/
Автор: Бессонов Л.А.
Теги: электротехника электроэнергетика физика электроника инженерия электрические цепи
ISBN: 5-8297-0026-3
Год: 2002
Текст
УДК 62 J 3.0 13(078.5) ББК31 21 Б53 Бессонов Л.А. Б53 Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: Учебник. — 10-е изд. — М.: Гардарики, 2002. — 638 с.: ил. ISBN 5-8297-0026-3 (в пер.) Изложены традиционные и новые, появившиеся в последние годы вопросы теории линейных и нелинейных электрических цепей, предусмотренные про- граммой курса ТОЭ. К традиционным разделам линейных целей относятся: свойства цепей и методы их расчета при постоянных, синусоидальных, перио- дических несннусоидальных и импульсных воздействиях; топология цепей; графы; к-, т-, RC- и активные ДС-фильтры; четырехполюсники п многополюс- ники; трехфазные цепи; расчет переходных процессов классическим, оператор- ным методом, с помощью интеграла Дюамеля, методом пространства состоя- ний. спектральным методом; преобразования Фурье; установившиеся н пере- ходные процессы в линиях с распределенными параметрами; синтез цепей. К нетрадиционным разделам 1еории цепей относятся: диакоптика нелинейных цепей; теорема Теллегена; имитированные элементы; преобразование Брутона; преобразование Гильберта; дискретные сигналя и их обработка; г-преобразова- ния; цифровые фильтры; переходные процессы в цепях с управляемыми индук- тивными нелинейными элементами, в цепях с термисторами, в нелинейных электромеханических и других системах; магнитные линии с распределенными параметрами при постоянных и синусоидальных воздействиях; объяснено многообразие типов движений в нелинейных цепях; рассмотрены физические причины возникновения субгармонических колебаний, автомодуляцин и хаоса. По всем разделам даны примеры, а в конце каждой главы — вопросы и задачи для самопроверки Для студентов высших учебных заведений техническою профиля. УДК 621.3.013(078.5) ББК31.21 В оформлении переплета использован фрагмент аллегорической картины «Дуб, сраженный молнией*, представленной Российской академией художеств (1830-е it.) ISBN 5-8297-0026-3 С «Гартарнки», 1999 © Бессонов Л. А.. 1999
Предисловие Теоретические основы электротехники являются базовым курсом, на кото- рый опираются профилирующие дисциплины многих высших технических учебных заведений. В соответствии с новыми учебными планами и специ- фикой отдельных вузов студенты одних специальностей изучают курсТОЭ в течение трех семестров, других — в течение двух семестров. В обоих слу- чаях первые два семестра студенты всех специальностей изучают теорию линейных и нелинейных электрических цепей (I и II части курса ТОЭ). В третьем семестре студенты изучают теорию электромагнитного поля (III часть ку[3са ТОЭ). Учебник состоит из двух частей: часть I (главы 1 —12 и 8 приложений) посвящена теории линейных электрических цепей, часть II (главы 13—18) — теории нелинейных электрических цепей. Каки в предыдущих изданиях, материал курса ТОЭ разделен на: обяза- тельный для студентов всех специальностей, в учебных планах которых имеется курс ТОЭ (этот материал — ядро курса — набран нормальным шрифтом (корпусом), и специальный, в неодинаковой степени необходи- мый студентам различных специальностей (этот материал набран петитом и расположен либо в основном тексте, либо в приложениях). В зависимос- ти от специфики института, факультета и специальности кафедра ТОЭ того или иного вуза должна указать студенту, какие разделы специального мате- риала он должен изучить. Учебник написан так, что допускает возможность перестановки неко- торых глав, если в этом возникнет необходимость в каком-либо вузе, где сложилась традиция несколько иной последовательности изложения ма- териала. К изучению курса ТОЭ студенты приступают после освоения разделов «Электричество и магнетизм» курса физики и разделов «Дифференциаль- ное и интегральное исчисление и матричная алгебра» курса математики. Поэтому элементы теории электрических цепей и теории поля студентам, приступающим к изучению ТОЭ, в определенной мере известны. В курсе ТОЭ эти знания расширяются, углубляются, дополняются и до- водятся до уровня, соответствующего современной теории электрических цепей и теории поля и достаточного для решения задач, с которыми инже- неру придется встретиться в своей практической деятельности. 5
При изучении курса ТОЭ студент учится правильно ставить электротех- ническую задачу, составлять ее расчетную модель в требуемом диапазоне частот и амплитуд воздействий, выбирать наиболее рациональный метод решения, интерпретировать получаемые результаты и, если потребуется, уточнять расчетную модель. Изучение курса ТОЭ способствует развитию у студентов инженерной интуиции, Первую главу курса можно рассматривать как связующее звено между курсом физики и курсом ТОЭ, где в краткой форме рассмотрены свойства электромагнитных полей, основные величины, которые их характеризуют, интегральные и дифференциальные формы записи основных законов электромагнитного поля. Исходя из уравнений электромагнитного поля, дается вывод законов Кирхгофа, которым подчиняются электрические цепи, рассматривается элементная база теории цепей и показывается, как в теории цепей осуществляется переход от реальных электротехнических устройств к их схемам замещения. В1 части курса рассмотрены свойства и методы анализа линейных электрических цепей с сосредоточенными и рас- пределенными параметрами при постоянных, синусоидальных и произ- вольных воздействиях. Во И части курса рассмотрены нелинейные элек- трические и магнитные цепи. Под нелинейными электрическими цепями понимают электрические цепи, содержащие элементы с нелинейными вольт-амперными, вебер-амперяыми и кулон-вольтными характеристика- ми. Если цепь содержит хотя бы один такой элемент и изображающая точка в процессе работы перемещается по существенно нелинейному участку ха- рактеристики этого элемента, то она принадлежит к рассматриваемому классу цепей. Хотя к нелинейным электрическим и магнитным цепям и применимы законы Кирхгофа, но такие методы расчета, как методы узловых потенциа- лов и контурных токов, а в более общем смысле — методы, основанные иа принципе наложения и на постоянстве параметров элементов цепей, рас- смотренные в I части курса, к нелинейным цепям неприменимы. Дело в том, что сопротивление и проводимость нелинейного резистора, равно как индуктивность нелинейной индуктивной катушки и емкость нелинейного конденсатора, являются нелинейными функциями мгновенного значения тока (напряжения) на этих элементах, т.е. представляют собой переменные величины, а потому для расчета малопригодны. Вместо них используют вольт-амперные характеристики нелинейных резистивных сопротивлений, вебер-амперные характеристики нелинейных индуктивностей и кулон- вольтные характеристики нелинейных конденсаторов. Один и тот же нели- нейный элемент в зависимости от поставленной при исследовании задачи и выбранного метода анализа должен быть описан различными характерис- тиками. 6
При определенных условиях в некоторых нелинейных цепях могут воз- никать физические явления, принципиально невозможные в линейных: автоколебания, субгармонические колебания, автомодуляция, триггерные явления, зависимость установившегося процесса от начальных условий, хаотические движения и др. Приступая к расчету токов и напряжений или исследованию условий существования того или иного явления, надлежит правильно поставить саму задачу, принимая во внимание то главное, что оказывает решающее влияние на процессы в цепи, и пренебрегая относительно второстепенны- ми факторами. Если этого не сделать, задача может оказаться труднораз- решимой, а само решение, если оно будет получено, — малообозрнмым. Однако и после ряда упрощающих допущений процессы в нелинейных цепях описываются одним или несколькими нелинейными дифференци- альными уравнениями, точное решение которых, как правило, неизвестно. Поэтому возникает задача, каким образом можно решать нелинейные диф- ференциальные уравнения приближенно, применяя специфические мето- ды, разработанные для нелинейных цепей, а также приемы, рассмотренные в I части курса для линейных цепей, используемые при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных элементов. < Автор выражает благодарность за высказанные полезные замечания, способствовавшие улучшению книги, д-ру техн, наук проф. заведующему кафедрой ТОЭ Санкт-Петербургского технического университета В.Н. Боронину и д-ру техн, наук проф. той же кафедры В.Л. Чечурину, товарищам по работе на кафедре ТОЭ Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (Технического уни- верситета) канд. техн наук доцентам В.И. Цыганову, С.А. Милениной и ст. преподавателю С.Э. Расовской. Все замечания по книге направлять в издательство «Гардарики» по адресу: 107120, Москва, Мельницкий пер., д. 8/1. Автор
Часть I ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Глава первая ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ § 1.1. Электромагнитное поле как вид материи. Подэле/сгрожаанмт- ным полем понимают вид материи, характеризующийся совокупно- стью взаимосвязанных и взаимообуслонливающих друг друга элек- трического и магнитного полей. Электромагнитное поле может существовать при отсутствии другого вида материи — вещества, характеризуется непрерывным распределением в пространстве (электромагнитная волна в вакууме) и может проявлять дискрет- ную структуру (фотоны). В вакууме поле распространяется со ско- ростью света, полю присущи характерные для него электрические и магнитные свойства, доступные наблюдению. Электромагнитное поле оказывает силовое воздействие на электрические заряды. Силовое воздействие положено в основу определения двух векторных величин, описывающих поле: напря- женности электрического поля £(В/м)и индукции магнитного поля ^(В-с/м2). На заряд ^(Кл), движущийся со скоростью и в элёктри- ческом поле напряженности Е и магнитном поле индукции В, дей- ствует сила Лоренца Электромагнитное поле обладает энергией, массой и количест- вом движения, т. е. такими же атрибутами, что и вещество. Энергия в единице объема, занятого полем в вакууме, равна сумме энергий „ « 8П£г в'2 электрической и магнитной компонент поля н равна =——+-—, 2 2jt0 здесь i0=-———электрическая постоянная, Ф/м; н(1==4п-10-7 — магнитная постоянная, Гн/м. Масса электромагнитного ноля в единице объема равна частному от деления энергии ноля на квадрат скорости распространения электромагнитной волны в ва- кууме, равной скорости света. Несмотря на малое значение массы 8
ноля по сравнению с массой вещества, наличие массы поля указы- вает на то, что процессы в поле являются процессами инерционны- ми. Количество движения единицы объема электромагнитного по- ля определяется произведением массы единицы объема поля на скорость распространения электромагнитной волны в вакууме. Электрическое и магнитное поля могут быть изменяющимися и неизменными во времени. Неизменным в макроскопическом смыс- ле электрическим полем является электростатическое поле, со- зданное совокупностью зарядов, неподвижных в пространстве и неизменных во времени. В этом случае существует электрическое поле, а магнитное отсутствует. При протекании постоянных токов по проводящим телам внутри и вне их существует электрическое и магнитное поля, не влияющие друг на друга, поэтому их можно рассматривать раздельно. В изменяющемся во времени поле элек- трическое и магнитное поля, как упоминалось, взаимосвязаны и обусловливают друг друга, поэтому их нельзя рассматривать раз- дельно. § 1.2. Интегральные и дифференциальные соотношения между основными величинами, характеризующими поле. Электромагнит- ные поля могут быть описаны интегральными или дифференциаль- ными соотношениями. Интегральные соотношения относятся к объ- ему (длине, площади) участка поля конечных размеров, а дифференциальные — к участку поля физически бесконечно ма- лых размеров. Они выражаются операциями градиента, диверген- ции, ротора (раскрытие операции grad, div и rot в различных систе- мах координат см. в III части курса). В макроскопической теории поля описывают свойства поля, усредненные по бесконечно малому физическому объему и во времени. Этот объем в отличие от матема- тически бесконечно малого объема может содержать большое чис- ло атомов вещества. Дифференциальные уравнения макроскопиче- ской теории поля не описывают ноля внутри атомов, для чего, как известно, служат уравнения квантовой теории поля. В электростатическом поле поток вектора напряженности элек- трического поля Е через замкнутую поверхность (рис. 1.1) равен свободному заряду 9Cbtl, находящемуся внутри этой поверхности, деленному на еоег(теорема Гаусса): где dS — элемент поверхности, направленный в сторону внешней нормали к объему; в, — относительная диэлектрическая проница- емость диэлектрика. В дифференциальной форме теорема Гаусса записывается так: 9
Рис. 1.1 .. Z «габ dlVt=:----, (1.2) (qcb6 — объемная плотность свободного заряда, Кл/м3). Переход от (1.1) к (1.2) осуществляют делением обеих частей (1.1) на объем V, находящийся внутри поверхности 5, и стремлении объема V к нулю. “t- Физически div£ означает исток вектора в данной точке. В электростатическом поле и в стационарном электрическом поле на заряд q действует сила F=qE. Отсюда следует, что Е может быть определена как силовая характеристика поля Е lini/7//?. о Если q под действием сил поля переместится из точки / в точку 2 (рис. 1.2), то силы поля совершат работу А — Edl, где d/— эле- •ч мент пути из / в 2. Под разностью потенциалов Ui!t между точками / и 2 понимают работу, совершаемую силами поля при переносе заряда q = 1 Кд из точки I в точку 2, t^i2 = 4*1 — <₽я = J (1.3) {/12не зависит оттого, по какому пути происходило перемещение из точки I в точку 2. Выражению (1.3) соответствует дифференциаль- ное соотношение р а (»’4) Е—-~grad <f. 10
Градиент <р (grad <р) в некоторой точке поля определяет скоро- сть изменения q> в этой точке, взятую в направлении наибольшего его возрастания. Знак минус означает, что £ и grad <р направлены п ротивопол ожно. Электрическое поле называют потенциальным, если для него —♦ ^£d/=0. Электрическое поле поляризованного диэлектрика описы- вается вектором электрического смещения (индукции) D = е6Е 4- Р, (1-5) где Р — поляризованность диэлектрика, которая равна электриче- скому моменту единицы объема поляризованного диэлектрика. В стационарном неизменном во времени электрическом поле в проводящей среде в смежные моменты времени распределение за- рядов одинаково, поэтому для этого поля справедливо определение разности потенциалов по формуле t^|2 = \ Edl. Внутри источника постоянной ЭДС результирующая напряжен- --> ность электрического поля Е^ равна векторной сумме потенциальной —* * -+ (кулоновой) составляющей £грт и сторонней составляющей Ес,а?. £с. р разделяет заряды внутри источника, она обусловлена химиче- скими, электрохимическими, тепловыми и другими процессами не электростатического происхождения и направлена встречно £пот. В электромагнитном поле могут протекать электрические токи. Под электрическим током понимают направленное (упорядоченное) движение электрических зарядов. Ток в некоторой точке поля ха- * —► растеризуется своей плотностью б(А/м2). Известны три вида тока: ток проводимости (плотность его б1|р ), ток смещения (плотностью бС11) и ток переноса (плотностью б4Ир ). Ток проводимости протекает в проводящих телах под действием электрического поля, плотность его пропорциональна £ 6.ip=vf. (1.6) 11
где v—-удельная проводимость проводящего тела, Ом_|-м В металлах ток проводимости обусловлен упорядоченным движе- нием свободных электронов, в жидкостях — движением ионов. Плотность тока смещения в диэлектрике равна производной по —* —и- —► времени от вектора электрического смещения D = е0£ + Р: 7 dD d£ dP d£ бсм = dt + щ -e°Frdf (1-7) ,> d£ Слагаемое e0— — составляющая тока смещения, обусловленная изменением во времени напряженности поля Е в вакууме. Носителя- ми тока смещения в физическом вакууме (в нем нет частиц вещества) являются, по-видимому, виртуальные частицы. Они всегда возника- ют парами, как бы изничего, например, электрон и позитрон,или протон и антипротон ит. п. Каждая пара виртуальных частиц является коротко живущей (время жизни д/). Составляющие ее частицы могут перемещаться на очень малое расстояние Дх, а затем эти частицы с противоположного знака зарядами аннигилируют. Каждая виртуальная частица обладает разбросом энергии и разбро- сом импульса Д/и>^, где постоянная Планка fi=6,626 • 10-34 Дж-с. Для каждой пары виртуальных частиц выполняется закон сохранения заряда, но в рамках соотношения неопределенностей наблюдаются ме- стные нарушения закона сохранения энергии и закона сохранения им- —> пульса. Слагаемое AP/At обусловлено изменением поляризованное™ во времени (изменением расположения связанных зарядов в диэлек- —к трике при изменении Е во времени). В качестве примера тока смеще- ния может быть назван ток через конденсатор. Ток переноса обуслов- лен движением электрических зарядов в свободном пространстве. Примером тока переноса может служить ток в электронной лампе. Если положительный заряд объемной плотности q+ движется со ско- ростью г?+ и отрицательный заряд объемной плотности е_ со скоро- "* —► ——*• стью £>_, то плотность тока переноса в этом поле 6гер == Q+&+ 4- q_o_ в —* явном виде не зависит от напряженности £ в данной точке поля. Если в некоторой точке поля одновременно существовали бы все три вида тока, то полная плотность тока бпол = бпр + 6СМ Ц- бгер. Для большин- ства задач ток переноса отсутствует. Ток — это скаляр алгебраического характера. Полный ток че- 12
рез поверхность S равен " - (18) S Если в электромагнитном поле выделить некоторый объем, то ток, вошедший в объем, будет равняться току, вышедшему из объема,т. е. §WS=0, (1.9) где dS— элемент поверхности объема, он направлен в сторону внешней поотношению к объему нормали к поверхности. Последнее уравнение выражает принцип непрерывности полного тока; линии полного тока представляют замкнутые линии, не имеющие ни нача- ла, ни конца. Электрические токи неразрывно связаны с магнитным полем. Эта связь определяется интегральной формой закона пол- ного тока A^-U-l ; (ЫО) циркуляция вектора по замкнутому контуру равна полному току, —е- охваченному этим контуром;д/ — элемент длины контура(рис. 1.3). Таким образом, все виды токов, хотя и имеют различную физиче- скую природу, обладают свойством создавать магнитное поле. Ферромагнитные вещества обладают спонтанной намагничен- ностью. Характеристикой ее является магнитный момент единицы объема вещества J (его называют намагниченностью). Для ферро- магнитных веществ В=цД//+</) = рор// = кА (1.11) где р.г — относительная магнитная проницаемость; ра — абсолют- ная магнитная проницаемость. 13
Напряженность магнитного поля (1.12) равна разности двух векторных величии В/р0 и Л Закон полного тока в интегральной форме часто записывают в виде ^Hd/ = /nM (| J3) или в дифференциальной форме rfltW = v£+^- <1I4> ш Запись (1.14) закона полного тока получили из (1.13), поделив —*- обе части его на площадь ДХ, охваченную контуром интегрирования, и стремлении ДХ к нулю. Физический ротор (го!) характеризует поле в данной точке в отношении способности к образованию вихрей. Плотность тока переноса в правой части последнего уравнения не учтена, так как он обычно отсутствует в задачах, решаемых с помощью этого уравнения. Магнитный поток через некоторую по- верхиость X (рис. 1.4) Определяют как поток вектора В через эту поверхность 0 = $fidX. (| .15) $ Поток Ф — это скаляр алгебраического характера, измеряется в веберах(Вб). Если поверхностьXзамкнутая и охватывает объем V, то поток, вошедший в объем, равен потоку, вышедшему из него, т. е. §BdS = O. (| ,16) Это уравнение выражает принцип непрерывности магнитного по- тока. Линии магнитной индукции — это замкнутые линии. В диф- ференциальной форме принцип непрерывности магнитного потока записывается так: divB = O. (1.17) В 1831 г. М. Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции: ЭДС еИ11д, наведенная в некотором одновитковом контуре пронизывающим этот контур, изменяющимся во времени магнит- 14
Рис. 1,5 Рис. 1.6 ным потоком, определяется выражением ==ф ” d<w. (1.18) здесь £нвч — индукционная составляющая напряженности элект- рического поля. Знак минус обусловлен правой системой отсчета: принято, что положительное направление отсчета для ЭДС и на- правление потока при его возрастании связаны правилом правого винта (рис. 1.5). Если контур многовитковый (катушка с числом витков ш), то eHKe«-d^/d/, (1.19) здесь 4F — потокосцепление катушки, равное сумме потоков, про- низывающих отдельные витки катушки, Т = Ф1 + Ф2 + ... + Фп. (1.20) Если все витки w пронизываются одинаковыми потоками Ф, то = шФ, где4? — результирующее потокосцепление, оно может создаваться не только внешним по отношению к данному контуру потоком, но и собственным потоком, пронизывающим контур, при протекании по нему тока. В проводнике длиной d/, пересекающем магнитные си- левые линии неизменного во времени магнитного поля индукции В (рис. 1.6), вследствие силы Лоренца наводится ЭДС den» = v L (1.21) 1Б
где v — скорость перемещении проводника относительно магнит- ного поли. —*- —-t- В (L21) В скалярно умножается на векторное произведение d/ и v. Если в результате расчета nofLSlJde^^-O.Tode^ направлена по d/. В 1833 г. русский академик Э.Х. Ленд установил закон электро- магнитной инерции. При венком изменении магнитного потока, сцепляющимся с каким-либо проводящим контуром, в нем возни- кает индуктированная ЭДС, стремящаяся вызвать в контуре ток, который: 1) препятствует изменению потокосцепления контура; 2) вызывает механическую силу, препятствующую изменению линей- ных размеров контура или его повороту. Закон электромагнитной индукции, примененный к контуру бесконечно малых размеров, записывается так: (1.22) rotE = — dB/di (в последней формуле индукционную составляющую напряженно- сти поля ЕИ11Я принято обозначать £). Обобщая, можно сказать, что электромагнитное поле описывается четырьмя основными уравне- ниями в интегральной форме: $tfd /=/яол, е=фЕИ11Л(17=-dO/d^BdsLo,^d3=^. (1‘23) Этим уравнениям отвечают четыре уравнения в дифференциальной форме: rot Н = уЕ 4- dDfdt, rot Е = — dB/di' divfl — 0, (a) (6) (в) divE-—. Mr (г) Они сформулированы в 1873 г. Д. Максвеллом. Их называют урав- нениями Максвелла или уравнениями макроскопической электро- динамики. Уравнение (а) означает, что вихреное магнитное ноле создается токами проводимости и токами смещения. Уравнение (6) свиде- тельствует о том, что изменение магнитного поля во времени вызы- вает вихревое электрическое поле. Уравнение (в)— магнитное ло- 16
jie не имеет источников и уравнение (г)—что истоком линий Е являются свободные заряды. Частные производные в уравнениях (а) й (б) учитывают, что уравнения записаны для неподвижных тел н сред в выбранной системе координат. § 1.3. Подразделение электротехнических задач на цепные и полевые. Задачи, с которыми приходится встречаться на практике, могут быть подразделены на две большие группы. Первая группа — цепные задачи — могут быть решены, используя уравнения поля, записанные в интегральной форме. В этой группе используют поня- тие ток, магнитный поток, электрическое и магнитное напряжения, потенциал, ЭДС, МДС (магнитодвижущая сила), резистивное, ин- дуктивное и емкостное сопротивления..Для решения задач второй группы — полевых задач — применяют уравнения поля в диффе- ренциальной и в интегральной формах. Цепные задачи рассматри- вают в 1 и II частях курса ТОЭ или курса теории цепей, задачи теории поля в III части курса ТОЭ. Четкой границы между даумя группами задач нет, так как любая цепная задача с увеличением частоты перерастает в полевую (все более проявляются паразит- ные параметры и резко возрастает излучение энергии в окружаю- щее пространство). Основными уравнениями теории электрических цепей являются уравнения (законы) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа для элект- рических цепей следует из принципа непрерывности полного тока, а для магнитных цепей — из принципа непрерывности магнитного потока. Покажем, что уравнение второго закона Кирхгофа для цепи переменного тока вытекает из основных уравнений электромагнит- ного поля. С этой целью обратимся к рис. 1.7. Цепь (рис. 1.7) образо- вана источником сторонпейЭДСа Ц).являющейся функцией времени (область 1 с проводимостью уД проводящей средой (область 2 с про- водимостью у2) и конденсатором (область 3, электрическая прони- Рис.1.7 17 2-539
Будем исходить из непрерывности полного тока i через попереч- ные сечения трех областей. Полагаем, что излучение энергии в окружающее пространство отсутствует (частота относительно не- —fc- велика). В первой области напряженность электрического поля £, состоит из трех компонент (сторонней, потенциальной и индукцион- ной) £, = £„ор1 + £Пот1 + £ЧНд|, во второй £2 = Enmi + £ннд2, в —W •*-> —> —► —► —► третьей £э = EnoTi + £ннд3; S,, S2, S3 — площади поперечного сече- ния областей; di — элемент длины, совпадающий по направлению «-* *» с dS; — единичный вектор, совпадающий с направлением dZ и S. Для первой области i = ?i(£«0Pi + + £RWll)So для второй Z . 7 ,7 (1-25) 1 — Топота + ^иклз)^’ для третьей '= (£,кйй + = е“₽ (£^з + £и«яз) $з (Р = d/df)- (1.26) Умножим уравнения (] .24—L.26) на элемент длины пути —Г —•- —► —► —ih d/ = n°d£ учтем, что S = n°S, и перепишем их так: l^cropl 4" "Ь кнд1) d I — f (1.27) (1.28) reao3 (1-29) Проинтегрируем (1.27) по длине 1-го участка, уравнение (1.28) по длине 2-го участка и уравнение (1.29) по длине 3-го и сложим их. Получим /’crop! д/ + j£nvTi<i I + 1 I чй1! I + ^погз^ + j’nunid * + ^ннд2с< f + ^нкдЗ^ 1 в Jj Л» *2 *3 Jl fi Z3 V—---------------------------------- ----------- --------------------- 18
e_S. I _r di ' C J e S3 'з Окончательно, (!.3O) где Rt и R2 — резистивные сопротивления участков / и 2; С — ем- кость конденсатора. Второй закон Кирхгофа для магнитных цеп^й следует из закона полного тока. Рассмотрим свойства элементов электрической ц?пи конденса- тора и индуктивной катушки. § 1.4, Конденсатор. Между двумя любыми проводящими телами, разделенными диэлектриком, существует электрическая емкость. Для создания определенного значения емкости служат конденса- торы. На рис. 1.8, а изображен плоский конденсатор, на рчс. L9 — цилиндрический. Если заряд на одной обкладке (электроде) кон- денсатора +^, на другой — <7,то в пространстве между обкладка ми существует электрическое ноле и между обкладками имеется на- пряжение U Заряд q пропорционален V: q = CU. Коэффициент пропорциональности С называют емкостью C = q/U. (1.31) Емкость зависит от геометрических размеров конденсатора йот диэлектрика между обкладками. От величины напряжения U ем- кость, как правило, не зависит. Исключение составляют конденса- торы, у которых между обкладками находится сегнетодиэлектрик (у сегнетоднэлектрика г, является функцией Е). Единицей емкости является фарад (Ф) или бо^ее мелкие единицы микро, нано и пико- фарад: 1 мкФ = 1С СФ; 1 нФ = 10_“Ф; I пФ = 10“’"Ф. Пример 1. Вывести формул} для емкости нЯГоСкого конде! сатора (рис. 18. а). Площадь его каждой пластины (с одной стрроны) S, расстояние между пластинами л, относительная диэлектрическая ироницаемгегь диэлектрика с,. Рмс. 1.8 14 2*
На рис. 1.8, б (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области поле Однородно. На краях имеется некоторая неоднородность, которую здесь учитывать —F- не будем. Е направлена от заряда к заряду —q. Напряжение между электродами U «= J ЕМ » EcosO°df >=* Еа. Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью (след ее на рис. 1.8, б показан пунктиром) и применим к ней теорему Гаусса: Л EdS = ES = —. Следовательно, £ = —-Цг и С = *» J еоег U а Пример 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора (рис. 1.9, а). На внутреннем электроде радиусом q находится заряд +<?, на наружном электроде радиусом т2 — заряд — q. Решение. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой повер- хностью радиуса г[г । < г < га). След этой поверхности показан пунктиром на ррс. 1.9, б. Поток вектора £ имеет место через боковую поверхность, через торцы ноток -*• *+ отсутствует, так как на торцах dS и Е взаимно перпендикулярны: A) EdS = (£cosO°dS — Е2лг/ = —. Отсюда Е = ?---. э J Znrlt^e, вон. ЛОЙ v г и ' Напряжение между электродами ^2—*' t Ч? Н 1 2л£0егр г 2я₽0е/ Г] Г1 Ч Емкость ч 2леосг I/ г2 In — В конденсаторе емкостью С, между электродами которого на- пряжение «, запасена электрическая энергия Си2 у2 ^=-“Г=2С- (1.32) 20
При изменении заряда q во времени через конденсатор по диэ- лектрику течет ток смещения ,_d£ (1.33) ‘ di“V Положительное направление отсчета тока i совпадает с поло- жительным направлением отсчета напряжения и. Из (1.33) следует, что (1.34) * Г . § 1.5. Индуктивность. Явлениесамоиндукцин. Если по какой-ли- бо катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и катушка будет пронизываться магнитным потоком. Пото- косцепление катушки Ч7 будет пропорционально току г Ч7 = Li. Ко- эффициент пропорциональности L между Ч7 и i называют индуктив- ностью L=W/L (1.35) Индуктивность L (Гн) зависит от геометрических размеров ка- тушки, числа ее витков и от магнитных свойств сердечника, на котором она намотана. Если ток / будет изменяться во времени, по закону электромагнитной индукции в катушке наведется ЭДС eLl которую называют ЭДС самоиндукции dv .di (1.36) Положительные направления отсчета для i и et совладают (et про- порциональна скорости изменения тока i). Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагнит- ный, то Ч7 является нелинейной функцией тока L В этом случае dV(i) dTfi) di di (1.37) e£ — di ~ di di₽ Лй*<Ц (1днф называют дифференциальной индуктивностью, она является нелинейной функцией тока /). В магнитном поле уединенной катушки индуктивностью L, по которой течет ток i, запасается магнитная энергия 7 ' //2 (1-38) О U Из (1.38) следует, что 2!РИ (1.39) 21
ПрнмерЗ. Вывести формулу для индуктивности /.двухпроводной линии переда- чи длиной /, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов d и радиусе провода r-^Zd. Полагать и не учитывать магнитный поток поперечных сторон петли. Решение. Двухпроводная линия (рис. 1.10, а, б) представляет собой как бы один большой виток. Пропустим но ней ток /. Напряженность поля в произвольной точке между проводами на расстоянии х от левого провода на линии, соединяющей I оси проводов, по закону полного тока равна g~^ 0 результирующая напряженность поля равна сумме напряженностей от каждого из проводов Н = сГ~ + 7Г77---* (d — '>*>4 2лх 2n(d — х) ' Поток через заштрихованную площадку dS = fdx равен Л Ро" d - г dx; Ф =---In-----, л г <1Ф = BdS = d — х При d~>^r L =— = —In— i nt Пример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, о) с числом витков W| 1000, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутрен- ний радиус которого 7? t = 4 см, наружный Кг ж 6 см, высота Л — 2 см, р, сердечника раина 80. Рис. 1.11 22
Решенне. Пропустим по катушке гок / и определим напряженность поля а /се, сердечнике по закону полного тока И = Поток через полосу ftd/?, заштрихован - ную на рис. 1.11, б, йФ = BhdR —------—-—. 2пН Потокосцепление Л2 *2 ICjHdJl/ln— ’Г = ш(Ф = by^d<!> =-----—-----(1-40) Л, Подстанояка числовых значений дает Л = 0,131 Гн. Пример 5. Вывести формулу для индуктивности цилиндрического провода дли- ной I радиусом R, обусловленной потокосцеплением в теле самого провода. На рис. 1.12 показан вид провода с торца. 1 Решение. Пропустим вдоль провода постоянный ток /. По закону полного тока напряженность поля Н на расстоянии г от оси провода равна току-—jftr2, f л/г охваченному окружностью радиусом г и деленному на длину этой окружности 2лг: Н = о. Индукция В = u.И. Магнитная энергия, запасенная в теле провода, 2я«2 2nR4 J 16л По (1.39) йГ Рис. 1.12 2ГМ Иа/ /2 8я‘ § 1.6. Взаимная индуктивность. Явление взаимоиндукции. На рис. 1.13, а изображены два контура. По первому течет ток по второму — ха. Поток, создаваемый первым контуром Фр частично замыкается, 23
пронизывая только первый контур Фп, минуя второй, частично про- низывая и второй контур Ф12. Чтобы рисунок был более понятным, на нем изображено только по одной силовой линии каждого потока Ф, = Ф„ + Ф12. Аналогично, поток, создаваемый вторым контуром: Ф2 — Ф22 -|- Фар Если первый контур имеет витков, то потокосцепление первого контура Ш|(Ф, ± Ф2() «= в^Ф, ± = V] ± lF21, Потокосцепле- ние второго контура (число витков w2) и>2(Ф2±Фй) = 'Г2±Ч\г. Знаки «Ч-» соответствуют согласному направлению потока от сво- егото!$а и потока, еоздаваемоготокомвсоседнем контуре. Знаки« —» соответствуют несогласному (встречному) направлению потоков (для этого один из токов должен изменить направление). Потокос- цепление 4% пропорционально току i2, a 'Н|2 — току q '^21 ~ ®1^21 = %2 = == М',. Коэффициент пропорциональности М (Гн) называют взаимной ин- дуктивностью M = W2l/i2 = Wi2/iv (1.41) Она зависит от взаимного расположения, числа витков, геометри- ческих размеров контуров (катушек) и от магнитной проницаемо- сти ро сердечников, на которых они намотаны. Если рл =*= const, то от величины токов М не зависит. Явлением взаимоиндукции называют наведение ЭДС в одном контуре при изменении тока в другом. Наводимую ЭДС называют ЭДС взаимоиндукции и обозначают ем. Для рис. 1.13 полная ЭДС, наводимая в первом контуре, d d (1.42) ei “ — ± =d?^’*1 * = ~ i|’d7 * Л<77= ец- е,м и во втором *2 = - ^2 ± ^12» = “ ^2*2 ± = . d<2 л^ч (1-43) “ — ± Л,_^' — e2t ± е2М- В формулах (1.42) и (1.43) принято, что М > 0. В то же время в литературе можно встретиться с тем, что знак минус у ем в этих формулах относят не к ЭДС взаимоиндукции, а к Л4,т. е. записы- 24
раЮТ формулы (1.42) и (1.41) в виде ei “ eit + ei« и es = est 4" е2м- Под коэффициентом связи двух магнитосвязанных катушек пони- мают отношение Л) к квадратному корню из произведения Дуэтах катушек k№ = M/y[Lj^ (1.44) Всегда ЛсвС 1; 1. если весь магнитный поток, создаваемый первой катушкой, пронизывает и вторую, а весь поток, генерируе- мый второй катушкой, пронизывает и первую. Магнитная энергия двух магнитосвязанных катушек стоками /, и/2 равна Ltl2i LJl (145) Знак « 4- » относится к согласному, « — » — к встречному направ- лению потоков. Пример в. На сердечнике примера 4 кроме катушки с числом витков ип = 1000 равномерно намотана и вторая катушка щ => 500. Определим М между катушками. Решение. Весь поток Ф, создаваемый в сердечнике первой катушкой, прони- зывает и вторую. Поэтому у ^w^ln— М = »------------- - 0,0655 Гн. 7] 2л Пример?. Определить магнитную энергию, запас вемую в магнитном ноле двух кату- шек примера 6, если по первой катушке течет ток /] «= кА, по второй — ток /2 =» 0,5 А.- Магнитные потоки направлены согласно. Решение. По формуле (1.40). замениа в ней ш( на Wq, определяем L% “ 0,0327 Г и. По формуле (1.45) В7и = -'°:131 4- °’Sg,9’Q?27 + 0,06Б5. J.о,Б 0,1387 Дж. А * Пример 8. По перноЙ катушке примера 7 течет ток i|, изменяющийся во времени в соответствии с рис. 1.13, 6. Вторая катушка разомкнута. Построить кривые ЭДС самоиндукции elL н ЭДС взаимоиндукции е2А) (время дано в мс). di| Решение. График еа(рнс. |.13,в)строим поформулевцг, = — , график Ф, e2jn (рис. 1.13, г) — по формуле в2м = — § 1.7. Схемы замещения реальных электротехнических уст- ройств. В элементах реальныхэлектротехннческихустроЙств(элек- трическнх цепях) происходят достаточно сложные процессы проте- кания токов проводимости, токов смещения, выделения тепловой энергии, наведения ЭДС, накопления и перераспределения энер- гии электрического и магнитного полей и т. п. Для того чтобы можно было математически описать эти процессы, в теории цепей пользу- 25
ются расчетными схемами (схемами замещения), вводя в них рези- стивные, индуктивные и емкостные элементы.'С помощью рези- стивного элемента учитывают выделение теплоты в реальном эле- менте; с помощью индуктивного элемента — наведение ЭДС и накопление энергии в магнитном поле; с помощью емкостного эле- мента — протекание токов смещения и накопление энергии в элек- трическом поле. Каждый элемент реальной электрической цепи на схеме заме- щения можно представить той или иной совокупностью идеализи- рованных схемных элементов. Так, резистор для низких частот можно представить одним ре- зистивным элементом R (рис. 1.14, а). Для высоких частот тот же резистор должен быть представлен уже иной схемой (рис. 1.14, б). В ней малая (паразитная) индуктивность Ln учитывает магнитный поток, сцепленный с резистором, а малая паразитная емкость Сп учитывает протекание тока смещения между зажимами резистора. Конденсатор на низких частотах замещают одним емкостным эле- ментом (рис. 1.14, в), а на высоких частотах конденсатор представ- ляют схемой (рис. 1.14, г). В этой схеме резистор /?п учитывает потери в неидеальном диэлектрике конденсатора, а £л паразитная индуктивность подводящих контактов. Индуктивную катушку в первом приближении можно предста- вить одним индуктивным элементом L (рис. 1.14,6). Более полно она может быть представлена схемой (рис. 1.14, е). В ней R учитывает тепловые потери в сопротивлении обмотки и в сердечнике, на кото- ром она намотана, а паразитная емкость Сп учитывает токи смеще- ния между витками катушки. Обобщенно можно сказать, что при составлении схемы замеще- ния реальных элементов цепи и цепи в целом в нее входят те идеа- лизированные схемные элементы, с помощью которых описывают- ся основные процессы в реальных элементах цепи, а процессами, являющимися относительно второстепенными вэтихэлементахдля рассматриваемой полосы частот и амплитуд воздействий, обычно 26
пренебрегают. Реальную электрическую цепь, представленную в вНде совокупности идеализированных схемных элементов, в даль- нейшем будем называть схемой замещения электрической цепи или, короче, схемой электрической цепи. Если можно считать, что напряжение и ток на всех элементах реальной цепи не зависят от пространственных координат, тотакую цепь называют цепью с сосредоточенными параметрами, если зави- сят — цепью с распределенными параметрами. Процессы в цени с сосредоточенными параметрами описывают алгебраическими или обыкновенными дифференциальными уравнениями; процессы в це- пях с распределенными параметрами описывают уравнениями в частных производных. Дальнейшее подразделение типов цепей бу- дет дано походу изложения. Соответствие расчетной модели реаль- ной электрической цепи проверяют путем сопоставления расчета с экспериментом. Если расчетные данные недостаточно сходятся с экспериментом, модель уточняют. В курсе ТОЭ используют общие физические принципы, форми- рующие диалектическое мышление, такие, как принцип симмет- рии, принцип минимума энергии, закон сохранения заряда, прин- цип непрерывности магнитного потока. При выполнении лабораторных работ студент ощущает реальность явлений, о которых шла речь втеории. Методы расчета электрических цепей можно изла- гать по крайней мере двумя способами. Согласно первому — их изла- гают одновременно с теорией электрических цепей синусоидально- го тока. Согласно второму — методы расчета рассматривают по отношению к резистивным цепям(цепям постоянного тока), а затем эти методы распространяют иа цепи синусоидального тока. Второй способ, с нашей точки зрения, методически более целесообразен — материал, расчлененный на две самостоятельные части, усваивает- ся легче и прочнее. Кроме того, студент приобретает навык в расче- те цепей постоянного тока, область применения которых достаточ- но широка. Вопросы для самопроверки I. Дайте определение электромагнитному полю. Какими основными величина- ми его характеризуют и каковы его свойства? 2. Что положено в основу определении —► —► нвпряженностн электрического поля Е и индукции магнитного поля В? Каковы единицы их измерении? 3. Какой смысл вкладывается в понятие потенциальной, вихревой и сторонней составляющих напряженности электрического поли? 4. Как связаны векторы Е и D; Н и В? 5. Дайте определение плотности тока проводимости, смещения, переноса. 6. Запишите уравнение непрерывности полного тока. 7. Каине проявления магнитного поля вам известны? 8. Как определить магнитный поток Ф м потокосцепление 49 В каких единицах их измеряют? 9. Как записать принцип непрерывности магнитного потоке? (0. Прокомментируйте формулу е = — dV/dl. Чем объяснить наличие знака минус в ней? 11. Эвлитите п поясните смысл четырех Уравнений Максвелла. 12. Покажите, что уравнение первого закона Кирхгофа сле- дует из принципа непрерывности полного токе. 13. Исходя из основных уравнений электромагнитного поля выведите уравнение, записанное ио второму закону Кирх- 27
гифа для цепи переменного тока. 14. Что понимают под явлением самоиндукции н явлением взаимоиндукции? 15. Дайте определение индуктивности L и взаимной индуктивности М. От каких факторов они зависят? 16, Прокомментируйте три спо- е£ 2ГИ соба определения индуктивности: L = T/t, L = — L = ~~р~‘ Как с-педУет расположить две цилиндрические катушки друг по отношению к другу, чтобы М между ними была равна нулю? 18. Поясните, почему коэффициент связи между днумн магнитосвязанными катушками 19. В опыте было получено L] = L2 = 0,1 Гн, М = 0,11 Гн. Можно ли верить этим данным? 20. Чем физически можно объяснить, что внутренняя индуктивность цилиндрического провода не зави- снт от его радиуса? 21. Канне функции выполняют L и М как элементы схем замеще- ния реальных электрических цепей? 22. Прокомментируйте формулу для подсчета магнитной энергии магнитосвязанных контуров. 23. Как связаны потенциал ф и напряженность £? 24. Какие поля называют потенциальными и какие вихревыми? 25. Дайте определение понятию «емкость» конденсатора. От каких факторов она зависит? 26. Прокомментируйте три способа определения емкости конденсатора: i 2 C = q/U, С = , . С = —г~. 27. Какие функции выполняет емкость как элемент oq/ei q2 схемы замещения реальной электрической цепи? 28. Выведете формулы для емко- сти плоского к цилиндрического конденсаторов. 29. Выразите 0,1 нФ и пикофарадах. 30. Как связано положительное направление отсчета напряжения на конденсаторе С с положительным направлением тока через него? 31. Чем отличаются электриче- ские цепи с сосредоточенными параметрами от цепей с распределенными парамет- рами? 32. Зависит ли схема замещения реальной электрической цепи от частоты? Глава вторая СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА § 2.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей. Электромагнитное устройство с происходящими в нем и в окружа- ющем его пространстве физическими процессами в теории элект- рических цепей заменяют некоторым расчетным эквивалентом — электрической цепью. Электрической цепью называют совокупность соединенных друг с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы в электрической цепи можно описать с помощью понятий «ток», «напряжение», «ЭДС», «сопротивление» («проводимость»), «индуктивность», «емкость». Постоянным током называют ток, неизменный во времени. По- стоянный ток представляет собой направленное упорядоченное движение частиц, несущих электрические заряды. Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах являются свободные электроны, а в жидких — ионы. Упорядочен- ное движение носителей зарядов в проводниках вызывается элект- рическим полем, созданным в них источниками электрической 28
Рис. 2.1 энергии. Источники электрической энергии преобразуют химиче- скую, механическую и другие виды энергии в электрическую. Ис- точник электрической энергии характеризуется значением и на- правлением ЭДС, а также значением внутреннего сопротивлении. Постоянный ток принято обозначать буквой /, ЭДС источ- ника— £, сопротивление—Д, проводимость — g. В Междуна- родной системе единиц (СИ) единица тока — ампер (А), единица ЭДС — вольт (В), единица сопротивления — ом (Ом), единица про- водимости — сименс (См). Изображение электрической цепи с помощью условных знаков называют электрической схемой (рис. 2.1, а). Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от напря- жения па этом сопротивлении называют вольт-амперной характе- ристикой (ВАХ). По оси абсцисс на графике обычно откладывают напряжение, а по оси ординат — ток. Сопротивления, ВАХ которых являются прямыми линиями (рис. 2.1, б), называют линейными, электрические цепи только с ли- нейными сопротивлениями —линейными электрическими цепями. Сопротивления, ВАХ которых не являются прямыми линиями (рис. 2.1.0), т.е, они нелинейны, называют нелинейными, а электри- ческие цепи с нелинейными сопротивлениями — нелинейными электрическими цепями. § 2,2. Источник ЭДС и источник тока. Источник электрической энергии характеризуется ЭДС Е и внутренним сопротивлением /?„. Если через него под действием ЭДС Е протекает ток /, то напряже- ние на его зажимах U — Е — IRr при увеличении f уменьшается. Зависимость напряжения U на зажимах реального источника от тока / изображена на рис. 2.2, а. Обозначим через ihli — масштаб по оси U, через mf — масштаб по осн 1. Тогда для произвольной точки на характеристике рис. 2.2, а abmv = IRn’ bcm/ = /; tgu, = ab/bc = Следовательно, tga пропорционален Ra. Рассмотрим два крайних случая. I. Если у некоторого источника внутреннее сопротивление /?я = 0, то ВАХ его будет прямой линией (рис. 2.2, б). Такой харак- теристикой обладает идеализированный источник питания, назы- 29
ваемын источником ЭДС. Следовательно, источник ЭДС представ- ляет собой такой идеализированный источник питания, напряже- ние на зажимах которого постоянно (не зависит от тока /) и равно ЭДС £, а внутреннее сопротивление равно нулю. 2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать ЭДС Е и внутреннее сопротивление RB, то точка с (рис. 2.2, л) отодвигает- ся по оси абсцисс в бесконечность, а угол а стремится к 90 ° (рис. 2.2, а). Такой источник питания называют источником тока. Следовательно, источник тока представляет собой идеализиро- ванный источник питания, который создает ток J = /, независящий от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его ЭДС £нт и внутреннее сопротивление /?ит равны бесконечности. Отноше- ние двух бесконечно больших величин E„r/RM равно конечной вели- чине — току / источника тока. При расчете и анализе электрических цепей реальный источник электрической энергии с конечным значением RB заменяют расчет- ным эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят: а) источник ЭДС Е с последовательно включенным сопротивле- нием /?„, равным внутреннему сопротивлению реального источника (рис. 2.3, о; стрелка в кружке указывает направление возрастания потенциала внутри источника ЭДС); б) источник тока стоком J = E/Re и параллельное ним включен- ным сопротивлением R„ (рис. 2.3, б; стрелка в кружке указывает положительное направление тока источника тока). Ток в нагрузке (в сопротивлении R) для схем рис. 2.3, а, б одина- ков: / ==: £/(/? +RB), т. е. равен току в схеме рис. 2.1, а. Для схемы рис. 2.3, а это следует из того, что при последовательном соединении значения сопротивлений R и Ra складываются. В схеме рис. 2.3, б ток / =E/Ra распределяется обратно пропорционально значениям сопротивлений R и RK двух параллельных ветвей. Ток в нагрузке R Е Е 30
a) S) Рис. 2.3 Рис. 2.4 Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, совер- шенно безразлично. В дальнейшем используется в основном пзр - вый эквивалент. Обратим внимание на следующее: 1) источник ЭДС и источник тока — идеализированные источни- ки, физически осуществить которые, строго говоря, невозможно; 2) схема рис. 2.3, б эквивалента схеме рис. 2.3, а в отношении энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R, и не эквива- лентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем со- противлении источника питания /?а; 3) идеальный источник ЭДС без последовательно соединенного с ним нельзя заменить идеальным источником тока. На примере схемы рис. 2.3 осуществим эквивалентный пере- ход от схемы с источником тока к схеме с источником ЭДС. 3 схеме рис. 2.3, б источник тока дает ток / = 50 А. Шунтирующее его сопротивление /?„ = 2 Ом. Найти ЭДС эквивалентного источника ЭДС в схеме рис. 2.3, а. ЭДС Е = JRB = 100 В. Сл едоватепьчо, параметры эквивалент- ной схемы рис. 2.3, а таковы* Е ~ 130 В, /?в = 2 Ом. § 2.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветв- ленные. На рис. 2.1, а представлена схема простейшей не азветв- ленной цепи Зозсех элементах ее течет один и тот же ток. Простей- шая разветвленная цепь изображена на рис 24, а; в ней имеются гри ветви и два узла. В каждой ветви течет свой ток. Ветвь можно определить как участок цепи, образованный последовательно соет Диненными элементами (через которые течет одинаковый ток) и заключенный между двумя узлами. В свою очередь, узел — это точка цепи, в которой сходятся не менее трех ветвей. Если в месте пересечения двух линий на электрической схеме постазлеяа точка (рис. 2.4, б), то в этом месте есть электрическое соединение двух линий, в противном случае (рис. 2.4, в) его нет. 31
Рис. 2.5 Кроме термина «узел» иногда используют термин «устранимый узел». Под устранимым узлом попинают точку, в которой соединены два последовательных сопротивления (рис. 2.4, г). Этим понятием пользуются при введении данных в ЭВМ о значении и характере сопротивлений. §2.4.Н апряжение на участке цепи. Под напряжением на некото- ром участке электрической цепи понимают разность потенциалов между крайними точками этого участка. На рис. 2.5 изображен участок цели, крайние точки которого обозначены буквами а и Л. Пусть ток / течет от точки а к точке b (от более высокого потенциала к более низкому). Следовательно, по- тенциал точки я(<рв) выше потенциала точки fc(q>J на значение, рав- ное произведению тока / на сопротивление /?: = + /Л. В соответствии с определением напряжение между точками а н b Uub = ч>« — Следовательно, Uab = //?,"т. е. напряжение на сопротивлении равно произведению тока, протекающего по сопротивлению, на зна- чение этого сопротивления. В электротехнике разность потенциалов на концах сопротивле- ния называют либо напряжением на сопротивлении, либо падением напряжения. В дальнейшем разность потенциалов на концах сопро- тивления, т. е. произведение //?, будем именовать падением напря- жения. Положительное направление падения напряжения на каком- либо участке (направление отсчета этого напряжения), указывае- мое на рисунках стрелкой, совпадает с положительным направле- нием отсчета тока, протекающего ио данному сопротивлению. В свою очередь, положительное направление отсчета тока / (ток — это скаляр алгебраического характера) совпадает с положительным направлением нормали к —4- —ь поперечному сечению проводника при вычислении тока по формуле /==^М5, где б — плотность тока; dS — элемент площади поперечного сечения (подробнее см. § 20.1). Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержа- щем не только сопротивление, но и ЭДС. На рис. 2.6, а, б показаны участки некоторых цепей, по которым протекает ток/. Найдем разность потенциалов (напряжение) меж- ду точками а и с для этих участков. По определению, 32
^ = ФО-Ф,- (2.D Выразим потенциал точки «через потенциал точки с. При пере- мещении от точки с к точкеб встречно направлениюЭДС £(рис. 2.6, а) потенциал точки доказывается ниже (меньше), чем потенциал точ- ки с, на значение ЭДС Е: ц>ь = q>f — Е. При перемещении от точки с к точкеb согласно направленнюЭДС £(рис. 2.6,6) потенциал точки £ оказывается выше (больше), чем потенциал точки с, па значение ЭДС Е: <pft = qt. + Е. Так как по участку цели без источника ЭДС ток течет от более высокого потенциала к более низкому, в обеих схемах рис. 2.6 по- тенциал точки а выше потенциала точки Ь на значение падения напряжения на сопротивлении /?: <ра = грй -р- //?. Таким образом, для рис. 2.6, а Фа = фе ~ £ + /Я, Uac = 4>o-4>C^IR-E, (2.2) для рис. 2.6, б фп = фс+ £ + или (4С = ФО-ФС = //? + £. (2.2а) Положительное направление напряжения Une показывают стрелкой от а к с. Согласно определению, UCCI = <ре — <ря, поэтому i/td = (^пс>т-е- изменение чередования (последовательности) ин- дексов равносильно изменению знака этого напряжения. Следова- тельно, напряжение может быть и положительной, н отрицательной величиной. § 2.5. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС. Закон (правило) Ома для участка цени, не содержащего ис- точник ЭДС, устанавливает связь между током и напряжением на этом участке. Применительно к ряс. 2.5 = 'Я, или . /= ^//? = (Фй-Фь)/£- (2.3) §2.6. Закон Ома для участка цепи,содержащего источник ЭДС. Обобщенный закон Ома. Закон (правило) Ома для участка цепи, содержащего источник ЭДС, позволяет найти ток этого участка по известной разности потенциалов(фй — <ре) па концах участка цели и имеющейся на этом участке ЭДС Е. Так, по уравнению (1.2)для 33 3~5es
Рис. 2.7 Рис. 2.8 схемы рис. 2.6, а / = (фв - фе + £)/ * = (иас + *)/*; по уравнению (2.2а) для схемы рис. 2.6, б l = (4a-<?c-E)/R = (UM-E)/R. В общем случае (фи-ф£)±£ бис±Е (2.3а) R ~ R ' Уравнение (2.3а) математически выражает закон Ома для уча- стка цепи, содержащего источник ЭДС; знак плюс перед Е соответ- ствует рис. 2.6,а, знак минус — рис. 2.6, б. В частном случае при Е= — О уравнение (2.3а) переходит в уравнение (2.3). Примере. Кзажимам яиссхемы рис. 2.7 подключен вольтметр, имеющий очень большое, теоретически бесконечно большое сопротивление (следовательно, его под- ключение или отключение не влияет на режим работы цепи). Если ток / = 10 А течет от точки а к точке с, то показание вольтметра U'ac === = — 18 В; если этот ток течет от точки с к точке а, то U"ae = — 20 В. Определить сопротивление R и ЭДС Е. Р е ш е н и е. В нервом режиме U'ae = — 18 => — Е + /Л = — £ + 10R, во вто- ром U"oc — — 20 = — Е — IR — — Е — I0R. Совместное решение дает Е 19 В, R—0,1 Ом. § 2.7. Законы Кирхгофа. Все электрические цепи подчиняются первому и второму законам (правилам) Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко: 1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю; 2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме утека- ющих от узла токов. Применительно к рис. 2.8, если подтекающие к узлу токи счи- тать положительными, а утекающие — отрицательными, то соглас- но первой формулировке —/2—/3—/4—0; 34
согласно второй — Л = /2+/3 + /4- Физически первый закон Кирхгофа означает, что j иижение за- рядов в цени происходит так, что ни в одном из узлов они не скапли- ваются. Вели мысленно рассечь любую схему произнальпой плоскостью и все находящи- еся ио одну сторону от нес рассматривать как некоторый большой "узел", то алгеб- раическая сумма токов, входящих в этот "узел”, будет равна нулю. Второй закон Кирхгофа также можно сформулиро- вать двояко: 1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкну- том контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же кон- тура; (2А) (в каждую из сумм соответствующие слагаемые входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним); 2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряже- ния! ) вдоль любого замкнутого контура равна нулю: £Ub, = Q. (2.4 а) Для периферийного контура схемы рис. 2.9 </«,+ ^+^+^. = 0- Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных це- пей при любом характере изменения во времени токов и напряже- ний. Сделаем два замечания: 1) запись уравнения по второму закону Кирхгофа в форме (2.4) может быть получена, если обойти какой-либо контур некоторой схемы и закисать выражение для потенциала произвольной точки этого контура через потенциал этой же точки (взяв ее за исходную при обходе) я падения напряжения и ЭДС; 2) при записи уравнений по второму закону Кирхгофа в форме (2.4а) напряже- ния Uh участков цепи включают в себя и падения напряжения участков, и имеющие- ся на этих участках ЭДС. § 2.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с по- мощью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для на- хождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в число ветвей, содержащих источники тока, — в)|Г и число узлов у. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется 0 — sHI. Перед тем как составить уравнения, необходимо произ- вольно выбрать: а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме; б) положительные направления обхода Контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа. 35 э-
a e c Pmc. 2.9 С целью единообразия рекомендуется для всех контуров поло- жительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по часовой стрелке. Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют уравнения, число которых равно чис- лу узлов без единицы, т. е. у — 1. Уравнение для последнего у-го узла не составляют, так как оно совпало бы с уравнением, полученным при суммировании уже со- ставленных уравнений для у — 1 узлов, поскольку в згу сумму входили бы дважды и с противоположными знаками токи ветвей, не подходящих к у-му узлу, а токи ветвей, подходящих к у-му узлу, входили бы в эту сумму со знаками, противоположными тем, с какими они вошли бы в уравнение для у-го узла. По второму закону Кирхгофа составляют уравнения, число ко- торых равно числу ветвей без источников тока (а — аит), за вычетом уравнений,составленных по первому закону Кирхгофа,т.е.(в — акТ)— — (У~ 1)=-аант — у 4- 1. Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, следует ох- ватить все ветви схемы, исключая лишь ветви с источниками тока. Если попытаться составить уравнение но второму закону Кирхгофа в форме (2.4) для контура, в который входит источник тока, то в него вошли бы бесконечно большие слагаемые и оно не имело бы смысла. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошед- шая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся называть независимыми. Требование, чтобы в каждый новый контур входилахотя быодна новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а потому его не всегда выполняют. В таких случаях частьуравнений по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все ветви которых уже вошли в предыдущие контуры. Пример 10, Найти токи а ветвях схемы рис. 2.9, в которой Ei = 80 В, Es = 64 В, Rl = 6 Ом, R2 = 4 Ом, Лз = 3 Ом, = i Ом. 36
Рис. 2.10 Решение. Произвольно выбираем положительные направления тока в вет- вях. В схеме рис. 2.9, в = 3; яи1 = 0; у = 2. Следовательно, но первому закону Кирхгофа, можно составить только одно уравнение: Л + ^2=^3- (Й) Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в — вт — (</ — t) = 3 — 0 —(2— I) = 2 уравнения. Положительные направления обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Для контуров/?]Е|/?гЕ2 /в/?2=Е| + Е2. (б) Знак плюс перед/,/?] взят потому, что направление тока совпадает с направле- нием обхода контура; знак минус перед /2/?2 — потому, что направление /2 встречно обходу контура. Для контура E<iR2R3R4 ^2^2 + ~ — ^2' (в) Совместное решение уранненнй (а) — (н)дает/, == М Д,/2 = — 15А,/3= —I А. Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно, в ре- зультате расчета какой-либо один или несколько токов могут оказаться отрицатель- ными. В рассмотренном примере отрицательными оказались токи/2 и/3, что следует понимать так: направления токов /2ч /3 не совпадают с направлениями, принятыми для них на рис. 2.9 за положительные, т. е. в действительности таки /2 и /3 проходят и обратном направлении. Для выбора контура таким образом, чтобы в каждый из вих входило по одной цетви, «е входящей в остальные контуры, используют понятие дерева. Под деревом понимают совокупность ветвей, касающихся всех узлов, но не образующих ни одного замкнутого контура. Из одной и той же схемы можно образовать несколько деревьев. При составлении системы уравнений по второму закону Кирхгофа можно взять любое дерево из возможных. Одно из возможных деревьев схемы рис. 2.10, а изобра- жено на рис. 2.10, б, а на рис. 2.10, в — четыре независимых контура, в каждый из которых входит по одной пунктиром показанной ветви, не входящей в остальные. Более подробно о топологии электрических схем см. §2-31 — 2.35 и А.5 — А.10. § 2.9. Заземление одной точки схемы. Заземление любой точки схемы свидетельствует о том, что потенциал этой точки, принят равным нулю. При этом токораспределение в схеме не изменяется, так как никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, не образуется. Иначе будет, если заземлить две или большее число точек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае через 37
землю (любую проводящую среду) образуются дополнительные ветви, сама схема становится отличной от исходной и токораспре- деление в ней меняется. §2.10. Потенциальная диаграмма. Под потенциал ьной диаграм- мой понимают график распределения потенциала вдоль какого-ли- бо участка цепи или замкнутого контура. По оси абсцисс на нем откладывают сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной точки, по оси ординат — потенциалы. Каждой точке участка цепи или замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной диаграмме. Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграммы по данным примера 2. Пример ft. Построить потенциальную диаграмму для контура abcea (см. рис. 2-9). Решени е. Подсчитаем суммарное сопротивление контура :4-рЗ 4- ] =*8Ом. Выберем масштабы по оси абсцисс (ось ж) и по оси ординат (ось у). Произвольно примем потенциал одной из точек, например точки а, фо=0. Эту точку на диаграмме рис. 2.11, а поместим в начало координат. Потенциал точки Ь: <рь «=<ра 7S4 = <ра — 60 = — 60 В; ее координаты: ж = 4, у ак —60. Потенциал точки с: = ч>» + Eg«“ 4В; ее координаты: ж = 4, у =* 4. Потенциал точки е: фе =“ ф, + /^=4—1X1 =ЗВ; ее координаты: ж = 5; у « 3. Тангенс угла iq наклона прямой aetl к осн абсцисс пропорционален току 1%, а т, тангенс угла Oj наклона прямой се — току tgo = /—, где mr и — масштабы тч по осям х и у. Обратим внимание на различие в знаках, с которыми входит падение напряже- ния IR при определении потенциала какой-либо точки схемы через потенциал исход- ной точки и при составлении уравнений но второму закону Кирхгофа. При вычисле- нии потенциала последующей точки через потенциал предыдущей JR берут со знаком минус, если перемещение по сонротинлению R совпадает по направлению с током, тогда как при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа IR неко- торого участка цепи берут в сумме X//? со знаком плюс, если обход этого участка совпадает с направлением тока / на нем. 38
§ 2.11. Энергетический баланс в электрических цепях. При про- текании токов но сопротивлениям в последних выделяется теплота. |j[a основании закона сохранения энергии количество теплоты, вы- деляющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником пита- ния. Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную EI, и произве- дение EI входит в уравнение энергетического баланса с положи- тельным знаком. Если же направление тока / встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение EI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком. Уравнение энергетического баланса при питании только от ис- точников ЭДС имеет вид 2f*R=£EI. Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энерге- тического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток / от источника тока, а от узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источ- ником тока мощность равна UabJ. Напряжение Uab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов (см. § 2.22). Общий вид уравнения энергетического баланса; 2/а/? = 2Е/ + 2С/ой/. Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти мето- ды. §2.12. Метод пропорциональных величин. Согласно методу про- порциональных величин, в самой удаленной от источника ЭДС вет- ви схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током, например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам, находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения Um„ схемы и токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А. Так как найденное значение напряжения Umn в общем случае не равно ЭДС источника, то следует во всех ветвях изменить токи, 39
Рис. 2.12 умножив их на коэффициент, равный отношению ЭДС источника к найденному значению напряжения в начале схемы. Метод пропорциональных величин, если рассматривать его обо- собленно от других методов, применим для расчета цепей, состоя- щих только из последовательно и параллельно соединенных сопро- тивлений и при наличии в схеме одного источника. Однако этот метод можно использовать и совместно с другими методами (преобразование треугольника в звезду, метод наложе- ния и т. п.), которые рассмотрены далее. Пример 12. Найти тики н иетлях схемы рис. 2.11, 6 методом пропорциональных иеличин. Сопротивления схемы даны в омах. Решение. Задаемся током в ветви с сопротивление^ 4 Ом, равным 1 А, и подсчитываем токи в остальных ветвях (числовые значения токов обведены на ри- сунке кружками). Напряжение между точками т и л равно f -4 -|- 3-3 -|-4"3 = 25 В. Так как &ДС £ = 100 В, все токи следует умножить на коэффициент k = 100/25 = 4. § 2.13. Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контур- ных токов, после чего через них определяют токи ветвей. Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирх- гофа. Следовательно, метод контурных токов более экономен при вы- числительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений). Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 2.12, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток /и, а в правой (также но часовой стрелке) — контурный ток Ln. Для каж- дого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением /?5) течет сверху вниз ток /и — Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке. 40
Для первого контура (Я| + /?гУ н + — ^22) = + £5 ил И (Rt + /?а 4- /?5)/„ + <-/?5)/22= Для второго контура ^(Л. ~ ^22) 4" (^з "Ь ^4)^22= — ^5 (а) (б) или (— ^?бУ II + (*3 + /?< + RbVto = — £4- Е&- В уравнении (б) множитель при токе /1И являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через J?H, множитель при токе /22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через /?12. Перепишем эти уравнения следующим образом: 4" ^12^22 — ^н» ^2lAl 4" ^22^22 = ^22- (2.46) Здесь /?[| — /?| 4“ Я2 4* R& £|| = £| 4" ^5’ ^12 = ^21 ~ - ^б’ ^22 ~^з4- 4“/?4 4- Rjj~> ^22 “ £4-^'Б> где /?„ — полное или собственное сопротивление первого контура; /?12— сопротивление смежной ветви между первым и вторым кон- турами, взятое со знаком минус; — контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R^-— полное или собственное со- противление второго контура; R2i — сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; — контурная ЭДС второго контура. В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и т контурами (#дп>) входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов iik и 1кт вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны. Если в схеме больше двух контуров, например Три, то система Уравнений выглядит следующим образом: ^?11Л| 4“ ^12^22 4“ /?|з/яз = (2.4в) И 4“ R 22^22 4” ^23^33 — ^22» RaJ 11 4~ ^32^22 4“ я Еззг 41
или в матричной форме 1*1= [/?!(/]=(Ек ^11^12^13 ^21^22^23 ^31^32^33 (2.4г) Рекомендуется для единообразия взнаках сопротивлений с раз- ными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке. В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могу г оказаться отрицательными. В ветвях, не являющихся смежными между соседними контура- ми (например, в ветви с сопротивлениями /?ь /?2 схемы рис. 2.12), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением протекающий сверху вниз ток равен разности !и — /2Й. Если в электрической цени имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п. Общее решение системы п уравнений относительно тока /6й: где ^21^22^23"-^2л ^31^32^33---^Эл ^лЛп^чЗ'-^пи (2.6) — определитель системы. Алгебраическое дополнение АЬп получено из определителя Д путем вычеркивания А-го столбца и/га-й строки и умножения полу- ченного определителя на ( —1)* + Если излевого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (|лавная диагональ) и учесть, что Rk/a = Rmk> то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали Д*,п = ДгаЬ. Пример 13. 11ай ги токи в схеме (рис. 2.13) методом контурных токов. Числовые значении сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указаны на рисунке. Решен не.Выберем направления всех контурных токов/.,, /^ в /:Н1Н> часовой стрелке. Определяем: /?,. — 5 + 5 + 4 = 14 Ом; = 5+ 10 + 2=17 Ом; R-^ — 2+ + 2 + 1=5 Ом; /?,2 = /?21 = — 5 Ом; /?[3 = /?3[ = О; R2i = Ri2 ~ — 2 Ом; = =— 10 В; = —8 В. 42
Рис. 2.13 Заиисыпаем систему уравнений: 14/|)— 5^22 =—10; — + — 2/33= 10; ’ 27и + 5 /33 = —В. Определитель системы 14 -5 -5 17 0 -2 —2 =1009. О Подсчитаем контурные токн — 10 -5 О 10 17-2 -8 2 5 —640 1009 —0,634А; /и = 0,224 Л; /зз = — 1,51 Л. Ток и ветви ст 1ая = /| I—/22=—0,634—0,224=—0,86 Л. Ток в нетви am fam = /22-/33 = 0,224 -р 1.51 = 1,734 Л. Формула (2.5) в ряде параграфов используется в качестве ис- ходной при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных прово- димостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линей- ные соотношения в электрических цепях. Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности, В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивления- ми, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответству- ющих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 2.14, а принять, что контурный ток /ц — J течет согласно направлению Часовой стрелки ио первой и второй ветвям, а контурный ток /ж — 43
Рис. 2.14 ==/3 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током Л22: (/?2 Д- ЯзЙи — = £ „ £ 4 /*> Отсюда /22 = ———— и ток второй ветви /2 = — / й. §2.14. Принцип наложения и метод.наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в fe-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы Л-вегвь входила только в один й-контур (это всегда возможно). Тог- да согласно (2.5) ток в /г-ветви будет равен контурному току Каждое слагаемое правой части (2.5) представтягт собой ток, вы- званный в А-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, Elt Дд1 / Д есть составляющая тока fe-ве.гви, вызванная контурной ЭДС £и. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей £j, E.£, Е3,..., Ek.Ел, сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида: Л = ^'Ekt + + ЕзЕы + + ^kg‘tk + (2-7) Если контуры выбраны таким образом, ,то какая-либо из ЭДС, например £•,, входит только в один m-коитур, а в другие контуры не входит, то gkm - Л,,п / Д. Уравнение (2.7) выражает собой принцип наложения. Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в Ь-ветаи равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей. Принцип наложения положен в основу метода расчета, получив- шего название метода наложения. При расчете цепей данным методом поступают следующим об разом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят 44
токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсче- та выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р ₽= /№). Если через некоторое сопротивление R протекают согласно на- правленные частичные токи /, и /2, то выделяемая в нем мощность р /2)г и не равна сумме мощностей от частичных токов: Р ¥= /?/| + RP- Пример 14. Для схемы рис. 2.14, о методом наложения найти токи в ветвях, определить мощности, отдаваемые в схему источником тока и источником ЭДС. полагая Ri — 2Ом; /?2 = 4 Ом; Кз = 6 Ом; J = 5 А; Е = 20 В. Решение. Положительные направления токов в ветвях принимаем всоответ ствии с рис. 2.14, а. С помощью схемы рис. 2.14,6 (источник ЭДС удален, и зажимы cd закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока: /?3 б r' = J=5Ai ЗА; Г3=2А. Используя схему рис. 2.14, в. подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажимы а& разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника гока равно бесконечности): /"j = 0; /"й = Г3 = Е / ( /?2 + Я3( = 2А. Результирующие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя соответст- вующие частичные токи этих двух режимов: /, = fj 4- /" = 5 + fl = 5А; /, = /'2 — /"2 = 3 - 2 = 1А; /3 = /'3 + /"3 — 2 4-2 — 4А; ф0 — <рь 4- ^2 + ^i^i: Uab= 1-4 4- 5-2=14 В, Мощность, отдаваемая в схему источником тока, UabJ — 14-5 = 70 Вт. Мощ- ность, отдаваема» в схему источником ЭДС, Е/3 = 20 - 4 = 80 Вт. Уравнение баланса мощности /®/?| 4- /2/?2 4- /|/?3 — UabJ 4- Е/3. § 2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное со- противление. На рис. 2.15,д изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой 45
ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: tn и k. Поместим в ветвь /п ЭДС ЕП1 (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы А-ветвь входила только в 6-контур, а /И'Ветвь — только в m-контур. ЭДС Ет вызовет токи в ветвях k и т: (2.8) т ^тётш | Коэффициенты g имеют размерность проводимости. Коэффициент gc одинаковыми индексам и (gww) называют вход-, ной проводимостью ветви (ветви tn). Он численно равен току в ветви т, возникшему от действия ЭДС £,„=1В (единичной ЭДС): I т ~ 1 ё,„«Г Коэффициенты g с разными индексами называю!' взаимными проводимостями. Так, gkm есть взаимная проводимость 6- и т-вет- вей. Взаимная проводимость gkm численно равна току в 6-ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в т-ветвн*. Входные и взаимные проводимости ветвей используют при вы- воде общих свойств линейных электрических цепей (см. §2.16 и 2.18) и при расчете цепей по методу наложения |см. формулу (2.7)]. Входные и взаимные проводимости могут быть определены рас- четным и опытным путями. При их расчетном определении составляют уравнения по мето- ду контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы Д и по нему необходимые алгебраические дополнения: ^-asja; (2-9) gfc„, = Aftfli/A. (2-Ю) По формуле (2.10) gim может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС £м1, направленная согласно с контурным током в /п-ветви, вызывает ток н 6-ветвн, несовпадающей по направлению с произ- вольно выбранным направлением контурного тока lk по 6-ветви. При опытном определении ginm н gkni в /п-ветвь схемы (рис. 2,15, б)нключают источник ЭДС Ет, а вй-ветвь — амнерметр(миллиам- перметр). Поделим ток 1к на ЭДС Ет и найдем значение gkm. Для определения входной проводимости ветви /«(g„„„)необходимо изме- 1 Входные и извп иные прош)днм1К'ти ветвей можно определить и кваче: входная проводкмсн-ть т-ветям — эго коэффициент пропорциональности между током и ЭДС '♦той ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная пронодимоеть ветвей k и т — коэффициент пропорциональности между током А-dctihf и ЭДС m-нетни при отсутстшш ЭДС в других ветвях схемы. 46
Рис. 2.16 рить ток в m-ветви, вызванной ЭДС Ет. Частное от деления тока /я-ветви на ЭДС m-ветви и дает gmm. Выделим m-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не содержащую ЭДС) некоторым прямоугольником (рис. 2.16). Вся схема, обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам ab обладает некоторым сопротивлением. Его называют входным сопротивлением. Входное сопротивление m-ветви обозначим /?вхт. Тогда /?„хИ = / Л, - I / = Д / (2.11) Таким образом, входное сопротивление m-ветви есть величина, обратная входной проводимости этой ветви. Его не следует смеши- вать с полным сопротивлением m-контура в методе контурных то- ков. Пример 15. Определять входную gti и взаимную gi2 проводимости в схеме рис. 2.13. Решение. Контуры в схеме рис. 2.13 выбраны так, что ветвь I (ветвь cbm) с источником ЭДС £| входит только в первый контур, а ветвь 2 (ветвь св)с источником ЭДС Е% — во второй. Поэтому можно воспользоваться определителем системы А и алгебраическими дополнениями Ац и Д|г, составленными поданным примера 13: «'» - V - '"4 ' 1-------1559 » “да5о”_' - М25С"' I 17 -2| ] + , -Г“ I"2 X------------« ОЛ810«-' - 1MBIC.. § 2.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности формулирует- ся следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-ветви, вызванный источником ЭДС Ет, находящимся в tn-ветви, = Emgtm равен току /т в m-ветви, вызванному источником ЭДС (численно равной ЭДС Ет), находящимся в А-ветви, /ffl = Ekgmfr Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 2-15,а. Как и при выводах в§2.15, выделим две ветви схемы: ветвь k 47
Рис. 2.17 и ветвь т. Включим в ветвь т источник ЭДС Ет, в ветвь k — ампер- метр А1 для измерения тока /*. Пусть каждая из ветвей k и т входит соответственно только в k- и тп-коитуры. Поэтому по методу контур- ных токов 1к = Е^Д^, / А. Поменяем местами источник ЭДС и ампер- метр, т. е. источник ЭДС переместим из ветви т в ветвь k и назовем теперь Ek, а амперметр — из ветви k в ветвь т. В этом случае ток Ли ~ E/Atnk / А- Так как Ek = Ет, a Д„[к — ДАл1 в силу симметрии определителя системы Д относительно главной диагонали (см. § 2.13), то ток lt: в схеме рис. 2.15, б равняется току в схеме рис. 2.15, в. При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь в виду взаимное соответствие направлений токов и ЭДС в схемах рис. 2.15, б,в. Так, если ЭДС Ек источника ЭДС, находящегося в /г-ветви схемы рис. 2.15, в, направлена согласно с контурным током (к в схеме рис. 2.15, б, то положительное направление отсчета для тока в схеме рис. 2.15, в будет совпадать с положительным направлением коптурного тока по ветви т(ЭДС Ет в схеме рис. 2.15,6 направлена ио /(И). Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыпол- нима. Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, на- зывают необратимыми. Пример 16. В схеме рис. 2,17 переключатели Р\, Р^ Pj и Pi могут находиться и первом или по втором положении. Если они находятся в положении /, ю в схеме включен только одни источник ЭДС £4. Под действием ЭДС £4 протекают токи 1 = =1,5 Л, /2 = 3 Л. /3 = 1А. Найти гок /4, если все переключатели находятся в положения 2, полагая, что £| = 20 В, £2 = -10 В, £3 = 50 В, £4 = 10 Н. Р с in е и не. Для определения тока /4 воспользуемся принципом наложения и принципом взаимности. Если бы нсхеме был включен одяв источник ЭДС £, = 10 Н, 'Амперметр включаем только для наглядности; еонротннленяе амперметра ио- ла гаем ранным нулю. 48
