. ^ ^> - "/■ -г
: 621.5'.
fT33 ;■::••'
.V/
X
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
yf
* '.
, ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
" : •' . V/,/ / /
гч f I ff , A
СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ
■г
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
- /
»#
Под редакцией
Ю. А. Бычкова, В. М. Золотницкого, Э. П. Чернышева s&
.?/
/ /
-i
. 1 is-
Л/
у
<&
>*
>
^
^ -
S
С^ППТЕР

@
„>
^^>
Ю. А. Бычков, О. И. Горбунов, А. Е. Завьялов,
B. М. Золотницкий, Ю. М. Иншаков, Л. В. Куткова,
Д. А. Морозов, Е. В. Нечкина, В. В. Панкин, М. С. Портной,
C. А. Протопопов, В. А. Прохорова, М- В. Силина,
В. Н. Соколов, Е. Б. Соловьева, Э. П. Чернышев
Коятрольны? э-^пляр
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
по университетскому политехническому образованию в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
и специальностям техники и технологии
Библиотека
Издательская программа
300 лучших учебников для высшей школы
осуществляется при поддержке Министерства образования и науки РФ
C&nnwp
®
Москва - Санкт-Петербург - Нижний Новгород - Воронеж
Ростов-на-Дону - Екатеринбург - Самара - Новосибирск
Киев • Харьков - Минск
2008

ББК 32.211я22
УДК 621.3(03)
С74
Рецензенты:
кафедра теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского
государственного политехнического университета, заведующий кафедрой
В. Н. Воронин, профессор, д. т. н.;
А. А. Ланнэ. д. т. н., профессор, заведующий кафедрой ЦОС
Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций
С74 Теоретические основы электротехники. Справочник по теории электрических
цепей / Под ред. Ю. А. Бычкова, В. М. Золотницкого, Э. П. Чернышева. —
СПб.: Питер, 2008. — 349 с:
ISBN 978-5-469-00971-9
Содержание справочника соответствует программе курса «Теоретические основы
электротехники» по разделу «Теория электрических цепей» и включает тематический указатель и алфавитный
каталог-словарь основных понятий, законов и терминов теории электрических цепей, а также
содержит каталог типовых расчетов и ответов на основные контрольные вопросы при изучении теории
электрических цепей студентами всех форм обучения и специалистами различных областей науки
и техники.
Рекомсн юнано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому
образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по направлениям подютовки и специальностям техники и технологии.
ББК 32.211я22
УДК 621.3(03)
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме
без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в двнной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как
надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические ошибки, издательство не может
гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых сведений и не несет ответственности за возможные
ошибки, связанные с использованием книги.
ISBN 978-5-469-00971-9
©ООО «Питер Пресс». 2008

Содержание
Предисловие 12
От издательства 13
Список используемых сокращений 14
1. Тематический каталог основных понятий, определений, законов,
свойств, ключевых слов и терминов теории электрических цепей ... 18
Введение 18
1.1. Основные понятия и законы теории цепей 18
1.1.1. Ток, напряжение, энергия и мощность в цепи 18
1.1.2. Резистивный элемент и его характеристики 18
1.1.3. Идеализированные источники электрической энергии 18
1.1.4. Индуктивный элемент цепи и его характеристики 19
1.1.5. Емкостный элемент цепи и его характеристики 19
1.1.6. Геометрия цепей 19
1.1.7. Законы Кирхгофа 19
1.1.8. Дуальность элементов и цепей 20
1.2. Анализ резистивных цепей 20
1.2.1. Эквивалентные преобразования структуры цепи .... 20
1.2.2. Анализ резистивных цепей сложной структуры 20
1.2.3. Теоремы об эквивалентных источниках 20
1.2.4. Теорема взаимности .20
1.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во временной области
при постоянных воздействиях 21
1.3.1. Дифференциальные уравнения и свойства линейности
динамических цепей 21
1.3.2. Общая характеристика классического метода анализа переходных
процессов во временной области 21
1.3.3. Анализ переходных процессов в разветвленных цепях 1-го порядка . . 21
1.3.4. Анализ переходных процессов в цепях высокого порядка
по уравнениям состояния 21
1.3.5. Численный расчет переходных процессов 22
1.3.6. Переходные процессы в последовательной Я/_С-цепи 22
1.4. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов
при воздействии сигналов произвольной формы 22
1.4.1. Единичная ступенчатая функция 22
1.4.2. Единичная импульсная функция (дельта-функция) 23

Содержание
1.4.3- Переходная и импульсная характеристики цепи 23
1.4.4. Определение реакции при воздействии произвольной формы . ... 23
1.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных
воздействиях 23
1.5.1. Основные понятия синусоидальных напряжений и токов 23
1.5.2. Метод комплексных амплитуд . . 24
1.5.3. Анализ простых цепей в установившемся синусоидальном режиме . . 24
1.5.4. Мощность в установившемся синусоидальном режиме 24
1.5.5. Резонансные явления в электрических цепях.
Частотные характеристики 25
1.6. Применение преобразования Лапласа для анализа переходных
процессов в цепях 25
1.6.1. Связь формы сигналов с полюсами их изображений по Лапласу. . .25
1.6.2. Операторный метод расчета переходных процессов 25
1.6.3. Использование теоремы запаздывания для описания изображений
импульсных сигналов . .26
1.6.4. Передаточная функция цепи и ее связь с дифференциальным
уравнением, импульсной, переходной и частотными
характеристиками цепи 26
1.7. Анализ установившихся периодических режимов в цепи 26
1.7.1. Периодические сигналы и их спектры 26
1.7.2. Мощность и действующие значения переменных
в установившемся периодическом режиме 26
1.7.3. Анализ установившихся периодических режимов в цепи 27
1.8. Спектральный метод анализа цепей .27
1.8.1. Апериодические сигналы и их спектры 27
1.8.2. Спектры некоторых абсолютно интегрируемых сигналов 27
1.8.3. Ширина спектра и ее связь с длительностью и крутизной сигнала ... 28
1.8.4. Приближенные методы отыскания сигнала по спектру 28
1.8.5. Спектральный метод анализа переходных процессов в цепях 28
1.8.6. Спектры единичной ступенчатой функции
и амплитудно-модулированных сигналов 28
1.9. Цепи с взаимной индукцией 29
1.9.1. Основные понятия и определения индуктивно связанных цепей . ... 29
1.9.2. Расчет цепей с взаимной индукцией . 29
1.9.3. Трансформатор в линейном режиме 29
1.10. Трехфазные цепи 29
1.10.1. Основные понятия трехфазных цепей 29
1.10.2. Расчет трехфазных цепей 30
1.11. Четырехполюсники и активные цепи 30
1.11.1. Основные уравнения четырехполюсников 30
1.11.2. Входные и передаточные функции нагруженного
четырехполюсника 30
1.11.3. Соединения четырехполюсников 30
1.11.4. Цепи с зависимыми источниками
и необратимыми четырехполюсниками 30

Содержание 5
1.11.5. Цепи с операционными усилителями 31
1.12. Основы теории фильтров 31
1.12.1. Частотные характеристики реактивных двухполюсников 31
1.12.2. Симметричный четырехполюсник в согласованном режиме 31
1.12.3. Расчет классических симметричных реактивных фильтров
по характеристическим параметрам 31
1.12.4. Расчет фильтров методом преобразования частоты 32
1.12.5. Фильтры Баттерворта 32
1.12.6. Фильтры Чебышева 32
1.13. Начала синтеза цепей 32
1.13.1. Синтез реактивных двухполюсников 32
1.13.2. Синтез RC-двухполюсников 33
1.13.3. Использование цепей с операционными усилителями
для реализации передаточных функций 33
1.14. Цепи с распределенными параметрами 33
1.14.1. Дифференциальные уравнения однородной линии 33
1.14.2. Решение уравнений линии и ее характеристические параметры ... 33
1.14.3. Линия как симметричный четырехполюсник 34
1.14.4. Линия без потерь 34
1.14.5. Линия в установившемся синусоидальном режиме 34
1.15. Основы теории дискретных сигналов и цепей 34
1.15.1. Дискретные сигналы и теорема дискретизации 34
1.15.2. Основные понятия дискретных линейных цепей 35
1.15.3. Анализ дискретных цепей во временной области 35
1.15.4. Применение г-преобразования для анализа процессов
в дискретных цепях 35
1.15.5. Определение параметров дискретной цепи по прототипу-аналогу . . 35
1.16. Нелинейные цепи 36
1.16.1. Общая характеристика нелинейных элементов и цепей 36
1.16.2. Анализ нелинейных резистивных цепей 36
1.16.3. Нелинейные резистивные цепи с диодами 36
1.16.4. Анализ динамических нелинейных цепей 37
1.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников 37
1.17.1. Нормирование передаточных функций четырехполюсников 37
1.17.2. Основные свойства реактивных четырехполюсников лестничной
структуры 37
1.17.3. Условия реализуемости и определение параметров реактивного
четырехполюсника по передаточной функции 37
1.17.4. Реализация реактивных четырехполюсников лестничной
структуры 38
1.17.5. Синтез резистивно-емкостных четырехполюсников 38
1.18. Связанные контуры с большой добротностью 38
1.18.1. Общая характеристика связанных контуров 38
1.18.2. Резонанс в связанных контурах 38
1.18.3. Частотные характеристики связанных контуров 38
1.18.4. Проектирование связанных контуров 39

6
1.19. Основы машинно-ориентированных методов расчета цепей 39
1.19.1. Структурная матрица 39
1.19.2. Упорядоченные матричные уравнения цепи 39
1.19.3. Алгоритмы решения машинных уравнений цепей . 39
1.20. Основы теории чувствительности цепей к изменению параметров ... 40
1.20.1. Теорема компенсации 40
1.20.2. Расчет функций абсолютной чувствительности на основе теоремы
компенсации 40
1.20.3. Вычисление функций абсолютной чувствительности на основании
теоремы Теледжена 40
1.21. Релейные автоколебательные цепи 40
1.21.1. Общая характеристика автоколебательных релейных цепей 40
1.21.2. Анализ процессов в простых автоколебательных релейных цепях . . 41
1.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках 41
1.22.1. Магнитные цепи и ферромагнитные материалы 41
1.22.2. Основные принципы расчета магнитных цепей 41
1.22.3. Расчет простых магнитных цепей 41
1.22.4. Расчет простой магнитной цепи с постоянным магнитом 42
2. Алфавитный каталог-словарь важнейших понятий, определений,
законов, свойств, ключевых слов и терминов теории элерстрических
целей 43
Введение 43
3. Каталог типовых расчетов, используемых в теории
электрических цепей 163
Введение 163
3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов 163
3.1.1. Расчет простых цепей (по входному сопротивлению и формулам
делителей) 163
3.1.2. Метод наложения 164
3.1.3. Метод уравнений Кирхгофа 165
3.1.4. Метод пропорциональных величин и расчет коэффициентов
передачи резистивных цепей 167
3.1.5. Метод определяющих величин 168
3.1.6. Использование эквивалентного преобразования соединений
«треугольником» и «звездой» при расчете цепей 169
3.1.7. Метод контурных токов 170
3.1.8. Метод узловых напряжений (метод узловых потенциалов) 172
3.1.9. Метод эквивалентных источников 173
3.1.10. Использование эквивалентных преобразований структуры цепи
при расчете входного сопротивления пассивного двухполюсника
сложной структуры 174
3.1.11. Использование теоремы замещения при расчете Я-цепей 174
3.1.12. Расчет цепей с накопителями одного вида ,175
3.1.13. Построение дуальных цепей 177

7
3.1.14. Определение проводимостей и сопротивлений передачи
на основании МКТ и МУН 177
3.1.15. Использование теоремы компенсации для расчета изменения
реакций при вариации параметров цепи 179
3.1.16. Применение теоремы компенсации для расчета функций
абсолютной чувствительности цепи к изменению параметров. ... 180
3.1.17. Применение теоремы Теледжена для расчета функций
абсолютной чувствительности цепи к изменению параметров. ... 180
3.1.18. Составление матрицы соединений цепи и узловой матрицы
при записи ЗТК и ЗНК 181
3.1.19. Составление упорядоченных матричных уравнений цепи , . . . 183
3.1.20. Применение структурной матрицы при расчете цепей методом
узловых напряжений .184
3.1.21. Эквивалентные преобразования элементарно непреобразуемых
источников 186
3.1.22. Метод сигнальных графов при расчете цепей 187
3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной
области 188
3.2.1. Расчет переходных процессов в цепях 1-го порядка при
постоянных воздействиях 188
3.2.2. Расчет переходных процессов в цепях 1-го порядка при нулевых
начальных условиях и постоянных воздействиях 190
3.2.3. Классический расчет переходных процессов в цепях 2-го порядка
при постоянных воздействиях 192
3.2.4. Современный расчет переходных процессов в цепях высокого
порядка по уравнениям состояния 194
3.2.5. Численный расчет переходных процессов по уравнениям
состояния 196
3.2.6. Численный расчет переходных процессов
по дискретным резистивным схемам замещения 197
3.2.7. Расчет семейства временных характеристик цепи. Переходная
и импульсная характеристики 198
3.2.8. Использование интегралов наложения при расчете реакции цепи
на входной сигнал произвольной формы 199
3.2.9. Расчет реакции цепи на входной сигнал кусочно-линейной формы . . 200
3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 201
3.3.1. Расчет установившегося синусоидального режима методом
комплексных амплитуд 201
3.3.2. Качественное построение векторных диаграмм 203
3.3.3. Расчет мощностей в установившемся синусоидальном режиме. . . . 204
3.3.4. Резонанс в электрических цепях 205
3.3.5. Особенности простейших резонансов в электрических цепях 206
3.3.6. Нестандартные решения задач установившегося
синусоидального режима 207
3.3.7. Расчет переходных процессов во временной области
при синусоидальных воздействиях 208

Содержание
3.3.8. Применение метода комплексных амплитуд для расчета цепей
при обобщенных воздействиях. Построение графика
экспоненциальных колебаний 210
3.3.9. Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки «звездой» 211
3.3.10. Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки
«треугольником» 213
3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей ... .... 214
3.4.1. Операторный метод расчета переходных процессов 214
3.4.2. Особенности операторного метода при отыскании оригиналов . . . . 216
3.4.3. Определение по передаточной функции дифференциального
уравнения, импульсной и переходной характеристик цепи 217
3.4.4. Расчет частотных характеристик по передаточной функции цепи
и оценка частотных интервалов 219
3.4.5. Применение теоремы запаздывания для расчета изображений
сигналов 221
3.4.6. Использование передаточной функции для расчета реакции . . . . 223
3.4.7. Расчет особых случаев коммутации операторным методом . . 224
3.4.8. Использование преобразования Лапласа для расчета
коэффициентов ряда Фурье и спектра периодического сигнала. . . 225
3.4.9. Расчет установившегося периодического режима
с использованием рядов Фурье 227
3.4.10. Точный расчет установившегося периодического режима
(ряд Фурье в «замкнутой» форме) 229
3.4.11. Точный расчет переходных процессов
при периодических несинусоидальных воздействиях 231
3.4.12. Основы спектрального метода анализа цепей 232
3.4.13. Расчет спектра апериодического сигнала 233
3.4.14. Оценка реакции методом сравнения спектра воздействия
с частотными характеристиками цепи 234
3.4.15. Расчет реакции по ее спектру 235
3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми
источниками 237
3.5.1. Метод уравнений Кирхгофа при расчете индуктивно связанных
цепей . . 237
3.5.2. Метод эквивалентного исключения индуктивной связи
при расчете индуктивно связанных цепей . 238
3.5.3. Расчет цепи с трансформатором 238
3.5.4. Расчет переходных процессов в индуктивно связанных цепях 239
3.5.5. Расчет параметров четырехполюсников 241
3.5.6. Пересчет параметров четырехполюсников 242
3.5.7. Расчет передаточных функций нагруженного четырехполюсника . . . 243
3.5.8. Расчет каскадного соединения четырехполюсников 244
3.5.9. Расчет цепей с зависимыми (управляемыми) источниками 245
3.5.10. Расчет цепей с обратимыми и необратимыми
четырехполюсниками, замещенными схемами с ЗИ 245
3.5.11. Расчет цепей с операционными усилителями 246

3.5.12. Использование схем замещения с зависимыми источниками
для расчета индуктивно связанных цепей 248
3.5.13. Расчет параметров Т- и П-образных эквивалентных схем
замещения пассивных ЧП 249
3.5.14. Расчет симметричного ЧП в согласованном режиме 250
3.5.15. Определение параметров однородной длинной линии 251
3.5.16. Расчет установившегося синусоидального режима в цепях
с распределенными параметрами 253
3.5.17. Расчет переходных процессов в линии без потерь 254
3.6. Расчет фильтров и синтез цепей 255
3.6.1. Расчет полосы пропускания классического реактивного
симметричного фильтра 255
3.6.2. Расчет фильтров типа к 256
3.6.3. Расчет фильтров Баттерворта 258
3.6.4. Расчет фильтров Чебышева 259
3.6.5. Метод преобразования частоты при проектировании ФВЧ, ППФ,
ПЗФ по ФНЧ-прототипу 260
3.6.6. Синтез реактивных двухполюсников 261
3.6.7. Синтез резистивно-емкостных двухполюсников 263
3.6.8. Использование схем с операционными усилителями для
реализации передаточных функций с отрицательными нулями
и полюсами 264
3.6.9. Использование уравнений состояния для реализации
на операционных усилителях передаточных функций
с произвольными нулями и полюсами 266
3.6.10. Составление уравнений состояния цепи по заданной
передаточной функции . 267
3.6.11. Определение параметров синтезируемого реактивного
четырехполюсника по заданной передаточной функции
в режимах XX или КЗ нагрузки 268
3.6.12. Определение параметров синтезируемого реактивного
четырехполюсника по передаточной функции при наличии нагрузки 269
3.6.13. Определение параметров синтезируемого
резистивно-емкостного четырехполюсника по заданной
передаточной функции в режимах XX или КЗ нагрузки 270
3.6.14. Определение параметров синтезируемого
резистивно-емкостного четырехполюсника по заданной
передаточной функции при наличии нагрузки 270
3.6.15. Синтез реактивных четырехполюсников лестничной структуры
(основная процедура) 271
3.6.16. Синтез реактивных четырехполюсников лестничной структуры
(процедура синтеза с выделением частных полюсов) 272
3.6.17. Синтез реактивных четырехполюсников лестничной структуры
(процедура реализации нуля III категории) 273
3.6.18. Реализация резистивно-емкостных четырехполюсников 274
3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей 275
3.7.1. Определение передаточной функции дискретной цепи
по аналоговому прототипу 275

10
3.7.2. Определение разностного уравнения и схемы дискретной цепи
по известной ее передаточной функции 277
3.7.3. Расчет импульсной и переходной характеристик дискретной цепи
по ее передаточной функции 278
3.7.4. Аналитический расчет реакции дискретной цепи 279
3.7.5. Численный расчет реакции дискретной цепи 280
3.7.6. Использование метода эквивалентных источников при расчете
нелинейных цепей с одним нелинейным элементом 281
3.7.7. Графический расчет резистивной нелинейной цепи с одним
нелинейным элементом 282
3.7.8. Расчет резистивной нелинейной цепи методом кусочно-линейной
аппроксимации (кусочно-линейных схем) 283
3.7.9. Полиномиальная аппроксимация вольт-амперных характеристик
нелинейных резистивных элементов 284
3.7.10. Расчет нелинейных резистивных цепей
методом полиномиальной аппроксимации. Решение
нелинейных функциональных уравнений 285
3.7.11. Особенности расчета нелинейных резистивных цепей
с несколькими нелинейными элементами 286
3.7.12. Реализация нарастающих вольт-амперных характеристик
кусочно-линейными диодными моделями 287
3.7.13. Составление уравнений состояния в динамических
нелинейных цепях 288
3.7.14. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях методом
кусочно-линейной аппроксимации 289
3.7.15. Метод гармонического баланса . . 290
3.7.16. Расчет автоколебаний в релейной цепи 291
4. Каталог ответов на основные контрольные вопросы
по теории электрических цепей 294
Введение. . . . . . . 294
4.1. Основные понятия и законы теории цепей 294
4.2. Анализ резистивных цепей 296
4.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во временной
области при постоянных воздействиях - . 298
4.4. Применение обобщенных функций для анализа переходных
процессов при воздействиях произвольной формы 301
4.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных
воздействиях 304
4.6. Применение преобразования Лапласа для анализа переходных
процессов в цепях 310
4.7. Анализ установившихся периодических режимов в цепи 312
4.8. Спектральный метод анализа цепей 314
4.9. Цепи с взаимной индукцией . . . 317
4.10. Трехфазные цепи 319
4.11. Четырехполюсники и активные цепи 320
4.12. Основы теории фильтров 322
4.13. Начала синтеза цепей 325

Содержание 11
4.14. Цепи с распределенными параметрами 326
4.15. Дискретные цепи и сигналы 328
4.16. Нелинейные цепи 332
4.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников 334
4.18. Связанные контуры с большой добротностью 337
4.19. Основы машинно-ориентированных методов расчета цепей 339
4.20. Основы теории чувствительности цепей к изменению параметров . . 341
4.21. Релейные автоколебательные цепи 343
4.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках 345
Список литературы 348
i
I

В родстве го всем, что есть, уверясь
И знаясь г будущим в быту,
Нельзя не впасть к концу, как в ересь,
В несчыханную простоту.
Б. Пастернак
Предисловие
Справочник по основам теории электрических цепей обобщает опыт работы
кафедры теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского
государственного электротехнического университета «ЛЭТИ» (СПбГЭТУ «ЛЭТИ») за
последние десятилетия. Он должен помочь студентам освоить важнейшие
положения терминологии, теории и расчета электрических цепей. Справочник
рассчитан также на широкий круг инженеров и специалистов различных областей
производства и может использоваться ими для ознакомления с современной
научно-технической терминологией, современными базовыми расчетами, прогнозами
и оценками.
Курс теории цепей, изложенный в справочнике и читаемый в СПбГЭТУ
(методически перестроен проф. И. Н. Матхановым), существенно отличается от
изучавшегося ранее в виде важных, примерно «равноправных и равнозначных» тем.
В настоящее время реализуется иной принцип: вначале излагаются процессы в
физически понятной временной, а затем — в спектрально-частотной области,
причем последующая тема базируется на всех предыдущих, и только во второй
половине курса, после получения студентами устойчивых базисных знаний,
изучаются многочисленные классические и современные приложения: от
трехфазных и индуктивно связанных цепей до синтеза цепей и фильтров, основ теории
чувствительности, активных и дискретных цепей.
Справочник по основам теории цепей (ТЦ) состоит из четырех
взаимосвязанных разделов, при подготовке которых авторы стремились излагать материал
«строго, коротко, ясно и только основы», поскольку современный курс ТЦ
настолько многогранен, что детальное изложение каждой темы может быть
предметом отдельной монографии.
Раздел 1 справочника (свыше 100 параграфов) содержит тематический каталог-
указатель терминов, понятий и ключевых слов по основным темам (главам)
дисциплины.
В разделе 2 дана краткая расшифровка важнейших (свыше 500) терминов,
понятий и ключевых слов (расположены в алфавитном порядке), выделенных
курсивом в разделе 1. Попутно даются определения и других понятий теории цепей.

От издательства 13
Раздел 3 (свыше 100 параграфов) посвящен информации о важнейших
практических расчетах, используемых в теории цепей, снабжен многочисленными
примерами и методическими указаниями.
В разделе А кратко излагаются ответы (свыше 500) на важнейшие вопросы,
возникающие при ознакомлении с основами и терминологией теории цепей.
Авторы благодарят рецензентов — проф. А. А. Ланнэ и кафедру теоретических
оснон электротехники Санкт-Петербургского государственного
политехнического университета (заведующий кафедрой — проф. В. Н. Боронии) — за советы и
замечания, которые способствовали методическому совершенствованию данного
справочника, а также искренне признательны автору идеи создания этого
уникального учебного пособия В. Ю. Шачину — руководителю проектов
издательства «Питер».
От издательства
Ваши замечания, предложения и вопросы отправляйте по адресу электронной
почты comp@piter.com (издательство «Пигер»). Мы будем рады узнать ваше
мнение! Подробную информацию о наших книгах вы найдете на веб-сайте
издательства www.piter.com.

Список используемых сокращений
АС — амплитудный спектр;
АФХ — амплитудно-фазовая характеристика;
АЦ — аналоговая цепь;
АЧХ — амплитудно-частотная характеристика:
ВАХ — вольт-амперная характеристика;
ВД — векторная диафамма;
ВС — вещественный спектр;
ВТ — вычислительная техника;
ВЧ — высокие частоты (высокочастотный);
ВЧХ — вещественная частотная характеристика;
ГК — главный контур;
ГС — главное сечение;
ДЛ — длинная линия;
ДП — двухполюсник;
ДС — дискретный спектр;
ДЦ — дискретная цепь;
ДУ — дифференциальное уравнение;
ЕИФ — единичная импульсная функция;
ЕСФ — единичная ступенчатая функция;
ЗИ — зависимый источник;
ЗНК — закон напряжений Кирхгофа;
ЗНУ — зависимое начальное условие;
ЗТК — закон токов Кирхгофа;
ИН — источник напряжения;
ИНУН — источник напряжения, управляемый напряжением;
ИНУТ — источник напряжения, управляемый током;
ИПН — источник постоянного напряжения;
ИС — индуктивно связанные;
ИСЦ — индуктивно связанная цепь;
ИСЭ — индуктивно связанный элемент;
ИТ — источник тока;

Список используемых сокращений
ИТУН — источник тока, управляемый напряжением;
ИТУТ — источник тока, управляемый током;
ИХ — импульсная характеристика;
К — ключ;
КЗ — короткозамкнутыи элемент (короткое замыкание);
КТ — контурный ток;
ЛБИ — линия без искажения;
ЛБП — линия без потерь;
МДД — метод двойного дифференцирования;
МДС — магнитодвижущая сила;
МКА — метод комплексных амплитуд;
МКТ — метод контурных токов;
МН — метод наложения;
МНК — метод неопределенных коэффициентов;
MOB — метод определяющих величин;
МП — магнитный поток;
МПВ — метод пропорциональных величин;
МПЧ — метод преобразования частоты;
МС — мнимый спектр;
МУН — метод узловых напряжений;
МЦ — магнитная цепь;
МЭИ — метод эквивалентных источников;
МЭИН — метод эквивалентного источника напряжения;
МЭИТ — метод эквивалентного источника тока;
НДУ — неоднородное дифференциальное уравнение;
ННУ — независимое начальное условие;
НУ — начальные условия;
НФУ — нелинейное функциональное уравнение;
НЦ — нелинейная цепь;
НЧ — низкие частоты (низкочастотный);
НЭ — нелинейный элемент;
ОСЗ — операторная схема замещения;
ОСК — особый случай коммутации;
ОУ — операционный усилитель;
ПД — полоса дифференцирования;
ПИ — полоса интегрирования;

16 Список используемых сокращений
ПНУ — предначальныс условия;
ПП — полоса пропускания;
ПЗФ — полосовой награждающий фильтр;
ППФ — полосовой пропускающий фильтр;
ПРН — простейший резонанс напряжений;
ПРТ — простейший резонанс гоков;
ПФ — передаточная функция;
ПХ — переходная характеристика;
ПЦ — присоединенная цепь;
РТ — рабочая точка;
РУ — разностное уравнение;
РФ — ряд Фурье;
РЭ — релейный элемент;
СГ — сигнальный граф;
СК — связанные контуры;
СЧ — средние частоты (среднечастотный);
ТК — георема компенсации;
ТП — трехполюсник;
ТТ — теорема Теледжепа;
ТОЭ — теоретические основы электротехники;
ТФ — трехфазный;
ТФЦ — трехфазная цепь;
ТЦ — теория цепей (теория электрических цепей);
УН — узловое напряжение;
УПР — установившийся периодический режим;
УС — уравнение состояния;
УСР — установившийся синусоидальный режим;
ФАЧ — функция абсолютной чувствительности;
ФБ — фильтр Баттсрворта;
ФВЧ — фильтр верхних частот;
ФДН — формула делителя напряжений;
ФЕН — функция единичного наклона;
ФДТ — формула делителя токов; ■
ФМ — ферромагнитный;
ФНЧ — фильтр нижних частот;
ФС — фазовый спектр;

^
^
*
Список используемых сокращений
ФЧ — фильтр Чебышева;
ФЧХ — фазочастотная характеристика;
ХП — характеристический полином;
XX — холостой ход (оборванный элемент, разрыв в цепи);
ЦВМ — цифровая вычислительная машина;
ЧИ — частотный интервал;
ЧП — четырехполюсник;
ЧХ — частотная характеристика.
ЭДС — электродвижущая сила;
ЭМП — электромагнитное поле;
ЭЦ — электрическая цепь.
Библиотека
СЕВМАШВТУЗА

1. Тематический каталог
основных понятий, определений, законов,
свойств, ключевых слов и терминов теории
электрических цепей
Введение
В тематическом каталоге приведены без расшифровки наборы терминов, ключевых
слов и определений, которыми необходимо владеть при изучении
рассматриваемых тем, выделены курсивом основные понятия, которые будут расшифрованы в
алфавитном ката юге и при описании которых попутно будут рассмотрены
второстепенные понятия.
Тематический каталог в первую очередь ориентирован на использование
учебника для вузов [1|. Первая часть этого учебника охватывает важнейшие базовые
и фундаментальные разделы ТЦ но изучению процессов в электрических цепях
(вначале в физически понятной временной, а затем — в частотно-снектральной
области); во второй части учебника рассматриваются многочисленные
классические и современные приложения ТЦ — от трехфазных и индуктивно связанных
цепей до дискретных, нелинейных, активных цепей, фильтров, синтеза цепей и т. д.
1.1. Основные понятия и законы теории цепей
1.1.1. Ток, напряжение, энергия и мощность в цепи
Ток; заряд\ мгновенное значение; время; направление тока; ампер; кулон;
напряжение; потенциал; паление напряжения; рост потенциала; разность потенциалов;
базисный узел; цепь; проводник; двухполюсник; ветвь; полярность напряжения;
согласованная полярность; мощность; энергия; вольт; ватт; джоуль; пассивный
элемент; активный элемент; баланс мощностей; закон сохранения энергии;
несогласованная полярность; сила тока; узел.
1.1.2. Резистивный элемент и его характеристики
Резистивный элемент; резистор; схема замещения резистора; закон Ома;
сопротивление; проводимость; ом; сименс; вольт-амперная характеристика Я-элемен-
та; линейный элемент; нелинейный К-элемент; диод; энергетические
характеристики ^-элемента; мощность; энергия; необратимое потребление энергии;
пассивный элемент; согласованная полярность; низкие частоты; средние частоты.
1.1.3. Идеализированные источники электрической энергии
Источник напряжения (ИИ); генерирование электромагнитной энергии;
направление тока ИН; согласованная, несогласованная и логичная полярность ИМ; ВАХ
источника напряжения и его дифференциальное сопротивление; короткозамкну-

1.1 Основные понятия \л законы теории цепей 19
тый элемент (КЗ) и его свойства; ИИ как элемент бесконечной мощности;
нарушение ЗНК при КЗ источника напряжения; источник тока (ИТ); полярность
напряжения ИТ; логичная (физичная) полярность ИТ; ВЛХ ИТ; холостой ход
(XX) — разорванный участок цепи и его свойства; ИТ как элемент бесконечной
мощности; нарушение ЗТК при XX ИТ.
1.1.4. Индуктивный элемент цепи и его характеристики
Индуктивный элемент; двухполюсник; пассивный элемент; запасание энергии
магнитного поля; согласованная полярность i-элсмента; потокосцепление
катушки индуктивности; ферромагнитный сердечник; магнитный поток (МП); вебер;
генри; вебгр-амиериая характеристика; линейный L-элемент; закон
электромагнитной индукции; во чът-амперная характеристика /.-элемента; энергетические
характеристики L-элемента; принцип непрерывности тока L-элемента;
непрерывность потокосцепления; скачок потокоснепления (разрыв первого рода);
непрерывная функция.
1.1.5. Емкостный элемент цепи и его характеристики
Емкостный элемент: пассивный ДП; согласованная полярность С-элемснта; заряд
С-элемента; электрическое ноле; кулон-волыная характеристика; фарада; вольт-
амперная характеристика С-элеметпа\ ток емкостного элемента; С-элемент в цепи
постоянного гока; энергетические характеристики С-элемента, запасание
энергии электрического поля конденсатора; непрерывность заряда и энергии
С-элемента; принцип непрерывности напряжения С-элемента.
1.1.6. Геометрия цепей
Электрическая цепь; схема цепи; ветвь; двухполюсник; устранимый узел; узел;
контур; ячейка; последовательное соединение и его основные свойства;
параллельное соединение и его основные свойства; сметанное соединение; лестничное
(цепное) соединение; соединение треугольником и звездой; мостовое
соединение; путь; сечение; граф схемы: дерево и хорды графа (ветви связи); плоская
(планарная) цепь; пространственная (непланарная) цепь; полный граф;
ориентированный граф; чисто ветвей дерева (число хорд) и его связь с уравнениями
ЗТК (ЗНК).
1.1.7. Законы Кирхгофа
Закон токов Кирхгофа (ЗТК) для узлов и сечений цепи; закон сохранения
зарядов в цепи; главное следствие ЗТК; ЗТК в последовательном соединении; число
независимых уравнений ЗТК; составление независимых уравнений ЗТК;
дерево графа цепи; закон напряжений Кирхгофа (ЗНК); закон сохранения энергии
в цепи; главное следствие ЗНК; ЗНК в параллельном соединении;
определение напряжения между узлами цепи; число независимых уравнений ЗНК;
составление независимых уравнений ЗНК; хорды графа цени; уравнения соединений
в цепи.

20
1. Тематический каталог
1.1.8. Дуальность элементов и цепей
Дуальность; дуальность элементов; дуальность соединений] дуальность цепей]
дуальность плоских (планарпых) цепей; дуальность энергетических
характеристик элементов; правила построения планарпых дуальных цепей] разветвленные
дуальные цепи; правило знаков при построении дуальной цепи; дуальность кон-
тура и узловой пары.
1.2. Анализ резистивных цепей
1.2.1. Эквивалентные преобразования структуры цепи
Эквивалентное преобразование] ненреобразованная часть цени; эквивалентная
схема; простейшие эквивалентные преобразования] эквивалентное преобразование
источников: элементарно непреобразуемый источник; эквивалентное преобразо-
зоваиие соединений «треугольником» и «звездой»] теорема замещения; КЗ; XX.
1.2.2. Анализ резистивных цепей сложной структуры
Метод уравнений Кирхгофа (МУК); число независимых уравнений; неизвестные
МУК; метод пропорционшьпых величин (МПВ); метод определяющих величин
(MOB); метод наложения (МИ); метод узловых напряжений (МУН); метод
узловых потенциалов; базисный узел; определение гокон при использовании МУН;
собственная и взаимная проводимости; узловой ток; вырожденные уравнения
МУН; метод контурных токов (МКТ); контурные гоки; определение токов
ветвей в МКТ; собственное и взаимное сопротивления: контурное напряжение;
вырожденные уравнения МКТ; преобразование элементарно ненреобразуемых
источников.
1.2.3. Теоремы об эквивалентных источниках
Метод эквивалентных источников (МЭИ); теорема Тевенена об эквивалентном
источнике напряжения; эквивалентное (внутреннее) сопротивление источника;
выхоаное сопротивление цепи; сопротивление нагрузки; метод эквивалентного
источника напряжения (МЭИН); теорема Нортона об эквивалентном источнике
тока; метод эквивалентного источника тока (МЭИТ); связь между
напряжением холостого хода нагрузки и током ее короткого замыкания; связь между
напряжением и током эквивалентных источников.
1.2.4. Теорема взаимности
Проводимость передачи; сопротивление передачи; определение проводимости
передачи па основании метода контурных токов; главный определитель;
алгебраическое дополнение; минор; определение сопротивления пере чачи на основании
метода узловых напряжений; принцип взаимности (обратимости, пассивности);
теорема взаимности.

1.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во временной области... 21
1.3. Анализ переходных процессов
в линейных цепях во временной области
при постоянных воздействиях
1.3.1. Дифференциальные уравнения и свойства линейности
динамических цепей
Накопитель; динамическая цепь; дифференциальные, интегральные,
интегрально-дифференциальные и алгебраические уравнения цепей, воздействие, входной
сигнал; реакция, выходной сигнал; искомая переменная; начальные условия (НУ);
три свойства линейности цепей; принцип пропорциональности (однородности);
принцип дифферегщируемости (стационарности), принцип наложения
(суперпозиции, аддитивности); МН; МПВ; элементарные реакции.
1.3.2. Общая характеристика классического метода анализа
переходных процессов во временной области
Коммутация; переключение в цепи; идеальный ключ; КЗ, XX, момент
коммутации; переходный процесс; скачок; дифференциальное уравнение (ДУ) цепи;
воздействие, реакция; свободная составляющая ДУ цепи; вынужденная
составляющая ДУ цепи; однородное ДУ; неоднородное ДУ; свободный процесс; свободный
режим; постоянные интегрирования; корни характеристического полинома (ХП),
собственные частоты цени; устойчивость; кратный корень ХП; затухание
свободного процесса; математическая форма воздействия; вынужденный режим;
установившийся режим; законы коммутации; принципы непрерывности;
независимые начальные условия; зависимые НУ; порядок цепи; понижение порядка цепи.
1.3.3. Анализ переходных процессов в разветвленных цепях
1-го порядка
Свободная составляющая в цепи 1-го порядка; постоянная времени; свободный
режим; эквивалентное сопротивление цепи в свободном режиме; накопитель;
расчет вынужденной составляющей при постоянных воздействиях; КЗ; XX;
георема замещения; математическая форма воздействия; эквивалентная схема;
расчет независимых начальных условий; расчет зависимых начальных условий;
расчет зависимых НУ при нулевых независимых НУ; определение
постоянных интегрирования в цепях 1-го порядка; характерные значения экспоненты
и ее график; подкасательная к экспонен re; график переходною процесса в цепях
1-го порядка при постоянных воздействиях; практическое время затухания
экспоненты.
1.3.4. Анализ переходных процессов в цепях высокого
порядка по уравнениям состояния
Уравнрпия состояния (УС); уравнения в нормальной форме Коши; переменные
состояния (ПС); матрицы реакций, переменных состояния, воздействий,
коэффициентов; уравнения связи для расчета реакций при известных ПС;
непрерывные переменные цепи; ВАХ накопителей; составление уравнений состояния

22
1. Тематический каталог
метолом вспомогательных источников, аналитическое решение уравнений
состояния; определение ХП но УС; запись свободной составляющей при различных
видах корней ХП; единичная матрица; определение вынужденной
(установившейся) составляющей по УС при постоянных воздействиях; расчет начальных
значений производных по УС; расчет постоянных интегрирования в цепях
высокого порядка; варианты записи свободной составляющей в случае комплексных
корней ХП цени.
1.3.5. Численный расчет переходных процессов
Численное решение уравнений состояния; шаг численного расчета; уравнения
численного решения УС; явная, неявная и смешанная формы алгоритма Эйлера;
билинейное преобразование при численном решении УС; формулы численного
расчета по ВЛХ накопителей; дискретные резистивные схемы замещения
накопителей при численном расчете переходных процессов; достоинства численного
расчета процессов по дигкрегным резистивным схемам замещения; методы расчета
/?-целеи.
1.3.6. Переходные процессы в последовательной Я£С-цепи
Уравнения состояния последовательной RLC-цепи; ДУ последовательной RLC-
цегш; корни XII последовательной RLC-цепи; коэффициент затухания; резонансная
частота; незатухающий колебательный режим в LC-ncim; потери в цепи; частота
незатухающих колебаний; затухающий колебательный режим в
последовательной RLC-цепи; апериодический режим в последовательной RLC-цепи; критический
режим в последовательной RLC-цепи; собственные частоты цепи; критический
случай апериодического режима; расчет вынужденной составляющей и НУ;
переходные процессы в iC-цени и их графики; схема удвоения напряжения; диод,
КЗ, XX; свободный режим в LC-контуре; физическая трактовка процессов в LC-
конгуре; декремент затухания; логарифмический декремент затухания;
постоянная времени; график затухающего колебательного процесса в последовательной
/?£С-цепи; график апериодического процесса в последовательной RLC-цепи;
график критическою процесса в последовательной RLC-цепи.
1.4. Применение обобщенных функций
для анализа переходных процессов
при воздействии сигналов произвольной формы
1.4.1. Единичная ступенчатая функция
Единичная ступенчатая функция (ЕСФ); смещенная ЕСФ; применение ЕСФ;
разрыв 1-го рода, скачок функции; использование ЕСФ для описания
коммутации и для записи односторонних и разрывных функций; фильтрующее свойство
ЕСФ; предельный переход к ЕСФ; варианты последовательностей,
формирующих ЕСФ.

1.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях 23
1.4.2. Единичная импульсная функция (дельта-функция)
Единичная импульсная функция (ЕИФ), дельта-функция: площадь ЕИФ;
смещенная НИФ; обобщенные функции; свойства НИФ: интеграл от ЕИФ: свойство
выборки; последовательность, формирующая дельта-функцию; четность дельта-
функции; применение НИФ; производная от разрывной функции; производная от
скачка; особые случаи коммутации (ОСК): пример ОС К с С-элементом (1-эле-
ментом); нарушение закона коммутации (принципа непрерывности); сверхтоки
(сверхнапряжения) в идеализированных цепях; производная от непрерывной
функции.
1.4.3. Переходная и импульсная характеристики цепи
Переходная характеристика (ИХ) цепи; размерность ИХ, ЕСФ, ЕИФ; расчет
переходной характеристики во временной области; переходный процесс; условие
физической осуществимости (реализуемости); фильтрующее свойство ЕСФ;
основное свойство непрерывно!! функции; импульсная характеристика (ИХ) цепи;
принципы пропорциональности и диффереицирусмости; расчет импульсной
характеристики цепи; размерность ИХ; связь ИХ и ПХ; причина появления дспь-
та-функцин в ИХ; свойство выборки дельта-функции.
1.4.4. Определение реакции при воздействии
произвольной формы
Интеграл свертки: иитефал наложения, выраженный черех ИХ цепи; трудности
взятия интеграла свертки; расчетная формула интеграла свертки; интеграл Дюа-
меля\ интеграл наложения, выраженный через ПХ цепи; трудности взятия
интеграла Дюамеля; семейство стандартных воздействий в теории цепей (ТЦ);
семейство стандартных реакций в ТЦ; функция единичного наклона и соответствующая
ей характеристика цепи; производные от ЕИФ, дуплет, триплет; входные
сигналы кусочно-линейной формы; расчет реакции на воздействие кусочно-линейной
формы; метод двойного (двукратного) дифференцирования при описании
сигналов кусочно-линейной формы; расчет реакции при разрывном воздействии.
1.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях
1.5.1. Основные понятия синусоидальных напряжений
и токов
Периодические сигналы; гармонические сигналы; сигналы синусоидальной
формы: синусная и косинусная формы записи; параметры сигналов: амплитуда,
мгновенная фаза, начальная фаза, угловая частота, циклическая частота, период;
параметры напряжения промышленной сети; разность фаз (фазный сдвиг) па-
пряжения и тока пассивного ДП; характерные значения разности фаз;
характерные точки графика синусоидального сигнала; разметка оси времени (оси фаз);
действующее значение синусоидального сигнала; среднее, значение:
среднеквадратичное значение; энергетическая трактовка действующего значения; среднее

24
1. Тематический каталог
выпрямленное значение; эффективное значение; линейные операции с
синусоидальными функциями; переходный процесс, свободная составляющая;
вынужденный режим, установившийся синусоидальный режим (УСР): искомые
параметры сигналов в УСР.
1.5.2. Метод комплексных амплитуд
Установившийся синусоидальный режим; комплексная плоскость; параметры
вектора в комплексной плоскости; мнимая единица; комплексное число;
сопряженное комплексное число; оператор вращения; представление гармонических
(синусоидальных) сигналов с помощью вращающихся векторов; комплексные
амшитуды: комплексное (комплексное действующее) значение; знак
соответствия (синусоиды и комплексной амплитуды); комплексная форма записи ЗТК,
ЗНК и закона Ома; комплексные сопротивления пассивтях элементов в УСР;
амплитудные и фазовые соотношения между напряжением и током R-, L- и С-эле-
ментов в УСР, мнемоническое правило ULICU («улицу»); сопротивление
накопителей на нулевой и бесконечной частотах (XX и КЗ); комплексное
сопротивление пассивного Д\1 в УСР; закон Ома в «модулях»; модуль и фаза комплексного
сопротивления и их трактовка (физический смысл); активная и реактивная
составляющие, реактивный элемент, активние сопротивление; комплексная
проводимость пассивного ДП; метод комплексных амплитуд (МКА)\ основные
достоинства МКА.
1.5.3. Анализ простых цепей в установившемся
синусоидальном режиме
Основное достоинство МКА; аналогия с расчетом резистивнмх цепей;
комплексная схема замещениях векторная диаграмма (ВД); расчет последовательной RLC-
цепи в УСР; векторная диаграмма последовательной RLC-цепщ индуктивный
(емкостный) характер цени; простейший резонанс напряжений (IIPH); расчет
параллельной /?1С-непи в УСР; векторная диаграмма параллельной RLC-цепи:
простейший резонанс токов (ПРТ); расчет цепей сложной структуры в
установившемся синусоидальном режиме; количественные и качественные В/1.
1.5.4. Мощность в установившемся синусоидальном режиме
ВиОы мощностей пассивного ДП в УСР\ мощность (активная, средняя); полная
(кажущаяся, располагаемая) мощность; реактивная мощность в УСР; размерность
мощностей; мгновенная мощность; мощность пассивных элементов в УСР;
комплексная мощность пассивного ДИ\ 6(ианс мощностей в цепи в УСР; баланс
мощностей в пассивном ДП в УСР: коэффициент мощности: ограничение угла
фазного сдвига между током и напряжением пассивного ДП; ограничение активной
составляющей комплексного сопротивления; технико-экономическое значение
ки.>ффятгиепта мощности; условие передачи максимума активной мощности
нагрузке: МЭИ; внутреннее (эквивалентное, выходное) сопротивление источника;
КПД при передаче максимума мощности; согласование нагрузки но мощности.

1.6. Применение преобразования Лапласа для анализа переходных процессов в цепях 25
1.5.5. Резонансные явления в электрических цепях.
Частотные характеристики
Резонанс в пассивном ДП (общая характеристика); многообразие признаков
резонанса н пассивном ДП; простейший резонанс напряжений (ПРН); условия
ПРИ; LC-участок при ПРН; КЗ; характеристики ПРН в последовательной RLC-
цепи: резонансная частота; характеристическое сопротивление; добротность;
полоса пропускания; простейший резонанс токов (ПРТ); дуальность; условия ПРТ;
LC-участок при ПРТ; XX; протнвофаза (компенсация) токон при
ПРТ;характеристики ПРТв параллельной RLC-цепи; частотная характеристика (обобщенная
частотная характеристика) цепи; комплексная функция цепи; виды частотных
характеристик (ЧХ); амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); фазочастот-
ная характеристика (ФЧХ); вещественная ЧХ; мнимая ЧХ; амплитудно-фазовая
характеристика (АФХ); трактовка АЧХ и ФЧХ цени; контроль ЧХ; частотные
характеристики последовательной RLC-пеии; связь полосы пропускания с
добротностью KJLC-иепи; цели нормировки; масштабирование; нормирование
электрических цепей] нормирование параметров и переменных цепи: связь
нормировки по времени и частоте; обобщенная (комплексная) частота: частные случаи
обобщенной частоты; обобщенное воздействие; применение МКА при расчете
вынужденной составляющей при обобщенных воздействиях; граница
применимости МКА.
1.6. Применение преобразования Лапласа
для анализа переходных процессов в цепях
1.6.1. Связь формы сигналов с полюсами их изображений
по Лапласу
Сигналы* ^преобразуемые» по Лапласу', несобственный интеграл; регулярная
функция; абсцисса абсолютной сходимости; знак соответствия; преобразование
Лапласа (прямое и обратное); теорема разложения; расчет коэффициентов
разложения дробно-рациональной функции на простейшие дроби; метод
неопределенных коэффициентов; вычет, особые точки в теореме разложения; полюса
функции; свойства и теоремы преобразования Лапласа; свойство линейности,
теоремы интегрирования и дифференцирования, о начальном значении, подобия,
едпша и свертки преобразования Лапласа; изображение ЕИФ (дельта-функции);
расширенное преобразование Лапласа; таблица преобразования Лапласа) связь
полюсов изображения с формой оригинала) связь корней ХП с формой свободной
составляющей решения; корректная форма записи оригинала.
1.6.2. Операторный метод расчета переходных процессов
Операторный метод (ОМ), расчет переходных процессов с использованием
преобразования Лапласа; операторные уравнения и операторные схемы
замещения (ОСЗ) элементов; аналогия операторного метода и метода комплексных
амплитуд (MICA); расчет переходных процессов по ОСЗ, расчет по операторным

26
1. Тематический каталог
уравнениям; расчет особых счучаев коммутации операторным методом;
расширенное преобразование Лапласа; изображение дельта-функции.
1.6.3. Использование теоремы запаздывания для описания
изображений импульсных сигналов
Теорема запаздывания преобразования Лапласа; периодические сигналы,
изображение периодического сигнала; убывающая геометрическая прогрессия;
изображение прямоугольного импульса; ЕСФ и ее изображение; изображение
синусоидального импульса; сигналы кусочно-линейной формы, двукратное дифференцирование
кусочно-линейной функции; изображение дельта-функции; теорема
интегрирования оригинала; изображение сигнала кусочно-линейной формы.
1.6.4. Передаточная функция цепи и ее связь
с дифференциальным уравнением, импульсной,
переходной и частотными характеристиками цепи
Теорема свертки; воздействие, реакция, импульсная характеристика, нулевые
начальные условия; передаточная функция {ПФ); свойства передаточной функции;
связь ПФ с ИХ и ИХ; связь ПФ с ЧХ; связь I |ф с ДУ; связь ПФ с собственными
частотами цепи (корнями XII); функции цени (входные и передаточные); расчет
ПФ; независимость ПФ от вида воздействия и реакции; Ml IB; связь
собственных частот цепи с ег входным сопротивлением; уравнения состояния; матричная
передаточная функция; матрица ИХ; системная функция.
1.7. Анализ установившихся периодических
режимов в цепи
1.7.1 Периодические сигналы и их спектры
Периодический сигнал; период; установившийся периодический режим (УПР);
условия Дирихле; реальный периодический сигнал; ряд Фурье (РФ), гармоники
РФ; основная (первая) гармоника РФ; сходимость РФ, синусно-косипусная
форма РФ; нулевая гармоника РФ; постоянная составляющая, среднее значение
РФ; косинусная форма РФ; свойства рядов Фурье симметричных сигналов;
РФ четных и нечетных сигналов; РФ сигналов, симметричных при сдвиге на
поло ни ну периода; РФ в комплексной форме; спектр периодического сигнала;
дискретный спектр; линейчатый спектр; комплексная амплитуда; чискретный
амплитудный и фазовый спектры; частоты гармоник РФ: спектр синусоидального
сигнала; спектр постоянного сигнала; «первый импульс» периодического
сигнала; расчет коэффициентов РФ с использованием преобразования Лапласа;
отрицательные частоты гармоник РФ.
1.7.2. Мощность и действующие значения переменных
в установившемся периодическом режиме
Пассивный двухполюсник в установившемся периодическом режиме;
периодическое воздействие, свооодная составляющая, переходный процесс; ряд Фурье;

1.8. Спектральный метод анализа цепей 27
мгновенная мощность; активная мощность в УПР; мощность, средняя мощность
в УПР; отсутствие комбинационной мощности в УПР; мощность от отдельных
гармоник в УПР; формула мощности в УПР; действующее значение
периодического сигнала; среднеквадратичное значение; энергетическая трактовка
действующего значения; действующее значение отдельной гармоники периодического
сигнала, амплитудное значение.
1.7.3. Анализ установившихся периодических режимов
в цепи
Расчет установившегося периодического режима с использованием рядов Фурье;
МП; МКА; сходимость РФ; «отрезок» РФ; достоинства и недостатки расчета
УПР с использованием РФ; ЧХ цени; спектральный состав реакции в УПР;
форма выходного сигнала в УПР; свойства входного и выходного сигналов в УПР;
ЧХ дифференцирующих цепей; точный расчет установившегося периодического
режима; РФ в «замкнутой форме»; особенности РФ реакции в
дифференцирующих цепях; ХП, собственные частоты цепи; изображение периодического
воздействия; ПФ цепи и ее полтоса; свободная составляющая реакции при
периодическом воздействии; математическая форма вынужденной составляющей реакции
при периодическом воздействии; квазипериодический сигнал; расчет
переходных процессов при периодическом воздействии; условный «первый импульс»
периодического сигнала.
1.8. Спектральный метод анализа цепей
1.8.1. Апериодические сигналы и их спектры
Апериодический (непериодический) сигнал; РФ в комплексной форме; переход
от периодического сигнала к апериодическому, от дискретного спектра к
сплошному и от РФ к интсчралу Фурье; спектр сигнала (изображение по Фурье) и его
свойства; абсолютно интегрируемая функция; спектр дельта-функции;
одностороннее преобразование Фурье как частный случай преобразования Лапласа;
виды спектральных характеристик четность спектральных характеристик;
физическая трактовка спектров; спектральная плотность; начальное значение
спектра; частотная характеристика как спектр ИХ; связь спектра одиночного
импульса с дискретным спектром периодического сигнала аналогичной формы;
достоинства спектрального метода анализа цепей; приближенный расчет
переходных процессов спектральным методом; приближенная оценка выходного
сигнала цепи спектральным методом.
1.8.2. Спектры некоторых абсолютно интегрируемых
сигналов
Спектр прямоугольного импульса; амплитудный и фазовый спектры (АС и ФС);
причины скачков фазового спектра на 180°; огибающая амплитудного спектра;
лепестки (нули) спектра; ширина спектра по различным критериям; спектр
треугольного импульса; особенности амплитудного и фазового спектров; связь ширины

28
1. Тематический каталог
спектра с длительностью сигнала; спектр экспоненциальною импульса; спектр
«меандра»; контроль спектра но его начальному значению.
1.8.3. Ширина спектра и ее связь с длительностью
и крутизной сигнала
Энергия сигнала; формула Рэлея; энергетический критерий ширины спектра;
амплитудный критерий ширины спектра; критерий ширины спектра по значению
его первого «лепестка»; сравнение критериев ширины спектра; спектр дельта-
функции; ширина спектра и энергия ЕИФ; невозможность реализации ЕИФ;
связь длительности сигнала с шириной его спектра; связь крутизны сигнала с
шириной его спектра; связь полосы пропускания с длительностью переходных
процессов в цепи: сходимость спектров апериодических и периодических сигналов.
1.8.4. Приближенные методы отыскания сигнала по спектру
Метод приближенного расчета сигнала по его амплитудному и фазовому
спектрам, достоинства метода; связь одиночного импульса с дискретным спектром
периодического сигнала аналогичной формы; гармоники РФ; формулы связи
сигнала с его вещественным и мнимым спектрами; жесткая связь спектральных
характеристик сигнала (и частотных характеристик цепи); свойства спектра сигнала,
начинающегося при t = 0; тригонометрические формы обратного преобразования
Фурье; формулы практического расчета сигнала по его вещественному
(мнимому) спектру; кусочно-линейная аппроксимация спектральных характеристик;
ошибки расчета при отбрасывании ВЧ-части спектра; невозможность реализации
идеального ФНЧ; ЧХ как спектр ИХ цепи; обратное преобразование Фурье;
условие физической осуществимости (реализуемости).
1.8.5. Спектральный метод анализа переходных процессов
в цепях
Спектральный метод расчета переходных процессов в цепи; спектральный метод
расчета ИХ цепи по ее ЧХ; приближенные методы расчета си тала но спектру;
расчет спектра реакции по спектру воздействия и ЧХ цепи; оценка реакции по
значению АЧХ при ш = 0; оценка реакции по значению АЧХ при ш-> оо; оценка
формы реакции при сравнении спектра воздействия с ЧХ цепи; характеристики
идеальных неискажаюгцих, дифференцирующих и интегрирующих цепей; условие
пропускания сигнала без искажения; оценка времени запаздывания по наклону
ФЧХ; дифференцирующая RC-цепь и ее характеристики; понятие о частотных
интервалах (ЧИ); интегрирующая RC-цепь и ее характеристики.
1.8.6. Спектры единичной ступенчатой функции
и амплитудно-модулированных сигналов
Абсолютно интегрируемый сигнал; сигналы, не имеющие спектра: сигналы с
особым спектром; спектр единичной ступенчатой функции; радиоимпульс; ампли-
тудно-модулированный (AM) сигнал; видеоимпульс; огибающая радиоимпульса;

1.10. Трехфазные цепи 29
несущая; изображение по Лапласу АМ-сигнала: теорема сдвига преобразования
Лапласа; формула Эйлера; спектр амплитудно-модулированпых сигналов; связь
спектра видеоимпульса со спектром радиоимпульса; эффект переноса спектра.
1.9. Цепи с взаимной индукцией
1.9.1. Основные понятия и определения
индуктивно связанных цепей
Магнитный поток (МП); цепь с взаимной индукцией, индуктивно связанная цепь
(ИСЦ); электромагнитная индукция: потокосцеиление; напряжение
самоиндукции; почокосцспление взаимной индукции; напряжение взаимной индукции;
взаимная индуктивность; поток рассеяния; индуктивность рассеяния; комплексное
сопротивление взаимной индуктивности; коэффициент связи индуктивно
связанных (ИС) кату тек; совершенная магнитная связь; согчасиое включение
ИС-катушек; встречное включение; одноноляриые зажимы (выводы, узлы) ИС-катушек;
напряжение на ИС-катушке; связь между индуктивностью, взаимной
индуктивностью и индуктивностью рассеяния; индуктивно связанный элемент (ИСЭ);
М-элемент.
1.9.2. Расчет цепей с взаимной индукцией
Последовательное соединение ИС-катушек в установившемся синусоидальном
режиме (УСР): ток при согласном и встречном включениях; эквивалентная
индуктивность; параллельное соединение ИС-катушек в УСР; эквивалентное исключение
индуктивной связи («развязка»); независимость «развязки» от вида включения
ИС-катушек; эквивачептное исключение индуктивной связи; общий узел
ИС-катушек при их «развязке»; особенности расчета разветвленных ИСЦ.
1.9.3. Трансформатор в линейном режиме
Назначение трансформатора; схема замещения трансформатора на НЧ;
нагрузка трансформатора; первичная и вторичная обмотки трансформатора; уравнения
трансформатора в УСР; входное сопротивление трансформатора; функции
передачи трансформатора: вносимое сопротивление; идеальный трансформатор и
его свойства; коэффициент трансформации; повышающий (понижающий)
трансформатор: мощность идеального трансформатора; приближение реального
трансформатора к идеальному в УСР; совершенный (силовой) трансформатор;
ферромагнитный сердечник; сравнение ЧХ идеального и реального трансформаторов.
1.10. Трехфазные цепи
1.10.1. Основные понятия трехфазных цепей
Трехфазная цепь (ТФЦ); симметричный трехфазный (ТФ) источник; прямой
порядок следования фаз; обратный порядок следования фаз; фазные и
линейные напряжения в ТФЦ; связь между ними у симметричного ТФ-источника;

30
1. Тематический каталог
ТФЦ при соединении «звездой» (основные понятия); линейные и фазные токи, их
направления, ток нулевого провода: нулевой (узловой) провод ТФЦ и его
назначение; ТФЦ при соединении нагрузки «треугольником» (основные понятия);
правила построения ВД ТФЦ.
1.10.2. Расчет трехфазных цепей
УСР; симметричный ТФ-иапачпик\ расчет ТФЦ при соеОипеиии «звездой»;
МУП, базисный узел при расчете ТФЦ; нулевой провод в ТФЦ;
несимметричная нагрузка в ТФЦ; независимый режим работы фаз нагрузки; трехпроводная
схема ТФЦ; расчет ТФЦ при соединении нагрузки «треугольником» по заданным
линейным напряжениям.
1.11. Четырехполюсники и активные цепи
1.11.1. Основные уравнения четырехполюсников
Четырехпи посник (ЧП) и его уравнения; выводы, полюса, вход и выход ЧП;
направления токов ЧП; матричная форма записи уравнений ЧП; определение
параметров ЧП; условия обратимости (пассивности) ЧП; условия симметрии ЧП;
пересчет параметров ЧП; эквивалентные Т- и П-образные схемы замещения
пассивных ЧП: трехполтоспик (ТП).
1.11.2. Входные и передаточные функции нагруженного
четырехполюсника
Уравнение нагрузки ЧП; уравнения ЧП; принципы расчета входных и
передаточных функций нагруженного ЧП; входное сопротивление нагруженного ЧП;
передаточные функции нагруженного ЧП; ПФ ЧП в режиме КЗ нагрузки (в
режиме XX нагрузки).
1.11.3. Соединения четырехполюсников
Виды соединений ЧП; регулярность соединения ЧП; последовательное соединение
ЧП; паралчельное соединение ЧП; каскадное соединение ЧП; матрицы простейших
каскадов и соединениях ЧП; изменение параметров ЧП при смене мест
каскадов; поспедователъно-пара;Ьчелъное соединение ЧП; параллельно-последовательное
соединение ЧП.
1.11.4. Цепи с зависимыми источниками и необратимыми
четырехполюсниками
Принцип взаимности (обратимости); необратимый ЧП; признаки необратимости
ЧП; зависимый источник (ЗИ); типы ЗИ; свойства ЗИ; активный элемент;
активная цепь; расчет цепей с ЗИ; схемы замещения необратимых ЧП; схемы
замещения обратимых ЧП и ИСЭ: расчет цепей с необратимыми и обратимыми ЧП,
заметенными схемами с ЗИ; матрица индуктивиостей; матрица обратных
индуктивиостей; совершенная магнитная связь.

1.12. Основы теории фильтров 31
1.11.5. Цепи с операционными усилителями
Операционный усилитель (ОУ); зависимый источник; ИНУН; основное
уравнение ОУ; свойства ОУ; коэффициент усиления ОУ; идеальный ОУ; :жвилотенци-
альность входов идеального ОУ; расчет цепе]"! с ОУ; решающая схема на ОУ;
формула решающей схемы; инверсия знака; реализация линейных
математических операций; проводимость обратной связи; задачи преобразования
сопротивлений; преобразование сопротивлений схемой па ОУ; реализация отрицательного
сопротивления и характеристик идеального £-:)лемента без использования ка-
гушки индуктивности.
1.12. Основы теории фильтров
1.12.1. Частотные характеристики реактивных
двухполюсников
ЧХ; реактивный ДП (ZC-ДП); УС1'; резонансы напряжений и токов в £С-ДП;
расчет резонансных частот LC-ДП; нули и полюса дробно-рациональной
функции; собственные частоты; свойства ЧХ LC-ДП; ДП лестничной структуры;
МЧХ; нарастающие функции и их свойства; чередование резонансных частот;
ФЧХ LC-J\\\\ «поведение» LC-JIU на нулевой и бесконечной частотах.
1.12.2. Симметричный четырехполюсник
в согласованном режиме
Характеристическое сопротивление симметричного ЧП; режим согласованной
нагрузки; уравнения ЧП; расчет характеристического сопротивления по
«-параметрам; передаточные функции симметрично/о ЧП в согласованном режиме;
расчет ПФ по «-параметрам; первичные и вторичные (характеристические)
параметры ЧП; коэффициенты затухания и фазы: характеристическая мера передачи;
частотные характеристики симметричного ЧП в согласованном режиме; неперы
и децибелы; УСР; АЧХ и ФЧХ симметричного ЧП; невозможность реализации
согласованного режима па любой частоте; гиперболическая форма уравнений
симметричного ЧП; гиперболические функции; использование сопротивлений XX
и КЗ симметричного ЧП для расчета его характеристического сопротивления
и ПФ в режиме согласованной нагрузки.
1.12.3. Расчет классических симметричных реактивных
фильтров по характеристическим параметрам
Фильтр; ЧП; полоса пропускания (ПП) — нсискажения, прозрачности; полоса
задерживания (ИЗ); частота среза; идеальный фильтр; кшффициент затухания;
дробно-рациональная функция; невозможность реализации идеального фильтра;
K/iaccuyecKuu фильтр; симметричный LC-ДП: АЧХ; классификация фшътров;
ФНЧ. ФВЧ, МИФ, ПЗФ; продольное и поперечное плечи симметричных
фильтров Т- и П-структур; ПРН. ПРТ; трактовка работы фильтра на характерных
частотах; достаточные условия работы классических фильтров в ПП; согласованная

32
1. Тематический каталог
нагрузка; «разнореактивносгь» сопротивлений XX и КЗ фильтра в ПП; фильтр
типа k\ ФНЧ тина k\ невозможность согласования фильтра типа k на любой
частоте; достоинства и недостатки фильтров типа к; проектирование ФНЧ тина к.
1.12.4. Расчет фильтров методом преобразования частоты
ФНЧ-прототин; метод преобразования частоты (Ml 14); сравнение
характеристик проекмфуемого фильтра и ФНЧ; частота среза; проектирование ФВЧ по
ФНЧ-прототипу; щюектирование НПФ по ФНЧ-прототипу; проектирование
НЗФ по ФНЧ-прототипу\ продольное и поперечное плечи фильтра;
классификация фильтров; учет различия сопротивлений нагрузки при проектировании
фильтров МПЧ.
1.12.5. Фильтры Баттерворта
Недостатки классических фильтров, невозможность согласования на любой час-
готе; современная теория фильтров; реализация заданной ПФ при постоянной
нагрузке; идеальный фильтр и задача аппроксимации его АЧХ; полиномиальные
фильтры, их ПФ и АЧХ, простота реализации; монотонная (максимально
плоская, баттервортовская) и равномерная (колебательная, чебышевская)
аппроксимации АЧХ; полоса пропускания, частота среза, неравномерность и критерий
0,707 от максимума АЧХ; фильтры Баттерворта; АЧХ и нормирование
фильтров Баттерворта; полиномы Баттерворта; множество решении задачи реализации
фильтров; проектирование фильтров Баттерворта; затухание АЧХ в полосе
задерживания; трехкратный нуль ПФ на бесконечной частоте; депормировка;
МПЧ при расчете фильтров.
1.12.6. Фильтры Чебышева
Полиномиальные фильтры; равномерная (колебательная, чебышевская)
аппроксимация АЧХ идеальных фильтров в полосе пропускания; фильтры Чебышева;
АЧХ фильтров Чебышева; полипомы Чебышева; гиперболические функции;
особенности описания АЧХ в ПП; неравномерность АЧХ в ПП; ряд Тейлора,
приближенные операции с малыми; полиномы Чебышева на границе ПП;
затухание фильтров Чебышева в полосе задерживания; достоинства фильтров
Чебышева и их сравнение с фильтрами Баттерворта; проектирование
фильтров Чебышева, денормировка параметров; использование метода преобразования
частоты.
1.13. Начала синтеза цепей
1.13.1. Синтез реактивных двухполюсников
Входное сопротивление реактивных ДП; основное свойство LC-ДП; 1гули и
полюса дробно-рациональной функции, кратные и простые корни; чередование
резонансных частот; условие реализуемости входного сопротивления реактивным
двухполюсником; теорема разложения изображения по Лапласу на простые
дроби; положительность коэффициентов разложения ZLC(s) на простые дроби; pea-

1.14. Цепи с распределенными параметрами 33
лизания LC-ДП по Фостеру (разложением на простые дроби); множество
вариантов решизации LC-ДП; реализация лестничных LC-ДП по Кауэру
(«непрерывное» выделение полюсов ZLC и YfC в «О» нли в «оо»); расположение
нулей и полюсов ZJC па мнимой оси; частичное (неполное) выделение полюсов
при реализации ZLC; обращение остатка при реализации ZLC.
1.13.2. Синтез ЯС-двухполюсников
Соответствие сопротивлений КС- и LC-двухполюсников; ДП одинаковой
структуры; операторные сопротивления; основное свойство ZRC(s);
дробно-рациональная функция, ее нули и полюса; обобщенная частота; отрицательные значения и
чередование нулей и полюсов ZRC(s\ их расположение па комплексной
плоскости; условие реализуемости RC-ДП; реализация RC-двулполюсников.
1.13.3. Использование цепей с операционными усилителями
для реализации передаточных функций
Форму ш «решающей схемы» на ОУс одним входом; ПФ каскада решающих схем
на ОУ; реализация на ОУ ПФ с отрицательными нулями и полюсами; формула
«решающей схемы» пи ОУ с несколькими входами; изображение но Лапласу
уравнений состояния; эквивалентные формы записи связи реакции с
воздействием; переход от уравнений состояния к ПФ; переход от ПФ к уравнениям
состояния; реализация на ОУ произвольных ПФ.
1.14. Цепи с распределенными параметрами
1.14.1. Дифференциальные уравнения однородной линии
Цепь с сосредоточенными параметрами; цепь с распределенными параметрами;
длинная линия (ДЛ); схема замещения электротехнического устройства цепью с
сосредоточенными параметрами; схема замещения бесконечно малого элемента
ДЛ; Т- и П-образные симметричные схемы замещения элемента ДЛ;
пренебрежение малыми высших порядков; вход и выход, длина и нагрузка ДЛ; первичные
параметры ДЛ (их размерность); однородная ДЛ; примеры ДЛ; приращение
переменных в элементе ДЛ; телеграфные уравнения однородной ДЛ; симметрия и
дуальность уравнений ДЛ в частных производных, зависимость от времени и
координаты.
1.14.2. Решение уравнений линии
и ее характеристические параметры
Преобразование Лапласа; операторные уравнения ДЛ; коэффициент
распространения; волновое сопротивление; телеграфные уравнения однородной линии;
вторичные параметры ДЛ; решение уравнений ДЛ; однородное дифференциальное
уравнение; свободная и вынужденная составляющие решения; отсчет координат
в ДЛ; падающая и отраженная волны в ДЛ; отношение волн напряжения и тока
в ДЛ; коэффициент отражения; XX и КЗ нафузки в ДЛ.

34
1. Тематический каталог
1.14.3. Линия как симметричный четырехполюсник
Формулы Эйлера для гиперболических функций; гиперболическая форма
уравнений ДЛ; ДЛ как симметричный ЧП; характеристическое сопрогивление как
волновое сопротивление ДЛ; коэффициент распространения как погонная мера
передачи ДЛ; согласованная нагрузка ДЛ\ определение вторичных параметров ДЛ
по сопротивлениям ее XX и КЗ: линия бел отражения (ЛБО); условия
согласования ЛБО; дробно-рациональная функция; частотные характеристики ЛБО;
искажение сигналов в ЛБО; погонный коэффициент затухания ДЛ; погонный
коэффициент фазы; линия без искажения (ЛБИ); частотные характеристики и
переда!очные функции ЛБИ; время запаздывания сигналов, проходящих по ЛБИ;
скорость волны в ЛБИ; соотношение между первичными параметрами в
реальной ДЛ.
1.14.4. Линия без потерь
Линия без потерь (ЛБ1Г); волновое сопротивление; коэффициент
распространения; ПФ и ЧХ в согласованном режиме; скорость прохождения сигналов к ЛБП;
приближение реальной линии к ЛБП; трактовка падающей и отраженной еолн в
ЛБП; коэффициент отражения от источника; запаздывание проходящих
сигналов в ЛБП; переходные процессы в ЛБП\ выходное (эквивалентное, внутреннее)
сопротивление источника; подключение ЛБП к ИНН при несогласованной
нагрузке; трактовка переходных процессов в ЛБП.
1.14.5. Линия в установившемся синусоидальном режиме
Уравнения процессов в ДЛ в УСР; коэффициент распространения; погонные
коэффициенты затухания и фазы; описание процессов во временной области;
длина волны как период по координате; фазовая скорость волны; погонный коэффи-
циеиг фазы как нелинейная функция частоты; искажающее действие ДЛ в
согласованном режиме; условие неискаженного прохождения сигналов в ДЛ;
время запаздывания проходящих по ДЛ сигналов; длина волны вДЛ\ связь между
длиной волны и фазовой скоростью; стоячие волны в ЛБП; отсутствие затухания
воли в ЛБП; условие полной компенсации волн в ЛБП; расстояние между
узлами и пучностями стоячих волн; коэффициент отражения в режиме стоячих волн;
четвертьволновой отрезок ЛБП при КЗ нагрузки.
1.15. Основы теории дискретных сигналов и цепей
1.15.1. Дискретные сигналы и теорема дискретизации
Аналоговый сигнал; дискретный сигнал; период дискретизации; свойство выборки
дельта-функции; идеализация дискретных сигналов; периодическая
последовательность дельта-функций; теорема Котелъникова (Найквиста, Шеннона) — теорема
дискретизации; спектр дискретного сигнала (периодический спектр); фильтр
Котелъникова; ФПЧ: восстановчение непрерывного сигнала на выходе фильтра
Котслышкоьа; некорректные моменты теоремы Котельникова; особенности

1.15. Основы теории дискретных сигналов и цепей 35
спектра реальных аналоговых сигналов; критерии ширины спектра; частота
дискретизации; неустранимые ошибки дискретной техники.
1.15.2. Основные понятия дискретных линейных цепей
Дискретная последовательность (решетчатая функция); дискретный сигнал;
цифровая последовательность; квантование по времени и по уровню;
дискретная цепь (ЛИ,)) дискретный фильгр; линейная дискретная цепь; элементы
суммирования, масштабирования, сдвига (задержки); предначальные условия (ПНУ);
разностное уравнение (РУ); порядок ДЦ; численное решение
дифференциальных уравнении; численное решение уравнений состояния; шаг численного
расчета; период дискретизации: приведенная форма РУ; схема дискретной цепи.
1.15.3. Анализ дискретных цепей во временной области
Численное решение разностных уравнений (РУ); предначальные условия;
дискретные последовательности (решетчатые функции); решение уравнений ДЦ «в
замкнутой форме»; аналитическое решение разностных уравнений ДЦ; свободная
составляющая решения РУ ДЦ; условие устойчивости ДЦ; вынужденная
составляющая решения РУ ДЦ; неоднородные РУ; математическая форма воздействия;
переходная характеристика ДЦ; единичная ступенчатая последовательность;
импульсная характеристика ДЦ; дискретная дельта-функция; связь ИХ ДЦ с
ИХ; принципы наложения и пропорциональности в теории ДЦ; дискретная
свертка ИХ с дискретным воздействием; аналогия анализа аналоговых и
дискретных цепей в /-области.
1.15.4. Применение z-преобразования для анализа
процессов в дискретных цепях
Представление дискретного сигнала суммой чельта-функцнн; преобразование
Лапласа; изображение дельта-функции; дискретное преобразование Лапласа;
формула прямого г-прео6разоваиия\ свойства z-преобразоваиия; теоремы z-npe-
образования] теоремы дифференцирования, запаздывания, свертки, о начальном
значении; таблица z-преобразования; с-прсобразопание дискретной
дельта-функции, единичной ступенчатой последовательности (дискретной ЕСФ), линейно-
нарастающей последовательности, степенной последовательности; численный
расчет дискретной последовательности по ее г-нреобразованию и по схеме ДЦ;
теорема разложения при обратном z-преобразовании: запись теоремы
разложения в случае кратных и комплексных полюсов ^-преобразования; передаточная
функция дискретной цепи\ импульсная и переходная характеристики ДЦ;
свойства ПФ ДЦ; связь ПФ с разностным уравнением ДЦ.
1.15.5. Определение параметров дискретной цепи
по прототипу-аналогу
Аналоговые и дискретные сигналы и цепи; алгоритмы численного решения
уравнений состояния', явная, неявная и смешанная формы алгоритма Эйлера;
билинейное преобразование; шаг численного интегрирования; интервал (период)

36
1 Тематический каталог
дискретизации; теорема Котелышкова; формулы перехода к дискретной цепи от
аналоговой на базе уравнений сосгояния; определение ПФ ДЦ по аналоговому
прототипу; метод инвариантности (полного соответствия) переходных
характеристик при переходе от аналоговой цепи к дискретной.
1.16. Нелинейные цепи
1.16.1. Общая характеристика нелинейных элементов
и цепей
Линейная цепь; зависимость параметров от интенсивности электромагнитных
процессов; нелинейный элемент (НЭ); нелинейная цепь (НЦ); статические
параметры НЭ; дифференциальные параметры НЭ; В АХ элемента; рабочая точка;
классификация нелинейгшьх элементов и цепей', резистивные и динамические ИЦ;
применение МЭИ при анализе нелинейных ценен; пассивные и активные НЭ;
НЭ с неуправляемой и управляемой ВАХ; НЭ с положительными
дифференциальными параметрами и НЭ с падающими участками характеристик;
однозначная и неоднозначная характеристики IIЭ; гистерезис; нелинейные ДП и ЧП; НЭ
с симметричными и несимметричными характеристиками; общие свойства
нелинейных цепей] уравнения соединений (ЗТК и ЗПК) НЦ; справедливость
принципов непрерывности в НЦ; несправедливость принципов линейности
(пропорциональности, дифференцируемое™, наложения); возможность преобразования
спектра периодических сигналов в НЦ; общая характеристика НЦ.
1.16.2. Анализ нелинейных резистивных цепей
Графический расчет R-НЦ; достоинства и недостатки; результирующая ВАХ R-
НЦ; последовательное и параллельное соединения /?-НЦ; определение РТ ft-НЦ;
использование МЭИ при расчете НЦ; аппроксимация ВАХ К-НЭ полиномом
(степенным многочленом); метод трех точек при аппроксимации ВАХ НЭ
полиномом; формула Лаграижа при полиномиальной аппроксимации; аналитический
расчет R-НЦ при полиномиальной аппроксимации ВАХ R-НЭ; нелинейное
функциональное уравнение (ПФУ); итерационное решение НФУ; метод Ньютона —
Рафсона при итерационном решении НФУ; метод последовательных
приближений; нулевое приближение; графическое решение НФУ; аналитический расчет
R-НЦ методом кусочно-линейных схем; эквивалентная схема НЭ при кусочно-
линейной аппроксимации его ВАХ.
1.16.3. Нелинейные резистивные цепи с диодами
Вентильный эффект; характеристики открытого и закрытого (запертого) диода;
идеализация диодных характеристик; идеальный диод (КЗ, XX); прямое и
обратное включения идеального диода (ИД); ВАХ идеального диода; нарастающая
кусочно-линейная ВАХ; типы кусочно-линейных диодных моделей; результирующая
ВАХ; ВАХ 1IH, ИТ, линейного /Элемента и ИД; представление нарастающих
ВАХ кусочно-линейными диодными моделями.

1 17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников 37
1.16.4. Анализ динамических нелинейных цепей
Особенности расчета переходных процессов в НЦ; динамическая НЦ;
уравнения состояния ПЦ и их решение; численное решение уравнений состояния НЦ;
аналогия численного решения уравнений состояния нелинейных и линейных
цепей; расчет переходных процессов в НЦ методом кусочно-линейной
аппроксимации; метод при насовывания; эквивалентная кусочно-линейная схема
замещения динамической ПЦ; начальные и граничные условия при расчете
переходных процессов в ПЦ методом припасовывания; использование линейных
методов расчета при анализе динамических НЦ; особенности УПР в
динамических НЦ; метод гармонического баланса (МГБ) при расчете УПР в НЦ;
аппроксимация характеристик ПЭ нечетным полиномом; гармонический баланс;
баланс на основной гармонике УПР; тригонометрические уравнения; МКА;
решение НФУ.
1.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников
117.1. Нормирование передаточных функций
четырехполюсников
Передаточная функция ЧП; лестничная структура ЧП; продольное
сопротивление; поперечная проводимость; уравнения ЧП; уравнение нагрузки; равенство
нормированных ПФ по току и сопротивлению передачи, ПФ по напряжению и
проводимости передачи; нормированная нагрузка ЧП; нормированные
передаточные функции ЧП; передаточные функции ЧП в режимах его КЗ или XX;
реализуемые параметры ЧП.
1.17.2. Основные свойства реактивных четырехполюсников
лестничной структуры
Свойство 1 LC-ЧП о нулях и полюсах Z21 и У^ъ свойство 2 LC-ЧП о полюсах Z22 и
I Z\> О гг и Ym); общая процедура синтеза ЧП лестничной структуры; частные
почина Z2-> и Y22; свойство 3 LC-ЧП о частных полюсах Zn и Y22; свойство 4 ЧП о ну-
I лях ПФ ЧП; свойство 5 LC-ЧП о формировании нулей ПФ LC-ЧП; свойство 6
ЧП лестничной структуры об отсутствии нуля ПФ при частичном выделении
полюса; условие Фиалкова (свойство 7 ЧП) об ограничении коэффициентов ПФ
ЧП; свидетельство правильного окончания синтеза ЧП (свойство 8 ЧП);
реализация нулей I, II и III категорий (в ПФ ЧП).
1.17.3. Условия реализуемости и определение параметров
реактивного четырехполюсника по передаточной функции
Передаточная функция ЧП в режимах его КЗ или XX; общая проверка па
реализуемость ПФ LC-ЧП в режимах его КЗ или XX; условие Фи&чкова; мнимость
нулей и полюсов ПФ; определение параметров синтезируемого ЧП по ПФ LC-ЧП
в режимах его КЗ или XX; проверка на основное свойство ZIC (s)\ нормированные
ПФ ЧП; общая проверка на реализуемость ПФ LC-ЧП при нормированной

38
1. Тематический каталог
нагрузке; определение параметров синтезируемого ЧП по ПФ LC-4YI при
нормированной нагрузке.
1.17.4. Реализация реактивных четырехполюсников
лестничной структуры
Задачи расчета цепей; реализуемые параметры ЧП; реализация нулей ПФ как
полюсов обращенных остатков; нули ПФ как полюса продольных
сопротивлений и поперечных проводимостей ЧП лестничной структуры; возможность
получения требуемого нуля остатка при частичном выделении полюса; метод
«проб и ошибок» при реализации нуля 3-й категории; последовательность
действий при реализации пуля 3-й категории в НФ ЧП; общая последовательность
синтеза LC-4II лестничной структуры.
1.17.5. Синтез резистивно-емкостных четырехполюсников
Свойства резистивпо-емкостпых ЧП; аналогия свойств LC- и ЯС-ЧП; свойство 9
RC-ЧП о полюсах ПФ; условия реализуемости ПФ RC-ЧП; определение
параметров RC-ЧП по его НФ в режимах КЗ или XX; определение параметров RC-ЧП
по его НФ. заданной при нормированной нагрузке; «правый и левый» полиномы
знаменателя ПФ RC-ЧП; последовательность реализации RC-ЧП.
1.18. Связанные контуры с большой добротностью
1.18.1. Общая характеристика связанных контуров
Связанные контуры (СК); элемент связи; трансформаторная, индуктивная и
емкостная связь и С К; коэффициент связи в СК; дуальные цепи; достоинства СК;
частотно-избирательные устройства (ИНФ, ПЗФ); первичные параметры СК;
входное сопротивление связанных контуров; вносимое сопротивление;
передаточные функции связанных контуров; аналогия формул СК и трансформатора.
118.2. Резонанс в связанных контурах
Условия резонанса в УСР; постройка связанных контуров в резопапе; частный
резонанс в СК; первый и второй частотные резонансы; индивидуальный резонанс в
СК; сложный резонанс в СК: итерационная настройка сложного резонанса в С К;
оптимум сопротивления связи при сложном резонансе в СК; максимум макси-
морум токов при резонансе в СК; полный резонанс в СК; оптимальное
сопротивление связи при полном резонансе в СК; коэффициент связи при настройке
полною резонанса в СК; простота реализации полного резонанса; условие передачи
максимума мощности в нагрузку в СК.
1.18.3. Частотные характеристики связанных контуров
СК как цепь 4-го порядка; допущения анализа связанных контуров (одинаковые
контуры, малые абсолютные расстройки в окрестности резонансной частоты);
относительная расстройка в СК; обобщенная расстройка в СК; фактор связи

1.19. Основы машинно-ориентированных методов расчета цепей 39
в СК; расчет резонансных частот в СК; степень связи о СК; слабая связь в СК
(индивидуальный резонанс); сильная связь в СК (сложный резонанс);
критическая связь в СК (полный резонанс); алтчитудно-частотная характеристика
СК при слабой, критической и сильной степени связи; экстремальные точки
ЛЧХ; сравнение АЧХ связанных контуров и одиночного контура; идеальный
фильтр; избирательность; двугорбая и одногорбая АЧХ и СК.
1.18.4. Проектирование связанных контуров
Полоса пропускания связанных контуров; определение ПП СК при критической
и сильной связи; предельный фактор связи; семейство нормированных АЧХ СК;
коэффициент прямоу/олыюсти; избирательность СК; идеальный фильтр; проек-
шрованне связанных контуров по заданному коэффициенту прямоугольности;
каскадное соединение С К.
1.19. Основы машинно-ориентированных методов
расчета цепей
119.1. Структурная матрица
Полная информация о струкгурс цепи; ориентированный граф; устранимый
узел; согласованная полярность; полная структурная матрица (матрица
соединений, ннцидениий); ЗТК в матричной форме; свойства структурной матрицы;
независимая структурная матрица; базисный улел; дуальность; узловая матрица;
транспонированрая матрица; связь узловой и структурной матриц.
1.19.2. Упорядоченные матричные уравнения цепи
Особенности ввода информации о структуре цепи в ЦВМ; ориентированный
граф К-цспей; дерево графа с ИII; хорды с IIT; жесткая нумерация
упорядоченного графа; сечение; главное сечение (ГС); нумерация ГС; направление выхода из
ГС; матричная форма уравнений ГС; подматрицы уравнений ГС; единичная
матрица; фундамешальная матрица; матрица гоков ветвей дерева; матрица токов
хорд; главный контур (ГК); нумерация ГК; направление ГК; матричная форма
уравнений ГК; подматрицы уравнений ГК; связь фундаментальных матриц
уравнений ГС и ГК; матричная форма уравнений закона Ома; диагональная матрица;
минимальная информация, вводимая в ЦВМ; независимость упорядоченных
матричных уравнений цепи; неизвестные в упорядоченных матричных уравнениях
цепи.
1.19.3. Алгоритмы решения машинных уравнений цепей
Ориентированный граф; обобщенный элемент ветви дерева; узловая матрица;
структурная матрица; МУН; уравнения токов обобщенных элементов;
уравнения напряжений ветвей с использованием структурной матрицы; расчет узловых
напряжений с использованием структурной матрицы.

40
1. Тематический каталог
1.20. Основы теории чувствительности цепей
к изменению параметров
1.20.1. Теорема компенсации
Чувствительность цепи к изменению параметров; причины отклонения параметров
цели от номинальных; теорема компенсации (ТК); присоединенная цепь (модель
чувствительности); компенсационный источник, дуальная теорема компенсации]
эквивалентность расчета чувствительности по дуальным ПЦ; динамические
цепи; 777/ (в 770 wpi/ изменении индуктивности {емкости); «паразитный»
элемент; порядок цепи.
1.20.2. Расчет функций абсолютной чувствительности
на основе теоремы компенсации
Абсолютное и относительное изменение реакции; функция абсолютной чувстви-
тельшнти (ФАЧ); приближенная оценка изменения реакции по ФАЧ; ряд
Тейлора; ограничение теории чувствительности, базирующейся па ФАЧ; принцип
пропорциональности; ПЦ для расчета ФАЧ по ТК\ функция относительной
чувствительности; получение ПЦ для расчета ФАЧ дифференцированием законов
Кирхгофа и Ома; дуальная ПЦ для расчета ФАЧ по ТК; связь между ФАЧ к
изменению сопротивления и проводимости; динамическая цепь; ПЦ для расчета
ФА Ч к изменению индуктивности (емкости).
1.20.3. Вычисление функций абсолютной чувствительности
на основании теоремы Теледжена
Баланс мощностей в цепи; теорема Теледжена (ТТ); присоединенная цепь (модель
чувствительности); ФАЧ; ФАЧ единственной реакции к изменению всех
параметров цепи; ориентированный граф; уравнение чувствительности; теорема
компенсации; 77// для расчета ФАЧ выходного напряжения по ТТ; формула для
расчета ФАЧ выходного тока по 7Т; использование формулы связи между ФАЧ
к изменениям сопротивления и проводимости.
1.21. Релейные автоколебательные цепи
1.21.1. Общая характеристика автоколебательных
релейных цепей
Нелинейная цепь; релейный элемент (РЭ); управляемый (зависимый) источник;
виды характеристик РЭ; гистерезис; зона нечувствительности; порог
срабатывания РЭ; симметричные и несимметричные характеристики РЭ; релейная цепь
(РЦ); автоколебания (АК); особенности автоколебаний в релейных цепях;
простейшие симметричные АК; АК сложной формы; общая характеристика
расчета АК в цепи с РЭ; структурная схема автоколебательной РЦ; линейная часть
(ЛЧ); ИФ с инверсией знака и непрерывной переходной характеристикой ЛЧ.

1.22 Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках 41
1.21.2. Анализ процессов в простых автоколебательных
релейных цепях
Задачи расчета ЛК; особенности АК в РЦ, линейная часть (ЛЧ) в РЦ; общая
характеристика расчета АК; допущения расчета АК в простых РЦ; начало отсчета
времени; симметричная форма А К; РЭ с гистерезисом; отсутствие переключений
внутри полупериода АК; методика расчета в замкнутой форме; точный расчет
простейших симметричных АК в РЦ\ определение свободной составляющей по
полюсам ПФ; математическая форма вынужденной составляющей; нелинейное
функциональное уравнение для расчета полупериода АК; порог срабатывания
РЭ с гистерезисной и идеальной характеристиками.
1.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных
потоках
1.22.1. Магнитные цепи и ферромагнитные материалы
Магнитная цепь (МЦ); магнитный поток (МП); ферромагнитные материалы;
магнитная проницаемость; постоянный магнит; воздушный зазор; однородная
МЦ; классификация МЦ; неразветвлеипая МЦ; основные законы МЦ; МП и
вектор магнитной индукции; циркуляция вектора напряженности магнитного поля;
магнитодвижущая сипа (МДС); вебер; тесла; правило правого винта;
характеристики намагничивания ферромагнитных материалов; петля гистерезиса;
коэрцитивная сила; остаточная индукция; магнитотвердые и магнитомягкме материалы;
основная кривая намагничивания (ОКН); физическая трактовка характеристики
намагничивания; домены и самопроизвольное намагничивание; «насыщение»
характеристики намагничивания.
1.22.2. Основные принципы расчета магнитных цепей
Основные допущения расчета магнитных цепей; скалярное произведение
векторов; расчет магнитного потока через поперечное сечение магнитной цепи;
замена циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру
суммой магнитных напряжений; МДС; использование основной кривой
намагничивания; пренебрежение МП вне МЦ; допущения расчета МЦ в воздушных
зазорах; особенности расчета МЦ с магнитотвердыми материалами (магнитами);
аналоги законов Кирхгофа и Ома при расчете МЦ; аналог ЗТК при расчете МП в
разветвлении МЦ; аналог ЗНК для магнитных напряжений и МДС контура МЦ;
нелинейность характеристик МЦ и линейность магнитного сопротивления
воздушного зазора.
1.22.3. Расчет простых магнитных цепей
Прямая задача расчета неразветвлепной МЦ; расчет МДС по заданному
магнитному потоку и параметрам магнитной цепи; аналогия прямой задачи расчета МЦ
обратной задаче расчета ЭЦ и МПВ; обратная задача расчета неразветвлепной
МЦ; воздушный зазор; магнитное напряжение и сопротивление; аналогия
обратной задачи расчета МЦ прямой задаче расчета ЭЦ; расчет МП по заданной МДС

42
1. Тематический каталог
и параметрам МЦ; графический метод решения задачи; основная кривая
намагничивания и ее пересчет; определение зависимости магнитного напряжения от
МП для участка МП и построение результирующей характеристики; рабочая
точка; подобие расчета МЦ расчету Й-НЦ; аналоги законов Кирхгофа при
расчете VIЦ.
1.22.4. Расчет простой магнитной цепи
с постоянным магнитом
Постоянный магнит; магнитный поток; магии готвердые материалы с широкой
петлей гистерезиса; кривая размагничивания', пересчет характеристик
намагничивания ферромагнитных материалов; воздушный зазор; основные законы МЦ;
непрерывность и замкнутость линий вектора магнитной индукции; совпадение
направлений векторов магнитной индукции и напряженности магнитного поля в
воздушном зазоре; линейность магнитного сопротивления воздушного зазора;
магнитное напряжение; определение рабочей точки МЦ с постоянным магнитом.

2. Алфавитный каталог-словарь
важнейших понятий, определений, законов,
свойств, ключевых слов и терминов теории
электрических цепей
Введение
Цель данного раздела справочника — подробно рассмотреть важнейшие
понятия, термины и ключевые слова, выделенные в тематическом каталоге
справочника (в разделе 1), причем гак, чтобы попутно рассмотреть и второстепенные
термины.
При описании каждого термина в алфавитном каталоге-словаре курсивом
выделены и дру! ие термины, близкие к рассматриваемому и также описанные в
алфавитном каталоге. В конце описания каждого термина указано, к какому
параграфу темагического каталога относится термин. Если рассматриваемый термин при
расшифровке упоминается неоднократно, он записывается сокращенно
(первыми буквами составляющих его слов).
Описываемый термин относится к теории линейных электрических цепей, если
иное ire оговорено специально.
1. Автоколебания (АК) — периодические колебания, устанавливающиеся в
нелинейных цепях при отсутствии воздействии (то есть в свободном режиме).
См. 1.21.1.
2- Активная цепь содержит хотя бы один активный элемент (под которым
обычно подразумевают зависимый источник). См. 1.11.4.
3. Активный элемент. 1. А.э. — элемент, энергия которого в некоторые моменты
времени может быть отрицательной; с этих позиций ИЫ и ИТ можно считать
А.э., однако когда говорят об активных цепях (и элементах), в первую очередь
имеют в виду цепи с ЗИ (то есть с необратимыми четырехполюсниками).
2. А.э. — это элемент, схема замещения которого обязательно содержит
зависимый источник. Цепь, содержащая хотя бы один активный элемент с ЗИ,
называется активной. Расчет цепей с ЗИ описан в 3.5.9. См. 1.11.4.
4. Алгоритмы численного решения уравнений состояния [/2'(01 = И ИЛ (01 +
+ l^][/i(0L где [Л(0]. 1Л(0] " матрицы воздействии и реакций; [А\, \В]—
матрицы коэффициентов.
1. Явная форма алгоритма Эйлера реализует на л-м шаге численною решения
уравнение ([/2п | - |Л(|М> \)/Т = И][Л(я-п I + l#H/i<„-o 1 - которое, фактически,
является разностным уравнением для дискретной цепи, поскольку f„ = f(nT) —
дискретная последовательность, а Г — шаг численного интегрирования,

44 2 Алфавитный каталог-словарь
то есть период (интервал) дискретизации; в уравнении «явной формы»
справа записывают данные предыдущего шага/(/М) &f(nT — T).
2. Неявная форма алгоритма Эйлера (|/2я ]-[/2(„_0 \)/T = \A][f2„ ] + l#JLA„ |.
то есть справа записывают данные рассматриваемого шага.
3. Смешанная форма алгоритма Эйлера
([/*„ 1 - [Л,-,, 1)/т = И ИЛ,-,, 1 + [«И/.. 1 •
то ecib справа «беруг*- воздействие на рассматриваемом шаге, а реакцию — па
предыдущем.
4. Билинейное преобразование
IV 2л J ~ L/2(n-!> J _ г л . \J2n I + \J2(n-l) I . ~. U\n I *" I/ |(я-1) J
j I I 2 +1 ' 2 '
то есть справа записывают «средние», а слева — приращение реакции на
рассматриваемом шаге числеппо/о интегрирования уравнений состояния.
См. 1.15.5.
5. Амплитудно-модулированный (AM) сигнал описывается выражением /AN1(0 =
= f(t)vvb(to0t + а), где/чм(/)— AM-сигнал, или радиоимпульс; /(/)—
видеоимпульс, то есть огибающая радиоимпульса или модулирующая функция; ад0 —
несущая (частота заполнения вичеоимпульса). См. 1.8.(5.
6. Амплитудно-частотная характеристика сняла иных контуров при слабой,
критической и сильной степени связи. АЧХ функции передачи по напряжению
с учетом допущений анализа С К имеет вид
Ор
Л(о))=|Я,;(»| =
V(1 + «'-£2)2+(2r.)2'
где а — фактор связи; е — обобщенная расстройка; Q — добротность RLC-кои-
гуров. При слабой связи (а < 1) кривая АЧХ «одногорбая» с максимумом Лпшх =
= Qfl/O + и1) при е = 0 — это случай индивидуального резонанса. При критической
связи (а = 1) имеем предельно плоскую «одногорбую» кривую АЧХ с одним
максимумом максиморумо: Апяхтлх =(2/2, что соответствует полному резонансу. При
сильной связи (а > 1) кривая ЛЧХ «двугорбая», причем при e=0on;i имеет
минимум А(со0 ) = Qaf(\ + аг)< Q/2, а два максимума располагаются симметрично
относительно частоты о)=0)п на частотах со.,, =соп 1±—*v«2 -1 — .л о случай
и (\ 2(2 )
сложного резонанса. АЧХ связанных контуров на границах полосы пропускания
(па уровне 0,707Дп:1К) имеет крутизну спада выше, чем АЧХ одиночного RLC-
контура. При сильной связи (1 < а < 2,41) — предельного (фактора связи) АЧХ
по форме ближе, чем ЛЧХ одиночного контура, к характеристике идеального
фильтра; поэтому связанные контуры обладают значительно лучшей
избирательностью по сравнению с одиночным контуром. См. 1.18.3.
7. Амплитудный критерий ширины спектра. Шириной спектра Лео называют
диапазон частот в районе максимума АС Л(<о), причем вне этого диапазона

2. Алфавитный каталог-словарь 45
Л (со) <0,0\пАтлх (обычно, п ■* 10 или 5 %). На практике амплитудный критерий
значительно проще строгого энергетического критерия ширины спектра. См. 1.8.3.
8. Аналитический расчет tf-НЦ методом кусочно-линейных схем. 1. ВЛХ НЭ
и (/') аппроксимируется набором линейных уравнений и = ЯА/ + ы0Л1 причем
коэффициент Rk трактуется как сопротивление схемы замещения ПЭ па k-м участке
аппроксимации, ы0А — как напряжение ИН, то есть в схеме замещения цепи НЭ
представлен последовательным соединением линейного сопротивления Rk и
источника постоянного напряжения и0А. 2. Любым методом расчета линейных /?-це-
пей выводят формулу для определения реакции. 3. Перебором Rk и и^ для всех
участков аппроксимации всех НЭ находят реакцию. См. 1.16.2.
9. Аналитический расчет Я-НЦ при полиномиальной аппроксимации. 1.
Выполняют аппроксимацию полиномами ВАХ НЭ с использованием формулы Ла-
гранжа или иногда при параболической аппроксимации методом трех точек,
когда полином ы(/) = я0 +fl,/ + a2/2 должен проходить через заданные три точки
КМ«.'<А (ui»*'i)- (u2*h)) -Коэффициенты ak находят из системы уравнений
которая является линейной. 2. Полученные зависимости подсмавляют в систему
независимых уравнений Кирхгофа. 3. Путем исключения переменных переходят
к нелинейному функциональному уравнению (ИФУ) для нахождения искомой
реакции. Очевидны недостатки метода, связанные с исключением переменных в
нелинейной системе и с необходимостью решения НФУ, например,
итерационным методом Ньютона—Рафсона. См. 1.16.2.
10. Аналитическое решение разностных уравнений ТЦ «в замкнутой форме»
для любого шага дискретизации подобно решению дифференциальных
уравнений непрерывных цепей. Оно выполняется с помощью г-иреобразования
(аналога преобразования Лапласа для непрерывных цепей) или в ^-области в виде
суммы свободной и вынужденной составляющих решения РУ j\\\ /2(пТ) = /2 (и7ч) +
+ /?ВЫ11(пГ)-См. 1.15.3.
11. Аналитическое решение уравнений состояния в f-области при постоянных
воздействиях является довольно формальной процедурой, ее ш составлены
уравнения состояния [//1Г (01 = H|[/nt (01 + l#ll/i(01H рассчитаны независимые
НУ, которые но законам коммутации и it(0h) = it(0~) определяют начальные
значения ПС |/ис(0н)|. 1. Характеристический полином (ХП) находят по
формуле det(|/l]-p|£|) = 0, где [£"]— единичная матрица; корни ХП рк определяют
вид свободной составляющей и свободного процесса. 2. Находят вынужденную
(установившуюся) составляющую ПС, решая упрощенные матричные УС
[0| = H|[/ncnMii] + l^l[/i Ь поскольку при постоянных воздействиях |/, (О] = | const J
имеем [/псвыи(01 = [const]. 3. Начальные значения производных ПС находят по
УС, записанным для момента t = ()'. то есть [/,'к (0')| = [ЛЦ/т.((Г )1 + |ВЦ/,(0+)1.
При необходимости аналогично определяют начальные значения второй
производной ПС |/,i< (0,)|-l/lJ|/I'u(0^)l + |fill/l'(0,)|, третьей производной и т. д.
4. ГЬктояшше интегрирования Ак в решении для ПС /1К(0 = /мгш.1н +ХЛе/'*'
определяют по 11 У; например, в цепи 2-го порядка для ыг(0 = мГнН1| + АхеРх' +

46 2. Алфавитный каталог-словарь
+ AneP2t при определении Л, и А2 решают систему ис■((0=м1«вын((Г) + Л, + Л;,
ПРИМЕЧАНИЕ
При кратных корнях ХП и особенно при /,"(/) * const аналитическое решение УС
и ^-области усложняется (для поиска решения УС всегда может быть использован
операторный метод анализа цепей). См. также п. 76 «Запись свободной составляю-
щей при различных видах корней Л77». См. 1.3.4.
12. Аналоги законов Кирхгофа и Ома при расчете МЦ используют, если
основные допущения расчета МЦ приемлемы. 1. Аналог ЗТК для разветвления
магнитной цепи имеет вид 1Ф*ПК = ^Ф*11ЫК» где Фк = BkSk — поток вектора Вк,
проходящего через поперечное сечение Sk и входящего в разветвление участка МЦ
(или выходящею из него). 2. Аналог ЗЫК для любого контура МЦ 11^ = ^Fk,
где Vk =Hhlk — машитное напряжение участка МЦ длиной lk при
напряженности вектора магнитного поля Нк\ Fk - Nkik — МДС обмотки из Nk витков с
током ih k-vo участка МЦ. Правило знаков: Vk учитывают со знаком «+^, если
обход контура соответствует направлению вектора Нк\ МДС Fk учитывают со
знаком «+», если обход контура соответствует правилу правого пинта
относительно направления тока ik намотанной катушки (или, что го же самое,
направление ik соответствует правилу правого винта относительно обхода контура).
Рекомендуется направление Й согласовывать с током одной из катушек, а условно
положительные направления К Ф, В, //считать согласованными (за
исключением магнитотвердых материалов и магнитов, где нельзя пользоваться основной
кривой намагничивания). 3. Аналог закона Ома для участка МЦ имеет вид
Vk = НмкФк причем магнитное сопротивление 7?wJt = /*/(^ци/.), где unA —
абсолютная магнитная проницаемость, которая учитывается для мапштомягких
материалов по ОКН и является нелинейной. 4. Магнитное сопротивление
воздушно/о зазора (минимальных размеров) RMnU =/MlJ/(5lia u,UB/4) практически
является линейным, гак как \хfitl/l = и. ЛЙК = \л0 = 4л■ 10"' Гн/м = const, го есть
соответствует магнитной проницаемости вакуума. См. 1.22.2.
13. Аналогия операторного метода и метода комплексных амплитуд.
Уравнения ОМ и ОСЗ переходят в уравнения и расчетную схему МКА для анализа
УСР при исключении дополнительных источников, учитывающих ННУ, и фор-
мальной замене U(s) на U, I(s) на /, Z(s) на Z(y'co). s на уш. См. 1.6.2.
14. Апериодический режим в последовательной /21С-цепи наблюдается, когда
«активные потери /?» относительно велики и корни ХП последовательной RLC-
цепи являются отрицательными и различными:
1,2 пя 1"2LJ LC
кУ 1 ^ п—г
— ~-a±yja -со0.
причем рх =~а, > р.> =-а7, то есть постоянные времени ij = l/at > т2 =1/а2.
При этом (согласно УС последовательной RLC-цепи, подключенной к ИИ
м0 = const) i(t) = iiB(t) = A]e~t/T[ +A2e~( T2, то есть процесс в цепи действитель-

2. Алфавитный каталог-словарь
47
но апериодический (поскольку периодические — колебательные составляющие
отсутствуют). При НУ j(0*) = 0. i,(0')=(w0 -uC())/L получим Ах =~А2 =
= (wn-ыГ0)/Ща2-а,)|. График процесса приведен на рис. 2.1 для случая
ij =2т2. См. 1.3.6.
Л.
О
-Л{\
A{e~t/x*
'-A2e-t/T>
Рис 2.1
15. Апериодический сигнал (то есть непериодический), часто называемый
одиночным импульсом, может также рассматриваться как перииднческни сигнал с
периодом Г—> оо, причем периодический сигнал /(О* описываемый РФ в ком-
плексной форме /(О" Х^Ае'*Ш,'> гдс ислые числа k — номера гармоник РФ,
*=-«
частоты которых сол = &to, = k2rcfT, при Т —» х превращается в апериодический,
описываемый интегралом Фурье:
/(0 = ^- ]e*"dJf(ty-*»А =~ Ьцш^А»,
2к J„ - 2я „
где F(jko) — спектр сигнала. При Т -> оо дискретный спектр {Л;,} периодического
сигнала превращается в сплошной спектр F(yw)одиночного импульса (здесь со —
частота, t — время). См. 1.8.1.
16. Базисный узел. 1. Произвольно выбранный узел, напряжение которого
условно принято нулевым (ыс = 0) и относительно которого отсчитывают
напряжения остальных узлов. 2. Напряжение узла 1 м, =7^, —uGt причем базисному узлу
всегда условно присваивают «минус», а узлу 1 — «плюс», то есть при щ = -1,5 В
энергетический уровень базисного узла выше, чем у узла 1. См. 1.1.1.
17. Баланс мощностей в пассивном ДП в УСР: мгновенная, активная,
реактивная и комплексная мощности на входе пассивного ДП равны сумме
соответствующих мощностей всех k элементов ДП:
Рлн ="дп»дн =ЕМ0;^лп =Уап/|пс°5фдп = ZP* =ХХ -°
(то есть активная мощность ДП, равная сумме активных мощностей его
/^-элементов, неотрицательна): PQ:xu = ^PqLji +S'V* ^TO есть Рсак1'ииная мощность
ДП равна сумме реактивных мощностей его L- и С-элементов); РЧ.Д11 = ^ Р5 .
Следствия: 1) cos фд„ = cos(au/in - а|ДП ) > 0, | ф;и, | < 90° (то есть угол сдвига между
напряжением и током ДП не превышает 90°); 2) rm = Re/Гдп =|^Лц|cosф.1М >0,
gДII =ИеУдП >0 (см. также п. 25 «Виды мощностей пассивного ДП в УСРъ
и п. 156 «Мощность пассивных элементов в УСР»), См. 1.5.4.

