г(Я2) формулой гр(xi) = ux\V. Если HiXi = Hu то
ty: Str(Hi)-:>-Str(H2) формулой гр(xi) = ux\V. Если Н\Х\ = Н\, то
равенства H2uxiv = /fjcio = Hv = Яг показывают, что г|з опре-
определено корректно. Наконец, определим ср: ГГ (#!)->-Г, (Яг) та-
таким образом, чтобы диаграмма C.3.2) была коммутативна:
Str{Hx) JU
C.3.2)
ГДЯ,)
Должно иметь место <pFi(jci))=62(\|)(-Ki)) Для всех х\ е 8^(Я!).
Это равенство, как показывает прямая проверка, полностью
определяет изоморфизм ТТ{НХ) на ГГ(Н2). Отображение
9: Н1-*-Н2, заданное равенством Q(hl) = zhiv, является биек-
цией, и для любых h\^Hu x\^$>\r(H\) справедливы равен-
равенства z(Ai6(jci))i; = zh\xxv и
(zh\v) 82(^ (xi)) — (zkiv) t (xi) = zhivuxiv = zhixtv.
Это показывает, что 0(fti6i(JCi)) = F(fti))<pFi(;ciJ) для любых
hi e H[, xi^Str(Hi), т. е., согласно определению 3.1, группы
подстановок ГГ(Я,) и ГГ(Я2) подобны.
(с) Если Я —подгруппа в S, то Я —подгруппа в Str(H) и
отображение б: Я->ГГ(Я) является, очевидно, изоморфиз-
изоморфизмом. □
Все понятия, представленные в данном параграфе, можно
дуализировать. В частности, левый стабилизатор класса Я
определяется равенством St/(//)={xeS': xtf = H}, а конгру-
конгруэнция « на SU(H) — условием: х « у, если и только если
xh=yh для некоторого /геЯ. Фактормоноид Г/(#)= St/(#)/«
есть просто транзитивная группа подстановок, действующая на
Я слева. Обозначим через у канонический гомоморфизм
62 Гл. 2. Отношения Грина
у: Sti(H)-*-Ti(H). Тождество ассоциативности (xh)y = x(hy)
индуцирует равенство [у(х) (h)]8(y) = y(x) [(h)8(y)] для лю-
любых x^Sti(H), (/eStr(//), йеЯ. Это означает, что у(х) и
б (у)— коммутирующие левая и правая подстановки на Я. Из
этого замечания вытекает
Предложение 3.4. Левая и правая группы подстановок Ti(H)
и Тг(Н) данного Ж-класса Я изоморфны.
Доказательство. Зафиксируем элемент h e Я. Для данной
подстановки y(x)^Ti(H) существует единственная подстановка
б((/)еГг(Я), такая, что у (х) h= h.8 (у). Определим Ф: Гг(Я)->-
->Тг(#), положив Ф [у (х) ] — б (у). Так как группы подстановок
Г/(Я) и ГГ(Я) просто транзитивны, отображение Ф — биекция.
Пусть y{xt)h = hb{yi), i= 1, 2. Тогда
Y {ххх2) h = y (xj [у (x2) h] = y (xj [h6 (y2)] =
= [Y (x,) А] б (y2) = [hb (yx)] б (у2) = Лб (У1г/2).
Отсюда вытекает, что Ф[7(^1-^2)] =S((/i(/2) = б((/iN(y2) ш
= Ф[у(л;1)]Ф[7(л;2)], т. е. Ф — изоморфизм. □
Изоморфность максимальных подгрупп, лежащих в одном
регулярном ^-классе (следствие 2.7), очевидным образом выте-
вытекает из теоремы 3.3. Преимущество прямого доказательства
следствия 2.7 состоит в том, что оно дает требуемый изомор-
изоморфизм явно.
Абстрактная группа ТГ(Н) называется группой 0-класса D,
содержащего Н, или группой Шютценберже класса D. Мы свя-
свяжем группу Гг (Я) со стабилизатором ^-класса L, содержащего
Я, следующим образом.
Определим правый стабилизатор Str(L) .Э^-класса L равен-
равенством Str(L)= jxe S1: Lx^L}. Поскольку 3? — правая кон-
конгруэнция, имеем также Str(L)— {j;e Su. Ьх{\Ьф0), и лемма
3.2 показывает, что Str(H) есть подмоноид моноида Str(/_).
Использованное для определения Гг(Я) отношение ~ на
Str(H) естественным образом продолжается на Str(L). А имен-
именно, для х, у е Str(L) положим
х ~ у, если и только если lx — ly для
некоторого (а значит, для любого) /eL
Это отношение, как и раньше, является конгруэнцией на Str(L);
канонический гомоморфизм из Str(L) на Str(L)/~ обозначим
снова через б, а фактормоноид Sr(L) = Str(L)/~ назовем мо-
моноидом переходов класса L.
Предложение 3.5. Моноид переходов 2r(L) 3?-класса L яв-
является моноидом с левым сокращением, а группа Шютценберже
ГГ(Я) произвольного Ж-класса HsL служит группой обрати-
обратимых элементов в 2r(L).
3. Группа Шющенберже Sb-класса 53
Доказательство. Пусть х, у, zeStr(L) и ху ~ xz. Тогда
Ixy = Ixz для некоторого / е L. Так как lx e L, получаем г/ ~ г.
Это показывает, что 2r(L) — моноид с левым сокращением.
Ясно, что для любого 5^-класса Я, лежащего в X, группа Гг(#)
содержится в группе обратимых элементов моноида Sr(L).
Обратно, предположим, что для S(x)eSr(L) найдется такой
5((/)eSr(L), что б(л;)б((/) = б((/)б(л;) = 1. Тогда для любого
/eL выполняются равенства lxy = lyx = l-l, показывающие,
что 1хШ и, следовательно, 1хЖ1. Отсюда вытекает включение
6(х) е Гг (#), завершая тем самым доказательство того, что
ТГ{Н) есть группа обратимых элементов в 2r(L). □
Следствие 3.6. Для любого S-класса L и любого ^-класса
H<=:L либо Sr(L)== ГГ(Я), либо Sr(L) не имеет минимальных
правых идеалов.
Доказательство. Поскольку 2r(L) — моноид с левым сокра-
сокращением, единица 1 является его единственным идемпотентом
(так как 1-1 = 1-1 влечет /= 1). Если 2r(L) имеет минималь-
минимальный правый идеал R, то для любого r^R будет rR = R, при-
причем R — полугруппа с левым сокращением. В силу упр. 6 из
гл. 1, R содержит идемпотент. Отсюда R = Tr(H)=^'Er(L). □
Следствие 3.6 показывает, что наложение некоторых локаль-
локальных условий конечности приводит к совпадению моноида 2r(L)
с группой Гг(#) произвольного <2#-класса Я из L. Такие усло-
условия доставляет
Предложение 3.7. Следующие условия для f-класса I про-
произвольной полугруппы равносильны:
(a) частично упорядоченное множество всех Я-классов, ле-
лежащих в J, имеет минимальный элемент;
(b) существует q e /, удовлетворяющий следующему так на-
называемому условию правой устойчивости в точке q:
PV(q): для любого xeS
qfqx, если и только если q9lqx\
(c) условие 3^r{q) выполняется для всех q^J;
(d) любой Si-класс, лежащий в J, минимален в множестве
всех ^-классов, лежащих в J.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Пусть R — минимальный
52-класс, содержащийся в /, и q e R. Если qx е /, то Rqx ^ Rq =
= R. Это дает Rqx = R, или, равносильно, q&qx.
(b) влечет (а). Предположим, что условие tf'riq) выпол-
выполняется для некоторого q^J. Если й-класс R £ / таков, что
R^.Rq< то для любого p^R существует такой isS1, что
p — qx, и условие Р7, (д) влечет qx = p<^Rq, откуда R = Rq,
т. е. Rq — минимальный из 52-классов, лежащих в /.
54 Гл. 2. Отношения Грина
Так как (а) и (Ь) равносильны, для доказательства их экви-
эквивалентности условиям (с) и (d) достаточно показать, что пра-
правая устойчивость в точке ?е/ не зависит от выбора q, т. е.
условия ff'riq) и qfq' влекут за собой 9>r(q'). Допустим, что
q = uq'v, q' = u'qv' для некоторых и, v, и', v' e S1, и q'fq'x,
откуда q'= rq'xy для некоторых г, yeS1, Из равенств q =
= uq'v = urq'xyv = uru'qv'xyv выводим qfqv'x, и тогда i?V(<7)
влечет qdlqv'x. Следовательно, ^ = <7у'*^ для некоторого t e S1,
откуда в свою очередь получаем #' == u'qv' = u'qv'xtv' = q'xtv',
т. е. q'&q'x. О
Определение 3.8. ^"-класс / называется устойчивым справа
(соответственно слева), если он удовлетворяет одному из усло-
условий (соответственно двойственных условий) предложения 3.7.
Класс / называется устойчивым, если он устойчив и справа, и
слева.
Замечание. Если класс / устойчив справа, то для любого
^-класса t£/ и любых q e L, x^Str(L) мы имеем qxSq.
Правая устойчивость в точке q дает тогда qx0iq, т. е. q = ^xt/
для некоторого i/eS1. Это означает, что .п/ ~ 1 или 6(xN(i/) =
= 6A) в Sr(L). Отсюда получаем в(.y)в((/)в(х) = б(jc) и, со-
сокращая слева на б (я), б((/)б(х)==бA). Следовательно, б(х)
обратим для любого xeStr(L). Это показывает, что правая
устойчивость класса J влечет равенство 2r(L)= Tr{H) для лю-
любого 9?-класса L^J и любого Зё-класса Н£L.
Предложение 3.9. Если f-класс J устойчив, то он содержит
единственный 2)-класс.
Доказательство. Пусть q, q'^I и q = uq'v, q' — u'qv' (u, v,
и', ti'eS1). Из равенства q = uu'qv'v, используя условия frtiq)
и tfriq), получим последовательно q = ru'q = qv's для некото-
некоторых г, s e S1. Отсюда вытекают соотношения qSu'q и q$lqv'.
Учитывая, что 2" — правая конгруэнция, выводим qv'Su'qv'' =
= q' и, наконец, (?, /) е 52 о S7 = 3>. П
Из предложения 3.7 вытекает, что все ^"-классы полугруппы
S устойчивы справа тогда и только тогда, когда ?/?л: влечет
qSlqx для любых q, x e 5. В этом случае мы называем 5 устой-
устойчивой справа полугруппой. Это свойство можно выразить с по-
помощью одного лишь отношения 01:
Предложение 3.10. Полугруппа S тогда и только тогда устой-
устойчива справа (соответственно слева), когда Ra^Rba (соответ-
(соответственно La ^ Lab) влечет Ra = Rba (СООТвеТСТвеННО La = Lab)
для любых a, b eS.
Доказательство. Предположим, что S устойчива справа и
Ra^Rba. Существует такой элемент HeS1, что а~Ьаи. От-
3. Группа Шютценберже &)-класса 55
сюда следует, что af аи и поэтому aSlau, откуда Ьа91Ьаи = а,
Т. е. Ra = Rba- ОбраТНО, ДОПУСТИМ, ЧТО Ra ^ Rba ВЛечеТ Ra = Rba
для любых а, Ь е S и пусть qfqx для некоторых q, x e S. Тогда
существуют такие u, tie S1, что q = uqxv. Так как qxv e ^«S1,
получаем Rqxv ^ /?g = Ru(qxv). Отсюда следует RqXv = Rq, что
дает qxvw = 9 для некоторого aseS1 и потому q&qx. D
Следствие 3.11. Пусть полугруппа S устойчива справа. Для,
любых a,b <= S, если La = Ьь и Ra*^ Rb, то Ra = Rb-
Предложение 3.9 показывает, что в устойчивой (т. е. устой-
устойчивой и слева, и справа) полугруппе S справедливо равенство
7 = 2). Это выполняется, в частности, если полугруппа 5 пе-
периодическая (заметим, что периодичность S равносильна тому,
что для любого xeS найдется такое «eN, что хп — идемпа-
тент).
Пример 3.12. Любая периодическая полугруппа устойчива..
Доказательство. Предположим, что Ra ^ Rba, т. е. а = Ъах
для некоторого JteS1. Отсюда следует, что a = bmax'n и Ьа =
= bm+laxm для всех meN. В частности, взяв п > 1, при кото-
котором хп = х2п, мы получим ba = bn+xaxn = bn+lax2n =
= &"+1а*"+1хп-1 = ахп~1. Это показывает, что ba e aS1 и, сле-
следовательно, Яба ^ /?а, откуда Rba = #a. Двойственные рассуж-
рассуждения доказывают, что S устойчива также слева. D
Мы закончим данный параграф одним приложением.
Предложение 3.13. Пусть S — устойчивая полугруппа, по-
порожденная п различными элементами а,\, а^, ..., ап, /г>1..
Если аМа/ для всех i, j, I ^,1, j ^n, то S проста справа.
Доказательство. Допустим, что х&а для некоторого x^S
и некоторого образующего а. Поскольку x = a(lat2 ... alk, мы
имеем х^ alSi = aSi. Таким образом, Lx = La и Rx ^ Ra.
8 силу следствия 3.11 получаем х91а. Поэтому х&а влечет
х&а, а это означает, что 0-класс, в котором лежат образующие,
является на самом деле 52-классом, скажем R. Так как в устой-
устойчивой полугруппе S) —7, класс R будет также /-классом /<,,
содержащим образующие, и, очевидно, Jx ^ Ja — R для любого
xeS. Далее, если множество S\/? непусто, то оно является
идеалом в S. В самом деле, если хеS\/? и i/gS, to
S1xySl[}SlyxSl^SlxSlczS1aSl и поэтому ху, yxe=S\R. За-
Зафиксируем reJ?, и пусть s ^R, s=^r. Тогда s = ru и г — sv,
где и, bgS. Отсюда г = ruv, и, поскольку S\/? — идеал, полу-
получаем и, v, uv e i?. Следовательно, s ^ rR и г & rR, откуда
Rs rR. С другой стороны, множество г/? содержится в
56 Гл. 2. Отношения Грина
некотором 52-классе из S. Поэтому rR^R и rR = R для всех
г е R. Это доказывает, что R замкнуто относительно умножения,
откуда R = S и S = rS для всех reS.
4. Примеры вычислений отношений
Грина
Ниже, в п. а и d, мы обозначаем через &~(А) полугруппу
всех преобразований на множестве А, действующую справа. Эта
полугруппа в разд. 2.2 гл. 1 обозначалась посредством 3~Г(А),
а. Отношения Грина в полугруппе £Г(А) всех преобразова-
преобразований на множестве А
Предложение 4.1. (а) Два элемента х, у^£Г(А) ^-эквива-
^-эквивалентны (соответственно &-, $'-эквивалентны) тогда и только
тогда, когда Кег*—Кег г/ (соответственно \m.x = \my,
rank* = rank у).
(b) В 3~(А) эквивалентности f и 2D совпадают и остов по-
полугруппы ST(A) (т. е., напомним, частично упорядоченное мно-
множество f -классов) есть цепь, длина1) которой равна мощности
множества А.
(c) Любой Ж-класс Я (я, В) в Т(А), лежащий в f-классе
ранга г (г ^ card А), бднозначно определяется эквивалентно-
эквивалентностью л на А, разбивающей А на г классов, и подмножеством В
из А мощности г: #(л, В) = {х&3~ (А): Кег х = я и Im* = В}.
(d) Класс Н(п, В) тогда и только тогда является макси-
максимальной подгруппой, когда В трансверсально л; в этом случае
Н(л, В) изоморфна симметрической группе 9*(В).
(e) Полугруппа 3~(А) регулярна.
Доказательство. Утверждение (а) вытекает из леммы 1.2.
Для доказательства равенства f = Ф предположим, что
rank х = rank у; тогда Im* и Л/Кегг/ имеют одинаковую мощ-
мощность и существует биекция р\ Л/Kery^-lmx; если q: A-*-
->-Л/Кегг/ — факторотображение, то композиция z = q°p при-
принадлежит &~(А) и удовлетворяет равенствам 1тг==1тл:,
Кег z = Кег у; тогда, согласно (a), xSz и z9ly, откуда хЗ)у.
Последняя часть утверждения (Ь) вытекает из леммы 1.2, а
(с) есть следствие из (а). Для доказательства (d) предполо-
предположим, что Н(л, В) содержит идемпотент е. Тогда аее — ае для
любого аеД откуда следует соотношение ссеяа, показываю-
показывающее, что множество B=lme пересекается с каждым я-клас-
сом. Далее, если реВ и Ряа, то Р = уе для некоторого у е А
') Здесь — кардинальное число элементов цепи. Обычно (см., например,
ниже предложение 4.2) длиной цепи называют кардинальное число ее зве-
рьев. — Прим. перев,
4. Примеры вычислений отношений Грина 57
и |3е = ае = уее = уе = р. Это показывает, что множество В со-
содержит в точности один элемент, а именно ае, из я-класса эле-
элемента а, т. е. В— трансверсал для я. Обратно, если В имеет
с каждым я-классом Л,- точно один общий элемент а,-, то пре-
преобразование е, определенное на каждом Л,- равенством Aie = ait
является идемпотентом. Доказательство того, что группа
Я(я, В) изоморфна симметрической группе 9"(В), оставляется
читателю в качестве упражнения. Наконец, чтобы доказать (е),
заметим, что любая эквивалентность я на Л имеет трансверсал;
поэтому любой ^)-класс в &~ (А) содержит идемпотент; согласно
предложению 2.9, полугруппа Ф~(А) регулярна.
Ь. Отношения Грина в полугруппе End# V эндоморфизмов
векторного пространства V над телом К
Пусть V — правое векторное пространство над телом К. Мно-
Множество всех эндоморфизмов (= линейных преобразований) про-
пространства V вместе с операциями сложения + и композиции •
образует кольцо, обозначаемое через End# V. Мы рассматри-
рассматриваем только полугруппу (End* V, •); образ вектора оёУ при
действии эндоморфизма f e End* V обозначается посредством
vf. Напомним также, что для любого f e End* V точная после-
последовательность (см. Бурбаки [1970])')
-»V -^ Imf-»0
расщепляется (здесь Kerf={i>eV: vf = O}, lmf={v^V:
v = wf для некоторого aieF}). Это означает, что пространство
V допускает разложение вида
y=Kerfe(Imf)',
где (Imf)' — прямое дополнение подпространства Kerf, изо-
изоморфное Imf. Рангом эндоморфизма f (обозначение: rank f)
называется размерность подпространства Im f, или, что то же
самое, размерность факторпространства V/Kerf. Следующее
утверждение, доказательство которого мы опускаем, служит
аналогом предложения 4.1.
Предложение 4.2. (а) Два элемента f, geEnd^V Я-эквива-
лентны (соответственно SB-, f-эквивалентны) тогда и только
тогда, когда Ker f = Ker g (соответственно Im f = Im g, rank f —
k
l) Первое издание книги Бурбаки, с которого сделан русский перевод, не
4>i-\ ft
содержит требуемого определения. Последовательность... At_x *-А{ *•
*■ А{+1 ... гомоморфизмов векторных пространств (или, более общо,
модулей) называется точной, если Ker q>; = Im <pi_i для любого /. — Прим.
перев.
Гл. 2. Отношения Грина
(b) В ЕпсЬс V эквивалентности f u 2) совпадают и остов
полугруппы Endx V есть цепь, длина которой равна размерности
пространства V.
(c) Любой Ж-класс Н{А, В) в End* V, лежащий в f -классе
ранга г (г <: dim V), однозначно определяется подпространства-
подпространствами А и В из V, такими, что dim(F//l) = r==dim5: H(A, В) =
= {ft=EndKV: Кег/ = Л и lmf = B}.
(d) Класс Н(А, В) тогда и только тогда является максималь-
максимальной подгруппой, когда V = АФ В; в этом случае Н(А, В) изо-
изоморфна общей линейной группе GL(B, К).
(e) Полугруппа End* V регулярна.
с. Сужения отношений Грина на подполугруппы
Предположим, что данная полугруппа S является подполу-
подполугруппой полугруппы Т. Если обозначить отношения Грина в по-
полугруппе S посредством 91, 2, ..., а в полугруппе Т — посред-
посредством 91т, 2т, ..., то сужения 9?, 2*, ... отношений 91т, £т, ...
на полугруппу S удовлетворяют включениям 52s52*, S'si?*, ...,
которые, вообще говоря, являются строгими. Например, если
T = (Z, -f) и S = (№, +), где № — множество неотрицатель-
неотрицательных целых чисел, то все отношения 91, &, ... совпадают с ра-
равенством, а отношения 9t, Я?*, ... — с универсальной эквива-
эквивалентностью. В этом примере сужения отношений 91, S', 91т, 3?т
на произвольный 0-класс в S совпадают, но в общем случае
это не так. Докажем, следуя Андерсону, Хантеру и Коху
[1965],
Предложение 4.3. Пусть S — подполугруппа полугруппы Т и
D — регулярный Ф-класс в S. Тогда сужения на D отношений
Грина 91, 2', Ж из S и из Т совпадают.
Доказательство. Пусть х, у eD и x9ty. Поскольку D — регу-
регулярный 0-класс в S, в силу предложения 2.9 существуют идем-
потенты е, f e S, такие, что х91е и \91у. Из включения 91 s 9?
вытекает, что е91*\ и потому е = \е, f = ef. Следовательно, еЩ,
откуда х91у. Для Я? доказательство аналогично, а тогда полу-
получаем требуемое и для Ж. □
Теперь можно было бы ожидать, что 5^-класс Нх и <3#*-класс
Нх для регулярного элемента х из S совпадают. Но это неверно
без дополнительных предположений относительно S (в при-
примере, указанном выше, Но ф Н*оу Если же полугруппа S ко-
конечна, то Не = Я* для любого идемпотента е е S; это непо-
непосредственно вытекает из следующего предложения (при а =
— Ь= 1) и предложения 4.3.
Предложение 4.4 (Перро [1972]). Пусть S — конечная под-
подполугруппа полугруппы Т, xeS, a, b eS1 и е — идемпотент в Т.
4. Примеры вычислений отношений Грина 59
Допустим, что е&тЬх, ЬхЭ?тХ, х91тха и ха2?те, где Ят и &т обо-
обозначают отношения Грина в Т. Тогда е е S и элементы е, ха, Ьх
лежат в ^-классе элемента х в S.
Доказательство. Наши предположения иллюстрируются сле-
следующей картиной ^г-класса из Т, содержащего хне:
<г
Ьх
t
ха
е
•
Пересечение йг-класса элемента Ьх и ^г-класса элемента
ха содержит идемпотент е. Согласно предложению 2.5, получаем
хаЬхЖтХ. По лемме 3.2 элемент {abx)k для любого k ^ 1 опре-
определяет правый сдвиг <5^г-класса элемента х. Так как 5 конечна,
существует /, при котором (abxI является идемпотентом, дейст-
действующим на <5^г-классе элемента х как единица группы Шютцен-
берже этого <Э£т~класса. Отсюда следует, что х (abxI = x и
поэтому хаМх, bxS'x, хаЬхЖх. Как показывает предложение 2.5,
примененное к S, из включения xabx e Rxa П Ььх вытекает, что
Lxa П Rbx содержит идемпотент, и им должен быть е, так как
Lxa П Rbx содержится в 5^7-классе этого идемпотента. Следова-
Следовательно, ее5и еЗ?ха, xaSlx, откуда еЗ)х. □
Эти результаты мы используем в следующем пункте, где S
будет подполугруппой полугруппы преобразований Т(А) на ко-
конечном множестве А.
d. Регулярные 3)-классы полугруппы преобразований на ко-
конечном множестве
Пусть S — подполугруппа в &~(А), заданная множеством
образующих. Последующие два предложения лежат в основе
алгоритма систематического вычисления регулярных ^-классов
из S. Этот метод более подробно объясняется в работе Перро
[1972].
Предложение 4.5. Пусть S — подполугруппа в Т(А), где мно-
множество А конечно. Для данного xeS построим множества
{lmxy: i/eS1 и card(Imxy) = card(lmx)},
{Keryx: yezS1 и card(^/Ker г/*) = card (Л/Ker x)}.
Тогда следующие условия равносильны:
(a) 3)-класс элемента х регулярен;
(b) существует подмножество В из А, В^У°(х), трансвер-
сальное к Кег х;
60 Гл. 2 Отношения Грина
(с) существует эквивалентность л на А, яеХ°(*), транс-
версальная к Imx.
Доказательство. Предположим, что 0-класс Dx из S регу-
регулярен. В силу предложения 2.9, 52-класс Rx элемента х содер-
содержит идемпотент е. Существует такой (/е5', что ху — е. Так
как хне лежат в одном ^-классе полугруппы 3~'{А), по предло-
предложению 4.1 (а) имеем Кег е = Кег х и множество В = Im e имеет
ту же мощность, что и Im*. Следовательно, В<=У0(х) и, со-
согласно предложению 4.1 (d), множество В трансверсально к
Кег е = Кег х. Это доказывает, что (а) влечет (Ь). Обратно,
пусть множество ВеЗ10^) трансверсально к Кег*. При этом
B = lmxy для некоторого i/gS1. Так как card(Im;q/) =
= card (Imx), элементы ху и х лежат в одном ^-классе полу-
полугруппы ёГ{А). Отсюда вытекает, что число классов эквивалент-
ностей Кег ху и Кег х одно и то же; но Кег х s Кег ху и А ко-
конечно; поэтому Кег*г/=Кег*. Таким образом, множество
В = Im ху трансверсально к Кег ху, откуда следует, что некото-
некоторая степень элемента ху, скажем {ху)к, есть идемпотент. Из
равенств Кег (ху)k = Кег ху = Кег х вытекает, что (ху)к и х
52-эквивалентны в 3~(А), откуда (xy)kx — x. Это доказывает,
что х — регулярный в S элемент, т. е. выполняется (а). Дока-
Доказательство равносильности условий (а) и (с) двойственно дан-
данному, и мы его опустим. □
Чтобы выяснить, является ли элемент х е S регулярным,
можно использовать следующий метод: составляется список
подмножеств из А, попадающих в &°(х), путем вычисления мно-
множеств Im xg = (lm x)g для любого образующего g из S и повто-
повторения этого процесса до тех пор, пока вновь получаемые мно-
множества не будут повторениями уже найденных либо их мощ-
мощность не станет меньше, чем у Im*. Затем проверяется, содер-
содержит ли 2f°(x) трансверсал для Кег*.
С точки зрения описанного метода важно заметить, что раз-
различные множества в У°(х) (соответственно различные эквива-
эквивалентности в Ж°(х)) не образуют индексирующего множества
для ^-классов (соответственно 52-классов) из Dx.
Предложение 4.6. Пусть S — подполугруппа в 3~(А), где А
конечно, х — регулярный элемент из S, а множества У°(х),
Жа(х) определены так же, как в предложении 4.5. Образуем
множества
у(,v) = {Ве5")(*): В трансверсально некоторой ле!°(*)},
Ж (*) = {яеХ°(*): я транс ее реальна некоторому В
Тогда 91-класс (соответственно 9?-класс) элемента * есть Rx =
= {ху: 1/б5' и imxy^J(x)} (соответственно Lx={yx: г/eS1
4. Примеры вычислений, отношений Грина 61
и Кегух е Ж(х)}), а множество Ж{х) {соответственно У(х))
служит индексирующим множеством для множества 91-классов
(соответственно ^-классов) из S, лежащих в 2)-классе эле-
элемента х.
Доказательство. Пусть элемент г =? ху лежит в Rx. Тогда
ImrE^0^). Существуют leS и идемпотент eeS, такие, что
гЗ?е, еШ, 13?х.
X
•
•
•
е
•
-г — ху
Поэтому Кег/eX°(x), Imr==Ime, Ker/ = Kere, откуда сле-
следует трансверсальность Im г и Кег /, и поэтому Rx £ {ху: у е S[
и Imxy s ^(л:)}. Чтобы установить обратное включение, возь-
возьмем элемент r = xy(y^Sl), для которого Imre J(x). Тогда
существует Z = zx(zeSI), такой, что Imr трансверсально к
Кег/eif°(^). В силу предложения 4.1 (d) существует такой
идемпотент ее^(Л), что Ker/=Kere, Im r = Im e. Снабдив
отношения Грина в &~{А) индексом Т, получим
еЯтгх, zxS'tx, хЖтху, ху&те.
Согласно предложению 4.4, элементы е, r = xy, l=zx лежат
в 0-классе элемента х, а по предложению 4.3 из хШтг следует
х$&г, т. е. re Rx. Двойственные соображения показывают, что
Lx= {ух: г/е S1 и Кетух^Ж(х)}. Прочие 91- и ^-классы, ле-
лежащие в ^-классе элемента х, получаются из Rx и Lx подходя-
подходящими левыми и правыми сдвигами. □
Пример. Пусть полугруппа S порождается преобразованиями
х и у, где
/ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2456289 И И 12 1 6
Ядру
Х~ V
_/1234Б67 8 9 10 И 12 4
У~ V.3 447281 10 11 8 1 б)'
отвечает разбиение A,5|2|3|4, 12|6|7|8,9|10|11), и
lmjc== {1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12},
Im^-={1, 2, 4, 6, 8, 11},
lmxy = {l, 2, 3, 4, 6, 7, 8 10, 11},
lmxyx = Imx,
{l,3, 4, 7,8, 10}.
62 Гл. 2. Отношения Грина
Отсюда следует, что 2/°{х)— {\тх, \тху) и, так как \тху
трансверсально к Кег*, 0-класс элемента х регулярен согласно
предложению 4.5. Последовательное вычисление разбиений
Ker zx дает Ж10 (х) = {Кег х, Кег ух}, где
A|2, 3|4|5|6, Ю17, 11|
Замечая, что Im* трансверсально к Кег ух, приходим к ра-
равенствам У(х)=У°(х), Ж(х)=Ж°(х). Таким образом, 0-класс
элемента х содержит два й-класса и два ^"-класса. Только два
5^-класса содержат идемпотенты: идемпотент
_ / 1 2 3 4 Б 6 7 в 9 10 11 12 \
е~\ 123416788 10 11 4 )
лежит в 5^-классе, определяемом парой (Ker*, Imxy); идемпо-
идемпотент
f__( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 4
' V.122466 1189 6 11 12 J
лежит в 5^-классе, определяемом парой
5. Представления полугруппы,
связанные с отношениями Грина
Определение 5.1. (а) Пусть даны полугруппа S и множество
А. Гомоморфизм Р: S^-^Tr{A) из S в полугруппу всех частич-
частичных преобразований на множестве А называется представле-
представлением полугруппы S частичными преобразованиями.
(b) Бинарное отношение Tp=Uxes^W на ^ называется
отношением транзитивности, а конгруэнция К$т Р = {(х, у)е
gSX5: P(x) = P(y)} называется ядром представления Р.
(c) Два представления Pr. S^-^>^~r(Ai) (i=l, 2) называ-
называются эквивалентными, если существует такая биекция 0: А^Аъ,
что следующая диаграмма коммутативна для любого х е S:
F.1.1)
Прокомментируем вкратце эти определения. Отношение хр
транзитивно (т. е. %р °хр stp); если отношение х? универсально,
то Р называется транзитивным представлением. Если Кег Р сов-
совпадает с отношением равенства на S, то представление Р назы-
называется точным. Представления Р\ и Рч эквивалентны тогда и
только тогда, когда полугруппы частичных преобразований
Pi(S) и РгE) подобны (см. определение 3.1, легко распростра-
распространяемое на полугруппы частичных преобразований),
5. Представления полугруппы 63
Данный параграф посвящен изучению некоторых полезных
и, можно сказать, изящных представлений полугруппы S ча-
частичными преобразованиями на фиксированном 52-классе из S.
Предложение 5.2. Возьмем 91-класс R полугруппы S. Для лю-
бого ^е5' определим Pr(x), положив PR(x)= {(а, 6)е
е/?Х#: ах = Ъ}. Тогда PR является транзитивным представ-
представлением полугруппы S1 частичными преобразованиями на R. Если
^-классы Ri и R2 из S лежат в одном 2)-классе, то представле-
представления Pr, и Pr, эквивалентны и поэтому имеют совпадающие
ядра.
Доказательство. Тот факт, что Р« является гомоморфизмом
S1 в &>!Tr(R), есть следствие ассоциативности умножения. Тран-
Транзитивность представления Pr, означающая, что для любых
а, Ь е /? найдется х е S1, такой, что ах = Ь, следует из опреде-
определения 52-класса. Если R\ и /?2 содержатся в одном ^-классе, то
по лемме Грина 2.4, точнее, по ее двойственной версии сущест-
существует биекция Kv: at—>va из R\ на /?2- Коммутативность диаграм-
диаграммы E.2.1) для любого хе5'
E.2.1)
к\ к
вытекает из леммы Грина (сохранение 52-классов) и тождества
(va)x = v(ax). То, что Pr, и Рд2 имеют одно и то же ядро,
следует непосредственно из определения эквивалентности пред-
представлений. □
В случае конечного класса R преобразование Pr(x) можно
наглядно представить в виде /?Х/^-матрицы т(х) с элемен-
элементами 0 и 1, причем элемент с индексами (а, Ь) определяется
равенством
1, если ах = Ь,
), если ах Ф Ъ.
Можно получить представление полугруппы S матрицами мень-
меньших размеров, если позволить элементам матриц принимать
значения в группе с нулем. С этой целью мы введем систему
координат для данного 52-класса R из S.
Определение 5.3. Пусть R — произвольный 52-класс полу-
полугруппы S и Н% AеЛ) — семейство всех ^-классов из S, лежа-
лежащих в R. Координатной системой для R называется набор, со-
состоящий из выделенного ^-класса, скажем Н\, лежащего в R,
64 Гл. 2. Отношения Грина
и элементов qv q'^&S1, J,eA, таких, что отображения
ху—>xqK и у >—*■ yql являются взаимно обратными биекциями
Н\ на Н% и Нх на #i соответственно. Координатная система для
R обозначается посредством Я [Яр {(<7v Я'%)'- Я, е Л}].
В силу леммы Грина, элементы <7^> я'% координатной системы
для R можно получить, выбрав по одному элементу h% в каж-
каждом Я*. (Я, е Л) и взяв qv q'K e S1, такие, что h% = ft^, ft, =hhq'v
Для произвольных X, цёЛ и хеS1, применяя лемму 3.2,
получим либо Я&* П #ц = 01 либо Я^ = Яд. Равенство
Н%х = Н[Х дает ^я^е Str (Я[) = {zeS1: Hiz*=Hi}, так как
H{q%xq'^ — Hkxqr^= Я|1^/|1 = Я1. Если ^(Я^ обозначает группу
Шютценберже класса //i, а б: 51г(Я1)->-Гг(Я1) — канонический
моноидный гомоморфизм (см. определение б перед теоремой 3.3),
то каждому xeS1 можно поставить в соответствие Л X Л-ма-
трицу MR(x) с элементами из полугруппы Tr(Hi)\j {0} =
= [rV(#i)]°, полученной из rV(#i) формальным присоединением
нулевого элемента:
d ( в (<7»*О. если Н,х = Н..\
E.3.1) AfL (jc) = i ^ ^ Я й
I 0, если Я^П Яй=0.
Здесь М^ц (ж) обозначает элемент с индексами X, \х в матрице
М*(*). Заметим, что матрица Мя(х) имеет не более одного не-
ненулевого элемента в каждой строке (т. е. она мономиальна по
строкам), так как по лемме 3.2 множество Н\х пересекает R, са-
самое большее, в одном 5^-классе.
Теорема 5.4. Пусть /?[Я,; {(^, ?[)•" ^-^Л}] — координатная
система для Ж-класса R полугруппы S. Для любого ieS' опре-
определим MR(x) как ЛХ А-матрицу над [ГГ(Я1)]°, элементы ко-
которой с индексами А,, ц задаются формулой E.3.1). Тогда ото-
отображение x\—>MR(x) есть представление полугруппы S1 моно-
миальными по строкам матрицами над [ГГ(Я1)]°. Для любых
%, |ле Л и любого у<=.Тг{Н{) существует такой элемент xeS1,
что Мх» (х) = у-
Доказательство. Для проверки того, что MR — гомоморфизм,
сравним Мхи.(ху) с элементом, имеющим индексы К ц в произ-
произведении MR{x)MR(y). Если Н),ху=Нп, то H%x = Hv для неко-
некоторого v е Л и Нму = Яц. Отсюда вытекает, что М^ (ху) ==
«=*(^Ч). ^vw=fi(^4), Mvy#)=6 (w;> B этом
случае b{qkxyq^) = b [q%xq'^qvyqrv) = b [q%xqry)b{qyyq'v). Если же
Mj^ (хг/) = 0, то Hkxy П Я^=0, а это влечет за
собой либо H%x(\R — 0, либо Hxx(]R = Hv для некоторого
veA и Hvy(]Hv. = 0; в обоих случаях элемент с индексами
5. Представления полугруппы 65
^, цв произведении MR(x)MR(y) равен 0. Чтобы доказать по-
последнее утверждение теоремы, положим у = 6(/)е rr(#i), где
feStr(#i), и пусть К, (хеЛ. Взяв x = q'%tq^, получим Нкх =
Представление S1->M^(S1) полугруппы S1 мономиальными
по строкам матрицами зависит от выбора координатной систе-
системы для R. Однако различные координатные системы приводят
к изоморфным образам этой полугруппы.
Предложение 5.5. Пусть R — произвольный Я-класс полу-
полугруппы S, PR — представление полугруппы S1, определенное ра-
равенством PR(x) = {(a, 6)e RXR: ах = Ь} (см. предложение
5.2), a MR— представление полугруппы S1 мономиальными по
строкам матрицами, определенное формулой E.3.1). Тогда PR
и MR имеют одно и то же ядро, т. е. Pr (x) = PR (у) тогда и
только тогда, когда MR(x) = MR(y).
Доказательство. Если PR(x) = PR(y), то равенства
= Я^ и Н^у = Н^ равносильны. Мы даже имеем h>x=--h%y для
любого п%^.Нъ когда H^x[\R=fc 0. Отсюда вытекает, что
б [q%xq'\ = б (q^tjq'^) для любой пары К, ц е Л, такой, что Н\х П
П#ц#0. Следовательно, MR(x) = MR(y). Обратно, предполо-
предположим, что MR (х) = MR(y), и возьмем (a, b) e R X R, чтобы ах = Ь.
Тогда а е Ну,, b е Нп для некоторых X, цеЛи Hhx = Яц. Это
дает М^ (х) = б (qKxiQ = М^ (у) = б {q^yq'^); а значит, Н%у = Яц.
Взяв элемент h е Н\, для которого hqx = а, и умножив равенство
hq%xq'^ = hq%yq'^ справа на q^, получим hqhx = hqxy, т. е. ах =
= ау = Ь. Этим установлено включение PR{x)<=PR(y). Меняя
ролями х и у, аналогично выводим PR(y)£ PR(x), откуда
PR(x)r=PR(y) П.
Из предложений 5.5 и 5.2 получаем
Следствие 5.6. Пусть Ri и /?2 — два М-класса полугруппы S,
лежащие в одном ее Ф-классе, и пусть MR\ MRi — представле-
представления полугруппы S1 мономиальными по строкам матрицами над
группой с нулем, определяемые произвольным выбором коорди-
координатных систем для Rx и R2. Тогда полугруппы MR'(S) и MR'(S)
изоморфны.
Это следствие показывает, что представление MR полугруппы
S1 зависит не от ^-класса R, а лишь от 55-класса D, содержа-
содержащего R. Мы называем MR правым ^-представлением полугруп-
полугруппы S1 (или S) относительно класса D или правым представле-
представлением Шютценберже полугруппы S1 (или S) относительно D.
Для всех понятий данного параграфа можно ввести двойст-
двойственные понятия, рассматривая представления Q: S->@3~i(A),
8 Зак. 474
66 Гл. 2. Отношения Грина
где tP!Ti(A) обозначает полугруппу всех частичных преобразо-
преобразований, действующих на множестве А слева. Если L есть .З'-класс
полугруппы S, то, определив Ql(x) формулой QL(x) = {(а, 6)е
^Ly^L: xa — b}, мы получим представление полугруппы S1
частичными преобразованиями на L, причем Ql> и Ql2 будут
эквивалентными представлениями, если L\ и L2 лежат в одном
55-классе из S. Для координатизации данного .З'-класса L вы-
выберем произвольный <?^-класс Н\ из L и элементы r(, r\ е= Slt
/е/, такие, что отображение xt—*-rix есть биекция Я! на Я,-, а
отображение у >—>/■'.# —обратная биекция1). Определим для S1
представление ML посредством / X /-матриц с элементами из
rV(#i)U {0}, используя формулу
у(г',хг{), если хН,= Н„
E.6.1) АИ, (д)= ' ' '
'' 0, если хН1{}Н1=0,
где у — канонический гомоморфизм у: Sti(H\)->-Yi(Hi).
Заметим, что матрица ML(x) мономиальна по столбцам, т. е.
она имеет не более одного ненулевого элемента в каждом столб-
столбце. С учетом этих модификаций утверждения 5.4, 5.5 и 5.6 имеют
очевидные двойственные версии, которые мы не будем форму-
формулировать. Совокупность множеств Hv{(qk, q'xy. ХеЛ}, {(г,., г,):
/ е /} называется координатной системой для класса
D. Представление ML называется левым D-представлением по-
полугруппы S1 (или S) относительно D, а пара (MR, ML) — полным
^-представлением относительно D.
Следующая теорема играет существенную роль в доказатель-
доказательстве главной теоремы гл. 3. Она показывает, что полное ^-пред-
^-представление полугруппы S относительно регулярного <£>-класса
D дает точное «представление» самого класса D.
Теорема 5.7. Пусть D — регулярный Ф-класс полугруппы S
и (MR, ML)—ее полное ^-представление относительно D, полу-
полученное некоторым выбором Я-класса R и S-класса L в D. Тогда
сужение на класс D отображения x>—>(MR(x), ML(x)) взаимно
однозначно.
Доказательство. Возьмем элементы х, у е D, для которых
MR{x) — MR(y) и ML (х) = ML (у). В силу предложений 5.5 и
5.2, для любого 32-класса Ro и любого .З'-класса Lo из S, лежа-
лежащих в D, мы имеем РяЛх) = РяАу) и QlAx) = QlAu)- В част-
ности, взяв й-класс, содержащий х, в качестве /?о и взяв ин-
инверсный к х элемент х', мы получим хх'х = х, причем хх', х е Ro.
Поэтому {хх', х) е= PRt (х) == PRt (у), откуда хх'у = х. В качестве
') Здесь и ниже / обозначает индексирующее множество для семейства
всех 3^-классов, лежащих в L. Единственным общим элементом множеств /
а Л служит 1. — Прим. перев.
5. Представления полугруппы 67
следствия получаем х е Sy. Используя й-класс элемента у, мы
аналогично получим уу'х = у, откуда jeSjc и поэтому х&у.
Двойственное рассуждение с использованием равенства Qlo(x) =
= Qio(j/) Дает xffiy и, значит, xx'ffiy. Отсюда выводим хх'у — г/.
Подчеркнутые равенства дают х = у.' □
Следствие 5.8. Яг/сть S — полугруппа. Определим отображе-
отображения Ря и Q<e из S в полугруппы правых и соответственно ле-
левых частичных .преобразований на S, положив
Ря(х) = {(а, 6)eSXS: ax = b и аЩ,
Q#(x) = {{a, b)^S\S: xa = b и
(a) Ря и Q# являются представлениями полугруппы S;
Кег Ря = П а <= д Кег Р«а, Ker Q^ = П а <= д Ker QLa, г<9е А — индек-
индексирующее множество для семейства 2)-классов из S, а /?а (со-
(соответственно La) — выделенный М-класс (соответственно 9?-
класс) в Ф-классе индекса а.
(b) Если полугруппа S регулярна, то ее представление
(Ря, Qz) парами частичных преобразований на S является
точным.
Доказательство. Тот факт, что Ря. и Q<e суть представления
полугруппы S, оставляется читателю в качестве упражнения.
Если Ря (х) = Ря (у) и (a, b) e PRa (х) для некоторого аеА, то
ах = b влечет ау = Ь, т. е. (a, b) e Рца(у)- Аналогично, (a, b) e
<= PRa (у) влечет (a, b) e= PRa (x), что дает PRa (x) = PRa (у) и
поэтому KerP^ ^ ПаедКегР«а. Обратно, допустим, что
PRa(x) = PRa(y) для любого аеА. Если (а, 6)е Ря(х),
то (а, 6)е Ря(л:),где R есть 52-классэлементов а и 6. Если робо-
робозначает индекс 5>-класса из S, содержащего R, то Р« (х) =
= Рд (г/). Отсюда, согласно предложению 5.2, следует, что
PR(x) = PR(y) и потому (a, b)^PR(y)^P%(y). Аналогично
проверяется включение Ря(у)^Ря(х); двойственное доказа-
доказательство показывает, что KerQ^ = Has д Ker Qlo. Предположим
теперь, что S регулярна и выполняются равенстваРя(х) = Ря(у)>
Qse(x)^=Qz(y)- Из соотношений хх'х^х, уугу — у выводим
равенства хх'у = х, уу'х = у, откуда хЗ?у и поэтому х2)у. Тре-
Требуемое равенство х = у вытекает из (а), предложения 6.5, а
также двойственного к нему, и теоремы 5.7. D
Замечание 5.9. Для любого xeS имеем Ря(х)— \JrPr(x),
где объединение берется по всем ^-классам из S. С точки зре-
зрения этого равенства и предложения 5.5 представление Ря
можно рассматривать (с точностью до изоморфизма) как сумму
^-представлений полугруппы S относительно всех ее ^-классов.
68 Гл. 2. Отношения Грина
Следствие 5.8(Ь), выраженное в этой форме, принадлежит
Престону [1958].
Замечание 5.10. При построении координатной системы Ни
{(^' Ч'к)'- А.е Л}, {(г4, г\у. i е /} для регулярного 5>-класса
£> полугруппы S возникает ряд упрощающих факторов. Во-пер-
Во-первых, в качестве 5^-класса Н\ = Rf\L можно выбрать макси-
максимальную подгруппу, содержащуюся в D, с единицей е. Во-вто-
Во-вторых, чтобы построить элементы q% (К е Л) (соответственно п
((ё/)), достаточно выбрать систему представителей .З'-клас-
сов (соответственно 52-классов) так, чтобы эти представители
лежали в R (соответственно в L). В самом деле, искомое по-
построение равнозначно выбору элементов /гх е Я^ (ЯеЛ) (со-
(соответственно hi s Hi (i e /)) вида h\ = е и hx = eq^ (соответ-
(соответственно hi = rie). Для построения q'k(X^A) (соответственно
f\ (i е /)) заметим,' что если для данных X, i класс Lq% П Rr{ со-
содержит идемпотент, то, в силу предложения 2.5, q\ri e Rq% f|
П Lrt = Я,. Так как ?1 должен удовлетворять равенству eqkq'x = в,
можно выбрать такой i е /, что q\rt е Я! (подберем / е / так,
чтобы Lqkf\Rri содержал идемпотент), и затем взять q'K*=
= rt(qkri')-1, где {q%ri)~xобозначает элемент, обратный к q^n в
группе Яь Аналогично, г\ должен удовлетворять равенству
г^е = е. Выберем Я,еЛ так, чтобы q^n^Hi, и возьмем г^ =
Пример. Проиллюстрируем замечание 5.10, вычислив р
ставление полугруппы S из примера в п. 4d относительно
Й)-класса Dx элемента х. Для получения системы координат
нужно сначала выбрать подгруппу Н\ из Dx. Очевидным канди-
кандидатом на роль Hi является <?^-класс элемента ху, содержащий
идемпотент е. Затем мы выбираем q\ = e, q2 = x, h = e, r2 =
= уху. Выбор элемента гг обусловливается тем фактом, что
элементы х, ху и ух расположены так, как показано, на рисунке
X
4V\V'rV4V\'
Соотношения х$.ху, хЗ'ух дают ухЩху, ху2?уху. Заштрихован-
Заштрихованные на рисунке части соответствуют подгруппам в Dx. Поэтому
^ = ri(?iri)~1==e> Q2=z-r2{cl2r2Yl7=yxy{xyxy)-l^=y{xy)-K Что-
Чтобы вычислить ^5-представление полугруппы S, достаточно найти
матрицы MR(x), MR(y), где R является 32-классом элемента х.
Из соотношений \т уху =lmx и Im^czlmx выводим равен-
равенства НхХ*=Н2, H2x(]Dx = 0, Аналогично, включение 1тл:</2с
Дальнейшие библиографические замечания 69
с: Im у показывает, что Hty Л Dx = 0, тогда как Н2у = Hi. По-
Получаем
М* {у) = б (q2yq[) = б (хуе) = б (ху) = а,
где е — единица группы Шютценберже класса Ни а а обозна-
обозначает сужение преобразования ху на \тху= {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8,
10, 11} и действует как произведение циклов A, 4, 8) B, 7, 11,
3) F, 10). Таким образом,
Применение формулы E.3.1) к элементам из Hi показывает,
что Mf[ (Я1) = ГГ(Я1). Отсюда следует, что I\(#i) порождается
ненулевыми элементами матриц MR[x), MR(y). Это показывает,
что в нашем примере группа IV(#i) (изоморфная группе Hi)
является циклической, порожденной элементом а. Поэтому
Hi&Zu и 0-класс элемента х содержит 4X12 = 48 элемен-
элементов. Более точное и систематическое определение строения этого
^-класса будет проведено в гл. 3, § 4.
Дальнейшие библиографические
замечания
С момента появления в 1951 г. отношений Грина многие работы по ал-
алгебраическим и топологическим полугруппам эффективно используют эти отно-
отношения, особенно в сочетании с теоремой Риса — Сушкевича, которая доказы-
доказывается в следующей главе. Введение координатных систем для 5)-класса и
^-представлений предоставило основные инструменты для исследования ло-
локальной структуры полугрупп. Мы будем использовать их главным образом
в гл. 8. Класс регулярных полугрупп и различные его подклассы (инверсные
полугруппы, объединения групп1), связки групп и т. д.) изучались, вероятно,
наиболее интенсивно. Обзор результатов, полученных до 1972 г., см. у Лал-
лемана [1972]. Многие из структурных теорем о регулярных полугруппах
следуют образцам либо теоремы Риса — Сушкевича, либо теоремы Клиффорда
о полурешетках групп (см. упр. 12), либо комбинации их обеих. Читатель мо-
может познакомиться с недавними продвижениями в этой области, обратившись
К работам Т. Холла [1973], Грийе [1974], Намбурипада [1975], Клиффорда
[1975]2). Начиная с основополагающих работ В. В. Вагиера [1952, 1953] и
Престона [1954], велись важные исследования инверсных полугрупп, значи-
значительный вклад в изучение которых сделали Манн [1966, 1970], Н. Райли
[1968], Уорн [1966], Макалистер [1973, 1974]. Глава 5 книги Хауи [1976]
содержит превосходное введение в-эту область3). Некоторые интересные ком-
комбинаторные вопросы возникли в связи с изучением свободных инверсных
полугрупп (см., например, Эберхарт, Селден [1972], Шайблих [1972, 1973],
') Полугруппы, являющиеся объединениями групп, называют клиффордо-
выми, а также вполне регулярными полугруппами. — Прим. ред.
2) См. также библиографию в статье Л. Н. Шеврина «Регулярная полу-
полугруппа» из «Математической энциклопедии», т. 4, М., 1984. — Прим. ред.
') См. также Клиффорд, Престон [1961, §1.9 и 1967, гл. 7]. Имеется но-
новая большая монография Петрича [1984*], целиком посвященная инверсным
полугруппам, —Прим. ред.
70 Гл. 2. Отношения Грина
Н. Райли [1972], Манн [1974]. Шайн [1975]) '). Важность свойства устойчи-
устойчивости /-класса осознали Кох и Уоллес [1957]. Изложение материала в § 3
следует советам Шютценберже.
Упражнения
1. Минимальный правый идеал полугруппы является простой справа полу-
полугруппой (определение простой справа полугруппы дано в упр. 6 из гл. 1).
2. Если идеал К полугруппы S является подгруппой, то Л' — минимальный
идеал в S; такая полугруппа называется гомогруппой. Полугруппа S тогда и
только тогда является гомогруппой, когда существует элемент neS, такой,
что и е Sx П XS для любого х е S. Если S — гомогруппа и е — единица мини-
минимального идеала К, то отображение <р(л:) = ex, xeS, является гомоморфиз-
гомоморфизмом на К, оставляющим неподвижными элементы из К (Тьеррен [1955]).
3. Пусть S = £ГГ(А), где А—конечное множество, или S = End* V, где
V — конечномерное векторное пространство над полем К- Любой идеал полу-
полугруппы S — главный (т.е. порождается одним элементом), S имеет только
один главный идеальный ряд, и любой главный фактор полугруппы S прост
либо 0-прост.
4. Конечная цепь Si <= S2 <= ... a S,, — S подполугрупп полугруппы S
называется ее композиционным рядом, если S* — максимальный идеал в S^+)
A ^ k < п), а полугруппа S{ проста. Если S имеет композиционный ряд, то
она имеет главный идеальный ряд, но обратное утверждение неверно, как по-
показывает пример полугруппы, заданной копредставлением <о, а', 6; аа'а=а,
а'по! = о', аа' = а'а, Ьа — Ьа' = Ь2 = 0> (Манн).
5. (а) В свободном моноиде все отношения Грина совпадают с отноше-
отношением равенства.
(Ь) Полугруппа, порожденная двумя матрицами
' 0 0 0\ / 0 0 Г
(О О О\ /0 0 1\
1 0 0 1 и </ = ( 0 0 0 1,
0 10/ 40 0 0/
имеет единственный ненулевой регулярный 2)-класс.
(с) Описать отношения Грина на полугруппе из упр. 4 и на полугруппе,
заданной копредставлением (а, а'; аа'а = а, а'аа' = а').
6. Пусть полугруппа S регулярна. Если выполняется одно из следующих
условий, то S — группа:
(a) S имеет единственный идемпотент;
(b) S — полугруппа с сокращением;
(c) для любого а е S существует единственный элемент а' е S, такой, что
аа'а = а.
7. Связкой называется полугруппа, состоящая только из идемпотентов.
Связка В называется прямоугольной, если равенство хух = х выполняется
для всех х, у е В. В прямоугольной связке отношение SD совпадает с универ-
универсальным, а любые два 52-класса (соответственно З'-класса) суть изоморфные
полугруппы правых (соответственно левых) нулей. Прямоугольная связка изо-
изоморфна декартову произведению R X L полугруппы правых нулей R и полу-
полугруппы левых нулей L.
8. Полугруппа называется бипростой, если она имеет только один 2)-класс.
Примеры: прямоугольные связки, бициклический моноид. Еще одним приме-
примером служит полугруппа Бэра — Лев и на множестве N:
S = {x e $~r (N): х взаимно однозначно, a Im x
имеет бесконечное Дополнение в N}.
На самом деле S — простая справа полугруппа с правым сокращением. По-
Поэтому на данной полугруппе Я — универсальное отношение, а 3? — отноше*
ние равенства (Бэр, Леви [1932]).
'). См. посвященную свободным инверсным полугруппам обзорную статью
Н. Райли [1979*]. — Прим. ред.
Упражнения 71
9. В моноиде М с единицей 1 равенства D\ = R\ = L\ = Я, выполняются
тогда и" только тогда, когда D\ не содержит бициклнческой полугруппы. Мо-
Моноид, имеющий копредставление <а, 6, с; абс = 1>, являет собой пример, когда
классы единицы 1 по модулю всех пяти отношений Грина попарно различны.
Здесь ^"-класс единицы содержит как регулярный, так и нерегулярный Ф
классы.
10. Теорема Кэли для инверсных полугрупп. Любая инверсная полугруппа
S изоморфна подполугруппе полугруппы &r(S) всех взаимно однозначных
частичных преобразований на S. Указание: Поставить в соответствие элементу
a eS отображение ра, определенное на множестве Sa~l равенством хра = ха
(В. В. Вагнер [19521, Престон [1954]).
11. Пусть ф; S -*■ S' — сюрьективный гомоморфизм. Если полугруппа S
регулярна, то и S' регулярна. При этом для любого идемпотента е' е S' иай-
дется такой идемпотент eeS, что ф(е) = е'. Поэтому если S —инверсная по-
полугруппа, то и S' инверсна (Лаллеман [1967]) ').
12. Коммутативная связка называется полурешеткой. Причина в том, что
на коммутативной связке можно определить частичный порядок, положив
а «=: 6 тогда и только тогда, когда ab = Ьа = а2), и относительно этого по-
порядка произведение любых двух элементов является их нижней гранью. По-
Полугруппа S называется полурешеткой групп, если S есть объединение групп и
идемпотенты в S перестановочны3). В полурешетке групп S все отношения
Грина совпадают, а остов полугруппы S изоморфен как частично упорядочен-
упорядоченное множество полурешетке Е идемпотентов из S, упорядоченных введенным
выше отношением. Для любых е, f e E, таких, что f ^ е, отображение <fe, f'.
He^-Hf, определенное равенством q>e,f(x)=xf, является гомоморфизмом
групп, и если g ^ f «=: е, то ф;, g ° ф«, f = Ф«. е- Обратно, если дано семей-
семейство групп Ge, индексированных элементами полурешетки Е, и гомоморфизмы
фе, f: Ge^-Gf, когда f ^ e, удовлетворяющие написанному выше равенству и
тождественные прн е = f, то множество S= Uee=£Ge становится полуре-
полурешеткой групп, если определить произведение ху = ц>е, ef(x) -q>f ef(y) для любых
х е Ge, у е Gf (Клиффорд [1941]).
13. Построить полные представления относительно различных 0-классов
для следующих полугрупп: (а) правая группа (гл. 1, упр. 6); (Ь) прямоуголь-
прямоугольная связка (упр. 7); (с) циклическая полугруппа; (d) бициклический моноид
<а, 6; аЬ = 1>; (е) декартово произведение группы и бициклического моноида;
(/) полугруппа 3~г{А) для конечного А (в первую очередь относительно
<2>-класса, образованного минимальным идеалом); (g) полугруппа из упр. 5
(b); (h) полугруппа преобразований, порожденная
/Ч23Л / 1 2 3\
х=а1\\ 3 2 )' y—lll3j-
■(Представления полугруппы всех п X я-матриц надполем см., например, в ра-
работе Ким, Рауш [1977})
14. Бициклический моноид имеет единственный ^"-класс, который не яв-
является устойчивым ни слева, ни справа. Однако S) = /.
15. Пусть М — моноид. Для любого пеМ множество W(m) ={xsM;
m ф МхМ} является наибольшим идеалом (если оно непусто), не содержащим
от. Если моноид М конечен, то 5^-класс элемента от есть Нт = (Mm f\mM) \
\W(m), и все подгруппы в М тривиальны тогда и только тогда, когда Нт =
= {от} для любого т еМ (Шюгценберже [1965с]).
') Приведенная библиографическая ссылка относится к первым двум ут-
утверждениям. Третье утверждение (вытекающее из них) содержалось в осново-
основополагающих работах В. В. Вагнера и Престона, указанных в предыдущем уп-
упражнении. — Прим. ред.
2) Это условие определяет частичный порядок на любой связке и, более
того, на множестве идемпотентов любой полугруппы. — Прим. ред.
3) Иначе говоря, S — клиффордова инверсная полугруппа. — Прим. ред.
3 ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ.
ТЕОРЕМА
РИСА — СУШКЕВИЧА
В 1928 г. А. К. Сушкевич описал строение минимального
идеала / конечной полугруппы S. Как было показано в гл. 2,
этот минимальный идеал / является простой полугруппой и ра-
равен объединению всех минимальных правых (или левых) идеа-
идеалов из S (гл. 2, предложение 1.1). Отсюда вытекает, что для
любых х, у е / включение Sx s Sy влечет равенство Sx = Sy.
В частности, если е, f— идемпотенты в /, то из равенства ef = e
(равносильного включению Se *= Sf) следует равенство fe = /.
Чтобы выразить это свойство идемпотентов удобным способом,
введем отношение порядка ^ на множестве Е всех идемпотен-
идемпотентов из S, положив е sg: /, если ef — fe = e. Легко проверить
тогда, что следующие два условия равносильны: (a) ef = e вле-
влечет /е = / и (Ь) е ^ / влечет е = /. Идемпотент /, удовлетво-
удовлетворяющий условию (Ь), называют примитивным, и, как мы уви-
увидим, минимальный идеал конечной полугруппы может быть
охарактеризован как простая полугруппа, содержащая прими-
примитивные идемпотенты. Полугруппа с этими свойствами назы-
называется вполне простой. Структурная теорема для несколько
иного класса полугрупп, называемых вполне 0-простыми, была
доказана Д. Рисом в. 1940 и 1941 гг.
После аксиоматического изучения вполне 0-простых полу-
полугрупп мы излагаем в § 2 доказательство теоремы Риса, осно-
основанное на понятии ^-представления из § 5 гл. 2. Третий и чет-
четвертый параграфы настоящей главы посвящены некоторым
примерам вполне 0-простых полугрупп и вычислению их струк-
структурных параметров. В последнем параграфе мы рассматриваем
конечные моноиды, у которых идеал необратимых элементов
является вполне 0-простой полугруппой, и устанавливаем неко-
некоторые связи с комбинаторными проблемами. Всюду ниже мы
используем символ S0 для обозначения полугруппы, полученной
присоединением нулевого элемента 0 к полугруппе S, если S не
имеет нуля, и совпадающей с S в противном случае.
1. Вполне простые и вполне 0-простые
полугруппы
Пусть 5 — произвольная полугруппа, возможно с нулем 0,
и Е — множество ее идемпотентов. Отношение ^, определяе-
определяемое на Е условием «е ^ /, если и только если ef == fe = е», яв-
1. Вполне простые и вполне О-простые полугруппы 73
ляется частичным порядком. Очевидно, 0 ^ е для любого ее£.
Идемпотент ее£ называется примитивным, если он является
минимальным (относительно только что введенного частичного
порядка) в множестве ненулевых идемпотентов полугруппы.
Определение 1.1. Полугруппа называется вполне простой (со-
(соответственно вполне 0-простой), если она простая (соответ-
(соответственно 0-простая) и содержит примитивный идемпотент.
Из этих определений сразу же вытекает, что если полу-
полугруппа S вполне проста, то полугруппа S0 вполне 0-проста.
Обратно, если S — вполне 0-простая полугруппа без делителей
нуля (т. е. ab = 0 влечет а=0 или 6 = 0), то полугруппа
S\{0} вполне проста. Как следствие получаем, что многие ре-
результаты о вполне простых полугруппах очевидным образом
вытекают из результатов для вполне 0-простых полугрупп.
Примеры 1.2. (а) Любая конечная 0-простая полугруппа
вполне 0-проста.
(Ь) Пусть / — произвольное множество, a 5 = (/X/)U{0}.
Определим на S умножение • с помощью формул
«•'>• <*•*>-( 0, если /# ft,
и 0-(i, j) = (i, /)-0 = 0-0 = 0. Тогда (S, •) есть полугруппа,
причем 0-простая (любое уравнение (*i, х2) (i, /) (г/i, yz) = (k, I)
имеет решение (х\, хг) = (/г, i), (yu yi) = {h 0) и любой нену-
ненулевой идемпотент (t, i) (I s /) примитивен.
(с) Полугруппа В, в которой х2 = х и хух = х для любых
х, у е В, называется прямоугольной связкой. В прямоугольной
связке В любые два элемента /"-эквивалентны и поэтому полу-
полугруппа В проста. Далее, если ху = ух = х, то х = ух =» уху = у,
т. е. любой элемент из В является примитивным идемпотентом.
Следовательно, В — вполне простая полугруппа.
Следующая серия лемм будет использована в § 2 для дока-
доказательства структурной теоремы (Риса — Сушкевича) о вполне
0-простых полугруппах.
Лемма 1.3. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа. Для лю-
бого ненулевого Я-класса R из S множество R U {0} есть 0-ми-
нимальный правый идеал в S, а для любого 3?-класса L мно-
жество L U {0} есть 0-минимальный левый идеал.
Доказательство. Достаточно показать, что R (J {0} — правый
идеал; 0-минимальность получается непосредственно, так как
если R' — такой ненулевой правый идеал, что R'sR[]{0}, то,
взяв а е R', а ф 0, и х е R, мы видим, что xffia и поэтому
Х = 8«eJ?', откуда /?' = /? и {0}. Сначала мы докажем, что
74 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
для 32-класса Re примитивного идемпотента е из S множество
Re U {0} совпадает с правым идеалом eS. Включение Re[} {0} s
£ eS очевидно. Пусть beeS, b ф 0. В силу 0-простоты полу-
полугруппы S имеем е = xby для некоторых x,y^S. Элемент / =
= Ьуехе является идемпотентом: /2 = byexebyexe = byexbyexe =
■= byexe = f. При этом ef = fe = /. Так как е примитивен, f = 0
или / = е. Но если / = 0, то xfby = xbyexeby = e = 0, что не-
невозможно. Поэтому / = е = Ьуехе. Это показывает, что е е bS,
и, так как b e eS, получаем 6 е /?<>. Равенство #е U {0} = eS до-
доказано. Так как S = SeS = S(Re U {0}), получаем, что любой
элемент x^S лежит в множестве c(Re\j {0}) для некоторого
c^S. Докажем для произвольного хфО равенство Rx U {0} =
= с (/?е U {0}), устанавливая включения с обеих сторон. Пусть
х= сг для некоторого г е /?е (J {0}. Если г/ е /?* U {0}, то у =xt
для некоторого feS1; отсюда следует, что у = crt и поэтому
у е c(/?e(J М). Если г/е c(/?e(J {0}), то у — сг' для некото-
некоторого г' е /?е U {0}; в случае г' = 0 будет у = 0 и # е /^ (J {0};
если же г' Ф 0, имеем г'$.г, откуда сг'Ясг или уЯх, т. е. ^ е /?x.
Таким образом, /?« U {0} = с (/?е lj{0}) = ceS. Аналогичное до-
доказательство показывает, что для ненулевого .З'-класса L мно-
множество L (J {0} есть 0-минимальный левый идеал в S. О
В качестве следствия леммы 1.3 получаем для любого xeS
равенства /?*U {0} = *S и Lx\] {0} = Sx, а если хфО, то
SxS = S, откуда хБф{0} и БхФЩ. Заметим, что полу-
полугруппу S можно записать в виде объединения ее 0-минималь-
ных правых идеалов или же ((-минимальных левых идеалов-
S= [}tei(RiU{0})= UxeA(/-xU{0», где / и А обозначают
соответственно индексирующие множества для ненулевых $.- и
.З'-классов из S.
Лемма 1.4. Пусть S — вполне 0-простая полугруппа. Если
aSb = {0} для некоторых a, b e S, то а = 0 или b = 0.
Доказательство. Пусть а Ф 0 и b Ф 0. Тогда SaS = 56S = S.
Отсюда следует, что SaSSbS = S2 = S = SaSbS. Поэтому
aSb ф{0}.
Если воспользоваться терминологией из теории некоммута-
некоммутативных колец, то можно сказать, что лемма 1.4 утверждает, что
идеал {0} вполне 0-простой полугруппы является первичным.
Лемма 1.5. Вполне 0-простая полугруппа имеет единственный
ненулевой 2)-класс, и притом регулярный.
Доказательство. Пусть а и b — ненулевые элементы вполне
0-простой полугруппы S. По лемме 1.4 имеем aSb ф {0}. Пусть
c&aSb, сфО. Так как с е aSb ^ aS, получаем сЯа по лем-
лемме 1.3. Аналогично с е aSb £ Sb влечет за робой с9?Ъ. Поэтому
2. Теорема Риса — Сушкевича 75
aSDb, т. е. S имеет только один ненулевой 0-класс. Он регуля-
регулярен, так как содержит идемпотент. □
Полугруппа, имеющая единственный (ненулевой) £25-классу
называется бипростой (соответственно 0-бипростой). Бицикли-
ческая полугруппа является примером бипростой регулярной, но
не вполне простой полугруппы.
2. ^-представление вполне 0-простой
полугруппы.
Теорема Риса—Сушкевича
Напомним, что представление полугруппы, ядро которого
есть отношение равенства, называется точным. В силу тео-
теоремы 5.7 гл. 2 и доказанной выше леммы 1.5 полное ^-пред-
^-представление вполне 0-простой полугруппы относительно ее един-
единственного ненулевого ^-класса точно. Цель данного парагра-
параграфа— проанализировать пары мономиальных по строкам и
столбцам матриц, сопоставленных каждому элементу полным
^-представлением.
2.1. Координатные системы для вполне
0-простой полугруппы
Пусть 5 — вполне 0-простая полугруппа и Z) = S\{0}—ее
ненулевой ^-класс. Обозначим лежащие в D 52-классы через
Rit i e /, З'-классы — через Lx, К е Л, и ^-классы — через
Hi% = Rt{\ Lx для всех ie/, 1,еЛ.
Выберем 5?-класс R\ и З'-класс L\ так, чтобы класс Ни был
группой. Это возможно в силу леммы 1.5, и мы, чтобы не вво-
вводить лишние символы, предполагаем, что множества / и Л
имеют общий элемент 1. Определим координатную систему
B.1.1) для класса D (см. замечание 5.10 в гл. 2) следующим
образом:
B.1.1) Ни, {(qv q'k): Л е= А}, {(г., г\): i s I},
где
(a) qi^Hn для любого ЯеЛ и г;еЯц для любого ie/;
(b) ^eLi> пРичем qKq'k = e, q%q'lqk = qv q'xqkq'x = q'x (e обо-
обозначает единицу в Яп);
(с) rjefi,, причем r'iri = e, r/lrl = ri, r\r{г\ = г\.
Выбрать q'% и г\ так, как указано в (Ь) и (с), действи-
действительно можно. Например, для получения q'x возьмем идемпотент
ех в L% (такой идемпотент существует, поскольку класс D регу-
регулярен) ; если b — произвольный элемент из Rex П ^ь то идемпо-
76 Гл. 8. Простыв полугруппы. Теорема Риса — Сушкевжа
тенты е и е^ принадлежат соответственно классам RqK Г\Ьь = Ни
и LqK П Rb = HeK; согласно предложению 2.10 из гл. 2 класс
Нь = ReK[\L содержит единственный элемент?^, инверсный к
q%. Очевидно, что B.1.1) определяет координатную систему для
D. Координатную систему, удовлетворяющую условиям B.1.1),
мы можем в действительности выбрать для любой 0-бипроетой
регулярной полугруппы. Следующее же замечание справедливо
только для вполне 0-простых полугрупп.
Замечание 2.2. Пусть дана вполне 0-простая полугруппа S
и для класса D = S\ {0} выбрана координатная система, удов-
удовлетворяющая условиям B.1.1). Тогда для любых X s Л, <е/
либо qtfi = 0, либо qi/i e Ни.
Доказательство. Если qj,fi¥=O, то q%.rt e q\S f) Srt. По лемме
1,3 имеем qj,S == Ri\j {0}, Sri = L\ \j {0}. Отсюда следует, что
П
2.3. Представления MKl и MLl
Возьмем ненулевой элемент a s #;„*,,. Тогда для любого
ieA либо Н[Ш = {0}, либо Нп.а=Н\^. В самом деле, если
кцафО для некоторого has Ни, то, как и в замечании 2.2,
получим h\%a e Rt Л £л„ и поэтому Н\%а{\ #а0 Ф 0; из лем-
леммы 3.2 гл. 2 следует, что Н[\а = Н\\„. Таким образом, матрица
MRl(-a) имеет разве что один ненулевой столбец — с индексом Яо
(определение матрицы MRl (а) см. перед теоремой 5.4 в гл. 2).
Чтобы установить точно, какие из элементов Я0-го столбца рав-
равны 0, заметим (во всех обстоятельствах обращаясь к координат-
координатной системе), что Hi%a—{0}, если и только если <7?1Л„ = 0; это
следует из соотношения aSlru, дающего qxafaqxr^, и того факта,
что qifl == 0, если и только если #iA,a = {0}. Окончательно, эле-
элемент с индексами Я, Яо в матрице Мн'{а) есть
Сqjtaq'k , если qx г. = О,
М?\ (а) = s " ° °
I 0 в противном случае.
Мы отождествляем здесь 6(qKaq'k^ с q^aq'^, так как #ц —
группа.
Представление MRi обладает замечательным свойством: для
любого ненулевого элемента a gS матрицу MRl (а) можно запи-
записать в виде произведения матрицы, не зависящей от а, на ма-
матрицу, имеющую в точности один ненулевой элемент из Нп.
Чтобы показать это, заметим сначала, что для любого ае5,
а ф 0, существует такой индекс /0 ^ /, что a9tria, откуда
2. Теорема Риса — Сушкевта 77
а. = гиг\а. Теперь заметим, что r'^ag'^s Ни по лемме Грина.
Поэтому М«> х, (а) = <7Ла<7;о = (g^^'^aql) для любого Я s Л.
Если ввести Л X /-матрицу Р с элементами pki T=Q^ri s #°,, то
для любого ceS, g =т^= О,-
где ['■'i^v ^о, ^о] обозначает /ХЛ-матрицу, в которой един-
единственный ненулевой элемент г'^ад'^ имеет индексы г"о, Хо. Пока-
Покажем, что каждая строка и каждый столбец матрицы Р содер-
содержат ненулевые элементы. Для любого ЯеЛ имеем ц^Ф® и,
в силу леммы 1.4, существует такой xgS, что q%x=£Q. Поэтому
существует индекс / е /, для которого х&Г), откуда q%x9tq%r\.
Таким образом, элемент рц = ц\г\ ненулевой. Аналогично, для
любого i е / существует такой индекс ц е Л, что рцг ф 0.
_ Дуализируя все замечания данного раздела, для представ-
представления ML> полугруппы 5 и любого а е S, а Ф 0, получаем вы-
выражение
ММа)-[»-;,<; i0, A0].P.
Мы имеем также М^ @) = Р • 0/ х Л и ML> @) «= 0/хл • Р,
где 0/хЛ обозначает нулевую /ХЛ-матрицу. Отметим наконец,
что отображение x^*-r\xq'k^ есть биекция из Ни- на #ц. От-
Отсюда следует, что любая матрица [g; i, X], где geHn, I ml,
1ёЛ, представляет некоторый элемент из S. Тем самым дока-
доказано последнее утверждение следующего предложения.
Предложение 2.4. Пусть даны группа с нулем G0, множества
1, А и АЖ1-матрица Р над G0, каждая строка и каждый стол-
столбец которой содержат хотя бы один ненулевой элемент. Через
[g; I, X] обозначим /X А-матрицу над G0, у которой элемент
с индексами i, X равен g e G, а остальные элементы равны 0.
Тогда все пары матриц вида {P[g\ i, X], [g> i, X]P} вместе с
парой {Ол.хл, 0/ х;} образуют относительно обычного умноже-
умножения матриц вполне 0-простую полугруппу. Обратно, любая
вполне ^-простая полугруппа изоморфна полугруппе пар матриц
описанного выше типа.
Для доказательства достаточно показать, что описанная в
утверждении полугруппа пар матриц 0-проста и содержит при-
примитивный идемпотент. Сделать это будет очень легко после до-
доказательства леммы 2.6.
Определение 2.5. Пусть даны группа с нулем G0, множества
/, Л и Л X /-матрица Р над G0. Множество всех /ХЛ-матриц
[g; i, X] вместе с 0/хл образуют относительно умножения
[g\ I, ^1 * [h\ I, v\ = \g\ 1> М р №, /, ц] полугруппу, которая обо-
78 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
значается через J(°(G; I, Л; Р) и называется рисовской матрич-
матричной полугруппой с сэндвич-матрицей Р над группой с нулем
G01).
Мы имеем
г . ,, ,, . ! ([gPifc h V\, если р%!¥=0,
[g; t, Ц * [А; /, v] = | Q/ ^ л в противном случае>
Легким упражнением является доказательство того, что полу-
полугруппа Jk°(G; I, A; P) регулярна тогда и только тогда, когда
матрица Р в каждой строке и в каждом столбце содержит не-
ненулевые элементы. Если не возникает двусмысленности, символ
умножения * мы будем опускать.
Лемма 2.6. Полугруппа пар матриц, описанная в предложе-
предложении 2.4, изоморфна рисовской матричной полугруппе *#°(G; /,
Л; Р).
Доказательство. Отобразить пару {P[g; i, %], [g; i, Я]Р} на
матрицу [g; i, X] и проверить. □
Теперь легко проверяется, что регулярная полугруппа
J(°(G; I, Л; Р) является 0-простой, ее ненулевые идемпотенты
имеют вид \ри\ i, Я] при pXi ф 0 и все они примитивны. Это
завершает доказательство предложения 2.4. Резюмируем пре-
предыдущие результаты вместе с соответствующими результатами
для вполне простых полугрупп 2).
Теорема 2.7 (Д. Рис [1940], А. К. Сушкевич [1928]). Полу-
Полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда она изо-
изоморфна регулярной рисовской матричной полугруппе J(°(G; I,
Л; Р) над группой с нулем G°. Полугруппа тогда и только
тогда вполне проста, когда она изоморфна рисовской матричной
полугруппе Jt{G; 1, Л; Р) над группой G.
Эта структурная теорема приводит к вопросу об инвариан-
инвариантах вполне 0-простой полугруппы S^4^{G; I, Л; Р): когда
J(°(G; I, Л; Р) и JtQ(G'\ V, Л'; Р') изоморфны? Очевидно, долж-
должны выполняться условия: G ^ G', I и /' равномощны, Л и Л'
равномощны, и, конечно, требуется дополнительное условие для
сэндвич-матриц Р и Р'.
Сначала мы выясним, что происходит с сэндвич-матрицей Р,
когда в координатной системе Яп, {(qv q[): ЯеЛ}, Цгг г,):
') Говорят также «рисовская полугруппа матричного типа». Группу й
принято называть структурной группой (reference group) полугруппы ^°(G; I,
Л; Р). — Прим. ред.
2) Для случая вполне простых полугрупп определение 2.5 нужно модифи-
модифицировать следующим образом: все элементы матрицы Р принадлежат группе
G, матрица 0/ХЛне рассматривается, а возникающая полугруппа матриц вида
[g; I, X] обозначается через jX(G\ I, Л; Р). — Прим. ред.
2. Теорема Риса — Сушкевича 79
/е/|, удовлетворяющей условиям B.1.1), мы, не меняя #ц, /
и Л, иначе выбираем q%, q[, rt, г|AеЛ, ie/).
Допустим, что мы выбрали новые элементы qv q'k, rt, r'tt
также удовлетворяющие условиям B.1.1). Тогда мы получаем
новую матрицу Р = (Рх<), где p~\i=qx-ri. Но так как g^qi и
fftr^ справедливы равенства^Л^^= <7V fi = rir'iri. Поэтому
Заметим, что оба элемента q%q'x и r'lrl лежат в #,, (напри-
(например qKq'x s R^ П Lq> =Rl[]Li = tf,,). Следовательно..
где ДЛ (^^[) (соответственно А; (''^i)) является диагональной
A X Л-матрицей (соответственно диагональной /X /-матрицей),
у которой Я-й (соответственно г'-й) элемент диагонали есть qKq'K
(соответственно г\г^.
Обратно, если даны два отображения /: Л->-#ц и g: /■-*-Яц
(или, что равносильно, два семейства элементов из Нп, индек-
индексированных множествами Ли/ соответственно), то матрица
Р = ДЛ№) РА/(£(*))
является сэндвич-матрицей для полугруппы 5, соответствующей
координатной системе
где ?x = f(^)^x и fi=-ng(i) для любых ЯеЛ, ie/. Резюми-
Резюмируем сказанное.
Предложение 2.8. Две системы координат на вполне 0-про-
стой полугруппе S, использующие одну и ту же структурную
группу G и одни и те же множества индексов I и А, приводят
к сэндвич-матрицам Р и Р, связанным равенством Р = Ал РА/,
где Ал и А, — диагональные ЛХЛ- н /X /-матрицы, с диаго-
диагональными элементами из группы G. Обратно, если Р — сэндвич-
матрица для S, Ал и А/ — произвольные диагональные матри-
матрицы, элементы диагоналей которых лежат в G, то матрица Р =»
= ДлРА; также является сэндвич-матрицей для S.
Следствие 2.9. Вполне 0-простую полугруппу Ss*J(°(G\ I,
Л; Р) всегда можно координатизировать таким образом, что
строка и столбец сэндвич-матрицы Р, имеющие данные индексы
Яо и io соответственно, содержат только 0 и единицу е группы G,
Такая сэндвич-матрица Р называется (^о, io) -нормализованной..
80 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
Доказательство. Для фиксированных индексов IjgA и
гое/ всегда можно найти такие два отображения f: A-*-G и
g: I -*■ G, что для любых 1еЛи ie/
?, если
3 в противном случае;
!, если рки Ф О,
) в противном случае.
Матрица Р = (рги)> где Рх» = /(A)P)ug@> обладает требуемыми
свойствами и является сэндвич-матрицей для S в силу предло-
предложения 2.8.
Следующая лемма обобщает прямое утверждение предложе-
предложения 2.8 и дает ключ к связи между сэндвич-матрицами изоморф-
изоморфных рисовских матричных полугрупп.
Лемма 2.10. Если две системы координат на вполне 0-простой
полугруппе S используют одни и те же множества индексов I
и А, но, быть может, разные структурные группы G и G, то соот-
соответствующие сэндвич-матрицы Р и Р связаны равенством со(Р) =
= ДлРД/, где со: G°-+G° — изоморфизм, а Ал (соответственно
А/) есть диагональная А У, А-(соответственно IX. I-) матрица,
диагональные элементы которой лежат в G.
Доказательство. Предположим, что G = Нп и_элементы q^,
q'v r{, r'{ определены так же, как раньше. Взяв G*=Hiaia, мы
должны выбрать элементы qv q'%, ft, f\ так, чтобы они удовле-
удовлетворяли условиям B.1.1) относительно пары (/0, Ао) вместо пары
A, 1). Поскольку мы имеем некоторую свободу в выборе эле-
элемента q[ e L,, выберем ^eZ^flPv^. Отображение со: Ни -»■
-*■ Ни\а, заданное формулой со (х) = q'Kaxq%o, определяет изомор-
изоморфизм (см. следствие 2.7 в гл. 2). Заметим, что из соотношений
q%9?q% и rMfi следует, что q-ji = 0, если и только если q-ji = 0,
и в случае q\riфO мы имеем со (qxr^ = q'KliqkriqK. Записывая
П = fiUt для некоторого ut e Ri, (]L\ и q*. = vxqx для некоторого
vi в R\ П Lia (это возможно, так как ft е Ri П L\o, Ц% е R^ П Li),
получаем co(^r,) ={q'Kv%)q}fi(uiq%). Элементы q'^ и utqu
зависят соответственно только от 1 и только от i и лежат в
#(„Ао- Взяв диагональную матрицу Ал. А-й диагональный эле-
элемент которой равен qx,VK, и диагональную матрицу А/, /-й диа-
диагональный элемент которой равен Wi<7a,0, мы получим со(Р) =
=» АлРА/, где со очевидным образом продолжен до изоморфиз-
изоморфизма G0 на G°.
Предложение 2.11 (Д. Рис [1940]). _Две вполне 0-простые
полугруппы Жа(в; I, Л; Р) и J(°(G; 7, Л; Р) изоморфны тогда
2. Теорема Риса — Сушкевича 81
и только тогда, когда существуют изморфизм w: G-+G и две
мономиальные (т. е. имеющие точно по одному элементу в каж-
каждой строке и каждом столбце) матрицы V и U, множества ин-
индексов которых суть Л X Л и iy.1 соответственно, а ненулеше
элементы лежат в G, удовлетворяющие равенству ш(Р) = V~'P£/.
Доказательство. Если 6: J?°{G; /, Л; P)-+J?°(G; J, Л;_/) —
изоморфизм, то он индуцирует биекции ср: !-*■!, 'ф: Л-»-Л, по-
поскольку два элемента, эквивалентные по модулю 52. (соответ-
(соответственно 2"), имеют 01- (соответственно SS-) эквивалентные об-
образы относительно 0. Ясности ради мы обозначим ф(г) через i,
а г|)(Я)— через Я. Чтобы определить со: G-*-G, выберем подгруппу
Них, в J{°{G; /, Л; Р) и заметим, что 0(Я<„О есть подгруппа
ЯГЛ в JP(G; 7, Л; Р). Тогда формула в[р^> V Яо] =~
= [р7- ®(g)', Ja, Яо] Аля каждого geG однозначно определяет
элемент (o(g)eG. Легкая проверка, которую мы опускаем, по-
показывает, что отображение ю сюръективно и a)(gg')= w (g)q (g')
для любых g, g' e G. Следовательно, со — изоморфизм. Для лю-
любых gGG.ie/ДеЛ имеем
B.11.1) [g; i, Я] = [е; /, Яо] [p^jg; t0, Ло] [рА-.ь /0, Я].
Пусть 0[е; i, Я0]=[мг; 7, Яо] и б!>м,; /о, Я] ^[р^и; ?0, Я],
где мг, w^eG. Применяя 0 к обеим частям равенства B.11.1),
получаем
6 [g; i, Я] - [и,; 1, Яо] [р^ «(^); 70, Яо] [p^t»-1; 70, Я],
B.11.2)
Q[g; T, я] = [м(Ш(^)ал1; г, я].
Вводя в рассмотрение мономиальную матрицу U, в которой эле-
элемент с индексами i, i(ie/) есть щ, и мономиальную матрицу
V, в которой элемент с индексами Я, Я (Я е Л) есть v%, можно
переписать B.11.2) в виде
B.11.3) %[g; I, Я]=£У[ш(£); /, Я] V~\
В частности, [р£; 1, Я] = б[р~/; /, Я] — £/[©(р~/); /, Л]К"' для
любых ie/, Я е Л. Отсюда следует, что p^j = «^(р^1)»^1. а
переходя к обратным элементам, получим Р =» Уш(Р)^/-1 или
(РI/.{;
(
Обратно, если даны изоморфизм со и две мономиальные ма-
матрицы U и F, связанные равенством w(P)= y-'Pt/, то формула
B.11.3) определяет биекцню из A\G\ I, Л; Я) на JT°(G; 7, Л; Р),
82 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
Поскольку
6 Iff /, Я] 8 [А; I, ц] = £/[©(£); i, Ц V~lPU [со (А); /, ц]К~1 =
= £/[©&); i, Я,]©(Р)[©(А); /. ц]Г' =
= 6([g; i, Я] [h; и ц]),
в действительности формула B.11.3) определяет изоморфизм.
Следствие 2.12. Пусть S = J[°(G; 1, Л; Р) — вполне 0-простая
полугруппа. На множестве HolS всех троек (U, V, со), в кото-
которых U (соответственно V) есть мономиальная 1"Х.1- (соответ-
(соответственно Л X А-)матрица с элементами из G0, а со — автомор-
автоморфизм группы G, удовлетворяющий равенству w(P) = V~lPU,
определим умножение формулой
B.12.1) (U, V,<i>)(U',V',®') = (U<i)(U'), Va(V'), coco').
Тогда Hoi S становится группой, называемой голоморфом полу-
полугруппы S. Группа Aut S автоморфизмов полугруппы S изоморф-
изоморфна факторгруппе Hoi S/G', где G' — подгруппа в HolS, изо-
изоморфная G: G' = {(Л;(л:), Лл(х), а>х): xgG}. Матрицы А(х)
диагональны, и все диагональные элементы равны х; ю* — вну-
внутренний автоморфизм, определяемый элементом х.
Доказательство. Проверку того, что B.12.1) определяет
групповую структуру на HolS, мы оставляем читателю. Факти-
Фактически формула B.12.1) получается, если рассмотреть компози-
композицию двух автоморфизмов 0, 0' полугруппы S, определяемых
формулой B.11.3). Отображение Ф: HolS->-AutS, заданное
равенством Ф(£/, V, ю) = 0, где 0 определен согласно B.11.3),
является сюръективным гомоморфизмом, причем
КегФ ={(£/, V, ©): U[a{g); i, X]V^ = [g; i, X]
для любых i'e/, 1еЛ, ge G},
Таким образом, (U, V, ш)еКегФ тогда и только тогда, когда
для любых U Я, g выполняется равенство Щт (g) v% ' = g и
матрицы U, V диагональны. Мы имеем ы,ах =е для любых
i, Я. Это означает, что ui = v% и, если обозначить этот элемент
через с, то ft>(g)= c~xgc. Следовательно, КегФ есть группа G',
состоящая из всех троек (А;(с), А.\(с), ас)> где се G. □
Нормальная подгруппа Hs={(U, V, (o)eHolS: ю = 1}
группы Hoi S, изоморфная группе всех пар U, V, для которых
УР = PU, играет важную роль в конструкции идеального рас-
расширения полугруппы S при помощи группы с нулем. Мы назы-
называем Hs стандартной группой обратимых элементов для S (см.
ниже определение 5.9). Образ группы Hs в AutS при действии
определенного выше гомоморфизма Ф можно назвать группой
внутренних автоморфизмов полугруппы S, и мы обозначаем е§
S. Некоторые примеры 83
посредством lnnS. Так как Кег Ф Л #s = {(А/(х), Ал(х), 1):
х е G} и так как равенство @*= 1 справедливо тогда и только
тогда, когда х лежит в центре группы G, мы видим, что InnS^
д* Hs/Z(G), где Z(G) есть подгруппа в Hoi S, изоморфная
центру группы G.
3. Некоторые примеры
3.1. Правые группы
Правой группой называется простая справа полугруппа с
левым сокращением (гл. 1, упр. 6). Легко проверить, что правая
группа 5 является вполне простой полугруппой и S^J((G; I,
Л; Р), где card / = 1, Л равномощно множеству идемпотентов
из S, а Р есть ЛХО)-матрица-столбец, элементы которого
равны единице е группы G (см. следствие 2.9).
3.2. Прямоугольные связки
Это полугруппы, удовлетворяющие тождествам х2 = х и
хух = х (см. пример 1.2(с)). В прямоугольной связке В соотно-
соотношение а91Ъ (соответственно а$Ъ) выполняется тогда и только
тогда, когда аЬ = Ъ и Ьа = а (соответственно ab=a и ba=b),
а Яв совпадает с равенством. Если структурная группа Нп = {е}
выбрана, то существует лишь одна возможность выбора элемен-
элементов qt, (^еЛ) и г,- (i e /) координатной системы для В. В силу
замечания 2.2 мы имеем qui — e для любых X е Л, is/, По-
Поэтому рц = е и В ^Ж({е}; I, Л; Р), все элементы матрицы Р
равны е. Отображение \е; i, %]i—>(i, Я) из J{{{e); I, Л; Р) в мно-
множество / X Л есть изоморфизм на декартово произведение полу-
полугруппы левых нулей на множестве / и полугруппы правых нулей
на множестве Л.
3.3. Полугруппы Брандта
Полугруппа, которая одновременно вполне О-проста и инверс-
инверсна, называется полугруппой Брандта. В 1927 г. Брандт изучал
множества с частично определенным умножением, удовлетворяю-
удовлетворяющие некоторым аксиомам '). Если произведение элементов, ранее
не определенное, объявить равным нулю 0, то получится то, что
мы называем полугруппами Брандта.
Предложение. Полугруппа В тогда и только тогда является
полугруппой Брандта, когда В ^ J(°{G\ I, I; А/), где А/ есть диа-
диагональная IXI-матрица, все диагональные элементы которой
равны единице е группы G.
') Об этих частичных группоидах и их связях с полугруппами Брандта
см. в книге Клиффорда и Престона [1961, § 3.3]. — Прим. ред.
84 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
Доказательство. Если В — полугруппа Брандта, то В инверс-
инверсна и потому каждый ее 52-класс и каждый З'-класс содержат
в точности по одному идемпотенту. Если B^J(°(G; I, A; Р), то
для любого /е/ существует только один индекс Ц|)еЛ, для
которого рвд, t ф 0, поскольку 52-класс с индексом i содержит
единственный идемпотент, а именно \_Pud, t\ <■> Л, (/)]. Отсюда и
из двойственного рассуждения с З'-классами следует, что / и
Л равномощны. Отождествляя %(i) с / и тем самым Л с/, мы
получаем B^Jl°{G\ /, I; Р), где Р — диагональная /X/-ма-
/X/-матрица. Далее, всегда можно найти функции / и g из / в G, та-
такие, что
ГО, если 1ф\,
Г
е, если t =
Применение обратного утверждения предложения 2.8 показы-
показывает, что B^J?°(G; /, /; А;I). □
3.4. Эндоморфизмы ранга ^ 1 правого
векторного пространства V над телом К
Все эндоморфизмы ранга ^ 1 из полугруппы End* V обра-
образуют вполне 0-простую полугруппу 5 (см. предложение 4.2 в
гл. 2). Для двух эндоморфизмов f и g в полугруппе S, так же
как и в End/< V, соотношение \$lg выполняется тогда и только
тогда, когда Кег / = Ker g, a f3?g выполняется тогда и только
тогда, когда Imf = Img. Далее, для feS, / ф 0, имеем
dim Im f = 1 = codim Ker /. Отсюда вытекает, что в качестве
индексирующего множества Л для семейства ненулевых З'-клас-
сов полугруппы S можно взять множество всех подпространств
размерности 1 из V. Аналогично, в качестве индексирующего
множества / для семейства ненулевых 52-классов можно взять
множество всех одномерных подпространств пространства V*
(сопряженного к V). Следовательно, S^J{°(G; I, Л; Р), где
G — полная линейная группа на векторном пространстве раз-
размерности 1, т. е. G ££ К* = К\{0). Чтобы определить Р, выбе-
выберем базисный вектор е% для одномерного подпространства из
V, отвечающего индексу X е Л, и базисную форму ft для одно-
одномерного подпространства из V*, отвечающего индексу /е /. Мы
предполагаем, что. множества Ли/ имеют общий индекс 1 и
чт0 ei/i = 1. Чтобы построить координатную систему для S,
возьмем #ц = {feS: \mf=ieiK, Ker f =(KfiI} (для под-
подпространства W* из V* множество (W*I есть по определению
{oel/; vf = O для всех feW}). Так как eiK®{Kfi)l = V,
в силу предложения 4.2(с, d) из гл. 2 #ц является максималь-
максимальной подгруппой в S. Заканчивая построение координатной си-
') Эта полугруппа впоследствии неоднократно упоминается как
полугруппа Брандта над группой О. — Прим. перев.
4. Вычисление регулярных 3-клпссов 85
стемы-, выберем qi^Hn, и ri^Hn следующим образом:
v rt = ei (и/г) для любых ceF.
При таком выборе q\ и о мы имеем e\q\n = e\(e\\i). Поэтому
сужение на 6i/( линейного преобразования q^ri отображает eia
на e\(e\fi)a. Отождествляя преобразование q\rt со скаляром
e\fi и, следовательно, группу Яи — с К*, получаем
Предложение (Л. М. Глускин [1959]). Полугруппа всех эндо-
эндоморфизмов ранга ^ 1 из правого векторного пространства V над
телом К изоморфна рисовской матричной полугруппе Жа(К*\
{fi}i&i, {e\}leл; Р) где К* — К\{0}, {ел}лел есть множество
базисных векторов для одномерных подпространств из V, {//},- е/
есть множество базисных форм для одномерных подпространств
пространства V* (сопряженного к V) и Р есть А X 1-матрица
над К, с элементами ри = erfi.
4- Вычисление регулярных ^-классов
в полугруппе преобразований
на конечном множестве
Пусть S — подполугруппа полугруппы &~(А) всех преобра-
преобразований, действующих справа на конечном множестве А. Мы
предполагаем, что S задана своими образующими, как в разд. 4d
гл. 2. Как мы видели, в S можно выявить регулярные ^-классы
(гл. 2, предложение 4.5) и найти индексирующие множества
для Я- и ^"-классов, содержащихся в каждом таком ^-классе
D (гл. 2, предложение 4.6).
Так как S конечна, имеем Ф = / и поэтому для любого
ae=D получаем D = S{aSl\I(a), где /(о)= {jceS'aS1:
SlxSl ^S^S1} (гл. 2, лемма 1.12). Обозначим через D° глав-
главный фактор S^S^Iia). Согласно предложению 1.13 гл. 2, по-
полугруппа D0 проста или 0-проста в случае регулярного класса
D. Из конечности S следует, что D0 вполне проста или вполне
0-проста.
Мы намереваемся дать здесь метод определения структуры
полугруппы D0 в виде рисовской матричной полугруппы. На-
Напомним обозначения, введенные в разд. 4d гл. 2:
(a) 5го(a) — {[may: jeS'h card(Ima#) = card(Ima)},
(b) Ж° (a) = {Кет xa; x e= S1 и card (Л/Кег xa) = card (Л/Ker а)},
(c) & (а) = \В е 5^ (а): В трансверсально некоторой яе
(d) Ж (а) = {я е Ж° (а): п трансверсальна некоторому
86 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
Построим для D координатную систему
D.0.1) Н, {(qB, q'B): В е Sf Щ, {(гя, г'я): я е= Ж (а)},
предполагая, что Я есть Ж-кп&сс из Ra, содержащий идемпо-
тент. Чтобы построить элементы qe, выберем для каждого
йе^(и) один элемент ye&S1, такой, что Imou/B = fi, и возь-
возьмем <7в = оув- Семейство элементов qB (В пробегает & (а))
образует систему представителей ^-классов из S, лежащих в
Ra. В частности, мы имеем qr = аут £ Я для некоторого Т е
^У(а). Сформировав X(qr), выберем для каждой эквива-
эквивалентности яе У(?г) один элемент л, е 5', такой, что
KerxnqT = л, и возьмем гл = xnqT. Это дает нам систему пред-
представителей ^-классов из S, лежащих в ^-классе, содержащем
Я. Два семейства qB (Все У (а)) и гл (neJ(?r) = ^(o))
удовлетворяют условию B.1.1) (а) для координатных систем.
Для каждого В^У(а) выберем трансверсальную ему эквива-
эквивалентность р еХ(?г). Тогда ^"-класс RqQLb содержит идемпо-
тент. Предложение 2.5 из гл. 2 утверждает, что qBr?,^RqB [\Lr —
— Н. Обозначив через (<7в/"р)~' элемент, обратный к <7егр в
группе Я, положим q'в = гр(^вгр)-1. Легко проверяется,
что семейство {(?в, ?в): В^ У (а)] удовлетворяет условию
(B.1.1) (Ь). Можно было бы аналогично построить элементы
rrn(^(n^X(qT)), удовлетворяющие условию B.1.1) (с), но эти
элементы не используются при нахождении рисовской матрич-
матричной полугруппы, изоморфной D0.
Заметим, что полная информация о группе Я не была ис-
использована (и она на самом деле не нужна) при нахождении
элементов qB, q'B, rn. Группа Я вычисляется в терминах обра-
образующих как группа подстановок на множестве Т с помощью
правого ^-представления полугруппы S относительно класса D.
Лемма 4.1. Пусть S — полугруппа преобразований на конеч-
конечном множестве А и X — множество ее образующих. Пусть Я —
максимальная подгруппа из S, лежащая в Ф-классе D и со-
состоящая из преобразований, общим образом которых является
подмножество Т из А. Тогда Н изоморфна группе подстановок
Я на множестве Т, порожденной ненулевыми элементами мат-
матриц М(х), xel, где М обозначает правое ^-представление
полугруппь1 S относительно класса D, использующее Н в каче-
качестве структурной группы.
Доказательство. Каждый элемент ЛеЯ индуцирует подста-
подстановку на Т, которую мы обозначим через Я. Очевидно, множе-
множество Я всех таких подстановок является группой, изоморфной
Я. Взяв 5?-класс R полугруппы S, содержащий Я, и единицу е
группы Я, рассмотрим координатную систему /?[Я; {(<7В, q'B)\
4. Вычисление регулярных ЭЬ-классов 87
В е St (еЩ для R (гл. 2, определение 5.3). Правое ^-пред-
^-представление М полугруппы S относительно этой системы задается
для любых ssS, В, CEj(e) формулой
еСЛИ ЯВЯ = ЯС>
0, если tfBs П Яс = 0.
Получаем полугруппу M(S) мономиальных по строкам матриц,
порожденную множеством М(Х). Так как матрицы M(h), где
ЛеЯ, порождают группу, изоморфную Н, ненулевые элементы
матриц из М(Х) составляют множество образующих этой груп-
группы. Переписывая M(s) в виде матрицы над Н[} {О}, мы получим
в качестве порождающего множества для Я множество {qBxq'c'-
х е= X, В, С е= 3 (е) и Вх = С). □
Подытоживая все эти наблюдения, сформулируем следую-
следующий алгоритм, дающий строение регулярного ^-класса полу-
полугруппы S.
Алгоритм 4.2. Пусть S — полугруппа преобразований на ко-
конечном множестве, а X — множество ее образующих. Взяв эле-
элемент а^ S, нужно выполнить следующие действия.
(a) Выписать ядро Кега и образовать совокупность 5го(а)
множеств, определенную формулой (а) в начале параграфа.
Для каждого В<^У°(а) отметить такой элемент qB = aye, что
Im qB = В.
(b) Проверить, допускает ли ядро Кег а какой-либо транс-
версал Т^&°(а). Если нет, то элемент а не регулярен и про-
процесс останавливается. Если да, вычислить qT-
(c) Образовать последовательно семейства №°(qr), 3?{a),
X(qr), указывая такие элементы qB=ayB, что \mqB=B e^(a),
и такие элементы rn = xnqT, что Кег rn = ite JC{qT).
(d) Для каждого В^&(а) найти все трансверсальные ему
эквивалентности n^X(qi) и вычислить соответствующие про-
произведения qBrn как подстановки на множестве Т.
(e) Для каждого B<^3f(a) выбрать одну трансверсальную
ему эквивалентность реХ(<7г) и вычислить 9в = гр (^р)-
(f) Для каждого В^У(а) и каждого хеХ вычислить Вх.
Если Вх^У(а), вычислить qBxq'Bx как подстановку на мно-
множестве Т.
Рисовская матричная полугруппа, описывающая структуру
3)-класса элемента а, есть J@{G; I, Л; Р), где I = X(qT) и Л =
= 9(а) даются шагом (с), ненулевые элементы pBin = qBrn
матрицы Р даются шагом (d), а образующие группы 0 в виде
подстановок даются шагом (f)..
88 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Раса — Сушкевича
Чтобы проиллюстрировать этот алгоритм, мы снова рассмо-
рассмотрим пример из разд. 4d гл. 2. Полугруппа S порождается пре-
преобразованиями
1234567.8 9 10 11 124
456289 111112 1 6,)'
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\
4 4 7 2 8 1 10 11 8 1 6 J *
Мы вычислим структуру i^-класса элемента х, отсылая чи-
читателя за некоторыми деталями к разд. 4d гл. 2. Результаты
(а) — (f) получаются применением инструкций к шагам (а) — (f)
алгоритма 4.2.
(a) Кегх=A, б|2|3|4, 12|6|7|8, 9|10|11). У°(х)=* {Imx,
Imxy}, где 1т*={1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12} и \тху={1, 2, 3,
4,6,7,8, 10, 11 }.
. Cj\m х = X, Cj\m ху = Ху.
(b) Кег л; трансверсальна Т = Im ху, и
123456 789 10 11 12
4 7 2 8 4 10 11 1 1 6 3 8
4
<2>-класс элемента х регулярен.
(с) Кегхг/ = Кегх=A, 5|2|3|4, 12|6|7|8, 9|10|11) транс-
трансверсальна множеству Т. Ядро Кег уху = A12, 3|4|5|6, 1017,
11|8|9|12) трансверсально Im x.
Ж0 (Чт) = (Ker ху, Кег уху} = Ж (qT),
(x)=*&(x)=s{lmx, Imxy},
qimx^X, qimxy = ХУ, Гкег ху == Ху, Гкег уху = уху.
(d) Множество Im x трансверсально только к Кеггдч/:
qimx-rKeryxy=xyxy = (l, 8, 4) B, 11) C, 7) F) A0) на 7",
Множество Im ху трансверсально только к Кег хух
>-Ker уху (Vim х- ГКег
/1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4
V И 11 234867 4 8 10/'
ху - ГКег х» (<?lm «* ' '"кег „)
/12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12\
,831118 10 244 6 7 1 )'
(f) (Imx)x-={1, 2, 4, 6, 8, 11}; (lmx)y = lmxy.
(lmxy)x = lmx-f (lmxy)y=*{l, 3, 4, 7, 8, 10},
5. Малые моноиды и их связи с комбинаторикой 89
тождественно на Т.
qImxyxq']mx = xyxyxy(xyxyyl = A, 4, 8)B, 7, 11, 3) F, 10) на Т.
Рисовская матричная полугруппа, ассоциированная с
^-классом элемента х, есть Jt°(Q; I, Л; Р), где G— цикличе-
циклическая группа порядка 12, порожденная преобразованием а =
= A, 4, 8) B, 7, 11, 3)F, 10), 1={Кетху, Кегуху}, Л =
= {1тл:, 1т ху}, Р = (а2 " )• ^то 2Х2-полугруппа Брандта
над G.
S. Малые моноиды и их связи
с комбинаторикой
Этот параграф посвящен изучению моноидов видаМ = S[)H,
где S — вполне 0-простой идеал в М, а Я — группа обратимых
элементов из М. Мы называем их малыми (small) моноидами и
рассматриваем два различных подхода к построению таких мо-
моноидов; оба подхода обеспечивают связи с интересными разде-
разделами комбинаторики.
5.1. Разложения абелевых групп
Пусть (Я, +)—абелева группа. Два подмножества А, В из
Я составляют разложение группы Я, и мы пишем Я = А ф В,
если для любого As Я существует единственная пара а, Ъ, где
не А, Ъ е В, для которой h = а + Ь. Например, подгруппа А
из Я и множество В представителей смежных классов по этой
подгруппе составляют разложение группы Я. Проблема нахож-
нахождения всех возможных разложений данной конечной абелевой
группы впервые рассматривалась Хайошем [1950]. И после
ряда работ (см., например, Редей [1950], де Брейн [1953],
Сэндз [1957, 1959, 1974], Фукс [1960, гл. 15]) эта проблема
остается открытой даже в случае, когда Я — циклическая
группа.
Еще один аспект возникает в следующей ситуации.
Пусть Е = {0, 1 п—1} и М — моноид преобразований
на множестве Е, порожденный циклом х — @, 1, ..., п—1)
длины п и еще одним преобразованием у. При каких ограниче-
ограничениях на у моноид М имеет вид S[)H, где S — минимальный
идеал в М, а Я — группа обратимых элементов?
Определение 5.1. Разбиение я множества Е= {0, 1, ...
..., п—1} называется совершенным, если л допускает такой
трансверсал Т, что множество 7 + k (mod n) при любом целом
90 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
k остается трансверсалом для я. Такой трансверсал также на-
называется совершенным1).
Например, при п = 6 разбиение @, 2, 4| 1, 3, 5) совершенно,
имея совершенный трансверсал Т = {0, 1}, тогда как разбиение
@, 1, 3|2, 4, 5) не является совершенным.
Предложение 5.2. Моноид преобразований М на множестве
Е = {0, 1, ..., п— 1}, порожденный циклом х = @, 1 п— 1)
длины п и другим преобразованием у, является клиффордовой
полугруппой {и потому в случае rank у < п имеет вид М==
= S\JH, где S — вполне простой идеал) тогда и только тогда,
когда Кегг/ есть совершенное разбиение, для которого 1тг/ слу-
служит совершенным трансверсалом.
Доказательство. Если моноид М Клиффордов, то yxk для лю-
любого ^gN лежит в некоторой подгруппе из М. Но Кегг/х* =
= К.егг/ и lmyxk = Im y + k(modn). Из предложения 4.1 (d)
гл. 2 следует, что Кегг/ — совершенное разбиение, а 1тг/— его
совершенный трансверсал. Обратно, предположим, что Кегг/
является совершенным разбиением множества Е с совершенным
трансверсалом 1тг/. Тогда lmyxk трансверсально Кегг/, откуда
\myxky = 1тг/. Это влечет равенство 1тг/ш>г/ = 1т г/ для любого
w е М, а потому множества 1тг/ и Im yw и, следовательно,
Im иг/у равномощны для любых и, оеМ. Это означает, что
55-класс S элемента у является минимальным идеалом в М.
Если rank у = п, то М — группа, а если rank г/ < /г, то М == S U Я.
где Я — циклическая группа, порожденная элементом х. □
Предложение 5.3. £с./ш я — совершенное разбиение множе-
множества {0, 1, ..., п—1}, а Т — соответствующий совершенный
трансверсал, то для любого t e= Г п-класс элемента t и мно-
множество Т составляют разложение группы Zn.
Доказательство. Предположим, простоты ради, что Т =
= {^о = 0, U, U, ..., tk-\) и что Zn = А Ф Т, где А = {а0 == 0,
fli, Я2, ■•-, a/-i} есть класс элемента 0 по модулю я.
(а) Обозначим через б (Л) и 6G) множества разностей эле-
элементов из А и из Т соответственно, и пусть дсе 8(A)f\8(T). До-
Допустим, что х = аг — as = ti — t/, где г *£s и г Ф /. Отсюда по-
получаем ars=as-{-ti — tj. Так как элементы 0, t\, 'U, ..., tk-\
лежат в разных классах по модулю я, то же самое верно и для
элементов, полученных прибавлением2) числа as — t/. В част-
частности, элементы t/-{- as — t/ = as и ti + as — tj = ar лежат в
') Здесь в оригинале вместо обычного «cross-section» используется термин
«perfect transversal». — Прим. перев.
2) Начиная с этого места и до конца разд. 6.1 все арифметические опе-
операции выполняются по модулю п. — Прим. перев.
5. Малые моноиды и их связи с комбинаторикой 91
различных я-классах, что невозможно. Следовательно, б(Л)П
ЛбGУ={0}.
(Ь) Рассмотрим список
0 tx t2 .... 4-.
1 /,+ 1 t2+\ ... /,_, + 1
п-\ /, + (л-1) t2 + (n-l) ... /fe-,+(«-l)
Элементы каждой строки лежат в разных л-классах. Мы рас-
распределим эти элементы по классам СЮ, Cltu ..., Cltk-i, запи-
записывая их столько раз, в скольких строках они появляются. Каж-
Каждый элемент будет записан в свой класс k раз, а общий список
каждого класса содержит п элементов (поскольку каждый класс
имеет по одному элементу в строке). Поэтому каждый л-класс
содержит одно и то же число / = n/k элементов. С другой сто-
стороны, в списке
О U t2 ... tk_x
никакие два элемента не равны согласно доказанному в (а). Но
этот список содержит k-l = n элементов, откуда следует равен-
равенство Zn = А -\-Т, а с учетом (а) получаем 4 = ЛФГ П
Следующее утверждение частично обращает предложе-
предложение 5.3.
Предложение 5.4. Если множества А и Т составляют такое
разложение группы Zn, что А(]Т= {0}, то существует совер-
совершенное разбиение л множества {0, 1, ..., п—1}, для которого
А является п-классом, а Т — совершенным трансверсалом.
Доказательство. Положив T={to — O, tu ■■■, tk-\), заме-
заметим, что множества А, А + tu ..., А + tk-i образуют разбиение
я множества {0, 1, ..., п—1}, трансверсальное к Т. Предполо-
Предположим, что для некоторого JteN и индексов /, / @ ^ i, j < k)
как х + tt, так и х + /; лежат в А + t, @ <; г < k). Тогда эле-
элементы x-\-U — tr и x-\-tj — tr лежат в А. Отсюда выводим:
и поэтому / = /. Следовательно, для любого xeN множество
{х, x-\-t\, ..., х + tk-i) является трансверсалом для я, и Г
вместе с л совершенно. □
Замечание 5.5. Множества А — {0, 2, 4} и Т= {0, 5, 6, 11}
образуют разложение группы Zi2. Совершенное разбиение мно-
92 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
жества {О, 1 11}, получаемое в доказательстве предложе-
предложения 5.4, есть @, 2, 415, 7, 916, 8, 10111, 1, 3). Другое разбиение,
для которого совершенным трансверсалом также служит Т,
есть @, 2, 4|5, 3, 1F, 8, 10] 11, 9, 7). Таким образом, проблема
нахождения всех клиффордовых моноидов, порождаемых цик-
циклом х =@, 1 п — 1) и другим преобразованием у на мно-
множестве {0, 1, .... п — 1}, сводится к
(a) определению природы слагаемых в произвольном раз-
разложении 2 п — А Ф Т;
(b) нахождению для данного слагаемого Т группы Zn всех
совершенных разбиений, для которых Т служит совершенным
трансверсалом.
5.2. Группы автоморфизмов систем
инцидентности
Система инцидентности 9 — (V, $, I) — это тройка, состоя-
состоящая из множества V элементов, называемых точками или мно-
многообразиями, множества & блоков и подмножества / декартова
произведения VX^> называемого инцидентностью системы 9.
Если (р, В)е/ для р е V, В е &, то мы говорим, что точка р
и блок В инцидентны, или р принадлежит блоку В (или лежит
на В), или В содержит (или проходит через) точку р. Всюду
далее мы предполагаем, что V и <Й конечны, причем card V = v
и cardS = b. Матрица инцидентности М(^) системы 9 опреде-
определяется как г>ХЬ-матрица с элементами гпр, в из {0, 1}, заданны-
заданными формулой
( 1, если (р, В)е/,
»!,» = { -.
р (, 0 в противном случае.
Пример 5.6. Пусть V={0, 1, 2, 3} и ^ — множество всех
двухэлементных подмножеств из V. Определим / следую-
следующим образом. Для любых р е V, Вщ$ положим (р, В)е/
тогда и только тогда, когда р е В. Матрица инцидентности
М{9) построенной системы 9 имеет размеры 4X6, каждая ее
строка содержит три единицы, а каждый столбец — две еди-
единицы.
Система инцидентности, в которой каждый блок содержит
одно и то же число k точек и каждая точка принадлежит одному
и тому же числу г блоков, называется тактической (k, ^-конфи-
^-конфигурацией. Если дана тактическая конфигурация 9 = (V, 31, I),
где i?={J3i, ..., Вь), то для любого /, 1 ^ / ^ Ь, определим
множество Xi = {р е V: (р, В,)е/}. Тогда каждое X,- является
^-элементным подмножеством из V, V=(J*<-i^(> и> подсчиты-
подсчитывая двумя способами общее число единиц в М(9), мы полу-
получаем Ыг = vr. Для любой точки pel/ имеется v — 1 двухэле-
6. Малые моноиды и их связи с комбинаторикой 93
ментных подмножеств из V, содержащих р. С другой стороны,
р принадлежит г множествам из числа Хи Хъ ..., Хь, а каждое
из последних содержит k — 1 двухэлементных подмножеств, со-
содержащих р. Если предположить, что каждое двухэлементное
подмножество из V принадлежит одному и тому же числу К
множеств среди Хи Х2 Хь, то r(k—l) = X(v— 1). Об-
Обратно, если V — множество из v элементов и & — {Хи Х2, ...
..., Хь} — совокупность его ^-элементных подмножеств, таких,
что любое двухэлементное подмножество из V содержится в X
множествах из числа Xlt Х2 Хь, то, как и выше, k—1 де-
делит X(v— 1) и частное г есть число множеств среди Хи Х2, ...
..., Хь, содержащих произвольный данный элемент из V. От-
Отсюда следует, что 9' = {V, $, I) (где / определяется условием:
(р, Х{) е /, если и только если р е Xt) является специальной
\k, r)-конфигурацией. В случае v^k + 2 такая тактическая
конфигурация 9* называется (уравновешенной неполной) блок-
схемой, а указанные выше числа Ь, v, r, k, К называются ее
параметрами. Здесь заслуживают упоминания два частных слу-
случая блок-схем.
а. Система троек Штейнера
Так называется блок-схема 9' = (V, $, I) с параметрами
v > 3, 6 = 3 и Я,= 1, т. е. совокупность Я таких трехэлемент-
трехэлементных подмножеств из V, что каждое двухэлементное подмноже-
подмножество из V лежит точно в одном трехэлементном подмножестве,
принадлежащем £§. Из равенств bk — vr и r(k—l) — K(v — 1)
мы получаем для системы троек Штейнера соотношения 3b = vr
и 2r = v — 1, откуда Qb = v(v—1). Таким образом, а за 1 или
(аб)')
Пример 5.7. На рис. E.7.1) блоки системы троек Штейнера
при v = 7 наглядно изображаются линиями.
E.7.1)
•) Это условие является и достаточным для существования при данном
v > 3 штейнеровой системы троек (см., например, М. Холл Ц967Ь*]).—
Прим. перев.
94 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
Ь. Конечная проективная плоскость
Так называется система инцидентности &> — (]/, $, I) (эле-
(элементы из $ называются прямыми), в которой (а) для любой
пары точек Р\, Р2 е V, р\ ф р2, существует в точности одна
прямая lei, такая, что \р\, L)<= I n (p2, L)<=I; (b) для лю-
любой пары прямых L\, L2e.$, Ь\ФЬ2, существует в точности
одна точка peF, такая, что (p,Li)<=I и (р, L2)e/; (с) су-
существуют по меньшей мере четыре различные точки р\, р2, Рг,
Pi e V, никакие три из которых не инцидентны одной прямой
L e 3&. Система троек Штейнера из примера 5.7 является также
примером конечной проективной плоскости. Непосредственно из
аксиом следует, что для двух различных прямых L\ и L2 в про-
проективной плоскости (см. диаграмму E.7.2)) существует точка
E.7.2)
р е V, не лежащая на L\ и L2, и с помощью прямых, проходя-
проходящих через точку р, можно установить взаимно однозначное со-
соответствие между точками <7ь лежащими на L\, и точками <72.
лежащими на L2. Поэтому каждая прямая из $ содержит одно
и то же число точек, скажем л + 1, а каждая точка из V ле-
лежит в точности на п + 1 прямых. Отсюда вытекает, что З1 со-
содержит п2 + п + 1 точек и п2 + п + 1 прямых. Число п назы-
называется порядком проективной плоскости, и известно, что для
всех п = ра (р — простое) существует плоскость порядка п.
Однако теорема Брука — Райзера утверждает, что если « з= 1
или я э=2(mod 4) и свободная от квадратов часть числа п
имеет простой делитель р = 3(mod4I), то проективной пло-
плоскости порядка п не существует (например, для п = 6). Конеч-
Конечные проективные плоскости являются особыми примерами сим-
симметричных блок-схем (т. е. блок-схем, параметры которых удов-
удовлетворяют равенствам b = v и r = k). Дальнейшие детали см.,
например, в книге Райзера [1963, гл. 7, 8].
Гомоморфизмом системы инцидентности £? = (]/, ^, /) в си-
систему инцидентности 9" = {V, $', Г) называется пара (о|), ф)
отображений -ф; V^-V, ф: £®^>-$!', сохраняющая инцидентность,
') Последнее условие равносильно тому, что п нельзя представить в виде
суммы двух квадратов. Доказательство теоремы Брука — Райзера в такой
форме см, в книгах М. Холла [1959, 1967b*], Райзера [1963]. —Прим. ред.
S. Малые моноиды и их связи с комбинаторикой 95
1. е. (р, й)еУ влечет (ty(p), фE))е/'. Соответствующим об-
образом используется обычная терминология: изоморфизм, эндо-
эндоморфизм, автоморфизм.
Предложение 5.8. Пусть 97 = {V, $, I)—система инцидент-
инцидентности с матрицей инцидентности М{9>). Группа автоморфизмов
системы. 91 изоморфна группе пар (Q, R) подстановочных мат~
риц, удовлетворяющих равенству Q-M(9') = M(9>)-R.
Доказательство. Пусть дан автоморфизм (ij>, <р) системы ЗР.
Обозначим УУ. V-матрицу, определяемую подстановкой -ф, че-
через Q, а ^Х ^-матрицу, определяемую подстановкой ф — через
R. Тот факт, что (р,В)^1 влечет (i|> (p),q>(£))e/, на языке
матриц означает, что М (9*) = QM (9>) R~l, или QM(9?) =
— M(9')R. Отображение {§, ф)|—^-(Q, R) и задает требуемый
изоморфизм. D
Группа автоморфизмов системы инцидентности тесно свя-
связана с некоторой группой Hs, которая служит группой обрати-
обратимых элементов моноида. М = Hs [} S, где 5 — вполне 0-простая
полугруппа.
Определение 5.9. Пусть S = J[°(G; I, Л; Р)— регулярная ри-
совская матричная полугруппа. Множество всех пар (Q, R)
мономиальных АХА-.и /X /-матриц с элементами из G0, удов-
удовлетворяющих равенству QP = PR, образует группу относитель-
относительно обычного умножения матриц. Она обозначается через Hs и
называется стандартной группой обратимых элементов для S.
Такое название группы Hs обусловлено тем, что на мно-
множестве Hs\jS можно следующим образом определить структуру
моноида. Для любой пары h = (Q, R) из Hs и любой матрицы
[g; i, 1]е5 определим h[g; i, X] как произведение матриц
R-[g;i,h], a [g; i,K]h — как произведение [g; i, K]-Q и поло-
положим h-O = O-h = O. Более общо, справедливо
Предложение 5.10. Пусть S = M°(G; I, А; Р)~регулярная
рисовская матричная полугруппа и Hs — ее стандартная группа
обратимых элементов. Пусть даны группа Н и гомоморфизм
8: H^-Hs. Определим на множестве M = H\JS операцию, по-
положив h-s = Q(h)s и s-h = sQ(h) для любых h<=H, s^S и
сохранив умножение в Н и в S. Тогда М становится малым мо-
моноидом, в котором Н —группа обратимых элементов, a S —
вполне 0-простой идеал. Обратно, любой малый моноид М =
= Яи5, где S = J[°(G; I, А; Р), а Н — группа обратимых эле-
элементов, может быть получен таким способом.
Доказательство. Прямое утверждение, оставляемое в каче-
качестве упражнения, состоит в проверке ассоциативности. Для до-
доказательства обратного утверждения предположим, что М —
бб Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича
— H[)S, где Н — группа обратимых элементов, a S — идеал.
Если мы зафиксируем некоторые индексы Ко^ А и to e /, то
для любых Ае Я, is/, 1еЛ
E.10.1) А [е; /,&„] = [/-,; <p(i), bo], [*; h> Ь]А = [<?ъ 'о.
где е — единица структурной группы полугруппы S. Эти фор-
формулы определяют мономиальную по столбцам /X /-матрицу R
и мономиальную по строкам Л X Л-матрицу Q: R содержит на
пересечении t'-ro столбца и ср(г)-й строки элемент г,, a Q содер-
содержит на пересечении Х-и строки и ^ (Л,)-го столбца элемент q^.
Далее, h [е; i, Хо] = R [е; i, Ко] и [е; i0, K]h = [e; i0, k] Q, откуда
уже для любых [g; i, ^]gS вытекают равенства h[g; i, %] =
= R[g; i, К] и [g; i, X]h = [g; i, k]Q. Так как правые и левые
сдвиги, определяемые элементами h, являются подстановками
на S, сохраняющими ^-классы, преобразования ср и г|э на мно-
множествах / и Л соответственно также являются подстановками.
Формула ([е; iQ, X]h) [e; i, Ko] = [е; i0, К] (h[e; i, Ko]) переходит
в матричное равенство QP = PR. Следовательно, соотношения
E.10.1) определяют отображение Э: h^->(Q, R) из Н в Hs.
Легко проверяется, что 6 — гомоморфизм. □
Система инцидентности 9> = {V, 38, I) называется невырож-
невырожденной, если ее матрица инцидентности М{91) содержит по
крайней мере одну единицу в каждой строке и в каждом
столбце. Рисовская матричная полугруппа системы 9" опреде-
определяется равенством .Ж^ = ЖЧ{1}; Я, V; М (9>)).
Теорема 5.11. Пусть 9* — невырожденная система инцидент-
инцидентности и JL& — ее рисовская матричная полугруппа. Тогда сле-
следующие группы изоморфны:
(a) группа автоморфизмов системы 9>\
(b) стандартная группа обратимых элементов для Ж&\
(c) группа автоморфизмов полугруппы М&.
Доказательство. Изоморфность групп (а) и (Ь) вытекает из
предложения 5.8 и определения 5.9. Изоморфность групп (Ь)
и (с) обусловлена тем общим фактом, что для рисовской ма-
матричной полугруппы S = Ж°{{е}\ I, Л; Р) мы имеем Hs ££
^AutS. Это вытекает из следствия 2.12, так как в случае
G = {е} голоморф полугруппы S совпадает с Hs и является
группой автоморфизмов полугруппы S. Заметим также, что при
G = {е} все эти автоморфизмы внутренние. □
Для системы 9" из примера 5.7 стандартная группа обрати-
обратимых элементов для вполне 0-простой полугруппы Жоу является
фактически группой автоморфизмов (единственной) проектив-
проективной плоскости порядка п = 2. Эта проективная плоскость слу-
служит проективным пространством трехмерного векторного про-
Упражнения 97
странства над полем Z2. Ее группа автоморфизмов совпадает с
группой GL C,2) всех обратимых ЗХЗ-матриц над Z2. Даль-
Дальнейшую информацию об определении групп автоморфизмов
блок-схем см. у М. Холла [1967а].
Библиографические замечания
Решетку конгруэнции вполне 0-простой полугруппы описывали несколько
авторов: Л. М. Глускин [1956], Тамура [1960], Престон [1961]. Лаллеман
[1967, 1974а], Капп, Шнайдер [1969]. Предпринимались также спорадические
попытки обобщить теорему Риса — Сушкевича; см., например, Штейнфельд
[1967], Лаллеман и Петрич [1969], Аллен [1971]. Группа автоморфизмов ри-
совской матричной полугруппы S связана с полугруппой сдвигов на S; см. Пет-
Петрич [1968, 1973]. Алгоритм из § 4 для вычисления рисовской матричной полу-
полугруппы, ассоциированной с регулярным ^-классом полугруппы преобразований
на конечном множестве, предложен Перро [1971] вместе с описанием соответ-
соответствующей АПЛ-программы; см. также Кузино, Перро, Риффле [1973]. Этот
алгоритм считается важным инструментом исследования, особенно при желании
изучить природу максимальных подгрупп конечной полугруппы преобразований
(см. гл. 8) В § 5 показано, что построение моноидов вида М = S U Н с впол-
вполне 0-простой полугруппой S и группой Н обратимых элементов является не-
нетривиальной задачей. Дальнейшие детали и библиографические указания о раз-
разложениях абелевых групп можно найти в книге Фукса [1960, гл. 15]. Пред-
Предложение 5.2 было использовано в недавней работе Лаллемана [1978] для
построения класса клиффордовых полугрупп, связанных с конечными префик-
префиксными кодами. Связь между вполне 0-простыми полугруппами и системами ин-
инцидентности (или двудольными графами) изучали Грэхем [1968], Поллачек
[1977] и Хаутон [1977].
Упражнения
1. Полугруппа S вполне проста тогда и только тогда, когда S — регу-
регулярная полугруппа со слабым сокращением (т. е. из равенств ах = Ъх и уа =
= уЬ для некоторых х, у s S следует а — Ь).
2. Вполне 0-простая полугруппа с тривиальными максимальными подгруп-
подгруппами называется 0-прямоугольной связкой. Полугруппа S тогда и только тог-
тогда является 0-прямоугольной связкой, когда S имеет нуль 0, S ф {0} и вы-
выполняются два условия:
(a) хух = х или хух = 0 для любых х, у е S;
(b) xSy = {0} влечет х = 0 или у = 0.
3. 0-простая полугруппа вполне 0-проста тогда и только тогда, когда
она имеет 0-минимальный правый идеал и 0-минимальный левый идеал
(Клиффорд 11949]).
4. Пусть S — простая, но не вполне простая полугруппа. Тогда любой
идемпотент из S является единичным элементом некоторого бициклического
моноида, содержащегося в S. (Приписывается Андерсену [1952]; см. Клиф-
Клиффорд и Престон [19611.)
5. Пусть ф: S^f-S' — сюръективный гомоморфизм и полугруппа S вполне
0-проста. Тогда полугруппа S' также вполне 0-проста (использовать упр. 11
из гл. 2).
6. Для вполне простой полугруппы S всегда можно выбрать координат-
координатную систему Яц, {(<7^> <7^): ^ s -A-J, \yrit гЛ: i s /j, удовлетворяющую ус-
условиям B.1.1), в которой <7/, и ft — идемпотенты, а Як~г1 = е для любых
"к s Л, (е/, где е — единица группы Н\\. Тогда все элементы первой строки
и первого столбца сэндвич-матрицы будут равны е. Когда 5 является
4 Зак. 474
98 Гл. 3. Простые полугруппы. Теорема Риса — Сушкевича ^
полугруппой преобразований на конечном множестве (или минимальным
идеалом полугруппы преобразований), возможность выбора идемпотентов в
качестве q'^ и г\ упрощает алгоритм 4.2 (заметим, например, что в этом слу-
случае 5">(а) = Sf{a) и Ж°(а) = Ж (а)).
7. Полугруппа из примера в тексте, иллюстрирующего алгоритм 4.2, имеет
еще один 0-класс D, который является минимальным идеалом. Это можно
быстро установить, проверив, что мощность множеств Im х2, Im х2у и Im x2yx
одинакова. Далее, эти три множества являются единственно возможными об-
образами элементов из ^-класса D элемента х2. Взяв в качестве qBl, qBl< qBb
соответствующие идемпотенты и положив qB = qR, как указано в упр. 6,
мы получим на шаге (f) алгоритма 4.2 образующие максимальной подгруппы
из D. Ими будут преобразования (записанные в виде произведений циклов)
A,2,4,6,8,11), A, И) B, 4, 6, 8), A, 11, 4, 6) B, 8).
Для идеала D мы получим card Л = 3, card/=11, card G = 72 (Перро
[1972]). Следующее упражнение позволит читателю продуцировать другие при-
примеры малых размеров.
8. Простейшие разложения циклической группы Zn целых чисел по мо-
модулю п получим, записывая многочлен 1 + х + ... + хп~1 в виде произведения
а(х)Ь(х) двух многочленов с коэффициентами 0 и 1 и разлагая множество
{О, 1, ..., я—1} как множество показателей степеней Пример: равенство
A— х12Д/A — х) = A +х2 + х*)A+х + хо + х7) дает разложение АФ_б-=
==~Zi27 где Л = {0, 2, 4} и В = {0, 1, 6, 7}"— множества показателей. Разбиение
(О, 2, 4 | 1, 3, 5 | 6, 8, 10 | 7, 9, 11)
является совершенным, имея (например) совершенный трансверсал {0, 1, 6, 7}.
Полугруппа, порожденная циклом х = @, 1. 2 11) длины 12 и преобра-
преобразованием
/024 13568 1079 Ц-\
У~\0 0011166 677 7 )'
Является малым моноидом в силу предложения 5.2. В 1937 г. Краснер и Ра-
нуляк показали, что любое разложение многочлена A—хп)/(\— х) в произ-
произведение многочленов а (я) 6 (я) можно получить, взяв цепь делителей числа п
вида й]|йг| ... \km\n, записав
1-х" \-xkl \-xkl 1-х"
и отнеся множители \\—х 1)/\\—х '"') произвольным образом к а(х) и Ь(х).
Приведенный выше пример задается цепью делителей 2|6|12, гдеа(*) = A—
— х*I{\— х2) и Ь(х) =[(l_x2)/(l-*)]■[(!-*12)/A-*6)]- Постройте
другие примеры и исследуйте минимальные идеалы соответствующих полу-
полугрупп преобразований.
9. Пусть S = J((G; I, А; Р), где / = Л = {1, 2, 3}, G — диэдральная
группа порядка 10, задаваемая копредставлеиием G = {а, Ь; аъ = Ь2 =
= FаJ = е), и
/ее е \
А е а а2 ]
\е а* Ь )
Группа Aut S и стандартная группа обратимых элементов для S тривиальны
(Хаутон.[1977]).