Рис. 2.18 а остальные (£2 и £3) отсутствовали, то в ветви 41 но принципу взаимности протекал бы сверху пина ток и 1,5 Л. Так как ЭДС £( = 20 В, то в метан-# протекает ток, равный 1,5-20/10 = 3 А. Аналогичным образом найдем токи и ветви 4 при включении источников ЭДС £2 и Е-, н произведем алгебраическое сложение частичных токов (е учетом их направлении): 20 „40 50 ’’5И) + 310 - 110 - 10 А. § 2.17. Теорема компенсации. Рассмотрим два варианта этой теоремы. В любой электрической цепи без изменения токораенре- делепия сопротивление можно заменить: I)источником ЭДС, ЭДС которого численно равна падению напряжения на заменяемом со- противлении и направлена встречно току в этом сопротивлении; 2) источником тока /.ток которого численно равен току в этом сопро- тивлении и имеет то же направление, что и ток /. Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток /, а всю осталь- ную часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 2.18,а). Если в выделенную ветвь включить два одинаковых и противо- положно направленных источника ЭДС Е, ЭДС которых равна па- дению напряжения на сопротивлении R под действием тока / (Е — =IR-, рис. 2.18,6), то ток / в цени от этого не изменится. Убедимся, что разность потенциалов между' точками о н св схеме рис. 2.18,6 при этом равна нулю. Действительно, Ф.. = Ф« — //? + £ = % - IR -Н IR = %- Если ч’е“ Фи» то точки а и с можно объединить в одну, т. е. Закоротить участок ис и получить схему рис. 2.18, и. В ней вместо Сопротивления/? включен источник ЭДС Е. Схема, соответствующая второму варианту теоремы, изображе- на па рис. 2.18. а. Чтобы прийти к пей, заменим последовательно ^единенные R и /Дна участке ис (рис. 2.18, 6) параллельным соеди- нением источника тока / = E/R = I п сопротивления /?. Так как 1 Номер ветви сыинетсгвуег индексу ЭДС. 49 4'589
Рис. 2.19 Я) Uac = 0, то ток через Сбудет отсутствовать и потому /? можно удалить из схемы. Если ЭДС Е участка Ъс включить в состав источника тока, то получим схему рис. 2.18, г, где напряжение Uba = — IR. Пример 17. На схеме рис. 2.19, а даны значения /?(Ом), ЭДС £) (В) и токов /(А). Заменить /?з источником ЭДС и источником тока. Реш е н не, На рис. 2.19, б изображена схема с источником ЭДС Е = 2В. а на рис. 2.19, в — с источником тока J = 2А. § 2.18. Линейные соотношения в электрических цепях. Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной ветви, то две любые величины (токи и напряже- ния) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависи-' мостями вида у — а 4- Ьх. Функцию х выполняет ток или напряжение одной ветви, функ- цию у — ток или напряжение другой ветви. Доказател ьство. Согласно методу контурных токов, об- щее выражение для тока в ft-ветви записывается в виде (2.7). Если в схеме изменяется только одна ЭДС, например ЭДС Ет, то все слагаемые в(2.7), кроме слагаемого постоянны и могут быть для сокращения записи заменены некоторым слагаемым Ак. Сле- довательно, 4 = (2.12) Аналогично, для р-ветви Л = Ав + (2.13) Найдем Ет из (2.13): ~ Цр р)/ё рт и подставим в(2.12). Получим 1к = ак + ЬьГр. (2.14) где ak = Ak- A„gk^ bk gkn/gFm. Коэффициенты ак и bk могут быть ^“0. В частном случае либо ак, либо Ьк может быть равно нулю. 50
Рис. 2.20 Равенство (2.14) свидетельствует о том, что при изменении ЭДС £гатоки /4 и 1р связаны линейной зависимостью. Из теоремы компен- сации известно, что любое сопротивление можно заменить испиши ком ЭДС. Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эк- вивалентно изменению ЭДС Таким образом, линейное соотношение между двумя любыми токами (2.14) имеет место при изменении не только ЭДС Егп, но и сопротивления какой-то /л-ветви. Если обе части (2.12) умножить па сопротивление А-ветви /?Л и проделать аналогичные ом клади и; то можно убедиться в том. что напряжение Д'-ветви линейно связано с током в д-ветви. Коэффициенты ак и Ьк из (2.14) и в других подобных выражениях могут быть найдены расчетным или опытным путем. При опытном определении коэффициентов достаточно найти значения двух токов (соответственно напряжений) при днух различ- ных режимах работы схемы и затем решить систему из двух урав- нений с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте lk =и 1, = ^. а в0 втором /* Г 'и 11 }р = Тогда /А1 — ик 4- btIpi~, lk2 — ак Д- bklp2, Г1к [ __I /I ’ I 1 ‘р\ Если в схеме одновременно изменяются ЭДС или сопротивле- ния в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме (токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношени- ем вида у-—и + Ьх -|-cz. Доказательство этого соотношения проводится аналогично при- веденному ранее. Пример 18. На рис. 2.20, а изображена схема, и которой выделены три ветви. В ввгви / нклкмеп амперметр A i, в ветви 2 — амперметр Аг. В не гни 3 имеются ключ А' и сопротивление /?з. Если К разомкнут, го амперметр .4» показывает I А, ампер- метр — 5 А. При замкнутом ключе амперметр 4| показыняет 2 А, а амперметр ^2 — 4 А. При замкнутом ключе сопротивление fia изменили так, что показание амперметра Аз стало 4,5 А. Каково показание амперметра Ai в атом режиме? 51 4-
Решение. Выразим /, через /2: /( = а + blt. Составим уравнение для оире- л«.ления а и к 1 = а -р 56; 2 = а + 46. Отсюда а = би6 = — I. При /а = 4,5 А;Л — 6 — 4,5*1 = 1,5 А. Пример 19. В схеме рис. 2.20, б сопротивление R изменяется от нуля до беско- нечности. Вывести зависимость напряжения Ucd от напряжения Ugb. 3 г/ Решение. При разомкнутой ветви ab Ucd = —rj и Uab = — При коротком jS л 3 .41 замыкании ветви ab U . = -г/ и Uab = 0. Отсюда я = -г/ и Ъ = - Следовательно, 4 «5 о 4 1 Ucd = <5 <5 §2.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением сопро- тивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 2.21, а выделим ветви 1 и 2 с токами /t и /2, заключив остальную часть схемы вместе с источниками энергии в прямоугольник А (активный); проводимо- сти gtl и gm полагаем известными. Пусть сопротивление ветви 2 изменилось на Д/? (рис. 2.21, б), в результате чего токи стали Zi Д/| и /2 4~ A/а- В соответствии с теоремой компенсации заме- ним А/? на ЭДС Л£ = Д/?(/2 + Д/2), направленную встречно току /2. На основании принципа наложения можно сказать, что прираще- ния токов Д/( и Д/2 вызваны ЭДС Д£ в схеме рис. 2.21, в, в которой часть схемы, заключенная в прямоугольник, стала пассивной (бук- ва П). Так как схема внутренних соединений и значения сопротив- лений в схеме прямоугольника остались без изменений, то проводи- мости g12 и в схеме рис. 2.21, в имеют те же значения, что и в схеме рис. 2.21, а. Для схемы рис. 2.21, в имеем: Д/i = Afguj = §]2AZ?(72 “Ь А/2); Д/2 = 4" А/2), Знаки минус поставлены потому, что ЭДС ДЕ2 направлена встречно току /2. 52
Рис. 2.22 Отсюда _ ду ... _ I "Ь АЯ&22 1 > + Л^Й22 (2.15) Соотношения (2.15) позволяют определить изменение токов в ветвях / и 2, вызванные изменением сопротивления в ветви 2. Пример 20. В схеме рис. 2.21 g22 ~ 5/26 См, gia=3/26 См. Токи 1\ — 7 А, /г = ЗА. Определить теки/| и /г после того, как сопротивление второй ветви возросло на Л/? = 1 Ом. Решение. По формулам (2.15), Д/, = — 0,29 А, Д/2 = — 0,483 А: = /, + А/! = 6,71 А, /2' = /2 4- Д/2 = 2,517 А. § 2.20. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники ЭДС и источники тока, одной эквивалентной. Расчет сложных схем упрощается при замене нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих источники ЭДС, источники тока и сопротивления, одной эквивалентной ветвью. Участок цепи рис. 2.22, б эквивалентен участку цели рис. 2.22, а, если при любых значениях тока /, подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы, напряжение на зажимах а и b (Uab) в обеих схемах одинаково. Для того чтобы выяснить, чему равняются /?3 и Es, составим уравнения для обеих схем- Для схемы рис. 2.22, а но /. = <£. — = (£, — f/^)ffl; 4 = (Е2- Ueb)g* (2.16) /я = (£„ - Uob)g, 53
(2.16а) Следовательно, *-а । A--I »--1 I где л — число параллельных ветвей с источниками ЭДС;<у — число параллельных ветвей с источниками тока. Для схемы рис. 2.22, 6 (2.17) >/Я.- Равенство токов / в схемах рис. 2.22, а, б дол жно иметь место при любых значениях Uab, а это возможно только в том случае, когда коэффициент при Uat>(2.17) равен коэффициенту при Ullk в(2.16а). Следовательно, п (2.J8) ь- । Если слагаемые с в (2.16а) и (2.17) равны и токи / по условию эквивалентности двух схем также равны, то п <? откуда +27* /' * -1 1 (2.19) ъ п *= I Формула (2.18) дает возможность найти проводимость gs и но ней ₽,всхемерис.2.22,б. Изэтой формулы видно, что проводимость g3 не зависит от того, есть в ветвях схемы рис. 2.22, а ЭДС или нет. При подсчетах по формуле (2.19) следует иметь в виду следую- щее: 1) если в какой-либо ветви схемы ЭДС отсутствует, то соответ- ствующее слагаемое в числителе (2.19) выпадает, но проводимость этой ветви в знаменателе (2.19)остается; 2)если какая-либо ЭДС в исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на рис. 2.22, а, то соответствующее слагаемое войдет в числитель фор- мулы (2.19) со знаком минус. Ветви схемы рис. 2.22, а, б эквивалентны только в смысле пове- дения их по отношению ко всей остальной части схемы, не показан- ной на рисунке, но они не эквивалентны в отношении мощности. 54
a b Рис. 2.23 выделяющейся в них. Качественно поясним это. В ветвях схемы рис. 2.22, а токи могут протекать даже при / = 0, тогда как в ветви ab рис. 2.22, б при I — 0 ток и потребление энергии отсутствуют. Пример 21. Заменить параллельные ветви рис. 2.22, в одной эквивалентной. Дано:./:/ = 10 В;£/' = 30 B;£s = 40 В;£з = 60 В; Ri — 2Om;/?s = 4Ом;/?з = I Ом; /?4 = 5Ом; ] = 6А. Решение. Находим: gj =. 0,5 См; д2 = 0,25 См; g3 — 1 См; g4 = 0.2 См; Дэ = -— - 0 5 + 0,25 + 1 410,2 “ °’513 См; J ZEkgk~f _k^i_______ (10 - 30)0,5 - 40-0,25 + 60-1-6 _ ’ 195 Таким образом, для эквивалентной ветви рис. 2.22, б Я5 = 0,513 Ом; £э = 18,4 В. §2.21, Метод двух узлов. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла; на рис. 2.23 изображена одна из таких схем. Наибо- лее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов. Под методом двух узлов понимают метод расчета электриче- ских цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Расчетные формулы этого метода получают на основе формул (2.16а) и (2.16); их также можно просто получить из более общего метода — метода узловых потенциалов (см. § 2.22). В отличие от схемы рис. 2.21, «ток 1 к узлам а и b схемы рис, 2.23 не подтекает. Поэтому если в формуле (2.16а) принять / = 0, то из Нее может быть найдено напряжение между двумя узлами: 55
^kSk + (2.20) После определения напряжения Unb находят ток в любой (л-й) ветви по формуле /„ = (£„ — Uab)gn. Пример 22. Нзйтн токи в схеме рис. 2.23, и сделать проверку баланса мощности, если £ = 120 В, £3 = 50 В, Ri = 2 Ом, /?а = 4 Ом. 7?з = 1 Ом, /?4 -- 10 Ом. Решение. Определим токи в схеме рис. 2.23: 120-0,5 — 50*1 _»0^51С. пА 0,5 + 0,25 + I 0,1 ’ 1,85 • ’ /,={£,- Uob}fRt *= (120 - 5,4)/2 = 57,3 А; /2 = (£2 - Uab}fRq = (0 - 5,4)/4 = - 1,35 Л; /3 — — 55,4 А; /< = — 0.54 А. В схеме потребляется мощность /|/?! + /|/?2 4- /X} + = 57.3S-2 4- 1,352-4 + 55.42-1 + 0.542-10 « 9647 Вт. Источники ЭДС доставляют мощность £|/, — £3/3s 120-57,3 + 50-55,4 = = 9647 Вт. § 2.22. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических це- пей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораснределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять по- тенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшает- ся с п до п — 1. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод явля- ется более экономным, чем метод контурных токов. Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять <р4 = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: q>p ф2, ф3. Для единооб- разия в обозначениях условимся в §2.22 токи писать с двумя индек- сами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток уте- кает, второй индекс — номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего 56
Рис. 2.24 с входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рас- сматривались в §2.15. В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла; V - Л/' + к'" - V + f2l" 4- /31 = О, или [£<|' — (<pj — — 1£ц" — (ч>4 — <Pi)l£n" + [0 “ (ф[ — <Рг)!Х XgB"' - 12' - (<Р, - <Pi)te,2' + -№i" - (<P| — Ч-’Ж/' + [£31 — (<Pi — 4>a)tei3 = О- Перепишем последнее уравнение следующим образом: Ф|^Гц “Ь 4* Фз^13 = (2-21) = gii 4- Sts + §J2W + St" 4- §12' 4- Gl2 та (§12 4" §12 ' + G|3 = g|3; Л| = ^4l7§4l 4“ 4* ^2l”§2l ' ' ^-V2 g\2 Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема им еет п узлов,то ей соответствует систем а из п — 1 уравнений: ЧР|^и + 4~ 4- фл-|С|,Я„| = /и. *Г I ^21 4- <p2G22 + 4- Ч>„ _ /л>,л. i = -^га (2.22) Ч'!^- М 4“ ’f:i2^n -l,2+ + фп_|бп_1я_] = /я_1я_|. 57
В общем случае — сумм а проводимостей ветвей, сходящих- ся н узле ft; Gfrm — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы ft и т, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветв^ отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока ft-узла Jk!f участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС Ег р-встви направлены к ft-узлу, то ее вклад в формирование Jkk равен Е^г, а если эта ЭДС направлена ог ft-узла,то ее вклад составляет — ЕГЕГ Если Kft-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в Jfttco знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в Ju со знаком минус. После решения системы (2.22) отно- сительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. В том случае, ко-да в схеме Имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно пул to, перед составлением системы уравне- ний по методу узловых потенциалов одно из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в §2.24 Система уравнений (2.22) может быть представлена в матрич- ной форме записи: IGJM = (/„], (2.22а) G„ 012 ' Oi.n—1 ' Ой,п — 1 [G) = |,| Grt— 1,2” Од — l,n— I Л - 1.Л - 1 Ее решение [<T1 = |GMAJ (2-226) Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходят так, что тепловая функция системы Р = г) Z/ V=1 3,3... m=l,2.3„. минимальна Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство осгоьано на том, чтс совокупность уравнений (2.22) является совокупностью условий минимума функции Р. 58
1 дР \дР 1, е. совокупностью условий g"^- = 25ф~= ®Рт'л* ^ак как вт0Рые прои лод,.1не 1 &^р 1 — — = G.t>-0 ——- = G22>0 положительны, то это н является доказательством 2 3q>i 2 минимума теп. ювой функции Р Пример 23. Не 1ти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму закону Кирхгоф". Дано: £41'= Ю В;£ц" = 6B;£i/' = 20В;£2|" = 30B;£ai = ’4 В; 'й = 10= 8B;£‘< =f 12В;Ъзд' = 7B;/f4/ = 1 О t;₽i4" = 2рм; tf,a' = НОм; Rat"' = 5Ом; A31 = 2Ом; R25 “ 4 Ом; R& = 2 Ом; /?гз" = 4 Ом; Rtf = 2 Ом. Источ- ник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток А: = 1,5 А. Решение. Записываем систему уравнений: Vi^n + VjGjj 4 ’Рэ^з^/ц; *₽1®21 4" Ф'/'И! 4" ^3^23 “ Лй; Ф ’31 4" г,2^32 4* "3^33 = ^33. Подсчитываем проведи «ог*ти: 6ц = в » 4* р w 4* /4” // 4~ 0 т 4" „ = 2,4 Е и; «41 «14 «12 «21 «21 «31 С23Г^^4-Б^ + ^г^ + ^ + -^4--]7-^= 1,4См; «12 1 «21 «24 «32 «23 °33 = ’ Ч 4- 4- ТГ- 4-J- = МИ См; «32 23 «31 «13 G12 = G3| = - 4-^+ ,’—4 Чу = -0,4См; 21 J2 «1J 613 = G31 г- — О-“ — ж& См: «3: с23 = с32 = - (°>25 4- 0.5) = - 0,75 См. рг.БНО При подсчете G^ и Ga учтено, что проводил.ос'''к ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока бесконечности). Узловые токи: ^4 ^\l’ ®31 &211 z*'“/ -‘А+д “р^ + /77=15А: «41 «14 i| «12 «21 , Езг , Eis £зГ . '22= ? /“₽ -"4- » 7~в н — т~4 /32— “ «32 «23 «12 «°1 «24 JM = - 3,0 + 3 - 7 + 4 — 1,5 = - 5 А. Система уравнений 2,4ф| — 0,4ф2 — 0,5фз = 15; — 04ф, 4 l,4q>2 — 0,75ф3 = — t,5; — 0.5ф| — 0,75ф2 + 1,75фэ = — 5 имеет решение ш, = о В; <р2 —• 0,06 В; <f3 = — 1 ,G7 В. 5ff
Заключительный этап расчета состоит а Подсчете токов по закону Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и ныбра гь для них положительные направления: e4l' - (<₽1 - ®4> i0"^-°b4A; ^Ti' Ч>й — Ф| «21 . , <р3 - Ч?2 + Е3,' ____ . Ф4“Ч'3 + С43 /32' =-----—-------= 2,92 А; /43 =------------4,55 А ч т д. «за «4.1 Сделаем проверку решения по втарсчу закону Кирхгофа для периферийного контура. Алгебраическая сумма падений напряжений 4-i + 1,185-5 — 2,92-2 — -4,55-2 и - 5 Б Алгебраическая сумма ЭДС 10 — 7 — 8= — 5 В. Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов полу- чается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел схемы (рис. 2.23), например узел Ь, заземлить, то остается начти только один потенциал <рл = Для получения формулы (2.20) из (2.22) следует положить <pt = гр == L*efr; ч>2 = <р3 — гр4 = ... — 0. § 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение тред сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивле- нии так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26), — треугольником, в узлах /, 2,3 (потенциалы их <рк ф? и <р3) треуголь- ник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках). Обозначим токи, подтекающие к узлам /, 2,3, через /,, /2 и /3. Часто при подсчете электрических цепей сказывается полез- ным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовы- вать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи оди- наковы, то вся внешняя схема «незаметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой мелью выразим токи /, /2 и /3 в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости. Для звезды Л + /? + /3 = 0, (2.23) но Л = (ф) — <Го)« t i 4 = (’Г-2 — Tofe "з = (Фз — Фо)£з- (2.24) 60
Подставим (2.24) в (2.23) и найдем ф0: <₽i£i + <Pi£2 + Фз£з - Фо(£1 + £а + £3) = О, откуда _ Ф>Д1 + Фг£э + ФзЯз (2.25) Фо_ g|+g2 + g3 Введем <р0 в выражение (2.24) для тока , , , [<₽i(g2 4- £з) “ Фаё2 - Фз£з&1 (2.26) /, - Vu)g| = —------- ------------------. :ч| g2 т £з Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26 /^^12~^31==(ф|” Фг)&12—(фз—Ф1)£1Э=Ф|й>|24"Яз)~’ФзЯ13—ФйЯ1Й- (2.27) Так как ток ft в схеме рис. 2.25 равен току Ц в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов <pj, <р2, <р3, то коэффициент при ф2 в правой части (2.27) равен коэффициенту при <р2 в правой части (2.26), а коэффициент при <р3 в правой части (2.27) — коэффициенту при ф3 в правой части (2.26). Следовательно, £12 = + gs + £зХ (2.28) £1з = gig3/(g, + £2 + £з)- (2.29) Аналогично, £23 = £i£j/(£i + £» + £з)- (2-30) Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить прово- димости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру; индексы у проводи- мостей в числителе правой части соответствуют индексам у прово- 61
днмости «девой части; в знаменателе — сумма проводимостей лу- чей звезды. Из уравнений (2.28) — (2.30) выразим сопротивления лучей звезды /?, = 1 /#,; Rt = 1/£а и R3 = 1 /#а через сопротивления сторон треугольника: К12 = i/#(2; R.a = - 1Д'2{; /?13 = 1/#13. С этой целью запишем дроби, обратные (2.28) — (2.30): I ] | ^1^2 4" «2«з + «3«1 т <2-31> I ~~R3 «I R2 RtR3 где in = + R2Ra + RjRp = m/ RJ3 = nt/ R2. (2.32) (2.33) (2.34) Подставив (2.31), (2.33) и (2.34) в(2.32), получим _ ?( 1 । 1 1 ) S«12 + «23 ~Ь «31 ^«23«13 «13«12 «12«2з) «12«23«31 Следовательно, «12«23«31 «12 + «23 + «31 Подставив т в (2.33), найдем Аналогично, ____/?12«.з1 (2.35) 1 Л12+«234-«Э1 «23«12 (2.36) «12+«2э+«31 «13«2з (2.37) *3=«12+«23+«3|' Структура формул (2.35) - - (2.37) аналогична структуре фор- мул (2.28) — (2.30). Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рас- смотрев, например, схему рис. 2.27, а, б. На рис. 2.27, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый тре- угольник. На рис. 2.27, б представлена та же схема после преобра- зования. Расчет токов произвести для нее проще (например, мето- дом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а. В полезности преобразования звезды в треугольник можно убе- диться на примере схем рис. 2.27, в, г. На рис. 2.27, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в 62
Рис. 2.27 треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после пре- образования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений1. Пример 24. Найти значения сопротивлений /?i, Rz, Rs в схеме рис. 2,27, б, если сопротивления Ru, J?is, R32 в схеме рис. 2.27, а равны соответственно 2,3,5 Ом. Р е ш е н и е. По формуле (2.35}, R]=2-3/(2-p3-|-5)=0,6 Ом; по формуле (2-36). /?2=(Б 2)/10= 1 Ом; по формуле (2.37), /?э=(3-5)/10=1,5 Ом. § 2.24. Перенос источников ЭДС и источников тока. На участке цепи рис. 2.28, а между узлами а и b имеется источник ЭДС Е. Этот источник можно перенести в ветви / и 2, а узел а устранить и в результате получить участок на рис. 2.28, б. Эквивалентный пере- ход поясняется рис. 2.28, в. Точки с, 4, b имеют одинаковый потен- циал и потому могут быть объединены в одну точку Ь. Рис. 2.28 1В§3.31 рассмотрен еще один вид преобразований — преобразование последо- вательно-параллельного соединения в параллельное. 63
Участок abc на ряс. 2.28, г, между крайними точками а и с которого включен источник тока, может быть заменен участком рис. 2.28, д, отличающимся от участка рис. 2.28,г тем, что источник тока между точками а и с заменен на два источника, присоединен- ных параллельно Я, и Эквивалентность замены следует из неиз- менности значений токов в каждом из узлов. Ток в узле b не изме- нился, так как в этот узел добавили и вычли ток J. Практически источники переносят при преобразованиях схем с целью их упроще- ния н при записи уравнений по методу контурных токов и узловых потенциалов в матрично-топологической форме записи (см. § 2.33). §2.25. Активный и пассивный двухполюсники. В любой электри- ческой схеме можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы независимо от се структуры и сложности условно изобразить некоторым прямоугольником (рис. 2.29, а). Та- кой прием был использован в § 2.17 без специальных объяснений. По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная прямо- угольником, представляет собой так называемый двухполюсник. Таким образом, двухполюсник - по обобщенное название схе- мы, которая двумя выходными зажимами (полюсами) присоедине- на к выделенной ветви. Если в двухполюснике есть источник ЭДС или(и)тока, то такой двухполюсник называют активным, В этом случае в прямоугольни- ке ставят букву А (рис. 2.29, а — о). Если а двухполюснике нет источника ЭДС н (или) тока, то его называют пассивным. В этом случае в прямоугольнике либо нс ставят никакой буквы, либо ставят букву П (рис. 2.29, а). § 2.26. Метод эквивалентного генератора. По отношению к вы- деленной ветви двухполюсник можно заменить эквивалентным ге- нератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсника. Пусть задала некоторая схема и требуется найти ток в одной ее ветви. Мысленно заключим всю схему, содержащую ЭДС и сопро- 64
тивления, в прямоугольник, выделив из нее ветвь ah, в которой требуется найти ток / (рис. 2.29, д). * Ток / не изменится, если в ветвь ab включить две равные и противоположно направленные ЭДС £, и £г(рис. 2.29,6). На основании принципа наложения ток можно представить в виде суммы двух токов Г и /": / = Г+1". Подтоком /'будем понимать ток, вызванный источником ЭДС £i и всеми источниками ЭДС и тока активного двухполюсника, заключенными в прямоугольник. Ток I" вызывается только одним источником ЭДС £2. В соответствии с этим для нахождения токов /' и /" используем схемы рис. 2.29, в, г. В прямоугольнике // (рис. 2.29, г) отсутствуют все источники, но оставлены их внут- ренние сопротивления, ЭДС £г направлена встречно напряжению Uat. По закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, /' = (t/ei-£,)//?. (а) Выберем £, так, чтобы ток Г был равен пулю. Отсутствие тока в ветви аЬ эквивалентно ее размыканию (холостому ходу). Напря- жение на зажимах ab при холостом ходе ветви обозначим t/n/n. Следовательно, если выбрать то /'—О. Так как / = Г+1", а /'=0, то / =» /".Но ток /" в соответствии со схемой (рис.2.29,г)определяется как /" « £2 / (/?+/?J = Uebx / (6) где Rm— входное сопротивление двухполюсника по отношению к Зажимам ab; R — сопротивление ветви ab. Уравнению (б)отвечает эквивалентная схема рис. 2.30, а, где вместо двухполюсника изо- бражены источник ЭДС 1/яЬя=£2в сопротивление Rm (схема Гель- мгольца — Тевенена). Совокупность источника ЭДС £z=(/efcx п сопротивления R,n Можно рассматривать как некоторый эквивалентный генератор (Rn является его внутренним сопротивлением, a U„,„ — его ЭДС). Таким образом, по отношению к выделенной ветви(ветви ab рис. 65
2.29, а) всю остальную часть схемы можно заменить эквивалентным генератором с перечисленными значениями параметров. Метод расчета тока в выделенной ветви, Основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором, принято на- зывать методом эквивалентного генератора (активного двухполюс- ника), а также методом холостого хода и короткого замыкания. В дальнейшем чаще используется первое название. Рекомендуется такая последовательность расчета тока этим методом: а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви ab\ б) определить входное сопротивление /?„ всей схемы по отноше- нию к зажимам аЬ при закороченных источниках ЭДС и разомкну- тых ветвях с ниточниками тока1; в) подсчитать ток по формуле I - / (*+*«) (2-38) Если сопротивление ветви ab равно нулю (R—0), то для нее имеет место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток есть ток короткого замыкания (/„). Из (2.38) при /?=0 (2.39) или *„-<4*/Ас (2.40) Из формулы (2.40) следует простой метод опытного определе- ния входного сопротивления активного двухполюсника. Для этого необходимо измерить напряжение холостого хода на зажимах разо- мкнутой ветви (/п6х и ток короткого замыкания /к ветви, а затем найти /?„ как частное от деления Ualn на /к. Название метода — метод холостого хода и короткого замыка- ния — объясняется тем, что при решении этим методом для нахож- дения Uabx используется холостой ход ветви ab, а для определения входного сопротивления двухполюсника /?„—.короткое замыка- ние ветви ab. Заменив источник ЭДС источником тока, получим схему экви- валентного генератора в виде рис. 2.30, б. Пример 25. Определять ток в диагонали ab мостовой схемы рис. 2.31, а, полагая I Он; /?2=™4 Ом; Ом; Rs=2 Ом; Et=IO В. Решение. Размыкаем ветвь об (рис. 2.31,6) и находим напряжение холостого ' хода; ^1^2 ^1^1 ч>«=-“ 'Еслисреди источников питания схемы есть источники тока,то при определении входного сопротивления всей схемы по отношению к зажимам ab ветви с источни- ками тока следует считать разомкнутыми. Это станет понятным, если вспомнить, что внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности (см. § 2.2). 66
( 1 ” Ф*+£1 + ( R2 ) - <r« fh - £«^2+/f< - я1+/^ - l0^+l 1+2) ~467 B Подсчитываем входное сопротивление всей схемы но отношению к зажимам аЬ прн закороченном источнике ЭДС{рис. 2,31, в). Точки с и d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому |Дз ^2^4 _ 1-2 4-1 «(+«3 " R2+R< ~ 1+2+4+1 = 1,47 Определяем ток в ветви но формуле (2.38): '= 4,»x/<ft5+*w)« 4.67/(2+1.47) = 1.346 А, § 2.27. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке. Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (см. рис. 2.29, а ),то через нее потечет ток/ = t/n6x/(/?+/?„,)и ввей выделится МОЩпОС.ТЬ и2 P = i2R =----(2.41) (Я+*«)2 ' ’ Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивле- нием нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника чтобы в сопротивлении нагрузки выделялась максимальная мощ- ность; чему она равна и каков при этом КПД передачи. С этой целью определим первую производную Р по R и приравняем ее нулю; dP (₽+Дя,)г-2Д(Д+Явх) Отсюда /? = /?„. (2.42) Нетрудно найти вторую производную и убедиться в том, что она отрицательна (d2P / d/c<:0). Следовательно, соотношение (2.42) со- ответствует максимуму функции P=f(R). Подставив (2.42) в (2.41), получим максимальную мощность, которая может быть выделена в нагрузке /?: <2.43) Полезную мощность, выделяющуюся в нагрузке, определяют по Уравнению (2.41). Полная мощность, выделяемая эквивалентным генератором. 67 5‘
Коэффициент полезного действия n = /7Pm. = «/(HU (2-44) Если Ц=/?ы, то т]—0,5. Если мощность Р значительна, то работать с таким низким КПД, как 0,5, недопустимо. Но если мощность Р мала и составляет всего несколько милливатт (такой мощностью обладают, напри- мер, различные датчики устройств автоматики), то с низким КПД можно не считаться, поскольку достигнута главная цель — в этом режиме датчик отдает нагрузке максимально возможную мощ- ность. Выбор сопротивления нагрузки /?, равного входному сопро- тивлению активного двухполюсника, называют согласованием нагрузки. Пример26. При кеком значении сопротивления Яз(рнс. 2.31, а)внем выделяется максимальная мощность и чему она равна? Решение. Из условия (2.42) находим /?6=йек™1,47 Ом; = ^Ьх/(4ЛВК)-4,б72/(4.1,47) = 3,71 Вт. § 2.28. Передача энергии по линии передач. Схема линии пере- дачи электрической энергии изображена на рис. 2,32, где — напряжение генератора в начале линии; U2 — напряжение на на- грузке в конце линии; — сопротивление проводников линии; /?2 — сопротивление нагрузки. Напряжение Ut = 17о(|(рис. 2.32) неправлено противоположно ЭДС £. Объяс- няется это тем, что напряжение имеет направление от точки с более высоким потен- циалом к точке с более низким, тогда как ЭДС направлена от точки с более низким потенциалом к точке с более высоким, т.е. стрелка внутри источника ЭДС указывает направление возрастания потенциала внутри источника. При передаче больших мощностей (например, нескольких де- сятков мегаватт) в реальных линиях передач КПД т]=0Д4-г-0,99, а напряжение U2 лишь на несколько процентов меньше Ut. Ясно, что каждый процент повышения КПД при передаче больших мощно- стей имеет существенное экономическое значение. 68
Рис, 2.32 Рис. 2.33 Характер изменения мощности в начале линии Р1( мощности в нагрузке Р2, КПД и напряжения на нагрузке (7а в функции от тока по линии при (/f=const, /?„==const иллюстрируется кривыми рис. 2.33, а. По оси абсцисс на этом рисунке отложен ток 7, по оси ординат — Р,, Рг, U2, 4. Максимальное значение тока /miix= (/]//?„ имеет место при ко- ротком замыкании нагрузки. Кривые построены по уравнениям R.l R2 (2.45) Если полинии передачи с сопротивлением /?л и сопротивлением нагрузки должна быть передана мощность />,-/% (а) то КПД передачи тем выше, чем выше напряжение Ut в начале линии. Пример 27. Вывести формулу, показывающую, как при заданных Рг и Rn КПД зависит от напряжения в начале линии. Решение. Из(а)онределнм /?2=Р2//. Так как l=Ul/(R„+R2), то О* (б) Решим уравнение (б) относительно Л2|знак минус в формуле (в) перед корнем отброшен, так как он соответствует правой части кривой P2=f(?) с меньшим т|]: Таким образом, ^в , Яа+/?л—К, ___________________ t П ^л+^2 Йл+Яз yi П Ц 2^+V 2/^-1 (В) (г) 69
На рис. 2.33, б изображена зависимость n =f(Ut /^2PsRx). построенная ц0 формуле (с). Из рисунка видно, чточ возрастает с увеличением Ui. § 2.29. Некоторые выводы по методам расчета электрических цепей. 1. Наиболее эффективными являются метод узловых потен- циалов (МУП) и метод контурных токов (МКТ). 2. Методика состав- ления уравнений этими методами, рассмотренная в § 2.13 и 2.22, проста, упорядочена и позволяет легко контролировать правиль- ность подсчета коэффициентов левой и правой частей уравнений непосредственно по схеме. 3. Системы уравнении МУП и МКТ ре- шают обычно с помощью средств, всегда имеющихся под рукой (микрокалькулятора или логарифмической линейки), а относи- тельно сложные схемы рассчитывают, используя ЭВМ. 4. Уравне- ния теории цепей могут быть составлены и матрично-топологиче- ским методом, использующим некоторые топологические понятия и соответствующие им матрицы. Рассмотрим, как это делается. Но сначала напомним некоторые сведения о матрицах. § 2.30. Основные свойства матриц и простейшие операции с ними. Матрица — это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы от- личать матрицу ио внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответст- вует номеру строки, второй — номеру столбца. Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов И1 Он а12 а,3 «21 a2i «31 «32 «33 Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные — нули, например: Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все осталь- ные — нули, называют единичной: I 0 0 П]= о । о О 0 I Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки я любого столбца равна нулю. Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. Матрица (Л | равна матрице (В] = , если Д(]=Й|], в 12—bf2, —б2), ^22^^22- У равных матриц равны определители. В рассматриваемом примере дцО22— —«12О81=бцб22—612621, но из равенства двух определителей еще не следует равен- ства самих матриц. Операции над матрицами (их сложение, умножение) постулнро- 70
ййяы нэ соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует дожить (вычесть) соответствующие элементы этик матриц: йп+сп й1г+б12 Й2г+С21 й22^22 Оц Д12 Й21 Йй2 СП с)2 С21 С22 При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй) i-ю строку первой матрицы умножают на А-й столбец второй. Ум нежим две матрицы, элементами которых являются числа ИЖС] = Г1 21 Г5 61 _ Г1-5+2-7 1-6+2-81 |з 1 |7 8] “ I3-5++7 3-6+4-в]' Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [A] [S] =А= ^t[Sj[A|, г. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположе- ния матриц сомножителей. По отношению к матрице [А], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу [А]- - Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [А] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т.е. строки сделать столбцами; в)рязделнть полученную матрицу на определитель исходной матрицы [А]. Пример 28. Составить [А]~1 для [А] = ^1. Решение. Заменив элементы на алгебраические дополнении, получим мат- [tO2^ -“OStl г, Г 022 —aisl _ I. После транспонирования имеем | I. Следовательно. —ai2 oiij r |—C2i «п1 «22 ““wl ~a.zJ_2Hl. cHa22—a12a2l Произведение [АЦА] '=[ 1]. Для решения уравнения |А][б]-=(С]отвосительноматрнцы [В]следуетобе части этого уравнения умножить на (Al- :(А|~[А]|Вр=[А] ’|С] и учесть, что(А1 ИМЧ- В результате получим [В]=[АрДС). В матричном уравнения [A][Xp^O можно пере- ставлять столбцы в матрице [А] при одновременной перестановке строк в матрице [Л]. § 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы. Положим, что в схеме имеется у узлов и в ветвей и каждая пара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между какими-то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей, то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических матриц ветви схемы (графа) нумеруют и на них ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления для отсчета тока инапряжения на каждой ветви. Переднумерацией ветвей графа нужно выбрать дерево. Как указывалось в§ 2.8, дере- во представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют ин одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равной—I). Ну- мерацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, ис- пользуя номера с 1 по у—1. Номера су под придают ветвям графа, не вошедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или хордами. В качестве примера на рис. 2,34, а изображена схема, а на 71
Рис. 2.34 рис. 2.34, б — соответствующий ей граф. Схема имеет четыре узла и шесть ветвей. Узлы обозначены цифрами / -4 (рис. 2.34, б). На рис. 2.33, в показано дерево, которое положено далее в основу фор- мирования топологических матриц. Ветви дерева обозначим цифрами Л 2,3, остальные ветви графа (ветви связи) — цифрами^.5,6. Ветви дерева рис. 2.34, г вычерчены утолщенными линиями, ветви связи — тонкими. На ветвях графа ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, в, г). Узло- вую матрицу [Л] составляют для всех узлов графа, кроме одного. В этой матрице номер i-й строки соответствует номеру узла, а номер /-гостолбца — номеру ветви. Вячейкиматрицы[Л)ставятчисла I,—1,0. Если узел, для которого составляется строка матрицы, охватить некоторой поверхностью, след которой показать кружком, то в со- ответствующую ячейку матрицы [Л] ставят 1, если стрелка /-ветви направлена из кружка, ставят — 1,если стрелка направлена в кру- жок, и 0, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле 4 (рис. 2.34, б): , Ветви Узлы 12 3 4 5 6 _ । Г ( о о —1 о -1 " 2 -110 0 1 О' 3 О 0 1 0-1 1 Заметим, что матрица [4] может быть представлена двумя подмат- рицами: Узлы Ветви Ml- ? to-i) д, д2 Матрицу сечений (<?] составляют для любых сечений графа, а матрицу главных сечений [QJ — для главных сечений выбранного 72
1ерева. След сечений на рисунках показывают овалами, вычерчен- 'яЬ|МИ тонкими линиями. Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного 1ерева. Главные сечения нумеруют. Номер главного сечения соот- ветствует номеру рассекаемой этим сечением ветви, дерева. Для графа рис. 2.34, б главные сечения показаны на рис. 2.34, г и обоз- начены цифрами /, 2. 3. Сечение / рассекает ветвь / и ветвя связи 4 н 6, сечение 2 — ветвь 2 и ветзи связи 4,5, 6(ветвь / целиком входит в овал 2 и не рассекается им), сечение 3 — ветвь 3 и ветви связи 5 и (5. Строки матрицы [фг] соответствуют сечениям, а столбца — вет- вям графа. В ячейках соответствующей строки матрицы [Q,.J ставят 1 для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности это- го сечения (след этого сечения на плоскости — овал), так же как и стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ставят — I, когда ветвь связи не рассечена — 0. Применительно к дереву рис. 2.34, в для главных сечений (рис. 2.34, г): Ветви » Сечения 12 3 4 5 6 1 Г I 0 0-1 О -I ’ [QJ = 2 0 1 0-1 1 -I . 3 0 0 -1 0 -1 1 В общем случае матрица [QJ может быть представлена в виде двух матриц: Сечения Ветви l-fef— I) .(/...в !<?.] = । Cv-l) Qi Qa Каждая строка [QJ имеет только ни одному элементу t и нахо- дится он на главной диагонали, поэтому [QJ представляет собой единичную матрицу [ I ] и [Qr]=[l:Q2J. Главными конг у рами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контуры теми же номерами» какие присвоены ветвям связи в них. Главные Контуры 4,5,6дерева рис, 2.34,в изображены на рис. 2.35. Толстыми линиями показаны ветви дерева, тонкими — ветви связи. Матрицей главных контуров [ ЛС, ] называют матрицу, составлен- ную из чисел 1, — I, 0, строки которой соответствуют номеру глав- 73
Рис. 2.35 Рие. 2.36 кого контура, а столбцы — номеру ветви. Главные контуры при составлении матрицы (KJ обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку |/(г] ставят 1, если не совпадает, то —1, если ветвь не обходится, то 0. Для контуров 4, 5, 6 рис. 2.35: Ветви Контуры 1 2 3 456 4 Г1 1 0 10 0 5 0—1 1 0 10’ 6 1 1-1 0 0 1 В общем виде матрица [/Сг] может быть представлена в виде двух подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов: 1М = Контуры 1-..(р—1) Так как номер строки.(номер контура) в(/С2] определяется номе- ром его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы [К21 имеет только один элемент 1, расположенный на ее главной диаго- нали, т. е. [К2] представляет собой единичную матрицу [1], а § 2.32. Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топо- логических матриц. Совокупность уравнений по первому закону Кирхгофа может быть записана следующим образом: И ](/.] = о, (2.46) где [/J— матрица-столбец (транспонированная матрица-строка) токов ветвей. Для графа рис. 2.33, г 74
I о О —I О —Г -110 0 1 о 0 0 1 0-1 1 Совокупность уравнений по второму закону Кирхгофа может быть записана так; IXJlt/J-O» (2.47) где[141— матрица-столбец (транспонированная матрица-строка) напряжения ветвей. Для графа рис. 2.33, г I I о too1 0—1 1010 1 1—1001 §2.33. Обобщенная ветвь электрической цепи. В литературе, использующей матрично-топологическое направление теории це- пей, вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис. 2.36). Она образована двумя параллельными ветвями. Первая со- стоит из сопротивления ветви (проводимость g„) и источника ЭДС Ев, вторая — из источника тока /в. Для принятых на рис. 2.36 положительных направлений токов ток через сопротивление /?„ ра- вен /я + Напряжение между точками а и b ветви обозначим U*. Тогда, ио закону Ома для участка цепи с ЭДС, 1Ув + Ев-ад. + Л) (2.48) ял и (2.49) § 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой обобщенной ветви схемы, а также н для совокупности ветвей, вхо- дящих в любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2.48) для всех ветвей, входящих во все главные контуры: [ К, J [ 4-1 К, ] IЕ .1 = Ю «/ J 4- [АЙ, (2.50) где Л «г l*J= диагональная матрица сопротивлений ветвей. Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений лю- бого замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому 75
К1 Ж] = 0- Кроме того, матрица-столбец токов ветвей (/„] может быть записана через матрицу-столбец контурных токов {/н| и транспонированную матрицу главных контуров [Х,]г: [4WKJ4U (2-51) При этом полагаем, что контурный ток каждого главного конту- ра направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого кон- тура. Контурные токи /&5, схемы рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35. Для этой схемы Л 12 к f6 1 I О I о о О I —I I I -1 о о 1 о О I f44 *5& ^66 Отсюда Л — — li4 /55 + /(»• — 7К — Ц — — /бб! /б — Подставив (2.51) в (2.50), получим 1ШПМШ = - IM [7?в11/J (2.52) Произведение [7?,] |7(г]* = [/?] — это матрица контурных сопро- тивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от у до в, то ^УУ Яу.у + 1 ... ^ул |Д|_ ^> + 1.у ^у + 1,У+1'" ^y + U ^в,у ^ь.у-|-1 ^в,в где Rm т — полное сопротивление /л-контура; R„.n — сопротивле- ние ветви (ветвей) смежной между /п- и л-контурами; берется со знаком плюс, если контурные токи /тп1 и /пп текут через смежную ветвь согласно, и со знаком минус, если встречно. Для рис. 2.34, г, полагая сопротивления ветвей Rt — имеем Р?1 = ^44 ^45 ^46 ^55 “li5 Л । + ₽2 + ~^2 #1 Ri + R2 -(Яг + «з1 Я<(+ #5 + ^3 Запишем решение (2.52)относительно|/м|: I4J = {1£,1|/?ЛА;ГГ' 1М1£я]Ч/?ЖВ. (2.53) 76
§ 2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с по- мощью топологических матриц1. Совокупность уравнений (2.49)для у — I узлов схемы заменим матричным уравнением И1141 + IА ] [ / в] = [ А ] [g J [ i/J + М ] [gj [ £ J По первому закону Кирхгофа, [Л ][/„] = 0. Матрицу-столбец напря- жений ветвей можно записать через транспонированную мат- рицу И] и матрицу-столбец потенциалов незаземленных узлов[<р], т. е. в видеЩ,] — [Л]т[<р]. Для рис. 2.34, г, полагая узел 4 заземлен- ным, имеем 'Ft <1'2 Фз Действительно, Uy— Ф) 4-2’ Фа» ^з=Фз> ^4= 4i> ^5= Фг Фз* ^’бФз—Фг Таким образом, система уравнений метода узловых потенциалов запишется так: И][^1И1т[ф]= + (2.54) где [Д] [gj [Л Г = [G] — матрица узловых проводимостей метода уз- ловых потенциалов. При'заземленном г;-узле |6] = [01 = Gli GI2 g21 G22 О Q fQ — 4= 4- 1 1 GS -I.I G4 -l,2 • fit + Si + fie -fil —Se -fit fit + fi2 + g5 -fi6 - g5 fia + Ss + Sa Для рис. 2.33, б Gn Gls G13 О2| O22 g23 G3t G32 G33 §2.36. Соотношения между топологическими матрицами. Полагаем, что при составлении матриц [Л}, |Qr], jKr) вы дол йены условия, оговоренные в § 2.31. Тогда Узлы Ветви Сечения Ветви И1= ’ I - (fi— 0. У-' ь ; IQJ= ‘ 1 у— । у... ь (у - n At : A2 («/-•) А । : Qz 'Матрично-топологические методы систематизированы в|!8]. 77
Контуры Г I ••• [у — >) : У — b 1 [Кг1= У 1 в Представим матрицу-столбец токов ветвей [/В|в виде подматрицы токов ветвей дерена (/д) и подматрицы токов ветвей связи [/г| I 1/| = ® 1 1 и* у 1л I ' ь Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим и виде подматрицы напря- жении ветвей дерева |4/д) и подматрицы напряжений ветвей связи |tAJ 1^1= ил IL b По первому закону Кирхгофа [Л | |/в| = 0 или + (2.55) Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому Ю.Ш.1 = 0. Следовательно, I = П1|/в1 + 1О*11М- «• (2.56) По второму закону Кирхгофа, |КГ]Щ,| —А, поэтому Г - 11 I L :1] --- =1^11^1 + 11)1^=0. (2.57) Учтем, что столбец |/G] соответствует строкам |<>,|. если у всех ненулевых элементов изменись знаки. Следовательно, |Kil= — {<?2Г н РЗа!3* —(Kif- (2.58) Обозначим in=|KiI=-lQ2r (2.59) Тогда ikj-ihij. K?ri=ii:-n (2.60) (2.61) Умножив (2.55) слева на [А] *, получим IM—MJ-’HJl'J (2.62) 78
де ИЗ (2.56) имеем [ 1 ] [/д] = —(Ф1№1> поэтому iQjl-M.rW (2.63) д£дНм обоснование еще одному соотношению ИН/С,Г = о. (2.64) Рис. 2.37 В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения эле- ментов /-строки о</ на элементы 6-столбца Ьц/. Произведение апЬц/ не будет нулем, если / ветвь подходит к узлу i и входит в контур k (рис. 2.37), Но в контуре k узел i соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями т и /, поэтому всегда будет еще ренулевое произведение сцтЬкт, отвечающее ветви т, независимо от того, как на- правлены стрелки на ветвях и ка ково на правление обхода контура k. Следовательно, каждая строка (2.64) ацЬк} + aimbkm = 0- Соогношения между топологическими матрицами существенны для формали- зации расчета цепей на ЭВМ. Например, закисав(QJ = —[Ff, определяем |Г] и по ней - [КД § 2.37. Сопоставление матрично-топологического н традицион- ного направлений теории цепей. В § 2.29 указывалось, что основны- ми методами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ. Оба эти метола могут быть применены в своей традиционной форме записи: [<?Пф] = для МУП и = [£**] для МКТ либо в матрично-топологической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для за- дач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений традиционным способом (см. §2.13; 2.22), осуществляемое непос- редственно по схеме,значительно проще, быстрее, удобнее и надеж- нее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных урав- нений. Что касается решения составленных уравнений, то системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в тради- ционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора или логарифмической линейки. Системы с большим числом уравне- ний в том и другом случае решают с помощью ЭВМ. Положительная сторона матрично-топологического направле- ния теории цепей заключается в большой степени упорядоченности составления систем уравнений. Если ввести определенную иерар- хию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них Источников питания, индуктивных и емкостных Элементов, индук- тивных сечений и емкостных контуров, то могут быть составлены алгоритмы, позволяющие не только составлять системы уравнений с помощью ЭВМ, но и осуществлять с их помощью так называемое Машинное проектирование. Под машинным проектированием по- нимают числовые расчеты иа ЭВМ относительно сложных систем На оптимальный втом или ином смысле режим их работы. Совокуп- ность вопросов, относящихся к машинному проектированию, в на- стоящее время усиленно разрабатывается, однако многие из них 79
выходят за рамки курса ТОЭ и составляют предмет специальных курсов. В заключение можно сказать, что традиционное и матрич- но-топологическое направления теории цепей дополняют друг дру. га и потому студент должен владеть обоими направлениями. При выполнении повседневных инженерных расчетов и решении задач, встречающихся в курсе ТОЭ, целесообразнее пользоваться уравне. ниями теории цепей в их традиционной форме записи, при машин- ном проектировании — матрично-топологической форме. Вопросы для самопроверки I. Определите понятия "электрическая цепь”, "электрическая схема", "узел", "устранимый узел", "ветвь”, "источник ЭДС” и "источник тока". 2. Как выбирают положительные направления для токов ветвей и как связаны с ними полнж ител ыщ& направления напряжений па селрщпилениях? 3, Что понимают под ВАХ? 4. Нари- суйте ВАХ реального источника, источника ЭДС, источника тока, линейного резни стора. 5. Сформулируйте закон Ома для участка цени с ЭДС, первый и второй законы Кирхгофа. Запишите в буквенном виде, сколько уравнений следует сосгаалять па первому и сколько но второму закону Кирхгофа. Для двух законов Кирхгофа дайте подле формулировки. 6. Чем следует руководствоваться при выборе контуров, для которых следует составлять уравнения пи второму закону Кирхгофа. Почему нн в один из этих контуров не должен входить источник тока? 7. Попеките этаны ностро-1 ения потенциальной диаграммы. 8. В чем отличие напряжения пт падей ня напряже- ния? 9. Охврактериэуйте основные этапы метода контурных тиков (МКТ) и метода узловых потенциалов (МУП). При каком условии число уравнений ноМУП меньше числа уравнений ио МКТ? 10. Сформулируйте принцип и метод наложения. 11. Сформулируйте н докажите теорему компенсации. 12. Запишите и пвисните линей- ные соотношения и электрических цепях. 13. Что нипимают иод входными и взаим- ными проводимостями? Как их определят аналитически и как опытным путем? 14. Покажите, что метод двух узлов есть частный случай МУП. 15. Прннеднге примеры, показывающие полезность преобразования заезды в треугольник и треугольника в звезду. 16. Сформулируйте теорему компенсации н теорему вариаций. 17. Дайте определение активного двухполюсника, начертите двсегосхсмы замещения, найди- те их параметры, перечислите этаны расчета методом эквипалептиого генератора. 18. Запишите условие передачи мвкенмалыюп мощности нагрузке. Каков при этом КПД? 19. Покажите, чтоесли в линейной цепи изменяются сопротивления в каких-то двух ветвнх, то гри любых тока (напряжения) связаны линейной зависимостью вида 2 = о + Ьхсу. 20. Выцедите формулы иреобразониппя треугольника в звезду, если в ветвях треугольника кроме резисторов имеются и источники ЭДС. 21. Я электрической цени известии токи в двух аетнях k и m (lk и /,п). Сопротивления и этих ветвях получили приращения Л/?А и Д/?т. Полагая известными входные и взаимные проводимости ветвей k, т, г, определите нриращеннн токов н вето их k, tn, r, T-е. Ыт A ir. 22. Кв кие токологические матрицы вы знаете? 23. Запишите уравнения по законам Кирхгофа с использованием матрнц(А] н[К,.|. 24. Что поннмя- ют под обобщенной ветвью? 25. Выразите токи ветвей через контурные токи и мат- рицу [KJ. 26. Выразите напряжения ветвей через потенциалы узлов и матрицу (А|. 27. Выведите уравнения метода узловых потеици олеит. используя матрицы (A), fg j « |Af. 28. Выведите уравнения контурных токои, используя матрицы |лг|, |/?J и |л,1| 29. Охарактеризуйте сильные и слабые стороны матрично-топологического панрап* лепи» теории цепей. 30. Решите задачи 1.2; 1.7, 1.10; 1.13; 1.20; 1.24; 1.33; 1.40; 1 41- 1.45.
Глав» третья ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА § 3.1* Синусоидальный ток и основные характеризующие его вели- чины. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 3.1); ' = shl + ф) = }т sirl <w/ + Ф) ’1) Максимальное значение функции называют амплитудой. Амп- литуду ток» обозначают /и. Период Т — это время, за которое со- вершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в 1 с (единица частоты / — герц (Гц) или с_|) /=1/Г. (3.2) Угловая частота (единица угловой частоты — рад/с или с-1) to = 2л f = 2л/ Т. (3.3) Аргумент синуса, т. е. (ы I + ф), называют фазой. Фаза характе- ризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени /. Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами; амплитудой, угловой частотой и начальной фа- зой. В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распростране- ние получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, при- нятой в энергетике за стандартную, В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусо- идальных токов очень широк; от долей герца, например в геолого- разведке, до миллиардов герц в радиотехнике. Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генерато- ров (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в 81 6'58Э
курсе радиотехники и менее подробно — в курсе ТОЭ). Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДс и тока, но обозначают их е и / [или /) и /(/)[. § 3.2. Среднее и действующее значения синусоидально изменяю, щейся величины. Под средним значением синусоидально изменяю- щейся величины понимают ее среднее значение за полпериода. Среднее значение тока 1 Т 9 <ЗЛ) 4P=772$//"sinw/d/’=n/">- ' о т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/л — 0,638 от амплитудного. Аналогично, Е =2Ет/п-, U„ = Широко применяют понятие действующего значения синусои- дально изменяющейся величины (его называют также эффектив- ным или среднеквадратичным). Действующее значение тока V7~T--- f.-T-----------/ ДЙИ = sina»*W =^= = 0.707/„. (3.5) Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно 0,707 от амплитудного. Аналогично, Е=Е„/^2 и U = UJ^2. Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с тепловым действием постоянного тока, текущего то же время по тому же сопротивлению. Количество теплоты, выделенное за один период синусоидаль- ным током, \R?di = RI^. о Выделенная за то же время постоянным током теплота равна Г. Приравняем их: Т ? m ~2 ~ 7 Ю1Н ^пост — ! ~ Таким образом, действующее значение синусоидального тока I численно равно значению такого постоянного тока, который за врё' мя, равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же коли' чество теплоты, что и синусоидальный ток. 82
Большинство измерительны^ приборов показывает действую- щее значение измеряемой величины1. § 3.3. Коэффициент амплитуды н коэффициент формы. Коэффи- циент амплитуды Аа — это отношение амплитуды периодически из- меняющейся функции к ее действующему значению. Для синусои- дального тока Аа =/„,//= (3-6) Под коэффициентом формы понимают отношение действую- щего значения периодически изменяющейся функции к ее среднему за полпериода значению. Для синусоидального тока А ___*__1П 2 (37) ф 2/т/л 2V2 ,'П §3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин век- торами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Ком- плекс действующего значения. На рис. 3.2 дана комплексная пло- скость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мни- мую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим 4-1, а на оси мнимых значений + / (/ — \ —1). Из курса математики известна формула Эйлера е/п -= cos «. +/ sin а . (3.8) Комплексное число е>а изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью вещественных значений (осью -f-1). Угол п отсчитываем против ча- Рис. 3.2 Рис. 3.3 I и Действующее значение измеряют приборами электромагнитной] электродной • мическнй и тепловойсистем. Принцип действия измерительных прнборнв различных систем изучают в курсе электротехнических измерений. 2Для пссинуеоидальиых периодических токов k3 =/= ^2 , ft,-? 1,11 . Это откло- нение косвенно свидетельствует о том. насколько несинуснидальный ток отличается ®т синусоидального. 83 6-
совой стрелки от оси -f-1. Модуль функции |е'Ч = Vcos^a + sin2a = 1. Проекция функции е1л на ось 4-1 равна cosa, а на ось 4-/ равна sina. Если вместо функции еу“ взять функцию /те/п, то 4- //„sina. На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е/п, изображается под углом а коси 4-1, но длина вектора будет в 1т раз больше. Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что a —u>t -Нф, т. е. угол а изменяется прямо пропорционально време- ни. Тогда /теЛ“' + *’ = /mcos(w/ 4-ф) 4-//msin(w/ + ф). (3.9) Слагаемое /mcos(<o^ 4-q>) представляет собой действительную часть (Re) выражения /теу“'+ *1 /mcos(«j/ 4-Ф) — Re/^e*“' + 4 (3.10) а функция /msin(toZ 4-ф) есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения /я1еЛй1 + *’ I — /fflsin(ш t 4- ф) = I + Ч (3.10а) Таким образом, синусоидально изменяющийся ток t [ср. (3.1) и (3.10а)] можно представить как ]т/ие/(“' + +}или,чтото же самое, как проекцию вращающегося вектора /теЛя*+**на ось -{-/(рис. 3.3). Исторически сложилось та к, что в радиотехнической литературе за основу обыч- но принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (3.10). С целью единообразия принято на комплексной плоскости изо- бражать векторы синусоидально изменяющихся во времени вели- чин для момента времени =0. При этом вектор /сте^ + Ф) = /те/* = <, (3.11) где 1т — комплексная величина, модуль которой равен /„; ф — угол, под которым вектор 1„ проведен к оси 4-1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе. Величину /т называют комплексной амплитудой тока I. Комп- лексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момейта времени о»/ =0. Точка, поставленная над током / или напряжением (^означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально. Поясним сказанное. Пусть ток f = 8sin(w/ 4-20°) Л. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном слу- 84
чае 1„ = 8 А, ф = 20°. Следовательно, /т = 8е1ги' А. Пусть комплек- сная амплитуда тока 1т = 25е~/30' А. Запишем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значе- нию умножим 1т на е^' и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (3.10а)]: i = 1т25ё"/Э0’е/ш/« 1т25е«й|,-ж> = 25sin(co/ - 30°). Под комплексом действующего значения тока нли комплексом тока (комплексным током)/понимают частное отделения комплек- сной амплитуды на \2: . / / е/* (3.12) / = л = л_ = ,e(t ^2 у2 Пример 28. Закисать выражение комплекса действующего значения тока /m==8e^A. Решение. Комплекс действующего значения тока 7=8е^'/^2=5,&7е'л А. §3.5. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим, чго необходимо сложить два тока (/, и /2) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты: < = /) + 4; г; = /lmsin(w/ + /2 = /2jjsin(<o/ + фЁ); i = /Wsin(w/ + Ф). Требуется найти амплитуду /„ и начальную фазу ф тока i. С этой целью ток /) изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) векто- ром /1я1 = /,те;*1,.а ток 1.2 — вектором 12т = Геометрическая сумма векторов/|(П и /Ё„даст комплексную амплитуду суммарного тока !т ~ /,„е№. Амплитуда тока 1Ш определяется длиной суммарно- го вектора, а начальная фаза ф — углом, образованным этим век- тором и осью +1. Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) сле- дует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычита- ние соответствующих векторов. Обратим внимание на то, что если бы векторы /4га, /я,„ и /„стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью <о, то взаимное расположение векторов относительно друг друга оста- лось бы без изменений. Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяю- щиеся функции времени одной и гой же частоты и построенных с 85
Рис. 3.5 соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе. Пример векторной диаграммы дан на рис, 3,4. § 3.6. Мгновенная мощность. 11ротекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характери- зуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного зна- чения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку: p = ui, (3.13) где р — функция времени. Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между тц- ками и напряжениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые мгновенных значений различных величин. Эле- ментами реальных цепей синусоидального тока являются резисто- ры, индуктивные катушки и конденсаторы. Протеканию синусои- дального тока оказывают сопротивление резистивные элементы (резисторы) — в них выделяется энергия в виде теплоты — и реак- тивные элементы (индуктивные катушки и конденсаторы) — они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов. § 3.7» Резистивный элемент в цепи синусоидального тока. Как говорилось в § 1.8, резистивный элемент — это идеализированный схемный элемент, учитывающий выделение теплоты втом или ином элементе реальной электрической цепи. Его характеризуют зависи- мостью напряжения и на нем от протекающего по нему тока /(вольт- амперной характеристикой) или сопротивлением R — u/i. На схе- мах его изображают, как и резистор, в виде прямоугольника (рис. 3.5. а). Положительные направления отсчета и и i совпадают. 8G
Пусть i = /rasinwt По закону Ома, «==//? = Rfmsmot = (/msinujf; (3.14) и *= Векторная диаграмма комплекса тока / и совпадающего с ним по фазе комплекса напряжения U показана на рис. 3.5, б. На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока /, напря- „ Uml,n жения и и мощности р = ит1т8\п*&( = —— (t — cus2«y). Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую ——~ и составляющую—y^cos2w/, изменяющуюся с частотой 2о. Потребляемая от источника питания за время dfэнергия равна pAt. § 3.8. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока. Ин- дуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС, изменяющимся во времени магнитным потоком, и явление накоп- ления энергии в магнитном поле реальных элементов электриче- ской цепи. Его характеризуют зависимостью потокосцепления -ф от тока i (вебер-амперной характеристикой) или индуктивностью L = ф/i. На электрических схемах индуктивный элемент изобра- жают, как показано на рис. 3.6, а. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов. Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направления тока I через него, ЭДС самоиндукции eL и напряжение на нем иаЬ указаны на рис. 3.6, о. Если t s» /fflsinco/, то et« — L— = — u>L/mcostnt = — 90°). Определим разность по- тенциалов между точками а и Ь. При перемещении отточки b к точке о идем встречно ЭДС еи поэтому = <рь — и , dt иаЬ = <ро — <рь = — eL = L-. В дальнейшем напряжение на индук- тивном элементе будем обозначать tiL или, просто, и без индекса == и (3.1 о) Следовательно, и == oL/msin(o)/ + 90’) = Uwsln(<Df + 90°); (3.16) Um = Произведение обозначается XL, называется индуктивным со- противлением и измеряется в омах (Ом): Xl = uL. (3.17) 87
Рис. 3.6 Таким образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у которой /? = 0) при синусоидальном токе обладает сопротивлени- ем, модуль которого Xl — u>L прямо пропорционален частоте w [см. (3.16)]— на рис. 3.6, б вектор напряжений U опережает вектор тока / на 90°. Комплекс ЭДС самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжений U. Графики мгновенных значений I, и, р изображены на рис. 3.6,в. Мгновенная мощность । p = ui= L/^cosoif/^siiwf = — —sin2w< (3.18) проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо/, либо и. За первую четверть периода, когда и и i положительны, р также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью аб- сцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индук- тивной катушке. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля от- дается обратно источнику питания, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова заби- рается энергия, за четвертую отдается и т. д. Следовательно, энер- гия периодически то забирается индуктивной катушкой от источни- ка, то отдается ему'обратно. 88
Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и на R (.рис. 3,6, д). Как видно из этого рисунка, угол между напряжением U на катушке и током / равен SO* — б, причем tg6 =' R/uL = l/Qt, где QL — добротность реаль- ной индуктивной катушки. Чем больше рЛ,тем меньше 3 § 3.9, Емкостный элемент в цепи синусоидального тока. Емкост- ный элемент - эго идеализированный схемный элемент, поз *оля- юший учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в электрическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризует зависимость заряда q от напряжения и (кулон-вольтная характеристика) или емхость G = q/u. Графиче- ское изображение емкостного элемента такое же, что и изображе- ние конденсатора — рис. 3.7, а. Положительные направления от- счета и и i совпадают. Если приложенное к конденсатору напряжение и не изменяется вс времени, то заряд q = Си на одной его обкладке и заряд — q па другой (С — емкость конденсатора) неизменны, и ток через конденсатор не проходит (i = dr/d/= 0). Если же напряжение на конденсаторе изменяется во времени, на- пример пи синусоидальному закону ?рис. 3.7, а): у = 1/„зш(4, (3.19) то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q конденса- тора: q — Си = CUmslnuti, т. е. конденсатор будет периодически пе- резаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопро- вождается протеканием через него зарядного топа: do и,* (3,19а) i = — wCL/^coswt * б[п(ш( 4- 90°), Из сопоставления (3.19) и (3.19а) видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90е, Поэтому на вентерной диаграмме (рис. 3.7, б) вектор 1т опережает вектор на- пряжения U„ на 90°. Амплитуда тока 1П1 равна амплитуде напряже- ния i/m, деленной на емкостное сопротивление: v (3.20? Лс ^С’ /т = ^/А'с. (3.21) Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте. Единицу емкостного сопротивления — О:л. Графики мгновенных значений и, i,p изображены на рис. 3.7, в. Мгновенная мощность Ugilm , п , (3.22) р = —~— в!п2ш/. За первую четверть периода конденсатор потребляет от источ- ника питания энергию, которая идет на создание электрического 89
ноля в нем. Во вторую четверть периода напряжение на конденса- торе уменьшается от максимума до нуля, и запасенная в электри- ческом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна). За третью четверть периода энергия снова запаса- ется, за четвертую отдается и т. д. Если проинтегрировать но времени обе части равенства d« (3.23) <-с dr то получим « = 7 ( «И- Равенство (3.24) позволяет определить напряжение на ко идеи- ’ саторе через ток по конденсатору. Ток через реальный конденсатор, пластины которого разделены твердым или жидким диэлектриком, в котором имеются тепловые потери, обусловленные вязким трени- ем дипольных молекул и другими причинами, в. расчете, можно учесть по схеме (рис. 3.7, г). Результирующий ток / — /, + /2. Ток /г опережает U на 90е, а ток /2 совпадает с U по фазе (рис. 3.7, д). У гол 6 н азыва ют углом потерь; tgd — 1 / Qc, где Qc — доброт- ность конденсатора, tg6 зависит от типа диэлектрика и от частоты и изменяется от нескольких секунд до нескольких градусов. § 3.10. Умножение вектора на у и —у. Пусть есть некоторый вектор А —- Ле^я (рис. 3.8). Умножение его на / дает вектор, по модулю равный А, но повернутый в сторону опережения (против часовой стрелки,, по отношению к исходному вектору А на 90”. Ум- ножение А <.а —у поворачивает вектор Л на 90” в сторону отстава- ния (по часовой стрелке) также без изменения его модуля. Чтобы убедиться в этом, представим векторы у и —у в показательной форме: ,-= ].еМ>- = еЛ»-; (3.25) -у == Ье-^ = е-^. (3.26) Тогда А] = А e'W0* = А е^о * «•); (3.27) — Л у == А е^е -190’ = А е«'» ~ (3.28) Из (3.27) следует, что вектор у'Л, по модулю равный Л, составляв* с осью 4-1 комплексной плоскости угол <р0 + 90®, т. е._ повернут против часовой стрелки на 90® по отношению к вектору Л. Согласно (3.28) умножение вектора А на —у дает вектор, по модулю равный А, но повернутый по отношению к нему на 90® по часовой стрелке. 90
Рие. 3.9 § 3.11. Основы символического метода расчета цепей синусои- дального тока. Очень широкое распространение на практике полу- чил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусо- идального тока. Сущность символического метода расчета состоит втом, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями [см., например, (2.29)], к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном нозаконам Кирхго- фа для установившегося процесса, мгновенное значение тока I за- меняют комплексной амплитудой тока /,ч; мгновенное значение на- пряжения на резисторе сопротивлением , R, равное Ri, — комплексом R/m, по фазе совпадающим и током мгновенное значе- ние напряжения на индуктивной катушке = комплексом опережающим ток на 90°; мгновенное значение напряжения на конденсаторе «с— комплексом отстающим от то- ка на 90°; мгновенное значение ЭДС е — комплексом £т. Справед- ливость замены uL на Imj4>L следует из § 3.7 и 3.8. В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на L равна произведению амплитуды тока на Xl — mL. Множитель / свиде- тельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке опережает вектор тока на 90*. Аналогично, из § 3.9 следует, что амплитуда напряжения на Конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на Хс— 1/wC. Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90° объясняет наличие множителя — Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных значе- ний можно записать так: "л + »t + ис = е> 91
или f/f+£1z+iSidi=e- (3.29) Запишем его в комплексной форме: V? + j "" Вынесем /тза скобку; + “£ЛГ Следовательно, для схемы рис, 3.9 / „. (3.30) (3.31) Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока 1т через комплексную амплитуду ЭДСЕЛ и сопротивления цепи /?, и/, и 1/ыС. Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так, Rlm— это изображение или символ падения напряжения iR\ . ,; ,Л1 №Ит — изображение или символ падения напряжения ul=‘L— — из°бражение или символ падения напряжения на конден- саторе 4 (id/. С J § 3.12. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусо- идального тока. Множитель R +J<aL — {f'/ыС) в уравнении (3.30) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и обозначается через Z, Его называют комплексным сопротивлением' Z^z&^R + faL- ^3‘32’ Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через z. Точку над Z не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комплексными величинами, которые отображают сину- соидальные функции времени. Уравнение (3.30) можно записать так: /mZ = Ет. Разделим обе его части на V2 и перейдем от комплексных амплитуд /„и Ет к комплексам действующих значений J и Е: 1 — EfZ. (3.33) 92
Уравнение (3.30) представляет собой пикон Ома для цепи сину- соидального тока. В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть /Л: Z = R + jX, (3.34) где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление. Для схемы (см. рис. 3.9) реактивное сопротивление X — <о£ — 1/<йС. §3.13. Комплексная проводимость. Под комплексной проводи- мостью У понимают величину, обратную комплексному сопротив- лению/: Y = I /Z = g - /Ь = уе~*. (3.35) Единица комплексной проводимости — См (Ом~ •). Действи- тельную часть ее обозначают через g, мнимую — через Ь. Так как I _ I R-jX R X _ х R-YjX^-^+x2 R2 Ц-X'2 + P' TO 6 = ; !/ = ^ + t>2- (3.36) Если X положительно, то и Ь положительно. При X отрицатель- ном b также отрицательно. При использовании комплексной проводимости закон Ома (3.33) записывают так: i = UY, (3.33а) или / = ug - }йь .Ц + /„ где 1а — активная составляющая тока; /, — реактивная составля- ющая тока; U — напряжение на участке цепи, сопротивление кото- рого равно Z. § 3.14. Треугольник сопротивлений и треугольник проводимо- стей. Из (3.34)следует, что модуль комплексного сопротивления z = V^T^- (3.37) Следовательно, z можно представить как гипотенузу примо- лол иного треугольника (рис. 3.10) — треугольника сопротивлений, °Днн катет которого равен R, другой — X. При этом tgq> = X/R. (3.38) 93
Рис. 1.11 Аналогичным образом модуль комплексной проводимости в со- ответствии с (3.36) у = + &*• Следовательно, у есть гипотенуза прямоугольного треугольника (рис. 3.11), катетами которого явля- ются активная g и реактивная Ь проводимости: = bfg. (3.39) Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связи между модулем полного сопротивления z и активным и реак- тивным сопротивлениями цепи; треугольник проводимостей — ин- терпретацию связи между модулем полной проводимости у и ее активной и реактивной составляющими. §3.15. Работа с комплексными числами. При расчете целей переменного тока приходится иметь дело с комплексными числами: сопротивление участка цепи или цепи в целом — это комплекс; проводимость — комплекс;ток, напряжение, ЭДС — комплексы. Для нахождения тока по закону Ома нужно комплекс ЭДС разделить на комплекс сопротивления. Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи: алгебраической а 4- jb, показательной се'* и тригонометриче- ской ccosqi /csin<p. Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить, пользуясь алгебраической формой записи. При этом отдельно складываются их действитель- ные и мнимые части: (о, 4- jbt) 4- (о2 4- /М 4- (03 — /63) — (а| + «а + °з) + /(*1 + ^2 — *з>- Деление и умножение комплексных чисел целесообразно производить, пользу- ясь показательной формой записи. Например, нужно разделить комплекс c(e^'l ns комплекс Сяе^*2. В результате деления будет получен комплекс . c.J’l г, с С/Ф3 == - = — e^i' *2». 3 С2 Модуль результирующего комплекса с3 равен частному от деления С| на Cj.1 аргумент <р3= <р, — <р2. При умножении двух комплексов CjC'^l и с^е'*2 результирующий комплекс = Cje^iCje^ = c!cae^'1’t + *2*. При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость в переход от алгебраической формы записи комплекса к показательной или наоборот. 94
Рис. 3.12 Пусть задано комплексное число а 4- jb се^. Здесь с = \а2 4 b\ tg«f — b/a, а = ccos<p, b *== cslncj. Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, ре- комендуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс на комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол <р между осью 4- ] и вектором. Углы, откладываемые прогни часовой стрелки от оси 4 1, считают положительными, по часовой стрелке — отрицательными. Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а)3 4 42/; 6)2 4 3/; в) 4 — 5/; г) - 6 - 2/; д) - 0,2 4 0,4/; е) 10 - /0,8. Решение пояснено на рис. 3.12, а — е: а) 3 4 2/ “ З.бе^33**^; б) 2 4 3/ *= З.бе^6*8**; в)4 - 5/ = 6,4 е" ум *а)'; г)— 6 — 2/ 6,32 е“ /16’ *а' = 6,32 е/|08,35';д) — 02 4- 0,4 / = * 0.448с" 16"у; е) 10 — 0,8/ ss 10е“/Г4</. § 3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных зна- чений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю; = 0. (3-40) Подставив вместо ik в(3.40)/Ае/"' и вынеся е1*1 за скобку, получим еЛ,,£У* = 0. Так как e/wf не равно нулю при любом /, то £/* = 0. (3.40а) Уравнение (3.40а) представляет собой первый закон Кирхгофа 6 символической форме записи. 95
Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС. Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая А-ветвь а общем случае включает в себя источник ЭДС ek, резистор Rt, индук- тивный Ек н емкостный С* элементы, по которым протекает ток ift. Тогда по второму закону Кирхгофа, * I, • <3-41> 2КЛ + Ч-57+^М-Е^ *-1 * *-| Но каждое слагаемое ^евой части уравнения в соответствии с § 3,12 можно заменить на ltZk, а каждое слагаемое правой части — на Ек. Поэтому уравнение (3,41) переходит в п rt (3.41а) k 1 А В» I Уравнение (3.41а) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи. § 3.17. Применение к расчету цепей синусоидального тока мето- дов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного то* ка». Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разработан ряд методов и приемов, облегчающих решение по срав- нению с решением системы уравнений при непосредственном ис- пользовании законов Кирхгофа. Из гл. 2 известно, что к числу таких методов относятся методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д. Известно также, что окончатель- ные расчетные формулы этих методов получают в результате выво- дов, в основу которых положены первый и второй законы Кирхгофа. Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока, можно было бы записать уравне- ния для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока, перейти от лих к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2 для цепей синусоидального тока. Понятно, что проделывать выводы заново нет необходимости. В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи сину- соидального тока несвязаны между собой магнитно, все расчетные формулы гл. 2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, если в этих формулах вместо постоянного тока Z подставить комп- лекс тока /, вместо проводимости g — комплексную проводимость Y, вместо сопротивления R — комплексное сопротивление Z и вме- сто постоянной ЭДС Е — комплексную ЭДС Е. Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока связаны друг с другом магиитно(это имеет место при наличии 96
рзэимоиндукцни), то падение напряжения на каком-либо участке цени зависит не только от тока данной ветви, но и от токов тех „етвей, с которыми данная ветвь связана магнитно. Расчет элект- рических цепей синусоидального тока при наличии в них магнитно- связанных ветвей приобретает ряд особенностей, которые не могут быть учтены, если в формулах гл. 2 непосредственно заменить Е на Ё, R на Z и g на У. Особенности расчета магнитно-связанных цепей рассмотрены в § 3.36. §3.18 . Применение векторных диаграмм при расчете электриче- ских цепей синусоидального тока. Ток и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, ио фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом распо- ложении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусо- идального тока рекомендуется сопровождать построением вектор- ных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролиро- вать эти расчеты. Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение U, должно опережать ток / на 90°, а напряжение Uc — отставать от тока / на 90°. Если аналитический расчет дает результаты, несовпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкра- лась ошибка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных ве- личин. Пример 31. В схеме <рис. 3.12, а) е = I41sin<o1 В; /?| = 3 Ом; /?д = 2 Ом: L = 0,00955 Гн. Угловая частота <•> — 314 рзд/с. Определить ток и напряжение на элементах цепи. Реше и и е. Запишем уравнение для мгновенных значений i (/?! 4- /?2) -J- L— = е. Перейдем от него к уравнению в комплексах: /(/?, + 4- /«£/ = Е или IZ = Е, где Z = Дй 4- j<aL = 3 4- 2 4- /314 • 0,00955 = 54-3/ = 5,82е/31*. Комплекс действующего значения ЭДС £ = 141/^2 = 100 В. Ток l = 100/5,ве731’ = 17,2е~'зг А. Спряжения ва/?| £/fli=Ue*=//?i=5i,бе ,3! В, на R% t/jj2=t7(,P=/ft2=34,4eJ^31 В; "a L Ut. = йеа = /(>»£/ = 3/ • 17,2е“/зг = 51,6e/J’ В. ,, Векторная диаграмма изображена на рис.3.13,б. Вектор £ направлен пооси 4 I “ектор тока I отстает от него на 31е.