48
2. Алфавитный каталог-словарь
18. Баланс мощностей в цени в УСР. По закону сохранения энергии сумма
мгновенной, активной, реактивной и комплексной мощностей всех к элементов
пени равна нулю (см. также п. 25 «Виды мощностей naccueno/о ДЛ в УСРъ и
п. 156 «Мощность пассивных элементов в УСР»): ^Рь(0 =();£Р,, =0;Х^Ь* ~^;
X Pst =0' то есть суммы отдаваемой и потребляемой энергии в цепи равны. При
этом, если у источника несогласованная полярность, формулы ею мощностей
записывают со знаком «минус»:
/>(0 = -и(0'(0; Ps=-&h P = -UIcv&(am-at); PQ = -Wsin(a,; -a,).
См. 1.5.4.
19. Векторная диаграмма (ВД) цепи в УСР представляет собой построенную на
комплексной плоскости совокупность векторов, отражающих напряжения и токи
комплексной схемы замещения (то есть комплексные амплитуды или
комплексные действующие значения). Количественные ВД строят в масштабе, они, как
правило, отражают результаты расчета (см., например, В/1 ТФЦ). Качественная
ВД, как правило, предваряющая расчет простых цепей с единственным
источником, строится обычно но следующим правилам: 1) оси комплексной плоскости
не показывают; 2) вектор, отражающий «ток или напряжение» обычно
«наиболее удаленного» от источника элемента, считают исходным п направляют на ВД,
например, направо; 3) используя аналогию с Ml IB, строят векторы,
соответствующие остальным токам и напряжениям цепи; 4) длины векторов обычно
выбирают любыми, а фазные соотношения в пассивных элементах (ц>и -auR -o.lH = 0°,
Ф7 =90°, фг =-90°, соответствующие мнемоническому правилу ULICU1)
соблюдают «жестко» (см. п. 21 «Векторная диаграмма последовательной RLC-цепи»).
См. 1.5.3.
20. Векторная диаграмма параллельной /?ЛС-цспи (рис. 2.2) соответствует
комплексной схеме замещения и правилам качественного построения векторных
диаграмм. Изображены два варианта ВД: и центре рисунка ВД построена с исполь-
'/?
и
Рис. 2.2
1 U — вектор напряжения; / — пек гор тока; L — индуктивность; С — емкость. Первые три
буквы (ULI) означают, что иск гор напряжения на ищукгишюггп опережает вектор
тока. Последние три буквы (1С1П означают, что вектор тока на емкости опережает век-
гор напряжения.

2. Алфавитный каталог-словарь
49
зоианием суммирования векторов но правилу треугольника (на ВД указаны
комплексные амплитуды), а справа — по правилу параллелограмма (на ВД указаны
комплексные действующие значения). ВД позволяет рассчитать УСР в цени на
основании очевидных из геометрии ВД формул: / = ^I2R +(/c -/L)2, <p = аи -
-a, = -arclg(/c —Il)/Ir' Очевидно, при \ZL\ =\ZC\ имеем IL = 1С, то есть
/; + 1С = 0, участок LC s=XX, в цепи ПРТ, когда iR = /", а синусоиды гоков iL(t),
ic(t)< имея одинаковые амплитуды, находатся в иротивофазе и поэтому
полностью компенсируются. Если \ZL\ >|Zr|, имеем IL = U/\ZL\ <IC =f//|Zc|, <p<0,
a, > aM, и цепь имеет емкостный характер. Если | ZL\ <\Zc\t имеем IL > Ic, <р > О,
a,- < аы, то есть напряжение опережает ток и цепь имеет индуктивный характер.
См. 1.5.3.
21. Векторная диаграмма последовательной /2£С-цепи (рис. 2.3) соответствует
комплексной схеме замещения пени и правилам качественного построения
векторных диаграмм. Изображены два варианта ВД: в центре рисунка ВД построена
с использованием суммирования векторов по правилу треугольника (на ВД
указаны комплексные амплитуды), а справа — по правилу параллелограмма (на ВД
указаны комплексные действующие значения). ВД позволяет рассчитать УСР в
цепи на основании очевидных из геометрии ВД формул: U ~-^U\ ±(US -Uc)2,
cp = aH-a( = arctg((/,[—Uc)fUR. Очевидно, при | ZL\ - \ZC\ имеем UL = [/с,тоесть
UL +UC = 0, участок LC= КЗ и в цепи ПРИ, когда ин =м, а синусоиды uL(t),
мс.(0< имея равные амплитуды, находятся в иротивофазе и поэтому полностью
компенсируются. Если |Z,| > \Zc\t имеем UL >UC, ф >0, то есть напряжение
опережает ток и цепь имеет индуктивный характер. Если \Zt\ <|Zr|, имеем UL =
= | Z; | / < Uс-1 Zc\ /, ф < 0, го есть напряжение отстаег от тока и цепь имеет
емкостный характер. См. 1.5.3.
г + * -
(±>(0
Рис. 2.3
22. Вентильный эффект. Явление односторонней проводимости в НЭ, в первую
очередь в диоде, который при положительном напряжении близок к КЗ, хорошо
проводит ток (го есть диод открыт), а при отрицательном напряжении — близок
к XX, ток через него практически не проходит (то есть диод заперт — закрыт).
См. 1.16.3.

50 2. Алфавитный каталог-словарь
23. Ветвь. 1. Идеализированный элемент цепи. 2. Любой двухполюсник иногда
рассматривают как ветвь. См. 1.1.1.
24. Взаимная индуктивность | М\ в иидуктитю связанных цепях — коэффициент
пропорциональности, измеряемый в генри (Гн), между потокосцепленнсм
взаимной индукции у и создавшим его током /: \M\ = \yX2/iz =ч/2,/i,, где /,, г2 —
токи 1-й и 2-й ИС-катушек; у12 = ЛГ,Ф12, \\i2l = N2021; Nit N2 — числа витков ка-
тушек; Ф12, Ф21 — усредненные МП взаимной индукции. См. 1.9.1.
25. Виды мощностей пассивного ДП в УСР. При напряжении ДП u(t) =
= £/v2cos(co£ + аы) и токе i(/) = /v2cos(co/+ с^) мгновенная мощность при
согласованной полярности представляет собой периодическую функцию времени
удвоенной частоты
p(t) = ui = UIcos(au -at) + VI cos(2u>t + au +a,) =
= P + Ps cos(2atf + a„ + a, ),
где P = Pa = P^ -VI cos(au - ai) = Ps cos cp = Re Ps — средняя мощность за
период (называемая также активной мощностью или просто мощностью), Вт;
Ps =VI =| Z\ I2 =| Ps\ — полная мощность ДП (называемая также кажущейся или
располагаемой), В-А. Кроме того» в УСР рассматривается также реактивная
мощность ДП Рц =i//sin<p =\Z\I2 sincp, измеряемая в вольт-амперах реактивных
(вар)\ здесь Ps — комплексная мощность пассивного ДП; Z — комплексное
сопротивление ДП. См. 1.5.4.
26. Виды соединений четырехполюсников: 1) последовательное соединение
ЧП — входы ЧП соединены последовательно (выходы — гоже последовательно),
при этом суммируются матрицы |г]ЧП; 2) параллельное соединение ЧП — входы
ЧП соединены параллельно (выходы — тоже параллельно), при этом
суммируются матрицы [у] ЧП; 3) каскадное соединение ЧП — выход одного ЧП соединен
со входом другого, при этом перемножаются матрицы [а] ЧП; 4)
последовательно-параллельное соединение ЧП — входы ЧП соединены последовательно,
выходы — параллельно, при этом суммируются матрицы \h\ 411; 5)
параллельно-последовательное соединение ЧП — входы ЧП соединены параллельно, а выходы —
последовательно, при этом суммируются матрицы \g] ЧП. При анализе
необходимо проверить регулярность соединения ЧП (это не нужно делать для
каскадного соединения, которое является регулярным). См. 1.11.3.
27. Виды спектральных характеристик. Поскольку спектр си/нала — это
комплексная функция частоты, его можно представить в показательной или
алгебраической форме: F(j(o) = А((о)етш) = В(со) + у'Л/(со). При этом вещественниый
спектр Z?(co) = \ f(t) cos (cot)dt — четная функция частоты со; мнимый спектр
—со
со
Af(co) = -J/(/)sin(cof)<A — нечетная функция частоты со; амплитудный спектр
-ее
A(o}) = \F(j(o)\ является четной, а фазовый спектр Ф(со) = argF(;co) — нечетной
функцией частоты со. Формула обратного преобразования Фурье f{t)~

2. Алфавитный каталог-словарь 51
1 1
= — J F(j(d)e*°l d<a = — \Л(co)cos(o>/ + Ф(со))Ло позволяет сделать вывод: F(y'co) —
—со —во
это представление апериодического сигнала /(/) совокупностью элементарных
гармоник (то есть синусоид), причем ЛС определяет амплитуды, а ФС — фазы
этих гармоник. Из формулы также следует, что правильнее F(jto) и /1(со)
называть спектральными плотностями, а не спектрами, так как Л (со) характеризует
относительное распределение амплитуд по частоте; об этом же говорит и
размерность спектра |/r(./G>)| = |/(0]UI = L,5,/L которая равна размерности площади
сигнала. См. 1.8.1.
28. Воздействие — обычно это входной сигнал, то есть ток ИТ или напряжение
ИН. Цепь может содержать несколько источников входных сигналов. Обычно
воздействие обозначается /{{t) или /вх(0- См. 1.3.1.
29. Воздушный зазор — это часть МЦ, обычно имеющая довольно малую
протяженность /н 3, так что площадь поперечного сечения В.з. 5ВЗ = 5фм можно
приближенно считать равной площади «подходящего* к В.з. ферромагнитного
материала. Поскольку относительная магнитная проницаемость В.з. йи , =йпак =
= 1^Цф.„. а следовательно, и абсолютная магнитная проницаемостьцпв, =
= Мн.|Цо =Мо = 4л-10 'Гн/м очень мала (соответствует магнитной
проницаемости вакуума), то используемое в приближенном расчете магнитных цепей
магнитное сопротивление В.з. /?м ^ = /n 3 f(SK Л ^0)>КМфы'то есть значительно
превышает магнитное сопротивление ферромагнитных участков МЦ. В.з. является
линейным элементом в сугубо нелинейной МЦ. См. 1.22.1.
30. Вольт-ампериая характеристика (ВАХ) элемента ЭЦ — зависимость
напряжения элемента от тока, то есть и =u(i). 1. У линейного резистивного элемента,
для которого справедлив закон Омаил = /йл, график ВАХ — прямая линия,
проходящая через начало координат с угловым коэффициентом R. Характеристики
большинства реальных резистивных элементов нелинейны. Например, ВАХ
реального диода, пропускающего ток преимущественно в одном направлении,
является существенно нелинейной (ир =uR(i)) и не имеет аналитического
описания. 2. ВАХ линейного /^-элемента описывается линейным алгебраическим
уравнением, в то время как ВАХ линейных индуктивного и емкостного
элементов описываются простыми дифференциальными уравнениями uL(t) = Li] (t)
и /c(t) = Cw^(f) соответственно. См. 1.1.2.
31. Вольт-амперная характеристика емкостного элемента описывается
простейшим дифференциальным уравнением. Действительно, изменение
напряжения ис емкостного элемента приводит к изменению заряда qc, что
свидетельствует о протекании тока ic(0~Qc ~Cu'c(t) через емкостный элемент, то есть
1 ' 1 '
wc(0 = — \ic(t)dt =wt(t0_) + — \i((t)dt. Ток в емкостном элементе проиорцио-
-ее 10_
нален скорости изменения напряжения; в случае постоянного напряжения ток
равен нулю и С-элемент эквивалентен разрыву в цепи — холостому ходу (XX).
См. 1.1.5.
32. Вольт-амперная характеристика индуктивного элемента определяется по
закону электромагнитной индукции выражением их (t) = у' (г) = Ldi'L{t), следова-

52 2 Алфавитный каталог-словарь
1 ' 1 '
тельно, |А(/) = — \uL{t)dt = //.(^0 ) + — fw/,(^)^- Поскольку напряжение на ////-
V
дуктивном элементе пропорционально скоросш изменения протекающего
через него тока, то при постоянном гоке iL напряжение их =0 и свойства линейного
L-элемента эквивалентны короткозамкнутому элементу (КЗ) цепи. См. 1.1.4.
33. Вторичные параметры ДЛ — .ло характеристические параметры однородной
ДЛ как симметричного 411. При лтом у0 = Л/^^ = Л/(Я0 + sL0)/(G'n +sC()) —
коэффициент распространения (то есть характеристическая мера передачи ДЛ),
Z» = д/Z,,/У0 — волновое сопротивление (го есть характеристическое
сопротивление одио|юдной ДЛ), причем погонные параметры ДЛ на единицу ал ним R[}
(Ом/м). £0(Гн/м), Си(См/м), С0(Ф/м) — это первичные параметры ДЛ.
См. 1.14.2.
34. Входное сопротивление нагруженного четырехполюсника. Выражение
/,(.9) oaiZH +fla "" c22 + Z„
определено аналогично расчету ПФ нагруженною 411: к двум уравнениям
четырехполюсника (например, f/, = anU2 + Щ-ii-l2) и /f = «21^2 + ап(~^г)) добавляют
уравнение для нагрузки ЧП t/2 = ZH(-/2 ) или /2 = —Уи^2- Исключая из системы
липшие переменные (в шипом случае U2 и /2), находят ZBS. Аналогично
рассчитывают входную проводимость ЧПУПХ = 1/ZUX -yiX - У мУ л\/(У 22 + У„)-См. 1.11.2.
35. Входное сопротивление связанных контуров ZIIX (5) = ' = Z, + ZW|21 рав-
но сумме операторных сопротивлений первичного контура Z, и вносимого
сопротивления ZBl2I = -Z(2u/Z,,, учитывающего влияние вторичного контура на
первичный. У связанных контуров Z,„ (s) — сопротивление связи, Z2(s) — полное
сопротивление вторичного контура. См. 1.18.1.
36. Вынужденная составляющая /2|и||(£)математичсско1и описания переходного
процесса в цепи (то есть частное решение неоднородного дифференциального
уравнения цепи), обусловленная наличием воздействия /,(/). обычно имеет его
математическую форму: если, например, /, =Ы1, то /2вын = Bti + Bxt + Blt1 —
тоже полипом 2-го порядка; если /, = Bcos<&t, то /2вын = В] coscof+B2 sinw/ —
тоже синусоидальный сигнал частоты сои т. п. См. 1.3.2.
37. Вынужденная составляющая решения разностных уравнений ДЦ /2щм{пТ) —
это частное решение неоднородного РУ
MnT)+aJ2(nT-T) + ... + asf2(nT-m = bMn^
Обычно дигкретная последовательность (то есть решетчатая функция) /1пш1(пТ)
отыскивается в математической форме воздействия: если воздействие в ДЦ
/,(w7') = tfw2I ю/2иШ1(пТ) = Апг + Вя+Д если/, = ар"х, то /2ии11 = Ару\ При атом
/>ши(нТ)с неизвестными коэффициентами Л, В, D подставляют в неодноротное
РУ и, приравнивая левую и правую части, находят 1, В, D. См. 1.15.3.

2 Алфавитный каталог-словарь 53
38. Гиперболическая форма уравнений ДЛ имеет следующий вид (после
применения формул Эйлера для решения уравнений ДЛ с использованием
падающей и отраженной волн):
Ux =£/2chYHx + /2ZBshY„.г; /х =^shy0.r/Zu +/2спупл\
чго соответствует гиперболической форме уравнений симметричного ЧП:
I/, =t/2chy+ /2Zrshy; lx = £/2shy/Zc + /2chy.
Поскольку 1\ соответствует току /, ДЛ, волновое сопротивление Zn =Zr
соответствует характеристическому сопротивлению ЧП, а характеристическая мера
передачи ЧП у = уоД то есть коэффициент распространения уп =у// является
погонной мерой передачи ДЛ. Здесь / — длина ДЛ; х — координата ДЛ,
отсчитанная от ее конца (iiai-рузки); U{, lx и U2, 1г — переменные входа и выхода
ДЛ. Таким образом, ДЛ — симметричный ЧП. См. 1.14.3.
39. Гиперболическая форма уравнений симметричного ЧП имеет вид
t/1(5)=f/2(5)chy(5)-/2(s)ZtshY(5)=y2flll+("/2)fl12;
Il(s) = U2(s)shy(s)/Zc-I2(s)chy(s)^U2a2i +(-/2)а22,
то есть первичные а-параметры симметричного ЧП (у которого аи = аг21Аа =
~аиа22 -&\гаг\ = 1) выражены через вторичные параметры —
характеристическое сопротивление симметричного ЧП Zc и характеристическую меру передачи
у, которая определяет ПФ симметричного ЧП в согласованном режиме; при этом
гиперболические функции (гиперболические косинус и синус) chy = 0,5(ет + е~у),
shy = 0,5(eY -tf"7 ), s — аргумент преобразования Лапласа. См. 1.12.2.
40. Главное сечение (ГС) — это сечение, которое содержит одну ветвь дерева и
несколько хорд. В дерево графа входят ветви, соединяющие все узлы графа без
образования замкнутого контура, содержащие источники напряжения и не
содержащие источники тока. Хорды — ветви графа, не вошедшие в дерево. Номер
ГС и направление выхода из ГС соответствуют номеру и направлению его ветви
дерева. См. 1.19.2.
41. Главный контур (ГК) — это контур, который содержит одну хорду и
нескольких ветвей дерева. Номер и направление ГК соответствуют номеру и
направлению его хорды. См. 1.19.2.
42. Граф схемы — это геометрический образ цепи. Узлы (вершины) графа
соответствуют узлам схемы. Ветви (ребра) графа, изображаемые линиями
произвольной кривизны, соединяют узлы и соответствуют ветвям схемы. Пример
электрической цени и соответствующий ей граф представлены на рис. 2.4. Граф, каждая
ветвь которого com ветствует отдельному элементу цепи, называют полным графом.
Если при этом каждая ветвь имеет обозначенное стрелкой направление,
соответствующее направлениям токов элементов цени при согласованной полярности, то
граф называется ориентированным. Такой граф используют обычно в машинных
методах расчета цепей. См. 1.1.6.

54
2. Алфавитный каталог-словарь
I
]—з
Рис. 2.4
43. График переходного процесса в цепях 1-го порядка при постоянных
воздействиях строится в соответствии с найденным решением для реакции
/г (О =/гвмп +/гсв' причем вынужденная составляющая /2вьш = const, а свободная
составляющая в цепи 1-го порядка /2сп -Ле~{/Х. Постоянная интегрирования А
определяется на основании данных расчета зависимых НУ при £ = 0\ то есть
Л = /2(0+) -/2вын. На графике (то есть на временной диаграмме переходного
процесса) экспонентом соединяют (рис. 2.5) начальное значение функции /2(04) с
конечным значением /2иы|| = const = /2(оо), соблюдая характерные значения
экспоненты и учитывая, что любая нодкасательная к экспоненте равна постоянной
времени т. Практическая длительность переходного процесса /ILn s Зт. На оси
времени t отмечают значения 0, т, 2т, Зт, в которых значения экспоненты e~t/x
равны 1; 0,37; 0,14; 0,05 соответственно (перепад между начальным и конечным
значениями экспоненты при этом условно принимают за 100 %, тогда при t = тот
него «останется» 37 %). См. 1.3.3.
100%
Л(о+)
у2св(о=^т
Рис 2.5
44. Графический расчет Л-ИЦ эффективен при анализе НЦ лестничной
структуры. Последовательность графических построений аналогична
последовательности расчетов в МПВ или MOB. Для построения результирующей ВАХ
последовательного соединения элементов (линейных и нелинейных), например ВАХ
uu(i) = u{(i) + u2{i)t суммируют напряжения ВАХ элементов их{г) и u2(i) при
фиксированных значениях тока. Результирующая ВАХ параллельно соединен-

2. Алфавитный каталог-словарь 55
ных участков НЦ строится суммированием токов ВАХ этих участков при
фиксированных значениях напряжения. В итоге получают результирующую ВЛХ
цени относительного воздействия, зная которое, определяются рабочие точки
(РТ) на всех ВЛХ. В случае использования МЭИ при расчете НЦ графический
анализ упрощается: РТ находят как точку пересечения ВАХ НЭ мнэ(1) и прямой
(и, - RJ) = ы,п. Достоинство Г.р. /?-НЦ — простота, недостаток — невысокая
точность. См. 1.16.2.
45. Двухполюсник (ДГ1) — любая часть цепи, имеющая два внешних узла
(полюса, вывода, зажима). См. 1.1.1.
46. Действующее (или эффективное) значение периодического сигнала — это
среднеквадратичное значение, например, для тока /= I— \i2(t)dt. Д.з. имеет
V ■* о
г
энергетическую трактовку, поскольку wT = RI2T = J Ri2(t)du то есть оно числен-
п
но равно такому постоянному току /, который за время Г на сопротивлении R
выделит гакую же энергию wT. Д.з. синусоидального сигнала U = £/т /л/2; / = Im/-J2 =
= 0,707/m = /„/ML Например, в промышленной сети U = 3U/V2 =220 В.
Действующее значение периодического (но несинусоидального) сигнала,
разложенного в ряд Фурье (РФ), например: U = M+$iUJ; =Ж+Y*<yJ&f, где£/«.
t/p t/2... — Д.з. отдельных гармоник РФ. См. 1.5.1.
47. Дельта-функция — см. п. 66 «Единичная импульсная функция*. См. 1.4.2.
48. Дерево графа получают, соединяя узлы графа ветвями без образования
замкнутых контуров. Ветви, вошедшие н дерево, называют ветвями дерева. Ветви, не
вошедшие в дерево, называют хордами (или ветвями связи). Присоединение
какой-либо хорды к дереву приведет к образованию контура. У графа может быть
несколько деревьев. См. 1.1.6.
49. Динамическая цепь содержит хотя бы один накопитель (го есть
индуктивный или емкостный элемент). Динамические цени описываются в общем случае,
дифференциальными, или интегральными, или
интегрально-дифференциальными и алгебраическими уравнениями. См. 1.3.1.
50. Дискретная последовательность, то есть решетчатая функция f(nT) — это
множество дискретных значений {f(nT)}^Q непрерывного сигнала /(f) в
дискретные моменты t = и Г, причем здесь f(t) = 0 при t <0, Г— период
дискретизации. При наличии также дискретизации (квантования) по уровню получаем
цифровую последовательность и от дискретного сигнала переходим к
цифровому. См. 1.15.2.
51. Дискретная свертка ИХ ДЦ 1г{пГ)с дискретным воздействием /}{пТ)имеет
ч
вид /2(иГ) = ^/,(ЛГ)Л(пГ-/;Г)> где /г(пТ) — дискретная последовательность
k-o
(решетчатая функция) значений реакции. Дискретная свертка полностью
согласуется с записью интеграла свертки для аналоговых цепей. См. 1.15.3.

56 2. Алфавитный каталог-словарь
52. Дискретная цепь (ДЦ), то есть дискретный фильтр — цепь, преобразующая
входную дискретную последовательность /{(пТ) в некоторую выходную
последовательность f,{nT). См. 1.15.2.
53. Дискретные резистивные схемы замещения накопителей при численном
расчете переходных процессов успешно конкурируют с числепньш решением
уравнений состояния. От ВЛХ накопителей м, = Li'Lt iL ="Си'с переходят к
уравнениям численного расчета
где At — шаг численного расчета; п — номер шага расчета. Записанные уравнения
преобразуются к уравнениям последовательного соединения:
L . ^ . т _ А/ .
Uln —~lLn Т7''(я-П' UCn ~~^lCn + ИС(п-1>»
то есть L-элемент заменяется в дискретной резистивной схеме замещения рези-
стивным сопротивлением R^=L/Att соединенным последовательно с ИН
-Д.(л-1)/^' а С-элемент — схемой из резистивного сопротивления ИлС = At/C и
ИН ис-(п_п. Для выполнения численного расчета переходного процесса в такой
цепи не требуется составлять и решать ДУ — достаточно использовать методы
анализа К-ценей и для расчета процесса на шаге п знать непрерывные
переменные uC{n_t) и (ц,,^ на предыдущем шаге. См. 1.3.5.
54. Дискретный сигнал — последовательность коротких импульсов с
длительностью At и амплитудой /(пГ)У определяемой значениями соответствующего
аналогового (непрерывного) сигнала /(f) в определенные моменты времени
t = nl\ где п — целое число, Т — период дискретизации. См. 1.15.1.
55. Дифференциальное уравнение цепи, связывающее реакцию j2 (f)с
воздействием, получают преобразованием системы уравнений динамической цепи. В
общем вили неоднородное ДУ, описывающее переходный процесс в цепи при
единственном воздействии, имеет вид
где п>т~ порядок цепи; ah bk — постоянные коэффициенты; при /, =0 ДУ
называют однородным. См. 1.3.2.
56. Дифференциальные параметры ПЭ (динамические параметры), например
г> _duR(iR) _dyLQL) r _ dqL(uc)
diR diL duc
характеризуют нелинейный элемент в окрестности рабочей точки, определяемой
статическим параметром НЭ. Д.п. могут принимать отрицательные значения,
если Р1 находится на «падающем» участке характеристики НЭ. См. 1.16.1.
57. Дифференцирующая /?С-цепь и ее характеристики. Цепь, схема которой
приведена на рис. 2.6, л, приближенно (при ипых «: ику) реализует операцию
дифференцирования, то естъипых * RCu'm(t) = xu'm(t)t причем чем меньше постоянная
времени цепи т, тем ярче эффект дифференцирования. ПФ цепи H(s) - s/(s + 1/т),

2. Алфавитный каталог-словарь
57
ЧХ //(;со)=>/0"со+1Ч)1 АЧХ Л(со) = со/-J'со2 +(1/т)2 (при со>0), ФЧХФ(со) =
= 90°-arctg тсо. АЧХ приближенно разбивают на частотные интервалы (ЧИ).
Низкочастотная зона (ш< 1/т) — полоса дифференцирования (ПД) с Л(со) = тсо,
высокочастотная зона (со> 1/т) — полоса пропускания (ПИ) с Л(со) = const = 1.
На рис. 2.6, б АЧХ, построенная приближенно по ЧИ, показана топкой линией, а
уточненная — жирной, причем частота среза соср = 1/т соответствует частоте
стыка ЧИ. Сравнивая ЧХ цепи со спектром сигнала на входе, можно сделать
следующие выводы: 1) Л(0) = (Х следовательно, суммарная площачь реакции будет
равна нулю; 2) Л(со) — 1, поэтому скачки воздействия без искажения иройчут на
выход; 3) если спектр воздействия в основном располагается в ПД, тог/пых ^ хи\%л
то есть на выходе будет ярко выражен эффект дифференцирования; если же он
располагается в ПП, то изменения формы реакции будут невелики. См. 1.8.5.
иых
а
Рис. 2.6
58. Длина волны в ДЛ в УСР — это минимальное расстояние между точками
волны, суммарная фаза колебании в которых различается на 2л радиан, то есть
jto период волны по координате ^=2тс/р0 =v^T, где £>((> — фазовая скорость
волны в УСР\ Т— период волны но времени, угловая частота волны по
координате, то есть погонный коэффициент фазы (30 =ро(оз) = 1тпу00*со) — мнимая часть
коэффициента распространения, являющегося вторичным параметром ДЛ.
Таким образом, длина волны К — это расстояние, которое волна проходит за время,
равное периоду. См. 1.14.5.
59. Допущения анализа связанных контуров. СК — это цепь четвертого порядка,
поэтому на практике при исследовании ЧХ используют ряд допущений, которые
не изменяют существа явлении. Первое допущение: СК считают одинаковыми.
Второе допущение: исследуют частотный диапазон вблизи резонансной частоты
со,, = [/-yJLC при малых абсолют! 1ых расстройках бсо = со - со0 по сравне! шю с со = со0.
Используют также относительную расстройку бсо+ =
со-со,
о _
to
(О
о
со
-1 =ц)+-1, где
Ч)
со%=со/со0 — нормированная частота. Эти допущения позволяют приближенно
анализировать АЧХ связанных контуров с применением обобщенных
параметров: обобщенной расстройки и фактора связи. См. 1.18.3.
60. Достоинства спектрального метода анализа цепей. 1. По спектру F(j(u)
всегда хотя бы приблизительно можно найти оригинал, то есть апериодический сиг-

58 2. Алфавитный каталог-словарь
нал /(О- 2. Так как h(t)+ H{jto) (здесь и в дальнейшем -е- — знак соответствия),
то по ЧХ как спектру ИХ цепи всегда можно оценить переходный процесс.
3. Наиболее простой в использовании и достаточно точный метод
приближенного вычисления реакции но ее амплитудному и фазовому спектрам эффективен
при расчете переходных процессов в цепях высокого порядка. 4. Путем
сравнения спектра сигнала на входе цепи с ее ЧХ можно прогнозировать вид сигнала
на выходе (см. также 1.8.3-1.8.5). См. 1.8.1.
61. Дуальная терема компенсации — теорема, на основе которой составляется
ПЦ, дуальная ПЦ, полученной но теореме компенсации. Расчет
чувствительности по дуальным ПЦ эквивалентен.
Формулировка дуальной теоремы компенсации: приращения реакций Аип и Ain
при изменении некоторой проводимости Gk на AGk можно найти по ПЦ,
полученной из исходной цепи исключением всех источников и присоединением
параллельно ветви Gk +AG* дополнительного, компенсационного J IT 1Д = AGkuk.
См. 1.20.1.
62. Дуальность (или двойственность) — эго математическая аналогия
уравнений, описывающих, например, электромагнитные процессы электрических цепей.
См. 1.1.8.
63. Дуальность соединений проявляется в математической аналогии уравнений
ЗТК и ЗНК для таких соединений. Например, уравнения ЗТК и ЗНК контура,
то есть простого последовательного соединения R-, С-эчементов с источником
напряжения и0: i = iH = /с, -uD + uR +мг =0, — дуальны уравнениям ЗНК и ЗТК
узловой пары, то есть простого параллельного соединения /?-. /.-элементов с
источником тока г0: и =ис =ы/, -/„ + гс + iL = 0. См. 1.1.8.
64. Дуальность цепей сложной структуры основывается на математической
аналогии уравнений ЗТК одной цепи уравнениям ЗНК другой цепи. У
разветвленных дуальных цепей дуальны не только уравнения, но также элементы и их
соединения; последовательное соединение дуально параллельному, независимые
узлы одной цепи дуальны независимым контурам другой цепи. См. 1.1.8.
65. Дуальность элементов — это математическая аналогия вольт-амперной
характеристики одного элемента ампер-вольтной характеристике другого
элемента. Так. элементы R и G, L и С, ИН и ИТ, КЗ и XX дуальны. Действительно,
уравнения uR = RiR и iK =Сыя. ы, = Li'L и ic = Си'с, «IIH * /(i„H) и /ит ф /(мит),
иКЛ =0 и /хх =0 имеют одинаковую форму математического описания. У
дуальных элементов дуальны и энергетические характеристики, го есть рк = RiR
и ра = Gu'f;, wL = Lif/2 и wc = Cu\J2. См. 1.1.8.
66. Единичная импульсная функция (ЕИФ), или дельта-функция 6(0 — это
обобщенная функция единичной площади, равная оо при t = 0 и равная 0 при г * 0.
Вводится ЕИФ (рис. 2.7) как предел последовательности производных ср'(0 от
последовательности функций ф(г), при помощи которой была введена единичная
ступенчатая функция 6x(t), то есть КИФ является производной от ЕСФ: б(/) =
d8j{t)_
dt
0, t * 0;
оо, f=0.
Смещенная ЕИФ 8(/-/0) = J8|(' 'o)=i°' '* V ЕИФ
dt [со, г=/0.

2. Алфавитный каталог-словарь
59
имеет размерность 1с1]. Применение ЕИФ, опирающееся на свойства ЕИФ,
чрезвычайно многообразно, в частности, в теории дискретных цепей и дискретных
сигналов (то есть в ВТ), а также в импульсной технике и теории управления.
См. 1.4.2.
lim ф(0
ы -+с
1
о
8,(0
фЧО
lim ю'(Л -> ., п
Рис. 2.7
А8<0
О
67. Единичная ступенчатая функция (ЕСФ) б1(^)часто обозначаемая как 1(f), —
эго обобщенная функция вида
"Oj <0;
Si(0 =
0,5, г = 0;
U>0,
которая вводится как предел последовательности, например, кусочно-линейных
функций ф(0» изменяющихся от 0 до 1 в окрестности At момента времени t = 0
(рис. 2.8)» когда эта окрестность «сжимается» до нуля, то есть 5,(r)= limq>(f).
При эгом
8,tt-t0) = .
0, t<t0;
0,5, f = t0;
1, t>(.0
— смещенная ЕСФ, изменяющаяся скачком от 0 до 1 при t' =t0. ЕСФ — функция
безразмерная. Важнейшим является фильтрующее свойство ЕСФ
0, t <t0;
/(OS,(*-'o)4
/(О, t>h,
то гегь умножение на 6,(f-f(1) «обнуляет» результирующий сигнал при t <t0
и как бы «включает» его при t = f„, поэтому применение ЕСФ разнообразно (в
частности, для компактного, обобщенного описания разрывных и односторонних

60
2. Алфавитный каталог-словарь
сигналов). Для формирования ЕСФ можно использовать также иные, абсолютно
гладкие последовательности, например, <р(0 = - + — arctg(£/e) при е -> 0? что по-
2 к
зволяст расширить семейство стандартных воздействий путем многократного
дифференцирования ср(/")- См. 1.4.1.
1
5,(0
lim ф(/)
о
Рис. 2.8
68. Емкостный элемент, или С-элемепт ЭЦ — идеализированный двухполюсный
пассивный элемент, который отражает только запасание энергии электрического
поля. Условное обозначение С-элемента приведено на рис. 2.9. я, причем
принято использовать согласованную полярность напряжения ис с направлением тока
ic. В эюм случае вольт-амперная характеристика С-элемента ic(t) = Cu'c(t).
G
и
L
II
a
в
Рис. 2.9
Величина С, называемая емкостью, является коэффициентом
пропорциональности между зарядом qc и напряжением ис элемента: С = qrfuc, причем емкость С
измеряется в фарадах [Ф]. Если величина С постоянна, то кулоп-вольтиая
характеристика линейна (рис. 2.9, б), причем tgy « С, что соответствует линейному
С-элементу. Емкостный элемент служит простейшей моделью электрических
конденсаторов с высокими диэлектрическими свойствами в области НЧ, СЧ и
ВЧ. В области сверхвысоких частот (СВЧ) модель конденсатора кроме
идеального емкостного элемента С может содержать «паразитные элементы»:
проводимость G„, учитывающую потери энергии в диэлектрике, и индуктивность Lnt
учитывающую эффект запасания энергии магнитного поля при протекании тока
в конструктивных элементах конденсатора (рис. 2.9, в). См. 1.1.5.
69. Жесткая нумерация упорядоченного графа необходима для ввода
информации о структуре цени в ЦВМ и включает в R-цспях следующую последона-
тепьность нумерации ветвей ориентированного графа (в нем все ИИ относят
к ветвям дерева графа, а все ИТ — к хордам): первые номера присваиваются

2. Алфавитный каталог-словарь
61
источникам напряжения, вторые номера — резистинным ветвям дерева, третьи
номера — рсзисторным хордам, последние номера — источникам тока. См. 1.19.2.
70. Зависимый источник (311), или управляемый источник — это четырехпо-
люсный элемент, состоящий из пары ветвей, одна из которых — входная (или
ветвь управления) — представляет собой КЗ или XX, а другая — выходная — ИН
или ИТ, причем напряжение ИН (ток ИТ) пропорционально зависит от
напряжения (или тока) ветви управления. Возможны четыре типа ЗИ (рис. 2.10, а-г):
ИН, управляемый током (ПНУТ); ИН, управляемый напряжением (ИНУП); ИТ,
управляемый напряжением (ИТУН); ИТ, управляемый током (ИТУТ). При этом
на рисунке обозначены U =U(s)t I = I(s) — операторные напряжения и токи.
Свойства ЗИ: 1) необратимость; 2) нулевая входная мощность pi(t) = u{(r)i](r) = Q;
3) способность генерировать энергию. См. 1.11.4.
U2 - klx
и2 - ких
в
Рис. 2.10
/."
о
/.
h - «1
71. Задачи расчета цепей в курсе основ ТЦ обычно подразделяют на задачи
анализа и задачи синтеза. Особняком стоят задачи идентификации и диагностики
параметров и структуры цепи. В задаче анализа, как правило, даны воздействие
и схема цепи, требуется определить реакцию. В большинстве случаев задачи
анализа имеют единственное решение. В задачах синтеза, имеющих, как правило,
множество решений, дана связь воздействия и реакции, например, в виде ПФ
или ЧХ, необходимо определить структуру и параметры цепи. Задачу синтеза
делят на две: 1) решаемую обычно в спецкурсах задачу аппроксимации заданной
связи воздействия и реакции такой ПФ, которую можно реализовать; 2)
собственно задачу реализации цепи по аппроксимированной ПФ. Именно по
указанной причине задачу реализации в практике ТЦ часто отождествляют с задачей
синтеза. См. 1.17.4.
72. Закон напряжений Кирхгофа (ЗНК). или второй закон Кирхгофа, отражает
закон сохранения энергии в замкнутом контуре: алгебраическая сумма напряже-

62 2. Алфавитный каталог-словарь
ниii в любом контуре равна нулю в любой момент времени, то есть ^uk(t) = 0,
где к — номера элементов схемы цепи, вошедших в контур. Обход контура
совершается в призвольно выбранном направлении, например, по часовой стрелке.
Правило знаков: если обход контура согласован с полярностью напряжения
элемента, 14) это напряжение берут со знаком «плюс», если не согласован — со
знаком «минус». Правило знаков одинаково и для напряжений источников, и для
напряжений пассивных элементов. Главное следствие ЗНК: напряжение иАВ
между любыми узлами Л, В цепи равно алгебраической сумме напряжений по
любому пути из узла А в узел В. Таким образом, у параллельно соединенных
элементов (или ДП) напряжение одинаково, если полярность напряжений всех
элементов выбрана одинаковой (то есть у одного из узлов соединения везде
выбран «плюс»). См. 1.1.7.
73. Закон Ома. 1. З.О. определяет связь между током и напряжением идеального
линейного /?-элемента и имеет видыл(г)= RiR(t). Величина R называется
сопротивлением резистивного элемента и является коэффициентом
пропорциональности между его напряжением uR и током iR. Обратная величина G = X/R называется
проводимостью Я-элемента. Сопротивление R измеряют в омах (Ом), а
проводимость С — в сименсах (См). 2. З.О. широко используют в методе комплексных
амплитуд (МКЛ) при расчете УСР, а также в операторном методе (ОМ) при
расчете переходных процессов в ЭЦ с применением преобразования Лапласа См. 1.1.2.
74. Закон токов Кирхгофа (ЗТК), называемый первым
законом Кирхгофа, отражает закон сохранения зарядов в
цепи: алгебраическая сумма токов в любом узле или сече-
Г+Лц^ ц.—'—С нии ЭИ в любой момент времени равна нулю, то есть
^Г^(/) = 0. где к — номера ветвей, присоединенных к узлу.
(А)
Рис. 2.11 Токи, вытекающие из узла (сечения), берут со знаком
«плюс», а втекающие — со знаком «минус». Главное
следствие ЗТК: сумма втекающих в узел токов равна сумме токов, вытекающих из узла.
Таким образом, в последовательно соединенных элементах цени ток одинаков,
если одинаково выбрано его направление во всех элементах (рис. 2.11). См. 1.1.7.
75. Законы коммутации ис(0") = иг{0¥) и i£(0") = i, (0+), используемые при
расчете переходных процессов в цепи, следуют из принципов непрерывности заряда
и напряжения емкости, а также потокосцеплеиия и тока индуктивности,
записанных для момента коммутации при t = 0. См. 1.3.2.
76. Запись свободной составляющей при различных видах корней ХП
очевидна, например, из рассмотрения гипотетической цепи б-го порядка, имеющей
корни XII pJ2 =—3, р3 =-2, рА =-5, p5G =— l±j4. Свободная составляющая
решения и свободный процесс в такой цепи
/e(0 = A*3' + 42te~3' +Z-V"*' =Л1е~3' + A2te~M + Аъе~2' +Л4<Г5' +
л-З
+В5е"' cos4£ + B6e~'siii4* = А^е'3' + A1te*t + А,е~2' +Л4е"5' + Dse~r cos(4£ + Dfi),

2. Алфавитный каталог-словарь
63
где Akt Bh Dk — искомые параметры. Таким образом, при расчете /сн(0 в случае
комплексных корней ХП р-6 могут быть использованы эквивалентные варианты
ее описания. См. 1.3.4.
77. Заряд q (измеряется в кулонах [Кл]): 1. Мера измерения количества
электричества. 2. Интеграл от тока q(t.) =
i(t)dt. См. 1.1.1.
—со
78. Затухающий колебательный режим в последовательной RLC-ujeun
наблюдается, если «активные потери R» относительно невелики и корни ХП
последовательной RLC-цепи являются комплексными:
Pl.2 = ~
R
+
2L
.К
21
ч2
/
= -а ± yja2 -($1 = -а ± ./со.
где со = ^/а2 -col ~~ частота затухающих колебаний в цепи, поскольку при этом
(согласно УС последовательной RLC-цепи, подключенной к ИИ м0 = const)
i(t) = icu(t) = /\е~°* cos ш/+ А2е~ш sin со/, го есть колебания действительно
затухают. При НУ i(0f) = 0, i'(Q+) = (un -wco )/L получим Ax =0 и решение
i(0 =
U0 ~UCQ -t
col
e l sin со/. Для характеристики затухания колебательных
процессов в цепи кроме коэффициента затухания а и постоянной времени т = 1/а
также используют декремент затухания (то есть отношение значений функции
через период Т = 2к/<£>) G - i(l)/i(t + Г) = еа1 и логарифмический декремент
затухания 1п6 = аТ. График процесса (в предположении Т = т/2) приведен на
рис. 2.12. См. 1.3.6.
in
0,37Л2 А2е 1
Рис. 2.12
79. Идеализация дискретных сигналов. Короткие прямоугольные импульсы
дискретного сигнала /1(/)с длительностью At и амплитудой /(иГ), описывают
дельта-функциями с коэффициентами, равными площадям импульсов: /д(0 =
= ^f(nT)ALS(t - nT). Используя свойство «выборки», получают также /д(/) =
-00
ОС
= /(Г)А/^5(/ -пТ) = f(t)Atfb(t), где /8(0 = £ 5(£ -nT) — периодическая посче-
-ОС
довагельность ЕИФ. См. 1.15.1.
-СО

Ы
2/
ИД
ИД
64 2. Алфавитный каталог-словарь
ИД ИД 80. Идеальный диод (ИД) — элемент
1 ^ i * ■ "1 __о и ТЭЦ, который обладает идеализиро-
- ванными характеристиками диода с
идеальным вентильным эффектом. ИД
в прямом включении (обозначение и
ПАХ приведены на рис. 2.13, а) при
i > 0 эквивалентен КЗ, а при и < 0 эк-
—»-р ииваленген XX. ИД в обратном вклю-
1 ченин (обозначение и ВАХ
изображены на рис. 2.13, б) при и > 0 экиивален-
а б тен XX, а при i < 0 эквивалентен КЗ.
Рис. 2.13 См. 1.16.3.
81. Идеальный ключ, прообразом
которого является реальный выключатель, — элемент, эквивалентный КЗ в
замкнутом состоянии и XX — в разомкнутом; при этом коммутация, то есть
переключение в цепи с помощью И.к., осуществляется мгновенно (обычно в момент / = 0
при решении задач). См. 1.3.2.
82. Идеальный ОУ — это операционный усилитель, у которого коэффициент
усиления koy -> оо. Входы идеального ОУ эквипотенциальны: UoyeK„(s) =Уоуюс-(5)*
При расчете цепей с ОУ (см, также 3.5.11) часто применяют МУН, особенность
которого состоит в том, чго уравнение МУП для выходного узла ОУ не
используют (так как в нем необходимо учитывать выходной ток ОУ /ОУ|1ЫХ(5), который
неизвестен). В качестве дополнительного (недостающего) уравнения МУН
используют либо свойство эквипотенциальное ги входов идеального ОУ, либо (если
koy * оо) основное уравнение операционного уаиителя UnyniAX(s) = k<iyU0yBX(s).
См. 1.11.5.
83. Идеальный трансформатор (в отличие от формул для функции передачи
трансформатора) обладает свойством u2(t)ful(t) = iji2 =N2/Ni на любой
частоте сои при любой нагрузке Zn (здесь N{ и N2 — числа витков ИС-обмогок в
схеме замегцения трансформатора; отношение чисел витков называют
коэффициентом трансформации). Следствия из формул И .т. для УСР: 1) U2/U\ -
-ixjil = N2/NX = const; 2) PSm =£/, I\ =U2 /2 = PV|I, то естъ комплексная
мощность полностью передастся с входа к нагрузке; 3) Znx =0Jiy = ZXXN* JN^- При
проектировании силовых трансформаторов обычно обеспечивают приближение
реального трансформатора к идеальному в окрестности рабочей частоты.
Однако если у И.т. Hr(j(o) = N2fNx = const на любой частоте, то у реального
трансформатора f/r(yO) —>0 (поскольку напряжение взаимной индукции не наводится
постоянным МП) и Hr(Jco) ~>0, что следует, например, из рассмотрения схемы
замещения трансформатора при эквивалентном исключении индуктивной связи
(при формальном «создании» общего узла между ИС-обмотками). См. 1.9.3.
84. Идеальный фильтр — это фильтр, у которого в IIII АЧХ /1(со)=1 (или
А{со) = const), в ПЗ Л(со)=0. И.ф. реализовать невозможно, в частности потому,
что его ЧХ H(jco) не является дробно-рациональной функцией частоты /со, как
это должно быть у jRLC-цспсй. См. 1.12.3.

2. Алфавитный каталог-словарь 65
85. Изображение периодического сигнала
/„(o=/u4os,(o=/,(0+/,(t-7,)f/l(/-2r)+...1
где Г— период, а/,(/)— описание условного 1-го импульса сигнала (в интервале
О < t < Г), согласно теореме запаздывания имеет вид
как сумма убывающей геометрической профессии с множителем e~sT (со
строгих позиций /(|(г) = 0 при f < 0 — это квазипериодический сигнал, а
периодическим является /* (О = /* (г ± /'), существующий при -оо < t < оо). См. 1.6.3.
86. Изображение прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью
/н, лействующего в интервале 0 <( <(.н, может быть найдено с использованием
теоремы запаздывания как сумма изображений двух смещенных на tu ЕСФ:
f{l) = ASl(t)-Abl(t-til)+F(s) = A
См. 1.6,3.
87. Изображение сигнала кусочно-линейной формы. При использовании
метода двойного дифференцирования вторая производная сигнала /(/) описывается
суммой смещенных дельта-функций /"(О = ^ А°Ч^ ~^k )> обозначаемых ^Ake"sth.
В преобразовании Лапласа интегрированию оригинала соответствует деление
изображения на s (см. свойства и теоремы преобразования Лапласа). Поэтому
изображение исходного сигнала, который является двукратным интегралом от
АО. будет F(s) = -1 lA^"* ■ См. 1.6.3.
88. Изображение синусоидального импульса /(0 е амплитудой А и
длительностью ta, имеющего форму полуволны (полупериода) синусоиды в интервале
О < / < tu. С использованием теоремы запаздывания изображение может быть
получено как сумма изображении двух смещенных на ln односторонних
синусоидальных функций:
f(t) = Asin<oi)rbi(t) + Asm^)(t-t^di(t-tH) +
причем период синусоид Т = 2ги, то есть частота <о0 =2к/Т = nfta. См. 1.6.3.
89. Импульсная характеристика (ИХ) //(/!) коротко — зю реакция па
воздействие вида ЕИФ, то есть дельта-функции о(/); строго — ИХ h(t) численно равна
реакции f,(t) при нулевых независимых НУ на единственное в цени воздействие
/,(г) = FwS(t), где Fu) = 1 Be (или 1 Лс) — коэффициент, используемый для
выравнивания размерности. Так как по принципу (свойству) пропорциональности
Л (О = ^io^(0» то размерность ИХ \h\ = У-2— = —^—. Поскольку ЕИФ является
l^iul L/ill*l
производной от £СФ (5 = 5j), го по принципу дифференцируемости ИХ являет-

66 2. Алфавитный каталог-словарь
ся производной от ПХ цепи: h(t) = А((£). причем по условию физической
осуществимости
А(0 =
Г 0, /<0;
С учетом корректной записи ПХ At(f) = Al"(08i(r) для любых значений времени
(-co<f<co), развернутая запись ИХ при ее расчете усложняется: А(/) =
= AJ(t) = ——-$,(г)ч- A,"(f)8(0» откуда окончательно с учетом свойства выборки
dt
ЕИФ h(t) = —-—5,(/) +А,(СГ)6(0» поскольку на основании свойств непрсрыв-
dt
ной функции А,*(0) = Л|"(0 ) = А1"(0+) = А1(0+). Второе слагаемое в записи ИХ
трактуется следующим образом: если ПХ при £=0 изменяется скачком от
значения А, (0 ) = 0 до А] (0* ) * 0, то при дифференцировании ПХ появится
составляющая ИХ A,(0f)S(f) (см. п. 249 «Применение ЕИФ»). Следует отметить, что на
практике ПХ проще находить операторным методом как оригинал от
передаточной функции H{s) + A(f). См. 1.4.3.
90. Импульсная характеристика дискретной цепи А(/?Г) — это реакция на
единственное в ДЦ воздействие вида дискретной дельта-функции б0 (пТ) п виде сдин-
ci венного импульса единичной высоты при t ~ 0 (то есть при п = 0). Поскольку
Ь${пТ) = Ьх(пТ)-ЬА(пТ-Т)у то на основании принципа наложения h(nT) =
= hx(nT) -hx(nT-T), то есть ИХ ДЦ равна разности переходных характеристик
ДЦ, смещенных на один шаг. Кроме принцииа наложения, для линейных ДЦ
справедлив и принцип пропорциональности. См. 1.15.3.
91. Индивидуальный резонанс в связанных контурах. Настройку на резонанс
выполняют» обеспечивая поочередно резонанс в каждом из связанных контуров
при отключенном другом контуре; изменяют параметры реактивных элементов
обоих контуров (без регулировки Zltl) так, чтобы ImZ, =ImZ2 =0, где Zp Z2 —
полные сопротивления первичного и вторичного контуров. При
индивидуальном резонансе одновременно реализуются первый и второй частные резонапсы
вСК.Сы. 1.18.2.
92. Индуктивно связанная цепь (ИСЦ) — см. п. 435 «.Цепь с взаимной индук-
цией». См. 1.9.1.
93. Индуктивность рассеяния, например, 1-й ИС-катушки Lsl =^Х1/ц =
= Nl<L>Sifil — это коэффициент 1фопорциональносги между потокосцеплением
рассеяния у v, и создавшим его током; здесь Ф5| — усредненный поток рассеяния
1-й KaiyuiKH, a N{ — число ее витков. См. 1.9.1.
94. Индуктивный элемент, или L-элемент ЭЦ — это идеализированный
двухполюсный пассивный элемент, который отражает только запасание энергии
магнитного поля, связанное с протеканием тока. Условное обозначение L-эле-
мента приведено на рис. 2.14, а, причем принято использовать согласованную
полярность напряжения uf с направлением тока iL. Индуктивный элемент
может служить простейшей моделью высококачественных катушек индуктивности

2. Алфавитный каталог-словарь 67
с малыми потерями в области НЧ и СЧ. В области высоких частот должны
учитываться потери энергии в проводе и энергия электрического поля путем
дополнительного включения в модель сопротивления потерь Rl и «паразитной»
емкости С„ (рис. 2.14, б). См. 1.1.4.
«л
Рис 2.14
г
95. Интеграл Дюамеля /г (г) = fx (0+)A, (О + J fl(x)hx {t - т) с/т позволяет при t > О
о
найти реакцию /2(0 при произвольном воздействии fx(t) (причем /, =0 при
г < 0), если известна переходиая характеристика цепи h{(t) = h~l(t)b](t), где
й[(г) - описание ГТХ при t > 0; 5,(0 — ЕСФ; т— переменная интегрирования; £ —
текущее время (момент наблюдения). Поскольку t > 0, го все ЕСФ под
интегралом можно опустить. Трудности взятия интеграла Дюамеля появляются, если
при t =ti} воздействие изменяется скачком на А/,(/0). В эгом случае в
формуле интеграла Дюамеля появляется дополнительное слагаемое, аналогичное
первому:
/2(O = /.(0")A,(O + J/,'(T)A,(t-x)A + A/1(fe)/i1(t-io).
0
а иод интегралом следует учитывать только непрерывную часть Д (О- Интеграл
Дюамеля часто называют интегралом наложения, выраженным через ИХ цепи.
См. 1.4.4.
96. Интеграл свертки /2(0 = [/i (*)/?(/ - т)г/т позволяет при / > 0 найти реакцию
о
/2(£)при произвольном воздействии /{{()(причем /, =0при 1 < 0), если известна
импульсная характеристика цени
А(О = ^ЧО = ^^8|(О + А|(0+)8(О = А0(О+Л1(СГ)8(О.
ал
где //,(/) = //[(05,(0 - переходная характеристика, 5,(г)— £СФ; 8(г)— ЕИФ\ х —
переменная интегрирования; t — текущее время (момент наблюдения).
Поскольку t> 0, то все ЕСФ под интегралом можно опустить. Трудности взятия
интеграла свертки возникают, если ИХ содержит дельта-функцию 8(0- Расчетная
формула в этом случае
Л(0 = }/1(*У'о('-'0* + А,(<П/1(0,
(J

68
2. Алфавитный каталог-словарь
где Л0(/) — часть ИХ, не содержащая ЕИФ. При использовании операторного
метода проще находить реакцию по ее изображению: f2(t) + F2(s) = H(s)FA(s)*
где H(s) - передаточная функция цени. Интеграл свертки также называют
интегралом наложения, выраженным через ИХ цепи. См. 1.1.4.
97. Интегрирующая /tC-цень и ее характеристики. Схема интегрирующей
ЯС-цеин приведена на рис. 2.15, а, выходной сигнал ums(t) = -\um(t)dt, если
ыьых «; м)1Х. Чем больше постоянная времени т = RC, тем ярче эффект
интегрирования. ПФ цепи Я(д)= XlXat , ЧХ H(j(o)= m Vx t , АЧХ Л(со) = (1/т)
5 +IV ~ ' (jo)+Гт)' "ч"' 7«2 +(1Л)2
ФЧХ Ф(ю) = -arctgcoT. АЧХ разбивают на два ЧИ: при со< 1/т — полоса
пропускания, так как Л(со)«1; при со> 1/т — полоса интегрирования (ПИ), так как
Л(со) = 1/(т(о). Па рис. 2.15, б АЧХ, построенная по ЧИ, показана тонкой линией,
а уточненная — жирной. Сравнивая АЧХ цепи с амплитудным спектром
воздействия, можно сделать следующие выводы: 1) реакция будет непрерывной, так
как Л(оо) = 0; 2) Л(0) = 1, следовательно, площадь реакции Sum = 5ВХ; 3) если АС
воздействия в основном располагается в 1III, то unux(t) =suvx(l —Л,), причем
время запаздывания £, =|Ф'(0)| = т определяется наклоном ФЧХ на НЧ. Если АС
воздействия располагается в ПИ, то uBblx(t) = - \uhX(t)dt. См. также п. 26 «Оцеп-
ка формы реакции при сравнении спектра воздействия с ЧХ цепи». См. 1.8.5.
них
Рис. 2.15
98. Использование МЭИ при расчете НЦ позволяет в случае единственного НЭ
в цепи резко упростить анализ НЦ. Переходят к эквивалентной схеме МЭИН,
состоящей из последовательно соединенных эквивалентного ИН и„
эквивалентного линейного сопротивления Rt и НЭ (где ил =ихх — напряжение XX НЭ,
11э — сопротивление линейной части цепи без источников относительно НЭ).
См. L1G.2.
99. Источник напряжения (ИИ) — это идеализированный двухполюсный
элемент, напряжение которого uQ(t) является заданной функцией времени и не
зависит от протекающего через ИН тока. Условное обозначение ИН приведено на
рис. 2.16, а. Направление тока ИН может быть как согласованным, так и не со-

2. Алфавитный каталог-словарь
69
гласованным с полярностью напряжения. Для цепей с единственным ИН
характерна (логична, физична) несогласованная полярность (рис. 2.16, б).
Независимость напряжения ИИ от тока отражается на В АХ источника (рис. 2.16, в) для
момента времени t = t]4 следоьательно, дифференциалыюе сопротивление ИН
/?диф = du/di = 0. ИН в состоянии отдавать неограниченную мощность, как это
следует из рис. 2.16, л где i = ы0/^ -> оо (однако этот предельный случай, в
котором нарушаются ЗНК и определения И И и КЗ, в курсе ГЦ не
рассматривается). Частный случай ИН с напряжением w0 = 0 эквивалентен короткозамкпуто-
му участку (КЗ) цени. ИП отражает генерирование ь цепь электромагнитной
энергии (за счет преобразования ее из других видов энергии — механической,
химической и г. д.). См. 1.1.3.
ин
в
Рис. 2.16
100. Источник тока (ИТ) — это идеализированный двухполюсный элемент, гок
которого !0(Оявляется заданной функцией времени и не зависит от напряжения
ИТ. Условное обозначение источника тока /„ приведено на рис. 2.17, а.
Полярность напряжения ИТ может быть выбрана произвольно как согласованной
(рис. 2.17, а), так и несогласованной (рис. 2.17, б) с током ИТ. Для цепей с
единственным ИТ логична (характерна, физична) несогласованная полярность, как
показано на рис. 2.17, б. Независимость тока ИТ от напряжения отражается на
В АХ источника (рис. 2.17, в) для момента t = /(.Дифференциальное
сопротивление ИТ /?чиф =dufdi ->oc ИТ в состоянии отдавать неограниченную мощность,
как это следует из рис. 2.17, г, где и = il}Rxx ~> °° (однако этот предельный
случай, в котором нарушаются ЗТК и определения ИТ и XX, в курсе ТЦ не
рассматривается). Частный случай ИТ с током i0 =0 эквивалентен холостому ходу
(XX) в цени. См. 1.1.3.
о
+
+
С)
'о
1
J
ДП
и
ИТ
Ш)
[ит
о
+
XX
а
Рис 2.17
101. Каскадное соединение четырехполюсников ЧП 1 и ЧП 2 (с матрицами
параметров [й|, и \о]2) изображено на рис. 2.18, а. Это каскадное соединение всегда

70
2. Алфавитный каталог-словарь
регулярно. При каскадном соединении выход ЧП 1 является входом ЧП 2 (у ДП
нет аналогичного соединения). Результирующая матрица я-парамстров
соединения \а\ = \а\]\а\2. При изменении поспедовательности каскадов будет иная
результирующая матрица |а|2|а|, соединения (произведение матриц не является
переместительпым). Любой 411 лестничной структуры, например, изображенный
на рис. 2.18, б, можно представить каскадным соединением простейших (См. п. 191
«Определение параметров ЧП», пример), тогда
См. 1.11.3.
H = MzM» =
1 Z
0 1
1 0
у 1
\ + ZY Z
Y 1
+ о-*.
U,
: -I,
+
ич
i
i
т »—О —
: -/,
! ЧП 1 ! ЧП 2!
I
Рис. 2.18
102. Классификация нелинейных цепей (НЦ): 1) резистивные НЦ и
динамические НЦ; первые описываются нелинейными алгебраическими уравнениями,
вторые — нелинейными дифференциальными; 2) ПЦс несколькими НЭ и ИЦс
одним НЭ, когда для расчета НЦ можно использовать МЭИ; 3) см. также п. 103
«Кшссификация нелинейных элементов». См. 1.16.1.
103. Классификация нелинейных элементов: 1) нелинейные элементы с
неуправляемой характеристикой (см., например, на рис. 2.19, а ВАХ
полупроводникового диода), то есть нелинейные ДП, и НЭ с управляемой характеристикой (см. на
рис. 2.19, б характеристики транзистора), то есть нелинейные ЧП или трехпо-
люсникп: 2) НЭ с положительными дифференщшльньиш параметрами (рис. 2.19, а)
и НЭ, имеющие «падающие» участки характеристики (см. рис. 2.19, в, где
приведена ВЛХ туннельного диода); 3) НЭ с однозначной характеристикой (рис. 2.19, а)
и НЭ с неоднозначной характеристикой (см. рис. 2.19, г, где изображена гисгере-
зисная характеристика катушки индуктивности с ферромагнитным
сердечником); 4) пассивные ПЭ и активные НЭ; 5) НЭ с симметричными
характеристиками и НЭ с несимметричными характеристиками. Имеются и другие признаки
классификации нелинейных цепей и элементов. См. 1.16.1.
104. Классификация фильтров: 1) ФЫЧ — фильтр нижних частот, у которого
ПП находится на низких частотах; 2) ФВЧ — фильтр верхних частот, у которого
IIII находится на высоких частотах; 3) ППФ — полосовой пропускающий фильтр,
у которого пропускаются к нагрузке сигналы в полосе частот, а ПЗ находится на
114 и ВЧ; 4) ПЗФ — полосовой заграждающий фильтр, у которого ПП
находится на НЧ и ВЧ. Примеры простых симметричных фильтров Т- и П-структур

2. Алфавитный каталог-словарь
71
г
+
£+
и
О
и
I,
«диф<0
о
W
е
V/.A
к
а
Рис. 2.19
приведены на рис. 2.20, а и б. I. У ФНЧ Z, — это элемент IPZ^ — элемент С2\ на
частоте со—>0 продольное плечо (то есть Z() эквивалентно КЗ (так как Z7 =
= y'a)L —► ()), а поперечное плечо (то есть Z2) эквивалентно XX (так как
Zc = l/O'coC) -> °°) " сигналы с входа (7( полностью проходят к нагрузке ZH. При
со—► оо имеем Zt = XX, Z2 = КЗ и сигналы на выход U2 не проходят. 2. У ФВЧ
Z, — лто элемент Cv Z2 — элемент L2. 3. У НПФ продольное плечо — это
последовательное соединение L, и С,, а поперечное плечо — параллельное? соединение
L2 и С2; частоты ПРИ и ПРТ у плеч филыра одинаковы (\/yJL}Cl = 1Д//^С2 ),
поэтому на резонансной частоте Zx = КЗ, Z2 s XX и анналы проходят к нагрузке.
4. У ПЗФ плечо Z, образовано параллельным соединением L, и С]? а поперечное
плечо — последовательным соединением L2 и Г2, причем на частотах
простейших резонансов l/^/Z^C, = \/-JT^C2 имеем Z, =XX, ZL =K3 и сигналы на выход
не проходят. См. 1.12.3.
+ *—с
z, z,
2 2
Т^1
f,(s)
— о-
Z,
I
+
z
и
+ о-
ВД
— о-
I
сэ
2Z, 2Z,
г^
li(s)
II
Рис. 2.20

72 2. Алфавитный каталог-словарь
105. Классический фильтр — это согласованно нагруженный на
характеристическое сопротивление (ZM = Z, ) фильтр в виде симметричного реактивного ЧП
(то есть LC-411), у которого в ПП АЧХ Л(со) = 1 (или Л(м) = const), то есть
коэффициент затухания а =0, а в ПЗ а * 0 (см. и. 442 «Частотные характеристаки
симметричного ЧП в согласованном режиме»). Достаточные условия работы
классических фильтров в ПП: 1) если в режиме согласованной нагрузки
характеристическое сопротивление симметричного фильтра положительно (Zc -Zn = Ra >0),
то классический фильгр работает в ПП; 2) классический симметричный фильтр
работает в ПП, если его сопротивления Zxx и ZK3 «разнореактивны» (см. п. 316
«Свойства ЧХ LC-ДП»), то есть если одно имеет чисто индуктивный характер, го
другое — чисто емкостный (следовательно, классический фильтр нельзя
составить из накопителей одного тина). Для определения ПП фильтра необходимо
провести расчет резонансных частот LC-ДП по Zxx(s) и ZKJ(s), разметить на
каждом ЧИ (между этими частотами) характер реактивности каждого ДП, и ЧИ,
где характер реактивности Zxx и ZK3 различен и определяет ПП. См. 1.12.3.
106. Коммутация — это обычно какое-либо переключение, например, с помощью
идеального ключа, приводящее к возникновению переходного процесса. О К.
также говорят при скачкообразном изменении воздействия (или какой-либо его
производной), а иногда при скачкообразном изменении параметра в цепи. См. 1.3.2.
107. Компенсационный источник — источник, формируемый на основе теоремы
компенсации и по характеру влияния заменяющий действие остальных
источников в цепи. Будучи подключенным с обратной полярностью последовательно
с измененным сопротивлением Rk + ARk в исходную цепь, он компенсирует все
приращения и восстанавливает исходные реакции. См. 1.20.1.
108. Комплексная мощность пассивного ДП. При расчете МКЛ активная Р,
реактивная Pq и полная Ps мощности находятся как составляющие комплексной
мощности Ps = L7 = ZI2 =YU2 =Pse™ = Ps cosq> + jPs sin<p = P + jPQ, где Z, У,
if =UeJa" — комплексные сопротивление, проводимость, комплексное
действующее значение напряжения ДП, / = Ie~Ja* — сопряженное комплексное
действующее значение тока ДП, при этом Ps =\ Ps\ = JP2 + Pq . См. 1.5.4.
109. Комплексная схема замещения, используемая в методе комплексных
амплитуд, позволяет рассчитывать цепи сложной структуры в УСР аналогично
анализу /?-ценсй: источники напряжения и тока u(t)=U cos(tof ч-а ) и i(t) =
= /m cos(wt +а,) заменяют их комплексными амплитудами Um — U^e**" и I' —
— /„е^нли комплексами (комплексными действующими значениями) 0 =
= Um/V2 = Ueja" и / = /тД/2 =1е;щ; /?-, L- и С-элементам приписывают
комплексные сопротивления ZR = R,ZL = jtaL - j\Zl\iZl = -j/(toC) = -~j\Zc\, причем
здесь Um и /,(, U и /, aM и a(, со — параметры сигналов синусоидальной формы,
то есть их амплитуды, действующие значения, начальные фазы и частота. См. 1.5.3.
110. Комплексная функция цени — см. п. 440 «Частотная характеристика*
цепи и п. 215 «Передаточная функция» цепи. См. 1.5.5.
111. Комплексное сопротивление взаимной индуктивности в индуктивно
связанных цепях в УСР ZM =jwM = ±jXy =±j\ZM\ -±joi\M[ где \М\ — взаимная

2. Алфавитный каталог-словарь 73
индуктивность ИС-катушек, причем знак «+» соответствует их согласному
включению, а «-» — встречному. См. 1.9.1.
112. Комплексное сопротивление пассивного ДП в УСР при использовании
метода комплексных амплитуд: Z=Um/lm =f///=|Z|e>p =r + jx, где IIт =
= Umejau =LJyj2t In = ImeJtx' =/v2 — комплексные амплитуды. Модуль
комплексного сопротивления \Z\ = Um/lm =U/f описывает так называемый закон Ома в
«модулях»; фаза комплексного сопротивления ф = <хы -а,- полностью
определяет сдвиг фаз между напряжением и гоком пассивного ДП (см. п. 338 «Сигналы
синусоидальной формы»). Комплексная проводимость пассивного ДП: Y = \}Z =
= Im/Um = i/U = | Y\e™ =g + jb, причем| K|= 1/| Z|, у =^-ф. Кроме того,
использованы следующие обозначения: г, g — активные составляющие Z и У; х% b —
реактивные составляющие. (Поскольку ZR = R = rR, то есть xR = 0, то R-элемент
часто называют активным сопротивлением; гак как ZL =jtoL=jxLf Zc = 1/0"о)С) =
= jxc = j/(-l'wC), то есть rL = 0, r( = 0, то элементы L и С часто называют
реактивными элементами. Кроме того, часто обозначают |ZJ = со/, =ХЛ, \ZC\ =
= lf(<oC) = XC9\YL\=if(<QL) = BLt\Yc\ = <oC = Bc.) У пассивного*ДП из Л-, L- и С-
элементов всегда ] ф| < 90°, | у | < 90°, г > 0, g > 0. См. 1.5.2.
113. Комплексные амплитуды напряжения Um = Im,
-ите^и и тока /m ~1те}и> при анализе
установившегося синусоидального режима соответствуют rw?-
налам синусоидальной формы и (О = (7m cos (юг + аы ),
i(t) = 1 т cos(co£+ а,), что записывают в виде
Um +u(t)> Im -s- ;(£), К.а. £/m, /m представляют
векторами на комплексной плоскости, как комплексное
число А = Ae*f = а + jZ? (рис. 2.21), где модуль
(длина) вектора А =\А\ = \а2 +й2, фаза у = arctg(bfd),
а = Re A = A cos у, b = lm Л = Л siay, j = V-T — мнимая
единица, причем сопряженное комплексное число А =а-]Ь=Ае~л
(положительный отсчет угла у производят против часовой стрелки от «правого
горизонта»). К.а. используют при обосновании метода комплексных амплитуд для
расчета УСР: u(t) = RcUmejUat¥iX«) = ReUneJi0l\ i(t) = ReimeJW\ где е^ - оператор
вращения, а (1те^, Im?Jwl — вращающиеся векторы, поскольку их суммарная
фаза у =со£ + а равномерно увеличивается с увеличением времени L
Комплексные значения (или комплексы действующих значений) — это U -Ve^ =[)m/V2,
/ = /ел =/т/л/2. См. 1.5.2.
114. Комплексные сопротивления пассивных элементов в УСР при
использовании метода комплексных амплитуд:
Zc =0JIM =R; ZL =UmJiaL =М=оз/^0' =\ZL\e^;
Z, =£>,„c/'rac = l/0»C) = -7/(cDC) = -U~y80" =Uc\em,
meUm =(/V2, lm = /V2 — комплексные амплитуды.
У Л-элемента фд = а ~<*1д =0°, то есть синусоиды напряжения и тока в фазе;

74 2. Алфавитный каталог-словарь
у I-элеменга Ф/. = =схи -ot, =90°, то есть напряжение «опережает» ток на
90°; у С-элсмснта угоч сдвига между синусоидами ф( =сх — а, =—90°
то есть напряжение «отстает» от гока на 90°, чго соответствует
мнемоническому правилу ULICU. Комплексные проводимости элементов YR =\/zR ~G,
У, =l/cL =\/(j(oL)t Yc =1/zr=_/coC При со—>0 сопротивление Z, =>/(oZ.->0l
Z< = l/(jtoC) -> oo, то есть элементы L = КЗ, CsXX; на частоте со->сс имеем
Z^ -> oo, Zc —» 0, то есть L = XX, С s КЗ. См. 1.5.2.
115. Контур — ато замкнутая последовательность ветвей схемы (которая может
включать и разрыв цепи — XX), причем эти ветви не пересекаются. См. 1.1.6.
116. Корни характеристического полинома последовательной RLC-мспи могут
быть найдены, например, на основании записи УС последовательной RLC-цепи, ХП
2 * 1 п ^ If R}2 1 . Г~2 2
которых р +^; + Yc откуда Рх.2 =~^±^1 2iJ -7г5= Va "0)ftl
где a = R/(2L) - коэффициент затухания цени; со,, = l/vLC — резонансная
частота (частота незатухающих колебаний в RLC-ucmi при R = 0). Корни ХП цепи
часто называют собственными частотами цепи. См. 1.3.6.
117. Короткозамкнутый элемент (КЗ), то есть в практической
мкз = 0 электротехнике — короткое замыкание в цени — идеализирован-
^ р = 0 ныи двухполюсный элемент (обозначение см. на рис. 2.22), обла-
кз дающий следующими свойствами: сопротивление i?K3 =0,
проводимость GKJ -> 00, напряжение ыкз =0, ток iKi зависит от осталь-
Рис. 2.22 ноц цеп„ См. 1.1.3.
118. Коэффициент мощности пассивного ДП
cos ф = P/Ps = рЦр2 + Pi = P/(UI)
показывает (см. также п. 25 «Виды мощностей пассивного ДП в УСР»), какая
часть располагаемой мощности реализуется как активная. При заданных
активной мощности Р и напряжении t/ток / в цепи обратно пропорционален cos ф.
Таким образом, повышение К.м. влечет за собой снижение потребляемого тока, что
уменьшает потери энергии в проводах. Повышение К.м. происходит при
сокращении реактивной составляющей PQ (см. п. 17 «Баланс мощностей в пассивном
ДП в УСР»). Так как PQJ > 0, а PQC <0, то для компенсации PQ ДП, имеющей, как
правило, индуктивный характер, параллельно ДП подключают
компенсирующую емкость. См. 1.5.4.
119. Коэффициент отражения определяет отношение отраженной волны к
падающей в конце ДЛ (то есть при х = 0)
n=U,jUn2 =IJlnl =(Z„ -Z„ )/(Z„ + ZB ),
где Z„ — сопротивление нагрузки ДЛ; ZH — волновое сопротивление {вторичный
параметр ДЛ). При XX нагрузки (Zpt -»оо) коэффициент отражения и = 1,
то есть 12 = /и2 -7о:г =0, U2 ={/„2 +£/„2 =2£/П2- При КЗ нагрузки п = -1, то есть
U2 =Ull2 +£/о2 =0,/2 =/п2 -7о2 =2/л2. См. 1.14.2.

2. Алфавитный каталог-словарь
75
120. Коэффициент прямоуголыюсти, характеризующий АЧХ связанных
контуров, — это коэффициент, определяющий избирательные свойства связанных
контуров, kllJt = А(оя/А(от> где Дсоя определяется па уровне пЛпГ1% (обычно п *= 0,707),
а значение Аыт — на уровне тА^ (обычно т = 0,2). Чем больше коэффициент
прямоугольности, тем ближе АЧХ СК к прямоугольной форме (то есть к АЧХ
идеального фильтра) и лучше избирательность СК. См. 1.18.4.
121. Коэффициент связи — отношение взаимной индуктивности к ее
максимально возможному значению (при отсутствии потоков рассеивания в ИС-ка-
тушках) £м = kcv = | М\/Мтлх = | М\ / yJLYL2 < 1, где Lv L2 — индуктивности
самоиндукции ИС-катушек (например, L, = NlOu/i1)l при этом ky, = 1 соответствует
так называемой совершенной магнитной связи, когда равны нулю индуктивно-
сти рассеяния. См. 1.9.1.
122. Кривая размагничивания — это находящаяся во втором квадранте часть
характеристики намагничивания ферромагнитных материалов B(H)t обладающих
широкой петлей гистерезиса, — так называемых магнитотвердых материалов, из
которых изготавливаются постоянные магниты с большой коэрцетивной силой
(IIк > 4000 А/м) и значительной остаточной индукцией В0. Кривая
размагничивания используется при определении рабочей точки МЦ с постоянными
магнитами. См. 1.22.4.
123. Критерий ширины спектра по значению его первого лепестка. Шириной
спектра Досчитается диапазон частот, ограниченный первым узлом (.чеиестком
АС). Это — самый простой из критериев, но и самый грубый в сравнении со
строгим энергетическим критерием ширины спектра. Спектры некоторых
сигналов (например, спектр экспоненциального импульса) вообще не имеют узлов
(нулей). См. 1.8.3.
124. Критический режим в последовательной RLC-цени (критический случай
апериодического режима наблюдается, когда корни ХП последовательной RLC-
цепи являются кратными:
Pi 2 =
R
2L
_R^
2L
LC
R
21
= -€t.
При этом (согласно УС последовательной RLC-цепи,
подключенной к ИН ии = const) решение i(t) = /(||(0 =
= Ale~at + A2te at действительно не содержит
колебательной составляющей (как и при рассмотрении
апериодического режима). При НУ z(0+)=0, /'(0+) =
= (w0-wC0)/L получим Л, =0, следовательно, i(0 =
График процесса приведен на рис. 2.23
Ц0 UCf) у. -of
Рис. 2.23
(где линейная функция и экспонента намечены
штриховыми линиями); периодическая составляющая в [рафике отсутствует,
а максимум соответствует постоянной времени х = 1/а). См. 1.3.6.

76 2. Алфавитный каталог-словарь
125. Лестничная структура ЧП соответствует в общем случае многократному
последовательно-параллельному (цепному) соединению. Ксли первым
элементом ЧП со стороны нагрузки является последовательное сопротивление, его
обозначают Z, (.s), если же параллельная проводимость — тоУ0(\). Прочие
продольные сопротивления ЧП обозначают ZlA(.v), а параллельные проводимости —
Уол(л), где k — обычно номер элемента, отсчитываемого от нагрузки. См. 1.17.1.
126. Линейная дискретная цепь описывается линейным разностным
уравнением, а схему дискретной цепи можно составить только из трех простейших
линейных элементов (суммирования, масштабирования, сдвига). См. 1.15.2.
127. Линия без искажения (ЛВИ) — это ДЛ с искусственным сочетанием
параметров /-о/Я» =C0/G0, поскольку у реальных ДЛ Lu/R0 <C0/GC. ЛБИ не
искажает при согласованной нагрузке
ZI( = ZH = ZM = VZo/yo = 7(^+л£о)/(Со +*С0) = JRJGq = const.
поскольку при Zn = const согласование возможно на любой частоте со. При этом
коэффициент распространения уи = ^JZ(JY{J = ^}R{tGQ ■\-s^JLl]Cu, то есть ПФ в
согласованном режиме HII{s) = HJ(s) = e~Yo =ke~st-u соответствует ПФ неиска-
жающей цепи с АЧХ Л (со) = ke'**1^ = const и линейной ФЧХ Ф(со) = ~(ol^JLQC0
при запаздывании сингалов в ДЛ fJ( = l<yJLnC0. Отраженных волн в ЛБИ нет,
а скорость движения падающей волны по линии v = l/tM = 1Д/L0C0. См. 1.14.3.
128. Линия без отражения (Л БО) — это ДЛ при согласованной нагрузке Zn = ZH,
когда коэффициент отражения и отраженные волны в ДЛ отсутствуют. Носколь-
ку волновое сопротивление ZH -Zn =ZI1X = ^/Z,,/У„ = ->/(^o + SLU)/(GU +A'CU) не
описывается дробно-рациональной функцией обобщенной частоты, 5 = jay,
согласованную нагрузку можно реализовать лишь па конкретной частоте со. ЧХ
при этом
где а0(со)— погонный коэффициент затухания ДЛ как симметричного МП; Р(| —
погонный коэффициент фазы. Поскольку в УСР коэффициент распространения
y0(jco) = ^Z0Y0 = а0(со) + уР„(со) ire является дробно-рациональной функцией, го
а0 ф const, Р0 — нелинейная функция частоты со. Следовательно, Л БО искажает
проходящие сигналы. См. 1.14.3.
129. Линия без потерь (ЛБП) — это ДЛ, п которой активными потерями можно
пренебречь, то l-сть R() = 0, G0 =0. Волновое сопротивление ЛБП
%п = <JZ0fY0 = 7(Яа +i-L0)/(C0 + sCQ) = ^LQ/Cb = const,
то есть согласование нагрузки ZH = Z возможно па любой частоте.
Коэффициент распространения у0 =^Z0YQ =s^JL{iC0 описывается дробно-рациональной
функцией. ПФ в согласованном режиме //,,(.*) = II{(s) = e ul -e~ ^'" =е"А^л,
то есть u2(t)=ul(t-tAa); сигналы проходят по ЛБП длиной / с запаздыванием

2. Алфавитный каталог-словарь
77
1*4 =4Li>Cn со скоростью v^l/t^ =1/л/^ч»со- ЧХ ^Г/(;о>) = Л^ =l-e_/wr-
также соответствуют характеристикам неискажающсй цепи. Приближаются к ЛБП
реальные ДЛ небольших размеров с малыми потерями, а также ДЛ в которых
выполняется условие u>Z,0 » /?0, а>С0 » (70 при передаче сигналов высоких
частот. См. 1.14.4.
130. Магнитная цепь (МЦ) — это совокупность устройств, содержащих
ферромагнитные тела (материалы), которые используются для сосредоточения в них
магнитного потока (МП); магнитные пени относятся к классу нелинейных
цепей. Так как ферромагнитные материалы обладают очень большой
относительной магнитной проницаемостью ц » 1 (у воздуха и вакуума \хт.^ = uMK = 1), МЦ
широко используются в измерительных приборах, реле, трансформаторах и т. д.
Классификация МЦ: однородные и неоднородные (в том числе с иозОушнылт
зазорами), разветвленные и неразветвленные, с постоянными магнитами и с
обмотками, по которым протекает ток, и др. См. 1.22.1.
131. Магнитный поток (МП) Ф определяется как интеграл от вектора
магнитной индукции Ъ по заданной площади: Ф = f edS. В приближенном анализе МЦ
скалярное произведение векторов BdS = BdS cos (В л d л) обычно заменяют
произведением скаляров ФА = BkSk при определении МП Фл, проходящего через
поперечное сечение Sk МЦ (предполагая вектор В одинаковым по сечению МЦ
и перпендикулярным ему). Направление вектора В (и отождествляемое с ним
направление МП, что нестрого) определяют по правилу правого винта
относительно направления тока, протекающего, например, по «катушке», намотанной
на сердечник МЦ. См. 1.22.1.
132. Матрица индуктивностей [L | используется в расчете индуктивно связанных
цепей при рассмотрении уравнений ИСЭ (то есть ИС-катушек) как уравнении
ЧП, матрица z-параметров которого
"L М
U
н=
It
12
11
12
= $[1| = *
'i
М
а матрица //-параметров
м=[--]-• =Vr'=Vi=-
s
S
S
1 II
I
12
22
У\\ У12
Уг\ У 22
где Fu = Л2/А^; Г|2 = Г2| =-M/AL\ T22 = Lt/At; AL = LAL7 -Мг. При этом матрицу
[Г] = [£|~1 называют матрицей обратных индуктивностей. В случае совершенной
магнитной связи, когда LtL2 = М2, ^/-параметры у ИСЭ не существуют. См. 1.11.4.
133. Матричная передаточная функция
[Ws)] = [^(s)l[F,(S)| ' = (s[E\-\A\),\B] + \h\,
где [jF|(s)|— матрица изображений по Лапласу воздействий |/,(0|: |/\>00]~ MaI^
рица изображений реакций |/2(0]. которыми считаем переменные состояния;
[Е\ — единичная матрица; 5 — аргумент преобразования JIannaca\ |Л]и \В\—
матрицы коэффициентов уравнений состояния, операторная форма которых при

78 2. Алфавитный каталог-словарь
нулевых ННУ имеет вид s[F2(s)] = \A]\F,(s)\ + \B]\Fl(s)\\ |А(/)]- мафица ИХ
от каждой) из воздействий к каждой реакции. М.п.ф. обобщает понятия ПФ и ИХ
на цепи с несколькими воздействиями и реакциями. См. 1.6.4.
134, Матричная форма уравнений ГК — ло система уравнений [£||и| = |0|, где
элементы Ьтп матрицы главных контуров \В\ равны +1, если напряжение ип
согласовано с обходом ГК от, -1, если напряжение ип и»л согласовано с обходом ГК
от, и 0, если ветвь л не входит в ГК от. Матрицы главных контуров |В|и
напряжений \и\ обычно разбиваются на две подматрицы, тогда приведенную систему
уравнений ГК можно записать в виде
l(fB); (£)l
('О
= 101.
гдс(£)— единичная матрица, обусловленная тем, что хорды имеют «последние»
номера (при жесткой нумерации упорядоченного графа) и напряжение каждой
хорды входит только в «свое» уравнение; (FB ) — фундаментальная подматрица
матрицы [Я]; (и, ) — матрица напряжений ветвей дерева; (мх ) — матрица
напряжений хорд. См. 1.19.2.
135. Матричная форма уравнении ГС — это система уравнений [<2Jl/] = [0]f где
элементы qnm матрицы главных сечений [Q] равны +1, если ток /и выходит из ГС
с номером от, - 1, если ток /н входит в ГС от, и 0, если ветвь п не относится к ГС от.
Нумерация строк матрицы [Q] соответствует номерам ГС, а нумерация
столбцов — номерам элементов. Матрицы главных сечении \Q\ и токов |z] обычно
разбиваются на две подматрицы, тогда указанную систему уравнений ГС можно
записать в виде
[(Я); (F)\
'л
К
= [01,
где(£) — единичная матрица (точнее, подматрица), обусловленная тем, что
каждая ветвь дерева входит только в «свое» уравнение один раз; (F) —
фундаментальная матрица; (/., ) — матрица токов ветвей дерева; (ix )— матрица токов хорд.
См. также п. 69 «Жесткая нумерация упорядоченного графа». См. 1.19.2.
136. Матричная форма уравнений закона Ома — это уравнения в форме
1#Шл] = [ыл ]i где [R] — диагональная матрица сопротивлений резистивиых
ветвей цепи; [iK | и [ик ] — матрицы токов и напряжений /?-ветвей. Минимальная
информация для расчета цепи, вводимая в ЦВМ, — jto матрица [/?],
фундаментальная матрица [F], данные об источниках напряжения и тока. См. 1.19.2.
137. Мгновенное значение — это текущее значение переменной f(t) как
функции времени Л причем условно считают/ =/(f). См. 1.1.1.
138. Метод гармонического баланса (МГБ) обычно применяется для расчета
установившихся периодических режимов в НЦ с симметричными (нечетными)
характеристиками НЭ при синусоидальном воздействии. 1. Характеристику НЭ
аппроксимируют нечетным степенным многочленом, например, характеристику
L-НЭ записывают как yL(iL) = axiL -aAi'L (см. п. 9 «Аналитический расчет R-НЦ

2 Алфавитный каталог-словарь 79
при полиномиальной аппроксимации*, мегод трех точек). 2. В предположении,
что периодические реакции в основном определяются первыми (основными)
гармониками, подставляют их в уравнение аппроксимации, например.
Vi =ЯЛ. a)s(Gtf + a,)-a:^ cos3 (orf + a,) = (ajm -0,75/* )cos(co* + a,)f
где cos3 у =0,75 cosy -0,25 cos Зу; ш - частота воздействия. 3. Составляют
систему независимых ДУ НЦ. 4. Подставляя в ДУ данные из п. 2» получают систему
тригонометрических нелинейных уранненнй, решая которую (с учетом баланса
амплитуд и фаз первых гармоник), выводят НФУ для расчета параметров
реакции. При исключении переменных в системе часто приходится использовать
МКА, а при решении НФУ — метод Ньютона -Рафсона. Естественно, МГБ —
приближенный метод расчета. См. 1.16.4.
139. Метод инвариантности (полного соответствия) переходных характеристик
при переходе от аналоговой цепи (ЛЦ) к дискретной- Дискретные значения ПХ
АЦ Лмц(/) при t - яГ считают значениями ПХ ДЦ: hAm(nT) ~ hlAli(t)\,_„r. По
известной дискретной последовательности А1ДП (пТ) находят ее z-преобразование Hx(z).
- j
Далее определяют передаточную функцию дискретной цепи: #(z) = -—H,(z).
z
Например, при йД£) = (1-е ,v )6,(/) записывают Л,лц(/) = (1-е риГ)б,(иГ) =
= (1-я" )8х(пТ), где а = е рг, тогда по таблице z-прсобразования
tft(z) = -^ —.См. 1.15.5.
г-1 г~а
140. Метод комплексных амплитуд, в котором анализ установившихся
синусоидальных режимов выполняют алогично расчету Д-цепсй, поскольку: 1) си/налы
синусоидальной формы заменяют их комплексными амплитудами Um =Umeiaut
/m -1те]щ\ 2) используют комплексные сопротивления пассивных элементов
ZR - R,Zr = jtoL, Zc = -jf(vyC) вместо ДУ элементов; 3) применяют ЗИК и ЗТК
в комплексной форме ^U^ =0 (в любом кошуре) и ^ Imk = 0 (в любом узле),
а также закон Ома в компасксной форме Um -Zfm для R-t L- и С-элементов.
См. 1.5.2.
141. Метод контурных токов (МКТ). 1. Стандартная система уравнений МКТ:
где /^ — контурный ток (КГ), протекающий условно в независимом контуре п
(число независимых уравнений МКТ, выбор контуров и направлений КТ
соответствуют ЗЫК, то есть ымкт = кзпк =пв -пу + 1); Rm — собственное (полное)
сопротивление контура и, равное сумме сопротивлении всех /?-ветвей контура;
Rtm = Rmn — взаимное сопротивление контуров т и п, равное сумме
сопротивлений всех й-ветвей, но которым протекают КТ im, i^ (если они протекают
встречно, эту сумму берут со знаком «-»); контурное напряжение икп равно
взятой со знаком «-» алгебраической сумме напряжений ИП контура п (то есть,
фактически, используют «обратное» правило знаков ЗЫК). 2. Ток /?-ветви
определяют по алгебраически]'! сумме КТ. протекающих по этой ветви (аналогично
МИ). 3. В «стандартном» МКТ все ИТ преобразуют к эквивалентным ИП (при
этом токи преобразованных Я-вствей определяют по уравнениям ЗТК исходной

80 2. Алфавитный каталог-словарь
цепи). 4. «Нестандарт» МКТ: если в цепи имеются элементарно пепреобразуе-
мые ИТ (например, i0|I гш-)* то независимые контуры МКТ выбирают так,
чтобы токи этих ИТбыли контурными (типа /к, = /ор /к2 = i02...). — получают
упрощенные (вырожденные) уравнения МКТ. При этом преобразовывать схему не
нужно, и токи ветвей определяются легко. Аналогично можно поступать с
любыми ИТ. 5. Преобразование элементарно неирсобразуемых источников
осуществляют с использованием теоремы замещения. См. 1.2.2.
142. Метод наложения (МП). Любую реакцию цепи определяют как
алгебраическую сумму элементарных реакций от действия каждого источника в
отдельности. При расчете элементарной реакции в схеме с очередным единственным
источником остальные источники исключают (эквивалентно заменяют ИИ на
КЗ, а ИТ-на XX). См. 1.2.2.
143. Метод Ньютона—Рафсона .>ффектинен при итерационном решении НФУ
/С* ) = 0, то есть при решении НФУ методом последовательных приближений по
формуле д:л = xk_{ " /(xk_l)//'(xtl_l)y где-ГА ~~ приближеннее номером к.
Уточнения делаются до выполнения условия |.rA_, -xk\<e, где е — заданная точность
вычисления корня НФУ. В качестве нулевого приближения д*0 может быть
использовано графтгеское решение НФУ. Как и другие итерационные расчеты,
процедура М.Н —Р. может быть неустойчивой, особенно при неудачном выборе
х0. См. 1.16.2.
144. Метод определяющих величин (MOB), частным случаем которого
является МПВ, наиболее эффективен для анализа цепей лестничной структуры, в том
числе с несколькими источниками. 1. Рекомендуется использовать однотипные
*
направления токов (например, но часовой стрелке). Задаются какой-либо
реакцией f2 (током или напряжением), допустим, в крайней «правой» ветви схемы,
например, в Я-цеии/-, =х. Аналогично МПВ последовательно переходят от
элемента к элементу схемы («справа налево»), используя законы Кирхгофа и Ома
и выражая через .г остальные реакции. В итоге получают уравнение для
определения неизвестной х. 2. В случае цепей сложной структуры используют
несколько неизвестных (л\ //...). 3. Фактически, MOB формализует процедуру
составления уравнений Кирхгофа и Ома с одновременным исключением переменных.
См. 1.2.2.
145. Метод преобразования частоты (МПЧ) использует формальный подход
и стандартные формулы, по которым определяются параметры и осуществляется
проектирование ФВЧ, НПФ, ПЗФ по ФНЧ- прототипу. См. 1.12.4.
146. Метод приближенного расчета сигнала по его амплитудному и фазовому
спектрам является наиболее простым и достаточно точным. Метод основан на
том, что сплошной спектр Fx{jio) = /\(ixy)e^Uo) одиночного импульса /ДОс точ~
иостью до коэффициента 2/Т, является огибающей дискретного спектра Ak =
= Akej0irпериодического сигнала /„(О- Выбрав произвольно довольно боль-
2
шой период Г, находят (при о)=£о), ~к2тс/7^) амплитуды Ak = — Л,(со) и фазы
Ф^ =Ф,((0)гармоник (синусоид) РФ сигнала/„(/), составленного из
периодически повторяющихся импульсов/,(/)• Записывают РФ (ограничиваясь паиболь-

2. Алфавитный каталог-словарь 81
шими по амплитуде гармониками) и вычерчивают /и(г) в пределах 0 < t < Т ~
это и будет искомый /,(0. Период Г должен быть таким, чтобы на его фаиицах
построенный график/,(/)практически затухал. См. 1.8.4.
147. Метод проб и ошибок при реализации нуля III категории (имеющегося
в ПФ ЧП) заключается в попытке частично выделить какой-либо полюс остатка
от реализации Z22 (или У^) или какой-то полюс обращенного остатка так, чтобы
в новом остатке был нуль, совпадающий с еще не реализованным нулем III
категории. Если первая попытка неудачна, пытаются частично выделить другой
полюс (обычно из ближайших полюсов к нулю 111 категории) и т. д. См. 1.17.4.
148. Метод пропорциональных величин (МПВ). Используется для анализа
цене»! лестничной структуры с единственным источником /,. 1. Рекомендуется
использовать «логичные» направления токов. Задаются любым значением реакции
/(2), то есть током или напряжением в ветви, наиболее «удаленной» от
источника, например, в /?-ценях /(2) =1. Последовательно переходя от элемента к
элементу с использованием законов Кирхгофа и Ома, находят остальные реакции
и в итоге — воздействие /(1). Определяют коэффициент пропорциональности
ft =/i//(D и в ft раз увеличивают полученные ранее значения реакций. МПВ
базируется на принципе пропорциональности линейных цепей. 2. В операторном
методе МПВ особенно удобен для определения передаточных функций, 3. МПВ
является частным случаем MOB. См. 1.2.2.
149. Метод узловых напряжений (МУН), или метод узловых потенциалов.
1. Стандартная система уравнений МУН
где w — напряжение узла п относительно базисного узла, который выбирают
произвольно (и которому присваивается условная отрицательная полярность);
Gm — собственная (полная) проводимость узла п, равная сумме проводимостей
Л-ветвей узла п\ Gnm ~ Gtm — взаимная проводимость узлов п и т, равная взятой
со знаком «-» сумме проводимостей всех /?-ветвей, которые непосредственно
соединяют узлы п и т\ узловой ток ivn равен взятой со знаком «-» алгебраической
сумме токов ИТ узла п (то есть со знаком «+*> учитывают входящие в узел токи
ИТ). Число независимых уравнений МУ11 имуи = ип-к = п -1.2. Токи К-иетвей
определяют но формулам inm ={uvn -uym )jRmny v*ie ^mn ~ сопротивление ветви
между узлами т и п (го есть уравнения МУН — это, фактически, уравнения
ЗТК). 3. В «стандартном» МУН все ИИ цепи преобразуют к эквивалентным ИТ
(при этом токи преобразованных Л-ветьей определяют по ЗТК для исходной
цепи). 4. «Нестандарт» МУН: если в цепи имеется один элементарно иепреобра-
зусмый ИИ или несколько ИП (например, иор ы02...) имеют общий узел, то этот
узел считают базисным, тогда напряжения (потенциалы) остальных узлов ИН
известны и можно записать вырожденные (упрощенные) уравнения МУН
(типаии =w0p uv2 =w02), при этом преобразовывать схему цени не нужно и токи
й-вегвей определяются легко. См. 1.2.2.
150. Метод уравнений Кирхгофа (МУК). В МУК максимальное число
независимых уравнений иМУК =плк +«jnK =(ny ~l) + (nD ~пу + 1) = "B РаШ|° числу

82 2. Алфавитный каталог-словарь
ветвей. Если каждый элемент цепи считать ветвью и за неизвестные принять
токи /^-элементов и ИН, а также напряжения ИТ, то максимальное число
неизвестных пк + п1Ш + яит = пп и система уравнений совместна (при использовании
закона ОмаыЛ =/&"я Для каждого Л-элсмснта). На практике необходимое число
уравнений часто удается уменьшить. Недостаток МУК — большое число
уравнений. См. 1.2.2.
151. Метод эквивалентного источника напряжения (МЭИII) — метод анализа
цепей, который основан на теореме Тевенена и позволяет рассчитать режим
работы одной из ветвей цепи. См. 1.2.3.
152. Метод эквивалентного источника тока (МЭИТ) — метод анализа цепей,
который основан на теореме Нортона и позволяет рассчитать режим работы
одной из ветвей цепи. См. 1.2.3.
153. Методика расчета в замкнутой форме простейших симметричных
автоколебаний в релейных цепях. 1. Предполагается априори, что выходной сигнал
релейного элемента с гистерезисом y(t) = ут при 0 < t < т, y(i) = -ym при
т < t < Т -2т. Условно считая сигнал у(() = О при t < О, находим его
изображение >/(5)=yi(5)/(l + ^) = z/M(l-^)/[5(l + ^t)], где Yx{s)±yx(t) = y(t) при
0<Г. <т. 2. С использованием ПФ ЛЧ #(s) находится изображение полной
реакции Л Ч Хн(.9)и представляется и виде суммы свободной и вынужденной
составляющих: XtXs) = H(s)Y(s)~XiB(s) + Xmw(s). Вынужденная составляющая
записывается в математической форме воздействия Хнын = X,(s)/(l + е~эт), где
A",(s)^x,(£)— описание вынужденной составляющей па полупериоде 0 <t <т, а
вид свободной составляющей определяется полюсами д,, .... sri 11Ф H(s). В
зависимости от вида полюсов свободная составляющая разбивается на
простейшие дроби, для которых находятся вычеты (коэффициенты) Лр ..., Ля, причем в
выражение для вычетов войдет неизвестный полупериод ЛК т, го есть
Ak = ЛДт). 3. Выделяется вынужденная составляющая из полной реакции цепи
Xl(s) = [Xn(s)-Xc„(s)]0 + e-") = Xl(s,T) + xl(t,i) = x(t,T)
при 0<г <т. Таким образом определяется описание усганоиившейся реакции
ЛЧ на полупериоде. 4. Расчет неизвестного полупериода автоколебаний т осуще-
ствлясгся путем решения НФУ х(0,т) = (L поскольку по условию при 1 = О
сигнал на входе ЛЧ (см. допущение из и. 1) достигает порога срабатывания
релейного элемента d — ширины полупетли гистерезиса характеристики РЭ (причем у
идеальной характеристики d = 0). 5. С учетом симметрии ЛК x(t) = ~х{1 + т)
периодически продолжаем полученное решение для любых L См. 1.21.2.
154. Множество вариантов реализации LC-JXH. 1. Можно использовать два
варианта реализации LC-ДП по Фоаперу (разложением па простые дроби). 2.
Широко используют варианты реализации по Кауэру, когда в виде Z, реализуют,
например, только A^s, то есть полюс ZLr(s) «в бесконечности» (или только A0fs,
то есть полюс «в нуле»); остаток Z„ -ZLC -Zx, естественно, имеет «в
бесконечности» нуль, но после обращения остатка проводимость Yu = 1/Z„ будет иметь
«в бесконечности» опять полюс, который выделяется (реализуется) как
проводимость Y2 ^A^s; остаток Yu -Y2 =Ym вновь обращается и т. д. Процедура по-

2. Алфавитный каталог-словарь 83
вторястся до полюй реализации Z/r, в результате формируется схема
лестничной структуры. 3. Часть Z/r(s) реализуется схемой Zy(s) последовательного
соединения простых ДП, остаток Z„ = //_, -Z, обращается и реализуется как
параллельное соединение Yn =1/Z„, причем подобное разделение Zu(s) на
составляющие можно совершать по-разному и многократно на /побои стадии
реализации. Л. Можно реализовать как Z, отдельные составляющие в Zir(s) частично
(то есть не полностью), а остаток /п =ZLC -Zr обращать, реализовать частично
и далее повторять эту процедуру, например:
/
ZIC —
1 . 0,5ЛС .
^3 s
л
* л .. . °М, . ^ Л*
о Л fc-i
v^ - k-\s2 +to2k j
— Z, + ZM.
См. 1.13.1.
155. Мощность p(/) измеряется в ваттах |Вт|. 1. Мгновенная М. ДП р = к/ =ui —
зто скорость поступления энергии в ДП. 2. При несогласованной полярности
p=-ui. 3. При p(t)>0 энергия поступает в ДП, при р(г)<0 ДП поставляет
энергию в цепь. 4. В цепи всегда (в соответствии с законом сохранения энергии)
соблюдается баланс мощностей, то есть £/>* =0 по всем к элементам ДП.
5. Мощность Р — см. 1.5.4. «Мощность в установившемся синусоидальном
режиме» за период. См. 1.1.1.
156. Мощность пассивных элементов в УСР рассчитывают по формулам (см
и. 25 «Виды мощностей пассивного ДП в УСР»)
PR =UKlRcosO = ItI* >(); PQK =0. PSH = PR;
PJ = (). PQ] ==c/L/,siny0o=|Z,.U? ^0; Psl =PQI:
pc =0; PQC =UcIcs\n(-90°) = -\Zc\l£ <(): P,{ = -PQC.
причем мгновенная мощность /Элемента рк{() = PR + РИ cos(2co/ + 2а, ) >0.
Активные мощности /{-элементов PR и реактивные мощности накопителей P^L и PQl
используют также при анализе баланса мощностей в цепи в УСР. См. 1.5.4.
157. Назначение трансформатора: 1) для изменения уровнен напряжения и тока
в п раз на входе и выходе (при приближении к свойствам идеального
трансформатора); 2) для согласования (в этом случае) нафузки пи мощности; 3) для
гальванической «развязки» ценен источника и нагрузки согласно схеме
замещения трансформатора. См. 1.9.3.
158. Направление тока. I. Предполагаемое (условно выбранное) направление
движения зарядов q+. 2. Если вычислено / = -2 А, то «угадано направление» q .
3. Нл\ указывается стрелкой, или двумя индексами: il2 =-i2p то есть тоК hi на~
правлен от узла 1 к узлу 2. См. 1.1.1.
159. Напряжение и измеряется в вольтах [В]. 1. Напряжение иУ1 =i/, -w2 =-«2i
между узлами 1 и 2 численно равно затраченной энергии (работе) по переносу
заряда q = +1 Кл из узла 1 в узел 2. 2. Электродвижущая сила (ЭДС) — обычно
так называют напряжение ИН, иногда — напряжение индукции. Падение напря-

84 2. Алфавитный каталог-словарь
жения, рост потенциала, разность потенциалов между узлами 1 и 2 — термины,
эквивалентные напряжениюuV2. См. 1.1.1.
160. Напряжение взаимной индукции — составляющая напряжения на ИС-ка-
гушке в НСЦ, наведенная магнитным потоком, который создай током другой
катушки. См. 1.9.1.
161. Напряжение на индуктивно связанных катушках (в ИСЦ) складывается из
напряжения самоиндукции и взаимной индукции, например, на 1-й катушке и, =
= Ц —+ Л/—-, где /р i2 — токи 1-й и 2-й ИС-катушек; L — индуктивность 1-й
ш dt
катушки; М =±\М\ — взаимная индуктивность (коэффициент взаимной
индукции), причем «+» соответствует согласному включению, В УСР при
использовании МКА записывают 0\ =Znlx +ZMI21 где ZM — комплексное сопротивление
взаимной индуктивности. См. 1.9.1.
162. Настройка связанных контуров в резонанс осуществляется (без изменения
сопротивления связи связанных контуров) изменением реактивных параметров
контура (L и С) с целью получения максимального значения тока во вторичном
контуре. Резонанс в УСР в цепи на частоте со наблюдается при выполнении
условия A"HX(copra) = ImZI1((_/aj )=0. при этом входное сопротивление СК
минимально, а следовательно, выходной ток (ток вторичного контура) максимален.
См. 1.18.2.
163. Невозможность реализации идеального ФНЧ следует, например, из
анализа простейшего варианта идеального ФН 4f ЧХ которою H(jto) = 1 при
| со| < шгр, II(j(o) ~ 0 при | со | > согр? где со — частота среза. Поскольку можно
рассматривать ЧХ кок спектр ИХ, найдем ИХ, используя обратное преобразование
Фурье:
2п 4,. п «V
причем этот результат справедлив для любого момента времени -оо < Г < со,
то есть ИХ //(/) * О при t < 0. Следовательно, нарушается условие, физической
осуществимости (ио которому А (О = 0 при t <0, так как воздействие вида ЕИФ 5(0
приложено к цепи при t = 0), поэтому идеальный ФНЧ реализовать невозможно.
Кроме того, ЧХ идеального ФНЧ не является дробно-рациональной функцией
обобщенной частоты усо, как это должно быть у RLC-цепей. См. 1.8.4.
164. Независимость упорядоченных матричных уравнений цепи. Все
уравнения для главных сечений независимы, так как ток каждой ветви дерева входит
только в «свое» уравнение и, следовательно, не может быть получен из
остальных уравнений для ГС. Все уравнения для ГК независимы, поскольку
напряжение каждой хорды входит только в «свое» уравнение и поэтому не может быть
получено из остальных уравнений для ыавных контурон. Независимы также
уравнения закона Ома для /^-элементов (поскольку каждое нз них невозможно
получить из других уравнении). См. 1.19.2.