10. Пусть S — конечная вполне простая полугруппа. Тогда любая под-
подполугруппа S' из S вполне проста. Если S = M{G\ I, А; Р), то S' = JC{G'\
Упражнения 99
/', Л'; R'), где G' — подгруппа из G, /' S /, Л' = Л, а Р' — соответствующая
подматрица в Р.
11. Пусть S = Jt(G; I, Л; Р)—вполне простая полугруппа и первые
строка и столбец матрицы Р содержат лишь единицу е из G [см. упр. 6).
Для любого гомоморфизма ср из S в группу К обозначим через ф сужение ср
иа G = #ц. Тогда Кег ф содержит все элементы из Р.
12. Полугруппа S называется прямоугольной связкой групп, если на S
имеется такая конгруэнция р, что S/p есть прямоугольная связка, а каждый
р-класс является группой. В силу упр. 7 из гл. 2, S будет прямоугольной
связкой групп тогда и только тогда, когда S — дизъюнктное объединение
групп Gi\, is/, J,gA, причем Gi\G/v,s Gi^, для любых i, j s /, X, ц s Л.
Полугруппа S вполне проста тогда и только тогда, когда она является прямо-
прямоугольной связкой (необходимо изоморфных) групп (Клиффорд [1954°]).
4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
ДЕКОМПОЗИЦИИ
ДЛЯ КОНЕЧНЫХ
МОНОИДОВ
Ь этой главе мы обсудим наиболее элементарные аспекты
важной теории конечных полугрупп преобразований, принадле-
принадлежащей Крону и Роудзу [1965]. Результаты этой теории изла-
излагались уже в нескольких книгах и обзорных статьях, постепенно
совершенствуясь и достигнув определенной кульминации в
книге Эйленберга [1976]. В настоящее время эйленберговское
изложение теории Крона — Роудза вместе с главами той же
книги, написанными Тилсоном, несомненно, самое полное и эле-
элегантное. Несмотря на это, включение данной главы в настоя-
настоящую книгу оправдывалось несколькими соображениями. Во-
первых, основная теорема декомпозиции и последующие резуль-
результаты о групповой сложности уже стали классическими, и недо-
недопустимо, чтобы книга о полугруппах и комбинаторике могла
умолчать об этих вещах. Во-вторых, получение результатов в
терминах полугрупп преобразований доставляет ряд техниче-
технических трудностей, преодолеть которые легче, используя декомпо-
декомпозицию моноидов. Наконец, мы привлекаем теорему декомпози-
декомпозиции для изучения синтаксических моноидов в гл. 7.
Таковы причины, побудившие нас изложить краткое дока-
доказательство основной теоремы декомпозиции для конечных мо-
моноидов, а затем аналогичную теорему для моноидов преобразо-
преобразований. Подчеркнем также один аспект теории декомпозиции,
родственный неизменно популярной деятельности в теории
групп — отысканию конечных простых групп1). Заинтересован-
Заинтересованного читателя мы отсылаем к книге Эйленберга [1976] для
ознакомления с этим наиболее глубоким разделом обсуждаемой
тематики, посвященным изучению групповой сложности конеч-
конечных полугрупп2).
') Как известно, сравнительно недавно объявлено об окончательном ре-
решении этой принципиальной задачи в теории конечных групп (см. М. Ашба-
хер. Конечные простые группы и их классификация.—УМН, 1981, 36, № 2,
с. 141—172). О действительном положении дел в этой области (на конец
.1983 г.) см. обзор А. С. Кондратьева, А. А. Махнева, А. И. Старостина «Ко-
«Конечные группы» в кн.: Итоги науки. Алгебра, геометрия н топология, т. 24,
1986. См. также книгу Д. Горенстайна «Конечные простые группы. Введение в
их классификацию», «Мир», 1985. — Прим. ред.
2) С теорией групповой сложности на русском языке можно ознакомиться
по книге Арбиб [1968]. О теоремах декомпозиции (на языке полугрупп и авто-
/. -Предварительные сведения из теории групп 101
1. Предварительные сведения
из теории групп
Субнормальным рядом группы G называется такая конечная
последовательность ее подгрупп Gi @ ^ i ^ п), что
A.0.1) M = GoSC,s ... sGi = G(+i= ... c=Gn=G
и Gi является нормальной подгруппой в Gh-i для каждого i,
0 ^ i < п. Факторгруппы G,+i/G,- называются факторами ряда
A.0.1). Если G имеет другой субнормальный ряд
A.0.2) {е} = Fo <= F, <= ... <= F/ <= F/+, s ... Efm=G,
причем для каждого t, 0 ^ t ^ n, существует такой номер /,
0 ^ j ^ m, что Gi = Fj, то ряд A.0.2) называется уплотнением
ряда A.0.1). Два субнормальных ряда A.0.1), A.0.2) назы-
называются изоморфными, если m = n и между факторами этих ря-
рядов существует взаимно однозначное соответствие, при котором
соответствующие факторы изоморфны. Справедлива следующая
теорема об уплотнении.
Теорема 1.1 (Шрейер [1928]). Любые два субнормальных
ряда произвольной группы допускают изоморфные уплотнения.
Дадим набросок доказательства. Чтобы уплотнить A.0.1) и
A.0.2), построим группы G,-,/ = G,(G,-+i П Fj) и Fitj =
= Fj(Fj+if\ Gi) для каждой пары i, j, 0 ^ i < n, 0 ^ / < т.
Хорошо известная «лемма о бабочке», принадлежащая Г. Цас-
сенхаузу, утверждает, что Gi,;- — нормальная подгруппа в G,-, ,>!,
Ftj — нормальная подгруппа в F,-+i,/ и факторгруппы G,, /+i/G/, /,
Fi+u i/Fi, i изоморфны. Вставляя все группы G,-, / между Gi и G<+i
в A.0.1), а группы Fi,j — между Fj и F/+1 в A.0.2), мы получим
два изоморфных уплотнения. (Полное доказательство см. в
книге М. Холла [1959, гл. 8]1)).
Субнормальный ряд группы G, не имеющий собственных
уплотнений, называется композиционным рядом. Факторы ком-
композиционных рядов суть простые группы, и эти простые группы
определяются однозначно в следующем смысле.
Следствие 1.2 (Жордан [1869], Гёльдер [1889]). Если груп-
группа G обладает композиционным рядом (в частности, если G ко-
конечна), то любые два ее композиционных ряда изоморфны.
Для группы G, удовлетворяющей условию этого следствия,
простые группы, которые являются факторами ее композиционных
матов) см. также Калман, Фалб, Арбиб [1969*]. Теорема Крона — Роудза
рассматривается и в книге В. М. Глушкова, А. А. Летичевского и А. Б. Год-
Годлевского [1983*]. — Прим. ред.
') Оно содержится также в книгах М. И. Каргаполова и Ю И. Мерзля*
кова [1982*, гл. 2] и А. Г. Куроша [1967*, гл. 3, 5]. -Прим. ред.
102 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
рядов, мы будем называть простыми делителями G (в слу-
случае G = Zn факторы группы G суть циклические группы, по-
порядки которых — простые делители числа п).
Чтобы восстановить группу по факторам некоторого субнор-
субнормального ряда, нужно решить следующую задачу расширения'.
для данных групп N я Н найти все группы G, содержащие нор-
нормальную подгруппу N', изоморфную N, с факторгруппой G/N',
изоморфной Н. Любая такая группа G называется расширением
группы N посредством Н. Поскольку нам будет нужна интер-
интерпретация решений этой задачи в терминах определяемого ниже
сплетения, обрисуем неформально способ решения, предложен-
предложенный Шрейером.
Пусть G — расширение группы N посредством Н. Тогда с
точностью до изоморфизма G = N\J NU{] Nv\J ... [}Nw, где
п, v, ..., w вместе с единицей ё образуют систему 2 предста-
представителей смежных классов по подгруппе N. Отсюда вытекает,
что каждый элемент g&G может быть однозначно записан в
виде g = аи, где a^N, «eS. Замечая, что 2 находится во вза-
взаимно однозначном соответствии с Н, определим биекцию Ф: G-»-
-»-#Х#, положив <D(g) = (a, и), где и обозначает элемент из
Я, соответствующий элементу йеН. Возникает вопрос: как
определить умножение на iVX^, чтобы Ф оказалась изомор-
изоморфизмом? Взяв h = bv, мы должны определить произведение
Ф(^)Ф(/г) так, чтобы оно совпало с Ф(^/г). Но G>{gh) мы по-
получаем, выражая gh = aubv в виде cw для некоторых с е N,
»s2. Ясно, что w должен быть равен элементу uv (предста-
(представителю смежного класса, соответствующего элементу иеЯ),
Имеем
gh = aubv = апЬ(пгхп)г)*= а(пЬп~{) «•£/.
Заметим, что отображение Ьу->пЬп~{ есть автоморфизм группы
N и что u-v = [u, v]uv для некоторого элемента [и, v\ из N.
Обозначив пЬпг1 через иЬ, окончательно получим gh =
'e=a{ub)[u, v]uv и <D(gh) — (a(ub) [и, v], uv). Это и будет по
определению произведением элементов (а, и) и (b, v) в Ny.H.
Разумеется, умножение должно быть ассоциативным. Неслож-
Несложные вычисления сводят это требование к соотношениям
A.2.1) [и, v](uvc) [uv, w] = u(vc)u[v, w] [u, vw]
для любых ceJV и и, v, wsH.
Так как представителем класса iV выбрана единица ё, соответ-
соответствующая единице е группы Н, мы должны иметь также
A.2.2) eb = b и [и, е] = [е, и] = ё для всех b <= N, и е Н.
Теорема 1.3 (Шрейер [1926]). Пусть даны группы N и Н,
Каждому ы е Н поставим в соответствие некоторый автомор-
/. Предварительные сведения из теории групп ЮЗ
физм b i—*• ub группы N, а каждой паре (и, v) элементов из Я
поставим в соответствие элемент [и, n]eJV так, чтобы выпол-
выполнялись условия A.2.1) и A.2.2). Тогда множество NX Я с
умножением, определенным равенством
A.3.1) (а, и)(Ь, v) = (a("b)[u, v], uv),
есть группа, обозначаемая через Ny^H и являющаяся расшире-
расширением группы N посредством группы Я. Обратно, любое расши*
рение группы N посредством группы Я получается таким спо-
способом.
Последнее утверждение теоремы доказано выше. Остальное
(проверку того, что NX# с умножением A.3.1) есть группа
с требуемыми свойствами) мы оставляем читателю.
Условие A.2.1) обычно заменяют следующими двумя усло-
условиями:
A.3.2) [и, v]Cc)[u, у]-' = Гс),
A.3.3) [и, v][uv, w]="[v, w][u, vw].
Для наших целей расширение группы N посредством Я по-
полезно представить матрицами. Определим отображение ц рас-
расширения Л^ХЯ в группу всех мономиальных ЯХЯ-матриц
над группой № с присоединенным нулем 0 по формуле
ha)[h, и], если h' — hu,
A.3.4) iuiu, 4l\h h'— 1 n ir . t
\ I Lf-V /Jft. П ^ Qj если ft _fe/jU_
(Указан элемент матрицы ц(а,и), позиция которого опреде-
определена индексами h, h'.) Ниже (см. определение 1.5(а)) будет
введено сплетение NwгЯ, которое в точности изоморфно упо-
упомянутой группе мономиальных матриц над №.
Предложение 1.4. Отображение ц, определенное в A.3.4),
является инъективным гомоморфизмом расширения Ny$H в
сплетение N wr Я.
Проверку этого предложения мы оставляем читателю в ка-
качестве упражнения.
Возвращаясь к формулам, определяющим N>iH, заметим,
что когда все [и, v] лежат в центре группы N, условие A.3.2)'
принимает вид "°с = "(°с). Это означает, что отображение
ы>—>их из Я в группу автоморфизмов AutN есть групповой го-
гомоморфизм. При этом условии N >i H называется центральным
расширением группы N посредством Я. Важный частный слу-
случай центрального расширения получается, когда [и, v] = e для
всех и, v e Я. Тогда G называется расщепленным (или расщеп-
расщепляемым) расширением или полупрямым произведением групп
N и Я со связывающим гомоморфизмом ф: ы»—>"* из Я в
104 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
Полупрямое произведение обозначается через N "X. Н, а ра-
ч>
венство A.3.1) в этом случае превращается в равенство
(a, u)(b, v) = (a(ub), uv), где = ф(м)F). Все эти расшире-
расширения содержатся в группе NwrH, которую мы сейчас опре-
определим.
Определения 1.5. (а) Сплетение двух групп N и Н, обозначае-
обозначаемое через NwrH, есть группа, состоящая из всех пар (/, пг),
где f — отображение из Н в N, m e Н, а умножение определено
формулой (fu mx){f2, m2) — (i3, mxm2), где f3(m) = f1(m)f2(mmi)
для любых m, mu m2^ H и любых f\, f2: H-+N.
(b) Группа М делит группу N, если М является гомоморф-
гомоморфным образом некоторой подгруппы из N; обозначение M\N.
Соответствующий гомоморфизм называется гомоморфизмом де-
деления. Если M\N и М не изоморфна N, то М называется соб-
собственным делителем группы N. Множество') всех собственных
делителей группы М обозначается через DivM.
(c) Пусть ^ — произвольная совокупность групп. Замыка-
Замыканием совокупности ^ (относительно сплетений и делителей),
обозначаемым через 9, называется наименьший класс групп,
содержащий *§ и удовлетворяющий условиям:
(cl) если Ме§ и N\M, то iVef;
(с2) если Ми М2<=§, то AfiWrM2ef.
Из следствия 1.2 и предложения 1.4 непосредственно выте-
вытекает, что любая группа, обладающая композиционным рядом
(в том числе любая конечная группа), принадлежит замыканию
множества всех своих простых делителей (Калужнин и Краснер
[1951]). В частности, если G — конечная не простая группа, то
G e Div G. Более точно, справедлива
Теорема 1.6. Для конечной группы G следующие утверждв'
ния равносильны:
(a) группа G проста;
(b) G^DivG;
(c) для любого полупрямого произведения Gi X G2, если
Q\GiXG2, то G\Gi или G\G2.
<р
Доказательство. Утверждение (Ь) влечет (а), согласно ска-
сказанному непосредственно перед теоремой. Для доказательства
того, что (а) влечет (с), предположим, что существуют под-
') Можно говорить, что все собственные делители образуют множество
(а не класс), если рассматривать их с точностью до изоморфизма; но именно
это достаточно предполагать всюду ниже. — Прим. перев.
/. Предварительные сведения из теории групп 105
группа Я в Gi~X.G2 и сюръективный гомоморфизм Э: H-*-G.
ч>
Поскольку Я является подгруппой расщепленного расширения
группы Gi посредством G2, можно записать Я = G, У<\ G'2, где
G[ = H f\Gp G'2 = HIH f\Gl (вообще говоря, Я уже не будет
расщепленным расширением группы G\ посредством G2).
По второй теореме-об изоморфизмах для групп имеем G2 =
= Н/Н П G, =* GiH/Gu где G{H/G{ — подгруппа bG^G^G^
<р
^ G2. Следовательно, G', | G, и G21G2. В силу простоты группы
G подгруппа Л^ = Кегб является максимальной нормальной
подгруппой в Я. Поэтому из включений N s G\N s Я следует
N = G[N или G\N = H. Равенство N = G[N дает G[^N, и
тогда б индуцирует гомоморфизм группы Я/О,, изоморфной
G2, на G, т. е. G|G;|G2. В случае G\N = H сужение 6 на G\
будет гомоморфизмом GJ на G, т. е. ОI G{ j Or
Для доказательства того^ что (с) влечет (Ь), заметим
прежде всего, что замыкание 9 относительно сплетений и дели-
делителей произвольной совокупности 'S конечных групп совпадает
с замыканием этой же совокупности относительно полупрямых
произведений и делителей (определение последнего замыкания
получается из определения 1.5(с) заменой символа wr на X)-
<р
В самом деле, полупрямое произведение двух групп делит их
сплетение. С другой стороны, G, wr G2 = Gf2 X G2, где Gfs обо-
ф
значает группу всех отображений G2 в G\ относительно пото-
поточечного умножения, а <р: G2 —*■ Aut (Gf2) определяется равен-
равенством (p(b)(f(x))=b(f(x)) = f(xb); так как группа Gf1 изо-
изоморфна декартову произведению card G2 копий группы G\, из
конечности G2 вытекает принадлежность сплетения G\ wr G2
замыканию множества {G\, G2} относительно полупрямых про-
произведений. Учитывая эти замечания, мы опишем Div G с по-
помощью полупрямых произведений. Рассмотрим следующие мно-
множества групп:
9i?0 = Div G, и для k ^ 1
%k-i = {GiXG2: G,, OaS^fc.a},
^2к — {0: G\H для некоторой /fs^.,},
Из определения замыкания сразу следует, что DivG— иП-о^»
причем ?0£^iS ... £f;Stfi+i s ... .
Теперь, наконец, предположим, что G удовлетворяет усло-
условию (с) теоремы. Если G e Div G, то Gg 9?2k для некоторого
k ^ 1. Следовательно, существуют такие Gu GaSE^.j, что
106 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
G\G1XG2. В силу (с) имеем G\G1 или G\G2, откуда Ge
^ ^ik-i. Повторив это рассуждение k раз, получим G e Div G,
что противоречит определению Div G как множества собствен-
собственных делителей группы G. Таким образом, G ф. Div G. Теорема
доказана. □
Следствие 1.7. Если конечная простая группа G делит
G\ wr G2, где G2 конечна, то G делит 6\ или G2.
Это вытекает из условия (с) теоремы 1.6 и равенства
ч>
В заключение этого параграфа мы проанализируем, в свете
определений 1.5 и теоремы 1.6, вопрос о том, какие свойства
можно распространить с категории групп на категорию моно-
моноидов. Все определения 1.5 могут быть дословно переформули-
переформулированы для моноидов (с заменой слов «группа» на «моноид»,
«подгруппа» на «подмоноид»). Для обобщения теоремы 1.6
нужно понятие полупрямого произведения моноидов.
Определения 1.8. (а) Пусть даны два моноида N и Н и мо-
ноидный гомоморфизм ф: H-+End N из Н в моноид End N всех
эндоморфизмов моноида ./V. Для произвольных кеЯ, Ь еN
обозначим <р(«)(&) через иЬ. Если на множестве N~X.fi задать
умножение формулой
(a, u)(b, v) = (a("b), uv) для любых a, b<=N; и, чеЯ,
то это множество становится моноидом, который обозначается
через N ~ХН и называется полупрямым произведением моно-
ч>
идов N и Н со связывающим гомоморфизмом ф.
(b) Конечный моноид М называется неприводимым, если
М ф DivM
(c) Конечный моноид М называется сильно неприводимым,
если M\MiXM2 влечет М\М\ или М\М2.
ф
Введенная только что терминология оправдана (т. е. силь-
сильная неприводимость моноида влечет его неприводимость), по-
поскольку доказательство того, что (с) влечет (Ь) в теореме 1.6,
после очевидных модификаций, учитывающих определение
1.8(а), проходит и для моноидов.
В последующих параграфах мы увидим, что кроме конечных
простых групп существуют только три сильно неприводимых мо-
моноида: 1)\ = {1}, U2 = {0, 1} и моноид R3 = (au a2; atuj = а/,
f, /=1, 2>.
2. Декомпозиции конечных моноидов 107
2. Декомпозиции конечных моноидов
Декомпозицией моноида М называется такое конечное мно-
множество -Ж моноидов, что .Мел?." Вот несколько важных при-
примеров.
Примеры 2.1. (а) Пусть Rn = <Jcb jc2, ..., хп-и xix/ — xj для
всех i, j, 1 ^ i < n, 1 ^ / < «■>. Это полугруппа правых нулей
из п — 1 элементов с присоединенной единицей. При п ^ 3
имеем Rn s {/?3}-
Доказательство. В декартовом произведении /?3 X Rn-i эле-
элементы A, 1), (fli, xi), 1 ^ ( ^ л — 2, и (аг, JCi) составляют под-
моноид, изоморфный Rn. Следовательно, /?л|/?зХ/?л-ь и по
индукции получаем /?пе {/?з}- П
(b) Пусть Ln = (y\, t/2 Уп-1\__У1У1 = у1 для всех г, /,
1 < t < «, 1 < / < я>. Тогда Ln e {i/2} при п ^ 2, где £/2 =
=={0, 1}—единственный двухэлементный моноид, не являю-
являющийся группой.
Доказательство. В сплетении Ln-i wr U2 множество мономи-
альных по строкам матриц
(■;). E «) дл, .</<»->. (; 1)
является подмоноидом, изоморфным Ln, Следовательно,
Ln|Ln_iwr f/2 и, по индукции, Lne {f/г}. □
(c) Пусть М — произвольный конечный моноид и G — группа
его обратимых элементов. Тогда множество I = M\G есть наи-
наибольший собственный идеал в М. Образуем полупрямое произ-
произведение /' ХО. где ф задается равенством 8х = gxg-1 для
<р
любых ле/1, g^G. Отображение 6: Р X.G-+M, определен-
<р
ное равенством B(m, g) = mg, есть сюръективный гомомор-
гомоморфизм. Следовательно, iW|/'XG и М^ {/', G).
ф
(d) Предположим, что М имеет идеал / и существует такой
гомоморфизм ф: М-*-/', что у(х)= х для каждого х е /'. Тогда
М|/' X_(M/J), где М// обозначает факторполугруппу Риса.
В самом деле, отображение пи—>(ц>(т), in), где m есть образ
элемента теМ в M/J, является инъективным гомоморфизмом.
Таким образом, Же {Л, M/J}.
Мы должны обратить внимание читателя на некоторую рас-
расплывчатость нашего определения декомпозиции. Подобающее
определение декомпозиции должно:
108 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
(a) налагать дополнительные ограничения на моноиды мно-
множества Ж (по меньшей мере, они должны иметь какое-то отно-
отношение к самому М);
(b) налагать условие М | Мi wr М2 wr ... \vr М„, где Mi, M2,...
..., Мп е Ж расположены в некотором порядке, отражающем
(однозначно) способ построения моноида М из Mi, M2, .... М„\
(c) допускать последующее изучение строения моноида М
(т. е. в основном позволять доказывать теоремы о классах мо-
моноидов при помощи их декомпозиции).
Главной трудностью при обсуждении декомпозиции моноидов
служит, вероятно, неассоциативность сплетения. Можно опре-
определить сплетение моноидов преобразований, которое оказы-
оказывается ассоциативным, что упрощает выполнение требований
(а) — (с) и позволяет немного улучшить определение декомпо-
декомпозиции (см. § 5).
Один из возможных алгоритмов получения декомпозиций ис-
использует понятие пополненного (augmented) моноида.
Определение 2.2. Пополненным моноидом Ма моноида М на-
называется моноид преобразований множества М, состоящий из
всех правых сдвигов на М и всех постоянных отображений М
в себя.
Напомним, что правым сдвигом, соответствующим элементу
йеМ, называется преобразование роен£Г,(М), определенное
равенством хра = ха для каждого хеМ. По теореме Кэли М
изоморфен моноиду Т всех правых сдвигов на М. Если отож-
отождествить М с Т, то пополненный моноид запишется в виде Ма==
= М[)См, где См обозначает множество всех постоянных пре-
преобразований на М. Элементы из См обозначаются посредством
са (а^М), где са — постоянное отображение со значением а.
Если геМПСм (что равносильно равенству xz — z для каж-
каждого х^. М), то z = с«. Умножение в Ма выполняется следую-
следующим образом: сах = сах, хса = са, сась = сь для любых а, Ъ,
Лемма 2.3. Пусть Ж — конечное семейство моноидов, а Жа —
семейство, состоящее из пополненных моноидов Ма для всех
Me*Ж. Тогда A)«д1«,
Доказательство. Для описания семейства Ж рассмотрим,
как в доказательстве теоремы 1.6, следующие множества мо-
моноидов:
#0 — Л, V2k-i — Ш\ wr М2: Ми М2е= Van-ah
«?8*=-{Л«1 М\М' и М'
2. Декомпозиции конечных моноидов 109
Тогда Ж = иГ=о^г Чтобы доказать лемму, мы покажем, что
M\N влечет Ma\Na и что (Afwr N)a\ Шм") wrJV", где Т[Ма
обозначает декартово произведение-копий полугруппы Ма, ин-
индексированных элементами из N.
(a) Предположим, что M\N. Если М — подмоноид в N, то,
очевидно, Ма—подмоноид в Na. Поэтому можно предположить,
что имеется сюръективный гомоморфизм ф: N-*~ М. Тогда ото-
отображение фа: Na-+Ma, определенное равенствами уа(х) — у(х)
для каждого ig iV и q>a(cx)= сщХ) для каждого сх е Cn, явля-
является сюръективным гомоморфизмом. Отсюда следует, что
Ma\Na.
(b) Определим отображение if: M wr N -> ГЦ A4aYwr Na
формулой Hf(f, n) = (fa, n), где fa(y) = fa(cy) = {f{xy))x <=w для
любого i/eJV. Проверим сначала, что 1]з — гомоморфизм. Преж-
Прежде всего имеем ip[(f, a) (^, 6)] = ^(Л, ab), где h{y) = f(y)g(ya).
Следовательно, i|3[(f, a) (g, b)] = (ha, ab), где ha(y) = ha(cy) =
= (f(xy)g(xya))Xt=N для любого y^N. С другой стороны,
f (f, a)f (ff. b) = (fa, a)(ga, b) = (Q, ab), где
Э (У) = Г (У) ga (ya) = (f (дсу))ж ^N(g (xya))x ^N =
Аналогично,
9 (Cy) = Г (Cy) ga (Суп) = fa (Cy) ga (Cya) =
= Г (У) ёа (ya) = (f (xy) g (xya))x ^N = ha (cy).
Таким образом, $[(f,a)(g, b)] = Op(f, a)\\>{g, b).
Докажем инъективность if. Допустим, что г|з(/, a)==^(g, b).
Это влечет (fa, a) = (ga, b), откуда fa = ga и а = b. Но равен-
равенства /a(f/) = ga{y) для всех y^N означают, что f(xy) = g{xy)
для любых х, y^N. Взяв jc=1, получим f(y) = g(y) для лю-
любого у ^ N, откуда f = g.
Продолжим теперь г|з до отображения, обозначаемого той же
буквой, H3(MwriV)a в (TiN Ma) wr iVa, определив iHc(f, „>] как
(f, cn), где f{y) = f{cy) = (Cf(*))*<= дг. Заметим, что на самом деле
f(y) не зависит от г/. Можно проверить, чт.о г|) остается инъек-
тивным и после продолжения, показав, что г|? [c(f, Я)] = i|) [C(?1 &)]
влечет (/, a) = (g, 6), а ф [c(f, а)] = г]5 (gr, 6) влечет (^, b) = cif,a).
Наконец, нужно проверить, что и после продолжения г]5 оста-
остается гомоморфизмом. Здесь приходится рассматривать три слу-
случая, когда ф отображает произведение элементов пополненного
моноида (iWwr N)a, хотя бы один из которых — постоянное ото-
отображение. Например, ф[с(Г,a)-(g, Ь)] = ^[са,а)<Й,ь)} = $>\c<h,ab)],
где h(y) = f(y)g(ya). Следовательно, ip [c(f, а)• (g-, 6)]==(ЛЛ, ca6),
110 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
где И определяется так, как сказано выше. Вычисляя
$[C(f,a)]$(g, b), получаем (/, са) (ga, b) = (Q, cab), где 6 зада-
задается формулой
6 (у) = f (у) ga {У с а) = f (У) ga (са) = / (у) ga (а) =
= \CS <*))* eN(£ (xa))x <~N—(Cf (х) g (xa))x e N-
НО ll(y) = (Cli(x))xe:N = (Cf(x)g(xa))x<=N, ПОЭТОМу В(у) = И(у) И,
аналогично, Q(cy) = fi(cy), откуда и следует равенство
^[C(f,a)-(g, b)] = i!p[c(f,a)]ty(g, b). Два других случая, касаю-
касающиеся произведений C(f,a)-cigjb) и (/, а)-С(е,ь), рассматриваются
аналогично. Это завершает доказательство того, что (Mwr iV)a
Делит (HvMa)wrJVa. □
Следующая лемма показывает, как пополненные моноиды
появляются в процессе декомпозиции.
Лемма 2.4. Пусть М — моноид, е — его единица, А—множе-
А—множество образующих. Для произвольного подмножества б £ Л
пусть P = MB\J {e}, a Q — подмоноид в М, порожденный мно-
множеством А\В. Тогда М делит Pwr Qa.
Доказательство. Мы должны построить подмоноид М\ в
PwrQa, для которого М служит гомоморфным образом. Соста-
Составим М\ из всех пар (/, q), q^Q, где 1(х) = е для каждого
x^Qa, и всех пар (fp, cq), pe=MB, qe=Q, где fP(x) = fp(cx) =
— хр для каждого х ^ Q. Единица (i, e) моноида PwrQa лежит
в М\. Чтобы доказать замкнутость Mt относительно умножения,
нужно проверить (используя определение умножения в PwrQ"
или представляя элементы из М\ в виде мономиальных по стро-
строкам матриц) следующие равенства для любых р, р'^МВ, q,
q'^Q:
(i, q) (i, qf) = (/,. qq')\ (i, q) (fp, Cq') = {fqp, cq>)\
(fp, Cq) ('. Я') = (fp, Cqtf)\ (fp, Cq) (fp't Cq') = (fpqp't Cq>).
Далее, отображение Ф: 1Л\-*-М, определенное равенствами
Ф(/, q) = q и Ф(/р, cq) — pq, является гомоморфизмом, для про-
проверки чего достаточно беглого взгляда на предыдущие четыре
равенства. Чтобы доказать сюръективность Ф, возьмем /леД
шфО.. Тогда m = а\а2 ... аГ, где а\, а2 ar e А и хотя бы
один элемент а< принадлежит В (в противном случае me(J).
Обозначив через аи последнее вхождение элемента из В в выра-
выражение а{п2 ... аг для т, получим а\а% ... а* = р е MB и
flft+i • • • CLr = q e Q. Отсюда следует, что Ф (/>, cq) = pq = т.
Если же т е Q, то Ф(/, т) = т. Таким образом, Ф сюръективнб
и M\PmQa. U
3. Основная теорема декомпозиции 111
Важность леммы 2.4 обусловлена тем, что для большинства
моноидов М можно найти собственные делители Р и Q указан-
указанного вида. Следующее предложение описывает ситуацию, когда
для любого множества А образующих моноида М и любого не-
непустого подмножества В из А выполняется равенство MB [}
U {в} = М. Уточнение этого предложения см. в гл. 7, лемма 2.7.
Предложение 2.5. Пусть А — произвольное множество обра-
образующих моноида М. Если MB \j {e} = М для каждого непустого
подмножества В из А, то либо М — циклический моноид, либо
М = S1, где S — простая слева полугруппа.
Доказательство. Допустим, что моноид М не является ци-
циклическим. Тогда Ма[} {е} = М для любого образующего аеЛ.
Если е^Ма для каждого аеЛ, то Ма = М для каждого
а е М и поэтому Мх — М для каждого х е М (так как х явля-
является произведением элементов из Л). Отсюда следует, что каж-
каждый х е М имеет левый обратный, т. е. М — группа (условия
ассоциативности, существования левой единицы и существования
левого обратного для каждого элемента составляют одну из
систем аксиом группы; см. М. Холл, [1959, с. 14]). Наконец,
если е ^ Ма для некоторого аеЛ, то множество М\{е} — Ма
будет подполугруппой S моноида М. Так как А = S = М\ {е}
и Ма[) {е} —М для любого а&А, получаем, что Sa — S для
каждого а^А, т. е., как и выше, Sx = S для каждого x^S.
Это доказывает простоту слева полугруппы S и равенство
М = SK Конечно, последний случай включает и случай груп-
группы. □■
Декомпозицию конечных циклических моноидов и конечных
моноидов вида S1 для простой слева полугруппы S мы рас-
рассмотрим в следующем параграфе.
3. Основная теорема декомпозиции
Напомним, что U\ — одноэлементный моноид, £/г — двухэле-
двухэлементный моноид, не являющийся группой, и Rs = <Оь «2; a/ay =
= а/, I, /=1, 2>.
Теорема 3.1. (а) Каждый конечный моноид М принадлежит
замыканию {R3, 'Зм) относительно сплетений и делителей, где
9м — множество всех простых делителей всех максимальных
подгрупп из М.
(Ь) Сильно неприводимые моноиды — это в точности конеч-
конечные простые группы и моноиды U\, U2, Яз.
Доказательство, (а) Если_М — группа, то она обладает ком-
розиционным рядом и М е ^м в силу предложения 1,4. Если М
112 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
является циклическим моноидом (а; ат = ат+рУ, то, согласно
примеру 2.1 (d), М делит JlX{M/J), где /'— максимальная
подгруппа из М, а моноид M/J изоморфен циклическому мо-
моноиду Ст — (а; ат = ат+1}. Но Ст делит Ст~\ wr U2, так как
если Ъ обозначает образующий моноида Ст-\, то элемент
х = ( „ , J порождает в Cm-i wr £/2 циклический подмоноид,
изоморфный Ст. Индукция по т показывает, что Ст е {£/2}
для каждого натурального т, откуда Me {/?з, ^м}.
Если М = S', где S — простая слева полугруппа, то М изо-
изоморфен моноиду (LXGI, где L — полугруппа левых нулей, а
G— группа (гл. 1, упр. 6). В силу примера 2.1 (ЬI) имеем
Пусть М не является ни циклическим моноидом, ни моно-
моноидом вида S1, где S — простая слева полугруппа. Рассмотрим
минимальное множество А образующих моноида М. Согласно
предложению 2.5, в А существует такое'непустое подмножество
В, что моноид Р = MB U {е} строго содержится в М. В част-
частности, это влечет ВфА, так что в силу минимальности А под-
подмоноид Q из М, порожденный множеством Д\В, тоже строго
содержится в М. Далее, по лемме 2.4 моноид М делит PwvQa.
Применяя индукцию по мощности рассматриваемых моноидов,
получаем Ре {R3, %?} s {ff3, *3м) и аналогично Qg {R3, $m}.
По лемме 2.3 Qa e {r%, $%}. Но Яз изоморфен моноиду /?4, ко-
который делит ^зХ% (пример 2.1 (а)). Для группы G примеры
2.1 (с) и 3.1 (а) показывают, что Ga e {R3, G}. Отсюда следует
Qa e {R3, Зм), и то же самое справедливо для М.
(Ь) Доказательство того, что U\Y~XZ влечет U\Y или
ф
U\Z, когда U—конечная простая группа или один из моноидов
U\, U2, /?з, показывает некое замечательное сходство этих раз-
различных моноидов по отношению к операциям деления и обра-
образования полупрямых произведений.
(Ы) Случай U\. Он тривиален, так как U\ содержится в
любом моноиде.
(Ь2) Случай U2. Если U2 делит конечный моноид М, то М
содержит идемпотент, отличный от единицы (т. е. М содержит
копию U2). В полупрямом произведении YXZ элемент (а, е),
ф
отличный от единицы (Ь, Ь), тогда и только тогда является
идемпотентом, когда а(еа)= а и е2 = е. Если е= \z, то а2 = а
(так как ^(а)=а) и U2 делит Y. Если е ф \z, то U2 делит Z.
') И соотношения (S X МI\8{ X М для полугруппы S и моноида М. -»
Прим. перев.
3. Основная теорема декомпозиции ИЗ
(ЬЗ) Случай Rs. Сначала мы покажем, что если Rs делит
конечный моноид М, то М содержит подмоноид, изоморфный Яз.
Предположим, что имеется гомоморфизм 0 подмоноида из М на
#з = {1, аи а2}. Тогда существуют такие идемпотенты f\, f2 e M,
что Q{fi) = at (/=1, 2). Некоторая степень произведения /i/г
будет идемпотентом g2, £2 = (/1/2)"*, и элемент g\ — g2f\ =
= g2flg2f\ также является идемпотентом. Очевидно, Q(gi)=at
для / = 1, 2. Далее,
glg2 = g2flg2 = g2fl (/l/2) m = g2 (/lf2) m = g2
и, аналогично, g2gi — g\-
Теперь допустим, что YX.Z содержит изоморфную копию
ф
моноида /?з, т. е. существуют элементы х, у е У, е, f e Z,
(*, e)^=(i/, /), такие, что (х, еJ = (х, е) = (у, f) (х, е) и
(У, fJ=(y> f) = (x> е)(У> /)• Это равносильно условиям C.1.1)
и C.1.2):
C.1.1) <? = e = fe и /2 = /=е/;
C.1.2) *(^) = x = r/(f*) и y(fy) = y = x(ey).
Если ^?з не делит Z, то соотношения C.1.1) дают e = f. Но
тогда, применяя эндоморфизм ср(е) ко всем частям равенств
C.1.2), получаем
(<х) (ех) = (*х) = {Hj) (*х) и (°у) {Hj) = (*у) = (»х) (еу).
Если ех — еу, то из C.1.2) следует х = у, что вместе с равен-
равенством е = f противоречит условию (х, е)Ф(у, /). Поэтому ех, еу
и единица Ь образуют подмоноид в Y, изоморфный Rs, откуда
Яг\У.
(Ь4) Случай простой группы. Предположим, что группа G
(не обязательно простая) делит конечный моноид М. Тогда G
делит некоторую подгруппу Н моноида М (см. упр. 1). Дока-
Доказываемая ниже лемма 3.2 утверждает, что любая подгруппа Н
полупрямого произведения Y X Z моноидов является расшире-
ф
нием подгруппы К из У посредством подгруппы L из Z: Н =
= К ~X\L s /(wr L. Следовательно, если конечная простая груп-
группа G делит FXZ, то G делит /(wrL и, согласно следствию 1.7,
ф
G|/C|y или G\L\Z. Это завершает доказательство второй части
теоремы. □
Лемма 3.2. Каждая подгруппа G полупрямого произведения
У X 2 моноидов Y и Z является расширением некоторой под-
подгруппы К из У посредством некоторой подгруппы L из Z.
114 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
Доказательство. Обозначив через (а, е) единицу группы G,
получим е2 = е, а(еа) — а. Образ группы G относительно про-
проекции л на Z есть подгруппа L с единицей е. Определим К =
= {у е У: у = (ех), где (х, е)^. G). Нетрудно проверить, что К
является подгруппой в У с единицей (еа). Отображение
■ф: Кегя^>/(, определенное равенством ty (х,е) = (ех), является
сюръективным гомоморфизмом. Если ty(x, е) = (еа), то (ех) =
= {еа), откуда (х, е) = (а, е) (х, е) = (а{ех), е) = (а(еа), е) =
= (а, е). Это показывает, что гомоморфизм г|з также инъективен,
а следовательно, Кег л и К изоморфны и G есть расширение
группы К посредством L. □
Конечная полугруппа называется комбинаторной (или апе-
риодичной, или свободной от групп) (в оригинале «aperiodic». —
Перев.), если все ее подгруппы тривиальны. Следствие 3.3 вме-
вместе с теоремой 3.1 наводит на мысль, что теорию конечных мо-
моноидов можно было бы считать состоящей в исследовании ком-
комбинаторных моноидов (деятельности до некоторой степени «ком-
«комбинаторного» характера) вкупе с анализом вхождения нетри-
нетривиальных групп в моноиды. Эта идея вновь появится в ином кон-
контексте в гл. 7.
Следствие 3.3. Конечный моноид М является комбинаторным
тогда и только тогда, когда М е {/?3}-
Доказательство теоремы 3.1 фактически содержит алго-
алгоритм (существенную часть которого дает лемма 2.4) деком-
декомпозиции данного конечного моноида. Приведем конкретный
пример.
Пример 3.4. Пусть М = (а, Ь; а2 — а, Ь2 — b, ab — ba — 0>.
Множество образующих есть А = {а, Ь). Имеем Ро=МЬ [} {1}=*
= {1, Ь, 0}, Qo= {1, а}. Моноид Qo = {l, а = са, с\) изомор-
изоморфен /?3| и М делит Ро wr R3- Повторим этот процесс для Ро: Р\- =
= AHU {1} = {1, 0}, Q, = {1, Ь}\ тогда Ро делит U2wrR3, и мы
получаем М\ (U2wr/?3)wr/?3- Наилучший возможный результат
декомпозиции моноида М из нашего примера: М^ U2y.U2.
Алгоритм, содержащийся в лемме 2.4, приводит к некой спе-
специфической декомпозиции из сильно неприводимых компонен-
компонентов моноида М, не предоставляя какой-либо конкретной прямой
информации, касающейся строения М. Фактически основная
теорема декомпозиции, в отличие от теоремы Риса — Сушке-
вича, является глобальным результатом. Нельзя надеяться на
получение с ее помощью структурной информации, если не усо-
усовершенствовать теорему наложением дополнительных условий
на декомпозицию.
4. Неприводимые моноиды 115
4. Неприводимые моноиды
В этом параграфе .мы покажем, что существуют неприводи-
неприводимые моноиды М (т. е. М ^ DivM), которые не являются сильно
неприводимыми. Простейшим примером служит моноид В, по-
полученный присоединением единицы 1 к 2Х2-полугруппе Брандта
с тривиальными подгруппами. Его непредставление:
D.1)\ В = (а, Ь\ aba = а, ЬаЬ = Ь, Ь2 = а2 = 0>.
Мы уже знаем (гл. 3, разд. 3.3), что В изоморфен моноиду,
порожденному следующими двумя матрицами над U2 = {О, 1}:
/О 0 л @ 1\
Для доказательства того, что В является копредставлением мо-
моноида М, порожденного х и у, достаточно заметить, что любое
слово из {а, Ь}* эквивалентно одному из слов 1, a, ab, ba, b, 0
относительно конгруэнции, порожденной соотношениями из
D.1), а отображение а\—>х, Ь\—>у продолжается до гомомор-
гомоморфизма В на М. Так как М содержит шесть различных элемен-
элементов, слова 1, a, ab, ba, b, 0 не сводятся друг к другу, т. е. гомо-
гомоморфизм является изоморфизмом. Моноид В имеет с точностью
до изоморфизма семь собственных делителей:
{1}, {1, 0}, {1, а, 0}, {1, ab, 0}, {1, a, ab, 0}, {1, а, Ьа, 0},
{1, ab, ba, 0}.
Легко проверить, что любой из этих делителей удовлетворяет
квазитождеству
D.2) если uvu = и, то ы= uv.
Предложение 4. Моноид В, заданный копредставлением D.1),
неприводим.
Доказательство. Моноид В не удовлетворяет квазитождеству
D.2), потому что aba—а, но афаЬ. Мы докажем, что D.2)
сохраняется при делении конечных моноидов и образовании
полупрямых произведений. Отсюда будет следовать, что В ф.
^DivS, поскольку все моноиды из Div В удовлетворяют D.2).
(а) Предположим, что М делит конечный моноид Р, удовле-
удовлетворяющий квазитождеству D.2), и возьмем элементы с, й е М,
связанные равенством cdc = с. Тогда существуют такие у, v e P,
что Q(y)=d, 9(у) = с, где 8 — гомоморфизм деления. Пусть
х — v(yv)k, где k выбрано так, что (yvJk+1 = (yv)k (см. заме-
замечание ниже). Тогда 9 (х) — с (dc)k = с и хух = v (yv) kyv (yv)k =
= v (yvJk+l — v (yv)" = x. Отсюда получаем х = ху и, следо-
следовательно, Q(x)= Q(xy) или с = cd.
116 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
Замечание. Если W+m — иг, то, взяв k — tm— 1, где t доста-
достаточно велико, чтобы гарантировать неравенство k ^ г, получим
2*+1 2/1 /С1 <* *
(b) Предположим, что моноиды Р и Q удовлетворяют квази-
квазитождеству D.2), и пусть элементы (р, q), (p'', q')<=PXQ свя-
ф
заны равенством (р, q){pf, q') (p, q) — {p, q). Последнее равно-
равносильно двум равенствам:
Р {"р') {4qP) — Р и ЯЯ'я — Я-
В силу D.2) из второго равенства следует qq' = q (и поэтому
q2 — q). Тогда первое равенство превращается в p{qp') ("р) = р,
откуда в свою очередь следует (qp) \qp') (чр) = (чр). Теперь, в
силу D.2), выполняющегося в Р, получаем (qp) ("р') = (qp). Сле-
Следовательно,
р (яр') = р (V) (qP) (V) = Р СУ) (qP) = Р.
Из равенств p(qp') = p и qq' = q выводим равенство
(р, q){p', q') = (p, q), показывающее справедливость D.2) в
моноиде PXQ- □
ф
Подобными же рассуждениями можно доказать неприводи-
неприводимость моноида, порожденного л X «■матрицами х и у, элементы
которых задаются фомулами:
( 1, если г = /+ 1,
' 1 0- в противном случае;
, если i=l, j = n,
I в противном случае;
см. Лаллеман [1969] (моноид В получается при л = 2). Пред-
Предложение 4 принадлежит Нива и Шютценбёрже [1966].
5. Декомпозиции конечных моноидов
преобразований
Уточняя прежнее определение (см. разд. 2.3 в гл. 1), назо-
назовем моноидом преобразований пару (Л, М), где М — подмоноид
моноида всех преобразований 0~Г{А) на множестве А. Для лю-
любых а^А, х^М мы обозначаем через ах образ элемента а
при действии преобразования х. Если не возникает путаницы,
мы используем символ 1 для обозначения единицы в М. Пару
Т — (Л, М) мы также называем кратко t-моноидом.
Морфизм из Т = (А, М) в Г—(А\ М') есть пара (б, ф), где
9: А-+А' — отображение, а ср: М-*~М'—моноидный гомомор-
5. Декомпозиции конечных моноидов преобразований 117
физм, удовлетворяющий условию
E.0.1) [9(а)]ф(х) = 9(ах) для любых оеЛ, j:gM.
Морфизм (9, ф) называется сюръективным (соответственно
инъективным), если и 9, и ф сюръективны (соответственно
инъективны). Если 8 и ф — биекции, то Т и Т' (или М и М')
называются подобными i-моноидами. Наконец, если 0 и ф яв-
являются отображениями включения (т. е. А— подмножество в
А' и М — подмоноид моноида М'), то мы называем Т t-подмо-
ноидом /-моноида Т и пишем Т <= Т.
Понятие /-моноида является частным случаем понятия мо-
моноида, действующего на множестве. В понятие /-моноида вклю-
включено требование точности действия: ах = ах! для любого ае А
влечет х = х' (по определению равенства преобразований). По-
Поэтому, например, если в морфизме (9, ф): Т-+Т' отображение
8 сюръективно, то формула E.0.1) однозначно определяет ф.
Для любого моноида М определим /-моноид (М, М) как моноид
правых сдвигов на М (теорема Кэли).
Цель этого параграфа — распространить теорему декомпо-
декомпозиции конечных моноидов на конечные /-моноиды. Понятие де-
делимости обобщается легко: Т делит Т (обозначение: Т\Т'),
если существуют ^-подмоноид Т" в V и сюръективный морфизм
(9, ф): Т"-+- Т. Понятие сплетения модифицируется следующим
образом.
Определение 5.1. Пусть даны ^-моноиды (Л, М) и (В, N).
Их сплетением (А, М) г (В, N) называется моноид преобразо-
преобразований (АХ, В, MwrN) на декартовом произведении АХ, В, где
MwrN={(f, n): f — отображение В в М, п^М},
E.1.1) (a, b)(f, n) = (af(b), bn) для любых а^А,
b<=B, n<=N и f: B->M.
Формула E.1.1), определяющая действие моноида MwrA'
на множестве А X Д приводит к следующему закону умножения
в М wr N:
E.1.2) (/, n)(f, n') = (g, пп'), где g(b) = f(b)f'(bn)
для любого iefl.
В силу определения 5.1 ^-моноид (М, М) г (N, N) есть пара
(MX !V, MwrN), и, сравнивая E.1.2) с определением сплете-
сплетения моноидов (определение 1.5(а)), мы видим, что MwrN
(абстрактный моноид ^-моноида (М,М) г (N, N)) совпадает с
MwrN.
i 18 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
Следующие свойства сплетения /-моноидов наиболее по-
полезны:
E.1.3) /-моноиды Туг(Т2гТ3) и {ТхгТ2)гТг подобны;
E.1.4) если ТХ\Т\ и Т2\Г2, то ТугТ2\Т[гТ[.
Проверка свойства E.1.3) довольна длинна. Ее можно не-
несколько сократить, показав, что каждое из указанных двух
сплетений подобно тройному сплетению Т\гТ2гТ3, которое
определяется следующим образом: для Tt = (At, Mi), i== 1, 2, 3,
положим 7", г Т2г Т3 = (Ах Х^гХ^з, Mi wr M2 wrМ3), где
MlwrM2wrM3 = {(fl, f2, m3): пг3<= M3, /2: A3->M2,
h A2XA3->Ml].
Действие на А\ X Л2 Х Л3 задается формулой
(аи а2, a3)(fu h, m3) = (aifl(a2, a3), а2/2Саз), a3m3).
Доказательство свойства E.1.4) также является рутинной про-
процедурой и оставляется читателю в качестве упражнения.
Как и для моноидов (или групп), замыкание относительно
сплетений и делителей совокупности J7" ^-моноидов определя-
определяется как наименьшая совокупность 3~ ^-моноидов, замкнутая
относительно операций | и г (см. определение 1.5(с)). Чтобы
получить Т, образуем совокупности Фо = 3Г, *&ы-\ = {^1 г Т2:
Ти Га <= «W*}, &2k= {Т: Т\Г для некоторого Ге^},
Тогда ^Р"=иП.о®'г ^3 свойств E.1.3) и E.1.4) вытекает, что
Ге5" тогда и только тогда, когда существуют Ти Т2, ..., Тп е
&8Г, такие, что Т\Т\гТ2г ... гТп. Поэтому декомпозиция
^-моноида Т определяется как соотношение вида Т\ТхгТ2г ...
... г Тп.
Следующей результат модифицирует теорему 3.1 (а) на слу-
случай /-моноидов.
Теорема 5.2. Любой конечный t-моноид (А, М) допускает де-
декомпозицию
(А, М)\Т,гТ2г .. гТ„,
в которой для любого /, 1 ^ / ^ п, либо Ti = (G, G), где G —
группа, делящая М, либо Ti совпадает с t-моноидом F3 =
= ({0, 1}, #з), где R3 состоит из трех преобразований:
/0 14 /0 I Л /0 1Л
U \ )' \о а)' \ 1 1 )•
Мы будем доказывать теорему 5.2 по образцу доказатель-
доказательства теоремы 3.1 (а). Для данного /-моноида Т = (А, М) попол-
пополненный /-моноид есть Та = (А, Ма), где Ма = М [] С, а С — полу-
полугруппа всех постоянных преобразований на множестве А. Сле-
5. Декомпозиции конечных моноидов преобразований 119
дующие свойства служат тем же целям, что и аналогичные
свойства из доказательства леммы 2.3:
E.2.1) Т\Г влечет Та\Га;
E.2.2) (ТгТ')а\ТагГа.
Их доказательства аналогичны доказательству леммы 2.3
(и даже проще). Чтобы доказать, например, E.2.2), возьмем
Т = (А, М), Т' = {В, N); тогда {Г г Г)<* = (ЛХ£, (MwrN)a),
ТагТ'а = (АХВ,МашМа). Если /: А X В -+ А X В — тождест-
тождественное отображение, а отображение i|j: (Мwr N)a-+Mawr Na
определяется равенствами
t (/, «) = (/. п) для (/, п) е= М wr ЛГ,
для постоянного преобразования с(ао> Ьо), принимающего на
значение (ао, 6о), то пара (/, г|з) определяет инъективный мор-
физм из (Тг Т')а в Та г Т'а. Следовательно, лемма 2.3 дословно
выполняется для конечного семейства Ж ^-моноидов. Аналогом
леммы 2.4 служит
Лемма 5.3. Пусть даны t-моноид (S, М) и множество А обра-
образующих моноида М. Для произвольного подмножества В из А
определим моноид Р = (MB)' и подмоноид Q моноида М, по-
порожденный множеством А\В. Тогда (S, М) делит (S, Р) г
г (Q, Q«).
Доказательство. В /-моноиде (S X Q. PwrQa) рассмотрим
/-подмоноид EХ Q, Mi), где
Mi = {(i, q): q e Q и /(*)= 1 для любого x e Q} U
[}{(fp, cq): p<=P, q<=Q, fp(x) = xp).
Морфизм (9, Ф): EXQ, Mi)-»-E, M) задается формулами
Q(s, q) = sq, <D(i,q) = q и Ф (fP, cq) = pq.
Условие E.0.1) проверяется легко, а то, что Ф — сюръективный
моноидный гомоморфизм, доказывается так же, как в лем-
лемме 2.4. □
Переписывая доказательство теоремы 3.1 (а) для /-моноидов,
можно заметить, что все рассуждения переносятся на этот слу-
случай, если обеспечить должную декомпозицию /-моноидов сле-
следующих видов: A) (А, М) с циклическим моноидом М;
B) (Л, М) с моноидом М — S1, где S — простая слева полу-
полугруппа; C) (G, Ga), где G — группа.
Случай 1. (а) Возьмем /-моноид (А, М), в котором М по-
порождается элементом х, ц пусть е — идемпотент (=^1) из М?
120 Гл. 4, Основная теорема декомпозиции
a 5 = (A\Ime)U {s0}, где sa<£A. Тогда (Л, М) делит произ-
произведение (Ime, G)X(S, М'), где G — максимальная подгруппа
из М с единицей е, а М' порождается преобразованием х', ко-
которое определяется формулой
если a=£sa и ах ф Ime,
в противном случае.
(ах,
I. s0
В самом деле, морфизм (9, ср): (A, M)-»-(Ime, G)X(B, M'), за-
заданный равенствами
n/ . f (а. «о), если aelme,
6 (а) = \ ф (*) = (ех, х'),
v ' I. (ae, а) в противном случае;
есть инъекция из (Л, М) в декартово произведение /-группы
(Ime, G) и /-моноида (В, М'), где М' — циклический комбина-
комбинаторный моноид. Например, для /-моноида, порожденного преоб-
преобразованием
/123 4567Л
*~ V6 42223 \ )'
существует декомпозиция, состоящая из /-группы, порожденной
преобразованием
/2 А\
U 2)'
и /-моноида, порожденного преобразованием
/13 5 6 7 so\
4 6 So So 3 I So / "
(b) Взяв /-моноид (Л, С„), где С„ = <х; хп = xn+l>, n > О,
покажем, что
E.2.3) (А,Сп)\(В, Сат)г({0, 1}, £/2),
где
Применяя затем индукцию по card Л и предполагая, что (В, Ст)
лежит в замыкании семейства {-F3} для всех таких В, что
card S< card Л, с помощью E.2.3) мы получаем, что (Л, Сп)
также лежит в {^з} (рассматривая ниже случай 3, мы покажем,
что (Л, С0)е {-Рз})- Для доказательства E.2.3) зафиксируем
deA\Imj; и положим B = A\{d). Сужение х' преобразова-
преобразования х на множество В порождает циклический моноид Ст
(т ^п). В /-моноиде
(В, Сат)г({0, 1}, [/2) = (ВХ(О, 1}, C
В. Декомпозиции конечных моноидов преобразований 121
рассмотрим /-подмоноид У = (#Х{0, 1},<У>), где
Определим (9, ф): Y-*~(A, Сп), положив 9F, 0)= 6, 0F, l) = d,
Ф (*/) = *. Простая проверка показывает, что (9, ф) является
сюръективным морфизмом.
Случай 2. Пусть /-моноид (Л, М) таков, что М = S\ где
S — простая слева полугруппа. Тогда для всех seS образы
Ims совпадают (см. гл. 2, предложения 4.1 и 4.3). Если Ira s =
= А, то (А, М) является /-группой (см. случай 3). Если
Imscz4, зафиксируем элемент de/l\Ims и образуем мно-
множество В = A\{d} и моноид М' — сужение моноида М на мно-
множество В.' Тогда (Л, М) | (В, М'а) г ({0, 1}, U2), что доказы-
доказывается аналогично рассуждению из случая 1 (Ь) (см. упр. 10),
Случай 3. Для любой /-группы (A, G) мы имеем
(Л, О)| (Л, Ga). Далее, (A, Ga)\{A, {1}а) г (G, G). Это сле-
следует из обобщения примера 2.1 (с) на /-моноиды. Именно, пусть
G — группа обратимых элементов моноида М, a I = M\G —
его максимальный идеал. Тогда (Л, М) \ (А, Р) г (G, G) =
= (Л X G, Iх wr G). В самом деле, пусть для любого ле/1 ото-
отображение fx: G->Il определяется равенством fx(g) = gxg~K
Простая проверка показывает, что М' = {(/*, g): лге/1, g ^ G}
является подмоноидом моноида /'wrG. Далее, если 9 (a, g)~
= ag и ф (fx, g) = xg для любых а е Л, g e G, ш/1, то пара
(9, ф) задает сюръективный морфизм из (Л X G, М') в (Л, М).
Если G — конечная группа, то повторным применением пред-
предложения 1.4 мы получим (G, G)\(Gn, Gn) г ... г (G\, G\), где
G\, ..., Gn — простые группы, входящие как факторы в (неко-
(некоторый) композиционный ряд группы G[). Наконец, /-моноид
(Л, {1}а) делит декартово произведение РзХ^зХ ■•■ Х^з (см.
пример 2.1 (а) и упр. 11).
Расхождения в доказательствах теорем декомпозиции для
моноидов и /-моноидов встречаются только в случаях 1 (Ь) и 2.
Они свидетельствуют о том, что декомпозиции моноида М не
обязательно дают декомпозиции /-моноида (Л, М).
Назовем /-моноид Т сильно неприводимым (или простым),
если T\TiaT2 влечет Т\Т\ или Т\Т%. Можно показать, что един-
единственными сильно неприводимыми /-моноидами являются де-
делители /-моноида ^з и циклические группы простого порядка
(см. упр. 13).
') Если О = ЛХ]В, то О как множество есть декартово произведение
А X В, что приводит к естественному вложению (G, G) -*■ (А X В, A wr В) =
'== {А, А) г {В, В) —Прим. перев.
122 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
Библиографические замечания
В дополнение к работам, уже упомянутым во введении к главе, еще не-
несколько работ содержат доказательство основной теоремы декомпозиции: Зай-
гер [1967], Крон, Роудз и Тилсон [1968], А. Гинзбург [1969], Мейер и Томп-
Томпсон [1969]. Представленное здесь доказательство было намечено в работе
Лаллемана [1971] (см. также исправление в заметке Лаллемана [1980°]) и
проведено по образцу одного из доказательства Крона — Роудза — Тилсона
из упомянутой их работы.
В любой декомпозиции моноида преобразований Т можно сплести сосед-
соседние группы преобразований1), получив
Т | О, wr Ciwr G2 wr C2 wr... wr Gn wr C,
где Gi — группы, а С/ — комбинаторные моноиды преобразований. Групповой
сложностью ^-моноида Т называется наименьшее возможное число групп во
всех возможных декомпозициях для Т указанного типа. Наилучший с точки
зрения групповой сложности алгоритм декомпозиции должен давать это число
для любого моноида преобразований. Такой алгоритм неизвестен. Не известно
даже, является ли вычисление групповой сложности разрешимым-. Подробный
обзор работ по групповой сложности вместе с многочисленными ссылками
представлен Тилсоном в последних двух главах книги Эйленберга [1976].
Уэллс [1976] дал прямое обобщение на полугруппы преобразований большин-
большинства понятий и результатов, изложенных в этой главе. Его статья содержит
также весьма обстоятельную библиографию по сплетениям.
Упражнения
1. Если ф: M-+G — гомоморфизм конечного моноида М на группу О,
то для любой максимальной подгруппы Н из минимального идеала моноида Л!
будет ф(Я) = О. Отсюда следует, что если О делит М, то G делит некото-
некоторую подгруппу из М.
2. Если Mi делит М$, то Мi wr Р делит Мг wr Р для любого моноида Р.
Будет ли при этом Р wr М\ делить Р wr M^f
3. Если даны моноиды Ми М2, то будет ли (Mi v/т М2)а делить-М™ wr M%?
(Открытая проблема).
4. Моноид М называется подпрямым произведением моноидов Mi(iel),
если М изоморфен подмоиоиду М' декартова произведения Jj_( e/ Mit та-
такому, что pri(M') = Mi для любого is/ (рг< обозначает отображение проек-
проекции на (-й сомножитель). Это равносильно существованию такого семейства
конгруэнции р; (j е /) на М, что для любого i е / фактормоноид M/pi изо-
изоморфен М{ и ГЬе=/Рг- = е, где е—отношение равенства. Моноид М назы-
называется подпрямо неразложимым, если М не является подпрямым произведе-
произведением своих собственных гомоморфных образов, или, равносильно, Пг^/Р^^1
= 8 влечет р,- = 8 для некоторого ( е /. Если М неприводим, то М подпрямо
неразложим, но обратное не верно (чтобы убедиться в этом, достаточно ис-
использовать подходящую полугруппу Браидта с присоединенной единицей).
5. Любой конечный коммутативный моноид М является фактормоноидом
декартова произведения своих циклических подмоноидов (достаточно взять
все подмоноиды, каждый из которых порождается некоторым элементом из
множества образующих для М). Используя декомпозицию циклических мо-
моноидов, данную в тексте, можно доказать, что M\Gy.C, где G — группа, а
') См. упр. 9; аналогично, нужно сплести соседние комбинаторные мо-
моноиды. — Прим, перев.
Упражнения 123
С — комбинаторный моноид. Это показывает, что групповая сложность комму-
коммутативных моноидов не превосходит 1.
6. Конечный моноид М, являющийся полурешеткой (т. е. хг = х и ху =
= ух для любых х, у е М), лежит в {иг}, но в {U2} имеются моноиды, кото-
которые не являются полурешетками.
7. Используя алгоритм декомпозиции, изложенный в тексте (§ 3), найти
декомпозицию моноида В, заданного копредставлением D.1). Показать также,
что В делит полупрямое произведение М X %ь где М — моноид из при-
Ф
мера 3.4, a Z2 — циклическая группа порядка 2.
8. (а) Пусть М — конечный или счетный моноид с единицей е, порожден-
порожденный множеством А = {ас i е /}, где / — либо множество всех натуральных
чисел, либо / = {1, 2, ..., d), а С — бесконечная циклическая группа, поро-
порожденная элементом t. В моноиде М° wr С рассмотрим подмоноид Р, поро-
порожденный элементами х = (A, t), у = (A, f-J), z = (f, 1), где h(tn) = е для
любого n^Z, fit21'1) = щ для ie/, f(\) =е и д?") =0 для прочих я.
Тогда отображение 9:0A—> pi — гх2'-1гу21~1 продолжается до изоморфизма
моноида М на подмоноид из Р, порожденный множеством {pr. is,/}. Следо-
Следовательно, любой конечный или счетный моноид можно вложить в моноид,
порожденный тремя элементами1).
(b) Если М порождается d элементами, то в п. (а) можно заменить бес-
бесконечную циклическую группу циклической группой порядка m^Ad—I.
Тогда Р порождается элементами х и г и то же, что ив (а), доказательство
показывает, что любой конечно порожденный моноид можно вложить в моноид,
порожденный двумя элементами. Комбинируя это с результатом (а), полу-
получаем: любой конечный или счетный моноид вложим в моноид с двумя обра-
образующими (другое доказательство намечено в гл. 5, упр. 6).
(c) Любой конечно порожденный периодический (соответственно конеч-
конечный) моноид можно вложить в периодический (соответственно конечный) мо-
иоид с двумя образующими (Нейман [I960]J).
9. Полугруппа преобразований Т = (A, S) определяется так же, как и
^-моноид, но теперь S — подполугруппа в 9~Т{А). Определение 5.1 переносится
на ^-полугруппы, вводя их сплетение 7\ г Гг. Доказать, что если 7\ и Ггсуть
^-группы, то Г( г 7г также ^-группа. Доказать для i-полугрупп формулы
E.1.3) и E.1.4). Определяя очевидным образом понятие декартова произве-
произведения Т\ X Тг двух f-полугрупп, показать, что Т{ X Тг является ^-подполу-
^-подполугруппой в 7\ г Т2.
10. Пусть дана такая ^-полугруппа (A, S), что множество <4S=ImS
строго содержится в А. Зафиксируем элемент de<4 \IrnS и положим В =
= А \ {d}. Тогда сужение полугруппы S на множество В определяет <-полу-
группу (В, S'), причем (Л, S) | (В, s'a г ({О, I}, U2). (Эта декомпозиция ис-
использована при рассмотрении случаев I (b) и 2 в доказательстве тео-
теоремы 5.2.)
11. Показать, что ^-моноид (Л, {1}°) делит декартово произведение
Fз X ^з X • ■ • Х^з- Найти число копий ^-моноида F3, необходимое для деком-
декомпозиции f-моиоида (Л, {1}").
12. Найти декомпозицию моноида преобразований (Л, &~Г(А)) при
card Л = 2, 3.
13. (а) Для ^-моноида (Л, М) существует инъективный морфизм F, ф) из
(М, М) в (Л, М) X {А, М) X •. • X {А, М) — декартово произведение ^-мо-
') Справедлива следующая более сильная версия последнего утверждения:
любой счетный моноид можно вложить в моноид, порожденный тремя идем-
потентами (см. Пастэн [1977*], Иваник [1978*]). — Прим. ред.
2) Первое из этих двух утверждений перекрыто А. Н. Петровым [1979*];
ои доказал, что любая счетная периодическая полугруппа вложима в периоди-
периодическую полугруппу с двумя образующими. — Прим. ред.
124 Гл. 4. Основная теорема декомпозиции
ноида (Л, М) на себя, взятого card А раз (для А = {аи ..., аь} опреде-
определяем Э(т) = (a\tn, а2пг, ..., akin), ф(т) = (т, т, ..., т)).
(b) Если (A, G) —сильно неприводимая /-группа, то (A, G) делит (О, О)
и группа G проста. Применяя (а) к /-группе (aG, G), показать, что /-группа
(A,.G) транзитивна.
(c) Любая транзитивная /-группа (Л, О) подобна /-группе (G/S, G), где
S — стабилизатор элемента а е Л, a G/S — множество правых смежных клас-
классов группы G по подгруппе S. Если группа О проста, а Я — произвольная
собственная подгруппа из О, то /-группа (G/H, G) транзитивна.
(d) Если (В, О) и (Л, О) — транзитивные /-группы и (В, G) делит (Л,
G), то cardS делит card Л. Поэтому если /-группа (A,G) сильно неприво*
дима и (Л, G) подобна (G/S, G), то порядок любой подгруппы Я из О делит
порядок подгруппы S. Отсюда следует, что (Л, G) подобна /-группе (Zp, Zp
(Эйленберг [1976]).
С СВОБОДНЫЕ МОНОИДЫ,
Глава О ЯЗЫКИ И КОДЫ
Свободные полугруппы — это первые математические объек-
объекты, с которыми сталкивается любой человек. Еще до школы
ребенок обучается «языку». Он овладевает «словами» (т. е.
образующими некоторой свободной полугруппы) и «предложе-
«предложениями» (т. е. последовательностями образующих), которые по-
получаются соединением «слов». Раннее обучение — в сильной сте-
степени опираясь на тот факт, что слова и предложения несут
смысловое значение — обеспечивает цели общения, такие, как
наименование предметов, выражение ощущений и, позднее —
мыслей, их узнавание от других или другими членами социаль-
социальной группы. Эта сторона языка, как носителя смысла, назы-
называется его семантическим аспектом. В систематических иссле-
исследованиях языков семантический аспект языка обычно отде-
отделяется от его синтаксиса, т. е. совокупности правил, которые
обеспечивают формирование или распознавание грамматически
правильных предложений (см. де Соссюр [1931]). Это разли-
различение ведет к двум дополняющим друг друга математическим
формализациям: математической теории связи, заложенной
Шенноном (Галлагер [1968], Берлекэмп [1968]) и основанной
на теории вероятностей, и алгебраической лингвистике (Хом-
ский [1957], С. Гинзбург [1966]), где доминирующую роль
играют комбинаторные свойства свободных моноидов1). Таким
') Направление в лингвистических исследованиях, основанное на теоре-
теоретико-вероятностном и статистическом подходе, иногда называют «квантита-
«квантитативной лингвистикой», а наряду с термином «алгебраическая лингвистика»
используют также термин «комбинаторная лингвистика» (см., например,
Р. Г. Пиотровский, К- Б. Бектаев, А. А. Пиотровская [1977*], Бар-Хиллел
[1965*]). А. В. Гладкий и И. А. Мельчук [1969*, с. 19] предлагают ис-
использовать термин «математическая лингвистика» по существу именно в
смысле «алгебраической лингвистики»; впрочем, чаще всего он используется
в широком и весьма расплывчатом смысле. Не вдаваясь здесь в обсуждение
этой терминологии (равно как и характеризации областей математической
лингвистики), мы адресуем читателя к предисловиям и вводным разделам
упомянутых книг и статей, а также, например, книг Гросса, Лантена [1967],
А. В. Гладкого [1973*], посвященных одной из наиболее важных областей
алгебраической лингвистики. Заметим только, что если алгебраическую линг-
лингвистику действительно можно считать формализацией синтаксических отно-
отношений, то аналогичный тезис автора применительно к математической тео-
126 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
образом, алгебраическую лингвистику можно рассматривать
как раздел комбинаторной теории полугрупп, которую мы оха-
охарактеризуем— довольно неопределенно — как часть теории по-
полугрупп, тесно связанную со свободными полугруппами. В этой
и следующих главах излагается ряд вопросов, которые мы счи-
считаем сердцевиной комбинаторной теории полугрупп. Мы на-
надеемся убедить читателя в том, что эти вопросы образуют не-
необходимый мост между алгебраической теорией полугрупп и
другими частями математики, такими, как теория чисел, ло-
логика и дискретная теория вероятностей.
В первом параграфе мы напоминаем ряд определений и
свойств свободных моноидов, часть которых уже приводилась
в гл. 1. Мы также указываем ряд конкретных ситуаций, где воз-
возникают свободные моноиды. В следующем параграфе изучаются
свободные подмоноиды свободных моноидов и их порождающие
множества, называемые кодами. Мы излагаем два алгоритма
(Сардинас, Паттерсон [1953], Спенер [1975]), выясняющие, яв-
является ли данное конечное подмножество свободного моноида
кодом, даем грубую классификацию кодов и устанавливаем их
элементарные алгебраические свойства. Учитывая важность
алгоритмов на протяжении всей этой книги, в § 4 мы нефор-
неформально обсуждаем понятие разрешимости. Затем используем
машины Тьюринга для доказательства неразрешимости проб-
проблемы равенства слов в полугруппах и моноидах.
Мы снова предпочитаем работать в категории моноидов,
оставляя читателю переделку наших определений и результатов
для случая категории полугрупп.
1. Общие сведения о свободных
моноидах. Примеры
Напомним (см. гл. 1, разд. 2.4), что свободный моноид Л* на
множестве А есть множество всех конечных последовательностей
элементов из А, включая пустую последовательность, вместе
с операцией конкатенации: (Х\, х2, ..., х,„) (Уи у2 Уп) —
= (хи х2 хт, г/,, г/2, ..., Уп) для любых хх хт, г/ь ...
..., уп е А. Множество А называется базисным множеством, а
его элементы — базисными элементами моноида А*. Иногда вво-
вводят специальные графические символы (имена базисных эле-
элементов), не смешивая их с самими базисными элементами. Мно-
Множество этих графических символов — букв— называется алфа-
алфавитом моноида А*. Мы будем отождествлять алфавит с мно-
рии связи и семантическому аспекту, по нашему мнению, не вполне обосно-
обоснован. Математическая теория связи базируется на вероятностном определе-
определении количества информации и изучает вопросы переработки, хранения и
передачи информации (помехоустойчивое кодирование, оптимальное декоди-
декодирование, взаимодействие, информации с шумом и т. п.). — Прим. ред.
/. Общие сведения о свободных моноидах. Примеры 127
жеством Л; кроме того, мы пишем х вместо последовательности
(х) и, более общо, пишем Х\х2 ... хт вместо (хи х2, ..., хт).
Всякий элемент моноида А* называется словом, а произволь-
произвольное подмножество из Л* называется языком (над Л1)). Число
вхождений буквы х е А в слово w обозначается через dx(w),
а длина l{w) слова w определяется равенством l(w) =
= ^x^a^x(w)- Отображение/ является гомоморфизмом Л* в мо-
моноид (№, +, 0), переводящим пустое слово, которое обозна-
обозначается символом 1 (иногда символом е, если возможна пута-
путаница), в 0. Через Л+ мы обозначаем свободную полугруппу на
множестве Л, т. е. Л+ = Л*\{1}.
Примеры 1.1. (а) Л= {|}. Символ | называется палочкой.
Элементами Л* являются вереницы палочек. Этот свободный
моноид помогает детям наглядно представить сложение нату-
натуральных чисел.
(b) Л = {г, п, д}, где г, п, д — имена объектов «гривенник»,
«пятиалтынный» и «двугривенный». Элемент из Л* есть сумма
денег в гривенниках, пятиалтынных и двугривенных, указанных
в некотором порядке. Множество всех слов над Л, представляю-
представляющих фиксированные суммы денег s\ ss, образует язык L
автомата, продающего билеты на электропоезда.
(c) Множество Л состоит из обычных букв и знаков препи-
препинания вместе с пробелом (пустым символом). Элементами мо-
моноида Л* служат последовательности этих символов наподобие
«анжав арбегла». Реализацию алфавита Л можно видеть на
клавиатуре пишущей машинки.
(d) Множество Л состоит из всех слов французского языка,
знаков препинания и пробела. Элементы из Л* называются пред-
предложениями. Например, «interessante tres theorie n'est cette pas»
есть предложение. Это предложение грамматически непра-
неправильно. Правильным предложением с теми же элементами из
Л будет «cette theorie n'est pas tres interessante». Подмноже-
Подмножество в Л*, состоящее из всех правильных предложений, назы-
называется французским языком.
(e) А= {•, —, |}. Свободный моноид на Л использовался
в телеграфной связи в рамках кода Морзе.
(f) Л — множество результатов элементарных эксперимен-
экспериментов. Например, бросание игральной кости имеет своим резуль-
результатом или исходом одно из чисел 1, 2, ..., 6. Элемент из Л*
(последовательность результатов элементарных экспериментов)
называют, хотя и неправильно, экспериментом2) (например,
6625434 есть составной результат семи последовательных броса-
*) Наряду с термином «язык» используют также термин «событие в ал-
алфавите А». —Прим. ред.
2) В русской литературе обычно используется более корректный термин
«исход (или результат) эксперимента». — Прим. ред.
128 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
ний кости). В теории вероятностей подмножество из А* назы-
называется событием.
(g) А— множество элементарных высказываний вместе с
символами (,), Л, V, ~1, =*-, <=>■, которые называются соответ-
соответственно скобками и логическими связками «и», «или», «не»,
«влечет», «эквивалентно». Под элементарным высказыванием
мы понимаем утверждение, которое может быть истинным или
ложным; именами высказываний служат прописные латинские
буквы. Напимер, слово ((PV <2)Л R =ф- ~\R) VS является эле-
элементом из А*. Изучение этого свободного моноида составляет
часть математической логики (именно, исчисление высказы-
высказываний).
В последующих предложениях мы излагаем различные по-
полезные характеризации свободных моноидов. Первый результат
уточняет универсальное свойство свободных моноидов, уже вы-
высказанное в предложении 2.4.1 из гл. 1.
Предложение 1.2. Пусть даны множество А и инъекция
i: A-+-M из А на множество образующих моноида М. Следую-
Следующие условия равносильны:
(a) М свободен на множестве i(A);
(b) для любого моноида М' и любого отображения ср: А-*-Мг
существует такой гомоморфизму: М->М'У что <р = ф<>£.
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), доказывается ана-
аналогично предложению 2.4.1 из гл. 1. Для доказательства того,
что (Ь) влечет (а), возьмем М' = [i(A)]* и естественное вложе-
вложение ф множества А в [t (^4) ] • (фактически ф совпадает с i).
В силу первой части доказательства существует гомоморфизм
Ф: [i(A)]*-*-M, действующий тождественно на i(A). Согласно
(Ь), существует гомоморфизм ф: M-*-[i(A)]*, также действую-
действующий тождественно на i(A). Поскольку i(A) порождает М, ото-
отображение фоф тождественно на [£(Л)]*, а Ф°ф тождественно
на М. Отсюда следует, что Ф сюръективен и M = [i(A)]*. О
Предложение 1.3. Моноид М свободен тогда и только тогда,
когда любой элемент те5 =ЛГ\{1} имеет единственное раз-
разложение в произведение элементов из А — 5\52.
Доказательство. Если Л1 = Л*, то A=S\S2; свойство един-
единственности разложения следует из определения А*. Обратно,
для любого моноида М каноническое вложение ф множества
А = S\S2 в М продолжается до гомоморфизма ф: Л*->Л1 в
силу предложения 1.2(Ь). Мы имеем ф (aia2 ... an) =
= ф(а1)ф(а2) ... ф(ап) = а\а2 ... ап, и тот факт, что любой
элемент meS допускает лишь единственное разложение в про-
произведение элементов из А, показывает, что ф — изоморфизм, и
поэтому М свободен. □
/. Общие сведения о свободных моноидах. Примеры 129
Следующая характеризация свободных моноидов использует
одно важное свойство, обнаруженное Леви [1944].
Определение 1.4. Моноид М называется равноделимым (equi-
divisible), если для любых a,b,c,d&M из аЪ = cd следует либо
а = си, ub = d для некоторого и&М, либо av = c, b = vd для
некоторого v e M.
По поводу общего исследования равноделимости см. работу
Мак-Найта и Стори [1969].
Предложение 1.5. Пусть М — моноид и S =М\{1}. Моноид
М свободен тогда и только тогда, когда он равноделим, S — под-
подполугруппа в М и nre<=NS"=0.
Доказательство. Прямая часть очевидна. Обратно, пусть S —
подполугруппа в М и П„ем5"=0. Тогда последовательность
S Э S2 Э ... 3S'3 Sk+1 э ... есть убывающая цепь идеалов
из М. Если эта цепь стабилизируется, т. е., например, Sk = Sk+1,
то Sk = 0, откуда 5 = 0, т. е. М — свободный моноид на пу-
пустом множестве. Если же цепь S =э52 =э ... =з Sk zdSk+l zd ...
строго убывает, то для любого m e S найдется такое целое k,
что m e Sk\Sk+1 (в противном случае mef|,eNS", что не-
невозможно). Таким образом, m = S]S2 ... sfe, где si еД = S\S2
для всех t, I ^ i ^ й. Это доказывает существование разложе-
разложения для любого теМ, тф\. Для доказательства единствен-
единственности возьмем два произвольных разложения элемента т =
= а.а, •..а, =а,а, ...а, в произведение элементов из А,
положим n = min(k, l) и применим индукцию по п. Для п = \
мы получим m = ai =a/ по определению множества А. При
п ~> 1 равноделимость дает либо а{ =aju, uat ... at —a ...
... а, для некоторого и е- М, либо а, и = а, , а, ... а, = va, ...
... а; для некоторого osM. Из определения А следует, что
элемент и или соответственно v равен 1, а{ —а^ и единствен-
единственность разложения вытекает из предположения индукции, при-
примененного к равенству at ... at =aj ... af . В силу предло-
предложения 1.3 моноид Af свободен. □
Следствие 1.6 (Леви [1944]). Моноид М свободен тогда и
только тогда, когда он равноделим и существует такой гомомор-
гомоморфизм I из М в моноид (№, +, 0), что /~*@) состоит лишь из
единицы моноида М.
Доказательство. В силу предложения 1.6 достаточно пока-
показать, что из существования указанного / следует, что S — под-
б Зак. 474
130 Гл. б. Свободные моноиды, языки и коды
полугруппа и что Г\ПецЗп'==£>- Множество 5 — подполугруп-
подполугруппа, так как /-'@)= {1}. В случае М= {1} мы имеем S = 0
и поэтому П Sn — 0. Если же Мф Ш, то для любого те S
существует такое целое k, что тф.8*+\ а именно k=*l(tri).
Поэтому r\neNSn==0 во всех случаях. □
Полугрупповая версия следующего результата принадлежит
Дюбрей-Жакотэн [1947].
Следствие 1.7. Моноид М свободен тогда и только тогда,
когда М — равноделимый моноид с сокращением, имеющий три-
тривиальную группу обратимых элементов, а любой элемент и е М,
иф\, имеет лишь конечное число нетривиальных (т. е. отлич-
отличных от 1) левых делителей.
Доказательство. Опять, в одну сторону («только тогда»)
утверждение очевидно. Чтобы установить обратное («тогда»),
мы снова покажем, что nresNS"=0> гДе S —Л1\{1}, и
сошлемся на предложение 1.6. Допустим, и^ f\nQ^Sn. Тогда
для любого п е N найдутся такие su s2) ..., s»sS, что и «=
= SiS2 ... sn. Элементы sly S\S2, ..., S1S2 ... sn являются ле-
левыми делителями для и. Они различны, так как равенство
,s2 ••• sm = SiS2 ... sm>, где, например, 1 < m < m' < n, при
сокращении слева дает l=sm+1 ... sm>\ тогда sm+lt=\ для
некоторого t e M, откуда tsm+\t = t и, после сокращения справа,
tsm+i = 1; элемент sm+i s S оказывается обратимым, что про-
противоречит тривиальности группы обратимых элементов моноида
М. Следовательно, и имеет бесконечно много различных левых
делителей. Это в свою очередь противоречит последнему пред-
предположению следствия. Поэтому П„ем^ = 0. □
Пример 1.8. Пусть Е — произвольное непустое множество, а
IR+ — множество всех неотрицательных действительных чисел.
Обозначим посредством F(R+, E) множество всевозможных
функций, определенных на интервалах ] 0, г] из R+ и принимаю-
принимающих значения в Е. Элемент из F(R+, E) обозначается через
(f, r), где первая буква указывает функцию, а вторая — длину
интервала, на котором задана f. Операцию на F(R+, E) опре-
определим как соединение графиков функций, т. е.
(f, r)(g, s) = (h, r + s), где
f(x), если хе=]0, г],
g(x — г), если х е= ] г, r + s].
-{
Легко проверяется, что F(R+, E) — равноделимый моноид с со-
сокращением, имеющий тривиальную группу обратимых элемен-
элементов, но любая непустая функция имеет бесконечно много левых
/. Общие сведения о свободных моноидах. Примеры 131
делителей. В силу следствия 1.7 моноид F(R+, E) не является
свободным ').
В качестве приложения следствия 1.7 мы покажем, почему
конечность числа разложений слов'а шеЛ+ в произведение
w = uv, где к, оеЛ+, существенна при определении структуры
полукольца на множестве всех степенных рядов над А (см.
ниже формулу A.9.2)).
Определение 1.9. Полукольцо (R, +, •) есть множество R с
двумя операциями +, • и двумя выделенными элементами 0, 1,
й 1, удовлетворяющее следующим аксиомам:
(a) (R, +, 0) — коммутативный моноид с нейтральным эле-
элементом 0;
(b) (R, •, 1)— моноид с нейтральным элементом 1;
(c) x(y + z)~xy + xz, (y + z)x = yx + zx для любых х, у,
Z(=R;
(d) xQ = Ox = 0 для любого х е R.
Полукольцами являются, например, ассоциативные кольца с
единицей. Другие примеры полуколец: тройка (№, +, •); бу-
булево полукольцо J?2, состоящее из двух элементов 0 и 1, причем
1 + 1 = 1, а в остальном операции определяются, как для чисел.
Пусть А — множество и R — полукольцо. (Формальный)
степенной ряд над R с переменными из А определяется как ото-
отображение /: A*-*-R. Альтернативным обозначением для / явля-
является Yjw e- a* f (w) w. Определим сумму и произведение двух
степенных рядов / и g формулами
A.9.1) (f + g)(w) — /(w) + g(w) для всех we A*,
A.9.2) (f-g)(w)=^ Л f(u)g(v) Для всех даеЛ'.
В A.9.2) символ 2мо=н; обозначает суммирование в полу-
полукольце R по всем разложениям uv слова w из A*, a f(u)g(v)
обозначает произведение f(u) и g(v) в R. Легким упражнением
является
Предложение 1.10. Множество R[[A]] всех степенных рядов
над R с переменными из А вместе с операциями + и -, опреде-
определенными формулами A.9.1) и A.9.2), является полукольцом
степенных рядов от некоммутирующих переменных А с коэф-
коэффициентами из R.
Нулевой и единичный степенные ряды будут обозначаться
через 0 и 1 соответственно. Если R — кольцо, то Я [[Л]] тоже
') Заметим, что для демонстрации существенности последнего требования
в следствии 1.7 можно взять более простой моноид (R+, +, 0), соответствую-
соответствующий одноэлементному Е. — ПриМ. перев.
132 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
кольцо, и на нем можно задать структуру /^-модуля, совмести-
совместимую с умножением A.9.2). Тогда Я [[Л]] становится алсеброй
над R, называемой иногда расширенной алгеброй (large al-
algebra) моноида Л*.
Любой язык L £ А* можно представить его характеристи-
характеристическим степенным рядом %(L) из /?[[Л]]:
( 1, если ш е L,
^ \ О в противном случае.
Обратно, если дан степенной ряд /е/?[[Л]], то определим его
носитель, обозначаемый через supp(/), равенством supp(f) =
= {»е,4*: f(w)^=0}. Ясно, что supp[%(L)] = L, но, вообще
говоря, %[supp(f)]^f.
Возможность удовлетворительного перехода от операций на
языках к операциям на степенных рядах (или vice versa) суще-
существенным образом зависит от выбора полукольца R. Например,
если R = Я2, то %(Li [J L2) — xiLi) + %(L2) для любых Lu L2 S
£ А*. Однако это последнее равенство для произвольного R не
выполняется. Связь между языками и степенными рядами мы
изучим более детально на протяжении последующих парагра-
параграфов и глав.
2. Подмоноиды свободных моноидов.
Коды
Пусть М — подмоноид свободного моноида А* над алфави-
алфавитом А. Если М+ обозначает полугруппу М\{1}, то из предло-
предложения 1.5 непосредственно следует равенство Пп<=ы(М+)п = 0,
и тогда любой элемент m е М+ можно записать в виде про-
произведения схс2 ... Си, где ct& М*-\(М+J для t = 1, ..., k. По-
Поэтому множество С = М+\(М+J есть множество образующих
моноида М. Если С г М+ — другое множество образующих для
М, то любой с е С можно записать в виде с = с[с'2 ... с'п, где
с\ е С = М+. Отсюда необходимо я = 1 и сеС',-т. е. Се С.
Мы получили
Предложение 2.1. Любой подмоноид М свободного моноида
имеет единственное минимальное множество образующих G =>
= М+\(М+)\ где М+==Л1\{1}.
Указанное множество С называется базисом моноида М.
Пример. В свободном моноиде Л* на множестве А = {а, Ь}
множество слов {a1: ie№, i¥=l} образует подмоноид М. Его
базисом служит С = {а2, а3}. Заметим, что М не свободен в
силу предложения 1.3: элемент a6evVf допускает два разложе-
разложения а2а2а2 и a3az в произведения элементов из С,
2. Подмоноиды свободных моноидов. Коды 133
Предложение 2.2. (Шютценберже [1956], Л. Н. Шеврин
[1960], Кон [1962]). Пусть М — подмоноид свободного монои-
моноида А*. Следующие условия равносильны:
(a) М свободен;
(b) для любого w&A* если Mw [}Мф0 и wM П М Ф 0, то
W&.M;
(c) для любого w е А* если Mw (]Mf\ wM ф 0, то w e M.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что m\w e M и
wm% е М для некоторых mi, m2 <= AT Тогда Ш] (wm2) =
= (miBi)m2eM. Так как М по предложению 1.6 равноделим,
из предыдущего равенства вытекает, что либо nt\ == ni\wm для
некоторого т^М, либо m\W = m,\m' для некоторого m' e Л1.
Используя сокращение в Л*, в первом случае мы получаем
1 = wm, откуда w = т = 1; во втором случае получим w = m',
и, таким образом, во всех случаях w e M.
То, что (Ь) влечет (с), очевидно. Для доказательства того,
что (с) влечет (а), предположим, что М удовлетворяет усло-
условию (с), но не свободен. Если С—базис для М, то существует
элемент w e М+, допускающий по меньшей мере два различных
разложения в произведение элементов из С. Выберем такой
w e M+ минимальной длины в А*:
B.2.1) w-etott...ctf-c,ott...e,j
где с, sC для k= 1, ..., р, c;sC для /= 1, ..., q и
ch ^ cw ^ СИЛУ равноделимости моноида А* либо cii==cju для
некоторого и е Л*, либо ctp = c}i для некоторого v e Л*. Мы
обсудим только первый случай, поскольку второй аналогичен.
Из с, = с. и и B.2.1) следует «с, ... с, =с, ... с, . Отсюда
»1 ч *2 р '2 'q
с, с. ...с, с, *=с. с. ... с, с, и = ис,с, ...с, с .
Тогда и^М, согласно (с), и cti = c}u влечет и =- 1, откуда
cit = cy Сокращение в B.2.1) на cti дает элемент w' =
= с, ... с, == с, ... с, , имеющий два различных разложения
1г lp h lq
в произведение элементов из С, причем l{w')<. l{w); это проти-
противоречит выбору элемента w. Поэтому М свободен. П
Определение 2.3. Подмножество С свободного моноида Л*
называется кодом над Л, если С является базисом некоторого
свободного подмоноида М из Л*. Мы пишем в этом случае
М = С*.
Пусть С — произвольное подмножество из Л*, а В ■— мно-
множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии с С,
134 Гл. б. Свободные моноиды, языки и коды
задаваемом отображением у: В-*-С. Отображение у продол-
продолжается до гомоморфизма у: В* ->-М на подмоноид М в А*, по-
порожденный С. Согласно предложению 1.2 множество С является
кодом тогда и только тогда, когда y — изоморфизм. В этом слу-
случае у называется кодированием1) множества В в алфавите А.
Следующий пример показывает, что, вообще говоря, решение
вопроса, является ли кодом данное подмножество С из А*, не
очевидно.
Пример 2.3.1. Пусть А = {а,Ь}, а С = {а4, Ь, ba2, ah, aba2}.
Заметим, что С = {a4} (J {a'ba1: i = 0, 1 и / = 0, 2}. Степень
буквы а, скажем ат, тогда и только тогда лежит в С*, когда
m==0(mod4). Если слово т содержит вхождения буквы Ь, то
мы запишем его в виде w = atlbal2b ... atkbatk+', где U, i2, ...
. ■ ■, ik+i ^ 0. Если w е С*, то легко видеть, что м з= 0 или
I(mod4) и ik+i = 0 или 2 (mod 4). Обратно, если для t'i и t*+i
эти условия выполняются, то w e С*. В самом деле, для лю-
любого /, 1 ^ / ^ k, остаток от деления if на 4 единственным спо-
способом разлагается в сумму числа из {0, 1} и числа из {0, 2},
что позволяет записать ц = 4kj + // + m/, где // & {0, 1}, /ny e
е {0, 2}, откуда
ш= .. .(ali-lbaml) (а4)*' (а'/6ат/+0 ....
Единственность такого разложения слова w e С* означает, что
С — код.
Замечание и определение 2.4. Равносильность условий (Ь) и
(с) из предложения 2.2 имеет место для подмоноида М любого
моноида F независимо от того, является F свободным или нет.
Для доказательства того, что (с) влечет (Ь), достаточно заме-
заметить, что включения m\w е М и wtri2^M дают w(m2tn\w)=*
==(wm2tn\)w^M и, следовательно, w^M согласно (с). Под-
Подмоноид М моноида F, удовлетворяющий условию (Ь) или (g),
называется слабо унитарным в F.
Следующее предложение дает простой метод построения
многочисленных примеров специальных кодов.
Предложение 2.5. Пусть М — подмоноид свободного моноида
А*, а С — его базис. Следующие условия равносильны:
(a) для любого w&A* если Mwf\M^=0, то w@.M\
(b) С(д&
') Такое кодирование называют алфавитным. Следует отметить, что тер-
термин «код» используется в литературе в разных смыслах. В частности, при
рассмотрении алфавитного кодирования кодом часто называют (обычно упо-
упорядоченное) множество слов у( \{bm), где В = {Ьи ..., bm}. В этом
случае понятию кода в терминологии данной книги соответствует понятие
взаимно (?дно$начноео кодирования", —- Прим. ред.
2. Под моноиды свободных моноидов. Коды 135
Доказательство. Очевидно, (а) влечет (Ь). Допустим, что
выполняется (Ь) и существуют такие m^M, w e А*, что
may е М. Докажем включение ау э М индукцией по длине m
как слова над А. Если m = 1, то w е° М. Если /(ау) >• 0, разло-
разложим m и may в произведения элементов из С. Получим
ct w = с. с, ... с. (k, I^ 1), и равенство СЛ+ f\C = 0
с, с.
'l h
w •■
вместе с равноделимостью в А* даете, ==cj , с{ ... ct
... Oj. Теперь индуктивное предположение показывает, что
шеМ. Q
Определение 2.6. Код С над алфавитом А называется пре-
префиксным (соответственно суффиксньш), если выполняется ра-
равенство СА+Г\С=*0 (соответственно А+С(]С — 0). Код С на-
называется бипрефиксным, если он является как префиксным, так
и суффиксным. Подмоноид М произвольного моноида F, удов-
удовлетворяющий условию (а) предложения 2.5 (где А* заменяется
на F), называется унитарным слева в F. Подмоноид М назы-
называется унитарным справа (соответственно унитарным) в F, если
он удовлетворяет условию, двойственному к (а) (соответственно
как условию (а), так и двойственному условию).
Условие (Ь) в предложении 2.5 означает, что никакое слово
из С не является собственным левым делителем другого слова
из С. Определяя отношение ^ в А* условием: u^.v, если v
является левым делителем слова и, мы видим, что ^ есть
частичный порядок из А*. Изобразим верхнюю часть моноида
А*, частично упорядоченного отношением <, когда А содержит
два или три элемента:
саг'саЬ сас
Подмножество С из А* является префиксным кодом тогда
и только тогда, когда для любых с&. С, w &A* соотношения
136 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
w ^ с и w Ф с влекут w ф. С. Поэтому для получения примеров
префиксных кодов достаточно выбирать подмножества С из А*.
состоящие из концевых точек относительно ^- Например, сле-
следующие растущие вниз деревья
1
B)
дают префиксные коды С\ = {a2, aba, ab2, b} над {a, b} и
Сг — {a2, ab, ас, ba, b2, cb, с2} над {а, Ь, с). Множество В —
= {anb: nsN} служит примером бесконечного префиксного
кода над {а, Ь) и представляется бесконечным растущим вниз
деревом с висячими вершинами anb, n e N.
Не существует никакой простой характеризации произволь-
произвольных кодов, аналогичной условию (Ь) предложения 2.5 для пре-
префиксных кодов. Мы приведем следующий результат, принадле-
принадлежащий Сардинасу и Паттерсону [1953] (см. также Бандио-
падхиай [1963], В. И. Левенштейн [1964], Эш [1965], Дж. Райли
[1967]).
Предложение 2.7. Пусть С — подмножество свободного мо-
моноида А*. Определим индуктивно последовательность мнооюеств
Di, положив Do— С и Di= {w & А+: Di-Xw ft С ф 0 или Cw (]
П Di-\ Ф0}. Множество С тогда и только тогда является кодом
над А, когда Cf\Dt = 0 для любого i~^\.
Замечание. Если С конечно, то длины слов в Д- для любого
i ограничены максимальной длиной слов из С. Следовательно,
существует лишь конечное число различных Dit и это предло-
предложение дает алгоритм для решения вопроса, является ли С
кодом.
Доказательство, (а) Предположим, что С — код над А, по-
порождающий подмоноид М = С* из А*, свободный над С. По-
Покажем, что Mw (]Мф 0 для любого w e [Ji^^D^ Это ясно
для w as Do = С. Допустим, что это верно для всех v e D,_i
(i ^ 1) и возьмем w e D,-. Тогда либо vw — с, либо cw = v для
некоторых с е С, iieDj-i. В силу предположения индукции
rriiv = пг2 для некоторых гп\, гщ е М; отсюда следует, что либо
m\OW = m2w = Ш\С (в случае vw = c), либо ni\cw = ni\v = mi
(в случав cw = v). В обоих случаях получаем Мхю[\Мф0.
2. Подмоноиды свободных моноидов. Коды 137
Теперь предположим, что С Л А =5^0 для некоторого / > 0.
Тогда существуют с<=С, ti|S А_ь с\ е С, такие, что либо
UiC = Ci, либо C\C — v\. Если yic = ci, то V\M[\Mф0, откуда,
так как Afi»i [}М Ф 0, имеем oie/M (предложение 2.2 (Ь)); это
невозможно в силу определения С. Следовательно, слово vi —
= С\С является элементом из AlflA-i длины 2 над С. Если
i > 1, то существуют у2 s А-2, с2 е С, такие, что либо y2fi = с2,
либо С2У1 = и2. Как и выше, случай v?v\ = с2 исключается и
получаем слово и2 = c2ui = с2с,с из МЛА-г длины 3 над С.
Повторяя этот процесс, мы получим на i-м шаге слово а» е
eAf ЛА) = С1 длины i-|- 1 наД С- Так как /^ 1, это невозмож-
невозможно и поэтому C(]Di = 0 для любого i ^ 1.
(b) Обратно, предположим, что СЛА = 0 для всех i^ 1.
Сначала мы покажем индукцией по п, что С" П Д- = 0 для
любых п^0и(->1, Допустим, что С"-1 Л А- = 0 для данного
д>1 и всех i^s 1. Если шеС"ПА для некоторого i ^ 1, то
да =5= Cic2 ... сп е А- и по определению A+i имеем с2 ... с„ е
е С"-1 Л A+i, что противоречит индуктивному предположению.
Таким образом, СпЛА = 0. Теперь мы докажем, что С"Л
ЛАСт = 0 для любых т, я^Ои для всех г ^ 1, снова при-
применяя индукцию по п. Допустим, что С"-1 Л АС" == 0 для дан-
данного п > 0 и любых m ^ 0, i ^s 1. Пусть о; е Сп Л АС" для не-
некоторых i^l, m>0 (т^Ов силу предыдущего). Используя
очевидные обозначения, получим
i2 ... с,т {vt e A)-
,т
В силу равноделимости моноида А' либо 0* = e*1t>/+i и с;2...
... с(п = vi+lcl} ... ctm, либо c(l = w,y,+1 и yi+1c,2 ... c,n =
—c^c^.. .c/m. В первом случае равенство vt =■ С1^1+х влечет vl+l e
еВ(+, и ci2.. .ctn = vi+iCjl.. .с!т^Сп~1 f\Di+iCm, что противоре-
противоречит индуктивному предположению. Во втором случае мы также
имеем »(+1бД(+| и при я> I1), применяя условие равнодели-
равноделимости к равенству V{+iCi2 ... cin==r-ci1ci2 ••• 0/m, получим либо
c^ — Vi+iVt+2 и с;2 ... ап = vt+2Cj2 ... с!т (это исключается,
так как противоречит равенству Сп~1 Л Dt+2Cm~~i=> 0), либо
W;+1 = C/1fi+2 И Ci+2C;2 ... Cin~Cj2 ... C/m, ГДе У/+2 S А+2. Пов-
торяя это рассуждение т раз, мы получим р*+тс*2 ... Cin=c!m,
где Vi+m s A+m. Отсюда следует включение с/2 ... с;п еС4 Л
Л Ач-т+ь которое противоречит первой части доказательства.
Таким образом, Сп Л АСт= 0 Для любых т, /г^О и любых
') Если п= 1, то o^j = с^ с^ ... Cj (= Di + l, откуяа Cj ... Cj sC1" ' f)
П ^,:+2' что невозможно. Отсюда и следует С (] D^C" = 0. — Прим. пере в,
138 Гл. Б. Свободные моноиды, языки и коды
l. Завершая доказательство, предположим, что ci^i^. .ci —
= Cilc/2 ... Cj . Если, например, cil = Cjiu, то необходимо м— 1,
так как в противном случае мы имели бы aeDiH iict2... ct =
= с/ ... с/ , откуда М П D\M ф 0, что противоречит равенст-
равенствам С" П DlCm'= 0 для всех т, п^О. Это обеспечивает един-
единственность разложения любого шеЛ1 в произведение элемен-
элементов из С. D
Примеры, (а) Если С = {а, агЬ, aba}, то Z>0 = C, Di ■==
= {а2й, йа}, />2={ай}, />3={а/й}; поскольку Cf]D3^0,
множество С не является кодом.
(Ь) Если С= {a, a2b, bab, b2}, то D0 = C, Z>, = {аи}, D2 =
«= Ш, />з={ай, 6}=Z>4= ...; С — код, поскольку CflDi=s
— 0 для /^ 1.
Существуют и другие алгоритмы (см., например, Ал. А. Мар-
Марков [1962]1), Блюм [1965а], Спенер [1975]) для решения во-
вопроса, будет ли кодом подмножество С из А*. Мы изложим
алгоритм Спенера, имеющий по сравнению с предыдущим то
преимущество, что он дает копредставление подмоноида М из
А* с конечным множеством С в роли базиса, если С не является
кодом.
Определение 2.8. Пусть С — произвольное подмножество сво-
свободного моноида А*, а М — подмоноид, порожденный С. Пара
(и, о)еА*Х'4* называется С-парой, если существуют такие
слова пг&М, с^С, что с = umv, причем итф\ и mvФ 1. Мы
обозначаем С-пару (ы, v) символом м->-у. Пара (ы, и)еД*Х^*
называется С-связанной (обозначение: м=Ф-и), если существует
последовательность м0, Мь •••> ип слов из Л*, такая, что Ио = м,
un = v и «,->-«,•+! для любого t = 0, 1, ..., я — 1. Определим
граф Г(С) множества С, объявив его вершинами элементы
множества U(C)= (i»eA': ai^-1 и 1 =$»w}, а дугами — С-па-
ры (и, v), где и, vesU{C).
Пример. Пусть С = {а, а3й, айа}. Имеем С-пары A, 1J,
A, Ъ), O_ab), A, а2Ь), (с, Ь), (а^Ь), (а, а2й)\ (а2, Ь), (сГаЬ),
(а3, 6), A, Ьа), (ab, 1), (а, Ьа), (ab, a)". С-пары с компонентами
из U(C) подчеркнуты. Получаем следующий граф Г(С):
') Алгоритм Ал. А. Маркова воспроизведен и в его книге [1982*, §4], а
Также в книге С. В. Яблонского [1979*, ч. III, § 2]. —Прим. ред.
2. Подмоноиды свободных моноидов. Кобы 189
На этом примере мы рассмотрим общий метод (который будет
обоснован позже) получения копредставления подмоноида М из
{а, Ь}*, порожденного множеством С. Так как CflC2 =■ 0, мно-
множество С служит базисом для М. Поэтому для задания М
можно использовать множество Z = {х, у, z}, взаимно одно-
однозначно соответствующее С посредством отображения ср: Z-+C,
ц>(х)=а, q>(y)=a3b, ф(г)= aba1).
Заметим, что граф Г (С) содержит С-связанные циклы.
Циклы, начинающиеся и кончающиеся в 1 и не содержащие
других вхождений 1, — это A, 1), который называется триви-
тривиальным циклом, и A, ab, a, ab, а, ..., a, ab, 1), где а входит
п раз, п ^ 0. Кратчайший нетривиальный цикл A, ab, 1) со-
содержит две нетривиальные С-пары: A, ab) и (ab, 1). Они свя-
связаны соотношениями l-a2-ab = a3b и ab-a-l*=aba, которые
можно записать в виде I • ц> (х2) ■ ab = q> (у) и аЬ-ц>(х) ■ 1 = ф(г)
соответственно. Мы будем говорить, что С-пара A, ab) проду-
продуцирует пару (у, х2), а С-пара (ab, 1) продуцирует пару (г, х);
продуцированные пары мы запишем в виде(^) и (*). Образуя
крестообразное «произведение» (^Vxj) этих пар, получим
два слова: ух и x2z. Заметим, что ц(ух)*=*а?Ьа и ф(x2z) = агЬа,
т. е. равенство ух = x2z является соотношением в М (см. гл. 1,
§ 4). Более общим образом, С-связанный цикл A, ab, a, ab,
а, ..., a, ab, 1) содержит С-пары A, ab), (ab, a), (a, ab), ...
..., (ab, 1), удовлетворяющие равенствам l-a2-ab = a3b,
ab-\-a = aba, a-a-ab = a3b, ..., ab-a-l = aba, которые про-
продуцируют соответствующие пары
Ы- \x)' •••'UJ-
«произведение» которых
дает слова уп+хх и x2z(xz)n. Снова замечаем, что
Ф (уп+1х) ■■= ф [x2z (xz)n] = (asb) 'И-1 а,
т. е. равенство уп+[х «= x2z(xz)n есть соотношение в М. Мы
увидим, что все другие соотношения, которым удовлетворяет М,
являются следствиями уже найденных соотношений. Другими
') Ниже ф отождествляется со своим продолжением — гомоморфизмом
Z* в М. — Прим. перев.
140 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
словами, копредставлением моноида М служит <х, у, г; уп+1х =»
= x2z(xz)n для всех я ^ 0>.
Как и в рассмотренном выше примере, для произвольного
подмоноида М из А* с базисом С возьмем множество Z, для
которого существует биекция на С, и продолжение этой биекции
до сюръективного гомоморфизма ф: Z*^-M (предложение 1.2).
Напомним, что равенство
B.8.1) z,22 ...гт = г\г'г ... <; г,, 2JeZ
для t = 1, ..., т, j = 1, ..., я,
называется соотношением в М, если ф [гхгг ... zm) = y(z\z'v ..
... z'\. Соотношение B.8.1) называется неприводимым, если
ни для какой пары i, j, 1 ^ i < m, 1 ^ / < п, равенство ziz2 ...
... zt = z'2z'2 ... z^ не является соотношением в М. Поскольку
М — моноид с сокращением, для любого данного соотношения
и = v в М существует конечная последовательность соотноше-
соотношений ui = v\, U2 = v2, ..., um = vm, которые либо неприводимы,
либо имеют вид г = z (z^Z), причем и совпадает с «i«2... ит,
a v — с 'О1»2 ... vm в Z*. Таким образом, чтобы получить ко-
представление моноида М, достаточно найти все его неприводи-
неприводимые соотношения.
Сначала мы проанализируем два разложения /i/г • • • fm =
= g\g2 ■ ■ ■ gn одного и того же слова w ^ А* в произведение
других слов /,• (l^i'^m) и gj A^/<л). Допустим, что
выполняются следующие неравенства между длинами левых де-
делителей слова w:
B.8.2) l(UU ••• /j-i)</teig2---g/-i)<
Тогда слова fi и gj имеют вид ft — и'и, gj — ии" (см. диаграмму
B.8.3)):
B.8.3)
Мы назовем делитель и, общий для ft и gj, сечением в w и обо-
обозначим его посредством c[fit gj]. Оба разложения слова w
играют сходные роли в определении сечения в ш, поэтому, во-
вообще говоря, существуют также сечения вида c[gj, fk].
Лемма 2.9. Пусть z,z2 ... zm = z[z'2 ... z'n — неприводимое
соотношение для подмоноида МизА'и ф(г1)ф(гЛ ... ф(гт)==
==Ф (г'Л ф (г'Л ... ф (z'A— два разложения соответствующего ело-
2. Под моноиды свободных моноидов. Коды 141
ва w из М. Сечение в w, непосредственно следующее за сечением
с[фBг)> фB/)]' и;леет вцд с[фB/)> Ф (zk)] и лк>бые два после-
последовательные сечения в w образуют С-пару, где С — базис для М.
Доказательство. Для любого z^'Z обозначим ф(г) через г.
Существуют такие и, и', и" <= А*, что zt = и'и, z't = uu", zxz'2 ...
... zfj_lu = 2lz2...zt, u"z]+x ... г'п = г1+1 ... zm. Применяя
свойство равноделимости к последнему равенству, получаем
и == Zi+\ • • • Zk-\H' УУ ~ Zk' У Zk+\ ' • • Zm~ Zj + l • • • Zn
для некоторых^ ^ /+ 1 и у, г/'е Л*. Так как г,г2 ... zk_l Ф
Фг[г'2. . .z' в силу неприводимости исходного соотношения,
имеем уф\п потому
Данную ситуацию иллюстрирует диаграмма B.9.1), где пока-
показаны лишь интересующие нас сегменты слова Z\z% ... zm.
B.9.1)
Слова z'f и zk определяют сечение с [z'p zk]=y, которое яв-
является первым сечением, следующим за c\zt, z'^ = u. Пара
(а, у) есть C-napa, так как uzi+i ... гк_{у = 2'г □
Если С—базис подмоноида М из А*, то простым С-циклом
графа Г (С) мы назовем последовательность его вершин 1, щ,
ы2, •••, ип, в которой пары A, и{), (ыь и2), ..., (и„-и ип),
(и„, 1) являются С-парами, причем щф 1 для /= 1, ..., п.
Этот простой С-цикл мы обозначаем через A, щ, и% ..., ип, 1).
Лемма 2,10. Пусть zxz2 ... zm — z[z'2 ... z'n — неприводимое
соотношение для подмоноида М из А* и ф (г,) ф (г2) ... ф (гт) =
= ф (z[\ ф (г2) ... ф ЫЛ — два разложения соответствующего
слова w е М. Пусть хи х2, ..., хг — последовательные сечения
в w, определяемые указанными разложениями. Тогда A, хи
х2, ..., хг, 1) есть простой С-цикл, где С — базис для М.
Доказательство. Поскольку данное соотношение неприБодимо,
в равенстве zxz2 . . . zm = z[z'2 . . . z'n мы имеем г, ф z\. Допустим,
142 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды.
например, что / (г^ > / (zj). Тогда 2, = z\z,2 ... z'ki_lxl и х{х[ —z'ki
для некоторых xv х\^А+ и k{ > 1. Аналог условия B.8.2) вы-
выполняется со словами 2, в роли ft и z'ki в роли gf, первым
сечением в 1^ = 2,22 ... 2т служит с [г,, 2^]=х,, а A, л;,) есть
С-пара. Применяя лемму 2.9, мы получаем последовательность
сечений в w: c[z'ki, zk\ = x2, c[zki, z'ki] = x3 где xi+i лежит
справа от х{ в w, i = 1, 2 Последнее сечение имеет вид
хг — с\z'k ^ , zk "I либо xr~c\zk , z'k "I (в зависимости от слу-
случаев kr=*m или kr = n\. В первом случае, например, zxz2
X'r =
ние л;г — последнее в да, и (л;г, 1) есть С-пара. В доказательстве
леммы 2.9 показано, что все xi, i=\, ..., г, отличны от 1,
т. е. A, Х\, х2, ..., хп 1) есть простой С-цикл. D
Лемма 2.10 позволяет определить отображение 8 множества
М всех неприводимых соотношений для М в множество W всех
простых С-циклов графа Г (С). Наша цель — доказать, что 0
отображает Я на (в.
Если (и, v) есть С-пара для М, то существуют такие zeZ
и !»eZ*, что uq>(w)v = cp(z). Мы говорим, что пара (z, ш>)е
eZXZ* продуцирована С-парой (и, v). Если м0, щ, ..., ип —
последовательность таких слов из А*, что (м», m<+i) есть С-пара
для / = 0, 1, ..., п—1, и если пара (z,-, uy.)eZXZ* продуци-
продуцирована парой (ыг, u/+i), г = 0, 1, ..., п—1, то соотношение
20^122 ... =w0Z\W2 ... называется соотношением, продуциро-
продуцированным С-последовательностью и0, и\, ..., ип. Заметим, что для
получения обеих сторон этого соотношения достаточно образо-
образовать произведение пар в Z* X Z* согласно правилу
(Zn-l ^k
Лемма 2.11. Пусть М — подмоноид из А* с базисом С и
A, хи Х2, •••, хг, 1) — простой С-цикл графа Г (С). Тогда любое
соотношение, продуцированное С-последовательностью 1, х\,
Х2, ■ ■ ■, хг, 1, является неприводимым соотношением для М, по-
последовательные сечения которого суть х\, х% ..., х,.
Доказательство. Используя обозначение w = q>(w) для лю-
любого w s Z*, получаем
B.11.1) Шо^^^о. xlwlx2 = zu ...
..., xr^iwr_ixr = ir-i, xrwrl=zr.
Отсюда
{x2W2Xz) ■ • ■ XrWr\ =
w2 (ХзЩхЛ) ... xrwrl =
2. Подмоноиды свободных моноидов. Коды 143
Это показывает, что равенство zowiz2 ...= w0z\w2 ... есть со-
соотношение для М. Из B.11.1) мы также получаем при нечетном
i неравенства l(woz: ... Wt-i) < 1{zqW\ ... Ш{) < l(w0Zi ... zi) <
< l(zowi ... ii+i). Соотношение z0wiz2 ... = w0ziw2 ... опре-
определяет последовательные сечения x{, х2, ..., хгф\, где xt =
= с[г,_1( zi\, и это соотношение неприводимо; в противном слу-
случае по лемме 2.10 мы имели бы xi= 1 для некоторого i,
1 ^ i ^ г, что противоречит простоте С-цикла A, х\, х2, •■•
.... хг, 1). а
Предыдущие результаты можно свести в одну теорему.
Теорема 2.12. Пусть М — под моноид свободного моноида А*
и С — его базис. Множество всех неприводимых соотношений
для М совпадает с множеством всех соотношений, продуциро-
продуцированных простыми С-циклами графа Г (С). Моноид М свободен
над С (т. е. С — код) тогда и только тогда, когда граф Г (С)
тривиален (т. е. множество U(C) его вершин состоит лишь
из 1).
Доказательство. Это следует из лемм 2.10 и 2.11. Доказа-
Доказательство леммы 2.10 показывает, что любое неприводимое со-
соотношение ZjZ2 ... zm = z'lzf2 ... z'n находится среди соотноше-
соотношений, продуцированных соответствующим простым С-циклом
A, *,, хг, ..., Хг, 1). П
Когда подмножество С из Л* конечно, список всех С-пар
конечен и конечен граф Г(С). Проверка тривиальности этого
графа составляет алгоритм, выясняющий, будет ли С кодом1).
В заключение параграфа укажем характеризацию кодов
СеЛ* в терминах их характеристических степенных рядов
%(С) из Z[[A]]. Начнем с краткого изучения обратимости сте-
степенных рядов. Напомним, что 1 обозначает единицу в Z[[/4]].
Чтобы исключить возможность смешивания с единицей 1 из Z,
обозначим пустое слово из А* через е. Если ряд h e Z [ [А] ]
обратим, то h-g=\ для некоторого ряда g, что, согласно
A.9.2), влечет h(e)g{e)= 1; если предположить, что /г(е)^О,
с необходимостью получим h(e)= 1. Следовательно, степенной
ряд f = 1—h не содержит свободного члена (т. е. f (е) = 0).
Обратно, если / не содержит свободного члена, то формальная
бесконечная сумма 2П=О^П 0ПРеДеляет степенной ряд, так как
') Заметим, что при конечном С порожденный этим множеством подмо-
иоид может быть как конечно определенным, так и нет. Известно, что все под-
подмоноиды свободного моноида, порожденные не более чем тремя элементами,
конечно определены, но существуют подмоноиды с четырьмя элементами, не
являющиеся конечно определенными; см. Ал. А. Майков [1982*, гл. 1, § 5]. —
Прим. ред.
144 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
для любого w s А*
/ оо \ п-=1 (да) .
1ПИ = £ {ПИ
Далее, простое вычисление показывает, что
л=0
Таким образом, степенной ряд h при условии h (в) ^ 0 обратим
тогда и только тогда, когда h = 1 — /, где / — степенной ряд без
свободного члена. Ряд £ns,u/n, обратный к h, обозначается
через f*.
Предложение 2.13. Пусть С — подмножество из А* и %i
A*-*-Z[[A]] — характеристическая функция ■). Следующие
условия равносильны:
(а) С —код;
(с) [1
Доказательство. Условие (Ь) выражает тот факт, что любой
отличный от е элемент из С* (подмоноида в А*, порожденного
С) имеет единственное разложение в произведение элементов
из С. Поэтому (а) и (Ь) равносильны по определению кода.
Равносильность (Ь) и (с) прямо следует из проведенного выше
обсуждения обратимых степенных рядов. □
Равенство 5С(С*)== [1 —х(^)]" объясняет обозначение f*
оо
для 2jn=0/". Чтобы упростить наши обозначения, мы будем
при переходе к степенным рядам опускать символ % и писать
оо
равенства (Ь) и (с) более просто как C*=YiC" и 0 — С)С*—
= 1 соответственно; из контекста будет ясно, что подразуме-
подразумевается равенство между степенными рядами.
3- Элементарные алгебраические
свойства кодов
Код С над алфавитом А называется максимальным, если для
любого кода С включение Се С влечет С = С. Коды С — Ап
(п ^ 1) служат примерами максимальных кодов, так как для
') То есть для любого w е А* степенной ряд %(ш) является характери-
характеристическим рядом множества {w}. Ниже % отождествляется со своим ггоодол-
Зкением на множество всех языков над А. — Прим. пепев.
3. Элементарные алгебраические свойства кодов 145
слова шеЛ+, не лежащего в Ап, множество Ап\) {w} не может
быть кодом, ибо wn имеет два различных разложения над
А" [] {w}. Код Ап называется однородным кодом степени п.
Предложение 3.1. Если С — максимальный код над алфави-
алфавитом А, то С* пересекает все двусторонние идеалы из А* (т. е.
С* Л A*wA* ф 0 для всех w <= А*).
Доказательство. Это свойство очевидно в случае А = {а},
так как С= {ат} для некоторого т ^ 1. Допустим, что А со-
содержит более одного элемента и существует такое слово шеЛ*,
что С* (]A*wA* = 0. Мы можем предположить, что шфиуи
для любых «еУ1+, tie/1*. В самом деле, если существуют та-
такие и, v, что w = миы, то, взяв букву аеД отличную от первой
буквы слова и и положив w' = ш>а/(ш), мы, очевидно, получим
С* f)A*w'A* — 0 и т'фти для всех меЛ+, у<=Л*. Докажем
теперь, что C' = C\J {w} есть код. Допустим, что z — cia ...
•••cim=c!icl2 ••■ cin> гДе ctk> cli<=C- Если все cikn clt лежат
в С, то m = п и сг] = Cji ..., Cim = cjm. Если же Cik = m> для
некоторого k, 1 ^ й ^ т, то существует такой индекс /, 1 ^
^ / ^ п, что С/ = w (в противном случае С*П/1*ауЛ* Ф 0).
Взяв первые вхождения cik и с/г слова ш в указанные разло-
разложения слова z, получим
где ciit ..., cik_x, с/ , c/^^C. Если, например,/(c,^^ ...
•• • Cik-x) >l(clicl2 ■ ■ ■ ch-i)' т0> ПОЛЬЗУЯСЬ равноделимостью,
выводим
C.1.1) dxCi2 ... C/ft_1=C/iC/2 ... Cj^U,
C.1.2) uwak+i ... cim = wcll+i ... c,n,
где и ф 1. Слово w не может быть левым делителем слова и,
так как в противном случае C.1.1) противоречило бы равен-
равенству C*f]A*wA* = 0. 'Поэтому C.1.2) дает w — uw' и
wcik+l ... Cim = w'cil+i ... с/п для некоторого w'<=A+. Из по-
последних равенств получаем w = до'и для некоторого v e= Л*. Но
равенства w = uw' = a/w, где м, о»' ф 1, влекут за собой да —
— хух для некоторых х<=А+, у^А* (см. упр. 1). Это невоз-
невозможно и, следовательно, / (c'ic'2 ••• Clk-\)==l{chci2 ••• с/;-,)>
откуда й = /, сA = с/^ .... с^_] = c/ft_it Индукция по длине
слова г дает т = п, сс =ci~ ..., с,- == с,- . Итак, множество
ь —<- U \w)—код; это противоречит максимальности С. По-
Поэтому C*[)A*wA* Ф0 для всех weaA*. Q
146 Гл. В. Свободные моноиды, языки и коды
Обращение предложения 3.1 ложно. Множество С =
= {а/(ш)+16а>: w e А*} является префиксным кодом над алфа-
алфавитом А — {а, Ь), причем С* пересекает все левые идеалы из
А*. Однако С[}{Ь)—также код. Верхушка дерева, представ-
представляющего С, имеет вид
агЬ
Для префиксных кодов аналог предложения 3.1 звучит более
удовлетворительно:
Предложение 3.2. Пусть С — префиксный код над алфави-
алфавитом А. Следующие условия равносильны:
(a) для любого префиксного кода С над А включение
С s С влечет С = С;
(b) любое слово шеЛ* либо имеет левый делитель из С,
либо, напротив, является левым делителем некоторого с^ С;
(c) wA*f\C* Ф0 для любого w<=A*;
(d) А*=*С*Р, где Р — множество всех собственных левых
делителей слов из С.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если w не является левым
делителем никакого с е С, то w имеет левый делитель из С, ибо
в противном случае множество С{) {w} было бы префиксным
кодом (см. определение 2.6).
(b) влечет (с). Индукция по l(w) показывает, что любое
слово w e А* можно записать в виде w — cic2 ... c(w'', где w'
не имеет левых делителей в С. Применяя (Ь) к w', найдем такое
с е С, что w'w" = с для некоторого w" e А*. Отсюда следует,
что ww" e С*.
(c) влечет (а). Если существует префиксный код С над А,
для которого С с С, то, взяв w e С'\С, получим префиксный
код C\j{w}. В силу (с) существует такое слово да'еЛ*, что
ww' = cjc2 ... с„, где с/ е С. Отсюда следует, что w — й е С, —
противоречие. Наконец, (d) является переформулировкой усло-
условия (Ь). П ' '
5. Элементарные алгебраические свойства кодов 147
Замечание 3.2.1. Можно показать, что конечный код С, удов-
удовлетворяющий условию (с), необходимо является префиксным
кодом (см. гл. 6, предложение 4.2). Для конечного С справед-
справедливо также обращение предложения 3.1 (см. гл. 6, предложе-
предложение 4.1).
Замечание 3.2.2. Из предложения 2.13 вытекает, что условие
(d) равносильно равенству 1—С = Р(\—А) для степенных
рядов.
Определение 3.3. Префиксный код С, удовлетворяющий лю-
любому из условий (а), (Ь), (с) или (d) предложения 3.2, назы-
называется полным; в противном случае С называется неполным.
Следующий пример показывает, что полный префиксный код
не обязан быть максимальным кодом.
Пример 3.3.1 (Шютценберже). Пусть А = {ас. isN} и
F = {w^A*:w = atlaii...atm, где /я>2 и 2(ij +/2 ■+-•.•
... +im-i) = i/n}. Множество С = F\FA+ является префиксным
кодом. Для него также имеет место А+С [~| С === 0, так как для
до е А+ слово waitai2 ... aim с условием 2(м + г2 + • • • + im-i) =
= im не может лежать в С. Таким образом, С — бипрефиксный
код. Ясно, что С удовлетворяет условию (с) предложения 3.2
(т. е. С — полный префиксный код). Однако А*ачп+i О С* = 0,
т. е. С не является полным суффиксным кодом, а значит, не
будет и максимальным. Кодирование алфавита А в X = {х, у}
с помощью равенств ф(а])==г/ и ф(а;) = ху'~2х для /^2 дает
пример кода <р(С) с такими же свойствами над двухбуквенным
алфавитом.
Полный префиксный код С над А представляется деревом,
в котором каждая вершина, за исключением висячих, покрывает
точно card А вершин. Важно отметить, что в этом случае любое
слово w e А* имеет не более одного левого делителя в С ').
Определение 3.4. Говорят, что код С над алфавитом А раз-
разлагается над кодом D, если С содержится в подмоноиде D* из
А*, порожденном D. Код С называется неразложимым, если он
разложим только над А и самим собой, т. е. CsD* влечет
/>= С или D = A.
Примеры, (а) Код С = {a, aba, baba, b3a, b2} разлагается
над D = {а, Ьа, Ь2}. Взяв алфавит У ===== {х, у, г), находящийся
с D во взаимно однозначном соответствии at—>x, bat—>y,
b2t—>z, мы видим, что С находится во взаимно однозначном со-
соответствии с кодом В = {х, ху, у2, zy, z) над У.
') Последним свойством обладает любой префиксный код. — Прим. перев.
148 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
(Ь) Если С = А" разлагается над D, возьмем слово »eD
минимальной длины l(w)—m. Так как wn = uiu2 ■■■ ит, где
все Ui^An^D*, получаем ui = wk, где km —п. Для любого
ге/!" слова w2k~lz и гыJк~1 лежат в Л2"£ D*. Тогда гей*
согласно предложению 2.2, а в силу выбора т имеем гей. Сле-
Следовательно, А'п s Z) и, в силу максимальности кода Лт имеем
Лт = D. Таким образом, Ап разлагается над D тогда и только
тогда, когда D = Ат для некоторого делителя m числа п; для
любого простого р код А" неразложим.
Пусть В и D — коды над алфавитами У и Л соответственно,
и пусть существует биекция ср: D-+-Y. Однозначно определяется
изоморфизм ф-. />*->- У*, продолжающий ф. Обозначим посред-
посредством В <8> D код, который определяется равенством В ® D =
ф ф
= {шей*:ф(»)еВ}и называется композитом кода В над ко-
кодом D относительно ф. Операция ®, называемая композицией
кодов, состоит в переписывании кода В над алфавитом У в виде
кода над А с использованием кодирования ф алфавита У сло-
словами из D. Ясно, что код С разлагается над D в смысле опре-
определения 3.4 тогда и только тогда, когда С = В ® D для неко-
ф
торого кода В над алфавитом, равномощным коду D. Для ком-
композиции кодов имеет место ассоциативность в следующем
смысле:
(С, <g> СЛ ® С3 = С, ® (С2 ® СЛ,
и для набора кодов С], С2, ..., Cs мы обозначим посредством
Cj®C2® ... ®С„ код [((С,®С2)®С3)® ...] ®С„ над алфа-
алфавитом кода С„. Если С = Cj ® С2 ® ... ® Сп, то мы называем
С композитом кодов С\, С2, . ■ ■, Сп-
Предложение 3.5. Любой конечный максимальный (соответ-
(соответственно полный префиксный) код является композитом конеч-
конечного числа неразложимых конечных максимальных (соответ-
(соответственно полных префиксных) кодов.
Доказательство. Пусть С — конечный максимальный код над
алфавитом A, a D — такой код над А, что Сей*, причем ВфС,
йфА. Множество D'={w(=D: D*wD*(]C^0} непусто
(CczD*), конечно, так как l(w)^max{l(c): с е С} для всех
w sD', и является кодом, так как D' £ D. Далее, любое слово
с е С можно записать в виде с = did2 ... dn, где все di e D'\
поэтому С* Е (£>')*• Если существует такое и ф D', что D' U {«} —
код, то С U {и}—тоже код, что противоречит максимальности
С. Следовательно, D' максимален и D' = D. Это показывает,
что если С разлагается над D, то D необходимо является ко-
конечным максимальным кодом. Если С — В ® D, то, очевидно,
4. Введение в проблему равенства слов 149
В — конечный максимальный код над алфавитом Y, равномощ-
ным коду D. Мы уже доказали, что для любого defl сущест-
существуют такие х, у е D*, что xdy e С. Отсюда и из неравенства
ВФС вытекает, что EdeD/(<*)< Е£еС;(с)> а из D =И= Л выте-
вытекает, что Ег)е=вН*)< ZC(=c^(c)- Следовательно, индуктивное,
по числу Zeec^(c)' рассуждение дает желаемый результат. До-
Доказательство для полных префиксных кодов аналогично, и мы
его опустим. □
Замечание. Произведение двух кодов кодом, вообще говоря,
не будет. Пример: множество С = С\-С%, где С\ = {а, Ьа),
С2= {a, ab}, не является кодом. Однако произведение двух
префиксных кодов — снова префиксный код (см. упр. 7).
4. Введение в проблему равенства
слов. Рекурсия, алгоритмы,
порождение языков
Напомним, что для свободного моноида А* и подмножества
R из декартова произведения А*У(А* существует наименьшая
содержащая R конгруэнция р на А*, которая определяется усло-
условием: upv тогда и только тогда, когда существуют слова
м0, ui, ..., ы„ е Л*, такие, что « = ы0, ul = riwisi, ui+1 = rtw'isl,
(wt, w't)^R U R~l U e для i=0, 1, ..., n— 1, и un = v. Мы
говорим, что фактормоноид М = А*/р задан копредставлением
<Л; {и = v для всех (и, у)е/?}> или <Л; R} (см. гл. 1, § 4) и
называем канонический гомоморфизм фй: А*-*-А*/р задающим
гомоморфизмом (presentation homomorphism). В нашем сле-
следующем определении слово «алгоритм» используется в интуи-
интуитивном смысле, но в дальнейшем мы намерены определить его
более формально.
Определение 4.0. Пусть М — моноид, заданный копредставле-
копредставлением {A; R}, а фЯ: А*-+М — задающий гомоморфизм. Проблема
равенства слов (word problemI) для М заключается в следую-
следующем вопросе: существует ли алгоритм, проверяющий равенство
() () для всех слов w\, w^A*}
Эта проблема была впервые поставлена Туэ [1914] и решена
в общем случае отрицательно А. А. Марковым [1947а, Ь] и
Постом [1947]. На основе этого позднее было показано, что
проблема равенства слов для групп также имеет отрицательный
') Иногда говорят просто «проблема равенства». Употреблялись также
термины «проблема тождества слов» и «проблема тождества». — Прим. ред.
150 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
ответ1) (см., например, Ротман [1973]; обстоятельную библио-
библиографию о проблеме равенства слов для групп читатель может
найти также в обзоре Буна [1959]2)). Решение проблемы ра-
равенства прямо связано с точным определением понятия алго-
алгоритма, которое в свою очередь исходит из различных матема-
математических формализации:
(a) понятия (частично) рекурсивной функции, принадлежа-
принадлежащего Клини [1936, 1943];
(b) понятия машины Тьюринга (Тьюринг [1937], Пост [1936,
1947]);
(c) понятия нормального алгорифма, принадлежащего Мар-
Маркову [1954]3).
Общей особенностью теорий, связанных с понятиями (Ь) и
(с), является то, что обе они имеют дело с распознаванием не-
некоторых подмножеств свободных моноидов (т. е. языков), в то
время как понятие рекурсивной функции нацелено на распозна-
распознавание подмножеств, называемых рекурсивными, множества №
неотрицательных целых чисел. Использование биекции №->-Л*
множества целых чисел на свободный моноид над конечным
алфавитом А обеспечивает естественный способ введения поня-
понятия рекурсивного языка. Замечателен факт сводимости друг к
другу всех трех теорий: рекурсивные языки, языки, «вычисли-
«вычислимые» машинами Тьюринга, и языки, «вычислимые» марковскими
') Этот теоретико-групповой факт, принадлежащий к числу наиболее фун-
фундаментальных результатов по алгоритмическим проблемам, полученных в два-
двадцатом столетии, был установлен впервые П. С. Новиковым [1952*] (полное
изложение — в [1955], на эту работу ссылается и автор ниже в § 6; см. также
[1979*]). Первоначальные доказательства опирались на соответствующие тео-
теоретико-полугрупповые результаты. Впоследствии были найдены чисто теоре-
теоретико-групповые (и более простые) доказательства. Заметим, что существова-
существование конечно определенных групп с неразрешимой проблемой равенства слов
может быть выведено из доказанной позднее замечательной теоремы Хигм.ана
[1961] о вложении; подобные доказательства см., например, в книгах Шен-
филда [1967*, приложение 1], Линдона и Шуппа [1977*, гл. 4], Ю. И. Манина
[1980*, гл. в]. —Прим. ред.