Рис. 3.13 Пример 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин. Решение. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторной дна г. рам ме (рис. 3.13, в) по оси + 1(/ =я 1). Напряжение на /?, совпадает по фазе с током и численно равно 1-3 «« 3 В. Напряжение на Я2 также совпадает с током н равно 2 В, Напряжение н a L равно 3 В и опережает ток на Изпря моугольного треугольника следует, что при токе / = 1 А на входе Е = 4- З2 = 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82= 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэффициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31* против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13, б. Ясно, что взаимное расположение векторов иа диаграмме при этом не изменилось. Пример 33. В цепи рис. 3.14, a R = 4 Ом; <£> = 10s рад/с. Определить емкость конденсатора С, если £ = 10 мВ; / «* 2 мА. Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи Z = R — j/ыС, его модуль 2 = ^R2 + (1/шС)2. По закону Ома / = £/z, отсюда z = у = 10-10-3/2-10“ 3= 5Ом. Следовательно, Хс = 1/юС = — R2 = — 42 = 3 Ом; С — 1/(10в-3)*= - 1/(105-3) = 3,33 мкФ. Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б. Пример 34. На участке ab разветвленной цепи рнс. 3.15, а параллельно включе- ны индуктивное сопротивление == ь>£ и активное сопротивление Л, численно рав- ное XL. Показание амперметре А2 “ 5 А. Определить показание амперметра Aj. полагая сопротивление амперметров иастол ько малыми, что их можно не учитывать 98
Рис. 3.16 Решение. На рис. 3.(5, б качественно построим векторную диаграмму. На- пряжение 1)аЬ совпадает по фазе с током Ток отстает от тока /2 на 90° н равен ему по величине. Ток в неразнетвлеиной части схемы /3 = /( +Модуль тока f3 5\2 — 7,05 А. Амперметр А3 покажет 7,05 А. Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы ряс. 3.16, а, если /| = 1А,Й|= 100м, а>£[ = 10 Он, 1/ь»С = 14,1 Ом; = 20 Ом, /?2 = 2,50м. Решение. Обозначим токн н примем положительные направления для них в соответствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов т, = 0,5 А/см и для напря- жений mv = 4 В/см. Ток /| направим по осн 4- 1 (рис. 3.16, б). Падение напряжения 1/^ «в 10 В и по фазе совпадает с током /(. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении и£ также равно 10 В, но опережает ток на 90*. Геометрическая сумма С?й| + &и по модулю равна 10у'2 =•> 14,1 В. Емкостный ток 12опережает это напряжение на 90°. Модуль тока /2 = 14,1/14,1 = 1 А. Ток в. неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: 'з ~ ч + ^а- Модуль его равен 0,8 А (найден графически). Надеине напряжения на сопротивлении /?3 равно 2 В и совпадает по фазе с током f3. Падение напряжения на индуктивности L3опережает ток /3 на 90* н численно равно 0,8-20 16 В. Напря- жение на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 В. Пример 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рнс. 3-16, а опытным путем найдены значения токов /2 и А (в ветви схемы включили ’Мнерметры и записали их показания). = 1 А, /2 = 1 А, /3 — 0,8 А и определены три напряжения: напряжение ня входе схемы (/» Е = 18,3 В. напряжение на кон- денсаторе U^ = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на третьей ветви (на /?3 и L3) U3 са 16 В. Напряжения были определены путем подклю- чения вольтметра поочередно к зажимам а и е, о и с, е и с. По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить Акторную диаграмму. Решение, На рис. 3.16, е отложим вектор 1/с, по модулю равный 14,4 В. Для ^поставления с рис.3.16, б расположим его на диаграмме так же. канон расположен h« рис, 3.16, б. Изобразим на диаграмме ток /2, Он на 90* опережает напряженно Uc и по *°Дулю равен 1 А. После этого построим на диаграмме токи/(и/3, воспользовавшись Теч. что три тока (/| /2 и /3)образуют замкнутый треугольник (рис. 3.16, б). 99
Для иоетроеяк» греугольпнка потрем сторонам (т.е. фактически для Определе- ния третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) подведем дугу радиусом, равным току /н а из начала вектора тока /2(т. е. из второй вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току /3. Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е, точку, в которой оканчиваются векторы токов /3 и После того как диаграмме определено положение вектора тока /3, можно изобрази! ь на ней векторы напряже- ния й3 и ЭДС £. Напряжения Uc U3 и ЭДС Ё также образуют замкнутый треугольник. Его построение осуществляется аналогично построению треугольников токов. Из конца вектора йс приводим дугу радиусом, равным 173. в из начала вектора t/c — дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются в точках ан/. Так как напряжение 03 представляет собой падение напряжении от тока /3 на последовательно соединенных /?3 и £3, то оно по фазе должно опережать гок /д, а не отставать от него. Поэтому из точек е и f выбираем точку е (если бы выбрали точку /, то.в этом случае напряжение 1)3 — пунктир на рис. 3.16, в — отставало бы ог тока /3, а не опережало его). В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, е не показана. §3.19 . Изображение разности потенциалов на комплексной пло- скости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексны- ми числами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать либо точкой, координаты которой равны действитель- ной и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости. На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комплексные потенциалы: = — 2 4- 5/ и = 4 4- /. По определению, разность потенциалов Uai = <pu — = = -64 4/; Uab изобразится вектором, направленным от b к а. Первый индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указы- вает, к какой точке следует направить стрелку вектора напряже- ния. Естественно, что (Jba = — Uab. § 3.20. Топографическая диаграмма. Каждая точка электриче- ской схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала. Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек электрической схе- мы, называют топографической диаграммой. Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности отвечает определенная точка карты. Расстояние между двумя точками на местности можно определить, измерив расстоя- ние между одноименными точками на карте. Аналогичные измерения можно проводить и на топографиче- ской диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками элек- трической схемы, например между точками а и Ь, по значению И направлению определяется вектором, проведенным на топограф”' ческой диаграмме от точки b к точке а. 100
t Рис. 3.19 a При построении топографической диаграммы, как и потенци- альной (см, § 2.10), потенциал любой точки схемы может быть при- нят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. Рассмот- рим несколько примеров. Пример 37. Поданным примера 35 построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3.1 Б, а. Решение. Обозначим буквами а, Ь, с, ... точки схемы рис. 3.16, а, которые хотим отобразить на топографической диаграмме. Примем потенцинл точки а рав- ным нулю: <ро =в 0. Выразим потенциал точки b через потенциал точки л: Фб = Фо + = Фв + 10- Знак плюс перед слагаемым ftRt обусловлен тем, что при переходе от точки о к точке b перемещение происходит навстречу току /, (при этом потенциал увеличивается иа IfAj). Точка b на диаграмме имеет координату по осн абсцисс +• 10. Аналогично, ie = Vt + = Ю + /Ю; Фл = Фг 4~ Фе = Фл + Совокупность точек «, b, с, d, е на комплексной плоскости (рис. 3.18) представ- ляет собой топографическую диаграмму схемы рис. 3.16, а. По ней удобно опреде- лять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напри- Жения относительно любого другого напряжения. Пример Ж Найти токи а схеме (рис. 3.19) методом узловых потенциалов. Поло- жительные направления ЭДС указаны на Схеме стрелками, е, = 120^2з1пш< В; «3 = 100^со8(ы/ — 120°) В; R = 2 Ом; 1/юС2 = 10 Ом; toL3 = 5 Ом. Решение. Запишем ЭДС в комплексной форме; £( = 120, £3 = 100е~ Выберем положительные направления для токоа в ветвях к узлу а. Определим проводимости ветвей: У, = 1/Z, = 1/2 = 0,5 См; У2= 1/Z2^ 1/(— 10/) = 0,1/См; Г8 » 1/Z3 = 1/(5/) = - 0,2/ См. Заземлим точку Ь. Уравнение по методу узловых потенциалов Фо^яо щ ^оо* 120-0,5 4-100е-/3(г-0,2е_/9(г Фо --------а ------= 104е ' В. 0,5 4- 0,1/ — 0,2/ 101
Тонн в ветзях = £|. ,.Фа = —------104e * 8,5 4. /7,25 = i I,l7e/*b* A; Z, 2 А»А£_£- Z2 ~ £3 — Фа |00е~ — 104е~ 3“ 23 ~ 5/ I00(cos30* — /siri3CH — K^'fcosB” — /sln8°) ___ 5/ . -16^-35,5/ _ 39, le^6^ д h~ 51 W4 Пример 39. Hafl ги 1 оки в схеме рис. 3.20, а методом контурных соков и нем роить .орографическую диаграмму, если £| <= ICD В; Ё2 = IСО» В; Хс = 1/&С =» 2 Ом; R = u>L » 5 Ом. Решение. Выберем направления контурных токов /ц и /и по часовой стрел- ке. Запишем в общем виде уравнения для контурных токов [ср. с уравнениям и (2.4б)| /1,2,, 4-/<^2,2 = Е1(; h |г?1 + ^22^22 = £53. где Zu—собственное сопротивление первого контура; Zji = R — - — =5 —2j; Z22—собственное сопротивление зтороги контура, Z<a,= R 4- /«С = 5 4- 5/; Z|2= Z2J —собственное сопротивление второго контура, взятое со знаком минус. ,’|2«и — R — 5; £f4 — алгебраическая сумма ЭДС первою контура, /?н = = IOC; fa — алгебраическая сумпа ЭДС вюрого контура, Ё22 = — £а = — I СО/. Следова гелыю, а ,f i / С /„(5- 2/)-5/22= 100: ' ---м * - 5/н + М5 + /&)--°°/ Определитель системы ‘-|е_Л(5+_8/)|-”+16'-18еЛга'; I А1”|-|Ю/(5+6л|-ЯЮ; I д2 = |{5 “_2/2 _ !(Ю/| = 300 - S9°/ = 582е~ /5Г2(К | Токя в схеме /„ = Л,/Л = 500/J8e's6*s&' = 27,8е“ А; /и = VA = 582е. /K'/i8e/56'20' = 32,Зе“ А; ^-hi-^=3tje/H*43'- Тово~рафическа>. диаграмма изображена на рис. 3.20.6- 102
§3.21. Активная, реактивная и полная мощности. Под активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р За период Т: 17 1Г (3-42) Р = о « Если ток I —/^sincu/, напряжение на участке цепи l/msin(o/4-<p),To •7 и I (3-43) Р = — J imt/msinw/sin(<a/ 4- <p)d/ = * costp = Wcosq>. о Активная мощность физически представляет собой энергию, ко- торая выделяется в единицу времени1 в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении /?. Действительно, произведение Ucos<p — //?. Следовательно, P = Ucosq>/«7stf. (3.44) Единица активной мощности — Вт. Под реактивной мощностью Q понимают произведение напря- жения U на участке цепи на ток / ро этому участку и на синус угла <f между напряжением U и током /: Q = L7sinT. (3.45) Единица реактивной мощности — вольт-ампер реактивный (ВАр). Если sinq> >0, то Q >0, если sirup <0, то Q <0. Рассмотрим, что физически представляет собой реактивная мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно соединенными /?, L и С. Пусть по нему протекает ток i = /msin®t Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий магнитного и электрического полей цепи: г,-2 Си* LI2 „ Cl2 + V. = -у- + -----f shArf + cos2a>f - ™’ r~’l — сов2ш/) 4- % (1 + cos2toi). Из полученного выражения видно, что W'MJ имеет постоянную составляющую W^o, неизменную во времени, и переменную состав- ляющую wM„ изменяющуюся сдвойкой угловой частотой: [ i2 fl f, [2 а 1 гДе ~ + —Z— и = 1“ — —5-1 cos2<ot **° 2 2wsC "* ( 2 2ы2С) 'Предполагается, что В 1 с укладывается целое число периодов Г. 103
На создание постоянной составляющей 11/11з0 была заграчеца энергия в процессе становления данного периодического режима. В дальнейшем при периодическом процессе энергия остаечц неизменной и, следовательно, от источника питания не требуется энергии на ее создание. Среднее значение энергии ы'мз, поступающей от источника за интервал времени от — 7/8 до + 7/8, 4 1 =г/® 9 ( /2 \ л «'...,-7 1 -J-- Р-л.-- 1 — - Г/8 \ J Таким образом, реактивная мощность Q пропорциональна среднему за ч ;твер-ь периода значению энергии, которая отдается! источником питания на создание переменной составляющей электч рическогои магнитного поля индуктивной катушки и конденсатора. За один период переменного тока энергия дважды отдает- ся генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реак- тивная мощность является энергией, которой обмениваются гене- ратор и приемник. '/олная мощность S = VI. (3.47) Единица полной мощности — В-А. Мощности Р, Q и S сьязаны следующей зависимостью: + (3.48) Графически эту связь можно представить в вице прямоугольно- го треугольника рис. 3.21 —треугольника мощности, у которого имеются катет, равный Р, катет, равный Q, и гипотенуза S. На щитке любого источника электрической энергии переменно- го-ока (генератора, трансформатора нт. доказывается значение S, характеризующее ту мощность, которую этот источник может отдавать потребителю, если последний работает при cosq> = 1 (т. е. если потребитель представляет собой чисто активное сопротивле- ние). § 3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи-] Пусть задан некоторый комплекс A = Ае.’‘*л =Асойфа 4-/Аз1П«рЛ. * Под комплексом А, сопряженным с комплексом А, будем пони- мать * А =Ле“^ =?kos(p4 — /Asintp4- 104
Рассмотрим простой прием определения активной и реактив- ной мощностей через комплекс напряжения и сопряжений комп- лекс тока. Напряжение на некстором участке цепи l) — Ue^a, ток но этому участку I = IUK Угол между напряжением и током Ф ₽ ф„ — q>f. Умножим комплекс напряжения на сопряженный ком- * плекс тока / = fe“J*< н обозначим полученный комплекс через S: S = Ш — У/е^и-^ = Ute4 — Ш cosip + /V/sinq) = Р + jQ. (3.49) Значок fa (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряжен- ный комплекс) полной мощности, составленный при участии сопря- * женного комплекса тока Л Таким образом, активная мощность Р есть действительная честь (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (1m) произ- .* ведения UI: P=Ret/£ (3.50) Q = IrnW. Пример40. Определил, активную ревкгнвиую и годную iwoihbo"th поданным примера З1.пе шение. Напряжение на входе всей сгемы равно ЭДС 1/ = Е=*0Э В. Ток в цепи / = 17,2е— ^3| А. Сопряженный кочплеис тока ♦ -* /=17.2е^'' А. Комплекс полноГ мощности S=L7=W0- 17,2e^3l’=1720cos3i’-|- +/l720sin3J’»l475 j- /886; P « 147&; О 886. Следовгтелыю. активная мощгость Р = 147S Вт, реактивная Q = 886 ВАр и кслная S = 1720 В-А. § 3.23. Измерение мощности ваттметром. Измерение мощности производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы, в котором имеются две катушки — неподвижная н по- движная Подвижная катушка, выполненная из очень тонкого провода, имеет практически чисто активное сопротивление и называется параллельной обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи, подобно вольтметру. Жестко скрепленная со стрелкой (указате- лем), она может вращаться в магнитном поле, создаваемом непод- вижной катушкой. Рис. 3.21 Рис 3.23 105
Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого про! вода, имеет очень малое активное сопротивление и называется по, следовательной обмоткой. Ее включают в цепь последовательно1 подобно амперметру. На электрической схеме ваттметр изображают, как показано на рис. 3.22. Одна пара концов (на рисунке обычно расположена гори- зонтально) принадлежит последовательной обмотке, другая пара концов (на рисунке расположена вертикально)—параллельной. На концах одноименных зажимов обмоток (например, у начала обмоток) принято ставить точки. Вращающий момент ваттметра, а следовательно, н его показа, имя пропорциональны действительной части произведения комп- лексного напряжения Uob на параллельной обмотке ваттметра на * сопряженный комплекс тока /, втекающего в конец последователь- ной (токовой) обмотки ваттметра и снабженной точкой: Напряжение на параллельной обмотке берут равным разности потенциалов между ее концом, имеющим точку (точка о), и ее кон- цом, не имеющим точки (точка Ь). Предполагается, что ток I втекает в конец последовательной обмотки, у которого поставлена точка. Цена деления ваттметра определяется как частное от деления произведения номинального напряжения на номинальный ток (ука- зывают на лицевой стороне прибора) на число делений шкалы. Пример 41. Номинальное напряжение ваттметра 120 В. Номинальный ток 5 А. Шкала имеет 150 делений. Определить цену деления ваттметра. Решение. Цена деления ваттметра равна 120-5/150 = 4 Вт/дел. § 3.24. Двухполюсник в цепи синусоидального тока. На схеме рис. 3.23 изображен пассивный двухполюсник, подключенный, к ис- точнику ЭДС. Входное сопротивление двухполюсника Zex = Е/l. В общем случае + /Х№ = геК При Х„ > 0 входное сопротивление имеет индуктивный харак- тер (<р > 0), при Хы <L 0 — емкостный и при Хы = 0 — чисто актив- ный. Входная проводимость VUJ( представляет собой величину, обрат- ную входному сопротивлению: Уы = i/ZBI. Входное сопротивление можно определить расчетным путем, если известна схема внутренних соединений двухполюсника и ха- рактер и значения сопротивлений, либо опытным путем. При опытном определении входного сопротивления двухполюс- ника собирают схему рис. 3.24,а, в которой амперметр измеряет ток /, вольтметр — напряжение Uab = U на входе двухполюсника. Ваттметр измеряет Re|£7a6/j, т. е. активную мощность Р = {J/coscp. 106
Рис. 3.24 Модуль входного сопротивления г = U/L При делении Р на произ- ведение W получают косинус угла между напряжением и током: созф — Р/ W. По косинусу угла находят siп<р и затем находят = zcostp н Хт == zsin<₽- Так как косинус есть функция четная, т. е. cos(— <р) = cos<p, то измерения необходимо дополнить еще одним опытом, который по- зволил бы путем сопоставлений показаний амперметра в двух опы- тах выявить знак угла <р. Для определения знака угла <р можно воспользоваться специальным прибором — фазометром либо при его отсутствии, проделав следующий опыт: параллельно исследуе- мому двухполюснику путем замыкания ключа К подключают не- большую емкость С (рис. 3.24, а). Если показания амперметра при замыкании ключа К станут меньше, чем они были при разомкнутом ключе, то угол ф положите- лен и входное сопротивление Z = ze1* имеет индуктивный характер (рис. 3.24, б). Если показания амперметра при замыкании ключа станут больше, то ф отрицательно и входное сопротивление имеет емкостный характер (рис. 3.24, в). На векторных диаграммах (рис. 3.24, б, в) / — ток через двухпо- люсник;^ — ток через ем кость, который опережает на пряжение U на входе двухполюсника на 90е. Пунктиром изображен ток через ампер- метр прн замкнутом ключе. Сои оставление пунктиром изображенно- го тока с током / и подтверждает приведенное заключение. Пример 42. В схеме рис. 3.24, a U — 120 В; / = 5 Л; Р = 400 Вт. Замыкание ключа л приводит к уменьшению показаний амперметра. Опреде- лить входное сопротивление двухполюсника. Решение. Модуль входного сопротивления 24 Ом; со8<р P/Ui = 400/120-5 = 0,666; sin<p « 0,745. Таким образом, = zcostp = 24-0,666 = 16 Ом; 107
Х|1Я = 2Sin«p = 24-0,745 = 17,9 Ом. Комплекс входного сопротивления Zax =(16 + /17,9) Ом. §3.25. Резонансный режим работы двухполюсника. Пусть двух- полюсник содержит один или несколько индуктивных элементов и один или несколько конденсаторов. Под резонансным режимом (режимами) работы такого двухполюсника понимают режим (ре- жимы), при котором входное сопротивление двухполюсника явля- ется чисто активным*. По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток и на- пряжение на его входе совпадают по фазе. Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю. Различают две основные разновидности резонансных режимов, резонанс токов и резонанс напряжений. § 3.26. Резонанс токов. Явление резонанса в схеме рис. 3.25, «, образованное двумя параллельными ветвями с разнохарактерны- ми реактивными сопротивлениями, называют резонансом таков. I Пусть первая ветвь содержит активное сопротивление /?, и ин- дуктивное <в£,, а вторая ветвь — активное /?2 и емкостное 1/ыС. Ток /; в первой ветви отстает от напряжения U — Uub (рис. 3.25, б) и может быть записан как Ток /2 во второй ветви опережает напряжение: /2=^Уг=^2-/М I Ток в неразветвленной части цепи / = fl + /2 = [/(£, + я.,) - jU(b, + Й8). 'Следовательно, для определении условий наступлении резонанса следует пр»' pauiiHi ь нулю мнимую часть комплекса входного сопротивлении днухполюсиика- Такой способ справедлив, если не пренебрегать активными сопротивлениями 1ШДУК' тинных катушекг 108
По определению резонансного режима ток / должен совпадать ло фазе с напряжением I). Это будет при условии, что сумма реак- тивных проводимостей ветвей равна нулю: 6, + Ь2 = 0. В соответствии с (3.36) t tl)L а _ '/«с 2= Следовательно, условие наступления режима резонанса токов в схеме рис. 3.25, а можно записать так: «>£ 1/<оС (3.51) R* + ro2L2 р2 I__L. На рис. 3.25, б изображена векторная диаграмма для резонанс- ного режима. Из (3.51) следует, что если /?й = 0, то резонанс насту- пит при В еще более частном случае, когда /?2 = 0 и R}<$Z(j)L, резонанс наступит при ю2£С«1. . (3.516) Резонанса можно достичь путем изменения tn, L, С или /?, и R2. Числовое значение тока в неразветвленной части схемы может быть меньше токов в ветвях схемы. При /?2 = 0, » О ток / может ока- заться ничтожно малым по сравнению с токами /, и /2. В идеализированном, практически не выполнимом режиме ра- боты, когда /?, = /?2= 0, ток в неразветвленной части схемы рис. 3.25, а равен нулю и входное сопротивление равно бесконечности. Обратим внимание на следующее. В формулу (3.51) входит пять величин (L, С, R}t R2, to). Если определять из нее L или С, то может оказаться, что для искомой величины будут получены одно или два Действительных значения либо мнимое значение. Получение двух действительных значений для L и С свидетель- ствует о том, что при неизменных четырех параметрах вследствие изменения пятого можно получить два резонансных режима. (По- яснения к возникновению двух резонансных режимов при измене- нии одного параметра и неизменных остальных даются в примере 54). Получение мнимых значений L и С свидетельствует о том, что При данных сочетаниях параметров резонанс невозможен. 109
Определим в> из (3.51): JT/C-rf' (а) 1Й «= <0й V ---Л. “ * L/C^Rl где w0 — \/^LC — резонансная частота в контуре без потерь при V4 = 0. Поскольку угловая частота действительна и положительна, то числитель и знаменатель формулы (а) должны быть с одинаковыми знаками. Это имеет место при a) L/OR* L/OR* б) L/C<R* L/C<Rf. При /?, = /?2частота ш = <с0. При L/C = Rf = R* w = (вод’О/6, (6) т. е. <й получается величиной неопределенной. Физически это озна- чает, что резонанс может возникать при любой частоте. Сопротив- ление параллельного контура равно /?f/2+(<rt/.)2/2^r Пример 43. Всхеме(рис. 3.25, u)ftt = ЗООм;шА = 40Оч;/?2= 0;ш — 103рад/е. При каком значении емкости конденсатора в схеме будет резонанс токов? Р е in е и и е. По формуле (3.51), । /?®4-((пС)й зоГ+4ой -- —— =------™------=--------—----= 62,5 Ом; <оС u>L 40 *•>*£ 103-62,5 16 мкФ. § 3.27. Компенсация сдвига фаз. Входное сопротивление боль- шинства потребителей электрической энергии имеет индуктивный характер. Для того чтобы уменьшить потребляемый ими ток за счет снижения его реактивной составляющей и тем снизить потери энер- гии в генераторе и подводящих проводах, параллельно приемнику энергии включают батарею конденсаторов. Уменьшение сдвига фаз между напряжением на приемнике и током, потребляемым от генератора, называют компенсацией сдви- га фаз. Компенсация сдвига фаз существенна для энергоемких потре- бителей, например крупных заводов. Осуществляется она в месте ввода линии питания в распределительном устройстве. Экономиче- ски выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение (ток через конденсаторы /с = U&C). Сдвиг фаз <р меж- ду напряжением и током, потребляемым от источника питания, доводят до значения, при котором cosip яг 0,9—0.95. §3.28. Резонанс напряжений. Резонанс в схеме последователь- ного соединения R, L, С (рис. 3.26, а) называют резонансом напря- жений. 110
При резонансе ток е цепи должен совпадать по фазе с ЭДС Е. Эго возможно, если входное сопротивление схемы Z — R +f(taL — 1/шС) будет чисто активным; Условие наступле- ния резонанса в схеме (рис. 3.26, а) o0L = 1/{шьС), (3.52) где (ofl — резонансная частота. При этом / =E/R. Напряжение на индуктивной элементе при резонансе равно напряжению на емкостном: л. Отношение \Т/с (3.53) Я - R называют добротностью резонансного контура. Добротность пока- зывает, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме. В радиотехнических устройствах Q моихт доходить до SCO и более. Векторная диа1рсмма для режима резонанса изображена на рис. 3.36, б. Характеристических, сопротивлением g для схемы (рис. 3.26, а) называют отношение напряжения на £ и С в режиме резонанса к току в этсм режиме: q — QR=^L/C, ill
§ 3.29. Исследование работы схемы рис. 3.26, а при изменении частоты и индуктивности. Пусть в схеме рис. 3.26, а параметры /< L, С и ЭДС Е постоянны, а меняется частота ы. Рассмотрим харак- тер изменений модулей тока 1 и напряжений UL и Uc в функции от Ток в цени При изменении ю меняется реактивное сопротивление цепи X = uL— при (й’-4-0 сопротивление Л-*-оо и ток /-> 0; при (о = 1/yiLC сопротивление X — 0, ток / = E/R', при ы->оо сопро- тивление Х--»-оо, ток /->-0. Напряжение При (ч->0 напряжение UL — 0; при ы-»-оо напряжение Ut-+E (рис. 3.26, в). При Q>l/^/2 кривая UL{n кривая U(:} проход нт через максимум, при Q<l/V2 кривая UL монотонно стремится к Е. При W-+ 0 Uc = /—Е, при (и-* оо U{:-+- 0. Из рис. 3.26, й видно, что максимумы напряжений U{ н Uc имеют место при частотах, не равных резонансной частоте <»»fl = l/^LC: максимум Ц имеет место при частоте ю£> <я(|, а максимум Uc — при частоте «>( < w0 ( т/ 2 “« v — — ! На рис. 3.26, г изображены две кривые, характеризующие зави- симость / =я Де») для цени с неизменными L, С и Е при двух различ- ных значениях Д. Для кривой 2 сопротивление меньше (а доброт- ность Q больше), чем для кривой /. Обычно кривые изображают в относительных единицах (рис. 3.26, г), откладывая ток в долях от тока при резонансе, а частоту — в долях от резонансной частоты. Графики тока в отно- сительных единицах изображены на рис. 3.26, д. Они построены по формуле , । дД + —w0/<u)^ ’Стрелка -+- заменяет слово «стремящийся» или соотпетсrueutio «стремится». 1(2
Чем меньше активное сопротивление резонансного контура при неизменных остальных параметрах схемы, т. е. чем больше доброт [(ость контура Q, тем более острой (.пикообразной) становится фор- ма КрИВОЙ I = /(ы). Полосой пропускания резонансного контура называют полосу частоти2 — w, = й)0/<>, на границах которой отношениесостав- ляет 0,707 (см. рис. 3.27, й). Граничные частоты 2 = + 4<?а ± I). Аргумент входного со- противления схемы рис. 3.26, оц- arctgQ(cii/<oo — ы^/ю). Если в схеме рис. 3.26, а изменять не частоту, а индуктивность L, то зависимости /, Ut в функции от XL = ю£(ш — const) будут иметь вид кривых рис. 3.2G, е. Так как ис>=* —/, а 1/<оС = const, то кривая Uc = /(ш£) качест- венно имеет такой же вид, что и кривая / = /(<oL). Пример 44. В схеме (рис. 3.26, a}R — 10 Он;/. = 1Г«;С=1 мкФ. Определить резонансную частоту добротность Q, а также напряжение Uc, если на вход схемы подано напряжение 10 мВ при резонансной частоте. Р е ше и ие. Резонансная частота= I~ I/\ЦГ ’ = Ю3рад/с. Добротность Q = (v(jL/R = (Ю3. t)/10 = 100. Ток в цепи / = E/R = 0,01/10 = = 1 мА. НаприжснпТ’ на конденсаторе бс — QE = 100-0,01 = t В. §3.30. Частотные характеристики двухполюсников. Входное со- противление и входная проводимость двухполюсника в общем слу- чае являются функциями частоты ю. Под частотными характери- стиками (ЧХ) понимают следующие типы характеристик; I) зависимость модуля входного сопротивления (проводимости) от ча- стоты (и; 2)зависимость действительной или мнимой части входного сопротивления (проводимости) от частоты и. ЧХ могут быть получе- ны расчетным (если известна схема, характер элементов и их чис- ловые значения) либо опытным (в этом случае схему двухполюсни- ка и характер составляющих ее элементов можно и не знать) путем. При снятии ЧХ опытным путем на вход двухполюсника подают напряжение, частоту которого изменяют в широких пределах, начи- ная с нуля, и по результатам измерений подсчитывают модуль вход- ного сопротивления (проводимости) или действительную (мнимую) Часть входного сопротивления (проводимости). В общем случае двухполюсники содержат резистивные и реак- тивные элементы. В частном случае двухполюсники могут состоять только из реактивных элементов, тогда их называют реактивными двухполюсниками. Применительно к ним под ЧХ понимают зависи- мости X = /(ы) или b — /(«). ЧХ для несложных двухполюсников, Одержавших резистивные и реактивные элементы, иногда можно качественно строить на основании простых физических соображе- ний о характере изменения сопротивления отдельных элементов 113 ®~589
Рис. 3.27 этого двухполюсника в функции частоты. Если это сделать затруд- нительно, то прибегают к аналитическому расчету либо к снятию ЧХ опытным путем. Качественно построим характеристику z = Дю) для двухполюс- ника рис. 3.27, а (рис. 3.27, б). При ад = О(конденсатор представляет собой разрыв) z = R При ю-> оо сопротивление конденсато- ра 1/юС->0, а индуктивное сопротивление ю£-»- с». Поэтому при ад-»- оо z = R + Ra. При ад — имеет место режим резонанса токов и потому входное сопротивление имеет максимум. В области частот О — w0'z имеет индуктивный характер, в области ы0' — оо — емко- стный. Если R, — R2<SCL/C, то при , I г, . L/C L/C Рассмотрим вопрос о построении частотных характеристик ре- активных двухполюсников, не содержащих резистивных сопротив- лений. Входное сопротивление их 2 — jX, а входная проводимость Y = i/z = — — — /Ь Ь = 1/х. Частотная характеристика таких двухполюсников — это зависимость Х(ю) или 6(ю). Эти зависимости взаимно обратны. Для индуктивного элемента X(w) — адЦрнс. 3.28, а), а (рис. 3.28, б). Для емкостного элемента Л(ы) = — ыС (рис. 3.28, е), а Х(и) = _(рис. 3.28, а). Если учесть, что при последовательном соединении элементов сопротивления элементов складывают, то ясно, что для получения Х(ю) последовательно соединенных элемеИ' тов надо сложить ординаты кривых Х(ю) этих элементов. ЧХ последовательно соединенных и С] (рис. 3.28, <?) построена на рис. 3.28, е в виде кривой 3 (прямая / — это ЧХ а кривая 2 ЧХ С,). Зависимость £>(ад) для схемы рис. 3.28, д изображена на рис- 3.28, яс. При частоте ы0 = тгу- кривая Х(ю) пересекает ось абсцисс 114
а кривая b(<i>)претерпевает разрыв от— оо до 4-оо. При этой частоте имеет место резонанс напряжений. Если учесть, что при параллельном соединении элементов прово- димости их надо сложить, то ясно, что для получения кривой д(ь») параллельно соединенных элементов надо сложить ординаты кривых этих элементов. Зависимость 6(ю) для схемы рис. 3.28, з изобра- жена на рис. 3.28, к, а обратная ей зависимость Х(ы) — на рис. 3.28, «. При частоте >,/ = - I - кривая A’(w) пересекает ось абсцисс, а Х((о) претерпевает разрыв от -|-оо до —оо. При этой частоте имеет место резонанс токов в цепи (рис. 3.28, з). Па рис. 3.28, л последовательно соединены два двухэлементных ранее рассмотренных двухполюсни- ка. Так как Х(ы) каждого из этих двухполюсников построена, то ре- зультирующее Л(со) схемы рис. 3.28, л получим, суммируя ординаты ! Jf((o) этих двухполюсников (т. е. кривых рис. 3.28, е, и). Зависимость ^(ы)для схемы рис.3.28, л см. рис. 3.28, я, a i(w) — на рис. 3.28, н. При плавном увеличении частоты в схеме (рис. 3.28, ж), начиная с ш = О, сначала возникает резонанс напряжений при частоте ю(, затем резо- нанс токов при о>2, после этого резонанс напряжений при <о3. При Дальнейшем увеличении <о резонансов возникать не будет. fi- lls
Сделаем следующие выводы: I ) режимы резонанса токов и резонанса напряжении чередуют- ся; 2 ) число резонансных частот для канонических схем (см. §3.31) на единицу меньше числа реактивных элементов; 3}если в схеме есть путь для прохождения постоянного тока, то при плавном увеличении частоты, начиная с нуля, первым наступит резонанс токов, если нет — резонанс напряжений. Это следует из того, что если есть путь для постоянного тока, то при о — 0 характеристика X =s Дю) начинается с нуля, затем Л увеличивается [dX/du£>01, а при некоторой <□ кривая претерпевает разрыв, который и соответствует резонансу токов. При аналитиче- ском определении резонансных частот в реактивном двухполюсни- ке сопротивление его следует представить в виде отношения двух полиномов по степеням <о, т. е. X — М(ы). Корни уравнения /V(<o) = 0 соответствуют частотам, при которых возникает резонанс напряжений, корни уравнения Л1(<п) = 0 — частотам, при которых имеет место резонанс токов. § 3.31. Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники. Путем эквивалентных преобразований отдельных частей сложных схем последние можно привести к более простым схемам с мини- мально возможным числом R, L, Св них — к каноническим схемам. Так, схемы рис. 3.28 являются каноническими. Преобразования осуществляют либо путем перехода от звезды к треугольнику (или наоборот) или от параллельно-последовательного соединения (рис. 3.29, а) к параллельному (рис. 3.29, б), либо от параллельного сое- динения (рис. 3.29, в) к последовательно-параллельному (рис. 3.29, г) и последующего упрощения схемы. Значения коэффициентов пе рехода: для рис. 3.29, а, б b = а( I -ф а); с = (1 -ф я)2; d = 1 + а; для рис. 3.29, в, г b — а2/(1 + а); с = 1/(1 -ф а)2; d = а/(1 -ф а). Двухполюсники рис. 3.29, а, б, как и рис. 3.29, в, г, называют эквивалентными, так как они имеют равные входные сопротивле- ния при всех частотах. 116
^согласующий i) Рис. 3.30 § 3.32. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке. К зажимам ab активного двухполюсника (рис. 3.30, а) подключена нагрузка Z* = /?„ 4- jXu. Требуется выяснить, при соблюдении ка- ких условий в нагрузке выделяется максимальная активная мощ- ность. По методу эквивалентного генератора (см.§ 1.25)ток в нагрузке / = ^/(2и+гн), где Zsx = 7?вх + jXm — входное сопротивление двухполюсника по от- ношению к зажимам ab, поэтому •_________ + Л*» + *)* По условию, /?вх и Лнх заданы и изменять их нельзя. Изменять можно лишь Ru и Хн. Выберем такое X,,, чтобы ток в цепи был максимальным; это возможно, если Хвх 4- Х1( = 0. При этом двухпо- люсник работает в резонансном режиме — ток через нагрузку ио фазе совпадает с напряжением : / = Ueb*: (/?вх +/?„). Как и в цепи постоянного тока (см. § 1.26), если взять Ra = /?&х, выделяющаяся в нагрузке мощность максимальна: Таким образом, чтобы выделить в нагрузке, присоединяемой к активному двухполюснику с входным сопротивлением R^ 4- Максимально возможную мощность, необходимо выбрать следую- щие сопротивления нагрузки: Хн = — Rv = Rm. § 3.33, Согласующий трансформатор. Нагрузкой двухполюсни- ка может быть какое-либо уже существующее устройство, сопро- тивление которого Z„, так же как и входное сопротивление двухпо- люсника ZnK, задано и не может быть изменено. В этом случае Согласование нагрузок с двухполюсником осуществляют, присое- диняя нагрузку не непосредственно к зажимам двухполюсника, а 117
через согласующий трансформатор (рис. 3.30, б). Обозначим через и, и число витков первичной и вторичной обмоток трансформа- тора. Активные сопротивления и индуктивности рассеяния обмоток весьма малы и при расчете не учитываем. Сердечник трансформа- тора (на рисунке не показан) выполнен из высококачественного магнитного материала с малыми потерями, поэтому ток холостого хода трансформатора мал по сравнению с током но обмотке при нагрузке. Такой трансформатор посвоим свойствам приближается к трансформатору, который называют идеальным (см. § 3.34). Для него справедливы соотношения (обозначения соответствуют рис. 3.30, б) /«,- — wjw2. Пояснения к этим форму- лам см. в § 15.67(обозначения согласуются так: Uab = Ulr !„ = /2 и / = /J. Входное сопротивление изображенной пунктиром части схе- мы по отношению к зажимам аЬ В соответствии с § 3.32 это сопротивление должно быть комп- лексно-сопряженным с сопротивлением двухполюсника: Д» = ЯВ1 4- /Л„. Отсюда следует, что для согласования по активному сопротив- лению /?м ~ а для согласования по реактивному сопро- тивлению = — Хп(гУ(/1й/г)2.Отношениечисел витков wjw2опре- делим из первого условия a)l/w2 = y[R^/Rtt. При выборе числа витков и площади поперечного сечения сердечника трансформа- тора 5 должно быть учтено, что в установившемся режиме работы амплитудное значение потока в сердечнике не должно достигать потока насыщения этого сердечника, иначе будет нарушено усло- вие /Iwl — iHw2 № 0. Для выполнения согласования по реактивно- му сопротивлению последовательно с нагрузкой включают допол- ' нительное сопротивление соответствующего характера. § 3.34. Идеальный трансформатор. В качестве элементов схем замещения электрических цепей наряду с R, L, С, М в литературе используют идеальный трансформатор (ИТ). Идеальным называют трансформатор без потерь, у которого вводные.и рыходные токи й напряжения связаны соотношениями Ut — RU2,I2= А/,, где А = —коэффициент трансформа- ции. Идеальный трансформатор трансформирует напряжение У, в напряжении (/2, ток /, — в ток /2, сопротивление нагрузки Z — в сопротивление №Z(см. § 3.33). 118
a) S) ПР пи Л е) Рис. 3.32 § 3.35. Падение и потеря напряжения в линии передачи анергии. Генератор соединен с приемником анергии линией передачи, которая обладает активным Ra и индуктивным Хя ~ <оГл сопротивлениями. Построим векторную диаграмму для цепи, состоящей из генератора, липин передачи и приемника. Для определенности положим, что нагрузка приемника име- ет индуктивный характер. Вектор напряжения в конце линии (на прием нике) напра- вим по оси +1 (рис. 3.31); вектор тока / отстает от иегов силу индуктивного характера нагрузки. Падение напряжения в активном сопротивлении линки Мл совпадает ио фазе стоком, падение на пряжения в индуктивном сопротивлении 1}ХЛ опережает ток на 90°. Подпадением напряжения в линии передачи понимают модуль геометрической разности векторов в начале (0t)u конце (й^ линии: /V^ + м/. Потеря напряжения в линии передачи равна разности модулей напряжения в начале и конце линии, т. е. . Потеря напряжения показывает, на сколько вольт напряжение в конце линии меньше, чем напряжение в ее начале. Как правило, падение напряжения больше потери напряжения. §3.36. Расчет электрических цепей при наличии в них магнитно- связанных катушек. В состав электрических цепей могут входить катушки, магнитно-связанные с другими катушками. Поток одной из них пронизывает другие и наводит в них ЭДС взаимоиндукции, которые должны быть учтены при расчете. При составлении урав- нений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции н взаимоиндукции. Правильное заключение об этом можно сделать, если известно направление намотки катушек на сердечнике и выбрано положи- тельное направление токов в них. На рис. 3.32, о катушки включены согласно, на рис. 3.32, б — встречно. Чтобы не загромождать чертеж, сердечники катушек на Электрических схемах обычно не изображают, ограничиваясь тем, одноименные зажимы (например, начала катушек) помечают одинаковыми значками, например точками. Схема рис. 3.32, в эквивалентна схеме рис. 3.32, а, а схема рис. 3 32, г — схеме рис. 3.32, б. 119
Рис. 3.34 Если на электрической схеме токи двух магнитно-связанных катушек одинаково ориентированы относительно одноименно обоз- наченных зажимов, например оба направлены к точкам или оба направлены от точек, то имеет место согласное включение, в про- тивном случае — встречное. Если магнитно связано несколько катушек, то начало и конец размечают для каждой пары катушек отдельно. На примере рис. 3.33 рассмотрим методику составления урав- нений для расчета магнитно-связанных цепей. Произвольно выбе- рем положительные направления токов в ветвях схемы. Направле- ния обхода контуров выберем по часовой стрелке. Составим уравнения для мгновенных значений: if = i2 + i3. Для левого контурв (первая и вторая ветви) 1 di, dr. 1 , (а) + с; V|d'+ L] it + м~ы + с~2 М+=е>- „ <й’з Перед слагаемым м— поставлен тот же знак, что и перед г.,—, так как токи i, и i2 входят в одноименные зажимы магнитно-связан- ных катушек, т. е. имеет место согласное включение. Сумма слага- Qiq df| емых м—+представляет собой падение напряжения на пер- вой катушке. Слагаемые левой части уравнения (а) взяты сознаком плюс, так как на всех участках первого контура положительные направления токов совпадают с направлением обхода контура. Составим уравнение для правого контура (вторая и третья вет- ви). Направление тока 1г встречно направлению обхода контура> поэтому сумма падений напряжений во второй ветви войдет в урав* нение со знаком минус: 1 г <*‘3 ^*1 “ — '*2^2 + 4* f3^3 = “ Г3- В комплексной форме записи: Л = Л + Л» (б) 120
(в) (Г) § 3.37. Последовательное соединение двух магнитно-связанных катушек. На рис. 3.34 изображена схема последовательного согласг него включения двух катушек, а на рис. 3.35 — последовательного встречного включения тех же катушек. При согласном включении , di . di , di . ,,di . W] 4- 4- M- 4- 4- Л1— 4- iJ?2 >= e. В комплексной форме записи: /[/?, + *2 + >(£, + L2 + 2M)J = £; А™ = я, + + /«(L, + L2 + 2М). (3.54) Векторная диаграмма для согласного включения изображена на рис. 3.36, где ut — напряжение на первой катушке; м2 — на второй. рн встречном включении - МТ( + М? - ~ - Отсюда гДе = Ё, 2встр = + #а + /“(^i + £г ~ (3.55) 121
Рис. 3.37 Рис. 3.38 Векторная диаграмма для встречного включения при £,>М и £2>Л4 изображена на рис. 3.37. § 3.38. Определение взаимной индуктивности опытным путем. Обсудим два практически важных способа опытного определения взаимной индуктивности М двух магнитно-связанных катушек. Первый способ. Проделаем два опыта. В первый из них включим катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение на входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки включим последовательно и встречно и также измерим /, Ut P. По результатам измерений найдем: АСогЛ = + i-2 + 2Л4); ХКТр =®(Ь| + L2 2М). Разность — А'встр = 4ыЛ1, следовательно, Л1=(Аотл-Лгар)/(4<о). (3.56) Второй способ. Подключим первую катушку к источнику сину- соидальной ЭДС через амперметр (рис. 3.38), а к зажимам второй катушки присоединим вольтметр с большим внутренним сопротив- лением. Измерим ток /( и напряжение 1/2. d«| Мгновенное значение напряжения «2 = 44™. Его действующее значение U2 =^<йМ^. Следовательно, Л1 = [/2/(о7,). (3.57) Пример 45. В схеме (рис. 3.38) вольтметр показал 100 В, амперметр 10 А; ю =* 314 рад/с. Определить М. Решение .По формуле (3.57), М = 100/(314* 10) = 0,0319 Г и. § 3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление. Трансформа- тор представляет собой статическое (т. е. не имеющее подвижных 122
Рис. 3.39 частей) устройство, служащее для преобразования числового зна- чения переменного во времени напряжения, а также для электри- ческого разделения цепей и преобразования числовых значений сопротивлений. Передача энергии из одной цепи в другую произво- дится трансформатором благодаря явлению взаимоиндукции. Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся иа общем сер- дечнике. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной. Параметры первичной обмотки R, и Lt, вторичной — /?2 и Ь2. Взаимная индуктивность между обмотками Л1 (рис. 3.39, а). Сопротивление нагрузки, подключенной к зажимам вторичной об- мотки, равно ZH. Выберем положительные направления токов /, и /й. Обозначим напряжение на нагрузке U„. Запишем уравнения в комплексной форме: для первичной цепи /,/?] -[-ijaLi =Е‘, (3.58) для вторичной цепи /2/?2 -|- /j/'wLj -f- Uv = 0. (3.59) На рис. 3.39, б качественно построим векторную диаграмму, цолагая, что нагрузка ZH = zHe*’» имеет индуктивный характер. Ток /2 направим по оси +1. Напряжение на нагрузке 0и опережает ток на угол <рн Падение напряжения /г/?2 совпадает по фазе с током /2. Вектор I.JuL? опережает вектор тока /2 на 90 °. В соответствии с уравнением (3.59) вектор ЩшМ проводим так, чтобы геометрическая сумма падений напряжений во вторичной Цепи равняласьпулю. Вектор тока /, отстает от вектора /,/ыМ на 90°. Вектор совпадает с вектором тока /( по фазе, а вектор /|/ш£] опережает вектор ?! на 90е. Вектор I.JuM опережает вектор /2 на 90е. В соответствии с урав- нением (3.58) геометрическая сумма 4-Zi/wL, дает *1- 123
Подставим в (3.59) (/„ =jaZH = J/Rv + MJ и решим уравнения (3.58) и (3.59) относительно 7,: 1 (Я[ + ЯВН) + /(X । — хвн/ где /?„„ и Лв1| — вносимые из вторичного контура в первичный актив- ное и реактивное сопротивления. При этом Я™ »---------2—----------i Ря + М; (*S+V + («tj+V* / ви (*а + V + №2 + V (Ш 2 Г J ") Вносимые сопротивления представляют собой' такие сопротив- ления, которые следовало бы "внести” в первичную цепь (включить последовательно с /?( и X,), чтобы учесть влияние нагрузки вторич- ной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи (рис. 3.39, в). Пример 46. Определить токи в схеме рис. 3.40, а и построить топографическую диаграмму, совместив ее с векторной диаграммой токов, полагая v>L\ = Ом; wLa = =3 Ом; о)Л1 = I Ом; R« = 4 Ом; £ = 900 В. Решение. Составим уравнения по законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа, ?[ = ts + 7„. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа обход контуров будем совершать почасовой стрелке. Тогда f )/ш£| + ! + 7 KRn = Е; / -4- — 7hRh == 0. В двух последних уравнениях заменим 1И на /, — /2: 'Л^н + /ы^|) + ~ *«) = - 7,июЛ4 - /?н) + 1/ИЙ + /ю/.г) = 0. Подставим числовые значения: 71(4+ 2/) +Щ-4) =100 ; 71(/“4)-{-/а(4+3/) = 0. 924
Решение уравнений дает: / =71-/2=14,12е-/°’5*' А. Рис. 3.41 /,= 17,7е“)63° А; /2== 14,6е“'|М' А; На рис. 3.40, б изображены топографическая диаграмма и совмещенная с ней векторная диаграмма токов. Пример 47. Построить топографическую диаграмму для схемы (ряс. 3.41, а), совместив ее с векторной диаграммой токов. Две ветви схемы связаны магнитно. Значения параметров: u>Ll *= 3 Ом; ы£2 = 4 Ом; юЛ1 = 3 Ом; /?) = /f2 = 2 Ом; £ ~ =JOOB. Решение. Обозначим токи в ветвях через ft и /2 и ток в неразветнленной части схемы — через 7. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для со- гласного включения катушек: + 72/<bjM = Е; / i/ыМ -|- + /шЛ2) = Е. Совместное решение ях дает: 7, = 16е—^’А; 12 = 14,27e~/Wi''!':r А. Топографическая диаграмма, совмещенная с векторной диаграммой токов, изо- бражена на рис. 3.41, б. Рассмотрим вопрос о переносе мощности из одной детей в дру- гую вследствие магнитной связи. Если вегвь k с током lk и ветвь q с током /^связаны магнитно и взаимная индуктивность между ветвя- ми 7W, то магнитный поток из ветви k в ветвь q переносит комплекс- ную мощность, равную произведениюЭДС взаимоиндукции в^-вет- ви на сопряженный комплекс тока 0-ветви, т. е. /?: 5 = (№Л1/.)7* . Знак минус соответствует согласному, плюс — встречному сое- динению. § 3.40. Резонанс в магнитно-связанных колебательных контурах. В § 3.23 — 3.27 были описаны резонансные явления в параллельном, последовательном и последо- Ьагельпо-параллелы1ом резонансных контурах. Рассмотрим резонанс в магнитно- ^иязаиных контурах, например в схеме рис. 3.42, д, часто применяемой в раднотех- 1,ике. Для упрощения выкладок доложим Lt = L2 — L, Ct —С2~ C; — R2 = R, Ч1’о дает возможность относительно легко выявить основные закономерности резо- нанса в этой схеме. 125
Рис. 3.42 Составим уравнения по второму закону Кирхгофа: /,(/? + /«t - Чг) - й>С -ЦпМ + !,/R + j^L-^ = O. Ток ftaME R 4- jwL-----У + <i>2Af2 WC* J Напряжение на конденсаторе второго контура О -j'-E—_________________L_ Uci~l^c~Lc / м I/? + jtoL — —У I (oCI Пусть 1/С2/ £ “ k(j,тогда * --------- + w2Af2 (a) (1 \ ( I у mL - 4- j2R - -У + uPM* wCl I e>Cl Обозначим 2 1 R R . h M ы2 “° “ LC to0L - tf/C ~d' k ~ ^LfL2 “ L ’ F' “ " С помощью параметра e учитывается отклонение текущей частоты <о от резв' пансной <оп. Рассмотрим работу схемы нри относительно малых отклонениях в»1)1 <оо. Положим ш = ш0 — Аы. Тогда е = 1 ы2 4 - to (to0 - о>Х<о0 4- ы) 2&w -я =-------5— ------------5-----------------. “о “о “о “о 126
В свою очередь. При малых отклонениях о> от wfr вынеся в знаменателе выражения (а) за скобку а2/.2 = ю2£2 н использовав указанные обозначения, получим L ___________________ U А2 -|- d2 — е2 — /2ed Модуль IA 1 „ * (б> IM ^+d8-esT+W При фиксированных k и d можно исследовать | A^j на экстремум в функции е для двух случаев: A>d н k<d. При A>d имеются три экстремума: минимум прн е = 0, т. е. при w = wq, н два максимума прн е1>2 = , которым соответствуют частоты wl,2 = ®б)/1 — Ь]д . Резонансная кривая, прн этом имеет два ”горба ” (кривая / на рис. 3.42, б постро- ена при k 3d). С увеличением k '’горбы” кривой раздвигаются. При A<d имеется только одни экстрем ум: максимум при а »0( кривая 2 на рис. 3.42, б). По осн абсцисс на этом рисунке отложено e/d , по осн ординат 1М/1*а.п«1 . где • Ток первичного контура в функции оте/d прн A>0,49d имеет двугорбую форму. § 3.41. «Развязывание» магнитно-связанных целей. Иногда в литературе можно встретить расчетный метод, который называют развязыванием магнитно-связанных цепей (катушек). Метод со- стоит в том, что исходную схему с магнитно-связанными индуктив- ностями путем введения дополнительных индуктивностей и измене- ния имевшихся преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктивностями в преобразованной схеме отсутствует. Так как преобразования осуществляют на основе составленных по законам Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь по- лученная и исходная схемы в расчетном смысле полностью эквива- лентны, а расчет схемы после развязывания упрощается за счет возможности применения метода узловых потенциалов. Составим, например, схему, эквивалентную схеме рис. 3.33. С этой целью в уравнении (в) заменим/3 на/, — /2 и в уравнении (г)— /, на /, + /3 (см. § 3.36). Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся после замены уравнений входили только те токи, которые текут в ветвях рассматриваемого Контура. В результате получим: >|R| - + /ш (Lt + Л1)| + /2[ла - + 1«>Мj ™ £,; (В) - 4№ ’ 77" - /“AJ) + К(«2 + + /«*<) = - 4 (г) ш WO 127
Уравнениям (в) и (г) соответствует схема рис. 3.42, в. Сопостав. ляя схемы рис. 3.33 и рис. 3.42, в, замечаем, что Lt заменена ца (Lj + М), £3 — на (L3 + М), а во вторую ветвь введена отрицатель, пая индуктивность Lz — — M (физически осуществить полученную расчетным путем отрицательную индуктивность в цепи только с линейными элементами невозможно). Таким образом, участок це. пи, изображенный на рис. 3.42, г, в расчетном смысле может быть заменен участком, показанным на рис. 3.42, д. Если катушки будут включены встречно, то на рис. 3.42, д следует изменить знак перед /И. Покажем, как можно осуществлять развязывание, не составляя полных уравнений по второму закону Кирхгофа. В основу поло- жим неизменность потокосцепления каждого контура до и после развязывания. Пусть в схеме рис. 3.33 после развязывания х ~~ индуктивность первой ветви, у —- второй, z — третьей. Условие не- изменности потокосцепления левого контура: ilLl+i3M== — itLt +(г, — гг)М — itx +i2y, откуда x = Lt -фМ и у = — М. Условие неизменности потокосцепления правого контура i,M + i3L3 = ((г + i3)M +13£3 == t3z - i^y, откуда у = — M z = M 4- L3. Знак минус поставлен потому, что при обходе контура по часовой стрелке перемещаемся встречно току 4. § 3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей (теорема Лонже- вена). В любой линейной электрической цепи сумма активных мощностей источни- ков ЭДС равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощ- ностей источников ЭДС — сумме реактивных мощностей приемников энергии. Пусть схема содержит / узлов, b ветвей и все ветви или часть их связаны друге другом магнитно. По первому закону Кирхгофа сумма токов в любом узле равна ". % нулю. Например, для fc-узла, в котором сходится «ветвей, = О или = °- р=1 . р—1 Умножим каждое слагаемое этой суммы на потенциал А-узла фр ,=1 Просуммируем аналогичные выражения для всех /-узлоа схемы: *=1 p=i В двойную сум му любой ток схемы, например <ок/т?, входит дважды^ притом с разными знака ми. Действительно, при А = т»р = слагаемое равно ф„/ , а при k = q и р = т р^вно q J п Так как / = — то эти слагаемые можно объеди- нить и получить — ф?). Положим, что какая-то ветвь схемы, например ветв*< kq, магнитно связана с ветвью sr так, что сопротивление взаимоиндукции между яимиХм^(рис 3.43). В соответствии с рис. 3.43 для ветви qk - — = Ekq ~ !k<^kq “ lsriXMkq/sr' 128
Рис. 3.43 для веги и sr 4V V's ^sr ^sr^sr ^kii/sr ' . . * Если принять IhQ = lsf = ; н учесть = и I = la,e~l4’st. то сумма двух слагаемых 1 • * 11м1^г1ХМкч/гг + ~ lh4,nriXMkll/sl.'X Х[е^*? 4- е й**4 М = /ЙЛ^^/^сов^ — (₽J. Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы позволяет переписать ее в виде ^kpfkp — YjkPZl>P + ^TJkPlsrXMkqfsrC^^kil ~~ (3.60) где lip — квадра т модуля тока Ветви kp\ Zkp= Rkp + А*р- Левая и правая части формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равенст- во действительных частей комплексов к'1£Л-Иа,. <3-611 равенство мнимых частей 1тЕ£Х-14ч + (3'62) В этом выражении принято положительным при согласном направлении потоков взаимоиндукции и самоиндукции ветвей Й<?и$гиотрнцате.1ьным при встреч- ном их направлении. Формулы (3.61) и (3.62) являются математической записью «формулированной теоремы. Пример 48. По данным примера 46 убедиться в справедливости теоремы о балансе мощности применительно к схеме рис, 3.40, а. Решение. Активная мощность, доставляемая источником ЭДС, ReE/ = Re JOO - I7,7ej63’ = !770 cos 63’ = 800 Вт. Активная мощность, потребляемая приемниками, 7ц/?,, = !4,12й-4 = 800 Вт. Следо- Вательно, равенство активных^мощностей действительно выполнено. Реактивная вещность источника ЭДС 1т£/ = 1770 sin 63° = 1582 ВАр. Реактивная мощность приемников энергии с учетом согласного включения катушек /[WA] Ц- 4- 2/|/gtBAfccs (у>л — фй) = = 17,72-2 4- 14.62-3 4-2-17,7 14,6 cos (63е— 144°) = 1582 ВАр у акцм образом, баланс реактивных мощностей тоже удовлетворяется. 129 9 ~589
§ 3.43. Теорема Теллегени. Пусть в некоторой схеме имеется п ветвей и узловац матрица ее[Л ]. Матрицу-столбец комплексно-сопряженных токов ветвей обозначу |7й ]. а матрицу-столбец комплексных напряжений на ветвях (включая ЭДС ветвей н падение напряжения на них)обозначим [С/р ]. Б соответствии с законом* сохранения энергии* Ц/1 + 1/Л + - + <'Л“0- (а) Соотношение (а) можно записать т^к Р11 = |УрП*в1”0. (б) Но в соответствии с § 2.35 [t/Bl = (Л f [<pj, где [<р] — матрица-столбец потенций. лов незаземленных узлов. В свою очередь. 1УйГ=1фГИ1- (в) Подставим (в) в (б): 1<рГИ][*в1'=о. (г) В формуле (г) произведение [ЛЦ/Й]»О физически выражает собой систему уравнений по первому закону Кирхгофа для незаземленных узлов схемы, составлен- ную для комплексно-сопряженных токов ветвей. Из (г) следует, что если в одной и той же схеме с неизменной (Я {-матрицей создать два режима, отличающихся сопротивлениями, и ЭДС ветвей И все величины, относящиеся к первому режиму, снабдить одним штрихом, а ко второму — двумя, то 1^п’л1«[Уй'Ге‘в1- <д) Соотношение (д), получившее название теоремы Теллегена, справедливо и по отношению к режимам в двух разных схемах, лишь бы у них были одинаковые узловые (Л {-матрицы. §3.44 . Определение дуальной цепи. Две электрические цепи называют дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из них подобен закону изменения узловых потенциалов в другой. В качестве простейшего примера на рис. 3.44 изображены две дуальные цепи. Схема рис. 3.44, а состоит из источника ЭДС Е и последователь- ное ним включенных активного, индуктивного и емкостного элемен- тов (/?, L, С). Схема рис. 3.44, б состоит из источника тока /э и трех параллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводи- мость g3, вторая — емкость С,, третья — индуктивность £9. Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место в дуальных цепях, составим для схемы рис. 3.44, а уравнение по методу контурных токов: I • (3.63) /(ЯЧ-^Ч-^) = Е, 1 130
а) г) Рис. 3.44 а для схемы рис. 3.44, б — по методу узловых потенциалов, обозна- чив потенциал точки а через <ра, положив равным нулю потенциал второго узла: ^,+^ + /<0=^- (3,64) f- Lj& Если параметры схемы рис. 3.44, б g„ L# С9 согласовать с пара- метрами схемы рис. 3.44, a R,L,C таким образом, что R/g,= L/C3 = Ls/C = k, (3.65) где k — некоторое произвольное число (масштабный множитель преобразования). Ом* то *»+7^+'"с»Ч(*+Д+^- (366) С учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.64) следую- щим образом: Фо(/г + М + ^) =УЭ. (367) уши Из сопоставления уравнений (3.63) и (3.67) следует, что если ток Л источника тока в схеме рис. 3.44, б изменяется с той же угловой частотой, что и ЭДС Е в схеме рис. 3.44, а, и численно равен £, а параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением (3.65), то при k — 1 Ом2 закон изменения во времени потенциала 4>в в схеме рис. 3.44, б совпадает с законом изменения во времени тока / в схеме рис. 3.44, а. Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью Могут быть перенесены на дуальную ей схему. Между входным сопротивлением исходного двухполюсника и входной проводимостью У.уяд дуального ему двухполюсника суще- ствует соотношение — ft Уяум-. Из (3.66) получаем соотношение между частотной характери- стикой чисто реактивного исходного двухполюсника Хист(<й) и час- ^отной характеристикой дуального ему тоже чисто реактивного двухполюсника 6дуид(ю). Действительно, так как ZHC, = /Хисд(<й), а 131 s-
то = ~^дум(ы), т. е. частотная характе- ристика дуального двухполюсника получается из исходной частот- ной характеристики путем опрокидывания ее относительно оси ы и деления на масштабный множитель k. Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками ЭДС Е и параметрами R, L, С) отвечает свой элемент эквивалентной дуальной схемы (схемы с источниками тока /3 и параметрами gs, Cs, ts). §3.45 . Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому независимому контуру исходной схемы, а также области, являю- щейся внешней по отношению к схеме, соответствует свой узел дуальной схемы. Если в какой-либо ветви исходной схемы, являющейся смежной между двумя контурами, имеется п последовательно включенных элементов, то этой ветви соответствует п параллельных ветвей, соединяющих узлы дуальной схемы, которые отвечают этим конту-ч рам. Так, источнику ЭДС Е исходной схемы рис. 3.45, а отвечает в дуальной схеме источник тока У, рис. 3.45, б, а источнику тока — источник ЭДС Е; активному сопротивлению R — проводимость g9; индуктивности L — емкость Са; емкости С — индуктивность £э. Для1 преобразования исходной схемы в дуальную поступают следую-1 щим образом. Внутри каждого независимого контура (и во внешней области) ставят точки и называют их. Эти точки являются узлами эквивалентной дуальной схемы. В схеме рис. 3.46, а три независимых контура, поэтому внутри них ставим точки /, 2, 3 (точка 1 соответствует первому контуру,; точка 2 — второму, точка 3 — третьему). Будем считать, что все контурные токи направлены по часовой стрелке. Во внешней относительно схемы области ставим точку 4. Междй полученными четырьмя узлами проводим пунктирные линии —: ветви дуальной схемы. Эти линии проходят через элементы исход- ной схемы (R, L, С, Е) и в дуальной схеме рис. 3.45, б включаем в них соответствующие эквиваленты. 132
4 a) S) Рис. 3.46 Узел 1 на схеме рис 3.46, а соединен с узлом 4 одной пунктирной линией, так как l ветви, являющейся смежной между первым кон- туром и внешней областью, включено лишь одно сопротивление (активное сопротивление Я,). На схеме рис. 3.46, б между узлом / и узлом 4 включена активная проводимость g31 — RJk. Узлы 1 и 2 на схеме рис 3.46, а соединены двумя пунктирными линиями (одна из них проходит через источник ЭДС с5, другая — через индуктивность LA поскольку в ветви, являющейся смежной между контурами 1 и 2, последовательно соединены два элемента схемы (Ё& и L5). Узлы 1 и 2 на схеме рис. 3.46, б соединены двумя ветвями. В одну из них включен источник тока а в.другую — конденсатор емкостью — L^/k (элементы дуальные Ёъ и £ь). Положительные направления токов источников тока в дуальной схеме должны быть согласованы с положительными направления- ми ЭДС источников ЭДС в исходной схеме. Если при обходе А-кон- тура по часовой стрелке направление какой-то ЭДС этого контура совпадает с направлением обхода контура, то ток эквивалентного ей источника тока должен быть направлен к A-узлу. Если ток по некоторой ветви исходной схемы совпадает по направлению с на- правлением обхода А-контура,то в дуальной схеме стрелку на соот- ветствующей ветви направляют к A-узлу. Последнее замечание сле- дует иметь в виду при составлении [Л) и [/(г]-матриц взаимно Дуальных схем (см. § 2.31). При этом полагаем, что в каждой ветви исходной схемы имеется по одному пассивному элементу. Исходную и дуальную ей схемы называют взаимно обратными. опросы дпк самопроверки 1. Какими трема величинами характеризуют синусоидально изменяющуюся Функцию? 2. Каков смысл стрелки, указывающей положительное направление для тока ветви и напряжения на элементе цепи? 3. Почему среднее значение синусои- дального тока определяют за полпернода, а не за период? 4. Что понимают под Действующим значением тока (напряжения)? 5. Поясните процесс прохождения 133
Рис. 3.47 синусоидального тока через индуктивную катушку. 6. Поясните процесс прохожде- ния синусоидального тока через конденсатор. 7. Изложите основы символического метода расчета. На каком основании все методы расчета цепей постоянного тока применимы к цепям синусоидального тока? & Дайте определение векторной и топо- графической диаграммам. 9. Какому моменту времени соответствует положение векторов токов и.папряжеинй на векторной диаграмме? 10. Как определить напря- жение между двумя точками схемы по топографической диаграмме? II. Физически интерпретируйте Р, Q, S. 12. Выразите комплексную мощность 5 через комплексы напряжения н тока. 13. Запишите условие резонансного режима двухполюсника. Постройте резонансные кривые для рис. 3.26, а при изменении Хс и неизменных Е. Р, L, ы. 14. Что понимают под добротностью индуктивной катушки, конденсатора и резонансного контура? Что физически характеризует каждая из них? 15,Дайте оп- ределение режиму резонанса токов н режиму резонанса напряжений. 16. Какие двухполюсники называют реактивными? 17. Как по виду частотной характеристики Х(<о) реактивного двухполюсника можно определить, какие и в каком количестве будут возникать в нем резонансные режимы при изменении со? 18. Какой должна быть взята нагрузка, присоединяемая к активному двухполюснику, чтобы в ней выделялась максимальная мощность? 19. Дайте определение согласующего и иде- ального трансформаторов. 20. Как в расчете учитывают наличие магнитной связи между индуктивными катушками? 21. Какой смысл имеют вносимые сопротивления в трансформаторе? 22. Что понимают под развязыванием магнитно-связанных це- пей? С какой целью его осуществляют? 23. Покажите на примере, как практически осуществить развязывание целей, положив в основу принцип неизменности потокос- цепления каждого контура до и после развязывания. 24. Запишите выраже-' ине для комплексной мощности, переносимой магнитным путем нз одной ветви в другую, с ней магнитно-связанную. 25. Сформулируйте теорему о балансе актив- ных и реактивных мощностей. 26. Сформулируйте алгоритм преобразования-исход- ной схемы в дуальную. 27. Даны параметры схемы рис. 3.47, а: Е(=1 В; Е2=/ В; £3=.(|-|-/)В; Я(=ш£|=1 Ом; /?2« 1/юСй=2Ом; /?3 = I Ом. Определите комп- лексные значения токов в ветвях и показание ваттметра. Постройте топографи- ческую диаграмму (считая заземленной точку О), совместна ее с векторной диаг- раммой токов. (Ответ; = 1,08е'|е5‘ А; /й = 0,632е/121’*г А; /3=0.715е'ш‘“' А; tpj—0,83е— *'112 40 В. Показание ваттметра 0,83- l,08cos(—97°40')— ——0,155 Вт. Топо- графическая диаграмма изображена на рис. 3.47, б). 28. Выведите соотношения между модулями и аргументами комплексных сопротивлений Z, = 2(6^4, Z2 = Z3 = z3e^, Z4 — z4c^4 мостовой схемы рис. 3.47, в, служа- щей для измерения одного нзсопротивлений потрем известным. Равновесие моста фиксируется ПО нулевому показанию вольтметра. (Ответ: z./Zj = Zo/z* и ф( — ф2 = 1р3 — ф4). 29. Решите задачи 5,1, 5.5, 5.9. 5.11, 5.14, 5.22, 5.34, 5.38, 5.44, 5.54. 134
f лава четвертей ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ, цепи с управляемыми ИСТОЧНИКАМИ. КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ §4.1 . Определение четырехполюсника. Четырехполюсник — это обобщенное понятие электрической цепи, рассматриваемой по от- ношению к четырем ее зажимам. Трансформатор, линию передачи энергии, мостовую схему и т. и. можно рассматривать как четырехполюсники. Принято изображать четырехполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (пол юсами) тп и pq (рис. 4.1, а). Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А отсутст- вует, то это значит, что четырехполюсник пассивный. В общем, практически мало распространенном случае, рабочи- ми парами зажимов четырехполюсника могут быть три пары зажи- мов. Применительно к рис. 4.1, а — это, например, пары тп, рт и pq. А этом случае режим работы четырехполюсника определялся бы тремя независимыми уравнениями, в которые входили бы три независимых напряжения (что следует из второго закона Кирхго- фа) между упомянутыми парами зажимов и тремя независимыми токами (что следует из первого закона Кирхгофа). На практике четырехполюсник обычно работает в режиме, когда одна пара за- жимов, например тп, является входной, а другая пара, например pq, — выходной. Четырехполюсник, у которого рабочими являются две пары зажимов, называют проходным. В данной главе рассмат- ривается теория проходного четырехполюсника. (Термин "проход- ной” далее упоминаться не будет.) Входной ток обозначают /} , входное напряжение — Ц; ток и напряжение на выходе — /2 и U2 - Четырехполюсник является передаточным звеном между ис- точником питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как прави- ло, присоединяют источник питания, к выходным зажимам pq — нагрузку. Предполагается, что нагрузка четырехполюсника и напряже- ние на входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырех- 135
§ 4.2. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника. Четы, рехполюсник характеризуется двумя напряжениями 17, и С?2идву. мя токами /) и /2. Любые две величины из четырех можно опреде. лить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то возможны следующие шесть форм записи уравне, ний пассивного четырехполюсника: Л-форма 1/,=ДУг4-В/2; (4.1) /, = С//2 + О/2; (4.2) У-форма /, = У.Д 4-yl2t/2; (4.3) /2=У2)г/14-Уи//2; (4.4) Z-форма (У, - Z.Z + 2.Л; (4.5) U^Z^+zJ* (4.6) //-форма Ц = + (4.7) 4=ад + ад* (4.8) G-форма i^G^ + Gj* (4.9) G2=G2it/,-|-Gs./a; (4.10) В-форма Г/2-ВЛ + «Л (4.11) /2=В21Ц+ вя/,. (4.12) Обратим внимание на попарную инверсию У- и Z-форм, А- и S-форм, //- и G-форм. Исторически сложилось так, что для Л-формы (ее будем считать основной) положительные направления для токов и напряжений соответствуют рис. 4.1, а; для Y-tZ-,H-, G-форм — рис.4.1, б, В-фор- ме — рис. 4.1, в. Обратим внимание на то, что ток /2 на рис. 4.1, б направлен противоположно току /а на рис. 4.1, а. На рис. 4.1, в ?! и /2 изменили направление по сравнению стока- ми /, и /2на рис. 4.1, а. Рассмотрение уравнений начнем сЛ-формы. 136
Риг. 4.2 §4.3 . Вывод уравнений вА-форме. Комплексные коэффициен- ты Л В, С, D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и ча- стоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчет- ным илиопытным путем. Для четырехполюсников,удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением AD- ЙС=1. (4.13) Выведем уравнения (4Д) и (.4.2). С этой целью к зажимам тп подключим источник ЭДС Е = = U,, а к зажимам pq — нагруз- ку Z2( рис. 4.2, а). Напряжение на нагрузке U2 = /2Z2 — U . Согласно теореме компенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку Z2 источником ЭДС с ЭДС Е2 — U2 и направленной встречно току /3 (рис. 4.2^). Запишем выражения для токов lt и /г, выразив их через ЭДС Еу, Е2 и вход- ные, и взаимные проводимости ветвей уп, yi3, уа, ук: It =Ё|£,(1 -~Ё2у12\ (а) /2 — Ety2i—Ё^у-д. (б) Если токи /, и /2 рассматривать как контурные, то ЭДС конту- ров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в урав- нения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а ЭДС, не совпа- дающие с направлением соответствующих контуров токов, — со знаком минус. ЭДС Е, направлена согласно с /,, поэтому она вошла в уравне- ние (а) и (б) со знаком плюс; ЭДСЁ2 направлена встречно /2, поэто- му она вошла в эти уравнения со знаком минус. Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных элементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. §2.16), yt2 — t/21. Из (б) найдем Ё, = £г —+ ?2—. 2 #21 #21 Подставив (в) в (а), получим ; ' #11#22 “ #I2#2I , ‘ #tl А = е2-------------+ 4 #21 #21 137
Обозначим: = Ут/4^21» = ^/Ут> С = — УаУп)/.Узч & “ Уч/Ун- (д) В уравнениях(в)и(г)заменим £, на Ut и Ё2 на U2 и, восполь- зовавшись обозначением (д), получим уравнения в Л-форме Рис. 4.3 471 s= A U2 4- В/2, i,=CU2+Df2. Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного четы рехполюсника: . „ -Л 4*114*22 4*||4*22 — 4*124*21 Для невзаимного четырехполюсника Уи^Ут и AD — ВС = ~Ум/Ун ! Рассмотрим . соотношения, которые имеют место между (7, и /, и U2 и /2, если источник ЭДС £, присоединен к зажимам pq, а нагрузка — к зажимам тп (рис. 4.3). Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z2 на источник ЭДС с ЭДС /^направленный встречно току /2, и запишем выраже- ния для токов /| и /2: Аг — ^гУи 4" ^|У12» (Я /( = —Ё2у21 4- £|//<г2. (ж) Из (е) найдем ₽ ₽ г ; 1 £1 «= £2_ р / . У)2 Ун (з) Подставим (з) в (ж): ’ ’ УЧ&22 ~ {*124*21 . 4*22 'l-e2------------+ ®12 Заменив Е на Ц и £а на U2 и воспользовавшись обозначения- ми (д), перепишем две последние строчки следующим образом: U^DUz + Bi* (4.U) 'Ц=Сй2+А12. (4.14а) 138
Таким образом, уравнения (4,1) и (4.2) характеризуют работу иетырехполюсникэ при питании со стороны зажимов тп и присое- динении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (4.14) и (4.14а) — при рГо питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к ?ажнмам тп. Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене цветами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике Л = D. Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так: 17( = А |) (/2 4- А12/2; (4.1а) lt^A2tU2+Ajz, (4.16) где А к = Л; А12 = В; А21 = С; Л^ = D. §4.4. Определение коэффициентов A-формы записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты А, В, С, D, входя- щие в уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (д), если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее пара- метры известны, либо используя входные сопротивления четырех- полюсника, полученные опытным или расчетным путем. Комплексные входные сопротивления находят опытным путем с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подо- бной схеме рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника зажимами тп и pq (в зависимости от определяемого входного со- противления) подключают испытуемый четырехполюсник. Определим комплексное входное сопротивление четырехполюс- ника ври трех различных режимах его работы. 1. При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви pq (/г = 0, индекс х). О., Z^^- = zh^ = A/C. (И) 2. При питании со стороны зажимов тп и коротком замыкании ветви pq (0г — 0, индекс к). ZlK = (/lK//lK = Z1Ke^iK = B/D. (к) 3. При питании со стороны зажимов pq и коротком замыкании зажимов тп ( Ц = 0) ^^“В/Д. (л) Таким образом, для определения четырех неизвестных коэффи- циентов А, В, С, D взаимного четырехполюсника располагаем че- тырьмя уравнениями: AD — ВС = 1, Zu = А/С\ Zllt = B/D, Z2k = ^В/А. Составим разность 139
Ак ВС 1 Ax - Аи I U) zlx ло_АС,и|И Z)x AD' Имеем Z^Z^D/A. (н) Умножим (м) на (н): (Ах ~ AJ Ак 1 АЛ* _л2‘ Отсюда АЛ* АЛАх-А*)' (4.15) Формула (4.15)’ позволяет через Z^, Zilt н Z2k определить коэф- фициент Д; после этого коэффициент С находят из (и), В — из (л) и D — из (к). Коэффициенты А и D имеют нулевую размерность, коэффици- ент В имеет размерность Ом, коэффициент С — См. Заметим, что вместо формулы (4.15) коэффициент А может быть определен по формуле (4.15а): ЛГ~" Пример 49. Опытным путем была найдено, что Z|X = 7,815е^51 lir Ом; Z|K — 12,5ef6S 23 Ом; 2%к = З.ЗЗе127”33 Ом. Определить коэффициенты Л, В, С, D четырехполюсника. Решение. Найдем ZlK — Z1K = 5 — 6/ — 12/ — Б = — 18/. Пофорыуле (4.15) подсчитаем; А _ иГ8.5е^^Т2>^_ , /39W. V 3,ЗЗе^’зэ'-18е-/№ С=Л /Z |jt= I,28е;3т^к/7,815e~/&l‘21'«0,166e/w’ См; В = AZ^ = 4,2CeJb7*Ом; D = 8/Z,K « 0.34. Пример 50. К зажимам pq (см. рис. 4.1) чет ырехполюсника примера 49 подсое- динена нагрузка Z.2 = 6 + /6 Ом; к зажимам тп — источник ЭДС. Найти С\ и Iv если /2 = I А. .... Решение. По формуле (4.1), = AU2 -f- В/2 = i£AZ2 + fi) = IX X (1,28е ^-б^е+ 4,2бе = |4 85е /79*45' в 1 !о формуле (4.2), Д = CU2 + О/г = /2<CZ2 + D) = 1,165е 'l23° A. *B формулах (4.15) и (4.15a) перед корнем нзит знак цдшс. Этому знаку соответ- ствует отсчет 6*2 и /г по рис. 4.2. и. Знак минус перед корнем отброшен, гак как в" соответствует отсчету 1?2 н /г в противоположном направлении. 140
§ 4.5. Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника, фукции пассивного взаимного четырехполюсника как передаточ- ного звена между источником питания и нагрузкой может выпол- нять Т-схема (схема звезды рис. 4.4, а) ил и эквивалентная ей П-схе- треугольника (рис. 4.4, б). Предполагается, что частота ю фиксирована. Три сонротивле- j[HhT- или П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замеще- ния должна обладать теми же коэффициентами A,B,C,D, что и заменяемый ею четырехполюсник. Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три элемента, и четырехполюсник характеризуется тоже тремя пара- метрами (одна связь между А,В,С>Ь задана уравнением Д£-ВС=1)'. Выразим напряжение Ut и ток lt Т-схемы (рис. 4.4, а) через напряжение U2h ток /2: Сопоставим (4.16) с (4.1) и (4.17) с (4.2). При сопоставлении най- дем Л = 1 +(Z,/Z3); C=l/Z3, Z?=l + Z2/Z3. (4.18) Следовательно, Z3e=l/C; Z(-(4- l)/C; Z2 = (D- l)/C. (4-19) Формулы (4.18) и (4.19) позволяют определить сопротивления Z2 и Z3 (рИс. 4.4, а) но коэффициентам четырехполюсника Рис. 4.4 У невзаимного четырехполюсника 1/12^1/21, поэтому для него схема замещения образована не тремя, а четырьмя элементами (см., например, схему замещения тРаизисторя в§ 1Б.35). 141
A, C, D. Аналогичные выкладки для П-схемы (рис. 4.4, б) дают: Zj Z t -|- Z5 “I- Zk Zj A^+t,B = Z^ (4.20) Zt = B; (4.21) Z5 = B/(D — 1); (4.22) Zfi^B/(A-l). (4.23) Если четырехполюсник симметричный, то A =D и в Т-схеме замещения Zt =Z2, а в П-схеме Z6 = Zfi. § 4.6. Определение коэффициентов Y-, Z-, G- н //-форм записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты У(|, У|2, К21, Ув уравнениях (4.3) и (4.4) найдем следующим обра- зом: Ум = /|/ U] при U2 = 0; У|2 = /,/£/2 при Ut =0; Ущ = /2///2 при 1/| — 0. Обозначим V ц=^||» ^и=//22’ нс Kjs= Ун и Z2i“ ^21- Коэффициенты Zlif Z(2, Z2t, Z^ в уравнениях (4.5) и (4.6) опреде- лим так: ZH = С/,//) при /2 — 0; Z12 = U2/It прн /2 =0; Z^ = //2//2при Л=о. Аналогичным образом определим коэффициенты и других форм записи, например //-формы: //|( =в при 1/а =0; //^ = /2/£/2при /, —0; //21 =/Е//| при U2 =0. Обратим внимание на то, что для вза- имного четырехполюсника У|2 = У2|, Zi2 — ZSh но Hi2 = — //Bl, GIS — — C2t, а В12 не равно В21 даже по модулю. Пример 61. Вывести формулы Z-нараметров для T-схемы замещения четырех- полюсника рис. 4.4, а. Решение. Для Т-схемы замещения zi। = ^|/ЛиРи/2=о = z2 + z3> zta = z2i “ = о = гз5 Z*22 = ^й/^при/, = о “ Z2 + §4.7 . Определение коэффициентов одной формы уравнений че« рез коэффициенты другой формы. На практике возникает потреб- ность в переходе от одной формы записи уравнений к другой. Для того чтобы коэффициенты одной формы записи найти через коэффициенты другой формы, необходимо выразить какие-либо две одинаковые величины в этих двух формах и сопоставить их, учтя направления токов и /2 в них. Для А-фор мы 1,1 (°> •с~/2г (п) 142
для Z-формы G, —/,ZH(р) I 1^21 + ^2^22' (С) Сопоставляя правые части (о) и (р) и учитывая, что ток /2 в заражении (р) равен току — /2 8 выражении (о), получим Z1I=4/C,Z12 = 1/C. Из (п) и (с) Z2I=1/C,Z22 = D/C. При переходе от коэффициентов Л-формы к коэффициентам других форм найдем: Г1( = D/В, У„ = Г21 = - 1/В, Y^ = А/В', Нп = B/D, Hi2 = \/D, = C/D; О,, = С/A, G|2 = G3, = 1/A, G22 — B/A; Bn — D, BK = B, B2, = С, B^ —A. Пример 62. Определить У-параметры четырехполюсника через Z-параметры. Решение. Решим уравнения (4.5) и (4.6) относительно Л и /2, сопоставим полученные уравнения с уравнениями (4.3) и (4.4). В результате получим У|| = ^2e/*Z> ^22 “ ^ll/^Z' ^12 ” ^21 “ " ^12/^Z’ ^Z =-^11^22 — ^?2- Для Т-схемы (рис. 4.4, в) Дг = (Z, 4- Z3XZ2 + Zg) — 2|ж= Z,Z2 + Z,Z3 -J- Уп = (Z2 + Z3)/Az; уи = (Z, 4- 7з)/Дг; У|2 = - Zg/Az. В табл. 4.1 дачы соотношения для перехода от одной формы ! Уравнений к любой другой. Т блица 4.1 К матрице От матрицы И m 1"] IGJ Icol [Z] ?22 ~^|2 Ду Ду 2| а £ |г; <i |з; 1 — CIE GII С|| А Л C C ~*21 >Ъ Ду Ду ~tf2f 1 ^22 ^23 gei GH cll 1 D C C 143
Продолжение гибл. 4.1 in 1 fir > > 1 *12 *11 *11 *21 AW । CM P> ?й 1° - й |й Tl’ ” Cl|aa 1Г I с* > [ft ft 1N 1 I5 1 У12 *11 *11 I з a 0 °- oa| 8 8 1*1 1 tsl s-l 1 N 1-s yn У21 дг O=l < 1 D D _ 1 £ 1 1 я N - Hl Ду K|2 «22 -«12 0 < In G It* t |6| Г N tsj < ; »22 — *ai 1 s 1-И A A Д В мн ^11 ^11 ZU z2[ z21 1 Z22 [Л1 t И 1 " T 1 n I > 3: « r> a g “a 11 3*1? fl 1 G.^2 G21 Gjj «п лв A A z2t z21 У21 *21 *21 «2! 62| Gif §4.8 . Применение различных форм записи уравнений четырех- полюсника. Соединения четырехполюсников. Условия регулярно- сти. Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей (см. § 10.5 — 10.8) используют обычно У- или Z-форму записи. Параметры тран- зисторов для малых переменных составляющих (см. § 15.35) дают в У-, или Н-, или Z-форме, так как в этих формах их удобнее опреде- лить опытным путем. При нахождении связи между входными и выходными величи- нами различным образом соединенных четырехполюсников (при определении коэффициентов эквивалентного четырехполюсника) используют Z-, Н-, G, Y- и Л-формы При последовательно-последовательном соединении четырехполюс- ников а и 6 (рис. 4.5, а} применяютZ-форму, при параллельно-параллель- ном соединении(рис. 4.5,6) — У-форму, при последовательно-параллель- ном (рис. 4.5, в) — //-фор му, при нараллелыю-последовател ьпом (рис. 4.5. Рие. 4.5 144
Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобств получении матрицы составного четырехполюсника. Так, Z-магрица последова- тельно-последовательно соединенных четырехполюсников равна сум- ме /-матриц этих четырехполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырехполюсника равно сумме напряже- ний на входе (выходе) составляющих его четырехполюсников, а токи соответственно на входе (выходе) у последовательно-последовательно соединенных четырехполюсников одинаковы. У-матрица параллель- но-параллельно соединенных четырехполюсников равна сумме их Y- матриц,так как ток на входе(выходе)эквивалентного четырехполюс- ника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно-параллельно соединенных четырехполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы. Аналогичном в отношении //-матрицы при последова- тельно-параллельном и G-матрицы при параллельно-последователь- ном соединениях четырехполюсников. При каскадном соединении ток н напряжение на входе первого четырехполюсника равны входным току и напряжению второго четырехполюсника, поэтому Л-матрнца двух каекадно соединенных четырехполюсников и и b равна произве- дению А-матриц этих четырехполюсников: Л А] ГА А = ГАА + ЛА АА + си «и] А] [С.А + ЛА АЛ + АЛ ' При параллельно-параллельном, последовательно-последова- тельном, нараллелыю-последователином и последовательно-па- раллельном соединениях необходимо соблюдать условие регуляр- ности соединения четырехполюсников — через оба первичных зажима каждого четырехполюсника должны течь ранные но значе- нию и противоположные по направлению токи; то же и ио отноше- нию к вторичным зажимам каждого четырехполюсника. При регулярном соединении матрица каждого четырехполюс- ника должна оставаться такой же, какой она была до соединения чег l>1 рех I юл юс н и ков. Пример нарушения условия регулярности при последователь- "ь-последоиательном соединении показан на рис. 4.6, а. Так соеди- 145 -569
нить четырехполюсники / и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго четырехполюсника оказались накоротко соединенными с его выходными зажимами. Регулярное соединение тех же четырехполюсников показано на рис. 4.6, б — перекрещены обе пары концов второго четырехполюс- ника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы остаются неизменными). §4.9 . Характеристические и повторные сопротивления четырех- полюсников. В случае несимметричного четырехполюсника (Д=й=Й) рассматривают два характеристических сопротивления Zct и Z,;2, где Ztl — входное сопротивление со стороны зажимов тп, когда нагрузка подключена к зажимам pq и равна /^(рнс. 4.7, а): Uj ЛС'2 + В!2 Л7(2+5 Zcl = 77 Ct)2 + DlH ₽ CZe2 + D' (4-24) Zc2 — входное сопротивление со стороны зажимовкогда нагруз- ка Zct подключена к зажимам /пп(рис. 4.7, б); при этом коэффици- енты А и D меняются местами: DU2 + й/2 oze) + в Z'2 = Сб2 +А12 = CZcl + Д ’ <4-25> Совместно решая (4.24) и (4.25), найдем Zcl=^^AB/CD; Zc2 = ib'B/CA. (4.26) Учитывая, что А/С ~ Zlx, B/D = Z!h, В/А = Z21t, D/С ~ Z2x, получим г., = ^ад7; и4> Если четырехполюсник симметричен (Д = D), то Zlc = Zt2 = Zc == л/'В/С, где Zc равно входному сопротивлению четЫ' рехполюсника, когда он нагружен на Zc (рис. 4.7, в). В теории цепей иногда пользуются понятием повторного сопро- тивления четырехполюсника ZmB. Под ним понимают входное с°' противление со стороны зажимов тп, если к выходным зажимам присоединено Из формулы (4.24), заменив в ней Zc[ и Zc2 на 14В
I , получим _ Л/,1ОВ 4~ й сгтов + d- (4.24а) решив (4.24а) относительно Znc,B, найдем z - A~D .и Л 1(А - Д12 А пов 2С + V | 2С ] + С Если четырехполюсник симметричный (А = D), то ZnOn = \^B/C, т. е. оно совпадает с характеристическим сопротивлением 2С. Со- противление 2П0И называют повторным потому, что оно повторяет сопротивление нагрузки на выходе четырехполюсника. § 4.10. Постоянная передача и единицы измерения затухания. Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на Zc, 1>} = А й2 + В/2 = U/A 4- д/ВС); /, = /2(Д + ^ВС). Комплексное число А А ^ВС полагают равным е£, где g = а jb = 1п(.4 + \ВС.) — постоянная передачи. Из формул Uj == Т'2е°е'\ = 12е°е‘ь следует, чго модуль (/; в еа раз больше модуля U2, а модуль I, в еа раз больше модуля /2. По фазе U, опережает U2 на угол 6, ток !t опережает /2 также на угол Ь. Величина а характеризует затухание четырехполюсника. Еди- ницами затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы опре- делены на основе натуральных логарифмов, а белы — на основе десятичных. Затухание в неперах При согласованной нагрузке Если \JJ U2 ~ е, то затухание равно 1 Ни. Затухание в белах flE = = lg( UJU,)1 = 21g | UJU, I a в децибелах цдЬ = 20Ig(tA/lZ0. Если t/j больше U2 в 10 раз, то затухание равно 20 дБ, если Ц/(/2 = 100, то a = 40 дБ. Выразим неперы через белы. Если | S,/S2 ] = 10, то = 0,51п 10 = 1,15; аБ = iglO = 1. Таким образом, 1Б = 1,15Нп, МНп = 0,868 Б = 8,68 дБ. 147 10-
(4.28) §4.1!. Уравнения четырехполюсника, записанные через гипер. болические функции. Для симметричного четырехполюсника 4. форму уравнений (4.1) и (4.2) записывают иногда через гиперболц. ческие функции от аргумента полагая А = D ~ dig В = Zrshg, С = shg/Zc. При этом AD — ВС = cli2g — sh2g = I и Ut = dig U2 + Zcshg/2; /i=^B2 + ch«/2- Убедимся в справедливости замены А на dig: e«-^+VBC,e->-T:j^gpcbg = i(e« + e-') = X I Форму записи через гиперболические функции используют, на- пример, в теории фильтров (см. гл. 5). 11 Для несимметричного четырехполюсника уравнения через гиперболические функции запишем следующим образом: В, = YZfl/ZtjChFUs + VZrlZrfsM'/a; Zi=7F^shrt?2+^^o Vzdzcs где Г — мера передачи; chi’» y[AD\ shr = Если несимметричный взаимный четырехполюсник нагружен на Zc2, то В2 = )2Zt2; Ц « B2VZj/Ze2(chr + sill), w /,=)2VW^cl (chF+shl’). Имея в виду, что с* =chr+slir, получим (/( = t/2 V^d/^c2 е 1 • h = с * Мера передачи Г = а' 4- jb’ — 1п(\/Ай -f-д/ЙС). Если четырехполюсник сим- метричный. то Zei = ZC2. Z? = А. Г = g .Так как yZei/Zt-2 = ^А/Ь , то передача ио напряжению для несимметричного взаимного четырехполюсника, нагруженного пп Г/i А Zt2, составляет tnv~= In — + (V<4ZJ + и передача но току 1/й U In = ln^ + !п(\(ДО + у]ВС). § 4.12. Конвертор и инвертор сопротивления. Если у невзаимного четырехполюсника В == С = 0 и он нагружен на зажимах pq на сопро* тивленне Z„,to входное сопротивление со стороны зажимов tnn А1Л + В Z^Cl^D = Z-/k" I где k}=D/A, т. е. четырехполюсник преобразует (конвертирует) сопротивление в сопротивление 2л//г. Коэффициент kt называют коэффициентом конвертирования. Если А и D имеют одинаковые знаки, то ZBX имеет тот же знак, что и /^(конвертор положительно^ сопротивления), если разные, то знак ZEK противоположен знаку U (конвертор отрицательного сопротивления). 148
Рис, 4.8 Если у конвертора А = 1, то А, = D; Ui = U?; /, = kj2. В этом случае конвертор называют идеальным конвертором с преобразо- ванием тока (при неизменном напряжении). Если у конвертора D = 1,тоА, = V2/kx\ /( = /2. Такой конвертор называют идеальным конвертором с преобразованием напряжения. У конвертора есть Н- и G-матрицы, но отсутствуют Z- и У-мат- рицы. Если у невзаимного четырехполюсника А — D = 0, то ZBX = (B/C)/(Z„) и четырехполюсник называют инвертором сопро- тивления, а В/С = fe2 — коэффициентом инвертирования. Если В и С имеют одинаковые знаки, то ZB,.= 1/ZB (инвертор положительного сопротивления), если знаки у В и С разные, то ZBx~—I/Z„(инвертор отрицательного сопротивления). У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к каким зажимам (pq или тп) подключена нагрузка. У инвертора есть У- и Z-матрицы, но отсутствуют //-и G-матри- цы. §4.13 . Гиратор. Гиратором. называют инвертор положительного сопротивления, имеющий следующую У-матрицу: ГУ|= I ° ±с 11 |tg о]’ где G — проводимость гиратора. Для идеального гиратора G — вещественное число. Для гиратора !х = G(72; /2 = — GVX. Гиратор не поглощает энергию. Он преобразует напряжение в гок. Если на выходе гиратора включено сопротивление ZH, то его входное сопротивление Zax = l/(G2ZH). Представим гиратор как трехпрлюсник (зажим 3 на схеме рис. 4.8,«общий для входной и выходной цепей). Его У матрица остается Неизменной, если, оставив гиратор неподвижным, в направлении Стрелки последовательно изменять нумерацию его зажимов. Гира- т°р является невзаимным (необратимым)четырехполюсником, так Какдля него Yi2^=Y2l. В настоящее время гиратор чаще обозначают а соответствии с рис. 4.8, б. 149
Рис. 4-9 Практически осуществить гиратор можно, например, по схеме рис. 4.8, fl. в которой использованы два управляемых напряжением источника тока: Gt7?w GU} или по схеме рис. 4.8, г с двумя управля- емыми источниками напряжения. Воспользовавшись табл. 4.1, можно перейти от У-пдраметров гиратора кего Z- и Л-параметрам: |2] = G О § 4.14. Операционный уснлител«. Спераиионный усилигель (ОУ) — это усилитель с очень большим входным еопротьвчением, очень малым выходным сопротивлением и очень большим коэффициен- том усиления k (теоретически fe-н», практически h«1044-10s). ОУ выполняют ио интегральной технологии в виде отдельного кристал- ла, поэтому его мо?кно считать самостоятельным активным элемен- том схем, подобно транзистору.. Коэффициент усиления k = — 1+/шт). Знак минус обусловлен тем. что вход I является инвертирующим. Постоянная времени т учитывает инерционные свойства ОУ. ОУ имеет обычно восемь выводов: дна входных или управляю- щих, один выходной (J), один заземленный (О), два вывода для источника питания и два для регулировки 1,етыре последних выво- да нэ схемах не показывают. На электрических схемах ОУ изобра- жают в виде треугольника с тремя выводами /, 2, 3 (рис. 4.9, б), потенциалы которых относительно заземленной точки соответст- венно ф(, ф3 (рис. 4.9, б). При включении ОУ по дифференциал к ной схеме его входное напряжение ф2- При использовании одного входь и заземлении второго (,\к=фг Выходное напряжение ОУ равно разности потенциалов между точкой 3 и заземлений точкой 0: t)BKX=tp3—0=«р3, 01,0 в & Раз больше входного, т. е< или &г,—соответственно. Значение коэффициента усиления k записывают рядом с ОУ либо внутри его. Знание чис.’П' сого значения при анализе схем с ОУ не всегда требуется, важн®* что k велико и стремится к бесконечности. Так как£-юо, а (7ПЫЯ "" величина конечная, то в зависимости от способов включения Ф?)~или ч>)-4). Таким образом, входные напряжения СУ можно полагатьвпер- вом приближении равными нулю. Для облегчения анализа схем, содержащих ОУ, последние в ряде случаев будем заменять их рас- четными эквивалентами. Выходную цепь ОУ будем заменять вет- вью (рис. 4.9, в), присоединенной между выходной точкой 31 зазем- ленной точкой 0 и содержащей источник ЭДС £=6(<р|—ф2) или соответственно, и последовательно с ним включенным со- противлением порядка десятков или сотен ом (точное числовое зна- чение его обычно не задано), по которой проходит некоторый ток I (рис. 4.9. в). Значение тока / в расчетах, как правило, истребуется, а если и потребуется, то всегда может быть определено по законам Кьрхгофа. Входное сопротивление СУ в перпем приближении пола- гают стремящимся к бесконечности. После замены входной и выходной цепей ОУ ьа расчетные экви- валенты схему рассчитывают по законам Кирхгофа, имея в виду в первом приближении, что входные напряжения и входные токи всех ОУ равны нулю. печет схем с операционными усилителями, когда необходимо учесть конечное (ле бесконечное) значение k и конечное значение входных сопротивлений, производят обычно методом узловых по- тенциалов. Сделаем еще два замечания относительно ОУ. Зависимость квых=/(иВх) Для ОУ линейка только до некоторого максимального значения мВЬ|Х«104-15 В, после чего наступает насыщение. В даль- нейшем будем полагать, чтп работа схем с ОУ происходит на линей- ном участке характеристики ОУ (рис. 4.9, е). Заметим еще, что скорость изменения выходного напряжения dnBlJ11/di у ОУ ограни- чена величиной порядка КГВ/с. Рассмотрим три примера. Сначала расе* отрим схему рис. 4.9,г, я<мь>ющ) юся схемой источив на напряже- ния, управляемого напряжением. Резисторы и /?2 могут регулироваться.' Через резистор /?2ocytuei твляется обратная связь. Расчесан схема :юсбраженз ла рис. ’ 9, Л Так как второй вход схемы рис. 4.9, г заземлен («р2 = 0), а напряжение на входе ОУ должно оыть равно нулю, то <pj«sO. Потенциал на входе схемы tpi'— — iR\. Потенциал на выходе OS' <й}= Отсюда фз= — <pi—. Так как то выходное сопротивление схемы стремится к ’Улю, т. е. действительно схема рис. 4.9, г может выполнять функции источника Спряжения (внутреннее сопротивление которого стремится к нулю), управляемого “^ряжением. Рассмотрим схему преобразователя сопротивлений на ОУ, изображенную на с. 4.10, а. В схе:<е имеется два ОУ и пять сопротивлений Z| — Zs. Покажем, что ое сопротивление схемы относительно зажимов АВ для малых переменных Л^тавляющих Zm = (ZtZsZ^j/Z^Zi Обозначим токи в ветвях в соответствии с рис. ‘ а. На вас 4.10, б изображена схема, а которой зыходные цепи ОУ заменены их 150 151
расчетными эквизалентами. Для схечы рис. 4.10, б приравняем к нулю входные напряжения ОУ; • ... . . ^В1| = фд — Фе = + <Л + = °< (а) Ц>*а = Фе — Фе = (Л + ЛХэ + (Л + У6 -I- 1 t)Z4 — °- (6} Из (а) • Zx ЛЕ (в) 2|2з Из (б) с учетом (в) полччик /| 4- !$*- h = h Входное напряжение схемр и „В S= и ас = Ucr + (It 4- /б + Но Uac + = о, поэтому Z jZ~Ze &АВ ZjZgZg "лв = (f । + Л» + 6^5 = i 22Z^ ’ ^"’лв = “ 2^2. ' Применение ОУ для реализации гиратора иллюстрирует рис; 4.11. В этой схеме три ОУ и четыре резистора. Проводимости резисторов /?( н /?2 выполняют функции проводимостей п ра гора. Обоз...ачнм потенциалы узлов и токи ветвей з соответствии с рис. 4.11. Учтем, что напряже чие и тс ки на входе каждого ОУ стремятся к нулю. “ точки, обозначенные Ь”кноб О, и точка С практически имеют-нулевой поте/цнал- В э'.ой схеме ток /4^ потенциал точки I ф| = — I R = — (/вызс Потенций* точкн С фс «' 0 = ф| — ?з^2‘ Отсюда ?э = ф|/₽й — U^JRo. Но /, = — Г.у, поэтому I <Г) Потении; »точки А Входное напряжение . = Ф# — Фд = Имея в гиду, что для F-формы записи уравнений четырехполюсника ток /г доЛЖеЯ мме’Ь направление, противоположное указанному ча рис. 4.11, установим, чтс ура
ление(г)и{д) являются упавнеиием гиратора. Недостмком схемы рис.4.11 является тл, 1то источник сигнала и нагрузка £н непосредственно не соединены с заземленной точкой. §4.15 . Управляемые источники напряжения (тока). Управляе- мый источник напряжения (тока) представляет собой невзаимКыЙ четырехполюсник (трехполюсник), выходное напряжение (ток) ко- торого пропорционально входному напряжению (току) этого четы- рехполюсника, а сам он обладает свойством источника напряжения (ЭДС) (напряжение на его зажимах не зависит от протекающего через него тока) ил и источника тока (его ток не за вис нт от н а грузки). Управляемый источник обозначают часто в виде ромба, в котором указана стрелка (если это источник напряжения), либо двойная стрелка (если это источник тока). Ридом записывают управляю щую величину, умноженную на некоторый масштабный множи- тель1. Известны четыре типа идеализированных управляемых источ- ников: 1) источник тока, управляемый напряжением (ИТУН). Схема его изображена на рис. 4.12, а. Входной ток /, = 0, выходной ток пропорционален входному напряжению: 12 = G£7,, входное и чыход- 1Управляюяцими величинами ьегут jhtb также интеграл и производная по времени от тока или напряжения. (53
ное сопротивления бесконечно велики. Матрица У ИТУН такова- о 01 G о ’ 9/ источник напряжения, управляемый током (ИНУТ). Схема его представлена на рис- 4.12,6. Входное напряжение U, —0, выход- ное напряжение пропорционально входному току: U2 = RI„ входной и выходное сопротивления равны нулю. Его 2-х.атрица имеет вид ГО 01 Я ° ’ I L 3) источник. напряжения, управляемый напряжением (ИНУН). Схема дана на рис. 4.12, в. Входной ток/, = 0, выходное напряжение пропорционально входному: t/E — kUt, входное сопротивление бес- конечно велико, а выходное равно нулю. Его б-матрица такова: ГО 01 *1 О 4^ источник тока, управляемый током(ИТУТ). Схема изображен на на рис. 4.12, г. Входное напряжение Ц =0, входной ток пропор- ционалек входному: /2 = Л2/,, входное сопротивление равно нулю, выходное — бесконечности. Матрица //-параметров его равна Го о р2 0 Каскадное соединение ИНУТ с ИТУН обладает свойством ИТУТ, а каскадное соединение ИТУНс ИНУТ — свойством ИНУН. Для всех перечисленных управляемых источников выходная ве- личина не влияет на входную, а входная мощность равна нулю, так как входной ток либо входное напряжение равны нулю. Управляемые н'-точьики части осуществляют иа основе операционных у< илите- лей. Так, схема ПНУН на ОУ изображена на рис. 4,9, г, а схема 4ТУ1 ня двух ОУ — на рнс- 4.13. I Убедимся, Че о схема pre, 4.13 обладает свойствами ИТУТ. Воспользуемся обоз- начсниями нг этой схеме. Так ках входное напряжение первого ОУ равно нулю, а ф, = О, то и ф2»0. Входной ток первого ОУ 7, = 0, входной ток второго ОУ /2 =- 9. Bi [ходьой ток слемы 7ВК = — <p3//f, отсюда ф3 = — Вы~одн«й ток первого ОУ обозначим 7. Тогда для узла 3 по первому закону Кирхгофа 73 = „4-7. Так как /2 = 0, то /4 = тЖ + *У. (») а потенциал точки6= ф3 — 73R, = Ф3 — (/„ + /У?,- Входное напряжение второ- го ОУ равно нулю, поэтому ф3 = ф6. Так как сопротивление ме::<ду точками 4 равно сопротивлению х.ежду точками 4 и 6, то Ф* - Фб 4'1 + + (?„ + Ъл, (б) 4~ -?2 “ Rt Приравняв (а) к(б), определим Ф4 = - + Wl + «?) - /&(*! + *2)1- 154
Рис. 4.13 Подставим (в) в (а) - R + «, - 1ы /?, L (г) Для узла 6, по первому закону Кирхгофа, ^ = /з + Й=/» + ^-Ц'+^] = Так как /вых пропорционально lm, = 0, а выходной ток /ВЬ|Х не зависит от сопро- тивления нагрузки Zn, то схема (рис. 4.13) ио отношению к выходной цепи обладает свойствами источника тока, управляемого током /ы. На рис. 4.14, а представлена одна из возможных схем ИНУТ, на рис. 4.14 б — одна из возможных схем ИНУТ, а на рис. 4.14, в — схема конвертора отрицательного сопротивления. Как имитировать элементы — ft, — С, заземленную и иезаземлениую L, час- тотно зависимые сопротивления, высокоомные резисторы — {см, приложение Б]. *0 В § 4.14 — 4,15 было принято, что для ОУ К = т-:—-м» за счет того, что 1 + /ь>т i(j-+co. Практически же fco«lO4-j-IO6, а т«10—2-j-IO—3. Поэтому при относительно высоких частотах ы прн рассмотрении схем с управляемыми источниками следует учитывать зависимость Кот ы. §4.16. Активный четырехполюсник. Под активным четырехпо- люсником будем понимать линейный четырехполюсник, содержа- щий источники энергии, за счет которых на разомкнутых зажимах его появляется напряжение. Следует иметь в виду, что в понятие Рис. 4.14 155
Гис. 4Л5 активный четырехполюсник в литературе зкладывэют также н иной смысл, а именно •— такой четырехполюсник, активная мощ. ность на выходе которого превышает [может превышать) активную мордность на входе. Э гот эффект достигается обычно за счет -ого, что в состав четырехполюсника входят активные невзаимные эле- менты, такие, как операционные усилители, транзисторы, элект- ронные лампы, туннельные диоды и др. Чтобы различать эти два клесса активных четырехполюсников, условимся рассматривае- мый четырехполюсник называть активным автономны ж [но зажи- мам тп и (илч) pq], а четырехполюсник, обладающий свойством усиливать мощность, — активным неавтономным в направлении усиления мощности. Рассмотрим уравнения, описыеающне связь между входными и выходными величинами активного автономного четырехполюсника и его схему замещения. Положим, что в первой ветчи тп активного четырехполюсни -а рис. 4.15. а есть источник ЭДС Е}, но второй ветнрд — нагрузка Z„, а в остальных ветиях (<? — р), находящихся внутри четырехполюс* ника, имеются или могут иметься источники ЭДС Ek (индекс k может принимать значения от 3 до р). Тогда, заменив по теореме компенсации сопротг вленче Z„ на источник ЭДС Е2 (рис. 4.15, б), запишем выражения для токов /( и /г: л Л =Д$!1+ (4.29) 4 = з р 4" (4.30) *~з Осуществим короткое замыкание одновременно на зажимах и pq. При этом по перзой ветви протекает ток 11я = а по * = 3 р второй — ток /& = ₽ Б (4.29) вместо подставим /н, а в (4.30) вместо к — 3 ₽ .... . — Ак- Кроме того)заменим Et на Ut и Е3 на U.2. В результате ‘fjj лучим Л — Л* — Уи^1 — Уцй* h ^2х ~ y^l'-^l — Уз2^2‘ (4.31) (432) Уравнения (4.31) и(4.32) отличаются от уравнений (а) и.(б)трль- кс тем, что в их левых частях находятся сиотгетст ?енно — /и и 4 — 7ЙК вместо /t и /s. Отсюда следует, что все уравнения, получаю щиеся из (а) и (б) в результа-е их преобразо??Клй, справедливы и для активно, о четырехполюсника, только в них /. следует заменить на /1 — Ак. а /2 — на 1Л — /2к. Так, Л-форме уда нений пассивного четырехполюсника (Ц = AUS 4- В1й, Ц = С(/с 4- Dis) соответст- вует Л-фор мт /равнений активного четырехполюсника: /, - /1к = ей, + од - U Коэффициенты А, В, С активного автономного взаимного четы- рехполюсника удовлетворяют условию AD — ВС = 1 и определя- ют чх так же, как и для пассивного. На рис. 4.14, в изображена одна из возможных Т-схем замеще- ния активного четырехполюсника. Сопротивления Z„ Z2 и Za нахо- дят через коэффициента А, В, С тач же, как для пассивного четы- рехполюсника, а ЭДС £3 и Et вычисляют по значениям токов /1к и /!к и сопротивлениям из уравнений, составленных для режима од- новременного короткого замыкания входа и выхода (показано пун- ктиром на рис. 4.15, е): Лк^З + ^2к( J2 4" Z3) = ^4- $4.17. Много! опюсньк. На рис. 4.16, а изображена пассивная схема, в которой 81 -.елено т ветвей (.и пар зажимов). Условимся называть такую схему многополюс- ником. Будем полагать известными вюднь е р>( t — утгп в взаимные ykm ymk проводи- мости ветвей Они определены в соответствии с § 2.15 {ft-ветвь входит только в у Контур; направления все.: костуриых токов при составлении уравнений по методу конгурных токов одинаковый Включим в ветвь / ЭДС Et = U,, а в ветви 2 — т нагрузки Z, — Zm (рис. 4.16, б). 1 Жи в ветвях 2 — т обозначим — )т', а в ветви 1 обозначим /(. Все токи направ- веНг до часовой стрел кг. На основании теоремы ко «пенсации заменим нагрузки Z2 — Zm на источники ^с^2~£т, направленные встречно токам ?г' ~^т (рмс-4.16,в). Наосиованни 156 157