2. Алфавитный каталог-словарь
85
165. Независимые начальные условия (ННУ) — это значения ^(0* ) = /Д0 ) и
мг((Г) = ыг(0 ), не изменяющиеся в момент коммутации на основании законов
коммутации. Все остальные начальные условия (НУ), wR(0'), /ДО1), w,(0+),
ir((T) называют зависимыми НУ, поскольку они «имеют право» измениться в
момент коммутации скачком, то есть в общем случае, например, uR(0' ) * иИ(0 ).
См. 1.3.2.
166. Незатухающий колебательный режим в последовательной £ С-цепи
наблюдается, когда в цепи отсутствуют потери энергии, то есть R = 0, и корпи ХП
последовательной RLC-цепи* а фактически, идеальной АС-цепи являются
мнимыми: рХ2 =±/со„. В этом случае гок (согласно УС последовательной RLC-цепи при
постоянном воздействии и0 = const) будет i(t) = /П|(Г) = Л, cos ш0£ + Л, sinо>0Л
то есть в цепи действительно П.к.р- С учетом НУ i(0*)=0, i'((T) = (w0 -ucu)/L
находим Л, =0 и решение /(f) = —9 —sinto0£, график которого изображен на
рис. 2.24, сдаед. Мри мс(0~) = мсо =0 получим ыс(£)=ы„ -мл =ы0 -L/'(0 =
= ы0 -w0 coscuq/, что также отражено на рис. 2.24, слева.
"(04
w0 - const.
Рис. 2.24
При t = Г/2 = тс/оз0 напряжение wc =2м0 вдвое превышает входное, что
используется в схеме удвоения напряжения, приведенной на рис. 2.24, справа (в идеале,
диод Д = КЗ при i > 0 и Д = XX при / < 0, го есть uL = 2м0 устанавливается с
момента Т/2). См. 1.3.6.
i67. Неизвест1п>1е в упорядоченных матричных уравнениях цепи. Число
неизвестных токов ПИ и Я-ветвсй в независимых уравнениях ЗТК для главных
сечений пГС равно числу ветвей дерева nv причем пгс = пя = п -1, где wv - число
узлов графа цени. Число неизвестных напряжений ИТ и /?-ветвей в независимых
уравнениях ЗНК для главных контуров п1К равно числу хорд их, причем/?гк =
= пх ~ пы - пЛ — пп - пу + 1, где пп — число ветвей ориентированного графа (число
элементов цепи). Число независимых уравнений закона Ома для резисгивных
элементов nR = пп -пт -пт|) где пНТ — число ИТ, пт — число ИИ, причем яти
уравнения содержат2nR неизвестных токов и напряжений /?-ветвей. Таким
образом, общее число неизвестных в цепи, равное 'lnR + пт + /?1Ш = 2ип - ппТ - пш,
полностью соответствует числу независимых матричных уравнений цепи nvc +игк +
+ пн = 2ив -я|1Т -пИ1|. См. 1.19.2.

86 2. Алфавитный каталог-словарь
168. Некорректные моменты теоремы Котелышкова. 1. Не существует
реальных сигналов /(f), спектры F(joj) которых (как требуется в теореме Котельнико-
ва) ограничены по частоте со, поскольку F'(jco) —>0 только при и—>оо, поэтому
используют «жесткие» критерии ширины спектра wm сигнала/(А). Тем не менее
не учитываемый при дискретизации ВЧ-дианазон спектра со>сои исходного
непрерывного сигнала f{t) является неустранимой ошибкой дискретной
техники. 2. Не существует идеального ФНЧ, то есть фильтра Котельпикова для
восстановления /(Г) по дискретному сигналу; поэтому частоту дискретизации
(сод »2com) увеличивают во много раз в сравнении с требованиями теоремы
Котелышкова. См. 1.15.1.
169. Нелинейная цепь (НЦ) — это цепь, которая содержит хотя бы один НЭ; она
описывается нелинейными уравнениями, общих точных методов решения
которых нет (реальная цепь может быть линейной только в ограниченном диапазоне
с изменением токов и напряжений). См. 1.16.1.
170. Нелинейный элемент (НЭ) имеет характеристики, описываемые
нелинейными уравнениями, например, ^=1/^0"^); y=y(iL)', c} = q{uc). Обозначение
простейших двухполюсных пассивных /?-, L- и С-ПЭ, аналогичное обозначению
линейных элементов с согласованной полярностью, перечеркивается ломаной
линией. Статические и дифференциальные параметры НЭ зависят от
интенсивности электромагнитных процессов в НЭ, то есть от значений тока
(напряжения) НЭ. См. 1.16.1.
171. Необратимый ЧП — это ЧП, для которого несправедлива теорема
взаимное ш, го есть не справедлив принцип взаимности (обратимости). Признаки
необратимости ЧП: zl2 * z2l, ух2 фУг\* det[*7]* 1. где z, у, а — параметры ЧП.
См. 1.11.4.
172. Нормирование электрических цепей (то есть масштабирование)
осуществляют с целью: 1) получения значений нормированных параметров цепи близких
«к единице»; 2) записи нормированных характеристик цепей в максимально
компактной форме. Обычно используют три вида нормировки: 1) но времени
(или частоте), когда нормированное время и = ///Б, а частота са = со/сов, причем
базисные значения (то есть масштабы) со,; = 1/£Б обычно обобщенно
характеризуют цепь (например, 1Ъ =т — постоянная времени в цепях 1-го порядка или
(о^ -Щ) — резонансная частота); 2) по уровню сопротивления (или
проводимости), когда нормированные параметры, например R.=R/Rh> L =соБ£/Яг>,
CI; = <obCRbt где R^ — базисное сопротивление. — обычно характерный параметр
цепи (например, сопротивление нагрузки RH или эквивалентное сопротивление
Л, — в цепях 1-го порядка); 3) по уровню сигнала /. =///ь, где базисный
уровень /п — например, максимальное значение воздействия. Так, при
нормировании ЧХпоследовательной RLC-цетт #0'о>) = iBX/0u=_Yux = 1/ZI1X = \/\R+j(<aL-
- 1/(соС))| при базисных параметрах 0% = щ = l/v£C, | Уъ\ = \/R получим
наиболее компактную запись ЧХ для всех RLC-neuvn: //.(/Vo.) = 1/(1 +Q(to. -l.(o.)|,
где Q = (a0L/R — добротность контура. При каждой нормировке уменьшается
число исследуемых параметров (было три параметра — 7?, Lt С; остался один —
добротность Q). См. 1.5.5.

2. Алфавитный каталог-словарь 87
173. Нормированная нагрузка 411 при его реализации предполагается резистив-
ной и единичной, то есть #* = 1. Сопротивление нагрузки ЧП при синтезе
считается резистнвным н равным базисному, то есть ZH = Rn = Я1;. В случае КЗ или
XX четырехполюсника нормирование ПФ не производится. См. 1.17.1.
174. Нормированные передаточные функции ЧП при нормированной нагрузке
ЧП упрощаются. Действительно, найденные на основании г- и г/-форм
уравнений ЧП и уравнения нагрузки (U2 = -/?н/2) нормированные ПФ
H;(5) = ZI_l(s) = Zli/(l + Z2i);i/-(s) = K2e.l(5) = -y|2/(l + ya)>
то есть ПФ по току оказывается равной сопротивлению передачи, а ПФ по па-
пряжению — равной проводимости передачи. См. 1.17.1.
175. Обобщенная расстройка в СК. Для характеристики расстройки связанньп
контуров с одинаковыми параметрами вводят обобщенную расстройку
X* X > X СО/- — 1 'соС L . 2 Л
£=:—!-=—=— = ■ = (О) —СОо >,
г, г2 г г гсо
причем с учетом допущения анализа СК е =x/r = 2Q5co», где 5со- — относительная
расстройка; Q— добротность /?tС-контура. См. 1.18.3.
176. Обобщенная частота (комплексная частота) позволяет распространить
MHoine положения расчета УСР с помощью МКА на анализ цепей при
обобщенном воздействии вида экспоненциальных колебаний
/„*(') = V га>(шг + а) = Re/■„,**.
где Fm = FTOeja — комплексная амплитуда сигнала (как и в МКЛ); s=o + j<x> —
обобщенная частота. Частные случаи обобщенной частоты: 1) s = уо>, где о~=0,
соответствует анализу УСР; 2) 5 =0, то есть a =0 и со = 0, соответствует анализу
цепей при постоянных воздействиях. Расчет вынужденной составляющей
решения при обобщенном воздействии аналогичен анализу УСР с использованием
МКЛ, но вместо частоты joy необходимо подставлять 5 — обобщенную частоту,
то есть необходимо изменить только комплексные сопротивления ZL=sL и
Zc = l/(C!s). Следует отметить, что при совпадении обобщенной частоты
воздействия с каким-либо корнем ХП цепи использовать МКЛ невозможно. Это условие,
являющееся границей применимости МКА, вытекает из определения
обобщенной частотной характеристики Fm2 = II(s)Fnl, причем комплексная функция
цепи {передаточная функция) в этом случае //($)-* оо, поскольку знаменатель
ПФ — это ХП цепи. См. 1.5.5.
177. Обратная задача расчета неразветвленной МЦ аналогична прямой задаче
расчета нелинейной ЭЦ: даны параметры всех участков магнитной цепи (длина
lk% площадь поперечного сечения Skt характеристики В(П) для определения
абсолютной магнитной проницаемости ц. lk), ток / и число витков N обмотки.
Необходимо найти магнитный поток в МЦ. Используется графический метод расчета.
1. По основной кривой намагничивания В{Н) пересчетом (ФА =BkSk, Vk -Hklk)
определяют нелинейные характеристики Фк(Ук), то есть зависимость МП каждого

88 2. Алфавитный каталог-словарь
участка МЦ от магнитного напряжения. Для воздушной) зазора Фь 3 = Vu 3/RM в э,
где магнитное сопротивление
К.».3 = /. ,/(Л'„Ц„,) = L,/(S.., • 4т:-10 7),
то есть характеристика On_1(Vll_l) является линейной. 2. Определяют
результирующую характеристику МЦ \^(Ф) графическим суммированием магнитных
напряжении характеристик ФА(У4 )при одинаковых значениях МП. 3. Определяют
суммарную МДС Fk =Ni = V^ и по найденному значению V^ определяют
рабочую точку на результирующей характеристике МЦ, то есть находят общий МП
Ф в неразветвленной МЦ. При решении обратной задачи расчета разветвленной
МЦ также используется описаннис ранее подобие расчета МЦ расчету /?-НЦ,
что указано и при описании прямой задачи расчета неразветвленной МЦ.
См. Г.22.3.
178. Общая последовательность синтеза LC-ЧП лестничной структуры. 1.
Осуществляют общую проверку на реализуемость ПФ LC-ЧП. 2. Определяют
параметры синтезируемо/о по ПФ LC-ЧП. З. Записывают пули передачи ЧП на
основании найденных параметров: это частные полюса Z22 (или Y22) и нули ZI2 или
(~YU). 4. Синтезируют частные полюса Z22 (или Y22)* то есть нули I категории
(в ПФ ЧП), как указано в свойстве 3 LC-ЧП, в виде продольного сопротивления
Z, (или поперечной проводимости YQ). 5. Затем синтезируют II категорию нулей
ПФ, которые совпадают с нулями остатков от реализации Z22 (или У22), полным
выделением соответствующих полюсов обращенных остатков (в виде
продольных сопротивлений Z}k или поперечных проволимостей YQk), как описано в
свойстве 5 LC-ЧП и в общей процедуре синтеза ЧП лестничной структуры. 6. Далее
синтезируют 111 категорию нулей ПФ (которые не совпадают с корнями
остатков от реализации Z22 или Y22)t как описано н методе проб и ошибок и в
последовательности действий при реализации нуля III категории. 7. Используют
свидетельство правильного окончания синтеза для контроля реализованного ЧП. При
необходимости изменяют последовательность выделения нулей ПФ (го есть
последовательность реализсщии ЧП). См. 1.17.4.
179. Общая проверка на реализуемость ПФ LC-ЧП в режимах его КЗ или XX
состоит в следующем: 1) условие Фиалкова должно выполняться; 2) нули и
полюса должны быть мнимыми, причем полюса — простыми. См. 1.17.3.
180. Общая проверка на реализуемость ПФ LC-ЧП при нормированной
нагрузке Rnu = 1 состоит в следующем: 1) условие Фиалкова должно выполняться;
2) нули ПФ должны быть мнимыми (могут быть кратными). См. 1.17.3.
181. Общая процедура синтеза ЧП лестничной структуры вытекает из самою
определения ЧН лестничной структуры: реализуется Z22 (или Y22) как Z/r(s),
то есть выделяется (реализуется) частично или полностью какой-то полюс ZIC в
виде продольного сопротивления ZIA, затем остаток Z' = 1/V обращается и
какой-либо его полюс реализуется в виде параллельной проводимости YQk\ новый
остаток Y" = 1/Z" вновь обращается и какой-то его полюс реализуется в виде
следующего последовательного сопротивления Z{k1 процедуру повторяют до полной
реализации ZLC. См. 1.17.2.

2. Алфавитный каталог-словарь
89
182. Общая характеристика расчета автоколебаний в цепи с релейными
элементами. Расчет выполняется, например, с применением метода гармонического
баланса, решения НФУ, в замкнутой форме или другими способами. Схему цени
при этом обычно приводят к эквивалентной обобщенной структуре. Часто
структурная схема автоколебательной РЦ — это эквивалентное представление
РЦ в виде двух взаимосвязанных частей (рис. 2.25) — РЭ и объединенной
линейной части (ЛЧ), описываемой ИФ II(s)c инверсией знака:
■"-1+...+ 60
Д(*) =
У(л)
bmSm +Ьт .5
Рис. 2.25
где X(s), Y(s) - изображения по Лапласу входного x(t) и
выходного y(t) сигналов РЭ соответственно. Обычно
предполагается, что т < nt то еегь переходная
характеристика ЛЧ А,(.*)непрерывна. Рис. 2.25, фактически,
описывает автоколебательную релейную цепь как замкнутую
структуру с отрицательной обратной связью. См. 1.21.1.
183. Общие свойства НЦ: 1) справедливы уравнения
ЗТК и ЗНК; 2) справедливы принципы непрерывности
потокосцепленпя в L-НЭ и заряда в С-НЭ; 3) не применимы и общем случае
свойства линейных цепей (пропорциональности, дифферел пируем ости,
наложения); 4) в общем случае НЦ преобразуют спектр входного периодического
сигнала. См. 1.16.1.
184. Ограничение теории чувствительности, базирующейся на ФАЧ, состоит
в том, что выходной сигнал цепи должен быть непрерывной и
дифференцируемой функцией от изменяемого параметра цепи. См. 1.20.2.
185. Операторные уравнения ДЛ (то есть преобразование Лапласа от
телеграфных уравнении однородной ДЛ):
Их
Их
где у0(5) = ^/Z,,(s)У„(s) = ^/(/?о + sL0 )/(G0 + sC0 ) — коэффициент
распространения, то есть характеристическая мера передачи ДЛ как симметричного 411; Z0,
F0 — погонные операторные сопротивление и проводимость однородной ДЛ как
симметричного 411. О.у. ДЛ являются однородными ДУ, то есть их
вынужденная составляющая решения равна нулю, а свободная составляющая имеет вид,
например, Ut (s) = А^°х + А 2е"{°л\ причем функции Л, =Un2(s) и А2 -Un2(s)
называют падающей и отраженной волнами в конце ДЛ при х =0. См. 1.14.2.
186. Операторный метод (ОМ) — это метод расчета переходных процессов с
использованием преобразования Матиаса. Используют два варианта расчета: 1) по
операторным уравнениям, полученным преобразованием Лапласа системы
независимых интегрально-дифференциальных уравнен™ цепи при ( >0; 2) но
операторной схеме замещения (ОСЗ) цепи, составленной для t>0, в которой
оригиналы (сигналы) воздействий (то есть источников) в цепи заменены их
изображениями по Лапласу, а /?-, L- и С-элементы заменены их ОСЗ, состоящими

90
2. Алфавитный каталог-словарь
из операторных сопротивлений Z[t(s) = R, ZL(s) = sLt Zr(s) = l/(Cs) и
дополнительных ИН для учета ННУ: ИИ ur(0)/s включается последовательно с Zct
а ИИ Ыг(0) — последовательно с Z, так, что Uc(s) = Zr(s)Ir(s) + uc(Q )/s,
Ui(s)=zZl{s)IJ_(s) — LilX0~). Решая операторные уравнения или рассчитывая
ОСЗ цени методами, аналогичными расчету Я-цепей, находят изображение
реакции F,(s)= FBUX(s)* а затем ее оригинал /г(т) = /вых(г). См. 1.6.2.
187. Операционный усилитель (ОУ) — активный мпогополюспый элемент,
условное обозначение которого приведено на рис. 2.26, а. ОУ имеет два входа и
один ныход по отношению к общему для них базисному выводу и представляет
собой зависимый источник гит ИНУН (рис. 2.26. о), выходное напряжение
которого пропорционально разности входных. Основное уравнение ОУ также
приведено на рис. 2.26, 6Л где// =U(s) - напряжения ОУ; 1ОУвых = Л>упЫх(л")~*
изображение по Лапласу выходного тока ОУ; koy — коэффициент усиления ОУ. У
реальных ОУ koy обычно очень велик (сотни тысяч), поэтому в расчетах переходят
к идеальному ОУ. Входные токи ОУ равны нулю. См. 1.11.5.
^ОУих+ °
ОУвых
^ОУих- а
/
+
а
и,
ОУих+
ОУвх
+
ОУьых
т
ОУиых
а
ОУвх
X
^ОУпых *ОУ "оУих ж
= «ОУ^ОУих+ ~"оУвх~)
Рис. 2.26
188. Определение вторичных параметров ДЛ по сопротивлениям ее XX и КЗ
осуществляется на основании формул ДЛ как симметричного ЧП
и формул связи вторичных параметров ДЛ с первичными параметрами
Zn =V^o/>« = VtR« + №Ц)/(G0 4->С0); у0 =yjZQY0,
при этом на частоте со по значениям Zxx и ZKi вначале находят волновое
сопротивление Zu и коэффициент распространения у0 =у//. где / — члппа ДЛ; затем
определяют первичные параметры ZQ = ZuyotYQ = y()/ZB.C\vi. 1.14.3.
181). Определение параметров синтезируемого ЧН по ИФ LC-ЧП в режимах
его КЗ или XX. Так как реализуемая ПФ H(s) = kB(s)/A(s)\mcci вид НIK3(s) -
= Zt2/Z22 или И rxx(s) — ~^'i2 Р^22* причем Л (.v) и B(s) -это полиномы четных
степеней .у, то для определения параметров ЧП делят числитель и знаменатель ПФ
на произвольный нечетный полином D(s)t корни которого мнимые, простые

2. Алфавитный каталог-словарь
91
и чередуются с корнями /1(5), то есть Z22 =A(s)fD(s), Z12 = kB(s)/D(s) или
Y22 = Л/Д -Y,2 = kB/D. Сразу же проверяют найденные Z2i или Yп па
соответствие основному свойству Z/C(s). Иногда в качестве D(s) можно выбирать дробно-
рациональную функцию. См. 1.17.3.
190. Определение параметров синтезируемого ЧП по ПФ LC-ЧП при
нормированной нагрузке. Реализуемая ПФ H(s) - kB(s)//\(s) — это нормированная
ПФ ЧП или Hr(s) = -Yvzf(i + У22). Вначале представляют в виде суммы
полином Л(л) = Л1ГГ(л) +Л|11ГТ(л), rip Лчг, А1т — полиномы четных и нечетных
степеней s. Затем, если B(s) — полином четных степеней s, преобразуют ПФ к виду
H(s) = (kBiAmi )/(1 + Л1ГГ/Лнчт), откуда Zn = ЛЧТ/Л„1ГТ, Zl2 =кВ/Атл (или,
аналогично, У22 и -YV2). Пели В(«?) — полином нечетных степеней 5, то преобразование
ПФ имеет вид //(л) = {кВ/А,п )/(1 + ЛНЧ| ./Л11Т), то есть Z22 (пли У22) равно
ЛН1ГТ/Л,П, a Z12 (или -YX2) равно kB/A,tT. Сразу же проверяют найденные Zn или
У22 на выполнение основного свойства ZLC(s). Если эта проверка не
выполняется, реализовать заданную ПФ в виде /.С-ЧП невозможно. См. 1Л7.3.
191. Определение параметров ЧП заданной структуры можно выполнять
любым из методов анализа цепей. Обычно используют методы (опыты) XX или КЗ
выводов ЧП (важно, чго эти опыты можно реализовать экспериментально, если
структура пассивного четырехполюсника неизвестна). На основании уравнений
4U(U{ =гп/, + zul2,U2 = z2Jx + z22/2) могут быть, например, определены
^-параметры ЧП так называемой Т-образной схемы (рис. 2.27, а): при XX на выходе
ЧП (/2 =0) имеем ;м = UJIt = ZX + Z:i, z2i =(/2/7, = Zj, а при XX входа ЧП
(/, -0)определяются г22 =U2/I2 -Z2 + Z:vzl2 =U{/I2 =Z3 -z2] (в соответствии
с условиями обратимости). У простейшего симметричного ЧП,
изображенного на рис. 2.27, 6У непосредственно из сравнения уравнений схемы с уравнениями
«-формы:I/, =С/2 4 Z(-/2),7, =-/2 =0-f/2 + 1-(-/2)— находим «-параметры Т1П
1 Z
Mz =
0 1
Аналогично, из уравнений симметричного ЧП, представленного на рис. 2.27, о:
£/, -£/2, /, =Y -U2 + (-/,), — определяем
1 0"
[a]Y =
У 1
См. 1.11
'. .
1
+
Ц
.1
2,
1
1
г
1
ъ
т
а
z2
/,
+
£/2
+
Ux
Рис.
h
2.27
7-х
б
+
"2
+
ц
л
с
-^
4-
V W
Г

92 2. Алфавитный каталог-словарь
192. Определение параметров RC-ЧП но его ПФ в режимах КЗ или XX.
Поскольку реализуется ПФ H(s) = kB(s)/A(s) вида #/K3(s) = ZnIZ22 или
H(rxx(s) = -Yl2/Y22y TO числитель и знаменатель ПФ делят на произвольный
полином D(s), чтобы получившиеся Z22 и Y22 удовлетворяли основному свойству
Zw(.s). Таким образом» Z^ = A/D, Zx7 =kB/D (или Y22 = Л/Д -У|2 = kB/D)t
то есть корпи D(s) простые, отрицательные и чередуются с корнями /1(a), при
этом у Z22 ближайшим к началу координат должен быть полюс, а у Y22 — нуль.
См. 1.17.5.
193. Определение параметров RC-ЧП по его ПФ, заданной при
нормированной нагрузке. Поскольку реализуется ПФ H(s) = kB(s)/A(s) вида //;(s) =
= ZI2/(1 + Z22) или #,.(б') = -К12/(1 + К22), то A(s) раскладывают на сумму двух
полиномов A(s) = Дф(<?) +Am(s) c положительными коэффициентами, причем
корни полинома Лнр выбирают отрицательными, лежащими правее корней Л(л).
Тогда корни полинома Л1В будут автоматически левее корней /1(5), то есть
корни полиномов А и Ат простые, отрицательные, чередуются и ближайшим к
началу координат будет корень у Л (&■)■ При определении ^-параметров ЧП делят
числитель и знаменатель ПФ на А , а при определении (/-параметров — на Ллп,
так 4toZ,2 = Лта/Л1ф,^2 =АВ/У1пр или Г22 = Дф/Ллп, -У12 =kB/Au. В результате
Z22 и Y2Z удовлетворяют основному свойству ZRC(s), го есть у Z22 ближайшим
к началу координат является полюс, а уУ22 — нуль. См. 1.17.5.
194. Определение проводимости передачи на основании метода контурных
токов выполняется применительно к /?-цепям по формуле
*kK =Gk-n = А*/Амкт =(-1)*+и АиЛ/ДМКТ)
где Дмкт — главный определитель системы уравнений МКТ; Gk.n —
проводимость передачи от единственного в цепи ИН ин (входящего только в
независимый контур с номером п) к току ветви ik (совпадающему с контурным током
независимого контура с номером к\ так всегда можно выбрать КТ); ДиА — минор
(определитель), полученный из Дмкт при вычеркивании строки п и столбца к\
Апк — алгебраическое дополнение, соответствующее Atfk. lla дуальной основе
находят сопротивление передачи на основании МУП:
Я*-„ =**/*- = А*/Амуи = Н)*"" Аи*/Дмуп,
где АМУц — главный определитель уравнений МУП; Апк и А^ — получены по
Амун» uk ~ узловое напряжение узла с номером к; 1п — гок единственного в цепи
ИТ, направленный от базисного узла к узлу с номером п. Аналогичные формулы
используют при анализе динамических цепей с помощью МКА и ОМ при
расчете соответствующих ЧХ и ПФ, как указано в определениях сопротивления и
проводимое ги передачи. См. 1.2.4.
195. Определение рабочей точки МЦ с постоянными магнитами требует знания
характеристики намагничивания ферромагнитных материалов (маги итотвердых
материалов) с широкой петлей гистерезиса, из которых изготовлены постоянные
магниты, а также применения основных допущений расчета МЦ и аналогов
законов Кирхгофа при расчете МЦ. При анализе, например, простой МЦ» состоящей
только из магнита с небольшим воздушным зазором, исходят из следующего: 1. По

2. Алфавитный каталог-словарь
93
анало]у второго закона Кирхгофа для суммарного магнитного напряжения V
в магнитной цепи без обмотки с током имеем 0 = VM + VILJ = -HH_JU л1 то есть
направление вектора напряженности магнитного ноля в машите (Дн = Нк JH ,//ч )
противоположно направлению напряженности в воздушном зазоре (здесь /ч>
1В л — длины участков МЦв мат иге и в воздушном зазоре). 2. Поскольку в
воздушном зазоре Йп.з =ц0Яв1 =/J7c-10"7 Яп 3, то направления векторов
магнитной индукции и напряженности совпадают. В то же время по первому из
основных законов МЦ линии вектора В непрерывны и замкнуты, то есть в воздушном
зазоре BKJ >0, Ипл >0, а в магните Ви >0, //м <0, как, фактически, указано в
и. 1. Следовательно, рабочая точка находится в квадранте II петли гистерезиса,
жирно выделенной на рис. 2.28, а и называемой кривой размагничивания. 3.
Пересчитывают кривую размагничивания (рис. 2.28, б) в область Ф(10. используя
формулы VM = //м/м, Фм = BMSM9 где 5М — площадь поперечного сечения магнита.
4. На основании аналога законов Кирхгофа при расчете МЦ определяют рабочую
точку, исходя из уравнений: Фм = Фь ,; УМ(ФМ ) = -Vl д = -Ф,,,.,^ в3, то есть
рабочая точка находится (рис. 2.28, б) на пересечении кривой размагничивания УМ(ФЫ )
и прямой "^,,(Фв.:|) = ^Ф11М/гм.н^ где Ям.в.э =/,,, /(5ВfJn0) = const - магнитное
сопротивление воздушного зазора; 5ВЗ — площадь поперечного сечения зазора.
См. 1.22.4.
(Ям. А)
^з(Фаа)
Рис. 2.28
196. Ориентированный граф — это геометрический образ цепи, содержащий
полную информацию о ее структуре, включающий все элементы и узлы (в том
числе устранимые); у каждого элемента указано направление тока и
предполагается согласованная полярность. См. 1.19.1.
197. Основная кривая намагничивания (ОКН) формируется на основании
характеристик намагничивания ферромагнитных материалов, если для большого
числа значении Нп построить семейство установившихся петель гистерезиса
при медленном перемагничивании и провести через вершины этих петель
кривую — ОКН, которая является нечетно-симметричной нелинейной
характеристикой и в основном используется для расчета МЦ из машитомягких
материалов при постоянных магнитных потоках. См. 1.22.1.

94 2. Алфавитный каталог-словарь
198. Основное свойство ZRC{s), то есть входного сопротивления ЙС-ДП: ZHC(s)
описывается дробно-рациональной функцией (с положительными
коэффициентами) обобщенной частоты л\ причем нули и полюса ZKC(s) располагаются в
комплексной плоскости на отрицательной полуоси, они чередуются, простые
(некратные), и ближайшим к началу координат является полюс. У проводимости
YM (s)= \/ZKC (s) ближайшим к началу координат является нуль. См. 1.13.2.
199. Основное свойство LC-ДП: входное сопротивление реактивного ДП Zfr(s)
описывается дробно-рациональной функцией (с положительными
коэффициентами) обобщенной частоты s, нули и полюса ZLC(s) простые, располагаются на
мнимой оси, чередуются, причем в начале координат находится нуль или полюс,
а степень числителя ZLC(s)отличается от степени знаменателя на единицу (нули
и полюса Ztr, то есть корпи XII LC-JXW в режимах его КЗ и XX определяются
резонансными частотами ДП). См. 1.13.1.
200. Основные допущения расчета МЦ касаются использования при анализе
МЦ основных законов МЦ, а также характеристик намагничивания
ферромагнитных материалов и учета воздушных зазоров в МЦ. 1. Считают, что вектор
магнитной индукции 8 одинаков но всех точках сечения Sk участка МЦ и
перпендикулярен сечению. Тогда от скалярного произведения векторов BdS =
= BdS cos (В a dS)переходят к произведению скалярных величин Фк = В/,5А при
определении магнитного потока через поперечное сечение магнитной цепи.
2. Интеграл от II dT по контуру МЦ заменяют на £ HhIk = ^Vk* считая вектор
напряженности магнитного поля // совпадающим с направлением контура
интегрирования, который проводят через середины поперечных сечений участков
МЦ. то есть ]TV^ =^HJk =Х'"а ~^ где ^ ~^kh ~ магнитное напряжение
(разность магнитных потенциалов) участка МЦ длиной lk\ Fk —Nkik —
намагничивающая сила (МДС) обмотки катушки из Nk витков с током ik% намотанной на
k-м участке МЦ. 3. Считают, что в МЦ векторы б и // совпадают по направлению
(что несправедливо для анизотропных материалов и петель гистерезиса), а их
связь определяется основной кривой намагничивания. 4. Вне МЦ магнитными
потоками пренебрегают (так как и л|)М :» и iHAh =и0 = 4 л- И)"7 Гн/м, то исть
практически весь МП сосредоточен в ферромапппных материалах МЦ). Тогда в
разветвлении МЦ ]ГФАвх =2]^*них' то есть сУмма входящих МП равна сумме
выходящих, что аналогично ЗТК. 5. В обычно конструктивно очень малых
воздушных зазорах МЦ используются указанные ранее допущения, считая линии
вектора Вь.Л параллельными, а площадь поперечного сечения воздушного зазора
приблизительно равной площади сечения «подходящего» к зазору участка
ферромагнитного материала, то есть Su л = 5фм. 6. Большинство указанных
допущений применяю! при расчетах МЦ из магнитомягких материалов, когда можно
использовать ОКИ, н при малых воздушных зазорах. В случае магнитотвердых
материалов (или магнитов) или при наличии болыппх зазоров применяют
только часть допущений. См. 1.22.2.
201. Основные законы МЦ. 1. Магнитный поток Ф вектора магнитной
индукции В через замкнутую поверхность S равен нулю, то есть Ф = J BdS = 0, что
отражает принцип непрерывности и замкнутости линий вектора В. Размерность

2. Алфавитный каталог-словарь
95
-т
Рис. 2.29
Ф — вебер |B6J, В — тесла |Те], 5— метр квадратный 1м2]. 2. Циркуляция
вектора напряженности магнитного поля // по замкнутому контуру / равна
алгебраической сумме токов, охваченных контуром, то есть [ И d I = £ ik = F%y причем Fz
называют магнитодвижущей силой (МДС), или намагничивающей силой.
Размерность Ь\ — ампер [А|, / — метр [м|, Я — ампер на метр |Л/м|. 3. Связь
векторов & и // обычно определяют (формулой В = и.а Й = рр 0 Н, где и.а = рр 0 —
абсолютная магнитная проницаемость; р0 = 4л>10 7 Гн/м — магнитная постоянная
(абсолютная магнитная проницаемость вакуума, так как рвак =1); р —
относительная магнитная проницаемость. См. 1.22.1.
202. Особенности автоколебаний в релейных
цепях. При автоколебаниях выходной сигнал
релейного элемента y(t) представляет собой
периодическую последовательность прямоугольных импульсов
с периодом Т. На рис. 2.29 приведен пример АК
простейшей симметричной формы, с неизменным в
пределах полупериода х =0,57" выходным сигналом
РЭ ± ут. ЛК сложной формы отличаются
неоднократным переключением РЭ внутри полуиериода
(периода), а также возможной несимметрией.
Задача расчета автоколебаний включает в себя, в
частности: 1) определение параметров АК (периода и моментов переключения РЭ
внутри периода); 2) расчет сигнала на входе РЭ; 3) исследование устойчивости
АК. См. 1.21.1.
203. Особые случаи комму! ации (ОСК) соответствую! появлению сверхтоков и
перенапряжений (в идеале — бесконечных) при нарушении .шконов коммутации и
идеализированных цепях. Простейший пример ОСК — подключение
параллельной ЛС-цего! при t = 0 к ИН н0 = const; при t >0 имеемuc(t) = иа = const * ut (0~) =
= 0(ссли С-элсмсит перед коммутацией не был заряжен). С использованием ЕСФ
можно записать иг(£) = ы08,(0. Тогда ток ic(t)=*Cu'c(t) = Cu08{t) ~► °° ПРИ * = Q
го есть, ц идеале, бесконечный ток вида 1£ИФ мгновенно заряжает С-элемент.
Другой простой пример ОСК — отключение последовательной RL-цени от ИИ
ы0 = const, когда можно записать iL(t) = iL(0") —/ДО )<5i(f), то есть iL(0~)*
*/,(0+)=0 (ток /.-.элемента изменяется скачком). В результате uL(t) = Ы](0 =
= -Ц[ (0 )8(0 —> ~°° при t = 0. По ЗНК «второе бесконечное», в идеале,
напряжение будет на размыкающемся идеальном ключе. См. 1.4.2.
204. Оценка реакции но значению АЧХ при ш = 0. Амплитудный спектр
реакции Д,ых(ш) = Лих(со)Л(со), где Лпх(ш) - АС воздействия; Л(ш) — АЧХ цепи. На
частоте со = 0 спектр сигнала равен площади сигнала, поэтому 5ВЫХ =511ХЛ(0).
См. 1.8.5.
205. Оценка реакции по значению АЧХ при w —» *>. Па основании теоремы о
начальном значении и теоремы свертки реакция при t =0+ может быть оценена по
АЧХ /1(<о) = | H(Jto)\ при со -> оо:
/шх (0*) = lim /mFB (jo,) Я(;ш) = /нк (0* )Я(»|
Ш-МО
ОН-Юо *

96
1. Алфавитный каталог-словарь
где //(усе) - ЧХ цепи. Поэтому, если значение ЛЧХ А(оо) = 0, то скачок
воздействия /HX(0f) на выход не пройдет, то есть реакция будет непрерывной. Если
Л(оо) = А, то скачок реакции /П11Я((Г) в k раз отличается от скачка воздействия.
См. 1.8.5.
206. Оценка формы реакции при сравнении спектра воздействия с ЧХ цепи.
Обычно ЧХ цепи можно приближенно разбить па частотные интервалы (ЧИ):
ненскажепия, если АЧХ Л(ш)= const; дифференцирования, если Л(ю) = £со;
интегрирования, если -Л(со) = Л/ш; двойного дифференцирования, если /1(со) = £ш2,
и т. д. Если спектр воздействия располагается в основном в одном из этих ЧИ,
можно приближенно предсказать изменение формы реакции на выходе цепи.
Например, спектр сигнала на входе в основном сосредоточен в ЧИ
дифференцирования, следовательно, /иых = kff№(t). См. также п. 428 «Характеристики
идеальных неискажающих, дифференцирующих и интегрирующих цепей». См. 1.8.5.
207. Падающая и отраженная волны в ДЛ, описывают решение операторных
уравнений ДЛ:
1 difx(s)
W = 7
Zn dx
= 7IU(5)-/uv(s) = /n2(5)^ -Ic2(*)e
-va*
■o
причем в любой точке х, отсчитанной от конца ДЛ, волны напряжения и тока
связаны соотношс1шем Ullr = ZJllx, II т = ZHIIV; Zn = yjZ0/Y0 — волновое
сопротивление ДЛ и у0 = y]Z0YQ — коэффициент распространения — это вторичные
параметры ДЛ. Значения волн при х = 0, то есть в конце ДЛ, Un2 = 0,5(f72 +
+ Z,/2)l[/a2 =0,5(£/2 -ZJ2). См. 1.14.2.
208. Параллельное соединение — образуется присоединением элементов к
одной и той же паре узлов, как показано, например, на рис. 2.30; напряжение и
таких элементов одинаково только в том случае, если у всех элементов
положительная полярность указана у одного узла, а отрицательная — у другого. См. 1.1.6.
209. Параллельное соединение ИС-катушек в установившемся синусоидаль-
ном режиме отражено на рис. 2.31. Напряжения на ИС-катушках VL] -ZlxlK +
+ ^а//2 =lh U1,2 ~^-lJi +Z\tI\ =& r^e %l =ytoI; ZM = joiM = ±j(d\M\ —
комплексное сопротивление взаимной индуктивности. Ток в цепи
+
о
1<
и
с
G
1
Рис. 2.30
т
W) fi2(0
Рис. 2.31
U

2 Алфавитный каталог-словарь
97
откуда экий валентная индуктивность I,
включении; 1ЛЯРф
LXL7-MZ
aim
при согласном
L{L2 -M
Lx +L2 -2\M\
при встречном включении, следовательно,
L, +I2 +2|Af|
^•лги-л >^авсф' 'com < 'шлр» как и ПРП пмлеоовательном соединении ИС-катушек
в У СР. См. 1.9.2.
210. Параллельное соединение четырехполюсников ЧП 1 и ЧП 2, имеющих
матрицы параметров [jy |j и [у \,. представлено на рис. 2.32. При параллельном
соединении ЧП (аналогично параллельному соединению ДП) их напряжения —
общие, а токи ЧП суммируются (и со стороны входов ЧП, и со стороны
выходов). Если обеспечено указанное па рисунке протекание токов (то есть
обеспечена регулярность соединения 411), то результирующая матрица #-параметров
соединения |#] =!;/], + 1#|2- См. 1.11.3.
Рис. 2.32
211- Параллельно-последовательное соединение четырехполюсников ЧП 1
и ЧП 2 (с матрицами параметров |g], n [g\2) представлено на рис. 2.33:
соединение входов ЧП соответствует паршиельному соединению ЧП, а соединение
выходов — последовательному соединению ЧП. Если обеспечено укапанное на рисунке
протекание токов (то есть обеспечена регулярность соединения ЧП), то
результирующая матрица g-параметрон соединения \g \ =■ [g |, + \g ]2. См. 1.11.3.
^2(2) !/2
Рис. 2.33

98
2. Алфавитный каталог-словарь
212. Пассивный двухполюсник в установившемся периодическом режиме —
это произвольная RLC-пепъ, переходный процесс в которой, вызванный
подключением к ДП при f = -оо входного периодического сигналю (воздействия), к
моменту t закончился (свооодная составляющая затухла). Ток и напряжение
такого ДП в УПР могут быгь разложены в ряд Фурье:
1(0 = h + Х^2/а cos(£rV + о^); и(0 =£/„ + £ Wh cos(*co,f + ащ),
k*\ A-l
где, например, для тока нулевая гармоника Л0/2 = /0, амплитуда k-i\
гармоники Ак =л/2/А =/mlf, фаза Ф^ =<xir Мгновенная мощность ДП p(t) = u(t)i((),
а активная могциость в УПР (или просто — мощность) — это среднее значение
мгновенной мощности за период Т:
где Uky Ik — действующие значения k-x гармоник напряжения и гока; фА =
= а - а , то есть мощность в УПР Р равна сумме мощностей отдельных гармо-
ник (нег «комоннационных мощностей» от гармоник с различными номерами).
Активная мощность пассивного ДП в УПР равна сумме активных мощностей
всех его Д-элементов (баланс мощностей). Действующее значение
периодического сигнала равно квадратному корню из суммы квадратов действующих
значений отдельных гармоник:
"=,к+2Х2=чк+х
к 1
к-\
f^)"-f+S,J-iNS'-
\
(у постоянного сигнала мгновенное, среднее, амплитудное и действующее
значения — одни и те же). См. 1.7.2.
213. Пассивный элемент. 1. Н.э. — это элемент, энергия которого в любой
момент времени неотрицательна, ш'пас(£)> 0 2. /?-, I-, С-элементы являются
пассивными. См. 1.1.1.
214. Первичные параметры ДЛ. Схема замещения бесконечно малого элемента
ДЛ размером А.г при отсчете координаты от конца ДЛ приведена на рис. 2.34,
R0Ax
Рис. 2.34

2. Алфавитный каталог-словарь 99
причем Rt) [Ом/м|. L0 [Гн/м], G0 [См/м], С0 [Ф/м] — первичные (погонные)
параметры ДЛ; / — длина (размер) ДЛ; Zn — нагрузка ДЛ; uv /,, u2, i2 —
напряжения и токи на входе и выходе ДЛ; их1 /я, Aw,, A/, — значения переменных и их
приращений и точке с координатой х. Если /?0, £0, Ga, CQ неизменны по ДЛ, она
называется однородной. Более строгой является симметричная Т- или П-образ-
ная схема замещения. См. 1.14.1.
215. Передаточная функция (ПФ) — это отношение изображения реакции к
изображению единственного в цепи воздействия при нулевых начальных условиях:
H(s) = F2(s)/Fl(s)+ hit), причем ПФ на основании теоремы свертки — зт
изображение ИХ. ПФ также часто называют функцией цепи или системной
функцией. См. 1.6.4.
216. Передаточная функция дискретной цепи (см. также таблицу и теоремы
z-преобразования) равна г-нреобразонаншо реакции ДЦ/,(/?Г)при воздействии
/|(/?Г) = 60(пТ), го есть является r-преобразованием ИХ ДЦ:
иы-ЫПЛ + *■*'' +-+*«»-* + НпГ).
F,(r) \ + axz +.„ + яА,г '
Поскольку ПФ ДЦ — .это отношение г-прсобразонаний реакции и воздействия
ДЦ, то разностное уравнение ДЦ и ПФ определяют друг друга. При .*том
знаменатель ПФ — это характеристический полином ДЦ, а корни ХП — это полюса
H(z). По теореме свертки ПХ как реакция ДЦ на единичную ступенчатую
дискретную последовательность б,(нТ) связана с ПФ формулой А, (/?Г)-н #,(;:) =
= —Я(г).С.м. 1.15.4.
217. Передаточные функции нагружешюго четырехполюсника по напряжению
//(г(.ч.) = ад= !—= -у» . -л
Ut(s) an+Yua[2 YH+ya zn + АгУ„
н по току
Н
,(5) = ^^= '— —^
~Уп
/,(s) an -f Zefl21 Z„ + z22 yn + Д> Zn
определяют аналогично расчету входного сопротивления пагружепио/о ЧП: к двум
уравнениям четырехполюсника (например, Ux = anU2 -^ci^i—^) и Л = я21£/2 +
+ a2i(-/2)) добавляют уравнение для нагрузки ЧП U2 =Zn(-I2 ) или I2 ~ -YJJ2.
Исключая из системы две лишние переменные (например, /2 и /, при расчете
//,..), находят искомую ПФ. Частные случаи ПФ при КЗ нагрузки (Z„ = 0)или
при ее обрыве (Уи =0) находят из приведенных формул. См. 1.11.2.
218. Передаточные функции связанных контуров. Для последовательных
связанных контуров ПФ по току Ht (s) = —- =^-, ПФ по напряжению Hlt(s) = —- =
/1 Z2 c/j

100 2. Алфавитный каталог-словарь
Z Z
= " с" , где Zv Z2 — сопротивления первичного и вторичного контуров.
7 7 -7
Z(11(.s) — сопротивление связи, ZH(s) — сопротивление нагрузки (выражения
для ПФ параллельных СК могут быть записаны дуально). Общие соотношения
для последовательных СК (и формулы для ПФ, и формула для входного
сопротивления связанных контуров) подобны формулам для линейного трансформа-
гора. См. 1.18.1.
219. Передаточные функции симметричного ЧП в согласованном режиме
одинаковы (и по напряжению, и но гоку):
Нг(з) = //,(5) = 1/(0,, + >l2fl2I ) = V(Zxx-Zr)/(/xx +Zr) = е™,
причем Zr =(ZXXZK3)' — характеристическое сопротивление симметричного
ЧП; ап = а22% аП1 ап — параметры уравнений симметричного ЧП; Zxx, ZKJ —
входные сопротивления ЧП при XX и КЗ его нагрузки; y(s) —
характеристическая мера передачи симметричного ЧП, которую в УСР можно представить в
виде уО'о) = а (со) + у'Р(со), где а — коэффициент затухания, Р — коэффициент
фазы. См. 1.12.2.
220. Передаточные функции ЧП в режимах его КЗ или XX, используемые при
реализации ЧП, имеют вид HJKi{s) = Zf2/Z22f HlfXX(S) = —Yl2fY22. См. 1.17.1.
221. Пересчет параметров ЧП осуществляют эквивалентными алгебраическими
преобразованиями одной формы уравнений четырехполюсника к другой.
Например, от уравнений через г-иараметры (l\ = £,,/, + zx2I2*U2 -z2xIx + z12I2) можно
перейти к уравнениям через «параметры (Ui -axxUx -л,2/2, 1Х = a2xUx -g12I2)
путем преобразования 2-го уравнения (/, =C/2/z2i ~ztJiIz2\)* откуда ап =l/z21,
ат> -z-iilziv Часто пересчет осуществляют методом XX или КЗ, описанным при
определении параметров ЧП (например, при /2 =0 имеем г22 = UJIX -oula2l).
См. 1.11.1.
222. Переход от передаточной функции к уравнениям состояния в общем
случае довольно сложен и заключается, например, в преобразовании ПФ
и-1
//<*)=
VAS) bnSm+ba_xSm'l + ...+htS + b0
вначале к дифференциальному уравнению
+би_,«Г~|чо+... + VJ(0+Vi(o.
а затем (в наиболее сложном случае т~ п) — к эквивалентному представлению
{...|(виы2 -ЬпихУ + {ап ха2 -б^ы,)]'+... + (а,ма -bxiix)}' + (а01/2 -60и,) = а
причем комбинации переменных в фигурных, квадратных и «специальных» скоб
ках считают переменными состояния л,, .... хя р хП:

2. Алфавитный каталог-словарь 101
i
А"! -Ь0и{ -д0м2;
х\ =.г, + (&,!/, -Д|Ы2);
J
Кроме того, необходимо учесть уравнение связи хп = яии2 -Ьпи]У то есть
ы2 =хп/ап +htiujajr Обратный переход от уравнений состояния к ПФ
несложен: достаточно уравнения преобразовать по Лапласу и решить относительно
искомой реакции. См. 1.13.3.
223. Переходная характеристика (ПХ) А,(/) коротко — это реакция на
воздействие вида ЕСФ 5,(0- Строго — ПХ А,(Г) численно равна реакции /2(£)при
нулевых независимых ПУ на единственное в цепи воздействие /,(£) = /^бДг), где
Fu) =1 В (или 1 Л) — коэффициент, используемый для выравнивания
размерности. Так как по принципу (свойству) пропорциональности /2(0 = Fwh}(t), то
размерность ПХ \hl ] = [/2l/1/i I- В /-области расчет ПХ при t >0 эквивалентен
расчету переходного процесса при подключении цени к единственному
источнику единичного постоянного уровня при нулевых независимых НУ.
Справедливый только при t >0результат такого расчета А,(/) = A,(t)корректно
распространяют на всю временную область (—эо <t <со) при учете фильтрующего свойства
ЕСФ и условии физической осуществимости'.
Л,(0 = А,(ОМ0 =
го есть А,"(/) — это обычная непрерывная функция h\(t~) = h\{C ), А,*(0" ) = А[(0+),
в то время как ПХ при *=0 может измениться скачком, и в общем случае
А1 (0 )=0 * А,(0') = А,"((Г). Следует отмстить, что ПХ можно находить также
операторным методом по передаточной функции H(s) следующим образом:
hx(t)^IIt{s) = H(s)/s. См. 1.4.3.
224. Переходная характеристика дискретной цепи А,(яГ) — это реакция на
единственное в ДЦ воздействие вида единичной ступенчатой
последовательности 5,(пТ) = 1 при п > О, причем б,(иГ) = 0 при п < 0. При этом 11НУ считают
нулевыми, то есть А,(пТ) = 0 при п < 0. Последовательность 5,(г?Г) — это решетчатая
функция в виде импульсов единичной высоты при t =0, Т, 2Г... См. 1.15.3.
225. Переходный процесс (переходный режим) — это процесс (режим) в цени,
который наблюдается непосредственно после момента коммутации до
практического затухания свободной составляющей решения ДУ цепи (а при постоянных и
периодических воздействиях — до наступления установившегося, то есть
вынужденного, режима). В идеале П.п. продолжается до t —> со, практически —
обычно ^о г=ЗтПК1Х, где ттах — максимальная постоянная времени цепи, причем
zk =|Rep*|~\ где pk — корень ХП, используемый в записи свободного процесса
(и свободной составляющей). Переходный процесс обычно описывают суммой
I
0. ( <0;
hUt), t>V,

102 2. Алфавитный каталог-словарь
вынужденной и свободной составляющих решения дифференциального
уравнения цепи. См. 1.3.2.
226. Переходные процессы в ЛБП рассмотрим на примере подключения ее
к ИП11 при рсзистинной нагрузке. Па основании свойств линии без потерь
(при использовании уравнений для падающих и отраженных волн в ДЛ, а также
трактовки падающих и отраженных волн в ЛБП) можно следующим образом
описать переходный процесс в нагрузке в предположении, что входной сигнал
м,(О = 5,(0:
{/,(.*) = ип2ел{> ■ (1 + пе-*"*■ ) = ¥&1е***> (1 + т~*2'*" ) +
1 + п
+*2(0 = (t + ^|6l(/-r1J-n61<^
где /зл = It]LqCv — время прохождения волны по линии длиной / (время
задержки линии). Трактовка: 1) в момент *ajl падающая волна (от подключения ИПН
единичного уровня) приходит к нагрузке и отражается с коэффициентом
отражения п, то есть м2(',,+) —1 +w; 2) отраженная волна уровня п в момент 2£|Д
приходит к ИПП (внутреннее сопротивление которого па основании МЭИ
Zn = 0) и полностью отражается от ИПП, поскольку коэффициент отражения
пп = (Z„ -Z„ )/(Za + Zn) = -1, то есть новая падающая волна имеет уровень (-п);
3) эта волна (-//) к моменту 3/ij( приходит к нагрузке, то есть ы2(3*:11) =
= 1 + я-я = 1, и дает вторую отраженную волну (-/?"), то есть M2(3fAI+) = 1-я2,
и т. д. См. 1.14.4.
227. Периодический сигнал (напряжение или ток) описывается функцией
/(/) = j\t±Т) в бесконечном временном диапазоне -ос < t < +co, причем период
Т — наименьший интервал повторения функции. Режим в цепи, находящейся,
начиная с ( = -оо, под воздействием периодического сигнала, называется
установившимся (вынужденным) периодическим режимом (УIIP), поскольку
переходный процесс к моменту t закончился (свободная составляющая затухла).
См. 1.7.1.
228. Плоская (планарная) цепь — это цепь, фаф которой можно изобразить без
пересечения ветвей; в противном случае цепь называют пространственной (не-
планлриой). См. 1.1.6.
229. Полиномиальные фильтры — это фильтры с ПФ (для ФНЧ)
H(s) = k/A{s) = k/(\ + flts + a2s'z + л3А-* + ... +дп.уп),
частотной характеристике которых
//(Уо) = А/|(1-а 2со2 +...)4)(й,й-л;1(о3 + -.)]
соответствует АЧХ
Л(о)) = *Д/(1-2л2о)2 +aW + ...) +(в? ю2 -2а/i^ + я*ю6 + ...).
при этом записанные для ФНЧ соотношения могут быть использованы при
проектировании ФВЧ, ППФ, ПЗФ методом преобразования частоты. В П.ф.

2. Алфавитный каталог-словарь
103
исполюуется аппроксимация характеристик идеальных фильтров, причем
наиболее простыми и вместе с тем фундаментальными являются фильтры Баттер-
ворта, в которых применяется монотонная (максимально плоская)
аппроксимация, и фильтры Чебытева, в которых используется равномерная
(колебательная) аппроксимация АЧХ идеального фильтра А1П в поносе
пропускания, как качественно показано на рис. 2.35, а и б, где А(0) = & = const. ИП у
фильтра Баттерворта определяется на уровне A/v2. а у фильтра Чебышсва — на
уровне £(1 —Л), причем А— неравномерность АЧХ (заданная малая величина).
п — порядок фильтра (кроме того, у фильтров Чсбышева п — количество
экстремумов АЧХ в ПП). Современная теория фильтров требует при их
проектировании задания НФ фильтра, сопротивления нагрузки Rn = const постепенно
«вытесняют» классические фильтры (в том числе фильтры типа k), у которых
невозможно обеспечить согласование на любой частоте, то есть равенство
характеристического сопротивления и сопротивления нагрузки. В то же время схема
полиномиального фильтра довольно проста: поскольку ПФ имеет пули только
при л -> оо, то П.ф. реализуется LC-ЧМ лестничной структуры. См. 1.12.5.
Л(о>)
k
0,707*
АЫ)
Л(ш)
П-у < И,
а
Рис. 2.35
230. Полный резонанс в связанных контурах. Настройка связанных контуров
выполняется в два этапа: на первом настраивают индивидуальный резонанс в СК;
на втором — подбирают оптимальное значение сопротивлений связи Zra до
получения максимально возможных значений (максимума максиморума) токов /Imaxmax,
'2пихтах и напряжения на нагрузке U2 тахтах ■ 1^° сравнению со сложным резонансом
в СК настройка па полный резонанс осуществляется наиболее простым
способом, при этом оптимальное значение модуля сопротивления связи х я =
= yjr2r,, где /,=ReZ,, r2=ReZ^<|Z2| (что меньше оптимального значения
хсв при сложном резонансе)f а оптимальный коэффициент связи при
одинаковых контурах кСИ = r/p = 1/Q. где Q - добротность RLC-контура. См. 1.18.2.
231. Полоса пропускания связанных контуров Дсоск — зга диапазон частот, вне
которого АЧХ связанных контуров Л(ш) < пАтлх, где п = 0,707 = 1/V2. Это
определение используют и для «двугорбой» (когда фактор связи а > 1), и для
«одногорбой» (при а < 1) кривой. См. 1.18.4.
232. Порог срабатывания РЭ — это значение управляющего сигнала на входе
релейного элемента, при котором происходит переключение РЭ, то есть
изменение выходного сигнала РЭ скачком. См. 1.21.1.

104
2. Алфавитный каталог-словарь
233. Порядок цепи п — это максимальная степень дифференциального уравнения
цепи. Обычно П.ц. равен суммарному числу накопителей, поскольку каждый L-
или С-элемент описывается простейшим ДУ 1-го порядка и «дает» одно
независимое НУ. Порядок п, который проще всего определять по схеме свободного
режима, может уменьшаться, если, например, накопители одного вида соединены
последовательно или параллельно. См. 1.3.2.
234. Последовательное соединение — ото соединение элементов один за другим
через устранимые узлы. Ток i таких элементов одинаков, если одинаковым
выбрано его направление во всех последовательно соединенных элементах
(рис. 2.36). См. 1.1.6.
235. Последовательное соединение ИС-катушек в установившемся
синусоидальном режиме отражено на рис. 2.37. Напряжения на ИС-катушках
un +uu =<0,i +«/«)+(t>22 +0tx) = (ZLlil+z„li)+(zl2t2 + zM/1)=£/.
ток в цени
■ ■ *
/=/,=/2 =
*
и
U
]ы(Ц + L2 + 2М) jv*LA
откуда эквивалентная индуктивность L3cntA = £, + L, +2|М| — при согласном
включении; LA =1, + L2 -2|M| — при встречном включении, то есть
'.лгл <ГшЯ?- См t-9-2'
+
©"»
ин ,г
%
Рис. 2.36
Рис. 2.37
236. Последовательное соединение четырехполюсников ЧП 1 и ЧП 2 (с
матрицами параметров \z\x и [z\2) изображено на рис. 2.38. При последовательном
соединении ЧП (аналогично
последовательному соединению ДП) их токи —
общие, а напряжения ЧП суммируются
(и со стороны входов ЧП 1 Г, и со
стороны выходов 22г). Если обеспечено
указанное протекание токов /, и /2
(то есть обеспечена регулярность
соединения 41 Г), то результирующая
матрица с-парамегров соединения
четырехполюсников \z | = [z |, + \z ]2. См. 1.11.3.
237. Последовательно-параллельное
соединение четырехполюсников 411 1
Рис. 2.38

2. Алфавитный каталог-словарь
105
и ЧП 2 (с матрицами параметров [Л|, и 1Л|2) изображено на рис. 2.39: соединение
входов ЧП соответствует последовательному соединению ЧПУ а соединение
выходов ЧП — параллельному соединению ЧП. Если обеспечено указанное на рисунке
протекание токов (го есть обеспечена регулярность соединения ЧП), то
результирующая матрица А-параметров соединения [Л] = |AJ, + |Л|2. См. 1.11.3.
Рис. 2.39
238. Последовательность действий при реализации нуля III категории
(имеющегося в заданной ПФ ЧП), фактически, описана в методе проб и ошибок. Пусть
например, 5-й остаток от реализации Z22 представили в виде
k,s t .„(5я + <о£)_7 ^у
S +C0j ...(S +01, )
где ±7Wj — частично выделяемый полюс с частичным коэффициентом k5; ±jco0 —
требуемый нуль 111 категории в новом остатке Zvp причем k- находят ил условия
Zy(/co„ ) = Zj(y'to0). Если выполнено условие 0 < fc5 < kn = (.s2 + со2 )Zvfs при
5 =-<о/, где Ли — «полный» коэффициент при полном выделении полюса ±jml1
то остаток обращается, то есть Yvl = 1/ZVI и искомый нуль III категории ±7to0
реализуется как полностью выделенный полюс Kv, в виде поперечном
проводимости К0А ЧП лестничной структуры. См. 1.17.4.
239. Последовательность реализации ЯС-ЧП. 1. Проверяют условие
реализуемости ПФ RC-ЧП. 2. Определяют параметры RC-ЧП по его ПФ. 3. Переходят к
параметрам соответствующего LC-ЧП по формулам Ztc(p) = pZRC(s)up\\ s = р2,
или У/Г(р) = Yl<c(.s)/p при s = рг, Rk - Lh. 4. Реализуют схему цепи в
соответствии с общей последовательностью синтеза LC-ЧП и, заменяя Lk на ЙА, получают
искомый RC-ЧП. См. 1.17.5.
240. Постоянный магнит — это изготовленный из магиитотвердого материала
элемент магнитной цепи, причем характериапика намагничивания
ферромагнитного материала магнита В{1Г) обладает широкой нетлей гистерезиса с
большой коэрцитивной силой (Ик > 4000 А/м) и значительной остаточной индукцией
Б(). При определении рабочей точки МЦ с постоянным магнитом используют
второй квадрант петли гистерезиса, называемый кривой размагничивания. См. 1.22.4.

106
2. Алфавитный каталог-словарь
241. Поток рассеяния (в индуктивно связанных цепях) — часть магнитного
потока (МП) ИС-катушки, не пересекающая витки второй катушки; например,
Фп = фУ1 + Ф2|, где Ф,, — МИ самоиндукции (в 1 —ii. катушке, созданный ее током
/,), Фя — МП рассеяния 1-й катушки; Ф2, — МП взаимной индукции,
пронизывающий также и 2-ю ИС-катушку. См. 1.9.1.
242. Потокосцепление самоиндукции /.-элемента уL(t) = Li[(t) =
N<b(t)определяется суммарным магнитным потоком Ф(/). пронизывающим все N витков
катушки индуктивности, которая является реальным прототипом индуктивного
элемента. Величина L, называемая индуктивностью, является коэффициентом
пропорциональности между потокосцепленисм \\t L и током /7, при этом L
измеряется в генри [Гн], а\|/, — в небграх [136]. У линейного индуктивного элемента
значение L постоянно, и зависимость между потокосцепленисм самоиндукции
\|/д и током iL. называемая вебер-амверной характеристикой, линейна. Однако у
катушек индуктивности с ферромагнитным сердечником L зависит от
характеристики намагничивания ферромагнитного материала, и вебер-амперная
характеристика нелинейна. См. 1.1.4.
243. Правила построения мланарных дуальных цепей: внутри ячеек
(независимых контуров) исходной цепи намечают независимые узлы дуальной цепи
(см. для примера точки 7 и 3 на схеме, приведенной на рис. 2.40, а).
Зависимый узел чунлмюй цепи располагают вне схемы исходной цепи (см. точку 2 на
рис. 2.40, а), дуальные узлы соединяют ветвями и «помещают» туда дуальные
элементы. В результате в рассматриваемом примере получают дуальную цепь,
изображенную на рис. 2.40, б.
R \
I-
1JL +
Ч L
f
МУг0
\
(>•
+
2
+
I
_ ;ыо
Рис. 2.40
Правило знаков для согласования токов и напряжений в дуальных цепях: если
при обходе ячейки исходной цепи, например, по часовой стрелке обход
согласован с полярностью напряжения (направлением тока) элемента, то в дуальной
цепи ток дуального элемента следует направить от дуального узла
(соответствующего исходной ячейке), а положительную полярность напряжения
дуального элемента поставить у дуального узла, как показано в схеме, приведенной на
рис. 2.40. б. См. 1.1.8.
244. Предельный фактор связи — это значение фактора связи а = а =2,41,
превышение которого приколи г к тому, что полоса пропускания СК распадается

2. Алфавитный каталог-словарь 107
на два участка. При а = д ширина ПП связанных контуров равна Atoc K = 3,lAwlK,
где Дсо1к — ПП одиночного контура. См. 1.18.4.
245. Предначальные условия /(-Г), f(-2T), /(-ЗГ)... — значения дискретной
последовательности /(иГ)в дискретные моменты времени * = w7*.
предшествующие началу отсчета процессов в схеме ДЦ с момента / =0. См. 1.15.2.
246. Преобразование Лапласа (прямое и обратное) — это переход от оригинала
со
сигнала /(/■) к его изображению F(s) = \/(ь)е~аЛ = -/ [/(01и обратный переход
0"
/(/)-— Г/^У^з =-У_| l'r(-v)It причем f(t)+ F(s)t а прямая с>0 находится
правее особых точек $л изображения, в которых F(sk) —> ос. В ТЦ используется
расширенное преобразование Лапласа, начиная от /=0~ (чтобы «захватить»
ЕИФ). См. 1.6.1.
247. Преобразование сопротивлений схемой на ОУ. Решаемая с
использованием схемы задача включает в себя, в частности: 1) реализацию отрицательных
сопротивлений (для компенсации активных потерь /?>0 в некоторых
электротехнических устройствах); 2) реализацию I-элементов без использования катушек
индуктивности, имеющих множество недостатков (в отношении габаритов и
весов, нелинейных характеристик, изготовления, обеспечения требуемых
значений L). Схема преобразователя сопротивлений приведена в примере в 3.5.11.
См. 1.11.5.
248. Приближение реального трансформатора к идеальному в рабочем
диапазоне частот ^осуществляется (обычно в силовых трансформаторах)-выполнением
следующих условий (см. и. 367 «Схема замещения трансформатора»): 1) Rx -> О,
Rz —>0, то есть можно пренебречь сопротивлениями активных потерь R <з: coi;
2) Lsx —>0, LS2 —>0, то есть индуктивностями рассеяния Ls «с L можно
пренебречь, что достигается использованием ферромагнитных сердечников, по
которым замыкаются значительные по величине МП, пронизывающие обе ИС-об-
моткн, а малыми потоками рассеяния, замыкающимися по воздуху, можно
пренебречь (при этом индуктивную связь называют совершенной, а
коэффициент связи kcv =1); 3) | ZH | <к wL2. Силовые трансформаторы часто называют
трансформаторами напряжения, поскольку у них (при выполнении первых двух
условий) на рабочей частоте //„ ~(J2j(Jx =N2/Nlt что соответствует формулам
идеальною трансформатора (если N2 > N]t трансформатор называют
повышающим, если N2 < Nx — понижающим). См. 1.9.3.
249. Применение ЕИФ только в ТЦ очень многообразно (см. например, п. 89
«Ичпульсиая характеристика», и. 96 «Интеграл свертки», п. 186 «Операторный
метод», п. 52 «Дискретная цепь»). Поэтому здесь отмечены лишь исходные
фундаментальные положения использования КИФ в /-области. 1. Короткий импульс
f(t) с площадью 5у, действующий в интервале Л/ в окрестности / =f0, может
быть записан как /(/) = Sf8{t — t0), если At несоизмеримо меньше длительности
процессов в цепи. 2. Приближенное описание воздействия произвольной формы
суммой ЕИФ. 3. Введение (обобщение) понятия производной от функции,

108 2. Алфавитный каталог-словарь
имеющей разрывы первого рода, то есть скачки. При этом дифференцирование
скачка дает коэффициент при ЕИФ, равный величине скачка (определяющий
площадь ЕИФ). Тогда обратная операция (интегрирование такой ЕПФ) даст
исходный скачок, производная от непрерывной функции не может содержать
ЕИФ, то есть имеем 0- 6(f) = 0. 4. Описание особых случаев коммутации в
идеализированных цепях. См. 1.4.2.
250. Применение ЕСФ: 1) для обобщенного описания коммутации без
использования идеального ключа; например, воздействие ит = £/06](О эквивалентно
появлению в цепи ИН ит =UQ - const при £>0, в то время как при £<0 ИН
иИХ =0; 2) для обобщенного описания односторонних функций, например
функции единичного наклона, входящей в семейство стандартных воздействий как
интеграл от единичной ступенчатой функции
8,(0= JS,(0«U =/5,(0= '<0;
-ос
t А>0,
а также для компактного описания функций с разрывами первого рода
(скачками), например, прямоугольного импульса и (I) с амплитудой UtMX = 10,
действующего на входе цени в интервале времени от t = 0 до I =2:
u(O = 105,(O-105t(£-2) = <
0, f<0;
10,0</<2;
0, г>2;
3) для приближенного представления произвольного воздействия суммой
элементарных воздействий стандартной ступенчатой формы (на атом, фактически,
базируется расчет реакции \ю интегралу Дюамелм). См. 1.4.1.
251. Принцип взаимности (обратимости, пассивности). В пассивной цепи
проводимости передачи с одинаковыми (но переставленными) индексами равны.
Например, в резистивиых пенях Gk_n = Gt} k. Аналогично равны и сопротивления
передачи: Rk_n = Rn_k. Согласно принципу взаимности, передача сигнала в
пассивной цепи происходит в равной мере как в прямом, так и в обратном
направлениях. См. 1.2.4.
252. Принцип дифференцируемое™ (стационарности): если единственное в цепи
воздействие является производной (или интегралом) от предыдущего
воздействия, то новая реакция тоже будет производной (или интегралом) от предыдущей
реакции. Принцип дифференцируемое™ (то есть второе свойство линейности
цепей) справедлив только при нулевых начальных условиях и постоянных
(стационарных во времени) параметрах цепи. Принцип используется, например, при
расчете ИХ /^^дифференцированием ИХ А,(О- См. 1.3.1.
253. Принцип наложения (суперпозиции, аддитивности): при наличии в цепи
нескольких воздействий реакция равна сумме элементарных реакций от каждого
из воздействий в отдельности. Этот принцип (то есть третье свойство
линейности цепей), положенный в основу расчета цепей методом наложения (МН),
справедлив только при нулевых начальных условиях. См. 1.3.1.

2. Алфавитный каталог-словарь 109
254. Принцип непрерывности напряжения С-элемента следует из того, что
заряд qc (/) = Cuc(t) при условии ограниченности значений гоков и напряжении
цени является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком:
qc(t ) = qc(t )• В результате при условии неизменности значения емкости в
цепи напряжение (и энергия) емкостного элемента также является непрерывной
функцией времени и не может изменяться скачком: uc{t~) =ur(t+). См. 1.1.5.
255. Принцип непрерьгености тока L-элемента следует из того, что при условии
ограниченности значений токов и напряжений цени потокосцепленис у,(0-
= LiL(t) является непрерывной функцией времени и не может изменяться
скачком: у L(t~) = у L{t+). В результате при условии неизменности значения
индуктивности в цени ток индуктивно/о элемента также является непрерывной
функцией времени (не имеет разрывов первого рода) п не может изменяться скачком,
следовательно, iL(t~)= iL(f). См. 1.1.4.
256. Принцип пропорциональности (однородности): если единственное в цепи
воздействие изменить в k раз, то и реакция изменится в k раз. Этот принцип
положен, в частности, в основу расчета цепей методом пропорциональных величин
(МПВ). Принцип пропорциональности — первое свойство линейности цепей —
справедлив только при нулевых начальных условиях. См. 1.3.1.
257. Присоединенная цепь (в теореме компенсации) при изменении
индуктивности (емкости) — это ПЦ для расчета приращения любой реакции
динамической цепи, формируемая из исходной цепи исключением всех источников и
присоединением последовательно к индукшвному элементу Lk + ALk (параллельно
емкостному элементу Ck +&Ck) компенсационного ИН
(компенсационного ИТ ik(t) = i^Chu[k{t)- &Ckic (t)/Ck ). Указанные-ПЦ можно
использовать при появлении паразитного элемента, приводящего к изменению
порядка цепи. См. 1.20.1.
258. Присоединенная цепь (модель чувствительности) — цепь для расчета
приращений реакций и функций абсолютной чувствительности реакций при
вариации параметров исходной цепи. См. 1.20.1.
259. Присоединенная цепь для расчета ФАЧ выходного напряжения по
теореме Теледжена формируется из исходной цепи исключением всех источников
и присоединением параллельно ветви с напряжением wnux дополнительного ИТ
/дш =1. Искомая ФАЧ находится по формуле Тн _д = ~'/Л' г^е h ~~ TOK через
элемент Rk в исходной цепи; ц — ток через Rk в ПЦ. См. 1.20.3.
260. Присоединенная цепь для расчета ФЛЧ выходного тока по теореме
Теледжена формируется из исходной цепи исключением всех источников и
присоединением последовательно в ветвь с током inbiX дополнительного ИН мдо11 = 1.
Искомая ФЛЧ находится но формуле 7) _Ra = ik ik, где ik — ток через элемент Rh в
исходной цепи; \ — ток через Rh в ПЦ. Используя формулу связи между ФЛЧ
для изменения сопротивления и проводимости элемента цепи, можно записать
Tim^k ="^rw-^ = -М*. гдсы*, щ - напряжения на резисторе Rk в
исходной цепи и в ПЦ соответственно. См. 1.20.3.

110 2. Алфавитный каталог-словарь
261. Присоединенная цепь для расчета ФАЧ при изменении индуктивности
(емкости) формируется из исходной динамической цепи исключением всех
источников и присоединением последовательно к изменяемому индуктивному
элементу Lk (параллельно изменяемому емкостному элементу Ск) дополнительного
ИII и., (О = 1 i'h (О = и!ф (t)/Lk (тополи ителыюго I IT i\ (t) = \u'Ck (t) = iCjt (t)/Ck).
Cm. 1.20.2.
262. Присоединенная цепь для расчета ФАЧ но теореме компенсации
формируется из исходной цени исключением всех источников и присоединением
последовательно к изменяемому элементу Rk дополнительного ИИ ил = 1?"*, где
ik — гок через резистор Rk в исходной цепи. Указанная ПЦ конструируется но
принципу пропорциональности из ПЦ для расчета приращении реакций на
основе теоремы компенсации, а также может быть получена дифференцированием
законов Кирхтфа и Ома. См. 1.20.2.
263. Проводимость передачи, например, в резистивной цепи Gk_n =ik/unJ где
единственный в цепи 1111 ип расположен в ветви п, а ц — ток ветви k. При
расчете УСР методом комгыексных амплитуд проводимость передачи Yk_n(jto) =
= iklVn определяет частотную характеристику передачи о г единственного в
цепи ИН U„ к току Ik (здесь со - частота синусоидального воздействия): /, U —
комплексные действующие значения гока и напряжения. При расчете цепей
операторным методом Yh_n(s) = Ik(s)/ Un(s) определяет передаточную функиию от
единственного ИН U„(s)k току /*(л), причем здесь s — аргумент преобразования
Лапласа; U(s). I(s)— изображения по Лапласу переменных в цепи. См. 1.2.4.
264. Проводник. 1. В ТЦэто — обычно илеалнзированный элемент или ДП, в
котором может быть вычислен ток. 2. В технической электротехнике это — провод,
которым подключен, например, элемент к цепи. См. 1.1.1.
265. Проектирование ПЗФ но ФНЧ-прототипу на базе метода преобрсиования
частоты осуществляется на основании формулы .v =ар/(р2 + со^ ), где s =70) и
р = jQ — соответственно, обобщенные частоты ФПЧ и ПЗФ; параметр tojj =
= fl ,fi д определяется произведением частот среза ПЗФ; параметр а =(^гр2 -
- £} , )соС))определяется по частотам среза ПЗФ (при Qcp2 >Пср1) и частоте среза
со ФНЧ. Параметры схем ПЗФ и ФНЧ (в частности, описанных при
классификации фильтров) пересчитываются по следующим формулам: у продольного плеча
sL - Qp L Х
Р +«0 рС|и.,+(1/р1|лэ)
откуда С'1п d = (aLn ч ) ', LUl3 = aLH ч /со*, то есть элементу LIL4 прототипа
соответствует в ПЗФ параллельное соединение С1из и illLJ; у поперечного плеча
Р +«о
1 ч
PL2n.* +
-I
РС2и л ,
откуда L2n , ={аСИшЧ) 1, С2ПтЯ =«CH.,/c0y, то есть элементу Сич прототипа
соответствует в ПЗФ последовательное соединение элементов Ь2ал и С2пэ. Если

2. Алфавитный каталог-словарь 111
сопротивления нагрузки фильтров /?„„-»/ /?,, „., — п, необходимо wLn , и Сп ,/и.
См. 1.12 А
266. Проектирование ППФ по ФИЧ-прототипу на (к\ж лн пюда преобразования
частоты осуществляется на основании формулы s -(р2 + со^ )/(ар), где 5 = jko и
р = fil — соответственно, обобщенные частоты ФНЧ и ППФ; параметр cojj =
= £}cp,Q4l2 определяется произведением частот среза ППФ; параметр я=(Пгр2 -
- fi^,, )/wipопределяется по частотам среза ППФ (при£}гр2 >QtpJ) и частоте
среза <о ФНЧ. Параметры схем ППФ и ФНЧ (в частности, описанных при класси-
фикации фильтров) переучитываются на основании следующих формул: у
продольного плеча фильтров
_(P'+«nj) 1
ЛХ-Н.Ч '-И.Ч /УЬ11М1 Т
II. Ч I III. П ,-i
«Р Р^Хи.п
откуда Lynn ~LUt4/at C,nil =a(tof,I1lt ч )"\ то есть элементу 1н ч прототипа
соответствует в ППФ последовательное соединение LUl л и С,п „; у поперечного плеча
_(;j2 +o>n)^ r 1
5инч ~ Uh.'i -/^2nn +
H. 4 ^ £U. II r '
«Я РЧп. n
откуда C2|1 n =CH ,/fl, £2n>n =«(cojSCn_4)~\ то есть элементу Сн „ прототипа
соответствует в ППФ параллельное соединение С2ПшП и L2u п. Если сопротивления
нагрузки фильтров /?„_„.„ / /?„.„., = и. необходимо взять nLn 1р и Cn^jn. См. 1.12.4.
267. Проектирование связанных контуров но заданному коэффициенту
прямоугольное гн. Для проектирования необходимо иметь семейство нормированных
АЧХ связанных контуров Л(с)/Лтах =/(е) как функцию от обобщенной
расстройки е при различных значениях фактора связи а. Исходные данные для
проектирования: резонансная частота — (о0; значение максимума ЛЧХ — Атах\ ширина
полосы пропускания СК — Асо; коэффициент прямоугольности — k .
Последовательность расчета: 1) по графикам ЛЧХ определяют зависимость /е|1р(а) и для
заданного k вычисляют значение фактора связи а и соответствующую
обобщенную ПП Ле; 2) определяют требуемую добротность Q = 0.5Ле(о0/Асои максимум
ЛЧХ -4тах; 3) определяют первичные параметры связанных контуров,
обеспечивающие найденные добротность и фактор связи; 4) если k и Атах не
обеспечиваются, применяют каскадное соединение контуров. Если коэффициент
прямоугольности не задан, расчет упрощается: 1) в предположении а>\ находят
()=0,5Лтах; 2) определяют Ле =2(Мсо/со0; 3) по значению Ле и семейству
нормированных АЧХ находят фактор связи а; 4) подбирают первичные
параметры, как указано ранее. См. 1.18.4.
268. Проектировать ФВЧ по ФПЧ-прототилу на базе метооа преобразования
частоты осуществляется на основании формул s = со*//л /и= сОдДуП),
о = -cojj/q, где 5=_/(оир=_/П — соответственно, обобщенные частоты ФНЧ и
ФВЧ; параметр ео£ = torpQLp определяется произведением частот среза ФНЧ и
ФВЧ. Тогда параметры соответствующих схем ФВЧ и ФНЧ любых типов
фильтров (в частности, описанных при классификации фильтров) находят по

112 2. Алфавитный каталог-словарь
формулам Си., =(cooill_1| )Л Ll4 =(^C„ ч )'. причем элементу £н ч в ФНЧ
соответствует элемент Свч в схеме ФВЧ и т. д. При таком пересчете сопротивления
нагрузки фильтров Rtl предполагаются одинаковыми, если же они различаются в
п раз (то есть /?1LB.4//?ILII.4 = п), необходимо взять nLH4 и Сь tJn (гак как при
увеличении в п раз всех операторных сопротивлений элементов ПФ цепи но
напряжению и току не изменяется). См. 1.12.4.
269. Простейшие эквивалентные преобразования. 1. Замена последовательно
или параллельно соединенных /?-элеменгов о шим А'-элементом. 2. Объединение
в один ИН нескольких ИН, соединенных последовательно. 3. Объединение в один
IIT нескольких ИТ, соединенных параллельно. См. 1.2.1.
270. Простейший резонанс напряжений (ПРИ) наблюдается при выполнении
двух усчовин (дуально ПРГ): 1) элементы L и С соединены последовательно; 2)
равны модули их комплексных сопротивлений |Z;| =|Zr|, го есть cotJL = \/(щС\
где to0 = l/^LC — резонансная частота. При этом
ZLV = Z, +ZC = y|Zj-./|Zr| = 0,
и IC-участок цепи эквивалентен КЗ. Напряжения VL =\Z,\f =\ZC\I =UC,
то есть синусоиды напряжений L- и С-элемен гов, находясь и противофазе,
имеют одинаковые амплитуды и поэтому полностью компенсируются (то есть
ии. =uL +ис =0^ КЗ). См. 1.5.5.
271. Простейший резонанс токов (ПРТ) наблюдается при выполнении двух
условий (дуально ПРИ): 1) элементы L и С соединены параллельно; 2) равны
модули их комплексных сопротивлений |Zj=|Zr|, го есть toGA = 1/(со0С), гче
<о0 = l/VZr — резонансная частота. При этом сопротивление
ZLC = ZLZC /(ZL + ZC) = ZLZC /U\ ZL\ - j\ Zr |) -> *.
и LC-участок цепи эквивалентен XX. Токи и реактивных эчементах одинаковы,
так как /; =U/\ZL\ =U/\ZC | =/с, то есть синусоиды токов /,(*) и ic(t).
находясь в протнвофазе, имеют одинаковые амплитуды и поэтому полностью
компенсируются; 1гс (0 = 0, что эквивалентно XX. См. 1.5.5.
272. Прямая задача расчета неразветвленной МЦ аналогична обратной задаче
расчета нелинейной ЭЦ: заданы параметры всех участков МП (длина /А,
площадь поперечного сечения Sk, характеристики для определения абсолютной
магнитной проницаемости \xnh) и требуемый магнитный поток Ф, необходимо
определить МДС п ток i в обмотке с известным числом витков N. 1. По заданному
МП вычисляют магнитную индукцию участков Bk = Ф / Sk. 2. По основной
кривой намагничивания В(Н) ферромагнитных участков ма/нитной цепи находят
напряженность магнитного ноля Нк каждого участка. Для воздушно/о зазора
^и.3=^../Мо. 'Vie Mo =йввак =4я-10*7 дн/м = цЛ11Л - магнитная постоянная
(абсолютная магнитная проницаемость вакуума). 3. Находят магнитное
напряжение каждого участка Vk=HJk. 4. Определяют МДС обмотки с током
Ft =ZVk. 5. Вычисляют требуемый ток обмотки i = I\/N. Принципы решения
прямой задачи разветвленной МЦ аналогичны изложенному и напоминают
последовательность действий МПВ при расчете ЭЦ. При этом используются ана-

2. Алфавитный каталог-словарь 113
логи законов Кирхгофа при расчете МЦ: аналогом ЗТК является суммирование
МП в разветвлении МЦ, аналогом ЗНК — суммирование магнитных
напряжений в контуре МЦ, вместо закона Ома используются характеристики ОКИ или
формулы дг1я воздушных зазоров. См. 1.22.3.
273. Прямой порядок следования фаз (А—В-С) в симметричном ТФ-источнике
имеет место, если напряжение ис(/)фазы Сотстаст на 120° от напряжения uR(t)
фазы В и на 240° — от напряжения ы4(0 фазы А. Обратный порядок следования
фаз обозначается (А-С-В), при этом начальные фазы аиЛ -ацС =аиС -аыВ =120°.
См. 1.10.1.
274. Путь — ло непрерывная последовательность ветвей, связывающая пару
узлов. См, 1.1.6.
275. Рабочая точка определяет режим работы нелинейного элемента по
«постоянному току» (в установившемся режиме) при действии только постоянных ИН
и ИТ. См. п. 362 «Статические параметры». См. 1.16.1.
276. Разностное уравнение (РУ) в линейной дискретной цепи и-го порядка для
расчета выходной дискретной последовательности /2(л7") имеет приведенную
форму
f7(nT) + aJ2{nT-T)+ ... + aJ2{nT-NT) =
= bJx(nT)+bJx{nT-T)+ ... +Ад,/|(пГ-МГ).
где М <N\ /\(пТ) — входная последовательность в дискретной цепи; при этом
предпачальпые условия /Д-Г), ..., /Д~АТ), /,(-Г),..., fx(-MT) должны быть
заданы. Обычно РУ получают на основании формул численного решения ДУ
аналоговых цепей (например, уравнений состояния), причем шаг численного
расчета Г — это период дискретизации в ДЦ. См. 1.15.2.
277. Расчет вынужденной составляющей при постоянных воздействиях
осуществляется по эквивалентной схеме, в которой L-элемент заменяют на КЗ, а С-
элемент— на XX. Действительно, вынужденная составляющая искомой реакции
Лиыи = const (поскольку воздействие /, = const), поэтому в {/становившемся
режиме при t —> оо имеем uInum = Li'lmm = 0, iCttun = Cu'CmMl =0; тогда по теореме
замещения элементы L s КЗ, а С = ХХ. См. 1.3.3.
278. Расчет зависимых начальных условий для искомых реакций /ДО4") сразу
после коммутации (при Г=(Г) осуществляют по эквивалентной схеме цепи,
п которой на основании законов коммутации известны wr(0*) = wr(0 ),//(0*) =
= iL(0~ ), то есть С-элемснт заменяют ИН, a L — ИТ. Если независимые НУ
являются пулевыми, то естьиг(0+) = нД0~ )=0, i/.(0")-'i(0~ ) =0, то по теореме
замещения элементы С s КЗ, L = XX. См. 1.3.3.
279. Расчет коэффициентов РФ с использованием преобразования Далласа.
Коэффициенты ряда Фурье Ak, то есть, фактически, дискретный спектр
периодического си/нала f(t) можно определить из соотношения Ak - Аке^к -
= ak -jbk =~fi(s)L=/jteu » r^e ^i(5)~ изображение но Лапласу условного первого

114 2. Алфавитный каталог-словарь
импульса/,(О» описывающего периодический сигнал /(/.)на интервале() <t <Т
(поскольку
ак =— Г/(г)со8Асо,Г£/г; &,, = — J/(^)sinAco,fofrf
«о fo
где £0 — произвольный момент времени, то для расчета Ак можно использовать
любой интервал t0 <t<t0 +T). См. 1.7.1.
280. Расчет независимых начальных условийисф~), /, (0~ )обычно
осуществляют по эквивалентной схеме установившегося режима в цепи перед коммутацией
(при t <0), то есть осуществляют аналогично расчету вынужденной
составляющей. Найденные независимые НУ(для t = 0") используют для расчета зависимых
ПУ (при t = (Г) на основании законов коммутации. См. 1.3.3.
281. Расчет особых случаев коммутации операторным методом. Используются
обычная процедура расчета операторным методом и расширенное
преобразование Лапласа (начиная от t = 0 , чтобы «захватить» ЕИФ). При этом все дельта-
функции в реакции выявляются автоматически. См. 1.6.2.
282. Расчет переходных процессов в НЦ методом кусочно-линейной
аппроксимации характеристик НЭ (метод припасовывания). 1. Производится кусочно-
линейная аппроксимация характеристик НЭ. На каждом участке аппроксимации
составляют линейные уравнения или схемы замещения цепи. 2. Вычисляются
независимые начальные условия для начала расчета, то есть определяется
начальная РТ при t = 0. 3. Любым методом анализа линейных динамических цепей
рассчитывается переходный процесс на начальном (первом) участке аппроксимации;
вычисляется момент t} «выхода» на границу первого участка и определяются
независимые граничные условия iL(t^ ) и ис(Г,~ ) или у, (/," ) и q( (£, ). 4. Соблюдая
законы коммутации (принципы непрерывности), рассчитывают переходный
процесс на втором участке аппроксимации и определяют момент t2 перехода на
границу третьего участка и г. д. Полученные решения стыкуются
(припасовываются) друг к дру1у. См. 1.16.4.
283. Расчет переходных процессов при периодическом воздействии
базируется на методике точного расчета УПР, где при квазипериодическом воздействии
/,(0 =0 при г < 0 найдены и свободная составляющая
и точное описание/л (О вынужденной квазипериоднческой составляющей /211Ы(|(0
в интервале первого периода 0 < t < Т. См. 1.7.3.
284. Расчет реакции на воздействие кусочно-линейной формы. Вначале
необходимо представить воздействие fx{t) суммой смещенных ФЕН: fy{t) =
- £ At ^2 U - t-k )» тогда реакция /2 (t) = ^lAkhi(t~tk)t где h2 (t) - весовая
характеристика 2-го порядка (см. п. 335 «Семейство стандартных воздействий^ и
соответствующие реакции цепи). Расчет коэффициентов Ak проще веет
осуществлять методом двойного дифференцирования (МДД) воздействия, когда вторая
производная /,"(/) = ^Akb{t -tk )— это сумма смещенных во времени ЕИФ с со-

2. Алфавитный каталог-словарь 115
ответствующими коэффициентами Лкг определяющими площадь
дельта-функций 6(/. -tk ). Если воздействие является разрывным, то fx(t) = ^Ak82(t — tk ) +
+ Z^»5i(^~rr.)' а Реакция при 3TOM/2(0 = Si4**z(^^)+ZjB«Ai(£"£«)- где
Л,(г)— //Хцепи, b{(t) — ЕСФ. При использовании МДД коэффициенты Вп
выявляются в этом случае уже после первого дифференцирования воздействия (они
равны разрывам, то есть скачкам воздействия). См. 1.4.4.
285. Расчет резонансных частот LC-JXIL производится по его операторному
сопротивлению
B(s) bmY\(s-s0k)
Z;.c(*) =
A(s) anYl(s-sk) '
где корни XII цепи sokl sk — нули и полюса дробно-рациональной функции,
описывающей ZLC\ они являются частотами резонанса токов (s^k =]щк =j<x)pT) и
резонанса напряжений (sk =у"соА =Усэ ), поскольку R-элементы в LC-JXU
отсутствую г, a Zlc (j<obk ) = О, ZLC (j<£>h) —> оо (См. также п. 331 « Связь собственных
частот цепи с ее входным сопротивлением»). См. 1.12.1.
286. Расчет трехфазной цепи при соединении «звездой» (рис. 2.41, а)
целесообразно производить в соответствии со схемой ТФЦ при соединении «звездой»
методом узловых напряжений. Принимая узловую точку О источника за
базисный узел, находят потенциал, то есть узловое напряжение узловой точки О,
нагрузки:
й^о =(УайА0 +YbUB0 +YUC0)/(Ya +Yb+Yc+Y0).
Тогда токи tA=(PAo-V<bo)Y*' t в ^Фво-Оор^ы 'с =(^со-#0)о)УгЛ =
= [/c,oF0. Короткозамкнутый узловой провод обеспечивает независимый режим
работы фаз нагрузки, поскольку при Z0 =0 (то есть при К0 —> со) имеем 0(^о = 0,
следовательно,/^ =UAUYa,IB = UB0YbJc = [/roYf,/c =lA -f/в + /г. В случае
несимметричной нагрузки при отсутствии нулевого (узлового) провода, то есть
при Z0 = со, а также при Z„ * О, напряжения на фазах нагрузки в общем случае не
равны напряжениям фаз источника: наблюдается зависимый режим работы фаз
нагрузки. Любые режимы работы ТФЦ рассчитываются с использованием МКА
по обычным правилам анализа УСР. При этом заданные фазные или линейные
напряжения симметричного ТФ-источника (в случае расчета ТФ-цепи при
соединении «звездой», или ТФ-цепи при соединении нагрузки «треугольником», или
ТФ-цепи без узлового провода) выбирают обычно в соответствии с ВД ТФ-ис-
гочника, показанной, например, на рис. 2.41, б, где{/л0 =£/фе;90\ ъ0ДВ =(/ле7120°
и т. д. См. 1.10.2.
287. Расчет трехфазной цепи при соединении нагрузки «треугольником»,
фактически, описан при рассмотрении ТФ-цепи при соединении нагрузки
«треугольником» и при изложении расчета ТФ-цепи при соединении «звездой». В случае
симметричного режима (Zab -Z^ =Zcq =Z4)) фазные токи нафузки 1аЬ =11к =
= /сл = /4l; начальные фазы этих токов будут различаться на 120°, при этом из
условий симметрии линейные токи 1А =1В ~1С =/л =л/3/ф. См. 1.10.2.

116
2. Алфавитный каталог-словарь
а
Рис. 2.41
288. Расчет узловых напряжений с использованием структурной матрицы
выполняется па основе системы уравнений МУН, представленной в матричной
форме: |Л][С||Л|' |«у J = -И|(/й ], где \А\ — независимая структурная матрица;
т — знак транспонирования; [С\ — диагональная матрица проводимостей
обобщенных элементов цепи; |wv J. |/01 — матрицы узловых напряжений и токов ИТ
соответственно. См. также п. 400 «Уравнения токов обобщенных элементов»,
п. 395 «Уравнения напряжений ветвей с использованием структурной матрицы».
См. 1.19.3.
289- Расчет установившегося периодического режима с использованием рядов
Фурье. Входной периодический сшнал /,(f) представляется «отрезком» ряда
Фурье, состоящим из N первых гармоник (гак как РФ быстро сходится, то есть
амплитуды гармоник Ak убывают с ростом номера k):
A v
Используя МКА и МП, при со = Лео, находят реакцию от каждой гармоники
воздействия и записывают РФ реакции:
/2(О = -§-+£ В* cos (Aw,/+p4).
Второй способ расчета: используя частотные характеристики цспи//(Уо)) =
= И(со)е-'ф(<"\ находят амплитуды и начальные фазы реакции по формулам
Bk =AkA(ku>i) и fik =ak +Ф(кщ). Достоинство этого приближенного метода
расчета — простота. См. 1.7.3.
290. Реактивный двухполюсник (LC-ДИ) не содержит /^-элементов, поэтому
в УСР его входное сопротивление (проводимость) имеет только мнимую
(реактивную) составляющую Z/r(7co) = /r(<o)f YLC =у'Л(со), причем МЧХ LC-ДП,
связанные (формулой х(со) =-1/6(о>), являются нарастающими функциями, то есть
.v'>0, lf>0. У LC-JXW частоты резонанса напряжений, где ZLC(j<o „) = 0 (то есть

2. Алфавитный каталог-словарь 117
ДП э КЗ), чередуются с частотами резонанса токов, где Ylc(j<a т ) = 0,
z/.<04.. ) ~> °° (™ есть Д" = ХХ>- См- 112Л-
291. Реакция — выходной сигнал (то есть искомые ток или напряжение на
заданном в условии задачи элементе или участке цепи). Обычно реакция
обозначается fx{t) или /ЬЬ1Х(О- См. 1.3.1.
292. Реализация ДС-двухнолюсников. 1. Проверяют, чго подлежащее синтезу
входное сопротивление Z(s) удовлетворяет основному свойствуы. 2. На
основании соответствия сопротивлений RC-ДП и LC-ДП переходят к сопротивлению
ZLC(p)~ pZRC(s) при s = p2. 3. Реализуют ZLC(p) реактивным ДП (см. п. 154
«Множество вариантов реанимации LC-ДП») и, заменяя индуктивность L на
резисторы R-, получают искомый RC-ДП. Рекомендуется у синтезированной цепи
проконтролировать ZRC(Q) и ZRC(<x>), См. 1.13.2.
293. Реализация LC-ДП по Фостеру (разложением на простые дроби). Если
подлежащее реализации сопротивление Z(s) удовлетворяет основному свойству
LC-ДП, то Z(s) = ZLC(s). Разложение ZLC(s) на простые дроби (так называемая
реализация по Фостеру) в общем случае имеет вид (для цепи и-го порядка)
s k-i s + щ jm
причем коэффициенты разложения находят но аналогии с формулами теоремы
Z (s)
разложения преобразования Лапласа: А^ =—— при s -» со, Л{) -sZJC(s) при
s
Шл It
s—>0, ЛА = %—ZLC(s) при s2 = -<о* (все коэффициенты положительны).
S
Схема, реализующая разложение, — это последовательное соединение сопротив-
А 1
лений (рис. 2.42, а)ч причем Zr = A^s = Lrs определяет L-элемент. Zc = — =
s C0s
определяет С-элемент. а сопротивление
A.s 1
lA
z, = .« . =^- = t
s' + со? Y
( 1 \
n.+na
определяет параллельное соединение элемеп го в СА и Lh. Кроме того, Z/r (5)
можно реализовать по схеме параллельного соединения проводимостей (рис. 2.42, 6),
значения которых определяются дуально:
См. 1.13.1.
294. Реализация на ОУ произвольных ПФ базируется на эквивалентном
переходе от ПФ к уравнениям состояния, каждое из которых реализуется решающей
схемой на ОУ, приведенной па рис. 2.43 и описываемой формулой

118
2. Алфавитный каталог-словарь
-иг
La-VAa
'О
30
'00
Рис 2.42
которая соответствует записи уравнений состояния и операторной форме:
*[£/пЫхОО] = [DWJb(*)\ = ИИ^« ]+ [B\[U„ ], где \Uk ] - общая матрица
воздействий [Um | и реакций [UBWt ], то есть переменных состояния; [D] — общая матрица
коэффициентов, учитывающая матрицы [Л] и [В]. Для решения
рассматриваемой задачи необходимо использовать набор таких схем с соответствующей
коммутацией (соединением) входов и выходов. См. 1.13.3.
£/,(.*)
U2(s)
+ о
ад
1
сз
сз
G.
п
V^As)
I
Рис. 2.43
- Um(s)
1
295. Реализация на ОУ ПФ с отрицательными нулями и полюсами базируется
на использовании «решающих схем», изображенных на рис. 2.44, а и 6. Схема,
приведенная на рис. 2.44, я, реализует ПФ H(s)=Uwx(s)/Um(s)--Yl(s)/YQ(s)1
a v двухкаскадной схемы (рис. 2.44,6) ПФ //(g) = UUblx(s)/Unx(s) = У"('*)У|"^\
Сип тезируемую ПФ H(s) с отрицательными нулями и полюсами необходимо
преобразовать к виду, указанному в формулах, таким образом, чтобы отдельные
проводимости У, (5) и Yn(s) удовлетворяли основному свойству, и затем
синтезировать их, использовав правила реализации RC-ДП. См. 1.13.3.