2) Из источников на русском языке, где обозревается материал, относя-
относящийся к проблеме равенства слов для групп, укажем, прежде всего, обстоя-
обстоятельный обзор В. Н. Ремесленникова и В. А. Романькова [1983*] с подробной
библиографией. См. также разд. 6.1 книги Магнуса, Карраса н Солитэра
[1966] и источники, указанные в предыдущем примечании. Проблема равенства
слов для полугрупп и групп рассматривается (наряду с некоторыми другими
алгоритмическими проблемами) в книге под ред. Барвайса [1977*, ч. 3, гл. 2],
в обзорной статье С. И. Адяна и Г. С. Маканина [1984*]. Проблема равенства
слов для полугрупп входит в число алгоритмических проблем, рассматривае-
рассматриваемых в книгах А. А. Маркова [1954, гл. 6], А. А. Маркова и Н. М. Нагор-
Нагорного [1984*, гл. 8] и в обзоре Ю. В. Матиясевича [1984*]. Связи проблемы
равенства слов для произвольных универсальных алгебр с целым рядом дру-
других свойств алгебр обсуждаются в обзоре Эванса [1978*]. — Прим. ред.
3) Это понятие впервые введено в работе А. А. Маркова [1951с*]. Мы сле-
следуем традиции использовать слово «алгорифм» при рассмотрении нормаль-
нормальных алгоритмов. — Прим. ред.
4. Введение в проблему равенства слов 151
нормальными алгорифмами, образуют один и тот же класс.
В этом параграфе мы введем основные понятия упомянутых
выше теорий и неформально (т. е. без полных доказательств)
изложим результаты, необходимые для понимания неразреши-
неразрешимости проблемы равенства. Дальнейшие детали можно найти в
различных учебниках логики1). Наш набросок (который более
или менее следует книге А. И. Мальцева 11965]), конечно, не
является кратчайшим путем к доказательству неразрешимости
проблемы равенства, но зато он одновременно вводит ряд стан-
стандартных систем для порождения классов языков. Простейшие
из этих систем (конечные автоматы, контекстно-свободные грам-
грамматики) будут детально изучены в следующих главах.
4.1. Частично рекурсивные функции
Чтобы определить понятие частично рекурсивной функции
/: № X № X • • • Х№->№, мы введем три оператора на ча-
частичных функциях нескольких переменных из № со значе-
значениями в №•
(a) Пусть g— частичная функция п переменных (n>0), a
Ль h% ..., hn — частичные функции одного и того же числа,
скажем пг, переменных. Определим оператор композиции Сп+1
как отображение, которое п + 1 функциям g, hu h2, ..., hn ста-
ставит в соответствие функцию / = Сп+1(£> hi, ..., hn), определяе-
определяемую равенством
f(xu хг, ..., *m)=»g(fti(xi, *2, ••-, xm), ..., hn(xu х2, ..., xm)).
(b) Пусть g — частичная функция m переменных (m^O),
a h — частичная функция m + 2 переменных. Определим опера-
оператор примитивной рекурсии R как отображение, которое паре
g, h ставит в соответствие функцию f = R(g, h) от m ~j- 1 пере-
переменных, определяемую индуктивно формулами
/(*, х2, ..., xm, 0) = g(xu х2, .... хт),
f(*i, *2. •• •. хт, у + 1) = h (хи х2, ..., хт, у, f (*,, х2 хт, у)).
') На русском языке литература, в которой излагаются основы обсуждае-
обсуждаемых здесь теорий, достаточно богата и включает монографии и учебники раз-
разной направленности и разного уровня изложения. Кроме монографии
А. И. Мальцева [1965] и основополагающей работы А. А. Маркова [1954], ис-
использованных автором, укажем, например, книги В. А. Успенского [I960*],
Мендельсона [1963*], Роджерса [1967*1 Барвайса (ред.) [1977*], Ю. Л. Ер-
Ершова и Е. А. Палютина [1979*], С. Я. Яблонского [1979*], Ю. И. Манина
[1980*], Катленда [1980*], А. Н. Колмогорова и А. Г. Драгалина [1984*],
А. А. Маркова и Н. М. Нагорного [1984*]. Этот список стоит дополнить при-
примечательным в целом сборником под ред. А. П. Ершова и Кнута [1982*],
среди статей которого—фундаментальный трактат В. А. Успенского и А. Л. Се-
Семенова «Теория алгоритмов: ее основные открытия и приложения», содержа-
содержащий обзор основных концепций, связанных с общим понятием алгоритма, и
интересный исторический очерк Клини «Об истоках теории рекурсивных функ-
функции», принадлежащий перу одного из создателей всей этой области — Прим,
152 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
(с) Пусть g— частичная функция т переменных (т>0).
Определим оператор минимизации М как отображение, которое
функции g ставит в соответствие функцию f~M(g) от m пере-
переменных, определяемую равенством
f(Xu Х2, ..., Xm)=Ht,(g(xU Х2, ..., Хт-\, у) = Хт),
где правая часть обозначает наименьшее решение уравнения
g(xu л'2, ..., хт_ь у) = хт относительно у (т. е. Hy(g'(xu х2, ...
..., xm-i, у) = хт) — а тогда и только тогда, когда g(xu х2, ...
..., Хт-и Ь) определено для всех Ъ, Os^.b^a, g(x\, х2, ...
. . . , Хт-\, Ъ)фХт ДЛЯ Ъ < а И g {Х\, Х2, ..., Jtm-l, п) = Хт) ■
Определение 4.1. Частичная функция /: N°XN°X •■•№->
->-№ называется частично рекурсивной функцией, если она
может быть получена из базисных функций s: NP-^N1, z: №->
->№ и projJJ,: (N°)n->№, определяемых равенствами s(x) =
= x+l, z(x) — 0 и proj£(xp x2 xn) = xm, l<m<«, ко-
конечным числом применений операторов композиции Cl+l
(i = 1, 2, ...), оператора примитивной рекурсии R и оператора
минимизации М. (Если / получается из базисных функций ко-
конечным числом применений операторов С+1 и R, то / называется
примитивно рекурсивной.)
Пример 4.2. Функции s(xu х2) = хх-\-х2, р(хи х2) = Х\Х2,
0, если д: = 0,
1, если д;>0,
примитивно рекурсивны. Функция d(x\, х2) = х2 — хи не опре-
определенная при хг<.Хи частично рекурсивна, так как л:2 — Х\ =
= Hy(s(xi, у) = х2).
Определение 4.3. Подмножество А из № называется рекур-
рекурсивным, если его характеристическая функция частично рекур-
рекурсивна.
Из приведенных выше примеров легко следует, что семейство
рекурсивных множеств натуральных чисел замкнуто относи-
относительно дополнений, конечных объединений и конечных пересе-
пересечений (например, если xi и %з — характеристические функции
множеств А\ и А2, то функция %(х) = tf(xiM + %2(*)) будет
характеристической для Л^^)-
Определение 4.4. Подмножество А из № называется рекур-
рекурсивно перечислимым, если А совпадает с образом некоторой
частично рекурсивной функции.
Семейство рекурсивно перечислимых подмножеств из №
замкнуто относительно конечных объединений и пересечений.
4. Введение в проблему равенства слов 163
но не замкнуто относительно дополнений. (Если А и А' = №\-4
одновременно рекурсивно перечислимы, то оба множества А и
А' рекурсивны, тогда как ниже мы увидим, что в № существует
нерекурсивное рекурсивно перечислимое подмножество.)
Пусть 2 — некоторое семейство частично рекурсивных функ-
функций п переменных. Частичная функция F(xQ, x\, ..., хп) от
д+1 переменных называется универсальной для 2, если
F(i, x\, ..., х„)е2 при любом is№ и для любой [еЕ су-
существует такое число / е №, что f(x\, д:2, ..., х„) = F(i, хи х2,...
..., хп).
Теорема 4.5. Семейство всех частично рекурсивных функций
п переменных допускает универсальную функцию F{xq, x\, ...
..., хп), которая будет частично рекурсивной.
Для доказательства этой теоремы строится универсальная
функция для семейства всех примитивно рекурсивных функций
п+ 1 переменных, и любая частично рекурсивная функция п
переменных выражается с помощью оператора минимизации
через примитивно рекурсивную функцию /г+ 1 переменных
(см. А. И. Мальцев [1965, разд. 6.2, теоремы 1 и 2]). Подчерк-
Подчеркнем, что универсальная функция F, существование которой
утверждается теоремой 4.5, не может быть продолжена до
всюду определенной частично рекурсивной функции1). Это вы-
вытекает из следующего результата.
Предложение 4.6. Пусть F(xo, X\, ..., хп) — частично рекур-
рекурсивная функция, универсальная для семейства всех частично ре-
рекурсивных функций п переменных. Определим функцию О фор-
формулой
( I, еелир{х,х х) = 0,
^"ЧО, если F(x, х, .... *)>0.
Тогда О частично рекурсивна и не существует никакой частично
рекурсивной функции Н, определенной для всех х е №, которая
совпадала бы с G на ее области определения.
Доказательство. Проверку частичной рекурсивности G оста-
оставим читателю в качестве упражнения. Допустим, что функция
Н с указанными свойствами существует. Функция ^(д:,, дг2, ...
• • • > л:п)=С2 (Я, proj7) (x{,X2, .... *„)=# (^частично рекурсивна.
По определению F существует номер i e №, для которого
^('. хи *2> ••-, л:п)=/С(д:1, х2, ..., хп) = Н(хх) при любых
хи х%, ■-., хп е №. В частности, F(i, i, ..., i)=H{i). Отсюда
следует, что G(/)== 1, когда Н@ = 0, и G@ = 0, когда H(i)>0\
это противоречит тому, что Н продолжает G. О
') Всюду определенную частично рекурсивную функцию обычно называют
общерекурсивной. — Прим. ред.
164 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
Следствие 4.7. Если F(x0, х\, ..., хп)—частично рекурсивная
функция, универсальная для семейства всех частично рекурсив-
рекурсивных функций п переменных, то F не может быть продолжена до
всюду определенной частично рекурсивной функции.
Доказательство. Если F продолжается до. всюду определен-
определенной функции К, то функция
( 1, если К(х, х, ..., лг)"=О,
Н{Х'~\0, если tf(*>* лг) > О
частично рекурсивна, определена для всех х е № и продолжает
функцию О из предложения 4.6. Это невозможно. □
Следствие 4.8. Существует нерекурсивное рекурсивно пвре-
числимое множество.
Доказательство. Пусть F(xo, х\) — частично рекурсивная
функция, универсальная для семейства всех частично рекурсив-
рекурсивных функций одной переменной (теорема 4.5), и пусть
1, если F (х, х) = 0,
0, если F(x, *)>0.
Множество 5 = {х е №: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо
(см. следующий абзац). Допустим, что 5 рекурсивно. Тогда ха-
характеристическая функция х множества, дополнительного к S,
определяемая равенством
0, если jceS,
1, если хфБ,
частично рекурсивна, всюду определена и продолжает G. Это
противоречит предложению 4.6.
Чтобы доказать рекурсивную перечислимость множества S,
покажем, что вообще для любой частично рекурсивной функции
G множество 5 = {хе№: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо.
Случай 5 = 0 тривиален; будем считать 5 непустым. Рассмот-
Рассмотрим вместе с функцией о из примера 4.2 функцию д = 1 — аи
определим /, положив f(x) = xd(G(x))-\-s0o(G(x)), где s0 —
фиксированный элемент из S. Функция / частично рекурсивна
и легко проверяется, что S = Im f, т. е. 5 рекурсивно пере-
перечислимо. П
Перейдем теперь к определению рекурсивных и рекурсивно
перечислимых языков над конечным алфавитом А = {аь аг, ...
..., ап}. Введем лексикографическую функцию Я: Л*->-№,
взяв А,A) = 0, а для непустого слова w = alkaik_x ... at по-
положив %(w)= iknk + ik-\nk~l + ... -f- i[ti + to. Эта функция
определяет биекцию Л* на N°. Язык £еЛ* называется рекур-
4. Введение в проблему равенства слов 155
сивным (соответственно рекурсивно перечислимым), если под-
подмножество X(L) из № рекурсивно (соответственно рекурсивно
перечислимо). Отображение Я продолжается на множество всех
частичных функций_ F: А*Х.А*Х ••• ХЛ*->-Л_* следующим
образом: определим k(F) как числовую функцию K(F) (x\, х%, ...
., хп) = № (к-1 (xi), Я-'(х2), ..., АН (*„))• Частичная словар-
словарная функция F называется тогда частично рекурсивной (соот-
(соответственно примитивно рекурсивной), если К (F) частично ре-
рекурсивна (соответственно примитивно рекурсивна). Можно по-
показать, что частично рекурсивные словарные функции могут
быть получены из базисных словарных функций с помощью ко-
конечного числа применений операторов, которые определяются
на словарных функциях аналогично операторам из определе-
определения 4.1. Они совпадают с частичными словарными функциями,
вычислимыми машинами Тьюринга.
4.2. Машины Тьюринга
Определение 4.9. Машина Тьюринга &~ еоть четверка (Q, А,
Ь, л), где
(a) Q — конечное множество1), называемое множеством со-
состояний машины 3~\
(b) А — конечное, не пересекающееся с Q множество, назы-
называемое алфавитом Ф~, а Ь — выделенный элемент из А, назы-
называемый пустым символом;
(c) л —функция из QXA в (QU {s})X(A\J {г, /}), где сим-
символы s, г, I не входят в Q U А и называются соответственно
сгоп-символом и символами правого и левого переносов. Функ-
Функция л называется программой машины 0~ и задается равен-
равенствами л(<7, a) = (q', af), записываемыми в виде qa-^q'a' для
всех q e Q, а е А.
Эта абстрактная машина предназначена для формализации
понятия машины, которая обозревает слова из А*, начиная сле-
слева, и действует шаг за шагом согласно своей программе. На
данном шаге конфигурация машины может быть описана сло-
словом w из С<4 U Q U {s})*, содержащим единственное вхождение
буквы из QU{s}, которое не является правым делителем для
w\ таким образом, слово
D.9.1) w = ahak ... а,к_хЯ1а,ка,к+х ... а,к+1,
где ft e= Q U {«}, *>1, />0
') И это, и следующее множества, разумеется, непусты. Заметим, что
автор часто опускает упоминание о непустоте тех или иных множеств, и до
сих пор мы старались корректировать текст в каждом таком случае. Впредь
в подобных ситуациях мы будем больше полагаться на здравый смысл и опыт
читателя. — Прим. перев. и ред.
166 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
будет интерпретироваться как «£Г находится в состоянии qit обо-
обозревая букву а;к в слове ЩхЩг • • • Я/А_,а/А • • • aik+l е^*».
Слово до называется мгновенным описанием машины ЯГ, если
qt ф s, и заключительеым описанием ST, если qi = s. Для дан-
данного мгновенного описания D.9.1) определим 0*'(w) следующим
образом:
если qla,k->qmap,
если qialk->qmr, (')
/*+, • • • a!k+i>
если q,a,k->qmt. (")
В случае (*) обособляется подслучай: 0~ (а^а^ ... aik_xq{ai^=
— ajiaj2 ... a/ft_1a/fc^m&; мы говорим тогда, что Т присоединяет
пустой символ справа.
Аналогично, в случае (**) имеем: ЯГ' (^q{a/lai2 •••«/)==
— qmbaj]ai2 ... a/i+i; мы говорим, что Т присоединяет пустой
символ слева.
Если дано заключительное описание w вида D.9.1), то обо-
обозначим через x(w) слово, полученное из w стиранием всех
вхождений пустого символа Ъ и вхождения стоп-символа s. На-
Наконец, если слово »ie(A{i»})' таково, что wo — qbm, W\ =
= °T(wQ), ..., wk=!T(wk-i) и wk — заключительное описание
машины Т, то мы пишем ЯГ*Ц (т) = т (доА).
Мы скажем, что ЯГ (с начальным состоянием q) вычисляет
слово ЯГ" (т), отправляясь от т. Это определение вычисления
можно распространить на последовательности слов щ\, т% ...
.., т„е(Л\{6})*. Определим^"* (т{, т2, ... тп) следующим
образом: существуют слова доо, Доь ..., Wk&{A[j Q\j {s})*, та-
такие, что Wo = qbm\bm,4 ... bmn, o>i = &~(wo), ■■-, Wk=ZT{Wk-\),
Wk — заключительное описание машины &~ и ЯГ [mv т2, ...
.... mr) = x{wk).
Определение 4.10. Пусть Лх = Л\ {6}. Частичная словарная
функция /: А\ X • • • X А\->А] от п переменных называется
вычислимой по Тьюрингу, если существует машина Тьюринга
9~ — (Q,A, b, л) и такое состояние ge Q, что/ (tnv m2, ...,mn)=
== 9~\ (mv т2 тп) для всех tnv т2 тп & Л*.
4. Введение в проблему равенства слов 157
Теорема 4.11. Класс всех частичных словарных функций, вы-
вычислимых по Тьюрингу, совпадает с классом всех частично ре-
рекурсивных словарных функций.
Машина Тьюринга может реализовать данную частично ре-
рекурсивную функцию даже при наложении дополнительных
ограничений на указанное выше заключительное описание wk'-
если дана последовательность слов т,, т2, .. ., иле^, то мы
говорим, что машина Тьюринга 3~ строго вычисляет слово
т = 5г*(т1, ш2, • ■ • , т„), если существует такая последова-
последовательность w0, wi, ..., wk (=(A UQU {s})*, что
... bmn, wl =
где
wk = sbtnb1, me^j,
и 0~ никогда не присоединяет пустой символ слева. Следующее
предложение воспроизводит в уточненной форме одну имплика-
импликацию из теоремы 4.11.
Предложение 4.12. Пусть f — частично рекурсивная словар-
словарная функция п переменных над алфавитом Ах = {а\, п2, ..., а*}.
Существует машина Тьюринга &~ — {Q, А, а0, л) с алфавитом
А = {ao}lMi и таким состоянием q^Q, что 3~ строго вычис-
вычисляет слово m = 3~*q(mv m2, ..., тп) тогда и только тогда,
когда f{m\, mi mn) определено и m = f{mi, m2, ..., mn).
Применяя предложение 4.12 к алфавиту А\ = {а}, сводя-
сводящемуся к одной букве, мы получаем следующий частный случай:
Следствие 4.13. Пусть дана частично рекурсивная функция
f: № X № X • ■ • X № -> №. Тогда существует машина Тьюринга
Sr = (Q, А, Ь, п) с алфавитом Л= {а, Ь} и таким состоянием
q^Q, что 3~, начиная вычисление при описании wo = qbax'baX2 ...
... bax" и работая без присоединения пустого символа слева,
тогда и только тогда заканчивает вычисление при описании
Wk — sbaxbb ... b, когда f{x\, хц, ..., хп) определено и
f{xi, х2 х„) = х.
4.3. Нормальные алгорифмы Маркова
Пусть даны алфавит А и два символа ->-, •, не входящие в А.
(Нормальным) алгорифмом в алфавите А называется конечный
линейно упорядоченный список St формул подстановок следую-
следующих двух типов: (а) ы->и, (Ь) и-*- -v(u, v e А*).
Взяв произвольное слово »еЛ', определим действие алго-
алгорифма 91 за один шаг,
158 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
Случай 1. Никакая левая часть формул подстановок не яв-
является делителем для w. В этом случае мы скажем, что слово
до не поддается алгорифму 91.
Случай 2. Левая часть хотя бы одной формулы подстановки
является делителем для до. Тогда мы возьмем первую из таких
формул подстановок в списке и заменим первое вхождение в до
ее левой части на правую часть, ставя точку • перед результа-
результатом до' в случае формулы типа (Ь). Применив подстановку типа
(а), мы пишем w \- до' и говорим, что 91 просто переводит до в
w', a применив подстановку типа (Ь), пишем w \- -до' и говорим,
что 91 заключительно переводит до в до'.
Будем писать 91 (до) = до' тогда и только тогда, когда либо
слово w не поддается алгорифму §1 и до' = до, либо существуют
слова До1, до2, ..., Доя, такие, что w\ = до, wn — w', алгорифм 31
просто переводит до,- в до<+1 для /=1,2, ..., п — Ч и wn~\\~-wn.
Алгорифм в алфавите В а А называется алгорифмом над А.
Определение 4.14. Частичная словарная функция f: Л*Х
Х^*Х •■• У(А*-*-А* над алфавитом А называется нормально
вычислимой, если существует алгорифм 91 над алфавитом
A U {Ь}, Ьф.А, такой, что %(bw\bwi ... bwn) = до тогда и только
тогда, когда Ддо], w2, ■■■, wn) определено и f(wu w% wn) =
= до.
Понятие нормально вычислимой словарной функции прямо
связано с понятием разрешимой проблемы. Мы определим ма-
математическую проблему1) как отображение р: JJ,-e/ S< -*■ S из
декартова произведения множеств Si (ie/), называемых мно-
множествами посылок проблемы р, в множество решений 5. Гово-
Говорят, что проблема р алгоритмически разрешима или просто
разрешима, если: (а) существует транскрипция проблемы в тер-
терминах алфавита А, т. е. областям изменения переменных xi e 5/
и xeS взаимно однозначно отнесены подмножества свобод-
свободного моноида А*; (Ь) функция р транскрибирована в частичную
функцию f: Л*Х^*Х ••• X^*-*-^*; (с) транскрипция f функ-
функции р нормально вычислима. В практических ситуациях, чтобы
показать разрешимость проблемы р, транскрипцию p-*-f не
делают явно; обычно требуемый алгоритм дается непосредствен-
непосредственно в терминах элементов множеств S,- и S.
Нормально вычислимые словарные функции не образуют но-
новый класс. Имеется
Теорема 4.15 (В. К- Детловс [1953])'. Класс всех нормально
вычислимых частичных словарных функций совпадает с клас'
сом всех частично рекурсивных словарных функций.
*) Речь идет о так называемых массовых проблемах.—Прим. ред.
4. Введение в проблему равенства слов 159
13 самом деле, если словарная функция f частично рекур-
рекурсивна, то / вычислима по Тьюрингу в силу теоремы 4.11. По-
Поэтому существует машина Тьюринга £T = (Q, A, b, я) и такое
состояние ijeQ, что £7~* {bwfiw2 • • • bwn} = w тогда и только
тогда, когда f(w\, w2, ..., wn)=w: Заменив в программе п
машины 6Г команды qiaj-^-sak формулами qia.j-*- -а* и добавив
формулы l-yq в начале и й->-1 в конце1), мы получим алго-
алгорифм St в алфавите Л U Q (т. е. над А), такой, что
91 (bwlbw2 . ■. bwn) = 6Г* (bwxbw2 ... bwn) =
= f(wi, щ, ..., wn),
откуда следует нормальная вычислимость /. Доказательство
обратного утверждения до некоторой степени подобно доказа-
доказательству частичной рекурсивности вычислимых по Тьюрингу
функций.
Определение рекурсивного языка и теорема 4.15 показывают,
что язык L^A* рекурсивен тогда и только тогда, когда сущест-
существует алгорифм St над А, применимый к любому слову из Л*,
причем St(a»)= 1, если и только если »el. Аналогично, язык
L s Л* тогда и только тогда рекурсивно перечислим, когда он
порождается алгорифмом над А, реализующим частично рекур-
рекурсивную словарную функцию. Различие между рекурсивностью
и рекурсивной перечислимостью станет, быть может, яснее при
рассмотрении грамматического порождения языков.
4.4. Формальные грамматики
Определение 4.16. Формальная грамматика Г есть тройка
(V, А, я), где V — конечное множество букв, Л — подмножество
из V, а я—конечное подмножество декартова произведения
(У\Л) + Х V*. Множество V называется словарем грамматики
Г, множество Л называется ее терминальным алфавитом. Эле-
Элементы из я называются правилами2) Г, и мы пишем u->-v, если
(и, и)ея.
Слово ш' е V* непосредственно выводимо из слова w в
грамматике Т = (V, А, п) (обозначение: w->w'), если w—xuy,
w' = xvy для некоторых х, у е V* и u-*-v есть правило из я,
Мы говорим, что ш' выводимо из w в Г и пишем w=>w', если
г
либо w = w', либо существует последовательность да0, w\, ...
') Необходимые для полного списка формулы подстановок, отвечающие
командам с символами г, I, и их место в списке читатель легко найдет сам.—
Прим. перев.
2) В оригинале «productions»; термин «продукции» также используетвя
в литературе (см., например, Бауэр, Гооз [1973/74*], В. М, Глушков,
Г. В, Цейтлин и Ё. Л. Ющенко [1978*]). —Прим. пврев.
160 Гл. 5. Свободные Моноиды, языки и коды
..., ш„еР, такая, что w = w0, wn — w' и wi+l непосредственно
выводимо из ш» для каждого /, 0^/^л—1. Для любого
сте V\A подмножество Ь(Г, о) из А* определяется равенством
L(T, с) = |шеЛ': o=s*wi и называется языком, порожденный
грамматикой Г, отправляясь от а. Язык L s А* называется язы-
языком типа О, если существуют грамматика Т = (V, А, п) и такая
буква о <= V\A, что L = L (Г, а).
Определение 4.16 — это крайняя формализация одного
аспекта традиционного грамматического анализа естественных
языков — грамматического разбора правильно построенных
предложений. Например, фраза «The little boy went to school»
есть правильное английское предложение, построенное по об-
образцу (подлежащее) (глагол) (дополнение). Грамматика Г,
продуцирующая это предложение, содержит правила
(предложение)->-(подлежащее) (глагол) (дополнение),
(подлежащее)->-(артикль) (прилагательное) (существитель-
(существительное),
(дополнение) ->• (предлог) (существительное),
(артикль)-уthe, (прилагательное)->-little,
(существительное)-»-boy, (существительное)-*-school,
(i\narcwi)-»-went, (предлог)-»-to.
Здесь множество А содержит элементы the, boy, went, little,
school, to. Элементы, записанные в скобках, лежат в V\A (на-
(называемом множеством вспомогательных символов).
Следующий результат указывает на высокую степень общ-
общности определения 4.16.
Теорема 4.17 (Дэйвис [1958], Хомский [1959]). Язык L?=A*
порождается некоторой формальной грамматикой T = (V, А, я),
если и только если он рекурсивно перечислим.
Отсюда явствует, таким образом, что если мы хотим изучать
языки, интересные для практических целей (таких, как лингви-
лингвистический анализ английской или французской грамматик или
исследование языков программирования), то мы должны ввести
дополнительные ограничения на правила из я. Следующие огра-
ограничения, как мы увидим, представляют некоторый интерес.
Определение 4.18. Формальная грамматика T = (V, А, я) на-
называется контекстно-зависимой1) (или типа 1), если любое пра-
') В оригинале «context-sensitive». Этот термин переводится также как
«контекстно-связанная», «контекстная». В русской литературе в том же
смысле принят термин «грамматика непосредственно составляющих (НС-грам-
иатика)» с английским прообразом «phrase-structure grammar». См. также тер-
терминологические комментарии в книге А. В. Гладкого и И. А. Мельчука [1969*,
приложение 2] и примечание редактора перевода на с. 194 книги Гросса И
Лантена [1967]. — Прим. ред.
8. Проблема равенства слов для моноидов 161
вило в я имеет вид uav^>-uxv, где <хе К\Л, X&.V+, и, на
еA/\Л)*. Грамматика Г называется контекстно-свободной (или
типа 2), если любое правило в я имеет вид а-+х, где ссе К\Д,
х е V*. Наконец, Г называется праволинейной (или рациональ-
рациональной, или типа 3), если любое правило имеет вид а-*-х$ или
а -*- у, где а, ре У\Л и х, г/ е Л*.
Если мы обозначим через i?/ класс языков, порожденных
грамматиками типа i, то ^S^sS'iBS'o1). Мы увидим,
что 3?з есть в точности класс языков, распознаваемых конеч-
конечными автоматами (см. гл. 6, предложение 2.4). В главе 9 мы
покажем, что первые два включения 9?% с 9?ч cz S\ строгие.
Строгость включения 9?х с 2?ъ вытекает из существования не-
нерекурсивного рекурсивно перечислимого множества (следствие
4.8) вместе со следующим утверждением.
Предложение 4.19. Язык, порожденный контвкстно-аавиоимой
грамматикой, рекурсивен.
Чтобы установить это, заметим, что если язык L контекстно
зависим, то L порождается формальной грамматикой Г ■
= (V, А, я) с правилами вида и-»-и, где l(u)^. l(v) (и обратно).
Ввиду данного свойства выводов — возрастания длины — для
любого шеУ* имеется лишь конечное число выводов без повто-
повторения слов. Поэтому можно последовательно строить множества
выводимых из а слов длины 1, 2, ..., п, ... . Отсюда вытекает
разрешимость свойства «w e L».
5. Проблема равенства слов
для моноидов и близкие вопросы
Опираясь на строгое понятие нормального алгорифма, дан-
данное в разд. 4.3, мы переформулируем определение 4.0. Именно,
скажем, что проблема равенства слов для моноида М, задан-
заданного копредставлением <Л; #>, разрешима, если существует
такой алгорифм 5t над алфавитом Ли!23}. чт0 Для всех пар
слов доь W2&A* равенство %{wx на ш2)= 1 выполняется тогда
и только тогда, когда фд(ш1) = фд(шг) в М, где фд: А*-*-М —
задающий гомоморфизм2). В противном случае проблема слов
называется неразрешимой. Допустим, что копредставление
<Л; /?> дает разрешимую проблему слов, решаемую алгориф-
алгорифмом 51. Тогда для любого w\ s Л* множество 5(a»i)= {w еЛ*:
St(a» £= a>i)= 1} является рекурсивным языком, так как 9( опре-
определяет (теорема 4.15) частично рекурсивную словарную функ-
') Среднее включение условно: оно означает, что в 9?\ содержатся все
языки типа 2, не содержащие пустого слова.— Прим. переп.
2) Кроме того, алгорифм Я должен быть применим к любому слову в ал-
алфавите A (J {«}. —Прим. первв.
0 3«к 474
162 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
дню, исходя из которой можно построить (с помощью лексико-
лексикографической функции X) частично рекурсивную характеристиче-
характеристическую функцию множества S(w\). Таким образом, чтобы указать
пример неразрешимой проблемы равенства, достаточно найти
копредставление {A; R} и слово W\ e А*, для которых множе-
множество {юе/1*: фд(о>) = xpR(wi)} нерекурсивно.
Пусть £7~ —(Q, А, Ь, я)— машина Тьюринга и v— символ, не
входящий в ^UQU{s}- Определим копредставление М(£Г) =
= (А(£Г); R{{T)y, называемое непредставлением, ассоциирован-
ассоциированным с машиной &', следующим образом: А{$~) = AU {v} UQU
U {s}, a R(&~) определяется условиями:
(a) если qai^-q'ai лежит в я, то (qat, q'at) e R(£Г);
(b) если qat-^-q'l лежит в я, то (aqalt q''aat) s R (£Г)
для любого ае/1;
(c) если qai-^-q'r лежит в я, то (qai, aiq')^R(T)\
(d) (bv,v)e=R(T).
Лемма 5.1. Пусть ^" = (Q, A, b, я) — машина Тьюринга и
М(&~)—(А(!7~); 7?FГ)> — копредставление, ассоциированное с
Т. Для любых q^Q, w, и'еД+ соотношение qwvsssw'v
тогда и только тогда выполняется в М(£Г), когда существуют
мгновенные описания w0, w\, ..., wk машины £Г, такие, что wo
совпадает с qw, Wt+i = ^'(Wi) для всех г = 0, 1, ..., k—1 и
0~(wk) — sw'bn для некоторого пе№, причем 0~ никогда не
присоединяет пустой символ слева.
Доказательство. Часть «тогда» этой леммы очевидна. В са-
самом деле, так как Т никогда не присоединяет пустой символ
слева, из wi+i = £T(wi) вытекает, что Wi+iv == wiv выполняется
в М(Т); отсюда следует qwv = sw'v. Для доказательства об-
обратного допустим, что qwv = sw'v выполняется в М(!7~). Тогда
существует последовательность слов wq, w\, ..., ^e^f)',
в которой wi+i непосредственно выводимо из да,- относительно
R(&~) при / = 0, 1, ..., k—l (см. гл. 1, § 4), wQ = qwv, wk =
— sw'v. Обозначая символом ->• отношение прямой выводимости
в М(?Г), получаем
E.1.1) qwv = wq-*~w\-*■ ... ->wk-\-*■ Wk =x sw'v,
где можно предположить, что Wi ф w/ при / Ф j. Выделим два
случая.
Случай 1. Соотношение (d) не используется в E.1.1). До-
Допустим, что существует непосредственный вывод в цепочке
E.1.1), замещающий правую компоненту некоторой пары из
R(&~) соответствующей левой компонентой, и пусть wi-*-Wi+\ —
последний из таких выводов. Тогда сФк—1, поскольку s не
содержится в левой компоненте никакой пары из R{&~). Пола-»
б. Проблема равенства слов для моноидов 163
гая Wt+i = xqayv и отмечая, что wi+\-*-Wi замещает левую ком-
компоненту правой, приходим лишь к одному возможному выбору
для вывода wi+i-*-Wi+2 (qa появляется только один раз в ка-
качестве левой компоненты). Это в точности обратный к выводу
Wi-^wt+i. Поэтому Wi = Wi+2, что противоречит нашему пред-
предположению о цепочке E.1.1). Таким образом, каждый вывод в
E.1.1) замещает некоторую левую компоненту соответствую-
соответствующей правой компонентой. Следовательно, E.1.1) фактически
совпадает с вычислением машины ST, откуда и вытекает тре-
требуемое.
Случай 2. Соотношение (d) используется в E.1.1). Тогда
E.1.1) можно заменить цепочкой
A) B) т, C)
E.1.2) qwv = w0 -*■ ...-*■ qwb v ->...-> sw'b v ->...—*■ sw'v,
где часть A) состоит из замещений v на bv, часть B) не исполь-
использует (d), а часть C) состоит из замещений bv на v. В самом
деле, можно легко проверить, что замещение v на bv и следую-
следующие за ним выводы типов (а), (Ь), (с) можно менять местами,
сдвигая тем самым указанные замещения к началу цепочки;
аналогично, можно менять местами выводы типов (а), (Ь), (с)
и следующие за ними замещения bv на v, сдвигая эти замеще-
замещения к концу цепочки E.1.1). Согласно случаю 1, часть B) в
E.1.2) совпадает с вычислением машины 0~. Поэтому 0~, начи-
начиная вычисление со слова qw (или, равносильно, со слова qwbm),
заканчивает его в конфигурации sw'b" для некого п е №. □
Теорема 5.2 (А. А. Марков [1947], Пост [1947]). Существует
конечное копредставление {A; R} моноида с неразрешимой
проблемой равенства слов.
Доказательство. Мы видели, что существует частично рекур-
рекурсивная функция G: №-»-№, для которой множество S =
= {j(e№: G(x) = 0} рекурсивно перечислимо, но не рекур-
рекурсивно (см. доказательство следствия 4.8). В силу следствия 4.13
существует машина Тьюринга ЗГ = (Q, А, Ь, я) с алфавитом
А = {а, Ь} и таким состоянием q e Q, что Т, начиная вычисле-
вычисление с описания Wo = qbax, заканчивает его при описании
sba°Mbn, не присоединяя при этом пустой символ слева. Рас-
Рассматривая копредставление М(Т)— <Л(£Г); #FГ)>, ассоцииро-
ассоциированное с <Г, мы получим, согласно лемме 5.1, что qbaxv s= sbv,
если и только если х е 5. Используя лексикографическую функ-
функцию К, определим <р: №-»-№, положив <р(х) = l(qbaxv) для
всех *е№. Так как А, —биекция, множество фE) не рекур-
рекурсивно, и то же самое справедливо для языка L = {qbaxv. xeS}.
Поскольку L = qb{а}*у П {w^A{Tf: w^sbv), а язык qb{a}*v.
очевидно, рекурсивен, множество {aieA(f)'; ш г sbv} не
6»
164 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
может быть рекурсивным, т. е. проблема слов для копредстав-
ления (А@~); R@r)) неразрешима. □
Замечание 5.3. Для данного копредставления могут со-
сосуществовать рекурсивные и нерекурсивные классы слов рас-
рассмотренного типа. Заметим, однако, что проблема эквивалент-
эквивалентности данному слову, скажем wo, в копредставлении моноэда
М = <Л; R} может быть сведена к проблеме эквивалентности
пустому слову 1 в другом копредставлении. Строится копред-
ставление моноида М с алфавитом А [} {а, р} (а, р^Л) и мно-
множеством определяющих соотношений R = R U {(ашор> 1)}. Те-
Теперь w 8=з wQ выполняется в М тогда и только тогда, когда
ашф sss 1 выполняется в Л. Трудная часть доказательства со-
состоит в установлении того, что выполнение сшф = 1 в М влечет
выполнение соотношения w ==з w0 в М (см. А. А. Марков [1954.]).
Так как мы не определяем явно частично рекурсивную функ-
функцию F(x0, x\, ..., х„), универсальную для класса всех частично
рекурсивных функций п переменных (см. теорему 4.5), доказан-
доказанная выше теорема 5.2 не дает в явном виде копредставления
с неразрешимой проблемой равенства. В 1947 г. А. А. Марков
привел пример копредставления с 13 образующими и 33 опре-
определяющими соотношениями, имеющего неразрешимую проблему
равенства. Доказательство состоит из последовательности пере-
переводов проблемы в различные комбинаторные системы, непо-
непосредственно связанные со свободными моноидами. Мы очер-
очертим здесь основные контуры доказательства, отсылая чита-
читателя за деталями к книге А. А. Маркова [1954] ').
5.1. Системы Поста
Чтобы определить систему Поста над алфавитом А, доста-
достаточно задать множество упорядоченных пар слов (ui, »,)еЛ*Х
ХЛ*, ie/, Непосредственный вывод определяется как щга-*-
->wvi, где до — произвольное слово из А*, а вывод есть либо
равенство, либо последовательность непосредственных выводов.
Например, две пары (а, Ь2а) и (b, aba) определяют систему
Поста над А ==« {а, Ь}. В этой системе слово (a2bJa можно вы-
вывести из а: а -*■ ЬЪа-^ baaba-*' aabaaba. Если вместе с каждым
выводом UiW-^wvi допускается также вывод ivvt-*-Uiw, то мы
приходим к понятию обратимой системы Поста. Обозначим си-
систему Поста над А через Р(А, R), где R — определяющее ее
множество пар 2).
') См. также книгу А. А. Маркова и Н. М. Нагорного [1984*].— Прим. ред.
2) Ниже в обратимой системе Поста пара непосредственных выводов
щи» -*■ wvi, wvt -*■ utw записывается в виде щш *-*■ wvt и называется соотно-
соотношением. Множество соотношений отождествляется с R. Вывод w -*■...-*■ w',
будучи в такой системе симметричным, записывается в виде w э а/. — Прим.
перев.
5. Проблема равенства слов для моноидов 165
Связь между обратимыми постовскими системами и копред-
ставлениями моноидов может быть установлена следующим об-
образом. Если дано копредставление М = (A; R}, определим
обратимую систему Поста Р(А [} {a}, R) над адфавитом A U {а}
(афА), взяв R состоящим из соотношений uw -*-*■ wv для всех
пар («, о)е/? и соотношений aw -<->- wa для всех a sA.
Предложение 5.1.1. Для любых w\, w%^A* соотношение
wi =з w2 выполняется в М = <Л; R) тогда и только тогда, когда
в обратимой системе Поста P(A\J {a}, R) имеется вывод w\<x за
В качестве следствия этого результата и замечания 5.3
можно вывести существование конечно заданной системы Поста
над алфавитом /4|J{a}, для которой неразрешима проблема
выводимости слов из а. Кодируя буквы из A U {а} в алфавите
{а, Ь} (посредством ам>а, att—*ab'a для любого aieiA,
/= 1, 2, ..... я), получаем
Следствие 5.1.2. Существует обратимая система Поста над
алфавитом {а, Ь} и с конечным числом соотношений, для кото-
которой проблема выводимости слов из а неразрешима.
5.2. Система Маркова
Рассмотрим систему <&о над алфавитом А = {а, Ь, с, d, e} и
с единственным обратимым непосредственным выводом
xducvdyeuw -с—&—» xducvdyewv
для любых и, v, w Q {а, Ь}* и любых х, у s {а, Ь, с, d}*. Основа-
Основанием для введения такой системы служат следующие соображе-
соображения. Пусть Р — обратимая система Поста над алфавитом
{а,Ь} и с соотношениями kiW ■<-*■ wU для / = 1, 2, .... s и дае
s {а,Ь}*. Тогда Р можно представить словом г(Р) в алфавите
{а,Ь, с, d}*:
r(P)=*dk\clidk2ct2 ... dksdsd.
Допустим, что мы хотим сравнить htw и wU. Делителям слова
г(Р) приписываем имена, как указано ниже:
II..H.II
и v
Тогда г (Р) ektw = x ducv dyeuw *-> х ducv dyewv =» г (Р) вш/j. Бо-
Более общо, мы имеем w\ s ш2 в Р, если и только если r{P)ew\ e=
= r(P\ew2 в "gPo. Таким образом, следствие S.1.2 влече!1 за собой
166 Гл. б. Свободные моноиды, языки и коды
Предложение 5.2.1. В системе Маркова 92q над А = {а, Ь, с,
d, е) неразрешима проблема равенства слов вида uew и иеа, где
дое{а, £}*, u = wldw[cw2dw'2c ... cwndw'ncwn+ld и wr to',e
е {a, Ь, d}\
Слово вида uew, где и и w указаны выше, будем называть
специальным словом.
5.3. Пример конечного копредставления
с неразрешимой проблемой равенства
Алфавитом служит А = {а, Ъ, с, d, e, f, g, h, a, Б, a, 6, пг}, и
задаются 33 соотношения. Перестановочность букв из {а, Ь, с, d}
и букв из {f, a, Б, а, 6} дает 20 соотношений. Вот остальные:
ей = йе, eb = be, еа = ае, eb = be, am = dm, bm = Ьпг,
haa = ah, hbb = bh, agu — ga, bgb = gb,
df = dh, fd = gd, he = eg.
Обозначим соответствующее копредставление символом W\.
Предложение 5.3. Пусть Z\ и z2 — специальные слова в алфа-
алфавите {а, Ь, с, d, е}. В моноиде, заданном копредставлением 92\, со-
соотношение fz\tn es fz2tn выполняется тогда и только тогда, когда
z\ = z2 в системе Маркова <&0. Следовательно, проблема равен-
равенства для копредставления Я!>\ неразрешима.
Следующее вычисление доказывает, что выполнение z\ == z2
в ffo влечет выполнение \zxm = fz2tn в Фх. Доказательство обрат-
обратной импликации значительно труднее.
_ . t—i i—i
fxducvdyeuwm = xdfucvdyeuwm — xdhucvdyeuwm
= xdhucvdyuewm = xdhuucvdyewm
= xduhcvdyewm — xducgvdyewm
= xducvgvdyewm - xducvgdyewvm
i—i i—i
= xducvgdyewvm = xducvfdyewvm »= fxducvdyewvm.
В этом вычислении подчеркнуты и выделены верхними скобками
пары слов, связанные выводом относительно определяющих со-
соотношений из ffx.
5.4. Постовские проблемы соответствия
Пусть дано конечное множество пар непустых слов (их, v\),
(«2, ^г),- ■ ■, (ш, vt) в алфавите А. Если существует набор индек-
индексов ix, i2, ■ ■■, in от 1 до t, такой, что«г,ыг2 • • • Щп = viivt2 ■ • ■ vtn>
§. Проблема равенства слов для моноидов 167
то мы-говорим, что данное множество пар содержит соответствие.
Проблема соответствия состоит в следующем: найти алгорифм 21
над алфавитом A (J {х, у}, х, уф А, применимый к любому слову
w = u\xv\yu2xv2y ... yutxvt для произвольного /eN и такой,
что 9{(ш)= 1 тогда и только тогда, когда множество пар (щ, V\),
(«2, v2), ..., (ut, vt) содержит соответствие. Если мы заменим
«для произвольного t& N» словами «для фиксированного / <= N»
в предыдущей фразе, то получим ограниченную проблему соот-
соответствия. Неразрешимость этой последней проблемы показы-
показывается следующим образом.
(a) Присоединяя к копредставлению 9!>\ соотношения
afeam = bfeam = cfeam = dfeam — feam, получаем копред-
ставление W2. Для любого и е {а, Ь, с, d}* в Ф'г выполняется
fueam зз feam, a для любого специального слова uew соотноше-
соотношение fuewm н= feam выполняется в 922 тогда и только тогда,
когда uew == uea в марковской системе <&0. Согласно предло-
предложению 5.2.1, проблема равенства слову feam в <ё>2 неразрешима.
(b) Применяя тот же метод, что и в предложении 5.1.1,
можно построить необратимую систему Поста Ф3 над алфавитом
A U {«} из 14 букв и с 88 соотношениями, обладающую свойст-
свойством: и н= v в ^2, если и только если на =£- va в Ws- Следова-
Следовательно, в ^з проблема выводимости слов из feama неразре-
неразрешима.
(c) Соотношения в ЧРз имеют вид UiW-*~wvi, и можно пока-
показать, что и =>■ v в ^з тогда и только тогда, когда существуют
neN и /i, /2, • ■ •, in < 88, такие, что ««/,«/2 ... Щп = уг]У;2 ...
...U; у. Поэтому неразрешима проблема распознавания слов
ие(/4[1 {«})*, таких, что
F.4.1) feamauitui2 ... uln = vixvh ... vlfv
для некоторых neN, /1, k, ■ ■ ■, in A ^ t* ^ 88).
(d) Для любого w = a,-^^ ... alk e (Л U {a})* определим слова
даРг^а^ра^р ... а/&р и Рда= Ра/дра/2 •.. paijfe. Пусть дг, = и?,
г/, = Рнг для каждого t, I <t <88, лг89 = рр, г/89= pp/pepapmpa,
л:9о==УрР и Уэо = РР- Тогда, если выполняется E.4.1), то легко
вывести равенство xmxi{xi2 ... х1пх^ = г/89yhyt2 ... ylnyK. Обрат-
Обратное (что гораздо труднее) тоже верно. Если множество пар
(*ь уО. (Х2, Уг), ■■-, (х9о, уэо), где лг9о = урР для некоторого
»е(Л[1 W)*, содержит соответствие, то выполняется E.4.1).
Из (с) теперь следует, что ограниченная проблема соответствия
над алфавитом A Q {а, р} при ^ = 90 неразрешима. Кодируя
А[] {а, р} двухбуквенным алфавитом (см. следствие 6.1.2), мы
получаем неразрешимость ограниченной проблемы соответствия
(а значит, и общей проблемы соответствия) над любым алфа-
алфавитом, содержащим более одной буквы.
168 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
Библиографические замечания
и дальнейшие результаты
Г. С. Цейтин [1958] показал, что копредставление
Т = (а, Ь, с, d, е; ас = ca, ad = da, be = cb, bd =» db, eca = ce, edb = de,
cca = ccae)
имеет неразрешимую проблему равенства (Скотт [1956] также привел пример
с семью определяющими соотношениями). Чтобы доказать это, Цейтин опре-
определяет два кодирования произвольного алфавита А = {а0, at am} в ал-
алфавите Д) = {а, Ь} посредством формул а1 = 6Ф '''а и аг = а6ф';), где <p(t) e
-> <-
е№, причем <р(/) ф ф(/), если i ^ /. Положив ш° — aw = wa для любого
и>еЛ*, отнесем любому копредставлению Р над Л копредставление Я0 над
Аа, определенное условием: р = q есть соотношение в Р" тогда и только тогда,
когда р = и0, q ■= v° и и = v есть соотношение в Р. Теперь рассмотрим на
алфавите Ai = {а, Ь, й, В, в} копредставления Г„(/г^0) с определяющими
соотношениями
gfj = fjg, ef £ = |e, й6"аа = abnaae для любых g, т) е Ло.
(Заметим, что То — это в точности копредставление Г.)
Произвольному копредставлению вида s4- = <Л; да, = 1, и>2 = 1, ...
..., ю* = 1) сопоставим копредставление 98= (A U {а}; а = 1, а)Га = 1,
w2a — 1, . , до«а ■= 1) и переведем ^ в 98", как указано выше, полагая а0 =
= аЬ"а и выбирая упомянутую ранее функцию <р так, чтобы <р(/) ф п прн
i' = 0, ..., т. Отображение, которое слову юеЛ* ставит в соответствие
w'1 e Аа, обладает тем свойством, что равенство и ^ v в st равносильно
равенству и ws v в М, а последнее в свою очередь равносильно равенству
ио _ vo в ^о_ Далее, взяв s= (a\aw-iaw2... awka)°, можно показать, что
для любых р, q е AQ равенство sp as Sq в Г„ равносильно равенству р s= q з
98° (§ получается из s заменой а на а, 6 на 5). Поэтому, беря в качестве S4-
любое копредставлеине с неразрешимой проблемой равенства (причем можно
брать групповые копредставления!), мы видим, что Тп имеет неразрешимую
проблему равенства. Прямое доказательство этого результата для копредстав-
копредставления Т вместе с результатами С. И. Адяна [1966], связывающими моноидные
копредставления S4- с групповыми копредставлениями, дает доказательство
неразрешимости проблемы равенства для групп.
Ю. В. Матиясевич [1967] начинает с копредставления Т, записанного в
виде
(X)
A6 соотношений Л; = В(), заменяет а, Ь, с, d, е буквами fa, ft, f10, f{1, fu и
определяет ¥(fn) = PPy"Pyi3~", где 1 < n < 12. Переводя (Ж) в алфавит
{Р, у) посредством W, получаем копредставление ЧГ(Л,) ■= 'V(Bi), 1 ^ / < 16.
Определяя pi, i (соответственно qi, /) как i'-ю букву слова W (А,) (соответ-
(соответственно ^(B/)), строим слова и и v длины соответственно 256 и 512:
л
и
h
fs
■=*ac,
= ca,
=*ce,
— efi,
и
ft
ft
fi
"ad,
= da.
«= de,
= e/4,
f»
/з
h
и
=°bc,
= cb,
= cft,
= f7e,
n
h
fr
h
= bd,
==я cfi
= fie
Uc=Pl,lPl,2 ••• Pi, 1бР2, 1^2,2 ■■• Pi, 16 ••• Pl6, lPl6, 2 ••• Pie, 16>
Библиографические замечания 169
и копредставление над {J3, у, е):
(%) ерр = ре, еру = Vе. 8VP = Р8> eYY "= Ye>
Имеем * = г/ в (.Xf), если и только если ^(xJyb4 = Ч^г/^е4 в (i?). Наконец,
используя отображение ф: (Р, Y. е}->-{а, а}*, определенное равенствами
Ф(Р) = ста, у (у) = а, ф(е) = аа, получаем из C?) копредставление
(JC) ааааа = ааа, аааа = ааа, ф (и) = ф (с),
причем х s г/ в (JSf), если и только если ф[ЧГ(л;)у84] н= ф[ЧГ((/)уе4] в (J?).
Так как Т имеет неразрешимую проблему равенства, то же выполняется и
для (Л).
Неразрешимость проблемы равенства для групп была доказна П. С. Но-
Новиковым [1955] и несколько позже Буном (см. Бун [1959]). Важные изменения,
упрощающие доказательство, были внесены Бриттоном [1963]. Доказатель-
Доказательство другого типа дал Хигмаи [1961]').
Относительно недавно были найдены алгебраические характеризации групп
с разрешимой проблемой равенства. Обзоры имеются у Буна [1973] и Саб-
бага [1974]2). Приведем такие характеризации.
(a) Конечно порожденная группа G имеет разрешимую проблему равен-
равенства тогда и только тогда, когда существует инъективный гомоморфизм <р/
Q->-S, где S — простая подгруппа конечно определенной группы (см. А В. Куз-
Кузнецов [1958], Бун и Хигман [1974]).
(b) Конечно порожденная группа О имеет разрешимую проблему равен-
равенства, если G можно вложить в алгебраически замкнутую группу S (S алгеб-
алгебраически замкнута, если любое уравнение с константами из S, которое раз-
разрешимо в некотором расширении группы S, имеет решение в S). См. Нейман
[1973], Мак-Кензи и Томпсои [1973].
Аналогичные характеризацин справедливы для полугрупп (в (а) нужно
заменить простоту на отсутствие нетривиальных конгруэнции).
Разрешимость проблемы равенства для моноидов с одним определяющим
соотношением остается открытым вопросом (см. С. И. Адян [1966], Ясу-
хара [1970], Лаллеман [1974b]3)). Как показано Магнусом [1932], группы
с одним определяющим соотношением имеют разрешимую проблему равен-
равенства.
Другой подход к копредставлениям (называемым также системами Туэ)
моноидов и полугрупп состоит в наложении тех или иных ограничений на вы-
выводы, касающихся длины слов. Например, копредставлеиие Т называется
копредставлением Чёрча — Россера, если равенство х = у в Т влечет сущест-
существование такого z, что х = z, у *= z n z может быть выведено из х и у заме-
заменами, укорачивающими длины слов. За дальнейшими результатами мы отсы-
отсылаем читателя к работам Коше и Нива [1971°], Коше [1976°], Бука [1982°],
Бука, Яицена и Рэтхолла [1982°].
') См. также источники, указанные в примечании 1 на с. 150. Из дости-
достижений самого последнего времени в этой области отметим результат
О. Г. Харлампович [1981*], которая построила конечно определенную груп-
группу с неразрешимой проблемой равенства слов, принадлежащую многообразию
трехступенно разрешимых групп. — Прим. ред.
2 См. также обзоры, упомянутые в примечании 2 на о. 160. — Прим.
ред.
3) Существенные продвижения в этом направлении за последние годы до-
достигнуты в работах С. И. Адяна [1976*], С. И. Адяна и Г. У. Оганесяна
[1978*], О. А. Саркисян [1981*], Г У. Оганесяна [1982*]. Более подробную
информацию об указанных работах см. в обзоре С. И. Адяна и Г. С. Ма>
канина [1984*J. — Прим. реф.
170 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
Упражнения
1. В свободном моноиде А* три слова и, v, до, где и Ф 1, тогда и только
тогда удовлетворяют равенству uw = wv, когда существуют х, у & А* и
k ^ 0, такие, что и = ху, v = ух, w= (xy)kx. (Использовать индукцию по
l(w) и равиоделимость; см. также гл. 11, § 5.)
2. (а) Если все Mi(isl)—слабо унитарные подмононды моноида У7, то
таков же подмоноид Oi^/Mt. Аналогично, пересечение сохраняет левую,
правую и двустороннюю унитарность.
(Ь) Пусть ср: F-*-F'— гомоморфизм моноидов. Если подмоиоид М' слабо
унитарен в F', то ф-'(ЛГ) слабо унитарен в F. То же самое справедливо для
любого другого условия унитарности. Если ср сюръективен и М — cp-'cp(Af),
то слабая (соответственно левая, правая) унитарность М в F влечет слабую
(соответственно левую, правую) унитарность cp(iW) в F'.
3. Подмоноид группы, удовлетворяющий одному из условий унитарности,
является подгруппой.
4. Пусть <р: A*-*-9>0~r(S)—представление свободного моноида А* ча-
частичными преобразованиями множества S. Стабилизатор элемента So e S, оп-
определяемый равенством Stab (so) = {даеЛ*: socp(o>) = So}, есть подмоноид,
порождаемый префиксным кодом. Если <р: A*-+$!(S) — представление бинар-
бинарными отношениями на S, причем ср(Л*)— моноид «однозначных» отношений
иа S (см. гл. 1, упр. 12), то подмоноид Stab (s0) = {w еЛ* : (so, So) s cp(a>)}
порождается кодом.
5. Пусть С — подмножество из А*. Определим отношение R иа А*, поло-
положив
R = {(и, !))е/1*Х А*: и ?= А*С, v ^ CA*, uv ^- 1 и uzu e С для некоторого
г е С*}.
Множество С тогда и только тогда является кодом, когда A, 1)^#', где
R' — транзитивное замыкание отношения R. В случае конечного С это дает
алгоритм (аналогичный алгоритму Сардинаса и Паттерсона) для решения
вопроса, будет ли С кодом (Боэ [19761).
6. (а) Пусть С — такой код в А*, что uC*v ("| С* Ф 0 влечет и, v <= С*.
Для любой конгруэнции р на С* через р обозначим наименьшую конгруэнцию
на А*, содержащую р. Тогда р совпадает с сужением на С* конгруэнции р и
существует вложение (т. е. инъективный Гомоморфизм) моноида С*/р в
(Ь) Код С = {ab'a; ieN) обладает свойством (а). Вывести отсюда, что
любой ие более чем счетный моноид можно вложить в моноид с двумя обра-
образующими (Эванс [1952]) ').
7. Множество всех префиксных кодов из А* образует свободный моноид
относительного обычного умножения множеств. Указание: определить длину
кода С как min {l(w); w eC) (Перрен [1970]).
8. Выяснить, будут ли кодами следующие подмножества из {а, 6}*. Среди
кодов указать префиксные, суффиксные и бипрефиксные. Если множество не
является кодом, то найти определяющие соотношения для порожденного им
моноида:
(а) {a«, ab, a?b, ab\ &}\
') Приведенное утверждение часто называют теоремой Эванса (см., на-
например, Клиффорд, Престон [1967, § 9.1], где приведено одно из доказательств
этой теоремы. Впрочем, оно фактически устанавливалось и ранее другими ав-
авторами, например М. Холлом [1949]; Иваник в работе [1978*] ссылается на
статью В. Серпинского 1935 г., где аналогичное утверждение доказано в тер-
терминах полугрупп преобразований. Имеются доказательства и позднейшего вре-
времени, принадлежащие разным авторам и основанные на разных подходах
(см., в частности, упр. 8 в гл. А). —Прим. ред.
Упражнения 171
(b) {а3, а2Ы, aW, ab, ba\ baba, bab2, b2a, 63};
(c) {а\ аЩ;
(d) {a, aba, abab, banb}\
(e) [a2, ab, a2b, b2a};
(f) {b, ab, ba2, aba2, a*};
(g) {ab, ba){a\ V}*-
9. Пусть D, X ^ A*— префиксные коды, причем D — полный. Допустим,
что множества С, C2sA* удовлетворяют условиям
X = Си XD<=C2 и С, \ X = С2 \ XD.
При этих условиях С, есть префиксный код, если и только если С2 — пре-
префиксный код, и они одновременно полны либо неполны (Сезари [1972b]).
10. (а) Уравнение ay = vP с тремя неизвестными а, E, у над А+ имеет
решение a = ху, E = ух, у = {ху)кх, где х, (/ — произвольные слова из А*, а
& ^ 0 (см упр. 1).
(b) Уравнение ар = (За с двумя неизвестными а, E над А+имеет решение
a = xm, Р = х", где слово д: произвольно, а /и, л ^ 0.
(c) Любое уравнение с двумя неизвестными а, |3 над А* имеет решение
a = хт, Р = х" для подходящих /и, я S& 0, где * — произвольное слово.
(d) Подмножество С = {и, v} из А* тогда и только тогда есть код, когда
и и v не являются степенями одного и того же слова (Блюм [1965b], Лантен,
Шютценберже [1969]; общую теорию уравнений см. в работах Лантена [1972]
и Ю. И._Хмелевского [1971] ')).
\ А* имеет ограниченную задержку слева направо,
если существует такое k ^ 0, что vj'wu sC, w' e С* и w e С* влечет
11. Говорят, что код С1.
wu s С*. Наименьшее целое k с таким свойством называется задержкой слева
направо кода С (интуитивно смысл состоит в декодировании сообщений при
чтении их слева направо; если в сообщении w'wu обнаруживается достаточное
число следующих подряд элементов из С, то w' и wu могут быть декодиро-
декодированы независимо, когда С имеет ограниченную задержку). Префиксные ко-
коды — это в точности те коды, задержка которых слева направо есть 0. Ис-
Исследовать задержки слева направо и справа налево для кодов из упр, 8. Мож-
Можно показать, что конечный код С имеет ограниченную задержку слева на-
направо, если С-последовательности A, uh иг, ..., и,), где щ ф 1 (т. е. после-
последовательности С-пар), имеют ограниченное число членов, т. е. существует та-
такое I, что r^i для всех возможных С-последовательностей A, U\, «2, ...
..., иг) (см. Спенер [1975]; другие алгоритмы —у Дж. Райли [1967]).
12. Пусть машина Тьюринга W с алфавитом А = {а, Ь} задана програм-
программой
qab->q\r, qia^-q2b; q2b -> q^\ q-iu -> qzr, qzb-^-q^, q^a^-sb.
Тогда для m ^ 1, n^\ имеем 9~*qa (amban) = am+n~2. Мы скажем, что Т
реализует функцию (от, п)\—>т+п — 2 для от ^ 1, п ^ 1. Построить машины
Тьюринга, реализующие функции (т, п) >—^от+идля всех от, п ^ 0;(m,n)i—>
I—> от — п для всех т ^ п "^ 0; (т, п) i—> от для всех т, п ^ 0.
13. В алфавите А = {а, Ь, с, х, *} определим нормальный алгорифм Я
со следующим упорядоченным множеством формул подстановок: ха -*■ ах,
х*х^>-а*, **-»-*£>, Ь->-х, а->-с, с-+х, *-+1 Тогда для всех натуральных
чисел от, п имеем %(хт*хп) = xd, где d — наибольший общий делитель man
(А.А. Марков [1954]).
14. Пусть L\ и Z-2 — языки из А*, порожденные грамматиками Fi и Г2 со-
соответственно. Построить грамматики, порождающие языки Lx U L2 и L{ ■ L2.
Для языка L = А*, порождаемого грамматикой Г, построить грамматики, по-
') Наиболее крупное достижение последующих лет в данной области —
работа Г. С. Маканина [1977*], в которой доказано существование алгорит-
алгоритма, распознающего разрешимость произвольных уравнений в свободной полу-
полугруппе. О работах а этой области см. обзор С. И. Адяна и Г. С. Маканииа
[1984*]. — Прим. ред.
172 Гл. 5. Свободные моноиды, языки и коды
рождающие L*, L (£ получается из L заменой каждого слова w = п\аг...ая
его зеркальным отражением w -—а„ ■ ■ ■ u2ai). Рассмотреть сохранение типа от-
относительно объединения, умножения, операции * и зеркального отражения.
15. Любой контекстно-свободный язык L*=A* может быть порожден
грамматикой с правилами вида a-^-fiy и б-*-а, где а, |3, у, б s V \ А, а е А.
(О грамматике с такими правилами говорят, что она имеет нормальную фор-
форму Хомского; см. Хомский [1959].)
16. (а) Копредставление {a, b; ba = a2b, b2 = а3) задает моноид с 13эле-
13элементами. Если рассматривать это копредставление как групповое (подразуме-
(подразумевая наличие обратных а-1 и b~l для а и Ь), то оно определяет груп-
группу 9>ъ.
(Ь) Полугруппа, заданная копредставлением {a, b; a = bab, b = aba),
есть в действительности группа (а именно, группа кватернионов). То же самое
справедливо для полугруппы (а, Ь, с; а = bab, b = cbc, с = аса) (единичным
элементом здесь ивляется (ЬасJ) (Нейман [1967]).
17. Пусть множество X находится во взаимно однозначном соответствии
хь-^jf с множеством X. Полициклический моноид задается копредставлением
Рх =» (.X X X; хх = 1 для любого х е.Х, ху = 0 для любых х, у е X, х Ф у}.
Он изоморфен моноиду (X* X X*) U {0}, где (u, v) ■ 0 = 0 • (и, v) — 0 • 0 = 0
и
( (и, hv'), если у = /гы',
(и, v) (и', v') = < (ku, v'), если и' = kv,
(.0 в остальных случаях.
Моноид Рх является 0-бипростым инверсным моноидом с тривиальными под-
подгруппами, а его идемпотенты образуют полурешетку, изоморфную частично
упорядоченному множеству главных левых идеалов моноида X* (Нива и Пер-
ро [1970]).
18. Четырехспиральная полугруппа Sp.i имеет копредставление (а, Ь, с, d;
а2 = а, Ь* = 6, с2 = с, d2 = d, a = ba, b = ab, b = be, с = cb, с = dc, d =
= cd, d = day. (Это копредставление получается из прямоугольной 2X2-
связки ^ с ПРИ отбрасывании одного соотношения а = ad.) Проблема ра-
равенства может быть решена приведением любого слова к слову, в котором по-
последовательные пары букв исчерпываются сочетаниями ас, ad, bd, ca, db.
Идемпотенты образуют следующую картину:
cadbd )
E?-связанные и й'-связанные элементы соединены горизонтальными и верти-
вертикальными линиями соответственно; пунктирные линии представляют убываю-
убывающие цепи идемпотентов.) Sp4 служит примером бипростой, vo не вполне про-
простой полугруппы, порожденной идемпотентами (Байлин, Микин и Пастен
Упражнения 173
19. Исследовать проблему равенства для полугрупп (a, b; aba = Ьт,
bab = а") при различных тип (Бак [1968]).
20. Моноид М называется резидуально конечным (или финитно аппрокси-
аппроксимируемым), если для любых х, у sAf, x ф у, существует такой гомоморфизм
Ф из М на конечный моноид, что ср(*) ф ф(#)-
(a) М резидуально конечен тогда и только тогда, когда он является под-
прямым произведением конечных моноидов (см. гл. 4, упр. 4).
(b) Если М резидуально конечен, то любое его конечное копредставление
имеет разрешимую проблему равенства (Эванс [1969]').
(c) Любой свободный моноид резидуальио конечен; бициклический моноид
не является резидуально конечным.
') Это хорошо известный общеалгебраический факт, восходящий к работе
Мак-Кинси 1943 г.; см. статью А. И. Мальцева «О гомоморфизмах на конеч-
конечные группы» в книге А. И. Мальцева [1976*, т. 1]. — Прим. ред.
6 АВТОМАТЫ,
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ЯЗЫКИ
И СИНТАКСИЧЕСКИЕ
МОНОИДЫ
Цель настоящей главы состоит в изучении языков, распозна-
распознаваемых автоматами с конечным числом состояний. Языки этого
типа были введены Клини [1956] и названы им регулярными
языками. В § 1 мы даем определение автомата и приводим об-
общие алгебраические свойства автоматов. Главным результатом
здесь является тот факт, что синтаксический моноид распозна-
распознаваемого языка L конечен и совпадает с моноидом переходов
минимального автомата, распознающего L. Параграф 2 содер-
содержит характеризацию распознаваемых языков в терминах фор-
формальных грамматик (см. гл. 5, определение 4.16). В § 3 мы
доказываем теорему Клини: класс всех распознаваемых языков
из свободного моноиДа А* совпадает с классом всех рациональ-
рациональных языков, под которым понимается наименьший класс язы-
языков из А*, содержащий все конечные подмножества из -4* и
замкнутый относительно операций объединения, умножения и
итерации (т. е. образования подмоноида, порожденного данным
языком). Применяя к теории кодов вероятностный подход, мы
используем в § 4 теорему Клини для получения некоторых ха-
рактеризаций рациональных префиксных кодов. В § 5 рассма-
рассматривается связь между языками и их синтаксическими моно-
моноидами. Центральной здесь является принадлежащая Эйленбергу
[1976] теорема, устанавливающая взаимно однозначное соот-
соответствие между псевдомногообразиями конечных моноидов и
некоторыми семействами рациональных языков, которые здесь
называются потоками языков. Это соответствие подробно иссле-
исследуется в гл. 7 для некоторых конкретных псевдомногообразий
моноидов (комбинаторных моноидов, моноидов с абелевыми
подгруппами, моноидов с разрешимыми подгруппами).
1. Автоматы и распознаваемые языки.
Определения и элементарные
свойства
Определение 1.1. Пусть М — моноид с единицей 1. Назовем
М-автоматом •) St = (S, f) множество S вместе с отображением
') В том же смысле употребляют и некоторые другие термины, например
правый операнд, правый полигон. — Прим. ред.
/. Автоматы и распознаваемые языки 175
/; SXM-yS, удовлетворяющим условиям
(a) f(s, l) = s для любого se5;
(b) f(f(s, m), /n') = /(s, mm') для любых s^S, m, m'^M.
Множество S называется множеством состояний, а / — функ-
функцией перехода автомата 91. Мы обозначаем f(s, m) через sm,
если не возникает никакой двусмысленности. Тогда (а) и (Ь)
записываются проще: si = s, (sm)m' = s(mm') для всех se5,
m, m! s M.
Гомоморфизм Ж-автоматов ф: % = (S, f)->S3 = E', g)— это
такое отображение ф из S в S', что 9(/(s,m)) = g(y{s),m) для
всех seS.meM (в упрощенных обозначениях <p(sm) = q> (s) m).
Обычным образом определяются понятия изоморфизма, эндо-
эндоморфизма и автоморфизма.
Конгруэнция на М-автомате 91 => (S, /) — это отношение экви-
эквивалентности ~ на множестве S, устойчивое относительно /, т. е.
Si ~ s2 влечет f(su m) ~ f(s2, m) для всех шеЁ Определение
понятия факторавтомата W/~ и формулирование теорем об изо-
изоморфизмах для Ж-автоматов оставляются читателю.
Подавтомат Ж-автомата Ч = E, /) определяется как пара
(S', I), где S' — такое подмножество из S, что f{s, m)e5' для
любых seS', met Если ({s}, /) есть подавтомат автомата
E, /), то мы называем s неподвижным состоянием или непо-
неподвижной точкой автомата E,/).
Изучение М-автоматов эквивалентно изучению представле-
представлений моноида М преобразованиями на множествах1). В самом
деле, если 31 = E, /) есть М-автомат, то отображение х%:
M^>-&~r{S) из М в моноид всех преобразований на S, опреде-
определяемое формулой sv%(m) = f(s, m) для всех s e S, пг&М, есть
представление. Обра-Гно, если дано представление т, то формула
f(s, m) = sx{m) задает отображение /, удовлетворяющее усло-
условиям (а), (Ь) определения 1.1. Воспользуемся представлением
T5t, чтобы определить моноид переходов Т{Щ М-автомата
31: Т(91) = М/Кег % (заметим, что Т(%) изоморфен также мо-
моноиду T5t(M)). Если ф: W->-S3 — гомоморфизм М-автоматов, то
(m, m') e Кег тя влечет srn (m) = st5[ (m'), или, равно-
равносильно, / (s, m) — f (s, m') для любого s^S. Это дает
g(y(s), m) = g(q>(s), m') для любого s^S, ив случае сюръек-
тивного ф отсюда следует (m, /n') e Кег та. Тогда существует
сюръективный моноидный гомоморфизм ф: Т (91)—>- Т(9Э), отобра-
отображающий каждый класс отношения Кег тя на соответствующий
класс Кег та. Аналогично, если S3 — подавтомат автомата W, то
Кег т5[ s Кег т^ и Т(Щ есть фактормоноид моноида
') Эта точка зрения служит основой для обстоятельных рассмотрений в
ГЛ- II монографии Клиффорда и Престона [1967J.—Прим, ре$.
176 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
В дальнейшем наш интерес будет сосредоточен на рассмо-
рассмотрении /["-автоматов, где А*— свободный моноид над алфави-
алфавитом А. Ясно, что функция переходов / Л*-автомата 51 = (S,/)
определяется полностью, как только она определена на всех
парах из SX^- Это приводит к следующим практическим спо-
способам задания автомата 81.
а. Граф состояний автомата 31
Множеством вершин служит множество S. Две вершины si,
s2eS соединяются стрелкой, помеченной буквой ае/1, тогда
и только тогда, когда f(s\, a) = S2- Например, диаграмма
ъ а г
изображает граф Л'-автомата Я = (S, /) над алфавитом А =
= {а, Ь}, где S « {0, 1, 2, 3, 4} и /(О, а) = 3, /(О, Ь) =* 4 и т. д.
Функцию переходов / можно также задать таблицей.
Ь. Таблица автомата %
Л*-автомат Я из предыдущего примера определяется таб-
таблицей
а
Ь
0
3
4
1
0
2
2
1
4
3
2
4
4
1
4
Таблица непосредственно дает образующие т(а) и х(Ь) моноида
переходов Г(й). Здесь
, > /01234N ,,ч /01234N
Т <«) = С 3 0 1 2 1 ) • Т^==D2444)-
Определение 1.2. М-автомат 31 =» (S, /) называется моноген-
моногенным, если существует такое состояние so&S, что /(s0, ^Vf)=S
(s0 называется порождающим состоянием автомата 3(). Авто-
Автомат Я называется транзитивным (или сильно связным), если
Для любых s,s'eS найдется такой т&М, что f(s, m) = s'.
Далее дается удобное представлением моногенного /^-авто-
/^-автомата ?{.
1. Автоматы и распознаваемые языки 177
с. Дерево автомата 91
Сначала множество А* частично упорядочивается отноше-
отношением и < v, означающим, что v есть левый делитель слова и
i
(см. гл. 5, § 2). Пусть so — порождающее состояние автомата %.
В дереве, представляющем А*, заменим пустое слово состоянием
so, а каждое слово w еЛ+ — состоянием f(s0, w). На самом деле
достаточно выстраивать дерево лишь до тех пор, пока состоя-
состояния не будут повторяться. Например, при А = {a, b}, S =
= {0, 1, 2} дерево A.2.1) ниже представляет моногенный
Л*-автомат с графом состояний A.2.2).
A.2.1) A.2.2)
Моногенные Л*-автоматьг непосредственно связаны с пра-
правыми конгруэнциями на А*. Если Л*-автомат Щ. = (S, f) порож-
порожден состоянием so@S'), определим у(%) следующим образом:
A.2.3) у(«)«= {(«, v)z=A*XA*: f(s0, «) = /(s0, v)}.
Очевидно, y(9()—правая конгруэнция на А*. Обратно, если р —
правая конгруэнция на А*, то, обозначив р-класс слова ш через
w, определим автомат а(р), положив
A.2.4) а(р) = (Л7р, f), где f(w, a) = ^a
для любых w, a e Л*.
Предложение 1.3. Отображения у и а, определенные форму-
формулами A.2.3) и A.2.4), обладают следующими свойствами:
(a) у(а(р))=р для любой правой конгруэнции р на А*, а
любой А*-автомат Я изоморфен автомату а(уC());
(b) для любых двух 'моногенных А*-автоматов St = (S, /) и
Ъ = {Т, g) с начальными состояниями so&S и (оеГ соответ-
соответственно включение у B1) S у (S3) выполняется тогда и только
тогда, когда существует сюръективный гомоморфизм ф: S(-vS3,
при котором ф (so) = А).
') Фиксированное порождающее состояние часто называют начальным;
этим термином мы и предпочитаем пользоваться ниже.—Прим- перев. и ред.
178 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Доказательство, (а) Для данной правой конгруэнции р на
А* автомат а(р) порождается р-классом Е единицы 1. Если
и, 5 6^', то (и, [))еу(а(р)), если и только если Ей = Ev1)
или, равносильно, если (и, г/)ер. Далее, для данного /^-авто-
/^-автомата 31 = E, /) с начальным состоянием s0^. S определим
^F: SI-v а (у (91)) следующим образом. Если s <= S, то существует
такое слово шеЛ*, что f(so, w) = s; положим тогда W(s) — w,
где w обозначает класс эквивалентности уC1), содержащий w.
Очевидно, W — корректно определенный сюръективный гомо-
гомоморфизм. С другой стороны, W(si) = W(s2) тогда и только
тогда, когда W\ = шг для слов Wi и дог, удовлетворяющих ра-
равенствам f(s0, Wi)= si и f(so, u>2)= s2, или, равносильно, тогда
и только тогда, когда s\=Si. Таким образом, W—изоморфизм.
(Ь) Пусть ф: 9С-»-Э— сюръективный гомоморфизм, такой,
что (p(so) = /o- Если (и, у)еуC(), то f(s0, u) = f(s0, v), откуда
(f(f(s0, u))=(f(f(s0, v)), т. e. g(t0, u) = g(t0, v). Это показы-
показывает, что yC()Sy(S3)' Обратно, если у (81) s у (S3), определим
ф: Я->9 следующим образом. Для ss5 существует такое
слово ауеЛ*, что /(s0, ay)==s; положим тогда фE) = ^(^о, w).
Посылка показывает, что ф корректно определено. Ясно, что это
сюръективный гомоморфизм, причем фEО)=^о- □
Наш интерес к моногенным ^'-автоматам оправдывается
следующим определением.
Определение 1.4. Язык /,£Л* называется распознаваемым,
если существуют Л*-автомат % — (S, f) с конечным множеством
S, состояние soeS и подмножество Т из 5, такие, что
L= {we=A*: f(s0, w)s=T).
Мы говорим также, что конечный А*-автомат Я распознает L
или что L распознается автоматом 31.
Если автомат Я распознает L, то его подавтомат S3 =» (Su f),
где Si = f(s0, А*), моногенный и, как показывает равенство
L={w<sA*: f(s0, w)&Tf\Si}, также распознает L. Таким об-
образом, язык L распознаваем тогда и только тогда, когда су-
существует конечный Л*-автомат St = (S, f), порожденный состоя-
состоянием soeS, такой, что L = {w si*: f(s0, а»)еГ} для неко-
некоторого подмножества Т из S. В этом случае ay e L, (до, до') е
еу(Я) влечет /(s0, ta») = f(so, w')^T, откуда ay'eL. Это
показывает, что L есть объединение некоторых классов правой
конгруэнции у(Щ. Обратно, пусть р — правая конгруэнция /со
печного индекса на А* (это означает, что в А* имеется лишь
конечное число р-классов). Предположим, что язык LS/4*
есть объединение некоторых р-классов. Тогда легко видеть, что
') Напомним (см. начало параграфа), что Ей — сокращенное обозначение
для f(E, и) = 1 • и = п. В моноиде А* равенство Ей = ц осмысленно, но, во-
рбще говоря, неверно. — Прим. перев,,
1. Автоматы и распознаваемые языки 179
L распознается конечным Л*-автоматом а(р), так как L =
= {ке/1': Тдо s£}, где L есть множество состояний автомата
а(р), образованное р-классами, объединением которых является
L. Это доказывает равносильность условий (а) и (Ь) в следую-
следующем предложении.
Предложение 1.5. Пусть дан язык LS/4*. Следующие усло-
условия равносильны:
(a) L распознаваем)
(b) L есть объединение некоторых классов правой конгру-
конгруэнции конечного индекса на А*;
(c) L есть объединение некоторых классов конгруэнции ко-
конечного индекса на А*;
(d) существует гомоморфизм ср: А*-*-М в конечный моноид
М, для которого L — qH(p(L).
Доказательство. Равносильность условий (а)' и (Ь) была
уже установлена. Условия (с) и (d) суть различные формули-
формулировки одного и того же свойства, причем (с), очевидно, влечет
(Ь). Чтобы закончить доказательство, мы покажем, что (а) вле-
влечет (d). Допустим, что L распознается Л*-автоматом Ql = (S, /)
с начальным состоянием s0 e 5. Пусть ф: А*-*-Т(%) — канони-
канонический гомоморфизм А* на моноид переходов (конечный в силу
конечности 5). Если для ue/!', set мы имеем <р(и) — <р(у),
то f(s, u)—f(s, v) для любого s e 5; в частности, f(s0, и) —
= f(s0, v) и поэтому u&L. Это показывает, что qH(p(L)sL.
Так как L всегда содержится в qH(p(L), получаем L =
= qH<p(L). □
Для произвольного подмножества L из А* существует наи-
наибольшая правая конгруэнция Р([\ относительно которой L яв-
является объединением некоторых классов. Она определяется ра-
равенством (см. гл. 1, п. З.ЗЬ)
pw == {(и, v) е А* X А*: для любого w <= Л*,
uw e L, если и только если vw s L).
Ввиду предложения 1.3 естественно ожидать, что Л*-авто-
мат а (Р'р) будет Л*-автоматом, распознающим L, с наимень-
наименьшим возможным числом состояний.
Предложение 1.6. Пусть L — произвольный язык из А*,
Р(£— главная правая эквивалентность, соответствующая L,
и а(Р£>) есть А*-автомат, определенный по Р{[} согласно
A.2.4). Для любого моногенного А*-автомата 9l = (S, /) с на-
начальным состоянием ssgSh любого подмножества Т из S, та-
таких, что L= {шеЛ*: f(s0, w)^T}, существует единственный
180 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
сюръективный гомоморфизм (р: 91->а(Р£>), для которого ф(«о),
есть класс эквивалентности Р£г), содержащий 1.
Доказательство. Так как L — объединение классов отноше-
отношения у(Щ, мы имеем у(Щ s Р(£} = у (а (Р£>)). В силу предложе-
предложения 1.3 (Ь), существует сюръективный гомоморфизм ф: 91->
'->а(Р£)). Налагая условие фE0)=1, для seS мы необхо-
необходимо получаем cp(s) = w, где w удовлетворяет равенству
f(s0, w) = s. Это доказывает единственность ф. П
Почти очевидно, что моноид переходов автомата а (Р^г)) изо-
изоморфен моноиду A*/PL, где PL— синтаксическая конгруэнция
языка L, определенная в гл. 1, п. З.ЗЬ:
pL= {(wu w2)^A*XA*: для любых u,v<=A*,
uwiv s L, если и только если uw^v e L).
Определение 1.7. Если L — распознаваемый язык из А", то
Л*-автомат %{L) = v.(P{[) называется минимальным автоматом
языка L. Моноид M(L) = A*/PL называется синтаксическим мо-
моноидом ') языка L.
Предложение 1.8. Для любого языка L<=lA* моноид перехо-
переходов А*-автомата а (Р£') изоморфен синтаксическому моноиду
M(L) языка L. Язык L распознаваем тогда и только тогда,
когда M(L) конечен.
Доказательство. Первое утверждение оставляется читателю
в качестве упражнения. Второе следует из предложения 1.5 и
того факта, что синтаксическая конгруэнция PL есть наибольшая
конгруэнция, для которой L является объединением классов. □
Существуют различные алгоритмы нахождения минималь-
минимального Л*-автомата 3t(L) для данного распознаваемого языка
L S А*. В основе первого из них лежит конструкция наиболь-
наибольшей правой конгруэнции, содержащейся в данном отношении
эквивалентности на А*.
Предложение 1.9. (а) Пусть 8 — отношение эквивалентности
на моноиде М, порожденном множеством А. Определим индук-
индуктивно отношения pi на М, положив pi = 8, и если f >> 1, то
р, = {(ть т2)еМХЛ1: {т\а, т2а)&р1-1 для любого ае
e^U{l}} Тогда p(8)=n*eNP< ecTb наибольшая правая кон-
конгруэнция на М, содержащаяся в 8.
') В дальнейшем этот термин будет относиться и к изоморфному мо-
моноиду преобразований Тщ^А*). — Прим. перед.
/. Автоматы и распознаваемые языки 181
(Ь) Главная правая конгруэнция Рк£ на А* является наи-
наибольшей правой конгруэнцией, содержащейся в эквивалентности
8/., имеющей два класса: L и его дополнение в А*.
Доказательство, (а) Равенство pi = 0 влечет Пг^мР/^в-
Если (mi, т2)ер; для всех ieN, то для любого aei будет
(пца, т2а)ерн, откуда (т{а, т^а)^ П(е!МР<. и> следователь-
следовательно. П(емР< есть правая конгруэнция. Наконец, для произволь-
произвольной правой конгруэнции р£б, используя индукцию по i, полу-
получим р £ р, для всех t e N.
(Ь) Поскольку L является объединением классов Р([\
имеем Р^^Эд. Легко видеть, что для любой правой кон-
конгруэнции р Е 01 из (и, s)ep следует («, у) е Р<£>, откуда р s
Замечание 1.9.1. Язык L^A* распознаваем тогда и только
тогда, когда Р(/> имеет конечный индекс. Это равносильно
тому, что убывающая цепь отношений 8^ = pi э рг Э ...
... 2р(Э ... стабилизируется. Первый индекс i, для которого
р,- = р«+1, дает р, = р (QL) == Р([\
Пример 1.9.2. Взяв А = {а, Ь), рассмотрим язык L= {ambn:
т, п > 0} и множество A*\L = {а} * U {b}* U А*ЬаА*. Это — два
класса отношения QL = рь Классы р2 суть L, {a}f, {b}*{]
\]A*baA\ Классы р3 суть L, {а}+, {1}, {Ь)+\]А*ЬаА*, а р4 = р3.
Таким образом,, Р{[]= р3, и минимальный автомат, распознаю-
распознающий L, имеет четыре состояния, которые мы обозначим через
0, 1, 2, 3, соответствующие классам {1}, {а}+, {b}+\] A*baA*, L
отношения Рд1; тогда
Синтаксический моноид языка L порождается преобразова-
преобразованиями
0123
U
2 2 J И
Если распознаваемый язык L^A* задан в терминах моно-
моногенного Л*-автомата, распознающего L, то процесс минимиза-
минимизации использует следующий аналог предложения 1.9 для авто-
автоматов.
182 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Предложение 1.10. (а) Пусть 91 = (S, f) есть М-автомат над
моноидом М, порожденным множеством А, и 0 — отношение
эквивалентности на множестве S. Определим индуктивно отно-
отношения р,- на S, положив pi = 8, и если i > 1, то р, = {(su s2)e
eSXS: (sia, s2a)ep,_i для любого a^A\j{\}}. Тогда
p @) = П (e N Рг есть наибольшая конгруэнция на 91, содержа-
содержащаяся в 8.
(Ь) Если L— {юе4*: f(s0, w)^T} для А*-автомата 91 =
= E, /) с начальным состоянием s0 e S и для некоторого T^S,
то минимальный автомат, распознающий L, есть факторавто-
мат автомата 91 по наибольшей конгруэнции на 91, содержа-
содержащейся в эквивалентности 8г на S, имеющей два класса: Т и его
дополнение в S.
Мы опускаем доказательство, аналогичное доказательству
предложения 1.9.
Пример 1.10.1. Пусть 91 есть Л*-автомат, где А = {а, Ь}, за-
заданный графом
°Сб\ a j „ Ь
а L={i»e/1*: ОшеГ}, где Т = {2, 4, 6}. Последовательно
получаем
р1 = @, 1, 3, 5| 2, 4, 6),
р2 = @|1, 3, 5|2, 4, 6) = р3.
Минимальный автомат, распознающий L, имеет следующий
граф:
Оь О
Итак, L = ЬА*, а его синтаксический моноид порождается пре-
преобразованиями
012 012
Он получается из двухэлементной полугруппы левых нулей при-
присоединением единицы.
Примеры 1.10.2. Пусть С — префиксный код над алфавитом
А. При построении Р(сг> мы различаем слова из А*, являющиеся
левыми делителями слов из С, и слова из А*, не являющиеся
таковыми. Слово иеЛ* не является левым делителем никакого
слова из С, если и только если {иеЛ*: uw е С} = 0; поэтому
такие слова образуют отдельный класс отношения Р^', который
/. Автоматы и распознаваемые языки 183
мы обозначим через s. Если слова U\, u<i — левые делители не-
некоторых слов из С, то (ир иЛ е Р(р, если и только если
{да е A*: U[W <= С} = {w <= A*: U2W^C}. В отношении дерева,
представляющего С (гл. 5, определение 2.6), это означает, что
(uv иЛ <= Р(сг) тогда и только тогда, когда вершины дерева, по-
помеченные их и и2, определяют одинаковые поддеревья. Поэтому
для получения классов Р(сг), отличных от s, достаточно отме-
отметить на дереве кода С вершины с различными поддеревьями,
дав им различные имена. В следующих примерах мы исполь-
используем числа 0, 1, 2, ... для указания различных классов отно-
отношения Р(р:
СЦо2, aba, аЬ2, Ьа,Ьг} С={аг, Ьаг, Ь2}
Соответствующие Л*-автоматы а (Р'с*) представляются теми?
же деревьями, что и выше, если принять соглашение, что все
опущенные вершины помечены буквой s. Синтаксические мо-
моноиды М(С) порождаются соответственно преобразованиям»
0123s\ г /0123s
/0123s\ г /0 1 23s\
U 3 1 s s )' \2 s 3 s s )'
Примеры 1.10.3. При построении Р$, где С — префиксный
код над А, обозначим, как и выше, через s класс отношения
PQ, состоящий из всех слов «еЛ*, таких, что иА*(}С* = 0
(когда С — полный код, такого класса нет). Если иА* П С* Ф 0,
то существуют единственные с^ С* и ге А*, такие, что и = сг
и z — собственный левый делитель некоторого слова из С (воз-
(возможно, z=l)'. Свойство префиксности С влечет (a, z)sP|!,
и для любых двух собственных левых делителей zu z% слов из
С мы имеем (zv z2)e Р{р„ если и только если (zp z2) e Р(с]- На-
Наконец, (с, 1) е Р%1 для любого с^С. Отсюда следует, что
классы отношения Р£1, отличные от s, получаются приписыва-
приписыванием одной и той же метки корню и висячим вершинам дерева
кода С, и приписыванием промежуточным вершинам различ-
различных меток, если они определяют различные поддеревья.
184 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
кодов из примеров 1.10.2 мы получим следующие представле-
представления автоматов a (^V
Соответствующие синтаксические моноиды порождаются пре-
преобразованиями
(° 1 М (° l 2
012s\ т /0I2s
J b{
Эти примеры иллюстрируют следующие важные факты!
(a) если С — полный префиксный код над алфавитом А, то
минимальный Л*-автомат, распознающий С*, транзитивен;
(b) если С — неполный префиксный код над А, то мини-
минимальный Л*-автомат, распознающий С*, О-транзитивен в смысле
следующего определения.
Определение 1.11. Af-автомат Ql = (S, f) называется 0-транзи-
зитивным, если
(a) % имеет неподвижное состояние s;
(b) для любых si, S2 s S, Si^s, существует такой элемент
т&М, что f (sb m) = s2.
Формализуя замечания, сделанные при рассмотрении приме-
примеров 1.10.3, получаем
Предложение 1.12. Пусть L&A*. Следующие условия равно-
равносильны:
(a) L = С* для некоторого префиксного кода С;
(b) существуют транзитивный или О-транзитивный А*-авто~
мат (S, f) и sq&S, такие, что L= {w<=A*: f(s0, w) = s0};
(c) существуют А*-автомат (S, f) и s0 s S, такие, что L ==
= {we. A*: f(s0, w) = s0}.
2. Недетерминированные автоматы.
Языки праволинейных грамматик
Автомат из определения 1.1 детерминирован в том смысле,
что для любого состояния s и любого пг^М состояние f(s, m}
2. Недетерминированные автоматы 185
однозначно определено. Иногда удобно допустить большую
свободу в определении УИ-автомата.
Определение 2.1. Пусть М — моноид с единицей 1. Недетер-
Недетерминированный М-автомат — это пара 91 = (S, f), состоящая из
непустого множества S и отображения f из SXAf в множество
53 (S) всех подмножеств из S, удовлетворяющего условиям
f(s, l)={s} и f(f(s, m), m')=f(s, mm') для всех seS,
m, m'^M; при этом подразумевается, что f{T, m)= [Jt^T f(^ m)
для любого подмножества Т из S. Если отображение f таково,
что для любых s^S, m^M множество f(s, m) либо пусто,
либо одноэлементно, то 91 называется частичным М-автоматом.
С точки зрения распознавания языков недетерминированные
Л*-автоматы обладают точно такими же возможностями, как и
Л*-автоматы:
Предложение 2.2. Язык LsA* распознаваем тогда и только
тогда, когда существуют недетерминированный А*-автомат
91 — (S, f) с конечным множеством состояний S, подмножества
I и Т из S (называемые соответственно множествами начальных
и заключительных состояний), такие, что
L— {да е A*: f(I }
Доказательство. Предположим, что L распознается недетер-
недетерминированным конечным Л*-автоматом 51 = (S, {). Положив
S=i5a(S), определим f: SX,A*->S равенством f(Suw) =
= \JasSif(s, w) для любого подмножества Si из S и шеЛ*.
Тогда f(Si, l) = Si для любого St^S. Далее, f(f(Su w), w') =
=j(UaeSJ(s, w), w')={Js,^s,f(s', w'), rfleS'=UseSxf(s,tc;),
и f(Su ww')—\Js^sJ(s, ww'). Равенство
U f(s, ww')= U f(s', w'), где S'= U f(s, w),
следует из второго условия в определении 2.1. Это показывает,
что f(Si, ww')— f(f(Si, w), w') и, следовательно, 9l = (S, f) есть
Л*-автомат. Пусть Т — подмножество в 5, образованное всеми
подмножествами из S, пересекающимися с Т. Ясно, что
1= {шеЛ*: f(I, w)<=T}.
Конечность множества 5 влечет распознаваемость L. Обратное
утверждение вытекает из того, что Л*-автомат есть частный слу-
случай недетерминированного Л*-автомата.
Замечание 2.2.1. Существует простой способ преобразования
частичного Л*-автомата 91 = (S, f) в Л*-автомат. Строится по-
пополнение 9tc автомата 91 путем добавления к S нового состояния
186 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
z ф. S, которое по определению объявляется неподвижным для
51е: 51е = (S U {z}, Р), где для любых seS, we. А* полагаем
(f(s,w), если f(s, w)<=S;
I [S W) == i
v ' (. z в противном случае.
Доказательство следующего предложения демонстрирует
большую гибкость, достигаемую благодаря применению недетер-
недетерминированных автоматов. Напомним (см. гл. 5, определение
4.18), что грамматика T — (V, А, я) называется праволинейной
или рациональной, если все правила из я имеют вид а-»-шр
или y-*-w', где а, Р, у е К\Д, w, ш'еД*. Напомним так-
также, что в определении грамматики V — конечное множество,
A<=V.
Предложение 2.3. Пусть А — конечное множество. Язык
L £ А* распознаваем тогда и только тогда, когда L порождается
некоторой праволинейной грамматикой r = (V, А, я).
Доказательство, (а) Пусть 91 = E, f)—конечный /^-авто-
/^-автомат, распознающий язык L—{weA*: f(s0, ю)бГ}. Построим
грамматику Г = (S \]А, А, я), где я состоит из правил
s->af(s, a) для любых s&S, a^A;
B.3.1) , . * * т
г —> 1 для любого t e I ■
Обозначив через => ряд последовательных применений правил
вывода -»-, мы получим для s,t&S, шеД', что s =ф- wt, если
и только если f(s, w)=*t. В самом деле, воспользуемся индук-
индукцией по l(w); если w — aia2 ... an, где au a<i, ..., an^A, то
;t — f(s, й\йг .. an)= f(f(s, a\a2 ... an-i), an). Мы имеем
lf(s, a\a2... an-i)-*-ant по определению правил в я, a s =ф- пхп2 ...
... an-\f{s,a\a2 ... an-\)~ согласно предположению индукции.
Отсюда вытекает, что s =^ wt. Столь же просто доказывается и
обратное утверждение. Следовательно, s0 =*- wt при некотором
t<sT если и только если ше1. Благодаря наличию правил
t-*-1 для любого te°T, мы получаем, что s0 => w, если и только
если w=L устанавливая тем самым, что язык L порожден
праволинейной грамматикой Г, отправляясь от s0.
(b) Пусть T = (V, А, я)—праволинейная грамматика, и
L= {w & А* а =ф- w} для некоторого ае!/\Л. Различие между
правилами из я и правилами B.3.1) состоит в том, что я может
содержать правила вида а->-даР, где w = 1 или /(а>)>1, и
правила вида a-*-w, где w ф 1. Мы модифицируем множество
я правил грамматики Г без изменения L, удаляя нежелательные
правила.
2. Недетерминированные автоматы 187
(Ы) Удаление правил вида а->р. Для любого а
образуем множество
1/а = {рб1/\Л: а->а,->а2-> ... ->а„->р,
где а1( ..., а„еК\Л}
и множество правил
ла = {а-»- wy: ДО =#= 1 и существует такое р е Va,
что р-»-ату содержится в п}.
Для каждого a e V\/4 заменим все правила вида а-*-р из я
на яо. Это дает новое множество правил л'. Доказательство
того, что язык, порожденный r' = (V, А, л'), отправляясь от а,
есть в точности L, оставляется читателю в качестве упраж-
упражнения.
(Ь2) Удаление правил вида а-»-до, где да Ф 1. Это легко
делается добавлением новых символов к V\A и новых правил,
не затрагивающих L. Заменим правило а-»-до {w ф I) в я
правилами a-+waw и аш-»-1, где dw— новый символ, причем
аш ф <xw> при да ф до'.
(ЬЗ) Удаление правил а-»-дор, где l(w)>l. Если да =
= aia2 ... а„, то мы вводим новые символы а(^, а^>, ...,а<^-'>
и заменяем правило a->a>p правилами a-> a^), aW->a2a<^, ...
(Ь4) Предполагая, что л не содержит правил типа удаля-
удаляемых в (Ы), (Ь2) и (ЬЗ), построим конечный недетерминирован-
недетерминированный Л*-автомат 91 = (S, f), положив S = У\Л и /(а, а) =
= {р е К\Л: а-^-ар содержится в л} для любых а е К,4,
йеА Простая проверка показывает, что 1,= {шеЛ*:
f{{o}, w)(]TФ0}, где r={aES: a-»-l принадлежит я}. Со-
Согласно предложению 2.2, язык L распознаваем. D
Грамматика r = (S|J^, А, л), построенная в части (а) пре-
предыдущего доказательства, имеет одно замечательное свойство.
Для любых seS и шеЛ*, таких, что s => до, вывод да из s —
единственный. Произвольная грамматика с таким свойством
называется однозначной1) грамматикой (неоднозначность язы-
языков, порожденных контекстно-свободными грамматиками, будет
изучаться в гл. 9). Это свойство переводится на язык степенных
рядов следующим образом. Положив S= {s0, s\, ..., sn-i} и
написав правила порождения B.3.1) в виде st-^as/ и t~*-e
(е обозначает пустое слово), ассоциируем с грамматикой Г си-
систему уравнений B.3.2) (см. ниже) с неизвестными s0, Si, ...
') В оригинале —«unambiguous». О переводе этого термина см. приме-
примечание редактора на с. 135 русского перевода книги Гросса и Лантена [1967].
Этот же термин используется далее для степенных рядов, языков н т. п. —<
Прим. перев.
188 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
..., sn-i над полукольцом R[[A]] (R— произвольное полуколь-
полукольцо). Для любых i, ], 0</, /<я— 1, обозначим через Ац ха-
характеристический степенной ряд подмножества (аеЛ: Si-^as/}
из А, а через e{Si) обозначим степенной ряд 1, если S(-»-l
имеется среди правил B.3.1), и 0, если st-*- 1 не входит в число
этих правил. Система п уравнений, определяемая Г, есть
B.3.2) s< = 2J At,s, + е(s,), f —0, 1 «-1.
Эта система имеет единственное решение (s0, su ..., sn_i)\
так как коэффициенты i-й компоненты Si(w) даются индуктивно
формулами
1, если е (s{) =l; st (да) = s; (даО, если
0, если e(s() = 0; w = aw' и aesupp(,4(/).
Непосредственная проверка показывает, что носителем ряда si
служит язык Li — {да еД*: f(si, да)е 7}, распознаваемый авто-
автоматом Sl = (S, f). Степенной ряд из R[[А]] называется одно-
однозначным степенным рядом, если он является компонентой ре-
решения системы алгебраических уравнений над /?[И]], и каж-
каждый его коэффициент есть 0 или 1. В гл. 9 мы определим линей-
линейные системы над ^?[[Л]] как системы типа B.3.2), допускающие
коэффициенты при неизвестных sy справа вида г/Ш/, где г/ е R,
До/ е А*. Компонента решения линейной системы уравнений над
/?[[Л]] будет называться рациональным степенным рядом.
В этих терминах мы только что доказали
Предложение 2.4. Любой распознаваемый язык над конеч-
конечным алфавитом может быть порожден однозначной граммати-
грамматикой, а его характеристический степенной ряд является однознач-
однозначным рациональным степенным рядом.
Чтобы оправдать использование слова «рациональный»,
стоит отметить, что специальная линейная система B.3.2) может
быть решена непосредственно, и компоненты решения могут
быть «рационально» выражены через коэффициенты Ац с исполь-
использованием операций +, • и * в R [ [А] ].
Пример 2.4.1. Минимальный {а, &}*-автомат из примера
1.10.1 имеет граф
3. Рациональные подмножества моноида 189
и 7={s2}. Соответствующая система уравнений над (напри-
(например) №[[а, Ь] ] есть
So "== osj -\- bs2,
Второе уравнение дает si= 0. Третье уравнение равносильно
уравнению A—(а + b))s2—l, решением которого служит
(а-\-Ь)*. Тогда из первого уравнения получаем so = b(a + b)*.
3. Рациональные подмножества
моноида. Теорема Клини
Пусть М — моноид, a L — произвольное подмножество из М.
В следующем определении, ясности ради, мы ненадолго отсту-
отступим от действующего соглашения и обозначим через L(*> под-
моноид из М, порожденный L. Отображение Ly-^-L^ множества
всех подмножеств из М на множество всех подмоноидов из М
называется итерацией1). Мы используем символ (*), чтобы отли-
отличать подмоноид L(*> от свободного моноида L* на множестве L;
если L(*> свободен и допускает L в качестве базиса, то L<*> и L*
изоморфны.
Определение 3.1. Класс Ч? подмножеств моноида М назы-
называется рационально замкнутым классом, если (a) L\, Ь2^^
влечет 1х\]1ч*=<8 и LVL2^<8; (b) Le? влечет L^e'g'.
Наименьший рационально замкнутый класс, содержащий дан-
данный класс <&, называется рациональным замыканием класса %
и обозначается через Rat1?7. Рациональное замыкание класса
всех конечных подмножеств из М обозначается посредством
RatM, а его элементы называются рациональными подмножест-
подмножествами в М2).
Множество !Р(М) всех подмножеств из М является рацио-
рационально замкнутым классом. Для любого класса W имеем ?с
^<Р(М); это вместе с тем фактом, что рациональная замкну-
замкнутость сохраняется при пересечении классов, влечет существова-
существование Rat W для любого класса %? подмножеств из М.
Теорема 3.2 (Клини [1956]). В свободном моноиде А* на ко-
конечном множестве А язык L распознаваем тогда и только тогда,
когда L является рациональным подмножеством в А*.
') В оригинале «star operation»; мы используем термин, укоренившийся
в русской теоретико-автоматной литературе. — Прим, перев.
2) В терминологии, использующей термин «событие» вместо термина
«язык», рационально замкнутому классу соответствует «алгебра событий»,
а в случае когда алфавит конечен, рациональные подмножества называются
регулярными событиями. — Прим. ред.
190 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Доказательство. Если посредством Rec Л* обозначить класс
всех распознаваемых языков из Л*, то теорема утверждает, что
КесЛ* = Rat Л*. Мы установим это равенство, доказывая вклю-
включения в обоих направлениях.
(а) Покажем сначала, что класс RecA* рационально замк-
замкнут и содержит все подмножества из А. Тогда из определения
RaM* будет следовать Rat/4* s Re^*. Доказательство разо-
разобьем на части.
(al) Пусть А' — подмножество из А. Частичный Л*-автомат
с графом состояний
таков, что Оау = 1, если и только если aye Л'. Согласно пред-
предложению 2.2, А' <= Rec Л*.
(а2) Rec Л* замкнут относительно объединений. Допустим,
что язык LL = {w (= A*: f{ (s?, ay) e Г(.} распознается автома-
автоматом §I,-=(S;, ft), где Tt^Si (i= 1, 2). Образуем декартово про-
произведение Л "-автоматов §d X %2 = (Si X S2, fi X /2), где
(hXh)((su sa),w)=(fi(suw), f3(s2,w)]
для любых Si e Si, s2 e S2, aye Л*. Мы имеем w е L\ U L2
тогда и только тогда, когда /^ (sj, ay) s Тх или /2 [s\, ay) s T2.
Поэтому ;
М4 = {ше Л': (f, X /2) ((s?, s»), ш) <= (Г, XS2) U (S, XГ2)}.
Таким образом, язык Ь\\}Ьг распознается Л "-автоматом %\ХЩ,
конечным в силу конечности Si и 52.
Примечание. Заметим, что L{ Л L2 — {ay s Л*: (/, X /2) ((s?> s°),
ay)sr,X^2}- Это показывает, что Rec Л* замкнут также
относительно пересечений.
(аЗ) Rec Л* замкнут относительно произведений. Обозначе-
Обозначения L;, §1,- и т. д. — те же самые, что и в (а2). Образуем Л "-авто-
"-автомат S3 = (SiX^E2),/), положив
с'ч ,_f(^('' ИгB. )). если /, (s{, а) ф Тх,
t {(s{, Ъ2), а) - |
для любых s^S^ S'2^S2, а^А.
Если шеЛ*, то первая компонента пары f((si, 0), ay) есть
fi (si, ш) и можно проверить, что вторая компонента есть следую-
следующее подмножество /?2(si) из S2:
Я2 (s;) = {/2 (s°2, w2): w ч= w{w2 и f, (Sj, ш;) е Г,}.
3. Рациональные подмножества моноида 191
Отсюда следует, что f((s°, 0). w) — (f, (s°, до), #2(s°)) и
L,-L2={t<ys Л*: f((s°lt 0), »)e5,X^2}' гАе ^~2 есть сово-
совокупность всех подмножеств из S2, пересекающихся с Т%. Таким
образом, S3 распознает L\-L2 и одновременно с §1Х и §t2 является
конечным Л*-автоматом.
(а4) Rec Л* замкнут относительно итерации. Пусть §1 = (S, f)
есть Л*-автомат и L={ms^: /(s0, ш)еГ} для некоторых
so^S и rsS. Преобразуем §1 в недетерминированный Л*-авто-
мат §t = (S, f), где для всех а^.А, s gS положим
, f {f(s, а)}, если f(s,a)(£T,
t (s, а) -1
Мы утверждаем, что L+ — L, где С={ше/!*: j({s0}, да)
=,£0}. Ясно, что Let. Допустим, что Ll ^ L для любого /,
1 ^ / < п, и пусть о> е L". Тогда ш = ш'ш", где да' е L и ш" а
е L"-1. Мы имеем f(so, ш')е; Г по определению L и f({so}, t«")fl
П7Л=760 по предположению индукции. Но из f(s0, w')^.T сле-
следует по определению J, что f({so}, w') содержит s0. Поэтому
f({s0}, да) содержит множество f({s0}, w"), пересекающееся с Т,
откуда ibgL и тем самым L" ?= Г. Следовательно, L+—\Jn€BNLnS
eL Обратно, пусть w = а.\аг ... a^^L и пусть а\аг ...
... aix — кратчайший левый делитель слова до, для которого
f(s0, ауа2 . ■ ■ а<,) е Г. Тогда
f ({s0}, до)= f ({f (% ai«2 • • • atX «о}. ail+i ... ak).
Обозначив через a*,+i ... a(, кратчайший левый делитель слова
aii+\ ... uk, для которого f (s0, a^ •.. a;, ... аг2) е= Т либо
f (so> at,+i ... ait) e Г, получим
f({s0}, a;)-
=■= f ({/(«о. щ ... аь ... at,), f(s0, atl+i ... ata), s0}, al2+i ... ak),
где аха2 ... a^.ai^i ... аг2е L\] L2. Продолжая этот процесс, че-
через п шагов получим
f{{s0), w) = {f(s0, до), f(s0, ah+i ... ак), f(s0, ai1+y ... ak), ..., s0},
где ayeHJL2U ... \}Ln. Следовательно, L+— E. Замечая, что
пустое слово распознается недетерминированным Л*-автоматом
So'-^-'S!, a&A,
с Т= {s0}, и учитывая (а2), мы видим, что язык L<*> = L+ U {1}
распознаваем.
(Ь) Если L—{w<=A*: f(s0, ю)еГ} для некоторого конеч-
конечного Л "-автомата §1 = E, f), некоторых so^S и TsS, то L =
= U«sr{ffle/!': f(s0, до) — t}. Поэтому для доказательства того,.
192 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
что L — рациональный язык, достаточно показать, что для лю-
любой пары s,te.S язык L{s, ;)={ше/1': f(s, w) = t} рациона-
рационален. Мы сделаем это с.помощью индукции по мощности некото-
некоторых подмножеств из S. Читатель может найти более интуитив-
интуитивные аргументы, если наглядно представит себе L(s, t) как опи-
описание множества всех возможных путей в Я, ведущих из s в /.
Для произвольного подмножества Si из S обозначим посред-
посредством L (s, Si, t) множество всех путей в Я, ведущих из s в /,
с промежуточными точками в Si. Формально L(s, Si, t) =
= {we.A*: f(s, w)=t и f(s, »i)eSi для всех левых делителей
Ш] слова w}. Из этого определения следует, что L(s, Si, t) = 0,
если s или t не лежит в Si. Поэтому языки L(s, Si, t) представ-
представляют интерес лишь для подмножеств Si, содержащих как s,
так и t, и наша цель — доказать рациональность языка L(s, t) =
— L(s, S, t). Строгий путь в Я, ведущий из s в /, определяется
как путь, промежуточные точки которого отличны от s и t. Фор-
Формально для любого подмножества S2 из S, такого, что s, i ф. Si,
множество строгих путей описывается формулой
L{s,S2,1)~*{w&A':f(s,w)='t и f(s,wi)f=S2
для всех собственных левых делителей wi слова w).
Например, C(s, 0, t) либо сводится к пустому слову, либо яв-
является подмножеством A(s, t)= {ae A: f(s, a) = t) из А. Мы
воспользуемся индукцией по мощности подмножеств Si, содер-
содержащих {s, t), и подмножеств S2, для которых s, t^S^. Если Sj
одноэлементно, то s и t совпадают и L(s, {s}, s) = (A(s, s))*.
Если S2= {г}, где г Фs, гф t, то E(s, {r},t) = A(s, r) (A {r, г))*-
■А(г, t). Допустим, что языки L(s, S[, t) и b(s, S'2, t) ра-
рациональны, каковы бы ни были подмножества Si и S2 мощ-
мощности < k. Тогда для подмножеств Sj и S2 мощности k после-
последовательно получим
C.2.1) L(s,Sut) =
= (L(s, S, \ {s}, s))' • ( U A{s,r)L (r, S, \ {s}, t)\
_ VreSi \ {s) ),
C.2.2) L(s,Ss,t)= M A(s, r)L(r, S2, r')A(r', t),
r, r'e Si
откуда вытекает рациональность L(s, Si, t) и L(s, S2, t). В част-
частности, язык L(s, S, t)= L(s, t) рационален, и то же самое спра-
справедливо для L. Формулы C.2.1) и C.2.2) иллюстрируются диа-
диаграммами
5 О .t S. .t
C.2.1)' C.2.2)'
9. Рациональные подмножества моноида 193
где пунктирные стрелки изображают пути, проходящие через
точки в 5i\ {s} для C.2.1)' и точки в 52 для C.2.2)'. □
Замечания, (а) В ходе доказательства теоремы Клини мы
отметили, что класс распознаваемых языков замкнут относи-
относительно пересечений. Это же можно доказать, заметив, что ука-
указанный класс замкнут относительно дополнений. В самом деле,
если U обозначает дополнение языка L в Л*, то синтаксические
конгруэнции PL и PL> совпадают и в силу предложения 1.8
L и U одновременно распознаваемы либо нет. Следовательно,
класс Rec/1* замкнут относительно всех трех булевых операций.
(Ь) Пусть L — подмножество моноида М. Левым (соответ-
(соответственно правым) частным множества L называется подмно-
подмножество из М вида Lm~x (соответственно m~xL) для некоторого
яеМ, где по определению
Легко устанавливаются следующие соотношения:
для любых /n,, m2eAft
Учитывая их, для доказательства того, что класс Re^* замк-
замкнут относительно левых и правых частных, достаточно пока-
показать, что L^RecA* влечет La~\ a~lL ^RecA* для любого
аеА. Пусть 91 = (S, f)—конечный Л*-автомат и L = {шеЛ*:
f(s0, w)^lT) для некоторых soeS, 7"s5. Мы имеем а~хЬ =
= {ше=Л*: f(f(s0, a), w)esT}, La-'=* {ш е Л*: f(s0, w)e=T'},
где Т = {seS: f(s, о)еГ}, откуда вытекает распознаваемость
языков a~lL и La~K
(с) Пусть ф: Л*->В* — гомоморфизм и LeRecB*. Тогда
существует гомоморфизм Ч* из В* в конечный моноид М, для
которого 4/'~14/'(L) = L. Отображение в = гР'оф является гомо-
гомоморфизмом 8: Л*->М, причем в-'0(ф-1A))= ф-'(/,). Предло-
Предложение 1.5 дает ф~'(/,)е ЙесЛ*. В дальнейшем полные прообра-
прообразы подмножеств моноида относительно гомоморфизмов мы бу-
будем кратко называть гомоморфными прообразами.
Резюмируем эти замечания в следующем утверждении.
Следствие 3.3. Класс всех распознаваемых подмножеств сво-
свободного моноида замкнут относительно булевых операций и об-
образования левых и правых частных. Распознаваемость сохра-
сохраняется также при переходе к гомоморфным прообразам.
В случае конечного алфавита в следствии 3.3 можно заме-
заменить распознаваемость на рациональность. Без ограничений на
7 Зак. 474
194 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
мощность А имеем:
C.3.1) LeRec/1*, если и только если L
где <в— множество всех подмножеств из Л;
C.3.2) L<=RatA*, если и только если LeRatS*
для некоторого конечного подмножества В из А.
Важным аспектом теоремы Клини служит возможность
строить любой распознаваемый язык L, используя элементар-
элементарные операции конечное число раз, что объясняет требование
конечности А в этой теореме. Начиная с этого места и до конца
книги всегда, если не оговорено противное, будем считать все
алфавиты конечными. В частности, утверждение «язык L ра-
рационален в Л*» необходимо предполагает конечность А.
Закончим этот параграф некоторыми замечаниями о синтак-
синтаксических моноидах распознаваемых языков. В доказательстве
теоремы 3.2 при построении Л*-автомата, распознающего L\ U L2,
мы образовали декартово произведение 9tiX$2 двух /^-автома-
/^-автоматов §1, и 212, распознающих L\ и L2. Если 21] и Щ суть минималь-
минимальные автоматы St(Li) и %(Ц) соответственно, то существует гомо-
гомоморфизм ф: 9t(Li)X9t(L2)->-9t(Li U L2) на минимальный автомат
языка Li\jL2 (см. предложение 1.6). Отсюда следует, что син-
синтаксический моноид M(L\\]L2) является гомоморфным образом
произведения M(Li)X M(L2). То же самое справедливо для
M(Lif\L2). Нетрудно также показать, что M(La~]) и M(arxL)
являются гомоморфными образами моноида M(L). Классы мо-
моноидов, замкнутые относительно декартовых произведений и де-
деления, еще раз появятся в § 5.
4. Рациональные коды.
Рекуррентные события
Основные результаты о кодах из § 3 гл. 5 могут быть улуч-
улучшены, если наложить дополнительное ограничение, считая рас-
рассматриваемые коды рациональными. Всюду в этом параграфе
основной алфавит А предполагается конечным.
Предложение 4.1. Пусть С — рациональный код над алфави-
алфавитом А, причем С* пересекает все двусторонние идеалы моноида
А* (г. е. C*f| А*хшА*ф0 для всех даеЛ*). Тогда С — макси-
максимальный код.
Доказательство. По теореме Клини язык С* распознаваем,
а по предложению 1.5 существует такой гомоморфизм ф: Л*->М
на конечный моноид М, что С* = ф-'ф(С*). Обозначив через D
минимальный идеал в М, из предположений относительно С*
выводим существование элемента и ^. С* (] ср~г (D). Так как
<р(«)е=£>, a D — конечная вполне простая полугруппа (либо
4. Рациональные коды. Рекуррентные события 195
одноэлементная полугруппа, что лишь упрощает доказатель-
доказательство), существует такое целое k, что к'еС* и ф(м*) = е — е2е=
е£>. Для любого Ь&А* элемент q>(ukbuk) = eq>(b)e лежит в
максимальной подгруппе с единицей е. Поэтому существует та-
такое / > 0, что ф ((ukbuh)') = ф (и*) = е. Равенство С* = ф-'ф (С*)
влечет (ukbukI ^С*. Следовательно, если Ъф.С, то множество
CU {Ь} не может быть кодом, так как слово (ukbukI имеет раз-
различные разложения над С\} {b}. D
Доказательство следующего результата снова подчеркивает
роль минимального идеала из М.
Предложение 4.2. Пусть С — рациональный код над алфави-
алфавитом А, причем С* пересекает все правые идеалы из А* (г. е.
С*[\хиА*ф 0 для всех w&A*). Тогда С — (полный) префикс-
префиксный код.
Доказательство. Мы рассуждаем, как и выше, используя го-
гомоморфизм ф: Л*->М на конечный моноид М, для которого
С* = ф~1ф(С*). Непосредственная проверка показывает, что
условия
(°16) M'w П ЛГ П wM' ф 0 влечет шеМ'
(гл. 5, предложение 2.2),
(°U\) M'w[\M' Ф0 влечет we.M' (гл. б, предложение 2.5),
характеризующие соответственно свободные подмоноиды М' и
свободные подмоноиды, порожденные префиксными кодами, со-
сохраняются как для образов, так и для полных прообразов отно-
относительно таких гомоморфизмов ф, что (p~1q>(M') = M/ (гл. 5,
упр. 2). Следовательно, достаточно доказать, что если подмоноид
М' конечного моноида М удовлетворяет условию (°16) и пересе-
пересекается со всеми правыми идеалами из М, то он удовлетворяет
и условию (<Ы\). Пусть D — минимальный идеал в М и D' —
— M'[}D. Тогда D — конечная вполне простая (либо одноэле-
одноэлементная) полугруппа, изоморфная рисовской матричной полу-
полугруппе Jt(G\ 1, Л; Р). Так как М' пересекается со всеми пра-
правыми идеалами в D, из упр. 10 гл. 3 следует, что D' изоморфна
полугруппе A(G'; I, Л'; Р'), где G' — подгруппа из G, Л' Е Л,
а Р' есть Л'X/-матрица с элементами из G'. Допустим, что
ш'х е М', где пг' е М' и х е М. Взяв произвольный элемент
d e D', найдем такой пг" е М, что xdm" ef {]D = D'. Так как
xd и xdm" должны лежать в одном и том же ^-классе из D, мы
получим xd = [g; i, К] и xdm" = [gr; i, X'] для некоторых g?B G,
g' e G', ie/, 1еЛ, Vg Л' (мы отождествляем элементы из D
и D' с соответствующими элементами рисовской матричной по-
полугруппы) . Поэтому можно выбрать пг" — \h\ i, X'], где /геб,
Элементы m'x и d лежат в М', откуда m'xd = [k; j, X"}, где
k е= G', j e /, %" e Л'. Элемент m'x dm" = [k; j, %"] ■ [h; i, X'] =>
7*
196 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
= \kpK4h; j, X'] лежит в М', так как m', xdm" етИ'. Поэтому
kpx,4h e G'. Учитывая, что k e G', рхч s G', получаем /г <= G'
и, следовательно, т" — [h; i, X'] е JW' р £>. Окончательно имеем
где все элементы, заключенные в скобки, принадлежат М'.
Условие {11) влечет х е М', показывая, что М' удовлетворяет
(<Ux). U
Имеется важная связь между префиксными кодами и некото-
некоторыми разделами теории вероятностей, касающимися рекуррент-
рекуррентных событий (см. Феллер [1957], т. I). Эта связь дает еще одну
интерпретацию понятия рациональности.
Определение 4.3. Распределением вероятностей (или распре-
распределением Бернулли) на множестве А называется функция л:
Л->[0, 1], такая, что п(а) > 0 для любого а е А и£аsл я (а)=
= 1.
Функция л может быть продолжена до гомоморфизма, также
обозначаемого буквой я, из А* в моноид [0, 11* относительно
обычного умножения действительных чисел1). Прямое индук-
индуктивное рассуждение показывает, что для любого п ^ 0 функ-
функция л определяет распределение вероятностей на Ап.
Для любого подмножества L из А* пара (L, л) называется
событием над A, a L называется носителем события (L, л).
Определим числа ип = л(Ь{\Ап) для каждого п^О и функцию
Ul(s) комплексной или вещественной переменной s, задаваемую
равенством UL (s) = £Г=о unsn. Число ип называется вероят-
вероятностью того, что событие (L, я) наступает в п-м испытании, а
функция Ul называется производящей функцией вероятностей
для (L, я). В том случае, когда степенной ряд UL(s) сходится
при s = 1, мы обозначим UlA) через я(Ь): я (£) = 2]а,еЕ/_я(ш)
всякий раз, когда эта сумма определена. Аналогично, если
VL{s) = Y^m,inunsn~l сходится при s==l, обозначим £/2A)
через %(L)\ % (Z.) = £ юе L I (w) я (w) всякий раз, когда эта сумма,
где /(до)'—длина w, определена. Она называется средней длиной
события (L, я).
В дальнейшем мы рассматриваем лишь случай L = С*, где
С — код над А. Кроме ип = л (С* (] А"), £/с<Ф) = ЕГ=о unsn,
привлекаем к рассмотрению также числа и„ = я(С(]Ап) и функ-
Дию Uc(s) = Y,7=ovnsn-
') И далее, как конечно-аддитивная, продолжается на U-полурешетку
конечных подмножеств из Л*. — Прим. перее.
4. Рациональные коды. Рекуррентные события 197
Предложение 4.4. Пусть С—код над алфавитом А и л —
распределение вероятностей на А. Производящие функции ве-
вероятностей Uc* для (С*, я) и Uc для (С, я) удовлетворяют
равенству t/c* (s) == 1/A — £/с (s)) для всех s из области сходи-
сходимости ряда Uс* (s).
Доказательство. Если хс = х'с'', где х, х' е С*, ас, с'е С, то
х = х? и с = с' в силу однозначности разложения в С*. Отсюда
следует, что для всех целых чисел i, j, таких, что i + / = п
(п > 0), множества (С* П А1) • (С Л А1) попарно дизъюнктны.
Поэтому из равенства
С[\Ап= U (С'ПЛ'МСПЛ7)
1+1=п
для « > 0 вытекает: ип—п(С*ПЛ")=Ег+/-«я(С* Л Л')я(СЛ ^0 =
==Z!*+/-rauit'/> Поскольку «0=li fo=»-O, для всех s из области
сходимости ряда £/с* (s) получаем
Uс* (s) = Ё "«s" = 1 + Z f E Wi) sn - 1 + £/c« (e)£/c(s).
П-О П-1 \i+7i(t /
Отметим также родство формулы A — i7c (s)) C/c* (s) == 1 и фор-
формулы A — С) С* = 1 для степенных рядов из § 2 гл. б. □
Предложение 4.5. Пусть С — префиксный код над алфавитом
Аил — распределение вероятностей на А. Тогда л (С) =
Е
Доказательство. Положим Сп = {с & С: 1(с)^.п}. Тогда
Сп — конечный префиксный код и n(C) = linin-»oo я(С„), так как
Сп £= Сп+1 влечет л(Сп) ^ я(С„+1). Поэтому достаточно показать,
что я(С„)^. 1 для всех п ^ 1; тот факт, что я(С„) — неубываю-
неубывающая последовательность, сходящаяся к л(С), даст нам л(С) ^ 1.
Для с е С„, в силу префиксности, множества сА"-'^ попарно
дизъюнктны, откуда
я(С„)= Е я(с)=
С
= я( М сАп~1
Определение 4.6. Пусть С — префиксный код над алфавитом
А и я — распределение вероятностей на А. Событие (С*, я) на-
называется рекуррентным событием. Оно называется возвратным,
если я(С)= 1, и невозвратным, если я(С)< 1 '),
') В оригинале «persistent» и «transient» соответственно; мы употребили
стандартные русские термины из теории цепей Маркова, которая использу»
ется в § 4 гл. 8. — Прим. перев.
198 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Пример 4.7. Взяв алфавит А = {а, Ь) с распределением ве-
вероятностей п{а) = р, K(b) — q, где р + q = 1, рассмотрим собы-
событие (L, я), где L= (шеЛ*: daw — dbw}. Язык L, называемый
языком Дика, порождается бесконечным бипрефиксным кодом
D. Мы оставляем читателю в качестве упражнения тот факт, что
синтаксический моноид языка L = D* порождается подстанов-
подстановками а, В множества Z, определяемыми формулами па = п + 1,
пБ = п — 1 для всех neZ, Отсюда следует, что этот синтакси-
синтаксический моноид изоморфен моноиду (Z, +, 0). Ниже приведен
йабросок части дерева, представляющего D ').
Число слов в D* длины 2« равно (^). Поэтому
и2п = я (D- П А2п) = ( 2„" ) р V. П+1 = 0.
Следовательно, производящая функция вероятностей для (£>*, яI
есть
Применяя предложение 4.4, получим производящую функцию
для (D, я): Е/д (■;)=:— У1-4Р<?.52, откуда я(£>) = Х1Г-о
оA)=1 — Vl — 4pq- В случае р = q = 1/2 имеем л(£>) =
= 1, т. е. рекуррентное событие (£>*, я) возвратно. В слу-
случае р^^ получаем я(£>)< 1, т. е. (£>*, я) невозвратно. Этот
пример, данный Феллером, подчеркивает ценность следующего
результата.
Предложение 4.8. Писть {С*,п)—рекуррентное событие, где
С — рациональный префиксный код над алфавитом А, я — рас-
') Фактически это граф состояний бесконечного автомата, распознаю-
распознающего D* (см. примеры 1.10,3}.**- Прим, перев.
4. Рациональные коды. Рекуррентные события 199
пределение вероятностей на А, Тогда
(a) (С*, к) возвратно, если и только если С — полный прв~
фиксный код;
(b) средняя длина МО = £ш«=с 4w)n (w) события (С, я)
конечна, если С полон ').
Доказательство. В случае неполного кода С существует та-
такое слово шеЛ*\С, что C\j{w} — префиксный код. Поэтому
я(С)<я(С) + я(ш) = я(Си {w})^ 1, т. е. событие (С*, я) не-
невозвратно. Это показывает, что возвратность события (С*, я)
влечет полноту кода С. Обратно, если С—полный префиксный
код, Р — множество всех собственных (т. е. не лежащих в С)
левых делителей слов из С, то А* = С*Р (гл. 5, предложе-
предложение 3.2(d)), причем любое слово иеД' записывается в виде
w'z (w' eC*,zs P) единственным образом. В самом деле, если
w\zi=w'2z2, где w[, да^еС', ги г2е Р и, например, l(w'^~^
^ I (w'2), то w\ = w'2c для некоторого с е С*. Отсюда выводим
cz\ = z2 и, так как С |"| СА+=0, получаем с = \,w\ = w'2, zx = z2.
Переходя от равенства А* = С*Р к производящим функциям
вероятностей, получаем
или Т^Т^ 1-Е/ (а) 'ир№-
Отсюда следует, что UP(s) = (\ — Uc(s))/(l—s). Поэтому
я(С)== С/сA)= 1, если Е7рA) = я(Р) конечно. Заметим, что в
случае конечного я(Р)
я (Р) = lim ' " U°(S) = Uc A) - X (С).
Таким образом, доказав, что рациональность С влечет конеч-
конечность п(Р), мы получим я(С)= 1, завершив доказательство (а),
а также установим конечность Х(С), т. е. докажем (Ь).
Лемма 4.9. Пусть С — рациональный полный префиксный
код над алфавитом А, Р — множество всех собственных левых
делителей слов из С. Для любого распределения вероятностей
я на А величина я(Р) конечна и, следовательно, я(Р) С
Доказательство. Существует частичный Л*-автомат 9t= E,/),
где S = {so, Si, ..., st}, f(st,a) не определено для всех as Л
и С = (ше/1': f(so,w) = st} (см. примеры 1.10.2). Далее, су-
существует слово оеЛ*, такое, что f(si, v) — 0 для г = 0, 1, ...
..., t—1. Чтобы построить такое v, возьмем vo&A*, для ко-
которого f(s0, uo)'=I0; если vi таково, что f(.<s0, Vi) — 0, f(sh Vt) =
') Отметим, что в примере 4.7 при р •=» q «■» 1/2 получается h(D) == оо,—.
Прим. пеоев.
200 Гл. 6. Автоматы и Синтаксические моноиды
= 0, ..., f{si, vi) = 0, найдем f{si+u vt); в том случае, когда
f(st+u Vi) = 0, положим Vi+\ = vi, а в случае f(s<+i, vi) = s,- по-
положим Vi+i = viu, где f(Sj, и) = 0. Теперь для любого »еЛ*
имеем f(s0, wv) = 0. Поэтому A*v s CA+. Если р е Р, то равен-
равенство р == u\vui, где «1, и2е/4*, невозможно, ибо в противном
случае было бы р^СА+, что противоречит условию С[]СА^• =
= 0. Поэтому РеЛ*\Л*оЛ* и я(Р)^я(Л*\Л*иЛ*). Пусть
/ = Л*\Л*иЛ* и k = l(v). Положив ]i = J[\(Ak)*А1 для всех
г, 0 ^ i < &, получим /= Ufjo ^ и/(£ Л'/о. Отсюда следует,
что я (/)<5£d п (Л) <Zf~o я (Л0 я (^о)=^я (/о). Но /0=/ П {Ak)'s
^(Ak\{v})\ Поэтому я(/0)^я((Л*\{о})*). Производя-
Производящей функцией вероятностей для события (D = Ak\{v}, л) слу-
служит £/c(s) = (l —n(v))sk. Из предложения 4.4 вытекает
\-(\-n(v))sR
Следовательно, n(P) ^L k(J) ^ Izk(Jo) ^ k/n(v), что и доказы-
доказывает конечность п(Р). П
Замечание 4.10. Если дано распределение вероятностей я на
множестве А, то отображение ф: Л->^[[$]], определенное ра-
равенством ф(а) = я(аM, продолжается единственным образом до
гомоморфизма, также обозначаемого буквой ф, кольца степен-
степенных рядов #[[Л]] в /?[[«]]. Если L — рациональное подмноже-
подмножество из Л*, то, как мы видели (предложение 2.4), его характе-
характеристический степенной ряд %(L) является однозначным рацио-
рациональным степенным рядом из /?[[Л]]. Отсюда следует, что
ф(х(£)) = ^i(s) есть рациональный степенной ряд в i?[[s]].
Таким образом, производящая функция вероятностей события
с рациональным носителем есть рациональная функция.
5. Псевдомногообразия моноидов
и потоки языков
В этом параграфе мы рассмотрим следующую проблему:
возможна ли классификация рациональных языков L из Л* в со-
соответствии с алгебраическими свойствами их (конечных) син-
синтаксических моноидов M(L)? Основные трудности, возникаю-
возникающие в ходе решения этой проблемы, следующие:
(a) не всякий моноид является синтаксическим моноидом
какого-либо языка;
(b) различные языки могут иметь изоморфные синтаксиче-
синтаксические моноиды.
Основная идея, привлекаемая к решению этой проблемы, со-
состоит в изучении поведения пар (Р, М), где Р — подмножество
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 201
моноида М, относительно гомоморфизмов. Первым шагом яв-
является
Лемма 5.1. (а) Пусть 6: А*-*-М — сюръективный гомомор-
гомоморфизм и L = 8~1(P) для некоторого -подмножества Р из М. Су-
Существует единственный сюръективный гомоморфизм о: М-+-М (L),
такой, что ст°8 = Ц>ь, где q>L: A*-+M{L) —синтаксический гомо-
гомоморфизм.