Рис. 4.U принципа наложения запишем выражения для токов ветвей: /| = Ц#|| ~ ^12 ~ УзУ13 — •” ~ ^тУ\т‘ Ч = U|#3i — ttysz ~~ ЩУж — ... — UmH2m • ........................,........................... (а) ^\Ущ1 “ ^2^т2 З^тЗ ^тУгпт' Изменим направления токов в ветвях 2 — т на противоположные и назовем их токами It — /т(/г=— /2',—, fm = — 4/)(Рис- 4.16, г). Дли того чтобы все слагае- мые уравнений имели положительные знаки, введем следующие обозначения: У** — ytk, У14 = ~ У1* = - I'jtP Ург = Угр Ург = У/р(.Р^'^ ')• Тогда система уравнений многополюсника (а) будет иметь вид ПИЙ-Ш: (б) Если систему уравнений многополюсника (6), записанную в У-форме, решить относительно [1Д. то получим систему уравнений многополюсника, записанную в 2-форме: Если у многополюсника Ytm #= К«*, его называют невэаимным. Если многопо- люсник содержит источники энергии (активный автономный многополюсник), то его уравнения в У- или Z-форме запишутся подобно тому, как это сделано в § 4.16 дЛя четырехполюсника: Щ [ С/1 - [ / - iw] ил и [Z] И - = IУ1. Исследование работы электрических цепей часто проводят грЯ' фнческими методами путем построения круговых и линейных днаг' 158
Рис. 4.17 рамм. Перед тем как приступить к изучению круговых диаграмм, рассмотрим вопрос о построении дуги окружности по хорде и впи- санному углу. § 4.18. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу. Из курса геометрии известно, что вписанным углом называют угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опи- рается. Так, АЛ ВС —ф (рис. 4.17, а) измеряется дугой ADC/2, а /ЛВС — дугой АВС/2. Сумма ААВС 4- Z/DC = л. Угол A-EDC дополняет дол угол Z/DC, поэтому Z£DC = ф. Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от /1 до С, угол между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой DC остается неизменным и равным ф. Угол между продолжением хорды А С и касательной (полукаса- тельной) к окружности в точке С также равняется углу ф. Центр окружности О находится на пересечении перпендикуля- ра к середине хорды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.17, б). Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный Угол ip, то для нахождения центра окружности необходимо: 1) вос- ставить перпендикуляр к середине хорды; 2) под углом ф к продол- жению хорды провести прямую, которая будет являться касатель- ной к окружности; 3) восставить перпендикуляр к касательной; пересечение перпендикуляра к хорде и перпендикуляра к каса- Тельной даст центр окружности. § 4.19. Уравнение дуги окружности » векторной форме записи. Построения, аналогичные построениям рис. 4.17, а, могут быть вы- полнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды, ^пример CA,DA, CD, являются векторами. На комплексной плоскости рис. 4.17, в совместим хорду «= F с осью -|- 1. Если угол >0, то от продолжения хорды его 159
откладывают против часовой стрелки; если ф <0, угол откладыва. ют по часовой стрелке. Сбозначиы DA — G и CD = Н. Тогда G+tf = F. (4.31а, Вектор Н опережает вектор G на угол ф. Пусть модуль вектора —* —* Н будет в k раз больше модуля вектора G. Тогда H^kG^. (4.316' Рис. 4.18 Если k = U, то К = 0 и G = F. При k = t^H — Г и G = С. Подста- b:ib (4.31 б) в (4.31а), получим (4.31 в| 0(1 +Ы*)=Л или G =/•/(! +ЛеЛ). Уран нение(4.31в) называют уравнением дуги окружности в всД горюй форме записи. При изменении коэффициента k от 0 до w меняются оба вектора 3 я Н, но так, что угол ф между нимл остается .неизменным, а сумм вендоров ра вна вектору F. Конец вектора G скользят но дуге скруж —*- иости, хордой которой является велюр F. Поэтому можно сказать ской цепи те же функции, что и вектор G в уравнении (4.31 в), явля- ется округлость. 4од круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу окружности, являющуюся геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) приизмененни по модулю какого-либо сопро- тивления электрической цепи и сохранении неизменными осталь- ные сопротивлений, частоты и ЭДС источников энергии. С помощью круговых .днаграмм производят графический ана- лиз работы электр ических цепей. § 4.21. Круговая диаграмма тока двух последовательно соеди- ненных сопротивлений. Пусть к источнику ЭДС подключены после- довательно Z, = 2,е^’ и 2. = £е^°(рис. 4.18). Сопротивление Z. неиз- менно, a Z может меняться лишь по модулю, так что угол фостается постоянным. Ток в цепи что дуга окружности является геометрическим местом концов век- —* торч G. Рабочей частью окружности, или рабочей дугой, является т1 часть окружности, которая по отношению к хорде лежит по обрат ную сторону от полукасательной (рабочей дуга на рис. 4.17, в в! черчена сплошной линией, нерабочая — пунктиром). Рабочая дуга меньше половины окружности при [ф| <£0в больше половины окружности при ]ф| >90°. §4.20. Круговые диаграммы. Из §3.4 известно, чтосинусоидаль но изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут бытн Гасображены ьекторами на комплексной плоскости. Если процесс* электрической цепи описывается уравнением, по форме тождес! венным уравнению (4.31 в), то геометрическим местом концов не! тора точа (напряжения), выполняющего в уравнении электриче g_________g/Z, (4.32а) Z( + z 1+±ел<р-ФР г1 г le E/Zj = lk — ток в цепи при коротком замыкании сопротивле- ния Z. Обозначим ф — ф( = ф. Тогда ; < (4.326) 1+Ле/*‘ Уравнение (4.326) тождественно (4.31в). Роль вектора F выпол- зет комплекс/4; роль коэффициента й — отношение г/г^ ро.пьб— 161 160 1 -589
вектор /. При изменении z вектор./ будет скользить по дуге окру^ ности, хордой которого является 1к. На круговой диаграмме рис. 4.19 вектор ЭДС направлен по ©си -|-1. Ток /к — Ё/z^t отстает от ЭДС Е на угол <рг Для определен, ности построим диаграмму при ^<0. Выберем масштаб токое. пусть отрезок ас в масштабе т1 выражает собой модуль тока / ’ Отрезок da характеризует модуль тока /, отрезок da в соответствии с уравнением (4.326)— модуль произведения / — е/*. Отложим по . zi направлению 1к отрезок ае в произвольном масштабе тк, выража- ющий модуль постоянного сопротивления 2,(2, = аетг). Из точки е под углом —к линии ае проводим прямую е/, кото- рая является (как будет показано далее) линией модуля перемен- ного сопротивления z при отсчете от точки е. На ней в масштабе тг нанесем деления для измерения г. Из подобия треугольников adc и aef следует /— ad ае , de zi zi z ~r<-~—7.ef=4ie^ =-----—, de ef aa тг 1 mx или z = efmt. Следовательно, отрезок е/ в масштабе тг определяет модуль переменного сопротивления z. Проекция 1 на направление Е (отрезок ag) в масштабе тР — Ет, измеряет активную мощность: Р = agmp = agEm, = agE(I/ad) = £/cos<p, m, — f/ad-, ag/ad = coscp. Проекция 1 на направление, перпендикулярное E (отрезок ай), в масштабе тр определяет реактивную мощность: Q =ahmP=-a.hE(l/ad) =£7sin<p. §4.22. Круговая диаграмма напряжения двух последовательно соединенных сопротивлений. Умножив обе части уравнения (4.326) на Zt = г,еУф1 и учтя, что /Z1 = Utl, получим £ (4.33) ^‘=-----Z------- 1 +±е/(Т-^1) ZI Уравнение (4.33) свидетельствует о том, что геометрически’’ местом концов вектора Uzl является дуга окружности, хорда ко1# рой Ё. 162
§4.23. Круговая диаграмма тока активного двухполюсника. Ток р цепи нагрузки Z,, — гае^ активного двухпал юсиика (см. рис. 3.30, а) ; U^/ZKK (4.34} /н = 7 L Z г ’ " ь • |+Ле(ч--ф«) ZBX где — комплексное входное сопротивление двухполюс- ника по отношению к зажимам ab выделенной ветви. Из уравнения (4.34) следует, что при изменении модуля сопро- вождения нагрузки z„ ток /„ скользит по дуге окружности. Пример 53. В схеме рис. 4.19 Е *= 120 В; Zi = /?i = 24 Ом; сопротивление Z — чцсто емкостное и модуль его изменяется от Одо со. Построить круговые диаграммы тока и напряжения па сопротивлении Z|. Решение. Ток/>= 120/24 = 5 А. Выберем масштаб длятокоа(т, = 1,39 А/см) й напряжений (mv = 26 В/см). Найдем угол ф ~ ф — rpt = — 90° — 0° = — 90*. На рис. 4.20 построены круговая диаграмма тока на токе /д как иа диаметре и круговая диаграмма напряжения на ЭДС £, как иа диаметре. Масштаб для сопро- твленнй тг — 13 Ом/см. Для любого значения сопротивления г по диаграмме находим ток f и иаприжение Uzl. Так, при г = 9,5 Ом / = 4,65 A, Ufl = 111.5 В. Пример 54. Построить геометрическое место концов вектора тока I неразветв- леяной части схемы рис. 4.21 и графически исследовать возможность возникновения резонансных режимов при следующих данных: Ё = 30 В; /?2 ~ 6 Ом; Хс = 8 Ом; /?] = 3 Ом; Xt изменяется от 0 до со. Решение. Ток/2всхемеостаетсянеизмениым:/2 = 30/(6 — /8) = Зе^53”'^А. Он на 53*10'опережает ЭДС£(рис. 4.22). Вектор тока/, при изменении XL меняется так, что конец его скользит но дуге окружности, диаметром которой является векгор тока; /ц = £//?|= 10 A, /я, = 2,65 А/см. Ток в неразветвлеииой части схемы ><= ft Ч~ /г. Геометрическим местом его является также дуга окружности c!2fr. В режимах, соответствующих точкам / н 2, ток 7 совпадает но фазе с ЭДС Е. Следова- «ельно, в этих режимах в схеме имеет место резонанс токов. Выберем масштаб сопротивлений тх = 2 Ом/см. Графически найдем XL для Точек / и 2. Для точки 2 XL fst 0,8Ом, дли точки / XLfat 10,60м. При этом ток /=11,! и2,4 А. Рис. 4.20 163 1-
J 4 Рис. 4.22 Геометрическое место концов вектора it и геометрическое место концов вектора I в 7 8 $ Ю Ом 'Лакая J(t §4.24. Круговая диаграмма напряжения четырехполюсника. Пусть напряжение четырехполюсника рис. 4.2, а неизменно но модулю, фазе и частоте, я нагрузка Zs = на выходе его изменяется только по модулю, так что характеризующий ее угол <р3 остается постоянным. В этом случае для тока /2, напряжения (Л,, тока могут быть построены круговые диаграммы. Сначала рассмотрим круговую диаг- рамму тока ?2. С этой целью схему четырехполюсника рпс.4.2,«, исключая нагрузку Z?.заменим активным двухполюсником и но методу эквивалентно:о генера гора найден ток /2 » ветви pq. + (4.35) где 0РЧх — напряжение между точками р и q при размыкании ветви pq\ ZB« р<? — Zan^*2* — входное сопротивление по отношению к зажимам pq при корот- козамкнутых зажимах тп (в схеме рис. 4.2, а к зажимам тп присоединен источник ЭДС). Разделив чнслнтель и знаменатель правой части (4.35) на ZBX п = Zsh и учтя, что UpqiJZzt = /2К, где Лк — ток короткозамкнутой ветви pq, получим L (4.35а) /2 =-----------------. 1 -р — еЛ*2 — *2х> г2к Из уравнения (4.35а) следует, что вектор тока /2 скользит по дуге окружности, хордой которой является ток /2и- Построим круговую диаграмму тока /| на входе четырехполюсника. Изпредй’ дущего(см. формулу (2.14)) известии, что нрн изменении сопротивления в одной Is ветвей линейкой электрической цени дна тока в любых двух ветвях этой цени связан111 соотношением tm = а 4- W„. Следовательно, ток Л может быть линейно выражс* через ток /2: /, = 0 4-«2- (4-36) Определим коэффициенты и и Ь. Если нетнь pq разомкнута, то/2 = ()и/|- Л> При этом из (4.36) найдем и = /1м. Если ветвь pq короткозамкнутая, то /2 = 7^ * Л-»,..Пю™му . . (43Я Лк ~ Лк + Ь12к- 164
Подставив (4.37) и (4.38) в (4.36), получим ; : 'и-'и (4.39) '1 — 'к н --------------- [ 4-_1еЛФ2-<Ик) z2k Уравнение (4.39) свидетельствует о том, что геометрическим местом концов вектора тока /( также является дуга окружности. Хордой ее является разность — )1х; вектор /1к смещает начало отсчета. Аналогичным образом строят круговую диаграмму напряжения. Так, если в какой-то схеме изменяется по модулю сопротивление Z2 = г2е^ф2 в одной, например второй ветви, то для напряжения ка участке ab этой схемы можнозаписать вырвже- ние, аналогичное (4.39): *, _ ‘ иоь к — V461 Uab — Uab х т------- 1 +_1еЛт2-^ г2к где Uab м — напряжение !1азажимаха<>нри?2 = co; Uab к — напряжение иа зажим ах °Ь при г2 = 0; Z2k ~ г2яе/ф2к — выходное сопротивление схемы относительно зажи- мов, к которым присоединено сопротивление Z2. Формула (4.40) выведена иа основании выражения Uab = а( + 6t/2H(4.35). Пример Б5. Построить круговую диаграмму тока схемы рис. 4.23, о, в которой %£*= 5 Ом;# =т 5Ом;£ = 100В. Нагрузкой четырехполюсника является индуктив- ное сопротивление X,, которое может изменяться от 0 до со. Решение. Найдем ток холостого хода при разомкнутой выходной ветви: /1ж = Е/(Л - /Хс) = 100/(5 - /5) « I4,15e/4S‘А. Определим ток короткого замыкания при коротком замыкании нагрузки; -------^гда-,2^л"аГА- Рассчитаем входное сопротивление Z2k со стороны зажимов pq при коротком 165
a} I) Рис. 4.24 замыкании зажимов тп: = ~1ХС+ = Айе" Р™ Ом. « — /лс Следовательно, ^2к = — 71о20'. Угол 4=4’2—Ф2к=^°—(—71“20')=16Р20г. Круговая диаграмма тока /L построена на рис. 4.23, 6. Хордой окружности является разность 71к — )|к. Угол ip > 0, поэтому для определения положения каса тельной он отложен от продолжения хорды против часовой стрелки. Диаграмма носит несколько необычный характер: рабочая часть дуги занимает почти целую окружность. Для определения положения конца вектора /( ИЗ конца вектора /|Л через точку на линии XL, соответствующую заданному значению Xg, проводят прямую до пере- сечен ня с рабочей частью дуги окружности. Прн XL = 5 Ом ток 1, опережает ЭДС Ёна 90*'. §4.25. Линейные диаграммы. Подл инейными диаграммами понимают диаграм- мы, в которых геометрическим местом концов вектора тока (на о ряжения) является прямая линия. По существу, линейная диаграмма является частным случаем кру- говой, поскольку прямая есть дуга окружности с бесконечно большим радиусом. J Пример 56. Построить геометрическое место концов вектора тока в схеме рис. 4.24, а прн изменении Хс. Напряжение 6^ = const /?, и XL неизменны. Решение. На рнс. 4.24, б изображаем вектор Uab. Вектор тока 7, отстает от него на угол q> = arctg Х^/Цх. Ток /2 опережает Uat на 90°. Геометрическим местом концов вектора тока 7 = 7, + /j будет прямая линия pq. Она и является линейной диаграммой тока /. Вопросы для самопроверки I. Запишите шесть форм записи уравнений четырехполюсника, покажите длй них положительные направления отсчета токов и напряжений и поясните, в каких случаях каждая форма записи имеет преимущества перед остальными. 2. Кокие четырехполюсники называют взаимными, невзанмнымн, симметричными и неся*1' метричнымй? 3. Как опытным путем определить коэффициенты А-, 2-, У-, Н-, 0-i В-форм записи? 4. Каким образом, зная коэффициенты одной формы записи, оире' делить коэффициенты другой формы? б. Прокомментируйте схемы замещения П0С’ енвпых четырехполюсников. 6. Какое соединение четырехполюсников называют ре' гулярным? 7. Что понимают нод£С| и /^несимметричного четырехполюсника икак их определить через коэффициенты А, В, С, D и через входные сопротивления? 8. Чт® понимают под повторным сопротивлением четырехполюсника? 9. Запишите уравне' ння для симметричного четырехполюсника через гиперболические функции. 10-'’а.. пишите уравнения для несимметричного четырехполюсника через гиперболически 166
функции. 11. Что понимают под постоянной передач» симметричного и под мерой ередйчн несимметричного четырехполюсников? 12. В каких единицах измеряют *'бухание? Как эти единицы связаны между собой? 13. Охарактеризуйте свойства ^рвертора, инвертора и гиратора. 14. Дайте характеристику операционному усиди- как элементу электрической цепи. 15, Каким расчетным схемным эквивален- тов может быть замещен ОУ? 16. Охарактеризуйте свойства управляемых источни- ков напряжения и тока. .17. Покажите, что схема рис. 4.11 может выполнять функции гНратора. 18. Поясните, почему схема рис. 4-13 может выполнять функции ИТУТ, сХема рис- 4.14, а — функции ИНУТ, схема рис. 4.14, б —функции ИТУН, а схема рИс, 4.14, в — функции конвертора отрицательного сопротивления, 19. В схеме рис. JlOZj = Z4 = Zs == /?. Какими следует взять/, = Z3, чтобы входное сопротивление схемы ZA[j было отрицательным, чисто резистивным и пропорциональным 1 /ш2? 20. Каким следует взять сопротивление Z2•= Z4 в схеме рис. 4.10 (Zt = Z3 = Z5 « R), чтобы входное сопротивление схемы ZA& было отрицательным, чисто резистивным и Пропорциональным to2? 21. Какой четырехполюсник называют активным автоном- ным н какой активным неавтономным? 22. Запишите систему уравнений многопо- люсника в У-форме и поясните, как определить его УАА и Ур(. параметры. 23. Дайте определения активного автономного и активного неавтономного многополюсника. 24. Запишите уравнение дуги окружности в векторной форме и поясните его. 25. Сформулируйте условия, прн которых можно строить круговую диаграмму. В чем преимущества исследований цепей с помощью круговых диаграмм? 26. Поясните последовательность построения круговой диаграммы двухполюсника и четырехпо- люсника. 27. Как определить рабочую часть дуги окружности? 28. Как определить масштаб на линии переменного сопротивления? 29. При каком условии круговая диаграмма переходит в линейную? 30. Решите задачи 6,4; 6,9; 6,13; 6,23; 6,35; 6,38. Глава пятая ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ §5.1. Назначение и типы фильтров. Подэлектрическими фильтрами понимают четырехполюсники, включаемые между источником пи- тания и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том, чтобы беспрепятственно (без затухания) пропускать к прием- нику токи одних частот и задерживать или пропускать, но с боль- шим затуханием, токи других частот. Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания, назы- вают полосой прозрачности: диапазон частот, пропускаемых с за- туханием, — полосой затухания. Электрические фильтры собирают обычно из индуктивных ка- тушек и конденсаторов. Исключение составляют RC-фильтры (см. §5.6 — 5.9). Фильтры используют главным образом в радиотехнике н технике связи, где применяют токи довольно высоких частот. При высоких частотах индуктивные сопротивления &>£ индук- тивных катушек во много раз больше их активных сопротивлений. Поэтому будем полагать, что активные сопротивления индуктив- ных катушек и активная проводимость конденсаторов равны нулю, е. что фильтры составлены только из идеальных реактивных эле- ^внтов. . Фильтры обычно собирают по симметричной Т- или П-схеме 'См- рис. 4.4, а, б), т. е. при Z2 — Z, и Z6 = Zfi. 167
При изучении фильтров будем пользоваться понятием коэффи циеита затухания и коэффициента фазы (см. §4.10). Условимся сопротивление Z, в схеме рис. 4.4, а и сопротивленцу Z4 в схеме рис. 4.4, б называть продольными, а сопротивление Z., fc схеме рис. 4.4, а и сопротивление Z5 в схеме рис. 4.4, б — nonepeq. ними. Фильтры, в которых произведение продольного сопротивления на соответствующее поперечное сопротивление представляет со. бой некоторое постоянное дли данного фильтра число (число fe), не зависящее от частоты, принято называть k-фильтрами. Сопротивление нагрузки Z„, присоединяемой на выходе филът- р а, должно быть согласовано с характеристическим сопротивление ем фильтра ZC(ZH = ZJ. Входное сопротивление й-фнльтра при этом также равно Zc. В fe-фильтрах Ze существенно изменяется а зависимости от частоты ы, находящейся в полосе прозрачности. Это обстоятельство вызывает необходимость изменять сопротивление нагрузки в функции частить! (особенно при приближении к границе полосы прозрачности), что нежелательно. В /n-фильтрах при опре- деленных значениях коэффициента m сопротивление Zc мало изме- няется от частоты (в пределах полосы прозрачности) и поэтому нагрузка практически может быть одна и та же по модулю для различных й, находящихся в этих пределах. Качество фильтра тем выше, чем более резко выражены его фильтрующие свойства, т. е. чем более резко возрастает затухание в полосе затухания. Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены воз- никновением в них резонансных режимов — резонансов токов или резонансов напряжений. § 5.2. Основы теории ft-фильтров. Из § 4.10 известно, что если нагрузка 2И согласована с характеристическим сопротивленЕЕем Zcчетырехполюсника, то напряжение С/2и ток в нагрузке /2связанЫ с напряжением (/, и током /, на входе четырехполюсника следу»' щими соотношениями: V2=t/je-r 4=/^*, где g — 1п(Л ф- yfBC) = а ф- /Ь. Тогда Ц = б/.е—е-''1, /2 = Множитель е~° определяет, во сколько раз модуль напряжений (тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на егС входе. Если а = 0, то е_“ = е" = 1 и фильтр пропускает колебания бе3 затухания. Таким образом, в полосе прозрачности а = 0. 168
В полосе затухания а > 0. Множитель е-'*, по модулю равный 1, свидетельствует о том, что напряжение U2 и ток /2 отстают соответ- ственно от U\ и /j на угол Ь. Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим путем сравнения выражения для коэффициента А четырехполюсника с равным ему выражением гиперболического косинуса от аргумента д + /6; A =cb(a + /Ь). Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом того,чтосЬ/й = cosftHsh/ft =/shift)можно представить следующим образом: ch(a + f&) =cha cosft -J-/sha sinft; Для любого фильтра, собранного по Т-схеме (см. § 4.5), /1 = 1 +(Z1/Z3). Для фильтра, собранного по П-схеме (см. § 4.5), А = 1 4-(Z4/ZB). Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр, отношения Zj/Z3в Т-схеме и Z4/Z5 в П-схеме всегда будут действительными (не мнимыми и не комплексными) числа- ми— отношение двух мнимых чисел всегда есть число действитель- ное. Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент А. Но если коэффициент А действителен, то действительным долж- но быть и выражение равного ему ch(a 4- /ft): ch(а 4-/ft) = chacosft 4-/sh a shift =A. Это выражение действительно, если shasinft—0. (5.1) При этом chacosft — А. (5.2) Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ по- лосы прозрачности и характера изменения угла ft в этой полосе, а также характера изменения коэффициента затухания в полосе (по- лосах) затухания. Равенство (5.1) для полосы прозрачности (а = 0) удовлетворя- ется, так как sha =sh0=0. В силу того что chO = 1, уравнение (5.2) Для полосы прозрачности переходит в следующее; cosft=/l. (5.3) Круговой косинус (cosft) может изменяться в пределах от 4-1,до "1. Поэтому крайние значения коэффициента А [являющегося Функцией частоты —Л(«)[ в полосе прозрачности равны ± 1. Поло- са прозрачности в общем случае лежит в диапазоне частот от о, до Значения ы|иш2для фильтров НЧ и ВЧ (подробнее см. §5.3) 169
определяют путем решения уравнений Л(о>) = ± I. (5.4) Для полосовых и заграждающих фильтров (см. § 5.3) «и, и toa находят как корни уравнения Д(и>) =—1. Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и полосой затухания, называют частотой среза. Характер изменения угла b в функции от ш для полосы прозрач- ности определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим образом: b = arccos Д(ы). (5.5) Определим а и b для полосы затухания. В полосе затухания а >0. Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии sinA=0, (5.6) т. е. при 6 = 0 (5.7) и (или) при 6 = ±п. (5.8) Согласно уравнению (5.2), при Ь — 0 сЬ« = Л(<й), (5.9) а при b — ±л cha = —4(ы). (5.10) Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям А как функции «) рассчитать cha в полосе затухания, a no cha определить а и,таким образом, построить кривую а — f(a). Из уравнений (5.7) и (5.8) сле- дует, что в полосе затухания напряжение на выходе фильтра находится либо в фазе (при 6 = 0), либо в противофазе (при Ь — ± л) с напряжением U, на входе фильтра. В заключение необходимо отметить два важных положения: I)с изменением частоты меняются коэффициенты В н С четы- рехполюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопро- тивление Zc=^B/C. Для того чтобы фильтр работал на согласо- ванную нагрузку (только в этом случае справедлива изложенная теория фильтров), при изменении частоты нужно менять и сопро- тивление нагрузки; 2) в полосе прозрачности характеристическое сопротивление /(-фильтров (§5.3)активпое, а в.полосезатухания — чисто реактив- ное (индуктивное или емкостное). Если нагрузка фильтра не чисто активная или не согласована с характеристическим сопротивлением фильтра, а также требуется 170
Рис. 5.1 учесть влияние активного сопротивления индуктивных катушек на работу фильтра (что существенно для низких частот), то для постро- ения зависимости IJJU2 =f(M) и зависимости сдвига фаз между U] и U2 в функции частоты можно воспользоваться, например, ме- тодом пропорциональных величин (см. пример 57). Характеристи- ческое сопротивление фильтра берут равным внутреннему сопро- тивлению источника сигнала (генератора). При этом и генератор и фильтр работают в режиме согласования. §5.3.К-фильтры НЧ н ВЧ, полосно-пропускающие и полосно-за- гРаждающне А-фильтры. Фильтрами НЧ (ФНЧ) называют фильт- ры, пропускающие в нагрузку лишь низкие частоты: с wj = 0 до <и2. Полоса их затухания находится в интервале от ®2 до со. Схемы двух ФНЧ приведены на рис. 5.1, а, б. Характер измене- ния коэффициента затухания ан коэффициента фазы b качественно Иллюстрируют кривые рис. 5.1, в. Под фильтром ВЧ (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие в 171
нагрузку лишь высокие частоты: с и( до оо. Полоса затухании находится в интервале от Одо ы,. Схемы двух ФВЧ приведены на рис. 5.2, а, б. Характер измене, ния коэффициентов а и b для них иллюстрируют кривые рис. 5.2, е Рассмотрим вопрос об изменении модуля характеристической сопротивления Zt в полосе прозрачности для Т-фильтра Нц (см. рис. 5.1, а) и для Т-фильтра ВЧ (рис. 5.2, а), а также дЛй П-фильтров. С этой целью в выражение Zc—^B/C подставу значения В и С в соответствии с формулам и (4.18) и проанализируй полученные выражения. Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, «) zc, — — <ЛА График Zfr = /(<!)) представлен на рис. 5.1, г. При и = = 0 ZcT . С увеличением частоты Zcl умень- шлется, сначала мало отличаясь отзначеиия V2L/C . При достиже- нии значения <> = == ^2/LCZc ~ 0. k “0.5 (2С \ ~ —ш2Сг .График ^и = /{*»> дан на рис. u.i, и. V2£ I — — -5-5. График ZcT — )(<п) дан на рис. 5.2, г. “ С В этом случае характер изменения Zcr отличен от характера изменения Z(f для Т-фильтра НЧ, а именно ZcT = 0 при « = =<й£ = 1/V2LC . С увеличением ы сопротивление Zcr увеличивается и при w-*-ooZcr — ^L/C. /2С 1 Г0,5 Для П-фильтра ВЧ(см. рис. 5.2,6)ziW= if — fd - График Zc„ — /(“>) представлен на рис. 5.2, д. Если фильтр предназначен для работы на частотах, находящих- ся внутри полосы прозрачности данного фильтра и относительно далеко отстоящих от значения ы, при котором Zt ~ 0, то сопротив- ление нагрузки ZH на выходе фильтров НЧ выбирают равным Zt, которое соответствует <> = ш, = 0. Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.Г a) Z~y[2L7C. Для фильтров ВЧ обычно нагрузку согласовывают со значение^ ZL при ы Для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.2, a) Zc — \:2L/C . В полосе (полосах) затухания Zc оказывается чисто реактивным дл₽ всех типов fe-фнльтров. Для того чтобы выяснить, индуктивный или емкостный хараК' тер имеет Zc в полосе затухания, следует определить характер вхоД' ного сопротивления этого фильтра (фильтр всегда работает в режИ' ме согласованной нагрузки) для предельного режима, а имени® для фильтров НЧ (рис. 5.1, а, б) при очень высокой частоте, а дл” фильтров ВЧ (рис. 5.2, а, б) при очень низкой частоте (теоретнчееК11 172
Ряс. 5.4 при считая выходные зажимы схем закороченными. Тот же результат будет получен, если считать их разомкнутыми. В резуль- тате определим, что в зоне затухания Zc имеет индуктивный харак- тер для Т-фильтра НЧ (рис. 5.1, а) и П-фнльтра ВЧ (рис. 5.2, б) и емкостный характер для П-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, б) и Т-фильтра »Ч (рис. 5.2, а). Нолосно-пропускающие фильтры представляют собой фильт- ры, пропускающие в нагрузку лишь узкую полосу частот от Wj до - Слева от «, и справа отш2 находятся полосы затухания. Схема простейшего полосно-пропускающего Л-фильтра изображена на РЧс. 5.3, а. Параметры схемы должны удовлетворять условию t|C^L2C2, Характер изменения а и ддля полосно-пропускающего фильтра Иллюстрируют кривые рис. 5.3, б. Без вывода дадим формулы для определения параметров филь- тра рис. 5.3, а по заданным частотам /, и /2 и сопротивлению нагруз- 173
ки фильтра Zc при резонансной частоте /р = шр/2л = 2)C'^2n/l/2Zc; Zc 1 3) L‘ = 2я(/2-/0; ° Сг =л/с(/2-/1): 5) L2 ^2-fll W|/2 Под пол осно-заграждающими филь трами (р нс. 5.4, а ) и о в и м а ю? фильтры, в которых полоса прозрачности как бы разрезана на две части полосой затухания (рис. 5.4, б). Слева от «>, и справа от находятся две части полосы прозрачности. В схеме простейшего заграждающего фильтра на рис. 5.4, а LiCi=L2C2. Обозначим u>f=\f^L\C\. k = L\/i.2 и запишем формулы для определения вид и 1С фильтром рис. 5.3,«, рис. 5.4, в . Для рис- 5.3, и *>о , <42=^^+2* ТО; z = дЙд/| е V С, V 2(<л wj ’ для рис. 5.4, а (*, я = 0,25шр ( $ik -[ 16 ± ^2fe); ^2 Ле _ jiy G> <0 Для фильтра рис 5.3, о вобласти частот отОлоы, Zc имеет емкостный характер, а в области частот ото2до то — нндук гивный. Для фильтра рис. 5.4, а в области частот от со, до vipZ, имеет индуктивный характер, а в области от <ир до<л2—емкостный. Характер изменения Zf иллюстрируют кривые рис. 5.3, в, 5.4, в. Пример 57. В схеме рис. 5 5, a L = 10 мГн; С = 10 мкФ. Определить Ь=Ц<а) » полосе пропускания, а=/((и) в полосе затухания. Построить векторную диаграмм} при ш = 2000 рад/е и гоке /2 ~ 0,2 А при согласованной нагрузке. Вывести формул} расчета фильтра рис. 5.5, а при работе его в несогласованном режиме. Решение. Частота среза <о2 = д/т”7 = 4470рад/е. В полисе пропускания в *= — О, b -- arccos А = arccos(l — ы2/.С). При ы — 2000 рад/с Ь — 53° 15', aL = 20. 174 Рис. 5.5
г= 50Ом, ZH=Ze=? —'i^L? = 40Ом. Векторная диаграмма изображена иа ^сб-б.б t/2=/|zH = 8 В, t/l=t/seee,,,=fe^i',s,B. В полосе затухания при согла- (0ран1[ОЙ пагрузле a=Arch (a4 LC— 1). Есл и ZH будет несогласован^ с Zf, то расчет ультра в полосе пропускания и в полосе затухания можно проводить, используя отношения U^Uc+iJtitL, Uc=U2-\ Лц ^2 ^2 itoL, * * h = g + - “ + -- + U. = mtz2, ~^c z«7vc гДе „ t 2iwL J- a. т=,1+'*Г+л_+7Д? jKc Z"/o>C Если взять to = 2«2=-= 8040 рэд/с (работа в полосе затухания) и ZM = 40 Ом (вместо у 77,5 Ом, исходя из условия согласованности), то m=12,55eJIL 'W, т. е. затухание Pi будет 1л—^=!п 12,55 = 2,53 Нп (вместо 2,64 при согласованной нагрузке). Аналогичные формулы для несогласованного режима можно вывести для лю- бого другого фильтра. Пример 58. Определить параметры голосовой фильтра рис. 5. 3, а. исходя из того, что он дол жен прш ускать положу частот or = 750 Гц до f2 = 850 Гц и что пр и резонансной частоте /р сопротивление нагрузки Zri = Zc = 1130 Ом. Решение. 1)/р = V/J2 = V750 -850-^798 Гц. *>С> = 2я-750 - 850° ИЗО = L| = 2лЖО - 750)= !’6 ГГ’ § 5.4, Качественное определение ^-diRjibipa. По схеме А-фильтра бе? проведенья подробного математического анализа можно су- Дить о том, к какому из перечисленных типов может быть отнесен тот или иной фильтр. Заключение основывается на харакгере про- дольного сопротивления фильтра. Характер продольного сопротивления А-фильтра, как правило, прямо противоположен характеру поперечного сопротивления. В можно убедиться, рассмотрев схемы рис. 5.1, а, 5.2, а и 5.3, а. Чейст ангельно, если продольное сопротивление индуктивное, то по- ^речноеемкостное. Если продольное сопротивление образовано ^следовательно соединенными LnC.ro поперечное - карал лельно ^единенными L и С и т. д. Если продольное сопротивление состоит олькоиз индуктивностей, то фильтр относится к категории НЧ; если Модельное сопротивление чисто емкостное, то ф ильтр — ВЧ. 175
Если продольное сопротивление состоит из последовательно со. единенных L и С, то фильтр полосового типа. Если продольное сопротивление состоит из параллельно соединенных L и С, то фильтр заграждающего типа. § 5.5. Основы теории m-фнлвтрое. Каскадное включение фильтров. Для увели- чения крутизны характеристики н = /2(ш) в начале полосы затухания, получении заданного значения затухания вриопределенной частоте(частотах)н меньшей завн спмости Zf от частоты в полосе прозрачности применяют иолузвеиьн т-фильтров, каскадно включаемые с А' фнлътрами. На рис. 5.6 в качестве примера изображены две возможные схемы каскадною включения 1-полузвена т- и fe-фильтров. На практике обычно применяют также схемы, в которых ft-фильтр находи гея между двумя полузиеиьямп т фклы ра. Входное сопротивление фильтра Zfl берут равным сонротивлеиню источника сигнала (источника питания) 2И. Схемы рис. 5.6 применяют, когда сопротивление нагрузки на выходе фильтра Zn не может быть взято ранным Z„. Схему ряс. 5 6, и и ей подобные используют, koi да Zu = Zt] = ZH. Рассмотрим свойства иолузненьев т фильтров и каскадных соединений их с k фильтрами. На рис. 5.6, а №полузаено гп-фильтра, состоящее из сопротивлений Zj hZk, каскадно соединено с //-фильтром типа 4 (сопротивления Z4,Z6,ZS). На рис. 5.6, б Г-нолузвено гп-фильтра из сопротивлений /(,и/|^каскадносоеднне11(1С /'-фильт- ром тина ft (сопротивления Zh Z,). t лшротявления Z? и ZB зависят от Z4 и Z1 а сопротивления Zlf в Zl0— от Z( и Z3. Поэтому говорят, что прототипами П- или Г-пилузиеиьев ш-фильтров являются каскадно соединенные с ними k -фильтры. При каскадном соединении фильтров друг с другом всегда соблюдают принцип согласованности. Входное сопротивление ft-филыра должно быть равно cuiiponiu- лению нагрузки на выходе этого фильтра: Zc2 = Zu'. Для левого полузвена гл-филь- тра Z^ является сопротивлением нагрузки Несимметричный четырехполюсник, какш является полузагпо л» фильтоа, описывается двумя характеристическими сопротивлениями Zf] nZt2. Сопротивление Zci в/п-фильгре рис. 5.6, д определяется Рис. 5J i7h
хак входное сопротивление схемы рис. 5.7, а, в которой нагрузкой является Zb2 (входное сопротивление ^.-фильтра). Сопротивление 2^ для полузвена гл-финьтра представляет собой входное сонрогийЛенне схемы рис. 5.7, б, и которой нагрузкой является Zc(. Коэффициенты А, В, С, D, 1-полузвена га-фильтра рис. 5.6, а вычислим по формулам § 4.5, полагай И них Z. — Zr, Za = 0,2Я = 2Д. В результате получим А = ”1+(/Д)1В = 2;,С=1/7>=1.2 6 Подставим найденные значении A, B.C.D» формулы для Zti к let ztl = Vz7zj (Т+ Z77zJ ; (5.11) „ <5 l2> c2 Vi + z7/z8- Входное сопротивленце второго каскада схемы рис. 5.6, а У у! (513) 12 V1 + Zi /z5 Сопротивление Z8 в 1-нолузвеие т-фильтра рис. 5.6, а берут равным ZJm, где числовой коэффициент т находится в интервале от 0 до 1. Подставляя B(5.l2)Zg/т «место Zg и приравнивая подкоренные выражения формул (5.12) и (5.13), получим Уравнение для определения Z7: Zc у _£ 7 т 1_____I 1 ~ Z, " 2 + Z4/Zfi ЙЯИ 2?= m + т ' 1 -ф tn — z4 о Z5 . 2 Z6 z i — m Последнее вы ражен не свидетельствует отом, что сопротивление Z7образовано Jt,lVM« параллельно соединенными сопротивлениями Zj~ и Z6-----(рис. 5.7. в). ‘ак как7.-,образовано параллельно соединенными сопротивлениями, которые явля- йся зависимыми (производными) от солротиилеиий Z4 и Zs Л-фильтра, т-фильтр |1Нс- 5.6, а называют фильтром аираллельш-прсшлводного типа- Заменим в схеме рис. 5.6, « сопротивление ZH, = Zci! па второе полузвеио т- Ультра, па входе которого включим согласованную нагрузку Zlt — Zcl (рис. 5.8, и). ,3'589 177
Если первое полузвено m-фильтра схемы рис. 5.6, п представляло собой 1-полузве, но, состоящее из сопротивлений Z7 и Z8, то второе полузвено m-фильтра долнущ представлять собой Г-полузвено, состоящее из тех же сопротивлений Z7 и Zg, но ка* бы перевернутых относительно вертикальной прямой. Для второго «олузвена щ. фильтра входное сопротивление слепа равно Zf2, а входное сопротивление справа (Со стороны нагрузки ZH) — Zci. Практически ZC1 для фильтра НЧ берут равным егп значению при <в 0 , а для фильтра ВЧ — jeroзначению прн <о -> оо , Для т-филь, тра рис. 5.6, а в обоих случаях Zcl = yL/2C , где L и С — индуктивность и емкост,, А-фильтра, являющегося прототипом m-фильтра. Для фильтра НЧ — этозначения L и Св схеме рис. 5.1,6, а для фильтра ВЧ — в схеме рис. 5.2, б. Границы полосы прозрачности у m-фильгра определяют также, как и уА-филь, тра, г е. полагая А (ы) = =Е I для фильтров НЧ и ВЧ. В полосе затухания Д41я т-фильтра ch а = ± А (о>) Знак минус относится к полосе частот от <ор дон>^ знак плюс — к полосе частот от wp до оо для фильтров НЧ н к полосе частот от <пр до 0 для фильтров ВЧ (объяс- няется это тем, что сопротивление Z7 изменяет знак при резонансной частоте од Границы полосы прозрачности по частоте для А-фильтра и для каскадно и согласц. ванное ним соединенного m-фнльтра совпадают. Результирующее затухание всего фильтра а равно сумме затуханий mfa^)- и А(с^)-фнльтров: Характер зависимости ат = f (Ф) для m-фильтров НЧ и ВЧ показан на рис. 5.8, б, в, где ис — частота среза (граничная частота полосы прозрачности). На рис. 5.8, б шр — резонансная частота, при которой противоположного характера сонротивле- ния — Z+ и —----gZ6 в схеме рнс. 5.7, в вступают в резонанс, так что Z? = со (при Z | — nV' частоте ыр ) при этом бесконечно велико затухание m-фильтра. В области частот от ас до <1>р затухание ат резко возрастает, что существенно, так как получается боль шое затухание в начале полосы затухания, где ak мало. Уменьшение ат при ы > ыр компенсируется ростом ak. Напряжение на входных зажимах фильтра опережает напряжение на нагрузке на угол b = Ьт + где — угол сдвига фаз от т филь- тра, a Ь* — угол сдвигафазотА-фнльтра Зависимость6ft = /(«>)рассмотрена в§ 5.3. Зависимость Ьт = /(ш)показзна на рис. 5.8,г для фильтра НЧ и на рис. 5.8, <3 — для фильтра ВЧ. Зависимость Ze] = Ц—) для фильтра НЧ показана на рис. 5.9, б при <ис трех значениях т. Прн т ж 0,5 0,6 сопротивление Zci остается приблизительно постоянным почти по всей полосе прозрачности, резко уменьшается только вблизи частоты среза. Рассмотрим свойства Г-полузвена т фильтра рис. 5.9, а, являющегося состав- ной частью фильтра рнс. 5.6, б. Опуская промежуточные выкладки, запишем окон- чательные выражения для 2с1 и Ze2 этого фильтра: VZnZ III _-----.-------- f+Zg/Z,; ; = + Zs/Zi0) . Входное сопротивление А-фильтра рнс. 5,6, б Zs2 = VZ^(2 + Z;/Z3j - Г-нолузвеНО m-фильтра рис. 5.9, а называют иоследовательно-производни**' так как его сопротивление ZJ0 состоит из двух последовательно соединенных conf1’ 2 1 — т2 _ . „ 1, тннленнй —Z3 и ———Zj, являющихся производными от сопротивлений Z^ Яр 173
a) фильтра Сопротивлении и Z-( имеют противоположный характер (одно >шдук- HtuinJH, другое емкостный). поэтому прн некоторой часпне сопротивление Z|U = О (резонанс напряжений). Дли полосы прозрачности зависимость Zc) =/(—-) для 10с фильтра НЧ (<>гшс/юдля фильтра ВЧ)!ути трех значениях т показана на рнс. 5.8, е. При т »(0,5 4- 0,6)Z₽| относительно мало изменяется в полосе прозрачности, что иажно для практики. Зависимости ат — /(ы) и bllt — [ (ш) для /n-фильтра рис. 5.6, б такие же, каки для соответствующего ему m-фильтра рис. 5.6, а. Обобщенно можно сказать, что теоретически бесконечно большое затухание а m-фильтре на частоте <0р создается либо за счет того, чго на этой частоте в последовательной ветви иолу- заена in-фильтра оказывается участок с бесконечно большим сопротивлением (воз- никает резонанс токов), л ибо за счет того, что параллельная ветвь /«фильтра обра- зует короткое замыкание при возникновении в ней режима резонанса напряжений. Г1ри каскадном соединении нескольких т-фильтров значения L, Свыбираю г различ- ным и, чтобы создавать большие затухания на нескольких заданных частотах (“uo ,fl₽2 н т‘11 ) Пр11 э,ам зависимость а = Цч>), например, для фильтра НЧ имеет иид гребенки (рис. 5.9, а). Фильтр с такой характеристикой иногда называют аребел- чагым. На рис. 5.10, а показана схема иоследовательпо-нроизводиото полосио-нро- иускаюшего фильтра. Параметры ее соответствуют сшлаишениям, указанным на Г-полузвено к-фильтр 7-лолдзВено т-фильтра rj т-фильтра Рис. 5.10 179
рнс. 5.9, a; — п?)/т. Продольные mL я /. элементы могут быть заменены одним (т + 1 )L, а элементы С/т и С — ня C/(m + 1). На рис. 5.10, б представлена схема последовательно-производного полос нс-заграждающего фильтра («у имеет тот же смысл). В обоих схемах сопротивление нагрузки берут равным Ztl, но для филь- тра рис. 5.10, а при ы » <ор, а для фильтра рос. 5.10, б при ь>-* 0- § 5.6. JtC-фнльтры. Если сопротивление нагрузки, па которую включен фильтр, очень велико, т. е. теоретически стремится к бесконечности (например, входное сопротивление лампового усилителя или входное сопротивление полевого транзи- сторах то часто используют RC-фил ьтры. На рис. 5.11, а — я изображены схемы НЧ, ВЧ и полосно-нронускяющего fiC-фнльтрон, а на рис. 5.11, г — е — соответствую- щие им звпнснмости й” In U1/U2 = f(v>). Для НЧ-фильтра рис. 5,11, а а = 1п| I + /ю RC|, для ВЧ-фнльтра рис. 5.11, б «= In 11 — /7(ю RC) |. Для всех /?С-фильтров и рабочей зоне а 7=0. Рабочая зона НЧ-фильтра простирается от w = 0 до ю = е>с'=« 1//?С(нрмнято условно), при которой о 3 дБ. Для ВЧ-фкльтра рабочая зона находится в диапазоне от to •= — l/RС, когда о=3 дБ, до <о = <», когда о-к 0. В полосно-пронускающем фильтре минимальное затухание имеет мес- то при tn = «>q= I/RC, при этом й=1п|3-|-/(ю/?С-'йю)1- tort § 5.7. Активные FC-фнльтры. Обычные fe- и гн-фнлътры формируют из копдепса торон и индуктивных катушек. Но индуктивные катушки — элементы громоздкие и нх нельзя изготовить методами интегральной технологии. Кроме того, при очень низких (инфраккзкнх) частотах, применяемых, например, в гидролокации и вкустике, очень трудно изготовит ь индуктивные катушки с высокой добротностью. Требннапия миниа тюризвции анпиратуры вызвали интерес к активным /?С-фнлырам. Они представля- ют собой фильтры, состоящие из элементов R и С и активных элементов (ОУ или транзисторов); индуктивные элементы в них не аходят. Известны два направления реализации активных /?С-филыров. Первоеосноианопаирнмепениисхеме активными элементами, и которых используют обратные связи, второе — па использовании обыч- ных схем k- н /«-фильтров, в которых индуктивные элементы заменены на имитироваИ" ные (позволяющие осуществить нх в миниатюрном исполнении). Рассмотрим основы построения активных /?С-фнльтров с обратными свнэямИ- На рис. 5.12, и изображена одна изехем низкочастотного активного ЛС-фильтра. Онв состоит из двух конденсаторов, четырех резисторов н ОУ, использованного в мпвсР’ тирующем включении. Сопротивление нагрузки, включаемой па выходе активных RC-фнлм-рон, обы’ щ> но много раз больше малою ныкодногб сопротивления еамогп фильтра, ппэтоМУ можно считать, чтофильтры работают в условиях, близких к холостому ходу. ИсхоЛя из этого, анализ схемы рис. 5.12, о проведем для режима холостого хода. Обозначим токи й ветвях (/) — /в, /т) и узлах (/ —5) в соответствии с рис. 5.12. а и выведе* формулу для затухания фильтра. При выводе учтем, что входной ток ОУ 180
Рис. 5.12 а,дБ 5) поэтому <f2 ifj « 0. Ток /, — /<»2С<р3; потенциал <|i.=—/|/?2=—/ыС2/?2ф.}. Ток /2 = (<₽3 — ч>^)/R3 — ф3 (1 + /<о/?2С2)//?3 . Ток /3 = ip4 jdiCl — ^.aC^C2R2w2 Вход- ной ток фильтра /вя = /а — /, — 12 — — <f3|CbC2/?2<i)2 /<аС2 + (• + /ыС5Яг)/. Входное напряжение Ч>5=Ф4 + 'ВЛ = --Ч>Л |— C|C2/?|/?2to2 /<о (/?। Д2) С2 /?|/?2С2 “лГ" Затухание фильтра в децибелах 'Рб «ЛБ = 201g ~ =201g Фз r«i ; + /си (/?1 + /?2)С2 R I ^2^2 *3 Если принять /?, = Л2 =, /?3 — R и обозначить <ь0 = 1/R \С}С3, то зависимость а=/(ы) (выраженная в долях oi oi0) может быть проиллюстрирована кривыми рис 5.12, б при С|/С2= 1; 9; 36. Отношение Ct/C2 определяет вид затухания в полосе частот от 0 до.<о0. За счет наличия ОУ при некоторых С|/С2 затухание может быть отрицательным (вместо затухания имеет место усиление). На рис. 5.13, а приведена схема высокочастотного активного /?С-фильтра, образованная нз схемы рис. 5.12, и перестановкой конденсаторов и резисторов. Резисторы /?4 в схеме рис. 5.12, и и R4 в схеме рнс. 5.13,а выполняют функции сопротивлений, регулирующих работу ОУ, поэтому при упомянутой замене их ме следует принимать во внимание. Для этой схемы (выкладки опускаем/затухание фильтра и децибелах 181
ояе = 20 <g 1 сз\ + Cz + C3 cJ С,С2/?гш I 1 “° V^«2c2c3’ Зависимости a /(<>) для схемы рис. 5.13, смежно качественно получить из кривы,, а — Цы) ал в схемы рис. 5.12, а, если последние зеркально отразить относительна вертикальной осн, проведенной через too. Схема нолосно-иропускающего активного АС-фнльтра изображена на рис. 5.13, б. Затухание этого фильтра в децибелах «дБ = 201И Прн этом Наименьшее затухание a = 201g Отношение выходного напряжения четырехполюсника к входному как функция частоты ш называют передаточной функцией четырехполюсника. Для схемы рис. 5.12, а К имеет место при частоте <вф. Схема полосио-заграждаюшего фильтра изображена на рис. 5.13, в. Второе направление реализации активных АС-фнльтров основано на замене обычных индуктивных элементов вА- или m-фильтрах на имитированные. При заме- не учитывают, является ли пли может ли быть заземленным один из концов имити- руемого индуктивного элемента. Если один из концов заземлен, то выбирают одну схему имитации, если нет, то другую. Так, в схеме фильтре ВЧ рис. 5.2, а нижний зажим индуктивного элемента соединен с землей, т. е. элемент L является зазем- ленным. В схеме фильтра НЧ рис. 5.1, б ниодии из зажимов L не заземлен (т. е. L не заземлена). Поэтому индуктивные элементы в схемах рис. 5.2, а, 5.1, б должны быть имитированы различно (см. Приложение Б). § 5.8. Передаточные функции активных АС-фильтров и иормироввнном виде. Будем различать обычную частоту ш и нормированную шв, выраженную в долях от частоты среза ыс для НЧ фильтра рис. 5.14, а н в долях от центральной частоты полосы пропускании (о, рис. 5.14, б полосно-нропускающего фильтра. То есть дли НЧФ <вм = to/ti>c, для ППФ ын= ш/ь>г Передаточные функции одного звена НЧ-, ПП-, ВЧ- и Г13-фильтров в нормированном виде записывают так: w А&>ря * <?р Р" «mW’’ M(pvay А₽и МРл+^р») Заыъ М(рн)^р1 + mp„ + п; m = ; я = <о2„; р„ /ы„; ыри — нормнро- ввниая резонансная угловая частота одного звена фильтра (шрн < 1 ) Степень рв D числителях этих выражений различна. У низкочастотного — нулевая, у ППФ первая,у ВЧФ и ПЗФ — вторая.Уравнение Л1(рв) = 0 имеет комплеисио-сопряжей' ные корки (полюса К(р) Под добротмостыо полюсов qp одного звена фильтр* понимают величину 2п / Ya2 р2. Она показывает, насколько острой является ча<" тотная характеристика звена (полюса равны —а ± /Р). 182
Рис. 5.14 При цр 2звено фильтра счнт ают ннзкодобротным, при qp <1 20 — средиедоб- ритным, при <^>20 — высокодобротным. Схемы заеньев фильтров с различной величиной цр приведены в [9, 17]. § 5.9. Получение передаточной функции низкочастотного активного /?С-фильт- ра, выбор схемы и определение ее параметров. На рис. 5.14, л изображена зависи- мость затухания а НЧ-фнльтра от частоты ы; ыс— частота среза, — частота, начинал с которой II11-фильтр имеет относительно большое затухание ст[н. В полосе пропускания допустимо небольшое затухание umax, Порядок расчета следующий: тачала определим отношение <»>x/(uc, затем по величинам <о5/ь>с, omtn и srtlax по таблицам, помещенным в [9,17], при выбранном способе аппроксимации частотной характернсгнкнф11льтра(см.$ 10.10)онределяем знаменатель Л1(рн)всегофвльтра. В таблицах он представлен, как правило, в виде произведения полвномоа второго порядка вада + три ф- п . Каждому полиному соответствует свое звено активного ДС-фнльтрв. Все звенья соединяют каска дно. Для каждого полинома определяем добротность qp и по ее величине подбираем схему каждого звена по {9, 17], После этого передаточную функцию каждого звена делормируем, заменяя ш ыЕ1|, на io„/<i)c, а ри на /— .Затем определяем параметры /?, С каждого звена. С 1 ' шс этой целью сопоставлнем почленно выражение передаточной функции заена (напри- мер, выражения <₽3/<₽5 схемы рис. 5.12) с полученной функцией Л’ (/то) звена. Часть параметров в схеме может быть взята пронзволыю(реаисторы по нескольку килоом, а конденсаторы доли микрофарад), другую часть находим из сопоставления. Так как вариантов решении может быть несколько, то выбираем по тем или иным соображе- ниям наиболее целесообразное. § 5.10. Получение передаточной функции полоено-пронускающего активного ^б'-фнльтра. Положим, что требуется получить ПП-фильтр с относительно большим Затуханнем uHllII в полосах затухания (от <л = 0 доых1 ноти5г до со) — рис. 5.14,6 — и небольшим допустимым затуханием атак и полосе пропускания от ыЬ( до tofe2. Центральная частота и полосе пропускания обозначена ыг(в относительных еднпн- Чахы,.= I). Передаточную функцию ПП-фильтра получают на основе частотных нреобра- ™Наний (см. Приложение Е)слсдук>щпм образом: сначала нодсчитыввюг нормнро- 8аНцук> частоту 11»х = —--— НЧ-фнльтра прототипа. Затем по <±>5 и заданным “й — Начениям amjll н а1пах полосового фильтра, при заданном способе аппроксимации таетутнон характеристики (но Чебышеву, но Баттерворту, по Бесселю н т. д.) но аблицам, приведенным в [9, 17], определяем нормированную передаточную фуик- К|у НЧ-фильтра прототипа. После этого подсчитываем коэффициент Ь 10 Ы ~ —-------и в передаточной функции НЧ-фнльтра прототипа заменяем рн ita 183
s’ + со, s’ + 1 — ------==—-—~,т.е. осуществляем переход от НЧ-фильтра к ПИ-нормирова,.. b. bs„ ”ч. ®и н му фильтру (см. Приложение Е). Здесь Зп = /юн , шн — текущее значение нормированной угловой частоты. дд перехода от нормированной частоты <ои к ненормированной ш заменив top (Он на w/<t>rH^WOpW и Ырн на - . Шгкеиори Обратим внимание на то, что степень полинома знаменателя иерелато>|)1О^ функции ПП-фильтра увеличивается при этом едва раза но сравнению со стеиень^ полинома знаменателя передаточной функции НЧ прототипа. Другими словаЧн каждое квадратичное звено НЧ прототипа заменяется на два каскадно включенный квадратичных звена ПП-филътра. Вопросы для сямопроворкн I. Что понимают под электрическими т-и А-фильтрамн? 2. Дайте определение полосы прозрачности и полосы затухания. Как расчетным путем найти границы полосы прозрачности для фильтров НЧ и ВЧ, а также полоско*пропускающих и полосно-звграждаюшпх фильтров? 3, Начертите графики изменения Ze, а я Ь & функции частоты <о дли всех известных вам типов фильтров. 4. Из чего следует исходить при выявлении характера Zt фильтра в полосе затухания? 5. Как по схеме А-фильтра определить, к какому типу он принадлежит? в. В чем недостатки А-филь. тров? 7. Как согласовывают полузвенья m-фильтра с А-фнльтром? За счет чего ц m-фильтрах при некоторых частотах возникает бесконечно большое затухание? 8. Й чем преимущества m-фильтров перед А-фильтрамн? 9. Что послужило основанием подразделять полузвенья m-фнльтров на параллельно-производные и па последовв- тельно-производные? 10. Чем объяснить, что коэффициент м берут равным 0,55 — 0,6? И. Чем принципиально отличается ЯС-фильтр от А- и т-фильтров? 12. Что понимают под активными ЯС-фильтрами и каковы их достоинства? 13. Какие вы знаете два основных направления реализации активных ЯС-фильтров? 14. Какие способы создания имитированной индуктивности вы знаете? 15. Выведите формулы зависимости затухания пот частоты «в: а)для фильтра на рис. 5.12, а; б) для фильтра на рис. 5.13, в; в) для фильтра на рис. 5.13, в. 16. Решите задачи 14.1; 14.4; 14.6; 14.7; 14.18; 14.21; 14.22. Глава шестая ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ §6.1. Трехфазная система ЭДС. Под трехфаэной симметричной системой ЭДС понимают совокупность трех синусоидальных ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°. Гр3' фики их мгновенных значений изображены на рис. 6.1, векторная диаграмма — на рис. 6.2. Принцип получения трехфазной системы ЭДС иллюстрирует рис. 6.3. В равномерном магнитном поле с по- стоянной угловой скоростью ш вращаются три одинаковых жестко скрепленных друг с другом катушки. Плоскости катушек смещены в пространстве друг относительна друга на 120°. В каждой катушке наводится синусоидальная ЭД^ одинаковой амплитуды. По фазе ЭДС катушек сдвинуты на 120 Аналогичным путем можно получить двух- и четырехфазяУ’0 184
систему ЭДС и более. Наибольшее практическое применение по- лучила трехфазная система. ЭДС трехфазного генератора обозначают следующим образом: одну из ЭДС — ЁА, отстающую от нее на 120° ЭДС — Ёв а опере- жающую на 120° — £с. Последовательность прохождения ЭДС через одинаковые зна- чения (например, через нулевое значение) называют последова- тельностью фаз. § 6.2. Принцип работы трехфазного машинного генератора. В машинном гене- раторе (рис. 6.4) обмотки неподвижны (помещены в пазы статора); на рисунке они обозначены буквами Л, В, С. Магнитное поле в генераторе создается вращающимся ротором с намотанной на него катушкой, но которой протекает постоянный ток. Если число нар полюсов ротора равно единице, то угловая частота вращения ротора равна угловой частоте вращающегося магнитного поля. Магнитная цель в такой конструк- ции почти замкнута (имеется только небольшой зазор между статором и ротором), что позволяет получить значительный поток прн относительно небольшой магнито- движущей силе обмотки ротора. При конструировании генератора стремятся к тому, чтобы распределение магнитной индукции ло окружности статора было практиче- ски синусоидально. На рнс. 6.4 пунктиром показаны магнитные силовые линии в некоторый момент времени. §6.3 . Трехфазная цепь. Расширение понятия фазы. Совокуп- ность трехфазной системы ЭДС, трехфазной нагрузки (нагрузок) и соединительных проводов называют трехфазной цепью. Рис. 6-3 Рис. 6.4 (85
Рис. 6.5 , Рис. 6.6 Токи, протекающие по отдельным участкам трехфазных цепей, сдвинуты относительно друг друга по фазе. Под фазой трехфазной цепи понимают участок трехфазной цепи, по которому протекает одинаковый ток. В литературе фазой иногда называют однофазную цепь, входящую в состав многофазной цепи. Под фазой будем также понимать аргумент синусоидально меняющейся величины. Таким образом, в зависимости от рассматриваемого вопроса фаза — эта либо участок трехфазной цепи, либо аргумент синусоидально изме- няющейся величины. § 6.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей, определе- ние линейных и фазовых величин. Существуют различные способы соединения обмоток генератора с нагрузкой. Самым неэкономич- ным способом явилось бы соединение каждой обмотки генератора с нагрузкой двумя проводами, на что потребовалось бы шесть сое- динительных проводов. В целях экономии обмотки трехфазного ге- нератора соединяют в звезду или треугольник. При этом число соединительных проводов от генератора к нагрузке уменьшается с шести до трех или до четырех. На электрической схеме трехфазный генератор принято изобра- жать в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 120”. При соединении звездой одноименные зажимы (например, концы х, у, г) трех обмоток объединяют в одну точку (рис. 6.5), которую называют нулевой точкой генератора О. Обмотки генера- тора обозначают буквами А, В, С; буквы ставят: А — у начала первой, В — у начала второй и С — у начала третьей фазы. При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 6.6) конец первой обмотки генератора соединяют с началом второй, конец второй — с началом третьей, конецтретьей — с началом пер' вой. Геометрическая сумма ЭДС в замкнутом треугольнике равна нулю. Поэтому если к зажимам А, В, С не присоединена нагрузка, то по обмоткам генератора не будет протекать ток. Обратим внимание иа то, что расположение звезды или треугольника векгорО® фазовых ЭДС на комплексной плоскости не следует связывать с расположением в пространстве осей трех обмоток генератора. 186
Рис, 6.7 Рис. 6.8 Пять простейших способов соединения трехфазного генератора с трехфазной нагрузкой изображены на рис. 6.7 — 6.10, Точку, в которой объединены три конца трехфазной нагрузки прй соединении ее звездой, называют нулевой точкой нагрузки и обозначают О'. Нулевым, проводом называют провод, соединяю- щий нулевые точки генератора и нагрузки. Ток нулевого провода назовем /с. Положительное направление тока возьмем от точки О' к точке О. Провода, соединяющие точки А, В, С генератора с нагрузкой, называют линейными. Схему рис. 6,7 называют звезда — звезда с нулевым проводом; схему рис. 6.8 — звезда —звезда без нулевого провода; схему рис. 6.9, а — звезда — треугольник; схему рис. 6.9, б — треуголь- ник — треугольник; схему рис. 6.10 — треугольник — звезда. Текущие по линейным проводам токи называют линейными; их обозначают 1А, 1В, 1С. Условимся за положительное направление токов принимать направление от генератора к нагрузке. Модули- лннейных токов часто обозначают /л (не указав никакого дополни- тельного индекса), особенно тогда, когда все линейные токи по мо- дулю одинаковы. Напряжение между линейными проводами называют линейным и часто снабжают двумя индексами, например UAB (линейное на- пряжение между точками А и В)\ модуль линейного напряжения обозначают U.. л a) Bi Рис. 6.9 187
Рис. 6.10 Каждую из трех обмоток генератора называют фазой генерат^. ра; каждую из трех нагрузок — фазой нагрузки; протекающие ц0 ним токи — фазовыми токами генератора /ф или соответственно нагрузки, а напряжения на них — фазовыми напряжениями (t/д §6.5 . Соотношения между линейными и фазовыми напряжения, ми и токами. При соединении генератора в звезду (см. рис. 6.7, 6.8, 6.9, а) линейное напряжение по модулю в \'з" раз больше фазового напряжения генератора (1/ф). Это следует из того, что есть основание равнобедренного треугольника с острыми углами по 30° (рис. 6.11): £/л = = Ц-2 cos 30°= < t/ф- (6.13 В основу формирования ряда трехфазных напряжений, когда последующее напряжение больше предыдущего вуЗ раз, положен \/3 s= 1,73. Приведем часть этого ряда при относительно низких напряжениях: 127, 220, 380,660 В. Линейный ток 1„ при соединении генератора в звезду равен фа зовому току генератора: /л = /ф. При соединении генератора в треугольник линейное напряже- ние равно фазовому напряжению генератора (см. рис. 6.6.6.9, б): <4, = (6.2) При соединении нагрузки в звезду (см. рис. 6.7,6.8,6.10) линей- ный ток равен фазовому току нагрузки: /л = /ф. При соединении нагрузки треугольником положительные нй' правления для токов выбирают по часовой стрелке. Индексы У токов соответствуют выбранным для них положительным направ- лениям: первый индекс отвечает точке, от которой ток утекаем второй — точке, к которой ток притекает. При соединении нагрузки треугольником (см. рис. 6.9, а, б) ли- нейные токи не равны фазовым токам нагрузки и определяются через них по первому закону Кирхгофа: ^А = АВ ~ ? СА* = ВС ~ IАВ • = СА I/3C - 188
§6.6. Преимущества трехфазных систем. Широкое распростра- ^ие трехфазных систем объясняется главным образом тремя ровными причинами: °с |) передача энергии на дальние расстояния трехфазным током ^комически более выгодна, чем переменным током с иным чис- лом фаз; 2) элементы системы—трехфазный синхронный генератор, ^рехфазный асинхронный двигатель и трехфазный трансформа- тРр— просты в производстве, экономичны и надежны в работе; 3) система обладает свойствами неизменности значения мгио- ₽енной мощности за период синусоидального тока, если нагрузка во вСехтрех фазах трехфазного генератора одинакова. § 6.7. Расчет трехфазных цепей. Трехфазные цепи являются разновидностью цепей синусоидального тока, и потому расчет и исследование процессов в них производят теми же методами и при- емами, которые рассматривались в гл. 3 и 4. Для цепей трехфазного тока применим также символический метод расчета и можно стро- ить векторные, топографические и круговые диаграммы. Аналитический расчет трехфаза ых цепей рекомендуется сопро- вождать построением векторных и топографических диаграмм. Векторные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и напряжениями, делают все соотношения более наглядными и помогают находить ошибки при аналитическом расчете, если по- следние возникнут. § 6.8. Соединение звезда — звезда с нулевым проводом. Если нулевой проводи схеме рис. 6.7 обладает весьма малым сопротив- лением, то потенциал точки О' практически равен потенциалу точ- ки О; точки О' и О фактически представляют собой одну точку. При зтом в схеме образуются три обособленных контура, через которые проходят токи 1Л = ; 1„ = ЁцА/Zg; lc — &C/ZC. По первому закону Кирхгофа ток в нулевом проводе равен гео- метрической сумме фазовых токов: А» = ^+^в + ^с- (6.3) Если ZA = Zu — 2с(такую нагрузку называют равномерной), то Т(Ж /и равен нулю и нулевой провод может быть изъят из схемы без Изменения режима ее работы. При неравномерной нагрузке фаз ток /Овобщем случае не равен ’’Улю. При наличии в нулевом проводе некоторого сопротивления рас- чет схемы производят методом узловых потенциалов. Пример.59. В схеме рис. 6.12. «ЭДС каждой фазы грехфазного генератора раина 27 В. Сопротивления фаз нагрузки равны но модулю (6,35 Ом), но имеют различный ^Рактер; Za~ R . Zn = jtaL\ Zc= — j/шС. Определить ток в нулевом проводе. 189
a} Рис. 6.12 Решение. Построим искгорную диаграмму рис. 6.12, б. Токи всех фаз пч модулю равны 127/6,35 = 20 Л. Ток 1А совпадает по фазе с Ёд. Ток 7в на 90’отстает огЁ0.Ток/сояережаетЁсиа90',,Сумма7д + 7В + 7сдаствек1ортока^ Ломодулю он равен 14,6 Л. Пример 60. Какое значение должно иметь сопротивление н фазе А схемы рцс 6.12, а, чтобы ток в нулевом проводе стал равным пулю? Р е ш е н и е . Геометрпческая сумма токов 1р 4- Ic,w модулю равна 2 - 20 cos 30" = 20^3 Л. Ток в нулевом проводе ранен нулю, если ток /д, направленный противоположно сумме /я 4* 1С , по модулю равен 20 \'3 Л. Прн этом сопротивление фазы A R = =£/20 V» = 127/20 <3 = 3,66 Ом. Пример 61. Определить ток в нулевом проводе схемы рис. 6.12, и, если в фазу .А включить активное сопротивление 3,66 Ом, а индуктивность н емкость фаз В нС поменять местами; ыЬ = ——= 6.35Ом. о>С Решение. Векторная диаграмма изображена на рис. 6.13. Из нее следует, что / == 34,6 + 34,6 = 69.2 Л. §6.9 . Соединение нагрузки треугольником. Выберем направле- ние токов в фазах треугольника в соответствии с рис. 6.9, а. Ток 1Л6 вызывается напряжением UflB. Модуль и фаза его относительно напряжения UAlj определяются сопротивлением нагрузки ZAB. Три /вс вызван напряжением UBC. Модуль и фаза его относительно Ущ определяются сопротивлением ZBC. Ток 1СА вызван напряжением UCA и зависит от сопротивления Zc4. Линейные токи вычислим че рез фазовые токи по первому закону Кирхгофа: — ?лв — ?сл > (в-41 ?С~ ?СА~~ 1 ВС ‘ При равномерной нагрузке фаз линейные токи по модулю в раз больше фазовых токов нагрузки. При неравномерной нагрузи* линейные токи могут быть и больше и меньше фазовых токов Н* грузки. 190
a) Рис. 6.14 Пример 62. В схеме рис. 6.14, a Zab == —19/; Zee = 19/; Zca = 19 Ом. ЭДС каждой фазы генератора 220 В. Определить все токи и построить векторную диаг- рамму. Решение. Векторная диаграмма построена на рнс. 6.14, б. Напряжения на фазах нагрузки в ^3 раз больше фазовых ЭДС генератора и равны 220 уЗ >= 380 В. Ток iAB опережает напряжение UAB на 90е и равен 30/19 == 20 А. Ток 1ВС отстает от р0С на 90’ и также равен 20 А. Ток )СА по модулю равен 20 А я совпадает по фазе с напряжением UCA Линейные токи )А )в найдем графическим путем, используя соотношения (6.4). По модулю, 1А = 1^» 10 А; 1В = 20 А. § 6.10 Оператор а трехфазной системы. Условимся комплексное число е/120‘, по модулю равное единице, обозначать а и называть оператором трехфазной системы. Тогда ^==(е/‘^ = а=. Три вектора: /, а и а1 образуют симметричную трехфазную сис- тему (рнс. 6.15): 1 + а + а2 =* 0. (6.5) Умножение какого-либо вектора на а поворачивает его без из- менения модуля на угол 120° против часовой стрелки. Умножение вектора на а2 поворачивает его на угол 240” против часовой стрелки, йли, что то же самое, поворачивает его по часовой стрелке на 120”. С помощью оператора а можно выразить ЭДС Ев и Ёс симмет- ричной трехфазной системы через ЭДС Ел: Ё8 = а*ЁА; Ёс = а*ЁА. (6.6) §6.11 Соединение звезда—звезда без нулевого провода. На Рис. 6.8 представлена схема с двумя узлами (точки О и О'). Для Расчета токов в ней целесообразно пользоваться методом двух уз- 1|>в(см. § 1.21). Напряжение между двумя узлами ЁАУА + EBYB + ECYC EA(YA+a2YB + aY() (6.7) va+*B+yc УА+Ув+УС ’ 191
Рис. 6.15 Если нагрузка равномерна (YА = Уи = К€), то|см. соотношение (6-5)] ' E^Q+a + a8) "о'о- ЗГд и напряжение на каждой фазе нагрузки равно соответствующей ЭДС: U АС ~ &А* ^ВС~ ^В' ^СС = ^С- Если нагрузка неравномерна, то 0 и АС = Ед UВ1У ~ ЕВ ^O'C ^СС = Ь’с ^О'О‘ Токи в фазах нагрузки: /4 = UАс!^а' /д = ^с~ Uc^c Если в двух фазах нагрузка одинакова, например Zs = Zc ZA то формула (6.7) после преобразований имеет следу- ющий вид: • г,-гл (6.8) ^-^г<1+2г/ §6.12. Трехфазные цепи при наличии взаимоиндукции. Расчет трехфазных цепей,содержащих магнитно-связанные катушки, осу- ществляют так же, как и расчет магнитно-связанных цепей одно- фазного синусоидального тока. Пример63.Определить показания амперметра и вольтметра «схеме рис,6*^ Построить тонографическую диаграмму, совместив ее с векторной диаграммой г° ков. Дано: Еф = 127 В; шЁ = 1/оС = 4 Ом; ыЛ1 = 2 Ом. Решение. Выберем положительные направления токов всоответствии ср1*' 6.16. По первому закону Кирхгофа, f д ф/н )с = 0. Примем ЭДС ЁА, направленной по оси, + 1. Составим уравнение по втор'1^ закону Кирхгофа для контура ОА О'ВО'. iAi<aL - (IgjvL + = UAB. 192
После нодстаиовкн числовых значений получим <хи)рГ.ю“ 2/('д - м =220е^ или !л - /в----------1 lOe-J^A. Для контура ОСО'ВО — {fyjuiL 4- Uca ИДИ — 4/7с —2/7д — 4/7й = 220/. Совместное решение трех уравнений дает 1А = 110; /и = 1 Юе'м"; /с == 110 V3 е-'15#’ Д. Тонографическая диаграмма,совмещенная с векторной диаграммой токов, изо- сражена на рнс. 6.17. Амперметр показывает ПО А, вольтметр — приблизительно §40 В. Последний результат получен иоеле подсчета фр, но формуле Фо- = Фо + £а - ~ /Я/«Л1. §6.13. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной системы. Под активной мощностью трехфазной системы понимают сумму активных мощностей фаз нагрузки и активной мощности в сопротивлении, включенном в нулевой провод: Р~РА + Рв + Рс+Р* (6.9) Реактивная мощность трехфазной систем ы представляет собой сумму реактивных мощностей фаз нагрузки и реактивной мощно- сти в сопротивлении, включенном в нулевой провод: (?=0д + <?B + QC+QO- (6.10) Полная мощность Х=д/Р2 + Q2. (6.11)
Если нагрузка равномерная, то Pq *= <?0 = РА =* РЁ = РС = Гф «08фф; <?4 “ <?В= Qc= *ф где фф — угол между напряжением t/ф на фазе нагрузки и током /ф фазы Иагру3н При равномерной нагрузке фаз Р =- ЗОф /ф cos ч>ф; (6.12) Q = ЗУф /ф Sin <рф; 5 = 3£/ф/ф. Прн равномерной нагрузке фаз независимо от способа ее соединения (звезду или треугольником) зУф /ф=<V3 иф /ф=<ил /г (6.13} где UB — линейное напряжение на нагрузке; /л — линейный ток нагрузки. Поэтому вместо формул (6.12) часто используют следующие: Р = 1Я cos ч>ф; $ = ^зил1„. (6.14) §6.14 . Измерение активной мощности в трехфазной системе. Для измерения активной мощности трехфазной системы в общем случае (неравномерная нагрузка и наличие нулевого провода) необходимо включить три ваттметра (рис. 6.18). Активная мощность системы равна сумме показаний трех ваттметров. Если нулевой провод от- сутствует, то измерение мощности производят двумя ваттметрами (рис. 6.19). Сумма показаний двух ваттметров при этом определяет активную мощность всей системы независимо от того, звездой иди треугольником соединена нагрузка (треугольник нагрузки всегда может быть преобразован в эквивалентную звезду).* Показание первого ваттметра равно Re 0АС1А, второго — Re но {Ч|Л+^Л }=1?е {(^А-Ьс)*>5+(ив-{>с)*я|=Ве(О'л так как4-/fi = —/в. При равномерной нагрузке фаз достаточно измерить мощность одной фазы и результат утроить. 194
~0.5Ёа §6.15 , Круговые и линейные диаграммы в трехфазных цепях. Если изменяется модуль сопротивления одной из фаз трехфаз- пой цепи, а аргумент его постоянен, то геометрическим местом концов векторов напряжения (тока) любой фазы цепи является окружность или прямая линия. Для примера рассмотрим круговую диаграмму напряжений по схеме рис. 6.20, если ZB — Zc = г ~ const и изменяется только мо- дуль сопротивления фазы A(Za). Используем формулу (4.40), заменив в ней индексы а и Ь на О ' иО. В режиме холостого хода ток по фазе Л равен нулю, а напряже- нии на двух сопротивлениях ZB^= Zc — г равны UBC/2. При этом точка О' находится посередине вектора UBC(точка /на рис. 6.21, а); == — 0,5 Еа. При коротком замыкании сопротивления ZA по- тенциал точки О' равен потенциалу точки А. Поэтому U(y0K = ЁА. Хордой искомой окружности является разность векторов (рис. 6.21, — ^0'Ок = !-а ~~ (— Для определения вход- ного сопротивления 7ИК относительно точек А и (Услужит схема рис. 6.22, а (источники ЭДС закорочены). Два сопротивления г включе- ны параллельно, поэтому 2ЯХ — г/2 и ipM = 0. Рассмотрим три случая, отличающихся характером сопротив- ления ZA. 195
1. Если ZA — изменяющееся емкостное сопротивление. = - / /<аС; <рн= —90 °; Ф =«ри -= - 90 °. Круговая диагра|^ ма напряжения Uo,o построена на рис. 6.22, б, где линия Хс пр0В(! дена по отношению к хорде под углом ip=W °. Масштаб для х соответствует масштабу, в котором отрезок fd выражает входц^ сопротивление ZBX — г/2. Геометрическим местом точки О' являет, ся полуокружность [рЛ. Для определения модуля и фазы Uo,o Лрц некотором произвольном значении Х€ его следует отложить на лм. нии md и провести луч fm. Точка пересечения луча fin с полуокру^. ностью fpA обозначена р. Напряжение U^, соответствующее взн. тому значению Хе, изобразится вектором, проведенным из точки о в точку р. 2. Если2д — изменяющееся индуктивное сопротивление, то =90 ° и геометрическим местом концов вектора Uao является но. луокружность fqA (изображена пунктиром на рис. 6.22, б). Линия переменного параметра в этом случае будет справа от точки d. 3. Если Z4 — чисто активное сопротивление, то ф =<р„ — <рвх ==0 и геометрическим местом концов вектора Uo,o является прямая Af, §6.16 . Указатель последовательности чередования фаз. Опреде- ление последовательности чередования фаз в трехфазной симмет- ричной системе ЭДС (напряжений) осуществляют с помощью ука- зателя последовательности чередования фаз. В простейшем исполнении он состоит из двух одинаковых ламп накаливания и конденсатора (рис. 6.23). Емкость С берут такой, чтобы емкостное сопротивление равня- лось резистивному сопротивлению каждой лампы. Если три конца указателя подключить к трем концам симмет- ричной трехфазной системы ЭДС, то потенциал нулевой точки схе- мы на рис. 6.23 будет соответствовать положению точки О' и а век1- торной диаграмме рис. 6.22, 6. На диаграмме рис. 6.22, б видно, что напряжение на лампах накаливания будет различно. На лампе, включенной в фазу В, оно Рис. 6.24 Рис. 6.23 19В
^ределяется вектором UBO’t на лампе, включенной в фазу С, — °еКтором йсо,. Так как UBO, > C/ctl,, то лампа в фазе В будет гореть я,лсе ярко, чем лампа в фазе С. Следовательно, если фазу трехфаз- системы ЭДС, к которой подключен конденсатор, принять за Арау А, то Фаза> к которой окажется подключенной ярко горящая ^.(рлпа, есть фаза В, а фаза с тускло горящей лампой — фаза С. Одним из важнейших свойств многофазных и, в частности, трех- фазных токов является их способность создавать круговое враща- ющееся магнитное поле. §6.17 . Магнитное поле катушки с синусоидальным током. Маг- нитное поле одной катушки, по которой протекает синусоидальный ток. представляет собой пульсирующее‘(не вращающееся) магнит- ное поле. На рис. 6.24, а изображена катушка, по которой проходит синусоидальный toki = fm sin at. Магнитное поле характеризуется вектором магнитной индукции В. Направление В определяется на- правлением намотки катушки и направлением тока в ней в данный момент времени. Пусть буква Н означает начало, а Д’ — конец ка- тушки. Если ток входит в зажим Н и выходит из зажима К (это направление тока будем считать положительным: ему соответству- ет интервал времени от 0 до л), то вектор магнитной индукции направлен вверх по осевой линии катушки. В следующий полупери- од, когда ток отрицателен, вектор В направлен вниз (пунктир на рис. 6.24, а). Таким образом, геометрическим местом концов векто- ра В является ось катушки. § 6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля. Круговое вращающееся магнитное поле представляет собой маг- нитное поле, вектор результирующей магнитной индукции которого имеет постоянное значение и вращается с постоянной угловой ско- ростью о (рис. 6.24, б). Расположим три одинаковые катушки так, чтобы их оси были смещены на 120° относительно друг друга (рис. 6.25, а). Присоединим катушки к симметричной трехфазной системе ЭДС. Пусть токи входят в начале катушек Н и изменяются следующим образом: tt=/msin<o/; t2 = /m sin (о/ — 120°); sin(<•>/ +120е). Под пульсирующим полем понимают поле, вектор магнитной индукции которого Меняется (пульсирует) вдоль осн, создающей его катушки с током. 197
Рис. 6.25 Графики токов изображены ла рис. 6.25. б. Каждый из токов создает пульсирующее поле, направленное вдоль оси своей катущ. км. Положительное направление оси первой катушки обозначим +1, второй---1-2, третьей-ЬЗ, магнитную индукцию первой ка- тушки обозначим Bh второй — Вг, третьей — В3. Тогда В, — Вт sinw/; В2 = Вт sin (и/ — 120°); В3=ВтЗ!п(<й/+ !20°). Изобразим векторами в пространстве мгновенные значения /?„ В2, В3 и результирующую индукцию для моментов времени =0, л/2, п, Зп/2 (рнс. 6.26, а — г). Запишем алгебраическую сумму проекций векторов магнитных индукций Bt, В2, В3 на оси х и у декартовой системы координат (см. рис. 6.25, в), совместив ось хс осью / и ось у с осью -Ь/‘: В, = В2 cos 30° - В3 cos 30° = 1,5 Bm/; Bs = В, — B2cos 60р — В3 cos 60° = 1,5 Вт. Рис. 6.26 198
/Мгновенные значения проекций векторов магнитной индукции |(госихиУ Вх = — 1,5 Вт cos ш/; Ву = 1,5 Вт sin tai. Результирующая индукция по модулю В = ^В2Х -ф В% ~ 1.5Вт и уставляет угол р с осью — х: tgp = — Ву/Вх = tg®/, т. е. угол fl s=®/. г С увеличением времени вектор результирующей магнитной ин- дукции, оставаясь по модулю равным ЗВ,п/2, вращается с угловой скоростью ® по направлению от начала первой катушки с током / sin®/ к началу второй катушки с током /Л sin(u/ — 120’), т. е. 0ектор результирующей магнитной индукции вращается в сторону катушки с отстающим током. Если ток lm sin(®/ — 120°) пропустить по третьей, а ток / siп(®/ + 120°) — по второй катушке, то направление вращения поля изменится на обратное. Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по амплитуде не будет равен току в какой-либо другой фазе или сдвинут по фазе не на 120 °, то образуется эллиптическое вращающееся поле. При возникновении его конец вектора результирующей магнитной ин- дукции будет скользить по эллипсу. Для того чтобы усилить вращающееся магнитное поле, внутрь катушек помещают полый или сплошной ферромагнитный ци- линдр, а стороны катушек заключают в пазы внешнего ферромаг- нитного цилиндра (рис. 6.27). Вращающееся магнитное поле используют в электрических двигателях. Обратим внимание на то, что пульсирующее поле (см. § 6.17) можно представить в виде суммы двух вращающихся в противопо- ложные стороны с угловой скоростью® магнитных полей. Действи- тельно, Вт Вт sin®/ = ~ (е>( - е-^9 = 0,5Bffl [е*4*-90’) + Вектор 0,5 Вт е^1’90’* вращается против часовой стрелки, вектор ^>5-8 m — по часовой. §6.19 . Принцип работы асинхронного двигателя. Наиболее рас- пространенным в промышленности типом двигателя переменного тока является трехфазный асинхронный двигатель. В нем имеется ^подвижная часть — статор, в пазах которого помещены три ка- тУ1ики, создающие круговое вращающееся магнитное поле, н по- Чьижная часть — ротор, в пазах которого находятся три замкнутые 119 себя или на внешнее сопротивление катушки (ряс. 6.27). Катуш- на рнс. 6.27 даны вразрез, торцовые части катушек не показаны; 199
Рис. 6.27 Рис. 6.28 каждая из катушек занимает лишь небольшую часть окружности статора (или ротора). В действительности каждая из катушек (пря. мые и обратные провода ее) занимает около 1/3 окружности рас- точки статора (или окружности ротора). Вал ротора двигателя со* единен с валом рабочей машины. Допустим, что сначала ротор неподвижен. При этом вращающе. еся магнитное поле, созданное обмотками статора, пересекает пре- вода катушек неподвижного ротора с угловой частотой ш и наводит в них ЭДС. ЭДС вызовут токи в катушках ротора. По закону Ленца, эти токи стремятся своим магнитным полем ослабить вызвавшее их магнитное поле. Механическое взаимодействие токов ротора с вращающимся магнитным полем приведет к тому, что ротор начнет вращаться в ту же сторону, в какую вращается магнитное поле (в этом можно убедиться, применив правило левой руки). В установившемся режиме частота вращения ротора «ор состав ляет (0,984-0,95) ш. Двигатель называют асинхронным потому, что ротор его вращается не синхронно с вращающимся полем; шр не может равняться угловой частоте вращающегося поля. Это стами понятно, если учесть, что при ыг = ы вращающееся ноле не Пересе- кало бы провода катушек ротора, в них отсутствовал бы ток и ротор не испытывал бы вращающего момента. В курсе ТОЭ ограничимся качественным рассмотрением основ- ных положений, характеризующих принцип работы асинхронного двигателя. Подробнее эти вопросы изучают в курсе электрически^ машин. §6.20 . Разложение несимметричной системы на системы прямой, обратной и ну*4- вой последовательностей фаз. Любую несимметричную систему трех такой, напрЯ*^ нин,1ютаковолмнаковой частоты (обозначим ихА,Й,ь.)м<>жисюд|ЮЗнаЧ1Го продета»® в виде трех систем: пулевой, примой и обратной поеледопаталынютей фаз. Систем а примой шюледонатслыюстн (рис. 6.28, а) состоит из трех нектаров А' В(, Ср равных по модулю и ноперпутых относительно друг друга на 120 прич4*1 пектор отстает<>г нектара At на 120 4. Используя оператор « трехфазной систем (см. § 6.10), можно зависать: (6-16 200
С( — ti /1] Система обратной последовательности (рис. 6.28, б) состоит из векторов Ла, Л2, равных по модулю и повернутых относительно друг друга па 120 °, причем вектор ^’опережает вектор Л2 на 120 ег В2 = аА2; (6.16) С2 = а2 Л2. Система нулевой последовательности (рис. 6.28, в) образована тремя век гора „и совпадающими по фазе; м л„=вп = (;, (6.17) Выразим заданные три вектора Л, В. С через векторы симметричных систем (ледук>шим образом: .... 4 = Ло + А । -ф Ла; д = в04-ё, + дЕ; с = С, + + сэ, (6.18) (6.19) (6.20) (6.21) Перепишем (6.18) с учетом (6.1Б)и(6.16): Л = /Ip + At + Л2; 2? = 40 + о2 Л] + аЛв; С А р “I- й А । л2 A j , Изспстемы уравнений(6.19) — (6.21 )найдем Л(), ЛЬЛ2, череззадаиные векторы 4, Й. С. Для определения 40сложим уравнения (6.19) — (6.21) и учтем, что 1 4-« 4- +а2 = 0. В результате получим " 4q = 'т (Л + Д + С). О Таким образом, .ни нахождения Лоследует геометрически сложить три задан- ных вектора и взять одну треть от полученной суммы. Для нахождения Л( к уравнению (6.19} прибавим уравнение (6-20), умноженное на а, н уравнение (6.2!), умноженное на о2; Л,=|(Л-|-«а-|-аяС). О Следовательно, одна треть суммы, состоящей нз вектора А плюс вектор В (повернутый против часовой стрелки ня 120 ь) п плюс вектор С (повернутый по часовой стрелке па 120.°), дзет вектор Л г Для вычисления Ло к уравнению (6.19) прибавим уравнение (6.20), предвари- тельно умноженное па о2, и уравнен не (6.11}, умноженное на а: Л j = “ (Л п2Д -|- нС). О §6.21 . Основные положения метода симметричных составляющих. Трехфазные системы передачи электрической энергии состоят из источников энергии, линий Передачи, трансформаторов и электродвигателей. 13 результате какой-либо аварии '^пример, короткого замыкания или обрыва нройода) вин при несимметричной ‘‘Чрузкс па элементах системы (электродвигателях, трансформаторах, самой ли- *ии Передачи) возникают несимметричные напряжения. (6.23) (6.24) 201
Рис. 6.29 Расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем зам®, щения, на которых все элементы системы должны быть представлены комплексны» ми сопротивлениями. Но сопротивление на фазу одного и того же элемента не одц. каково для разных последовательностей. Поэтому расчет следует вести для каждой нз последовательностей отдельно, а затем искомую величину (ток или напряжение) определить как сумму токов или соответственно напряжений нулевой, прямой и обратной последовательностей. Рассмотрим причины, обусловливающие различные значения сопротивление одного н того же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно низких частотах). Сопротивление на фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз обозначим соответственно 21л, Z21,ZC/I. Сопротив- ление на фазу линии передачи для прямой последовательности 21л равно сопротив- лению на фазу линии для обратной последовательности £2л,ионе равно сопротивле- нию на фазу линии для нулевой последовательности фаз вследствие различных значений индуктивности на фазу трехфазной линии для систем прямой и нулевой последовательностей фаз. Различные значения индуктивностей на фазу линии для прямой и нулевой во- следовательностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность на фазу линии для прямой и обратной последовательностей определяется только геометрическими размерами петель, образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу линии для нулевой последовательности зависит не только от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами и нулевым проводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в петлях провода линии для прямой иобрат- ной последовательностей, представляют собой геометрическую сумму ЭДС, наводи- мых сдвинутыми по фазе на 120 ° токами в линейных проводах, тогда как ЭДС, наводимые в петлях проводов линии для нулевой последовательности, созданы сов- падающими по фазе токами нулевой последовательности. В трехфазном трехстержневом трансформаторе (магнитная система его изо- бражена на рис. 6,29) сопротивление на фазу для нулевой последовательности ZOrHe равно сопротивлению на фазу дли прямой последовательности ZlT, HoZjT = Z2r. где Z2r — сопротивление на фазу для обратной последовательности. Объясняется это главным образом тем, что магнитные потоки нулевой последо- вательности Фо всех трех фаз находятся в фазе и поэтому не могут замыкаться н° соседним стержням магнитной системы и замыкаются по воздуху (рнс. 6.29). Maf" нитные потоки трех фаз прямой Ф( и соответственно обратной последовательностей по фазе сдвинуты на 120 ’ и поэтому могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы. Так как магнитное сопротивление по пути в воздухе мlloг,, больше магнитного сопротивления попутн встали,то при одинаковых токах нулевой и прямой последовательностей Ф0<Ф|. Поэтому Zlh.<Z(T, Еще большее различие имеют сопротивления примой 2|д, обратной 72д и нулевой ZOn последовательностей асинхронного двигателя. 202
Если к выходным зажимам трехфазного асинхронного двигателя (см. рнс. 6.27} .^повременно подвести напряжения прямой, нулевой и обратной последовательно тей фаз, то входное сопротивление на фазу двигателя для прямой последователь- рсти Zlj; не будет равно входному сопротивлению на фазу для обратной последова- тельности Z?n и оба они будут отличны от входного сопротивления для нулевой последовательности 2.((д. Разберем, тем это объясняется. Под действием напряжения прямой последовательности в двигателе создается круговое вращающееся магнитное поде. Оно увлекает за собой ротор двигателя, ротор вращается с угловой частотой юр Система напряжений обратной последова- тельности также создает круговое вращающееся ноле, но направление вращения его обратно направлению вращения ноля прямой последовательности. Система напряжений пулевой последовательности вращающегося магнитного 110ЛЯ не создает. Вокруг статорных обмоток ею создаются пульсирующие потоки, ^мыкающиеся «о воздушному зазору между статором и ротором, подобно тому как втрехстержневом трехфазном трансформаторе (рнс. 6-29) потоки от нулевой после- довательности, выходя из сердечника, замыкались ио воздуху. Входное сопротивление на фазу двигателя для данной последовательности за- висит не только от активного и реактивного сопротивлений фазы статорной обмотки, по и от активного и реактивного сопротивлений роторной обмотки | подобно тому как в трансформаторе входное сопротивление определяется не только собственным со- противлением первичной обмоткк, по и conpoi явлением, вносимым вторичкой обмот- кой (см. §3.39)1. Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально частоте. ЭДС прямой последовательности создают в роторе токи частоты (со — юр), чтососта вляст примерно от 0,02 до0,05 со, тогда как токи ротора от обратно вращающегося поля имеют частотуы-|-ш[1й#(!,98-т-1,95)ю. Так как частоты токов в роторе,создаваемые прямой и обратной последовательностями, различны, то различны и входные сопро- тивления па фазу для прямой (Zin)ii обратной (Z'2„) последовательностей. Магнитные потоки нулевой последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой и обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном и том же токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им потоки различны. Поэтому для асинхронного двигателя 20д =£= 21д^=73д. Расчет но методу симметричных составляющих состоит в следующем. На осно- вании принципа наложения, применимого к линейным цепям, заданный несиммет- ричный режим работы схемы представляют как результат наложения трех симмет- ричных режимов. В нервом симметричном режиме асе токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие прямой последовательности фаз, а линии передач, вращающиеся машины и трехфазные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлени- ями для прямой последовательности. Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат состав- ляющие только обратной последовательности, а машины и трансформаторы пред- ставлены их сопротивлениями обратной последовательности. В I ретьемсим метричиом режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие нулевой последовательности, а машины и трансформаторы пред- ставлены соответствующими сопротивлениями пулевой последовательности. Для тогочтобы от симметричной исходной схемы прийти ктрем симметричным схемам, поступают следующим образом: атом месте схемы, где создаете? иесиммет- РИя, в схему вводят сумму трех несимметричных напряжений йл, Uc. Система этнх напряжений (ЭДС) на основании теоремы компенсации заменяет гр it неодина- ковых ctHipoi пиления, образовавшихся в месте аварии и приведших к несимметрин s° всей схеме. Далее три несимметричных напряжения в соответствии.с § 6.20 Раскладывают «а три симметричных, основные векторы которых Ur„ Uv надле- жит определить. Точно так же три несимметричных тока /<; раскладывают на тРч симметричные системы токов, основные векторы которых /о,/|, /гследует найти. В методеенмметричных составляющих неизвестными являются шесть величии: тРн напряжения (Uq, Ut, #й)н три тока (/0, через которые могут бытьвыражены *Чобые напряжения и токи в цепи. 203
Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений: поодц^ уравнению составляют для каждой аз трех симметричных систем; остальные уравнения записывают для того участка схемы, где создается иесимметрия. ь"* трех последних уравнений зависит от характера неснмметрии в схеме. Вопросы для Самопроверки I. Дайте определение трехфазной симметричной системы ЭДС. Какими досТо йнс.вами объясняется широкое распространение систем в энергетике? 2. Что цСъ ’ мают под линейным и нулевым проводами, линейными и фазовыми напряжении^ и токами? 3. Как вы объясните, что напряжения, которые получают от грехфазц^ цепей, могут быть представлены следующим рядом: 127, 220, 380, 660 0? 4, Кексам функции пулевого провода в системе звезда — звезда при несимметричной натри, ке?,5. При каких способах соединения генератора с нагрузкой линейный ток раън^ ется фазовому? 6. При каких способах соединения генератора с нагрузкой лHneHii^ напряжение равняется фазовому? 7, На распределительном щитке выведены 7р„ конца симметричной трехфазной системы ЭДС. Как определить зажимы фаз 4, fi С? 8. Что понимают под активной и полной мощностями трехфазной системы? 9 Почему при симметричной нагрузке расчет можно вести на одну фазу? 10. Почему активную мощность трехфазной системы при наличии нулевого провода нельзя измерять с помощью схемы рис. 6.19? 11. Охарактеризуйте условия получения трех, фазного кругового вращающегося магнитного ноля. 12. Начертите кривую, по кото- рой будет перемещаться конец вектора результирующей магнитной индукции вра- щающегося магнитного поля, которое образуется при обрыве фазы А трехфазной симметричной системы рис. 6.25, я. 13. Что свойственно прямой, нулевой и обратной последовательностям фаз? 14. Как разложить несимметричную трехфазную систе- му на три симметричных? 15. Объясните, почему сопротивление на фазу элементов трехфазиых систем (линии передачи, трехстержневого трансформатора, асинхрон- ного двигателя) неодинаково для различных последовательностей. 16. Решите зада- чи 6.4; 6.13; 6.15; 6.21; 6.28. Глава седьмая ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ § 7.1. Определение периодических несинусоидальных токов и напря- жений. Периодическими несинусоидальными токами и напряжени- ями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Они возникают при четырех различных режимах работы элект- рических цепей (и при сочетаниях этих режимов): 1) когда источник ЭДС (источник тока) дает иесинусоидальнуК> ЭДС (несинусоидальный ток), а все элементы цепи — резистивные, индуктивные и емкостные — линейны, т. е. от тока не зависят; 2) если источник ЭДС (источник тока) дает синусоидальную ЭДС (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цеп*1 нелинейны; 3) когда источник ЭДС (источник тока) дает несинусоидальну*0 ЭДС (несинусоидальный ток), а в состав электрической цепи входят один или несколько нелинейных элементов; 4)если источник ЭДС (тока) дает постоянную или сннусоидаль' ную ЭДС (ток), а один или несколько элементов цепи периодически изменяются во времени. 204
в данной главе рассматриваются методика расчета и особенно- тц работы линейных электрических цепей при воздействии на них с синусоидальных ЭДС и токов — первый из перечисленных режи- ме работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждают- в гл. 15, четвертый — в гл. 18. § 7.2. Изображение несинусоидальных токов и напряжении с дрмощыо рядов Фурье. Из курса математики известно, что любую периодическую функцию /(х)е периодом 2л, удовлетворяющую ус- ловиям Дирихле’, можно разложить в ряд Фурье. Переменная величина л связана со временем / соотношением х = = 2л/ / Т, где Т — период функции во времени. Таким образом, период функции по х равен 2л, а период той же функции по времени равен Т. Ряд Фурье записывают так: /(х) = /lG4-/l/1sinx-|71,2sin2x+/l<3sin3x+/l'4siri4.v-|-... ... +J4"tcosx+4,''2cos2x-P‘4/f3cos3x4-j4"<cos4x4-..., (7,1) где —постоянная составляющая; A't— амплитуда синусной (изменяющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; — амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; А'3 — амплитуда синусной составляющей второй гармоники и т. д. Здесь 2л А' = — /(x)sinxdx; А"\ — — f(x)cosxdx; 11 о 11 о (7.2) (7.3) 1г Ь А'л = — \ /(x)sinfcxdx; A"k = “ J ftx)cos£xdx. Л о Л о Так как 4\sinfex+4"ftcosAx = /ltsin(fex+ij>ft), гДе /I. = УИ'Л+И"Л и is*.=А'',/А'„ Все периодические функции, с которыми имеют дело в электротехнике, услови- Jf* Дирихле удовлетворяют. Поэтому производить проверку на выполнение условий ^РИхле не требуется. 205
то ряд Фурье (7.1) можно записать в другой форме: /(л) = Лц-М, si п( х-НЛ -М2si 11( 2х+ф2) Ь.. = “ (7-4) ^Л+X^suXAx+to), *=i где/* — амплитуда й-гармоники ряда Фурье. Гармоники, для которых k — нечетное число, называют нечет- ными; для которых k — четное число, — четными. § 7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией. На рис. 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис. 7.1, а удов- летворяет условию — ft*+n)=f(x). Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симмет- ричными относительно оси абсцисс. Есл и кр иву ю р ис. 7.1, а с м естнть по оси х на полпериода и зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадает с кривой f(x). При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют посто- янная составляющая и четные гармоники, т.е. равны нулю коэффи- циенты Ло = А'2 = А"2 — A't — Л"4 =... =0. Поэтому кривые типа кривой рис. 7.1, а раскладывают в ряд /(х) = А' ,sinx ф/1" ,cosx4-A "3sin3x4-A з'созЗхН-... Рис. 7.2 206
Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию ^/(х+л) например —sin(x-|-ji) = sinx. Кривая, подобная кривой рис. 7.1, б, обладает симметрией отно- ^ельно оси ординат и удовлетворяет условию —f(—х) = f(x). Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить 0Твосительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кри- вой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряД Фурье отсутствуют синусные (/1\ = А'г=А'3 =... = 0) состав- ляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная состав- ляющие. Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, б можно разложить р рЯД f(x) = Л 0-|-^"1cosx-|-H"2cos2x-E4"3cos3x. Кривые типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию —f(—х) их называют кривыми, симметричными относитель- но начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид: /(х) = ^,IS!nx-b4'2sin2x-pA'3sin3x+' - • § 7.4.0 разложении в ряд Фурье кривых геометрически правиль- ной и неправильной форм. Встречающиеся в электротехнике пери- одические кривые можно подразделить на две группы: 1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано в табл. 7.1, где вместо х записано w/; 2) кривые произвольной (гео- метрически неправильной) формы; чаще всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графически (гра- фоаналитически). § 7.5. Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда Фурье. Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых С этой целью период Функции f(x), равный2л, разбивают на п равных частей Дх = —-и интегралы заме- п няют суммами. По определению, постоянная составляющая 2л р=а п I =i О р=И p—i. HJ]H n p—l (7.5) Jfle p — текущий индекс, принимающийзяачеиияот I доп;/р(х) — значение функции '(*) при х~(р—0,5)Ах, т. е. в середине />-го интервала. 207
____________________________________________ТаблИ1и>,| 4йт 1 I ^*4 /(и/)=—— (sinasin<1>/+^sitl3asin3<lU-p^7sin5asinSwt|_ гл_ wt \°m \тГ 2Л fioti)» ^^(sin<tt(—^sin3<a/+“sln5tt/—^sinZwi-f-...! -Y* У ZD ЧУ i,)t 4<im 1 I I f(mt) — ——~ (sinw/+—sin3w/-|-~s1n5«>f+ysin7b>/4-...) 4и,п . ап I Зал /(и/) =----(sln~--cos<i>/-)-—sin——cos3uj/ + 4-^sin^~cos5u>/4-...) o_______Z _U /(w/) == —51 Д-|-^со8М14-“С082ш/——^cos4<h/ -I- Л -Z 4 1 ’ и J’O +-T^zcos6(»/ —...) a * t ...... ~cos4o»/-|--4;ens6iii/.—...) o-o a-/ Vs# 'X2LX_j^yf 4am ] | ffbii} = ~~~(^+^74COS 3и/—5T7CUS 6“* ’f +diucos9“'—> , ^am . 2ci>s6w/ 2cusl2<n/ 2cosl8ii>/ /(«/)=—(1 +-5., —ТНГ+ПКЙГ Амплитуда синусной составляющей А-гярмоники ряда 2л л i 2 2д A'fr = - J /(x)sinftxd*s«— £ЦхУу8Н1рАл. О р=1 или Я 2 л'* = 7Ж)85"*-и ,,-i амплитуда косинусшгй соесивликндей /г-гарминдкц 2 Л"Л=-^/„(х)сО5ри ‘р=1 (76) (7.7) 208
где siii/» Л-1 н cosu Ax — соответственно значения функций sihAxh cosAx прнх=(р— —0,5 )Дх. ।. е, н серединер-го интервала. Прн расчетах цо(7.5) — (7.7) обычно достаточно разделить период на и=24 или |Кчастей, а в некоторых случаях и на меньшее число Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяс- нить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией от носительно осей коор- динат (см. § 7.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует о.кидать. Так, если кривая f(x} симметрична относительно оси абсцисс, то постоинная составляюща;. Ал и все чет- ные гармоники отсутствуют, а вычисляя А'к а A''fc при нечетных А, следует учесть, ч го £/p(x)sinpAx3a первый полупернод равна сумме ^/^xlsin^Ax за второй нолуиеркод. Знак углов ф* в формуле (7.4) зависит от знаков А'р и А"к. При построении гармоник на общ :м графике необходимо учитывать, что масштаб по осн абсцисс для ^гармоники доджей быть взят и А раз большим, чем для первой гармоники. Так, например, если некоторый отрезок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол л / 3, то тот й4е отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. 3(л/3)=п. Ппчмер 44, Найти первую я третью гармоники функции /(х), изображенной на рнс 7.3, а. Значения ординат функции Дх) за первый иолунернод прн разбивке периода на и—24 части следу ощие: р............. I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Цх) .......... 7 1) 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32.5 27,7 19,2 10 5 Р е lit е и н е. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, го As=J и Ряд будет состоять только из нечетных гармоник. Амплитуда синусной составляющей первой гармоники я я / 2 2 „ 4 „ Л'| Г “ Е „ Zf^si,iPx’ рт 1 I 4 A, = ~(7siti7'30'+] isiti22°3O'+!3,5siit37',30'4- + i 5,4sin52°30'+17,4sin67°3()'+20,5sin82°3Cr-4- +25,4sin97°30'4-32,5sinl 12'30 f-27,7sin 127'30'+ +19.2sin 14 2°30'+1 Osin 157e30'+5s in 172°30')^25.3. 209 h - '069
Амплитуда косинусной n/2 4 A'i = — /p(x)cospxatf—5,23. составляющей первой Амплитуда синусной 12 составляющей третьей Гармсу 4 '3 = 24 E /Х*)яшр3х«3.47. p— I Амплитуда косинусной 12 составляющей третьей raPM<№HKl| А"з = Е V /₽(x)cosp3xw5,l. р=1 Амплитуда первой гармоники Ai =д/(А 1 )2+(А।)2=25,9. Тангенс угла 4'1, на ко. торый начало первой, гармоники смещено относительно начала кривой fix), IgTj,, =А'\[ А\ = -5,23/25,3= -0,206; = -1Г40'. Амплитуда третьей гармоники Л3 = Д/Й'3)2+И"3)2 =6; fgt3=4"3/A'3= 1,47; ф3 = 55°50'. Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то f(ti)i) = 25,9sin(u>/—1 le40,')+6sin(3w£4-55o50')- На рис. 7-3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис, 7.3,о § 7.6, Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источ- никах питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представ- лены рядами Фурье. Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока лю- бой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдель- ных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряже- ний отдельных гармоник на этом участке. Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности с помощью уже известных при- емов. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, за- тем — токи и напряжения от действия первой гармоники, после чего от второй, третьей и т. д. При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС. необходимо иметь в виду, что па- дение напряжения на L при постоянном токе равно нулю, а так#е что постоянный ток через конденсатор С не проходит. При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивленйе XL растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для Л-гарм° ники Xtt в k раз больше, чем для первой гармоники XLl: XLk = kML = (7$ XLI — Д. 210
Рис. 7.4 Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэто- му для А-гармоники ХСк в k раз меньше, чем для первой гармоники Хсг XCfc = l ЛДИС)=ХС1А (7.9) ЛС1 = 1 ДИС). Для каждой гармоники можно построить векторную диаграм- му. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напряжения различных частот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, по- скольку угловые скорости вращения векторов разных частот неоди- наковы. Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, по- лагают от частоты независящими. При расчете каждую гармонику выражают комплексным чис- лом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сло- жения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е. так же, как это делалось в гл. 3. Пример 65. В левой ветви схемы рис. 7.4, а имеется источник тока ЯС = /ftmCos2w?, в средней (второй) — источник ЭДС = Eo+Emsiniot Катушка индуктивностью Lt магнитно связала с катушкой индуктивностью Гз. Взаимная индуктивность между ними Л1, Определить мгновенное значение гока «зи ндпряже- "ил иьа на зажимах Lt. Дано: 1km = 5 А; ш= 1000 рад/с; Ец=3 В; £т=б В; Д|=3 Ом; мГн; Л1=1 МГн. Решение. Положительные направления для токов выберем в соответствии с Рис. 7.4, а. По второму закону Кирхгофа <li4 di3 di3 «ди—= 0, ndi4=0, поэтому uta = — AJ—. Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока is ос каж источника в отдельности. Схема рнс. 7.4, б служит для расчета токов от действия постоянной составляю- щей ЭДС. Левая ветвь схемы разомкнута, так как и ней включен источник тока с ‘ ^Конечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктив- для постоянного тока имеет нулевое сопротивление. При этом Фг=£о/Я1= 1 А. 211 ц.