2. Алфавитный каталог-словарь
119
I
1
Рис. 2.44
296. Реализуемые параметры ЧП определяются по заданной ПФ при
нормированной нагрузке ЧП, Hl!9(ks)=Y92_l(s) = -Yx2f(l+Y22), //,.(s) = Z,2_, = Zu/(\ + Z22 ), a
в режиме его КЗ или XX HfK3(s) = Zx2jZ22, HirKX(s)=-Yi2/Y22. Таким образом,
при синтезе ЧП реализуются только два параметра ЧП, Z22 и Z12 или У22 и Yu.
См. 1.17.1.
297. Регулярность соединения четырехполюсников необходимо проверять при
анализе всех видов соединения ЧП, кроме каскадного. Соединение ЧП называют
регулярным, если у каждого из ЧП, вошедших в соединение; 1) ток в полюсах
входа четырехполюсника (1 и Г) одинаков; 2) ток п полюсах выхода ЧП (2 и 2')
тоже одинаков» как показано, например, при анализе последовательного
соединения ЧП. Пример нерегулярного последовательного соединения ЧП 1 и ЧП 2
приведен на рис. 2.45, а (при соединении ЧП «закорачивается» сопротивление
Z0 в ЧП-2). Пример нерегулярного параллельного соединения ЧП 1 и ЧП 2
изображен на рис. 2.45, б (здесь в результате соединения ЧП «закорачиваются» и Z,,
и Z2). Если структуры исходных ЧП изменились в результате соединения ЧП,
соединение ЧП называют нерегулярным. См. 1.11.3.
[о
иЧП 1
ЧП2
{_}
ЧП2-Н1
ЧП 1
Рис 2.45

120
2. Алфавитный каталог-словарь
+
*.
и
R
R
Рис. 2.46
298. Резистивный элемент (^-элемент) — это идеализированный
пассивный двухполюсный элемент (рис. 2.46), который отражает
только необратимое преобразование электромагнитной энергии в
другие вичы энергии (тепловую, световую, механическую,
химическую и др.). Для Я-элемента принята согласованная полярность. По
своим характеристикам к /?-элементу приближаются реальные
резисторы, нагревательные приборы на низких частотах (НЧ). Однако на
средних частотах (СЧ) схема замещения реального резистора наряду с /2-эле-
ментом, отражающим потери электромагнитной энергии, содержит также
паразитные параметры: последовательно соединенный Ln-элемент, учитывающий
магнитное поле, обусловленное протеканием тока iK, и параллельно
соединенный Сп-элемент, учитывающий наличие электрического поля, обусловленного
напряжением ин на выводах реального резистора. У линейного Л-злемента
uR(t)= RiK(t), то есть справедлив закон Ома. См. 1.1.2.
299. Резонанс в пассивном ДП наблюдается в УСР, если равна нулю мнимая
часть входного сопротивления или проводимости: ImZBX(уш0) = 0; 1шКвк (у«0 ) = 0,
где cot, — резонансная частота. Ил основного определения вытекает много следствий:
1) ZHy =ReZnx, то есть комплексное сопротивление вещественно; 2) |ZBX| = ZBX;
3)фвд =ан -а, =0;4)увд =-<рпк =-argZnx = 0;5)ан = а,-, то есть фазы синусоид
тока и напряжения ДП одинаковы; 6) Р^ = 0, то есть равна нулю реактивная
мощность ДП; 7) Ps = Я, то есть полная мощность ДП равна активной; 8) ImPv =0,
то есть комплексная мощность ДП вещественна и т. д. См. 1.5.5.
300. Релейная цепь (РЦ) — это нелинейная цепь, содержащая линейную часть
(ЛЧ) и хотя бы один релейный элемент (РЭ). См. 1.21.1.
301. Релейный элемент (РЭ) — четырехполюсный нелинейный активный
элемент (зависимый источник) релейной цепи, у которого связь между выходным
сигналом y(t) и входным (управляющим) сигналом х(г) описывается кусочно-
постоянной характеристикой. На рис. 2.47 показаны релейные характеристики
наиболее распространенных видов: идеальная (рис. 2.47, а), с гистерезисом
(рис. 2.47, б), с зоной нечувствительности (рис. 2.47, я), с гистерезисом и зоной
нечувствительности (рис. 2.47, г). Различают также характеристики
симметричные и несимметричные (смещенные вдоль оси абсцисс или ординат). Величины
±af ±b. ±d называют порогами срабатывания РЭ: при прохождении
управляющим сигналом какого-либо порога выходной сигнал РЭ переходит с одного
фиксированного уровня па другой. См. 1.21.1.
у.
0
-Ут
Ут
X
У
Ут
г
о
У
т
1
d х
УЬ
Ут-\
—а
0
У
т
Ui
У
т
Я X
и
bl -alO
Ут
п
a b х
в
Рис. 2.47

2. Алфавитный каталог-словарь
121
302. Решающая схема на ОУ приведена на рис. 2.48. Формула решающей схемы
на идеальном ОУ такова:
то есть схема реализует операции инверсии (обращения) знака, независимого
суммирования сигналов, а 1акже умножения на ПФ Yk(s)/Y0(s) по каждому входу
(часто Yk называют входной проводимостью, a Yt) — проводимостью обратной
связи ОУ). При Yk(s) = Gk и Y0(s) - G0 (to есть используются /^-элементы) по каж-
дому входу выполняются линейные операции вида «1(ЫХ(Г) =—~X^awhxa(')-
При YK(s) = GK (то есть используются /^-элементы) и K0(s) = C0s (используется
С-элемент) реализуется уравнение вида
1 " г
Ц) *-1 а
то есть выполняются операции интегрирования, инверсии знака и независимого
суммирования входных сигналов с умножением каждого на независимый
коэффициент. См. 1.11.5.
— о—
II
ПХ2
+ о—
— О—
-I—h
■CZh
У.
п
-CD-
рис. 2.48
и.
вых
.303. Ряд Фурье (РФ) — форма представления периодического сигнала /(/),
удовлетворяющего условиям Дирихле, в виде сходящегося синусно-косннусного
гармонического ряда
я,
/(0 = —+ Х(яа coska^t + bb sinku>xt). к = 1, 2, 3...;
2 км
косинусная форма РФ:

122 2. Алфавитный каталог-словарь
где Л* =A_ktOk =^Ф_*;
РФ в комплексной форме
где Ak =A ^е7** = ak -jbk — комплексные амплитуды спектра периодического
сигнала (ак =а к, Ьк =-b_k). Нулевая гармоника (постоянная составляющая)
РФ — это среднее значение /(О за период 7': — = ~~- =fcp =~ \f(Odt, где tQ —
2 2 Т ,о
произвольный момент времени. Гармоника (то есть синусоида) с частотой
ю, =2я/Г называется основной (первой) гармоникой; частота к-\\ гармоники
щ - /го)р а период Tk = T/k - TJk. Для расчета коэффициентов РФ Ак проще
всего использовать преобразование Лапласа. См. 1.7.1.
304. Свидетельство правильного окончания синтеза ЧП (свойство 8 ЧП): если
реализацию ЧП проводили по Z22, то последним элементом синтеза (первым со
стороны 1-1) должна быть поперечная проводимость Yok] если синтезировали
У22, последним элементом должно быть продольное сопротивление ZIA (что
соответствует маркировке лестничной структуры ЧП). Если свойство 8 не
выполнено, то синтез закончен неверно и, следовательно, на какой-то стадии его
процедуру нужно изменить. См. 1.17.2.
305. Свободная составляющая математического описания переходного процесса
в цепи есть общее решение однородного дифференциального уравнения цени.
Свободный процесс (свободный режим) в цепи описывается только С.с. См. 1.3.2.
306. Свободная составляющая в цепи 1-го порядка /2пЛ0 = AeTh' =Ae~t/z, где
fz — искомая реакция цепи; т = -1/р, — постоянная времени, причем x=L/R}
или т -CRt; RA — эквивалентное сопротивление цепи в свободном режиме
относительно выводов накопителя (то есть L- или С-элсменга); А — постоянная
интегрирования, определяемая по НУ; поскольку порядок цепи определяется
единственным накопителем, то XII имеет единственный корень рх. См. 1.3.3.
307. Свободная составляющая решения разностных уравнений ДЦ обычно
имеет вид /2(П(иГ) = ХД>Р*- где pk — корень ХП ДЦ pN +a,P'v"1 +...+ flv = 0.
который определяют по однородному РУ ДЦ:
f,(nT) + aJ2(nT-T)+...+ aNf2(nT-NT) = Q.
При | pk\ < 1 ДЦ устойчива, так как /2св(иГ) -» 0 при шаге дискретизации п -» оо.
Если ХП имеет, например, двукратный корень pv то
что аналогично непрерывным цепям. Постоянные Ak находят по ПНУ. См. 1.15.3.
308. Свободный процесс (свободный режим) — это процесс (режим) в цепи без
источников; описывается тем же однородным дифференциальным уравнением

2. Алфавитный каталог-словарь
123
цепи, что и свободная составляющая , где Ак — постоянные интегрирования,
определяемые по начальным условиям (НУ) /2(0+), /2'(0+)...; Рк ~~ корни
характеристического полинома (ХП), то есть собственные частоты цепи, причем ХП
цепи (то есть характеристическое уравнение) имеет вид а„рп +...+ л,/? + й0 =0.
Для случая ЯАС-цспей выполняется условие устойчивости: С.п. всегда затухает
с течением времени, то есть lini/2rB(0 -> 0 при I -» oo, поскольку начальная
энергия элементов L и С необратимо расходуется в ^-элементах. Следовательно,
RepA <0, чго также является условием устойчивости динамических систем
любой физической природы. Если среди корней ХП есть кратные, например
Р\ =p2.To/aill(t) = V'v +А2ГеЛ* + JX^'.Cm. I.3.2.
309. Свободный режим в цепи — jto режим в цепи без источников (см. п. 308
«Свободный процесс»). См. 1.3.2.
310. Свободный режим в LC-контурс, схема которого приведена на рис. 2.49, а,
по описанию решения аналогичен незатухающему колебательному режиму в
последовательной LC-цепи (когда R =0). Поскольку ИИ и0 =0, то i(t) = —— sinco0£,
причем на первом полупериоде (0 < t < Т/2 = я/соа) ток i(t) < 0, как показано на
рис. 2.49, справа (что соответствует физически движению положительных
зарядов <7- при разряде конденсатора в начале процесса, как обозначено штриховой
линией на рис. 2.49, слева). Напряжение С-элемента uc(t) = -uL(t) = -Li'(t) =
= и() cos <*),,£, следовательно суммарная энергия накопителей
•2
wc(t) + wL(t) =
Си* Щ _Си*ь _<Х-(0 )
+
2 2
= wc(i)~ ) = const
не изменяется, поскольку «потерн R» в таком идеальном /.С-контуре
отсутствуют. См. 1.3.6.
1 = 0
Рис. 2.49
311, Свойства ЕИФ. 1. Площадь единичной импульсной функции (то есть
дельта-функции) 5g = J°(f ~~ £» )dt = 1.2. Интеграл от ЕИФ — ото единичная ступен-
-Ой
г
читая функция, то есть \b(t -t0 )dt = 8t(£ -£0 ). 3. Важнейшим является свойство
-<х>

124 2. Алфавитный каталог-словарь
выборки (фильтрующее свойство дельта-функции) /(/)6(/ -/0 ) = /(/0 )5(/ -г() ),
го есть при умножении функции /"(/) на ЕИФ из всех значений f(i)
«выбирается* только одно, соответствующее моменту «появления» ЕИФ. 4.
Несмещенная ЕИФ 6(f) симметрична и является четной (как и формирующая ее
последовательное гь ф'(О). См. 1.4.2.
312. Свойства и теоремы преобразования Лапласа — это правила соответствия
математических операций с оригиналами f{t) операциям с их изображениями
F(s). Свойство линейности: Хя*/*(*)"*" ^lak^k(s)- Основные теоремы:
дифференцирования и интегрирования оригинала
/(0 = 9'(0-W = sO00-<p(0 );
ф(0 = }/(0* + Ф(0" )+ Ф(5) = F(s)/s + ф(0")/«
о
смещения (сдвига) изображения F(s + [i) + f(t)e~^; смещения (запаздывания на
t3) оригинала/(/-/л ) = /" (f - £я) 5, (/ -1л)+ F(s)e~*{:t\ о начальном значении
оригинала /(0') = HmjfF(s) при s->oc; подобия f(t/a)+aF(as) и свертки /2(/) =
f\(*)h(t-T)dx + F2(s) = Fi(s)H(s). где ll(s) + h(t) — передаточная функция
о
и импульсная характеристика цепи. См. 1.6.1.
313. Свойства передаточной функции: 1. Передаточная функция
//(*) = -^ - Ьг"-т— "*+ ^—-Ь* - B(S) a"
A(s) a„s" +... + axs + aQ П(*-**)
описывается дробно-рациональной функцией и является изображением ИХ h(t)
цепи. 2. Переходная характеристика связана с ПФ на основании теоремы
свертки формулой A,(t)+ H(s)/s = //,(s). 3. По ПФ заменой s = уЪ отыскиваются ЧХ
пени //(>©) = Я(л-) при д-=/са 4. ПФ H(s) = Fi(s)/Fl(s) и ДУ цепи аи/2Си)(0 +
...+ (ij\{t)+ «оЛ(0 = bmf\m)(t) + „.+ bj{(t)+ b()f{(t), связывающее реакцию
/.,(О -ь f,(5) и воздействие/,(/)-=- F,(s), полностью определяют друг друга. 5.
Знаменатель ПФ A(s) = 0есть ХП цепи, а сто корпи sk (то есть полюса ПФ)
являются собственными частотами цепи. 6. Расчет ПФ осуществляется по ОСЗ цепи
при нулевых ПНУ, часто с использованием МП В, го есть ПФ определяется
только параметрами /JiC-цспи и не зависит от вида воздействия и реакции. 7. В
зависимости от местонахождения и тина (ток, напряжение) реакции и воздействия
возможны шесть вариантов ПФ (два вида входных и четыре варианта
собственно передаточных функций). См. 1.6.4.
314. Свойства резистивно-емкостных ЧП, аналогичны свойствам LC-41I. 1.
Параметры Z22 и Y22 соответствуют основному свойству ZHi{s). го есть их нули и
полюса отрицательные, простые, чередуются и ближайшим к началу координат
у ZRC является полюс. 2. Полюса Zu совпадают с полюсами Z22, а полюса -\\2 —
с полюсами У22. 3. Полюса первого со стороны 2-2 продольного сопротивления
Z, являются частными полюсами Z22, а полюса первой поперечной проводимо-

2. Алфавитный каталог-словарь 125
сти У0 являются частными полюсами Y22. 4. Пули ПФ 411 — это нули Zl2 и
частные полюса Z22 (или нули -У12 и частные полюса У22). 5. Полюса продольных
сопротивлений Zltl(s) и поперечных ггроводимостей YQk{s) RC-ЧМ лестничной
структуры являются нулями ПФ ЙС-ЧП, и они должны быть отрицательными.
6. Если при синтезе RC-ЧП какой-либо полюс остатка от реализации Z или У
выделен частично, то он не является нулем ПФ 411. 7. Условие Фиачкова должно
выполняться. 8. Свидетельство правильного окончания синтеза должно
выполняться. 9. Новое свойство: полюса ПФ RC-4U должны быть отрицательными и
простыми. См. 1.17.5.
315. Свойства рядов Фурье симметричных сигналов. 1. Ряд Фурье четных
периодических сигналов /(f) = /(-*) не содержит «синусов», ти есть bk = 0, Ф^ = 0
или 180°. 2. РФ нечетных сигналов ДО = —/(-£) не содержат «косинусов», то есть
ак = 0, Ф* - ±90°. 3. РФ сигналов, обладающих симметрией вида /(/■)- ~/(f ± 0,5Г),
не содержит гармоник четных номеров к =0, 2, 1.. См. 1.7.1.
316. Свойства ЧХ LC-ДП: 1. М4Х jr(co) = ImZiC(>>)и Л(со) = -1/х(ю) = 1шУ/сС/со)
реактивных двухполюсников являются нарастающими функциями (то есть
х'(со)>0, Л'(о>)>0), что очевидно как для последовательного соединения, где
%lc = J*°L ~J/(<uC)9 и параллельного. гдеУ/с = ju>C - y/(foL), так и лля LC-ДП
лестничной структуры, поскольку сумма нарастающих функций дает нарастающую
функцию, а функция, обратная нарастающей по значению и знаку {Ь - -1/дг), —
тоже нарастающая функция. 2. Чередуются частоты резонанса'напряжений (где
ZLl =0 и ДП = КЗ) и резонанса токов (где и ДП = XX). 3. При «прохождении»
резонансной частоты характер «реактивности» LC-ДП меняется на
противоположный (например, с чисто емкостного на чисто индуктивный), при этом ФЧХ
ДП изменяется скачком на 180° (например, от <р - 90° до ф = +90°). 4. На
нулевой и бесконечной частотах Zir имеет либо нуль (то есть ZI( =0 и ДП s КЗ),
либо полюс (то есть ZIC -> оо и ДП = XX). См. 1.12.1.
317. Свойство 1 LC-ЧП: нули и полюса Z22(s)h К22(s)удовлетворяют основному
свойству ZLC(s), то есть нули и полюса мнимые, простые и чередуются. Таким
образом, Zl2 и У22 при синтезе 4П необходимо реализовать по правилам
реализации LC-ДП. См. 1.17.2.
318. Свойство 2 LC-ЧН: полюса Zvl совпадают с полюсами Z22, а полюса У!2 —
с полюсами У22. Таким образом, при синтезе Z22 полюса Z]2 (а при синтезе У22
полюса У12) реализуются автоматически. См. 1.17.2.
319. Свойство 3 LC-ЧП: если при синтезе 411 по Z22(s) первым элементом со
стороны нагрузки является продольное сопротивление Z,(s), то его полюс
является частным полюсом Z22; если при синтезе 4П по У22 первым элементом со
стороны 2-2 является параллельная проводимость, то ее полюс является
частным полюсом У22. Таким образом, если синтезируемое сопротивление Z22 имеет
частный полюс, то его немедленно реализуют в виде продольного сопротивления
Z,; если синтезируемая проводимость К22 имеет частный полюс, его выделяют
сразу же в виде поперечной проводимости У0. См. 1.17.2.

126 2. Алфавитный каталог-словарь
320. Свойство 4 LC-ЧП: нули ПФ ЧП (го есть корни числителя ПФ)
определяются нулями Z12 и частными полюсами Z22 (или нулями Ух2 и частными
полюсами К22). Это вытекает из рассмотрения реализуемых параметров ЧП. См, 1.17.2.
321. Свойство 5 LC-ЧП: нули ПФ ЧП лестничной структуры формируются
полюсами продольных сопротивлений Z, ($)и поперечных проводимостей K0A(.s),
причем эти нули должны быть мнимыми. Действительно, на частоте полюса
Zlk -> оо и Fnjt -> оо, то есть Zxk = XX, а У0А = КЗ, и сигнал на выход ЧП не
проходит. Такие нули в соответствии с общей процедурой синтеза ЧП лестничной
структуры реализуют полностью выделенными полюсами остатка или
обращенного остатка. См. 1.17.2.
322. Свойство 6 ЧП является исключением из свойства 5 LC-ЧП: если при
синтезе остатка от реализации Z22 (или К22) какой-то полюс этого остатка выделен
частично (то есть не полностью) в виде Z]k или YQk, то этот полюс не является
нулем ПФ ЧП. Это свойство позволяет реализовать самую трудную категорию
нулей ПФ; чтобы синтезировать такой нуль ПФ (который не совпадает с корнем
остатка, указанного в общей процедуре синтеза ЧП лестничной структуры),
какой-либо полюс остатка реализуют частично, но так, чтобы в новом остатке
появился нуль, совпадающий с нереализованным нулем этой категории. См. 1.17.2.
323. Связанные контуры (СК) — это два последовательных (или параллельных)
колебательных ЯЛС-контура, соединенных между собой реактивным элементом
связи. Различают СК с трансформаторной (рис. 2.50, а\ индуктивной (рис. 2.50, 6)
и емкостной (рис. 2.50, в) связями (в зависимости от тина элемента связи).
Степень связи между контурами характеризуют коэффициентом связи, равным kcli =
=\М\/ ,[Ць^— для трансформаторной связи. kCh ~ Lcu/^/(Z., + LCB )(L2 + LCR) —
для индуктивной связи, kca =Ссв/Л/С1кСПк — для емкостной связи, где 1/С1к =
= 1/С, + 1/CCU, 1/С11к = 1/С2 + 1/Ссв — общие емкости соответствующих контуров.
Достоинства СК — улучшенные ЧХ по сравнению с характеристиками
одиночных /?LC-KOHTypoB, поэтому их часто используют при создании
частотно-избирательных устройств (ППФ, ПЗФ). При эквивалентном исключении магнитной
связи схема, изображенная на рис. 2.50, а, приводится к схеме, изображенной на
рис. 2.50, б. В результате все рассмотренные схемы С К могут быть приведены к
виду рис. 2.50, г, где Z,(s)n Z2(s) — полные операторные сопротивления
первичного и вторичного контуров; ZrB(s)n Zn(s)-~ операторные сопротивления связи
и нагрузки; l^s), /2(s), Ux{s)tU2(s) — изображения токов и напряжений на входе
и выхоче СК. Элементы схем (рис. 2.50) называют первичными параметрами
СК. См. 1.18.1.
324. Связь длительности сишала с шириной его спектра: чем короче сигнал,
тем шире спектр сигнала. Для сигналов подобной формы произведение
длительности сигнала tH на ширину его спектра Лео есть величина постоянная:
£hAg>= const. Спектр дельта-функции — самого короткого сигнала (с пулевой
длительностью) — имеет бесконечную ширину. См. 1.8.3.
325. Связь крутизны сигнала с шириной его спектра: чем круче сигнал, тем
шире спектр сигнала. В теории цепей самый крутой сигнал — дельта-функция

2. Алфавитный каталог-словарь
127
*|
+^-Г~Т
и,
м
R.
с,
+
и
2
R,
+ 0 {
С, L
L,
Я
Я,
+ ^Ч
ы,
—о-
L, t'l C-) /?9
С„ М»2
в
/,(5) fl
^Н ^j"., i^O ^,-.i ^-i
'ев **2
СИ
II
:;вд
Г^
I
7 Z
2(5)
+
i/2(s)
г
Рис 2.50
6(f) -=- Л(_/оэ) = 1, то есть ширина спектра дельта-фупкцгш бесконечна. Самый
крутой и.* практических сигналов — прямоугольный; спектр прямоугольного
импульса убывает пропорционально о>, то есть довольно быстро, что говорит о
высокой сходимости спектра (как преобразования Фурье). Поскольку спектр
одиночного импульса — огибающая дискретного спектра периодического сишала,
то РФ тоже быстро сходится. См. 1.8.3.
326. Связь между индуктивностью, взаимной индуктивностью и
индуктивностью рассеяния двух ИС-катушек:

128 2 Алфавитный каталог-словарь
N2 N%
где £51, LS2 — индуктивности рассеяния; \М\ — взаимная индуктивность', Nv
N2 — числа витков 1-й и 2-й катушек. См. 1.9.1.
327. Связь между напряжением холостого хода нагрузки и током ее короткого
замыкания /KJ =ихх/Ял следует из теоремы Тевенена и теоремы Нортона, при
этом сопротивление Rt определяется как эквивалентное сопротивление цепи
(без источников), к которой присоединяется нагрузка, и называется выходным
сопротивлением этой цени (чаще — внутренним сопротивлением
эквивалентного источника в МЭИП и МЭИТ). См. 1.2.3.
328. Связь между ФЛЧ к изменению сопротивления и проводимости элемента
цепи описывается выражением Tf r, =-RiTf » . ФЛЧ Т, ,- можно также
найти по дуальной НЦ, составленной па основе Опальной теоремы компенсации.
С использованием указанного равенства и принципа пропорциональности
устанавливается эквивалентность дуальных IIЦ для расчета ФЛЧ по теореме
компенсации. См. 1.20.2.
329. Связь полосы пропускания с длительностью переходных процессов в цени.
Поскольку ЧХкак спектр ИХ обладает всеми свойствами спектра сигнала, то
полоса пропускания цени — это аналог ширины спектра. Следовательно, чем шире
полоса пропускания цепи, тем быстрее в ней идут переходные процессы (так как
время затухания ИХ определяет длительность переходных процессов в цепи).
См. также п. 32^1 «Связь длительности сигнала с шириной его спектра». См. 1.8.3.
330. Связь полюсов изображения с формой оригинала. Полюса sk9 то есть
корни знаменателя F(.s). определяют математическую форму оригинала /(f)- При
вещественных полюсах (например, sx = -Р) г]х>рма /(f) апериодическая (/ = Ахе (1' ),
при комплексно-сопряженных (sl2 = —р±/oj) — колебательная (Ate~^ cos (со/+
+ А2)), при кратных (5,2 = ~Р) — множитель г «появляется» в оригинале (Л,е"~р' +
+ А2Се~^), как указано в таблице преобразования Лапласа. Во многом С.п.и.
с ф.о. напоминает связь корней ХП с видом свободной составляющей (полюса
изображения реакции обычно содержат полюса изображения воздействия и
полюса ПФ, то есть корни ХП). См. 1.6.1.
331. Связь собственных частот цепи с ее входным conpoi пилением
£U*)_Z (:;),^)_ М1(*-**>
относительно единственного источника: если задан ПТ, то /l(.s) = 0 — это ХП
и полюса sk — частоты собственных колебаний цепи; если задал ПН, то
B(s) = 0 — это ХП и пули sQk — собственные частоты. Следовательно, для
нахождения ХП достаточно составить ОСЗ цепи без источников и при «нулевых ПНУ
найти Z,lx(s) относительно любого места «разрыва» цепи, тогда пули Zm(s) —
корни ХП. См. 1.6.4.
332. Связь спектра одиночного импульса с дискретным спектром
периодического сигнала аналогичной формы. Сплошной спектр /г1(7"о>) = Л|(ш)е^ф|(,0) одн-

2. Алфавитный каталог-словарь 129
ночного импульса, то есть апериодического сигнала f\(t), с точностью до
коэффициента 2/7'является огибающей дискретного спектра Ah = Ake**k периодического
сигнала /„(') причем амплитуды и фазы дискретного спектра
2
Л- = ^Л(<*>)|Ш-Н: Ф* =Ф,(ю)|вш4в|
вычисляются на частотах m — ka^ =k2n/T (при этом /, является описанием /п
в пределах периода 0 < t < Т). См. 1.8.1.
333. Связь узловой и структурной матриц описывается равенством [Ау | = [Л]т,
где т — знак транспонирования; \А^] — узловая матрица; [А\ — независимая
структурная матрица. См. 1.19.1.
334. Связь фундаментальных матриц уравнений ГС и ГК описывается
равенством \ЕИ ) = -|F|', где т — знак транспонирования; \F\ и [Ftt) — фундаментальные
подматрицы матриц ГС и ГК. См. 1.19.2.
335. Семейство стандартных воздействий (...й2(£). 6,(Г), S(/), 8-,(f), ^-г(О-)
t
обладае! свойствами 8А(0 = ^,(0 и bki](t)= \^k{t)dtt причем индекс k=0
—ОС'
у ЕИФ 8(f) записывать не принято, а единичные коэффициенты Fli}t
используемые для выравнивания размерности записываемого воздействия (например,
/i(0 = ^ю°\(О)» Для простоты здесь опущены. Важнейшей в семействе является
дельта-функция, то есть ЕИФ §(t) = &\(t)— производная от ЕСФ 5,(0» которая
используется гак же широко. Значительно реже встречается функция единично-
t
го наклона (ФЕН) 82(0= f8,(i)<U = rSt(0- Последующее интегрирование дает,
-tio
I
например, 83(0= fS2(/y// =0,5^28,(f) — весовую функцию 3-го порядка. Эта
—ж
и другие стандартные функции (например, 8,, 8_,. 8_2...) применяются крайне
редко. Для расппфсния семейства путем дифференцирования ЕИФ приходится
использовать абсолютно гладкую (допускающую многократное дифференциро-
1 1
ft
ванне) последовательность функций ф(Г) = - + — arctg - при е -> 0, указанную
2 к \г)
при формировании ЕСФ, при этом функцию 8 ,(£) = 8'(0 = о7(0 называют
дуплетом и обозначают двойной стрелкой (в отличие от обозначения ЕИФ),
а функцию 5_2(f) = 8"(0 = 87(0 называют триплетом и обозначают тройной
стрелкой. Соответственно образуется семейство стандартных реакций (...h2(t),
й,(0, Л(/), Л_,(0, Л,2(/")-»)» причем ftft = AJ4l. Важнейшей является (см. п. 96
«Интеграл свертки») ИХ цепи А(/), численно равная реакции на воздействие вида
ЕИФ 5(0; широко используется (см. п. 95 «Интеграл Дюамсля») ПХ цепи А, (О»
численно равная реакции на ЕСФ 8,(f); весовая характеристика 2-го порядка
h2(t) как реакция от воздействия вида ФЕН 82(/) используется при расчете
реакции на воздействие кусочно-линейной формы. См. 1.4.4.
336. Сечение — это замкнутая линия (или поверхность), пересекающая
некоторые ветви схемы цепи. См. 1.1.6.

130
2. Алфавитный каталог-словарь
337. Сигналы с особым спектром. 1. У незатухающих неабсолютно
интегрируемых сигналов /(Ot например, вида
в изображении F(s) которых нет полюсов в правой полуплоскости, но хотя бы
один из полюсов находится на мнимой оси, спектр сигнала является особым и
отыскивается но формуле и F0(</cD) = limf(s) ^=0¥^У где F(s) — изображение по
Лапласу сигнала/(/). 2. Спектр абсолютно итерируемых сигналов (имеющих
конечную площадь) получают из их изображения по Лапласу заменой s = j(ot
го есть F(jco) = F(s) при 5=у'со. 3. Расходящиеся, неограниченно нарастающие
сигналы, изображение но Лапласу которых имеег хотя бы одни полюс в правой
полуплоскости, спектра не имеют; таким является, например, сигнал вида
е(3'5|<7) *■1/(5~Р), полюс изображения которого 5, =р>0. См. также п. 353
«Спектр единичной ступенчатой функции». См. 1.8.6.
338. Сигналы синусоидальной формы, то есть синусоидальные (гармонические)
сигналы — периодические гок i или напряжение w. изменяющиеся по
синусоидальному (косинусоидальному) закону (рис. 2.51). Чаще используется
косинусная форма записи, например
i(t)~I„ cos(otf+ al) = 7msin(G)/ + ai +90°); u(t) = Um cus(co£ + aH).
Параметры сигналов: i(t), u{t) — мгновенные значения; Im,Um — амплитудные
(максимальные) значения; период Т — минимальное время повторения функции
(сигнала); циклическая частота/ = 1/Г, измеряемая в герцах (1 Гц — 1 с-1), —
число периодов в секунду; у =atf + a( — мгновенная фаза (измеряемая в
радианах или градусах); a = у(0)— начальная фаза; со = у' = 2л/ (рад/с пли с ') —
угловая частота, то есть скорость изменения фазы; <p = au — a, =-\\f — разность фаз
(фазный сдвиг) между напряжением и током пассивного ДП в УСР (причем
всегда | ф| < 90°); Да = а! - а2 — разность фаз двух синусоид; при Да = О синусоиды
в фазе, при Да =±180° — в противофазе; при Да =±90° — в квадратуре; если
Да >0, то первая синусоида опережает вторую, а вторая отстает от первой.
Характерные точки графика синусоидального сигнала выделены на рис. 2.51 (где
принято ан = - 30°, а, =60°). Ось абсцисс размечают либо в долях периода, либо
Рис. 2.51

2. Алфавитный каталог-словарь 131
в градусах, учитывая, что Г+ 360° = 2тсрад (1 рал = 57,3°). Вначале находят точку
максимума сигнала (с учетом cosO = 1), го есть например, илшх при т = 30°= -ан;
затем через 90° отмечают нули графика и т. д. Параметры напряжения
промышленной сети: M(f) = 3Ucos(314r+aH), где Um = 220л/2=ЗП В; /=50 Гц;
Т =0.02 с; со = 314 с-1. См. 1.5.1.
339. Сигналы, «преобразуемые» по Лапласу, описываются функциями /(/) =0
при г <0, для которых существуют числа М >0 и абсцисса абсолютной
сходимости оп > 0 такие, что \ f(t)\< Мес"г при t>0. При этом несобственный интеграл,
определяющий изображение /(/) по Лапласу F(s)=\f(t)(iStdt =-/ 1/(01. абсо-
о
;1ЮТНо сходится (то есть площадь модуля подынтегральной функции S.,.
ограничена) и представляет собой регулярную (непрерывную п дифференцируемую)
функцию /;(S) = B(S)/A(S) комплексной частоты s = о + jm. Преобразуемый
сигнал/(О называемый оригиналом, и преобразованный F(s) однозначно
соответствуют друг другу, roeiTb/(0 = /*(05i(0-£-/;,(js); 5|(0~ ЕСФ;/"(/)—
аналитическое продолжение /(г) для t <0. См. 1.6.1.
340. Симметричный трехфазный источник состоит из трех МЫ, генерирующих
в ТФЦсдвинутые по фазе на 120° синусоидальные напряжения ил,и8 иыс
одинаковых частоты и амплитуды, гак что и ^(t) + uB(t) + ur(t) = 0. См. 1.10.1.
■
341. Сложный резонанс в связанных контурах. Настройку связанных контуров
выполняют итерационным путем, изменяя сначала полное сопротивление
первичной) контура Z| и добиваясь выполнения условия ImZm(jco) = 0L При этом
обеспечивается максима чьное значение тока первичного контура /1иш. Далее,
изменяя сопротивление ZrB, находя г максимально возможное значение тока
вторичного контура /2пшх (ПРИ этом указанное условие нарушается). Затем Z, вновь
настраивают до выполнения условия и т. д. При сложном резонансе
обеспечивают последовательное приближение к максимально возможным значениям токов
Лошлшх» 'гшяхт™ и напряжения на нагрузке f/Jln , при этом оптимальное
значение модуля сопротивления связи xCDOptcp -\Z2\^rJr2, где г, =ReZ,, rL =ReZ2.
См. 118.2.
342. Смешанное соединение — это последовательно-параллельное соединение;
цепное (лестничное) соединение — это многократное
последовательно-параллельное соединение (рис. 2.52, а). Мостовое соединение показано на рис. 2.52, 6.
Соединения элементов «треугольником» и «звездой» представлены на рис. 2.52, в
и г соответственно. См. 1.1.6.
343. Согласное включение ИС-катушек (в ИСЦ) соответствует случаю, когда
при выбранных положительных значениях токов ИС-катушек МП
самоиндукции и взаимной индукции (например, Фи от тока /, и Ф1г от тока /2) направлены
одинаково (при этом взаимная индуктивность М >0). В противном случае
(когда при /'[ > 0, /2 > 0 МП вычитаются) — включение встречное {М = -| М\ < 0). При
указанной геометрии намотки ИС-катушек направление их МП определяют по
правилу правого винта. Если же так называемые однополярные выводы каждой
катушки маркированы (например, один из выводов помечен звездочкой), то при

132
2. Алфавитный каталог-словарь
одинаковом выборе токов i, и /2 относительно маркированных выводов
включение ИС-катушек считают согласным. См. 1.9.1.
г
т
I
•—I—CZ>
r-TL
I
J
8
I
I
°—с
в
Рис. 2.52
i
i
i
т
^
344. Согласованная нагрузка ДЛ Z„ = ZK = Zc = ZBX соответствует нагрузке ДЛ
на волновое сопротивление ZB, которое является характеристическим Z при
анализе ДЛ как симметричного ЧП с входным сопротивлением ZI1X =Zn. См. 1.14.3.
345. Согласованная полярность. 1. При С.п. (то есть если условно
положительная полярность напряжения ДП согласована с условно положительным
направлением тока ДП) ток ДП вытекает из узла ДП, помеченного знаком «минус».
2. У /?-, I-, С-элементов всегда Си. 3. Мгновенная мощность ДП р =ш" при С.п.,
но р = —ад' при несогласованной полярности. 4. Для единственного в цепи
источника характерна (логична, физична) несогласованная полярность. См. 1.1.1.
346. Соответствие сопротивлений RC- и LC-двухполюсников. Если RC-RTI
и LC-ДП имеют одинаковую структуру, одинаковые С-алемеиты а
сопротивления R; рсзистивных элементов численно равны индуктивностям L} индуктивных
элементов, то входные операторные сопротивления ДП связаны соотношением
ZKC(s)=npu p~ =5, Lj = R . Аналогично, у проводимостей YRC(s) = pYLC(p)npv\
pl =5, Lj = Rj (здесь 5 и р — обобщенные частоты преобразования Лапласа).
См. 1.13.2.
347. Сопротивление передачи, например, в резистивной цепи Rk_TI =uk/in, где
in — единственный в цепи ИТ, находящийся в ветви п\ uk — напряжение ветви k.
В динамической цепи при использовании МКА сопротивление передачи Zk_n(jco) —
это вариант частотной характеристики цепи, а при использовании ОМ ZA_f( —
это вариант передаточной функции цепи. См. 1.2.4.
348. Составление уравнений состояния методом вспомогательных источников:
1) по теореме замещения заменяют в схеме цепи после коммутации С-элеменг
на ИН мс-(0> а i-элемет — на ИТ iL(t); 2) по такой схеме любым методом
расчета й-ценей определяют uL(t) и ic(t) как линейные функции от известных ИН,

2. Алфавитный каталог-словарь
133
ИТ и ori/r(f), /£(Oi которые пока неизвестны; 3) используя ВАХ накопителей
и'с =/г/С, i'L =UjJL, записывают уравнения состояния. См. 1.3.4.
349. Спектр «меандра». 1. «Меандр» — импульс, изображенный на рис. 2.53,
опишем как u(t) = Umbl(t)-2Uiribl(t-tJ2) + Um6l(t-tll), где 6,(0 - ЕСФ.
2. Спектр сигнала
и
т е 2
;со
б 4
-е
s
4
4c/m ;("-^> . 2((огн
——е 2 2 sin ' и
со
4t/.
(Of.
3. При to > 0 амплитудный спектр Л(а>) Цf7(/со)| = ——sin2 ——. 4. При со > 0 фазо-
со 4
вый спектр Ф(со) = — -. 5. При о > 0 ширина спектра «меандра» по критерию
«первого лепестка» равна Да>,„ = 4гс/£и, а по 10 %-ному амплитудному критерию —
значительно больше (приблизительно 18я/£и), поскольку площадь импульса
Л' = 0 = Л(0). См. 1.8.2.
Ы(0'
ц»
0
-^
1
«и
2
«и
г
Рис. 2.53
350. Спектр амплитудно-модулированных сигналов. Спектр АМ-сшнаяа
существует, если видеоимпульс является абсолютно интегрируемым сигналом. С
учетом теоремы сдвига, изображение по Лапласу АМ-сигналов
/лм<0 = /<0«*<м =0,5/(г)(е'м«' + е-** ) +
где /г(-*0"5-/(0; cos (Oj,^ =0,5(^м,/ + б> ;t0"' ) — формула Эйлера. Тогда спектр АМ-
сигналов /:am(70)) = /:am(s)|^j» =0t5|F(7(«-w0)) + FO"((o+с^))]. Вывод: если
спектр видеоимпульса фуипируется относительно нулевой частоты (в области
НЧ), то спектр радиоимпульса, то есть АМ-сигнала, имея ту же форму,
группируется относительно ВЧ-несущей ±а>0. Эффект такого переноса спектра по
частоте используется, например, в радиотехнике (где /(f) — НЧ сигнал звуковой
частоты, <о0 — частота передающей станции). См. 1.8.6.

134 2. Алфавитный каталог-словарь
351. Спектр дельта-функции, го есть спектр сгшииш нида КИФ 5(f). равен
Д(/оэ) = Д(5)1 ш= 1. Поскольку квадрат амплитудного спектра Л2(со)= 1 на
любой частоте и ширина спектра бесконечна, то на основании формулы Рэлея энер-
1 w
гня дельта-функции wb = -— [ Л2(со)^со -> ос, поэтому 5(f) физически нереализуе-
ма. См. 1.8.3.
352. Спектр дискретного сигнала (периодический по частоте со спектр) Ftl(j(u) =
= —1 ^ F(j((.o-kioA )), то есть с точностью до кооффициента —: (где Д/ и Т — со-
ответственно, длительность и период импульсов дискретного сигнала) он
является периодическим повторением спектра F(jco) непрерывного (аналогового)
сигнала /(f), причем здесь k — целое число, сод =2п/Т = 2сога — частота
дискретизации, выбранная на основании теоремы Котелышкопа. См. 1.15.1.
353. Спектр единичной ступенчатой функции. ЕСФ 5,(f )•*- А, (5) = 1/s
относится к классу сигналов с особым спектром. Поэтому ее спектр определяется
формулой Д|о(;о))= НтЛ,(л)К WIW =я5(со) + —. См. 1.8.6.
354. Спектр периодического сигнала. Дискретный (линейчатый) спектр
периодика кого сигнала /(f) — это множество комплексных амплитуд {Ak = Ake^k)
/ляда Фурье в комплексной форме:/(f) = - ^]ЛАег'*Ш|1, где Ль = Д^<г'ф* = ak -jbk.
2 *—<г,
Дискретный амплитудный спектр (Ак ~А_к — четная функция частоты «= соЛ =
= &со,) и дискретный фазовый спектр (Фк = -Ф_к — нечетная (функция со = £со,)
графически представляют отрезками линий (размером Ак и Фк) на дискретных
значениях частоты со = ка\. Они характеризую! распределение по частоте амплитуд
Ак и начальных фаз Фк гармоник РФ. На практике спектры обычно изображают
при со>0, причем Фп =0, /10 =2(с70/2) = 2/(р — удвоенное среднее значение сиг-
пала. Спектр «постоянного» сигнала u(t) -U0 = const, который можно считать
периодическим с любым периодом 7', будет содержать только одну составляющую
1„ = 2f/0; спектр сигнала синусоидальной формы z/(0 =c7ra cos(cot,f + aw) при
со>0 буче г содержать только одну составляющую Д =Umeia" на частоте со =
= со, = со(|. См. 1.7. J.
355. Снеклр прямоугольного импульса. 1. Рассмотривасмый прямоугольный
импульс с амплитудой 11т и длительностью (п опишем как w(/)=//m6,(f)-
—Z/mr>,(/ -tn), где 5,(f) — ЕСФ. 2. Спектр сигнала
1/(» = ВД|, ,ш = ^Ч1-«Г*' ) = ^=-(1-е ^ ) = ^е 05*"» sin(0,5cofu).
2с7
3. При ш > 0амплитудный спектр Л(со) =|£/(_/со)| = —— |sin(0,5 cofn )| содержит оги-
со
бающую 2t7m/co, которая убывает пропорционально частоте со; начальное
значение АС Л(0) = 5 — равно площади импульса. 4. При со>0 фазовый спектр
Ф(оэ) = аг£С7(/со) = -0\5 cof() +argsin(0,5cofll) — линейно изменяющаяся функция

2. Алфавитный каталог-словарь 135
со скачками на 180°, если sin(0,5cof и) изменяет знак. 5. Нули (узлы) АС —
частоты (ov4, в которых Л(со) = 0, имеют значения covA = k2njtn при к = 1, 2, 3... С.
Ширина спектра по критерию «первого лепестка» (узла) равна Дсо„ = 2л/ги для со > 0,
а по 10 %-ному амплитудному критерию — Дсоп =6я/^н. См. 1.8.2.
356. Спектр сигнала (то есть изображение апериодического сигнала по Фу-
рьс) — это прямое преобразование Фурье: F(jto) = \f(t)e~J(yi,dt. Используют ус-
ловные обозначения f{t)+ F(jta)t где/(f)— оригинал, или сигнал во временной
f-обласш; F(jui)— спектр, или изображение сигнала по Фурье в частотной
области; «-н» — знак однозначного соответствия. Спектр /(./со) имеют только
абсолютно интегрируемые функции /(f) (то есть площадь 5(,. модуля оригинала должна
быть конечной); например, 1£11Ф S(f )-s-Д(_/ы) = 1, то есть спектр дельта-функции
равен единице на любой частоте со. Если /(f) н= 0 при t < 0, то спектр можно най-
тп по формуле /?(./со)= [/(tye'^dt = ^(.v) при .9 =,/со, то есть спектр сигнала —
и
это частный случай преобразования Лапласа. Контроль осуществляют по
формуле F(fi)-^/* т0 есть начальное значение спектра равно площади сигнала.
Формула обратного преобразования Фурье дана при рассмотрении видов
спектральных характеристик. См. 1.8.1.
357. Спектр треугольного импульса. 1. Рассматриваемый импульс в виде
равнобедренного треугольника с амплитудой (Jm и длительностью ги опишем как
2f/ AU ( t \ 2U
L. t
И II X *" / II
2
L
где b2(t) = f5,(0 — ФЕН. 2. Спектр сшнала
-co (,. (о f„ 4
и н
3. При со >0 амплитудный спектр Л(ш) =|f/(/co)| = —— sinl —-, причем огибаю-
со-/и 4
щая АС 8Г/т /(со2fH)убывает пропорционально частоте со2, то есть быстрее, чем у
спектра прямоу/олыюго импульса. Начальное значение Л(0) — равно площади
импульса. 4. При со >0 фазовый спектр Ф(со) = -/со/н/2 — непрерывная линейно-
изменяющаяся функция, которая на графике изображается обычно разрывной
со скачками на 360°. 5. Ширина спектра при со > 0 но критерию «первого
лепестка» и по 10 %-ному амплитудному критерию приблизительно одинакова и
составляет Дсол = lnftH. При уменьшении tH спектр становится шире. См. 1.8.2.
358. Спектр экспоненциального импульса. 1. Для рассматриваемого импульса
и(()= lrme'^5t(f)с амплитудойUm и коэффициентом затухания рспектр сигнала
U(j(x>)~—^—. 2. Амплитудный спектр Л (со) =| t/(/co)| = не имеет узлов
/w+P V(°2 +Р2
(нулей), причем начальное значение /1(0)=(/ст/Р — площадь импульса. 3. При

136 2. Алфавитный каталог-словарь
оэ > 0 фазовый спектр Ф(оэ) = argt/(yo>) = -arctg оэ/р. 4. Ширина спектра по 10 %-но-
му амплитудному критерию Д(о = 1ф при оэ>0. См. 1.8.2.
359. Спектральный метод расчета переходных процессов в цепи. 1. На
основании теоремы свертки находят спектр сигнала на выходе цепи: Fnn (jto) =
= FBX (_до)//( усо), где FBX(j(.o) — спектр воздействия; H(jto) — ЧХ цепи. Тем самым
определяют амплитудный и фазовый спектры реакции Лных(<о)= Д1Ч(соМ(а>) и
Ф1(ЫХ (оэ) = Фк (со) + Ф(а>) или вещественный и мнимый спектры fiBIIX (со) =
= Лвых(со)сойФныч(со) и Мпик(ы)=Аъых((й)$\пФвых(со). По найденным
спектральным характеристикам приближенными методами анализа (см. 1.8.4) находят
саму реакцию/В|1Х (О, то есть рассчитывают переходный процесс. 2. Поскольку
ЧХ цени //(и/со) = Л(со)е^(<0> = #(со) + 7'М(со) — это спектр ИХ цени Л(/), то Г1°
АЧХ и ФЧХ или ВЧХ и МЧХ приближенными методами можно определить
Л(г). См. 1.8.5.
360. Спектральный состав реакции в УПР полностью соответствует
спектральному составу воздействия, то есть и ряде Фурье присутствуют только гармоники
частот со= Лео,. При отсутствии постоянной составляющей в воздействии /i(Oee
не будет и в реакции f2(t). При симметрии воздействия вида f(t) = -/(/ ±0,5Г)
реакция будет иметь такую же симметрию. При непрерывности воздействия
реакция непрерывна, но ее форма может отличаться от формы воздействия (см.
п. 289 «Расчет установившегося периодического режима с использованием рядов
Фурье»), См. 1.7.3.
361. Среднее значение периодического сигнала определяется формулой, например,
1 т
для тока /ср = /0 = — \i(t)dt = 57 /Г, где Sr — площадь сигнала i(t) за период Т.
* о
С.з. имеет геометрическую трактовку — это высота прямоугольника /0,
равновеликого по площади функции /(f) за период. С.з. синусоидального сигнала равно
нулю (поскольку равна нулю суммарная площадь 57 синусоиды за период Г).
Иногда говорят о средневыпрямлепном значении синусоиды за половину
периода, например,
1 Т/2 2
г,,н О 05г j m ^ м
У периодического сигнала, разложенного в РФ, среднее значение, например
/0 =/10/2 = о0/2 — это нулевая гармоника (постоянная составляющая) РФ.
См. 1.5.1.
362. Статические параметры, характеризующие нелинейный элемент при работе
в режиме постоянных токов (напряжений), определяются отношением ординаты
характеристики ПЭ к абсциссе в рассматриваемой рабочей точке (РТ),
например, Дст = uK/iRlLCT =VdhXa =qcfuc*v№uR =uR(iR);y = \y(iLyjq = q(uc)-
нелинейные зависимости. См. 1.16.1.
363. Степень связи в связанных контурах. Различают слабую связь, когда
фактор связи а = Qktu < 1, сильную — при а > 1 и критическую — при а = 1.
Резонансные частоты связанных контуров находят по входному сопротивлению СК

2. Алфавитный каталог-словарь 137
с учетом допущений анализа СК: ImZux = х(1 - «2/(1 + е2 )) = 0, где с —
обобщенная расстройка СК. При слабой связи имеют одну резонансную частоту
со0 = l/VZC, что соответствует индивидуальному резонансу в СК при сильной —
грн: оэ01 = l/ViC; соЛЗ =со0 1±;—л]а2 -1 ,
что соответствует случаю сложною
резонанса в СК. При критической связи наблюдается трехкратный резонанс на
частоте (о0 — это случай полного резонанса в СК. Таким образом, степень связи
существенно изменяет вид АЧХ связных контуров. См. 1.18.3.
364. Стоячие волны в ЛБП в УСР имеют место, если модуль коэффициента
отражения п равен 1. Например, при КЗ нагрузки процессы в линии без потерь па
расстоянии .vот конца ДЛ описываются формулами (для действующих значений
сигналов) Ux = /2ZB|sin2ru;/X|; Ix = /2| сш2тсгД|, где /2 — ток в конце ДЛ (в
нагрузке); Zu — волновое сопротивление (вторичный параметр ДЛ); к— длина
волны в ДЛ в УСР. При | п\ = 1 амплитуды синусоид падающей и отраженной волн
в ДЛ одинаковы, поэтому в некоторых точках ДЛ (называемых узлами) волны
полностью компенсируются, а в других точках (называемых пучностями)
амплитуды синусоид волн суммируются (удваиваются). Форма графиков U4 = £/(л) и
Ix = /(v) определила их название — стоячие волны. Здесь узлы (нули)£/д
отстоят от узлов 7Д на четверть длины волны, пучности (максимумы) каждого из
графиков отстоят от узлов также на Х/А. Входное сопротивление закороченного на
конце четвертьволнового отрезка ЛБП бесконечно велико» поэтому он
используется на практике как высоко добротный резонатор, узкополосиый фильтр,
металлический изолятор волноводов и т. д. См. 1.14.5.
365. Структурная матрица (матрица соединений, матрица инциденцнй) —
матрица [Аа ], строки которой соответствуют узлам (включая устранимые), а
столбцы — ветвям (элементам) цепи. Элементами матрицы [Аа | являются: апт - 1,
если ток ветви т вытекает из узла п\ атп =—1, если ток ветви т втекает в узел п\
ат1 = 0, если ветвь т не присоединена к узлу п. Свойства структурной матрицы:
1) она полностью раскрывает структуру цепи; 2) в каждом столбце матрицы
должны быть +1, -1 и остальные 0; 3) она входит в матричную форму системы
уравнений ЗТК \Аа ][/| = [0], содержащей одну зависимую строку, равную сумме
остальных, взятой с обратным знаком (зависимая строка может трактоваться как
уравнение ЗТК для базисного узла). При исключении из матрицы [Аа ] строки,
составленной для базисного узла, получаем независимую структурную матрицу
|А|, используемую в системе независимых уравнений ЗТК |Л](/| = [0]. См. 1.19.1.
366. Схема дискретной цепи, представленная на рис. 2.54, соответствует
преобразованному разностному уравнению
LAriT) = bJx(nT) + bJx{nr-7>...
^^bMf,(nT-MT)-aJ2(nT~T)~.^aJ2(nT-NT).
На рисунке указаны основные элементы схем линейных ДЦ: сумматор (+),
масштабный преобразователь (Ьк и ak )> элемент сдвига, то есть запаздывания на один
шаг (г-1). См. 1.15.2.

138
2. Алфавитный каталог-словарь
/|("Г)
f{(nT - МТ)1—
Рис. 2.54
367. Схема замещения трансформатора и УСР на НЧ обычно имеет вид,
приведенный на рис. 2.55, гче R^ и R2 характеризуют активные потери в ИС-обмотках
трансформатора; £р Л2 и М характеризуют МП самоиндукции и взаимной
индукции; ЛГР iV2 — числа ПИ1КОН обмоток; Zn — сопротивление нагрузки,
присоединенной ко вторичной обмотке; О, — напряжение источника на входе. Уравнения
трансформатора как ИСЦ: b\ = Zn/, + ZMI2; 0 = ZnI1 + ZW/P где ZtI = ./?, +ZL ,
Z22 = Я, + ZJ} + ZH — полные комплексные сопротивления цепей первичной и
вторичной обмоток трансформатора; ZM = /мЛ/ = -_до| М| = —j\ ZM \ — комплексное
сопротивление взаимной индуктивности. См. 1.9.3.
—о
Рис. 2.55
368. Схема цепи — это фафическое изображение электрической цепи в виде
различных соединений элементов: резистивных, индуктивных, емкостных,
источников сигналов и т. д. См. 1.1.6.
369. Схемы замещения необратимых ЧП (рис. 2.56, а и 6) составляются на
основании уравнении ЧП в z- или #-формс и содержат зависимые источники И НУТ
или ИТУН. Схемы могут быть использованы и для описания обратимых ЧП.
а также ИСЭ при расчете индуктивно связанных цепей (см. 3.5.12). При
расчете цепей с необратимыми и обратимыми ЧП, замещенными схемами, которые
изображены на рис. 2.56 (где^ =U{s)\\ I = T(s)— операторные переменные),
рекомендуется (см. 3.5.10) использовать, соответственно, МКТ и МУН. См. 1.11.4.
370. Таблица преобразования Лапласа. Таблица соответствия f(t)~ F(s)
оригиналов и изображений простейших функций имеет вид

2. Алфавитный каталог-словарь
139
— о
/
-о »
1\
1
h
У\\
— о-
т
I
УпЩ^О) <(УУг\и
г~
-о +
Уп U7
I
-о —
б
Рис. 2.56
6(0+1; бДО-t/s; /^(0-lA2; ^6,(0+V(*+ P): w^CO* l/(s + p)2;
sinco0^,(/)+co0/(.s2 + co2)2; cos «><,#>! (0*s/(s2 + fc>o).
Если рассматривается диапазон * >0, то в приведенной (корректной дчя любых
0 форме записи множитель 8,(0 часто опускают, например: 1-s-l/s, f-s-l/s2,
?-** +1/(а- + Р)ит. Д. См. 1.6.1.
371. Таблица г-прсобразования f(nT)+ F(z) при f(jiT) = 0 для п < О в основном
следует ил формулы прямого z-преобразования. 1. Дискретная дельта-функции
80(лГ)-г-1, причем 80(иГ) = 1 при п =0 и 80(иГ) = 0 при и * 0. 2. Единичная
ступенчатая дискретная последовательность Ьх(пГ)-\п -s-z/(z-l), причем график
Ъх(пТ) представляет «идеальную» решетчатую функцию «из единиц» при п >().
3. Степенная последовательность j(nT)~a"bl{nT) + zf(z-a) является
аналогом экспонент непрерывных сигналов (е'^1 =а" при я = е"р7). 4. Линейно
нарастающая последовательность nb{(nT) + z/(z -1)2. 5. Произведение линейно
нарастающей и степенной дискретных последовательностей папБ1(пТ)^- az/(z-a)2.
См. 1.15.4.
372, Телеграфные уравнения однородной ДЛ. Если пренебречь малыми
высших порядков, тогда Т.у.о. ДЛ в момент времени t на расстоянии х от конца ДЛ
имеют вид
— Vi(0+4 —;—» -~— -^пмг\П + ь„ —-—,
дх at ex at
причем ur{t) = u{xt 0»'\(0 = '(-г. О— напряжение и ток в точке .г ДЛ; /^i^C^,
С„ — первичные (погонные на единицу длины) параметры ДЛ, которые
одинаковы в любой точке ДЛ, если она однородна. Т.у.о. ДЛ, которые симметричны и
дуальны, являются тифференцнальпыми уравнениями в частных производных.
См. 1.14.1.

140 2. Алфавитный каталог-словарь
373. Теорема взаимности основана па принципе взаимности {Gk_n=Gnk,
Rk_n = RTI_k) и формулируется следующим образом: если единственный и цепи
источник напряжения илУ расположенный в ветви п% вызывает в ветви k ток ikt го
будучи перенесенным в ветвь k, этот источник вызовет в ветви п такой же ток.
См. 1.2.4.
374. Теорема замещения. Любой ДП с током ik и напряжением ик может быть
заменен ИТ ik или Ш1ик. Следствия: 1) если ik = 0, ДП эквивалентен XX; 2) если
uk =0,то ДП г КЗ. См. 1.2.1.
375. Теорема запаздывания преобразования Лапласа
f(t~ti)^f{t-tl)b,{t-tJ^F{s)e'st\
где t3 — запаздывание (смещение) сигнала; /"(/ -tA)— аналитическое
продолжение н область / <tt, причем f(t-tA) =0 при t <tr Т.з. применяется для
получения изображения импульсных и смещенных в ^-области односторонних
сигналов. См. 1.6.3.
376. Теорема компенсации — теорема, на основе которой исследуется
чувствительность цепей к изменению параметров. Отклонение параметров цепи от
номинальных обусловлено неидеальноегью на практике элементов цепи.
Формулировка теоремы компенсации: приращения реакции Аип и А/я при
изменении сопротивления Rk на ARk можно найти по присоединенной цепи,
полученной из исходной цепи исключением всех источников и присоединением
последовательно с ветвью Rk + ARh дополнительного компенсационного ИНил - ARklk.
См. 1.20.1.
377. Теорема Котельникова (Пайквиста, Шеннона), или теорема
дискретизации: непрерывный сигнал /(О. спектр которого F(jo^) = 0 при |<о| >«m, может
быть полностью восстановлен по его дискретным значениям /(пГ), которые счи-
тываются с частотой дискретизации сод =2к/Т = 2сот. См. 1.15.1.
378. Теорема Нортона об эквивалентном источнике тока: линейную цепь с
источником можно заменить по отношению к нагрузке (в виде линейного или
нелинейного ДП) параллельным соединением эквивалентного ИТ /, =/кз и
эквивалентного сопротивления /?л, которое также называют внутренним ити выходным
сопротивлением эквивалентного источника. Ток ia равен току короткого
замыкания нагрузки iK3, a Rt равно эквивалентному сопротивлению цепи без источников
со стороны выводов нагрузки. В полученной таким образом схеме метода
эквивалентного ИТ напряжение и ток нагрузки ын = 1Э/(СА + GH), in = /,/?л/(Я, + 7?||),
если нагрузка Ru — это линейный /?-элсмент (при атом проводимости Ся = 1/Я,
GH - 1//?н). См. также дуальную георему — теорему Тевенеиа. См. 1.2.3.
379. Теорема разложения
Ms) П(5"5*) *5~5* *
k
— jto (при переходе к оригиналу) способ представления дробно-рациональной
функции F(s) суммой простейших (табличных) изображений. Коэффициенты

2. Алфавитный каталог-словарь 141
Лк (вещественные или комшшксно-сопряженные) находятся как вычеты в полюсах
sk (то есть в корнях Л (5) = 0) изображения F(s) но очевидным формулам (Л0 = F(s)
при 5 -» оо; Ак = (s -sk)F(s) при s ->sk) либо отыскиваются методом
неопределенных коэффициентов (при кратных полюсах). Если изображение не является
дробно-рациональной функцией, то, например, F(s)e~slk •^■f(t-tlf)6i(t-tll) —
на основании теоремы запаздывания для сигналов, преобразуемых по Лапласу.
См. 1.6.1.
380. Теорема разложения при обратном г-преобразовании: зная полюса zk
дробно-рациональной функции F(z), можно для перехода к оригиналу в
соответствии с таблицей z-преобразования использовать разложение F(z)na простейшие
составляющие:
f B(z)^bMzM+...+b,z^bii __ B(z).aN =
Ж-) aNzN +...+a^z + а0 П(с ~zh )
(Лг)
причем A0 = \imF(z); Ak = lini-——F(z). Аналогично преобразованию Лапласа
основная формула теоремы разложения справедлива в случае комплексных
полюсов zk (и несколько видоизменяется при кратных полюсах). См. 1.15.4.
t
381. Теорема свертки /2(0 = ( f\{i)h{t ~ x)dx -s- F2(s) = Fl(s)H(s) устанавливает
о
связь между изображениями реакции /2(f), воздействия fx(t)n ИХ /г(г)цепн при
нулевых ПНУ, вводит фундаментальное понятие о передаточной функции //(s),
которая является изображением импульсной характеристики. См. 1.6.4.
382. Теорема Тевеисна об эквивалентном источнике напряжения: линейную
цепь с источниками можно заменить но отношению к нагрузке (в виде ДП —
линейного или нелинейного) последовательным соединением эквивалентного ИИ
и л =мхх и эквивалентного сопротивления Rt9 которое также называют
внутренним или выходным сопротивлением эквивалентного ИН. Напряжением, равно
напряжению холостого хода нагрузки при ее обрывеихх, а /?, равно
сопротивлению цепи без источников со стороны выводов нагрузки. В полученной таким
образом схеме метода эквивалентного ИН ток нагрузки iH = uJ(RJ + Ra), если иа-
»рузка Ru — это линейный /?-элемент, при этом ток КЗ нагрузки /, = /^ =u3/Rml,
что также следует из теоремы Нортона и связи между напряжением XX нагрузки
и током ее КЗ (то есть межту напряжением и током эквивалентных источников).
См. 1.2.3.
383. Теорема Теледжена: у двух цепей с одинаковыми ориентированны ми
графами равна нулю сумма произведений напряжений иИ (здесь k — номер элемента)
ветвей одной цепи на токи ik2 соответствующих ветвей другой (или той же)
цепи, то есть
X"*l'*2 =ZW*2'*I =XWAl''*l =ZM*2,'*2 =0'
n n n n

142
2. Алфавитный каталог-словарь
где п — число элементов. В приведенном выражении последние две суммы — это
известный баланс мощностей в цепи. См. 1.20.3.
384. Теоремы ^-преобразования в основном вытекаю i из формулы прямого z-
препбразования. 1. Теорема о дифференцировании г-преобразования: nf(nT) +
. dF(z)
dz
. 2. Теорема запаздывания: f(nT -T)+ F(z)z ; f(rtT-MT) + F(z)
L-/-\^-M
если предначальные условия являются нулевыми. 3. Теорема свертки:
/2("П = £/1(пГ)й<и7'-*7> F^z) = F,{z)U(z), причем M«T) = f„lnT),
f>(nT) = /иых{пТ) — входная и выходная дискретны? последовательности ДЦ
(то есть воздействие и реакция в ДЦ); /7(c) — передаточная функция ДЦ,
которая является --преобразованием ИХ h(nT). 4. Теорема о начальном значении:
/(0) = lim/'XO при z —> ос. 5. Теорема разложения при обратном z-преобразовании.
Справедливы также свойство линейности ^JAkfk{nT)^^jAkFk{z) и свойство
коммутативности (переместигельности) ^-преобразования с операциями взятия
вещественной или мнимой частей оригинала f(nT). См. 1.15.4.
385. Типы кусочно-линейных диодных моделей. Модель I (рис. 2.57, а):
последовательное соединение ИН и0 = const, линейного /{-элемента и идеального
диода (ИД) в прямом включении; используя методику графического расчета R-НЦ,
получим результирующую нарастающую ВАХ-1 в правой полуплоскости.
Модель 2 (рис. 2.57, б): последовательное соединение ИН м0 = const, R-элемента и
ИД в обратном включении; реализуется нарастающая ВАХ-2 в левой
полуплоскости. Модель 3 (рис. 2.57, в): параллельное соединение ИТ ?0 = const,
/{-элемента и ИД в прямом включении; реализуется нарастающая ВЛХ-3 в нижней
полуплоскости. Модель 4 (рис. 2.57, г): параллельное соединение ИТ /0 = const,
/{-элемента и ИД в обратном включении; реализуется нарастающая ВЛХ-4 в
верхней полуплоскости. Перечисленные типы моделей используются при
моделировании (синтезе) кусочно-линейно аппроксимированных нарастающих ВЛХ R-НЭ.
См. 1.16.3.
— о
— о
+ о » у
— о
— о
и.
«Q
4
/ВАХ 1
/Су.
*
*
!() \ i
ВАХ2
(о
и
ВЛХЗ
SR
Го l i
-ид
ИД-
*
••
R
! ВАХ4
У У
о ; i
i
i
■ •
В
е
Рис. 2.57

2. Алфавитный каталог-словарь 143
386. Ток i измеряется в амперах |А|. 1. Ток — это направленное движение
электрических зарядов цл и q . 2. Мгновенное значение тока (сила тока) i(t) = q'(t) —
это скорость прохождения зарядов через иопе|>ечное сечение проводника. См. 1.1.1.
387. Точный расчет УПР (ряд Фурье «в замкнутой форме») приходится
использовать при анализе реакции в дифференцирующих цепях, ЛЧХ которых
возрастает с увеличением частоты, то есть РФ на выходе сходится медленно и
использование РФ становится неэффективным. Последовательность расчета: 1.
Находят изображение периодического аинала на входе t\(s) = Fn(.s)/(1 -e~sT), где
Fi\(s)+ fu(r) ~~ описание периодического воздействия в интервале 1-го периода
О <f < Т (воздействие fx(t) = 0 при t < О условно считается квазипериодическнм).
2. Определяют ПФ пени Il(s\ полюса sk которой (го есть корни знаменателя
ПФ) — это корни ХП. 3. Находят изображение реакции
F/») = //(5)F1(5) = S-iL+-^i
s-sk [~e '
где первое слагаемое, определяемое по корням ХП, описывает свободную
составляющую реакции, а второе, имеющее математическую форму воздействия, —
вынужденную, причем F2X(s) — искомое точное описание 1-го периода (в интервале
О < t < Т) УПР для реакции; Ah = (s -sk )F2(s) при s =sk. 4. Определяют это
описание Fn(s)~[F2(s)-^Ak /(A'-s*)l(l-*r*r) + /2i(0 и периодически em
продолжают для -оо < t < +оо. См. 1.7.3,
388. Трактовка падающей и отраженной волн в ЛБП. В линии без потерь (Rt) - О,
G0 =0) коэффициент распространения
Yo = \'го*о = V(^o + &to )(Go + sCn ) = W-oCo-
Поэтому уравнение чля падающей и отраженной воли в Д./1 в точке .г
(отсчитанной от конца линии) имеет, например, следующий вид:
Ux(s) = U„ + (/„ = Ull2e^ И/с2е-">* *
где wIui(r), ы1)2(г) — значения падающей и отраженной волн на участке ЛП15;
^и = л"л/^о^о ~~ время запаздывания волны в конце ЛПБ длиной х. Отраженная
волна приходит от нагрузки в точку х, а падающая волна из точки х приходит
к нагрузке с запаздыванием £гг, по амплитуде волны не изменяются. См. 1.14.4.
389. Трехфазная цепь (ТФЦ) обычно состоит из симметричного трехфазного
(ТФ) источника и ТФ-нагрузки, соединенных тремя линейными проводами,
го есть состоит из трех подобных частей, токи и напряжения которых в УСР
обладают определенной симметрией в отношении амплитуд и начальных фаз.
См. 1.10.1.
390. Трехфазная цепь при соединении «звездой»» изображена на рис. 2.58, а.
Напряжения UAB, UBC и UCA между линейными проводами Аа, Во и Сс (которые
условно считаем эквивалентными КЗ) называют линейными напряжениями.
Напряжения ТФ-источника0ЛО,UBQ,Uco и напряжения 11щ ,UiGltUlV на сонро-

144 2. Алфавитный каталог-словарь
тивлениях фаз нагрузки Z„, Zht Zc называют фазными напряжениями. Из ВД
симметричного ТФ-источника (рис. 2.58, б) следует, что линейные напряжения
^лв =Uhc ~^са =f7, в л/3 раз больше фазных: UM) =UHO =Uro =с/л/л/3 = с/ф.
Так, при t/ф ж 220 В имеем Uл - 380 В. Токи в линейных проводач направляют к
нагрузке и называют линейными токами (/л ), токи в фазах нагрузки — фазными
(/ф ), при соединении «звездой» 1Л = /ф. Провод ОхО, соединяющий узловые
точки источника и нагрузки, называют узловым (нулевым) проводом, его ток
* * • •
/0=/л+/д+/г. Назначение узлового провода (при его сопротивлении
Z0 —>0) — обеспечить независимый режим работы фаз нагрузки (Z„, Zh, Zr).
Следует отметить особенности построения ВД ТФЦ: 1) они являются
количественными, то есть строятся в масштабе; 2) они являются потенциальными,
то есть, например, вектор UAB на ВД направляется от точки В к точке А, отражая
рост потенциала; 3) они являются топографическими, то есть строятся строго
упорядоченно в соответствии с геометрией (топографией) схемы; начинают
обычно из точки с условно самым низким потенциалом (например, из точки О).
При таком упорядоченном построении расстояние между двумя точками ВД
• • *
«дает» напряжение между этими же точками схемы (например, Uar =UHO -UCX)
на рис. 2.58, б соответствует уравнению ЗИК схемы рис. 2.58, а). См. 1.10.1.
Рис. 2.58
391. Трехфазная цепь при соединении нагрузки «треугольником». Для
расчетных целей удобно па основании теоремы замещения считать, чт, если
нагрузка соединена «треугольником», то и ТФ-источник соединен «треугольником»
(рис. 2.59). При этом здесь, в отличие от ТФ-цепи при соединении «звездой», ли-
•
пенное напряжение равно фазному: U' =UA. Расчет фазных токов нагрузки (7^,
1Ы, I ) очевиден: /ф = £/ф /17ф |. При этом линейные токи, как следует из схемы.
/, =/йЬ -/„,, fв -1Ы. -1tth, /с- = /№ -!ъс- '*РИ соединении «треугольником»
автоматически обеспечивается независимый режим работы фаз нагрузки. См. 1.10.1.
392. Узел (полюс) — место соединения двух и более ветвей. См. 1.1.1.
393. Узловая матрица — это матрица [Лу |, которая на дуальной основе (при
использовании уравнений ЗНК) содержит полную информацию о структуре цепи

2. Алфавитный каталог-словарь
145
и жестко связана со структурной матрицей. У.м. входит в матричную форму
системы независимых уравнений ЗПК[м]=|Л Цыу1, где[му] — матрица узловых
напряжений. См. 1.19.1.
Рис. 2.59
394. Уравнение чувствительности — это уравнение вида £</мА4 ~Х^*^л ~®>
где «-» — символ ПЦс ориентированным графом, соответствующим графу
исходной цепи. По данной ПЦ рассчитывается ФАЧ единственной реакции к
изменению всех параметров цепи. См. 1.20.3.
395. Уравнения напряжений ветвей с использованием структурной матрицы
записываются в форме \и\ - \А]Л [uv |, где [Л]1 — транспонированная независимая
структурная матрица: \u\t \u \~ матрицы напряжении ветвей и узловых
напряжении цепи соответственно. См. также п. 393 «Узловая матрица». См. 1.19.3.
396. Уравнения процессов в ДЛ в УСР имеют вид
или во временной области
ux(t) = Un2j2c^ cas<col + рол- + а1ив) + 1/о2л/2с-и^ cos(arf-p0x + аПф),
*
где£/д. — комплекс действующего значения напряжения на расстоянии х от
конца липни (нагрузки); Un2 -Un2ejnuH!i,Utt2 = Uiaeia%"v — комплексы падающей и
отраженной волн в конце ДЛ; у0 = a0(to) + JP0(co) — коэффициент
распространения; а{), ро — погонные коэффициенты затухания и фазы; со = 2п/Т — частота но
времени; ро =2я/ X— частота по координате; Г, Л,— периоды волн но времени и
координате. См. 1.14.5.
397. Уравнения состояния (УС) — это уравнения в нормальной форме Коши
(которые эквивалентно описывают дифференциальные уравнения цели):
l/nt(OJ = Hll/nc(0 + |Bl[/,(0|],
где 1/пс | — матрица переменных состояния (ПС), в качестве которых в ТЦ
удобно использовать непрерывные переменныеur(t)и iL(t)\ \fx ]— матрица
воздействий (то есть источников входных сигналов); |Л], [В\ — матрицы коэффициентов.
Использовать УС удобно при анализе переходных процессов, если порядок цепи
п >2. В частности, при аналитическом решении УС легко определяются началь-

146
2. Алфавитный каталог-словарь
ные значения производных реакций (что непросто в иных методах анализа
процессов). Рассчитав ПС и заменив по теореме замещения С-элемент на ITIJ мг(£).
а L-элемент — на ИТ /7(г). можно но алгебраическим уравнениям связи
определить (по такой /?-цспи с источниками) остальные реакции: \/п(0\ =
~[М|[/не(01+ |Л^][/|(0]. ivie \f, | - матрицы реакций; |Л/|, \N\— матрицы
коэффициентов. Наиболее просто выполнять составление УС методом
вспомогательных источников. См. 1.3.4.
398. Уравнения состояния нелинейных цепей обычно используют для
численного расчета переходных процессов в динамических НЦ, поскольку общих
аналитических методов решения нелинейных ДУ не существует. По форме, методике
составления и методам численного решения Ух. ПЦ аналошчнм УС пиненных
цепей. Например, УС цепи, состоящей из последовательно соединенных Я-эле-
мента, ИИ u^{t) и L-НЭ с нелинейной вебер-амперной характеристикой \\fj(iL)
имеет вид \t'L(t) = -RiL(\\fL) + u()(t), то есть необходимо использовать
нелинейную зависимость тока iL от потокосцепления у L на каждом шаге численного
расчета. См. 1.16.4.
399. Уравнения состояния последовательной /?£С-цепи, подключаемой при
f =0 к НИ ы0(О» как показано на рис. 2.60} слева, составляют методом
вспомогательных источников (рис. 2.60, справа) при замене для { >0 С-^лемента ИН
ис (/), а L-элсмента — ПТ /, (/).
Рис. 2.60
Вначале выражают /t и uL только через основные и вспомогательные источники:
'с =l't» ui ~иа ~ис ~К*и а затем, используя ВАХ пакипнтелей (u'r =lc/Ct
i[ = uL/L), получают уравнения состояния (УС):
u'c(t) = -iL((); i'L(t) = -juAt)-jiL({) + -uQ(t),
или в матричной форме:
<(0
L'Hoj
о А
с
1 R
. L
'МО
4(0 _
+
о
1
К1; (А| =
о 1
2
L
R
L
;|в] =
о
Z
где [Л]. \В] — матрицы коэффициентов. Следовательно, ХП цепи (см. п. 11
«Аналитическое решение уравнений состотшя»)

2. Алфавитный каталог-словарь 147
dct([A]-p[fl) =
0-р [/С
-1/1 -(R/L)-p
2 R 1 п
= и + — р + — = О,
F L LC
причем этот же результат может быть получен при использовании других
эквивалентных форм описания цепи. Так, на основании ЗИК {и, +uR+uc =ua)
можно записать интегрально-дифференциальное уравнение
Li\t) + RKO +
ij/(/K + Mt.(0-)
Са
= и0(О
или ДУ 2-го порядка Li"(t)+ Ri'(t) + —— =u'Q(t)c тем же ХГ1. При заданном но-
стоянном воздействии uQ(t) = const и независимых НУ uc(0~) = ucti, iL{Q ) = 0,
вынужденная составляющая тока /ВШ1(г)=0, то есть переходный процесс (если
реакция — ток) целиком определяется свободной составляющей. При этом
начальное значение производной i'(0+) = i'L(Q*) = (uf) -wco)/L, как это следует из
УС при ( =(Г. См. 1.3.6.
400. Уравнения токов обобщенных элементов- В цепи, состоящей из
обобщенных элементов, каждый из которых представлен параллельным соединением
резистора и ИТ, матричная система У.т.о.э. (/] имеет вид \г\ = \G\\u\ + [/0 |, где [С] —
диагональная матрица проводимостей, [w"|, [i0 | — соответственно, матрицы
напряжений обобщенных элементов и токов И Т. См. 1.19.3.
401. Условие передачи максимума активной мощности нафузке ZH = гн + jirH
от источника с внутренним (выходным, эквивалентным) сопротивлением Zm =
= гвн + jxm в УСР записывается (согласно МЭИ) как ZH = run -jxm и называется
согласованием нагрузки по мощности. КПД при передаче максимума активной
мощности нагрузке составляет 50 % (см также п. 25 «Виды мощностей
пассивного ДП в УСР»). См. 1.5.4.
402. Условие передачи максимума мощности в нафузку в связанных контурах
обеспечивается при настройке на сложный или полный резонанс в СК. Суммарная
активная мощность при этом равнаРг = 2rjf =1/^/(2^), а мощность,
передаваемая во вторичный контур, 0,5Pj., то есть КПД связанных контуров в этом режиме
равен 50%. См. 1.18.2."
403. Условие реализуемости входного сопротивления реактивным
двухполюсником: если некоторое входное сопротивление Z(s) удовлетворяет основному
свойству LC-ДПу то Z(s) можно реализовать 1С-двухпо;посником. См. 1.13.1.
404. Условие реализуемости RC-ffll: если входное сопротивление ДП Z(s)
удовлетворяет основному свойству, то Z(s) можно синтезировать ЯС-ДП,
поскольку (на основании соответствия сопротивлений RC-ДП и LC-ДП) может
быть реализовано соответствующее сопротивление ZLC(p), после чего заменой
Lj на Rj осуществляется переход к JRC-ДП. См. 1.13.2.
405. Условие Фиалкова (свойство 7 ЧП): коэффициенты ПФ 411
положительны, причем коэффициенты числителя при одинаковых степенях аргумента 5 не
превышают соответствующих коэффициентов знаменателя. Таким образом, если

148 2. Алфавитный каталог-словарь
в числ итрлс IJ Ф Ч11 есть степень s, которой нет в знаменателе, i о такую П Ф
реализовать невозможно. При реализации ЦФ ЧП условие Фиалкова
обеспечивается ашочитически. См. 1.17.2.
406. Условие физической осуществимости (реализуемости): 1) реакция не
может появиться раньше воздействия, а следствие — раньше причины; 2)
временной сигнал всегда является вещественным. Например, ИХ /?,(/) = 0 при t <0,
поскольку воздействие вида ПСФ 6t(/) = 0 при t <0. См. также п. 163
«Невозможность реализации идеального ФНЧ». См. 1.4.3, 1.8.4.
407. Условия Дирихле, которым удовлетворяют реальные периодические
сигналы: 1) н пределах периода сигналы непрерывны или имеют разрывы первого
рода; 2) в пределах периода сигнала ограничены по уровню и имеют конечное
число экстремумов. См. 1.7.1.
408. Условия реализуемости ПФ RC-4W состоят в следующем: 1) условие
Фиалкова должно выполняться; 2) нули и полюса ПФ должны быть
отрицательными, причем полюса— простыми. См. 1.17.5.
409. Установившийся режим — это обычно режим в цепи после практического
затухания свободной составляющей переходного процесса при постоянных и
периодических воздействиях, когда решение ДУ цепи определяется только
вынужденной составляющей, которая обычно не затухает, поскольку имеет
математическую форму воздействия. См. 1.3.2.
410. Установившийся синусоидальный режим — ото режим в цепи при
синусоидальном воздействии fx(t) = FmX cos(o>/ + а,), условно приложенном при / —> -оо,
когда к моменту / переходный процесс закончился, то есть свободная
составляющая затухла и осталась только вынужденная составляющая реакции
(установился вынужденный режим) /,{(.) = Fm2 cos(co/ + a2) ~/2пыи- Поскольку линейные
операции с синусоидальными функциями не изменяют се общей
математической формы, то искомыми параметрами в УСР являются только амплитуда
реакции Fm2 и ее начальная фаза а2 (исключение составляет случаи, когда
обобщенная частота воздействия /со совпадает с корнем ХП цепи п /2кШ1 имеет иную
форму — см. 4.5.40). См. 1.5.1.
411. Устойчивость — см. и. 308 «Свободный процесс». См. 1.3.2.
412. Фазовая скорость волны в УСР г^ — это скорость движения вдоль ДЛ
точки волны, суммарная фаза колебаний в которой неизменна, причем аф = со/Р0,
где со — угловая частота процессов но времени; ро — частота процессов но
координате. При этом погонный коэффициент фазы р0(со) = 1пг/„(/со) — мнимая часть
коэффициента распространения {вторичного параметра ДЛ). У ЛБП Р0(со) =
= a)^Z.0C0, то есть Гф = l/^/LnC0 = const и в согласованном режиме линия без
потерь не искажает, сигналы на выход проходят с запаздыванием £п = /Д\|, =
= IyJLt)Ctt (здесь / — длина ДЛ; L0, С0 — первичные параметры ДЛ). В общем
случае р0(со) - нелинейная функции частоты, то есть волны различных частот
спектра сигнала проходят на выход с различной фазовой скорое!ыог'ф = со/р„(со)
и ДЛ даже в согласованном режиме искажает. См. 1.14.5.

2. Алфавитный каталог-словарь 149
413. Фактор связи, как и обобщенную расстройку, используют при анализе СК,
причем с учетом допущений анализа СКа = Q/?CI!. где 1гСЛ — коэффициент связи, Q
и р — добротность и характеристическое сопротивление ЛЛС-контуров с
одинаковыми параметрами. См. 1.18.3.
414. Фильтр — это ЧП, у которого в полосе пропускания (МП), находящейся
в районе максимума АЧХ, сигналы различных частот проходят к нагрузке почти
без изменения по амплитуде, а в остальной полосе частот — полосе
задерживания (ПЗ) — сигналы на выход не проходят или проходят с затуханием, большим
допустимого. 1111 называют также полосой неискажения, или полосой
прозрачности, а в ПЗ часто выделяют полосу дифференцирования (ПД), если асимптота
к АЧХ равна kn\ полосу интегрирования (НИ), если асимптота равна k/со, и
другие частотные интервалы (411). Критерии граничной частоты ПП, называемой
частотой среза, различны у фильтров различных типон: классических фильтров,
фильтров типа /г, фильтров Баттерварта, фильтров Чебышева. См. 1.12.3.
415. Фильтр Котельникова, используемый для восстановления исходного
непрерывного сигнала/(О "з дискретного, — это идеальный ФНЧ, у которого
частота среза otp =com, благодаря чему (см. теорему Котелышкова) из
периодического спектра дискретного сигнала «вырезается» лишь спектр сигнала /(/).
См. 1.15.1.
416. Фильтр тина k — это классический фильтр в виде симметричного LC-4U Т-
или П-структуры (см. п. 104 «Классификация фильтров» и рис. 2.20), у которого
произведение сопротивлений плеч на любой частоте Zx(j{u)Z2(ju>) = k1 = const —
постоянно и обозначается k2. У ФНЧ типа k Т-структуры ZXZ2 =LJC2 =£\
частота среза соср =2/л/£|С2, а характеристическое сопротивление сильно
зависит от частоты, описывается недробно-рациональнон функцией и,
следовательно, не может быть реализовано Л£.С-цепыо. Таким образом, согласование
фильтра па практике возможно только на конкретной частоте в УС Р. Это основной
недостаток фильтров типа /г, достоинство которых —- простота. При
проектировании ФНЧ обеспечивают согласование па <о = 0 (наиболее характерной частоте
ФНЧ), когда Rn = Zv(0) = k = ^/i, /C2 и, используя формулу для согр = 2Д/1,С2,
находят L, и С2 по заданным Rll и cotp. Иные схемы фильтров типа k указаны при
классификации фшыпров\ ФВЧ, НПФ и IIЗФ проще всего проектировать
методом преобразования частоты по ФНЧ-прототипу. См. 1.12.3.
417. Фильтры Баттерворта — jto полиномиальные фильтры, которые
аппроксимируют АЧХ идеального ФНЧ монотонно убывающей функцией Л(со) =
-k J\ + (со/ со(р)2", где к = Л(0) = const; соср — частота среза (то есть граница
ПП), причем А((о(р ) = к/л12 = 0,707ЛП1ач =0,707Л(0)(см. рис. 2.35, а).
Нормирование (масштабирование) характеристик Ф.Б. (при базисных значениях «п =©г_,
_ л t
R6 = Ru и использовании формул RH =RH/Rfi =1, ox = со/го =1, L =to6L/Rnt
С. - (o(lCRH) дает А (со) = k/\\ + со2", причем здесь и далее для простоты записи
индекс нормировки «*» опущен. Таким образом, у Ф.Б. нормированные
сопротивление нагрузки Rn = 1 и частота среза to = 1. В знаменателе ПФ Ф.Б. как по-

150 2. Алфавитный каталог-словарь
линомиальных фильтров H(s) = kfA{s) используются полипомы Баттерворта:
/l(s)=l + 5, если порядок Ф.Б. л = 1; при л =2 имеем A(s) = (1 + V2s +s2); при
и = 3 имеем A{s) = (l + 2s + 2s2 + s3) и т. д. (причем их ЛЧХ равна vl + or").
Фильтр Баттерворта может быть реализован как методами синтеза LC-ЧП
(см. 1.17.4 и 3.6.15), так и методом сравнения ПФ фильтра Баттерворта с ПФ
«подходящей» цепи. Так, реализация Ф.Б. 3-го порядка с ПФ по напряжению
H(s)- 1/(1 + 2.v + 2.s*^ +л3), имеющей только трехкратный нуль при s —> оо, при
Д1| =1 и использовании простои лестничной структуры ФНЧ (см. и. 104
«Классификация фильтров» и рис. 220) дает Lx - 3/2, С2 — 4/3, L3 = 1/2 (с нумерацией
элементов схемы от входа к нагрузке). При проектировании Ф.Б. порядок
фильтра п обычно определяют по требуемому значению (затуханию) ЛЧХ в
полосе задерживания при удвоенной частоте среза (например, при п = 3 имеем
нормированное значение А(2) = A/V1 +22" = k/2" = k/8, m есть входной пи нал
ослабляется в 8 раз). При заданных Ru * 1, со * 1 осуществляют депормировку
параметров (по указанным формулам масштабирования). При проектировании
ФВЧ, НПФ. ПЗФпо ФНЧ-npomomuny используют Ml 14. См. 1.12.5.
418. Фильтры Чебышева — зго полиномиальные фильтры (см. рис. 2.33, б), у
которых используют равномерную (колебательную) аппроксимацию ЛЧХ
идеального фшътра в II1I. При нормированных, как у фильтра Баттерворта, нагрузке
и частоте среза ФНЧ (йн = 1, со[р = 1) АЧХ фильтра Чебышева при k = 1 имеет
следующий вид: Л((о) = 1/^/1 + б /}~(со), где е — малый коэффициент,
зависящий от заданной неравномерности Л ЛЧХ в пологе* пропускания (б2 = 2Л).
Описываемые гиперболическими функциями D„(co) = ch(Harchco) — это полиномы
Чебышева порядка п, причем {Д, = 1, D, =со, D2 = 2со2 — 1, Ds = 4со^ -Зго, ...т ЦДсо) =
= 2со£)и_,(со)-£)п_2((о)...}. В П1ТФ полиномы Чебышева Dn(<o) = cos(warccosco),
то есть 0 < Dt (со) < 1, и имеют п экстремумов, а в ПЗ резко возрастают (график
гиперболического косинуса rhy =0,5er +0f5*>~T -» оо при у -> оо). На границе 1111
Ц,(1) = 1, то есть ЛЧХ А(\) = l/vl + г1 = I -8а/2 = 1 -Д (здесь использованы
вытекающие из ряда Тейлора приближенные соотношения ^1 + р ^ 1 + [3/2,
= 1 — В/2, где малая 0 <к 1), следовательно, в2 = 2Л. Порячок п при проек-
1 + Р2
тнровании фильтр;) Чебышева определяют, как и у фильтров Баттерворта* но
требуемому затуханию ЛЧХ в полосе задерживания при нормированной частоте
со = 2 =2cotp, когда
/\(2) = t/Vl + e2D;i(2) =
1 1
еД,(2) ec1i(1,32«)
Например, при я = 3 и неравномерности Л =0,1 (то есть е =0,2) получим
А(2) = 1/12, что лучше, чем у фильтра Баттерворта (где было А(2) = 1/8). И АЧХ
в 1111 у фильтра Чебышева изменяется меньше (от 1 при со = 0до 1-Л =0,9при
о = 1), чем у фильтра Баттерворта 3-го порядка (ЛЧХ изменяется от 1 чо
0,707). Таким образом, степень приближения к ЛЧХ идеального ФНЧ у
фильтров Чебышева иыше. Реализация фильтра Чебышева во многом аналогична про-

2. Алфавитный каталог-словарь 151
ектированию фильтров Баттсрворта: по требуемым Ди п записывают ЛЧХ /l(w),
которую приравнивают к АЧХ полиномиального фильтра, находят его ПФ и
реализуют ПФ очевидной схемой лестничной структуры (если у фильтра Чебыше-
ва АЧХ А < 1при (0 = 0, то, например, нормированную нагрузку /?„ = 1 делят в
соответствии с ФДП). Дснормировка фильтров Баттсрворга и Чебьписва также
одинакова, как и использование МПЧ для проектирования ФВЧ. ПНФЧ ПЗФ по
ФНЧ-прототипу. См. 1.12.6.
419. Формула Лагранжа при полиномиальной аппроксимации ВАХ НЭ и {г)
имеет вид
^ A(i)
где Л(/) =(/-i,)---(i-jfc_1)(i-iA4l )■■■(/-£„); {uk, ik] — выбранный или заданный
массив из п точек аппроксимации на ВАХ НЭ. При этом аппроксимирующая
кривая проходит через указанные точки ВАХ. «Обращенный»
аппроксимирующий полином
а (и-иху-\и-ик_х)(и-иыУ"{и-ия)
*-i (и* ~щ)-(ик -uk_x){uk -им )••■(«* "О
в общем случае не совпачает с предыдущим в промежутках между точками
аппроксимации. См. 1.16.2.
420. Формула прямого z-преобразования
JO
/(я7> Дг) = £/(иГ)--" =/(0) + /(Г)с ' +f(2T)z-' +...,
л-0
где/(иГ)— преобразуемая дискретная последовательность. Формула,
фактически, является преобразованием по Лапласу дискретного сигнала /Л(t) =
'А.
-^f(nT)At 6(/ -пТ), описанного суммой дельта-функций, причем дискрет -
п-0
ным преобразованием Лапласа называют соответствие f^(t)/At+ ^f(nT)e~snr,
п о
из которого при замене е* = z вытекает исходная формула. См. 1.15.4.
421. Формула Рэлея определяет энергию сигналамf = \f2{t)di —— [Л~((оУ/(о,
-со -а>
то есть квадрат амплитудного спектра Л2 (со) характеризует относительное
распределение (по частоте (о) энергии сигнала /(/)> где t — время. На формуле
Рэлея базируется энергетический критерий ширины спектра сигнала. См. 1.8.3.
422. Формулы перехода к дискретной цепи от аналоговой на базе алгоритмов
численного решения уравнений состояния. 1. Передаточная функция дискретной
цепи при использовании явной формы алгоритма Эйлера: H(z) = ll(z) при s =
= (г -1)/Г, где tf(s) — ПФ исходного аналогового прототипа, Т— период
дискретизации, то есть шаг численного интегрирования уравнений состояния. 2. При
использовании неявной формы алгоритма Эйлера: //(г) = //(&•) при s = (z-l)/(7i).

152 2. Алфавитный каталог-словарь
3. В случае смешанной формы алгоритма Эйлера: H(z) = ztf(.v) при 5 =(г-1)/Г.
4. При билинейном преобразовании: II(z) = //(.ч) при 5 = 2(г - 1)/|7*(г + 1)J.
См. 1.15.5.
423. Формулы практического расчета сигнала по его вещественному
(мнимому) спектру. I Io соотношениям, которые вытекают из формуя связи сигнала с его
2
вещественным и мнимым спектрами, /(/) = — Re У [В(ы)\
К
* Jf
= -Im_/[M(co)]
s-jr
находя г сигнал /(/)im ВС В(со) или МС М(ш) Основная трудность — взятие
изображения по Лапласу У от спектра сигнала. Обычно используют
кусочно-линейную аппроксимацию В(ш) и Л/(со), при которой отбрасывают ВЧ-часть спектра.
а это на основании теоремы о начальном значении /(0") = ]im j&F(ju>) приводит
к появлению дополнительной погрешности в начале процесса! См. 1.8.4.
424. Формулы связи сигнала с его вещественными и мнимыми спектрами. Если
сигнал /(О =0 при / <0, го он может быть найден по известному вещественному
(или мнимому) спектру сигнала /(г) =- \В(со)costotdto = — ГA/(ro)sinco£e/o>;
к\> л(|
приведенные формулы также называют тригонометрическими формами
обратного преобразования Фурье. При этом вещественный спектр £(со) и мнимый
спектр М(ш) жестко связаны, поскольку по обратному преобразованию Фурье
имеем
1 ' 1 *
/(-t) = 0 = - - (F{jG>)e ** dto = — [ I В( со) cos cot + M( «)si n их \dw.
2л *L 2л „
-ео -со
С 1шми также жестко связаны амплитудный /1(ш)н фазовый Ф((о)снекгры. Так
как можно рассматривать ЧХ как спектр ИХ, то ЛЧХ, ФЧХ, ВЧХ и МЧХ цепи
также взаимно определяют друг друга. Выводы: 1) при синтезе цепей (и
сигналов) необходимо учитывать взаимную зависимость указанных характеристик
(и спектров); 2) если сигнал /(/) =0 при t <0, он обязан иметь вещественный и
мнимый спектры (см. также п. 423 «Формулы практического расчета сигнала по
его вещественному (мнимому) спектру*). См. 1.8.4.
425. Функции передачи трансформатора и формула для его входного
сопротивления получены из анализа уравнений схемы замещения трансформатора на
НЧ в УСР:
II - 1 - м • 11 - 2 _ ~"^М ZH у _''\ _ у , I V 12/7
III ~ f ** 7 ' ' ~ II ~ 7 7 I 7 I2 ' нх ~ 1 ~ n l^A/l /-^22'
У j Z22 U, -^ц-^22 "Н^ЛЛ 'l
причем второе слагаемое в формуле для ZHX, называемое вносимым
сопротивлением, учитывает влияние вторичной обмотки трансформатора на первичную.
Очевидно, функции ///(усо), Hr(jio), ZUK(j(o) зависят от частоты сои сопротивления
нагрузки, то есть в общем случае не соответствуют свойствам идеального
трансформатора. См. 1.9.3.
426. Функция абсолютной чувствительности (ФАЧ) Ту _!<k — это производная
реакции / по изменяемому параметру Rh цепи, то есть Tf _A =ofDblx/dRk.

2. Алфавитный каталог-словарь 153
ФЛЧ характеризует относительное изменение реакции при возможном
изменении параметра Rk па dRk, поэтому используется при неизвестном приращении
ARk. В счучае когда приращение ARk известно, абсолютное изменение реакции
приближенно оценивается по ФЛЧ согласно формуле А/пых = ARkTf л _^, в
которой учи тывается лишь первый член ряда Тейлора при разложении /иых в
окрестности параметра Rb. См. 1.20.2.
427. Функция относительной чувствительности (нормированная
чувствительность) определяется по формуле 5/пык_^ =7>owx-^ ^//,*«• См 1-20-2-
428. Характеристики идеальных неискажающих, дифференцирующих и
интегрирующих цепей. 1. Идеальная неискажающая цепь реализует операцию
/тлЛ^ = ^/вЛ1~fi )* то есгь условие пропускания сигналов без искажения
допускает только изменение уровня сигналов в k раз п их сдвиг на t у — время
запаздывания. ПФ цепи tf(s) = ^"\ ЧХ Я(усо) = &Г;г*а, ЛЧХ A(toj=\H(j(o)\ =ky
ФЧХ Ф(со) = -©£,. Таким образом, ЛЧХ неискажающей цепи постоянна, то есть
не зависит от частоты со, а ФЧХ линейна, причем наклон ФЧХ определяется
временем запаздывания tл. 2. Идеальная дифференцирующая цепь реализует
операцию /„„ДО = kflA*)* ПФ «™и II(s) = ks, ЧХ Я(;"ш) = /г/со, АЧХ Л(со) = *jco|,
ФЧХ Ф(о)= +90° при со>0 и Ф(со)- 90° при со<0. При со>0 АЧХ идеальной
дифференцирующей цепи линейно возрастает, а ФЧХ Ф(со)~ +90°. 3. Идеальная
интегрирующая цепь реализует операцию /(IWX(Г) = k\/BX(t)dt\ ПФ цепи
о
//(д-) = А/5. ЧХ //(>) = А/Осо), АЧХ Л(со) = А>/|со|, ФЧХ Ф(со)*= -У0° при со>0 и
Ф(со) = 90° при со <0. 11ри со > 0 АЧХ идеальной интегрирующей цепи
описывается гиперболой, а ФЧХ Ф(со)- -90°. См. также и. 206 «Оценка формы реакции при
сравнении спектра воздействия с ЧХ цепи>>. См. 1.8.5.
429. Характеристики намагничивания ферромагнитных материалов В(Н),
то есть зависимость между значениями (модулями, величинами) векторов
магнитной индукции В и напряженное! и магнитного ноля Я, является нелинейной
и имеет петлю гистерезиса, как показано на рис. 2.61, а, где В0 — остаточная
индукция; II к — коэрцитивная сила, то есть то значение напряженности
магнитного поля Я, которое необходимо, чтобы довести до нуля магнитную индукцию В,
если в предварительно намагниченном материале остаточная индукция
равнялась В0\ IIт — максимальное значение Я, при котором снята на малой скорости
И' установившаяся петля гистерезиса (шириной 2ЯК). Х.н.ф.м. являются
сложными нелинейными функциями многих переменных В = В(Н,Пт,Н\ sign(W),
IIк, 11(0)) и не имеют аналитического описания. Материалы с широкой
петлей гистерезиса (Як >4000Л/м) называются магнитотвердыми и используются
для изготовления постоянных магнитов. Материалы с узкой петлей гистерезиса
(Як <200 А/м) называют магнитомягкими и используют в переменных
магнитных полях (например, в трансформаторах, чтобы нелинейность и потери на
гистерезис влияли мало). При физической трактовке гистерезиса считают, что
ферромагнитные материалы состоят из микрообластей (доменов) с сильным
самопроизвольным намагничиванием, которые ориентированы хаотично. Под дей-

154
2. Алфавитный каталог-словарь
ствисм напряженности н внешнего магнитного поля домены ориентируются по
направлению Н. При достаточно больших Н » Нт все домены оказываются
сориентированными и наступает «насыщение» характеристики В (И), то есть
> н0 при Н -> оо. Явление переориентации доменов является инерционным,
АН
поэтому обратный ход характеристики намагничивания как бы «запаздывает».
Б результате при уменьшении //до нуля в ферромагнитном материале
сохраняется остаточная индукция й0. Характеристика В(//), проведенная через вершины
петель гистерезиса при медленном перемагничивании, снятая для различных
значении Пт и условно показанная на рис. 2.61, б, называется основной кривой
намагничивания. Участок петли гистерезиса, изображенный на рис. 2.61, а во
втором квадранте, называют кривой размагничивания и используют при
определении рабочей точки МЦ с постоянными магнитами. См. 1.22.1.
"к Нт И
a
Рис. 2.61
430- Характеристики ПРИ в последовательной RIC-цепи: 1)
характеристическое сопротивление р — это сопротивление накопителя при ПРИ, то есть
р = co0L = l/(wt)0 = .\/Z,/C; 2) резонансная частота co(J = If-jLC (что аналогично
характеристикам ПРТв параллельной RLC-цепи); З) добротность — это
отношение характеристического сопротивления к сопротивлению потерь в цепи
(2 = р/Я = £//Л) Д/пх0 =i/ro/^nxo =w0/Aw, где 0 — индекс резонанса; Д« — полоса
пропускания (1111) последовательной /ЛС'-цепи, вычисленная на уровне 0,707 от
значения \/R — максимума входной проводимости цепи !/Z[lx(jo)). В результате,
например, при Q = 100 с накопителя можно «снять» в 100 раз большее
напряжение Ul0 = 1/со, чем на входе £/их0 (то есть имеем эффект существенного усиления
сигналов в пассивной цепи, что при малой ПП Лео обеспечивает высокую
избирательность контура как ППФ). В режиме резонанса входное сопротивление цепи
ZIIX = /?= min|Znx(/co)|. синусоиды uL{i) и uc(t) компенсируются и участок
LC = КЗ. Добиться состояния ПРИ можно тремя способами: изменением
параметров L- или С-элемеитов или изменением частоты со до значения о>0. См. 1.5.5.
431. Характеристики ПРТ в параллельной RLC-цени дуальны
характеристикам ПРН в последовательной RLC-цепи: 1) характеристическая проводимость —

2. Алфавитный каталог-словарь 155
это проводимость_накопителя при резонансе 1/р = а>0С = l/(co0L); 2) резонансная
частота со0 = \fylLC; 3) добротность — это отношение характеристической
проводимости к проводимости потерь
Q =(1 Р)/С = Д/Р = WU = ',о/'„*о = «„/Асо.
где 0 — индекс резонанса; токи накопителей при резонансе //0 =/со в Q раз
больше входного тока цени /пх0; Лео— полоса пропускания цепи, вычисленная на
уровне 0,707 от максимума ЛЧХ для входного сопротивления цепи Z1JX(j(o) =
= lf[G + j(tuC-i (col))], причем на частоте резонанса, поскольку при ПРТ
участок LC = XX. Добиться резонанса в цепи можно тремя способами:
изменением параметров L- или С-элементов или изменением частоты со до значения со0.
См. 1.5.5.
432, Характеристическое сопротивление симметричного ЧП — это такое
сопротивление нагрузки ЧП, при котором входное сопротивление 411 равно
сопротивлению нагрузки, Zm - Zlf = Zr, причем Z. = (aVI/a2l )l/2> где au> an —
первичные параметры ЧП. Режим нагрузки ЧП на Z называется режимом
согласованной нагрузки (согласованным режимом ЧП). Для расчета Zc =(ZXXZK1 )l/2
можно также использовать сопротивления XX и КЗ симметричного ЧП:
Z^U)=Vx{s)ll,(s)\\\)\\ /,(<0=aZKy = !/,//, при t/2 =0. где £/,(<>), li{s)>U2{s),
/2(s) — изображения напряжения и токов на входе и выходе ЧП. Поскольку
Zf(s)ne является дробно-рациональной функцией, то согласованный режим ЧП
можно реализовать только на конкретной частоте в УСР. См. 1.12.2.
433. Холостой ход (XX), то есть разорванный участок — обрыв в 9 . _
Ихх~°
цепи — это идеализированный двухполюсный элемент
(обозначение см. па рис. 2.62), обладающий следующими свойствами: про- лл Uxx ~ u
видимость Схх =0, сопропгвление Rxx —> оо, ток гхх =0, напряже- ^ "хх*"00
пне ыхх зависит ш остальной цени. См. 1.1.3. рис. 2.62
434. Цепь — модель реального электротехнического устройства,
состоящая из соединений идеализированных элементов,
используемых в ТЦ (ПН, ИТ, /?. L С. КЗ, XX и т. д.). См. 1.1.1.
435. Цепь с взаимной индукцией, или индуктивно связанная
цепь (ИСЦ) — цепь, в которой есть А-злементы, связанные
общим магнитным потоком и называемые обычно индуктивно
связанными (ПС) катушками. Две ИС-катушки часто называют
НС-элементом (11СЭ), или М-элементом, который является
пассивным .элементом в цепи. Условное обозначение ИС-катушек с
индуктиътшетями I, и L, приведено на рис. 2.63 (изображен слу- Рис. 2.63
чай их согласного включения). См. 1.9.1.
436. Цепь с распределенными параметрами, условно названная длинной
линией (ДЛ), — это модель реального электротехнического устройства, если его
размеры соизмеримы с длиной волны проходящего сигнала. Например,
телевизионный кабель длиной / - 10 м можно считать Ц. с р.п. для сигнала с частотой
/= 3 • 107 Гц = 30 МГц и длиной волны порядка \ = vff = 3- 10й = 10 м (при
распространении ЭМП, допустим, со скоростью света v). Примеры Ц. с р. п. —

156 2. Алфавитный каталог-словарь
кабели, волноводы, линии связи. Процессы в Ц. с р.п. зависят и от времени, и от
координаты. Считают, что в Ц. с р.п. сопротивления и проводимости,
индуктивности и емкости распределены вдоль ДЛ. См. 1.14.1.
437. Цепь с сосредоточенными параметрами — обычно модель (схема
замещения реального электротехнического устройства) с идеализированными Л-, L- и
С-элементлми (сосредоточенными в отдельных частях схемы), причем размеры
устройства несоизмеримо меньше наименьшей длины волны спектра сигналов.
Например, такой целью можно считать модель устройства размером 0,6 м для
сигналов с частотой / в 50 Гц и длиной волны порядка k = v/f =3-108/50 =
= 6-106 м = 6000 км (при распространении ЭМП, допустим, со скоростью света
г>). Процессы в Ц. с с.п. зависят только от времени. См. 1.14.1.
438. Частный полюс Zn (или У22) у ЧП — это такой полюс Z22 (или У22),
которого нет среди полюсов ZV2 (или У12). См. 1.17.2.
439. Частный резонанс в связанных контурах. Различаю! первый и второй
частные резонансы. В первый частный резонанс настраивают связанные контуры,
изменяя только реактивные параметры первичного контура, не изменяя Zcn.
Добиваются выполнения условия ImZfl) =0, при зтом ток 12 во вторичном контуре
максимален (см. п. 162 «Настройка связанных контуров в резонанс*). В горой
частный резонанс с максимумом 12 возникает при равенстве нулю мнимой частоты
входного сопротивления СК, но приведенного ко вторичному контуру: ImZnK =
= Im(Z2+ZnHl2) =0, где Z, — полное сопротивление вторичного контура;
-Z1
Zinii2 =—-— вносимое сопротивление, учитывающее влияние первичного кон-
%\
тура на вторичный. Настройка во второй частный резонанс достигается
изменением только реактивных параметров вторичного контура, без изменения Zrn.
См. 1.18.2.
440. Частотная характеристика (ЧХ) цепи (или обобщенная частотная
характеристика, или комплексная функция цепи, или функция цепи) //(./со) =
= ^2 Oc°)/^«i 0е0) = ^Д/ю)//,1(/со) определяете я как отношение комплексных
амплитуд или комплексных действующих значений реакции (то есть выходного
сигнала/j = /иых) и единственного в цепи воздействия (то есть входного сигнала
/i =Лх) в УСР при изменении частоты со. Составляющие обобщенной ЧХ
H(j(u)=A(b})ef0ia} = #(си) + уА/( со) также называют частотными
характеристиками: /\(со) = |//(усо)| — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
Ф(со) = arg//( /со) - фазочастотная характеристика (ФЧХ); В (со) = Re II( joy) —
вещественная частотная характеристика (ВЧХ); Л/(со) = Im//(yco) — мнимая
частотная характеристика (МЧХ). Широко используется также амплитудно-фазовая
характеристика (ЛФХ), являющаяся траекторией, которую описывает конец
вектора //(усо) на комплексно!"! плоскости при изменении частоты от со = 0 до со—юо
(годографом вектора //(/со)). ЛФХ содержит пешгую информацию об АЧХ, ФЧХ,
ВЧХ, МЧХ цепи. ЧХ //(_/©) определяется только параметрами цепи
(действительно, при РтХ = 1 получим, что F2m(j<£>) = И {joy) зависит только от R-, L- и С-па-
раметров). При контроле ЧХ следует иметь в виду, что АЧХ Л (со) = /•"„,., /Fml
полностью определяет отношение амплитуд синусоид на выходе и входе в УСР,

2. Алфавитный каталог-словарь
157
а ФЧХ Ф(ю)=си —а, = аных -апк полиостью определяет сдвиг фаз синусоид.
ЧХ проще всего контролировать на характерных частотах: 1) при со = 0, когда
Z, = y'coL —» 0 и I-элемент эквивалентен КЗ, a Zc = 1/О'соС) -» со, то есть С-эле-
мент эквивалентен XX; 2) при со—» со, когда Z, —> со и элемент L =XX, a Zc —» О
и элемент С=КЗ; 3) па частотах ПРН, когда участок LC=K3. и на частотах
ПРТ, когда участок LC =ХХ. См. 1.5.5.
441. Частотная характеристика как спектр ИХ. Поскольку частотная
характеристика связана с передаточной функцией цепи формулой //(./со) = //(з)при
гг.
s=jco, то ЧХ H(j<o) = \h(t)e ,ш'dt -s- h(t), так как импульсная характеристика
—ос
цепи Л(0 s 0 при / < 0 и нижний предел можно расширить до -ос. Следовательно,
ЧХ — это спектр сигнала, которым является ИХ цепи. См. 1.8.1.
442. Частотные характеристики симметричного ЧП в согласованном режиме
одинаковы для передачи по напряжению и току:
//<..(» = Л/О) =02/0| = Д(со)<?'ф(,о) =<Га(0,) *Сю\
что следует из ПФ симметричного ЧП в согласованном режиме. При этом АЧХ
и ФЧХ имеют вид Л (со) = е а(,а) =U2/UX и Ф(со) = аи2 -ан1 = -Р(со), где V 2,Ux -
действующие значения напряжений; аи2, аи| — начальные фазы синусоид на
выходе и входе ЧП; р — коэффициент фазы ЧП. Коэффициент затухания а = \\\(VJUI)
измеряется в нсперах [Ни], но чаще — в децибелах |д!э]: a =20lg(£/1/£/2)-
См. 1.12.2.
443. Четырехполюсник (ЧП) — это часть цепи (рис. 2.64), имеющая две пары
внешних выводов (полюсов, узлов). Обычно к выводам 11'. называемым входом
ЧП, подключен источник, а к выводам 22' (выходу ЧП) подключена нагрузка ZH.
ЧП, у которого вход и выход имею! общий узел, называется трехполюсником
(ТП). Переменные входа ЧП (С/,,/,) связывают с переменными выхода (с72,/2)
шестью эквивалентными вариантами (формами) уравнений ЧП:
0.
и.
= И
t
V
= \у\
и,
*
= [а]
и2
-1,
где[с| =
п
21
и2
= \ь\
и,
■ч
22
-. Ы =
«II
/2.
#22
= [Л|
"Л
и.
\Уг J
= 1*1
— матрица параметров (первичных
параметров) ЧП. У пассивного ЧП из /?-, L-, С- и М-элементов должно выполняться
условие обратимости (пассивности, взаимности) zvl - z2V yl2 = y2V Д t — йиа.а -
~°\2a'i\ - 1 ■-- (то есть у пассивного ЧП только три независимых параметра).
Симметричным называют ЧП, у которого при смене мест входных и выходных
выводов не изменяются тки и напряжения в остальной цепи. Условия симметрии
ЧП дополняют условия обратимости соотношениями zn = z22ryn = у ПЛ аи = а22...
(то есть у симметричного ЧП только два независимых параметра). См. также

158
2 Алфавитный каталог-словарь
п. 191 «Определение параметров 477» и п. 221 «Пересчет параметров ЧН». 411
используют для обобщенного описания части цепи (в том числе, когда структура
этой «части» неизвестна). См. 1.11.1.
'-г'
I
I
I
Г /,(5)
Ф) 2'
Рис. 2.64
444. Численное решение разностных уравнений ДЦ во многом соответствует
численному решению уравнений состояния аналоговых пеней. РУ разрешается
относительно реакции ДЦ:
затем при известных периоде дискретизации Т и прсдначальных условиях
(ПНУ) воздействия /,(-Г) f{(-MT) и реакции /2(-7') f2(-NT) шаг за
шагом рассчитывается дискретная последовательность (то есть рсшетчагая
функция) реакции /2(пГ) при п = 0. 1, 2... См. 1.15.3.
445. Численное решение уравнений состояния |/2'(0] = И][/2(')] + l^]l/i(Ol-
где [/, ] и [/, ]— матрицы переменных состояния (ПС) и воздействий; [А\ и [Б] —
матрицы коэффициентов, — позволяет приближенно рассчитать на ЦВМ
переходный процесс в цепи. При численном решении (шаг за шагом) переходят от
бесконечно малых приращений переменных (dfjdt) к конечным, но малым
(Af2/At). На шаге п простейшего варианта численного расчета при
использовании явной формы алгоритма Эйлера
XJ'ln X iJltn-l) I i л-ir г i г шг Г l
= ИИ/ас—1> J+ [^K/un-n 1
Д/
справа в записанной формуле учитывают данные предыдущего шага (и — 1). При
неявной форме алгоритма Эйлера
\Jln I lj2{n-l) I
At
= MlLAJ + [fi][/iJ
справа используют данные рассматриваемого шага п. При смешанной форме записи
алгоритма Эйлера
U2л I L/2(n-l) I
At
= ИН/2(Я.П J+[««/.-]
справа используют данные о ПС на предыдущем шаге, а о воздействиях — на
рассматриваемом шаге. При билинейном преобразовании

2. Алфавитный каталог-словарь 159
Д/ ' 2 + 2
справа используют средние значения неременных на шаге п. Формулы
разрешают относительно значений ПС на шаге и, например, в первом варианте Ч.р.у.с:
1Л»] = [Л(л-1)1 + д/(1Л][/2{п.1)] + |В1[/1(п_0])- Шаг числсшюш расчета ДА должен
быть довольно мал, например, где ттш — минимальная постоянная времени;
Tniin — минимальный период колебательной составляющей в описании процессов
в цепи. Более строгими являются требования теории дискретных цепей (ДЦ)
при записи разностных уравнений ДЦ, составлении схемы ДЦ и выборе шага
Д/ <%: я/а>П1ад) где в соответствии с теоремой Котельпикова coinax — максимальная
частота спектра рассматриваемых сигналов. См. 1.3.5.
446. Численный расчет дискретной последовательности по ее г-преобразован ню.
Согласно формуле прямого z-npro6pcuuvammt F(z) = /ф) + f(T)z~l + f(2T)z~2 + ...,
го есть коэффициенты при убывающих степенях записанное) ряда Лорана
определяют значения дискретной последовательности f(nT). Если F(z)~
дробно-рациональная функция, то для получения ее разложения в ряд Лорана достаточно
разделить числитель F(z) на знаменатель по старшим степеням z (например,
z/(z -а) = 1 + az~l + a1z~1 + ..., что соответствует а"Ь1(пТ) из таблицы z-преобра-
зования). Численный расчет, естественно, может быть выполнен по схеме
дискретной цепи (последовательно — шаг за шагом). См. 1.15.4.
447. Число ветвей дерева пи Л = nv -1 = w:jrKl где пу — число узлов графа, а число
хорд пк = яв -пп д = /?в -яч + 1 = лшк. Здесь па — число ветвей, при этом пп д
соответствует числу независимых уравнении цепи, которые можно составить по
ЗТК, а их — по ЗНК. См. 1.1.6.
448. Число независимых уравнений ЗТК равно числу ветвей дерева графа:
пЗТК = л -1 = иа v где яу — число узлов схемы. ЗТК применим также для
сечения, го есть к побои .замкнутой поверхности, охватывающей часть
электрической цепи. В качестве «зависимого узла» выбирают любой узел схемы,
уравнения ЗТК для остальных узлов независимы. См. 1.1.7.
449. Число независимых уравнений ЗНК равно числу хорд |рафа схемы:
и.шк = пп ~(ГК ~ О = wx> гДе ,?Ц ~~ число ветвей; nv — число узлов в плоской (пла-
парной) цепи: nAUK = ляч, где лнч — число ячеек схемы. Рекомендуется
«независимые контуры» выбирать так, чтобы уравнение ЗНК, составленное для
каждого последующего контура, содержало хотя бы одну «новую» переменную.
В случае исследования цепей сложной структуры можно выбрать какое-либо
дерево графа и. присоединяя но очереди хорды, получать «независимые
контуры». Уравнения ЗТК и ЗНК часто называют уравнениями соединений в цепи.
См. 1.1.7.
450. Шаг численного интегрирования Т, то есть период дискретизации в
дискретных цепях при решении разностных уравнений ДЦ (Г = 2л/соч, где сод —
частота дискретизации), обычно определяют с учетом трех критериев для
максимальной частоты wm из учитываемых частот сигналов: 1) по АЧХ ДЦ при
использовании «жестких» критериев ширины спектра импульсной характеристики пени

160 2. Алфавитный каталог-словарь
(1 %-ного и более «жестких»); 2) при использовании 1 %-ного критерия ширины
спектра исследуемых сигналов; 3) но критерию удовлетворительного описания
минимального временного интервала процессов в цепи (Г «: 0,2пип{ттш; 0,257^},
где тт1П — минимальная постоянная времени, Гт|П — минимальный период
колебании в записи составляющих решения). Выбирают на основании теоремы Ко-
тельникова частоту дискретизации wl »2<о,„, то есгь период дискретизации
Г = 2я/сод — шаг численного интегрирования, например, при использовании
алгоритмов численного решения уравнений состояния. См. 1.15.5.
451. Эквивалентное исключение индуктивной связи. При наличии у ИС-кату-
шек общего узла можно индуктивно связанную цепь преобразовать в цепь без
индуктивной связи (так называемая «развязка» ИСЦ). Преобразование для случая
наличия однополяртлх выводов ИС-катушск у общего узла отражено на рис. 2.65, а.
Преобразование для случая разнополярных выводов ИС-катушек у общего узла
показано на рис. 2.65, 6. Такие преобразование не зависит ог того, согласное
включение или встречное. Если разветвленные ИСЦ обычно рассчитывают,
используя МУК, то для расчета «развязанной» ИСЦ можно применять любой
метод анализа цепей. См. 1.9.2.
Lx ^Д^ L2 L, - \М) L2 - \М\
I, ж-^ L2 Lx + \М\ L2 + \М\
6
Рис. 2.65
452. Эквивалентное преобразование — это преобразование части цени, при
котором напряжения и гоки в нспреобразоваииой части цепи не изменятся. В
результате преобразования получают эквивалентную схему цепи. См. 1.2.1.
453. Эквивалентное преобразование источников — это замена ИН w() с
последовательно включенным сопротивлением Д0 на ИТ г0 с параллельно включенным
■
тем же сопротивлением R0 (и наоборот), при этом и0 =i?0'o- См. 1-2.1.