(Ь) Обратно, если для некоторого L^A* существует сюръ-
сюръективный гомоморфизм о: M-+M(L), то существуют такие
6: Л*->М и Р^М, что q>L = OoQ и Q~l(P) = L.
Доказательство. Эта лемма утверждает, что следующие диа-
диаграммы могут быть дополнены до коммутативных:
M(L) M(L)
E.1.1) E.1.2)
(a) Для любого meM найдется такое w e А*, что 8 (w) =m.
Положим а(т) — q>i,(w). Желая показать, что о корректно опре-
определено, допустим, что Q(w)= Q(w'). Если uwv e L, то Q(uwv) =
= Q(uw'v)^P и uw'v^. 8~'(Р) = L. Аналогично, uw'v^L влечет
uwv e L, откуда следует ф*,(и>) = <fL(w'). Доказательство того,
что ст — единственный сюръективный гомоморфизм, для которого
q>L = о о 6, мы оставляем читателю в качестве упражнения.
(b) Для любой буквы а е А выберем такой элемент та еЛ4,
что о(та) = Ц>1.(а). Это возможно, поскольку о сюръективен. По-
Положив 8(а) = та, продолжим это отображение до гомоморфизма
А* в М, также обозначив его символом 6. Равенство aoQ = tpL
следует из определения 8. Из ф£1ф£(£) = £, выводим
B~1o-1(fL(L)= L и, взяв Р = 0-4pL(L), получаем e~'(P) = L. □
Определение 5.2. Подмножество L моноида М называется
дизъюнктивным, если синтаксическая конгруэнция, определяе-
определяемая L на М, совпадает с отношением равенства на М.
Предложение 5.3. Моноид М тогда и только тогда является
синтаксическим моноидом некоторого языка, когда М содержит
дизъюнктивное подмножество.
Доказательство. Пусть LeA* и q>L\ A*-+M(L)—синтакси-
A*-+M(L)—синтаксический гомоморфизм. Тогда множество P = (pL(L) дизъюнктив-
дизъюнктивно в M(L). В самом деле, предположим, что хгп\у^.Р, если и
только если xm2y e P (х, у, mu m2eAf(L)). Пусть слова
W\, w2eA* таковы, что y(wi) = ml и ф(йУ2).= Щ- Мы имеем
202 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
цепочку равносильных утверждений:
uwiv e L <=> yL (и) тхЧь (v) <= Р <=> ф^ (и) т2ф£ (о)
Первая и последняя равносильности обусловлены равенством
q>l1q>L(L) = L. Отсюда получаем q>L(wi) = q>L(w2) или mi = m2.
Обратно, если М содержит дизъюнктивное подмножество Р, рас-
рассмотрим свободный моноид А*, для которого существует сюръек-
тивный гомоморфизм 8: А*-*-М (см. гл. 1, § 4). Для L = Q~l(P)
по лемме 5.1 (а) найдется такой гомоморфизм о: M-*-M(L), что
9l = oo0. Предположим, что a (mi) = a (ni2) или, равносильно,
() = <Pl(w2) для некоторых W\, w^eA*, таких, что в(a^i) =
nil, 6(Ш2) = т2. Если хт\у е Р, то, взяв такие слова и, о еЛ*,
что 8(и) — х, 8(u) = i/, получим uwxv<=L. Отсюда следует, что
uw2v ei и х»г2^ е 6(L) = Р. Аналогично, хт^у е Р влечет
А'/П]^ е Р. Так как Р дизъюнктивно в М, получаем пц = тг, т. е.
0 инъективен и потому является изоморфизмом. □
Пример 5.3.1. Пусть Rn — моноид, полученный присоеди-
присоединением единицы 1 к л-элементной полугруппе Rn правых нулей.
Для произвольного подмножества L из r\ контекстами отно-
относительно L любого элемента xeL\{l} служат все пары
(и, v) е (^?дХ L) U (rI X {!})• Аналогично, контекстами относи-
относительно L любого х е Rn\L служат все пары («, у) е /?i X
Х(^\{1})- Поэтому из существования дизъюнктивного под-
подмножества в Rn следует п ^ 2. Обратно, при n ^ 2 любое мно-
множество вида {х}, где хеУ?п, дизъюнктивно в Rln. Таким обра-
образом, при п > 2 моноид Rn не может быть синтаксическим мо-
моноидом никакого языка. Далее, для любого алфавита А, при
условии card/4^2, и любого собственного непустого подмно-
подмножества А' из Л синтаксическим моноидом языка А*А' служит
R\; тем самым показано, что различные языки могут иметь
один и тот же синтаксический моноид.
Лемма 5.4. Если L — дизъюнктивное подмножество моноида
М, то любое подмножество в М можно получить из L, применяя
лишь булевы операции и образование левых и правых частных
посредством Элементов из М.
Доказательство. Для произвольного подмножества L из М
тогда и только тогда будем иметь (пг, пг')^Рь, когда т'е
s u~xLv~x для всех пар и, сеМ, таких, что umveL, и m'e
er'(MV)!)-1 для всех пар и, ceiH, таких, что umv ф. L.
В случае дизъюнктивного L класс конгруэнции PL, содержащий
пг, одноэлементен. Поэтому
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 203
Лемма вытекает из этого замечания. D
В следующей серии лемм подготавливается ответ на вопрос:
когда для данных языков /(дЛ'.и L S В* моноиды М(К) и
M(L) изоморфны?
Лемма 5.5. Пусть М — моноид и LsA*. Следующие условия
равносильны:
(a) существуют гомоморфизм В: А*-*-М и подмножество Р
из М, такие, что B~l(P)= L;
(b) M(L) делит М (т. е. M(L) является гомоморфным обра-
образом некоторого подмоноида из М).
Доказательство. Это утверждение есть не что иное, как лем-
лемма 5.1, переписанная без условия сюръективности соответствую-
соответствующих гомоморфизмов.
Следствие 5.6. Пусть /С = Л*, L s В* и X: А*-+В* — такой
гомоморфизм, что A,-'(Z,) =/(. Тогда М(К) делит M(L).
Доказательство. Рассмотрим cpz.: B*-*-M(L) и Р = <Pl(L).
Имеем e = cpLoA,: A*-+M(L) и 0~1(Р) = (ф^Л)"(Р) = А^фГ1 о
о (pL{L) = Я (L) = К. Из леммы 5.5 следует, что М(К) делит
M(L). □
Следующий результат представляет собой утверждение, об-
обратное к следствию 5.6.
Лемма 5.7. Пусть К Е А* и L &. В*. Если М(К) делит
M(L), то существуют гомоморфизм X: Л*->В* и язык U s В*,
такие, что X~l (Z/) = К и L' может быть получен из L примене-
применением только булевых операций и операций образования левых
и правых частных посредством элементов из В* [если L рациона-
рационален в В*, то требуется лишь конечное число этих операций).
Доказательство. По лемме 5.5 существуют гомоморфизм
0: A*-+M(L) и подмножество Р из M(L), такие, что Q-l(P)=K.
Рассматриваемая ситуация показана на следующей диаграмме:
i\T
м(к)
Для каждой буквы а^А определим X(a) = wa, выбрав такое
wa в В*, что cpz.(&ya) = 8(а), и продолжим X до гомоморфизма
X: А*-+В*. Для любой а<=А мы имеем срД(а) = 6(а), откуда
ЩоХ = в. Взяв L'=<fL[ (Р), получим А~'(^0 == Я,"^1 (Я) —
204 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
=0 '(?) = /(.Так как ц>ьЩ дизъюнктивно в M(L) (см. доказа-
доказательство предложения 5.3), множество Р может быть получено
из cpz.(L) при помощи лишь булевых операций и образования
левых и правых частных посредством элементов из M(L) (лем-
(лемма 5.4). Поскольку булевы операции и образование левых и пра-
правых частных сохраняются при переходе к гомоморфным прооб-
прообразам1), U можно получить из L указанным способом. Если
L — рациональный язык в В*, то M(L) конечен и L' можно по-
получить из L, применяя лишь конечное число булевых операций
и операций образования левых и правых частных. □
Всякий раз, когда существуют гомоморфизмы X: Л*->В* и
ц: В*-*-А*, такие, что "k-l{L) = K и ц~1{К) = L, мы будем гово-
говорить, что языки К^А* и LsB* взаимозаменяемы (exchan-
(exchangeable by homomorphisms). Из следствия 5.6 и леммы 5.7 непо-
непосредственно выводим
Следствие 5.8. Пусть К £ А* и L = В* —рациональные языки,
М(К) и M{L)— их синтаксические моноиды. Если К и L взаимо-
взаимозаменяемы, то М(К) и M(L) изоморфны. Обратно, если М(К)
и M{L) изоморфны, то существуют рациональные языки К' £ А*,
L' е В*, такие, что
(a) К' и L {соответственно L' и К) взаимозаменяемы;
(b) К' может быть получен из К {соответственно V может
быть получен из L) применением лишь конечного числа булевых
операций и операций образования левых и правых частных по-
посредством элементов из А* {соответственно В*).
Это следствие естественно приводит к следующему понятию.
Определение 5.9. Поток (stream) языков 9" — это класс пар
{А, 9'{А*)), где А — конечное множество, а 9"{А*)— семейство
подмножеств свободного моноида А* на А, удовлетворяющее
условиям:
(a) 9(А*) замкнуто относительно булевых операций (т. е.
Lu L2ez9!'(A*) влечет Li[}L2, Lx{\L2s=9>{A*); L<z=9>{A*) вле-
влечет 4*\Le=^D*));
(b) 91 (Л*)' замкнуто относительно образования левых и пра-
правых частных посредством элементов из А* (т. е. L^.9'{A*),
w е А * влечет w~xL, Lw~l e 91'{А*));
(c) для любого гомоморфизма 6: Л*->-В* условие L <=9Р{В*)
влечет Q~l (L) <= & (А*).
Краткости ради мы будем писать LeJ' (хотя это и некор-
некорректно) всякий раз, когда существует такое множество А, что
1) Пусть ф: M-*-N — гомоморфизм, n&N и А — подмножество из N.
Для любого m е М, такого, что ф(т) = п. имеем ф-Чп-М) = т-'ф-ЧЛ)
и Ф-1(Лп-') =ф-.(Л)т-1, ' ^> • ^ к>
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 205
*). Согласно данному определению рациональные язы-
языки, имеющие изоморфные синтаксические моноиды, принадле-
принадлежат одному и тому же потоку языков. Вообще говоря, языки
из одного потока не обязаны иметь -изоморфные синтаксические
моноиды, как показывает пример потока 9"R всех рациональных
языков: 9>R = {(Л, Rat Л*)} (следствие 3.3).
Выясняя, как сформулированные выше условия (а), (Ь), (с)
переводятся на язык синтаксических моноидов (см. заключи-
заключительные замечания в § 3), мы приходим к понятию псевдомно-
псевдомногообразия моноидов.
Определение 5.10. Класс Ж моноидов называется псевдомно-
псевдомногообразием (или потоком1)) моноидов, если
(a) Ж замкнут относительно образования фактормоноидов
и подмоноидов (т. е. М е Ж влечет М/р е Ж и М' е Ж для лю-
любых конгруэнции р на М и любых подмоноидов М' из М);
(b) Ж замкнут относительно образования конечных декарто-
декартовых произведений (т. е. Ми М2еЖ влечет МХМЖ)
Класс Ж моноидов называется многообразием, если Ж удов-
удовлетворяет условию (а) выше, а также условию
(Ь') Ж замкнут относительно образования произвольных де-
декартовых произведений (т. е. если Mi е Ж для всех / е /, где
/ — произвольное множество, то Цг е 7 Mi e Ж).
Все конечные моноиды из произвольного многообразия мо-
моноидов образуют псевдомногообразие2). Класс всех групп не
является многообразием моноидов (так как в бесконечных груп-
группах имеются подмоноиды, не являющиеся группами; например,
N° в Z), но класс всех конечных групп образует псевдомного-
псевдомногообразие моноидов. Другие примеры будут приведены позже.
_ Для произвольного класса Ж моноидов обозначим через
3? {Ж) класс, состоящий из всех пар (А, Ж (А*)), характеризуе-
характеризуемых условием: L е1(Л*), если и только если М(Ь)<=Ж. С дру-
другой стороны, для любого класса 2 пар (А, 9?(А*)) обозначим
посредством ЖC?) наименьшее псевдомногообразие моноидов,
содержащее все моноиды M(L), где L<^.9?{A*). В обоих слу-
случаях А — произвольное конечное множество. Обозначив через
') Употребительны также термины «S-многообразие» и «род» (genus).
Вместе с тем термин «псевдомчогообразие» употребляется в алгебре иногда
в другом смысле — для классов, задаваемых универсальными формулами,
имеющими вид дизъюнкций равенств термов. — Прим. ред.
2) Отметим, что в работах, посвященных псевдомногообразиям конечных
полугрупп или моноидов, вместо термина «псевдомногообразие» нередко упо-
употребляется термин «многообразие», что в контексте соответствующих работ
не приводит к недоразумению. — Прим. ред.
206 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
(JO псевдомногообразие, порожденное классом Ж, перепишем
определения для £ и Ж в виде формул
E.10.1) &{Л) = {{А, Л (А*)): Л—конечное множество},
где Ж(А*)— {L s Л*: M(L)^
E.10.2) Ж(&)=({М(Ц: L<=2{A*), (A,
Теорема 5.11 (Эйленберг [1976]). Формулы EЛ0.1) и
E.10.2) определяют взаимно обратные биекции 2? и Ж между
псевдомногообразиями конечных моноидов и потоками рацио-
рациональных языков: £{Ж{9})) = 9> и ЖC'(Ж)) = Ж для любого
потока 9" рациональных языков и любого псевдомногообразия
Ж конечных моноидов.
Формула E.10.2) определяет псевдомногообразие ЖC?) в
терминах порождающих его моноидов. Прежде чем доказывать
теорему 5.11, установим одно характеристическое свойство всех
моноидов MeI(J') для произвольного потока 9 рациональ-
рациональных языков. Можно заметить, что если М(Ь)^.Ж{9>), где
L{B*), и К ^ Л* — такой язык, что М(К) делит M(L), то
) в силу леммы 5.7 и определения потока языков. По-
Поэтому представляется естественным ввести в рассмотрение сле-
следующий класс 2) {9") моноидов:
E.11.1) 0(£?)={М:М конечен, и если L<=A* и
M(L) делит М, то L
Очевидно, класс ЗЬ{ЗР) замкнут относительно образования
фактормоноидов и подмоноидов. Более того, верна
Лемма 6.12. Для произвольного потока 9" рациональных язы-
языков класс ®(9"), определенный формулой E.11.1), является
псевдомногообразием моноидов, которое совпадает с псевдомно-
псевдомногообразием Ж(9>), определенным формулой E.10.2).
Доказательство, (а) Пусть Ми М2ей)(У), и предположим,
что M(L) делит МгХМ2 для некоторого ЬшА*. По лемме 5.5
существуют 8: А*-+М\ Х-М2 и Ps M{ X М2, такие, что ^(Р)^
= L. Поскольку
Р- U [({mi}XAf2)n(M,XW)],
(m,, tut) e P
L можно выразить через 8-'({/ni} X ^2) и 0—J(Л! 1 X {/л2}), ис-
используя конечное число булевых операций. Но, например, L\ =*
= 8-'({mi} XMi) = (Я1 °Q)~l({mi}), где л, — проекция Mi X М2
на Mi. Снова по лемме 5.5 M(L\) делит Ми и, поскольку Мх <=
ей5(^), получаем U ев9>{А*). Аналогично, L2=Q-1 (Mi X{m2})
лежит в 9"(А*) и потому Ь^.9"{А*). Следовательно, класс
S. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 207
3)(9>) замкнут относительно конечных декартовых произведе-
произведений и является псевдомногообразием.
(b) Мы уже отмечали, что моноиды, порождающие Ж(9>),
лежат в 3){9>). Отсюда следует, что Ж{9!)^3){9'). Обратное
включение вытекает из следующего шага, достаточно важного,
чтобы выделить его.
(c) Для любого моноида М существуют свободный моноид
А* и сюръективный гомоморфизм ср: А*-+М. Положив Lm =
=9-!(/n) для каждого пг^М, убедимся, что Кегср= Пте-м^ь •
В самом деле, если q>(wi)=* q>(w2), то для любого те.М
uwxv <= Lm -фф-ф(идо, и) = т -4=>ф (uw2v) = m<=>uw2v е L
m.
Обратно, если {wu до2) е ПтбЕл1^т> т0> в частности, (ш1( да2) s
еРг , . Условие Iw^l e Lф(Шl) влечет 1да21 ^ ^ф(ш,)> т. е.
(р(ку2) = cp(t«i). Следовательно, Л4 изоморфен подпрямому произ-
произведению моноидов M(Lm) — A*/PLm (см. гл. 4, упр. 4). В случае
МеЙ(^) из того, что M(Lm) делит М, вытекает Lm
откуда MeiW. □
Доказательство теоремы 5.11. Из теоремы Клини и замечаний
в конце § 3 следует, что для данного псевдомногообразия Ж
конечных моноидов класс 9? {<£) является потоком рациональ-
рациональных языков. Обратно, для произвольного класса 1? конечных
моноидов — в частности, для синтаксических моноидов языков,
принадлежащих рациональному потоку 9", — существует наи-
наименьшее псевдомногообразие, содержащее ЧР, а именно — пере-
пересечение всех псевдомногообразий, содержащих 9?. Поэтому S и
Ж устанавливают соответствие между классами, указанными в
теореме. Мы теперь должны показать, что 9? и Ж взаимно
обратны.
(a) 9> = S'{Ж~{9>)). Если 1е^(Л*), то ясно, что Af(L)<=
е=Ж{9>) E.10.2). Отсюда следует, что L<= 2[(Ж(9>)) (А*).
Обратно, если язык Lg/1* таков, что М{1)^Ж{9!) = к){9>),
то, поскольку M(L) делит сам себя, E.11.1) влечет L^9'{A*).
(b) Ж=>Ж{2>{Ж)). Включение Ж{§{Ж))^Ж очевидно,
так как псевдомногообразие Ж(9?{М)) порождается синтакси-
синтаксическими моноидами М(Ь)^Ж. Обратно, покажем, что jfs
^Ж{2'{Ж)). Пусть Me Ж, а язык 1еЛ* таков, что M(L)
делит М. Тогда МЩ^Ж, откуда Ь^Ж(А*). В силу E.10.1)
имеем /,ег(/0И*), получая М е 3){£{Ж)) —1{S[Ж)). П
Пункт (с) доказательства леммы 5.12 вместе с теиремой
5.11 дают
208 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Следствие 5.13. Пусть Ж— псевдомногообразие конечных мо-
моноидов. Любой моноид М еЖ является подпрямьш произведе-
произведением синтаксических моноидов языков из потока 3?(Ж).
Мы закончим эту главу кратким обсуждением псевдомного-
псевдомногообразий. Пусть X*— свободный моноид на счетном алфавите X,
a R—отношение на X*. Мы говорим, что моноид М удовлетво-
удовлетворяет R, если для любого гомоморфизма ср: Х*-+М имеем ф(и) =
= ф(у) для любой пары (и, v)^R. Интуитивно это означает,
что при замене букв из X в любой паре (и, v)^R произволь-
произвольными элементами из М всегда получается верное равенство
между элементами из М. Обычно пары из R записываются в
виде и = v, а про моноид М, удовлетворяющий R, говорят
также, что он удовлетворяет тождествам и — v (для всех
(и, t))ei?). Например, моноиды, удовлетворяющие тождеству
ху = ух, называются коммутативными, а моноиды, удовлетво-
удовлетворяющие тождеству xyzyx = yxzxy, называются 2-ступенно ниль-
потентными'). Почти непосредственно из определения б. 10
вытекает, что класс Jt(R) всех моноидов, удовлетворяющих
множеству R тождеств, является многообразием моноидов.
Обратное также верно: для любого многообразия Ж монои-
моноидов существует такое множество R тождеств, что Ж = Ж(К)
(упр. 11, 12). Это знаменитый результат, принадлежащий
Биркгофу [1935] и справедливый для любой алгебраической
структуры.
Чтобы охарактеризовать псевдомногообразия конечных мо-
моноидов, предположим, что нам задано линейно упорядоченное
множество тождеств R={(ui, и;)е1*Х^*: fe/}. Порядок,
заданный на индексирующем множестве /, обозначается через
^. Моноид М финально (ultimately) удовлетворяет множеству
R, если для любого гомоморфизма ф: Х*-+М существует такой
индекс k е /, что ф(и<) = ф(у/) для всех i ^ k. Записывая пары
из R в виде Ui =*= у,- для всех i е /, мы также говорим, что М
удовлетворяет тождествам Ut^=Vi для достаточно больших i.
Как и выше, можно проверить — и это оставляется читателю в
качестве упражнения, — что класс Жи№) всех моноидов, фи-
финально удовлетворяющих тождествам и,- = у,-, i e /, является
псевдомногообразием моноидов. Обратным утверждением для
псевдомногообразий конечных моноидов служит следующий ре-
результат, принадлежащий Эйленбергу и Шютценберже [1976].
*) В смысле А. И. Мальцева (см. работу «Нильпотентные полугруппы»
в книге А. И. Мальцева [1976*]). Согласно оригинальному определению Маль-
Мальцева, 2-ступенная нильпотентность полугруппы определяется тождеством
хиугуих = yuxzxuy. Нетрудно проверить, что тождество, приведенное авто-
автором, влечет за собой тождество Мальцева; для моноидов очевидна обратная
импликация. Таким образом, для моноидов эти два тождества равносильны. —
Прим. ред.
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 209
Предложение 5.14. Для любого псевдомногообразия Ж ко-
конечных моноидов существует множество R тождеств ut=vt,
i <= N, такое, что Ж = Жи(Я).
Доказательство. Так как все моноиды из Ж конечны, их
можно занумеровать: Ми М2 Мп, .... Для каждого neN
образуем моноид Рп = М\ Х-МгХ--.. Х-М„ и обозначим через
Rn множество всех выполняющихся в Рп тождеств над алфави-
алфавитом Х„, состоящим из первых п букв алфавита X. По определе-
определению, рассматривая Rn как отношение на X*, имеем Rn = Пф Кег ф,
где пересечение берется по конечному множеству всех гомомор-
гомоморфизмов ф: Х*п-*-Рп. Отсюда следует, что X*njRn есть подпрямое
произведение конечного числа конечных моноидов Х^/Кегф (мо-
(моноид Х*/Кегф конечен, будучи изоморфным подмоноиду в Рп).
Поэтому моноид X*njRn также конечен, и, в силу упр. 11 из
гл. 1, существует конечное подмножество R'n из Rn, такое, что
{^п* Rn) и {^п' R'n) СУТЬ эквивалентные копредставления мо-
моноида Xn/Rn. Положим /?=иГ=1^п и убедимся, что Ж =
— Жи№). Если М&Ж, то существует такое k, что М делит Рп
для всех п ^ k; следовательно, М удовлетворяет тождествам из
R'n для всех п ^ k, т. е. М^Жи{к). Обратно, если конечный
моноид М удовлетворяет R'n для всех п ^ k, то, взяв п ^
:>max(&, cardM) и произвольный сюръективный гомоморфизм
0: Х*п-*М, получим 8(и) = 8(у) для любой пары (и, v)<^R'n,
Поэтому ^sKer0, и диаграмма
E.14.1)
может быть дополнена до коммутативной с помощью сюръектив-
ного гомоморфизма ф: X*njR'n->M. Так как X"JR'n дел.ит конеч-
конечное произведение моноидов, делящих моноид Рп^Ж, мы имеем
М е Ж, что и завершает доказательство равенства Ж = Жи^).
U
Примеры 5.15. (а) Псевдомногообразие всех конечных групп
можно определить тождествами xnl = 1 (здесь и в дальнейшем
параметр п всегда пробегает N). Если группа G имеет порядок
k, то для любого х е G выполняется xk = 1 и, следовательно,
хпХ = 1 для всех п ^ k. Обратно, любой моноид, удовлетворяю-
удовлетворяющий тождеству хм — 1 для некоторого п, есть группа.
210 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
(b) Псевдомногообразие всех конечных моноидов с тривиаль-
тривиальными подгруппами (т. е. комбинаторных конечных моноидов)
определяется тождествами л" + 1==х".
(c) Все конечные клиффордовы моноиды образуют псевдо-
псевдомногообразие, определяемое тождествами х1+п1 = х. Доказа-
Доказательство аналогично доказательству примера (а).
(d) Псевдомногообразие конечных моноидов, финально удов-
удовлетворяющих тождествам (ху)п х = (ху)п, состоит из всех ко-
конечных моноидов, на которых гриновское отношение 52 совпа-
совпадает с равенством. В самом деле, для любых х, у^М имеем
{ху)п(ху)п = (ху)п для некоторого п и, следовательно,
(ху)пх!%(ху)п, откуда — если 52 совпадает с равенством —
(ху)"х = (ху)п. Обратно, если (ху)пх==(ху)п, то xSly влечет
х — уи, у = xv и, значит, х — xvu — x(vu)n = x(vu)nv = xv — у.
Следующее предложение обобщает пример 5.15(Ь). Оно при-
принадлежит Шютценберже [1965с].
Предложение 5.16. Пусть & — псевдомногообразие групп, а
{*§) — класс всех конечных моноидов, подгруппы которых при-
принадлежат 9. Тогда Ж{^) — псевдомногообразие моноидов; оно
называется псевдомногообразием, индуцированным 9.
Доказательство. Если М^Ж(&) и М' — подмоноид из М, то
любая подгруппа из М' есть подгруппа из М, откуда М' ен ЖС§).
Аналогично, если M = MiX^2, где Ми М2е1(^), то любая
подгруппа Я из М имеет в качестве единичного элемента пару
(^ь e-i), где е\ = ех^ Мх и е\ = е2^. М2. Поэтому Н — подгруппа
в #!Х#2, где Н( — максимальная подгруппа из Mi, единицей
в которой служит е,- (/= 1, 2). Отсюда следует, что Н е 9 и
Mei(^). Наконец, предположим, что М^Ж(9) и М'—у{М)
для некоторого гомоморфизма ср. Пусть Н' — подгруппа из М',
е' — единица в Я' и /С = ф~1(Я/). Так как моноид М конечен,
К — конечная подполугруппа в М. Мы утверждаем, что для про-
произвольного идемпотента е из минимального идеала полугруппы
/( выполняется q>(eKe) = H'. В самом деле, ф(е/Се)£#'; далее,
для любого ze//' существует такой а' е= К, что ср (х) = z; отсюда
следует, что q>(exe) = ф(еJф(е) = е'г;е/ = z, т. е. ze<p(e/(e), и
тем самым получаем ц>(еКе) = Н'. Заметим теперь, что мно-
множество еКе — eKf)Ke является ^-классом идемпотента е в К
и, следовательно, подгруппой из /CsM. Поскольку Н'— фактор-
факторгруппа этой подгруппы, мы выводим Я'е^ и М'^Ж(д). D
Налагая условие принадлежности максимальных подгрупп
некоторому псевдомногообразию групп, мы получаем дальней-
дальнейшие примеры псевдомногообразий моноидов: конечные моноиды
с абелевыми подгруппами, с нильпотентнымн подгруппами, с
разрешимыми подгруппами и т. д.
Библиографические замечания 211
Замечание 5.17. Все результаты этого параграфа относятся
к категории моноидов. С соответствующими изменениями они
оказываются справедливыми и в категории полугрупп. Синтак-
Синтаксический моноид M(L) языка L<=A* заменяется синтаксической
полугруппой S(L) языка LsA+. Она определяется как фактор-
полугруппа полугруппы Л+ по конгруэнции
crL — {(wi, w2)^A+X,A+: uwfl^L, если и только
если uw2v e L для всех к, на Л*}.
Аналог теоремы 5.11 утверждает существование биекции между
псевдомногообразиями конечных полугрупп и потоками рацио-
рациональных языков из свободных полугрупп. Примером потока язы-
языков, для которых различие между синтаксическими моноидами
и синтаксическими полугруппами представляет определенный
интерес, служит класс локально тестируемых языков (гл. 7,
определение 1.9).
Библиографические замечания
Первое систематическое изложение теории автоматов принадлежит Ра-
бину и Скотту [1959]. Публикация сборника «Automata Studies» (под ред.
Шеннона и Маккарти [1956]) была, быть может, первым сигналом появления
теории автоматов и ее ответвлений в известном нам сегодня виде. Впослед-
Впоследствии во многих книгах излагались различные аспекты этой теории; см., на-
например В. М. Глушков [1961], Гилл [19621, С. Гинзбург [1962], Харрисон
[1965] Бут [1967], Нельсон [1968], Арбиб [1969], Саломаа [1969], Старке
[1S69], Эйленберг [1974] 1).
Главные эквивалентности были введены Дюбреем [1941] для изучения го-
гомоморфизмов полугрупп на группы (тот факт, что Pl — наибольшая конгру-
конгруэнция, для которой L является объединением классов, принадлежит Тесье
[1851]). Важность этих эквивалеитностей в теории автоматов была понята
Майхиллом [1957] и Нероудом [1958]. Доказательство теоремы Клини стало
более или менее стандартным после статьи Мак-Нотона и Ямады [i960]. Си-
Систематическое изучение кодов было начато Шютценберже [1956], и большин-
большинство результатов в § 4 принадлежит ему (см. Нива [1966]). В изложении тео-
теоремы Эйленберга мы следуем Сакаровичу [1S76]. Многообразиям полугрупп
посвящено большое число статей; обзорная статья Эванса [1971] содержит
дальнейшие ссылки по этой теме2). Весьма полное изложение теории много-
многообразий и квазимногообразий алгебраических систем можно найти в книге
А. И. Мальцева [1970]. О многообразиях см. также в книге Кона [1965].
') См. также книги Калмана, Фалба и Арбиба [1969*], В. М. Глушкова,
A. А. Летичевского и А. В. Годлевского [1983*], где используется теоретико-
полугрупповой подход к изучению автоматов, Ъ'кажем еще обзорную статью
B. Н. Редько и Л. П. Лисовика [1980*], где подход теории языков и теории
автоматов используется для изучения ряда комбинаторных, в частности алго-
алгоритмических, вопросов, касающихся полугрупп и в особенности групп. —
Прим. ред.
2) См. также обзоры А. Я- Айзенштат и Б. К. Богуты [1979*], Л. Н. Шев-
рина и М. В. Волкова [1985*]. — Прим. ред.
212 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
Упражнения
1. Пусть L — язык, распознаваемый Л*-автоматом с п состояниями.
(a) L ф 0 тогда и только тогда, когда существует такое слово w e L,
что l(w) < п.
(b) Если »ei и l(w) ^ п, то существуют ui, и2 е Л*, у е Л+, такие,
что ai = Uivu2 и uiv'ut e L для любого г е №.
(Рабин, Скотт Г1959].)
2. Язык 1еЛ* распознаваем тогда и только тогда, когда на Л* суще-
существует левая конгруэнция X, такая, что L есть объединение некоторых Х-клас-
сов. Если L распознаваем, то зеркальный язык £ = {апап-\... а2п\ е Л*:
... ая-\пп eL} тоже распознаваем.
3. Следующие языки нераспознаваемы:
(a) L^
(b) L = {ap: p — простое число};
(c) L = {anbn: я>0}:
(d) L = {unl~lb: n > o}.
4. Любой язык L s А* распознается некоторым Л*-автоматом (не обяза-
обязательно конечным).
5. Для следующих языков L над А найти минимальный автомат Я(£) и
синтаксический моноид M(L) (в зависимости от случая можно вычислить не-
непосредственно классы отношения Р[' либо найти какой-нибудь — быть может,
недетерминированный — Л*-автомат, распознающий L, и минимизировать его):
(a) L= M;
(b) L=|(a6)=};
(c) L = {ш}, где w e Л*;
(d) Z. = А*аА*\
(e) L = аЛ*;
f) L = аЛ* U Л*а;
(g) L = Л*аЛ* U ЬА*-
(h) L = А{а\*;
(i) L= ({6}*
Для каждого из предыдущих языков L написать систему линейных уравне-
уравнений, допускающую L в качестве носителя одной из компонент решения.
6. Префиксный код С= (J„^0anbАп над алфавитом А= {а, Ь) не яв-
является рациональным кодом. Для произвольного распределения вероятностей
я на Л выяснить, будет ли событие (С*, п) возвратным или невозвратным.
Вычислить производящие функции Uc* (s), ис (s) и среднюю длину события
(С, л).
7, Регулярным выражением над алфавитом Л называется слово над ал-
алфавитом ли {-К *. 0, (,)}> полученное из А[]0 конечным числом (возмож-
(возможно, равным нулю) применений следующего правила: если а и Р — регулярные
выражения над Л, то (а + Р), (af$) и а* — регулярные выражения над Л.
В частности, а, 0, (а + 6) * для а, b e Л суть регулярные выражения. Пусть
|а| обозначает язык, определяемый регулярным выражением а, т.е. 101=0,
[«!■={«}. |(а + Э)| = (|а|1ЦРГ). К«Р)| = (|а|-|Р1). И = N*-
Найти примеры, показывающие, что отображение ai—>|a| не инъективно.
Итерационная высота') /г(а) регулярного выражения а определяется сле-
следующим образом: h(a) = h@) =0, /i(a + P) = /i(a0) =тах{/г(а), /г(Р)},
') В оригинале «star height»; используется также термин «глублина». =—
Прим. перев.
Упражнения. 213
/г (а*) = /г (а) + 1. Для распознаваемого языка L е А* определим его итера-
итерационную высоту h(L) формулой h(L) = min{/t(a): |a| = L). Язык, заданный
выражением (a*b)*, имеет итерационную высоту 1. Языки Lf, Lz, £з, L4, ...
над алфавитом А = {а, 6}, определяемые регулярными выражениями ai =
= (ab)*, a2 = (a2ai62ai)*', а3 = (а4а264а2)*, а4 = (о8а3Ь8а3)*,..., имеют
итерационные высоты 1, 2, 3, 4 (Эгган [1963], Саломаа [1969].)
8. Пусть Я(/,) = (S, /)—минимальный Л*-автомат, распознающий L, а
M(L)—синтаксический моноид языка L. Пара T(L) = (S, M(L)) является
/-моноидом в смысле гл. 4. Говорят, что /-моноид Т = (Q, М) распознает L,
если существует гомоморфизм <р: А*-*-М, такой, что Л*-авгомат Я= (Q, /),
где f(q, w) —q<f(w), распознает L. Конечный /-моноид Т= (Q, М) распо-
распознает L тогда и только тогда, когда L распознаваем и T(L) делит L (Страу-
бинг [1979]).
9. Исследовать {а}*-автоматы. Для языка L^{a}* следующие условия
равносильны:
(a) L распознаваем;
(b) существуют А, / е N, такие, что ап е L, если и только если a"+* s L
для любого п Ss /;
(c)L = {a*: keU), где U.— конечное объединение арифметических про-
прогрессий.
Множество U показателей распознаваемого языка Ls{a}* называется
финально периодическим множеством натуральных чисел.
10. Подмножество L произвольного моноида М называется распознавае-
распознаваемым, если существует гомоморф-лзм ф: М -*■ М', где М' — конечный моноид,
причем L = <f~l<f(L). Обозначим посредством Rec M класс всех распознавае-
распознаваемых подмножеств из М. Если М конечно порожден, то Rec M s Rat M. Одна-
Однако существуют конечно порожденные моноиды М, для которых Rec M ф
Ф Rat М (если взять в качестве М бесконечную группу, а в качестве L — ко-
конечное подмножество из М, то L ф RecAl).
11. Говорят, что класс М моноидов допускает свободный моноид F(A)
на множестве А, если существует пара (a, F(A)), где а: A-*F(A) —отобра-
—отображение, a F(A) е.Ж, обладающая тем свойством, что для любого отображе-
отображения ф: А -*■ М из А в моноид М е М существует моноидный гомоморфизм
Ф: F(A)—М, такой, что Ф ° а = ф. Если класс Ж непуст, замкнут относи-
относительно образования подмоноидов и произвольных декартовых произведений,
то Ж допускает свободный моноид F(A) для любого множества А (Чтобы
доказать это, рассмотрим множество Г всех конгруэнции у на А*, для кото-
которых А*/у е Ж. Образуем декартово произведение Р = JJV e г А /у, опреде-
определим естественным образом гомоморфизм а: А* -»- Р и положим F(A)= a(A*).
Чтобы установить существование Ф: F(A)-*-M для данного <р: А-*-М, рас-
рассмотрим в М подмоноид М', порожденный ф(Л). Диаграмма
где ф — сюръективный гомоморфизм, индуцированный ф, q — естественный
гомоморфизм, а я — соответствующая проекция, может быть дополнена до
коммутативной диаграммы с помощью Ф.)
12. Пусть Ж — произвольное многообразие моноидов (см определение
5.10), а *# —многообразие, определяемое тождествами, которые выполняются
на всех моноидах из Ж. Тогда Ж S Ж. Обратно, если М е.Ж, то существуют
множество А и сюръективные гомоморфизмы ф: А*-*-М, х¥: A*-+F(A) (гд«
F(A) —моноид, свободный в Ж; см. упр. 11), такие, что Ker Vf s Кег ф. От
214 Гл. 6. Автоматы и синтаксические моноиды
сюда вытекает существование гомоморфизма F(A) иа М, откуда М е Л. По-
Поэтому Л = Л, что доказывает теорему Биркгофа для моноидов.
13. Пусть Л — псевдомногообразие конечных моноидов. Определим ло-
локализацию псевдомногообразия Л как класс
Ь(Л) = {5: S — конечная полугруппа, и еБе^Л для любого идемиотента
eeS}.
Тогда L(Jl)—псевдомногообразие конечных полугрупп (Эйлснберг [1976]).
14. Конгруэнция о на полугруппе S называется вполне инвариантной,
если (х, у) ер влечет (ф(*), ф((/)) ер для любого эндоморфизма ф полу-
полугруппы 5. Для произвольного отношения R на S через R" обозначим наимень-
наименьшую вполне инвариантную конгруэнцию, содержащую R. Полугруппа S тогда
и только тогда принадлежит многообразию, определяемому отношением R на
Х+, когда RvsR(S), где R(S) —множество всех пар (и, v) eX+X^+> для
которых и = v есть тождество, выполняющееся на S. Если 9'i, Р'г — много-
многообразия, определяемые отношениями R\, R2 на X*, то 9'i s 9>2, если и только
если /?" S R". Следовательно, имеется антиизоморфизм между решеткой впол-
вполне инвариантных конгруэнции на Х+ и решеткой многообразий полугрупп
(Хауи [1976, гл. 4]1)).
15. Псевдомногообразие конечных моноидов, определяемое тождествами
(ху) "х =ь (ху)" =5= у (ху)", состоит- из всех конечных моноидов, на которых ?
совпадает с равенством (см. гл. 7, лемма 1.7). Найти аналогичные характе-
ризации псевдомногообразий моноидов или полугрупп, определяемых тожде-
тождествами
(а) ухп=±=хп;
(Ь)
(с)
(d)
(е)
(f)
(g)
(h)
A)
хп =*= уп;
хп]у ^=л;"!;
ху х = х;
х2 = х, xyz = хг\
xnlyxnl =ь. хп\
хмугп1^хп1ут;
(х?ху)пУ *z=(x"]y)m xnl;
(ху)м (yxf' (хуГ л. (ху)т.
(Шютценберже [1976].)
') Аналогичный факт справедлив, как известно, и для любых универсаль«
ных алгебр. См, А. И. Мальцев [1970, § 14]. — Прим. ред.
7 РАЦИОНАЛЬНЫЕ
ЯЗЫКИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ГРУППАМИ')
Сравнение теоремы Клини с понятием потока языков при-
приводит к следующему наблюдению: распознаваемые языки ха-
характеризуются с помощью двух операций (умножения и итера-
итерации) , которые не представлены в определении потока языков.
Однако в практических манипуляциях с языками возникает ряд
проблем разрешения, связанных с этими операциями. Напри-
Например, существует ли алгоритм, позволяющий для данного распо-
распознаваемого языка LsA* решить, можно ли получить L из
конечных множеств без использования итерации (или, равносиль-
равносильно, имеет ли L нулевую итерационную высоту)? Положитель-
Положительный ответ на этот вопрос обеспечивается следующим утвержде-
утверждением: L тогда и только тогда принадлежит наименьшему классу
языков, содержащему все конечные подмножества из Л* и замк-
замкнутому относительно булевых операций и образования произве-
произведений, когда синтаксический моноид M{L) языка L конечен и
содержит лишь тривиальные подгруппы (Шютценберже
[1965с]). Этот важный результат естественно приводит к сле-
следующим задачам.
(a) Определить, какие подгруппы могут появиться в М(/,<*>),
если М (L) содержит лишь тривиальные подгруппы.
(b) Охарактеризовать рациональные языки L, для которых
все подгруппы из M(L) принадлежат дан-ному псевдомногооб-
псевдомногообразию конечных групп.
В первом параграфе этой главы мы излагаем упомянутый
выше результат Шютценберже и его уточнение, касающееся
кусочно тестируемых языков (Саймон [1975])'. Мы также ука-
указываем, не приводя полного доказательства, характеризацию
локально тестируемых языков LsA+ (Закстайн [1972], Бжо-
зовски и Саймон [1973], Мак-Нотон [1974]). В § 2 мы рассма-
рассматриваем языки L, для которых все подгруппы в M(L) абелевы
(Шютценберже [1974]). Такие языки характеризуются с по-
помощью некоторых специальных префиксных кодов, несущих
') В оригинале глава называется «Star problems for rational languages».
К сожалению, метафоричность этого выражения (в котором удачно обы-
грьшается то, что операция порождения подмоноидов^ называется «star ope-
operation») передать в переводе невозможно. Выбранный нами вариант загла-
заглавия вполне соответствует реальному содержанию главы, — Прим. перед.
и ред.
216 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
«бремя» итераций. Это свидетельствует о том, что решение задач
типа (Ь) зависит от возможности решения задачи (а). С другой
стороны, в § 3 мы вводим еще одну операцию на языках, назы-
называемую й-сечением по модулю п, которая заменяет итерацию
в характеризации языков L, для которых все подгруппы в M(L)
разрешимы; характеризация получена Страубингом [1979].
Результаты этой главы имеют двоякий интерес. Они позво-
позволяют алгебраисту строить примеры моноидов из данного
псевдомногообразия, рассматривая синтаксические моноиды
языков из соответствующего потока. С другой стороны, они
обеспечивают лингвиста алгоритмами для выявления языков,
представляемых регулярными выражениями данного типа.
1. Апериодические языки
В гл. 6 мы определили понятие псевдомногообразия Ж ($)
конечных моноидов, индуцированного псевдомногообразием
групп 'S. Теперь наше внимание будет _сфокусировано на соот-
соответствующих потоках языков &'($) = 3?{Ж{{§)), где S опре-
определяется формулой E.10.1) из гл. 6.
Определение 1.1. Поток 9"(^) всех рациональных языков L,
таких, что все подгруппы синтаксического моноида M{L) лежат
в псевдомногообразии групп 3', называется потоком, определяе-
определяемым группами из 'S. Произвольный поток типа 9?($) для неко-
некоторого 'S называется потоком языков, определяемым группами.
Поток 9"({1}) называется потоком апериодических языков.
Мы будем говорить, что поток 9" языков замкнут относи-
относительно произведений (соответственно относительно итераций),
если L\, L2^.94,A*) влечет LiL2e У(Л*) (соответственно L&
Л влечет №>е^(Л*)) для любого алфавита А.
Предложение 1.2. Любой поток рациональных языков, опре-
деляемый группами, замкнут относительно произведений.
Доказательство этого предложения можно упростить, введя
понятие булева произведения Mi°M2 двух моноидов Ми М2.
в
Для произвольного подмножества Р декартова произведения
Mi X М2 и элементов mi e Ми т% е М2 положим
т{Р = {(/т^/Пр m'^j е М1 X М2: (т[, т'^ е Я},
Рт2 = {{т[, т2т2) е Мх X М2: (т\, т'2) е Р}.
Определим М{°М2 как множество Mi X&>(Mi XM2)XM2 вме-
в
сте со следующей операцией:
A.2.1) (mv Р, т2)(т\, Р', т^ = (т1т\, т^Р'[}Рт'г, т2т2).
1. Апериодические языки 217
Простое упражнение показывает, что A.2.1) определяет ассо-
ассоциативную операцию с тройкой Aь 0, 12) в качестве единичного
элемента (li, 12 — единичные элементы из М\, М2 соответ-
соответственно).
Лемма 1.3. Любая подгруппа булева произведения Mi°M2
в
двух моноидов Ми М2 изоморфна некоторой подгруппе декар-
декартова произведения Mi X М2.
Доказательство. Рассмотрим гомоморфизм 8: Мt ° М2 —> М{ X
в
ХМ2, определяемый формулой 8(/пь Р, m2) — {m\, m2). Любую
подгруппу G из Mi°M2 с единицей (elt Е, е2) гомоморфизм 8
в
отображает на подгруппу из Mi X M2, единицей которой яв-
является (еь е2), где еь е2— идемпотенты из Мь М2 соответ-
соответственно. Далее, любой элемент из G, отображаемый 6 на (еи ег),
имеет вид (еь Р, е%) и удовлетворяет условиям
A.3.1) (еь Р, е2)(е„ Е, e2) = (elt Е, е2)(е„ Р, е2) = (еи Р, е2),
A.3.2) (е„ Р, e2)(ei, Р', е2) = {еи Р', е2)(е„ Р, е2) =
= {ei, Е, е2) для некоторого Р' S М{~ХМ2.
Эти условия равносильны следующим:
A.3.1)' eiEUPe2 = elP[}Ee2 = P,
A.3.2)' el
Из того, что (еь Е, е2) есть идемпотент, выводим е{Е\}Ее2 = Е.
Вместе с A.3.1)' и A.3.2)' это дает Р = Е. Поэтому ядро суже-
сужения 6 на G сводится к {(еь Е, е2)}, т. е. 8 определяет вложение
группы G в некоторую подгруппу из М\ X М2. О
Доказательство предлооюения 1.2. Пусть 9" — поток рацио-
рациональных языков, определяемый группами, и Lb L2^9"(A*).
Обозначим через qpi и ф2 синтаксические гомоморфизмы q>i: A*-*-
->-M(Li), Ф2: Л*—>-M(L2) и рассмотрим моноид М =
= M(Li) о М(/,г). Определим ф: А*-+М следующим образом.
в
Для любого шеЛ* положим
Проверка равенства ф(шгг»') = ф(гг»)ф(ш') сводится к сравнению
множеств
L = {(ф, (и), ф2 (v))i uv = ww'},
R = (ф! (w) • {(ф! (ы), ф2 (у)): ыи = да'}) U
(и), ф2 (у)): uv = о;}
218 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Из равноделимости моноида Л* (гл. 5, следствие 1.6) следует
L — R. Если для геЛ* выполняется ф(г)е rp(LiL2), то най-
найдется такое слово w e L\L2> что
{(cpi(u), ф2(и)): uv = z) = {(q>i(«), ф2(и)): uv = w).
В частности, существуют слова /i e Li, /2 е L2, «i, u2 s Л*, удов-
удовлетворяющие равенствам w—1\12, ф1 («i) == Ф1 (/i), ф2(у2) = ф2(/2)
И «iU2 = Z.
Так как ф^'ф^/,,) = L; для г = 1, 2, мы имеем U\^L\ и
и2 е L2. Следовательно, z<^L\L2, откуда q>-1q>(LlL2) = LiL2.
В силу леммы 5.5 из гл. 6 моноид Af(LiL2) делит М. Отсюда
следует, что подгруппы из M(LiL2) суть гомоморфные образы
подгрупп из М (см. упр. 1 в гл. 4 или доказательство предло-
предложения 5.16 в гл. 6). Поэтому, согласно лемме 1.3, эти подгруппы
принадлежат псевдомногообразию групп, определяющему 9".
Следовательно, ^/,2е^(Л*). □
Следствие 1.4. Поток апериодических языков замкнут отно-
относительно произведений.
Теорема 1.5 (Шютценберже [1965]). Пусть LgЛ* — рацио-
рациональный язык. Следующие условия равносильны:
(a) L принадлежит наименьшему классу подмножеств из А*,
содержащему все конечные множества и замкнутому относи-
относительно объединений, дополнений и произведений;
(b) все подгруппы синтаксического моноида M{L) тривиаль-
тривиальны (т. е. L — апериодический язык).
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), вытекает из опреде-
определения 5.9 потока языков, теоремы 5.11 из гл. 6 и сформулирован-
сформулированного выше следствия 1.4'). Для доказательства того, что (Ь)
влечет (а), обозначим через $&■ класс всех подмножеств из Л*,
описанный в (а), и покажем с помощью индукции по п справед-
справедливость для всех п следующего свойства Р(п): для любого гомо-
гомоморфизма ф: А*-+М на комбинаторный моноид М порядка ^ п
и для любого иеМ выполняется ф~'(m)es&.
(A) Р(\) истинно, так как для ф: Л*-»-{1} имеем ф~'A) =
= Л*, а Л* — дополнение пустого множества.
(B) Для элемента гп^М положим lf(m)={iGM: тф
^МхМ}. Нетрудно проверить, что W(m) является наибольшим
идеалом в М, не содержащим т (гл. 2, упр. 15). Допустим, что
card W(m) ^? 2. Тогда рисовская факторполугруппа M/W(m)
имеет порядок строго меньший, нежели М. Для любого ф: А*-*-М
') Быть может, проще другой путь: отметив очевидную апериодичность
одноэлементных языков, сослаться иа заключительный абзац в § 3 из гл. в Я
на доказательство предложения 1.2. —Прим, перев.
1. Апериодические языки 219
имеем tp-'(m)== (х °ф)~'(т)> гДе х~каноническое отображение
М на M/W(m). Применение к х°ф индуктивного предположе-
предположения показывает, что ф-1 (т) может быть получено из конечных
подмножеств Л* с помощью булевых операций и умножения,
т. е. у-[(т)&зФ.
(C) Покажем теперь, что Р(п) истинно для ф~'@) в том
случае, когда М содержит нуль 0. Если До = {а^А: <р(а) = 0},
то ясно, что Л*ЛоЛ*£ ф-'@). Пусть ха^А* — такое слово, что
ф(да) = 0, причем w ф.А*АоА*, и пусть и — кратчайший делитель
слова ш, такой, что ф(«) = 0. Тогда обязательно 1(и)^2, ибо
при /(ы) = 1 имеем «еЛ0 и шеЛМцЛ*, что противоречит ис-
исходному допущению. Поэтому u = aiva2, где яь а2^А и по
определению и будет ф(о) = р, где рфО. Покажем, что
card W(p) ^ 2. Если W(p)— {О}, то для любого геМ, г ф 0,
будем иметь р е MzM, откуда следует, что р лежит в 0-мини-
мальном идеале / из М. Так как (p(aiv)^O и ф(уа2)=7^0 по
определению и, мы имеем ф(а1иM'ф(и)> ф(vanM?ф(и), откуда
ф(й1иа2)^ф(у). Поскольку ф(а1иа2)= ф(«) = 0, получаем не-
невозможное равенство ф(и) = р = 0. Следовательно, W(p) строго
содержит 0 и card W(p)^s 2. Мы показали, что
A.5.1) ф-1 @) s л*лол*и А*т ад (р)а2\А\
где Up обозначает объединение конечного числа множеств
вида а1ф-1(р)а2, для которых card W(p)^2. Простая проверка
показывает, что включение в A.5.1) можно заменить равен-
равенством '). С учетом установленного в (В) применительно к ф~'(р)
это доказывает, что ф"'@)еЛ
(D) Заметим теперь, что для произвольного моноида М все
подгруппы в М тривиальны тогда и только тогда, когда {т} =
= (mMf\Mm)\W(m) для любого meAf (гл. 2, упр. 15). Сле-
Следовательно, в этом случае
A.5.2) ф-1(т) = (ф-1(тМ)Пф-1(^'и))Хф-1(^(тO.
Покажем, что для любого т&М, тф\,
A.5.3) ф (тМ) = ф-1 (тМ Л W (m)) U (U ф (р) Лр) А\
где Up обозначает объединение конечного числа множеств
вида ф-'(р)Лр, где W(m)c:W(p) и Ар={аеА: ру(а)<=тМ}.
Пусть йуеф-'(тМ). Если ф(да)е W(m), то шеф-'(тМП
П1^(т)). Если (f(w)^W(m), то /леМф(ау)Л1 Следовательно,
для ^-классов и Й-классов элементов ф(гг») и т мы имеем
/т ^ /<р(ш), /?<р(ш) ^ /?т. В силу конечности М предложение
3.7(d) из гл. 2 дает q>(w)&m. Пусть и — кратчайший левый де-
делитель слова w, удовлетворяющий условию ф(«)Й/п. Если слово
lJ Если ограничиться такими р, что (p(ai)pcp(a2) == 0.—Прим. перев.
220 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
и пусто, то ф(м)=1, а так как М конечен, \&т влечет т=\.
Поскольку мы предположили, что тф\, получаем 1(и)^ 1 и
и = va для некоторого а^А. Рассматривая р = ф(и), мы ви-
видим, что рф(а) = ф(м) е тМ и поэтому а^Ар. Далее, для лю-
любого геЩга) имеем тф.МгМ. Если p^MzM, то рср(а) =
= ф(«)еМгМ и поэтому m^MzM (так как ф(ы)Й/п), что не-
невозможно. Следовательно, рфМгМ иге Щр), откуда W(m)s
sW(p). Равенство W(/n)=W(p) не может выполняться, так
как из него следовало бы т?р, а с учетом Rm ^ Rp также
т&р, что противоречит определению и. Это завершает доказа-
доказательство того, что ф-'(/пМ) содержится в правой части A.5.3).
Обратное включение очевидно.
(Е) Переходя, наконец, к доказательству истинности Р(п)
в общем случае, возьмем произвольный комбинаторный моноид
М порядка <; п. Если для теМ выполняется card W(m)^ 2,
то ф-'(/п)е.я£ в силу (В). В случае cardW(m)=l обозначим
через Хо единственный элемент из W(m). Убедимся, что для лю-
любого г/еМ справедливы равенства ухо = хоу = хо. Если, напри-
например, yiXo^Xo для некоторого у{^М, то y\xQ^W(m) или
т. е Myix0M s MxqM, что противоречит условию т ф Мх0М. Та-
Таким образом, х0 является нулем в М, хо= 0. В случае тф 1 фор-
формула A.5.3) принимает видф~'(тМ)==ф~1@)U(ирФ~'(Р)^РМ*-
В силу (С), а также пункта (В), применяемого к ф-'(р), полу-
получаем ф-'(тА[)'б^. То же самое справедливо для ф-'(Мш) со-
согласно формуле, двойственной к A.5.3). Поэтому ф~'(т)е^
в силу A.5.2). В случае т = \ заметим, что W{\) = Л1\{1}.
Если М имеет порядок ^s 3, то card W(l) ;> 2, и (В) показы-
показывает, что ф~'A)е^. Если М = {0 1}, то Ф~'О) является до-
дополнением к ф-'@) и в силУ (С) мы также имеем ф-'A)е^.
Наконец, если W(m) пусто, формулы A.5.2) и A.5.3) непосред-
непосредственно показывают, что ф~'(/п)е^, и это завершает доказа-
доказательство. □
Изложенное выше доказательство следует оригинальному
доказательству Шютценберже. Оно отличается довольно слож-
сложным построением, поскольку вообще нелегко устанавливать
свойства конечных моноидов, пользуясь индукцией по их по-
порядку. В § 3 мы выведем теорему 1.5 из более общего резуль-
результата о языках L, для которых подгруппы из M{L) разрешимы.
Поэтому читатель должен рассматривать приведенное выше
доказательство как иллюстрацию техники, используемой в об-
обращении с распознаваемыми языками и конечными моноидами.
Сравнение этих двух доказательств иллюстрирует также мощь
основной теоремы декомпозиции1).
') Еще одно доказательство (также базирующееся иа идеях Шютценбер-
Шютценберже, но более простое) см. в статье Ан. А. Мучника [1983*]. — Прим. ред.
1. Апериодические языки 221
Первый подкласс апериодических языков, который мы будем
изучать, — это булево замыкание множества языков вида L —
— A*a.iA*a.2 ... А*аиА*, где а.\, а2, ..., а^^А. Чтобы выяс-
выяснить1), будет ли w принадлежать L, достаточно проверить,
можно ли извлечь из w последовательность а]( а2, ..., ak.
С целью дать еще одну характеризацию этих языков введем
отношение <^ на Л*, положив
и <^v, если и только если и есть последовательность,
извлекаемая из v,
т. е. существуют разложения и = щщ ... и*, v = v\U\v2u2 ...
... vhukVh+\, где Hi, м2, •■■, «& и v\, v2, ..., vk, vk+\ — слова из
А*. Отношение «< определяет на Л* частичный порядок. Для лю-
любого п ^ 0 определим отношение о (л) формулой
o(/i) = {(i/, у)еЛ*ХЛ*: для любого слова w e Л*, такого,
что /(ау)^/г, имеем ау-<м, если и только если ш<и}.
Рутинная проверка показывает, что а(п) — конгруэнция на Л*
и что п\ ^ Пг влечет а(п2) S o(rti).
Предложение 1.6. Для Ls/1* следующие условия равно-
равносильны:
(a) L есть объединение классов конгруэнции а(п) для неко-
некоторого п^О;
(b) L принадлежит булеву замыканию множества языков
вида S{axa2 ... ак) = А*а^А*а2 ... A*akA*, где аи а2,..., ak<=A.
Такие L называются кусочно тестируемыми языками.
Доказательство. (Ь) влечет (а). Заметим, что любой язык,
получаемый из других с помощью булевых операций, может
быть выражен лишь в терминах объединений и дополнений.
Кроме того, принимая во внимание тот факт, что классы кон-
конгруэнции о(п\) являются объединениями классов конгруэнции
а(п2) всякий раз, когда ti\ ^ п2, достаточно показать, что
А*а\А*а2 ... A*akA* есть объединение классов o(k). Если ие
<=S(aia2 ... ak) и (и, v)<ao(k), то aia2...«&<« влечет
а\а2 ... ak -s v, откуда yeS(aia2 ... ak). Это показывает, что
S2 •• uk) есть объединение классов конгруэнции a(k).
(а) влечет (Ь). Предположим, что L является классом кон-
конгруэнции а(п) для некоторого п ^ 0. Определим
U = {we A*: I(w)^п и w-^u для любого u^L),
и оу<и для любого us!}.
') В оригинале «to test»; этот глагол предвосхищает понятия тестируе-
тестируемости, играющее в этом параграфе существенную роль, — Прим, ред.
222 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Если и е L, то и е S(w) для всех w e Z/ и w^e 5(ш) для всех
да <= L". Следовательно, f,£f|,,sl.5(») \ \Jw^L,,S(w). Обрат-
Обратно, допустим, что иеПЯЁ^5(ш)\ишеГ5D Взяв nei,
убедимся, что (и, у)ео(п). В самом деле, если да << и, где
/(да)=^п, то aieL': отсюда следует, что i/eSjm), или,
равносильно, ш << v; если ш <( у, то не может быть ш < и;
иначе было бы »е5(ш), где ш е L", что противоречит усло-
условию v ф. Uffl(=z/"S(I!y)> Это показывает, что tisi, т. е. L =
-=Пше^(ш)\11ш^5(да). П
Вычисляя синтаксические моноиды М(А*аьА*),
M(A*aiA*a2A*), ..., можно заметить, что во всех этих монои-
моноидах отношение f совпадает с равенством.
Лемма 1.7. Класс всех конечных моноидов, в которых гринов-
ская эквивалентность f тривиальна, образует псевдомногообра-
псевдомногообразие конечных моноидов, финально определяемое тождествами
(ху) пх = (ху)п = у (ху)п.
Доказательство. Если М — конечный /-тривиальный моноид,
то для любых a, b &.M существуют такие п, k~^ 1, что (а6)"+*=
= (ab)n, а это можно записать в виде (ab)n(ab) {ab)k~l =(ab)n.
Отсюда вытекает {ab)naf (ab)n и, следовательно, (ab)na=*
= {ab)n. Аналогично, из
(ab)k-1(ab)(ab)n=(ab)n
следует b(ab)nf(ab)n, что дает b(ab)n =(ab)n. Поэтому, если
п достаточно велико, (ху)пх — (ху)п = у(ху)п для любых х, г/(=
е М. Обратно, пусть указанные тождества выполняются при
п ^ по- Из afb вытекает, что а — rbs, b = uav для некоторых
г, s, и, аеМ. Следовательно, a=(ru)a(vs)—{ru)na(vs)n для
всех п ^ 0. Так как и(ги)п =(ги)п и (vs)nv =(vs)n при п ^ я0,
получаем а = uav — b, что означает /"-тривиальность моноида
М. D
Следующая теорема показывает, что кусочно тестируемые
языки образуют поток языков, синтаксические моноиды которых
/-тривиальны.
Теорема 1.8 (Саймон [1975]). Язык L кусочно тестируем
тогда и только тогда, когда его синтаксический моноид M(L)
f-тривиален.
Доказательство, (а) Допустим, что язык /,£Л* кусочно
тестируем. Пусть ф: A*^rM(L)— синтаксический гомоморфизм,
х, y^M(L), «Ef'D вЕф-1^). Заметим, что для любого
п^О слова (uv)nu, (uv)n, v(uv)n конгруэнтны по модулю
а{п), поскольку любое слово да длины, не превосходящей п, ко-
которое извлекаемо из какого-либо слова (иу)"и, (uv\n, v{uv\\
/. Апериодические языки 223
извлекаемо также из двух других. Так как L — объединение
классов конгруэнции о(п) для некоторого п, синтаксическая
конгруэнция, определяемая L, содержит а(п). Это означает, что
<p((uv)nu) — <p(uv)n = ({>(v(uv)n) или (ху)пх=(ху)п = у(ху)п.
По лемме 1.7 моноид M(L) /-тривиален.
(Ь) Предположим, что ср: А*-+М — гомоморфизм А* на ко-
конечный /-тривиальный моноид порядка k. Мы покажем, что
аB&)^Кегф. Отсюда будет следовать, что если L — объедине-
объединение классов конгруэнции Кегф, то L — объединение классов
конгруэнции aBk), т. е. является кусочно тестируемым языком.
Шаг 1. Докажем, что для любых меЛ*, а = А, таких, что
(м, ма)ео(^), имеет место ф(«) —ф(иа). Это очевидно в слу-
случае k — \, ибо тогда М — {\}. Поэтому можно предположить,
что k > 1 и и#1. Для произвольного слова шеЛ* обозначим
посредством Aw множество букв, входящих в w, т. е. Aw —
= (a s A: a <^w}. Пусть и\— кратчайший левый делитель слова
и, для которого Аи —Ащ. Запишем u = UiVi и обозначим через
b последнюю букву в их. Ясно, что это вхождение Ь в щ — един-
единственное. Допустим, что vi = 1, и = и\. Тогда Ьа*£и. Но
Ьа^иа влечет Ьа<^и, так как (и, ua)i=o(k) и k > 1. Это
противоречие означает, что и — UiVi, где v\ ф 1. Мы утверж-
утверждаем, что (vi, v\a)^a{k—1). В самом деле, если w^vxa, где
l(w)^k — 1, то bw<^ua, откуда bw<^u и поэтому w-<^V\;
обратно, из ay -^ V\, где /(да) ^ k — 1, следует, очевидно, w -^ v\a,
чем завершается доказательство того, что (vi, v\a)^a(k—1).
Повторяя это рассуждение, мы приходим к следующей после-
последовательности соотношений:
V1—U2V2, ..., Vk-2 =Uk-iVk-l, Vk-l~Uk,
где (vu via)(=o(k—l), (v2, v2a)eo(k — 2),..., (vk-u w*-ia)'s
eo(l). Заметим, что 4ss/l«b|S ••• ^AUl и что (w*-i,
Vk-ia)^a(l) означает аеД,4, Рассмотрим последовательность
W0=l, Wi=«i, .... Wi—UiUi ... Ui, ..., Wk = UiU2 ... Uk—U.
Так как М имеет порядок k, существуют i, j, такие, что
0^/</^й и (f(Wi) = tf(Wj). Для любого c^AU(+l суще-
существуют такие г, seA* что ш+i = res. Отсюда вытекает,
что ф(да,) = 4>(wiUt+i ... u,j) = (f(wircs ... U/). Поэтому ф(а>г)
/гг)/ф(ау,тс), откуда (в силу /-тривиальности М) следует
= ф(йУ,/-) = ф(йУггс). Таким образом, для любого сеЛВ(+|
имеем ф(ау,-)= ф(да,с). Из включений ^6-y'«biSi'lS/'e(+i
вытекает, что tp(wi) = ф(ы) = ф(да,а) = ф(ма).
ZZ/аг 2. Покажем, что для любых и, у<=Л*, абЛ условие
(ии, иао)еаB^) влечет q> (uv) = q>(uav). Пусть р (соответ-
(соответственно //) обозначает наибольшее целое число, такое, что
(и, иа)^о(р) (соответственно (и, аи)ео(р')). По определе-
224 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
нию р (соответственно р') существует слово s e А* длины р
(соответственно слово s'^A* длины р'), такое, что s <^ м, но
sa «£ и (соответственно s'<^v, но as'^v). Мы имеем sets' <^
<^uav, но sas'^uv. Отсюда вытекает, что l(sas')> 2k и по-
поэтому р -f p' ^ 2&. Следовательно, p~^k или р' ~^k. В силу
шага 1 неравенство р ^ & дает ф(и) = ср(иа), а в силу двойст-
двойственного утверждения p'~^k дает ф(у)=ср(ау). В обоих слу-
случаях ср(иу)= (f(uav).
Шаг 3. Определим на А* отношение
Р = {(а>ь w2) еЛ*Х A*: w\ = uav, w2 = uv
для некоторых и, v^A*, aeA}.
Положим х(т)= р (]а(т), а транзитивное замыкание этого от-
отношения обозначим через х(т). Докажем утверждение:
(wu w2)^. о(т) тогда и, только тогда, когда az)i = ay2 либо су-
существует zei*, для которого (z, Wi)^x(m) и (z, W2)^r{m).
Поскольку x(/n)s о(т), утверждение «тогда» очевидно. Пред-
Предположим, что (wi, W2)& о(т), и пусть и — длиннейший общий
левый делитель слов W\ и w2. Мы проведем индукцию по Я,=
= Z(a>i)+ l(w2)— 21(и). Если Х = 0, то Wi = w2. Если X > 0, то
либо A) wi = uavi, w2 = ubv2, где а, Ь еЛ, uj, y2 se Л* и а ф b,
либо B) а>1 = uavu w2 = u, либо C) uz>i = m, w2 = ubv2. Рас-
Рассмотрим эти три случая.
Случай 1. Покажем, что (w^, ubavi)^o(m) или (а>1, uabvi)&
eo(m). Пусть р, ^, р', ч' будут наибольшими целыми числами,
обладающими свойствами (и, ub)^a(p), (и, ua)^a(q), {av\,
bavi)^ o(p'), (bv2, abv2)& a(q'). Мы утверждаем, что если
р -f- р' ^ т, то (ubavi, uavi)^ o(m). В самом деле, допустим,
что w^ubavu где l(w)^m. Тогда w — w'w", где w'^ub и
ау''-^ayi. Если l(w')^p, то w'-^u и поэтому ау <( иаа!. Если
же l(w')> p и w'*=w'"b, где w"'<^u, то bw"<^bavi, причем
l(bw")i^.p' (так как l(w')> p и l(w'w")^. т^.р-\-р', обяза-
обязательно /(да")<//). Отсюда следует, что bw"<^avl и поэтому
w = w'"bw"<^ uavi. Это показывает, что (ubavi, uav\)&a(m)
и (а>2, «&ayj)e ст(/п). В случае q-\-q'~^sm аналогичное доказа-
доказательство устанавливает тот факт, что (wu uabv2) е о (/л). Оста-
Остается доказать невозможность одновременного выполнения нера-
неравенств р -f р' < m и <7 + <?' •< пг. Допустим противное и предпо-
предположим, например, что q' ^ р'. По определению чисел р, q, p\ q'
существуют слова s e A", t e A4, s' е Лр', /' s А4' со следующи-
следующими свойствами:
s < м и s6 < и; / -< и и /а < ы[
/. Апериодические языки 225
Учитывая, что ? -^ bv%, обозначим через /', длиннейший правый
делитель слова t', такой, что t\ -< v2. (Заметим, что либо V =
= Ы\, либо t' = t\.) Тогда sbt'l<^ubv2 и l(sbt[)s^p + 1 +<?'<
^р -f- 1 + р' ^.т. Отсюда следует, что sbt[<^uavl и свойство
слова s дает bt\<^av{. Поскольку t' = Ы\ или t'=*=t[, получаем
^-< Vi. Из этого выводим tat' ^ uavu где l(tat') = q -\- \ -\- q' ^
^ /п. Но /а^' < ы&о2 в силу свойств слов < и f'. Это противоре-
противоречит условию (uav\, ubv2)^ a(m).
Случаи 2 и 3. В случае 2 мы имеем (wu иа)^о(т), а в
случае 3 имеем (w2, ub)<~o(m).
Во всех случаях можно найти такое слово у е А*, что для
i=l или i = 2 будем иметь (wi, у)^ а(т) и l(wi) +/(«/) —
— 2/(н) </(m-'i)+/(ay2) —2/(м). Если в случае 1, например,
(а>1, uabv2)^ а(т), то возьмем у — uabv2. Из предположения
индукции следует существование такого zg/1*, что (z, иа6у2)^
st(/«), (z, ш,Mт(т). Но (uabv2, ubv2)<^ р По(т) = т(т), от-
откуда (z, !»2)ет(т). Остальные случаи рассматриваются ана-
аналогично.
Шаг 4. Допустим, что (им, ау2)еоBй) и Ш1 = оу2- В силу
шага 3 существует такое геЛ», что (z, Wi)& xBk), (г, w2)&
erByfe). Поскольку тBй) есть транзитивное замыкание отно-
отношения p(]aBk), мы имеем cp(z)==<p(ayi) = ф(аУг) согласно
шагу 2. Этим заканчивается доказательство включения crB&)s
s Ker ф. П
Еще один интересный класс апериодических языков состав-
составляют локально тестируемые языки, введенные Мак-Нотоном и
Пейпертом [1971].
Определение 1.9. (а) Для любого положительного целого k
и любого слова W&A+, такого, что l(w)^k, обозначим через
Lk(w) (соответственно Rk(w)) левый (соответственно правый)
делитель слова w длины k и определим Ik{w) формулой
/й(лу) = {ш'е А+'. w — uw'v для некоторых и, v e А+ и /(ау')«= fe}-
(b) Язык L^A+ называется строго k-тестируемым, если су-
существуют конечные подмножества X, У, Z из Л*, такие, что
{о>еЛ+: да ж L и ()>}
Язык из булева замыкания множества строго ^-тестируемых
языков называется k-тестируемым.
(с) Язык L s A+ называется локально тестируемым, если
он fe-тестируем для некоторого положительного целого k.
8 Зак. 474
226 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Например, все слова над алфавитом А = {а, Ь}, начинаю-
начинающиеся словом аа, заканчивающиеся словом ab и не имеющие
внутренних вхождений слова bb, образуют строго 2-тестируемый
язык (здесь Х= {аа}, Y = {ab}, Z= {aa, ab, ba}).
Следующая теорема дает метод для решения вопроса, яв-
является ли язык L s A+ локально тестируемым.
Теорема 1.10. Язык LsA+ локально тестируем тогда и
только тогда, когда его синтаксическая полугруппа S(L) ко-
конечна, и для любого идемпотента eeS(L) моноид eS(L)e яв-
является полурешеткой.
Легкое упражнение показывает, что класс всех конечных
полугрупп S, обладающих тем свойством, что eSe есть полуре-
полурешетка для любого идемпотента eeS, образует псевдомногооб-
псевдомногообразие полугрупп. Из замечания 5.17 в гл. 6 следует, что локаль-
локально тестируемые языки составляют поток полугрупповых языков.
Имеются два различных доказательства теоремы 1.10, оба длин-
длинные и трудные. Доказательство Бжозовского и Саймона [1973]
использует технику автоматных декомпозиций, тогда как дока-
доказательство Мак-Нотона [1974] чисто комбинаторное. Мы на-
наметим доказательство теоремы 1.10, следуя Закстайну [1972,
1973], опустив при этом лишь доказательство наиболее трудной
леммы.
Лемма 1.10.1. Отношение %k на А+, определяемое условием:
(ш, w') e Tk, если и только если w = w' либо
Я* М = /№'),
t(w')>k и < Lk(w) = Lk(w'),
I
является конгруэнцией, а язык L <=A+ тогда и только тогда
k-тестируем, когда L есть объединение классов конгруэнции т*.
Доказательство. Тот факт, что %k — конгруэнция, почти оче-
очевиден. Классы слов длины ^ k одноэлементны, а классы слов
w длины >k характеризуются множествами Ru{w), Lk(w),
h(w). Поэтому любой класс отношения т*. строго fe-тестируем, а
произвольное объединение классов fe-тестируемо. Заметим, что
k ^ I влечет т/ s т*. Поэтому ^-тестируемый язык L будет
/-тестируем для любого I ^ k. □
Полугруппу S будем называть k-тестируемой, если в S лю-
любые два произведения Х\Хг .. ■ хт, У\у% ... Уп, где т, п ^ k, сов-
совпадают всякий раз, когда слова w = Х\Х2 ... хт, w' — у^уг. . уп
в свободной полугруппе S+ удовлетворяют условию (w, ai'Jett,
•Лемма 1.10.2. Факторполугруппа А'1 /%к k-тестируема.
/. Апериодические языки 227
Доказательство оставляется читателю в качестве упраж-
упражнения.
Лемма 1.10.3. Класс k-тестируемых полугрупп образует псев-
псевдомногообразие полугрупп1).
Доказательство. Произвольная подполугруппа ^-тестируемой
полугруппы, очевидно, ft-тестируема. То же самое справедливо
для конечных декартовых произведений fe-тестируемых полу-
полугрупп. Пусть ф: S->-S — сюръективный гомоморфизм, а хи х2,...
■ ■■, хт, уи у2, .... уп^5 — такие элементы, что (х\х2 ... хт,
У\Уг ■■■ у»)ет{ в S+, причем т, n^k. Выбирая для каждого
seS один элемент se5, такой, что y(s)~s, мы получим
(xix2 ... хт, У\У% ... ул)ет* в S+. Если S ^-тестируема, то
это дает ххх2 ... хт = у\у2 ... уп, откуда х,\х2 ... хт =
= ф(Х1)ф(Х2) ... Ц>(хт) =фA/1)ф(г/2) ••■ У(Уп)=У1У2 ... Уп,
что доказывает ^-тестируемость 5. П
Лемма 1.10.4. Язык LsA+ локально тестируем тогда и
только тогда, когда его синтаксическая полугруппа S(L) ко-
конечна и k-тестируема для некоторого положительного целого
Доказательство. Если язык L локально тестируем, то по
лемме 1.10.1 он является объединением классов некоторой кон-
конгруэнции %и, а полугруппа A+/xk ^-тестируема по лемме 1.10.2.
Так как S(L) — гомоморфный образ полугруппы A+/%k, &-тести-
руемость S(L) следует из леммы 1.10.3. Обратно, предположим,
что S(L) ^-тестируема, и пусть о: A+->S(L) — синтаксический
гомоморфизм. Для любых двух слов wl — aiiat2 ... aim, w2 =
—а^а^ • ■ • сцп из Л+, таких, что (шь ау2)о т*, слова
о (a,,) a (att) ... о (а,т) и о (а,,) а (а,,) ... а (а,п)
в S(L)+ конгруэнтны по модулю tfe. Отсюда следует, что
о (ai:ai2 ... aim) = а (а^а^ ... а,п). Поэтому xk <= Кег а, т. е. L
есть объединение классов конгруэнции т.%. По лемме 1.10.1 язык
L fe-тестируем, а следовательно, локально тестируем. □
') В действительности этот класс является даже многообразием: он за-
замкнут не только относительно конечных (что отмечено в доказательстве лем-
леммы) , но и относительно любых декартовых произведений. — Прим. ред.
2) Для полугрупп, ^-тестируемых при некотором k, в литературе употре-
употребителен термин «локально тестируемые». Заметим в связи с этим, что при-
приставка «локально» в данном термине, по нашему мнение является неумест-
неуместной (ср. близкие по логическому типу термины, такие, как, например,
«/с-нильпотентиая» и «нильпотентная»), и более правильным следовало бы
считать термин «тестируемая полугруппа». Соответственно локально тести-
тестируемые языки, по-видимому, уместнее было бы называть тестируемыми. —
Прим. ред.
8*
228 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Лемма 1.10.5. Если полугруппа S k-тестируема для некото-
некоторого положительного целого k, то для любого идемпотента
ее5 моноид eSe является полурешеткой.
Доказательство. Для произвольных х, у е S рассмотрим
слова ekxekyek, ekyekxek из S1". Мы имеем "(ekxekye\ ekyekxek)^
е Xk, откуда следует ехеуе — еуехе в S. Аналогично, (ekxekxek,
ekxek)^Xk влечет ехехе = ехе, чем завершается доказательство
того, что eSe— полурешетка. □
Лемма 1.10.6. Если S — такая конечная полугруппа, что eSe
является полурешеткой для любого идемпотента е из S, то S
k-тестируема для некоторого положительного целого k.
Это и есть тот трудный кусок в доказательстве теоремы 1.10,
который мы опускаем. Отметим, что прямое алгебраическое до-
доказательство следующей леммы (принадлежащей Закстайиу
[1973]) сделало бы возможным быстрое доказательство тео-
теоремы 1.10.
Лемма 1.10.7. Пусть S — конечная полугруппа. Следующие
условия равносильны:
(a) для любого идемпотента е <= S моноид eSe есть полу-
полурешетка;
(b) 5 делит декартово произведение S{ X S2 X • • • X Sm,
где каждая полугруппа Si (l^t^m) есть либо идеальное
расширение прямоугольной или 0-прямоугольной связки посред-
посредством нильпотентной полугруппы (S нильпотентна, если S"={0}
для некоторого п > 0), либо одна из полугрупп, заданных ко-
представлениями
(х, у; х2 — х, yn+l — у", ху'х — х для всех i < п, хуп~0),
(х, у; х2 — х, уп+{ =уп, ху1х = х для всех i < п, г/"х = 0).
Единственное известное доказательство эгой леммы основано
на самой теореме 1.10. Нетрудно показать, что полугруппы 5;
из условия (Ь) леммы 1.10.7 удовлетворяют условию (а). Имело
бы смысл систематическое исследование класса всех конечных
полугрупп, удовлетворяющих условию (а), с целью найти эле-
элементарное доказательство свойства (Ь). См., например,
А. Н. Трахтман [1983°].
2. Языки, определяемые абелевыми
группами
В этом параграфе мы изучим поток 9'{сё') всех рациональ-
рациональных языков L, для которых все подгруппы синтаксических мо-
моноидов M{L) принадлежат фиксированному псевдомиогообра-
зию И? конечных абелевых групп. В качестве предварительного
2. Языки, определяемые абелевыми группами 229
шага мы рассмотрим те языки L, для которых M(L)^4?. Имея
это в виду, напомним, что любая конечная абелева группа изо-
изоморфна декартову произведению циклических групп. Следова-
Следовательно, псевдомногообразие Ч? характеризуется множеством на-
натуральных чисел:
N('g')= {п <= N: п — порядок некоторой циклической
группы из W}.
Далее, если мы хотим использовать булевы операции для
описания языков из ^(W), достаточно найти языки типа ф~'(с)>
где ф — гомоморфизм А* на циклическую группу Се?, а
се С В самом деле, если язык LsA* таков, что M(L)&(&', то
группа M(L) изоморфна С| X Сг X ••• X С„, где С,— цикличе-
циклическая группа из W (l^i^n). Взяв проекции pr. M(L)-^Ct и
синтаксический гомоморфизм о: A*-+M(L), мы получим гомо-
гомоморфизмы о, = р,оо из А* на С г, для любого g^M(L) будет
I()n?I(fe)) Так как L=Ugeo(t)o-Ife), мы по-
получим L в виде булевой комбинации языков (у^1^^, где с,-=
= Pi(g) есть элемент циклической группы. Сказанное можно
уточнить еще больше:
Лемма 2.1. Пусть ф — гомоморфизм А* на циклическую груп-
группу С порядка п. Любой язык L = cp~l(x) есть булева комбина-
комбинация языков
L(a, k)= {w<=A*: da(w)ss k(mod n)},
где а^А «0<J<«.
Доказательство. Допустим, что С порождается элементом с.
Пусть А'== {fli, a2, ..., flm} —подмножество в А, состоящее из
всех букв а, для которых ф(а)=^=1. Предположим, что ф(а,-) —
= с*' A^/^т, 0 < kt < п) и что х = сг для некоторого г,
О sg; г < п. Тогда
Л*: £ £,йЦ («О = ^ (mod n) \.
Z. = cp-i(x) =
Отсюда следует, что L= U (ПГ=1 L(ai< ni)), гЛе пи пь •••• nm
есть /л-ка целых чисел по модулю п, удовлетворяющих условию
2j/=i ^/rt< = r(modrt), а объединение берется по конечному мно-
множеству всех таких т-ок. □
Следствие 2.2. Яг/сгб ^ — псевдомногообразие конечных абе-
левых групп, a N(W)—множество целых чисел, служащих по-
порядками циклических групп из <&. Синтаксический моноид языка
LsA* тогда и только тогда лежит в <&, когда L принадлежит
булеву замыканию множества языков вида L(a, k) —
^ &(mod n)}, где а <= A, 0 sg; k < n и
*.
230 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Несмотря на некоторый самостоятельный интерес, следствие
2.2 не оказывает эффективной помощи в характеризации пото-
потоков языков, определяемых абелевыми группами. В силу пред-
предложения 1.2 поток 9'((&) замкнут относительно умножения; по-
поэтому разумно ожидать, что умножение появится в качестве
основной операции в любой характеризации 9'(<ё').
Определение 2.3. Класс 2 подмножеств из А* называется
замкнутым относительно полиномиальных операций, если
(a) Вей1 для любого подмножества В из А;
(b) Lu Li^S влечет U U L2, U • L2 e= &.
Для произвольного класса & подмножеств из А* обозначим
посредством Poli? наименьший класс подмножеств, содержа-
содержащий & и замкнутый относительно полиномиальных операций, и
назовем Poli? полиномиальным замыканием класса 2.
Следующая лемма показывает, что языки ЬеЛ*, для кото-
которых Af(L)e®', лежат в полиномиальном замыкании особого
класса языков, порождаемых некоторыми префиксными кодами.
Лемма 2.4. Пусть Ч>? и N(W)—такие же, как в следствии 2.2.
Если синтаксический моноид языка L<=A* лежит в (ё>, то
L e Pol 2, где & состоит из всех конечных пересечений
flTLiW» a Pi —префиксный код вида Bt U В\ (В\В',)"< ' для
некоторого п* е N(W) и некоторого В{^А, B'i = A\Bl, i—l,
2 m.
Доказательство, (а) Можно предположить, что L = cp-1(g),
где ф: Л*-> G — гомоморфизм Л* на Ge?, и g — элемент из G.
Покажем сначала, что L<=Pol{/(}, где K*=q>~l(e), a e — еди-
единица в G. Любое слово w <= А* можно записать в виде
w = klaik1a2...knankn+i, где kb k2, ..., kn+l<=K, au a2,..., а„еЛ,
и ki — длиннейший левый делитель из К слова wi, такого, что
w = kia\k2a2 ... ki-\at-iWi (т. е. k\—длиннейший левый дели-
делитель из К слова w = w\, k2 — длиннейший левый делитель из К
такого слова w2, что w = kiuiw2, и т. д.). Заметим, что ф(ау) =
= ({)(а1а2 ... ап). Кроме того, в силу определения слов kit в G
все элементы <p(w), (p(a2a3 ... ап), ф(а3 ... ап) у{ап) раз-
различны. Отсюда следует, что п<:о(О) и L= U Kai[Kai2 ...
. ■ ■ Ko-i К, где объединение берется по множеству всех слов
aixai2 • • • ain длины п <o(G) и таких, что ф(яг,яг2 • • • «<„) = g.
Это показывает, что L e Pol {К}-
(Ь) Если ф: Л*->0 — сюръективный гомоморфизм, то
<р(Л)—множество образующих группы G, а для любого аеА
элемент ц>(а) порождает циклическую подгруппу С из G, при-
2. Языки, определяемые абелевыми группами 231
чем С может оказаться одноэлементной группой. Пусть
Л,- = {аеА: ср(а)=с«, ъфе),
a Ci — подгруппа из G, порожденная элементом с,- (/= 1, 2, ...
..., т). Определим гомоморфизмы 0: Л'-э-П^С/ и 'Ф:
II!=iQ~>G, положив
0{w) = {xlt х2, ■■•, *т), где ^ есть ch
возведенный в степень X ^а(и')»
С1 ' С2 ' • • •' Ст ) — С1 62 • • • Ст •
Отображения 0 и ij) сюръективны и ф = т|) о 0. Отсюда следует,
что /С = Ф—1 (е) === 0—1 (Ker ij;) и в силу части (а) доказательства
К е PoljfH^')}, где е' обозначает единицу группы IIJ1, Q-
'(е')= ПГ9 '
Но 8 '(е')= ПГ-19' '(е)> гДе 0i==Pi°0, а р, —проекция
ПГ-1С< на Ci- Следовательно, К^ Pol {ПГ=1бГ'(е)} и мы
имеем 0*(Л;)= {с,}, 0jE,)= {e}, где Bi — А\Л». Заметим, что
8Г'(е) = Ьуе Л": Еаел. ^а(да) — 0(mod«Л], где щ — порядок
группы Ci. Множеством образующих подмоноида 0Г1 (е) из А*
служит бипрефиксный код Pi = Bt\j Al(J3*iAi'fi~y. Поэтому /(s
22' {ПГ;}
В следующих двух леммах и следствии мы изучим последо-
последовательно языки, синтаксические моноиды которых являются
простыми слева полугруппами с присоединенной единицей и
циклическими моноидами. Мотивы такого выбора объясняются
леммой 2.7.
Лег.ма 2.5. Пусть L^A* — язык, синтаксический моноид
M(L) которого есть S1, где S — конечная простая слева полу-
полугруппа. Тогда L e Pol %', где класс 'S состоит из всех языков
вида В* для В s А и всех языков из А*, синтаксические моноиды
которых лежат в псевдомногообразии групп, порожденном мак-
максимальной подгруппой из S.
Доказательство. Пусть о: Л*->5' — сюръективный гомомор-
гомоморфизм. Лемму достаточно доказать для языков L, являющих-
являющихся прообразами одноэлементных множеств, т. е. Ь — а-[(х),
isS1. Полугруппа S, будучи простой слева и, значит, З'-клас-
сом, является дизъюнктным объединением групп, изоморфных
некоторой группе G. Запишем 5= U^a^a c умножением
gihll=(gh)\ для любых g, h^G (gj, обозначает элемент из
G%, соответствующий элементу g^G). Положив В = {b e Л:
о(Ь)=\}, мы будем, очевидно, иметь a(w)=l, если и только
232 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
если mefl', что избавляет нас от забот в случае L —о~'A).
В случае же L = сН (х\) для некоторого х% е G% определим
гомоморфизм у: A*-+Gk следующим образом:
у{В) = {ек), где ек — единица в GK,
а для любого аеВ' = А\В
y(a) = g\, где gsG — такой элемент, что о(а)= g^.
Поскольку о сюръективен, то же самое справедливо для у.
Определим %%: 5'->Gx, положив
^(l) = efc, тЛ(^) = ^ для любых geG, цеЛ;
тогда v = тл, ° °- Пусть подмножество F ^ G% определяется фор-
формулой
/•" = {g\ e G^/. o{a) = g^, где а — первая буква некоторого слова
w s L, такая, что а(а)=^=1}.
Мы утверждаем, что
B.5.1) Ь-Д
Если ше/,,тош = woawi, где щ;0 е.5*, а еб' и o(a) = g-^ Да-
Далее, из g(w) = a(a)a(wi) следует х^ = gKa (да(). откуда л:Л =
= S'xTxor(ffi;i)==^Y(^i). а это означает, что !0,eV"'(?i4)'
Обратно, для Wq, a, wu обладающих указанными выше свойст-
свойствами, мы имеема(йУ(/ш,) = а (да0) 0@HA0^ = gKgx'xl = xv По-
Поскольку синтаксические моноиды языков Y^^1^) являются
факторгруппами групп G\, выражение B.5.1) для L показывает,
что L e Pol^, и это завершает доказательство. □
Обратимся теперь к случаю, когда моноид M(L) — цикличе-
циклический.
Лемма 2.6. Пусть язык L s А* имеет циклический синтакси-
синтаксический моноид M(L)= <c; cm = cm+r.>. Допустим, что синтакси-
синтаксический гомоморфизм a: A*-+M(L) удовлетворяет условию:
о(а) = 1 для любого a s В Е А и а(а) == с для любого аеВ' =
= А\В. Тогда L s Pol 9?в, где З'в состоит из языков Р* для
Р = В и Р = В\}В'{В*Вгу-1.
Доказательство. Если k < m, то a-l(ck) = {B*B')kB*, откуда
u-l(c*)f=Pol{B*}. Если k^m, то o-l(ck) = (B*B')kB*((B*B'yB*)*.
Множитель (B*B')k в этом выражении для a~](ck) лежит в
Pol {В*}, а оставшийся множитель является итерацией языка
В U В'(В*В')Г-1. Мы снова получаем о-1 (с*) е Pol i?s. Поскольку
L — объединение множеств вида о-1 (с*), лемма доказана. □
2. Языки, определяемые абелевыми группами 233
Следствие 2.6.1. Пусть синтаксический моноид M(L) языка
LsA* циклический. Тогда L лежит в булевом замыкании се-
семейства языков из Pol 3?в, В^А, где 9?в— такие же, как в
лемме 2.6.
Доказательство. Пусть А = {ai,a2, ..., ап) и о: A*-+M(L) =
= <с; с — cm+r) — синтаксический гомоморфизм. Определим
для каждого г, 1 ^ i ^ я, гомоморфизм or*: A*-+M(L) формулой
{at) =
с, если / = /,
1, если \ф1.
Допустим, что a(at) = c ', где 0 ^.kt < m + f, l^/^o. Тогда
для любого k, 0 ^ k < m -\- r,
a (ck) = U [аГ1 (с91) П а^1 (с«>) (]...(] On1 (с'»)],
где объединение берется по всем последовательностям неотри-
неотрицательных целых чисел qu q2,..., qn, таким, что qxk\ + q2k2 + ...
... -j- qnkn = k. Согласно лемме 2.6, каждый язык aj (с9') ле-
лежит в некотором Pols'в, В дЛ; поэтому L принадлежит булеву
замыканию языков из Pol З^в, fls/1. D
Следующая лемма уточняет предложение 2.5 из гл. 4. Она
показывает, что если М не является ни циклическим моноидом,
ни простой слева полугруппой с присоединенной единицей, то
всегда для произвольного порождающего М множества А можно
найти собственные подмоноиды Р и Q, где Р = MB"\j {e}, a Q
порождается множеством В = А\В' (из предложения 2.5 в
гл. 4 существование таких собственных подмоноидов вытекает
лишь тогда, когда А — минимальное множество образующих;
см. доказательство теоремы 3.1).
Лемма 2.7. Пусть L^A* — рациональный язык, а: А*-+-
->M(L)—синтаксический гомоморфизм. Тогда имеет место один
из следующих случаев:
Случай 1. M(L) —циклический моноид;
Случай 2. M(L)= Si, где S — простая слева полугруппа;
Случай 3. Существует собственное разбиение множества А
на два подмнооюества В и В', таких, что о(В*В')* и а(В*) — соб-
собственные подмоноиды в M(L).
Доказательство. Всюду в этом доказательстве мы пишем М
вместо M(L). Пусть В={аеЛ: 1 е а (А*аА*)}. Для любого
аеВ имеем a(a)fl в М. Из конечности М следует о(аJв\
(см. гл. 2, упр. 9) и, следовательно, элемент а(а) обратим.
Обратно, если о(а) обратим, то й е В, т. е. о(В*) — группа обра-
обратимых элементов из М. Если В —А, то М = G = G1, где G —
группа, и мы приходим к случаю 2. Если ВфА и ВФ0, то
В и В' — А\В определяют собственное разбиение множества А.
234 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Для любого b <=е В' элеменч а(Ь) необратим в /И, и потому
о (В*) — собственный подмоноид из М Что касается подмоноида
о(В*В')*, то он непременно отличен от М в случае а(В*)Ф {1},
так как 1—это единственный обратимый элемент, содержа-
содержащийся в а(В*В')*. Теперь мы будем рассматривать случай
а(В*)= {1} вместе со случаем В = 0, так как в обоих случаях
М есть дизъюнктное объединение некоторой полугруппы S и
{1}. Пусть се Л— такая буква, что Мо(с)— собственный ле-
левый идеал из М, максимальный среди всех собственных идеалов
вида Ma(d), d^A. Мы всегда можем предполагать, что такой
максимальный идеал существует, за исключением ситуации
о(А*)= {1}, которая приводит к случаю 1. Через Lc обозначим
^-класс элемента а(с) в М и положим С—{й еД: о(аK?о(с)}.
(a) Предположим, что а(С+)ф S. Тогда, разумеется, СфА
и, взяв D = С[) В, будем иметь а(О*)Ф М. Отсюда следует, что
ОфА и множество D' = A\D непусто. Допустим, что
o(D*Df)+ = S. Тогда o(c)<=e(D*Df)+, т. е. о{с)= o(w)o(d')
для некоторых шеЛ*, d'&D'; отсюда следует, что Lc^.Ld' и
в силу максимальности Ма(с) либо d'^C, либо a(d')=l. Та-
Таким образом, rf' e С (J В = Ь; противоречие. Следовательно,
o(D*Df) + ф S и o(D*D')* ф М, т. е. приходим к случаю 3.
(b) Предположим, что o(C+) = S. Рассмотрим два подслу-
чая, отвечающие условиям card Lc = 1 и card Lc > 1 соответ-
соответственно.
Подслучай 1. Lc = {s}. Тогда a(C+)—S есть циклическая
полугруппа с образующим s, а а(С*) = М — циклический мо-
моноид.
Подслучай 2. Lc содержит более одного элемента. Если о (С)
также содержит более одного элемента, то S порождается эле-
элементами о (с), с^С, которые ^-эквивалентны. Согласно пред-
предложению 3.13 из гл. 2, полугруппа S проста слева, и мы получаем
случай 2. Если же о (С) содержит единственный элемент, ска-
скажем о (с), то наше допущение относительно Lc дает o(cK?o(ck),
где о(ск)Фа(с). Отсюда следует, что о(с) = о(с1) для некото-
некоторого l~>k. Таким образом, S — циклическая группа и M = Sl,
т. е. имеют место оба случая: 1 и 2. Это завершает доказатель-
доказательство леммы. □
Теперь мы рассмотрим подробнее ситуацию в случае 3 из
леммы 2.7. Предположим, таким образом, что для данного гомо-
гомоморфизма о: A*-*-M(L) существует собственное разбиение
А — В (J В', такое, что а(В*В')* и а (В*)—собственные подмо-
ноиды в M(L). Для любого x^M(L) существует такое ше/1*,
что a(w) = x. Но любое слово шеЛ* имеет единственное раз-
разложение w =» uv, где и е(£*В')*, чеВ*. Применив а, получим
o(w) = o(u)o(v), где a(u)(=io(B*B')*, в(о)еа(8'). Следова-
Следовательно, любой леМA) допускает разложение x = r-s, где
2. Языки, определяемые абелевыми группами 235
гЕо(б'б')*, seo(B*). Рассматривая всевозможные разложе-
разложения х = rist, где г,- е о(В*В')*, si e о(б*), t = 1, 2 m, убе-
убедимся, что
B.7.1) а (х) = U (о (О) П (В'ВУ) (a-1 (s{) П В').
Включение слева направо вытекает из того факта, что любое
слово шё/1' имеет единственное разложение w — uv, где
(ieE'B')', оеб*. С другой стороны, для произвольного ше
е сН (r^cr^,) мы имеем о (ш) = ns« = х и потому да е сН (.*:).
Из B.7.1) следует, что L принадлежит полиномиальному за-
замыканию множества языков вида a~1(s)[]B*, где card а(В*)<
< card а(Л*), и a-l(r)f\{B*B')*, где card а (В*В')* < card о(Л*).
Так как мы хотим провести индуктивное рассуждение по
card а(Л*), особое внимание необходимо уделить языкам вида
о-1(г)(](В*В')\
Рассмотрим алфавит X, находящийся во взаимно однознач-
однозначном соответствии |3: X^-o(B*Bf) с конечным множеством
а (В* В'). Биекция |3 продолжается до сюръективного гомомор-
гомоморфизма E: Х*-э-а(В*В')*. Определим отображение а: Х^&{А*)
из X в моноид &>(А*) всех подмножеств моноида А*, положив
B.7.2) а(х) = (г|(рA))ПВ*В' для любого х <= X.
Отображение а продолжается до гомоморфизма а: Х*->-
^^>(А*), и можно проверить, что а(г)£ о~1ф(г))(\(В*В')* для
любого ге1*. Таким образом, а сопоставляет слову z из X*
язык а (г) из А*. Чтобы сделать эти вещи более прозрачными,
рассмотрим естественное отображение а-': М(/.)->-£Р(Л*) и
подытожим ситуацию в следующей диаграмме
г б ст (В* ВТ с )
Для любого г^о(В*В')* имеем
B.7.3) о-'(г)ПEф5/)*=а(Р-1('-)У.
Проверка этого равенства использует только определения
различных отобрал^ений и оставляется читателю в качестве
упражнения. Это показывает, что а~1(г)[\(В*В')* есть образ
относительно а языка р~' (г) из X*, синтаксический моноид кото-
которого является гомоморфным образом моноида а(В*В')* и пг-
этому имеет порядок меньший, чем M(L).
Проведенный анализ случая 3 из леммы 2.7 демонстрирует
важность отображения а: Х->-5э(Л*) и оправдывает наше сле-
следующее определение.
236 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Определение 2.8. Пусть вГ — класс языков из А*. Отображе-
Отображение а: Х-+£?(А*) называется ^-замещением (substitution),
если
(a) существует собственное разбиение алфавита А на два
подмножества В, В', и a(x)s В*В' для любого Jt£ X;
(b) Х\ ф х2 влечет a{Xi)f]a(x2) = 0;
(c) а(х)<^9~ для любого ;-е!
Отображение а, удовлетворяющее лишь условиям (а) и (Ь), на-
называются просто замещением.
Пусть а обозначает продолжение а до моноидного гомомор-
гомоморфизма ее: Х*-^0>(А*). Отображение а, определяемое формулой
B.7.2), является ^"-замещением при условии, что о-[ф(х))[\
П В*В' принадлежит классу &~ для любого х^Х.
Лемма 2.9. Пусть а: Х-*-^ (А*) —замещение, а а: X*-*-
-*-!Р(А*)—продолжающий его моноидный гомоморфизм. Тогда
для L\, L2eX* имеем:
(а)
(b)
(с) для любого префиксного кода РеХ* язык а(Р) есть
префиксный код в А*.
Доказательство. Свойство (а) очевидно. Свойства (Ь) и (с)
вытекают из того, что а (я) содержится в префиксном коде В*В',
и из того, что а (х) П а (у) = 0 для ;.-, у е X, х ф у. П
Если даны два замещения а: Х-+&{У*), Р: У->^(Л*), то
отображение y: Х-^-9>(А*), определяемое равенством у(х) —
= Р(а(х)) для любого хбХ, называется композицией аир.
Чтобы охарактеризовать языки из Э^С^), где "гР — псевдомного-
псевдомногообразие абелевых групп, необходимо изучить детальнее транс-
трансформацию префиксных кодов типа В или В U В'(В*В')п~1, где
Й£/1 и В'= А\В, при повторных композициях замещений.
Одно из свойств кодов вида В или В*В', которое сохраняется
при замещениях и называется свойством конечности задержки
синхронизации (Голомб, Гордон [1965]), мы сейчас определим.
Определение 2.10. (а) Пусть С ^ А* — некоторый код. Слова
и, кеС образуют синхронизирующую пару (и, и) для С, если,
каковы бы ни были х,у^А*, условие xuvy s С* влечет ие С*
и vy e С*.
(Ь) Код С имеет конечную задержку синхронизации, если
для некоторого целого а"^0 любая пара (и, ojeCXC1* яв-
является синхронизирующей парой для С. Наименьшее целое d
с таким свойством называется задержкой синхронизации или
s-задержкой кода С.
2. Языки, определяемые абелевыми группами 237
Например, любое подмножество В из Л есть бипрефиксный
код, имеющий s-задержку О. Для ВсЛ, ВФ0, префиксный
код В*В' имеет s-задержку 1. В действительности, уже любая
пара (wb\ 1), где до е В*, b'^B', является синхронизирующей
парой для В*В'.
Предложение 2.11. Если Р s X*— префиксный код с конеч-
конечной задержкой синхронизации, и а: Х-+!?(А*) — замещение, то
а(Р)—также префиксный код с конечной задержкой синхрони-
синхронизации.
Доказательство. Пусть d будет s-задержкой кода Р, и
а(Р) = С. Докажем,что любая пара (с,с2 ... cdl, с\с2 ... с^+1)е
eCd+1XCd+1 является синхронизирующей парой для С. До-
Допустим, что г = исхс2... cd+[c\c'2 ... c'd+]v e С* для некоторых
й,ое А*. Заметим, что z e а (до) для некоторого шеХ* озна-
означает, что г = Ь\Ь2 ... bi, где bi^a(xi) sB*S' и jcisZ,
1 ^ I ^ I. Следовательно, для любого разложения слова z, ска-
скажем 2 = t/it/2 ... Ун, где yi, у2, ..., yk<={B*B')*, существуют
гп\, т%, ..., irik^X*, такие, что i/iGa(m,) для каждого I,
1 =s; i ^ k. Теперь, поскольку С^(В*В')+, можно записать
cx = d\dt для некоторых di^{B*B')+, d2<^{B*B')*. Но, как от-
отмечено выше, любая такая пара (d\, d2) является синхронизи-
синхронизирующей для В*В'. Поэтому ud\^(B*B')* и d2c2 ... ca+iv s
е(В*В')*, откуда такн<е выводим ое(В*В')*. Следовательно,
существуют т, п<^ X*, р, р' е Р*, такие, что «с, е а (т), с2 ...
... cd+1e=u(p), с\с2 ... c;+lea(p'), yea (n). Так как cv с'{<=&(Р)
для любого i, 1^/^cf+l, получаем p^Pd, p'^Pd+l и
трр'п е Р*. Поскольку Р имеет s-задержку d, пара (р, р') —
синхронизирующая для Р. Поэтому mp, p'/t еР'и исхс2 ...
...cd+1Ga(mp)ca(n с[с'2 ... c'd+lv ^a(p'n) ^a(P'). □
Следующая теорема является некоторым адаптированным
вариантом характеризации, полученной Шютценберже [1974].
Теорема 2.12. Пусть Ч? — некоторое псевдомногообразие ко-
конечных абелевых групп, а N (с$?) — множество целых чисел, яв-
являющихся порядками циклических групп из С6. Рациональный
язык L^A* принадлежит потоку ^CF), определяемому груп-
группами из ^в (т. е. все подгруппы синтаксического моноида M(L)
лежат в W) тогда и только тогда, когда L принадлежит наи-
наименьшему классу £Г(А) со следующими свойствами:
(a) £?~{А) содержит все подмножества из А;
(b) £?~(А) замкнут относительно булевых операций и умно-
жения;
(c) £?~(А) замкнут относительно итерации, применяемой к
множествам вида Рп, где n^N^e), а язык Р<=@~(А) является
префиксным кодом с конечной задержкой синхронизации.
238 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
Доказательство. Достаточно показать, что 9'(<&')^£Г и что
для любого конечного алфавита А семейство 9'(CS)(A) удовле-
удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) данной теоремы.
(A) ^(^js^. Допустим, что Le/4* и что все подгруппы
из M(L) лежат в f. В силу леммы 2.7 для M(L) существуют
три возможности. Если моноид M(L) циклический, то следствие
2.6.1 показывает, что Le J(i). Если M(L) — S\ где 5 — про-
простая слева полугруппа, то, используя леммы 2.4 и 2.5, мы снова
получаем 1е^"(Д). Рассматривая третий случай из леммы 2.7,
применим индукцию по порядку M(L). Предположение индук-
индукции состоит в том, что если для L' s У* существует гомомор-
гомоморфизм ср: У*->-Л1 в моноид М, подгруппы которого лежат в^,и
card М < card M(L), то L'^tF(Y). Без ограничения общности
можно предположить, что L = о~' (х) для некоторого x^M(L),
где о: A*-*-M(L) — синтаксический гомоморфизм. Тогда фор-
формула B.7.1) показывает, что L принадлежит полиномиальному
замыканию языков вида
Ls = o-l(s)(\B* и L;-0
Так как card а (В*) < card M(L), согласно индуктивному пред-
предположению Ls e ЗГ(В)^ &"(А). Что касается L'r, то формула
B.7.3) дает Lr = а(р~' (г)), где а: Х->!?(А*) есть замещение,
определяемое равенством B.7.2). Проверим, что а является
9~(А)-замещением. Для любого ге! мы имеем .
а (г) = а-1 (Р (г)) П В*В' = Д о'1 {yt)b'lt
где (/,ео{В*), Ь\ е В' и
Р (г) = ^а F|) = у2а FJ) = . .. = ука (Ь'к)
суть все возможные разложения Р(г) в произведения элементов
yt^a(B*) и а (&;) е or (В'). Снова опираясь на неравенство
card о(В*) < card M(L), получаем о~'(г/г) е @~(А), откуда
а(г)еУ(/1), т. е. а действительно является £Г{А)-замещением.
Поскольку cardo(B*B')* <C cardM(L), предположение индукции
применимо к р"Ч'') и дает р (г)е ^(Х). Р1з леммы 2.9 и
предлон<ения 2.11 вытекает, что язык Lr = a(|3~1(r)) лежит в
5^(Л), откуда окончательно получаем L^ST(A).
(B) 9'((ё')(А) удовлетворяет условиям (а), (Ь) и (с) тео-
теоремы 2.12. В силу предложения 5.16 из гл. 6 все конечные
моноиды, подгруппы которых лежат в %?, образуют псевдомного-
псевдомногообразие. В силу теоремы 5.11 из гл. 6 9'{CS) есть поток рацио-
рациональных языков, и поэтому класс ^(^)(Л) замкнут относи-
относительно булевых операций. Замкнутость 9'{(&){А) относительно
произведений следует из предложения 1.2. Осталось показать,
что если язык Ре^(?)(Л) есть префиксный код с конечной
2. Языки, определяемые абелевыми группами 239
задержкой синхронизации, то (Рп)* <= PCS') (А). Это вытекает
из одного свойства рациональных префиксных кодов с конечной
задержкой синхронизации (следствие 2.14), достаточно замеча-
замечательного, чтобы быть доказанным независимо. □
Предложение 2.13. Пусть С s Л*— рациональный код с ко-
конечной задержкой синхронизации, и у: C*-+G— гомоморфизм
в конечную группу G. Обозначим через R такой префиксный код,
цто R* = v~' A), и для каждого g e G положим Cg = С (] y~l (g).
Любая максимальная подгруппа синтаксического моноида языка
R* принадлежит псевдомногообразию групп, порожденному груп-
группой G и максимальными подгруппами синтаксических моноидов
кодов Cg (g<=G).
Доказательство. Обозначим через Pd главную правую кон-
конгруэнцию на Л*, определяемую кодом D (гл. 6, пример 1.10.2).
Определим Л*-автомат Ш. следующим образом. Множество 5
состояний автомата 9Х есть A*/f)g^aP{p. Моноид А* действует
на S, как обычно, умножением на классы справа. Начальным
состоянием Si служит класс единицы 1, а заключительные со-
состояния суть tg = Cg (множества Cg не пересекаются, и легко
проверить, что каждое Cg есть класс правой конгруэнции
f|gs Q P{c\ Аналогично, для каждого g^G определим Л*-авто-
мат Ш.е с множеством состояний А*/Р{р, классом единицы 1
в качестве начального состояния и единственным заключитель-
заключительным состоянием Се. Отображение ср: % -> Цг е 0 9lg, сопостав-
сопоставляющее классу да по модулю Г\еег0Р{р кортеж, g-я компонента
которого есть класс w по модулю Р{р, является инъективным
е
гомоморфизмом Л*-автоматов. Поэтому моноид переходов авто-
автомата % делит произведение синтаксических моноидов кодов Cg
(g^G). Для доказательства нашего предложения достаточно
показать, что подгруппы из M(R*) лежат в псевдомногообразии,
порожденном максимальными подгруппами из моноида перехо-
переходов автомата Щ. и самой группой G. Построим теперь Л'-автомат
S3, распознающий R*. Если Т = {tg: geG} обозначает множе-
множество заключительных состояний автомата 91, то возьмем 5 =
= GXE\T) в качестве множества состояний автомата S3.
Действие А на 5 задается формулой
((g, sa),
8' S'a = \(gh, sx),
если saqkT,
если saeiT к sa = th{h<=G).
Продолжив его до действия Л*, получим: A, s{)w = A, S\), если
и только если гвеС* и y(w)—\. Таким образом, 9 с состоя-
состоянием A, s,), .одновременно начальным и заключительным, распо-
240 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
знает R*. Обозначим через М моноид переходов автомата S3, а
через ф: А*-*-М — канонический сюръективный гомоморфизм.
Пусть Я— максимальная подгруппа из М. Как группа подста-
подстановок, Я может быть реализована действием подполугруппы
'Я) из Л* на множестве 5н = 5q>~l(H).
Случай 1. Предположим, что для любой пары (g, s) e 5ц и
любого левого делителя hi ф 1 слова h е ф-1 (Я) будет sh\ ф Т.
Тогда (g,s)h—(gsh) для любых (g,s)^SH и ^ег'(Я).
Действие полугруппы ф-1 (Я) на 5н подобно ее действию на
некотором подмножестве из 5\Г в терминах автомата 91. От-
Отсюда следует, что Я изоморфна некоторой подгруппе моноида
переходов автомата 91.
Случай 2. Пусть существуют (g, s) e 5н и h = hih2 е ф~' (Н),
где /и^М, такие, что sh\ = tg> еГ. Выберем ^Еф"'(//) так,
чтобы элемент <p(hk) был единицей в Н. Тогда
(g, s)hi'={g, s)hxh2khu откуда {gg', si) = {gg/, sl)h2khi.
Это показывает, что h2kh]^C*, а поскольку Н\ф\, имеем
hikh\ e C+. Допустим, что С имеет s-задержку d. Взяв v = h2k
и и = hi(h2khl)d-1,, мы видим, что vu^CdC*, «weep-1 (Я), а
также что ф(у«) и ср(иу) — идемпотенты. Далее, ф(иу)Яф(иу) =
= Я, так как ф(ыи)= ф(/21/г2А)с( — идемпотент из Я. Поэтому
ф(у)Яф(«)=Я' есть группа, лежащая в ^-классе группы Я,
и, следовательно, она изоморфна Я и ее единицей служит ф(ои).
Заметим, что, как группа подстановок, И' реализуется дейст-
действием полугруппы ф~ (Я') на 5я' = 5ф~'(Я'); в частности, для
любой пары (g, s)^Sh' имеем (g, s)vu = (g, s). Мы утверж-
утверждаем, что Sh' состоит из пар вида (g, s\). Если (g, s)^Sh', to
существуют w, и/еЛ*, такие, что s\W== s и sw' = tg' для не-
некоторого fg-бГ. Отсюда следует, что
(g, s\)w{vuJwr = {g, s)vuw' = {g, s)w' = (gg', si).
Следовательно, w(vuJw' ^. С*, причем vu&.CdC*\ так как С
имеет s-задержку d, получаем wvu^C*, откуда (g, sx)vi)vu —
— (g"> s0> что влечет s = Si. Это означает, что (р-'(Й')дС*.
Далее, если слова w\, »2еф"'(^') удовлетворяют равенству
tp(oyi) = ф(ш2), то (g,si)wi=(g,si)w2 для всех (g, sx)^Sh'.
Это дает gy{w\) = gy{w2), что в свою очередь влечет y(w\) =
= y{w2). Поэтому диаграмма B.13.1) ниже может быть допол-
дополнена до коммутативной сюръективным гомоморфизмом ij) из
у{ц> ] (Н'\) в Я'. Следовательно, подгруппа Я' из М, изоморф-
3 Языки, определяемые разрешимыми группами 24 I
ная Н, делит G.
B.13.1)
Поскольку синтаксический моноид M(R*) является гомо-
гомоморфным образом моноида М, рассмотренные выше два случая
показывают, что максимальные подгруппы из M(R*) являются
делителями либо подгрупп из моноида переходов автомата 31,
либо группы G. Это завершает доказательство предложения
2.13. □
Следствие 2.14. Пусть С — рациональный префиксный код
с конечной задержкой синхронизации. Любая максимальная под-
подгруппа синтаксического моноида языка (Сп)* лежит в псевдо-
псевдомногообразии конечных групп, порожденном группой Zn и мак-
максимальными подгруппами синтаксического моноида кода С.
Доказательство. Применим предложение 2.13, взяв у. C*-+Zn,
определенное равенствами у(с)=1 для любого с из С. Резуль-
Результат вытекает из того факта, что у~]@) = (Сп)*. □
Теорема 2.12 показывает, что для порождения циклических
подгрупп в синтаксических моноидах достаточно применять ите-
итерацию к некоторым специальным префиксным кодам. Следует
отметить, что проблема нахождения всех рациональных префикс-
префиксных кодов Р с конечной задержкой синхронизации, синтаксиче-
синтаксические моноиды которых содержат лишь циклические подгруппы,
является открытой. Иная техника порождения подгрупп в син-
синтаксических моноидах будет представлена в следующем пара-
параграфе.
3. Языки, определяемые
разрешимыми группами
Напомним, что группа G называется разрешимой, если G
имеет субнормальный ряд с абелевыми факторгруппами. Следо-
Следовательно, конечная группа G разрешима тогда и только тогда,
когда она имеет композиционный ряд с циклическими фактор-
факторгруппами простого порядка. Хорошо известно, что все разреши-
разрешимые группы образуют псевдомногообразие групп, которое мы
обозначим через 3). Для произвольного множества Р простых
чисел положим 3)р = {Ge25: G — конечная группа, и p\o(G)
влечет р^Р}. Простая проверка показывает, что 2Dp является
псевдомногообразием разрешимых групп; такие группы назы-
242 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
ваются Р-разрешимыми. Мы охарактеризуем поток 9>(@)р) ра-
рациональных языков, не прибегая явно к итерации, заменяя по-
последнюю так называемым ^-сечением по модулю п.
Определение 3.1. Для любого языка 1еЛ* и слова шеА'
обозначим посредством Я(ш, L) число левых делителей слова w,
принадлежащих А+ f] L. Для произвольных целых п ^ 2 и k,
О <: k < п, определим k-сечение по модулю п языка L как мно-
множество
<L, k, n> = (ibgA*: X(w, L)== &(mod/i)}.
Если, например, L=A*, то Я (да, L) есть длина слова w и
<Л*, k, n) = (An)*Ak. Если L — A*a для некоторого ае/1, то
Я(и;, L) = da{w) и <Л*а, ^, п> есть язык L(a, k), появляющийся
при характеризации языков циклических групп порядка п
(лемма 2.1).
Напомним (см. гл. 6, упр. 8), что ^-моноид Т = (Q, М) распо-
распознает язык L <= А*, если L = {w е Л*: ^Оф (и*) е Qi} для некото-
некоторого гомоморфизма ср: А*-+М и некоторых ^0 е Q и Qi S Q. Обо-
Обозначим через Ql множество состояний минимального Л*-автома-
та, распознающего L.
Предложение 3.2. Для любого рационального языка L^A*
k-сечение по модулю п языка L, U = <L, k, я>, есть рациональ-
рациональный язык, распознаваемый t-моноидом (Zn, Zn)z(QL, M(L)).
Доказательство. Предположим, что L={w^A*: q(
е Qi}, где о: А*-*-М(L) — синтаксический гомоморфизм, q0 Q
и Qi £ Ql. Вспоминая, что (Zn, '£n)z{QL, M(L)) = (Zn X Ql,
ZnwrM(L)), определим ср: A*-+ZnwrM(L) следующим обра-
образом. Для любого йе/1 положим cp(a) = (fa, а (а)), где отобра-
отображение fa: Qb->~Zn дается формулой
О, если qa ф Q,,
, если qa<=Q{.
Таким образом, действие ср(а) на /„XQi определяется равен-
равенством
(/, fl-a), если qa^Qu
1.^). если ,aSQ,
Для доказательства того, что Z/—{дае=Л*: @, ^о)ф(да)е
е {k} X Qz.}, достаточно заметить, что @, q0)у (w) = (}, qoy(w)),
где / — число левых делителей »е/1+ слова w, таких, что
qo(f(v)^Qu Кроме того, @, #о)фA)е {Щ X Ql тогда и только
тогда, когда k = 0, а равенство ^ = 0 равносильно условию
IgL'. Таким образом, (ZnXQi, ZnwrAl(L)) распознает L'.
Ъ случае конечного M(L) язык /,' рационален, так как, в силу
упр. 8 из гл. 6, (QL't M(L')) делит (Zn, Zn)z{QL, M(L)). □
3. Языки, определяемые разрешимыми группами 243
Замечание 3.2.1. Пусть по е А и L" = (Lao, k, п} есть fe-ce-
чение по модулю п языка Lao. Тогда L" тоже распознается
/-моноидом (Zn, Zn)z(QL, M(L)). Доказательство этого такое
же, как и выше, за исключением определения fa. Именно, нужно
взять
( 1, если q e Q, и а = ай,
f (q)== 1
а 1^0 в противном случае.
Следующие две леммы прямо ведут к характеризации потока
9>{3>Р).
Лемма 3.3. Если язык L^A* распознаваем конечным t-мо-
t-моноидом (Zn, Zn)z(Q, M), то L содержится в замыкании мно-
множества языков, распознаваемых (Q, М), относительно булевых
операций и операции L*—>{La, k, n}, а^А, k < п.
Доказательство. Без ограничения общности можно предполо-
предположить, что L= {шеД*: (по, qo)<p(w) — (nt, qt)} для некоторых
(по, qo), (nt, qt)^Zny,Q и для некоторого гомоморфизма
ф: /4*->Z,jWr M. (В случае когда заключительных состояний
(nt, qt) более одного, L будет конечным объединением множеств
указанного выше вида.) Для любого шеЛ* мы имеем ф(да) =
= (/ш, Q(w)), где fw — отображение Q в Zn, a 0 обозначает ком-
композицию ф и проекции Z^wrM на М. Далее, (я0) qo)q>(w) =
= (nofw(qo), qoQ(w)), и w^L тогда и только тогда, когда
ше/.'П1.", где /,'={даеЛ*: q0Q(w) — qt}, L" = {w e= A*:
nofw(qo)=::nt}. Ясно, что (Q, M) распознает U. Чтобы исследо-
исследовать строение L", упростим обозначения и, указывая действие
А* на Q, индуцированное Э, будем писать qw вместо qQ(w).
Если w = п\п2 ... аг, то
tiufw (qo) ~ «о + fat (qo) + fa2 (<7oai) + ... + faf (qoam .. . ar-\)\
при этом w e L", если и только если
C.3.1) fu] (q0) + f a2 (qoct\) + ••■ +far(?oaia2 ... ar_i) = nf — n0.
Определим гомоморфизм у: (QYsA)*->Zn, полол^ив y(q, a) =
— fa(q), и отображение б: /4*->(QX^)*, положив
C.3.2) вA)=1, б (a,aa •.. аг) = (q0, al)(quau a2) ...
... (?0aia2 ••• ar-i» ar).
В силу C.3.1)
L" = {w e Л*: Y (в (a»)) = я, - пй} = б (v (я, - я„)).
Согласно лемме 2.1 множество y~l(nt — Яо) лежит в булевом
замыкании множеств {B*b, k, п}, Ъ е В = QX А. Как известно,
б" сохраняет булевы операции. Следовательно, L" лежит в бу-
булевом замыкании языков 6~1({B*b, k, n}), ieB. При этом
244 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
w ^6-l((B*b,k,n}), если и только если dbF(w)) = &(mod n).
Для определения числа вхождений пары Ь = (q't а') в произве-
произведение (<7о, a\)(qoai, a2) ■ ■■ {qaa\a2 ... аГ-\, а,) введем струк-
структуру Л*-автомата на множестве QX(^U{1}). положив
C.3.3) (q, l)a — (q,a), (q, a\)a2=={qa\, а2)
для любых q e Q, а, а\, а2^А.
Отсюда следует, что (q, 1)аш2 ... ai = (qaiu2 ... щ-i, а,).
Поэтому число вхол<дений пары (qr, а') в (<7о, п\) (qoa\, a2) ...
... {qoa\a2 ... аг-\, аг) совпадает с числом левых делителей v
слова а\п2 ... аг, таких, что (qo, \)v = (q', а'). Таким образом,
6-1((В% k, я» = </.,, k, »>, где /,,= {даеЛ*: (q0, l)w =
= {q',a')}. Но (q0, l)w ={q', а') тогда и только тогда, когда
w = va' и qov = <7'. Это показывает, что L\ = L'a', где L' рас-
распознаваем i'-моноидом (Q, М), что завершает доказательство
леммы. □
Теперь мы исследуем языки, распознаваемые ^-моноидами
вида F3a(Q, М), где F3=({0, 1}, {1}«) = ({0, 1}, R3) (см. гл. 4,
§ 5).
Лемма 3.4. Если язык L = А* распознаваем конечным t-мо-
ноидом Fss(Q, M), то L принадлеоюит наименьшему классу под-
подмножеств из А*, содержащему все конечные множества и
языки, распознаваемые (Q, М), и замкнутому относительно
объединений, дополнений и произведений.
Доказательство. Как и в доказательстве леммы 3.3, мы пред-
предполагаем, что
L={wz=A*; («о, qo)q>(w) = (nt, qt)}
для некоторых (п0, q0), (nt, qt)^ {0, 1} X Q и некоторого гомо-
гомоморфизма ф: /4*->-/?3wrM. Для любого w e Л* имеем ср(да) =
= (fw, Э(да)), где fw: Q->/?3, a 0: А*->~М есть композиция ф и
проекции на М. Мы снова пишем qw вместо q$(w). Далее,
1={даеЛ*: (nofw(qo), qow) = (nt, qt)}=L'[\L", где U =
= {»еЛ*: <7offi)='7J и L" — {w g Л*: nofw(qo)= nt}. Так как
Z/ принадлежит классу ^ подмножеств, описанному в лемме,
остается доказать, что то же самое справедливо и для L". Если
w = а \а2 ... ат, то
«э/шЫ == «о/а, (<7о) fa2 (<7oai) .■■ far {Яоа-Д2 .. . ar-\),
и w e L", если и только если rtofa, (<7i) /o2 (<7oai) • • • far(qaaiu2 ...
.. .аг-\)—т. Снова определим гомоморфизм у: (QX^)* ->• /?з. по-
положив y(<7, a) = fo(<7), и отображение б: Л*->(фХЛ)* форму-
формулами C.3.2). Тогда ^ = 6-4^0, где Ц = {z<=(Q X Л)»:
rtovB:)== nt\- В зависимости от значений nQ, nt e {0, 1}, язык
3. Языки, определяемые разрешимыми группами 245
L\ может быть получен объединением какого-либо числа мно-
множеств из следующих трех: В*В0С*, B*BiC*, С*, где
ту /~\ ч/ A D ) U /— D
-(! ,')}■ с
Замечая, что С* является дополнением в В* множества
B*B0C*\j В*В\С*, для доказательства соотношения L" e 91 до-
достаточно показать, например, что Ь~Х{В*В\С*)^9>. В случае
п0 = 0, tit = I язык Li в точности совпадает с 5*Б,С*; поэтому
продолжаем выкладки, считая, что п0 = О, щ = 1. Исполь-
Используя Л*-автомат на множестве QX(-^L) {1}), определенный фор-
формулами C.3.3),рассмотрим для любых bv Ь\ е В{, 60е Во языки
£(&,) = {о;е=Л': (?0, 1)да = 6,}, /.(&„ &;) = {ше=ЕЛ*: &,ш = &;}
и LF,, 60) = {шеЛ*: 6,да = 60}. Поскольку L"==6-1(B'B1C*)I
w&L" тогда и только тогда, когда w — uv, где «eLF,) для
некоторого 6,^6,, a v' <£L(bv b'^\)L(blt b0) для любых ft[ e
е fij, ft0 е Во и для любого левого делителя о' слова о.
Определив /C(&i) равенством
*(&,)= U (L{bltb\)UL(blt *„)),
получим, что да е L" тогда и только тогда, когда w = uv, где
(ieLFi), v ^ L'(b\) — A*\K{bi)A*. Отсюда следует, что L" =
— Ubl(=B, ^(^i) ^'(^i)" ^ак и в П0СлеДней части доказательства
леммы 3.3, можно проверить, что каждый из языков L(b{),
L(bu b[), L(b{, b:)) имеет вид Ка или Ka\j {\} для некото-
некоторого ее/1 и некоторого К, распознаваемого (Q, М). Поэтому
L" e 91, и это завершает доказательство. □
Теорема 3.5. Пусть Р — произвольное множество простых чи-
чисел, 2)р — псевдомногообразие Р-разрешимых групп, 3?C)р) —
поток рациональных языков, синтаксические моноиды которых
лежат в 3)р. Для любого конечного алфавита А семейство
З'(З)р) (А*) совпадает с наименьшим семейством (F подмно-
подмножеств из А*, содержащим 0 и замкнутым относительно объеди-
объединений и дополнений, а также k-сечзний по модулю р, р^ Р,
для языков вида La, где L<=&~, а^А (т. е. L^ST, p^ P,
а^ А влечет {La, k, р> е ЗГ).
Доказательство, (а) ЗГ = S{S)P) (А*). Моноид Af@) явля-
является тривиальной группой, которая, очевидно, Р-разрешима.
Если M{LX), M(L2) суть Р-разрешимые группы, то и M(LiU^2)
есть Р-разрешимая группа, так как делит M(Li)"XM(L2). Кроме
246 Гл. 7 Рациональные языки, определяемые группами
того, М(A*\L) = M(L). Наконец, если M(L) есть Р-разрепш-
мая группа, то в силу замечания 3.2.1 и моноид M((La, k, р>)
будет такой группой1).
(b) 3?{2£)i>) {А*)<=3~. Допустим, что M(L) есть Р-разреши-
мая группа. В силу теоремы 5.2 из гл. 4 либо M(L)= {!}, либо
{QL, M(L)) делит (ZPn, ZP|t)г .. . гG_н, ZPl)a(ZPi, ZPl), где ZPl,
Zp2, ..., ZPfi — простые факторы композиционного ряда груп-
группы M(L), причем р\, р2, ..., рп^Р- В случае M(L)= {1} по-
получим L = 0 или L = A*, откуда L е @~. В противном случае,
начиная индукцию по п, положим (Q, M) = {ZPn_l, Zpn_l)e...
...гGР], Zp,) (или (Q, Л1) = ({1}, {1}), если п=1).Так как
(Ql, M{L)) делитBР/г, Zp ) г (Q, Л'/), в силу леммы 3.3 (и упр. 8
из гл. 1) L лежит в замыкании множества языков, распознавае-
распознаваемых (Q, М), относительно булевых операций и операции L>—>
K-><La, k, рпУ- Теперь применение предположения индукции к
языкам, распознаваемым (Q, М), доказывает теорему. □
Теорема 3.6. Пусть Р — произвольное множество простых чи-
чисел, 2)р — псевдомногообразие Р-разрешимых групп, 9*C)Р) —
поток всех рациональных языков L, для которых все подгруппы
синтаксических моноидов лежат в 2t)p. Для любого конечного
алфавита А семейство 9'{Фр){А*) совпадает с наименьшим се-
семейством SF подмножеств из А*, содержащим все конечные под-
подмножества из А* и замкнутым относительно объединений, до-
дополнений, произведений и k-сечений по модулю р для любых
ре Р.
Доказательство, (а) ЗГ s ^(ЗЬр) (Л*). Для любого конечного
подмножества L из А* моноид M(L) содержит лишь тривиаль-
тривиальные подгруппы. Для L\, L2^A* подгруппы из M(Ll[}L2) и
M(LiL2) делят подгруппы из M(Li)XM(^2) (см. лемму 1.3 и
доказательство предложения 1.2), а следовательно, они Р-разре-
шимы, если таковы подгруппы из M{L\) и M(L2). Наконец, если
M(L) содержит лишь Р-разрешимые подгруппы, то, поскольку
язык L'=(L, k, р> распознается /-моноидом (Zp, Zp)a(QL, M(L))
в силу предложения 3.2, M(L') делит моноид Zpwr M(L), под-
подгруппы которого Р-разрешимы, если р ^ Р.
(b) SP{2>p){А *)<=ЗГ. Допустим, что М {L) (= 9>C)Р). Со-
Согласно теореме 5.2 из гл.4, (QL.M(L)) делит ТпгТп-\г ... гТи
где 7( = (ZP) Zp) для некоторого р^Р либо 7,- = F3. Прибегая
к индукции по п, положим (Q, M) = Tn-i г ... г Т\ (или (Q, М) =
= ({1}, {1}), если л = 1). Мы имеем (Qt, M(L))\Tna(Q M).
Если 7« = (Zp, Zp) (соответственно Тп = F3), то лемма 3.3 (со-
') Поскольку гплетонпр конечных Р-разрешимых групп — снова Р-разре-
шимая группа (см. доказательство теоремы 1.6 в гл, 4) — Прим. перев.
Библиографические замечания 247
ответственно лемма 3.4) и предположение индукции дают
Lef. □
Замечания 3.7. (а) Если в качестве Р взять множество всех
простых чисел, то теорема 3.5 даст описание всех рациональных
языков, синтаксические моноиды которых являются разреши-
разрешимыми группами. Легко доказать, что тогда fe-сечения по модулю
р, р е Р, можно заменить fe-сечениями по модулю п для произ-
произвольных п. То же самое справедливо для теоремы 3.6.
(b) Для Р = {р} теорема 3.5 описывает все рациональные
языки с р-группами в качестве синтаксических моноидов, а тео
рема 3.6 описывает все рациональные языки L, для которых
подгруппы в M(L) исчерпываются р-группами (относительно
р-групп см. также Эйленберг [1976, гл. 8, § 10]).
(c) Если Р = 0, то в теореме 3.6 не будут фигурировать
сечения и она превратится в теорему 1.5.
Библиографические замечания
и дальнейшие результаты
Впервые общее исследование апериодических языков появилось в книге
Мак-Нотона и Пейперта [1971]. Кроме локально тестируемых и кусочно те-
тестируемых языков изучались и характеризовались в терминах синтаксических
моноидов и другие подклассы апериодических языков. Наиболее важным для
классификации служит понятие мультипликативной глубины (dot-depth)
(Коэн, Бжозовски [1971], Саймон [1972], Бжозовски, Саймон [1973], Бжозов-
ски [1977]). Для фиксированного алфавита А определим s4-e как класс всех
языков La = {а}, где оеД а для п ^ 1 определим £Фп как булево замыка-
замыкание всех языков, являющихся конечными произведениями языков из stn-\
(например, £&?, — это класс, состоящий из всех конечных и коконечных язы-
языков). Так возникает иерархия s40 e^i£...e s£n = ... . Утончая эту иерар-
иерархию, можно в каждом s&;, выделить подклассы s£n, m, где s$-m, n есть булево
замыкание всех языков, представимых произведениями L\L2... Li, i ^ т, где
L\, Z-2, .. , Li<e. s&n-\. Большинство известных результатов касается языков
st-n, т Для я^2. Пока не получено никаких определенных результатов о по-
потоках языков L, таких, что M(L ) является Я- или ^-тривиальным (см. Эй-
Эйленберг [1976, гл. 10, следствие 3.3], Милито [1977]).
