/
Автор: Бессонов Л.А.
Теги: электротехника электроэнергетика физика электроника издательство высшая школа электрические цепи
Год: 1978
Текст
ББК 31.2
Б53
УДК 621.3(075.8)
Рецензент
кафедра «Теоретические основы электротехники»
Московского авиационного института
Бессонов Л. А.
Б53 Теоретические основы электротехники: Электрические
цепи. Учебник для студентов электротехнических,
энергетических и приборостроительных специальностей
вузов. — 7-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1978.—
528 с, ил.
В пер.: 1 р. 30 к.
В книге рассмотрены линейные и нелинейные электрические цепи» *. е.
весь материал курса ТОЭ. изучение которого предусмотрено <Ф"2££~™ "Т1 £, [
чете двук первых семестров. Все главы данного издания nwe&™""> ™Pf ft) ! f
вабпткТ и дополнению ПеГТинеНным цепям включен следующий новый мэ- ft
??™ал- основы метода пространства состоянии, аалроксимацня частотны* ка- .§; |;
раС^исгик?Ч££Л*в£* двухполюсники, перенос ^£^н™™ * '' '
конвертеры и инверторы к др; по нелимйнь,« ^™_"^™!*^"„я £„-
нь,х уравнений, селективное выпрямление, «*raI™^*^r^m"c"oVo ^
полненин и др. Введены вопросы н задачи для самопроверки.
30306-280 м „ ББК81-2
Б —~ 99—78 ВП2Г
001(01)—78 WMJ
© Издательство «Высшая школа», 1978.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретические основы электротехники (ТОЭ) являются основой
для профилирующих дисциплин многих высших технических учебных
заведении.
Студенты изучают курс ТОЭ в течение трех семестров. В
соответствии с этим материал учебника разделен на три части. Учебник
издан в двух книгах. В первой книге рассмотрена теория линейных
и нелинейных электрических цепей (ч. I и II), во второй—теория
электромагнитного поля (ч. III). Той или иной переработке
подверглись все главы книги.
По сравнению с предыдущим изданием в учебник включены
следующие новые вопросы по теории цепей: дополняющие
двухполюсники, конвертор и инвертор сопротивлений, синтез по Бруне,
четырехполюсники для фазовой коррекции, аппроксимация частотных
характеристик, понятие о видах чувствительности системных функций,
приведение графа с несколькими источниками сигнала одинаковой
частоты к графу с одним источником, изменение токов ветвей при
вариации сопротивления одной ветви, перенос идеальных источников
тока и напряжения, переходное и импульсное сопротивления, метод
неопределенной матрицы узловых проводимостей и двойного
алгебраического дополнения, формирующая линия, селективное выпрямление,
появление постоянных составляющих потоков и зарядов у нелинейных
индуктивнестей и нелинейных емкостей при отсутствии постоянных
составляющих токов и соответственно напряжений,
субгармонические колебания, автомодуляция, метод интегральных уравнений для
исследования процессов в нелинейных цепях, частотные
характеристики нелинейных цепей, основы метода пространства состояний.
Полностью переработана глава о четырехполюснике, полнее рассмотрен
вопрос о фазовой ялоскости, ряд примеров заменен новыми. По
теории поля иключены следующие новые вопросы: распространение
электромагнитных волн в гиротропной среде, второй вариант метода
интегральных уравнений для расчета электромагнитных полей,
понятие о запредельном волноводе, граничные условия Леонтовича,
формулы Френеля, линии с поверхностными волнами, вывод формулы
для групповой скорости, интеграл Шварца, вывод связв между
напряженностями поля на конформно преобразуемых ' плоскостях,
отражения- в сфере и цилиндре, графическое построение картины
плоскомеридианного поля.
В учебник включено приложение об истории развития
электротехники и становлении курса ТОЭ.
Материал курса ТОЭ, как и в предыдущем издании, разделен
на общий, обязательный для студентов всех специальностей, в
учебных планах которых имеется этот курс, и на специальный,
в неодинаковей степени обязательный для студентов различных
специальностей. Общий материал набран нормальным шрифтом
(корпусом), специальный —петитом.
Кроме того, одна часть специального материала расположена
в основном тексте; как правило, в эту часть входит материал,
представляющий собой развитие отдельных положений, изложенных
н основном тексте, а также материал, который, по мнению автора,
нужен для большего числа специальностей. Другая часть
специального материала сосредоточена в приложениях к каждой части курса.
В приложениях рассмотрены вопросы, обязательные для меньшего
числа специальностей. При этом автор книги отдает себе отчет
в том, что при отнесении специального материала к одной из двух
указанных категорий неизбежен некоторый субъективный подход.
В зависимости от специфики института, факультета и специальности
кафедра ТОЭ рекомендует студенту изучить соответствующие разделы
специального материала.
Символический метод расчета электрических цепей излагается
в книге после рассмотрения свойств линейных электрических цепей
и методов их расчета. Опыт показывает, что времени на изучение
студент при этом затрачивает не больше, а качество усвоения
оказывается значительно лучшим, чем в том случае, когда изложение
основ теории и методов расчета линейных цепей проводится
одновременно с рассмотрением символического метода.
Учебник написан так, что допускает возможность некоторой
перестановки его глав, если в этом возникнет необходимость в каком-либо
вузе, где исторически сложилась традиция несколько иной
последовательности изложения материала. Например, без ущерба для
понимания можно поместить гл. 11 сразу после гл. 7, поменять местами
гл. 25 и 26, отнести гл. 27 и 28- в раздел приложений и т. п.
Возможность перестановки некоторых глав соответствует тому, что
действующая программа курса ТОЭ является объемной и строго
не регламентирует последовательность изучения материала.
Для облегчения усвоения материала в учебнике дано решение
свыше 230 числовых примеров, равномерно распределенных по всем
разделам курса. Физические пояснения к математическим операциям,
например к операциям векторного-анализа, даются в книге
непосредственно перед тем, как та или иная из них по ходу изложения
впервые используется. Наиболее приспособлен для совместной работы
с данным учебником задачник [26]. В конце глав учебника
приведены вопросы для самопроверки и даны номера задач по [26],
которые рекомендуется решить после проработки соответствующей главы.
При подготовке учебника к переизданию были учтены все
полезные замечания, высказанные товарищами по кафедре, а также
рецензентами — сотрудниками кафедры ТОЭ МАИ во главе с проф.
Колосовым С. П. Большую помощь при издании книги оказала старший
преподаватель кафедры ТОЭ МИРЭА Расовская С. Э. и доцент С. А. Ми-
ленина. Всем им выражаю благодарность.
Автор
ЧАСТЬ I
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЯ
И МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 1.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей.
Электромагнитное устройство с происходящими в нем и в
окружающем его пространстве физическими процессами в теории
электрических цепей заменяют некоторым расчетным эквивалентом —
электрической цепью.
Электрической цепью называют совокупность соединенных друг
с другом источников электрической энергии и нагрузок, по которым
может протекать электрический ток. Электромагнитные процессы
в электрической цепи можно описать с ломощью понятий «ток»,
«напряжение», «э. д. е.», «сопротивление» (проводимость),
«индуктивность», «емкость».
_ Постоянным током называют ток, неизменный во времени.
Постоянный ток представляет собой направленное упорядоченное
движение частиц, несущих электрические заряды.
Как известно из курса физики, носителями зарядов в металлах
являются свободные электроны, а в жидкостях —ионы.
Упорядоченное движение носителей зарядов в проводниках вызывается
электрическим полем, созданным в них источниками электрической
энергии. Источники электрической энергии преобразуют химическую,
механическую и другие виды энергии в электрическую. Источник
электрической энергии характеризуется величиной и направлением
э. д. с. и величиной внутреннего сопротивления.
Постоянный ток принято обозначать буквой /, э. д. с.
источника— Е, сопротивление — R и проводимость—g. В Международной-
системе единиц (СИ) ток измеряют в амперах (А), э. д. с.—в
вольтах (В), сопротивление — в омах (Ом) и проводимость — в сименсах (См).
Изображение электрической цепи с помощью условных знаков
называют электрической схемой (рис. 1.1, а).
Зависимость тока, протекающего по сопротивлению, от
напряжения на этом сопротивлении прннято называть вольт-амперной
характеристикой (по оси абсцисс на графике обычно откладывают
напряжение, а по оси ординат—ток).
Сопротивления, вольт-амперные характеристики которых являются
прямыми линиями (рис. 1.1, б), называют линейными
сопротивлениями, а электрические цепи только с линейными сопротивлениями —
линейными электрическими цепями.
Сопротивления, вольт-амперные характеристики (в. а. х.) которых
не являются прямыми линиями (рис. 1.1, в), т. е. они нелинейны,
называют нелинейными сопротивлениями, а электрические цепи с
нелинейными сопротивлениями — нелинейными здектринескими цепями.
§ 1.2. Источник э. д. с. и источник тока. Источник электрической
энергии имеет з. д. с. Е к внутреннее сопротивление RB. Если через
него под действием э. д. с. Е протекает ток /, то напряжение на его
зажимах l) = E — IRB при увеличении / уменьшается. Зависимость
напряжении V иа зажимах реального источника от тока /
изображена на рис. 1.2, о.
АН
\
\
с
ь
ее
с
0
г;
Рис. 1.2
Обозначим /га^ —масштаб по оси V, /и, —масштаб по оси /. Тогда
для произвольной точки на характеристике рис. 1.2, с:
аЪти = /Яв; bcmi = /; tg a. = abfbc=Rjnilmu.
Следовательно, tgct пропорционален RB. Рассмотрим два крайних
случая.
1. Если у некоторого источника внутреннее сопротивление RB = G,
то вольт-амперная характеристика его будет в виде прямой (рис 1.2t6).
Такой характеристикой обладает идеализированный источник питания,
называемый источником э. д. с.
Следовательно, источник э. д. с. представлнет собой такой
идеализированный источник питания, напряжение на зажимах которого
постоянно (пе зависит от тока /) и равно э. д. с. Е, а внутреннее
сопротивление равно вулю.
2. Если у некоторого источника беспредельно увеличивать э. д. с.
Е и внутреннее сопротивление Rv, то точка с (рис. 1.2, а)
отодвигается по оси абсцисс в бесконечность, а угол ее стремится к 90а
(рис. 1.2, в). Такой источник питания называют источником тока.
Следовательно, источник тока представляет собой
идеализированный источник питания, который создает ток / = /*, ие зависящий
от сопротивления нагрузки, к которой он присоединен, а его э. д. с.
ЕВТ и внутреннее сопротивление R„T равны бесконечности. Отношение
двух бесконечно больших величин EKX/Rm равно конечной величине —
току /fc источника тока.
При расчете и анализе электрических цепей реальный источник
электрической энергии с конечным значением RB заменяют расчетным
эквивалентом. В качестве эквивалента может быть взят:
1) источник э. д. с. £ с последовательно включенным
сопротивлением RB, равным внутреннему сопротивлению реального источника
(рис. 1.3, о; стрелка в кружке указывает няпряплрнцр возрастания
потенциала внутри ип"°я"«а
3. д. С);
Ьу источник тока с током
Ik = E/RB и параллельно с ним
включенным сопротивлением RB
(рис. 1.3, б; стрелка в кружке
указывает положительное
направление тока источника тока).
Ток в нагрузке (в
сопротивлении R) для схем рис 1.3,о,б
одинаков и равен I = E/(R-\-RB),
т. е. равен току для схемы рис. 1.1, й. Для схемы рис. 1.3,аэтосле-
дует из того, что при последовательном соединении сопротивления R
и Rv складываются. В схеме рис. 1.3,6 ток Ih = E/RB
распределяется обратно пропорционально сопротивлениям R a RB двух
параллельных ветвей. Ток в нагрузке R
1 = 1 Дв _ £ RB _ Е
"r+Rs Rb~R+Rb R+Rb'
Каким из двух расчетных эквивалентов пользоваться, совершенно
безразлично. В дальнейшем используется в основном первый эквивалент.
Обратим внимание на следующее:
1) источник э. д. с. и источник тока —это идеализированные
источники, физически осуществить которые, строго говоря, невозможно;
2)t схема рис. 1.3, б эквивалентна схеме рис 1.3, а в отношении
энергии, выделяющейся в сопротивлении нагрузки R, и не
эквивалентна ей в отношении энергии, выделяющейся во внутреннем
сопротивлении источника питания;
3) идеальный источник э. д. с. нельзя заменить идеальным
источником тока.
Пример 1а. В схеме рис. 1.3, б источник тока дает ток /fc = 50A.
Шунтирующее его сопротивление RB=2 Ом. Найти э. д. с.
эквивалентного источника э. д. с. в схеме рис. 1.3, а.
Решение. Э. д. с. E = IbRB = iOQ В. Следовательно, параметры
эквивалентной схемы рис. 1.3, о таковы: Е=ЮО В и #в = 2 Ом.
Hffl
IS) /fl
§ 1.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи.
Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвлен^
ные. На рис. 1.1, а представлена схема
простейшей неразветвденной цепи. Во всех
элементах ее течет один и тот же зтде.
Простейшая разветвленная цепь
изображена на рис. 1.4, а; е ней имеются три
ветви и два узла, В каждой ветви течет свой
ток. Ветвь можно определить как участок
цепи, образованный последовательно
соединенными элементами (через которые течет
одинаковый ток) и заключенный между
двумя узлами, В свою очередь узел есть
точка цепи, в которой сходятся не менее
трех ветвей. Если в месте пересечения двух
Рис- '■* линий на электрической схеме поставлена
точка (рис. 1.4, б), то в этом месте есть
электрическое соединение двух линий, в противном случае (рис. 1. 4, в)
его нет. Узел, в котором схакггся две ветви, одна из которых
является продолжением другЛ^взывают устранимым узлом.
§ 1.4. Напряжение на участке цепи. Под напряжением на
некотором участке электрической цепи понимают разность потенциалов
между крайними точками этого участка.
На рис. 1.5 изображен участок цепи, крайние точка, которого
обозначены буквами а и Ь, Пусть ток / течет от точки а к точке Ь
Jot более высокого потенциала к более низкому). Следовательно,
потенциал точки с (од) выше потенциала точки
ъИлЬ b(q>b) на величиву, равную произведению тока / на
/ < сопротивление R:
Р*10- '-5 В соответствии с определением ^напряжение
между точками а и Ь
и0Ь = Ч>а — Уъ-
Следовательно, Uob = IR, т. е. напряжение иа сопротивлении равно
произведению тока, протекающего по сопротивлению, на величину
этого сопротивления,
В электротехнике разность потенциалов иа концах сопротивления
- принято называть либо напряжением на сопротивлении, либо
падением напряжения. В дальнейшем разность потенциалов на концах
сопротивления, т. е. произведение IR, будем именовать падением
напряжения.
Положительное направление падения напряжения на каком-либо
участке (направление отсчета этого напряжения), указываемое на
рисунках стрелкой, совпадает с положительным направлением отсчета
тока, протекающего по данному сопротивлению, -
В свою очередь положительное направление отсчета тока / (ток—это скаляр
алгебраического характера) совпадает с положительным направлением нормали
к поперечному сечению проводника при вычислении тока по формуле I=\Sds,
ГДе «йч10™0' Т°Ка Г ds~элемеит плошади поперечного сечения (подробнее
Рассмотрим вопрос о напряжении на участке цепи, содержащем
не только сопротивление, но и э. д. с.
На рис. 1.6, а, б показаны участки некоторых цепей, по которым
протекает ток /. Найдем разность потенциалов (напряжение) между
точками о и с для этих участков. По определению,
*/«=q»-W (l.i)
Выразим потенциал точки о через потенциал точки с. При
перемещении от точки с к точке Ь встречно направлению э. д. с. Е
(рис. 1.6, о) потенциал точки Ь оказывается ниже (меньше), чем
потенциал точки с, на величиву э. д. с. Е:
уь = ус--Е.
При, перемещении от точки с к точке 6 согласно" направлению
э. д. с. .Е (рис. 1.6, б) потенциал точки Ь оказывается выше (больше),
чем потенциал точки с, на величину э. д. с. Е:
Ч>ь = фс + £.
Так как ток течет от более высокого потенциала к более низкому,
в обеих схемах рис. 1.6 потенциал точки а выше потенциала точки
Ь на величину падения напряжения на сопротивлении R:
ya=-q>b+fR.
Таким образом, для рис. 1.6, с
4>a = 4>c~"E+IR,
или
Vac = <pa-q>c = IR-E, (1.2а)
и для рис. 1.6, б
4><. = 4>c+E+IR,
или
Vac^4>a~4>c = IR + E. (1.26)
Положительное направление напряжения Voc показывают
стрелкой от с к с. Согласно определению напряжения,, Vta = fpc — <р„.
Поэтому Uca = —Uact т. е. изменение чередования
(последовательности) индексов равносильно изменению знака этого напряжения.
Следовательно, напряжение может быть и положительной, и
отрицательной величиной.
§ 1.5. -Закон Ома для участка цепи, не содержащего э. д. с.
Закон (правило) Ома для участка цепи, не содержащего э. д. с,
устанавливает связь между током н напряжением на этом участке.
Применительно к рис. 1.5
VaJf=IR,
или
/=Ucb/R = (qv-q>6)/#. (1-3)
§ 1.6. Закон Ома дли участка цепи, содержащего э. д. с. Закон
(правило) Ома для участка цепи, содержащего э. д. с, позволяет
найти ток этого участка по известной разности потенциалов (ф« — фс)
на концах участка цепи н имеющейся на этом участке э. д. с. Е* Так,
из уравнения (1.2а) для схемы рис, 1.6, с
R R '
из уравнения (1.26) для схемы рис. 1.6, 6
ж фй—фс — Е Мае—&
/= _ _ _ ,
В общем случае
i — R — R . (i.<if
Уравнение (1.4) математически выражает закон Ома для участка
цепи, содержащего э. д. с; знак плюс перед Е соответствует
_ рис. 1.6, о, знак минус —рис. 1.6, 6. В
частном случае при Е = 0 уравнение (1.4)
переходит в уравнение (1.3).
Пример 1. К зажимам а и с схемы рис.
1.7 подключен вольтметр, имеющий очень
с большое, теоретически бесконечно большое соп-
ротивленне (следовательно, его подключение
Рис 1.7 нли отключение не влияет на режим цаботы
цепи).
Если ток / = 10 А течет от с к с, то показание вольтметра
Uac=— 18 В; если ток 7=10 А течет от с к о, то V"ac=—20 В.
Определить сопротивление R и э. д. с. Е.
Решение. В первом режиме LC =—18= —E+IR = —E+10R.
Во втором режиме £/£с=— 20 — — Е — IR=^E~ 10R. Совместное
ренгение-дает £=19 В и R — 0,1 Ом.
§ 1.7. Законы Кирхгофа. Все электрические цени подчиняются
первому и второму законам (правилам) Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа можно сформулировать двояко:
1) алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы,
равна нулю;
2) сумма подтекающих к любому узлу токов равна сумме
утекающих от узла токов.
Так, применительно к рис. 1.8, если подтекающие к узлу токи
считать положительными, а утекающие —отрицательными, то согласно
первой формулировке
согласно второй —
/! = /.+ /. + /*
Физически перный закон Кирхгофа означает, что движение зарядов
в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они ие скапливаются.
Если мысленно рассечь любую схему произвольной плоскостью и все
находящееся го одну сторону от нее рассматривать как некоторый большой «узел», то
алгебраическая сумма токов; входящих в этот «узел», будет равна нулю.
Второй закон Кирх гофа также можно
(формулировать двояко:
1) алгебраическая сумма падений напряжения в
любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме
э. д. с. вдоль того ясе контура:
(в каждую из сумм соответствующие слагаемые
входят со знаком плюс, если они совпадают с направлением обхода
контура, и со знаком минус, если они не совпадают с ним);
2) алгебраическая сумма напряжений (не падений напряжениях)
вдоль любого замкнутого контура равна нулю'-
Так, для периферийного контура схемы рис. 1.9 ^-
voe+vec+vcd+vda^o.
Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей
при любом характере изменения во времени токов и напряжений.
§ 1.8. Составление уравнений для расчета токов в схемах с
помощью законов Кирхгофа. Законы Кирхгофа используют для
нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы в,
число ветвей, содержащих источники тока, — е„г и число узлов — у.
В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с
источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется в— в„Т.
Перед тем как составлять уравнения, необходимо произвольно выбрать:
а) положительные направления токов в ветвях и обозначить их
на схеме;
б) положительные направления обхода контуров для составления
уравнений по второму закону Кирхгофа.
11
А*
С целью единообразия рекомендуется для всех контуров
положительные направления обхода выбирать одинаковыми, например по
часовой стрелке.
Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону
Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без
единицы, т. е. у~ 1.
Уравнение для последнего (/-то узла не составляют,- так как оно совпало бы
с уравнением, полученным при суммировании уже составленных уравнений для
у—I узлов, поскольку в эту сумму входили бы дважды и с противоположными
знаками токи ветвей, не подходящих к у-му узлу, а токи вйтвей, подходящих
к у-ыу узлу, входили бы в эту сумму со
знаками, противоположными тем, с какими они
вошли бы в уравнение для у-то узла.
По второму закону Кирхгофа
составляют число уравнений, равное числу
ветвей без источников тока (в—еИ1), за
вычетом уравнений, составленных по
первому закову Кирхгофа, т. е. (е —еИ1) —
Составляя уравнения по второму за-
Рис- I-9 кону Кирхгофа, следует охватить все
ветви схемы, исключая лишь ветви с
источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по
второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для
которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь,
не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны
уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры условимся
называть независимыми.
Дли того чтобы пояснить, что такое независимый контур, используют понятия
адерево», еветвь>, «хорда» (см. § Б.З). В том же § Б.З говорятся о том, что уран-
нения по законам Кирхгофа иногда составляют, используй матрицы
фундаментальны!! контуров и матрицы отсечений.
Требование, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна
новая ветвь, является достаточным, но не необходимым условием, а
потому его не всегда вьтолняют. В таких случаях часть уравнений
по второму закону Кирхгофа составляют для контуров, все аетвн
которых уже вошли в предыдущие контуры.
Пример 2. Найти токи^ нетвях схемы рис. 1.9, в которой £,=!
=80 В, £, = 64 В, Я, = 6 Ом, #s = 4 Ом, ^ = 3 Ом, R4^l Ом.
Решение. Произвольно выбираем положительные направления
токов в ветвях. В схеме рис. 1.9 в = 3; ей1=0; (/ = 2. Следовательно,
по первому закону Кирхгофа можно составить только одно уравнение:
Л+/а = /а. (а)
Нетрудно убедиться, что для второго узла получили бы
аналогичное уравнение. По второму закону Кирхгофа составим в—еИ1 — (у— 1)—
=^3 -О —(2—1) = 2 уравнения. Положительные направления обхода
контуров выбираем по часовой стрелке.
Для контура RjpxRtEt
/А-/Л=£*+£^ (б)
Знак плюс перед 7,^ взят потому, что направление тока /ж
совпадает с направлением обхода контура; знак минус перед /SJ?B^
потому, что направление /а встречно обходу контура.
Для контура EzRzRsRi
Совместное решение уравнений (а), (б), (в) дает: It —14 А,
/Е = —15 А, /в = —1 А.
Поскольку положительные направления токов выбирают произвольно,
в результате расчета какой-либо один вли несколько токов могут
оказаться отрицательными. В рассмотренном примере отрицательными
оказались токи /2 и /3, что следует понимать так: направления
токов /в и /в ие совпадают с направлениями, принятыми для них на
рис. 1.9 за положительные, т. е. в действительности токи /а н /8
проходят в обратном направлении.
§ 1.9. Заземление одной точки схемы. При заземлении любой
одной точки схемы токораспределение в схеме не меняется, так как
никаких новых ветвей, по которым могли бы протекать токи, при этом
не образуется. Иначе будет, если заземлить две или большее число
точек схемы, имеющих различные потенциалы. В этом случае черек
землю (любую проводящую среду) образуются дополнительные ветви,
сама схема" становится отличной от исходной и токораспределение
в ней меняется.
§ 1.10. Потенциальная диаграмма. Под потенциальной диаграммой
понимают график распределения потенциала вдоль какого-либо участка
цепи или замкнутого контура. По осн абсцисс на нем откладывают
сопротивления вдоль контура, начиная с какой-либо произвольной
точки, по 'оси ординат — потенциалы. Каждой точке участка цепи или
замкнутого контура соответствует своя точка на потенциальной
диаграмме.
Рассмотрим последовательность построения потенциальной диаграммы
по данным примера 2.
Пример 3. Построить потенциальную диаграмму для контура abcea
(рис. 1.9).
Решение. Подсчитаем суммарное сопротивление контура: 44-3+
4-1 = 8 Ом. Выберем масштабы тю осн абсцисс (ось л) и по оси
ординат (ось у).
Произвольно примем потенциал одной из точек, например точки с,
q>„ = 0. Эту точку на диаграмме рис. 1.10 поместим в начало координат.
Потенциал точки i/ фй = <ря+/Е4 = фв — §0 = —60 В; ее координаты:
jc = 4, (/=—60. Потенциал точкисфс = фь-1-£'8— 4 В; ее координаты:
jc = 4, у=-4. Потенциал точки е q>e=q>l.-\-I3Rt^=4~l-l = ЗВ; ее
координаты: л = 5, (/=3.
Тангенс угла щ наклона прямой аЬ к оси абсцисс, пропорционален
току /Е, а тангенс угла % наклона прямойсе—току /в; tgcs = /^-,
где тк и Шц —масштабы по осям х и у.
§ 1.11. Энергетический баланс в электрических цепях. При
протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется тепло. На
основании закона сохранения энергии количество теплоты,
выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться
энергии, доставляемой за то же время источниками питания.
Если направление тока /, протекающего через источник э. д. с. Е,
совпадает с направлением э. д. с, то источник э. д. с. доставляет
в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную EI, и
произведение EI входит с положительным знаком в уравнение
энергетического баланса.
Если же направление тока / встречно направлению э. д. с. Е, то
источник э. д. с. ие поставляет энергию, а потребляет ее (например,
заряжается аккумулятор), и
произведение EI войдет в уравнение
энергетического баланса с
отрицательным знаком.
Уравнение энергетического
баланса при питании только от
источников э. д. с. имеет вид
j:pr=zei.
Когда схема питается не
только от источников э. д. с, но и от
источников тока, т. е. к отдельным
узлам схемы подтекают и от них
Рис. 1.10 утекают токи источников тока, при
составлении уравнения
энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую
источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток /ft от
источника тока, а от узла Ь этот ток утекает. Доставляемая источником
тока мощность равна Uablk. Напряжение Vab и токи в' ветвях схемы
должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника
тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов
(см. § 1.22). Обший вид уравнения энергетического баланса
JlPR=XEI + j:VobIk.
Для практических расчетов электрических цепей разработаны
методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод
расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы,
§ 1.12. Метод пропорциональных величин. Согласно методу
пропорциональных величин, в самой удаленной от источника э. д. с. ветви
схемы (исходной ветви) произвольно задаемся некоторым током,
например током в 1 А. Далее, продвигаясь к входным зажимам тп,
находим токи в ветвях и напряжения на различных участках схемы.
В результате расчета получим значение напряжения Vma схемы и
токов в ветвях, если бы в исходной ветви протекал ток в I А,
Так как найденное значение напряжения Vma в общем случае
не будет равно э. д. с. источника, то следует во всех ветвях изменить
токи, умножив их на коэффициент, равный отношению э. д. с.
источника к найденному значению напряжения в начале схемы.
Метод пропорциональных величин, если рассматривать его
обособленно от других методов, применим для расчета цепей, состоящих
только из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений
и при наличии в схеме одного
источника.
Однако этот метод можно
использовать и совместно с другими
методами (преобразование
треугольника в звезду, метод наложения и
т. п.), которые рассмотрены далее.
Пример 4. Найти токи в ветвях
схемы рис. 1.11 методом
пропорциональных величии.
Сопротивления схемы даны в омах.
Решение. Задаемся током в Рнс ].ц
ветви с сопротивлением 4 Ом,
равным 1 А, и подсчитываем токи в
остальных ветвях (числовые значения токов обведены на рисунке
кружками). Напряжение между точками тип равно Ь4 + 3-3 + 4-3 = 25В.
Так как э. д. с. £=100 В, все токи следует умножить на
коэффициент k =100/25 = 4.
§ 1-13. Метадчнжтурных токов. При расчете методом контурных
токов полагают, что в каждом независимом контура схемы течет свой
контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов,
после чего определяют токи ветвей через контурные токи.
Таким образом, метод контурных токов можно определить как
метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи.
Число неизвестных в этом методе равно числу уравнении, которые
необходимо было бы составить для
схемы по второму закону
Кирхгофа.
Следовательно, метод контурных
токов более экономен при
вычислительной работе, чем метод на
основе законов Кирхгофа (в нем
меньшее число уравнений).
Вывод основных расчетных
уравнений проведем применительно к
схеме рис. 1.12, в которой два
независимых контура. Положим,
что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток /llt
а в правом (также по часовой стрелке) —контурный ток /аа. Для
каждого из контуров составим уравнения по второму закову
Кирхгофа. При этом учтем, что по «межной ветви (с сопротивлением R5)
течет сверху вниз ток 7ц—7Й. Направления обхода контуров примем
также по часовой стрелке.
15
Рве. 1.12
Для первого контура
или
Для второго контура
- «5 (/ц - /и) + (*3 + * 4> Ли =
ИЛИ ' _г
(-ад /ц + ^+^ + Кз) /« =
В уравнении (б) множитель при токе /и, являющийся суммой
сопротивлений первого контура, обозначим через R1T, множитель при
токе /sa (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) —
через RIS.
Перепишем эти уравнения следующим образом:
£.+£„
.£,+£».
— E,-Et
-£,-£«.
(а)
(6)
-1 (1.4-)
22- I
Rtz = R3+^4 + Rsl ^23 = -^ E* ~~- E6t
где J?u —полное или собственное сопротивление первого контура;
Rjs — сопротивление смежной ветви между первым и вторым контурами,
взятое со знаком минус; ЛГц-*- контурная э.д.с. первого контура,
равная алгебраической сумме э.д.с. этого контура (в нее со знаком плюс
входят те Э.Д.С., направления которых совпадают с направлением
обхода контура); R^ — полное или собственное сопротивление второго
контура; R21 — сопротивление смежной ветви между первым и вторым
контурами, взятое со знаком минус; ES2— контурная э.д.с. второго
контура.
В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной аетвя между k
в т контурами {fthm) входит в уравнение со знаком минус, если направления
контурных токов /^е и 1гпт вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если
направления этих токов согласны.
Если в схеме больше двух контуров, например три, то система
уравнений выглядит следующим образом:
*u/n+*iAi+*UAt=£iit ]
ЯзЛг+ад.+ад^^; , 0-4")
или в матричной форме (см.
§ Б.З):
гам «и-.
ГКч «„ Ru
[«]= «и «a, R»
L*\si R32 Ras
; M-
f/11
'*
./«
И
ш
Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с
разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же
сторону, например все по часовой
стрелке.
Если в результате решения системы
уравнений какой-либо контурный ток
окажется отрицательным, то это
означает, что в действительности
направление контурного тока обратно принято-"
му за положительное.
В ветвях, ие являющихся смежными
между соседними контурами (например,
в ветви с сопротивлениями Rlt Rz схемы
рис. 1.12), найденный контурный ток
является истинным током. В смежных
ветвях через контурные токи определяют истинные. Например, в ветвио
сопротивлением /?Б протекающий сверху вниз ток равен разности /и — /ю.
Если в электричеокой цепи имеется л независимых контуров, то
число уравнений тоже равно л.
Общее решение системы л уравнений относительно тока 1Ы
таково:
I^E^+E^+E^'+...+Е^, {1.5)
где
Rll Rl2 *Чз • ■ ■ "in
"31 "и "is • • ■ ^an
1.13
R31 «за Rat ••• R&
Rm Rm Rr>3 • • • Rii,
(1.6)
—определитель системы.
Алгебраическое дополнение Дьт получено из определителя А путем
вычеркивания fe-ro столбца и /га-й строки и умножения получениого
определителя на (— l)i+m.
Если из левого верхнего угла" определителя провести диагональ
в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что Rf,m =
= Rmk, то можно убедиться в том, что определитель делится иа две
части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это
свойство определителя называют симметрией относительно главной
диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной
диагонали ЛАт = ДтЬ.
Пример 5. Найти токи в схеме рис. 1.13 с помощью метода
контурных токов. Числовые значения сопротивлений и э.д.с. указаны
на рисунке".
Решение. Выбираем направления всех контурных токов /ш /м
и /ю по часовой стрелке.
Определяем: J?n = 5+5+4= 14 Ом; RM = 5+10+2= 17 Ом;
^ = 2+2+1=5 Ом; КИ=Я31 = — 5 Ом; R13 = R3L^Q; Rss=Rai =
= — 2 Ом; £ц=— 10 В; £^=10 В; £ю = —8 В.
Иаучмя mmwv !
Записываем систему уравнений:
14/п-5/и =—10;
~5/и+ 17/^-2/^= 10;
-2/и + 5/„ = —8.
Определитель системы
I 14 -5 0|
Д= -5 17 -2 =1009.
| 0 -2 5\
Подсчитаем контурные токи:
10 17
—8 2
-640
—0,634 А;
1009 "
/м=0,224 А; /м = —1,51 А.
Ток в ветви cm
Л™ = /11-Ай = — 0,634-0,224 = — 0,86 А.
Ток в ветви am
/effl=/^-/^=0,224+1,51 = 1.734 А.
Формула (1.5) в ряде параграфов используется в качестве исход-
вой при рассмотрении таких важных вопросов теорни линейных
40 0% & <№ Г' т*
^Ч 1 A^-l 1 »
я
Рис. 1.14
электрических цепей, как определение входных и взаимных проводи-
ыостен ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейные
соотношения в электрических цепях.
Составлению уравнений по методу контурных токов для схем
с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае
полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур,
замыкающийся через ветви с источниками э.д.с. и сопротивлениимн,
и что эти токи известны и равны токам соответствующих источников
тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными
контурными токами. Если для схемы рис. 1.14, а принять, что
контурный ток /ц = /й течет согласно направлению часовой стрелки
18
по первой и второй ветвям, а контурный ток 1,^=1а замыкается
также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то согласно
методу контурных токов получим только одно уравнение снеизвестным
током /аа
Отсюда /ва=ъЧ:*р1 и ™к второй ветви /8 = /ц — /ю,
§ 1.14. Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить
общее выражение для тока в ft-ветви сложной схемы, составим
уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k-
ветвь входила только в один fe-контур (это всегда возможно).
Тогда ток в fe-ветви будет равен контурному току ht по
уравнению (1.5). Кнждое слагаемое правой части (1.5) представляет собой
ток, вызванный в fe-ветвн соответствующей контурной э.д.с. Например,
Еп -£ есть составляющая тока fe-ветви, вызванная контурной э.д.с.
Еи. Каждую из контурных э.д.с. можно выразить через э.д.с. ветвей
Elt Еа, Еъ, ..., Ец, ..., Е„, сгруппировать коэффициенты прн этих
э,д.с, н получить выражение следующего вида:
/* = £igfti+£kfti+£*g*S+.... +E*gkk+ ... +E„gk„. 0.7)
Если контуры выбраны таким, образом, что какая-либо из э.д.с„
например Ет, входит только в один /п-контур и в другие контуры
не входит, то gbm^^kJtb..
Уравнение (1.7) выражает собой принцип наложения.
Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-
ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из э.дл.
'схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных
электрических" цепей.
Принцип наложения используется в методе расчета, получившем
название метода наложения.
При расчете цепей по методу наложения поступают следующим
образом: поочередво рассчитывают токи, возникающие от действия
каждой из э.д.с, мысленно удаляя остальные из схемы, во оставляя
в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи
в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим,
что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых
в сопротивлениях мощностей как-«уммы мощностей от частичных
токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока
(P = RP).
Так, если через некоторое сопротивление R протекают согласно
направленные частичные токи 1± и /а, то выделяемая в нем мощность
JP = ft (Л +/в)8 и не равна сумме мощностей от частичных токов:
РфЯ1\+Я1Ь.
Пример 6. Для схемы рис. 1.14, а с помощью метода наложения
найти токи в ветвих, определить мощности, доставляемые в схему
источником тока и источником э.д.с, полагая /?х=2 Ом; Rs = i Ом;
/?3 = 6 Ом; /А = 5 А; £ = 20 а
Решение. Положительные направления токов в ветвях
принимаем в соответствии с рис. 1.14, а. С помощью схемы рис. 1.14, б
(источник э.д.с. удален и зажимы cd закорочены) находим токи в
ветвях от действия источника тока:
rt=/„=5A; /S=/'I^.= 5.i|s'=3A: /5=2 А.
Используя схему рис. 1.14, в, подсчитываем токи в ветвях от
действия источника э.д.с. (зажимы аЬ разомкнуты, так как внутреннее
сопротивление источника тока равно бесконечности):
Л = 0; Л = Я_Й1Е = 2А.
Результирующие токи в ветвях найдем, алгебраически суммируя
соответствующие частичные токи этих двух режимов:
/1=./;4-Л = 5+0-5 д. /й = /£-/£ = 3~2=1 А;
/3 = /з + /з = 2+2 = 4 А; ЧЬ=ЧЬ + /Л+'А,
VBb = \-4 + 5-2=14 В.
Мощность, доставляемая в схему источником тока, 1/сЬ/й=14-5=^
= 70 Вт* Мощность, доставляемая в схему источником э.д.с, £7S =
= 20-4 = 80 Вт.
Уравнение баланса мошност /!Ri4-/l#3 + /3#3=tWfc-r-£/s-
§ 1,15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное
сопротивление. На рис. 1Л5, а изображена так называемая
скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны только ветви и узлы.
Рис. 1.15
В каждой ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви;
одну из них назовем ветвью т, другую — ветвью k. Поместим в ветвь
т Э.Д.С. Ет (других э.д.с. в схеме нет). Выберем контуры в схеме так,
чтобы fe-ветвь входила только в fe-контур, а m-ветвь—только в т-
контур. Э.д.с т вызовет токи в ветвях k и т:
/» = !?«#■*. J '
Коэффициенты g имеют размерность проводимости.
Коэффициент g с одинаковыми индексами (gmm) называют входной
проводимостью ветви (ветви т). Он численно равен току в ветви т,
возникающему от действия э.д.с. £^=1 В (единичной э.д.с): /т =
= l-gBU*
Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными прово-
димостями. Так, gftm есть взаимная проводимость k- и т-ветвей.
Взаимная проводимость gbm численно равна току в fe-ветви,
возникающему от действия единичной э.д.с. в m-ветви *.
Входные и взаимные проводимости ветвей используются при выводе
общих свойств линейных электрических цепей (см. § 1.16 и 1.18) и
при расчете цепей по методу наложения [см. формулу (1.7)].
Входные и взаимные проводимости могут быть определены
расчетным и опытным путями.
При их расчетном определении составляют для схемы уравнения
по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и
входные проводимости которых представляют интерес, входили бы
каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы
Л и по нему необходимые алгебраические дополнения:
&«, = А«т/А: (1-9)
£*т = ДЬи/Д. (1.10)
По формуле (1.10) gt,m может получиться либо положительной,
либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что
э.д.с. Ет, направленная согласно с контурным
током в m-ветви, вызывает ток в fe-ветви, не | |—*—-и
совпадающий по направлению с произвольно вы- (Т)^я
бранным направлением контурного тока It, no S/
fe-ветви. (Югт
При опытном определении gmm и ghm в m-ветвь .«..Sr
схемы (рис. 1.15, б) включают э.д.с. Ет и в
ft-ветвь — амперметр (миллиамперметр). Поделим Рис. 1.16
ток /ft на э.дх. Ет и найдем значение gbm. Для
нахождения входной проводимости ветзи т (gmm) необходимо измерить
ток в m-ветвн, вызванный э.д.с, включенной в m-ветвь. Частное от
деления тока m-ветзн на э.д.с. m-ветви н дает gmm.
Выделим m-ветвь, обозначив всю остальную часть схемы (не
содержащую эл.с.) некоторым прямоугольником (рис 1.16). Вся схема,
обозначенная прямоугольником, по отношению к зажимам аЬ
обладает некоторым сопротивлением. Его называют входным
сопротивлением. Так как в рассматриваемом примера речь идет о входном
сопротивлении для m-ветви, то обозначим его J?Bint:
R.«.=EJl„^l/gmm. (1.11)
* Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе:
входная проводимость т-ветвн—это коэффициент пропорциональности между
током этой ветвн и 5.д-с- той же ветви (при отсутствии э.д.с в других ветвях
схемы); взаимная проводимость ветвей k и m есть коэффициент
пропорциональности между током fc-ветви к эл-с. m-ветви при отсутствии э.д-с. в других вет-
21
Таким образом, входное сопротивление m-ветви есть величина,
обратная входной проводимости m-ветви. Его не следует смешивать
с полным сопротивлением m-контура в методе контурных токов,
которое не имеет с ним ничего общего.
Пример 7. Определить входную проводимость glx и взаимную
проводимость gt2 в схеме рис. 1.13.
Решение. Контуры на схеме рис. 1.13 выбраны так, что ветвь
/ (ветвь сЪт) с э.д.с. Ег входят только в первый контур, а ветвь 2
(ветвь со) с э.д.с. £в~во второй. Поэтому можно воспользоваться
определителем системы Д и алгебраическими дополнениями Дц и Дц,,
составленными по данным примера Б:
I-5 ~2i(—Ч1+в
I 17 -2|#_тч
йй —2 5 l r 81 пМ1 _ .
§ 1.16. Теорема взаимности. Теорема взаимности
формулируется следующим образом: для любой линейной цепи ток в k-eetwu,
вызванный Э.Д.С. Ет, находящейся в m-ветви,
/* —Enghn
будет равен току 1т в т-ветеи, вызванному э.д.с. Ек (численно
равной э.д.с. Ет), находящейся в k-eemeu,
lm = E&mk.
Для доказательства теоремы взаимности обратимся к рис. 1.15, о.
Как и при выводах в § 1.15, выделим две ветви схемы: ветвь k и
ветвь т. Включим в ветвь m источник э,д.с. Ет, в ветвь А
—амперметр А*-* для измерения тока /Л. Пусть каждая из ветвей k и т
входит соответственно только в А- и m-контуры. Тогда по методу
контурных токов /ft = £Js&ft,„/A- Затем поменяем местами источник э.д.с. и
амперметр, т. е. источник э.д.с. переместим из ветви m в ветвь k и
назовем теперь £й, а амперметр —из ветви k в ветвь т. В этом
случае ток
/.,=>£*&«*/&-
Так как Ek = Em, а А^^Д^™ в силу симметрии определителя
системы Д относительно главной диагонали (см. § 1.13), то ток lh
в схеме рис. 1.15, б равняется току 1т в схеме рис. 1.15, е.
При практическом использовании теоремы взаимности важно иметь
в виду взаимное соответствие направлений токов и э.д.с. в схемах
рис. 1.15, б, е.
Л ?днница проводимости Ом"1 в СИ называется сименс (См).
Амперметр включаем только для наглядности; сопротивление амперметра
полагаем равным кулю.
Так, если э.д.с. Ek источника э.д.с„ находящегося в й-ветви
схемы рис. 1.15, в, направлена согласно с контурным током 7Й в схеме
рис. 1.15, б, то положительное направление тока 1т в схеме рис. 1.15,
е совпадает с направлением э.д.с. Ет в схеме рис. 1.15,* б.
Для нелинейных цепей теорема (принцип) взаимности невыполнима.
Цепи, для которых не выполняется принцип взаимности, называют
необратимыми..
Пример 8. В схеме рис. 1-17 переключатели Plt P2, Ps и РЛ
находятся либо в первом, либо во втором положении. Если они находятся
в положении /, то в схеме включена только одна э.д.с. Ей. Под
действием э.д.с. £4 протекают токи /х= 1,5 Л, /в=3 A, /s= 1 А.
Найти ток Iat если все переключатели находятся в положении 2,
полагая, что £^ = 20 В, £^ = 40 В, £3 = 50 В, Е4=10 В.
Решение. Для определения тока la воспользуемся принципом
наложения и принципом, взаимности. Если бы в схеме была включена
лишь одна э.д.с. £х= 10 В, а остальные э.д.с. (£2 и £э) отсутствовали,
то в ветви 4* по принципу взаимности протекал бы сверху вниз ток
в 1,5 А. Так как э.д.с. Ё\ = 20 В, то в ветви 4 протекает ток,
равный 1,5-20/10 = 3 А. Аналогичным образом определим токи в ветви 4
от действия э.д.с Ez н э.д.с. £3 и произведем алгебраическое
сложение частичных токов (с учетом их направления):
/1-1.5-ю+З-То-1
"10"
= 10 А.
§ 1.17. Теорема компенсации., В любой электрической цепи
без изменения токораспределения сопротивление можно заменить
э.д.с, численно равной падению напряжения на заменяемом
сопротивлении и направленной встречно току в этом сопротивления.
Для доказательства теоремы компенсации выделим из схемы одну
ветвь с сопротивлением R, по которой течет ток /, а всю остальную
часть схемы условно обозначим прямоугольником (рис. 1.18, а).
Если в выделенную ветвь включить две одинаковых и
противоположно направленных э.д.с. £, численно равных падению напряжения
на сопротивлении Ft под действием тока / (E = IR; рис. 1Д8,-б),
то ток / в цепи от этого не изменится. Убедимся, что разность
потенциалов между точками о и с в схеме рис, 1.18, б при этом будет
равна нулю. Действительно,
" Но если (рс = ф0, то точки о и с можно объединить в одну, т. е.
закоротить участок ас и получить схему рис. 1.18, е. В ней вместо
сопротивления R включен источник э.д.с. Е.
Пример 9. Убедиться в тождественности схем рис. 1.19, а, б.
Решение. В схеме рис. 1.19, а ток I = E1f{Rl+R^. Для схемы
рис. 1.19, б
Е. — Е, Дв
Ri Ri Ri+Pa*
Таким образом, замена сопротивления Rs на источник э.д.с. Ег,
как это и следует из теоремы компенсации, не вызвала изменения
тока в схеме.
§ 1.18. Линейные соотношения
Если
электрических цепях.
в линейной электрической цепи изменяется э.д.с. или сопротивление
в какой-либо одкой ветви, то две любые величины (токи и
напряжения) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными
зависимостями вида у—а-\-Ьх.
Роль х выполняет ток или напряжение одной ветви, роль #~ток
или напряжение другой ветви.
Доказательство. Согласно методу контурных токов, общей
выражение для тока в й-ветви записывается в виде (1.7). Если в схеме
изменяется только одна э. д. с, например э. д. с. Ет, то. все
слагаемые в (1-7), кроме слагаемого Emgt,m, постоянны и могут быть для
сокращения записи заменены некоторым слагаемым Ah. Следовательно,
/*=^ + £,mgftm. (1.12)
Аналогично, для какой-то р-ветви
1Р=Ар+Е>»ёрт- (1-13)
Найдем Ет из (1.13):
Em^{Ip-Ap)/gpm
и подставим в (1.12). Получим
h = ak+brfpt (1.14)
где
аь=*Аь — Apgkmlgpm, bk^gkmlgpm-
Коэффициенты ak и Ъь могут быть 5£0. В частном случае либо
аь, либо Ьь может быть равно нулю.
Равенство (1-14) свидетельствует о том, что при изменении э. д. с.
Ет токи /t и /р связаны линейной зависимостью. Из теоремы
компенсации известно, что любое сопротивление можно заменить э. д. с.
Следовательно, изменение сопротивления в m-ветви эквивалентно
изменению э. д. с. Ет. Таким образом, линейное соотношеиие между
двумя любыми токами (1.14) имеет место при изменении не только
э. д. с. Ет, но и сопротивления какой-то т-ветви.
Если обе части (1.12) умножить на сопротивление й^етви Rk и
проделать аналогичные выкладки, то можно убедиться в том, что
напряжение на й-ветви линейно связано с током в р-ветви.
Коэффициенты Ой и Ьь из (1.14) и в других подобных выражениях
могут быть найдены либо расчетным, либо опытным путем.
При опытном определении коэффициентов достаточно найти
значения двух токов (или соответственно напряжений) при двух различных
режимах работы схемы и затем решить систему из двух уравнений
с двумя неизвестными. Пусть, например, в первом опыте Jk^lkl в
tp^Ipi, а во втором опыте Д = /Л2 и IP=IPZ, тогда
Отсюда
Если в схеме одновременно изменяются э. д. с. или сопротивления
в каких-либо двух ветвях, то любые три величины в этой схеме
(токи, напряжения) связаны друг с другом линейным соотношением
вида
у=а+Ьх+сг.
Доказательство этого соотношения проводится аналогично
приведенному ранее.
Пример 10. На рис. 1.20 изображена схема, в которой выделены
Ж и ветви. В ветви 1 включен амперметр Аг, в ветви 2 — амперметр
j. В ветви 3 имеется ключ К и сопротивление Rs. Если К
разомкнут, то Ау показывает 1 А, а А2 — 5 А. При замкнутом ключе
амперметр Аг показывает 2 А, а 4-4 А. При замкнутом ключе
сопротивление Ra изменили так, что показание амперметра As стало
4,5 А. Каково показание амперметра Лх в этом режиме?
Решение. Выразим /t через /s:
Составим два уравнения для определения а и Ь:
1=я+5Ь; 2 = я+4Ь.
Отсюда о — б и Ь = —1.
ПриЛ = 4,5А /i-6-4,5-1^1,5 A.
§ 1.19. Изменения токов ветвей, вызванные приращением
сопротивления одной ветви (теорема вариаций). На рис. 1.21, а выделим
ветви 1 и 2 с токами /г и /8, заключив остальную
часть схемы вместе с источниками энергии в
прямоугольник А (активный); проводимости gn и gM
полагаем известными. Пусть сопротивление ветви 2
изменилось на AR (рис. 1.21, б), в результате
чего токи стали /х+Д/, и /s-f A's- В соответствии
с теоремой компенсации заменим &R ка э. д. с.
ДЕ — AR (/2+A/2)i направленную встречно току /е.
На основании принципа наложения можно сказать,
что приращения токов Д/, и Д/а вызваны э. д. с.
&.Е в схеме рис. 1.21, е, в которой часть схемы, заключенная в
прямоугольник, стала пассивной (буква /7). Так как схема внутренних
соединений и значения сопротивлений в схеме прямоугольника оста-
Рис. 1.20
а) 6) 6)
Рис. 1.21
лись без изменений, то проводимости g12 н gw для схемы рис 1.21, в
имеют те же значения, что и в схеме рис 1.21, а. Для схемы рис.
1.21, в имеем:
да=
(1.15)
Соотношения (1.15) позволяют определить изменение токов в
ветвях 1 и 2, вызванные изменением сопротивления в ветви 2.
§ 1.20. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих
источники е. д. с. и источники тока, одной эквивалентной. При
расчете сложных схем существенное облегчение дает замена
нескольких параллельно включенных ветвей, содержащих источники э. д. с.
и источники тока и сопротивления, одной эквивалентной ветвью.
Участок цепи рис. 1.22, б эквивалентен участку цепи,
изображенному на рис 1.22, а, если при любых значениях тока /,
подтекающего из всей остальной, не показанной на рисунке части схемы,
напряжение на зажимах о и b (Uab) в обеих схемах одинаково. Для
того чтобы выяснить, чему равняются Ra н Еяъ составим уравнения
для обеих схем.
Для схемы рис 1.22, а
h+h+h+i,+i,=i.
7, = (£, - (Л,,)//;,=(£,- <Л,„)&;
'■=<£„-lU)&..
(1.161
Следовательно,
/= £ '*= S £«й+ S h-u„b S e>. (Lie)
где п —число параллельных ветвей с источниками э. д. с; д — число
ветвей с источниками тока. Для схемы рис 1.22, б
I = EA-U^g„ (1.1?)
l№g,= l/R,.
Равенство токов / в схемах рис. 1.22, а, б должно иметь место
при любых значениях Uat,, а это возможно только в том случае, когда
коэффициент при Uail в (1.17) равен коэффициенту при Uab в (1.16).
Следовательно,
&=£**■ <1-18>
Но если слагаемые с VBb в (1.16) и (1.17) равны и токи / по
условию эквивалентности двух схем также равны, то
Ё £»»+ Ё '•=£&■
*=1 ft = l
отсюда
S *№+ J '*
" ь"' *- (1.19)
Формула (1.18) дает возможность найти проводимость g„ и по ней
R„ в схеме рис. 1.22, б. Из формулы (1.18) видно, что прсводямость^,,
не зависит от того, есть в ветвях схемы рис. 1.22, а э. д. с. или нет.
При подсчетах по формуле (1.19) следует им~еть в виду
следующее: если в. какой-либо ветви схемы э. д. с. отсутствует, то
соответствующее слагаемое в числителе |1.19) выпадает, но проводимость
этой ветви в знаменателе (1.19) остается; если какая-либо э. д. с.
в исходной схеме имеет направление, обратное изображенному на
рис 1.22, а, то соответствующее слагаемое войдет в числитель,
формулы (1.19) со знаком минус.
Ветви схемы рис. 1.22, а и ветвь схемы рис. 1.22, б эквивалентны
только в смысле поведения их по отношению ко всей остальной части
схемы, не показанной на рисунке, но они не эквивалентны в
отношении мощности, выделяющейся в них. Качественно поясним это,
В ветвях схемы рис. 1.22, а токи могут протекать даже при / = 0,
тогда как в ветви аЬ рис. 1.22, б при / = 0 ток и потребление
энергии отсутствуют.
Пример 11. Заменить параллельные ветви рис. 1.22,. в одной
эквивалентной. Дано: £; = Ю В; £,*=30 В; £^ = 40 В; £3 = 60 В; Яг=
= 2 Ом; #а = 4 Ом; Ks=l Ом; Ка = 5 Ом; /* = 6 А.
Решение. Находим:
ft = 0,5 См; g2 = 0,25 См; g3=l См; & = 0,2 Ол:
R*=-i = 0.5+0.25+1+0,2 =0'513 0м:
2] ёь
Zj c*g* — 'ft
F _*=i (10—30).0,5^40-0,25+60-1—6 to . „
ce ^ щ ; =18,4 B.
Таким образом, параметры эквивалентной ветви рис. 1.22, б
К»^0,513 Ом и £в=18,4 В.
§ 1.21. Метод двух.узлов. Часто встречаются схемы, содержащие
всего два узла; на рис. 1.23 изображена одна из таких схем.
Наиболее рациональным методом расчета
токов в них является метод двух узлов. о
Под методом двух узлов понимают
метод расчета электрических цепей, в
котором за искомое (с его помощью
определяют затем токи ветвей) принимают
напряжение между двумя узлами схемы.
Расчетные формулы этого метода
получают на основеформул (1.16) и (Мб*);
их также можно просто получить из
более общего метода — метода узловых
потенциалов (см. § 1.22).
В отличие от схемы рис. 1.21, а ток
/ к узлам а и Ъ схемы рис. 1.23 не
подтекает. Поэтому если в формуле (i.lfi) принять / = 0, то из нее
может быть найдено напряжение Vab между двумя узлами:
После определения напряжения 1/оЬ находят ток в любой (л)
ветви по формуле I„—(E„ — UBb)g„.
Пример 12. Найти токи в схеме рас, 1.23 и сделать проверку
баланса мощности, если Et = 120 В, £3 = 50 В, Й1 = 2 Ом, Ка = 4 Ом,
Яа=1 Ом и Ка=10 Ом.
Решение.
., 120-0,5—50-1 10 с , „
57.3 А;
(1-20)
135 А;
—55,4 А; /.=—0,54 А.
В схеме потребляется мощность
ЛЯ, +/SRa+ЛКа +/У?* == 57.3s - 2 +
+ 1,35*.4 + 55,42-1+0,54* 10.= 9647 Вт.
Источники э. д. с. доставляют мощность E-J± — E3I3 = 120 -57,3 +
+ 60-55,4 = 9647 Вт. Ч^
§ 1.22. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви^схемы
можно найти по закону Ома для участка цени, содержащего э. д. с.
Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать
потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в
котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют
методом узловых потенциалов.
Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка
схемы может быть заземлена без изменения токораспределевия всхеме,
то одни из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять
потенциал его равным нулю. Пра этом число неизвестных уменьшается
с п до п— 1.
Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу
уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому
закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод
контурных токов, — один из
основных расчетных приемов. В
том случае, когда число
узлов без единицы меньше
числа независимых
контуров в схеме, данный метод
является более
экономичным, чем метод контурных
токов.
Обратимся к схеме рис.
1.24, которая имеет
довольно большое число ветвей
(11) и сравнительно
небольшое число узлов (4). Если
узел 4 мысленно заземлить,
т. е. принять Ч>4 = 0, то
необходимо определить потенциалы только трех узлов: <plf q?2, *рз. Для
единообразия в обозначениях условимся в § 1.22 токи писать с
двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, от
которого ток утекает, второй индекс —номеру узла, к которому ток
подтекает. Проводимости ветвей также будем снабжать двумя индексами.
Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего
с входными н взаимными проводимостями ветвей, которые рассматрив'а-
лнсьв§ 1.15.
В соответствии с обозначениями токов на рис. 1.24 составим
уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:
1'а - /ц + /« - 'is + i'n + 1ъ = О,
или
№li - (Ф1 - Ч>4>] gli - [£н - («Ра - ¥i)]fib +
+P-(<ft-«ft)]fi£-[£b-(«p.-4>i)lfib +
+[£ai - (<ра - 4>г)] &ъ+f£3i — (9i — Ч*У\ &» = *>-
Перепишем последнее уравнение следующим образом:
(РаСц-гчраС1г + Фз013 = /ш (L2!)
Рис. 1.2
ГД6 Gu=gH-fgl8+gra+^1+g«+g;'a;
Gia=— fela-f gie+gii); Gl3 =—gl3;
iu = £iigii + Esigsi+£!iga. — EligU — E'ug'ts.
Обсудим структуру уравнения (1.21). Множителем пра % в нем
является коэффициент Си, равный сумме проводимостей всех ветвей,
сходящихся в первом узле. Проводимость Gi2 равняется сумме
проводимостей всех ветвей, соединяющих узел / с узлом 2, взятой со
знаком минус. Аналогично, G13 есть сумма проводимостей всех ветвейя
соединяющих узел / с узлом 3, взятая со знаком минус. Ток iH,
называемый узловым током первого узла, —это расчетная величина,
равная алгебраической сумме токов, полученных от деления э. д. с.
ветвей, подходящих к узлу 1, на сопротивления данных ветвей.
В эту сумму со знаком плюс входят токи тех ветвей, э. д. с. которых
направлены к узлу /.
Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных
узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система
из п— 1 уравнений вида
чЪОц+«P«G12+... + фя-А^! = iu;
fiGai + «PaG-a+... + (рп-1<%*-1 = h£
(1.22)
<PlGn-l,l+ <PaGn-l,2 + ■ ■ • + 4>*-l<*j»-:Ln-l = /я-1,1
ГДР Сцц — сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k; G^—*
сумма цроводимостей ветвей, соединяющих узлы k и т, взятая со
знаком минус; 1ы,~ узловой ток й-узла. Если к й-узлу подтекает ток
от источника тока, то он должен быть включен в ток !&, со знаком
плюс, если утекает, то со знаком минус.
Если между какнми-лйбо двумя узлами нет ветви, то
соответствующая проводимость равна нулю. После решения системы (1.22)
относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома
для участка цепи, содержащего э. д. с.
Максвеллом было установлено, что распределение токов я электрической цепи
всегда происходит так, что тепловая функция системы
■W= I. 2, St... m=l, 2, 3, ...
минимальна.
Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность
каждой ветви .учитывается дважды.
Доказательство основано на том, что совокупность уравнений (1-22) является
совокупностью условий минимума функции Р, т. е. совокупностью условии
1 оР 1 др 1 д*Р
"2" "дт'-~0-' У' ЗпГ~° и т' д" Так как втоРые производные -^ • ъ—i=Gii>0,
1 №Р Ф'
~2 ' dirP~Gai>- О и т. д, положительны, то, действительно, это есть условия мини*
пума тепловой функция.
Пример 13. Найти токи в ветвях схемы рис. 1.24 и сделать п ■
верку по второму закону Кирхгофа. Дано: £^=10 В; £ц = 6 В; \
£;, = 20 В; £5,-30 В; £„«.14 В; £м=10 В; £,. = 8 В; ;-
£;,= 12 В; Ещ = 1 В; %-1 Ом; J&=2 Ом; R;, = 10 Ом;, \.
Ri—10 Ом; К„=5 Ом; fiM-2 Ом; R„=i Ом; Ки — 2 Ом; Л
%=4 0м; к;,=2 Ом. ;
Источник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток /Л32=г
=1,5 A.
Решение. Записываем систему уравнений:
фАг + фАз+фзри=/1г;
<PiG„+ф>С„ + <fsG,j=7И;
ф^щ+«PjGaa+4)3633=/эз.
Подсчитываем проводимости:
/--'j'j-'i'i'j.'
01,= C„=-(~+4 + sV)=-0,4 См;
0„=Оа= — i=—0,5 См;
0,0=0,,=—(0,25+0,6)=—0,75 См.
При подсчете G^, G33 и GaJ учтено, что проводимость ветви с
ником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно
нечности).
Узловые токи:
'и
/«-3s
к:.
15 А;
-1.5 А;
-7+4-1,5=—5 А.
/»=—3.5+3-
Система уравнений
2,4ф, —0,4ф„ —0,5ф,= 15;
—0.4ф! +1,4фа—0,75ф3 = —1.5;
—0,5% - 0,75фг +1,75ф,=—5
имеет решение: <Pi=6 В; ф2=0,06 В; фз=—1.07 В.
Заключительный этап расчета состонт в подсчете токов по закону
Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти тойв
обозначить и выбрать для них положительные направления:
" >=^_'о--(б--о>=4 А; j-=fc^-=_i,i85 А.
Г»
К,
фэ—«fa+gja
= 2,92А; /«:
_ф4—фз+£«а „
: 4,55 А и т. д.
Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для
периферийного контура.
Алгебраическая сумма падений напряжений
4-1 + 1,185.5-2,92-2-4,55.2^ —5 В.
Алгебраическая сумма э. д. с.
Ю-7-8 = —5 В.
Покажем, что основная формула (1.20) метода двух узлов
получается как частный случай из формулы (1.22). Действительно, если
один узел схемы рис. 1.23, например узел Ъ, заземлить, то остается
найти только один потенциал фо^^ов- Для получения формулы (1.20)
из (1.22) следует положить: ^=ц/а=иаь'> Фа = Ч)з = Ч)4='.- = 0.
§ 1.22. Преобразование звезды в треугольник и треугольника
в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой
звезды (рис. 1.25), называют соединением звезда, а соединение трех
сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника
(рис. 1.26),—соединением треугольник. В узлах /, 2, 3 (потенциалы
их <Ри Фа и Фэ) м треугольник и звезда соединяются с остальной
частью схемы (не показанной на рисунках).
Обозначим токи, подтекающие к узлам /, 2, 3, через 1г, /s и /3.
Очень часто при расчете электрических цепей оказывается
полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в
треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать
треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом,
что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек
треугольника н звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то
вся внешняя схема вне заметит» произведенной замены. Выведем
формулы преобразований. С этой целью выразим токи /1( /2 и /я
в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и
соответствующие проводимости.
Для звезды
/i-Ms + /3 = 0, (1.23)
но
А=(ч_-ч\___; /«=(%-*)&: /3=(<P2-<Po)g8- 0-24)
Подставим (1.24) в (1.23) и найдем q^:
Ч>1& + ВД + 4>з_з - «Pa (_i + _а+_з) = 0.
откуда
Далее введем <р0 в выражение (1.24) для тока /^
/,=(Ф1-Ф.)&=!ь&±^2+?йе!а- (1-26)
Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 1.26
'_= _ —'п = (Ч_ — *й)йи — ("й- <Pi) из = 4>i (__: + _ is)—
-ч_в-Ч_Й_. (1-27)
Так как ток /, в схеме рис. 1.25 должен равняться току ^ в схеме
рис. 1.26 при любых значениях потенциалов ф„ <р2, <р3, то
коэффициент при <р2 в правой части (1.27) должен равняться коэффициенту
при фа в правой части (1.26), а коэффициент при ч^ в правой части
(1.27) должен равняться коэффициенту при ч^ в правой части (1.26).
Следовательно,
Аналогичной
Формулы
(1.28)-
&! =
#13 =
&3 =
-(1.30)
„&/_+„+_!;
&&/_+_+&)•
=grfs/fei+gs+gs)-
дают возможность
найти
(1.28)
(1.29)
(1.30)
проводимости
сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют
легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в
числителе правой части соответствуют индексам у проводимости в левой
части, в знаменателе—сумма проводимостей лучей звезды.
Из уравнений (1.28)—(1.30) выразим сопротивления лучей звезды
Яж= 1/gi; Rz= Ifgz и &3= lfga через сопротивления сторон
треугольника:
Kia=l/fc; Кгз=1/&3; К» =!/_»■
С этой целью запишем дроби, обратные (1.28)—(1.30):
_L._L,_L KJ^+RJU+BAt
d ____________ RiRaRs m
(1.31)
Здесь
Ri3=m/R1;
R13 = m/Rs.
Подставив (1.31), (1-33) н (1.34) в (1.32), получим
• ' 1 _■_ 1 \ иД„+Даа+Д„
^ KssRia
RisRis
RuRal
Следовательно,
fcaRaRaf
Подставим m в (1.33) и найдем
RisRat
Ria+Rta+Rai'
(1.32)
(1.33)
(1.34)
(1.35)
R*~R
fiaaRfa
(1.36)
(1.37)
Структура формул (1.35)—(1.37) аналогична структуре формул
(1.28)—(1.30).
Полезность преобразования треугольника в звезду можно пояснить,
например, схемой рис 1.27. На „
рис. 1.27, а изображена схема
до преобразования, пунктиром
обведен преобразуемый треуголь- ■
ник. На рис 1.27,6
представлена та же схема после
преобразования. Расчет токов
производить для нее проще
(например, методом двух узлов), чем
расчет токов в схеме рис. 1.27, с.
В полезности преобразования
звезды в треугольник можно
убедиться на примере схемы
рис.. 1.27, е, г. На рис. 1.27, в
изображена схема до
преобразования, пунктиром обведена
преобразуемая в треугольник
звезда. На рис. 1.27, г
представлена схема после
преобразования, которая свелась к последовательному и параллельному
соединению сопротивлений *.
* В § 3.31 Грассмотрен еще один вид преобразований — преобразование по-
^ВДователыю-параллелыюго соединения в параллельное.
Пример 14. Найти значения сопротивлений Rlt R3, R3 в схеме
рис. 1.27, б, если сопротивления R12, R13, R^ в схеме рис. 1.27, а
равны соответственно 2, 3, 5 Ом.
Решение. По формуле (1.36), Л, = 2-3/(2 + 3+5) = 0,6 Ом;
по формуле (1.36), К2 = (5-2)/Ю=1 Ом;
го формуле (1.37), К3 = (3-5)/Ю=1,5 Ом.
§ 1.24. Перенос источников э.дх. и источников тока. На участке
цепи рис. 1.28, а между узлами а и Ъ имеется источник э. д. с. Е.
Этот источник можно перенести в ветви / и 2, а узел а устранить
и получить участок на рис 1.28, б. Эквивалентный переход поясняется
рис. 1.28, е. Точки с, d, b имеют одинаковый потенциал и потому
могут быть объединены в одну точку Ь.
Участок аЪс на рис. 1.28, г, между крайними точками а в с
которого присоединен источник тока 1к, может быть заменен участком
аЪс рис. 1.28, д, отличающимся от участка рис. 1.28, г тем, что
источник тока между точками а к с заменен на два источника,
присоединенных параллельно Rl и R2. Эквивалентность замены следует из
неизменности значений токов в каждом из узлов. Ток в узле Ь не
изменился, так как в этот узел добавили и вычли ток /й.
Практически источники переносят при преобразованиях схем с целью их
упрощения и при записи уравнений по методу контурных токов и
узловых потенциалов в матричном виде (см. приложение Б).
§ 1.25. Активный и пассивный двухполюсники. В любой
электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то одну ветвь,
а всю остальную часть схемы независимо от ее структуры и
сложности условно изобразить некоторым прямоугольником (рис. 1.29, а).
(Такой прием был использован в § 1.17 без специальных объяснений.)
По отношению к выделенной ветви вся схема, обозначенная
прямоугольником, представляет собой так называемый двухполюсник.
Таким образом, двухполюсник — это обобщенное название
схемы, которая двуми выходными зажимами (полюсами) присоединена
к выделенной ветви.
Если в двухполюснике есть источник э. д. с. или (и) тока, то
такой двухполюсник называют активным. В этом случае в
прямоугольнике ставят бунву А (рис. 1.29, а — е).
Рис. 1.29
§ 1.26. Метод эквивалентного генератора. По отношению к
выделенной ветви при расчете двухполюсник можно заменить
эквивалентным генератором, э. д. с. которого равна напряжению холостого
хода на зажимах выделенной ветви, а внутреннее сопротивление равно
входному сопротивлению двухполюсника.
Пусть задана некоторая схема и требуется найти ток в одной ее
ветви. Мысленно заключим всю схему, содержащую э. д. с. и
сопротивления, в прямоугольник, выделив из нее одну ветвь ab, в которой
требуется найти ток / (рис 1.29, о).
Ток / не [изменится, если в ветвь ab включить две равные и
противоположно направленные э. д. с. Ег и £2 (рис. 1.29, б).
На оснований принципа наложения ток можнгГпредставить в виде
суммы двух токов У* и /":
/ = /' + Г.
Под током /' будем понимать ток, вызванный э. д. с. Е^ и всеми
источниками э. д. с. и тока активного двухполюсника, заключенными
в прямоугольник, а ток /" вызывается только одной э. д. с. Ея. В
соответствии с этим для нахождения токов /' и /* используем схемы
рис. 1.29, в, г. В прямоугольнике Л схемы рис. 1.29, г отсутствуют
все э. д. е., но оставлены внутренние сопротивления источников.
Э. д. с. Ех направлена встречно напряжению Uab. По закону Ома
для участка цепи, содержащего э. д. с,
I^iUat-EJlR- (a)
Выберем Е1 так, чтобы ток /' был равен нулю. Отсутствие тока
в ветви ab эквивалентно ее размыканию (холостому ходу).
Напряжение на зажимах ab при холостом ходе (х. х) ветви обозначим Uab*..*
Следовательно, если выбрать Ej^^U^j.^, то /' = 0. Так как / =
&'' + /", а /'=0, то / = /". Но ток /" в соответствии со схемой
рис. 1.29, г определяется как
r = E3/(R + R^ = UoSl.J{R + Rat},
(б)
где RBX — входное сопротивление двухполюсника по отношению к
зажимам ab; R — сопротивление ветви ab. Уравнению (б) отвечает
эквивалентная схема рис. 1.30, а, где вместо двухполюсника изображены
источник э. д. с. Uab ж j = Е£ и сопротивление /?в1 (схема Гельмгольца —
Тевенена).
Совокупность э. д. с. E^ = Uobxx и сопротивления RB* можно
рассматривать как некоторый дквиеаяентный генератор (RVK является
его внуттзенним
сопротивлении; a а нием, а(/0б*.х — егоэ. д. с).
■—" ■ Таким образом, по
отношению к выделенной ветви
R (ветви рис. 1.29, а) всю
остальную часть схемы
можно заменить эквивалентным
генератором с названными
значениями параметров.
Метод расчета тока в
выделенной ветви,
основанный на замене активного двухполюсника эквивалентным генератором,
принято называть методом эквивалентного генератора, методом
активного двухполюсника или методом холостого хода и короткого
замыкания^ ,
В дальнейшем чаще используется первое название.
Последовательность расчета тока этим методом рекомендуется такая:
а) найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви аЬ\
б) определить входное сопротивление R^ всей схемы по
отношению к зажимам ab при закороченных источниках э. д. с. *;
в) подсчитать ток по формуле
/ = <W*/(K + KsJ. (1-38)
Если сопротивление ветви ab равно нулю (Я = 0), то для нее имеет
место режим короткого замыкания, а протекающий по ней ток есть
ток короткого замыкания (/B.s). Из (1.38) при R = 0
/«.^^«.Аи (1-39)
или
R*x=Ua^MB.a. (1.40)
Из формулы (1.40) следует простой метод опытного определения
входного сопротивления. Для этого необходимо измерить иапряжение
холостого хода на зажимах разомкнутой ветви {Uab^K) и ток
короткого замыкания (/к-в) ветви, а затем найти Яв1 как частное от
деления иаъх.х на /в-3.
* Если среди источников питания схемы есть источники тока, то при
определении входного сопротивления всей схемы по отношению к зажимам аЬ ветви
с источниками тока следует считать разомкнутыми. Это станет понятным, если
вспомнить, что внутреннее сопротивление источников тока равно бесконечности
(см. § 1.2).
3ft
Название метода — метод холостого хода и короткого замыкания —
объясняется тем, что при решении этим методом для нахождения 1/овх.ц
используется холостой ход ветви ab и для определения входного
сопротивления двухполюсиика может быть использовано короткое
замыкание ветви ab.
Заменив источник э.д.с. источником тока, получим схему эквивалентного
генератора в виде рис. 1.30, б (схема Нортона).
Пример 15. Определить ток в диагонали ab мостовой схемы
рис 1.31, а, полагая/^ = /^ = 1 Ом; К2 = 40м; К3 = 2 Ом; КБ = 20м;
£1==10B.
Решение. Размыкаем ветвь ab (рис. 1.31, б) и находим
напряжение холостого хода:
Ri-i-RB
^tpir+E,
q>a=ч>ь+hR&—'i^i=ч>ь
ut
чь-ч*=^(йте
RB?
= 4,67 B.
= 1,47 Ом,
,R3+Ri
Rt _
Ri+R3J- "4*-M 1-1-2;
Подсчитываем входное сопротивление всей схемы по отношению
к зажимам ab при закороченном источнике э. д. с. (рис. 1.31, в).
Точки с и d схемы оказываются соединенными накоротко. Поэтому
RiR* , RiRi .. |'-2 4-1
Ri+Rs't'Rs+Ri 1+2 "•"4-Ы
Определим ток в ветви по формуле (1.38):
/ = Uab х. J{R&+RB*) = 4,67/(2 + 1,47) = 1,346 А.
§ 1.27. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке.
Если нагрузка R подключена к активному двухполюснику (см.
рис. 1.29, о), то через нее пойдет ток l—Uab X.J{R + RBZ) ив ней
будет выделяться мощност^
- Выясним, каково должно быть соотношение между сопротивлением ]
нагрузки R и входным сопротивлением двухполюсника i?B„ чтобы -
в сопротивлении нагрузки выделилась максимальная мощность; чему
она равна и каков при этом к. п. д. передачи. С этой целью
определим первую производную Р по R и приравняем ее нулю:
uR (R-i-RB&
Отсюда
К=К„. (1.42)
Нетрудно найти вторую производную и убедиться в том, что она
отрицательна (sm^OJ, поэтому соотношение (1.42) соответствует
максимуму функции P=f(R).
Подставив (1.42) в (1.41), получим максимальную мощность,
которая может быть выделена в нагрузке R:
/W=(£»,../4R№ (1.43)
Полезная мощность, выделяющаяся в нагрузке, определяется
уравнением (1,41). Полная мощность, выделяемая эквивалентным
генератором,
Коэффициент полезного действия
ч=PIP -о™ = RHR+Л«). (1.44)
Если # = *?«,, то 11 — 0.5.
Если мощность Р значительна, то работать с таким низким к. п. д.,
как 0,5, совершенно недопустимо. Но если мощность Р мала и
составляет всего несколько милливатт (такой мощностью обладают,
например, различные датчики устройств автоматики), то с низким к. п. д.
можно не считаться, поскольку в этом режиме датчик отдает нагрузке
максимально возможную мощность. Выбор сопротивления нагрузки R.
равного входному сопротивлению #ВЕ активного двухполюсника,
называют согласованием нагрузки.
Пример 1В. Найти, при каком значении сопротивления- R$ схемы
рис. 1.31, а в нем выделяется максимальная мощность и чему она
равна.
Решение, Из условия (1.42) находим:
Кб-Кв! = 1.47 0м;
/,mai = t/^,.,/4^B1=:4,67V(4-l,47) = 3,7l Вт.
§ 1.28* Передача анергии по линии передачи. Схема линии
передачи электрической энергии изображена иа рис. 1.32, где I/,
—напряжение генератора в начале линии; 1/2—наприжение на нагрузке
в конце линии R& Ял—сопротивление проводов линии.
При передаче больших мощностей (например, нескольких десятков
мегаватт) в реальных линиях передач к. п. д. составляет 0,94^0,97,
a Ua лишь на несколько процентов меньше 1/1# Ясно, что каждый
процент повышения к. п. д. при
передаче больших мощностей имеет
существенное экономическое
значение.
Характер изменения мощности
в начале линии Plt мощности в на-
Рис. 1.32
Рис. 1.33
грузке Р2, к. п. д. 1} и напряжения на нагрузке L/s в функции от тока
по линии при неизменном напряжении на входе линии Vx и
неизменном сопротивлении проводов линии R„ иллюстрируется кривыми
рис. 1.33. По оси абсцисс на этом рисунке отложен ток /, по оси
ординат—Рг, Р2, Vs, г).
Максимальное значение тока /тах = 'Л/Ял имеет место при
коротком замыкании нагрузки. Кривые построены по уравнениям
Pl = UlI\ P^UJ — PR,;
*>=£='-?£=*&: U^UX-RJ.
Если по линии передачи с сопротивлением Ял и сопротивлением
нагрузки Rz должна быть передана мощность
Pt = FRv (а)
то к. п. д. передачи тем выше, чем выше напряжение Ut в начале
линии.
Выведем формулу, показывающую, как к. п. д. зависит от
напряжения в начале линии. Из (а) определим Ra = /у/8, но / = UJ(RA + R^),
поэтому
R.= r'<*£™. (6)
Разрешим (б) относительно R2 [знай минус в формуле (в) перед
корнем отброшен, так как он соответствует правой части кривой Р% =
^/О с меньшим ifl:
Таким образом.
ь/(й-*Г^
Вопросы для самопроверки
I. Определите понятия «электрическая цепь», «электрическая схема», «узел»,
«ветвь», «источник э. д. с», «источник тока». 2. Как выбирают положительные
направления для токов ветвей, как связаны с ними положнтельиые направлена
напряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают под в. а. к.? 4. Нарисуй
в. а. х. реального источника, источника э. д. с, источника тока, линейного
сопротивления. 5. Сформулируйте закон Ома для участка цепи с э. д. с, первый
и второй законы Кирхгофа. Запишите в буквенном виде сколько уравнений
следует составлять по первому и второму законам Кирхгофа- 6. В чем отличи
напряжения от падения напряжения? 7. Охарактеризуйте основные этапы метод
контурных токов (МКТ) и метода узловых потенциалов (МУП). При каком уел
вии число уравнений по МУП меньше числа уравнений по МК.Т? 8, Сформули
руйте принцип н метод наложения. 9. Запишите и поясните линейные соотнош
ния в электрических цепях. 10. Что понимают под входными и взаимными пр
водимостями? Как их определяют аналитически и как—опытным путем? 11. П
кажите, что метод двух узлов есть частный случай МУП. 12. Приведите примеры,
показывающие полезность преобразования звезды в треугольник. 13. Сформули
руйте теорему комненсации в теорему вариаций. 14. Дайте определение активно
двухполюсника, начертите две его схемы замещении, найдите их параметры, пе
речислите этапы расчета методом эквивалентного генератора. 15. Запишите уело
вне передачи максимальной мощности нагрузке. Каков при этом к. п. д.? 16. Р
щите задачи 1.2; 1.7; 1.10; 1.13; 1.20; 1.24; 1,33; 1.40; 1.41; 1.45.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. ~~"
ИНДУКТИВНОСТЬ И ЕМКОСТЬ КАК ПАРАМЕТРЫ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 2.1. Явление электромагнитной индукции. Электрические токи
создают магнитное поле. В каждой точке оно характеризуется
вектором магнитной индукции В и напряженностью магнитного поля Нг
которые связаны соотношением B — \i.aH, где и.л = р0^ — абсолютная
магнитная проницаемость; (10=4я-10-' — магнитная постоянная, Г/м.
Единицы измерения: [В] = В-с/ма —Вб/м2, [//]=А/м.
Магнитному полю присущи два проявления —силовое воздействие
иа ток (на движущийся заряд) и наведение э. д. с. В основу опреде
ления вектора В положено силовое проявление магнитного поля. Ин
дукцию В определяют как силу, действующую на проводник едннич
шй* длины с током в 1 А, расположенный перпендикулярно вектору
(см. § 14.1). Напряженность определяют как разность двух
физических величия: Н = (B/ji0) — J, где Т— магнитный момент единицы объем
вещества (см. § 14.24). Потоквектора В через поверхность 5 называют
магнитным потоком Ф = $BdS; [Ф] = В-с = Вб.
s
Явление электромагнитной индукции было открыто в 1831 г.
английским ученым Майклом Фарадеем. Суть явления в том, что пр '
изменении магнитного потока, пронизывающего какой-либо конту
(обмотку), независимо от того, чем вызвано изменение потока, в кон
туре (обмотке) наводится электродвижущая сила е.
Опыт показывает, что наведенная э. д. с. прямо пропорциональна
скорости изменения потокосцепления контура ф:
e=-i- (2Л)
Потокосцепление контура i|> равно алгебраической сумме потоков,
пронизывающих отдельные витки обмотки:
Ф = Ф,+Фа + Ф3 + ...+Ф„. р_2)
Если все витки обмотки w пронизываются потоком Ф, то
яр = 1гД>. (2.3)
Так как w~безразмерная величина, то ф измеряют в тех же
единицах, что и Ф. Важно
обратить внимание на еле- 15 (Ш>в)
дующее: '
1) ф —это полное или
результирующее
потокосцепление контура
(обмотки); оно создается не
только внешним по отношению
к данному контуру
потоком, но и собственным
потоком, пронизывающим
контур при протекании по
нему электрического тока;
2) знак минус
объясняется тем, что
положительное направление
отсчета для наведенной э. д. с.
и положительное
направление линий магнитной
индукции, пронизывающих
контур при возрастании по- гак- *-1
тока, принято связывать
правилом правого винта: если закручивать правый винт так, что его
острие двигается по направлению магнитных силовых линий при
возрастании потока, то положительное направление для наведенной
э. д. с. совпадает с направлением вращения головки этого винта.
Знак минус в формуле (2.1) поставлен с целью приведения в
соответствие действительного (полученного из опыта) направления э. д. с.
при оговоренных условиях с направлением отсчета, принятым для
нее за положительное (рис. 2.1, с).
Формулу (2.1) иллюстрируют рис. 2.1, б, в: на рис. 2.1, б
показана зависимость потока, пронизывающего одновитковый контур
Р"0- 2.1, а от времени: Ф=/(/); на рис. 2.1, в — зависимость э. д. с.
^—/(0. наводимой в контуре, от времени.
Свои эксперименты Фарадей проводил с замкнутыми проводни-
овыми контурами. Наведение э. д. с. он объяснял как следствие
пересечения проводами контура магнитных силовых лиинй.
;
-J
п
2 3
1/*
4_м
В 1873 г. английский ученый Джеймс Кларк Максвелл обобщил
и развил идеи Фарадея (см. ч. Ш учебника). Он показал, что
явление электромагнитной индукции наблюдается не только в замкнутых
проводниковых, но и в замкнутых непроводниковых контурах.
Э. д. е., наведенную в проводнике длиной dl, пересекающем
магнитные силовые лиини неизменного во времени магнитного поля,
часто определяют по формуле
Jk = B[dlv\, ( (2.4)
где Ае — э. д. е., наводимая на участке проводника длиной dl; у —
скорость перемещения проводника относительно внешнего магнитного
поля. _
В формуле (2.4) индукция В скалярно умножается на векторное
произведение dl н v. Если в результате расчета по формуле (2.4)
э. д с. окажется положительной, то это означает, что э. д. с. Ае
направлена согласно с положительным направлением элемента
проводника dl.
Формула (2.4) в одинаковой степени пригодна для определения
э, д. с. при движении проводника в неравномерном и в равномерном.
магнитном полях, если магнитное поле неизменно во времени.
При движении проводника длиной / в равномерном неизменном
во времени поле э. д. с. удобнее определять по формуле
e = Blvn, (2.6)
где В —индукция внешнего равномерного поля; I— длина активной
части j проводника
(пересекающей магнитные силовые
линии); о„ — составляющая
скорости движения
проводника, нормальная
(перпендикулярная) магнитному
полю.
Направление
наведенной э. д. с. лри
использовании формулы (2.5)
определяют по правилу правой
руки (известному из курса
физики): если расположить
правую руку таким
образом, что магнитная
индукция входит в ладонь, а отогнутый большой палец направить по
нормальной составляющей скорости проводника, то возникающая в
проводнике э. д. с. совпадает с направлением четырех остальных
вытянутых пальцев правой руки.
Из формулы (2.5) можно получить формулу <2.1). Пусть в неравномерном
магнитном поле, ьаправленном перпендикулярно рис. 2.2, а, перемещается
проводник длиной /, являю-Цнйся составной частью некоторого контура. Нормальная
поло составляющая-скорости движения проводника v„=dx/dt, где х—координата
Рис. 2.2
в направлении v„- В отрезке проводника длиной / наводится ». д. е.* которую
определим в соответствии с формулой <2.5): de=Bvndl. Э. Д. с. в проводнике
длиной I
e=tBo„dl=iB(dxd[)/dt.
-■•*% о
Произведение dxdl представляет собой элементарную площадку dS, пронизываем
иую магнитным потоком. Приращение потока в контуре йФ=\Вй~5. Таким
образом, числовое значение з. д. с. ^>авно ёФ/dl. Имея в виду, что положительное
направление для наведенной э д. с. я положительное направление линий В при
возрастании потока связаны правилом правого винта, получим при ш= 1
e=—d<i>ldt.
Возникновение э. д. с. в проводнике, движущемся в магнитном поле, поясним,
используя понятие о силе Лоренца. На электрический заряд q, движущийся
со скоростью t в магнитном поле индукции S, действует сила q[vB^\*. Если
проводник при своем перемещении движется так, что имеет составляющую
скорости, перпендикулирную силовым ливням магвитного поля, то на заряды,
входящие в состав атомов и молекул этого проводника, действуют силы, направленные
вдоль этого проводника. На отрицательные заряды силы действуют в одну сторону,
на положительные—в противоположную. Вследствие большой способности к пере-
venieiiino свободных электронов в проводнике на одном конце его образуется
избыток, на другом—недостаток электронов (т. е. избыток положительных заря-
в).
Явление разделения зарядов в проводнике, движущемся в
магнитном поле, представляет собой возникновение в нем
индуктированной э. д. с.
Пример 17. Вывести формулу для определения э. д. с. в обмотке с числом
витков го, намотанной на прямоугольной рамке площадью S. Рамка вращается
с угловой скоростью © в однородном маГнятном поле с индукцией В=В&-°*
(рис 2.2, б).
Подсчитать числовое значение в. д. с. е при юг—п/2, £0^1 Т а=10 trt-
=4 см*; <о=31,4 с"1; и. = 100.
Решение. Погокосцепление обмотки
^=t£jO=mflScosa=№BeSe-a(cosij)f,
где а=юг—угол, образованный плоскостью рамкн и горизонтальной плоскостью;
Подсчитаем числовое значениее при at=я/2:
e=1.4-10-4-100e-°-6.31,4=0,761 В.
§ 2.2. Явление самоиндукции и а. д. с. самоиндукции.
Индуктивность. Явление наведения э. д. с. в каком-либо контуре при
изменении тока, протекающего по этому контуру, называют само-
"мдукцией.
Здесь еила^ Лоренца определена при отсутствия электрического подя
иапряженностъю £. В электромагнитном поле с напряженностью электрического
ш'£ в магнитного поля индукции В сила Лоренца равна q {Е+ЦиЬц.
Наведенную (индуктированную) э. д. с. называют 5. д. с.
самоиндукции и обозначают eL. Для ее определения необходимо
продифференцировать потокосцепление контура ф, вызванное собственным
током i.
Из опыта известно, что для контуров (катушек) с
неферромагнитным сердечником или для катушек с сердечником из магнито-
диэлектриков, у которых р. почти постоянна и не зависит от
напряженности магнитного поля, потокосцепление $ пропорционально
току i:
y=Ll (2.6)
Коэффициент пропорциональности В между 4$ и i называют
индуктивностью. Индуктивность как элемент схемы замещения
реальной цепи дает возможность учитывать при расчете явление
самоиндукции и явление накопления энергии в магнитном поле катушки.
Индуктивность L зависит от геометрических размеров контура
(катушки) н от числа витков w, но ие зависит от величины тока,
протекающего по катушке, если сердечник катушки
неферромагнитный или ферромагнитный, но его магнитная проницаемость постоянна.
Индуктивность измеряется в В - с/А = Ом • с = генри (Г). Таким образом,
Следовательно, э. д. с. самоиндукции в катушке пропорциональна
скорости изменения тока в этой катушке. Она равна нулю, если ток
не изменяется.
Положительное направление э. д. с. совпадает и с положительным
направлением тока.
Знак минус в формуле (2.7) свидетельствует о том, что
мгновенное значение э. д. с. отрицательно прн j7>0.
Для катушек с ферромагнитным сердечником потокосцепление
является нелинейной функцией тока tj>(i) н э. д. с. самоиндукции
со правилам дифференцирования сложной функции
р,__$Ё_. * /* ют
ei~ at dt~ L'di- №
Производную dty/di называют дифференциальной индуктивностью
н обозначают £л; Ln является функцией тока i.
Значение е± определяется произведением dl/dt-dty/di, где -^ и -ф
соответствуют взятому моменту времени t.
Пример 18. Определить индуктивность катушки, равномерно
намотанной на сердечник прямоугольного сечения (рис. 2.3), внутренний
радиус которого 1?г = 4 см, наружный R2 = 6 см, высота h = 2 см; число
витков ву=1000; ц = 80 (сердечник из магнитодиэлектрика).
Решение. Напряженность поля в сердечникеЛэпределим по
закону полного тока:
Поток через полоску h dR, заштрихованную на рис. 2.3,
Полный поток
Потокосцепление ijj = hjO.
щц/mfi f <U? _ ЦоЦ/mft Йв
(2.9)
Следовательно,
, 1000* -1,256 -10-« -80-2-10-s
In-J =0,131 Г.
Пример 19. По катушке примера 18 течет ток i = Im sin tor.
Определить э. д. с. самоиндукции в катушке при /ст =0,1 А и <а = 103 с-1.
Решение.
eL=—L -jt = — wL/m cos toft
eL= —103-0,131-0,1 cosftrf=—13,1 cosftrf B.
' Пример 20. Определить индуктивность двухпроводной линии
передачи длиной i ~ 10 км при расстоянии между проводами d = 2 м.
Диаметр проводов 12 мм.
Решение. Двухпроводная линия (рис. 2.4) представляет собой
как бы одни большой виток с током i = /. Напряженность поля
в пространстве между проводами в произвольной точке на линии,
соединяющей оси проводов, создается обоими проводами и равна
сумме напряженностей, каждая из которых находится по закону
полного тока (см. § 14.7):
й = 27и" + 2л(([— х)'
где d — r^x^r. Поток через элементаркую площадку dS = ldx
Полный поток *
•-■*г(7?+Т
, ЦоД I
Если rfj>r, то
Ф^*^1п
(2.10)
* § 2.3. Явление самоиндукции и э. д. с. взаимоиндукции.
Взаимная нндуктнвностьЛЯвление наведения э. д. с. в каком-либо контуре
при изменении тока в другом
кончим? канщр Второй контур Туре называют взаимоиндукцией.
v^*35^ /S^^Si Наведенную (индуктированную)
ч( _~_Лл\ fff \\\ э. д. с. называют э. д. с.
взаимоиндукции и обозначают ем. Пусть,
например, есть два контура,
удаленных на некоторое расстояние
друг от друга (рис. 2.5). По
первому контуру протекает ток i^, по
второму —ток is.
Поток Ф,, создаваемый током
ilt частично замыкается, минуя
второй контур (Фи), частично
проходит через него (Фи) **:
Рис. 2.5 Ф1=Фц+фи- (2.11)
В свою очередь поток Ф2, создаваемый током ia, частично замы-'
кается, минуя первый контур (Фгг), частично проходит через него (Фы):
Ф«=Фи+<1^. (2-12)
Полное потокосцепление первого контура (число витков его wt)
^п0ЛИ = о'1(Ф1±Фг1) = *1±*2г- (2.13)
Полное потокосцепление второго контура (число витков его к?2)
Ъ поли - Щ (Ф2± Фг2) = * ± Фи- (2.14)
* Потокосцеплениен в проводах при решении задачи пренебрегаем. Считаем
длину I достаточно большой по сравнению с d, что дает основание не учитывать
поток поперечных сторон петли.
** Чтобы рис. 2.5 был более понятным, на нем изображено только но одной
силовой линии каждого из потоков.
Если поток взаимоиндукции направлен согласно с потоком
самоиндукции, создаваемым током данного контура, в- выражениях (2.13)
и (2.14) ставят знак плюс; при несогласном (встречном) направле-
нин — знак минус.
Из опыта известно, что если сердечники катушек выполнены
из неферромагнитных материалов или из ферромагнитных, но
имеющих постоянную [д., то ф^ пропорционально is, а ^ пропорционально it.
Коэффициенты пропорциональности обозначают буквой М с
соответствующими индексами. Так,
%1 = Л№ (2.15)
Vm-M.a. (2-16)
Коэффициенты Мг1 и Мха численно равны друг другу
(доказательство см. в § 2.6):
М21 = МЮ = М. (2.17)
Коэффициент М называют взаимной индуктивностью контуров
(катушек). Он имеет ту же размерность, что и индуктивность L.
Полная э. д. с„ индуктируемая в первом контуре,
<2.18)
во втором контуре
%»=-i.f+«f=<iI+ii,. (2.Ш)
Э. д. с. взаимоиндукции
Р Ьн=+М^; (2.20)
<4я = :рМ§*-. (2.21)
В выражениях (2.20) и (2.21) знак минус соответствует согласному
направлению потоков самоиндукции и взаимоиндукции, а знак плюс—■
встречному. При таком обозначении взаимная индуктивность М всегда
положительна.
Как элемент схемы' замещения реальной цепи М позволяет при
расчете учесть явление взаимоиндукции н явление накопления энергии
в магнитном поле магнитносвязанных катушек.
В литературе встречается и другой способ записи э. д. с. взаимоиндукции;
«к*—мж: <2-20')
■*»=-"§-■ <2Я'>
Считают, что коэффициент М может быть либо положительным (при согласном
"■Давлении потоков самоиндукции и взаимоиндукции}, либо отрицательным
1при встречном направлении потоков).
Взаимную индуктивность М определяют как отношение т])я/1а или
sp^/i'i. Ни от ilto, ни от *"а (и соответственно от^и у порознь она
не зависит, если сердечники катушек неферромагнитны или сердечники
выполнены из ферромагнитного материала с постоянной ji. Взаимная
индуктивность М зависит только от взаимного расположения
катушек, числа их витков, геометрических размеров катушек и от
постоянной для данного сердечника ji.
При любой форме и любом расположении магнитносвязанных
катушек взаимную индуктивность М между ними без затруднений
можно определить опытным путем на переменном токе (см. § 3.38).
Расчет же М при сложном распределении магнитного поля в силу
трудностей математического характера производят обычно для
катушек простейших геометрических форм.
Если магнитносвязанные катушки имеют ферромагнитные сердечники
с непостоянной ji, например обмотки намотаны на одном сердечнике,
|х которого является функцией результирующей напряженности
магнитного поля, то М — непостоянная величина.
Пример 21. На сердечник примера 18 кроме первой обмотки
с числом витков ш,= 1000 намотана вторая с w2 = 500. Определить
взаимную индуктивность между обмотками.
Решение. Если принять, что весь поток, созданный первой
обмоткой, Ф= ^ *ш?д ~—— (см. пример 18) пронизывает и вторую
обмотку (потоком рассеяния пренебрегаем), то фи^а^Ф и
М =^ = MWiwJilnRnfRt, ,2 22)
Подставляем числовые значения:
. , 1,256.10-е - 80 -1000- 500.2 - Ю-*-0.41 „ „ссе ~
М = —: к- :— =0,0655 Г.
§ 2.4. Энергия магнитного поля уединенной катушки.
Подключим к источнику э. д. с. Е индуктивную катушку с сопротивлением
R н индуктивностью L. Пусть в момент времени /=0 в ней i = 0 н
ft = 0-
По второму закону Кирхгофа,
E = uR+uL = iR+^. (2.23)
Умножив обе части равенства (2.23) на idt, получим
Ei di = PR dt-J-i dip. (2.24)
Левая часть (2.24) представляет собой энергию, отдаваемую
источником э. д. с. за время dt, слагаемое i2Rdt— энергию, выделяющуюся
в виде теплоты за время di в сопротивлении R, слагаемое i&p —
энергию, идущую на создание магнитного поля уединенной неподвижной
недеформирующейся катушки; обозначим ее dWM:
dWK = idq>. (2.25)
Полная энергия, запасенная в магнитном поле катушки при
изменении ф от 0 до $т,
О
Для катушек с неферромагнитным сердечником $=£(' н d$=Ldi.
Поэтому
WM^L
J'*-4
где / — некоторое установившееся значение тока в цепи.
Пример 22. По уединенному с постоянной ц цилиндрическому проводу
радиусом ft. длиной I протекает ток / (ряс. 2.6). Вывести
формулу для определения внутренней индуктивности
провода, обусловлевной потокосцепленвем в теле самого про-
Решеиие. В соответствии с формулой (2.26) t=
= 21РМ//3, где под W„ понимают магнитную энергию,
запасенную в теле провода. В цилиндрическом пояске
объемом dV=2sirtdr (заштрихован на рис. 2.6) заласе.
на энергия <IlPH=-g-dV. По закону г
пряженность поля И равна току - - -
му окружностью радиусом г и деленному на длину
окружности 2ят: //= 1г/(2пР?). Индукция В=цаН. Магнитная энергия
• пг2, охваченно-
-J^H&J"*-
ув1Ч
:16л *
Внутренняя индуктивность провода
£.=21Ри//а=ц1у8я.
§ 2.5. Плотность энергии магнитного поля. Положим, чтонакольце-
вой сердечник, у которого отношение внутреннего радиуса к внешнему
близко к единице (при этом можно с известным приближением
считать, что напряженность в теле сердечника во всех точках одна и
та же), равномерно намотано w витков; I—длина средней линии
сердечника. На основании закона полного тока Hl = iw или i = Hi/w.
В свою очередь, d$> = wSdB и
= j !<««=¥-{ИЛВ-ГГ ИИ
Разделив обе части равенства на объем сердечника V, получим
Плотность энергии магнитного поля:
= WjV = \BdB.
(2.27)
Если ц = const, то B = \i0p,H и dB = \i.0\idH. Следовательно,
в каждой единице объема, занятого полем, запасена энергия
магнитного поля плотностью
н
wu = №\ HdH = \L<,pH2l2=HBj2. (2.28)
о
Для ферромагнитного сердечника ]хфconst Поэтому при
подсчете энергии единицы объема следует использовать формулу не (2.28),
а (2.27).
§ 2.6. Магнитная энергия магянтносвяэанных контуров. Пусть имеются два
неподвижных ыагннтносвязавных контура, ие изменяющих свои размеры и
находящихся в пеферромагннтнои среде. Индуктивность первого контура 1^, второго £а,
взаимная индуктивность между контурами М. Подсчитаем магнитную энергию
двух контуров для двух режимов, отличающихся только последовательность»
установления токов i\ и (а в контурах.
В первом режиме последовательность установления токов выберем такую:
сначала подключим первый контур к источнику 9. д. с. при разомкнутом втором
контуре, затем подключим второй контур к источнику э. д. с. н будем
поддерживать ток первого контура постоянным.
Во втором режиме последовательность установления, токов такая: сначала
подключим к источнику э. д. с. второй контур при разомкнутом первом, а затем
подключим первый, поддерживая постоянным ток второго контура.
Подсчитаем магнитную энергию контуров в первом режиме.
При росте тока it в первом контуре от О до »ж и разомкнутом втором контуре
запасенная первым контуром магнитная энергия
U
При росте тока (а от 0 до ia и при i,=const энергия запасается не только
вторым, по~'и первым понтуром. Энергия, запасаемая вторым контуром, ^i^dl^.
Но ita=f.at2+'4is'i (положим, что имеет место согласное включение). Так как
«,=const, то йф2=£аЙ1а и
it i.
Рост тока is вызывает изменение потокосцеллевня первого контура t])j. Оно
■становится 'равным Tpi^Liii-t-M^fg. Поэтому энергия, обусловленная потоком
взаимоиндукции,
( i,Afjtidia=Malf,ia.
Суммарная магнитная энергия двух магннтносвязанньн контуров при
установлении токов в них по первому режиму
Рассуждая аналогично, при установлении токов.по второму режиму получим
B^-^ + ^f1-+ «„!.■.,
Так как режимы отличаются только последовательность» установления токов,
магнитная энергия в этих режимах одинакова- Отсюда следует, во-первых, что
Мц.= Ма=М, (2.29)
. wL_.auл
(2.30)
Знак плюс перед слагаемым Л1(Уа соответствует согласному включению
контуров, минус—встречному.
Запишем общее выражение для магнитной энергии системы магнитносвяаан-
ных контуров. С этой целью уравнение (2.30) перепишем следующим образом:
_иигь+£0..*_к-..М12
4 2'*-
Аналогичное выражение будет иметь место, если магнитно связаны ие два,
Ъ и контуров:
где %—полное яотокосцепление А-контура.
Пример ИЗ. По обмотке ш, примера 21 течет ток 0.5А я ко обмотке ер8—ток
0,4 А. Определить магнитную энергию при согласном и встречном направлениях
потоков обмотис.
Решение. По формуле (2.9), индуктивность второй обмотки £а=0,0327 Г.,
В соответствии с (2-30) при согласном направлении потоков
г„^+^+ММа_?=НЬ^+»^й1!+О.0655.О^.С,4=0.О32Д,:
при встречном направлении потоков
1Г„=^£- + ^- —МУа=<МЮ585 №.
§ 2.7. Принцип взаимности взаимной индукции. Проделаем два
опыта. В первом из них изменяющийся во времени ток (г(г)
пропустим по первой катушке (контуру) и измерим (подсчитаем) э. д. с.
взаимоиндукции-, возникающую во второй катушке (контуре), мапштно-
свнзанной с первой:
е2м = — M^f-.
Во втором опыте тот же ток (той же амплитуды и изменяющийся
по тому же закону во времени, что и в первом опыте), назовем
его iE, пропустим по второй катушке и измерим (подсчитаем) э. д. с.
взаимоиндукции, возникающую в первой катушке:
еш—М%
По условию опыта, ii(r) = ta(0, поэтому еци—^гм, т. е. э. д. с.
взаимоиндукции в описанных опытах одинаковы. Это положение
называют принципом взаимности взаимной индукции.
Так.как Ml2 = AIal=M, то при определении т следует выбирать
наиболее простой и удобный путь из двух возможных.
Пусть, например, через равномерно нанесенную на сердечник обмотку
проводит произвольно расположенный внутри сердечника провод (рис. 2.7). Этот
провод является частью одновиткового контура, полностью не показанного на
рисунке. Требуется найти вналитическое
выражение для М между обмоткой сердечника и одновит-
ковым контуром. Это можно сделать двумя пу-
Первый путь: мысленно пропустим по
первому понтуру (обмотке Wi сердечника) ток ("i,
найдем потокосцепление второго (одновиткового) пон-
тура ■$!£ с потоком первогоиопределимЛ^т^Д,.
Второй путь: мысленно пропустим по второму
(одновитковому) контуру (обмотке ej2=1) ток ia,
найдем потокосцепление первого контура фд с
потоком второго и определим" M=if2J/(a.
В расчетном отношении эти пути не
эквивалентны. Первый путь много проще второго.
Объясняется это тем, что поток, создаваемый
первым контуром, весь замыкается внутри сердечника
я полностью сцепляется с одновитковым контуром. Следовательно,
потокосцепление -ф12 можно легко найти. Определить же поток, создаваемый" одновитковым
контуром и сцепляющийся со вторым контуром,
сердечника произвольно, затруднительно.
Поток сердечника
Рис. 2.7
провод расположен внутри
г^РФщк С dR _ i^^iw^i
''А
1" J
Потокосцепление ^,=[(1^=1 ■ <D1=<IV
Взаимная индуктивность между обмоткой н^ и одновитковым контуром
Пример 24. Через сердечник примера 18 пропущен одиночный
провод. Найти М между одиночным проводом и обмоткой ш.
Решение. Tlq формуле (2.31) [ср. с (2.22)], при wB=l
,,1,256-10^.80.1000. 2-10^-0.41 _n|„, ^
Пример 25. По одиночному проводу примера 24 проходит тон
= 100(1— е-**). Определить э. д. с, наводямую в обмотке Wj.
Решение.
л**..
-0,131 10-я-100-2йг* = — 0,0262е-а В.
§ 2.8. Коэффициент связи. Под коэффициентом связи ft "двух
магнитносвязанных контуров с индуктивностями Lx и L3 и взаимной
индуктивностью М понимают отношение М* к '\/'LiL3:
(2.32)
• Заметим, что М может быть больше Lt (или jy, но не может быть больше
V~£U:
Докажем, что k не может быть больше единицы. Дли этого
составим выражение для ft2, и если выяснится, что ^2 = о~!^'»
то и ft^l. Воспользовавшись обозначениями § 2.3, запишем
ММ _ h ' it ФА ^ .
it ' Ч
Коэффициент связи ft2 = 1 только в случае, если весь поток,
создаваемый первым контуром, сцепляется со вторым.
§ 2.9. Закон электромагнитной инерции. Правило Ленца. В 1883 г.
русский академик Э. X. Ленц установил закон электромагнитной
инерции, получивший название закона или правила Ленца.
Формулируется он следующим образом;
при всяком изменении магнитного потока, I I *■
сцепляющегося с каким-либо проводящим I Iе
контуром, в последнем возникают силы " "
электрического и механического характера,
стремящиеся сохранить постоянство
магнитного потока.
«Сила электрического характера»
означает, что при всяком изменении магнитно- рис. 2.8
го потока, сцепленного с замкнутым
проводящим контуром, в этом контуре возникает индуктированная э. д. с,
которая стремится вызвать в контуре ток, препятствующий
изменению потокосцепления контура.
Механическая сила, воздействующая на контур, препятствует
изменению линейных размеров контура или повороту контура.
Пример 26. Перпендикулярно равномерному и неизменному во
времени магнитному полю (рис. 2.8) индукции В = 1,5 Т расположен
прямой провод длиной / = 0,5 м. Гибкими проводниками он соединен
с нагрузкой RB. Полное сопротивление замкнутого контура R = 20 Ом.
Рассмотреть,, чтб будет происходить при движении провода.
Решение. Если провод неподвижен, то в нем не изведется
э. д. с. и на него не действует мехзническая сила.
Если же провод начнет двигаться, например, влево со скоростью
Он =10 м/с, так что контур будет оставаться замкнутым, то в нем
наведется э. д. с. [см. (2.5)]
e=Blv„= 1,5-0,5-10 = 7,5 В (а)
и по проводу пойдет ток
i=£/R = 0,375 А. (б)
При движении провода влево поток в контуре от внешнего- маг-
питного поля возрастает. Индуктированный ток (направлен по
часовой стрелке) вызывает магнитное поле, направленное встречно
внешнему полю, и препятствует росту потока контура.
На провод- действует - механическая сила. Эта сила направлена
противоположно скорости va и стремится сохранить постоянство
магнитного потока.
Формула (б) приближенна. Если учесть, что потокоецшление контура создано
не только внешним магнитным полем индукции В, по н током i, протекающим
ко контуру, а также то, что с увеличением длины боковых сторон контура
изменяется индуктивность L контура, то, по второму закону Кирхгофа,
«4.+l§- + i^ + «-1 (в)
За положительное направление тока в формуле (в) 'принято направление
против часовой стрелки, противоположное направлению для формулы (б).
Формула (б) следует из (в), если второе и третье слагаемые формулы (в) по модулю
много меньше первого к четвертого слагаемых.
§ 2.10. Емкость как параметр электрической цепи. Если между
двумя проводящими телами 1 к 2, находящимися в диэлектрике
с абсолютной электрической проницаемостью «; = е0е, где е0 = 8,86>;
Х10'1а Ф/м — электрическая постоянная вакуума; е — электрическая
проницаемость диэлектрика, создана разность потенциалов % — q>s,
то в пространстве, окружающем эти тела, существует электрическое
поле (см. гл. 19). Поле в каждой точке характеризуется векторной
величиной — напряженностью электрического поля Е и скалярной
величиной — потенциалом <р (см. § 19.3).
Размерности: [£] = В/м, [ф] — В.
Разность потенциалов между телами равна линейному интегралу
от напряженности Е между ними:
1
где dl—элемент пути от тела 1 к телу 2 по диэлектрику.
Вектор D = eEE называют электрическим смещением.
Согласно теореме Гаусса (см. § 19.13), поток вектора ZX через
любую замкнутую поверхность S равен сумме зарядов £ q,
окруженных этой поверхностью:
§DTS = %q,
где dS~ элемент поверхности.
На рис. 2.9, а изображен цилиндрический конденсатор длиной /.
На внутреннем электроде радиусом г, находится заряд Q, на
наружном электроде радиусом rs — заряд — q. Пространство -иеадду
электродами заполнено диэлектриком, характеризующимся величиной «.
Напряженность поля Е найдем по теореме Гаусса:
E^q/pn^rl).
Напряжение между обкладками конденсатора (рис. 2:9, а\
56 ■
Под емкостью С между двумя телами понимают отношение
абсолютной величины заряда q на одном из тел к разности потенциалов V
между телами, обусловленной зарядом на этих телах:
C^q/U.
Емкость цилиндрического конденсатора С = (2пе„0/1п —.
Емкость плоского конденсатора рис. 2.9, б
C=e0eS/d.
Емкость — это параметр электрической цепи, характеризующий
в интегральном смысле электрическое поле участка цепи (конденсатора).
Она зависит от геометрических размеров и формы электродов, а также
Рис. 2.9
от электрических свойств среды между электродами конденсатора.
От величины напряжения U между электродами и величины заряда q
емкость не зависит (исключение составляют конденсаторы с сегнетоз-
лёктрнком, когдв е зависит от £).
Емкость С измеряется в фарадах или в более мелких единицах —*
микро-, нано- и пикофарадах;
1 мкФ=10« Ф, 1 нФ=10-8 Ф, 1 пФ=10-" Ф.
В электрическом поле конденсатора запасается электрическая
энергия
We = Cl/*/2 = ^/(2Q.
Ток i, протекающий через конденсатор при его зарядке,
определяется скоростью изменения заряда:
. dg Cdu
Если заряд q во времени не изменяется, то ток через
конденсатор не протекает.
Положительные направления отсчета для тона i и напряжения
на конденсаторе совпадают (рис. 2.9, в).
57
Вопросы для самопроверки
1. Какие Вам известны проявления магнитного поля? 2. Запишите и прокис
квитируйте формулу для наведенной э. д. с. 3. Что понимают под явления ■
само- и взаимоиндукции? 4. Дайте определение L н М. Как определить L и
расчетным и опытным путями? 5. В опыте было получено 1^ 1^=0,1 Г, М
= 0,11 Г. Можно Ли верить этим данным? 6. Какую роль выполняют L и М ка
элементы схем замещения реальных электрических цепей? 7. Сформулируй
принцип взаимности взаимной индукции. 8. Дайте определение понятию «емкость».