2. Алфавитный каталог-словарь
161
454. Эквивалентное преобразование соединений «треугольником»- и «звездой»-.
Параметры эквивалентных соединений «треугольником» и «звездой» (рис. 2.66, а
и б) связаны соотношениями
^i = ^12^13/(^12 + ^2? +7?,з)...; Cl2 -Gfi2l(Gi^G2-¥G^)...
См. 1.2.1.
Рис. 2.66
455. Эквивалентные Т- и П-образные схемы замещения пассивных
четырехполюсников. Па рис. 2.67, а приведена схема Т-образного ЧП (см. п. 191
«Определение параметров 7/7», пример), сопротивления трех элементов которого
найдены через известные z-параметры произвольного пассивного четырехполюсника
(имеющего только три независимых параметра). На рис. 2.67, б приведен Н-об-
разный ЧП, проводимости трех элементов которого найдены через известные
^/-параметры произвольного ЧП. См. 1.11.1.
2И-*12
Zll ~" 212
<^-[
}-^>
I
12
т
I
-У 12
У и +У\г
1
I
Уъ + У \г
Рис 2.67
456. Элементарно непреобразуемый источник. 1. Источник напряжения,
последовательно с которым не соединен /?-элемснт (или в общем случае — пассивный
ДП). 2. Источник тока, параллельно с которым не соединен Я-элемент
(пассивный ДП). См. 1.2.1.
457. Энергетические характеристики емкостного элемента. 1. Мгновенная
мощность С-эл смента pc(0~uc(Oh(0- При совпадении знаков тока и напряжения
происходит запасание энергии в С-элементе и мощность положительна, при
несовпадении знаков мощность отрицательна, чго означает возврат запасенной
в С-элементс энергии в остальную цепь. 2, Запасенная в С-элементе энергия
wc(t) = Ctic(t)/2 = ql/(2C) всегда неотрицательна, то есть С-элемент — действи-

162 2. Алфавитный каталог-словарь
тельно пассивный элемент, который отражает запасание энергии электрического
поля, обусловленного напряжением ис (зарядом дс). См. 1.1.5.
458. Энергетические характеристики индуктивного элемента. 1. Мгновенная
мощность элемента pL(t) = uL(t)iL(t). При совпадении знаков тока и
напряжения происходит запасание энергии в L-элементе и мощность положительна, при
несовпадении знаков мощность отрицательна, что означает возврат запасенной
в L-элементе энергии в остальную цепь. 2. Запасенная в L-элементе энергия
wL{t)- Li2(t)/2 всегда неотрицательна, то есть ^-элемент — действительно
пассивный элемент, который отражает запасание энергии магнитного поля,
связанное с протеканием тока /;. См. 1.1.4.
459. Энергетические характеристики резистивного элемента. 1. Мощность
резистора pR(t) = wR{t) = uR(t)iR(t) = RiR(t) = GuR(t) £0 всегда неотрицательна,
то есть резистивпый элемент действительно необратимо потребляет энергию.
2. Энергия, определяемая интегралом от мощности, также неотрицательна,
wR(t)>Ot то есть й-элемент действительно является пассивным элементом.
См. 1.1.2.
460. Энергетический критерий ширины спектра базируется на формуле Рэлея:
шириной спеюра Лео называется диапазон частот (около максимума Л2(со),
то есть квадрата амплитудного спектра), в котором сосредоточено п процентов
энергии сигнала Wj (обычно, п = 90 или 95 %). Для определения граничных
частот со^ ширины спектра Лсо = 2шгр решают интегральное уравнение
1 ^
— |Л2(ю)б/о) = 0,01пш/,
2тг ш
-ю1р
вследствие чего энергетический критерии оказывается самым трудоемким.
См. 1.8.3.
461. Энергия w{t) измеряется в джоулях |Дж). 1. Энергия — это способность
совершать работу. 2. Энергия — это затраченная электромагнитным полем работа.
3. Энергия — это интеграл от мощности w(t) = \p{t)dt. См. 1.1.1.
-оо
462. Ячейка — это простейший контур плоской цепи, который изображается
в схеме без разрывов и без пересечения другими ветвями (не входящими в
контур). См. 1.1.6.

3. Каталог типовых расчетов,
используемых в теории
электрических цепей
Введение
Цель данного раздела справочника — в краткой, но доступной форме изложить
основные методы расчета различных типов электрических цепей в
разнообразных режимах. Материал снабжен примерами и методическими указаниями.
Раздел ориентирован на использование в первую очередь учебного пособия [2].
Однако перечень практических занятий, задач и методов анализа значительно
расширен как по тематике, так и но количеству примеров.
Существенное внимание уделено контролю, оценке и прогнозу результатов
расчета, что, несомненно, должно присутствовать в инженерной работе любого
специалиста.
3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик
накопительных элементов
3.1.1. Расчет простых цепей (по входному сопротивлению
и формулам делителей)
При анализе К-цепсй с единственным источником эффективным является
преобразование исходной цени к простейшей (рис. 3.1, а и в) или к простой
(рис. 3.1, в и г).
^5
Ъ
1П
R,
R.
" -Т -Т
вое г б
Рис. 3.1
Цепи, изображенные на рис. 3.1, а и бу можно трактовать и как последовательное
и как параллельное соединение элементов. Рекомендуется всегда выбирать
одинаковые полярности напряжений параллельно соединенных элементов. Тогда
очевидно, что
iR=iQ; uR=uv=Ri{); pR =uRiR =u2R/R\ pQ =-u()i() =-pRi (3.16)

164
3. Каталог типовых расчетов
причем равенства (ЗЛа) относятся к рис. 3.1, а, а равенства (3.16) — к рис. 3.1, б.
В случае исследования простых цепей обычно вначале находят эквивалентное
сопротивление цепи (то есть входное сопротивление относительно «входа»
цепи — единственного источника):
RBX = Ял = R, + R2; (3.1e)
Rm = Я, = Л,R,/(Я, + R2); Свх = 1/Л„х =Gl+G2, (3.1г)
причем выражение (3.1 в) относится к рис. 3.1, в, а выражения (3.1г) — к рис. 3.1, г.
Этим указанные цепи, фактически, эквивалентно преобразуются к простейшим.
В простых цепях обычно требуется без расчета /?пх сразу определять напряжения
в схеме на рис. 3.1, в и токи элементов в схеме на рис. 3.1, г, например:
"2 =Мо^/(Л2 +#i); h =hRxliRx+Ri) = hG2l{G2+Gx\ (3.1Э)
причем шервам формула в (3.1с)) называется формулой делителя напряжений
(ФДН), а вторая — формулой делителя токов (ФДТ).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Необходимо уметь трактовать формулы (З.Ы), исходя из физического смысла
понятий «сопротивление» и «проводимость».
2. Для 1фогтоты расчетов в цепях, изображенных на рис. 3.1, важно удачно
(логично, физично) выбирать направления токов — по направлению движения зарядов <у+
(движущихся по цени от «iijiioca» ИИ и по направлению тока ИТ).
На основании изложенного практически без груда рассчитывается более
сложная схема, приведенная на рис. 3.1, д:
л* = «2 *з /№ + Яз); *в* = *i + яа; I, = щ IK,;
и2 =и3 = н23 =uQRnf(Ra + Я,); i1 =/,RJ/(RJ + Я2).
3.1.2. Метод наложения
Пример 3.1. В схеме (рис. 3.2, о) с тремя ноздейсгвиями (источниками), w()1, иЛ2
и i0> реакции, например токи ветвей ;', и i2, можно определить по методу
наложения (МН) как алгебраическую сумму элементарных реакций, рассчитанных по
схемам (рис. 3.2, б-г), в каждой из которых оставлен голько один из источников
исходной схемы. При логичных (физичных) направлениях токов в каждой из
схем расчетные формулы очевидны:
-I _ -/ _ мщ -н _ l0^2 . :tt _ Ч) R\ . -т _ -п> _ UQ2
1 2 /г, + я2 я, + я2 /г, + я, ' я, + я2

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
165
©"о» 0'° u°2Q.
R\ R2
{ZZF
"»,
(>
"I.
в
Рис. 3.2
Тогда искомые реакции исходной схемы (рис. 3.2, а)
-I
•п
•т щ1 * я ■ wt
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Исключаемый ИТ ^ заменяют на XX (поскольку в этом случае i0 =0),
исключаемый ИИ м0 — на КЗ (так какг/0 =0).
2. Рекомендуется направления токов «элементарных* гхсм выбирать логично —
в соответствии с очевидным направлением движения положительных зарядов q+.
В этом случае ФД11, ФДТ и формула закона Ома дадут положительный ответ.
3. При алгебраическом суммировании элементарную реакцию учитывают с
«минусом», если ее направление противоположно исходному.
3.1.3. Метод уравнений Кирхгофа
Метод уравнений Кирхгофа (МУК) обычно используют для расчета
относительно несложных схем с несколькими источниками. Вначале произвольно
направляют токи ветвей и проставляют полярности напряжений элементов.
Записывают уравнения ЗТК для всех независимых узлов цепи
С*)
(причем алгебраическое суммирование производят по всем токам ik
рассматриваемого узла) и уравнения ЗНК для всех независимых контуров
(причем алгебраическое суммирование производят по напряжениям uk всех
элементов контура, обход которого произволен, со знаком «минус» учитывают
напряжения, которые не согласованы с обходом).

166
3. Каталог типовых расчетов
Число независимых уравнений пзгк -nw -1, щнк - nv - п + 1 = п^, где пу —
число узлов; п0 — число ветвей; пт — число ячеек (в плоских цепях), «зависимый»
узел выбирается произвольно. В записанной системе чаще всего исключают
(используя закон Ома) напряжения Л-элементов и решают систему из пв = лзтк +
+ Язцк =пуук уравнений с ив неизвестными (которые обычно считают i«, гип, мит).
СОВЕТЫ
1. Последовательное соединение элементов следует считать одной ветвью с общим
током (тогда устранимые узлы можно не учитывать в уравнениях ЗТК).
2. При параллельном соединении элементов нужно выбирать положительную
полярность (всех элементов соединения) у одного узла, а отрицательную — у другого).
3. В плоских схемах независимыми контурами удобно считать ячейки.
Рис. 3.3
Пример 3.2. Схема цени приведена на рис. 3.3,
причем ы, = 20 В, R2 = /?3 = Ял = 2 Ом, i5 = 16 А. Найти
*Ъ (™ есть ia. »3. *4>» Нп\ = *р "ит =«5-
В последовательных соединениях токи элементов
направляем одинаково, тогда ц - ц и i4 = f5 = 16 А.
У Д-элемснтов всегда используем согласованную
полярность; полярность и5 выбрана произвольно.
В соответствии с рекомендациями имеем пу = 2,
"в = 3, пяч =2, ЛзТК =1. пзпк =2. имук =3.
Независимым узлом считаем узел 1 (см. рис. 3.3), независимыми контурами —
ячейки I и II, обход которых показан. Тремя неизвестными (поскольку гцАУК = 3)
считаем i2, i3, щ (у элемента R4 известны все параметры: i4 =ц =16 А. и4 =
= RAiA =32 В).
Система независимых уравнений МУК имеет вид
-i2 -fs + i3 =0; -их +и2 + и3 =0; и3 +ы4 +w5 =0.
После подстановки известных величин и закона Ома система примет
следующую упорядоченную форму:
~г2 +£, +0-и5 =16;
2f2 +2г3 + 0-ы5 =20;
0-/2 +2i3 + и5 =-32.
Решая систему, например, используя определители, находим:
4 А ~
16 1 0
20 2 0
-32 2 1
/
/
/
-1 L 0
2 2 0
0 2 1
= -ЗА;г\, =-^- = 13 А;и= =
"5
= -58 В.

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов 167
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Можно каждый элемент считать ветвью и учитывать уравнения ЗТК для
устранимых узлов 3 и 4 в схеме, приведенном на рис. 3.3.
2. Имеются и другие нюансы МУК. Например, в сложных цепях можно использо-
пат ь уравнения ЗТК цля сложных сечений, а в рассмотренном примере можно было
«обойтись» независимой системой только из первых двух уравнений.
3.1.4. Метод пропорциональных величин
и расчет коэффициентов передачи резистивных цепей
МПВ используется для расчета й-ценей лестничной структуры с единственным
источником (то есть воздействием — входным сигналом в цени) и базируется на
свойстве пропорциональности: если единственное в цени воздействие изменить
в к раз, то все реакции (то есть искомые токи или напряжения — выходные
сигналы в цепи) изменятся в k раз.
Алгоритм МПВ:
1. Выбирают логичные (физически обоснованные — физичпые) направления
гоков Д-цсни (по направлению тока ИТ, например, f, = /IIX, либо — от вывода
ИН, имеющего полярность «+»); в й-элементах используют согласованную
полярность.
2. Ток (или напряжение) элемента, обычно «наиболее удаленного» от
источника, считают реакцией условно равной единице и обозначают, например,
'(7) = '(пых) = *"
3. Постепенно «двигаясь» к источнику, исполыуя главные следствия ЗТК и ЗНК,
находят все токи и напряжения /(п), и{п) и в конечном счете — условное
значение «входного сигнала» /(их).
4. Вычисляют коэффициент пропорциональности & =Уах//СнХ) и все реакции
5. При необходимости находят коэффициенты (коэффициенты передачи) Я-це-
пи: если на входе имеется ПН uv то, например, Нт_х —uhfux —
коэффициент передачи по напряжению, С-_, = i5/Mi — проводимость передачи, Gnx =
= G1_, =ijux — входная проводимость. Если па входе ИТ ip то например,
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Главное следствие ЗТК: сумма втекающих в узел токов равна сумме вытекающих
из него.
2. Главное следствие ЗНК: напряжение ипт между узлами тип равно
алгебраической сумме напряжений по любому пути «из т в п» (правило знаков —
«нормальное», как при обходе контура в ЗНК).
3. Рекомендация: лишь определив по МПВ w(n) и i(nV следует «переходить» к
элементу с номером (п - 1).

168
3 Каталог типовых расчетов
Я,
ьт^й
R
з
I
"s
т
Пример 3.3. Схема цепи приведена па рис. 3.4, здесь
Rk =2 Ом; и, = 30 В. Найти z3, и-, HV2_V G4_,f GBX.
Используя указанные на рис. 3.4 «логичные»
направления токов, примем i'(5) = 1. Тогда
?(3) = и<з)/*ч* ~2; *2 = г(3) + i(4) = о; jif2) = Я2г(2) = °»
Далее находим
Рис. 3.4
С4-1 = WM0> = 01 ММ" ;С„ =СМ ='(1)/И(|) =*(2)/«(1) = 0'3
мм
Контроль: Я|(Х = R2 + R.,{RA + /?5)/(/?3 + Я4 +/?5) = 2 + 8/6 = 10/3 = 1/Gnx.
3.1.5. Метод определяющих величин
МОВ — jto аналог МПВ при расчете цепей с несколькими источниками;
особенно эффективен для анализа схем лестничной структуры.
Алгоритм расчета:
1. По-возможности все токи направляют однотипно (например, «слева
направо»).
2. Какую-либо реакцию (ток или напряжение), например «крайнюю правую»,
на схеме обозначают /^,v -х.
3. Постепенно «двигаясь», например, к «крайнему левому» на схеме источнику
(Ах)' используя главные следствия ЗТК и ЗНК, находят токи и напряжения
всех элементов (как линейные функционалы от л). В конечном итоге
определяют fm и, решая алгебраическое уравнение, находят определяющую
величину:*; а затем все искомые реакции.
ПРИМЕЧАНИЕ
В случае сложных схем (например, мостовых или нсплаиариых) иногда приходи гея
вводить наряду с д и другие определяющие величины (у, г...) и решать систему
линейных алгебраических уравнений (которая, однако, гораздо проще систем МУК —
см. пример 3.2 (см. 3.1.3)).
Пример 3.4. Схема цепи приведена на рис. 3.5, где w, =3B; i?2 =fi4 =2 Ом;
i:i = ЗА:ы5 =5 В. Найти i,,u3,i3.
Выбираем по-возможности однотипную систему направлении токов и
полярностей напряжений, как показано на рис. 3.5. Считаем, например, определяющей
величиной г5 = х. Тогда по аналогии с МПВ и примером 3.3 (см. 3.1.4) получим:
i\ =i5 =х\иЛ =/?4г, -2х\иъ -и4 +и5 = 2л: + 5;/2 =-i3 +i4 =-3 + дг.

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
169
и2 = RAi2 = -6 + 2х; w, = и2 +w3 =(-6 + 2r) + (2x + 5) = 4г-1=3,
поскольку их = 3 по условию.
Рис. 3.5
Решая уравнение, находим х = I. Определяем искомые реакции:
ц =i2 - -3 + х = -2 А: и3 = 2г + 5 = 7 В; »5 = х = 1 А.
Контроль, например, по ЗТК: г5 = г2 + i3 =-2 + 3 = 1 А.
3.1.6. Использование эквивалентного преобразования
соединений «треугольником» и «звездой»
при расчете цепей
На рис. 3.6, а, изображен участок цепи, представляющий трехлучевую «звезду»,
а на рис. 3.6, б — соединение «треугольником».
1
«1
R
з
R,
U-
в
1
R,
3
К,
Рис. 3.6

170 3. Каталог типовых расчетов
По заданным проводимостям «звезды» Gv Glt G3 огфеделяем эквивалентные
проводимости «треугольника» Gl2, G13, C23 по формулам
^12 = GXG2/(^1 + G2 + ^з У Gt3 = G,G3/(С( + G2 + G3 ); G23 = G2G3/(С, + G2 + GA ).
Формулы для определения эквивалентных сопротивлений «звезды» но
заданным сопротивлениям «треугольника» имеют вид
Rx = Л|2Л13/(Л|2 + /2,з + /?23 )' ^2 = ^12^23/(^12 + ^13 + ^24 У>
Л3 = Я13й23/(-/?12 + Л!3 + Яи ).
Пример 3.5. Применим рассмотренное преобразование для определения
входного сопротивления цепи относительно узлов 1 и 2 (рис. 3.6, в), считая
Л,= Я2 =4 Ом: Я3 =8 Ом, Я4 = Rs = 2 Ом (то есть Gt = С2 =1/4. G3 = 1/Л3 = 1/8).
Преобразуем «звезду», образованную элементами /?р R2f /?3, в «треугольник».
В результате получим схему (рис. 3.6, г), в которой
С12 = GXGJ(GX+G2 +C3) = 1/10;GU = С,С3/(С, +G2 +G3) = l/20;
G23 = G>GJ(GX + G2 + G3) = 1/20,
тогда #,2 = 10 Ом, /?,3 =20 Ом, R^ =20 Ом. Таким образом,
Rx2
А.. =
вх
/ RlAR< | *23Д5 ч
Л13 + Л4 /^23 + R5 /
^13 + ^4 ^23 + ^5
8 О
= - Ом.
ПРИМЕЧАНИЕ
Результат легки проконтролировать, учитывая, что мостовое соединение,
приведенное на рис. 3.6. е. симметрично, то есть элемент R3 «не работает» (см. также
3.1.11).
3.1.7. Метод контурных токов
Метод контурных токов (МКТ) применяется для расчета реакций путем
предварительного вычисления всех условных контурных токов, протекающих в
независимых контурах схемы; число независимых уравнений МКТлмкт =пн -nv + 1~
= ля1|1 где па и пу — числа ветвей и узлов цени; лнч — число ячеек плоской схемы.
Пример 3.6. Составить систему уравнений МКТ для схемы, представленной на
рис. 3.7.
Для контуров, содержащих ЦТ, запишем вырожденные уравнения, учитывая,
что через один ИТ может проходить только один контурный ток.
Система уравнений МКТ будет иметь вид (пмкт = пиц = 4):
где гкп — контурный ток, протекающий условно в независимом контуре п\
Rnn — собственное сопротивление коилура и, равное сумме сопротивлений всех

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
171
Д-ветвей контура; R^ = Rmn — взаимное сопротивление контуров п и т, равное
сумме сопротивлений Л-ветвей, по которым протекают iKn и iKm, причем эту
сумму берут со знаком «минус», если указанные конгурные токи протекают
встречно; им — контурное напряжение, равное алгебраической сумме напряжений ИН
контура л, учитываемых по обратному правилу знаков ЗНК (то есть икЛ ~и7).
Рис. 3.7
В данном случае неизвестен только один контурный ток гк4, который
определяется из уравнения
*М + Л» + *, + «8 + *9>-'ki(*2 + *з + R* )-1'к2(й2 + *8) +
. щ +i{(R2 +/?3 + fld)+i5(fia + Rb)~i6(R2 +/?3 + Дв + Д9)
(Л2 + /?3 +Я.1 +1^ +/?g)
*«1 =
Токи любой Л-ветви можно определить по алгебраической сумме контурных токов,
протекающих по этой ветви. Напряжение в каждой ветви также легко узнать,
используя закон Ома. Так, ^ = ««i + ««2 " *«з ~ »«4 5 h = ;"ki - *к3 - *■* 5 »4=»к1-«й;
'й = 'кЗ + *к4 ~~ 2к2» *9 = *кЗ + 1кЛ > h = 'к4 •
ПРИМЕЧАНИЕ
Данная схема рассчитана при помощи так называемого нестандартного МКТ, когда
независимые контуры МКТ выбирают так, чтобы токи ИТ были контурными
(iKl =tp ?к2 ='5---)- получая вырожденные (то есть упрощенные) уравнения МКТ.
«Стандартный» МКТ используют, если все ИТ преобразуют к эквивалентным ИН.
Однако в этом случае расчет токов исходной (нспреобразованпой) цепи
усложняется в сравнении с изложенным: необходимо использовать также уравнения ЗТК
исходной цепи.

172
3. Каталог типовых расчетов
3.1.8. Метод узловых напряжений (метод узловых
потенциалов)
Метод узловых напряжений (МУН) применяется для расчета реакций путем
предварительного вычисления напряжений (потенциалов) узлов схемы
относительно базисного узла, который выбирается произвольно и потенциал которого
считают нулевым. Число независимых уравнений МУН иМУ1| =%г-к =п\ — *• где
nv — число узлов схемы.
Пример 3.7. Составить систему уравнений МУП для схемы, представленной на
рис. 3.8, а.
i
Л
О G
С)
«в
1
Г1!- Т
R
8
Я
т
a
Рис. 3.8
Вначале преобразуем схему так, чтобы все ИИ были подсоединены к одному
узлу С, который считаем базисным (рис. 3.8, б). В данной схеме известны
напряжения всех узлов, кроме четвертого и пятого. Система уравнений МУН
записывается следующим образом (имуп =6-1 =5): му| =м3; иу2 =~w5; иу3 = utJ;uy4G2 -
-mv,G2 =/,; uvri(GA + G7 + G8)-wv2C4 -иу3С8 =-/, -z(>, причем в общем случае
уравнение МУН для узла п имеет вид Gnluvl +... + G,imw +..1 + Свяыут + ...= *
vn»
где ыуп — напряжение узла и относительно базисного узла; (7ИЛ — собственная
проводимость узла л, равная сумме проводимостей й-ветвей узла п\ Gnm = Gmn —
взаимная проводимость узлов пит, равная взятой со знаком «минус» сумме
проводимостей й-ветвей, непосредственно соединяющих узлы /пи п\ ivn —
узловой ток ИТ узла и, равный алгебраической сумме токов ИТ узла п (втекающий
в узел ток ИТ берут со знаком «плюс»).
Решение уравнений схемы выглядит следующим образом:
и* =
Uv5 =
_-и3СЛ +ы9С8 -/, -?6
G,+C7+(78
После вычисления всех узловых напряжений необходимо найти токи й-вст-
веп. Их определяют по простым формулам гпт =(mv„ -wym )//?„,, где йт„ —

3.1 Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
173
сопротивление ветви между узлами п и т. В примере гг ={иуЛ -uyX)jR2\
h =(иУ2 -u^)/R4; h =(wv5 -0)/Я7; iR =(wy3 -uy5)/R&.
ПРИМЕЧАНИЕ
В общепринятом «стандартном» МУП все ИН цени необходимо гтреобргшовать к
эквивалентным И Т. Поскольку пример решен с помощью «нестандартного» МУН,
нам не нужно было преобразовывать схему цени. Если бы все ИН схемы не имели
общего узла, пришлось бы пользоваться именно «стандартным» методом: в этом
случае расчет токов исходной цени усложняется в сравнении с описанным в
примере, гак как необходимо использовать также уравнения ЗТК исходной цепи.
3.1.9. Метод эквивалентных источников
Любую линейную цепь с источниками можно по отношению к нагрузке Rl{
представить последовательным соединением ИНма =иХх и эквивалентного
сопротивления R, (го есть схемой МЭИН — метода эквивалентного источника
напряжения) или параллельным соединением ИТ 1Л =/к:1 и эквивалентною
сопротивления R3 (то есть схемой МЭИТ — метода эквивалентного источника тока). При
этом /?3 — эквивалентное сопротивление исходной цепи без источников
относительно /?м, aw, = ихх "" напряжение на «оборванной нагрузке» в исходной цепи;
|'э = iK3 ~ ток КЗ нагрузки в исходной цепи. В ТЦ Rt часто называют внутренним
(или выходным) сопротивлением эквивалентного источника. Для проверки
используют формулу wxx =iKiR.J. В качестве Rn может «выступать» любой ДИ,
в том числе нелинейный.
Пример 3.8- Дана цепь рис. 3.9Т a: Ri=R2=\ Ом; R^=R2=A Ом; им =8 В;
г0| =6 А. Определить i2 по МЭИН.
а
+уwxx/
R
л
i
R,
Я,
Т_1
в
Рис 3.9

174
3. Каталог типовых расчетов
По схеме МЭИИ (рис. 3.9, 6) реакция i2 ~uJ(R3 + R.2). Напряжение u.t = ихх
определяется по схеме рис. 3.9, в на основании главного следствия ЗНК для
контура А: ихх = /0|/?, -umR3/(R3 + /?4) = 10 В. Сопротивление /?л
определяется относительно нагрузки R2 no схеме, приведенной на рис. 3.9, г, полученной
из схемы, изображенной на рис. 3.9, ал с исключенными источниками:
К =Rt +Я3Я4/(Я3 + Л4 ) = 3 Ом. Тогда г2 =10/(3+1) = 2,5 Л.
3.1.10. Использование эквивалентных преобразований
структуры цепи при расчете входного сопротивления
пассивного двухполюсника сложной структуры
Пример 3,9. Дана цепь (рис. 3.10, й)- Известны значения сопротивлений цепи.
Определить входное сопротивление цепи относительно узлов 1 и 2.
tZD-
1
TV
R
1 '*L2
R
3
R,
i
*5
d>
R,
CZ>
Л L
R.
R
R2 (D
1.2
tt
tf,
Яе
-Ь-ч—i—^—i
a
Рис. 3.10
Начнем с обозначения и нумерации всех узлов (см. штриховые линии). Теперь
легче разобраться, как элементы соединены между собой. Но лучше перечертим
схему как показано на рис. 3.10, б, чтобы она была удобнее для анализа. Тогда
очевидно, что входное сопротивление
R
1.2
= Я2 +
л4 + л|+(Л|л!)/(/г|+л!)
При этом и в формуле, и на рис. 3.10, б не учтены элементы R6 и R7. так как они
«не работают», то есть не влияют на режим в остальной цепи (параллельно RG
имеется КЗ, а последовательно R7 — XX).
3.1.11. Использование теоремы замещения при расчете
Я-цепей
Любая ветвь цепи с током ik и напряжением ик для расчетных целей может быть
на основании теоремы замещения заменена либо ИТ ik, либо ИИ ик. Если ik =0,

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
175
ветвь эквивалентна XX, если uk = О, ветвь эквивалентна КЗ. Если ИТ f0 соединен
последовательно с ДП, то все соединение можно заменить ИТ £0) если ИН и0
соединен параллельно ДП, то все соединение можно заменить ИП и0, при этом
указанные ДП не влияют на режим в остальной цепи.
Пример 3.10. Необходимо рассчитать мостовую цепь, изображенную на рис. 3.11, а,
при Rt = RA, R2 = /?5. В силу симметрии мостового соединения узлы А и В
эквипотенциальны, то есть us =иАВ = 0, следовательно,/?3 можно эквивалентно
заменить на КЗ, и расчет цепи упрощается. Но если м3 =0, то i3 = Из/^з =0 и /?3
можно эквивалентно заменить на XX, то есть расчет цени тоже становится
простым.
X
R
о
О
I
А
R,
М R:
R.
1
1
R,
В
О
D
*5 ( >
0
1
R
1
Мл *з
R.
I
1
Л
В
Л
J
Рис 3.11
Пример 3.11. Необходимо элементарно непреобразуемый ИТ г0 в схеме,
приведенной на рис. 3.11, а, преобразовать к эквивалентным ИН.
Поскольку ток в сопротивлении R0 равен ИТ i0, то на основании теоремы
замещения вводим в схему вместо сопротивления R^ еще один ИТ i0, как показано на
рис. 3.11, б. Затем вводим в схему КЗ-участок DA, ток которого iDA =0 (то есть
участок DA эквивалентен XX). Теперь оба ИТ i0 можно преобразовать к
эквивалентным ИН.
3.1.12. Расчет цепей с накопителями одного вида
Следует иметь в виду, что все формулы для соединений i-элементов аналогичны
формулам для подобных соединений Л-элементов, а формулы для соединений
С-элементов дуальны, то есть аналогичны формулам, записанным с
использованием проводимостей G.
Основные формулы I-элемента имеют вид
uL{t) = Li'L(t); iL(t) = I juL(t)dt = iL{r0 ) + ± \uL(t)dt; u>L{0 = Li2L(t)/2,
—аз
а формулы С-элемента дуальны:
*c(0 = <X(0; ttc(0 = ^K(OA = «c(^o) + 7;fv(OA; wc(t) = Cu2c(t)/2;
-CO
'o

176
3 Каталог типовых расчетов
Пример 3.12. Схема цени и график тока приведены на рис. 3.12, а и б; здесь С, = 1Ф;
С2 = 4 Ф. Найти напряжение ИТ и построить его график (закон изменения).
|С,
а
в
Рис. 3.12
Эквивалентная (входная) емкость цепи Ст - С{С2/(С, + С2) = 1 ■ 4/(1 + 4) = 0,8 Ф.
На интервале -оо < t < 1 находим
u„(t) = иСшж (О = -±- f iu(0* = 0; ыг„х (Г) = 0.
На интервале 1 < t < 3закон изменения напряжения
1 'г.
1 ',
ио(0 = ис„ (0 = 77-J'o(0<* + иГщ (Г) = —J8dr +0 = 10/ -10:
«Св(3-) = 20.
На последнем интервале, 3 < t < оо, полу1!им
1
u»(t) = uCux(t) =
i0 (0<* + иСм (3~ ) = 0 + 20 = 20.
их 1
График uQ(t) =^с-а (О приведен на рис. 3.12, в.
Пример 3.13. Найти энергию, запасенную в электрическом поле элемента С2
к моменту t =3, на основании данных примера 3.12.
Используя для С-элементов ФДН (которая аналогична ФДТ для /?-элементов),
находим ы,-,(0 = Ис (OCJ(Cl +С2), то есть для 1 = 3 на основании рис. 3.12, в
получим ис (3) = 20-1/(1 + 4) = 4 В; тогда энергия
Wc (3) = C2ul (3)/2 = 4 ■ 42/2 = 32 Дж.

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов 177
3.1.13. Построение дуальных цепей
Два элемента дуальны, если вольт-амперные характеристики одного
математически аналогичны ампер-вольтным характеристикам другого. Уравнение одного
дуального элемента можно преобразовать к уравнению другого путем
следующих замен: и <-> i, R <-> <7, L <-» С, ИН <->• ИТ, XX <-> КЗ. У дуачьных цепей
дуальны уравнения соединений ЗТК и ЗНК, последовательное соединение дуально
параллельному, независимый контур дуален независимому узлу и т. п. Принципы
построения дуальных цепей разработаны для плоских (нсиланарных) структур.
Пример 3.14, Найти дуальную цепь для схемы, приведенной на рис. 3.13, а.
а б
Рис. 3.13
Для построения цепи* дуальной данной планарной, требуется:
1. Независимые узлы дуальной цепи обозначить внутри независимых контуров
(ячеек) исходной. В примере это узлы У и 2.
2. Зависимый узел обозначить вне схемы исходной цепи — это узел 3.
3. Все дуальные узлы соединить через элементы исходной схемы. В примере эти
соединения будущей дуальной цепи показаны штриховкой.
4. Каждый элемент заменить дуальным — получится дуальная цепь (рис. 3.13, б).
5. Использовать следующее правило знаков: если при обходе ячейки исходной
цепи по часовой стрелке «входим в плюс» элемента («идем» по направлению
тока)» то в дуальном элементе ток направляем от дуального узла (необходимо
«плюс» поставить у дуального узла).
В результате для исходной схемы имеем уравнения
% - V-3 -»5 =0' -«I +"к2 +«сз + иц =°- ~иц +мз =0-
Для дуальной схемы иСл ~ис а1з -и5 =0, -i{ + iCj2 + i^ + fQ =0, -iCj[ +i5 =0.
3.1.14. Определение провод и мостей и сопротивлений
передачи на основании МКТ и МУН
Если единственный в цепи ИН и} -и^ входит только в независимый контур j, то
ток im ветви т, совпадающий с контурным током im (так всегда можно выбрать
независимые контуры), определяется по формуле im = iKm =Gm_jU^ =G„_jUjj где

178
3. Каталог типовых расчетов
Gm_j = Л^/ДМКТ — проводимость передачи от ИН и3 к току гт\ Амкт — главный
определитель системы уравнений МКТ; Ащ =(-iy+mAjm — алгебраическое
дополнение элемента jm в Амкт; А т — определитель, полученный из Амкт
вычеркиванием строки j и столбца т.
Пример 3.15. Схема цепи приведена на рис. 3.14, причем ил =24 В, Rk =1 Ом.
Найти Сзч и i3-
Я
т
-©
Я>
R-
III
1
М R, U
I
II
R
з
Л
J
Рис. 3.14
Выбираем независимые контуры так, чтобы ы, =ык|1 *3 =*кз- Тогда G3-i
(-1)МЛ,з i3
^МКТ Ul
= —, причем
А
МКТ
(7?2 + Я, + R7 ) -R7
-Rj (R5+RH + R7)
-Л
-R
-Я*
3 -1 -1
-1 3 -1
-1 -1 3
= 16;
\з =
1 3
1 -1
= 4.
Таким образом, G3_, = V^> тогда i3 =uAG3_{ =24/4 =6 А.
Результат легко проверить, так как в рассмотренной схеме мостовое
соединение симметрично и элемент R5 «не работает». Следовательно, входное
сопротивление Rm = R2 + (RA + R7 )(R3 + R6 )/(R4 + R, + R3 + Я6 ) = 1 + 1 = 2 Ом; тогда
i2 ="i/Kx = A, i3 = 0,5i2 =6 A.
ПРИМЕЧАНИЕ
Аналогично, используя МУН, можно определить сопротивление передачи от
единственного в цепи ИТ ij, находящегося между узлом j и базисным узлом, к узловому
напряжению иут узла т:
Uvm (-1Г"д,
D - У7" _
Ли-.' ~ -Г- - А
ij A
рп
МУН
где Амун — главный определитель системы уравнений МУН

3.1 Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
179
3.1.15. Использование теоремы компенсации для расчета
изменения реакций при вариации параметров цепи
Изменение реакции Д/вых исходной цепи при вариации параметра Rk находят
расчетом присоединенной цени (ПЦ), полученной согласно теореме компенсации
из исходной цепи исключением всех источников и присоединением
последовательно с ветвью Rh + ARb дополнительного (компенсирующего) ИН иа = ДЛА1А,
где ik — ток через элемент Rk в исходной цени.
Пример 3.16. Полагаем, что в исходной цепи, изображенной иа рис. 3.15, а,
сопротивление резистора Л, изменилось и стало равным Rx + АЛ,.
Л, + дЛ
и„ =* ДЛ, ■ i\
а
Рис. 3.15
По теореме компенсации расчет ПЦ, показанной на рис. 3.15, б, даст изменение
реакции
AMj =(/?i +ДЯ,)Дг| +ий = (Л, + ДЛ,)
-и
я, + А/г, + к23
+ "л =
R2i"fl
л23 AR\Uq
Л, + АЛ, + Л23 (Rx + ^ )(Л, + ДЛ, + Ля )
где Л23 = Л2Л3/(Л2 + Л3 ), w;i = ДЛ^'р i{ =uQ/(Rx + Л23) — ток в цепи,
изображенной на рис. 3.15, а.
Изменение Ды, можно получить также в результате непосредственного расчета
исходной цепи. При Л|0 = Л| + ARX имеем
и10 = их+Аи{ = (Л, + ARl)ui)/(Ri + ДЛ, + Л23);
при исходном сопротивлении Л, былом, =Л,и0ДЛ, + Л^).
Тогда изменение реакции
/
Аи\ ="ю _wi =
Л, + ДЛ,
Л,
л
[Rt+ARl + Ra Rl + R
23
"о =
ARiR23u()
/
(Л^Л^КЛ^Д^+Л,,)
Теорема компенсации и расчет исходной цепи при вариации параметров дают
одинаковый результат. Аналогично могут быть рассчитаны изменения любых
других реакций в цепи (Aip Ы1У Аи2 и т. д.)-

180
3. Каталог типовых расчетов
3.1.16. Применение теоремы компенсации для расчета
функций абсолютной чувствительности цепи к изменению
параметров
На основе теоремы компенсации функция 7^ _к абсолютной чувствительности
(ФАЧ) реакции/11ЫХ исходной цепи к изменению ее параметра Rk определяется в
результате а нал и за ПЦ, полученной из исходной цепи исключением всех
источников и присоединением последовательно с резистором Rk дополнительного МИ
"дин = 1" '*» г;*е '* ~~ ток через элемент Rk в исходной цепи.
Пример 3.17. Функция Ти _R абсолютной чувствительности напряжения их к
изменению параметра Rx в цепи, приведенной на рис. 3.16, а, определяется
согласно теореме компенсации из ПЦ, изображенной на рис. 3.16, б. На цепь
воздействует напряжение и vm = t ■ i,, где i{ = м0/(&\ + &гл ) ~~ ток в "сходной цепи.
Из анализа цепи, приведенной на рис. 3.16. б. находим ФАЧ в виде напряжения:
«*-Я|
Л,
«1 + Лн
дон "ion
«i
(Л.+Ли)
Мп +
и
о
R
23
2 »0
W,
л. + кя сг,+/ги)2"0"
Рис. 3.16
ФАЧ Тм _Л можно получит]> также непосредственно по исходной цепи
вычислением производной от реакции их цепи, изображенной на рис. 3.16, <7, но параметру Rx:
г/и, </[«,и0 (Л.+Ла)]
Л,
«,-«,
г/Л,
dRx
Аналогично по схеме, приведенной на рис. 3.16, б, могут быть рассчитаны ФАЧ
остальных реакций цепи к изменению значения параметра R] (например. 7^_я ).
3.1.17. Применение теоремы Теледжена для расчета
функций абсолютной чувствительности цепи к изменению
параметров
Па (к-но не теоремы Теледжена ФАЧ вида Ти ^ определяют по формуле
Ги Uk = -ik 4. где ik — ток через элемент Rk в исходной цепи; 4 — ток через Rk в
ПЦ. полученной из исходной цепи исключением всех источников и
присоединением дополнительного 1IT /J(JI1 =1 параллельно ветви с напряжением ывых.
ФАЧ вида Т ^ находят из выражения Т ^ = /"*4» г^л '"* — го к через Rk в
исходноГ! цепи; 4 — ток через Rh в ПЦ, полученной из исходной цепи исключе-

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
181
нием всех источников и последовательным подключением дополнительного ИН
«ж* = 1 в ветвь с током iBblx.
Пример 3.18. При вариации сопротивления /?, в цепи, приведенной на рис. 3.17, ат
ФАЧ Т Ri вычисляется следующим образом:
и
и
ч
Л1 + R23 j
^23
iwm
R
23
И
О
где i, = -
женной на рис. 3.17, б\ Яп = Я2/?3/(Я2 + Л3 )•
R,
<*.+Лв)
7wo>
— ток в исходной цепи; *\ = —— 1ЛШ — ток в ПЦ, изобра-
/?, + i?^
а
Рис. 3.17
^-Удои "
Я2Г
■ 1
1 i
т
Полученный результат полностью соответствует данным примера 3.17 (см. 3.1.16).
ПРИМЕЧАНИЕ
Если нычисляется ФАЧ, например Тщ_^ ~ Ти _й;). расчет выполняют по формуле
Т _Ki = -1лгл, где iH и 1Л — токи схем, изображенных на рис. 3.17, а н бсоответственно.
3.1.18. Составление матрицы соединений цепи
и узловой матрицы при записи ЗТК и ЗНК
Пример 3.19. Использовать матрицу соединений (структурную матрицу) для
машинно-ориентированного подхода к составлению уравнений ЗТК и ЗНК цепи,
изображенной на рис. 3,18, а.
1. Изображаем ориентированный граф цепи (рис. 3.18, б), то есть
геометрический образ цепи, в котором отражены все элементы и узлы (в том числе
устранимые); у каждого элемента указано направление тока и принята
согласованная полярность.
2. Формируем матрицу соединений — абсолютно полную структурную матрицу
[Аа]. Ее строки соответствуют узлам цепи, столбцы — ветвям цепи: элемент
матрицы а„„ = 1, если ток ветви m вытекает из узла п\ апт = -1, если ток
втекает в узел; апт = 0, если ветвь т к узлу п не присоединена:

182
3. Каталог типовых расчетов
1
2
3
4
1
П
0
О
-1
2
1
-1
О
О
3
о
1
о
-1
4 5
0 О
1 1
О -1
-1 О
1 3^ 2 ГА, 3
«.© <3+0 *4
I
О
6
<п
о
1
-ъ
= \лл
а
Рис. 3.18
3. Формируем независимую структурную матрицу [Л], исключая из матрицы
[Лй ]одну строку, соответствующую, например, базисному узлу цепи, которым
считаем узел 4.
4. Составляем систему независимых уравнений ЗТК: [A][i] = [0]. Для цепи,
изображенной на на рис. 3.18, получим:
1
2
3
12 3 4
(1 1 0 0
0-111
i0 0 0 0
ч
5 6
0 0>
1 0
-1 lj
=
h
h
h
l4
h
}g_
=
"0"
0
0
5. Формируем узловую матрицу [Ау ] = [Л]т, где т — знак транспонирования.
6. Составляем систему независимых уравнений 3IIK: [и] = \Ау ][иу ], где[н]—
матрица напряжений ветвей; [иу] — матрица узловых напряжений. Для схемы,
приведенной на на рис. ЗЛ8, при иуЛ =0 получим очевидную систему
уравнений
щ
и2
из
"<
"5
.М6_
^_
1
1
0
0
0
0
0
-1
L
1
1
0
0
0
0
0
-1
1
и
vl
U
U
v2
уз

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
183
3.1.19. Составление упорядоченных матричных уравнений
цепи
Пример 3.20. Для цепи, изображенной на рис. 3.19, а, составить упорядоченную
матричную систему независимых уравнений (по ЗТК, ЗНК и закону Ома).
1. На ориентированном графе цепи (рис. 3.19, 6) указываем дерево графа, ветви
которого соединяют все узлы без образования замкнутых контуров, содержат
источники напряжения и не содержат источников тока (хорды, то есть ветви,
не вошедшие в дерево, указаны штриховыми линиями).
2. Перенумеруем ветви графа в следующей последовательности: источники
напряжения и резисторы дерева графа, резисторы и источники гока хорд
(следует учесть, чго прототипом примера является цепь из примера 3.19 (см. 3.1.18)
с иной нумерацией элементов).
3. На графе обозначаем главные сечения. Главное сечение (ГС) состою* из одной
ветви дерева и нескольких хорд. Номер ГС соответствует номеру его ветви
дерева, направление выхода из ГС — направлению его ветви дерева (рис. 3.19, б).
Составляем матрицу главных сечений [Q], строки которой соответствуют
номерам ГС, столбцы — номерам ветвей графа. Элементы цтп матрицы [Q]:
+ 1, если ток in выходит из ГС с номером т\
- 1, если ток гп входит в ГС т\ 0, если ветвь п не относится к 1С т.
R,
^
"T^l
-, О *■
+
I
£)
а
в
Рис. 3.19
Уравнения ЗТК \Q][i\ = |0| имеют вид
1
2
3
1
(1
0
0
2
0
1
0
3
0
0
1
4 5
1 0
-1 1
0 0
V
6
<П
1
-lj
•
ч
li
h
h
h
Л.
=
ГО]
0
0
= 0 ; [(£)(F)]
Л j
= [0].
4.
где (Е) — единичная матрица; (F) — фундаментальная матрица; (i4) —
матрица токов дерева; (ix ) — матрица токов хорд.
На графе цени обозначаем главные контуры. Главный контур (ГК) состоит из
одной хорды и нескольких ветвей дерева. Номер ГК соответствует номеру его

184
3. Каталог типовых расчетов
хорды, направление ГК — направлению его хорды (рис. 3.19, в). Составляем
матрицу главных контуров [В\, строки которой соответствуют номерам ГК,
столбцы — номерам ветвей графа. Элементы Ьтп матрицы \В\: +1, если
напряжение ип согласовано с обходом ГК т\—\л если напряжение ип не согласовано
с обходом ГК т\ 0, если ветвь п не входит в ГК т. Уравнения 31IK 1#][ы] = [0]
имеют вид
12 3 4 5 6
А(~\ 1 0 I 0 0Л
0 -I 0 0 I 0
0 -1 0 0 0 1,
5
6
Ui
и.
и
л
и
и,
и.
0
0
0
; \{FB){E)\
LWxj
= 101,
5.
где (Fn ) — фундаментальная матрица; (ид) — матрица напряжений ветвей де
рева; (wx ) - матрица напряжений хорд. При этом контролируем связь
фундаментальных матриц (FB ) = ~(F)r, где т — знак транспонирования.
Уравнения закона Ома [ик \ = [R][iR] имеют вид
~и2~
"з
.и*.
=
*2
0
0
0
«S
0
0
0
R.
г3
то есть \R\ — диагональная матрица.
Итого имеем 9 независимых уравнений (поскольку каждое содержит
переменную или параметр, которых нет в других уравнениях). Неизвестных столько же:
один ток ИН, два напряжения 1 IT, шесть токов и напряжений Л-вствсй. При
машинно-ориентированном подходе достаточно использовать матрицы [/•'], \R\
и данные об источниках. Алгоритм «восстановления» остальной части
уравнений и их решения очевиден.
3.1.20. Применение структурной матрицы при расчете
цепей методом узловых напряжений
Рассмотрим матрично-тоиологический подход к формированию системы
уравнений МУН (в предположении, что все ИН преобразованы к эквивалентным
ИТ): [Gmvh ЦИу 1 = I'v I* где 1^муп I — матрица проводимостей МУН; [wv ], |iy ] —
матрицы узловых напряжении н узловых токов ИТ. При использовании
независимой структурной матрицы \Л\уравнения МУН имеют вид
[A][G][AY\uv\ = -\A][iQ]t
(3-4)
где \G\ и [i„ ] — матрицы проводимостей и ИТ обобщенных элементов цени,
представляющих собой параллельные соединения /?-элемента и ИТ. Матричное
уравнение токов таких обобщенных элементов

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов
185
Ш = №1 + |/„].
(3.5)
С учетом (см. 3.1.18) уравнений для напряжений таких обобщенных элементов
[а] = |Л|т[ыу] и подстановки записанных соотношений в систему независимых
уравнений ЗТК
[A\\i\ = \A][G]\u\ + \A][in\ = [A\[G\\A\'\uv\+[A\[i0\ = D
получаем основное матричное уравнение МУН (3.4).
Пример 3.21. В результате преобразования цени из примера 3.19 (см. 3.1.18)
получим цепь, показанную на рис. 3.20, каждый элемент которой для простоты
считаем обобщенным.
Ч)
3
R;
'оз О R'
1
г
Rs
(>«
Рис 3.20
Уравнение (3.5) обобщенных элементов цени имеет вид
>э
*5
'б
0
0
0
0
0
0
0
с,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
G<
0
0
0
0
0
0
Gs
0
0"
0
0
0
0
0
«1
м2
W3
"5
."б.
+
"*0|"
0
'оз
0
0
Считая узел 3 базисным, формируем независимую структурную матрицу
1
2
12 3 4 5 6
-1111 10"
О 0 0 0-1 1
= И].
На оснопанин (З/i) получим уравнения МУН:
С2+С4+С5 -G5
G
-с.
т5
U
U
У2
^01 г№
ш
Определив узловые напряжения и v и 2, можем с учетом (3,5) и уравнений
М = ИГ |wvl записать очевидные для простой цепи (см. рис. 3.20) соотношения

186
3. Каталог типовых расчетов
"и."
иг
"з
«4
«5
_M6J
•,
""vt
«„
"у.
«yl
"yl ~"у2
">21
f
21
'а
'з
h
h
.'с.
^^
[01
C2"vl
[оз
QKi -wy2)
*0<i
3.1.21. Эквивалентные преобразования
элементарно непреобразуемых источников
Если п схемах имеются элементарно непреобразуем ые источники тока или
напряжения, для их преобразования необходимо провести ряд дополнительных
действий, после которых схемы, содержащие пепрсобразусмые источники тока и
напряжения, превратятся в схемы, которые будут содержать элементарно
преобразуемые источники.
Пример 3.22. Рассмотрим цепь с непреобразуемым ИН г/0 (рис. 3.21, а).
©<•
R,
k «'
а
R,
R2
r-CZH
©©
и
о
и
о
в
а
1
>о
U-o\
>
Я|
\ъ
R2
т
Схема, приведенная на рис. 3.21, б и содержащая три дополнительных встречно
включенных ИИ и0, эквивалентна исходной, так как напряжения точек ky n и b

3.1. Расчет резистивных цепей и характеристик накопительных элементов 187
одинаковы: если точки k.nwb замкнуть накоротко, схема преобразуется к
исходной. Теперь можно замкнуть накоротко эквипотенциальные узлы т wj% в
результате получим схему с элементарно преобразуемыми источниками (рис. 3.21, в).
Пример 3.23. Рассмотрим цепь с элементарно ненреобразуемым ИТ (рис. 3.21, г).
Для преобразования цени к эквивалентной схеме с элементарно
преобразуемыми ИТ необходимо: 1) добавить еще один ИТ: режим цепи не изменится, так как
ток в последовательно подключенных ИТ одинаков (рис. 3.21, д); 2) ввести КЗ-
соединение ab, как показано на рис. 3.21, е. режим цепи не изменится, так как ток
на участке аЪ равен нулю.
В итоге получена схема с эквивалентно преобразуемыми ИТ.
3.1.22. Метод сигнальных графов при расчете цепей
Метод сигнальных графов может использоваться для формализованного
решения уравнений цепи, разрешенных относительно искомых реакций и
представленных в виде сигнального графа (СГ) цепи. Входами СГ являются воздействия,
выходами — реакции. Расчет аналогичен МН и производится по формуле Мэзо-
на, которая определяет коэффициент (функцию) передачи Н от воздействия /вх
к искомой реакции /шх и для й-цепей записывается в виде
Ль» 1ВД
я =
Лх D
где D=\-^/Di -\-^DmDn -^DjDtlDs -\-... — главный определитель системы
уравнений СГ; £ Д — сумма передач всех замкнутых контуров СГ (причем
передача Dt контура i равна произведению передач, то есть коэффициентов всех
его ветвей); ^DmDn — сумма произведений передач контуров т и л, не
касающихся друг друга; ^D-Df,Ds — сумма произведений передач контуров j, e и 5, не
касающихся друг друга; Ри — передача пути k от воздействия к реакции (по
направлению СГ); Dk — частный определитель пути k, который конструируется
аналогично Д но учитывает только те контуры, которые не касаются пути k.
Пример 3.24. Дан С Г (рис. 3.22, а), отражающий некоторую систему уравнений
*=2/вх -6у, у = 3х\ /вых =5г; ;=4z/ + 9/BJt -8/вык.
Находим коэффициент передачи:
H_fuux _ 2-3-4-5(1-0) + 9-5[1-(-6-3)1 ^195
/вх 1-(-6-3+3-4-7-8-5) +(-6-3)(-8-5) 695*
Пример 3.25. В цепи (рис. 3.22,6) ы, = 12 В, R2 = R6 =1 Ом, i4 = 8 А, найти i2, i3.
Систему нсзанисимых уравнений ЗНК и ЗТК R2i2 + R$i3 -w, =0; -i2 + i3 -i4 =0
разрешаем относительно реакций, например;
K2 K2

188
3 Каталог типовых расчетов
а
вых
R2 i2 i i3
R,
в
Рис 3.22
R,
i
c>
Сигнальный граф этих уравнений для цепи, представленный на рис. 3.22, в,
имеет два входа (г/,, i4) и два выхода (i2, i3). Применение формулы Мэзона и МП
дает
г2 =
Ul-1tf2+/4(-l-/?3//?2) 12-8
1-(-1-Л/Л)
1+1
= 2А;
h =
11,-1-1/Ла +i4-l 12+8
1-(-1-Л3/Л2) " 1+1
= 10 А.
3.2. Анализ переходных процессов в электрических
цепях во временной области
3.2.1. Расчет переходных процессов в цепях 1-го порядка
при постоянных воздействиях
Рассмотрим порядок расчета свободной и вынужденной составляющих решения,
а также НУ с использованием схемы замещения иепи в различных режимах,
а также методы анализа /?-цспей (без составления ДУ цени).
Пример 3.26. Схема цепи приведена на рис. 3.23, а; ключ К размыкается при
t = 0. Дано: щ = 12 В; R£ = 1 Ом; R3 = 1 Ом; Сл = 0,5 Ф; Я5 = 3 Ом; /?6 =6 Ом;
L7 = 4,5 Ги. Найтиu2(t)ruL(t)при £ >0.

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области
189
К
R,
R.
1, ^2 .IV "6 ,12
Kfi
е>
т:
*з
«5 17
Л
■з
С
Г
К
5 L
8
/?,:
^
I
1
+
Г
/г
5
в
U,{0+) ^— : /п+
К
5
м2(0+) = 6
■О
т
Рис. 3.23
1. Обозначение пункта: «frK —? т-?». Постоянную времени х и свободную
составляющую /tB при /. > 0 рассчитываем но схеме свободного режима (без
источников), приведенной на рис. 3.23, б.
ПРИМЕЧАНИЕ
Если и = О, то IIH лсвивалснтен КЗ; если / = 0, то ИТ эквивалентен XX и схеме
свободного режима
2.
При £>0 схема «распадается» на две цепи первого порядка. Эквивалентные
сопротивления относительно накопителей Rtl = R2 R:^ /(R2 + R3 ) = 2/3,
^12 = ^s + ^(i = 9, следовательно, т, = С • /?.,, = 1/3 с, т2 = L/R32 = 1/2 с;
свободные составляющие w2cil(0 =Л, -б»"'71 =Д -е~3/, ^иЛО = А-г -?~2'-
«/н -? f ^ со». Вынужденную (установившуюся) составляющую /и(г)
рассчитываем но эквивалентной схеме (рис. 3.23, в).
Находим и2и = uxRt f(R2 + R3) = 4 В, м£в = 0.
ПРИМЕЧАНИЕ
Вынужденная составляющая имеет математическую форму воздействия, то есть
/в = const . Тогда И/л = Zi/„ =0, iCil -Си'Съ =0, следовательно. L-элсмент
эквивалентен КЗ, С-элемснт — XX.

190
3. Каталог типовых расчетов
3. «ННУ-? £ =0~». Независимые НУ uc-(0 ), iL(0~) непосредственно перед
коммутацией (переключением) рассчитываем по схеме, приведенной на рис. 3.23, г.
ПРИМЕЧАНИЕ
Обычно режим при t < 0 считают вынужденным (установившимся), то есть
заменяют /.-элемент ва КЗ, а С-элемент — на XX.
Определяем
ис.(0-) = а,ЛИ6/(ЛИ6+Л2) = 6В,
причем RiS6 = \/(Gs +G5 +GG) = 1 Ом; затем находим г, (0~ ) = ис /R^ = 1 А.
4. «ЗНУ —? / = 0+». Зависимые НУ, то есть начальные значения реакций ы2(0+),
«1.(0') рассчитываем сразу же после коммутации по схеме, приведенной на
рис. 3.23, д.
ПРИМЕЧАНИЕ
Поскольку но законам коммутации известны ис(0") = исф ) = 6, /t(0") = 7^(0>') = 1, то
на основании теоремы замещения заменяем С-элемент ИИ и,(0*)=6 В, а
/.-элемент - ИТ i,(0') = 1 А.
Находим ы2(0') = н, -м(,.(0н) = 6В,и,(0') = -(Л5 +/?,; )?';.(0') = -9В.
5. Зацись решения и построение графиков. Решение ДУ цепи имеет види2(£) =
= uiB +и2сп =4 + Де3'; постоянную Д, находим по ЗНУ м2(0 )=6=4+Д,
то естьм2(г) = 4 + 2е'3'. Аналогично определяем ul(t)=uLa +uLcB =0-9e"2'.
При построении графика (рис. 3.23, е) начальное значение реакции, например
ы2(0*) = 6, «соединяют экспонентой» с конечным значением uin =ы2(оо) = 4.
ПРИМЕЧАНИЕ
Характерные значения экспоненты е~'/т мри t = 0; т; 2т; Зт; <х> равны, соответственно,
1; 0,37 а 1/3; 0,14 « 1/7; 0,05 - 1/20 (показаны точками на рис. 3.23, е). Любая подка-
сательная к экспоненте (показана штрих-пунктиром) равна т. Практическая
длительность переходного процесса равна Зт.
3.2.2. Расчет переходных процессов в цепях 1-го порядка
при нулевых начальных условиях и постоянных
воздействиях
Пример 3.27. Дана цепь 1-го порядка (рис. 3.24, а) при ы, =24 В; R2 =1 Ом;
R3 = 4 Ом; RA = 2 Ом; С5 = 1/4 Ф. Ключ К замыкается при t =0. Найти /,,и3 при
t>0.

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области 191
Т *з Т
|—ч—и*х
г~г
я,
т
Яг
*4
-спи
к
к A J
/?2©"1
Г 1 *3
1 Ч Ьг-
*4
с
щ, Bi,
Рис. 3.24
Расчет соответствует описанному в 3.2.1, за исключением пунктов «£=(Г»,
«г =04.
6. «/„ -? х-?». Вначале определяем постоянную времени т. цепи. Ключ
замкнут, цепь в свободном режиме (рис. 3.24, б), то есть элемент #j «не работает»,
так какы, =0 и ИН эквивалентен КЗ. Находим:
R.
:s=_Mi-=ioM;x = C/?3=Ac;/£U(0 = /le-^=Ae-3'.
R3 + Rt 3
7. «/0 —? f —> оо». В установившемся режиме постоянных токов и
напряжений (когда С s XX, L = КЗ) находим вынужденные составляющие реакций
(рис. 3.24, в):
ii. =
ц, ^Ц,(*2 + Ял-ьЛ4)
лм /?2(/г3+/г4)
= 28А;ц,„ =
ы,Лз
/?з+й4
= 16 В.

192
3. Каталог типовых расчетов
8. «ННУ -? t = 0 ». При г < 0 ключ разомкнут и цепь R3RtCs отключена,
следовательно, мг(0~) = 0, то есть ННУ являются нулевыми.
9. «ЗПУ -? £=0+». Рассматриваем эквивалентную схему цепи (рис. 3.24, г)
при нулевых ННУ сразу после коммутации.
ПРИМЕЧАНИЕ
По теореме замещения и принципу непрерывности при нулевых ННУ исф~) = 0 =
= ис(0'), i, (0") = 0 = iL(Q+), следовательно. С-дчемонт эквивалентен КЗ, а L-алемент —
XX при t = (Г.
Таким образом, получаем:
<1((Г)=и!_=и1(|+^)=3ОА.Ыз(о+) = И1=24В.
10.Запись решения и построение графиков. Имеем: ц(0 = ги + ilcu =28 + Ае'м\
но 1,(0*) = 30 = 28 + Л. следовательно, Л =2, го есть !,(£) = 28 + 2е"3'.
Далее записываем мя(г) = м3в + и31_я = 16+ Be'3'; используем ЗНУ:ыл(0+) =
= 24 = 16 + В, следовательно, В = 8.
График, например,м,(О = 16 + 8е'" изображен на рис. 3.24, д.
3.2.3. Классический расчет переходных процессов
в цепях 2-го порядка при постоянных воздействиях
Расчет, методика которою и основном соответствует изложенной в 3.2.1,
рекомендуется выполнять вначале только для iL(t) и uc(t). Все остальные реакции
легко находятся в последнем пункте расчета.
Пример 3.28. Рассмотрим цепь (рис. 3.25, а) при м0| =12 В; ит =10 В;
R = 0,5 Ом; Rn = 1,5 Ом; С = 1/3 Ф; L = 1/6 Гн. Ключ К замыкается при t = 0.
Найти uk(t), ik(t) при г > 0.
1. «/С11 -? ХП-?» Расчет ХП цепи и свободной составляющей выполняют
(рис. 3.25, б) по схеме цепи в свободном режиме при t >0.
Приписывают накопителям формальные сопротивления Z, = pL, Zc - \/(Ср)\
находят входное сопротивление ZBJ относительно любой (произвольной)
точки разрыва цепи. Уравнение Zm(p) = 0 — это ХП цепи:
"х R + Z^ L Л+1/(С» 6р + 36
откуда имеем ХП р2 + 6р +18 = 0. корни которого р12 = ~3±j3, то есть
свободная составляющая реакции /,.„(0 = Ate~3' cos 3t + А2е'3' s\n3t.
ПРИМЕЧАНИЕ
Если в цепи 6-го порядка корни ХП, например, р, = -2, рг =-3, piA =-4, pss =
= -5 ± уб, то
/св(г) = Л,^2' + А2е'3' + А3е~л' + Atfe*1 + Л5е"5' cos6/ + Л(;е"5' sin6t.

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области
193
=±Zr
*02
R
^Г0^
2. *fK -? t —> оо». Вынужденную состаиляющую решения рассчитывают но
схеме замещения (рис. 3.25, «) аналогично изложенному в 3.2.1:
«о. =-"|и =-1°b;i'/.„ = -ы0,/Я = 24А.
3. «ПНУ -? t =()-». Независимые начальные условия i, (О ),ис(0 )
рассчитывают по схеме, приведенной на рис. 3.25, г:
кФ) = и0|/(Л+ *о) = 6 = /,(0+);ис(0-) = Rvk -и02 = -1 =ис(0-).
4. «/'(0+)_? £=0*». Начальные значения производных и'с(0+) = ic(0+ )/С,
ij (0f) = w, (0+ )/L рассчитывают сразу же после коммутации с помощью схемы
замещения для момента t =0* (рис. 3.25, д), которая аналогична описанной
н 3.2.1.
Вначале находят uL(0*)v\ !t-((T):
«l(0+ ) = «с (0*) + "о2 = 9; 1Я(<Г) = (и01 -uL )/R = 6; it- ((Г ) = 1я - it = 0.
а загем ы£ (О' ) = ic (О* )/С = 0 В/с, *;.((Г ) = ииф* )/L = 54 А/с.

194
3. Каталог типовых расчетов
5. Находят решения для uc{t), iL(t):
uc(t) = uCt> +ыс.„ =-10 + Ale'3' cos3t + A2e~3' s\x\3t;
u'c(t) = -3A,e-3' cos3t-3Aie-3'sm3t-3A2e-3'sin3t + 3A2e-3' cos3<,
откуда, используя НУ, получают систему для расчета Л,, А2: ис(0+) = -10 +
+ Л, = -1, и'с(0*) = -ЗЛ, + ЗЛ2 = 0. Далее находят Л, = А2 = 9.
Таким образом, имеем uc(t) = -W + 9e~3' cos3t + 9e~at sin3t Аналогично
определяют i,(t) = 24 -18е'3' cos3t.
6. Находят решения для остальных реакций, используя, фактически, схему
замещения, изложенную в п. 4 (но не для t = 0", а для t > 0), поскольку теперь
иг(0- '/.(О Уже известны (рис. 3.25, д). Например, uL(t)=uc(t) + u02 =
= 9е~3/ cos3£ + 9<T3' sin3f; uR(t)=um —uL(t)=..., что аналогично
полученному в п. 4.
Контроль: uL(t) = £*'[(£) = ••■: *с(0 = Сг/С (?) =...
3.2.4. Современный расчет переходных процессов в цепях
высокого порядка по уравнениям состояния
Расчет переходных процессов формализуется при использовании уравнений
состояния [f2{t)\ = \A]\f2(t)\ + [B][fl(t)] где [А], [В] — матрицы коэффициентов:
l/i 1— матрица воздействий (то есть источников входных сигналов); [/2 ] —
матрица переменных состояния, которыми удобно считать ы< (/)> '/.(О-
Пример 3.29. Используем данные примера 3.28 (см. 3.2.3).
1. «Составление уравнений состояния» для t > 0 осуществляем по формальной
схеме замещения (см. рис. 3.25, д), в которой С-элемент заменяем
формальным ИН uc(t), а 1-элемснт — ИТ iL(t), хотя ис и iL неизвестны.
Вначале определяем ic(t) и w,(0 как функции известных и формальных
источников (то есть «стараемся», чтобы в уравнениях справа были переменные
матриц [/, | и [/21): ий =ит -и02 -uc;iR =uR/R = (um -u02 -uc )//?, откуда
находим ic =iK -i, =-(-wc +"oi ~ию)-Ч'<и1. ="c +"o2-
H
Используя ВЛХ накопителей (u'c =ic/C; i'L =uL/L), записываем уравнения
состояния:
1 i
<
^ = j(Mc +И(и)=6ыС +6"02 =6mC +0iL +0w01 "6U02-
ПРИМЕЧАНИЕ
Численные значения из условия задачи (ы01 = 12; и02 = 10; Л = 0,5; С= 1/3; L = 1/6)
можно подставлять на любой стадии анализа, что обычно упрощает расчет.

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области 195
Уравнения состояния в стандартной матричной форме имеют вид
МО
L'KoJ
-6
6
-3
0
МО
Л(0.
6 -6
0 6
«01
."т.
= |А][/2(0] + [5][/,(0]-
2. «/с1, -? ХП — 1ь По формуле det([/l] -р [Е]) = 0, где Е — единичная матрица,
находят ХП:
/
det
ч
Г-в
[б
-3]
oj
-р
Г1 nl
[о ij
^
=
J
-6-р -3
б -р
= р2 + 6р + 18 = 0,
откуда р,2 = -3± j3, следовательно,/св = А{е'3' cos 3t + A2e~3t sin3t, как в 3.2.3.
3. <s/„ -? t —> oo». Вынужденную составляющую находим по уравнениям
состояния, приравнивая производные к нулю: -6иг -3iL +6ы01 -6ы02 =0; 6ыс +
+6ы02 =0.
Решив систему, имеем иСв =-10, iL„ =24 (как в 3.2.3).
ПРИМЕЧАНИЕ
Поскольку (см. 3.2.1) воздействия /[= const, то вынужденная составляющая
/„ = const, следовательно, [/2'в ] = [01 в уравнениях состояния.
4. «НИУ-? £=(Г». Находим ННУ, как в 3.2.3: 11(0_) = 6 = !1((Г).ис(0") = -1 =
= исф).
5. «/'(0+)-? £=(У». Начальные значения производных переменных состояния
рассчитывают по уравнениям состояния:
lu'c(0*) = -6uc(0+)-3iL(0+) + 6uoi-6ua2 =0 В/с;
[г1(0+) = 6ыс(0+) + 6ы02 =54 А/с.
6. Находя г решения для переменных состояния, как в 3.2.3:
ыс(0 = -Ю + 9е"3' cos3£ + 9<TJ'sin3£;i/.(0 = 24-l&V3' Cos3f.
7. Находят остальные реакции по уравнениям связи реакций с воздействиями
и переменными состояния, как в 3.2.3.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Уравнения связи были записаны в п. 1.
2. Одно из достоинств схемы, изложенной в 3.2.4, — значительная формализация
расчета, хотя он во многом повторяет изложенное в 3.2.3 (так, самый «трудный» момент
расчета — определение ic и uL из п. 4 в 3.2.3, фактически, перенесен в и. 1 в 3.2.4).
3. Аналогично (используя производные от уравнений состояния) рассчитывают
цепи выше 2-го порядка.

196
3. Каталог типовых расчетов
3.2.5. Численный расчет переходных процессов
по уравнениям состояния
В качестве примера используем данные из 3.2.4. Имеем уравнения состояния
\u'c(t) = -6uc -3it +6ы01 -6ы02;
/L(t) = 6uc+6u02
при начальных условиях ис(0~ ) = исо = -1; iL(0 ) = ;t0 = 6 и свободной
составляющей вида /2св(£)-Ле 3' cos3f + A2e~3t sin3t.
Допустим, в качестве численного метода расчета используется явная форма
алгоритма Эйлера
ицп) \~ L/2(n-l) I
Дг
= И11Л.-1,] + [Я]1/н„.,1.
1 Г Т ]
причем шаг расчета рекомендуется выбирать как At < —тин тпШ); —— к где т„]1П
5 [ 4 J
и 7*min — минимальная постоянная времени и минимальный период колебаний
в цепи. В примере такая информация имеется: xmin = 1/3; Гтш = 2л/3 = 2,1, то есть
rmin/4 = 0,525. Выбираем At =0,07 с.
Таким образом, для шага п численного расчета можно записать:
Для п = 1 получим:
\ис\ = "со +At(-6uC0 -3i',0 +6u0l -6ы02);
lAi = '"ы +Af(6"co +6И02).
или после подстановки численных значений:
\иа = -1 + 0,07 ((-6)(-1)-3-6 + 6-12-6-10) = -1;
[iLt = 6 + 0,07(6(-1) + 6-10) = 9,78.
На втором шаге (и = 2) численного расчета находим:
иСг ="ci +At(-6uct -3;'„ + 6ыш -6ы02) =
= -1 + 0,07 ((-6) ■ (-1) - 3- 9,78 + 612-6-10) = ...;
iL2 =iLl +At(6uCA + 6ыш ) = 9,78 + 0.07(6- (-1) + 6-10) = ...
и т. д.
Зная иСя и iln, можно найти (по уравнениям связи) остальные переменные, как,
фактически, указано в последнем пункте расчета в 3.2.4.

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области 197
3.2.6. Численный расчет переходных процессов
по дискретным резистивным схемам замещения
В качестве примера вновь используем данные из 3.2.4. В ВЛХ накопителей
ut(t) = Li'L(t). »c(f ) = Cu'c(t), заменяя бесконечно малые приращения малыми, но
конечными, получим для численного расчета на шаге гг.
_ L L . . At .
UU, — 'in TT'«n-tr иСп\')- „ Чп +Ul\n-\)-
Тогда схема примера 3.29 (см. 3.2.4) преобразуется к дискретной резистивной
схеме замещения, то есть к эквивалентному виду (рис. 3.26, а), где (при и01 = 12;
ы01 =10; R = 0,5; С = 1/3; L = 1/6) так называемые «дискретные» ИН и /?-элемен-
™мо, =иа«-\уии =*Л(п-о/д''> ^;л =Д«/С; Ru = L/At.
f^3— —Q^h
3 Ru
Рис. 3.26
Выведем общие расчетные формулы, воспользовавшись МУП. Эквивалентно
преобразуем схему, приведенную на рис. 3.26, а, к виду, изображенному на рис. 3.26, б,
уравнения МУП которой для «шага» п:
"»«.) =~U0U Иу2(„) =-("с. +"02) = -("t(.-l) +"02): "v3(n) ="/л =Мцп-п/М'<
11 1
— + — + —
^R ^а Ruj
1
— ы.
1
1
и...,.,* =0.
"vi<w> p"yl(n) о "у2(п) n "yJ(n)
Чд
После подстановки численных значений получим:
lv4(n)
Г2 + Т7 + Г^]-2(-12) + Т7(-10-"^ '>>-'/.<„-„ =0;
At 1 61 At
у4(и)
-24 + ^3(10 + M,(n,1)) + il(n_1)
fn 13 Д/
2+ +- -
Дг 1 6
Тогда на основании рис. 3.26, а и б, получим:

198
3. Каталог типовых расчетов
1/6.
, _иуз<„,-и 4(„) _ дЛ<и,> "*<">.
Ru V(6A0
UC(n) =UC(n-l) + (Му2(л) — Ыу4(л) ) = ~'0 -Uv4(n)"
Численный расчет по полученным формулам осуществляется аналогично
описанному в 3.2.5 при шаге расчета Д£ = 0,07 и НУ ис (0") = исо = -1; iL(0 ) = iL0 = 6.
ПРИМЕЧАНИЕ
В описанном примере переходный процесс рассчитывается методами анализа й-цепей
(всюбше без составления дифференциальных уравнений).
3.2.7. Расчет семейства временных характеристик цепи.
Переходная и импульсная характеристики
При расчете переходной характеристики /г, (О считают, что при нулевых НУ на
вход цепи подастся единичное ступенчатое воздействие /,(0 = ^08,(<), где F10 —
коэффициент, выравнивающий размерность (Fla = 1В или 1 А). При t > 0
рассчитывается переходный процесс для реакции цепи /2(0- которая определяет
несходную характеристику цепи А,(0 = /.(O^O/^iu = A,"(r)5,(f) (то есть цепь как бы
«подключают» к источнику единичного постоянного уровня и находят
реакцию). Импульсная характеристика цепи h{t) как реакция на дельта-функцию
6(0 = 8',(О- это производная от ПХ: h(t) = h[(t) = /z,(0')8(O + —-^8,(0, при-
dt
чем первое слагаемое трактуется как производная от скачка ПХ на /г,(0ц) при
t =0 и при расчете ИХ выявляется автоматически по свойству выборки/(08(0 =
= /(0)8(0-
Весовая 2-го порядка характеристика цепи (то есть реакция на воздействие вида
функции единичного наклона 8^(0 = 18,(0) определяется как
hl(t) = \hi{t)dt = \h\{t)bs(t)dt = 6,(0/A," (')<*■■
-до -оо 0
Пример 3.30. Найги ПХ, ИХ и характеристику h2(0 цепи 1-го порядка (рис. 3.27, я),
где i, — воздействие; и2 — реакция; R2 = R3 =2 Ом; 1=8 Гп.
Расчет ПХ /г,(Овыполним согласно методике, предложенной в 3.2.1, при iL(Q~) =0
и /,(0 = 1 для t >0.
Очевидно в свободном режиме i, =0, R, = R2 + R3 =2 + 2 = 4 Ом, x = L/R,=
= 8/4 = 2 с. При /. -> оо (то есть при расчете вынужденного режима) /, = 1 А, L-ъле-
мент эквивалентен КЗ, тогда
"г =*Л* =i,/?,V(*, +/^) = 1 = 1*2»..

3.2. Анализ переходных процессов в электрических цепях во временной области
-cz>
199
<) л,
г
I
/г,(0+) = 2
"1вын "* 1 ■ -
hk
;;25(o-^(o+)8(o
Рис. 3.27
При t = 0J ИТ г, = 1А (поскольку ЕСФ 8,(£) = 1 при t = (Г), а на основании
принципа непрерывности г, (0+) = iL(0~ ) = 0, то есть I-элемент эквивалентен XX
(следовательно, /?3 «не работает»), тогда и2 = itR2 = 1-2 = 2 = ы2(0+). Решение имеет
вид и2(t) = ы2вЬ1И + ы2гп(с) = 1 + 1 exp- t/x для £ > 0.
Таким образом, переходная характеристика /г, (О = (1 + ехр(-0,5£))8,(с) для
-оо <t < +оо. Импульсная характеристика h(t) = h[(t) = 28(t)-0,5exp(-0,5t)8^(t).
Весовая характеристика 2-го порядка /г2(0 = (t-2ехр(-0,51) + 2)5,(r).
Графики ПХ и ИХ приведены на рис. 3.27, бив соответственно, причем над
импульсной функцией 25(£), площадь которой равна 2 (то есть при ее
интегрировании произойдет скачок до /z,(0+) = 2), для наглядности изображен «бантик»,
то есть ее высота «бесконечна».
3.2.8. Использование интегралов наложения при расчете
реакции цепи на входной сигнал произвольной формы
Интегралы наложения позволяют определить реакцию цепи /2(£)на
произвольное воздействие /,(£) при известных ИХ (интеграл свертки) или ПХ (интеграл
Дюамеля). В предположении /, (t) = 0 при t < О интеграл свертки имеет вид /2 (£) =
>
— ifl{x)h{t~x)dx, причем можно опустить под интегралом все ЕСФ, считая их
<|
рапными единице. Иногда, для удобства обозначив через /г0 (г) часть ИХ, не
содержащую ЕИФ, можно использовать расчетную формулу

200 3. Каталог типовых расчетов
/2 (О = А, (0+)/, (/) + } /, (т) К it - т)А.
0
Интеграл Дюамеля (если fx(t)— непрерывная функция при £>0) имеет вид
t
/z(O-/i(0+)^i(O+ f/i'COM*-т)А, причем в формуле можно для *>0онус-
0
тить все ЕСФ.
Пример 3.31. Найти реакцию цени (см. пример 3.30 в 3.2.7) на
экспоненциальное воздействие /, (f) = i, (г) = 2 ехр(-£)5, (t).
Воспользуемся расчетной формулой интеграла свертки. После подстановки
исходных данных получим для t > 0
/2(0 = «2(0 = 2ехр(-0+ |2ехр(-т)(-0,5ехр(-0,5(г-т)))б/т =
о
= 4exp(-O~exp(-0,5f)f ехр(-0.5тМт =
о
= 4exp(-O + 2exp(-0>5O(exp(-0l5O-l) = 6exp(-t)-2exp(-0,5O,
причем /2пы]1(г) = 6ехр(-Г) — вынужденная составляющая (соответствует
математической форме воздействия), а/2св(£) = -2 ехр(-0,5г) = -2 схр(-0,5*/т) —
свободная составляющая.
3.2.9. Расчет реакции цепи на входной сигнал кусочно-
линейной формы
Сигнал кусочно-линейной формы при наличии разрывов (скачков) описывается
комбинацией функций 6, и б2: fi(t) = ^Ak&x(t-t/l) + ^BJ82(t-tJ ).
Реакция цепи, согласно принципу суперпозиции (наложения), выражается через
характеристики hx и h2 и будет следующей:
Л(0=£АЛ('-'*)+1ял<'-',>-
(А) О)
Коэффициенты Ак и В- проще всего найти с помощью метода двойного
дифференцирования.
Пример 3.32. Найти реакцию цепи (см. пример 3.30 в 3.2.7) на сигнал
треугольной формы (рис. 3.28, а).
Графики первой и второй производных от i,(t) приведены на рис. 3.28, бив
соответственно, причем двойной стрелкой обозначена 8 — производная or ЕИФ.
Рассмотрим аналитические описания /"(г) и i,(0:
г t
*'i(0= J Jl»7(0«U|«ft: =352(0-362(/.-2)-6S,(0-
-<e-oo

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях
201
*1"
3
0
1
1
1 >
3 t
Т -65(t - 2)
:н
< L35(0
О
1
в
Рис. 3
.2
3 t
-35(* - 2)
^-65'(t - 2)
в
Реакция цени u,(t) = 3h2(t)-3h2(t-2)-(\hl(t -2). После подстановки данных
из примера 3.30 получим:
м2(О = 3(Г-2схр(-0,5О + 2)51(О-3[(£-2)-2ехр(-а5(Г-2)) + 2]б1(^-2)-
-6|1 + ехр(-0,5(*-2))]6,(*-2).
3.3. Анализ цепей при синусоидальных
воздействиях
3.3.1. Расчет установившегося синусоидального режима
методом комплексных амплитуд
Цель метода комплексных амплитуд (МКА) — анализировать установившийся
(то есть вынужденный) синусоидальный режим (УСР) аналогично расчету R-
цепей.
Пример 3.33. В цепи (рис. 3.29, а) УСР при и(0= WO cos (2*-90°); R = 10 Ом;
L =5 Гн; С =0,05 Ф. Найти токи.
i

202
3. Каталог типовых расчетов
т
+
R
~Y"(0 V-
а
360° °>1
mR
UmL-UmR
и.
в
Рис. 3.29
tt С
На первом этапе осуществляют подготовку к расчету, выбрав вначале
направления токов. Заменяют синусоидальное воздействие комплексной амплитудой (КА):
w(0 = t/mcos(cot-90°); tfM =£/.**" = lOOe"'"90* =-Д00,
vjieUm, со, ан— амплитуда, частота и начальная фаза сигнала соответственно.
Записывают комплексные сопротивления элементов: ZR =/? = 10; ZL ~joyL = /10;
Zc=l/O'coC) = -;10.
При расчете находят, например,
ZRL=RZJ(R^ZL) = 10^lO/(W^jW) = j\0-(\-j)/[(l^-j)(l-j)] =
= 5 + ;5 = г + jx =| Z| е* = 5<j2e"*\
Контроль: сопротивление Z^ «обязано» иметь индуктивный характер, то есть
реактивная составляющая х = ImZ >0, активная составляющая г = ReZ >0,
поскольку Ж-соединение содержит 7?-элемент, фаза (аргумент) комплексного
сопротивления всегда |ф| <90°.
На втором этапе находим входное сопротивление ZBX = Zc + Z^ = 5 - ^'5,
входной ток (точнее, его комплексную амплитуду)
Lc = Um /Zm = -j\ 00/(5 - j5 ) = 10 - j\ 0 = 1 Ол/ЪГ'45'
и по ФДТ ImR =imCZL/(ZL+R) = W = We>0', а затем по 3TK7m/. =ImC -ImR =
= -jlO = Юе""0".
Третий этап анализа — возврат от КА к синусоидальным сигналам:

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 203
ic(O = 10V2cos(2^-45°);fe(O = 10cos2ftilp(O = 10cos(2£-90°).
При построении графиков (временных диаграмм) токов (рис. 3.29, б) важно
правильно разметить ось абсцисс, либо рассматривая ее как ось времени t (тогда
разметка идет в долях периода Г = 2я/со = 3 с), либо как «ось углов» cof (тогда
разметку проводят в градусах, учитывая, что Т+ 360°). Максимум ic(t)будет при
<о£ = 2/ -z- 45 е, когда ic = Юл/2 cosO = l(k/2. Далее через 90°-s- Т/А размечают
остальные характерные точки синусоиды.
3.3.2. Качественное построение векторных диаграмм
При расчете УСР широко используют качественно построенные векторные
диаграммы (ВД) цепей (количественные ВД, в которых векторы соответствуют
комплексным амплитудам переменных, строят на комплексной плоскости в
масштабе по результатам расчета).
Правила построения качественных ВД:
1. Оси комплексной плоскости обычно не показывают.
2. Исходный вектор, как правило, направляют направо.
3. Последовательность построения векторов обычно соответствует
последовательности расчета МП В.
4. Длины векторов, как правило, любые, а фазовые сдвиги между током и на-
пряжением пассивного элемента фиксированы, то есть UmR и 1 mR находятся в
фазе, UmL опережает ImL на 90е, UmC отстает от ImC на 90° (что соответствует
мнемоническому правилу ULICU).
Пример 3,34, Качественно построить ВД (рис. 3.29, в) цени, описанной в 3.3.1
и изображенной на рис. 3.29, а.
Исходным вектором (направляем сто направо) считаем ImL. Тогда UmL опережает
его на 90° (направлен вверх). Поскольку L- и Л-элементы соединены
параллельно, то UmR =0^, следовательно, I R тоже направляем вверх. Суммируя (по
правилу параллелограмма) векторы ImR + irnL =lmC> строим вектор, соответствую-
щий входному току. По правилу ULICU вектор UmC отстает от lmC на 90° (что
соответствует повороту UmC относительно ImC на 90° по часовой стрелке). В
заключение на основании ЗНК определяем направление вектора входного напряжения
Пример 3.35. Даны Inil = ImR ~ 10 А. Используя ВД примера 3.34, найти lmC и <р^
в цепи.
Из геометрии ВД получим:
/mc=V^+C=10V2A;
Фм. = <*„„ ~«*и =aURL "<Ч =arctg(^m/.//mK) = 45°=argZRJ1,
причем в формулах используются только длины векторов.
i

204 3. Каталог типовых расчетов
ПРИМЕЧАНИЕ
Угол ф на ВД указывают от вектора «тока* к вектору «напряжения».
3.3.3. Расчет мощностей в установившемся
синусоидальном режиме
В УСР при расчете пассивного ДП с напряжением u{t) -U^Hcos(otf + ац) и
током /(/) = /-ч/2 cos (со/ + а, ) используются следующие виды мощностей:
мгновенная р(Г) = Р+ Ps со5(со£ + схн + а,-); активная Р -III eosip = г/2, измеряемая в
ваттах |Вт|; реактивная PQ = Wsinip =х12г измеряемая в вольт-амперах реактивных
[вар]; полная (кажущаяся, располагаемая) Ps =UI =\Z\12 =JP2 +Pq,
измеряемая в вольт-амперах [ВЛ]; комплексная Ps =UI = Z1Z = Р + jPQ, где U = £/га /V2,
I = IM/<j2 — действующие значения напряжений и токов (которые меньше
амплитудных значений в -ч/2 раз); 0 = Ueja" = 0m /V2. / = 1езщ = lm /-J2 — комплекс-
ные (комплексные действующие) значения; / =/^^' — сопряженное
комплексное значение тока; ср^а^-а, — сдвиг фаз синусоид напряжения и тока;
Z = | Z\ е™ = г + jx — комплексное сопротивление пассивного ДП.
В пассивном ДП всегда соблюдается баланс мощностей, то есть
Ьлп =2Л: Рдн = Z*4 = 5Х'* ^0;
Рилп -£*№ +pock =ZJ2Lk\It* ~ZJzck\hk>
где k — номер элемента в ДП. При этом PQL > 0, PQC < 0, г = ReZ > 0, | ф| < 90°.
Пример 3.36. Найти мощности в пени, описанной в 3.3.1 и представленной на
рис. 3.29. а.
В результате расчета цепи имеем:
0т = 100,-'90-; imi = КЪ/Й.-'45-; /„,„ = 10; /и, = 10е '»•;
Znx =5-j5=5-j2e-jijC; R = 10; \Z,\ = toL = 10; \ZC\ = l/(toC) = 10;
9 = 0.-0, = arg Z = -45°; t/ = 50л/2<Г;'90"; / = /c = We'ji5 ; /д = 5-J2;
IL =5j2e~J'M';U =\U\ = 5Qj2; I =IC =|/f|=10;/R =IL =50л/2.
Проводим классический расчет мощностей пассивной ДП-цепи:
Р = UI cos ф = 50л/2 ■ 10cos(-45° ) = 500 Вт;
PQ = Wsin<p = 50л/2 ■ 10sin(-45c ) = -500 вар;
Ps =UI= 50л/2 ■ 10 =500Л (В- А) = ^Р2 + Pj;

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях
205
р (О = 500 + 500л/2 cos (2 со/ - 90°-45° ).
Осуществляем контроль по комплексной полной мощности:
рч =0i =50^р"'90'-10вч'45'=50(Ь&">45в =500-;500 = Р+РС.
Производим контроль по балансу мощностей:
PR =R12R =10-(5л/2)2 =500 Bt = P:Pql =\ZL\l2L = 10 (5л/2)2 =500вар;
а
Pqc = "I zc\[c = -Ю- 10J = -1000 вар; PQ = PQl + P^. = -500 вар.
ПРИМЕЧАНИЕ
На основании баланса мощностей в цени в целом (см. рис. 3.29, а) комплексная
мощность источника определяется по формуле Psm =-(JL так как полярность И14
не согласована.
3.3.4. Резонанс в электрических цепях
Резонансом (на резонансной частоте со,,) называют состояние пассивного ДП
в УСР, при котором мнимая часть сходного сопротивления (ичи проводимости)
ДП равна нулю: ImZ(yco0 ) = 0; 1плУ(Усо0 ) = 0.
Из основных формул вытекает множество следствий (обозначения см. в 3.3.1—
3.3.3) для пассивного ДП: 1) ф(о>0) = 0; 2) au =at; 3) \у(со0) = -tp = -argy =
= а1-аи=0; 4)Z = r = ReZ; 5) Z =\Z\; 6) PQ =0; 7) PS = P; 8) Ps = RePs =P;
9) Ps = Ps и т. п.
Пример 3.37. Найти резонансную частоту в цени, схема которой приведена на
рис. 3.30, а. и построить ВД при резонансе.
vL-uR
Рис. 3.30
Находим входное сопротивление цепи в общем виде:
Z,.x = ZC +
PZ,
RjioL(R-j<oL)
R + ZL coC (P + ./coI)(P-;coI)
Выделяем мнимую часть и приравниваем ее нулю:
>2
ImZ„ 04 ) = —L + ?"1Д = 0; - (К2 + со012) + ш2 IK2 С = 0,
coC fr + co0L

206
3. Каталог типовых расчетов
следовательно, формула для расчета резонансной частоты имеет вид
со0 =
R
2
1
LR'C-L1 \LC-(L/R)
2 '
Контроль: 1. Проверяем размерность [l/VZC] = [со0 ] = с' (см. также 3.3.5); [R/L] =
= [1/t1 = c-1.
2. При R-+co (то есть L- и С-элементы соединены последовательно и в цепи
возможен ПРН (см. 3.3.5) при со0 = l/VlC).
3. При R -> 0 (то есть R =КЗ) из цепи «исключается» L-элемеит, и резонанс
невозможен, что соответствует полученной формуле.
При резонансе ВД цепи (см. 3.30, а) в целом соответствует приведенной на
рис. 3.29, в. Однако заканчивать ВД при резонансе необходимо так, чтобы
Ф = аи -а, =0, то есть чтобы векторы входного тока / и напряжения U были в
фазе. Поэтому на ВД длина вектора Uc подбирается соответствующей указанному
условию, и суммировать вектораUR +UC =U проще по «правилу треугольника».
3.3.5. Особенности простейших резонансов
в электрических цепях
Для возникновения в цепи простейшего резонанса напряжений (ПРН) должны
выполняться два условия: 1) L- и С-элементы должны быть соединены
последовательно; 2) модули их комплексных сопротивлений должны быть равны,
то есть\ZL\ =|Zc\, co0i = 1/(со0С), откуда резонансная частота со0 = l/VZC.
При ПРН сопротивление ZC-участка ZLC = j<o0L -j- 1/(со0С) = |ZL\ -j\Zc\ = 0,
то есть он эквивалентен КЗ и расчет всей цепи упрощается.
+.
-Ф.
R _
№l
Т UR-U0 /
*- J
№,
.о
Г
R
I
Ч;
•■ ■*
..
к
**■
h
•
—^-
•
и
в
Рис. 3.31

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 207
Из характеристик ПРН в последовательной RLC-иепи (схема которой приведена
на рис. 3.31, а, а ВД в режиме ПРН — на рис. 3.31, б) отмстим следующие: 1)
характеристическое сопротивление цепи — это сопротивление накопителя
(реактивного элемента, то есть L- или С-элемента) при резонансе: р = щЬ = 1/(со0С);
2) добротность — это отношение характеристического сопротивления к
сопротивлению потерь: Q = p/R = ULo/Ut) =UC0/U01 где 0 — индекс резонанса.
Следовательно, при высокой добротности (2 з> 1 (например, у радиотехнических
контуров) с накопителя можно «снять» значительно большее напряжение, чем па входе;
3) из ВД следует, что «синусоиды» uL(t) и ис(0» имея одинаковые амплитуды,
находятся в противофазе и поэтому полностью компенсируются, следовательно,
iC-учасгок эквивалентен КЗ и входное сопротивление цепи | ZBX| = R = min.
Для возникновения в УСР простейшего резонанса токов (11РТ) должны
выполняться два условия: 1) L- и С- элементы должны быть «параллельны»; 2) модули
их сопротивлений должны быть равны, то есть \ZL\ =|ZC|, откуда со0 = l/VlC.
При ПРТ сопротивление LC-участка ZLC = ZLZcf(j\Zl\-j\Zc\) = co1 то есть он
эквивалентен XX и расчет всей цепи упрощается. Из характеристик ПРТ в
параллельной /ЛС-цепи (схема которой приведена на рис. 3.31, в, а ВД в режиме
ПРТ — на рис. 3.31, г) отмегим следующие: 1) характеристическая проводимость
цепи — это проводимость накопителя при резонансе: 1/р = со0С = l/(co0L); 2)
добротность цепи — это отношение характеристической проводимости к
проводимости погерь: Q = p~l/G = R/p = /i0//0 = /Со/Ли 3) из ВД следует, что токи iL(t)
и ic (r), имея одинаковую амплитуду, находятся в противофазе и поэтому
полностью компенсируются, следовательно, LC-участок эквивалентен XX и входное
сопротивление цени | ZDX| = R = max.
ПРИМЕЧАНИЕ
В указанных цепях, кроме того, Q = со0/Дш, глс Лео — полоса пропускания,
определяемая по ЧХ цепей на уровне0,707 = 1 /л/2 от максимума АЧХ, который в
последовательной RLC-nei\H при резонансе равен | Y^Ji = I/U0 - \/Rt а в параллельной RLC-
цепи -|Zraax| =U/ID=R.
3.3.6. Нестандартные решения задач установившегося
синусоидального режима
При анализе УСР не всегда удается использовать описанный в 3.3.1
классический расчет МКА.
Пример 3.38. Схема цепи приведена на рис. 3.32, а: действующее значение
напряжения источника U = 220 Д частота /=50 Гц, UR =127 В, активная
мощность Ри = 40 Вт. Необходимо найти С и UmC (здесь рассматривается часто
встречающаяся на практике задача, когда к ИН промышленной сети U =220 В
требуется подключить устройство, которое работало ранее от сети U - 127 В.
Необходимо без активных потерь «погасить» излишек напряжения, определив
параметры предназначенного для этого конденсатора: емкость С и максимально
допустимое напряжение UmC).

208
3. Каталог типовых расчетов
Рис. 3.32
Находим ток / = PR/Vк = 40/127 = 0,3 Л. Далее используем формулу закона Ома
«в модулях» \Z\ = U/I =Um/Im1 которая вытекает и:» закона Ома для
комплексного сопротивления пассивного ДП: Z = £/// =Um/im (см. 3.3.1-3.3.5). Находим
\ZR\ = R = UR/IR =127/0,3= 420 Ом. Далее применяем нестандартные варианты
решения:
1. Использование ВД.
На рис. 3.37, б приведена ВД цепи, из геометрии которой находим
Uc =у][т2 — £/д = v2202 -127* =180 В. По закону Ома «в модулях»
определяем \ZC\ = [/с// = 180/0.3 = 600 Ом = 1/(2тс/С), откуда C = l/(2n/|Zr|) =
= 1/(2л-50-600) = 5-10"6 Ф=5 мкФ Затем находим UmC = ГУС-Л = 180-Л =
= 250В (следовательно, нужен конденсатор емкостью 5 мкФ на максимальное
напряжение 250 В).
2. Использование баланса мощностей.
Полная мощность цепи Ps = VI = 220 ■ 0.3 = 66 В-А. Тогда реактивная мощность
Ри =PQC = ^//>* -Р2 =-yjPs -Pi =-V662 -402 =53 nap=-|Zr|/2,
откуда\Zr\ =-РйС/11 = 53/0.32 =600 Ом.
3. Использование закона Ома «в модулях».
Входное сопротивление цепи \Z\ -U/I =220/0,3 = 710 Ом. С учетом Z = /?-
-j| гс|находим | Zc | = •yj\Z\2-R2 = л/7Ю2 -4202 = 600 Ом.
4. Выбор произвольной начальной фазы и переход к МКА.
Примем а, =0. Тогда I = 1е* = 0,3; UR = RI = 127; Uc =-j\Zc\l =-jUc;U =
= UR + f/r = 127 -jUr, откуда U =\U\ =yji272 + U* =220, следовательно,
t/c = V2202 -1272 = 180 В, что и было получено в первом варианте решения.
3.3.7. Расчет переходных процессов во временной области
при синусоидальных воздействиях
Последовательность анализа неликом соответствует изложенному в 3.2.1—3.2.3,
однако при расчете установившегося (вынужденного) синусоидального режима
используется М КА.

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях
209
Пример 3.39. В цепи, схема которой приведена на рис. 3.33, а, ключ размыкается
при / = 0; и (Г) = Юл/2 cos (2/ -135° ); Д, = R2 = 2 Ом; L = 2 Гн. Найти uL(t).
t = 0
^ *'
-©*>
а
Я,
Я
Я,
1 Г~>
Л,
Л
]—[
Ф"<0*> «о*,Ь
-10
в
Рис. 3.33
1. Рассматривая в заданной цепи 1-го порядка свободный режим при />0
(рис. 3.33, б), находим эквивалентное сопротивление относительно
накопителя /?,=/?,+ Rz = 4 Ом, а затем постоянную времени т = L/R3 = 0,5 с.
Записываем свободную составляющую решения uIsn(t) = Ae~t/x =Ae~2*.
2. Анализируем УСР и находим вынужденную составляющую решения
(условное обозначение пункта «Г —> оо»). Используя МКА, записываем комплексную
амплитуду воздействия Um = \Qyf2e~JU5* и комплексное сопротивление
накопителя ZL =jioL = j2-2 = j4.Ti>vnanoOHHUmL = tfmZL/(Z, + Д, + R2) = \0е'™\
следовательно, вынужденная составляющаяuLnblli(t)= 10cos(2t-90°).
3. Рассматриваем УСР до коммутации (условное обозначение «£<0; t =0'*)
и находим ПНУ i;.(0~). На основании МКЛ находим (учитывая, что элемент
Л, при t <0 «не работает»):
Li. =VJ(R2 +Z,) = (-10-;10)/(2-fy4) = -3 + ;- №e'™\
то есть f"L(/) = VlO cos(2/ +160°). откуда iL(Q~ ) = VlO cos 160°^ -3.
Контроль:!^ ) = Re/m/ = 3 (аналогично в цепи с С-элементомыс(0" ) = Ret/mC).
4. Определяем ЗНУ, то есть начальное значение реакции сразу же после
коммутации (условное обозначение пункта: «t =0+»). Схема замещения для
расчета режима приведена на рис. 3.33. е; по принципу непрерывности (закону
коммутации) /,(0+) = i£(0") = -3. По главному следствию ЗНК находим:
7v/(0+) = w(0+)-(/?l + /?2)i/,(0T) = 10V2cob(-135°')-(2 + 2)(-3) = 2.