Одним из наиболее интересных для исследования псевдомногообразий
конечных моноидов является, вероятно, класс конечных моноидов с мульти-
мультипликативно замкнутыми регулярными ^-классами. Характеризация соответ-
соответствующих потоков языков была получена Шютценберже [1976]. Было бы
интересно получить описания в духе теоремы 3.6, которые бы легко специали-
специализировались для наиболее важных подпсевдомногообразии.
Все результаты, содержащиеся в § 3, принадлежат Страубингу [1979].
Особая роль конс.ныл префиксных кодов в описании потоков языков
недавно проявилась вновь, особенно в связи с результатами, которые полу-
получил в своей диссертации Пэн [198Г]. Мы кратко, без доказательств, изложим
некоторые его результаты1).
Рассмотрим Л*-автомат 91 с множеством состояний S п В*-автомат Э с
множеством состояний Т. Будем говорить, что й моделирует Э, если суще-
') Формулируемые ниже утверждения, помеченные буквой Д, добавлены
автором для русского перевода. — Прим. ред,
'ЛИ Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
ствуют подмножество Si из S и множество слов С s А+, находящееся во
взаимно однозначном соответствии с В, такие, что A) Stc s 5i для всех
с еС; B) С*-автомат с множеством состояний 5i изоморфен S3. Очень легко
показать, что если Я моделирует S3, то моноид переходов автомата S3 делит
моноид переходов автомата Я. Следующий результат менее очевиден.
Теорема Д.1. Любой автомат моделируется автоматом конечного полного
префиксного кода.
Если, например, дай 2*-автомат Я с множеством состояний {0, 1, ...
..., п—1}, рассмотрим новый алфавит Л = {a} (J {аа: а е 2) и положим
Р = {ап} U \а{ааап~1: а е 2 и 0 ^ i ^ п—1/. Тогда можно показать, что
Р — префиксный код й что его пополнение Pi (т.е. наименьший полный пре-
префиксный код, содержащий Р) таково, что 91 (Р,) моделирует Я. Более совер-
совершенная конструкция позволяет в некоторых случаях выполнить моделирова-
моделирование, используя конечные префиксные коды, синтаксические моноиды которых
лежат в том же псевдомиогообразии, что и моноид переходов исходного авто-
автомата Я. Например, справедлива
Теорема Д.2. Пусть $— псевдомногообразие групп, а Л($) —псевдо-
—псевдомногообразие моноидов, индуцированное 9. Если моноид переходов автома-
автомата Я лежит в Л(&), то Я моделируется автоматом Я(Р*), где Р — конечный
префиксный код, для которого синтаксический моноид М(Р*) лежит в ЛB?).
В терминах упр. 8 это дает
Следствие Д. 3. Если моноид переходов автомата Я комбинаторный, то Я
моделируется автоматом Я(Р*), где Р — чистый конечный префиксный код.
Совместная работа Марголиса и Пэпа показывает, что при моделирова-
моделировании автоматами конечных префиксных кодов может быть сохранена группо-
групповая сложность (см. библиографические замечания в гл. 4). В частности, имеет
место
Теорема Д.4. Для любой конечной полугруппы S существует конечный
префиксный код С, эффективно вычислимый по S, такой, что A) S делит син-
синтаксическую полугруппу 5(С+) полугруппы С+; B) S и 5(С+) имеют одну
и ту же групповую сложность.
Этот результат позволяет сводить проблему разрешения групповой слож-
сложности для произвольных полугрупп к случаю полугрупп вида 5(С+), где С —
конечный префиксный код.
Говорят, что поток языков 9" описывается своими конечными префиксны-
префиксными кодами, если 9я совпадает с наименьшим таким потоком 9", что для лю-
любого конечного алфавита А семейство 9"(А*) содержит все конечные пре-
префиксные коды Р, для которых Р* еУ(#),
Используя результаты, продолжающие те, что упомянуты выше, можно
показать, что следующие потоки языков описываются своими конечными пре-
префиксными кодами:
(a) поток, соответствующий псевдомногообразию J[(S), где 3 — некото-
некоторое псевдомногообразие групп;
(b) поток всех рациональных языков (частный случай (а));
(c) поток всех апериодических языков (тоже частный случай (а));
(d) поток локально тестируемых языков (т. е. этот поток описывается
очень чистыми кодами, см. упр. 9);
(e) поток, соответствующий псевдомиогообразню всех полугрупп группо-
групповой сложности ^л.
Характернзация потока языков, описываемы;; классом всех конечных пол-
полных бипрефиксных кодов, является открытой проблемой.
Упражнения 249
Упражнения
1. Пусть L = Л+ — конечный язык. Все слова w е Л+ длины 5s п =
= тах{/(ч):ое1} + 1 лежат в одном и том же классе главной конгруэн-
конгруэнции Pl. Этот класс отвечает нулю 0 синтаксической полугруппы S(L) =
= A+/Pl, и E(L))" = {0}. Обратно, если синтаксическая полугруппа 5 ра-
рационального языка L е Л+ удовлетворяет условию 5" = {0} для некоторого
п ^ 1, то L либо конечен, либо коконечен (т.е. конечно дополнение A+\L),
в зависимости от того, содержит L или нет полный прообраз нуля 0. Таким
образом, L тогда и только тогда конечен или коконечен, когда любой идем-
потент из S(L) есть нуль
2. Язык L s Л+ называется дефинитным, если L = А*В[] С, где В и С
конечны. Язык Z. дефинитен тогда и только тогда, когда L лежит в булевом
замыкании языков A*w, где о>еЛ+. Синтаксическая полугруппа 5(A*w) об-
обладает тем свойством, что любой ее идемпотент есть правый нуль. Обратно,
если синтаксическая полугруппа S рационального языка L <=, Л+ удовлетво-
удовлетворяет условию Se = {е} для любого идемпотента е е 5, то Sn для некоторого
п ^ 1 есть множество идемпотентов из 5. Далее, L = А*В [} С, где В — мно-
множество всех слов из L длины п, являющихся прообразами идемпотентов, а
С — множество всех слов из L длины <п. Таким образом, язык Lg/1+ де-
дефинитен тогда и только тогда, когда любой идемпотент из S(L) есть правый
нуль. Дуализация дает синтаксические полугруппы зеркальных дефинитных
языков L = В A* U С.
3. Язык f.£i4+ называется обобщенно дефинитным, если L = Ui=i^/,
где каждый Lt либо конечен, либо имеет вид BiA*Ct, где В; и Ct конечны.
Следующие условия равносильны:
(a) L — обобщенно дефинитный язык;
(b) L лежит в булевом замыкании языков A*wt wA*, где w e Л+;
(c) синтаксическая полугруппа S(L) удовлетворяет условию eS(L)e—{e)
для любого идемпотента eeS(L).
(По поводу предыдущих упражнений см. Закстайн [1972], Бжозовски и
Саймон [1973].)
4. Синтаксический моноид рационального языка L s А* тогда и только
тогда является полурешеткой (т. е. удовлетворяет тождествам х2 = х, ху =
= ух), когда L принадлежит булеву замыканию множеств В*, В s А (заме-
(заметим, что любая полурешетка есть подпрямое произведение циклических двух-
двухэлементных моноидов (х; х2 = Xs)).
5. Рациональный язык L = В* называется элементарным групповым язы-
языком, если существует гомоморфизм ф: В* -*■ G в конечную группу G и L =
= Ф~'ф(£) для некоторого g e G. Синтаксический моноид рационального
языка L = А* тогда и только тогда является полурешеткой групп1), когда L
принадлежит булеву замыканию элементарных групповых языков из В* где
Вд=А (Милито [1977]).
6. Любая конечная полурешетка групп обладает дизъюнктивным подмно-
подмножеством (Лаллеман, Милито [1975], Юргенсен [1978]).
7. Синтаксическая полугруппа S(L) рационального языка L s A+ тогда
и только тогда является прямоугольной связкой (т. е. удовлетворяет тожде-
тождествам х2 = х, хух = х), когда L принадлежит булеву замыканию множеств
WA(a, b)= {w e Л+: w начинается буквой as Л и заканчивается буквой
be А). Полугруппа S(L) тогда и только тогда является подпрямым произ-
произведением прямоугольных связок, когда L принадлежит булеву замыканию
языков WB(a, Ь), Be Л, a, b ёВ (Милито [1977]).
8. Слово р е Л* называется примитивным, если р — wk влечет к = 1 или
к = 0. В гл. 11, предложение 5.6, мы увидим, что любое слово w s Л* есть
') Определение и некоторые свойства полурешеток групп приведены в
упр. 12 гл. 2. — Прим. перев.
250 Гл. 7. Рациональные языки, определяемые группами
натуральная степень единственного__прпмшивиого слова, которое называется
корнем из w а обозначается У w. Код СеЛ* называется чистым, если
*еС влечет У iso e С*. Конечный код С тогда и только тогда является
чистым, когда С* — апериодический язык. Бесконечный префиксный код
С = {а2}*Ь над {а, Ь) чис1, но М(С*) содержит циклическую подгруппу по-
порядка 2 (Рестиво [1973], Хасигучи, Хонда [1976J).
9. Код С s -4* называется очень чистым, если условия uv eC и vu eC*
влекут за собой ueC og С*. Если С очень чист, то С чист, но обратное
неверно (контрпримером служит С = {ab, Ьа}).
(*) С тогда и только тогда очень чист, когда uv e С*, vu e С* влечет
за сооой {uv}*u[)C* ф 0.
Пусть код С конечен. Следующие условия равносильны:
(a) С очень чист;
(b) С имеет конечную задержку синхронизации;
ic) С* локально тестируем,
[ля доказательства того, что (с) влечет (а), можно использовать харак-
теризацию (*) очень чистых кодов. Интуитивная идея доказательства того,
что (Ь) влечет (с), состоит в следующем, если xuvy e С*, то условия конеч-
конечности С и конечности s-задержки С совместно позволяют решить, будут ли
хи и vy лежать в С* при условии, что 1{и), l(v) ^ k для подходящего k.
Доказательство того, что (а) влечет (Ь), значительно труднее (Рестиво
[1974]; показано, что s-задержка d кода С не превосходит (card С) • (/(С)J,
где ЦС) = тахШс): с е СМ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ
Глава О ПРЕФИКСНЫЕ КОДЫ
Как мы уже отмечали, имеется несколько доводов, оправды-
оправдывающих специальное изучение рациональных языков, порожден-
порожденных префиксными кодами:
(a) L = С* для некоторого префиксного кода С тогда и
только тогда, когда L распознается конечным автоматом с един-
единственным заключительным состоянием, совпадающим с началь-
начальным состоянием (т. е. L — стабилизатор некоторого состояния в
конечном автомате);
(b) носитель рекуррентного события в точности имеет вид
С* для некоторого префиксного кода С;
(c) особые свойства автомата 2((С*) обусловливают спе-
специальные алгебраические методы исследования связанных с
итерацией проблем из предыдущей главы.
На интуитивном уровне можно сказать, что «эргодическая»
природа языков С* проявляется в строении минимального
идеала из М(С*). Как показывается в § 3, существует тесная
связь между разложениями кода С и конгруэнциями на мини-
минимальном автомате 51 (С*), а сами эти конгруэнции непосред-
непосредственно связаны с импримитивностями группы (рассматривае-
(рассматриваемой как группа подстановок) из минимального идеала моноида
М(С*). Анализ этих связей приводит в § 4 к решению следую-
следующей задачи: любая ли конечная группа может быть максималь-
максимальной подгруппой в минимальном идеале из М(С*) для некоторого
конечного С? Ответ отрицателен (Перро [1972]). В § 5 мы по-
показываем, что в случае конечных полных кодов С существует
биективное соответствие между автоматными конгруэнциями и
разложениями С, относительно которого неразложимым кодам
отвечают автоматы без конгруэнции.
Последний параграф данной главы посвящен конечным би-
прес] иксным кодам: мы даем алгоритм для построения полных
бипрефиксных кодов С, исходя из равномерных кодов (Сезари
[1972а, Ь]) и устанавливаем оцно характеристическое свойст-
свойство синтаксических моноидов М(С*) для таких С (Перпен
[1975]).
252 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
1. Конечные префиксные коды: группы
обратимых элементов
синтаксических моноидов
Если CS/4* — конечный префиксный код, то все подгруппы
синтаксического моноида М(С) тривиальны в силу теоремы 1.5
из гл. 7. Однако моноид М(С*) имеет, вообще говоря, нетри-
нетривиальные подгруппы. Так как минимальный автомат, распо-
распознающий С*, легко получается из С (гл. 6, пример 1.10.3), ко-
конечные префиксные коды являются естественными кандидатами
при изучении задач типа (а) из введения к гл. 7. Далее, как
показывает теорема 2.12 из гл. 7, продвижение в проблеме ха-
рактеризации потоков языков вида 9'{(&), где ^ — псевдомно-
псевдомногообразие групп, зависит от знания групп, встречающихся в
моноидах вида М(С*). Важно сразу отметить, что конечность
кода С — это ключевое ограничение.
Замечание 1.1. Любая группа является синтаксическим мо-
моноидом языка С*, где С — некоторый префиксный код.
Доказательство. Пусть G — группа, А — множество ее обра-
образующих. Каноническое вложение А в G продолжается до сюръ-
ективного гомоморфизма ср: A*->G. Язык L = cp~'(l) является
подмоноидом в А*, и для любого шеД* условие Lw (~| L ф 0
влечет юе/,. Согласно предложению 2.5 из гл. 5, имеем L = С*
для некоторого префиксного кода С. Поскольку {1} есть дизъ-
дизъюнктивное подмножество в G, синтаксический моноид языка L
изоморфен G (см. доказательство предложения 5.3 из гл. 6) П.
Обозначения. Всюду в этой главе мы обозначаем через
§t(C*) минимальный автомат, распознающий С*, а через Л4(С*) —
синтаксический моноид языка С*. Множество состояний авто-
автомата §1(С*) будет обозначаться посредством 5= (s0) s\,..., sn-i)
либо, в случае неполного кода С, посредством S = (s0, sb ...
..., sn-u s), где s — неподвижная точка. Состояние s0 предпо-
предполагается начальным для автомата §1(С*), и С* служит его ста-
стабилизатором. В конкретных примерах состояние s* будет обозна-
обозначаться через L
Предложение 1.2.. Пусть С — конечный префиксный код.
Группа обратимых элементов моноида М(С*) всегда цикли-
циклическая.
Доказательство. Допустим, что группа U обратимых эле-
элементов из М(С*) неодноэлементна. Тогда некоторая буква
а е А действует как нетривиальная подстановка а на множестве
S состояний автомата 2((С*). Будучи подстановкой на S, а есть
произведение дизъюнктных циклов, скажем а = 71Y2 ••• Vm,
2. Группы Сушкевича рациональных префиксных кодов 253
причем можно считать, что So содержится в цикле vi- Если
у, {1ф\) есть цикл (sjj, si2, ..., Sife), то дерево, представляю-
представляющее С, содержит бесконечные повторения
а а
'* '1
что противоречит конечности С. Следовательно, a = (s0, su ...
..., sn-i) при подходящей нумерации состояний. Пусть буква
6еЛ тоже действует на S как нетривиальная подстановка В.
Тогда, как и выше, В есть цикл длины п из состояний s0, su ...
..., sn_i. Допустим, что sn-\b = si, где i ф 0. Тогда равенство
Sia"~'~lb = sn-\b = Si приводит к бесконечным повторениям в
дереве кода С, что опять противоречит конечности С. Следова-
Следовательно, sn-\b = s0. Рассуждая по индукции, предположим, что
Sn-tb = Sn-i+i для i=\, 2 k. Тогда равенство sn_ft_i6 = s,-
невозможно при i > п — k или i = 0, так как Ъ — подстановка,
а при i < п — k оно невозможно, так как соотношение
Sian~k-l~xb = St снова дает бесконечные повторения. Таким об-
образом, Sn-k-Ф = sn-k для всех k, 0 <С k < п, откуда Б =
= (so, Si, ..., sn-i). Поскольку любое слово w, действующее на
S как нетривиальная подстановка, есть произведение букв с тем
же самым свойством, U будет циклической группой порядка п,
порожденной циклом (s0, su ..., sn-i) □•
Следствие 1.3 (Шютценберже [1956]). Если конечный пре-
префиксный код С^А* таков, что М(С*) есть группа G, то G —
циклическая группа порядка п, а С = А".
2. Группы Сушкевича рациональных
префиксных кодов
Напомним, что язык Ls-4* тогда и только тогда порож-
порождается некоторым префиксным кодом С, когда существуют тран-
транзитивный или О-транзитивный Л "-автомат 31 и состояние s0 (не
являющееся неподвижным), такие, что L= {шеЛ*: sow = so}.
Другими словами, язык L=^C* является стабилизатором неко-
некоторого состояния в [0] -транзитивном Л*-автомате. Мы будем
систематически использовать термин «[0]-транзитивный», назы-
называя так Л*-автомат Sl = (S,f), который либо транзитивен (т.е.
для любых t,t'^S существует такое шеЛ*, что f(t,w) = t'),
либо 0-транзитивен (т. е. 31 имеет неподвижную точку s, и для
любой пары (t, t'), исключая пары вида (s, f), где t'Ф s, су-
существует такое »еЛ*, что f(t, w)=t').
Возьмем Л*-автомат 91 = E, f) и состояние se5. Опреде-
Определим отношение ps на S, положив
(tu t2)^ ps, если и только если {даеЛ': t).w — s} — {w<^. A*: t2w=s}.
254 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Можно проверить, что ps — конгруэнция на 31 и что класс эле-
элемента s есть {s}. На самом деле ps — наибольшая конгруэнция
на 31, для которой класс элемента s состоит только из s. Мы
назовем ps конгруэнцией, максимальной в точке s.
Предложение 2.1. Пусть дан [0] -транзитивный А*-автомат
Ш. = (S, /). Автомат 31 тогда и только тогда будет минимальным
А*-автоматом, распознающим С* для некоторого префиксного
кода С, когда существует состояние s0 е S, отличное от непо-
неподвижного и такое, что конгруэнция, максимальная в точке so,
совпадает с равенством.
Доказательство. Если 31 — минимальный Л*-автомат, распо-
распознающий С*, то С* = {w е A*: sow = s0} для некоторого s0 e 5.
Рассматривая факторавтомат 3t/pSo, получаем {w^A*: Cl(so)w=
= Cl(so)} = С* (включение С* в левую часть очевидно; с другой
стороны, (sow, so)e()Si влечет SoW — so и потому шеС). Так
как С* распознается автоматом ?t/pSo, из минимальности 31 сле-
следует, что pSo есть равенство. Обратно, предположим, что кон-
конгруэнция на 31, максимальная в точке s0> совпадает с равенством.
Язык L= (шеД*; sow = s0} порождается некоторым префикс-
префиксным кодом С, т. е. L = C*. Если р — произвольная конгруэнция
на 31, такая, что С* = {шеД*: Cl(so)w = Cl(s0)}, то мы
утверждаем, что р-класс элемента so есть {s0}. В самом деле,
допустим, что (t, s0) ер. Так как 31 [0]-транзитивен, a s0 не яв-
является неподвижной точкой, существует такое т^А*, что
som — t. Это влечет Cl(so)m = Cl(t) = Cl(s0), откуда tn^C*.
Следовательно, som = s0 и поэтому s0 = t. Таким образом
Cl(so)= {so}- По определению pSo мы имеем р ^ pSt, откуда
получаем, что р совпадает с равенством. Это показывает, что §1
есть минимальный Л*-автомат, распознающий С*. □
Чтобы лучше проникнуть в суть [0] -транзитивных автома-
автоматов, рассмотрим подробнее моногенный случай. Пусть 31 = (S, f)
есть моногенный Л*-автомат и S0 — {t^S: tA* = S} — мно-
множество состояний, порождающих .31. Как обычно, обозначим че-
через 7C1) моноид переходов автомата 31, а через г: .4*^-7C1)
канонический гомоморфизм (см. гл. 6, § 1). Для любого (eS
определим в Т(Щ стабилизатор Stab(^) элемента t, положив
Stab(/) = {m е ГC1): tm — t) (простоты ради мы обозначаем
действие элемента те Т(Щ на feS посредством tm вместо
tx(w)). Stab(^) есть подмоноид в 7C1) и содержит минимальный
идеал It. Будучи регулярным ^-классом в Stab (/), It содер-
содержится в регулярном iD-классе из 7C1), который мы обозначим
через Dt и назовем 3)-классом состояния t в 7C1).
Лемма 2.2. Пусть 91 = E, f) — моногенный А*-автомат. Лю-
Любые два состояния из S, порождающие 31, имеют один и тот оке
2Ь-класс в 7C1).
2. Группы Сушкевича рациональных префиксных кодов 255
Доказательство. С учетом введенных выше обозначений мы
должны показать, что Dtl = Dt7 для любых t\, fc e 5o. Так как
t\, B e So, существуют гп\, т2^.Т(Щ, такие, что t\mi = t2,
hm-2 = t\ . Для любого х е /*, мы имеем t\X = t\ и поэтому
t2tri2xmi = t2- Следовательно, гщхгпх d= Stab(^)- Если D' обозна-
обозначает ^)-класс элемента m%xm,\ в Т(Щ, то, используя упорядоче-
упорядочение SD(=f)-классов, получаем Dtl^D'<^.Dtr Аналогично по-
получим D^,^D"^D(,, взяв ^-класс D" элемента mxymi и s
е lt2. Это показывает, что Dt, = Dt2. □
Определение 2.3. Если дан моногенный Л*-автомат 31, то
0-класс из ГC() состояний, порождающих % называется
SD-классом автомата 91 и обозначается через Z> ()
Для моногенного Л*-автомата % с множеством So порождаю-
порождающих состояний определим минимальный ранг г(Щ автомата 91
формулой
r(9t) = min{rankx: *е=Щ) и So Л Im*^ 0}.
Предложение 2.4. Пусть 91 — моногенный А*-автомат, имею-
имеющий минимальный ранг г (91) « множество So порождающих
состояний. Тогда Ф-класс автомата 91 в Т(Щ задается фор-
формулой
Z)(9t)= {л: е= Т(Щ: гапкл: = r(9l) u 50f| 1тл:=^ 0}.
Доказательство. Мы неоднократно будем пользоваться
свойствами гриновских отношений в полугруппе преобразований
(см. гл. 2, § 4). Предположим, что xe£)(9t). Тогда хЗ)у для
некоторого г/еГ(91), лежащего в минимальном идеале из
Stab(so), s0 e So. Отсюда следует, что y = uxv для некоторых
и, уеГ(91) и, таким образом, souxv = s0. Положив t = soux,
получим ta — s0, откуда /е5оП1тх. Чтобы доказать равен-
равенство rank x = г (91), достаточно показать, что D(9l) содержит по
крайней мере один элемент ранга г(91), потому что D(9l)—ре-
D(9l)—регулярный <2)-класс, и все его элементы должны иметь один и
тот же ранг. Поэтому рассмотрим произвольный х^.Т(Щ, для
которого rank х = /-(9t) и 5оП Imx=£ 0. Взяв fe 50П 1тпх, най-
найдем такое s0 е 5, что sox = ^. Тогда so е 50 и, поскольку ^г/ = s0
для некоторого г/е7(91), получаем ху^ Stab(s0). Для произ-
произвольного г из минимального идеала /,, в Stab (so) будем иметь
xyz els,, т.е. хТ E1) П I s, # 0 • Отсюда следует, что сущест-
существует идемпотент eexr(9O(Vso (можно выбрать е из 52-класса
элемента xyz в Stab(s0)), такой, что ranke = rankx = r<SI)• Но
e = xv для некоторого оеГ(91) и, значит, Кегх^Кеге. Вме-
Вместе с равенством rank x = rank e это дает равенство Кегх==
==Кеге, показывающее, что хне ^-эквивалентны в $T,(S).
Следовательно, х = ех и хЯе в T(9t), откуда х е D(9l). D
256 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Если 91— транзитивный Л*-автомат с множеством состояний
S, то 5о = 5 и /-(91) есть минимальный ранг моноида преобра-
преобразований 7(91) (см. гл. 2, § 4). В этом случае Z)(9l) совпадает с
минимальным идеалом моноида 7(91). Если 91 О-транзитивен, то
S0 = S\{s}, где s — неподвижная точка. Следующий результат
показывает, что в этом случае D(9t) является ЗУ-классом един-
единственного 0-минимального идеала в 7E1).
Предложение 2.5. Пусть 91 — моногенный А*-автомат и Z)(9l) —
его Ф-класс в моноиде переходов 7B1). Следующие условия
равносильны:
(a) 91 О-транзитивен;
(b) 7(91) имеет нуль 0, и D(9t)U {0} есть 0-минимальный
идеал в 7(91).
Далее, если 91 О-транзитивен, то D(9t)U {0} является единствен-
единственным 0-минимальным идеалом в 7(91), минимальный ранг авто-
автомата 91 есть r(9l) = min{rank х: хе7(91) и rank x =7^ I}, a
D(9l)== {х<= 7(91): гапкх = г{Щ}.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Для любого хе7(91) не-
неподвижная точка s лежит в Imx. Возьмем элемент хо^7(91)
минимального ранга и предположим, что Im x0 содержит состоя-
состояние гф-s. Так как % О-транзитивен, существует такой у е 7(91),
что ty~s. В силу минимальности ранга хо имеем Кег хо ==1
= Кег хоу (вообще говоря, Кег х^ Кег ху). Однако sxo = s,
t\X0 = t для некоторого состояния t\, но sxoy — s, t\Xoy — s, что
противоречит равенству Kerjco= Кегхог/. Следовательно, Imxo=
= [s] и элемент х0, который мы будем обозначать теперь че-
через 0, является нулем в 7(91). Далее, S0 = 5\{s}, и определение
г(91) дает г(Щ = rnin{rank x: х<=Т(Щ и rankx^l}- Отсюда
следует, что Z)(9t)U {0} есть идеал в 7(91). Для любого x<= 7(9t),
хфЬ, существует /slrax, t=£s. Положив t\x = t, найдем та-
такой элемент v e 7(91), что tv = t\. Тогда xv e Stab (^i). .©-класс,
содержащий минимальный идеал из Stab (fi), есть в точности
D C1). Таким образом, D(9l) ^ Dxv ^ Dx относительно обычного
упорядочения ^-классов. Поэтому D(91IJ {0} S 7(9I)x7(9l), т. е.
D(9t)U {0} содержится в любом идеале из 7(91), отличном от
{0}, и это показывает, что £>(91IJ {0} есть единственный 0-мини-
мальный идеал.
(Ь) влечет (а). Допустим, что D(9l)U {0} есть 0-минималь-
ный идеал в 7(91). Рассмотрим произвольный 52-класс R из
D(9t) и определим Л*-автомат Э с множеством состояний R [} {0}
и действием rw = rx(w) для любого шеД*. Свойства отноше-
отношения 31 показывают, что S3 0-транзитивен, имея 0 в качестве не-
неподвижной точки. Определим отображение <р: Э->-91 следующим
Образом: зафиксируем состояние soe5\{s}, которое не отобра-
2. Группы Сушкевича рациональных префиксных кодов 257
жается на s хотя бы одним элементом из R1), и положим
ф(/-)==5Ог для любого rei?U {0}. Легко проверить, что <р яв-
является Л*-автоматным гомоморфизмом. Мы утверждаем, что <р
сюръективен. В самом деле, в силу выбора so существует такой
r\^R, что sori = t, где t=£=s\ взяв л-е7C1) так, чтобы было
tx = s0, получим sor\X = s0, т. е. r2 = r\x e R. Каково бы
ни было (eS\{s), найдется такой у е Г C1), что soy = t. От-
Отсюда следует, что s0r2y ~t w r2y e R. Наконец, soO = s, что
завершает доказательство сюръективности <р. Так как сюръек-
тивный гомоморфизм сохраняет свойство О-транзитивности,
3J 0-транзитивен. П
В последней части доказательства предложения 2.5 мы по
ходу дела показали, что для любого I e 5 существует Z&.R,
такой, что fslmz.
Следствие 2.6. Пусть 51 есть [0] -транзитивный А*-автомат,
S — его множество состояний, as — неподвижная точка.
(a) Для любого Л-класса R, лежащего в D(Sl), мы имеем
S\{s} — Uze=K Im z> где Im z = Im г \ {s}.
(b) Если D(9l) имеет единственный 2?-класс, то 7E1) —
группа либо группа с нулем.
Доказательство, (а) доказано выше. Чтобы доказать '(Ь),
допустим, что £)C1) имеет единственный З'-класс; тогда любой
52-класс R в О(Щ является Ж-кл&ссоч и, в силу (a), S\{s} =
= 1тг для всех z^R. Следовательно, любой ze R индуцирует
подстановку на S\{s}, и 7C1) есть группа или группа с нулем. D
Предложение 2.7. Пусть 31 есть [0]-транзитивный А*-авто-
мат, a DCl)—его 3)-класс в моноиде переходов Т(Щ.
(a) Для любого идемпотента е из D{%) максимальная под-
подгруппа Ge действует транзитивно и точно на множестве Im e =
= Ime\{s} (s — неподвижная точка в 91).
(b) Для любых двух идемпотентов е, f из £)E1) группы под-
подстановок Ge на Im e и G; на Im/ подобны.
Доказательство, (а) Для любых g^.Ge и (elme действие
g на i обозначается через tg (имеется в виду действие 7C1) на
S). Ясно, что (Im e)g ==_Img = Im e, так как g и е З'-эквива-
лентны. Пусть tu <2elme, причем t\ — s{e, t2— s2e. Поскольку
31 [0]-транзитивен, существует л;е7C1), такой, что t\x = s2.
Тогда t\exe = {s\e)exe — txxe = s2e = t2 и ие g Ge, что доказы-
') Если такого состояния нет, то, как можно проверить, О(Я) [] {0} сво-
сводится к {0} и, следовательно, не является 0-минимальным идеалом. — Прим.
перев.
9 Зак. 474
258 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
вает транзитивность действия Ge на Im e. Пусть gu ^e Ge —
различные преобразования в 7(91). Тогда для некоторого
(S\{) будет tg\=?^tg2. Поскольку Im e трансверсально к
= Ker g2 = Кег е, существует в точности один элемент
^elrae, такой, что togi = tgi и t0g2 = tg2. Равенство toj=^ s
невозможно, ибо оно влекло бы tgi — tg2- Поэтому t0 g Im е,
togi Ф tog2, что доказывает точность действия Ge на Im e.
(Ь) Если е и f — идемпотенты из й(Щ, возьмем u^Ref\Lf
и v e Rf П Le, удовлетворяющие равенствам uv = е и vu = fl).
Правый сдвиг ри и левый сдвиг %„ определяют биекции Le на L}
и Re на Rf соответственно. Отображение <р: Ge-^G;, заданное
равенством q>(g) — vgu, есть изоморфизм. Определим %: 1ше->
-> Im /, положив %(t)= tu. Для /elme мы имеем / = te и
tu e Im и = Im f. Если to = s, то tuv = te==s, откуда t — s.
Следовательно, % отображает Ime в Im f. Отображение t'>->t'v
из Im/ в Im e является обратным к %, откуда следует, что % —
биекция. Для любых /elme и g e Ge получаем %(tg) — tgu =
= tuvgu=z(tu)(${g) = %{t)(${g). Это показывает, что пара
(%, ф) определяет подобие групп подстановок Ge и G/, дей-
действующих на Im е и Im f соответственно. П
Определение 2.8. Для [0]-транзитивного Л*-автомата 91 тран-
транзитивная группа подстановок Ge, действующая на множестве
Ime = Ime\{s}, где е — идемпотент из ^-класса автомата Я,
a s — неподвижная точка в 91, называется группой Сушкевича
автомата 5t и обозначается посредством G(9l). Группа Сушке-
Сушкевича G(C) префиксного кода С^А* определяется как G(9t),
где Щ. — минимальный Л*-автомат, распознающий С*.
Мы исследуем природу группы G(C) более детально в сле-
следующих параграфах.
3. Автоматные конгруэнции
и разложения префиксных кодов
Рассмотрим Л*-автомат Щ. с множеством состояний 5 и кон-
конгруэнцию р на 31. Кроме факторавтомата 9t/p мы будем рас-
рассматривать Mp(t)-автомат, действующий на р-классе р(^) со-
состояния t^S, где моноид Mp(t) определяется формулой
Mp(t)= {w^A*: twpt).
Для w^Mp(t) и ^'е р(^) действие w на f задается действием
в 91. Этот Mp(t)-автомат обозначается посредством §1р@ и на-
') О существовании таких элементов см. рассуждение перед предложе»
нием 2.10 в гл. 2. — Прим. персе.
3. Автоматные конгруэнции 259
зывается автоматом, индуцированным автоматом §1 на p{t).
Очевидно, конгруэнция р' s p определяет, после сужения на
р@> конгруэнцию на индуцированном автомате. Докажем, что
обратное также справедливо.
Предложение 3.1. Пусть р — конгруэнция на А*-автомате 31
и Sip(t) — автомат, индуцированный автоматом 31 на р-классе
состояния t из 31. Для любой конгруэнции о на %p(t) существует
конгруэнция р'др на 91, сужение которой на р-класс элемента
t совпадает с а.
Доказательство. Для любого ^ep(f) обозначим через ст^
конгруэнцию на 31, определяемую условием: (s, s')ed;,, если
и только если {»еД*: (sw, ti)^e} — {w^A*: (s'w, ^)eo}.
Конгруэнция 07, — это наибольшая конгруэнция на ЗС, для ко-
торойво(^) является объединением классов. Образуем 6 =
= ГЬ, е р (?) 6>, и р' = р П о"- Простая проверка показывает, что
(f, t")^a влечет (f, t")^btl для любого U е= p(t). Следова-
Следовательно, о содержится в сужении конгруэнции р' на р(^). Обратно,
если состояния t', f Ep(^) р'-эквивалентны, то, в частности,
(t', t")ear. Но (t'\, t')^a. Из определения ду вытекает
тогда, что (t"\, t')e. a. □
Рассмотрим минимальный Л*-автомат 91 (С*), распознающий
С* для некоторого префиксного кода Csi*. Для любой кон-
конгруэнции 0 на 31 (С*) мы имеем C*^Me(s0), где sq — начальное
и заключительное состояние автомата 91 (С*). Но для и, кеЛ*
из uv^Mq(sq) и ueMe(so) следует ueM0(so). Это означает,
что Мв (s0) == Cg для некоторого префиксного кода Се. Так как
C*sCe, код С разлагается над Св (гл. 5, определение 3.4):
С = С9 ® Се, где Се — код над алфавитом, равномощным коду
Св. Заметим, что Се является стабилизатором в А* класса
0(so). Таким образом, минимальный Л*-автомат 21 (^е) является
факторавтоматом Л*-автомата 91 (С*)/9.
Предложение 3.2. Для любой конгруэнции 0 на минималь-
минимальном А*-автомате 31 (С*) существует разложение префиксного
кода С, С = Се ® С9, такое, что
(a) Се — префиксный код из А* и минимальный А*-автомат
?1 (Се) есть факторавтомат автомата 31(С*)/9;
(b) Се — префиксный код над алфавитом Y, равномощным
коду С9; минимальный У*-автомат, распознающий (С9)*, изомор-
изоморфен С^-автомату, индуцированному автоматом 31 (С*) на классе
0(so), где s0 — начальное и заключительное состояние в 91 (С*);
(c) если 0 не совпадает с равенством и СфА, то С*сгС9,
а если 9 не является универсальной конгруэнцией, то С9 — пол-
полный префиксный код,
9*
260 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Доказательство. Существование разложения и утверждение
(а) были доказаны выше. Равенство С = Се <8> Се означает, что
С = ф-1 (С9), где ф: С*в -> Y" — изоморфизм, продолжающий биек-
цию Се на У, а Се — код над У (очевидно, префиксный). Опреде-
Определим У*-автомат §3, взяв 0(so) в качестве множества состояний,
а действие слова хеУ* на t^Q(s0) задав равенством tx =
■■= ttp (x), где справа указано действие в автомате 31 (С*). Это
определение корректно, т. е. ^gO(so), поскольку ф~' (х) е С*в—
= (w е Л*: s0oy е 0 (sc)}. Ясно, что при отождествлении У с Се
автомат 33 изоморфен Cq- автомату 9Iq(so). индуцированному
автоматом 3t = 3t(С*) на 0(s0). При этом (С9)* = {хе У*: sox =
= s0}, т. е. 33 распознает (С0)*. Допустим, что 33 не является
минимальным У*-автоматом, распознающим (С9)*. Тогда на S3
существует нетривиальная конгруэнция а, такая, что (С9)* =
= {1бУ: {sox, s0)eo}. Будучи эквивалентностью на 0(so),
о является конгруэнцией и на Sle(so). В силу предложения 3.1
существует нетривиальная конгруэнция 0' s 0 на 51(С*), суже-
сужение которой на 0(so) совпадает с а. Так как С = ф-'(Се), не-
нетрудно видеть, что С*={оуеЛ*: (sow, so)eO'}. Это противо-
противоречит минимальности автомата %(С*) и, следовательно, дока-
доказывает минимальность S3. Если 0 не совпадает с равенством, то
в 5t(C*) имеются такие состояния tu h, что t\Qt2 и 1\фг2. Со-
Согласно предложению 2.1, конгруэнция, максимальная в точке So,
совпадает с равенством. Это означает, что t\W = s0 и t2w Ф s0
для некоторого w е Л*. Но тогда t\Qt2 влечет s0Qt2w, где t2w Ф so,
т. е. 0(so)=£ {so}- Если 0(so) содержит неподвижную точку s из
3t(C*), то 0 — универсальная конгруэнция, а Св — А. Если 0(so)
не содержит s, то, взяв ^e9(so), 1ф8о, и такое слово даеЛ*,
что sow = t, мы получим w e Cg, w фС* ъ поэтому С* cr Cg. На-
Наконец, если конгруэнция 0 не универсальна, для любых tu t2e.
e0(so) существует такое шеД*, что t\w = t2. Так как ^0^20So,
получаем sowQso, откуда w e Cg. Это доказывает транзитивность
автомата 5te(so), а значит, и автомата 33, и, следовательно, С9 —
полный префиксный код. □
Следствие 3.3. Если префиксный код С^А* неразложим, то
Щ(С*) не имеет собственных конгруэнции.
Для неполного префиксного кода С автомат 5t(C*) имеет не-
неподвижную точку s, и можно проверить, что конгруэнция р«, мак-
максимальная в точке s, является в действительности единственной
максимальной конгруэнцией на 31 (С*). Руководствуясь этим, мы
обозначаем ps через ц, а соответствующее разложение С =»
= С^ <8> Сц называем максимальным разложением кода С. Наша
цель — доказать, что группы Сушкевича G(C) и G^i1) суть по-
подобные группы подстановок. Следовательно, при изучении групп
G(C\ мы можем, ограничиться случаем, когда С—полный код.
3. Автоматные конгруэнции 261
Пусть G — группа подстановок, действующая транзитивно и
точно на множестве 5. Эквивалентность р на S, устойчивая от-
относительно действия G, называется импримитивностью группы
G. Сама G называется импримитивной группой, если на S су-
существует нетривиальная импримитивность. Для данной импри-
импримитивности р группы G множество Np = {g e G: sgps для всех
s e 5} является нормальной подгруппой в G, и группа G//Vp
действует транзитивно и точно на множестве S/p. Эта группа
подстановок называется факторгруппой импримитивности груп-
группы G. Факторгруппа импримитивности группы G является
группой переходов G-автомата с множеством состояний S/p.
Аналогично группа подстановок, индуцированная на классе
импримитивности p(s), определяется как группа переходов
#5-автомата, где Hs= {g e G: sgps}, с множеством состояний
p(s). Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказа-
доказательство того, что все группы, индуцированные на различных
классах импримитивности, являются подобными группами под-
подстановок. Это позволяет нам назвать любую из них группой,
индуцированной на классе импримитивности (не указывая
класса).
Предложение 3.4. Пусть 91 есть [0]-транзитивный А*-автомат
up — нетривиальная конгруэнция на St. Сужение р на множество
Ime = Ime\{s}, где е — идемпотент из SD-класса автомата 91,
определяет импримитивность группы Сушкевича G{%).
(a) Группа Сушкевича GEl/p) подобна факторгруппе импри-
импримитивности группы G{^).
(b) Для любого состояния t, гф-s, группа Сушкевича
G(9lp@) автомата %(t), индуцированного автоматом St на
классе p(t), подобна группе, индуцированной группой С?(ОС) на
классе импримитивности.
Доказательство, (а) Конгруэнция р определяет канонический
гомоморфизм <р: 7(&)->• Т(Ш./р). Обозначая через / и J един-
единственные [0]-минимальные идеалы моноидов Т(Щ и Т(Ш/р) со-
соответственно, получаем /еф"'(/), Следовательно, <р(/)^7 и
<$(!)= {0} либо ф(/)=7. Допустим, что <p(/)={0}. Тогда для
любого ie/ образ преобразования <р(х) на S/p состоит только
из р-класса p(s) неподвижной точки автомата §1. Поэтому
Imxsp(s) для любого jce/. Это невозможно, если р не сов-
совпадает с универсальным отношением на S. Следовательно,
ф(/)=/ и cp(Z)(9I))= D(Sl/p). В частности, если Ge — макси-
максимальная подгруппа из .0(91), то <p(Ge)= G^e), a Im<p(e) совпа-
совпадаете фактормножеством (Ime)/p. Это показывает, что группа
GEt/p) подобна факторгруппе группы GEt), отвечающей импри-
импримитивности, полученной сужением р на Im в.
262 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
(Ь) Автомат %(t) транзитивен (доказывается точно так же,
как и утверждение (с) из предложения 3.2). Напомним, что
\{t) есть Mp(t)-автомат, где МрA)= {ш£/1*: twpt}, и что
множеством его состояний служит p(t). Если г обозначает, как
обычно, гомоморфизм г: А*-*-Т{Щ, определим x(w) для любого
шеМр@ как сужение %{w) на р(^). Тогда T(%p(t)) — x(Mp(t)).
Заметим, что т(Мр(/)) содержит стабилизатор состояния / в
7C1). Согласно лемме 2.2 и определению 2.3 класса 0C1), ми-
минимальный идеал из Stab (/) содержится в DCl). Поэтому
%(Mp(t))f\D(%)— D является минимальным идеалом в %(Mp(t)).
Отсюда следует, что D(^p(t)) = D, где D — множество сужений
на р(^) всех преобразований из D. Сужение ё на р(^) идемпо-
тента «eD дает идемпотент в А Обозначим через Ge соответ-
соответствующую максимальную подгруппу из ГC1) и рассмотрим Н =
= {g^Ge: tgpt}. Тогда Н — подгруппа в Ge, причем она яв-
является в D максимальной подгруппой с единицей е. Ее образ
В в В, действующий на \me(]p(t), есть группа Сушкевича
GClp@) и в то же время это группа, индуцированная группой
Ge на классе 1теПр@. импримитивности, являющейся суже-
сужением р на Im e. □
Следствие 3.5. Пусть $ есть [0] -транзитивный А*-автомат.
Если р — нетривиальная конгруэнция на 31, такая, что для неко-
некоторого идемпотента e^D{%) множество Im e целиком содер-
содержится в р-классе, то группа Сушкевича GCl) подобна группе
Сушкевича G(S(P(^)) транзитивного автомата %{t), индуциро-
индуцированного автоматом 31 на классе p(t) некоторого состояния t из
31, отличного от неподвижной точки.
Доказательство. Если Ime содержится в некотором р-классе,
то факторгруппа импримитивности группы GCl) является три-
тривиальной группой, действующей на одноэлементном множестве.
Поэтому группа GCt) подобна группе, _индуцированной ею на
единственном классе импримитивности \те. В силу предложе-
предложения 3.4 это влечет подобие групп G C1) и GClp(^)). □
Предложение 3.6. Пусть % есть ^-транзитивный А*-автомат
с неподвижной точкой s, а ц — конгруэнция, максимальная в
точке s. Для любого идемпотента eeDCt) множество Ime =
= Ime\{s} содержится в некотором ^-классе.
Вместе со следствием 3.5 и предложением 3.2 это дает объяв-
объявленный ранее результат:
Следствие 3.7. Пусть С — неполный префиксный код и С =
= С»® Сц — его максимальное разложение. Группа G(C) по-
подобна группе G{C») полного кода О, а группа О(СЦ) три-
тривиальна.
4. Группы Сушкевича полных префиксных кодов 263
Для доказательства предложения 3.6 нам нужна
Лемма 3.8. Пусть 91 есть [0] -транзитивный А*-автомат,
) — его SD-класс в Т(Щ. Для произвольного ^-класса
R s Э(Щ определим А*-автомат S3, взяв R {] {0} в качестве мно-
множества состояний и задав действие моноида А* формулой rw =
= rx(w) (r e R U {0}, доеЛ*, г. А*^-Т(Щ). Тогда существует
сюръективный гомоморфизм ф: 99 —9- St.
Доказательство. См. доказательство «(Ь) влечет (а)» в пред-
предложении 2.5. Можно взять So e Im e для некоторого идемпотента
е е R и определить ф, положив q>(r) = sor для любого r^R,
ф@) — s. □
Доказательство предложения 3.6. Пусть SI есть 0-транзитив-
ный Л*-автомат, S3 определен так же, как в лемме 3.8, а
ф: ЗЭ->-5( — как в ее доказательстве: q>(r) = sor для некоторого
So е 1га е, е = е2 е R. Обозначим через [х0 конгруэнцию на S3,
максимальную в точке 0, и убедимся, что КегфЕ ц0. Предполо-
Предположим, что ф(п) = ф(г2), т. е. sori = s0r2. Справедлива следую-
следующая логическая цепочка:
rxw — 0 <=> ф (г! до) = s <=> ф (г2до) = s <*=>- г2до = 0.
Таким образом, (n, r2) s |х0 и Кег ф s (_i0. Отсюда следует, что
(г\, г2)е [х0, если и только если (ф(л]), ф(г2))е ц. Простая про-
проверка, которую мы опускаем, показывает, что максимальная
подгруппа бе содержится в |хо-классе. Для доказательства того,
что Ime содержится в некотором ц-классе, возьмем t\, t2^ Im e.
Существуют г\, г2еГE(), такие, что sor\ = ti, s0r2 = t2. Это
влечет soerle = t\, s0er2e=t2, где er^e, er2e<=Ge. Так как {ег\в,
er2e)S|x0, имеем (у{ег\е), ц>(ег2е))&ц или (/ь i2)S|x. П
4. Группы Сушкевича полных
префиксных кодов
Определение 4.1. Префиксный код С^А* называется синхро-
синхронизированным кодом, если существует такое слово w e А*, что
A*w^C*. В этом случае слово до называется синхронизирую-
синхронизирующим словом или синхронизатором кода С.
Например, код С= {а)*Ь над алфавитом А —{а, Ь) явля-
является синхронизированным кодом. Чтобы соотнести синхронизи-
синхронизированные префиксные коды и коды с синхронизирующими па-
парами (гл. 7, определение 2.10), заметим, что при условии A*w s
s С* код С полон (для любого хеА' имеем xw e С*) и любая
пара вида (до, до') является синхронизирующей парой для С.
Обратно, пусть полный префиксный код С имеет синхронизи-
синхронизирующую пару (до, w'); в силу полноты С для любого хеЛ*
264 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
существует i/еЛ', такое, что xww'y e С*; это влечет xw еС'и
показывает, что A*w=C*. Таким образом, синхронизированные
префиксные коды — это в точности коды с синхронизирующими
парами. Опыт показывает, что «почти все» рациональные пол-
полные префиксные коды синхронизированы. Следующее предло-
предложение обеспечивает алгоритм для определения того, будет ли
данный рациональный код синхронизированным.
Предложение 4.2. Пусть С ф А — рациональный префиксный
код из А*. Следующие условия равносильны:
(a) С — синхронизированный код;
(b) синтаксический моноид М(С*) не имеет нуля, и группа
Сушкевича G(C) тривиальна.
В этом случае минимальный идеал в М(С*) является полу-
полугруппой правых нулей.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если С синхронизирован, то
для любого геЛ* имеем zw e С*, где w — синхронизатор кода
С. Следовательно, минимальный автомат %(С*) не имеет не-
неподвижной точки. Поэтому С полон, а М(С*) не имеет нуля.
Если so обозначает начальное и заключительное состояние авто-
автомата 9((С*), то soA* = S и Sw — soA*w = so. Это показывает,
что преобразование т(ш), представляющее слово w в М(С*) =
= Т(Ш(С*)), имеет ранг 1. Отсюда следует, что группа G(C),
действуя на одноэлементном множестве, тривиальна. Кроме
того, все элементы из минимального идеала моноида М(С*)
имеют одно и то же ядро — универсальное отношение на S, т. е.
этот минимальный идеал содержит лишь один ^%-класс, являю-
являющийся полугруппой правых нулей.
(Ь) влечет (а). Если М(С*) не имеет нуля, то С — полный
префиксный код. Так как группа О (С) тривиальна, минималь-
минимальный ранг автомата §1(С*) равен 1. По определению 0-класса
автомата §t(C*) минимальный идеал из А1(С*) содержит такой
элемент пг, что som = So- Поскольку rank m= 1, любое слово
aie/!*, для которого т(ш)=т, служит синхронизатором кода
С, так как SqA*w = Sw = s0 влечет A*w s С*. □
Для изучения более общего случая полных префиксных ко-
кодов С, таких, что М(С*) имеет минимальный идеал с единствен-
единственным ^-классом, нам нужна дальнейшая информация о 0-класее
D() транзитивного Л'-автомата $.
Лемма 4.3. Пусть J[(G', I, A; P)— вполне простая полугруп-
полугруппа, изоморфная <-Ю-классу D(9() транзитивного А*-автомата SI.
Если card / > 1 (т. е. Z)(§1) содержит более одного Я-класса),
то card Л > 1 и столбцы матрицы Р попарно различны.
Доказательство. Пусть i, ] е / и i ф /. Допустим, что ри = р%\
для любого К о Л. Тогда для любого [д;; /, К] из 52-класса Ri
4. Группы Сушкевича полных префиксных кодов 265
мы имеем
[г, /, К] [g; i, Ko] = [г, /, Я] [g] j, Ко].
Поэтому [g; I, h] и [g; j, Ко] действуют одинаково на множестве
Ri состояний Л'-автомата Э, определенного в лемме 3.8. В силу
той же леммы существует гомоморфизм ф из S3 на 9t. Поэтому
[g; i, Ко] и [g; j, Ко] действуют одинаково и на множестве со-
состояний автомата 9(. Это влечет [g; i, Ко] = [g; j, h], откуда
I = /, что противоречит нашему предположению. Следовательно,
t-й и /-й столбцы матрицы Р различны. Тот факт, что card Л > 1,
вытекает из следствия 2.6. П
Лемма 4.3 также показывает, что если О тривиальна, то
card/=l и D(91)—полугруппа правых нулей (см. предложе-
предложение 4.2).
Предложение 4.4. Пусть §1— транзитивный А*-автомат. Сле-
Следующие условия равносильны:
(a) %Ь-класс D($l) автомата 9t имеет единственный Я-класс;
(b) существует конгруэнция у на 91, такая, что Т{%/у) есть
группа подстановок, подобная группе Сушкевича G (91).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если D(9t) содержит един-
единственный 52-класс, то ядра Ker x всех элементов xeD(9l) сов-
совпадают с одной и той же эквивалентностью у на множестве
состояний S автомата §1. Пусть (/i, /jje^ и теГ(Я). Тогда
nix e D (91), и Кег пгх = у дает t\tnx = t^mx, откуда {t\m, t^m) s
s Ker x = у. Следовательно, 7 — конгруэнция на 9t. Положим
@ = %/y и покажем, что Г(@) есть группа. Для любых me7(S(),
U, t2^S условие t\myt2m влечет t]mx = t2mx, где xe£)(9t), и
поэтому tiyt2. Следовательно, Т(Щ действует на S/y так, что
1\Ш = \2т влечет 1\ = 12 (?,■ обозначает у-класс состояния ti).
Отсюда вытекает, что Т(Щ — группа подстановок на S/y. Пока-
Покажем теперь, что для идемпотента еей(Я) группа подстановок
6е, действующая на Ime, подобна группе Т(®), действующей на
S/y. Так как Ime трансверсалыю к Кеге = 7> отображение
/ь->? является биекцией Ime на S/y. Обозначим через W кано-
канонический гомоморфизм W: Г(91)->-Г(@). Для любых g^Ge,
is Ime имеем tg = iW(g); кроме того, W(g)*=y¥(e) влечет
1g = te для любого t s Im e; из условия tgyte для любого
.' е Im e последовательно получаем tge = te2, tg — te и g = е;
таким образом, сужение Ч; на Ge есть биекция на Т(Щ. Следо-
Следовательно, Ge и Т(Щ суть подобные группы подстановок.
(Ь) влечет (а). Пусть W: Г(9()->-Г(?1/7) — канонический го-
гомоморфизм, a eeD(9l)—идемпотент. Для произвольного ze
еТ(|/у) возьмем такой теГ(Я), что W(m) = z. Тогда
Чг(е/пе) = г, где eme^Ge. Отсюда вытекает, что ^P(Ge) =
= Т(%/у), а из предположений относительно Т(Ш,/у) следует,
266 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
что W определяет изоморфизм Ge на Т(%/у). Заметим также,
что W определяет гомоморфизм вполне простой полугруппы
й(Щ на группу Т{%/у). Рассмотрим для полугруппы D{%) ри-
совское представление Jl{G; I, Л; Р) с нормализованной матри-
матрицей Р; в силу упр. 11 из гл. 3 ядро сужения W на G должно
содержать все элементы из Р. Тот факт, что W взаимно однозна-
однозначен на G, показывает, что ри есть единица группы G для любых
ге/, % е Л. По лемме 4.3 card/= 1, т. е. D(%) имеет един-
единственный $2-класс. □
Следствие 4.5. Пусть С — полный префиксный код. Если ми-
минимальный идеал синтаксического моноида М(С*) является
^-классом, то С имеет разложение С = О ® CY, где О — син-
синхронизированный код, а Су — такой код, что М (С*) есть группа,
подобная группе Сушкевича G(C).
Доказательство. В силу предложения 4.4 на 9((С*) суще-
существует такая конгруэнция у, что ГE((С*)/у) есть группа, подоб-
подобная группе G(C). В силу предложения 3.2 имеем С = С ® CY.
В силу предложения 3.4 группа G(Cy) подобна группе
G(9t(C*)/v), а значит, и G(C), а группа 0@") тривиальна
(импримитивность группы G(C), определяемая конгруэнцией у,
совпадает с равенством). В силу предложения 4.2 код (У син-
синхронизирован. D
Следствие 4.6. Пусть С — конечный полный префиксный код.
Следующие условия равносильны:
(a) минимальный идеал синтаксического моноида М(С*)
имеет единственный Я-класс;
(b) С = D®An, где D — синхронизированный код, а п — по-
порядок циклической группы G(C).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Применив следствие 4.5,
получим С = Сч ® Су, где оба кода С, и Су конечны. В силу
следствия 1.3 имеем Су = А", и группа G(Cy), а значит, и
G(C) — циклическая порядка п.
(Ь) влечет (а). Это вытекает из одного замечательного свой-
свойства конечных полных префиксных кодов, которое будет уста-
установлено позже (теорема 5.6): для любого разложения С = D®E
существует конгруэнция у на 9((С*), такая, что Г(91(С*)/у) =
= М(Е*). Для Е = А" моноид М(Е*) является циклической
группой порядка п, и (а) следует из предложения 4.4. Q
В следующей лемме мы начинаем изучение общего случая,
когда D(9t) содержит более одного ^-класса.
Лемма 4.7. Пусть Ш, — транзитивный А*-автомат, такой, что
минимальный идеал D($i) из Т(Щ содероюит более одного
^-класса. Если для некоторых х, (/eDEl) выполняется уело-
4. Группы Сушкевича полных префиксных кодов 267
вие Irnxfl Im У Ф 0, то существуют представление 0C1) в виде
рисовской матричной полугруппы Jl{G\ I, Л; Р) над группой
GE-D(9t)> причем xsZ-л,,, i/gLi,, и состояние t автомата 81,
такие, что tp\lt = tp\at для любого ie/.
Доказательство. Пусть е—идемпотент из DCl), a G— мак-
максимальная подгруппа с единицей е. Через R\ обозначим ^%-класс
идемпотента е, а через L\ — его £?-класс. Выберем координат-
координатную систему qi = е\% и г,- =ei\, взяв в качестве е\% и ей идемпо-
тенты из R\ и L\ соответственно. Задав Р равенствами ри =
— q%ri = ец,е/1, согласно гл. 3, § 2, получим D {%) ^Ж (G; I, А; Р).
Предположим, что t' ^lmxf\lmy. Тогда /'е Ime^ f) Imea2.
Поскольку е^еа,, множество Ime№l трансверсально к Кеге.
Следовательно, существует единственное ^elme, для которого
teiK, = t'. Отсюда вытекает, что teu,eu, = t'e^ = f, т. е. tea, =
= tei)a. При умножении справа на ец это дает tpM = tpM для
любого te/. D
Напомним, что группа подстановок G на множестве S просто
транзитивна, если для любых s\, s2^ S существует единственный
элемент g gG, такой, что s\g = s2. Это равносильно условию
для любых ssS^sG.^e.
Теорема 4.8. Яусгь SI — транзитивный А*-автомат, такой, что
D{%) содержит более одного ^.-класса, а группа Сушкевича
G(S0 просто транзитивна на Ime (e = e2e0(S()). Тогда на %
существует конгруэнция р, отличная от универсальной и такая,
что группа G(S(/p) тривиальна.
Доказательство. Взяв идемпотент еейA), выберем коор-
координатную систему так, как указано в доказательстве леммы 4.7.
Если Im х П Im у ф 0 для некоторых х, y^D (SI), то по лемме 4.7
существует состояние t из 31 (фактически felme), такое, что
tphi = tp\1i для любого is/. По лемме 4.3 это влечет К\ =Я2,
т. е. х&у и, следовательно, Im х = Im у. Тот факт, что Imjcfl
П Im у Ф 0 влечет Im х = Im у для х, у е D C1), вместе со след-
следствием 2.6(а) означает, что множества Imx, xefl(S(), состав-
составляют разбиение множества S состояний автомата 31. Обозначим
через р отвечающую этому разбиению эквивалентность. Простая
проверка показывает, что р устойчива относительно действия А*
на S. Следовательно, р — конгруэнция на 31. По лемме 4.3
card/ > 1 влечет card Л > 1, т. е. р имеет по меньшей мере два
класса. В силу предложения 3.4 (а) группа GCI/p) подобна
факторгруппе импримитивности группы GCI), а эта фактор-
факторгруппа тривиальна. □
Следствие 4.9. Пусть 31 — транзитивный А*-автомат, у кото~
рого группа Сушкевича GCI) просто транзитивна на Ime
268 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
(e = e2eG(S()), Тогда существует конгруэнция 6 на 91, такая,
что
(a) группа G(9(/6) тривиальна;
(b) <-Ю-класс DC&0(t)) автомата %e(t), индуцированного
автоматом 91 на Q-классе состояния t из 9(, содержит единствен-
единственный Si-класс.
Доказательство. Пусть 0 — наименьшая конгруэнция р на 91,
для которой группа G(9l/p) тривиальна. Так как G(9t/0) три-
тривиальна, соответствующая импримитивность группы G(91) имеет
только один класс, и для любого состояния / из Щ группа
G(9t9(?)) подобна группе G(9t) в силу предложения 3.4. Следо-
Следовательно, G(Ste(O) просто транзитивна. Допустим, что D($le(t))
имеет более одного 32-класса. Тогда по теореме 4.8 на 91е@ су-
существует конгруэнция р, отличная от универсальной и такая,
что группа G(9te(O/p) тривиальна. В силу предложения 3.1
существует конгруэнция р на 9(, реб, сужение которой на
Э-класс состояния t совпадает с р. Если мы докажем тривиаль-
тривиальность группы G(9t/p), это приведет к равенству р = 0, откуда
р — универсальная конгруэнция; полученное противоречие пока-
покажет, что наше допущение о классе D($te(t)) ложно. Чтобы доказать
тривиальность G(9t/p), заметим, что, согласно предложению 3.4,
группа G(9t/p) (соответственно G(9(G@/p)) подобна фактор-
факторгруппе импримитивности группы G(k) (соответственно G(%e(t))),
где импримитивность определяется сужением конгруэнции р (со-
(соответственно р) на Im е. Здесь е — единица группы G(9t) (соот-
(соответственно G(9t6(t))), являющаяся элементом из Z)(9l) (соответ-
(соответственно из £)(Яе(О))'. Поскольку G(9l/0) тривиальна, любое
множество вида Im e (eeD(S()) содержится в некотором
0-классе, и можно выбрать eGD(St) так, чтобы Im e лежало в
0-классе состояния t. Отсюда следует, что сужения отношений
р и р на Im e совпадают. Поэтому импримитивности групп G(9t)
и G(9te(O) Ha Im e также совпадают. Это влечет подобие групп
G(S(/p) и GDte(t)/p) и, следовательно, тривиальность группы
G(9I/p). □
Следствие 4.10. Пусть С — полный префиксный код. Если
группа Сушкевича G (С) является просто транзитивной группой
подстановок, то С допускает разложение С =. D ® E ® D', где
D и D' — синхронизированные префиксные коды, а Е — такой
префиксный код, что синтаксический моноид М(Е*) есть группа,
подобная группе G(C).
Доказательство. Применение следствия 4.9 к 5((С*) лает раз-
разложение С = Св ® Св (см. предложение 4.2). где G(Cq) три-
тривиальна, G(Ce) подобна группе G(C), а 0-класс автомата
91 ((С6)*) сводится к единственному 52-классу. В силу предло-
предложения 4.2 код Св синхронизирован. Согласно предложению 4.4,
4. Группы Сушкевича полных префиксных кодов 269
на 9(((С9)*) существует такая конгруэнция у, что моноид пере-
переходов факторавтомата подобен группе G(Ce). Применяя пред-
предложение 3.2, получим С0 — (C9)v ® {Св)у, где (Ce)Y — синхрони-
синхронизированный код, a G((С9)Y) подобна группе G(C°). Взяв Z) =
==(С9)^, Е — (Св)у, D' = Ce, приходим к требуемому резуль-
результату. □
Если потребовать конечность префиксного кода G, то след-
следствие 1.3 дает
Следствие 4.11. Пусть С — конечный полный префиксный код.
Если группа Сушкевича G(C) просто транзитивна, то G(C) —
циклическая группа порядка п, а С = D ® У" ® D'', где D, D' —
синхронизированные префиксные коды, а У — алфавит, равно-
мощный коду D'.
Назовем ST-rpyuuon группу G, удовлетворяющую условию
любое точное транзитивное представление G
просто транзитивно.
Из следствия 3.7 и следствия 4.11 вытекает, что нецикличе-
нециклические конечные ST-группы не могут быть группами Сушкевича
конечных префиксных кодов. Примеры нециклических конечных
ST-rpynn даны в упр. 9.
Следующее предложение дает еще одно необходимое условие
для того, чтобы группа G могла быть группой Сушкевича ко-
конечного кода. Оно обращает утверждение предложения 3.4 для
транзитивных Л*-автоматов. Его можно распространить на
О-транзитивные Л*-автоматы, если использовать конгруэнцию,
максимальную в неподвижной точке.
Предложение 4.12. Пусть 91— транзитивный А*-автомат, а
G(S()— его группа Сушкевича, действующая на \те для неко-
некоторого идемпотента eeD(Sl). Для любой импримитивности р
группы G (Щ существует конгруэнция р на Ш., такая, что сужение
р на Ime совпадает с р.
Доказательство. Будем использовать Л'-автомат S3, множе-
множеством состояний которого служит некоторый 5?-класс R (напри-
(например, $?-класс идемпотента е). Лемма 3.8 показывает, что суще-
существует сюръективный гомоморфизм ср: Э->-91, заданный равенством
(p(r) = Sor, где soe Ime. Далее, конгруэнция Kerqp на R опре-
определяет при сужении на де правую конгруэнцию на группе Ge.
Класс этой правой конгруэнции, содержащий е, является под-
подгруппой Не из Ge, и группа G(9() подобна группе Ge, действую-
действующей правыми сдвигами на смежных классах He-g по подгруппе
Не (проверка этого составляет предмет упр. 10). Импримитив-
Импримитивности группы Ge взаимно однозначно соответствуют подгруппам
270 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
из Ge, содержащим Не: если отождествить [гае с множеством
смежных классов по Не, то для данной импримитивности р мно-
множество Ке(р)= {х е Ge: HexpHe} является подгруппой в Ge, со-
содержащей Не, причем HegipHeg2, если и только если g^'s
е-Ке(р)- Таким образом, для доказательства предложения до-
достаточно показать, что на S3 существует такая конгруэнция р,
что КегфЕр и что класс идемпотента е по модулю сужения р
на Ge есть в точности Ке{р)- Тогда требуемой конгруэнцией бу-
будет отношение р на ?(, определяемое условием
tipt2, если и только если существуют ru r2^R, такие, что
Чтобы построить р, определим сначала отношение р на S3, по-
положив
гфг2, если и только если ги г2 лежат в одной и той же
максимальной подгруппе G{ и r^ = grf, r2 = g2f, где
il> 82е Ge И ?I^'G^(P)'
e
Читатель может убедиться, что р — конгруэнция на S3 и что
р-класс идемпотента е совпадает с Ке(р). Полол^им теперь р =
= pVKer(p и обозначим р-класс элемента е через Ке- Оче-
Очевидно, Ке (р) S Ке- Обратно, если g e Ке, то существуют п,
г2, ..., rnt=R, такие, что g = ги гп = е и (п, r(+1)sp U Кегф
для i=l, 2, ..., п—1. Для l^t'^n имеем n = giei, где
gt e Ge, a ei — идемпотент из 5^-класса элемента г<. Отсюда
следует, что (пе, rwe)^p\] Кегф и поэтому (gt, ^i+1)ep 1)Кегф,
т. е. ^r+is^e(p)U^, = ^Ce(p) для *-= 1, 2 л—1.
Произведение JJ"~ g g-1 лежит в Ке(р) и, очевидно, равно g;
это завершает доказательство равенства Ке{р)~К'е. □
Следствие 4.13. Пусть С — полный префиксный код, ар —
импримитивность его группы Сушкевича G(C). Тогда существует
разложение С = СE ®Сц, такое, что Gic1*) подобна группе под-
подстановок, индуцированной G(C) на р-классе, a G(C(>) подобна
факторгруппе импримитивности группы G(C).
Доказательство. Продолжим р до конгруэнции £ на §1(С*)
согласно предложению 4.12 и применим предложение 3.2. □
Из следствия 4.13 вытекает, что если С неразложим, то G(C)
имеет лишь тривиальные импримитивности, т. е. Q(C)—прими-
Q(C)—примитивная группа.
Следствие 4.14. Пусть С — конечный полный префиксный код.
Центр группы Сушкевича G(C) является циклической под-
подгруппой.
5. Разложения конечных полных префиксных кодов 271
Доказательство. Группа подстановок G(C) действует транзи-
тивно и точно на Ime (е = е2 е G(C)). Пусть lit — стабилиза-
стабилизатор состояния felme в G(C), a K = Ht-Z = Z-Ht, где Z—
центр группы G(C). Для любого V щ line существует ge G(C),
такой, что t'g = t. Отсюда, взяв k е= Ht[\ Z, получим
ГЛ - /'ffg-1* = t'g kg-1 = fAig-1 = tg-' = f.
Поэтому k = e, т. e. Ht f] Z = {e}; следовательно, любой элемент
ftei( может быть единственным образом записан в виде k = /гг,
где h&Ht, z^Z. Определим импримитивность р группы G(C),
положив
2, если и только если t\Z— t2 для некоторого zeZ.
Ясно, что р-класс состояния t есть ?Z, причем tz\ ф tz2, лишь
только элементы z\, Zi^Z различны. Индуцированная группа
определяется действием на tZ подгруппы А''= fesG(C):
^Р^} из ^{С). Но tgpt влечет tgz = t для некоторого z e Z.
Отсюда вытекает gz^Ht и g ^ К. Следовательно, К = К'. Да-
Далее, группа преобразований, определяемая действием К на tZ,
изоморфна Z. Поэтому группа, индуцированная на классе импри-
импримитивности р, подобна группе Z, действующей на самой себе
правыми сдвигами, и, значит, это просто транзитивная группа
подстановок. В силу следствия 4.13 Z подобна группе 6@^),
где С&—конечный полный префиксный код. В силу следствия
4.11 группа G(C*) циклическая, а значит, такова же и Z. □
5. Разложения конечных полных
префиксных кодов
Пусть С — конечный полный префиксный код из А*. Если
существует такой префиксный код D, что С* Е D* (т. е. С раз-
разлагается над D), то D полон (для любого дае/1* существует
zg Л*, такое, что шге С* eD*), Никакое слово из С не может
быть собственным левым делителем слова w e D\C Поэтому
в силу полноты С для любого w e D\C найдется такое геЛ*,
что wz e С, и, следовательно, конечность С влечет конечность D.
Одним из наиболее важных результатов данного параграфа яв-
является тот факт, что D* есть объединение некоторых классов
главной правой эквивалентности Р{с]: Отсюда следует включе-
включение Рс* sPj5*> позволяющее определить конгруэнцию на 91 (С*)
(напомним, что множеством состояний автомата §((С*) служит
А*/р{$). Это — основная идея в доказательстве существования
биекции между конгруэнциями на 5((С*) и разложениями
кода С.
Предложение 5.1. Пусть С — полный префиксный код из А*.
Следующие условия равносильны;
272 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
(a) C=^D\D2 для некоторых непустых подмножеств Du D2
из А*, таких, что Dif}D2 = 0 и D\\]D2— полный префиксный
код;
(b) существует такое й\ еЛ+, что d{C <= С;
(c) существует такое d\ e A+, что d\ C = C;
(d) существует такое di^A*, что й\фС* и d\C S \j1=\Cl
для некоторого п ^ 1.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Для произвольного d\^D\
имеем d,C = dxD\D2 s D\D2 = С
(b) и (с) равносильны. Как показывает простая проверка,
для любого полного префиксного кода С и слова d\^A* мно-
множество d\lC—{w&.A*\ dxw e С} (если оно непусто) является
полным префиксным кодом. Если d\C<= С, то C^d\lC, и мак-
максимальность кода С влечет C==dr'C. Обратно, d'{ С = С вле-
влечет drC s С.
(Ь) и (d) равносильны. Взяв л = 1, мы видим, что (Ь) вле-
влечет (d). Обратно, допустим, что й^Се 1I=1 С1 для некоторого
п ^ 1. Без ограничения общности можно предполагать, что d\
есть собственный левый делитель некоторого слова из С. Длины
слов из d\C над алфавитом С ограничены числом п. Выберем
с^С так, чтобы слово d\C имело максимальную длину над С.
Допустим, что d\c e Ck при некотором k, I ^ k ^ п. Если k = 1,
то diC s С. Если k > 1, то d\C = dxd2C\, где d\d2 s С*-1 и с, е С.
Покажем, что d^C^C. Это даст нам (с), а значит, и (Ь).
Пусть w& d2 С, т. е. d2oy e С. Тогда непременно ш ф 1, ибо в
противном случае d2eC и с = d2c\, что противоречит опреде-
определению префиксного кода. Далее, d2w e С влечет dxd2w e d^ S
sU"-iC'. Так как did2eCk~\ имеем d1d2w^Ck для некото-
некоторого k' ^ k, и определение & дает k' = k, откуда w e С. Следо-
Следовательно, d2]CsC, а потому справедливы (с) и (Ь).
(Ь) влечет (а). Допустим, что d\C<^C. Образуем множества
Di={di}, D2= {we. С: w^dtA*}.
Тогда D] П D2 == 0, a £>i U £J есть префиксный код, так как по
построению никакое слово из D\ U D2 не может быть левым дели-
делителем другого. Чтобы доказать полноту кода D^ \] D2, возьмем
слово ше Л* и докажем индукцией по l(w) существование та-
такого z е А*, что wz s {D\ U D2) *. Это очевидно, если до = 1. Если
же ш=т^1, запишем ay = rfi an', где k максимально. В случае
k>0 предположение индукции дает w'z' ^{D\\] D2)* для не-
некоторого г'еЛ*. Отсюда следует, что и d\w'z' e (D, (JA>)*-
В случае ^==0 существует такое (е/1* что wt^C*. Следова-
Следовательно, wt — С\С2 ... сп для некоторых си с2, ..., сп^С, при-
причем ci efi2. Равноделимость в Л* влечет за собой сх = wz или
б. Разложения конечных полных префиксных кодов 273
w = C\z для некоторого z e A*. В первом случае wz e (Di U D2) *;
во втором случае l(z)<.l(w), и индуктивное предположение
дает zz' e (Di U D2) *, откуда o>z' = cxzz' <= (Di U D2) *. Анало-
Аналогичное доказательство, которое мы опускаем, показывает, что
.D1D2 есть полный префиксный код в А*. Условие diCsC вле-
влечет d"CsC для всех/г^О. Следовательно, Д£>2 s DiC г С,
и максимальность DiA- влечет ДОг = С. П
Определение 6.2. Полный префиксный код С, удовлетворяю-
удовлетворяющий любому из условий предложения 5.1, называется цепью.
Для произвольного префиксного кода С слово d\ ф С*, такое,
что diC & С*, называется раздувающим словом (swelling word)
для С.
Следовательно, в силу (d) цепь имеет раздувающее слово,
но в этом случае, интуитивно говоря, «раздувание» d\C ограни-
ограничено по длине над С.
Лемма б.З. Пусть С и D — полные префиксные коды us A*,
такие, что С* s D*. Предположим, что (а) длина слов из С над
алфавитом D ограничена; (b) D* не является объединением
классов главной правой эквивалентности Р%\. Тогда существуют
d\ e A*, d e D*, такие, что d\ является раздувающим словом для
D и (d, dx) s P'crl
Доказательство. Обозначим через п максимальную длину
слов из С над D. Допустим, что слова w e D*, w' ф D* удовле-
удовлетворяют условию (w, wf) e P{p,. Вычленяя из w, w' длиннейшие
левые делители, принадлежащие С*, можем записать
w = cz, w'*=*c'zr, где с,с'&С*, a z, г'фСА*.
Далее, z e D*, z' ф D*, и, как легко увидеть, используя опреде-
определение Р(с\ вместе с условием (w, wr) e Pty, имеем (z, z') e P(cr2.
Кроме того, из полноты С и условия г, г'фСА* выводим, что
гиг' суть собственные левые делители слов из С. Если z'D^D*,
то положим d = z, d\ =z', и лемма доказана. Если z'D<£ D*, то
существует di e D, такое, что z'di ф. D*. Мы утверждаем, что
A) zd2, г'й2фСА*;
B) zd2^D* и z'di^D*;
C) (zd2,z'd2)&P%.
Утверждение B) очевидно, а C) следует из того, что Р$—
правая конгруэнция. Чтобы доказать A), допустим, что zd2^
^СА*. Так как гфСА*, получаем zd'2^.C для некоторого ле-
левого делителя d'2 слова d% Следовательно, zd'2 e £>*, и тот факт,
что z <= D*, дает d'2 e D", т. е. d'2 = d2. Но zd2 & С влечет zd2 e
еС, ив силу C) z'd2 eC's D*, что приводит к противоречию.
274 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Это показывает, что zd2<£CA*. Если z'd2^CA*, то z'd'2^C
для некоторого левого делителя d'2 слова d2. Из условия
(г, z')eP£i следует, что 2^еС, откуда zd2^CA*, что снова
дает противоречие. Таким образом, z'd2^CA*, и доказатель-
доказательство A) завершено. Заметим, что Io(zd2) = lD{z)-{- 1. Если
г'йг^ ^ D*, возьмем d = zc?2 и d\ = z'd2. В противном случае,
повторяя те же рассуждения, что и выше, получим слова zd2d3,
z'd2d3, также удовлетворяющие условиям A), B), C). Этот
процесс останавливается, поскольку при lD(z) — n—1 мы полу-
получим b(zd2) = п; определение числа п и условие zd2^k С А* дают
тогда z'd2D s D*. □
Теорема 6.4. Пусть С и D — полные префиксные коды из А*,
такие, что С* с D* и длина слов из С над алфавитом D ограни-
ограничена. Следующие условия равносильны:
(a) D* является объединением классов главной правой экви-
эквивалентности Р$;
(b) D не является цепью над А.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что D — цепь над
А и слово di^A+ таково, что d\D<=,D (предложение 5.1 (Ь)).
Ясно, что d\ не лежит в D*. Пусть с^С — слово максимальной
длины над D. Так как с не является пустым словом, можно
записать с = d'd", где d' e D* и d" e D. Поскольку код С по-
полон, для любого d e D существует такое z e А*, что d dz e С*.
Следовательно, некоторый левый делитель / слова d'dz лежит
в С. Ясно, что / не может быть левым делителем слова d', ибо
тогда / было бы левым делителем слова с = d'd". Если / = d'd0
для некоторого левого делителя do слова d, то do e С*, откуда
do — d и l=*d'd. Наконец, если /= d'dzo для некоторого левого
делителя го слова z, то максимальность длины слова c=d'd" над
D влечет zo= 1, и снова l = d'd. Таким образом, для любого
d eD имеем d'd е С, т. е. d'D = С. (Этсюда вытекает, что
Ds(d')~lC и, так как D — полный код, D =(d')-*C. Заметим,
что мы также имеем D = d\XD. Следовательно, (d')~lC = D —
= d\XD = d\ ' (d')~lC— (d'di) С, и это показывает, что
(d', d'd,) г Pg>.
Поскольку d'-фХ (в противном случае C* = D*) и никакой ле-
левый делитель слов d' и d'd\ не лежит в С, получаем логическую
цепочку
, где w*=wxw2, и хю2^С
C, где w=*w\w<,, и o>ss C*)^>d'diW& С*.
б. Разложения конечных полных префиксных кодов 275
Следовательно, (d', d'dx)e.P{[X, где rf'eD1, d'd\^D* (так как
d\^D*). Но это противоречит условию (а). Поэтому D не яв-
является цепью над А.
(Ь) влечет (а). Допустим, что D* не является объединением
классов эквивалентности Р£1. Тогда по лемме 5.3 для D сущест-
существуют раздувающее слово d\ (т. е. d\D £ D*) и слово ute D*,
такие, что (rf, rfj e Pjji Как и в начале доказательства лем-
леммы 5.3, можно предположить, что d и d\ — собственные левые
делители слов из С. Простое рассуждение, которое мы опускаем,
показывает, что (d, d^ s Pp. Мы также получаем dD e С (как
в первой части доказательства). Если п — максимальная длина
слов из С над D, то rfflsCsUti^'1 Отсюда следует, что
c?iD s С s и"=1^г- Тогда D — цепь в силу предложения 5.l(d).
Это противоречит условию и показывает, что D* является объ-
объединением P^i-классов. □
Следствие 6.5. Если С — конечный полный префиксный код
из А*, то для любого полного префиксного кода D, такого, что
С*гЬ*гЛ*, моноид D* является объединением классов глав-
главной правой эквивалентности Я<Г1. В частности, Р%1 s P^\.
Доказательство. Конечность С влечет конечность D. Так как
конечный код не может быть цепью, наш результат следует из
теоремы 5.4. Поскольку Р(р, — наибольшая правая конгруэнция,
для которой D* есть объединение классов, мы получаем
Пусть С — конечный полный префиксный код из А*. Мини-
Минимальный Л*-автомат 91(С*), распознающий С*, имеет множество
состояний S — A/P{c*- Удобства ради обозначим _Рс*-класс
слова гоеЛ* через w. Мы имеем С* = {w е А*: 1до = 1}. Пусть
Г(С) обозначает частично упорядоченное множество конгруэн-
конгруэнции на 91 (С*), а А (С) обозначает частично упорядоченное по
включению множество моноидов D*, порожденных полными пре-
префиксными кодами D, такими, что С*дй*дЛ'. Для любых
psT(C), Д*еА(С) определим
E.5.1) Мр) = {о)еЛ': (Tte, T) s p},
E.5.2) (х (D*) = {(а>„ tf>2) s S X 5: (а>„ ш2) s P$}
Теорема 6.6. Для произвольного конечного полного префикс-
префиксного кода С из А* отображения X и ц, заданные формулами
E.5.1) и E.5.2), определяют сохраняющие порядок взаимно
обратные биекции между множеством Г (С) конгруэнции на
91 (С*) и множеством Д(С)= {Л*: С*е£>*£=Л*}.
276 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Доказательство. Следствие 5.5 показывает, что n{D*) явля-
является вполне определенной конгруэнцией на Ш.(С*). Очевидно,
отображения X и ц сохраняют порядок. Для любого D*eA(C)
класс состояния Т по модулю ц(£>*) есть
{wf=S:(w, 1)б/>И} = {йб5: ibeD'}.
Следовательно,
Я (ix(£>*)) = {w г Л': (То», Т)ец(£>*)} =
= {1»еА': (ш, Т)ец(£>')} = D\
Включение р£ц(Цр)) следует из определения % и ц. Допу-
Допустим, что (ш>1, ш>г)е |л(А,(р)), т. е. (ш»,, ау2) <= P£l, где £>* = А,(р).
Вычленяя в словах ш>1 и до2 длиннейшие левые делители, при-
принадлежащие £>*, можно записать W\_== d\Z± и ©2 = cte, гДе
zb z2^D.A*. Для i= 1, 2 имеем mJ(-= 1до* = Ыг2,р12г = гг. Кро-
Кроме того, (дар гг>2) е Р$ влечет (zp z2) e Р(д1. Используя тот факт,
что длины слов из С над D ограничены, можно показать — как
в начале доказательства теоремы 5.4, — что существует такое
d e D*, чт& dD еСий = d~]C. Для /=1,2 получаем ©,рг,- =
= 12грЫг,- = c?z;. Чтобы закончить доказательство соотношения
Wipw2, мы просто покажем, что dz\ — dz2, т. е. (dzi, с?2г) е Рс«-
Прежде всего,(dzp rf22) е Р^'; в самом деле, так как Zi, Z2 ^ DA*
и (z,, г2) е Pjji, мы имеем z\W^.D, если и только если z2w e
sfl. Следовательно,
c?z,o) е С <=*> 2[а) е rf~'С = D фф- z2o) ее?"'С = D <=ф- dz2w e С.
Отсюда выводим:
zia/eC, w'w" = w, /eC1)^-
z2ay' е С, w'w" = m>, а>" е С*) ^=ф йг2ш s С,
т. е. (dz,, с?г2) е= Р<С1. П
Следствие 5.7. Для любой конгруэнции р на минимальном
А*-автомате Ш.(С*) для конечного полного префиксного кода С
существует разложение С = Се <8> Ср, где 51 (С*) — 51 (С*)/р.
Теорема 5.6 вместе с предложениями 3.4 и 4.12 показывает,
что для конечного полного префиксного кода С проблемы на-
нахождения разложений С, конгруэнции на ЗЦС*) и «поднимае-
«поднимаемых» импримитивностей группы подстановок G(C) равносильны.
6. Конечные полные бипрефиксные
коды
Во всех теоремах о конкретных разложениях, установленных
в § 4 (следствия 4.6 и 4.11), коды, встречающиеся как сомно-
сомножители, были либо синхронизированными, либо равномерными
б. Конечные полные бипрефиксные коды 277
(т. е. кодами вида Ап для некоторого «> 1). Никакой бипре-
фиксный код Cs/4*, СфА, не является синхронизированным
кодом, и до недавних пор полагали, что все конечные несинхро-
низ«рованные неразложимые префиксные коды являются бипре-
фиксными кодами. Перрен в своей диссертации [1975] привел
бесконечное семейство небипрефиксных кодов, которые конечны,
неразложимы и несинхронизированы. В этом параграфе мы
изложим основные результаты о конечных полных бипрефикс-
бипрефиксных кодах. Они составляют первые шаги на пути к познанию
более широкого класса несинхронизированных кодов.
Одна из трудностей при изучении бипрефиксных кодов — это
построение примеров. Как мы указывали, несинхронизирован-
ные коды редки, и еще более редки бипрефиксные коды. Сле-
Следующие результаты, принадлежащие Сезари [1972], обеспечи-
обеспечивают алгоритм для получения всех конечных полных бипре-
бипрефиксных кодов из равномерных кодов. Единственным его недо-
недостатком служит то обстоятельство, что один и тот же код может
быть получен несколько раз.
Определение 6.1. Пусть С — полный бипрефиксный код из Л*.
Слово те Л* назовем хорошим словом для С, если: (а) т яв-
является собственным левым делителем некоторого слова из С,
(b) m является собственным правым делителем некоторого
слова из С и (с) (Ст~')т П т(т-'С)= 0.
Для данного слова т, хорошего для С, код С(т), производ-
производный от кода С относительно пг, определяется в терминах степен-
степенных рядов формулой
Индуктивно, если т*— хорошее слово для C(mh пц, ..., rrik-i),
определим С(ти т2, ..., тн), положив
(Ak) С{ти т2, ..., mk) = C(mu m2, .... mk-i)'{mk).
Следующая теорема показывает, что произвольный конечный
полный бипрефиксный код получается из некоторого равномер-
равномерного кода последовательным вычислением производных кодов.
Теорема 6.2. (а) Для любого полного бипрефиксного кода С
из А* производный код С(т), определяемый формулой (А^
выше, является полным бипрефиксным кодом.
(Ь) Для данного конечного полного бипрефиксного кода С
существуют число п~^ 1 и последовательность гп,\, тг, ..., mk
хороших слов, такие, что С = Ап(ти т2, ..., mk).
Пример 6.2.1. Возьмем Л = {к, у}, Л3= {х3, х2у, хух, ух2,
у2х, уху, ху2, у3}. Проверим, что слово т = ху является хорошим
для Л3:
(А3т~1) т = {х*у, уху), т (т^А3) = {хух, ху2}\
278 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
следовательно, (A3m-1)mf\ гп(т-1А3) = 0. Формула (Д]) дает
А3(ху) = {х3, х2ух, х2у2, ху, ух2, ухух, уху2, у2х, у3}.
Теоретико-множественным выражением для (Ai) будет
С{т)--={С U {m} U (Cm-l)m(m-lC))\((Cm-l)m [} т{щ-1С)).
Для удобства читателя мы воспроизводим здесь упр. 9 из
гл. 5.
Упражнение 6.2.2. Пусть D — полный префиксный код из Л*,
а X — префиксный код из Л*. Предположим, что подмножества
С\, Ci из Л* удовлетворяют условиям X S Cu XD £ С2 и Ci\X=
=*C2\XD. Тогда С\ есть префиксный код, если и только если
С2— префиксный код, причем С! полон, если и только если С2
полон (Сезари [1972b, лемма 3]).
Применяя упражнение 6.2.2 к С\ = (С\т(тг1С))\] {т},
Х={т}, D — m,-lC, C2 = C, получаем, что С\ — полный пре-
префиксный код. Далее, C(m) = (Cl\(Cm-1)m)\J(Cm-l)m(m-lC).
Еще одно применение того же упражнения при Х = (Ст~х)т,
D — т~1С показывает, что С2 = С(т)—полный префиксный
код. Аналогично двойственное доказательство показывает, что
С(т) — полный суффиксный код и, следовательно, утверждение
(а) теоремы 6.2 справедливо. Утверждение (Ь) доказывается
с помощью следующих двух лемм.
Лемма 6.3. Если С — полный бипрефиксный код из Л* и
СфА" для всех я^1, то существует такое с^С, что се
s A+CA+.
Доказательство. Допустим, что С (] А+СА+ = 0, и пусть с =
= а\а2 ... ап (щ^А)—слово минимальной длины из С. В слу-
случае п = 1, с — а\ рассмотрим для любого а еЛ слово аа\. Оно
не может быть собственным левым делителем никакого слова из
С, так как С |~| А+СА+ = 0. Поэтому аа\ = с'и, где с' е С,
и еЛ', Если с' = а, то а е С, и если с' = ааи то снова а еС
благодаря свойству суффиксности С. Следовательно, А^С. До-
Допустим теперь, что п ~> 1. Мы утверждаем, что Ап^С, и дока-
докажем это, показав, что для всех /, 1 ^ i ^ п, А1~ха\й2 ... an-i+i £
sC влечет А1п\пч ... an-i^C. Предполагая, что Al-laia2 ...
... an-t+i s С, рассмотрим слово z — wa\a2 ... an-ian-i+i для
произвольного ше/1'. Слово z не является собственным левым
делителем никакого слова из С, ибо в противном случае zt =
= aw'a\u2 . ■. an-i+\t е С (где w = aw', не Л, t e Л+), что про-
противоречит предположению С [}А+СА+ = 0. Так как С полон, су-
существует такое d^C, что z = dv для некоторого уеЛ*. По-
Поскольку п — это минимальная длина слов из С, мы имеем либо
d = z = aw'a\a2 ... an-t+i, либо d = wa\a2 ... an-i. В первом
6. Конечные полные бипрефиксные коды 279
случае JeC и хю'а^пъ ... Зи+ieC, что невозможно в силу
суффиксности С. Поэтому wata2 ... an-i^C, откуда А1а\пч ■■■
... йл-/ЕС и, следовательно, АП1=С. Учитывая полноту кода
А", получаем Ап=С. Таким образом, СфАп влечет С[\А+СА+Ф
Ф0. □
Лемма 6.4. Пусть С — конечный полный бипрефиксный код
из А*, причем СФАП для всех « ^ 1. Тогда существуют слово
те. С, полный префиксный код Р и полный суффиксный код S,
такие, что:
(a) StnPsC;
(b) D =(C\J Sm\J mP)\ ({m} \JSmP) есть такой бипрефикс-
бипрефиксный код, что card D < card С;
(c) Sm[\mP = 0;
(d) m — хорошее слово для D, и производный код D(m)
есть в точности С.
Доказательство, (а) По лемме 6.3 и в силу конечности С
существует слово те С максимальной длины, такое, что
umv^C для некоторых и, иеЛ+, Допустим, что SmP^C
для любой пары кодов 5', Р, где 5 — полный суффиксный, а Р —
полный префиксный. Множество Р(и) = (ит)~1С — полный пре-
префиксный код, и для любого иеР(ы) множество S(v) =
= C(mv)-x — полный суффиксный код. Если S(y) = S(v) для
всех уеР(и), то для всех x^S(v) и всех у^Р(и) имеем
x^S(y), т. е. хту е С; это показывает, что S(v)тР(и) <= С, и
противоречит допущению SmP gc С для всех 5 и Р. Поэтому
существуют по меньшей мере два элемента vu V2^P(u), такие,
что S(vi)^S(v2). Мы даже можем выбрать и, а затем иь и2е
еР(и) так, что S(vi)^ S(v2) и сумма l(vi)-i- l(v2) минималь-
минимальна. Поскольку S(vi) и S(v2) различны, в одном из этих мно-
множеств найдется слово и', являющееся собственным правым де-
делителем некоторого слова из другого множества (слово
и' ^ S(Vi)\S(v2) либо есть правый делитель некоторого слова
из S(v2), либо — в силу полноты S(v2)—имеет правый делитель
из S(v2))- Допустим, что u'eS(ui) и u"u'<=S(v2) для некото-
некоторого и"еЛ+. Тогда Р(и"и') = (и"и'т)-1С — полный префикс-
префиксный код. Исследуем отношение слова Vi к коду Р(и"и').
(al) Если »,eP(«V), то u"u'mv\^C. Но a'eS(tii) вле-
влечет u'mv\ e С, и, поскольку С — суффиксный код, это противо-
противоречит соотношению u"u'tnv\ e С.
(а2) Если существует Уз^ Р(и"и'), являющееся собствен-
собственным левым делителем слова vu то v3v'3 = vl для некоторого
0gS/4+. Множество 5(у3) = C(mv3)-1 непусто (оно содержит
и"и') и, значит, является суффиксным кодом. Мы имеем 5(^2)=^
7^5(Уз), поскольку «eS(ti2), но u<£S(v?) (соотношения
C, utnvi&C, где v$ — собственный левый делитель для
280 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
»1, противоречат префиксности С). Далее, l(v3) <. l(vi) влечет
/(Уз)+ 1(щ) < l(V\)+ l(V2), ЧТО прОТИВОреЧИТ Выбору U, Vi И V2.
(аЗ) Если Vi — собственный левый делитель некоторого сло-
слова из Р(и"и'), то viv' <= Р(и"и'), откуда u"\x'mv\v' <= С, где
и", v' <= Л+; но также u'mv\ <= С. Это противоречит выбору т
в качестве слова максимальной длины относительно свойства
umv е С. Так как г/] не может иметь левых делителей в Р(и"и')
и не может быть левым делителем слов из Р{и"и'), мы вступаем
в противоречие с полнотой Р(и"и'). Отсюда вытекает суще-
существование кодов 5, Р, таких, что SmP s С.
(b) и (с). Код Сг = (C\{m})U mP является полным пре-
префиксным кодом в силу упр. 6.2.2 (можно взять С\ = С, Х =
= {т}, поскольку С2\тР = С\{т}), a D = (C2\SmP)\j Sm.
Поэтому для доказательства того, что D — полный префиксный
код, достаточно показать, что Sm — префиксный код, и снова
применить упр. 6.2.2. Допустим, что smm' <= Sm для некоторых
s^S, т'^А+. Так как smP^C, имеем Р s(sm)~1C, откуда
Р = (sm)-1C. Из включения smm'P^C выводим m'Ps
s(sm)~'C = Р. Но включение т'Р s Р влечет бесконечность Р,
что противоречит конечности С. Таким образом, Sm — префикс-
префиксный код, a D — полный префиксный код. Благодаря симметрии
в определении D, двойственные рассуждения показывают, что
D — полный суффиксный код. Для доказательства (с) допустим,
что тр е 5т для некоторого р е Р; тогда трР s С, что вместе
сяеС противоречит префиксности С; поэтому тРП5т = 0.
Отсюда получаем
card D = card С + card 5 + card P — card 5 • card P — 1 =
== card С — (card S — 1) (card P — 1).
Так как СфАп, алфавит А содержит более одной буквы. Это
влечет cardS > 1, cardP > 1, откуда cardD < card С
(d) Равенства Dnr1 = S, m~lD = P и (с) показывают, что
m — хорошее слово для D. Из определения D(m) следует
D(m)=*C. □
Применяя лемму 6.4 нужное число раз, получаем, что для
произвольного конечного полного бипрефиксного кода С либо
С = А", либо С = Лп(/Пь т2, ..., mk) для некоторых п^1,
& ^ 1; тем самым утверждение (Ь) теоремы 6.2 доказано.
Напомним, что для данного кода С из Л* и распределения
вероятностей л на алфавите А средняя длина Х(С) определяется
формулой b(C) = Yiw<=cl(w)n(w)- B предложении 4.8 из гл. 6
показано, что Я,(С) конечна для рационального полного пре-
префиксного кода С, причем А,(С) = л(Рс), где Рс — множество
всех собственных левых делителей слов из С (гл. 6, лемма 4.9).
Так как для полного префиксного кода С мы имеем А* =■ С*РС,
6. Конечные полные бипрефиксные коды 281
множество Рс является носителем степенного ряда (также обо-
обозначаемого Рс), задаваемого равенством
F.4.1) 1— С=РсA— А).
Обращаясь к формуле (Ai), определяющей в терминах степен-
степенных рядов код С(т) для биирефиксного кода С, получаем
1 — С(т) = A —С) — {l — Cm-l)m(l—m-lC). Применение
F.4.1) дает
F.4.2) ЯС(т) = Рс-A -Cm-')mP(m-Ic).
Мы имеем л(Ст~')= 1 (см. гл.6, предложение 4.8(а)). Приме-
Применяя л к обеим частям равенства F.4.2), получаем п(РС(т)) =
= п(Рс), откуда %(С(т)) = К(С). Так как средняя длина равно-
равномерного кода Ап есть п, из теоремы 6.2 вытекает
Следствие 6.5. Средняя длина конечного полного бипрефикс-
ного кода С из А* есть целое число п, не зависящее от распре-
распределения вероятностей на А и равное степени равномерного кода,
из которого С получается вычислением производных.
Как мы увидим, средняя длина конечного полного бипре-
фиксного кода С совпадает со степенью его группы Сушкевича
G(C), как группы подстановок.
Лемма 6.6 (Перрен [1975]). Пусть 9( — транзитивный А*-ав-
томат, as — одно из его состояний. Следующие условия равно-
равносильны:
(a) s лежит во всех минимальных образах элементов мо-
моноида переходов Г(§1);
(b) для любого xsT(SI) класс состояния s no модулю
Кег х есть {s};
(c) для любого w еД* существует такое ^eN, что swk = s.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Предположим, что s'x = sx.
В силу следствия 2.6(а) в минимальном идеале / из Т(Щ су-
существует такой z, что s'e Imz. Следовательно, xz e / и в дейст-
действительности xz3?z, откуда Imxz = Imz. Так как xz определяет
подстановку на Im xz, равенство s'xz = sxz влечет s' = s.
(b) влечет (с). Для любого хе Т(Щ существует &6eN, та-
такое, что хк — идемпотент. Тогда sxk = sxkxk, и применение (Ь)
к xk дает s = sxk.
(c) влечет (а;. Для любого ле/ имеем Imz = lmzk, откуда
.<; е1тг. □
Следствие 6.7 (Шютценберже [1961а]). Пусть С — рацио-
рациональный полный префиксный код из А*, %(С*\ — минимальный
282 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
А*-автомат, a s0— состояние, неподвижное относительно С*.
Следующие условия равносильны:
(a) С — бипрефиксный код;
(b) s0 лежит во всех минимальных образах элементов син-
синтаксического моноида М(С*)\
(c) для любого шеА* существует такое k e N, что wk ез С*.
Доказательство, (а) влечет (Ь). Допустим, что sox = sx для
некоторого состояния s и JteM(C'). Существуют и, иеМ(С*),
такие, что s = sou и soxv = so (в силу транзитивности §1(С*)).
Отсюда следует souxv = sxu = soxd = s0, показывая, что wxu е
е С*. Но также xv <= С*, и, поскольку С —суффиксный код, по-
получаем иеС* и So = sou = s. Поэтому выполняется условие
(Ь) леммы 6.6. Следовательно, s0 лежит во всех минимальных
образах.
(Ь) влечет (а). Если So лежит во всех минимальных обра-
образах, то по лемме 6.6 класс Кегх, содержащий s0, есть {so}. Если
слова и, v e А* удовлетворяют условиям ци е С*, !/eC, то
sauv = So = sov. Это влечет sou = s0 (так как (sou, s0) e
еКегт(и)), откуда аеС'. Равносильность (Ь) и (с) непосред-
непосредственно следует из леммы 6.6. □
В случае l(w)= 1 значение k в условии (с) можно уточнить.
Следствие 6.8. Если С — конечный полный бипрефиксный код
из А* средней длины п, то ап&С для любого а^А.
Доказательство. Это ясно, если С = Ап. В противном случае
в силу теоремы 6.2 достаточно показать, что а" е С влечет
и"еС(ш) для произвольного хорошего слова т. Используя
формулу (Ai), допустим, что an^(Cm-1)m. Тогда пг = а1, где
О < i ^ га, и ап ^.(Cm-l)m[\m(m-lC), что противоречит усло-
условию (с) определения 6.1. Аналогично, невозможно an^m(m-1C).
Поэтому ап е С (т). □
*
В случае конечного С мы покажем, что независимо от w e A
существует такое целое k, что wk дает элемент из минимального
идеала в М(С*).
Лемма 6.9. Пусть С — конечный полный бипрефиксный код
из А*, Ш,(С*)— минимальный А*-автомат и т: А*-*• Т(ЩС*))— ка-
канонический гомоморфизм. Если слово w^A* не является соб-
собственным делителем никакого слова из С, то x(w) лежит в ми-
минимальном идеале моноида переходов ГC1(С*)).
Доказательство. Допустим, что т(а))^У, где / — минималь-
минимальный идеал из ГC1(С*)). Тогда образ \mw (=\mx(w)) не ми-
минимален и найдутся состояния s\, s2 e Im w, Si ф s2, и слово
us Л*, такие, что siu — s2u. Далее, существует такое оеЛ*,
6. Конечные полные бипрефиксные коды 283
что S\Uv = So, где s0 — неподвижное относительно С* состояние
автомата 51 (С*). Обозначим ни через z. Так как su s2 лежат в
Im w, существуют t\, t2, такие, что tiw =» st (i — 1, 2) и sqC\ = t\,
sqc2 = ^2 для некоторых собственных левых делителей С\, с2 слов
из С. Следовательно, socxwz = s0 = s0c2wz, откуда cxwz, c2wz^
e С*. Предположение относительно w показывает, что сущест-
существует разложение w = w'w", для которого c\w' eC и w"z <= С*.
Поскольку код С — суффиксный, a c2w'w"z e С*, получаем
czw' е С*. Следовательно, S2 = «о^оу == «оСга)'©" = sQw" =
= SqCiw'w" — sqCiW = sh что противоречит условию Si Ф si. Это
доказывает, что т(ш)е). П
Следствие 6.10. Если С — конечный полный бипрефиксный
код, то существует такое k > 0, что для любого х
хф\, элемент xk лежит в минимальном идеале из М(С*).
Доказательство. Возьмем & = тах {/(с): с е С}. Для любого
w ^А+ слово wk имеет длину ^ k. В случае l(w) > 1 слово да*
не может быть собственным делителем никакого слова из С,
согласно определению k; тогда по лемме 6.9 элемент x(wk) ле-
лежит в минимальном идеале / из М(С*). В случае l(w)= 1 имеем
ю = аб1 В силу следствия 6.8 ап е С, где п — средняя длина
кода С. Поэтому т(а")е/ и также т(а')е}, поскольку
k^zn, U
Следствие 6.11. Пусть С — конечный полный бипрефиксный
код из А* средней длины п. Тогда для любого а^А
(а) х(ап) лежит в минимальном идеале из ГC1(С*));
(bjI Im a" = {sou1: O^.i^n—1}, где s0 —состояние, не-
неподвижное относительно С*;
(с) степень группы Сушкевича G(C) равна п.
Доказательство, (а) доказано выше. Для любого состояния
s автомата Ш. (С*) существует левый делитель 1ф\ некоторого
слова из С, такой, что SqI = s, и для некоторой степени буквы а,
скажем ak, будет lak e С (так как С—полный префиксный
код). Поскольку ап лежит в С, получаем 0 ^ k < п и san =
— sola" = suan~k. Это доказывает включение слева направо в
равенстве (Ь); обратное включение очевидно. Если s^^s^a1,
где 0^/^/^я—1, то soai+n-1 = soan = s0, т. е. s'+^eC.
Так как и"еС, получаем а/-'еС*, откуда i = j. Таким обра-
образом, Im an содержит п элементов, т. е. степень группы подстано-
подстановок О (С) есть п. □
Чтобы установить одно характеристическое свойство (вклю-
(включающее утверждение, обратное к следствию 6.10) моноидов
М(С*), где С — конечный полный бипрефиксный код, введем
Определение 6.12. Конечный моноид М называется ниль-про-
стым, если существует такое целое k > 0, что для любого х е М,
284 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
хф 1, элемент xk лежит в минимальном идеале из М. Наимень-
Наименьшее целое k с таким свойством называется глубиной моноида М.
Таким образом, если С — конечный полный бипрефиксный
код, то М(С*) ниль-прост. Другой вариант определения ниль-
простого моноида доставляет
Предложение 6.13. Пусть М — конечный моноид. Следующие
условия равносильны:
(a) М ниль-прост;
(b) группа обратимых элементов из М тривиальна, а все
идемпотенты из М, кроме 1, лежат в минимальном идеале ').
Доказательство. То, что (а) влечет (Ь), вытекает непосред-
непосредственно из определения 6.12. Обратно, если М удовлетворяет
(Ь), пусть 5 = М\{1} и х е Sk. Тогда x = sls2 ... sk, где
Si е 5 A ^ i ^ k). Если k превосходит порядок М, то найдутся
i, j, I ^ i <C / ^ k, такие, что S|S2... Si = (siSi ... Sj)s,+i ... sj.
Далее, для некоторого / элемент е = (s/+! ... sy)' является
идемпотентом из минимального идеала / моноида М. Равенство
Sis2... si= (sis2... si) ■ (Si+i... s/)' = (sis2.. .st)e показывает,
что SiS2 ... s; e /, откуда x = SiS2 ... sft e /. П
Замечание. Допустим, что М есть ниль-простой конечный
моноид с минимальным идеалом / и глубиной k. Пусть элемен-
элементы Х\, Х2 s М\1 связаны отношением М, т. е. х\ = Хч.и, x<i = X\V.
Если ииф\, то (uv)k^I; отсюда вытекает, что х.% = x2uv =
== x2(uv)ke. I, что противоречит условию х2 ф I. Поэтому uv= 1,
откуда и = v = 1 и Х\ = х2. Симметричное доказательство по-
показывает, что отношение 3? и, следовательно-, отношение 3) сов-
совпадают на М\1 с равенством.
Доказательства двух следующих теорем основаны на одном
классическом результате о цепях Маркова, который мы здесь
независимо разъясним. Напомним (гл. 6, предложение 4.8 и
лемма 4.9), что для данного рационального префиксного кода
С над алфавитом А и данного распределения вероятностей л
на А
(a) рекуррентное событие (С*, л) возвратно (т. е. п(С)= 1),
если и только если код С полон;
(b) средняя длина .1 (С) = Yjw <=c^w)n (w) конечна, когда С
полон, причем А,(С) = л(Р), где Р — множество всех собствен-
■ ных левых делителей слов из С. Эти свойства будут использо-
использованы при доказательстве теорем 6.14 и 6.15.
') Наиболее ясное представление о строении конечного ниль-простого
моноида М дает следующее условие, равносильное (как нетрудно доказать)
условию (b): S = Af\{l} есть полугруппа, содержащая ицеал /, являющийся
вполне простой полугруппой, факторполугруппа Риса по которому S/I ниль-
потентна. — Прим. pea.
6. Конечные полные бипрефиксные коды 285
Теорема 6.14 (Шютценберже [1965а]). Пусть С — рациональ-
рациональный полный префиксный код над алфавитом А, а я— произволь-
произвольное распределение вероятностей на А. Следующие условия рав-
равносильны:
(a) С — бипрефиксный код;
(b) Я(С)= d°G(C), где d°G(C) обозначает степень группы
Сушкевича кода С.
(Следствие 6.11 утверждает, что (а) влечет (Ь), когда С
конечен.)
Теорема 6.15 (Перрен [1975]). Пусть С — конечный полный
префиксный код. С будет бипрефиксным, если и только если
моноид М(С*) ниль-прост.
Цепь Маркова — это множество 5= {si, S2, ..., sm}, назы-
называемое множеством состояний цепи, вместе с распределениями
вероятностей р\, pi, ..., pm на 5. Таким образом, р,- есть функ-
функция из 5 в [0, 1], и если мы обозначим pi(sj) через рц, то полу-
получим ^E^=1Pi/=l- Теория марковских цепей изучает пошаговый
переход заданной системы из одного состояния в другое, а рц
представляет собой вероятность перехода системы из состояния
si в состояние S/ за один шаг. Формулы
индуктивно (по п) определяют вероятность перехода системы
из состояния Si в состояние S/ за п шагов. Если мы обозначим
через f(/P вероятность того, что система, отправляясь из s,-,
впервые достигнет состояния s/ на п-м шаге, то
Последняя формула фактически позволяет эффективно вычис-
вычислять значения /(("; исходя из вероятностей перехода. Можно
показать, что для любого i, I ^ i ^ m, мы имеем 2jn=i ^н^ 1
(см. гл. 6, предложение 4.6). Распространяя терминологию, ис-
использованную для рекуррентных событий, мы назовем состоя-
состояние Si возвратным, если /С„=1 f\1)== 1. и невозвратным, если
Х1Г=1^и)<;1- Кроме того, число ht — YZ=\nf(u называется
средним временем возвращения для si.
Цепь Маркова называется транзитивной (или неприводи-
неприводимой), если для любых двух состояний Si, s/ существует такое
г ГЭ5 0, что p^[J > 0. Если транзитивная цепь Маркова имеет
хотя бы одно возвратное состояние с конечным временем воз-
286 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
вращения, то все состояния обладают теми же свойствами (этот
факт и другие результаты о марковских цепях см. в книге Фел-
лера [1957, гл. 15]).
Пример 6.16. Пусть 51— конечный Л "-автомат и л — распре-
распределение вероятностей на Л. Множество 5 состояний автомата
51 можно превратить в цепь Маркова, положив
рц =» Yu я (а) Для любых S;, s, e 5.
В случае транзитивного Л*-автомата 51 стабилизатор С* дан-
данного состояния s,- порождается рациональным полным префикс-
префиксным кодом. Поэтому рекуррентное событие (С*, л) возвратно и
Я(С) = £Г=1 /(Л)== 1- Следовательно, состояние s,-, рассматри-
рассматриваемое как состояние соответствующей цепи Маркова, также
возвратно. Кроме того, средняя длина к (С) = £шsс/(да)л (w)
конечна и совпадает со средним временем возвращения А,; для St.
Теорема о стационарном распределении для транзитивных
марковских цепей утверждает, что если любое состояние воз-
возвратно с конечным средним временем возвращения, то сущест-
существует единственное распределение {«;} на S, такое, что
т
Ui=Yj ЩРы Для любого /, 1 ^i^т.
Это распределение, задаваемое равенствами щ = 1Дг
A ^ i^.m), называется стационарным распределением данной
цепи. Применение этой теоремы к примеру 6.16 дает
Следствие 6.17. Пусть 51 — конечный транзитивный А*-авто-
мат, а я распределение вероятностей на А. Существует един-
единственное распределение вероятностей а на множестве S состоя-
состояний автомата St, такое, что
^ {${) = Z Z <* («ft) n (a).
skc=S ae=A, ska=st
Распределение а, называемое стационарным распределением на
St, дается равенствами G(si) = l/Xl, где \{ — средняя длина пол-
полного префиксного кода С{, такого, что C\ = {w<^ A": siw = sl\.
Для произвольного конечного Л*-автомата 51 обозначим че-
через Ь множество всех минимальных образов из St, т. е. образов
элементов минимального ранга из моноида переходов Т E1).
Если Imaye=5^ и а&А, определим (]mw)a как lm(wa). Это
действие алфавита Л на & определяет Л*-автомат 59, называе-
называемый автоматом минимальных образов автомата St.
6. Конечные полные бипрефиксные коды 287
Лемма 6.18. Пусть 21— конечный транзитивный Л*-автомат,
я— распределение вероятностей на А, п — число состояний в
каждом минимальном образе из 21. Стационарные распределе-
распределения о на % и % на автомате Э минимальных образов') из 21 свя-
связаны равенствами
F.18.1) ct(s)=— 2_j t(^) для любого состояния s из 21.
Доказательство. Если 5 обозначает множество состояний
автомата 21, & — множество минимальных образов из 21, х — ста-
стационарное распределение на Э, то мы покажем, что функция сг,
определенная формулой F.18.1), совпадает со стационарным
распределением на 21. Имеем
z «о-! zrz^wi
ssS seSVss/ / Ie=y
1^3
Это показывает, что сг — распределение вероятностей на 5. Да-
Далее, для каждого si e 5 вычисляем
т(/))я(о) =
Ая(а)
f
В силу следствия 6.17 функция сг, определенная формулой
F.18.1), есть стационарное распределение на 21. □
Доказательство теоремы 6.14. Если С — рациональный пол-
полный бипрефиксный код, то, согласно следствию 6.7, состояние s0
из 51 (С*), неподвижное относительно С*, лежит во всех мини-
минимальных образах из 2t(C*). По лемме 6.18 имеем a(so) = (l/n) X
X Z!SoS/Т(Л = 1/«. где п = d°G(C). С другой стороны, в силу
следствия 6.17, cr(so)= 1Д(С). Это дает X{C) = d°G(C). Об-
Обратно, к(С)=п влечет XSoS/T(/)= 1, показывая, что sQ лежит
во всех минимальных образах. Из следствия 6.7 вытекает, что
С — бипрефиксный код. Этим завершается доказательство тео-
теоремы 6.14. □
Для данного конечного множества А обозначим через Z [А]
кольцо многочленов над А с коэффициентами из Z и назовем
') Существование т обеспечено транзитивностью Э, которая следует из
транзитивности Я. — Прим. перев.
288 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
фактор кольцо Z [A]/(l— Ха€=л а) кольца Z [А] по идеалу, порож-
порожденному многочленом 1 — Тлк=Аа> вероятностным полиномиаль-
полиномиальным кольцом над А. Если А = {ait аг, ..., ат}, то отображение
Ф из А в Z[ai,a2, ..., ат-\], определяемое равенствами ср(а«) =
= at для всех i, I < i < m, и ф(ат) = 1 — Z*=i а* единствен-
единственным образом продолжается до кольцевого гомоморфизма (так-
(также обозначаемого ф) из Z[A) на Z[ab ai, ..., ат-{\. Ядром ф
(л vm "\
служит идеал \} — 2^=1 £у> и, следовательно, вероятностное
полиномиальное кольцо над А изоморфно кольцу многочленов
от меньшего на единицу числа переменных. Поле частных
кольца Z[A]/(l — YjaeAa) называется вероятностным полем
множества А и обозначается посредством Р(А). Рассмотрение
этого поля представляет интерес в следующем аспекте. Пусть
L — рациональный язык из А*; тогда его характеристический
степенной ряд от коммутирующих переменных а\, ач, ..., ат
может быть записан в виде рациональной дроби, скажем
f(au a2, ..., ат) .
g(au a2, ..., ат) '
если для данного распределения вероятностей л на Л вероят-
вероятность n(L) конечна, мы будем иметь
~(j\ — J(n (a')- п (°г) я (ат))
К >~ g (я (а,), я (а2) л(ат)) '
и в этом последнем выражении / и g можно заменить произ-
произвольными двумя многочленами fi и gi, такими, что fi = f, gi s= g
по модулю \l—У]Г=1аг)- Иными словами, любой рациональ-
рациональный язык L, такой, что n(L) конечна для некоторого распреде-
распределения вероятностей я на А, может быть представлен в вероят-
вероятностном поле Р(А) дробью
С1 [f (аи а2 ат)]
Cl[g(aua2, ...,am)]'
где символ С1 указывает класс по модулю^1 —Хг=1
Теорема о стационарном распределении для транзитивного
А*-автомата % записанная в терминах вероятностного поля
Р(А), утверждает существование и единственность отображения
р множества состояний 5 автомата 31 в Р(А), такого, что
SsssP^)^1 и Z/fl..s, аелР(')Х(а) = Р(«) Для любого ssS.
Фактически мы имеем p(s;)= 1/С/(Х,), где ^ = £Ш(=С l{w)w
(Ci — код, порождающий стабилизатор состояния Si). Назовем
р формальным стационарным распределением на Я. Эта терми»
нология используется в следующей лемме.
в. Конечные полные бипрефиксные коды 289
Лемма 6.19. Пусть Э—транзитивный А*-автомат с множест-
множеством состояний S. Если существует такое k > О, что для любого
слова w длины ^ k множество Sw одноэлементно, то значения
формального стационарного распределения на 59 лежат в ве-
вероятностном полиномиальном кольце'Z[A]/(\. — 2ае=да)-
Доказательство. Множество Fs = {w s Aft: Sm>={s}} ко-
конечно и потому имеет представление %(FS) в вероятностном по-
полиномиальном кольце. Мы просто проверим, что отображение
Sh~>%(Fs) удовлетворяет обоим условиям, определяющим фор-
формальное стационарное распределение р. Имеем:
Е %{Ft)x{a)= S %(Fta) = x(AFs) = X(A)%(Fs) = X(Fs)- □■
ta=s ta—s
a^A a^A
Доказательство теоремы 6.15. Учитывая следствие 6.10, оста-
остается показать, что конечный полный префиксный код С, для ко-
которого моноид М(С*) ниль-прост, является бипрефиксным.
Л*-автомат Э минимальных образов из 31 (С*) транзитивен и
удовлетворяет требованиям леммы 6.19 при k, равном глубине
моноида М(С*). Отсюда следует, что формальное стационарное
распределение pi на Э принимает значения в 7[Л]/A — £аезд а)-
По лемме 6.18 формальное стационарное распределение р на
91 (С*) удовлетворяет равенству
Следовательно, в кольце Z\A]j{\ — £ае-Аа)' изоморфном
кольцу многочленов, мы имеем С/(Я, (С)) • X!5oe/Pi(^)JS= n- От-
Отсюда следует, что 2Soe/Pi (Л = ^> гДе d&Z, d=f=Q. Поэтому
для произвольного распределения вероятностей я на Л соответ-
соответствующее стационарное распределение т на Э удовлетворяет
равенству £Sos7т (/) = d. Но поскольку SSoe/t(/) ^ 1, полу-
получаем 2^ое=/т(^)= '» откуда в свою очередь следует, что sq
лежит во всех минимальных образах. В силу следствия 6.7 код
С бипрефиксный. □
Изложенные здесь доказательства теорем 6.14 и 6.15 при-
принадлежат Перрену [1975]'). Его работа содержит также даль-
дальнейшие результаты о природе групп Сушкевича конечных би-
префиксных кодов.
*) Существует и чисто алгебраическое доказательство теоремы 6.15. Как
сообщил автвр, оио содержится в гл. 5 книги Берстеля, Перрена и Шютцен-
берже [1985°]. —Прим. ред.
Ю Зак. 474
290 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
Библиографические замечания
Большинство результатов, содержащихся в данной главе, может быть
найдено в докторских диссертациях Перро [1972] и Перрена [1975]. Некото-
Некоторые из них были опубликованы с важными усилениями; например, Перро
[1975] детально исследовал ®-класс Л (Я) автомата Я (определение 2.3).
Результат о центре группы G(C) (следствие 4.14) см. в работе Перро [1974].
Что касается групп Ь(С) в случае конечных бипрефиксных кодов С, то мы
отсылаем читателя к статье Перрена [1977а]. Результаты из § 5 принадлежат
Перрену [1970] (см. также Перреи, Перро [1969]). Дальнейшие результаты —
о сопряженных кодах и о кодах, допускающих изоморфные минимальные
автоматы, — можно найти у Перрена [1972] и Лассеза [1973].
Вопросы соответствия между коигруэнциями и разложениями кодов не-
непосредственно связаны с изучением конгруэнции на Л*-автоматах Я, обла-
обладающих тем свойством, что все индуцированные автоматы (в смысле § 3)
являются группами подстановок. Этот последний вопрос связан в свою оче-
очередь с исследованием группы автоморфизмов автомата Я; см. Дойсен [1966],
Уиг [1962], Барнз [1970], Перрен, Перро [1971] и Перро [1975]. Относительно
автоматов, свободных от конгруэнции, см. Тьеррен [1970].
Вероятностные методы для исследования алгебраических свойств кодов
ввел Шютцеиберже [1961а]. В сочетании с техникой степенных рядов они
предоставляют элегантные и эффективные инструменты; см, например, Пер-
Перреи [1977b].
В последние годы появились методы исследования кодов (не обязательно
префиксных), существенным образом основанные на понятии моноидов «одно-
«однозначных» отношений (Сезари [1972, 1974]). Снова одна из задач (как объ-
объяснено в тексте) состоит в том, чтобы найти разложения кодов из некото-
некоторых семейств и неразложимые коды. Наиболее важные пока результаты,
не включенные в книгу, — это существование непрефиксиых, несуффиксиых
неразложимых конечных кодов (Сезари [1972]) и существование префиксных
иесуффиксных иесинхронизироваиных конечных кодов (Перрен [1975]).
Ниль-простой моноид глубины 1 — это вполне простая полугруппа с при-
присоединенной единицей. Соответствующий конечный полный бипрефиксный код
(см. теорему 6.15) называется элементарным бипрефиксным кодом. Конструк-
Конструкция всех элементарных бипрефиксных кодов иа языке специальных направлен-
направленных графов, называемых командными турнирами, была дана Лаллемаиом и
С. Рисом [1981°]. Ее теоретико-графовое обобщение для всех конечных пол-
полных бипрефиксных кодов было получено Лаллемаиом и Перреном [1981°]. Из-
Изложенный в тексте алгоритм Сезари был усовершенствован до алгоритма,
дающего каждый бипрефиксный код единственный раз (Сезари [1980°]).
Упражнения
1. Пусть А =а= {a, b), S = {0, 1 п — 1} н d — делитель числа п. Для
любого ieS обозначим через гаA) остаток от деления i на d. Определим
на S структуру Л*-автомата &(d, п), положив ia = 1+ 1 (mod n), ib =
,= п — d + r<i(l) + 1 (mod n) для любого i&S. Тогда стабилизатор состояния 0
порождается конечным полным префиксным кодом С, и М(С*) является ма-
малым моноидом, удовлетворяющим условию £) — 91. Обратно, если для ко-
конечного префиксного кода СS А* моноид М(С*) является малым и удовле-
удовлетворяет условию SD — 52, то Я (С*) изоморфен автомату Я(й, п) для неко-
некоторого п и некоторого его делителя d. Найти неразложимые коды этого типа
(Лаллеман [1976]).
2. Пусть А={а, Ъ), S = {0, 1, ..., п — 1}. Предположим, что ia —
= i + l(modrt). Как следует определить действие 6 на S, чтобы заведомо
стабилизатор С* состояния 0 порождался конечным префиксным кодом С,
Упражнения 291
для которого М(С*)—клиффордов малый моноид? Показать, в частности,
что класс отношения Кег о, содержащий 0 и множество п—Im&(modn)
должны составлять разложение группы Zn. Используя упр. 8 из гл. 3, вы-
вывести, что коды С с указанными свойствами находятся во взаимно однознач-
однозначном соответствии с цепями делителей числа п (Лаллеман [1978]).
3. Вывести предложение 1.2 из его следствия 1.3.
4. Пусть Я — моногенный Л*-автомат, So — множество порождающих его
состояний, Д(Я)—его 0-класс. Для любого идемпотента ее Ж (Я) макси-
максимальная подгруппа Ge действует транзитивно на множестве S(e) = So П Irn в.
Все группы подстановок (S(e), Ge), соответствующие идемпотентам ее®(SI),
подобны. Это позволяет определить понятие группы Сушкевича для моноген-
моногенного автомата (Перро [1975]).
б. Пусть С = {a3, a2ba, агЬг, abt Ъаг, ЬаЪа, ЬаЬг, Ъ2а, б3}. Описать строе-
строение моноида М(С*) (он является вполне простой полугруппой с присоединен-
присоединенной единицей). Будет ли С разложим? (Шютценберже.)
6. (а) Пусть С s А* — конечный префиксный код, такой, что М(С*) —
инверсная полугруппа. Тогда либо С = А", либо С ■= Yn ® В, где В — непол-
неполный префиксный код, и группа Сушкевича G(C) является циклической по-
порядка п (во втором случае использовать лемму 3.8 и максимальное разло-
разложение кода С).
(b) Пусть А = {ait а% ап}; положим At = Л\{а,} и С ■= А\А%... Ап.
Тогда М(С*)—инверсная полугруппа, содержащая лишь циклические под-
подгруппы.
(c) Пусть А = {а, Ь, с} и С = {а3, аЬ, агЬс, Ьса, bcbc, cb, саг, cabc).
Тогда М(С*)—инверсная полугруппа, содержащая в качестве подгруппы
группу 9*3- (По поводу (а) и (Ь) см. Кинан и Лаллеман [1974]; утвержде-
утверждение (с) принадлежит Ройтенауэру [1977], который обнаружил, что коды по-
подобного типа играют важную роль в изучении рациональных степенных
рядов.)
7. Пусть Я — транзитивный Л*-автомат. Существует минимальная кон-
конгруэнция y на Я, такая, что Я/y — групповой автомат. Группа Т(%/у) есть
факторгруппа группы G(?t), и она изоморфна б(Я) тогда и только тогда,
когда Д(Я) имеет единственный 3?-класс. (Если Я — минимальный автомат,
распознающий С* для конечного префиксного кода С, то Т(Я/у)—цикличе-
Т(Я/у)—циклическая группа, порядок которой равен наибольшему общему делителю длин
слов из С.) (Перро [1971].)
8. Говорят, что коигруэиция р на Л*-автомате Я индуцирует группы, если
для любого t из множества состояний S индуцированный автомат Яр(^) яв-
является групповым автоматом (т.е. Mp(t) действует на р(?) подстановками).
Пусть К — подгруппа группы автоморфизмов Aut Я автомата Я. Определим
отношение р (К) на S, положив (s, S2)ep(K), если S\ = a(s2) для неко-
некоторого а е К. Тогда р (К) — конгруэнция на Я. На моногенном автомате Я
любая такая конгруэнция индуцирует группы (Дойсен [1967], Перро [1975]).
9. Конечная группа G тогда и только тогда будет ST-группой, когда в О
любая подгруппа Н простого порядка нормальна. Любая подгруппа ST-rpyn-
пы есть Sf-rpyiina. Декартово произведение Gi X Q% является ST-группой
тогда и только тогда, когда Gi и G2 суть 57"-группы и для любого простого р,
делящего порядки обеих групп G\ и О2, все элементы порядка р из О, и
G% лежат в центрах групп Gi и Gi. Группа, заданная копредставлением
(а, 6; а2" = 1, б2 = а\ Ь~1аЬ •= а-»>
и введенная Коксетером, является S7"-rpynnoft порядка 4и и имеет цикличе-
циклический центр порядка 2. Оиа ие может быть группой Сушкевича никакого ко-
конечного префиксного кода (Перро [1974]).
10. Пусть С & А* — рациональный код (не обязательно префиксный).
Если С максимален (т.е. С*[\А*и)А*Ф0 для любого юеЛ*), то синтак-
синтаксический моноид М(С*) имеет минимальный идеал D, не сводящийся к нулю.
Если ф; А*-*-М(С*) —синтаксический гомоморфизм, то в D существует ма-
10*
292 Гл. 8. Рациональные префиксные коды
кснмальная подгруппа G, для которой ср(С*) П G ф 0. Тогда множество
И = ф(С*) ПС? является подгруппой в G, и G имеет точное представление
подстановками на множестве правых смежных классов по Н. Группа подста-
подстановок (GIH, G) называется группой Сушкевича кода С. В случае когда
С — префиксный код, (О/Я, О) подобна группе подстановок G(C) из опре-
определения 2.8 (Боэ [1976]).
П. Существует лишь конечное число конечных полных бипрефиксных ко-
кодов данной степени (или средней длины) иад данным алфавитом А Если
card А = 2, то существует три таких кода степени 3.
12. Пусть С = А* — полный бипрефиксный рациональный код. Слово
т е А* называется допустимым словом для С, если оно удовлетворяет усло-
условиям (а) и (Ь) определения 6.1. Введем подмножества Ro, Lo, Ri, Li из А*,
положив
{Cm~l)m fl tn{m"xC) = Lom = mR0,
Определим в терминах степенных рядов множество С(т) формулой
С(т) = С — т {т'1С) — Urn + т + Li*
Тогда С(т)—полный бипрефиксиый рациональный код, имеющий ту же
среднюю длину, что и С. При А = {а, о) этот метод дает три рациональных
полных бипрефиксиых кода средней длины 2, для каждого из которых син-
синтаксическим моноидом служит Z2 (Перрен [1975]).
9 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ
ЯЗЫКИ
Мы видели, что рациональные языки оказываются носите-
носителями рациональных степенных рядов с коэффициентами из №.
Аналогично, контекстно-свободные языки являются носителями
алгебраических степенных рядов (см. ниже определение 4.5);
поэтому мы называем их алгебраическими языками. Поскольку
имеется несколько превосходных изложений теории контекстно-
свободных языков (С. Гинзбург [1966], Бут [1967], Гросс, Лан-
тен [1967], Арбиб [1969], Хопкрофт, Ульман [1969]1)), мы не
пытались дать ее общий обзор в этой главе. Мы рассматриваем
лишь основные свойства замкнутости контекстно-свободных
языков, используя классические методы теории грамматик
(§ 1—3), и показываем связи с теорией степенных рядов от не-
коммутирующих переменных (§4). В § 5 мы даем набросок
некоторых элементарных результатов из более поздней теории
абстрактных семейств языков (AFL — abstract families of lan-
languages). Всюду в этой главе нашей главной задачей является
дальнейший анализ рациональных языков в рамках более об-
общих иерархий.
1. Контекстно-свободные грамматики,
примеры, редукции
Напомним, что грамматика Г = (У, А, я) называется кон-
контекстно-свободной (гл. 5, определение 4.18), если любое пра-
правило в я имеет вид а-ь-х, где as V~^\A, xe V*. Множество А
называется терминальным (или основным) алфавитом, а V\A—
вспомогательным алфавитом грамматики Г. Элементы из V\A
систематически обозначаются греческими буквами. Для произ-
произвольного сге^ХЛ положим L(T, a)={w&A*: a=$-w}\ сим-
символ =>■ читается «порождает» и означает, что существуют
Zo, zu ..., zm e V*, такие, что сг = го, w = zm и Zt = ras, zi+\ =»
= rxs для некоторого правила а^-х из я. Язык L называется
контекстно-свободным или алгебраическим, если существует
контекстно-свободная грамматика T = (V, А, я) и символ сге
') См. также А. В. Гладкий и И. А. Мельчук [1969*], А. В. Гладкий
[1973*], В М. Глушков, Г. Е. Цейтлин, Е. Л. Ющеико [1978*]. — Прим. ред.
294 Гл. 9. Алгебраические явыки
е V\A, такие, что L = L(r,a). Иногда удобно порождение сло-
слова ауе1(Г, а) представить наглядно следующим образом. Каж-
Каждое правило a->uiU2 ... vn (где и,-е V) можно представить эле-
элементарным деревом
Дерево вывода о =$- w строится из следующих друг за другом
элементарных деревьев, представляющих правила, встречаю-
встречающиеся в выводе а => w.
Примеры 1.1. (а) А= {а, Ь, с}; 1/= {а} [] А; п= {о^-аоа,
a^-bab, а-^-с}. Получаем L(T, o)== {wcw: w <= {a, b}*, a w —
зеркальный образ слова w}. Дерево вывода а =$• abcba имеет
вид
(b) А = {а, Ь); V= {a, a} \j A; n={a^aa, a^ab}. Воз-
Возможны лишь выводы вида a^-aa^-aab -*■ ... -*-aabn. Следо-
Следовательно, Ь(Г, а) = 0.
(c) А = {а, а}; V = {сг, т} U^; я = {сг^-то, сг^-т, х-^-ааа,
т-vl}. Язык L(T,a) представляет правильные расстановки ско-
скобок, если а означает (, а а означает). См. гл. 1, пример 4.5.
Обычно несколько правил а—>- bmi, a^-w^, ..., o^-wn из я
записывают в виде a.-*- W\ + w^ + ... + wn- В дальнейших при-
примерах мы будем следовать этому соглашению.
(d) А = {аи а2, ..., ап, аи а2, ..., ап}\ V = {а, ть Та, ...
..., тл} [} А, а л задается формулами а->-т;а-j-т;, т«->■ а,-аа,-+ 1
для любого i, I ^ t ^ п. (Пример (с) выше получается при
п= 1.) Язык L(T, а) называется ограниченным языком Дика
над 2л буквами. Он совпадает с содержащим 1 классом кон-
конгруэнции на А*, порожденной всеми парами (aiiii, 1), 1 ^ i ^ п.