Первую гармонику тока 4Рнайдем, используя.схему рис. 7.4, в: 4'А = 6/(3+3/)=1,41е-/45’. Вторую гармонику тока СГ* вычислим в соответствии со схемой рис. 7.4, а; Мгновенное значение тока <э равно сумме мгновенных значений: i3 == ^+^>-1-^ = I +1,4 f sin(taZ—45*)-|-2.23s!n(2te/-{-26*40') А. Напряжение dr, иЬа = —М—= t,4!cos(w(—45*)—4,46cos(2«/-|-26e40')B. ol § 7.7. Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как известно из гл. 3, резонансным режимом работы электрической цепи, содержащей один или несколько индуктивных и один вдв несколько емкостных элементов, называют такой режим, при кото- ром ток на входе совпадает по фазе с действующей на входе ЭДС. Если действующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или напряжений) не только на первой, но и на высших гармониках. Условимся под резонансом на Л-гармонике понимать такой ре- жим работы, при котором ток ^-гармоники на входе цепи по фазе совпадает с Jfe-гармоникой, действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Если учитывать активные сопротивления индуктивных кату- шек, то условие возникновения резонанса для какой-либо гармони- ки заключается в том, что реактивная составляющая входного со- противления для этой гармоники должна быть равна нулю. Исследование резонансных явлений при несинусоидальных то- ках часто производят, полагая активные сопротивления индуктив- ных катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление при резонансе токов равно бесконечности, а входное сопротивление при резонансе напряжений равно нулю. При возникновении резонансного и близкого к нему режима и8 какой-либо высшей гармонике токи и (или) напряжения этой гар- моники могут оказаться бо'льшими, чем токи и напряжения перво8 гармоники на этих участках цепи, несмотря на то что амплитуд8 соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе схемы можеТ быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС- Пример 66. В схеме рис. 7.5 катушка обладает индуктивностью Lz Полагй* активное сопротивление индуктивной катушки равным нулю, найти, при каких Зяа ченняхемкостей Ct н Сгвходное сопротивление схемы для нервоЙ гармоники рав^' ется нулю, а для девятой — бесконечности. 212
решение: § 7.8. Действующие значения несмиусондального тока и неси и у- сон дальнего напряжения. По определению (см. § 3.2), квадрат дей- ствующего значения тока / выражают через мгновенное значение тока i следующим образом: 1 Т /a = y(i2dL О Если ток i = /0 + МПш/ + ф,) + /^sin(2co/ + тр2) -J- .... то оо ? = 4 + £ + ф*) 4- D0 + Z/₽™/^sin^G)Z + %)sinfato/ + фД Ч = О. Р^~Ч- Но г т (sin2(Aco/ + фДД = —; о ’’ (7.10) Jsinfpw/ + ^p)sin(<7<oi + i^Jdf = 0. о Р-^-Ч Поэтому /к ^ /= + /^ / 2 4- /L / 2 + /L / 2 +. - 213
или / = V^ + /?ffl/2 + ^/2 + :... (7,10а) Так как амплитуда fe-гармоники тока lkm в \'2 раз больше дейСт вующего значения тока fe-гармоники /А, то /2 I I km __ fan km _ § T = V2 “ * / = V/o+ /?+ /я + <7- И) Следовательно, действующее значение несинусоидального токд равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной состав, ляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов сдвига фаз фк действующее значение тока не зависит. Аналогично, действующее значение несинусоидального напри, жения V равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений отдельных гармоник: (/ = -7^+^+Ц4-^+ - • (7-Иа) Пример 67. На входе двухполюсника и=1004-80 sin(«/4-30*’)PG0sin(3w/p20°)4~ + 50 sinfSut 4- 45е) В; i = 33,34-17,87х&ш(ш/~ 18’)4-5,59sin(5w/+l20e) А. Най- ти их действующие значения. Решение: У = д/Ю024-В0г/2 4- 602/2 4- 502/2 = 127,1 В. /=Vs3,224-17,872/4-5.592/2 =35,6 А. § 7.9. Среднее по модулю значение несинусоидальной функции. Под средним по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции за период: । § ** (7.12) ~- (। л»о I о В отличие от действующего значения оно зависит от значений фк- Пример 68. Дана функция, не содержащая ностояшюй составляющей н четных гармоник и не изменяющая знака в течение каждого полупериода. Определить ег среднее по модулю значение. Решение. Разложим заданную функцию в ряд Фурье; * = 4- tt) + /;(ff,siit(3ro< 4- ф3) 4- /5Msin(5nW 4- Ф5) + ... После интегрирования получим 2 i 1 (7.13) 'ср.по.кол. = + Узи.ИвФз + 5^COS*5 + -)• § 7.10. Величины, которые измеряют амперметры и вольтметра при несинусоидальных токах. Несмнусоидальные токи и напряже- ния измеряют приборами различных систем. Принципы действий 214
a} 6) S) г) д) е) з) Рис. 7.6 этйх приборов рассматривают в курсе электрических измерений. Поэтому здесь упомянем лишь, какие величины измеряют вольт- метры и амперметры различных систем. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем реагируют на действующее значение, магнитоэлектриче- ские приборы с выпрямителем — на среднее по модулю значение величины, магнитоэлектрические без выпрямителя — на постоян- ную составляющую, амплитудные электронные вольтметры — на максимальное значение функции. Напомним, что на лицевой стороне измерительного прибора всегда имеется условный значок, свидетельствующий отом, к какой системе относится данный прибор. На рис. 7.6 приведены некото- рые из них: а — магнитоэлектрическая с подвижной рамкой; б — магнитоэлектрическая с подвижным магнитом; в — электромаг- нитная; г — электродинамическая; д — ферродинамическая; е — тепловая; ж — электростатическая; з — магнитоэлектрическая с выпрямителем. § 7.11. Активная и полная мощности несинусоидального тока. Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимают сред- нее значение мгновенной мощности за период первой гармоники: 1 т P=-\uidt. о Если представить напряжение и и ток i рядами Фурье: и = С/о + (7lmsin(to/ +$,) + t/2ff,sin(2w/ +^a) + 4“^3mSin(3w/ +lfa) + i = l0 + /Ifflsin(w/ + 41 — ф() 4*/2msin(2to/ +Фа — — <₽2) + AjmSiHOo* + Фз - Фз) 4“ • • • Подставить эти ряды под знак интеграла и проинтегрировать, учтя соотношения (7.10), то можно получить Р =: ^1о + t/^cosqi, + t/2/2cos<p2 + (/3/3cos<p3 + ... (7.14) ' аким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник. 215
Полная мощность S равна произведению действующего значе ння несинусоидального напряжения на действующее значение не синусоидального тока: S=Uf, (7.15) где U = М+ uiTvl + ' - / = V¥+^ + 4 + /F+ Пример 69. Определить Р и S, если L'=25,9stn((.H-l l’46')+6sin(3«H+53’500 В; r=3sin(u/—40’)+0,9y2slii(3<rtf+125’) А. Решение: (71=25,9/V2=18,3 В; <Л(=6А'2=4.26 В; /,=2.13 А; /3=0,9 A; qi,—1 Г40'-(-<10’)«=28*,30'; ч>3=71’10'. Р= 18,3 2,13cos28“20'+4,26 -0,9cos(71 * 1О')=35,5 Вт; U=-VU?+^=18,55 В; /--=\г2,132+0,9т=2.13 Л; £-+7=18,55-2,31=42,8 ВА. § 7.12. Замена несинусондальных токов и напряжений эквивалентными синуса- идальными. При изучении некоторых простейших свойств нелинейных электриче- ских цепей (см. гл. 15) несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие посто- янных составляющих и в которых внешне гармоники выражены слабо, заменяют эквивалентными синусоидальными. Действующее значение синусоидального тока принимают равным действующему значению.заменяемого яесинусоидального тока, а действующее значение синусоидального напряжения — равным действующему значению несинусондалъного напряжения. Сдвиг фаз <рэк между эквивалентными синусоидами напряжения и тока берут таким, чтобы активная мощность эквивалентного синусоидального тока была ранее активной мощности нееннусоидального токагт. е. cos4>„ = P/(t//). (7.16} Пример 70. Заменить несинусоидяльиый токи напряжение примера 69 эквива- лентными и найти сдвиг фаз t₽9B между ними. Решение. Действующее значение синусоидального напряжения U = 18,55 В; дей- ствующее значение синусоидального тока/ = 2,31 A; cnsq>3K=35,5/( 18,55 -2,31)=O,828 1 Фэк = 34’. § 7.131 Особенности работы трехфазных систем, вызываемых гармониками, кратными трем. ЭДС каждой фазы трехфазного трансформатора или трехфазпого генератора часто оказываются иссинусоидальнымн. Каждая ЭДС (ел, ев, <?с)новто- ряст по форме остальные со сдвигом на одну треть периода (Т/З) и может быт* разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует. Пусть А-гармоника ЭДС фазы А ekA = Е*и81п(А<.>/ + уД 1 Материал § 7.13 особенно необходим студентам электроэнергетических и эле* тромеханических специальностей. 216
Рис. 7.7 Так как ЭДС фазы й отстает от ЭДС фазы Л да 7/3. а ЭДС фазы С опережает ЭДС фазы А па 7/3, то 4-гармоники ЭДС фаз В и С соответственно 7 екН = £*„|51п[М< “ д) + Ф*1 = = E^sintkai — 120'4 + фД екс = EimfiWuat 4- 120'k + фД 4<оТ3 = Ау|~4у~ 120“ А. Если k = 1,4, 7,10, то 4-гармоника ЭДС фазы В отстает на 120° от А гармоники ВДС фазы А. Следовательно, I-, 4-, 7-, 10-я гармоники образуют систему примой последовательности фаз (что понимают иод прямой последовательностью фаз, см. § Если k = 2, 5, 8, 11, то 4-гярмоника ЭДС фазы В опережает 4-гармонику ЭДС фазы Л на 120“. Следовательно, 2-, 5-, 8-я и т. д. гармоники образуют системы обратной последовательности. Гармоники, кратные трем (А == 3,6,9,...), образуют систему нулевой носледоиа - тольности, т. е. третьи гармоники ЭДС всех трех фаз совпадают по фазе (3 • 120“ = *M=e3e=e3C=£3mslr,(3w/ + Фз>- Шестые гармоники ЭДС также совпадают но фазе и г. д. Совпадение но фазе третьих гармоник ЭДС всех трех фаз пронлакк-трарусм 'Фафнчески. ,, На рис. 7.7 ЭДС ,ес предстаиляют собой три фазные ЭДС трехфазного е,№ратора. Они имеют прямоугольную форму и сдвинуты относительно друг друга одну треть периода основной частоты. На том же рисунке показаны верная и Рстья гармоники каждой ЭДС. Из рисунка видно, что третьи гармоники ЭДС дей- гаительно находятся в фазе. 217
Рассмотрим особенности работы трехфазных систем, вызывав- мые гармониками, кратными трем. I. При соединении обмоток трехфазного генератора (трехфазного трансформа- тора) треугольником (рис. 7.8, «) но ним протекают токи гармоник, кратных тред, даже при отсутствии внешней нагрузки. Алгебраическая сумма третьих гармоник ЭДС равна ЗЕ3 Обозначим сопротивление обмотки каждой фазы для третьей тар- монккн Z3, тогда ток третьей гармоники в треугольнике = З£3 / 3Z3 = fc*3 / Z3 Аналогично, ток шестой гармоники 16 — Ё6/ Z& где Ё6—действующее значение шестой гармоники фазовой ЭДС; Z6 — сопротивление фазы для шестой гармоники. Действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику в схе- ме на рис. 7.8, о: / а= Д/Zg + /g j- /I) + ... . 2. Если соединить обмотки трехфазного генератора (трехфазного трансформа- тора) в открытый треугольник (рис. 7.8, б), то при наличии в фазовых ЭДС гармоник, кратных трем, на зажимах тип будет напряжение, ранное сумме ЭДС гармоник, кратных трем: um„ = 3£3msin(3o>/ + Фз) + +.... Показание вольтметра в схеме рис. 7.8,6 U = b]El + El +.... 3- В линейном напряжении независимо от того, звездой или треугольников соединены обмотки генератора (трансформатора), гармоники, кратные трем.отср’ ствуют, если нагрузка равномерна. Рассмотрим сначала схему соединения трехфазного источника ЭДС треуголь ником (рис. 7.8.о) при отсутствии внешней нагрузки. Обозначив<рдзпотенциал точки А. <рвз — потенциал точки В по третьей гармонике, получим фдз = Фвз + Ё3 — /3^з Но Ё3 = ?3Z3; следовательно, флз = Физ- При наличии равномерной нагрузки, соеди- ненной треугольником, каждая фаза генератора (трансформатора) и параллель^0 ей присоединенная нагрузка могут быть заменены эквивалентной ветвью, с некот*5 Алгебраическая сумма первых гармоник ЭДС и всех гармоник ЭДС, не кр® ных трем, равна нулю, поэтому от перечисленных гармоник лрн отсутствии пагрУ3*' но замкнутому треугольнику ток протекать не будет. 218
Рис. 7.9 Рис. 7.10 „ой ЭДС Л'3 и сопротивлением Z'3. На полученную схему можно распространить ((лвод» сделанный для случая.отсутствия внешней нагрузки. При соединении звездой трехфазного источника ЭДСХрис. 7.9) линейное напря- жение третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. ]-8Хкактретьи гармоники в фазовых напряжениях совпадают пофазе, то при состав- или этой разности они вычитаются. В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянна» со- ставляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового ^пряжения и*=+ t/f+~. В л инейном напряженки схемы (рис. 7.9) отсутствуют гармоники, кратыыетрем, поэтому Отношение Ut / <L д/3, если есть гармоники, кратные трем. 4 При соединении генератора и равномерной нагрузки звездой и отсутствии нулевого провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не адгут протекать по линейным проводам. Поэтому между нулевыми точками прием- ника О'и генератора О (рис. 7.10 при Zo = оэ)действует напряжение uo-t> = £3msin(3o)/ + Фз) + C^slnCOw/ + Фе) + .... действующее значение которого “vo = М./2 + С/2+7Г. 5. Если в схеме звезда — звезда при равномерной нагрузке фаз сопротивление ввгрузкя для третьей гармоники обозначить Zll3, а сопротивление нулевого провода 4Ля третьей гармоники — £ю(рис. 7.10), то ненулевому проводу будет протекать ток Четьей гармоники /_____________ '(Й— у ZC3+ з Каждому из линейных проводов будет протекать ток третьей гармоники /оз / 3. Аналогично находят токи и других гармоник, кратных трем. Пример 71. Мгновенное значение напряжения фазы А грехфазного генератора иА = 127sin(u< 4- 10°) + 30sin(3<o/ + 20°) + 20sin(l la>f 4- 15")B. , Определить мгновенное значение линейного напряжения при соединении гепе- Мтора звездой. 219
Решение. В линейном напряжении третья гармоника отсутствует. Пёрвь гармоники фаз Л и В по фазе сдвинуты на 120°. Поэтому линейное напряжение и первой гармоники a ^З^раз больше фазового напряжения первой гармоники (7Л и". 30 ° опережает его по фазе. Одиннадцатая гармоника (обратная последовательность фаз) линейного иапря, жения отстает но фазе от одиннадцатой гармоники напряжения фазы А на 30“ ц, \13 раз бол ьше ее: иАв = 127\®а[п(ш/ + 40’) 4- 20\Ssi п( 11ы/ — 15°) В. Пример 72. ЭДС фазы А в схе ме (рис. 7.11) c^=170sin<i)/+80cos3<a/+34cos9w/ В; 7? -= 9 Ом; ю£ = 2 Ом. Определить показания всех приборов. Приборы электродинамической системы, Решение. Действующие значения ЭДС Е, = 17O/V2 = <21 В; £э = 56,5 В; Ев- 24,2 В. По линейным проводам течет первая гармоника тока /, = + 121 /9,2 -= 13,2 А. Показание вольтметра = 136 В; Уа^/(Е| = 13,2-9=118,5 В; V3 = V3.118,5 == 205 В; V4 = I= 26,4 В; У6 *= Уе'д + £| = 61,4 В. Пример 73. ЭДС каждой фазы генератора (рис. 7.12) изменяется по трапецеи- дальному закону: ат — 220 В; а = т/36; нагрузка равномерная; /? = 6 Он; atL = 0,5 Ом; I/<аС= 12 Ом. Определить мгновенное значение тока по нулевому проводу, пренебрегая гармониками тока выше седьмой. 220
р е ш е д и е. С помощью табл. 7.1 запишем разложение трапецеидальной ЭДС: 4-220 1 ел — ~---(sinlO°sinto( + — sin30®sin3<i>/ -j- 7ап +~ sin5O‘’sin5<iH -|-sin70°sin7w/). Следовательно, еА = 274sinwl + 89,3sin3u>/ -f- 49,5sin5»Z 4- 30.9sin7<irt. нулевому проводу протекает только третья гармоника тока 1 Сз 7 4.7 403 Т 4нЭ/3 гдС t'3=89,3/V2=63,3 В; 20з= 1,5/; ZH3=6 - 4/; ZH / 3 = 2 - /1,33; /оз = 63,3 / /(1,5 + 2 — /1.33) = 31,8 е—А. Мгновенное значение тока = 44,8sin(3wl — _ 4-40'J А. § 7.14. Биения. Колебательный процесс, получающийся в результате сложения двух синусоидальных колебаний с равны- ми амплитудами Л и близкими, но не равными частотами wt и дает колебание, которое называют биением. Пусть f(l) = Asina»,/ +Asin<u2/. Воспользуемся известным тригонометрическим преобразова- нием я ----- Р - £ sma + si пр = 2cos—sin —-—. Следовательно, f(t) можно представить следующим образом: /(/) = 2AcosS2/sinco/, где Й =(<0| <о2) / 2, <i> = (<i>L + ш2) / 2(Й График результирующего колебания изображен на рис. 7.13. Амплитуда колебания изменяется ио закону 2АсозШ. Огибающая колебаний нанесена пунктиром. Возникновение биений при сложении двух синусоидальных колебаний е равны- Мч амплитудами и близкими (но не равными) частотами используется на практике 11 Различных целях, в частности для того, чтобы установить, что складываемые к,и1ебаиня имеют неодинаковые частоты. §7.16. Модулированные колебания. При передаче информации Широко применяют модулированные колебания. Модулированным Хлебанием /(/) = Asin(w/ 4-1)1) называют колебание, в котором ам- ''^туда Л, частота <в, фаза или н те и другие вместе изменяются 0 времени. Колебание, в котором изменяется только амплитуда А, а угло- ая частота ы и фаза ip неизменны, называют колебанием, модули- данным по амплитуде. 221
Колебание с изменяющейся угловой частотой ш, ио неизменны- ми амплитудой А и фазой ф, называют колебанием, модулирован- ным по частоте. Колебание, в котором изменяется только фаза -ф, а амплитуда Я и угловая частота ю неизменны, называют колебанием, модулиро- ванным по фазе. Простейшим амплитудно-модулированным (AM) является ко- лебание, в котором амплитуда модулирована по закону синуса: Д/) = Д0( 1 4-msinQ/)sin(<o/ Ч-ф), где m — глубина модуляции (как правило, ш < 1); й —частота модуляции (й «). График AM-колебания показан на рис. 7.14,а (огибающая дана пунктиром). Если воспользоваться известным из тригонометрии тождеством sinasinfi = ^cos(a — 0) — ~ cos(ft 4- ₽), то колебание Ло( 1 4- msinQ/)sin(w7 +44 можно представить в виде суммы трех колебаний: я»Л0 /(О = Aosin(wt 4-4- —^—ros|(fi> — + тЛ0 4- 4*1 - 4- tyi 4- Ф1- Частоту и называют несущей, а частоты (ю —S2) и (ы 4-R)"' боковыми. Спектр AM-колебания изображен на рис. 7.14,6, Дейс|' вуюшее значение функции Д7) в соответствии с формулой (7.1^ Л л .---------„--- равно ^у'1 4-(™2/2). 222
Пример 74. Разложить на составляющие функцию Д0=2ОП + .0,6sinlO3OsinlO5L * решение. Боковые частоты <а—&== 99-1 (Р; ю-|- q= j о ]-1 О3 ; тА^/2 =6. Следовательно, f(i) = 20sin 105/ + 6cos(99 • I О3/) — 6cos(10l • IQ3/). Амплитуды колебания боковых частотпри АМ-колебаниизависят глубины модуляции ту но не зависят от частоты модуляции Q. Ширина полосы частот, занимаемой AM-колебанием, не зави- шу от m и равна (ы 4* Й) — (со — £2) = 2£2. рассмотрим спектры частотно-модулированных (ЧМ) и фазо- м0дулированных (ФМ) колебаний. Форма колебаний качественно указана на рис. 7.14, в. Аргумент синусоидально изменяющейся функции /(/) обозна- чим а(0- Тогда /(/) = Asin[a(/)], (а) с(/) можно интерпретировать как угол, на который повернется вра- щающийся вектор на комплексной плоскости за время /. Угловая частота поворота этого вектора <и = d а(Х) / dt В том случае, когда и = wf, — const, а(0 ~ Jo>pdZ = <ooZ; f(t) = Asino>o/. При частотной модуляции частота ы изменяется и равна и0 + До>ф(0. При этом «(0 = 4- Ao><p(f)]d/ = <а0/ Aa>J<p(0dt При ф(/) = сокШ а(0 — <ос/ 4- ysin£2/, (б) где у = До / S3 — глубина модуляции. Таким образом, Д0 / А — sin(<i)0/ ysin£20 = sintB/cos(vsin£W) 4- 4- coscr)0/sin(?sinQO, Во sin(ysinRZ) = 2^72л ( 1(y)sin(2n 4- 1)Q/; /г=0 оо costysinfi/)« /0(у) 4- 2^/a,(y)cos2n£2/, л=1 Г^е Л(?) — бесселева функция k — порядка от действительного ар- 223
гумента у1, Графики трех бесселевых функций при k = О, 1, 2 изо- бражены на рис, 7.15. После преобразований ой f(l) + £(-1)*Л(у)Х *=i “ (В) Xsin(t40 — kti}t 4-^*(v)sin(wo + kQ)t. ui Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ-колебанием, рав- на бесконечности. Однако если учесть, что с ростом k значение Jk(y) быстро уменьшается, и в равенстве (в) отбросить слагаемые рядов, амплитуды которых меньше 0,01, чему соответствует те1 ЧМ-колебание практически занимает полосу частот (ш0 + k£l) ~(<оо —fe£i) — 2И2 «2у£2 = —2(Дш /Й)Й = 2Дш. Ширина ее зависит от глубины модуляции Дм и не зависите’ частоты модуляции Q. Амплитуды боковых частот зависят от Д«11 Й. Спектр ЧМ-колебания приу = 5показан на рис. 7.14,г. При фазовой модуляции угловая частота ч>0 неизменна н мен* ется только фаза ф(/). Следовательно, «.(/)—Ф(/). ПриН>; ф(/) = фи1созШ, получим /(/) =Asin(<d0/ +»j>mcos£2/). Амплитуда фазы фот от частоты модуляции й не зависит. ’Общее выражение для бесселевых функций приведено в § 15.14. 224
Опустив выкладки, определим, что амплитуды боковых частот ^висят от фИ1, а ширина полосы частот 2AQ<w2ipM£2 — от фт и Q. ^ректр ФМ-колебания при kQ — 5 изображен на рис, 7.14, д. Из рис, 7.15 видно, что если х <g;I, то /0(х) « 1, a J{(x) ~ х/ 2. отсюда следует, что в ЧМ-колебании ври у <SC1, а в ФМ-колебании чри ф,л <К1 Можно ограничиться только основной гармоникой (й0 и ^умя боковыми ю0 ± £2, т. е. в этом случае имеет место почти такая хе ситуация, что и в АМ-колебании. Различие будет в том, что при ЧМ и ФМ модуляции на комплек- сной плоскости два вращающихся вектора боковых частот дают в сумме вектор, направленный перпендикулярно неподвижному век- тору частоты ы0, тогда как при АЛ! модуляции векторная сумма двух вращающихся векторов боковых' частот будет направлена вдоль неподвижного вектора частоты ы0. Это различие вызвано разными знаками у временных компонент гармоники частоты и)0 ~~ § 7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных колебаний. Расчет токов и напряжений в линейных электрических пенях при воздействии на них модулированных колебаний произво- дят для мгновенных значений величин либо для мгновенного значе- ния огибающей. В первом случае расчет проводят путем разложе- ния модулированных колебаний на составляющие, вычисления токов и напряжений от каждой из них в отдельности и последующе- го суммирования соответствующих токов и напряжений на основа- нии принципа наложения. При этом ограничиваются теми состав- ляющими, которые существенны в формировании выходной величины. При воздействии AM - колебания на какую-либо систему точный расчет огибающей выходной величины может быть осуществлен по формуле интеграла Дюамеля для огибающей (см. §8.67). Вопросы для самопроверки 1. В каких случаях следует ожидать возникновения несинусоидальных токов н 'Спряжений в электрических цепях? 2. Какие виды симметрии иесинусондальных “Р.ивых вы знаете н как они сказываются па гармоническом составе? 3. Изложите S~ssg 225
основные положения, на которых основывается методика расчета линейных цС| при периодических несинусоидальных воздействиях. 4. Входное напряжение и (рис. 7.16, п) содержит постоянную составляющую, первую и третью гармощ??'' Определите С| и С2 через to и £3, чтобы в нагрузку проходила неизменной толц1- первая гармоника, а остальные отсутствовали. [Ответ; С,=-——. С3==—-— j. Охарактеризуйте физический смысл действующего значения (гесинусондальщи токй-6. Всегда ли самым коротким расчетным путем при определении действующ^ значения несннусоидальвого тока / является нахождение сю но гармоннческок,” составу, по формуле (7.10}? Определить 1 на рис. 7.1G, б. {Ответ : 0.70/ Л.) 7.11рибл рами каких систем можно измерять: а) действующее значение иесннусондально^ тока; б) среднее по модулю значение; в) амплитудное значение? 8. Определить етнующее значение токаi=5( i —0,8sin 1 OOZfsin 1000/.(Ответ : 4,075 Л.)9. Почему Hejji," зя складывать действующиезначсния токов различных частот? 10. Могут ли Отдель ные слагаемые в формуле активной мощности (7.14) быть отрицательным и? 11.Щ. какихограничениях несннусоидальиые токи и напряжения приближенно могут бцГ1 заменены эквивалентными синусоидальными? 12. Чем можно объяснить, что цр" равномерной нагрузке трехфазной системы звезда—звезда для протекания токц третьих гармоник необходим нулевой провод? 13. В каком случае возникают колеба няя, называемые биениями? 14. Охарактеризуйте виды модулированных колебание к занимаемые ими полосы частот. 15. Нарисуйте графики колебаний, модулирован, ных по: а) амплитуде; 6) частоте; в) фазе. 16. На рнс. 7.16, в изображена функция ЛОМ-*4 -f- f/mcos«1) > 0 (Um Z> Uo). Опа имеет вид положительных косинусоч Ц, дальних импульсов. Угол отсечки a~arccos——. Вывести формулы для постоянно; ^ггг составляющей и амплитуды . ^ гармоники ряда Фурье. Ло = ~~(sin« — rtcostt); А"к = ~^g ^(sinfeftcosn — Acosftasintt)]. 17. Решите задачи 9.9; 9.12; 9.13; 9.15:9.16; 9.19; 9.21; 9.25. [Отвегы: Переходные процессы обычно являются быстро протекающи- ми; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже мил- дцардные доли секунды; сравнительно редко длительность пере- дних процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее ^учение переходных процессов важно, так как оно дает возмож- ность установить, как деформируются по форме и амплитуде сиг- налы при прохождении их через усилители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных учасг- |«эх цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции уста- новки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического про- J несса (и вызвать недопустимые механические усилия), а также оп- ределить продолжительность переходного процесса. § 8.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи- циентами. Запишем уравнение но второму закону Кирхгофа для схемы рис. 8.2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на элементах L и R равна ЭДС Е: Глава восьмая uL -Ь Ri = Е, ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ §8.1. Определение переходных процессов. Под переходными про- цессами понимают процессы перехода от одного режима работы электрической цепи (обычно периодического) к другому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдуще го, например амплитудой, фазой, формой или частотой, действую- щей в схеме ЭДС, значениями параметров схемы, а также вследст- вие изменения конфигурации цепи. Периодическими являются режимы синусоидального и посто- янного тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цепи. Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Ком- мутация— это процесс замыкания (рис. 8.1, о) или размыканий (рис. 8.1, б) выключателей. Физически переходные процессы представляют собой процесс*1 перехода от энергетического состояния, соответствующего докоМ' мутационному режиму, к энергетическому состоянию, соответствУ ющему послекоммухационному режиму. мн L^ + Ri = £- (83) Как известно из курса математики, уравнение, содержащее не- известную функцию (в пашем случае i) и ее производные (в нашем .случае L~), называют дифференциальным уравнением. Таким образом, определение тока как функции времени, по сути рола, есть решение дифференциального уравнения. Известно, чго решение дифференциального уравнения — это рТысканне функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой фун- .Щин и ее производных превращает дифференциальное уравнение Г тождество. Решепиелинейных дифференциальных уравнений будем прово- дить в основном четырьмя методами: классическим, операторным, Методом интеграла Дюамеля и методом пространства состояний. Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть г,бщие свойства линейных цепей при переходных процессах, а так- 226 227
же общие законы, которым подчиняются переходные процесс^ линейных электрических цепях. § 8.3 — 8.25 посвящены воироСа ’ имеющим отношение ко всем перечисленным методам расчета г “ реходных процессов; однако часть этих параграфов (см. § 8.3, gj' 8.10 и 8.12 ) следует рассматривать так же, как введение к класс’^ ческому методу расчета переходных процессов. § 8-3. Принужденные и свободные составляющие токов и напрп, женин. Известно, что общий интеграл линейного дифференциал^ иогоуравнения равен сумме частного решения неоднородного урай, нения плюс общее решение однородного уравнения. Частщ)е решение уравнения (8.1) равно E/R (Е — постоянная ЭДС). Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возь мем правую часть равной нулю. В нашем случае z.^ + w-0. Решением однородного уравнения является показательная функция вида Аер1. Для всех переходных процессов условимся, что момент t = (] соответствует моменту коммутации. Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера: А = — Е/Ruр ~ — R/L. Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так: . Е Е (8.3] ' R ~Re ' где E/R— частное решение неоднородного уравнения (8.1): Е t ----е L — общее решение однородного уравнения (8.2). Подста R новка (8.3) в (8.1) дает тождество R Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи ] напряжения могут иметЕ^ и дополнительные индексы, соответст- Louine номерам ветвей на схеме. г Принужденная составляющая тока (напряжения) физически «едставляет собой составляющую, изменяющуюся с той же часто- 1й, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме Ьйствует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты w, то при- сужденная составляющая любого тока и любого напряжения в ^еме является соответственно синусоидальным током (синусои- ддьным напряжением) частоты ~ Определяются принужденные составляющие в цепи синусои- дального тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в ш. ихеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме (8.2) -------------------“ ------- --------------- ния (8.1). I Частное решение неоднородного дифференциального урапне ния будем называть принужденной составляющей тока (нанряже нии), а полное решение однородного уравнения — свободной ей ставляющей. Применительно к рассмотренному пример' принужденная составляющая тока /|1р — E/R, а свободная гостя лающая iCB = — Полный ток i = tnp + tcs. рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с ромощыо методов, рассмотренных в гл. 2. Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому при- нужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю. В линейных электрических цепях свободные составляющие то- ков и напряжений затухают во времени по показательному закону е*. Так, в рассмотренном примере i = —— е L . С увеличением _£( " времени/ множитель е L быстро уменьшается. Название’’сво- бодная” объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от в'ынуждающей силы (однородного урав- нения без правой части). Из трех токоЕ! (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное зна- чение имеют полный ток и полное напряжение. Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его Можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, пол- *<№ напряжение — это напряжение, которое в действительности Следовательно, (8.3) действительно является решением уравн* Имеется между некоторыми точками электрической цепи при пе- реходном процессе. Его также можно измерить и записать на “сциллограмме. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений Й!’ время переходного процесса играют всиомоЕ*ательную роль; они м&ляются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины. Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что 'Фи любых переходных и установившихся процессах соблюда- > t>lE Е -Т1] -S-I t + Е - Ее 1- = £ 228 229
ют два основных положения: ток через индуктивную кату напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком’. § 8.4. Обоснование невозможности скачка тока через индуктИв, ную катушку и скачка напряжения на конденсаторе. Доказан?,^' ство того, что ток через индуктивную катушку не может изменять^ скачком, проведем на примере схемы рис. 8.2. По второму зако^ Кирхгофа , 4+и-е я Ток ( и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно боль шне) значения. Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени А/-»-0 ток изменится на конечное значение А/. При этом Ai /А/ -+ оо. Если вме- сто L— в уравнение (8.1) подставить оо, то его левая часть не будет равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа. Следовательно, допущение о возможности скачкообразного из- менения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа. Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L, равное L— , скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа. Доказательство того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично. Обратимся к простейшей цени с конденсатором (рнс. 8.3, а). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа; Ri -р ис = Е, где Е — ЭДС источника, конечная величина; ис— напряжение на конденсаторе. Рис. 8.3 ’Иногда эти положения формулируются так: потокосцепление индуктивной тушки и за ряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков. Дальне’’’ шее обобщение законов коммутации дано в § 8.28. 230
duc Так как t = С-—.то аг duc ЯС—+ «c = £. (8-4) Если допустить, что напряжение ис может измениться скачком, т0 11 левая часть (8.4) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму за- du(. кону Кирхгофа. Однако ток через конденсатор, равный может ^меняться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа. Из указанных двух основных положений следуют два закона (правила) коммутации. §8.5. Первый закон (правило) коммутации.Ток через индуктив- ный элемент L непосредственно до коммутации it(0_) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после комму- тации 4(0+): */.(0_)=4(0+), (8.5) Время t = 0_ представляет собой время непосредственно до коммутации, t = 0+ — после коммутации (рис. 8.3, б). Равенство (8.5) выражает собой первый закол коммутации. § 8.6, Втором закон (правило) коммутации. Обозначим напря- жение на конденсаторе непосредственно до коммутации hJ0_), а напряжение на нем непосредственно после коммутации ut(0+). В соответствии с невозможностью скачка напряжения на кон- денсаторе M<U=«JO+)- (8-6) Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации. Перед тем как приступить к изучению методов расчета переход- ных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнитель- ных определениях. < §8.7. Начальные значения величин. Под начальными значения- ми величин (в литературе их называЕотеще начальными условиями) понимают значения токов и напряжений в схеме прн /=0. Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напря- жения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны Их значениям непосредственно до коммутации. Остальные величи- ны: напряжения на индуктивных элементах, напряжения на резн- c'iopax, токи через конденсаторы, токи через резисторы могут 231
изменяться скачком, я поэтому их значения после коммутдцн чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутаций Поэтому следует различать доком мутационные и послекоммутац^ онные начальные значения. Доком мутационными начальными значениями называютзпаче. ння токов и напряжений непосредственно до коммутации (при /=() j, послекоммутационными начальными значениями — значения токов и напряжений непосредственно после коммутации (при <=о+). § 8.8. Независимые и зависимые (послекоммутационные) на- чальные значения. Для любой схемы после коммутации в ней мож- но записать уравнения по законам Кирхгофа и из этих уравнений определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режиме (при /=0+). С этой целью значения токов в ветвях, содержащих индуктивные элементы, и значения напряжений на конденсаторах берут равны- ми тем значениям, которые они имели до коммутации при /=0_, а остальные токи и напряжения после коммутации при /=0^ находят из уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в них известна. Значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из до ком мутационного режима, усло- вимся называть независимыми начальными значениями. Значения остальных токов и напряжений при /=0+ в послеком- мутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми на- чальными значениями. § 8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу переходного процесса непосредственно перед коммутацией все то- ки и напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то в схеме имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме нс равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальнМ условия. . I При нулевых начальных условиях токи в индуктивных элемен тах и напряжения на конденсаторах начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели непосредственно до коммутации. §8.10. Составление уравнений для свободных токов и напряже- ний. Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произволь- но выбирают для них положительные направления, затем состав* ляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Так, для 232
Рис. 8.4 схемы рнс. 8.4, а после выбора положительных направлений для токов имеем: /, = О, ^+«/1+^2 = *: ^2-^V'3dr = 0- В этих уравнениях t,,(2 и (3 — полные токи. Каждый из них состо- ит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС £) и вместо /, запишем i1CB, вместо L, — i2tu и т. д. В результате получим: ('|гв 1Иси Aicu — 4- 1|ч.и #2 ~ (8.7) Заметим, что для любого контура любой электрической цени сУмма падений напряжений от свободных составляющих токов рав- ’•а нулю. § 8.11. Алгебраязацня системы уравнений для свободных токов. « § 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой №ще»не однородного дифференциального уравнения (уравнения G<‘3 правой части). Как известно из курса математики, решение 233
однородного дифференциального уравнения записывают в виде hQ казательных функций Аер1. Таким образом, уравнение для каждОг^ свободного тока можно представить в виде =Лер(. Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных то^ ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена еди. ным (общим) переходным процессом. Составим производную от свободного тока; Следовательно, производную от свободного тока можно заме- нить на р4в» а свободное напряжение на индуктивном элементе di на Lpi^. Найдем интеграл от свободного тока: J irad t = J A e^d t = A e" (p = jp. Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых. Следовательно, интеграл от свободного тока ложно заменить на iCB/p, а свободное напряжение на конденсаторе — па «св/(Ср). В систему дифференциальных уравнений для свободных то кои подставим LpL„ вместо L-^- и — вместо vrV-dL Следовательно, ( d/ Ср CJ " Чен ^2св ^Зсв UiP-W »1в,+4Л=<* <8-8’ 4сЛН*,ЛСр)-о. } Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно ih.M, r2tn. hm11 в отличие от исходной системы не содержат производных и интегралов. Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией cttf' темы дифференциальных уравнений для свободных токов. Мож^ сказать,'что система (8.8) есть результат алгебраизации систем*11 дифференциальных уравнений (8.7). § 8.12. Составление характеристического уравнения системы Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свобод ных токов. Положим, что р известно (в действительности оно но*3 не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8-®* относительно ilrB, i2c„ и 1кв=Д|/Д. 12с„=Д2/А; г3св = д3/Д, 234
где А — определитель системы. В рассмотренном примере 1 -1 -1 О «2 о «2 —1/(ОД Определитель Д; получим из выражения для определителя Д путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8): О -I -I о /?2 О ₽2 о -» /(Ср) Определитель Д2 получим из выражения для Д путем замены вто- рого столбца правой частью системы (8.8) и т. д. Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе Д „ Д2 и Д3 один из столбцов будет состоять из нулей. Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно, Л,-0; Д2==0; Л3=0. Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выпол- нены законы коммутации. Однако нз предыдущего следует, что (]ев = 0/Д; (21И=0/Д; ^ = 0/Д. Свободные токя могут быть не равны нулю в том случае, когда on редел нтел ь с и сте м ы А =0. (8.9) Таким образом, определитель Л алгебранзированной системы уравнений должен равняться нулю. Уравнение Л = 0 называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является р. Пример 75. Используя уравнение (8.9). составить характеристическое уравне- ние дня схемы рис. 8.4, <t и найти его корни. Решение: /?2 ’ 'Ми p^LtC+ptR&C+LJ+Ri+fb о рс Если дробь равна кулю, то равен нулю ее числитель. Сле.итателыю, p'R^C+ptR^C+LJ + Л1+Л2 = 0. (8.10) Корни квадратного уравнения -(/?, «/+z.l)±V(«i«2C+Z.1)s-4(/el+^)^c (8.1!) fI. „ --• -------------- — 235
В начале § 8.I1 говорилось о том, что решение для свободно^ тока берется ввидеЛе'’'. Если характеристическое уравнение име^т не один корень, а несколько, например п, то для каждого свободно,. ff тока (напряжения) нужно взять у Л^ер*', A=i Пример 76. Найти корни характеристического урянпення схемы рис. 8-4, о и». 1)С=1 мкФ; 2)С=10 мкФ;3>С=100 мкФ; Я|=/?2=[ОООм; /,.= 1 Гн. г Решение: I) При С==1 мкФ 100-ИЮ- 10-е-Н=1,()|. 4(/?14-/e2)J¥2trC=4 -200-100- 10-Г’=ОЖ 2/?2/.jC=2 -1 (Mb 10 =2- IO-4; -l,Ol±Vno>5“0.08 -i -i Д;,2 ~ 2 ]q—4 ’ ’----2J0c ;p2—— J850c . 2) При C—10 мкФ P]=—230 Ж1; p2=—870 c— 3)При C==100 мкФр,^—1004-100/; рй=—100—100/. § 8.13, Составление характеристического уравнения путем ис- пользования выражения для входного сопротивления цепи на пере- менном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе [обоз начим его 2(/о))], заменяют в нем /ш на р[получают Z(p)J и прирав- нивают Z(p) нулю. Уравнение Z(p)=0 совпадает с характеристическим. Такой спо- соб составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же маг- нитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. §3.41). Поясним сказанное. Как отмечалось в §2.15, если для некоторой цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно ш-ветви gm — / А, а входное сопротивление R,„~ Л / Аот. Для режима синусоидального тока входное сопротивление — Комплексное число p—a-\-jb в соответствии с § 8.41 представив в виде р = j(b—/а) = jii, где Й — комплексная угловая Частота- Сопротивление Z(p) — это сопротивление цепи на комплексной ча- стоте; Z(/<o) — это частный случай Z(p), когда tl = ш. Имея это 0 виду, запишем 4хт(р) = а(р)/Мр). где Д(р) — определитель системы уравнений, составленных по м«' тоду контурных токов. Таким образом, уравнение ZBKm(p) == 0 имеет те же корни, ч?°(J уравнение Д(р) = 0. 236
При составлении Z{p) следует учитывать внутреннее сопротив- ецие источника витания. Характеристическое уравнение можно составить так же, взявза основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В случаеследует приравнять нулю определитель матрицы узло- ₽bix проводимостей, полагая при составлении матрицы один из уз- дов схемы заземленным. Пример 77. Для схемы рис. 8.4, «составить характеристическое уравнение. Р е in е и и е. Входное сопротивление относительно зажимов ab при переменном Л,ь(/‘->) = /^1+/?!+-^Г"- Заменим н нем jti> на р и приравняем его нулю: /?2~ 2иДр) ~ 4-Л । + = О- Отсюда р* L! C/?2+p(Li+14-Р2 1+Я2Ср '' W = «• (8.10а) Уравнение (8.10а) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и получено оно путем использования выражения для входного сопротивления нервов ветви схемы рис. 8.4, а относительно зажимов ab. Точно такое же уравнение можно получить, если записать выражение для входного сопротивлении любой другой вет- ви. Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать Мд) и Ajt(p) па общий множитель, если он имеется. Однако на общий множитель р сокращать Д(д) и Лл(д), как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на р Допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений "е может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуе- мая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную ’оставляющую, то сокращать числитель и знамена гель Z(p) на р (терять корень f=0) нельзя. Дли иллюстрации недопустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекоммутацивнной схеме рис. 8.4, б имеется контур из индуктивных Дементов, активной сопротивление которого равно пулю. В нем теоретически может "ротекать незатухающая свободная составляющая тока, которая не будет учтена и Мнении, если сократить числитель и знаменатель Z(p\ =- ’ на Р- В схеме 8.4, щ дуальной схеме рис. 8.4, б после коммутации на конденсаторах возможно ^ннкновснии равных ио значению и нротиводоложпо направленных незатухающих ,H| ‘бедных составляющих напряжений. Свободный заряд каждого конденсатора не ’Ччжет стечь через сопротивление Ц, так как этому мешает второй конденсатор с ^чгивоиолижпо направленной незатухающей свободной составляющей наориже- 237
Для схемы рнс. 8.4, в характеристическое уравнение получим, приравняв цу входную проводимость относительно зажимов источника тока: = 8+~^С ~ = °- где g=l/₽. В качестве примера цепи, для которой можно сократить числитель и знамен тель Z(p) иа р, приведем схему рнс. 8.4, г. Для нес 7i . _ „ , RpC RGp(RCp+2) R(RCp+q lP) - К + j Cp(RCp+l) RCp-]\ ' K+pC § S. 14- Основные и неосновные зависимые начальные значения Дли сложных схем со многими накопителями энергии число иеза. виенмых начальных значений (начальных условий) может оказать- ся больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следо- вательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них. Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные неза- висимые начальные значения называют неосновными. В качества иллюстрации обратимся к схеме па рис. 8.5. Оия содержит три индуктивных элемента в одни емкостный. В схеме всего четы ре независимых началь- ных значения (начальных условия): 1)й(0+)= 0;2)i2<04-) = 0;3)i3(0+) = 0;4}vc(0b) = 0. Из них три являются основными и одно “ неосновным. Выбор основных значе- ний здесь ироизволеп. Если за основные взять nepiwrc, второе н четвертое значения, то неосновным будет третьс. Пример 78. Убедимся в том, что для схемы рис. 8.5 характеристическое уравне- ние имеет не четвертую, а третью ступень. Решение: Составляем выражение для входного сопротивления; (М2 + Z(p) = Rt+pLt+---------Н“ = °‘ pLs+pL3+— Отсюда (R1+pt1)|l+p3C2(L3+£.3)J+pr3 (I+C2/.2p2) = 0. Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень. 238
01 Рис. 8.6 § 8.15. Определение степени характеристического уравнения. Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует рЫявлению ошибки, если опа возникает при составлении характе- ристического уравнения. Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений в послеком мутационной схеме после максимального ее упрощения и не зависит от вида ЭДС ис- точников ЭДС в схеме. Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно сое- диненные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и па- раллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными. Применительно к схеме рис. 8.6, а последовательно включенные L'i и L"2 следует заменить на = L/i-j-L'/Jd=2A4, если между ними есть магнитная связь (если нет магнитной связи, то М—0), а конден- саторы емкостью С73, С"3, С,— на конденсатор емкостью С'3С"3 Са= С4+ . Начальное значение напряжения на С5 равно на- С 3-гС з бальному значению напряжения на С4. В результате упрощений схемы рис. 8 6, б получаем схему на Рис. 8.7, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор, осе три независимые начальные значения — основные. Следова- гельио, характеристическое уравнение будет третьей степени. Обратим внимание на то, что степень характеристического Уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между Индуктивными элементами схемы или она отсутствует. Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой Из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.7, а}, Ji‘i6o в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие — только ^очники ЭДС (рис. 8.7, б). Положим, что после максимального Упрощения схемы в емкостный контур входит п конденсаторов. Ес- Jtit учесть, что по второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма Спряжений на ветвях контура равна нулю, то только на «—1 кон- 239
денсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором схо дятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8,7 б), либо часть ветвей с индуктивности ми, а другая с источниками тока (рис. 8.7,г). Положим, что в индуктивный узел сходится ги-вет. вей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому закс. ну Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в гп—.[ индуктивностях токи могут быть заданы произвольно. Обобщенно можно сказать, что после максимального упроще- ния схемы степень характеристического уравнения может быть оп- ределена путем подсчета величины nt-f-nc—yL—kc, где п, — число индуктивных элементов в схеме; пс~~ число конденсаторов; у, ~ число индуктивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; kc—число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть заданы произвольно. Замечания: I. Если схема с источником тока имеет несколько последом- тельных участков, содержащих параллельно соединенные ветвя с R, L, С, то дл' , каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение а> своими корнями (свободные токи не могут замыкаться через источник тока, посколь- ку его сопротивление равно бесконечности). 2. Если в схеме будут иметься так называемые допилняюшнс лпухвплюсиккн (см. § 8.63), содержащие элементы R, L, С, между которыми выполняются «предо ленные соотношения, то при укрощении схемы они должны быть заменены наэкм- валентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки (па эту тему рекомен- дуется решить пример 30 из вопросов для сямоироперки). § 8-16- Свойства корней характеристического уравнения. Числ*1 корней характеристического уравнения равно степени этого уря”; пения. Если характеристическое уравнение представляет соб*’*1 уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если вгор°11 степени — два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегЛ® отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) рень. Уравнение второй степени может иметь: а)два действительна неравных отрицательных корня; б) два действительных равп^ отрицательных корня; в)два комплексно-сопряженных корня с«>т рицательной действительной частью. 240
Уравнение третьей степени может иметь: а)три действительных еравных отрицательных корня; б) три действительных отрица- тельных корня, из которых два равны друг другу; в) три действи- тельных равных отрицательных корня; г) один действительный от- Л1[атсльный корень и два комплексно-сопряженных с ^рИнательной действительной частью. § 8.17. Отрицательные знаки действительных частей корней ха- .^герметических уравнений. Свободный процесс происходит в це- f-и,освобожденной от источника ЭДС. Он описывается слагаемыми |)Ида Лер<. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсут- ствуют источники энергии, которые были бы способны в течение сколь угод»0 длительного времени покрывать тепловые потери от свобод- ных токов, т. е. свободные токи должны затухать во времени. Если свободные токи (выраженные слагаемыми с'1') должны за- тухать (спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицательной. Значения функции е-и( = Да/), где at=xt приведены в табл. 8.1. Таблица 8.1 X е' е * shx ch* X с* sh* ch* 0 1.0 1.0 0.0 1.0 2,1 8.17 0,122 4,02 4,14 0,1 1,10 0,905 0,10 1,005 2,2 9,02 0,111 4,46 4,56 0,2 1,22 0,819 0,20 1.02 2.3 9.97 0.100 4,94 5,04 0,3 1,35 0,741 0,30 1,04 2.4 11,02 0.09 5,47 5.56 0.4 1,49 0.67 0.41 1,08 2,5 12,18 0.082 6.05 6,13 0,5 1,65 0,606 0.52 1,13 2,6 13,46 0.074 6,70 6,77 0,6 1,82 0,549 0.64 1,18 2.7 14.88 0.067 7.41 7.47 0.7 2,01 0,497 0.76 1,25 2.8 16,44 0,061 8,19 8,25 0,8 2,22 0,449 0.89 1,34 2,9 18,17 0,055 9,06 9,11 0,9 2,46 0,407 1.03 1,43 3,0 20,08 0,05 10.02 10,07 1,0 2,72 0,368 1,17 1,54 3.2 24,53 0,041 12,25 12,29 1,1 3,00 0.333 1,34 1.67 3.4 29,96 0,033 14.96 15,0 1.2 3,32 0.301 1.5 Г 1,81 3.6 36,6 0.027 18.28 18,31 1,3 3,67 0,272 1,70 1,94 3.8 44.7 0,022 22,34 22,36 1.4 4,05 0,247 1,90 2,15 4.0 54.6 0.018 27,29 27,3 1.5 4,48 0,223 2,13 2,25 4,2 66,69 0,015 33.33 33,35 1.6 4,95 0,202 2,38 2,58 4.4 81.45 0,012 40.72 40,73 1,7 5,47 0,183 2,65 2,83 4,6 99,48 0,01 49,74 49,75 1.8 6,05 0,165 2,94 3,11 4.8 121,5 0,0082 60,75 60,76 1.9 6,68 0,15 3,27 3,42 5,0 184 4 0,0067 74,2 74.2! г.о 7.39 0.135 3,63 3,76 6.0 400 ' 0,0025 ) 200 200
Рассмотрим характер изменения свободных составляющих д, простейших переходных процессов в цепях с характеристически4 уравнением первой и второй степеней. Если число корней характеристического уравнения 6oJIbI двух, то свободный процесс может быть представлен как процед составленный из нескольких простейших процессов. § 8.18. Характер свободного процесса при одном корне. Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный -Гок (св=де₽* =де-^, (8.12) где р ~ — а зависит только от параметров цепи, А — от парамеь ров цени, ЭДС и момента включения. Характер изменения nph А >0 показан на рис. 8.8. За интервал времени i = т = \/а функция Ле_'°' уменьшится в е=2,72 раза. Действительно, при t—i~ l/a at—ai—a/a^] e~at =е_“' = е“| = 1/е = 1/2,72. Величину т == 1/а = 1/1 р | называют постоянной бремени цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Для цепи рис. 8.2 т = /.//;, для цепи рис. 8.3, a x=*RC, для цепи рис. 8.17 т ={Л1/?лС)/(/?| 4-и т. д. Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экс попейте: подкасательная к экспоненте е~ численно равна т (см. рис. 8.8), § 8.19. Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть р, = — о, р%= — Ь (для определенности положим b >а). 1 огда 242
Характер изменения свободного тока при различных по значе- и знаку постоянных интегрирования At nAs качественно иллю- ' рируется кривыми рис. 8,9, а—г; кривая 1 представляет собой (функцию /4кривая 2 — функцию Л2е~и; результирующая ^дорная») кривая получена путем суммирования ординат кривых I и 2- Для рис. 8.9, а А, >0, Л2>0; для рис. 8.9, б At >0, Л2<0, ।д2| >Лр длл рис. 8.9, в Л, >0, Л2<0, | Л2| <Л,; для рис. 8.9, г § 3.20. Характер свобод лого процесса при двух равных корнях. Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня pi = р£= — tr, то соответствующие слагае- мые решения должны быть взяты в вице Л е'й+Л2/е'’'={Л|+X20e"of. (8.13) На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возмож- ный хапактер изменения функции (.4, 4-Л/)е-ч/ при различных значениях постоянных интегрирования Л, и Л2, а также при равен- стве нулю одной из постоянных. Кривая 1 построена при Л, >0 и Л2 >0; кривая 2 - при Л( <0 нЯ2 >0: кривая 3 — при Л( >0 и Л2<0; кривая 7 — при Л] = 0 и Я2>0; кривая 5 — при Л, >0 и Ла =0. § 8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-со- пряженных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попар- но сопряженными. Так, если р, = -б| /©о, то р2 = — $ Соот- ветствующее им слагаемое решения должно быть чзято в виде i„ = Л е_ е1 sin(+ -v). (8.14 > Формула (8.14) описывает затухающее синусоидальное колеба- ние (рис. 8.11) при угловой частоте и начальной фазе v. Огибаю - Рис. ь. ю Рис. 8.11 243 «6-
щая колебания описывается кривой Ае~4'. Чем больше б, тем бЬ!с трее затухает колебательный процесс; И и \ определяются значещ/ ями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС источника- ю0 и б зависят только от параметров цепи после коммутации; у’ называют угловой частотой свободных колебаний; 6 — коэффици® ентом затухания. §8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как изве- стно из предыдущего, полное значение любой величины (тока, на- пряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной состав- ляющих. Если среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни р!2 =— 6 ±/<»0 и значение угло- вой частоты свободных колебаний ш0 почти равно угловой частоте ы источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффи- циент затухания 6 мал (цепь с малыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для ко- торого характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а). Колебание (рис. 8.12, я) отличается от колебаний, рассмотрен- ных в § 7.14, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда медленно уменьшается. Если угловая частота свободных колебаний точно равна уг- ловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.12, б. Простейшим примером колебаний такого типа является коле- бание, возникающее на конденсаторе схемы рис. 8.13 в результате сложения принужденного L/CmcoswZ и свободного — L/Cff!e-6'coswl колебаний: Uc = i/Cm( 1 — е_ w) cost»/. Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспо- ненциальному закону. При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут воз- никать большие начальные броски токов, в несколько раз превыша- ющие амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме рис. 8.5 при нулевых начальных условиях в первый момент после замы- кания ключа напряжение на конденсаторах равно нулю и ток в неразветвленной части цепи равен Если ф=90°, то в 244
Рис, 6.13 Рис. 8.14 первый момент после замыкания ключа ток равен При раз- мыкании ключа в индуктивных цепях возникают опасные увеличе- ния напряжения на отдельных участках (см. § 8.24), Ц 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электриче- ской искрой (дугой). Если переходный процесс вызывается размы- канием ключа в электрической цепи, содержащей индуктивные ка- тушки, то между его расходящимися контактами при определенных условиях может возникнуть электрическая искра (дуга). При этом расчет переходного процесса усложняется и, строго говоря, не мо- жет проводиться методами, изучаемыми в данной главе. Объясня- ется это тем, что сопротивление электрической искры является нелинейной функцией протекающего через нее тока. В этом случае, если известна ВАХ дуги, для расчета переходных процессов могут применяться методы, излагаемые в гл. 16. Попытаемся выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры при размыкании ключа н схеме рис. 8.15. До размыкания ключа в цени был установившийся режим: ... Е 2Е -/п R + 0,5/? 3/?’ *2 3/?‘ Допустим, что при размыкания ключа искра не возникает. При этом ток и почти мгниненно уме пинается до пуля, а ?(0.}.) должен равняться ?е(0-|-). Но каждый из токов (ц л »2)иопервому закону коммутации не может измениться скачком. Следовательно, между достаточно медленно расходящимися контактами ключа при определенных условиях можно ожидать возникновения электрической искры. Расчет переходного процесса а схеме на рнс. 8.15 дан в § 8.28, § 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в цепях, содержащих индуктивные катушки. При размыка- нии ключей в электрических цепях, содержащих катушки с большой Рис. 8.15 Рис* 8.16 245
индуктивностью, на отдельных участках могут возникать папрд^ ния, но много раз превышающие установившиеся. Напряжен^4* превышающие установившиеся, называют перенапряжения^.' Они могут оказаться настолько значительными, что при определи’ них условиях вызовут пробой изоляции и выход из строя измерь тельной аппаратуры. Пример 7S. К зажимам индуктивной катушки с R = 100 Ом; L = 10 Ги иод^л чей вольтметр (рис. 8.16). Сопротивление вольтметра Rv = 3000 Ом; £ = Цщ £ Найти приближен ное значение напряжении на зажимах вольтметра ври f=o ’ если допустить, что размыкание ключа произойдет мгновенно и искры ле возникнет’ Решение. До размыкания ключа через L протекает ток i = E/R = | д g индуктивной катушке была запасена магнитная энергия (№/2. Если допустить, В размыкание ключа произошло мгновенно и искры не появилось, и учесть, что Т0|( через £ должен оставаться равным I А, то но замкнутому контуру, составлении^ вольтметром и катушкой, за счет запаса энергии магнитного ноля индуктивно^ катушки в первое мгновение будет протекать ток tt 1 А. При этом па вольтметре возникнет ник напряжения 3 кЕ. Прохождение большого импульса тика через вольт- негр может вызвать перегорание катушки прибора и выход его из строя. При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися коп тактами нвзиикиет электрическая искра. Это приведет к тому, что увеличение на. пряжения на вольтметре будет меньше, чем а только что рассмотренном идеализи- рованном случае, когда ключ размыкался мгновенно без искры. При белее детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть влияние межвнтковых емкостей и емкостей на землю (см. § 11.1). Если не учитывать возник- новение искры, распределенные емкости и индуктивности, то прицеленный расчет является грубым и носит иллюстрированный характер. Чтобы не «сжечь» вольтметр а цепи рис. 8.16, скачала следует отключить вольт метр, а затем разомкнуть ключ. Перенапряжении проявляются гем сильнее, чем больше индуктивность в цепях. Особенно опасны они в цени* постоянного тока, содержащих индуктивности порядка единиц и десятков генри. В таких цепях прн отключениях соблюдают специальные меры предосторожности (ключ размыкают после ваедения дополнительных резисторов в цепь). §8.25. Общая характеристика методов анализа переходных про* цессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных про- цессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций: 1) выбора положительных направлений токов в ветвях цени; 2) определения значений токов и напряжений непосредственно до коммутации; 3) составления характеристического уравнения и нахождения его корней; 4) получения выражения для искомых токов и напряжений как функции времени. Широко распространенными методами расчета переходный процессов являются: I) метод, называемый в литературе классическим; 2) операторный метод; 3) метод расчета с помощью интеграла Дюамеля. Для всех этих методов перечисленные операции (этапы расчета) являются обязательными. Для всех методов первые три операций 246
рершают одинаково и их нужно рассматривать как общую для Сгех методов часть расчета. Различие между методами имеет место р четвертом, наиболее трудоемком этане расчета. |fl ЧаЩеисп<?льзУютклг5сеиг,еский и операторный методы, реже — стОд расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем /сДУТ Даны сравнительная оценка и рекомендуемая область при- менения каждого из них (см. § 8.56). В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, элект- пЬнике, автоматике и в технике, связанной с теорией информации, Ероме этих трех методов применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье. (Об интеграле фурье и спектральном методе, основывающемся на интеграле фурье, см. гл.9.) Для исследования характера переходного процес- са, описываемого уравнениями высоких порядков, используют мо- делирующие установки, а также метод пространства состояний (СМ. § 8.66). § 8.26. Определение классического метода расчета переходных процессов. Классическим методом расчета переходных процессов называют метод, в котором решение дифференциального уравне- ния представляет собой сумму принужденной и свободной состав- ляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в вы- ражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы лилейных алгебраических уравне- ний по известным значениям корней характеристического уравне- ния, а также по известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при f — 0+. §8.27. Определение постоянных интегрирования в классическом методе. Как известно из предыдущего, любой свободный ток (на- пряжение) можно представить в виде суммы экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней характеристи- ческого уравнения. Прн двух действительных неравных корнях 4в = ie₽!' + Л2е"2'; при трех действительных неравных корнях /св = Л,е₽|' + Л2е₽2* + /Церз'. Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов ком- мутации можно найти: 1)числовое значение искомого свободного тока При t — 0+, обозначим eroiffl(0+); 2)числовое значение первой, а если понадобится, то и высших производных от свободного тока, взятых при i = 0+. Числовое значение первой производной от свободного т°ка при ( = 0ч. обозначим /г/(04 ); второй — »с>Л(0+) и г. д. Рассмотрим методику определения постоянных иптегрирова- 247
нет Л,. As,.... полагая известными it.B(04.)JtB'(0 .'Г11"(0 () и значецц корней plt р2. Если характеристическое уравнение цепи представляет с<ж0|. уравнение первой степени, то 4в=Де^. Постоянную интегрир^ ния А определяют по значению свободного тока iCB(0+): Л=иОь). (8.15j Если дано характеристическое уравнение второй степени и ег0 корни действительны и не пааны, то 4в = Л1е''<< +/12ер2\ (8.16) Продифференцируем это уравнение по времени: i„' = Р\л i^1' + p/2e/’2'- (8-16а) Запишем уравнения (8 16) и (8.16а) при I = 0(учтем,что при t =д «=0 e₽rf = с''*' = 1 ).В результате получим Ц0т)=^1+^; (8-17) 4и/(0+)=р1Л1+рИг- (8-1?а) В этой системе уравнений известными являются irB(0+), 4/(0|J> р, и р2; неизвестными — А] и As. Совместное решение (8.17) и (8.17а) дает ^2 — ‘св(® Г Если корни характеристического уравнения являются кимплек сно-сопряженными, то в (8,16) сопряжены не только рг и р2 (р12 = — 6 ± fw0), по и Л, и Л2. Поэтому сйотйдшый ток 4Ь =Ле~Msin(aof 4-v). (8-18) Угловая частота и коэффициент засухаимя Й известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных А н v производят и и этом случае по значениям 4И(^) и (8+). Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим = — Лйе-ф v) 4- AwjjC- wcos(ii>(Jl 4-v). (8.18я) Запишем уравнение(8.18а) при I = 0+: 4i>’(6| ) =—Zfisinv A w0cosv. 2-18
Таким образом, для нахождении неизвестных А и v имеем два равнения: (8.19) <rl,(fl+) = dsltiv; iCB'(0+) = — Artsinv -|- Лш0С05%>. Для цени, имеющей характеристическое уравнение третьей сте- свободный ток £ » Л 1e₽i* + А^‘ +A3ePi‘. (8.20) Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20): V = i'-'’1' + PHteV -1- р3АэеЪ1\ (8.21) К" -+ ₽Изе₽3'- (8.22) Запишем (8.20)—(8.22) при / = 0+: *св(0+) = j4( + Дг + Л3; (<М = Р1л1 + ’’‘А + Р/р 4В"(°+) = РзА 1 + Р'^2 + Рз4з- 18.23) Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех ли- нейны;; алгебраических уравнений с тремя неизвестнымп: Alt А2 и Л(. Все остальные входящие в нее величины |Pi> Дэ, 4„(0+), £„'(0+), <,"(0+)] известны. Сначала, нота еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при 1 = 0+ рекомендуется решать задачу относительно тока через £ или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, оп- ределять любую другую величину через найденную. Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процес- сов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых Начальных условиях. Пример F0. В схеме рис. 8.17 лозямыкапня ключа был установившийся режим; 'I R\' = /?з = SO Ом; С = f 00 м кФ; £ = 150 В. Требуется найти; I) полные, ири- "Уждонные и евзбодные составляющие пн.ов й, <г, т'з и ис при t = О4, в также Рис. 8.17 249
начальное значение производной от свободного напряжения па конденсаторе; 2)Т(. lit (’г, ‘3 Я напряжение ис в функции времени. кн Реше и не первой части задач и. До ком мутации £/()_) =-. q 1,(0_) = /3(0_) = £/(*, + Я/ + К3) = 150/150 ~ I А. Напряжение па конденсаторе равно напряжению на резисторе ь uc(0_) = i3(0^)R:, = 1 • 50 = 50 В. Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации: Л,.р = йпр = */(*, 4- /?з) = 150/100 = 1,5 А; <W° 1 > = W° Р₽з = > 50 = 75 В. Но второму закону Кирхгофа составим уравнение дли контура, образование^ первой п второй ветвями при I — 0^.: <|(0+)Л, + М°+) = "О = “<$-)- Поэтому яп । 150-50 rtot>.------_--------------------2 Л. Из уравнения uL-((l — г'3(О.|_)Я3 получим <9(<>+) = М«+)/Лз - ' А. По первому закону Кирхгофа <|(0+) = г^О^) +‘^(0+)- Следовательно, уо+) = ММ - ‘W = 2 - 1 = 1 А. Свободные составляющие тока и напряжения при t = 0+ определим как разно- сти между полными и принужденными величинами: “с J°+> ~ М0+) - “с ..ДМ = 50 - 75 = - 25 В; <llb(0+) = ij(0+) ~ iW(0+) - 2 - 1.5 = 0,5 А; = ‘2<°4 > - W “ 1 - 0 = 1 А; WM “ W - W = । - 1.5 = - 0,5 А. Так как свободный ток через конденсатор ‘ев “ С , то <4 tH/<ll = icu/C. В рассматриваемом примере (“«Са/‘1')г = 0+ = W»+)/C“ 1/(100-10-’)“ Ю1 В/с. Решение второй части задачи. Характеристическое уравнен** для после ком мутационной схемы pRfR-jC 4~ R| + /?3 = 0 имеет одни корень «I + Ra iw—mc Каждый ток равен сумме примужденппй п свободной составляющей Аер<1 где^ равно значению сиободиой составляющей при I — 0+ (рис. 8.18): ।! = 1,5 + 0,5с “4W" А; 12 = е- 4'иц А; /л =1,5- 0,5е А; п(; = 75 - 25е w' В. Пример 81. В схеме рпс. 8.1!) дп замыкания ключа был уетапоиннппшея рс-жН*' 250
. Qm; <oL = 3 Ом; e(/) = 127sin(«i — 50е) В; co = 314 рад/с. Требуется fteделить: I)»CB(0^); 2)закон изменения тока в цепи после коммутации, е решение первой части задачи. Комплексная амплитуда тока в ^|(Н до коммутации /"~~4 + 3/ °25’4* А‘ Мгповепное значение тока до коммутации i = 25,4sin(<of — 86'50') Л. В момент коммутации (при и/ =0) i(0_) = 25,4sirt(- 86'50') = - 25,35 Л. Принужденный ток после коммутации / г- У» Че~ f106*^ Л ,т 2+3/ ’ Л- Мгновенное значение принужденного тока - ч, = 35,2sfn(wf - 106’209 А; г„р(0+) . 35,2sin(~ 106'20') = - 33,8 А. По первому закону коммутации t(0_) = г(0 ) = — 25,35 А. Но <(0+) = <нр(0+) + *си(0+)- Следовательно, 4+0+) = i(0+) — 4iP(0+) = — 25,35 + 4- 33,8- 8,45 А. Решение второй части Задачи. Характеристическое уравнение pt + Rj = 0 имеет корень 251
Поданным первой части задачи ток и пени до коммутации (крива» / на пцг t дош/=0) i — 25,4sin(<u/ — 86’50'} А, Мгновенное значение принужденного тока после коммутации (кривая 2 ца . 8.20) ₽йс ilip = 35,2sin(to/ - 106’20') A; iCT(0+) = 8,45 А. Следовательно, (= ,п(( + <си = 35,2sin(w/ - 106’20') + 8,45е~ и“ А. Кривая 3 ий рис. 8.20 определяет характер изменения свободного вжа, крцв(| 4 — полного тока после коммутации (ординаты кривой 4 при 0 равны ординат кривых 2 и 3). Пример 82. Конденсатор емкостью С, заряженный до напряжения uf(0), замыкании ключа Л' разряжается на L и /?(рис. 8.21, «}. Вывести формулы «I ti<xrrpt^ НТВ графики изменения ио времени i, ut, когда корпи характеристического ураь нения: а)действительные; б) комилскспо-соприжеиные. R I I1 е in сине Корин уравнения />2 + Р "^ + “ 0 paiiiiu 2 1 Z> н комплексны. 1 ГЛ Они действительны при ""2 I =- -т— корни равны. Соотиетсг вующееЯти- JL Lj frioT критическим? При решении учтем, что i(0) = 0, inp = e, Pl.2 2L LC' I .-. Й LC сопряжены при I му случаю R на ис ир ~ а) Полагаем р12 — действительные корни. Тогда «CcB = »te^ + A8^ Составим два уравнения для определения А, и Аг: А| + Ag = «с(0); Р|А| + PgA2 = 0. Отсюда Рнс. 8.11 252
Следовательно, нДО) “с = - _ - (РгеР|> - Р|р₽2'); Р2 Pi I = Ср]Л|(ё',|‘ - е^'); Ид LCpfAfip^i1 — р^). Графики мс,/,«д для случая а) даны на рнс. 8.21, б. Для случая б) корни ss — в ± /<«o, где 6 = RJ2L\ ci>Q = г== Ae“ e,stn(wof 4- v). ,ICc’tok s=C — A Ce~ N [ — 6sin(w0<4-v) 4- ci»0cos(tn0i4-v)| =₽ЯСе“ Wsin(wnf4- v4-f). Здесь igP = ®q/(— 6), угол p находится во второй четверти. Из начальных условий °с(°) = 4sInv н *ся(°) = -4Csin(v 4- р) = 0. Напряжение 1£V “о Отсюда v 4- ₽ = 180’; tgv = ы0/б; slnv =» п-ГТ^Г- ~kS Г V1 + tg v Vfi2 + ®р Постоянная =Uc(0 sinv с ис = Де”6' sln(ffiOf 4- v); Графики — A'fcjL e-wsin«0( н uL = (Л® 4- u>l)ACLe e/sin(wof — v) “И0) —— е sin(w0< — v) smv u изображены на рис. 8.21, в: 1цЦ0+) = ~ «с(0). Пример 83. В схеме рнс. 8.22 ключ замыкается в третьей ветви. До этого был Становившийся режим: e(t)=E = 120 В. Требуется найти: I) /2св(0+); . "с(й(0-р. (l,«Ca/tl/W; если/?! = 50 Ом, ₽2 = 10Om.L2= 2Гн,Яэ = °50 Ом, С = 150 мкФ. Ре те и не первой части з а д а ч и. До замыкания ключа i|(0_)= У»-) = £/(Л| + Яй> = >20/(-W 4- Ю)« 2 Л. Принужденный ток после коммутации г|пр = г2пр = 2 Л. Постоянный ток через ^идепсатор не проходит, поэтому/Зир = 0. Рис. 6.22 253
От постоянного тока на индуктивном элементе нет падения напряжения, с„ вателыю, ut2|ь|1 = О. с**ч- Принужденное напряжение на конденсаторе равно падению напряжения ь от тока <211р: н(-||р = 2-10 = 20 В. По первому закону коммуга’\ «#_) = У0+) = 2 А. Но г^О,) »йц(,(0+) 4- t2J0 b), откуда ‘Л) = ММ “ Ц«»+) = 2-2 = 0; W=*W + W’ liJin i,(0+) = 2 + i3(04). Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутою кцц^у tiftpa.wuaimuio первой и третьей ветвями; 'i(0 । У?| + <з(®ч )*3 + иС (®+) = Так как ис (О.,.) = 0 и / ДО () — 2 4- j.^0^). го Е— 2Я| 120-2-50 -з<ор = ^;=^н^Г==0-2А- ! Свободная состапляклцая ‘UM=ь<°}.) - М°+>=°’2 -0=°-2 А- Чтобы определить ।), составим уравнение для свободных составляющих по контуру, образованному первой и второй вегвямн: '|ев^+)«1 + *2сЛ®+)«2 + иВг»(0+) == 0, откуда - Wi - М°+)«2= - 0,2-50 — 0= — 10 В d,2n> Но и, ~ L,.- ,, . Следовательно, ыв ‘ dt = = - iO/2 = - 5 A/c. Oi Свободное напряжение на конденсаторе при f — О^ подсчитаем но второму закону коммутации: ис (®—)= вС | “С <° {•) ~ иС НР(0+) + uC«J0+); ° = 20 + иС ев(°+)« отсюда исtt(O.p) = — 20 В. Определим скорость изменении свободной состанлиющсй напряжении на 1(011 с1вС(.й денсаторе при I = 0+. С этой целью воспользуемся тем, что -- С ———. Следов’ телыю, (Йиг,_Д к —= i;UOd )/С = °>2Л ,50‘ 10 > = 1333 RA решение второй части задачи. Характеристическое уравнен*1* P'lL2C(Rl + R.J + р(С(Мз + «1*2 + «1«3> + + «1 + «2 = 0 254
й^ет два комтЕдексшьсонряжениых корил; р = —42,1 +/15.2 с“',р2=-42,1 -/15,2с“’. Поэтому свободная составляющая должна быть взята в виде Ае~ wsin(wol + v), где в = 42,Г,®о = 15,2; А и v определяются по значению свободной составляющей и се первой производной при I = О4- По данным первой части задачи, 1а,р = 2 Л; Ы°+) = 0: »а»(°+)= — 5 А/с; «с пр =20 В; дссв(О+)= — 20 В; «ссвл(01-)—1333 В/с. Пр» 1=0 Ае B/sir>((i>ol 4- v) = Asin-v. Производная функция Ае e/stn(®ol -J- v): — Абе~ wsiii(®yf + v) -J~ Ae~ мн>0сов(а>01 v). Значение этой производной при i ~ О равно — ЛА sinv -f- «qAcosv. Найдем значения А и v для свободной составляющей тока 1г. Для этого составим два уравнения: *2сп(®+) = 0 HJIH Asinv = О; i2CB'(0_|_) = — 5 или — fiAsinv (- <i>(/lcos-v = — 5. Совместное решение их дает Л = — 0,328 Л ит = 0. Следовательно, *8 = «21-р + ;2с,. = 2 - 0.328е- 421'sin 15,2/ А. Кривая / на рнс. 8.23 выражает собой график «2 = /(/). Найдем А и v для йободной составляющей напряжения ис wCm(® | ) ~ ~ 20 или Asinv = — 20; «СJ0 ]_) = 1333 или — Msinv + wqAcosv = 1333. Отсюда А = 37,9; у = 31’52'. Таким образом, "с = "cnp + uCfB=20+37.9e-42’l'sin(15,2/-31’52')B. Кривая 2 на рис. 8.23 изображает ис = /(/). Пример 84. В схеме рис. 8.22 e(t)= 127shi (3141 4-40°) В. Параметры схемы те ‘ • что и в примере 83. До замыкания ключа в схеме был установившийся режим. Трется найти: ()<г„(0+); [^1 ; ; 2) ад. МО- 255
Решение нерпой части задачи. До коммутации ; = / 127е/4<Г ‘2т 60+ /628 0.202e-WA; q = i2^ 0,202sin(t*i—44’30'); ij(0_) «j^O J = 0.202shi(-44’30')= -0,1415 A. Определим принужденные токи и напряжения на конденсаторе после коммут- цин Входное сопротипление не и и (Я2+/шЦ) (Я3—“*£) Z„=«!+------------Г Лй+^Дг+Яд— шС 104,8е~'г60'’Ом. Тогда / 1„,=Ё1т/гВх= 127е/40’/104,8е-/9,ау= IЛЗе'то‘5<г. Мгновенное значение принужденного тока после коммутации «I = 1,213а1п(ш< + 49’50'); ‘inp(°+> = 1 213sln49°50' = 0.923А- Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и третьей ветвей 2ЙЭ (Яа+Уш^-г) (Яд—^т) Яг+ушЦ+Яз— 56,Зе-/|в*зв'Ом. Комплексное напряжение на параллельном участке 1^=1 i1.21 Зе/45’!!<>'56,Зе“/|в'35'=68,2^3,’15'В. Отсюда /2m=t/23m/Z2=68,2e;ai’I57(l0+/628)=0,IO85e-/S8*45'. /3m=68,2e'3l‘‘57(50-/21,3)=l,253e/*’w. Мгновенные значения принужденных токов /г и »з после коммутации: i2np=0,1085s i п(ы/-58“45'); ‘зчр=1,253sin(a4 +54’209; /2Hp(0+J=0.1085sin(-58’45')»= -0,0928 А; x3np(0+)= 1,253sln54°20'=l ,016 А. Принужденное напряжение па конденсаторе Ml = 1,25+/зг^21 ,Зе^г=26,7е-^'4</В. Мгновенное значение принуждеиого напряжения на конденсаторе послеком**У тации uCllp=26,7sin(4i>/-35’40'); иСгф(0+) =26,7sin(-35’40')=-l5.57 В. 256
По первому закону коммутации, = «0+Ь“<М*15^пр(0+)+М0+)! У0+)“0.0928А; 'гсДО+)=-0,1415+0,0928-~-0,0487 Л. Свободное напряжение на конденсаторе «С1>(0+) найдем по второму закону ^мутации: * М°-)"“слр(с+)+«Се0(<’+): «Сс.(М=М0 J-«Cnp(0+)“«M- 1Б,7)=1БД7 В. Для определения <^„(0^) составим уравнение по контуру, образованному первой итретьей ветвями: 'кв(°+)^1+*Зсв(94-)^а+иСс»(9-1-)=9, Заменим в нем 71в(0+) на [—0,04874-^(0^)1, и. учтя, что аСс11(0+)«=1б,57 В, получим ММ=ММ+W0+)=-W3 Л. Чтобы , составим уравнение для контура, обраэоваи- °+ ного первой и второй ветвями: откуда <»2е» <17 «UM = 9-487 В; = «UB(0+)/t“9.487/2=4,74 Л/с; Од- d"c.»' d7 = ,3с°^+)=-0.1314/(150-10~®)= -876 В/с. Од. ° Ре ш е н в е второй части задачи. Поданным, полученным при реше- нии первой части, i2np=0.l085sln(ffli-58o45'). r2tB(0)=-0,0487 А; 4b(0+)=V4A/c; «Cnp=26,7sin(wf—35*40'), ДСсе(0^)—15,57 В; <J<4)=-876B/c. Корни характеристического уравнения те же, что я в предыдущем примере. Упределвм А и v для <2св, составим два уравнения: Asinv=—0,0487; Msinv 4-<i>04cosv=4,74, 'гкуДаА=0,184А; v=—15*20'. Следовательно, rs*-i8np+»fcB=0,1085sinM-58’459-|-0,184e~'t2j,siti(15,27- 15*20') А. '5SS 257
Найдем А и v для ис«, составим два уравнения: A slm>« 15,57; —84sinv+<0(>Acosv=—876. Их совместное решение дает Л=2|,3; ¥=136*54/. Таким сбраз_. «с=«спр+иссв=26,7з1п(ш/—35*40')+2h3e_42’,<sin(15,2/+136*5£n В. § 8.28.0 переходных процессах, прн макроскопическом расс«цт рении которых не выполняются законы коммутации1. Обобщена^ законы коммутации. На практике встречаются схемы, переходу процессы в которых состоят как бы из двух стадий резко различно^ продолжительности. Длительность первой стадии в тысячи и мцд, лионы раз короче второй. В течение первой стадии токи в индуктнв, ных элементах и напряжения на конденсаторах изменяются «а- столько быстро (почти скачкообразно), что если считать t == о началом, а ! = 0+ — окончанием первой стадии, то создается впь чатление, что при переходе от t — 0_ к t = 0+,т.е. за время, напри. мер. в несколько микросекунд, как бы нарушаются законы комму- тации. Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рас. смотрим переходной процесс в схеме рис. 8.24 с начальными усло- виями иС](0_) = £, Пс/О-)в 0. Сначала при замыкании ключа через конденсаторы возникают очень большие броски токов(ограничиваемые хотя и очень малыми, но все же конечными сопротивлениями соединительных проводов Лпр), прохождение которых приводит почти к мгновенному уравне- нию напряжения на конденсаторах до значения, меньшего Е. (Стро- го говоря, если учесть сопротивление Япр, то для первой стадии переходного процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое уравне- ние будет уравнением второго порядка, один корень которого при /?пр->-0 стремится к бесконечности.) После этого начинается вторая стадия, когда параллельно сое- диненные конденсаторы относительно медленно заряжаются до на- пряжения Е. Длительность переходного процесса прйктически оп- ределяется второй стадией. В качестве примера нарушения первого закона коммутации рассмотрим переходной процесс в схеме рис. 8.15. Быстрое размы- кание ключа в первой ветви, напри мер за 10-5 с, приводит к тому, что сопротивле- ние этой ветви быстро увеличивается! ток/, почти скачком уменьшается дону* ля и почти скачком изменяются токи 8 остальных ветвях.. Таким образом,чб8 очень малое время порядка 10~Е с (от / * =0_ до t = 0+) токи резко изменяются a i(0+) 4(0+) Рис. 6.24 ‘Имеются в виду ранее рассмотренные законы коммутации. 258
Нарушение законов коммутации в формулировке §8.5, 8.6 пи переходе от I = 0_ до i — 04 объясняется тем, что процессы в гастро протекающей первой стадии и их зависимость от времени не ассматриваются. Если же первую стадию не исключать при рас* ^{Отренни, то ранее рассмотренные законы коммутации выполни- юТСЯ- Для того чтобы можно было рассчитать переходные процессы сразу во второй стадии, как бы перешагнув через первую, надо, ^.первых, примириться с тем, что при переходе от от t — 0„ до t ~ в рассматриваемых задачах законы коммутации в том виде, как они сформулированы в § 8.5, 8.6, не будут выполнены; во-вто- рых, принять исходные положения, которые позволяют определить значения токов через индуктивности и напряжений на конденсато- рах (а если потребуется, то и их производные) при / = 0+ через значения токов и напряжений при / = 0 .Таких положений (правил) два. При решении задач рассматриваемого типа они заменяют за- коны (правила) коммутации, о которых шла речь в §8.5, 8.6, и потому их называют иногда обобщенными законами (правилами) коммутации. I. При переходе от t — 0_ до t = 0+ суммарное потокосцепле- ние каждого замкнутого контура после ком мутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений. Это положе- ние следует из второго закона Кирхгофа и доказывается от против- ного: если допустить, что£^ некоторого контура изменится скач- ком, то в уравнении для этого контура, составленном по второму закону Кирхгофа, появилось бы слагаемое(Д У^/А/)д,_>0-»-оои вто- рой закон Кирхгофа не был бы выполнен. Суммарное потокосцепление представляет собой алгебра- ическую сумму произведений токов ветвей этого контура на индук- тивности их индуктивных элементов (в общем случае с учетом маг- нитной связи с другими ветвями). Со знаком плюс в эту сумму входят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контура. 2. При переходе от t — 0_ до / = 0+ суммарный заряд £ q на обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу после- дом мутационной схемы, должен остаться неизменным. Если этого выполнить, то суммарный ток, проходящий через конденсаторы, бил бы бесконечно большим (стремился бы к бесконечности), бес- конечно большими были бы токи и через другие ветви, присоединен- "Ые к этому узлу. Это также привело бы к нарушению второго 3^кона Кирхгофа, „ Пример S5. В схеме рис. £.15 до размыкания ключа был установившийся режим. и''Рьделить ток в цепи после коммутации. 259
Решение. Послекоммутационная схема рис. 8.15 имеет всего один контур По первому закону (правилу) коммутации: Li (0_) + L2 Г2 (0_) = i (0+) (L 4- L2); i (0+) = {1/(1 + M[L«(0_)+ £2ie(0_)). Закон изменения тока при i 0+, если считать, что до коммутации был уста, повившийся режим. £ ГЕ 2l + ^2 2R + |з₽ L + L2 —1 2/?] е t + l2 . Не рис. 8.25, а, б показан характер изменения токов для схемы рис. 8.15 в долях от Е/R при L = 3£г(Ег в правой ветви). Пример 86. Определять закон изменения напряжений ис, и иС2 при замыкания ключа в схеме рис. 8.24. Решение. В схеме известны uct(0—) = Е\ дсг(О+) =• 0. По второму закону (правилу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько надососта- вить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа): uCi = «c(0+) = (С, + С2), отсюда ЕС, Uc(O-l-) = uCl (®+) = UC2 (Оц-) = _|_ р Прн<>0+ t цс = цСпр + “ссв = ^-^ё, + Сае *(С| + С2)- Характер изменения ад и исг показан на рнс. 8.25, в, г. В заключение обратим внимание на то, что, допустив при пере- ходе от i = 0_ к t = 0+ скачкообразное изменение токов через ин- дуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений из конденсаторах, тем самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля индуктивных элементов и энергии элект- рического поля конденсаторов. Суммарная энергия электрического и магнитного полей пр1’ t = 0+ всегда меньшесуммарной энергии при t = 0_, так как часть запасенной энергии расходуется на тепловые потери в резистора^ искру при коммутации, электромагнитное излучение в окружав' щее пространство. 260
Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета приходных процессов в линейных электрических цепях — опера- торного метода, вспомним некоторые известные положения, § 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно, что для вы- полнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользо- рзться логарифмами. Действительно, операция умножения сводится к сложению ло- гарифмов, операция деления — к вычитанию логарифмов и т. д. faKMM образом, произнести расчет легче в силу того, что сравни- тельносложная операция сводится к более простой. Каждому чис- лу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рас- сматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2. § 8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций. С понятием изображения встречаются также при изучении символи- ческого метода расчета пеней синусоидального тока. Согласно сим- волическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так, — изображение синусоидального тока lm sin (ш t + ф). Между изображением числа в виде логариф- ма и изображением синусоидальной функции времени в виде комп- лексного числа имеется существенная разница. Б первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изо- бражении функции времени. Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений сину- соидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени (сверти операции расчета цепей синусоидаль- ного тока к операциям, изученным в гл. 2). § 8.31. Введение в операторный метод. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций вре- мени. В операторном методе каждой функции времени соответст- вует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наобо- рот— функции переменной р отвечает определенная функция времени. Переход от функции времени к функции р осуществляют с по- мощью преобразования (прямого) Лапласа. Таким образом, операторный метод расчета переходных про- весов представляет собой метод расчета, основанный на преобра- зовании Лапласа. Операторный метод позволяет свести операцию дифференциро- вания к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это Облегчает интегрирование дифференциальных уравнений. 261
§ 8.32. Преобразование Лапласа. Условимся под р понима комплексное число р = а 4- jb, (3<2^ где а — действительная, a jb — мнимая части комплексного чцСл. (в ряде книг вместо буквы р пишут s). В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой Ко- эффициент Ь с учетом знака условимся называть не коэффициен- том при мнимой части комплекса (чем оп в действительности явля- ется), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДг заряд) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствуй функция F{p), называемая изображением, которая определяется следующим образом: “ (8.25) О Соответствие между функциями F(p) и /(/) записывают так: Г(/0-7(0- (8.26) Знак «—’» называют знаком соответствия. Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечности. Интегра- лы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получа- ют конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. В курсе математики доказывается, что интеграл (8.25), в состав которого входит функция е~р' — е~о(е^', сходится только в том случае, когда модуль функции /(/), если и увеличивается с ростом /, то все же медленнее, чем модуль функции ер/, равный еп/. Практически все функции /(/), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют. Составим изображения некоторых простейших функций. § 8.33. Изображение постоянной. Требуется пайп! изображение функции /(() = /!, где И — постоянная величина. С этой целью, ” (8.25) вместо f(i) подставим >1 в проведем интегрирование: со F(p) = \Ae-pt<ii = A о Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, Де' ленной на р: А~А/р. (8.2?) 262
§8.34. Изображение показательной функции е“‘ Вместо /(/) в $.25) подставим е“': о& оо F (Л) = (е” e-₽'df =Л е-'<* - «) d/= (- ——) X J J р —« о о о р~* | —L_(0 - 1) = —!— p р-а' р — а Таким образом, (8.28) е°' =--- • р-р При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е. д>а. Только при этом условии интеграл сходится. Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней « =/<ч , получим е/“' = 1/(р-/Ъ). (8.29) Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплек- са синусоидального тока: /ше; +*) = /те/ш( С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число /т: , е/- = / -X- <8-30> m ’ т Р — № Аналогично, изображение комплекса синусоидального напря- жения (8.31) у >' = у — m . m р — /о Функции е~п< соответствует изображение !/(р +а): е-* = 1/(р+а). (8.32) §8.35 . Изображение первой производной. Известно, что функ- ции /(/) соответствует изображение F(p). Требуется найти изобра- жение первой производной df(t) fdt, если известно, что значение Функции f(t) при / = 0 равно /(0). Подвергнем функцию d/(/>/d/ преобразованию Лапласа: $£nre~₽,<u=Se“''dl/{/n о о 263
Интегрирование произведем но частям ^udo = uv — $и<1н. Об0з начин е_р' = и и с! [/ (/)] = do, получим J е-и d[/ (01« е-"7 (0 I - J J. о 0 и Но е-р7(/)^о-/(О)=-/(О). о а — J f V) de-p/ = р J / (/) di = pF(p). п о Таким образом, со J d( о (8.33) или df(t)/dt^pF(p)-f{0). (8.33а) элементе. §8.36 . Изображение напряжения на индуктивном Изображение тока /равно/(р). Запишем изображение напряжения на L: u, — L ~. По формуле (8.33а), di/d/ = pl(p) — i(0), где/ (О)1 — значение тока i при / = 0_. Следовательно, L —=£₽/(/>)-/л (0). (8.34) Если /(0) = 0, то (8.34а) L 4;= Q1 §8.37 . Изображение второй производной. Без вывода дадим формулу =72f (₽)-₽/(0)- не (8.35) ’Для сокращения записи вместо г'(0—) пишем /(0); i(0) может быть и положитель' пой, и отрицательной величиной; /(0) положительно, когда направление тока совпа- даете произвольно выбранным положительным направлением послекоммутацион- ного тока в индуктивном элементе L. 2G4
Следовательно, изображение второй производной тока I §8.38 . Изображение интеграла. Требуется найти изображение функции J /(/) df.если известно, что изображение функции /(/) рав- йоЛР>- , Подвергнем функцию ^/(l) d/ преобразованию Лапласа: о (1 j / (/) d/ =u; d(c“f") = <1и и возьмем интеграл но частям: о и о О (0 , <!_________ Нр) р р Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов обращается в пуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию /(/)(см. § 8.32) функция /(/), если и растет с увеличени- ем /, то все же медленнее,чем рабтет функция е"', где а — действитель- пая часть/?. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет J - (вращения и нуль| [ (/) d/. Следовательно, если /(/) == /'(/?),то ' (8.36) О § 8.39. Изображение напряжения па конденсаторе. Напряжение "а конденсаторе и(: часто записывают в виде ис~— ^td/, где не Указаны пределы интегрирования по времени. Более полной явля- йся следующая запись: ' о 2(>Г.