210
3. Каталог типовых расчетов
ПРИМЕЧАНИЕ
МКА к расчету этого пункта не имеет никакого отношения.
5. Записываем решение uL(t) = 10cos(2t — 90°) + Ae~2t. Постоянную
интегрирования находим по ЗНУ и£(0')=2 = 10cos(-90°) +Л, то есть Л =2. Итак.
uL{t) = 10cas(2t-9Q°) + 2r~*i.
При построении графика (рис. 3.33, г) главное — «стыковка» периода сигнала Т
и постоянной времени сигнала т. Учитываем, что длительность переходного
процесса t n п = Зт = 1,5 с, а период /' = 2тс/со =3 Cv 360°. Тонкими линиями
показаны вынужденная (3.4) и свободная (3.5) составляющие решения.
3.3.8. Применение метода комплексных амплитуд
для расчета цепей при обобщенных воздействиях.
Построение графика экспоненциальных колебаний
Рассчитывать вынужденную составляющую решения при обобщенном
воздействии fit) = Fmeat cos(o>£ + а) можно с использованием МКА. При этом КА
/" = Fme*a* а изменения касаются только комплексных сопротивлений
накопителей zL = sL, zc = l/(sC), где s = сг + ./со— обобщенная частота.
Пример 3.40. Схема цепи приведена на рис. 3.34, a: w(/) = 10~'/2 соь(2£-90°);
R - 2 Ом; 1 = 2 Гн; С = 1 Ф, ключ замыкается при f = 0. Для t > 0 найти iCmu (О —
вынужденную составляющую; построить график и (г).
К0 с
2т tt с
-10с 2
Рис. 3.34
При подготовке к расчету (аналогично описанному в 3.3.1) записываем:
Um = 10e"/J0°; 5 = c + ;to = -0,5+;2; ZL=sZ=-l+;4;
Zc = l/(sC) = l/(-0,5 +;2) = 2(-l -./4)/17.
При расчете вначале определяем

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 211
z _ RZL 2(-l + j4) = 2(15 + jB)
"■ R + ZL 2 + (-\ + jA) 17
а затем находим входное сопротивление:
Z. =ZL+Zn= 2^~j4) + 2<15 + *> = 41+J2) 3 1,7,-".
c ш 17 17 17
тогда JnC = 0m /ZDX = We-^/dJ ■ e"6") = 5,9^'UB\
Таким образом, вынужденная составляющая решения
iCBU11(0 = 5,9e-'/2cos(2;-106°).
При построении графика затухающих колебаний и (t) - 10е~'/2 cos(2j - 90° ) важно
оптимально разметить ось абсцисс: постоянная времени экспоненты т =2 с;
период колебаний Т = 2я/со = я = 3 с -5- 360°, следовательно, 180°-г-1,5 с, 90° -s- 0,75 с.
Вначале строят экспоненты ±10e~'/l (обозначены штриховыми линиями на
рис. 3.34, б), затем на «верхней» экспоненте указывают точку максимума
синусоиды при Т/4 + 90°. Далее через 90° размечают остальные характерные значения
синусоиды (касаясь то «верхней», то «нижней» экспонент).
ПРИМЕЧАНИЕ
Данная методика может быть использована и при расчете переходных процессов
в £-области.
3.3.9. Расчет трехфазной цепи
при соединении нагрузки «звездой»
Расчет ТФЦ в целом соответствует методике расчета УСР с использованием
МКА.
Пример 3.41. В ТФЦ (рис. 3.35, а) оборвана фаза С, нулевой (узловой) провод
отсутствует, порядок следования фаз симметричного ТФ-источника — прямой
(ABC). Найти Uхх и токи, если фазные напряжения источника С/ф = 10 В, а
сопротивления фаз нагрузки Z^ ~ R = 1 Ом.
При подготовке к расчету произвольно строят ВД ТФ-источника (рис. 3.35, б):
указывают на ВД фазные напряжения С/ф источника UAOt UB0, UCQ и линейные
напряжения UAB, 0BCtUCjl[t которые образуют равносторонний треугольник. В силу
симметрии ВД линейные напряжения [/„ = УЗ-1/ф = 10V3 В, тогда согласно ВД
(рис. 3.35, б)
йве = ивс =10V3; UCA =UCA -e-Jl2v° = 1(К/3-<Г;',20°;
йА0 =Uo.ejS0° = 10VH0°; U„0=10-e->™°; Uro =10.е-',я\

212
3. Каталог типовых расчетов
О
XI
II
'АО
I +
А
1л а
©
■*«—•-
U
во
о
е
В 'в b
С+ - с
а
а
Z
Л, О
О,
е
Рис. 3.35
При расчете ТФЦ обычно рекомендуется использовать МУН (реже — МКТ).
Поэтому (хотя рассматриваемая цепь является простой одноконтурной)
используем МУН, считая узел 0 базисным:
Vyi =0M:Uv2 =йпа;(1у, =CC0;(Ya + ¥ь)СуЛ -YaUyi -Y,fty2 = 0,
при этом пронодимость «оборванной» фазы С равна «нулю», а проводимости
Ya =Yh= 1/Z,, = 1. Тогда
0, =UD» =*-°M + ^"' B l0j + i8'6~J5)=A,3 + j2,5.
л о,о Ya+Yh 2
Находим фазные токи (они же линейные)
1А =фу1 ~Uyi)/Za =10;-(4.3 + >2(5) = -4,3 + >7,5 =-/B;
1А=ГВ=\1А\ = 8,6А.
Контроль (по закону Ома для «верхней» ячейки схемы): IA =IB =(JAIi/\2Z(]}
= 5л/3.
Далее определяем

3.3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 213
#хх =Va =UCOi =Uy3 -UyA =
= (-8,5-y5)-(4,3+;Z5) = -12,8-;7,5 s 15-e^50;
"xx^ro, =15=|t/xxl-
Контроль по ВД (при Zn -Zh напряжение UAB делится пополам, и положение
точки 0t на ВД очевидно): Uxx = ^U%A -{VAB/2)2 = 15 В.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. При заданных линейных напряжениях 1)л = Юл/3 В, например, в цепи,
изображенной на рис. 3.35, в, можно на основании теоремы замещения ввести в схему два
или три источника линейных напряжений (как показано штриховкой на рисунке)
и аналогично примеру сделать расчет.
2. Правила построения ВД, которые для ТФЦ являются «количественными»
(строятся в масштабе): а) ВД являются потенциальными, го есть отображают условно
положительный рост потенциала (напряжения), причем «стрелка» вектора
напряжешь, например, направляется к первому индексу (гочке А на ВД); 6) ВД являются
топографическими, то есть строятся упорядочении в соответствии с
расположением элементов в цепи. При таком построении расстояние между двумя точками ВД
дает напряжение между этими точками на схеме; в) токи ориентируют
относительно соответствующих напряжений но обычным правилам (по ULICU).
3.3.10. Расчет трехфазной цепи
при соединении нагрузки «треугольником»
Пример 3.42. Дана ТФЦ (рис. 3.36, а) при линейном напряжении [7Л = 100 В и
нагрузке, соединенной «треугольником», с фазными сопротивлениями Z^ = R - 1.
Определить токи нагрузки.
При нагрузке, соединенной «треугольником*, линейные напряжения источника
равны фазным напряжениям нагрузки, то есть U^ =Uab =100 В; UBC =Ubc =
= 100B;t/c„ =U„=100B.
Комплексные значения этих напряжений находим по ВД7 построенной, как
указано в 3.3.9, в виде равностороннего треугольника (рис. 3.36, 6), UAB =Uah =
= 100-е'120°; Uж =0Ьс =100; UCA =U„ =100-e~>12°6 и учитываем их в виде трех
ИИ, показанных на рис. 3.36, а штриховкой. Тогда фазные токи нагрузки
L =0JZ* =100V,20°;^ =йы\гъ =Ю0;/,.о =Ura/Z„ = 100-е Jl20°,
то есть Iab = 1Ы = /и =100 А = /,„.
Далее находим линейные токи ТФ-цепи по ЗТК для узлов а, Ь, с:
1л =1,.ь -t.. =100V3^90";/B = /fc -U =100V3.e-^;
следовательно, IA - IB = Ic = 100V3 А, что и отражено на ВД.

214
3. Каталог типовых расчетов
Таким образом, в симметричной ТФЦ при соединении «треугольником»
линейные и фазные токи связаны соотношением 1Я =л/3-7ф.
+ )Uca В
Г+\иВс
С
а
Жь
'аЬ
—Ь-Т*.
ъ
'he
Zca
u»
Рис. 3.36
3.4. Операторный и спектральный методы
анализа цепей
3.4.1. Операторный метод расчета переходных процессов
При расчете переходных процессов операторным методом (ОМ) используется
операторная схема замещения (ОСЗ), в которой все воздействия заменяются их
изображениями по Лапласу, элементы цепи — операторными сопротивлениями
ZR = R, ZL =sL, Zc = 1/(.?C), а независимые начальные условия (ПНУ)
учитываются ИТ //41(^) = ?/.(0~)Д, подключенным параллельно ZL, и ИИ Uc (s) =
= ыс(0~)Д\ подключенным последовательно с ZC. Направление тока и полярность
напряжения источников должны соответствовать току iL(0~ )и напряжениюwc (0").
Расчет реакции по ОСЗ осуществляется аналогично анализу /?-цепей. При
этом
Uc(S) = Ic{S)Zc+UCB{sy,lL{s) = lLo{s) + [7L(s)/ZL,
то есть каждому накопителю на ОСЗ соответствует два элемента. Расчет ОМ
формализован и состоит всего из трех пунктов.
Пример 3.43. Для цепи (рис. 3.37, а) при L = l Гн; С = \/6 Ф; R2 =2 Ом;
R3 = ЗОм;г, =2А:г/4(/) = 4^"'61(ОВнайти«с(/)т^(/)при/>0.
Расчет ННУ при t <0по эквивалентной схеме, приведенной на рис. 3.37. б) даст
iL(0 ) = i,=2,iir(0-)=/?2iI(0 ) = 4.
Для I > О ОСЗ приведена на рис. 3.37, в, где Z2 = ft, = 4 Z^ =.?! = 5;
Zc=l/sC=6/s; I,(s) = ijs=2/s: t/4(s) = 4/(5 + 1); /^(s) = 7L((T)A =2/s;
^(O = "c(0)/5=4/5.

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
215
По МКТ имеем
(К2 + tf3 +ZL+Zc)I^(Ls)-(R2 +Zt)/Kl(s)-Zl/,a(5) = -£/ro(s)-l/4(s),
где /Kl(s) = /,(s) = 2/5:7^(5) = /^(s) = 2/s.
Решая, получим:
'*(*) =
4.v
(s + l)(s + 2)(i + 3)
; Uc{s) = ZcIa{s) + UCo(s) =
As* + 24s' + 20s+ 24
s(s + l)(s + 2)(s + 3)'
'*(*) = '«.(*)-'*(«> =
2s3 + 16?2 + 22s+ 12
s(s + l)(s + 2)(s + 3)'
<)
С
©
+ m
«ко-) д.
Гхх'
о.
Л.
КЗШО )
КЗ
w С )
VcS*)
Us) T
x-e
Л,
3
R.
1 3zAl! / ,(j) T f "\ |
U*)T ©W
e
Рис 3.37
Переходя от изображений к оригиналам, находим:
+
.-*
-2г
.-3/
5 5+1 5+2 S+3
+ МС(0 = (А +Ае +Д^ +^46^)6,(0.
где
А =5^(^)1^0 = 4;^ =(5 + l)£/c(5)U, = -12;
Л3 =(5+2К/с(5)|,=_2-24;Л, =(s + 3)l/c(s)|t_a=-12;
-3f
wc(t) = (4-12e-r + 24е"" -12е Jl)5,(0-

216 3. Каталог типовых расчетов
Аналогично определяем: iL(t) = (2-2e~r +8e~2f -6e~3t )§,(0-
Проверка no геореме о начальном значении: iL(0+) = \\m\sll(s)]\s_p<x = 2 = iL(0~ ),
ttt.(0-) = Iim[5£/c(5)||«e=4=«c(0 ).
3.4.2. Особенности операторного метода
при отыскании оригиналов
При переходе к оригиналу (см. также 3.4.1) используют теорему разложения,
то есть дробно-рациональную функцию изображения по Лапласу F(s) заменяют
суммой простых дробей:
f(s)= f(5) =Х-^- + Л)^/(0 = 1Л^5.(0 + Лб(0>
ll(s-sft) k-is-sk
где sk — корни знаменателя (полюса) F(s); B(s)— полином числителя;
коэффициенты разложения проще всего находить по формулам Лк =(s-sk)F(s) при
5 = 5А, Л0 = F(co), причем Л0 = 0, если степень п знаменателя F(s) выше степени
числителя; функции 5,(0 и 6(0 — ЕСФ и ЕИФ. Теорема записана для случая
любых простых (некратных) полюсов (нулевого, вещественных, комплексных).
Если же имеется кратный полюс, запись теоремы усложняется. Например, при
двукратном полюсе 5, используется формула вида
(5 -5, )-... (5 -5, у (5-5, ) *=з 5 Sk
-/(0 = Ktev +A2e* + £л,е*']81(О + Л08(О-
При расчетах ОМ широко используют основные формулы из таблицы
соответствия оригиналов и изображений f(t)-s- F(s), учитывая, что F(s) записывается в
предположении /(/) = 0 при t < 0. Именно поэтому в строгой записи f(t) в
теореме разложения используется ЕСФ 5,(0i которую часто опускают, имея в виду,
что />0. Основные формулы: 8(0+1; 8.(0+1Д* и для £>0 1 + Vsi t + lfs2;
е'* + 1/(5 + Р); te~p' -s-l/(5 + (3)2;cosa}0/-r5/(52 +(of,);sinco0^-w0/(52 + w2,).
Пример 3.44. Переход к оригиналу при наличии комплексного и нулевого
полюсов изображения:
= 20(5 + 1) _ 20(5 + 1)
А + *
^3
+ —
(5Л +25 + 2)5 5(5 + l-j)(5 + l + i) |_5 +W
причем символ «*» означает составляющую, сопряженную к первому
слагаемому в квадратной скобке (такая запись удобна, поскольку оригинал «обязан быть»
вещественным, и сокращается количество расчетов). Коэффициенты Ak находят
по обычным формулам:
А =(5 + 1-;№)1, „= 20(-i+;+i) = & =5^е^;

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей 217
Л3 =sF(s)|f_0=2C/2 = 10.
Оригинал имеет вид /(/.) = \0^12е~* cos (А -135° )+ 10.
Контроль: /(О1 ) = 5Д5)|^ = 0 = 10ч/2 cos(-135°) + 10 = -10+10.
Обоснование. Па основании теоремы разложения и габличной формулы
1/(5 + Р) -г- е'^ следовало записать оригинал в виде
/(О = |5V2e-'13SV-*}' + *] + We01 = 5л/2^' |И'"1350) + *| + 10,
что с учетом формулы Эйлера дает записанный ранее ответ.
Пример 3.45. Переход к оригиналу при наличии кратного полюса в
изображении и равенства степенен числителя и знаменателя:
.., ч 2s3 + 18s2 + 32s + 24 А Л2 Л, .
F(s) = = L—+——+ —+Л0.
(5 + 2)25 (5+2)' 5 + 2 5
Коэффициенты А3 и А{) определяем но обычным формулам:
A* =sF(5)|J.n=24/4=6;A0 = F(<*) = 2.
Формула для расчета коэффициента при «старшей степени» кратного корня
также очевидна (основная цель всех таких формул — уничтожить все
коэффициенты, кроме искомого):
-2
d.. . „,2
Классическая формула Л2 = — f(5 + 2) F(s)\ при s =2 для расчетов трудоемка.
ds
Поэтому чаще используется метод неопределенных коэффициентов (MUK),
когда разложение справа приводят к общему знаменателю и приравнивают
числители справа и слева:
Д5 + Л25(5 + 2) + Д,(5 + 2)2 +^0(5 + 2)25=2s3 +18s2 +325+24,
причем это равенство справедливо при любых степенях и значениях 5. Но в
примере коэффициент Л2 пайги очень просто, поскольку остальные уже
определены. Так, при 52 получим А2 + Лч + 2Л0 =18, откуда Л2 = 4. Оригинал имеет вид
f(t) = \-8te~2t + 4f2' +61^(0 + 28(0-
3.4.3. Определение по передаточной функции
дифференциального уравнения, импульсной и переходной
характеристик цепи
Передаточная функция (ПФ), то есть отношение изображений по Лапласу
реакции Л (О = Лых и воздействия fx{t) - /ьх(0 ПРИ нулевых НУ, описывается
дробно-рациональной функцией обобщенной частоты 5
//(0_fifr) = fe.W_ь,д"+-+У + ьд _b-n(J-Jo*)|
F\(s) F»AS) ansB+-..+flts + av a„T\(s-sk) '

218
3. Каталог типовых расчетов
где s0k — нули ПФ (корни числителя); sk — полюса ПФ; т < п При этом ПФ
полностью определяет ДУ цепи:
aJ™(t)+...+ alf2 (t) + aj2(t) = bmf^\t)+...+ blf\ (0 + 60/,(0.
то есть полюса sk — это корни ХП цепи: апр" +._. + ахр + а0 = 0, а сам ХП — это
знаменатель ПФ.
Импульсную h{1) и переходную h\(t) характеристики цепи также легко
определяют по ПФ: й(0* H{s); й,(0- #,(s) = //(s)/s.
ПФ зависит только от параметров цепи и вычисляется по ОСЗ при нулевых НУ
(то есть аналогично расчету Д-цепей).
Пример 3.46. Схема цепи приведена на рис. 3.38, a: R2 =/?3 =1 Ом, С=2Ф.
Найти ПФ II(s) = /,(s )/£/,(«), ИХ, ПХ, ДУ, построить графики А,(О. Ht) и
проконтролировать расчет.
Я
©-,
R,
■з
КЗ
а
Я,
IZZt
I
Л
С
1
0.5
0
2т
а
Рис. 3.38
-0,5
Ооычпо ПФ в цепях лестничной структуры определяют МП В, часто считая
F2(s) = 1 и находя Ft(s). Однако в данном примере ПФ ll(s) = /,(s)/f/,(s) — это
входная и ровили мость.
tf(i)=il=J_=y =
и. г..
1
1
R,+-R3Zc
R3 + Zc
1 +
_s + 0,5
Ы/(2л) "ТТГ
1+1/(25)
Контроль: 1. Значение tf (0) = 0,5 проверяют при s - 0 но эквивалентной схеме
(рис. 3.38, б), в которой элемент С = ХХ, поскольку операторное сопротивление
ZL =i/(Cs)-> со при s-»0. Очевидно, при Ui(s) = i имеем /, =Uy/(R2 + /?,) =
= 1/2=Я(0).

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей 219
2. Значение Я (оо) = 1 проверяют при s —> оо но эквивален гной схеме (рис. 3.38, в),
в которой элемент С гКЗ. поскольку Zc -> 0 при s -> оо. Очевидно, при Ux = 1
имеем I, = Е/, //^ = 1 = //(оо).
5. Корень ХП цепи, го есть полюс знаменателя ПФ st =-l =-1/т, проверяют по
схеме свободною режима (рис. 3.38, г), п которой эквивалентное сопротивление
относительно накопителя /?3 = RzR2/(R:i + Л>2) = 0,5, следовательно, постоянная
времени т = CR3 =2-0,5 = 1 с.
Определяем ИХ:
//(5) = i±^£=Z^+u/?(/)=_ot5e-'61(/)+16(0,
5 + 1 .4 + 1
а затем ПХ:
и , ч "00 5 + 0,5 0,5 0,5 _(
//,(s) = —^ = — = — + + /?,(0 = (0,5 + 0.5*> )б,(0-
S 5(5 + 1) 5 5 + 1
4. Для проверки используют связь ИХ с ПХ:
h(t) = h\(t) = -0,5^5,(0 + (0,5+0,5r')5(O = -0,5<?f 5,(0 + 1-8(0.
причем последнее слагаемое получено по свойству выборки; /(05(0 — /(0)6(О.
Графики ПХ и ПХ приведены на рис. 3.38, д и ?. Записанное по ПФ /j(5)/t/,(5) =
= 5 +0,5/5 + 1 ДУ цепи имеет вид /'[(0+ м(0 =^КО + 0,5м,(О-
3.4,4. Расчет частотных характеристик
по передаточной функции цепи
и оценка частотных интервалов
По ПФ цени могут быть найдены ее частотные характеристики (ЧХ):
//(» = H(s)\s_^ = Я (ш)+ уМ(со) = Л(со)е
у'Ф(ш) _ m2 _ m2
гле//(уо>)~ обобщенная частотная характеристика (часто — «просто» ЧХ),
определяющая отношение комплексных амплитуд реакции и единственного в цепи
воздействия в УСР: Й(ш) — вещественная частотная характеристика (ВЧХ);
А/(со) — мнимая частотная характеристика (МЧХ); Л(со) = Fm IFm —
амплитудно-частотная характеристика (ЛЧХ), полностью определяющая отношение
амплитуд синусоид на выходе и входе цепи; Ф(со) = а2 -at — фазочастогная
характеристика (ФЧХ), полностью определяющая сдвиг фаз синусоид реакции
и воздействия в УСР; при этом ВЧХ и АЧХ четные, а МЧХ и ФЧХ нечетные
функции частоты со. На практике ЧХ обычно рассматривают при со>0.
Широко используется также амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) —
годограф вектора Я(усо) на комплексной плоскости, то есть кривая, прочерченная
концом вектора H(jco) при изменении со от 0 до оо.

220 3. Каталог типовых расчетов
В случае вещественных нулей и полюсов ПФ (существенно отличающихся друг
от друга) АЧХ можно разбить на частотные интервалы (ЧИ), являющиеся
асимптотами к АЧХ:
1. Если на некотором ЧИ АЧХ приблизительно постоянна, то есть Л(со) = k =
= const (чему соответствует ПФ H(s) = k)t то этот ЧИ называют полосой
пропускания (ПП). Входной сигнал /|(0 = /их(0, частоты (спектр) которого
находятся в ПП, проходит на выход цепи с небольшими искажениями,
изменяясь в k раз по амплитуде.
2. Если на некотором ЧИ АЧХ близка к линейной функции, то есть А(со) ~ Аш
(чему соответствует ПФ H(s) = fa), то этот ЧИ называют полосой
дифференцирования (ПД). Если частоты (спектр)/^/) в основном сосредоточены в ПД,
то/2(о=/вы,(о=*/;(о-
3. Если на некотором ЧИ АЧХ близка к гиперболе, то есть А(со) = £/со(чему
соответствует ПФ H(s) = k/s), то этот ЧИ называют полосой интегрирования
(ПИ). Если частоты (спектр) входного сигнала в основном сосредоточены
г
в ПИ, то выходной сигнал /2(0 = /11ЫХ(£) = k[fm(t)dt.
о
ПРИМЕЧАНИЕ
В преобразовании Лапласа умножение изображения на s соответствует
дифференцированию оригинала, а деление на s — интегрированию.
Полосой пропускания также называют диапазон частот в «районе» максимума
АЧХ, в котором Л(со)>0|707ЛП1ах ^A^f-JU. Граничные частоты ПП при этом
называют частотами среза согр.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Если нули и полюса ПФ вещественны, то нарастающей АЧХ соответствует
Ф(ш) > 0, а убывающей АЧХ соответствует Ф(<о) < 0.
2. Контроль АЧХ A(w) = F fFm на характерных частотах в УСР абсолютно
аналогичен контролю ПФ. Контроль ФЧХ Ф(со) = а2 - а! осуществить значительно
сложнее.
Пример 3.47. Для изображенной на рис. 3.39, а цепи (при R2 = R^ = 1 Ом;
С = 0,1 Ф) построить графики АЧХ, ФЧХ, АФХ для реакции ы3 и оценить ЧИ.
ПФ находим по ФДИ:
£/,($) R3 + R2 + Zc 1 + 1 + 10/5 s + 5'

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
221
Л(ш)А
Ф(со)
8
0,5 Re
Рис. 3.39
Нули и полюса ПФ:.?01 =0;5, =—5 являются вещественными и существенно
различными. Находим ЧХ: Н(до) = H(s)\i= = , откуда АЧХ Л(со) = —- =
jto+5 А3
= ' Ю ; ФЧХ Ф(ш) = Фч -Ф3 = 90°-arctg -, где Д, и Л3 - модули числите-
Vo)2+52 5
ля и знаменателя Я(у'со), а Фч и Ф, — фазы числителя и знаменателя.
Построенные по этим формулам фафики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 3.39, б
жирными линиями.
На рис. 3.39, в показан график АФХ, который как бы прочерчен вектором //(усо),
построенным по значениям его модуля (то есть АЧХ) и фазы (то есть ФЧХ) при
различных значениях оз.
Из анализа АЧХ и ПФ очевидно разбиение ЧХ па ЧИ:
1. При со<5 имеем асимптоту к АЧХ Л(со) = 0,1оз, чго соответствует //(.v) = 0,ls
и, следовательно, ПД.
2. При со>5 асимптота к АЧХ Л (со) = 0,5 = const, что соответствует /7(.v) = 0,5
и, следовательно, ПП. Асимптоты к АЧХ, определяющие ЧИ, показаны на
рис. 3.39, б штриховой линией.
Частота среза ш =5, найденная по уровню 0,707 от максимального значения
АЧХ, соответствует границе ЧИ.
Вывод: модули нулей и полюсов ПФ определяют границы ЧИ.
3.4.5. Применение теоремы запаздывания
для расчета изображений сигналов
Рассмотрим, как представить сигнал или его производные суммой смещенных во
времени элементарных «табличных» составляющих и записать изображение этой
суммы с помощью теоремы запаздывания fit-t^)* F(s)e~r*, где t3 — время
запаздывания.

222
3. Каталог типовых расчетов
Пример 3.48. Найти изображение одного нолупериода синусоидального
импульса тока (с амплитудой 1т и длительностью £и).
Представим импульс суммой двух квазипериодических сигналов (рис. 3.40, а)
с периодом Т =2tn и частотой со = 2л/(2£и):
i(0 = «i +4 =/mSin^t61(0+-/msin^(£-rH)61(^-fI1).
2/
2t
и
t
a
Изображение импульса тока:
К t
и'
~..i
О
и\
¥
1
U\
и
Рис. 3.40
7(д) = 7,(5)+/Д5)= /m7u/f" , + 7^K^. _g-*,»
2
/* \2
s*+{n/t„y s*+(n/tn)
ПРИМЕЧАНИЕ
Строго периодический си шал ДО = f(t ± Т) при -оо < t < +со, поэтому
использована приставка «квазн» (то есть «как бы»).
Пример 3.49. Найти изображение импульса напряжения типа «меандр» (рис. 3.40. 6)
с амплитудой Um и длительностью tu.
Первая производная импульса состоит из трех слагаемых:
и' = и\ +и\ +и'3 =Umb(t)-2Umb{t-0,5tu) + UmS(t-tH).

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
Изображение первой производной Um —2Ume~<i'5tHS + {/me"*'"51 откуда изображение
заданного импульса
L'(s) = Vm -7Une*»** +f/me-'«,).
ПРИМЕЧАНИЕ
1. Интегрированию оригинала [и'{() соответствует деление изображения на л.
2. В случае использования сигналов кусочно-линейной формы используется
метод двойного дифференцирования для получения суммы дельта-функций, тогда их
изображение «приходится»- делить на s2.
3.4.6. Использование передаточной функции
для расчета реакции
Если F,(s)— изображение воздействия /(/)> a H(s) ~~ НФ Цепи, то реакция f2(t)
может быть найдена по теореме свертки: /2(0 + FAS)= H(S)F\(S)*
Пример 3.50. Найти реакцию цепи при //(л) =0,5/(5 + 1)и/(/) =(2 + 4е~ч>'5' )6,(г).
Находим изображение воздействия: F%{s) = - + , а затем изображение реак-
5 .ч+0,5
ции и ее оригинал:
17 / Ч 0'5 (2
^00 = : - +
5 + К 5 5 + 0,5
Л, Л3 А,
1 + -+- + -1
/
5 + 1 5 5 + 0.5
+/*(0 = (Vlf + Л2 +Л:^-№)61(0 = (-5бГ1' +1 + 4е"05*)61(0.
Пример 3.51. Найти реакцшо цепи, если ПФ //(5) = 0,5/s + 1, а воздействие/,(О
задано графически на рис. 3.41.
График производной воздействия, также приведенный на рис. 3.41, можно
представить суммой трех составляющих:
Д(О = 206(О-1081(/)+108|('-2) + 20-— + — е~2\
s s
Изображение воздействия: Fx(s)- (1 -е~2s).
5 S*
Находим изображение выходного сигнала, а затем его оригинал:
F2(s) = //(s)F,(5) = -^--- 5 (1-<Г*) =
S(S + 1) 5 (5 + 1)
10 -10 ^ (5-5 5 V. _2ж.
s s + lj \s s s + \J
+/2(O = (10-10e_')61(O-(5t-5 + 5e_')5,(O +
+ [5(f-2)-5+5e-"-i,]S1(t-2).

224
3. Каталог типовых расчетов
лат
105,(t-2)
206(0 ч
0
Л f\
-10
р
2
-10^(0
Рис. 3.41
3.4.7. Расчет особых случаев коммутации операторным
методом
Пример 3.52. В цепи (рис. 3.42, а) Сх = 1 Ф; С2 = 1 Ф; R = 1 Ом; и = 3 е = const;
и0 = 1 е = const Ключ при t = 0 переключается из положения 2 в положение 1.
Найти 1(0 при £ > 0, а также иС| (0"), мСа (0+ ).
^>^
с," i(0 Л
+
I
PQ-C1
+■
-—ь L—I 1
/г
X
+
"с2(0-)
г-
^х :
^C,0(S) ZC:
I
Я
'С,
в
Рис. 3.42
1. Определяем ННУ при t < 0 по схеме, приведенной на рис. 3.42, б: ис (0~) = и0 = 1;
«c,(0-)=0.

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
2. ОСЗ цепи для t >0 (рис. 3.42, а) составляем аналогично тому, как изложено
в 3.4.1. Имеем ZR = 1, ZC| = ZCj = 1/5, U(s) = 3/s, UCi0(s) = 1/5 = uC} (0~ )/s.
Находим:
%Н%Г~ 1 25+1
ZR + ZCi 5 + 1 5(5 + 1)
Тогца
I(s) = \U{s)-UCi0(s)\/Z0=-^-=A0+ A
5 + 0,5 u 5 + 0,5
Находим A0 = /(00) = 1, At = (s + 0,5)/(5)|s=_05 = 0,5, следовательно, i(t) = 6(f) +
+0,5£?~№5l(f), то есть при t =0 по цени протекает «бесконечный» ток
мгновенного перезаряда С-элсментов.
Далее определяем
5(s + 0,5) t2 2 5 + 0,5
Таким образом,
иг, (0' ) = lim[5t/Ci (5)] = 2 * «t. (О" ) = 1;
j—Mo
ис,(0+) = l\m[sUCl(5)| = 1 * иС2 (О" ) = 0.
Вывод: расчет особых случаев коммутации (ОСК) производится по обычным
правилам ОМ, изложенным в 3.4.1. При этом сверхтоки и перенапряжения
(описываемые в идеале дельта-функциями), которые возникают при нарушении законов
коммутации (иршщинов непрерывности), когдаыг(0+) Ф мг(0~)или //.(О4) * iL(0~)>
выявляются автоматически, в то время как анализ ОСК в /-области очень сложен.
3.4.8. Использование преобразования Лапласа
для расчета коэффициентов ряда Фурье
и спектра периодического сигнала
Периодический сигнал /(0 е периодом Г, удовлетворяющий условиям Дирихле,
может быть представлен схоляидимся гармоническим рядом Фурье (РФ):
ЛО = ^- + 1Лш8(/ео),г + Ф,); ш,=^,
где Л0/2=/гр =ST/T — среднее значение (нулевая гармоника, постоянная
составляющая) сигнала; Sr — площадь сигнала за период.
Коэффициенты РФ, то есть дискретный спектр (ДС) сигнала, можно определить
из соотношения Ak = AkeJ°k = — ^lOOl^y*»,, где F{(s) — изображение по Лапласу
fit) на интервале 0 < t < Т.

226
3. Каталог типовых расчетов
Пример 3.53. Построить ДС периодического сигнала u(t) показанного на
рис. 3.43, а при Г = 2£и. Записать РФ и проконтролировать результат.
и(0
и.
т
А, 0 0i5tK tH Т - 2tK
a
ЛЛ - 0.5 Ut
Ф,
о
1о
m
Л0 - 0.406 Um
Л0 - 0,203 U,
1
fA0 - 0.045 £/,
J 1 +~
0 wi 2g>, 3g>, 4со, <°
Ф:, - 90е
i
1
Ф2 = -180°
Ф,- 90<
(О
Т t,c
в
Рис. 3.43
Частота первой (основной) гармоники сигнала to, = 2п/Т = n/tn. Используя
метод двойного дифференцирования (см. 3.4.5), находим Ux(s), то есть изображе-
2U
ние по Лапласу и (L) на интервале Q<t<T\Ux (л) = —^ (1 -2с °*'н* + е~'и$).
tS
Затем находим коэффициенты РФ:
14 _ ,.,„ _ _ _^"__е->«-(е/05- _2 + g ,<№* ) =
А, =Аеф» =
'KtnUkn,tHy
2U
-k2n
QTJ
« -->°-5^(2;мп(),25^)' =^=гв->ад-*яп20>25п*1
2_2
2_2
А'тс

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей 227
откуда амплитудный спскгр (АС) Лк =8t/msin2 0125nk/(k2n2 ), а фазовый спектр
Фк =-0,5тг&. Графики дискретных АС и ФС сигнала качественно показаны на
рис. 3.43, б.
РФ сигнала при Um = 1 В и tH =2 с (то есть при Г = 4 с и to, = л/2 = 1,6 с"1)
запишем приближенно при учете только нулевой и трех первых гармоник:
и (О = 0,25 + 0.406cos(Wlf-90°) + 0,203cos(2coIt-180°) + 0.045 cos(3(0,t + 90°).
Контроль: 1. Пулевая гармоника Д,/2 =0,25 — это среднее значение сигнала.
2. Широко используется «синусно-косинусная» форма РФ:
/(0 = —+ ^(ak cosfcujf + bk sin£o),£)>
2 k-\
где а0/2=Д,/2. Ak =ak -jbk. Если: 1) /(f) = f(-t), то есть четный сигнал, то
bk =0; 2) /(0 = -/(-0* то есть нечетный сигнал, то яА =0; 3) f(t) = -f(f±T/2)t
то есть сигнал «переворачивается» при сдвиге на Т/2, то у РФ пет гармоник
четных номеров (&=0, 2, 4...). В рассматриваемом примере сигнал не обладает
.ггими свойствами симметрии.
График суммы РФ должен соответствовать сигналу и (г). Па рис. 3.43, в
построен график и (£) без учета малой третьей гармоники. Цифрами 0, I, II показаны
отдельные гармоники, построение которых соответствует обычным правилам
вычерчивания синусоид. Так, у первой гармоники ТХ=Т = 4 c-f360o; T{/2 =
= 2 с-s-1800; Г,/4=И1 с-90°. У'второй гармоники Г, = TJk = TJ2=2 с-г-360°;
Г.,/2 = 1 с-г-180°; Г2/4=0,5 с-ь90°. Суммирование гармоник РФ проведено
качественно (то есть приближенно — по характерным точкам). Видно, что в
интервале /и <t <2г„ = Г сумма гармоник 0 + I практически компенсируется
гармоникой II, что соответствует исходному сигналу (см. рис. 3.43, а).
3.4.9. Расчет установившегося периодического режима
с использованием рядов Фурье
Если воздействие приближенно предстаачепо «отрезком» РФ (из N первых
гармоник)
А Л'
/i(0 = Чг + X A* cos(fcv + <*i* ),
то реакция
~ A v
Л (О = Чг + Y<A2k со8(Аш,« + а2к).
РФ реакции рассчитывают двумя способами: 1) методом наложения с
использованием МКА на частоте каждой гармоники соА =&ш,; 2) по ЧХ цени //(уоо) =
= Л(ш)е;ф(<0) при оо=оол = &со, по формулам A2k =AlkA(k<ox), а21с =а|А +Ф(£ео1),
то есть, фактически, тоже по МП.
Действующие значения переменных в УПР

228
3. Каталог типовых расчетов
А-1
А- I
а мощность в пассивном ДП
P = t,Pt =U*I0 + i>*/* «*(<*„, -«*).
где С/о,/,, = Л>/2 — значения нулевых гармоник; £7^, /Л = /mit /V2 — действующие
значения, отдельных гармоник (с амплитудой Лк).
Пример 3.54. Приняв N = 4, найти реакцию м2 цепи, схема которой приведена на
рис. 3.44, а (при С = 1/4 Ф; /? = 1 Ом), на воздействие ut(t), изображенное на
рис. 3.43, я, при Um = 20 В; Г = 2/и = 2я = 6,28 с.
и, Вл
20
в
Рис. 3.44
На основании изложенного в 3.4.8 записываем РФ входного сигнала (при
<о, = 2я/Г = 1 с1):
Ml(r) = 5 + 8,12cos(lr-90o)+4)06cas(2f-180o) + 0,9cos(3r + 90°) + 0.
Используя МН, рассчитываем нулевую гармонику реакции (при оо = 0) по экви-
валептной схеме, приведенной на рис. 3.44, б, где элемент С=ХХ (поскольку
Zc = 1/(/ох) -> оо). Очевидно U20 =0 (при £7|(| =5 В).
Расчет остальных гармоник реакции при использовании МКА также очевиден:
1. * = 1; ш, =1; Vmli =Ы2е-"°л; ZCI = ^ =-./4; но ФДН
со, С
U - R U = 1 8 \2е~т° = 197<ГЛ4"-
*+Zcl l-;4

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей 229
2. 6=2; <о2 =*щ, =2; йяП =4,06e'm°; ZC2 =-j/((D2C) = -j2; по ФДП U„a =
3. k = 3; ю3=&ю,=3; U a =0,9e;90"; Zt-3 =-_/'/(ш3С) = ->4/3, тогда UmZi =
= 0,54e>14*.
«Укороченный» РФ реакции («отрезок» РФ):
й2(0 = 1,97 cos(lf-14°)+ l,81cos(2t-117°) + 0,54cos(3t + 143°).
Действующее значение реакции:
t/2 =V^2o +0,5([/^21 + t/£22 +^23) = V0,5(1,972 +1.812 +0.542) =2 В.
Поскольку мощность «потребляется» только Л-элемснтом, то
P = Pr =1^» =\(Vl +Ul +Ul +U2Ti) = Ul/R=Ui/R = 4 Вт.
Проверка: поскольку Я = 1 Ом, то входной ток цени
i = i{ =f2 =г/2/Л = 1,97 cos(1/ -14°) +1,81 cos(2/-117°) + 0,54cos(3/ + 143°),
тогда
1 J
= 0 + 0,5(8,12-1,97 cos (-90°+14°) + 4,06- 1.81cos(-180°+l 17°) +
0,9-0,54cos(90°-143°)] = 4 Вт
ПРИМЕЧАНИЕ
Аналогичный результат можно получить при расчете по ЧХ, рассчитанной на
основании ФДН.
Я(;(о)1вЦ=//(5)|пЦ = R
Л+1/(СЬ)
.. 5 + 4
X jfoO\
однако при этом (см. 3.4.4) выявляется важная дополнительная информация:
ДС входного сигнала (при соА =0; 1; 2; 3) попадает в полосу дифференцирования
(0 < со< 4 с-1), следовательно, на выходе будет выражен эффект
дифференцирования. Так как в ПД асимптотическая АЧХ цепи А(со) = со/4 (то есть ПФ ll{s) ™ 5/1),
то реакция приближенно иг =0,25ы,'(0. что и подтверждают графики воздействия
и реакции, построенные на рис. 3.44, в и л
3.4.10. Точный расчет установившегося периодического
режима (ряд Фурье в «замкнутой» форме)
Вначале для t > 0 записывают изображение входного сигнала fx (t) в
предположении, что /,(г) = 0 при t <0: Fx(s) = Fu(s)/(l-e~sf), где Fu(s) + fx(t) в интервале
0 < t < Т — изображение условного первого периода входного сигнала.

230
3. Каталог типовых расчетов
Далее находят изображение реакции цепи: F2(s)~Fi(s)FI(s)t где H(s) — ПФ
цепи. Реакцию представляют в виде суммы свободной и вынужденной
составляющих: Fz(л) = F2cn(5) + F/BhtH(s). Вид F2tfi(5) определяется полюсами //(5), то есть
корнями ХП цени, а изображение вынужденной составляющей записывают в
виде F2litilu(s) = F2l(s)/(l-e~sf), где F2A(s) — изображение условного первого
периода искомой установившейся реакции.
Свободную составляющую отделяют от полной реакции и находят F2l(s) =
= [F2(s) - F2cfi(s)\(\ -e~sl ). По изображению F2i(s) вычисляют оригинал, то есть
точное описание искомой периодической реакции /2пи11(0 в интервале 0 < t < Т,
причем слагаемые, содержащие множитель е~*т, в расчет не принимаются:
f^(O = /2i(O*Fn(s\0<t<T.
Пример 3.55. Нэд'гги установившуюся реакцию дифференцирующей цепи
(рис. 3.45, а), где их — периодическое воздействие; и2 — реакция; R = 1 Ом;
С =1 Ф. График воздействия представлен па рис. 3.45, 6.
а
ы,, Bi
10
i
-2 -1 0
Рис.
3.45
1 2 3 4 £, с
б
Запишем для t >0 изображение воздействия U{(s) = Un(s)/(\ -e 2a ), где
Un(s)^(\0/s)(\-e~s)^-jj](t)10 <t <2 — изображение м, (О в пределах периода.
Определив ПФ цепи II,,(л) = U2{s)/U\(s) = s/(s + 1), найдем реакцию:
1-е* А
U2(s) = Ilu(s)Ul(s) = lQ-
причем в свободной составляющей
-2*
Ч_ + ^2.(*)
(s + l)(l-e") s + 1 1-е
-2s '
U2a,(s)=Ai/s + \: Л, = Iim(s + l)f/2(.-t) = 10
5-»-l
1-е
1-е2
= 2,69.
Изображение одного периода установившейся реакции в ин юрвалс 0 < t < Т = 2
^l(5) = |£/z(s)-f/aE.(5)|(l-e-2')=101—1-2.6B1 е*
54-1
5+1
Вычислим для 0<г<2 точное описание иериочической реакции (ряд Фурье
в «замкнутой» форме), то есть всю сумму РФ:
,-с-и
и«угг(0 = «^(0 = 7,316-'8,(0-10е-1'-1,5|(/"1) = 1/21(О.
причем этот результат можно периодически продолжить для -х< t < +oo.

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
231
3.4.11. Точный расчет переходных процессов
при периодических несинусоидальных воздействиях
Основные действия при точном расчете переходных процессов при
периодических несинусоидальных воздействиях совпадают с описанными в 3.4.10. В
случае ненулевых независимых НУ расчет выполняется по ОСЗ цепи. Реакция
определяется в виде суммы свободной и вынужденной составляющих для t >0.
Пример 3.56. В цепи (рис. 3.46, а) при t =0 замыкается ключ К; R = R2 =1 Ом;
С = 1Ф; и, — воздействие, показанное на рис. 3.45, б. Найти ток i2(t).
К
R
+ Л"Х «2
R
:£-о
и,
±7»
+
J
-Wx
'° R
a
Рис. 3.46
Вначале определим независимое НУ. Так как схема цепи лри г. <0 совпадает со
схемой, изображенной на рис. 3.45. воспользуемся полученными данными и
найдем в примере 3.55 (см. 3.4.10) и2\Ф ) = 7,31. Тогда, согласно ЗНК,
ыс(0+) = ы1(0,)-ы21((Г) = 10-7,31 = 2,69 = ^(0").
Составим ОСЗ цепи (рис. 3.46, б), где
s(\ -е г ) s s
Выполнив по МП расчет цепи, получим изображение реакции:
.*(.? +2)(1 -e )
Из сопоставления изображений реакции и ваздействия (и расчета постоянной
времени т = R,C = 0,5 с) следует, что полюс ,v = -2 определяется ХП цени,
поэтому свободная составляющая решения I2ltl(s) = Л/(5 + 2), причем при s -> -2
получим Л, = lim(s +2)/^ (5) = -2,094. Определив согласно методике, изложенной
н 3.4.10, описание вынужденной составляющей для 0 < t < Г = 2
^i(O = (5 + 4,404e"2,)81(O-(5+5e-2(f",))8l(f-l)>

3 Каталог типовых расчетов
периодически продолжаем его для остальных моментов времени £>0, то есть
'2»,н(0 = 'л('-(*-1Ю:(*-1)Г<«<*Г;* = 1, 2, 3...
Полная реакция (описание переходного процесса): f2(/) = i2iu(0 + *2нш(0> где
bnt(O = -2.094e-2,,t>0.
3.4.12. Основы спектрального метода анализа цепей
Если при анализе цепей в Г-области по воздействию fx(t) - fax(t) и ИХ цени h(t)
находят реакцию /2(0 = /пъ«(0| применяя интеграл свертки, то в частотной
области при использовании спекгрального метода применяют соотношение F2(усо) =
= H(jo))Fy(jo)), где Fx(j(u) — спектр апериодического воздействия (то есть
входного сигнала); //(.До) — ЧХ цепи; F1(jd)— спектр реакции (то есть выходного
сигнала). Спектр (правильнее — спектральная плотность) F(j<d) + f(t) существует,
если функция /(/) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости (имеет
конечную площадь). Вычисляют спектр как F(j<£>) = F(s) при s = jox где F(s) —
изображение сигнала f(t) по Лапласу.
Важнейшие характеристики спектра: 1) начальное значение F(yO)= F(yco) при
сз = 0 — rro площааь сигнала f(t)\ 2) узлы спектра — это частоты, при которых
спектры апериодических сигналов принимает нулевые значения; 3) чем короче
и круче сигнал, тем шире его спектр, у самого короткой) и крутого сигнала
/(О = 6(0 спектр F(yco) = 1 имеет бесконечную ширину.
При расчетах определяют ширину спектра сигнала Асосп, используя различные
критерии: 1) «первого лепестка», когда за ширину спектра принимают значение
cov!; 2) 10 %-иый амплитудный; 3) энергетический, основанный на формуле Рэ-
лея, определяющей энергию сигнала \Vf - \f2(t)dt = — J| F(j<o)\2 da.
i. 2ti *
Анализируют ЧХ цепи H(jto) = Л(со)е>ф(м). АЧХ и ФЧХ цени позволяют оценить
ширину полосы пропускания Дсо,, п (обычно как интервал частот, в пределах
которого значения АЧХ не меньше 0,707 от максимума АЧХ), время запаздывания
^ проходящих через цепь сигналов (но наклону ФЧХ в области НЧ или по
значению Ф'(О)).
Амплитудный спектр реакции Л2(со)=|Е,(усо)| находя г как Л2(со) = Л(со)Л,(со),
где Л(а>) — АЧХ цени; Л, (со) — амплитудный спектр воздействия, поэтому
значение АЧХ при w = 0 характеризует отношение площадей реакции и воздействия,
а значение АЧХ при со = оо показывает, с каким коэффициентом скачок сигнала
на входе проходит на выход цепи.
ЧХ цени часто можно приближенно разбить на частотные интервалы: 1)
пропускания (неискажения), если АЧХ Л (со) = const; 2) интегрирования, если Л(со) = k/cx,
3) дифференцирования, если Л(со)=&со; 4) двойного интегрирования, если
Л(со) = к/со2, и т. д.
Оценивают, в каком частотном интервале располагается спектр воздействия,
сравнивая ширину спектра сигнала Дсои1 и ширину полосы пропускания Асоп п.
Это, как правило, позволяет предсказать ожидаемое изменение формы реакции.

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей
3.4.13. Расчет спектра апериодического сигнала
На начальном этапе анализа цепей спектральным методом находят спектр
воздействия. Для примера вычислим спектр сигнала f(t), график которого
приведен на рис. 3.47, а.
Л(сз)А5Л-360
180°
360°
Рис 3.47
Используя показанный на рис. 3.47, а метод двойного дифференцирования,
представим сигнал /(Осуммой стандартных: f(t) = 10б2(О-2()б2(£-6)+ Ю52(/ -12).
С учетом формулы 62 (t — ^0 ) -s- (l/sv )f"*° находим его изображение по Лапласу
Ш
-G<
-I2<
F(5) = -^[l-2e^+e -*"l
а затем спектр — заменой л* = уоз:
10
-со"1 со2
40 2
Далее определяем амплитудный спектр /l(co)=|F(yo3)] = —-sin Зоз и фазовый
сз
спектр (для сз >0) Ф(оз) = arg F(yco) =-бсо. По выражениям Л(<о) и Ф(оз) на
рис. 3.47, б построены графики амплитудного и фазового спектров. Начальное
значение амплитудного спектра равно плошали импульса SA = 360. Узлы (нули)
амплитудного спектра равны covA = kAnftu = for/3. Фазовый спектр — это
линейно изменяющаяся функция, которую изображают пилообразной, отбрасывая
2я 4- 360°.

234
3. Каталог типовых расчетов
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Ширина спектра по критерию «первого лепестка» для треугольного импульса
АсоЛ = 471/г;,, для прямоугольного импульса Дсоп = 2rc/t„t для меандра Д<ом = 4я / /,,.
2. Ширина спектра по 10 %-ному амплитудному критерию приблизительно равна
для треугольного импульса ДмЛ = 4тс/1„9 для прямоугольника Доз,, = 6я/ги; для
сигнала экспоненциальной формы /(/) = /(£)= Ле^6,(г) имеем Дшсхр = 10р.
3.4.14. Оценка реакции методом сравнения спектра
воздействия с частотными характеристиками цепи
Оценку выполним на примере прохождения треугольного импульса (рис. 3.48, а
и 3.47, а) через дифференцирующую ДС-цепь (рис. 3.48, б).
им9 В>
С= 1
о
12 t с
вых
а
Л(со),
1
0,707
0
ПД
1
i
1
1
1
1
1
1
г 1
1
1
1
ПИ
со
и, В*
ных
"иых вх
в
Рис. 3.48
Передаточную функцию цепи вычислим, используя ФДП:
вд=
R
RCs
Uw(s) R + Zc RCs + l 5 + 1
Комплексная ЧХ цепи II(j(o) - усо/(усо + 1), откуда при со> 0 АЧХ /1(со) =| //(./со)| =
= co/Vto2 +12, ФЧХ O(co) = 900-arctgco/l. Приближенно разобьем АЧХ на два
частотных интервала: 1) полосу дифференцирования (ПД), так как при U < ш< 1
асимптота к АЧХ А(ы) s &to = со, что соответствует прогнозу йВЬ1Х = ku'BX\ 2)
полосу пропускания (ПИ) при 1<со<оо, так как при со>1 асимптота к АЧХ

3.4. Операторный и спектральный методы анализа цепей 235
А(($) = const = k = 1 (что соответствует прогнозу м||ЫХ = кит). См. также 3.4.4 и
3.4.12.
На рис. 3.48, в АЧХ, построенная приближенно по ЧИ, показана тонкой линией,
а уточненная (по выражению для АЧХ) — жирной линией. Сравнивая ширину
спектра воздействия Асои| = к/3 « 1 (см. рис. 3.47, б) с ЧХ цепи, приходим к
выводу, что спектр воздействия ulty(t) = /,(/) располагается в ПД, и поэтому на
выходе цепи будет ярко выражен «эффект дифференцирования» входного сигнала
(прогноз ииых = w'BX; см. /' на рис. 3.47, а). Поскольку значение АЧХ на нулевой
частоте Л(0) = 0, то суммарная площадь реакции ывых(£) = /2(0 должна быть
нулевой. Поскольку А(оо)= 1, томвмх(0 )=i4(ar)wnx(0+)=Mnx(0t).
Найдем точное решение операторным методом. С учетом изложенного в 3.4.13
имеем t/BX(s) = F(s), поэтому изображение реакции
V^is) = //(5), Um(s) = -L-i?(l-2e* + е'ш)-
s +1 s1
Переходя к оригиналу, получим:
"«(0 = 110-106-'18,(0-
-[20-20<Г(' ^|Sia-6)+|10-10e-('12)J61(^-12).
На рис. 3.48, г жирной линией показан график точного решения, а тонкой —
прогноз йиых = fc„x, что позволяет убедиться в справедливости приведенных ранее
оценок.
3.4.15. Расчет реакции по ее спектру
Спектральный метод позволяет всегда хотя бы приближенно найти по спектру
реакции F2(/со) сигнал /2(0-
На основании изложенного в 3.4.12 амплитудный спектр реакции Д,(со) =
= Л(со)Л,(а>), где Л(ш) — АЧХ цепи; фазовый спектр Ф3(со) = Ф,(со) + Ф(со), где
Ф(со) — ФЧХ цепи; вещественный спектр В2(ы) = Л2(со)со8Ф2(со); мнимый
Мг (со) = А2 (co)sin Ф^, (со).
2 2
По формулам/2(a)) = — ReL[B2(co)]A^ = —ImL[Af2(co)] Jt находят сигнал но ве-
щественному или мнимому спектрам. Основная трудность здесь — взятие
изображения по Лапласу (L) от спектра. Обычно используют кусочно-линейную
аппроксимацию #2(со)или МДсо).
Наиболее просто отыскать f2 (г) по амплитудному и фазовому спектрам: для это-
то используют формулы связи спектра одиночного импульса /2 с дискретным
спектром периодического сигнала/2п(0, составленного из периодической
последовательности импульсов /2:
9
Ak2=^2<to|); Фи =*2(*«>i)-

236
3. Каталог типовых расчетов
причем период 7* = 2тс/сз, выбирают довольно большим. Записывают ряд Фурье
сигнала /2|| и строят график суммы РФ в пределах периода — это приближенный
график f2(t): чем больше Г. тем точнее расчет.
Для примера в таблице при Т= 24 с приведены значения амплитуд и фаз
дискретного спектра периодического гнгналаи2||(0 =Ли(0' рассчитанные по
приведенным формулам с учетом данных из 3.4.13 и 3.4.14 (гдеиау. =/,, мвых = /2, ^ —
АЧХ цепи. Ф — ФЧХ) для диапазона частот 0 £ со < 1 соответствующего ширине
снекгра входного сигнала.
к
0
1
2
3
1
«4
0
я/12 s 0,25
2гс/12 = 0,5
Зя/12г0.75
4tt/L2 ^ 1
Лг
360
292
146
32
0
Ф, 1 А
0° 0
-90°
-180°
-270°
-360°
0,24
0,45
0,60
0,707
Ф
90°
75°
60°
53°
45°
А2
0
70
66
19
0
Ф2
—
-15°
-120й
-217°
—
Ak2
0
5,8
5,6
1.6
—
Фи
—
-15°
-1АГ
-217°
—
По этим данным записываем РФ:
/
w„(0 = 5,8cos
я
(2к
\
— f-15° +5,6cos — £-120°
12 J U2
+ 1,6 cos
/
\
Зя
12
r-217°
На рис. 3.49 построены график суммы РФ ы.(0 в пределах одного периода
0 < t < Г = 24 и график проигиюдиой от входного импульсам'ш(г) = wuux(О. тоепь
график прогноза (см. 3.4.14).
Приближенно полученный график иьых (t) = u„(t) при 0 <г <Т = 24 с довольно
хорошо согласуется с точным решением, рассмотренным в 3.4.14 (см. рис. 3.48, г).
вых
18 20 22 24
t, с
-10 —
Рис. 3.49

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
237
3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами
и зависимыми источниками
3.5.1. Метод уравнений Кирхгофа при расчете
индуктивно связанных цепей
При наличии в цени индуктивно связанного элемента (ИСЭ), то есть двух
идеализированных ИС-катушек, напряжение каждой катушки складывается из
гуммы напряжений самоиндукции и взаимной индукции. Например, на 1-й катушке
и{ =ып +w,2 = Lxi\ + Afi*2, где М = ±\М\ — взаимная индуктивность. При
согласном включении (когда токи НС-катушек ориентированы одинаково
относительно выводов, помеченных «звездочками») следует принять М>0, при
встречном — М <0. Для цени, изображенной на рис. 3.50, а, с учетом встречного
включения система независимых уравнений Кирхгофа в ^-области (для / > 0)
будет следующей:
*\-*г ~h =0;
/
dix
dlA
г
di,
dl
Rl + L ^ -I Ml
1 { * dt dt )
lfi3A + «r(0')-f£a^HM|^|-| = 0.
L2—L-\M\
dix
о
at
dt
= «(0:
Ф" ''')
f V-'
J
Рис. 3.50
Для УСР целесообразно составить комплексную схему цепи (рис. 3.50, б) и по
ней записать уравнения Кирхгофа:
Л-/2-/з=0;
ZJ\ + (ЗД +ZMi.1) + {Z,J2 + ZiM/,) = tf;
^Л-(27.А+ЗД)=о,
где ZR = R\ ZL = jwLt; ZL2 = jwLz\ Zc = -./'/( toC), а комплексное сопротивление
взаимной индуктивности ZM = jtoM = -j<o\ M|, поскольку включение —
встречное.

238
3. Каталог типовых расчетов
3.5.2. Метод эквивалентного исключения индуктивной
связи при расчете индуктивно связанных цепей
Когда индуктивно связанные катушки имеют общий узел, можно преобразовать
заданную цепь к эквивалентной схеме без индуктивной связи. Для расчета
преобразованной цспл применимы любые методы анализа (MIIB, MKT, МУН и т. д.).
На рис. 3.51, а и б приведены цепи с индуктивной связью и эквивалентные им —
без индуктивной связи, причем отрицательная индуктивность L на рис. 3.51, б
является чисто расчетной величиной. В установившемся синусоидальном
режиме комплексное сопротивление в этом случае Z^ = -/со|М|. Если общего узла
у ИСЭ нет, исключить индуктивную связь невозможно.
£э1-£,-|А/| L32 = L2-\M\
L* " \М\
j^r>r\
L3f = Lx + \М\ L,2 - L2 + \M\
Ца- М
©«
R i, h ~ M \M\
,L2 - \M\
I
в
Рис. 3.51
Для цепи, изображенной на рис. 3.50, например, схема после исключения
индуктивной связи и соответствующая ей комплексная схема при ведены на рис. 3.51, в,
где ZR = R; Z3i = ja(Lx -\ М\ ); Z„2 = ;g>(L2 -| М\); Z^ = >| M\\ZC = -у/(о>С).
3.5.3. Расчет цепи с трансформатором
Анализ цепи с трансформатором полностью соогветсгвует описанным в 3.5.1
принципам расчета.

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
239
Пример 3.57. В установившемся
синусоидальном режиме в цепи (рис. 3.52)
наблюдается резонанс, причем £/, =60 В; R{ =2 Ом;
Ом; |Zj=10 Ом; |ZU| = 9 Ом; |ZJ = 6 Ом.
Найти R2, /p /2 и коэффициент связи.
Предполагая аи| =0, имеем £/, =U^eJUu] = 60;
при выбранных направлениях токов
включение ИС-катушек встречнос, следовательно,
ZM =-j6y кроме того, Zc =-j8, Zu = у"10,
Z\,2 = ./"•
При резонансе ImZBX =0, поэтому в начале расчета находим Zux. Записываем
уравнения ЗНК: Zu/, + ZM/2 =0p ZUI2 +ZMIl =0, где Zlt =Rl +ZLX +ZC = 2 + j2;
Z22 = R2 + ZL2 = #2 + y"9 — полные сопротивления цепей первичной и вторичной
обмоток трансформатора.
Из второго уравнения находим функцию передачи по току Н1 = /2//, = —zM /z22,
а затем из первого уравнения — входное сопротивление трансформатора Zm =
-0Jlx = Zn -Z2MjZ22 =(2 + _/2)+36/(/?2 +./9). По условию резонанса ImZm =
= 2-36-9/(7?? +81) = 0, откуда находим R2 =9 Ом. Далее определяем: Zm =4;
/( = UjZ„ ='15;/, =|/tl=15A;/2 = -ZMiJZ22 = уб■ 15/(9 + j9); /2 =|/2| = 5л/2 А.
Коэффициент связи ИС-катушек находим по формуле
си
Z
V/
Vl*u||Zia| ^б"
ПРИМЕЧАНИЕ
При усюином КЗ, например, узлов Л и Б (ток в такой ветви i^ =0, что эквивален г-
но XX) можно для расчета использовать метод эквивалентно! о исключения
индуктивной связи (см. 3.5.2). поскольку у ИС-кагушск «искусственно появляется»
общий узел.
3.5.4. Расчет переходных процессов
в индуктивно связанных цепях
Переходные процессы в цепях с индуктивной связью, как правило,
анализируются операторным методом; дифференциальные уравнения преобразуются по
Лапласу с использованием теоремы о дифференцировании оригинала, например,
Li'L(t) + sLIL(s)-LiL(0~). Если у ИС-катушек имеется общий узел,
целесообразно перейти к эквивалентной схеме без индуктивной связи и рассчитать
переходный процесс, как в обычной цепи.
Пример 3.58. Проанализировать переходный процесс для цепи, изображенной
на рис. 3.53, а, где R = 3 Ом; L = 1 Гн; | Л/] = 0,5 Гн; и{) =6 В = const.
I независимые НУ ^(О") = и (0" ) = и0 / R = 2 А. ДУ цепи, составленные для L > 0
по законам Кирхгофа при М <0 (встречное включение).

240
3. Каталог типовых расчетов
в
ад
Vi<°")
Ш
Ы*)
ZflW
+^° L32i2(0 )UJ 73<s)
Л
i?
в
Рис. 3.53
ш at
\M\<!±-L^-Ri,+Ri , =0;
=и0;
Исключая n:i системы «ж ;', = /, -», и подставляя численные значения
параметров, получим:
rf''+31,-0.5^.-313 =6;
*
dt
-0.5^!--3i,+^- + 6i, =0.
A dt
Преобразуем систему по Лапласу с учетом i3(0 ) = 0:
(s + 3)/,(s)-(3 + 0,5s)/3(5) = - + 2;
-(0,5s + 3)/,(s) + (s+6)/3(s) = -l.

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
241
Решая полученную систему, находим изображения, а по ним оригиналы /,(/) и
s(s + 2)(.* + 6)
/,(,)- 8v+24 --'- - --*
fir.
s(5 + 2)(s + 6) '
тогда i2(t) = ixit)-13(/) = 2 -e~2t + e"6'.
Рассмотрим на этом же примере анализ переходного процесса с использованием
эквивалентной схемы без индуктивной связи (рис. 3.53, б); ОСЗ цепи приведена
па рис. 3.53, е. причем I3l = L -| М\ = 0,5 Гн; 1э2 = I -| Л/| = 0,5 Гн; L^ = | М] = 0,5 Гн;
гэ1(5)=о.55 = гл(о = ^(5).
Используя МКТ, получим систему
(5 + 3)/Kl(5)-(0,5s + 3)/1(2(s) = - + 2;
40.5s + 3)7K,(s) + (6 + 5)7.2(5) = -1.
которая полностью соответствует приведенной ранее с учетом /к1(^) =/,(а),
3.5.5. Расчет параметров четырехполюсников
Связь между входными и выходными токами и напряжениями ЧП (рис. 3.54, а)
описывается шестью эквивалентными формами уравнений:
7 2 =У21и1+Уп^1'
.L/2 =i2l'| +^22'2-
г/, =а„С72 +о12(-/2);
Л =«л^2 +°22 (-'г);
U2 =buUx +bl2(-/,);Ji/, = Vi +A12t/2; Г/, =^„С/, + g,2/2;
Л =Л2.^1 + М-ЛМ'2 =*лЛ +A^CV2;[t72 = £2lt/, +g2J/2
/2(S)
о 2'
t/,
1' <>
ZL -ft
U,
*2'
Рис. 3.54
Смысл и значение входящих в уравнения коэффициентов, то есть параметров
ЧП, определяются из опытов XX и КЗ входных 1Г и выходных 22' клемм ЧП.

242
3. Каталог типовых расчетов
У пассивных ЧИ выполняются условия обратимости: уп = */2],г]2 = z2v &a =
= апап -at2a2i = 1; при симметрии ЧП к ним добавляются соотношения уи = */22»
Zl\ = Z22» а1\ = а22-
Пример 3.59. Схема ЧП, находящегося в УСР, приведена на рис. 3.54, бч пайги
в-иараметры 411.
Из опыта XX выхода (/2 =0) определяем:
_t/, _/,(Д, + Z,)_
а
Л
°н = ТГ = " i ^—'— = l-f> а1\ = 7Г" = ^~Ь- ~ ~АЛ
U.
itzL
U2 ItZL
а
Из опыта КЗ выхода (LJ2 = 0) находим:
а,2 =
U,
Л*-
-/.
Ri+zL
я, + я2+^ = з-,-,
°"П =
-7.
= 1 +
/,
*2 +А
*1
= 1-_/0,5.
Проверка: Аа = аиа22 -апа2Х = (1-;)(1- Д5)-(3-;)(-;(),5) = 1.
3.5.6. Пересчет параметров четырехполюсников
Поскольку один и тот же ЧП можно описать шестью способами (см. 3.5.5), го
можно параметры одной формы уравнений выразить через параметры другой
формы. Например, если уравнения через я-параметры разрешить относительно
С/, и U2, можно получить связь между а- и z- параметрами.
Это преобразование проще всего формализовать, записав искомые переменные
в левой части уравнений:
Ux-anU2 =flI2(-/2);
Of/, + a2lU2 ~I{ + a22l2>
откуда, используя определители, находим:
Ut =
1
а
21
я12<-'г) ~ап
1Х + я22/2
о.
21
1
а
[оп1х + 012я21(-/2) + я11я22/2|;
21
1/2 =
1
а
21
1 я12(-/2)
0 /, + а2212
а
[Л +«22*2 I-
21
Таким образом, искомая матрица г-параметров

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
243
и=
и
21
^12
Z'l2 J
а
it
Д
а
а
21
21
22
1_Я21
а
21 .
Проверка: у симметричного ЧП при Д„ =1 и ап = а22, естественно, получаем
Z\2 ~Z2\ И Z\\ =Г22*
Аналогично можно получать соотношения для пересчета других параметров ЧП,
используя также и опыты XX и КЗ, описанные в 3.5.5.
3.5.7. Расчет передаточных функций
нагруженного четырехполюсника
Для нагруженного ЧП (рис. 3.55) уравнение нагрузки имеет вид IIг = Z(l(-/2)
или -I2 ~YitU2.
L
1
+
ц
ЧП
h
i
' +1
и2
_
т
*н
Рис. 3.55
Передаточные функции можно найти, используя любые параметры ЧП. К двум
уравнениям ЧП добавляют уравнение нагрузки, то есть получаются фи
уравнения с переменными Uv £/2, /,, /2. Исключая две «лишние» переменные, находят
уравнение связи воздействия с реакцией и определяют ПФ.
Пример 3.60. Найти ПФ по напряжению //„(s) =U2(s)/Ui(s)1 используя г-пара-
метры.
Систему уравнении (U{ =-u/| + -i2/2; U2 ~ziJ\ +^22^2» ~^г = ^..^г) записываем
в упорядоченной форме с воздействием в правой части:
zn/j +zl2l2 + 0-t/2 =£/,;
^21 I II 2 2 == '
O-^+^+F^ =0.
Решая систему определителями, получим искомое уравнение:
и2 =
41
:21
о
12
22
1
о
о
11
•и
-21 ~22
0 1
о
-1
II
Г21^1
-11 +д/у..
//„<*) =
■21
=и + ь*.

244
3. Каталог типовых расчетов
ПРИМЕЧАНИЕ
В отличие от рассмотренного общего случая расчет ПФ часто намного проще.
Пример 3.61. Найти Hv и входное сопротивление ЧП, используя «-параметры.
В первое уравнение «-формы подставляем уравнение нагрузки: Ux = aX\U2 +
+ anYnU2, откуда Hr =l/(an + ai2YH). Входное сопротивление определяем,
разделив первое уравнение а-формы на второе:
I, a2lU2+a22YllU2 a2l + аг2Уп
3.5.8. Расчет каскадного соединения четырехполюсников
При каскадном соединении ЧП (рис. 3.56, а) результирующая матрица о-пара-
метров вычисляется перемножением матриц отдельных ЧП: \а\ = \а]{ \а]2, причем
следует помнить, чго произведение матриц неперсместигельно (\а\ * |а|2[а],).
W Г
+
Ux{s) \
Я2-1
{ZZ>
ZL=j2
1*1:
Рис. 3.56
Для определения «-параметров сложного ЧП лестничной струкгуры удобно
представить его каскадным соединением п простейших ЧП. Тогда
результирующая матрица \а\ = \о]}\а\2---[а\а.
Пример 3.62. Определить а-параметры ЧП (рис. 3.56, б), находящегося в
установившемся синусоидальном режиме.
Представим ЧП каска in ым соединением трех простейших ЧП, мат])ицы
«-параметров которых полезно помнить:
м, =
М z,
о 1
; |я|3 =
"1 *.,
о 1
: \а\2 =
\Уг
1 О
1
— это матрицы так называемых «продольных» (Z) и «поперечных» (У) ЧП. В
результате получим:
[о] = |а],[я]2|а]3 =
1 2
0 1
1 0
-./0,5 1_
1 1
1 1
W 3-;
-./0,5 1-Д5
Проверка: у пассивного ЧП Да = (1 -j)(l-./0,5) + j0,5(3- j) = 1.

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками 245
3.5.9. Расчет цепей с зависимыми (управляемыми)
источниками
К системе уравнений выбранного метода расчета (уравнения Кирхгофа,
состояния, контурные, узловые и др.) добавляется уравнение ЗИ. При этом токи
(напряжения) ветвей управления ЗИ должны быть выражены через переменные
системы.
Пример 3.63. Найти передаточную функцию
цепи с ИТУТ (рис. 3.57), где и, — воздействие;
и3 — реакция; R2 = 1 Ом; R6 =2 Ом; С = 1 Ф;
i4 = 0,5/2.
Применим МКТ. Выбрав контурные токи (см.
рис. 3.57), составим систему МКТ в
операторной форме (U =U(s)\ I = I(s)):
(R2 + R3 + Zc )/KI -(Д3 + Zc )/K2 ={/,; /K2 = /4,
где Zc = \/{sC). Выразим ток управления ЗИ Т2 через контурные токи: /2 = /К1.
Подставив уравнение ЗИ /4 = 0,5/К1 =7^ в систему, найдем:
/м= = -^-Ц; /K2=/M=_L_f/
R2 + 0,5(tf3 +2r) 4s + l ' ю 2 45 + 1
Вычислим реакцию цепи: U3 = (/к! -/Кг)^з = 2sl/1(s)/(4s +1), откуда искомая
передаточная функция цепи H(s) = U:i(s)/Ul(s) =0,55/(5 + 0,25).
3.5.10. Расчет цепей с обратимыми и необратимыми
четырехполюсниками, замещенными схемами с ЗИ
Четырехполюсные элементы, описываемые уравнениями в z- или #-форме,
заменяются схемами замещения с ЗИ (рис. 3.58, а и б). Рекомендуется при расчете
цепей со схемами, приведенными на рис. 3.58, а, использовать МКТ, а со для
цепей со схемами, изображенными на рис. 3.58, б, — МУП, записывая уравнения в
виде [ZMIfI ]|/к ] + \UM \ = [UK] для МКТ и |УМУ11 \[Uy | + [/,„ \ = [1у]-пдя МУН.
где [i/311 ] — матрица напряжений И НУТ в схемах, соответствующих рис. 3.58, а\
[/зи] — матрица токов ИТУН в схемах, соответствующих рис. 3.58, б. Правило
знаков при их вычислении обратно правилу знаков для конгурных напряжений
ИН [£/к ] и узловых токов ИТ |/у |, при этом везде / = I(s)t U = U(s).
Пример 3.64. Составить систему уравнений МУН для цепи (рис. 3.58, в) с 411,
заданным матрицей [у].
Схема замещения цепи приведена на рис. 3.58, г, где, согласно рис. 3.58, б,
Лзш =У12ичт'* 'зиг =У211/чш: узел 3 - базисный.
Сформируем уравнения МУН:
(#п 4'C2)Uyi -G2UУ2 +/3И1 ='р
-C2t/yl + (G2 + #22 + G3 )Uy2 + /ЗИ2 =0.
Рис. 3.57

246
3. Каталог типовых расчетов
+ о
— о
о —
Л
+ о *-
£Л
I
Уи
— О-
Упиг<^) <0>l/2i^i
/,
Т
I
ч о +
У-я Щ
Я
в
с
с
\
+
1 (—
1
Г"<
^ЗИ1
"*\ Г
' \
>
R2
1 г
1 1
<
'ЗИ2
2
У22Г
>
J
+
"чП2
1
±
ft.
Рис. 3.58
Перепишем уравнения ЗИ с учетом U4m = Uyi\ UHll2 —Uy2 и подставим их в
систему. В итоге получим:
(уи + С2)£/У1 + (#12 ~G2)Uy2 = /,;
(У2i -С,)1/У1 + (г/22 +С2 +С3)1/У2 =0.
При анализе рекомендуется так выбирать в МКТ независимые контуры (или
базисный узел — в МУН), чтобы токи ЧП были контурными (а напряжения ЧП,
по возможности, узловыми), и присваивать им «первые» номера (что и было
сделано в примере).
3.5.11. Расчет цепей с операционными усилителями
Операционный усилитель (ОУ) — это ИНУН, изображенный на рис. 3.59, а,
выходное напряжение которого пропорционально разности входных. Условное
обозначение ОУ приведено на рис. 3.59,6. Входные токи ОУ равны нулю. Уравнение ОУ
*Л)Увых — *("оУвх + ^ОУвх-)-
(3.6«)

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
247
Идеальный ОУ имеет кпу -> со. Входы идеального ОУ эквипотенциальны:
"оУнх+- — "оУих-
(3.66)
При расчете цепей с ОУ в основном используется МУН; уравнения
составляются для всех независимых узлов, кроме выходного узла ОУ. Система дополняется
уравнением (3.6а) или, если ОУ идеальный, уравнением (3.66).
+
а
ОУвх
а
ОУвх+
+
а
ОУвх-
ОУпых
"оУвых ^ОУ^ОУвх
= *Оу(^ОУвх+ ~ ^ОУвх )
^ОУвх* °
W
ОУвх °
"оУвых *ОУ^ОУвх
т
в
Рис. 3.59
Пример 3.65. Найти входное сопротивление цепи с идеальным ОУ (рис. 3.59, в).
Определить назначение схемы при Y0l =sC; У02 =С02; Ух =С,.
Приняв узел 4 базисным, запишем в операгорной форме систему уравнений
МУП для всех узлов, кроме узла 2 (то есть кроме выходного узла ОУ — это
особенность МУН в цепях с О У):
С/у1=У,: -У01£/у2 + (Y0l + У, )Uy3 = 0.
С учетом (3.66) дополнительное уравнение будет t/, =Uy3. В результате получим:
Uvl=Ut; Uvi=(\ + YJY0i)Ur
Учитывая, что /ОУвх =0, найдем входной ток:
/, =1г = (I/yl -Uy2)Ym = -UlY02YJYm,
I

248
3 Каталог типовых расчетов
откуда входное сопротивление
01
их
У У
1 02 * I
Подставив исходные данные, получим Z^ = -sC7?02/?1 = -$1э, то есть схема
реализует характеристики /.-элемента с идеальной отрицательной индуктивностью.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Если в цепи используются только R-элементы, го входное сопротивление
Zm =-G01/(G02G1)= -Л,, и схема реализует характеристики эквивалентного
отрицательного сопротивления.
2. Для формирования характеристик «положительной* индуктивности схема
должна быть дополнена описанной ранее цепью, реализующей отрицательное
сопротивление (например, вместо элемента У,).
3.5.12. Использование схем замещения с зависимыми
источниками для расчета индуктивно связанных цепей
Индуктивно связанный элемент (ИСЭ), описываемый операторными
уравнениями
Ux =sLxIx +sMl2\ U2 =sMI{ + si2/2,
можно рассматривать как ЧП с известными
z22 = sL2> — или ^-параметрами:
L2
У и =—; У и =Уг\ =
:-нарамстрами:£м = sL,;z,2 = z2i =sM;
М
sAL
Уп =
sA,
где AL = LXL2 —М2 (причем при совершенной магнитной связи, когда LtL2 = Л/2,
^-параметры не существуют). Все дальнейшие расчеты выполняются в
соответствии с изложенным в 3.5.10.
Пример 3.66. Составить схему замещения ИСЦ (рис. 3.60, я).
а
Рис 3.60

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
249
Схема замещения приведена на рис. 3.60, б, где 1/зи, = sMI2; U3m = sMIx; zn = sLx;
z22 =5L2; zc =\/(Cs). Независимые начальные условия при составлении схемы
считаем нулевыми. Везде принято / = /(s); U =U(s).
Использование схем замещения с ЗИ позволяет при анализе ИСЦ эффективно
применять МКТ и МУН.
3.5.13. Расчет параметров Т- и П-образных эквивалентных
схем замещения пассивных ЧП
На основании уравнений z- и #-форм ЧП
Ч\ =ГпЛ + ^12^2»
U 2 =*2l' 1 +г22^2»
Л = #М*Л +.^12^;
/2 =y2lU, + #22^2
можно найти параметры пассивных ЧП, заданных Т- и П-образными схемами,
изображенными на рис. 3.61, а и б соответственно.
а
Рис. 3.61
В режиме XX ЧП при /2 =0 имеем zu = £/,//, = Z, + Z,; z2J =U2/IX = ZS, а при
/, =0 НОЛуЧИМ Г|2 =U\I^2 =^3 =Г21»;:22 = ^2 + ^3"
В режиме КЗ ЧП при i/2 =0 находим ухх ~IX/UX = YX +У31 ^д = '2/^1 = ~*3'
апри£/, = 0 имеем #12 = /,Д/2 = ~уз = Уг\'>Уи =hlui =Y2+Ys-
Таким образом, параметры ZX,Z2, Z3 эквивалентной Т-образной и YltY2, Y3
эквивалентной П-образной схем замещения пассивного ЧП (рис. 3.61) определяются
через его z- и ^-параметры соответственно по формулам
Zx =Zj| — zxl\ Z2 = z22 ~^i2*» Z3 =zl2;
У\=Уи+У\2* У2=^22+.У12; У3 =-*12-
Пример 3,67. Найти параметры Т- и П-образных схем замещения ЧП, заданного
ГЗ 2™
матрицей [z] =
13ЫЧИСЛИМ Zt — Z]| —Z| 1 — 1J Z2 — Z22 —^12 — ^» Z3 — Z|2 — ^«
Чтобы найти параметры П-образной схемы замещения, найдем вначале
^-параметры ЧП:

250
3 Каталог типовых расчетов
и = Z'n -0 5-ц Zn - 0 24-и - *" -0^75
clel[r] det[z delfc]
Вычислим У, =i/n -#12 =0,25; K2 = z/22 ~#i2 = 0,125; F3 =-y{2 =0,25.
ПРИМЕЧАНИЕ
Для перехода от Т-образпой схемы замещения к П-образной (и наоборот) можно
использовать также формулы преобразования «звезда» — «треугольник» и
«треугольник» — «звезда».
3.5.14. Расчет симметричного ЧП в согласованном режиме
Характеристическое сопротивление симметричного ЧП Zc (то есть такое
сопротивление нагрузки ЧП Z1(1 при котором входное сопротивление Znx =ZH),
рассчитывается но формуле Zc = (zufyu)x/2 =(fli2/fl2i)l/2 =(^хх^кз)1/2» где ^хх ~
сопротивление холостого хода (то есм. входное сопротивление ЧП при XX на
выходе); ZKn — сопротивление короткого замыкания (то есть входное
сопротивление ЧП при КЗ на выходе). При Z„ =Zf =Znx режим нагрузки ЧП называют
согласованным.
Передаточные функции ЧП в этом случае одинаковы:
е/2(д)_/,(д)
£/,(*) 1,(3)
= Я,.(л) = Я,(.*) =
1
аи +(а,2Д21)
1 7
7 -7
Ч^ХХ +^гУ
Пример 3.68. Схема симметричного ЧП приведена на рис 3.62 при
/^ = /?2 = 1 Ом; С3 =0,5 Ф; Z(i — сопротивление согласованно!! нафузки. В цепи
установившийся синусоидальный режим; <о = 2 рад/с. Считая сопротивление иа-
грузки пассивным, найти характеристическое сопротивление и значение ЧХ
цепи в УСР па указанной частоте (s = j<o = J2), то есть IIi;(j2) = IIs (/2).
Рис. 3.62
Найдем Z3 =-,/ =-/ Так как внутренняя структура ЧП известна, опредс-
мС3
л им Zxx и ZK3:
гхх - ^ + Zj - 1 "У: ^k:j - Л, +
Л2 + Z3 1 - ;

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками 251
Определим характеристическое сопротивление
2Г =±VZXXZK3 =±A/Tr2/ = ±VV5e-'63'4\
то есть имеем два решения: Zrl = 1,27 — 0,786,/ = 1,5е~'31,7 , Zc2 =-1,27 +0,786/
Второе решение не удовлетворяет условию пассивности нагрузки (так как ReZ <0)
и потому отбрасывается. Итак, Zc = 1,27 -0,786,/ = ZH.
Значение ЧХ цепи в указанной схеме ЧП (рис. 3.62) проще всего найти по ФДТ:
^з = Ч_
Z3 + R2 + ZH -j + 1 + (1.27 - Д786)
НА =_ ГЗ—_=____£———=0,214-Д242 = 0,35бГ'52\
то есть на указанной частоте ЛЧХ Л(ш) = 0,35, ФЧХ Ф(со) ~ -52'
ПРИМЕЧАНИЕ
В примере намерении отражены неудобства и сложности, которые могут
возникнуть при решении задачи: 1) характеристическое сопротивление и сопротивление
С-злемента обозначаются почти одинаково (Zc и Zc)\ 2) при вычислении
квадратного корня необходимо учитывать оба знака в формулах и характеристического
сопротивления, и ЧХ, при этом взаимное соответствие получаемых результатов
не является очевидным, поэтому значения ЧХ проще находить но схеме ЧП (как
в примере); 3) если 411 задан не схемой, а, например, «-параметрами,
целесообразно каждый из них в УСР записать в показательной форме (например,(-1)- =
= (^|8(1"У/2 = ±j, и оба результата могут оказаться реализуемыми).
3.5.15. Определение параметров однородной длинной
линии
Рассмотрим довольно сложную задачу определения параметров длинной линии
(ДЛ) но измеренным ее сопротивлениям холостого хода и короткого замыкания.
Пример 3.69. Для воздушной однородной ДЛ длиной / ~ 100 км на частоте
/ = 1/Г = 10* Гц в УСР измерены сопротивления се XX и КЗ: Zxx = 1128е'|7,6в,
ZK:, =264^ '20\ Определить первичные и вторичные параметры ДЛ, длину волны
А, фазовую скорость движения волн в ДЛ иф и проконтролировать полученные
результаты.
При определении в УСР параметров и характеристик ДЛ (которая является
симметричным ЧП) используют следующие формулы:
ZH =ZC =(ZxxZK3f2 = JZJY0 =,/(/?, +;coI0)/(G0 +>oC0);
ey = e"Y0' = V(zxx -z» )/<zxx + Zn ): To =V^V« = ac(co) + ;P0(to); Z0 =Z„y0;
Yq =Yo/Z.;b = 2*/Po =ифГ = оф//:иф = X/T = co/p0; Zxx =Ze/thy0/;
ZK3 =ZBtitY0L

252 3. Каталог типовых расчетов
где ZB = Zv — волновое (характеристическое) сопротивление; L0, R^, С0, С0У Z0,
Y{i — погонные (первичные) параметры ДЛ (как цепи с распределенными
параметрами) на единицу длины ДЛ; у0 = у// = (а + j'P)// коэффициент
распространения, то есть погонная характеристическая мера передачи ДЛ; а0 = а//, Р0 =Р// —
погонные коэффициенты затухания и фазы; ш = 2тг/ — частота сигнала.
Находим Z. =(ZXXZKJ)1/2 ==(112&'lw264e-'2D')1/2 =54&TJlA\
Контроль: фаза, то есть | argZj = 1,2°, не превышает 90°.
Далее определяем
6уЫ _eY =^(af^P) =e<"n**nW _
^хх + ^в
7 -7
= [(1621 + j330)/(529+ ;352)],/2.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Формальный результат ey°l = l.6l<TJl1° =e0,47rV";I1° неприемлем, поскольку
суммарный коэффициент фазы (который характеризует «набег фазы» при движении
полны сигнала в ДЛ) р =р0/ = -11° "С может быть отрицательным.
2. Учитывая «второй знак перед корнем квадратным», увеличиваем фазу на 180°
и записываем eTn/ = e0-47fi^I69°( однако и этот результат требует корректировки.
Л. При прохождении волной в ДЛ расстояния, равного половине длины волны Х/2,
«набег фазы» составляет 180° — п рад. Поэтому необходимо оценить количество
таких интервалов k = //(0,5Х) = 2/Д и добавить к принятому значению р = 169с еще
Ш0°.
А. Учитывая, что априори в воздушных ДЛ оф близка к скорости света о_,
оцениваем к = о Т = 3 ■ 105 • КГ1 = 30 км, k = 2/Д = 200/30 = 6,7. Принимаем к = 6 и
уточняем коэффициент фазы р, = р01/ = 169°+*180° = 1249° = 21,8 рад.
5. Для «страховки» используем также k - 7 и второй вариант ри =169°+7-180° =
= 1429° = 24,9 рад.
Итак, имеем
Yoi =Y1// = (a + ;pl)// = (0,476 + ;21.8)/10()=0,2l8^B8'7e=a0+;poI;
Y0II = 0.249е'ад\
По найденным вторичным параметрам (ZD и у0) определяем первичные:
Z0I =Zbyw =546e">r2°0>218eje8-7e =119^в7Д" = R0 +jcoI0;
K0I =y0!/ZB =0f218V^7V546^u# =3>99-10"4е/8ад" =Gft +;coC0.
Второй вариант:
Zm =Ztym =546e-^°0,249eJ™°;Yon =TolI/Z. = 0.24<k'№-9Y546^-2\
Контроль: второй вариант неприемлем, так как фаза argFon = 90,1°> 90е и
погонная проводимость С0 ДЛ получается отрицательной.

3.5. Расчет цепей с многополюсными элементами и зависимыми источниками
Уточняем первичные параметры ДЛ:
Rq =119cos87,5°=5,19 Ом/км:
I0 =119sin87,57(2n/) = ll^(2Tc-104) = 1.89-10'3 Гн/км;
G0 =3,99-10~4 cos89,9°=6,9610~7 См/км;
С0 =3,99-10~4sin89i9°/(o = 0(635-10-8 Ф/км.
Определяем также а0 = а// = 0,00476 Нп/км; Ру =0,218 рад/км; Х = 2я/Р0 =
= 2л/0,218 = 28,8км;иф = V7, = 28,8/l0^ =2,88-10* км/с < ис.
Контроль: определяем «набег фазы» по длине ДЛ: k =21/ К = 200/28,8 = 6,94
Это соответствует р = 180° £ = 180°-6,94 = 1249°= ро/ =0,218-100 = 21,8 рад, что
и было получено ранее.
ПРИМЕЧАНИЕ
При использовании в расчетах для «страховки» k =5 тоже получили бы
неприемлемый результат Vф > ис.
Вывод. Рассчитывать параметры ДЛ необходимо с высокой точностью,
непрерывно оценивая получаемые данные.
3.5.16. Расчет установившегося синусоидального режима
в цепях с распределенными параметрами
При анализе УСР в однородных ДЛ используется либо гиперболическая форма
уравнений ДЛ как симметричного ЧП
Ux =L72chY0jr + /2ZBshyn.r; Ix = U2shytix/ZH +/2chy0x, (3.7a)
либо уравнения ДЛ с записью падающей и отраженной волн:
пх ^^ох ~ ^н2° т^о2
/ = / - / = / РУй* -1 Р~У0Х
лх * ал л cir л ч2с л п2°
(3.76)
где х-координата ДЛ, отсчитанная от нагрузки Z,L (то есть от конца ДЛ дли-
ной /), причем в начале ДЛ при х=/ имеем Ut = !/,, it=i}tZn =^JZn/YG =
"лК^о + -A°L0)/(G0 +70>C0)=:'^r "" это волновое (то есть характеристическое)
сопротивление ДЛ; YoO*0) = V^o^o = ао + УРо — коэффициент распространения,
то есть погонная характеристическая мера передачи ДЛ как симметричного ЧП
Уо = У/' "(а + jP)/£ ^o» Lq'Cq'Gq* Zq>Yo ~~ погонные первичные параметры ДЛ;
а0 =а//, Р0 =Р// — погонные коэффициенты затухания и фазы; Qnxt Um9 /llr>
/m — падающие и отраженные волны напряжения и тока, причем в конце ДЛ
при х=0 имеем f/2, 11% U2 ^Zj2\ n = (Zn-Zn)/(Zn + ZH )=Uo2/Un2 =/n2//„2 -
коэффициент отражения; t/Ilr//lu =0ш/1т = Zn.

254 3. Каталог типовых расчетов
В случае использования системы (3.7а) к уравнениям ДЛ как 411 добавляют
уравнение нагрузки U2 ~Z.J2 н вначале, зная воздействие на входе ДЛ, напри-
мер, (/, (при х = 0 определяют U2, /2, /,, а затем Ux, Iх в любой точке ДЛ.
При согласованной нагрузке Zn =Zn, когда отраженные волны отсутствуют
(поскольку п =0), предпочтительнее использовать систему (3.76). При XX нагрузки
(при 12 = 0) нлп КЗ нагрузки (при 02 = 0) могут быть испольдованы оба
варианта уравнений ДЛ.
Для анализа УСР в ДЛ удобен МПВ. Допустим, например, U'n2 = 1, тогда
U'n2 =nU'n2 =п, и по уравнениям (3.76) определяем U[ =eyt)I + we~Yu'; /j =
после чего может быть найден коэффициент
пропорциональности, например, k =UyfU[, и дальнейший расчет очевиден.
Пример 3.70. В разомкнутой на конце линии без потерь (R0 =0. С0 =0) длиной
/ - 60 км при УСР заданы £/, =10 В; а> = 5 103 рад/с; LQ =0.24-Ю-2 Гн/км;
С0 =0,667 ■ 10~8 Ф/км. Найти f/7, /,, а также фазовую скорость и(|) и длину волны
X в ДЛ.
Вначале находим вторичные параметры ДЛ: Zn = ^JZG/YG =V'-o/^o =600 Ом;
YoO'co) = ctoC^) + jPo(w) = V^o^o = i^V^o^c = /2 • 10'2. то есть погонный
коэффициент затухания a0 =0, а коэффициент фазы ро =2-l(TJ рад/км.
Далее используем систему (3.7а) при х =/ и /2 =0 (поскольку Zlt =oo).
Принимая в МКА начальную фазу входного напряжения нулевой (то сстьС^ -Ux = 10),
получим из первого уравнения U2 = £/1/chy0/={/t/cospo/ = 27I6l следовательно,
U2 =27,6 В. Далее, используя второе уравнение, находим /, = £/2shy0//Zn =
= Д/2 sin|30//Zu = у"0,043, откуда Ix = 43мА. Используя формулы из 3.5.15,
определяем 1>ф = о)/ро = 2,5 • 105 км/с (что меньше скорости спета); X = 2я/рс) = 314 км.
3.5.17. Расчет переходных процессов в линии без потерь
Для расчета переходных процессов в ДЛ используют операторные уравнения и
расчетные приемы, аналогичные описанным в 3.5.16.
Пример 3.71. К линии без потерь при t = 0 подключается ИН ит = 10 В = const.
Длина линии / =- 50 км, погонные первичные параметры L{i =0,24-10~2 Гн/км;
С0 =0,667 • 10~н Ф/км. сопротивление нагрузки ДЛ ZH = 3Zn. Определить
напряжение u2(t) в конце ДЛ (на нагрузке).
Решая задачу операторным методом при нулевых НУ, вначале выполним
обычные подготовительные расчеты. Волновое сопротивление
ZB (s) = VZo(5)/T0(5) = V^c /sC0 = JL0 /Co = 6{)0-
следовательно, ZH = 3ZB = 1800 Ом. Коэффициент распространения y0(s) =
= tJZ0Yg = s-JLqCq = 0,4 • 10~5s. Операторные уравнения ДЛ:
{Ux(s) = Un2(s)ey°x +f/n2(s)f-r^ =17(5)^*** +U(s)e-**;

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
где £/п2, Uo2, In2>Jo2 ~ изображения по Лапласу падающей и отраженной волн
напряжения тока и в конце ДЛ (при х = 0), а время запаздывания при движении
этих волн между концом ДЛ и точкой х линии составляет t3x =x^/l0C0, то есть
при х -1 полное время задержки линии (запаздывания волны) при движении
в Л-71 *** =/лД^=5°-°»410"5 =0,2-1(Г3 с.
Контроль: скорость (фазовая скорость) движения волны в ДЛ иф = IIt4 л =
= 1/т]Ц)Сц =2-10' км/с, что меньше скорости света.
Коэффициент отражения волн от нагрузки
п = V* /Vn2 = UIU = (z« -Z, )/(Z„ + Zn) = 0,5.
Подготовительные вычисления закончены.
Для расчета используем МП В и первое из уравнений ДЛ. Предполагаем
U'n2 (s) = 1, тогда U'0> - п\ при х = 0 в конце ДЛ имеем U2 - 1 + п. При х = /, то есть
на входе ДЛ, получим U\ = 1 • е*АЛ + пе"3^' = еХх' (1 + пе~% Лч ).
Поскольку при Г > 0 имеем UBX(s) = 10/s =Ul(s)1 находим коэффициент
пропорциональности * =£/|(s)/I/;(s) = 10e"tfl,/Kl + ne"2t" )].
-я, д
Таким образом, изображение искомой реакции U2(s) = kU'2(s) = .
5(1 + пе хл)
Рассматривая полученное выражение как сумму убывающей геометрической
прогрессии с множителем (—пс~* Х1 ), можем окончательно записать:
£/2(5) =—- - \\-ne зл +п'е лл -п е +...]-м*2(0 = 10(1+ и)х
s
причем л = 0,5; Г3 л = 2 ■ 10*4 с.
ПРИМЕЧАНИЕ
При необходимости можно было использовать второе уравнение ДЛ и определять
МПВтоки в ДА
3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
3.6.1. Расчет полосы пропускания классического
реактивного симметричного фильтра
Классическим называется симметричный £С-фильтр, находящийся и режиме
согласованной нагрузки Zlt =Zr на любой частоте в УСР. У классических
фильтров АЧХ в ПП А(<а) = 1 (или А = k = const), а ПП определяется как диапазон
частот, в котором сопротивления XX и КЗ фильтра имеют различный характер
реактивности.
Пример 3.72. Схема классического фильтра приведена на рис. 3.63, а при
L, = L3 = 1 Гн; С2 = 1 Ф. Найти полосу пропускания.

256
3. Каталог типовых расчетов
Ф".
I
t
L,
/YYY\
^3
£Д
О
н
XX
1.
Рис 3.63
Находим операторные сопротивления фильтра в режимах XX и КЗ его
нагрузки:
Zxx — sLj +
1 _slLxC2 +1 _s* + 1
sC2
sC-
; ZK3 - sL, +
sL3(l,sC2) _5(s'+2)
5l, +(l/sC2) Л'2 + 1
2. Определяем нули и полюса Zxx и ZK3, размечаем их («ноликами и
крестиками») на мнимой оси комплексной плоскости отдельно для Zxx и ZK3, как
изображено на рис. 3.63, б. У Zxx нули smo2 = ±j] полюса s, =0, s2 =oo. У ZK3
нули 501 = 0, 5()20з = ±./4/2, полюса л,2 = ±7, s3 = оо.
3. Размечаем (символами L и С, как показано па рис. 3.63, 6) характер
реактивности в каждом ЧИ, учитывая, что после каждого нуля и полюса (каждой
резонансной частоты, не считая, естественно, tu = 0) реактивность LC-ДП
меняется на противоположную. Контроль выполняем на очевидных частотах
со = 0 (где L = КЗ, С s XX) и со -> оо (где L = XX, С - КЗ). В примере на ИЧ Zxx
имеет емкостный характер (Zxx -> оо при со = 0, так как С2 = XX), a ZK3 имеет
индуктивный характер (ZK3 =0при со = 0, так как режим определяется
«закороченными» Ц и L3).
4. Заштриховываем ПП, то есть указываем ЧИ, где Zxx и ZK3 «разнорса кти в н ы».
Таким образом, цепь — это ФНЧ с частотой среза со = J2 с"1 =ЩЦСг).
3.6.2. Расчет фильтров типа к
Ограничимся рассмотрением ФНЧ, поскольку ФВЧ, НПФ и ПЗФ можно
проектировать МПЧ по ФНЧ-iфототипу (см. 3.6.5). Фильтр типа k — это
согласованно нагруженный (Z„ =ZC = ZHX)T- или П-образный симметричный 1С-ЧП
(рис. 3.64, а и б), у которого на любой частоте Z. (7'co)Z2 (/со) = k2 — const Характс-
ристическое сопротивление фильтра ZC(ZXXZK3 )' » а ЧХ функции передачи по
напряжению и току одинаковы:
Я„Осо) = II, (.До) = Aiioye™*» = J(ZXX -ZC)/(ZXX + Zc) =
где у — характеристическая мера передачи; a(co) = In(f/, Д/2) — коэффициент
затухания; P(co) = a -au2 = -Ф(со) — коэффициент фазы (характеризующий
разность фаз синусоид на входе и выходе); Л (со) и Ф(со)— АЧХ и ФЧХ фильтра.

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
+
U
1
i
г
Z,
+
■О
+
ZH Ux 2Z,
I
I
z,
2.Z.,
т
I
+
О
■
1
—J
11
Рис. 3.64
Пример 3.73. Дан ФНЧ типа к (см. рис. 3.63, а) при Z-, = L3 = 1 Гн; С2 = 1 Ф.
Найти: 1) значение к, ПП и частоту среза со[р; 2) Zc =Z„ и ЧХ, определить и\
значения при со = 0, оо, о\р.
1. Параметр
/
k=(Z,Z2y* = j2^L,-
1
\
V
j<oC2 J
1/2
= V2Z7c7 = ^,
а расчет ПП и частоты среза wc|) = ^2/(А(С2) = л/2 был приведен в 3.6.1.
2. Определяем Zc, используя данные, приведенные в 3.6.1:
1/2
/„2
2cO'co) = (ZxxZK,)^ =
2
S* +1 s(S* +2)
Л2 + 1
Л
.V
у
1/2
2\1/2
= (2-«о'),"=А[1-(со/со1р)'Г.
го есть Zl.(yO) = v2 = /? > О, что соответствует требованию положительности Zt
в ПП, Zc(jyl2) = 0. Zr(joo) = _/ш-> оо (контроль: из схемы ФНЧ (см. рис. 3.63)
очевидно, что в согласованном режиме при <о—>оо входное сопротивление
3. ЧХ функции передачи по напряжению (при s =710)
(7 -7
Лхх *-l
\
Ч
*ХХ + Zr J
1/2
.2
(s* + 1)'a--(jT +2)
ь1/2
-li/2
.2
X* +1)/s + (.y' +2)
></2
'(i-(oVM^fl>2)'/2
L(l-a)2) + ;co(2-a)2)
nl '2
^ \l/2
при этом #г(у0) = 1 и //г(/Ч/2) = 1, что соответствуем АЧХ И(оз) = 1 в ПП
v классических симметричных фильтров (к которым относятся и фильтры
-|1/2
типа Л); //г(усс) =
Л -5
5 + 5
= 0 при л* -» ос, чго соответствует II.3.
Пример 3.74. Спроектировать ФНЧ гипа k при нагрузке Rn -Zi.(j()) = л/2
и со(Р = л/2.