Какие функция она выполняет как элемент схемы замещения электрической цепи
9. Решите задачи 4-7; 4.20.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
§ 3.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его
величины. Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся
во времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):
l = /„sin(^ + *) = /Msin(«tf+q}. (3.1)
Максимальное значение функции называют амплитудой. Ампли-1
туду тока обозначают 1т; период Г —это время, за которое
совершается одно полное колебание.
Частоте равна числу колебаний в 1 с;
f-1/T. (3.2)
Частоту f измеряют в герцах (Гц) или с-1, угловую частоту
<а = 2я/ = 2л/Г (3.3)
^-в рад/с или с-1.
Аргумент синуса, т. е. (ш"-{-1]>), называют фазой. Фаза характе-'
ризует состояние колебания (чис-.
ловое. значение) в данный момент
времени г.
Любая синусоидально
изменяющаяся функция определяется тремя ■
величинами: амплитудой, угловой
частотой и начальной фазой.
В СССР и в Западной Европе
Рис 3 | наибольшее распространение полу-.
чили установки синусоидального ■
тока частотой 50 Гц, принятой
в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота
60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных
токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до '
миллиардов герц в радиотехнике.
Синусоидальные токи и э. д. с. сравнительно низких частот (до
нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов ;
. изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи
я э Д- с высоких частот получают с помощью ламповых или полу-
яповодниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе
радиотехники и менее подробно —в курсе ТОЭ). Принцип получения
синусоидальной э. д. с. путем вращения витка с постоянной угловой
скоростью в равномерном магнитном поле рассматривается в примере 33
(при о = 0). Источник синусоидальной э. д. с. и источник
синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и
источники постоянной э. д. с. и тока, но над £ и 1Ь ставят точки.
§ 3.2. Среднее н действующее значения синусоидально
изменяющейся величины. Под средним значением синусоидально изменяющейся
величины понимают ее среднее значение за полпериода. Так, среднее
значение тока
т л
hP = Tj2 J tmsmatdi = ^lm, (3.4)
о
т. е. среднее значение синусоидального тока составляет 2/л== 0,638
от амплитудного. Аналогично, Ecp = 2Emfn-, Ucp — 2Vm/n.
Широко применяют понятие действующего значения синусоидально
изменяющейся величины (его называют также эффективным или
среднеквадратичным). Действующее значение тока
Следовательно, действующее значение синусоидального тока равно
0,707 от амплитуды. Аналогично,
£^£т/]/2 и £/ = £/я/]/2.
Можно сопоставить тепловое действие синусоидального тока с
тепловым действием постоянного тока 1„0С1, текущего то же время по
тому же сопротивлению.
Количество теплоты, выделенное за один период синусоидальным
током,
т
§Ri*di = RIfn~.
Выделенная за то же время постоянным током теплота равна
*?/£0Ст7Л Приравняем их:
RHni-=*Rn*nT или /пост = / = ^.
2 ПОСТ у2
Таким образом, действующее значение синусоидального тока /
численно равно значению такого постоянного тока, который за время,
равное периоду синусоидального тока, выделяет такое же количество
^Плоты, что и синусоидальный ток.
+л
Большинство измерительных приборов показывает действую '.
значение измеряемой величины*.
§ 3.3. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы. Ко
циент амплитуды ka — это отношение амплитуды периодически из
няющейси функции к ее действующему зна *
нию. Так, для синусоидального тока
\\~7>*У*1 km=Ui=V*. <3.:-
j/\tx i Под коэффициентом формы кф понимают
' J -^—7, ношение действующего значения периодичес .
c"sa изменяющейся функции к ее среднему за пол?
Рис. 3.2 периода значению. Для синусоидального тока ,
к& = -1~= У^" =--А==-1.Н**. (3.
* /ср 2/т/п 2V2
Иногда пользуются понятием коэффициента формы несинусоидал - "
вой функции, определенного следующим образом:
1де ^по модулю ~сРеднее п& модулю значение тока, .:
§ 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векто^
рами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Комплекс'
действующего значения. На рис. 3.2 дана комплексная плоскость,
на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число-
имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс
комплексной плоскости откладывают действительную часть комплекс-;
ного числа, а по оси ординат—мнимую часть. На оси действительных
значений ставим + 1, а на оси мнимых значеикй+ j {} = У — l).
Из курса математики известна формула Эйлера
е'"а = cos а + / sin а. (3.8)
Комплексное чнсло е'"а изображают на комплексной _ плоскостн.
вектором, численно равным единице и составляющим угол а с осью
вещественных значений (осью + 1). Угол а отсчитываем против часо- ■
вой стрелки от оси + 1. Модуль функции
\e>a\=Y~cos?a + sin2a= 1.
* Действующее энатенне измеряют приборами электромагнитной, электродина-.,
мической и тепловой систем- Принцип действия измерительных приборов различ* '
иык систем изучают в курсе электрических измерений. __
** Для несинусоидальных периодических токов fta^J^2 и АфтМ.П. Это-;
отклонение косвенно свидетельствует о том, насколько несинусоидальный той
отличается от синусоидального.
Проекция функции е/0 на ось -М равна cos a, a на ось +/
равна sin а. Если вместо функции ет* взять функцию /»е'"в, то
/те'а = lm cos а + //„, sin о.
На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция
е/° изобразится под углом а к оси + 1, но величина вектора будет
в /„ раз больше.
Угол а в формуле (3.8) может быть любым. Положим, что а =
— юг + ф, т. е. угол ос изменяется прямо пропорционально времени.
Тогда
/mfj(oi4*) _ im cos (W;+эд + jIm sin ^+^ (3-9)
Слагаемое /m cos (<of + ф) представляет собой действительную часть
(Re) выражения /теУ*1**:
/„, cos («of+i]>) = Re /me'4<w+*», (3.10a)
а функция /msin(ro*-f-1J') есть коэффициент при мнимой части (Im)
i = /„sin («of+!}>) = Im /„,«'"**"+*>. (3.106)
Таким образом, синусоидально изменяющийся ток ( [срГ(3.1) и
(3.106)] можно представить как 1т/те'(а(+*>,
или, что то же самое, как проекцию вращаю- ^ | **№*?)
щегося вектора 1т^ш+^ на ось + j (рис. 3.3). ' и
Исторически сложилось так, что в
радиотехнической литературе за основу обычно принимают ие
синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой
(3.10а).
С целью единообразия принято на комплекс- рис_ 33
ной плоскости изображать векторы
синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ю( = 0.
При этом вектор /n,e7t0i/+lW равен
tetm*» = /^е/Ф = /т, (3.11)
Где 1т — комплексная величина, модуль которой равен 1т, а угол,
под которым вектор /т проведен к оси + 1 на комплексной плоскости,
равен начальной фазе ф.
Величину 1т называют комплексной амплитудой тока i.
Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для
момента времени otf = 0.
Рассмотрим два числовых примера на переход от мгновенного
значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды
к мгновенному значению.
Пример 27. Ток i = 8 sin ((0^ + 20°) А. Записать выражение для
комплексной амплитуды этого тока.
Решение. В данном случае /ет = 8 А, *=20°. Следовательно,
/«=8е№ д.
Пример 28. Комплексная амплитуда тока /„, = 25 е-'36' А. Запи-
•^ь выражение для мгновенного значения этого -юка.
Решение. Для перехода от комплексной амплитуды к
мгновенному значению надо умножить 1т на е*8* и взять коэффициент при
мнимой части от полученного произведения [см. формулу (3.106)]:
i = Im 25е- /м V" = Im 25е><<*< - яп = 25 sin (at - 30°).
Под комплексом действующего значения тока, или под комплексом
тока (комплексным током), / понимают частное от деления
комплексной амплитуды на 1/2:
/=w=we/"=№
(3.12)
Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения
тока для примера 27,
Решение,
t = 8ei*r/V2 = 5,67e!M' A.
§ 3.5. Сложение и вычитание синусоидальных функций времени
с помощью комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим,
. что необходимо сложить два тока ((, и Q одинако-
J ' f вой частоты. Сумма их дает некоторый ток с той
же частотой:
d = ^imsin (of+90; fB = /Emsin (ftrf-f-ф0;
» = /msin(rof+9).
Требуется найти амплитуду 1т и начальную
фазу ф токя i. С этой целью ток (, изобразим на
комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором 1лт =
=/Ime/*1, а ток /3~ вектором /2-л = *вте/ч*.
Геометрическая сумма векторов /1(Л и /Ет даст
комплексную амплитуду суммарного тока мт = 1^е№.
Амплитуда тока 1т определяется длиной суммарного
Рис 3.4 вектора, а начальная фаза ф—углом,
образованным этим вектором и осью + Ь
Для определения разности двух токов (э. д. с, напряжений)
следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание
соответствующих вектороа
Обратим внимание на то, что если бы векторы 11т, 12т и 1т стали
вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью <о, то
взаимное расположение векторов по отношению друг к другу осталось бы
без изменений.
Векторной диаграммой называют совокупность векторов на
комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяющиеся
функции времени одной и той же частоты и построенных с
соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.
Пример векторной диаграммы дан на рис. 3.4.
6 3.6. Мгновенная мощность. Протекание синусоидальных токов
п0 участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии
рг источников. Скорость поступления энергии характеризуется
мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной.
люцаюстью, понимают произведение мгновенного значения
напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего
по этому участку:
P^ul, (3.13)
где р~ функция времени.
Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных
цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами
и напряжениями в простейших цепях, #,
векторные диаграммы для них и кри- /Jp^ fp { £
вые мгновенных значений различных я
величин. а} *'
Составными элементами цепей
синусоидального тока являются
активное сопротивление R, индуктивность
L и емкость С.
Термин «сопротивление» для цепей
синусоидального тока в отличие от
цепей постоянного тока недостаточно
полный, поскольку сопротивление
переменному току оказывают не только
те элементы цепи, в которы*
выделяется энергия в виде теплоты (их называют активными
сопротивлениями), но и те элементы цепи, в которых энергия в виде
теплоты ие выделяется, но периодически запасается в электрическом или
магнитном полях. Такие элементы цепи называют реактивными, а их
сопротивления переменному току — реактивными сопротивлениями.
Реактивными сопротивлениями обладают индуктивности и емкости
(подробнее см. § 3.8 и 3.9).
§ 3.7. Синусоидальный ток в активном сопротивлении. На
рис. 3.5, а изображено активное сопротивление R, по которому течет
ток i = Imsmmt. По закону Ома, напряжение
и = Щ =Шт sin <at,
Или
w = l/msin(of, (3.14)
где Um=Rlm.
Комплекс тока / и совпадающий с ним по фазе комплекс
напряжения О показаны на векторной диаграмме рис. 3.5, б.
На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока i,
напряжения и и мощности
р=VraIm sin at sin Ш=—!|-ш- (1 — cos 2да/).
Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую !/„,/»
и составляющую т%т cos2taf, изменяющуюся с частотой 2<о. >
требляемая от источника питания за время dt энергия равна р
§ 3.8. Индуктивность в цепи синусоидального тока. Практич
любая обмотка (катушка) обладает некоторой индуктивностью L '
активным сопротивлением R. На схеме катушку можно представи
в виде последовательно соединенных индуктивности L и активно
сопротивления R,
Рис. 3,6
Выделим из схемы одну индуктивность L (без активного conpt
тивления)-Рис. 3.6,0. Если через L течет ток i = /msintof, \j
в катушке наводится э, д, с. самоиндукции
eL — —& ^=— в>Ыт cos tot = aLIm sin (rof ~ 90°).
^Положительное направление отсчета для э. д. с. eL на рис 3 6 а
обозначено стрелкой, совпадающей с положительным направлением
отсчета тока i, r
Найдем разность потенциалов между точками а и 6.
При перемещении от точки 6 к точке а идем навстречу э. д. с.
eL, поэтому (р„ = (р6 — е£. Следовательно, иаЬ^<ра — tpb=~eL=L~*
Положительное направление напряжения иаЬ совпадает с
положительным направлением тока.
• Из формулы uL
индуктивность.
L^ следует, что (=Г \ uLdi, где Г=*\Ц-
В дальнейшем индексы и и 6 у напряжения на индуктивности
(падения напряжения на индуктивности) ставить ие будем:
uab = u=~eL. (3.15)
Следовательно,
и = taLIm sin (Ы + 90°) « Vm sin (at + 90°); (3.16)
Произведение aL обозначают KL и называют индуктивным
сопротивлением:
-Xt^wL; (3.I7)
размерность его [XJ=[h>][Z.]=c-1-Om-c = Om.
Таким образом, индуктивность оказывает переменному току
сопротивление, модуль которого Xl = g>L, прямо пропорциональное частоте.
Кроме того, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе
на 90° [см. (3.16)] —на рис. 3,6, б вектор напряжения V опережает
вектор тока / на 90°, Комплекс э, д, с, самоиндукции Еь находится
в противофазе с комплексом напряжения О.
Графики мгновенных значений i, и, р изображены на рис. 3,6, в.
Мгновенная мощность
р—«t=l/mcosmf/plsm6)f=-^-2-sin2o>/ (3.18)
проходит через нулевое значение, когда через куль проходит либо и,
либо i. За первую четверть периода, когда и к i положительны, р
также положительна. Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс
за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника
питания на создание энергии магнитного поля в индуктивности. Во
вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума
до вуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику питания,
при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть
периода у источника снова забирается энергия, за четвертую отдается
и т. д., т. е. энергия периодически то забирается индуктивностью от
источника, то отдается ему обратно.
Реальная индуктивна» катушка кроме индуктивности L обладает и активный
сопротивлением i^ (рве. 3.6, в). Поэтому падение напряжения на реальной
индуктивной катушке равно сумме напряжений на L и на R (рис. 3.6, д). Как видно
из этого рисунка, угол между напряжением О на катушке и током / равен S0—6,
причем tg6=R/(coL)= 1/QL, где QL—добротность реальной индуктивной катушки.
Чем больше QL. тем меньше угол 6.
§ 3.9. Конденсатор в цепи синусоидального тока. Если
приложенное к конденсатору напряжение не меняется во времени, то заряд
<7=Си на "одной его обкладке и заряд—9=—Си на другой (С—■
емкость конденсатора) неизменны и ток через конденсатор не
проходит (i = dq/dt~0). Если же напряжение на конденсаторе меняется во
времени, например по синусоидальному закову (рис. 3.7, о):
и = Vm sin at, (3.19)
Я Зак. 1658 65
то по синусоидальному закону будет меняться и заряд q конденса--
тора: q = Си = CUmsmat — и конденсатор будет периодически пер»-^
заряжаться. Периодическая перезаряди
ка конденсатора сопровождается про-,
теканием через него зарядного тока./'
<=<uCl/mcos at = 4>CUmsin («0F+90V--
(3.197.
Положительное направление тока"
через конденсатор на рис. 3.7, а
совпадает с положительным
направлением напряжения. Из сопоставления
(3.19) и (3.19') видно, что ток через
конденсатор опережает по фазе
напряжение на конденсаторе на 90°.
Поэтому на векторной диаграмме рис.
3.7, б вектор тока 1т опережает век--
тор напряжения йт на 90°. Амплиу
туда тока 1т равна амплитуде напря- .
жения Um, деленной на емкостное,
сопротивление:
Рис. 3.7 Хс = I fwC. (3.2в)'
Действительно,
Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте и *
измеряется в омах. Графики мгновенных значений ы, », р изображены"
на рис. 3.7, е. Мгновенная мощность _^~ . .
-sin2tof.
(3.22)'
За первую четверть периода конденсатор потребляет от источника
питания энергию, которая идет на создание электрического поля ■
в конденсаторе. Во вторую четверть периода напряжение на конден- ~
саторе уменьшается от максимума до нуля, н занасенная в электрй- "
ческом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность
отрицательна). За третью четверть периода знергия снова запасается, за
четвертую отдается и т. д.
Если проинтегрировать по времени обе части равенства
<=С§. (3.23)
■ы
(3.24)
Равенство (3.24) позволяет определить напряжение на
конденсаторе через ток по конденсатору.
Пяи изложении вопроса О прохождении синусоидального тока через конден-
сй№Р предполагалось, что диэлектрик, разделяющий пластины конденсатора,
является идеальным и в нем нет потерь энергии. "Однако при приложении
синусоидального напряжения к пластинам конденсатора, разделенным твердым или
жидким диэлектриком, в последнем всегда имеются некоторые потерн энергии,
обусловленные вязким трением при повороте днпольиых молекул, а также
несовершенством диэлектрика (наличием у него небольшой проводимости). Эти потери
относительно малы, и ими часто можно пренебречь. Если требуется учесть их
в расчете, то конденсатор заменяют схемой замещения
(рис. 3-7,'а). В этой схеме параллельно емкости С при- "У1
соединено активное сопротивление R, потери энергии , -; '
в котором имитируют потери энергии в реальном ди- J" >
электрике.
Ток / через конденсатор равен геометрической сумме
двух токов: тока /t через емкость, на 90° опережающего
напряжение О на конденсаторе (рис. 3.7, д). и
относительно малого по величине тока /2 через активное
сопротивление R, совпадающего по фазе с напряжением О.
Таким образом,-ток через нонденсатор с
неидеальным диэлектриком опережает напряжение на угол,
немного меньший 90". Угол 6, ноторый образует ток I
с током ft, принято называть углом потерь. Он зависит от сорта диэлектрика и
частоты и равняется в лучшем случае нескольким секундам, в
худшем—нескольким градусам. Величина tgfi дается в таблицах (см. ч 3), характеризующих
свойства различных твердых и жидких диэлектриков. Величину Qc=(tg6)-J
называют добротностью конденсатора.
§ 3.10. Умножение вектора на J я на —J, Пусть есть некоторый
вектор A— Afjva (рис. 3.8). Умножение его на / дает вектор, по
модулю равный А, но повернутый в сторову опережения (против
часовой стрелки) по отношению к исходному вектору А на 90°.
Умножение А на — / поворачивает вектор А на 90° в сторону
отставания (по часовой стрелке) также без изменения его модуля.
Чтобы убедиться в этом, представим векторы / н — / в
показательной форме: ,-
Тогда
-Л/ =
Из (3.27) следует, что вектор JA, по модулю равный А,
составляет с осью -Ь 1 комплексной плоскости угол ipa-f-90°, т. е.
повернут против часовой стрелки на 90° по отношению к вектору А,
Согласно (3.S8), умножение вектора А на —/ дает вектор, по
модулю равный А, но повераутый по отношению к нему па 90° по
часовой стрелке.
§ 3.11. Основы символического метода расчета пеней
синусоидального тока. Очень широкое распространение на практике w
l = l-d*r=d*r:
/=l-e-w = e-i"".
де/ф„е1»- = Ле'(ф„<-9»");
.Ле"«е-м-=/4е'<ф,,~91а
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
снмволическнп, или комплексный, метод расчета цепей синусоидал-
ного тока.
Сущность символического метода расчета состоит в том, что при.
синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных дл»£
мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнения '
[см., например, (3.29)], к алгебраическим уравнениям, составленным/
относительно комплексов тока и э. д. с. Этот переход основан на том,
что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установив-*-
шегося процесса, мгновенное значение тока i заменяют комплексно®'
амплитудой тока /т; мгновенное значенье напряжения на активном"*-.
сопротивлении R = Ri — комплексом Rlm, по фазе совпадающим с то-'
ком 1т; мгновенное-значение напряжения на индуктивности «£ = .
= L -jj — комплексом An/wL. опережающим ток на 90°; мгновенное
значение напряжения на емкости uc==-i idt — комплексом Antr^li
отстающим от тока на 90°; мгновенное значение э. д. с. е — комплексом
Ёт. Справедливость замены Ui = L -^ на lmj4>L следует из § 3.7 и 3.8,
В § 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на
индуктивности равна произведению амплитуды тока на Xt = e>L. Множитель /
свидетельствует о том, что вектор напряжения
на индуктивности опережает вектор тока на
90°.
Аналогично из § 3.9 1^^дуст, что амплитуда
напряжения на емкости равна амплитуде тока,
умноженной на Хс = 1/юС. Отставание
напряжения на емкости от протекающего по ней
Рис з.9 тока н3 90° объясняет наличие
множителя — /.
Например, для схемы рис. 3.9 уравнение для мгновенных
значений можно записать так:
«R+«£ + "C = et 1 .
или \
iR + L ft + И 'dt = е- ^ -' <3-29>
Запишем его в комплексной -форме:
imR+Ljal+!„{=+-) = £„.
Вынесем /„, за скобку:
/„(к+М-^Н-
* Следовательно, для схемы ряс. 3.9
; К
£6
\
(3.30)
(3.31)
>
Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока 1т
через комплексную амплитуду э. д. с. Ёт и сопротивления цепи R,
(V Метод называют символическим потому, что токи и напряжения
"заменяют их комплексными изображениями или символами. Так,
Я/ —это изображение или символ падения напряжения iR; /wL/m—
изображение или символ падения напряжения на индуктивности uL =
_; 15^ - — -^ 1т ■— изображение падения напряжения на конденсатора
fit*-*' шС
§ 3.12. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи
синусоидального тока. Множитель R + jaL — ~? в уравнении (3.30)
представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления и
обозначается через Z. Его называют комплексным сопротивлением;
Z = ze^ = R \- /toL - ^. (3.32)
Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме.
Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через г.
Точку над Z не .цавят, потому что принято -ставить ее только над
такими комплексными величинами, которые отображают
синусоидальные функции времен*.'
Уравнение (3.30) «ожио записать так: ImZ~Em. Разделим обе
его части на У"2 и перейдем от комплексных амплитуд /т и £т
к комплексам действующих значений / и Ё:
t = £jZ. (3.33)
Уравнение (3.33) представляет собой закон Ома для цепи
синусоидального тока.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть и
некоторую мнимую часть /X:
Z=R + jX, (3.34)
где R — активное сопротивление; X — реактивное сопротивление.
Для схемы рис. 3.9 реактивное сопротивление
§ 3.13. Комплексная проводимость. Под комплексной
проводимостью Y понимают величину, обратную комплексному сопротивлению Z:
Y=\lZ^g- !b = ye-'t (3.35)
Измеряют комплексную проводимость в Ом-"1 или сименсах (См).
Действительную часть ее обозначают через g, мнимую —через 6, Так
i _ l g_;x ц . х ,
B*+X* *
" fi*-f 30
■i у=У&+ьк
(3.36)
Если X положительно, то и 6 положительно, при X
отрицательном Ь также отрицательно.
При использовании комплексной проводимости закон Ома (3.33)
записывают так:
(3.33')
l = Ug-jf)b = la + lrf
где /0 — активная составляющая тока; 1Г— реактивная составляющая
тока; О— напряжение на участке цели, сопротивление которого равно Z.
§ 3.14. Треугольник сопротивлении и треугольник проводимостей.
Из (3.34) следует, что модуль комплексного сопротивления
z = VR*+X*. (3.37)
Следовательно, г можно представить как гипотенузу
прямоугольного треугольника (рис. 3.10)—треугольника сопротивлений, -один
катет которого равен R, другой X. При этом
tgq> = X//?. (3.38)
Аналогичным образом модуль комплексной проводимости в
соответствии с (3.36) у=У^ + Ь2. Следовательно, у есть гипотенуза
прямоугольного треугольника (рис. 3.11), катетами которого являются
активная g и реактивная 6 проводимости:
tgq>=fr/g. (3.39)
Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связи
между модулем полного сопротивления г и активным и реактивным
сопротивлениями цепи;
треугольник проводимостей—интерпретацию
связи между модулем полной
проводимости у и ее активной и
реактивной составляющими.
§ 3.15. -Применение
логарифмической линейки для перехода от
алгебраической формы записи
комплекса к показательной и для об-
...^. и..- «-ни. о.и ратного перехода. При расчете
цепей переменного тока приходится
иметь дело с комплексными числами: сопротивление участка цепи или
цепи в целом —это комплекс; проводимость —комплекс; ток,
напряжение, э. д. с.—комплексы. Для нахождения тока по закону Ома
нужно комплекс э. д. с. разделить на комплекс сопротивления.
Из курса математики известно, что комплексное число можно
представить в трех формах записи: алгебраической « + /6, показательной
«rt> и тригонометрической ccos<p+/csin<p.
Сложение двух и большего числа комплексов удобнее производить,
пользуясь алгебраической формой записи. При этом порознь
складываются их действительные и мнимые части:
{a1+ib1) + (^ + !b^ + (a3-jb^^(al+ai+a^-+i(b1 + b2~bs).
Деление и умножение комплексных чисел целесообразно
производить, пользуясь показательной формой записи. Пусть, например,
нужно разделить комплекс с1е'ч>г на комплекс с£е'чч В результате
деления будет получен комплекс
Модуль результирующего комплекса с3 равен частному с,/са,
-а аргумент <рз = ф, — <ра.
При умножении даух комплексов с,е'>' и сае'^ результирующий
комплекс
e^eto = с1е'*'сее/ч,« = CjCfi) «*+ч"«>.
При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость
в переходе от алгебраической формы записи комплекса к
показательной или в обратном переходе.
Удобнее это сделать с помощью логарифмической линейки.
Пусть задано комплексное число о-f-jb. Из предыдущего (см.
. § 3.11 и 3.12) ясно, что а н 6 есть катеты прямоугольного
треугольника, а его гипотенуза с=У с^-^б2. Частносот деления меньшего
катета на больший катет дает тангенс меньшего острого угла
прямоугольного треугольника, а деление меньшего катета на сииус
меньшего угла дает гипотенузу треугольника или модуль комплекса. Это
и положено в основу определения модуля и аргумента комплекса по
его алгебравческой форме a-{-fb с помощью логарифмической
линейки. Движок линейки поворачиваем обратной стороной так, чтобы
. на лицевой части линейки находилась сторона движка, на которой
написано «синус» и «тзнгенс».
Последовательность операций нахождения 'аргумента н модуля
такая:
1) значение меньшего катета откладываем по основной инжней
Шкале линейки и против него ставим риску визира;
2) значение большего катета откладываем также по основной шкале
и против него ставим конец движка; так производится деление
Меньшего катета на больший;
3) по шкале тангенсов против риски визира отсчитываем значение
Наименьшего угла прямоугольного треугольника;
4) не сдвигая визира, перемещаем движок так, чтобы против риски
Визира пришелся только что найденный угол на шкале «синус»; так
^щесталяется деление меньшего катета на синус меньшего угла;
5) модуль комплекса (гипотенуза „ прямоугольного треугольника)
отсчитывается против нонца шкалы движка по основной нижней шкале;
линейки.
Переход от показательной формы к алгебраической соверша
в обратной последовательности. Чтобы ие совершить ошибку при за-"
писи показательной формы комплекса, рекомендуется сначала
качественно изобразить заданный в
алгебраической форме комплекс-.-
на комплексной плоскости, чШ
позволит правильно выразить ■
угол между осью +1 и вектором .
через угол, найденный по
линейке. Углы, откладываемые
против часовой стрелки от оси
+1, считаются
положительными, почасовой
стрелке—отрицательными.
Пример 30- Перевести в по- *".
казательную форму следующие -'
комплексы: а) 3 + 2/; б) 2 + 3/"; >
в) 4 — 5/; г) —6— 2/;в) —0,2 +
+0,4/; е) 10-/0,8.
Решение, а) Ставим визнр
против цифры 2 на нижней шкале
линейки и конец движка против
цифры 3. По шкале тангенса
находим угол 33°40\
Передвигаем движок так, чтобы против риски визира на шкале синусов прн- -
шелся угол 33°40\ Отсчет по нижней шкале против конца шкалы
движка дает модуль 3,6. Вектор 3+2/ качественно изображен на
рис. 3.12,о. Из рисунка видно, что угол между осью-fl и вектором
равен 33°40\ Поэтому 3 -f 2/ = 3,6е'33°4°'.
б) По линейке определим угол 33°40' и модуль 3,6. Из диаграммы
рис. 3.12,6 видно, что угол между осью +1 и вектором равен
S0°i~33°40' = 56o20\ Следовательно, 2 + 3/ = 3,6е'56°20'.
в) По линейке находим угол 38c4fy и модуль 6,4. Из диаграммы
рис. 3.12,в видно, что вектор находится в четвертом квадранте. Угол ■
между осью +1 и вектором равен —51°20'. Таким образом, 4 — 5/" =
= 6,4e-/5i°20\
г) По линейке определим угол 18°36' и модуль 6.32. Из диаграммы
рис. 3.12, г видно, что угол между осью +1 и вектором может быть
выражен двояко: либо как—(180°—18°35') =—161°25', либо как,-
+ (180° + 18°36') = 198°35\ Поэтому —6 - 2/ = б.Зге-Л*'*^- ,-л
= 6,32е/193°3&'.
д) По линейке находим угол 26с35' и модуль 0,448. Вектор
находится во втором квадранте (рис. 3.12, д). Следовательно,
—0,2 + /0,4 = 0,448еЛ »w. «
е) Этот случай принципиально отличается от рассмотренных тем,"
что составляющие комплекса (катеты прямоугольного треугольника) ~
абсолютной величине различаются более чем на порядок. Причем
"япотенуза прямоугольного треугольника практически равна боль-
^тему катету, а угол определяется по средней шкале движка. По ли-
У«&м> определим угол 4"40\ который находится в четвертом квад-
JSS; (рис. 3.12, е). Поэтому 10-/0,8^ Юе-nw.
с з.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По
пепврму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных аначе-
ний'токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:
Е'* = °- (3.40-)
Подставив вместо tft в (3.4С) /*е^' и вынеся е/ю' за скобку,
получим е^У /ft = 0. Так как е*а( не равно нулю при любом f, то
' Х/*=0. (3-40)
Уравнение (3.40) представляет собой первый закон Кирхгофа
в символической форме записи.
Для замкнутого контура сколь угодно' сложной электрической
цепи синусоидального тока можно"" составить уравнение по второму
.закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений
н э. д. с.
Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая fe-ветвь
. в общем случае включает в себя э. д. с. еь, активное сопротивление ,
R$, индуктивность Lk и емкость С, по которым протекает ток i*.
* Тогда по второму закону Кирхгофа
Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии
с § 3.12 можно заменить на /feZft, а каждое слагаемое правой части —
на Ёк. Поэтому уравнение (3.4Г) переходит в
2/а=2 г*. (3.4i)
Уравнение (3.41) представляет собой второй закон Кирхгофа
в символической форме записи.
§ 3.17. Применение к расчету цепей синусоидального тока мето-
■ дов, рассмотренных в главе «Электрические цепн постоянного тока».
Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока
разработан ряд методов и приемов, облегчающих решение по сравнению
с решением системы уравнений при непосредственном использовании
законов Кирхгофа. Из гл. 1 известно, что к числу таких методов
относятся метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод
эквивалентного генератора и т. д. Известно также, что окончательные
расчетные формулы этих методов получают в результате выводов,
в основу которых положены первый и второй законы Кирхгофа.
73
Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и
цепей синусоидального тока, то можно было бы записать уравне
для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока,
рейхи от них к уравнениям в комплексах и затем повторить
всех формул гл. 1 для цепей синусоидального тока. Понятно,
проделывать выводы заново нет необходимости.
В том случве, когда отдельные ветви электрической цепи син_ .
идального тока не связаны между собой магнитно, все расчет
фюрмулы гл. 1 пригодны и для расчета цепей синусоидального ток
если в этих формулах вместо постоянного тока / подставить комплек
тока /, вместо проводимости g — комплексную проводимость У, вм
сопротивления R — комплексное сопротивление Z и вместо постоянно
э. д. с. Е — комплексную э. д. с. Е,
Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидально
тока связаны друг с кругом магнитно (это имеет место при налич'
взаимоиндукции), то падение напряжения на каком-либо участке це
зависит не только от тока данной ветви
но и от токов тех ветвей, с которым
данная ветвь связана магнитно. Расчет
электрических цепей синусоидального
тока при наличии в них магнитносвяза '
иых ветвей приобретает ряд особенностей;
которые не могут быть учтены, если а,
формулах гл. 1 непосредственно заменипг
Е на £", R на Z и g на У. (Особенности
расчета магннтносвязанных цепей рас
смотрены в § 3.34.)
§ 3.18. Применение векторных диа
грамм при расчете электрических цепей'
синусоидального тока. Токи и напря*-
жения на различных участках электрн-.
ческой цепи синусоидального тока, ка
правило, по фазе не совпадают. Нагляд*
ное представление о фазовом расположении различных векторов да .
векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расч
электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровожу
дать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность ка*
чественно контролировать эти расчеты.
Качественный контроль заключается в сравнении направлений раз- -
личных векторов на комплексной плоскости, которые получают прн.-
аналитическом расчете, с направлением этих векторов, исходя из фнг;
зпческих соображений. v
Например, на векторной диаграмме напряжение на индуктивности
UL должно опережав протекающий через нее ток на 90°, а напря-.'
жеяие на емкости Ос — отставать от протекающего через нее токч
на 90°.
Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие.
с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкра- j
ошибка Кроме того, векторную диаграмму часто используют и
-педство расчета, например в методе пропорциональных величин.
"--- Ппимео 31- В схеме рис. 3.13,о заданы: e=l41sinorf В; Rl =
-»йвЯОмГл« = 2 0м; *- = °>°0955 Г. Угловая частота .ш = 314 с1.
' «ггоел&тпъ ток и напряжение на элементах цепи.
; решение. Запишем уравнение для мгновенных значений:
' .KM
■ Перейдем от него к уравиешпо в комплексах:
i(R1 + R2) + j<>>Li = E или /Z = £,
где Z = Ri + Я2 + /*>*• = 3 + 2-f /314 • 0,00955 = 5+3/ = 5,82е'э 1*.
Комплекс действующего значения э. д. с.
£ = 141/1^2=100 В.
Ток
/ = £/Z=100/5,8e'31°=i7,2e-'"31* A.
Напряжения на сопротивлении Rl
0Rl = Ubb^iRi^51fiQ'^D В,
'. на сопротивлении R2
0R3 = Ubc = tRs=M,4(rW В;
. яа индуктивности
01 = 0rf = jieL/*3/.1712e-'3P*=51,6e№ В.
Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13,6. Вектор Ё
направлен по оси +1. Ток отстает от него на 31°.
Пример 32. Решить задачу примера 31 методом
пропорциональных величин.
Решение. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на
" -векторной диаграмме рис. 3.13, в по оси +1 (/ = 1). Напряжение на
активном сопротивлении Ri совпадает по фазе с током и численно
равно 1-3 = 3 В. Напряжение на R2 также совпадает с током и
равно 2 В. Напряжение на индуктивности равно 3 В-и опережает ток
на 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что при токе / =
= 1 А на входе £=j/5a + 3a = 5,82 В.
Так как на входе действует э. д. с. в 100/5,82= 17,2 раза больше,
*о все токи и напряжения должны быть умножены на коэффициент
17,2. На рис. 3.13, в все векторы повернуты на 31° против часовой
- стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13,6.
*- "сио, что взаимное расположение векторов на диаграмме при этом
■ не изменилось.
11ример 33. В цепи рис. 3.14,о R = 4 Ом; <о=1№ с'.
Определить величину емкости С, если при э. д. с. Я = 10 мВ ток в цепи
* = 2 мД.
Решение. Комплексное сопротивление цепи Z = R—у.; его~
дуль z = yH* + {l/aCf. ;
По закону Ома, 1^=Е/г. Отсюда г=Е/1 = 10-lQ-3/2-10~3 = 5 ^
Следовательно, Хс = г/юС=VV— Ка = ]/"5а — 4В — 3 Ом; (Г
= l/ftoXc) = 1/1№ • 3 = 3,33 мкФ.
Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14,6.
Пример 34. На участке об разветвленной цепи рис. 3.15, а пар
лельно включены индуктивное сопротивленце XL = u>L и активное |
противление R, численно равное XL. Показание амперметра А2р .-.
5 А. Определить показание амперметра Ав, полагая сопротивлен
амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать.
«r^^i
I, I
а) Ч&
W^
Рис. 3.15
Решение. На рис.. 3.15,6 качественно построим векторнуюдиа'
грамму. Напряжение 0оЬ совпадает по фазе с током /Е. Ток It
отстает от тока /а на 90° и равен ему по величине. Ток в неразветв-
ленвой части схемы /s = /i + ^s- Модуль тока /3 равен 51^2 =7,05 А,
Амперметр As покажет 7,05 А.
Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряженки.>
для схемы рис. 3.16, а, если ток /,= 1 А, Яг'= 10 Ом; &Ьг = 10 Ом$т
1/шС=14,1 Ом; O)i,3 = 20 Ом и #э = 2,5 Ом.
Решение. Обозначим токи и выберем положительные направлен'
ния для них в соответствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токо ■
Ш/ = 0,5 А/см и для напряжении тц = 4 В/см. Ток 1± направим п
оси +1 (рис. 3.16,6). Падение напряжения Ur, = 10 В и по фазе,
совпадает с током Д. Падение напряжения в индуктивном сопротивч
лении <aL также равно 10 В, но опережает ток /, на 90°. Геометрн"-*;
ческая сумма Vn,-\-ULl по модулю равна 10У% = 1±,1 В. Емкостный
ток /а опережает это напряжение на 90°. Модуль тока h = -
= 14,1/14,1 =И А. *
Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической суммв^
токов: /3=Д + /2. Модуль его равен 0,8 А (найден графически).',/
Падение напряжения на сопротивлении Rs равно 2 В и совпадает по"-
фазе с током /8. Падение напряжения на индуктивности Lg опережает,'
ток /3 на 90° и численно равно 0,8-20=16 В. Напряжение на вхощ
схемы равно э. д. с. н составляет около 18.3 В.
л л» 36 Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35.
,~ Пример • 1б а опь]ТНЫМ путем найдены значения токов /„ /й
.$ ****j£Z. "хемы включили амперметры и записали их показания):
*d? *в« / = 1 А /3р«0,8 А и опытным путем определены три
'Ряжения- напряжение на входе схемы {/ = /• = 18,3 В, напряже-
^пряжен» //„^ 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) н
дае ^^ на третьей ветви (на Rs и Ы </3^16 В. Напряжения
^иопределены путем подключения вольтметра поочередно к зажи-
*^По опытным данным "(по значениям трех токов и трех напряжений)
построить векторную диаграмму.
Рис. 3.16 =
Решение На рис. 3.16, в отложим вектор 0С, по модулю
равный 14,1 В. Для сопоставления с рис. 3.16, б^оасположим его на
диаграмме так же, как он расположен на рис. 3:16, 6.
Изобразим на диаграмме ток /а. Он на 90е опережает
напряжение Or и по модулю равен 1 А После этого построим на диаграмме
токи 1~г и /я, воспользовавшись тем, что три тока (llt f2 и h)
образуют замкнутый треугольник (рис. 3.16,6).
Для построения треугольника по трем сторонам (г. е. фактически
. Для определения третьей вершины его) из конца тока (из одной
вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току Д, а из
начала тока /2 (т. е. из второй вершины треугольника) проводим
Дугу радиусом, равным току /3.
Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину
треугольника, т. е. точку, в которой оканчиваются векторы токов /3
"• ИЛ- После того как на диаграмме определено, положение тока/3,
можно изобразить на ней векторы напряжения Ог и э. д. с. Е.
Напряжения Ос, £/3 н э. д. с. Ё также образуют замкнутый т -
угольник. Его построение осуществляется аналогично построению т
угольника токов.
Из конца вектора 0С проводим дугу радиусом, равным Va, a,
начала вектора Uc —дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются
в двух точках е и /.
Так как напряжение U3 представляет собой падение напряжения
от тока /3 на последовательно соединенных R% и L3, то оно по фа
должно опережать ток /s, а ие отставать от него.
Поэтому из двух точек (е и /) выбиваем точку с (если бы выбрали
точку /, то в этом случае напряжение 03 — пунктир на рис. 3.16, в—
отставало бы от тока /3, а не опережало его).
В заключение отметим, что в, треугольнике токов дуги тоже
пересекаются в двух точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, в
ие показана.
§3.19. Изображение разности потенциалов на комплексной
плоскости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными
числами. На комплексной плоскости комплексное число можно
изображать либо точкой, координаты которой
равны действительной и мнимой частям
комплексного потенциала, либо вектором, направленным
от начала координат к дайной точке плоскости.
На рис. 3.17 представлены два вектора,
изображающие собой комплексные потенциалы:
*JV = — 2+5/ и ф„ = 4 + /.
По определению, разность потенциалов Vab =
= Фо — 4>ь =—6 + 4/; 0а11 изобразится вектором,
направленным от 6 к о. Первый индекс у
напряжения (в нашем примере индекс о) указывает, к какой точке
следует направить стрелку вектора напряжения. Естественно, что
0Ьа = — 0оЬ.
§ 3.20. Топографическая диаграмма. Каждая точка электрической
схемы, в которой соединяются сопротивления, имеет свое значение
комплексного потенциала. *
Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих
комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы,
называют топографической диаграммой.
Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма
напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности
отвечает определенная точка карты. Расстоиние между двумя точками
на местности можно определить, измерив расстояние между
одноименными точками на карте.
Аналогичные измерения можно проводить и на топографической
диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками электрической
схемы, например между точками а и 6, по величине и направлению
определяется вектором, проведенным на топографической диаграмме
отмочки 6 к точке а.
При построении топографической диаграммы, как н потенциальной
/см § 1.10), потенциал любой точки схемы может быть принят
равным нулю. На диаграмме эту точку помещают вкачало координат.
Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется
параметрами цепи, э. д. с. и токами ветней. Рассмотрим примеры на
построение топографической диаграммы.
Пример 37. По данным примера 35 построить топографическую
диаграмму для схемы рис. 3.16, о.
Решение. Обозначим буквами а, Ь, с, ...точки схемы рис. 3.16, а,
которые хотим отобразить на
топографической диаграмме.
Примем потенциал точки а
равным нулю: ч>а = 0. •
Выразим потенциал точки
Ъ через потенциал точки а:
4* = 4ь + /А = ЧЬ+Н).
Знак плюс перед слагаемым ,
l-JR-i обусловлен тем, что при
переходе от точки о к точке Рис* 3-18 Рис- злэ
Ъ перемещение, происходит
навстречу току /х (при этом потенциал увеличивается на *iRj). Точка Ъ
на диаграмме имеет координату по оси абсцисс +10. Аналогично,
Фе = Фб + /1/ш£а= 10+/10-.
^=%+/з^з;
Совокупность точек а, 6, с, d, е на комплексной плоскости рис. 3.18
представляет собой топографическую диаграмму для схемы рис. 3.16, о.
По ней удобно определять напряжение между любыми двумя точками
схемы и сдвиг по фазе этого напряжения по отношению к любому
другому напряжению*.
Пример 38. Найти токи в схеме рис. 3.19 методом двух узлов.
Положительные направления э. д. с. указаны на схеме стрелками:
^=120y2smu>f в; e3=100]/2cos(tof—120°) В; К = 20м; 1/<оСа=-
= 10 Ом; «L3 = 5 Ом.
Решение. Запишем э. д. с. в комплексной форме:
£х=120, £3=to0e-'3D°.
Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а,
■Определим проводимости ветвей:
Ух =1/^ = 1/2 = 0,5 См; Ks=l/Z2=l/—10/ = 0,1/ См;
К3 = 1/Z3 = 1/5/ = —0,2/ См.
'..С-чедует иметь в виду, что никакого графическою подобия между топографи-
<жои диаграммой и электрической схемой, для которой она построена, как пра-
Напряжение между узлами с н 6 [ср. с формулой (1.20)]
П -EJj±M* '20-0,5-f 100e-''30°■ 0.2e-'so° ln, .„ D
U"-Yt+Ys+Ya = 0,5+0.1/-0,2/ =104e-.« B.
Токи ветвей
/ £j—Uab _120-104e-'
= 8,5+/7,25 =
_ I00(i
-I04e~'*
6 lOOe-'"30"
10,4erfl
104e-
ii,17e'40°25' A;
' A;
-/ sin 30°)—104 (cos8°--
= 7,82e/lS5°30'A.
Пример 39. Найти токи в схеме рис 3:20, а методом контурных
токов и построить топографическую диаграмму, если £', = 100 В-
„ С А г £2=100е/э°° В; Xc = 1/cuC = 2 Ом; R~
= caL = 5 Ом.
Решение. Выберем направления кон-'
турных токов /„ и /г2 по часовой стрелке.
Запишем в общем виде уравнения для кон-'
турных токов [ср. с уравнениями (1.4')]: -:
Здесь Zu — собственное сопротивление --
первого контура. Zu = # — i = 5 — 2/;
Z^ —собственное сопротивление второго -
контура, 222 = Я + /u>L = 5 + 5/; Z^ = Zai -
сопротивление смежной ветви между
первым и вторым контурами, взятое со
знаком минус, Zlz=—R = —5; £-„-алгеб-
£• t™ * раическая сумма э. д. с. первого контура,
fcj^IUO; ^ — алгебраическая сумма э. д. г -
— £% =—100/. Следовательно,
4(5-2/)-5/^= 100;
—5/u + /ai (5 + /5) = —100/.
. второго контура.
Определитель системы
д |(5-2/) -5 I
I -5 (5 + 5/И
Ai
Д2 =
100
100/ (5 + 5/)|
(5-2/) 100 "
= 10+15/ = 18е'56°2П';
~5 1 = 500:
—5
-100/1
300 — 500/ = 582е~'
Токи в схеме:
/и = Д^Д = 500/18e'"S6"20' = 27,8етЯ™' А;
7^ = дЕ/д= 582е-/59718е'"56°20' =32,Зе-/»5°211' А;
; ^/ц — /аа^ЗОе'11*43' (направлен от точки 6 к точке т).
R Топографическан диаграмма изображена на'рис. 3.20,6.
6 3.21. Активная, реактивная и полная мощности. Под
активной мощностью Р понимают среднее значение мгновенной мощности р
за период Т: т т
Р =Т f PdT = T f uidt- <3.42)
о о
Если ток ( = /rasintof, напряжение на участке цепи u = Vmx
xsin(e<>f + q>), то
Р = А С /ml/^sinafsinfof + ipjd^^l— со$ф = Ш cos ф. (3.43)
Активная мощность физически представляет собой энергию,
которая выделяется в единицу времени * в виде теплоты на участке цепи
в сопротивлении R. Действительно, провзведение U cosy = IR;
следовательно,
Р = 1/сОБф/ = ЯК. (3.44)
Активную нсйцносгь измеряют в ваттах (Вт),
Под реактивной мощностью Q понимают произведение
напряжения U на участке цепи на ток / по этому участку и на синус угла ф
между напряжением V н током /:
Q = UI sinip. (3.45)
Реактивную мощность принято измерять в вольт-амперах
реактивных (ВАр). Если siinp>-0, то и Q>0. если sinqxcO, то <2<0.
Рассмотрим, что представляет собой физически реактивная
мощность. С этой целью возьмем участок цепи с последовательно
соединенными Rt L и С. Пусть по нему протекает ток i = /msintof.
Запишем выражение для мгновенного значения суммы энергий магнитного
и электрического полей цепи:
Z.tf C«J. LI* „ CI*
iWa_a = WH+Wa=-¥+—=-~sinziiit + ¥^cos2<Dt =
= H?(i ~Cos2to*)+^(l + cos2w/).
Из полученного выражения видно, что WK_? имеет постоянную.
составляющую Wu_9d, неизменную во времени, и переменную состав-
* Предполагается, что в I с укладывается целое число периодов Т.
81
ляющую шм. s, изменяющуюся с двойной угловой частотой:
LP
р
~ 2ьРС
И Щм.Э = [-д 9^Г") COS 2a?-
где
На создание постоянной составляющей ХРы.Эл была затрачена эн->Г
гия в процессе становления данного периодического режима. В дал
нейшем при периодическом процессе энергия WM.3o остается неизм-:<'
ной и, следователыю, от источника питания не,требуется энергии ■■
ее создание.
Среднее значение энергии а>„.Э1 поступающей от источника за и.
тервал времени от ~- Т/8 до + Т/8,
ЭМ =
(LP-
- 1*(XL- Xc) = ~UI$mq> = --Q.
(3. 'Р
Таким образом, реактивная мощность Q пропорциональна
среднему за четверть периода значению энергии, которая, отдается источ-*
никои питания на создание переменной составляющей электрического
и магнитного поля индуктивности и емкости.
За один период переменного тока энергия Wt,.s дважды отдается
генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т. е. реактив?
ная мощность является энергией, которой^оймечи-,
баются генератор и приемник.
i„ Полная мощность
fy>ff I S = UI. (3.47)
Рис. 3.21
Ее измеряют в вольт-амперах (В ■ А).
Между Р, Q и S существует соотношение
P*+Q* = S*. (3.48',
Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного-
треугольника (рис. 3.21) — треугольника мощности, у которого"
имеются катет, равный Р, катет, равный Q, и гипотенуза S.
На щитке любого источника электрической ~ энергии переменил-»
тока (генератора, трансформатора и т. д.) указывают значение S. Он-
характеризует ту мощность, которую этот источник может отдават.'
потребителю, если последний будет работать при cos <р = 1 (т. е. есл
потребитель представляет собой чисто активное сопротивление). ;
§ 3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи. Пусть
задан некоторый комплекс
Л = Ае?*Л = A cos q>A -f- jA sin <pA.
Под комплексом Л, сопряженным с комплексом А, будем понимать
А = Ае-1*»д = A cos q>A — jA sin q>A.
Рассмотрим простой прием определения активной и реактивной
«яиностей ^ерез комплекс напряжения и сопряженный комплекс тока.
t Напряжение на некотором участке цепи U = UeI9«, ток по этому
"• «истку /=з/е'ф/- Угол между напряжением и током «р=<р„ — Ч1*-
* Умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока / =
" _£. je-i^t и обозначим полученный комплекс через S:
"", ^ 0/== Ше1^"^ ^ We»=W era q>+/Wsinq>=/>+/$. (3.49)
Значок ~ (тильда) над S означает комплекс (а не сопряженный
-■ комплекс) полной мощности, составленный при участии сопряженного
- комплекса тока 7.
Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть
(Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (1тп) произведения U1:
' (3.50)
01.)
Пример 40. Определить активную, реактивную и полную
мощности по данным примера 31.
■ Решение. Напряжение на входе всей схемы равно э. д. с: О =
:=Л§==100 В. Ток в цепи / = 17,2е~^1° А. Сопряженный комплекс
тока 1 = 17,2&31" А. Комплекс полной мощности
S = Ol= 100- 17,2с"310 = 1720 cos 31° + /1720sin31°= 1475 + /886;
Ret//-=1475; lmUI = 886.
Следователыю, активная мощность Р=1475 Вт, реакпшная Q =
=■ 886 ВАр и полная S= 1720 ВА.
§ 3.23. Измерение мощности ваттметром. Измерение мощности
производят обычно с помощью ваттметра электродинамической системы,
в котором имеются две катушки —неподвижная и
подвижная.
Подвижная катушка, выполненная из очень
, тонкого провода, имеет практически чисто
активное сопротивление и называется параллельной
обмоткой. Ее включают параллельно участку цепи,
подобно вольтметру. Жестко скрепленная со
стрелкой (указателем), она может вращаться в
магнитном поле, создаваемом неподвижной катушкой.
Неподвижная катушка, выполненная из довольно толстого провода,
имеет очень малое сопротивление и называется последовательной
обмоткой. Она включается в цепь последовательно, подобно амперметру.
На электрической схеме ваттметр изображают, как показано па
Рис. 3.22. Одна пара концов (на рисунке обычно расположена
горизонтально) принадлежит последовательной обмотке, другая пара кон-
Ч°в (на рисунке обычно расположена вертикально) — параллельной.
™ концах одноименных зажимов обмоток (например, у начала
обмоток) принято ставить звездочки.
Вращающий момент ваттметра, а следовательно, и показание
пропорциональны действительной части произведения комплексно -
напряжения L/аъ на параллельной обмотке ваттметра насопряже. .,
комплекс тока /, втекающего в конец последовательной (токовой) ■».'
мотки ваттметра и снабженный звездочкой;
UeUaJ=UabI cos (tQf). ' ■[
Напряжение на параллельной обмотке берется^ равным рази> t'.
потенциалов между концом ее, имеющим звездочку (точка а), и koV"'
цом ее, не имеющим звездочки (точка Ь). Предлог
лагается, что ток / входит в конец последоват- .
ной обмотки, имеющий звездочку.
Цена деления ваттметра определяется, как
частное от деления произведения номинального напря
жения на номинальный ток (указываются на ли*'
цевой стороне прибора) на число делений шкалы,
Рис. 3.23 Пример 41. поминальное напряжение ваттметра
120 В. Номинальный ток 5 А. Шкала имеет 1 i
делений. Определить цену деления ваттметра.
Решение. Цена деления ваттметра равна 120-5/150 = 4 Вт/дел.
§ 3.24. Двухполюсник в цели синусоидального тока. На схеме 3.23
изображен пассивный двухполюсник, подключенный к источнику
э. д. с. Входное сопротивление двухполюсника ZBl = E]\. '■
В общем случае "<
ZB*—Я**+jXB[ = ze'f. _ ,
При ХЕЕ>-0 входное сопротивление имеет индуктивный характер,'.-
при ХВ1 <С 0 — емкостный и при XBt — 0 — чисти активный.
Входная проводимость YB1 представляет собой величину, обратную.,
входному сопротивлению:-
YB*^VZBX.
Входное сопротивление можно определить либо расчетным путем,'
если известна схема внутренних соединений двухполюсника и значения
сопротивлений, либо опытным путем.
При опытном определении входного сопротивления двухполюсника
собирают схему (рис. 3.24, о), в которой амперметр измеряет ток /,
вольтметр—напряжение t/afi —t/ на входе двухполюсника. Ваттметр,
измеряет Re{Uobf}t т. е, активную мощность P = UIcosq>. Модуль,
входного сопротивления z = U/I. При делении Р на произведение VI
получают косинус угла между напряжением и током: cos <p = P/U/..,
По косинусу угла находят sinqi и затем определяют
RBX~ZCOS (р И XB1 = ZS\D(p.
Так как косинус есть функция четная, т. е. cos (— <р) = cos q>, то .*
измерения для определения входного сопротивления необходимо допол^'
нить еще одним опытом, который позволил бы путем сопоставления '
показаний амперметра в двух опытах определить знак угла ч>.
(Ы"
Й»
■ п„» опоеделения знака угла ч> параллельно исследуемому двух-
„„Йдау'путем замыкания ключа К подключают небольшую емкость С
№%?ш показания амперметра при замыкании ключа К станут меньше,
А., они были при разомкнутом ключе, та угол Ф положителен
входное сопрставлешгс Z = ze« имеет индуктивный характер
Ср™ показания амперметра при замыкании ключа станут больше,
то ф отрицательно и входное сопротивление имеет емкостный характер
Кис. 3.24, в).
На векторных диаграммах рис. 3.24, б, е I — тщ через
двухполюсник- /с—ток через емкость, который опережает напряжение U
на входе двухполюсника на 90°. Пунктиром-изображен ток через
амперметр при замкнутом ключе Сопоставление пунктиром
изображенного тока с током / и подтверждает приведенное ранее заклю-
чение
Пример 42. Измерения го схеме рис. 3.24, о дали: [/ = 120 В;
/ = 5 А; Р —400 Вт. Замыкание ключа К приводит к уменьшению
показаюй амперметра. Определить входное сопротивление
двухполюсника.
Решение, Модуль входного сопротивления
z = U/I = 24 Ом;
cos qi = P/U I = 400/120 ■ 5 = 0,666; sin q> = 0,745.
Таким образом,
KBK = zcosq> = 24-0,666=l6OM;
XEE = zsinqi = 24-0,745-17,9OM.
Комплекс входного сопротивления 2DX = (16-f-;17,9) Ом.
§ 3.25. Резоиансныб режим работы двухполюсника. Пусть
двухполюсник содержит одну или несколько тздуктивностей и одну или
несколько емкостей. Под резонансным режимом (режимами) работы
такого двухполюсника понимают режим (режимы), при котором вход>
ное сопротивление двухполюсника является чисто активным *..