где учтено, что к моменту времени I напряжение на конденсат^ определяется не только током, протекшим через него в интерца^ времени от 0 до I, но и тем напряжением ы^О)» которое на нем при i = 0. В соответствии с формулой (8.36) изображение о равно 1{р)/Ср, а изображение постоянной W-J0) есть постоянная деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсатор^ записывают следующим образом: ./(р) «сСФ1 ‘ сР + р Приведем простейшие операторные соотношения; часть их бу. ла выведена ранее, другая дается без вывода: (8.37) u,. 1)----=е-; р - а 2)—' -=е-“(; р + а 3)-------— .'е1 р - /со 4)-7 * =1 -с-"1; Р (Р + п) Б) 1 . = fe~aJ; (р + а) 6) z = 0 -а/) (р + а)2 7> , ,агЦп-*-я,(1 + «ПВ pfp-J-ay vf S) — -------= ~ Р (р + « ) а Р У\р+с)(р+г>)- а—ь I - 1п ~ ’ Н)—= (Р + а)3 2 15)-------= . 1 , Z" _ 1 е”п'; 16)-=-^—»7=-sh at; р — и. а 17) , = eh<rf; р — (Г 18)—т-—= = —sin и!; п2-l аа и <? + «2 ' 1 (ае-°'-~Ле-м); Для сокращения записи вместо «Д0_) пишем МО); МО) может быть и поло' жительной, и отрицательной величиной. В формуле (8.37)ас(0)считасо1Ч1оложитеЛЬ' кой величиной, если направление сг^О) совпадает с произвольно выбранным поле жптелыгым направлением послекоммутационного тока через конденсатор. 266
р , ___________ 1 Л? + *2)(Л2 + *’Г *2-«2 ^(cosni — cos Ы); «и*---—о=т &~а> sin bl; W{p+af + b* b 01=6(0, 1 1 y/p ' yfni ’ e “ 27)---=1 - Ф P ‘ где Ф — интеграл ошибок Гаусса; -oi/Д I _£L 28)—= 7== е «; р ул/ 29) _ e»Ve2+W t г-s—=- f-n--=е”Л)Л §8 .40, Некоторые теоремы и предельные соотношения. 1. Творе- на смещения и области оригиналов (теорема запаздывания). Если изображение функции /(/) равно Е(р), то изображение функции /(/ — т) равно e~p,F(p). Теорема доказывается путем подстановки f(t — т) в формулу преобразования Лапласа и введения новой переменной t — т = di = d^, e-^—e^e-^i: СО ОЙ Г е / (/ — т) dx = е~рт e₽,i / (/,) d/, - е_#гг F (р). о и Пример на применение теоремы см. в §8.60. 2. Теорема смещения в области изображений. Если изображе- нию функции F(p) соответствует функция f(t), то изображению F(p — А) — функция ew/(/)- Доказательство проводят путем подстановки функции ех/ f{f) в формулу преобразования Лапласа: № <Х> J е-₽' ew / (/) df = J е-'О’ / (/) di = F (р - А). о о Примср87. Найти оригинал \/(р + 1)в, если известно, что 1/рЕ == I. Решение; \/(р + I)2 = е~п t. 3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Если Функции /(f) соответствует изображение F(p), то функции / (А/) — Изображение -^F [—) . 267
Теорема доказывается следующим образом: «5 t /(at) dt = Де(«0 <!(«0 = - 1 (-) J с J а « о о 4. Нахождение начального значения функции времени ДО k),lf) изображению функции F(p); /(0+) =lirnpf(p) р-»- оо Эго соотношение получают, если в (8.33) р устремим к бсскоцСч. пости. При этом левая часть (8.33) равна пулю. 5. Нахождение установившегося значения функции времени /(оо) по изображению функции F(p): /(оо) =limpf (р). г-* о Соотношение получим, если в(8.33)р устремим к нулю и учтем, что е“Д'и = 1 . В результате имеем со ((1Д0 =/(оо) —/(0) — lini pF(p) -/(()), о "-о или /(/) =lh»pF(p). t -* W р -* II Если искомая функция /(Г) в послехом мутационном режиме содержит испоен составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), го иоиигис /(оо) для нее оказывается неопределенным. Например, не цмеет определенного смысла функция sin wf при t = со. В соответствен с этим к цепям с сииусондйльни- ми источниками не следует применять предельное сгхиткнпсннс ii. 5. Точно гак же нс следует пользоваться им ДЛЯ цепей без синусоидальных псточпикон, если эти це»Н чисто реактивные к нс содержат резисторов. Так, при подключении Послсдователы’" соединенных !.н С(нри пулевых начальных условиях) недин»<1Ш)му напряжению !(/> , /И по пени протекает свободная составляющая тока, численно рапная уС/L sin В этом случае определять /(<») как НтpF(p) также ле имеет смысла. ₽-0 6. Дифференцирование в области изображений. Если f(P)^ J Г* J у =/(/), то — —--= tf (t). Доказательство: 26Я
Например, если/(о = e-o,;F(p) =—;—; = —-— Р + ® «Р (р 4- а)" 7. Интегрирование в области изображений. Если при /(О “ ^0 /(0 и -у— преобразуемы по Лапласу и J F(р) Ар существует, р то J/4₽)dp==‘^. Доказательство: W DO Jf(p)dp = J р о ао о d< = « L J р с Например, если f(t) = i - гп|(а>0), г (p)=*p(py 1 ~e-of -7 а л 7 г1 1 1, <р±о) i Jp(p4-a) J Ip p + а p p ₽i J §8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На рис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами а и b этой цепи включена ветвь, содержащая R. L, С и источник ЭДС е(/). Ток по ветви обозначим через I. Замыкание ключа в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток i = <(0_) и напряжение на конденсаторе ис — )• Выразим потенциал точки а через потенциал тонкий для послекоммутационного режима: Ч>а=Фб+«с+“£+«я-е(0; иаь =4>й—4>j = + +uc — e(t). 269
Вместо и, запишем с-77, вместо ис соответственно ис(0)-f.lt _ о Тогда t «„о - т "I- L~ + M°) b ~ J r-Ч/ - <40, (8.3B О ’ « К уравнению (8.38) применим прсобразонаннс Лапласа. Пре^ разевание Лапласа является линейным, поэтому изображен не ty^ мы равно сумме изображений. Каждое слагаемое уравнения (8.38) заменим операторным ц3(К Сражением: вместо iR запишем RI(p)', вместо аяй — t/ot,(p); di . «с (°) t - = Lpl (д) - Li (0); «(: (0) == —, Г G J Cp 0 В результате найдем ( I ) M°) (8.39) UM=I(p) U+^+— -Li(O) 4——~--Е(р). Cp l p Смысл проведенного преобразования состоит и том, что вмести дифференциального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнение (8.39), связывающее изображение тока !(р)с изображе пнем ЭДС Е(р) и изображением напряжения Ual!(p). Из уравнения (8.39) следует, что «г(0) Uab (д) 4- Li (О) - — 4- Е (р) (8.40) ,0”------------гаг---------- 1 где Z (р) == R -\-pL +~~ — операторное сопротивление участка не* Ср пн между точками а и Ь. Структура его аналогична структуре ком плекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если /« заменить на /?(ср. с § 8.13). Как указывалось в § 8.13, комплексное число р — а -|- jb може' быть записано в виде р — f(b — /а) = / а, где Q — b — /« — комп лексная частота; Z(p) = Z(/Q) — сопротивление,оказываемое рае сматриваемой цепью воздействию U eiUI=U epl, подобно тому ка* Z (/«) есть сопротивление, оказываемое воздействию U еА”'. Поэт0' му Z(p) называют сопротивлением на комплексной частоте. Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в оператор' ной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано «Р11 ненулевых начальных условиях. Слагаемое Л«(0)представляет собой внутреннююЭДС,обусло^ 270
Рис.а.27 ценную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки рследствие протекания через нее тока 1(0) непосредственно до ком- мутации. Слагаемое иД0)/р представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсато- ра вследствие наличия напряжения на нем и^О) непосредственно до коммутации. В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.27 изображена опе- раторная схема замещения участка цепи рис. 8.26. Операторные сопротивления ее R, pL, [/(Ср), Как следует из формулы (8.40), рнутренняя ЭДС Li{0) направлена согласно с направлением тока /(р), внутренняя ЭДС Ur40)/p — встречно току 1(р). В частном случае, когда на участке ab отсутствует ЭДС e(i) и к моменту коммутации t(0) = Он u^O) = 0,уравнение(8.40)приобре- тает более простой вид: l{p)^Cob(p)/Z(p). (8.41) Уравнение(8.41)есть математическая запись закона Ома вопе- раторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях. § 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По перво- му закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла о схемы рис. 8.26 А “Ь j 4- 4 — 0. (8.42) Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и вос- пользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображе- /,(Р)4-/(р)Ч-/,(р)=0. В общем случае £/(₽)= 0. (8.43) Уравнение (8.43) выражаетсобой первый закон Кирхгофа воле- ^торной форме. 271
§ 8.43. Второй закон Кирхгофа в (д. раторпой форме. Для любого замкну^' го контура Любой электрической ц(?п можно составить уравнение ио вторщ? закону Кирхгофа для мгновенных зна^ ний. Предварительна необходимо |,К] брать положительные направления токов и ветвях и направление обход., контура. Запишем уравнение по второму 4а. кону Кирхгофа для контура рис, 8.2ц Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности L( Г2связаны магнитно. При выбранных положительных направлсвц. ях для токов»( н /2 между L, н С2 имеет место согласное включение. . *l/| df2 Падение напряжения на Lt равно Ц-ч-Al—: па цсоставляв tl/rt 41. л /,а— Ч-Д1 — При составлении уравнения учтем, что начальное на. пряжение па конденсаторе равно Пусть оно действует соглас- но с током /д. Начальное значение it ~ /,(0), тока А, = ь/0). Имеем <W. df2 1 ' + Л’ 77 + р<:(01 р с V:'"'" - ' 1} <h2 dl, (8.44) - ^77 - Л) д7=₽i (') - ‘•nW Каждое из слатаемых(8,44)заменим операторным изображением: (Ь2 о Ср~' (8.45) <lr? . ^77 ~ - /-л(о); Al — 272
Подставив (8.45) в (8.44). объединим слагаемые с /t(p), /,(р). . ip\ перенесем и правую часть мс(0)/р. £.,/,(0) и другие внутренние ЗдС. В результате получим Л<£’)^|(/’) + ^(p)Z2(/>) 4- !.Ip)ZAp) = = ад.) - E-JLp) + £„(/>). (8.46) где ад) = /Ui - АП; ZAP) = р{М - L,)- zap) = t/a'p)- ^,(P) = (/-,— А) УДО) + (Л1 - LJ/2(0) - «,-(())//;. В более общем виде уравнение (8.46) можно завися гь гак: £Л(Р) Zt(p) = £Eft(p). (S-47) Уравнение (8.47) представляет собой математическую запись цгорого закона Кирхгофа в операторной форме. В состав /:\(/э) в общем случае входят и внутренние ЭДС. §8.44. Составление уравнений для изображении путем исполь- зования методов, рассмотренных в третьей главе. Из уравнений, {’оставленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вы- текают соответствующие уравнения для изображения. Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помощью символического метода для комплексон токов it напряжений. Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответ- vTnyTOtti.ee сравнение для изображений, го все основанные па зако- нах Кирхгофа приемы и мегоцч составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенция- •'н>в. наложения н г. и.) можно применить н при составлсппи урав- нений для изображений. При составлении уравнений для изображений ненулевые на- чальные условия учитывают путем введения 'внутренних'* ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и "чальными напряжениями ня конденсаторах. § 8.45. Последовательность расчета операторным методом. Ряе- ll'T операторным методом сое пип пл двух основных этанов: I) со- ^авления изображения искомой функции времени; 2) перехода от '13ображепия к функции времени. На нескольких примерах покажем, как производится первый ЭТа’>. Второй этап будет рассмотрен в§8.47. j. Пример В схеме рис.К.29 при нулевых начальных услипнях замыкают ключ. Х’Танвгь miepaioiHihic изображенья токов л и i;t. пользуясь методом контурных nKi)n 273 la~5es
Решение. Направления контурных То и 4’22 показаны на схеме. Имеем: *’<>& di] । '11^1 + eW- ~г 'i '22*^ + /?2 (*22—i] 1) «= 0. V J Переходим к изображениям: ^ц(р) (p^-i + Лi + Rg) — ^(pJRj — £(р), -Л.т +МР)(*г + ^) = 0- Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает: Е(р)(1 + R2Cp) (8.48) ~ p^R^C + p(RlR.iC + L.) + Rt + R2' _____________£{P)^Cp___________ (8.49) 22 P) p^L'C 4- p(RtR2C + Lt) + R, + R2‘ Изображе пне контурного тока 1 п(д) равно изобр а жению тока I t(p), изображение /,^р) — изображению/3(р). В(8.48)и(8.49)Е(р)естьизображениеЭДСе(0. Еслпф)=; = Е, то Е(р) = Е/р, если ф) — Emsin(/eZ 4- <р), то Е(р) — Ёт? ’^ja и т-д- Пример 89. Составить операторные изображения токов I, и i3 схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа. Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-свя- занных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще , чем по методу контурных токов. Изображение тока /,(₽) = WZJp). где Zbx(p) — входное сопротивление схем ы в операторной форме относительно за жи- мов йЬ. Его определяют так же, как входное сопротивление для переменного тока, только /и заменяют на р. Входное операторное сопротивление _ P^CRz 4- P(£| 4- R,R2Q 4- 4- Rj !4-RsCp — Ri + Р^г + 1 Следовательно, ВД(1 -р R.2Cp) Е(р) =__________£(Р)(1 4- R.2CP)______ (8.48^ ' Р ~ P2LtCR2 4- P<Li 4- Я1ВД 4- R| 4- R2' уравнение (8.48a) совпадает с уравнением (8.48). Найдем изображение /3(р). С этой целью выразим 13{р) через /((р) и операторвь* сопротивления второй и третьей ветвей. Воспользуемся аналогией с lrepeмeнHЬI’, током. Для переменного тока '3“ЛЯа+ 1/0ыСУ 274
. „едовательпо, L— *2 Если в нослсдаес выражение надставить l^pj из'уравнения (8.48а). то Рулет „пучено уравнение (8.49). 1 Таким олразом, безразлично, каким способ»* составлять изображение токов: результат будет одинаков. Примерно. Для схемы рис.8 29составить изображение напряжении на зажимах се,если считать, что начальные условия нулевые (как в примере 89). Решение. Изображение напряжения па зажимах се ревно произведению изображения тока 1^р) па операторное сопротивление конденсатора: J__________________________________ (8-50) бр p(^[RjC Ч- L|) -J- /?| + § 8.46. Изображение функции времени в виде отношения fj[p)/M(p) двух полиномов чостепеням о. Для тока /п(р) в примере 89, если принять Е(р) = Е/р, то N(p)=E(i + R2CpY, М(р) + p[R.RtC + £J 4-/?, + P2l-7. Если в том же примере принятье^) =Emsin(w/ 4-хр),то ад а£'"^_/-(Ои N{p)=Em(l+R2CPy, М(р) —(Р — /“Мр2 ?«^|С +р(/?|/?гС + Lt) + /?| + /?г]- Обозначим высшую степень оператора р в полиноме N(p) через ч, а высшую степень р в полиноме М(р} — через т. Часть корней уравнения М(р) =0 обусловлена характером из- менения во времени возмущающей силы, воздействующей на систе- му; остальные корни обусловлены свойствами самой цепи, ее кон- фигурацией и значениями параметров. Если исключить из рассмотрения сверхпроводящие электриче- ские цепи, то во всех физически осуществимых электрических цепях t < tn. Лишь для физически может оказаться npt воздействии любых ЭДС всегда п Исесущертвимых электрических цепей степень п Равной т. Пример цепи, для которой степень п Равна степени т, дан на рис. 8.30. Если Читать, что сопротивление проводов и внут- реннее сопротивление источника нулевые, го Е/д ЕСр Рис, 8.30 275
§ 8.47. Переход от изображения к функции времени. В § § . указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессор помощью операторного метода является переход от изображения С функции времени. Эту операцию можно осуществить различны^ путями. Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени /. Часть форуу“ соответствия приведена в § 8.39. Б научной литературе имеютСя специальные исследования, содержащие большое число формул соответствия (1518), охватывающих все возможные практически задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться Б том случае, когда средн корней уравнения Л1(д) =0 есть несколько одинаковых (кратные корня). Второй путь состоит в применении так называемой формулу разложения. Формула разложения в § 8.49 выведена, исходя из предложения, что уравнение М{р) =0 не имеет кратных корней (при наличии кратных корней формула разложения записывается иначе — см. § 8.50). Третий путь — непосредственное применение формулы обрат- кого преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. § 8.50). Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени. Рассмотрим два примера на применение формул соответствия, а затем — после рассмотрения вопроса о разложении сложной дро- би на простые — перейдем к выводу формулы разложения. Пример 91. В схеме рис. 8.31,а ток источника тока линейно нарастает повреме- ни: j(t) — 2,5/ А (рис. 8.31, б); R = 40 кОм, С = 2 мкФ. Определить закон изменении во времени тока h через резистор R. Решение. Изображение тока /(/) равно 2,5/pz (см. соотноо1ение 12 § 8.39). Сопротивление параллельно соединенных R, С Z{P} = RCp+Г Изображение тока через R гдед= 1/(ЯС) = 12,5 с . 276
[71йсно соотношению 8 § 8.39, —‘------= ~-~2Р р\р 4- а) и и2 = 2,5|( —0,08(1 - с~|2Л)1 А. Пример 92. В схеме рис.8.31, ви(0 = 100е ~и1 В, еде а — 0,5c—l; R — 2 Ом; L = (н- Найти I = Ц1} и U; = f(i), а также значения i и ut при t = I с. Решение. Согласно соотношению 2 § 8.39, функции о ~~и1 соответствует изо- пряжение 1/(р + в). Следовательно, ад=^4-рм / Цр)_ 100 = 100-1 W Z(p) (р + a){pL 4 /?) Up + «)(р + ьу •— = 25 А/с; b = R/L = 0,5 = а; /(р) = 25 1—5. ь (р + «Г По соотношению 5 §8.39---—х—te Поэтому i(t) = 25te (₽ + «)2 ‘ Напряжение па L: uL = L~~ - 10Ge -o a(I - 0,50 При I = 1 c i = 25- le-05 = 15,15 A; u-l = lOOe - 0,5) = 30,3 B. § 8.48. Разложение сложной дроби на простые. Из курса мате- матики известно, что дробь N(x) _ + «n-ix"~ 1 + • + Д|Л + «о (8.51) MU) ~ bmxm + + ... + btx + при условии, что п <; т и полином М(х) = 0 не имеет кратных кор- ней, может быть представлена в виде суммы простых дробей: N(x} I 1 1 ЛГ(л') 1 х — xL + 2 х — х2 х — (8.52) Или 4=|tX_A*’ гДе xft — корни уравнения Л((х) = 0. Для определения коэффициента А} умножим обе части уравне- нчя (8.52) на (х — xj. В результате получим Мх) h’m I <853) А аа 277 ।
Рассмотрим выражение (8.53) при л-*-х,. Правая часть урав^ ния равна At, а левая представляет собой неопределенность, т ' как множитель (х — х() при х-к^ равен нулю и знаменатель при х = х, также равен нулю[х, есть корень уравнения М(х) = щ * Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С эт™ целью производную от числителя разделим на производную отзЬд менателя и найдем предел дроби: (г — x,)W(x) М*) + (* - w(xi) liid t . ““ lim .... . gifj M(x) M'W ЛГ(х.) где Af'(x)—производная отЛ1(х) по x ЛГ(х)— значение М'(х) при = Хр W(xj) — значение N(x) прн х = хР Следовательно, из (8.53) при х->х, получаем уравнение ^(Х|)/ЛГ(х,) = Ар (8-54) или А, = ^(х^/ЛИх,). (8.55) Аналогично, А, = N(xk)/M'(xk). (8.56) Таким образом, W(x) W(X|) 1 ВД I N(xn) । (8.57) Л4(х> х — Х| Л1'(*2) X — Х2 1 A1'(xffl) х - Хет’ или N(x) t <858) A,W Пример 93. Найти коэффициенты разложения дроби 1/(х2 4- 5х 4- 6). Решение. Корни уравнения Л1 (лс) = 0: х. = —2, х2 = ЛГ(х) = 2х 4- 5; ЛГ(х,) — - 2-2 | = jl, М'(х2) = - 1; N(x^N(x^ = 1. По формуле (8.56), Л, = W(x1)/^(x1) = 1/(+ 1)=4-1; Л2= N(x2)/M'(x2)= - 1. §8.49 . Формула разложения. Переход от изображения N(p)/Ml$ к функции времени часто производят с помощью формулы М(р) L 1 я = 1 (8.59) которую называют формулой разложения. 278
Левая часть формулы является функцией р, правая часть — о0тветствующей ем функцией времени t. Вывод формулы можно осуществить следующим образом, гтусть изображение какой-либо функции времени, например тока. Для получения тока как функции времени i(i) представим сна- чала Щр)/М(р) в виде суммы простых дробей — разложим ^(р)/Л1(р). С этой целью в формуле (8.58) заменим х на р: „ . "И "<?»> I___________ -8'60’ Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой час- ти является £(/). Оригинал правой части равен сумме оригиналов ее слагаемых. Учтем, что множители К(рк)/М'(рк) у слагаемых суммы правой части (8.60) есть постоянные числа (не функции pl). Кроме того, функциями р в правой части являются только множители 1/(р — рк)‘, им соответствуют функции времени вида е [см. фор- мулу (8.28)[. Поэтому (8.61) * = । к Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функции t)c помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что изобра- щРЛ 1 жение представлено в виде суммы простых дробей ^р_р , а 'оригиналами их являются показательные функции М'(рк) Число слагаемых е^' равно числу корней уравнения W*) М(р) =0. Коэффициенты N(pk)/M'(pk) можно сопоставить с посто- янными интегрирования дифференциального уравнения (уравне- ний) цени в классическом методе расчета. Если среди корней уравнения М{р) =0 есть пулевой корень (р =0), то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слага- емое е т = N'tyy Слагаемое представляет собой со- ставляющую искомого тока (напряжения), обусловленную посто- янными вынуждающими силами. Если постоянных вынуждающих сил в схеме нет, то =0. Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61). 1. Формула разложения применима при любых начальных усло- виях и при любых практически встречающихся формах напряже- ния источника ЭДС или тока, воздействующего на схему. 279
2. Если начальные условия не нулевые, то в состав Л'(д) войду внутренние ЭДС. 3. Если уравнение М(р) =0 имеет комплексно-сопряжен^ корни; то слагаемые, соответствующие им в формуле (8.61), ока^ ваются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действи тельное слагаемое. 4. Если воздействующая на схему ЭДС синусоидальца £msin(i»/ фф) и изображение ЭДС взято в виде fcw J J где комц, лексная амплитуда E„t — Е„.к\то при использовании формулы раз. ложеиия из праной части ее для перехода от комплекса к мгновеЦ. ному значению следует взять коэффициент при / (нзять мнимую часть)1. В соответствии с этим внутренние ЭДС, которые появляют- ся в праной части формулы разложения при ненулевых начальных условиях в цепях с синусоидальной ЭДС должны быть умножены на коэффициент /. Умножить внутренние ЭДС па / необходимо потому, что только в этом случае наличие этих ЭДС будет учтено при взятии мнимой части от правой части формулы разложения. В цепях с постоянной ЭДС внутренние ЭДС умножать на / не нужно. 5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то принужденная составляющая решения входит в число слагае- мых £ Мдд) М'(рк} e'V и определяется корнем р=/<н. Вычисление при нужденной составляющей в виде члена этой суммы, соответствую- щего корнюр= /ю.для сложных схем в большинстве случаев более громоздко, чем непосредственное вычисление ее с помощью симво- лического метода. Поэтому дли сложных схем переменного тока принужденную составляющую рекомендуется вычислять символи- ческим методом. С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно опреде- лять не только токи и напряжения, но и многие другие функции времени: заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела механической системы и т. и. Пример 94. Определить ток Щ/) н схеме рис. В 17 с помощью формулы разложи нии и сравнить с результатом решении классическим методом (см. примерно,), если I: = 150 В; R = /?|' ^ ,= 50Ом; С = 100 мкФ;йс(0) = 50 В. И с ш с и и с. Составим нослскоммутациокпук! операторную схему (рис. 8.32b имен и виду, что начальные условии ненулевые. BuyijieiiHHU ЭДС w.(0)/p iiotiiojiiic1 учесть, что ди коммутации конденсатор был заряжен до напряжения «с(О) током & поэтому опа направлена встречно току f'Jp) Узел 0схемы заземлим . 11<»тепциал y-',Ji;i / обозначим <н(р) и определим его по методу узловых потенциалов. ’Мнимую, а не дейстнительную часть из формулы разложении берут потому, и11’ заданна» ЭДС /^sinfarl -|- ф) есть мнимая часть комплекса £ме ihtt (см. гл. 3).
E f "с<°) р R, + p P Ф|(р) - £+c'4 po закону Ома для участка псин с ЭДС, 0 - + Ь'/Е Л(Р)" Рис. в.32 ^1 fjocJic преобразований {£ — Кс(0)|ЯзСр + С N(p) [U” “ р(Р,К3Ср + Rk + Ra) ~ М(р) уряннепис Л1(р) « 0 имеет корим /? НН Pt = 0 " Р2--~R~R С ~ ~ 400 С” ’ I 3 поэтому R(p,) = £ = 150; N(pz) = (150-50).50-100( -400). 10-е + 150 «= -50: ЛГ(р) = 2RjR3Cp + Rf + R3; Af '(p,) = 100; ЛГ(р2) = -100. Ток в схеме рнс. 8.18 w - +{~(ХГ=,s+A- что совпадает с результатом примера 80. Пример 95. Найти л(/) в схеме рис.8Л9путем применения формулы разложении и сравнить рузультат с результатом решения тон же задачи классическим методом {см. пример 81). Решение. Изображение синусоидальной ЭДС 127 sin (314(—50°) £(₽)=£„— — гле Ё" =127е"^‘ В. тр—~/ы т В схеме ненулевые начальные условия: Кр) (Л22+рЕ)=Е(рН^*(П) iI0L.y=-25,35 А. Так как действующая всхеме ЭДС синусоидальна и изображение ее взятов виде ^тр~/ы^т — комплексная амплитуда), то в дальнейшем от правой части форму- лы разложения следует взять коэффициент при мнимой части (см. п. 4 § 8.49), Поэтому умножим внутреннюю ЭДС JLi(O) на ]. После небольших преобразований найдем N{p) {Р)~ (p-i^Rz+pi-'l ~ М{р) 281
Следовательно, N(f>)=En+iLi(0)(p—/ш); М{р}=^Р~-jw)(R2-l-pL). Уравнение М (р)—$ имеет корни 1 и р2=—/?2/£=—210с-1, поэтому ЛГ(р)=^+р£(р-/Ы);Л1'(р1)=2+3/-3,61е/66'’ИУ; Л1'(р!г)=-3,61е/56’2О'=3161е-/,23‘да; N(p^ 127е~^- N{p2}^ 1 27е“'№"+ Ц -210-/314Л-25,35)=5,4-/46,4=47.1 е-'83"21'. о 14 Ток Г127е7М-5О”) 47Je-^- П’[ 3.61e^w +3.6le-'t234,1'e =35,2sin(w/— J06e20,)+13,lsin40“16'e—2|й Л; I3,lsin4fl®16'=8,45. Результат совпадает с результатом примера 81. § 8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени/(0 может быть использовано обратное преобразование Лапласа: н-/« (а) /(0 = 2^ $ F{P)^dp v—jm Функция F(p) аналитична в области Re р> v и стремится к нулю при | р |-> оо. При практическом использовании этой формулы ин- теграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменя- ют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции F{PY Г (№‘*Р- Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается в бесконечность. В том случае, когда F(.p)=N(p)/ М(р\ полюсами являются корни уравнения Л1(р)—0. В теории функций комплекс- ного переменного доказывается, что правая частьформулы (б) рав- на сумме вычетов (Res) подынтегральной функции во всех ее полй сах, т. е. f(p)e₽1dp=;£ Rcsf(p)e/''. Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, Н* которую уменьшается разделенный на 2л/ контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот и° a N(p\ N(f>k) nJ люс. Но вычет функциив простом полюсе pk равен 282
Поэтому Л? Щрь) =i Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, йЬ1вели формулу разложения (8.61), 2. Зап ишем формулу разложения при наличии кратных корней, уложим. что уравнение М(р)=О имеет простых корней <Pj, Ръ корень рг крат пости г и корень р* кратности s. Тогда N(P) _ у NlPi) . 1 d'-1 , I d5-' Жр) ‘Д М'(Рц jpr-i | /ед («-‘Иф/-’ [^pXp—р/срГ Пример 96. Найти оригинал ~= ——--------. м(р) р^р+а) jrrf ® —я/ Решение- Корню р=—а соответствует оригинал ---у ----------е' = —ке м qz корню р"0 второй краткости — оригинал /ер((д 4- д) — еРП (p + af 1р^о о Гп 1 , * 1 Следовательно, —5—-------- ' -.. -i-- р *(/>+«) « а а2 § 8.51. Переходная проводимость. В § 2.15 указывалось, что ток (И любой ветви схемы может бытьпредставлен в виде произведения напряжения U на входе схемы на собственную или взаимную про- водим ость g : i = Ug. При переходных процессах это соотношение также имеет силу. Если на вход какой-либо цепи в момент t — 0 включается постони- н°е напряжение U (ЭДС Е), то ток i (() в любой ветви этой схемы Равен произведению постоянного напряжения U на проводимость i(O=t7g(/). (8.62) При переходном процессе проводимость является функцией времени, поэтому в скобках указывается время Z; g(t) называют 2^3
переходной проводимостью. Она измеряется в тех же единица* (См), что и обычная проводимость. Если в формуле (8.62) принять U ~ 1 В, то 1(1) = £(/), т. е переходная иронодимость какой-либо ветви схемы численно ранна току/(/)в этой ветви при подключении цепи к источнику постоянно- го напряжения в 1 В. Индексы у £(/)указывают на то, какуюимепно переходную проводимость имеют в виду. Если индексы одинаковы, то имеют в виду собственную переходную проводимость ветви, но- мер которой соответствует цифре, указанной в индексе; если индек- сы разные, то — проводимость между теми ветвями, номера кото- рых указаны в индексе. Например, если источник постоянного напряжения U при нулевых начальных условиях включают в пер- вую ветвь, то ток первой ветви i} (0 = f/gtl (/), а гок третьей ветви G(0 = U)- Переходную проводимость можно определить расчетным либо опытным путем. Прн расчете £**(/) классическим или оператор- ным методом ток ft-ветви находят при включении источника посто- янного напряжения в ft-ветвь; gAA(0 ток ft-ветви вычисляют при включении источника постоянного напряжения 6/в/и-ветвь. Далее, в полученных формулах полагают U = I В. Прн опытном определе- нии переходной проводимости ток /(^соответствующей ветви нахо- дят путем осциллографнрования. В § 2.16 было доказано, что gkm =gmk- Это свойство вытекает из симметрии определители относительно сланной диагонали. Аналогично можно доказать, что операторное изображение проводи мн*1* gkiu in) равно операторному изображению £№А (р). Но если равны изображения А1'^ переходных приводимостей, то равны и сами переходные нрошщкмости, т- е' (б Данное равенство свидетельствует о том, что ня переходные процессы распР1' етраиясын теорема взаимности. Дли переходных процессов теорема взаимна-1- формулируется следующим образом (см, «скелетные» схемы рис. 8.33): в лк>®®. линейной электрической цени ток переходного процесса ft-ветви вызываем^ включением иегочнпка ЭДС еш (1} в m-ветвь (рис. 8.33, а), равен току i»epexoAi|1,f* процесса i,„ (0 в от ветви, вызываемому включением источника ЭДС ek(0 в ft-ue1** {рнс. 8.33, б), прн условии, что е* {!) = е„( (/). 284
§ 8.52. Понятнее переходном функции. При подключени'й липей- электрической пени с нулевыми начальными условиями к нс- 'рцнику постоянного напряжения U между какими-то двумя точка- ми а и в схемы возникает напряжение ивЬ (Z), являющееся функцией времени и пропорциональное воздействующему напряжению U: (8.62а) еде Л(0 — переходная фракция. Это безразмерная величина, чис- ленно равная напряжению между точками а и в схемы, если на ее вхоЛ податЕ. постоянное напряжение в 1 В; h(f), так же как Н g(t), пюжно определить расчетным либо опытным путем. Пример 97. Определить переходную проводимость схемы рис. 8.2, £ £. Решение При замыкании ключа /(f) = — (I — с t ). По определению, переходная проводимость равна току в цени при Е = I В. I S-t Следовательно, g(t) = (1 — е Г). Пример 98. Найти собственную переходную проводимость первой ветви gn(O. взаимную и переходную проводимость между третьей н первой ветвями g31(f) и переходную функцию напряжения на конденсаторе ЛяС(0 для схемы рис. 8.34. Па- раметры схемы: R. « 1000 Ом; /?2 == 2000 Ом; С — 50 мкФ. Реше и не. 11оопределению, h = Egn(/); *3 = £g3l(f): uc=Eh^{t], С помощью классического метода определим: Е ЕЯ2 , Е , : = — -|_______£— рРО ;____Г.Р1- 1 й| 4-/?г ^ (/?| 4-/?2)/?| ‘ 3 J?, ' Р „К ^+«2 | Полагая в этих формулах Е — 1 В, найдем: I . Rs ер(); Р = R । R%C ftj + Ег + E((E, + /?а)е ff3i (0 = j е"; (0 = у (1 - Подстаноика числовых значений дает: Ян (Г) = 0,00033 + 0,00007с“™См; g3l (t) = 0,001 е-жСМ; ЛпС = - еЖ). О Пример 99. Определить взаимную переходную проводимость между первой и ^Ретьей ветвями схемы рис. 8.4, а при включении источника ЭДС в первую ветвь и ^Дующих значениях параметров: /?( = /?2 == IC0 Ом; Е, = I Гн; С = 100 мкФ. Решение. Изображение тока третьей ветви / (pt_________________£££___________________ N(p) R2 С 4* р (/?| RjC + £|) + /?| 4- /?2 М (р) 285
Рис. 8.34 Рис. 8.35 Корпи уравнения Л4(р) = 0(см. пример 76 = — 100 + / |00с \Ра=—10о^_ — / 100 с“г. I (платам = I В, н счиггпсгетппн с формулой разложении найдем /?эСе^' _ /<!Се'У (/) = 2р( R2 l-tC + («, R2C + £,) + 2рй R2 LtC + (R,/?SC + £,)’ После подстановки значений параметрон, корней р, и р2 и использования фор. мулы(е'* — — sinx получим g3l (/) = 0,01 e~loo,sinl00< См. Таким образом, взаимная переходная проводимость между третьей и первой ветвями схемы рис. 8.4, а при данных зиаченвих параметров как функция времени представляет собой затухающую синусоиду Пример ЮО.Всхеме рис.8.35u(t) = 170sin(314( + 30°)В;Я| = ЮОм;/?ч = 50м; /?3 = 15Ом; £, = 30 мГн; L2 — 50 мГн; 44 = 25 мГн. Найти t, (/)с помощью формулу разложения. Решение. Составим уравнения по методу контурных токов: Л (Р) IR, + + Р (L, + l2 + 2Л01 - /2 (р) IR2 + р (Ц + М)1 = ад; — fi (р) 1^2 + Р (^2 + ^01 + Л, (р) |/?2 + /?з + рТ-г! “ 0* Совместное их решение даст ______ ит (20 + °-05Р)_____________N(p) (р - /ыХО,000875/ + 2,бр + 275) ” М(р}' Корни уравнении М ( р ) == 0: р1 = 314/,р2= — 2860ир3— —114с-|; ЛГ(/7) = 0,000875 р2 + 2,6 р + 275 + (р — /«КО.ОО(75р + 2,6); N(/i,)= 4301 е'к8"**'; Af(pa)= 123- 170е'2Ю°; М/>3)= 14,20 170е^ю"; Лад)=838е'7/°; Л1^2>=<’9:М,1,'6’И!; A1W=80Cv /И1Г<- Ток <(/) = 1ш ( ЩР,) (AIVi) eptt .Д/ -J- + ЛГ(;,2) Г M'W j = 1^5.130*“' + З.ОЗе/^4' + + 3,0le'lw“ e-lt1/ = 5,I3 sin {ю/ — 8’40') — - i.i(ie-2taiw+ i.97e -|,4/A| 286
§ 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим методом расчета переходных процессов в линейных электрических цепях — расчетом с помощью интеграла Дюамеля. При использовании интеграла Дюамеля переменную, по кото- рой производится интегрирование, обозначим т, а под I по-прежне- му будем понимать тот момент времени, в который требуется найти ток в цепи. Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями в момент времени t ~ 0 подключается напряжение и (т) (рис. 8.36). Для того чтобы найти ток в цепи в момент времени /, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения и (0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени. Напряжение и (0) в момент времени t вызовет в цепи ток и (0)х Xg (/)• гДе g (/) — переходная проводимость. В момент времени т + Дт (рис. 8.36) возникает скачок напряжения du Диаг—Дт = « (т) Дт. ат Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени t, вызываемую этим скачком напряжения Ди, необходимо и'(т) Дт ум- ножить на значение переходной проводимости с учетом времени Действия скачка до момента времени i. Из рис. 8.36 видно, что это время равно I — т — Ат. Следовательно, приращение тока от этого скачка составляет и'(т) g (t — т —Дт) Дт. Полный момент времени t получим, если просуммируем все час- тичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току и ( 0 ) g (t ): i(t) = u(O)g(f) +2«'(т) g{t —т — Дт) Дт. Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Оче- видно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кри- вУю, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный Интервал времени Дт на бесконечно малый <1т и перейдем от суммы и интегралу: t i{() =u(0)g(i) 4~( и' (t) g (t — т) dr. (8.33) Jo 287
Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля. С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, Ио и любую другую физическую величину, например напряжение. этом случае в формуле вместо переходной проводимости g( i )будег входить переходная функция Л ( t ), если на входе цени действуй источник ЭДС (напряжения), и переходное сопротивление R ( м если на входе цепи действует источник тока. § 8.54. Последовательность расчета с помощью интеграла Дюа< меля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этапа: 1) определение переходной проводимости g ( t ) [переходно^ функции h (I)] для исследуемой цепи; 2) нахождение g(t —х) [Л(/ — т)}. С этой целью в формуле длв заменяют/ на (( — т); 3) определение и'(т). Для этого находят производную от задан- ного напряжения и ( I ) по времени t и в полученном выражении заменяют t на г, 4) подстановка найденных на этапах 1,2,3 функций в формулу (8.63), интегрирование по переменной т и подстановка пределов. Пример 101. Найти ц =»/(<) и «2 *= ДО при замыкании ключа из схеме рис. 8.37,о. Напряжение источника ЭДС u(t) = 100(1 — е~0<)В;« = 0,25 с-’; R = 0,5 Ом; Li = = ( Гн; Л) = 0,5 Гн. Решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из последовательно включенных R и Г, g(f) = — (1 — e-w), где п l> = R/1+ - т) = ^1 - е-Ч'-Ч Первое слагаемое в формуле (8.63) выпадает, так как д(0)=» 0. При этом и' (/) = 100 (1 - е-0') =*= 100ое~о/; и' (т) = 100« е-пт; а) 288
f| W = J0“'WeO-T)dT = -^^e '>]dr. При интегрирован нм учитываем, что е~w от т не зависит: I, (/) = 200(1 + е“°-Б‘ - 2е"ола) Л. ^й11ряженне на зажимах вторичной обмотки d<i «а (0 = ^ -^ = 50 (е”0’26' - е-0*5') В. § 8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме Напряжения. Пусть напряжение и(1) изменяется во времени по сложному закону, например в соответствии с рис. 8.37, б. Начальное напряжение равно и (0). В интервале от t — 0 до I = lj напряжение плавно растет, и закон его изменения и, (/). В момент i = /, оно меняется скачком от иа до ик, а затем снова плавно растет, но уже ПО Другому закону и2(() во времени. При t =i2 напряжение скачком уменьшается от ut до нуля. Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под первым интервалом будем понимать интервал времени от ( — 0 до (=/, (не включая скачка напряжения от н2до иь); вод вторым — от до /2, включая скачок от иа до ий, но не включая скачок от ис до 0; под третьим — при />/2, включая скачок от ис до 0. Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под t фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. На основании принципа наложения ток в любой момент времени t определится как сумма токов от всех напряжений, воздействовав- ших на цепь до момента t. В первый интервал времени t i(t) = u(0)g(/) dx. Jo Во второй интервал времени pG l(0 =и(О)д(0 +\ u',(x) g(t — x) dx + Jo t + (Ut,~~Ua) g(( ~h) +{ U’2(X) g(i — x) dx, 't гАе слагаемое (ut —g(t — it) обусловлено скачком напряжения 11:1 и иь в момент времени tt. ,В-589 289
В третий интервал времени *1 i (t) = u(O)g(t) + $ u't (т) g (t — t) dr + 's + К - Ua) g(t - Л) + J U'2(x)g(t — t) dT + XI + (0-O£(/-'2)- Пример 102. В электрической цепи рис. 8.37, а в момент времени t *= Озамыка. ется ключ и напряжение и (/) изменяется в соответствии с рис. 8.37, б; и (0) = Боg В первый интервал времеииот t »0до t=h = 4с напряжение «j(f)“ 150—100 е"^ где а = 0,25 с . Во второй интервал времени от < = h = 4 с до t = fc = 6c «2 (/)»,' =50 + 100е—где с = 0,4 с-1. Параметры схемы рис.8.37, a R = 0.5 Ом; £, ц. =1 Гн (вторичная цепь разомкнута). Найти закон изменения токв it во времени для обоих интервалов времени, g также значения тока ij при 1, равном 2 и 5 с. Решение.В соответствии с § 8.54 переходная проводимость g(0 = |(l-e-"); b = R/L~ О.&с^1; g(t - К Л В первый интервал времени и'(т) = 100 ае °’. Поэтому t if(t} - u(0W) 4- J w' (t) g (i - t) <b = о -e-«)+ _e-*-)]dt = X К J 0 =100 (1 - e~Qa) + 200 (I 4- e~0A - npHi = 2cit= 100(1 —e-l)4-200(1 4-e^l — 2e-as) = 94,9 A. Во второй интервал времени (включая скачок иь — иа = 36,9 В) I t <iW“«(0)^)4- J < W g (t - t) dx 4-(«b - «J g (t - ijH- Je'a W ₽ 0 - о *1 tt'g(T)---lOOce-" erfi; i.(/)«100(I — е“°^)4-200(0,632 — 1,7i8e—11 - e”014'’'<>} - _ *52^ [ _ * e“ri 4- — e-c,> 4- e~"‘ e'*"'!» ] e"^!. (6 — c)R1 с c При / = 50^ = 204.32 A. 290
§ 8.56. Сравнение различных методов расчета переходных про* цессов. Классический и операторный методы расчета теоретически мо>кно применять для решения задач любой сложности. Каким из j,jix пользоваться, во многом зависит от навыка н привычки. Однако классический метод более физически прозрачен, чем операторный, в котором решение уравнений во многом формализо- ван0- Если при сравнении методов исходить из объема вычислитель- ной работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего порядков для источников постоянной (синусоидальной) ЭДС или тока целесообразно проводить классическим методом, а решение уравнений более высоких порядков — операторным. Объ- ясняется это тем, что чем выше порядок характеристического урав- нения, тем более громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных интегрирования в классическом методе. Операторный метод имеет перед классическим явное преимущест- во пр» решении задач, в которых определение принужденной ком- поненты искомой величины оказывается затруднительным вслед- ствие сложного характера вынуждающей силы, а также при решении уравнений в частных производных (см. § 12.13— 12.15). Если воздействующее напряжение изменяется во времени, напри- мер линейно или в виде всплеска одной или нескольких экспонент, рекомендуется применять операторный метод или интеграл Дюа- меля. Но основной областью применения интеграл а Дюамеля явля- ются случаи, когда напряжение изменяется по сложному закону во времени, например при наличии скачков напряжения (см. §8.55), или когда переходная проводимость £(0н(или)воздейетвующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интег- рал Дюамеля берется путем численного интегрирования). Рассматриваемый в §8.66 метод расчета переходных процессов, получивший название метода пространства состояний, использует- ся главным образом, когда расчет осуществляется с применением ЭВМ. Для ручного счета этот метод громоздок. Классический и операторный метод, а также метод пространст- ва состояний в аналитической форме и интеграл Дюамеля имеет общий недостаток: необходимость определения всех корней харак- теристического уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5,6,7-й....)требует много времени. В этих случаях может быть рекомендовано числовое решение на ЭВМ уравнений, состав- flenHbix по методу пространства состояний; может быть применен и сПектральный метод в том виде, в каком он рассмотрен, например, и |'л. 9. Кроме тою, в этихслучаях используют моделирующие уста- новки. § 8.57. Дифференцирование электрическим путем. Для четырех- полюсников рис. 8.38, а, б при определенных условиях выходное Напряжение и2 (/) пропорционально производной от входного на- 291
пряжения и, (/), т. е. u2(t)^dul Схему рис. 8.38, а применяют чаще схемы рис. 8.38, б, так как при практическом осуществлении она обладает меньшими габаритами, массой и более удобна при регулировке. Если U|(0= Ц (д), то dW| (0 /<И = рЦ(р)- Отсюда следует, что четырехполюсник осуществляет Дифференцирование, если для не- го U2(p)=pUt(p). Для схемы рис. 8.38, а и/р} = идр) р Чтобы схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить условие |ЯСр|«1, тогда U2(p) ж RCp Ц (р). Для синусоидального процесса заменим р на /со и тогда схема рис. 8.38, а будет выполнять свои функции, если &RC «.'1. Аналогично, доказывается, что для схемы рис. 8.38, б необходи- мо выполнить условие (wL/R) <К1. Если оДУ) — песииусоидальная периодическая функция, то эти условия должны выполняться дли наивысшей частоты функции ut{l). При дифференцировании импульсных воздействий длительно- стью I* параметры схем рис. 8.38, я, б должны удовлетворять усло- виям RC и L/R Эти условия получим из двух предыду- щих, если в первом приближении будем считать, что поступлений на вход четырехполюсника импульса длительностью еоответсТ; вует воздействию на вход одной полуволны синусоиды частотой ш = Ъп/ (2/J = л//н. § 8.58. Интегрирование электрическим путем. Для четырехПО' люсников рис. 8.38, в, г при определенных условиях выходное на- пряжение u2(t)= J d/. 2&2
г) Рис. 8.39 Схемарис. 8.38, в предпочтительнее схемы рис, 8.38, г по причи- нам, упомянутым в §8.57. Если «,(/) (Ji (р), то j «|(0 (И == U} (р) /р. Отсюда следует, что схема выполняет свои функции, если соотношение между ее пара- метрами обеспечивает выполнение соотношения U2(p) — (р) /Р- Для схемы рис. 8.38, в U2(p) = Ut (р) /(RCp 4- 1), т. е. для нее должно быть | RC$>?>1. Заменив р на / to, найдем условие &RC Z>>1, при котором схема рис. 8.37, в будет выполнять функции интегрирующего звена при синусоидальном процессе. Для схемы рис. 8.38, г (mL/R >*>!). При интегрировании импульсных воздействий! длительностью Должны быть выполнены следующие условия: RC »^и для схемы рис. 8.38, в и (L/R) для схемы рис. 8.38, г. Напряжение с выхода интегрирующего (дифференцирующего) Устройства подается для наблюдения (записи) на электронный ос- циллограф. § 8.59. Передаточная функции четырехполюсника на комплекс* ной частоте. Под передаточной функцией четырехполюсника К(р) Ча комплексной частоте р понимают отношение выходного напря- жения й/2(р)ко входному Ut(p)(рис. 8.39, а) Мр)=ад/ U,(р); (а) ^(р)зависит от схемы четырехполюсника, числового значения эле- 293
ментов схемы и от частоты р. Для четырехполюсника рис. 8.3с /? ’ £ Л'(р) — р Из уравнения (а ) следует, что ад = КОШ (б) Под передаточной функцией четырехполюсника для синусоида^. ного процесса на частоте ю понимают К(М = = | К(/ю) I е*** Ц(/<о) К(/<о) получают из К{р) заменой р на/ю, [К(/<о)|—модуль, а ф(а>) — аргумент К(/ю). Для схемы рис. 8.38, г Зависимости рС(/ы^ и ч(п>) изображены на рис. 8.39, б, в. Если несколько четырехполюсников, например три, соединены каскадно (рис. 8.39, г) и известны передаточные функции каждого че- тырехполюсника , то передаточная функция каскада в соответст- вин с формулой (б) равна произведению передаточных функций этих четырехполюсников к(р) = ададад. Пример 103. На рис. 8.39, д изображена замкнутая система (система с обратной связью). Она состоит из основного четырехполюсника с передаточной функцией Л'(р) и четырехполюсника обратной связи е Кж(р). Функцию последнего часто выполняет усилитель, работающий в режиме пропорционального усиления. Вывести формулу передаточной функции всей системы Кзс(р). Решение. На вход основного четырехполюсника поступает основной сигнал Ut(p) и сигнал с выхода четырехполюсника обратной связи, поэтому адмвд^адда (д) Кроме того, ад=адад. (е) Подставим (е) в (д). Получим К(р) (Я зЛР' c/t(P) Если I —К(р)Ко«(р)=0> то в системе возникнут автоколебания, амплитуда их будет ограничиваться нелинейностью системы. Плюс в формуле (д) и минус в формуле (*) соответствуют положительной обратной связи. Минус в формуле (д) и плюс в (ж) " отрицательной. §8.60. Переходные процессы при воздействии импульсов налрД' жения. Ток в любой схеме при действии на нее импульса напряЖе' ния (рис. 8.40, а) можно найти, например, тремя способами: 1) применяя интеграл Дюамеля; 2) определяя ток при /</, так же, как от действия постоянного напряжения С/;при/> ^действующее на систему напряжение ра® 294
Рис. 8.40 яонулю, Следовательно, система освобождается от вынуждающих ЭДС и по ней протекают свободные токи, обусловленные запасом энергии в индуктивных и емкостных элементах системы; 3) представляя импульс в виде двух постоянных напряжений. Положительное напряжение U действует начиная с /=0, отрица- тельное — начиная с t=tt. При t<Ztt токи в цепи определяются одним напряжением U; при — обоими напряжениями с учетом сдвига второго напряжения на время tt. Рассмотрим третий способ. Положим, что требуется найти ток в цепи при подключении ее к источнику напряжения, имеющего форму равнобедренного треугольника (рис. 8.40. б). Задача реша- ется в три приема. Сначала определяем ток в интервале времени от 1=0 до , от действия напряжения uf=ki (рнс. 8.40, о). Затем для интервала времени находим ток в цепи от действия двух напряжений (рис. 8.40, в, г): от продолжающего действовать напряжения ut=ki нот вступающего в действие нри дополнительного напряжения -2fe(/~r,)- Для интервала времени У2>/2ток определяется действием трех Напряжений: продолжающих действовать напряжений и, и п2 и ь*овь вступающего в действие при t=ts напряжения «2 = k(t—t^ При сумма напряжений и,, и2 и и3(рис. 8.40, д) даст нуль]. Изтрех перечисленных способов наиболее экономным является Первый. Прн воздействии серий импульсов переходный процесс рассчи- тывают часто операторным методом. Пример 104 На последовательно соединенные У? и L поступает серия прямо- OjibHbix импульсов напряжения единичной амплитуды; длительность импульса т и 295
дпителеность паузы также т (рис. 8.40, е). Используя третям спо< об к сочетали теоремой запаздывания (см. § 8.40), определить ток в цени. Чс Решение. Найдем изображение напряжения: U{p) = -e-A-’+е' Выражение а скобках представляет собой бесконечную геометрическую Ефй грессню со знаменателем —с”'1' Сумма членоп ее равна------—. Изображен^ тока Применим фордул; разложеенн. Корни знаменателя: Р'==(]’ р" = - Л / L, тр* = («t-j-p*h = /n(2fe+1) (—оо<А<со). Группнруя член ft=0c k=—I, член 1 с членом k*<—2 кт.д., получим Z2*-H zik ы I е“ь' 2 “ s!nH2ft+l)^“<P2Mil '(О = 2Я Г7+л Г /г(1+ед ) *==0 1 ...........2 , (2А+Пл£ = arctjA — Rt §8.31. Дельта-функция, единичная функция и их свойства. Им- пульсная переходная проводимость. Дельта-функцией 6(1) или еди- ничным импульсом (рнс. 8.41, п) называют прямоугольный импульс амплитудой 1 / Дт и длительностью Дт при Дт->-0 Единичным назы- вают петому, что площадь его равна единице: — Лт= 1. Размер- ность 6(1)—с~1. Единичной функцией 1(0 (рис. 8.41, б) называют функцию рав- ную единице при г>Он равную нулю при /<0. Единичная функция 1(—0(рис.8.41,о)равпа нулю при OQ и единице при «"0. Функции 1(0 и 1(—О имеют нулевую размерность. Свойства б(ф 1) из определения Л(/) следует, что fl ОО; $б(ф1/ = с О «0; 206
2) производная функции 1(f) равна 6-функции" di(O/d/«e(O; 3)6-функция обладает фильтрующим действием: 4) изображение ио Лапласу 5-функции равно 1: ( 6(/)е~рФ/ =1, а 6Й—/в)=е^Щ Jo на основании теоремы смещения. Единичные функции 1(f)и 1(—Отекжеобладают фильтрующим действием. Умножение произвольной функции /(/)на ЦОобрящает пронззедение f(t)*(t) в нуль при f<G. Аналогично, нон- л Г0 *>°; /WK 0“ /^<05 Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде 6-функции единичной площади записывают так: 6(f)-1. Здесь единица имеет размерность В-с или А«ссоответственно. В соответствии с рис. 8.41, о импульсное напряжение единичной площади, равное 6(/)-1 В-с, можно представить кэк сумму двух прямоугольных импульсов: импульса напряжения 1 / Дт, вступаю- щего в действие при /=0, и импульса —(1 / Дт), вступающего в действие ври t = Дт. При ОДг и нулевых начальных условиях ток на "входе цепи при воздействии на нее напряжения в виде б-фунчции W= 1 1йО)~я((-Дт)|- Разложив "{t—Ат) в ряд Тейлора но степеням Дт и учитывая малость Дт, получим '(О = 1 T-te(0-g(O+ATg'(Ol = * •TrA’fi'tO = #'(0‘1. u С £1 I где —импульсная переходная проводимость. Для мо- ментов времени £>Дт она численно равна току в цепи прч воздей- ствии па цепь напряжения в виде 6-функцьи. Аналогично, h'(t) = -^j1 — импульсная переходная функция. Для £>Дт->-0 она численно равьа напряжению на выходе четырех- полюсника при воздействии на его вход импульса напряжения ®(0- 1 В-с. В интервале воемепи от 0_ до 0+ (во время действия импульса) u/t) 1+«(0+)б(/) = ЛЛ(0- Каряду с понятиями ’’переходная проводимость” g(t) и ”им- 297
пульсная переходная проводимость” g'(t) применяют дуальные понятия: переходное сопротивление r(t) и импульсное переходу сопротивление Переходное сопротивление rai(t) численно ра& но напряжению на входе цепи иаЬ(1) при воздействии на ее вхОд единичного тока: «$0 = 1ИМ0- Импульсное переходное сопротивление г'а(з(/) численно рав^ напряжению на входе цепи ио(Д), после того как на ее вход воздев ствовал импульс тока в виде б-функции единичной площади: uBb(t) = 6(0- A(b-c)-r'ab(t). Величины r(t) и r'ft) могут быть входными и взаимными, однако gV) и /?(/) не являются взаимно обратными величинами; g(t) опре- деляется при питании схемы от источника ЭДС, а /?(/) — при пита- нии схемы от источника тока. Подчеркнем, что в л итературе по переходным процессам взави- симости от рассматриваемого вопроса под одним и тем же названи- ем— импульсная переходная функция—понимают либо функ- цию либо йе(/). Между этими функциями имеется зависимость //(г) характеризует реакцию четырехполюсника (его выходное напряжение) после окончания воздействия на его вход единичным импульсом напряжения 1 -6(f) В -с, ah6(t)— напряжение на выходе четырехполюсника и во время действия импульса и после оконча- ния. Аналогичные соотношения существуют между двумя импульс* ними переходными проводимостями ^O = g(o+)6(O4-g'(f) и между двумя импульсными переходными сопротивлениями ^(/)=/?(о+)«(о+/?/а) при воздействии на вход схемы единичным импульсом тока. С по- мощью ЛЛ0) интеграл Дюамеля запишется так: t us(0 — U(T) —т)йт, о Здесь/?6 (t - г) = Л(0) б(/ - т) + h’ (t — т). Формулу интеграл а Дюамеля в математических работах называют формулой свертки двух функций в данном случае функций u(t) 11 298
§ 8.62. Определение Л(/)и й*(/) через К(р). Как упоминалось, при ^действии на вход четырехполюсника единичного напряжения ^(f)== ЦОнапряжение на выходе его u^t)=h(t). Если это положение Записать относительно изображений, учитывая, что 1(f) = — и обоз- яачив изображение h(t) через //(/>), то Н(р)=К(р)/р. Отсюда К{р) — рН{р}. (8.64) Определим теперь ft(<) через К(р). Поскольку h(t) = Н(р), а Н(р) 0преАелеио предыдущей строкой, то ад-Ж (8.65) ' р При воздействии иа вход четырехполюсника единичным импульсом напряжения ut(i) = I • 6(f) = 1 = ы1(р), напряжение на выходе его «г(0=W) = мт «1 • ад. таким образом /:"(/)--ед. (8.66) Пример 105. Запишем fifiY h (Г), h\t) для схемы рис. 8.38. а: J -e-'/RC; Л'(0 = и с - «"> - «ет - тет1 -1 “«ет * § 8.63, Метод пространства состояний. Метод пространства со- стояний (метод переменных состояния) представляет собой упоря- доченный способ нахождения состояния системы в функции време- ни, использующий матричный метод решения системы Дифференциальных уравнений первого порядка, заниса иных в фор- ме Коши (в нормальной форме). Применительно к электрическим Цепям под переменными состояния понимают величины, определя- ющие энергетическое состояние цепи, т. е. токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах. Значения этих величин Слагаем известными к началу процесса. Переменные состояния в обобщенном смысле назовем х. Так как это некоторые функции йРемени, то их можно обозначить х{1). Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец по- именных состояния в п-мерном пространстве состояний Обозна- чь ЧнМ|х] = , т выходных величин (токи, напряжения) обозначим у, 299
«1 матрицу-столбец выходных величин [yf= Ут Источники воздействий (источники ЭДС и тока) будем цмец0 вать z. Матрица-столбец источников воздействий |г) = г₽ Для электрических цепей можно составить матриц [ьге ураиц(!. ния вида (программа решения на ЭВМ уравнения (8.67) приведу в (23]). Й = |ЛЛЫ+[ЛГ|М; Ш = НИ+(<2Н4 (8.67) (8.68) где (АД. [Wj,[Р], (<?] — некоторые матрицы, определяемые структу- рой цепи и значениями ее параметров. На оснований принципа наложения решение (8.67) I (х<01 = е'Л,1' [х(0)]+$ е*л*8,“т)|Л/] (8.69) о где [х(0)( — матрица начальных значений х. Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные про- цессы в системе, второе — принужденные и свободные при нулевом исходном состоянии (вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа], Из (8.68) и (8.69) находим I = [Р]еW‘[x(0)l + JJP]el«K< йт + [Q][х(0(. (8.70) о Поясним формулу (8.69) на простом примере. Ток в схеме рис. 8.42 до коммутации был /(О_) = £/(2/?). Уравнение состояния для этой схемы di/di = — (R/L)i 4~ (Е/L), т. e. (x] = di/di- (Ml = - R/L-, [W] = 1/L; [2] = E, Рис. 8.42 fi, p ‘ R.. .p 'W = e"7 + Ld^ 0 E E R 2/?e 3oo
Матричную функцию eWH в формуле (869) вычисляют по фор- уме (теореме) Сильвестра [13]: е™' = e*i* |Л,] + е^[Да] + ... + е1и'[4п], (8.71) гДе „ v'i) - (8.72) П^-м / ™ I —собственные значения (характеристические числа) квадрат- ней матрицы [Л4], т, г. нории уравнения det (|Л1] — Х[ i ]) = 0. (8.73) Из уравнения (8.73) следует, что уравнение относительно Л со- ставляют, приравнивая нулю определитель матрицы [Af ],в котором все элементы этой матрицы атт(т= рассоложенные по главной диагонали, замели ют на элементы атп — X. Характеристические числа X — это не что иное, как корни ха- рактеристического уравнения послеком мутационной схемы. За- пись решения в виде ряда (8.71) предполагает, что все характери- стические числа различны (нет кратных корней). Если же среди корней уравнения det([Af] — Х[ИД= 0будет кратный корень^крат- ности s, то составляющая е[п*1', обусловленная этих; корнем, имеет вид 1 dJ~‘ (s- l)!dXs “1 Н?-¥ /-= I (8.74) ^де Дс<(Х[1] — [Af])—присоединенная матрица к матрице МЦ — [Л4]. В ней все элементы atj заменены на алгебраические до- ’Днения, азатем проведено транспонирование. Составляющие ре- ения по формуле (8.74) соответствуют части решения ио формуле Разложения (см. § 8.501 учитывающей кратные корни. При машин- ном счете функцию е1,11*' подсчитывают разложением в ряд: к Н Пример К В. Метисом пространства состояний исследовать переходной процесс ^ие^ррс. 8.43, о До коммутации был установившийся режим; Е 4 В, 1=» I А; 301
Рис. 8.43 Р«ме И и < Обозначим токи и напряжении и соответствии с рис. 6.43, а, Дс коммутации В качестве переменных состояний выбираем ток д и напряжение па копдеиса- торе ис. Известно несколько способов составления уравнений состояния. Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении послекоммугацноЕнюй схемы к резистивной с источниками ЭДС и тока. С этой целью индуктивные элементы в юслекоммутаиношюн схеме заменяем на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении, что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере £ заменяем на источник тока tt с напряжением на нем d/), а конденсатор С — нг источник ЭДС, причем в соответствии с теоремой конденсации ЭДС этого источника должна быть направлена встречно току в ветви с конденсатором, т. е. встречно напряжению дс на конденсаторе (в рассматриваемом примере конденсатор С с напряжением на нем ис заменен на источник ЭДС Е} ~ ис). В результате схема окажется без индуктивных и емкостных элементов (чисто резистивной), иос дополнительными источниками тока и ЭДС (рис. 8.43, б). В полученной резистивной схеме один еез узлов заземлим. Составим уравнения ио методу узловых потенциалов и определим потенциалы незаземленных узлов. В рассматриваемом примере не заземлен всего один узел а. Поэтому (h + J) + (ucJR) Ч’, • //? Oi 4- + Ис- По известным потенциалам узлов рассчитаем напряжения на источниках ток? эквивалентирующих индуктивные элементы jLs, и токи i/B = СтАиС1Я/А1 через источники ЭДС, эквиналептирующие емкостные элементы емкостью Ст. Для первой ветви схемы рис. 8.43, б . , . d‘i Чс ~ (G 4" 4- “с — к — ifi — L Отсюда ^1__2й. _"с £ Л At ~ L L L 17 Ток*аторон ветви (2 можно определить по первому закону Кир*' гофа или по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС: „ d»c Ч’с — «с (*1 4- 4- «С — "С ... Э-с-^-------й-----------р-------<, + л 302
Следовательно, duc/d/=(it/C) 4-(//C). Таким образом, урав* }{€ння переменных состояния для послеком мутационной схемы рис. g 43, о таковы: 2Я 1 ,lr R. dt L 1 L“с + LЕ L1' d«c I 1 J"dT=Cil +°*«с4-0-£+-/, МО)]- Составим уравнение для определения характеристических чисел 1: del(]M]-HI])=| 4_J ‘ |=0. Таким образом, I2 4" 414* I = 0: 1| = — 0,27, Хи — — 3,73 с~*. По формуле (872). Г„ 4 — II И 01 1 0+3-та01 м I |М1~ ' °l I0 1J Г— 0,078 - 0,2891. ' *1 —*2 3,46 °'289 1.077 ’ ИЕ| [Afj-yi] 1,077 0,289' — 0,289 — 0,078 По формуле (8.69), Х]-(’-'3"и,1+«-№'и!|}[^| + + J(e“ " ’’И J 4- е- э'73(/ - | A 2j] П 11 Н di. о I J L J Выполнив подсчеты, получим I, = - | 4- 0,75е“ 02П 4- 0,75е“ 3173/ А; ис 6 - 2,8е“ ° 27' - 0,2е“ 3J3' В I 303
Если за выходную величину у принять напряжение ад/ между точками d ц Д т *1 4- (Ю] Поясним переход от (8.67) к (8.69). Решение неоднородного уравнения (8.67) можно получить и виде сум мы полно,-., решения однородного уравнения и частного решения неоднородного- Полное рец^ иие однородного уравнении 14 == [ЛЩх] для t > t, (8-75) где т — постоянная величина, найдем по аналогии с решением скалярного днф,|1е. ренциалъиого уравнения х = тх, х = е'"^ ~ ’Ьс(т), в виде (*я«1- (8-76) Подсгавин (8.76) в (8.75), убедимся в справедливости решения однородного уравнения (8.75). Функцию е'А,1/ обозначим [ф(()|, а “ '* — [<:(/ — т)]. Так как е|А111 = 111 + (Л1 ]< 4- + - - -. то М»)| = 111 В соответствии с методом вариадий произвольных постоянных частное решение неоднородного уравнения представим в ниде|л’ч(/)] = [ <{(/ — т)| |н(/)|[х(т)|. Обшес решение И01 “ 1<г(' - 41 М414- [ч>(7 - т)1140) (Ф)1 = Ш' - 011П 4- (**(7)11401 = = |Ч(7~Т)]ЙО(. где /?(/) нужно определить. Подставим М01 = М'-т)1 !«(<)! в уравнение (8.67): [[ф(/ _ X)J _ [A1J[^ _ т)]И«(Ж 4- М7 - т)Ц«(01 = I/VJI4 (8.77) (8.78) Поскольку [<р(( — т)] есть матрица, столбцы которой являются решением урав- нения (8.75), то первый член выражения (8.78)— нулевая матрица. Следовательно, IWW1 = [-₽(<-т)Г‘1^114 (8.79) Проинтегрируем (8.79)от т ди /: t (Ж01 - 1Ж41 = ~ тл-'мда. (8.80) Из уравнений (8.77) и (&80) следует i (8.8D (.|.(/ - т)г' 1X01 = 1‘Р(О)Г ‘МО! 4- - 01’ ’[7V](Xx)|.dxT I но[<f(O)J — [1(. Умножая (Я.8Р) слева i>a [qj(( — т)| н учитывая, что [ч>(7 ~ т)||ф(Х - т)Г‘ - е’"1*'е“|ЛЩА~’1 = е,А,|,/“4 = |<р(/ - А)], подучим i М01=м/ - т)1Мт)1 + ( м/ - А)ИЛ/Ц4А)1<и. (8.82) 304
Полагая в (8.82) т = Он заменяя затем переменную X на г, получим формулу (8,60). § 8.64. Дополняющие двухполюсники. Два двухполюсника, со- держащие элементы /?, L, С, называют дополняющими, если вход- ное сопротивление при их последовательном (параллельном} сое- динении оказывается чисто активным, не зависящим от комплексной частоты р. Так, двухполюсник из параллельно соеди- ненных L и R,, и двухполюсник из параллельно соединенных С и Rt (рис. 8.44, а) являются дополняющими при их последовательном соединении и выполнении условия R, = R2 ~ /? — т/I./C. Двухпо- люсники /?2, С и /?,. L при их параллельном соединении (рис. 8.44,6) являются дополняющими при том же условии. Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуаль- ны. Элементам £„ С„ /?, одного соответствуют такие дуальные эле- менты С2, Д2, /?2 дополняющего, что произведение сопротивлений двух взаимно дуальных элементов должно быть равно /?а, где R — произвольное активное сопротивление. Последовательное соединение£, и С! в исходном двухполюснике заменяют на параллельное соединение C2 = LJR- и £a = Ct/?2 в дополняющем. Параллельное соединение Ct и £t в исходном двух- полюснике заменяют на последовательное соединение L., — С^~ и Сг = L^R'2 в допол няющем. §8.65. Системные функции и понятие о видах чувствительности, ^пстемные функции Й(р) — этообобщенное название функций, ха- рактеризующих четырехполюсник. Ими могут быть, например, пе- редаточная функция напряжения U/p)/Ut(p), передаточная функ- ция тока l/pj/l^p) и т. п. Если какой-либо параметр (/?, L, С) в схеме четырехполюсника изменяется, то изменяются модуль и ар- гумент системной функции и можно говорить о чувствительности системной функции к изменению этого параметра. Иод классической чувствительностью понимают отношение от- носительного изменения функции Н(р) к относи тельному вменению параметра Дх/х * I II х I dx 305 ?0- sea
Применительно к установившемуся синусоидальному ре;кИм рассматривают чувствительность модуля и чувствительность арг^ мента Я(/ю). Для резонансных систем с высокой добротностью пользугОт^ понятием корневой чувствительности, имея в виду чувствитеЛьч ность Н{р} к изменению положения нуля или полюса этом функцц* находящегося вблизи мнимой оси плоскости комплексной частоть!’ Понятие чувствительности используют главным образом в задача* синтеза, Электрические цепи стрсмятсн сформировать так, чтосц они были по возможности малочувствительны к изменению нард, метра. Если Н{р) зависит от многих параметров и все они могут изменяться, то верхней границей возможной ошибки считают сум. му модулей чувствительностей по всем параметрам. При определи нии классической чувствительности можно воспользоваться теор^, мой вариаций (см.§ 2.19) и теоремой Теллегена (см. § 3.43). §8.66. Обобщенные Функции и их применение к расчету переход, ных процессов. Обобщенными функциями (ОФ) называют функции времени /(f), которые терпят разрыв, например, при t — 0. Значе- ние функции при f < 0обозначим при i > 0/+(/) (рис. 8.41,г). Имея в виду фильтрующее свойство единичных функций, можно записать /{<} = Л_(ОК—0 +/+(/)!(/) В общем случае /(f) может содержать также в-функцию и ее производные. Производная от /(f) r_WK- о+/>«+1-m^ V*+М>47- = /'_(0Ц- О + l'+WW + W+(0) - z_(O)j. Используя ОФ, можно решать задачи на переходные процессы, о которых говорилось в § 8.28, а также задачи на импульсные воз- действия. В этом случае необходимо составить уравнения для по- слекоммутационной схемы, выразить токи, напряжения и их произ- водные через ОФ, и восполозовавшись фильтрующим свойством 1( — f), 1(f) и 6(f), приравнять в этих уравнениях коэффициенты, содержащие только 1(—f), только 1(f) и только 5(f), и затем решить их совместно. Пример 107. Путем hcikvii зевания обобщенных функций решш ь задачу прим®' ра 86(см. рнс. К.24) Решение. В уравнении для послеком* утационной схемы подставим uci ~ Mci—WU 0 + Ис1+(ОЦО; «гг= нс2—(ОН— 0 + ucs4-(OUOi ЗС6
“Ci = “ci-(')K-ft + «C+W‘(O + *WKi(D+) - «a = “Г2-(ОЦ- 0 + «Й4(01(0 + WIWM - «ca(O-)t 0 + £l(/). Коэффициенты при l(—/), 1 дают три уравнения: R [С^с1+(О 4- Ctf й_(01 + «С1_(0 = Ei R l^iuci у (0 + 0гис2+(01 + «сц-(0 = «С1(<М(Ci 4- Сг) = С|Ыс1(0_) + СйЧ1ХО^). (г) Из (б) = Е, из (г) ЛС1(О_|_) = С1Е/(С1 + С2); далее решаем (и) классиче- сКНк или операторным методом, имен в виду, что и(;]+ф = В результате волучьем тот же ответ, что и в примере 86. §8-67. Интеграл Дот меля дли огибающей. Положим, что и а вход четырехполюс- ник? имеющего переходную функцию й(/), воздействует синусоидальное нанряже пне единичной амплитуды «,(/) = Isirnuf = Тогда, используя формулу интег- рала Дюамели, определим, напряжение па выходе четырехполюсника: I u.j (I) = 1 «* {(Л(0) 1- J М dll «/ш/] = f) еН (а > о Здесь i = Л(0) + J А'(т) е— ;t*Tdx = 4- /п(ы, t) = /) (б) о где а(ш, /) — огибающая выходного Напряжения при вотдеЙстви ! синусоидального Д|(б. Воздействуем на вход четырехполюсника амилнтудно-модулирона иным сину- соидальным напряжением «t(O— lni|t/m(Z)e^“f| и определим , * Дй(2)= im 4-- T)e-^dx|^}. О Учтем, что ~ = Л'Ьк- ,оп = о'(ш> з)и Л(0) = “(“Ц °) Тогда и2(0 = 11Т1{Д(И>1Ое/ш'}. (В). где I 4(ю, 1} - «(ш, 0)итЩ 4- ^'(о>. т)Ц„0 - т)<1т; (г) D 4(ш,/J — огибающая выходною напряжения. Формулу (г) называют интегралом ^амеля для огибающей, она позволяет, не вдаваясь в мелкие детали, выявить ^^роструктуру переходного процесса. г&- 307
Пример (08. Определим огибающую тока в цепи, когда иа входпоследовате^ы соединенных R и L воздействует напряжение иД/) = fc/sino>/. Вместо Л(Г)испол43 ’° 1 -Л * g(f) = y;(i — е ). В соответствия с формулой (б) f\ 1 /? с(ш,/) = е(0) +в = 2' + /«- Учтем, что£(0) = 0, й'(й,т) = ~е Um(i — т) = k(t — т). Огибающая тока в цепи по формуле (г): Т /гя/ -SL т2 г 2Е'. Ху —4-е * L со$(<о(4*2ф)—cos2<f 4J]<a^+e ^-sinftoi +2<p)—sln2<p! e ₽(M-0. I ji> I L J L _ ffl J w? 4" e L sin(«f 4- 2ф) — sin2<p , iaL ₽(w. i) = arclg —----; <p = arctg —. ~ 4- e £ cos{wf 4- 2<p) — cos2<p Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение переходному процессу. 2. Что понимают под принужден- ными и свободными токами и напряжениями? 3. Сформулируйте законы (правила) коммутации. 4. Дайте определение зависимым и независимым начальным условиям, 5. Какие вы знаете способы составления характеристического уравнения. 6. Объяс- ните, почему ври составлении характеристического уравнения путем приравнива- ния нулю входного сопротивлении Z(p) = N(p)/M(p} в общем случае нельзя сокра- щать числитель и знаменатель дроби на общий множитель, 7. Чем определяете! число корней характеристического уравнения? 8. Изложите сущность классического метода расчета и принцип составления уравнений для определении постоянных интегрирования. 9. Переходный процесс в некоторой цепи сопровождается биения- ми. О чем это может свидетельствовать? 10. Дайте обоснование обобщенным зако- нам коммутации. II.Запишите известные вам соотношения между/(/)иГ(р), а также теоремы операторного метода и предельные соотношения. 12. Почему р называют комплексной частотой? 13. Охарактеризуйте этапы расчета операторным методом- 14. В чем особенности расчета переходных процессов операторным методом при синусоидальном источнике и ненулевых начальных условиях? 15. Охарактеризуйте свойства единичной функции 1(0 и свойства дельта-функции 6(1). 1®- Определит переходную и импульсную переходную проводимости (сопротивления) и функции- Укажите, с какой целью они используются. 17. Охарактеризуйте идею расчета с помощью интеграла Дюамеля. 18. Прокомментируйте известные вам формы записи интеграла Дюамеля. 19. Какими способами можно определить отзвук системы- когда на нее воздействует импульс напряжения или тока? 20. Поясните прииЦЯ11 работы интегрирующих и дифференцирующих цепей. Запишите условия, при кот0' рых эти цепи выполняют свои функции. 21. Чем следует руководствоваться iipH формировании дополняющих двухполюсником? 22. Поясните идею расчета переход- ных процессов с помощью обобщенных функций. 23. Перечислите основные этань1 расчета метолом переменных состояния. 24. Каксоставляют уравнения перемени111* состояния путем сведения иослекоммуТационной схемы к чисто резистивной? ™ Охарактеризуйте сильные я относительно слабые стороны известных вам метод0® расчета переходных процессов. 26. Что понимают пол системными функциям**- 308
Какие виды чувствительности системных функций вы знаете? 27. В схеме рис. 8.45 с источником тока Jt) в момент/ = 0 одновременно размыкается ключ К2 и замыкает- ся Я,. Показать, что заряды, протекшие через сопротивление Ri нЯ2за время от О да со, не зависит от емкостей С{ и С2. Определить величины этих зарядов. (Ответ; । т in i и 1—7~/n Iп ч • В схеме рис. 8.4, а при размыкании ключа происходит 1 + 1 Г (П|/«2) переходный процесс. Определит!.законы изменении во времени напряжений иС1 н нс>> На конденсаторах. Задано /(/) “ lsin(«i/ + 90°) А, Я = 1 /соС = 1 Ом; ш = 100 рад/с. [Ответ: ис} = 0,447siii(w/ + 63“27') - 0.253 — 0,15е“ В; йГ2 = = O,447sin(<i)l + 63°27') 4- 0,253 — 0,15е'* 20W B.J29. Покажите, что в симметричной мостовой схеме (рис. 8.46,а), в которой выполняется условие L/C = А’2, переходная к ----------------------- *“ i Функция h(t) = — — -J- е L . 30. В схеме рис. 8.46, б R = L -- С = I. Покажите, что входная переходная проводимость равна /е—31. Покажите, что энергия, занясае Маи в L схемы рис. 8.46, в (начальные условия нулевые), равны тепловым потерям в Я- 32. Первичная обмотка трансформатора рис. 8.46, г при нулевых начальных Условиях подключается к источнику uuctoihihoh ЭДС Е, ftj = Я2 = ft; L, = LB = Л1. Определите /t(0+X УО-Д [Огест ) = — *2(^4-) *“ А/(2Я).| 33. Определите стс- цеиь характеристического уравнения длясхемы рнс.8.47.(Огвст— пятая.)34.Как з/? °иределить Л(р) через Л(()н через йЛ(/)? 35. ПоЛ(/) = ^(1 + 2е 1 ) четырех пол юс- *3 ’нка определите eio К(/ь>). (Ответ: 36. По К(/ы) = —-----bi RLC---- 3ft 4- ft - RC^L 4- / wL ^которого четырехаолюеннка определите его Л(О при R = 0,2 Ом, С = 5 Ф, I. I f'1- {Ответ: /*(/)= 1,62е ’— 0,62е“ 0,276/.) 37, На вход чстырехнолюсиика г 309
*(/«>)= 1 + _'2« воздействует единичный импульс напряжения в виде С-функцщ, Определите напряжение на выходе четырехполюсника после окончания действия импульса. (Ответ- 0,25е"аи.)38, Решите задачи il.4; П.12; 11.15; 11.26; 11.29; 1|.3а. 11.38; 11.40; 11.47; И .50; 11.53; 11.57. Глава девятая ИНТЕГРАЛ ФУ-ЬЕ. СПЕКТРАЛЬНОЙ МЕТОД. СИГНАЛЫ § 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи. Как известно нз предыдущего (см. § 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию f(t), удовлетворяющую условиям Дирих- ле. Обозначим период функции Т, а основную частоту — wfl = 2л/Г. Ряд Фурье можно записать двояко. Первая форма записи: 03 До = До + ^A*sin(b1()/ +ф4); (9.1) jt= 1 вторая форма записи: со Д() =Л0 4-£(j4*shiAkB0/ +^t"cosA«0(), (9.1э) । где Ло— постоянная составляющая ряда; /Ц — амплитуда А-гар- моники ряда; |t — начальная фаза ^-гармоники; Л/ =Л*созф*; л/' =ДА31Пф*; г/г Ло = | j MAh (9.2) — Г/2 310
j /(/) sinAw^dZ; -М „ 2? Ak=~ J )(f)cosfe<u0'd(. -Г/2 (9.3) (9-4) р(з курса математики известно, что smx = (е'ж — е_/*)/(2/) Следо- 8ательно, Еп(Ы0( + ф4) = le^^o* + ♦*> — е— 'W + ♦*’]. (9.5) Подставив правую часть формулы (9.5) в выражение (9.1), полу- чим ей /(() = ЛО + ^Т У дА[еда-о' + ^)-е~л^о'+ **)]. (9.5а) Jt= I Обозначим ЛОе'Ч (9.6) Д_* = - (9.7) Тогда ряд (9.5а) можно записать так: Л = сл Я') = ^ + ~ £ А^. k = — oa (9.3) Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые число- вые значения от — оо до 4 со, но не может равнять*; я нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слага- емого. й pi. мер 109. Представить функцию/(Z)—2-t-3sin(o>oZ+300) 4 2sin(2w0Z — 45°) 11 комплексной форме записи. Решение. До= 2; л, = Зе'30"; А Зе"730"; 42= 2е“'1Б‘‘; Д_2=- 2е'45’; ft г) = 2 + Д |.W 'о' + з°’) _ Зе-^о' + «И 4- ге'^о' “ 45’> - 2е‘i J® ’o' + 45">]. 2/ Составим выражение для комплексной амплитуды Ak. Но опре- делению [см. формулу (9.6)], А = ЯАе** = ЛАсоафк + M^sinqp* = Л/ + fAk", (9.9) гДе Д/ определяется формулой (9.3), А” — формулой (9.4). 31 i
Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9). ’ 2? 2/7 Ak~ — J f(i}(stnk<noi + /cosA(i>0f)ck “ -у- ) /(/)(cosftco0/—/sinAwy*)»]/, - г/2 - r/a ИЛИ Г/2 J (9.10) -г/а Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8): к - « Г/2 f(f)-A0+ £ e/toQ,7 5 /(Oe-^o'df. (9.11) *--« -Г/2 § 9.2, Спектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье — это три- гонометрический ряд, представляющий собой изображение перио- дической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте ю0. Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения. Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье (из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении периода Т к бесконечности. На функцию f(i) при представлении ее интегралом Фурье накла- -Ьсс дывают ограничение, а именно, полагают, что есть величина конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет’. ’Среди функций /(0, для которых интеграл расходится, наиболее нажи°® — <х> для практики является функция /(/) = Л, где А — постоянное число. Для тогочтобы эту функцию представить интегралом Фурье пользуются следующим приемом. И® ходят интеграл Фурье дли функции /(/) — Де“ где ₽ > 0 и /(/) = 0 при t < О. № 0О этой функция сходится, поэтому она может быть представлена интеграл®*1 — Of Фурье, Далее в полученном выражении устремляют 0 к нулю. 312
I r/2 Так как по определению [см. формулу (9.2)], Ло = — J а при -туг •f- DO p-f-oo есть величина конечная, то До = О, — со т Преобразуем выражение у $ /(r)e/fc°o'df, стоящее под знаком - г/з суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение fetoo заменим на й[лод<в будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот Дю = ш0 = 2 л/7. Следова- тельно, 1/Г = Дю/(2л). При Г-»-со заменив Дю дифференциалом du, получим . . +« у J J - Т/3 - со Обозначим + ” (9.12) S(/w)« J f(f)e-/“'df. — « Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию вре- мени /(/) в функцию частоты S(/<o); преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье, aS(ja) — спектром функции f(t). Это комплексная величина, зависящая от вида функции /(/) В со- ответствии с (9.12) в (9.11) заменим у j/^e^dl на ^-S(/to)dcfi и учтем, что при изменении А от — оо до + ю © = также изменя- ется от — оо до + оо. Следовательно, *71 <d « — ф Заменив сумму интегралом, найдем . +» (9.13) /(0 = ^7 S ZJl ** — OQ Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непе- риодическую функцию /(/) в виде бесконечно большого числа сину- соидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и беско- нечно малыми амплитудами S(/n>)dto [Sf/cal конечно, но произведение S(/co)dw бесконечно мало, так как бесконечно мало качение do]. 313
В соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции сц темы на любое воздействие следует его представить в виде бесЯ вечно большого числа гармонических воздействий, символически ' методом найти реакцию системы на каждое из воздействий Изат^м просуммировать реакцию на все воздействия. Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратным». Отметим, что представление функции /(Z) в комплексной <|>opN в виде интеграла Фурье (формулы (9.13)J привело к необходимость формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сум ма слагаемых подынтегральной функции (9.13) при ±« дает снцу, соидальные колебания частоты и>. Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лац. ласу: F(P) = J о (9-14) если ((/) = 0 при i < 0. Если учесть, что /(/) = 0 при t < 0, и заменить р иа /ш, то (9.14) переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции S(/w) могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних р заменить на /ь». Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функции [(t) =е_п/, полагая, что f(t) = 0 при i <0. Изображение по Лапласу 1/(а 4-р). Заменим р на /ю и получим спектр S(/<n) =1/(а +/<»); S(jro) есть комплекснаявелпчина, рав- ная S(o)e/,fs. Модуль ее равен аргумент <РУ = arctgf—ы/а|. Графики для экспоненциального импульса изо- бражены на рнс. 9.1, а, б. Рис. 9.1 314
Пример 110. Найти 5(<>>)и для прямоугольного импульса (рис. 9.], в) амп- Йтудой А и длительностью fH. Решение. По формуле (9.12) определим спектр г , 1 — е“ '"'н А 5(/ш) = Д^е ;<|* — А------—----= -r^l — cos«>ZH + /sinwlH|; д/(1 — cose>fK)2 + sin2a>/H = \f2{l — coso>lH) = у 4sin2-~ = 2|sin-~|. Модуль 2Atn ы/и . . “'и, S(w) = —-sin ——- = At |sin—[/—. £ * & График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Пунктиром показана огибающая. Аргумент <ps для прямоугольного импульса вычислим по формуле costoZH — 1 <й/и tg<p$ = —s-n = — *g~2~’ гРаФик Ф5 показан на рис. 9,1, <?. При значениях и/н = л,3л,...ч>5 возрастает скачком на л. Обратим внимание на то, что при определении S(/<o) путем за ме- ны р на /со в формуле для F(p) следует соблюдать некоторую осто- рожность, если функция f(t) имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в S(/co)b виде дельта фун- кции. Например, изображение функции 1(0 по Лапласу равно 1 /р, тогда какспектр5(/о))функции 1(/)равен не 1//<о, а лб(ы) -(-—.Чтобы показать это, определим спектр функции l(0e_|i/(р>0), а затем устремим р-э-О: j ₽ + /« a2 + ₽2 + и2 Первое слагаемое правой части при и при ы—«-0 стремится к бесконечности, т. е. имеет внд дельта-функции аб(ш), второе слага- емое правой части при р-*-0 равно 1//ы. Чтобы вычислить коэффи- циент а, проинтегрируем р/(02 + 1,у~) — об(ю) по w от —оо до +<хх Р Р2 + «2 оо do = а 0(io)dw. — оо Но d<o „ 1 <Г> Р7агс‘£т р Р Поэтому а = л и спектр 5(/ы) функции 1(0 равен лб((о) + “ В /О) ^Римере 110 при определении S(/w) функции /(0 (см. рис. 9.1, в) ^агаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у дикции имеются два равных позначению, но противоположных по 315
знаку скачка [+ ~] — |л«(<>) + 4чпри ш = 0 слагаем .-ifi(w) выпадают. § 9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр сумлц, функций времени. Если функции времени /(/) соответствует спек , .. S(jw), то функции f(t — т) соответствует спектр e_A,”S(/w), что дует из теоремы смещения в области оригиналов (см. § 8.40), ес.гц, заменить р на /<и. Так как модуль функции сН6'1 равен единице, то модуль спектр3 функции f(t — т) равен модулю спектра функции 1(1), т. е. равеп однако аргумент спектра функции j(t — х) отличается от ар, гумента спектра функции /(/) на —шт. Если f(t) представляет собой сумму нескольких функций време- ни, например f(t) — /t(0 + /2(0. каждая из них имеет спектр сощ. ветственно5|(/ю) и 5й(/ю), то спектр S(jm) функции /(/) равен сумме спектров этих функций, т. с. S(/w) = 31(/ш) -PS^/w). Это следует ц3 линейности преобразования (9.12). Однако модуль S(w) +SZ(«) и аргумент ф/ш) ¥=ifS|(w) §9.4.Теорема Рейли.Теорему Рейли(Релея)записываютследу- ющим образом: 'ОС /2(/)<П = - ( $2(аф1®. Л J 0 I» о (9.15) Функция f(t) — 0 при Z<JD;S(«) представляет собой модуль спектра функции /(/): 5(/ш) = J — оа (9.16) Если принять, что f(t) есть напряжение, приложенное к актив- ному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении. Таким образом, площадь квадрата модуля спектра 5(»), разде- ленная на л, является энергией, рассеиваемой в активном сопр0’ тнвлении, на которое воздействует /(/). Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобрз зование Фурье: 4-00 ZJl j — <ю 316
Умножим обе части последнего равенства на /(/) и проннтсгри- но / от —оо до 4-оо: русм + оо -|- со ф оо ( ( /(01 t J zn. J J В правой части изменим порядок интегрирования: \ /(/)( S(/(o)eMdtoJd/== 5(/ы)[ /(^e^'d/Idm. — ПО —OQ —СО —СС В соответствии с формулой (9.16) + со jj /(/)e'M'd/ = S(—/ю), следовательно, 4^ 4*™ J $ S(/o>)S(-/W)d<»=^ J S2(w)i1m. = со —оо —on Для перехода к формуле (9.15) учтем, что при /<0 функция /(/) = 0. Это дает возможность заменить в левой части нижний пре- дел с —со на 0. Приняв во внимание, что квадрат модуля 5я(а)) есть }-«> четная функция частоты.заменим в правой части последнего урав- — по + «» нения на 2$. В результате получим формулу (9.15). О Величину 5я(ы) называют спектральной плотностью энергии сигнала, а функцию S2((o) = Дю)— энергетическим спектром. § 9.5. Применение спектрального метода. Спектральный (час- тотный) метод исследования процессов в электрических цепях ос- нован на использовании понятий спектров воздействующих им- пульсов и частотных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике прн рассмотрении вопросов прохожде- ния модулированных колебаний через усилители,фильтры идругие Устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов про- хождения через четырехполюсники коротких импульсов длитель- ностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях 4аже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное Хлебание или соответственно импульс, пройдя через четырехпо- люсник, изменился по амплитуде, па некоторое время /0 запоздал ’‘овремени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма иХц|ульса (колебания) на выходе но сравнению с формой импульса 317
(колебания) на выходе. Недопустимость изменения формы импуд^ са (колебания) следует из того, что именно вформе импульса (кОл£' бамия) заключена информация, которую он несет. Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передо точной функцией K(ja>) — К(ы)е‘4^при нулевых начальных услоЦ11' ях воздействует сигнал /,(/), имеющий спектр S^t/w). На выхода четырехполюсника появится сигнал /2(Z), спектр которого 5вых(/ы) = K(7«>)S„(/<i>), (9. (71 4 со где SJ/w) == J /,(/>-'“М/. Так как сигнал f2(t] может отличаться от сигнала /,(/) но значе- нию (но амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время 4, но но форме должен быть таким же, как и /,(/), то можно записать, что /.(/) = «/\(/ — 4)- • Если к функции //1) применить преобразование Фурье, то ока- жется, что спектр функции f2{t) равен (9-18) Сравнивая (9.17) н (9.18), замечаем, что Х(/(й) = A(<o)cJ^‘j) = Следовательно, для прохождения импульса или модулирован- ного колебания через четырехполюсник без искажения формы не- обходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент ф(ы) = — ю/0 линейно изменялся в функции частоты (рис. 9.2, а). В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выпол- нены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую назы- ва ют полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значе- ниями ш, при которых отношение маснмалыюго значения К(га) к минимальному равно \/2(рнс. 9.2,6). Такой характеристикой обла- 318
^ет, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно слагают, что /<(ы) = const; <р(и) = — Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник е изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармониче- ние составляющие частотного спектра сигнала находились внутри «олосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов „^угольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от ₽= 0 до w = 2л/где /и — длительность импульса. Если же необходимо передать через четырехполюсник основную частьэнергии сигнала (например,90 % энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0-М/<„. Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохож- дения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырех- полюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на час- тотных представлениях. Первый способ состоит в непосредственном применении прямо- го и обратного преобразований Фурье. Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра [/((/to) входного сигнала «,(/); 2) определение передаточной функ- ции четырехполюсника 3) получение спектра выходного сиг- нала tA/jw) = К(/и>) Ut(/<i>); 4)вычисление u/t) по i/2(/w). Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы (9.13), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изображения по Лапласу, заменив /ь> на р в Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи операторным методом и для сложных схем оказывается малопри- годным, поскольку решение достаточно громоздко, и, пользуясь им, ТРУДНО сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформа- цию фронта, какие — на деформацию вершины импульса. В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных пред- ставлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искаже- ние формы фронта выходного импульса по сравнению с формой Фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функ- ции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется свойствами передаточной функции на низких частотах (теоретиче- ски на частотах, близких к нулю). Эти положения соответствуют предельным теоремам оператор- Ого метода (см. § 8.4). Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы 319
на искажение формы импульса, прежде всего составляют noj|Hv схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все фактор?1 влияющие на частотные свойства (паразитные емкости ламп, ц?’ пульсных трансформаторов, индуктивности рассеяния трансфер' маторов, емкостные свойства р-п-переходов транзисторов, завцс(7 мость коэффициентов усиления транзисторов от скорости процес<?‘ (от частоты ш)|. Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схе мы. Первая схема представляет собой расчетную схему для выс0, ких частот и позволяет определить степень искажения фронта им. пульса. Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания последовательно включенных конденсаторов попу, ти следования сигнала (относительно больших по сравнению с па- разитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных парад, лельно резистивным элементам схемы. Вторая схема представляет собой расчетную схему для низких частот и служит для выяснения степени деформирования вершины импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, остав- ляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути сле- дования сигнала, а также индуктивные элементы, включенные па- раллельно резистивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные элементы по пути следования сиг- нала. Паразитные емкости в низкочастотной схеме не учитывают. В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, рассмот- ренных в § 8.16, число оставшихся индуктивных элементов и конден- саторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме за- мещения. Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывает- ся часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому вли- яние каждого из элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть выявлено относительно легко. Расчет пере- ходного процесса в высокочастотной и низкочастотной схемах про- изводят обычно операторным методом. Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) получают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего фронта импульса принципиально решается так же, как я вопрос об искажении переднего фронта импульса. Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 9.3, а изобра- жена схема лампового усилителя, где Rn — нагрузочное сопротив- ление; Ср — относительно большая разделительная емкость (чере3 нее проходит только переменная составляющая выходной величи- ны); С2 — относительно малая емкость нагрузки и (или) емкос?ь второго каскада усиления. Пунктиром показаны источник анода0' го напряжения Е* и малые но сравнению с Ср(но нескольку пикс' фарад) межэлектродные емкости Сса, и С, (емкость анод — К*' тод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости Ссг и Сск 11 учитываем, как оказывающие малое влияние на работу схемы. 320
Рис. 9.3 Схема замещения для расчета переходного процесса при воз- действии относительно малых по амплитуде переменных составля- ющих представлена ла рис. 9.3, б. Она является схемой третьего порядка. Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 9.3, в) и вершины импульса (рис. 9.3, г) являются схемами первого порядка. Для схемы рис. 9.3, в R,+ Р(С. 4- с2у r^gsl = (l/^) + (l//?a) + (lW Для схемы рис. 9.3, г ,, , „ вЯ* pCfUhv(p} I I 1 + irR»pCf Вй Если входное напряжение представляет собой прямоугольный ИлШульс рис. 9.3, д, то фронт выходного напряжения будет в виде врастающей экспоненты рис. 9.3, е, а вершина — в виде спадаю- ”1ей экспоненты рис. 9.3, ж. Результирующая кривая ивых мзображе-
на на рнс. 9.3, з. Подбор параметров усилителя осуществляв исходя из допустимой деформации фронта и вершины выходу’ импульса по сравнению с входным импульсом. § 9.6. Текущий спектр функции времени. За последние годы литературе стали использовать понятие текущего спектра St(j^ функции времени /(/): t SM= J /(Oe-^'dZ. (9.19) —оо Формула (9.19) отличается от выражения (9.12) тем, что верхний предел интеграла в ней t, а не оо. В соответствии с этим является функцией не только w, во и времени t. Таким образом, S(/«) характеризует спектр в различные момен- ты времени /. Функция S,(/ca) имеет модуль 5((<d) и аргумент чЦш). И модуль, и аргумент текущего спектра видоизменяются по мере увеличения I. Модуль спектра изображают обычно в виде семейст- ва кривых в функции «, каждой из которых соответствует фиксиро- ванное время t. Если /(/) — периодическая функция, a t-xx>, то спектр St(/'<£>) будет дискретным. Есл и /(I) = 0 при t < 0, то текущий спектр определяют по формуле 1 (9.20) 0 § 9.7. Основные сведения по теории сигналов. Сигналы подраз- деляют на детерминированные и случайные. Детерминированный сигнал это такой сигнал, мгновенное значение которого можно предсказать для любого момента времени. Случайный сигнал — это, как правило, помехи, мешающие получать информацию из при- нятого сообщения. Импульсный сигнал — действует только опре- деленный интервал времени. Сигналы в виде единичных функций 1(f), 1(—0 и дельта-функция Й(0 рассмотрены в § 8.61. Сигналы е виде модулированных колебаний рассмотрены в §7.15. Сигнал на- зывают одномерным, если он может быть описан одной функцией^ времени (например, напряжением на входе цепи). Сигнал называют многомерным, если он образован совокупно- стью нескольких одномерных сигналов (например, напряжениями' на зажимах многополюсника). Непрерывный временной сигнал f(t) —(см. рис. 9.4, а) — приня- то называть аналоговым. Название обусловлено тем, что его можн° рассматривать как аналог некоторых физических процессов с рг<” сматриваемом устройстве. Аналоговому сигналу соответствуй сигнал в дискретной форме. Дискретные сигналы это сигналы е виде совокупности следующих друг за другом с интервалом Д Л’<с' 322
Рис. 9.4 кретных импульсов (см. рис. 9.4, б). Ширина каждого импульса одинакова, а площадь равна мгновенному значению сигнала в мо- мент действия импульса. Цифровой сигнал — это нормированный по уровню дискретный сигнал, представленный в цифровом виде (в двоичной форме запи- си). Например, 30 = 1-24 + 1-2Е+ 1-21 -|-0.2е’НПО. Пе- реход от аналогового сигнала к цифровому осуществляю! с по- мощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП), выполненного в виде микросхемы. Обратный переход, с помощью цифроаналого- вого преобразователя (ЦАП). Обработка цифровых сигналов рас- смотрена в Приложении Д, а цифровая фильтрация в Приложении Ж. Сигнал можно рассматривать как вектор в пространстве сигна- лов. В математике длину вектора принято называть нормой. Квад- оо рат нормы аналогового сигнала 1(1) равен ||/1|2 = Он ха- рактеризует энергию сигнала (см. §9.4). Норма не чувствительна к изменению формы сигнала. Линейным нормированным пространством сигналов называют пространство, в котором каждому сигналу соответствует свой век тор со своей нормой. Метрикой двух сигналов ДЦ) и f/t) называют норму разности двухсигналов| | ),(/) — | . По метрике можно судить, напри- мер, насколько первый сигнал аппроксимирован вторым. Энергия суммы двух сигналов ft(t) + равна 30 сС со ОС i IMO + = J J /|(Qd/+2j A(/)/2(Z)d/. Величи- оз —ao —co Чу 2 J называют взаимной энергией двух сигналов. Если Вещественные сигналы /,(/) и /2(/) имеют спектры S^/o») и 52(/ш),то взаимная энергия двух сигналов равна 430 оо 2$ /,(/) S2(yw)e'w'dw Ш - 'Х 03 =-( Sjf/wySjf—/io)dw = A J J Л J 323
= | j (9.2 [j * ““ Функцию Re[S//(a)S1(/<u)] называют взаимным энергетически* спектром двух вещественных сигналов. Взаимная энергия впредь ляется главным образом перекрывающимися частями спектрОв этих сигналов. Формула эд OQ 5 (9.22) — ОО "СЮ получила название обобщенной теоремы Рейли. Сигналы называют ортогональными, если их взаимная энергия равна нулю. Ряд Фурье — пример совокупности ортогональных сигналов. Функции Уолша, принимающие на интервале —^4-^зна- чения ±1, — второй пример ортогональных сигналов. Автокорреляционная функция сигнала f(t) имеет вид W ед=5 /(/w~x)di. Взаимной корреляционной функцией двух сигналов /,(/) и f/t) называют функцию СЮ Я12Ю = 5 /((0/^едФ- (9.23) Свойства этих функций рассмотрены в приложении Г, а приме- нение к помехам и дискретным сигналам —в приложениях Г, Ж, 3, Д. Отметим, что существенным преимуществом цифровых сигна- лов перед аналоговыми является возможность передавать по одно- му каналу несколько различных сигналов от разных источников различным потребителям, если осуществить разделение сигналов во времени. §9.8. Узкополосный и аналитический сигналы. В теории переда- чи сигналов используют понятия узкополосного и аналитического сигналов. Узкополосный сигнал занимает узкую полосу частот и может быть представлен как сигнал, у которого во времени медлен- но изменяется амплитуда a(t) и фаза <р( t) :s(t) =а(/)со5|ы0/ + <₽(01- da(0 1 d<p(f) ) Условия медленности изменения: —Л2—и —.у2—<к1. di “о опорная частота, <й|Д) = “о + — мгновенная частота. При обра- ботке узкополосного сигнала огибающая его воспроизводится ам- плитудным детектором. Положим, что сигнал s(l) — coswl, но cosoi/ = 4“ Таким образом» сигнал $(С) можно представить в виде суммы двух сигналов. Один содержит только положительные, другой толькоог рицательные частоты. Запишем произвольный сиг- нал s(i) через его частотный спектр 324
Рис. 9.5 S(O - Sf/wje^d» + -J- ( SGoJe^dw = |Й(0 + 2i(01, (9.24) -4jI J 4ЭЧ J £ —co 0 где no *s(0 = ~$ S(/»)e/“[d». (9.25) п о * 1 0 (9.26) zX0 = “ S0wK/wf^»; — OP * 2ДО соответствует интегрирование при ы > 0,zs(/) — при ш < 0. zs(f) = s(t) + /s(0 (9-27) называют аналитическим сигналом, a s(/)=ReZj{/)— условимся называть исход- ным сигналом,s (t) — Imzs(Z) — сопряженным. На комплекснойплоскостигя(/)пред- ставляет собой вектор, проекция на ось +1 которогоs(Z), а на ось -f-j = s (/)(рис. 9.5, и). Сигнал 2^0 называют аналитическим потому, что если время i рассматривать как комплексную переменную t = i‘ 4- /<", то Zs(/) будет являться аналитической функцией в верхней полуплоскости. Пусть исходный сигнал $(/) имеет спектр S(/<o) -Ло« узкой области частот от ш = — оц до » = 4-Ы] (узкополосный сигнал рис. 9.5, б). Ему соответствует аналитический сигнал А, , >% z(/) = — 5 е/ш(йш — — (sin®./ 4-/(1—cosu>|/)l nJ Л1 о j4qCo, sin»,/ — -------—, — кривая / на рис. 9.5, в. Л Ы|1 - 2W'Z in 2 Сопряженный сигнал з(/) = Imz,(Z) = —----------— — кривая 2 на рис. 9.5, в. Л Ы|/ ~2~ Обратим внимание на то, что когда «{/) проходит через максимум,з(/) проходит через нуль. § 9.9. Частотный спектр аналитического сигнала. Так какzs(i) = s(/) + js (Z), то спектр zs(Z) равен сумме спектров функций s (f) и Если спектр sf"/) равен S(/w), то спектр s (/) равен Исходный временной сигнал s(/) = Rez,(0 325
при <a<0;) при <u>O.J Cc отношение (9.28) следует из формулы (9.25) и из определения —/sgn(<o)S(/b>) = (9.28) оо —« Способ получения s (f)c помощью квадратурного фильтра вытекает из (9.28). На вход этого фильтра подают сигнал s(t). «Ьильтр, сохраняя модуля S(jto)npw всех частота/ неизменными, изменяет аргументы всех спектральных составляющих на —90" прн ш > 0 и иа 4-90° при й.< 0- §9.10. Прямое и обратное преобразование Гильберта. Поскольку спектр conpjj, женлого сигнала s (() равен 5 /ш) = - /sgn(m)5(/<i)), то сам сигнал s (/) может быть определен как свер^кл функций s(0 и некоторой фунхцни времени Д0, которая определяется по обратному преобразованию Фурье ст функции —/sgn(e>). I [оследнхта представим так: —/sgn(w) = limj— /звтц<о)е““^](рис. 9.5, г). в-1-*/) Тогда 0 e (9.9Q , f(t) = hm [ ( е<* + "»“ бш - ( е<~е + '^Мо> ] = zn _л J J лг е-н< -со О Пт формуле свертки а(т)<1т t — т‘ (9.30) Из (9.28) следует 3(/ш) = /sgn^o>)S(/to). Поэтому, по формуле свертки, s (т)бт т — I' (9.31) Форуулу (9.30) называют формулой пр? юго, ? формулу (9.31) — обратногопреоб- жзоеания Гильберта. Jlflti нах приняты обозначения Я и И Так, s У) = /fls(0], s(f) = Н~'[а (/)] Ядра подынтегральных функций (930) и (9.31) при т — I терпят разрыв, поэтому июегралы следует понимать в смысле главного эф чення Наприк.ер, интеграл (9.30) вычисляют так: s ()) - — iiin 11 t-лэ Вопросы для самопроверки 1. Чем принципиально отличается ряд Фурье от интеграла Фурье? Запнин те И прокомментируйте формулы прямого и обратного преобразования Фурье. 2. Чен объяснить, что при обратном преобразован in Фурье кроме положительной уг. твой частоты w используется и отрицательная? 3. Любая ли функция f(t) может быть преобразована по Фурье? 4. Для функции Д0 известна Г(рр К»к записать S(/a) этой функции? 5. Постройте (рафики модуля н аргумента спектров функций te~и 3%
। а()е функция равны нулю при *<0 (Спеет: для , - л,| S(/<o)|=^5-----,ф *= —arctg—=— у fi. Сформулируйте н докажите те- 1 а l+1-р „ему Рейл и, дайте ей физическое толкование. 7. На резистор сонгютинлением /?=10 Ом “^действует импульс напряжения, модуль спектра и'ггопиго 3(ч>}—?^п при В остальной об, !ас~и частот S(o>) = 0 Определите энергию, цыделниту- 0СЯ е резисторе? (Ответ: VCO Дж). 8. Что понимают под полосой пропускания реаль- но четырехполюсника? 9.Определите полоп частот, заннмьемую прямоугольным иМпульсом длительностью 1 мкс. (Ответ : 6,28- 106 рзд/с.) 10. Чем руководствуются рри составлении укороченных схем четырехполюсника при исследовании деформа- ции фронта и вершины проходящего через него короткого импульса? 11. Определите теку<иий спектр S((/w) функции f(t) — е""01, полагая, что /(0 = 0 при «0. (Ответ: 1—_|_ ja----) 12. Проверьте правильность формулы 3(0 = — J созш/d/. 13. По- кажите, что спектр 5-функции равен I. 14. Покажите что если функция /(1) имеет спектр S(j<£>), то спектр функции a [(at) равен $(/—). 15. Покажите, что если cur- fl нал s(i) п, едставляег собой амплнтудно-гэдулзрпв^иное колебание 6(1 -J- ф rnsinS10sirw>/, то при (i£S>Q сопряженный сигнал а (0es 6(1 -f- Z4sin(20cosio/. 15. Определить автокорреляционную функцию прямоугольного сигнала f(t), рис. 9.16,в. [Ответ: <г)=Лг/„(1—1Д.] £и Глава десятая СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ § 10.1. Характеристика синтеза. Синтезом линейной электрической цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов /?, L, С г.о известным операторным или временным характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения определенной формы. Одному и тому же операторно- му выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры. По- этому, после того как получено несколько решений, выбирают из них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончатель- ном выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устрой- ства, а также чувствительность при изменении того или ино! о пара- метра схемы. Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотех- ник, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих устройств. Синтез развивался главным образом по двум направ пениям: 1) Известным операторным функциям [по для двухполюсников и точной функции для четырехполюсников]; 2) временном ха- рактеристикам, т. е. по известному временно'му отклику системы [|Ри воздействии единичного напряжения. 327
Эти два направления взаимно дополняют и развивают другд,^ га. В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на пЛ' вом из упомянутых направлений. В § 10.2 — 10.9 даны основные сведения о синтезе цепей но За данной операторной функции (более полно об этом см., например (3J). Методика синтеза цепей по заданным временным функция? здесь не рассматривается (для ознакомления с ней следует обра. титься к специальным руководствам). В теории автоматического регулирования распространен синтез основанный па использовании логарифмических частотных характе- ристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и по. лупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем производят, используя спектральный метод, рассмотренный в гл. 9. ’ § 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные со пр о. тивлеиия двухполюсников. Если представить входное сопротивле- ние двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположен- ных по убывающим степеням оператора р, и _ У(д) _ «я Ря+ан-1Ря~' + - 4- atp 4- ч (Ю.1) Р Л1(р) Ь„,рт 4- Ь,„ _ lPm~l 4- - 4- Ь,р + й0' то должны выполняться следующие пять условий: 1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вы- текает из условия 3); 2)наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя (п) не может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаменателя (т) более чем иа единицу; 3) если условиться значения р, при которых Z(p) =0, называть нулями функции Z(p}, а значения р, при которых Z(p) = оо, — полю- сами Z(p), то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р; 4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные; 5) если вместо р в выражение Z(p) подставить /<и, то при любом значении «> должно быть ReZ(/t»)>0. Поясним эти требования. Из § 8.11 известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида Л^к1 и обязательно дол- жны затухать во времени; рк — корни уравнения Z(p) = 0. Но зату- хать свободные процессы (слагаемые вида Л^к') могут только втоМ случае, когда действительная часть рк отрицательна. Отсюда еле- дует, что нули уравнения Z(p) =0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р. Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника К(р)^ = Z(p)/k, где k — некоторый коэффициент, имеющий размерность 328
в квадрате (см. § 3.43), то входное сопротивление дуального иухполюспика равно A/Z(p). Нули дуального двухполюсника, яв- ^ющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены ^левой части плоскости р. Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения JV(p)==O, тр соответствующие им слагаемые в решении берут в виде (С| 4- С2/)ел'. Если допустить, что на мнимой рСн могут быть два кратных корня р = /р, то соответствующая им свободная составляющая (С, 4* Сй/)е/₽ нарастала бы до бесконеч- ности, чего физически быть не может. Коэффициенты а и b в числи- теле и заменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из тео- ремы Гурвица (см. § 17,2), среди корней уравнения Z(p) = 0 появи- лись бы корни с положительной действительной частью. Поясним, почему степень т не может отличаться от степени более чем на единицу. Допустим, что степень т больше степени дна два. Тогда р->оо является нулем второй кратности для Z(p), а то, что происходит при р-»-оо, можно считать происходящим на мнимой оси плоскости р (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой оси получается кратный корень, чего бйть не может. Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника, убедимся, что степень и не может быть больше степени т более чем на единицу. Если в Z(p) вместор подставить /ы, то Z(/<o) будет представлять собой комплексное сопротивление двухполюсника в установив- шемся синусоидальном режиме при частоте о, a ReZ(/<o)— дейст- вительную часть входного сопротивления. В том случае, когда двух- полюсник содержит резистивные сопротивления, его ReZ(/<n)r>0[oH потребляет активную мощность /2ReZ(/i»>)]. Если же двухполюсник чисто реактивный, то ReZ(yto) = 0. В общем случае для пассивного двухполюсника всегда должно быть ReZ(/w)>0. В литературе ни синтезу цепей иногда пользуются термином «положительная действительная (вещественная) функция». Под Чей понимают функцию: 1) действительная часть которой положи- тельна, если положительна действительная частьр\2) действитель- ная при действительном (не комплексном) р. Поскольку Z(p) этим свойствам удовлетворяет, оно является положительной действи- тельной функцией. Пример III. Задано несколько выражений вида N(p)/M(p). Выяснить, могут ли °ин представлять собой входные сопротивления некоторых двухполюсников: 1) 5Р ~ 6 20pg + 12р + 6 25р2 + 12р 4- 2 ’ 12/ + 8р3 4- 12/ + 13р 4- Г 3Pg 4- Р 4- 1 .4 2рг + р + 1 р3 + рг + р+1 ' (р+ i)(p2+l)' 329
Р е ш е н и е. Первое выражение не можетпредставлнгьсобой2(р),таккак0д из коэффициентов в числителе отрицателен. Второе и третье выражения так^^ 4 могут представлять собой Z(p): второе потому, что максимальная степень р в нателе больше максимальной степени р числителя на два, третье потому, что I Re Р~1ш ' Зр + t + I 1 _(1 - t.^fl -2ь?) Рэ + р24-р + 1] (I - ю2)2(1+<й2) при значениях св от 0,707 до ! отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям удовлетворяет и потому может представлять собой Z(p) некоторого двухполюсник Кроме названных общих свойств перечислим свойства Z(p\ двухполюсников, состоящих только из/? и С, только из/? и L и только из L и С. Двухполюсники типа RC и RL имеют чередующиеся пр0. стые нули и полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости р. Для /?С-двухполюсников ближайшей особой точкой к началу координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Для двухполюсников типа RL ближайшей к началу координат осо- бой точкой является нуль, при р = 0 полюс отсутствует. Двухпо- люеннки типа LC имеют чередующиеся простые нули и полюсы ца мнимой оси. Степени полиномов числителя и знаменателя отлича- ются на единицу. Нули и полюсы Z(p) можно изобразить условными значками из комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крести- ками. Полученную картину называют картой нулей и полюсов. Эта карта наглядно характеризует частотные свойства двухполюсника и реакцию его при воздействии единичного напряжения. По расположению и количеству нулей на ней можно определить число апериодических и колебательных компонент, которое содер- жит свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной из них во времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем медленнее затухает соответствующая им свободная составляю- щая. Существует несколько способов реализации двухполюсников ио заданной Z(p), удовлетворяющей перечисленным в§ 10.2 условиям. Три основных способа реализации рассмотрены в§ 10.3 — 10.5. ' § 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) сх! -мой. Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной называют дробь вида I d+... Входное сопротивление или входная проводимость лестнично*1 (цепной) схемы по типу рис. 10.1, с, в которой продольные сопроти» 330
Рис. 10.1 ления названы Z}tZ3,Z5,.... а поперечные проводимости — У2, У4, У6, могут быть представлены непрерывной дробью. Для того чтобы убедиться в этом,проделаем небольшие выклад- ки. Найдем входную проводимость правой части схемы по отноше- нию к зажимам тп. Она равна _ !• . Суммарная проводимость zb+1 / 'в правой части схемы по отношению к зажимам tnn с учетом ветви с проводимостью У4 равна г4-р , -—.Входное сопротивление поот- ношению к тем же зажимам 1 у. □-!— 4^z5+i/y6 Входное сопротивление всей схемы равно Zl+--------Ц-------- М----------j— 2Э+--------7- Ki-Р------ z5+i/r6 Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10.2), т- е. задача о последовательном упорядоченном определении эле- митов лестничной схемы (Z„ Z3, У2, У4, У6, ...) по выражению НОД). с этой целью: 1) располагаем полиномы М(р) и ЛТ(р) по убывающим либо по взрастающим степеням р\ 2) дел им многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе Тления получались положительные (не отрицательные) слагае- те и чтобы они не содержали р в степени больше 1 и меньше — 1; (10-2) 331
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходй мость перейти от расположения полиномов по убывающим crejC ням к расположению их по возрастающим степеням, то эта опер*' ция вполне допустима. При делении полинома N на полином М будет получено частН()* Z, и остаток О(/М, т. е. /у 0| I г = -Ь-=2,+т7-21+тГ77Г. Л1 4 М м / С?! При делении М/О. будет получено частное Ys и остатщ, О2 I О, О3 1 „ Поэтоыу л£=к । 1 2 z , 1 з+ог/о3 На основании изложенного процесс последовательного опреде- ления элементов можно представить следующей схемой: N М мг} |2t М |О1 01 Уз |К 01 Од O2Z3 |z? О2 О3 о3у< |у7 Оз О4 Z5 Пример 112. Определить параметры лестничных схем, для котор^ 2(р) = -—£------, располагая сначала прн делении полиномы по убывающий' Р „ затем (для реализации второй схемы) ио возрастающим степеням р. Как будет ниД^ из дальнейшего, и процессе деления в обоих случаях не возникнет необходимости переходе ог расположения но убывающим к расположению но возрастающим сте*1 иямр. Решение. Производим деление, расположив слагаемые по убывающим сГ пеням р: 332
На рнс. 10.1, б изображена схема, н на ней указаны соответственно в генри и фарадах значения индуктивностей и емкостей, полученные прн делении, когда сла- гаемые были расположены по убывающим степеням. Так как примеры имеют чисто иллюстративный характер, то не следует обращать внимание на то, что индуктивно- сти н емкости в примерах достигают практически трудно осуществимых значений. Кроме того, реализуемые здесь Z(p) можно рассматривать как нормированные по частоте и значению (см. § 10.9). В этом случае от нормированных /?„, L„, С„ парамет- ре® переходят к действительным, осуществить которые практически уже не составит затруднений. Схема и параметры для второго случая, когда при делении слагаемые располо- жены по возрастающим степеням р, даны на рис. 10.1, о. Рассмотрим пример, который является иллюстрацией того, что иногда в процес- се деления возникает необходимость изменения порядка расположения слагаемых. Пример 113. Требуется реализовать лестничной схемой Др) = 2р3Ч-ЗрЧ-2р-(-1 2Р24-2р+1 Решение. 2р3+Зр2+2р+1 2рг+2д+1 ___________2/W+?_______P+Z, 2pч s+2p-H рЧ-р-Н 2р2+2р4-2 2 — I ч Тах как получаем отрицательные слагаемые, дальнейшее деление прекращаем ‘Преходим к расположению по возрастающим степеням 333
На рис. 10.1, г изображена соответствующая схема. В заключение отметим, что могут встретиться такие Z(p), котп. рые невозможно представать лестничной схемой. В этом случае применяют второй способ реализации, описанный в § 10.4. [Вторпй способ применяют не только в случае невозможности пр?дставле- ния Z(p) лестничной схемой.] Если и он окажется неприменимым (например, при комплексных нулях и пол юсах), то следует восполь- зоваться методом Бруне (см. § 10.5) или другими методами. § 10,4, Реализация двухполюсников путеч последовательного выделения простейших составляющих. В качестве введения ко вто- рому способу реализации двухполюсника запишем операторные сопротивления для простейших одно- и двухэлементных двухпо- люсников. Н а рис. 10.2, а — д изображены простейшие двухполюс- ники и записаны соответстьующие нм операторные сопротивления; на Гис. 10.2, е, ж — сопротивления и проводимости и на рис- 10.2,3 — проводимость. Для рис. 10.2, а С=1/ап, для рис. 10.2,б L=alt для рис. 1С.2, в 2at ~ 1 / Ct и = 1 /(£/?Д для рис. 10.2, г ак = AifeH ть = Rkf Lb, для рис. 10.2, д Ь=\/С и 1/Л^. Сущность метода состоит в том, что заданное Z(p) представляют в виде (рис. 10.3, а) «I (10.3) Первому слагаемому соответствует последовательно соеД”' ненный индуктивный элемент индуктивностью up второму-1111 следовательно соединенный емкостный элемент емкостью 1/йв Каждому слагаемому вида соответствует последователь’1*1 ₽+**>/ соединенный параллельный резонансный контур (слагаемо^ 2 й—пара полюсов р|2 = ±/<о4, находящихся на мнимом 334
L Цр)~а,р ао"с а) р^тт р*ы* L*f‘* 8) Z(p)~p+pi p+f е) Рис. 10.2 плоскости р). Сопротивление Zj(p) уже не содержит полюсов на мнимой оси. Функцию Zt(p), среди полюсов которой нет полюсов, находящихся иа мнимой оси, называют функцией минимального реактивного сопротивления. Возможны следующие варианты для W-. akp а) Zj(p) = V ——осуществляют последовательным соединением Z-r p-rmk двухполюсников рис. 10,2, г; 6)z}(p) = у ——-рfr0реализуют в виде резистора сопротивлением и последовательно с ним соединенных двухполюсников рис. 10.2, в) Z,(p) ~ ^осуществляют в виде резистора сопро^ ведением &0. Индуктивность я, = Пт (рнс. 10.3, а). Величину а0 в схеме рис. 10.3, а определяют как интегральный вычет функции Z(p)=Mp)/Af(p) в полюсе р=0: о0 = ResZ(p) = W(0) / М'(0), или о0 = limpZ(p). 2алр Коэффициент ак а выражении -j-—-2- равен интегральному выче- f. 'В пунктах а) —в) полагаем, что коэффициенты ak, Ьк и &0 действительны и л°>кительны. 335
Рис. 10.3 ту функции Z(p) в полюсе р = /синему же равен вычет функции Z(p) при р = так как они оба действительны]: = Res Z(p) = ₽=У“л После того как найдено ак, можно определить/^ и Ск двухполюс- ника рис. 10.2, в; Ск = 1 / (2oJ; Lk = 1 / (<o|Ct). Реализацию двухполюсника можно осуществлять не только ио его входному сопротивлению Z(p), но и по его входной проводимости У(р)= 1 /Z(p). Входную проводимость У(р) представляют ввидесхе- мы рис. 10.3, б: и'л ‘Ьа'ьр ₽ ₽+<>; (ЮЛ) В соответствии с правой частью (10.4) двухполюсник осуществ- ляют в виде параллельного соединения емкостного элемента а\, индуктивного I / </0, двухполюсников рис. 10.2, з (им соответствуют слагаемые вида 4—^) и двухполюсника минимальной реактивной р +<*>; проводимости Ув(р), не содержащего полюсов на мнимой оси. Коэф- фициенты а'о и находят путем нахождения интегральных вычетов функции Y(p) соответственно при р=0 и р = /ык, г С = a't = НгпУ(р)/ р. Если функция х2(р) = то ее реализуют в виде параллель иого соединения двухполюсников рис. 10.2, е. Если функН|,я 7^0) = то ее реализуют параллельным соединением двухАг люсников рис. 10.2, ж1, Следует иметь в виду, что при реализа^111 1Полагаем, что коэффициенты т и г действительны и положительны. 336
вухполюсника по его л(р) в виде последовательного соединения Простейших двухполюсников, начиная с некоторого этапа, может казаться целесообразным перейти от сопротивления к проводи- мости и дальнейшую реализацию осуществлять уже параллельно ^единенными двухполюсниками. Потребность в таком переходе ^(0>кет возникнуть, например, когда остающаяся для реализации ^сть Z (р) имеет нуль при р=0. Этому нулю соответствует полюс у(р) прн р—О, который реализуют индуктивным элементом. Пример 114. Реализовать Z(p) = Р +2Р+2 р(р2+2₽+д) Р е ш е н и е. Так как Z(p) имеет полюс при р=0.то в схеме может быть выделен лсследовательно включенный конденсатор емкостью C—I/oq, где ( = Res Z(p)=2/2=i. Функция Z(p) не имеет полюсов, лежащих на мнимой оси. р=0 Поэтому в состав его не входят последовательно включенные двухполюсники рис. 10.2. в- Определим, какое Z(p}осталось реализовать, обозначим его во Z3(p) = Z(p)— Дй+2р Д2+2р+2 Функция Z-/p} имеет нуль при р=0. Для реализации оставшейся части схемы р®-|-2р+2 перейдем к проводимости Г3(р) = - Полюсу этой проводимости при р=Ю гоответстиует индуктивный элемент индуктивностью «(,= Res У3(р)^" I. Р=О Осталось реализовать 2 ад_ад_1_^_^+-2_. Слагаемому р/(р+2) в соответствии с рис. JO.2, ж отвечает ветвь нз последова- тельно соединенных /?=1 Ом и С-^0,5 Ф. В соответствии с рис. 10.2, е нроаоди мости |/(р+2) отвечает нетнь с £=1 Гн и /?-=2 Ом. Полученная схема изображена на рис. 5бэ Рис. 10.4 337
Пример 115. Реализовать Z(p)=—т-т----. Р' +Рп-р+1 Р е ш ев и е.Прир=0у2(р)иет полюса,поэтому последовательно включени конденсатор у искомого двухполюсника отсутствует. Функция2(р)имеетдва liojiZJ*® Р|2=±/, расположенных на мнимой осн. Выделим параллельный резонадс^8 контур рис. 10.2, в, соответствующий этим полюсам: Р3+р2+2р Зр2+2р+1 -/-1+2/ » г 1 |Л -3+2/+1 2’ Ск 2ак 1ф- p = l t ak— Res Z(p)^ Res /М e>t =1; Lk = 1 [ («>*Сц) = 1 Гн. Найдем функцию минимального реактивного сопротивления: вд-ад-^-^. И В соответствии с рис. 10.2, г реализуем Zt(p) в виде параллельного соединения Ом и L=i Ги. Схема искомого двухполюсника изображена на рис. 10.4, б. Двухполюсники, состоящие только из R и С, могут быть реали- зованы, например, канонической схемой рис. 10.4, в, а состоящие из R и L — схемой рис. 10.4, г. Для схемы рис. 10.4, в °о т I Z(p) = /Г+~1-Г -ту, ^ = “ Р ^ip+di> Сь dt = ; R' = limZ(p); п0 = IhnpZ(p); 6*=ResZ(p). k р-э-вФ p—H) p^=—d^ Для схемы рис. 10.4, г Л a.p ад-/г+^^. *=| R" = limZ(p); Lo = limZ(p) /р. /J-4-О />-eOC Параметры Rk и Lk находим, имея в виду, что сопротивление -~Р— соответствует параллельному соединению Rk и Lk, гДЕ p+mfc а» = R& тъ = Ъ /Lk> °* = ResZ(p) /р. P=~mk § 10.5. Метод Бруне. Основные этапы метода Бруне следующие. 1. Прежде всего проверяют, не содержит ли заданное 2(р)|назовем его полюсов на мнимой осв. Если они имеются, то из состава Z3af) (р) выделяют соотве ствующие этим полюсам один или несколько последовательно включенных пар^ дельных резонансных контуров. В результате получают 2«^ (1«-9 гт-ад. рг+«>* Этот этап соответствует переходу от рис. 10.5, а к рис. 10.5, б. 338
Рис. 10.5 Коэффициент ak = ResZ3ajl(p). Функция Z(p)ne имеет полюсов на мнимой осн и р = /нА представляет сабой функцию минимального реактивного сопротивления. 2. Полагая р = /со в Z(»o>) выделяют действительную часть, т-. е. находят Re 2(/ы) к определяют частоту и. при которой Re = ReZ(/w) минимальна. Эта часто- та может быть раина пулю, бесконечности или иметь некоторое конечное значение (в последнем случае еебудем называть 11одсчитыиают также минимальное значе- ние ReZfy'u), которое называют R,[|in. 3. Из г(р)еычнтают Rmj(] в находятZf(p). Этой операции соответствует Переход or рнс. 10.5, б к рнс. 10.5, в. Заметим, что степени числителя и знаменателя Zt{p) одинаяовы. 4. Если частота, при которой имеет место минимум ReZ(/w) равна нулю или бесконечности, то уже на этой стадии делается попытка peaaK30saTbZ(p)^ecTHH4noii схемой. Если же минимум ReZ(/w) имеет местопри некоторой <и = ю0, отличающейся иг 0 и оо, то дальнейшую реализацию производит в соответствии с и. 5 — 12. 5. Подсчитывают /[(pjiipit р = /<о. Таккак при частоте/, = /о>0 действительная часть Z(p) = 7?mbi, то действительная часть разности Z(/wu)— /?1и1п равна нулю, т. е. ^i(/too) представляет собой чисто реактивное сопротивление 6. Возможны два случая. Первый, когда Х|>0, второй, когда A’jCO. Будем полагать Jfj = ,>0 (случай А ,<0 рассмотрен в и. 12). Тогда /-1 = Л1/ш(). (10.6) 7. Составляют разность Zj(p)—pLt и приводят ее к общему знаменателю. На- лример, если исходить из того, что , , , Рг+й1Р+«о Tu проводимость оставшейся для реализации части двухполюсника у м _ 1 =_____________?+61Р+^_______________ ZjpbpL, _p41+P2(l-(,1L|)+p(«t^Vl)+“o' Ш Обратим внимание на то, что в знаменателе ¥<J.p) имеется слагаемое —р'*£|, ^‘орое ори дальнейшей реализации приведет к появлению в схеме отрицательной ’Мукгивности. 8. Поскольку при р = jtiif Z/pj—pLf—O, го Yit(p) = оо, т. е. р = /ш0 является ^Юсом У(/р). Наличие полюса у VJp) позволяет представить оставшуюся часть 339 %.
двухполюсника ветвью из последовательно соединенных А2 и С2, настроен резонанс на частоту шс, и параллельно ей присоединенного двухполюсника с^, ‘ тивлением Zj(p)(pHC. 10.5, г): 9. ПолагаютZ/p) в» NJp) / М^р). Степени полиномов N/p) н М/р) должны бцп такими, чтобы после приведения праной части (10.7) к общему знаменателю стеПе полинома числителя левой части равнялась степени полинома числителя пра8о» части; то же и в отношения степеней знаменателей. Так, если Vrfp) соответствуй выражению (a), toZjQ;) = (С|Д4-Со)/4. Методом неопределенных коэффициентов можно найти с1(с0,<10н/,2. В рассмат. риваемом случае с, Ср = а^, (10.fi। А2 = L|ti>Q / (й0—и§); с2 — 1 / (ы2А2). Разность (б0— это следует из того, что условие X,>0 означает, что >0, а при p = /too ReZ|(p) = 0. Im P!+^iP+^o 10. Реализацию Z£p) производят, как правило, лестничной схемой. В рассмат- риваемом примере Zj(p) реализуют индуктивным L3 = с, / d0 = — to^Lj / ft0 и рези- стивным /?3о=о0/60элементами (рис. 10.5, д). Важно обратить внимание на то, что/., оказалось отрицательной. 11. Так как физически осуществить отрицательную L3в линейной цепи невоз- можно, то дальнейший этап реализации в методе Бруне состоит в том, чтобы три магнитно не связанные индуктивные катушки, имеющие индуктивности At, А2 и £., заменяют трансформатором, состоящим из двух катушек £4 и i5, между которыми имеется магнитная связь (взаимная индуктивность М). Это действие является об- ратным по отношению коперацяи "развязывания” магвитно-связаниых цепей. На рис. 10.5, е изображены два участка цепи: левый — до преобразования, правый —после преобразования; показаны положительные направления токов в ветвях н указаны одноименные зажимы катушек. Напряжения между точками I и2 для обоих участков цепи в силу из эквивалентности должны быть одинаковы, т. е. Р^ 111 +дЬЕ/2 = pLtl । —рМ I з, —= pLcfa—рМ1 (. Подставляв в эти две строки f]=7z4-/3 и учитывая, что каждая нз них долиоН удовлетворяться при любых значениях токов, получают: Л1 = Le; Lt = L& = tj-f-Z-g, (10.5, где Z.4 и Ав положительны. Окончательная схема изображена па рис. 10.5, ж. 12. Если условиться сумму степеней полиномов в числителе и зяаменат^ 2ид(д) называть порядком 2зил(р), то совокупность перечисленных операций ("И11*” Бруне") позволяет снизить порядок на четыре. Естественно, что потребность в ком-либо одном или нескольких этапах в любом конкретном примере может и й возникнуть (например, в этапах 1 или 3). t Для Z3ia(p), порядок которых достаточно высок, может возникнуть потребного применить эту последовательность операций неодим раз. Взаключение отмети если в п. Б Х|<0, то L । <0, а вычитание согласно п. 7 сопротивления — р | А,|сводН11 к прибавлению сопротивления Ч-р| A J. Некоторым недостатком метода Бруне является его относительная сложно^' н необходимость введения в схему идеального трансформатора с коэффициент связи Л2 == М2 / (А4А5) = 1. 340
§ 10.6. Понятие о минимально-фазовом и неминимально-фазо- вом четырехполюсниках. У минимально-фазовых (м.ф.) четырехпо- люсников все нули передаточной функции расположены в левой части плоскости р. У неминимально-фазовых (н.ф.) четырехполюс- ников хотя бы часть нулей находится в правой части плоскости р. Название объясняется тем, что при одинаковом значении моду- лей передаточной функции м.ф. и н.ф. четырехполюсников аргу- мент передаточной функции м.ф. четырехполюсника меньше аргу- мента передаточной функции н.ф. четырехполюсника. Поясним сказанное. Сравним выражения для двух передаточных функций: *'(₽) = и р~р2 P—P'i Р-Р2 Положим, что Р| и p'j равны по модулю и действительны. Нуль первого выражения находится в левой части плоскости р (рис. 10.6, о), а нуль второго р', =—р, — в правой части плоскости р(рис. 10.6, 6). Пусть на вход обоих четырехполюсников воздействует синусои- дальное напряжение частотой си. Некоторой конкретной частоте на комплексной плоскости соответствует точка а на осн -ф/. Образуем разности р — р| и р — Рз на рис. 10.6, а и разности р—р'г и р—ра на рис. 10.6, б: £__£l = £_J.e/<*i—Фа); £ р 1 — р 1 с /QTi -n?) Р—Pi P"z Р—Pz P"z Модули этих передаточных функций одинаковы и равны ₽/£/P"s тогда как аргументы различны. Аргумент <р,—<р2 первого 1!етырехполюсника меньше аргумента (р'(—<ра второго четырехпо- люсника. Четырехполюсник с передаточной функцией К'(р) мини- мально-фазовый, а четырехполюсник с К"(р) неминнмалыго-фазо- б11й. Пример н.ф. четырехполюсника на рис. 10.7. Для него \+RCp’ и м.ф. четырехполюснике существует однозначная зависимость 341
между модулем и аргументом передаточной функции. В н.ф. четы- рехполюсниках между модулем и аргументом передаточной функ- ции нет однозначной зависимости. Перейдем к вопросу о реализации четырехполюсника по его заданной передаточной функции, полагая, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости. Существует много различ- ных методов реализации. В одних методах в основу положена пере- даточная функция при холостом ходе четырехполюсника, а дру- гих— передаточная функция четырехполюсника, нагруженного на согласованное резистивное сопротивление. В последнем случае принято нагрузку брать равной 1 Ом и называть ее нормализован- ной. В одних методах реализации сопротивление источника питания полагают равным нулю, в других равным заданному значению. Каждый способ реализации имеет те или иные ограничения. § 10.7. Синтез четырехполюсников Г-образными /?Ссхемами Г-образный четырехполюсник (рис. 10.8) является делителем на- пряжения. Его передаточная функция по напряжению при холо- стом ходе Щр) Чр) (1О-10) UM ~ zm+zM' В дальнейшем вместо Zj(p) и Z/p) будем писать соответственно Z, и Z2. Положим, что с помощью Г-образного четырехполюсника, со- стоящего из /?С-эле ментон, требуется реализовать передаточную функцию по напряжению при холостом ходе: где N к М — полиномы по степеням р; N/M удовлетворяет условй 342
л которые предъявляются к передаточной функции /?С-четырех- £олюскнка. Приравняем правые части (10.10) и (10.11) W/M=Z2XZ1+ZS). (10.12) разделим числитель и знаменатель правой части (10.12) на не- который полином Q=Q(p), имеющий тот же порядок, что и полияо- N и М; корни его чередуются с корнями уравнений #=*0 и Af=O. Тогда z2 N/Q (10.13) Z,+Z2 M/Q- Из уравнения (10.13) находим Z2~N/Q nZt~{M~N)/Q. Реали- зуем двухполюсники Z, и Z2 по найденным операторным сопротив- лениям’. Реализацию двухполюсников производят в соответствии с § 10.3 и 10.4. Аналогично производится синтез Г-образными /?£-схемами. § 10.8. Четырехполюсник для фазовой коррекции. На рис. 10.9 изображена симметричная скрещенная схема, состоящая из чисто реактивных двухполюсников Z, и Z2, на выходе которой включен резистор сопротивлением У?. Положительные направления токов и напряжений указаны на схеме. В уравнении —lbZ2 заменим U,2 на /2/? и учтем, что /s = Ia—lb. Это дает возможность выразить 1Ь через /о: } , , ь а ₽+z2 Подставим 1Ь в /2 = 1а — /ь и найдем . jh-z2 . - fi+z. Составим уравнение для периферийного контура: ^(Zj+Z2)-|-2Z1Z2 ^2-Z,) Передача напряжения ()2 R^-Z.) . U\ R^Z^Z^+iZ^’ Входной ток * ' * 27? ‘^‘„+'> = 1* z2-V • предполагаем, чтвполииом Q(p) может быть найден hhtoZ, к Zs удовлетворяют ^виям, перечисленным в§ 10.2. 343
Рис. 10.11 Рис. 10.10 Входное сопротивление й, (а) ^?(2[4-Z2)4-2Z|Z2 /, 2/?+Z,+Za ' Приравняв Zm—R, получим соотношение Z^—R2 Из него еле- дует, что реактивные сопротивления Z, и Z2 взаимно обратны. В формулу для Kv подставим Z2 = R2 / Z,: *-zi Так как Z, — чисто реактивное сопротивление, то модули чис- лителя и знаменателя формулы (а) одинаковы и потому ~ I. При изменении частоты to меняется только аргумент ф(со).1 Четы- рехполюсник рис. Ю.Эслужит для фазовой коррекции. С этой целью его включают между источником питания с внутренним сопротив- лением R и активной нагрузкой R, и он, не изменяя напряжение источника питания по модулю, поворачивает его на требуемый угол <р(со) по фазе, осуществляя этим фазовую коррекцию. Имея в виду, что= I; е^'”' == cos<p(w)4-/sir)<p(w), определим нз(а) z _ о _ р 1 —Costco)—/sin<p(<o) _ ф(<») _ 1 l+cofi<p(<o)4-/,sinq'(«) ^2 ' Сопротивление Z2=/?!/Z1. Сопротивление Zt=jX чисто реактивное. Граф”1' Л=/{<1>) имеет вид тангенсоиды. При q>(w)<=n, 2л...X изменяет знак. Иногда zi реализуют схемой (рис. 10.10). Для определения параметрон этой схемы составлял’1' столько уравнений, сколько параметров неизвестно, и затем эти уравнения совме£Т' но решают. Положим, что <р(т) корректирующего четырехполюсника должна иметь значения чфе^прм a>,, tf(<n.jnpH ш2 пт. д. Тогда уравнения, которые нужносонмсетИ1> решить относительно L, Lt, L7, С,, С2, получают, если входное сопротивление схея*’ (рис. 10.10) /снЛ] /<оД2 + 1- ы2£,С, + 1-w2L2C2 ‘Обратим внимание на то, что знак <р(ю) противоположен знаку аргумента & выражении постоянной передачи g=a+jbчетырехполюсника. 344
Рис. 10.12 поел едва атслыю приравнивать к Z, -1^ при выбранных частотах. В ре- зультате система уравнений относительно Сь С2 имеет вид q’(tl>l) л । Z | £а ш, е 2 l-w^C) l-wftaC2’ § 10.9. Четырехполюсник для амплитудной коррекции. Схема четырехполюсника, осуществляющая амплитудную коррекцию, изображена на рис. 10.11. Корректор нагружен на резистор сопро- тивлением /?, входное сопротивление его также равно /?. Сопротив- ления Zj н Z2 взаимно обратны (Z,ZS=/?2). Постоянную передачу g=o+/d(CM. § 4.10) в этом случае определяют по формуле е* = е“+'6= 1+Z,//?. Так как|е/6) = 1,тое" = |1 -f-Zl / R |. Последняя формула связывает параметры схемы рис. 10.11 и частоту <в с затуханием а. В зависи- мости от того, что представляет собой сопротивление Z„ характер зависимости а — /(Доказывается различным. В качестве примера на рис. 10.12, а — г изображены четыре схемы с различными Z, hZ2 и графики соответствующих им зависимостей. Схему амплитудного корректора выбирают всоответетвии стой зависимостью сг —/(<>), которую необходимо реализовать. Пара- метры схемы корректора (например, сопротивление /?,, емкость конденсатора С, для схемы рис. 4.12, а)определяют путем совмест- ного решения системы уравнений, полученных приравниванием мо- дуля величины]!-^, / /?|значеннее0 при фиксированных значениях Частоты со. Уравнений составляют столько, сколько в Z, неизвест- ных параметров. Уравнения имеют вид I l+^i / *L, = efl<4 11+Z, / Л|Ш2 = е«‘Ч... 345 Я
Рис. 10.13 Частоты и,, ft>2,... выбирают для характерных точек зависимо- сти а = /(о) либо через равные интервалы. § 10.10. Аппроксимация частотны* характеристик. Аппроксимация — это при- ближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимо- стью, которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически реализуемую функцию. Например, кривая 1Л'(/о>)| рис. 10.13, а — это частотная характеристика идеального фильтра НЧ|А(/х)| = /(х), где К(/х}— передаточная функция; х — о> / шс, где <ос — безразмерная величина, равная частоте среза. В диапазоне изменения хотО до 11 А(/'х)] = 1; при *>1|К(/*)|= 0- Пунктирная кривая / рис. 10.13, б повторяет кривую рнс. 10.13, с, кривая 2 характеризует глад- кую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой / неодинаково в диапазоне аппроксимации. Кривая 3 иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, при кото- рой абсолютные значения максимальных отклонений от средней линии в обе стороны одинаковы. Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно полиномами Баттер- ворта, равноволновую — полиномами Чебышева. Известны н другие способы апп- роксимации [9, 17], у каждого из ннх имеются свои достоинства н недостатки. ГЛадках аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квад- рата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так: W-77^ I Принимают, что при х=1 |Л'(/х)| « l/V^, откуда т = 1. Полагая p = jx, найдем полюсы | А(/х) f3: = ——!—я- I + </>/№" При нечетных прь = l1^" = (3lll'/n k 0,1,...,л; при четных п pt — (—l),A2rt> = s г = е 2/1 , k = 0,1,.../г. Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Поли- номы(р —PiY-(.P—р„) образуют знаменатель К(/х) и называются полиномами Бат- терворта. При составлении их используют значения р, находящиеся только в левой полуплоскости. Этообеспечивает физическую осуществимость К(р)- Запишем поли- номы при я = 1 (р + I); при «=2р*-|- \f2p -Ь 1. прип = 3 р3 + 2р -|- 2р + 1. Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно прн х = 2) c=10lg(t71/I/s)2определим п: |К°Х)| <л| Vi +> " 20ig2 - 346
Рис. 10.14 Например, при а = 18 дБ л = 18/ (20 1g 2) = 2,98 й 3. В рассматриваемом примере ад = Р3 + 2ра4-2₽ + Г Функцию К(р) реализуют известными методами. Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка л записывают в три тонометрической форме: Гд (х) = cosn arccos х. Полагая arccosx=0 и имея в виду, что созпв®«со8ив— „^COS,l~a0sina64-.-. a sinfi = yjl—х1, получим алгебраическую форму записи полиномов: ВД » Z + c®x"-v -1) + V - 1)й + - Например, при п = 5 ГБ(х) = 16/—20л3 -f- 5х. В интервале х = 0-j-1 Гя(х) колеблется от 1 до — I (рис. 10.14, д). При *> I Ги(х) монотонно возрастает. Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧс помощью полиномов Чебышева аппроксимируют так: |ад|2“777*>- Максимальное отклонение | Х(/х)| от 1 равно//2 I-----=L=«1_(1-^) =0,5/ Vi + v* 2 При х> 1,т. е. в области затухания фильтра НЧ, V2 Д(х) ** IЛ'(/х) I= , = —ГТ-—Г-? ’ п' ' । v / । уГДх) ych(rtArchx) Примерный вид аппроксимирующей кривой | К(/х}| показан на рнс. 10.14, б. Для заданного отклонения у и затухания а в децибелах при * = 2 а = 20tg| = 201g | I/А(/2]| порядок полинома Чебышева определяют по формуле 1 Ю0'20 л = y-r-Arch----, где! ,32 = Arch2. 1,32 V 347
Например, для у = 0,4 и а = 30 дБ при х = 2 |Л'(/х)| =0,03[R j j0i,5 5 06 “ п = ТЧГАгсЬ—j- = у— = 3,84. Принимаем п = 4 Для составления K(jx) следует определить полюсы ]К(/х)|г, находящиеся левой полуплоскости. Подставим в[ K(jx) | х = pk/j и приравняем нулю знаменатщ,® !Д(Ме- । + Т2^(д^//) = 0 или Тп{рьЦ) = ± г/у. п = cosnjarccos—1= ± f/y- При х > 1 Гп(х) = Tn(pk/i) = chWrchfpfc//). Так как рк — комплексное число, то arccos рк/j—тоже комплексное чнсд0 которое положим равным ак + Тогда Tn(pk/i] = cos(/iaft + /«0J = ccsnajchrtPj — /sinn aphn₽t = ± j/y. Отсюда cos n ak ch n = 0, sin n ak sh n ± !/у. Так как ch n ps 0, to Л cos n ак = 0 и = (2ft -f- П^, k = 0,1..n. При этом sin n ak = ± I; sh n = l/у; = ^Arsh(l/y). Так как arc cos(pA//) = + /₽rt, to pk = ak + jbk = /cos(at + j£k). Действительные и мнимые части полюсов рк, лежащих в левой полуплоскости: Ofc = - sh sin (2fe + 1)^; Pr*=ch £fecos —l^t Л = 0,1,...,п. Из последней строчки следует, что a£/sh2pft + 6*/ch2pt= I, т, e. полюсы pt расположены на эллипсе, одна полуось которого равна shрд, другая — ch|JA. В рассматриваемом примере при п = 4 и у = 0,4 = 0,4i2; shpt=0,421; cb₽ft=l,08. Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом sh^, другую радиусом ch£fe(pHc. 10.15) и через начало координат проводим прямые до пересече- ния с окружностями под углами ak = (2k+ 1Хл/2п), где k ~ 0,1,..., п. В примере ak « 22,3; 67; 111; Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса проводим верти- кали, а из точек пересечения с окружностью большего радиуса — горизонтали. Точ- ки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей на левой полуплоско сти дают искомые полюсы. В примере js03 =— 0,164 ± /0,995; р12 = — 0,388 ± /0,4)6. Нормированная передаточная функция ‘ (Р—Pq) (Р-Рз) (Р—Pi) (Р-Рз)^ | _______________________1____________________ ~ ((р + 0J64)2 + 0.9952] Цр + 0,388)£ + 0,416г|' 348
По К(р) определяют схему и ее нормированные параметры LH, Сн. Таблицы полиномов знаменатели нормированного /С(р) низкочастотных филг , ров, аппрокси- мированных различными способами даны в [9,17]. Для переход? от нормированных к действительным лаоаметрам L, С пользуются соотношениями L = и С=Св/«ас. Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать пред- почтение,. зависит не только от стоимости и габаритов при практическом осуществ- лении схемы, нс н оттого, насколько фазочастотные характеристики получающихся четь рехполюсннков удовлетворяют пост явленной задаче. В заключение отметим, зто нормирование распространяется не только ча пере- да точную функцию четырехполюсника, ио и ня другие фуыкцчь, в -ibcthocth на входное сопротивление нлн проводимость двухполюсников. Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление (ьрпноди мосте) некоторого двухполюсника, то оно эбь:чно нормируете»: не только по частоте «д, но и по его числовому значению. При нормировании Z(p) по числовому значению нходное сопротивление (проводимость} делят на некоторую безразмерную величину R( > О П ри переходе от схемы, реализующей нормированное сопротив- ление ZH (ее параметры R (i LH, Сн и частота х), к той же схеме, пос ненормирован- ными параметрами (се сопротив .енме Z, а параметры R. L, С}, последние опреде- Z R /wL I ляют, сопоставив почленно одинаковые слагаемые ——Ь..' д» и «о «о *о /шСЛр 2« = +. lxt„ + т — (х = <о/ыо1. /*ьн В результате получим R « RHR0; = / 1‘^сМ’ где<е0 — вели- чина безразмерная. Вопросы дня самопроверки I, Укажите два основных направления развития синтеза электрических цепей. 2. Определите задачи синтеза, неречадггте условия, которым должны удовлетво- рить 2(р) физически реализуемых двухполюсников. 3. Поясните идею реализации Двухнолюснигои лестничкой схемой I {окажите, как следует упорядоченно опреде- лять се элемен гы. Л юбое ли Z(p) может быть реализовано лес-» ничнон схемой? 4. Как Осуществить реализацию путем ш»слеловательного выделении простейших состав j|hkhhhx? 5. Нарисуйте две кг ионические схемы двухполюсников, отображающих Идеи реализации методом выделения простейших составляющих. 6. В чем идея Г'али.'вции методом Бруне? 7. Какой четырехполюсник называют мчнимальио-фа- Зовым? 8. Начертит- схему четырехполюсника для фазе вой коррекции и поясните. 349
как определить ее элементы, если известна зависимость 9. Изобразите cxtM амплитудного корректора и расскажите, как определить ее элементы, если извест^ зависимость а(ю). 10. В чем состоит задача аппроксимации и как она решается? Поясните идею составления К(р) четырехполюсника, если в основу положена: а1 гладкая; б) ранноволновая аппроксимация. 12. Как от нормированных параметр^ перейти к ненормированным, задавшись некоторыми /?п и <п0? 13. Решите задачи [jjj, I2.fi; 12.10; 12.7; 12.14. 12.17; 12.28. Глава одиннадцатая УСТАНОВИВШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ § 11.1. Основные определения. В данной главе рассмотрены основы теории установившихся процессов в электрических и магнитных цепях, содержащих линии с распределенными параметрами. Электрическими линиями с распределенными параметрами на- зывают такие линии, в которых для одного и того же момента вре- мени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения)линии к соседней точке, т. е. являются функ циями времени и пространственной координаты. Под магнитными линиями с распределенными параметрами по- нимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней (см. § 14.24). Эффект недрерынного изменения тока (потока) и электрическо- го (магнитного) напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и попе- речными элементами (рис. 11.1, а). На схеме рис. 11.1, а изображен участок линии с распределен ними параметрами, через с1хобозначен бесконечно малый элемент длины линии. Сопротивления Zt, Z2, Z3,... называют продольными, в них вклю- чены сопротинления и прямого и обратного проводов; сопротивле ния Z4, Zfi, ZB,.„ называют поперечными. В результате утечки тока через сопротивление Z4 ток Ана- логично, ток 13=/=/2 и т. д. Напряжение между точками а и b не равно напряжению между точками с и d и т. д. В электрических линиях с распределенными параметрами про- дольные сопротивления образованы активными сопротивлениям11 проводов л'инии и индуктивностями двух противостоящих друг Дру- гу участков линии длиной tlx. Поперечные сопротивления состоя1 из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершеН ства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованны* 350
противостоящими друг другу элементами (участками) линии. В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротинления са- мих магнитных стержней, образующих магнитную линию, а попе- речные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии. Линию с распределенными параметрами называют однород- ной,если равны другдругу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопро- тивления участков линии одинаковой длины. Участок линии рис. 1 1.1, а однороден, если Z, -- Z2 ч= Z3 ... и Z4 = Z5= Zb. Линию с распределенными параметрами называют неоднород- ной, если продольные сопротивления в пей различны или попереч- ные сопротивления неодинаковы. Кроме того, л им ни с распределенными параметрами можно под- разделить па две большие группы: нелинейные и линейные. В нелинейных линиях с распределенными параметрами про- дольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих но ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них гоков. Примером нелинейной электрической липни с распределенны- ми параметрами является электрическая линия передачи высокого напряжения при наличии между проводами линии тихого электри- ческого разряда (явление короны па проводах). В этом случае ем- кость между противостоящими другдругу участками линии явля- ется функцией напряжения между этими участками. Примером нелинейной магнитной линии с распределенными па- раметрами является линия, образованная параллельно располо- женными магнитными сердечниками, которые в процессе работы л,|ции могут насыщаться. Когда используют термин "линия с распределенными парамет- рами", то обычно его мысленно связывают с мощными линиями ||&редачн электрической энергии на большие расстояния, с теле- 351
финными и телеграфными воздушными и кабельными линиями, с рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном трац’с порте, с антеннами в радиотехнике и другими родственными Линц" ями и установками. В то же время с линиями с распределении^ параметрами имеют дело и тогда, когда "линий" в буквально^ смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно высоких частотах представляет собой нию с распределенными параметрами. Картина электрического ц магнитного полей катушки показан^ на рис. 11.1,6. Линии напря. женности электрического поля Е^показаны пунктиром, линии напряженности магнитного поля Н — сплошными линиями. Схема замещения катушки показана на рис. 11.1, в. Из рисунка видно, что кроме индуктивностей в схеме есть межвнтковые емко- сти и емкости на корпус прибора (на землю). Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитко- вые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизмеримо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки. В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению переменного тока емкостное, а не индуктивное сопро- тивление (количественные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры катушки соизмеримы с длиной волны) индук- тивная катушка является типичной линией с распределенными па- раметрами. Если индуктивная катушка намотана на стальной сер- дечник, который способен насыщаться, и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой сложную совокупность из электрической и магнитной нелинейных цепей с распределенными параметрами. В курсе ТОЭ изучают только основы однородных линейных це- пей с распределенными параметрами. Вся теория излагается при- менительно к электрическим линиям с распределенными парамет рами на переменном токе. Теория однородных линейных электрических цепей с распределенными параметрами на постоян- ном токе непосредственно следует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю. Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами, только вместо тока в уравнении должен быть подета цлен магнитный поток- вместо электрического напряжения — магнитное напряжений 352
вместо продольного активного сопротивления — продольное маг- нитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводи- мости — поперечная магнитная проводимость, § 11.2. Составление дифференциальных уравнений для однород- ной линии с распределенными параметрами. Пусть /?р — продоль- ное активное сопротивление единицы длины липин; L„ — индуктив- ность единицы длины липни; С(>— емкость единицы длины линии; (;й — ноне речная проводимость единицы длины линии. Поперечная проводимость Gfl не является обратной величиной продольного со- противления Разобьем линию на участки длиной dx (рис. 11.2), где х — рас- стояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление равно Ra dx, индуктивность — £(>dx, проводимость утечки — Gndx и емкость — C„dx. Обозначим ток в начале рассмат- риваемого участка линии через/. а напряжение между проводами линии — через и. И ток и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль липни хи времени I. Поэтому в даль- нейшем в уравнениях использованы частные производные от w и / но времени / и расстоянию х. Если для некоторого момента времени / ток в начале рассмат- риваемого участка равен /, то в результате утечки через поперечный Элемент ток в конце участка для того же момента времени ранен ' + — dx, гдеЛ/dx — скорость изменения тока в направлении х. Ско- рость, умноженная на расстояние dx, является приращением тока "а пути dx. Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в конце Участка для того же момента времени напряжение равно »4-~%х. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкну- 3,,г() контура, образованного участком линии длиной dx, обойдя его lo часовой стрелке: — и р 4- 4- п 4- = о. 353
После упрощения и деления уравнения на dx получим (П.ч По первому закону Кирхгофа, , + Дп. <"2) дх Ток сЩрис. 11.2) равен сумме токов, проходящих через проводи, мость Godx и емкость C(,dx: <1/ = ( и + ~dx) Gudx + и 4- ^dx) Ол iff- if л Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости. Тогда .. г . , г . (11.3) di = «Godx + Cfldx—. > 01 Подставим (11.3) в(11.2), упростим и поделим уравнение на dx; Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциаль- ными уравнениями для линии с распределенными параметрами. § 11.3. Решение уравнений линии с распределенными парамет- рами при установившемся синусоидальном процессе. Пусть напря- жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся символическим методом. Изоб р ажение ток а / — где / = 1п<а^ / \/2. Изображение напряжения и == U,nsln(tot 4* %)-► йе^, где U = Комплексы U и 1 являются функциями расстояния х, но tu являются функциями времени. Множитель е'“/есть функция време ни I, не зависящая от х. Представление изображений тока и напряжения в виде произ- ведения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой — функцией только/, дает возможность перей*11 от уравнений в частных производных [уравнений (11.1) и (11.4)]* уравнениям в простых производных. Действительно, дх <1х ’ ~ {111 354
вх dx ‘ с~^^сои^- (И-6) Подставим (И.5) п(11.6) в(11.1) и (11.4), сократив в полученных уравнениях множитель ем: - <W/dx ~ Zoh (11.7) - d//dx = Y0U, (11.8) где = /?0 -}- jinL0, (11.9) 1'о = 4- /<оСо. (11.10) Решим систему уравнений (11,7) и (11.8) относительно U. С этой целью продифференцируем (11.7) по х: &й й (11.11) d? В(11.11)вместо(1//<1х подставим правуючастьуравнення(11.8): d2f/ ~^ = Z0Y0U. (11.12) Уравнение (11.12) представляет собой линейное дифференци- альное уравнение второго порядка. Его решение и = A te’x + Л 2е-тх. (11.13) Комплексные числа At и А2 есть постоянные интегрирования, которые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линий. Комплексное число (Н.14) Называют постоянной распространения', его можно представить в Виде у —а4-/Р, (11.15) гДе а — коэффициент затухания, характеризующий затухание па- 4ающей волны на единицу длины линий, например на 1 м(км);0 — *ОэФфн^неят фазы, характеризующий изменение фазы падающей °лны на единицу длины линии, например на 1 м (км). Следова- Тельно, [vl = H = IPI= 1/м. гз- 355
Ток / найдем из уравнения (11.7): _ 1 д2е~т*— f~ ~ Zodjf— zo/v Отношение Zo/-\ сопротивления, обоз ? = Zo/VZoro — ^Zo/Yo, имеющее размерщЬ начают2в и называют волновым сопротивление^. г -,/zo -г / . Vy0“ VG04-/a>Ce=V *’ 01.17) где zB — модуль; <рв Следовательно, — аргумент волнового сопротивления ZB. : лз _v (И.16а) § 11.4. Постоянная распространения и волновое сопротивление. Как указыва- лось ранее, постоянная распространения ? = “ 4* /Р = \'(^о + + /ЫСО). (11.18) Для линии постоянного тока ы=0 н потому у » V/?0G0 (11.19) Для линии синусоидального тока без потерь (Яо = Go-O) Y«ywV^0C0'. (11.20) Запишем формулы для приближенного определения 0 и а в линии с малыми потерями, когда Rf^u>La<3?l и Gq/«dC0<cI. С этой целью перепишем формулу (11.18) следующим образом: и разложим биномы а ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда | т. е. воспользуемся соотношением у/! 4- 1 4* 0,5х]. В результате получим * + + £ • £,0 X < Cq (11.21) Следовательно, (11.22) ^*0 -1/^-0 —tvt;+t v^;- р = <i> "'Ji-jjCjj. (11.22а) Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (ы = 0)<*3 (11.17) следует, что ------ ,,<<«} (П.23) Для линия синусоидального тока без потерь (/?0 = Go = 0) = V^-o/^O- Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда «о % , —7~<К1, ш£0 соСо 356
(11.24) R0 Go о 2m Lq 2<i>Cq^ Для реальных воздушных линий |ZJ а; 300-^6(10 Ом. для кабельных « 50 4-200 Ом. Угол <р имеет емкостный характер § 11.5. Формулы для определения комплексов напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии. Как и раньше, через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней. Пусть в начале линии при 0напряжение L?, иток Составим уравнения для определения постоянных А, и Л.. через С'{ и/,. Из (11.13) и (11.16а) следует (х = 0). (11.25) (11.26) ft t-S — + Ир //в = Л2-4г Для определения А, из(11.25) вычтем (11.26); 4] = 0,5(t/1-71Ze) = 4ieW, А2 ~ 0Д[)1 + //3 ₽ Л2е'Ч (11.27) (11.28) где А, — модуль; — аргумент комплекса А,; Аг — модуль; ф„ — аргумент1 комплекса As. Подставим (11.27) и (11.28) в (11.13): , Д + /Л_,1Г V------2---е +-----2----е "" eV* -L. ₽- V* РТ* __ »- Г* = Г) У—Т. 5. — _ / 7 - --- ui 2 1 « 2 Введем гиперболические функции. Известно, что chx = 0,5(е’ + е-*), shx = 0,5(е* — е~х). Поэтому 0,5(е¥* + e-rt) = chyx; 0,5(ет* — е т1) = sliyx. Следовательно, U = t/|Chyx — //„shyx. Аналогичные преобразования, примененные к(11.16), дают . - £/, , (11.32) / = /,с11ух — -shyx. (11.29) (11.30) (11.31) ’Индексы «о» н «в* “ начальные буквы слов «отраженная* и «падающая» вол- (см. § 11.8). 357
Рис. 11.3 Формулы (1L3I )и( 11.32} поз вол я ют найти комплексы иапряже. ния и тока в точке линии, расположенной на расстоянии х от ее начала. Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функций в этих формулах является комплексное число ух — ах ф- /рх. § 11.6. Графическая интерпретация гиперболических синуса и косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические функции от комплексного аргумента сами являются комплексами и могут быть изображены векторами на комплексной плоскости. Заменим ух в уравнениях (11.29) и (11.30) на ах 4~ /£х; ch ух = ^е“хе'₽х + е - <ue- /Дж). shyx = — е" “е- /₽х). По таблицам показательных функций найдем значение е“« е~ “ и на комплексной плоскости рис. 11.3 отложим векторы e“xe'fJ и е_<1Хе_^х. Первый из них по модулю равен е“* и относительно оси действительных значений повернут на угол 0х против часовой стрелки; второй по модулю е_ " и относительно оси действительных значении повернут на угол 0х по часовой стрелке. Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, и гиперболический синус — их полуразности. § 11.7. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца лини1* у, а длину всей линии (рис. 11.4) I: у = 1 — х. (11.33) Пусть известны напряжение и ток в конце линии Ush /2. ПодстЯ' вим в (11.13) и (11.16а) х = /, U = Us, /=/2 и составим два уравне- 358