258 3 Каталог типовых расчетов
Используем схемы, изображенные на рис. 3.64, а и 3.63, а) при I, = L^, а также
формулы а> =Л/2/(Х,С2) и Zc(jO) = k = д/21, /С2, приведенные в примере 3.73.
Находим R„ы = 2/С2 = Z откуда С2 = 1 Ф. Далее определяем I, = /?; С2 /2 = 1 Гн.
3.6.3. Расчет фильтров Баттерворта
Фильтры Баттерворта — это полиномиальные фильтры, у которых ПФ
(например, по напряжению) для ФНЧ: H(s) = k/A(s) = k/(l + «,s + a2s2 + ...+ ans" ),
причем (при нормированных нагрузке /?It, = 1 = const и частоте среза соср. = 1)
АЧХ имеет вид А (со) = k/\i + со2п (здесь и далее индекс нормировки «*» в
основном опущен для простоты записи), а в ПФ используются полиномы Баттерворта:
A(s) = (1 + s) при п = 1; (1 + л/25 + s2 ) при п = 2; (1 + 2.v + 2s2 + .s3 ) при м = 3ит.д.
Порядок фильтра п определяют по требуемому значению ЛЧХ А(2) в 113, то есть
на удвоенной частоте среза. На частоте среза ЛЧХ Л(1) = к/л!2 - 0,707Л1пах.
ПРИМЕЧАНИЕ
При базисных значениях F^ = Rir wfi = wtp формулы нормировки имеют вид R, = R/^
Lm = corpL/7^(; С, = сй(.рСЙн. Эти же формулы используют для денормировки
параметров нормированного фильтра.
Пример 3.75. Спроектировать фильтр Баттерворта (ФПЧ) 3-го порядка при
к = 1; Ru = л/2 Ом; о)ср = V2 с"1. Оценить значение ЛЧХ в ПЗ на частоте2шгр.
ПФ нормированного фильтра Баттерворта при и = 3 и к = \ будет H(s) =
= l/(l + 2s + 2s2 + s3), ЛЧХ Л(со)= l/Vl + со6, следовательно, У1(2) = l/Vl +2G s
= l/23 =1/8, то есть сигнал на частоте 2согр затухает по амплитуде более чем
в 8 раз.
Поскольку ПФ имеет трехкратный нуль при 5 -> jq. а к = 1, то простейший
вариант фильтра — это IC-ЧП лестничной струкгуры, схема которого приведена на
рис. 3.65.
Найдя ПФ схемы и приравнивая ее к заданной ПФ, можно определить
параметры схемы. При U2(s) - 1 и нормированной нагрузке Rtl = 1 по МПВ получим:
ln =i3 = К U £3 =Si-3>^C2 =1 + 5^-3' *С2 = S^2 + * '-3^2'
1п = 1 + $С2 + s2L:iC2'MLl =sLx(l + sC2 +s2I3C2);
£/i(a-) = 1 + a-(I.3 +^,) + 5iL]C2 + s3/-,A3C2.
Lj L3
W2 Wutix
Д„
._!
Рис. 3.65

3.6 Расчет фильтров и синтез цепей 259
Отсюда ПФ
1 1
Я„ =
l+s(I3 + Lx)+s2LxC2 +s'ALxL3C2 1+2.V+252 + «гч '
следовательно, I3 = 1/2; L, = 3/2; C2 = 4/3 — нормированные параметры.
Используя формулы деиормирошш, получим параметры искомой схемы ФНЧ:
Л = ЛКИ =1-л/2=л/20м; Lx =Ir/?H/o)cp =|--Л/Л=|гн;
1т-с = с'1' - 4/3 ~2
2 ' 2 Лю V2-V2 3
3.6.4. Расчет фильтров Чебышева
Фильтры Чсбышева — это полиномиальные фильтры, у которых ПФ (например,
по напряжению) для ФНЧ H(s) = k/A(s) = k/(\ + ats + a2sl +a3s3 + ...+ ansn\
причем (при нормированных нагрузке /?н. = 1 = const и частоте среза согр. = 1)
АЧХ имеет вид Л(со) = k /<Jl + г2Д^(со) (здесь и далее для простоты записи
индекс нормировки «*>> опущен), где полиномы Чсбышева {DD = 1; Dt = со;
Ог = 2а/ —1\D.A =4 со3 -Зсо; ...; Dn =2toDn_l -Dn_2...}. Порядок фильтра п
определяют по требуемому значению АЧХ в ИЗ: Л(2) = k/J\ + г2£)2(2) s —г—-—, при-
' £2Dn2(2)
чем малые коэффициенты е = 2Д, где А - неравномерность (перепад колсбаниГ!)
АЧХ в ПП; при этом на границе ПИ Л(1) = k(l - Д) = а/л/1 + е2.
При расчете фильтров Чебышсва используют ПФ и следующую формулу для
описания АЧХ полиномиальных фильтров:
A(w) = k/yj(\-2a.ioii +а\и>А +...) +(ofи2 -2о,о3со4 +с3а)6 +...).
Пример 3.76. Спроектировать фильтр Чебышева (ФНЧ) 2-го порядка при k = l;
Д = 0,05;ЙИ =Юм;о)ср =1.
Записываем АЧХ фильтра Чебышева 2-го порядка (при е2 = 2Д =0,1):
1 1
Л (ю) =
Vl4E2£>2(co) V^ + O.K2"2 -!):
1 0,95
Vl.l-0,W + 0,4со4 Vl-0>36(o2 +0,36со4
и приравниваем се к АЧХ полиномиального фильтра:

260 3. Каталог типовых расчетов
откуда находим а2 = 0,6; я, = 0,9; k =0,95, то есть ПФ фильтра Чебышева
0,95
Я(со) =
1 + 0А + 0Д*а'
Поскольку ПФ имеет двукратный нуль при s —> оо, то одним из вариантов
реализации может быть схема, приведенная на рис. 3.66, причем на выходе фильтра
использован делитель напряжения из /{-элементов, обеспечивающий k =0,95. По
МПВ при /н =1 получим U2 = 0,95Д; Uc = R\ lc =sCR; /y =1 + *СЛ; UL = sJL +
+ s2LCR\V% =UL +UC =R + sL + s2LCR. Тогда
H(s) = U2/U{ = 0$5R/(R + sL + s4CR)=0$5/(\ + sL +s2CL\.
£, 0,05/?
r + !
1
U2{s)
0.957? - Rn
.. 1
Рис. 3.66
Поскольку R = Я.,/0.95 = 1/0,95 = 1.05, то L = 0,9- R = 0,945 Гн; С =0.6//. =0,63Ф.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Если RH * 1, о * 1, то необходимо использовать приведенные в 3.6.3 формулы
денормиропки.
2. Проектирование ФВЧ. НПФ, ПЗФ производится МПЧ но ФНЧ-нрототину.
3.6.5. Метод преобразования частоты при проектировании
ФВЧ, ППФ, ПЗФ по ФНЧ-прототипу
При известных параметрах ФНЧ-прототипа (фильтров Баттсрворта, Чебышева,
классических) при проектировании фильтров других классов используют
стандартный пересчет.
1. ФВЧ проектируют на основании формул s=co^//>; toj; =«,Q ; Ст =
= (coj5iil4 Г1; £нч = (со||Снч )_|, где5 = ./сои р -jCl — обобщенные частоты ФНЧ
и ФВЧ, при этом элемент 1НЧ заменяют па Свч, а С,,,, — на Z,H4.
2. IIПФ проектируют на основании формул 5 =(р2 + cojj)/(«/?);
соединяют последовательно; элементы
С2,ц[ = Снч /а и £2ПП = «/(<o(iC,I4 )~\ заменяющие Сн,р — параллельно.
3. ПЗФ проектируют иа основании формул s = ар/(р2 + со(2,); cojj =П1р1П1р2;
я = (04р2 -Qrpl)(orp, элементы Стд =(«£Нч) ' и Анз =а^нч/шо» заменяющие
« = (П|р2 -П , )/<огр; cog =QfpIQtp2; элементы Lh
и С„ш =я/(о)*£иЧ) \ заменяющие £пч, соединя)

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
261
LH4, соединяют параллельно, элементы L2n3 =(«СМЧ)1 п С2ПН =oCH4/coJ5,
заменяющие С||Ч, — последовательно.
4. Если сопротивление нагрузки 7?1( проектируемого фипьтра R„fR„u4 =n, то
расчеты необходимо скорректировать, взяв nL и С/л (поскольку при
изменении всех операторных сопротивлений в п раз не изменятся ПФ по
напряжению и току).
Пример 3.77. Рассчитать ГТПФ (при Qcpl =1 с~\ Qt.p2 =4 с~\ Я„ф =2 Ом) по
ФПЧ-прототипу (фильтру Bai герворта), рассмотренному в 3.6.3 (см. рис. 3.65),
где сопротивление нагрузки RiVl = -/2, частота среза оср = v2, k = 1, Llll4 = 3/2 Гн,
L:m4 = l/2,C2lf4 =2/ЗФ.
Используя приведенные формулы, вначале определяем w("; =QcplQP|>2 =4; а —
= (^Гр2 "^tpiV^tp -(4 -1)/"^ = 3/>/2. Затем находим параметры ППФ, схема
которого приведена на рис. 3.67:
£inn =Lm\la = lN2\Cxm = «(w|jLIII4)_I = —~, Lmu = Z.3„4/a = V2/6;
^знн =а(Сйо'-зн|1 ) =^~я7;^'2пп = ^-2нч/^ =2v2/9;/,шп =л((о0С2НЧ) =
9
8V2
*Ч .£l ^3 ,р3
ГУ^ГУ^ ||_« п
Рис. 3.67
R
и
I
I
I
I
I
-J
Поскольку сопротивления нагрузки ФНЧ и ППФ различны (я = Яш,/Япч =
= 2Д/2=л/2), вес найденные L увеличиваем в 42. г С уменьшаем в то есть
^тп = '» ^1ин ='/^'Чпп = V** ^.inn ='"^/4-СлцП =z/y;A2im = J/o.
3.6.6. Синтез реактивных двухполюсников
Пример 3.78. Входную функцию
2(s2 +l)(s2 +3)
Z(.s) =
.4(5^ +2)
следует реализовать реактивным ДП ZIC(s).
Вначале проверяем Z(s) на соответствие основному свойству ZIC(s), то есть
Z(s)— это дробно-рациональная функция, степени полинома числителя и
знаменателя которой различаются на единицу, нули s0102 =±j, smQA =±j\f3 и полюса

262
3 Каталог типовых расчетов
5, =0, s2.3 =±./4/2, 54 =оо — простые, мнимые, чередуются; и начале координат
в данном примере — полюс. Таким образом, Z(s)удовлетворяет основному
свойству ZLC(s) и может быть реализована как LC-RXI. Разложим Z(s) = ZLC(s) на
простые дроби (так называемый вариант реализации по Фостеру), то есть
представим Z(s) схемой с последовательным соединением простых ДП:
Z(s) =
2(52 +l)(s2 +3)
= 2.v + - +
s(s2 +2)
1
= ЛМ5 4-
5
s (sM^ + ^AV)
= ZX+ZL +
А
s2
Y3,
i5 _
+ 2
1
+ У*
где
Л, =
_ZLC(s)
= 2; Л0 = sZlc (s)\,_0 = 3; Л, =
S—ко
52+2
s
Z,r(5)
.^-2
= 1.
Схема реализации приведена на рис. 3.68, a: Lx =2 Гн; С2 =1/ЗФ; £32 =1/2 Гн;
С31 = 1 Ф.
.TYW\.
Z(5)
'31
Z(5)
'32
11
12
8
'3
Z(5)—^
С
•А
в
Рис. 3.68
Можно реализовать Zfr(s) и по его проводимости;
s(52 +2) 0,25^ 0,25s
У|г(*) =
2
2(5' + 1)(.<г +3) .^ +1 5^+3
= У|+У2 =
1
1
45+ (4 У) 45 + (12/5)
то есть схемой с параллельным соединением проводнмостеи. как показано на
рис. 3.68, б, при Lu = 4 Гн; С12 = 1/4 Ф; L2l = 4 Гн; С22 = 1/12 Ф.
Так называемая реализация Zir(s) по Кауэру предполагает выделение у ZLC
(или YLC) только полюса при 5 = со (или только при s =0); остаток Z„ обращает-

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
263
ся, опять реализуется только полюс остатка У„ (s) при s = со; остаток Ym вновь
обращается, и вновь выделяется полюс остатка ZUI при s = оо и т. д. В результате
формируется схема ДП лестничной структуры. Так, в примере
v , ч 2s* +8s2 +6 . As2 + 6 v v
Zu-is) = 5—i =25 + ——— = Z, + Z„;
.3
S* +25
5Л +2s
v _ 5" +2s _ 1 0,55 _v v-7-^+^-R ^ - 7 7 -
II
4s2+6 4 4s2+6
0,55
0,55
FIV=5/L2=1V
Схема реализации Zlc(s) приведена на рис. 3.68, а, где Ц =2 Гн; С2 =1/4 Ф;
L, =8Гн;С4 =1/12Ф.
3.6.7. Синтез резистивно-емкостных двухполюсников
Пример 3.79. Требуется реализовать /?С-двухполюсником входную функцию
Z(5) = 2(5+2)/[(5 + l)(5 + 3)J.
Вначале проверяем Z(5) на соответствие основному свойству ZRC{s), го есть
Z(s)— это дробно-рациональная функция, которая имеет простые
чередующиеся отрицательные нули (s0l = -2, 502 = со) и полюса (5, = —1, s2 = -3), причем
ближайший к началу координат — полюс. Таким образом, Z(л)удовлетворяет
основному свойству ZRC(s) и может быть реализована как ЛС-ДП.
Используя связь RC- и LC-RU одинаковой струкгуры (при R = L — численно),
найдем сопротивление LC-ДП:
zlc(p) = Pzrc(s)
2р(р2+2)
"' (p2+1)Q>2+3)
Реализация ZLC(p) может быть выполнена любым из методов, описанных в 3.6.6.
Используем, например, разложение на простые дроби:
Zu:(P) = A~P + — +
Ар , A-iP
+
р р2 +1 р2 + 3
= ^Lp+-2- +
1
1
P+J-
Р+ 3
Л, /л4, А2 рА2
= Zai+Zn+Z] +Z2;Aai =
ZU-(P)
Р
= 0; Л0 = pZiC(p)|p=0 = 0;
р—►»
. р2 +17
р
р2+з
.2.. =i; а2 = r ' zLC(P) , з =i.
rz=-i
р

264
3 Каталог типовых расчетов
Обозначив Z, = (УП + У12)"\ Z2 = (УМ + Y22) '» получим С,, =1 Ф; Ln =1 Гн;
С21 = 1 Ф; Ln = 1/3 Гн.
12
11
Л,2-1
8
А22 3
* С\\~ 1 ' С2\= 1
6
Рис. 3.69
Схема реализации ZC-двухиолюсника приведена на рис. 3.69, а — это
последовательное соединение сопротивлений Z, и Z2. После замены Lu на #12, ЬЛ2 на 7?i2
получим (см. рис. 3.69, б) реализацию заданной функции ЯС-двухполюсником.
3.6.8. Использование схем с операционными усилителями
для реализации передаточных функций с отрицательными
нулями и полюсами
Для синтеза ПФ с отрицательными нулями и полюсами используют «решающие
схемы» на ОУ. Схема, приведенная на рис. 3.70» а, реализует ПФ
Я(5) = ^>=-^,
С/вх(5) У, (5)
а схема на рис. 3.78, б реализует ПФ
//(*)=
вдпео
и„{*) УЛ*)У&)
причем Yk(s)~ проводимости КС-ЦП, реализация которых описана в 3.6.7.
Для примера преобразуем ПФ 4-го порядка с отрицательными нулями и
полюсами к виду, соответствующему рис. 3.70, б:
5(5 + 1)(5 + 2)(а-+6) Y:i(s)Yrt(s)
H(s) =
(5 + 3)(5 + 4)(* + 5)2 F,(5)Fe(5)
гдеУ3С?) =5(s + 1)(5+6)/(5 + 3);У5(5) = (я+2)/(5+5); У4(5) = s +4; Ув(») = 5+5,
причем все проводимости удовлетворяют основному свойству YRC{s),
указанному в 3.6.7 (ближайший к началу координат — пуль), и могут быть реализованы
КС-ДП.

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
265
I
1
Ц«(0
С, = 5
^=0,1
ч—I-
Я,,-0,1
ни
г _ 10
и32 3
Q-1
R5 = 4
}
Д6 = 2,5
—TZ3-
«71 3
сзЧН
С«-0Д2
в
Рис. 3.70
С8~1
R9 - 0,2
-CZh-
ОУ2
Используем сиязь между RC- и £С-двухполюсниками одинаковой структуры:
v
2
5(р'+1)(р'+6)
s-p'
2
Р(Р'+3)
и разложим K3ic (р) на простые дроби:
Y3Lc(P)=5p+— +
1
/? (/>/10) + (3'10/0
= У,+У,+У,,
то есгь с учетом К-, = 1/Z, = 1/(Z31 + Z3;!) можем записать: С, = 5 Ф; L2 = 1/10 Гн:
£,, =1/Ю:Си =10/ЗФ.
1 р2 +4 4
Аналогично, У4//-(Р) = — ^(s) _ -i = =Р + — = У* +^5> то есть Q = * &'•
Р '"" Р />
£, = 1/4 Гн.

266 3 Каталог типовых расчетов
Далее находим:
Р
л
р2 +2 2.5 1
+
•~р р(рг +5) р (5р,3) + (25 Зр)
= У6+У7=Ув+ 1
^71 + ^72
то есть 16 = 5 / 2 Гн; £71 = 5/3 Гн; Сп = 3/25 Ф.
1
2
_Р +5_ 5
Затем записываем YGIC(p) = — Yb(s) 2 -— = р + - =У8 + У9, то есть
р *~~р р р
С8 = 1 Ф; L9 = 1/5 Гн.
После замен Rk =Lk (численно) получим цепь (рис. 3.70, в), которая реализует
заданную ПФ схемой на ОУ с двумя каскадами.
3.6.9. Использование уравнений состояния для реализации
на операционных усилителях передаточных функций
с произвольными нулями и полюсами
При реализации (синтезе) ПФ используется основная формула «решающей
схемы» на ОУ с несколькими входами
У- (* ) = -Z иы% ts).Yt{s )/Y0 (s), (3.8о)
где Yk — входные проводимости схемы; Уп — проводимость обратной связи.
Основная задача — преобразовать реализуемые уравнения состояния (УС),
описывающие ПФ, к виду (3.8а), что сделать несложно.
Пример 3.80. Реализовать УС цепи 2-го порядка, описанной в самом общем
виде при НУ = 0:
//(0 = flii/,(0-^/2(0 + *i(0:/24O = ^l/l(0 +«22/2(0 +Ь2(0.
причем один из коэффициентов для примера задан со знаком «-».
Преобразовав УС по Лапласу, получим систему уравнешш, близкую к требуемой:
FI(5) = [flIIF,(5)-fll2i:2(5)+Bl(s)]/5; ^
f2(S) = lfl21fl(s)+«22f2(5)+^|(*)]/*-
Возможный вариант схемы на ОУ для реализации уравнений (3.86) приведен на
рис. 3.71, где указаны нормированные проводимости входных #-ветвей и
емкости в цени обратной связи ОУ. На рисунке штриховыми линиями показаны
необходимые соединения входных и выходных клемм отдельных схем на ОУ в
соответствии с нумерацией переменных в уравнениях.
ПРИМЕЧАНИЕ
В примере, естественно, имеются в виду ИФ с полюсами в левой полуплоскости.
описывающие устойчивые цепи.

3.6 Расчет фильтров и синтез цепей
267
Рис. 3.71
3.6.10. Составление уравнений состояния цепи
по заданной передаточной функции
Передаточной функции общего вида, например
l\(s)
ans" + ...+ axs + <я0
соответствует дифференциальное уравнение (ДУ)
<m-l)
=*и/гчо+ля^1 (o+-..+*t/;(o+60/i(0-
(3.9а)
(3.95)
Переход от уравнений состояния (или другой системы ДУ цепи) к ПФ очевиден
и прост: достаточно ДУ преобразовать но Лапласу и решить относительно
реакции. В то же время процедура перехода от (3.9а) к УС неоднозначна и довольно
сложна. Поэтому рассмотрим самый трудный вариант, когда степени числителя
и знаменателя (3.9а) одинаковы (т = п). Преобразуем (3.96), группируя члены
при производных одного порядка:
+(<я0ы2 -0ои,)=О. (3.9в)
Комбинации переменных в фигурных, квадратных и «специальных» скобках
в (3.9а) считаем неременными состояния xv ..., x„_t, д*ч. В результате получим
систему УС
■^1 = ^0^1 — ^0^2» ^2 =-*'1 +(.'-^1^1 —OjW2)i ...» /о п,\
< =^,-l+(fcn-l"|-«„-l"2)-

268
3. Каталог типовых расчетов
Реализация УС схемами на ОУ описана в 3.6.9. Остается реализовать, как
очевидно из рассмотрения выражений (3.9в) и (3.9г), алгебраическое уравнение
anui ~Ки\ =д"п» которое определяет уравнение связи
*я(0—[
**№*—I
«2 =*nf<*„ +u{bjan.
(3.9ci)
Рис. 3.72
На рис. 3.72 приведен возможный вариант реализации выражения (3.9d) схемой
на ОУ с указанием нормированных проводимостен /^-элементов.
3.6.11. Определение параметров синтезируемого
реактивного четырехполюсника по заданной передаточной
функции в режимах XX или КЗ нагрузки
Пример 3.81. Необходимо реализовать LC-четырехнолюсником ПФ вида
"юсх<*) =
kB(s)
12
У-п
k(sz + 4)
.ч2 + 1 '
Перед определением параметров ЧП проверим заданную ПФ на реализуемость:
1) условие Фиалкова выполняется, то есть коэффициенты числителя ПФ при
к <> 1/4 не превышают коэффициентов знаменателя при соответствующих
степенях s\ 2) нули и полюса ПФ мнимые, причем полюса s12 =±j — простые.
Далее определяем параметры ЧП У]2 и У*221 учитывая, что синтез выполняется по
У22. Для того чтобы проводимость Y22(s) отвечала основному свойству JLC-ДП
(го есть ZLC)t делим числитель и знаменатель ПФ на произвольно выбранный
(в данном примере нечетный) полином D(s), корни которого должны быть
мнимыми, простыми и должны чередоваться с корнями Л(я).
Выбираем, например, D(s) = s(s2 +2), тогда
-Yl2 =kB(s)/D(s) = k(s7 +A)/\s(s2 -ь2)|;К,2 =(.v2 + i)/[s(s2 +2)|.
Проверяем, что F22 удовлетворяет основному свойству Zlc(s), то есть нули и
полюса у Y22(s) мнимые, простые и чередуются.

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей 269
Процедура непосредственной реализации IC-ЧП по найденным параметрам ЧП
описана в 3.6.15-3.6.17.
ПРИМЕЧАНИЕ
Абсолютно аналогично определяют параметры 411 n режиме КЗ его нагрузки но
ПФ вида ///Kml(s) = Zi2/Z22.
3.6.12. Определение параметров синтезируемого
реактивного четырехполюсника по передаточной функции
при наличии нагрузки
Пример 3.82. Найти параметры LC-ЧП при нормированной нагрузке RH -1 по
ПФ фильтра Баттерворта 3-го порядка: И. (s) = —— = — = — .
A(s) 1 + Z22 s3 +2s + 2s + l
Учитываем, что из параметров LC-4U Z12 и Zl2 непосредственно реализуется Z22
в виде лестничной структуры, aZ12 реализуется при этом попутно.
Вначале проверим заданную ПФ на соответствие условиям реализуемости: при
k < 1 коэффициенты числителя ПФ не превышают коэффициентов знаменателя
при соответствующих степенях s (условие Фиалкова).
Далее для определения параметров Zi2 и Z22 разбиваем полином A(s) на сумму
двух полиномов: A(s) = A,„(s) + Am(s)t где An(s) = 2s +1 — полином четных
степеней s; Alpt(s) = s(s2 +2)— полином нечетных степеней s.
При «четном» полиноме числителя ПФ B(s) = [делим числитель и знаменатель
ПФ на Am(s) (при «нечетном» полиноме числителя ПФ деляг на Лчт(х)):
И, (S) = kB(S)/Am(s) = Zu
\ + A,n(s)/Am(s) \ + Za'
откуда параметры ЧП
Za =kB(s)/Am{s) = k/\s(s2 +2)|;/а =2{s3 + \ 1)/[s(s2 +2)|.
Затем проверяем Z22 на соответствие основному свойству Zn:(s): нули и
полюса — мнимые, простые, чередуются, и в начале координат (в данном примере) —
полюс.
Дополнительная проверка: при найденных параметрах Zt2 и Z22 передаточная
функция Н l (s) = Zx2/Z22 = k/(2s2 + 1) удовлетворяет условию Фиалкова.
Таким образом, ПФ может быть реализована (см. 3.6.15-3.6.17).
ПРИМЕЧАНИЕ
Абсолютно аналогично определяют параметры ЧП при нормированной нагрузке по
заданной ПФ вида //,.($) = -У^/0 + F22).

270 3. Каталог типовых расчетов
3.6.13. Определение параметров синтезируемого
резистивно-емкостного четырехполюсника по заданной
передаточной функции в режимах XX или КЗ нагрузки
Пример 3.83. Задана ПФ ЧП Я (Я) = ^Ф = *(* + 1> =^Д£) в рсЖ1ше XX
A(s) 5 + 2 Y22(s)
нагрузки. Необходимо реализовать ее КС-четырехполюсником.
Вначале проверим заданную ПФ на реализуемость: 1) условие Фналкова
выполняется при k < 1; 2) нули и полюса ПФ отри нагельные, причем полюса —
простые.
Далее определяем параметры ЧП Y22(s) и —У|2(5). Для зтого делим Y22(s) и -У12(s)
на одинаковый вспомогательный полином D(5)=5 + 3, выбранный так, чтобы
проводимость Y22(5) удовлетворяла основному свойству YRC(s): нули и
полюса — отрицательные, чередуются, и у YRC ближайший к началу координат —
нуль. Действительно,
-ГИ(,) = МФ = *£±Д^^
12 D(s) 5 + 3 ^ D(s) 5 + 3 RCK
Таким образом, заданная ПФ может быть реализована RC-ЧП.
kB(s) Z ks
Пример 3.84. Необходимо реализовать ПФ вида tf/K3(s) =—^_i=—11 =
Л (5) Z22 5 + 2
в режиме короткого замыкания RC-ЧП (при ZH = 0).
Проверка ПФ на реализуемость: 1) нули и полюса ИФ расположены на
отрицательной полуоси (причем полюс 5, =-2 — простой); 2) коэффициенты
числителя ПФ при малых k не превышают коэффициентов знаменателя при одинаковых
степенях 5, следовательно, ПФ может быть реализована КС-четырехполюсником.
Определяем параметры Z12 и Z22, для чего делим числитель и знаменатель ПФ
на выбранный полином D(s) = s. Получим
Zl2(s) = kB(s)/D{s) = k; Zn(s) = A(s)/D(s) = (s + 2)/s = ZRC(s).
Сопротивление Z22 = ZRC(s), так как соответствует основному' свойству КС-ДП:
ближайший к началу координат — полюс при 5=0 (естественно, нули и
полюса — отрицательные, чередуются, простые).
Реализация RC-ЧП описана в 3.6.18.
3.6.14. Определение параметров синтезируемого
резистивно-емкостного четырехполюсника по заданной
передаточной функции при наличии нагрузки
Пример 3.85. По ПФ
Я£;(5) = *В(5)/Л(5) = Л(5 + 1/2)7[(^ + 1)(5 + 2)] = -К]2/(1 + У22)
определить параметры ЧП и проверить их.

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей 271
Проверка ПФ на реализуемость (см. 3.6.13 и 3.6.18) выполняется. Определяем
параметры 411 У22 и У12. Для этого знаменатель ПФ A(s) представляем в виде
суммы двух произвольно выбранных полиномов с отрицательными простыми
чередующимися корнями A(s) = A (s) + A,ni(s), причем корни Д1Н(s)
располагаются левее, а корни Л (s) — правее соответствующих корней полинома A(s)t
то есть корни A {s)u Д1В(s) чередуются, и ближайшим к началу координат
является корень A (s).
В примере при A(s) = {s + l)(s + 2) = s2 + 3s + 2 выбираем
^(5) = (s+ l/2)(5 + 3/2) = s2+25 +3/4; Л„(5) = Л(5)->1^(5) = 5+ 5/4.
Чтобы параметр Y2l(s)соответствовал основному свойству YRC (то есть
ближайшим к началу координат был нуль), делим числитель и знаменатель ПФ на
полином Д1П($). Тогда
Н (с)- kB(<s) - kB^A^s) _ -Г„
иК) Д1рС0 + Л1Н(5) 1 + Дф(5)/Ллв(5) 1 + У22"
Находим К22(5) = Лпр(5)/Дш(д*) = (5 +1/2)(а + 3/2)/(\+ 5/4), что удовлетворяет
основному свойству YHC(s); -Yu(s) = kB(s)jAm(s) = k(s + 1 /2)2/(5 +5/4).
Дополнительная проверка ПФ Hl{XX(s) = -Y\i/Y.n = k(s + l/2)/(s + 3/2) на
реализуемость также выполняется.
Реализация RC-4U описана в 3.6.18.
3.6.15. Синтез реактивных четырехполюсников
лестничной структуры (основная процедура)
Основной процедурой синтеза LC-4YI лестничной сгруктуры является
реализация так называемых нулей 2-й категории (то есть нулей ПФ, которые совпадают
с нулями остатков от реализации Z21 и У22) путем обращения остатка и полного
выделения соответствующего полюса обращенного остатка.
Пример 3.86. Подлежит, реализации при нормированной нагрузке Ru = 1 ПФ
фильтра Баттерворта
Hv(s) = kf(s* + 2л2 +25 + 1) = ^(х)/Л(5) = У12/(1 + К22) =
= (/?ЯД1Ч)/(1 + Лчт/Д1Ч),
где А [Г = 25 +1; Ат = s + 2s. 1. Проверка на реализуемость выполняется, так как:
а) выполняется условие Фиалкова; б) нули ПФ (трехкратный нуль s0IA3 =°°) -~
мнимые. 2. Находим параметры 411:
Yn =2(s2 +0,5)/|s(s2 + 2)] + У£С,-К12 =k/[s(s2 +2)J.
3. Записываем нули ПФ на основании параметров ЧП: а) нули -У12 — это
soi23 = °°< б) частных полюсов у У22 пег. 4. Нулей первой категории (частных
полюсов У22) нет. 5. Остаток от реализации У22 (в данном случае сама
проводимость У, = У22 ) имеет нуль, совпадающий с нулем ПФ sQl — °о. Обращаем остаток:
Z, =1/У, =s(s2 + 2)/|2(s2+0,5)] = 0,5s + 0,75s/(s2 + 0,5) = Z,+ZM

272
3. Каталог типовых расчетов
и реализуем полностью выделенный полюс (при sQl =00) как Z, = 0,5s к виде
«продольного» элемента I, =0,5 (рис. 3.73).
Рис 3.73
Остаток Z,, имеет нуль, совпадающий с нулем ПФ s02 =00. Обращаем остаток,
Уп = 1/ZM =(s^ + 0,5)/(0,75л) = is/3+2/(3s) = Y2 + Уш, и реализуем полностью
выделенный полюс (при sV2 =00) в виде «поперечного» элемента С2 =4/3.
Последний остаток, Уш, имеет нуль, совпадающий с «последним» нулем ПФ при
*ю = °°- Обращаем остаток, Zm = 1/Уш = 3.v/2 = Z:,, и реализуем полностью
выделенный полюс (при 5оз = °о) в виде «последнего» продольного элемента Ls = 3/2.
6. Реализация ЧП завершена. 7. «Последний» элемент соответствует
«свидетельству правильного окончания синтеза». 8. Осталось, используя МПВ, проверить,
что схема рис. 3.73 реализует заданную ПФ, и определить коэффициент k.
3.6.16. Синтез реактивных четырехполюсников лестничной
структуры (процедура синтеза с выделением частных
полюсов)
Пример 3.87. Подлежит реализации (в режиме холостого хода ЧП) ПФ HlfXX{s) =
= ks7f(s2 + \) = —YufY22 =kB{s)/A{s). 1. Проверка ПФ на реализуемость
выполняется, так как: а) выполнено условие Фиалкова; б) нули и полюса у ПФ
мнимые, причем полюса простые. 2. Определяем параметры 411 делением числителя
и знаменателя на произвольный полипом D(s), по так, чтобы Y22 = YLC.
Выбираем D(s) = s. Тогда Y22 = A/D = (s2 + \)/s -5- YLC, -У,2 = кВ/D = ks. 3. Записываем soi,_
то есть нули ПФ на основании параметров ЧП: а) нуль у -У|2 при sm =0; б)
частный полюс у Yi2 при sli2 = 0. 4. Вначале реализуем частный полюс Y22 (то есть
нуль 1-й категории у ПФ ЧП), выделяя его полностью (Y22 =(s2 + l)/s = \/s + s =
= У, + У„ ) в виде первой со стороны 2-2 поперечной проводимости У, = 1/5, то есть
в виде «поперечного элемента» I, = 1, как показано на рис. 3.74. 5. Остаток Уп = s
имеет нуль, совпадающий с еще не реализованным нулем ПФ при s0I =0.
Обращаем остаток: Z„ = 1/У„ = \/s = Z2, и реализуем этот нуль ПФ как полностью
выделенный полюс обратной функции (см. оспов-
02 ную процедуру синтеза в 3.6.15) в виде
«продольного элемента» С2 = 1. 6. Реализация Y.n
завершена. 7. 11оследним элементом сип теза
является продольное сопротивление, то есть
выполняется «свидетельство правильного окоича-
^2 мня синтеза». 8. Осталось вывести ПФ схемы
(рис. 3.74) и найти к.
С2= 1
1?
и
1*
.Гц
I
т
1*22
L.- 1
+
и.
Рис. 3.74

3.6. Расчет фильтров и синтез цепей
273
3.6.17. Синтез реактивных четырехполюсников лестничной
структуры (процедура реализации нуля III категории)
Пример 3.88. Подлежит реализации (в режиме холостого хода ЧП) ЛФ
HtlXx(s) = k(s2 + 4)/(.у2 + \) = kB(s)/A(s) =-Yu/Y22. 1. Проверка ПФ на
реализуемость: а) выполнено условие Фиалкова; б) нули и полюса у ПФ мнимые,
причем полюса простые. 2. Определяем параметры ЧП делением числителя и
знаменателя ПФ на произвольный полином D(s), но так, чтобы У22 -г- YLC.
Аналогично 3.6.16 выбираем D(s)-s. Тогда
У22 = A/D = (s2 + 1)Д * YLC; -У|2 = k(s2 + 4)/.*.
3. Записываем нули ПФ sok на основании параметров ЧП: а) нули у -У12 при
s0l2 =±./2; б) частных полюсов у У22 нет. 4. Поскольку нули ПФ sol2 ire
совпадают с корнями У22 (здесь — случай самых трудных в реализации нулей ПФ —
нулей III категории), используем метод проб и ошибок. Пытаемся частично
выделить какой-либо полюс Y22 (или Z, = 1/Ущ) так, чтобы в остатке был искомый
пуль. Попытка выделить частично полюс У22 при s = 0 оказывается неудачной.
Действительно, при условии sA = -4 (то есть s - ±j2) имеем
Ув(*) =
2+1
5
и в предположении Уп(±72) = 0 получим (-4 + 1) = £ч> то есть &„ =-3. Условие
0 < k4 < kn (го есть частичный коэффициент k,t > 0, но меньше полного k„ = 1 =
= sY22(s) при 5=0) не выполняется. Поэтому «пробуем» частично выделить
полюс У22 при s - оо, то есть
S
В предположении Yn(±j2) = 0 при s2 = -4 находим: k4 = (-4 + 1)/(-4) =
= 3/4<Л„ =1, го есть У, = 3s/4, и в реализуемом ЧП первым со стороны 2-2
(рис. 3.75) является поперечный элемент Сх — 3/4. Остаток
У„ = Y22 -К, =(S2 + l)/s-3s/4 = (s2 +4)/(4.v)
действительно имеет требуемый нуль$0|2 =±у2.
ь2
I
4
1
+
и,
Ju
l^2i
22
^2
G-3
3
4
u->
15-
Рис. 3.75

274
3. Каталог типовых расчетов
Реализуем его полностью выделенным полюсом при s2 = -4 у обратной
функции: Zn = 1/У„ = As/(s2 + 4) = 1/(5/4 + 1/5) = l/(Y2 + YA). Продольное
сопротивление Zn на рис. 3.75 представлено параллельным соединением С2 =1/4 и L3 =1.
5. Реализация ЧП закончена правильно — продольным сопротивлением Zu.
Осталось вывести ПФ схемы и определить k.
3.6.18. Реализация резистивно-емкостных
четырехполюсников
Пример 3.89. Необходимо реализовать КС-четырехполюсником ПФ llt:(s) =
= k(s + 2)/(s + \) = kB(s)/A(s) = -Yu/(l + Y22) ПРИ нормированной единичной
нагрузке. 1. Выполняют общую проверку на реализуемость: а) условие Фиалкова
выполняется; б) нули и полюса ПФ отрицательные, причем полюса простые.
2. Определяем параметры ЧП. Для этого представляем Л (5)суммой полиномов:
A(s) = Aa?(s) + Aja (5) = 0J5(.s + 2/3) + 0.25(5 + 2),
причем корни А^ расположены правее, а корни А,10 — левее корней Л(5).
Находим параметры -У]2(5) = kB/AlB =4&;У22(5) = /1пр/Ллв = 3(5+ 2/3)/(5 +2), причем
У22 -=- YRC(s), то есть удовлетворяет условию реализуемости /?С-ДП, так как нули
и полюса отрицательные, простые, чередуются и ближайшим к началу
координат является нуль. 3. Находим параметры соответствующего LC-4U:
Ya{p) = У'a(s = Р2)/'р = 3(р2+ 2.3)/[p(p2+2)J^riC(p);-yi2(p) = 4k/p.
Определяем нули ПФ IC-ЧП по его параметрам: а) от -У12 нуль при рт = оо;
б) от У™ частные полюса при ртп = ±/Ч/2. 5. При синтезе LC-ЧМ вначале реали-
б) от Уп частные полюса при ршз =±j
зуем частные полюса:
3(р2 +2/3)
Уи(р) =
2
pip1+2) р<+2 р
2р + -^г1+к„.
го есть реализуем поперечную проводимость
К1=2Л/(л2+2) = 1/(р/2 + 1 p) = \/(Zu+Zcl),
состоящую, как показано на рис. 3.76. <7, из последовательного соединения эле
ментов Lx = 1/2 и Сх = 1.
U= 1
-*ii
+
и
1
15-
22
i>2
I
2
c,-i
к.
«2
в
Д, = 1
1?—С
+
г/
1
/г,-±
i
1
1^
2
о-
U.
Л - 1
и
Рис. 3.76

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей
275
Остаток К„ = 1/р имеет нуль, совпадающий с нулем ПФ при /?01 = со. Реализуем
его как полностью выделенный полюс обратной функции Z„ =p=Z2 в виде
♦продольного элемента» L2 = 1, то есть реализация LC-4U завершена правильно.
6. Возвращаемся (формальной заменой LB R) к искомому RC-ЧИ с
нормированной нагрузкой Ru = 1 (рис. 3.76, б). Осталось проверить ПФ цепи и определить
коэффициент к.
3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей
3.7.1. Определение передаточной функции дискретной цепи
по аналоговому прототипу
ПФ ДЦ называют отношение ^-преобразования реакции к г-преобразовашпо
единственного в цепи воздействия, когда предначальные условия равны нулю:
H{z) = FI(z)/Fi(z)^F^(z)/FM(z). ПФ ДЦ - это г-иреобразованис ИХ ДЦ
H(z) + h(nT). причем ИХ ДЦ численно равна реакции ДЦ на воздействие вида
дискретной дельта-функции /HX(wT) = 80(яГ)-г/^(£) = !, то есть дискретного
импульса единичной высоты, существующего только при t = 0.
Используюi различные методы перехода к ДЦ or прототипа-аналога, требующие
предварительного расчета ПФ, или ЧХ, или ПХ аналоговой цепи (АЦ).
Пример 3.90. На рис. 3.77 прииедена схема
прототипа-аналога при L = 1 /2; С = 1; /? = 1/3;
Л =/вых = мЛ. Найти ПФ соответствующей ДЦ.
Делаем предварительный расчет АЦ (в первую
очеречь с целью определения периода, то есть
шага дискретизации Т = Л/). Находим ПФ,
используя МП В.
При f/nb0t(s) = 1 имеем
Рис. 3.77
IR =3:UC =Um=l; h =UC/ZC =s;IL =lc+IR =5 + 3;
UL =ZLIL= s(s + 3)/2; Um =UL+UC= ((s2 + 3.0/2) +1 =(s2 + 3-> + 2)/2,
тогда ПФ
//(5) = ^)= 2_= 2
UBX (s) s2 + 3s + 2 (s + l)(s + 2)
Находим ПХ АЦ:
s s(s + l)(5 + 2) s (s + 1) (s + 2)
= 1+—?- + _1_+/ц(0 =
.-/
~2t
= \\~2el +«T"|°i(0-
Рассчитываем ЧХ цепи: //(./со) =
(co+lK/co+2)
, тогда АЧХ

276
3. Каталог типовых расчетов
Л(со) =
^ш'-И'Хш2^2)'
По теореме Котсльникова частота дискретизации сол = 2л/Г » 2сош, причем
ширина спектра воздействия Дш(|1 = сот обычно определяется по «жесткому»
амплитудному критерию (1 или 0,5 % от Лтах). Так как воздействие /, = /пх не
задано, приходится использовать обобщенную ЧХ //(./со), которая является спектром
ИХ А(0- Тогда
0.01Д =0,01 =
V(co^ +12)(^ +22)1
откуда приближенно находим 0,01 = 2/со*, то есть сот = 14. Следовательно,
соа » 2сот = 28.
Выбирая «удобную» частоту (ол =628, получим At = Г = 2л/628 = 0,01 с, что
согласуется с рекомендацией из 3.2.5 но выбору шага численного расчета:
Д* <0,2min{Tmin; Тшп/4} =0,2-0,5 =0,1 с. Рассмотрим различные варианты
перехода к ДЦ:
1. Расчет ПФ ДЦ при использовании явной формы алгоритма Эйлера для
численного расчета АЦ. Формула пересчета ПФ имеет вид
H(z) = H(s)
z-l
-У (s + l)(s + 2)
2М0
s-100(r-l)
(z-0,99)(r-0,98)
2. Расчет при использовании неявной формы алгоритма Эйлера:
H(z)=U(s)
1,94137-10
-Л .2
Т.
Ю0Г — + 1
100
г-1
+ 2
(г -0,99010)(г-0,98039)
Vv
2. Расчет при использовании смешанной формы алгоритма Эйлера:
Я(г) - //(s)
s—-
г-1
• JL —
(*+!)(* +2)
2 10
■1 -
-с
я=100<;-1)
(; -0,99)^-0,98)
3. Расчет при использовании билинейного преобразования:
H(z) = H(s)
-V-
.2
*-~ - " (
Г at 200
z-\
\
+ 1
r + i j
200
1
z + l
+ 2
0,49259- 10"*(г + 1)
(г -0.99005)(z -0.98020)
4. Расчет ПФ ДЦ .методом полного соответствия (инвариантности)
переходных характеристик ДЦ и АЦ (в дискретные моменты времени t = пТ^. 0):

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей 277
*.<0|, од>1л = (1-2<Г' +^')|г=(Ш1п =1-2^" + ,№" -
s Г -2-0,99005" +0.98020" +
-=-//,(;:) = -? ? + £ + kOiT)f
1 z-1 г-0,99005 г-0,98020 '
причем ПХ ДЦ Л,(пГ)-;- Я,(г) численно равна реакции ДЦ на воздействие вида
единичной ступенчатой последовательности /т(пТ) = 8,(яГ) = Г = 1 * z/(z -1) =
= F„x(r), то есть дискретных импульсов единичной высоты при п £0.
ПРИМЕЧАНИЕ
В преобразованиях использовалась формула ^-преобразования: a" + zf(z - я).
Переход к ПФ ДЦ осуществляется следующим образом:
7/(;) = ^Н|(;) = 1- 2(г-1) г-1 . 10-г + 0,9701-10<
г -0,99005 г -0,98020 (г -0,99005)(; -0,98020)
3.7.2. Определение разностного уравнения и схемы
дискретной цепи по известной ее передаточной функции
В 3.7.1 была i гай лена ПФ ДЦ. Рассмотрим, например, H(z). полученную для
случая использования явной формы алгоритма Эйлера (при численном расчете
соответствующей АЦ), и преобразуем ее следующим образом:
z2 -l,97c+0,9702 1-1.Э7Г"1 + 0,9702z-2 Fx{z) FHX(z) '
где Г,(с), /s(z) — z-преобразования входной и выходной последовательностей
в ДЦ. Отсюда [1- 1,97с"1 + 0,9702z"2 |F2(z) = 2-10 4г"2/;(;).
Перейдя к дискретным последовательностям и используя георему запаздывания
z~m f(z) + f(nT - mT), получим разностное уравнение ДЦ:
/2(wГ)-l,97/^(?7Г-Г) + 0т9702/2(г7Г-27•) = 2.10-V,("7,-27,).
Решаем его относительно реакции ДЦ/2(пГ) =/Ш1|Х(иГ):
/2(яГ) = 2-10 * fx(nT -2T) + \$1 f2(nT -Т)-<)Ш2/2(пТ -2Т).
Схема ДЦ, изображенная на рис. 3.78, содержит операторы сдвига на один шаг
(г-1), операторы умножения на постоянный коэффициент («треугольники») и
оператор суммирования; переменные ДЦ указаны в узлах схемы; стрелки
определяют направление «прохождения» сигналов в ДЦ.
По РУ обратным преобразованием можно очевидным образом получить ПФ ДЦ.

278
3. Каталог типовых расчетов
Л<«п
UnT-T)
У
МпТ - 2Г)
2- 10
Л(«п
М«т - т)
-0,970? у
<<Т2(пТ - 27/)
Рис. 3.78
3.7.3. Расчет импульсной и переходной характеристик
дискретной цепи по ее передаточной функции
Рассмотрим ПФ ДЦ, полученную в 3.7.1 (в п. 1):
H(z) =
2-10
-4
Axz A2z
- + —-— + Л>,
(z -0,99)(г -0,98) z -0,99 z -0,98
причем здесь ИФ //(с) разложена на сумму простейших составляющих с учетом
известных корней знаменателя. Вычислим коэффициенты по очевидным
формулам:
А,=л(0|г.„ =
210
-4
-4.
0,99- 0,98
= 2,06143-10м;
-_0Qq 9-10"4
= ^_v^j , = _£_^ =0,02020;
i . \ t\. ода 0i99.001
= z-<№ | = 2'10' =-0.02041;
2 . >\. 1Я 0,98 (-0,01)
получим MX h(nT) = (At 0,99" + A2 ■0,98")5,(«7*) + Aa S0(nT).
Для расчета ИХ ДЦ Л, (п Г) используем соотношение
2-10
-1
1 +" " + J
(с - \)(z -0,99)(г -0,98) z -1 г -0,99 с -0,98
+ 4р
аналогично рассчитав Л0, Д, Л2 и Л3, получим:
Л|(0 = — + +
г-1 г-0,99 г-0,98
4-/г1(п7") = (1п -2-0,99" +0.9«")51(яГ).

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей 279
ПРИМЕЧАНИЯ
1. В дискретные моменты времени t — пГ = 0,01/г ПХ АЦ и ПХ ДЦ иочги coHiiaiaioT
(см. п. 5 из 3.7.1).
2. В преобразованиях использованы формулы ^-преобразования 60(яГ) -s- 1;
5|(л/') ^zj(z - 1); апЬ\(пТ) ±zj(z - о): если но условию задачи рассматривают п >0,
го множитель Ъх(пТ) опускают.
3.7.4. Аналитический расчет реакции дискретной цепи
Пример 3.91, Используем ПФ ДЦ, полученную в 3.7.1 (и п. 1), и воздействие
вида /%{пТ) = 3-0,5" 6,(иГ).
Найдем выходную последовательность f2(nT), используя обычную формулу
(теорему свертки в г-обласги):
о- 9 10"4
F2 (с) = Е (z)H(z) = —^ — =
1 (г-0,5)(г-0.9Э)(г-0,98)
z -0,5 г-0,99 г -0,98
Определив коэффициенты Л,, А,, Ая и Лп, получим
г , ч 2,55-10^ г 0,122с -0,125с
2 " (z-0,5) z-0,99 с -0,98'
откуда (с учетом Л0 = 0)
f2(nT) = (2.55 -Ю-3 -0,5е+0Л22-0.99" -0,125-0.98")5, (пГ).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Для перехода к оришналу (дискретной последовательности) здесь использована
теорема разложения на простейшие дроби дробно-рапионапьной функции F(z) =
= B{z)/A{z) по се полюсам zk:
2. Возможен еще один вариант разложения при использовании теоремы
запаздывания и разложения F(z) аналогично преобразованию Латаса: F{z) = ^Г —^— + \ -г-
+/(яО = ZЛгГ'в,^ - Л + Л0б0(иГ) - Z ~ Z"
3. В случае кратных корней процедура разложения также похожа на
использованную в преобразовании Лапласа (с учетом табличной формулы пап + az/(z - я)2).
4. Контроль осуществляют по теореме и начальном значении: /(0) = F{z) при z -» ос.
10
Пример 3.92. Найти оригинал и случае F(z) =
=:\2
(r-l)(z-0.5)

280
3. Каталог типовых расчетов
При использовании второго варианта теоремы разложения (то есть полной
аналогии с преобразованием Лапласа) получим:
г/ ч 40
F(z) = +
-20 -40
+
+f(nT) = [40-1
(г-1) (z-0,5)2 (z -0,5)
<-ii 20
0,5
{n-l)0,5inn -400,5("-,)]51(иГ-7-).
Пример 3.93. Найти оригинал при наличии комплексных полюсов у г-преобра-
зования:
10 10
F(=)-77
Atz
+ —— + А„.
а
+ Z + 1.25 (z + 0,5-j)(z +0,5+ j) z+0,5-j z + 0,5 + j
В целом процедура решения соответствует примеру 3.92, но требует определен
ной математической аккуратности. Находим коэффициенты рачложепия:
A0=F(0) = 8:
z + 0,5-j
10
А =^i F(Z)\~^ ~z(z+0,5 + j)
10
; -0.5+/
(-0,5+./)(2/)
= 2л/5е->210';
А2 =Д = 2>/5>2,0\
Искомая дискретная последовательность:
f(nT) = |2л/5в->2ш#(-0,5 + j)n + 2-JEe*im\-Q5 -jf ]81(иГ) + 880(яГ) =
=2^|*-'210Ч7Ш№1Л'>и^^
= 4л/5(л/Г25)псо8(г2-120°-210°)б1(/7Г) + 8й0(пГ).
3.7.5. Численный расчет реакции дискретной цепи
Пример 3.94. Для численного расчета ДЦ используем разностное уравнение,
полученное в 3.7.2, и воздействие fx(nT) = 3-0,5"8х(пТ), заданное в 3.7.4. При
численном расчете первым из двух методов РУ ДЦ приводится к виду f2(nT) =
= 2-10"4/1(/7Г-2Т')+1)97/2(пГ-Г)-0,9702/2(пГ-2Г), нредначальные условия
/,(-Г), /{(-2Т), /2(-Г), /2(-2Г)являются нулевыми.
Осуществляем последовательно, шаг за шагом, численный расчет значений
реакции /2(пТ) для п > 0 по РУ (первый метод расчета):
♦ при п = 0имеем/2(0) = 210-4/,(-2Г)+1,97/2(-Г)-0.9702/2(-27') = 0;
♦ при п = 1 имеем /2(Г) = 2- 10~*М-Т) + 1,97/2(0)-0,9702/2(-Г) = 0;
♦ при п = 2 имеем
/2 (2Г) = 21 (Г1 /, (0) + 1,97/2 (Г) - 0,9702/2 (0) =
= 210^ -3-0,5° + 1,97-0-0,9702-0=6-10Л
Аналогично находим:

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей
281
/2 (ЗГ) = 2 ■ Ю-4/, (Г) + 1,97/2(2Г) -0,9702/2(Г) =
= 2-Ю-4-3-0,5+ 1,97-6-Ю"4 -0,97020 =6-10"4 -2,47;
/2(4Г) = 210'1/.(27,)+1,97/2(ЗГ)-0,9702/2(2Г) =
■4
,-4
= 2-10 "-3-0,5' +1,97-6-10"'-2,47-0,9702-6-10- ^б-Ю"1 -4,14;
-4 ~
/2(5Г) = 210 4/|(ЗГ)+1,97/2(47')-0,9702/2(ЗГ) = 6-10-4 -5.89
и т.д.
При численном расчете вторым метолом используется разложение в ряд Лорана
z-преобразования реакции F2(z) = ^fi{nT)z~n% то есть коэффициенты ряда Ло-
рана при z~n (в затесанной формуле прямого г-преобразования) как раз
определяют численные значения реакции.
В 3.7.4 (в и. 1) было получено
3z 2-10"4 610
F2(z) = fi(r)f/(r) =
1-4-
(z-Q,5)(z2 -l,97z +0,9702) z3 -2,47z2 + l,955z-0,485 '
Деление числителя F2(z) на знаменатель по старшим степеням z обычным
«уголком» сразу дает ряд Лорана:
F2(z) = 6\0-4(z~2 +2A7Z-3 + 4,14т"4 +5,89z"5 +...),
следовательно. /2(0) = 0: /2(Г) = 0; f2(2T) = 6- Ю-4; /2(ЗГ) = 6- 10й -2,47 и т. д.
3.7.6. Использование метода эквивалентных источников
при расчете нелинейных цепей с одним нелинейным
элементом
При единственном НЭ в НЦ можно использовать для расчета МЭИ (например,
теорему Тевенена), что существенно упрощает анализ НЦ.
Пример 3.95. В цепи, схема которой изображена на рис. 3.79» а, и0 =4 В; i0 = 4 А;
Я, =0,25 Ом; R2 =0,5 Ом. ВАХ НЭ ЯМГ) задана четырьмя значениями: {in:)t ипэ}:
(0; 0); (1; 3/4); (2; 3); (3; 15/4). Составить расчетную схему.
«хх._
Л
m
Я
Л
е
Рис. 3.79

282
3. Каталог типовых расчетов
t. Находим напряжение эквивалентного источника иа = ихх по схеме (рис. 3.79. б).
По ЗНК имеем ихх + R2in —и0 =0, откуда ихх =м0 — R2i0 =4-0,5 -2 =ЗВ.
2. По схеме без источников, приведенной на рис. 3.79, в, определяем
эквивалентное сопротивление: Rd - Rx + R2 =0,75 Ом.
3. Для расчета ЫЦ имеем схему (рис. 3.79, г) эквивалентного ИН иэ = ихх = ЗВ
с выходным (эквивалентным, внутренним) сопротивлением R^ = 0,75 Ом,
которые соединены последовательно с НЭ.
3.7.7. Графический расчет резистивной нелинейной цепи
с одним нелинейным элементом
Пример 3.96. Схема замещения НЦ, полученная по МЭИН, приведена на
рис. 3.79, г при ил =3 В; Я, =0,75 Ом, а ВЛХ НЭ ull:.t(ilu)t заданная в четырех
точках (см. пример 3.95 в 3.7.6). изображена на рис. 3.80, а. Иайгн ипэ и ц1:}.
В случае единственного НЭ широко используют отраженный на рис. 3.80, а
вариант графического метода, базирующийся на графическом решении уравнения
ЗНК цени: uu:.)(iii:t) = u^ -RJiyy =3-0,75/|1Э. Характеристика м(/) линейной
части (иэ — RJu:>) построена в виче прямой линии по двум точкам в виде прямой
линии: ихх =ил =ЗВ и /кя =ut/R.y = 4 А. Точка пересечения характеристик
линейной и нелинейной частей НЦ и есть решение задачи — рабочая точка (точка Л),
в которой мпэ = 1.8 В; iu:i ~ 1,5 А.
ПРИМЕЧАНИЕ
Недостаток графического метода очевиден — невысокая точность расчетов;
достоинство — простота и наглядность.
и, Вл
4 инэ('нл)
3-0.751! ю
1чю2 3 4 и А
Рис. 3.80
Второй вариант графического метода, отраженный на рис. 3.80, б, базируется на
построении результирующей ВАХ цепи. В последовательном соединении в
примере имеем по ЗПК и = wn:,(/,,-,)+ /?,чю, то есть результирующая ВАХ (кривая 3
на рис. 3.80, б) получена суммированием напряжений ВАХ ИЭ (кривая 1) и
ВАХ RJn:) =0,75fMJ линейного элемента (кривая 2) при одинаковых токах. По

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей
283
известному напряжению эквивалентного ИН uj = 3 В определяем показанные
«звездочками» рабочие точки на ВАХ 3 и 1. Последовательность определения
рабочих точек и значений инэ и *нэ показана штриховыми линиями со
стрелками. Находим ииэ = 1,8 В, ilu ^ 1,5 А.
3.7.8. Расчет резистивной нелинейной цепи методом
кусочно-линейной аппроксимации (кусочно-линейных
схем)
Пример 3.97. Используем схему НЦ из примеров 3.95 (см. 3.7.6. рис. 3.79, г)
и 3.96 (см. 3.7.7, рис. 3.80, а).
1. Представим ВАХ НЭ трехзвешюй ломаной (рис. 3.81, а), проходящей через
заданные в примере 3.96 точки.
2. На каждом из участков аппроксимации (I, IT» III) ВЛХ НЭ изменяется по
линейному закону мнэ = Я*']& + иок> гДе ^к ~ сопротивление НЭ на участке
номер к; величина u0fl определяется значением ипэ при iII3 =0 (см. штриховые
линии на рис. 3.81, а).
4. При таком представлении расчетная схема замещения цепи, изображенная на
рис. 3.81» б, является линейной (причем иэ = ЗВ, R3 =0,75 Ом» согласно 3.7.7).
W02*
/ 1'нэ2
U А
[нэ
+
Л
ииз Т
Рис. 3.81
Найдем Rk и иоь для всех участков
о участку I (0 < / < 1; 0 < и <0,75) соответствуют Rl =(0,75 -0)/(1 -0)
= 0.75 Ом; wM =0-0,75-0=0;
о участку II (1 < i <2; 0,75 <и <3) соответствуют Я2 =2,25 Ом; ы02
= 075 ^2,25 1 = -1,5 В;

284 3. Каталог типовых расчетов
о участку III (2 < i < 3; 3 < и < 3,75 ) соответствуют R3 = 0,75 Ом;
мю =3-0,75-2 = 1,5 В.
5. Из графического анализа, представленного в 3.7.7, следует, что п
рассматриваемом примере рабочая точка А находится на участке II и является
единственной. 11а основании расчета схемы, изображенной на рис. 3.81, б, определяем
«из =(". ~иш )/<Лл + «2 > = (3+ 1,5)/(0.75 + 2,25) = 1,5 А;
"из =R2hvj +«02 =2^25-1,5+(-1,5) = 1,875 В.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. В сложных ИЦ (например, с несколькими НЭ, с неоднозначными ВАХ) следует
в п. 4, используя какой-либо метод расчета линейных цепей» вывести общую
формулу для расчета реакции и перебором всех участков аппроксимации всех НЭ
определить рабочую точку.
2. Очевидное достоинство метода — возможность использования приемов
линейного анализа цепей.
3. Предваригсльнос графическое решение задачи позволяет уточнить «рабочий»
участок ан проксимации.
3.7.9. Полиномиальная аппроксимация вольт-амперных
характеристик нелинейных резистивных элементов
При приближенных аналитических расчетах НЦ иногда характеристику ИЭ
аппроксимируют степенным многочленом, проходящим через заданные точки.
Можно для этой цели решать линейную систему уравнений, например, четырех
уравнений вида u(i) = au +axi + a2i* +fl3iJ, используя четыре указанные точки
ВЛХ Л-НЭ {iK,uh} для определения неизвестных коэффициентов д0, д,, о2, аг.
Однако проще использовать формулу Лагранжа, которая сразу дает требуемое
уравнение полинома, проходящего через п заданных точек ВЛХ:
п A(i)
Пример 3.98. Аппроксимировать полиномом ВАХ /?-НЭ, рассмотренную в
примерах 3.95 и 3.96 (см. 3.7.6 и 3.7.7 соответственно), проходящую через четыре
точки {(/, и): (0;0), (1:0,75). (2:3), (3; 3,75)}.
Используем для расчета формулу Лагранжа:
и=и 0-b)i*-h){i-h) Ли ('-'|)0"'д)('-»4) ,
1 (ч - h )0"i ~ h )0'i -h) 2 (h ~ ч )(«2 - h )(h - U )
|ц 0'-'i)0'-'a )('-'<) , U (i-il)(i"i2)(i-ii) _
J («3 -*|)0я ~hXh "'л) 4 ('4 -«lX'4 "*2>(«4 -»j)

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей
285
+3-
<«-
(2
(i-l)(i-2)(f-3) |075 (»-0)(»-2)(i-3) |
(0-1)(0-2)(0-3) ' (1-0)(1-2)(1-3)
°*-*><*-з> + з,75- С-0Х»-1Х«--2) = _05fз + 225-2
0)(2-1)(2-3) (3-0)(3-1)(3-2)
-г
Найдем теперь «обращенный» полином («целых Uj ВА
степеней») /"(w), используя те же точки
аппроксимации, в виде ЬАил + Ь2и2 + Ъхи + й0 =г(м).
Получим приближенно
i = 0.158м*1 -0,889w2 + 1,911м.
Построим оба графика (рис. 3.82). Из двух ВАХ
предпочтительнее выбирать г (и), поскольку эта
зависимость не имеет экстремумов на участке
аппроксимации.
Рис. 3.82
ПРИМЕЧАНИЕ
Из примера видны как особенности «обращения» степенных многочленов, так
и «неконгрплируемость их поведения» между точками аппроксимации.
3.7.10. Расчет нелинейных резистивных цепей
методом полиномиальной аппроксимации.
Решение нелинейных функциональных уравнений
Процедура расчета приблизительно одинакова для всех аналитических методов:
1. Производят аппроксимацию ВАХ Л-НЭ.
2. Записывают систему независимых уравнений Кирхгофа и подставляют в нее
аппроксимированные характеристики.
3. Исключают лишние переменные, находят нелинейное функциональное
уравнение (ИФУ) для расчета реакции и решают НФУ.
ПРИМЕЧАНИЯ
1. При исключении неременных иногда приходится «обращать» аппроксимирован
ные характеристики, что усложняет расчет.
2. Необходимо также уметь решать НФУ.
Для решения НФУ вида F(x) = 0 часто используют итерационные методы
(методы последовательных приближений). Самым быстрым по сходимости считается
метод Ньютона — Рафсона, расчетная формула которого имеет вид хк = хк_х -
-F(xk_l)/F\xk_l), причем рекомендуется исходное (нулевое) приближение х0
выбирать на основании решения НФУ графическим методом.

286 3. Каталог типовых расчетов
Пример 3.99. Используя данные примеров 3.95 и 3.98, найти ипэ и i,,, методом
полиномиальной аппроксимации ВАХ НЭ.
Используем для расчета схему МЭИН, изображенную па рис. 3.79, /, при иэ = ЗВ;
R3 =0,75 Ом. Уравнения Кирхгофа такой цепи очевидны: i = in3) Rj + uHH(i)-
-и^ =0, или 0,75i + wH:,(i)-3 = 0< то есть сразу же получаем НФУ вида F(i)=ft
если используем полученную и 3.7.9 полиномиальную аппроксимацию wlI3(i) =
= mii:j(*hd '•
Однако н 3.7.9 указано, что аипроксимациоиная характеристике! ^]:.Динэ) = *(ипэ)
предпочтительнее, так как она является монотонной (см. рис. 3.82), без
экстремумов в заданном диапазоне {/n ,, ulV)). Поэтому из уравнения схемы желательно
исключить переменную /, считая искомой реакцией ииэ. В результате получим
ЯД"нэ) + мнэ -"э = 0' или ^("на) = 0'75'Ч«нэ) + «нэ -3 = 0.
Подставляя полученную в 3.7.9 «обращенную» характеристику /(миЭ), получим
НФУ вида F(«) = 0,75 (0,158 м3 -0.889и2 + 1,911 и) + и -3 = 0, где для краткости
принято и =ипэ. Окончательно
jF(zO=0,1185w3 -0.667м2 + 2,433i/- 3 = 0;
[F'(w)-0,356wz -1,33м+2,43.
Па основании графического метода и метода кусочно-линейных схем (см. 3.3.7,
3.3.8) было получено значение un:i = 1,875 В, которое следовало бы считать
исходным (пулевым) приближением w0. Однако попробуем принять м0 =0 (что
не выходит за пределы задания ВАХ ИЭ). Тогда по формуле Ньютона Раф-
сона первое приближение м, -и{) -F(u)/F'(u) = 0-(-3)/2,43 = 1,23, то есть
результат уже значительно приблизился к искомому. Вторая итерация дает
и> =и{ -F(ui )/F'(ul) = 1,23-(-0,78)/1,33 = 1,82, что уже очень близко к данным
из 3.3.8. Третье приближение, ил =и2 -F(u2 )/F'(u2) = 1,88; так продолжается до
достижения итерационным процессом требуемой точности.
ПРИМЕЧАНИЕ
1. Итерационный расчет иногда расходится в зависимости от вида НФУ.
выбранного метода и «неудачного» нулевого приближения.
2. В примере у НФУ три корня. В общем случае имеет значение, от какой величины
х0 следует начать итерационный расчет. Решение должно находиться внутри
аппроксимируемой) диапазона.
3.7.11. Особенности расчета нелинейных резистивных цепей
с несколькими нелинейными элементами
Трудности, которые возникают при использовании аналитических методов
расчета НЦ с несколькими ПЭ, во многом были отражены в 3.7.8-3.7.10.
Усложнение графического расчета НЦ с несколькими НЭ в первую очередь
определяется структурой схемы. Если же НЦ имеет лестничную структуру, анализ
выполняется довольно просто построением результирующей ВАХ НЦ, как опи-

37. Расчет дискретных и нелинейных цепей
287
саио в 3.7.7. В чем-го последовательность процедуры построения ВАХ
напоминает МПВ или MOB.
Пример 3.100. Найти токи и напряжения всех элементов НЦ, схема которой
приведена на рис. 3.83, а. Дано ui = 4 В; гл = 2 А, а ВАХ НЭ R2 и R3 на рис. 3.83, б
обозначены 2 и 3 соответственно.
Цифрой 4 на рис. 3.83, б отметим ВАХ ИТ. Виачаче построим ВАХ
параллельного соединения элементов 3 и 4, суммируя значения токов (f^ = г3 + /, ) при
одинаковых напряжениях (им — иА =ил)у получим кривую 34.
и, В
3 234
Рис. 3.83
После этого находим результирующую ВАХ последовательно соединенных
участков 2 и 34, суммируя напряжения (и23л = и2 +им) при одинаковых токах
(^34 = h ~ h\)» в результате получим характеристику 234.
Находим рабочие точки всех элементов, учитывая, что по условию ил =4 =и2М.
Последовательность определения рабочих точек указана стрелками. Получим
il - ix = lM = 4 А; и2 = 1 В; им = 3 В, а затем найдем i3 = 2 А.
3.7.12. Реализация нарастающих вольт-амперных
характеристик кусочно-линейными диодными моделями
При расчетах обычно используют характеристики идеального диода (ИД),
причем открытый ИД считают КЗ, а закрытый (запертый) — XX. Р1з четырех типов
кусочно-линейных диодных моделей для реализации нарастающих ВАХ в
квадранте I достаточно использовать два (модели 1 и 4).
Модель 1, схема и характеристики которой приведены на рис. 3.84, ау реализует
ВАХ 1, показанную штриховой линией. Характеристики элементов (ИН, R> ИД
в прямом включении) изображены жирными линиями. Так как соединение
последовательное, ВАХ 1 получена суммированием напряжений элементов при
одинаковых токах.
Модель 4, схема и характеристики которой приведены на рис. 3.84, б, реализует
ВАХ 4; показаны также характеристики элементов ИТ, R, ИД в обратном
включении. Так как соединение параллельное, ВАХ 4 получена суммированием токов
элементов при одинаковых напряжениях.

288
3. Каталог типовых расчетов
ид
U
U А
3 -
II!
il i
}}} .1 + 11
^s^ 111
•
*
*
*
*
*
1 1 1 *"
2 3 4 и, В
i*
ИН
/ BAX 1
e
/ BAX 4
e
Рис. 3.84
Пример 3.101. Необходимо реализовать ВАХ (точнее, ампер-вольтную
характеристику, как это обычно принято в диодных схемах), изображенную на рис. 3.84, в,
проходящую через точки {(i; и): (0; 0), (1; 0,75), (2; 3), (3; 3,75)}.
Для реализации первого участка ВАХ используем характеристику I, которая
соответствует модели 4 при м0/ =0; Rt =(0,75 -0)/(1-0) = 0,75 Ом.
Второй учаспж заданной ВАХ (см. участок «1 + II») реализуется добавлением к
ВАХ I характеристики II, которая является моделью 4 с ИТ im = 1 А, а
результирующее сопротивление второго участка Rlu =(3-0,75)/(2-l)s= 2,25 Ом.
Поскольку суммирование ВАХ I и II осуществляется «по напряжению», что
соответствует последовательному соединению, то Rn =Rlu -Rx =2,25 -0,75 = 1,5 Ом.
Третий участок соответствует добавлению к «I + II» характеристики 111, которая
реализуется моделью / с ИН ы(„„ = ЗВ. Результирующее сопротивление участка
Я|.н.ш = (3,75-3)/(3-2) = 0,75 Ом. Так как ВАХ III добавляется к «I + II»
суммированием «по току», то это — параллельное соединение, следовательно,
gui.hi =gmi + СП1, откуда Gin = £,„„, -GIU = 4/3-4/9 = 8/9, тогда К|п =1,1250м.
Полная схема цепи изображена на рис. 3.84, в.
3.7.13. Составление уравнений состояния
в динамических нелинейных цепях
Процедура формирования уравнений состояния в НЦ практически аналогична
используемо)! и линейных цепях (отличие — уравнения нелинейны). В качестве

3.7 Расчет дискретных и нелинейных цепей
289
независимых переменных (переменных состояния) выбирают заряды (или
напряжения) емкостей и иогокоспенлеиия (или токи) индуктивностсй.
Система уравнений должна удовлетворять следующим условиям: 1) и левую
часть каждого уравнения входит первая производная одной из переменных
состояния; 2) в правой части могут быть только сами переменные состояния и
источники, остальные переменные должны быть выражены через неременные
состояния; 3) число дифференциальных уравнении равно числу переменных
состояния.
Пример 3.102. В цепи, изображенной па рис. 3.85,
iL(0 )=0; VF(/)=A/I/J. Составить уравнения состояния
для t > 0.
Для / > 0 по ЗНК uL = -Ri + ии - —7-, где uL = у'. Отсюда г Vo
г-0
d\\t
уравнение состояния -— = -/й(\|/) + мп, если зависимость
di
4/(1) задана таблично, или — = ~R{\\f / к)л +ы0» ссли V(')
di
задана аналитически, как в условии примера.
Рис. 3.85
d\\t di
Если же переменной состояния считать ток i = in то /^ = -Ri + u{) = — —, при
di di
, , d\\i k ._2/з , /.ч -р di
чем дифференциальная индуктивность L =—L = — / ' = L (/). 1огда — =
di A df
di
1
3R - 3
(~Ri + uQ) или — = ---Г ' + — i2/3w0, то есть во всех случаях в правой
£Ч0У <* * k
части уравнений состояния имеем нелинейные соотношения.
3.7.14. Расчет переходных процессов в нелинейных цепях
методом кусочно-линейной аппроксимации
На каждом участке кусочно-линейной аппроксимации характеристик ПЭ расчет
выполняют методами анализа линейных цепей; на «стыке» участков определяют
граничные условия, которые являются независимыми начальными для расчета
процессов на следующем участке.
Пример 3.103. Схема цепи приведена на рис. 3.85;
дано м0 = 2 В = consL; R = 1 Ом; г"7 (0~) = 0;
аппроксимация основной криво)! намагничивания Л-НЭ
изображена на рис. 3.86. Определить iL(t) u uL(t) после
коммутации.
Имеем три участка аппроксимации кривой \|/(/). На
участке —1 < f < 1 имеем линейное уравнение \\j = 1 • i =
= L{i, следовательно, Л, =1 Гн; на участке 1 <i<2 (н
-2</<-1) имеем у =0,51 + 0,5 (и у =0,51-0,5), то
есть дифференциальная индуктивность L2 = у' = 0,5 Гн.
В примере ИМ ии > 0, следовательно, при НУ ii (0 ) = 0 = /, (0' ) го к при / > 0 бу-
Рис. 3.86

290
3. Каталог типовых расчетов
дет положительным. На первом участке имеем очевидное решение ДУ в виде
суммы свободной и вынужденной составляющих:
Г
и,
Ut
к
ехр
R
{ h
-t
то есть i(£) = iL(t) = 2 -2e~l; ы, (t) = Lx
dt
= 2<Г\
11айлем момент времени tv когда ток на границе участка достигнет значения 1 А:
i(ty ) = 2-2ехр(-£1)= 1, откуда exp(-£j) =0,5, то есть t, =-1п(0,5) = 0,693с.
Напряжение /--НЭ при этом uL(tx) = 2 ехр(-£,) = 1 В.
Для второго участка имеем ННУ iL(t\)=- iL(t[ ) = 1 А. При этом уравнение цепи
uL =uQ-Rt =—^-^^ = L2i (t) является обычным линейным, решение которого
для t>tx
dt
ut
iW=i+
Ut
iM-'i
exp
R
V-ti)
= 2 -exp[-2(f -*,)]-
Напряжение индуктивности при этом uL(t) - L2i'{t) = exp[-2(f -£, )].
ПРИМЕЧАНИЕ
Результат И|/£|) = 1 =м/_(£|) оказывается неожиданным, поскольку производная тока
iL при t = ti увеличивается в два раза скачком. Но при этом в два раза уменьшается
дифференциальная индуктивность.
3.7.15. Метод гармонического баланса
Метод гармонического баланса (МГБ) — это приближенный метод расчета
установившихся периодических режимов (УПР) для НЦ с нечетными
симметричными характеристиками НЭ. МГБ предполагает равенство слева и справа в ДУ
цепи для каждой гармоники УПР.
Пример 3.104. Схема цепи изображена на рис. 3.87;
u(t) = \Qcos(<i>t + au); R = \ Ом; <о = 4 с"1; <хы =60°. Ве-
бер-амперная характеристика L-НЭ vj/ (i) задана
значениями {(у; I): (-2; -3), (-1; -1), (0; 0), (1; 1), (2; 3)}.
Рассчитать первую гармонику тока в УПР.
1. Аппроксимируем характеристику у (i)кубическим
полиномом, проходящим через указанные значения:
Рис. 3.87
■з
V (0 = а\*+ аз' • Получим систему
з
Ц + Гал =l; 3ct +Злс3 =2»
решение которой а. =25/24 = 1,0417; аг = -1/ 24 = -0,0417, следовательно,
V(i) = l10417i-0f0417i3.

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей 291
2. Составляем уравнения цепи: i = iR = iL\ uL + uR = wo1 или y'+/?i = u0.
3. Считаем, что периодический ток, то есть реакция, в основном
определяется первой гармоникой: i(t) = In cos(co£ + а,). Применяя формулу cos3 у =
= 0,75 cos у + 0,25 cos Зу, можем записать выражение
\|/(i) = G1/m cos (cot + а,) + 0975а31^ cos (cot + а,) + 0,25а3/^ cos(3cot + За,),
в котором ограничимся основной гармоникой УПР с частотой со.
4. Используя полученные данные, получим уравнение для расчета реакции:
со/т(а{ +0J5asllt)cos((nt + а, + 90о)+Л/т cos((ot + ai)=Um cos(cot + au).
5. Для решения такого уравнения обычно применяют МКА:
co/m(«, +0,75a3ll)e^^+RIme^ =Ume*",
откуда
\jtoI» («. + 0,75a3/£ ) + RIm Y" = Umeia",
или A(Im )e,<<v"p) =Umei<Xu, то есть при решении уравнения необходимо
обеспечить баланс (равенство) амплитуд и фаз слева и справа.
6. Решаем нелинейное функциональное уравнение (НФУ) баланса амплитуд:
Л(/и) = Л/со2/:(о1 +0,75a.,/;)2 +R41 =Un,
или, переходя к числовым значениям:
/£[16(1,0417 -0,75 -0,0417/* )2 + I21 = 100.
Решая НФУ графически (см. 3.7.7) или методом Ньютона — Рафсона (см.
3.7.10) с учетом /2 > 0, можем найти 1т = 2,6 А.
Далее определяем начальную фазу тока из баланса фаз:
со/т(а1+0,75я30
a, =au -Ф = аы -arctg
RI
m
в60"-апа84(1'0417-0'751-0-0417-ада^60'-7У=-1У.
Итак. i(0 = 2,6 cos (4£-13°).
3.7.16. Расчет автоколебаний в релейной цепи
Пример 3.105. Определить автоколебания x(i) в цепи со структурной схемой,
приведенной на рис. 3.88, а, где РЭ имеет симметричную гистерезисную
характеристику с единичными высотой (ут = 1)и шириной (cl= I) полупетли, а ЛЧ
описывается ПФ Я(5) = -Ю/[(5 + 1)(5 + 2)].

292
3 Каталог типовых расчетов
</(0|
1
0
-1
1
т
Т
Т- 2т
б
t
Рис. 3.88
Применим следующую методику расчета. Вначале найдем полную реакцию ЛЧ
на условный периодический сигнал на выходе РЭ (рис. 3.88, 6)\
Xll{s) = H(s)Y(s)= ^°(1Х? -X^ + X^s).
s(s + l)(s + 2)(l + e )
Полюсы H(s) простые, поэтому изображение свободной составляющей
Х«(-0 =-^т + A? A =lim(5 + l)X„(i) = -1^fbp=A(T);
s + 1 s + 2 *->-1 1 + с
Л2 = lim(5 + 2)ДГ„(д) = ~5 ° ~1Т) = Л2(т).
s->-2

Неопределим описание изображения вынужденной составляющей реакции X11H11(s)
на полупериоде 0 < f < т = Т/2, то есть А',(л) = (1 + е_эт )XKIM№)- Получим:
X,(s) = |Xr(s)-Xt,(s)|(l + e-") =
-10(1-е"")
Д(т) Л2(т)
_s(s + l)(s + 2)(l + e"") s + 1 s + 2
(1 + еэт) = Л',(х,т)
Согласно теореме о начальном значении оригинала, ,r,(0')= limsX,(s, т) =
= -Д(т)-Л2(т) = .г(0).
С учетом порога срабатывания РЭ (см. рис. 3.88, а) при d = 1 получим IIФУ для
расчета полу периода А К:
,п^ г, ^ л / ч л / ч 10(1-0 5(1-е2т) . ,
А(0) = F{x) = -Д(т) - Л2(т) = + — ~ = 1 = </.
1 + ех
1 + б>
2т

3.7. Расчет дискретных и нелинейных цепей 293
В общем случае для решения нелинейного функционального уравнения
применяют приближенные методы — графический расчет пли итерационные процедуры
(последовательных приближений), например метод Ньютона Рафсона. Однако
данное НФУ F(x) = 1 решается в радикалах, то есть точное значение
полупериода т = 1пЗ. Вычисляем Л, =-5 и А.г =4. Перейдем к оригиналу д"(0 = лг, (0 и
интервале 0 < t < т, причем в силу ограничения t < т слагаемые с множителями е лт
в расчет не принимаем. Искомые автоколебания x(t) = -5 + 15с~' -9e~2t при
0<t <т = 1пЗ.
Контрольные значения л(0) = 1; л(т) = -1; .г'(0") = 3>0; л'(т~) = -3<0.
Полученное решение с учетом симметрии АК х(1) = -х(/ ± т) периодически
продолжаем ;1ля остальных моментов времени t.
\

\
4. Каталог ответов
на основные контрольные вопросы
по теории электрических цепей
Введение
Цель этого раздела — помочь студентам технических вузов выделять важнейшее
из того обилия материала, которое на них «обрушивает» современная теория
электрических цепей (дать студентам своеобразную краткую «шпаргалку»).
Вначале (до отметки «***») в каждой теме изложены сжатые до предела ответы
на простейшие вопросы, незнание любого из которых практически сразу
приводит к неудаче на экзамене. Затем идут более трудные вопросы, глубокое знание
ответов па которые, как правило, обеспечивает успех на экзамене, а также
чувство удовлетворенности как своими знаниями, так и изучаемой дисциплиной,
являющейся важнейшей и фундаментальной во многих технических вузах.
Основы теории цепей, используемые в ней термины, методы решения задач
и принципы контроля результатов анализа зачастую применяются в
инженерных расчетах технических систем любой физической природы.
4.1. Основные понятия и законы теории цепей
1. Что такое согласованная полярность? Какая полярность у источников и
какая — у пассивных элементов?
Ответ. У пассивных элементов /?, L и С полярность принята согласованной,
то есть ток направлен к элементу от узла, которому присвоена
положительная полярность напряжения. Для источников ИН и ИТ полярность в общем
случае можно выбирать как согласованной, так и несогласованной.
2. Ч го такое КЗ и XX?
Ответ. XX — идеализированный элемент, у которого Rxx =oo, Gxx =0,
ixx =0, а напряжение ихх зависит от остальной цепи. КЗ —
идеализированный элемент, у которого RK3 = 0, GK3 = °°, икз = 0, а ток 7КЗ зависит от
остальной цепи.
3. Как записать ВАХ /?-, L-, С-элементов?
Ответ. uR = RiR\ iR = GuR\ uL = Li'L; i( = Cuc.
4. Каковы свойства последовательного и параллельного соединений ДП?
Ответ. При последовательном соединении ДП их ток одинаков, если
одинаковым выбрано его направление во всех ДП. При параллельном соединении
ДП их напряжение одинаково, если одинаковой выбрана их полярность.

4.1. Основные понятия и законы теории цепей 295
5. Поясните запись уравнений ЗТК и ЗНК?
Ответ. В уравнениях ЗТК (£** =0 в узле) со знаком «минус» учитывают
втекающие токи, а в уравнениях ЗНК (^uk =0 в контуре) со знаком
«минус» — напряжения элементов, полярность которых не согласована с обходом
контура.
6. Что такое ИИ и ИТ?
Ответ. ИН — идеализированный элемент, напряжение которого задано и не
зависит от тока. ИТ — идеализированный элемент, ток которого задан и не
зависит от напряжения.
* * *
7. Что такое ток, напряжение, мощность ДП?
Ответ. Ток равен скорости прохождения зарядов через поперечное сечение
проводника. Напряжение и{2 численно равно энергии по переносу
единичного положительного заряда q = +1 Кл от узла 1 к узлу 2. Мощность ДП —
скорость поступления энергии в ДП: p{t)-±u{t)i{t)=w'{t), причем «-»
соответствует несогласованной полярности.
8. Что такое баланс мощностей в цепи?
Ответ. Сумма мощностей (pk = ±uhik ) всех элементов цепи равна нулю.
9. Сколько независимых уравнений можно составить по ЗТК и ЗНК?
Ответ. Число независимых уравнений лзгк -п -t, где пу — число узлов
цепи; и3||К =пи -(wv -l) = nfn, где пв — число всех ветвей цепи; пт — число
ячеек в плоской цени.
10. Что такое контур, ячейка, узел, устранимый узел?
■
Ответ. Контур — замкнутая последовательность ветвей схемы. Ячейка —
простейший контур плоской цепи (то есть контур без «обрывов» и без
пересечения ветвей). Узел — место соединения двух и более ветвей. Место
соединения только двух ветвей — устранимый узел.
11. Сформулируйте следствия, вытекающие из основных формулировок ЗТК
и ЗНК?
Ответ. Следствие из ЗТК: сумма токов, втекающих в узел (сечение), равна
сумме вытекающих токов. Следствие из ЗНК: напряжение uAB(t) между
любыми узлами А и В цепи равно алгебраической сумме напряжений по любому
пути из А в В.
12. Что такое дуальные элементы и цепи?
Ответ. Два элемента дуальны, если вольт-амперные характеристики одного
математически аналогичны ампер-вольтным характеристикам другого.
Элементы R и G, L и С, ИИ и ИТ, КЗ и XX дуальны. Две цепи называют
дуальными, если уравнения ЗТК одной дуальны уравнениям ЗНК другой.

296
4. Каталог ответов
4.2. Анализ резистивных цепей
1. К зажимам источника (напряжения или тока) подключен К-элсмснт. Можно
ли считать, что они соединены последовательно? Параллельно? Найдите
напряжение и ток каждого элемента?
Ответ. Соединение можно считать и последовательным, и параллельным.
У элементов одинаковы и ток /", и напряжение и (при соответствующем их
выборе), причем и = iR.
2. Запишите ФДТ и ФДН.
Ответ. При логичных направлениях i и полярностях и для
последовательного соединения сопротивлений RM и R4 (где RM — «мое», RH — «чужое», то есть
остальное сопротивление последовательной цепи) ии = ы0 RM /(/?м + R4 ), где w„ —
общее напряжение. ФДТ для параллельного соединения iu = it}R,J(RM + RH ),
где /„ — обпщй ток; /?,, — «чужое», то есть остальное сопротивление
параллельной цепи.
3. Последовательно (параллельно) соединены элементы /?, и R2 (R и XX, R
и КЗ). Найдите входное сопротивление (проводимость).
Ответ. При последовательном соединении входное сопротивление RHlt = /?, + /?2;
R + Rxx =/?+oo = oo, R-ь- RK3 = R + 0 = /?, а при параллельном соединении
входная проводимость Gw = (7, + G2; G + Gxx = G + 0 = G; G + GKd = G + oo = do,
то есть в последнем случае соединение эквивалентно КЗ и элемент R «не
работает».
4. Как рассчитывают цепь МН?
Ответ. Реакция цепи при действии нескольких источников равна
алгебраической сумме реакций от действия каждого источника в отдельности.
5. Что такое МП В?
Ответ. МПВ основан на свойстве пропорциональности воздействия и
реакции: если в цепи с единственным источником воздействие изменить в k раз,
то и реакция также изменится в k раз.
6. Как выполняется эквивалентное преобразование «ИН — ИТ»?
Ответ. ИНм0 с последовательное сопротивлением R() можно эквивалентно
преобразовать к ИТ /0 =u(i/Rii с параллельным сопротивлением Rv (и наоборот).
7. Как записывают уравнения МКТ в цепи с ИН (с ИТ)?
Ответ. Уравнения МКТ имеют стандартный вид RuiKX + RuKz + ^з'кз ^••• = ик\
и т. п., причем контурное напряжение ИН ик1 равно взятой со знаком
«минус» сумме напряжений ИИ в первом контуре (то есть правило знаков ЗНК
для ИИ «обратное»). ИТ в цепи можно преобразовывать к эквивалентным
ИИ. Если остались иепреобразованные ИТ, например iop '02--« то
независимые контуры выбирают так, чтобы iKl = iop /к2 = *02 и г- "■
8. Как записывают уравнения МУН в цепи с ИТ (с ИН)?
Ответ. Уравнения МУН имеют стандартный вид Gxxu x + Gl2wv2 +GXAu^ +
+ ...= /" ,и т. п., причем узловой ток ИТ i , равен взятой со знаком «минус»

4.2. Анализ резистивных цепей 297
сумме токов ИТ в нервом узле (то есть правило знаков ЗТК для ИТ
«обратное»). ИН в цени следует преобразовать (как правило) к эквивалентным ИТ.
Если первый элементарно непреобразуемый ИИ или несколько ИИ (м011 w02...)
имеют общий узел, то можно его считать базисным, и следует дописать
вырожденные (упрощенные) уравнения МУН (вида, например, иуХ -umtuy2 =um
и т. д.).
* * *
9. И И их = 10 В и резистор R2 =2 Ом соединены параллельно. Найди ге
мощности рх и /?2» если ток в цели направлен по часовой стрелке (против часовой
стрелки).
Ответ. Коли у ИН выбрана несогласованная полярность, то ix =i2 -uJR2 =
- 5 Л; />, =-w,/] =-50 Вт; р2 ~uxi2 =50 Вт. Если направление тока выбрано
«нефизично» (нелогично) и у ИН выбрана согласованная полярность, то по ЗНК
и2 --их =-10 В; I, =i2 =u2/R2 =-5 A; рх = uxix =-50 Вт; рг = Ri2 =50 Вт,
следовательно, мощности элементов и истинное направление движение
зарядов </+ неизменны.
10. Поясните ФДТ и ФДН, записанные с использованием сопротивлений (про-
водимостей) цепи.
Ответ. В ответе на вопрос 2 следует учесть физический смысл терминов
«сопротивление» (то, что «метает» движению зярядов) и «проводимость» (то,
что «помогает» ему).
11. Чем отличается входное сопротивление от эквивалентного?
Ответ. Входное сопротивление — это эквивалентное сопротивление /?-цеии
относительно единственного источника (то есть «входа», воздействия,
источника входных сигналов).
12. Что такое теорема замещения?
Ответ. По теореме замещения любой ДП с гоком гк и напряжением ик можно
заменить либо ИТ/А, либо ИНы4;если1Л =0, то ДП=ХХ; еслиыА =0, то ДП=КЗ.
13. Как записывают уравнения МУН, если в цепи содержится один элементарно
непреобразуемый ИН (несколько ИН, имеющих общий узел)?
Ответ. См. ответ на аналогичный вопрос 81.
14. Что такое эквивалентное преобразование участка цепи?
Ответ. При эквивалентном преобразовании токи и напряжения в непреобра-
зованной части цепи не изменяются.
15. Как выглядит эквивалентная схема МЭИН (МЭИТ)? Как определяют jkbh-
валеитиое сопротивление RJi Что такое выходное (внутреннее)
сопротивление схем?
Ответ. Любую линейную цепь с источниками по отношению к нагрузке Rn
можно заменить схемой МЭИН из последовательного соединения эквивалент-
1 Здесь и везде в дальнейшем ссылки даются только на вопросы из данного подраздела. —
Прим. ред.

298
4. Каталог ответов
ного ИН ыя =ихх и эквивалентного сопротивления RD или схемой МЭИТ из
эквивалентного ИТ ia = iK3 и эквивалентного сопротивления /?э.
Эквивалентное сопротивление Ял можно найти как входное сопротивление исходной
цепи без источников относительно Ru; иэ =ихх — напряжение на
«оборванной нагрузке» в исходной цепи; i.f = гкз = ихх /Я,. Часто Ra называют
внутренним (выходным) сопротивлением исходной цепи с источниками
относительно нагрузки.
4.3. Анализ переходных процессов
в линейных цепях во временной области
при постоянных воздействиях
1. Что такое воздействие и реакция, вход и выход цепи, входной и выходной
сигналы?
Ответ. Воздействие — входной сигнал (сигнал источника), вход — источник,
а реакция — выходной сигнал (искомая переменная, то есть напряжение или
ток на выходе цепи).
2. Что такое принцип пропорциональности, диффсреппируемости, наложения?
Ответ. Принцип пропорциональности: если единственное в цепи
воздействие изменить в k раз, реакция изменится во столько же раз. Принцип
дифференцируемое™: если «новое» воздействие (единственное в цепи) является
производной или интегралом от предыдущего, то «новая» реакция является
производной или интегралом от предыдущей реакции. Принцип наложения:
при нескольких воздействиях реакция равна сумме элементарных реакций от
каждого из воздействий в отдельности.
3. Чему эквивалентен замкнутый (разомкнутый) идеальный ключ?
Ответ. Замкнутый идеальный ключ эквивалентен КЗ, а разомкнутый — XX.
4. Что такое свободный режим в цепи и свободная составляющая решения?
Ответ. Свободный режим — это режим в цепи без источников. Свободная
составляющая — это общее решение однородного дифференциального
уравнения, она аналогична решению уравнений цепи в свободном режиме.
5. Почему у корней XII цепи RcpA <0?
Ответ. Свободный процесс и свободная составляющая решения имеют одну
и ту же форму fcb{t)-^AkePkt, Поэтому, когда источники отсутствуют,
переходный процесс обуслоааен только начальной энергией накопителей, которая
с течением времени необратимо расходуется в Я-элементах, поэтому
свободный процесс затухает. Но экспоненты в свободной составляющей необратимо
затухают лишь при выполнении условия Reph <0.
6. Как определить Я, в цепях 1-го порядка в свободном режиме?
Ответ. В цепях 1-го порядка эквивалентное сопротивление Яэ находят но
схеме свободного режима относительно выводов накопителя. i

4.3. Анализ переходных процессов в линейных цепях во временной области... 299
7. Что такое принципы непрерывности, законы коммутации, независимые
начальные условия?
Ответ. При коммутации (в момент t = 0) выполняются законы коммутации
мс(0") = мс(0*")и iL(Q~ ) = iL(0*), которые вытекают из непрерывности
(принципов непрерывности) ис(О и ^(0- Поэтому значения ис(0+ ) и iL(0*)
называют независимыми начальными условиями (они не могут измениться скачком
при коммутации).
8. Назовите характерные значения экспоненты ехр(-£/т) в моменты t =0, т, 2т,
Зт, оо.
Ответ. Характерные значения равны 1; 0,37; 0,14; 0,05; 0 при t =0, т, 2т, Зт, оо
соответственно.
9. Постройте график и (t) = 2 + Зехр(-10£) для t > 0.
Ответ. График строят от значения н(0+ ) = 5 к значению ы(со) = 2 с постоянной
времени т =0,1, то есть к моменту t - Зт =0,3процесс практически
заканчивается. См. также ответ 8.
10. Что такое уравнения состояния? Как они выглядят?
Ответ. Уравнения состояния имеют вид [/п'с(0] = И][/|1С(0] + [^][/i(OL гДе
L/n.c(01 и L/i(01 ~~ матрицы переменных состояния и источников
(воздействий); [А\, [В] — матрицы коэффициентов. В качестве переменных состояния
проще всего выбирать непрерывные переменныеuc(t)и /ДО-
11. Цепь 6-го порядка имеет корни ХП рх =-5; р2 =-6j p3A = -3±j4; p56 =-2.
Запишите свободную составляющую /2св(0 в общем виде.
Ответ. /2св(0 = ДеТ5' + A2e~et + Л3*Г3' cos4£ + A4e~3t sin4f + A5e'2t + Abte~'u.
12. Что такое апериодический режим в последовательной #£С-цепи?
Колебательный? Критический? Незатухающий колебательный?
Ответ. Апериодический режим возникает при относительно больших потерях
в контуре (R/2L > l/VlQ, когда корни ХП цепи отрицательные. Затухающий
колебательный режим имеет место при относительно небольших потерях в
контуре (R/2L < l/ViC), когда корни ХП цепи комплексные. Критический
режим имеет место при R/2L = l/ViC, когда у ХП кратные корни.
Незатухающий колебательный режим наблюдается при отсутствии активных потерь
в контуре, когда R = 0 (у ХП мнимые корни).
13. Как выглядит эквивалентная схема для расчета установившегося режима
(t -> оо) при постоянных воздействиях?
Ответ. Эквивалентная схема для расчета установившегося режима (t —> оо)
при постоянных воздействиях — это резистивная схема замещения цепи,
в которой I-элемент заменен КЗ, а С-элемент — XX.
14. Когда в эквивалентной схеме для момента t =0* заменяют L-элемент на XX,
а С-элемснт — на КЗ?
Ответ. При нулевых независимых начальных условиях.

300
4. Каталог ответов
* * *
15. Что такое переходный процесс в цени?
Ответ. Переходный процесс возникает в динамических цепях после
коммутации и описывает переход цепи из одного режима (перед коммутацией, при
t = 0 ) к другому (в ичсале, при г -> х)г когда свободная составляющая
решения ДУ цепи затухнет).
16. Как выглядит схема сипоодного режима?
Ответ. Схема свободного режима — это схема цепи без источников.
17. Почему частное решение неоднородного дифференциального уравнения (ПДУ)
называют вынужденной составляющей /2llull?
Ответ. Частное решение ПДУ обычно должно (как бы вынуждено) иметь
математическую форму воздействия и им обусловлено.
18. Что такое установившийся режим в цепи?
Ответ, Вынужденный режим при постоянных и периодических
воздействиях называют установившимся.
19. Почему расчет установившегося режима обозначают «/ —> со»?
Ответ. При «г -> со» свободная составляющая затухает и в цени (при
постоянных и периодических воздействиях) будет вынужденный режим, который
называют установившимся.
20. Как определить порядок пени?
Ответ. Порядок цепи обычно равен суммарному числу накопителей и
определяется но схеме свободного режима.
21. Как составляют эквивалентную схему цепи для момента I =0f?
Ответ. Все С-элсмснты заменяют источниками напряжения значения wr(0"),
/.-элементы — источниками тока iL(0~).
22. Как найти постоянную интегрирования в цепи 1-го порядка?
От fern. Постоянную интегрирования А определяют по начальному условию:
1гФ ) = Л«..,и(0')+ Л, то есть вынужденная составляющая реакции /2вы||(/)
тоже должна быть найдена.
23. Какова практическая длительность переходного процесса в цепи?
Ответ. Обычно это временной интервал в три максимальных постоянных
времени — Зтт;1Х, причем т = -l/(RcpA ).
24. Как составить уравнения состояния? Сформулируйте основные этапы
процедуры.
Ответ, Вначале для ( > 0, используя метод вспомогательных источников, в
исходной цепи заменяют С-элемент на ИН ис, а L-элемент на ИТ iL, то есть
рассматривают R-схему замещения. Далее любыми методами расчета /?-ценей
выражают ic и и, схемы через все источники, то есть переменные состояния

4.4. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов... 301
ис, iL и воздействия. Затем, используя ВЛХ накопителей, записывают
уравнения состояния.
25. Составьте уравнения состояния последовательно!! RLC-neuu с ИН.
Ответ. Для последовательной й£С-цепи по схеме со вспомогательным!!
источниками можно записать систему: гс = iL\ uL = -иг + ипп - RiL. Далее с
учетом ВАХ накопи гелей запишем уравнения состояния:
u[(t) = 0uc(t) + ±iL(t) + 0um; rL{0 = -jUcV)-jiL0) + ±um.
26. Найдите корни ХП параллельной LC-neim в свободном режиме, запишите
Ли (О- Почему здесь Rcpk =0?
Ответ. Дуально последовательной RLC-ucnvt корни ХП параллельной RLC-
цепи:
то есть в /-С-цепи корни ХП мнимые, поскольку проводимость С = 0 (в пени
нет потерь энергии).
27. Как по уравнениям состояния найти начальные значения производных
переменных состояния для момента/ =0"?
Ответ. Начальные значения производных переменных состояния для
момента £ =0" находят непосредственно по уравнениям состояния.
28. Как по уравнениям состояния найти корни ХШ
Ответ. Записывают XII как det([/l|-/?[£l) = G\ то есть из элементов главной
диагонали матрицы \А\ вычитают р (поскольку \Е\ — единичная матрица) и,
вычисляя определите чь полученной матрицы, находят корни ри XII.
29. Как по уравнениям состояния найти установившиеся значения переменных
состояния при постоянных воздействиях?
Ответ. При постоянных воздействиях /J = const установившиеся значения
переменных состояния тоже постоянны, поэтому производная матрицы
переменных состояния равна 0, и тогда установившиеся значения находят из урав-
нения l0] = H|[/I1C)J + |B||/tl.
4.4. Применение обобщенных функций
для анализа переходных процессов
при воздействиях произвольной формы
1. Что такое единичная ступенчатая функция о\(£)?
Ответ. Единичной ступенчатой функцией называется обобщенная функция
6,(/), которая равна 0 при отрицательном аргументе (t <0) и равна 1 при
положительном аргументе (t >0).

302
4. Каталог ответов
2. Что такое единичная импульсная функция (дельта-функция) 5(0?
Ответ. Единичной импульсной функцией (дельта-функцией) 5(0
называется обобщенная функция единичной площади, которая равна «бесконечности»
при нулевом значении аргумента (t = 0) и равна 0 при остальных значениях L
3. Как связаны 5(0 и 5,(0?
Отпет. Единичная импульсная функция (дельта-функция) 8(0 является
производной от единичной ступенчатой функции 6Д0-
4. Чему равно произведение f(t)b^{t-6) для любых t?
Ответ. Произведение равно 0 при t < 6 и равно f(t) при t > 6.
5. Что «хотят сказать», когда функцию /(О умножают на 8,(f)?
Ответ. Имеют в виду, что сигнал начинается в момент времени t =0 (то есть
равен 0 при г < 0).
6. Почему формула /(05(0 = /(0)5(0 называется свойством выборки дельта-
функции?
Ответ. Из всех значений функции /(О выбирается только значение /(0),
а при t * 0 произведение равно 0.
7. Что такое ПХ hx(t) и как ее найти?
Ответ. Переходная характеристика (ПХ) Л,(О численно равна реакции при
нулевых начальных условиях на единственное в цепи воздействие вида 5j(0>
то есть цепь как бы «подключают» к источнику единичного постоянного
уровня и рассчитывают переходный процесс.
8. Что такое ИХ А (О и как ее найти?
Ответ. Импульсная характеристика (ИХ) А (О численно равна реакции при
нулевых начальных условиях на единственное в цепи воздействие вида 5(0.
ИХ находят как производную от ПХ.
9. ПХ At(0 = (5 -2e'Al )5,(0- Найдите ИХ и постройте фафики А,(0 и А(0 для
любых t.
Ответ. ИХ А(0) = AJ(0 = 8е_4'6|(0 + 36(0- График ПХ (при t >0) «идет» от
зплчеиия Aj(0+) = 3k значению At(oo) = 5; фафик ИХ содержит импульсную
функцию 35(f) и затухающую экспоненту (причем А(0+)=8 и А(оо) = 0);
постоянная времени т =0,25; при / <0 ПХ и ИХ равны нулю.
10. Почему запись Л,(О = 5 -2е~*г является некорректной?
Ответ. Не учтено, что А, (0 = 0 при t <0. Корректная запись приведена в
вопросе 9.
11. Что такое особый случай коммутации? Приведите простейший пример.
Ответ. Особый случай коммутации — нарушение принципа непрерывности
в идеализированных цепях в момент коммутации. Например, схема
мгновенного заряда С-элемента, подключаемого при t = 0 к ИИ и() = const. В этом
случае мс(0 =м05,(О» следовательно, ic(t) = Cu'c(t) = Cu0&(t), то есть
действительно происходит мгновенный заряд С-элемента бесконечным током.

4.4. Применение обобщенных функций для анализа переходных процессов... 303
* * *
12. Чем различаются графики функций /, (t) = 1016, {t -2) и
Л(0 = Ю(Г-2)6^-2)?
Ответ. При t = 2 скачок у /i(0 на 20; при t <2 имеем /, =/2 =0; при t >2
имеем/, =10г,/2 =10(£-2).
13. Почему формула f(t)b(t-t0)-f(t0)&(t-t0) называется фильтрующим
свойством дельта-функции?
Ответ. Свойство выборки, или фильтрующее свойство дельта-функции,
следует из того, что произведение f(t0)b(t-t0) равно 0 при любых tt кроме
t = г0, то есть из всех значений f(t) выбирается лишь одно значение f(t0 ).
14. Что такое функция единичного наклона 62(£). и как она связана с 5,(С) и 5(£)?
Ответ. Функция единичного наклона (ФЕН) 62(£) = tSA(t)является
интегралом от единичной ступенчатой функции 6t(0 и является двойным
интегралом от единичной импульсной функции 6(0, Т(> есть ФЕН 62 =0 при г <0
и равна t при t > 0.
15. Почему при расчете ПХ независимые начальные условия равны нулю? Как
это коррелирует с видом воздействия?
Ответ. ПХ hx{t)численно равна реакции цепи при нулевых независимых НУ
на единственное в цепи воздействие б, {t\ которое равно нулю при t < 0
(то есть воздействие в цепи отсутствует при t < 0).
16. Чему равны fm (t) и /вых (г) при расчете ПХ и ИХ?
Ответ. При расчете ПХ /вх(0 = FXQ8y(t) и /вых(0 = Fwhx(t), а при расчете ИХ
/вх(0 = F105(£) и /вых(0 = Fxoh{t); назначение единичных по значению
коэффициентов Fw — обеспечить заданную размерность /вх(0 и /вых(0-
17. Почему ИХ содержит слагаемое h{(0+)8(t)? Когда оно равно нулю?
Ответ. Единичному скачку при его дифференцировании соответствует ЕИФ
6(£), поэтому скачку ПХ Л,(0+) при его дифференцировании будет
соответствовать слагаемое Л1(0+)6(£)в ИХ. Слаыемое А, (0+) 6(0 = 0» когда А,(0+) = 0,
то есть скачок в ПХ равен 0 (ПХ является непрерывной функцией).
18. Как найти характеристику А2(0?
Ответ. Характеристика h2(t)может быть найдена интегрированием
переходной характеристики А, (О-
19. Как найти реакцию при воздействии произвольной формы?
Ответ. Знание ИХ (или ПХ) позволяет найти реакцию цепи при
воздействии произвольной формы путем использования интеграла свертки (или
интеграла Дюамеля).
20. Как описать входной сигнал кусочно-линейной формы (рекомендуется
использовать метод двукратного дифференцирования)?
Ответ. Входной сигнал кусочно-линейной формы можно описать суммой
односторонних линейных функций 62(£ — tk) с некоторыми коэффициентами
Ak, определение которых упрощается, если использовать метод двойного

304
4. Каталог ответов
днфферепшгронания, поскольку вторая производная входного сигнала
представляется суммой смещенных дельта-функций: /,"(0 = X At$(' ~ lk )■ Следо-
вателыю, само воздействие /,(/) = \ \(f"{t)dt)dt = ]Г Ahb2(t ~tk, ).
-ос—jd к*~ I
21. Как записывается реакция в случае воздействия кусочно-линейной формы?
Ответ. С учетом ответа 20 реакция по методу наложения f1 (О =
= £ЛЛ(<-'/,).
22. Как определить в лаписп h2(t)свободную и вынужденную составляющие
решения?
Отнят. Свободная составляющая в АДг)определяется корнями ХП (то есть
описывается обычно суммой .-жепоиепт), а вынужденная — чолжна иметь
математическую форму воздействия 62(/) = / б,(/), то есть должна описываться
полиномом первого порядка при / >0.
4.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных
и экспоненциальных воздействиях
1. Что такое мгновенное, амплитудное и действующее значения сигналов
синусоидальной формы, а также их частота и период?
Ответ. Мгновенным является значение сигнала в каждый момент времени,
амплитудным — значение максимума, действующим — амплитудное
значение, деленное на V2. Угловая частота со— скорость увеличения фазы;
период — наименьший временной интервал повторения сигнала; циклическая час-
гота/— число периодов в секунду.
2. Чему равны действующее и амплитудное значения напряжения в
промышленной сети? Чему в такой сети равна частота?
Ответ. R промышленной сети действующее значение напряжения 220 В,
а амплитудное — 220^2 =311 В. Частота/- 50 Гц, а со = 2л/ =314 рад/с.
3. Как выглядят графики функций и = lOcoscof; и = 10 cos (col -135°);
w = 10 cos (for +135°)?
Ответ. Графики приведены на рис. 4.1.
4. Что такое комплексная амплитуда 0п% и как по ней найти Um, V, w(f)?
Ответ. Идя век гора Um =^UtneJa" длина (модуль) равна Um, действующее
значение U =\Um\/yJ2t а мгновенное значение u(t) =Um cos (of + au).
5. Как найти /(/), если / = -5 + у5, <о = 30?
Ответ. Необходимо, представив вектор / в комплексной плоскости, найти его
длину (модуль) по формуле / =\1(-5)2 + 5~ =5л/2, фазу a = aretg— = 135°,
амплитуду синусоиды 1т = /л/2 = 10; тогда i = 10cus(30£ + 135°).

4.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях 305
iXJ м- 10 cos (со* + 135°)
Рис. 4.1
6. Как записать комплексные сопротивления /?-, L- и С-элементов?
Ответ. Комплексные сопротивления элементов ZR =/?; Z, = jmL\ Zc =
= 1/ОЪ>С) = -;7(шС).
7. Запишите комплексные сопротивления элементов, если|ZR\ =|ZL\ =\ZC\ = 10.
Ответ. Комплексные сопротивления ZR = 10; ZL = jlO; Zc =—/10.
8. Что определяет мнемоническое правило ULICU? Как строят ВД простых
цепей?
Ответ. Правило ULICU «подсказывает», что у L-элемента синусоида
(вектор) напряжения опережает синусоиду (вектор) тока на 90°, а у С-элемента
гок опережает напряжение на тот же угол. При построении ВД
(последовательность которого аналогична последовательности расчета МИВ)
необходимо учесть, что у /?-элемента ток и напряжение находятся в фазе, а «исходный
вектор» ВД обычно направляют направо.
9. Чго такое ПРИ в последовательной RLC-ncuu? Почему при этом участок
LC т КЗ?
Ответ. При 1IPH VmL = VmCf причем эти напряжения в противофазе m|ZJ =
= | Zc |, при этом LC = КЗ, так как ZL+ZC = 0 и Uml + UmC = 0.
10. Что такое ПРТ в параллельной Я£С-цепи? Почему при этом участок LC = XX?
Ответ. При ПРТ I mL ~Im(i причем эти гоки в противофазе n|Z£|=|Zc|, при
этом LC s XX, так как YL+YC = 0 и 1^ + 1тС = 0.
11. Запишите формулы Р, Pq, Ps, Ps и дайте им пояснения.
Ответ. Р — VI cos ф — активная (средняя, потребляемая) мощность,
Pq = VI'sin<p — реактивная мощность, Pv =[// — полная (кажущаяся)
мощность, Ps —VI =Р + jPq — комш1ексная мощность пассивного ДП.
12. Почему у пассивного ДП Р Z 0; | (р| < 90°; г = ReZ > 0?

306
4. Каталог ответов
Ответ. У пассивного ДП активная мощность Р равна сумме мопшостей его
Л-элементов, то есть Р -UIcoscp = r/2 =^lPRk =Х^*^л* -^, следовательно,
|ф|<90°, аг>0.
13- Что такое резонанс в ДП произвольной структуры?
Ответ. Резонанс на частоте со0 в ДП произвольной структуры возникает,
когда мнимая часть его комплексного сопротивления или проводимости равна
нулю: ImZ(yco0 ) = 0 или lmY(jcy0) = 0.
14. Что такое обобщенная частотная характеристика Я(усо)?
Ответ. Обобщенной ЧХ называют отношение комплексных амплитуд
выходного и входного сигналов в УСР.
15. Как получить экспериментально АЧХ?
Ответ. В УСР на различных частотах соизмеряют отношение амплитудных
(или действующих) значений сигналов на выходе и входе, так как АЧХ
^(co) = |//Oco)|=Fm„ux/FmM.
16. Как получить экспериментально ФЧХ?
Ответ. В УСР на различных частотах соизмеряют разность фаз синусоид на
выходе и входе, поскольку ФЧХ Ф(со) = arg#(yto) = апых -авх.
17. Как проконтролировать АЧХ при со->0исо->оопо схеме?
Ответ. Для контроля АЧХ при со->0 заменяют £-элемент на КЗ, а С-эле-
мент — на XX. При со-> оо наоборот. Реакция на выходе F^^ (при Fnmx = 1)
должна совпадать с рассчитанной АЧХ.
18. Какие виды нормировки вы знаете, и что она дает?
Ответ. Обычно используют три вида нормировки: по времени (или по
частоте), по уровню сопротивления и по уровню сигнала. Нормировка «делает»
параметры близкими к «единице» и уменьшает количество варьируемых
параметров в цепи.
19. Как выглядят АЧХ идеальных ФНЧ, ФВЧ, ППФ, ПЗФ?
Ответ. АЧХ идеальных фильтров приведены на рис. 4.2 с указанием полос
пропускания, задерживания и частот среза (k = const).
А
k
(
.
пп
из
) »ср ы
а
А
k
(
.
пз пп
) Чр <°
6
А
k
(
ПЗ ПП
ПЗ
) COj С02 СО
в
Рис.
4.2
А
k
(
,
ПП
ПЗ ПП
) С01 С02 СО
г
20. Приведите примеры схем ФНЧ, ППФ, ПЗФ и ФВЧ и дайте трактовку их
АЧХ на характерных частотах.
Ответ. Симметричные Т-схемы фильтров приведены на рис. 4.3. Трактовка
АЧХ (см. ответы 9, 10 и 17) проводится по эквивалентным схемам на харак-

4.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях
307
терных частотах: 1) при со-*0 элементы L = КЗ, С sXX; 2) при со-> оо
элементы L = XX, С = КЗ; 3) при ПРН участок LC е КЗ; 4) при ПРТ участок
LC = XX.
O-JTYYVJ [_-—I L_rY-rV^_o
ППФ
-о о
Рис 4.3
21.
Как обычно определяют ПП фильтра?
Ответ. Обычно ПП определяется как диапазон частот, где Л(ш) не меньше
0,707 от максимума АЧХ.
* * *
22. Почему запись и =220 cos (ЗШ -135°) некорректна?
Ответ. Запись некорректна, так как одно слагаемое фазы измеряется в
радианах, а второе — в градусах.
23. Как разметить ось абсцисс графикам =220v2 cos(314f -150°) в секундах,
градусах, радианах?
Ответ. Периоду Т = 2я / со = 0,02 с соответствуют по оси абсцисс 360°, или 2л
радиан (Г ч- 360°= 2тс рад).
24. Что такое комплексное действующее значение £/? Как по U найти Um,Um, U,
и(г)?
Ответ. U =Ueja" =Um/& следовательно, Um = л/2-|#|, Um =J2-Ut U =\U\,
и (t) = Um cos (tot + a H).
25. Что такое МКА?
Ответ. МКА — это метод расчета УСР, аналогичный по форме расчету Я-це-
пей: синусоидальные сигналы заменяют их комплексными амплитудами, а /?-,
L-, С-элементы — комплексными сопротивлениями.
26. Что такое закон Ома в комплексной форме? Б модулях?
Ответ. Закон Ома в комплексной форме для сопротивления пассивного ДП
Z =| Z\ е» = Um ftш = Of7 = Ue**" foe" )
в модулях имеет bha|Z| =Um/Im =U/I.
27. Постройте БД последовательной itLC-цени.
Ответ. Схема цепи и ее качественная БД (при UL >UC) приведены на
рис. 4.4.