Содержащий 1 класс конгруэнции на А*, порожденной парами
{am, 1) и {uiui, 1), называется языком Дика над 2я буквами.
Порождающая язык Дика грамматика состоит из алфавитов
А — {cti, ar. 1 ^ ;" ^ п}, V^A = {a, xit xu p{, pr. I ^ i < «} и
/. Контекстно-свободные грамматики 295
правил
+ + +* + f/. Pi ~
т; р<->т,р,+
Для 1<л^л, для 1^г
для 1 < i < п; 1< / < га; 1 < / < п,
(e) А = {а0, а\, ..., ап}\ V='{o}\jA; я состоит из правил
а-*-а0 + aio-{- а2о2 + ... + а„ст". Язык L(T, cr) называется язьг-
кол Лукасевича над «+ 1 буквами. Если определить гомо-
гомоморфизм <р: /4*->(Z, +), положив ф(а,) = г'—U т0 читатель
может проверить справедливость равенства L(F, а)={ше/1*:
ф(ш) = — 1 и ф(ы)^0 для любого иф\, такого, что w — uv
при некотором v}. Этот язык используется для устранения не-
неоднозначности при выполнении последовательности i-арных опе-
операций at (см. упр. 1).
(f) А = {а, Ь); V = {о, а}[}А; a-*aab, а->ааЬ+1. Язы-
Языком, порождаемым а, служит L = {anbn: д>0}. Пусть 91 =
= (S, /)—конечный Л*-автомат. Так как S конечно, найдутся
целые числа m и п, тфп, такие, что f(s, am) = f(s, а").'Это
влечет f(s, ambn) = f(s, anbn), и если бы L распознавался авто-
автоматом 91, то вместе с anb" он содержал бы и ambn. Следова-
Следовательно, L не является рациональным языком. Этим устанавли-
устанавливается строгость включения Э?г <= 2?% в иерархии Хомского.
В следующих двух утверждениях мы рассматриваем связи
между контекстно-свободными языками в Л* и в А+.
Лемма 1.2. Существует алгоритм, позволяющий для произ-
произвольной контекстно-свободной грамматики T = (V, А, я) и про-
произвольного а е V\A узнать, будет ли leZ.(r, a).
Доказательство. Для данной Г = (У, А, я) определим мно-
множества Fi = {ae V\A: a-> 1 принадлежит я},
Vl+l = Vt и{аеУ\Д:а->ю принадлежит я, шеГ,},
Поскольку Vi <=; УХЛ для каждого г, имеется лишь конечное
число множеств V,-. Если п — первое среди таких i, что У; =
= Vi+u то легко увидеть, что V» = {а е V\A: a => 1}. Таким
образом, let(r, a), если и только если иеУ„. □
Предложение 1.3. Для любого алгебраического языка L^A*
существует контекстно-свободная грамматика T — (V, А, я) без
правил вида а->1, такая, что L(T, о) — L\{\} для некоторого
зе V\A.
Доказательство. Допустим, что L порождается грамматикой
Го = (У, А, я0), отправляясь от аб А/1, т. е. L = \w^. А''.
296 Гл. 9. Алгебраические языки
] Мы построим грамматику T = (V, А, я), используя
г * i
множество У„=\аеУ \Л: а=^1 j из предыдущей леммы.
Именно, правило а->и мы включим в п тогда и только тогда,
По
когда иф\, существует такое »еУ, что а ->ш, ни полу-
получается из w вычеркиванием некоторого числа (быть может, рав-
равного нулю) вхождений элементов р е Vn. Следовательно, если
а —*■ до и до содержит т вхождений букв из Vn, то мы получим
2т правил а—* и в случае w ф. V*n и 2т—1 правил в случае
w е= V*n. Покажем, что L (Г, а) = L\{1}.
, , т, л Яо
(а) Если а—*-и, то по определению л мы имеем а—>до,
где w = v\V2 ... vr, u = vtlVi2 ... vik, причем подпосле-
подпоследовательность iu /2, ..., ik последовательности 1, 2, ..., г та-
кова, что vt=>\ для любого 1ф1\, 12, ..., 1*. Из а —*■ до =>- ы
Яо
выводим а=>ы. Следовательно, /-(Г, a)^L и, так как 1^
л, а), получаем L(F, a)s L\{1}.
(b) Чтобы доказать включение L\{l}sL(F, a), покажем,
Ло Л
что а=£-ш, где хюф\, влечет a=s-w, применяя индукцию по
Ло Ло Л
длине вывода а=*-до. Ьсли а —*■ до, то а —*■ w по определению
Яо
п. Пусть теперь вывод а =»■ до имеет длину m > 1. Тогда
Ло
Яо
a -> OjOjj ... vk=$*w для некоторых оь о2» •••, Vk^V, при-
Яо
чем w можно записать в виде w = U\U% ... Uk, где У4=^ы4 для
я
i = 1, 2 &. В случае щ ф 1 мы имеем v{ =>■ щ по предполо-
предположению индукции. В случае же щ = 1 получаем Vj e У„. Отсюда
следует, чтоаЛо(|о,2 ... otj, где tb i2, ,.., U — последователь-
последовательность индексов i, для которых и1ф\ в выражении U\U2 ... ы*.
я я
Таким образом, о—>o<1t;i2 ... о4 а>И/,к<2 • • • «^ = до. D
Замечание 1.4. Если контекстно-свободная грамматика Го =
= (У, А, ло) содержит правило вида a —> р, где a, p e У\Л,
то можно удалить это правило, заменив его правилами a-*-w
Ло л,
для всех Ye^.\A, и>фУ\А, таких, 4toP=^y~>^- Оставив
все прочие правила без изменений, мы получим грамматику
Ti=(V, А, щ), для которой L(T\, o) = L(T0, а) при любом
о е V\A. Индукция по числу правил вида а -♦ р в Го пока-
показывает, что L(To, о) = Ь(Г, а), где Г — некоторая грамматика
без правил а —> р.
/. Контекстно-свободные грамматики 297
Еще одна полезная редукция для контекстно-свободных
грамматик использует понятие связности. Грамматика Г =
= {V, Л, л) называется а-связной для некоторого оеЛД,
если
(a) для любого ае У\Л найдутся и, »еД*, такие, что
я
o^-uav;
(b) для любого аеУЧД, а фа, найдется we. А*, такое,
я
что a=>w.
Предложение 1.5. Для любого алгебраического языка L<= Л*
существует а-связная контекстно-свободная грамматика Г =»
= (V, А, п), такая, что L = L(T, о).
Доказательство. Предположим, что L порождается грамма»
тикой Го = (V, А, по), отправляясь отае V\A.
(a) Образуем следующие подмножества из У^\А: Hi—{а}
и для ( ^ 1
f Яо
Яг+1*= Н{ U |аеУ \Л: р—*uav для некоторых
и, v s V, р е Яг}.
Обозначив через /и первое среди чисел /, таких, что #/+i = Я/,
{Яо "J
aeV\/4: a=>uavf. Взяв
у1 = ЛиЯт, л, = {а-^*ш: ©eVt}, положим Ti = {Vu A, nxf.
Простое упражнение показывает, что £(Г0, a) = L(Tu a).
(b) Для устранения тех вспомогательных символов из Гь
которые не порождают терминальные слова, образуем К\ =
= {a e V\ \ Л: а —* ш для некоторого до е Л*} и для t ^ 1
Д"г+1 = ^С<и(а^1/1 \А: а^> w для некоторого w е=(Л U^)*}.
Обозначив через m первое среди чисел /, таких, что Ki+\ = К/,
( я,
мы получим ^Ст = \ае1/'1\Л: a=>w для некоторого до^Л*}.
Взяв V = A\JKm[){o} и я={аДш: а, ше V*}, положим Г =
= (V, А, л). Как и выше, можно проверить равенство L(Ti, a) =
= L(r, a). D
Предыдущее доказательство оправдывает следующий графи-
графический способ построения Г исходя из Го. Определим граф грам-
грамматики Го как ориентированный граф, вершинами которого слу-
служат вспомогательные символы и такие слова шеА*, что
Яо
а —* w, а (непомеченные) дуги суть (a, P) или (а, до)' во всех
случаях, когда a->" ti$v для некоторых и, v e V* или соответ-
соответственно а -> до. Грамматика Г получается из Го удалением тех
298 Гл. 9. Алгебраические языки
символов из V\A, которые не лежат ни на каком пути, ведущем
от а к словам из А*, а также удалением правил, содержащих
эти символы.
Пример. Пусть Го задается правилами a-^-aaba + aba,
a-+aab + &PY + а, р->арс. Графы грамматик Го и Г представ-
представлены рисунками A.5.1) и A.5.2) соответственно. Г задается пра-
правилами o-+aaba -f- aba, a -*■ aab -f- а.
а сг
A.6.1) A.5.2)
Пусть дана контекстно-свободная грамматика T = (V, А, я)\
Символ аб!/\Л называется циклическим1) символом, «если
я
uav для некоторых и,ое V*, где иоф\.
Предложение 1.6. Если алгебраический язык L<=A* беско-
бесконечен, то L порождается некоторой связной контекстно-свобод-
контекстно-свободной грамматикой с циклическим символом. Обратно, если для
некоторой а-связной контекстно-свободной грамматики Г с ци-
циклическим символом и без правил вида а-> 1 язык L = L(T, о)
непуст, то он бесконечен.
Доказательство, (а) Пусть L — алгебраический язык, а Г =
= (V, А, л) — такая а-связная грамматика, что L == L(T, а). Со-
Согласно замечанию 1.4, можно предполагать, что Г ле содержит
правил вида а —*■ р, где а, ps V\A. Допустим, что Г не со-
содержит циклических символов. Докажем конечность L индук-
индукцией по мощности множества УХЛ. Если V\A = {а}, то все
я
правила имеют вид а —*■ хю, где w е А*, и потому L конечен.
Если V\A имеет мощность > 1, образуем множество
еУ \ A: o=>uav для некоторых и, v е V', иьФ\ \.
л
Так как Г а-связна и не содержит правил вида а -> а, мно-
множество V непусто, причем а^ V. Далее, для любого aeF и
любого правила а ~> w слово w не содержит вхождений а. По-
Поэтому тройка Г/ = (У\{а}, А, я'), где п' состоит из всех пра-
') В оригинале embedding. Мы используем термин, принятый, например,
в книге А. В. Гладкого [1973*], — Прим. перев.
1. Контекстно-свободные грамматики 299
вил п, за исключением правил вида о —*■ w, есть контекстно-сво-
контекстно-свободная грамматика. Для каждого а е V построим а-связную
грамматику Ta = (Va, А, па), такую, что L(Ta, а)=£(Г", a).
Предположение индукции показывает, что языки Z.(Га, а) ко-
конечны. Поэтому L тоже конечен.
я
(Ь) Если Г имеет циклический символ а, т. е. а=^ы0ао0. где
я
^!, т0 а =>■ u{avi для некоторых ии а, е К*. Отсюда сле-
я
дует, что o=$~UiUoavoVi =>- ... =>«[Uo<zwot>i. В случае cr-связной Г
и непустого языка L(T,a) любой вспомогательный символ по-
порождает некоторое слово из Л*. Следовательно, существуют вы-
выводы, преобразующие щ, «о, a, vo, v\ в слова х, и, до, v, у е Л*
соответственно. Это показывает, что xunwvny e L для любого
neN. Если Г не содержит правил вида р->-1, то Uovo ф 1 влечет
uv ф 1, а последнее гарантирует, что никакие два слова вида
xunwvny не совпадают и, таким образом, L бесконечен. □
Следующий результат, иногда называемый «леммой-насосом»
(pumping lemma), является фактически вариантом предложения
1.6 и принадлежит Бар-Хиллелу, Перлзу и Шамиру [1961].
Предложение 1.7. Пусть L<^A* — алгебраический язык. Су-
Существует натуральное число n(L), такое, что любое слово z^L,
длина которого превосходит n(L), моокет быть записано в виде
z — xuwvy, где uv Ф 1 и xunwvny e L для всех п~^.\.
Доказательство. В силу предложения 1.3 существует грам-
грамматика Г = (У, Л, п) без правил вида а->1 и такая, что
L(T, a) = L\{\} для некоторого а е V\'A Если в Г вывод
(б): cr->o>i^>- ... ->до,--»- ... ->■ до«+*->- ... -»-(о таков, что до,- =
я л
= «icciWi, дог+й = «i2a0i, где o1=>2ft, то вывод а1=*-г4 (все шаги
в котором точно такие же, как в (б)) назовем подцепью вывода
(б). Положим /- = сагс1(У\Л) и будем рассматривать в данном
л
доказательстве лишь выводы a =s» со (сое V*) минимальной дли-
длины. Множество всех таких выводов, имеющих подцепи длины
^ г, конечно, и, значит, они порождают конечное множество
слов сое V*. Пусть n(L)—максимальная длина этих слов. Если
слово ге£ удовлетворяет неравенству l(z) > n(L), то длинней-
я я
шая подцепь вывода a=$-z, скажем сц^со,, имеет длину, пре-
превышающую г. Так как вспомогательных символов имеется
я я
только г, вывод al=^d)l содержит подцепь а=^ыоодо для некото-
некоторых ы0, vo еЕ V* и а е У\Л. Равенство uovo = 1 невозможно,
л ч
так как в противном случае, удаляя вывод <х=^а из a=^z, мы
пришли бы к противоречию с минимальностью длины вывода
800 Гл. 9. Алгебраические языки
я
a =$-z. Последний вывод, таким образом, содержит циклический
символ. Рассуждение, аналогичное части (Ь) доказательства
предложения 1.6, дает г = xuwvy, где uv ф 1 (поскольку нет
правил вида f5->l) и xunwvny^.L для всех п^\. П
Приложение 1.8. Язык L= {an': п^ 1} не является алгебраи-
алгебраическим. В самом деле, в противном случае при n2>n(L) мы
получили бы г = ап2 = xuwvy = (xwy) (uv) = akal, где xwy = ak,
uv = а1, откуда xumwvmy = akaml e L, т. е. k -\- ml было бы пол-
полным квадратом для любого т ^ 1. Однако для достаточно
больших чисел разность между их квадратами будет больше /.
Поэтому L не алгебраический язык.
Приложение 1.9. Допустим, что язык L = {anbnan: п ^ 1} —
алгебраический. Тогда для достаточно большого т имеем
ambmam = xuwvy, где uv Ф 1 и xunwv"y e L для всех п ^ 1. До-
Допустим, что л: = amb2 для некоторого z. Тогда xu2mwv2my e L
влечет xu2mwv2my = ambmam. Но l(xu2mwv2my) ^ /(х) + 2m ^
^3m+l, что противоречит равенству l(ambmam)=3m. Таким об-
образом, х = а", где р ^ т. Допустим, что и содержит Ь, т. е.
и = a?bf для некоторого q ^ 0. Тогда
xu2wv2y = apa2qbta?qbtwv2y e L,
откуда выводим: <7 = 0. P = rn, t — некоторая степень буквы Ь,
т. е. ы = Ьг. Тогда xu2mwv2my = amb21mwv2my, что противоречит
условию xu2mwv2my e L. Следовательно, х = ар, и= а" и сим-
симметрично y = ar, v — as. Все вхождения буквы Ь в слово
xunwvny лежат в до, и при достаточно большом « число этих
вхождений будет меньше, чем число вхождений буквы а либо
в хи", либо в v"y. Это противоречие показывает, что L не алге-
алгебраический язык. Для построения контекстно-зависимой грам-
грамматики, порождающей L, введем правило а-+аоха, повторным
применением которого получаем о =$- апо(ха)п. Правило ах-^ха
дает сг =>- апахпа". Наконец, еще два правила a-*- aba и bx-^bb
дают а => an+lbn+lan+l. Мы опускаем детали, показывающие, что
а не порождает относительно правил
о-*- ааха + aba, ax-*-xa, bx-^-bb
никаких слов, отличных от слов из L. Этот пример доказывает
строгость включения S? a S\ в иерархии Хомского.
2. Свойства замкнутости
алгебраических языков.
Рациональные трансдукции
Предложение 2.1. Класс всех алгебраических языков L^A*
замкнут относительно следующих операций: объединения, умно-
умножения, образования подмоноидов (итерации). Он не замкнут
относительно операций пересечения и дополнения.
5. Свойства замкнутости алгебраических языков 301
Доказательство. Пусть Lt — L(Ti, а,), где Г«=(У,-, А, щ),
/=1, 2. Заменяя при необходимости вспомогательные алфави-
алфавиты, мы можем предполагать, что AЛ\Л)Л(У2\Л) = 0. Взяв
символ а ф. V\ U 1^2, рассмотрим грамматики
rt/ = (ViUV2U{a}, Л, ^U^Ufa-**!, а-+о2}),
TP = (VlUV2[]{o}, A, n1[)n2[){o-+oio2}).
Ясно, что Ll\jL2 = L(Tu, а) и LrL2 = L(TP, а). Пусть L =■
= L(F, а) для некоторой контекстно-свободной грамматики
Г = (У, А, л). Возьмем т<^ V и построим r*=(VU {т}, А, п[}
U {т->ат+ 1}). Простая проверка показывает, что L*=L(T*,x).
Язык L = {anbnak: n, k ^ 1} алгебраический, так как он порож-
порождается, отправляясь от а, правилами а->а|3, а-> aab -\- ab,
р->ар + ^- Алгебраическим является и язык L={akbnan:
п, k ^ 1}, будучи зеркальным образом L. Однако в силу при-
приложения 1.9 язык Lf]L= {anbnan: n ^ 1} не будет алгебраиче-
алгебраическим. Наконец, замкнутость класса алгебраических языков отно-
относительно дополнений повлекла бы за собой его замкнутость от-
относительно пересечений (ибо L\ f) L2 = Ly \}Ь2, где черта обозна-
обозначает переход к дополнению). □
Предложение 2.2. Если К — рациональный, a L — алгебраи-
алгебраический языки в А*, то язык K[\L алгебраический.
Это предложение является непосредственным следствием бо-
более общего результата о степенных рядах (теорема 4.11). Здесь
мы дадим лишь набросок прямого доказательства. Предполо-
Предположим, что К распознается Л*-автоматом Щ = (S, f). Без ограни-
ограничения общности (ввиду замкнутости класса алгебраических язы-
языков относительно объединений) можно считать, что К =
= {wz=A*: f(s0, w) = si}. Если L = L(T,a), где Г = (У, А, л),
построим Y' = {V, А, п'), взяв V = А \](S X VX S), а л' — со-
состоящим из правил двух типов:
(a) (s, а, *)->(«, Oi, t).(tu v2, t2) ... (tm-i, vm, t) для каж-
каждого правила a->OiU2 ... Чтизя (о,- е V) и любых s, t, t\, ...
(b) (s, a, t)-*- а, если f(s, a) =t.
Тогда /СП^ = ^(Г', a'), где a' = (s0, a, s,).
В оставшейся части параграфа мы рассмотрим свойства
замкнутости класса алгебраических языков относительно гомо-
гомоморфных образов и прообразов, а также относительно более
общих отображений, называемых рациональными трансдук-
циями.
Предложение 2.3. Пусть <р: А*->В* — гомоморфизм. Если
L — алгебраический язык в А*, то q>(L) — алгебраический в В*.
302 Гл. 9. Алгебраические языки
Обратно, если (p(A)s. B\J {1} и L' — алгебраический язык в В*,
то ф-'A/) — алгебраический в А*.
Доказательство. Пусть L — L(\\ а), где Г=(У, Л, л). Про-
Продолжим ф до гомоморфизма ф: V*->((V\A)[) В)*, положив
ф(и), если v e Л,
ф(у):
о, если оеКХА
Это позволяет поставить в соответствие любому правилу а -> w
нз л правило ф(а)->-ф(ш). Обозначим через ф(л) множество
всех этих правил и рассмотрим грамматику ф (Г) =(ф(У), В, ф (л)).
Элементарное доказательство показывает, что ф(£)= £,(ф(Г),
ф(о)). Обратно, предположим, что ф отображает Л в В[) {1} и
L' = L(r', а'), где Г' = (У, В, л'). Определим Л0={йеД:
ф(а)бВ}, Л1 = {аеЛ: ф(а)=1} и обозначим через фо суже-
сужение ф на Ло. Продолжим фо до отображения фо:(У'\В)и Ло-* V,
положив §o{v')=v' для любого v' eE V'\B. Это позволяет по-
поставить в соответствие любому правилу a—*v\v'.2 ... 0^ из л'
конечное множество правил a.-*-V\V2 ... vm, где PfG ф (^<)
для t=l, 2, ..., m. Обозначим посредством фгГ (л ) множе-
множество всех этих правил. Наконец, на множестве V = (V"\£)U
U Л U {со}, где со — новый вспомогательный символ, определим
совокупность правил л следующим образом:
л = {а -> a)v1(i>v2 • ■ • соитсо: (а -> vxv2 . • • vm) е фп"' (л )} (J
и{со-^асо: ае=А1}\}{®-+\}.
Рассматривая грамматику T = (V, А, л) и язык L = L(r, a'),
мы утверждаем,что L = ф-'(^). Это равносильно утверждению:
я л'
а' =ф-ays Л*, если и только если а/=^ф(ш). Вычеркнем в вы-
я
воде <т'=*-ау все вхождения символа со и заменим каждую
л'
букву а е Л на ф(а). В итоге получим вывод а/=^ф(ш). Обрат-
я'
но, допустим, что a'=$-b\b2 ... &А = ф(ш). Тогда
о () щ)
л
и ar =$-<ubi<ub2 •■• co&ftco. Используя правила со->асо и со->1
(aeAi), можно заменить каждый символ со в co&ico^ ••• cob^co
* л
некоторым словом из А г Отсюда следует, что a'=$-w, и этим
завершается доказательство равенства 1 = ф-1(//). □
Определение 2.4. Трансдукция х: Л*->^*(Б*) — это отображе-
отображение Л* в множество &(В*) всех подмножеств моноида В*. Про-
Продолжение т до отображения 0Р(А*) в !?(В*) задается формулой
т(/.)= UWeLx(w) Для произвольного L s Л*. Трансдукция
2. Свойства замкнутости алгебраических языков 303
т: Л*->^>(В*) называется рациональной трансдукцией, если
множество
{(и, о)еЛ'ХВ': оет(и)}
является рациональным подмножеством моноида Л* X В*.
Мы отсылаем читателя к определению 3.1 из гл. 6, где вво-
вводится класс RatAJ рациональных подмножеств произвольного
моноида М.
Лемма 2.5. Пусть <р: М->М' — гомоморфизм. Если R^
RtAf то ф(/?)е RatM'. Обратно, если <р сюръективен и
', го существует 7? е Rat Л!, для которого /?'
Доказательство. Любой гомоморфизм ф сохраняет операции
объединения, умножения и итерации. Поэтому если 7? лежит в
рациональном замыкании класса конечных подмножеств из М,
то это же справедливо для q>(R). Пусть
gi' = {R' s М'\ R' = y(R) для некоторого #<=RatiW}.
Очевидно, класс 01' рационально замкнут. Когда ф сюрьективен,
для любого конечного подмножества U из М' найдется конечное
подмножество L из М, такое, что q>(L) = L'. Поэтому 01' содер-
содержит все конечные подмножества из М'. Отсюда следует, что
RatAf <=#'. Q
Следующий результат, принадлежащий Нива [1968], харак-
характеризует класс Rat(/4*XS*).
Предложение 2.6. Пусть а: С*-*-А* и |3: С*-*-В* — гомомор-
гомоморфизмы, #e=RatC*. Тогда {(a(w), р(ш)): ше/(} е Rat(A*XB*).
Обратно, для произвольного подмножества R e Rat (Л* X В*) су-
существуют множество С, гомоморфизмы а: С*-*-А* и 0: С*-+В*,
такие, что а(С) = A U {1}, f5(C) = BU {1}, и множество К<^
eRatC*, такое, что R— {(а(ш), р(ш)): w^ К}-
Доказательство. Отображение у: С*->Л*X В*, определенное
равенством 7(ш) ^ (aiw)> $(w)), есть гомоморфизм. По лемме
2.5 имеем vWe RatD*XS*) для любого 7(e=RatC*. Обратно,
для данных Л* и S* пусть С будет дизьюнктным объединением
Л и В, т. е. С = Л) U Вь где А\ (] ^i = 0, Л! равномощно Л, Bi
равномощно В. Определим с^: С->А\, р:: С->Я[, положив
а^а)^^^, ai(b)=l, Pi(a)=l, $\{b)=b для любых аеЛь
& е Вх. Благодаря существующим биекциям, можно продолжить
ai и Pi до гомоморфизмов а: С*-+-А* и р: С*~>В*. Тогда отобра-
отображение у: С*->Л*ХВ*, определяемое формулой y(w) = (a(w),
Р(да)), есть сюръективный гомоморфизм. По лемме 2.5 для про-
произвольного R <= Rat (А* X В*) существует К е Rat С*, такое, что
R {K) О
304 Гл. 9. Алгебраические языки
*
Следствие 2.7. Для произвольных гомоморфизмов а: С*-*-А
C: С*->£* и произвольного /(<= Rat С* отображение х: А*->
->^(В*), определенное формулой х(и) = $(а-1{и)Г\К), является
рациональной трансдукцией. Обратно, если х — рациональная
трансдукция, то существуют множества С и Kg Rat С* и гомо-
гомоморфизмы а, Р, такие, что а(С) = А {] {1}, E(С)= Б U {1} и
B.7.1) т(£) = р(а~'(^)ГШ для любого LsA*.
Доказательство. Имеем {(и, о)еД*ХВ*: [)бт(и)} =
== {(а(ш), Р(ш)): w^K}. В силу прямого утверждения пред-
предложения 2.6, если К е Rat С*, то т — рациональная трансдукция.
То же самое равенство переводит обратное утверждение пред-
предложения 2.6 в обратное утверждение данного следствия. Для
любого L <= А* включение t)Et(i) выполняется тогда и только
тогда, когда v = $(w) для некоторого w e К, такого, что а(ш)е
eL Следовательно, t(L)= E(«-'(/_) Л К). О
Применяя предложения 2.2 и 2.3 и формулу B.7.1), получаем
Следствие 2.8. Если х: Л*->^(Б*) есть рациональная транс-
трансдукция, то для любого алгебраического языка L^A* язык
x(L) — алгебраический в В*.
Заметим, что формула B.7.1) также показывает, что t(L)e
е Rat В*, если L e Rat Л*.
Гомоморфизм а: Л* -*■ &(В*), такой, что а"A)= {1} и a(o)s
eRatS* для любого аеЛ, называется рациональной подста-
подстановкой. Равенство
{(и, v)(=A'X В*: v е о$и)} = ( {J {а}Ха (а))'
показывает, что рациональная подстановка является рациональ-
рациональной трансдукцией. Гомоморфизм <р: А*-+В* можно рассматри-
рассматривать как рациональную подстановку а, для которой множества
о(а) одноэлементны. Обратное к гомоморфизму отображение
ф-i. В*-+£Р(А*), определяемое формулой ф-1(о)= {и е Л*:
ф(ы) = и}, является рациональной трансдукцией, так как под-
подмножество {(и, и)еД*ХВ': v — q>(u)} рационально в Л*Х#*,
а канонический изоморфизм Л*Х^*->£*Х Л* сохраняет ра-
рациональность.
Следствие 2.9. Если <р: А*-*-В* есть гомоморфизм, то для
любого алгебраического языка LsB* язык ф"~'(£) алгебраиче-
алгебраический в А*.
3. Проблемы разрешимости.
Неоднозначность
Многие алгоритмы для разрешимых проблем контекстно-
свободных грамматик вполне аналогичны алгоритму, который
строится в следующем доказательстве.
5. Проблемы разрешимости. Неоднозначность 305
Предложение 3.1. Существует алгоритм, позволяющий для
произвольной контекстно-свободной грамматики Г = (У, А, я),
произвольных не V\A и w e А* решить, будет ли справедливо
л
О =>■ W.
Доказательство. Если w = \, см. лемму 1.2. Пусть хюф\.
Доказательство предложения 1.3 содержит алгоритм построения
грамматики без правил а->1, которая порождает тот же язык,
что и Г. Предположим поэтому, что Г не содержит правил вида
а->1. Построим индуктивно подмножества Ri из V*:
/?, = { v е= V': I(у)< /(w) и а -^ v } ,
Ri+i = RiUiveV: !(о)<1(ш)ия'->одля некоторогоv'<= Rt
Мы имеем R{sR2^ ... sftsft+iS ..., причем слова в
множествах Ri ограничены по длине числом l(w). Следователь-
Следовательно, Ri = Ri+i для некоторого i, и если / — первое целое число
я
с таким свойством, то /?/ — R,-+k для любого k ^ 0. Если а =>- w
и офш, то 0->У1->у2-> ... ->vn-^-w и /(У1)^/(Уг)^ •••
... <;/ (vn)^ l(w). Отсюда следует, что aye/?/. Обратно,
w e Rj влечет 0 =ф- w. О
Предложение 3.2. Существуют алгоритмы, позволяющие для
произвольной контекстно-свободной грамматики T = (V, А, л)
определить, будет ли язык L(T,a) пуст, конечен или бесконечен.
Доказательство. Чтобы определить, будет ли L(T, а) пуст,
положим Ло = А и
Ai+i = Ail) \аеУ\Л: а—> w для некоторого w^A*\.
Если /—первый такой индекс, что А/= А!+и то L(T,o)= 0,
если и только если аф.А\. Чтобы определить, будет ли L(T, a)
бесконечен, построим (используя алгоритмы из предложений 1.3
и 1.5) сг-связную грамматику без правил вида а-у\, скажем
Г = (V, А, я'), такую, что ЦГ, o) = L(T, о)\{1}. Существует
алгоритм, позволяющий для произвольных аеУ\/4 и w e(V")*
я'
определить, существуют ли г, se(F')*, такие, что a=$~rws.
Чтобы доказать это, построим — как в доказательстве предложе-
предложения 3.1 — множества Ri = {oe(F')*: l(v)^l(w) и a-+rvs
для некоторых г, se=(V")*}, Ri+i = Ri\J {v<=(V')*: l(v)^l(w)
я'
и v'-^rvs для некоторых г, se(V')*, v'^Rt}; тогда a=>rws,
если и только если w^R/. Применяя этот алгоритм к словам
w = аи о п w = voa для любых а е К'\Л ииое V, мм сможем
выяснить, существует ли циклический симзол и, следовательно
будет ли L(T, а) бесконечен (предложение 1.6). О
306 Гл. 9, Алгебраические языки
Проблемы, не связанные непосредственно с рекурсивной при-
природой алгебраических языков, вообще говоря, неразрешимы.
Примером служит
Предложение 3,3. Не существует алгоритмов, позволяющих
решать, будет ли пересечение (соответственно дополнение) двух
алгебраических языков (соответственно алгебраического языка)
пустым, или бесконечным, или рациональным, или алгебраиче-
алгебраическим языком.
Доказательство. Мы докажем лишь утверждения, касаю-
касающиеся пересечения двух алгебраических языков.
Пусть L\ — язык над алфавитом {а, Ь, V}, порождаемый пра-
правилами а~> ааа -f- bab -j- aVa -f- bWb (см. пример 1.1 (а)). Тогда
Li = {wVw: w e {a, 6}4}.
Взяв слова ut м V{ A ^ i ^ n) из {a, b}*, построим язык Lz, по-
порождаемый правилами т —»- ^i—1 И/Тг^-)- V. Тогда
L2 = {utluh ... Ui^vikvik_x ... vti: 1<гу<п для/=1, 2, ...,£}.
Отсюда следует, что г e L\ f| L2, если и только если г = wVw,
где w = uixui2 ... uik=:zVilVi2 ••■ vik для некоторой последова-
последовательности й, г2 »'*. Если бы нашелся алгоритм, позволяю-
позволяющий определить, существует ли z e L\ П L2, то этот алгоритм
решал бы проблему соответствия для пар (ш, Vi), I ^ i ^ /г.
Так как последняя проблема неразрешима (гл. 5, разд. 5.4), не
существует и алгоритма, позволяющего определить, будет ли
Li(]L2 = 0. Заметим, что если для данного множества пар
(««, vt), l^i^n, существует решение w проблемы соответ-
соответствия, то степени слова w доставляют бесконечно много решений.
Поэтому не существует алгоритма, позволяющего определить,
будет ли язык L\ П L2 бесконечным. Язык L\ не может содер-
содержать никакой бесконечный рациональный язык К (если wVw e
е К и l(w) превосходит число состояний автомата, распознаю-
распознающего К, то w = uw'v, где sw' = s для некоторого состояния s;
это дает uvyw е /С, но муУш фЬ\). Следовательно, язык Lx П L2
рационален, если и только если L\ f) L2 = 0. Поэтому не суще-
существует алгоритма, позволяющего определить, будет ли язык
L\ П L2 рациональным. Доказательство того, что не существует
алгоритма, решающего, будет ли алгебраическим языком пере-
пересечение двух алгебраических языков, использует аналогичную
технику, но более сложные языки. Именно, рассматриваются
языки
и>\,
,..vi)Wlb...a'kb:
5. проблемы разрешимости. Неоднозначность 307
и так же, как выше, используя предложение 1.7, показывается,
что L\ П Lo не может содержать бесконечный алгебраический
язык. Детали мы оставляем читателю в качестве упражнения. □
Определение 3.4. Пусть Г = (V, А-, я)—контекстно-свободная
грамматика. Слово aysL(F, а) называется неоднозначным в
L(F, 0), если существуют по крайней мере два различных вы-
л л
вода o=$-w. Число различных выводов o=*~w называется сте-
степенью неоднозначности (или кратностью) слова w в L(F, 0).
Алгебраический язык L называется однозначным, если суще-
существуют Г = (V, А, я) иае V\A, такие, что L = L(I\ 0) и ника-
никакое слово w e L не является неоднозначным в L(T, о); в про-
противном случае L называется существенно неоднозначным.
Например, слово ababa неоднозначно в L(T0, or), где Го за-
задается правилами а-^-а -}- oba. Язык L = {amban: m^n^O}
совпадает с L(T, о), где Г задается правилами а->b + аа + ааа,
и слово amba" имеет кратность QX Однако грамматика с пра-
правилами о-+Ь + ах + ааа, т->6 + ат порождает L однозначно,
отправляясь от о. Примером существенно неоднозначного языка
служит L = {ambmcn, ambncn: m, n > 0} (Парик [1961]). Сле-
Следующий результат отнюдь не удивителен.
Предложение 3.5. Не существует алгоритма, позволяющего
решать, допускает ли произвольная контекстно-свободная грам-
грамматика неоднозначное слово.
Доказательство. Взяв две последовательности щ, vi
A ^ i ^ п) слов из А?, построим грамматики Fi—(Уь В, л,)
и Г2 = (У2, В, яг), где В = А[]{х1,х2, .... х„, V}, У, = B{}
V2 = В U Ы и
я2: or2 —>■ 2^ (xia2vi "Ь *<Vt>/) = я2 (а2)
Простая проверка показывает, что все слова из L(Ti, сгО имеют
вид Xi.xt. .. .XiVmUi .. .т. и обладают кратностью 1. То же
самое, с заменой и на v, справедливо и для L(T2, o2). Рас-
Рассмотрим грамматику Г = (У, В, я) на V==B|J{cri, 02, or}, где
я: сг-> 0| -f- 02, ai->-ni(ai)-f- V, 02~>-Я2(о'2) +V. Слово ш е=
я,
е/,(Г, о) неоднозначно, если и только если o-+a1*$-w и а->
Л;
->а2=^ш. Это происходит тогда и только тогда, когда суще-
308 Гл. 9. Алгебраические языки
ствуют i\, iz, ..., ih, такие, что
w = *<**'*-, • • ■ *',v"',"', •••"'* = *'**<*-, • • ■ *, ., y
Это проблема соответствия для пар (щ, vi), а она неразрешима. П
4. Рациональные и алгебраические
языки над кольцами и полукольцами
В этом параграфе мы изучаем связь между алгебраическими
языками и степенными рядами от некоммутирующих перемен-
переменных. Пусть R— полукольцо (гл. 5, определение 1.9). На полу-
полукольце /?[И]] всех степенных рядов над R с переменными из А
следующим образом введем топологию.
Для любого ряда /е#[[Л]] определим его порядок, обозна-
обозначаемый o(f), посредством формулы
(mm {t(w): twesuppf}, если
о(')===|+оо, если f = 0.
Тогда o(f + g)^tmin{o(f), o(g)), o(f-g)^ o(f)+ o(g), а если
R не имеет делителей нуля, то o(f-g)= o(f) + o(g). Выбрав ве-
вещественное число с, 0<с<1, положим [|/|| = co(f). С учетом
этого обозначения свойства функции порядка примут вид:
A) 11/11^0. и [|/||=0 равносильно равенству / = 0;
B) Hf + g
и, следовательно,
B')
C)
D) II 111=1.
Кольцо с вещественнозначной функцией || II, удовлетворяющей
условиям A), B'), C) и D), называется нормированным коль-
кольцом, а функция || || называется нормой. Поскольку читатель
может быть лучше знаком с кольцами, нежели с полукольцами,
в дальнейшем мы предполагаем, что R — кольцо. Однако ре-
результаты леммы 4.1 и предложения 4.3 остаются верными и в
случае полукольца R (см. замечания и примеры 4.4).
Лемма 4.1. Пусть R —кольцо. Кольцо R[[A]] с расстоянием
d, определенным формулой d(f, g)=\\f— g\\, является полным
ультраметрическим пространством.
Доказательство. Аксиомы ультраметрического пространства
d(f, f) = 0, d(f, g) = d(g, /), d(f, £)<max(d(/, A), d(h, g))
4. Рациональные и алгебраические языки 309
непосредственно вытекают из A) — D). Чтобы доказать полноту
Я [[Л]], рассмотрим последовательность Коши (/„) степенных
рядов (т. е. limp + oollfp — /„11=0). Для любых g<=R[[A]] и
AeN обозначим через nk(g) отрезок ряда g, являющийся мно-
многочленом степени ^ /г, т. е. nk(g)= ^((в)<и g (w) w. Тот факт,
что limp->. <»||/р — fq\\ = 0, означает, что для любого AeN cy-
<? -»• °°
ществует число n(k), для которого неравенства р ^ n(k) и^>
^ n(k) влекут nk{fP) = nk{fq). Определим ряд/, положив f{w) =
= fP(w)=fq\w) для всех аде Л*, l(w)^k и JgN. Если г ^
^тах{«@), яA), .... п(Л)}, то o(f — ft)>k и ||/-/,||<с*.
Отсюда вытекает limn> oo/n = /, и, следовательно, пространство
/?[[Л]] полно. □
Кольцо 2 =(/?[ [Л] ] )<"> («я» в скобках обозначает декартову
степень) можно превратить в полное метрическое пространство,
определив расстояние б на 2 таким образом, чтобы все п проек-
проекций на сомножители были равномерно непрерывны (см. Келли
[1955, гл. 4 и гл. 6]). Например, можно положить б((/,-), (gi)) =
= max {d(fi, gi): 1 ^ i ^ n) для любых двух п-ок (ft), (gt)^ 2.
Мы сосредоточим внимание на функциях ф: 2 -+■ 2 особого
типа — сжимающих идеал /<л) кольца 2, состоящий из всех п-ок
степенных рядов без свободных членов. Напомним следующую
теорему о неподвижной точке.
Теорема 4.2 (теорема Банаха о неподвижной точке). Пусть
B, б) — полное метрическое пространство, а 2' — замкнутое
подмножество из 2. Если функция ср: 2-^2 сжимает 2' (г. е.
ФB') s 2' и существует с, 0 < с < 1, такое, что б(ф(#), ф(г/)) ^
^ сб(х, г/) для любых х, у е 2'), то уравнение х = ф(х) млгеег
единственное решение в 2'.
Доказательство. Так как 2' замкнуто, оно полно и можно
считать, что 2 = 2'. Единственность решения следует из нера-
неравенства б(ф(*), ф(г/))< б(*, г/). Чтобы доказать существование,
возьмем jc'gS и рассмотрим последовательность ф"(л°), где,
как обычно, ф'(л:0)=ф(л:0)' и ф*(х°) = ф(ф*-'(х°)). Применяя ин-
индукцию по п, можно показать, что
б (х°, ф" (х0)) < A + с + ... + с-1) б (А ф (х0)) <
Для p^q имеем
Следовательно, limp> ^-»«,б(фр?л:0), ф'?(л:")> = 0, и в силу полноты
2 последовательность <р"(х°) сходится к решению уравнения
х = ф (х). О
310 Гл. 9. Алгебраические языки
Для данного множества X = {x\t х2, ..., хп} многочлен
р(аи а2, ..., ат, хи х2, ..., хп) <= # [А [} X]
от некоммутирующих переменных из А [} X определяет функцию
из 2 в /?[[Л]], обозначаемую посредством р(х\, лг2, ..., хп).
Степенной ряд p(fi, f2, ..., fn) получается подстановкой f{ вме-
вместо Xi (l^i^n) в выражение для р. Функция р называется
полиномиальной функцией от п переменных х\, х2, ..., хп над
[[А]]
Предложение 4.3. Пусть R[[A]] — кольцо степенных рядов с
коэффициентами в кольце R, 4><(Xi, лег, ..., хп), 1 ^ i ^ п,—
полиномиальные функции над R[[A]] от переменных х\, хг, ...
..., хп. Допустим, что каждая (pi, рассматриваемая как много-
многочлен из R [A U X], не содержит свободного члена и не содержит
одночленов степени 1 из R [X]. Тогда система уравнений
D.3.1) xi = (pi(хи х2, ..., хп), 1<;</г,
имеет единственное решение.
Доказательство. Подмножество /с#[[Л]], состоящее из
всех степенных рядов без свободных членов, является замкну-
замкнутым идеалом в Я [И]], так как
: d(p, 0)<c}.
Поэтому идеал S'^=/<n> замкнут в 2 = (R[[A]])(л>. Покажем,
что функция Ф=(фь фг, •-., фп) сжимает S'. Для любых двух
п-ок f = (f,),g = (g,) из 2'
б(/, g)= max \\ft-gt\\n&(q>(f), Ф(£))= max || ф, (f) - Ф* (ff) II-
К ; < п 1 < ; < п
Так как цц не содержат одночленов степени 1 из /?[^], мы
имеем
ИЛ/)()И< max 1!//
Следовательно, 8((p(f), q>(g))^ c8(f, g). Кроме того, ф()
поскольку ф« не содержат свободных членов. Таким образом, ф
сжимает 2'. По теореме 4.2 система уравнений *,- = ф,-(Х], х2, ...
..., хп) имеет единственное решение. □
Замечания и примеры 4.4. (а) Определяя расстояние d на
/?[[Л]], мы положили d(f, g) = \\f — g\\, явно воспользовавшись
тем фактом, что R — кольцо. В том случае, когда R — полу-
полукольцо, мы не можем использовать такое определение d. Вза-
Взамен этого достаточно положить d(f, g)= сх^-е\ 0<Сс<1, где
x(f, g) = min-{t{w): f(
и по оирелеленпю т(/, f)==-foo.
4. Рациональные и алгебраические языки 311
(Ь) Решение системы Х1 = щ(х\, х2, ..., хп) может быть
получено с помощью итерационного процесса, использованного
в доказательстве теоремы 4.2. В качестве начальной л-ки можно
брать любую п-ку степенных рядов, так как после первого шага
мы получим л-ку из /<">. Обычно берут х\ — х\ = ...= х° = 0.
Грамматика а-+ао + аоа-\- Ь порождает язык L—{apbaq:
p^q^O}. Соответствующая система D.3.1) содержит одно
уравнение (здесь R = Z):
D.4.1) х = Ь + ах + аха.
Положив ф (ж) = Ь -f- ax + аха, получим
фз @) = Ъ + а (Ь + аб + flto) + a(b + ab + aba)a =
= 6 + ab + аба + a2b + 2а22>а + а26а2.
Решением уравнения D.4.1) служит
Заметим, что коэффициент (£) при ар6а" совпадает с крат-
кратностью (т. е. степенью неоднозначности) слова apbaq.
Грамматика а-*~хх, х -*■ аа + bb -f- ата -f- bxb приводит к си-
системе
D.4.2) S
1д;2 = а2 + Ь2 + ах2а + Ьхф.
2 = а + Ь + ах2а + Ьхф
Мы имеем ф^О, 0)= 0, ф2@, 0) = а2 + Ь2 и далее
Ф, @, а2 + Ь2) = (а2 + b2f = а4 + а2*?2 + ЬЧ +
Ф2 @, а2 + Ь2) = а2 + Ъ2 + а4 + а62а + 6а26 + б
Решение системы D.4.2) дается формулами
я = Нтф^О, 0)= X aj^mySj,
л:2= Нт ф"@, 0)^
в которых неоднозначность не отражена (см. упр. 2)\
Определение 4.5. Пусть R — полукольцо. Система уравнений
над R[[A]]
D.5.1) Xi = q>t(xl, x2 ..., хп) A<г<п)
называется алгебраической системой уравнений, если полино-
полиномиальны», функции ф,- удовлетворяют условиям предложения 4.3,
312 Гл. 9. Алгебраические языки
Алгебраическая система уравнений, в которой фг(xv х2,
■■■> хп)= Y.?-i Г'МХ! + *;> гДе w'i е А+> Л е #» X, s Я [Л], на-
называется линейной системой. Степенной ряд f^R[[A]] назы-
называется алгебраическим (соответственно рациональным), если
f = r-\-g, где r^R, а ^ — компонента решения некоторой
алгебраической (соответственно рациональной) системы урав-
уравнений. Язык L^A* называется R-алгебраическим (соответствен-
(соответственно R-рациональным), если L является носителем алгебраического
(соответственно рационального) степенного ряда.
Можно заметить, что свойство линейности систем, опреде-
определяющих рациональные степенные ряды, позволяет записывать
такие системы
п
/=1 '
в матричной форме X = MX -f С, где
хг
Нетрудно убедиться, что единственным решением системы X =*
= MX + С является матрица-столбец М*С, где М = Хл°=оМп
(проверка того, что матрица М* вполне определена, использует
тот факт, что ау/еЛ+).
Предложение 4.6. Пусть дан язык L^A*. Следующие усло-
условия равносильны:
(a) L — алгебраический (соответственно рациональный);
(b) L — №-алгебраический (соответственно Нерациональ-
Нерациональный) ;
(c) L — ^-алгебраический (соответственно ^^-рациональ-
ный), где @2 — булево двухэлементное полукольцо.
Доказательство. Если язык L — алгебраический, то, согласно
предложению 1.3, существует грамматика Г = (V, А, я) без пра-
правил вида а->1 и такая, что 1(Г, <t) = L\{1} для некоторого
аеГч'А Учитывая замечание 1.4, можно предполагать, что я
л
не содержит правил вида а -> р (а, р е V \ А). Определим биек-
цию 9: (У\Л)->Х= {л:,, хь ..., хп) так, чтобы было 9@) = ^,,
и продолжим 9 до биекции V->-X[)A, положив Q(a) = a для
любого а<=А. Обозначим через 9 изоморфизм 9: V*-+(X\JA)*.
каждому а е V\A поставим в соответствие полиномиальную
'4. Рациональные и алгебраические языки 313
функцию фа над №[И]], определяемую формулой
S б (а»),
я
а > w
и рассмотрим систему уравнений
D.6.1) 9(а) = фа(*ь Хц, ..., хп), ае
Функции фа, ае^, рассматриваемые как полиномиальные
функции над Z [ [Л]], удовлетворяют условиям предложения 4.3.
Следовательно, система D.6.1) имеет единственное решение f в
(Z[[/4]])(n): / —Нт/,-к»фр@, 0 0), где ф обозначает я-ку
функций (фа), а е Г\Л. Как показывает индукция по р, все
компоненты /г-ки фр@, 0, ..., 0) лежат в №[Л]. Поэтому / =
= (fi, /2, .. -., fn), где fi e №[ [А] ] для любого i, I sg i sg п. Тот
факт, что L(T, в)— supp/i, непосредственно вытекает из равен-
равенства
зиррфр@, 0, ..., 0) = {ш>е Л*: e=>w есть вывод длины pj.
Так как L==suppf, или L — supp(I -f-fr), язык L—[^-алге-
L—[^-алгебраический (определение 4.5); это показывает, что (а) влечет
(Ь). Полукольцевой гомоморфизм я|з: №->^2. определяемый ра-
равенством i|)(l)= 1, продолжается до гомоморфизма, также обо-
обозначаемого через 1|з, из №[[Л]] на .$2[И]] и до гомоморфизма
ip из полукольца полиномиальных функций над №[[Л]] в полу-
полукольцо полиномиальных функций над J?2[H]]- Система урав-
уравнений
D.6.2) Xi = (fi(xh x2, ..., хп), 1</</г,
над №[[Д]] дает систему
D.6.3) лс/ = ■ф(ф«-(лГ1, х2 хп)), 1 ^ i ^ п,
над ^2[[Л]]. Если ряд /:«е№[[Л]] является компонентой ре-
решения системы D.6.2), то ty(fi) является соответствующей ком-
компонентой решения для D.6.3). Если D.6.2) удовлетворяет усло-
условиям предложения 4.3, то это же справедливо для D.6.3).
Обратно, произвольную систему уравнений над ^[И]], удов-
удовлетворяющую условиям предложения 4.3, можно рассматривать
как систему вида D.6.2) над №[[Л]], и, следовательно, она
имеет единственное решение как в (№[ [Л] ])<">, так и в
(^2[ [Л] ])<"). Этим установлена равносильность (Ь) и (с). На-
Наконец, (с) влечет (а), поскольку любая система уравнений
Xi = q>i(xi, x2, ..., хп) над ^2[[Л]] приводит к контекстно-сво-
контекстно-свободной грамматике Г = (Х[)А, А, я) с правилами я, имеющими
вид Xi-*-q>i(xu x2, ..., хп) для любого 1 = 1, 2, ..., п. Равно-
Равносильность свойств рациональности доказывается аналогично. □
Результатом итерации или просто итерацией (соответственно
ограниченной итерацией) степенного ряда /е=/?[[Л]] над полу-
314 Гл. 9. Алгебраические языки
кольцом R называется степенной ряд / — 5Z«— * /'' (соответ-
(соответственно f+ = X"-if). Определяют ли эти выражения степенные
ряды, зависит от природы полукольца R и от выбора f в /?[И]].
Без каких-либо предположений относительно R очевидно, что
если o(f)^ 1, то как f*, так и /+ определены. В дальнейшем мы
явно предполагаем, что ограниченная итерация применяется
только к таким степенным рядам /, для которых о(/)^ 1.
Предложение 4.7. Пусть R — полукольцо. Множество r£\s [A]
всех алгебраических степенных рядов f, таких, что o(f)^ 1, яв-
является подполукольцом i) в R\[A]], замкнутым относительно
ограниченной итерации.
Позже мы покажем, что если R коммутативно, то еИ]
само является подполукольцом в /?[[Л]], замкнутым относи-
относительно итерации.
Доказательство. Пусть Xi = ф/(дсь х2 хт), 1 <; i <; т, и
Hi = tyib/uyz, ■■■, Уп), 1 ^/^rt, — две алгебраические системы
уравнений, имеющие такие решения, что Х\ принимает значение
f, a г/i —значение g. Тогда системы
{ х2 xJ+Ыуи у2, .... уп),
xt = <Pi(xu x2 хт),
у2 Уп);
D.7.2) < xt = qp, {ху, х2 хт),
^ Ф/(#1, г/2. •••, Уп)
имеют решения, в которых г принимает соответственно значе-
значения f + g и f-g. Отсюда следует, что Raig [A] — подполукольцо
в ^?[И]Т- Далее, система
\Xl ф^ \X\, X*i, • • •, Хт),
имеет решение, в котором Х\ принимает значение f, а г — значе-
значение f+= Yi^=if"' что показывает замкнутость Rtig [А] относи-
относительно ограниченной итерации. □
Предложение 4.8. Пусть R — коммутативное полукольцо.
Множество Rrat[A] всех рациональных степенных рядов явля-
является наименьшим подполукольцом в R[[A]], содержащим 1 и
') Называя здесь #^jR [А] подполукольцом, автор отказывается от тре-
требовании (см гл. 5, определение 1.9), чтобы полукольцо содержало единицу.—
4. Рациональные и алгебраические языки 315
одночлены а (аеЛ) и замкнутым относительно итерации и
умножения на скаляры.
Доказательство. Обозначим посредством A?rtt [А] множество
рациональных степенных рядов f &R[[A]], для которых o(f)^
^s 1. Чтобы доказать замкнутость R?at[A] относительно сложе-
сложения, можно построить линейную систему уравнений, подобную
системе D.7.1). Это показывает, что R?at [А] аддитивно замкну-
замкнуто. Для доказательства того, что / е R?at [А] влечет rf e R Xt [A],
где г е./?, заметим, что если f служит компонентой решения
системы X = MX + В, то rf — соответствующая компонента ре-
решения для Y = MY-\-rB (коммутативность R нужна здесь, что-
чтобы записать М*гВ = гМ*В). Отсюда вытекает, что /?ыИ]
замкнуто относительно умножения на скаляры. Теперь мы до-
докажем замкнутость R?at [А] относительно произведений. Исполь-
Использовать систему типа D.7.2) мы не можем, поскольку ее первое
уравнение не линейно. Заметим, что в случае В = В{ -f B2 + ...
... + Bk решение системы X = MX + В является суммой реше-
решений систем Xi = MXi + Bi, 1 ^ i ^ k. Кроме того, если f =
= /i + f2+ ••• +fk и ftg&R?,t[A], l<i<*. то fgzsR^lA]
в силу аддитивной замкнутости. Поэтому можно сразу счи-
считать, что f является значением х\ в решении системы xi =
= Е/^1г'шЬ/ + Х(( = Ф'(^ь Х2, . ■ .,хт)), где каждый %i — либо
одночлен, либо нуль. Пусть значением у\ в решении линейной
системы yt = ^>i(y\, У2, .... Ул.), 1</^л, служит g. Вводя
новые неизвестные zi = xiy\ и функции
т
ф'< (Z. Zm> Ух) =
рассмотрим линейную систему
{z, = <pjBii z-i zm,
xi = qt{xb x2 хт)
У1 = Ь(Уи Ул У а) A</<л).
Очевидно, значением zx в решении этой системы будет f-g, что
доказывает мультипликативную замкнутость /?rtt [А]. Далее,
если г удовлетворяет уравнению z = xxz + *ь где jci = /, то
z = f+. Чтобы получить из системы D.7.3) линейную систему,
нам придется «размножить» z. Пусть k — максимальное число
слагаемых в %,-, l^i^m, так что %t= J^t-i %t, Введем неиз-
неизвестные zu ..., zk, щ Um и функции ср|, ..., у'т, где
um,zx zk) = ЕГ=! >i/ E
316 Гл. 9. Алгебраические языки
(интуитивный смысл: zi = z = xxz -f- x\, ui — xtz, а ц>\ полу-
получается из ф; умножением справа на г). Тогда система
линейна, и в ее решении Zi = г2 = ... === г* = /+. Это дает замк-
замкнутость ./?rat [А] относительно ограниченной итерации, а следо-
следовательно, замкнутость ^rat[^4] относительно итерации. Замкну-
Замкнутость ^ratH] относительно произведений вытекает из свойств
замкнутости R?at [А] и равенства (г + f) (s -f- g) = rs -f- s/ +
+ r£ + /& Для произвольных r, se R, f, g^ R*&i [А]. Наконец,
пусть А — подполукольцо из ./?[И]], содержащее 1 и все а из Л
и замкнутое относительно итерации и умножения на скаляры.
Рассмотрим систему уравнений
п
D.8.2) jc,=«£f«*/ + *«. !<*<п, о(f!{), o(gt)>l и Н, gt<&A.
Заметим, что линейные системы имеют вид D.8.2) и обладают
решениями. Поэтому для доказательства включения RTat[A]^A
достаточно, применяя индукцию по п, показать, что если си-
система D.8.2) имеет решение, то компоненты этого решения ле-
лежат в А. При п = 1 система сводится к уравнению х\ = f\X\ +
+ gi. Его решение f\ • g\ лежит в А. Если п > 1, первое уравне-
уравнение из D.8.2) имеет вид х{ = £"-i Пх! + £ь Поэтому компонента
х\ решения удовлетворяет равенству х\ = (f\)' J)/-2 fix/ + (f!)* g\-
Если в последних п—1 уравнениях системы D.8.2) заменить
х\ правой частью предыдущего равенства, то мы получим си-
систему того же типа, но из л— 1 уравнений. Согласно предполо-
предположению индукции, компоненты х2, ..., хп ее решения лежат в А,
и, значит, то же справедливо для х\. □
Перейдем к рассмотрению связи между степенными рядами
из ^?[[Л]] и представлениями свободного моноида л X «-матри-
«-матрицами с элементами из R. Обозначим посредством 2'(п, R) мо-
моноид всех «Хл-матриц над коммутативным полукольцом R от-
относительно обычного матричного умножения. Пусть 0: Л*->-
-+9?(п, R)—гомоморфизм. Рассмотрим составленные из степен-
степенных рядов матрицы Me = £ш<= а* 9 (w) w и В% = £а<= д0(а)а, на-
называемые соответственно матрицей представления и базисной
матрицей для Э.
Элементом с индексами /, / матрицы Mq служит гпц =
= ]Со>е=А* [9(&')]</ w, где [Q(w)]tj — элемент с индексами {, \
матрицы 9(да). Поскольку 9 — гомоморфизм, имеем Afe="l +
4. Рациональные и алгебраические языки 317
-}- Be -j- Be -Ь • • • = fie- Но матрица Be ~b Be ~b • • • = Be является
решением линейной системы X = В0Х -f B$. Следовательно, для
любых i, j получаем m,,- е Rrat [А]. Заметим, что прямым спосо-
способом получения (/, /)-го элемента из М0 является вычисление
произведения IMqT, где / есть вектор-строка с 1 на i-м месте и
нулями на прочих местах, а Т — вектор-столбец с 1 на /-м месте
и нулями на прочих местах. Эти наблюдения естественно при-
приводят к следующему понятию распознаваемых степенных рядов.
Определение 4.9. Пусть R — коммутативное полукольцо. Сте-
Степенной ряд /е^[[Л]] называется распознаваемым, если су-
существуют представление 0: Л*->-2'(п, R) моноида Л* л X «-ма-
«-матрицами над R, вектор-строка / и вектор-столбец Т с элементами
из R, такие, что f = IMeT. Матрица М9 определяется выраже-
выражением Zju> e а* 6 (w) w и называется матрицей представления 0.
Пример. Рассмотрим Л*-автомат 9( = (S, ф). Допустим, что
5== {sb s2, ..., sn} и определим 0: Л*->2'(п, ^2), положив
, если Sia = Si,
в противном случае.
Если L={ai£/4*: s\q>(w)^Tx} для некоторого подмножества
Т\ из 5 (т. е. L распознаваем в смысле гл. 6), то L будет носи-
носителем степенного ряда IMqT, где / = [1, 0, 0, ..., 0], а Т — век-
вектор-столбец, i-й элемент которого есть
если st e Т\,
если si<£Tu
Обратно, если степенной ряд f e^2[[^]] распознаваем в смыс-
смысле определения 4.9, то supp f является распознаваемым подмно-
подмножеством в Л*.
Сближение линий распознаваемых языков и распознаваемых
степенных рядов в нашем исследовании полностью завершается
следующим результатом.
Теорема-4.10 (обобщенная теорема Клини). Пусть R — ком-
коммутативное полукольцо. Степенной ряд fe/?[^]] распозна-
распознаваем тогда и только тогда, когда он рационален.
Доказательство. Предположим, что f распознаваем, т. е. f =
= IMqT. В случае когда строка / и столбец Т суть базисные
векторы (т. е. имеют в точности по одному ненулевому эле-
элементу, который равен 1), замечания, предшествующие опреде-
определению 4.9, показывают, что fe#rat[A]. В противном случае
/ и Т можно выразить в виде линейных комбинаций базисных
векторов (строк и столбцов соответственно), откуда f, будучи
линейной комбинацией рациональных степенных рядов, принад-
818 Гл. 9. Алгебраические языки
лежит Rrat[A]. Чтобы доказать обратное, покажем, что все рас-
распознаваемые степенные ряды образуют подполукольцо в R [ [Л] ],
содержащее 1 и все элементы из А, причем это подполукольцо
замкнуто относительно итерации и умножения на скаляры. Оче-
Очевидно, 1 — распознаваемый ряд. Ряд а из Л распознается неде-
недетерминированным автоматом 1 • —*• -2. Ему отвечает представ-
представление 0: A*-v9?{2, R), определяемое формулами
9М = (
J J) Для
(J J) и a-(l,O)Afe(J).
откуда следует распознаваемость а. Если /= IMqT, to для лю-
любого r^R имеем rf =(г1)МдТ, что доказывает замкнутость от-
относительно умножения на скаляры. Если f ] == I{MqJ{ и
f2=s 12МегТ2> то. используя очевидные обозначения, определим
п, ч (Ъ\ lw) 0 \ - , я,
0(ш)=1 „ а , s J для^любого дае Л .
Ясно, что
:) ^60 = hMtfx + 12Мд1Т2 = f, + f2.
откуда следует распознаваемость суммы fi + h- Учитывая замк-
замкнутость относительно сложения и умножения на скаляры, для
доказательства распознаваемости произведения fp/2 можно
предположить, что \\ и f2 лежат в ^+[[Л]], что h (соответствен-
(соответственно /г) имеет единицу на i-u (соответственно &-м) месте, а про-
прочие элементы — нули и, наконец, что Т\ (соответственно Гг)
имеет 1 на /-м (соответственно 1-й) месте и нули на остальных
местах. Используя введенные выше представления 0; и 02 ма-
матрицами размеров mX.ni и п X п, построим представление 0,
определив Ь{а) для любого aesA формулой
где у (а) —матрица, &-й столбец которой совпадает с /-м столб-
столбцом матрицы 0[(а), а остальные столбцы нулевые; таким об-
образом,
\(а) =
4. Рациональные и алгебраические языки 319
Взяв
получим 0(а)= Э(а) + у'(а). Как обычно, продолжим 8 на
весь моноид А*; индукция по /(да) показывает, что 8 (да)=Э(да)-|-
+ Yjw^uav^(u)y'(a)Q(v). Используя равенство Q(u)y' (а) =
= у'(иа), выводим
Элемент с индексами г,
в матрице 8 (да) имеет вид
= I [е,(«)],/&(o)lw.
Отсюда следует, что f{f2 = IM^T при / и 7\ определяемых оче-
очевидным образом. Наконец, если f = /M97 для некоторого пред-
представления 0 моноида А* в 3?(п, R), то определим 0*, положив
9(а) 9 (а) Г\ Л .
0(a) /9(a)rj ДЛЯ ЛЮб0Г0 аеЛ-
Продолжим 6* до представления Л* в 3?(п-\-1, /?); вычисления
и индукция по /(да), которые мы опускаем, показывают, что эле-
элемент с индексами п-\- 1, л+ 1 матрицы 0*(ш) имеет вид
Отсюда следует, что
Г = @, 0 0, l)Afe*
Тем самым показано, что подполукольцо распознаваемых сте-
степенных рядов замкнуто также относительно итерации. О
Мы закончим параграф одним результатом Шютценберже
[1962], обобщающим аналогичный результат Юнгена для сте-
степенных рядов от одной переменной. Для произвольных рядоь
f, g е R[[A]] над коммутативным полукольцом R их адамаров-
ское произведение f®g определяется формулой (fQg)(w) =
*=f(w)-g(w). Ниже мы докажем, что адамаровское произведе-
произведение рационального и алгебраического степенных рядов есть
320 Гл. 9. Алгебраические языки
алгебраический ряд. Если R не имеет делителей нуля, то
supp(/ © g) = supp ff\ suppg. Поэтому, применяя предложение
4.6, мы получим предложение 2.2 в качестве непосредственного
следствия следующей теоремы.
Теорема 4.11. Пусть R[[A]] — полукольцо всех степенных ря-
рядов от некоммутирующих переменных над коммутативным полу-
полукольцом R. Если ряды f, g^R[[A]] рациональны, то f © g ра-
рационален. Если f — рациональный, a g — алгебраический, то ряд
f © g — алгебраический.
Доказательство, (а) Допустим, что f = IlMelTl, g = I2M.%J2
для некоторых представлений 8i: А*-*-3?(пьR), 62: A*-*-S>(fi2,R).
Учитывая замкнутость множества ^ratH] относительно линей-
линейных комбинаций, можно считать, что I\, h и Т\, Т2 суть базис-
базисные векторы-строки и векторы-столбцы. Построим представле-
представление 0 == 01 ® 62: А*'-*■ 2'(п\П2, R), называемое тензорным произ-
произведением 0i и 02. Для любого ш<=Л* матрица 0(а>) состоит из
п2Х«2 блоков, являющихся п\ X лгматрицами. Блок с индек-
индексами /, / есть Qi(w)[Q2(w)]ji. Таким образом, (/, /г)-м элемен-
I _ .—._„_^
том (j, /)-го блока матрицы Q(w) служит [)()
Если i, /, k, I — индексы ненулевых элементов в 1\, /г, Т\, Т2 со-
соответственно, то [0[ {w)]ik[62{w)]/( = (/© g) {w). Это показы-
показывает, что / © g = IMqT для подходящих Inf.
(b) Пусть fe/?ratH], g<^Raig\A]. Чтобы установить при-
принадлежность fOg к Ra\g[A], достаточно показать, что fQge
е/?а\[Л] в случае f e R?ai[А] и g^Rt\g[A]. Далее, если f =
= 1М0Т для некоторого представления 0: Л*->2'(т, R), то,
определив 0 равенством
0(ш)
О 8(ш)Г
О /8(ш)Г
О О
для
А+,
легко увидеть, что 0 — представление (т + 2) X(w + 2)-матри-
2)-матрицами над R, причем элемент с индексами т+1, т + 2в 0 (w)
есть f(w) = IQ(w)T. Следовательно, без ограничения общности
можно изначально считать, что / и Т — базисные вектор-строка
4. Рациональные и алгебраические языки 321
и вектор-столбец, т. е. умножение матрицы Me на / и Т сводится
к выбору одного элемента из Мо. Определим гомоморфизм полу-
полуколец (л: R[[A])-*-3? (m, R[[A\\), положив для любого Ае
R[[A]]
= I h(w)[Q(w)]ijW.
w e А*
Очевидно, т X /n-матрица j.i(/z) получается из Мв заменой каж-
каждого элемента в М% его адамаровским произведением с рядом h.
Мы утверждаем, что при условии g e= Rt\s [А] получим [ц (g)];y-s
s Ra\s [А] для любых /, /. Поскольку [n(g) ]ц — g ® f для не-
некоторой пары /, /, доказательство нашего утверждения устано-
установит, что ряд gQf— алгебраический. Итак, предположим, что g
является компонентой решения алгебраической системы урав-
уравнений
D.11.1) xk — Ф*(хи х2 х„), 1<&</г.
Напомним, что решением для xk служит sk = limp_>oo х^\ где
хт = хр)==шшш= ХФ) = 0> а xip+n = фА ^{р)> x(p)t ... i хшу заме-
заменим каждое неизвестное xk в системе D.11.1) т X т-матрицей
2а, элементы которой суть т2 новых неизвестных, а константы,
связанные с д, xi, ..., хп, заменим их образами относительно
li. Мы получим систему
D.11.2) гь = щ(г1г г2, .... гп), 1<^<л,
где каждое матричное уравнение может быть разложено на т2
скалярных уравнений. Так как для любого а <= А и любых /, /
матричный элемент [(л(а)]// является многочленом из R[A] без
свободного члена, система D.11.2) — алгебраическая и, значит,
имеет единственное решение. Чтобы получить его, заметим, что
полукольцо &(т, R\\A\\) можно сделать метрическим про-
пространством (например, определив расстояние между двумя
т X m-матрицами М и М' выражением sup;,/rf(Af^, Mtj))-
Тогда для решения системы D.11.2) образуем последователь-
последовательности матриц: 2<°> = zf =...== 2<?> = 0 и z(f+1> = фА (z\p\ z$\ ..,
..., гЩ. Индукция по р показывает, что (х (#ftp)) = z^K Это вле-
влечет
Hm ziP) = Нт
p-»oo p->oo
Отметим, что среднее равенство обусловлено непрерывностью ц
как отображения из 7?[[Л|] в S(m, R\\A\\). Если, например,
g есть si, to [ii(g)]u = [\i(si)]h будет компонентой решения си-
системы D.11.2) и, следовательно, [ii(g)]a s Raig[A]. О
Следстсие 4.12. Пусть R — коммутативное полукольцо. Тогда
множество Ra\g[A] всех алгебраических степенных рядов есть
П Зак. 474
322 Гл. 9. Алгебраические языки
подполукольцо в R[[A\], замкнутое относительно итерации и
умножения на скаляры.
Доказательство. Для любых f e Rf\e [А] и г s R имеем rf =
= г (Хаелй)"'Of, т. е. rf e Яые[Л] по теореме 4.11. Ясно, что
множество #aigH] замкнуто относительно сложения, умножения
на скаляры и итерации (см. предложение 4.7). Чтобы доказать
его замкнутость относительно произведений, заметим просто,
что для f, g s Rtig [А] и r, s e= # будет (г + f) (s + g) = rs +
+ sf + rg + fg. Следовательно, (r + f) (s + g) s ^aig И] в силу
предложения 4.7 и замкнутости Rt\g [А] относительно умноже-
умножения на скаляры. □
5. Абстрактные семейства языков
Идея аксиоматического изучения семейств языков возникла
благодаря тому наблюдению, что классы языков, представляю-
представляющих практический интерес, можно сравнивать и классифициро-
классифицировать в соответствии с их свойствами замкнутости относительно
некоторого числа обычных операций над языками (С. Гинзбург,
Грейбах [1969]).
Этот подход тесно связан с параллельным аксиоматическим
изучением семейств акцепторов. Например, как мы видели, ис-
исследование семейств рациональных языков прямо связано с ис-
исследованием соответствующих конечных автоматов. Аналогично,
в теории алгебраических языков весьма важным инструментом
служат соответствующие акцепторы, называемые автоматами
с магазинной памятью или просто магазинными автоматами.
Вообще говоря, эти акцепторы, за исключением конечных авто-
автоматов, не рассматривались в литературе с точки зрения монои-
моноидов преобразований или обобщенных моноидов преобразований.
По этой причине мы считаем, что автоматы с магазинной па-
памятью, хотя и существенны для глубокого изучения алгебраиче-
алгебраических языков, выходят за рамки данной книги. К тому же в этом
параграфе мы рассматриваем лишь элементарные аспекты тео-
теории семейств языков, не требующие привлечения акцепторов.
Более глубокое обсуждение этого предмета читатель может
найти в книге С. Гинзбурга [1975] или в работе С. Гинзбурга,
Грейбах и Хопкрофта [1969].
Определение 5.1. Семейством языков называется пара (А, 3?),
где А — множество (возможно, бесконечное), называемое алфа-
алфавитом семейства, а Я? — совокупность подмножеств из А*, при-
причем выполняются условия:
(a) для любого L^.S существует конечное подмножество
Al из А, такое, что L г А\;
(b) SB содержит непустой язык L,
5. Абстрактные семейства языков 323
Как правило, мы обозначаем семейство языков символом &',
опуская упоминание об алфавите А.
Определение 5.2. Семейство языков, замкнутое относительно
рациональных трансдукций, называется рациональным конусом.
Семейство 9? языков называется абстрактным семейством язы-
языков или AFL, если
(a) 9?— рациональный конус;
(b) Я? замкнуто относительно конечных объединений, конеч-
конечных произведений и итерации.
Используя предложение 2.6, получим равносильное определе-
определение рационального конуса:
Предложение 5.3. Семейство языков 9? является рациональ-
рациональным конусом тогда и только тогда, когда 2? замкнуто относи-
относительно пересечений с рациональными языками, гомоморфных
образов и гомоморфных прообразов.
Доказательство. Если 9? замкнуто относительно рациональ-
рациональных трансдукций, то, в частности, 9? замкнуто относительно
гомоморфных образов и прообразов. Для произвольного рацио-
рационального языка /(е А* отображение т: А*-+$Р(А*), определен-
определенное формулой
({w}, если да s К-
\ 0, если хюфК,
является рациональной трансдукцией и %(L) — L(]K; это пока-
показывает, что 9? замкнуто относительно пересечений с рациональ-
рациональными языками. Чтобы установить обратное утверждение, доста-
достаточно заметить, что если т: A*-*-SP(B*)— рациональная транс-
дукция, то в силу следствия 2.7 существуют С, язык TCeRaiC*
и гомоморфизмы а: С*-+А*, 0: С*->-В*, такие, что для любого
Поэтому семейство 9?, замкнутое относительно гомоморфных
образов, гомоморфных прообразов и пересечений с рациональ-
рациональными языками, замкнуто также и относительно рациональных
трансдукций. П
В книге С. Гинзбурга [1975] рациональный конус называется
полным трио, а то, что мы называем здесь AFL, называется
полным AFL. Чтобы получить понятия трио и AFL в терминоло-
терминологии Гинзбурга, нужно модифицировать предложение 5.3, потре-
потребовав замкнутости относительно гомоморфизмов ф лишь таких,
для которых ф(w) =тМ при любом гиф\1). (Введение AFL,
помимо полных AFL, дает возможность рассматривать семейства
') Кроме того, в п. (Ь) определения 5.2 нужно заменить итерацию огра-
ограниченной итерацией. — Прим, перев.
П*
324 Гл. 9. Алгебраические языки
языков, являющихся в действительности подмножествами сво-
свободных полугрупп, такими, как контекстно-зависимые языки.)
Ясно, что семейства 91 и $Ф рациональных и алгебраических
языков суть AFL. Контекстно-свободная грамматика Г =
— (V, А, л) называется линейной, если л содержит лишь пра-
правила вида а->-ы или a—>u$v, где и, v <= А* и а, р <= V\A. Язык
L называется линейным, если L = L(Y, а) для некоторой линей-
линейной контекстно-свободной грамматики Г. Семейство 2?ип всех
линейных языков служит примером рационального конуса, не
являющегося AFL, потому что 2?\\п не замкнуто относительно
произведений (см. упр. 4).
Предложение 5.4. Любой рациональный конус *& (и, следова-
следовательно, любое AFL) содержит семейство Si всех рациональных
языков и замкнуто относительно объединений с рациональными
языками и относительно умножения на рациональные языки.
Доказательство, (а) Пусть Le?, t#0, и aieL Для лю-
любого рационального языка R s В* образуем множество С =
= B\J{c}, где с ф AL U В, и определим два гомоморфизма
а: С-> А*ь и р: С*->В\ положив a{c)=w, a{b)= 1 для лю-
любого бей и C (с) == 1, РF)=й для любого b <= В. Тогда при
любом r^R имеем г = Р(гс). и a(rc)= w e L, откуда R <=
^ P(ct-1 (L)(l ^?c). Обратное включение проверяется столь же
легко и дает R = $(arl(L)(\Rc). Таким образом, R = x(L), где
т — рациональная трансдукция, определяемая формулой х(и) =
= Р (а-1 (и) П Re). Это влечет R <= <&.
(b) Для доказательства того, что L\]R ^.<В, каковы бы ни
были LsW и R <= Rat Б*, поступим, как и выше. Образуем мно-
множество С = AL[j Б[} {с}, где В —алфавит, равномощный Б и не
пересекающийся с AL, c<£AL\]B. Определим a: C*^-(AL[jB)*,
Р: C*^(AL[jB)*, положив
а (а) = а для а <= AL, а (Ь) = 1 для 6еВ,
а(с) = да (для фиксированного ше[);
Р (а) = а для qg4 p (b) = Ь для бей, р (с) = 1.
Тогда получим LU R = p (a~'(L)n (Rc\J A'l)), где язык ^c|J^2
рационален в С*.
(c) Чтобы доказать L'R<^<g> и R-L^'S' для произвольных.
Le?? и Я е Rat В*, положим D — AL U В и С = D U D, где В —
алфавит, равномощный D и не пересекающийся с ним. Опреде-
Определим а, Р: C*->-D\ положив a(d) = d, а(й)= 1, P(rf) = PE) = d
для любого rfeD. Тогда L/? = р(a-1 (L)ПD*^), RL = р(а-1 (L)П
^, где языки D*R и i?D* рациональны в С*. □
Из определений 5.1 и 5.2 следует, что для любого семейства
8? языков существуют наименьший рациональный конус и иаи-
5. Абстрактные семейства языков 325
меньшее AFL, содержащие 2?. Они являются пересечениями со-
соответственно всех конусов и всех AFL, содержащих S. Мы пока-
покажем, что наименьший рациональный конус 3~{S), содержащий
2, есть замыкание SB относительно рациональных трансдукций
(Нива [1968], С. Гинзбург, Грейбах [1969]). Наименьшее AFL,
8Г(9?), содержащее &, есть рациональное замыкание семейства
Т{3?), т. е. замыкание относительно объединений, произведений
и итераций (Боассон, Нива [1973]).
Лемма 5.5. Пусть qp: A*-*-D* и ф: В*->-£)*— такие гомомор-
гомоморфизмы, что ф(Л)<=£11{1}, *|3(£)sDU{l}. Тогда
Доказательство. Взяв с ф. А {] В, образуем множество С ==■
= Со U C\ U С2, где
С0 = {(а, й)еЛХЯ; Ф (а) =
Ci = {(a, с): а<=А, ф(а)=1},
С2 = {(с, 6): 6еЛ, а|)(Ь)=1},
и определим гомоморфизмы а: С*^>-А* и Р: С*->В* формулами
а (а, Ь) = а, а (а, с) = а, а (с, Ь) = \;
р(а, Ь) = Ь, Р(а, с)=1, р(с, 6) = 6.
Для любой пары р s С мы имеем ф(а(р)) = "ф (Р (р)) (например,
если (а, й)€Е Со, то ф(а(а, Ь))== ф(а) = ■ф(Ь) = ф(Р(с, Ь))). От-
Отсюда следует, что ф(а(да)) = г|)(Р(ш)) для любого шеС*. По-
Поэтому, положив R— {(и, »)еЛ*ХВ*: ф(ы) = 1|з(о)}, получим
{(а(да), P(tc)): ateC'js^. Обратно, если (ы, y)ej?, т. е.
ф(ы) = 'ф(у), где u = aia2 ■•• am, v ~ b\b2 ... bn, то рассмотрим
подпоследовательности а^, а;2 aik и Ь/^ Ь/2, ..., blk из н и
и, включающие все буквы этих слов, отображаемые посредством
Ф и ф на элементы из D (а не на 1). Мы имеем y(air) = Ф(Ь/ )
для г=\, ..., k. Следовательно, взяв из С* слово
w=(al, c)...(ati-u с) (с, 6,)... (с, ft/1-r)(ai1, 6/()...
мы получим u = a(w) иц = р(ш). Это показывает, что {(а(до),
Р(до)): доеС*}=/?. Левая часть этого равенства, а значит, и
# в силу предложения 2.6 лежит в Rat(A*X В*). D
Предложение 5.6. Композиция двух рациональных трансдук-
ции является рациональной трансдукцией.
Доказательство. Пусть %\\ К\-+&{А*ъ) и т2: Al-^^Al) ~
рациональные трансдукций. Композиция T2°ti есть отображение
326 Гл. 9. Алгебраические языки
А\ в & (Аз), определяемое равенством т2 °ti(«)
В силу следствия 2.7 существуют множества С1( С2,
/С2 €Е RatC2 и гомоморфизмы а, р, у, б:
а.
IT 1 N.
С i /tV
C2
Ul ^>^
2 3
такие, что a(C0 = Л^ О}, Р(С,) = Л2и {1}, у(С2) = Л2и {1},
для любых и ж А\, v « Лг. Гомоморфизмы р и у удовлетворяют
условиям леммы 5.6. Поэтому множество R = {(и, v) e С*\ Х_С«:
Р (ы) = у (у)} рационально в С\ X С2. В силу предложения
2.6 существуют С, /С Q Rat С , Я: С ->Ci и (х: С -*Сг, такие,
что /?={(Я(о>), |х(а>)): ше/С}. Для х^А\, г/еЛ3 тогда и
только тогда г/ s т2 о п (ж), когда существует такое г е Лг, что
zsti(^) и ует2(г), т. е. zep(a-I(*)n/Ci), J/ s б (у-1 (г) П /С2),
или, равносильно, z = P(ci), где с\ е /Ci, a(ci) = A:, и г/ = б(с2),
где с2е/С2, у(с2) = г. Следовательно, у <= т2 о %х (х), если и толь-
только если
(я, г/) г {(a (C|), б (с2)): сх е /Ci, c2 e /С2, (с^ с2) г ^},
или, равносильно,
(х, у) в {(а о Я (ш), боц(да)): шв/СПЛ-Ч/Шц-ТО).
Так как /СП^~1(^1)Пц~'(^2)® Rat С*, следствие 2.7 показывает,
что t2oti — рациональная трансдукция. П
Следствие 5.7. Наименьший рациональный конус, содержа-
содержащий семейство 9? языков, есть ё~(&)= (t(L): LeS1 и т — ре-
региональная трансдукция}.
Чтобы охарактеризовать &~(&) (наименьшее AFL, содержа-
содержащее &), нам потребуется принадлежащая Майхиллу [1957]
лемма о локализации рациональных языков. Мы будем гово-
говорить, что язык L £ Л* есть локальный язык, если L :=(Л;Л*П
ЛЛ*Л2)\Л*Ш* для некоторых множеств Л1=Л, А2^А,
D s Л2 (ср. гл. 7, определение 1.9).
5. Абстрактные семейства языков 327
Лемма 5.8. Для любого рационального языка /(еЛ* сущест-
существуют алфавит С, локальный язык L £ С* и гомоморфизм tp: С* —>
->Л*, такие, что ср(С) = Ли {1} и (p(L) = ft.
Доказательство. Пусть К распознается Л*-автоматом St =
= E, f), т. е. К= {шеЛ*: f(s0, ш)ёГ} для некоторых soe5
и 7gS. Положим
C = {(s, а, 5')е5ХЛХ5: f(s, a) = s'}U{(s, I, s): ssS}.
Определим ф: С*->-А* равенствами q>(s, a, s') = a и <p(s, I, s)«
= 1. По определению ф(С) = Л U {1}. Взяв С] = {(s, a, s')e С:
s = so}, C2 = {(s, a, s') eCis'Grj и D = {(s, a, s') (s", a', s'") s
gC!: s'^s"}, образуем локальный язык L = (C\C* [\ C*C2)\
\C*DC*. Простая проверка показывает, что tp(L) = /(. П
Из леммы 5.8 и следствия 2.7 вытекает: для любой рацио-
рациональной трансдукции т: Л*^-^(в*) существуют алфавит С,
локальный язык К £ С* и гомоморфизмы аир, такие, что
а(С) = Ли{1}, P(C)=BU{1} и т(м) = Р(а-1(«)П^) Для лю-
любого и е Л*.
Теорема 5.9 (Нива, Боассон [1971]). Наименьшее AFL
^(З7), содержащее семейство языков 9?, совпадает с рацио-
рациональным замыканием наименьшего рационального конуса
содержащего S\ ST{g) Rt(B'))
Доказательство. Так как T{&)<=:SF{g) и &~{&) замкнуто
относительно объединений, произведений и итераций, имеем
Rat(ZTB'))S:SrB'). Поэтому достаточно показать, что
Rat(^"B")) есть AFL, или, равносильно, что Rat(^"B')) замк-
замкнуто относительно рациональных трансдукции. Это непосред-
непосредственно вытекает из следующей леммы, если ее применить к се-
семейству
Лемма 5.10. Для произвольного семейства языков 3? выпол-
выполняется соотношение ^"(Rat 2")s Rt(B
Доказательство, (а) Для любых языков L\, L2sA* и про-
произвольной трансдукции т имеем %{L\ \}Li) = x(L{)\}%{L2). Сле-
Следовательно, если Lh L2<^&, то %{LX \}L2)^ Rat(^"B7)I).
(b) Допустим, что L\, L2^A+ и t: Л*^-^(в*) — рациональ-
рациональная трансдукция. Тогда существуют алфавит С, локальный язык
К = (С)С*П C*C2)\C*DC*, гомоморфизмы аир, такие, что
т(L,L2) =p(a-1 (LiL2)f\K) (здесь а(С) = Ли{1}, P(C)=SU
U {1}). Для любого w et(LiL2) найдутся ге К, h &Lit l2 e L2,
*) Строго говоря, этой импликации недостаточно. Корректное доказатель-
доказательство можно провести индукцией по длине регулярного выражения над «алфа-
«алфавитом» $ (см. гл. 6, упр. 7). То же относится и к следующим пунктам до-
доказательства. — Прим. перев.
328 Гл. 9. Алгебраические языки
такие, что ш = Р(г) и a(z)= l\k. Так как и 1\, и /2 отличны от
1, можно записать 2 = 2^2, где <x(z\)=l\, a(z2) = l2 и zu г2ф\.
Если с — последняя буква в z\, a d — первая в 22, то z] = z[c
и z2 = dz", причем cd^D, поскольку z^C*DC*. Отсюда сле-
следует, что Z\ принадлежит локальному языку Кс = {С\С* П С*с)\
\C*DC*, 22принадлежит локальному языку/СС=((С \с~'о)С*П
П СС2) \ С'DC*, и pB,)ep(a-1(/i)n/(c), Р B2) е р (сГ' (/2) П
П Кс)- Если через хс и те мы обозначим трансдукции, опреде-
определяемые гомоморфизмами a, p и множествами Кс и К'с соответ-
соответственно, то только что доказанное означает справедливость
включения t(LjL2) E Uc ecTc (-^i)Te (^s)' Простая проверка по-
показывает, что обратное включение также верно. Это доказывает,
что т(LiL2)е= RatC~{S)), если Lh L2 e= S и \<£LU 1 ^ L2.
Если же Li или L2 содержат 1, то запишем L1 = L'1U{1} или
L2 = L2U{1} и применим (а). Таким образом, во всех случаях
Lx, L2<=% влечет T(L,L2)e Rat(^'B7)).
(с) Допустим, что LS.4+ и т — рациональная трансдукция.
Как и в (Ь), имеем т(^)=Р(<г^+)ПК), где /С = (CiC* П
ПС*С2)\С*/)С*. Если a»et(L+)\t(L), то а> = Р(г) для неко-
некоторого г е /С и а (г) = /]/г ... /л, где /ь /2, ..., /»ei, n ^ 2.
Как ив (Ь), можно записать 2 = 2i22 ... zn, где a (zi)— U для
каждого I, I ^ i ^ п. Взяв последнюю букву с,- и первую букву
Л в каждом 2,-, получим 2г = z\ci = d;2". Отсюда следует, что
2] и 2„ принадлежат локальным языкам Ксх и К'с соответ-
соответственно, определенным так же, как в (Ь). Далее, при i = 2, ...
..., п— 1 слово 2, принадлежит локальному языку K."{ci-\, c,-)=
= ((С \ с-,1,/)) С* П C*d)\C*DC*. Следовательно,
Р B,) <= р (а-' (/,) П ^), Р («„) вр(в-' (/„) П Кп_)
и для 1 <; / < «
pBi)ep(a-'(/i)nr/(ci_1, с,)).
Определим трансдукции формулами %с (/)=Р (а (/) П Кс), \ (I) =
= Р(а-1а)ГЮ и <;d@ = P(a-ia)n/<:"(c, d)) для любых с,
deC; при этом L<=SE влечет теA), t;(L), t^d(L)s ^"(S7).
Рассмотрим теперь дизъюнктные алфавиты J = {xc: се С}, J' =
= {х'с: с<=С), Y = {yc d: с, deC}, построим Ъ = Х[)Х'{)У и
определим подстановку a: 2*-^-^5(S*), положив а(х) = т (L),
а (х'с) = т; (L) и а (^ d) = < d (L). Тогда
да = рB)==рB1)рB2)...рB„)е
о(хс)о(у Ло(у.
en-ven-i
5. Абстрактные семейства языков 329
или weafx^ ы „ и „ ...«, „ х' V Это показывает, что
V С1 еГ е2 е2' С3 Сп-Тсп-\ СП-\>
■t(L+)\T(L)£a(C/), где U — локальный язык:
а V = 22 \ {хсус d, ус dydt с„ ус dx'd: с, с', d е= С]. Мы оставляем
читателю в качестве упражнения проверку того, что x(L+)\
\x(L) = a(U). Поскольку [/ — рациональный язык, а каждая
буква из 2 отображается на элемент из ST{L), получаем <т(£/)е
s Rat(^~B7)), если LG57. Таким образом, L^.21 влечет
T(L*) = T(l)UT(L)Ua(O')eRat(Sr'(^)). Из (а), (Ь) и (с) сле-
следует, что (R2)Rt(B))
Определение 5.11. Рациональный конус ^ называется глав-
главным конусом, если Ч? = £Г({Ь}) для некоторого языка L. AFL27
называется главным AFL, если S7 = #"({L}) для некоторого
языка L.
Если ЧР = !?~({L})—главный конус, то для L\, L^^^ су-
существуют рациональные трансдукции %\ и тг, такие, что L\ —
= x\(L), L<i = %2(L). В силу следствия 2.7 существуют два алфа-
алфавита С\ и Сг, которые мы можем считать дизъюнктными, языки
Ki e Rat С; и гомоморфизмы ос*, р,-, такие, что тгA)=рг (аГ1 (L) П
ПД"г) для г = 1, 2. Определим а: Ci U С2—>-/Iz. и 0: CiUC2->
-^^■и^г» положив а(с)=а,(с), р(с) = Р/(с) для любого c^Ci
(i=\, 2); очевидно, U U L2 = р (а-1 (Z-) П (^Ci U ^2))- Это пока-
показывает, что главный конус всегда замкнут относительно объеди-
объединений.
Следующий результат демонстрирует важность главных AFL.
Предложение 5.12. Пусть 3? — конечное семейство языков.
Тогда наименьшее AFL^"(^), содержащее 3?, является глав-
главным.
Доказательство. Применяя индукцию по числу языков в 2',
достаточно доказать наш результат для Я? = {L\, L2}. Взяв
с ф А = Аи U Аи, образуем язык L\ U cL2 и покажем, что
3T({L\\} cL^))= ^(S). В силу предложения 5.4 имеем
ЗГ({Ь\ U cL2})<= &"{{L\, L2}). Обратно, докажем, что L\ и Li
служат образами языка L\ U cL2 относительно рациональных
трансдукции. Определим а, E: А \] {с} ->(Л U {с})*, положив
а(а)=Р(а)=а для любого а^А, а(с)=с, р(с) == 1. Тогда
L,=-P(a-1(L,UcL2)n^4*) и L2 = p(«-] (I, U cL2)fl сЛ*). Отсюда,
завершая доказательство, получаем Li, L2 e^"({L] U cL2}). D
Было показано, что существуют неглавные AFL (см. Интема
[1967], Грейбах [1969, 1970]). Прямо из определений вытекает,
что семейство 91 всех рациональных языков является главным
330 Гл. 9. Алгебраические языки
конусом и главным AFL, порожденным произвольным элементом
/(е£ Мы закончим данный параграф доказательством того,
что семейство s4- всех алгебраических языков является главным
конусом и главным AFL, порожденным языком Дика.
Лемма 6.13. Любой алгебраический язык L дД+ может быть
порожден грамматикой T = (V, А, я), у которой я содержит
лишь правила вида а->Ру или о.-*-а, где а, р, у е V^sA и
а&А.
Доказательство. Мы только наметим доказательство, остав-
оставляя детали читателю в качестве упражнения. В силу предложе-
предложения 1.3 и замечания 1.4 можно считать, что L = L(To, <*), гДе
Го = A/о, А, по) — грамматика без правил вида а->р и а->1
(а, ре Уо\Л). Разобьем доказательство на два этапа.
(a) Допустим, что Яо содержит правило а—°^v1v2- ■ .£>„, где
п :ss 2, vi, V2, ..., vn e Vo и слово v\v2 ... vn содержит по край-
крайней мере одно вхождение буквы из А. Для каждого г>*еЛ вве-
введем новый символ у, ф. Vo и определим правило Y* —*■ ®i (от-
(отметим, что в действительности под yt подразумевается
yi,a,vlv2...vn)- Далее, определим правилоа—+ v\v'2.. .v'n, где v\=
= vit если огеУ0\^, и v'{ — yt, если vt&A. Построим Г] =
= (У], Л, Я]), взяв в качестве V\ множество Vo вместе со всеми
я,
новыми символами yi, а в качестве Я1 — все правила y< —*■ ®i
и а—>v\v'2...v'n, определенные выше, вместе с правилами
изяовидаа->а (аеЛ) na->PiP2 ••■ Р« (Р« s 7о\Л). Можно
проверить, что L = L(Ti, а) и все правила в Г] имеют вид
a->a (ае=А) и а->Р,р2 ... Р„ (Р<е Vi\i4), где п ^ 2.
(b) Исходя из Г], следующим образом построим грамматику
Г, удовлетворяющую требованиям леммы: для каждого пра-
правила a—* piP2-• »Рп» где рг е ViKA и п > 2, введем новые
символы бь бг бп-2 и новые правила a—*"Pifiii6i—*" Р2^2»---
..., бг-^>рг+16;+1 б„_2—> Р„_1Р„ (опять, каждый но-
новый символ б; следует рассматривать как бг, а> р,р2...рп). Грам-
Грамматика Г определяется как тройка (V, А, я); где V = V\ U {все
я ( я,
новые символы}, а я состоит из правил a—*" Р1Р2 \если a—>■
—*■ Р1Р2) вместе с определенными выше новыми правилами.
Снова проверяется, что L = L (Г, a). D
Грамматика Г из леммы 6.13 будет называться квадратичной
грамматикой для L. Теперь мы отсылаем читателя к примеру
1.1 (d), где язык Дика над 2л буквами охарактеризован как
содержащий 1 класс конгруэнции, порожденной парами
5. Абстрактные семейства языков 331
(atdi, 1), (ami, 1), 1 sg; i sg; п. Мы обозначим этот язык посред-
посредством D*n (он порождается бипрефиксным кодом Dn). Анало-
Аналогично, ограниченный язык Дика обозначается посредством D'*
Теорема 5.14 (Хомский, Шютценберже [1963]). Пусть
L s А* — алгебраический язык. Существуют язык Дика D*n (со-
(соответственно ограниченный язык Дика D'^ над алфавитом X,
рациональный язык К^Х* и гомоморфизм ф: Х*->Л*, такие,
что L = ф (£>* П К) [соответственно L = ф (J)'* (] К)).
Доказательство. Очевидно, можно считать, что L s A+. Со-
Согласно лемме 5.13, существует квадратичная грамматика Г =
= (V,A,n), порождающая L. Пусть V\A = {cci, a2, ..., а/}
и А = {аи а2, ..., ат}. Для каждого правила а{—>• a;afe введем
новые символы x[k, x[k, y[k, y\k, z[k, z[k, а для каждого пра-
правила щ—► а} введем /', t{. Пусть X — множество всех этих
новых символов; построим грамматику Г" = ((У\Л)и^, X, к'),
где я' определяется следующим образом:
at —->■ x^y^o.iy^z^akz^x^ для каждого правила at —*• ар.к,
ai—>t[t[ для каждого правила щ—*-а/.
Можно мыслить себе Г' получаемой из Г заключением всех сим-
символов из правых частей правил я и самих правых частей в раз-
различные скобки. Положим Li = L(T, a,), L; = L(r', аг) и опре-
определим ф: Х*->А* формулами ф (дг) = 1 для любого лге X \ \t\:
m -^-+t'iii} и ф(НI°а/. Тогда 1г = фAг) для всякого /= 1, ...
.,., /. Мы покажем, что L'i=D*f\Ki, где D* — язык Дика (или
ограниченный язык Дика) над X, а /(,■<= Rat X*. Чтобы опреде-
определить Ki, проанализируем локальное строение L'{. Непосред-
Непосредственное изучение я' показывает, что любое слово шг е L\ на-
начинается символом х\ или t[, а заканчивается символом
Цк или t[. Далее, возможные подслова длины 2 в ш; имеют
ВИД!
(J7I „/*„/* rJk?lk ~>lk*lk-
till, Xi У1 , yi Zt , Zt Xt ,
b\, y?xf, t)g[\ x\my\\
для всех t, /, k, /, появляющихся в правилах я'.
Обозначим через W дополнение в X2 к множеству всех слов
вида (Z), а через Xt (соответственно Х{) множество всех симво-
символов х[к, t{ (соответственно x'f, ~t[). Рассмотрим локальный
332 Гл. 9. Алгебраические языки
язык Ki = (XiX* П X*Xt)\X*WX*. Мы утверждаем, что и в самом
деле L\ = D* f\ Kr Сначала заметим, что w ^ L\ тогда и только
тогда, когда выполняется одно из условий:
(а) /(да) = 2 и да = *Ш;
(b) /(до) > 2 и w = xliky[kw/ytikzlikw"zikx{k,
где le'eLj, te"Gi;, /(а/)</(до), /(tw^X^tw).
я'
Это вытекает из того факта, что в выводе at=>w либо первое
правило есть сц-^-гД, и тогда w удовлетворяет (а), либо
первое правило есть а(. JL> х\ку[ка. yi.kz[kakz\kx\k, и тогда w удов-
удовлетворяет (Ь). Индукция по l(w) показывает, что /,', Е О' П /((-
Заметим, что эта индукция использует одно очевидное свойство
языка D*: если w e D*, х^Х, то xwx ен D*. Чтобы доказать
включение D'OR^L';, мы неоднократно будем использовать
следующее свойство (Pi) языка D* (см. упр. 8):
Свойство (Pi). Пусть D* — язык Дика (или ограниченный
язык Дика) над алфавитом X. Если xw e Z)*, х ен X, то сущест-
существуют w' e X*, w" e D*, такие, что xw = xw'xw".
Предположим, что aigD*f| Ki. По определению Xt слово w
начинается с Ц или х[К В случае когда w начинается с /{, бу
дем иметь w=t\w'V(w", где w"^D* и t[ w'Vi e D*'. Если
ш"=7^1, то первая буква в ш" есть у1/ или г*'.для некоторых
г, s, причем до" е D*\X*WX*. Мы докажем, что это невоз-
невозможно (см. ниже свойство 5.14.1). Следовательно, до"=1 и
w = t[w't[. Если до'=тМ, то первая буква в о/ есть п по опре-
определению W, и до = t{t{w"t{; то же, что и выше, рассуждение дает
ш//^=1, т. е. противоречие. Поэтому w = tii{ и w e L;. В слу-
случае когда слово до е £>*(")-Кг начинается с хр, имеем до =
—x\kw'x\hw", где до" е Z)*\X*WX*. Опять до" должно начинаться
с г/^5 или zsrl; как и выше, это влечет w" = 1. Далее, до =
= A;pt(y/x/fe = xP^fetw"f{feJcJft. Используем следующее свой-
свойство (Рч) языка D*\
Свойство (Р2). Если JteX, w^X*, то xwx
Отсюда выводим y[kw"z[k <= D* \X*WX\ Комбинируя (Pi)
с определением W, получим до = xtikylkwlyllkz[kwkzlikxllk, где до; е
^^ГГГ), ш»еО'П(Л:/\ЛЛ- Если, приме-
применяя индукцию по длине слов, мы предположим, что все слова
до/( такие, что 2 </(©/)</(©) и до/ <= £>* n(^/X»\X*W^»), ле-
5. Абстрактные семейства языков 333
жат в Ц, то из до,- ен Ц, wu s Li по условию (b) следует
w<=L'i. Это показывает, что фактически D'(\(XtX*\X*WX)s
s Li. Из включений L\ ;=£>* П /С< sD* (] (XX \ Г ГГ) = Ц окон-
окончательно выводим L't = D* П /С;. Для .завершения доказательства
остается установить
Свойство 5.14.1. Если w ^ D*\X*WX*, шф\, то ни одна из
букв y[k, z\k, x[k, t{ не может быть первой буквой слова w.
Допустим, что D*\X*WX* содержит слово, первой буквой
которого служит одна из вышеупомянутых. Пусть w ен D*\
\X*WX* — слово минимальной длины с таким свойством. Если
первая буква в w есть zih, то w = z[kw/zVlw", где до', ш"е
е D*\X*WX*, согласно (Pi) и (Р2). Так как первой буквой в
w' должна быть x(k и /(до') < l(w), мы приходим к противоре-
противоречию. То же рассуждение проходит в случае до = x\kw'x[kw". Если
w = y[kwry[hv", то до' = z^w'"z[kt. Поскольку z[ky{k e W,
слово f непусто и его первая буква есть x(k. Опять неравенство
l(t)<.l(w) ведет к противоречию. Если же w = i{w't'tw", то
слово до' непусто, его первой буквой служит y[s или zsr', что
вместе с /(до')< /(до) дает противоречие. Этим завершается до-
доказательство свойства 5.14.1 и теоремы 5.14.
Следствие 5.15. Семейство s4 всех алгебраических языков
является главным конусом и главным AFL, порожденным язы-
языком Дика D\ (равно как и ограниченным языком Дика D'2*)-
Доказательство. Нам нужно следующее свойство языков
Дика (см. упр. 8):
Свойство (Рз). Пусть D*n — язык Дика (соответственно огра-
ограниченный язык Дика) над Хп= {хи лс2, ..., хп, х\, х2, ..., х„},
где п ^ 1, и D* — язык Дика (соответственно ограниченный
язык Дика) над А2 = {а, Ь, а, Б}. Определим ^¥ : Х*п-> А*2, поло-
положив Ч^Х;) = а'й, 4?(jct) = bdl. Тогда D*n =Wl (ZJ).
Если L£А* — алгебраический язык, то по теореме 5.14 бу-
будет L=q> (D*n П К) для некоторого п ^ 1 и/CeRatX^. Отсюда сле-
следует, что L = 9('lF~1 {D*2) П К) = т (^*>)> где т — рациональная
трансдукция. Поэтому sQ-^T ({Oj}) s ЗГ ({D*2}) s s£ (послед-
(последнее включение вытекает из предложений 2.1 и 2.2 и следствия
2.8). Таким образом,
334 Гл. 9. Алгебраические языки
Библиографические замечания
Контекстно-свободные грамматики были введены Хомским [1959] в каче-
качестве математической модели для грамматик естественных языков. Многие про-
проблемы разрешимости, касающиеся алгебраических языков, исследовали Бар-
Хиллел, Перлз и Шамир [1961]. Идея использования степенных рядов для
изучения языков принадлежит Шютценберже [1959b]; см. также Хомский,
Шютценберже [1963], где изучаются дальнейшие свойства контекстно-свобод-
контекстно-свободных языков (например, языки Дика). Рациональные трансдукции были вве-
введены Элготом и Мезеи [1965]. Систематическое исследование контекстно-сво-
бодиых языков, основанное на трансдукциях и их алгебраических свойствах,
было начато Нива [1968]. Изложение в § 2 и 5 непосредственно инспириро-
инспирировано работами Нива [1968] н Боассона [1971]; например, доказательство
теоремы 5.14 принадлежит Нива.
Традиционный формализм акцепторов (автоматов с магазинной памятью),
используемый при изучении алгебраических языков, недавно был усовершен-
усовершенствован Голдстайном [1977] благодаря введению автоматов с хранением дан-
данных (automata with data storage). Эта статья содержит, в частности, элегант-
элегантные и короткие доказательства теоремы 5.14 и следствия 5.15.
Упражнения
1. Пусть А = {I, Х- +} н V= A[J{e}. Грамматика Г= (V, А, я) с
правилами я: а-^сХо1, а-*-о + о, а-*-1а, а—>-1 неоднозначна. Сравнить Г
с грамматикой Г'= (V, Л', я'), где А' = {/, X, +, Щ, V = A' U {а} и
я/: а-^У.а2, ог->-+а2, а-*-1а, а-+1Ь (см. пример 1.1 (е)) (Гросс, Лантен
[1967]).
2. Найти слова в Ь(Г, о), неоднозначные относительно грамматики Г:
а-*-хх, х-*■ аа + 66 -f- axa -f бтб из примера 4.4.2.
3. Пусть А = {а, 6, с} и L = [wcw: w е {а, Ь}*} (см. пример 1.1 (а)).
Показать, что подмножество V из L тогда и только тогда является рацио-
рациональным языком, когда оно конечно.
4. Напомним, что грамматика называется линейной, если все ее правила
имеют вид a-+u$v или a-*-w, где а, 3 е V\A, a и, v, w e А*. Язык назы-
называется линейным, если он может быть порожден линейной грамматикой. Ли-
Линейные языки образуют рациональный конус, но не AFL (язык ucucvcv, где
и, и е {а, 6}*, не является линейным).
5. Язык L называется металинейным, если Z- «= Z. (Г, а) для некоторой
грамматики Г= (V, А, п), где я содержит линейные правила, правила
a-+w, »sl", но не содержит правил а-э-очаша, где Wi, ai|S V* (и, сле-
я
довательно, для любого w e V*, такого, что а =*- w, степень слова w над
V\А ограничена). Язык L металииеен, если и только если L является конеч-
конечным объединением произведений линейных языков (Хомский, Шютцеиберже
[1963]).
6. Язык Le/)s называется ограниченным, если L = {wi}*{wz}*... {wn}*
для некоторых W\, w2 wneA*. Семейство Ш всех ограниченных алгеб-
алгебраических языков содержит все конечные языки и замкнуто относительно
объединения, умножения и образования языков вида (и, v) * L = Un ^ 0 unLvn
для произвольных и, v e А* (на самом деле 9Z есть в точности наименьшее
семейство языков с такими свойствами, но доказать это значительно труд-
труднее) (С. Гинзбург, Спеньер [1964]).
7. Пусть и — конечное подмножество из А+. Рассмотрим грамматику
Г •= (А 0 {о}, А, я), где я состоит из правил а-*-\ и а -*■ eaieai... аапа для
любого и = aiu2... ап е U. Язык L(V, а) совпадает с классом единицы 1
относительно непредставления моноида М = {А; и = 1 для любого и г U)
(С. Гинзбург [1966, упр. 1.1.6]).
Упражнения 335
8. Доказать свойства (Pi), (Р2), (Ps) языков Дика Dn и ограниченных
языков Дика Dn, сформулированные в доказательствах теоремы 5.14 и след-
следствия 5.15 (Нива [1968]).
9. Пусть R— коммутативное полукольцо н ряд f eR[[A]] не имеет сво-
свободного члена (т.е. /A) =0). Ряд / распознаваем тогда и только тогда,
когда существуют п > 1 и представление 9: А*-+3?(п, R), такие, что /(ш) =
= [9(ш)]1,„ для любого w е Л+ (индексы 1, п указывают положение эле-
элемента в матрице 6(ш)) (Шютценберже [1962]).
10. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и 81. А*-*-3?(п, R) —
представление и X «-матрицами над R. Определим #-Л*-автомат как /^-ав-
/^-автомат й, множеством состояний которого служит свободный /?-модульЛ(п) =
= R X R X ■•■ X R, a va — vQ(a) для любых v = (/4, r2, ..., rn) <= rw и
a <= А. Язык Lg/1* тогда и только тогда ^-рационален, когда он распозна-
распознается некоторым /?-Л*-автоматом с начальным состоянием v0 e /?<"' и мно-
множеством заключительных состояний Т = {tisfJM: /(и) ¥=0} для некоторой
линейной формы / на /?<"> (т.е. / е Homj.(R(n), R)).
11. (а) Пусть 9 «= (S, /) —конечный Л*-автомат с начальным состоя-
состоянием So и множеством заключительных состояний rgS. Возьмем отображе-
отображение 6: SXA-+S'(n, Z) и некоторое множество {//} линейных форм иа
Z<">, индексированных элементами из Т. Построим Л*-автомат 59 =
= (SX Z<"\ ф), где ф((в, о), а) = (f(s, о), ов(о)) для любых seS,
oeZ(">, aeA Взяв (s0) t»o) в качестве начального состояния и
д = т X {v e Z с»: //(и) ?ь 0 для любого t о Г}
в качестве множества заключительных состояний автомата 59, показать, что
язык, распознаваемый 59, является Z-рациональным (можно построить пред-
представление 0': A*-*-3?(mn, Z), где m ■= card S, полагая элемент с индексами
(('> /). (У> /')) в 6'(а) равным [B(S{,a)]j ^, если f(sh a) = sir, и равным
нулю в противном случае).
(Ь) Пусть S = {so, Si, s2, s3, si}, A = {a, b), a f задано таблицей
| So Sj S2 S3 Si
s\ Si s3 s3 Si
Si Sj Si Si Si
Положим
6(s0 a)-=e(si, a) =(J ]), 6(s2, a)=0(s3, a)=
а в остальных случаях 6(si, a), 8(s;, 6)—нулевые матрицы. Пусть оо =»A,0),
Т = S, /s (Гц г2) = г2 и /s произвольны при i ^ з. Тогда язык, распозна-
распознаваемый автоматом 59, есть /.. = A*\{akbak: k > 0}. Язык L ие является ра-
рациональным, а его дополнение в А* не является Z -рациональным (Шютцен-
(Шютценберже [1961b]).
АГк ПРОБЛЕМЫ БЕРНСАЙДА
Глава |у и БЛИЗКИЕ ВОПРОСЫ
Общая проблема Бернсайда состоит в следующем: всякая ли
конечно порожденная периодическая группа конечна (Бернсайд
[1902])? бтвет отрицателен, как показано Е. С. Голодом [1964]
в статье, основанной на теореме Голода — Шафаревича [1964];
см., например, Херстейн [1968, гл. 8]1). Однако Шур [1911J по-
показал, что конечно порожденная периодическая группа матриц
над полем комплексных чисел конечна, а Капланский [1965]
дал доказательство этого результата для матриц над произ-
произвольным полем2).
Ограниченная проблема Бернсайда касается конечно порож-
порожденных групп ограниченного периода, т. е. удовлетворяющих
тождеству хп = 1 для некоторого фиксированного целого /г3).
П. С. Новиков и С. И. Адян [1968] доказали существование для
любого нечетного п ^ 4381 бесконечной группы с т (т > 1)
образующими, удовлетворяющей тождеству хп = 1. Эта оценка
была улучшена до п ^ 665 С. И. Адяном [1975°]4). (Доказатель-
') См. также книгу М. И. Каргаполова и Ю. И. Мерзлякова [1982*],
в которой изложен и пример Е. С. Голода (п. 18.3.2 и § 26), и более поздние
примеры С. В. Алёшина и Р. И. Григорчука (в § 23, где, кроме того,
имеются указания и на некоторые другие примеры, отрицательно решающие
общую проблему Бернсайда). Пример Р. И. Григорчука приводится н в об-
обзорной статье С. И. Адяна [1984*]. — Прим. ред.
г) Ранее теорема Шура была распространена на случай произвольного
поля в работе Д. А. Супрунеико и В. П. Платонова [1963*], причем, как
отмечают авторы этой работы, доказательство в этом случае в общих чертах
повторяет метод Шура и не выходит из круга его идей. Доказательство тео-
теоремы Щура см., например, в книгах Б. И. Плоткииа [1966*, гл. IX, § 2],
Херстейна [1968, § 2.3], Д. А. Супруиенко [1972*, § 23], Ю. И. Мерзлякова
[1980*, § 52]. — Прим. ред.
3) Эту вторую проблему иногда называют и просто проблемой Бернсайда,
употребляя в этом случае для первой из указанных проблем название обоб-
обобщенная проблема Бернсайда. — Прим. ред.
4) Основные идеи метода П. С. Новикова и С. И. Адяна воспроизведены
в упомянутой уже выше статье С. И. Адяиа [1984*], содержащей, кроме того,
обзор различных приложений этого метода или его модификаций, а также
краткий исторический очерк исследований, связанных с проблемой Бернсайда.
Доказательство теоремы Новикова — Адяна, значительно более короткое, не-
нежели оригинальное, но, впрочем, с существенно худшей оценкой (п > 10'°),
дано в работе А. Ю. Ольшанского [1982а*]. В его же работе [1982Ь*1 по-
сЧр'бен пример бесконечной группы, в которой все нетривиальные подгруппы
/. Факторизационная лемма для свободных полугрупп 337
ство, предложенное Бриттоном [1973], содержало, как выясни-
выяснилось, ошибку; см. С. И. Адян [1975°] '))• Пусть B(k, О, п) обо-
обозначает группу с k образующими, свободную в многообразии
групп, определяемом тождеством хп=\. Ограниченная проб-
проблема Бернсайда состоит не только в" нахождении тех бернсайдо-
вых групп B(k, 0, п), которые конечны, но и — более общо —
в описании особенностей их строения 2).
Данная глава содержит ряд результатов, касающихся проб-
проблем Бернсайда для полугрупп и моноидов. Мы излагаем дока-
доказательство теоремы Мак-Нотона — Закстайна [1975]: конечно
порожденная периодическая полугруппа матриц над полем ко-
конечна3). Устанавливая это, мы следуем Жакобу [1976], кото-
который доказал более сильный результат: проблема конечности
линейной полугруппы разрешима (см. также Закстайн [1977]).
Ограниченная проблема Бернсайда для полугрупп или монои-
моноидов состоит в изучении полугрупп B(k,m,n) с k образующими,
свободных в многообразии, заданном тождеством хт = х",
О г£[ т < п. Полугруппа В (k, 1,2)— свободная связка с k обра-
образующими— конечна (Грин, Д. Рис [1952]; они изучали общий
случай полугрупп B(k,\,n)), а В(k, т, п) при k ^ 2, т ^ 2 бес-
бесконечна (Морс, Хедлунд [1944]; Бжозовски, Чулик, Габриэлян
£1971]).
1. Факторизационная лемма
для свободных полугрупп
Определение 1.1. Рангом на полугруппе 5 называется отобра-
отображение г. 5-> №, такое, что
r(SiS2)=^ inf(r(si), r(s2)) для любых Sj, s2eS.
Мы всюду будем предполагать, что все ранги ограничены,
т. е. для любого ранга г на 5 существует такое пе№, что
r(s)^n для всех se5. Типичные примеры рангов на полу-
полуимеют один и тот же порядок п, где « — любое достаточно большое (я>1075)
простое число; этот пример решает целый ряд теоретико-групповых проблем
и, в частности, дает, очевидно, еще одно решение ограниченной проблемы
Бернсайда. — Прим. ред.
') Имеется и признание самого Бриттона (со ссылкой на книгу С. И.Адя-
на [1975°]) в сборнике под ред. С. И. Адяна, Буна и Хигмана [1980*], см.
стр. 71—72 —Поим. ред.
2) Некоторые из таких особенностей устанавливаются в §§ 2 и 3 гл. VI
книги С. И. Адяна П975°! См. также С. И Адян [1984*].— Ярил. ред.
3) Этот результат независимо был установлен также И. С. Понизовским
[1975*] и Л. Б. Шнеперманом [1975*]. В работе Л. Б. Шнепермана [1982*]
получен более общий результат: доказана локальная конечность периодиче-
периодических полугрупп линейных отношений на конечномерном векторном простран-
пространстве над полем (линейное отношение на К — это подпространство простран-
пространства V © V), — Прим. ред.
338 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
группах возникают благодаря представлениям. Пусть ф: 5->
-*-Мп(К)— гомоморфизм 5 в полугруппу Жп{К) всех иХ«-
матриц над полем К; определяя r(s) — dim Imcp(s), получаем
ранг на 5, ограниченный числом п. То же самое справедливо
для tp: S-+ZTn, где Э~п — полугруппа всех преобразований на
«-элементном множестве, a r(s)= cardlm(p(s).
Определение 1.2. Пусть 5 — полугруппа. Факторизованным
сегментом элемента s e 5 называется последовательность
(sb S2 Sk) элементов из S, такая, что s = usis2 ... skv для
некоторых й,ое SK Каждый элемент Si (I ^ i ^ k) называется
фактором сегмента (si, «2, ..., sk). Говорят, что ранг г на S
постоянен на факторизоеанном сегменте (su s2 Sk) эле-
элемента s, если
.. Sk) для любого I, 1 ^ i ^ k.
Индукция по / показывает, что r{s\S2 ... s/)^ inf(r(si),
() r(sl))- Следовательно, г постоянен на (sb S2, ..., s,%)
тогда и только тогда, когда для любых /, /, 1 ^ i < / ^ k,
r(SiSi+i ... S/_iS/) = r(SiS2 ... Sk),
так как, по индукции, r(si ... s;_iS/)^ inf(r(s( ... s/_i), r(st)) =
( )
( (
Следующая комбинаторная лемма, принадлежащая Жакобу
'[1978], имеет много приложений и является ключевой для до-
доказательства разрешимости линейной проблемы Бернсайда.
Лемма 1.3. По данной функции v: N->-N можно эффективно
вычислить функцию Rv: N-*N, обладающую следующим свой-
свойством:
для любого ранга г на свободной полугруппе А+, ограничен-
ограниченного числом п, и для любого слова w = А+, такого, что r{w) ф О
и l(w)^s Rv(n), существуют число saN а факторизованный
сегмент слова до, имеющий v(s) факторов w\, Дог a\,(s),
каждый длины ^ s, на котором ранг г постоянен.
Доказательство. Мы построим последовательность {lk} целых
чисел, такую, что любое слово w ранга r(w), k ^ r(w)^. n, и
длины Ik допускает факторизованный сегмент с v(s) факторами
(для некоторого s), на котором ранг г постоянен. Можно взять
/n = v A), поскольку в слове ранга п каждая буква тоже имеет
ранг и; поэтому любое слово ранга п и длины v(l) содержит
v(l) последовательных букв, на которых ранг постоянен. До-
Допустим, что lk+i уже построено, и положим k = lk+\v(lk+i).
Пусть w — такое слово, что k^r(w)^ n и l(w)=k. В случае
когда w имеет делитель Длины h+i и ранга ^ k-\- 1, этот дели-
делитель допускает факторизованный сегмент с v(//e+i) факторами
длины «^ U+i, на котором ранг постоянен, и, значит, то же самое
/. Факторизационная лемма для свободных полугрупп 339
справедливо для w. В противном случае составим факторизо-
ванный сегмент для w из v(lk+i) последовательных делителей
слова w, имеющих длину lk+\. Так как w имеет ранг ^ k и так
как все делители длины lk+i имеют ранг < k-\- 1, ранг в точ-
точности равен k на v(lk+i) последовательных делителях слова w.
Чтобы удовлетворить требованиям леммы, достаточно взять
#v(n) = /,; следовательно, Rv определяется индуктивно форму-
формулами #v(l) = v(l), Rv{n+ \) = Rv(n)v(n). D
Следующие непосредственные приложения факторизацион-
ной леммы представляют независимый интерес. Более сильным
вариантом следствия 1.4 является теорема 1.7 (ниже).
Следствие 1.4. Пусть А — конечное множество и г — ранг на
А+. Существует такое натуральное М, что любое слово доеЛ+
длины ^ N, имеющее ненулевой ранг, можно записать в виде
w = W1UW2UW3, где u<sA+, wu w2, ш3еЛ* и r(u)= r(uw2u).
Доказательство. Положив card A = q, определим v: N->N
формулой v(s) = (l — qs+l)/(\—q). Заметим, что v(s) — это
число слов длины ^sb А*. Если г ограничен числом п, возьмем
N = Rv(n). Согласно лемме 1.3, если l{w)~^.N, то существуют
ssN и факторизованный сегмент («ь «2, ..., «V(s))> на котором
г постоянен. Следовательно, w = W\Uxu2 ... uv(S)W3, где w\, Шзе
е Л* и 1 ^ l(ui) ^ s для любого щ, 1 ^ I ^ v(s). По определе-
определению v(s) получим щ = Uj = и для некоторых i, /, 1 ^ i < / ^
^ v(s), и до = w\UW2UWb, где r(u) = r(uw2u). П
Следствие 1.5. Пусть S = Endn(V, К)— полугруппа всех эндо-
эндоморфизмов векторного пространства V размерности п над телом
К, и пусть А—конечное подмножество из S. Тогда существует
такое натуральное N, что любое произведение ага2 ... аи более
чем N эндоморфизмов из А можно представить в виде п\п2 ...
... ai(ai+i ... aj)aj+i ... ak, где g =» ai+i ... а/ лежит в неко-
некоторой максимальной подгруппе из S.
Доказательство. Отображение включения /: A-+-S продол-
продолжается до гомоморфизма ф: Л+^-5, а равенство (для любого
®еЛ+) г(ш)= dim 1тф(ш) определяет ранг на Л+, ограничен-
ограниченный числом п. Если l(w)^N, где N дается следствием 1.4, то
можно записать w = wiuw2uw3 и r(u)'=r(uw2u). Докажем, что
эндоморфизм g = y(w2u) лежит в максимальной подгруппе из 5.
Из г (и) = г (uw2u) выводим 1тф(ш2нI== 1тф(н) = 1гпф(ыйУ2«)-
В силу предложения 4.2 из гл. 2 имеем y(w2uK'<p(uK'<p(uw2u).
Отсюда следует ф(w2uw2u)9?y {uw2u)S<$(w2u). Таким образом,
gag2 лежат в одном и том же ^-классе из S. Поскольку полу-
полугруппа 5 устойчива (см. гл. 2), из следствия 3.11 в гл. 2 выво-
выводим gXg%. Поэтому g лежит в максимальной подгруппе из 5,.
согласно следствию 2.6 из гл. 2. (Делая больший акцент на
340 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
линейной алгебре, можно также закончить доказательство сле-
следующим образом: \mg = lmg2 влечет инъективность g на Img;
следовательно, Kergfl Im g= {0}, откуда V = Ker g® Img;
предложение 4.2 из гл. 2 показывает, что g лежит в некоторой
подгруппе из 5.) □
Из следствия 1.5 непосредственно вытекает, что некоторая
степень произвольного эндоморфизма векторного пространства
V попадает в подгруппу из Endn(V, Л"). Приступим теперь к до-
доказательству усиленного варианта следствия 1.4. Следующую
лемму иногда называют леммой Брауна (Браун [1969]).
Лемма 1.6. Пусть А— конечное множество и v: N -> N — за-
заданная функция. Существует натуральное число S(v) со сле-
следующим свойством:
для любого слова шеД+ длины ^S(v) существуют число
seN и факторизованный сегмент {a, wu a, w2, ..., a, wV(S), a)
слова w, такой, что а^А и l(wia) ^ s для любого i, I =^i=^v(s).
Доказательство. Положив card А — q, определим г на Л+
формулой r(w) = q— card {a е= А: йа{ъо)фЩ (напомним, что
da(w) есть число вхождений буквы а в w). Несложная проверка
показывает, что г является рангом на А+, ограниченным числом
q — 1. Пусть v' (п) = v Bп) + 1. По лемме 1.3 если слово w e Л+
имеет длину ^Rv'iq — 1)> то существуют feN и фактори-
факторизованный сегмент (и1; v2, ■■■, *V<o) слова w, на котором г по-
постоянен, причем l(vi)^t для любого i, l^i^v'(t). Но то,
что г на (vu v2, ..., vV'(t)) постоянен, означает, что для записи
слов О[, и2, ..., Vf{t) используется одно и то же подмножество
В из А. Следовательно, если а — первая буква слова v\, то а
встречается в каждом из слов и2, ..., <V(f>- Поэтому vxv2 ... vv>u)—
= awlaw2 ... awV'(t), где l(awi)^2t для \^i^.v'(t). При
s = 2t слово awiaw2 ... awV(S)awV(S)+i дает факторизованный
сегмент (a, wu a, W2, ..., a, a>v(s), а) слова w, и /(аш,) =
= l(wia)^. s для 1 ^i^v(s). Это показывает, что мы можем
взять S{v) = Rv'(q— 1). □
Теорема 1.7. Пусть А — конечное множество и а: N-> N —
заданная функция. Существует натуральное число Г (а) со сле-
следующим свойством:
для любого ранга г на А+, ограниченного числом п, и любого
слова w e Л+ ненулевого ранга и длины ^Т(а) существуют
число seN и факторизованный сегмент (и, иь и, иг, ..., и,
Va(s), и) слова w, на котором г постоянен, и l(ViU)^. s.
Доказательство. Рассмотрим функцию %п: N -*■ N, где %п{х) =
= а(пх) для любого х е N, и применим лемму 1.3 к функции v,
заданной равенством v(n) = S(K), где S(Xn) — число, определяе-
определяемое леммой 1.6. Существует такое число ^eN, что любое слово
w^A+ длины ^Rv(n) имеет факторизованный сегмент
2. Разрешимость линейной проблемы Бернсайда 341
(W[, w2, • • •, wV(t,)), на котором ранг г постоянен, и /()^^
Слово W\Wz • ■ ■ tiyvuoi как слово над алфавитом В = А [} А2 [) ...
...[]Аи, имеет длину v(t1) = S(Xtl). По лемме 1.6 существуют
число BsN и факторизованный сегмент (н, v\, и, v%, ..., «,
vKU(t2), м), такой, что кейи длины слов и,« над S не превос-
превосходят t2 для всех i, 1 ^ i <J %ti (fo) = a (№). Ясно, что длина каж-
каждого слова Viu над Л не превосходит t\t2. Взяв s =; t\t%, мы полу-
получим требуемый факторизованный сегмент (и, оь и, иг, ...
..., м, i>a(s), и) слова ш. Таким образом, подходящим числом
служит Г(а)= Rv(n). О
2. Разрешимость линейной
проблемы
Бернсайда
Чтобы связать предыдущие результаты с линейной пробле-
проблемой Бернсайда, рассмотрим произвольное линейное представле-
представление ф: Л+->ЕпAл(У, К) и положим г(ш) = dim 1тф(ш). Допу-
Допустим, что ранг г постоянен на факторизованном сегменте
(и, vu и, иг, ..., и, Vk, и). Тогда равенства г(ио/и) = г(и,-и) =
= г(«) вместе с включениями 1тф(ии(-«)£ 1т ф(и,«)е 1т ф(«)
дают Im ф(«о;«) = Im ф(и,н)= Im ф(н). Последние равенства
в свою очередь дают Im ф(«) = Im ф(о,ы)= Im ф(огну/н). Ин-
Индукция по числу факторов показывает, что композиция 1тоф
постоянна на подполугруппе нз_ Л+, порожденной словами v\ti,
v2u, ..., VkU. Это оправдывает следующие определения:
Определения 2.1. (а) Подполугруппа (ти т2, ..., т^> из
Endn(V, К), порожденная эндоморфизмами ть шг, ..., т*, на-
называется Im-яфол, если для всех х е <ть тг, ..., т*> под-
подпространства Im х из V совпадают.
(Ь) Пусть ф: S^-Endn(V, К) есть линейное представление
полугруппы 5. Подполугруппа <si, s2, ..., s^> из 5 называется
\т-ядром относительно ф, если <фE1), фE2) ф(«*)> есть
Im-ядро в Endn(y, К).
В этих терминах замечания из начала параграфа резюми-
резюмирует
Лемма 2.2. Пусть ф: A^^-Endn(V, К) — произвольное пред-
представление иг — соответствующий ранг на Л+. Если г постоянен
на факторизованном сегменте (и, vu и, v2, ..., и, Vk, и) из Л+,
то (v\U, v2u, ..., VkU) есть Im-ядро относительно ф.
Характеризацию Im-ядер из Endn(F, К) дает
Предложение 2.3. Пусть mi, m2, ..., mfeeEnd«(V, /С). Сле-
дующие условия равносильны:
342 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
(a) полугруппа S = (т\, т2 т*> есть \т-ядро\
(b) существует идемпотент е е Endn(F, К), такой, что тге =
= mi для любого i, I ^ i ^ k, a emu em2 enik лежат в
максимальной подгруппе Не из EncU(V, К).
В случае когда S является \хп-ядром, подгруппа Ge из Не,
порожденная эндоморфизмами em\, em?., ..., emu, называется
характеристической группой полугруппы 5. С точностью до изо-
изоморфизма Ge не зависит от выбора идемпотента е в условии (Ь).
Доказательство, (а) влечет (Ь). Если 5 является Im-ядром,
то 5 целиком содержится в некотором З'-классе из Endn(F, К)
(гл. 2, предложение 4.2). Поэтому существует идемпотент ее
eEndn(F, К), такой, что e3?mi для 1 ^ i ^ k. Отсюда выте-
вытекает mi = mie. Далее, ет/З'т^/З'е. Обозначим 52-класс и
.З'-класс элемента х из End«(K, К) через Rx и Lx; получим
Lem, = Le и Renii^Re- Следствие 3.11 из гл. 2 показывает, что
ет{Же. Поэтому ет\, ет%, ..., emu лежат в максимальной под-
подгруппе Не.
(Ь) влечет (а). Для любого i, I ^ i ^ k, мы имеем
Im mi = Im m(e £lme = Im emi S Im mi,
откуда Im m, = Im e. Если Im [mixmi2 ... mis) = Im e, то
Im [m^mi^ ... mismis+1) = \m(emis+*) = Ime. Применив ин-
индукцию no s, для любого х s <mb m2 mu) получим Im x =
= Im e.
.Чтобы закончить доказательство, возьмем идемпотент fs
е Endn(F, К), такой, что mif = m,- для каждого /, 1 ^ i ^ k, и
предположим, что \ш\, \т2, ..., ]ти порождают подгруппу Gf
в Hf. Определим отображение 0: Ge->Gf, положив Q(x) = fx.
Прямая проверка, с использованием равенств ef = e, fe = f (вы-
(выполняющихся ввиду Ime = Imf), показывает, что 0 — изомор-
изоморфизм. □
Теперь мы готовы переформулировать теорему 1.7 в терми-
терминах представлений.
Теорема 2.4. Пусть п — натуральное число, А — конечное
множество и a: N-»-N — заданная функция. Существует (эф-
(эффективно вычислимое) натуральное число Г (а) со следующим
свойством:
для любого линейного представления ср: А+ ^Endn'(V, К),
где п' ^ п, и любого слова w e A+ длины ^ Г(а) и такого, что
ф(ш)=7^0, существуют число seN и факторизованный сегмент
(wi, Wi, ..., Шо(в)) слова w, такие, что l(wi)^s для любого I,
1 ^ i ^ a(s), и <а>1, Wt, ..., шаE)} есть lm-ядро относительно ф.
Доказательство. Теорема 1.7 утверждает существование та-
такого числа Т(а), что любое слово иеД+с указанными выше
2. Разрешимость линейной проблемы Бернсайда 343
свойствами допускает факторизованный сегмент (и, v\, и, о2. •••
..., и, Va(s), и), на котором ранг постоянен и l(viu)^s. По
лемме 2.2 полугруппа (vxu , v2u va(s)u} является Im-ядром
относительно ф. Взяв Wi = viu для l^t^a(s), получим тре-
требуемый результат. □
Замечание 2.5. Пусть, в условиях теоремы 2.4, w — zw\W% ...
... wa{s)Z' для некоторых г, г'еЛ*, и пусть е — единица ха-
характеристической группы lm-ядра (y(wi), ф(да2), ..., ф(ша(«))>.
Тогда
Доказательство. В самом деле, по теореме 1.7 разложение
w==zw\W2 ... wa(S)Z' более точно записывается в виде w =
= z"uw\W2 ... wa(s)Z' и ранг постоянен на сегменте («, шь
W2, ■ ■ -, Wa(s)). Следовательно, 1тф(и)=1те, откуда ф(н)ф(ш1)=
= ф(н)еф(ш1). Это оправдывает вставку е между ф(г) и y(wi).
Остальные вставки е оправдываются предложением 2.3 (Ь). П
Теорема 2.4 связывает комбинаторные результаты из § 1 и
следующий ниже результат, который представляет собой — в не-
несколько замаскированном виде — конструктивный вариант тео-
теоремы Шура — Капланского о том, что всякая конечно порож-
порожденная периодическая группа матриц над произвольным полем
К конечна.
Напомним1), что для любого расширения Ki = P{ai, аг, ...