Качало линии I Рис. 11.4 конец линии йия для определения постоянных интегрирования А, и А2: 62 = Д2е^' + Л /2ZB = Д2е-г/ —- Л |СУ'. Отсюда |-4j = ОДУг - * - Л^О; Л2 = 0,5(L/z + = Л2е^*и. (11.34) Если подставить (11.34) в (11.13) и (11.16а), заменить I — х на у и перейти к гиперболическим функциям, то получим U = U2chyy + /2ZBshyy; (11.35) . t/2 / = -yshyy + /2chy^. (I J.36) Зная и /8 с помощью формул (11.35) и (11.36), можно найти комплексы напряжения и тока в точке, находящейся на расстоянии у от конца линии. § 11.8. Падающие и отраженные волны в линии. Подставим в формулу (11.13) вместо вместо А2 [см. (11.34)], заме- нив у на а 4- /р, получим U = А ,е“е^<*о + М + Д2е- “е'<*п - (11.37) Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.16а), причем в дополнение заменим Z„ на zBe/,F«[cM. формулу (11.17)]; А А j ------Le“e^*o + ₽* — -]—- е— “е^ — Р* — те), q । ggj Для перехода от комплексов напряжения и тока к функциям БРемени умножим правые части формул (11.37) и (11.38) на^Г е/“'и °т произведений возьмем мнимую часть: t‘=Al^2eexsin(oji+ ф0 -Ь рх)4-Д2^е~оХ sin((o<4- фп— М» (И.37а) 359
Падающей электромагнитной волной называют процесс пере- мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника энергии к приемнику, т. е. в нашем случае в направле- нии увеличения координаты х. Электромагнитное состояние опре- деляется совокупностью электрического и магнитного полей, обус- ловливающих друг друга. Падающая волна, распространись от источника энергии к приемнику, несет энергию, заключенную в ее электрическом и магнитном полях. Отраженной электромагнитной волной называют процесс пере- мещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от приемника к источнику энергии, т. е. в нашем случае в сторону уменьшения координаты х. Падающая электромагнитная волна образована падающей волной напряжения [второе слагаемое формулы (11.37а)| и падаю- щей волной тока[ второе слагаемое формулы (11.38а)]. Отраженная электромагнитная волна образована отраженной волной напряже- ния [первое слагаемое формулы (11.37а )| и отраженной волной тока [первое слагаемое формулы (11.38а)]. Знак минусу отраженной волны тока свидетельствует о том, что поток энергии, который несет с собой отраженная электромагнит- ная волна, движется в обратном направлении по сравнению с пото- ком энергии, который несет с собой падающая волна. Каждая компонента падающей волны (волны напряжения ил*< волны тока) представляет собой синусоидальное колебание, амп- литуда которого уменьшается по мере роста х (множитель е_8 аргумент является функцией времени и координаты х. Каждая компонента отраженной электромагнитной волны з» тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (мн® 360
цитель е“). ^раженной Физически эффект уменьшения амплитуд падающей и волн по мере их продвижения по линии объясняется утерь в линии. На рис. 11.5 изображены графики распределения падающей родны напряжения вдоль линии (в функции х) для двух смежных м0^ентов времени: и £>>/,. Падающая волна распространяется сЛева направо. При построении принято a>/t + фп =0. На рис. 11.6 представлены графики распределения отраженной ролны напряжения для двух смежных моментов времени: /, и Отраженная волна распространяется справа налево. § 11.9. Коэффициент отражения. Отношение напряжения отра- женной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают Ки. В соответствии с формулой (11.34) A ,ev Z„ — ZB При согласованной нагрузке Ки = 0, при холостом ходе Ки — 1. Коэффициент отражения по току К{~~— Ки. § 11.10. Фазовая скорость. Фазовой скоростью называют ско- рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблю- дать одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость — это скорость перемещения по линии неизменного фазового состоя- ния. Если фаза падающей волны напряжения неизменна, то в соот- ветствии с формулой (11.37а) ю/ 4- Ф„ — ₽х = const. Возьмем производную по времени от обеих частей последнего равенства: 1- фп — ₽х) = 0, или ы — = 0. Отсюда иф = dx /d/ — w /р. Пример Ив. Найти фазовую скорость для воздушной двухпроводной линии с Малыми потерями. ____ Р е ш е н и е . Из формулы (11.22а)следует, что Р = ^о- Поэтому <й 1 (1-1.39) Индуктивность единицы длины двухпроводной воздушной линии 361
гдецо— магнитная постоянная-,^ — расстояние между осями проводов; г— рЙДн каждого провода. Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии см. формулу (19.431 пео Со = — —, где е0 — электрическая постоянная. in - г Фазовая скорость щ = д „ = ф Wo со Wo *0 . 1 .. — «300000 км/с. ф ^1,256- Ю Гн/м -8,86-10— 2Ф/м § 1 L11. Длина волны. Пол длиной волны X понимают расстояние, на которое распространяется волна за один период /'=!//: X = «7=t>//. (11.40) Пример 117. Найти длину электромагнитной волны ори f = 50 и 50-108 Гц. Решение. При/= 50 Гц 300 000км/с X = —----_6000 км. 50с- При / = 50- 10е Гц 1 = 6 м. Г 1'Сс. ’Зтнмя'Ье^искажентУи. ^мни>(/и^-и^йаг^н^иП11у5\?дс'ггв- ляет собой линию, вдоль которой волны всех частот распространя- ются с одинаковой фазовой скоростью и затухают в равной степени. При движении электромагнитной волны по линии без искаже- ний волны напряжения и тока уменьшаются по амплитуде, но фор- мы волн напряжения в конце и начале линии подобны; точно так же подобны формы волн тока в начале и конце линии. Неискажающие линии находят применение в телефонии. При телефонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голо- са, т. е. не искажается спектральный состав голоса. Для того чтобы линия была ненскажающей, коэффициент зату- хания а и фазовая скорость иф не должны зависеть от частоты; а и цф не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет место следующее соотношение: /?0/£0 = Go/Co. (11-41) Для сокращения записи обозначим /?0/Lo = 60/С0 = Л. По опре- делению, 20 = Rq + 7<а£0 = L^k + /й>); Уо = Gq /<аС0 = C^k + /со); тЧ* +ja)^L0Ca, Следовательно, а = = -\]R0G0; (11.42) 362
Р — WV^'O^'O’ v0 = ®/p = l/V^ (11.43) Из формул (11.42) и(11.43) следует, что коэффициент затухания р и фазовая скорость оф в линии без искажений действительно не Завнсят от частоты. В линии без искажений волновое сопротивление ~ ~ ЦТ является действительным числом и также не зависит от частоты. Чтобы убедиться, что форма волны напряжения п конце липни полностью подобна форме волны напряжения в начале линий а., возьмем напряжение на входе линии в виде суммы двух синусоидальных колебании, одно из которых имеет частоту а другое 2ш. и составим выражение для а2. Пусть «1 * *ЛП5’П("' + ^i> + ^2ms'n(2r->f + ф2). Так как для линии без искажения коэффициент затухания а ис зависит от частоты [см. формулу (11.42)}, то амплитуды обоих колебаний на расстоянии I уменьшаются в одинаковой степени и становятся равными f/гие ~а1 и fame Для линии без искажения коэффициент фазы 0 прямо пропорционален частоте, поэтому для частоты 2<и коэффициент 0 в два раза больше, чем для частоты м. Следовательно, мгновенное значение напряжения в конце липин “2 ='б|ь!е_лг’®1М' Wi —'-гЧ2 — 200 = = -ft,sni[w ~ 4- а2те -e,sin[2wр - Н фг). Вынесем е а/за скобку и обозначим время i — — через т. Получим w2= е ~“')ulrasin(<»T + ф,)+ L'2/(1sin(2<flT ф фг)|. Если сопоставить последнее выражение с ut, то можно сделать вывод, что на- пряжение в конце линии имеет ту же форму, что и напряжение в начале линии. Однако оно уменьшено ио амплитуде за счет затухания и смешено во времени на 01/ы = на время движения волны но линии длиной !. В реальных линиях передачи сигналов соотношение (11.41) обычно не соблюдается, так как L0<R0C0/G0. Для того чтобы было Достигнуто это соотношение, принимают меры по увеличению Lfl. Практически устранение частотных искажений сигнала во всем передаточном тракте часто достигают не за счет использования линий без искажения, а путем включения в тракт специальных корректирующих четырехполюсников. § 11.13. Согласованная нагрузка. Линия с распределенными па- раметрами, как правило, служит в качестве промежуточного звена Между источником энергии (сигнала) и нагрузкой. , Обозначим сопротивление нагрузки Z2 (Z2= (72//2) (рис. 11.7, а). 3fi3
Если Zs¥= ZB, то падающая волна частично пройдет в нагрузку частично отразится от нее(возникает отраженная волна), При/2== =ZB — такую нагрузку называют согласованной — отраженная волна отсутствует. В этом можно убедиться с помощью формулы (11.34). Действительно, отраженная волна отсутствует, так как /Ij = 0. В линиях передачи информации кроме согласования Z2 с ZB согласовывают также ZB с внутренним сопротивлением источника сигнала ZH. При ZH, немного не равном ZB, кроме истинного сигнала через некоторое время после него может появиться ложный сигнал типа эха; наличие последнего затруднит обработку получаемой ин- формации. § 11.14. Определение напряжения и тока прн согласованной на- грузке. Чтобы получить формулы для определения напряжения и тока в любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у, б формулы (11.35) и (11.36) вместо ZB подставим Z2, заменим /2Z2 на и 172/Z2 на /2. Получим: U — U/chyy 4- shy//) — w; / = Uchyy + shy#) = /2е » В начале линии прн у== I Ut = f2e y,=U.jC t>2e “'e 'N; (11.44) (11.45) (11.46) где Us— модуль, а — аргумент комплекса t/2;/2 — модуль, а Ф,2 — аргумент комплекса /2. График зависимости действующего значения напряжения U от расстояния у для линии с потерями при согласованной нагрузке иллюстрирует рис. 11.7,6, кривая /, при несогласованной — напри- мер кривая 2 рис. 11.7, б. § 11.15. Коэффициент полезного действия линии передачи при согласованной нагрузке. Коэффициент полезного действия линии 364
|ередачи равен отношению активной мощности в конце линии Р2 к аКтйвной мощности в начале линии Р,: Р2 = (Zs/aCOStq)^ — <р/а) = C/2/2COS<pE, где Фв — аргумент волнового сопротивления ZB. При согласованной нагрузке угол между (7, и/, также равен фв, поэтому в соответствии с формулами (11.46) Р\ = t/,/lcosq>B = Ц^е 2п,созфв. Следовательно, t] = Ps/p)=e^. (11.47) § 11.16. Входное сопротивление нагруженной линии. На рис. 11.7 изображена схема, состоящая из источника напряжения Uu линии с распределенными параметрами длиной / н нагрузки Z3. Входное сопротивление ZM = В формулах (11.35) и (11.36) вместо у подставим I и заменим U2 на /2/2. Получим J2zEcfn>/ + /2zBshy/ “ ” - z2 /аТ-shW + /2С*М или EjChyZ + ZBshу/ (11.48) z“= ~z~ —shy/ + thy/ гя Если нагрузка согласована (т. е. Z2 = Z„), то из (11.48) следует, что входное сопротивление равно волновому: Zrx = Z„. § 11.17. Определение напряжения и тока в линии без потерь. Строго говоря, линий без потерь не существует. Однако можно создать линию сочень малыми потерями (с очень малыми /?он G0no сравнению с w£0 и о>Со соответственно) и распространить на нее теорию линий без потерь. Из предыдущего [см. формулу (11.20)] известно, что если ^o = Go==O, то у = а +/₽ = I^L0C^, т. е. коэффициент затухания а=0, а коэффициент фазы ₽ == При этом волновое сопротивление Zn = yL0/C0 является чисто активным [см. формулу (11.23а)]. Для определения напряжения U и тока / в любой точке линии обратимся к формулам (11.35) и (11.36): 365
U = Wjchv^ + /2ZBshyt/; й2 i — -=-$hyy 4 /2chT// У чтем, что у у = (а + /0){/ = (0 4 j$)y — $у. Гиперболический косинус от мнимого аргумента jx равен круговому косинусу от аргумента х: ch/x — 0,5(е I* + е ~ix) = 0,5(cosx 4- /sinx 4 cosx — /sinx) = cos*. Гиперболический синус от аргумента /хранен круговому синусу от аргумента х, умноженному на /: sh/x — 0,5(е Iх — е ~lx) = 0,5(cosx -Г /sinx — cosx 4 /sinx) ~ /sinx. Следовательно, shyx = sh/fty = /sinf!//. Поэтому для линии без потерь формулы (11.35) и (11.36) перепишем следующим образом: V — l)2cos$y 4 /7sZBsin₽/r, (11.35а) ' • й2 I = /—sin Pi/ 4 /2cos0t/. (11.36а) § П.18. Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе. При холостом ходе /2 = 0. Поэтому „ 1/ ^2СО5РУ_____________ —/У^-о/ Ср вхх~ / “ й2 ~ №у ~ №у /у-sinpf/ (11.49) Исследуем характер изменения Zuxx при изменении расстояния у от конца линии до текущей точки на ней и проиллюстрируем это рис. 11.8, а. В интервале значений fty от 0 до л/2 tg изменяется от 0 до оо, поэтому г„ж имеет емкостный характер (множитель —/) и по модулю изменяется от оо до 0. Расположение кривой выше оси абсцисс соответствует индуктивному характеру реактивного со- противления линии х, ниже оси — емкостному. В интервале значе- ний pt/ от л/2 до л tgfa/ отрицателен и изменяется от — оо до 0. поэтому изменяется по модулю от Одо со и имеет индуктивный характер (множитель 4/) и т- Д- Конденсаторы или индуктивные катушки, изображенные на рис. I1.8, а иллюстрирует характер входного сопротивления х. Таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой вели- 366
чины. Практически это свойство используют при высокой частоте в различных радиотехнических установках. § 11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании на конце линии. При коротком замыкании на конце линии U2 = 0 и из формул (11.35а) и (П.Зба) следует, что входное сопротивление Ах« = /А W = ;Vbo/Cotgpyf (11.50) где ₽ = mVWco- Будем изменять длину отрезка линии у и исследуем характер входного сопротивления. В интервале значений от Одо л/2 положителен и изме- няется от 0 до оо, следовательно, в этом интервале входное сопро- тивление имеет индуктивный характер и по модулю изменяется от Одо оо(рис. 11.8, б). В интервале $у от л/2 до я входное сопротивление имеет емко- стный характер и изменяется по модулю от оо до 0 (в точке ₽# =л/2 скачком изменяется от -Н»до —со). Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой на конце линии, также можно создавать различные по величине индук- тивные и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце линии без потерь длиной в четверть длины волны теоретиче- ски имеет входное сопротивление, равное бесконечности. Это позво- ляет применять его при подвеске проводов в качестве изолятора. § 11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивной нагрузке. Определим входное сопротивление линии без потерь при ^исто реактивной нагрузке Z„ =}Х„: z„ ZBc0Sfe + /^smfsy + jZ ] A “ f A cosfc, + i Y sinpy cosps 1 4- j Y1 gPtf 367
Обозначим —jZJZ* = tgv и учтем, что * + v) = T°S>- Получим т. e. входное сопротивление изменяется по тангенсоиде, начало ко- торой смещено на угол т. При индуктивной нагрузке = uL; tgv » -/~ -V > 0; при емкостной * »сtgv 1 zB <i>CZa § 11.21. Определение стоячих электромагнитных волн. В линиях без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто реактивных нагрузках возникают стоячие электромагнитные волны. Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волна- ми напряжения и тока. Математически такие волны описываются произведением двух периодических (в нашем случае — тригонометрических) функций. Одна из них — функция координаты текущей точки на линии (в нашем случае Ру), другая — функция времени (<>/). Стоячие волны напряжения и тока всегда сдвинуты по отношению друг к другу в пространстве и во времени. Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и тока равен 90°, сдвиг в пространстве — четверти длины волны [см. фор* мулы (11.52а) и (11.53а), (11.54а) и (11.55а )[. Точки линии, где периодическая функция координаты проходит через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодиче- ская функция координаты принимает максимальные значения,— пучностями. При возникновении стоячих волн электромагнитная энергия от начала к концу линии не передается. Однако на каждом отрезке линии, равном четверти длины волны, запасена некоторая электро- магнитная энергия. Эта энергия периодически переходит из одного вида (энергий электрического поля) в другой (энергию магнитного волн). В моменты времени, когда ток вдоль всей линии оказывается равным нулю, а напряжение достигает максимального значения- вся энергия переходит в энергию электрического поля. В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно 368
.ул». а ток достигает максимального значения, вся энергия пере- удит в энергию магнитного поля. § 11.22. Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе ^цнни. Из формул (11.35а) и( 11.36а) следует, что при холостом ходе U « (73cos₽y; (П.52) й2 / = ^С5к'₽*'- (11.53) Для перехода к функциям времени умножим правые части формул (11.52) и (11.53) на \/2e/tu' и от полученных произведений возьмем мнимые части: и = ^{/2cos^sino^ (11.52а) д/2Ц i = Sin Sin^Z + 90^’ (11.53а) Угол 90° в аргументе у синуса в формуле (11.53а) соответствует множителю / в формуле (11.53). В точках = Ал, где k = 0,1,2,.... будут узлы тока и пучности напряжения. График стоячих волн напряжения и тока для трех смежных моментов времени ы/( = 0т ы/в = л/2иои3 = |л показания рис. 11.9: а — напряжения, б — тока. Сплошными линиями обозначена волна при оя( = 0, тонкими — при <о/2 ~ л/2, пунктирными — при 3 (о/3 = -я для напряжения и при ш3 = л для тока. А § 11.23. Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыка- нии на конце линии. Из формул (11.35а) и(11.36а) следует, что при коротком замыкании на конце линии t/ = /’4V^o7^sin₽y; (11.54) / s= /2cospf/. (11.55) Для перехода к мгновенным значениям умножим правые части формул (11.54) и (11.55) на \/2е/ш' и от произведений возьмем мни- мые части: _______ и = fi у sin (<at -f- 90°); (11,54a) i = V24COS &У sin (U.55a) В правой части формулы (11.54а) — в формуле для напряжения есть множитель sin р у sin((u/ + 90е), как и в формуле (11.53а) Аля тока \ 369 г< - 589
Следовательно, картина стоячей волны напряжения при кор^ ком замыкании на конце линии качественно повторяет KapTHJ' стоячей волны тока при холостом ходе линии. § 11.24. Четвертьволновый трансформатор. Для согласован^ линии без потерь, имеющей волновое сопротивление ZBl, с активщ^ нагрузкой ZH =; /?н =/= Zhl применяют четвертьволновый трансфер матор (ЧВТ). Он представляет собой отрезок линии без потере длиной в четверть волны 1/4 с волновым сопротивлением Z„2. с0 противление Z„2 рассчитывают так, чтобы входное сопротивление 6 схеме рис, J1-9, в по отношению к точкам а н b оказалось равные ZB1 (при этом на линии с ZB| практически установится режим бегу, щей волны): ^вх ab RK cos 90’ Ч- yZe2 sin 90° cos 90° + / -5— sin 90’ Zb2 — ^Bi- Отсюда Ze2 = \'/?„ZBl. На линии c Zb2 есть н падающие и отраженные волны. Если нагрузочное сопротивление не чисто резистивное (гн = /?н + дд то для согласования Zs] с ZH на заданной частоте к зажимам ab на рис. 11.9 кроме четвертьволновой линии подключа- ют еще отрезок короткозамкнутой линии, длину которой берут та- кой, чтобы суммарная входная проводимость четвертьволновой и дополнительной короткозамкнутой линий равнялась 1/Zel. § 11.25. Бегущие, стоячие и смешанные волны в линиях без по- терь. Коэффициенты бегущей и стоячей воля. При согласованной нагрузке на линии имеются только бегущие волны напряжения (U = (Ле л*) и тока (/ = /2е Так как при любом у |е №] = 1, то для бегущей волны действующее значение напряжения и тока вдоль линии неизменно (рис. 11.10, а). При возникновении на линии стоячих волн действующее значение напряжения на линии изменя- ется в функции расстояния у пропорционально ] cospy[ при к о рот ком замыкании [см. формулу (11.54)]. При несогласованной активной нагрузке на линии возникав? смешанная волна — комбинация бегущей и стоячей волн. Если обозначить пг = ZB/Z„, то U = Uz cos Ру 4- jmU2 sin ру = Uz cos Ру ф- + /U2 sin ру ф jU2(m — 1) sin Ру, или U = t/2e/₽* ф j(m — 1)С/2 sin Ру. 370
Первое слагаемое определяет бегущую, второе — стоячую волны. Распределение напряжения на линии в функции расстояния у U — U^os^y + mzsinz0^. При т > 1 напряжение на конце линии минимально, а через четверть длины волны $у = л/2 максимально (рис. 11.10, б). При т < 1 напряжение на конце линии максимально, а через $у == л/2 минимально (рис. 11.10, в). Коэффициентом бегущей волны называют отношение миниму- ма напряжения смешанной волны к ее максимуму: в ^Aniu/ ^Апах' Коэффициент стоячей волны Кс к= 1 /К6, в. § 11.26. Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника. Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами (Z7t, /|)связа- ны с напряжением и током в конце этой линии (U2, /2) следующими Уравнениями [получены из (11.35) и (11.36), в которые вместо у подставлена длина всей линии /]: Р, — U2 ch у/ + /2 Za sh fl; /2 = — s h ft + /2 ch fl. Сопоставим их с известными из ч. 1 учебника уравнениями че- 371 24-
тырехполюсника: t/t = AU2 4- Bl2; 7, = С(/а4-Д7г. Из сопостап.^ ния следует, что уравнения по форме полностью аналогичны, a принять, что A=D^=chyl; (И.бб) fi=ZBshy/; (Ц.5?) C = shy(/ZB, (П.58) то зависимость между Ц и С/а, и 72 и зависимость между 7, и (жI /2 в линиях с распределенными параметрами точно такие же, как и в четырехполюснике. Другими словами, при соблюдении условий (11.56) — (11,58) четырехпол юсн ик эквивалентен лини и с расп реде. ленными параметрами в отношении связи между входными и вы. ходными токами и напряжениями. Напомним, что обратная постановка вопроса, т. е. запись урав- нений четырехполюсника через гиперболические функции, рас- сматривалась в § 4.11. § 11.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией с распределенными параметрами и обратная замена. При перемене местами источника и нагрузки в схеме (см. рис. 11.7) токи в источ- нике и нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладает сим- метричный четырехполюсник. Поэтому однородная линия с рас- пределенными параметрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и, наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами. При замене будем исходить из уравнений (11.56)- (11.58) и зависимостей, с помощью которых параметры симметрич- ного четырехполюсника связаны с коэффициентами Л, В, С. Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника Zl=(4-1)/C; (11.59) Z3 = I/C (И.60) или л =d = i+z,/z3; (И.61) B=2Z,4-Z?/Z3; (11.62) c, = i/z3. (Н.63) Для симметричной П-схемы Z4=B; (11.64) Zs — B/(A—l) (11.65) 372
и^“ Л = 1 +Z4/ZS; (11.66) B = Z4; (11.67) c-i+V4 (11.68) рассмотрим сначала последовательность операций при замене Т- и fl-схем замещения четырехполюсника эквивалентной ему линией с распределенными параметрами (имеется в виду замена при фик- сированной частоте). Пусть известны параметры Z, и Z3 в Т-схеме (Zt и Z6 в П-схеме). Требуется найти ZB и у/ для эквивалентной линии. По формулам (11.61) и (11.63) или соответственно (11.66) — (11.68) находим коэффициенты X, В, С. Для определения волнового сопротивления Zu разделим (11.57) на (11.58): 28=Ж (Н-69) Для определения у/ составим выражение для thy/, использовав (11.56), (И.57) и (11.69): в shy/ уВ/С’ ^'SC (11.70) ,h^=d^= Л = Д * еТ'-е"11' но thy/- Умножив и числитель, и знаменатель последней формулы на е7\ получим Отсюда 2W _ 2«Т /2₽Г _ 1 + lhTf (11-^1) 1 - thy/’ Правую часть формулы (11.71) переведем в показательную фор- му. Пусть она будет равна Meiv. Тогда е3в1 = /И, и так как e^ = e''v + — е/В|Ц, где k — целое число, то 2р/ — 2йлу = v. Отсюда v (а) Для реальных линий /?0, Lo, Cv, Go >0. Это накладывает условие на определение k. Следует подсчитать р/ по приближенно известно- му значению фазовой скорости в линии 373
Р^=№//Гф (б) и затем, сопоставив значения р/, найденные но (а) и (б), определи^ k, округлив его значение до ближайшего целого числа. Рассмотрим теперь последовательность операций при замену линии с распределенными параметрами эквивалентным ей чет^. рехпол юс ником. Известны у/ и ZB. Требуется найти сопротивления Z, и Z3 в T-cxg. ме (Z4 и Z5 в ll-схеме). С этой целью по (11.56) — (П.58) находНм значения коэффициентов Л, В, С, а затем no(11.59)и(И.^опреде- ляем Zj и Zg для Т-схемы [или по (11.64) и (11.65) сопротивления г и Z5 для П-схемы). Возникает вопрос: любой ли симметричный четырехполюсник можно заменить участком линии с распределенными параметрами и любую ли линию с распределенными параметрами можно заме- нить четырехполюсником? Очевидно, подобную замену можно осуществить, если получен- ные в результате расчета параметры таковы, что заменяющее уст- ройство физически можно выполнить. Как правило, замена участка линии с распределенными параметрами четырехполюсником воз- можна всегда, а обратная замена — не всегда. Она невозможна в тех случаях, когда в результате расчета волновое сопротивление окажется чисто мнимым числом; в реальных линиях этого не бывает. § 11.28. Четырехполюсник заданного затухания. Включаемый между источником сигнала и нагрузкой четырехполюсник, пред- назначенный для ослабления амплитуды сигнала в заданное число раз, называют четырехполюсником зада иного затухания (аттенюа- тором). Его собирают обычно по симметричной Т- или П-схеме н нагружают согласованно. Положим, что требуется найти сопротивления Zt и Z3 такого четырехполюсника, собранного по Т-схеме, полагая известными затухание а (в неперах) и характеристическое сопротивление Zr. Исходим из двух соотношений: cha = 1 и Z = т/В/С = i/2Zt23 + tf. Z3 Из первого находим Zj/Z3 = cho — 1 и подставляем во второе. Пример 1 18. Дано: а = 0,963 Ни;Zc = 700 Ом. Найти Zj и Z3. Решение. Zj/Z3 = chO.9631 - I = Q,5;Zt = 0,5Z3;Zc = 2,25Z1;Zl = 311 Ом: Z3 = 622 0m. Таблицу гиперболических функций см. в§ 8.18. 371
Рнс. 11.11 § 11.29. Цепная схема. На практике приходится встречаться со схемой, представляющей собой каскадное включение нескольких одинаковых симметричных четырехполюсников (рис. 11.11). Такую схему принято называть цепной. Исследование распре- деления тока и напряжения вдоль цепной схемы удобно проводить, используя теорию линий с распределенными параметрами. Дейст- вительно, в предыдущем параграфе говорилось о замене одного четырехполюсника отрезком линии длиной /, имеющей постоянную распространения у и волновое сопротивление ZB. Если число четы- рехполюсников равно п, то длина отрезка линии с распределенны- ми параметрами будет в п раз больше, т. е. равна nl. Обозначим напряжение и ток на выходе п четырехполюсника через Г/я + 1 и 1п+ р тогда напряжение и ток на входе первого четы- рехполюсника ^ = ^ + 1chY»/ + /„ + 1ZBShY/; t (11.72) У» + 1 • (И-73) /, «в —— - shyn/ + /„ . jchynf. Напряжение и ток на входе k от начала четырехполюсника (А<«): f7n+1ch(rt - Л + l)y/+/n + IZBsh(ft -k + l)v/; (11.74) 1к а — sh(« — k + 1)у/ + ln + jch(n - k + l)yl. (11J5) Рассмотрим несколько числовых примеров на материал, изло- женный в § 11.1 — 11.28. Пример 118. Для некоторой линии длиной 5 км на частоте 1000 Гц были прове- дены опыты по определению ее входного сопротивления при холостом ходе и корот- ком замыкании на конце линии. Оказалось, что ZBI у=535е^&* Ом и Zta * = 467,5е— № Ом. Требуется найти волновое сопротивление ZB и постоянную распространения у этой линии. Решение. Из формулы (11.48) следует, что прн холостом ходе, когда Z2=« ooZM1 = ZB/thyt При коротком замыкании, когда Z2 — 0, ZB1 к = ZBthy/, отсюда ZB = VZB< ЛГк = V535e-/H*467,5e--'10‘ = 500е“ 'зг Ом; thy/ = V2BXK/ZB„ = 0,935е^. 375
По формуле (11.71), eWeW.= 2±®^^_4,IIe/8rw-eMMe/MM 4 п |>414 1-0,935^ Ра^ 2а/ = 1,414; а ₽= 0,1414/(2/) = 0,1414; у « 0,2е'<3' км1. ₽ = 0,1414. Пример 120. Определить Ro.Lq.Go и Со для линии примера 119, полаг8]) ZB = 500с-/37' Ом и V = 0,2е/45° км-1. Решение. В соответствии с формулами (11.17) и (11.16) yZ» = Ro + /<щ,0 Следовательно, /?0 4- jaL0 = 0,2e/46*5We" 'iT' = ЮОе^’ = 99 + /13,9, ИЛИ /?0 — 99 Ом/км и£0= 13,9/(2л* 1000) = 0.00222 Гн/км; у/гя = о0 + ^с0. Таким образом, Go + /«Со = 0i2e^®*/(500e‘“ 'зг) « 0,0557 10-э + /0,396- КГ3. Пример 121. Линия примера 120 подключена к постоянному напряжению (w»= »0Х Определить напряжение и ток в начале линии, если на конце линии включена нагрузка 300 Ом и ток в нагрузке 0,5 А. Решение. По формуле (11.23)находим волновоесопротнвлениелинниЯвдля постоянного тока: Z„ = ^99/0,0557 -10“3 = 1330 Ом. Постоянная распространения {см. формулу (11.19)] у = ^5^ = ^в9‘0.0557-10’^Г= 0,0743 км-’. По формулам (11.35) и (11.36), прн у =• I Ь2 t/j = U2chyl 4- /2ZBshy/; it «= /2chy/ + — shy/. По условию, /2 = 0,5 A; Us = IsRs = 0,5-400 = 200 B; yl = at =» 0,0743«5 = 0,371; cha/ » ch0,37i = 1,07; she/ =» shO,371 « 0,379. Следовательно, Ц = 200-1,07 + 0,5-1330-0,379 — 466 B; /, = 0,5-1,07 + • 0.379 = 0,694 A. IqoU Пример 122, Линия примера 119 короткозамкнута на конце и присоединена к источнику синусоидально! о напряжения частотой 1000 Гц. Определить напряжение и ток в начале линии, если ток в конце линии is =« 1 А. Решение. При коротком замыкании I/, a. /2ZBshy/; /t = l2chyl. Поданным примера 119, у «п ц + /д =. 0,1414 4- /0,1414км- ';/ = 5км; yl = 0,707 4- /0,707; Z. = 500е~/37’ Ом; 376
eT' = eo,7O7e/0,7O7 = 2,02(cos40e20' + /sin40’20') = 1,54 4- /1,305; C-V< == e-o,707e-j0,707 = Q1495(COS40<20" - /sin40°20') = 0,377 - /0,32; ch?l = 0,5(е^ + e“V') = 0,96 + /0,4925 = l,O7e'27’20'; shyf = 0,5(eV' — e-^) = 0,582 4- /0,812 as ejb4‘20'. Следовательно, . Ut = = I 500e^7V64‘2tt' = 500елтаг B; /|=/2chy/ = l,07e^Z7*2°'A. Пример 123. Линия примера 119 замкнута на активное сопротивление Z% = 400 Ом- Определить G, и /р если по нагрузке протекает ток /2 =» 0,5 А; / <== 1000Гц, Решение. U1 = t/2chyf 4- Jj^sh-yf - 200- l^e'87’20' 4-0,5-SOOe-/37 Vй*20' = 463e1'22’ В; =* f2chyl 4- shyl о- О.ве^'39’ A. Пример 124. Поданным примера 123 определить комплекс действующего зна- чения падающей волны в начале линии (А2). Решение. В соответствии с формулой (11.28) * Z Пример 125. Записать выражение для мгновенного значения падающей волны напряжения а начале и конце линии поданным примера 124. Решение, Мгновенное значение падающей волны напряжения в начале ли- нии при х = 0 у2-43isin(<ij/ 4- 19°30'). Мгновенное значение падающей волны напряжения в конце линии при х = / в общем виде V2A2e-,dsln(ci>l 4- фп — Pfli определяем ~ е~<кт = 0,495; pi « 0,707 рад = 40*20' 1/2А2е-а, = д/2-431-0,495 = 301 В; *„—₽/= 19°31' — 40*20' = — 20’50'. Следовательно, мгновенное значение падающей волны напряжения н конце линии 301stn(wt — 20*50') В. Пример 126. Определить затухание в неперах для линии примера 119, если на Конце ее включена согласованная нагрузка. Решение. Затухание в неперах равно al. Так как произведение bl = 0,1414-5 = 0,707, то затухание линии равно 0,707 Нп. Пример 127. Какую дополнительную индуктивность £,0доп нужно включить на каждом километре телефонной линии с параматрами: /?0 = 3 Ом/км;/.q = 2-10~э гн/км; Go = Ю-6Ом • км-1; Со = 6- 10-эФ/кн, чтобы линия стала неискажающей? Р е шенне. Для того чтобы линия была ненскажающей, ее параметры долж- НЫ удовлетворять уравнению (11.41). Следовательно, tCflon 4-^о = ^“3.6.1О-9/1О-6=16.1О-3Гн/кы; °о '^•Одоп = 18 — 2 = 16 мГ/км. 377
Пример 128. Определить наименьшую длину коооткозамкнутой иа конце дВу проводной воздушной линии, чтобы при частоте 10 Гц входное сопротивление е" равнялось 800/ Ом. Расстояние между осями проводов d = 20 см, радвус каждцг провода г = 2 мм. Решение. В соответствии с формулой (11.50) Для двухпроводной линии , Hq rf этс0 Ч ^ofln^/r))2 * -.ГТ ln(d/r)n/Bo~ ° я Т 0 ln(d//j'C0 С(Ц я ] ’ со л » е0’ 'vS - 377 Ом; 1^= 377«^ - 553 Ом. ’8ц ’ Oq Л По условию, 800/ = /553tg0y. Отсюда tg₽t/ «= 800/553 = 1,445; = 55’20' = 0,963 рад; = 1/(3-Ю|0)с/см; Э =. шд/ДА = «VSoT = 2я-Ю8 */(3- Ю10 *) = 2,092-10~всм-1. Искомая длина линии у = 0,963/(2,092- 10~2 * *} = 46,1 см. Пример 129. В Т-схеме рнс. 6.5, a Zt = 100 Ом, ?з = — 500/ Ом. Определить характеристическое сопротивление четырехполюсника и произведение у! эквива- лентной ему линии с распределенными параметрами. Решение. В соответствии с формулами (11.61)— (11.63) 2 А = 1 + -^ = 1 4- 100/(- 500/)= 1 + 0,2/ = 1,02^"*18'; 8 = 2Z; + Z|/Z3 = 200 + 104/(— 500/) = 200 4- 20/ « 200e'5 * *’w; С = t/Z3 - 1/(- 500/) = о.ооге'90'. По формуле (11.69), ZB = 7й7С = д/2ООе'5’4<г/(О,О02е/90°) = 316е~/*а’10' Ом. По формуле (11.70), tgyl ^в/С/А «- V200e/5'w'o,002e/9°*/(l,02e',l‘,e') = 0,498 4- 0,369/. По формуле (11.71), й2т' _ „да _ 1 +thv* _ U498 4- /0,369 __ 5 istrw. е .“1-tliW 0.502-/0,369 al = 0,5ln2,475 = 0,454; ₽( = 25’5' « 0,437 рад; yl = 0,454 4 /0,437. 378
Ct I fiKJ самвпромркм 1. Чем принцН|1иальиоотличаотся цепи с распределенными параметрами от це- с сосредоточенными параметрами? 2. За счет чего токи и напряжения г даль линии распре деленным и параметрам и неодинаковы для одного и того же момента времени? g Поясните переход от уравнений для мгновенных значений uni уравнений (11.1) и ||Л)к уравнениям д,.я комплексных значений I) и / [уравнсннп: (11.7) и (11.8)1 4. VaKOB физический смысл постоянной распространения у и валноаогт. сопротивления ^е? 5. Если дгэ нроаода двухпроводной линии с малыми потерями раздвинуть по равнению с нх исходным состоянием, то как это скажется не ZB и у? 6. Как определить /t и V опыт».ым путем? 7. Из калнх условий определяют постоянные Л i н Ла? 8. Как Дьазать, что сигнал, проходя по линия без искажений, не изменяет своей формы? В. рочему в линии передачи информации стремятся брать Za = 2В? 10. Линия без потерь ^Гружена несогласованно. Коэффициент отражении ио напряжению ku = 1/3. Чему р^вио Zu в долях от Zb? И. В чем различие между бегущей н стоячей волнами в физическом и математическом отн< именин? Какую волну называют сметанной? 12. Докажите, что линия без потерь является ненскажающен. 13. При каком соотноше- нии между параметра» и можно счнтатг реальную линиюс/?е #= ОиС 0каклинию беэ потер| ? 14. Линия длиио!. Х/2 нагружена согласованно, у = 0,1 ф- /0,314.Опре- делите КПД линии. (Oreej 0,133.) IS, Линия имеет д тну 10 км и у = 0,2 + 0,314/. В середине линии Un ~ 10i)e/JO*B, Uo,p == 50е В. Запишете мгновечныезначення й, и «о в начале линий. |Ответ. ип = 272к1л(<о/ 4- 120е), «о = 3C,8sin(<t>/ — 120е) В.] 16. В каком смысле геть’рсхптлюспнк может быть экшвллентен линии с распределенны- ми параметрами? 17. Как рассчитать элементы аттенюатора по известным а и Zb? 18. Ка:10аоназначеинече>ъсртьаолиово1-отрансформатора? 19. Нешитч задачи 13.3; 13.11; 3.23; 13.31; 13.37; 13.43. Глава двенадцатая ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИ1 ИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ 11АРАМЕТРАМИ § 12.1. Общие сведения. В гл. 8 рассматривались переходные про- цессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными пара- метрами. Для электроэнергетики, телефонии, телеграфии, счетной техники, радиотехники, электроники и импульсной техники сущест- венное значение имеют также переходные процессы в электриче- ских цепях, содержащих линии с распределенными параметрами. В тех участках цг-неП. которые могут быть представлены как Участки с сосредоточенными параметрами, расчет переходных про- цессов производя" с помощью методов, изложенных а гл. 8. В данной главе обсуждаются особенности переходных процессов в самих ли- ниях с распоеделенными параметрами, вопросы согласования и увязки их с переходными процессами на участках цепей с сосредо- точенными параметрами. Хак уже говорилось в§ 11.2, основными уравнениями для линий с распределенными параметрами являются уравнения (11.1) и U1.4). Они справедливы для установившихся и переходных процес- сов. В силу того, что интегрирование двух совместных дифференци- альных уравнений в час гных производных [уравнений (11.1) и (11,4)] 379
в общем виде представляет собой довольно сложную в метем ском отношении задачу, в курсе ТОЭ переходные процессы на цЛ' ном этапе изучают несколько упрощенно, а именно: рассматрцВй(Р' переходные процессы в однородных линиях без потерь, т. е. /?0 = 0 и Go =0. Практически это вполне оправдано, поскольку альны.е линии с распределенными параметрами, как правило, ладают относительно малыми потерями. Изучение переходных процессов при /?0 = 0 и Go = 0 дает воэ. можность качественно исследовать основные черты процессов, g количественном отношении неучет /?0 и Go для начальных стадцд переходного процесса существенного влияния обычно не оказыва. ет, однако для последующих стадий учет /?0 и Gc желателен и даже необходим. После того как основные черты переходных процессов в линиях с распределенными параметрами будут изучены, в§ 12.11 — 12.15 будет рассмотрено применение операторного метода, позволяющее учесть затухание волн в линиях (учесть наличие /?0 и Go). В энергетических, телефонных и телеграфных устройствах, со- держащих линии с распределенными параметрами, переходные процессы возникают при подключении линии к источнику ЭДС(ис- точнику сигнала), при отключении от источника ЭДС, прн подклю- чении и отключении нагрузки, а также при атмосферных (грозовых) разрядах. В радиотехнических устройствах и устройствах, используемых в вычислительной технике, также происходят переходные процессы типа рассматриваемых в данной главе, например в линиях задерж- ки и формирующих линиях. § 12.2. Исходные уравнения и их решение. Из уравнений (11.1)и (11.4) при /?0 = 0 и Go =0 следует, что а» _ а* (12.1) дх с <?(’ di ди (12.2) ~ дх~с°дС Ток и напряжение являются функциями двух переменных: рас- стояния хот начала линии и времени t. Продифференцируем (12.1) ио хи (12.2) по/: в2ы (12.3) 32i п д2и (12.4) “ dxdt ’ с° В соответствии с (12.4) в правую часть (12.3) вместо tPi/dxdl 380
родставим — с0-^ и обозначим L0C0 = 1 /ог: d2u j д2и (12.5) пх2 и2 di2 Из предыдущего [см. § 11.10, формула (11.39)] известно, что рй=1/\7.0Сс есть скорость распространения электромагнитной йолны полинии. Если уравнение (12.2) продифференцировать по х, 0(12.1)— по / и в правую часть продифференцированного уравне- ния (12.2) подставить правую часть продифференцированного уравнения (12.1), то получим (12.6) дх2 t>2 dt2‘ Уравнения (12.5) и (12.6) — это уравнения второго порядка в частных производных. Из курса математики известно, что уравне- ния такого вида называют волновыми. Решением уравнения (12.5) является сумма любых функций ft и причем аргументом функции /, является (/ — х/у), а аргументом функции —/2-—О +х/о) u=Mi-x/v)+f2{t+x/v). (12.7) Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать: ~x/v}; (12.8) ио-Ш+Ф). (12.9) Следовательно, (12.10) где индексы «о» и «в» означают отраженная и падающая (волны). Вид функций /, и /2 определяется граничными условиями в на- чале и конце линии. Функции /, и /2 в общем случае должны позво- лять дважды дифференцировать их по х и I. Подстановка функций ft(t — x/v) и /2(/ 4- x/v) в (12.5) дает тож- дество. Решение уравнения (12.6): |=<р](/-х/и}+Ф2(/+х/о). (12.11) Для сокращения записи обозначим: <„ =Ф|(*-x/v}\ (12.12) (12.13) Тогда i = /n+4- (12-14) 3в1
§ 12.3. Падающие и отраженные волны на линиях. В соотиетСт вии с формулами (12.7) и (12.11) напряжение и ток в линии М()’' быть представлены в виде двух функций: функции [t(i — х/и}ц 4>i(Z — x/v) — падающие волны; функции /2(/ ф- x/v) и ф- — отраженные волны. Падающие волны перемещаются со скоростью у по нанращ^. нию от источника энергии к приемнику, т. е. в сторону увеличения координаты х; отраженные волны — от приемника энергии к истц,|, нику, т. е. в сторону уменьшения координаты х. Обсудим, как следует понимать, что аргументом функция f является (t — х/у)(аналогичные выводы можно сделать и по отц0! шенню к другим функцням). Пусть в некоторой точке линии при х — х( и t = 1У значение функции /,(/, — xt/u) равно F,. Это значение функция f, будет прн. нимать во всех точках линии, где х> х( с запозданием во времени, равным (х —хф/и и обусловленным конечной скоростью переме- щения волны полиции. Так, в точке х = х2 значение функция /, будет равно F{ при t = t2 = it ф- (x3 — х,)/ и. Действительно, /t{/2 — x2/v) — If-- -) = f i(/f — —у == F1- Таким образом, каков бы ни был закон изменения напряжения падающей волны в начале линии, по такому же закону, нос запозданием во времени изменяется напряжение падающей волны в любой точке линии. § 12.4. Связь между функциями /г/2 и функциями <pj, ф2. Найдем связь между функция ми и а также /2 и <р2. С этой целью в (12.1) и (12.2) подставим (12.7) и (12.11) и для сокращения записи обозна- чим: <•/*<* — */»} Г йЧ>|0 — х/и) <1(/-X/v) =/|,; <!(/-*/ v) “Ф|? d/2(f + x/v) + x/v) “d(/+ x/v) d(t + x/v) = Тогда уравнение(12.1) дает 1 , । , , . (12.1$ “(1 “ = ^оЧ1! + W₽2- Из (12.2) следует, что i , | , , , (12.1$ —If, — — <p2 — + cj2. Перепишем (12.15) n (12.16):
Л — fz +4*2); А+/2 = ^(ф'|-Ч'г)- f(o i»£0 — Z,0/^/LuCc = V L,0/Cfi — ZL; i/(^Q где ZB — волновое сопротивление однородной линии без потерь[см. формулу (II.23а)|. Таким образом, //-//=^<р/+Фг'); (12.156) ft' = 2в(<р/ — Ч>/)- (12.166) Следовательно, ‘h'=///ZB; (12.17) V2=-h'/^. (12.18) Если производные двух функций (например, «р/ и //) при любых значениях хи/ равны, то этозначит, что сами функции (<Pj и Д) равны с точностью до постоянной. Поэтому ЧЧ (1 — x/v) = Y fl (/ — x/v); (12.19) <Р2(/4-x/u) = - ^-/гр + x/t>). (12.20) Постоянные интегрирования опустили, так как полагаем, что в токах и напряжениях падающей и отраженной волн отсутствуют постоянные составляющие, нс зависящие отх и от /. Два последних уравнения можно переписать с учетом (12.8), (12.9), (12.12), (12.13): (12.19а) i. — uJZ.. (12.20а) Из (12.19а) следует, что ток падающей волны для любого момен- та времени и для любой точки на линии равен частному от деления напряжения падающей волны для того же момента времени и для той же точки линии иа волновое сопротивление. Из (12.20а) вытекает, что ток отраженной волны для любого Момента времени и для любой точки линии равен взятому с обрат- ным знаком частному отделения напряжения отраженной волны в Той же точке липни и дли того же момента времени на волновое Сопротивление. Знак минус в (12.20а) означает, что ток отраженной (12.15а) (12.16а) 333
волны направлен встречно положительному направлению отсчет тока, показанному на рнс. 11,2. § 12.5. Электромагнитные процессы при движении прямоугол^ ной волны по линии. Пусть источник постоянного, напряжения м имеющий внутреннее сопротивление, равное нулю, подключается ь’ незаряженной однородной линии с распределенными нарамг)р;и ми, у которой = <)„ — 0(рис. 12.1). По линии перемещается падающая электромагнитная вол||{1 Начальный участок волны, первым продвигающимся по лищщ принято называть фронтом полны. В данном случае волна имеет прямоугольный фронт. Двигаясьполииии. волна создаст между проводами линии элек- трическое и магнитное поля. Приращение магнитного потока (потокосцепления) на фронте волны за время dZ равно произведению тока I на индуктивность участка линии длиной dx: г1ф = itfldx; оно вызывает ЭДС йф йдг '-о е “ <1/ “ ~ '/ о ,1/ ~ ” Таким образом, на фронте волны возникаетЭДСсамоиндукции, численно равная напряжению генератора. Па фронте волны проис- ходит зарядка проводов линии: один провод, например верхний, присоединенный к плюсу источника ЭДС, приобретает положи- тельный заряд, другой(нижний) — отрицательный заряд (такой же величины). Кроме того, на фронте волны возникает ток смещения tfH = d<y/dZ, где d/y — приращение заряда на одном из проводо» линии за время dZ: - = — п. dq — C.pdx ~ Crfivdl, Проходящий по диэлектрику на фронте волны ток смещения равен току падающей волны, проходящему по проводам линии: ] 4м = = CVtlV = Электромагнитная волна, продвигаясь полиции, каждой едини- це длины ее сообщает энергию электрического ноля С(1м^/2 и энер- гию магнитного ноля ^/2. Можно показать, что эти количества энергий равны. Действительно, == = Следовательно, ЗД/2 = C^Ln/(2C0) = Z.^/2. 384
Когда падающая полна достигает конца линии, к которому в общем случае иршоелннена некоторая нагрузка или другая линия (с другим волновым сопротивлением), то часть падающей волны проходит в нагрузку (или соответственно во вторую линию), а часть отражается — возникает отраженная волна. Чтобы выяснить, какова форма волны, проходящей в нагрузку, какона форма отраженной волны и как они деформируются во вре- мени, применяют расчетную схему, которую принято называть схе- мой замещения для иеследовцння волновых процессов в линии с раса редел еннымп параметрами. § 12.6. Схема замещен иядля исследования волновых процессов в линиях с распределенными параметрами. Для обоснования мето- дики составления схемы замещения обратимся к рис. 12.2, а. Канем изображена линия с распределенными параметрами, на конце ко- торой включена некоторая нагрузка. Начиная с того момента, ког- да падающая волна дойдет до конца линии, по нагрузке пойдет ток и па ней будет напряжение На рис. 12.2, а изображены эпюры волн и и i на липни для Момента времени, непосредственно предшествующего подходу вол- ны к концу липни. В соответствии с. формулами (12.10) в (12.14) напряжение и ток кнобов точке линии можно представить в виде суммы падающих и сраженных воли. Это справедливо также в отношении напряже- ния и тока в конце лишне Следовательно, 385 56 589
(12.2] j Заменив /„ на h„/Zs, а г0 из — uy/Zb, получим ни -Р ни uH, ив Ку /|,ZB, или 2«(( = «И+АА- (12.23) Таким образом, напряжение на конце линии н„ и ток в нагрузи <„ независимо от характера нагрузки связаны с напряжением надя. ющей волны и„ уравнением (12.23). Последнему соответствует схе. ма с сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2,6 В ней к источнику ЭДС напряжением 2«„ подключают последовав тельно соединенные ZB и Z,,. Расчет переходного процесса н схеме с сосредоточенными пара- метрами (рис. 12.2, б) выполняют любым из методов, рассмотрен- ных в гл. 8. Расчет дает возможность определить iu=J(t) и «„=/(/). После того как эти зависимости найдены, можно определить харак- тер изменения во времени напряжения и тока отраженной волны: n и Действительно, из уравнений (12.21) н (12.20а) следует, что «ДО = «„(/)-*„(/); U0 - -«ДО /А; Zb^£jC~ (12.21а) Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих примене- ние схемы замещения. § 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику постоянного напряжения. В линии без потерь, так же как и в коле бательном контуре без потерь, при подключении к источнику посто- янной ЭДС возникают незатухающие колебания. Период колеба- ний состоит из четырех частей или стадий (рис. 12.3, а—г) одинаковой продолжительности //о, где I — длина линии, о — ско- рость распространения волны. Для рассмотрения этих стадий в<Х' пользуемся двумя различными схемами замещения. Первая схема (рис. 12.4, «) соответствует разомкнутому концу линии (Zlt = <х>) когда к нему подходит падающая от начала линии волна. Вторая схема (рнс. 12.4, б)соответствует моменту времени, когда отражен пая волна подошла к началу линии, где включен генератор пости янпого напряжения, внутреннее сопротивление которого полагаем ранным нулю (Z,—0). Рассмотрим каждую из стадий процесса в отдельности. зве
Первая стадия. От генератора к концу линии распространяются волна напряжения и„у—и и волна тока i„f^uui/ZR=i (см. рис. 12.3,д). Вторая стадия заключается в том, что от конца линии к ее нача- лу движется отраженная волна (ио1, /о]). Для определения ио( и служит схема рис. 12.4, а. Она составлена в соответствии с общим методом, изложенным в § 12.6. В ней к напряжению 2«п|=2ы под ключаются волновое сопротивление линия Z„ и сопротивление на- грузки Zn — оо (линия на конце разомкнута!). Согласно рис. 12.4, а напряжение на нагрузке равно удвоенному напряжению падающей волны. Действительно, при Z„-*-oo 4“2“"izj^;=2“-»’=2a- В соответствии с формулой (12.21 а)отраженная волна напряжения «ы = = 2«п|—= п; в соответствии с формулой (12.20а) отраженная волна тока *oi = «о1 / = *ni = — Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца ли- нии к началу продвигается отраженная волна «о1=«, /о1=—i. Ре- зультирующее состояние на линии определяется наложением пер- вой падающей волны (un}, tn|) и первой отраженной волны (uoj, iol). На рис. 12.3, б дана эпюра распределения напряжения и тока по линии для некоторого момента времени во второй стадии. (В этой стадии для участков линии, на которые прошли отраженные волны. гз' 47 Рис. 12.4 387
результирующее напряжение равно 2и, а результирующий тоц р вен нулю.) Третья стадия процесса состоит в том, что волна uol, iot, дойдя начала линии, отразится от генератора, как от короткозамкнутой? конца линии (внутреннее сопротивление генератора принято ра° ным нулю), и вызовет распространение в направлении от генерат^ ра к концу линии второй падающей волны (нп2, tn2), являющейся, существу, отраженной волной по отношению к волне (uDl, <о!). Для определения характера отражения волн от начала линИ(! используем схему рис, 12.4, б. В ней ZH—0,2пс|—2п. Так как натрут ка ZH—О, то и напряжение на ней равно нулю. Но напряжение на нагрузке в соответствии с (12.21) равно сумме напряжения падаю, щей волны (в данном случае по1=«) и напряжения отраженной от начала линия волны, распространяющейся от генератора к концу линии и потому названной второй падающей волной. Следователь- но, 0-i;+k„2. Отсюда Ня2 = —U, 1п2 s= W,^/Ze = I. Результирующее состояние на линии во время третьей стадии процесса изображено на рис. 12.3, в. Оно получено в результате наложения трех волн: первой падающей волны (unl, in!), первой от- раженной от конца волны (ый1, i01) и второй падающей волны (н,^, iIl2). Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три пре- дыдущие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой отражение от разомкнутого конца линии второй падающей волны. Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет в соответствии со схемой замещения рис. 12.4, а, только вместо 2unl==2u в схеме будет напряжение 2un2=—2и. Вторая отраженная волна имеет —и, Результирую- щее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, а) есть результат наложения четырех волн: “ni+“oi+un2-lA,2 = и+и-и-и =0; = i—i—-i+i = о. Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и той вдоль всей линии равны нулю — линия приобретает такое же состо- яние, какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется до бесконечности, так как Ro и О0 были приняты рав- ными нулю. В действительности благодаря наличию сопротивлений /?0 и утечки Go колебательный процесс постепенно затухает и вдоль линии устанавливается режим, соответствующий установившему- ся процессу в линии при постоянном напряжении. В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута! поэтому отраженные волны имели такую же прямоугольную фор му, как и падающие. 368
Рнс. 12.5 Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не похо- жую на форму падающей волны, если в состав нагрузки на конце линии входят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае, если в месте перехода с одной линии на другую есть сосредоточен- ные индуктивности и (или) емкости. § 12.8. Переходный процесс при подключении источника посто- янного напряжения к двум последовательно соединенным линиям при наличии емкости в месте стыка линий. Пусть первая линия имеет длину I. и волновое сопротивление ZB], вторая линия — длину 12 н Zr2#-Z61. Напряжение источника ЭДС равно и (рис. 12.5, а). В месте стыка линий есть сосредоточенная емкость С. Требуется определить форму волны, проникающей во вторую линию, характер изменения тока через сосредоточенную емкость, а также результирующее распределение напряжения и тока вдоль первой линии при движении по ней отраженной от стыка линий волны. Переходный процесс начинается с того, что от генератора по первой линии распространяется падающая волна с прямоуголь- ным фронтом ЦП|=« и inl=u/Zh|. Для определения характера изменения токов и напряжений, когда падающая волна дойдет до стыка линий, обратимся к схеме замещения с сосредоточенными параметрами рис. 12.5, б. В этой схеме нагрузка образована двумя параллельными ветвями — ем- костью С и волновым сопротивлением второй линии Zb2. Две параллельные ветви появились в схеме замещения потому, что в исходной схеме рис. 12.5, а падающая волна, дойдя до места стыка линий, встречает два пути для своего дальнейшего распрост- ранения: первый путь — через емкость С, второй путь — по второй линии с волновым сопротивлением Zv2. Расчет переходного процесса в схеме рис. 12.5, б дает: (б) zbi 389
Стик линии Рис. 12.7 2u2o2 “с"“л2“^+^('~''): <г> _гв|+^вг ^1 ^«2 Характер изменения 4> <3,1*1 и нсвфункции от времени изображен на рис. 12.6, а — г. В первый момент после подхода волны к месту стыка линий напряжение падает до нуля, так как незаряженный конденсатор для этого момента времени представляет собой как бы короткое замыкание. Начальное значение тока через конденсатор равно 2«/Zel. Затем конденсатор заряжается, напряжение на нем растет, а ток через него уменьшается. Ток i2 в схеме замещения представляет собой ток электромагнитной волны, распространяющейся по второй линии; напряжение волны, распространяющейся по второй линии, равно <2^н2" Для получения отраженной волны напряжения, распространя- ющейся по первой линии в направлении от стыка линий к генерато- ру, из ординат кривой рис. 12.6, г нужно вычесть соответствующие ординаты напряжения падающей волны и затем перенести полу- ченную кривую на линию, зная скорость отраженной волны. 390
На рис. 12.7,а,. б изображены соответственно отраженные волны аПрйжения и тока. н Эпюра распределения напряжения и тока вдоль первой и второй -шний для момента времени, когда отраженная от стыка волна ^лшла до середины первой линии, представлена соответственно на дЯс. 12-7, в, г. " Перепад тока е/ в кривой рис. 12.7, г равен току через конденса- fOp для данного момента времени. По второй линки волна продви- нулась на расстояние, вдвое большее, чем прошла отраженная вол- на по первой линии. Это объясняется тем, что первая линия кабельная, а вторая — воздушная. Скорость продвижения волны по воздушной лнннн 300 000 км/с, а по кабельной — около 150 000 км/с (формула для скорости v движения волны по линии и входя- щие в нее Lq и Сс приведены в § 11.10). Пример 130. В схеме рис. 12.5, a ZBl=50 Ом; 2в2=400 Ом; /1»-= 100 км; С=5,62 цкФ> G=60 км; н=10 кВ. Первая линия кабельная, вторая Бездушная. Построить эпюры распределения волн напряжения и тока вдоль линий для момента времени, когда распространяющаяся по второй линии волна дойдет до конца второй линии. Р е ш е и и е. По формуле (д), р = —-50|400-- = _ 4000 с—[. 50 -400 -5,62-10, Ток падающей волны но первой линии in=«/ZB1= 10750=200 А. По формуле (a), *2=44,5(1—е ,,0(*0/) А. График изображен на рис. 12.6, а. По формуле (б), 1Л = 400е~А. График »э=/(*) представлен на рис. 12.6, 6. По формуле (в), 1] = 44,5(14-ве"4000') А. График тока изображен на рис. 12.6, в. По формуле (г), ис= «г®2= 17 750(1—-е-4000') В. Кривая изображена на рис. 12.6, г. По условию, падающая по второй (воздушной) липин волна должна дойти до конца второй линии. Расстояние *2=100 км она пройдет за время t=l^/v= =100/300 000=1/3000 с. За это время отраженная от стыка волна пройдет по первой кабельной линии расстояние, я два раза менылее. Графики распределения и и i вдоль линии изображены на рис. 12.7, а, б. Перепаде/ на рис. 12.7, б равен току i3 при t= 1 /3000 с; *□ = 400е—4уГЗ=106 А. Отрезок gf равен току Ы при *=1/3000 с; »г=44,5(1—е—4'3)=32,7 А. Отрезок тп на рис. 12.7, а равен Напряжению ис при *=1/3000 с: нс«=13,05 кВ. В рассмотренном примере электрическая цепь, содержащая линию с распределенными параметрами, подключалась к источни- ку постоянного напряжения. Рис.12.8 391
Однако часто встречаются цепи, в которых ЭДС источника и меняется по синусоидальному закону вовремени. Еслидлина лиц Л с распределенными параметрами и частота синусоидальной ЭДр таковы, что время пробега волны по линии много меньц/ периода переменного тока Т, например составляет величину поряд6 ка Л то при исследовании первых стадий переходного пр0 цесса в первом грубом приближении можно принять, что лиццч подключается к источнику постоянной ЭДС, которая равна амплщ гуде синусоидальной ЭДС (расчет на наиболее тяжелый случай) Если же время пробега волны по линии составляет большую, чем I I " (бо^Зо)’ часть триода, то ПРИ расчетах учитывают изменение ЭДс источника при перемещении падающей волны по линии. При отключении нагрузки или ее части влинияхтакже возника- ют переходные процессы. Расчет их производят на основании приц. цина наложения, включая в размыкаемую ветвь источник тока, который дает ток, равный и противоположно направленный току в размыкаемой ветви. Результирующие волны тока и напряжения на всех участкам линии находят наложением на волны тока и напряжения, которые были на линии до отключения ветви, волн тока и напряжения, про- двигающихся от места размыкания в остальные участки линии. При подключении в каком-либо месте линии новой ветви токи и напряжения в этой ветви находят методом эквивалентного генера- тора, а токи в остальных участках линии — методом наложения, § 12.9. Линия задержки. Под линией задержки, применяемой а импульсной технике, понимают устройство, которое включают между источником сигнала и нагрузкой, служащее для задержки поступления сигнала в нагрузку на некоторое заданное время t3. В простейшем случае (при малом /а) линию задержки выполняют в I виде куска коаксиального кабеля длиной I. Он создает задержку /3=//оф. Если хотят получить относительно большое /э,то использу- ют цепочку из каскадно соединенных одинаковых фильтров низкой частоты (см. рис. 5.1, а), выбирая параметры L и С фильтров так, чтобы полоса частот сигнала 0 — юс находилась в полосе нрозрач* пости фильтра и чтобы ыс-<<о2, где <o2 = ^2/LC —частота срез? фильтра. Параметры фильтра согласуют с нагрузкой Ru = / С Время задержки /За;л(с1й / (1ш)и=0 = n^2LC. Содержание, вклады- ваемое в термин "время задержки” (ВЗ)линии и четырехполюс' ника, различно. ВЗ линии — это время прохождения лннИН электромагнитной волной. ВЗ, оказываемое четырехполюсни- ком, — это время, отсчитываемое от момента поступления сигнал8 на вход четырехполюсника до момента, когда напряжение № выходе его нарастает от пуля до некоторого определенного значв' ния, скажем до 0,5 от амплитудного при относительно небольшой 392
изменении формы сигнала по сравнению с входным. Физически это йремя обусловлено переходным процессом всамом четырехполюснике Л нагрузке. Выведем записанную формулу для/3. В § 9.4 показано, что передаточная функция четырехполюсника /Г(/ы) = ~ I ^(/ш)Iе^“}, пропускающего сигнал без искажения, ио с задерж- кой но времени, должна обладать двумя свойствами: 1) модуль I const (в частности, равен единице); 2) аргумент q(o>) = — Применительно к фильтру К(/о>) = I / ев => I /(еа^ь). Сопоставление характе- ристик фильтра с характеристиками четырехполюсника для зоны прозрачности дает ;Л’(/<11)!= 1 /е° = 1, b = — ™ w/'a. Для фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а} в зоне прозрачности b = arccos А = arccos(i—<Л.С) нелинейно зависит от ti>. Для определении времени задержки приближенно за мен им эту нелинейную зависимость прямой е угловым коэффициентом, равным |~— , <iw-Q т. e. полежим Ь = <о \ /io-»0 Тогда время задержки, создаваемое одним фильтром, Ы W-tsPLC) dw (—2ti>LC) = V2tC. Если каскадио соединены п фильтров НЧ, то время задержки в п раз больше: i3 = n\l2LC. Если сигнал, проходящий через четырехполюсник, представляет собой корот- кий импульс, то его частотный спектр весьма широк я четырехполюсник в отличие от линии с распределенными параметрами не в состоянии пропустить без затухания колебания всех частот. В этом случае можно только условно говорить о времени йЬ задержки, понимая под ним усредненную производную-—, подсчитанную для основ- do) ной части частотного спектра. § 12.10. Использование линий для формирования кратковременных импульсов. На рнс, 12.8, а изображена схема, позволяющая формировать прямоугольные им- пульсы н»ка и нагрузке ₽|(. В схеме имеется источник постоянного тока I и три линии. При размыкании ключа от источника тока ! по нерпой лини» длиной /( с волновым сопротивлением Zs распространяется прямоугольная падающая волна тока //2 и »олна напряжения /Zb/2. Дойдя до узла а, волна частично пройдет во вторую и третью липни и частично отразится. Для определения воли, проходящих во вторую и третью линии, служит схема замещения на рис. 12.8,6. Из нее следует. что/2=//4 ” /3=//2. Но второй линии распространяется волна {/2=/jZ,„ но третьей t/3=/g0,5Zg. волна U2, дойдя до конца второй линии, где включена нагрузка поглощается 6 ней без отражения. 393
Волна 1/3, дойдя до короткозамкнутого конца третьей линии, отразится от це с переменой знака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна напд жепия — /о-О,52в=—/ZB/2, дойдя доузлаи, вызовет токи J'2 = /'( => —/ / 4 в Пераэд и второй линиях в соответствии со схемой замещения (рис. 12.8, в). Волна тока /» поглощается без отражения в сопротивлении Ze, шунтирующем источник тока. Ка 1 только волна тока Га дойдет до конца второй линии, нмпульс тока в нагрузке р* прекратится, поскольку токи fs и /'2 равны по величине и противоположны по знаку" Прямоугольный импульс тока через нагрузку появится через время (l|+lj)/t, н протекает в течение времени 21з/о, равного удвоенному времени движения волны г<() линии длиной (3. До сих пор н гл. 12 рассматривали переходные процессы в линии, используй метод наложения падающих н отраженных воли, продвигающихся ни ливням без затухания (так как было принято, что Po=Go=0). Теперь рассмотрим. как рассчитывают переходные процессы с учетом Ro и Go. § 12.11. Исходные положения по применению операторного м«. тода к расчету переходных процессов в линиях. В линии с распре- деленными параметрами ток ! и напряжение и являются функция- ми времени и расстояния от начала линии, т. е. i=i(x, t)\ и=и(х, /). Току Цх, О соответствует операторное изображение Цх, р), а напряжению и(х, £) — операторное изображение /(х, р). Кроме того, имеют место соотношения Lo( д / д t)i=Ьцр1(х, р); С0(д/ dt)u(x, t)=GopU(x, p). Имея это в виду, запишем уравнения(11.1) и форме: Щ.Л г кх о}- (11.4) в опер аторной (12.24) dx ’ Р'" dL(x>_Pl у .. (12.25) ~ Гои[х, р). где 2о = ^о-ЬР^'о> (12.26) Уо~ G0+pCq. (12.27) Уравнения (12.24) и (12.27) отличаются от уравнений (11.7) и (11.8) тем, что /© заменено на комплексную частоту р. Из (12.24) и (12.25) следует, что р): (12.28) ^^=Z0T0/(x, р). dx (12.29) Решение (12.28) и (12.29): 1У(х, р) = /1,е^+Л2е-^; (12.30) Д. Ал /(*, ₽)--- (12.31) 394
X ||t l-X Рис. 12.9 (12.32) гдеА । и Л2 — постоянные интегрирования, зависящие от граничных условий. Постоянная распространения у и волновое сопротивление являются функциями комплексной частоты р: V “ (60+рС0); ,//?04-pL0 Z-“ (12.33) Если линия бесконечно протяженная, то отраженная волна от- сутствует и А |=0;/4г=£/|(0,р)={/|(р), где Ц(р)— операторное изо- бражение напряжения на входе линии (при х=0). В этом случае U(x,p) — U^pje-^; (12.34) £/,(₽) /(х, д) = 4?Л-^ zb (12.35) На рис. 12.9 изображена линия длиной I, нагруженная на Ztt(p). Напряжение в начале линии Ui(p), в конце линии Щр). Напряже- ние генератора Ur(p)- Внутреннее сопротивление генератора ZT(p); х— расстояние текущей точки на линии от начала линии. Опера- торное изображение напряжения и тока в точке х запишем анало- гично уравнениям (11.35) и(11.36), заменив в них// на / — х: U(x, р) = U/p)eh V (Г-х)+Ш2в5|1 у (l-x); (12.36 а) Щ(р) [(х, р) = — - sh V (/—х)+/;г(р)с11 т (/—х). (12.36 6) U£p) Ток в нагрузке f2(p) — —-—. Положим х—0 и из (12.36а — 6) Za получим zB 6((р) = и/р) |chT/4-— sh yf J; Z2 /,<р)-</гЦ~й+^. £2 ZB (12.37) Напряжение генератора 395
Ut(p)-Ul(p)+ll{p)Ze (1+^4^/+ (12-38) Z2 ZbJ Из (12.38) определим (Л,(р) и затем /2(р) к подставим их в (12,3бу ^В и Ар) [Ctiy (/—*)+—shy{f “^)1 U(X, р) - , zr\ (ZB Zr) ”—; (12.39) l+^‘ *?/+ у + 7- (£2 £uf shy/ zs и Ар) [«hv((-Jt)+yshy (i- -*)i f(X, P) = f 2Д В /4 zf г (12.40) Hl cW+M + — shy/ с = ZAP) . Zr(p) ZAP) Обозначим a ———b =— • c = Z^P) ZH(p) Z„(p) к введем эти обозначения в (12.39) и (12.40). Получим 1/(х, р) = гР(1 +а+*+с)ег'+(1+й—а—ф-7'’ (1+дЙ<~*]+(в”1>~т('+д> (Л’ ₽)с= ZB(p) (1+а4-НФтЧ(1+*-о-ф-1('‘ (12.39а) (12.40а) Поделив числитель на знаменатель формулы (12.39а), получим изображения падающих и отраженных волн напряжения в точке, удаленной на расстояние х от начала линии: Цх. Р) = 1Цр) [FAP) e"W) е’*'-* - -F/p) e-^+^—FAp) 4-F6(p) e-^+^+FJp) (12.396) Аналогично для тока: -F3(p) e-*2'+*4f40>) е-т(«+^_рб(р) е-да-х) _ j (12.406) Здесь р ,м >+« р. ч I—Д . _ (1±аЦ1+Ь—а—с)_ |(/) 14-H-b+F fa(₽) 1+й+Ь+с’ 3<₽) (J+M-«4-£)2 ‘ F>{P} U+b+a+c? 'Г*{Р}~ (^Ь+а+сГ ’ 396
(1+М.а+с)3 Нахождение функций времени, соответствующих уравнениям (12.396) и (12.406) с учетом того, что (/„ у, Zr, ZB и Zz являются функци- ями р, в общем случае оказывается довольно громоздким делом. По- тому огра ничимся рассмотрением лишь нескольких задач. § 12.12. Подключение линии без потерь конечной длины I, разо- мкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения. В этом случае /?0=Go=O и в соответствии с (12.32) и (12.33) V—Р#осо = Р /у; = Vb0 /Со; Щр) = и /р. Обозначим время прохождения волной расстояния I через т^т0 = I /v) и время x/v через т. Тогда из (12.39) следует, что , и и ep<’o-4+e-p<to-4 р\ =---------=------------------. Р chpr0 р Поделив почленно числитель на знаменатель, получим Utx, р) = — [е-^+е-^о-Ч— е-₽^о+^_ Р (. „е-₽ (4\)-^_|_е-Р (4т0+т)+ ] ( 12.41) В соответствии с теоремой смещения в области оригиналов (см. §8.40) от (12.41) перейдем к функции времени «М ^С'|1(/-т)+[[г-(21п-т)|- -1 [1—(2т0Ч-т) ]+Ц t -(4т0+т) ]-...}. (12.42) Таким образом, решение для напряжения в произвольной точке записано как сумма падающих и отраженных волн напряжения (что совпадает с решением, полученным в§ 12.7 волновым методом), незатухающих по амплитуде. Каждое слагаемое решения вступает в действие, когда аргумент соответствующей единичной функции Становится >0. § 12.13. Подключение линии без искажения конечной длины (, Разомкнутой на конце, к источнику постоянного напряжения V. В этом случае = Gfy/CQ = 6, т=(р-Н)УЬ0с о =(₽-H)/w; 2, =. ®= V^o/СоИз (12.39) следует, что и ch[(₽+s) VZqCo^—*)}. и ch(p4-6)(i0—t) U{x' p)=~p ^fp+e^W] = p‘ =‘ U еО+й)(то-4+е-(р+6Н^-г) (12.43) — P 4- e-(₽+<K 397
Поделим почленно числитель на знаменатель и перейдем к фу>1к ции времени: и(х, /) = t/{e-hl(f—((/—(2т0—т)]— -е-«^+’»Ц/_(2т04-т)]-е-^-1>1Н-(4т0-т)]+-..}. (12.44) Падающие и отраженные волны теперь затухают по амплитуде по экспоненциальному закону в зависимости от пройденных нЦ11 расстояний. Установившееся значение напряжения в конце линии при t-+eo в соответствии с п. 5 §8.40: liniptV, р) cb(fi^w) = § 12.14. Подключение бесконечно протяженного кабеля без ин- дуктивности н утечки к источнику постоянного напряжения U. По- лагаем, что прямой и обратный провода кабеля близко расположе- ны друг к другу (поэтому Loas0) и его изоляция между проводами очень хорошая (GqJkO). Тогда согласно (1_2.32) и (12,33) у — \RCp\ ZB = \'А?/Ср. Обозначим a = xy[RC и учтем, что (/.(р) = U/p. По (12.39) и (12.40), р zB к \Р В соответствии с табл. § 8.39; Функция Ф(г) = ( е-г2<1г (в нашем случае г — xtfRC/2xft = . Vn g — представляет собой интеграл ошибок Гаусса (рис. 12.10, а). Решение для напряжения и тока: и(х, 0=* f/(l-<D(z)]; (12.46) ___ 2 *12471 Отметим, что решение, полученное в предположении, что у ка- беля Аи~-6(|—0, имеет два недостатка: 1) напряжение и ток переда- ются от точки к точке не с конечной, а с бесконечно большой скоро- стью; 2) ток в начале линии в момент включения достигает бесконечно большого значения (в действительности он ограничива- ется хотя и малым, но конечным сопротивлением источника пита- ния). 398
Рис. 12.10 § 12.15. Подключение бесконечно протяженной линии без утечки к источнику постоянного напряжения. IЗола гаем бо=0 и из формул (12.32) и (12.33), обозначив о = l/\rLC; b — RO/2L(I, определим v = ; Изображение напряжения вначалелинии Ul(0,p)=U/p. Б соответ- ствии с формулами (11.34) и (11.35) изображение напряжения и тока в точке, удаленной на расстояние х от начала линии, U —-~\/f?+2bp U(x, р) = е D ; 1(х, р) = Шх' J3! = —-е____________ 2 В л1р2+%Ьр Для определения тока как функции времени / и расстояния х{для />хД' = т) воспользуемся табличным соотношением ", й —- = е w /0 (JЬ^Р—т2 \lp2+2bp ои v где/0 (/£ —т2) — бесселева функция нулевого порядка от мнимого аргумента. Значения ее приведены в табл. 15.1. Следовательно, i(х. /) = иe~b%( ). (12.48) В соответствии с (12.48) на рис. 12.10, б изображена зависимость >'(*. 0 г.,., f ™ f(bt) f |п /| uJS l2i»J v ^0 з рисунка видно, что при малых х (малых ток i, получив Z L'Q ЗЙ9
большой начальный толчок, уменьшается во времени. При болыци значениях х ток i после скачка сначала возрастает, а затем умец> шается. Так как для линии с распределенными параметрами, у которой Go = 0, % = то ( а 1; ai<*’ o.lf <12л9> °ж/о Возьмем частную производную от i(x, /)(см, (12.48)] по х, подста- вим ее в (12.49) и учтем также напряжение, обусловленное скачком тока на фронте волны. В результате получим где /, — функция Бесселя первого порядка от мнимого аргумента (см. табл. 15.1). Слагаемое c (’j/o в (12.50) соответствует скачку тока на фронте волны. На фронте волны в точке х в момент x/v ток равен ICZ .Л и\]—с % а в соседней точкехЦ-Дх втот же момент времени ток еще отсутствует. Поэтому напряжение, вызванное скачком тока на фронте волны. х4-Лх - dx = —i t) и vC0 J X иД/Э — — 0 +----^-°-е v = L/e ". иС0 "с; -ir- xjv I ^Р(Х. /) [ *4) X Вопросы для самопроверки 1. При каких допущениях на нервом этапе изучения рассматривают переходные процессы я линиях с распределенными параметрами? Какими дифференциальными уравнениями описывают эти процессы? 2. Как понимать, что аргументами функций, являющихся решением, оказываются (6—x/v) и 3. Как показать, что дл” линии без потерь характер изменения и или i падающей волны в любой точке лини*1 повторяет характер изменении и hi в начале линии, но с запозданием во времени? Как согласовывают переходные процессы в линиях с распределенными параметр8' мн с переходными процессами в нагрузке на конце липин? 5. Обосновать методику составления схем замещения для исследования волновых процессов, когда еолиг дойдет до нагрузки. 6. Как из времени ых графиков напряжения ии на нагрузке н то*8 / в нагрузке получить графики отраженных воли «о и па линии? 7. Какова яДей расчета переходных процессов» липин с распределенными параметрами приоткЛ*0" 400
1|ении нагрузки или части ее? 8. Охарактеризуйте стадии волнового процесса при подключении разомкнутой на конце линии длиной I к источнику постоянного напря- жения, полагая сначала для линии ftj=Go=O, а затем, что линия является линией без искажения. 9. Как от уравнений для мгновенных значений тока и напряжения герейти к уравнениям, записанным для операторных изображений этих величин? 10. g каком случае в качестве линии задержки используют линию с распределенными рйряметрами, и в каком — каскадное соединение фильтров НЧ? II. Объясните идею формирования кратковременных импульсов с помощью линии с распределенными рарвкетР8ми- *2. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15,17.
Литература к I части а) Учебники 1. Нейман Л. Р., Демирчян. К. С. Теоретические основы электротехники, Ч. I, ц —М.: Энергия, 1981. 2. Теоретические основы электротехннкн/Под ред. П. А. Нонкина. Ч. I, II— д. Вмешан школа, 1975. 6) Учебные пособия и монографии по линейным цепям 3. Балабанян И. Синтез электрических цепей: Пер. с англ./Под ред. Г. И. Атабеко- ва.— М.: Госэнергонздат, 1961. 4. Бессонов Л. А. Линейные электрические цепи. — М.: Высшая школа, 1983. Б. Гарднер М. Ф., Берне Д. А. Переходные процессы в линейных системах. — М.: Фнзм атгиз,-1961. 6. Деруссо П„ Рой Р.. Клоуз И. Пространство состояний в теории управления; Пер. с англ./Под ред. М. В. Меероеа. — М.: Наука, (970. 7. Основы инженерной электрофизики./Под ред. П. А. Нонкина. Ч. II. —М.: Вы- сшая школа, 1972. 8. Круг К- Д. Переходные процессы в линейных электрических цепях. — М.— Л.: Госэнергонздат, 1948. 9. Лэм Г. Аналоговые н цифровые фильтры. Расчет и реализация: Пер. с англ./Под ред. И. Н. Теплюка. — И.: Мир, 1982. 10. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи «сигналы. — М.: Высшая школа, 1988. 1 I. Мазон С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы и системы: Пер. с англ./Под ред. П. А. Нонкина. — М.: ИЛ, 1963. 12. Матханов П. И. Основы анализа электрических целей. Линейные цели. — М.. Высшая школа, 1981. 13. Матханов П. Н. Основы Синтеза линейных электрических цепей. — М.: Высшая школа, 1976. 14. Новак М. Частотные преобразования в теории цепей: Пер. с чешского. — М.: Советское радио, 1975. 15. РабиндерЛ.,Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. — М.: Мир. 1978. 16. Харкевич А. А. Спектры и анализ. — И.: Гостехиздат, 1962. 17. Мошиц Г., Хорк П. Проектирование активных фильтров: Пер. с англ./Под ред. И. Н. Теплюка. — М.: Мир, 1984. 18. Bryant Р. К. The Algebra and Topology of Electrical Networks. The Institution ol Electrical Engineers (англ.). Nov. 1960. в) Учебные пособия и монографии по нелинейным цепям 19. Андронов А. А.. Витт А. А.г Хайкин С. Э. Теория колебаний. — М.: Фиэматгиз. 1959. 20. Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи. — М.: Высшая школа, 1977. 21. Бессонов Л. А. Автоколебания (автомодуляция и некоторые динам ическне явле- ния) в нелинейных электрических цепях со сталью. — М.: Госзиергонздат, 1958- 22. Каннингхем В. Введение в теорию нелинейных систем: Пер. с англ. — И,: Гос- энергоиздат, 1962. г) Задачники 23. Сборник задач по теоретическим основам электротехники/Л. А. Бессонов. Деми- дова И- Г., Заруди Л1. Е., Расовская С. Э., С. А. Миленина. — М.: Высшая шкода. 1988. 402
„4 Задачиик по теоретическим основам электротехники. Теория цепей/Под ред. * /С М. Поливанова. — М.: Энергии, 1973. nj. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники/Под ред. П. Л. Нонкина. — М.: Эиергонздат, 1982. руководства па применению универсальных программ для ЭВМ по расчету це- пей 2б. Удалов Н. Н„ Разевиг В. Д. Программа анализа нелинейных радиоэлектронных схем на ЕС ЭВМ. - М.: МЭИ, 198J. 2/. Удалов И. Н„ Разевиг В.Д. Моделирование радиоэлектронных схем на СМ ЭВМ. — М.: МЭИ, 1986. В [26J н (271 даны методические указания к программе NAP, позволяющей проооднть расчет установившихся и переходных процессов в линейных и нелинейных цепях, расчет АЧХ н ФЧХ, чувствительности, осуществить оптимизацию. 28. Методические указания по эксплуатации комплекса СЛАРС моделирования электронных схем на ЭВМ ЕС при курсовом и диплом пом проектировании/ А. И. Петренко, А. И. Власов, А. П. Тимченко. В. С. Мачуговский. — Киев: КПП, 1979. (СГ1АРС — схемотехническое проектирование аналоговых радиоэлектронных схем.) 29. Инструкция программы ПАЛЬМА анализа линейных цепей/В. М. Богачев, В. М. Демидов. С. В. Дмитриев. Н. Г. Юрчак. — МЭИ, 1986, Программа предназ- начена дли анализа линейных цепей в символьной форме. Позволяет рассчитать передаточную функцию в аналитической форме, АЧХ. ФЧХ. переходные процес- сы, осуществить оптимизацию. Программы для ЭВМЛ-’С и ЭВМСМ-4.