308
4. Каталог ответов
©u(t) L
(J/
у(ц>Ъ
Vl
-1 +
и
R
Рис 4.4
28. Постройте ВД параллельной RLC-ncnvi.
Ответ. Схема цепи и ее качественная ВД (при Ic > /,) приведены на рис. 4.5.
и(0©
КО !
Т
R
С
1/
^Ф<0
лс
*
».
R
и
Рис. 4.5
29. Что определяет угол ф? Когда пассивный ДП имеет индуктивный характер?
Емкостный? Когда в двухполюснике наблючается резонанс? Поясните на
примере н ВД RLC-i\cmi.
Ответ. Из ответа 26 следует, что ф = аи -а, = argZ = Oa3aZ В примерах,
если Zx =2+ /2, то ДИ имеет индуктивный характер (ф>0 и UL >UC на
рис. 4.4); если Z.t = 2 - j2, то Д11 имеет емкостный характер (ф < 0 и Ic > 11 на
рис. 4.5); если ZH =2, m в ДП резонанс (ф=0 и UL -Vc на рис. 4.4); если
Z4 =у2, то ДП имеет чисто индуктивный характер (ф =90° и напряжение на
90° опережает ток); если Z3 =~j2f то ДП имеет чисто емкостный характер
(Ф = -90°).
30. Как записывается баланс мощностей в пассивном ДП?
Ответ (см. также ответы 11 и 12). У пассивного ДП Р-^Р^ =Х^*'4:
Pq =zLPQj1 =zJZt*\Ii* ~ZJZck\Ick^Ps = 2^v
31. Перечислите признаки резонанса в пассивном ДП.
Ответ. При резонансе в пассивном ДП hnZ=0; IinY =0; ф=0; аи=а(;
V=-<p = 0;Z = RrZ = f;|Z| =Z\\ =0\PS =RcPs; Ps = ^P2 +/g = P...
32. Перечислите возможные способы настройки последовательной /JLC-цспи в
резонанс.

4.5. Анализ линейных цепей при синусоидальных и экспоненциальных воздействиях 309
Ответ. На практике при Umm = const обычно используют три способа: в
нервом и втором случаях, изменяя значения L или С, добиваются I = max,
в третьем случае, изменяя частоту со входного сигнала, добиваются I = max.
33. Что такое АФХ цепи?
Ответ. АФХ — это кривая, прочерченная вектором //(_/«) на комплексной
плоскости при изменении частоты со от 0 до сю.
34- Чему равна ЧХ цепи, если реакцией является ток входного ИН?
Ответ. Так как Н (jco) = /^ /FmBX = /mm£ /UmBX = YBX = 1/ZUX, то это - входная
проводимость цепи.
35. Какие виды ЧХ вы знаете?
Ответ. Различают обобщенную ЧХ H(j<o), АЧХ Л(со)=|#|; ФЧХ Ф(о>) =
= Фаза Я; ВЧХ #(ш) = Re Я; МЧХ Л/(со) = ImH; ЛФХ - годограф // на
комплексной плоскости (см. ответ 33).
36. Как выглядит АЧХ последовательной RLC-цспи? Как проконтролировать ее
при со —> О, со —> со, со = If-jLC?
Ответ. АЧХ Л(©ИУ„|==1Д/д2 + (со£-ДсоС))2 соответствуем ЛПФ. При
со->0 и со-» сю АЧХ равна 0, при co=l/VlC АЧХ равна \/R = Amax. Прокон-
грол кровать можно по ответу 20.
37. Почему при расчете переходных процессов в цепи при синусоидальных
воздействиях нельзя при вычислении независимых НУ заменять L-элемент на
КЗ, а С-элемснт — на XX (при / <0)?
Ответ. В УСР L- и С-элемснты имеют комплексные сопротивления ZL = jwL
и Zc =l/(j(oC). Поэтому только при со = 0 (то есть на постоянном токе)
L = K3,C = XX.
38. Почему можно записывать i{ (0~) = Re /m, и иг (0") = Rei7mr?
Ответ. При /, <0, например, iL(t) = lml cos (со/. + ай ), откуда НУ i7(0") =
39. Как разметить ось времени при качественном построении i-рафика и =
= 10cos(3r-90o) + 5^-°-5'?
Ответ. Постоянная времени т=2с, период колебаний Г = 2я/со=2 с+ 360°.
Поэтому экспонента «затухнет» за Зт = 6 с. Наилучшая разметка оси: т = Т = 2 с,
что соответствует четырем «тетрадным» клеткам, то есть одна клетка
соответствует 90°.
40. Почему солдатам не разрешается ходить в ногу но мосту? Поясните это на
примере подключения LC-цепи к ИН резонансной частоты.
Ответ. В случае попадания конструкции моста в резонанс мост может
разрушиться, если амплитуда его раскачивания превысит допустимое значение. Если
LC-цепь подключить к ИН резонансной частоты со0, то в УСР имеем ПРН
и МКА для расчета применять нельзя, так как вынужденная составляющая

310
4. Каталог ответов
имеет слагаемое At cos о>0*, амплитуда которого с каждым разом будет
увеличиваться, «пока цепь не сгорит».
41. Почему идеальный фильтр реализовать невозможно?
Ответ. Обобщенная ЧХ Я(усо) идеального фильтра не является
дробно-рациональной функцией частоты j(o, как это должно быть у /JLC-цепей.
42. Почему граничную частоту ПП фильтра называют частотой среза?
Ответ. Поскольку на АЧХ идеального фильтра ПЗ как бы отрезана от ПП,
граничную частоту ПП называют частотой среза.
43. Как связана ПП с добротностью RiC-контура?
Ответ. Чем уже ИИ Дсо, гем выше добротность Q = co0/Aco, где ю0 —
резонансная частота.
44. Как выглядит условие передачи максимума мощности к нагрузке?
Ответ. К нагрузке в УСР поступает максимальная мощность, если
сопротивление нагрузки является сопряженным выходному (внутреннему,
эквивалентному) сопротивлению источника.
4.6. Применение преобразования Лапласа
для анализа переходных процессов в цепях
1. Какие формулы из таблицы преобразования Лапласа вы знаете?
Ответ. 6(0+1; 5.(0+1/s 1 + 1/s t+lfs2; e~* +l/(5+P); te~* +l/(s + P)2:
sinto0 -s- ю0/(s2 + со0 ); cos co0£ -5- s/(s2 + to2, ).
2. Как найти сигнал f(t)t если его изображение F(s) = 10/[(s + 2)(s + 4)|?
Ответ. Раскладываем F(s) на простейшие дроби: F(s) = Д /(s + 2) + А2 f(s + 4),
где Ах =(s + 2)F(s) = 5 при 5 = -2, А2 = (s + 4)F(s) - -5 при 5 =-4. Тогда
f(t) = (5<Г2'-5^)5,(0-
3. Как найти сигнал f(t), если его изображение F(s) = 10e~Gs/[s(s + 2)J?
Ответ. Раскладываем дробно-рациональную часть F(s)ua простейшие дроби:
F(s) = [5/5 -5/(s + 2)]e~6s. Тогда по теореме запаздывания
/(0=(5-5e-2('-6))5,(f-6).
4- Оригинал f(t) — это прямоугольный импульс высотой 10, действующий в
интервале от 0 до £н =2. Как найти F(s)?
Ответ. Заменяем f{t) простейшими составляющими — суммой двух
смещенных ЕСФ: fit)- 1051(^)-10б1(^-2). Тогда по теореме запаздывания F{s)-
= 10/s-(\0/s)e-2s.
5- Как выглядит ОСЗ L-элемента?
Ответ. В ОСЗ операторное сопротивление ZL = Ls соединено параллельно
сИТ^((Г)/5.
6. Как выглядит ОСЗ С-элемента?
Ответ. В ОСЗ операторное сопротивление Zc = l/(sC) соединено
последовательно с ИН ис (О" )Д.

4.6. Применение преобразования Лапласа для анализа переходных процессов в цепях 311
7. Что такое ПФ цепи? Как, зная ПФ, найти h(t), Aj(0» ^(jw)?
Ответ. ПФ цепи — это отношение изображений по Лапласу выходного
сигнала к входному при ННУ, равных 0. ИХ /г(г)являстся оригиналом ПФ цепи.
ПХ A, (t) — это оригинал от Я,(s) - H(s)/s. Частотная характеристика
H(jw) = H(s) при замене 5 = jta.
8. Я(5) = 10(5+ 1)/(5 +2). Найдите характеристики h(t), h{(t) и постройте их
графики.
Ответ. Так как степени числителя и знаменателя Я(5) равны, выделяем
целую часть: H(s) = 10-10/(5 + 2). Тогда h(t) = -10е~2'б,(0 + Ю6(0: МО =
= (5 + 5е~2' )51(£). Графики приведены на рис. 4.6 при т = 1/2 с.
А(0*
с Л 05(0
Зт t
а
Рис. 4.6
9. Как найти изображение сигнала кусочно-линейной формы методом двойного
дифференцирования?
Ответ. Графически продифференцировав два раза сигнал f(t), получают
набор смещенных дельта-функций f{t) = ^jjAk8(t — tk)+'£Ake~srk9 где Ак —
коэффициенты при ЕИФ; tk — время запаздывания (смещения) ЕИФ.
Операция интегрирования в ^-области соответствует делению на s в области
изображений, то есть F(s) = ^Аке~а* fs2.
* * *
10, F(s) = 10/(5 + 2). Какая форма записи оригинала является корректной, f{t) =
= 10«Г2' или/(0 = Юв~2,8|(0? Почему?
Ответ. Корректной является вторая форма записи, так как рассматриваются
сигналы вида f(t) =0 при t < 0.
Как записываются следующие георемы преобразования Лапласа:
дифференцирования, интегрирования, запаздывания, о начальном значении оригинала?
Ответ. Теорема дифференцирования f'(t) + sF(s)-f(0~)\ интегрирования
\f(t)dt + F(s)fs: запаздывания f(t-t3)+ F(s)e~*A; о начальном значении
И
и
/(0^) = lim5F(s) при 5 —» оо.
12. В каких задачах оригинал может содержать дельта-функцию?
Ответ. Дельта-функция появляется, если степень числителя равна степени
знаменателя изображения.

312
4 Каталог ответов
13. Оригинал f(t)— это импульс в форме положительной полуволны
(полупериода) синусоиды амплитудой 10, действующий в ип гернале от 0 до t„ = л/2.
Как найти F(s)?
Ответ. Заменяем f(t) суммой составляющих:
/(O = 10sincobrtl(/) + 10sino)&(/-riI)S1(f-fII)-s-
+ F(s) = 20/(s2 +4) + |20/(5'2 +4)Кта/2,
причем со0 = 2к/Т = 2n/(2tH) = 2.
14. F(s) = 10/|s2(s + 2)|. Как найти/(О?
Ответ. По теореме разложения F(s) = Л, /s2 + Л2/s + Л3 f(s + 2), причем Ах = 5,
A:i =2,5; А2 =-2,5 находим по МНК. Тогда /(О = (-2,5 + 5* + 2,5*>~2/ )5,(/).
Контроль: /(0+ ) = -2,5 + 2,5 = 0 = sF(s) при s -> оо.
15. F(s) = 10/|л(5 + 2)21. Как найти f(t)?
Ответ. 11о теореме разложения F(s) = Л, / s + Л., / (s + 2) + ЛJ / (s + 2)2,
причем Л, =2,5; Л3 =(s + 2YF(s) = -5 при л=-2;~ Л2 =-2,5 по МНК. Тогда
f(t) = (2,5 -2,5е~2' — 5te"2' )5,(£)- Контроль по теореме о начальном значении:
/((Г ) = 2,5 -2,5 =0 = sF(.s) при s -> оо.
16. Обоснуйте дуальность ОСЗ L- и С-элемеитов.
Ответ. В ОСЗ дуальны (см. о гнеты па вопросы 5 и 6) сопротивление Z, = Ls
и проводимость Yc = Cst ИТ /, ((Г )/s и ИН иг (0" )/s, а также параллельное
соединение Zj и ИТ дуально последовательному соединению Zt и ИН.
17. Какую информацию содержит знаменатель ПФ цепи?
Ответ. Знаменатель ПФ является XII цени, то есть содержит информацию
о свободной составляющей решения.
18. Изображение реакции в цепи 6-го порядка
F(s) = 6C/|(s + 5)(s+6)(5 + 2)2(*2 + 6s+ 25)|.
Как связана форма сигнала/(f) с полюсами его изображения?
Ответ. f(() = Ale~St + A>ebt + Л3е~2' + AAte~2t +A5e~3' сач(4/+Лй), то есть
вещественным полюсам (корням знаменателя изображения) соответствуют
в оригинале экспоненты, в случае кратного полюса в оригинале появляется
множитель tt а комплексным полюсам соответствуют затухающие
гармонические колебания.
4.7. Анализ установившихся периодических
режимов в цепи
1. Что такое РФ. и какие сигналы он описывает?
Ответ. РФ — это представление «реального» периодического сигнала
бесконечной суммой гармоник (то есть синусоид).
2. Как найти постоянную составляющую (нулевую гармонику) РФ? Что она
характеризует?

4.7. Анализ установившихся периодических режимов в цепи 313
Ответ. Постоянная составляющая (нулевая гармоника) РФ равна среднему
.значению сигнала за период.
3. Как найти частоту и период первой (основной) гармоники периодического
сигнала? Чем принципиально отличается первая гармоника РФ от третьей?
Ответ. Период первой (основной) гармоники равен периоду сигнала^, =7").
Частота первой гармоники со, =2к/7]. Первая гармоника принципиально
отличается от третьей частотой (со3 = Зсо, ) и периодом (Г3 = 7J/3).
4. Почему спектр периодического сигнала называется линейчатым и дискретным?
Ответ. Спектр периодического сигнала — это набор амплитуд и фаз,
соответствующих разным гармоникам. Амплитудный и фазовый спектры изображают
отрезками прямых линий па дискретшлх частотах coh = fao,, где k — целое число.
5. Как выглядит формула действующего значения периодического сигнала?
Ответ. F = yJF{f + /£/2 + Fm22/2 +... = <JFf + F* + F*+..., где Fh и Frnft -
действующие и амплитудные значения /г-й гармоники сигнала /(г).
6. Как найти РФ на выходе цепи в УПР?
Ответ. РФ выходною сигнала можно найти МН или по формулам Akm;ni =
= Лвх//(».тоестьЛАных = АкьхА(ык),ФЫлх =ФЬх +Ф(ш4), где Л4 =Аке*°* -
комплексная амплитуда k-й гармоники РФ; H(jcd) = A((a)e^ito) — ЧХ цепи.
* * *
7. Каковы особенности РФ симметричных сигналов?
Ответ. РФ четного сигнала не содержит синусоид (так как синусоиды —
нечетные функции); РФ нечетного сигнала не содержит косинусоид (поскольку
они — четные функции). Если сигнал симметричен относительно оси
времени при сдвиге на полпериода, то он не содержит гармоник четных номеров.
8. Как найти коэффициенты РФ периодического сигнала?
2
Ответ. Коэффициенты РФ периодического сигнала Аи = — FY(s) при 5 = jkwXt
где F{(s) — изображение по Лапласу условного первого импульса сигнала
(при 0 < г < Т).
9. Что такое спектр периодического сигнала, и как он выглядит? Каков
интервал между гармониками спектра?
Ответ. Спектр периодического сигнала — это амплитуды Ак и фазы Фк
гармоник соответствующих частот tok =/ecOj. Он выглядит как набор
вертикальных отрезков высоты Ак и Фк на частотах соА. Интервал между гармониками
спектра равен частоте первой гармоники со,.
10. Как выглядит формула активной мощности пассивного ДП в УПР?
Ответ. Формула имеет следующий вид:
Р = Р0 +Р, + Р2 +... =/0^о 4 Л^А cos(aHl -a„) + /2I/2 eos(au2 -al2) + ...,
то есть мощность равна сумме мощностей отдельных гармоник.

314
4. Каталог ответов
11. Является ли постоянный сигнал периодическим? Чему равны его
мгновенное, среднее, амплитудное и действующее значения? Как выглядит его спектр?
Ответ. Постоянный сигнал можно считать периодическим с любым
периодом. Его мгновенное, среднее, амплитудное и действующее значения равны
значению сигнала. Его спектр выглядит как единственный отрезок двойной
амплитуды при со = 0.
12, Является ли синусоидальный сигнал периодическим? Чему равны его РФ,
мгновенное, среднее, амплитудное и действующее значения? Как выглядит
его спекгр?
Ответ. Синусоидальный сигнал — периодический с единственной
гармоникой РФ. Мгновенное значение f(t) = Fm cos(co0£ + а), среднее значение за
период равно 0, амплитудное значение равно Fm, действующее значение
F = Fm/\l2. Амплитудный спекгр — единственный отрезок высоты Fm на
частоте со0 (при со>0); фазовый спектр — отрезок, равный а на частоте со0.
4.8. Спектральный метод анализа цепей
1. Как найти спектр F(jto) апериодического сигнала f(t)?
Ответ. Спектр апериодического абсолютно интегрируемого сигнала (площадь
которого |/| конечна) находят по формуле: F(jw) = F(s) при замене 5 = jto.
2. Чему равно значение спектра на нулевой частоте F(jO)?
Ответ. Начальное значение спек фа F(/0) равно площади сигнала.
3. Какие виды спектральных характеристик вы знаете?
Ответ. Спектр F(jta) = B(co) +jM((d)=A((o)emiii). Здесь #(о>) —
вещественный спектр, М(со) — мнимый, Л (со) — амплитудный, Ф(со)— фазовый, причем
Я(со), Л(со) — четные функции; Л/(со), Ф(со)— нечетные.
4. Что такое ширина спектра? Какие ее критерии вы знаете?
Ответ. Ширина спектра — диапазон частот, в котором сосредоточена
основная часть спектра. Критерии ширины спектра: 1) но значению «первого
лепестка» (то есть нуля) амплитудного спектра; 2) амплитудный критерий;
3) энергетический критерий.
5. Поясните, как связана нигрина спектра с длительностью и крутизной сигнала?
Ответ. Чем короче сигнал, тем шире его снекф; чем круче сигнал, тем шире
его спектр.
6- Как выглядит спектр дельта-функции, и чему равна его ширина?
Ответ. Дельта-функция — самый короткий и крутой сигнал; ее спектр,
равный 1, имеет бесконечную ширину.
7. Как найти спектр сигнала на выходе цепи?
Ответ. Спектр выходного сигнала находят, зная спектр входного сигнала
FHX(yco) и частотные характеристики Я(усо) цени: Fmx(jw) = Fnx(jo))II(jio).
I

4.8. Спектральный метод анализа цепей 315
8. Спектром какого сигнала является ЧХ цепи?
Ответ. ЧХ цепи являются спектром ИХ — реакции на единственное
воздействие вида ЕИФ 5(£).
9. Ч го определяют значения АЧХ цепи при со = 0 и со -> оо?
Ответ. При со = О АЧХ показывает, во сколько раз площадь реакции
отличается от площади воздействия, а при со —> оо — во сколько раз изменяется
скачок воздействия, приведенный к выходу цепи.
10. Что такое идеальная пеискажающая цепь? Каковы ее временные и частотные
характеристики?
Ответ. У идеальной неискажающей цепи /вых (t) = kfm (t - tA); H(jta) = ке'^л;
А (со) = к = const; Ф(со) = -согч, то есть выходной сигнал изменяется в k раз по
сравнению с входным и смещается на время запаздывания гэ, которое можно
оценить по наклону ФЧХ (а величину k — по АЧХ).
11. Что такое идеальная дифференцирующая (интегрирующая) цепь? Каковы ее
временные и частотные характеристики?
Ответ. У идеальной дифференцирующей цени /вых(0 = kf^(t); H(j(o) = kjay;
Л(со) = к(о\ Ф(со) = +90° для со>0. У идеальной интегрирующей цепи
/«(О = k\fm(t)dftH(M = k/(jto); Л(со) = */со; Ф(со) = -90°
о
для со > 0.
12. Как выглядят схемы дифференцирующей и интегрирующей ЛС-ценей?
Ответ. ИН uax(t), R- и С-элементы соединены последовательно. У
дифференцирующей цепи выходное напряжение снимают с Я-элсмента, у
интегрирующей — с С-элемента.
13. Какие выводы можно сделать о реакции из сравнения спектра входного
сигнала с ЧХ цени?
Ответ, Если ЧХ цепи удалось приближенно разбить на полосы пропускания
(неискажения), дифференцирования, интегрирования, а спектр воздействия в
основном сосредоточен в одной из них, то можно предсказать форму
выходного сигнала.
14. Что такое амплшудно-модулированный сигнал, видеоимпульс, радиоимпульс,
несущая? Какова связь между спектрами видеоимпульса и радиоимпульса?
Ответ. Амплитудно-модулированный (AM) сигнал (радиоимпульс)/АМ(г) =
= /(f)cosco0f, где f(t)— закон изменения амплитуды синусоиды —
видеоимпульс; со0 — несущая, то есть частота АМ-сигнала. Если видеоимпульс —
абсолютно интегрируемая функция, то спектр радиоимпульса FAM(jco) =
= 0,5 \F(j(<x>-co0)) + FO'(©+ co0 ))]. Спектр видеоимпульса F(j<o)группируется
относительно нулевой частоты, а спектр радиоимпульса, имея ту же форму,
группируется относительно несущей ±со0.

316 4. Каталог ответов
* » *
15. Какие сигналы имеют спектр?
Ответ. Спектр имеют абсолютно интегрируемые сигналы (площадь модуля
которых конечна).
16. Как связано одностороннее преобразование Фурье с преобразованием
Лапласа?
Ответ. Одностороннее преобразование Фурье (для сигналов / =0 при t <0)
является частным случаем преобразования Лапласа:
00
F<Jv>) = \f(t)e'a\^adt =ВД|1ЧИ.
О
17. Что такое спектр F(jto)?
Ответ. Сиекгр F(j(u) = Л(со)е'ф(">> сигнала/(f)— это преобразование Фурье:
со
F{jto) = \ fity*" db
-оо
/(*) = — [F (jco)eMdu = — 7л(са)аю[со£ + Ф(0)|<&о.
2я i 2я ^
которое, фактически, заменяет сигнал бесконечной суммой элементарных
гармоник бесконечно малых амплитуд Л(со)Ло/(2л).
18. Как связан спектр одиночного импульса со спектром периодической
последовательности импульсов?
Ответ. Сплошной спектр одиночного импульса с точностью до
коэффициента является огибающей дискретного спектра периодической
последовательности импульсов тон же формы.
19. Чем различаются спектры кусочно-постоянных, кусочно-линейных и
кусочно-параболических сигналов?
Ответ. Спектр кусочно-постоянного сигнала содержит сомножитель 1/Осо).
спектр более гладкого кусочно-линейного сигнала — 1/(/ш)2, еще более
гладкого кусочно-параболического — 1/(усо)3, то есть спектр с ростом со быстро
убывает, пр!гчсм интенсивнее — у более гладких сигналов (чем круче сигнал,
тем спектр шире).
20. Как найти сигнал, если его изображение F(s) = 10/(s +2)3/4?
Ответ. Так как нет «табличного» оригинала для такого изображения по
Лапласу, то можно найти сигнал, используя приближенные методы расчета
сигнала по его спектру F(jta) = F(s) при 5 = jio.
21. Почему невозможно реализовать идеальный ФПЧ? Что такое условие
физической реализуемости (осуществимости)?
Ответ. ЧХ RLC-ncueii описываются дробно-рациональными функциями, а ЧХ
идеального ФНЧ дробно-рациональной функцией не является. Кроме того,

4.9. Цепи с взаимной индукцией 317
ИХ идеального ФИЧ й(Г)*0 "ри г <0, что противоречит условию
физической реализуемости (осуществимости): следствие не может возникнуть
раньше причины, а реакция — раньше воздействия.
22. Чему равна ширина спектра прямоугольного и треугольного импульсов, если
исходить из критерия «первого лепестка»? В чем некорректность этой оценки?
Ответ. Ширина спектра прямоугольного импульса по критерию «первого
лепестка» равна 2л/£н, а треугольного импульса — 4п/ги, где t.n — длительность
импульса. По более строгому 10 %-ному амплитудному критерию ширина
спектра прямоугольного импульса 6я/£и, а треугольного — 4лДн> что
соответствует следующему свойству: чем круче сшнал, тем шире спектр.
23. В чем сходство и различие между спектральными и частотными
характеристиками?
Ответ. Спектральные характеристики используют для описания сигналов
«суммой синусоид», а ЧХ показывают, как «синусоиды» различных частот
проходят через цепь. Сходство в том, что частотные характеристики цепи —
это спектр ИХ.
24. Какова четность спектральных (частотных) характеристик?
Ответ. ЛЧХ и ВЧХ (амплитудный и вещественный спектры) — четные, ФЧХ
и МЧХ (фазовый и мнимый спектры) — нечетные функции частоты.
25. К какому типу фильтров относятся дифференцирующая и интегрирующая
ЛС-цспи?
Ответ. Дифференцирующая ЛС-цепь — это ФВЧ, а интегрирующая — ФНЧ.
26. Спектры каких сигналов не существуют?
Ответ. Не существуют спектры (в обычном понимании) у сиi налов, не
являющихся абсолютно интегрируемыми.
27. Поясните идею радиопередачи на основе связи спектров видео- и
радиоимпульсов.
Ответ. Для передачи ЛМ-сигналов в радиотехнике используется эффект
переноса частоты спектров, при этом несущая ш0 — это частота передающей
станции, а видеоимпульс — «звуковой» сигнал.
28. Каким сигналам приписывается нулевая частота? Л чему условно
приписывается бесконечная частота?
Ответ. Нулевую частоту приписывают постоянному сигналу, а бесконечную
частоту условно приписывают моменту коммутации, или «скачку
воздействия», что согласуется, например, с «поведением» L- и С-элементов при со->0
и ш-> оо, при «t -» оо» и «/ -» 04 при расчете Г1Х Л,(0-
4.9. Цепи с взаимной индукцией
1. Как записать формулу напряжения на индуктивно связанной катушке в £-об-
ласти (в установившемся синусоидальном режиме)?

318
4 Каталог ответов
Ответ. Напряжение ии =1,—- + М—-; в УСР(7П =j(uLJl + jtoMI2l причем
dt dt
взаимная индуктивность М >0 при согласном включении, М <0 при
встречном включении.
2. Что такое взаимная индуктивность?
Ответ. Взаимная индуктивность — это коэффициент пропорциональности
между потокосцеплением взаимной индукции и током, его создающим.
3. Что такое согласное (встречное) включение индуктивно связанных катушек?
Ответ. Включение ИС-катушек называется согласным (встречным), если
при положительных токах катушек потоки взаимной индукции катушек
суммируются (вычитаются).
4. Как определить на схеме вид включения индуктивно связанных катушек?
Ответ. Если направления токов ИС-катушек выбраны одинаковыми по
отношению к однополярным выводам катушек («звездочкам»), то это —
согласное включение, в противном случае — встречное.
5. Каковы свойства идеального трансформатора?
Ответ. У идеального трансформатора при любой нагрузке и на любой
частоте их/и2 -г2/ц =NJN2J где Nx и N2 — числа витков первичной и вторичной
его обмоток.
6. Что характеризуют элементы схемы трансформатора?
Ответ. Обычно элементы /?, и /^ характеризуют активные потери в
проводах первичной и вторичной обмоток, I, и L2 — потоки самоиндукции, М —
потоки взаимной индукции.
7. Что такое входное и вносимое сопротивления трансформатора?
Ответ. Входное сопротивление складывается из сопротивления цепи
первичной обмотки и вносимого сопротивления, которое учитывает влияние
вторичной обмотки.
8- Что такое однополярные выводы индуктивно связанных катушек?
Ответ. Одинаково маркированные выводы (однополярные выводы —
«звездочки») ИС-катушек позволяют установить вид включения ИСЭ при
выбранных направлениях токов (без выяснения направления намотки катушек).
* * *
9, Что такое совершенная магнитная связь, индуктивность рассеяния,
коэффициент связи?
Ответ. Совершенная магнитная связь имеет место при отсутствии потоков
рассеяния. Индуктивность рассеяния — отношение потокосцеиления
рассеяния к току, который его создал. Коэффициент связи — отношение
взаимной индуктивности к среднему геометрическому из индуктивностей
ИС-катушек.

4.10 Трехфазные цепи 319
10. Что такое эквивалентное исключение магнитной связи?
Ответ. Это преобразование ИС-катушек, имеющих общий узел, в
эквивалентную цепь без индуктивной связи.
11. Почему эквивалентное исключение индуктивной связи не зависит от вида
включения индуктивно связанных катушек?
Ответ. Вид включения зависит от произвольно выбранного направления
токов, а эквивалентное исключение индуктивной связи — это схема, которая от
направлений токов не зависит.
12. Что такое коэффициент трансформации?
Ответ. Коэффициент трансформации равен отношению числа витков
обмоток трансформатора.
13. Почему реальный трансформатор «не работает» на нулевой частоте?
Ответ. Для получения напряжения на вторичной обмотке ее витки должны
пересекаться переменным во времени магнитным потоком.
14. Как приблизить реальный трансформатор к идеальному?
Ответ. Необходимо сопротивления проводов и индуктивности рассеяния
обмоток сделать минимально возможными, а индуктивности обмоток —
максимально возможными.
15. Как на практике найти взаимную индуктивность?
Ответ. Следует измерить напряжение на разомкнутой второй ИС-катушке
при известном токе первой катушки; тогда\ZM\ = со| М\ =U2//,.
16. Каковы особенности ВД индуктивно связанных цепей?
Ответ. На ВД учитывают, что напряжение па ИС-катушке состоит из суммы
напряжения самоиндукции, опережающего ток катушки на 90°, и напряжения
взаимной индукции, сдвинутого на ±90° от тока второй катушки.
4.10. Трехфазные цепи
1- Что такое трехфазная цепь? Симметричный источник? Симмструпшая ншрузка?
Ответ. ТФЦ — это цепь, находящаяся в УСР, которая содержит три
подобные части, называемые фазами. Симметричный ТФ-источник состоит из трех
ИН одинаковых амплитуды и частоты, сдвинутых по фазе на 120°.
Симметричная нагрузка — три одинаковых комплексных сопротивления. Фазы
источника (Л, By С) и нагрузки (а, в, с) соединены тремя линиями передачи
(линейными проводами).
2. Как выглядит ВД симметричного трехфазного источника?
Ответ. ВД состоит из трех векторов одинаковой амплитуды, начальные фазы
которых различаются на 120°.
3. Что такое линейные и фазные напряжения, линейные и фазные токи?
Ответ. Напряжения между линейными проводами называют линейными,
а на фазах нагрузки и генератора ТФ-источника — фазными. Токи, протекаю-

320
4. Каталог ответов
щис по линейным проводам, называют линейными, а протекающие но
сопротивлениям нагрузки — фазными.
4. Как связаны линейные и фазные напряжения источника в ТФЦ при
соединении звездой?
Ответ. При симметричном ТФ-источпике линейное напряжение больше
фазного в л/3 раз (U1 = л/31/ф ), то есть при £/ф =220 В имеем U1 = 380 В.
5. Зачем нужен узчовой провод в ТФЦ?
Ответ. Если ТФЦ соединена «звездой», то короткозамкнутый узловой
провод, соединяющий узлы источника и нагрузки, обеспечивает независимый
режим работы фаз, поскольку каждая фаза нагрузки «работает» от
соответствующей фазы генератора и не зависит от режима других фаз.
* * *
6. Что такое прямая (обратная) последовательность фаз симметричного
трехфазного источника?
Ответ. Если напряжение фазы источника uB(t) отстает от ил{() на 120° и
ис(/) отстает от uB(t) на 120°, то это прямая последовательность фаз
(А-В -С), если «поменять местами» uB{t) и uc{t)f получим обратную
последовательность фаз (А-С-В).
7. Как связаны линейные и фазные токи (напряжения) при соединении ТФЦ
«треугольником»?
Ответ. При соединении нагрузки «треугольником» линейные напряжения
равны фазным. Линейные токи /, при несимметричной нагрузке
определяются суммой соответствующих фазных токов нагрузки. Если нагрузка
симметрична, то
8. Почему ВД ТФЦ называют потенциальными? Топографическими?
Ответ. Обычно ВД ТФЦ строят упорядочении в масштабе и в соответствии с
геометрией (топографией) цепи. Например, вектор UAB направляют на ВД от
точки В к точке А, как бы отражая рост потенциала. При таком
упорядоченном построении расстояние между двумя точками ВД «определяет»
напряжение между этими же точками цепи.
9. Как принято направлять токи в ТФЦ?
Ответ. Линейные токи направляют от источника к иафузке, а ток узлового
провода — от нагрузки к источнику.
10. Как производится расчет ТФЦ?
Ответ. Анализ ТФЦ осуществляют но обычным правилам расчета УСР с
использованием МКЛ. При анализе соединения «звездой» удобно применять
МУН.
4.11. Четырехполюсники и активные цепи
1. Как записываются г-, у- и а-формы уравнений ЧП?
Ответ. Уравнения имеют вид

4.11. Четырехполюсники и активные цепи
321
и7 ~Z2XIх +^22^2'
Л =^А +^22^2;
/, =а21с/2 +«22(-/2).
2. Как пай ги параметры ЧП методом XX -КЗ?
Ответ. Из уравнений 411 следует, например, г,, -Uv/lx при /2 =0, го есть
при расчете г,, выводы 22' у ЧП разорваны; уп = /t/c/, при £/2 = 0, то есть
выводы 22г у ЧП закорочены.
3. Как выглядят условия обратимости и симметрии пассивного 411?
Ответ. У обратимой) ЧП г12 = z2ltyu = /у21, анап ~aviai\ = 1- У
симметричного ЧП, кроме того, гм =г22, уи = у22, а\\ -(hi-
4. Что такое каскадное соединение ЧП?
Ответ. При каскадном соединении выход первого ЧП соединяется со входом
второго.
5. Что такое согласованная нагрузка и характеристическое сопротивление
симметричного ЧП?
Ответ. Характеристическое сопротивление Zc — это такое сопротивление
нагрузки Zn = Z(:, при котором входное сопротивление ЧП ZBX -Zc. Нагрузка
при Zu = ZBX =ZC называется согласованной.
6. Что такое вторичные параметры симметричного ЧП?
Ответ. Характеристическое сопротивление Zr и характеристическая мера
передачи у — это вторичные параметры ЧП.
7. Какие типы «Ш вы знаете?
Ответ. Существуют четыре типа: ИПУП, ИПУТ, ИТУТ, ИТУН.
8. Как выглядит схема замещения необратимого ЧП, содержащая два ЗИ?
Ответ. Со стороны 1 Г схема содержит последовательно соединенные
сопротивление zu и ИПУТ zi2I2, а со стороны 22' — сопротивление г22 и ИНУ Г
^21М"
9. Что такое ОУ? Каковы его свойства?
Ответ. ОУ — это ИНУН, уравнение которого £/ОУнь№ = kay(Uuym + ~Uoyox ).
При А:()У ->ос получим идеальный ОУ, у которого 1/ОУпх+ =Uoyju. . Свойства
ОУ: необратимость. XX па входе.
* м
10. Как записываются уравнения для нагрузки ЧП?
Ответ. Согласно закону Ома. U2 =Utt = Zn(—I2 ) = ZnIn,
vjxvZn9U2 ={/„ и /н =—12 — сопротивление, напряжение и ток нагрузки.
11. Как вывести ПФ ЧП?
Ответ. К уравнениям ЧП добавляется уравнение нагрузки и исключаются
две лишние переменные в системе трех уравнений с четырьмя переменными
(с/р /,, U2f /2).

4. Каталог ответов
12. Как пересчитать параметры ЧП (для иной формы уравнений)?
Ответ. Нсобхо химо разрешить имеющуюся систему уравнений
относительно переменных левой части требуемой (иной) формы уравнений.
13. Что гакое эквивалентные Т- и П-схемы ЧП? Когда они используются?
Ответ. Схемы используются для замены описанного уравнениями
пассивного ЧП (имеющего три независимых парамсгра) эквивалентной Т- или П-струк-
турон (из трех .элементов).
14. Как найти характсрпсшчсское сопротивление симметричного ЧП?
Ответ. Расчет проводят по любой из формул
Z, =(«и/я..)'/2 =U-u/y,i)''2 =(^x^)'/2.
15. Что такое активный элемент цепи?
Ответ. Обычно простейший активный элемент — это необратимый ЧП типа
ЗИ (то есть ИНУН, И НУТ, ИТУТ, ИТУН). Однако формально - это
элемент, энергия которого может быть отрицательна (в том числе 11Н, ИТ).
16. Каковы особенности расчета цепей с ЗИ?
Ответ. Расчет цепей с ЗИ проводят любыми методами, к уравнениям
«метода» следует добавить уравнение для ЗИ.
17. Каковы особенности расчета цепей с ОУ?
Ответ. Проще веет использовать МУН: записывают уравнения МУН для
всех узлов, кроме выходного узла ОУ, и дополняют систему уравнением ОУ
(см. вопрос 9).
18. Как выглядит формула, реализуемая решающей схемой на ОУ?
Ответ. Выходное напряжение С/иых (5) = -^КА1/А/У0, гдеУ*. У0 —
проводимости k-ro входа и обратной связи; Uk — напряжение /г-го входа.
4.12. Основы теории фильтров
1. Каково основное свойство Zu (s)?
Ответ. У дробно-рациональной функции Zir(s) коэффициенты
положительны, нули и полюса мнимые, чередуются, простые.
2. Что такое нули и полюса дробно-рациональной функции?
Ответ. Нули — это корни числите ая функции, полюса — корни знаменателя.
3. Чему равно сопротивление Zic(s) на нулевой и бесконечной частотах?
Ответ. При s -> 0 и s —> оо либо Zic(s) =0, либо ZLC(s) -» х>.
4. Что такое классический симметричный фильтр?
Ответ. Это симметричный LC-ЧП при согласованной нагрузке на любой час-
тоге в У СР.

4.12. Основы теории фильтров
5. Каковы условия работы классического симметричного фильтра в НИ?
Ответ. Необходимо, чтобы характеристическое сопротивление фильтра было
положительно (то есть сопротивления XX и КЗ фильтра были «разнореак-
тивны»).
6. Что такое классический симметричный фильтр типа k?
Ответ. Это симметричный LC-ЧП Т- или П-структуры, у которого на
любой частоте произведение сопротивлений продольного и поперечного плеч
Z, (yo)Z2 (усо) = к2 = const.
7. Как спроектировать ФВЧ но ФНЧ-прототипу?
Ответ. Необходимо, использовав МПЧ (sH4 = o)q//7IJ4, где со,2 = ЧР^.Р ~ ПР°"
изведение частот среза; s = усо; р = JQ), преобразовать iH4 в Ст, а Снч — в Ьън.
8. Что такое фильтр Баттерворта? Какопы ею нормированные сопротивление
нагрузки и частота среза?
Ответ. У фильтра Баттерворта АЧХ ФНЧ w-го порядка Л (со) =
= k J\ + (со-'cotp )2п монотонно убывает с ростом частоты со, а нормированные
значения RH. = 1, согр. = 1.
9. Приведите примеры полиномов Баттерворта.
Ответ. Полиномы Баттерворта (1 + s, l + v2s + s2, I +25+ 2s2 + s*\..)
описывают знаменатель нормированной ПФ фильтра Баттерворта и-ro порядка.
10. Как выглядят АЧХ фильтров Баттерворта и Чебышева?
Ответ. У ФНЧ АЧХ монотонно убывают в ПЗ, а в IIП — только у фильтра
Баттерворта; у фильтра Чебышева в ПИ АЧХ колеблется между Атзл =k
и значением £(1-А)на границе ПП, имея п экстремумов, где А—
неравномерность АЧХ м ПП.
11. Что такое фильтр Чебышева?
Ответ. Это полиномиальный фильтр, у которого нормированная АЧХ ФНЧ,
например, А(о>) = 1/^/1 + е2Д2(со), где е2 = 2А — малая (А «: 1); Dn — полином
Чебышева (см. также ответ 10).
12. Как проектируют фильтры Баттерворта?
Ответ. По требуемому значению АЧХ Л (2) на частоте 2со определяют
порядок ПФ полиномиального фильтра, записывают ПФ и реализуют
лестничным LC-4U при нагрузке /?н. = 1.
* * *
13. Какими свойствами обладают мнимые ЧХ реактивных ДП?
Ответ. МЧХ LC-RU х(ш) = ImZ(yto)n b(<x>) = -l/jr(co)нарастают с увечичени-
ем частоты со.
14. Почему у классического симметричного фильтра в ПП, а сопротивления XX
и КЗ имеют различный характер реактивности?

324
4 Каталог ответов
Ответ, Если у ZC-фильтра Znx =Z„ = Zt. = {jxxxjxK3)u2 = RC^C >Q то
мощности Рт = Ян, токи /пх = /1|( АЧХ Л(со) = 1, то есть имеем ПП, при этом знаки
ххх и А*кз должны быть различными.
15. Как выглядит АЧХ классического симметричного фильтра в ПП?
Ответ. В ПП Л (со) = 1 - const (см. также ответ 14).
16. Как выглядят схемы классических симметричных фильтров типа Ш
Ответ. Схема имеет вид симметричной Т- или П-структуры (см. также
ответ 6), у которой Zl(ji€i)Zl(jix)) = k2, где Zx, Zl — полные сопротивления
продольного и поперечного плеч фильтра.
17. Каковы недостатки классических фильтров?
Ответ. Так как согласованную нагрузку Zc( /со) = -yjZxxZK:i нельзя обеспечить
RLC-испями на любой частоте, ЛЧХ фильтра отличается от теоретической.
18. Как спроектировать ППФ (ПЗФ) по Ф114-прототипу?
Ответ. Необходимо использовать стандартные пересчеты МПЧ, при
которых элемент ФНЧ LH4 в ППФ «превращается» в LC-последовательное
соединение, а СнЧ — в параллельное (у ПЗФ — наоборот).
19. Как учитывается сопротивление нагрузки при проектировании фильтров
методом преобразования частоты?
Ответ, Кслп нагрузка Ru проектируемого фильтра RH/RU\{ = mотличается от
нагрузки RU4 ФПЧ, необходимо принять mL и С/ги(вместо рассчитанных L и С).
20. Что такое полиномиальные фильтры?
Ответ. Это фильтры с 11Ф //(5) = А/(1 + tfts + a2s2 +... + ans" ), которая
имеет нуль кратности п только при s —> со (это LC-ЧП лестничной структуры).
21. Чем отличается фильтр Баттерворта от фильтров иных типов?
Ответ. В отличие от классических фильтров (см. ответ 17) он проектируется
по заданным ПФ и RH = const, а в отличие от фильтра Чебышева (см. ответы
8 и 11) у него АЧХ изменяется монотонно.
22. Чем отличается фильтр Чебышева от фильтров иных типов?
Ответ. В отличие от классических фильтров он проектируется под заданные
ПФ и нагрузку Ra = const, а в отличие от фильтра Баттерворта (см. ответы 8
и 11) у него ЛЧХ колеблется в ПП.
23. Что такое полиномы Чебышева? В чем их достоинство?
Ответ. В ПП полиномы Чебышева (см. также ответы 10 и 11)
Dn - cos(narccusco)обеспечивают колебательный характер АЧХ фильтра.
24. Как проектируются фильтры Чебышева?
Ответ (см. также ответы 10 и 11). По требуемому значению АЧХ Л (2)
определяю г порядок полинома Д,(ш) и по заданной неравномерности в ПП А = е2/2
записывают АЧХ, находят по ней ПФ полиномиальною фильтра и
реализуют его лестничным iC-ЧП при нагрузке Ян* = 1.

4.13. Начала синтеза цепей
4.13. Начала синтеза цепей
1. Каково основное свойство входного сопротивления (проводимости) 1С-ДП?
Ответ. ZLC(s) — дробио-рациональная функция с положительными
коэффициентами; нули н полюса ZLC(s) располагаются на мнимой оси. чередуются и
являются простыми.
2- Каковы условия реализуемости Znx(s) 1С-двухлолюсником?
Ответ. Znx(s) реализуется LC-ДП, если удовлетворяет основному свойству
ZLC(s).
3- Как выглядят составляющие при реализации Zm(s)LC-cxcmgu?
Ответ. Ее in Zux (s) удовлетворяет основному свойству ZLC(s)\\ имеет полюса
при s = О и при 5 -» оо, то
Zj:cCv) = >1xs + A>/.v + X^W2+cd*)==Zjc+Zo +XZ*'
где A,s = Zx = L^s; A0/s = Zl} = l/(t»; za = V(A^ + V(^*s))-
4. Какова формула соответствия входных сопротивлений LC- и /?С-двухлолюс-
ников?
Ответ. Zu(p) = pZR( (.v) при s = р2.
5. Каково условие реализуемости Znx(.v) ЛС-двухполюсником?
Ответ. Zns(s) реализуется ЛС-ДП, если удовлетворяет основному свойству
ZKC(s)9 то есть является дробно-рациональной функцией с положительными
коэффициентами, нули и полюса располагаются па отрицательной полуоси,
чередуются, являются простыми, и ближайший к началу координат — полюс.
6. Какова формула простейшей решающей схемы на ОУ?
Ответ. Формула простейшей решающей схемы Unblx(s) = ~Yl{s)Umt{s)/Yt)(s\
где У, и Yv — проводимости входной цепи и цепи обратной связи ОУ.
7. Как реализовать НФ с отрицательными пулями и полюсами, использовав
решающие схемы на ОУ?
Ответ. В случае двух каскадов схем на ОУ (см. ответ 6) ПФ преобразуют к
виду H(s) = Unux(s)/Umt(s) = Yll(s)Yul (s)/(Yul(s)Ylul(s))t так чтобы отдельные
проводимости удовлетворяли основному свойству YRC(s).
* * *
8. Почему степень числителя YLr(s) на единицу отличается от степени
знаменателя?
Ответ. Это вытекает из требования некратности полюса или нуля в
бесконечности (при s -> оо) для Zu-(s).
9. Как выглядят составляющие при реализации YLC(s)схемой?
Ответ. Разложение YLC(s) имеет вид
Yu(s) = A,s + A0/s + ХЛ*/(*2 + «J ) = Уя + У0 + £ П.
где У. = Д..5 = О; Г0 =Ajs = \l(LasYYk =l/(Lts + l>(Cks)).

4 Каталог ответов
10. Какие варианты схемной реализации Zlc(s)\\hi знаете?
Ответ. Реализация
— это схема последовательного соединения ДП; разложение YLC(s) — схема
параллельного соединения; можно часть ZJ((s) реализовать схемой Zx{s)
последовательного соединения ДП. остальная часть Zu(s)обращается и
реализуется как параллельное соединение Yn{s) = 1/Z„(s) и т. д. многократно и по-
разному.
11. Что га кое частично выделенные полюса при реализации ZIC(s)?
Ответ. В последнем варианте ответа 10 можно некоторые полюса ZLC(s)
выделить (реализовать) не полностью (частично) и отнести к Z,, например, Zlc =
= 045Acs + 0,2 l0/.s + Z„, а остальную часть ZLC реализовать как Yu = 1/Z„.
12. Как выглядит формула соответствия входных проводимостей LC- и
.КС-двухполюсников аналогичной структуры?
Ответ. Yu(p)=YRC{s)/p при s = р~.
13. Как реализуются уравнения состояния схемами на ОУ?
Ответ. Уравнение решающей схемы на ОУ1 (рис. 4.7)
UBba(s) = -J]Uk(s)Gk/(C0s)соответствует уравнению состояния
1*Л«<*)1 = {№«(-01 + \B\\U„{s)\)/s.
G,
ВД
U2(s)
С,
я
+©-
ад
1
f„w
I
Рис. 4.7
I
14. Как реализовать произвольную ПФ схемами на ОУ?
Ответ. Необходимо :-жвивалентно преобразовать ПФ к системе уравнений
состояния, которые реализуются схемами па ОУ (см. ответ 13).
4.14. Цепи с распределенными параметрами
1. Чем различаются цепи с сосредоточенными параметрами и с раепределепны
ми параметрами?

4.14. Цепи с распределенными параметрами 327
Ответ. В цепях с распределенными параметрами (в отличие от цепей с
сосредоточенными R-t L- и С-параметрами) активные потери, электрические и
магнитные поля распределены вдоль цепи, поэтому процессы зависят и от
координаты цени, и от времени.
2. Какими ЧП являются ДЛ?
Ответ. ДЛ длиной /является симметричным ЧП: характеристическое
сопротивление равно волновому Zc = ZB, а коэффициент распространения у0 =у/1 —
это погонная мера передачи.
3- Как трактовать решение уравнений ДЛ с использованием падающей и
отраженной волн?
Ответ. В решении уравнений, например, ЛБП ux(L) = ыllx(t) + um{t) = ua2(i +
+ ги ) + uti2 (t - tM ) видно, что с запаздыванием t^ падающая волна (1 -е
слагаемое) приходит из точки ДЛ с координатой х в точку 2 (то есть в конец ДЛ),
а отраженная волна (2-е слагаемое) приходит из точки 2 в точку х.
4. Что такое волновое сопротивление и коэффициент распространения ДЛ?
Ответ. В любой точке ДЛ отношение волны напряжения к соответствующей
волне юка равно волновому сопротивлению ZF =Unx(s)/Illx(s) = U^{s)/I(Lr(s)
(см. также ответ 2).
5. Что такое согласованный режим работы ДЛ?
Ответ. В согласованном режиме у ДЛ сопротивление нагрузки равно
волновому (ZH = ZC =Zn), при jfom отраженных волн нет.
6- Что такое линия без потерь?
Ответ. У ЛПБ активными потерями можно пренебречь.
7. Что такое фазовая скорость волны в ДЛ?
Ответ. Фазовая скорость — это скорость движения по ДЛ точки волны,
суммарная фаза колебании и которой неизменна.
8. Что такое длина волны в ДЛ?
Ответ, Длина волны X— это минимальное расстояние между точками волны,
суммарная фаза колебаний в которых различается на 2я радиан.
9. Каковы свойства отрезка ДЛ в четверть длины волны?
Ответ. Отрезок ЛБП размером Х/А в режиме КЗ нагрузки имеет бесконечное
входное сопротивление в УСР.
10- Приведите примеры цепей с распределенными параметрами.
Ответ. Телевизионный кабель, линия связи.
* * *
11. Что такое телеграфные уравнения ДЛ?
Ответ. Телеграфные уравнения — это ДУ для описания процессов в ДЛ
зависящих как от времени, так и от координаты.

328
4. Каталог ответов
12. Как трактуется решение уравнений ДЛ, записанное в гиперболической форме?
Ответ. Гиперболическая форма уравнений ДЛ показывает, что ДЛ — это
симметричный ЧП.
13. Что такое линия без искажения? Без отражения?
Ответ. ДЛ с искусственным сочетанием погонных параметров LQ /R0 =
= C0/G,j— это ЛБИ, поскольку при согласованной нагрузке она не искажает.
ЛБО — это ДЛ в согласованном режиме, когда отраженных волн нет.
14. Что гакое коэффициент отражения?
Ответ. Отношение отраженной волны к падающей в конце ДЛ — это
коэффициент отражения: n=Uo2/Ull2 = /о2//п2 = (ZH -ZD )/(ZH + ZB ).
15. Искажает ли ДЛ в согласованном режиме?
Ответ. В общем случае ДЛ даже в согласованном режиме искажает.
16. Чему равен коэффициент отражения ДЛ при XX (или КЗ) нагрузки?
Ответ. При XX нагрузки (ZM —> оо) коэффициент отражения
п = (ZH - ZB )/(ZH + ZD) = 1, при КЗ нагрузки п = -1.
17. Что такое многократное отражение в ДЛ?
Ответ. Если сопротивление нагрузки и выходное (эквивалентное)
сопротивление источника (ZBL]X =ZH * Zu * Z„)не согласованы с волновым
сопротивлением ДЛ, то происходит отражение волн как от нагрузки, так и от
источника.
18. Чго такое стоячие волны в ДЛ?
Ответ. В ЛБП при коэффициенте отражения |я| = 1 амплитуды падающей и
отраженной волн в УСР равны, то есть имеются точки ДЛ, в которых волны
полностью компенсируются (узлы стоячих воли), и точки ДЛ, в которых
«результирующая синусоида» волн удваивается (пучности).
19. Что такое узлы в ДЛ?
Ответ. См. ответ 18; при этом узлы тока отстоят от узлов напряжения на
четверть длины волны.
4.15. Дискретные цепи и сигналы
1. Чем дискретный сигнал отличается от непрерывного?
Ответ. Непрерывный (аналоговый) сигнал существует при любых tt а
дискретный — только в определенные моменты времени, t - пТ, где п — целое
число: Т— период дискретизации.
2. Сформулируйте теорему дискретизации (теорему Котельникова).
Ответ. Непрерывный сигнал, спектр которого F(y'co) =0 при |о>| >tom, может
быть полностью восстановлен по его дискретным значениям /(иГ),
считываемым с частотой дискретизации сол =2сот =2я/Г, где период дискретизации

4.15. Дискретные цепи и сигналы 329
Т = 2я/сод = 7t/com (то есть считываемым с частотой в два раза большей
максимальной частоты спектра сигнала со;л).
3. Как выглядит спектр дискретного сигнала в сравнении со спектром
непрерывного сигнала?
Ответ. Спектр дискретного сигнала с точностью до коэффициента (At/T),
фактически, является периодическим повторением спектра исходного
непрерывного сигнала с периодом но оси частот со, =2ыт (здесь Т — период
дискретизации; А/ — длительность импульса дискретного сигнала).
4. Почему фильтр Котельникова — это идеальный ФНЧ?
Ответ. Характеристики фильтра Котельникова соответствуют
характеристикам идеального ФНЧ: | Як(</а>)| = T/At при |а>| < сот; | //к(_/со)| = 0 при |а>| > сот.
5. Каковы элементы схем линейных ДЦ?
Ответ. Элементами схем линейных ДЦ являются сумматор, масштабный
преобразователь, элемент сдвига на один шаг.
6. Как осуществляется численный расчет ДЦ?
Ответ. Численный расчет ДЦ выполняют аналогично численному расчету
аналоговых цепей: например, выбирая шаг численного решения уравнений
состояния At равным периоду дискретизации Г, получим
[Л* ~/i<n-i)l/7 = 4/2(в-1) + Д/|(И !)•
гл-е fin* f'2{n d» /|<и-1) — дискретные последовательности, го есть решетчатые
функции f2(nT).
7. Что такое ПХ дискретной цепи?
Ответ. Дискретная ПХ — АДиГ) — реакция ДЦ на входную дискретную
единичную ступенчатую последовательность 6,(иГ) = 1 при п > 0 (и равную 0 при
/2<0).
8. Что такое ИХ дискретной цепи, и как она связана с ПХ?
Ответ. ИХ ДЦ — реакция ДЦ на входную дискретную дельта-функцию
б0(иГ) = 1 при п = 0 (и равную 0 при п * 0). ИХ ДЦ h(riT) = hx(nT)-hx(nT-Г).
9. Как записывается ^-преобразование решетчатых функций 8и(пТ), «"5,(wr)f
лая81(/?Г)?
Ответ. По таблице r-преобразования б0 {пТ) -г-1, a"8i {nT) ■*■ z/(z - «),
nanbx{nT)+azl(z-a)2.
10. Как записывается теорема запаздывания ^-преобразования, и как ее можно
использовать для нахождения оригинала?
Ответ. Теорема запаздывания при нулевых предначальпых условиях (ПНУ)
имеет вид f{nT-T) + F(z)z l; f(nT~MT) + F(z)z~M. Ее используют,
например, для нахождения оригинала, если в знаменателе F(z) есть множитель zM.
11. Как записывается теорема разложения г-прсобразования?
Ответ. Теорема разложения

330 4 Каталог ответов
где
z~zk
Ak= *-F{z)
; \=F(:)U
-=-*
12. Что такое ПФ ДЦ, и как она связана с ИХ, ПХ и РУ ДЦ?
Ответ. ПФ ДЦ Я(с) = F2 (;)//=;(-> H(z) + h(nT), го есть ПФ - это
отношение г-преобразований реакции ДЦ к воздействию, а также г-преобразо-
ванме ИХ ДЦ; Hx(z) = — H(z)+hx(nT) - ПХ ДЦ. Зная ПФ //(г) =
А. 1
= (60 + bxz'x +...+ bMz~M )j(i + axz~x +... + awr"iV ), можно найти РУ ДЦ:
f.l(nT)+axf2(nT-T)+...+ aJ.1{nT-NT) =
= bJ}(riT) + bJl(nT-T)+...+ bMf{(nT--MT).
13. Что такое пречначальные условия при расчете ДЦ?
Ответ. Если в ДЦ используются операции (элементы) сдвига (см. ответ 12),
необходимо задать ППУ/Д-Г), /,(-2Г), ..., /2(-Т)...
14. Как составить схему ДЦ по ее РУ?
Ответ. Зная разностное уравнение, записанное в виде
M"T) = bJi(riT) + bJl(nr-r)+... + bMfl(riT-MT)-
-aJ2(nT - Т) -... - atVf2 {nT - ЛТ),
можно, используя элементы ДЦ, составить схему ДЦ.
* * *
15. Каковы достоинства дискретных сигнатов?
Ответ. Во время пауз между дискретными импульсами можно передавать
другую информацию; во время пауз помеха не действует; увеличить
помехоустойчивость можно, если дискретность по времени дополнить
дискретностью (квантованием) по уровню, то есть перейти к цифровым сигналам и
передавать их в двоичном коде.
16- В чем состоит идеализация записи дискретных сигналов?
Ответ. Короткие прямоугольные импульсы дискретных сигналов /д(О
описывают смещенными на «Гдельта-функциями с коэффициенгами, равными
площади импульсов (здесь Г— период дискретизации; п — целое число).
17. В чем заключаются некорректные моменты теоремы Котсльникова?
Ответ. Нет реальных сигналов, спектры которых ограничены по частоте.
Кроме того, не существует идеальных ФЫЧ. Из-за тот что ВЧ-составляю-

4.15. Дискретные цепи и сигналы
331
щие не учитываются, появляется неустранимая ошибка вычислительной
техники.
18. Что такое дискретная последовательность (решетчатая функция)?
Ответ. Множество значений сигнала f{nT) в дискретные моменты времени
t= nT называют дискретной последовательностью или решетчатой функцией,
гак как ее график напоминает решетку (здесь Т— период дискретизации; п —
целое число).
19. Почему уравнения ДЦ часто называют разностными уравнениями?
Ответ. Уравнения ДЦ для расчета дискретной последовательности/2и =
= f2(nT)— это, фактически, уравнения численною решения уравнений
состояния, в которых бесконечно малое приращение переменных состояния
заменяют разностью последовательных значений, как указано в ответе 6,
например, [/2и -/2(пЧ) ]/T = Af2in_l) + BfUn_xy Привлекает вторая версия термина,
отраженная в ответе 14: уравнение ДЦ для расчета /2(пТ)можно назвать
разностным, так как в нем используется разность дискретных
последовательностей входного и выходного сигналов.
20. Как выглядит формула прямого г-преобразования?
ОС
Ответ. f(nT)+ F(z) = ^f(nT)z~ri, то есть дискретной последовательности
f(nT)соответствует z-преобразование F(z).
21. Как выглядят свободная и вынужденная составляющие решения РУ
дискретной цепи?
Ответ. Свободная составляющая имеет вид J] ЛЛг£, гдегА — корни ХП,
соответствующего однородному РУ, а вынужденная составляющая имеет
математическую форму дискретного воздействия.
22. Что гакое ряд Лорана применительно к формуле прямого г-преобразовапия?
Ответ. Ряд Лорана отражает разложение функции по отрицательным
степеням аргумента, то есть формула
Р(г) = ±ПпТ)=" =/(0)г° +/(Г)---' +/(2Г)г"2 +...
71=0
соответствует ряду Лорана.
23. Как спроектировать ДЦ методом полного соответствия ПХ дискретной и
аналоговой цепей?
Ответ. Дискретные значения ПХ аналоговой цени й,Лц(0 при t = иГсчитают
значениями ПХ ДЦ: Л|ДЦ(7г7,) = А|АЦ(г)|/шпГ; далее находят ее г-преобразова-
ние H^{z)w определяют ПФ ДЦ: IT(z) = - Tl^z).
*~
24. Что такое численное решение уравнений состояния на основе билинейного
преобразования?
Ответ. Для численного решения с использованием билинейного
преобразования решают матричное уравнение

332
4 Каталог ответов
1Л- -Л(п-1,]/5п = 0.5(Л[/2„ + /2(„_„] + Л|/1п + /„„_„])
относительно реакции /2м = /2(пТ). Однако проще перейти к расчету
соответствующей ДЦ на основании связи ПФ: H(z) = H(s) при s = 2(г - l)f\T(z + 1)].
25- Что такое чисаенное решение уравнений состояния на основе алгоритма
Эйлера?
Ответ. Для численного решения с использованием, например, явной формы
алгоритма Эйлера решают матричное уравнение
Uin -Лом)Vr=>l/2<»-i) +Д/ия_„
относительно реакции /2п = /г{пТ\ однако проще перейти к расчету
соответствующей ДЦ на основании связи ПФ: H{z) = H(s) при s = (г - 1)/Г.
26. Как найти ПФ ДЦ, зная ПФ исходной непрерывной цепи?
Ответ. Чтобы найти ПФ ДЦ, зная ПФ непрерывной цепи, можно, например,
применить формулы перехода при использовании алгоритма Эйлера (см.
ответ 25), билинейного преобразования (см. ответ 24) или метод полного
соответствия ПХ (см. ответ 23).
27. Какие способы определения интервала дискретизации вы знаете?
Ответ. Интервал дискретизации Г = 2гс/сол определяется на основании
георемы Котелышкова: ыл =2л/Г = 2(от, где ш,п — максимальная частота спектра
сигнала. На практике <ои определяют но «жестким» критериям ширины
спектра (например, 1 %-ному амплитудному критерию и жестче).
4.16. Нелинейные цепи
1. Что такое НЭ? НЦ? Как обозначают НЭ?
Ответ. Характеристики ИЭ нелинейны и зависят от значений токов или
напряжений, то есть ия =uR(iK), уг =М//.(^). <у( =%(мг)- Цепь нелинейна,
если содержит хотя бы один НЭ. Обозначения нелинейных R-, L-, С-элсмсн-
тов с указанием согласованной полярности аналогичны обозначениям
линейных элементов, но перечеркнуты ломаной линией
2. Каковы общие свойства IIЦ?
Ответ. 1. Справедливы уравнения ЗТК и ЗПК. 2. Справедливы принципы
непрерывности потокисцепления в 1-элементах и заряда в С-злементах. 3.
Неприменимы все свойства линейности (пропорциональности,
дифференцируемое™ и интегрируемости, наложения). 4. НЦ способны преобразовать спектр
входного периодического сигнала.
3. В чем достоинства и недостатки графического метода расчета нелинейных R-
цепей?
Ответ. Графический метод удобен, прост и нагляден для расчета простых НЦ.
Недостатки метода: низкая точность, громоздкость построений при наличии
нескольких НЭ.

4.16. Нелинейные цепи
333
4. В чем сущность формулы Лагранжа при расчете Я-НЦ?
Ответ. Сущность формулы — в получении аналитического описания ВЛХ
(заданной несколькими точками) без решения системы уравнений.
5. Что такое итерационные методы решения ПФУ?
Ответ. Итерационные методы — это методы последовательных
приближений (шаг за шагом) с целью получения решения ПФУ с необходимой
точностью.
6. Чго такое кусочно-линейная модель Я-ПЭ?
Ответ. На каждом интервале кусочно-линейной аппроксимации ВАХ R-НЭ
записывают линейное уравнение, которому соответствует эквивалентная схема
в виде последовательного соединения линейного резистора Rk и ИНuok = const.
7. В чем состоит идеализация диодных характеристик?
Ответ. ИД в открытом состоянии эквивалентен КЗ, в закрытом — XX.
8. Что такое РТ?
Ответ. Рабочая точка НЭ — .>то, например, значения тока и напряжения на
ВАХ R-НЭ при действии в /?-НЦ постоянных ИН и ИТ (и отсутствии
переменного входного сигнала).
* * *
9. Что такое статические и дифференциальные параметры НЭ?
Ответ. Под статическим параметром НЭ понимают отношение ординаты
выбранной точки характеристики НЭ к ее абсциссе (RCT ~u/i\ С„ = qju\
Ln = y/i), а под дифференциальным — отношение бесконечно малых прира-
щеиш1(Ллиф = du/dr,Cnn(]t = dq/du;LiVub =dy/di).
10. Каковы признаки классификации НЭ и НЦ?
Ответ. Наиболее простые признаки классификации: 1) по математическому
описанию (7МЩ описываются нелинейными алгебраическими уравнениями,
а динамические ПЦ — нелинейными дифференциальными); 2) по
трудоемкости (НЦ с одним НЭ можно рассчитывать по МЭИ, что упрощает схему и
решение); 3) двухполюсные НЭ с неуправляемой характеристикой и трехио-
люсные НЭ с управляемой характеристикой; 4) НЭ с положительными
дифференциальными параметрами и НЭ с падающими участками характеристик;
5) НЭ с однозначной или неоднозначной характеристикой; 6) НЭ с
симметричными и НЭ с несимметричными характеристиками.
11. Когда можно использовать МЭИ при расчете НЦ?
Ответ. МЭИ можно использовать при наличии единственного НЭ в ПЦ.
12. Что такое метод трех точек при расчете /?-НЦ?
Ответ. Для описания характеристики НЭ параболой (параболическая
аппроксимация) достаточно использовать три точки на характеристике НЭ.
13. Охарактеризуйте метод Ньютона Рафсона при решении НФУ.
Ответ. Метод Ньютона -Рафсона обычно дает быструю сходимость при
итерационном решении НФУ.

334
4. Каталог ответов
14. Что такое кусочно-линейные диодные модели?
Ответ. Кусочно-линейные диодные модели (представляющие собой
комбинации соединений линейных ^-элементов, источников постоянных
напряжений и диодов) позволяют формировать нарастающие кусочно-линейные ВАХ.
15. В чем особенность уравнений состояния при расчете НЦ?
Ответ. Уравнения состояния для динамических НЦ — это нелинейные
дифференциальные уравнения. Для них в общем случае не существует
аналитическое решение, поэтому используют методы численного решения (шаг за
шагом).
16. Как рассчитывать переходные процессы в НЦ метолом кусочно-линейной
аппроксимации?
Ответ. На каждом участке кусочно-линейной аппроксимации характеристик
НЭ динамическая НЦ рассчитывается как линейная. При этом определяются
независимые начальные (граничные) условия для каждого участка.
17. В чем сущность метода гармонического баланса?
Ответ. Метод гармонического баланса используется при приближенном
расчете установившихся периодических режимов в НЦ с симметричными
характеристиками НЭ. При расчете обеспечивают равенство (баланс) в ДУ НЦ для
каждой гармоники в отдельности (обычно ограничиваются только первой
гармоникой).
4.17. Начала синтеза пассивных
четырехполюсников
1. Почему параметр z22 1С-ЧГ1 удовлетворяет основному свойству ZLC(s)?
Ответ. При /, =0у ЧП параметр z22 = U2/I2 =z2ax является входным
сопротивлением Zu (s) некоторого LC-ДП.
2. Почему знаменатели rI2(s) и z22(s) одинаковы?
Ответ. При /, =0 у ЧП параметры zx2 —Uxjl24 zri =U2/I2 — это две ПФ
одной и той же LC-цепи, а их знаменатели (как ХП цепи) одинаковы.
3. Что такое частные полюса z22(s) и y-n(s)?
Ответ. Частные полюсаz22 — это «частная собственность» z22t и их нет среди I
полюсов zl2; частных полюсов у22 нет среди полюсов уи.
4. Чем определяются нули ПФ ЧП?
Ответ. Они определяются нулями zu и частными полюсами z22 (или нулями
уУ1 и частными полюсами^).
5. Что такое частичное выделение полюса Z(s)?
Ответ. При разложении Z(s)но полюсам «полная» составляющая kn/{s — sk)
от полюса sk может быть реализована частично как k4/(s~sk) при условии
0 <*,<*„.

4.17. Начала синтеза пассивных четырехполюсников 335
6. Чго такое условие Фиалкова?
Ответ. У ПФ ЧП II(s) = kB(s)/A(s) коэффициенты числителя не должны
превышать коэффициентов знаменателя при одинаковых степенях s.
7. Как определить параметры LC-4U по заданной ПФ H[rKX{s) = -у^/У-п?
Ответ. У заданной ПФ //ГХх = kB(s)/A(s) числитель и знаменатель делят на
произвольный полином D(s) (то есть уи = kB/D, yn -A/D) такой, чтобы
У 22 =YLC(S).
8. Как формулируется условие реализуемости LC-4U7
Ответ. 1. Должно выполняться условие Фиалкова. 2. Нули ПФ должны быть
мнимыми (для Н11ХХ и ///кзмнимыми должны быть и полюса ПФ, причем еще
и простыми).
9. Как реализуются частные полюса #^(s) и z22(s)?
Ответ. Частные полюса реализуют сразу же: у г22 — «продольным
сопротивлением» Z,, а у у 12 — параллельной выходу ЧП «поперечной
проводимостью» У0.
10. Почему при реализации y22(s)на полюса yv>(s) «не обращают внимания*?
Ответ. Полюса уп совпадают с полюсами у 22, и при синтезе у22 они
реализуются автоматически.
11. Как реализуются нули уи, совпадающие с нулями остатка от реализации у22?
Ответ. Остаток обращается, то есть реализуемый нуль становится полюсом
обращенного остатка, и, следовательно, он может быть выделен (реализован)
полностью.
12. Почему при совпадении нуля остатка с нулем ПФ этот остаток необходимо
обратить?
Ответ. Реализуются схемой только полюса, следовательно, чтобы превратить
нуль остатка в полюс, остаток нужно обратить.
13. Почему нули и полюса ПФ RC-ЧП должны быть отрицательными?
Ответ.. По ПФ, например HtK3 =-znlz22, синтезируют z22 =ZRC(s), а нули
ПФ от zl2 тоже реализуются полюсами продольных сопротивлений и
поперечных проводнмостей ЧП, обладающих свойствами сопротивления ZRC{s)4
нули и полюса которого отрицательны.
14. Почему параметр уп RC-ЧП должен удовлетворять основному свойству
YRC(s)?
Ответ. При!/, = 0у ЧПуп =l-il^i ~^i^ ~^rc — это входная проводимость
некоторого RC-ЧП.
15. Как определить параметры RC-ЧП по заданной ПФ HJK:i = ^уг1^пУ
Ответ. У заданной ПФ II/k:j = kB(s)/A(s)числитель и знаменатель делят на
произвольный полином D(s) (то есть г12 -kB/Dy z21 -AjD) такой, чтобы
^22 = Zftr\S)*

336
4 Каталог ответов
* ♦ *
16. Как выглядят ПФ пассивного ЧП при нормированной нафузке?
Ответ. При нормированной нагрузке (Yu = 1, Zn = 1) упрощаются исходные
формулы //„ =-у{2/0гн +Уп )• Hi =zm/(z» +-22)» u-i = zA'h^ и
синтезировать необходимо только два параметра ЧП.
17. Как маркируют элементы ЧП лестничной структуры?
Ответ. Продольные сопротивления ЧП обозначают ZlJt (или Z,, если это
первый элемеи г со стороны 2-2), поперечные проводимости обозначают Yok (или
У0, если л го первый элемент со стороны 2-2).
18. Почему полюса продольных сопротивлений Zlk(s)i\ поперечных проводимо-
сгей Yuk(s)— jto нули ПФ ЧП?
Ответ. На частотах полюсов sk получим Zu(sk) = 00 = XX, Yak(sk ) = 00 = КЗ,
и сигнал на выход ЧП не проходит.
19. Почему частично реализованный полюс не является нулем ПФ ЧП
лестничной структуры?
Ответ. Частично реализованный полюс, например, в разложении и
реализации Y - D{(s)/s = ktl/s + (D2/s) = У, + К, можно условно трактовать как
делитель напряжения на /.-элементах, и при 5 = 0 нуля в передаче напряжения на
выход не будет.
20. Чем должна заканчиваться реализация ЧП лестничной структуры?
Ответ. При синтезе 411 по z22 последним элементом в реализации (первым
со стороны 1-1) должна быть поперечная проводимость, а при синтезе по у22 —
продольное сопротивление.
21. Как определить параметры LC-ЧП но заданной ПФ IIr(s) = -У\2Ю +Уп )•
Ответ. Поскольку Ht/ = kB(s)/A(s), то представляют /l(s) =/l1|r(s) + Am(s)
(то есть суммой полипомов четных и нечетных степеней л), делят на Дм,
если В — нечетный полином (делят на Л111|? если В — четный) и находят
-~Уп = кВ/А,п, у21 = Лт /Ачх, затем тут же проверяют, ч го у22 = YLC.
22. Как реализуются пули //12, не совпадающие с нулями остатка от реализации у22?
Ответ. Пытаются частично выделить какой-либо полюс остатка (пли
обращенного остатка), но так, чтобы в новом остатке был нуль, совпадающий с
еще не реализованным нулем у12.
23. Поясните, как при частичной реализации полюсов Y(.s) = (s2 + cof )/.v можно
получить нуль остатка на любой частоте?
Ответ. Мнимые ЧХ K(yto) = (у<о) + tof/O'w) = У, + К2 являются нарастающими
функциями, причем МЧХ для К, изменяется от 0 до оо, для Y2 — от -оо до 0,
а для их суммы Y— от-оодооос нулем при резонансной частоте to-. При
частичном (го есть неполном) выделении У, или Y2 в остатке можно получить
нуль на любой частоте (что также следует из графиков МЧХ).
24. Почему при синтезе лестничного ЧП остатки от реализации у22 (или г22)
обращают?

4.18. Связанные контуры с большой добротностью 337
Ответ. Необходимо получить лестничную структуру: то поперечную
проводимость У0А (выделением, го есть реализацией, полюса У), то продольное
сопротивление Zxh (выделением, то есть реализацией, полюса Z = 1/Y).
25. Какими должны быть нули ПФ LC-4U лестничной структуры?
Ответ. Нули ПФ должны быть мнимыми, так как они в LC-4U реализуются
полюсами продольных сопротивлений Zxk ~ZRC и поперечных проводимостей
YGh = YRC, у которых корни мнимые.
26. Какими должны быть нули ПФ RC-4U лестничной структуры?
Ответ. Нули ПФ должны быть отрицательными, так как они в RC-ЧП
реализуются полюсами продольных сопротивлений Zlk =ZIC и поперечных нро-
водимостей Yok = Yu.t у которых корни отрицательные.
27. Как определить параметры RC-Ч П по заданной ПФ //, (s) = г12 /(1 + г22 )?
Ответ. В ПФ IIj(s) = kB(s)/A(s) полином знаменателя заменяют суммой
A(s) = Лф^О + ЛтС*). причем корни Л1ф($)лежат правее, а корни Дш(5)—
левее корней A(s). Далее находят zl2 = kB/Anrt, zn = AAtJAuv = ZRV.
28. Как используется условие Фиалкопа при реализации лестничных ЧП?
Ответ. Условие Фиалкова используется только при проверке заданной ПФ
на реализуемость. При реализации проверенной ПФ условие Фиалкова
выполняется автоматически.
4.18. Связанные контуры с большой добротностью
1. Как выглядят схемы связанных контуров с индуктивной, емкостной и
трансформаторной связями?
Ответ. Схема СК включает два последовательных (или параллельных)
колебательных /iLC-контура, соединенных между собой элементом связи: 1-эле-
ментом при индуктивной связи, С-элемепгом — при емкостной. М-ллемен-
том — при трансформаторной.
2. Какие виды резонанса п связанных контурах вы знаете?
Ответ. Различают четыре вида резонанса: частный, индивидуальный,
сложный и полный.
3. Как наиболее просто реализовать полный резонанс в связанных контурах?
Ответ. На первом этапе контуры настраивают на индивидуальный резонанс,
а на втором этапе, подбирая оптимальное значение сопротивления связи,
добиваются «максимума максиморума», то есть максимально возможных токов
контуров и напряжения на нагрузке.
4. Каково условие передачи максимума мощности в нагрузку в связанных
контурах?
Ответ. Для зтого необходимо реализовать сложный или полный резонанс.
5. Как выглядят ЧХ связанных контуров?
Ответ. АЧХ в СК в зависимости от типа резонанса — это «одногорбые»
кривые или при сложном резонансе — «двугорбые».

338
4. Каталог ответов
6. Охарактеризуйте фильтрующие свойства связанных контуров.
Ответ. Связанные контуры — это ППФ.
7. Что гакое обобщенная расстройка в связанных контурах?
Ответ. Обобщенная расстройка характеризует (умноженное на удвоенную
добротность) относительное отклонение от частоты настройки на
индивидуальный резонанс.
* * *
8. Что такое частный резонанс в связанных контурах, и как он реализуется?
Ответ, Реализуют мерный и второй частные резонам с ы. Они обеспечиваются
(без изменения сопротивления связи) настройкой LC-элеменгов,
соответственно, либо первичного, либо вторичного контура до достижения максимума
тока вторичного контура.
9. Что такое индивидуальный резонанс в связанных контурах, и как он
реализуется?
Ответ. Индивидуальный резонанс обеспечивают без регулировки
сопротивления связи, настраивая поочередно резонанс в каждом из контуров при
отключенном другом контуре.
10. Что такое сложный резонанс в связанных контурах, и как он реализуется?
Ответ. Резонанс получают итерационным путем, изменяя поочередно
сопротивление первичного контура (до достижения максимума первичного тока)
и сопротивление связи, до последовательного приближения к «максимуму
максиморуму», то есть к максимально возможным значениям токов контуров
и напряжения на нагрузке.
11. Что такое оптимальный резонанс в связанных контурах, и как он
реализуется?
Ответ. Полный резонанс реализуется при оптимальной связи между копту-
рами (меньшей, чем при сложном резонансе), поэтому его часто называют
оптимальным.
12. Какой вид ЧХ связанных контуров считается наилучшим?
Ответ. Наилучшим считается ЧХ, которая ближе по форме к ЧХ идеального
ППФ.
13. Что такое обобщенный коэффициент связи в связанных контурах.''
Ответ. Для характеристики связи контуров используют обобщенный
параметр — фактор связи — коэффициент связи, умноженный на добротность
контура.
14. Как проектируют связанные контуры?
Ответ. Для этого по семейству нормированных АЧХ и исходным данным
(резонансной частоте, ширине ПП, максимальному значению АЧХ, обычно
равному половине добротности контура) определяют параметры связанных
контуров.

4.19. Основы машинно-ориентированных методов расчета цепей 339
4.19. Основы машинно-ориентированных методов
расчета цепей
1. Что такое матрица соединений? Структурная матрица? Матрица инциденции?
Ответ. Указанные названия принадлежат одной матрице [Ла\, строки
которой соответствуют узлам (включая устранимые), а столбцы — ветвям
(элементам) цепи. Элементы матрицы [Аа |: апт = 1, если ток ветви т вытекает из
узла п; апт =-1, если ток ветви т втекает в узел п\ апт = 0, если ветвь т не
присоединена к узлу п. Полярность всех элементов цепи согласована.
2. Каковы основные свойства структурной матрицы?
Ответ. Она содержит информацию об узлах, элементах и направлении токов
цепи (полностью раскрывает структуру цепи), в каждом столбце содержит
элементы + 1 и -1, остальные равны 0, входит в матричную форму полной
системы уравнений ЗТК [Л,][*] = [0], поэтому содержит одну зависимую строку,
равную сумме остальных с обратным знаком.
3. Как по независимой структурной матрице восстановить полную?
Ответ. В независимую матрицу необходимо добавить строку, равную сумме
остальных с обратным знаком.
4. Как выглядят упорядоченные матричные уравнения цепи?
Ответ. [Q][i] = [0], [#][«] = [0], где [Q] и [В] — матрицы главных сечений и
главных контуров.
5. Что такое главное сечение? Как составить матрицу главных сечений?
Ответ. ГС содержит одну ветвь дерева и несколько хорд. Номер ГС и
направление выхода из ГС соответствуют номеру и направлению его ветви дерева.
Матрица главных сечений |Q| содержит строки, соответствующие номерам
ГС, и столбцы, соответствующие номерам ветвей графа цепи. Элементы qmn
матрицы [Q] принимают следующие значения: +1, если ток in выходит из ГС
т; -1, если ток гп входит в ГС т\ 0, если ветвь п не относится к ГС т.
6. Что такое главный контур? Как составить матрицу главных контуров?
Ответ. ГК содержат одну хорду и несколько ветвей дерева. Номер и
направление ГК соответствуют номеру и направлению его хорды. Матрица главных
контуров [В] содержит строки, соответствующие номерам ГК, и столбцы,
соответствующие номерам ветвей графа цепи. Элементы Ь^ матрицы [В]
принимают следующие значения: +1, если напряжение ип согласовано с обходом
ГК т; — 1, если напряжение ип не согласовано с обходом ГК т\ 0, если ветвь п
не входит в ГК т.
7. Как записать фундаментальную матрицу цепи?
Ответ. Фундаментальная матрица [F] содержится в матрице главных
сечений [Q] = [ (£); (F) |, где {Е) — единичная подматрица. Фундаментальная мат-

340
4. Каталог ответов
1
рица \FB] входит в матрицу главных контуров [В\ = [(FB); (£*)], причем
[FH | = -[f|r, где т — знак транспонирования.
8. Как записать в матричном форме уравнения закона Ома?
Ответ. [/f][fw ] = [а/л |, где \R]~ диагональная матрица сопротивлений рези-
стивных ветвей цепи.
* * *
9. Что нужно Л1ать о цепи для составления структурной матрицы? ,
Ответ. В цепи необходимо укачать узлы и направления токов элементов (при
согласованной полярности всех элементов).
10. Как записываются уравнения ЗПК с использованием структурной матрицы?
i
Ответ. [и\ = [Л]1 [uv ], где \и\ — матрица напряжений ветвей цепи; [wv) —
матрица узловых напряжений; т — знак транспонирования; [Л] — независимая '
структурная матрица.
11. Что такое ориентированный граф цепи?
Ответ. Это геометрический образ цепи, в котором отражены все элементы
и узлы (в том числе устранимые), у каждого элемента указано направление
тока и принята согласованная полярность.
12. Как нумеруются вегви графа цепи? Что такое дерево графа? Хорда?
Ответ. Ветви графа нумеруются в такой последовательности; источники
напряжения и резисторы дерева графа, резисторы и источники тока хорд. В
дерево графа входят ветви, соединяющие все узлы графа без образования
замкнутых контуров, содержащие ИМ и не содержащие И Т. Хорда — ветвь, не
вошедшая в дерево графа.
13. Почему уравнения для главных сечений независимы?
Ответ, Ток каждой ветви дерева входит только в «свое» уравнение для ГС
и не может быть получен из остальных уравнений ГС. '
14. Почему независимы уравнения для главных контуров?
Ответ. Напряжение каждой хорды входит только в «свое» уравнение для ГК
и не может быть получено из остальных уравнений ГК.
15. Как связаны матрицы главных сечений и главных контуров?
Ответ. Матрица ГС представляется в виде [Q] = [(£*); (F)\, матрица ГК имеет
вид \В] = \(FH ); (Я)|, причем фундаментальные матрицы [FH J = -|F]T, где т —
знак транспонирования.
16. Почему в уравнениях .ТГК нытекающие из узла токи учитываются с
«плюсом»?
Ответ. ЗТК справедлив для узлов, сечений и главных сечений, а токи,
выходящие из ГС. учитываются со знаком «+».

4.20. Основы теории чувствительности цепей к изменению параметров 341
4.20. Основы теории чувствительности цепей
к изменению параметров
1. Сформулируйте теорему компенсации.
Ответ. Приращение реакций Дм„, Ьхп на резисторах Rn при изменении
сопротивления Rk на ARk можно найти по IIЦ, полученной из исходной цепи
исключением всех источников и присоединением последовательно с ветвью
Rk + ARk дополнительного (компенсационного) ИНмя = ARkik.
2. Как найти изменения реакции на основе теоремы компенсации?
Ответ. В результате расчета ГЩ, описанной в ответе 1.
3. Что такое присоединенная цепь?
Ответ. ПЦ (модель чувствительности) — цепь для расчета приращения
реакций при вариации параметров исходной цепи или функций абсолютной
чувствительности реакций к изменению параметров исходной цепи.
4. Что такое функция абсолютной чувствительности?
Ответ. ФЛЧ Tj _^ — это производная реакции /ных по изменяемому
параметру Rk цепи, то есть Tj _^ = '"''х .
dRk
5. Как на основании теоремы компенсации составить ПЦ для определения ФЛЧ?
Ответ. Из исходной цепи исключить все источники и присоединить
последовательно с изменяемым элементом Rk дополнительный МН иА = Ь/Л, где
ik — ток через резистор Rk в исходной цепи.
6. Как, зная ФАЧ, приближенно оценить изменение реакции?
Ответ. По формуле Л/цых z T^^AR^.
7. Как составить ПЦ дифференцируя уравнения цепи?
Ответ. ПЦ формируется так же, как в ответе 5.
8. Как формулируется теорема Теледжена?
Ответ. У двух цепей с одинаковыми ориентированными графами равна нулю
сумма произведений напряжений ии (где k — номер элемента) ветвей одной
цепи на токи ik2 соответствующих ветвей другой (или той же) цепи, то есть
Zu*i*« = Zw*2**i = Z"m'*i = ZM*2f*2 =0- ™c n " число цементов.
л и rt it
9. Как составить ПЦ для расчета ФАЧ на основании теоремы Теледжена?
Ответ. ПЦ соответствует исходной цепи с исключенными источниками, но
дополнительный источник подключается иначе, чем в ПЦ, составленной па
основании теоремы компенсации (см. ответы 10-12).
10. В чем особенности расчета ФАЧ но ПЦ, составленным по теореме
компенсации и по теореме Теледжена?
Ответ. Теорема компенсации определяет вид ПЦ для расчета ФАЧ всех
реакций на изменение одного параметра (например, сопротивления) цени, тео-

342
4. Каталог ответов
рема Теледжена определяет вид ПЦ для расчета ФАЧ одной реакции на
изменение всех сопротивлений цепи.
11. Как составляется ПЦ но теореме Теледжена, если реакцией является
выходное напряжение?
Ответ. Из исходной цени исключают все источники и параллельно ветви с
напряжением иШУ, подключают дополнительный ИТ /.,,„, = L ФАЧ
вычисляется по формуле Т _^ = -гк ik, где ik — гок через элемент Rk в исходной цепи;
4 — гок через Rk в ПЦ.
12. Как составляется ПЦ по теореме Теледжена, если реакцией является
выходной гок?
W
Ответ. Из исходной цепи исключают все источники и последовательно в ветвь
с током гшх вводят дополнительный ИИ и ит =■ 1. ФАЧ находится но формуле
7] _« = ik ik, токи которой описаны в ответе 11.
* * *
13. Как формулируется дуальная теорема компенсации?
Ответ. Приращения реакций &ип и Агп при изменении некоторой
проводимости Gk на AGk можно найти по IIЦ, полученной из исходной иепи
исключением всех источников и присоединением параллельно ветви Gk + AGk
дополнительного (компенсационного) ИТ 1Л = AGkuk.
14. Почему дополнительный источник в теореме компенсации называют
компенсационным?
Ответ. Он как бы заменяет действие остальных источников в цени и, будучи
подключенным с обратной полярностью в исходную цепь с приращениями,
компенсирует все приращения и восстанавливает исходные реакции.
15. Что произойдет, если компенсационный источник включить в исходную цепь,
изменив em полярность?
Ответ. Все приращения компенсируются и восстановятся исходные решении.
16. Эквивалентны ли ПЦ, составленные по основной и дуальной теоремам
компенсации?
Ответ. ПЦ эквивалентны (следует учесть формулу связи приращений
сопротивления и проводимости AGk = -ARk/\Rk{Rk +ЛЙА)|).
17. Как выглядит дуальная ПЦдля определения ФАЧ?
Ответ. ПЦ формируется из исходной цепи исключением всех источников и
подключением параллельно резистору Rk (с проводимостью Ск)
дополнительного ИТ /, = 1-ик, гдеuh — напряжение на Rk в исходной цепи. Токи ПЦ
дают ФАЧ соответствующих токов /) _Gk к изменению проводимости Ск, а
напряжения — ФАЧ Т -£ -
18. Как связаны ФАЧ к изменению сопротивления и проводимости заданного
элемента цепи?
Ответ. Связь имеет вид Т, ,. = ~RiTt » .
/ tux ~"Jr К /пых *п*

4.21. Релейные автоколебательные цепи 343
19. Какие примеры применения теоремы Теледжена вы можете привести?
Ответ. Расчет баланса мощностей и ФАЧ в цепи.
20. Что такое уравнение чувствительности?
Ответ. Уравнение вида ^duk 4 -£&кйк = 0, где «£» — символ ПЦ с
ориентированным графом, соответствующим графу исходной цепи.
21. В чем различия ПЦ, используемых для расчета ФАЧ?
Ответ. См. ответы 5. 10-12.
22. Как найги изменение реакции, если одно из сопротивлений цепи изменится
в k раз?
Ответ. В результате расчета ПЦ, описанной в ответе 1, или расчета исходной
цепи с учетом заданного изменения сопротивления, или по формуле
23. Как найти изменение реакции, если все сопротивления цепи изменятся в k раз?
Ответ. С помощью выражения Д/Вьгх = Tf^_RkARk. Если же в цепи
единственный ИН (ИТ), то в k раз изменятся все токи (напряжения) и не изменятся
все напряжения (токи).
24. Как выглядят формулы для расчета ФАЧ на основе теоремы Теледжена?
Ответ. Ти _^ = ~-ik 4,7] _^ = ik ik, причем указанные токи описаны в
ответе 11.
4.21. Релейные автоколебательные цепи
1. Что такое релейные элементы, и как выглядят их характеристики?
Ответ. РЭ — ато нелинейный ЗИ, у которого связь между выходным y(t)
и входным л; (£) сигналами представляется кусочно-постоянной
характеристикой. Например, у идеального РЭ у ~ 1 при х > 0 и у = -1 при х < 0.
2. Как записываются условия переключения (срабатывания) идеального реле?
Ответ. Если при t "= 0 и нулевом сигнале на входе х = 0 РЭ переключается,
например, с уровня у = -\ к уровню у = +1 (а при t = т переключается в
обратном направлении), то условие срабатывания имеет вид х(0) = 0, лг'(0) >0
ил-(т)=0,л-'(т:)<0.
3. Как записываются условия переключения (срабатывания) РЭ с гистерезис-
ной характеристикой?
Ответ. Если d — ширина полупетли гистерезиса, то условия срабатывания
(см. вопрос 2) имеют вид jr(0) = <£ х' (0) > 0 и лг(т) = -dt х' (т) < 0.
4. Как записывается изображение периодического воздействия?
Ответ. Если условно считать периодическое воздействие y(t) = 0 при t <0,
то его изображение имеет вид Y(s) = Yi(s)/(i-e~sT)t где F,(s) — изображение
воздействия в интервале 0 < t < Т\ Т— период колебаний.

344
4. Каталог ответов
5. По каким параметрам ПФ определяют свободную составляющую решения?
Ответ. Вид свободной составляющей определяется полюсами ПФ, то есть
корнями знаменателя, который является XII цепи. ,
6. Как найти изображение установившейся периодической реакции в релейной
автоколебательной цепи?
Ответ. Задача решается отделением от полной реакции се свободной
составляющей, а общий вид периодической установившейся реакции соответствует
математической форме периодического воздействия.
* * #
7. Где ранее использовался метол выделения свободной составляющей?
I
Ответ. Указанный метод используется также при точном расчете (в
замкнутой форме) установившегося периодического режима. '
8. Как должны выглядеть свободная и вынужденная составляющие решения
в /-области? В s-области?
Ответ. И в f-области, и в л-области свободная составляющая определяется
корнями XII (го есть полюсами ПФ), а вынужденная должна иметь
математическую форму воздействия.
9. Когда в разложении //,(.?) по полюсам сумма вычетов (сумма
коэффициентов ЛА) равна нулю?
Ответ. Сумма коэффициентов при разложении Я, (5) на простые дроби
равна нулю, если степень числителя ПФ меньше степени знаменателя и полюса
ПФ простые, так как при этом А|(0+) = а7/|(а')|д« ~0 = Х^** то ссть ПХ ие~
прерывна.
10. Как выглядит изображение периодической реакции в релейной
автоколебательной цепи?
Ответ. Поскольку в режиме АК периодическая реакция x(t) = -x(t ± х), где
т = Г/2 — полупериод АК. то изображение условно периодической реакции
(в предположении х=0 при t <0) будет X(.v) = A'1(5)/(i + e""4T), причем
л, (О + Xfa) - описание x(t) в интервале 0 < t < т.
11. Почему в изображении установившейся периодической реакции
составляющие с сомножителем e~sf/2 обычно можно опустить?
Ответ. Указанный прием рассмотрения реакции справедлив только при
0 < t < х, го есть только в интервале полупериода АК х = Г/2.
12. Что такое порог срабатывания РЭ?
Ответ. Порогом срабатывания РЭ называют такое значение управляющего
сигнала на входе РЭ, при котором происходит переключение РЭ, то есть
изменение выходного сигнала РЭ скачком.

4.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках 345
4.22. Магнитные цепи при постоянных
магнитных потоках
1. Что такое МЦ?
Ответ. Это совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела (с
большой магнитной проницаемостью), которые используются для сосредоточения
в них большого МП.
2. Почему МЦ является нелинейной?
Ответ. Характеристика намагничивания ферромагнитных материалов МЦ
нелинейна, неоднозначна, с петлей гистерезиса.
3. Как выглядят характеристики ферромагнитных материалов, составляющих
МЦ?
Ответ. Эти характеристики нелинейны, неоднозначны, содержат петли
гистерезиса.
4. Как определяют направление МП по правилу правого вин га?
Ответ. Как бы ввинчивают винт (по часовой стрелке «с торца») «острием»
по направлению тока, создающего МП, и направление кругового движения
«пальцев» (по часовой стрелке) определяет направление вектора магнитной
индукции (то есть нестрого — направление МП).
5. Что такое закон полного тока?
Ответ. Это аналог ЗНК для электрических цепей: циркуляция («интеграл»)
вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру МЦ
(приближенно равная сумме магнитных напряжений) равна «сумме» МДС
обмоток с током, «насаженных» на МЦ.
6. Как связаны магнитная индукция и напряженность магнитного поля?
Ответ. В приближенном анализе МЦ магнитная индукция В=\хаН =рр0Я,
где Н — напряженность магнитного поля; u a — абсолютная магнитная
проницаемость; ц — относительная магнитная проницаемость материала МЦ в
сравнении с вакуумом (рпак = 1); и.0 = 4л 10~ Гн/м — магнитная постоянная.
Значение В измеряется в тесла [Тл], МДС — в амперах [А|, Н — в амперах на
мегр [А/м].
7. Какие допущения используются при расчете МЦ при постоянных магнитных
полях?
Ответ. 1. Считают вектор магнитной индукции В перпендикулярным
поперечному сечению (площадью Sk) участка МЦ и одинаковым по сечению, так
что МП Фк = BkSk; МП измеряется в веберах [Вб]. 2. Считают, что линии
вектора напряженности магнитного поля // совпадают с линиями,
проходящими через центры сечений МЦ. 3. Магнитным нолем вне МЦ пренебрегают.
4. Считают, что направления векторов В и Н совпадают и их связь
определяется ОКИ (а не характеристикой намагничивания с петлей гистерезиса).
5. Воздушные зазоры считаются малыми, линии вектора В в них —
параллельными и перпендикулярными сечению зазора, площадь которого считают близ-

1
346 4. Каталог ответов
кой к площади сечения «примыкающего» к зазору ферромагнитного участка
МЦ.
8, В чем особенность расчета неразветвленной МЦ?
Ответ. У неразветвленной МЦ магнитный поток одинаков в любом сечении
* * *
9. Приведите примеры однородных, неразветвленных, разветвленных,
неоднородных МЦ.
Ответ. Пример неразветвленной однородной МЦ — трансформатор на
тороидальном сердечнике, разветвленной — трансформатор на Ш-образном
сердечнике, неоднородной — реле с воздушным зазором.
10. Как выглядят характеристики воздушных зазоров МЦ? »
Ответ. Воздушный зазор — это линейный элемент МЦ, в нем линейна связь |
магнитной индукции с напряженностью магнитного поля В = ц0#, где Mo =
= 471-10 7 Гн/м — магнитная постоянная.
11. Что такое магнитомягкие и магнитотвердые материалы?
Ответ. Магнитотвердые материалы (из которых изготавливают магниты)
имеют широкую петлю гистерезиса (коэрцитивная сила Нк > 4000 А/м —
половина ширины петли). Магнитомягкие материалы (Нк < 200 А/м) имеют
узкую петлю гистерезиса, близкую к ОКН.
12. В чем причины гистерезиса в ферромагнитных материалах?
Ответ. Ферромапштные материалы считаются состоящими из хаотично
расположенных областей (доменов) с сильным самопроизвольным
намагничиванием. Под действием напряженности внешнего магнитного ноля они
разворачиваются но его направлению, но этот процесс обладает большой
инерционностью, то есть при уменьшении напряженности Н «разворот» доменов как бы
запаздывает и создает эффект гистерезиса в характеристике намагничивания
ферромагнитного материала В (//).
13. Чем различаются индуктивность катушки с ферромагнитным сердечником
и индуктивность катушки с «воздушным сердечником»?
Ответ. Индуктивность (в теории линейных цепей) — это коэффициент
пропорциональности между потокосцеплением катушки и током (который его соз- j
дал). В ферромагнишом сердечнике (в зоне линейности ОКН) МП
значительно выше, чем в «воздушном сердечнике», поэтому и индуктивность
больше. Но ^-элемент на ферромагнитном сердечнике — нелинейный элемент,
а на «воздушном» — линейный.
14. U чем аналогия расчета МЦ и Й-НЦ?
Ответ. Аналог ЗТК для МЦ: алгебраическая сумма МП Фк в разветвлении
МЦ равна нулю (причем МП ФА магнитной индукции ек через поперечное
сечение Sk участка МЦ Фк =ekSk}. Аналог ЗНК для МЦ: в любом контуре
МЦ алгебраическая сумма магнитных напряжений Vk (под действием напря-

4.22. Магнитные цепи при постоянных магнитных потоках 347
женности магнитного ноля II к на каждом участке МЦ длиной 1к) равна
алгебраической сумме МДС Fk (созданных токами /ftJ протекающими по обмоткам
с числом витков Nh), причем Vk = Нк1к, Fk =Nkik Аналог закона Ома (для
участков МЦ из магнитомягких материалов и для воздушных зазоров МЦ):
Vk = Л^ФЛ, где магнитное сопротивление участка МЦ Rhfk =lk/(Sk\iak) npo-
иорционально длине участка и обратно пропорционально площади его
поперечного сечения и абсолютной магнитной проницаемости \хп. Характеристика
Ук(Фк ), соответствующая кривой В(1Г)Ч нелинейна для ферромагнитных
участков МЦ.
15. В чем особенность расчета разветвленных МЦ?
Ответ. Расчет разветвленных МЦ при постоянных МП аналогичен расчету
Я-НЦ при постоянных воздействиях и в общем случае базируется на
графическом построении результирующих характеристик зависимости магнитного
напряжения от магнитного потока и отыскании рабочих точек на них по
заданной МДС.
16, В чем особенность расчета МЦ с постоянным магнитом?
Ответ. При анализе вместо ОКН приходится использовать характеристику
намагничивания магнита, имеющую широкую пеглю гистерезиса, и
определять рабочую точку «для магнита» во втором квадранте петли гистерезиса,
поскольку в материале магнита и в воздушном зазоре МЦ линии вектора
магии гнои индукции И имеют одинаковое направление (в силу их
непрерывности), а векторы напряженности магнитного ноля // — противоположное (по
закону полного тока — аналогу 311К для МЦ).

Список литературы
I
1. Бычков Ю. А, Золоттщкий В. Л/., Чернышев Э. II. Основы теории
электрических цепей: Учеб. для вузов. СПб.: Лань, 2002; 2004. |
2. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей / Под
W
ред. Ю. А. Бычкова, В. М. Золоти никого, Э. П. Чернышева. СПб.: Питер» 2005.
3. Матхапов П. //. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи: Учеб.
для элсктротех. и радиотех. спец. вузов. М.: Высш. шк., 1990. '
4. Сборник задач по теории электрических цепей: Учеб. пособие для вузов / |
Под ред. П. П. Матханова, Л. В. Данилова. М.: Высш. шк., 1980.
5. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов. Т. 1. 4-е изд. /
К. С. Демирчян, Л. R Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. СПб.: Питер,
2006.
6. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов. Т. 2. 4-е изд. /
К. С. Демирчян, Л, Р. Нейман, П. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. СПб.: Питер,
2006.
7. Теоретические основы электротехники: Учеб. для вузов. Т. 3. 4-е изд. /
К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. СПб.: Питер,
2006.
8. Теоретические основы электротехники: Сб. задач / Л. Р. Нейман, И. В.
Коровкин, Е. £. Селина, В. Л. Чечурин. СПб.: Питер. 2006.
9. Новгородцев А, Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по
теории электрических цепей: Учеб. пособие. 2-е изд. СПб.: Питер, 2006.
10. Метрология, стандартизация, сертификация и электроизмерительная
техника: Учеб. пособие / К. К. Ким, Г. П. Анисимов, В. Ю. Барбарович, Б. Я.
Литвинов. СПб.: Питер, 2006.

Ю. А. Бычков, О. И. Горбунов, А. Е. Завьялов, В. М. Золотиицкии,
Ю. М. Иншаков, Л. В. Куткова, Д. А. Морозов, Е. В. Нечкина,
В. В. Панкин, М. С. Портной, С. А. Протопопов, В. А. Прохорова,
М. В. Силина, 8. Н. Соколов, Е. Б. Соловьева, Э. П. Чернышев
Теоретические основы электротехники.
Справочник по теории электрических цепей
Заведующий редакцией А Кривцов
Руководитель проекта В. Шаиии
Литературный редактор //. Рощшт
Художник обложки Е. Дьяченко
Корректор //. Солнцева
Перс гка Л. Егорова
Подписано и печать 27.06.07. Формат 70x100/1 К. Угл. и. л. 28.Ж Тираж 2500. Заказ 3235.
ООО * Питер Пресс». 198206. Сшкт-Петербург. Петергофское шоссе, д. 73. лит. A2SJ.
Налоговая льгота - общероссийский классификатор продукции (Ж 005-93, юм 2;
95 .№05 — литература учебная.
Oiue'iai iho по технологии ОР и ОАО «Печатный л вор» им. А. М. Горькою.
197110. Санкт-Петербург, Чкдлоискин пр.. д. 15.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
СПРАВОЧНИК ПО ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
/I •''
.7/
•/■'
./
*
S
»,
// •/
/
/"
^У
' Справочник по теории электрических цепей обобщает опыт /
ч
/./
'/
/7
работы кафедры теоретических основ электротехники Санкт-
"/' Петербургского государственного электротехнического /
университета «ЛЭТИ» за последние десятилетия <Эцу\$щ>)#. т
студентам освоить важнейшие положения терминологии, ' У^С
. теории и расчета электрических цепей. /У У ^^// У ^ уУ А
Издание также рассчитано на широкий,круг иуженеррв, /^^>^^
,.. и специалистов различных областей производства и может /yjy
использоваться ими для ознакомления с современндй научно- ,<2^^
технической терминологией, современными базовыми у/^/ШУ^С
расчетами, прогнозами и оценками. / ъУ^>
Рекомендовано Учебно-методическим объединением "~'//t"?/f,t ,л
по университетскому политехническому образованию 'yfyr'ir^'
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных ^ , /
Ronouuii nfivuauiiiiuvrti nn яппяп ouuom пппгптпа ы "// ^ '
и специальностям техни е но , *7?^^''У'уУ;У. ,0>У J
^- -War,
M^'/
ш?"yyyy
y>? ^y
ISBN 978-5-469-00971-9
Заказ книг:
197198, Санкт-Петербург, а/я 619
тел.: (812) 703-73-74, postbook@piter.com
61093, Харьков-93, а/я 9130
тел.: (057) 758-41-45, 751-10-02, piter@kharkov.piter.com
www.piter.com — вся информация о книгах и веб-магазин
785469 009719