По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме
ведет себя как активное сопротивление, поэтому- ток и напряжение^
на входе двухполюсника совпадают по фазе. Реактивная мощность'
двухполюсника при этом равна нулю.
Различают две основные разновидности резонансных режимов:,
резонанс токов и резонанс напряжений.
§ 3.26. Резонанс токов. Явление резонанса в схеме 3.25, о, обра- .-
зованной двумя параллельными ветвями с разнохарактерными
реактивными сопротивлениями, называют резонансом токов.
Пусть первая ветвь имеет активное сопротивление Rt и индуктив--
ное ыЬ, а вторая ветвь—активное R2 и емкостное 1/соС.
Ток /х первой ветви отстает от напряжения (/ = £'аЁ (рис. 3.25, б)
и может быть записан как
К Ток /Е второй ветви опережает напряжение:
Ток в неразвегвлеиной части цепи
По определению резонансного режима, ток / должен совпадать
по фазе с напряжением О. Это будет при условии, что сумма
реактивных проводимостей ветвей равна нулю:
В соответствии с (3.36)
h °>L н ь — 'foC
Следовательно, условие наступления режима резонанса токов
в схеме рис. 3.25, о можно записать так:
Rl+vFL* 1 • W-0IJ
На рис. 3.25, 6 изображена векторная дваграмма для резонансного'
режима. Из (3.51) следует, что если К2 = 0, то резонанс наступит при';
-щ—^^С. (3.5I-)"
В еще более частном случае, когда К2 = 0 и i?1<toL, резонанс
наступит пра
rfLCasl. (3,51")
* Следовательно, длр определения условий наступления резонанса следует '
приравнять нулю мнимую часть комплекса входного сопротивления двухполюсник*.
Такой способ справедлив, если не пренебрегать активными сопротивлениями
индуктивных катушек.
Резонанса можно достичь путем изменения ад, L, С или Rt и R*
т кв неразветвленной части схемы по величине может быть меньше,
ием токи в ветвях схемы. При К,=0и J?t ^ 0 ток / может сказаться
ничтожно малым но сравнению с токами # ^ ^
1 В идеализированном, практически ие
выполнимом режиме работы, когда Rt =
-=R = 0, ток в неразветвленной части
схемы 3.25, с равен нулю и входное
сопротивление схемы равнобесконечности.
Обратим внимание на следующее. В
формулу (3.51) входит пять величин (L,
С, Ru Rs. ю)- Если определять из нее
х/или'с, то может оказаться, что для
искомой величины будут получены одно
или два действительных значения либо
мнимое значение. „.
Получение двух действительных
значений для L и С свидетельствует о том,
что при неизменных четырех параметрах вследствие изменения пятого
параметра можно получить два резонансных режима (пояснения к
возникновению двух резонансных режимов при изменении одного
параметра и неизменных остальных даются в примере 54).
Получение мнимых значений L и С свидетельствует о том, что при
данных сочетаниях параметров резонанс невозможен.
Определим и из (3.51):
(а)
где юи — резонансная частота в контуре без потерь при R1 = R%-=0.
Поскольку угловая частота действительна и положительна, то
числитель и знаменатель формулы (а) должны быть с одинаковыми
знаками. Это имеет место при:
а) ■£->/« и £->Kfc б) -§-<*J и 4<i&
При R! = R% частота ю=«0. При L/C = R\ = Rl
т. е. 6) в случае (б) получается величиной неопределенной. Физически
это означает, что резонанс может возникать при любой частоте.
Сопротивление параллельного контура при этом чисто активное,
равно /?!.
Пример 43. В схеме рис. 3.25, a Rx = 30 Ом; a>L = 40 Ом; J?a = 0;
•*= 10s с1. При какой емкости в схеме будет резонанс таков?
Решение. По формуле (3.51),
Rl+faL)* _ .ЗУ-МО2 _
• с=—
= 16 мкФ.
£)
§ 3.27. Компенсация сдвига фаз. Входное сопротивление больший -
ства потребителей электрической энергии имеет индуктивный харак
Для того чтобы уменьшить потребляемый"
ими ток за счет снижения его реактивной1
составляющей и тем снизить потери энер->
гии в генераторе и подводящих проводах,."
параллельно приемнику энергии включают .
батарею конденсаторов.
Уменьшение угла сдвига фаз между .-
напряжением на приемнике и током,
потребляемым от генератора, называют компенса- *;
цией сдвига фаз.
Компенсация сдвига фаз особенно су-.'
щественна для энергоемких потребителей,.
например крупных заводов. Осуществляет-'
ся она в месте ввода линии питания в рас- -
пределвтельном устройстве. Экономически ;
1 1 > выгодно подключать конденсаторы на воз- ■
Рис 3.26 можно более высокое напряжение (ток
через конденсаторы /с = 17юС). Угол сдвига
фаз <р между напряжением и током, потребляемым от источника
питания, обычно доводят1 до значения, при котором cos (р = 0,9 -^-0,95.
§ 3.28. Резонанс напряжений. Резонанс в схеме последовательного ■
соединения R, L, С (рис. 3.25, а) называют резонансом напряжений.
При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с э. д. с, Ё. -
Это возможно, если входное сопротивление схемы
1Н
Z = K-f-/(eiL-
<оСУ
будет чисто активным. Условие наступления резонанса в схеме
рис. 3.26, с
G>oL=l/(e>,,C), (3.52)
где «„—резонансная частота. q)
\ При этом f = E{Rm Напряжение на индуктивности при резонансе •
равно напряжению на емкости: '
aaL_ VZjC __
(3.53) .
ячывают добротностью резонансного контура. Добротность показы-
зет во сколько раз напряжение на индуктивности (емкости)
превышает напряжение на входе
схемы в резонансном режиме.
В радиотехнических
устройствах Q может доходить до 300
и более. Векторная диаграм-
нз для режима резонанса
изображена на рис. 3.26, б.
Характеристическим
сопротивлением р для схемы
рис. 3.25, а называют
отношение напряжения на L или
С в режиме резонанса к току
в этом режиме: p=QR.
§ 3.29. Исследование
работы схемы рис. 3.26, а при
изменении частоты и
индуктивности. Пусть в схеме рис.
3.25, а параметры R, L, С и
э. д. с. Е постоянны* но ме- рИс. 3.27
няется частота «о. Обсудим
характер изменения тока / и напряжений UL и Uc в функции от и.
Ток в цепи
Y
дг+ coL-
тС)
/■+«■(
При изменении «о меняется реактивное сопротивление цепи X =
= coL ^: при со*->0 сопротивление Х->то и ток /-*-0; при
ю=1/1-'ТС сопротивление Х = 0 и ток I = E[R; при со-> то
сопротивление Х->то и ток /->-0.
Напражение на индуктивности
VL = <i>LI = E,-
Y
l+Qa
' m _J2s.Y
При ю-»-0 напряжение UL = 0; при w-э-то напряжение UL~*-E
(рис. 3.27,о). При Q>-^ кривая UL (кривая Uc) проходит через
максимум, при Q<-^ кривая UL монотонно стремится к Е.
При и-»-0 напряжение на емкости Vc — I ^т стремится к Е, при
* Стрелка -+ заменяет слово «стремящийся* или соответственно «стремится».
89
Из рис. 3.27,а видно, что максимумы напряжений на инд
ности UL и емкости Uc имеют место при частотах, ие равных резона
ной частоте со0 — 1/j/LC: максимум VL имеет место при частоте a>L >.
а максимум Uc — при частоте ¥
ю<:<Ц,(о)1.-и.1/Гг_%е: °>с = Щ-
На рис. 3.27, 6 изображены две кривые, характеризующие зав "
симость I=f(m) для цепи с неизменными L, С и Е при двух разл
ных значениях R. Для кривой 2 сопротивление R меньше (а доб
ность Q больше), чем для кривой 1. \
Обычно кривые рис. 3.27, б изображают в относительных един ■
цах, откладывая ток в долях от тока при резонансе, а частоту
в долях от резонансной частоты. Графики тока в относительных еди
нинах изображены на рис. 3.27, в. Они построены по формуле
E/R '
Yl+^-
Чем меньше активное сопротивление резонансного контура пр .
неизменных остальных параметрах схемы, т. е. чем больше добр
ность контура Q, тем более острой (пикообразной) становится форм*
кривой/=/(й>).
Полосой пропускания резонансного контура называют полосу част •
саг —ш1 = ю0/С, иа границах которой отношение ^тр составляет 0,70
(рис. 3.27, в).
Граничные частоты <oJ-a=-^-(vT+4Qzp l).
Если в схеме рис. 3.26, а менять не частоту, а индуктивность L'
то зависимости /, UL в функции от XL = a>L (w = const) будут в вид
кривых рис. 3.27, е.
* Так как ^с—-т^1, а 1/соС= const, то кривая Uc=f(e>L) качес
венно имеет такой же вид, что и кривая / = f(toL).
Пример 44. В схеме рис. 3.26,а #=10Ом; L = I Г; С=1мкФ
Определить резонансную частоту со0, добротность Q, а также напр
жение на емкости 1/с, если на вход схемы подано напряжение 10 м'
при резонансной частоте.
Решение. Резонансная частота со0= 1/}/ХС = 1/У10"*= 103 сг1-
Добротность Q = ((V,)/# = (103-I)/10 = IOO. Ток в цепи I = E/R '
= 0,01/10=1 мА. Напряжение на емкости UC = Q£ = 100-Cfil = 1 i
§ 3.30 Частотная характеристика двухполюсника. Входное соп '
тивленне двухполюсника и его входная проводимость есть функц
частоты. Зависимости действительной и мнимой частей входного соп
тивлення или входной проводимости двухполюсника от частоты наз.
вают частотными характеристиками двухполюсника.
* Чястотные характеристики рассчитывают, если известны схема
' т,™енних соединений двухполюсника и значения активных
сопротивлений, индуктивиостей и емкостей в ней, либо снимают опытным
1ЧГГПЬи снятия частотных характеристик опытным путем на вход
Шц подают напряжение, частота которого может меняться -в
широких пределах, и по результатам измерений подсчитывают
действительна и мнимую части входного сопротивления.
В схему двухполюсника могут входить последовательно и
параллельно соединенные индуктивноста, емкости и активные
сопротивления Наибольший интерес представляют частотные характеристики
двухполюсников, составленных только из индуктивностей и емкостей.
^ .с>
О
т 0^t~T_J£]_^
Если частота источника питания двухполюсника высока, то
индуктивные сопротивления катушек индуктивности оказываются много больше
собственных активных сопротивлений катушек и для упрощения
построения частотных характеристик последними часто пренебрегают. Для
такой идеализированной упрощенной схемы, где имеются только
индуктивности и емкости, построение частотных характеристик схемы
упрощается.
Рассмотрим построение частотных характеристик двухполюсников,
изображенных на рис. 3.28, о, г. Двухполюсник рис. 3.28, а образован последовательно
соединенными Lf и с\; двухполюсник рис. 358, е—параллельно соединенными La
в С2. При построении частотных характеристик будем полагать, что в реактивных
сопротивлениях всех элементов, из которых составлены двухполюсники,
отсутствуют потери энергии. Входное сопротивление и входная проводимость для двух-
"олюеннка рис. 3.28, а соответственно:
Z=/X=/ [аЦ
(ш£*~йУ
X=mLi-
(OCV*
X toLi—O/coCO*
eoLg * ft 1 _
Зависимости Х=/(со) и fc=/(w) для схемы рис. 3.28, г изображены соответственно
на рис. 3.28, 3, е. При ю=ю{| реактивная проводимость fc=0, а реактивное
сопротивление претерпевает разрыв от +™ до —со. При ю=(о£ в двухполюснике
5ис 3.28, г имеет место резонанс токов. Таким образом, по виду характеристики
;=/(ю) или fc=/(ei) можно судвть о том, какого типа резонансные режимы и
в каком количестве возникают в исследуемой схеме при изменении частоты от О
до со. Точки, в которых Х=/(ю) пересекает ось абсцисс [кривая Ь=/(ш)
претерпевает разрыв от — оо до +°°1. дают значения угловой частоты, при которых
в исследуемой схеме возникают режимы резонанса напряжений.
Точки, в которые яризая Х=/(ю) претерпевает разрыв от -[-оо до
{кривая Ъ =/ (w) пересекает ось абсцисс!, соответствуют режимам резонанса
токов.
В качестве иллюстрации сформулированного правила исследования построим
частотные характеристики X=/(w) и fc=/(w) для схемы рнс. 3.™
определим, какие резонансные режимы и в каком количестве во
при изменении частоты от О до оо. Для двухполюсника рис. 3.28, ж реактивное
сопротивление равно сумме реактивных сопротивлений двухполюсников рис. 3.28, а, г,
В соответствии с этим ординаты кривой Х=/([й) для схемы рнс. 3.28, ж
получаем на рис. 358, з путем суммирования ординат кривых X=f (ш) рис. 3-2& б, д.
Зависимость й=/(ш) для схемы рис. 3.28, ж изображена на рис. 358, и. Из
рис. 358, з, и видно, что в схеме рнс. 3.28, ж при увеличении частоты от О до <
происходит следующее: при &=ык возникает резонанс напряжений, при ш=ю, ■
резонанс токов, затем при ©=(ол вновь возникает резонанс напряжений. При
последующем увеличении частоты резонансов в схеме возникать не будет.
Обратим внимание на следующее:
1) режимы резонанса токон и резонанса напряжений чередуются;
2) число реаонансных частот для канонических схем (см. § 3.31) на единицу
меньше числа реактивных элементов;
3) если в. схеме есть путь для прохождения постоянного тока, то при ллаа;
ном увеличении частоты первым наступит резонвис токов, если нет—резонанс
напряжений.
Это следует из того, что если есть путь для ■ постоянного тока, то при ю=0
характеристика X(w) начинается с нуля, а затем увеличивается (з—)>0] и
при некоторой о претерпевает разрма, который и соответствует резонансу токов.
При аналитическом определении резонансных частот в реактивном двухполюснике
реактивное сопротивление его следует представить в виде отношения двух т —
номов но степеням ю, т. ё. X=/V(co)/AJ(u). Корни уравнения N (а>)=0 соот
ствуют частотам, при которых возникает резонвис напряжений. Корни уравнения
Л{<о)=0 соответствуют частотам, при которых имеет место резонанс токов.
2, 1г bz,
«J ' ' Я! ^ ^
S 3.31- Канонические схемы. Эквивалентные двухполюсники.
Путем "эквивалентных преобразований отдельных частей сложных схем
последние можно привести к
g^jge простым схемам с ми- *■ *?* &>
лималыю возможным числом
# L, С в них —к
каноническим схемам. Так, схемы
рлс. 3.28 являются
каноническими. Преобразования
осуществляют либо путем
перехода от звезды к
треугольнику (или наоборот) или от
параллельно-последовательного рнс_ з.29
соединения (рис. 3.29, а) к
параллельному (рие. 3.29, б), либо от параллельного соединения
(рис. 3.29, в) к гюследовательно-параллелыюму (рис. 3.29, г) и
последующего упрощения схемы. Значения коэффициентов перехода:
для рис. 3.29,о,б 6=a(l-f-oj; c = (l-f-a)a; d=\-\-a;
для рис. 3.29.е.г Ь = ^~; ^(j^J d = J^-
Двухполюсники рис. 3.29,о,б, как и рис. 3.29, в, г, называют
эквивалентными, так как они имеют равные входные сопротивления
при всех частотах.
§ 3.32. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке.
К зазкимам аЬ активного двухполюсника рис. 3.30, а подключена
нагрузка Z„ = R„ + jXB. Требуется выяснить, при соблюдении каких
условий в нагрузке выделяется максимальная активная мощность.
А
"i
Л
Л
4*1].
По методу эквивалентного генератора (см. § 1.25), ток в нагрузке
/ = 6Wx/(ZBI-f-ZB),
где 2ВК — RB,-f-fXB„ — входное сопротивление двухполюсника по
отношению к зажимам aft.
Поэтому / =
Л«+1ЪН-/(Х>ж+*-> *
По условию, Rn и Хт заданы и изменять их нельзя. Изменят^
можно лишь R„ и Х„. Выберем такое X„t чтобы ток в цепи был
максимальным; это возможно, если XBS-f-XH = 0. При этом двухщ*
люсник работает в резонанспом режиме —ток через нагрузку пофаад
совпадает с напряжением й0ьх..х- ™
Как и в цепи постониного тока (см. § 1.25), если взять Rh~Rb&
выделяющаяся в нагрузке мощность максимальна:
P™x = Vib^x!(4Rvx).
Таким образом, чтобы выделить в нагрузке, присоединяемой
к активному двухполюснику с входным сопротивлением Rm + jXBa
максимально возможную мощность, необходимо, выбрать следующие»
сопротивления нагрузки: Х„ =— Хвх и Ru = i?BK.
§ 3.33. Согласующий трансформатор. Нагрузкой двухполюсника
может быть какое-либо уже существующее устройство, сопротивление
которого Za, так же как и входное сопротивление двухполюсника Zzxt
задано и не может быть изменено. В этом случае согласование
нагрузки с двухполюсником осуществляют, присоединяя нагрузку не
непосредственно к зажимам двухполюсника, а через согласующей
трансформатор в соответствии со схемой рис. 3.30, б. Обозначим
через Wi и w2 число витков первичной и вторичной обмоток
трансформатора. Активные сопротивления и индуктивности рассеяния обмоток
полагаем весьма малыми и при расчете не учитываем. Сердечнии
трансформатора (на рисунке не показан) выполнен из высококачест-,
венного магнитного материала с малыми потерями, поэтому ток
холостого хода трансформатора мал по сравнению с током по обмотке Wi
при нагрузке. Такой трансформатор по своим свойствам приближается
к трансформатору, который называют идеальным (см. § 3.34). Для
него справедливы соотношения (обозначения соответствуют рис. 3.30, б)
iw1 — lBwi{^0 и 0ab!V„^wllw2.
Пояснения к этим формулам см. в § 15.67 (обозначения согласуются
так: t/0b = £/,, /H = /2 и / = /i). Входное сопротивление изображенной
пунктиром части схемы по отношению к зажимам аЪ
и ^
zBK=^ = _^=zA=R*№t+lx*№f~ -
В соответствии с предыдущим это сопротивление должно быть ком*
плексно-сопряженное с сопротивлением двухполюсника:
ZBK = ЯВх+ /*..*•
Отсюда следует, что для выполнения условия согласования й»
активному сопротивлению Квх = #„ (о^/ау2, а для согласования по
реактивному сопротивлению Хвк = — Ха(щ1хя>^. Отношение чисел
витков wjw.2, определим из первого условия wjw2~}f RBijR„. При
ГГдборе числа витков е>, и площади поперечного сечения сердечника
ансфориатора <j должно быть учтено, что в установившемся режиме
работы амплитудное значение потока в сердечнике ие должно
достигать потока насыщения этого сердечника, иначе будет нарушено
условие /iO>i—Ai^^O. Для выполнения согласования по реактивному
сопротивлению последовательно с нагрузкой включают
дополнительное реактивное сопротивление соответствующего характера.
§ 3.34. Идеальный трансформатор. В качестве элементов схем
замещения электрических цепей наряду с R, L, С, М в литературе
используют идеальный трансформатор (ИТ).
Идеальным называют трансформатор без потерь, у которого
входные и выходные токи и напряжения связаны соотношениями Ох =
= KUS, /B = /C/it где K = w1fw2 — коэффициент трансформации.
Идеальный трансформатор трансформирует напряжение (/, в
напряжение £7а, ток /j в ток Г2, сопротивление нагрузки Z в
сопротивление K?Z (см. § 3.33).
§ 3.35. Падение и потери напряжения в линии передачи энергии*
Генератор соединен с приемником энергии линией
передачи, .которая обладает активным Д_, и
индуктивным X„=mL„ сопротивлениями.
Построим векторную диаграмму для цепи,
состоящей из генератора, линии передачи и
приемника. Для определенности положим, что нагрузка
приемника имеет индуктивный характер. Вектор
напряжения в конце линии (на приемнике) напрз- р g g.
аны произвольно (рис. 331), ток / отстает от него
в силу индуктивного характера нагрузки.
Падение напряжения в активном сопротивлении линии 1ЦЯ совпадает по фазе с
током, падение напряжения в индуктивном сопротивлении линии ijXB опережает
Под падением напряжения в линии передачи понимают модуль геометрической
разности векторов напряжения в начале (t^) и конце Ф0> линии:/!//?л+(ео1,л)^
Потеря напряжения в линии передачи равна разности модулей напряжения
в начале и конце линии, т. е. \Ui\~\U3\- Потеря иапряжения показывает, на
сколько вольт напряжение в конце линии меньше, чем напряжение в начале
линии. Как правило, падение напряжения, больше потери нанряжения.
§ 3.36. Расчет электрических цепей при наличии в них магнитно-
связанных катушек. В состав электрических цепей могут входить
катушки, шгнитносвязаииые с другими катушками. Поток одной из
них пронизывает другие и наводит в них э. д. с. взаимоиндукции,
которые должны быть учтены в расчете. При составлении уравнений
Для магнитносвязанных цепей необходимо знать, согласно или встречно
направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Правильное заключение об этом можно сделать, если известно
направление намотки катушек на сердечнике и выбрано
положительное направление токов в них.
На рис. 3.32, а катушки включены согласно, на рис. 3.32, 6—■
встречно. Чтобы не загромождать чертеж, сердечники катушек на
электрических схемах обычно ие изображают, ограничиваясь тем. '■
одноименные зажимы (например, начала катушек^ помечают один \ •
выми значками, например звездочками *.
Схема рис. 3.32, в эквивалентна схеме рис. 3.32, а, а с
рис. 3.32, г —схеме рис. 3.32, б.
Если на электрической схеме токи двух магнитносвязанных к
шек одинаково ориентированы относительно одноименно (звечдочка
обозначенных зажимов катушек, например оба направлены к звезд.
кам или оба налравлены от звездочек, то имеет место согласное в
ченне, в противном случае —встречное.
На примере рис. 3.33 рассмотрим методику составлении уравнени
для расчета магнитносвязанных цепей. Произвольно выберем пол»
жительные направления токов в ветвях схемы рис. 3.33. Направлени
обхода контуров выберем по часовой стрелке. Сначала составим ур .
нения для мгновенных значений:
для левого контура Спервая и вторан ветви)-'
hR,+-Bi-$ii«tt+t1;£+M§+-i-$<,«+i1i4=i. '
Перед слагаемым М -^ поставлен тот же знак, что и перед L^ ~g
так как ток (\ и ток i3 входит в одноименные зажимы магнитносв
занных катушек, т. е. имеет место согласное включение. Сумма ел
гаемых М -ijf + bi £ представляет собой падение напряжения в п ■
ной катушке.
Все слагаемые левой части уравнения (а) взяты со знаком п. >
так как на всех участках первого контура положительные напр
ния токов совпадают с направлением огЗхода контура.
Составим уравнение для правого контура (вторая и третья ветви
Направление тока (й встречно направлению обхода контура, поэто
сумма падений напряжений во второй ветви войдет в уравнение
* Одноименные зажимы магнитносвязанных катушек часто обозначают вмес
звездочек точками: _v . Если магнитно связано несколько катушек, то ни
и конец размечают для каждой пары катушек отдельно.
$6
знаком минус:
--^§hdt-iJts+L3^-bM%j-bi3R3=^-ea.
В комплексной форме записи
/i=/2-f-/a; (б)
/i(R'-^+'ttL»)+/=(,?a-i}+/s/<oM=^; (B)
/1/«M-/E(^-^)-f-/3(R3+M3)=-4. Ю
6 3.37. Последовательное соединение двух магнитносвязанных
катушек. На рис. 3.34 изображена схема последовательного соглас-
Рис. 3.34
ного включения двух катушек, а на рис. 3.35 — последовательного
встречного включения тех же катушек.
При согласном включении
В комплексной форме записи
/ [Rt+R*+jto (U+L&-f-2Щ = £;
IZcar„=E;
Z*or, = Ft+Fi+ju (^+£,+250. (3.54)
Векторная диаграмма для согласного включения изображена на
рис. 3.36, где f/i —напряжение на первой катушке; (7Я — на второй.
При встречном включении
di
ж* ,
di
Отсюда
iR1+LL%-M"i+L'ii-Ms+lR''":-
Z«T=R,+Ra+/<o(i,+i,-2M).
(3.55)
Векторная диаграмма для встречного включения при t^>M и
Lz>M изображена на рис. 3.37.
§ 3.38. Определение взаимной индуктивности опытным i _
Обсудим два практически важных способа опытного определения'!
взаимной индуктивности М двух магннтносвязанных катушек. ~'Щ
Первый cnocof). Проделаем два опыта. В первом из них включим J
катушки последовательно и согласно. Измерим ток и напряжение наш
Рис. 3.36 Рис. 3.37 Рис. 3.38
входе и активную мощность цепи. Во втором те же катушки
включим последовательно и встречно и также измерим /, U, Р. По
результатам измерении найдем:
Хстп = ю(Ъ-Ь^ + 2М); XBCip = v(Ll-{-L2-2M).
Разность Хытл — ХВС1р = 4соЛ1, следовательно,
м=*,°"4~х"'- (з-ад;
Второй способ. Подключим первую катушку к источнику
синусоидальной э. д. с. через амперметр (рис. 3.38), а к зажимам второй
катушки подключим вольтметр с большим внутренним сопротивлением. '.•
Измерим ток IL и напряжение U%. ^
Мгновенное значение напряжения щ=М-£. Его действующее зна- .
чение иг = 1йМ11. Следовательно,
М = и^11т (3.57)^
Пример 45* В схеме рис. 3.38 вольтметр показал 100 В, ампер-'
метр 10 А; и> = 314 <г\ Определить М. *
Решение. По формуле (3.57), М= 100/(314-Ю) = 0,0319 Г.
§ 3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление. Трансформатор
представляет собой статическое (т. е. не -имеющее подвижных частей),
устройство, служащее для преобразования переменного во времени
напряжения по величине, а также для электрического разделения ;
цепей*и для преобразования сопротивлений по величине. Передача
энергии из одной цепи в другую производится трансформатором
благодаря явлению взаимоиндукции.
Трансформатор имеет две обмотки, находящиеся на общем
сердечнике. Магнитную проницаемость сердечника будем полагать постоянной. .
п„раметры первичной обмотки Rt и Lx; вторичной — /?, и L2. Взаим-
ая индуктивность между обмотками М (рис. 3.39, а). Сопротивление
"грузки, подключенной к зажимам вторичной обмотки, равно Zu.
ijwL, t
Рис. 3.39
Выберем положительные направления токов /х и /2. Обозначим
напряжение на нагрузке 0„. Запишем уравнения в комплексной форме:
для первичной цепи
llRx + i1i®Ll + lij<aM = E1; (3.58)
для вторичной цепи
/2tf2 + /2/(uL3 + /1/(uAf + £/H = 0. (3.59)
На рис. 3.39, б качественно построим векторную диаграмму,
полагая, что нагрузка Z11 = z„e">H имеет индуктивный характер. Ток /2
направим по оси + 1. Напряжение на нагрузке Он опережает ток /2
на угол _фн. Падение напряжения 1.2Я.г совпадает по фазе с током /2.
Вектор /2/(oL2 опережает ток /2 на 90°.
В соответствии с уравнением (3.59) вектор IJaM проводим так,
чтобы геометрическая сумма падений напряжений во вторичной цепи
равнялась нулю..
Вектор тока /х отстает от вектора IJaM на 90°. Вектор /,R±
совпадает с вектором тока Д по фазе, а вектор ijat^ опережает 1г на 90°.
Вектор izjti>M опережает /2 на 90°. В соответствии с уравнением
(3.58) геометрическая сумма /^ + /i/mLi + /2/WW дает Ёг.
В (3.59) подставим U„ = lmZZa = l2(Ru-{-jXa) и решим уравнения
(3.58) и (3.59) относительно Д:
1 (/?1 + /?вн)+/ (Х1-Хви) »
где ^вн и Хви — вносимые из вторичного контура в первичный
активное и реактивное сопротивления;
R»
(Яз+я^+Н-г+х,,)*^2-1-*"''
99
Вносимые сопротивления представляют собой такие сопротивления
которые следовало бы «внести» в первичную цепь (включить последо!
вательно с Rt и Хх), чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи
трансформатора на ток в его первичной цепи.
Пример 46. Определить токи в схеме рис. 3.40, а и построить
топографическую диаграмму, совместив ее с векторной диаграммой
токов, полагая ft»L, = 2 Ом; ыЦ=3 Ом; юЛ1 = 1 Ом; Ян = 4 Ом-
£=100 В.
а) б)
Рис. 3.40
Решение. Составим уравнения по законам Кирхгофа. По
первому закону Кирхгофа,
/i = /2 + /H.
При составлении уравнений по второму згкону Кирхгофа обход
контуров будем совершать по часовой стрелке; тогда
/jjceL! + itjaM + iKR„ = £;
/jcoAf + /2/o)L2 - /НЯ„ = 0.
В двух последних уравнениях заменим /„ на 1г — /„:
I, (Ян + jaLJ + h ЦиМ - Яс) = Ё;
1Х (/WW - RH) + 1г (Rn + /wLj) = 0.
Подставим числовые значения:
/j (4 + 2/) + /2 (/ - 4) = 100;
/i(/-4) + /3(4 + 3j) = 0.
Решение уравнений дает: 1г= 17,7е_/63" А; /2= l4,6e-/114° A; /„ =
= /1-/8=l4,12e-'VM'А.
На рис. 3.40, б изображены топографическая диаграмма и
совмещенная с ней векторная диаграмма токов.
Пример 47. Построить топографическую диаграмму для схемы
рис. 3.41, а, совместив ее с векторной диаграммой токов. Две ветви
схемы связаны магнитно. Значения параметров: ыЬг = 3 Ом; coL2 =
= 4 Ом, <вЛ1 = 3 Ом, Я1 = Яа = 2 Ом, £=100 В.
Решение. Обозначим токи в ветвях через Д и /3 и ток в нераз-
ветвленной части схемы — через /. Составим уравнения по второму
100
закону Кирхгофа для согласного включения катушек:
Совместное решение их дает: /,= {бе-*80* A; i^Uffle-w™' A.
Топографическая диаграмма,
совмещенная с; векторной
диаграммой токов, изображена на
рис. 3.41,6. -
Рассмотрим вопрос о
переносе мощности из одной ветви в
другую вследствие магнитной
связи. Если ветвь k с током /ft
и. ветвь ц с током 1Я связаны
магнитно и взаимная
индуктивность между ветвями М, то
магнитный поток из ветви к в ветвь
q переносит комплексную
мощность, равную произведению
э-д.с. взаимоиндукции в д-вет-
ви гр/юЛ1/Л на сопряженнуй
комплекс тока g-ветви, т. е. 19:
Знак минус соответствует
согласному, плюс—встречному
соединению.
Рис. 3.41
§ 3.40. Резонанс в магннтносвя-
з&нных колебательны* контурах. В
§ 3.23^3.27 была описаны резонансные явления в параллельном,
последовательном и последовательно-параллельном резонансных контурах. Рассыотрнн резонанс
в магнитнофязанных колебательных контурах—в схеме рас. 3.42, о, .часто
применяемой-в радиотехнике. G целью упрощения выкладок положим Lj—Lj—L;
С1=са=С; J?i=/?e=A что дает возможность относительно легко выявить основ,
ные закономерности резонанса в этой схеме.
Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
- /i/юМ+i, (r+/*>!. —^j = 0.
Найдем
• I faME
Напряжение па конденсаторе второго контура
(n+let-J-Jf+eMli
Пусть UCJE=KB. Тогда
К,
в„™ """"М0." учтивятся отклонение текущей «астоты и от резонансно! <а_
Расшотри» работу схемы при относительно малых отклонениях <в „, о,.. Полсяаиа
[tUa—to) (Юр+Ю)
В свою очередь,
гН,^?^ЛЫХ^ТЛ0НенИЯХ ю ОТ "* вынеся в «и*™™* выражения (а) за
скобку ыЧ^ю^а и использовав указанные обозначения, получим
- Модуль
ft2+<P-
J*«l-
т
ИПП^РИ ФНксвРованны* * " d можно исследовать [Ка\ на экстремум в
функции е для двух случаев: при к ;> d и при А < й тремум в функ-
При ft>d имеются три вкстремума; минимум при е=0, т. е при ш=ип я
Ква максимума при Чл=+V&-&. которым соответствуют частоты ю7'
f юяК 1—е,,2. 1В
Резонансная кривая при этом имеет два «торба» /кривая / на от- 3 42 Л
построенная при k-3d). ,5 увеличением ft^-орбь^кривой рХвигаютс^' ' '
При ft <«* имеется только один экстремум: максимум при е=0 (кривая 2 на
3 42. б). По ося абсцисс на этом рисунке огложено e/d, по оси ординат—
Р Л/11С-
Токи первичного (/J и вторичного (/^ контуров в функции от в/d при А >• d
также имеют двугорбую форму
§ 3.41. «.Развязывание» магннтносвязанных целей. Иногда в литературе можно
встретить расчетный прием, который называют развязыванием магшгяноевлзанных.
веп«1 (катушек) Суть его в том, что исходную схему с магнитноевпзвнными цндук-
ч-ивностями путем введения дополнительных индуктивностей я изменения имевшихся
преобразуют так, что магнитная связь между всеми индуктнвностями в
преобразованной схеме отсутствует.
Так как преобразования осуществляют на основе составленных го законам
Кирхгофа уравнений для исходной схемы, то вновь полученная и исходная схемы
в расчетном смысле полностью эквивалентны.
Составим, например, схему, эквивалентную схеме рис. 3,33. С этой целью
в уравнении (в) (см. § 3.36) заменим /я на /г—/а и в уравнении (г) 1± на /2+/э.
Замену одних токов другими производим так, чтобы в каждое из получающихся
после замены уравнений входили только те токи, которые текут в ветвях
рассматриваемого контура. В данном случае получим:
-/iiffii-^~/fflAl) + ;a(fl3-r-Mt3+/w.'H)=-£a. (г)
Уравнениям (в) и (г) соответствует схема рис. 3.42, е. Сопоставляя схемы
рис. 3.33 и 3.42, е, замечаем, что if заменена на (Zj+M), L3~na (L3+Ai), а во
вторую ветвь введена отрицательная индуктивность /.Е=—М (физически
осуществить отрицательную индуктивность в цепи с линейными элементами невозможно).
§ 3.42. Теорема о балансе активных и реактивных мощностей. В любой
линейной электрической цепи сумма активных мощностей источников 'э. д. с. равна
сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников
э.д. с—сумме реактивных мощностей приемников энергия.
При этом вод реактивной мощностью приемников энергии понимают сумму
произведений квадратов токов ветвей, умноженных на реактивные сопротивления
ветвей, подсчитанных без учета явления взаныдоидукцик, плюс алгебраическая
сумма мощностей, переносимых магнитными потоками из одних ветвей в другие
вследствие явления взаимоиндукции. При этом имеется в виду, что без учета
взаимоиндукции воясчишваются только реактивные сопротивления ветвей, а тоня —<
с учетом этого явления. Пусть схема содержит / узлои, в ветвей и все ветви или
часть их связаны друг с другом магнитно. По первому закону Кирхгофа, сумма'
токов в любом узле равна нулю. Например, для fe-узла, в котором сходятся п
ветвей,
2 ;Kp=o или 2 ^р=°-
Умножим кавдое слагаемое этой суммы на потенциал А-узла ф^;
p=i
Просуммируем аналогичные выражении для всех / узлов схемш
2 ч>* £ л*=°.
*=. p=i
В двойную сумму любой ток схемы, например ток tm, входит дважды и притом
г «ячшдХ знаками. Действительно, при k=m и р=Д слагаемое равно Ъп'щ,-
объединить и получить /тд(Фи,—Фд)-
уъфг
Рис. 3.43
Пусть какая-то ветвь схемы, например ветвь kg. магнитно связана с ветвью &г
так, что сопротивление взаимшидукции между ияын Хд. (рис 3.43).
В соответствии с рис 3.43 для ветви ф
для ветви $г
^г-%=^г-Г^г-!к^'ХЩфг.
Еслн принять, что /а9=/й9е'Ф*9, hr= '*/е'Ф*'. я учесть, что /*9=/j^e-1**»
то сумма двух слагаемых
Таким образом, попарное рассмотрение слагаемых двойной суммы'позволяет
переписать ее в виде
£ V»p=S-V«p+''2 2 УАИ,«Ч»,-Ы. Р-6»)
Слагаемые типа Еь^ьр представляют собой произведешь э. д. с. находящейся
в ветви kg (fe и р—текущие индексы узлов схемы), на сопряженный комплекс тока
■втой же ветви; /jjp—квадрат модули тока ветва kp\ Zk ^R^-i-jX/j
В сумму /2 J] /^.д/.^Хд! cos(<Pfto—Ч^Л по одному разу входят попарные
произведения токов магнитно связанных друг с другом ветвей, умноженные на
соответствующие сопротивления взаимоиндукции и на косинусы углов между токами
этих ветвей.
Например, если а некоторой схеме магнитно связаны три ветви (ветви 12, 13
и 23), то вторую сумму в (3.60) записывают как
'2 {VuXMli/laCOS('Pl2-«Pl3H/l2'S3X«ia713COS(,P«-,f23)+ .
Левая и правая частя формулы (3.60) представляют собой комплексы. Равв»
ство действительных частей комплексов дает формулу
№£V»r=S'JAr. <зи>
а равенство мнимых—формулу-
В этой формуле Хм, принято положительным при согласном направлении
потоков взаимоиндукции и самоиндукция ветвей- kg и sr и отрицательным при
ротоков взаимоиндукции"и самоиндукция ветвей «у и *>• « u.p.^,^ _г._
встречном их направлении. Формулы (3.61) и (3.62) являются математической
записью сформулированной теоремы.
Пример 48. По данным примера 46 в числах убедиться в справедливости
теоремы о балансе мощности применительно к схеке рис. 3.40, а.
Решение. Активная мощность, доставляемая источником э.д.с,
Re£]=RelOO- 17,7e,'№'':=1770cos63o=800 Вт.
Активная мощность, потребляемая приемниками, /{|RB=14,123-4=800 Вт.
Следовательно, равенство активных мощностей действительно выполнено. Реактивная
мощность источника э. д. с. Imc/=1770sin63°=1582 ВАр. Реактивная мощность
приемников энергии с учетом согласного включения катушек
/;o)Ii+ /ItuLg-J-S/j/scoM cos (<pii—qi(»)=
= 17,7a-2+14,6?-3+2-17.7- 14,6cos(63°—144°)=;= 1582 BAp.
Таким образом, баланс реактивных мощностей также удовлетворяется.
§ 3.43. Определение дуальной цепи. Две электрические цепи пазь(-
вают дуальными, если закон изменения контурных токов в одной из
них подобен закону изменения
узловых потенциалов в
другой*. В качестве простейшего
примера па рис. 3.44
изображены две дуальные цели.
Схема рис. 3.44, о состоит
из источника э. д. с. £ и
последовательно с ним
включенных активного, ипдуктнвного
и емкостного сопротивлений
(R, L, С). Схема рис. 3.44, б состоит из. источника тока /„ и трех
параллельных ветвей. Первая ветвь содержит активную проводимость
gB, вторая — емкость С9, третья — индуктивность L,.
Для того чтобы показать, какого рода соответствие имеет место
в дуальных цепях, составим для-схемы рис. 3.44, а уравнение яо
методу контурных токов:
/(i?-HwL-r-^) = £, (3.63)
а для схемы рис. 3.44, б —по методу узловых потенциалов**,
обозначив потенциал точки а через <р0;
Если параметры схемы рис. 3.44, б (gs, L9, CB) согласовать с
параметрами схемы рис. 3.44, a {R, L, С) таким образом, что
Rlg3 = L/Cb = LjC = k, ~~ (3.65)
* Здесь рассмотрены вопросы дуальносги для таких цепей, которые путем
изменения их начертания могут быть изображены на плоскости без взаимного
пересечении ветвей (такие цепи называют пяшшрнылш).
** Потенциал второго узла схемы рис. 3.44, б принят равным нулю.
где ft—некоторое произвольное число, Оы\ то
в.+(ИГ + '»с.= Нк+75с+/ю1-)- Р-«)
С учетом равенства (3.66) перепишем уравнение (3.62) следующим
образом:
Ф.(«+К.+ 75ё)=*'^ Р-67)
Из сопоставления уравнений (3.63) и (3.67) следует, что, если
ток /„ источника тока в схеме рис. 3.44, б изменяется с той же
угловой частотой, что и э. д. с. Ев схеме рис. 3.44, а и численно равен Ё,
а параметры обеих схем согласованы в соответствии с уравнением (3.65),
то при ft= 1 Олг закон изменения во времени потенциала <рв в схеме
рис. 3.44, б совпадает с законом изменения во времени тока / в схеме
рис. 3.44, а.
Если свойства какой-либо из схем изучены, то они полностью
могут быть перенесены па дуальную ей схему.
Между входным сопротивлением Z„a исходного двухполюсника и
входной проводимостью Кду„л дуального ему двухполюсника
существует соотношение Z„cx = fey^ya„.
Из формулы (3.66)_ получаем соотношение между частотной
характеристикой чисто реактивного исходного двухполюсника Хига(ы) и
частотной характеристикой дуального ему тоже чисто реактивного
двухполюсника b aB (to). Действительно, так как Z^^ — jX„cz (to), a YnyaB —
— — /ЬдуалЧ**)! то-ЯисхФ) — — ^дуал (*">), г. е. частотная характери-
стика дуального двухполюсника получается из частотной
характеристики исходного путем опрокидывания ее относительно оси ы и
деления на масштабный множитель ft.
Каждому элементу исходной схемы (схемы с источниками э.д.с.
Е и параметрами R, L, С) отвечает свой элемент эквивалентной
дуальной схемы (схемы с источниками тока /э и параметрами g3, C„, L9).
' § 3.44 Преобразование исходной схемы в дуальную. Каждому
независимому контуру исходной схемы, а также области, являющейся
внешней по отношению к схеме, соответствует свой узел дуальной
схемы.
Если в какой-либо ветви исходной схемы, являющейся смежной
между двумя контурами, имеется п последовательно включенных
элементов, то этой ветви соответствует п параллельных ветвей,
соединяющих узлы дуальной схемы, которые отвечают этим контурам.
Так, источнику э. д. с. Ё исходной схемы рис. 3.45, а отвечает
в дуальной схеме источник тока /9 (рис. 3.46, б), а источнику тока
/„ — источник э.д. с. Ё; активному сопротивлению R-~ проводимость g3;
индуктивности L—емкость С„; емкости С —индуктивность L3. Для
преобразования исходной схемы в дуальную поступают следующим
образом. Внутри каждого независимого контура (и во внешней области)
ставят точки и называют их. Эти точки являются узлами
эквивалентной дуальной схемы.
В схеме рис. 3.46, а три независимых контура, поэтому внутри
них ставим точки /, 2, 3 (точка / соответствует первому контуру,
■ючка 2—второму, точка 3 —третьему).
Во внешней по отношению к схеме области ставим точку 4. Между
полученными четырьмя узлами проводим пунктирные линии—ветви
дуальной схемы. Эти линии проводим через элементы исходной схемы
(R, L, С, £) и в дуальной схеме рис. 3.46, б включаем в них
соответствующие эквиваленты.
Узел 1 на схеме рис. 3.46, а соединен с узлом 4 одной пунктирной
линией, так как в ветви, являющейся смежной между первым
контуром и внешней областью,
включено лишь одно сопротивление
(активное сопротивление Rx). На
-вг
Ыиййяеигтш элемент
дуальной схемы
схеме рис. 3.46, б между узлом /
и узлом 4 включена активная
проводимость gaj.=Ri/ft.
Узлы 1 и 2 на схеме рис.
3.46, а соединены двумя
пунктирными линиями (одна из них
проходит через источник э. д. с.
Еа, другая— через
индуктивность Ls), поскольку в ветви,
являющейся смежной между .
контурами 1 и 2, последовательно соединены два элемента схемы (fc5 и
L0 Узлы / н 2 на схеме рис. 3.46,. б соединены двумя ветвями. В
одну "из них включен источник тока /е6, в другую —емкость C^^L^k
(элементы, дуальные Ёъ и La).
Рис. 3.46
Положительные направления токов источников тока в дуальной
схеме должны быть согласованы с положительными направлениями
э д с источников э.д. с в исходной схеме. Если при обходе контура
по часовой стрелке какая-то э.д.с этого контура совпадает с напра-
влением обхода контура, то ток эквивалентного ей источника тока
должен быть направлен к ft-узлу. Если ток по некоторой ветви
исходной схемы совпадает по направлению с направлением обхода ft-контура,
то в дуальной схеме стрелку на соответствующей ветви направляют
к ft-узлу. Последнее замечание следует иметь в виду при составлении
[JQ-и р?]-матриц взаимно дуальных схем (см. § Б.З).
Исходную н дуальную ей схемы называют взаимно обратными.
Вопросы для самопроверки
1. Какими тремя величинами характеризуется синусоидально изменяющаяся
величина? 2. Каков смысл стрелки, указывающей положительное направление для
тока ветви н напряжения на элементе цепи? 3. Что понимают под действующим
значением тока (напряжения)? 4. Пояснить механизм прохождения
синусоидального тока через конденсатор. 5. Изложить основы символического метода расчета.
На каком основания все методы расчёта цепей постоянного тока применимы к цепям
синусоидального тока? 6. Дать определение векторной и топографической
(Диаграммам. 7. Физически интерпретировать Р, Q, S. 8. Записать условие
резонансного режима двухполюсника. Построить резонансные кривые для цепи рис. 3.26, а
при изменении лс и неизменных Е, R, L, «. Что понимают под добротностью
индуктивной катушки QL конденсатора Qc н резонансного контура 0 9. Как по
виду частотной характеристики X (to) реактивного двухполюсника можно
определить, какие н в каком количестве будут возникать в нем резонансные режимы
при изменении о? 10- Какой должна быть взята нагрузка, присоединяемая к
активному двухполюснику, чтобы в ней выделялась максимальная мощность? If. Дать
определение согласующего и идеального трансформатора. 12. Как в расчете
учитывают наличие магнитной" связи между индуктивными катушками? 13. Как
осуществляют «развязывание» ыагнитиосвязанных цепей? 14. Сформулировать теорему
о балансе активных и реактивных мощностей. 15. Как сформировать дуальную
цепь из исходной? 1». Решите задачи 5.1, 5.5; 5.9; 5.11; 5.14; 5.22; 5.34; 5.38;
5.44; 5.54.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИК И КРУГОВЫЕ ДИАГРАММЫ
§ 4.1. Определение четырехполюсника.
Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два
выходных зажима. Трансформатор, линию передачи энергии,
мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсники.
Принято изображать четырехполюсник в виде, прямоугольника
с выходящими из него концами (полюсами) tnn и pq (рис. 4.1, й).
Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии,
то в прямоугольнике ставят букву А (активный); если буква А
отсутствует, то это значит, ято четырехполюсник пассивный.
Входной ток обозначают /lt входное напряжение О а ток и
напряжение на выходе /а И Ua. "T
Четырехполюсник является передаточным звеном между
источником питания и нагрузкой. К входным зажимам тп, как правило,
присоединяют источник питания, к выходным зажимам pq—нагрузку.
Предполагается, что нагрузка четырехполюсника п напряжение на
входе при работе четырехполюсника в качестве связующего звена
могут изменяться, но схема внутренних соединений четьфемюлюеннка
и значения сопротивлепнй в ней остаются неизменными.
§ 4.2. Шесть форм записи уравнений четырехполюсника.
Четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями 0г и (7а и двумя
токами 1г п /s. Любые две величины из четырех можно определить
JU
—»
т U
HI
h P
—*-#
и2\
И -
Рис. 4.
б)
через остальные. Так как число сочетаний из 4 по 2 равно 6, то
возможны следующие 6 форм записи уравнений пассивного
четырехполюсника:
6х=Ай%+В1* ' (4.1)
K = CUa+Dts: (4.2)
/i=y/i+^» (4-3)
/• = УД+У^ - (4-4)
Ui-Zn^+Zjj (4.5)
Ош-ZJi+ZJ» (4-6)
Ci = Hntt+ffdO* (4.7)
'i = Vi+ffA (4.8)
l^Gutii+Gj» (4-9)
O^GnOi+Gj^ (4.10)
Ot-Bvpy+Bj* (4.11)
f? = fisA+fiJi. (4.12)
Обратим внимание на попарную инверсию У- и 2-форм, А- п
В-форм, Н- н G-форм.
Исторически сложилось тан, что для А -формы (ее будем считать
основной) положительные направления для токов и напряжений
соответствуют рис. 4.1, о; для^У-, Z-, Н~, G-форм — рис. 4.1, б, В-форме—.
рис. 4.1, е.
Обратим внимание на то, чтоток /Ё на рис. 4.1, блаправлен
противоположно направлению тока /8 на рис. 4.1, а.
На рис. 4.1,6 токп /х и /а изменили направление по сравнению
с токами /х и /s на рис. 4.1, о.
Рассмотрение уравнений начнем с Л-формы.
§ 4.3. Вывод уравнений в у?-форме. Комплексные коэффициенты
А, В, С, D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних
.А-форма:
У-форма:
2-форма:
Я-форма:
С-форма:
В-форма:
соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты.
Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или;
опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию
взаимности, коэффициенты связаны соотношением
AD-BC=l. (4.13)
Выведем уравнения- (4.1) и .(4.2). С этой целью к зажимам тп
подключим источник э. д. с. Ё = Отг, = Ог, а к зажимам pq —
нагрузку Za (рис. 4.2, а).
кли—п-Ц/1 £-4 \£\
Напряжение на нагрузке 0я = !^а = 0Р9. Согласно теореме
компенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку Za источником э. д. с. с э. д. с.
jcs = (?s и направленной встречно току /й (рис. 4.2, б). ^ Запишем
выражения для токов /, и /в, выразна их через э. д. с. Ёг, Ё2 и вход-
ные и взаимные проводимости ветвей уп, у1г, у21, у22:
h = &i!hi-£&b (a)
/f-^Ski-^i»» (б)
Если токи !г и /2 рассматривать как контурные токи, то э. д. с.
контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут
в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а э. д. с,
не совпадающие с направлением соответствующих контурных токов, —*
со знаком минус.
Э- д. с. Ёг направлена согласно с /1( поэтому она вошла в
уравнения (а) н (б) со знаком плюс; э. Д. с. Ёв направлена встречно /я,
поэтому она вошла в эти уравнения со знаком минус.
Для линейных четырехполюсников, ие содержащих нелинейных
влементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу
взаимности (см. § 1.16), уп=уа.^1Ы (б) найдем
Подставив (в) б (а), получим
/1=я^
2i,t 9il
(г)
Обозначим:
4=jbfru» B=l/ya, C = (j/ui/^-y12t/zl}/yat D=yujyn. (д)
В уравнениях (в) и (г) заменим Ё1 на U\ и Ё2 на С9 и
воспользовавшись обозначениями (д), получим уравнения в Л-форме:
Сг=А&ш+в1я:
Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного
четырехполюсника:
Для иевзаимного четырехполюсника у^Фу^пАВ^ВС^у^у^ФХ.
Далее обсудим соотношения, которые имеют место между 0г в /г
и С/2 и /s, если источник э. д. с. Ёг присоединен к зажимам pq,
а нагрузка —к зажимам тп (рис. 4.3).
Как п в предыдущем выводе, заменим нагрузку Z8 на источник
э. д. с. с э. д. с. Es, направленной встречно току /2, н запишем
выражения для токов /х н /й:
/i= —^iSfa+Eifti. (к)
Из (е) найдем
fi=^+/«—- (з)
Подставим (з) в (ж):
Заменив Ej, на Ux и £а на £/й и воспользовавшись обозначениями (д),
перепишем две последние строчки еле- . .
дующим образом: Г^Ч \'*"*"']
h = CV,+Ah. (4.14') Ml^ J^'
Таким образом, уравнения (4.1) и п* *д
(4.2) характеризуют работу четырехпо- рис_ ^.з
дюсника при питании со стороны
зажимов тп и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (4.14)
и (4,14*) — при его питании со стороны авжимов "pq и присоединении
нагрузки к зажимам тп.
Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене
местами источника питания н нагрузки токи в источнике питания и
нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике A =JD.
Уравнения (4.1) н (4.2) иногда записывают так:
Ox = A*fi*+Aj* (41')
ti^AaCt+Aji, (4.2')
где Ап = А; ЛИ = В; Ла=С; AW=D.
" § 4.4. Определение-коэффициентов Л-формы записи уравнений
четырехполоелнка* 'Комплексные коэффициенты А, В, С, Р, входящие
в уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (д), если
схема внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры
известны, либо используя входные сопротивления четырехполюспика,
полученные опытным или расчетным путем.
Комплексные входные -сопротивления находят опытным путем
с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подобной
схеме рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника за*
жимами тп или pq (в зависимости от определяемого входного
сопротивления) подключают испытуемый четырехполюсник. •
Определим комплексное входное сопротивление четырехполюсника
при трех различных режимах его работы.
1. При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви pq'
(х. х. ветви pq, /s = 0, индекс нуль)
Zm = U10ftl()=zl<fiW«^A/C. (и)
2. При питании со стороны зажимов тп а коротком замыкании
ветви pq (к. з., (78 = 0, индекс ft)
Zv,=Ulkftlk=г1йе'ф*=BID. (к)
3. При литании со стороны зажимов pq и коротком замыкании
зажимов тп ((/s=0)
Zzb = zik^*b = BiA. (л)
Таким образом, для определения четырех неизвестных
коэффициентов А, В, С, D располагаем четырьмя уравнениями:
AD~BC=\, Z№ = A/C, Zlk = B/D, Z2h = B/A.
Составим разность
1 Z,jfr . ВС 1 Z10—Z,b I
l-Z~=l~AD=AD ИЛИ "V^iffi- W>
Имеем
Умножим, (м) на (н):
Отсюда
Z&h/Zlk = D/A. (H)
<Zlfl-Zlft)Z,fe 1
-f^k
laZvi
-z„>-
(4.15)
.Формула (4.15) позволяет через Z10t Zlk n Zztl определить кбэф—'
фициент А; после этого коэффициент С находят из (и). В — нз (л) н
О—из (к).
Коэффициенты А и D имеют нулевую размерность, коэффициент В
имеет размерность Ом. коэффициент С—См.
Пример49. Опытным путем было наедено, что Z10=7,815e—'5,°12 Ом; Zlft =
ISfieP™' Ом; Zaj,=3.33e/Z7°33' Ом. Определять юйффициенты А. В, С, D че-
'Zic-Zll6=5-6/-5-12,-=-l6/ = 18e-/90a.
По формуле (4.15) подсчитаем:
К З.ЗЗе'^Мве^90'1 ~'
C=Л/Zl0=l,28e'39O4077.815e-^5l''12'^0Д66e'"90, См;
B=^Zaft^4.26e'673 Ом, £>=В/2м»0,34.
Пример 50. К зажимам pq (см. рис. 4.1) четырехполюсника примера 49
подсоединена нагрузка Z2=6+/6 Ом; к зажимам тп—источник э- д. с. Найти О,
в /,, если /а=' А-
Решение. По формуле (4.1).
Oi=AU*+BU=ii{AZa+B)=
=1.0.28e?39°40'-6Vr2e'"45''+4,26e''67°)=14,85e'794S' В.
По формуле .(4.2),
;1=ШЕ+С/я=/а(Сг8+0) = 1Д65е»23'А.!
§ 4.5. Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника.
Функции пассивного взаимного четырехполюсника как передаточного звена
между источником питания и нагрузкой могут выполнять Т-схема
(схема звезды рис. 4.4, й) или эквивалентная ей П-схема (схема
треугольника рис. 4.4, б).
\р гп0 -' Г EZ3—f ■' &Р
i.g П0 * i 0?