..., а*) поля Р посредством конечного числа элементов (алге-
(алгебраических или трансцендентных над Р) существует промежу-
промежуточное поле Т, Р s Т £ К\, такое, что Т — чисто трансцендентное
расширение поля Р, a Ki — алгебраическое расширение поля Т.
Это промежуточное поле не обязательно единственно; напри-
например, если элемент t трансцендентен над Q, то
Qc=Q(f)c=Q(f, л/2~) и также QcQ(|2)cQ^ д/<Г)-
В случае когда Р — простое поле, мы будем называть степень
К\ над Т алгебраической степенью поля К\.
Теорема 2.6. Пусть S — полугруппа пУ(п-матриц над полем
К, порожденная конечным множеством А. Для любого целого
s > 0 существует целое число P(s), такое, что o(G)<P(s) для
любой периодической группы G, являющейся характеристиче-
характеристической группой \т-ядра из S, порожденного s элементами. Пусть
Ki — расширение простого подполя Р поля К, порожденное эле-
элементами матриц из А. Если алгебраическая степень поля Ki
эффективно вычислима, то число P(s) также эффективно вы-
вычислимо.
1) См., например, вян дер Варден [1976*, § 75]. — Прим. ред.
344 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
Доказательство этой теоремы будет дано в конце параграфа.
А сейчас мы покажем, как предыдущие результаты приводят
к разрешимости проблемы конечности для матричных полу-
полугрупп над полем.
Лемма 2.7. Пусть S — периодическая полугруппа п X п-мат-
риц над полем К, порожденная конечным множеством А, со-
состоящим из q матриц. По функции C : N -> N, указанной в тео-
теореме 2.6, определим функцию a: N->N, положив а(т) =
= $((\—qm+1)/(\ — q)) для любого meN. Пусть Т(а)— чис-
число, определяемое теоремой 2.4. Тогда
ЛГ(а)с={0} ЦАЦА2 {]•■■{]АТ(а)~1-
Доказательство. Пусть q>: A+-*-Jtn(K)—представление полу-
полугруппы Л+ п X «-матрицами над К, продолжающее отображе-
отображение включения i: Л->.#«(/(). Если слово шеЛ+ имеет длину
Г (а) и ф (да) =,£=0, то по теореме 2.4 существуют число seN и
факторизованный сегмент (доь w2, ..., wa(s)) слова w, где
l(Wi)^s для любого i, l^i^a(s), такой, что (w\, w2, ...
..., wa(s)} есть Im-ядро относительно ф. Число различных обра-
образующих этого Im-ядра не превосходит A — qs+l)/(\—q), по-
поскольку калсдое Wi имеет длину ^ s. Так как полугруппа 5 —
периодическая, по теореме 2.6 характеристическая группа Ge
Im-ядра <ф(ш1), ф(ДО2) ф(а>а<«))> имеет порядок
Таким образом, среди следующих a(s) матриц группы Ge
eq>(wi), e(f(wl)eq>(w2), ..., ey(wi)e<p(w2) ... eq>(wa(s))
по крайней мере две совпадают. Предположим, что eq>(w\)etp(w2)...
... еф(даг) = еф(ш,)еф(да2) ... еф(ш/), где l<i</<a(s).
Тогда <р(ш) = <р(z)<р(даО<р(ш2) ••• ф(адо(«))ф(гО; по замечанию
2.6 этот элемент равен
Ф (z) еф (w\) eq> (шг) ... ец> (ша (S>) Щ (z') —
... ey(wi)efp(wj+\) ... еф(wa(s))eq>(zr) =
... ф(адг)ф(ад/+О ••• Ф(а>аE))ф(г').
Итак, ф(ад)=ф(ад'), где l(w')<.T(a), и мы получаем
ЛГ(а)е{0} илиЛ2и.-.иЛГ(аЬ1. D
Следствие 2.8 (Мак-Нотон и Закстайн [1975]). Конечно по-
порожденная периодическая полугруппа п X п-матриц над полем
конечна.
2. Разрешимость линейной проблемы Бернсайда 345
Доказательство. Ее порядок по лемме 2.7 не превосходит
числа \+q + q2 + ... + qT^)-i = (l _ qTW)/{\ — q), где q =
= card А есть число образующих. □
Мы будем говорить, что поле К вычислимо, если для произ-
произвольных х, у, z^K проблемы х = у, х-\-у=г, x-y — z раз-
разрешимы ').
Следствие 2.9 (Жакоб [1976]). Пусть S — полугруппа «Х«-
матриц над полем К, порожденная конечным множеством А, и
пусть К\ — расширение простого подполя поля К, порожденное
элементами матриц из А. Если поле К\ вычислимо и его алге-
алгебраическая степень эффективно вычислима, то проблема конеч-
конечности S разрешима2).
Доказательство. Рассмотрим возрастающую цепь С\ s
sC2£ ... = Ci = Ci+i s ..., где Ci = A U A2 [) ... \JAl. Если
d = Ci+i для некоторого i, 1 ^ i < T(a), то 5 конечна. Если же
CT{a)-i строго содержится в Сца), то S бесконечна в силу лем-
леммы 2.7. Вычислимость поля /Ci необходима для решения вопроса
о равенстве матриц. □
Остаток параграфа посвящен доказательству теоремы 2.6,
которое представляет собой модификацию доказательства Кап-
ланского для линейных групп. Общая схема его такова:
(a) мы покажем, что для конечно порожденной полугруппы
5 и X «-матриц над К множество Л корней из 1, являющихся
собственными значениями матриц из 5, конечно, причем card Л
ограничена некоторым эффективно вычислимым числом (лем-
(лемма 2.10); '
(b) далее мы покажем, что для любых натуральных чисел п
и s существует эффективно вычислимое число |3n(s), такое, что
o(G)^pn(s) для произвольной порожденной s элементами пе-
периодической группы G, состоящей из и X «-матриц над К, соб-
собственные значения которых принадлежат некоторому конечному
множеству Л.
Напомним, что характеристическим многочленом р(х) дан-
данной п X «-матрицы М над К называется определитель матрицы
xl — М. Корни многочлена р(х) называются характеристиче-
характеристическими числами или собственными значениями, матрицы М. Хо-
Хорошо известно (Кэртис, Райнер [1962, теорема C0.2)]), что
') Это определение требует какого-либо конструктивного задания эле-
элементов поля. — Прим. перев.
2) Аккуратная формулировка утверждения о разрешимости подразуме-
подразумеваемой массовой проблемы требует некоторой реорганизации текста; мы оста-
оставили авторскую редакцию. Соответствующий алгоритм, написанный в «стиле
Алгола», можно найти в статье Жакоба [1977*]. — Прим. перев.
346 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
если q(x)^K[x] — произвольный многочлен, а аи аг, ..., ап —
собственные значения матрицы М, то q(a,i), q(a2) q(an)
суть собственные значения матрицы q{M). В частности, если
Мк = /, то <х* = 1, т. е. собственными значениями такой матрицы
М служат корни из 1.
Лемма 2.10. Пусть S — полугруппа пУ^.п-матриц над полем
К, порожденная конечным множеством А. Пусть К\ — расшире-
расширение простого подполя Р поля К, порожденное элементами мат-
матриц из А. Существует натуральное число N, такое, что порядок
k любого корня из 1, который служит собственным значением
какой-либо матрицы из S, не превосходит N. Если алгебраиче-
алгебраическая степень поля Ki эффективно вычислима, то N эффективно
вычислимо.
Доказательство. Некоторые элементы матриц из S могут
быть алгебраическими над Р (т. е. быть корнями многочленов
с коэффициентами из Р), другие — трансцендентными. Пусть
Т — промежуточное поле, Р s T s Ки такое, что Т — чисто
трансцендентное расширение поля Р, а степень Ki над Т равна
т. Тогда элементы из Ki можно точно представить т X т-ма-
трицами над Т (используя регулярное представление Ki над
Г). Замещая каждый элемент каждой матрицы из 5 представ-
представляющей его m X m-матрицей над Т, мы получим полугруппу 5
из mnX mn-матриц над Т, изоморфную 5.
(a) Если Р имеет характеристику 0 (т. е. P^Q), то для
каждого собственного значения матрицы из 5, являющегося кор-
корнем из 1, минимальным многочленом над Q служит некоторый
круговой многочлен Фк(х) степени ^ т.п. Круговые многочлены
Фг(х), ФгМ, ..., Фк(х), ... вычисляются индуктивно по фор-
формуле хч — 1 = lid | q Ф^ (х). Можно показать (см., например,
Кэртис, Райнер [1962, теорема B1.13)]), что степень многочлена
Фк(х) равна ф(&) — числу натуральных чисел, меньших k и
взаимно простых с k (ср — функция Эйлера). Для данного тп
можно указать такое число К(тп), что ф(й)> тп влечет k >
> %{тп). Следовательно, если k — порядок некоторого собствен-
собственного значения а (т. е. k — наименьшее натуральное число, для
которого afe=l), то k ^X(mn). В этом случае можно взять
N — %{тп), и если число т = [К\: Т] эффективно вычислимо, то
таково же и N.
(b) Пусть Р имеет характеристику р Ф 0 (т. е. Р ^ Zp) и
a — корень неприводимого многочлена степени k над Р. Тогда
расширение Р(а) является полем из pk элементов и, следова-
следовательно, ар "' = 1. Поскольку неприводимые многочлены над Р
остаются неприводимыми над чисто трансцендентными расшире-
расширениями поля Р, степень а над Т равна k. Поэтому если a — соб-
2. Разрешимость линейной проблемы Бернсайда 347
ственное значение матрицы из 5, являющееся корнем из 1, то
k^mn. Тогда можно взять N = ртп—1, и снова, если т эф-
эффективно вычислимо, таково же и N. Этим завершается дока-
доказательство леммы 2.10. D
Доказательство конечности конечно' порожденной периодиче-
периодической группы Q п X n-матриц над К мы проведем индукцией по п.
В общем шаге индукции различаются случаи неприводимой и
приводимой групп. Группа G называется неприводимой над К,
если никакое собственное подпространство векторного простран-
пространства строк К" не является инвариантным относительно правого
действия О. В противном случае G приводима, и тогда за счет
выбора нового базиса в К" все матрицы из G можно привести
к виду (^ д), где А является я'X «'-матрицей (п'— размер-
размерность собственного подпространства из /С", инвариантного отно-
относительно О). В случае неприводимости справедлива
Лемма 2.11. Пусть G — неприводимая группа пУ^п-матриц
над полем К, все собственные значения которых лежат в конеч-
конечном множестве А. Тогда о (G) ^ kn\ аде k -= (card Л)".
Доказательство. Мы отсылаем читателя к книге Херстейна
[1968, теорема 2.3.3], где показано, что если следы матриц из
G принимают k различных значений, то о (G) ^ kn . Поэтому
лемма вытекает из хорошо известного факта: след матрицы
(т. е. сумма ее диагональных элементов) совпадает с суммой ее
собственных значений. D
Лемма 2.12. Пусть G — периодическая группа, порожденная
s элементами, ah — абелева нормальная подгруппа в G. Если
факторгруппа Н = G/L конечна, то G конечна и о (G) ^ (s +
+ о(Я))рE+о(Я)I, где р — верхняя граница для периодов эле-
элементов из L.
Доказательство. Пусть А — система образующих группы G,
содержащая систему представителей смежных классов по L.
Для произвольных at, а/^А. существуют /// eL и аи ^ А, та-
такие, что aiaj = Ujuk- Множество всех элементов /,-,- (а их, самое
большее, (card ЛJ) порождает подгруппу U из L. Любое произ-
произведение элементов из Л, как показывает индукция по числу
сомножителей, лежит в L'A, т. е. G = L'A. Поскольку конечно
порожденная периодическая абелева группа U конечна, G тоже
конечна. Кроме того,
о (G) < о (U) • card A < p<card л>' • card А < р<*+°<"»' {s + o (Я)). □
Лемма 2.13. Пусть А — конечное множество корней из 1. Для
любых натуральных чисел п, s существует такое число pn(s),
что o(G}^pn(s) для любой периодической группы G п X п-
348 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
матриц над полем К, порожденной s элементами и такой, что
собственные значения всех матриц из G лежат в Л.
Доказательство индукцией по п. Если п= 1, то G — группа
корней из единицы, содержащаяся в Л. Поэтому можно взять
p1(s) = cardA для любого seN. Предположим, что рш из-
известны для всех m < п и pm(s) ^ fWi(s) для всех seN,
m + 1 <L п. Если G неприводима над К, то о (G)^. (card Л)" по
лемме 2.11. Если G приводима над К, то заменой базиса в К"
можно привести все матрицы из G к виду(^ £). Множество
всех матриц А (соответственно С), возникающих после замены
базиса, образует периодическую группу G{ (соответственно G2),
также порождаемую 5 элементами. Можно считать, что Gi не-
неприводима над К- Тогда, как и выше, o(Gi) ^ (card Л)Aг-1), а,
согласно предположению индукции, o(G2)s=; P«-i(s). Отобра-
Отображение ф: G^-H, определяемое формулой
(А В\ (A ON
По cj=4o с)'
является гомоморфизмом на конечную группу Я, и о
<(cardA)(fl~u' • Pn_i(s). Далее, Кегф есть нормальная под-
подгруппа L в G, состоящая из матриц вида (!0' f\ где I\, h —
единичные матрицы соответствующих размеров. Простая про-
проверка показывает, что L — абелева группа. По лемме 2.12 груп-
группа G конечна. Чтобы оценить ее порядок, мы выделим два
случая в зависимости от характеристики поля К. Это даст нам
два различных значения ^ и p*f> для Рп.
(а) К имеет характеристику 0. Тогда по теореме Машке
(Кэртис, Райнер [1962, теорема A0.8)]) группа G вполне при-
приводима, т. е. все встречавшиеся выше матрицы В — нулевые1).
Поэтому o(G) = o(H), и мы можем взять
= (card Л)»"-'^^ (s).
(Ь) К имеет характеристику рфО. Поскольку
_(h ON
~\0 I2J'
0 12
элементы из L, отличные от единицы, имеют порядок р. Лемма
2.12 дает о (G)<(s +о (Я)) р'5+0(Я)>'. Поэтому можно взять
') Полная приводимость дает лишь возможность приведения группы G
к клеточно-диагональному виду. Но здесь и ие требуется теорема М.чшке: для
доказательства тривиальности L достаточно воспользоваться периодичностью
G и первым матричным равенством в п. (Ь) ниже. — Прим. перев.
3. Полугруппы B(k, l,n) 349
где
Yifii (s) = (card Л)<» -1»1 PJfi, (s). П
Доказательство теоремы 2.6. Пусть S — полугруппа п X л-
матриц над /С и Л—(конечное) множество образующих для S.
По лемме 2.10 множество Л корней из единицы, которые слу-
служат собственными значениями матриц из S, конечно. В самом
деле, так как порядки этих корней ограничены числом /V, полу-
получаем cardA sg: N(N+ l)/2. В силу леммы 2.131) для характе-
характеристической группы G любого Im-ядра из S, порожденного s
элементами, будет o(G)^ P*jO)(s) или соответственно o(G)^.
< Pi,p) (s). Если в формулах для р*,0) (s) и р(гер) (s) заменить card Л
числом N(N-{- l)/2 и добавить единицу, то мы получим число
P(s), указанное в теореме 2.6 (добавление единицы гаранти-
гарантирует, что o(G)< P(s)). □
3. Полугруппы B[k, I, n)
Напомним, что B(k, 1, п)—полугруппа с k образующими,
свободная в многообразии, определяемом тождеством х = хп.
Мы докажем следующее утверждение.
Теорема 3.1 (Грин, Д. Рис [1952]). Пусть п — фиксирован-
фиксированное натуральное число, п > 1. Следующие условия равносильны:
(s) полугруппы B(k, 1, п) конечны для всех k ^ 1;
(g) группы B(k,0,n— 1) конечны для всех k^ I 2).
Так как xn~l = 1 влечет хп = х, многообразие всех групп,
удовлетворяющих тождеству хп~х = 1, содержится в многообра-
многообразии всех полугрупп, удовлетворяющих тождеству хп = х. По-
Поэтому (s) влечет (g), и наша задача — доказать обратную им-
импликацию.
Определение 3.2. Содержание слова до из свободной полу-
полугруппы А+ — это множество ct{w)— {аеЛ: а встречается в до}.
Начальной меткой слова w называется буква из А, которая
имеет самое позднее первое вхождение, т. е. такая буква а^А,
что w = uav, слово меЛ'не содержит а, и 1(и) максимальна.
Мы называем и началом слова w. Концевой меткой слова ш на-
называется буква из Л, которая имеет самое раннее последнее
вхождение, т. е. такая буква ЬеЛ, что w = u'bv', слово v' не
содержит Ъ, и l(v') максимальна. Слово v' называется концом
') И сформулированного в начале ее доказательства требования моно-
монотонности по п функции (Зл (s). — Прим. перев.
2) С точки зрения применения эти условия часто удобнее рассматривать
в следующих (очевидным образом эквивалентных только что приведенным)
формулировках: (s) всякая полугруппа с тождеством х" = х локально конеч-
конечна; (g) всякая группа с тождеством х"~1 = 1 локально конечна. — Прим. ред.
350 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
слова до. Определим слова p(w) и А (да), положив p(w) = иа,
K{) b'
Взяв для примера алфавит А = {а, Ь, с} и слово w —
= abacbacab, получим p(w) = abac, K(w)= cab.
Всюду ниже Ak обозначает алфавит из k букв, а ф — кано-
канонический гомоморфизм ср: At->B(k, I, n). Следовательно,
конгруэнция Кег ф на At есть наименьшая конгруэнция ~,
такая, что w ~ wn для любого дае At.
Лемма 3.3. Для любого w^At элементы ф(до) и <p(p(w))
будут ^-эквивалентны, а ф(м>) и cp(K(w)) будут S-аквива-
лентны.
Доказательство. Боли w = p(w), то доказывать нечего. Если
до фрAю), то последняя буква слова w не является его началь-
начальной меткой и, значит, w = Wiaw2a, где w{, о>2 е А*ки ае Ак. Мы
имеем
Ф (ш (wsa)n~2w2) = ф (wiaw2a (w2a)n~2 w2) —
= Ф (o»i) ф (@%)") = ф (o»i) ф (аа»2).
Предполагая, что ф(до/)^Ф(р(ау/)) Для всех слов w' длины
</(ш), мы получим q>(wlaw2)&(p(p(wlaw2)). Но р(ш1аау2) =
==р(до). Следовательно,
ф(р(до))= <p(wiaw2)x
для некоторого xeB(k, I, n), а это влечет ф(р(до)) =
= Ф(ау)ф((ш2а)ге~2да2)х Так как ф(пу) = ф(р(пу))ф(у) для неко-
некоторого oe^j, мы получаем ф(а»)Й?ф(р(ш)). Аналогично,
Лемма 3.4. Пусть wit w2&At, uu u2 — их соответствующие
начала, vit v2 — концы. В полугруппе B(k, I, n) справедливы
утверждения:
(a) q>(wi)ffiqi(w2), если и только если w\ и хю2 имеют одну
и ту же начальную метку и ф(и1) = ф(и2);
(b) ф(йУ1M'ф(йУ2), если и только если w\ и w2 имеют одну
и ту же концевую метку и <$(v{) = ф(ог);
(c) (f(wi)f(f(w2), если и только если W\ и w2 имеют одно
и то же содержание.
Доказательство, (а) В силу леммы 3.3, y(wi)ffi(p(w2) равно-
равносильно ф(р(а»1)M?ф(р(ш2)). Допустим, что p(ayi) = u\au p{w2) =
= ща2. Тогда (p(uiai)='(p(u2a2z) для некоторого геД^. Но
замена произвольного отрезка х (соответственно хп) слова w на
хп (соответственно х) не меняет его начальной метки. Поэтому
f(Miai)= <р(и2а2г) влечет ф(«1).= ф() и а\ = а2. Доказатель-
Доказательство (Ь) двойственно,
3. Полугруппы B(k, 1,и) 351
(с) Содержание слова w не меняется при замене отрезков
х на хп или хп на х. Поэтому (p(Wi) = q>(w2) влечет ct(w{) =
= ct(w2). Если <f(wi)fq>(w2), то (p(wi)= q>(riW2Si), ф(пу2) =
= q(r2wis2) для некоторых r\, su r2, S2. Первое равенство дает
ct{w2)^ ct(wi), а второе — cf(a»i)£ ct{wn). Обратно, допустим,
что ct(w\) = ct(Wi). Пусть а\, и\ — начальная метка и начало
слова w\\ а,2, V2 — концевая метка и конец слова w2. Слово г =
— U\u\a2v2 таково, что p(z) = Miab X(z)= a2v2. Из (а) и (Ь)
выводим (p(wi)&cp(z) и ф(гM'ф(аУ2), откуда q>(wi)f(p(w2). П
Следующие простые замечания помогут уяснить строение
полугруппы B(k, I, n). Они непосредственно вытекают из лем-
леммы 3.4.
(a) /-классы могут быть индексированы подмножествами из
Ak (т. е. содержаниями слов). Каждый /-класс в B(k, I, n)
является вполне простой подполугруппой.
(b) 5?-классы в данном /-классе Jx с индексом X*=Ak ин-
индексируются элементами q>(ua), где аеХин e(Z\{a})+. Ана-
Аналогично, .^-классы индексируются элементами ф(оу), где Х
А{}
({})
(с) Максимальные подгруппы из B(k, I, n) удовлетворяют
тождеству хп~х = 1. Те из них, что содержатся в /-классе с ко-
конечным числом Я- и ^-классов, конечно порождены в силу
следующего результата.
Лемма 3.5. Пусть S — конечно порожденная полугруппа, а
D —регулярный 3)-класс из S, содержащий конечное число
^-классов (или же 3?-классов). Тогда максимальные подгруп-
подгруппы из D конечно порождены.
Доказательство. Допустим, например, что D содержит конеч-
конечное число .^-классов. Выберем 5?-класс R из D и координатную
систему Я [Я(; {(qv q'K): АеЛ}] для R (см. гл. 2, § 5). Со-
Согласно теореме 5.4 из гл. 2, представление MR полугруппы 5
Л X Л-матрицами над группой ТГ{Н\) обладает тем свойством,
что для любого уeFV(#i) имеем М^(х) = у для некоторого
AreS1. Если А — множество образующих для конечного мно-
множества элементов матриц MR(x), получаемое, когда х пробегает
конечное множество образующих полугруппы S, то А конечно
и порождает группу FV(#i). Так как Н\ ^Tr(Hi), группа Н\
также конечно порождена. П
Если выполняется предположение (g) теоремы 3.1, то
/-класс из B(k, I, n), содержащий конечное число ^-классов,
будет конечным. Но число ^-классов в данном /-классе Jx
равно cardZ • card/x\{a) (as Z). Поскольку J{a) есть конеч-
конечная циклическая группа порядка п—1, индукция по cardX по-
352 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
казывает, что полугруппа B(k, I, n) конечна. Доказательство
теоремы 3.1 закончено1).
Следствие 3.6 (Мак-Лин [1954]). Свободная связка B(k, 1,2)
с k образующими конечна, и ее порядок Nk дается формулой
/ ) cjt где с, = /2с2_! и с, = 1.
Доказательство. Пусть с/ обозначает мощность /-класса из
5 (&, 1, 2), индексированного подмножеством X из Л* мощности
/. Тогда cj — j2c2j_l в силу утверждений (а) и (Ь) леммы 3.4.
Поскольку число различных /-элементных подмножеств из Аи
равно (]), мы непосредственно получаем формулу для Nk- При-
Приведем первые значения С/ и Л^:
с2 = 4; с3 = 144;
= 331 776; с5 == 2 751 882 854 400;
N5 = 2761 884 514 765. □
N2 = e>; N3=l59; УУ4 =
Чтобы проиллюстрировать технику доказательства теоремы
3.1, мы покажем, что максимальная подгруппа из минимального
идеала полугруппы В B, 1,3) в действительности совпадает с
группой 6C, 0, 2). На следующей диаграмме представлен остов
полугруппы В B, 1, 3) (мы предполагаем, что образующими слу-
служат а и Ь):
аЬ-
аЬ
aba
ab2
аЬаг
Ь
Различные индексы для 52-классов (соответственно й'-классов)
из /{а, ь) суть ab, ba, a2b, b2a (соответственно ab, ba, ab2, ba2).
Чтобы построить координатную систему для Яаь, выберем по
одному элементу, отмеченному на диаграмме, в каждой клетке
*) Всякая полугруппа B(k, 1, п), будучи клиффордовой, является полу-
полурешеткой вполне простых полугрупп (см. ниже упр. 8), и, следовательно,
в силу упр. 12 в гл. 3, B(k, 1, п) будет связкой связок групп. С учетом :чтого,
как отмечено в работе Л. Н. Шеврина [1965*], доказанная теорема Грина и
Д. Риса может быть получена также и как непосредственное следствие тео-
теоремы из цитируемой работы о том, что связка локально конечных полугрупп
локально конечна. См. также работу Брауна [1968*]. — Прим. ред.
4. Полугруппы B(k, т, п) при k > 1, т > 1 353
из Rab, а затем возьмем следующие значения для дк, q'^.
(Jab = q'ab = ab; Цьа = aba, ц'ьа = Ь;
0
ab
abab
ba2bab
0
0
0
0
abab
0
0
0
0
0
0
л
Это дает представление Af" полугруппы В B, 1, 3) 4Х4-матри-
цами над G°, где G — группа, содержащая ab. При этом
/О аЬа26 0 0 \
О 0 0 аЫ>
I 0 аЬ2«6 0 0 у
\0 «ЬаЬ 0 0 /
Множество образующих для элементов матриц MR(a) и MR(b)
состоит из ab, aba2b, ab2ab. По лемме 3.5 эти три элемента
порождают G. Они различны, так как при выполнении тожде-
тождества х = х3 у эквивалентных слов степени одной и той же буквы
должны иметь одинаковую четность (а здесь, например, db(ab)
нечетно, db{aba2b) четно). Из тех же соображении понятно, что
ни aba2b, ни ab2ab не может совпадать с единицей abab группы
G, и, очевидно, ab ф abab. Поэтому G изоморфна группе
ВC, 0, 2) порядка 8, а В B, 1, 3) содержит 132 элемента.
Этот пример наводит на мысль о том, что все максимальные
подгруппы из B(k, 1, п) являются группами вида B(k', 0, п— 1),
но проверить это методом, продемонстрированным выше, весьма
трудно уже для полугруппы ВC, 1, 3). В связи с проблемой ра-
равенства слов для полугрупп B(k, 1, 3) мы отсылаем читателя
к работе Герхарда [1978]. Конечность полугрупп B(k, I, n) рас-
рассматривалась также Брауном [1964].
4. Полугруппы В {к, т, п) при к>1,
т>\
Мы докажем, что все бернсайдовы полугруппы, имеющие по
крайней мере два образующих и удовлетворяющие тождеству
хт __ хп ПрИ п> т> \, бесконечны. Так как х2 =■ х3 влечет
хт —хп для любых т, п, п > т > 1, полугруппа B(k, 2, 3) яв-
является факторполугруппой полугруппы B(k, m, п). Следова-
Следовательно, достаточно доказать бесконечность B(k, 2, 3). Требуе-
Требуемое же вытекает из следующего результата, принадлежащего
Бжозовски, Чулику и Габриэляну [1971]').
Теорема 4.1. Полугруппа 5B, 2, 3) бесконечна.
Основная идея доказательства состоит в установлении того,
что отображение f из В B, 2, 3) в себя, определенное на обра-
*) Ранее Брауном Г 1967*1 была доказана бесконечность полугруппы
В D, 2, 3). -Прим. ред.
12 Зак 474
354 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
зующих а и Ъ равенствами f(a) — a2b, f(b)= ab2, продолжается
до инъективного гомоморфизма. Тогда f(a), f2{a), ..., fn(a), ...
будут различными элементами в В B, 2, 3).
Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что Л = {а, Ь),
и обозначаем через ~ наименьшую конгруэнцию на Л4, такую,
что до2 ~ w3 для любого w е Л+. Конгруэнция ~ является
транзитивным замыканием отношения «-»-, определяемого усло-
условием: и ■*-*■ v тогда и только тогда, когда справедливо одно из
следующих утверждений:
(a) u = v;
(b) и = xy2z и v = xy3z для некоторых х, геД1, i/eA+;
(c) и = xy3z и у = х1/2г для некоторых х, г е Л*, г/ е Л+.
Определив гомоморфизм /: Л+->-Л+ формулами f(a) = a2b
и f(b)= ab2, мы докажем для любых ы, уеЛ+, что и ~ у, если
и только если f(u)~f(v). Выбор элементов множества С =
= {a2b,ab2} в качестве образов букв а и Ь оказывается решаю-
решающим: С — бипрефиксный код, имеющий s-задержку 1, и слова
из С+ не имеют делителей вида w3, где l(w) ^ 2.
Мы будем использовать приведенные формы слов из Л+. Для
слова w e Л+ его приведенными формами называются слова
r\(w) и Г2(р) из Л+ минимальной длины, выводимые из w отно-
относительно определяющих соотношений копредставлений полу-
полугрупп Bi = <a, Ь; a3 = a2, Ь3 = Ь2> и В2 = (а, Ь; (abK =
= (abJ} соответственно. Следовательно,
^ 2п;
Г1 И =
r2 (ay) =
ra(w) =
a''1
0«
a»,
"о'
«0.
/ft1
b'2a'3 ..
^hn+i ^
если w
[ab)l{ щ (
= A+\
= 1 или
. bl*«al
;2 и ij
^ A'ab
ab)'* ..
2"+1, где О ^г'[ ^2,
= 1 или /ft = 2, если 2 ^
Л*, а в противном случае
. (ab)'»un, где
Л'айЛ*
/*=2
для 0 < / < п,
для 1 < ^<л.
Определим также приведенную форму г, положив r(w) =
— Г2(гу{хю)) для любого w^A+.
Лемма 4.2. Для любых и, v ^ Л4 соотношение и ■*-*■ v влечет
ri(u)++ri(v).
Доказательство. Это тривиально в случае и = v. В силу
симметрии достаточно предположить, что и = A'#2z и у = л;г/3г.
Чтобы вычислить г\(и) и ri(y), воспользуемся тем фактом, что
для любых m, n^ A+ будет n (mn) = m'ri (n) = п (m) n", где
m' — некоторый левый делитель слова r\(m), а п"—некоторый
4. Полугруппы B(k, т, п) при k > 1, m > 1 355
правый делитель слова г\(п). Поэтому ri(yz) = r1(y)z" и
n (t/2z) =y'n (yz) =y'ri (у) z\ Далее, г, (г/3г) = г/^Дг/^) = г/^V, (yz),
и можно заметить, что у[ = у', за исключением, быть может,
случаев, когда у есть а* или Ък для некоторого k^\. Продол-
Продолжая выкладки в предположении, что -у ф ак и у ф Ьк для всех к,
получаем
М^) = А((/2г) = /г/'г1(!/)г";
г, (.w/3z) = *>! (г/3г) = х'г/'г/'г! (г/) г".
Слово г/', будучи левым делителем слова г\(у), появляется
дважды подряд в п(и) и трижды подряд в r\(v), причем в од-
одном и том же контексте. Поэтому г\(и)-*-*-г\(р). Если же у есть
ак или Ък для некоторого k^z 1, то ri(M) = ri(y), и это завер-
завершает доказательство. □
Простое рассмотрение слов из С* показывает, что ни одно
из них не содержит FаJ (достаточно проверить это лишь для
четырех слов длины 6). Это свойство не сохраняется отноше-
отношением ■*->-, поскольку ааЬаЪЬ ■*-*■ ааЬаЪаЬЬ. Заметим, однако, что
в слове ааЬаЬаЬЬ делителю (ЬаJ предшествует буква а, а сле-
следует за ним буква Ь.
Определение 4.3. Слово пуеЛ* называется ab-словом, если
из равенства w = u(ba)kv, где k^2, следует, что. последняя
буква слова и есть а, а первая буква слова v есть Ь.
Лемма 4.4. Для любых и, v e Л+ из соотношения и -*-»- v, где
и есть ab-слово, следует, что v есть ab-слово, гг(и)-«-> гг(у) и
r(u)++ r(v).
Доказательство, (а) Если u = xy2z, v — xyzz и уФ(аЬI,
уФ(ЬаI, то любой делитель (ba)k, k~^2, слова v должен де-
делить либо ху, либо у2, либо yz. Во всех случаях (ba)k является
делителем слова и и, значит, ему предшествует буква а, а сле-
следует за ним буква Ь, т. е. v есть ab-слово. Если у имеет вид
(abI или (Ьа)', то любой делитель (ba)k слова v, который не
является делителем слова и, должен содержать в качестве де-
делителя второе вхождение у в v. Вычеркивая этот отрезок у из
(Ьа)к, получим делитель (ba)k\ k'^2, слова и. Поскольку в и
перед (Ьа)к' стоит а, а после него Ь, то же самое справедливо
и для (Ьа)к в v, т. е. v является ab-словом. Доказательство в
случае и = xyzz, v = xy2z аналогично.
(b) Для доказательства соотношения rz(u)<-*- /'г(и) исполь-
используем следующие свойства формы гг:
D.4.1) если тпфА*а или пф(ЬаJЬА*, то r<i(mn)= т'гг(п)
для некоторого левого делителя т' слова Г2(т);
D.4.2) если m<£A*(abJa или пфЬА*, то Г2(тп) = г2(т)п"
для некоторого правого делителя п" слова гч(п\.
12*
356 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
Допустим, что u = xy2z и v = хуъг. Если у ф{Ьа)ЧА* П
ПЛ*(айJа, то, применяя последовательно D.4.2) и D.4.1), по-
получаем
D.4.3) r2(yz)*=r2(y)z", r2{y2z)*=y'r2(yz) =
r2 {xy2z) = x'r2 (yh) = x'y'r2 (y) z".
При условии уф{аЬ)к и уФ{Ьа)к мы имеем также г2(;«/3;г) =
= x'y'y'r2(y)z". Так как г/' является левым делителем слова
(у) отсюда следует r2(xy2z)~*-+ r2(xy3z). В случае г/е
(ЬаJЬА* будет x = xia, у = (baJbyxa, поскольку и является
аб-словом. Поэтому и = Xia(baJbyi-a(baJbyiaz—xi((abKy\Jaz
и аналогично v = xi((abKyiKaz. Вычисление слов г2(и) и гг(и),
аналогичное D.4.3), можно выполнить, заменяя х, у, z словами
Хи (abKyu az соответственно, откуда п(«)-<->- г2(и). Случай
у еЛ* (abJa рассматривается аналогично. Чтобы закончить
доказательство, остается заметить, что при г/=(оЬ)* или у =
«=(Ьа)* непосредственно получаем r2(u) = r2(v).
(с) Так как r\{w) является ab-словом для любого аб-слова
w, соотношение r(u)-^>- r(v) вытекает из предыдущих частей
доказательства и леммы 4.2. П
Теперь мы изучим разложения слова f(w) в произведения
вида xykz.
Лемма 4.5. Если f(w)'='xykz, где х, у, геЛ*, 1{у)^Ъ и
k^>2, то существуют и, t, v^A*, такие, что w = uthv и
f(utnv) = xynz для любого п ^> 2.
Доказательство. Так как xykz^C*, предположения (/)^
и k ^ 2 показывают, что слово из С на стыке двух последова-
последовательных вхождений слова у расположено так, как указано в
D.5.1) ниже. Соответствующие выражения для у даются в ко-
колонке D.5.2).
■ У У .
a
аа
о
ab
aab у ш aabs
ab у = absa
Ь у ш 6soa
abb у « a66s
6Ь у
Ь у
D.5.1) D.6.2)
Случаи г/ = aabs и г/ == absa вполне типичны, и остальные мы
оставляем читателю в качестве упражнения.
Случай i/=aabs. Слово f(w) допускает делитель вида
a2bsa2bs. В силу свойства синхронизируемости бипрефиксного
4. Полугруппы B(k, т, п) при k > 1, m > 1 357
кода С имеем s^C*1) и существуют и, t, иеЛ, такие, что
}(и) = х, f(t) = </, f(v) = z и да = utkv.
Случай у = absa. Слово /(да) допускает делитель вида
absaabsa. Следовательно, s = 1 либо первая буква в s есть а.
В обоих случаях слово х должно иметь последней буквой а, и
f(w)~ xxy\zv где х\а = х, уха = ay, z\ = az. Опять из свойств
С следует существование таких и, t, и<=Л*, что j(u) = xu f@ =
= 1/11 f(u)=2i и utkv = w. Для любого n ^ 2 получаем
f() 1 = ^nz. П
Лемма 4.6. Для любых и, v е Л+ «лееж и ~ и, если и только
если f(u) ~ f(u).
Доказательство. Так как и ■<-»■ и влечет f(u)-*-»- f (и), ясно,
что и ~ и влечет f(u) ~ f(u). Чтобы доказать обратное, пред-
предположим, что f(w)-*-*- s. Тогда тот факт, что f(w) является при-
приведенным аб-словом, и лемма 4.4 дают f(w) -«->• r(s). Мы дока-
докажем, что существует такое слово ш'е^+ что f(uy')=r(s) и
да -«->■ да'. В случае f(t«)=r(s) возьмем да'= да. Пусть f(w) =
— xy2z и r(s)=xi/3z для некоторого г/еЛ+. Поскольку у3 яв-
является отрезком приведенного слова r(s), слово у не может быть
равно a, b, aa, bb, ab, а поскольку /(да)<=С*, у не может совпа-
совпадать с Ьа. Следовательно, 1(у)^3 и по лемме 4.5 существуют
и', t, [)'ei', такие, что w — u't2vf и Ди73и') = хугг = r(s).
Взяв да' = u'tzv'', мы получим f(w')=r(s) и до ■«-*■ да'. В случае
f(w) = xy3z и r(s) = xi/2z доказательство аналогично. Если те-
теперь f(u) ~ f(v), то
/ (и) = Sl -*-> s2 *-*- ... <-► sn — f {v),
откуда
f (И) = Г (Si) <«-». Г (S2) *-^ ... <"" Г (Sn) = f (B).
Применяя доказанное выше свойство п—1 раз, убеждаемся в
существовании слов wx = u, w2, ..., wn-\, wn, таких, что и ==
= Wx *-»- да2 -«-»- ... ++Ш» и f(ау,) == r(st) для t = 1, 2, ..., п.
В частности, f(wn)=f(v); поскольку С — код, это означает, что
wn = v и, таким образом, и ~ v. D
В силу леммы 4.6 слова f(a), f2(a), .,., fn{a), ... лежат в
разных классах конгруэнции ~. В самом деле, если fl(a)~
~ f'{a), где i > /, то fi~l(a)~ а, что невозможно, так как
fl~!(a) содержит букву Ь. Это доказывает теорему 4.1, а также
бесконечность всех бернсайдовых полугрупп B(k, m, n) при
k > 1, п >т> 1.
') В самом деле, любая пара вида A, с) или (с, 1) служит синхрони-
синхронизирующей парой для С; поэтому a>ica>s в С* влечет a>i, wz e С*. — Прим.
перев.
358 Гл. 10. Проблемы. Бернсайда и близкие вопросы
5. Бесконечные последовательности
без повторений
Первое доказательство бесконечности B(k, т, п) для k ^ 3,
т > 1 принадлежит Морсу и Хедлунду [1944]. Оно основано на
построении бесконечной последовательности над трехбуквенным
алфавитом, не имеющей одинаковых соседних блоков. Если та-
такая последовательность существует, то ее левые отрезки не сво-
сводятся друг к другу применением тождества х"г = х+п при
m ^ 2 и поэтому представляют бесконечно много различных
элементов из В (к, т, п). Первая конструкция бесконечной по-
последовательности без повторяющихся блоков над трехбуквен-
трехбуквенным алфавитом принадлежит, по-видимому, Туэ [1912]').
В этом параграфе мы следуем одной идее Лича [1957], которая
была формализована и доведена до четкого результата Дежа-
ном [1972].
Определение 5.1. Бесконечной последовательностью (или
бесконечным словом) над алфавитом А мы называем здесь та-
такую последовательность слов (wi)i<=u, в которой для любого
i'eN слово Wi является собственным левым делителем сло-
слова wi+i (т. е. до,-+1 е WiA+). Бесконечная последовательность
(Wi)ieN содержит квадрат, если существует такое neN, что
wn = uwwv для некоторых и, иеЛ* и ше/1+. Бесконечная по-
последовательность, не содержащая квадратов, называется после-
последовательностью без повторений.
Над алфавитом Л2 = {а, Ь) единственные слова, не содер-
содержащие квадратов, суть a, b, ab, ba, aba, bab, а любое слово
w^A*2 длины ^ 4 содержит квадрат. Перейдем к алфавитам,
число букв в которых более двух.
Мы скажем, что гомоморфизм ср: Af —>-Аз, где Лз= {а, Ь, с},
порождает бесконечную последовательность без повторений,
если ф удовлетворяет двум условиям:
E.1.1) ф(а) = аы для некоторого и е At;
E.1.2) если слово w&A% не содержит квадрата, то
слово ф(до) не содержит квадрата.
') Такая последовательность «без квадратов» была указана еще в работе
Туэ [1906*], где, кроме того, было установлено существование и бесконечной
последовательности «без кубов» над двухбуквенным алфавитом. За после-
последующие десятилетия эти два результата переоткрывались или передоказыва-
передоказывались (как повторением старых примеров, так и конструированием новых) мно-
многими авторами; упомянем, например, известную работу С. Е. Аршона [1937*].
В последние годы существенное продвижение в этом направлении достигнуто
в работах Бина, Эренфойхта и Мак-Налти [1979*] и А. И. Зимина [1982*],
где найдены некоторые общие приемы построения подобных последователь-
последовательностей, причем даже в более общей ситуации — последовательность не содер-
содержит значений некоторого слова. В первой из цитированных работ имеются
указания на многие предшествующие работы в этой области. — Прим. ред,
5. Бесконечные последовательности без повторений 359
Если ф удовлетворяет условию E.1.1), то последователь-
последовательность W\ — a, w2 = Ц>(а), ..., Wi+i — ф'(а), ... определяет бес-
бесконечное слово, так как ш,-+1 = ф'(а) = ф'-1(ф(а)) = <р'-1(аи) =
= Ф'~1(а)ф;-1(«), т. е. o>m-i имеет в качестве левого делителя
слово Wi = ц>'~1(а). Следовательно; гомоморфизм ф, удовлетво-
удовлетворяющий условиям E.1.1) и E.1.2), дает бесконечную последо-
последовательность (ф'(а)),е^о без повторений.
Определим изоморфизм 0: At -> At, положив Q(a) = b,
9F)= с, 9(с)=а. Гомоморфизм q>: Лз"-»Лз" называется «ш-
метрическим, если он удовлетворяет условию
E.1.3) фF)=8(Ф(а)), ф(с)=8(ФF)).
Мы найдем все гомоморфизмы, удовлетворяющие условиям
E.1.1), E.1.2), E.1.3), а также условию
E.1.4) длина слова ф(а) минимальна.
Теорема 5.2. Пусть А3—{а, Ь, с}. Существуют в точности
два симметрических гомоморфизма ф : At -> At, порождающих
бесконечные последовательности без повторений и таких, что
длина ф(а) минимальна. Два возможных значения для ф(а)
суть
(a) abcbacbcabcba,
(b) acbcabcbacbca.
Доказательство. Допустим, что ф удовлетворяет условиям
E.1.1), E.1.2), E.1.3) и первая буква слова и есть с, т. е. ф(а) =
= acv. Тогда иф\, ибо в противном случае ф(а) = ас, ф(с) =
= cb и ф(ас) —ассб, что противоречит E.1.2). Пусть гомомор-
гомоморфизмы |, *Р: Л)~->Л^ определяются соответственно равенства-
равенствами 1{а) = а, \{b)= c,l(c)=b и
W {а) = 1(<р (a)), V(b) = l(q>(c)), ¥ (с) =
Тогда ¥(а)= |(оси)= а6|(и), т. е. Ч1" удовлетворяет условию
E.1.1) с буквой b в качестве первой буквы слова и. Далее,
W(b) = l (Ф (с)) = I92 (Ф (а)) = 0| (Ф (а)) ■■= 0 (W (а)),
V (с) = I (Ф F)) = |0 (Ф (а)) = 92£ (Ф (а)) = 02 (V (а)),
т. е. Чг удовлетворяет E.1.3). Ясно, что W удовлетворяет также
E.1.2). Следовательно, достаточно найти все гомоморфизмы ф,
удовлетворяющие условиям E.1.2), E.1.3), E.1.4) и условию
Ф(а)=о6и для некоторого v ^ At. Мы покажем, что един-
единственным возможным значением для ф(а) служит слово (а) из
теоремы. Применив к нему |, получим (Ь).
(А) ц(аЬ)= abvbcQ{v) и ф(ас) = abvcaQ2(v). Поэтому, в
силу E.1.2), последней буквой слова v должна быть а, и v =
= via, где vi ф 1, ибо в противном случае ф(аб) содержало бы
360 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
квадрат. Равенство q> (ас) = (abvia) (caQ2(vi)c) показывает, что
последней буквой слова v\ должна быть b, v\ = v2b, где v2 ф 1.
Теперь q(ab) = (abv2ba) • (bcQ(v2)cb) показывает, что последняя
буква слова v2 есть с, т. е. v2 — v3c и, значит, ф(а) = abv%cba.
Бели предположить, что и3— 1, то
(р(аса) = {аЪсЪа) (cqbac) (a,bcba)
содержит квадрат (подчеркнут), что противоречит E.1.2). По-
Поэтому v3¥*l, и из <f(ba) = (bcQ(v3)acb) (abv3cba) выводим, что
первой буквой слова из служит с, и3 = си4, где ^4=^=1, откуда
ф(о)= abevicba. На этом этапе читатель может проверить, что
ни одно из слов ц>(аЬ), ц>{ас), ц>(Ьа), <р(са) не позволяет узнать,
какая из букв, а или Ь, будет первой в слове v*. Дальнейшие
рассуждения разобьем на два случая.
Случай 1. и* — av5 и ф(а)= abcav5cba. Если v5 = 1, то, как
и выше,
<р(аса) = (аЬсафа) {саЬфас) (аЬрасЪа)
дает противоречие с E.1.2); поэтому Уьф\. Но тогда <р(са) =
= (cabcQ2(v5)bac) (abcavscba) показывает, что первой буквой
слова v5 не могут быть ни а, ни b (в случае буквы b появился'
бы квадрат cabcab). Таким образом, v$ = eve, где «6^1, и из
ф(а) = abcacvecba мы непосредственно получаем ф(а) =
— abcacbv7cba, где у7ф\. Допустим, что последняя буква
слова v7 есть Ь. Тогда ф(а)= abcacbv&bcba, где v& ф 1, откуда
Ф (а) = abeaebvgabeba. Следовательно,
<p(ab) = {abcacbv9abfbcil[bcabace{v9)bcacb'\.
Если v9 = 1, то ц>(аЬ) содержит квадрат слова cbab (подчерк-
(подчеркнут). Поэтому и9ф1, и последней буквой слова vg должна быть
с (если бы это была Ь, мы имели бы квадрат слова babe). От-
Отсюда следует ф(а)= abcacbvwcabcba. Но тогда слово
<р(ас) = •
содержит квадрат. Это противоречие показывает, что последней
буквой слова v7 должна быть а. Имеем ф(а) = abeaebvsueba,
где vs ф 1. что дает
ф(ас)== ...
и, значит, ug = v9c и ф(а)== abcacbvgcacba = abcacbvwbcacba,
где ^10=7^1. Несложная проверка показывает, что слово 1>ю не
5. Бесконечные последовательности без повторений 361
сводится к одной букве (а исключается, поскольку повторялось
бы слово abcacb).
Случай 2. и4 = bv5 и ф(а) = abcbv$cba. Тогда v$ ф 1 и пер-
первая буква слова v5 есть а, т. е. <р(а)= abcbav6cba, где иб=?М.
Из равенства
= ... Q(i<e)acb-
мы выводим, что первой буквой слова vs служит с (Ь исклю-
исключается, так как дает квадрат слова cbab), откуда ф(а) =
= abcbacvjcba, где vj ф 1. Допустим, что последней буквой
слова v7 будет а. Тогда ф(а)= abcbacv&acba и ф(ас)= ...
... vsacba-cabacbQ2(vs) ..., что дает Ув = v9c. Но поскольку
тогда ф(а) = abcbacv9cacba, где ид ¥= 1, мы получим квадрат в
слове y(ab)= ... vgcacba-bcacbaQ(vg) ... (если последней бук-
буквой слова и9 будет а, то повторяется слово ас, а если Ь, то
слово bcacba). Это показывает, что последней буквой слова vt
в действительности является Ь, и ф(а) = abcbacv8bcba =
= аЬсЬасщаЬсЬа. Если и9 == 1, то ф(ас) содержит квадрат
слова abcbac. Если и9 = ^ю&, то ф(аЬ) содержит квадрат слова
babe. Таким образом, v9 = v\Oc, и, взяв vi0 = b, окончательно
получим ф(а)= abcbacbcabcba.
(В) Остается показать, что найденный в части (А) симме-
симметрический гомоморфизм удовлетворяет условию E.1.2) (т. е.
сохраняет свойство отсутствия квадратов).
Допустим, что слово ф(й1аг ... ап) содержит квадрат неко-
некоторого слова w. Если l(w) ^ 25, то хотя бы одно из слов ф(аО,
ф(аг), ..., ф(а«) служит делителем слова до. Пусть ()
первый такой делитель:
<p(aj <p(az)
Отрезок ф(а<) является делителем слова ф(а/_1)ф(а/). Если
предположить, что ф(а^) имеет непустой общий отрезок с ф(а/).
то ф(а,)== ф(а/); это легко проверить, заметив, что q>(ab) не
имеет делителем ф(с) и содержит ф(а) (соответственно ц>(Ь))
лишь в качестве левого (соответственно правого) делителя
(в силу симметрии то же самое справедливо для ц>(Ьс) и ф(са);
переходя к зеркальным образам, получим то же для у(Ьа),
ф(сб), ф(ас)). Следовательно, /(w) = 13ft, и равенства ai==au
йг+i = a/+i» • •» a/+ft-i = ai+k-i показывают, что слово п\пч ...ап
содержит квадрат. В случае /(до)<25 квадрат слова w содер-
содержится в отрезке, состоящем, самое большее, из четырех 13-бук-
венных блоков. Для доказательства того, что это невозможно,
если слово а\ац ... ап само не содержит квадратов, достаточно
362 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
убедиться, что для любого слова w е Лз" длины 4, не содержа-
содержащего квадратов, слово ср(да) также не содержит квадратов.
В силу симметрии и инвариантности <р(а) относительно зеркаль-
зеркального отражения можно ограничиться словами w = abac, abca,
acab. Эту проверку можно провести непосредственно для каж-
каждого из трех слов. Но ее можно сократить, заметив, что в каж-
каждом случае делители длины 8 слова q>(w) все различны (если
они не являются одинаково расположенными отрезками различ-
различных вхождений слова <р(а)) и не содержат квадратов. Напри-
Например, выпишем все делители длины 8 слова
<p(abac) = abcbacbcabcba ■ bcacbacabcacb ■ abcbacbcabcba ■ cabacbabcabac,
начинающиеся буквой а и не появляющиеся дважды в одном и
том же положении в отрезках ф(а):
abcbacbc abcacbac abcacbab acabacba
acbcabcb acbacabc acbabcba abacbabc
abcbabca acabcacb abcbacab acbabcab.
Они различны и не содержат квадратов. Аналогично проверя-
проверяются делители длины 8, начинающиеся буквами Ь и с. П
В заключение параграфа сформулируем без доказательства
результат Дежана [1972].
Теорема 5.3. Существует бесконечная последовательность над
алфавитом Л3 = {а, Ь, с}, любой делитель которой, имеющий
вид uvu(u, v е Лз),удовлетворяет неравенству l(v) ^ A/3)/(и).
Идея доказательства — та же самая, что и в теореме 5.2.
Лишь условие E.1.2) заменяется условием сохранения относи-
относительно гомоморфизма неравенств l(v)^(l/3)t(u) для любых
делителей слова, имеющих вид uvu.
Результат теоремы 5.3 оптимален: любое слово длины ^39
имеет по меньшей мере один делитель вида uvu, для которого
l()(l/Z)l()
Библиографические замечания
Разрешимость проблемы конечности для конечно порожденных линейных
групп над вычислимым полем К была доказана В. М. Копытовым [1-968] ').
Такая же проблема для полугрупп прямо связана с проблемами разрешимо-
разрешимости, касающимися /(-рациональных степенных рядов.
*) В работе В. М. Копытова поле предполагается нумерованным (в смыс-
смысле А. И. Мальцева), С разрешимой проблемой равенства и рекурсивным мно-
множеством корней из 1 в алгебраическом замыкании поля. — Прим. перев.
Упражнения 363
Мы видели (гл. 9, упр. 11), что носитель /(-рационального степенного
ряда не обязательно является рациональным языком. Однако можно пока-
показать, что /(-рациональный степенной ряд с конечным числом различных коэф-
коэффициентов имеет рациональный носитель. Это вызывает следующий вопрос:
будет ли для /(-рациональных степенных "рядов разрешима проблема конеч-
конечности множества коэффициентов? Чтобы дать надлежащий ответ, мы должны
привести один важный результат Флиесса [1974]; см. также Флиесс [1971].
Для /(-рационального степенного ряда / существует представление 0:
А*-+3?(п, К) минимальной степени п, такое, что f = lMeT (см. гл. 9, опре-
определение 4.9), или же минимальный (относительно п) К-А* автомат, распо-
распознающий / в смысле упр. 10 из гл. 9. Это минимальное представление (или
/(-Л*-автомат) определено однозначно с точностью до подобия матриц и эф-
эффективно вычислимо. Далее, р5:д / имеет конечное множество коэффициентов
тогда и только тогда, когда множество 0(Л*) конечно, а, как мы видели в §2,
эта последняя проблема разрешима. Следует отметить, что вопрос о том,
когда Z-рациональный степенной ряд с неотрицательными коэффициентами
будет №-рациональным, остается открытым. (В случае степенных рядов с
одной переменной см. Сойтола [19761.)
Результаты Шютценберже [1961b] и Флиесса [1974] наводят на мысль,
что в исследовании формальных степенных рядов линейные представления
полугрупп должны играть роль, аналогичную роли конечных автоматов в ис-
исследовании рациональных языков. По поводу других результатов о линейных
представлениях полугрупп мы отсылаем читателя к обзорной статье Мак-
Алистера [1971], которая содержит обширную библиографию.
Упражнения
1. Пусть U, V, W — конечномерные векторные пространства над полем К,
х и z
а х, у, 'г — линейные отображения, U -> V -> V -> W, причем у лежит в не-
некоторой максимальной подгруппе полугруппы End/cV (x, у, г действуют спра-
справа на U и V).
(a) Показать, что если хучг = 0 для любого я > 1, то хуг = 0. (Указа-
(Указание: используя тот факт, что у индуцирует автоморфизм на Im (/, доказать
включение Im ху s 5]я>1 "т ХУ>1+1-)
(b) Показать, что если хупг = 0 для любого п > пв, то хуг = 0, и, зна-
значит, если хуг ф 0, то хупг ф 0 для бесконечно многих neN.
2. Пусть R — полукольцо, вложимое в поле, а / — рациональный степен-
степенной ряд из Я [[Л]]. Существует такое £eN, что любое слово ШбЛМ'П
fl supp / можно записать в виде w = хуг, где у ф 1 и хупг е supp f для бес-
бесконечно многих neN (использовать следствие !.5, упр. 1 (Ь) и определение
рационального степенного ряда). Ср. с упр. 1 из гл. 6 (Жакоб [1980]).
3. Пусть S = {mi, т2, ..., т*> есть Im-ядро из Endn {V, К). В простран-
пространстве V существует базнс, в котооом матрицы, представляющие отображения
( А, 0 N
mi, имеют вид I в 0 J, где матрицы Л,- обратимы и (имея одинаковые раз-
размеры) порождают характеристическую группу полугруппы S).
4. Конечно порожденная полугруппа матриц над полем конечна тогда и
только тогда, когда конечны все ее Im-ядра (или же все характеристические
группы lm-ядер).
5. Пусть S — конечно порожденная полугруппа матриц над полем. Тогда
множество {Im х-, х е S} конечно, если и только если 5 имеет конечное число
максимальных подгрупп.
6. Как изменится следствие 2.9, если предположить, что все элементы
матриц из Л являются алгебраическими (соответственно трансцендентными)
над простым подполем поля /С?
7. Пусть S — конечно порожденная полугруппа матриц над полем К, а
Y — конгруэнция на S. Проблема конечности полугрупп S/y разрешима (при
364 Гл. 10. Проблемы Бернсайда и близкие вопросы
условии разрешимости проблемы конгруэнтности матриц по модулю у и соот-
соответствующих проблем для поля К).
8. В полугруппе S = B(k, 1, я) отношение / является наименьшей кон-
конгруэнцией у, для которой S/y — полурешетка, и все /-классы суть вполне
простые подполугруппы из S То же самое справедливо для любой клиффор-
довой полугруппы S (т. е. любая клиффордова полугруппа есть полурешетка
вполне простыл полугрупп; Клиффорд [1941]). Любая связка (т.е. полугруп-
полугруппа, удовлетворяющая тождеству хг = х) является полурешеткой прямоуголь-
прямоугольных связок (Мак-Лин [1954]).
9. Язык L s А* называется апериодическим порядка k (k^O), если
wltPLwk+l для любого W е A* (PL — синтаксическая конгруэнция, определяе-
определяемая языком L). Все апериодические языки порядка ^1 над конечным алфа-
алфавитом рациональны. Произвольная бесконечная последовательность без по-
повторяющихся блоков над алфавитом А служит примером апериодического
языка порядка 2, не являющегося алгебраическим. В обозначениях § 4 для
любого я ^ 0 класс слова f"(a) по модулю ~ является рациональным апе-
апериодическим языком порядка 2. Следовательно, существует бесконечно много
рациональных апериодических языков порядка k ^ 2 над алфавитом, имею-
имеющим не менее двух букв (Бжозовски, Чулик и Габриэлян [1971]).
10 Пусть А = {1, 2, 3, 4}. Определим в А* бесконечную последователь-
последовательность индуктивно следующим образом: да0 = 1234, и если wn = xyzt, где
1(х) =/((/) = /(г) = l(t) = 2", то ш„+1 = xyztxtzy. Это бесконечная после-
последовательность без повторений, в которой последовательные цифры имеют
противоположную четность (Дин [1965]).
11. Пусть А= {1, 2). Символической траекторией Морса называется бес-
бесконечная последовательность (до„) в А*, определяемая индуктивно формулами
аУо == 1, Оо = 2, Wn+i = wnvn, vn+i = vnwn. Следовательно, Wi = 12, w2 =
= 1221, Ws = 12212112, .... Эта бесконечная последовательность не имеет
делителей вида ииа, где буква а <= А является первой в и. (Считая и контр-
контрпримером минимальной длины, показать, рассматривая первое вхождение
слова Ивы, что 1(и) не может быть нечетной; в случае четной 1(и) пока-
показать, рассматривая возможные двухбуквенные делители слова и, что наша
последовательность содержит делитель вида и'и'а', где l(u') = A/2)/(и))
(Морс и Хедлунд [1944]).
44 ПЕРЕГРУППИРОВН
Глава | | ФАКТОРИЗАЦИИ
И ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА
МАК-МАГОНА
В этой последней главе мы намерены показать, что имеется
целый ряд комбинаторных результатов и методов, которые объ-
объясняются фактически алгебраическими свойствами свободных
полугрупп и моноидов. С этой целью мы излагаем набросок при-
принадлежащей Фоата [1965] теории1), которая не только дает
доказательство Главной теоремы2) Мак-Магона, но также в не-
некоторой степени вскрывает ее таинственную природу. Выбор
этой теории среди прочих объясняется тем фактом, что исполь-
использованные здесь приемы представляются достаточно типичными,
чтобы стимулировать другие обобщения чисто комбинаторных
результатов в аналогичных направлениях.
В § 1 мы напоминаем Главную теорему Мак-Магона и по-
показываем на нескольких примерах ее силу. Познакомившись
лично с монографией Мак-Магона [1915], читатель, безусловно,
лучше бы оценил этот «совершенный и быстрый способ решения
различных вопросов, трудноразрешимых при иных подходах».
В последующих параграфах мы изучаем моноид перегруппиро-
перегруппировок на множестве, введенный Картье и Фоата [1969], и пока-
показываем, что сущность Главной теоремы состоит в некоторых
комбинаторных свойствах этого моноида. Наконец, в последних
параграфах мы указываем еще одну интерпретацию Главной
теоремы в терминах степенных рядов, связанных с некоторыми
факторизациями свободного моноида.
1. Главная теорема. Приложения
Введем обозначения, которые будут использованы для фор-
формулировки Главной теоремы. Пусть В=>(Ьц) есть «X «-матри-
«-матрица над полем действительных чисел, а Х = со1(хь х2, ..., хп) и
У = со1(</ь у2, ..., уп) суть матрицы-столбцы, состоящие из
коммутирующих переменных и связанные равенством Y = ВХ.
') Фрагменты этой теории можно иайти также в § 5.1 книги Кнута
[1973*]. — Прич. ред.
Е) В оригинале «Master theorem»; этот термин переводился также как
«основная теорема». — Прим. перзв.
366 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Обозначив через
= diag(xb х2, .... хп)
матрицу, на главной диагонали которой стоят х\, х2 хп, а
на остальных местах — нули, и через / — единичную «X «-ма-
«-матрицу, рассмотрим новую матрицу
/ - БД (X) =
— bnn%n
и степенной ряд f(x\, х2, ..., xn) = (det[/— ВА(Х)])-1.
Теорема 1.1 (Мак-Магон [1915, с. 93—98]). Для любой по-
последовательности ai, аг, .... а„ неотрицательных целых чисел
коэффициент при одночлене х* ... х"" в степенном ряде
f(x\, X2, ..., хп) совпадает с коэффициентом при том же самом
одночлене в многочлене г/*/ • • • Уапп •
Чтобы читатель освоился с этой теоремой, мы вкратце пока-
покажем, как она применяется в некоторых элементарных случаях.
Приложение 1.2. Беспорядки1) («probleme des rencontres»,
приписывается Монмору, около 1713 г.2)).
Пусть х\, х2, ..., хп — последовательность из п различных
объектов (например, карт). Скажем, что последовательность
Xi{, xi3, ..., Xin содержит совпадение с первой, если ik = k для
некоторого k, I ^ k ^ п. Пусть Рп обозначает число всех беспо-
беспорядков, т. е. последовательностей xi{, x<2, ..., xtn, не имеющих
совпадений с последовательностью х\, х2( ..., х„. Если предпо-
предположить, что все п\ последовательностей равновероятны, то ве-
вероятность встретить беспорядок равна я„ = Рп/п\. Простое рас-
рассуждение (Эйлер), которое мы опускаем, показывает, что Рп =
= (п—1)(Р„-2 + Pn-i). Отсюда вытекает я„ = я„_2//г +
+ («—1)пп~\/п и поэтому я„ — nn-i=—A/«) (я„_1— я„_2). Вме-
Вместе с равенством я2 — щ = \/2 это дает я„ — я„_1=(—\)п/п\,
') В оригинале matching; этот термин в теории графов переводится как
«паросочетание»; во избежание путаницы мы употребили иной, распростра-
распространенный в комбинаторике термин (см., например, М. Холл f 1967b*]. — Прим.
пере в.
2) «Задача о встречах»; имеется в виду книга Монмора «Опыт анализа
азартных игр» (изданная анонимно); см., например, Вилейтнер Г. «История
математики от Декарта до середины XIX столетия». — М.: I960, с. 95—9&
Задача о встречах рассматривается во многих руководствах по комбинато-
комбинаторике. — Прим. ред.
/. Главная теорема. Приложения 367
откуда
Д (_n*
"л = Я! + (Я2 — Я]) + • • • + (Я„ — Яв_,) = 2_, ft ■
*-2
Следовательно,
(Заметим, что Нт„->.ооЯв = 1/е.)
Еще один метод вычисления Рп основан на том наблюдении,
что Р„ есть в точности коэффициент при xix2 ... хп в произ-
произведении
р(хи х2, ..., хп) = (х2 + хг + ... + хп) •
Чтобы вычислить этот коэффициент, введем элементарные
симметрические функции отхь х2 xn:s1=xi-\-x2-\---- + хп=
*1» S2 == Х\Х2 Н~ *1^3 ~Ь • • • ~Ь хп-1хп
- • • • хп. Мы имеем
га-2 л-3 ,
= S\ S2 — Si S3 -J— • • •
Коэффициент при Х1Х2 ... хп в многочлене
Si Sk = (,Xl + Х2 + . . . ■+■ Хп) 2-i X\X2 • • • Хк
равен n\/k\ (сумма 2~1 х{х2 • • • хк содержит n\/(k\(n — k)\) чле-
членов, и каждый из них может быть (п — k)! способами дополнен
до Х1Х2 ... хп выбором недостающих букв по одной из л — k со-
сомножителей (xi + X2 + ... хп)). Поэтому
(-1)*я!
ft=2
Этот метод вычисления Рп наводит на мысль о применении тео-
теоремы 1.1 с матрицей
0 1 1 ... 1 1.
.1 0 1 ... 1 1
1 1 1 ... 1 О
368 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Вычисление определителя det[/ — ВА(Х)] оставляется читателю
в качестве упражнения. Он имеет вид
det [/ - ВА(Х)] = 1 - s2 - 2s3 - ... - (я - l)sn.
Следовательно,
i
1, X2, • . •, Xn) =
— s2 — 2s3 — ... — (« — 1) sn '
и коэффициент при я* • • • Х1п в разложении функции
f(xi, Хъ, ..., хп) в степенной ряд дает число перестановок по-
последовательности я* ... х°" без совпадений (т. е. коэффи-
коэффициент при я* • • • хапп в
решая тем самым задачу о беспорядках — более общую, нежели
«задача о встречах».
Возвращаясь к определенным выше числам Рп, из теоремы
1.1 получим
В произведении
A — s2 — 2s3 — ... — (« — 1) sn)
коэффициент при х\Х2 ... хп = sn должен быть 0. Раскрывая
скобки, выпишем слагаемые, содержащие х\Хч ... хп:
Pnsn — Prt_2s«_2S2 — 2Pn_3s«_3S3 — • • •
... —(n — 2)Pls1sn_l — (n— l)sn.
Но в Sn-kSk коэффициент при х^х2 ... xn будет (^). Это дает ра-
равенство (Мак-Магон [1915, с. 103])
l)l + (-!). П
/. Главная теорема. Приложения 369
Приложение 1.3. Суммы кубов биномиальных коэффициен-
тов.
Если мы хотим найти число таких перестановок букв в по-
последовательности х^х^х^, что никакая буква не попадает на
место, которое было занято такой же буквой (задача о беспо-
беспорядках с а неразличимыми объектами трех типов), то это число
можно найти как коэффициент С (а) при х^х^х^ в многочлене
По теореме 1.1 число С (а) является также коэффициентом при
х^х2х^ в разложении функции
/1 0 1ч
/(*„ х2, х3)= det[/_'BA {Х)] , где В = 1 1 1 о).
\0 1 1 '
Получаем
[, Х2, Х3) =
- х2) A - х3) -
V2 2 2
* 1*2*3
Выпишем из разложения каждой дроби лишь слагаемые, со-
содержащие степени одночлена х\х2х3:
ХХХ2Х3 + (XiX2Xsf + {X\X2Xzf + . . . + XiX2X3 (
) ХХХ + ( ) (***J + ( )
Отсюда следует, что
Аналогично можно проверить, что коэффициент при f%$
многочлене {х{ — хъу (хх — х2)" (хг — хЛ" равен 0 в случае не-
370 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
четного а и равен l~(iJ+Bj~--'+(aJ B слУчае чет-
четного а. Но для многочлена (х2 — Хз)а(х3 — Xi)a(x\ — x2)a (ко-
(который совпадает с предыдущим при четном а) матрицей В из
Главной теоремы служит
/ 0 1 -1\
-1 0 1
\ 1 -1 о/
и det[/ — ВА(Х)] = 1 +*i*2 + х2х3-{- хъх\ = 1 +s2. В разложе-
разложении 1/A -г s2) = 1 — s2 + S2 —...+( — \)k s\-\- ... единственным
слагаемым, содержащим х^х^х%, будет (—1Kа/2 (х\Х2-\-x2xs-\-
+ XsXiK"-12. В этом выражении коэффициентом при д^д;"^" служит
( _ lKa/2 Ca/2)!/[(a/2)!]3. Положив а = 2q, окончательно получим
2q-l
Это тождество принадлежит Диксону [1890], а способ, которым
Мак-Магон вывел его из своей Главной теоремы, типичен для
многих других приложений, которые можно найти в его
книге. □
Обращаясь к более общей задаче, вычислим коэффициент
'a,a2... ап ПРИ *№ •••*"" в многочлене г/"'^2 • • • «/>, где у,ш*
~Yi?=ibijXi, как в теореме 1.1. Чтобы избежать многоэтаж-
многоэтажных индексов, обозначим с^ через аA). Имеем
Это влечет
где
(a) <7==
(b) i\ ^ ia ^ ... ^ iq, и последовательность ii, i2, ..., t, со-
содержит a(l) символов 1, aB) символов 2, ..., а(п) символов щ
(c) суммирование 2/,/ / распространено на все воз-
возможные последовательности /i, /2) ..., /?, где /* = 1, 2, ..., /г.
Наконец, получаем
A.4.1)
,
где суммирование распространяется на все последовательности
i\, ii, •■■> iq и /j, /2 /V, такие, что для q выполняется ра-
2. Потоки и перегруппировки 371
венстйо (a), i\, i2, ..., iq удовлетворяют условию (b) и, кроме
того, выполняется условие
(с0 /ь /г» ■ • ■» /<? есть произвольная последовательность, со-
содержащая аA) раз символ 1, аB) раз символ 2 а(п) раз
символ п.
Пара последовательностей (ib i2, ••-. iq), (/ь /2, ..-, /<?),
удовлетворяющая условиям (а), (Ь), (с'), называется перегруп-
перегруппировкой (rearrangement) на множестве {1, 2, ..., п) и обозна-
обозначается посредством
( h h ... iq\
V /1 /2 ... iq)'
Для данной матрицы В существует естественное отображение р
множества Qn всех перегруппировок в кольцо многочленов от
переменных Х\, х%, ..., хп, определяемое формулой
В следующем параграфе мы определим умножение на мно-
множестве Qn так, чтобы р естественно продолжалось до моноид-
ного гомоморфизма. Следовательно, можно сформулировать
Предложение 1.4. Пусть R — коммутативное кольцо, аВ =
есть пУ^п-матрица над R. Предположим, что yt =
('=1,2, ..., и и дан степенной ряд t =
). а B) afn)*:?'*™ • • • Хп , где /аA),аB) а(л) — КОэффи-
циент при rf<"x%w ... х^п) в .VfA)«/5B) ... t/J|(n). Тогда / =
— S<-eQn P (О. гEе Qn обозначает моноид перегруппировок
на множестве {1, 2, ..., п}, а р определено формулой A.4.2).
Доказательство вытекает непосредственно из формул A.4.1)
и A.4.2). □
2. Потоки и перегруппировки.
Свободные частично коммутативные
моноиды
Всюду далее мы будем считать множество А конечным, хотя
все понятия и результаты можно без труда распространить на
произвольные множества. Конечность А предполагается только
с целью упростить изложение.
Определение 2.1. Поток ') f на множестве А — это отображе-
отображение f: А-*-А*. Множество всех потоков на А, снабженное опе-
') flow; в этой главе мы не встретим понятия потока (stream) в смысле
гл. 6 — Прим. перев.
872 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
рацией •, определяемой формулой
(f• f) (а) = f(a) f (а) для любого а^А,
является моноидом, который обозначается посредством F(A).
Как обычно, символы l(w) и da(w) обозначают длину и соот-
соответственно степень слова w относительно а. Поток / на Л, та-
такой, что
/(f(a))=£ dj(x) для любого а^А,
называется перегруппировкой на Л. Множество всех перегруп-
перегруппировок на Л обозначается через Q{A). В случае, когда Л со-
содержит п элементов, мы обозначаем F(A) и Q(A) через Fn и Qn
соответственно.
Если f, f — перегруппировки на Л, то
I (//' (а)) = I (f (а) Г (а)) = I (f (а)) + I (/' (а)) = %А daf (*) +
+ S daf (x) = S 4 [f W f W] = Z da (/Г.W).
Учитывая, что поток 1 (определяемый равенством 1(а)= 1 для
любого а) есть перегруппировка, мы видим, что Q(A) является
подмоноидом в F(A). Удобный способ представления потока на
А состоит в следующем: предполагая, что А линейно упорядо-
упорядочено, запишем в строку буквы из Л в возрастающем порядке,
повторяя l(f(a)) раз каждую букву а, а под каждым блоком
повторяемых букв а запишем слово f(a). Таким образом,
запись
/1 1 1 2 3 3\
\2 1 3 3 1 1 )
представляет поток f на Л, определяемый условиями f(l) =
= 213, fB) = 3, fC)= 11 и f(i)~ пустое слово для /> 3. Умно-
Умножение потоков выполняется так, как в следующих примерах:
/111233W1I2244\
12 133 1 lAl35424,)t=
_Л 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4\ /3 4Wi\_/i 3 4\
~Л2 1 3 1 3354 1 1 24J' \\ 2)\4)~~\4: 1 2J'
Перегруппировка, как показывает само название, есть поток,
у которого вторая строка является перестановкой первой строки
(перестановкой, вообще говоря, повторяющихся объектов), как,
например,
/ 1 1 1 2 3 34
V3 1 1 3 1 2J-
Замечания 2.2. (а) Потоки (£), определяемые формулами
пустому слову, если х Ф а,
5. Потоки и перегруппировки 373
являются образующими для F(A). Далее,
(/ПСьО^СбОСбI если и тольк°если а
и Ь =
Мы покажем, что
а' е Л, а ^ а'\
есть копредставление для /-"(Л).
(b) /(Л) и C(Л)—моноиды с сокращением, т. е. f = g, если
fh = gh или hf — hg.
(c) Определение умножения в Q(A) показывает, что отобра-
отображение р, определяемое формулой A.4.2), действительно явля-
является гомоморфизмом.
Область потока / определяется как domf={a eA: f(
поток / мы называем потоком без повторений, если для любого
а^А длина слова /(о) не превосходит 1.
Предложение 2.3. Любой поток f, f =ф\, на множестве А мож-
можно однозначно записать в виде произведения f = /if2 • • • fm, где
fi» f2, • • • > fm — потоки без повторений, такие, что dom fx а
Э dom /2 а ... э dom fm. Например,
( 1 1 1 2 3 3\ __/ 1 2 3W1 3\ / 1 \
\2 1 3 3 1 lJ~V2 3 1 А 1 lj V3 J"
Доказательство. Пусть m = тах0 e=Al(f(a)), и пусть D, =
~{а<=А: f(f(o))^sl}, D2={a^A: l(f(a)) ^ 2}, ..., Dm =
= {а^А; /(f(a))^m}. Определим для любого i, I ^ i ^ пг,
ПОТОК fi, ПОЛОЖИВ
я буква слова f (а), если a^Dit
, если о ^ £)г.
По определению каждый f,- есть поток без повторений, и равен-
равенства f\(a)f2(a) ... fm(a) = f(a) для всех а^А дают f =
= /1/2 • • • fm. Так как D,- = dom f,, включения между последо-
последовательными областями вытекают из соотношений D\ э D2 э ...
... э £),„. Заметим, что если f = g\g2 ... gt для потоков без
повторений, таких, что dom g, э dom g2 э ... =domg;, то для
любого а^А буква g\(a) есть первая буква слова До), g2(a) —
его вторая буква и т. д. Отсюда следует, что l = m и g\ = f\,
g2 = f2, . . . , gm = fm. П
Если f — перегруппировка, то указанное выше разложение не
является, вообще говоря, произведением перегруппировок. Тем
не менее мы изучим разложения f вида f\f2 ... fm, где каждый
поток fi является перегруппировкой без повторений.
374 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Пусть n(f) — подстановка на А, определяемая перегруппи-
перегруппировкой / без повторений; например,
п IV 1 2 3 4\1
"LU 4 1 3JJ
есть цикл A,2,3,4) на Л. Если даны две перегруппировки без
повторений /i и /2, то мы скажем, что f\ поглощает /2, если для
любого а е dom /2 существует целое число k ^ О, такое, что
л*(/2) (fl)e domfi. Например,
г /44N f f 1 2 3\
'1==U ] J поглощает f2=^3 i 2J
(так как повторное применение я(/2) к 1, 2 или 3 дает 1, при-
принадлежащую dom/i), но /i не поглощает/3 = ( 3 2)-
Предложение 2.4. Любую перегруппировку /, }ф1, на мно-
множестве А можно однозначно записать в виде произведения / =
= /1/2 ••• fm, где fu /2, ..-, fm — перегруппировки без повторе-
повторений, такие, что f\ поглощает f2, /2 поглощает /з, .... fm-i погло-
поглощает fm.
Доказательство. Мы установим существование требуемого
разложения индукцией по n—^a(BAl(f{а)) (числу столбцов в
использованном выше представлении f). Если п= 1, то f не-
неразложима, т. е. f = fi. Допустим, что п > 1 и что любая пере-
перегруппировка g, такая, что Z!а <= л' (£ (а)) < п> имеет разложение,
указанное в предложении. Определим ср: dom f -*■ dom f, поло-
положив ф(й) равным первой букве слова f(a) (для любой не
edomf). Заметим, что условия aedom/ и & = ф(а) дают
l(f(b))= YiXe=AdbfM^ 1 (потому что dbf(a) ^ \); следова-
следовательно, b e dom /, т. е. ср действительно отображает dom/ в
себя. Конечность области dom/ влечет ср*(dom /) = ср^1 (dom /)
для некоторого целого k ^ 0. Положим yk{&omj) = Ai и опре-
определим перегруппировку /i формулой
ер (а), если ае Л,;
1, если афАх.
Поскольку ф индуцирует подстановку на Л] =cp*(dom/), /[ —
перегруппировка без повторений. Далее, f = f\g, так как /i
отображает любую букву а^.Ах на первую букву слова /(а)
(g — перегруппировка, отображающая любую а е ЛХ/^ на
/(а), а любую ае/1| — на слово, получаемое из /(а) удалением
первой буквы). Согласно предположению индукции, Я==/г/з •■•
... /ш и для 2 ^ i ■< m перегруппировка без повторений /( по-
поглощает /ж. Если а е dom /2 П dom /ь то л° (/2) (а) = а е dom /1.
Далее, заметим, что для любого х е dom /2\dom /] будет
2. Потоки и перегруппировки 375
it(f2) (х)= Ц>(х) (в силу определения ср и того факта, что f2 без
повторений). Поэтому в случае, когда а е dom /2\dom fu имеем
"ЧМ (а)— фг(а) для всех целых i, таких, что ф'(а)^ domf,.
Если m (не превосходящее числа ft, определенного выше) — наи-
наибольшее целое i, такое, что ^~х(а)ф. dom fu то nm-1(f2) (а) =
= Фт-'(а). Следовательно, nm(f2) (a)= Ф"(а)е dom fu т. е. ft
поглощает f2. Чтобы доказать единственность разложения, до-
допустим, что f = gig2 ... gn, где g(-i поглощает g{ для i =
= 2,3,.. , п. Для любого х s dom g,\ (dom gi U dom g2 U
... 0 dom gi^i) мы имеем ф (х) = л (g,) (л:). Ho n* (g,-) (x) e
e dom g,_! для некоторого целого ft. Следовательно, если m —
наименьшее целое число, такое, что nm(g{) (x)<= dom gx \j ...
... U dom gi-u то (pm-l(x) = nm-1(gi) (x) и этот элемент лежит
в domg,\(domg-iU ... U dom£,_,). Поэтому Фт(х) = nm(gi) (x).
Индукция по i показывает тогда, что для любого х е
s U?=i dom g{= domf существует такое г ^ 0, что фг(л;)е
edomg]. Если s обозначает максимальное из этих значений г,
когда х пробегает domf, то q>s(x)^ domg^ для всех x^domf.
В частности, еслихеAi = domfb то л; = 4>(xi)= ... =ф5(х«)е
edomgi, т. е. domf! = domg-b С другой стороны, ф(лг) =
= n(g\)(x) для всякого xedom^. Поэтому domg1 =
= фm(dom|r1)^ фт(с1от f) для любого m ^ 0. Отсюда следует,
что domgi = /li = domf! и, значит, domfi = domgi. Равенство
ф(л:)= n(gi) (х) для любого * е dom g\ = dom fi показывает,
что f\=g\. В силу замечания 2.2(b), f2 ... fm = g2 ... gn. Ин-
Индукция по Еаел;^(а)) Дает m = п и f2 = ^2 fm — gm. О
Пример. Пусть
f (\ 1 2223344 54
' "~ V3542412213J*
Первая часть доказательства дает алгоритм разложения: ф ото-
отображает 1, 2, 3, 4, 5 на 3, 4, 1, 2, 3 соответственно. Получаем
Л, = {1,2, 3,4} и
t ( 1 2 3 4W1 2 2 3 4 54
' ~" V3 4 1 2>Ц5 2 4 2 1 Ъ)
и т. д. Окончательный результат:
f_( 1 2 3 4U2W1 2 3 4 5\
' ~~\Ъ 4 1 2 )\2 )\ 5 4 2 1 3 )'
Заметим, что перегруппировки без повторений не обязатель-
обязательно неразложимы; например,
/12 3 44 /134/2 44
U 4 1 2J = U iJU 2)'
В действительности любая подстановка разлагается в произве-
произведение дизъюнктных циклов, и это разложение индуцирует раз-
376 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
ложение соответствующих перегруппировок в произведение ци-
циклических перегруппировок.
Определение 2.5. Перегруппировка f на множестве А назы-
называется циклической, если dom/= {оь аг а^} ^А и
(f(at) = at+i для г=1, 2, .... k — l,
l
Следствие 2.6. Пусть f = f\f2 ... fm — единственное разло-
разложение перегруппировки f ф 1 в произведение перегруппировок
без повторений, где ft поглощает ft+\ для любого i=l, 2, ...
..., m— 1. Тогда каждая ft может быть записана в виде произ-
произведения Ci,\Ci,2 ... ci,kt дизъюнктных циклических перегруппи-
перегруппировок, таких, что
(a) с,-, ,а, k = cit kCi, j для любых j, k A ^ /, k < kt);
(b) для каждой перегруппировки ct+i,m (l^m^^+i) най-
найдется индекс j, 1 ^ / ^ ki, при котором либо с/, / = c,+i, m, либо
Ci, /C;+l, m Ф Ci+i, mCi, j.
Доказательство, (а) следует из того факта, что две цикли-
циклические перегруппировки коммутируют тогда и только тогда,
когда они совпадают либо имеют дизъюнктные области. Так
как ft поглощает ft+u область любой ci+u m (l^m^&,+1)
имеет хотя бы одну общую букву с областью некоторой а, /. Сле-
Следовательно, либо сг+i, m — cit j, либо Ci, j и C(+i, m не коммути-
коммутируют. □
Можно также заметить, что циклические перегруппировки
неразложимы (в произведения перегруппировок). Поэтому мо-
моноид Q{A) порождается циклическими перегруппировками, под-
подчиняющимися соотношениям с-с' = с'-с для любых с, с', та-
таких, что dom с П dom с' = 0. Аналогия с моноидом F(A) полная
(см. замечание 2.2(а)).
Определение 2.7. Пусть А — множество и СеЛХ^. Обозна-
Обозначим посредством F(A; С) моноид, заданный копредставлением
F(A; С) — (A; ab = Ьа для любой пары (a,i)eC). Он назы-
называется свободным частично коммутативным моноидом на мно-
множестве А.
Заметим, что бинарное отношение С на Л можно без огра-
ограничения общности считать симметричным и иррефлексивным.
Предложение 2.8. Пусть F(A; С)— свободный частично ком-
коммутативный моноид на множестве А. Любой элемент w e
^ F(A; C),w Ф\, имеет единственное разложение w = W\w2 ...
... wm, такое, что
(а) для любого I, I ^ i ^ пг, слово ицф 1 имеет степень 1
относительно каждой своей буквы, и любые две буквы из Wi
коммутируют-.
2. Потоки и перегруппировки 377
(Ь) для любого i, I s^ i ^ m— 1, каждая буква из wi+i либо
совпадает с некоторой буквой из wt, либо не коммутирует с не-
некоторой буквой U3 Wt.
Доказательство. Чтобы доказать существование разложения,
мы проведем индукцию по длине слова w (в А*). Если l(w)= 1,
то w = а для некоторой буквы а^А и мы возьмем w\=a.
Предположим, что любое слово длины ■< l(w) имеет разложе-
разложение, удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) предложения 2.8, и
пусть w — w'a, где а — последняя буква в до. Согласно предпо-
предположению индукции до' = W\w2 ... Wk, где слова до,- A ^ i ^ k)
удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предложения. Если а совпа-
совпадает или не коммутирует с некоторой буквой из Wk, мы возьмем
Wk+\ = а и получим разложение w = w\W2 ••• WkWk+\, удовле-
удовлетворяющее условиям (а) и (Ь) предложения. В противном слу-
случае а коммутирует со всеми буквами из Wk, но не содержится
в Wk. Тогда
w =
Если а встречается в Wk-\ или не коммутирует с некоторой бук-
буквой из Wk-\, то требуемое разложение слова w есть w\W% ...
... Wk-v (awk). Если а не встречается в до*_1, но коммутирует
со всеми буквами из Wk-\, запишем w = (wiW2 ... aWk-\)Wk и
повторим процесс. Пусть i — наименьшее целое число, такое, что
а коммутирует с любой буквой из Wi, wt+\, Wi+2, ..., Wk и не
встречается ни в одном из этих слов. Тогда w = (w\W2 ...
... wia)Wi+\ ... Wk, и либо а встречается в до/_ь либо не ком-
коммутирует с некоторой буквой из wi-\. Мы утверждаем, что до =
— W\w% ... Wi-\(Wiu)wi+\ ... Wk есть требуемое разложение
слова w. Любая буква из wt+\ либо совпадает с некоторой бук-
буквой из wi (а значит, из до/а), либо не коммутирует с некоторой
буквой из Wt (a значит, из до,-а). Далее, либо а встречается в
до,_1, либо не коммутирует с некоторой буквой из Wt-\. Это до-
доказывает наше утверждение. Запись любого элемента из F(A; С)
вида ДО1ДО2 ... wm, где все w( удовлетворяют условиям (а) и (Ь)'
предложения, называется канонической формой. Множество всех
канонических форм вместе с 1 обозначим через Г. Определим
действие q: Г X А -*■ Г множества Л на Г формулой
B.8.1) q((w\Wz ... Дот), а)=ДО1ДО2 ... (до,-а)дог+1 ... wm,
где i — наименьшее целое число, для которого а коммутирует
с любой буквой из слов wt, wt+i, Wi+2, . ., wm и не встречается
ни в одном из этих слов. Продолжим q обычным способом до
отображения q: ГХ^*->Г (см. гл. 6, § 1), определив тем са-
самым структуру Л*-автомата на Г. Мы даже можем определить
на Г структуру F(A; С)-автомата при условии, что действие А*
на Г устойчиво относительно конгруэнции р на А*, порожденной
378 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
отношением С, т. е. если wpw' влечет
q((wiw2 ... wm),w)= q((wlw2 ... wm),W)
для любой формы w\w2 ... »леГ. Для проверки того, что
это и в самом деле выполняется, достаточно убедиться в спра-
справедливости равенств q({w\W2... wm), ab) = q((wiW2.. .wm),ba)
для произвольной пары (a,ft)eC. Эта проверка использует
лишь формулу B.8.1), и ее детали оставляются читателю.
Для доказательства единственности разложения мы пока-
покажем, пр'именяя индукцию по пг, что если w = W\w2 ... wm, где
w ф 1, W\w2 ... штеГ, то q(\, w) = W\W2 ... wm. Случай
m = 1 очевиден, поскольку все буквы из W\ различны и комму-
коммутируют. При т>\ мы имеем <7A, W\W2 ... wm-\)= W\w2 ...
... Wm-i, согласно предположению индукции. Следовательно,
wxw2 ... wm^wm) = q{wlw2 ... wm_
последнее равенство получается применением должного числа
раз формулы B.8.1) к буквам из wm. □
Следствие 2.9. (а) Моноид F(A) всех потоков на множестве
А изоморфен свободному частично коммутативному моноиду
а, а', 6, й' е Л, г<5е афа'\.
(Ь) Пусть Z—множество всех циклических перегруппировок
на множестве А. Моноид Q(A) всех перегруппировок на А изо-
изоморфен свободному частично коммутативному моноиду (Z; ff =
= ff для всех f, f e Z, таких, что dom f f| dom f = 0).
Доказательство. Мы установим только (b); доказательство
утверждения (а) аналогично. Положив С = {(f, f)e=Zy.Z:
f ф f и dom / П dom f = 0}, зададим отображение ф: F(Z; С)->-
->Q(^), взяв cp(f) = f для любого /eZ и продолжив ф до мо-
ноидного гомоморфизма из F(Z; С) в Q(A). Это можно сделать,
определив q>(w)= fif2 ... fm, где /i/г ... fm — единственное раз-
разложение слова w^F(Z; С), обеспечиваемое предложением 2.8.
Замечая, что свойства (а) и (Ь) из предложения 2.8 для цикли-
циклических перегруппировок, встречающихся в каждой /;, равно-
равносильны тому, что fi поглощает-fj+i для i=l, 2, ..., m—1, и
применяя предложение 2.4, убеждаемся, что ф — изоморфизм. □
Свойства 2.10. Пусть F(A; С)— свободный частично комму-
коммутативный моноид на множестве А. Тогда
(a) F(A; С) — моноид с сокращением]
2. Потоки и перегруппировки 379
(b) для любого w^F(A; С)(хюф\) существует лишь ко-
конечное число последовательностей Vi, t'2, ..., vm (Vi^F(A; С),
vt^ 1), таких, что w — v\v2 ... vm;
(c) пусть W\W2 ... Wm и и — канонические формы элементов
из Р(А; С) (т. е. удовлетворяют условиям (а) и (Ь) предложе-
предложения 2.8); тогда W\W2 ... wm—uz для некоторого z^F(A; С),
если и только если каждая буква из и встречается в хю\.
Доказательство, (а) Для любой буквы йе^ и любых кано-
канонических форм wlw2 . ■ ■ wm, w\w'2 .. ■ w'n равенство (wxw2 ...
... wm)a = (w\w'2 ... аг/^аесть в то же время равенство между
каноническими формами w{w2 ... (wta} ... wm и w\w'2 ... (ш;'а)...
... w'n, где i (соответственно j)—наименьшее целое число,
такое, что а коммутирует с любой буквой из wi, до,-+1, .... wm
(соответственно w'r w'l+l, ..., w'n) и не встречается ни в одном
из этих слов. Предложение 2.8 дает m = n, i — /, wx = w[, ....
wia = w'ia wm = w'm. В силу утверждения (а) предложе-
предложения 2.8, wfl. = w'ta влечет wi = w\ и, следовательно, w{w2 • ■ • wm =
= w[w'2 ... w\. Индуктивное рассуждение по числу букв слова
г е F(A; С) показывает, что w{w2 ... wmz = w\w'2 ... w'nz влечет
wxw2 ... wm = w[w2 ■. ■ w'n. Чтобы доказать для моноида
F(A; С) сократимость слева, мы просто заметим, что справед-
справедлив двойственный аналог предложения 2.8 (получаемый заменой
условия (Ь) условием (Ь'): для любого /, 1 ^ i ^ m — 1, каж-
каждая буква из Wi либо совпадает с некоторой буквой из wi+i,
либо не коммутирует с некоторой буквой из Wt+i). Используя
алгоритм двойственного разложения, мы, как и выше, убеж-
убеждаемся в левой сократимости F(A; С).
(b) Тот факт, что любое слово w^F(A; С), хюф\, имеет
лишь конечное число разложений, обусловлен возможностью
определения длины элемента из F(A; С), причем в качестве
таковой можно взять длину l(w) слова w в А*. Длина вполне
определена, поскольку l{ab) = l{ba) для любой пары (а, &)е С.
Далее, имеется лишь конечное число элементов v^F(A; С),
таких, что l(v)^ l(w), и, значит, лишь конечное число разложе-
разложений W = V\Vi ... Vm-
(c) Для любого w^F(A; С) определим %(w) как множе-
множество букв, встречающихся в первом множителе канонического
разложения w. Для любой буквы ае/1 и произвольного разло-
разложения W1W2 ... wm элемент w 1W2 ■■■ wma допускает разложение
вида W\W2 ...(wiu)... wm. Следовательно, X(w)sX(wa) для
любых w^F(A; С), а^А; индукция по числу букв в z пока-
показывает, что k(w)sk(wz) для всех w,z^F(A;C). Если
.. wm — uz, то, k(u) K()'k{ ) {)
380 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Обратно, если X(«)s k(wi), то wl*=uw'l для некоторого w\ e
е F (А; С) и w{w2 ... шт = иг, где 2 = до{до2 ... wm. Этим завер-
завершается доказательство утверждения (с). □
3. Функция Мёбиуса и доказательство
Главной теоремы
Определение 3.1. Моноид М называется моноидом с конеч-
конечными разложениями, если для любого х е М существует лишь
конечное число последовательностей yi, у2, ..., ут, угФ 1, та-
таких, что х = у\у2 ... Ут. Любая такая последовательность на-
называется разложением элемента х.
Если М имеет конечные разложения, то 1 = аЬ влечет а = 1
и 6 = 1, ибо в противном случае было бы 1 =(а&)" для всех
«eN, что противоречит конечности числа разложений. Мы при-
примем соглашение, считая, что 1 имеет единственное разложение,
отвечающее пустой последовательности, и для любого ieJH
обозначим через 6(х) число разложений элемента х. Далее,
число таких разложений с четным (соответственно нечетным)
числом членов обозначим через бо(*) (соответственно б] (л:)).
Функция Мёбиуса ц на М определяется равенством ц(х) =
= бо(х)—6i(л:) для любого шМ.
Для моноида М с конечными разложениями множество всех
функций ф: M->Z можно превратить в кольцо Z[[M]], поло-
положив для любого х е М
(Ф + Ф) (*) = Ф (*) + *(*).
(ф S
где А(х)={(у, z)e=MXM: yz = x}.
Заметим, что в случае М = А* это кольцо является просто коль-
кольцом Z[[/4]] степенных рядов от некоммутирующих переменных
А. Основным свойством функции Мёбиуса ц служит
Свойство 3.2. Пусть ц — функция Мёбиуса на моноиде М с
конечными разлоокениями. Определим у: M-*-Z, положив
Y(х) = 1 для любого ieM. Функции [л и у суть взаимно обрат-
обратные элементы в кольце Z [ [М] ] всех функций из М в Z.
Доказательство. Единицей кольца Z[[M]] является функция
е, определяемая равенствами еA)= 1 и е(л:) = 0 для всех х из
М, хф\. Легко проверить, что уЬъ = ЬъУ = Ь и уЬ\ — Ь\у =«
= б — е. Проверим, например, что v^i = 8 — е. Имеем ■у81A) =
= тA)б1A)= 1.0 = 0 = 8A)— еA), а для хф 1
E
(у, г)еД(де)
3. Функция Мёбиуса 381
Следовательно, v^i (^) = Si (л:) + б0 (л) = б (х) = б (х) — е(х), от-
откуда 761=6 — е. Доказательства равенств 6iy = 6 — е и 760 =
= 6о7 = 6 аналогичны. Отсюда вытекает
Y(i = YFo — 61) = 760 — 761 = е и цу = Fо — 6|)v = е. П
Прямым следствием свойства 3.2 является равносильность
следующих условий C.2.1) и C.2.2):
C.2.1) ^ г|) (г) = ф (л:) для любого л; е М
(J,z)Ei(i|
(что равносильно равенству 7г1'==фM
C.2.2) . £ [г ((/) ф (г) = г|) (х) для любого х^М
»,2)eA(j)
(что равносильно равенству (гф = \|)).
Они известны как формулы обращения Мёбиуса. В случае когда
М есть моноид N (относительно умножения), формулы C.2.1)
и C.2.2) записываются соответственно как
C.2.1)'
C.2.2/ £|*(<*)ф
Предложение 3.3. Яг/сгь F(/4; С)—свободный частично ком,'
мутативный моноид на множестве А. Функция Мёбиуса на
F(A\ С) дается формулой \x{w) — (—1 )'<"">, если w имеет сте-
степень 1 относительно каждой своей буквы, и ц(до) = 0 в против-
противном случае').
Доказательство. Мы просто проверим, что цу= 8- То, что
(г — функция Мёбиуса, будет следовать тогда из свойства 3.2
(учитывая единственность обратного элемента). Для любого
wf=F(A; С) имеем (цу)(ш)«= Е(«,0)s д (И)) Iх («) Y (»)• В случае
до = 1 в АA) будет лишь пара A, 1), откуда (ну) A)= 1. В слу-
случае w ф 1, записывая w = w\w2 ... wm (разложение, указан-
указанное в предложении 2.8), ненулевые слагаемые в сумме мы по-
получим из разложений W\w2 ... wm = uv, где и — канонический
элемент из F(A; С) либо и = 1. По свойству 2.10(с) все канди-
кандидаты на роль и суть различные элементы, получаемые как про-
произведения букв из До1. Используя обозначение X, введенное при
доказательстве свойства 2.10(с), мы получим [xy(w)<=
T~^l{u)- Предполагая, что/(twi) = л, можно обра-
') В случае когда А счетно и С = А X А моноид F(A; С) изоморфен,
очевидно, мультипликативному моноиду N и рассматриваемая функция Мё-
Мёбиуса превращается в классическое теоретико-числовое понятие. Об общем
определении функции Мёбиуса для частично упорядоченных множеств см.,
например, М. Холл [1967b*, гл. 2], где имеется и некоторая историческая
справка. — Прим. ред.
382 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
зовать (") различных элементов и из г букв слова w\. Поэтому
r-0
Следовательно, цу = е, откуда и вытекает наш результат. □
Приложение 3.4. Для моноида Q(A) перегруппировок на мно-
множестве А функция Мёбиуса не обращается в нуль только на
перегруппировках без повторений. Такая перегруппировка f мо-
может быть записана в виде произведения дизъюнктных цикличе-
циклических перегруппировок, скажем f = C\d ... сг, и тогда n(f) =
= (—1)г. Чтобы связать это значение jx(/) непосредственно с f,
мы используем знак подстановки n(f). Знак цикла л (с,) есть
где |domc| обозначает мощность области dome. Далее,
yr j dom с{ j+r
(-1) '"' =(_l)|domf|(_1)r==
( — l)ldoraf|sgn л (f), если / — перегруппировка без
повторений,
0 в противном случае.
Возвращаясь к доказательству теоремы 1.1, напомним (пред-
(пред14) фф f{i)B) <'
р у р , (рд
ложение 1.4), что коэффициент одночлена xf{i)x%B) ... #£<"' в
ya(i)yaB) _ _ _ уа(п) совпадает с соответствующим коэффициентом
степенного ряда t= 2feQrtP(/)> гДе
Вычислим многочлен d= det [/ — ВА(Х)] следующим обра-
образом. Напомним, что для п X «-матрицы 11= (иц)
C.4.1) dett/ ===== X sgnaui,O(i)«2,oB) ..
В случае U = / — Р, где Р = (/?;/), используя символ Кронекера
{1, если i — j,
О, если i Ф /,
получим
п
det (/ — Р)= £ sgn аП(бг, а(<) —Р«, о(<))«
S. Функция Мёбиуса 883
Эту сумму можно вычислить, рассматривая последовательно
подстановки множества {1, 2, ..., п}, которые являются пере-
перестановками подмножеств Ks{\, 2, ..., п}, действуя тожде-
тождественно на дополнениях к К. Для произвольного подмножества
К, содержащего г элементов (г= 1, 2, ..., п), это означает, что
в произведении
п
П (f>i, a (I) — Pi. a (/))
нужно выбрать г элементов pi, a а) из сомножителей (б/, „(/> —
— Pi.mt)), где i^K, и п — г элементов 6i,o(i) из сомножителей
(б(,а(*) — Риащ), где 1фК\ мы получим результат в виде
(— l)rILeкр<.а(/). Таким образом,
det (/-
г-0
У 2 (-l)rsgna
Если рг/ — bifXf, ToYli*=KPi,o(i) — $ (/), где / — перегруппи-
перегруппировка без повторений, для которой л(/)=<т. Далее, (—l)rsgn<r =
= (x(f). Поэтому, принимая во внимание тот факт, что (х(/) = 0
для перегруппировок / с повторениями, мы окончательно полу-
получаем rf =
Но для любой g^Qn мы имеем E(f. ПеА(г)«(П = Y (§)> где
e — единица кольца Z [[Qrt]] а у — постоянная функция со зна-
значением 1. Применяя формулы обращения Мёбиуса C.2.1),
C.2.2), получаем
или
у /1л Г 1, если g — единица в Qn,
(f, П^Д(в) (_0 в противном случае.
Поэтому dt=\, и доказательство теоремы 1.1 закончено. П
Замечание 3.5. В теореме 1.1 предполагалось, что В — матри-
матрица над полем R. Однако теорема остается справедливой для
произвольного кольца R, даже некоммутативного, — при усло-
условии, что элементы матрицы В удовлетворяют равенствам
384 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
= bi'kbij при i =Ф i' (см. определение A.4.2) отображения
Р). Для некоммутативных колец формула C.4.1), дающая
det U, используется в качестве определения.
4. Краткий обзор элементарной
теории алгебр Ли
Многие основные свойства факторизации свободных монои-
моноидов, изучаемые в § 5, тесно связаны со свободными алгебрами
Ли. В этом параграфе мы излагаем, часто без полных доказа-
доказательств, результаты из теории алгебр Ли, необходимые для
§ 5. За дальнейшими деталями и разъяснениями мы отсылаем
читателя к книге Джекобсона [1962] или Бурбаки [1971/72]').
Определение 4.1. Пусть R— коммутативное кольцо с едини-
единицей. Алгеброй Ли L над R называется У?-модуль (т. е. абелева
группа с внешним умножением на элементы из R) с операцией
[ , ]: L X L -> L, которая билинейна (т. е. [ад; -f- fk/, z] =
= а[х, z] + $[y, z] и [х, ay-\-$z] = a[x, у] + р [х, z] для лю-
любых а, р е R, х, у, z <= L) и удовлетворяет тождествам
(a) [х, х] = 0 для всех х е L,
(b) [[*, у], z] + [[у, г], х] + [[г,х],у] = 0 для всех х, у,
z<=L.
Ассоциативная алгебра А над R определяется как У?-модуль
с операцией •, которая билинейна и удовлетворяет тождеству
х- (у-z) = (х-у) • z для всех х, у, г. Любая ассоциативная алгебра
А может быть наделена структурой алгебры Ли с помощью опре-
определения [х, у] = ху — ух. Как обычно, лиев гомоморфизм
<р: L\-^-Li двух алгебр Ли над R определяется как У?-линейное
отображение, такое, что <р([х, у]\) = [у(х), ф((/)]г для любых
х, i/eLi ([,]i и [,]г — операции в L\ и L2 соответственно).
Лиев гомоморфизм <р: L-*-A алгебры Ли L над R в ассоциатив-
ассоциативную алгебру А над R есть такое ^-линейное отображение, что
ф([*> У])= Ф (х) Ф (У)—ф(у)фМ Для любых х, у е L. Всюду
ниже мы предполагаем, что все ассоциативные алгебры имеют
мультипликативную единицу 1, сохраняемую при гомомор-
гомоморфизмах.
Предложение 4.2. Для любой алгебры Ли L над R сущест-
существуют единственная (с точностью до изоморфизма) ассоциатив-
ассоциативная алгебра A(L) над R и единственный лиев гомоморфизм
X: L-*-A(L), такие, что для любой ассоциативной алгебры В
и любого лиева гомоморфизма a: L-+-B диаграмма D.2.1) мо-
может быть единственным образом дополнена гомоморфизмом
') См. также Серр [1965]. Главный используемый в § б результат — фор«
мула D.10.1). — Прим. ред.
4. Элементарная теория алгебр Ли 385
алгебр ц>, таким, что <р о X = о.
D.2.1)
Набросок доказательства. Положим A(L)=T(L)/J, где
T(L)=R®L®(L® L)@(L ® L® L)© ... —тензорная алгебра
/?-модуля L, а / — идеал в ^(L), порожденный всеми элемен-
элементами вида [х, у]— х ® у -f- у ® д:, где *, у ^ L. Гомоморфизм
Я: L -> Л (L) получается как композиция канонического вложе-
вложения L-*-T(L) и факторгомоморфизма T(L)-*-A(L)=T(L)/J.
Мы опустим детали, напомнив лишь, что умножение в T(L)
определяется формулой
Ui ® х2 ® ... ® *т) • (г/i ® г/2 ® • • • ® г/„) =
= хх ® ... ® д:т ® I/, ® ... ® г/„
для х;, i/jeL, 1 ^ г ^ т, 1 ^ / ^ л, и по свойству билиней-
билинейности продолжается на всю алгебру T(L). О
Построенный гомоморфизм X условимся называть канониче-
каноническим. Ассоциативная алгебра A (L) называется универсальной
обертывающей алгеброй алгебры Ли L.
Теорема 4.3 (Пуанкаре — Биркгоф — Витт). Пусть L — ал-
алгебра Ли над кольцом R, а X: L-*-A(L)—канонический гомо-
гомоморфизм в ее универсальную обертывающую алгебру A(L).
Если L является свободным R-модулем с базисом {U: /е/},
причем I линейно упорядочено некоторым отношением ^, то
A (L) является свободным R-модулем с базисом {X G^) X (li^ ...
... Я (/г): i\ ^ h ^ • • • ^ г'п> п е Щ- ^ частности, X есть вложе-
вложение L в A(L) и X(L) есть подмодуль в A(L), порожденный мно-
множеством {X(li): ie /}.
Доказательство см., например, у Серра [1965]. В случае
когда R — поле, произвольная алгебра Ли L над R является
свободным /?-модулем, и X вкладывает L в A(L). □
Лемма 4.4. Пусть L\, L2 — алгебры Ли над кольцом R и
L = Li X L2 — их произведение как алгебр Ли. Тогда алгебра
A(L) изоморфна тензорному произведению алгебр A (Li)®
ЛA) «
Доказательство. Напомним, что умножение • в АЩ) <g> A(L2)
R
определяется посредством формулы (хх ® х2) • (г/i ® г/2) =
Vs 13 Зак. 474
386 Гл. П. Главная теорема Мак-Магона
>х2у2 для любых xi, у\ ^А(Ц), х2, у2^А(Ц).
кг
1г
D.4.1)
Диаграмма D.4.1) (где i\ и i2 — вложения L\ и L2 в L =
= L\ X ^2) может быть дополнена двумя гомоморфизмами
алгебр ф1, фг (предложение 4.2). Несложная проверка показы-
показывает, что у\(х\) -у2{х2) = ф2(х2) -фг(xi) для любых X\^.A(L\),
X2^A(L2). В силу свойства универсальности тензорного произ-
произведения алгебр существует гомоморфизм ф: A (L.) ® Л (L2) ->
->ЛA). Отображение о: L-> Л (L{) <8> A{L2) определяемое ра-
R
венством а(хи Х2) = %\(х{)® 1 + 1 ^^2(^2), есть лиев гомомор-
гомоморфизм. Согласно предложению 4.2 существует единственный
гомоморфизм т: A(L)-*~ A(L\)<8> A(L2), такой, что т°Я = а.
R
Проверка, которую мы опускаем, показывает, что отображения
Ф°т и т°ф тождественны на A(L) и Л (Li) <8> A (L2) соответ-
R
ственно. Следовательно, Л (L) и Л (L{) ® Л (L2) изоморфны. □
R
Теорема 4.5 (Фридрихе [1953], Линдон [1955]). Пусть L —
алгебра Ли над полем F и К: L-*-A(L) — канонический гомо-
гомоморфизм. Тогда
(a) существует единственный гомоморфизм алгебр A: A(L)-+
->ЛA)®ЛA), такой, что Д(ВД)=ВД® 1+ 1<8>Х(х) для
любого х е L;
(b) если F имеет характеристику 0, то
Доказательство, (а) Пусть б: L-+-LXL — диагональное ото-
отображение, т. е. 8(х) = (х, х) для любого x&L. Если о: LX.L-+
-*■ A (L) ® Л (L) определяется формулой а(д:, у) = Х(д:)® 1 +]
+ 1 ® Х(у) (см. доказательство леммы 4.4), то следующую диа-
диаграмму
L -£-*-A{L)®A(L)
можно единственным образом дополнить до коммутативной го-
гомоморфизмом алгебр A: A (L)~>-A (L)<8> A (L) (предложение 4.2).
4. Элементарная теория алгебр Ли 387
Для любого «ei мы имеем а(х, х) = А(к(х)) или, равносиль-
равносильно, Д(ОД) = Ч*)® 1 + 1®ВД.
(Ь) Из (а) вытекает X(L)s {(/ <= Л(L): A((/) = t/®l +
-f- I ® (/}. Обратное включение мы докажем лишь в том частном
случае, когда L — алгебра Ли, в которой [х, у) = 0 для любых
х, у <= L. (Заметим, что произвольный ^-модуль М можно пре-
превратить в алгебру Ли, положив [х, у] = 0; соответствующая
универсальная обертывающая алгебра А (М) называется сим-
симметрической алгеброй модуля М.) Пусть (/г)(е/— базис в L
над F. Тогда A(L) изоморфна кольцу многочленов над F,
F[Xt] (i e /), от коммутирующих переменных Xi, взаимно одно-
однозначно соответствующих базисным элементам U. Чтобы увидеть
это, достаточно проверить, что F[Xj] обладает универсальным
свойством алгебры A(L), сформулированным в предложении 4.2,
а это почти очевидно. Кроме того, алгебра F [ХД ® F [ХД изо-
F
морфна кольцу многочленов F[Xt<S)l, 1®Хг], /е/, и для лю-
любого многочлена р е F[Xi] мы имеем А(р) = р(Х«® 1 -f- I ® Xi).
Поэтому равенство Л(р) = р® 1 -{- 1 <8> р равносильно равенству
р(Хг® 1 -Ь 1®Х/)=р№® 1)+рA ®Х). Поскольку 1;®1и
1 ® X,- можно заменить переменными У* и Z; соответственно, мы
имеем А(р) = р ® 1 + 1 ® р, если и только если р (У,--{-Z,-) =
= р(У,)+p(Z()- В частности, взяв однородную часть р„ степени
п, п ^ 0, многочлена р, мы получим 2"р„(Уг) = рпBУ;) = 2р„(У,).
В случае ch F = 0 из 2" — 2 = 0 следует п = 1. Поэтому р = р\
и по теореме 4.3 р ^K(L). Общий случай см. у Серра [1965]. □
Множество, снабженное бинарной операцией, называется
магмой^). Свободная магма на множестве X, обозначаемая че-
через Х< >, — это множество всех слов из [-^U{(,)}]+. содержа-
содержащих правильную расстановку скобок, вместе с операцией умно-
умножения, определяемой равенством W\-w% =(w{) (w2) (справа
стоит обычное произведение в свободной полугруппе [X[j
U{(,)}]+).
Для данного кольца R свободной R-алгеброй над множе-
множеством X, обозначаемой через 9~r [X], называется множество всех
конечных сумм вида £ w е х() г (w) w, где r(w)^R. Свободная
алгебра Ли LR[X] над X — это факторалгебра алгебры @~r[X]
по идеалу /, порожденному всеми элементами вида w-w и
(u-v) -w -{-(v-w) -и -\-(w-u) -v, где и, v, w^ff~R[X]. Замеча-
Замечательным свойством алгебры Lr [X] является то, что она — сво-
свободный ^-модуль. Базисами в LR[X] служат некоторые подмно-
подмножества из Х< \ называемые специальными семействами Холла
(Ф. Холл [1933]), которые мы сейчас определим.
') Обычно употребляется термин «группоид». — Прим. ред.
888 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Определение 4.6. Семейством Холла в Х( > называется ли-
линейно упорядоченное подмножество Я из Х( >, такое, что
(a) (al) X s Я; (а2) для любых и, оеХ" имеем и-иеЯ
тогда и только тогда, когда i/еЯ, вей, и <. v и либо tie!,
либо и = 2-да, где z ^ и для некоторых г, да е Я.
Специальное семейство Холла — это семейство Холла, удов-
удовлетворяющее дополнительному условию
(b) для любых и, v ен Я неравенство /(ы)</(у) влечет
« < и.
В этом определении под 1{и) понимается длина слова и, рас-
рассматриваемого как слово в Х+. Существование специального
семейства Холла можно показать, строя последовательно мно-
множества Яь Я2, ..., Нп, ... элементов семейства Я длины
1, 2, ..., п, ... и доопределяя на.каждом шаге отношение ли-
линейного порядка, удовлетворяющее условиям определения 4.6.
Например, если X = {х, у}, можно взять
Н\ = {х, у}, где х < у; Я2 = {{ху)} и х < у < ху;
#3 = {х {ху), у {ху)} и ху < х {ху) < у {ху);
Н4 = {х{х{ху)), у{х{ху)), у{у{ху))} и
у {ху) <х{х {ху)) < у {х {ху)) <у{у {ху)).
Нп — множество всех произведений u{zw), где и, z, да, гдае
е U?= I Ht, причем z ^ ы < гда, г < ш. Специальным семейством
Холла является H=\jT~\Hi.
Теорема 4.7. Естественное вложение X-+Lr[X] продолжается
единственным образом до мультипликативного гомоморфизма
Ф: Х< > -> Z-я [Х], который отображает произвольное семейство
Холла Н из ХО на некоторый базис R-модуля Lr [X].
Таким образом, L^[X] — свободный У?-модуль. Используя
универсальные свойства алгебры Ли Lr[X] и свободной ассо-
ассоциативной У?-алгебры R[X], а также предложение 4.2, нетрудно
доказать, что универсальная обертывающая алгебра A{LR[X])
изоморфна R[X] (изоморфизмом служит отображение го из диа-
диаграммы D.7.1); у — единственный лиев гомоморфизм, продол-
продолжающий вложение Х-*-R[X]).
LJLX]
D.7.1)
Так как алгебра Lr [X] свободна, К является вложением по
теореме 4.3. Мы отождествляем Lr[X] с ее образом в R[X]\
4. Элементарная теория алгебр Ли 389
относительно ср°А,. Для поля F характеристики 0 можем по
теореме 4.5 записать
LF[X]= {z^F[X]: A(z) = z® 1 + 1®г}.
Аналогично переходу от кольца многочленов R [X] к кольцу
степенных рядов /?[[Х]] существует соответствующий переход
от L#[X] к Lk[[X]]. Мы можем фактически прямо определить
Lk[[X]] как замыкание алгебры Lr[X\ в R[ [X]] относительно
обычной топологии на R [ [X] ] (см. гл. 9, § 4) Продолжив
отображение A: R [X] -> R [X] ® R [X] до отображения, тоже обо-
обозначаемого буквой А, из R [ [X] ] в R [ [X]] ® R [ [X] ], получим
для поля F характеристики О
D.7.2) M[X]]={ze=F[[X]]:A(z) = z® 1+1 ®z}.
Данный параграф мы закончим, показав, что для любых степен-
степенных рядов х, y^F[[X]] без свободных членов существует ряд
Ь[[1]], такой, что ехеу = ег.
Предложение 4.8. Пусть F — поле характеристики 0 и I —
идеал в F[[X]\, порожденный множеством X (т. е. состоящий
из степенных рядов без свободных членов). Определим отобра-
отображения ехр: / —► 1 + / и log: 1 + / —*■ 1 формулами ехр х =
= '£'п-охп/п\ и log A + х) — Хп-1 (( — 1)п+1хп)/п соответственно.
Тогда ехр и log суть взаимно-обратные биекции между I и 1 + /.
Чтобы доказать это, можно сначала заметить, что результат
справедлив в случае X— {а} и х — а (классический случай), а
затем использовать замену а\—>х.
Ограничиваясь элементами яе/, такими, что А(х) = х® 1 +
+ 1 <S> х (см. теорему 4.5 (Ь)), легко вывести:
Д (ех\ = еА (*) = е*® 1 + 1 ®х__ gx® lgl ® ДСде,
= (е*® 1H ®е*) = е* ® ех.
Следовательно, экспоненциальное отображение является биек-
цией /П£р[М] на (хё1-)-/: А (х) = х ® х). Мы используем
это замечание, чтобы доказать следующее утверждение.
Теорема 4.9 (Бэйкер — Кэмпбелл — Хаусдорф1)). Для любых
х, у^Х существует единственный ряд z& LF[[X\], такой, что
ехеу = ez_
Доказательство. Имеем ехеу el-f / и, значит, ехеу == е" для
некоторого однозначно определенного zgF[[I]]. Но A(ez) =
= А (ех • е«) = А {ех) А (еу) = {ех ® ех) ■ (еу ® е«) = ег® ег. Отсюда
следует, что z е / П Lf [ [X] ]. □
') Исторические комментарии, с указанием роли каждого из перечислен-
перечисленных здесь математиков, см., например, в книге Магнуса, Карраса и Солитэра
[1Ф66, с. 382]. - Прим. ред.
390 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Замечания 4.10. (а) Первые три однородные компоненты
ряда z таковы: z,(x, у) = х + у\ z2(x, у) = A/2)[х, у]; г3(х, у) =
A/12) [х, [х,у]) + A/12)[у, [у,х]).
(Ь) Имеем ехе» = ех+У+г', где z'ze(Lf[ [X]] J. Это оста-
останется справедливым, если заменить х и у произвольными степен-
степенными рядами без свободных членов. То же самое выполняется
для логарифмической версии формулы:
D.10.1)
5. Факторизации свободных моноидов
Лемма 5.1. Пусть и, уеЛ+. Если uw=wv для некоторого
до e А*, то существуют слова х, у^А* и целое число k^O,
такие, что и = ху, v = ух, до = (ху) kx.
Доказательство индукцией по l(w). Если до = 1, возьмем
х=\, y = u = v и & = 0. Предположим, что утверждение
справедливо для любой тройки а^А+, 6еЛ+, с^А*, такой,
что ас = сЬ, где 1(с)<.п, и пусть uw = wv, где l(w) = n. Со-
Согласно следствию 1.6 из гл. 5, выделим два случая.
(a) l(u)^ l(w). Тогда u — wz и zw = v для некоторого
геЛ*. Взяв х = до, y = z, получим требуемое, так как до =
(*У)*.
F) /(и)</(пу). Тогда w = ut и tv = w для некоторого
?<=Л*. Поскольку и, уеЛ+, имеем l{t)<l{w)= п. По предпо-
предположению индукции и = ху, v = yxn t = (xy)kx. Отсюда следует,
что w = (*«/) *+1л;. □
Следствие 5.2. Яусгь и, »еЛ*. Следующие условия равно-
равносильны:
(a) существует до е Л*, такое, что uw = wv;
(b) существуют х, у е Л*, такие, что и = ху и v = «/*.
Слова и, у, удовлетворяющие (а) или (Ь), называются со-
пряженными словами.
Доказательство. Очевидно, взяв w = х, получим, что (Ь) вле-
влечет (а). Для доказательства обратной импликации достаточно
проверить тривиальные случаи и= 1 или и= 1, не вошедшие в
лемму 5.1. П
Ясно, что сопряженность является эквивалентностью на Л*
и сопряженные слова получаются друг из друга циклической
перестановкой букв.
Следствие 5.3. Если слова и, v e Л* удовлетворяют равенству
uv = vu, то существуют слово доеЛ* и целые числа k, /^0,
такие, что w=wk и v = до'.
б. Факторизации свободных моноидов 391
Доказательство. Это очевидно, если l(u)= l(v). Допустим,
например, что l(u)<. l(v). Применим индукцию по /(и). Слу-
Случай и = 1 очевиден. Если иеЛ+, то лемма 5.1 дает и = ху =
= ух, v =(xy)kx для некоторых х, у е A*, k ^ 0. В случае когда
х= 1 или у = 1, слово v является степенью слова и. Если же
хф 1 и уФ 1, то предположение индукции можно применить к
х или к у, поскольку /(*)</(«) и 1(у)<. 1(и). Мы получим
х = оут, у = оу", откуда и = nymJ-", v = w^m+n)k+m. О
Определение 5.4. Слово гп^А* называется самосопряжен-
самосопряженным, если существуют и, кеА+, такие, что m — uv = vu, или,
равносильно, если m = wk для некоторых w ф 1, &> 1. Слово
ре Л* называется примитивным, если оно не самосопряжено,
т. е. р = оу* влечет & ^ 1.
Мы покажем, что для любого непустого слова w однозначно
определяются примитивное слово р и число k ^ 1, такие, что
w = р*. Единственность р и k обеспечивает следующая
Лемма 5.5. Пусть х, у^А+ и пг = 1(х), п = 1(у). Если су-
существуют целые числа р, q и слова и, v, и', v', aye Л*, такие,
что хр = uwv, yq=u'wv', где l(w)~^m-\-n — НОД(т, п) и
l(u)^ l{u') (mod НОД(т, л)), то х и у суть степени одного и
того же слова z еЛ'.
Доказательство, (а) Допустим, что НОД(т, л)=1, причем
m <а п. Имеем хр = uwv, yq = u'wv':
ф © 2 1
x \x
E.5.1)
Мы покажем, что первые п букв слова w одинаковы и равны,
скажем, букве а^А. Отсюда непосредственно будет следовать,
что х = ат, у == ап. Первая и (т-\- 1)-я буквы слова w одина-
одинаковы, поскольку 1{х) = т (см. диаграмму E.5.1)). Более общо,
мы утверждаем, что если h, k таковы, что 1 ^ h < k ^ n и
h S3 rm (mod п), k s= (г + 1) т (mod л), то /г-я ий буквы слова
до одинаковы. В самом деле, 1 ^ h < п влечет 1 + >п ^ h -f-
-f- m < л -f- т. Поэтому h-\-m^.n-\-m—1^/(до), и /г-я и
(л-(-т)-я буквы слова w одинаковы. Благодаря повторяющимся
отрезкам у, (л-)-т)-я буква слова w та же самая, что и /г-я,
где k ея /t -j- m ея (r-\- l)m(mod л) и 1 <; ft ^ л. Следовательно,
/г-я и &-я буквы слова w одинаковы, что завершает доказатель-
доказательство нашего утверждения. Теперь, поскольку тип взаимно
392 Гл. И. Главная теорема Мак-Магона
просты, последовательные значения h, такие, что 1 ^ /( ^ л и
h =s rm (mod n), образуют полную систему вычетов по модулю п,
т. е. целиком заполняют интервал [1, п]. Это показывает, что
первые п букв слова до одинаковы.
(Ь) Предположим, что НОД(т, n) = d> 1. Тогда х, у, до
можно рассматривать как слова в алфавите B=Ad, заменяя,
если необходимо, слово до его длиннейшим левым делителем,
длина которого кратна d. Мы имеем Ib(w)^ mjd-\- n/d—1 и
НОЦAв(х), М#))=1- Согласно п. (а), первые n/d букв из В
слова до одинаковы, т. е. w = (uo)nldts/, где 1А (до0) — d. Отсюда
следует, что х = (w\)mld и y = {w2)nld, где слова w\ и до2 сопря-
сопряжены слову до0. Но соотношения /(«) = l(u') (mod d), x" = uwv,
yi = u'wv' дают Wi = w2, показывая, что х и у являются сте-
степенями одного и того же слова. □
Предложение 5.6. Для любого слова доеЛ+ существуют
единственное примитивное слово р и единственное целое число
k~^\, такие, что w = рь.
Доказательство. Если w самосопряжено, то w = (w'I для
некоторых до' Ф 1, I > 1. Применяя индукцию по длине слова до,
мы непосредственно получим w = pk для некоторого примитив-
примитивного слова р и k ^ 1. Допустим, что w = pk = qk', где k, k' > 1,
а р и q примитивны. Выбрав п ^ /(р)+ /(?) — НОД(/(р), /(<7)),
получим до" = ptt* = 9"fe'. По лемме 5.5 существует такое г е Л+,
что р = zr, q — zs, а это влечет r = s = 1, откуда р — q. Нако-
Наконец, w — pk — qk' = pk>, что дает k = k'. □
Теорема 5.7 (Шютценберже [1965b]). Пусть {Bf. ie/}—се-
ie/}—семейство подмножеств из А+, индексированное линейно упорядо-
упорядоченным множеством I и такое, что каждое Bt является мини-
минимальным множеством образующих подмоноида В]. Любые два
из следующих трех условий влекут за собой третье:
(a) для любого до е А+ существует, самое большее, одно
разложение w = Х\К2 ... хп, где xi e В{; и i{ > i2^ .. ■ ^ in',
(а') для любого шеЛ+ существует, самое меньшее, одно
разложение до = ххх2 ... хп, где xt e fi(/ и ii > /2> . .. > in;
(b) 5ля любого класса сопряженности С из А*, С Ф {I}, су-
существует единственный индекс ie/, такой, что С [) В]Ф 0 и
С П В] есть класс сопряженности в В].
Доказательство. Если В = Л* — код, то мы, как и в предло-
предложении 2.13 из гл. 5, обозначим посредством 1/A — В) степенной
ряд 2m_o^m c коэффициентами из Q (или из произвольного
поля характеристики 0).
(А) Если выполняются условия (а) и (а') теоремы 5.7, то
для любого !»еВ| имеем до = ххх2 ... хп, где хи х2, .... хпе
5. Факторизации свободных моноидов 393
е Blt и это разложение единственно. Следовательно, каждое
Bi есть код в Л* и 1/A — Л) = Ц(е/ 1/A — В{), где расположе-
расположение сомножителей отвечает отношению порядка на / (т. е. при
/>/ ряд 1/A — Bi) предшествует ряду 1/A — В/)). Из фор-
формулы D.10.1) (логарифмической версии формулы Бэйкера —
Кэмпбелла — Хаусдорфа) следует, что log [1/A — ^)]=X/e/log[l/
/A — Bi)] + z', где zre={LQ[[A]]J. Бэтой форме мы и бу-
будем использовать условия (а) и (а'). Пусть С — класс сопря-
сопряженности в Л*. Его характеристическая функция %с: Л*->0 про-
продолжается до линейного отображения, также обозначаемого че-
через %с'. Q[[A]]->Q. Поскольку %с (ы) = Хс(и) Для любых двух
сопряженных слов и, оеД', мы имеем %с (z') = 0 и, следова-
следовательно,
(<=/
Используя определение логарифмической функции, после вычис-
вычислений получим равносильную формулу
card С v-, card (
E.7.1) -7-—Е
где / (соответственно /«•)— это общая длина над А (соответ-
(соответственно на Bi) слов из С (соответственно из С(]В*.). Множе-
Множество индексов /' в правой части определяется равенством /' =
= {/е/: С(]В*{ф0\. Если С— класс сопряженности прими-
примитивного слова, то С состоит из I различных примитивных слов,
и (card С)//= 1 = [card (С П Щ)]/и Для каждого i, такого,
что С П В]Ф0. Отсюда вытекает, что существует един-
единственный индекс го, для которого С(\В*(оФ0. Если С —
класс сопряженности непримитивного слова а/еЛ+, то в силу
предложения 5.6 w = pk, где р примитивно. Класс сопряжен-
сопряженности слова р пересекает только B*h. Поэтому для некоторого
слова q, сопряженного к р, имеем q e В\ и для соответствую-
соответствующего слова до' = qk, сопряженного к w, имеем ai'eC П В*..
Отсюда следует, что С П B*h — класс сопряженности в В"., и
A//,) card (С П Я;„) = l/k =(card С)/I. Формула E.7.1) снова
показывает, что го — единственный индекс i из /, такой, что
СП В]Ф0.
(В) Допустим, что выполняется условие (Ь) теоремы 5.7.
Прежде всего мы утверждаем, что каждый подмоноид В] обла-
обладает свойством
E.7.2) для любых и, уеЛ*
uv s В], vu s В] влечет «<= В], сё В].
13 Зак. 474
394 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Это свойство, очевидно, выполняется, если и= 1 или v=l.
В противном случае условие uv, vu <= В] показывает, что класс
сопряженности С слова uv таков, что С Л В*(Ф0. Отсюда сле-
следует тогда, что uv —ху и vu = ух для некоторых х, у е В]
(uv и vu сопряжены bBj). Если 1(и) = 1(х), то слова и — х и
v = у лежат в В]. Если же, например, 1(и) > 1(х), то и = хг =
= sx и rv = у = us для некоторых /•, s e A+. По лемме 5.1 су-
существуют слова а, р, у, 8еЛ*, такие, что s = ар = у8, г =
= Ра = 8у, х = (аР) *а, у = (бу) 'б, и = (аР) *+'а, у = (бу) /+1б для
некоторых й, Z ^ 0. Заметим, что s и г сопряжены и имеют длину
</(«у). Применяя индукцию по l(uv), получим, что ар, рае
е В' влечет а е fi*, ре Z5*, и аналогично для у и б. Но х =
=r(ap)*a влечет i = ]. Следовательно, и е В] и v e fij, что до-
доказывает наше утверждение.
Заметим, далее, что из 5.7.2 вытекает, что В] свободно по-
порождается множеством Ви Чтобы доказать это, используем
предложение 2.2 из гл. 5; допустим, что wB\ f) B\w Л В] Ф 0
тогда uw = шу е В* для некоторых ы, yeBj. По лемме 5.1
(полагая, что и, v непусты) имеем и = ху, v — yx и пу = (л#)*л:;
E.7.2) влечет х е fi*, у е 5j, откуда ву е fi*.
Предположение о том, что С [} В] есть класс сопряженности
в В], гарантирует справедливость E.7.1). Отсюда вытекает, что
XcO°g[l/(l—i4)]) = £Je/Xc(log[l/(l — В/)])для любого класса
сопряженности С из А*. Обозначив через а(/) канонический
образ степенного ряда / в кольце степенных рядов от коммути-
коммутирующих переменных, мы получим
lei
для любого класса сопряженности С из Л*. Суммируя по всем
этим классам, получим
(
а это равносильно равенству aA/A — Л)) = а(П;е/ 1/A — Bt))
или
(С) Условие (а) (соответственно (а')) из теоремы 5.7 рав-
равносильно тому факту, что у степенного ряда s == 1/A—А) —
—П(е/ V0 — В{) все коэффициенты ^0 (соответственно ^0),
а конъюнкция (а) и (а') равносильна равенству s == 0. Так как
5. Факторизации свободных моноидов 395
(Ь) влечет a(s) = O (в силу п. (В) доказательства), вместе с (а)
мы получаем s = 0, откуда вытекает (а'). Аналогично (Ь) и
(а') дают (а). □
Определение 5.8. Семейство $ — {Bt: ie/} подмножеств из
Л+, индексированное линейно упорядоченным множеством / и
такое, что любое слово w e Л+ имеет в точности одно разложе-
разложение w = Х\х2 ... хп, где Xj <= B{j и ^>i2> ... >/„ называется
факторизацией свободного моноида А*. Факторизация {В г. г'е/},
в которой каждое В, одноэлементно, называется базисной факто-
факторизацией моноида А*.
В силу условия (Ь) теоремы 5.7 слова из базисной фактори-
факторизации моноида А* должны быть примитивными. Различные при-
примеры факторизации, как базисных, так и других, будут даны
в§ 6.