Щ П0-
Предполагается, что частота ш фиксирована. Три, сопротивления
Т- или П-схемы подсчитывают с учетом того, что схема замещения
должна обладать теми же коэффициентами А, В, С, D, что и
заменяемый ею четырехполюсник.
Задача эта однозначна, так как схема замещения содержит три
элемента и четырехполюсник характеризуется тоже тремя
параметрами (одна связь между А, В, С, D задана уравнением AD — ВС= 1)*.
Выразим напряжение UL и ток it Т-схема (рис. 4.4, а) через
напряжение Ua и ток /2:
(/i = !/, + /a2a+'A = !/s(l+|) + 78(21 + 2s+^). (4.17)
* У невзаиыного четыреиюдосника ук ф y2i. поэтому для него схема
замещения образована ие тремя, а четырьмя элементами (см.. например, схему
замещения транзистора в § 15.35).
Сопоставим (4.16) с (4.1) и (4.17) с (4.2J. При соцоставлени
найдем:
Л = 1-НВД,); B=Z1+Za+Z1Z2/Z3; C=l/Zs, D=l + Z!jZ3. (4.1fi
Следовательно,
21 = (Л-1)/С; [ (4. IS
формулы (4.18) и (4.19) позволяют найти сопротивления Z,, Z$
п Z3 (рис. 4.4, а) по коэффициентам четырехполюсника А, С, D.
Аналогичные выкладки для П-схемы (рис. 4.4, б) дают:
А = \ + ^; B = Zj C=Zi+zZ^-Zei Я=|--И: (4-20)
Z4 = B; В " " (4.21)
Z5 = B/(D-1); (4.22)
28 = £/(Л-1). _ (4.23)
Если четырехполюсник симметричный, то A=D п в Т-схеме
замещения ZX = Z2, а в П-схеме Z6 = Ze.
§ 4.6. Определение коэффициентов Y-, Z-, G-, В-форм записц
уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты Уи,
*i2 = ^si» YZ2 в уравнениях (4.3) и (4.4) можно найти следующим
образом:
Kn = JjUb при Ua - 0; У1а = /^ при Ut = 0;" К22 = /jf/a при (/х = 0.
Коэффициенты Zu, Zl2 = Z21, ZS2 в уравнениях (4.5) и (4.6) определим
так:
2u = #i//i при /в = 0; Z12=U!ji1 при /и = 0- 22а = [у/2 при /1 = 0.
Аналогичным образом найдем коэффициенты и других форм
записи, например Я-формы:
Hii — Ui/h ПРИ *4 = 0: Нм = /в/£/а при
/а = 0; Нъ=*Шх при *УЕ=0.
Обратим внимание на то, что У12=КЫ, Zw = Za, но Я12 =—f/gl,
Gia =—G21, a B1S не равно В^ даже по модулю.
Пример 51. Вывести формулы Z-параыетров для Тлсхемы замещения
четырехполюсника (рис. 4.4. df.
Решение.
^i-°i/'i.u».i,-e-fi+^; 2и=^='/ЛлрЯ/1=о=г8; Г
§ 4.7. Определение коэффициентов одной формы уравнений через
коэффициенты другой формы. На практике возникает потребность
в переходе от одной формы записи уравнений к другой.
- Для того чтобы коэффициенты одной формы записи найти через
коэффициенты другой формы, необходимо выразить какие-либо две .
одинаковые величины в этих двух формах н сопоставить их, учтя
направления токов Л. и /2 для этих форм. Так, для Л-формы
tf*=/i-c— h-c-; (n)
для Z-формы . .
Ot=txztl + t^n. (с)
Сопоставляя правые части (о) и (р) и учитывая, что ток /в в вы-
раженш (р) равен току — /а в выражении (о), получим:
Ztl = AjC, Z1% = 1/С.
Из (п) и (с)
Zai-1/C, Z^=D/C.
При переходе от коэффициентов А -формы к коэффициентам
других форм получаем:
Yn^D/B, У|В=Уа1 = — 1/В, Y^AjB;
Hn=B/D, Ни=— tfsl = l/D, H2^QD;
Сц=С/Л, Gia = —G31 = —1/Л, Gaa-B/Л;
Bn = D, Bia = B. Bai = C, В22 = А
Пример 52. Определить К-параметры четырехполюсника через Z-параметры.
Решение. Решим уравнения (4.5) и (4.6) относительно /j.h /g. сопоставим
полученные уравнения с уравнениями (4.3) и (4.4). Получим:
&г = 2iiZ22—ZJg.
Для Т-ехемы (рис. 4.4. а)
I'ii=(2fl+Z!()/Ult, yM-(Z14-Zs)/uI, Уи=-г8/Дг.
В табл. 4.1 даны соотношения для перехода от одной формы уравнений
К любой другой (Л-форма—для взаимных четырехполюсников);.
§ 4.8. Применение различных форм записи уравнений
четырехполюсника. Соединения четырехполюсников. Условия регулярности. Ту
или иную форму записи уравнений применяют, исходя из
соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей (см. § 10.5 -н 10.8)
используют обычно У--или Z-форму записи. Параметры транзисторов для
малых переменных составляющих (см. § 15.35) дают в Y-, Н~ или
Z-форме, так как в этих формах их удобнее определить практически.
При нахождении связи между входными и выходными величинами
различным образом соединенных четырехполюсников (при овределе-
К мэтэдце
т
т
и
[гр|
Та
блица 4i
От матрицы
VI
hi~zu
"%~*Г
ь. ъ*
=£й _L
' ~Z4
^~v
ZE1 &z
zu ^
Zn Az
Zal ZM
1 zs.
z» z,,
IV]
r» ^¥n
Ay
-Y;
Ay
1 -
~Уй
УЕ1
Yii
-y«
*»
->v
-лг
Ум
<V
^i.
by
-y„
V
РП
V
KH
1
—i
^fii
-yu
v«
[HI
»» ",,
"s« нш
-"» >
И!« "j!
1 ""в
Як Н„
"и лн
чНц Яц
"n '-"и
4H »Н
-»й «.I
лн дя
-»я "п
Ии tftf
-■"» -1
«и «и
Я
1 -
Ч,
«-,
ft,
»„
с„
-«,,
•V
о„-
ь„
--t
1
с
«a
С,
-о»
«,.
А„
ft.
о,.
ft,
с„
-о,.
'„
%
о»
с„
\,
с„
ЕЯ
Л 1
с с
1 D
D —1
В В
— 1 А
В 1
D D 1
-о о j
С — 1
А А
нии коэффициентов эквивалентного четырехполюсника) используют
Z-, У-, //-, С и Л-формы.
При последовательном соединении четырехполюсников я п &■
(рис. 4.5, а) применяют Z-форму, при параллельном соединения;
(рис. 4.5, б) — У-форму, при последовательно-параллельном (рис.
4.5, е)—//-форму, при параллельно-последовательном (рис. 4.5,г) *—
С-форму, при каскадном (рис. 4.5, dj — Л-форму. ■*■
Форму записи уравнений выбирают исходя из -удобства получения
матрицы составного четырехполюсника. Так Z-матрииа последовательно ■
соедашенных четырехполюсников равна- сумме Z-матриц этих четырех'-
полюсников, так как напряжение на входе Хгаходе) зквивалштного
четырехполюсника равно сумме напряжений на входе (выходе)
составляющих его четырехполюсников. У-матрица параллельно соединенных
четырехполюсников равна сумме их V-матриц. Аналогично и в
отношении //-матрицы при последовательно-параллельном н G-матрицы
яРи параллельно-последовательном соединениях четырехполюсников.
При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого
четырехполюсника равны входным току и напряжению второго четы-
а) I) В) г) д)
Рис. 4.5
рехполюсника, поэтому Л-матрица двух каскадно соединенных
четырехполюсников а и Ь равна произведению Л-матриц этих
четырехполюсников:
ГАвВв-|М»ВЛ \ADAb+BaCb AcBt+BM
\Ст D0][Cb Db\ [с,А+АА CaBb+DaDby
При параллельном, последовательном,
параллельно-последовательном п последовательно-параллельном соединениях необходимо
соблюдать условие регулярности соединения четырехполюсников—через оба
первичных зажима каждого четырехполюсника должны течь равные
по величине н противоположные по направлению токи; то же и по
отношению к вторичным зажимам каждого четырехполюсиика.
Рнс. 4.6
Ппя аегшяюнш соединении матрица каждого чегареиолюсника
до™„а SX^raSTS, ,какс£ она была до соединения «ти-
ъ&^Ъ— условии tfzzzzzsszsZ
ПТ™ТГк^Гс^—„Тп Z» BTOpo?T,e™pexHO-
'^™з1ш^™™ииенн1ш параллельно ^п^дит к
изменению Z-матрицы второго четьфехпмюсника по сравнению
матрицей уедиоенпого второго четарехлолюснпка.
§ 4.9. Характеристические сопротивления четырехполюсников,
В случае несимметричного четырехполюсника (АфО) говорят о двух"
характеристических сопротивлениях Zcl и 2та, где Z0—входное соп-
р т
АФП ЗгП \\zct АФП
Ч " *——
•3
с)
Рис. 4.7
ротивление со стороны зажимов тп, когда нагрузка подключена
к зажимам pq и равна Zra (рис. 4.7, о);
7 _</j ^f/g+£/g _'AZcs-\-B т
С1~ /i ~ Cf;a+C/a ~" CZC1+D*
(4.24)
Zca — входное сопротивление со стороны зажимов pq, когда нагрузка Zti
подключена к зажимам тп (рис. 4.7, б); ври этом коэффициенты А
и D меняются местами:
CS~ СОя+АЬ CZ2t-\-A '
Совместно решая (4.24) и (4.25), найдем:
2^ = 1/ AB/CD; г£2=УШ/СА.
(4.25)
(4.26)
Учитывая, чтоЛ/С=210, B/D = 2^, В/А =Z^, D/C = Z20, получим
Za = yZ10Zlft; Zjb=~]/ Z^Ztfi. (4.27)
Если четырехполюсник симметричен (Л=£>), то Za*=Zea=Zc =»
= J/В/С, где Zc равно входному сопротивлению четырехполюснина,
когда он нагружен на Zc (рис. 4.7, в).
§ 4.10. Постоянная передачи и единицы измерения затухания,,
Для симметричного четырехполюсника, нагруженного на Z*.
0Х=АО%+В1%=0Я{А+УЖ)1 tx^hiA+уЩ-
Комплексное число А-^У ВС полагают равным е8, где g = a +
-f- /b = In {A -j- V ВС) — постоянная передана.
Из формулы
01 = U^'^b и /1=i/^e'*
следует, что модуль & в е3 раз больше модуля #в, а модуль /х в е"
паз больше модуля /и. По фазе £/х опережает Us на угол &, ток /х
оперекает /в также на угол Ъ.
Величина а характеризует затухание четырехполюсника.
Единицами измерения затухания являются неперы (Нп) и белы (Б). Неперы
определены на основе натуральных логарифмов, а белы —на основе
десятичных. Затухание в неперах
Если ил/ия = е, то затухание равно 1 Нп. Затухание в белах
' об = lg | SJSi | = lg ] UjUi [a - 2 Jg [ tyt/21,
а в децибелах
a^ = 20\g\VjUs\.
Если t/j больше U2 в 10 раз, то затухание равно 20 дБ, если
[/,/£/„ = 100, то а = 40 дБ.
Выразим неперы через белы. Если | SJS^ | = 10, то | UjUs | = |Л0.
При этом анп = -2"1п10=1,15; Об — (g 10=1. Таким образом, 1 Б =
= 1,15 Нп, а 1 Нп = 0,868 Б-8,68 дБ.
§ 4.11. Уравнения четырехполюсника, записанные через
гиперболические функции. Для симметричного четырехполюсника А -форму
уравнений (4.1) и (4.2) записывают иногда через гиперболические
функции от аргумента g, полагая v4=D = chg, B = Zcshg, C =
— shg/Zc. При этом AD— fiC = ch8g^shsg= 1 и
A- J
Убедимся в справедливости замены А на chg:
&-A+VBC, е*-—!^-, chg = i(e»+e^ = A
Форма [записи через- гиперболические функции используется,
например, в теории фильтров (см. гл. 5).
§ 4.12. Конвертор сопротивления. Если у невзаимного четырехполюсника
В=С=0 и «с нагружен на зажимах pq на сопротивление ZH, то входное
сопротивление со стороны зажимоа тп
■7 • лгв+в
где Ах=0/Л, т. е. четырехполюсник преобразует (конвертирует) сопротивление Zh
в сопротивление Zafkv Коэффициент k± называют коэффициентам конвертирования.
Если 'А я D имеют одинаковые знаки, то 221[ имеет тот же знак, что и ZH
(конвертор положительного сопротивления), если разные, то эиак ZBI гротивопо»
Ложен знаку ZH (конвертор отрицательного сопротивления).
Если у конвертора А=1, то *i=D, £/|=Оя, ti=kJB. В этом случае
конвертор называют идеальным конвертором с преобразованием тока (при неизменном
ьааряжеивн).
§ 4.13. Инвертор сопротивления. Если у невзаимного четырехполюсника А
= D=0. то ZBS=(B/C) О/^н) и четырехполюсник в этом случае называют шшер
тором сопротивления, а В/С=к^—коэффициентом инвертирования.
Если В и С имеют одинаковые знаки, то £BX=1/ZH (инвертор
положительного сопротивления), если знаки у В к С разные, то ZBI=— 1/ZB (инвертор
отрицательного сопротивления).
У идеального инвертора входное сопротивление не зависит от того, к *
зажимам {pq или тп) подключена нагрузка.
У инвертора есть Y- и Z-матрицы. но отсутствуют И- и G-матрицы.
§ 4.14- Гнратор. Гиратором называют инвертор отрицательного сспротивле*
иня, имеющий следующую У-ыатрицу:
=Ц *."}
где С—проводимость гиратора. Для идеального гиратора G—вещественное число.
Для гнратора /1=Й/Я, /а=— G*/,.
Гиратор не- поглощает энергию.
Он преобразует напряжение в ток.
Если на выходе гнратора включено
сопротивление Z„, то его входное соп-"*
ротивление Z2X = 1/(С*2„).
Представим гнратор как трехгаУ
люсник на рис. 4.8, а (зажим 3 ни
схеме общий для входной и выходной
цепей). Его У-матрица остается
неизменной, если, оставив гиратор иепод?
авжным, в направлении стрелки
последовательно изменять нумерацию его зажимов. Гиратор является невзаимньш
(необратимым) четырехполюсником, так как дли иегоГ,г^Уи- Практически
осуществить гиратор можно, например, по схеме рис. 4.8, б, в-которой
использованы два управляемых напряжением источника тока: С(7Я и вОл.
§ 4.15. Активный четырехполюсник. Под активным четырехполюсником Судей
понимать линейный четырехполюсник, содержащий источники энергии, но не
содержащий транзисторов и электронных ламп Рассмотрим уравнения!
описывающие связь между его входными и выходными величинами, в его схему
замещения. / J
<j5T ^ H*cr" * ~ср*-
а* '? в * г*
О Ю
Рис. 4J9
яменив по теореме компенсацнн сопротивление ZH на источник э. д. с. £3
(онс. 4А 0> запишеи выражения для токов /, и /8:
/i=At/ii-£^i3+ 2 £&& (4-29)
ft=3
Осуществим короткое замыкание одновременно на зажимая тп И pq. При
этом по вервой ветви протекает ток /ш= JJ £«&*> а во второй—ток /,№ =*
ft=3
= Jj ^fe-
fe=3 p P
В (4.29) вместо У] Ё^уц, подставим tlkk, в в (4.30) f^ вместо j] £*№*•
Кроме того, заменим Ei на (Л и ЕЕ на Us. В результате получим:
■hkk=Hifii-
(4.31)
(4.32)
Уравнения (4.31) и (4.32) отличаются ог уравнений (а) и (б) только тем,
что в их левых частях находятся соответственно li—fak и h~ 'auft вместо /j и /а.
Отсюда следует, что все уравнения, получающиеся на (а) и (б) в результате
их преобразований, справедливы и для активного четырехполюсника, только
в них /i следует заменить на \±—/де. a ls—на/8—iskk-
Так, Л-Форме уравнений для пассивного четырехполюсника {Ui=AOz+Bls,
/I=Cyg+D/a) соответствует Л-форма
уравнений для активного четырехполюс-
[tfl= Айй+в (/Е-/яМ);
Коэффициенты А. В. С, D
активного четырехполюсника удовлетворяют
условию AD—ВС=1 н определяются так
же, как и для пассивного.
На рнс. 4.10 изображена одна из
возможных Т-схем замещения активного
четырехполюсника. Сопротивления Z2, ZB и 2s определяют через коэффшщевты
А, В, С, D так же, как и для нассивного четырехполюсника, а э. д. с. £8 и Ел
заходят по значениям токов tlkb и /йк и сопротивленинм из уравнений,
составленных для режима одновременного короткого замыкания входа и выхода
(показано пунктиром на рис. 4.10):
— LkkZt+kM (zI+z3)=£4.
Исследование работы электрических цепей часто проводят графическими
методами путем построения круговых и линейных диаграмм. Перед тем как
приступить к изучению круговых диаграмм, рассмотрим вопрос о построении дуги
окружности по хорде и вписанному углу.
§ 4.16. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу.,
V[s курса геометрии известно, что вписанным углом называется угол,
вершина которого находится на окружности, а стороны являются
хордами.
Рис. 4.10
Ряс. 4.11
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он
опирается. Так, £ABC = ty (рис. 4.11, а) измеряется ADC/2, a £_ ADC
дугой АВС/2. Сумма Z ABC+ £ ADC
Угол EDC является дополнительным до л к ADC, поэтому
Z_EDC—ф.
Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от А до С,
угол между продолжением
хорды AD (т. е. линией DE)
и хордой DC остается
неизменным и равным ф.
Угол между продолжением
хорды АС и касательной
(полукасательной) к окружности
в точке С также равняется
углу ф.
Центр окружности О
находится на пересечении
перпендикуляра к середине
хорды и перпендикуляра к
касательной (рис. 4.11, б).
Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный
угол ф, то для нахождения центра окружности необходимо: 1)
восставить перпендикуляр к середине
хорды; 2) под угломфк продолжению
хорды провести прямую, которая будет
являться касательной к окружности; 3)
восставить перпендикуляр к
касательной; пересечение перпендикуляра к
хорде и перпендикуляра к касательной даст
центр окружности.
§ 4.17, Уравнение дуги окружности
в векторной форме записи. Построения,
аналогичные построениям рис. 4.11, a, pHCi 4 12
могут быть выполнены и на
комплексной плоскости. В этом случае все хорды, например СА, DA, CD,
являются векторами.
На комплексной плоскости рис. 4.12 совместим хорду СА =Т
с осью + 1. Если угол ф>0, то от продолжения хорды его
откладывают против часовой стрелки; если $-<0, угол откладывают по
часовой стрелке.
Обозначим DA=G и Сб=Й. Тогда
G+H=F. . (4.31')
"Вектор И опережает вектор С на угол % Пусть модуль вектора Я
будет в ft раз больше модуля, вектора G. Тогда
tf=ftGV*.
+J
(4.31я)
Если k=0, то /?=0 и G=F. При fi=oo tf-=f и CffeO.
Подставив (4.3Г) в (4.311, получим
или _
G=—£—-. (4.3Г")
Уравнение (4.3Г") называют уравнением дуги окружности е
векторной форме записи. ^
При изменении коэффициента ft от 0 до со меняются оба вектора G
и Н, но так, что угол if между ними остается неизменным, а сумма
векторов равна вектору F. Конец вектора G скользит по дуге
окружности, хордой которой является вектор F. Поэтому можно сказать,
что дуга окружности является геометрическим местом концов вектора С
Рабочей частью окружности, или рабочей дугой, является та часть
окружности, которая по отношению к хорде лежит по обратную
сторону от полукасательной (рабочая дуга на рис. 4.12 вычерчена
сплошной линией, нерабочая — пунктиром).
Рабочая дуга меньше половины окружности при |iJj[-<90Q и
больше половины окружности при | ■$ | ~> 90°.
§ 4.18. Круговые диаграммы. Из § 3.4 известно, что синусоидально
изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут быть
изображены векторами на комплексной плоскости. Еслн процесс в
электрической цепи описывается уравнением, по форме тождественным
уравнению (4.31*"), то геометрическим местом концов вектора тока
(напряжения), выполняющего в уравнении электрической цепи ту же
роль, что и вектор G в уравнении (4.31"*), является окружность.
Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу
окружности, являющуюся геометрическим местом концов вектора тока
(напряжения) прн изменении по модулю какого-либо сопротивления
электрической цепи и сохранении неизменными остальных
сопротивлений, частоты и э. д. с. источников энергии.
С помощью круговых диаграмм производят графический анализ
работы электрических цепей.
§ 4.19. Круговая диаграмма тока для двух последовательно
соединенных сопротивлений. Пусть к источнику э. д. с. подключены
последовательно Z1 = zl&^ и Z^zd4 (рис. 4.13). Сопротивление Zx
неизменно, a Z может меняться лишь по модулю, так что угол (р
остается постоянным. Ток в цепи
!"ТТХ^ Г31 • I4-32')
где EjZ'^I^ — tok в цепи при коротком замыкании сопротивления Z.
Обозначим <
~4>i=D?- Тогда
/=-
1+—eW
{4.3
Уравнение (4.32*) тождественно (4.3Г"). Роль вектора F игра
комплекс Ib; роль коэффициента k—отношение z/z,; роль G—век
тор /. При изменении г вектор, 1 будет скользить по дуге окружи
ста, хордой которой является Ib.
На круговой, диаграмме рис. 4.14 вектор э. ,д. с. направлен п"
оси +'1. Ток ik = Efzl&'Vt отстает от э. д. с. Ё на угол ц^. Дг
определениости построим
диаграмму при tjxCO. Выберем
масштаб токов: пусть отрезок ас в
масштабе тг выражает собой
модуль тока /й. Отрезок да
характеризует модуль тока /, отрезок
са в соответствии с уравнением
Рис. 4.13
Рис. 4.14
{4.32") — модуль произведения / — ew. Отложим по направлению /*
отрезок се в произвольном масштабе тг, выражающий модуль
постоянного сопротивления zt: г1 = аетг.
Из точки е под углом — ф к лнннн ее проводим прямую ef,
которая является (как будет показано далее) линией модуля переменного-
сопротивления г при .отсчете от точки е. На ней в масштабе пи.
нанесем деления для измерения z.
Из подобия треугольников айс и aef следует:
z = efmz.
Следовательно, отрезок ef в масштабе пи. определяет модуль qpgfo
менного сопротивления г.
Проекция / на направление Я—отрезок ag—в масштабе тР=г
= Егщ измеряет активную мощность:
Р = agntp = agEnij = agE (Ifad) = EI cos q>,
mi=//«<£ ag/ad=cos q>.
Проекция / на направление, перпендикулярное £.— отрезок oft"
масштабе trip определяет реактивную мощность:
Q=ahmP = ahE (I/ad)=EI sin q>.
§ 4.20. Круговая диаграмма напряжения для двух последовательно
соединенных сопротивлений. Умножив обе части уравнения (4.32*)
на 21 = г1е'">' и учтя, что IZ1 = UilJ, получим
(4.33)
6ш,
l+S- ef№—»J
Уравнение (4.33) свидетельствует о том, что геометрическим местом
концов вектора С2± является дуга окружности, хпрда которой Ё.
§ 4.21. Круговая диаграмма для активного двухполюсника. Ток
в цепи нагрузки ZH = zBe,4,u активного двухполюсника рис. 3.30, а
Gobi. *_._ Ugbx. xlZez
L
?"^Т^Г"',+^.е/(ф"-^'
(4.34)
где ZBX=zm£?t'**—комплексное входное сопротивление двухполюсника
по отношению к зажимам аЪ выделенной ветви.
Из уравнения (4.34) следует, что при изменении модуля
сопротивления нагрузки zH ток /а скользит по дуге окружности.
Пример S3. В схеме рис. 4.13 Ё = 120 В; Zx = Rt = 24 Ом;
сопротивление Z чисто емкостное и
модуль его изменяется от 0 до со.
Построить круговые диаграммы тока
н напряжения для сопротивления Zx.
Решение. Ток /„ = 120/24 =
^5 А. Выберем масштаб для
токов (гп/= 1,39 А/см) и напряжений
(mv^2fi В/см).
Найдем угол ty=(p—ip1 =
^_9Й°__0° = — 90°.
На рис. 4.15 построены
круговая диаграмма тока иа токе Jb, как
на диаметре, и яруговая
диаграмма напряжения на э. д. с. £, как
на диаметре. Масштаб для
сопротивлений mz= 130м/см. Для любого
значения сопротивления z по диаграмме находим ток / и
напряжение UZl. Так, при z = 9,5 Ом / = 4,65 А, С2, = !П,5 В.
Пример 54. Построить геометрическое место концов вектора тока /
неразветвленной части схемы рис 4.16 н графически исследовать
возможность возникновения резонансных режимов при следующих
данных: Ё = 30 В; R2 = 6 °м; ХС = В Ом; J?, = 3 0m;Ai изменяется
от 0 до со. '
125
Рис. 4.15
Рис. 4.16
Реше-ии-е. Ток /г в схеме остается неизменным:
/а = 30/(6~/8) = 3е/5эо,с А.
Ток /й иа 53°1(У опережает э. д. с. Ё (рис. 4.17). Вектор тока 1Х
при изменении XL меняется так, что конец его скользит по дуге
окружности, диаметром которой
является вектор тока
/^ = £/^=10 А, т, = 2,65 А/см.
Ток в неразветвленной части схемы
t = lx+i» Геометрическим местом его
является также дуга окружности а\2Ь.
В режимах, соответствующих точкам ,/
и 2, ток I совпадает по фазе с э. д. с. Ё.
Следовательно, в этих режимах в схеме
имеет место резонанс токов.
Выберем масштаб сопротивлений
mx = 2 Ом/см. Графически найдем XL
для точек / и 2. Для точки 2 Х£^«0,8 Ом, для точки / Хьг&
Ра 10,6 Ом. При этом ток /=11,1 А и 2,4 А.
§ 4.22. Круговая диаграмма для четырехполюсника. Пусть напряжение U%
иа входе четырехполюсника рис. 4.2, а неизменно по величине, фазе и частоте,
а нагрузка га=гае'ф» на выходе его
изменяется только по модулю, так >.то
характеризующий ее угол »р2 остается
постоянным. _В этом случве для тока /в,
напряжения (72, тока ft могут быть
построены круговые диаграммы. Сначала
рассмотрим круговую диаграмму тока /а. С
этой целью всю схему четырехполюсника
рис. 4.2, а, исключая нагрузку Z2,
заменим активным двухполюсником и по
методу эквивалентного генератора найдем
ток /2 в ветви pq;
k=Op4K.x/(Zexpq+Zj,. (4.35')
Под {/до,,.! понимаем напряжение
между точками р и q при размыкании
ветви pq. а под ZBIpq=Zab=z2ke"p^~
входное сопротивление по отношению
к зажимай pq при короткозамкнутых
зажимах тп (в схеме рис. 4.2, а к
зажимам тл присоединен источник э. д. с).
Разделив числитель и знаменатель
правой части (4.35') [на Zgxpq^Zsk и учтя, что Ot
ветви pq, получим ,_,
4= ~\... _ ,. &Щ
ь
1
а г
Е
? Геометрическое меето
\/ концов Вектора!, и
\гееие1лрачешгве место
• \ концой бекшора 1
Tps*z \
Jtls678Sft?C#
Рис. 4.17
.*%*=/**• г*е 4й~ИЕ к. !
1+-
1Г^=^'
*ak
Из уравнения (4.35) следует, что вектор тока /а скользит по дуге окружной
ста, [хордой которой является ток /и,- Теперь построим круговую диаграмму
тока 1г на входе четырехполюсника. Ik предыдущего (см. формул'у (1.14)]
известно, что при изменении сопротивления в одной из ветвей линейной электричек
ской пели два тока в двух любых ветвях этой цепи связаны сеотвшюннен 1т =
Следовательно, ток /( может <5ыть линейно выражен через тох /а1
/i=c+6/8. (4.36)
Определим коэффициенты а и ft. Если ветвь pq разомкнута, то /я=0 и /i=/щ.
При этом из (4.36) найдем а=7и. Если ветвь pq корсякозамкнута, то /а=/гй и
/i=/ift- Поэтому
/i&=/w+fc'2fc. 0-37)
Отсюда
*-('i»-to/4*. И-36)
Подставив (4.37} и (4.38) в (4.38), получим
A=fio+ lM=^ Г- * <4"39)
Чь
Уравнение (4.39) свидетельствует о toM, чго геометрическим местом концов
вектора тока /i также является дуга окружности. Хордой ее является разность
/м-Ао! вектор /w смещает начало отсчета.
Аналогичным образом строят круговую диаграмму напряжения. Так, если
в какой-то схеме изменяется по модулю сопротивление Z2=z2e a в одной,
например второй, ветви, то для напряжения на некотором участке оЬ этой схемы можно
записать выражение, аналогичное (4.39):
гДе #оЬ*.х—напряжение на зажимах оЬ при za=co; 0.abn,&—напряжение на
кйкимах о& при z2=0; З^^гг^™2*—входное сопротивление всей схемы по
отношению к зажимам, к которым присоединено сопротивление Zj.
Формула (4.40) выведена на основе выражения (/o&=«JiЧ-ЬА H формулы (4.35).
Пример 55. Построить круговую диаграмму тока /i схемы рис. 4.18, а, в
которой A_=5©m; Й=5 Ом; £ = 100 В. Нагрузкой четырехполюсника является
индуктивное сопротивление XL, которое может измениться от нуля до-^есконеч-
аости.
Решение. Найдем ток холостого хода выходная ветвь разомкнута):
'к
_= __™--B-.lfcWA.
■R—lXc 5-/5
Определим ток короткого замыкания (при короткой замыкания нагрузки):
^т
.12.82е'71,!0, А.
^_^__,*с+*£^_7.ве-1'"™> Ом.
Следовательно. 9^=*—71°20'. Угол ф=фа—.тад^ЭО3—(— 71"20')=161°20'..
Круговая диаграмма _ тока /х построена ма рис. 4.18,6. Хордой окружности
является разность 1щ~/ц> Угол ф>-0, поэтому для определения положения
касательной он отложен от продолжения хорды против часовой стрелки.
Диаграмма носит- несколько необычный характер: рабочая часть дуги занимает почти
целую окружность.
Для определении положения конца вектора тока /j яз конца вектора /10 через
точ#у валшши XL, соответствующую заданной величине XL, проводится прямая
до пересечения с рабочей частью дуги окружности. При Xt=5 Ом ток /t
опережает э. д. с. Ё на 90°. _ -
§ 4.23. Линейные диаграммы. Под линейными диаграммами
понимают диаграммы, а
которых геометрическим местом
концов вектора тока
(напряжения) является прямая
линия. По существу, ли-'
нейная диаграмма является
частным случаем круговой
диаграммы, поскольку пря-^
мая есть дута окружности.
с бесконечно большим ра«-
рис. 4.191 дау«м- ее „
Пример 56. Построить,
геометрическое место кон.-:
цов вектора тока в схеме рис 4.19, а при изменении Хс. Напряже-..
вде £/Bb=const, Rt и Xi неизменны.
Решение. На рис. 4.19, б изображаем вектор й^. Вектор тока lt*
отстает от него на угол (p=avcigXijRt. ч
. Ток L опережает баЬ на 90°. Геометрическим местом концов тока ■
J —/ж+'а будет прямая линия pq. Она и является линейной диаг- '
раммой тока /. „ь
Вопроси для самопроверки
1. Записать шесть форм записи уравнений четырехполюсника, показать- для-'
-яих положительные направления отсчета токов и напряжений и пояснить, в какщ"
случаях каждая форма записи имеет преимущества перед остальными. 2. Как
диытиым путем определить коэффициенты А-, Z- Y-, Н-, G-, В-, форм записи?
* Каким образом, зная коэффициенты одной формы записи, определить
коэффициенты другой формы? 4. Какое соединение четырехполюсников называют регу-
*Lпным? Что понимают под Zrl я Хс% несимметричного четырехполюсника и как
' определить через коэффициенты А, В, С, D и через входные сопротивления?
е Запишите уравнения четырехполюсника через гиперболические функции, в. Что
называют постоянной передачи? 7. В каких единицах измеряют затуханве? в.
Охарактеризуйте свойства конвертора, инвертора и гиратора. 9. Сформулируйте
условия, при которых можно строить круговую диаграмму. В чем преимущества
исследования шпек с помощью круговых диаграмм? 10. Как определить рабочую часть
дуги окружности? 11. Как определить масштаб на линии неременного
сопротивления' 12. При каком v«iobhh круговая диаграмма переходит в линейную?
13. Решите задачи 6.4; 6.9; 6.13; 6.23; 6.35; 6.38.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
§ 5.1. Назначение и типы фильтров. Под электрическими
фильтрами понимают четырехполюсники, включаемые между источником
питания и приемником (нагрузкой), назначение которых состоит в том,
чтобы беспрепятственно—без затухания—пропускать к приемнику
токи одних частот и задерживать, или пропускать, но с большим
затуханием, токи других частот.
Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания, называют
полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с затуханием, —
полосой затухания.
Электрические фильтры собирают обычно из индуктивных катушек
и конденсаторов. Исключение составляют RC-филътры (см. § 5.6).
Фильтры используют главным образом в радиотехнике и технике связи,
где применяются токи довольно высоких частот.
При высоких частотах индуктивные сопротивления «L
индуктивных катушек во много раз больше их активных сопротивлений.
Поэтому будем полагать, что активные сопротивления индуктивных
катушек и активная проводимость конденсаторов равны нулю, т. е.
фильтры составлены только щ идеальных реактивных элементов.
Фильтры обычно собирают по симметричной Т- или П-схеме
(см. рис. 4.4, с, б), т. ё. при Zs = Zt и Ze = Z5.
При изучении фильтров будем пользоваться понятием о
коэффициенте затухания и коэффициенте фазы (см. § 4.10).
Условимся сопротивления ZY в схеме рис. 4.4, а и сопротивление Z^
в схеме рис. 4.4, б называть продольными сопротивлениями, а
сопротивление Z3 в схеме рис. 4.4, а и сопротивления Z6 в схеме рис. 4.4, б—
поперечными сопротивлениями.
Фильтры, в которых произведение продольного сопротивления на
соответствующее поперечное сопротивление представляет собой
некоторое постоянное для данного фильтра число (число ft), не зависящее
от частоты, принято называть к-фияыпрами. Фильтры, в которых это
произведение зависит от частоты, называют tn-фильтрами.
Сопротивление нагрузки ZB, присоединяемое на выходе фильтра,
должно быть согласовано с характеристическим сопротивлением филь-
я *„ ,№. , ,29
тра 2£. В ft-фильтрах Zc существенно изменяется в зависимости о
частоты w, находящейся в полосе прозрачности. Это обстоятельство
вызывает потребность изменять сопротивление нагрузки в функции от
частоты (особенно при приближении к границе полосы прозрачности),
что нежелательно. В m-фильтрах при определенных значениях
коэффициента т, сопротивление Zc мало изменяется от частоты (в
пределах полосы прозрачности) и потому нагрузка практически может быть
одна и та же по величине для различных значении со, находящихся
в этих пределах.
Качество фильтра тем выше, чем более резко выражены его
фильтрующие свойства, т. е, чем более резко возрастает затухание в
полосе затухания.
Фильтрующие свойства четырехполюсников физически обусловлены
возникновением в них резонансных режимов—резонансов токов или
резонансов напряжений.
§ 5.2, Основы теории ft-фильтров. Из § 4.10 известно, что если
нагрузка Z„ согласована с характеристическим сопротивлением Z&
четырехполюсника, то напряжение Us и ток в нагрузке /а связан
с напряжением йг и током 1г на входе четырехполюсника
следующими соотношениями:
0а=0ге-*, 1Ж~1&*,
где £=Ы{А+УЩ=а+}Ь.
Тогда . .
Множитель е-" определяет, во сколько раз модуль напряжения
(тока) на выходе фильтра меньше модуля напряжения (тока) на входе
фильтра.
Если й—0, тое-а = е°=1 и фильтр пропускает колебания без
затухания. Таким образом, в полосе прозрачности с = 0.
В полосе затухания о>0. Множитель е~№, по модулю равный 1^
свидетельствует о, том, что напряжение (]% и ток /s отстают соответ-'
ственно от Ох и 1Х на угол Ъ.
Фильтрующие свойства четырехполюсника рассмотрим путем
сравнения выражения для коэффициента Л четырехполюсника с равн
ему выражением гиперболического косинуса от аргумента a+jb:
Л=сЬ(а+/Ъ).
Гиперболический косинус от суммы двух аргументов (с учетом-
того, что ch/b = cosb и sh;b=/sinfc) можно представить следующим
образом:
ch(a+/fc)=chocosb+/shasinfc.
Для любого фильтра, собранного по Т-схеме (см. § 4.5), А = 1
+ (Zi/Z3).
Для фильтра, собранного по П-схеме (см. § 4.5), A = \-\-(ZjZs)
Из каких бы реактивных сопротивлений ни был собран фильтр
отношение Z1fZ3 в Т-схеме и отношение ZjZs в П-схеме всегда буд
действительным (не мнимым и не комплексным) числом—отношение
двух мнимых чисел всегда есть число действительное.
Следовательно, всегда будет действительным и коэффициент Д.
Но если коэффициент А действителен, то действительным должно
быть и выражение равного ему ch(a+/b):
ch(e+/b)=chccosb-l-/shasii]b=*i4.
Это выражение действительно, если
shasinb=0. (5.1)
'При этом
chocosfc=A (5.2)
Уравнения (5.1) и (5.2) используют для определения границ полосы
•п)озрачности и характера изменения угла Ь в зоне прозрачности,
а" также характера изменения коэффициента затухания а в полосе
(полосах) затухания.
Равенство (5.1) для полосы прозрачности (й=0) удовлетворяется,
так как sha = shO = 0. В силу того что св. 0=1, уравнение (5.2)
для полосы прозрачности переходит в следующее:
cosb=A, (5.3)
Круговой косинус (cos b) может изменяться в пределах от +1
до — 1. Поэтому крайние значения коэффициента А [являющегося
функцией частоты — А (со)] в полосе прозрачности равны ± 1. Полоса
прозрачности в общем случае лежит в диапазоне частот or &L до в>г.
Значения ш, и (оа для фильтров НЧ и ВЧ (подробнее см, § 5.3)
определяют путем решения уравнений 1
Л(в>)=±1. (5.4)
Для полосовых и заграждающих фильтров (см. § 5.3) aL и и>2
находят как корни уравнения Л(ш) = —1. Для них уравнение
А (со) — 1 дает возможность определить так называемую резонансную
частоту и0, находящуюся в интервале частот между ю, и в>г.
Частоту, являющуюся граничной между полосой прозрачности и
полосой затухания, называют частотой среза.
Характер изменения угла Ъ в функции от ю для зоны
прозрачности определяют в соответствии с уравнением (5.3) следующим образом:
b = zrccosA(<a). (5.5)
Определим а и Ь для' полосы затухания. В полосе затухания а >
>0. Уравнение (5.1) удовлетворяется при условии
sin£> = 0, (5.6)
т. е. при
Ь=0 (5.7)
и (или) при
. Ь = ±я. (5.8)
Б* 131
Согласно уравнению (5.2), яри 6=0
спа = Л(«), (5.9
а при Ь = ±п
cha== — Л (а). {5.10
Уравнения (5.9) и (5.10) позволяют по значениям Л как функц
ш найти cho в полосе затухания, а ло die найти б и, таким образо
построить кривую о—/(©). Из уравнений (5.7) и (5.8) следует, что
в полосе затухания напряжение Us на выходе фильтра находите
либо в фазе (при 6 = 0), либо в противофазе (при b = rtn) с
напряжением (7, на входе фильтра.
В заключение необходимо отметить два ванных положения.
1. С изменением частоты «о меняются коэффициенты В и С четы-;
рехполюсника, поэтому изменяется и характеристическое сопротивле
ние Zc = У Б/С. Для того чтобы фильтр работал на согласованную"
нагрузку (только в этом случае справедлива изложенная здесь теория'
фильтров), при изменении частоты нужно" менять и сопротивлени"
нагрузки. ,
2. В полосе прозрачности характеристическое сопротивление филь
тра всегда активное, а в полосе затухання — чисто реактивное (индук
тивное или емкостное).
Если нагрузка фильтра ве чисто активная или ве согласована с характернее
ческим сопротивлением фильтра или если требуется учесть влияние актмвног
сопротивления индуктивных катушек на работу фильтра (что существенно дли.
низких частот), то для построения зависимости UifU8=f(a) и зависимости угла
сдвига фаз между f/i и Us в функции частоты можно воспользоваться, например,.
методом пропорциональных величин (см. $ 1.12). Характеристическое
сопротивление фильтра Zc берут равным внутреннему сопротивлению источника сигнала
(генератора). При этом и генератор и фильтр работают в режиме согласования.
§ 5.3. К-фильтры НЧ и ВЧ, полосовые и заграждающие А-филь-
тры. Фильтрами НЧ (ФИЧ) называют фильтры, пропускающие в
нагрузку лишь низкие частоты: с й)1=0 до а>2. Полоса их затухания
находится в интервале от о>2 до со.
Схемы двух ФНЧ приведены на рис. 5.1, а, б. Характер
изменения коэффициента затухания а и коэффициента фазы Ь качественно;
яллюстрируют кривые рис. 5.1, е. г
Под фильтрами ВЧ (ФВЧ) понимают фильтры, пропускающие'"
в нагрузку лишь высокие частоты: с g>l до со. Полоса затухания их
находится в интервале от 0 до ч\. '
Схемы двух ФВЧ приведены на рис. 5.2, а, б. Характер
изменения коэффициентов а и b для них иллюстрируется кривыми рис. 5.2, в, .
Рассмотрим вопрос об изменении величины характеристического^
сопротивления Zc в полосе прозрачности для Т-фильтра НЧ (см.;
рис. 5.1, а) и для Т-фильтра ВЧ (рис. 5 2, о), а также для Пчрйль-.
тров. С этой целью в выражение Zc = У Б/С подставим значения В
и С в соответствии с формулами (4.18) и проанализируем получен-'
ные выражения.
Для Т-фильтра НЧ (см. рис 5.1, й)
При €0 = ^ = 0 Zc=y"27/C. С увеличением частоты Zc
уменьшается, сначала мало отличаясь от значения Y2L/C. При достижении
значения ш = ш2 = 1^271С 2С = 0.
X
—т—0
Х7^
X т,
=#
ч Рис. 5.V
Для П-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, б)
Для Т-фильтра ВЧ (рис. 6.2, о)
*■<;— У с м'С2"
В'этом случае характер изменения Z» отличен от характера
изменения Z, Для Т-фильтра НЧ, а именно:
Zc-0 при ю-и^/КЙС. С увеличением со сопротивление Z,
увеличивается и при со-*со ZE=\1UC*
Для Пфшльтра ВЧ (рис. 5.2, 6)
~\L. ufLV
Если фильтр предназначен для работы на частотах, находящихся
внутри „йюсы прозрачности данного фильтра и <™п™^"»°
отстояших от значения с, при котором Z.-0, то сопротивление наг-
рузки Za на выходе фильтров НЧ выбирают равным Zc, которое
соответствует в>-~щ = 0. Для Т-фильтра НЧ (см. рис, 5.1, a) Zc=s
Для фильтров ВЧ обычно нагрузку согласовывают со значением
Zc при ч>~*-са. Для Т-фильтра ВЧ (рис. 5.2, a) ZC^Y2L/C. В
полосе (полосах) затухания Zc оказывается чисто реактивным для всех
типов й-фильтров.
Для того чтобы выяснить, индуктивный или емкостный характер
имеет Zc e полосе затухания, следует определить характер входного
сопротивления этого фильтра
(фильтр всегда работает в режиме /, /,
согласованной нагрузки) для пре-
дельного режима, а именно: для
1, Ъ Ct If
**-^Hbt—lb-fYbs
\t' /
ш, 1шршг ta
К
\
-
S' и J
фильтров НЧ (рис. 5.1, а, б) при очеиь высокой частоте, а для
фильтров ВЧ (рис. 5.2, а, б) при очень низкой частоте (теоретически
при (о-»-0), считая выходные зажимы схем закороченными. Тот же
результат будет получен, если считать их разомкнутыми. В
результате определим, что в зоне затухания Zc имеет индуктивный характер
для Т-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, а) и Пфильтра ВЧ (рис 5.2, б)
и емкостный характер для П-фильтра НЧ (см. рис. 5.1, б) и Т-
фильтра ВЧ- (рис, 5.2, о).
Полосовые фильтры представляют собой фильтры, пропускающие
в нагрузку лишь узкую полосу частот от ю, до t^. Слева от cuj
и справа от щ находятся полосы затухания. Схема простейшего
полосового fe-фильтра изображена на рис, 5.3, о. Параметры схемы
должны удовлетворять условию Lfiy^L^C^.
Характер изменения а и Ь для полосового фильтра иллюстрируют
кривые рис. 5.3, б.
Без вывода дадим формулы дли определения параметров
полосового фильтра рис. 5.3, а по заданным частотам /i и /2 и
сопротивлению нагрузки фильтра Zc при резонансной частоте /р = ор/2л;:
4) СЕ=
^to-fr)'
>5)L2 =
4*Л/г
Под заграждающими фильтрами (рис. 5.4, а) понимают фильтры,
в которых полоса прозрачности как бы разрезана на две части
полосой затухания (рис. 5.4, б). Слева от и, и справа от щ находятся
две части полосы прозрачности.
В схеме простейшего заграждающего фильтра на рис, 5.4, а
Обозначим vip=\flfL£t и к=Ь^Ц и запишем формулы для определения
од 2 и Zc фильтров рис. 5.3, а и 5.4, а.
Для рис. 5-3, а
для рис. 5.4, а
су,в=0,25а„ {V2k+16 + УЩ\ Ze*
ytiA
&-5Г-
Для фильтра рве. 5.3, а в области частот от О до ai Zc имеет емкостный
характер, а в области частот от од до со—индуктивны!). Для фильтра ряс. 5.4, а
в области, частот от щ до юр Ze имеет индуктивный
характер, а в области от Ир до ша—емкостный.
Характер изменения Zc иллюстрируется кривыми
рис- 5.3, в и 5.4, е.
Пример 57.Всхеме рис. 5.1,я L = 10 мГ;
С = 10 мкФ. Определить границы полосы
прозрачности, закон изменения
коэффициента Ь в полосе прозрачности, а также закон
изменения коэффициента а в полосе
затухания, построить вектораую диаграмму при ю =
= 2000 рад/с и /8=0,2 А.
Решение. Для Т-схемы
А = 1 + ZjjZ3 = 1 + JwLftiC = 1 - &SLC.
При А = \ й>, = 0. При Л = — 1 имеем —1 = 1— <o2LC; отсюда
to!! = K2/EC=4470 рад/с,
В полосе прозрачиостн b = arccos Л = агссоБ(1— ePLQ,
При частоте со = 2000 рад/с, находящейся в полосе прозрачности,
ZtVtyL/C) —<o2Ls=40 Ом. При нагрузке фильтра на характеристическое
сопротивление напряжение на выходе (72==/aZc = 0,2-40=8 В.
Рис. 5.5
Напряжение иа входе Ut также равно 8 В и опережает 1/а
угол b = arccos0,6^a53° (рис. 5.5).
Для определения закона изменения а в полосе затухания (для дай
ного фильтра А отрицательно) используем уравнение
cho = — A = a%C-i.
Найдем о, например, при w = 2ci>2 = 8940 рад/с:
chG = (894G)s-10s-10-5-l=7; а = 2,64 Нп.
Пример 58. Определить параметры полосового фильтра рис. 5.3, а
исходя из того, что он должен пропускать полосу частот >от /х =
= 750 Гц до /а = 850 Гц и что сопротивление нагрузки ZH = Zc при
резонансной частоте /р составляет 800 Ом.
Решение. 1) /p=V7K=V750-850-798 Гц; 2) С, =
= 5Жоо=3.94 мкФ= 5> ь=г£т!щ=т г.
§ 5.4. Качественное определение fc-фнльтра- По схеме й-фильтра
без проведения подробного математического анализа можно судить
о том, к какому из перечисленных типов может быть отнесен тот
или иной фильтр. Заключение основывается на характере продольного
сопротивления фильтра.
Характер продольного сопротивления fc-фильтра. как правило, прямо
противоположен характеру поперечного сопротивления. В этом можно убедиться,
рассмотрев схемы рис. 5.1, а, 5.2, а и 5.3, е. Действительно, если продольное
сопротивление индуктивное, то поперечное—емкостное. Если продольное образовано пос-
'ледовател^но соединенными L н С, то поперечное—параллельно соединенными L.
и С, и т. д.
Если продольное сопротивление состоит только из индуктивностей,
то фильтр относится к категорий НЧ; если продольное
сопротивление чисто ■емкостное, то фильтр — ВЧ.
Если продольное сопротивление состоит из последовательно
соединенных L и С, то фильтр полосового типа. Если продольное
сопротивление состоит из параллельно соединенных L и С, то фильтр
заграждающего типа.
5-5.
7 зависят от Z,iZ,,a сопротивления Z* и 21Л—от Zj и Zj. Поэтому говорят,
что прототипами ~|-илн Г-полуэвеньев m-фильтров является каскадно
соединенные с ними ft-фильтры.
При каскадном соединении фильтров друг с другом всегда соблюдают
принцип согласованности. Входное сопротивление fc-фильтра должно быть равно
(£
£*L
1л~
*П
с
Ж
л
1 *-■
П**[
~ле
7 - тяувВено И- фильтр типа ft
Рис. 5.6
сопротивлению нагрузки на выходе этого фильтра: Zf2=Z*. Для левого полузвена
/п-фильтра Zcz является сопротивлением нагрузки. Несимметричный
четырехполюсник, каким является полузвено m-фильтра, характеризуется двумя
характеристическими сопротивлениями Zrt и Zrt. Сопротивление Zrt в m-фильтре рис. 5.6, а
определяется как входное сопротивлепне схемы рис. 5.7, а, в которой нагрузкой
уЖ
г7 г7
аа—с±>-«—чс д*—rzzb-i &с
,0 1—\d b\ 1 аа
-Q
¥!=& №=%
Zti =
a) S) 6)
Рис. 5.7
является Zn (входное сопротивление fe-фильтра). Сопротивление Zd для полузвена
т фильтра определяется как входное сопротивление схемы рнс. 5.7, 6, в которой
нагрузкой является Zcl. Входное сопротивление равно частному от деления
входного напряжения иа входной ток. Используя коэффициенты А В, С, D,
характеризующие полузвено m-фильтра как четырехполюсника, получим
_АС'г+В1й ... AZa+B
~W^+DU CZc2+Dm
Сопротивление Zc3 определием при обратном питании, когда коэффициенты А
и D меняются местами, поэтому
DUa+ Bi£ DZfj+B
{*~C0i-\-Al2 CZclfA'
Решна уравнения отиосительно Z& и Zrt, найдем: -
Zcl=VrABfCD; Zct=VBD/AC.
Коэффициенты А, В, С, D "^-пслузвена m-фильтра рис. 5-6, о определим
по формулам §4.5, полагая в них Z4=ZT, Zj=0, Za=Z5. Получим А=Л +
+ {Z,/Zst, В=Ъ,, C=l/Z8, D=T.
Подставим вавдеиные значения А, В, С, D в формулы для Zd и 2л;
второго каскада схемы рис. 5.6, о
2+|-
■VI
(5.11)
(5 12)
где числовой коэффициент m находится в интервале о .
Z6/m вместо Zg в приравнивая подкоренные выражения формул (5.12) и (5.13).
получим уравнение для определения 1Ч:
_ ZK
Последнее выражение свидетельствует о том, что сопротивление Z? образа*
вано двумя параллельно соединенным» сопротивлениями Z«-g- и Z>1 m3
(рис. 5.7, в). Так как Z, образовано параллельно соединенными сопротивлениями.
1-тщзВено К-филыпд Г-тлуШно
т-филотри m-fptwrnps
LZU
Рис. 5.8
которые являются зависимыми (производными) от сопротивлений Z» и Zs А-филь--
яра, m-фильтр рис. 5.6, а называют фильтром параллельно-производного типа.
Заменим в схеме рис. 5.6, а сопротивление Za=Zct на второе полузвено т-
фильтра, на выходе которого и включим действительную нагрузку ZH=Ztf
(рис. 5.8, а)- Если первое полузвено m-фильтра на схеме рис. 5.6, о представляло
собой ~|-полузвено, состоящее из сопротивлений Z, и Za. то второе полузвено
m-фильтра должно представлять собой Г-полузвено, состоящее вз таких же
сопротивлений Z, и Zs, по как бы перевернутых относительно вертикальной пря<
дой. Для второго полузвепа m-фильтра входное сопротивление слева равно Z-a,
а входное сопротивление справа (со стороны нагрузки Zh)—Zc\. Практически Zc±
для фильтра НЧ берут равным его значению при о-*0, а для фильтра ВЧ—его
значению при со-*со. Для m-фильтра рис. 5.6, а в обоих случаях Zci=VL/2C,
где L и С—индуктивность и емкость А-фильтра, являющегося прототипом /и-
фильтра. Для фильтра НЧ это значения L и С в схеме рис. 5.1, 6, а для
фильтра ВЧ—в схеме рис. 5.2, б.
Границы полосы прозрачности у m-фильтра определяют так же, как и у к-
фильтра, т. е. полагая А (ы)= ± 1 для фильтров НЧ и ВЧ. В полосе затухания
для т-фильтра
сЪа=±А(аЦ.
Знак минус относится к полосе частот от ©р до шс, знак плюс—к полосе
от Юр до со для фильтров НЧ я к полосе частот от ир до Одля фильтров ВЧ
(объясняется это тем, что сопротивление Z, изменяет знак при резонансной частоте сор).
Рис. 5.9
Границы полосы прозрачности по частоте для fc-фильтра и для каскадно и
согласованно с ним соединенного m-фнльтра совпадают. Результирующее
затухание всего фильтра а равно сумме затуханий m-фильтра (ат) и /г-фильтра (а*):
а=ат+аь.
Характер зависимости ат=Цт) для т-фильтров НЧ в ВЧ показан па
вис. 5.8, б, е, где ыс—частота среза (граничная частота полосы прозрачности).
На рис. 5.8, б'ыр—резонансная чистота, при которой противоположного
характера сопротивления ZA-^ и ZsjZ-• ^ в схеме рис. 5.7, в вступают в резонанс,
так что Zj=co при частоте ир (при этом бесконечно велико затухание т-фильтра).
В области частот от &с до ир ат резко возрастает, что очень существенно, твк
как получается большое затухание в начале полосы затухания, где ак малб.
Уменьшение ат при «>-Ор компенсируется ростом aj,. Напряжение на входных
зажимах фильтра опережвет напряжение на нагрузке на угол b=bm-\-6&, где
Ьт—угол сдвига по фдое от m-фильтра, а Ь&—угол сдвига по фазе от £-фильтра.
Зависимость &ь=/(в)) рассмотрена в § 5.3. Зависимость bm=f{v>) показана на
рис. 5.8, е для фильтра НЧ и на рис. 5.8, д для фильтра ВЧ. Зависимость Zet
от о/юс для фильтра НЧ показана на рис. 5.8, е при трех значениях т. При
»is^0.5-b0-6 сопротивление Ztf остается приблизительно постоянным почти
во всей полосе прозрачности, резко уменьшаясь только вблизи частоты среза.
Рассмотрим свойства Г-полузвена m-фильтра (рис. 5.9, я), являющегося
составной частью фильтра рис. 5.6, б. Опуская промежуточные выкладки,
запишем окончательные выражения для Z^ и Zca этого фильтра:
Входное сопротивление А-фильтра рис. 5.6, б
гя-/вд(2+|).
Г-лолузвено m-фильтра рис. 5.9, а называют последовательно производным,
так нак его сопротивление ZM состоит на двух последовательно соединенны?
сопротивлений —Za и Zi, являющихся производными от сопротивлений
Zi и Zg А-фильтра. Сопротивлений Z± и Zs имеют противоположный характер
(одно индуктивный. Другое емкостный), поэтому при некоторой частоте
сопротивление Z1()=0 (резонанс напряжений). Для полосы прозрачности зависимость
изменения Zcl от ю/шс для фильтра НЧ (от ajm для фильтра ВЧ) при трех значениях
т показана иа ряс. 5.9, б. При m ?=« (0.5-ь 0,6) Zfl относительно мало изменяется
в полосе прозрачности, что важно для практика. Зависимости ат={{$>) н 6т =
= f (ю) для pi-фильтра рис. 5.6, б такие же, что и для соответствующего ему
m-фильтра рис. 5.6, а. Обобщенно можно сказать,- что теоретически бесконечно
большое затухание в д]-фильтре на чщтоте юр создается либо за счет того, что
на этой частоте в последовательной ветви полузвена m-фильтра оказывается участок
с бесконечно большим сопротивлением (возникает резонанс токов), либо за счет
того, что параллельная ветвь /л-фнльтра образует короткое замыкание при
возникновении в вей режима резонанса, напряжений. При каскадном соединении
нескольких in-фильтров значения L, С выбирают различными, чтобы создавать большие
затухания на нескольких заданных частотах (wpl, (Upa и т. п.) При этом_
зависимость a=f(<a), например, для фильтра НЧ имеет вид гребенки, показанной
на рнс, 5.9, е. Фильтр с такой характеристикой иногда называют гребенчатым*
§ 5.5. RC-фильтры. Если сопротивление нагрузки фильтра очень велико
(например, входное сопротивление лампового усилителя), то фильтр иногда
выполняют из элементов ft и С.
На рис. 5.10, а—в изображены схемы фильтров НЧ, ВЧ и полосового RC-
фнльтра, а на рис. 5.10, е~-е—соответствующие им зависимости o=lnl/,/f/s =
= /(©). Для всех ftC-фильтров в рабочей зоне афО- Рабочая зона фильтра НЧ
простирается от и=0 до f»=coc=l/ftC (принято условно) при с=0,343 Ни.
Для фильтра ВЧ рабочая зона находится в диапазоне от (D=©c=l/ftC при п=
=0,343 Нп дою —со. В полосовом фильтре минимальное зат)хание имеетместо
при (0=we=l/ftC
Вопросы ДЯ1 самопроверки
1. Дайте определение полосы, .прозрачности и полосы затухания. Как опре-
-; делить границы полосы прозрачности для фильтров НЧ и ВЧ, а также полосовых
и заграждающих фильтров? 2. Начертить трафики изменения Z„ а и b в
функции частоты о для всех известных Вам типов фильтров. Из чего следует исходить
7!гм определении характера Zc фильтра в полосе, затухания? 3. В чем недостатки
ЫЬильтров? 4. Как согласовывают полузвенья wi-фильтра с fe-фнльтром? За счет
Zero в pi-фильтрах при некоторых частотах возникает бесконечно большое
затухание? S. В чем преимущества m-фильтров -перед й-фильтрами? 6. Чем
принципиально отличается ftC-фидьтр от А- и т-фильтров? 7. Решите задачи 14.1; 14,4;
U6; 14.7; М.18; 1451; 14.22.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
; ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ
§ 6.1. Трехфазная система э. д. с. Под трехфазной симметричной
системой э. д. с. понимают совокупность трех синусоидальных э. д. с.
очинаковой частоты и амплитуды, сдвинутых по фазе на 120°.
Графики их мгновенных значений изображены на рис. 6.1; векторная
диаграмма—на рис. 6,2.
Принцип получения трехфазной
системы э. д. с. иллюстрирует
рис. 6.3. В равномерном
магнитном поле с постоянной угло-
еой скоростью <о вращаются три
одинаковых жестко скрепленных
друг с другом катушки.
Плоскости катушек смешены гв ■ ■
б пространстве друг относительно
друга на 120° В каждой катушке наводится синусоидальная э. д. С.
одинаковой амплитуды, но по фазе они сдвинуты на Ш.
Рнс. 6.2
Рис. 6Л
Аналогичным путем можно получить двух- и четырехфазную
систему э. д. с. и более. Наибольшее практическое применение
получила трехфазная система.
Э д с трехфазного генератора обозначают следующим образом.
одну из э. д. с. обозначают EAt отстающую от нее на 120° э. д. с. —
Ев, а опережающую на 120° — Ес.
Последовательность прохождения э. д. с. через одинаковые
значения (например, через нулевое значение) называют последовательностью
§62 Пяинцнп работы трехфазного Машинного генератора. В машинном г^не-
ратор\ (рис. 6 4" ^мот^и.^подТнжны (помещены в пазы статора), на рисунке
«бозначены 'буквами А, В, С. Магнитное поле в нем создается вращающимся
ротором с намотанной катушкой, го которой протекает постоянный ток. Если, число
пар полюсов ротора равно 1, то угловая скорость вращения ротора равна
угловой частоте вращающегося магнитного поля. А\агнитная цепь в такой
конструкции почти замкнута (имеется только небольшой зазор между статором и ротором).
что позволяет получить значительный поток при относительно небольшой
магнитодвижущей силе обмотки ротора. При
конструировании генератора стремятся к тому, чтобы
распределение,, магнитной индукции по окружности
статора было практически синусоидально.
Пунктиром на рис. 6.4 показаны магнитные силовые ли*
§ 6,3, Трехфазная цепь. Расширение
понятия фазы. Совокупность трехфазной
системы э. д. с, трехфазной нагрузки
(нагрузок) н соединительных проводов
называют трехфазной цепью.
Токи, протекающие по отдельным
участкам трехфазных цепей, сдвинуты
относительно друг друга но фазе. Под фазой
трехфазной цепи понимают участок
трехфазной цепи,/ по которому протекает
одинаковый ток. В литературе фазой иногда называют однофазную цепь,
входящую в состав многофазной цепи. Под фазой будем также
понимать аргумент синусоидально меняющейся величины. Таким образом,
в зависимости от рассматриваемого вопроса фаза—это либо участок
трехфазной цепи, либо аргумент синусоидально изменяющейся величины,
§ 6.4. Основные схемы соединения трехфазных цепей,
определение линейных и фазных величин* Существуют различные способы
соединения обмоток генератора с нагрузкой. Самым неэкономичным
способом явилось бы соединение каждой обмотки генератора с
нагрузкой двумя проводами, на что потребовалось бы шесть соединительных
проводов. В целях экономии обмотки трехфазного генератора
соединяют в звезду или треугольник. При этом число соединительных
проводов от генератора к нагрузке уменьшается с шести до трех или
до четырех.
На электрической схеме трехфазный генератор принято изображать
в виде трех обмоток, расположенных друг к другу под углом 120°.
При соединении звездой одноименные зажимы (например, концы х,
у, г) трех обмоток объединяют в одну точку (рис. 6.5), которую
называют нулевой тонкой генератора О. Обмотки генератора обозначают
буквами А, В, С; буквы ставят: Л —у начала первой, В —у начала
второй н С— у начала третьей фазы.
При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 6.6)
конец первой обмотки генератора соединяют с началом аторой, конец
второй —с началом третьей, конец третьей —с началом первой.
Геометрическая сумма э. д. с, в замкнутом треугольнике равна нулю.
Поэтому если к зажимам А, В, С ие присоединена нагрузка, то по
обмоткам генератора не будет протекать ток.
Обратим внимание на то, что расположение звезды или треугольника векто-
фазных э. д- с. на комплексной плоскости ие следует связывать с расположе-
м в пространстве осей трех обмоток генератора.
Пять простейших способов соединения трехфазного генератора
с трехфазной нагрузкой изображены на рис. 6.7 — 6.10.
Рис. 6.5 Рис. 6.6
Точку, в которой объединены три конца трехфазной нагрузки
при соединении ее звездой, называют нулевой точкой нагрузки и
обозначают О'. Нулевым проводом называют провод, соединяющий нуле-
Рнс. 6.7 Ряс. 6.8
вые точки генератора н нагрузки. Ток нулевого провода назовем /„.
Положительное направление тока возьмем от точки О' к точке О.
Провода, соединяющие точки А, В,- С генератора с нагрузкой,
называют линейными.
а)' Ю
Рнс. 6.9
Схему рис. 6.7 называют звезда —звезда с нулевым проводом;
рис. 6.8 —звезда —звезда без нулевого провода; рис. 6.9, я —звезда —
треугольник; рнс. 6.9, б—треугольник—треугольник; рис. 6.10 —
треугольник — звезда.
Текущие по линейным проводам токи называют линейными; их
обозначают 1А, 1В, 1С. Условимся за положительное направление
токов принимать направление от генератора к нагрузке. Модули
линейных тАсов часто обозначают /„ (не указывая никакого
дополнительного индекса), особенно тогда, когда все линейные токи по модулю
одинаковы.
Напряжение между линейными проводами называют лилейным и
обозначают, например, 0АВ (линейное напряжение между точками
А и В); модуль линейного напряжения — 1/я.
Ркс. 6.10 - Рис. 6.11
Каждую из трех обмоток генератора называют фазой генератора;
каждую из трех нагрузок —фазой нагрузки; протекающие по ним
токи — фазовыми токами генератора /ф или соответственно нагрузки,
а напряжения на них —фазовыми напряжениями (Uq).
§ 6.5. Соотношения между линейными и фазовыми напряжениями
и токами. При соединении генератора в звезду (рис. 6.7, 6.8, 6.9, о)
линейное напряжение яо модулю в У"3 раза больше фазового
напряжения генератора (1/ф). Это следует из того, что UK есть основание
равнобедренного треугольника с острыми углами по 30° (рис. 6.11):
V„=UAB=U^ cos SO0 = V^V^ (6.1)
Линейный ток 1В при соединении генератора в звезду равен
фазовому току генератора;
/л = /ф-
При соединении генератора в треугольник линейное напряжение
равно фазовому напряжению генератора (см. рис. 6.6, 6.9. б):
иа=*и+ (6.2)
При соединении нагрузки в звезду (см. рис. 6.7, 6.8, 6.10)
линейный ток равен фазовому току нагрузки:
/« = /ф.
При соединении нагрузки в треугольник положительные
направления для токов выбирают по часовой стрелке. Индексы у токов
соответствуют выбранным для них положительным направлениям:
первый индекс отвечает точке, от которой ток утекает, второй —
точке, к которой ток притекает.
При соединении нагрузки в треугольник (см. рис. 6.9, а, 6)
линейные токи не равны фазовым токам нагрузки и определяются через
них по первому закону Кирхгофа:
'д— 'ив— 'ел; *в=*вс~*АВ~г *c~Ica — Ibc-
§ 6.6* Преимущества трехфазных систем. Широкое распространение
трехфазных систем объясняется главным образом тремя основными
причинами:
1) передача энергии на дальние расстояния трехфазным током
экономически более выгодна, чем переменным током с иным числом
фаз;
2) элементы системы —трехфазный асинхронный двигатель и
трехфазный трансформатор —весьма просты в производстве, экономичны
и надежны в работе;
3) система обладает свойством неизменности величины мгновенной
мощности за период синусоидального тока, если нагрузка во всех
трех фазах трехфазного генератора "Одинакова.
§ 6.7. Расчет трехфазных цепей. Трехфазные цепи являются
разновидностью цепей синусоидального тока, и лотому расчет и исследо-
зание процессов в них производятся теми же методами и приемами.
которые рассматривались в гл. 3 и 4.
Для цепей трехфазного тока применим также символический метод
расчета и могут строиться векторные, топографические н круговые
диаграммы.
Аналитический расчет трехфазных цепей рекомендуется
сопровождать построением векторных или топографических диаграмм.
Векторные диаграммы облегчают нахождение углов между токами и
напряжениями, делают все соотношения более наглядными и помогают
находить ошибки при аналитическом расчете, если последние
возникнут.
§ 6.8. Соединение звезда — звезда с нулевым проводом. Если
нулевой провод-в схеме рис. 6.7 обладает весьма малым
сопротивлением, то потенциал точки О' практически равен потенциалу точки О;
точки О' н О фактически представляют собой одну точку. При этом
в схеме образуются три обособленных контура, через которые
проходят токи:
!a-Ea/Za; IB = EB/ZB; Ic^Ec/Zc
По первому закону Кирхгофа, ток в нулевом проводе равен
геометрической сумме фазовых токов:
/0 = /А + /В+/с (6.3)
Если ZA = ZB = ZC (такую нагрузку называют равномерной), то
ток /„ равен нулю н нулевой провод может быть изъят из схемы
без изменения режима ее работы.
При неравномерной нагрузке фаз ток /с в общем случае не равен
нулю.
145
При наличии в нулевом проводе некоторого сопротивления расче*
схемы производится методом двух узлов.
Пример 59, В схеме рис. 6.12, о э. д. с. каждой фазы трехфазного
генератора равна 127 В. Сопротивления фаз нагрузки равны по
величине (6,35 Ом), ио имеют различный характер:
ZA = R; ZB = j<aL; Zc = — j/4>C. Определить ток
в нулевом проводе.
Решение. Построим векторную диаграмму
(рис. 6.12, б). Токи всех фаз по модулю равны
127/6,35 = 20 А. Ток /д совпадает по фазе с ЁА.
Ток /д на 90° отстает от Eg, Ток /с
опережает Ес на 90°. Сумма /л+/я+/с дает
вектор тока /0. По модулю он равен 14,6 А.
Пример 60. Какой величины должно быть
взято сопротивление R в фазе А схемы рис.
6.12, с, чтобы ток в нулевом проводе стал
равным нулю?
Решение, Геометрическая сумма токов /в+Л: по модулю равна
2.20-cos30° = 20]/3 А.
Ток в нулевом проводе будет равен нулю, еслн ток IA, ,™,,,HD-
ленный противоположно сумме /в+/с» по модулю станет равным
20]ЛЗ А. При этом сопротивление фазы А
R = E/20V3 = 127/20^3=3,66 Ом.
Пример 61. Определить ток в нулевом проводе схемы рис. 6.12, а,
если в фазу А включить активное сопротивление 3,66 Ом, а
индуктивность и емкость фаз В и С поменять местами; e>L = 1/<оС=6,35 Ом.
Решение. Векторная диаграмма изображена на рис. 6.13. Из
нее следует, что /„ = 34,6+34,6^69,2 А.
§ 6.9. Соединение нагрузки в треугольник. Выберем направление
токоа в фазах треугольника в соответствии с рис 6.9, а. Ток 1АВ
вызывается напряжением 0АВ. Величина и фаза его по отношению
к напряжению 0АВ определяются сопротивлением нагрузки Zab. Ток
/вс вызван ианряжением 0^. Величина и фаза его по отношению
к £'вс определяются сопротивлением 2flC. Ток /ел вызван
напряжением Осд и определяется сопротивлением ZCA. Линейные токи
определим через фазовые токи по первому закону Кирхгофа:
1а = *ав — *са~, \
/Й = /ВС-/ДВ; } (6.4)
При равномерной нагрузке фаз линейные токи по модулю в ]/"3
раз больше фазовых токов нагрузки. При неравномерной нагрузке
линейные токи могут быть и больше и меньше фазовых токов
нагрузки.
Рис. 6.14
Пример62. В схеме рис. 6.U,aZAB=—19/; ZBC=19/; 2сл=190м.
Э. д. с. каждой фазы генератора 220 В, Определять все токи н
построить векторную диаграмму.
Решение. Векторная диаграмма построена на рис. 6.14, б.
Напряжения на фазах нагрузки в ]ЛЗ рав больше фазовых э. д.. с.
генератора и равны 220yiJ = 380 В. Ток 1Ав опережает напряжение UAB
на 90° и равен 380/19 = 20 А. Ток /вс отстает от Овс на 90° и также
равен 20 А. Ток 1Са по модулю равен 20 А и совпадает по фазе
с напряжением Оса- Линейные токи /д, 1В, 1с найдем графически
путем использования соотношений (6.4). По модулю /л = /с*=**10 А;
/в = 20 А.
§ 6.10. Оператор а трехфазной системы. Условимся комплексное
число е'120°, по модулю равное единице, обозначать а н называть
оператором трехфазной системы. Тогда
е/2м° = (е?12'>0)г = иа.
Три вектора: 1, а и я2—образуют симметричную трехфазную
систему (рис. 6.15):
l+o+os = 0. (6.5)
Умножение какого-либо вектора на а поворачивает его без
изменения модуля на угол 120° против часовой стрелки. Умножение век-
ш
тора на я2 поворачивает его на угол 240° против часовой стрелк
или, что то же самое, поворачивает его по часовой стрелке на 12 .
С помощью оператора а можно выразить э. д. с. Ёв и Ёс симм ;
рнчной трехфазной системы через э. д. с. ЁА:
Ёв = а*ЁА\ Ёс = аЁА. (6.
§ 6.11. Соединение звезда — звезда без нулевого провода. Н
рис. 6.8 представлена схема с двумя узлами (точки О и О'). Дл-
расчета токов в ней целесообразно пользоваться методом двух узлов5
(см. § 1.21). Напряжение между двумя узлами
°'° Уд+Ув+Ус Ул+Ув+Ус
Ув=Ус), то [см. соотношение'-
Если нагрузка равномерна (К,
> ФМ
ЁАУд«+а+<Р)
Uo-o = зГд =0
и напряжение на каждой фазе нагрузки равно соответствующей э. д. с:
Оао-^Ёа; Ово'~Ёв; Ucoi = Ec.
Если нагрузка неравномерна, то ио-оф0 н
Оао'=^Ёа — Оо'0~, Ово' = Ёв — Оо'о\ йсо' = Ес~00-о.
Токи в фазах нагрузки:
h = UAD.lZA; 1b = 0bo-IZb; lc = Uco-lZc.
Если в двух фазах нагрузка одинакова, например ZB = гс ==£ Z^,
то формула (6.7) после преобразований имеет следующий вид:
Ос
AZB+2ZA-
(6.8)
§ 6.12. Трехфазные цепн при наличии взаимоиндукции. Расчет
трехфазных цепей, содержащих магнитносвязаяные катушки, произ-
водится так же, как и расчет магннтносвязанных цепей однофазного
синусоидального тока.
Пример 63. Определить показания амперметра и вольтметра в схеме
оис 6.16. Построить топографическую диаграмму, совместив ее с
векторной диаграммой токов. Дано: £ф=127 В; mL=l/e>C = 4 Ом;
„м^г Ом. -
решение. Выберем положительные направления токов в
соответствии с рис. 6.16. По первому закону Кирхгофа, /д + /в+/с = 0.
Примем э. д. с. Ёя направленной по оси +1. Составим уравнение
по второму закону Кирхгофа для контура ОАО'ВО:
IAjuL+IBlaM - (/B/wL + hfaM) = UAB.
После подстановки числовых значений получим
2;(/л-/в)-220е*>°\
'WB=^S;=110e-^A.
Для контура ОСО'ВО
Ц- £с)--(1в№+1А!Ш) = Осв,
или
—4//л-2/7л-*//„ = 220/.
Совместное решение трех уравнений дает:
?Д=П0; /B=110e'6D'; /с"=1ЮУЗе-п5о° А.
Топографическая диаграмма, совмещенная с вектораой диаграммой
токов, изображена на рис. 6.17. Амперметр показьшает ПО А,
вольтметр — приблизительно 640 В. Последний
результат получен после подсчета фо- по
формуле '
<Fo* = Ч*о + ЁА — /д/ш! — /в/шМ.
§ 6.13. Актнаиая, реактивная и
полная мощности трехфазной системы. Под
активной мощностью трехфазной системы
понимают сумму активных мощностей фаз
нагрузки и активной мощности в
сопротивлении, включенном в нулевой провод:
Р = РА + РВ+РС+Р0. -(6.9)
Реактивная мощность трехфазной си- м
стемы представляет собой сумму
реактивных ыоишостеи фаз нагрузки и реактивной мощности
пни, включенном в нулевой провод:
Q^Qa+Qb+Qc+Qo.
Полная мощность
i сопротивле-
(6.10)
Если нагрузка равномерная, то
где <рф—угол между напряженней иф на фазе нагрузки и током /
фазы нагрузки.
При равномерной нагрузке фаз
е=3£/ф/фЯПфф; \
|6.i
i звезду ила
(6.13}
При равномерной нагрузке независимо от способа ее
в треугольник __
3£/ф/ф=Кз VbV^=VbVJBt
где ид—линейное напряжение на нагрузке; /я—линейный ток нагрузки. ;Г
Поэтому вместо формул [6.12) часто используют следующие:
Q=VauaraninW} 1б.14|
§6.14. Измерение активной мощности в трехфазной снстеме.'Для измерения
активной мощности трехфазной системы в общем случае (неравномерная нагрузка
наличие нулевого провода) необходимо включать три ваттметра по схеме рис. 6.18
Активная мощность системы равна сумме показаний трех ваттметров.
Рис. 6.18
Рнс. 6.19
Если нулевой провод отсутствует, то измерение мощности производит двумя -
ваттметрами во схеме рис. 6.19. Сумма показаний двух ваттметров ври этом опре- -
деляет активную мощность всей системы независимо от того, в звезду или тре- *
угольник соединена нагрузка (треугольник нагрузки всегда может быть преобра-.
аован в эквивалентную звезду).
Показание первого ваттметра равно ^0ACfA, второго—Re(?BC?B. Но
R« {СДС'Д+^ЛС'В)-1" [{«А-Щ *д+((?,,-Ос) J,]-
При равномерной нагрузке фаз достаточно измерить мощность одной нз фаз-
в результат утроить.
§ 6.15. Круговые н линейные диаграммы в трехфазных цепях*
Если меняется модуль сопротивления одной из фаз трехфазной цепи,
т0 геометрическим местом концов векторов напряжения (тока) любой
из фаз цепи является окружность или прямая линия.
Для примера рассмотрим круговую диаграмму напряжений по
схеме рис. 6.20, если ZB = Zc = r = const и изменяется только модуль
сопротивления фазы A (ZA).
Используем формулу (4.40), заменив в ней индексы а и Ь на О*
и О. В режиме холостого хода ток по фазе А равен нулю, а
напряжения на двух сопротивлениях
£B==Zc = r равны (/вс/2. Точка О*
в режиме х. х. находится
посередине вектора Овс (на рис, 6.21,
а — точка /), при этом СVo и =
~—0,5ЁА. При коротком
замыкании сопротивления ZA потенциал
точки О' равен потенциалу точки А'.
Поэтому OcoK.s = EA. Хордой
искомой окружности является
разность .векторов (рис, 6.21, б) (7o'Ok.s -uua.» -л * -,—„,
= 1,5Ед. Для определения входного сопротивления ZBX no отношению
к точкам А н О служит схема рис, 6.22, а (источники э. д. с,
закорочены). Два сопротивления г включены параллельно, поэтому Z„K=s
= г/2 н <рм=0.
Рассмотрим три случая, отличающихся характером
сопротивлении Za.
бе'ок.ГЩухЛ Ш'ом-Еа
Рис 6.20
= ^-(-0,5^0 =
--№
1. Когда Z^--изменяющееся емкостное сопротивление, то £д=э
= —//шС, фн = —90° и 1р = фн— tpBI=—90°, Круговая диаграмма
напряжения 00-0 построена на рис, 6.22, б, где линия Хс проведена
по отношению к хорде под углом — ф = 90°. Масштаб для Хс
соответствует масштабу, в котором отрезок fd выражает входное сопротив- ■
ление ZH„ = г/2. Геометрическим местом точки СУ является
полуокружность fpA, Для определения величины и фазы Осо при некотором
произвольном значении Хс его следует отложить на линии md, и
провести луч fm. Точка пересечения луча fm с полуокружностью fpA
обозначена р. Напряжение Оо'о, соответствующее взятому значению
■^с, изобразится вектором, проведенным из точки О в точку р.
2. Когда ZA — изменяющееся индуктивное сопротивленне,-го Ч> =
и геометрическим местом концов вектора (Уо-о является полуокру
ность fqA (изображена пунктиром на рис. 6.22, б). Линия пере
ного параметра- в' этом случае будет справа от точки d.
3. Когда ZA~чисто активное сопротивление, то ф=фн —<Рв* =
и геометрическим местом концов вектора Uo-o. является прямая
§ 6.16. Указатель последовательности чередования фаз. Опред
ление порядка или последовательности чередования фаз в трехфазн
симметричной системе э. д. с. (напряжений) производят с помощ ■
указателя последовательности чередования фаз. В простейшем испо'
нении он состоит из двух одинак
выл ламп накаливания и конденс
тора (рис. 6.23).
Емкость С берут такой величн
ны, чтобы емкостное сопротивленн"
1/ыС равнялось сопротивлению каж.
дой лампы.
Если три конца указателя под
ключить к трем концам симметра
ной трехфазной системы э. д, с.
то потенциал нулевой точки схе .
на рас. 6.23 будет определятьс-
положением точки О' на векторно
диаграмме рис. 6.22, 6 (соответ№
вует точке р).
Из диаграммы рис. 6.22, 6
видно, что напряжение на лампах,
накаливания будет различно. Н
лампе, включенной в фазу В, она
определяется вектором Ubc, на,
лампе, включенной в фазу С, —век-'
)-~>UCo>, то лампа в фазе В будет горет ■
более ярко, чем лампа в фазе С. Следовательно, если фазу
трехфазной системы э. д. с, к которой подключен конденсатор, принять за,
фазу А, то фаза, к которой окажется подключенной ярко горящая
лампа, есть фаза В, а фаза с тускло горящей лампой — фаза С.
Одним из важнейших свойств многофазных и, в частности, трех-'
фазных токов является их способность создавать круговое вращаю*-
щееся магнитное поле.
§ 6.17. Магнитное поле катушки с синусоидальным током. Маг-,
нитное поле одной катушки, по которой протекает синусоидальный.
ток, представляет собой пульсирующее * (ие вращающееся) магнитное
ноле. На рис. 6.24 изображена катушка, по которой проходит сину-_
соидальный ток i =/m sin »>(. Магнитное поле характеризуется векто-
Л
т f
Kf
d V
t ■ ■
Рис. 6.2
тором Uco-. Так как t/B(
* Под пульсирующим полем понимают поле, вектор магнатной индукции
которого изменяется (пульсирует) вдоль оси создающей его катушки с токоы.
ром магнитной индукции В. Направление В определяется
направлением намотки катушки и направлением тока в ней в данный момент
времени. Пусть буква Я означает начало, а К—конец .катушки.
Если ток входит в зажим Я и выходит из зажима К (это
направление тока будем считать положительным: ему соответствует интервал
Рис 6.23
времени от 0 до я), то вектор магнитной индукции направлен вверх
по осевой линии натушки. В следующий полупериод, когда ток
отрицателен, вектор В направлен вниз (пунктир на рис. 6.24). Таким
образом, геометрическим местом концов вектора В является ось
катушки.
§ 6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля.
Круговое вращающееся магнитное поле представляет собой магнитное
поле, вектор результирующей магнитной индукции которого по
величине неизменен и вращается с постоянной угловой скоростью а>.
Расположим три одинаковые катушки так, чтобы их оси были
смещены на 120° по отношению друг к другу (рис. 6.25, с).
Присоединим катушки к симметричной трехфазной системе э. д. с. Пусть
токи входят в начала катушек Я и изменяются следующим образом:
h = Im sin <af;
i2 = /„,sin(<of- 120°); ia = /msin(W+120o).
Графики токов изображены на рис. 6.25, 6. Каждый из токов
создает пульсирующее поле, направленное вдоль оси своей катушки.
Положительное направление оси первой катушки обозначим +1,
рой +2, третьей +3. Магнитную индукцию первой катушки обозн»
чим Ви второй —В2, третьей — £„. Тогда
B1 = Bmsmtat; B2^=Bmsin(a>t- 120"); BB=^Bmsin(t£>t+ 120°).
Изобразим векторами в пространстве мгновенные значения Вж, &£
Вь н результврующую индукцию для моментов времени со* = 0, siJ2f
%
^i
1 Xх
.<Л
4>J
spts
W +24
Рис. 6.26
+»
S
>^ /far
л, Зя/2 (рис. 6.26, о—г). Запишем алгебраическую сумму проекций
векторов магнитных индукций В1г Йа, В3 на оси л: и у декартовой
системы координат (см. рис. 6.25, в), совместив ось * с осью / и ось
У С ОСЬЮ +/:
Вх = б2 cos 30° — Д, cos 30° = — -| Д,/;
4 = 4-4 cos 60° - В3 cos 60° = f Bm.
Мгновенное значение проекций векторов магнитной индукции на
оси х и у
В* = — YB<pCOSw£; By^yB^sinwf.
Результирующая индукция по модулю # = V^+£§==4bct
составляет угол р с осью — *: tgp= — ~ = tgv>t, т. е. угол p = wf.
С увеличением времени вектор результирующей магнитной
индукции, оставаясь по величине равным 36^2, вращается с угловой
скоростью ю по направлению от начала первой катушки с током
/m sin со* к началу второй катушки с током /„sin (to* —120°), т. е.
вектор результирующей магнитной индукции ^вращается в сторону
катушки с отстающим током.
Если ток /msin(cor —120°) пропустить по третьей, а ток
/msm(iu(+120°) — по второй катушке, то направление вращения поля '
изменится на обратное. ;
Если произойдет обрыв одной из фаз или ток в ней по
амплитуде не будет равен току в какой-либо другой фазе или сдвинут по
Лазе ие на 120°, то образуется эллиптическое вращающееся поле.
При возникновении его конец вектора результирующей магнитной
индукции будет скользить по эллипсу.
Для того чтобы усилить вращающееся магнитное поле, внутрь
катушек помешают полый или сплошной ферромагнитный цилиндр,
а стороны катушек заключают в пазы
внешнего ферромагнитного цилиндра (рис. 6.27).
Вращающееся магнитное поле используется в
электрических двигателях,
§ 6.19. Принцип работы асинхронного
двигателя. Наиболее распространенным в промыш- ■-
ленностя типом двигателя переменного тока
является трехфазный асинхронный двигатель. В
нем имеется неподвижная часть — статор, в
пазах которого помешены три катушки,
создающие круговое вращающееся магнитное поле, и
подвижная часть— ротор, в пазах которого находятся три замкнутые на
себя или на внешнее сопротивление катушки (рис. 6.27). Катушки
на рис. 6.27 даны в разрезе, торцовые части катушек не показаны;
каждая из катушек занимает лишь небольшую часть окружности
статора (или ротора). В действительности каждая из катушек
(прямые и обратные провода ее) занимает около Vs окружности расточки
статора (или окружности ротора). Вал ротора двигателя соединен с
валом рабочей машины.
Допустим, что вначале ротор неподвижен. При этом вращающееся
магнитное поле, созданное обмотками статора, пересекает провода
катушек неподвижного ротора с угловой скоростью со и наводит в иих
э. д. с. Э. д. с. вызовут токи в катушках ротора. По закону Ленца,
эти токи стремятся своим магнитным полем ослабить вызвавшее их
магнитное поле.
Механическое взаимодействие токов ротора с вращающимся
магнитным полем приведет к тому, что ротор начнет вращаться в „ту же
сторону, в какую вращается магнитное поле (в этом можно убедиться,
применив правило левой руки).
В установившемся режиме скорость вращения ротора ирот
составляет (0,98-^0,95)©. Двигатель называют асинхронным потому, что
ротор его вращается не синхронно с вращающимся полем; <орот ие
может равняться угловой скорости вращающегося поля. Это станет
понятно, если учесть, что при <орот = <о вращающееся поле ие пересекало
бы провода катушек ротора, в них отсутствовал бы ток и ротор ие
испытывал бы вращающего момента *.
§ 6.20. Разложение несныметричвой системы на системы пулевой, прямой и
обратной последовательностей фаз. Любую несимметричную систему трех токов,
* В курсе ТОЭ ограничимся качественным рассмотрением основных положений,
характеризующих принцип работы асинхронного двигателя. Подробнее эти вопросы
изучают н курсе электрических машин.
напряжений, потоков одинаковой частоты—обозначим нх А. В, С—можно одн<
значно представить в виде трех систем: нулевой, прямой и обратной последо "
тельностеи фаз.
Система пряшй последовательности (рис. 6.28, о) состоят из. трех векторов At
В±, С(, равных по величине и повернутых относительво друг друга на 120°, прич -
вектор В\ отстает от вектора А^ на
120°. Используя оператор а трехфад-
а ной системы (см. § 6.10), мойню эапи-
— * сать:
ч) S) 6) С1=аА* *«£
Система обратной последователь-.
Рис. 6.28 поста (рис. 658, б) состоит нз трех
векторов Ла, Вг, С2. равных по вели--
чипе и повернутых относительно друг друга на 120*, причём вектор 6, опережает
вектор Л8 на 120": г г ^^
Йа=пЛ,;
Система нулевой последовательности (рис. 6.28. в) образована тремя векторами,
совпадающими по фазе: *
Ар=йа=<:0 (6.17)У
Л=Л,,-М1 + А;
й=4+Й1+4: (6.18)"
С=С0+с1+Сй.
Перепишем (6.18) с учетом (6.15) и (6.16):
A=Ao+Ai+As, (6.19)..
E=Ae+d*A1+aAj, (620) .
^=Л0+аА1+оад2- (6.21) '
Из системы уравнений <6.|9)-(6.21) найдем Л0. Аь А, через заданные векторы
У', , ," Д™ «"РВДеления л0 сложим уравнения (6.19)-(6.21) и учтем, что
l+a+ns=0. В результате получим ' у
Л9=^(Л+Й+С). (S52) '
н»,г1аЛНМ обРа3ом' ■ЙЛЯ нахождения Л0 следует геометрически сложить три задай- .
ных нентора и взять одну треть or полученной суммы.
мсо ™*п °!!Р™«енИЯ Ак%^аюеяао (6Л9> «Ч»°»™ уравнение (6.20), умножен-
ное на а, и уравнение (6.21), умноженное на о", загем сложим их в получим
Л£=д-(Д+сб+о?С). (6-23)
Следовательно одна треть суммы, состоящей из вектора А плюс век- ':
^-^Й+о'Л+оС). (6.24)-
даапу
^1
§ 6.21. Понятие о методе симметричных составляющих. Трехфазные системы
передачи электрической энергии состоят из источников энергии, линий передачи,
реформаторов н электродвигателей. В результате какой-либо аварии (например,
короткого .замыкания или обрыва провода) или в результате несимметричной
нагрузки на элементах системы (электродвигателях, трансформаторах, на самой
чиний передачи) возникают несимметричные напряженки.
расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем
заиетисния' на копзрьк все элементы системы должны быть представлены
комплексными сопротивлениями. Но сопротивление на фазу для одного и того же элемента
различно для разных последовательностей. Поэтому расчет следует вести для
каждой из последовательностей отдельно, а затем искомую величину (ток или напрй-
жение) определить как сумму токов или соответственно напряжений от нулевой,
прямой и обратной последовательностей.
Рассмотрим причины, обусловливающие различные значения сопротивления
одного н того же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно
низких частотах).
Сопротивление на фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной
и нулевой последовательностей фаз обоэначвм соответственно 21л, Z^,, Z^.
Сопротивление на фазу линии для примой
последовательности Zv равно сопротивлению на Лрш Сердечник
фазу линии для обратной последовательно- f - '\
сти Z2jr но не ранио сопротивлению на
фазу линии для нулевой последовательности
фаз Z0j в результате различия в значениях
индуктивности на фазу трехфазной линии
пли систем прямой-и нулевой последователь-
нос гей фаз.
Различие в значениах индуктивности на
фазу для прямой и нулевой
последовательностей фаз объясняется двумя причинами.
Во-первых, индуктивность на фазу
линии передачи для прямой и обратной
последовательностей определяется только гео-
метрическини размерами петель,
образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу линии для нулевой
последовательностич зависит ие только от геометрических размеров петель,
образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель,
образованных линейными проводами и нулевым проводом.
Во-вторых, э. д. с, наводимые в проводах линии для прямой и обратной
последоиательностей, представляют собой геометрическую сумму э. д. с,
вызванных сдвинутыми по фазе на 120° токами в ля"неиных проводах, тогда как э. д. с,
наводимые в проводах линии для пулевой последовательности, созданы
совпадающими по фазе токами нулевой последовательности.
В трехфазном трехстержневом трансформаторе (магнитная система его
изображена на рис. 659) сопротивление на фазу для нуленой последовательности Zm
не равно сопротивлению на фазу для прямой последовательности Z1T, но Zlt=Z2T,
где ZgT—сопротивление на фазу для обратной последовательности.
Объясняется это глазным образом тем, что магнитные потоки нулевой
последовательности Ф0 всех трех фаз находятся в фазе и поэтому ие могут замыкаться
по соседним стержням магнитной системы-и замыкаются по воздуху (рис. 659).
Магнитные потоки трех фаз прямой О^ (и соответственно обратной)
последовательности по фазе вдвинуты на 120° и поэтому могут замыкаться по соседним
стержням магнитной системы. Так как магнитное сопротивление по пути в воздухе
много больше магнитного сопротивления по пути в стали, то при одинаковых
токах нулевой и прямой последовательностей O0-<<Dj. Поэтому Хт-С^ц. Еще
Большее различие между сопротивлениями нулевой гад, прямой Zw и обратной Zj,
последовательностей имеет место длч асинхронного двигателя.
Если к входным зажимам трехфазного асинхронного двигателя рис. 6.27
одновременно подвести систему напряжений прямой, нулевой и обратной
последовательностей фаз, то входное сопротивление на фазу двигателя для прямой
последовательности Z1A ne будет равно входному сопротивлению на фазу для
Рис. 6.29
обратной последовательности Z^ н оба онн будут отличны от входного сопроги
ления для пулевой последовательности ZB?. Разберем, чем это объясняется.
.Под действием напряжения прямой последсеательносгн в даигателе создает
круговое вращающееся магнитное поле. Око увлекает за собой ротор дангзтеля
Ротор вращается с угловой частотой юро1. Система напряжений обратной поел
довательности также создает круговое вращающееся поле, но направление врат "
ния его обратно направлению вращения поля прямой последовательности. .,.,
Система напряжений нулевой последовательности вращающегося магнитног
поля пе создает. Вокруг статориых обмоток сю создаются пульсирующие потока
замыкающиеся по воздушяому зазору между статором в ротором, подобно том '.
как в трехстержневом трехфазном трансформаторе рис. 659 потоки от нулево
последовательности, выходя из сердечника, замыкались во воздуху.
Входное сопротивление на фазу двигателя для данной последователи!
зависит ие только от актцниого н реактивного сопротивлений фазы статарно
обмотки, но и от актнвногб и реактивного сопротивлений фазы роторной обмотки * -
Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально частоте. Э. д.<с
прямой последовательности создают в роторе токи частоты «о—Ир0т> что
составляет примерно от 0,02 до 0,05<в, тогда как токи ротора от обратно вращающегося
поля имеют частоту е>+ЮрОТ«й(1,98-|-1^5)и. Так как частоты токов в роторе*.
создаваемые прямой и обратной последовательностнии, различны, то различны
и входные сопротивле hhjl на фазу для прямой {Z^} н обратной (Z^) последова
тельиостей. \2ty
Магнитные потоки нулевой последовательности фаз замыкаются, минуя ротор,-
а потоки прямой и обратной носледователлостен фаз проходят через ротор. При;
одном и том зке токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им .
потоки различны. Поэтому для асинхронного двигателя
Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. Ла осно-
зании принципа наложения, применимого к линейным целям, задйннын
несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения трех
симметричных режимов.
В первом1 симметричном режиме все токи, э. д. с. и напряжения содержат
только составляющие прямой последовательности фаз, а линии передачи,
вращающиеся машины и трехфазные трансформаторы представлены на схемах их
сопротивлениями для прямой последовательности Zj.
Во втором симметричном режиме все токи, э. д. с. и напряжения содержат-
составляющие только обратной последовательности, а машины и трансформаторы,
представлены их сопротивлениями обратной последовательности Zt.
В третьем симметричном режиме все токи, э. д. с. и напряжения содержат
только составляющие нулевой последовательности, а машины я "трансформаторы'
представлены соответстиующими сопротивлениями нулевой последовательности Z0.,
Для того чтобы от несимметричной исходной схемы прийти к трем симмет-'
ричным схемам, поступают следующим образом; в том месте схемы, где создается
несимметрия, в схему вводят систему трех несимметричных напряжений йд, Св, Сс,
Система этих трех напряжений (э. д. с.) на основапии теоремы компенсации заме- ■
няет три неодинаковых сопротивления, образовавшихся в месте аварии и
приведших к иесинметрви но веса схеме.
Далее систему трех несимметричных напряжений в соответствии с § 650
раскладывают на три симметричные системы, основные векторы которых Utt, C±.
Os надлежит определить.
Точно так же систему трех несимметричных токов /д, Iв, 1С раскладывают,
на тря симметричные системы токов, основные векторы которых /0, li, /a
надлежит определить.
* Подобно тому как в трансформаторе входное сопротивление определяется'
ме только собственным сопротивлением первичной обмотки, но и сопротивлением, '
шюсиыым вторичной обмоткой {см. § 3.39J.
IKS
В методе симметричных составляющих неизвестными являются шесть величин;
„ напряжения (У„, Ои 0$ и три тока (/„, }it /j), через которые могут быть
выражены любые напряжения и токи в цепи.
Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений. По одному
уравнению составляют для каждой из трех симметричных систем, остальные тря
уравнения записывают для того участка схемы, где создается несимметрия. Вид
трех последних уравнений зависит от характера несимметрии в схеме.
Примеры использования метода симметричных составляющих можно найти,
например, в [1].
Вопросы для самопроверки
I. ОпреДелить понятие трехфазной симметричной системы э. д. с. Какими
достоинствами объясняется широкое распространение трехфазных систем в
энергетике? 2. Что понимают иод активной и полной мощностями? 3. Почему при
симметричной нагрузке расчет можно вести на одну фазу? 4. Охарактеризовать условия
получения трехфазного кругового вращающегося магнитного воля. Б. Что
свойственно прямой, нулевой и обратной последовательностям фаз? 6. Как разложить
несимметричную трехфазную систему ва три симметричных? 7. Объяснить, почему
сопротивление на фазу элементов трехфазных систем (линии передачи, трехстерж-
невого трансформатора, асинхронного двигателя) неодинаково для различных
последовательностей. 8. Решите задачи 7,4; 7.13; 7Л5; 7.21; 7.28.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКПЧРЕСИИХ ЦЕПЯХ
§ 7.Ь Определение периодических иесинусондальных токов в
напряжений. Периодическими несинусоидальными токами и
напряжениям!, вазьшают токи и напряжения, изменяющиеся во времени
по периодическому несинусоидальному закону.
Они возникают при четырех различных режимах работы
электрических цепей (и при сочетаниях этих режимов):
1) когда источник э. д. с. (источник тока) дает несинусоидальную
э. д. с. (несинусоидальный ток), а все элементы цепи —активные
сопротивления, индуктивности и емкости — линейны, т. е. от величины
тока ие зависят;
2) если источник э. д. с. (источник тока) дает синусоидальную
э. д. с. (синусоидальный ток), но один или несколько элементов цепи
нелинейны;
3) когда источник э. д. с. (источник тока) дает несинусопдальную
э. д. с. (неейнусоидальный ток), а в состав электрической цепи
входят одно" или несколько нелинейных сопротивлений;
4) если источник э. д, с. (тока) дает постоянную или
синусоидальную э. д. с. (ток), а один или несколько элементов цепи
периодически изменяются во времени.
В данной главе рассматриваются методика расчета и особенности
работы линейных электрических цепей при воздействии на них
несинусоидальных э. д. с. и токов—первый из перечисленных режимов
работы. Второй и частично третий режимы работы обсуждаются
в гл. 15, четвертый режим работы —в гл. 18.
§ 7.2. Изображение несннусондальных токов и напряж
е Помощью рядов Фурье. Из курса математики известно, что люб
периодическую функцию f{x) с периодом 2л, удовлетворяющую ус "
вням Дирихле *, можно разложить в ряд Фурье.
Переменная величина х связана со временем t соотношением
x = 4>t=^2nt/T,
где Т — период функции во времени.
. Таким образом, период функции по JC равен 2л, а период той
функции по времени равен Т.
Ряд Фурье записывают так:
f(x) = Ac + A'1sinx + A'tsii]2x-\-AZsiB3x-\-A*isin4x-{- ... +-
+ А\со5х-{-АъСо52х~{-Аз cos3x-\-Alcos4х+ ... , (7.
где А0 — постоянная составляющая; А\ — амплитуда синусной (из -
няющейся по закону синуса) составляющей первой гармоники; А\
амплитуда косинусной составляющей первой гармоники; А^ — ампл '
туда синусной составляющей второй гармоники и т, д.
Здесь
А„-~
Л; = — l f(x)$iiixdx;
\f(x)dx;
^Г = ^ 1 f(x)cosxdx;
А'к
Так как
\ f(x)sitikxdx; A"k
=Л'«
cos kx dx.
A'h sin kx+Al cos kx = A b s in (foe + ^),
(7-
A*-V{A*P + (ASf и tg-b = AifAi.
то ряд Фурье (7.1) можно записать в пругой форме:
flx) = A0 + Alsin{x + -^+A,sm(^x+^ + !...
(7At
где Аь — амплитуда А-гармоники ряда .Фурье.
Гармоники, для которых k — нечетное число, называют нечетными^'
для которых ft —четное число,—четными. -■
* Все периодические фуницнн, с которыми имеют дело в электротехнике,?
условиям Дирихле удовлетворяют. Поэтому производить проверку на выполнение
условии Дирихле ис требуется.
- § 7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих
имметрией. На рис. 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладакщие
некоторыми специфическими свойствами.
Кривая рис. 7.1, с удовлетворяет условию-—/(х-г-я) =/(*).
Кривые, для которых выполнимо это условие, называют
симметричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, о
сместить по оси х на полпериода и зеркально отразить относительно оси jc,
то полученная кривая совпадет с кривой /(яг).
При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют
постоянная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю
коэффициенты Д, = Ла = Лй=Ла = Л4= .-- =0.
Поэтому кривые типа кривой рис. 7.1, с раскладываются в ряд
f(x) = A[sinx~{-Alcosx+A2sin3x~{-AZccs3x+ ...
Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию -—/(ж+л) =
= f(x). Так, например, — sin(*+n) = sinjc.
Кривая, подобная кривой рис. 7.1,6, обладает симметрией
относительно оси ординат и
удовлетворяет условию /(—x)^=f{x).
Если кривую, лежащую
левее оси ординат, зеркально
отразить относительно оси ординат,
то полученная кризая совпадет
с кривой, лежащей правее оси
ординат. При разложенни>таких
кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные {А\=А^ = А'3^ .,. =0)и
присутствуют лишь косинусные составляющие и постоянная
составляющая.
Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, б можно разложить
в ряд
/(jc) = ^04-j4;cosx+j4acos2j:+j4jcos3x+ ...
Кривые типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию -— /(—х) =
^fix); их называют кривыми, симметричными относительно начала
координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:
/(x) = ^;sinjc+j4;sin2jt+^3Sin3^+ ...
Рис. 7.2 .
§ 7.4* О разложении в ряд Фурье кривых геометрически пр
вильной и неправильной форм- Встречающиеся в электротехник
периодические кривые можно подразделять на две группы:
I) кривые геометрически правильной формы, например трапеие .
дальней, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в р
Фурье дано в табл. 7.1, где вместо х записано cof; 2) кривые прои
вольной (геометрически неправильной) формы; чаще всего они задан
в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графичес
(графо-аналитически),
§ 7.5, Графический (графо-аналнтический) метод определенн
гармоник ряда Фурье. Графический метод определения гармоник ряд
Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечно -
числа слагаемых. С этой целью период функции f(x), равный 2я
разбивают на п равных частей Дх = 2л/п и интегралы замен
суммами.
По определению, постоянная составляющая
где р — текущий индекс, принимающий значения от 1 до п; fp(x)
аначение функции f{x) при jt=(p—0,5) Дя, т.е. в середине р-т
интервала.
Амплитуда синусной составляющей fc-гармоники ряда
2Л л
А'ь = -^ 2 fp№sinpkx' t7-6
амплитуда косинусной составляющей й-гармоникн
А'ь=тЪ /p(*)cosp**- <77*
Здесь siiipkx и coSp/b: —соответственно значения функций sin ft "
и cos&t при х = (р — 0,5) Дх, т. е. в середине /з-го интервала.
При расчетах по формулам (7.5) — (7.7) обычно достаточно
разделить период на п = 24 или 18 частей, а в некоторых случаях н н
меньшее число частей.
Таблица 7.1
+ -se-sitt5asinIW-f-... J
f(al)=——[sinful—g-sia3ffl(+-^-sin5u^—•
_JLsm7„f+...)
St»
/{Ы)=—^(sintof+-^s"m3»^+e-sin5<fl/+--sin7cci/+.
Je
* / л ^nt f . ал , , 1 . Зал „ , .
f (oQ=——1 sin -g— соя to(+■=- sin —s— соя Зюг-f-
. I . 5ая - , „ \
-f- -g- sin —„ - соя 5ti)(-|- ■■■ 1
/ (ю0=-~ (у + ^ CM at+~\7T C0S 2fi*'~'
—-? ё-соз4й>/-[— -cosfW— ... 1
f i®1)=-^ ("2" + ТПГ CM 2al~T^W соэ 4и/+
+ -g-y- C09 6(0/— ... 1
/ m=Ml*»- (± + _L_C09 3arf—g^- соэ 6«rf+
+ "Г1о-см9в'--)
,/ л Зат Л . 2cos6of 2co9t2orf .
/И=—(i+—вту ПТ|з- +
2 соэ 18&rf \
Перед тем как производить графическое разложение в ряд, н <
ходимо выяснить, ие обладает ли раскладываемая функция снимет
рией относительно осей координат (см. § 7.3). Наличие того или иного
вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать,
какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая/(х) симметрична'
относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая Л„ и все чет-.'
ные гармоники отсутствуют, а вычисляя A'k и А% при нечетных ft,;
следует учесть, что 2/p(*)sinpfce за первый полупериод равна сумме'
2ifp(x)smpkx за второй полупериод.
Знак углов % в формуле (7.4) зависит от знаков А'к и Л*. При,.-
построении гармоник на общем графике необходимо учитывать, что-'
масштаб по оси абсцисс для ft-гармоники должен быть взят в ft past
большим, чем для первой гармоники.
Так, например, если некоторый отрезок по оси абсцисс для пер-;
вой гармоники выражает собой угол я/3, то тот же отрезок для
третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. <
3(я/3) = я.
Пример 64. Найти первую и третью гармоники функции /(*),.
изображенной на рис. 7.3,о. Значения ординат функции fp(x) зал
первый полупериод при разбивке периода на п = 24 части следующие:'.
р ... I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12
fp{x) ... 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10 5
Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абс-
цисс, то А0 = 0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.
Амплитуда синусной составляющей первой гармоники
л;=4 2 с w я»,*--! 2 '-Ms
А' — Та <7 si" 7°30' + Ч «1« 22°30' + 13,5 sin 37°30" + 15,4 sin 52°30' + -
+ 17,4sin67*30' + 20,5sin82°30"+25,4sin97°3u" + 32,5sin 112°30'-(-
+ 27,7 sin J27°30' + 19,2 sin I42°30' +10sin I57°30' +
+5sin 172°30')<«25,3.
Амплитуда косинусной составляющей первой гармоники
Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники
■ 2
A'* = 4i 2 Ux)s'nP3x^3,47.
Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники
12
Лэ=т2М*)с°5РЗх~5,1.
»=i
Амплитуда первой гармоники Л^У (Л;)а+(ЛГ)2 =25,9. Тангенс
угла 1]),, на который начало ^первой гармоники смещено по
отношению к началу кривой f (x),
tg*i=Ar/Ji; = — 5,23У25,3 = ^ 0,206; %= —IID40'.
Амплитуда третьей гармоники
Л8-У(Л^2 + (Л0а =6;
1ё% = Л;/Л;=1,47, ^3 = 55°50*.
Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, то
/(<ог) = 25,9sin(«£- ll°40')+6sin(3©i+55b50').
На рис. 7.3,6 изображены первая и третья гармоники
полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно
сопоставить с кривой рис. 7.3, а.
§ 7.6. Расчет токов н напряжений при несинусоидальных
источниках питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток
источника тока или э. д. с. источника э. д. с.) должны быть
представлены рядами Фурье.
Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой
ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных
гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом
участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений
отдельны?; гармоник на этом участке. Расчет производят для каждой из
гармоник в отдельности с помощью уже известных приемов.
Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от
действия постоянвой составляющей з. д. с. или источника тока, после
этого —токи и напряжения от действия первой гармоники, затем от
второй, третьей н т. д.
При расчете токов н напряжений, возникающих от действия
постоянной составляющей э. д. с, необходимо иметь в виду, что
падение напряжения на индуктивности L при постоянном токе равно нулю,
а также что постоянный ток через емкость С не проходит.
I6S
:} P.8J
При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление Xе
растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для й-гармоники Хц,
в k раз больше, чем для первой гармоники X^z
^Lk = kaL = kXtu
Xli*= соЬ.
Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому
для й-гармоники ХСь в ft раз меньше, чем для первой гармоники XCsz
XCl=l/(<*C). / (1'4
Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму.'.
Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напря-*
тения различных частот и тем более векторно складывать токи нг
падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угле-"
вые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.
Активные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают?
от частоты не зависящими*.
При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом.
Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения
комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е.'
так же, как это делалось в гл. 3.
Пример 65. В левой ветви схемы рис. 7.4, а имеется источник •
тока tft(i)=/fcmcos2(irf, в средней (второй)— источник э. д. с. е(г) = :
= £0+£n.sin©(. Индуктивность Lt магнитно связана с индуктив- >
ностью Lj. Взаимная индуктивность между ними М. Определить
мгновенное значение тока ia и напряжения иЬа на зажимах L4. Дано: '•
/Й1Я = 5А; «=1000рад/с: Ее=ЪВ; £т = 6 В; К, = 3 Ом; L3 = ZaV;
М = 1 мГ.
Решение. Положительные направления для токов выберем •
в соответствии с рис. 7.4, а.
По второму закону Кирхгофа,
ио *4^~0; поэтому иЬа = —Mdi^fdt.
Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие -
тока iu от каждого источника в отдельности.
Схема рис. 7.4, б служит для расчета токов от действия
постоянной составляющей э. д. с. Левая ветвь схемы разомкнута, так как
в ней включен источник тока с бесконечным сопротивлением. Правая
ветвь короткозамкнута, так как индуктивность для постоянного тока
имеет нулевое сопротивление. При этом i'™ = Et/R1= I A.
■ Строго говоря, активное сопротивление зависит от частоты вследствие нале*
кяя поверхностного эффекта. Явление поверхностного эффекта (см. ч. III
учебника) здесь не учитывается.
Первую гармонику тока ij,1' находим, используя схему рис. 7.4, в:
/&=6/(3+3/) = 1,4!е-'«°.!
Вторую гармонику тока &*' находим в соответствии со схемой
рис. 7.4, г:
/<«' _=/_ Rt = 5е/90* - 2 23£/2б"40'
**« 1кт Ri+i2aL °® 3+/6 '
Мгновенное значение тока 13 равно сумме мгновенных значений:
;з== j«'ц_|«" + !« = 1 + 1,41 sin(«f-45°)-i-2,23sin(2o£-f 25°40') A.
Напряжение
ttso = ^Md»Vdi = ^l,41cosH-45°)-4,46cos(2{oi-J-25040')B.
§ 7.7* Резонансные явления при несинусоидальных токах. Как
известно из гл. 3, резонансным режимом работы электрической цепи,
*<Щ£ 1[
содержащей одну или несколько нндукпцшостей и одну или несколько
емкостей, называют такой режим ее работы, при котором ток на
входе этой цепи совпадает по физе с действующей на входе э. д. с.
Если действующая э. д. с. несинусоидальна, то в электрической
цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или
напряжений) не только на первой гармонике, но и на высших
гармониках.