В оставшейся части этого параграфа мы предполагаем, что
множество А линейно упорядочено, а $ — базисная факториза-
факторизация моноида А* (в некоторых случаях линейное упорядочение
на 93 может быть связано с линейным упорядочением на А (см.
разд. 6.1), но это требуется отнюдь не всегда). Линейное упо-
упорядочение на А используется главным образом для определения
функций перегруппировки (определение 5.9). Мы не вводим для
него специального символа; из контекста будет ясно, какое отно-
отношение порядка подразумевается.
Определение 5.9. (а) Для произвольного слова w = п\п2 ...
... ап^ А* пусть atlat2 ... ain — его неубывающая перегруппи-
перегруппировка (т. е. единственное слово a{ia{i ... ain, получаемое из w
перестановкой его букв так, чтобы стало al{ ^aB^ ... ^сцп от-
относительно заданного на А отношения <;). Для любых букв
д,/)еЛ определим отображение га, ь: А* -> №, положив
Га. ь (w) = число индексов k, l^.k^.n, таких, что
ak = a и atk = Ь.
Отображения г а, ь называются функциями перегруппировки
на Л*.
(Ь) Пусть 93 — базисная факторизация моноида А*. Запишем
каждое примитивное слово pq^93, q e /, в виде произведения
над Л: pq = aqt(flq, j ... aq, Пд, где nq = l(pq)—\. Для произ-
произвольного слова w е Л* пусть w = p\p2 ... ps — его единствен-
единственное разложение, такое, что pq е 93 для 1 ^ q ^ s и р\ ~5» р2 ^ ...
... ^ ps относительно линейного упорядочения $. Для любых
букв а, Ь е А определим отображение sa, b: Л*->№, положив
sa, ъ (w) — число пар (q, i), 1<<7<s, таких, что
aq,t = a и aq,l+i = b, где i+\ берется по модулю 1{р„).
13*
396 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Отображения sa, ь называются функциями следования на Л*,
определяемыми факторизацией $.
Следующий результат, принадлежащий Фоата [1965], яв-
является еще одной обобщенной формой Главной теоремы.
Теорема 5.10. Пусть S3 — базисная факторизация моноида А*.
Существует подстановка q> на А*, такая, что для любого слова
w еЛ*
(a) w и ф(пу) имеют один и тот же образ в свободном ком-
коммутативном моноиде над А;
(b) ra,b(w)= sa,b((f(w)) для любой функции перегруппи-
ровки га, ь на А* и любой функции следования sa, ъ на А*, опре-
деляемой 93.
Доказательство. Мы зададим q> на каждом классе С наи-
наименьшей коммутативной конгруэнции на Л* и покажем, что q>
определяет перестановку класса С. Фиксированный класс С со-
содержит единственное неубывающее слово относительно данного
упорядочения множества Л, скажем fl^'a ... а"г = до0. Опре-
Определим множество D(wo) формулой
Отображение ср будет композицией трех отображений у, л и 0:
где Re— подмножество моноида перегруппировок Q(A), a
SP (D (w0)) — группа подстановок на множестве D(w0). Для лю-
любого w еС положим у(w) = ( Jo). Поскольку любая перегруп-
перегруппировка записывается лишь единственным способом в виде
(°е>) с неубывающим словом w0, отображение у является биек-
цией С на множество Re всех перегруппировок (Jo), где иеС.
Чтобы определить подходящим образом я, введем на А* функ-
функции 8k (AeM) типа функции степени. Для любого слова w =
= ахп2 ... ап и любого k, \ ^k^l(w), определим bk{w) как
степень относительно буквы аи левого делителя а\а2 ... аи
слова до. Переписав w0 в виде atlai2 ... ain (где я = а\-\-
Ц- с&2 -f- ■ •. +аг), определим отображение л, взяв в качестве зна-
значения n(J0) подстановку а на D(w0), такую, что a(ak, бй(до)) =
={atk< 6*(оуо)) для любого k, l^.k^n. Простая проверка, ко-
которую мы опускаем, показывает, что я является вложением Re
в 9>(D(w(i)). Приступая теперь к определению отображения р,
запишем а в виде произведения дизъюнктных циклов а==
5. Факторизации свободных моноидов 397
.. Os, где
vq = (К, о. nq. о) К, 1, п„. {) ... (aq, lq_u nq, iq.{))
для любого q, 1 ^ q ^ s.
Мы покажем ниже, что для любого q слово aq< oaq_ i ... aff. / _i=
= lab (ff?) примитивно. Поскольку в i& существует единственное
примитивное слово, сопряженное к lab (а?), можем считать
(быть может, после циклической перестановки элементов из
D(wq), на которых действует сг,), что lab(a?)e$. Кроме того,
ввиду дизъюнктное™ циклов сть ..., 0s, мы можем переставить
их таким образом, что
E.10.1) q<q' влечет 1аЬ(ст„) > lab(oy) (в упорядочении на 3§)
либо lab((T9) = lab((T(,')i где nq,i<nq>,i для всех /, 0^i^lq — 1.
Предполагая, что подстановка а = в\а2 ... as обладает свой-
свойством E.10.1), положим ф(да) = р (а) = IT^=i lab (cr^). По опре-
определению а для любого k найдется единственная пара (q, i), та-
такая, что
Ki> nq,t) = (akNk(w)),
К i+i, nq,,+,) = (ath, 6k (w0)).
Таким образом, для любых а, Ъ е А имеется столько же индек-
индексов k, при которых ak = a, alk = b, сколько и пар (q,i), таких,
что aq, i=a, aq,j+i=b. Это показывает, что ra, b{w) — sa, ь(ф(пу)).
Для завершения доказательства осталось установить, что
(A) lab (aq)— примитивное слово;
(B) lab (oq) = lab {aq) влечет п„, «• < nq\ i для всех / либо
nq>, i < nq, i для всех /:
(C) ф биективно на С.
Эти свойства мы получим как следствия следующей леммы.
Лемма 5.11. Пусть у и л — такие же, как в доказательстве
теоремы 5.10. Для слова w =aiu2 ... ап^С пусть 0 = 0^2 ...
... а„ — разложение подстановки a = n°y{w) в произведение
дизъюнктных циклов, где
= (К. о. nq, о) (aq, 1, nq,i) ... (aq, /?_,, nq, г?_,)) для 1 < q < s.
Если aq. i = aq\ v и nq, < < nq-, ,■<, то aq< ,-+i ^ a,-. i>+\, причем в слу-
случае, когда aq,i+\=aq\i'+\, имеем nq,t+\<nq\v+\.
Доказательство. Это следует прямо из E.10.2). Взяв, со-
согласно E.10.2), соответствующие k и k', получим аь — аи и
б*(ш>) < bk>{w). Это означает, что k<.k't откуда a(A^a;A,. Слу-
398 Гл. И. Главная теорема Мак-Магона
чай aik, — aik дает б* (w0) < 6v (w0). Мы пришли в точности к
утверждению леммы 5.11. □
Следствие 5.12. Для того же, что и выше, разложения сг =
= ffiff2 •■• crs и любого q, I ^ q =SS s, слово lab (cr^) = aq< oaq< i ...
... aq< i -1 примитивно.
Доказательство. Предположим, что о,, <flq, i • •■ aq, i _i = p\
где р примитивно и А>1. Тогда для индексов г, t', лежащих
между 0 и /,— 1, условие i s= i'(mod l(p)) влечет aq,i—aq,i'.
Положим nq, m = min{nq,r. 0 ^ i ^ lq— 1} и допустим, что k>\.
Начав с соотношений CLq,m = aq,m+(k-i)Hp), nq, m < «<?, m+(k-\)i(p)
и применив/(р)—1 раз лемму 5.11, получим nq,m+np)<nq,m+knp)-
Поскольку kl(p)=lq и гп = гп + kl(p) (mod lq), на самом деле
nq, m+ki(p) совпадает с nq, m, откуда nq, m+/(P> < «<?, т, что противо-
противоречит определению т. Поэтому k=l, и слово lab (а,) прими-
примитивно. □
Следствие 5.13. Пусть сг = (т1(Т2 ••• <V £сли слова 1аЬ((т„) =
■=«<?, о а», 1 ■•• aq,iq-\ и lab(cv) = fl<7'.<*v.i ... aq;iq,-i равны, при-
причем nq, о < пЧ', о, то /г,, г < nq\ i для всех i, I ^ i < lq = /,'.
Доказательство получается применением несколько раз лем-
леммы 5.11. □
Следствие 5.13 устанавливает свойство (В) из доказатель-
доказательства теоремы 5.10, и теперь остается показать, что р — биекция
linn; на С. Это вытекает из следующего результата.
Следствие 5.14. Пусть a^ff]ff2 •■• сь — разложение подста-
подстановки oelmn в произведение циклов
<*я = (К,о» nq,0)(aq,u л,,,) ... (aq,iq_u nq<lq_x)),
удовлетворяющих условию 1аЬ(сг<,)е.$ для любого q, I ^ q ^ s,
и условию E.10.1). Тогда целые числа nq<i (I ^ q ^ s, 0 ^ i <
< /(,) однозначно определяются словом Ц ,1аЬ(ст?).
Доказательство. Для любых # и / число «<,, ■ есть число таких
пар (<7', /'), что aq',i' = aq,i и nq'ti'^.nq,t. Чтобы охарактеризо-
охарактеризовать nq,i только лишь в терминах слова ф(йу) = Ц17=1 latter,),
мы снова используем лемму 5.11. С этой целью мы свяжем с
каждой парой (q, i) слово zqi t — aq, taq< /+I ... aq, t+i_u где
/ = HOK{lq: l^^^s}. Допустим, что а,-, с = a,, < и nq\v<
<n,,,i. Для v,i'4 2<?,' мы имеем следующие две возможности:
;а) zq', v ф z4i i. Если / — наименьшее целое число, для ко-
которого aq>,i'+i Фач<1+!, то, применив / раз лемму 5.11, мы полу-
получим aq',i'+j < aq, i+j. Это означает, что г,-, с предшествует zq>i
5. Факторизации свободных моноидов 399
в лексикографическом порядке на А*, индуцированном линей-
линейным упорядочением алфавита А.
(Ь) гЧ',1' = гч,1. Тогда \&Ъ {оq') = \&Ъ {оч), и неравенство
«(/', v < nq, i влечет q' < q ')•
Отсюда следует, что nq, < есть в точности число пар (q', ir),
таких, что aq',i' = ciqti и либо слово Zq\v лексикографически
предшествует слову zq,t, либо 2,', г = 2?, ; и q'<. q. Это число
однозначно определяется разложением H*_i lab (а,). П
Тот факт, что р (и, следовательно, ф) есть биекция, выте-
вытекает из следствия 5.14 и того, что $ — базисная факторизация.
Пример. Предположим, что А = {а, Ь, с}, где а < Ь < с, a
$ — стандартная факторизация, индуцированная лексикографи-
лексикографическим порядком на А* (см. ниже разд. 6.1). Для слова w =
. //у ,ч (ЬсаассЬЪЬ\„
-bcaaccbbb имеем v(w)={a а ь ь ь ь с с с). Соот-
Соответствующей подстановкой будет
1)(а, 2) F, 2)).
•((с, 2)F, 3))((с, 3)F, 4)).
Для получения а считываем прямо по y(w) циклическое разло-
разложение: первая b в верхней строке дает первую а в нижней, за-
затем первая верхняя а дает первую нижнюю Ь, замыкая цикл
[(Ь, I) (а, 1)] в а; первая верхняя с дает вторую нижнюю а
и т. д. Перепишем каждый цикл так, чтобы lb(^
а = ((а, 1)(Ь, 1)) ((а, 2) (Ь, 2) (с, 1))(F, 3)(о, 2)) (F, 4) (с, 3)).
Условие E.10.1) приводит после перестановки циклов к разло-
разложению
<т = (F, 3)(с, 2)) (F, 4) (с, 3)) ((а, 2) F, 2) (с, 1)) ((а, 1)F, 1)).
Таким образом, y(bcaaccbbb) — (bc) (be) (abc) (ab). Тогда, на-
например, ra,b{w) = 2 = sa,b(q>(w)), rc,a(w)*=l=sc,a((f>(w)).
Мы закончим этот параграф, изложив интерпретацию тео-
теоремы 5.10 в терминах степенных рядов. Пусть ^ — коммутатив-
коммутативное кольцо, X = {х\, Х2, ..., хп) — линейно упорядоченное мно-
множество и $ — базисная факторизация моноида X*. Определим
два гомоморфизма алгебр г, s: R[[X] ]->-R[[XXX]] следую-
следующим образом. Для w e X* положим
(а) г (го) = (*,,, */,)(*(,, х!2) ... (xln, х,п), где w = xtix/2...
... xSn, a xtlXt2 ... xin—неубывающая перегруппировка слова w,
') Поскольку V = i в силу примитивности слова 1аЬ@,). — Прим. пгрев.
400 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
(b) s(w) = s(pl)s(p2) ... s(pm), где w = p{p2 ... pm, pi
... J> pm, — разложение слова w над $, и если pq = х^.о*,,, i ...
• *q. lq~\ A < Я < m), TO S (pq) = {Xq, o, *,, i) (Xq, ,, Xq, 2) . . .
( 0 ( )
Предположим, что В = (Ьц) есть «Х^-матрица над i?, и
определим гомоморфизм р: (XX X)*-*-R, положив Р(х;, х;) =
= bij. Тогда по теореме 5.10 степенные ряды
2 Р(г(ш))ш и X Р(«(ау))оУ
имеют один и тот же образ в свободной коммутативной алгебре
на множестве X, т. е.
E.15) a f
\
Несложная проверка показывает, что степенной ряд, стоящий в
этом равенстве слева, совпадает со степенным рядом t из пред-
предложения 1.4. Степенной ряд справа в действительности является
рядом det [/ — ВА(Х)]-1. Чтобы увидеть это, в формуле
A —-ХУ = ПрейA —р)~'> выражающей тот факт, что $ есть
базисная факторизация, заменим каждую переменную х, е X
матрицей Bt, у которой i-й столбец состоит из buxi, b2iXi, ...
..., bniXi, а остальные столбцы — нулевые, и возьмем определи-
определители обеих частей формулы. После некоторых вычислений, ко-
которые мы опускаем, получаются следующие равенства между
степенными рядами от коммутирующих переменных:
det[/-SA(X)]-1= П [1-РИр))рГ'= П V(s(w))w.
рей шеГ
Поэтому E.15) есть в точности Главная теорема.
6. Примеры факторизации
6.1. Стандартная факторизация
Эта факторизация была введена Линдоном [1954J и изуча-
изучалась Ченем, Фоксом и Линдоном [1958]; она совпадает (с точ-
точностью до симметрии) с факторизацией, введенной А. И. Шир-
Ширшовым [1958]1).
Пусть А — линейно упорядоченное множество. Продолжим
заданный порядок до лексикографического порядка на А*: для
и, веЛ' положим и < v, если либо и — собственный левый
делитель слова v, либо и = ras, v = ra's' для некоторых г, s,
s' е А*, а, а' е А и а < а'.
') См. также А. И. Ширшов [1984*]. — Прим. ред.
6. Примеры факторизации 401
Используя это определение, можно показать, что и < v, если
и только если wu<Zwv для некоторого шеД*. Но условие
и < v не обязательно влечет uw < vw (например, 1 < 12, но
13 > 123, если множество Л = {1, 2„ 3} упорядочено обычным
образом). Заметим, однако, что если и <,v w v ф. иА*, то us<vs'
для любых s, s' e Л*.
Предложение 6.1. Пусть отношение < есть лексикографиче-
лексикографический порядок на А*, индуцированный некоторым линейным по-
порядком на А. Следующие свойства слова шеД* равносильны:
(a) слово до примитивно, и для любого слова до', сопряжен-
сопряженного к до, имеем w ^ w'\
(b) для любого непустого собственного правого делителя v
слова w имеем до <T v.
Доказательство. Для доказательства того, что (а) влечет
(Ь), допустим, что до = uv, где и, иеЛ+, причем v < до. Воз-
Возможны два случая: wqkvA* либо до e vA* Если w^vA*, то
в силу отмеченного выше свойства для любых s. s'^A* будет
vs <Г ays'. В частности, vu <T w, что противоречит (а) Если же
шевЛ*, то w = uv = vu', где 1(и)=1(и') и ифи', так как
w примитивно. При этом и <Г и' влечет vu <T vu' = w, что про-
противоречит (а), а поскольку и ф и'А*, и' < и влечет u'v < uv =
= w, что снова противоречит (а). Поэтому для любого непу-
непустого собственного правого делителя v слова w мы имеем
w <Г v. Покажем, что (Ь) влечет (а). Если w = uv — vu, где
и, v е Л+, то и <. uv — w = vu <i и. Это противоречие показы-
показывает, что слово w примитивно. Если теперь w = uv и vu <T w, то
vu < w = uv < v < vu. Таким образом, для любого слова w\
сопряженного к до, имеем до ^ до'. □
Слово да, обладающее свойством (а) или (Ь), называется
стандартным словом. Например, при 1 < 2 < 3 слово 123 стан-
стандартно, а слово 1321 — нет.
Предложение 6.2. Любое слово иеД*, w ф\, имеет един-
единственное разложение в произведение невозрастающей последо-
последовательности стандартных слов.
Доказательство. Ввиду предложения 6.1 выполняется усло-
условие (Ь) из теоремы 5.7. Следовательно, согласно теореме 5.7
достаточно установить существование разложения. Проведем
индукцию по /(до). Пусть До] — непустой правый делитель слова
w, минимальный относительно лексикографического порядка.
Мы имеем до = vw\, причем слово W\ стандартно в силу условия
(Ь) предложения 6.1. Если v = 1, то до = Доь Если и=£1, то,
согласно предположению индукции, v = wnwn-\ • ■ ■ w2, где wn ^
^ до„_1 ^ ... ^ до?, а каждое слово wi стандартно. По опре-
определению До] имеем w2w\ > w\. Допустим, что w2 < W\. Если
402 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
W\ <£ w2A*, то выводим w2Wi <C w\, получая противоречие. Если
же w\ = w2u для некоторого ибЛ+, то W\ <Г и влечет до2ДО] <Г
<Г w2u = доь что снова противоречит условию ДО2ДО1 >■ Доь Эти
противоречия показывают, что w2 ^ До]. П
6.2. Факторизации Холла
Пусть Я — семейство Холла в свободной магме Л< \ а
б: Л()->-Л* — канонический гомоморфизм на свободный мо-
моноид Л*.
Лемма 6.3. Пусть Я — семейство Холла из Л(), а б(Я) — его
образ в А*. Любое слово доеЛ+ можно записать в виде w =
= h\h2 ... hm, где Ы е= б (Я) и h\^zh2^ ... r^ hm.
Доказательство индукцией по /(до). Если /(до)= 1, то w e=
еб(Я) в силу условия (al) определения 4.6. Если /(до)> 1, то
пусть до = до'а и w' = h\h2 ... hm-u где Ai ^ А2 ^ ... ^ Am-i
и А; е б (Я). В случае когда а ^ Ат-ь достаточно взять Ат = а.
Если а > hm-u то km-\ = Am-ia e б(Я) по условию (а2) опре-
определения 4.6. Если Ат_2 ^ km-u то до == А]А2 ... Ат-2^т-1 есть
требуемое разложение. Если же Ат_2 < Ат-ь то km~2 ==
= hm-ikm-\ g= б (Я) по условию (а2) определения 4.6. Продол-
Продолжая этот процесс и определяя на каждом шаге fo = hiki+\, мы
либо для некоторого индекса i, 2 ^ t < m, получим й, ^ A/_i, и
тогда до = А1А2 ... hi-\ki, либо k2 > Ai, и тогда до = Aj&2 = *is
П
Следствие 6.4. Яг/сгь Я — семейство Холла из Л( > ы б (Я) —
его образ в А*. Если Я — специальное семейство Холла либо,
более общо, Я удовлетворяет условию
(Ь') ы, и, ыи е= Я влечет и < uv и v < uv,
то элементы из б (Я) образуют базисную факторизацию монои-
моноида А*.
Доказательство. В силу теоремы 5.7 достаточно доказать, что
б (Я) трансверсально отношению сопряженности на множестве
примитивных слов из Л*. Читатель может найти доказательство
в книге М. Холла [1959, лемма 11.2.1, с. 191]. Указанное выше
условие (Ь') появилось в работе Мейера-Вундерли [1952]. □
Необходимые и достаточные условия, характеризующие фак-
факторизации моноида Л*, обобщающие холловские факторизации,
были получены Вьенно [1974]. Предположим, что имеется ото-
отображение о: H-^J подмножества Я из Л() на линейно упорядо-
упорядоченное множество / (т. е. Я линейно упорядочено по модулю
эквивалентности Кега). Предположим также, что И удовле-
удовлетворяет условиям
(а) А<=Н;
6. Примеры факторизации 403
(b) uv&H, если и только если « е Я, веЯ, o{u)<.o(v)
и либо de/1, либо v = zw, где a(z)^a(u), для некоторых
г, ш е Я,
Образуем 3&{Н)= {б(а-'(/)): /е/}. Семейство $(#) яв-
является факторизацией моноида А* тогда и только тогда, когда
условия не//, [/еЯ, ии ее Я влекут за собой а(ы)^а(ни).
Следствие 6.5 (Формула Витта). Пусть А— множество из q
букв. Число элементов длины п в специальном семействе Холла
из АО, или число стандартных слов длины п из А*, равно
^q(n) = (l/«)Xd| „ n(d)q"ld, где ц — функция Мёбиуса на мо-
моноиде (N, •).
Доказательство. Число слов в А" есть q", и любое слово
шё/4" может быть однозначно записано в виде w = pn/d, где
р — примитивное слово из Аа и d делит п. Поэтому если Qq(d) —
число примитивных слов из Ad, ioqn = Yjd\n®q(d). Но классы
сопряженности примитивных слов из Ad содержат по d элемен-
элементов, и любой класс содержит в точности одно стандартное слово
(или образ относительно б одного холловского элемента). По-
Поэтому Qq(d) — dtyq{d) и qn = Yjd\nd'§q{d). Согласно формулам
обращения Мёбиуса C.2.1)', C.2.2)', это равносильно равенству
Td. □
Напомним, что нижний центральный ряд группы G опреде-
определяется как последовательность G\ = G, G^ = [Gb G],..., Gk+\ —
= [Gk, G] Если G конечно порождена, то факторгруппы
Qk(G)= Gk/Gk+\ являются конечно порожденными абелевыми
группами. Если Fn — свободная группа с п образующими, то
группы Qk(Fn) суть свободные абелевы группы ранга tyk(n)
(порождаемые по модулю GkH холловскими коммутаторами1)
или стандартными коммутаторами); см. М. Холл [1959], Чень,
Фокс, Линдон [1958].
6.3. Факторизации Спитцера (Спитцер
[1956], Шютценберже [1965])
Предложение 6.6. Пусть ф: /4*-»-(R, +) — гомоморфизм, и
для произвольного reR пусть Br={v^A+: q>(v) — rl(v) и
cp(u) < rl(u) для любого собственного левого делителя иф\
слова v). Тогда семейство $= {Вг: геК} с обычным упорядо-
упорядочением R является факторизацией моноида А*.
Доказательство. Предположим, что слово w ее А+ может
быть записано в виде w = V\Vi ... vn, где u(ee Br. (l^i^.n) и
') Совокупность холловских, т. е. «базисных формальных», коммутаторов
и составляет семейство Холла (см. М. Холл [1959, § П-1]. а подробнее —
в гл. 5 книги Магнуса, Карраса и Солитэра [1966]). — Прим. перев.
404 Гл. П. Главная теорема Мак-Магона
г, > г2 > . .. > гп. Тогда г, = ф (vt)/l(vi) для любого /, а для
любого собственного левого делителя и, Ф 1 слова vi имеем
Следовательно, для любого i
Отсюда вытекает, что для любого левого делителя щ слова
Ф (°i) ^ Ф (pi) + Ф (°г) + • • • + Ф (vi-\) + Ф (ui) Ф (°i°2 • ■. of-i"i)
Это показывает, что Ui является кратчайшим левым делителем
и слова w, для которого отношение ф(и)//(и) максимально.
Индукция по « завершает доказательство единственности та-
такого разложения. Существование разложения устанавливается
индукцией по длине слова w. Пусть v\ — кратчайший непустой
левый делитель и слова до, дающий максимум частного
<р(и)/1(и). Тогда w = V\w', и предположение индукции дает
w' = v2 ... vn, где y{v2)/l(v2)> ... ^y(Vn)/l{vn). Если
q>(vi)/l(vl)<y(v2)/l(v2), то (f(vi)/l(vi)< (f(ViV2)/l(viV2), что
противоречит определению V\. Поэтому мы имеем также
()//()M//() □
Заметим, что слово w = а\а2 ... ат можно представить гра-
графически отрезками прямых линий, соединяющими точки пло-
плоскости с координатами (/, q>(aia2 ... а,-)) для O^i^m (пу-
(пустое слово отображается посредством q> на 0). Выпуклая обо-
оболочка получаемого графика индуцирует разложение w ~ v\v2...
... vn из предложения 6.6.
6.4. Конечные факторизации: бисекции
Факторизация $ = {В,-: I e /} моноида А* называется ко-
конечной, если конечно /. Если / содержит два элемента, то $ на-
называется бисекцией моноида А* (см. Вьенно [1974], где изуча-
изучаются факторизации с card/ = 3). Как отмечалось в доказа-
доказательстве теоремы 5.7, пара (Р, Q) тогда и только тогда является
бисекцией для А*, когда Р и Q — коды и выполняется равенство
степенных рядов A—Л)-1 = A — Р)~'A — Q)-', или, равно-
равносильно, QP + А = Р + Q.
Предложение 6.7. Пара (P. Q) есть бисекция для А*, если
и только если
6. Примеры факторизации
(a) Р и Q суть соответственно префиксный и суффиксный
коды в А*;
(b) A* <= P*Q* и Р* П Q* = {1}.
Доказательство. Если (Р, Q)—бисекция для А*, то (Ь) сле-
следует из определения факторизации. Если uw е= P* и ue P*, то,
записывая w = u'v', где и' е Р*, v' e Q*, получим гш = uu'i/,
и свойство единственности разложения влечет v' = 1, т.е. даеР*.
Это доказывает, что Р — префиксный код. Аналогично показы-
показывается, что Q—суффиксный код. Обратно, из A* s P*Q* следует
существование разложения w — uv, где иеР', neQ*. Если
uv = u'v', где и'еР*, c'eQ* и, например, 1(и)^1(и'), то
и'= uz и zu' = и для некоторого гЕ/1*. В силу (а) имеем
z е Р* П Q* и, значит, z = 1. Отсюда вытекает и = и', v = v', что
доказывает единственность разложения. □
Предложение 6.8. Для произвольных подмножеств Р, Q из
А+ пара (Р, Q) тогда и только тогда является бисекцией для
Л*, когда (a) P[]Q = 0; (b) 4<=PUQ; (с) QPsPUQ;
(d) PUQ = 4UQP.
Доказательство. Прямое утверждение следует из равенства
QP + А = Р + Q. Чтобы доказать обратное утверждение, мы
покажем, что выполняются условия предложения 6.7. Начиная
с (с) ц применяя индукцию по п, получаем QPn s P* U Q* для
всех п. Следовательно, QP* sP*U Q*. Покажем индукцией по п,
что Л" S P*Q*. Это ясно при п = 0. Если Л" s P*Q*, то Лп+1 s
= ЛР*д*=(Р11<Э)Р*<2* в силу (Ь). Но QP*<=P*UQ* влечет
QP*Q* s P*Q* U Q* и, значит, Ап+[ = P*Q*. Отсюда вытекает, что
Л* = P*Q*. Теперь мы докажем, что Р* порождается префикс-
префиксным кодом, показывая, что для любых и, vezA*
F.8.1) uv e P влечет оеР*.
(Это дает более общую импликацию: юеР' влечет оеР',
которая сильнее, нежели обычное условие порождаемости пре-
префиксным кодом.) Проведем индукцию по длине слова uv. Слу-
Случай l(uv)=l очевиден. Предположим, что F.8.1) выполняется
всякий раз, когда l(uv)^.n, и пусть l{uv)—n-\-\ (n^\).
В силу (d) имеем uv = q\p\, и если qx ф.А, то снова q\ = q2p?.
Если k — наименьшее целое число, такое, что ^6=Л, где qi-\ —
= qipi для 1 ^ / ^ k, и (/, gQ, jd,- e P, то мы получим ыи =
— qkPk •■■ piP\- В случае когда /(ы) = 0, импликация F.8.1),
очевидно, справедлива, а если 1{и)> 0, то v = p"p[_1 ... pv где
р\р" = pt<^.P. Так как l(pi)< l{uv), предположение индук-
индукции дает р"<^Р* и поэтому v = p"pl_x ... р^Р'. Двойствен-
Двойственнее рассуждение показывает, что для любых и, се Л"
F.8.2) uogQ влечет и е= Q*.
1*
406 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Как и выше, это доказывает, что Q* порождается суффиксным
кодом. Покажем для произвольного шеЛ*, применяя индукцию
по l(w), что w^P*f]Q и w^Q*(]P. Поскольку Р, QE/4+,
имеем l(£P*(]Q и l^Q*[}P. Если, например, w <= P* f) Q, то
для некоторых рь рг, •••, pk^P будет w = pip2 ... pk<=Q.
Но из (а) следует & > 1, т. е. /(pi) < /(да), и F.8.2) влечет
pi <= Q* П Р, что противоречит индуктивному предположению.
Это доказывает, что P*[}Q = Q*[]P = 0, а еще одна простая
индукция показывает, что Р* П Q" = 0 для любого п^1, от-
откуда P*nQ* = {l}. Наконец, осталось доказать, что Р (соот-
(соответственно Q) есть префиксный (соответственно суффиксный)
код, т. е. Pw П Р = 0 (соответственно wQ (] Q = 0) для любого
да е Л+. На самом деле легче доказывать более сильное свой-
свойство: для любого геД' будет гф. P+w (] Р. Проведем индук-
индукцию по /(г). Указанное свойство, разумеется, выполняется, если
/(z)<; 1. Допустим, что z = pip2 ... psw(=P, где рь р2, ...
..., ps^P и /(г)> 1. Согласно (d), имеем z — qp для некото-
некоторых ^eQ, реР, т. е. pi/?2 • ■ • psW = <7р. В силу условия
F.8.2) и равенства Q* П Р = 0 слово pi не может быть левым
делителем слова q. Поэтому pi = qv и ирг ... PsW = р. Согласно
(а), имеем ьф\, а F.8.1) дает оеР+, причем /(u)</(pj).
Отсюда следует, что /) е Р+ш П Р, где /(р)< l{z), что противо-
противоречит индуктивному предположению. Поэтому P+w (] Р = 0, т. е.
Р — префиксный код. Доказательство того, что Q — суффиксный
код, аналогично. Все условия предложения 6.7 выполняются, и
мы заключаем, что (Р, Q) является факторизацией моноида
Л*. □
Если (Р, Q)—бисекция для А*, то существует разбиение А+
на два класса С, D, таких, что РеС и Q e D (например, С =
= Р+ и £ = Л+\Р+). Обратно,
Следствие 6.9. Для любого разбиения А+ на два класса С и
D, таких, что С [}А Ф0 и D [\Аф0, существует единственная
бисекция (Р, Q) моноида Л*, такая, что Р sC и Q s D.
Доказательство. Определим последовательности {Р,} и {Q,-}
формулами Pi = А ПС, Q, = Л |"| D и Р/+, = {QiPi f] C)\j Pu
Qi+i =*(QiPiOD)[}Qt. Тогда, положив Р= U(eNP(, Q=U!G. Ql.
получим бисекцию (Р, Q) моноида Л* (проверка условий пред-
предложения 6.8 оставляется читателю в качестве упражнения),
удовлетворяющую соотношениям Р sC и Q ^ D. Так как Pi
и Qi непусты, то же самое справедливо для Р и Q. Если бисек-
бисекция (P',Q') такова, что Р'с:С и Q'^D, то соотношения Лд
S P' U Q' и Р' П Q' = 0 дают ЛПР' = ЛПС = Р1 и ЛП<2' =
= Л П D = Qi. Применив индукцию по i, получим Р,- s P',
Qi^Q' для любого ieN. Отсюда следует, что Р^Р', Q^Q',
и свойство однозначности разложений влечет Р — Р', Q = Q'. □
Библиографические замечания 407
Следствие 6.9 можно использовать для того, чтобы строить
примеры бисекций, чередуя образование множеств Р,, Q,- с фор-
формированием разбиения Л+: Pi и Qi получаются произвольным
разбиением множества А на две непустые части; элементы про-
произведения QiPi случайным образом .распределяются по двум
классам формируемого разбиения на А+, что позволяет найти
Р2 и Q2. Этот процесс повторяется для Q2P2 и т. д.
Примеры 6.10. (а) Пусть А = {а, Ь, с}. Столбцы Р,-, Q,- сле-
следующей таблицы содержат Р\, Q\ в первой строке; Р2, <3г выпи-
выписаны в первых двух строках и т. д. Последний столбец содержит
произведения QiPi.
1 Pi Qt QiPi
la b, с ba, ca
2 ba, ca bba, bca, cba, cca
3 bba, bca, cba cca bbba, bbca, bcba, cbba, cbca, ccba
ccaa, ccaba, ccaca, ccabba
ccabca, ccacba
P = {a, ba, ca, bba, bca, cba, ...}, Q = {6, c, cca, ...}.
(b) Если после первого шага в предыдущем примере мы
решим относить все элементы из QiPi в тот класс разбиения на
А+, который содержит Р, то получим Р = {Ь, с}*а и Q = {Ь, с}.
Разложение слова до е А+ получается указанием последнего
вхождения буквы а в до. Более общим образом, для произволь-
произвольного разбиения Р\, Q\ множества А пара (Р, Q), где P = Q*Pi,
Q = Qu есть бисекция моноида А*.
Библиографические замечания
Гуд [1962а] дал доказательство Главной теоремы, основанное на свой-
свойствах аналитических функций нескольких переменных. Еще одно доказатель-
доказательство см. также у Картье [1972]. Разложения потоков применяются в теории
графов и позволяют доказывать многие комбинаторные тождества единым
способом. Имеются также важные приложения в теории вероятностей. За
дальнейшими деталями мы отсылаем читателя к книге Картье и Фоата [1969].
Вопросы, касающиеся сопряженности и примитивных слов в свободных
моноидах, рассматривались в статьях Линдона и Шютценберже [1962], а
также С. Гинзбурга и Спеньера [1964]. Лемму 5.5 для моноида вещественно-
значных функций (гл. 5, пример 1.8) доказали Файн и Уилф [1965].
Теорема 5.10 содержит технику перечисления, которая имеет также много
комбинаторных и вероятностных приложений. Аналогичная техника исполь-
используется в работах Фоата и Фукса [1970] и Фоата и Шютценберже [1971].
Как отмечалось в § 4, факторизации свободных моноидов прямо связаны
с построением базисов для свободных алгебр Ли и с коммутаторным исчис-
исчислением в свободных группах. Данная глава содержит лишь полугрупповые
аспекты этих вопросов, и за дальнейшими результатами, касающимися алгебр
Ли, мы отсылаем читателя к работам Вьенно [1973, 1974]').
') См. также книгу Вьенно [1978*]. — Прим. ред.
408 Гл. 11. Главная теорема Мак-Магона
Упражнения
1. Определим ориентированный граф G как четверку E, А, а, т), где
5 и А — конечные множества, называемые соответственно множеством вершин
и множеством дуг графа G, а 0: Л^-5 и т А-*■ S — отображения; здесь
о(а)—начальная, а т(а)—конечная вершины дуги а. Для любого ssS
определим множество As = (oeA a(a)=s} Потоком1) в графе G назы-
называется произвольный элемент f s JJ Л5.
(a) Показать, что понятие потока на множестве (определение 2 1) яв-
является частным случаем понятия потока в графе.
(b) Для данного потока f в графе G и для любых s, t ^ S пусть nst
обозначает число всех дуг а из /, таких, что o(a)-^=s и т(а)=/, и пусть
h, (s) = V п р Поток / называется контуром в G, если 2_, о nst =
= /^ @ для любого / е 5. Показать, что перегруппировки на множествах
являются частными случаями контуров в графах. Распространить результаты
нз § 2 на потоки и контуры в графах (Картье, Фоата [1969]).
2. Вычисляя коэффициент при xb+cyc+aza+1' в многочлене
(у — г) ь+с (г — х) с+а (х — у) а+ь
и применяя Главную теорему, получить тождество Фьелдстада (Гуд [1962b]):
V
L
c)\
a\b\c\
k—p
p = min(a, b, c).
3. Свободный частично коммутативный моноид F(A' С) на множестве А
тогда и только тогда изоморфен декартову произведению свободных моно-
моноидов, когда дополнение множества С в А X А является отношением эквива-
эквивалентности на А. Это свойство выполняется для моноида потоков на множе-
множестве А, но не для моноида перегруппировок.
4. Описать разложения слов, указанные в предложении 2.8, для
(a) свободного моноида;
(b) декартова произведения свободных моноидов;
(c) свободного коммутативного моноида;
(d) моноида (а, 6, с; ab = ba, cb = be}.
5. Пусть 32 — базисная факторизация на А*, мы отождествляем объеди-
объединение одноэлементных множеств Bt с индексирующим множеством семейства
& и обозначаем его через В. Следующие свойства равносильны:
(a) для любых и, v s В условие и < v влечет uv e В;
(b) для любых и, v <= В условие uv s В влечет и < uv < v.
Базисная факторизация, обладающая свойствами (а), (Ь), называется спе-
специальной факторизацией. Стандартная факторизация специальна.
6. Пусть f, g: R -> R — две непрерывные периодические функции с пе-
периодами а, Р соответственно. Если число а/6 рационально, скажем a/P=p/V,
где р, q е N и НОД (р, q) = 1, и если f(x) —g(x) на некотором интервале
длины a + Р — Р/<?, то f(x) = g(x) для всех х е R. Если ос/6 иррационально
и f(x) == 8(х) на некотором интервале длины a + Р, то пх) = g(x) для
всех «eR (Файн, Уилф [1965]).
') Не следует смешивать это понятие с обычным потоком в сети (ориен-
(ориентированном графе), который является числовой функцией на множестве А.—
Прим. перев.
ЛИТЕРАТУРА1)
Адян С. И.
[1966] Определяющие соотношения и алгоритмические проблемы для
групп и полугрупп. — Тр. матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 85.
[1975°] Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М.: Наука.
[1976*] О преобразованиях слов в полугруппе, заданной системой опре-
определяющих соотношений. — Алгебра и логика, т. 15, № 6, с. 611 —
621.
[1984*] Исследования по проблеме Бернсайда и связанным с ней вопро-
вопросам.—Труды Матем. ин та В. А. Стеклова, т. 168, с. 171 — 196.
Адян С. И., Бун, Хнгман (ред.) (Adian S. I., Boon W. W. Higman G.)
[1980*] Word Problems II, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, New
York, Oxford.
Адян С. И-, Маканин Г. С.
[1984*] Исследования по алгоритмическим вопросам алгебры. — Труды
Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 168, с. 197—217.
Адян С. И., Оганесян Г. У.
[1978*] К проблемам равенства и делимости в полугруппах с одним
определяющим соотношением. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 42,
№ 2, с. 219-225.
Айзенщтат А. Я, Богута Б. К.
[1979*] О решетке многообразий полугрупп. — В кн.: Полугрупповые
многообразия и полугруппы эндоморфизмов, Ленинград, с. 3—46.
Аллен (Allen D., Jr.)
[1971] A generalization of the Rees theorem to a class of regular
semigroups, Semigroup Forum, 2, 321—331.
Андерсон, Хантер, Кох (Anderson L., Hunter R., Koch R.)
[1965] Some results on stability in semigroups, trans. Amer. Math. Soc.
117, 521—529.
Арбиб (ред.) (Arbib M. A.)
[1968] Algebraic Theory of Machines, Languages, and Semigroups, Acade-
Academic Press, New York, London. [Русский перевод: Аронб М. А.
(ред.). Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп,—
М.: Статистика, 1975.]
[1969] Theories of Abstract Automata, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N. J.
Аршон С. Е.
[1937*] Доказательство существования л-значных бесконечных асиммет-
асимметричных последовательностей.—Матем. сб., т. 2D4), № 4,
о. 769-779.
4) Значком ° отмечены работы, добавленные автором для русского изда-
цня, а значком * — работы, добавленные редактором перевода. Прн выборе
вариантов на^сания некоторых иностранных фамилий мы консультировались
с автором и воспользовались его указаниями. — Прим. ред.
14 Зак. 474
410 Литература
Байлин, Микин, Пастен (Byleen К., Moakin J., Paslijn F.)
[1978] The fundamental four-spiral semigroups, J. Algebra 54, 6—26.
Бак (Buck R. C.)
[1968] On certain decidable semigroups, Amer. Math. Mon. 75, 852—856.
Бандиопадхиай (Bandyopadhyay G.)
[1963] A simple proof of the decipherability criterion of Sardinas and
Patterson, Inf. Control 6, 331—336.
Барвайс (ред.) (Barwise J.)
[1977*] Handbook of Mathematical Logic, North-Holland Publ. Co., Am-
Amsterdam. [Русский перевод: Барвайс Дж. (ред.). Справочная
книга по математической логике, ч. I—IV. — М.: Наука, 1982,
1983.]
Барнз (Barnes В.)
[1970] On the group of automorphisms of strongly connected automata,
Math. Syst. Theory 4, 289—294.
Бар-Хиллел (Ваг-Hillel Y.)
[1962*] Some recent results on theoretical linguistics, in Nagel E., Sup-
pes P., Tarski A., Logic, Methodology, and Philosophy of Science,
Stanford University Press, pp. 551—557. [Русский перевод: Бар-
Хиллел И. Некоторые новые результаты в теоретической лингви-
лингвистике. — В кн.: Математическая логика и ее применения. — М.:
Мир, 1965, с. 273—280.1
Бар-Хиллел, Перлз, Шамир (Ваг-Hillel Y., Perles M., Shamir E.)
[1961] On formal properties of simple phrase structure grammars, Z. Pho-
Phonetic Sprachen Kommunikaiionsforsch. 14, 143—172; in. Y. Bar-
Hillel, Language and Information, Addison-Wesley Publ. Co.,
Reading, Mass./ 1964, Ch. 9.
Бауэр, Гооз (Bauer F. L., Goos G.)
[1973/74*] Informatik, Springer-Ferlag, Berlin. T. 1, 1973; T. 2, 1974. TPyc-
ский перевод: Бауэр Ф. Л., Гооз Г. Информатика. — М.: Мир,
1976.]
Берлекэпм (Berlecamp E. R.)
[1968] Algebraic Coding Theory, McGraw-Hill Book Co., New York.
[Русский перевод: Берлекэмп Э. Алгебраическая теория кодиро-
кодирования — М.: Мир, 1971.]
Бернсайд (Burnside W.)
[1902] On an unsettled question in the theory of discontinuous groups,
Q. J. Math. 33, 230—238.
Берстель (Berstel J.)
[1976°] Congruences plus que parfaites et langages algebriques, Seminaire
d'Informatique Theorique, 1976—77, Institut de Programmation,
Universile de Paris VI, 120—147.
Берстель, Перрен, Шютценберже (Berstel J., Perrin D., Schittzenberger M. P.)
[1985е] Theory of Codes, Academic Press, New York, London (в печати).
Берстель, Ройтенауэр (Berstel J., Reutenauer С.)
[1984°] Les Series Rationnelles et leurs Langages, Etudes et recherches
en inforrrutique, Masson, Paris.
Бжозовски (Brzozowski J. A.)
[1977] A generalization of finiteness, Semigroup Forum 13, 239—251.
Бжозовски, Саймон (Brzozowski J. A., Simon I.)
[1973] Characterization of locally testable events, Discrete Math. 4, 243—
271.
Бжозовски, Чулик, Габриэлян (Brzozowski J. A., Culik K., II, Gabrielian A.)
[1971] Classification of noncounting events, J. Comput. Syst. Sci. 5 41—
53.
Бин, Эренфойхт, Мак-Иалтн (Bean R., Ehrenfeucht A., McNulty G. F.)
[1979*] Avoidable patterns in strings of symbols, Pacific J. of Math.,
Vol. 85, No. 2, 261—294.
Литература 411
Биркгоф (Birkholi G.)
[1935] On the structure of abstract algebras, Proc. Camb. Philos. Soc. 31,
433—454.
[1967] Lattice Theory, rev. ed., Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Vol. 25.
[Русский перевод: Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука,
1984.]
Биркгоф, Барти (Birkhoff G., Bartee T. С.)
[1970*] Modern Applied Algebra, McGraw-Hill Book Co. [Русский пере-
перевод: Биркгоф Г., Барти Т. Современная прикладная алгебра. —
М: Мир, 1976.]
Блюм (Blum E. К.)
[1965а] Free subsemigroups of a free semigroup, Mich. Math. J. 12, 179—-
182.
[1965b] A note on free subsemigroups with two generators, Bull. Amer.
Math, Soc. 71, 678-679.
Боассон (Boasson L.)
[1971] Cones rationnels et families agreables de langages. Application au
langage a compteur, Third cycle doctoral thesis, University of
Paris.
Боассон, Нива (Boasson L, Nivat M.)
[1973] Sur diverses families de langages fermees par transduction ration-
nelle, Acta inf. 2. 180—188.
Боэ (Вое J. M.)
[1976] Representation des monoides. Applications a la theorie des codes.
Third cycle doctoral thesis. University of Montpellier.
Браун (Brown Т. С).
[1964] On the finiteness of semigroups in which xr = x, Proc. Camb.
Philos. Soc. 60, 1028—1029
[1967*] A semigroup union of disjoint locally finite subsemigroups
which is not locally finite, Pacific J. of Math., Vol. 22, No. 1,
pp. 11 — 14.
[1968*] О локально конечных полугруппах. — Укр. матем. ж., т. 20, № 6,
с. 732-738.
[1969] On van der Waerden's theorem on arithmetic progressions, Not.
Amer. Math. Soc. 16, 245.
Бриттон (Britton J. L.)
[1963] The word problem, Ann. Math., 77, 16—32.
[1973] The existence of infinite Burnsidc groups, in Word Problems,
Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 71,
67—348.
Бук (Book R. V.)
[1982°] Confluent and other types of Thue systems, J. of Assoc. for Сотр.
Mach., 29, 171—182.
Бук, Янцен, Рэтхолл (Book R. V., Jantzen M., Wrathall C.)
[1982°] Monadic Thue systems, Theor. Сотр. Sci. 19, 231—251.
Бун (Boon W. W.)
[1959] The word problem, Ann. Math. 70 B), 207—265.
[1973] Between logic and group theory, in Proceedings of the 2nd Inter-
International Conference on the Theory of Groups, Lecture Notes in
Mathematics, 372, Springer-Verlag, Berlin, pp. 90—102.
Бун, Хигман (Boon W. W., Higman G.)
[1974] An algebraic characterisation of groups with soluble word pro-
problem, J. Aust. Math. Soc. 18A), 41—53.
Бурбаки (Bourbaki N 1
[1970] Algebre I, Hermann, Paris, Chapitres 1—3. [Русский перевод 1-го
14»
412 Литература
нзд.: Бурбаки Н. Алгебра (алгебраические структуры, линейная
н полилинейная алгебра). — М.: Физматгиз, 1962.]
[1971/72] Groupes et Algebres de Lie, Hermann, Paris, Chapitre 1, 1971;
Chapitre 2, 1972. [Русский перевод: Бурбаки Н. Группы и ал-
алгебры Ли. Гл. 1—3 — М.: Мир, 1976.]
Бут (Booth Т. L.)
[1967] Sequential Machines and Automata Theory, John Wiley & Sons,
New York.
Вагнер В. В.
[1952] Обобщенные группы. — Докл. АН СССР, т. 84, с. 1119— 1122.
[1953] Теория обобщенных груд и обобщенных групп. — Матем. сб.,
т. 32, с. 545-632.
Ван дер Варден (van der Waerden В. L.)
[1971/67*] Algebra, Springer-Verlag, Berlin, T. 1, 8 Auf., 1971; T. 2, 5 Auf.,
1967. [Русский перевод: ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.:
Наука, 1976]
Вьенно (Viennot G.)
[1973] Factorisations dichotomiques des monoldes libres et algebres de
Lie libres, Une generalisation des ensembles de Hall, Factorisations
regulieres des monoldes libres et algebres de Lie libres, С R. Acad.
Sc. Paris 276 A, 511—514, 599—602; 277 A, 493-496.
[1974] Algebres de Lie libres et monoldes libres, Doctoral thesis, Univer-
University of Paris.
[1978*] Algebras de Lie libres et Monoldes libres, Lecture Notes in Ma-
Mathematics 691, Springer-Verlag, Berlin.
Галлагер (Gallager R. G.)
[1968] Information Theory and Reliable Communication, John Wiley &
Sons New York.
Гёльдер (H61der O.)
[1889] Zuruckfiihrung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine
Kette von Gleichungen, Math. Ann. 34, 26—56.
Герхард (Gerhard J. A.)
[1978] The word problem for semigroups satisfying *' = *, Math. Proc.
Camb. Philos. Soc. 84, 10—16.
Гнлл (Gill A.)
[1962] Introduction to the Theory of Finite State Machines, McGraw-Hill
Book Co., New York [Русский перевод: Гилл А. Введение в тео-
теорию конечных автоматов. — М.: Наука, 1966.]
Гинзбург A. (Ginzburg A.)
[1969] Algebraic Theory of Automata, Academic Press, New York.
Гинзбург С. (Ginsburg S.)
[1962] An Introduction to Mathematical Machine Theory, Addison-Wesley
Publishing Co., Reading, Mass.
[1966] The Mathematical Theory of Context-Free Language, McGraw-Hill
Book Co., New York. [Русский перевод: Гинзбург С. Математи-
Математическая теория контекстно-свободных языков. — М.: Мир, 1970.]
[1975] Algebraic and Automata Theoretic Properties of Formal Languages,
North-Holland Publ. Co., Amsterdam.
Гинзбург С, Грейбах (Ginsburg S., Greibach S. A.)
[1969] Abstract families of languages, Mem. Amer. Math. Soc, 87, 1—32.
[Русский перевод: Гинзбург С, Грейбах Ш. Абстрактные семей-
семейства языков. — В кн.: Языки и автоматы. — М.: Мнр, 1975,
с. 233-281.]
Гинзбург С, Грейбах, Хопкрофт (Ginsburg S., Greibach S. A., Hopcroft J.)
[1969] Studies in abstract families of languages, Mem. Amer, Math,
Soc. 87.
Литература 413
Гинзбург С, Спеньер (Ginsburg S., Spanier Е. Н.)
[1964] Bounded ALGOL-like languages, Trans. Amer. Math. Soc, 113,
333—368.
Гладкий А. В.
[1969*] Элементы математической лингвистики. — M.: Наука.
Гладкий А. В., Мельчук И. А.
[1969*] Элементы математической лингвистики. — М.: Наука.
Глускин Л. М.
[1956] Вполне простые полугруппы. — Уч. зап. Харьковского пед. ин-та,
т. 18, с. 41-55.
[1959] Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств. —
Изв. АН СССР, сер. матем., т. 23, с. 841—870.
Глушков В. М.
[1961] Абстрактная теория автоматов. — УМН, т. 16, № 5, с. 3—62.
Глушков В. М., Летичевский А. А., Годлевский А. Б.
[1983*1 Методы математической биологии. Книга 6: Методы синтеза дис-
дискретных моделей биологической математики. — Киев: Наукова
думка.
Глушков В. М., Цейтлин Г. Е., Ющенко Е. Л.
[1978*] Алгебра, языки, программирование, изд. 2-е. — Киев: Наукова
думка.
Голдстайн (Goldstine J.)
[1977] Automata with data storage, Proc. Conf. Comput. Sci., Waterloo,
June 1977.
Голод Е. С
[1964] О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах. — Изв.
АН СССР, сер. матем., т. 28, № 2, с. 273-276.
Голод Е. С, Шафаревич И. Р.
[1964] О башне полей классов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 28,
№ 2, с. 261-272.
ГоломО, Гордон (Golomb E. N., Gordon В.)
[1965] Codes with bounded synchronisation delay, Inf. Control 8, 355—
372.
Грейбах (Greibach S. A.)
[1969] An infinite hierarchy of context-free languages, J. Assoc. Comput.
Mach., 16, 91—106. [Русский перевод: Грейбах III. Одна беско-
бесконечная иерархия контекстно-свободных языков. — В кн.: Слож-
Сложность вычислений и алгоритмов. — М.: Мир, 1974, с. 85—106.]
[1970] Chains of full AFL's, Math. Syst. Theory 2, 231—242.
Грийе (Grillet P. A.)
[1974] Structure of regular semigroups I, II, III, IV, Semigroup Forum 8,
177—183, 254—259, 260—265, 368—373.
Грнн (Green J. A.)
[1951] On the structure of semigroups, Ann. Math. 54, 163—172.
Грин, Рис Д. (Green J. A., Rees D.)
[1952] On semigroups in which xr = x, Proc. Camb. Philos. Soc. 48, 35—
40.
Гросс, Лантен (Gross M., Lentin A.)
[1967] Notions sur les Grammaires Formelles, Gauthier-Villars, Paris.
[Русский перевод: Гросс М., Лантен А. Теория формальных грам-
грамматик. — М.: Мир, 1971.]
Грэхем (Graham R.)
[1968] On finite 0-simpJe semigroups and graph theory, Math. Syst.
Theory 2, 325—339.
Гуд (Good I. J.)
[1962a] A short proof of MaoMahon's «Master Theorem», Proc. Camb.
Philos. Soc. 58, leO.
[1962b] Proofs of some «binomial» identities by means of MacMahon's
«Master Theorem», Proc. Camb. Philoa. Sec. 58, 161—162,
414 Литература
Де Брейн (De Bruijn N. G.)
[1953] On the factorization o( cyclic g'jups, Indag. .Hath. Kond. Ned.
Acad. Wet, 15 (Proceedings 56, Series A), 370—377.
Дежан (Dejean F.)
[1972] Sur un theoreme de Thue, J. Comb. Theory A13, 90—99.
Детловс В. К.
[1953] Нормальные алгорифмы и рекурсивные функции. — Докл. КН
СССР, т. 90, с. 723-725.
Джекобсон (Jacobson N.)
[1962] Lie Algebras, Interscience, New York. [Русский перевод: Джекоб-
Джекобсон H., Алгебры Ли. — М.: Мир, 1964.]
Диксон (Dixon А. С)
[1890] On the sum of the cubes of the coefficients in a certain expansion
by the binomial theorem, Messenger Math. 20, 79—80.
Дин (Dean R.)
[1965] A sequence without repeats on x, x~l, y, y~l, Amer. Math. Mon.
72, 383—385.
Дойсен (Deussen P.)
[1966] On the algebraic theory of finite automata, Int. Comput. Sci. Bull.
4, 231—264.
[1967] Some results on the set of congruence relations on a finite strong-
strongly connected automaton, Computing 2, 353—367.
Дэйвис (Davis M.)
[1958] Computability and Unsolvability, McGraw-Hill Book Co., New
York.
Дюбрей (Dubreil P.)
[1941] Contribution a la theorie des demi-groupes, Mem. Acad. Sci. Inst.
Fr. 63, Gauthiers-Villars, 52 pp.
Дюбрей-Жакоген (Dubreil-Jacotin M. L.)
[1947] Sur l'immersion d'un semi-groupe dans un groupe, С R. Acad. Sci.
Paris 225, 787—788.
Ершов А. П., Кнут (ред.) (Knuth D. E.)
[1982*] Алгоритмы в современной математике и ее приложениях. — Ма-
Материалы Международного симпозиума. Ургенч (УзССР), 16—
22 сент. 1979 г. В 2-х частях. — Новосибирск.
Ершов Ю. Л., Палютин Е. А.
[1979*] Математическая логика. — М.: Наука.
Жакоб (Jacob G.)
[1976] Semigroupes lineaires de rang borne: Decidabilite de la finitude.
in Seminaire d'Algebre P. Dubreil, Paris 1975—76, Lecture Notes
in Mathematics 586, Springer-Verlag, Berlin, pp. 116—459.
[1977*] Un algorithme calculant le cardinal, fini ou infini, des demi-
groupes de matrices, Theor. Comput. Sci., Vol. 5, No. 2, 183—
204.
[1978] La finitude de representations lineaires de semi-groupes est decid-
able, J. Algebra, 52, 437—459.
[1980] Un theoreme de factorization des produits d'endomorphismes de
K", J. Algebra, 63, 389—412.
Жордан (Jordan C.)
[18691 Commentaire sur Galois, Math. Ann. 1, 141 — 160.
Зайгер (Zeiger H. P.)
[1967] Yet another proof of the cascade decomposition theorem for finite
automata, Math. Syst. Theory 1, 225—228.
Закстайн (Zalcstein Y.)
[1972] Locally testable languages, J. Comput. Syst. Sci. 6, 151—167.
[1973] Locally testable semigroups, Semigroup Forum 5, 216—227.
[1977] Solvability of the finiteness problem for linear semigroups, Not,
Amer. Math. Soc, 24, A—224,
Литература 415
Зимин Л. И.
[19*82*] Блокирующие множества термов. — Матем. сб., т. 119, № 3,
с. 363—375.
Иваник (Iwanik A.)
[1978*] An embedding theorem for semigroups, Algebra Universalis, 8,
No. 1, 89-90.
Интема (Yntema N. K.)
[1967] Inclusion relations among families of context-free languages, inf.
Control 10, 572—597.
Калман, Фалб, Арбиб (Kalm.in R. E., Falb P. L, Arbib M. A.)
[1969*] Topics in Mathematical System Theory, McGraw-Hill Book Co.,
New York. [Русский перевод: Калман Р., Фалб П., Арбиб М.
Очерки по математической теории систем. — М : Мир, 1971.]
Калужнин, Краснер (Kaloujnine L, Krasner M.)
[1951] Produit complet des groupes de permutations et probleme d'exten-
sion de groupes I, II, III, Acta Sci., Math. Szeged 13, 1950, 208^
230; 14, 1951, 39—6S; 69—82.
Капланский (Kaplansky I.)
[1965] Fields and Rings, University of Chicago Press, Chicago.
Капп, Шнайдер (Карр К. М., Schneider H.)
[1969] Completely 0-simple Semigroups, W. A. Benjamin, New York.
Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И.
[1982*] Основы теории групп, изд. 3-е. — М.: Наука.
Картье (Cartier P.)
[1972] La serie generatrice exponentielle, applications probabilistes et al-
gebriques, Publications of toe Mathematical Research Institute,
University of Strasbourg.
Картье, Фоата (Cartier P., Foata D.)
[1969] Problemes combinatoires de commutation et rearrangements, Lec-
Lecture Notes in Mathematics 85, Springer-Verlag, Berlin.
Катленд (Cutland N.)
[1980*] Computability. An Introduction to Recursive Function Theory,
Cambridge University nress, Cambridge. [Русский перевод: Кат-
Катленд H. Вычислимост1 Введение в теорию рекурсивных функ-
функций. - М.: Мир, 1983.]
Келлн (Kelley J L.)
[1955] General Topology, Van Nostrand, New York. [Русский перевод:
Келли Дж. Л. ббщая топология, изд. 3-е. — М.: Наука, 1982.]
Ким, Рауш (Kim К Н., Roush F. W.)
[1977] On general linear semigroups, Semigroup Forum 14, 15—28.
Кинан, Лаллеман (Keenan M., Lallement G.)
[1974] On certain codes admitting inverse semigroups as syntactic mo-
monoids, Semigroup Forum 8, 312—331.
Клиии (Kleene S. C.)
[1936] General recursive functions of natural numbers, Math. Ann. 112,
727—742.
[1943] Recursive predicates and quantifiers, Trans. Amer. Math. Soc. 53,
41—73.
[1956] Representation of events in nerve sets, in С. Е. Channon and
J. McCarthy (Eds), Automata Studies, Princeton University Press,
Princeton, N. J., 3—40. [Русский перевод: Клини С. К. Пред-
Представление событий в нервных сетях и конечных автоматах. —
В кн.: Автоматы —М.: ИЛ, 1956, с. 15—67.]
Клиффорд (Clifford A. H.)
Г1941] Semigroups admitting relative inverses, Ann. Math. 42, 1037—
1049.
[1948] Semigroups containing minimal ideals, Amer. J. Math. 70, 521 —
526
[1949] Semigroups without nilpotent ideals, Amer. J. Math. 71, 834—844.
416 Литература
[1954°] Bands of semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 5, pp. 499—504.
[1975] The fundamental representation of a regular semigroup, Semigroup
Forum 10, 84—92.
Клиффорд, Престон (Clifford A. H., Preston Q. B.)
[1961] The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. 1, Amer. Math. Soc,
Mathematical Surveus 7. [Русский перевод: Клиффорд А., Пре-
Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 1. —М.: Мир, 1972.]
[1967] The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. 2, Amer. Math. Soc,
Mathematical Surveys 7. [Русский перевод: Клиффорд А., Пре-
Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп, т. 2. — М.: Мир, 1972.]
Кнут (Knuth D. Е.)
[1973*] The Art of Computer Programming, Vol. 3. Sorting and Search-
Searching, Addison Wesley, Reading, Mass. [Русский перевод: Кнут Д.
Искусство программирования для ЭВМ, т. 3, Сортировка и по-
поиск. — М.: Мир, 1978.]
Колмогоров А. Н., Драгалии А. Г.
[1984*] Математическая логика. Дополнительные главы. — М.: Изд-во
МГУ.
Кон (Cohn P. M.)
[1962] On subsemigroups of free semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 13,
347—351.
[1965] Universal Algebras, Harper & Row Publ., New York. [Русский
перевод: Кои П. Универсальная алгебра. — М.# Мир, 1968.]
Копытов В. М.
[1968] Разрешимость проблемы вхождения в конечно-порожденные раз-
разрешимые группы матриц над полем алгебраических чисел. — Ал-
Алгебра и логика, т. 7, № 6, с. 53—63.
Кох, Уоллес (Koch R. J., Wallace W. D.)
[19571 Stability in semigroups, Duke Math. J. 24, 193—195.
Коше (Cochet Y.)
[1976°] Church — Rosser congruences on free semigroups, Colloq. Math.
Soc. Janos Bolyai: Algebraic Theory of Semigroups, 20, 51—60.
Коше, Нива (Cochet Y., Nivat M.) .
[1971°] Une generalisation des ensembles de Dyck, Israel J. Math. 9,
389—395.
Коэн, Бжозовски (Cohen R. S., Brzozowski J. A.)
[1971] Dot-depth of star-free events, J. Comput. Syst. Sci. 5, 1—16.
Краснер, Рануляк (Krasner M., Ranulac B.)
[1937] Sur une propriete des polyn6mes de la division du cercle,
С R. Acad. Sci. Paris 240, 397—399.
Крон, Роудз (Krohn К., Rhodes J. L.)
[1965] Algebraic Theory of Machines, 1, Prime decomposition theorem for
finite semigroups and machines, Trans. Amer. Math. Soc. 116,
450—464.
Крон, Роудз, Тилсон (Krohn К., Rhodes J. L., Tilson B.)
[1968] The prime decomposition theorem of the algebraic theory of ma-
machines, in M. A. Arbib (Ed.), Algebraic Theory of Machines,
Languages, and Semigroups, Academic Press, New York, Londotj,
pp. 81—125. [Русский перевод: Крон К-, Роудз Дж., Тилсон В. Р.
Основная теорема декомпозиции в алгебраической теории авто-
автоматов. — В кн.: Арбнб [1968], с 90—131.]
Кузино, Перро, Риффле (Cousineau F. G., Perrot J. F., Rifflet J. M.)
[1973] APL programs for direct computation of a finite semigroup, in
APL Congress 73, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, pp. 67—
74.
Кузнецов А. В.
[1958] Алгоритмы как операции в алгебраических системах. — УМН,
т. 13, с. 240-241.
Литература 417
Курош Л Г.
[1967*] Теория групп, изд. 3-е. — М.: Наука.
Кэртис, Райнер (Curtis С. W., Reiner I.)
[1962] Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras,
Interscience, New York. [Русский"перевод: Кэртис Ч., Райнер И.
Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. —
М.: Наука, 1969.]
Лаллеман (Lallement Q.)
[1967] Demi-groupes reguliers, Ann. Matem. Рига Appl. 77, 47—130.
[1969] Sur l'irreducibilite de certains monoi'des finis, С R. Acad. Sci.
Paris 268, 1312—1315.
[1971] On the prime decomposition theorem for finite monoids Math.
Syst. Theory 5, 8—12.
[1972] Structure theorems for regular semigroups, Semigroup Forum 4,
95—123.
[1974a] A note on congruences on Rees matrix semigroups, Semigroup
Forum 8, 89—92.
[1974b] On monoids presented by a single relation, J. Algebra, 32 370 —
388.
[1977] Regular semigroups with 2) = 8t as syntactic monoids of finite
prefix codes, Theor. Comput. Sci. 3, 35—49.
[1978] Cyclotomic polynomials and unions of groups Discrete Math. 24,
19—36.
[1980°] Augmentations and wreath products of monoids, Semigroup Fo-
Forum 21, 89—90.
Лаллеман, Милито (Lallement G., Milito E.)
[1976] Recognizable languages and finite semilattices of groups, Semi-
Semigroup Forum 11, 181 —185.
Лаллеман, Перрен (Lallement G., Perrin D.)
[198Г] A graph covering construction of all finite complete, biprefix co-
codes, Discrete Math. 26, 261—271.
Лаллеман, Петрич (Lallement G., Petrich M.)
[1969] A generalization of ihe Rees theorem in semigroups, Acta Sci.
Math. 30, 113—132.
Лаллеман, Рис С. (Lallement G., Reis C)
[i981°] Team tournaments and finite elementary biprefix codes, Informa-
Information and Control, 48, 11—29.
Лантен (Lentin A.)
[1972] Equations dans les Mono'ides Libres, Gauthiers-Villars, Mouton,
Paris.
Лантен, Шютценберже (Lentin A., Schutzenberger M. P.)
[1969] A combinatorial problem in the theory of free monoids, in Bose
and Dowing (Eds.), Combinatorial Mathematics and Applications,
University of North Carolina Press, pp. 128—144.
Лассез (Lassez J. L.)
[1973] Prefix codes and isomorphic automata, Intern J. Comput. Math.
Sect. A, 3, 309—314.
Левенштейн В. Н.
[1964] О некоторых свойствах кодирования и самонастраивающихся
автоматах для кодирования сообщений. — В сб.: Проблемы ки-
кибернетики, т. 11. — М.: Физматгиз. с. 63—121.
Леви (Levi F. W.)
[1944] On semigroups, Bull. Calcutta Math. Soc. 36, 141—146.
Линдон (Lyndon R. C.)
[1954] On Burnside's problem I, Trans. Amer. Math. Soc. 77, 202—
215.
[19551 A theorem of Friedrichs, Mich. Math. J. 3, 27—29.
418 Литература
Линдон, Шупп (Lyndon R. С., Schupp P. E.)
[1977*] Combinatorial Group Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg,
New York. [Русский перевод: Лнндои Р., Шупп П. Комбинатор-
Комбинаторная теория групп М.: Мир, 1980.]
Лнндон, Шютценберже (Lyndon R. С, Schutzenberger M Р.)
[1962] The equation aM = bNcp in a free group, Mich. Math. J. 9, 289—
298.
Лнч (Leech J.)
[1957] A problem on strings of beads, Math. Gas. 41, 277—78, note 2726.
Лотэр (Lothaire M.)
[1983°] Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and its
Applications, Vol. 17, Addison-Wesley Publ. Co.
Ляпнн Е. С
[1960] Полугруппы. — M.: Физматгнз.
Магнус (Magnus W.)
[1932] Das^entitats-Problem fur Gruppen mit einer definierenden Rela-
Relation, Math. Ann. 106, 295—307.
Магнус, Каррас, Солитэр (Magnus W., Karras A., Solitar D.)
[1966] Combinatorial Group Theory, Interscience, New York. [Русский
перевод: Магнус В., Каррас А., Солитэр Д. Комбинаторная тео-
теория групп. — М.: Наука, 1974.]
Майер-Вундерлн (Meier-Wunderli H.)
[1952] Note on a basis of P. Hall for the higher commutators in free
groups, Comment. Math. Helv. 26, 1—5.
Майхилл (Myhill I.)
[1957] Finite automata and the representation of events, Wright Air De-
Development Command Technical Report 57—624, 112—137.
Мак-Алнстер (McAlister D. B.)
[1971] Representations of semigroups by lineare transformations, Semi-
Semigroup Forum 2, 189—263, 283—320.
[1973] Groups, semilattices and inverse semigroups I, Trans. Amer. Math.
Soc. 192, 1—18; II, 196, 1974, 351-370.
[1974] 0-bisimple inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc. 28, 193—
221.
Маканин Г. С.
[1977*] Проблема разрешимости уравнений в свободной полугруппе. —
Матем. сб., т. 103, № 2, с. 147—236.
Мак-Кензи, Томпсон (McKenzie R., Thompson R. J.)
[1973] Unsolvable word problems, in Word Problems, Studies in Logic
and the Foundations of Mathematics, Vol. 71, 457—478.
Мак-Лин (McLean D.)
[1954] Idempotent semigroups, Amer. Math. Mon. 61, 110—113.
Мак-Магон (MacMahbn P. A.)
[1915] Combinatory Analysis I, Cambridge University Press.
Мак-Найт, Стори (McKnight J. D., Storey A. J.)
[1969] Equidivisible semigroups, J. Algebra 12, 24—48.
Мак-Нотон (McNaughton R.)
[1974] Algebraic decision procedure for local testability, Math. Syst.
Theory 8, 60—76.
Мак-Ногон, Закстайн (McNaughton R., Zalcstein Y.)
[1975] The Burnside problem for semigroups, J. Algebra 34, 292—299.
Мак-Нотон, Пейперт (McNaughton R., Papert S.)
[1971] Counter-free Automata, M.IT. Press, Cambridge, Mass.
Мак-Нотон, Ямада (McNaughton R., Yamada НЛ
[I960] Regular expressions and state graphs for automata, I. R. E. Trans
Elec. Сотр. Е. С 9, 541—544.
Мальцев А. И.
[1952] Симметрические группоиды. — Млтем. сб., т. 31, № 1, с. 136—
161.
Литература 419
[ 1965j Алюритыы и рекурсивные функции. — М.: Наука.
fl9701 Алгебраические системы. — М.: Наука.
[1976*] Избранные труды. Т. 1. Классическая алгебра —М.: Наука.
Мандел, Саймон (Mandel A., Simon I.)
[1977] On finite semigroups of matrices, Theor. Comput. Sci. 5, 101—112.
Манин Ю. И.
[1980*] Вычислимое и невычнелимое. - М : Советское радио.
Манн (Munn W. D.)
[1964] A certain sublattice of the lattice of congruences on a regular
semigroup, Proc. Camb. Philos Soc. CO, 385—391.
[1956] Uniform semilattices and bisimple inverse semigroups, Q. J. Math.
Oxf 17, 151—159.
[1970] Fundamental inverse semigroups, Q J. Math. Oxf. 21, 157—
170.
[1974] Free inverse semigroups, Proc. Lond. Math. Soc. 29, 385—
404.
Марков A A.
[1947] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных
систем. — Докл. АН СССР, т. 55, с 587—590; то же II, Докл.
АН СССР, т. 58, с. 353-356.
[1951а] Невозможность некоторых алгорифмов в теории ассоциативных
систем. — Докл. АН СССР, т. 77, с' 19—20.
[1951b] Невозможность алгорифмов распознания некоторых свойств ассо-
ассоциативных систем. — Докл. АН СССР, т. 77, с. 953—956.
[1951с*] Теория алгорифмов. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 38,
с. 176-189.
[1954] Теория алгорифмов. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 42.
Марков А. А., Нагорный Н. М.
[1984*] Теория алгорифмов. — М.: Наука.
Марков Ал. А.
[1962J Нерекуррентное кодирование. — В сб.: Проблемы кибернетики,
т. 8, с. 169-188.
[1982*] Введение в теорию кодирования. — М.: Наука.
Матиясевич Ю В.
[1967] Простые примепы неразрешимых ассоциативных исчислений. —
Докл АН СССР, т. 173, № 6, с. 1264—1266; Тр. Матем. ин-та
В. А. Стеклова, т. 93, 50—88.
[1984*] Об исследованиях по чекоторым алгорифмическим проблемам ал-
алгебры и теории чисел. — Труды Матем. ин-та В. А. Стеклова,
т. 168, с 218-235.
Мейер, Томпсон (Meyer A. R , Thompson С.)
[1969] Remarks on algebraic, decomposition of automata, Math. Syst.
Theory 3, 110—118.
Мендельсон (Mendelson E.)
[1963*] Introduction to Mathematical Logic, Van Nostrand Co., Princeton.
[Русский перевод; Мендельсон Э. Введение в математическую
логику. — М.: Наука, 1971.]
Мерзляков Ю. И.
[1980*1 Рациональные группы. — М.: Наука.
Милито (Milito E.)
[1977] Some classes of syntactic monoids of recognizable languages,
Ph. D. thesis, Pennsylvania State University.
Миллер, Клиффорд (Miller D D., Clifford A. H.)
[1956] Regular 25-classes in semigroups Trans. Amer. Math. Soc. 82.
1 — 15.
Морс, Хедлунд (Morse M., Hedlund Q. A.)
[1944] Unending chess, symbolic dynamics and a problem in semigroups,
Duke Math. J. 11, 1-7.
420 Литература
Мучник Ан. А.
[1983*] О теореме Шютценберже, касающейся моноидов без нетривиаль-
нетривиальных подгрупп. — В кн.: Математическая логика, математическая
лингвистика и теория алгоритмов. — Калинин, с. 65—68.
НамОурипад (Nambooripad К. S. S.)
[1975] Structure of regular semigroups, 1, II, Semigroup Forum 9, 354—
371.
Нейман (Neumann В. Н.)
[I960] Embedding theorems for semigroups, J Lond. Math. Soc. 35, 184—
192.
[1967] Some remarks on semigroup presentations, Can. J Math. 19,
1018—1026.
[1973] The isomorphism problem for algebraically closed groups, in Word
Problems, Studies in Logic and Foundations of Mathematics,
Vol. 71, 457—478.
Нельсон (Nelson R. J.)
[1968] Introduction to Automata, John Wiley & Sons, New York.
Нероуд (Nerode A.)
[1958] Linear automaton transformations, Proc. Amer. Math. Soc. 9,
541—544.
Ннва (Nivat M.)
[1966] Elements de la theorie generale des codes, in E. R. Caianiello
(Ed.), Automata Theory, Academic Press, New York, pp 278—
294.
[1968] Transductions des langages de Chomsky, Ann. lnst. Fourier 18,
339—456.
Ннва, Перро (Nivat M., Perrot J. F.)
[1970] Une generalisation du monolde bicyclique, С R. Acad. Sci. Paris
217 A, 824—827.
Нива, Щютценберже (Nivat M., Schutzenberger M. P.)
[1966] Sur les produits semi-directs droits de monofdes, С R. Acad. Sci.
Paris 263, 659—661.
Новиков П. С.
[1952*] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества. —
Докл. АН СССР, т. 85, с. 709-719.
[1955] Об алгоритмической неразрешимости проблемы тождества слов
в теории групп. — Тр Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 44.
[1979*] Избранные труды. Теория множеств и функций. Математическая
логика и алгебра. — М.: Наука.
Новиков П. С., Адян С. И.
[ 1968] О бесконечных периодических группах, I, 11, III. — Изв. АН
СССР, сер. матем., 32, № 1, 2, 3, с. 212—244, 251—524, 709—731.
Оганесян Г. У.
[1982*] О полугруппах с одним соотношением и полугруппах без цик-
циклов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 46, № 1, с. 88—94.
Ольшанский А. Ю.
[1982а*] О теореме Новикова — Адяна. — Матем. сб., т. 118, № 2, с. 203—
2,35.
[1982b*] Группы ограниченного периода с подгруппами простого поряд-
порядка. — Алгебра и логика, т. 21, № 5, с. 553—618.
Паалман де Миранда (Paalman-de Miranda А. В.)
[1964] Topological semigroups, Math Cent. Tracts 11, Amsterdam.
Парик (Parikh R. J.)
[1961] Language generating devices, M. l.T. Pes. Lab. Electron. Q. Prog.
Rep. 60, 199-212.
Пастен (Pastijn F.)
[1977*] Embedding semigroups in semibands, Semigroup Forum, 14, 247—
263.
Литература 421
Перрен (Perrin D )
[1970] Le langage engendre par un code prefixe et son monolde syntaxi-
que, Third cycle doctoral thesis, University of Paris.
[1972] Codes conjugues, Inf. Control 20, 222—231.
[1975] Codes bipreiixes et groupes de permutations, Doctoral thesis, Uni-
University of Paris,
[1977a] La transitivite du groupe d'un code biprefixe fini, Math. Z. 153,
283—287.
[1977b] Codes asynchrones, Bull. Soc. Math. France 105, 385—404.
Перрен, Перро (Perrin D., Perrot J. F.)
[1969] Sur les codes prefixes complets finis, С R. Acad. Sci. Paris 269,
1116—1118.
[1971] Congruences et automorphismes des automates finis, Acta Infor-
matica 1, 159—172.
Перро (Perrot J. F.)
[1971] Groups and automata, in Z. Kohavi and A. Paz (Eds.), Theory
of Machines and Computations, Academic Press, New York,
pp. 287—293.
[1972] Contribution a l'etude des monoldes syntactiques et de certains
groupes associes aux automates finis, Doctoral thesis, University
of Paris.
[1974] Groupes de permutations associes aux codes prefixes finis, in
A. Lentin (Ed.), Permutations, Gauthiers-Villars, Mouton, Paris,
pp. 19—35.
[1975] Une theorie algebrique des automates finis monogdnes, Symp.
Math. 15, 201—244.
Петрич (Petrich M.)
[1968] The translational hull of a completely 0-simple semigroup, Glasg.
Math. J. 9, 1—11.
[1973] Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill Publ. Co., Colum-
Columbus, Ohio.
[1977*] Lectures in Semigroups, Academic Press, Berlin.
[1984*] Inverse Semigroups. John Wiley & Sons, New York.
Петров А. Н.
[1979*] Одна теорема вложения для счетных полугрупп.— В кн.: Тез.
докл. 15-й Всесоюзн. алгебр, конф., ч. П.—Новосибирск, с. 1161).
Пиотровский Р. Г., Бектаев К- Б., Пиотровская А. А.
[1977*] Математическая лингвистика. — М.: Высшая школа.
Плоткин Б. И
[1966*] Группы автоморфизмов алгебраических систем.— М.: Наука.
Поллачек (Pollatchek A.)
[1977] Relationships between combinatorics and 0-simple semi-groups,
J. Pure Appl. Algebra 9, 301—334.
Понизовский И. С.
[1975*] О матричных полугруппах. — В кн.: Тез. докл. 13-го Всесоюзн.
алгебр, симпоз., ч. 2. — Гомель, с. 233.
Пост (Post E. L.)
[1936] Finite combinatory processes Formulation 1, J. Symb. Logic 1,
103—105. [Русский перевод: Пост Э. Л. Финитные комбинатор-
комбинаторные процессы, формулировка 1. — В кн.: Успенский В. А. Ма
шииа Поста. —М.: Наука, 1979, с. 89—95.]
') Подробное изложение анонсированного здесь результата (и некоторых
близких к нему) см. в статье А. Н. Петрова «Теоремы вложения для счетных
периодических полугрупп», в сб. «Исследования алгебраических систем по
свойствам их подсистем» (Матем. записки УрГУ, т. 14, № 1), Свердловск,
1985, с. 128—140. — Прим. ред.
422 Литература
[1947] Recursive unsolvability of a problem of Thue, J. Symb. Logic 12,
1—11.
Престон (Preston G. B.)
[1954] Inverse semi-groups, J. Lond. Math. Soc. 29, 396—403.
[1958] Matrix representations of semigroups, Q. J. Math Oxf. 9, 169—
176.
[1961] Congruences on completely 0-simple semigroups, Proc. Lond. Math.
Soc. 11, 557—576.
Пэн (Pin J. E.)
[1981°] Varietes de langages et varietes de semigroupes, Doctoral thesis,
University of Paris VI.
[1984°] Varietes de langages formels, Etudes et recherches en informati-
que, Masson, Paris.
Рабин, Скотт (Rabin M. 0., Scott D.)
[1959] Finite automata and their decision problems, I. B. M. J. Res. Dev.
Ill, 114—125. [Русский перевод: Рабин М. О., Скотт Д. Конеч-
Конечные автоматы и задачи их разрешения. — В кн.: Кибернетический
сборник, вып. 4. — М.: ИЛ, 1962, с. 58—91.]
Райзер (Ryser J.)
[1963] Combinatorial Mathematics, Carus Math. Monographs 14. [Русский
перевод: Райзер Дж. Комбинаторная математика. — М.: Мир.
1966.]
Райли Дж. (Riley J. A.)
[1967] The Sardinas —Patterson and Levenshlein theorems, Inf. Control
10, 120—136.
Райли H. (Reilly N.)
[1968] Bisimple inverse semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 132, 101—
114.
[1972] Free generators of free inverse semigroups, Bull. Aust. Math.
Soc. 7, 407—424.
[1979*] Free inverse semigroups, in G. Pollak (Ed.), Algebraic Theory of
Semigroups, North-Holland Publ. Co., Amsterdam, pp. 479—
508.
Редей (Redei L.)
[1950] Ein Beitrag zum Probleme der Factorisation von endlischen Abel-
schen Gnippen, Acta Math. Sc. Hung. 1, 197—207.
[1965*] The Theory of Finitely Generated Commutative Semigroups, Per-
gamon Press, Oxford, London.
Редько В. Н., Лисовик Л. П.
[1980*] Регулярные события в полугруппах,— В сб.: Проблемы кибер-
кибернетики, т. 37, с. 155—184.
Ремесленников В. Н., Романьков В. А.
[1983*] Теоретико-модельные и алгоритмические вопросы теории групп.—
В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия (итоги науки и техники),
т. 21.-М.: ВИНИТИ, с. 3-79.
Рестиэо (Restivo A.)
[1973] Codes and aperiodic languages, Lecture Notes in Computer Sci-
Science 2, Springer-Verlagr, pp. 175—181.
[1974] On a question of McNaughton and Papert, Inf. Control 25, 93—
101.
Рис Д. (Rees D.)
[1940] On semi-groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 36, 387—400.
[1941] Note on semi-groups, Proc. Camb. Philos. Soc. 37, 434—435.
Роджерс (Rogers H., Jr)
[1967*] Theory of Recursive Functions and Effective Computability,
McGraw-Hill Book Co., New York. [Русский перевод: Роджерс X.
Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — M.S
Мир, 1972.]
Литература 423
Ройтенауэр (Reatenauer С.)
[1977] Proprietes arithmetiques et topologiques de series rationnelles en
variables non commutatives, Third cycle doctoral thesis, University
of Paris.
Ротман (Rotman J. J.)
[1973] The Theory of Groups, 2nd ed., Allyn and Bacon, Boston.
Саббаг (Sabbagh G.)
[1974] Caracterisation algebrique des groupes de type fini ayant un
probli-me de mots resoluble, Seminaire Bourbaki 1974/75, Lecture
Notes in Mathematics 514, Springer-Verlag, pp. 61—80.
Саймон (Simon I.)
[1972] Hierarchies of events with dot-depth one, Ph. D. thesis, Depart-
. ment of Applied Analysis and Computer Science, University of
Waterloo, Canada.
[1975] Piecewise testable events, in Automata Theory and Formal Lan-
Languages, 2nd G. I. Conference, Lecture Notes in Computer Sci-
Science 33, Springer-Verlag, pp. 214—322.
Сакарович (Sakarovitch J.)
[1976] Monoides syntactiques et langages algebriques, Third cycle doc-
doctoral thesis, University of Paris.
Саломаа
[1969
[1973
Salomaa A.)
Theory of Automata, Pergamon Press, London.
Formal Languages, Academic Press, New York.
Сардинас, Паттерсон (Sardinas A. A., Patterson С. W.)
[1953] A necessary and sufficient condition for the unique decomposition
of coded messages, I. R. E. Int. Conv. Rec. 8, 104—108. [Русский
перевод: Сардинас А. А., Паттерсон Дж. У. Необходимое и до-
достаточное условие однозначного разложения закодированных со-
сообщений. — В' кн.: Кибернетический сборник, вып. 3. — М.: ИЛ,
1961, с. 93-102.]
Саркисян О. А.
[1981*] О проблемах тождества и делимости в полугруппах и группах
без циклов. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 45, № 6, с. 1424—
1441.
Сезари (Cesari Y.)
[1972а] Quelques algorithmes de la theorie des questionnaires et de la
theorie des codes, Doctoral thesis, University of Paris.
[1972b] Sur un algorithme donnant les codes biprefixes finis, Math. Syst.
Theory 6C), 221—225..
[1974] Sur l'application du theoreme de Suschk,ewitsch a l'etude des codes
rationnels complets, in J. Loeckx (Ed.), Automata, Languages, and
Programming, Springer-Verlag, Berlin, pp. 342—350.
[1980°] Proprietes combinatoires des codes biprefixes, in Theorie des Co-
Codes, Actes de la septieme Ecole de Printemps d'Informatique
Theorique, Jougne 1979, ed. D. Perrin, L. I. T. P., E. N. S. T. A.,
29—46.
Cepp (Serre J. P.)
[1965] Lie Algebras and Lie Groups, W. A. Benjamin, New York. [Рус-
[Русский перевод: Cepp Ж--П. Алгебры Лн и группы Ли. — М.: Мир,
1969.]
Скотт (Scott D.)
[1956] A short recursively unsolvable problem, J. Symb. Logic 21, 111 —
112.
Сойтола (Soittola M.)
[1976] Positive rational sequences, Theor. Comput. Sci. 2, 317—322.
Соссюр, де (de Saussure F.)
[1931] Cours de Linguistique Generale, 3d ed., Gauthier-Vlllars, Paris.
[Русский перспод: де Соссюр Ф. Курс общей лингвистики. — М,,
1933.]
424 Литература
Спенер (Spehner J. С.)
[1975] Quelques constructions et algorithines relatifs aux sous-monoides
d'un monoide libre, Semigroup Forum 9, 334—353.
Спитцер (Spitzer F.)
[1956] A combinatorial lemma and its applications to probability theory,
Trans. Amer. Math. Soc. 82, 323—339.
Старке (Starke P. H.)
[1969] Abstrakte Automaten, V. E. B. Deutscher Verlag der Wissenschaf-
ten, Berlin.
Страубииг (Straubing H.)
[1979] Families of recognizable sets corresponding to certain varieties of
finite monoids, J. Pure Appl. Alg. 15, 305—318.
Супруненко Д. А.
[1972*] Группы матриц. — M.: Наука.
Супруиенко Д. А., Платонов В. П.
[1963*] Об одной теореме Шура. - Докл. АН БССР, 7, с. 510-512.
Сушкевич А. К.
[1928] Ober die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der elndeutigen Um-
kehrbarkeit, Math. Ann. 99, 30—50.
[1937] Теория обобщенных групп. — Харьков: ГНТИУ.
Сэндз (Sands A. D.)
[1967] On the factorization of finite abelian groups, Acta Math Acad.
Sci. Hung. 8, 65—86.
[1Ш] The factorization of abelian groups, Q. J. Oxf. 1Q, 81—91.
[1974] On the factorization of finite groups, J. Lond. Math. Soc. 7 627—
631.
Тамура (Tamura T.)
[1960] Decompositions of a completely simple semigroup, Osaka Math
J. 12, 269—275.
Тесье (Teissier M.)
[1951] Sur les equivalences regulieres dans les demi-groupes, Q. R. Acad.
Sci. Paris 232, 1987—1989.
Трахтмал А. Н.
[1983°] The varieties of n-testable semigroups, Semigroup Forum 27 309—
318.
Туэ (Thue A.)
[1906*] Ober unendliche Zeichenreiken, Norske Vid. Selsk. Skr. I Mat.
Nat. Kl., Christiania, 7, 1—22.
[1912] Ober die gegenseitige Lage gleicher Teile gewisser Zeichenreichen,
Skr., Vid. Kristiania, I Mat. Naturv. Klasse, No. 8, 67 pp.
[1914] Probleme fiber Veranderungen von Zeichenreichen nach gegebenen
Regeln, Skr. Vid. Kristiania, I Mat. Naturv. Klasse, No 10,
34 pp.
Тьероен (Thierrin G.)
[1965] Contribution a la theorie des equivalences dans les demi-groupes,
Bull. Soc. Math. France 83, 103—159.
[1970] Simple automata, Kybernetica (Prague) 5, 343—350.
Тьюринг (Turing A. M.)
[1937] On computable numbers with an application to the Entscheidungs
problem, Proc. Lond. Math. Soc. 42, 230—265.
У иг (Weeg G. P.)
[1962J The structure of an automaton and its operation-preserving trans-
transformation group, J. Assoc. Comput. Math. 9, 346—349.
Уорн (Warne R. J.)
[1966] A class of bisimple inverse semigroups, Рас. J. Math. 18, 563—
577.
Успенский В. А.
[i960*] Лекции о вычислимых функциях. — М.: Физматгиз.
Литература 425
Уэллс {Wells С.)
[1976] Some applications of the wreath product construction, Amer. Math.
Mon. 83, 317—338.
Файн, Уилф (Fine N. J., Wilf H. S.)
[1965] Uniqueness theorems for periodic functions, Proc. Amer. Math.
Soc. 16, 109—114.
Феллер (Feller W.)
[1957] An Introduction to Probability Theory and its Applications, 2nd ed.,
John Wiley & Sons, New York. [Русский перевод: Феллер В. Вве-
Введение в теорию вероятностей н ее приложения, изд. 4-е. — М.:
Мир, 1984.]
Флиесс (Fliess M.)
[1971] Deux applications de la representation matricielle d'une serie ra-
tipnnelle поп commutative, J. Algebra 19, 344—353.
[1974] Matrices de Hankel, J. Math. Pures Appl. 53, 197—222; erratum in
54, 1975.
Фоата (Foata D.)
[1965] Etude algebrique de certains problemes d'analyse combinatoire et
du calcul des probabilites, Publ. Inst. Stat. Univ. Paris 14,81—214.
Фоата, Фукс A. (Foata D., Fuchs A.)
[19?0] Rearrangements de fonctlons et denombrement, J. Comb. Theory 8,
361—375.
Фоата, Шютцеиберже (Foata D., Schittzenberger M. P.)
[1971] On the principle of equivalence of Sparre Andersen, Math. Scand
28, 308—316.
Фридрихе (Friedrichs K. O.)
[1963] Mathematical aspects of the quantum theory of fields V, Comm
Pure Appl. Math. 6, 1—72.
Фукс Л. (Fuchs L.)
[I960] Abelian Groups, Pergamon Press, Oxford, London, New York,
Paris.
Хайош (Haj6s G.)
[1950] Sur le probleme da factorisation des groupes cycliques, Acta Math
Acad. Sci. Hung. 1, 189—195.
Халмош (Halmos P. R.)
[1956] Lectures on Ergodic Theory, Publication of the Math. Soc. of Ja-
Japan, No. 3. [Русский перевод: Халмош П. Лекции по эргодиче-
ской теории. — М.: ИЛ, 1959.]
[1959] Entropy in Ergodic Theory, University of Chicago Press, Chicago.
Харлампович О. Г.
[1981*] Конечно определенная разрешимая группа с неразрешимой про-
проблемой равенства. — Изв. АН СССР, сер. матем., т. 46, № 4
с. 852-873.
Харрисон (Harrison M. А.)
[1965] Introduction to Switching and Automata Theory, McGraw-Hill
Book Co., New York.
Хасигути, Хонда (Hashiguchi К., Honda N.)
[1976] Homomorphisms that preserve star height, Inf. Control 30, 247—
260.
Хауи (Howie J. M.)
[19761 An Introduction to Semigroup Theory, Academic Press, London.
Хаутон (Houghton С. Н.)
[1977] Completely 0-simple semigroups and their associated graphs and
groups, Semigroup Forum 14, 41—68.
Херстейн (Herstein I. N.)
[1968] Non Commutative Rings, Carus Math. Monographs 15. [Русский
перевод: Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир,
1972.]
426 Литература
Хигман (Higman G.)
[1961] Subgroups of finitely presented groups, Proc. R. Soc. A, 262,
455—475.
Хилле, Филлипс (Hille E., Phillips R. S.)
[1957] Functional Analysis and Semigroups, Amer. Math. Soc. Coll. Publ.
31, [Русский перевод: Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный
анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.]
Хмелевский Ю. И.
[1971] Уравнения в свободной полугруппе. — Тр. Матем. ии-та
В, А. Стеклова, т. 107.
Холл М. (Hall M.)
[1949] The word problem for semigroups with two generators, J. Symb.
Logic 14, 115—118.
[1959] Theory of Groups, MacMiilan Publ. Co., New York. [Русский пе-
перевод: Холл М. Теория групп. — М.: ИЛ, 1962.]
[1967а] Group theory and block designs, Proceedings of the International
Conference on the Theory of Groups, Australian National Univer-
University, Canberra, 1965, Gordon and Breach, New York, pp. 115—144.
[1967b*] Combinatorial Theory, Blaisdell Publ. Co., Waltham, Massachu-
Massachusetts. [Русский перевод: Холл М. Комбинаторика. — М.: Мир,
1970.]
Холл Т. (Hall Т. Е.)
[1973] On regular semigroups, J. Algebra 24, 1—24.
Холл Ф. (Hall F.)
[1933J A contribution to the theory of groups of prime power order,
Proc. Lond. Math. Soc. 36, 29—95.
Хомский (Chomsky N.)
[1957] Syntactic Structures, Mouton, The Hague. [Русский перевод: Хом-
Хомский H. Синтаксические структуры. — В кн.: Новое в лингвистике,
вып. 2. — М.: Прогресс, 1962, с. 412—527.]
[1959] On certain formal properties of grammars, Inf. Control 2, 137—
167. [Русский перевод: Хомский Н. О некоторых формальных
свойствах грамматик. — В кн.: Кибернетический сборник, вып. 5.—
М.: ИЛ, 1962, с. 279-311.]
Хомский, Шютценберже (Chomsky N., Schutzenberger M. Р.)
[1963] The algebraic theory of context-free languages, in P. Braffort and
Hirshberg D. (Eds.), Computer Programming and Formal Systems,
118—161, North-Holland Publ. Co., Amsterdam. [Русский перевод:
Хомский Н., Шютценберже М. П. Алгебраическая теория кон-
текстио-свободиых языков. — В кн.: Кибернетический сборник,
новая серия, вып. 3. — М.: Мир, 1966, с. 195—242.]
Хопкрофт, Ульман (Hopcroft J. E., Ullman J. D.)
[1969] Formal Languages and their Relation to Automata, Addison-Wes-
ley Publ. Co., Reading, Mass.
Хоффман, Мостерт (Hoffman К. H., Mostert P.)
[1966] Elements of Compact Semigroups, Charles E. Merrill Publ. Co.,
Columbus, Ohio.
Цейтин Г. С.
[1958] Ассоциативное исчисление с неразрешимой проблемой эквива-
лентиостн. — Тр. Матем. ин-та В. А. Стеклова, т. 52, с. 172—189.
Чеиь, Фокс, Линдон (Chen К. Т., Fox R. H., Lyndon R. С.)
[1958] Free differential calculus IV, The quotient groups of the lower
central series, Ann. Math. 68, 81—95.
Шайблих (Scheiblich H. E.)
[1972] Free inverse semigroups, Semigroup Forum 4, 352—359.
[1973] Free inverse semigroups, Proc. Amer. Math. Soc. 38, 1—7.
Шапп (Schein В. М.)
[1966] Homomorphisms and subdirect decompositions of semigroups,
Рас. J. Math. 17, 529—547.
Литература 427
[19701 Relation algebras and function semigroups, Semigroup Forum 1,
1-62.
[1975] Free inverse semigroups are not finitely presentable, Stud. Sci.
Math Hung. 26, 179—195.
Шеврин Л. Н. '
[I960] О подполугруппах свободных полугрупп. — Докл. АН СССР,
т. 133, № 3, с. 537-539.
[1965*] О локально конечных полугруппах. — Докл. АН СССР, т. 162,
№ 4, с. 770—773.
Шеврин Л. Н., Волков М. В.
[1985*] Тождества полугрупп. — Изв. вузов. Математика, № 11.
Шеннон, Маккарти (ред.) (Shannon С. Е., McCarthy J.)
[1956] Automata Studies, Princeton University Press, Princeton, N. J.
[Русский перевод: Шеннон К.. Маккарти Дж. (ред.) Автоматы.—
М.: ИЛ, 1956.]
Шенфилд (Schoenfield J. R.)
[1967*] Mathematical Logic, Addison-Wesley Publ. Co. [Русский перевод:
Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975.]
Ширшов А. И.
[19581 О свободных кольцах Ли. — Матем. сб., т. 45, № 2, с. 113—122.
[1984*] Кольца и алгебры: Избранные труды. — М.: Наука.
Шнеперман Л. Б.
[1975*] О локальной конечности матричных периодических полугрупп.—
В кн.: Тез. докл. 4-й Республиканской коиф. математиков Бело-
Белоруссии, ч. 2. — Минск, с. 71.
[1982*] The Schur theorem for periodic semigroups of linear relations,
Semigroup Forum 25, 203—211.
Шрейер (Schreier O.)
[1926] Ober die Erweiterung von Gruppen I, Mon. Math. Phys. 34, 165—
180; II, Abh. Math. Sem. Hamb. 4, 321—346.
[1928] Ober den Jordan — Holderschen satz, Abh. Math. Sem. Hamb. 6,
300—302.
Штейнфельд (Steinfeld O.)
[1967] A generalization of completely 0-simple semigroups, Acta Sci.
Math. Hung. 28, 135—145.
Шур (Schur I.)
[1911] Ober Gruppen periodischer Substitutionen, Sitzungsber. Preuss.
Akad. Wiss., 619—627.
Шютценберже (Schiitzenberger M. P.)
[1956] Une theorie algebrique du codage, С R. Acad. Sci. Paris 242,
862—864; Seminaire Dubreil — Pisot 1955—1956, No. 15.
[1957] ^-representation des demi-groupes, С R. Acad. Sci. Paris 244,
1994—1996.
[1959a] Sur certains sous-demi-groupes qui interviennent dans un probleme
de mathematiques appliquees, Pub!. Sci. Univ. Alger, Serie A, 6,
85—90.
[1959b] Un probleme de ia theorie des automates, Seminaire Dubreil —
Pisot, University of Paris, December 1959.
[1961a] On a special class of recurrent events, Ann. Math. Stat. 32, 1201—
1213.
[1961b] On the definition of a family of automata, Inf. Control 4, 245—
270.
[1962] On a theorem of Jungen, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 885—890.
[1964] On the synchronization properties of certain prefix codes, Inf. Con-
Control 7, 23—36.
[1965a] Sur certains sous-monoldes libres, Bull. Soc. Math. France 93,
209—223.
[1965b] On a factorisation of free monoids, Proc. Amer. Math. Soc. 16,
61—54.
428 Литература
[1965с] On finite monoids having only trivial subgroups, Inf Control 8,
190—194.
[1974J Sur les monoldes finis dont les groupes sont commutatifs, Rev.
Aut. Inf. Rech Op., R. 1, 55—61.
[1976] Sur ie produit de concatenation non ambigu, Semigroup Forum
13A), 47—75
Эберхарт, Селден (Eberhart С, Selden J.)
[1972] One parameter inverse semigroups, Trans. Amer. Math. Soc. 168,
53-66.
Эваис (Evans T.)
[1952] Embedding theorems for multiplicative systems and projective geo-
geometries, Proc. Amer. Math. Soc. 3, 614—620.
[1969] Some connections between residual finiteness, finite embeddability
and the word problem, J. Lond. Math. Soc. 1B), 399—403.
[1971] The lattice of semigroup varieties, Semigroup Forum 2, 1—43.
[1978*] Word problems. Bull. Amer. Math. Soc. 84, No. 5, 789—802.
Эгган (Eggan L. C.)
[1963] Transition graphs and the star height of regular events, Mich.
Math. J., 385—397.
Эйленберг (Eilenberg S.)
[1974] Automata, Languages, and Machines, Vol. A, Academic Press, New
York and London.
[1976] Automata, Languages, and Machines, Vol. B, Academic Press, New
York, San Francisco, London.
Эйленберг, Шютценберже (Eilenberg S., Schfltzenberger M. P.)
[1976] On pseudovarieties of monoids, Adv Math. 19C), 413—448.
Элгот, Мезеи (Elgot С. С, Mezei J. E.)
[1965] On relations defined by generalized finite automata, I. В. М. J. Res.
Dev. 9, 47—68.
Эш (Ash R.)
[1965] Information Theory, Interscience, New York.
Юргенсеи (Jiirgensen H.)
[1978] Inf-Halbverblnde als syntaktische Halbgruppen, Acta Math. Acad.
Scient. Hung. 31, 37—41.
Яблонский С. В.
[1979*] Введение в дискретную математику. — М.: Наука.
Ясухара (Yasuhara A.)
[1970] The solvability of the word problem for certain semigroups Proc.
Amer. Math. Soc. 26, 171—176.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(А), Л+ полугруппа, порожденная множеством А (гл. 1, § 1)
A~t,A* свободная полугруппа и свободный моноид иа А (гл. 1,
разд. 2.4)
А[ свободная магма иа А (гл. 11, § 4)
A (L) универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли L
(гл. 11, предложение 4.2)
(Л; R) копредставление полугруппы или моноида (гл. 1, § 4)
А ф В прямая сумма абелевых групп
(А, М) г (В, N) сплетение моноидов преобразований (гл. 4, определе-
определение 5.1)
Aut S группа автоморфизмов полугруппы или группы S
Щ (L) минимальный автомат языка L (гл. 6, определение 1.7)
Щр (t) автомат, индуцированный автоматом Я на р-классе со-
состояния t (гл. 8, § 3)
&% булево двухэлементное полукольцо (гл. 5, § 1)
Ш (Л) полугруппа бинарных отношений на А (гл. 1, разд. 2.1)
В (k, m, п) полугруппа с k образующими, свободная в многообра-
многообразии, определяемом тождеством хт = хп (гл. 10)
В® D композиция кодов (гл. б, § 3)
С поле комплексных чисел
Ч? (а, Ь) бициклический моноид (гл. 1, § 4)
Cr m циклическая полугруппа, порожденная элементом цикли-
циклической глубины г и периода т (гл. 1, § 4)
С <8> Св разложение префиксного кода С, отвечающее автомат-
автоматной конгруэнции 9 (гл. 8, предложение 3.2)
С (т) код, производный от кода С (гл. 8, определение 6.1)
card Л мощность множества А
Cont, (х) множество контекстов элемента х относительно L (гл. 1,
разд. 3 3)
ct (w) множество букв слова w (гл. 10, определение 3.2)
^Р псевдомногообразие Р-разрешимых групп (гл. 7, § 3)
2D, 26, /, 2", 3? отношения Грина (гл. 2, § 2)
Da, Яа, /а, La, Ra классы элемента а по модулю отношений Грина (гл. 2,
§ 2)
Dn, Dn язык Дика и ограниченный язык Дика (гл. 9, § 5)
D (Щ <2>-класс автомата Я (гл. 8, определение 2.3)
d0G (С) степень группы Сушкевича кода С (гл. 8, теорема 6.14)
dx(w) степень слова w относительно буквы х (гл. 1, разд. 2.4)
Div N множество собственных делителей группы или монои-
моноида N (гл. 4, определения 1.8)
dom/ область потока / (гл. 11, § 2)
End N моноид эндоморфизмов моноида N
430 Указатель обозначений
'•< I полугруппа эндоморфизмов конечномерного векторного
End (V, К) ) пространства V над телом К
&~ (■2') абстрактное семейство языков, порожденное семейством
2? (гл. 9, § 5)
@~% [X] свободная ^-алгебра над X (гл. 11, § 4)
г (")< Рп моноид потоков на множестве А, на n-элементном мио-
жестве (гл. 11, определение 2.1)
*" (Л> ^i свободный частично коммутативный моноид на множе-
„ , стве А (гл. 11, определение 2.7)
' • ' итерация и ограниченная итерация степенного ряда /
urn (гл. 9, § 4)
If/ H норма степенного ряда или л-ки степенных рядов (гл.9,
§ 4)
? адамаровскос произведение степенных рядов (гл. 9, § 4)
группы Сушкевича автомата Я и префиксного кода С
(гл. 8, определение 2.8)
общая линейная группа векторного пространства V над
телом К
голоморф вполне О-простой полугруппы S (гл. 3, след-
212)
0(«).
GL(V,
HolS
3r(A)
Im x
Kerqp
Lm~x
G(C)
K)
,3ft {A
R)
1
m-'L
)
полугруппа частичных взаимно однозначных преобразо-
преобразований на множестве А (гл. 1, разд. 2.2)
образ отображения х
группа внутренних автоморфизмов вполне О-простой по-
лугруппы (гл. 3, § 2)
ядерная эквивалентность отображения ф, либо ядерная
подгруппа, если ф — гомоморфизм групп
мононд (полукольцо) п X n-матриц над полукольцом R
(гл. 9, § 4)
класс языков, синтаксические моноиды которых лежат
в псевдомногообразии Л (гл. 6, § 5)
подмоноид, порожденный подмножеством L моноида
(гл- 6, § 3)
/лр левое и правое частные подмножества L (гл. 6, § 3)
^ (Г> ст) язык, порожденный грамматикой Г, отправляясь от о
(гл. 5, определение 4.16)
^ ®м тензорное произведение модулей или алгеб» (гл. 11,
Г Г VI § 4)
L% 1Л1 свободная алгебра Ли над К (гл. 11, § 4)
Lr [[^]] замыкание свободной алгебры Ли в кольце степенных
рядов (гл. 11, § 4)
{ь, й, п) ft-сечение по модулю п языка L (гл. 7, определение 3.1)
Lk(w), R.(w) ") . .
к / левый, правый делители и множество внутренних дели-
1 k (w) J телей длины k слова ш (гл. 7, определение 1.9)
lj,w) длина слова w
** замыкание семейства моноидов Jt относительно сплете-
сплетений я делителей (гл. 4, определение 1.5)
"* (■*) псевдомногообразие, порожденное синтаксическими мо-
ноидами языков из 2? (гл. 6, § 5)
°Zuid\ полугруппа пХ «-матриц над полем К (гл. 10, § 1)
•Я ("> псевдомногообразие моноидов, финально определяемое
Ж (G- I А- Р) 1 тождествами из R (гл. 6, § 5)
(?° (G- I АР) \ рнссвские матричные полугруппы (гл. 3, определение 2.5)
iW , М правое и левое представления Шютценберже (гл. 2, § 5)
Указатель обозначений 481
M(L)
Ма
p()
М\ о М2
в
N, №
<р
JVwrtf
o(G)
o(f)
(Л)
Q
Q (A), Qn
(Q, Л 6, я)
R
Я [И])
* IA
Rat??
RatM
RecA"
г(Щ
rank x
копредставление, ассоциированное с машиной Тьюринга
ВТ (гл. 5, § 5)
синтаксический моноид языка L (гл. 6, определение 1.7)
пополненный моноид (/-моноид) моноида (/-моноида) М
(гл. 4, определение 2.2, теорема 5.2)
стабилизатор р-класса состояния / (гл. 8, § 3)
булево произведение моноидов (гл. 7, предложение 1.2)
множества положительных и неотрицательных целых чи-
чисел
множество натуральных чисел, являющихся порядками
циклических групп из псевдомногообразия <ё (гл. 7, § 2)
расширение группы N посредством группы Н (гл. 4,
теорема 1.3)
полупрямое произведение групп или моноидов (гл. 4,
§ 1)
сплетение групп или моноидов (гл. 4, определения 1.5)
порядок группы G
порядок степенного ряда { (гл. 9, § 4)
множество всех подмножеств множества S
полугруппа всех частичных преобразований множества А
(гл. 1, разд. 2.2)
правое и левое представления полугруппы частичными
преобразованиями (гл. 2, § 5)
главные конгруэнции, соответствующие множеству L
(гл. 1, разд. 3.3)
полиномиальное замыкание класса 3! (гл. 7, определе-
определение 2.3)
поле рациональных чисел
моноид перегруппировок на множестве А, иа «-элемент-
«-элементном множестве (гл. 11, определение 2.1)
машина Тьюриига (гл. 5, определение 4.9)
поле действительных чисел
полукольцо многочленов от некоммутирующих перемен-
переменных А над полукольцом R
полукольцо степенных рядов (гл. 5, предложение 1.10)
множество алгебраических степенных рядов (гл. 9, § 4)
множество рациональных степенных рядов (гл. 9, пред-
предложение 4.8)
множества степенных рядов без свободных членов (гл. 9,
§ 4)
рациональное замыкание класса 'В (гл. 6, определе-
определение 3.1)
рациональное замыкание класса всех конечных подмно-
подмножеств моноида М (гл. 6, определение 3.1)
класс распознаваемых языков над А (гл. 6, теорема 3.2)
минимальный ранг автомата Я (гл. 8, § 2)
ранг отображения х (гл. 2, § 1)
поток всех рациональных языков (гл. 6, § 5)
поток рациональных языков, определяемый псевдомно-
гообразисм групп *ё (гл. 7, § 2)
поток рациональных языков, определяемый псевдомно-
псевдомногообразием Р-разрешимых групп (гл. 7, § 3)
432 Указатель обозначений
УГ(А)> ^i(A) симметрическая группа на множестве А (гл.1, разд. 2.2)
■S", S1 полугруппа S с присоединенным нулем, с присоединен-
присоединенной единицей
(S, f) автомат с множеством состояний 5 и функцией перехо-
перехода / (гл. 6, определение 1.1)
S (L) синтаксическая полугруппа языка L (гл. 6, замечание
5.17)
sgn л знак подстановки я (гл. 11, § 3)
Str(#), St; (Я) правый и левый стабилизаторы 5^-класса Я (гл. 2, § 3)
Str (Z-) правый стабилизатор ^-класса L (гл. 2, § 3)
S\ab(t) стабилизатор состояния t (гл. 8, § 2)
supp/ носитель степенного ряда / (гл. 5, § 1)
S/p фактормножество (факторполугруппа) по эквивалентно-
эквивалентности (конгруэнции) р (гл. 1, § 3)
S/I факторполугруппа Риса по идеалу / (гл. 1, разд. 3.2)
ff~r(A), !Г[(А) полугруппа всех преобразований на множестве А (гл.1,
разд. 2.2)
9~ {&) рациональный конус, порожденный семейством языков 9?
(гл. 9, § 5)
Т [Щ моноид переходов автомата Я (гл. 6, § 1)
Tr (S) моноид правых сдвигов на полугруппе S (гл. 1, упр. 1)
UL (s) производящая функция вероятностей (гл. 6, § 4)
я I
и =*■ v I
} вывод в грамматике Г = (V, А, л)
г J
, == V, тождества, финально выполняющиеся на псевдомного-
псевдомногообразии (гл. 6, § 5)
n(V, А, л) формальная грамматика (гл. 5, определение 4.16)
Z кольцо целых чисел
Zn аддитивная группа целых чисел по модулю п
Г (Н), Vt (Я) группа Шютценберже 0-класса, содержащего Я (или
г моноид переходов Жкласса Я) (гл. 2, § 3)
Д (X) диагональная матрица с элементами Х\, ..., хп на глав-
главной диагонали (гл. П. § 1)
k (L) средняя длина слов из 1 (гл. 6, § 4)
2r (L) моноид переходов ^-класса L (гл. 2, § 3)
НОД наибольший общий делитель
НОК наименьшее общее кратное
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Абстрактное семейство языков (AFL) 323
главное 329
автомат 174
— групповой 291
— Индуцированный на классе конгруэнции
259
— конечный 178
— минимальный 180
— минимальных образов 286
— моногенный 176
— недетерминированный 185
— транзитивный 176
— О-транзнтнвный 184
— [OJ-трапзитивный 253
— частичный 185
Л*-автомат 176
Af-автомат 174
Мр @-автомат 258
Я-Л'-автомат 335
автоморфизм 16
адамаровское произведение степенных ря-
рядов 319
алгебра ассоциативная 384
— Ли 384
свободная 387
— тензорная 385
— универсальная обертывающая 385
Д-алгебра свободная 387
алгорифм нормальный 157
алфавит 22, 126
— вспомогательный 293
— основной (терминальный) 159, 293
Базис моноида 132
беспорядки 366
бинарное отношение 18
бисекция 404
блок-схема 93
симметричная 94
Время возвращения среднее 285
выражение регулярное 212
высота итерационная 212
Глубина мультипликативная 247
— ниль-простого моноида 284
— циклическая 31
голоморф вполне 0-простой полугруппы 82
гомогруппа 70
гомоморфизм автоматов 175
— деления 104
— задающий 149
— лиев 384
— моноидов 16
— полугрупп 16
— порождающий бесконечную
тельность без повторений 358
— симметрический 359
— синтаксический 201
— систем инцидентности 94
грамматика квадратичная 330
— коитекстно-зависнмая 160
— контекстно-свободная 161, 293
— линейная 324, 334
— однозначная 187
— праволинейиая 161, 186
— рациональная 161, 186
— о-связная 297
— формальная 159
грамматики типов I, 2, 3 (иерархия Хом-
скрго) 161
граф грамматики 297
— ориентированный 408
— полугруппы преобразований 21
— состояний автомата 176
последова-
последоваГрина (или гриновские) отношения 42
группа автоморфизмов 82
системы инцидентности 95
•— импримитнвная 261
— индуцированная на классе импримитив-
импримитивности 261
— матриц неприводимая, приводимая 317
— обратимых элементов моноида 18
стандартная 82, 95
— подстановок просто транзитивная 50,
267
транзитивная 50
— примитивная 270
— разрешимая 241
— Р-разрешимая 242
— симметрическая 20
— структурная 78
— Сушкевича автомата 258
префиксного кода 258
рационального кода 292
— характеристическая 342
— Шютценберже 3) -класса 52
ST-групла 269
Декомпозиция моноида 107
— (-моноида 118
делимость ^-моноидов 117
делитель (группы или моноида) собствен-
собственный 104
— слова левый, правый 24
дерево автомата 177
— вывода 294
— префиксного кода 136
длина слова 23, 127
— события средняя 196
egg-Ьох-диаграмма 43
Единица полугруппы 15
Задержка синхронизации 236
— слева направо 171
«-задержка 236
замещение 236
^"-замещение 236
замыкание относительно полупрямых про-
произведений и делителей 105
сплетений н делителей 104, 118
— полиномиальное 230
— рациональное 189
— транзитивное 25
Идеал главный 70
— (двусторонний) 17
— левый, правый 17
— минимальный 35
— 0-миннмальный 39
ндемпотент 15
— примитивный 73
изоморфизм полугрупп 16
импримитивность 261
инцидентность 92
итерация 189
— степенного ряда 313
Класс подмножеств, замкнутый относи-
относительно полиномиальных операций 230
рационально замкнутый 189
— по модулю эквивалентности 24
р-класс 24
3 -класс автомата 265
Й-класс состояния 284
код 133
— бипрефиксный 135
элементарный 290
— максимальный 144
— неразложимый 147
434 Указатель терминов
код однородный степени п 140
— очень чистый 250
— префиксный 135
— — неполный, полный 147
синхронизированный 263
— производный 277
— разложимый иад данным кодом 147
•— с конечной задержкой синхронизации
236
ограниченной задержкой слева на-
направо 171
— суффиксный 135
— чистый 250
кодирование 134
кольцо вероятностное полиномиальное 288
— нормированное 308
композиция кодов 148
конгруэнция вполне инвариантная 214
— главная двусторонняя 27
правая 27
— индуцирующая группы 291
— конечного индекса 178
— левая, правая 25
— максимальная в точке 254
— на автомате 175
■ полугруппе 25
— Риса 26
— синтаксическая 26, 180
— ядерная 26
конец слова 349
конкатенация 23, 126
контексты 26
контур в графе 408
конус рациональный 323
главный 329
конфигурация тактическая 92
копредставление, ассоциированное с ма»
шиной Тьюринга 162
— моноида 30
— полугруппы 28
— Черна — Россера 169
копредставления эквивалентные 30
корень из слова 250
кратность слова 307
Локализация псевдомногообразия моноидов
214
Магма 387
— свободная 387
матрица инцидентности 92
— мономиальная 81
по строкам, по столбцам 20
— представления 316
— — базисная 316
машина Тьюринга 155
метка концевая, начальная 349
многообразие моноидов 205
многочлены круговые 346
множества начальных, заключительных со-
состояний 185
множество контекстов элемента 26
— образующих 17
— порождающих символов 27
— рекурсивное 152
— рекурсивно перечнелнмое 152
— состояний автомата 175
моделирование автоматов 247
мононд 16
— бициклнческий 31
— малый 89
— @, 1)-матриц 34
— неприводимый 106
— ннль-простой 283
— «однозначных» отношений 34
— перегруппировок 372
— переходов автомата 175
— — Ж-класса 60
моноид переходов Л7-класса 52
— подпрямо неразложимый 122
— полициклический 172
— полугруппы 16
— пополненный 108
— потоков на множестве 372
— преобразований 21, 116
— равноделимый 129
— резндуально конечный (или финитно
аппроксимируемый) 172
— свободный 23, 126
— — коммутативный 34
частично коммутативный 376
— сильно неприводимый 106
— синтаксический 180
— с конечными разложениями 380
— — левым сокращением 33
— 2-ступенно ннльпотентный 208
— удовлетворяющий тождествам 208
— • финально 208
f-моноид 116
— пополненный 118
— просто!) (или сильно неприводимый)
121
— распознающий язык 213, 242
^-моноиды подобные 117
мономорфизм 18
морфизм f-моиоидов 116
Начало слова 349
норма 308
носитель события 196
— степенного ряда 132
нуль 15
— левый, правый 15
Область потока 373
образ преобразования 37
0-объединение полугрупп 39
остов полугруппы 45
отношение бинарное 18
— транзитивности 62
— эквивалентности 24
Пара С-связанная 138
— синхронизирующая 236
С-пара 138
перегруппировка 371, 372
— циклическая 376
период элемента 31
плоскость проективная конечная 94
подавтомат 175
подгруппа 17
подмножество моноида дизъюнктивное 201
распознаваемое 213
рациональное 189
подмоноид 17
— слабо унитарный 134
— унитарный 13S
слева, справа 135
f-подмоноид 117
подполугруппа 17
— циклическая 17
подполукольцо 314
подслово 24
подстановка, определяемая перегруппи-
перегруппировкой без повторений 374
— рациональная 304
поле вероятностное 288
— вычислимое 345
полугруппа 15
— бинарных отношений 19
— бипростая 70, 75
— 0-бипростая 75
— Браната 83
— Бэра — Леей 70
— вполне простая 73
0-прос-тая 73
— всех преобразований на множестве 19
Указатель терминов 435
полугруппа всех частичных взаимно одно-
однозначных преобразований 20
— преобразований 20
— двойственная 20
— инверсная 48
— клиффордова 69
— комбинаторная 114
— коммутативная 15
— конечно непредставленная (илн конечно
определенная) 29
порожденная 29
•— аевых нулей, правых нулей 33
— моноида 16
— ннльпотентная 228
— периодическая 31, 56
— преобразований 21, 123
•— простая (или идеально простая) 35
— 0-про'тая 40
— регулярная 47
— рисовская матричная 78
— свободная 23, 127
— синтаксическая 211
— с конечным числом соотношений 29
левым сокращением 33
нулевым умножением 39
— со с.тебым сокращением 97
— ^-тестируемая 226
— устойчивая 55
— — слева, справа 54
— циклическая 30
— четырехспиральиая 172
^-полугруппа 123
/ X /-полугруппа Брандта иад группой 84
полугруппы преобразований подобные 49
полукольцо 131
— булево 131
— степенных рядов 131
полурешетка 71, 123, 249
— групп 71
пополнение частичного автомата 185
порядок лексикографический 400
— степенного ряда 308
последовательность без повторений 358
— гомоморфизмов точная 57
— извлекаемая из слова 221
поток апериодических языков 216
— без повторений 373
— в графе 408
— на множестве 371
— языков 204
замкнутый относительно итераций,
относительно произведений 216
— — описываемый своими конечными пре-
фнкснымн кодами 248
. определяемый группами (из данного
псевдомногообразия) 216
правая группа 33, 83
правила грамматики 159
представление моиомиальными по строкам
матрицами над группой с нулем 64
— точное 62
— транзитивное 62
— частичными преобразованиями 62
— Шютценберже (или ^-представление)
правое 68
^-представление левое 66
— полное 66
представления эквивалентные 62
проблема Бернсайда общая, ограниченная
336
— равенства слов 149, 181
— неразрешимая, разрешимая 161
—- соответствия 167
ограниченная 167
— эквивалентности слову 164
программа машины Тьюринга 155
произведение автоматов декартово 190
— групп полупрямое 103
произведение моноидов булево 216
подпрямое 122
•— — полупрямое 106
— представлений тензорное 320
— степенных рядов адамаровское 319
производящая функция вероятностей 196
прообраз гомоморфный 193
пространство ультраметрическое 308
псевдомногообразне моноидов 205
индуцированное псевдомногообразнем
групп 210
Равноделимость 129
разбиение 21
— совершенное 89
разложение абелевоЯ группы 89
— кода 147
— префиксного кода максимальное 260
— элемента 380
ранг на полугруппе 337
— постоянный на факторизованном сег-
сегменте 33S
•— преобразования 37
— эндоморфизма векторного пространства
распределение вероятностей 196
расширение групп 102
расщепленное (или расщепляемое]
103
центральное 103
— полугрупп идеальное 42
решетка модулярная 43
ряд главный идеальный 41
— композиционный группы 101
— — полугруппы 70
— степенной 131
алгебраический 312
без свободного члена 143
однозначный 188
распознаваемый 317
— — рациональный 312
характеристический 132
— субнормальный 101
Связка 70
— групп прямоугольная 99
— коммутативная 71
— прямоугольная 70, 73, 83, 249
— 0-прямоугольная 97
— свободная 352
сдвиг внутренний правый 22
— правый 33, 108
сегмент факторнзованный 338
семейство Холла 388
специальное 388
— языков 322
сечение слова 140
&-сечение по модулю п 242
символ циклический 298
синхронизатор 263
система инцидентности 92
■ невырожденная 96
— координат для ^-класса 06
Я-класса 63
— Маркова 165
— Поста 164
обратимая 164
— троек Штейнера 93
— уравнений алгебраическая 311
■ линейная 312
следствие множества соотношений 28
слова сопряженные 390
слово 22, 127
— бесконечное 358
— неоднозначное 307
— примитивное 249, 391
— пустое 24
— раздувающее 273
436 Указатель терминов
слово самосопряженное 391
— синхронизирующее 263
— специальное 166
— стандартное 401
— хорошее 277
сложность f-моноида групповая 122
событие 196
— рекуррентное возвратное, невозвратное
197
содержание слова 349
соответствия проблема 167
соотношение в полугруппе 27
— неприводимое 140
— продуцированное С-последовательностью
142
соотношения определяющие 28
состояние автомата начальное 177
неподвижное 175
— — порождающее 176
— марковской цепи возвратное, невозврат-
невозвратное 285
сплетение 104
— моноидов преобразований 117
— тройное 118
стабилизатор Ж-класса левый 51
■ правый 50
— .Sf-класса правый 52
— состояния 253
стационарное распределение на автомате
286
формальное 288
■ цепи Маркова 286
степень неоднозначности слова 307
— поля алгебраическая 343
— слова относительно буквы 24
сэндвич-матрица 78
— нормализованная 79
Таблица автомата 176
— умножения поЛугруппы 28
траисверсал 24
— совершенный 90
трансдукция 302
— рациональная 303
трио 323
— полное 323
Уплотнение субнормального ряда 101
устойчивость в точке правая 53
Факторгруппа импримитивности 261
факторизации Спитцера 403
— Холла 402
факторизация 395
— базисная 395
— конечная 404
— специальная 408
— стандартная 400
фактормножество 24
факторполугруппа 25
— Риса 26
факторы главного идеального ряда 41
— полугруппы главные 41
— субнормального ряда 101
— факторизованиого сегмента 338
формула Витта 403
формулы обращения Мёбиуса 381
— подстановки 157
функции перегруппировки 395
— следования 396
функция лексикографическая 154
— Мёбиуса 380
— перехода 175
— полиномиальная 310
— примитивно рекурсивная 152
— словарная вычислимая нормально 158
— по Тьюрингу 156
— универсальная для семейства частично
рекурсивных функций 153
— частично рекурсивная 152
Цепь Маркова 285
— — транзитивная (или неприводимая) 285
С-цикл простой 141
Частное левое, правое 193
Эквивалентность 24
— главная левая, правая 27
элемент, обратимый справа 33
— регулярный 47
элементы инверсные 47
эндоморфизм 16
эпиморфизм 18
Ядро полугруппы 35
— представления 62
— преобразования 37
Im-ядро 341
— относительно представления 341
язык 24, 127
— алгебраический (или контекстно-свобод.
иый) 293
— Я-алгебраический 312
— апериодический 218
порядка k 364
— дефинитный 249
зеркальный 249
— Дика 198
(ограниченный язык пика) над In
буквами 294
ограниченный 32
— зеркальный 212
— коконечный 249
— кусочно тестируемый 221
— линейный 324, 334
— локально тестируемый 225
— локальный 326
— Лукасевича 295
— металинейный 334
— обобщенно дефинитный 249
— ограниченный 334
— однозначный 307
— порожденный грамматикой 150
— правильный скобочный 32
— распознаваемый 178
— рациональный 189
— й-рациональный 312
— рекурсивно перечислимый 155
— рекурсивный 154
— строго ft-тестируемый 225
— существенно неоднозначный 307
— ^-тестируемый 225
— типа 0 150
— элементарный групповой 249
языки взаимозаменяемые 204
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .... 5
Предисловие к русскому изданию 10
Предисловие 12
Глава 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 15
1. Полугруппы и моноиды 15
2. Примеры: полугруппы преобразований, свободные полугруп-
полугруппы 18
3. Эквивалентности на множествах. Конгруэнции на полугруп-
полугруппах 24
4. Копредставления полугрупп и моноидов 27
Библиографические замечания 33
Упражнения 33
Глава 2. ОТНОШЕНИЯ ГРИНА 35
1. Элементарная теория идеалов 35
2. Определения и свойства отношений Грина 42
3 Группа Шготцеиберже 0-класса 49
4. Примеры вычислений отношений,. Грина 56
5. Представления полугруппы, связанные с отношениями Грина 62
Дальнейшие библиографические замечания 69
Упражнения 70
Глава 3. ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППЫ. ТЕОРЕМА РИСА — СУШКЕВИЧА ... 72
1. Вполне простые и вполне 0-простые полугруппы 72
2. 25-представление вполне 0-простой полугруппы. Теорема
Риса — Сушкевича 75
3. Некоторые примеры 83
4. Вычисление регулярных 25-классов в полугруппе преобразо-
преобразований на конечном множестве 85
5. Малые моноиды и их связи с комбинаторикой 89
Библиографические замечания 97
Упражнения 97
Глава 4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ МО-
МОНОИДОВ 100
1. Предварительные сведения из теории групп 101
2. Декомпозиции конечных моноидов 107
$. Основная теорема декомпозиции Ill
4. Неприводимые моноиды ll5
438 Оглавление
5. Декомпозиции конечных моноидов преобразований . . . 116
Библиографические замечания 122
Упражнения 122
Глава 5. СВОБОДНЫЕ МОНОИДЫ, ЯЗЫКИ И КОДЫ 125
1. Общие сведения о свободных моноидах. Примеры .... 126
2. Подмоиоиды свободных моноидов. Коды 132
3. Элементарные алгебраические свойства кодов 144
4. Введение в проблему равенства слов. Рекурсия, алгоритмы,
порождение языков 149
5. Проблема равенства слов для моноидов и близкие вопросы 161
Библиографические замечания и дальнейшие результаты . . . 168
Упражнения 170
Глава 6. АВТОМАТЫ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ И СИНТАКСИЧЕСКИЕ МО-
МОНОИДЫ . . 174
1. Автоматы и распознаваемые языки. Определения и элемен-
элементарные свойства 174
2. Недетерминированные автоматы. Языки праволинейных грам-
грамматик 184
3. Рациональные подмножества моноида. Теорема Клини . . . 189
4. Рациональные коды. Рекуррентные события 194
5. Псевдомногообразия моноидов и потоки языков 200
Библиографические замечания 211
Упражнения 212
Глава 7. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЯЗЫКИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ГРУППАМИ . . . . 215
1. Апериодические языки 216
2. Языки, определяемые абелевыми группами 228
3. Языки, определяемые разрешимыми группами 241
Библиографические замечания и дальнейшие результаты . . . 247
Упражнения 249
Глава 8. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕФИКСНЫЕ КОДЫ 251
1. Конечные префиксные коды: группы обратимых элементов
синтаксических моноидов 252
2. Группы Сушкевича рациональных префиксных кодов . . . 253
3. Автоматные конгруэнции и разложения префиксных кодов 258
4. Группы Сушкевича полных префиксных кодов 263
5. Разложения конечных полных префиксных кодов 271
6. Конечные полные бипрефиксные коды 276
Библиографические замечания 290
Упражнения 290
Глава 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЯЗЫКИ 293
1. Контекстно-свободные грамматики, примеры, редукции . . 293
2. Свойства замкнутости алгебраических языков. Рациональные
трансдукцин 300
3. Проблемы разрешимости. Неоднозначность 304
4. Рациональные и алгебраические языки над кольцами и по-
полукольцами 308
Оглавление 439
5. Абстрактные семейства языков 322
Библиографические замечания 334
Упражнения . . 334
Глава 10. ПРОБЛЕМЫ БЕРНСАЙДА И БЛИЗКИЕ ВОПРОСЫ 336
1. Факторизационная лемма для свободных полугрупп . . 337
2. Разрешимость линейной проблемы Бернсайда 341
3. Полугруппы B(k, 1, га) 349
4. Полугруппы B(k, m, га) при k> \, m> \ 353
5. Бесконечные последовательности без повторений .... 358
Библиографические замечания 362
Упражнения 363
Глава 11. ПЕРЕГРУППИРОВКИ, ФАКТОРИЗАЦИИ И ГЛАВНАЯ ТЕОРЕМА
МАК-МАГОНА 365
1. Главная теорема. Приложения 365-
2. Потоки и перегруппировки. Свободные частично коммута
тивные моноиды 371
3. Функция Мёбиуса и доказательство Главной теоремы . . . 380
4. Краткий обзор элементарной теории алгебр Ли 384
5. Факторизации свободных моноидов 390
6. Примеры факторизации 400
Библиографические замечания 407
Упражнения 408
Литература . 409
Указатель обозначений 429
Указатель терминов 433
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие просим присылать по
адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер.,
д. 2, издательство «Мир».
Жерар Лаллеман
ПОЛУГРУППЫ И КОМБИНАТОРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Ст. иаучн. ред. И. А. Маховая
Мл. иауч. ред. Л. А. Королева
Художник Г. М. Чеховский
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технические редакторы Л. П. Ермакова, И. И. Володина
Корректор В. И. Постнова
ИБ № 5023
Сдано в набор 10.01.85. Подписано к печати 04.11.85. Формат 60X90'/ie. Бумага
типографская № 1. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 13.75.
бум. л. Усл. печ. л. 27,50. Уел кр.-отт. 27,50. Уч.-изд. л. 27,95. Изд. № 1/3792.
Тираж 4 200 экз. Зак. № 474. Цена 2 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Еагенни Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 198052,
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.