Условимся под резонзнсом на ^-гармонике понимать такой режим
работы, прн котором ток fe-гармоники на входе цепи по фазе
совпадает с fe-гармоникой, действующей на входе э. д. с. (но при этом
токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их
э. д. е.).
Если учитывать активные сопротивления индуктивных катушек,
то условие возникновения резонанса для какой-либо гармоники
заключается в том, что реактивная составляющая входного сопротив-
ления для этой- гармоники должна быть равна нулю.
Исследование резонзнсных явлений при несинусоидальных токах
часто производят, полагая активные сопротивления индуктивных
катушек равными нулю. В этом случае входное сопротивление при
резонансе токов равно бесконечности, а входное сопротивление прн
резонансе напряжений равно нулю.
т
При возникновении резонансного и близкого к нему режима Щ.
какой-либо высшей гармонике токи н (или) напряжения этой гармо-.
ники могут оказаться большими, чем токи",
[-Г/ГЧ—| и напряжения первой гармоники на этих,
0 11 1 г 1 участках цепи, несмотря на то что амплитуда -
, I l__ii__j соответствующей высшей гармоники э. д. с. ■
*^^ ' 1Г7^ на входе схемы может быть в несколько раз
меньше амплитуды первой гармоники э. д. с. =
0 Пример 66. В схеме рис. 7.5 задана ян-^
дуктивность Lt. Полагая активное сопротив-
Рне. 7.5 л'ение индуктивной катушки равным нулю,
найти, при каких значениях емкостей С^ и С8 ,
входное сопропшленне схемы для первой гармоники равняется нулю,
а для девятой — бесконечности.
Решение. Запишем выражение для входного сопротивления
схемы для первой гармоники и приравняем его нулю: ,
j=L\
-I
J'BllJ
_ J \""-B/ Q
Приравняем бесконечности входное сопротивление для девятой '
гармошки:
, -I . ^{-sk) :.
Совместное решение дает
1 о, , I 81 ,
^r-=81©L3 н -^т=-ш©I»
§ 7.8. Действующее значение несинусондалыюго тока н неси- *
иусоидального напряжения. По определению (см. § 3.2), квадрат
действующего значения тока / выражается через мгновенное значение
тока i следующим образом:
■-I'*
Если ток
J = /0+/lmsin(©f+Th)+/2msin(2<a/+if2)+...
Г=П+ Е IL,sin1<fcoH-ifc) +
|siii2(b>f+$*)#=£; 1
r ° 1 (7.Ю)
j sin(purf+$p)sin(0(oJ+^3)<W = O. I
p^q i
Поэтому
I3 /4 /s
J3 _ /3 % lm _i Sfn , 'am ,
' — '»-1—;Г~г1Р~г^Гт *" *
ПЯН .
/=>'"«+■%■+■%■+....
Так как амплитуда й-гармбннки тока Ikm в У*2 раз больше
действующего значении fe-гармоники h, то
*%яг _ Ляп _ ^ftm _ га
2 ~ ]^2~ ' 1^2" ~ *
/«V/J+I5+/3 + /J+.... (7.11*)
Следовательно, действующее аначение несинусоидального тока
равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной
составляющей тока и действующих значений отдельных гармоник. От углов
сшвига фаз 1[>й действующее значение тока не зависит.
Аналогично, действующее значение несинусоидального
напряжений U разно корню квадратному из «уммы квадратов постоянной
составляющей и действующих значений отдельных гармоник:
U = VVb+Vi+V*+Vl+:-- . (7.II)
Пример 67. На входе двухполюсника и= I00+80sin(«f+30°) +
+60 sin (3ftrf+20Q)+50sin(5a/+45°) В; * = 33,3+17,87 sin (erf —18°)+
+ 5,59 sin (5to/ +120°) А. Найти нх действующие значения.
Решение.
l/=j/"l004-£ + £ + £ = 1ЭТ,1 В:
§ 7.S. Среднее па модулю значение несинусовдальной функции. Под средним
по модулю значением функции понимают среднее значение модуля этой функции
за период
2л
-M|/<0QidcA (7-12)
В отличие от действующего значения оно завысит от значений фд.
Пример -68. Дана функций, не содержащая постоянной составляющей и ч
яых гармоник и не изменяющая знака в течение каждого полупериода. Опреде?
лить ее среднее по модулю значение.
Решение. Разложим заданную функцию в ряд Фурье:
После интегрирования получим
Л:р. по иод. =— ('feCOSft-h-g-'MlCOSfe-h-g- Л^СОТфИ-...). Р-Щ
§ 7.10. Величины, на которые реагируют амперметры и
вольтметры при несинусоидальных токах* Несинусоидальные токи и
напряжения измеряют приборами различных систем. Принципы действия
этих приборов рассматривают в курсе электрических измерений.
Поэтому здесь упомянем лишь, на какие величины реагируют
вольтметры и амперметры различных систем.
G + С н- © у f G
а) ё) 6) г) д) е) /к) з)
Приборы электромагнитной, электродинамической н тепловой
систем реагируют на действующее значение, магнитоэлектрические
приборы с выпримнтелем — на среднее по модулю значение величины,
магнитоэлектрические без выпрямителя —на постоянную
составляющую, амплитудные электронные вольтметры —на максимальное
значение функции.
Напомним, что на лицевой стороне измерительного прибора всегда имеется
условный значок, свидетельствующий о том, к какой системе относится данный
прибор. На рис. 7.6 приведены некоторые из низ: а—магнитоэлектрическая
с подвижной рамкой.б—магянтеэлектрическаясподанжньгммагниточ
в—электромагнитная, г—электродинамическая, д—ферродинаыическая, «—тепловая, ае=*
адектростатическая, з—магнитоэлектрическая с выпрямителем,
§ 7.1 Ь Активная н полная мощности несинусоидального тока^
Под активной мощностью Р несинусоидального тока понимают
среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:
= y§uidt.
Если представить напряжение и и ток t рядами Фурье:
t =/0+ Лт sin (raf+ !)!, — ч^-Ь/ивЯтрий+^ — ^ц.
-f/3msin(3c^-]-$3 — (p3)-i- .., f
|70
подставить эти ряды под знак интеграла и проинтегрировать, учтя
соотношения (7. ГО), то получим
P = U0r0+V1flcosfp1+UJ2cos$z+U0!acos(e3-\-... (7.14)
Таким образом, активная мощность несинуеоидашюго тока роена
сумме активных мощностей отдельных гармоник.
Полная мощность S равна произведению действующего значения
несинусоидального напряжения на действующее значение несинусои-
дальнего тока: g = ^ _ дщ
где
Пример 69* Найти Р и S, если
и=25,9 s in (est -11°40') -f 6 sin (3td -J- 53W) B;
t=3 sin {at—40°)+0,9 Y% sin (3otf -f 125°) A.
Решение,
l/1 = 25,9/|/2~ = 18,3B; 1/3 = 6/У2~=4,25 В;
/i=2,I3 A; /„ = 0,9 A;
%«-— Il°40'-(—40") = 28°20'; ч>3 = —7Г10';
P^ 18,3-2,13cos28°20'-i-4,25.0,9cos<—7Г1С) = 35,5 Вт;
U = VU\+U1 *=V 18,3E-i-4,26s = 18,55 B;
/ = ]/2,132-i-0,9* =2,31 A; S = l// = 18,55-2,31=42,8 BA,
§ 7.12, Замена несинусоидальных токов н напряжений
эквивалентными синусоидальными. При изучении некоторых простейших
свойств нелинейных электрических цепей (см. гл. I5J
несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих,
заменяют эквивалентными синусоидальными. Действующее значение
синусоидального тока принимают равным действующему значению
заменяемого несикусоидального тока, а действующее аначение
синусоидального напряжения —равным действующему значению
несинусоидального напряжения.
Угол сдвига фаз <р9 между эквивалентными синусоидами
напряжения и тока берут таким, чтобы активная мощность эквивалентного
синусоидального тока была равна активной мощности
несинусоидального тока, т, е,
CQSq>3=PjU/. (7.I6)
Пример 70, Заменись несивусоидальные ток и напряжение
примера 69 эквивалентными синусоидальными и найти угол сдвига фаз fp„
между ними.
Решение. Действующее аначение синусоидального напряжения
^=18,55 В; действующее значение синусоидального тока / = 2,31 А;
cos<r.a = 35,5/(I8,55-2,31) = 0,828; <р9 = 34°.
171
§ 7.13. Особенности работы трехфазных систем,
гармониками, кратными трем *. Электродвижущие силы каждой физ
трехфазного трансформатори или трехфазного генератора часто ока'
зываются несинусоидальными. Каждая э. д. с. (еА, еи, %) повтори
по форме остальные со сдвигом на одну треть периода (Т/3) и мож
быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычн.'
отсутствует.
Пусть А-гармоника э. д. с. фазы А
екА = Я»™, sin (kbit+%).
Так как э. д. с. фазы В отстает от э. д. с фазы А на У/3
а э. д. с. фазу С опережает э. д. с. фазы А на Г/3, то fe-гармоникн
э. д. с. в фазе Вив физе С соответственно:
Скв= Еш sinjftw (/ — -3-)+%] =£*,„sin (kbit — 120°fe-i-^);
Если k=l, 4, 7, 10, то fc-гармоника э. д. с. фазы В отстает иа 120*
от гармоники э. д. с. фазы Л. Следовательно, I, 4, 7, 10-я гармо-'
ники образуют систему
прялкой последовательности фаз .-
(что понимают под прямой по- -
следовательностью фаз, см. в'
§ 6.20).
Если k = 2, 5, 8, II, то
fc-гармоинка э. д. с. фазы В
опережает fc-гармонику фазы.:
А на 120э. Следовательно, 2, ;
5, 8-я и т. д. гармоники об- '
разуют системы обратной
последовательности.
Гармоники, кратные трем .
(fe = 3, 6, 9, ...), образуют
систему нулевой
последовательности, т. е. третьи гармо-
р 77 ники э. д. с. во всех трех
фазах ' совпадают по фазе
(3-120= = 360°):
eSA=еаВ — езс = Esm sin (3<at-J-tya).
Шестые гармоники э. д. с. также совпадают по фазе и т. д.
Совпадение по физе третьих гармоник э. д. с. во всех трех фазах ■
проиллюстрируем графически.
■* Материвл § 7.13 особенно необходим студентам электроэнергетических в
электромеханических специальностей.
Фаза В
Фаза с
7
J
3
s~Kr
Г
Ч>* "y^tf
j
V-' \ tot
На рис. 7.7 э. д. с. еА, eBt ec представляют собой три фазные
э д. с- трехфазного генератора. Они имеют прямоугольную форму »
сдвинуты по отношению друг к другу на одну треть периода
основной частоты.
На том же рисунке показаны первая и третья гармоники каждой
э. д. с. Из рисунка видно,
что третьи гармоники э. д. с.
действительно находятся в
фазе.
Рассмотрим особенности
работы трехфазных систем,
вызываемые гармониками,
кратными трем.
" 1. При соединении
обмоток трехфазного
генератора (трехфазного
трансформатора) в треугольник (рис. 7.8, а) по ним протекают токи
гармоник, кратных трем, даже при отсутствии Биешней нагрузки.
Алгебраическая сумма третьих гармоник э. д. с. в треугольнике
равна 3££. Обозначим сопротивление обмотки каждой физы для
третьей гармоники ZB, тогда ток третьей гармоники в треугольнике
„ /b=3E„/3Z3 = £3/Zs;
аналогично, ток шестой гармоники
где /Гв — действующее значение шестой гармоники физной э. д. с;
Zc — сопротивление фазы для шестой гармоники.
Действующее значение тока, протекающего по замкнутому
треугольнику в схеме рис. 7.8, а.
2. Если соединить обмотки трехфазного генератора (трехфазного
трансформатора) в открытый треугольник (рис. 7.8, б), то при
наличии в фазных э. д. с. гармоник, кратных трем, на зажимах тип
будет напряжение, равное сумме э. д. с. гармоник, кратных трем:
um„=3Eamsin(3coi+ts)+3Eemsin(6o>( + ^e)-r--..
Показание вольтметра в схеме рис. 7.8, б
3. В линейном напряжении независимо от того, в звезду или
треугольник соединены обмотки генератора (трансформатора),
красные трем гармоники отсутствуют, если нагрузка равномерна.
* Алгебранческан сумма первых гармоник э. д. с. и всех гармоник э. д. С,
не кратных трем, равна нулю, поэтому от перечисленных гармоник при
отсутствии нагрузки по замкнутому треугольнику ток протекать не будет.
m
Рассмотрим сначала схему соединения трехфазного источника э. д. с
в треугольник (рис. 7.8, а) при отсутствии внешней нагрузки. Обоз
начив ч>лз — потенциал точки Л н фт — потенциал точки В по трет. .
гармонике, получим
4>лз = *Рш — Ёз "Г- *згя.
Но £3 = /3Z3; следовательно, фА = Фв* Прн наличии равномер'
ной нагрузки, соединенной в треугольник, каждая фаза генератора
(трансформатора) и параллельно ей прнс
единенная нагрузка могут быть заменены,
эквивалентной ветвью с некоторой э. д. с. Е'ъ
сопротивлением 2э. На полученную схем
можно распространить вывод, сделанный дл
случая отсутствия внешней нагрузки.
"При соединении в звезду трехфизного
источника э. д. с. (рис. 7.9) линейное напряжен
.»... ..- ние третьей гармоники равно разности
соответствующих фазовых напряжений. Так как.
третьи гармоникн в фазовых напряжениях совпадают по фазе, то
при составлении этой разности они вычитаются.
В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники
(постоянная составляющая обычно отсутствует). Следовательно,
действующее значение физового напряжения
В линейном напряжении схемы рис. 7.9 отсутствуют гармоники,
кратные трем; поэтому
Отношение UjUt<Y5, если есть гармоники, кратные трем.
4. При соединении генератора н равномерной нагрузки в звезду ■
н отсутствии нулевого провода токи третьих и других гармоник
нулевой последовательности не могут протекать по линейным
проводам. Поэтому между нулевыми точками приемника О* н генератора-
О (рис, 7.10 при Z0 = oo) действует напряжение
ио'о = Еш sin (Зш2 + ЗД + Еш sin (Ш -J- $,) -f...,
действующее значение которого
5. Если в схеме звезда —звезда при равномерной нагрузке физ -
сопротивление нагрузки для третьей гармоники обозначить Z„3,
а сопротивление нулевого провода для третьей гармоники — Z^
(рис. 7.10), то по нулевому проводу будет протекать ток третьей .
гармоники
По каждому из линейных проводов будет протекать ток третьей
гармоники /вз/3.
Аналогично находят токи н других гармоник, кратных трем.
Пример 71* Мгновенное значение напряжения физы Л
трехфазного генератори
Wy)=127sin(rai-J-10o)-f30siH(3ft)i-i-20°)-i-20sin(II(iJi-J-I5o)B.
Определить мгновенное значение линейного напряжения uab при
соединении генератора в звезду.
Решение. В линейном напряжении третья гармоника отсутствует.
Первые гармоники фаз Л и В по фазе сдвинуты на 120=. Поэтому
линейное наприжение UAB первой гармоники в У"3 раз больше
фазового напряжения первой гармоники О а и на 30э опережает его
по фазе.
Одиннадцатая гармоника (обратная последовательность фаз)
линейного напряжения отстает по фазе от одиннадцатой гармоники
напряжения фазы А на 30° н l/З раз больше ее:
^B=I27T/3sinH-J-40o)-i-20"|/3sin(Il©f-I5°)B.
Пример 72. Э. д. с. фазы Л в схеме рис, 7.II eA=l70sina>t-\>
+ 80cos3orf-i-34cos9<ofB; R = 9 Ом; toL = 2 Ом.
Определить показания всех приборов. Приборы
электродинамической системы.
Решение. Действующие значения э. д.с
£J= 170/|/2= 12IB; £3 = 55,5В; £„ = 24,25.
По линейным проводам течет периая гармоника тока
'г = Ei/VR* + № = 121/9,2 = 13,2 А.
* Эта формула получена путем составления уравнения по второму закону
Кирхгофа для контура, образованного какой-либо фазой и нулевым проводом.
Пеказзние вольтметра Vt равно У"£Ц-£| +£э= 136 В.
Показание вольтметра Va равно /xRi = 13,2-9= 118,5 В.
Показание вольтметра Vs равно J/3-118,5 = 205 В.
Показание вольтметра V4 равн>
/-pfi* /,&£. = 26,4 В. ,
"J Ll'~\" 7 *" Показание вольтметра УБ равн .
V* *— \fE§+Et=62,Z В.
Пример 73. Э. д. с. каждой фа
зы генератора (рис. 7.12) изменяете .
по трапецеидальному закону: от —
= 220 В; а = Г/36; нагрузка рав-"
номерная; R = 6 Ом; coL = 0,5 Ом-
1/юС=12 Ом.
Записать мгновенное значение
тока по нулевому проводу, пре-'
Рис. 7.12 небрегая гармониками тока выше.
седьмой.
Решение. С помощью табл. 7.1 записываем разложение трапе-'
цеидалыгой э. д. с:
еА~-^—fsinlCsincrf-j—g-sin30osin3(0^-T-
18""
4~ gg sin 50° sin ЪЫ-\-щ sin 70° sin 7ы1).
Следовательно,
eA = 274 sin <af+89,3 sin Zatt+49,5 sin 5o>* + 30,9 sin 7tot.
По нулевому проводу протекает только третья гармоника тока >
/ - ^
где £3 = 89,3/1^2 = 63,3 В; Z*= I,5£ £,, = 6-4/;
Zll3/3=2-/I,33; /os = 63,3/(I,5/+2-/l,33) = 31,8e-'4°«*A.
Мгновенное значение тока i03 = 44,8sin(3fitf —4°40') А.
§ 7.14. Биения. Колебательный процесс, получающийся в резуль-
гате сложения двух синусоидальных колебаний с равными ампли-
гудамн Л и близкими; но не равными частотами щ и *о2, дает,
колебание, которое называют биением. Пусть f(t) = A sin &J-J-Л sin шя/.
Воспользуемся известным тригонометрическим преобразованием
sina+sinB = 2cos^^sin!^i£.
Следовательно, f(t) можно представить следующим образом:
f(t) = 2AcosQt$mtott
ГД fi = (wl —юг)/2, m = (vl+tajj2 (fi<>>.
График результирующего колебания изображен на рис. 7.13.
Амплитуда колебания изменяется по закону 2Л cos Qt. Огибающая
колебаний нанесена пунктиром.
Возникновение биений при сложении двух синусоидальных колебаний с
равными амплитудами н близкими (но не равными) частотами используется на
практике в различных целях, в частности для того, чтобы установить, что
складываемые колебания имеют неодинаковые частогы.
§ 7.15. Модулированные колебания. Прн передаче информации
широко применяют модулированные колебания. Модулированным
колебанием /(() = A sin(<»t-\-ty) называют
колебание, в котором амплитуда Л,
частота ш, фаза яр или и те и другие
вместе изменяются во времени.
Колебание, в котором изменяется
только амплитуда Л, а угловая частота
ю и фаза if неизменны, называют
колебанием, модулированным по амплитуде.
Колебание с изменяющейся угловой
частотой ю, но неизменными амплиту- ^ 7,3
дой А н физой -ф называют колебанием,
модулированным по частоте.
Колебание, в котором изменяется только фаза ty, а амплитуда Л
и угловая частота to неизменны, называют колебанием, модулирован-
и по фазе.
Простейшим амплитудно-модулированным (AM) является колеба-
в котором амплитуда модулирована по закону синуса:
f(t) = A0(l+msmQt)sm(e>t+y),
где т — глубина модуляции (как правило, m<; I); fi —частота
модуляции (fi^ro).
График AM колебания показан на рис. 7.14, а (огибающая дана
пунктиром).
Если воспользоваться известным из тригонометрии тождеством
sinctsinp = ^-cos(et — pj-^cosfa-hp),
то колебзние Л0(1Ц-т81п£2/)8!п(<1)(Ц--ф) можно представить в виде
суммы трех колебаний:
/(0 = А>8т(шЧ-ф)+^сОБ[(<о-й)*-1-ф]-
-^cos[(<e+Q)t-M>].
Частоту & называют несущей, а частоты (со — Q) и (ю-J-fi)—
боковыми, Спектр АМ-колебання изображен на рис. 7.14,6. Действующее
ние,
значение функции f(t) в соответствии с формулой (7,11) так .
Пример 74, Разложить на составляющие функцию
/W = 20(I-i-0,6sin 104) sin Ю5*,
Решение.
<д-£2=99-103; o+fi=101-I08;/яЛв/2=е.
Следовательно,
/ (t) = 20 sin 104-1- 6 cos (99. IO3*) - 6 cos (101 • IO8*).
Амплитуды колебаний боковых частот при АМ-колебании завис
от глубины модуляции т, но не зависят от частоты модуляции £2
wm-
Ширина полосы частот, занимаемой АМ-колебаннем, не зави-*
сит от m и равна (ю-т-й) — («> — fi) = 2fi.
Рассмотрим спектры частотно-модулированных (ЧМ) в фазомодулированных
(ФМ) колебаний. Форма колебаний качественно показана на рис. 7.14, е.
Аргумент синусоидально изменяющейся функции / (() обозначим а ([), тогда,
;«=ЛЙ11ой]. 4а)
а (0 можно интерпретировать как угол, на который повернется вращающийся
вектор на комплексной плоскости за время /_ Угловая частота поворота этого вектора
b> = da(f)!dt. В том случае, когда «=шв=сош1,
a^)=^aBdt=tuJ »/{f)=Asinad!.
При частотной модуляции частота а изменяется и равна а>»-|-Дсйф(г}. При этом
« Ю=5(м»+л<оф (QI л=оу+д<д J ф(д at.
При ф<0=а»Ш
ct(0=oy+YsinC/, (б]
где ж=Д<о/0—глубина ыодудяцнн.
Таким образом,
/ {i)fA=йа (ЮрИ-у йа DQ= кп aj a»ft йа С^+а»»,/ кп (f sin 00.
n=o
cos(ysInC0=Jo<-t)+2 2j Jsw(Y)cos2nfi/,
где ^й(т)—бесселева функция Ё-порядка от действительного аргумента -р*.
Графики трех бесселевых функций при £=0, 1, 2 изображены на рис, 7.15.
После преобразований
/Ю/Д^ЛОЙйкоаН- 2 <—V*W*ni*—*0)'+ У]/А(,)йа(ю,+А0)/. [в>
Теоретически полоса частот, занимаемых ЧМ-колебанкем, равна
бесконечности. Однако, если учесть, что с ростом k значение Jk (у) быстро уйенынается, и
в равенстве (в) отбросать слагаемые рядов,
амплигуды которых меньше 0,01, что имеет
место при kSzy, то ЧМ-кслебанне практи*
чески занимает полосу частот
(tofl-i-AQ) — (We—AQ)=2*Qsa2yfi =
=2<й<о/0).Й=2Д(й.
Ширина ее зависит от глубины
модуляции Ди и не зависит от частоты модуляции
Q. Амплитуды боковых частот зависят от
При фазовой модуляции угловая частота
щ неизменна и меняется только фаза ф (Q.
Следовательно. «(ф^шцС-г-ф^). Приняв
tyJf)~y?mC0SQt* получим
/(0=Лвш(щйГ-Н>пСО5-ЗД). Рис. 7.15
Амплитуда фазы ф„, от частоты модуляции Q не зависит.
Опустив выкладки, найдем, что амплитуды боковых частот зависят от фт,
а ширина полосы частот 2К1:=2фт£2— от Tj>m и Q.
§ 7.16. Расчет линейных цепей прн воздействии модулированных
колебаний, Расчет токов и напряжений в линейных электрических
целях при воздействии на них модулированных колебаний
производят либо для мгновенных значений величин, либо для мгновенного
значения огибающей. В первом случае расчет проводят путем
разложения модулированных колебаний на составляющие, расчета токов
и напряжений от каждой из инх в отдельности и последующего
суммирования соответствующих токов н напряжений на основании
принципа наложения. При этом ограничиваются теми составляющими,
которые играют существенную роль в формировании выходной величины.
При воздействии амплитудно-модулированного колебания на
какую-либо систему точный расчет огибающей выходной величины
может быть осуществлен по формуле интеграла Дюамеля для
огибающей.
* Общее выражение для бесселевых функций приведено в § 15.14.
В радиотехнике, где широко используют модулированные колебания н т
буется .знать результаты воздействия их на резонансные системы, разработан.
упрощенные методы получения огибающей отклика системы на различные тип
модулированных колебаний (см., например, [20]).
Вопросы для самопроверки
1. Изложите основные положения, на которых основывается методика расчета'
линейных цепей при периодических несинусоидальных токах. 2. Охарактеризуйте
физический смысл действующего значения несинусоидального тока. 3. Могут лаь
отдельные слагаемые в формуле активной мощности быть отрицательными?'
4. Чем можно объяснить, что при равномерной нагрузке трехфазной системы для'
протекания токов третьих гармоник необходим нулевой провод? S. Охарактери-'
зуйте виды модулированных колебаний и занимаемые ими полосы частот. 6. решить-
задачи 9.9; 9.12; 9.13; 9.15; 9.16; 9,19; 9,21; 9.25.
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛВПРЮЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 8.1. Определение переходных процессов. Под переходными
процессами понимают процессы перехода от одного режима работы'
электрической цепи (обычно периодического) к другому (обычно таюке
периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например--
величиной амплитуды, фазы, формой млн частотой действующей
в схеме э. д. с, значениями параметров схемы, а также вследствие -
изменения конфигурации цепи.
Периодическими режимами являются режимы синусоидального и
постоянного тока, а также режим отсутствия тока в ветвях цели.
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммута- '
ция — это процесс замыкзния (рис. 8.1, а) или размыкания (рис. 8.1, б) .
выключателей.
физически переходные процессы представляют собой процессы '
перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммута-
ционному режиму, к- энергетическому ,
-^'-— *"*— состоянию, соответствующему после-
о) */ коммутационному режиму.
Рис. 8.1 Переходные процессы обычно яв- _;
ляются быстро протекающими;
длительность их составляют десятые, сотые, а иногда даже
миллиардные доли секунды; сравнительно редко Длительность переходных
процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем ие менее изучение ;
переходных процессов весьма важно, так как оно дает возможность
установить, как деформируются по форме н амплитуде сигналы при ■'
прохождении их через усилители, фильтры и другие устройства,
позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках '
цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки,
увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать
амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также' •
определить продолжительность переходного процесса.
§ 8.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению
линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами *- Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы
рис 8.2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжения на
индуктивности L и сопротивлении Я равна э. д. с. £:
«!+№ = £,
или
lft+Ri=E. (8.1)
Как ;*звестно из курса математики, уравнение, содержащее
неизвестно функцию (в нашем случае i) и ее производные (в нашем случае
L—), называют дифференциальным уравнением.
Таким образом, определение тока как функции времени по сути
дела есть решение дифференциального уравнения.
Известно, что решение дифференциального уравнения —это
отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению.
Подстановка этой функции и ее производных
превращает дифференциальное уравнение в тождество. - —
Решение линейных дифференциальных
уравнений будем проводить" в основном тремя
методами: классическим, операторным и методом
интеграла Дюамеля.
Перед тем как изучать эти методы, необходимо рис, g.2
рассмотреть общие свойства линейных цепей прн
переходных процессах, а также общие законы, которым подчиняются
переходные процессы в линейных электрических цепях. § 8.3 — 8.25
посвящены вопросам, имеющим отношение ко всем перечисленным
методам расчета переходных процессов; однако часть этих параграфов
(§ 8.3, 8.8, 8.10 и 8.12) следует рассматривать так же, как введение
к классическому методу расчета переходных процессов-
§ 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и
напряжений. Известно, что общий интеграл линейного дифференциального
уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнении
плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение
уравнения (8.1) равно E/R (£ —постоянная э. д. с).
Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем
правую часть равной нулю. В нашем случае
L%+Hi = 0. (8.2)
Решением однородного уравнения является показательная функция
вида Ле*".
Для всех переходных процессов условимся, что момент £ = 0
соответствует моменту коммутации.
* Имеются в виду цепа с неизменными во времени параметрами R, L, С, М.
Постоянные А и р не зависят от времени. Без вывода
их значения для рассматриваемого примера: А —— Е/Яир*=—Rt
Следовательно, решение уравнения (8.1) записывают так:
В нем слагаемое £/i? есть частное решение неоднородного ypai
нения (8.1), а слагаемое —р-е —общее решение однородного ypai
нения (8.2J. Подстановка (8.3) в (8.1) дает тождество
>«(#-!">
Следовательно, (8.3) действительно является решением уравне-'
ния (8.1).
Частное решенне неоднородного дифференциального уравнения,
будем называть принужденной составляющей тока (напряжения),
а полное решение однородного уравнения —свободной составляющей.'
Так, применительно к рассмотренному примеру принужденная
составляющая тока равна E/R, а свободная составляющая-
Полный ТОК 1 = »Ир + »с,
В линейных электрических цепях свободные составляющие токов
и напряжений затухают во времени по показательному закону е*".
Е L*
Так, в рассмотренном примере 1™—^--ре
_**
С увеличением времени t множитель е L быстро уменьшается.
Название «свободная» объясняется тем, что эта составляющая есть
решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного
уравнения без правой части).
Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех
напряжений (полного, принужденного и свободного) основное
значение имеют .полный ток и полное напряжение.
Полный ток является тем током, который в действительности
протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его
можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное
напряжение —это напряжение, которое в действительности имеется
между некоторыми точками электрической цепи при переходном
процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.
Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений
во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они
являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает
действительные величины.
При любых переходных и установившихся процессах соблюдают
два основных положения: ток через индуктивность я напряжение
на емкости ие могут изменяться скачком *.
§ 8.4. Обоснование невозможности скачка тока через
индуктивность и скачка напряжения на емкости. Доказательство того, что
ток через индуктивность не может изменяться скачком, проведем
на примере схемы рис. 8.2. По второму закону Кирхгофа,
Ток i н э. д. с. Е могут принимать конечные (ие бесконечно
большие) значения.
Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока
означает, что за бесконечно малый интервал времени Д(-уО ток
изменится на конечную величину Ы. При этом Дг/Д^-^оо. Если
вместо L^-в уравнение (8.1) подставить со, то его левая часть
не будет равна правой части я не будет вьгаолнен второй закон
Кирхгофа. fe
Следовательно, допущение о возможности скачкообразного
изменении тока через индуктивность противоречит второму закону Кирхгофа.
* Иногда эти положения формулируются так: потокошепяеяие индуктивной
"катушки н заряд конденсатора могут изменяться только плавно, без скачков.
Дальнейшее обобщение законов коммутации даио в § 8.28,
Ток через L не может изменяться скачком, но напряжем
на индуктивности, равное L.^, скачкой измениться может. Это
противоречит второму зако
Кирхгофа. :
Доказательство того,
напряжение на емкости
может изменяться скачком
проводится аналогично.
Обратимся к простейте
цепи с емкостью (рис. 8.3, а)
Составим для нее уравнен -
по второму закону Кирхгофа
Ri+uc = E,
где Е—э. д. с. источника, конечная величина; нс—напряжет
на емкости.
Так как г = С—£-, то - ;
at
RC^- + uc = E. (8.4
Если допустить^- что напряжение ис может измениться скачком
то -дГ^^Тй—*"°° и левая часть (8-4) ие будет равна правой частя-
Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного нзм
нения напряжения на емкости противоречит второму закону Кнрягофа^
Однако ток через емкость, равный С ~п-, может изменяться скачком*
это не противоречит второму закону Кирхгофа.
Из указанных двух основных положений следуют два закон,
(правила) коммутации.
§ 8.5. Первый закон (правило) коммутации. Ток через индуктив-.
ность непосредственно до коммутации it(0_) равен току через ту ж
индуктивность непосредственно после коммутации г* (0*): ;
h (0-)= к (ОД (8.5
Время * = 0_ представляет собой время непосредственно до ком'
мутации, t — 0+ — после коммутаций (рис. 8,3, б). Равенство (8.5)
выражает собой первый закон коммутации.
§ 8.Р. Второй закон (правило) коммутации. Обозначим напряж
ние на емкости непосредственно до коммутации ис (0_), а напряженн ■.
на ней непосредственно после коммутации «с(0,).
В соответствии с невозможностью скачка напряжения на емкост .
ыс(0_) = йс(0+). (8,
Равенство (8.6) выражает собой второй закон коммутации.
ПереД тем как приступить к изучению методов расчета
переходных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнительных
0преДеле1ШЯХ-
S 8.7. Начальные значения величин. Под начальными
значениями величин (в литературе их называют еще начальными условиями)
понимают значения токов и напряжений в схеме при £ = 0,
Как уже говорилось, токи через индуктивности и напряжения
на емкостях непосредственно после коммутации равны их значениям
непосредственно до коммутации. Остальные величины: напряжения
на индуктивностях, напряжения на активных сопротивлениях, токи
через емкости, токи через активные сопротивления — могут изменяться
скачком, и потому их значения после коммутации чаще всего
оказываются не равными их значениям до коммутации.
Поэтому следует различать докоммутаиионные и послекоммутацион-
ные начальные значения.
Докоммутационными начальными значениями называют значения
токов и напряжений непосредственно до коммутации (при * = 0_);
послеколшутационными начальными значениями — значения токов" и
напряжений непосредственно после коммутации (при ( = 0Д
§ 8.8. Независимые и зависимые (послекоммутационные)
начальные значения. Для любой схемы после коммутации в ней можно
записать уравнения по законам Кирхгофа; из этих уравнений
определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых
участках схемы в послекоммутационном режиме (при £ = 0+).
С этой целью значения токов в ветвях, содержащих
индуктивности, и значения напряжений на емкостях берут равными тем
значениям, которые они имели до коммутации при £ = 0_, а остальные
токи и напряжения после коммутации при t = G+ находят из
уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в инх известна.
Значения токов через индуктивности и напряжений на емкостях,
известные из докоммутационного режима, условимся называть
независимыми начальными значениями.
Значения остальных токов и напряжений при £ = 0+ в послеком-
мутационной схеме, определяемые по независимым начальным
значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными
значениями.
§ 8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия. Если к началу
переходного процесса непосредственно перед коммутацией все токи и
все напряжения на пассивных элементах схемы равны нулю, то
в схеме имеют место нулевые начальные условия.- Если же к началу
переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме
ие равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные
условия.
При нулевых начальных условиях токи в индуктивностях и
напряжения на емкостях начнут изменяться с нулевых значений, при
ненулевых условиях—с тек значений, которые онн имели неп >
ственно до коммутации.
§ 8.10, Составление уравнении для свободных токов и напря
ннй. Для послекоммутаодюнной схемы составляют уравнения по за .
нам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как-
делалось и раньше: скачала обозначают токи в ветвях и произвол
выбирают для них положительные направления, затем составл ~
уравнения по первому
второму законам Кирх >
Так, для схемы рис, 8.4"
после выбора положи
ных направлений дли тон
ii—h—*з=0;
В этих уравнениях
£2 и is — полные токи. К
дый из них состоит из с
бодного и лринужденн
токов. Для того чтобы.
этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных ток
«освободим» систему от вынуждающих э. д. с. (в нашем случае.!
а. д. с. Е) и вместо 1г запишем iUB, вместо is — iEcB и т. д. ПолучГ
*'ice — 'ecu —*2«. = 0;
Рве. 8.4
(8.
Заметим, что для любого контура любой электрической цепи су
падений напряжений от свободных составляющих токов равна иу
§ 8.11* Алгебраизация система уравнений для свободных той)
В § 8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет с
решение однородного дифференциального уравнения (уравнения
правой части).
Как известно из курса математики, решение однородного ди
ференциального уравнения записывается в виде показательных фу
ций Aepf. Таким образом, уравнение для каждого свободного
можно представить в виде >-
гсв = ЛеР'.
Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока ев
Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов веш
Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общ
переходным процессом.
Составим нроизводную от свободного тока:
Следовательно, пронзводную от свободного тока можно заменить
на р(св» а свободное напряжение на индуктивности L -^- — на Lpit„
Найдем интеграл от свободного тока:
S it» dt = S Atf*= -ЛеР'/р = icJp.
Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как
свободные составляющие не. содержат не зависящих от времени
слагаемых.
Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить
на KJp, a свободное напряжение на емкости g-1 i^a dt — на iCBf(Cp).
В снетему дифференциальных уравнений для свободных токов
подставим Lplm вместо ^-—гг- и ^ вместо gr \ 1е,Л. Получим:
(£aP+R0te.+VA=0: | (8-8)
Уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических
уравнений относительно (1св, i2CH, i^ н в отличие от исходной системы
не содержат производных и интегралов.
Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к
системе алгебраических уравнений называют алгебраиэацией системы диф~
ференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что
система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных
уравнений (8.7).
§ 8.12. Составление характеристического уравнения системы-
Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных
токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не
найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8)
относительно i1cb, i2CH и iXB. Получим: ^
»w=Ai/A; !"ЕСИ=Д2/Д; ^„^/Д,
где Д—определитель системы. В рассмотренном примере
0
Ср
Определитель Д, получим из выражения для определителя
путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8):
10 -1 -и
л _|о г?я о
о R,
"Ср
определитель А2 получим из выражения для А путем замены втор .
столбца правой частью системы (8.8), и т. д.
Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в кажд
определителе А,, А2 и А2 один из столбцов будет состоять из нуле
Известно, что если в определителе один из столбцов с
из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно, Д1==
А2 = 0; Д2 = 0.
Из физических соображений ясно, что каждый из свободн .
токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не- буд"
выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, ч
1ка = 0/Д; 1Есв = 0/Д; i3cB = 0/A.
Свободные токи могут быть ие равны нулю в-том случае,
определитель системы
Д = 0. (8.
При этом каждый из токов представляет собой неопределенн
'icb = Ai/A~0/0; t&e — Аг/А = О/О; ... , раскрыв которую можно пол'
чить действительное значение каждого свободного тока.
Раскрытием неопределенностей заниматься не будем, а воспол'
зуемся тем существенным для дальнейшего выводом, что определитель'
алгебрзнзированной системы уравнений должен равняться нулю.
Уравнение Д = 0 называют характеристическим уравнением. Еди
ственным неизвестным в нем является р.
Пример 75. Используя уравнение (8.8), составить характери
ческое уравнение для схемы рис. 8.4, а и найти его корни.
Решение.
или
Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следов
тельно,
^sL1C + p(R1RaC + Z.1)+i?1+i?a=:0. (8.1!
Корни квадратного уравнения '
„ „ -(KiKgC+Z.,) ± K(R1K,p+^?B-4(fi1+ija)fiat,C /0 ,
И. a 2Rs,t,C ~- (ВЛ ,
В начале § 8.11 говорилось о том, что решение для свободно :
тока берется в виде Аег. Если характеристическое уравнение и
не один корень, а несколько, например л, то для каждого свобо
ного тока нужно взять
Пример 76. Найти корни характеристического уравнения сх- '
EHt> 8'7ia ""Р" ТРех качениях С: 1) С=1 мкФ, 2) С = 10 мк
3) С = 100 мкФ, 2?Ж = Н,^1(Ю Ом; 1„=1 Г.
решение. При С=1 мкФ
ВД^ + I^ WO-100-10"6+1 = 1,01;
4(i?i-f-^a)i?2i-iC = 4-200-iOO-10 6 = 0,08:
2Л2^С = 2-100- 10-в = 2-10*;
Pi.s = 2-10-*
-; й~ —250С* pt =
При С =10 мкФ ft = —230 (Г1; р2 = —870 сЛ
п|,иС=100мкФ ft—100+100/; р2 = —100-100/.
§ 8.13. Составление характеристического уравнения путем
использования выражения для входного сопротивления цени на
переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто
составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в
предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного
сопротивления двухполюсника на переменном токе [обозначим его
Z(/w)], заменяют в нем /со на р [получают Z(p)\ и приравнивают
Z{p) нулю.
Уравнение Z(p) = 0 совпадает с характеристическим. Такой способ
составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме
отсутствуют магнитносвязанные ветви. Если же магнитная связь
между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить
развязывание магнитносвязанных ветвей.
В 5 8.41 показано, что число р можно представил, в виде /Q, где
fi—комплексная угловая частота; Zip) есть сопротивление цеин на комплексной частоте.
Сопротивление цепи для синусоидального тока частотой и, т. е. Z(je>), есть
частный случай Z(p), когда fi=w.
Входное сспротявление на комплекснов частоте по отношению к некоторой]4-й
ветви Zft(p)=A(p)/Aft(p), где Д (р)—определитель системы уравнений,
составленных по методу контурных токов; Д*(р)—алгебраическое дополнение.
Корни уравнения Zj(p)=0 совпадают с корнями уравнения Д(р)=0.
Следует иметь в виду, что во избежание потерн корня (корней) нельзя
сокращать Д (р) и Ajj (p) на общий множитель, если он имеется,
И последнее замечание: при составлении Z(p) следует учитывать внутреннее
сопротивление источника питания.
Характеристическое уравнение можно составлять также, приняв sa основу
при его составлении не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов.
В этом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узловых проюди-
мостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы заземленным.
Пример 77. Дли схемы рис. 8.4, а входное сопротивление относительно
зажимов ab при переменном токе
RlJL
Z„» (M-/«I1+Ri+-^-Ef-,
R-+75c
Заменим в кем /ю на р л приравняем его нулю;
Z„iW=pI,+&+ т 0.
P*L1CRSi+p{l4+RiRi£)+Ri-t-ti*_n
1+RiCp
или
fPLjpRz+p (Li+ RJi£)+Ri+Ri=0. (8.
Уравнение (8.10') совпадает с уравнением (8.10), составленным иным п
Уравнение (8.10') получено путем использования выражения для входа
сопротивления первой ветви схемы рис. 8.4, о относительно эажнмов ab. Тс
такое же уравнение можно получить, если записать выражение для входного
противления любой другой ветви.
Отдельно рассмотрим вопрос о возможности сокращения числителя и знам
теля Z(j?)=-r— на р. Кае правило, сокращать числитель и заамеиатель и
можно, но все же не всегда. Сокращение на р допустимо для схем, в котор"
исследуемая величина нз физически* соображений пе может содержать незатух
щую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассматрива
схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать чис
тель и знаменатель Z(p) на р (т. е.'терять корень р=0) нельзя. Для иллю
ции недопустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекомм
ционной схеме рис. 8.4, 6 имеется жонтур -вз индуктивностей без активн
сопротивления. В нем теоретически может протекать незатухающая свобода
составляющая тока, которая не будет учтена в решении, если сократить числе
и знаменатель Z(p)=- ~ ~"~"-Z на р. В схеме рис. 8.4, в, дуальной сх
рис. 8.4, б, после коммутации на емкостях возможно возникновение равных
величине и противоположно направленных незатухающих свободных составляю
напряжений. Свободный заряд каждой емкости не может стечь через сопроти-
иие R, так как этому мешает вторая емкость с противоположно направлен
незатухающей свободной составляющей напряжения. ь
Для схемы рис. 8.4, в характеристическое уравнение получим, прирав.
яулю входную проводимость относительно зажимов источника тока:
РСрС\ _ pC(2g-bpQ
2рС ~-
Здесь е=ПД.
В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и зна
натель Z(p) на р, приведем схему рис. 8.4, в. Для нее
? и- п, -R- 1НСР) _ RCP (RCp+2) fl (RCp+2)
*iw n^fl+(i/cp) CpiRCp+i) - ReP+i •
% 8.14,1 Основные и неосновные независимые начальные значен ■
Для сложных схем со многими накопителями энергии число незав
симых начальных значений (начальных условий) может оказат
больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следователь '
больше числа постоянных интегрирования.
В этом случае прн. определении постоянных интегрирова
используют ие все независимые начальные значения, а часть из ни
- Основными независимыми начальными значениями называют
токи в индуктнвностях и напряжения на емкостях, которые мог
быть заданы независимо от других. Остальные независимые началь
значения называют неосновными.
В качестве иллюстрации обратимся к схеме рис. 8.5. Она содержит три "
дуктивностн и одну емкость. В схеме всего четыре независимых начальных зна'
ияя (начальных условия);
1)М°*)=
3) ia(0+)=
2)ыо*)=о:
4) М0+)=0.
Из них три являются основными и одно—неосновным. При выборе основных
-опустим известный произвол. Так, если за основные взять первое, второе м
Тертое значения, то неосновным будет аретье.
Пример 76. Убедиться в том, что для схемы рис. 8.5
характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третью степень.
решение. Составляем выражение для входного сопротивления:
Z{p) = H1+pLl+
(*-*&)
pU
= 0.
№+P^)[l + PEC2(L2 + /.3)]+pL2(l + Q^Pa) = 0.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень,
§ 8.15, Определение степени характеристического уравнения.
Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь
оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный
процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность
определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению
ошибки, если она возншшет прн составлении характеристического
уравнения.
Степень характеристического уравнения равна числу основных
независимых начальных значений в послекоммутационной схеме после
максимального ее упрощения я не зависит от вида э. д. с. источников
э- Д. с. в схеме.
Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно
соединенные индуктивности должны быть заменены одной эквивалентной;
емкости, включенные последовательно и параллельно, тоже должны
быть заменены эквивалентной*.
* Имеется в виду, что других сопротивлений, например активных, в ветвях
с емкостями нет и начальные напряжения на последовательно соединенных
««костях относятся обратно прогюрцнонально этим емкостям, а также что началь*
чие токи через последовательно соединенные индуктивности одинаковы.
Ш
Так, применительно к схеме рис. 8.6 последовательно включе'
L\ и Ц следует запенить на L1^=L[ + Ll±2M, если между н "
есть магнитная связь (если нет магнитной связи, то М=0), а емк
Cg, CI и С4 — на емкость
Начальное значение напряжения на емкости Cs равно начальн
значению напряжении на С4.
В результате упрощений схемы рис. 8.6 получаем схему рис. &
в которой две индуктивности и одна емкость. Все три независи
начальные значения —основные. Следовательно, характеристич
уравнение будет третьей степени.
Обратим внимание на то, что степень характеристического урав
ния не завесит от того, имеется ли магнитная связь между индук
ностями схемы или она отсутству'
Еще одно замечание: еслип
максимального упрощения сх
содержит контур, состоящий тол
из емкостей, скажем из и емк
включенных между п узлами,,
сумма напряжении вдоль этого к-'
рис_ 87 тУРа равна нулю по второму
кону Кирхгофа, то только на и ;
емкостях этого контура напряжения могут быть заданы независ _
от остальных. Отсюда следует, что при определении степени хар
ристического уравнения из п емкостей этого контура должны б ^
приняты во внимание только я — 1 емкость.
Аналогично, если в каком-либо узле схемы после ее максимальи
упрощения сходится т ветвей и в каждой из них имеется индук
ность, то при определении степени характеристического уравне -
должны быть приняты во внимание только т—\ индуктивность. ?
Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощ
схемы степень характеристического уравнения может быть опред -
путем подсчета величины nt4-/ic — Уь~«£■ гДе «t — число индук
ностей в схеме, «с —число емкостей, yL—число индуктивное
токи в которых не могут быть заданы произвольно; кс — число
костей, направления на которых не могут быть заданы произволь -
И последнее: если схема с источником тока имеет несколько последователь
"участков, содержащих параллельно соединенные ветви с R, L. С, то для ка
группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со
-корнями (свободные токи не Могут замыкаться через источник тока, поскольку
сопротивление равво бесконечности).
§ 8.16. Свойства корней характеристического уравнения. Чи ,
корней характеристического уравнения равно степени этого уравнен
.Так, если характеристическое уравнение представляет собой уравн
первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени— .'
корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрица
действительный (не мнимый и не комплексный) корень.
192
Уравнение второй степени может иметь:
а) два действительных неравных отрицательных корня;
б) два действительных равных отрицательных корня;
в) два комплексно-сопряженных кория с отрицательной
действительной частью.
Уравнение третьей степени может иметь:
а\ три действительных неравных отрицательных корня;
б) три деГклБНтельных отрицательных корня, из которых два равны
друг другу;
в) три действительных равных отрицательных корня;
г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-
сопряженных с отрицательной действительной частью.
§ 8.171 Отрицательные знаки действительных частей корней
характеристических уравнений. Свободный процесс происходит в цепи,
освобожденной от источника э.д. с. Он описывается слагаемыми вида
Лер'. В цепи, освобожденной от источников
э. д. с, свободные токи не могут протекать
сколь угодно длительно, так как в цепи от- _,
сутствуют источники энергии, которые были
бы способны в течение сколь угодно
длительного времени покрывать тепловые потери от
свободных токов, т. е. свободные токи
должны затухать- во времени.
Но если свободные токи (выраженные
слагаемыми еР*) должны затухать (спадать) во
времени, то действительная часть р должна быть отрицательной.
Значения функции e~ai=f(af) (где at = x) приведены в табл. 8.1,
Обсудим характер изменения свободных составляющих для
простейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравнением
первой и второй степени.
Если число корней характеристического уравнения больше двух,
то свободный процесс может быть представлен как процесс,
составленный из нескольких, простейших процессов.
§ 8.18. Характер свободного процесса .при одном корне. Когда
характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток
^ = А^, (8.12)
где р = — а зависит только от параметров цепи, А— от параметров
цепи, э. д. с. и момента включения. Характер изменения ica при Л >0
показан на рис. 8.8.
За интервал времени * = т= 1/а функция Аег"1 уменьшится в е =
= 2,71 раза. Действительно, при £ = т=Ца
at = ax = ala^\: e-oi = eox = e-1=l/e = 1/2,71.
Величину т=1/о=1/|р| принято называть постоянной времени'
цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Так, для цепи рис. 8.2
7 Зак. 1658 . 193
*
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
N 2,2
е*
1,0
1,10
1,22
1,35
1,49
165
1,82
2,01
2,22
2,46
2,72
3,00
3,32
3,67
4,05
4,48
4,95
5,47
6,05
6,68
7,39
8,17
9,02
е-
1,0
0^05
0,819
0,741
0,67
0,606
ГЛ549
0,497
0,449
0,407
0,368
0,333
O.30I
0,272
0,247
0,223
0,202
0,183
0,165
0,15
0,135
0,122
0,111
shx
0,0
0,10
0,20
0,30
0,41
0,52
0,64
0,76
0,30
1,03
1,17
1,34
1,51
1,70
190
2,13
23*
2,65
2,94
3,27
3,63
4,02
4,46
Лх
1,0
1,005
1,02
1,04
1,08
1,13
1,18
1,25
1,34
1,43
1,54
1,67
1,81
1,94
2,15
2,35
2,58
2,83
3,11
3,42
876
4,14
4,56
*
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
6,0
**
9,97
11,02
12,18
13,46
14,88
16,44
18,17
20,08
24,53
29,96
36,6
44,7
54,6
60,69
81,45
99,48
121,5
184,4
400
е-
0,100
0,09
0,082
0,074
0,067
0,061
0,055
0,05
0,011
0,033
0,027
0,022
0,018
0,015
0,012
0,01
0,0082
0.0007
0,0025
' Таблица 8
Eh*
4,94
5,47
6,05
6,70
7,41
8,19
9,06
10,02
1£25
14,96
18,28
2034
27,29
зззз
40,72
49,74
60,75
74,2
200
rbx
5М
5,56
6,13
6,77
7,47
8,25j
9,11
10,07
12,29-
15,0
18,31
22^6
27,3
333S:
40,73i
49,75'
60,76
742Г
200
x = L/R, для пели рис 8.3, a x=RCt для цепи рис. 8.18 т = ' $
и т. д.
Название «постоянная времени? отражает постоянство величины годкасатыл
ной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е ' численно равна т.
§ 8.19. Характер свободного процесса при двух действительны:
неравных корнях. Пусть рх =— а и р2=—Ь (для определенное
положим Ъ>а), тогда ,
^A&^+Af4*. (8.1I
Характер изменения свободного тока при различных по величин
и знаку постоянных интегрирования Аг и А2 качественно иллюстри
руется кривыми рис. 8.9, а~г; кривая / представляет собой
функцию А^г°1; кривая 2 — функцию A£rbi; результирующая («жирная»
кривая получена путем суммирования ординат кривых 1 и 2.
Для рис. 8.9, й Л,>0 и Ла>0; для рве. 8.9, б A^G, Aj<0
|AJ>A; для рис. 8.9, е A>0, -<4S<0, \AZ\<.AX; для рис. 8.9,^
Л>0, Ла<0, \AZ\ = A1.
§ 8.20. Характер свободного процесса при двух равных корнях
Известно, что если среди корней характеристического уравнения есп
два равных корня Pi = p% =—о, то соответствующие слагаемые реше
ГОЛ
Аг, а также когда одна из
для должны быть взяты в виде
AfP -f А£&*=(А±+Ast) e-al. (8-13)
На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают
возможный характер изменения функции (А±-\-А^е-"' при различных
знаках постоянных интегрирования А, ■■ л я """
постоянных равна нулю.
Кривая 1 при А,->0 л Ла>0;
кривая 2 при Лх<0 и Аа>0-
кривая 3 при Ах>-0 я Аа<;0
кривая 4 при Л± = 0 и Ла>-0;
кривая 5 при Аг>0 и As = 0.
§- 8.21. Характер свободного процесса при двух
комплексно-сопряженных корнях^ Комплексные корни всегда встречаются попарно
сопряженными. Так, если р1=^~- 6 + /cd0, то
Р-г = — е-/о0.-
Соответствукяцее им слагаемое решения
должно быть взято б виде
ica=Ae-** sin (щ1+v). (8.14)
Формула (8.14) описывает затухающее сину,
соидальное колебание (рис. 8.11) при угловой
частоте щ и начальной фазе v. Огибающая
колебания определяется кривой Ле_с/. Чем
больше S, тем быстрее затухает колебательный
процесс; Л и v определяются значениями
параметров схемы, начальными условиями и
величиной э. д. с. источника; щ и 6 зависят только
от параметров цепи после коммутации; ш0
называют* угловой частотой свободных колебаний;
6 — коэффициентом затухания.
§ 8.22. Некоторые особенности переходных
процессов. Как известно из предыдущего,
полное значение любой величины (тока,
напряжения, заряда) равно сумме принужденной и
свободной составляющих. Если среди корней
характеристического уравнения есть
комплексно-сопряженные корни Ри%=— 6± }щ и значение
угловой частоты свободных колебаний щ почти
равно угловой частоте ш источника
синусоидальной э. д, с. (источника питания), а коэффициент
затухания 6 мал (цепь с малыми потерями), то сложение
принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого
характерно биение амплитуды (рис. 8.12).
Колебание рис. 8.12 отличается от колебаний, рассмотренных
в § 7.14, тем, что здесь у одной, яз составляющих колебания
амплитуда медленно уменьшается,
7* 195
Если угловая частота свободных колебаний с^ в точности равя
угловой частоте источника синусоидальной э. д. с. ы,- то результир
щее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8.13. -
Простейшим примером колебаний такого типа является колебание,"
возникающее на емкости в схеме рис. 8.14 в результате сложения'
принужденного колебания UCmcosbit и свободного колебании
— Vcnf^ cos tat:
Амплитуда результирующего колебания нарастает по
экспоненциальному закону.
Ф»' \
Рис. 8.15
При наличии емкости (емкостей) в схеме могут возникать большие
начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды
тока установившегося режима. Так, в схеме рис. 8.15 при нулевых
начальных условиях в первый момент после замыкания ключа
напряжение на емкостях равно нулю и ток в неразвётвленной части цепи [
равен Vm sin ty/R^ Если чр = 90°, то в первый момент после замыка- ,,
яия ключа ток равен UmfRt. При размыкании ключа в индуктивных
цепях возникают опасные увеличения напряжения на отдельных
участках цепи (см. § 8.24).
§ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электрической
искрой (дугой). Если переходный процесс' вызывается размыканием
ключа в электрической цепи,4^
содержащей индуктивности, то между его
расходящимися контактами при
определенных условиях может возникнуть
электрическая искра (дуга). Прн возникновении
электрической искры (Дуги) расчет
переходного процесса усложняется и, строго
говоря, ие может проводиться
методами, изучаемыми в данной главе. Объяс- йс- 8Л6
няется это тем. что сопротивление
электрической искры (дуги) является нелинейной функцией протекающего
через нее тока. 'В этом случае, если известна вольт-амперная
характеристика дуги, для расчета переходных процессов могут применяться
методы, излагаемые в гл. 16.
Пример 79. Выяснить, можно ли ожидать возникновения электрической искры
(дуги) при размыкании ключа в схеме рис. 8.(6.
Решение. До размыкания ключа в цепи был установившийся режим:
{4~1ГЙ№ "Т "я- 1а{0-*--2 з'тг
Допустим, что при размыкании ключа искра не возникает. При этом ток if
почти мгновенно спадает до нуля, -a t(0+) должен будет равняться (я(°+)- Но
каждый из токов ((м i£ по первому закону коммутации не может измениться
Скачком.
Следовательно, между достаточна медленно расходящимися контактами ключа
^ схеме рнс. 8.16 при определенных условиях можно ожидать возникновения
электрической искры (дуги). Расчет переходного процесса в схеме рис. 8.16
см. в § 8.28.
§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием
ветвей в ценях, содержащих индуктивность. При размыкании ключей
в электрических цепях, содержащих значительные индуктивности, на
отдельных участках электрических цепей могут возникать напряжения,
во много раз превышающие установившиеся. Напряжения,
превышающие установившиеся, называют перенапряжениями. Они могут
оказаться настолько значительными, что при определенных условиях
вызовут пробой изоляции и выход из строя .«змерительной аппаратуры.
Пример 80. К зажимам индуктивной катушки с Д=1СЮ Ом, £,= 10 Г
подключен вольтметр (рис. 8.17). Сопротивление вольтметра fiF=3000OM; E=ID0 В.
Приближенно найти напряжение на зажимах вольтметра при (=0, если
допустить, что размыкание ключа произойдет мгновенно и искры не возникнет.
Решение. До размыкания ключа через L проходит ток »=>Е/Й=1 А.
В индуктивности была запасена магнитная энергия 1Р/2 Если донустить, чго
размыкание ключа произошло мгновенно и искры не возникло, и учесть, что ток
через индуктивность должен оставаться равным 1 А, то по замкнутому контуру,
составленному вольтметром н катушкой, за счет запаса энергии магнитного поля
индуктивности в первое мгновение будет проходить ток в 1 А. При этой
вольтметре возникнет гик напряжения порядка 3000 В- Прохождение большего
импульса тока через вольтметр может вызвать перегорание катушки првбора н
выход его из строя..
При размыкании ключа с конечной скоростью между его расходящимися
контактами (рис. 8,17) возникнет электрическая искра (дуга). Это приведет к тому,
что увеличение напряжения па вольтметре
будет меньше, чем в только -что рассмотренном
идеализированном случае, когда ключ размы-
D^^^ кался мгновенно без искры (дуги) *.
с Сц\ JT Чтобы не «сжечь» вольтметр в цепи рис.
V J п _ 8.17, сначала надо отключить вольтметр, а
зятем разомкнуть ключ.
Перенапряжения проявляются тем сильнее,
чем больше индуктивности в цепях. Особенно
р о ,7 опасны они в цепях постоянного тока, содер-
" ' жащнх индуктивности порядка единиц и
десяткой генри. В таких цепях при отключениях
соблюдают специальные меры предосторежностн (отключение ключа после
введения дополнительных активных сопротивлений в цепь).
§ 8.25. Общая характеристика методов анализа переходных
процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных
процессов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих
основных операций:
1) выбора положительных направлений токов в ветвях цепи;
2) определения значений токов и напряжений непосредственно до .
коммутации;
3) составления характеристического уравнения и определения его.
корней **; '
4) получения выражения для искомых токов и напряжений как
функции времени.
Широко распространенными иетодаыя расчета переходных
процессов являются:
1) метод, называемый в литературе классическим;
2) операторный метод;
3) метод расчета путем применения интеграла Дюамеля.
Для всех этих методов перечисленные четыре операции (этапы
расчета) являются обязательным!!.
Для всех методов первые три операции (о них уже говорилось)
совершаются одинаково и их нужно рассматривать как общую для
всех методов часть расчета.
Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее тру- -
доемком этапе расчета.
Чаще используют классический и операторный методы, реже^-
метод расчета с применением интеграла Дюамеля. В дальнейшем будут
* При более детальном рассмотрении процесса необходимо еще учесть
влияние меЖБИтковых емкостей и емкостей па землю (см. § 11-1). Если не учитывать
возникновение искры (дуги), распределенные емкости и индуктивности, то
приведенный расчет является весьма грубым и носит иллюстративный характер.
" К»к определять корни характеристических уравнении высоких степеней .
(4—6-й степени), сказано, например, в кн.: Попов Е. П. Динамика систем
автоматического регулирования. Гостехиздат, 1954.
паны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения
каждого из инх (см. § 8.56).
В радиотехнике, вычислительной и импульсной технике, автоматике,
телемеханике и в технике, связанной с теорией информации, кроме этих трех методов
применяют метод анализа переходных процессов, основывающийся па интеграле
Фурье *. (Об интеграле Фурье н спектральном методе, основывающемся на
интеграле Фурье, см. гл. 9.)
В задачах автоматического регулирования применяют также метод
трапецеидальных частотных характеристик, в котором используют вещественные частотные
характеристики (об этом методе см., например, гл. 3 [10]). Для исследования
характера переходного процесса, описываемого уравнениями высоких порядков,
применяют моделирующие установки, а также метод пространства состояний (см.
§8 66).
§ 8.26. Определение классического метода расчета переходных
процессов. Классическим методом расчета переходных процессов
называют метод расчета, в котором решение дифференциального
уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной
составляющих, а определение постоянных интегрирования, входящих в
выражение для свободного тока (напряжения), производят путем совместного
решения системы линейных алгебраических уравнений по известным
значениям корней характеристического уравнения, а также по
известным значениям свободной составляющей тока (напряжения) я ее
производных, взятых при *=0+.
§ 8.27. Определение постоянных интегрпрования в классическом
методе. Как известно из предыдущего, решение для любого свободного
тока (напряжения) можно представить в виде суммы
экспоненциальных слагаемых. Число членов суммы равно числу корней
характеристического уравнения.
Так, при двух действительных неравных корнях
при трех действительных неравных корнях
(св = А ,ер>'+А вер«* + А3&^.
Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов
коммутации можно найти:" 1) числовое значение искомого свободного тока
при 2 — 0, обозначим его £св(0+); 2) числовое значение первой, а если
понадобится, то и высших производных от свободного тока, изятых
при t = 0+. Числовое значение первой производной от свободного тока
при * = 0+ обозначим Цв(0+); второй —&,(0+) и т. д.
Рассмотрим методику определения постоянных интегрирования Alt
А2, ...; полагай известными tca(0+), &»(0+), i«(0t) и значения
корней Pi- ft. -•-
Если Характеристическое уравнение цепи представляет собой
уравнение первой степени, то iCB = j4ep'. Постоянная интегрирования А
определяется по значению свободного тока iCB(0+):
A^hJA)- (8.15)
* Для студентов указанных специальностей изучение вопросов, связанных
с интегралом Фурье, обязательно.
194
Если дано характеристическое уравнение второй степени и
корни действительны и ие равны, то
iCB = А#Р* + А#р*. (8.16)
Продифференцируем это уравнение по времени:
е, = р1Л,ел'+р1Л^- - №Д6'
Запишем уравнения (8.16) и (8.16') при (=0 (учтем, что при £=
ср»' = е""' = 1); получим:
1св(0+)-А + ^; (8-17)
&(0+)=ftA+/W (8.17')',
В этой системе уравнений известными являются iCB(0J, i'cb(0+), pt
и р2; неизвестными — Ау и Ла.
Совместное решение (8.17) и (8.17') дает
1 Pi-Pt ' \ (8.17")'
Л='сВ(о+)-Л- J
J Если корни характеристического уравнения являются комплексно-.
сопряженными, то свободный ток
(св = ЛеЛ sin (4>ot+v). (8.18)
Угловая частота «0 и коэффициент затухания 6 известны из
решения характеристического уравнения.
Определение двух неизвестных А и v производят и в этом случае
по значениям (св(0+) и Цв(0+).
Продифференцировав но времени уравнение (8.18), получим
6»-=- — Af^'sm (a6t -f v) + AiB^e-* cos (a^t+v). (8.18')
Запишем уравнение (8,18') лри t = 0+:
i'cB (0+)=—A6sinv -f- Aa0 cos v.
Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два
уравнения:
tCB(0+) = i4sinv; 1
Йа (0+) = — АЬ sinv -f,Л<о0 cos v. J *8*19*
Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, (
-Свободный ток
iCB = Afi>* + А^-' -f Afp*. (8.20)
Найдем первую, а затем вторую производную от левой н правой
частей уравнения (8.20):
Ив = рИ,е".' ^рАе"** + раА^''; (8.21)
(и=ДА*?* + рИ^'' +йЛяел«. (8.22)
Запишем (8,20), (&.21) и (8,22) при * = 0+:
' i"cB(<VHA-Me+A;
»'«(0+)=р± Аг+р2 Лв + р3 Д3;
С <0+)=pi^i+р\А& -Ь pS А,.
(8.23)
Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех
линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Аи А% и Ав.
Все остальные входящие в нее величины [р1у ръ ps, iCH(0t), |"ёв(0+),
|"св(0+)1 известны.
Вначале для облегчения нахождения величины и ее производной
при i = 0 рекомендуется решать задачу относительно тока через L или
напряжения на Си только затем, используя законы
Кирхгофа,определять любую другую величину через
найденную. '~~
Рассмотрим несколько примеров расчета
переходных процессов классическим методом
в цепях первого и второго порядков-C
источниками постоянной и синусоидальной э. д. с.
при ненулевых начальных условиях.
Пример 81. В схеме рис. 8.18 до
замыкания ключа был установившийся режим: рмс g]8
Rt = R[ = i?a = 50 Ом; С = 100 мкФ; £ = 150 В.
Требуется: 1) найти полные, принужденные и свободные
составляющие токов i"i, га, is я «с при t = 0+, а также начальное значение
производной от свободного напряжения на емкости; 2) определить
токи jj, i2, t3 а напряжение ис в функции времени.
Решение первой части задачи. До коммутации
«Л°-) = 0 и ^ij(0_) = is(0-) = £/(R1-|-i?;-l-i?3)= 150/150=1 A,
Напряжение- на, емкости равнялось напряжению на
сопротивлении Нз-
"c(0j) = is(0_)i^ = 1-50 = 50 В.
Найдем принужденные значения токов н напряжений после
коммутации:
<„,=;,„=£/№+&,);= 150/190=1,5 а-,
"C4,(0J=(«,p(04R3-1.5-50=75 В.
По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура,
образованного первой н второй ветвями при г=0+:
Поэтому
i,(0JR,+M°t)=£. "° "с СУ="с (<>-)•
... E^^Oj 150-»
Из уравнения М"+)-=»з(0№ получим
По первому закону Кирхгофа,
i1(0+) = (2{9+)+i3(0+).
Следовательно, ' ;
^(0+) = (1(0+)-%(0+)-2-1 = 1 А.
Свободные составляющие тока и яапряжения определим как р
ности между полными я принужденными величинами:
кСсв(0+) = «с (0+) - «с пр (0+) = 50-75 =-^25 В;
^<ад-чСад-«,,ф<Р*)-1-0 = 1 А;
^ (0+) =h (0+) - (Зпр (О*) = 1 -1,5 = —0,5 А.
Так как свободный ток через емкость tCB = C—-?я", то dttccJdt
В рассматриваемом примере
(й«ссв/Л>=о+-'2св(0+)/С= 1/(100- 10в)= 10* В/с.
Решение второй част« задачи.
Характеристическое уравнение для
. . слекоммутационной схемы pRJl£+^i
<f +^з—^ имеет один корень
- 400 с-1.
Каждый ток равен сумме прину
денной составляющей и свободной состав.
ляющей Лер', где А равно значению ев '
бедной составляющей при *==0+ (рис
8.19):
Н=1,$+0,Ье-*м' A; ig = e-»00' A;
i3=l,5-0,5e-*№'A;«c = 75-25e-4CU*f '
Пример 82. В схеме рис. 8.20 до замыкания ключа был устан .
вившийся режим: i?i = .Ra = 2 Ом; соЬ^ЗОм; e(*)=127sin(cof — 50°) В»
№ = 314 С"1.
Требуется: 1) найти iCE(0+); 2) определить закон изменения ток
в цепи после коммутации.
решение первой части задачи. Комплексна* амплитуда
тока в цепи до коммутации
4+3/
Мгновенное значение тока до коммутации
» = 25,4 sin M-86°50') А.
В момент коммутации (при tof = 0)
i(0_) = 25.4sin(—8б"50') = —25,35 А.,,
Принужденный ток после коммутации
1т =-^q^ = 35,2е-ясс-2с- А>
Мгновенное значение принужденного тока
inp = 35,2sm(fi)f— 1О6°20') А;
*пр(0+) = 35,2sin(—Ю6°20') =—33,8 К.
По первому закону коммутации,
£(0_) = *(О+) = — 25,35 А.
Но i(0+) = top^)+)^-iw(0+). Следовательно!
W(0+) = i (0+)- г„р(0+) =—25,35 + 33,8 = 8,45 А,
Решение второй части задачи. Характеристическое
уравнение pL+R!,=0 имеет корень
Ra ^___ЁЛ?Н.
-210 <г\
По данным первой части задачи, ток в цепи до коммутации
(кривая / рис. 8.21 до tof = 0)
/ = 25,4sin((o*-86°50') A.
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации
(кривая 2 рис. 8.21)
inp = 35,2sin((u*-lO6c20') А; *ся(0+) = 8,45 А.
i = »«p+i»=3S^sin(wf- №e2ff) + Bt45erma А.
Кривая 3 рис. 8.21 определяет характер изменения-свободного
тока, кривая 4— полного тока после коммутации (ординаты кривой 4
при at ^0 равны сумме ординат кривых 2 н 3).
Пример 83. В схеме рис. 8.22 ключ замыкается в третьей ветви.
До этого был установившийся режим: e(ff=E=*120 В. Требуется
иайти: 1) iatB(rj*>; ((fl^dfc-OH йссв(0+) и (duCcs/£»)*=o+L 2) ia(0 и
"с (О-
Решение первой части задачи. До замыкания ключа
^(0L) = h(O-) = ^/P?i+^= 120/(50+ 10) = 2 А.
Принужденный ток после коммутации iinp = (Snp = 2 А. Постоянн. <!-
ток через емкость не проходит, поэтому iSnp— 0. :
От постоянного тока на индуктивности нет падения напряженно
следовательно, И£21Ц, = 0.
Рис. 8.21
Рис, 8,2!
Принужденное напряжение на емкости равно падению напряжение
на сопротивлении Rs от тока i2np: иСпр = 2-10=20 В. По первому
закону коммутации,
i2(0_) = fs(0t)=2 A.
Но М0+) = (апр(0+) + '2Св(0+). откуда
fe. (0*> =к (0+) - к^ (0t) = 2 - 2 = 0;
кФ+)=кФ+)+Ч&4,
или
M0*) = 2 + i8(0+).
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого
контура, образованного первой и третьей ветвями:
к (0*) #i+к (0+) Яз + ис (0+) = Е.
Так как ис(0+) = 0 и i1(0+) = 2+i3(0^), то ]
i (Q ) ^£~2Д* - '20-2-50 g .
Свободная составляющая
i3CB (0+) = к (0+) - i3np (0+) = 0,2 - 0 = 0,2 А.
' Чтобы определить HiCB(0+), составим урЗвиение для свободных'
составляющих по контуру, образованному первой и второй ветвями::
Ьс. (О*) I?! + ь. (0+) Я2 + «t «. (0+) = 0,
откуда
"i с» (0+)=— (ica (0+) J?! - ("2СВ (0+) R2 = —0,2 • 50— 0 = —10 В.
Но «ira^f-a-Jr- Следовательно,
(diza№)t=^й1св(0+)/£а= —Ю/2 = —5 А/с.
Свободное напряжение на емкости при *=0+ подсчитаем по вто/
рому закону коммутации:
ис(0_) = ис(0+);
«c(O+) = «Cnp(0+)+HccB(0+); 0 = 20+uCce(0+);
отсюда ыСи.(0+) = —20 В.
Определим скорость изменения свободной составляющей
напряжения на емкости при' *=0*. С этой целью воспользуемся тем, что
da-
£дсв=С-~Ч Следовательно,
{йасс,Л-с+ = ь.(0+)/С = 0,2/(150■ 10е)■-= 1333 В/с.
Решение второй части задачи. Характеристическое
уравнение
имеет два комплексно-сопряженных корня:
р1=-42,1 + Д5,2 (Г1 и р2 = -42.4-/15,2 с"1.
Поэтому свободная* составляющая должна быть взята в виде
^e-^sin^f-r-v),
где 6 = 42,1; «0=15,2; А и v определяют по значению свободной
составляющей и ее перной производной при * = 0+. По данным первой
части задачи,
<ИР = 2 A; iKB(0+) = 0; i1n(0+)=-5 А/с;
Ис,ф = 20 В; иСсв(0+) = —20 В; «cCB(0+)= 1B33 В/с.
При f = 0 ^e"*sin((i>0f + v) ~ i4sinv. Производная функция
■/le-^sinftoof-f-v)
— Afe-*sin (aJ+v) + Ае-**е>а cos (ш0(+v).
Значение этой производной при ( = 0 равно
— 6А sinv + a0A cos v.
Найдем значения А и v для свободной составляющей тока i2. Для
этого составим два уравнения:
к<* (°+) = 0, или A sinv = 0;
'scb(0^)=—5, или !—64sinv+w0Acosv = —5.
Совместное решение их дает х~0вА=—0,328А.Следовательно,
*3 = isnp+iacB = 2-0,328e-*2-"sinl5,2* A.
Кривая / рис. 8.23 выражает собой график к=?ф. Найдем Л
для свободной составляющей напряжения ис:
«ссв(0+) = —20, или Asmv = —20;
«Ссв(0+)=1333, ИЛИ — 6Л SIIIV+ Ю0Л COS V= 1333.
Отсюда А = 37,9 и v=— 31*52*. Та
ним образом,
Ис = "спр + "ссв = 20 +
+ 37,9е- **•» sin (15,2* - ЗГ52') В,
Кривая 2 ^рис. 18.23 изобража
uc=f(t).
Пример 84* В схеме рис. 8.22 e{t)
= 127 sin (3142+40°) В. Параметры сх '
•Рис 823 мы те же, что и в примере 83. Довкл
чения ключа в схеме был установивший
ся режим: ис(0_) = 0.
Требуется найга: 1) iSCB{0+); {distJ&l)t={li; uCta{Q+) ™ Шс<*Ш)1=ъ+
) kif> и uc(t).
Решение первой части задачи. До коммутации
/im = ^=-^^8 = 0,202e-^№30^; i1 = ia=O,202sm(u)*-44°30'); -
J, (0_)=/2(0_) = 0,202 sin (_44°30')=— 0,1415 А.
Определим принужденные токи н напряжения на емкости после,
хшмутации.
Входное сопротивление цепи ь
=«,+-
. №,+/»« &-7Н
Rz+fvLz—R:,-
= 104,8е-(«м'Ом;
юс
;„=E„;Z„= 127е7м7104£е-'И|>'= l,213e»» А.
Мгновенное значение принужденного тока после коммутации
!,„,,= 1,213 sin(ai + 49°50');
fUp(0J=l,213sin49o50'=0,923 A.
Комплексное сопротивление параллельно соединенных второй и
ретьей ветвей '
= 58,3е-"м5' Ом.
Комплексное напряжение на параллельном участке
О„=- 1шг^= 1,213е«»-я>'• бб.Зе-'1™'-68,2е»1-15' В;
отсюда
4»=CWZ„=68,2е»™'/(!0+/628) ^O.lOeoe-i5"»-;
tern - f o«/Zs - 68,2е'»™'/(50 _ /21.3) = ^Зе^"2»'.
Мгновенные значения принужденных токов i2 и i3 после коммутации:
Ьп — 0,1085 sin (mi — 58°45');
«з-р = 1,253 sin (mi+64°20');
?!.p РУ=0,1085 sin (— 58°45') =—0,0928 А;
Чвд (0+) = 1,253 sin o4°2fl' = 1,016 А.
Принужденное напряжение на емкости
Ос.т- 'sm(— J'/mC) = l,253ei"s™' • 21 ,3e-w „гб^е-'"»™' В.
Мгновенное значение принужденного напряжения на емкости после
коммутации
иСт =. 26,7 sin (ш! — 35°40');
"Спр (0*)=26,7 sin (— 35°40')=—15,57 В.
По первому закону коммутации,
к (0-) - к (0+) = - 0,1415 = i2np (0+) + ъ* (0+):
W0+) = ~ 0,0928 А;
'всв(СГ+) = —0,1415+0,0928 = —0,0487 А.
Свободное напряжение на емкости Иссв(0+) найдем по второму
закону коммутации:
«c(0-)=«cnp(0+)+«ccB(0t);
«ов (0+) = ис (04 - uCtip (0*> = 0 - (—15,57) = 15,57 В.
Для определения *SCB(0+) составим уравнение по контуру,
образованному первой и третьей ветвями:
<ю (0+) Ri+к* (0t) Ra + «ccB (0+) = 0.
Заменим в нем Ч™(0+) на [—0,0487+ /8ев(0+)] в> Учтя. 1П0
кСсв (0+) = 15,57 В, получим:
4»№)в=Щ?^*-0.И14 А;
i1CB(04 = 4c„(0+) + ^(0+) = -0,18A.
Чтобы определить UiCH(0+)=/-(di2cs/rfO/=o+, составим- уравнение
для контура, образованного первой и второй ветвями:
' «u.«URi+'«.<4i)«i+«tt«.W=o,
откуда
Bit, (0*) = 9,487 В;
(Л-а„7<М)< -а, =■ ma (0+)/t=9.487/2=4,74 А/с;
(«•<W«)i-a,=>*,{<lJ/C=.-0,1314/(150-10-4=—876 В/с.
Решение второй части задачи. По данным, полученн
при решении первой части,
/2np = 0,1085sin(citf-58°45'), *"вс„(0+) = — 0,0487 А;
»2сВ(0+) = 4,74 АД;;
ИсЛр = 26,7 sin («of —35°40'), ыСсВ(°+)= 15,57 В;
«сев (0J = —876 В/с.
Корин характеристического уравнения те же, что и в предыдуще '
примере. Определим А и v для ?асв, составив два уравнения:
A sin v 5= — 0,0487; — ёЛ sin v -f- a0A cos v = 4,74,
откуда Л = 0,184 А и v = — Ш^О*.
Следовательно, —
H = (апр + кя = 0,1085 sin (coi — 58°45') -f-
+0.184е-42-" sin (15,2* - 15°20') A.
Найдем А и v для иссв. составив два уравнения: \
A sin v = 15,57; — ЬА sin v 4- ю0Л cos v = -~- 876.
Их совместное решение дает Д = 21,3 hv = 135°50\ Таким образом,
Uc=iiCtip+«ссв =26,7 sin (toi — 35°40')+21t3e-,2.lf sin-(15,2*-}- 133с50') В..
§ 8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмот-;
ренин которых не выполняются законы коммутации. Обобщенные,
законы коммутации. На практике
встречаются схемы, переходные процессы в ко-;
торых состоят как бы из двух стадий рез-.
1ис ко различной продолжительности. Длитель-
2 ность первой стадии в тысячи и миллионы
раз короче второй. В течение первой ста'-*
дни токи в индуктивностях и напряжения
на емкостях изменяются настолько быстро
(почти скачкообразно), что если считать
t = 0_ началом, a t = 0+ — окончанием первой стадии, то создается,
впечатление, что при переходе от i=0 к f=0+ т. е. за время, на--
пример, в несколько микросекунд, как бы нарушаются законы
коммутации. f
■ Для иллюстрации нарушения второго закона коммутации рассмот- ■
рим переходный процесс в схеме рис. 8.24 с начальными условиями
UCl(0_) = E, uc,(CL) = 0.-
Если ие учитывать хотя и очень малое', но все же конечное сопро-:
тивление соединительных проводов, то сначала при замыкании ключа'
через конденсаторы возникают очень большие броски токов,
прохождение которых приводит почти к мгновенному уравниванию напряжения;
на конденсазорак до величины, меньшей" Е. (Строго говоря, если'-
учесть сопротивление соединительных проводов Rnp, то для первой'
стадии переходного процесса в схеме рис. 8.24 характеристическое-
авнение есть уравнение второго порядка, один корень которого при
д ->0 стремится к бесконечности.)
°РПосле этого начинается вторая стадия, когда параллельно
соединенные конденсаторы относительно медленно заряжаются до
напряжения Е. Длительность переходного процесса практически определяется
второй стадией.
В качестве примера нарушения первого закона коммутации
рассмотрим переходный процесс в схеме рис. 8.16. Быстрое размыкание
ключа в первой ветви, например за 10~6 с, приводит к тому, что
сопротдалениег-этрй ветви быстро увеличивается, ток i2 почти скачком
уменьшается до нуля и почти скачком изменяются токи в остальных
ветвях. Таким образом, за время Ю-5 с (от t — 0_ до i=0+) токи
резко изменяются, a i(0+)^=i(0_) и к^ФкФ-У
Нарушение законов коммутации в формулировке § 8.5 — 8.6 при
переходе от f = 0_ к f = 0+ объясняется тем, что процессы в быстро
протекающей первой стадии и их зависимость от времени не
рассматривают. Если же первую стадию "ие исключать при рассмотрении, то
ранее рассмотренные законы коммутации выполняются.
Для того чтобы можно было рассчитывать переходные процессы
сразу во второй стадии, как бы перешагнув через первую, надо, во-
первых, примириться с тем, что при переходе от £ = 0_ к f=0+
в рассматриваемых задачах законы коммутации в том виде, как они
сформулированы в § 8.5 — 8.6, не будут выполнены; во-вторых,
договориться об исходных положениях, которые позволяют определить
значения токов .через индуктивности й напряжений на емкостях (а если
потребуется, то и их производные) при *=0+ через значения токов
и напряжений при f=uL Таких положений (правил) два. При решении
задач рассматриваемого типа оин заменяют законы (правила)
коммутации, о которых шла речь в § 8.5 — 8.6, и потоы} их называют
иногда обобщенными законами (правилами) коммутации.
1. При переходе от f = 0_ к f = 0+ суммарное лютокосцепление Jjty
каждого замкнутого контури послекоммутационной схемы не должно
претерпевать скачкообразных изменений. &го положение следует из
второго закона Кирхгофа и доказывается от противного: если допустить,
что £$ некоторого контура изменится скачком, то в уравнении для
этого контура, составленном по второму закону Кирхгофа, появилось
бы слагаемое (Д2 if/Af)w-.o -*■ 00 и второй закон Кирхгофа не был бы
выполнен.
Суммарное потокосцепленне 2ч> представляет собой алгебраическую
сумму произведений токов ветвей этого контура на их индуктивности
(в общем случае с учетом магнитной связи с другими ветвями). Со
знаком плюс в эту сумму входят слагаемые ветвей, направление токов
в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода
контура.
2. При переходе от t = 0_ к t = 0+ суммарный заряд £<? на ебклад-
ках конденсаторов, присоединенных к любому узлу
послекоммутационной схемы, должен остаться неизменным. Если этого не выполнить,
10 суммарный ток, проходящий через конденсаторы, был бы бесконечно
большим (стремился бы к бесконечности), бесконечно большими были
бы токи и через другие ветви, присоединенные к этому, узлу.' •
также привело бы к нарушению второго закона Кирхгофа. _ «
Пример 85. Послекоммутационная схема рис. 8.16 имеет вс
один контур. По первому закону (правийу) коммутации,
Li (0-)+LJz (0_) = i (0+) (L +L2); U = b
i (0.) = [1/(L + Ш [Li (0J+L2iz ((L)].
Закон изменения тока при *=з=0+, если считать, что до коммута
был установившийся режим,
Пример 86." Для схемы рис. 8.24 известны ис,(0-)=Еи 1,сЛ®-)=
По второму закону (правилу) коммутации составляем одно уравнен
(т. е. столько, сколько надо составить уравнений для послекомм
ционной схемы по первому закону .Кирхгофа):
^(O+HCi+Q;
При *=з=0,.
UC = ЧСпр + «Сев
^Е-Е-,
'ъ+с;-
/ЦС+Сг)
Рис. 8.25
Характер пзмеиения ис, и uCi показан на рис. 8.25, а и
В заключение обратим внимание на то, что, допустив1 при перех
от * = 0_ к f = 0+ скачкообрази
изменение токов через индуктнв
сти и скачкообразное изменение
пряжений па емкостях, тем сам"
допускаем скачкообразное измен
ние энергии магпитного поля п,
дуктивностеи и энергии электр!
ского поля емкостей.
Суммарная энергия электр ■,
ского и магнитного полей при i= s
всегда меньше суммарной энергии при * = 0_, так как часть запасенн-
энергии расходуется на тепловые потери в сопротивлениях, искру п-
коммутации, электромагнитное излучение в окружающее простран
Прежде чем перейти к изучению основ второго метода рас
переходных процессов в линейных электрических цепях — оператор
метода, вспомним некоторые известные положения.
§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно, что
выполнения операций умножения, деления, возведения в стелен—
извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользова .
логарифмами.
Действительно, операция умножения сводится к сложению лО
рифмов, операция деления —к вычитанию логарифмов и т. д. Т
образом, произвести расчет легче в силу того, что сраврительно-слож-
ная операция сводится к более простоиь_Каждому числу соответствует
свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как
изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при
основании Ю числа 2-
§ 8".30. Комплексные изображения синусоидальных функций.
С понятием изображения встречаются также при изучении
символического метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно
символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение
синусоидальной функции. Так, 1т есть изображение синусоидального тока
/msin(wi+^)). Между изображением числа в виде логарифма и
изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа
имеется существенная разница. В первом случае речь идет об
изображении числа (ие функции), во втором —об изображении функции
времени.
Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение
операций над числами, введение комплексных изображений
синусоидальных функций времени позволило упростить операции над
функциями времени (свести операции по расчету цепей синусоидального
тока к операциим, изученным в гл. 1).
§ 8.31. Введение -к операторному методу* Операторный метод
тоже основан на использовании понятия об изображении функций
времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует
функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот —
функции переменной р отвечает определенная функция времени.
Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью
преобразования (прямого) Лапласа.
Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов
представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании
Лапласа.
Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования
к умножению, а оперицию интегрирования — к делению. Это облегчает
интегрирование дифференциальных уравнений.
§ 8.32. Преобразование Лапласа, Условимся под р понимать
комплексное число
р = а+;&, (8.24)
где а — действительная, a jb — мниман части комплексного числа
4 (в ряде книг вместо буквы р пишут s).
В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой
коэффициент Ъ с учетом знака условимся называть ие коэффициентом при
мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой
частью. Функцию времени (ток, напряжение, э. д. с, заряд)
обозначают /(i) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p),
йазываемая изображением, которая определяется следующим образом:
F(p)=\f($e-pfdt. (8.25)
о
21
Соответствие между функциями F(p) я f{t) записывают так: ■
F{p)=f(t). (8..
Знак = называют знаком соответствия. - >
Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечноста Интегр ^
с бесконечным нерхним пределом называют несобственными,
в результате интегрирования и подстановки пределов получают кш-
ное число (ие бесконечность), то говорят, что интеграл сходится. _.
В курсе математики доказывается, что интеграл (8.26), в
которого входит функция е~р'=е-°'е~да, сходится только в том слу .
когда модуль функции /(О» если и увеличивается с ростом t, то ■
же медленнее, чем модуль функции &*, равный е°*.
Практически все функции f(t), с которыми имеют дело в ку'
ТОЭ, этому условию удовлетворяют.
Найдем изображения некоторых простейших функций.
§ 8.33. Изображение постоянной. Требуется найти изображе .
функции f(t) = A, где А — постоянная величина. С этой целью в (8.
вместо /(f) подставим А и проведем интегрирование:
5(0=$Ле*Я=л(-Ш<!(е*<) = —^£i I =£.
о о б
Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, д -
ной на р:
А = А/р. (8.
Наряду c преобразованием Лапласа (8.25) в научной н учебной литера
широко пользуются преобразованием Карсона—Хевисайда. При преобразова
по Карсому—Хевисайлу принимают
F(P)=P (МО^'Й.
0
По Карсону—Хевисайду, изображение и оригинал имеют одинаковую ра
ность, а изображение постоянной Л равно самой постоянной.
По Лапласу, размерность оригинала не равна размерности изображения
изображение постоянной А равно А/р.
Следует отметить, что основная заслуга в разработке интегрального л
зования функции f{t) в функцию р принадлежит Лапласу. Карсои в Хевн "
добавили к преобразованию Лапласа лишь, нормирующий множитель р. благо <'
чему оригинал и изображение стали иметь одинаковую размерность.
§ 8.34. Изображение показательной функции €**. Вместо f ■
в (8.25* подставим е-";
F(p)= J е^е-*ад= J e^f-^dt={~~~) \ &lr^>d\—t(p-a)f
V о в
= _nLe-(0>-a) |°° = 1 /0_ П «__!_.
Р—а |о р—а 1 ' р—а *
Таким образом,
e**==U/u>-a). (8.28)
При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено,
что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е. e>a.
Только -при этом условии интеграл сходится.
Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней
сс = /ш, получим
е** = 1/(р-/<о). (8.29)
Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса
синусоидального тока:
С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число 1т.
Получим
'^"^'--^w- ' <8-3°>
Аналогично, изображение комплекса снвусс«далыгого напряжения
^"^-jhi- . <8-31>
Функции е-^ ^гаответствует изображение 1/(р-{-а):
' е^и1/(р+а). (8.32)
§ 8.35. Изображение первой производной. Известно, что
функции f(() соответствует изображение F{p). Требуется найти изображение
первой производной df(f)fdt, если "известно, что значение функции ТШ
при 7=0 равного).
Подвергнем функцию df(f)fdt преобразованию Лапласа:
зведем по частям. Обоз]
\udv = uv — \iidu.
Интегрирование произведем по частям. Обозначив е-^=и н d Г/ (ftl=
— dv, имеем
Следовательно,
■ Se-p'd[/(0]=^/(oT"f/(Orf[e-"(J.
о ос
Но
<г*М | =-0-f(0) = -£(0).
6 0
Таким образом,
jMr^/=/>F(p)-№). (8.;.
0
или
df(fy# = pF(p)-№- (8-
§ 8.35. Изображение напряжения на индуктивности. Изображе •
тока i равно 1(р). Запишем изображение напряжения на нндук i
ности:
По формуле (8.33), di/df^p/(p) —i"(0), где i(01 * — значение то ;
при * = 0.
Следовательно,
L^Lpfip) -Щ0). (8.,
Если ((0) = 0, то
L-f=Lp/(p). (8.
§ 8.37. Изображение второй производной. Без вывода дадим
мулу ^
Следовательно, изображение второй производной тока I
■^ = Ps/<p)-pi(0)-.'(0).
§8.38. Изображение интеграла* Требуется найти изображениефунк
\\ЩШ. если известно, что изображение функийи \Щ равно F(p).
С
f
Подвергнем функцию ^f(t)dt преобразованию Лапласа:
о
f/(0<и]е"*=-ИПН')'и]<'(<г'»).
* Для сокращения записи вместо i (0_) пишем i (0); i (0) может быть и п
жительиой и отрицательной величиной; i (0) положительно, когда направл
тока совпадает с произвольно выбранным пеложйтелышм направлением п
коммутационного тока в индуктивности L.
Примем \f1$dt=tr, d(e-^)=do я возьмем интеграл по частям:
о
.в = ZM
р ■ р "
Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и
нижнего пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль
получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f{f)
(см. § 8.32): функция f(f) если и растет с увеличением t, то все же
медленнее, чем растет функция е°', где а—действительная часть р.
При подстановке -нижнего предела нуль получается за счет обращения
в нуль ^f(i)dt. Следовательно, если f-$~Flp), то
с
,JfW«=F<pW>. _____ (8_35)
"С
§ 8.39. Изображение напряжения иа конденсаторе. Напряжение
на конденсаторе ис часто записывают в виде Ис =-£-!"*<#, где ие
указаны пределы'интегрирования по времени. Более полной является
следующая запись:
= «с(0)+-М ■'
где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе
определяется ие только током, протекавшим через конденсатор в
интервале времени от 0 до /, но и тем-напряжением ыс(0), которое иа нем
было при * = 0. В соответствии с формулой (-8.36) изображение^- \ idt.
о
равно -yj^-. a изображение постоянной ис(0) есть постоянная,
деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе
записывают следующим образом:
Ср
(8.37)
* Для сокращения записи вместо ис (0_) пищей ис (0); ис (0) может быть и
Положительной и отрицательной величиной- В формуле .[8.37) и^ЦЛ) берется
положительной величиной, если направление напряжения ис(0) совпадает с
произвольно выбранным Еояояштелышм направлением послекомыуташонцого тока через
Конденсатор.
215
1.
2.
3.
4.
5.
p—a
p+a
1 =e^.
a -j
p(p-i-a) '
(Р+^И^
Приведем простейшие операторные соотношения; часть,, их,,
выведена ранее, другая даетсяЛЗез вывода:
"■ ffr+o) - <■ «■ "*" * ' ;
о - Р :__!_ la*-*"—he
10- (р+о)(р+Ч 5=!-5=б-(е""-е"°')- ,.
11 ' ' ' ■ ' 1
1_ /tr*' _ е-**\
е. т^^а-^е-. i2.i=<. :
§ &40. Некоторые теоремы и предельные соотношения. 1. Теоре/
смещения в области оригиналов (теорема запаздывания). Если нзобр
жение функции f(f) равно F(p), то изображение функции f(f —
равно e-^Fip). ' :
- Теорема доказывается путем подстановки /(*—т) в формулу >
образования Лапласа н введения новой переменной f—x==tj, dt =
g-p/ „ g-J*Tg-p(, ;
ГtrP'f (t-T)dx = erP* J e-*">f(У df, = e-^F(p). >
с о
Пример па применение теоремы см. § 8.50.
2. Теорема смещения в области изображений. Если изображе
функции F(p) соответствует функция f(t), то изображению F{p — Ц
функция eP/fa.
Доказательство производится путем подстановки функции е"И
в формулу преобразования Лапласа:
Te-pif&tf(t)dt = \e-np-'K)f(hdt^F(p-fy. ;
о о
Пример 87. Найти оригинал 1/(р + Цг, если известно, что \/р*=*
Решение. lf(p+*r=e**t.
3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Еслифун
ции )(ft соответствует изображение F(p), то функции /(а/) —нзоб»
жение —F (-JH. г
Теорема доказывается следующим образом: ^
4. Нахождение начального значения функции времени f(0) по'юзо-
Сражению функции F(p):
/(0)= Игл pF(p).
Это соотношение получают, если в (8.33') р устремим к
бесконечности. При этом левая часть (8.33*) равна нулю.
Б. Нахождение установившегося значения функции времени /(со)
по изображению функции F(p):f (оо) = lim pF (p).
Соотношение получим, если в (8.33 ) р устремим к нулю и учтем,
что e^Z'o= 1- Будем иметь
H(9=/(«>)-/(°>=lim pF(p)~f(%
О р-»0
или f (t)= limpF(p).
(-.to p-»0
Если искомая функция f(f) в послекоммутационном режиме содержит в своем
составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то
понятие / (кэ) для лее оказывается неопределенным. Например, не имеет
определенного смысла функция sin erf при *=со. В соответствие с этим к цепяч с
синусоидальными источниками не следует применять^ предельное соотношение п. 5. Точно
так же не следует применять это соотношение' к цепям без синусоидальных
источников, если эти цепи часто реактивные н не содержат активных сопротивлении.
Так, при подключении Последовательно соединенных L а С (при нулевых
начальных условиях) к единичному напряжению 1 (f) по цепи протекает свободная
составляющая тока, -численно равная \^C/L sin tfflLC. В этом случае определять
/ (со) как lim pF (p) также не имеет смысла.
р-° _^
§ 8.41. Закон Ома в
операторной форме. Внутренние в. д. с. На
рие. 8.26 изображена часть
сложной разветвленной электрической
цепи. 'Между узлами о и & этой
цепи включена ветвь, содержащая
R, L, С и источник э. д. с. е (t). Ток
по ветви обозначим через i.
Замыкание ключа К в схеме
приводит к переходному процессу.
До коммутации ток t=i(0_) в напряжение на конденсаторе
= ис<0_).
Выразим потенциал точки а через потенциал точки Ъ для
коммутационного режима:
Рис. 8.26
UC =
после-
фа =Ф&+"с-Hi-Mr— еф;
и0ь=Ф»—ф*="я-т-«1+Ис—e(f).
t
Вместо uL запишем L-Jr, вместо ис запишем ис(Щ-¥ £-\ '<#-
Тогда
uab = iR + L%r + uc(0)-{-~§idt.-e(t). (8.*
о
К уравнению (8.38) применим преобразование Лапласа. Пр
зование Лапласа является линейным, поэтому изображение су
равно сумме изображений.
Каждое слагаемое уравнения (8.38) заменим операторным и
жением:
вместо iR запишем Rl(p); вместо иаЬ запишем Uab(p);
Получим
f»W=/0>)(fi+Pi+1^r)-i"(O)+-^— E(p). (8.
Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо
ференциалыюго уравнения (8.38) получили алгебраическое' уравн ■
(8.39)^ связывающее изображение тока !{р) с изображением э. •
Е(р) и изображением напряжения Vab(p). Из уравнения (8.39)
дует, что s
МО)
Uab(p)+t.i{0) ^—+Е(р}
'W- -^ .- <8;
где Z{p)=R-\-pL•%--£—-г операторное сопротивление участка ц
между точками а и Ь. Структура его аналогична структуре комп
сопротивления того же 'участка цепи переменному току, если /о> з "
нить на р (ср. с § 8.13).
Комплексное число p=a+jb {см. § 8.32) запишем в виде р—/(fc—/«) =
где Q=fc—ja—комплексная частота; Z(p)==Z(/Q)—сопротивление, оказыва
рассматриваемой цепью воздействию £>УB,==£/epf, подобно тому, как Z {/'о) ^
сопротивление, оказываемое воздействию ^е?"'.
Уравнение (8.40) может быть "названо законом Ома в операто '■
форме для участка цепи, 'Содержащего э. д. с. Оно эапнеано при н
левых начальных условиях.
Слагаемое Li (0) представляет собой внутреннюю э. д. с, обу ^
ленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вслед *
протекания через нее тока i (0) непосредственно до коммутации.
Слагаемое исф)/р представляет собой внутреннюю э.д.с, обу
ленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вслед
наличия напряжения на нем «с(0) непосредственно до коммута
В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8,27 изображена о
торная схема замещения участка цепи рис. 8.26. Операторные соп
тивления R, pL, lftCp). Как следует из формулы (8.40), внутрен
э д. с- и(°) направлена согласно с направлением тока 1{р),
внутренняя э.д-с. Uc(tyfp—встречно току 1{р).
Рис. 8.27
В частном случае, когда на участке аЬ отсутствует э. д. с. e(t) и
к моменту коммутации г(0) = 0 и ис(0) = 0 уравнение (8.40)
приобретает более простой вид;
I(p) = UBb(p)/Z(p). ' (8.41)
Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ома в
операторной форме для участка цепи, не содержащего э. д. с. и при нулевых
начальных условиях.
§ 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По
первому закону Кирхгофа, алгебраическан сумма мгновенных значений
токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а
схемы рис. 8.26
»i+( + ia = 0.* (8.42)
Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и
воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений. Имеем
'А(р)+/(р)+4(р)=о.
Д, общем случае
2/(0-0. (8.43)
Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в
операторной форме.
§ 8.43. Второй закон Кирхгофа в
операторной форме. Для любого замкнутого
контура любой электрической цепи можно
составить уравнение по второму закону
Кирхгофа для мгновенных значений.
Предварительно необходимо выбрать положи^
тельные направления для токов в ветвях
й направление обхода контура.
Запишем уравнение по второму
закону Кирхгофа для контура рис. 8.28.
Контур обходим по Часовой стрелке.
Учтем, что индуктивности Lt и L2 связаны магнитно. Прн
выбранных положительных направлениях для токов ix и iB между Lx н
Ч имеет место согласное включение.
** J
Падение напряжения на Lt равно L± -^ +
^_.
на L2 ,р-
i2 ^ + м ^. При составлении уравнения учтем, что начальное Hai
женне на конденсаторе равно ис(Щ. Пусть оно действует сог .*.
с током is. Начальное значение тока ii = *i(°) и тока Н~**&.
Имеем
i,§+M§ + «c(0)+^t<-,*-isRs-iaf-Mf =«,W-^.
Каждое из слагаемых (8.44) заменим операторным изображен '
ц^
■V?S=RA(/»:,
«ffa_
0.
M^f=MpiM~Mi,n
CiW=ЕМ; еЛ1)=Ь>{Р\
Подставив (8.45) в (8.44), объединим слагаемые с flip), /s;
/3(р), перенесем в правую часть «с(0)/Р. f-iM°) и другие'внугр-.
э. д. с. и получим
Л(р)г1и+/,(р)г2(р)+/,иг8(р)=Е,(р)-£,(р)+£„(р), (&,
где Z,(p)=p (!,-«); Z3(p) = p<M-L,)-«a; ZM = ~; £„(рУ
= (L,-M)l1p)+(M-411CD)-^.
В более общем виде уравнение (8.46) можно переписать так: :
2/.иА(р)=2£.(р). <»;
Уравнение (8.47) представляет собой математическую запись ■••
рого закона Кирхгофа в операторной форме. В состав Еь(р) в об"
случае входят и внутренние э. д. с. ";
§ 8.44. Составление уравнений для изображений путем иен;,
зования методов, рассмотренных в разделе синусоидального i
Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновен^
значений, вытекают соответствующие уравнения для изображений*,;
Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям,
составленным для той же цепи с помощью символического метода
для комплексов токов и напряжений.
Но если каждому уравнению для комплексов отвечает
соответствующее уравнение для изображений, то все основанные на законах
Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного
генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.)
можно примеингь и при составлении
уравнений для изображений.
При составлении уравнений для
изображений ненулевые начальные условия
учитывают путем введения «внутренних»
э. д. е., обусловленных начальными
токами через индуктивности и начальными
напряжениями на емкостях. '
§ 8.45. Последовательность расчета Ряс. 8.29
операторным методом. Расчет
операторным методом состоит из двух основных этапов:" 1) составление
изображения искомой функции времени; 2) переход от изображения к
функции времени.
На нескольких примерах покажем, как производится первый этап.
Второй этап будет рассмотрен в § 8.47.
Пример 88. В схеме рис. 8.29 при нулевых начальных условиях
включают ключ, доставить операторные изображения токсв it и i3,
пользуясь методом контурных токов.
Решение. Направления контурных токов iu и iM показаны на
схеме. Имеем:
" If
г j I'sad'+Rafc — «и) = 0.
Переходим к изображениям:
IMipLt+Rt+RJ- lzAp)R,=E(p);
-/n(P)R.+ /«b>)(«i+5) = 0.
Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает:
, ,„■, £W'(l+B,cP) -м
'"^'-(«jCC+p^ac+aj+j^+jv >"•*''
/ /„■_ £WB.Cp „ _
's,lp' p^y-iC+pfRjuP+lo+ft+JV ,MS'
Изображение контурного тока /u(p) равно изображению тока
М/>); изображение fM(p)—изображению /3(/>). В (8.48) и (8.49) Е(р)
®лъ изображение э. д, с. e(f). Если е([)*=Е, то Е(р)=Ё/р; если
еЩ = Е„$т^+Щ, то E(p) = Em--±- и т. д.
Пример 89. Составить операторные изображения- токов it »
схемы рис. 8,29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.
Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и
магнитносвязанных индуктивных катушек, то составить уравне
можно проще, чем по методу контурных токов.
Изображение тока
где ZBX(/?) —входное сопротивление схемы в операторной форме"
отношению к зажимам аЬ. Оно определится так же, как вход
сопротивление для переменного тока, только /й заменено на р. *
Входное операторное сопротивление
ZB*(p)=R1+pL1+- г= T+R& ' ■
R*+(Tp
Следовательно,
т ,л Е(р) E(p)(\+RaCp) ,8
уравнение (8.48') совпадает с уравнением (8.48).
Найдем изображение /э(р). С этой целью выразим Is(p)
Jx{p) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей. Восп ,
зуемся аналогией с переменным током. Для переменного тока ..
следовательно, /3(p) = /i(p)-
Ъ + 7,
4H-J
гсР
Если в последнее выражение подставить 1г (р) из'уравнения (8.48
то будет получено уравнение (8.49).
Таким образом, безразлично, каким способом составлять нзоб
жения токов: результат будет одинаков.
Пример 90, Для схемы рис. 8.29 составить изображение на
ження на зажимах се, если считать, что начальные условия нулев
(как и в примере 89).
Решение. Изображение напряжения на зажимах се равно п
ведению изображения тока /3 (р) ни операторное сопротивление емк
Vte (P) =>/. (Р) cj = p^Lfi+p (W-M*)-Mb-Nb" (8'
§ 8.46. Изображение функции времени в виде отношения N (р)/М
двух полиномов по степеням р* Для тока /и(р) в примере 89,
принять E(p)=Ejp,
N{p) = EQ+R2CPy,
M(p) = lpiR2LlC+p(R1R^-hL1}-\-R1 + R^p.
Если в-том же примере принять e{/) = £)nsin(ci>t*T-i}>), то
E<P)^£*j=ft и N(p) = Em(l+R£py,
M(p) = (p~iaii[p2R2L1C + p(R1RsC+L1)+^1 + Iii\.
Обозлачим высшую степень оператора р в полиноме N (р) через п,
а высшую степень р в полиноме М(р) — через яг.
Часть корней уравнения М{р) = Ь обусловлена характером
изменения во времени возмущающей силы, воздействующей на систему;
остальные корин обусловлены свойствами самой
цепи, ее конфигурацией и значениями параметров.
Во всех физически осуществимых электрических
цепях при воздействии любых встречающихся э. д. с.
всегда п<т. Лишь для физически неосуществимых
электрических цепей л может оказаться
равным т. Рис в.зо
Пример физически неосуществимой
электрической цепи, для которой степень п равна степени т, дан на рис. 8.30.
Если считать, что активное сопротивление цепи равно нулю, что
физически неосуществимо, то
/{р} ЫсР)- р ■
§ 8.47. Переход от изображения к функции времени. В § 8.45
указывалось, что вторым этапом расчета переходных процессов с помощью
операторного метода является переход от изображения к функции
времени. Эту операцию можно осуществлять различными путями.
Первый путь состоит в применении формул соответствия между
функциями оператора р и функциями времени. Часть формул
соответствия приведена в § 8.39. В научной литературе имеются
специальные исследования, содержащие большое количество формул
соответствия (1518), охватывающих все возможные практические задачи.
Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае,
если среди корней уравнения М (р) = 0 есть несколько одинаковых
(кратные корни).
Второй путь состоит в применении так называемой формулы
разложения. Формула разложения в § 8.49 выведена исходя из
предположения, что уравнение А4($ = 0 не имеет кратных корней (прн
наличии кратных корней формула разложения записывается иначе —
см. § 8.50).
Третий путь—непосредственное применение формулы обратного
преобразования Лапласа с использованием теории вычетов (см. § 8.50).
Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее
принято рассматривать как основную формулу для перехода от изо-/
Сражения к функции времени.
Рассмотрим два примера на применение формул соответствия,
а затем —после рассмотрения вопроса о разложении сложной дроби
на простые—перейдем к выводу формулы разложения.
Пример 91. В схеме рис. 8.31, а ток источника тока линейно
нарастает во времени: i„(t)^2,bt. А (рис. 8.31,6); #=40 кОм, С =*'
±*2 мкФ. Определить закон изменения во времени тока, i*
сопротивление^. , i
й \Zi
\\u(t)
а) В) 6)
Рис. 8.31
Решение. Изображение тока *"*(0 равно 2,5/р* (см.-coothgi
12 § 8.39). Сопротивление параллельно соединенных Я и С •■
Z/p) = -к -
Изображение тока через R
I fr.\ 7fctP)-
'М- R
"КСр+1
/.Ига _*!>
= кс
'где o-l/IRCJ-lWc-1.
Согласно соотношению 8 § 8.3
__^_1 ' (1—е»');
и1- о о»1 '
*><Р+«>?
i, (() =2,5 р - 0,08 (1 - е-ias')] А. V
Пример 92. В схеме рис. '831,в и(()= lOOer-"1 В, где в—0,6
R=2 Ом; £=4 Г.
Найти i~f(t) и wi=/(0> а также значения / и hi при
(черешен и е. Согласно соотношению 2 § 8.39, функции е-"*
ветствует изображение 1/(р+с). Следовательно,
Цр>
UV) =
Ц(р)_
-2<рГ
P+J
Z«=K+pt;
100
109
1
(р+а)(р/.+К) L
12=25 А/с: о =
= 0,5 =
!р+в>(р+<>>'
(7+"?'
По соотношению 5 § 8.39,
Поэтому ё(г)=25/е~я/.
Напряжение на индуктивности
oI=L|i=100e-|1-»(l
При i=lc I =25.1-е-"=. 15,15
-30,3 В. ,
-0.И).
А; щ-ЮОе-мр-1.
g 8.4S. Разложение сложной дроби на простые. Из курса
математики известно, что дробь
ЛЧ*) д,«*+с„_|«''-1+—+°i«+<si
М(х) fcmj=™+6m_1x"-i+...+fcxx+be
(8.51)
при условии, что п*Ст и полином М(*)=0 не имеет кратных
корней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:
где %— корни уравнения Л1 (х)=0.
Для определения коэффициента Ах умножим обе части уравнения
(8.52) на (jc—JCi). Получим
k=m
£§(*-*i) = -VH*-xJ J Л,^—. (8.53)
ft=2
Рассмотрим выражение (8.53) при jc-vjc,. Правая часть уравнения
дает Alt левая представляет собой неопределенность, так как
множитель (ж—JCi) при д;-*-я;, дает нуль и знаменатель М(х) при х=хх
тоже дает нуль (jf4 есть корень уравнения М(х)=0\.
Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью
производную от числителя разделим на производную от знаменателя ,
и найдем предел дроби:
где M'(x)—производная от М{х) по х; М'ОД—знанение М'(х) при
«=*!; Л^ОД—анадение N(x) при jc=jkx.
Следовательно, из (8.53) при x-*-xt получаем уравнение
или
Аналогично,
Таким образом,
Л1(х) JU'(xJ «-
или
N{xJW'{xJ=-Av
^i=W(iJ/Ai'(«i).
А,=лг(л*)лМ'(*„).
1 «W 1 ,
-X, "+" ЛГ (*„) х-*, т' ■ ■ "f"
JV(x) *y" W(x»> 1
*И Zl, *'<х4) x-xj-
Ч(х.)
М'(Хга)
Г
1
' х~хт
(8.54)
(8.55)
(8.55)
, (8.57)
(8.58)
Пример 93. Найти коэффидиейты разложения дроби !/(>?—5х-£
Решение. Корни уравнения /И(х) = 0: *, = 2,'*а = 3; Л1'(*1
По формуле (8.55),
ЛХ=ЛГ (*i)/Af (*,)= 1/— 1 = — 1;
§ 8.49. Формула разложения* Переход от изображения W (pVAl *
к функции времени часто производят с помощью формулы
которую принято называть формулой разложения.
Левая часть формулы является функцией р, правая часть— .._■
ветствующая ей функция времени /.
Вывод формулы можно осуществить следующим образом. П
изображение какой-либо функции времени, например тока, пред -
леи» в виде дроби:
np)=N{p)lM{p).
Для получения тока как функции времени i (t) представим сна
N(p)fM(p) в виде суммы простых дробей —разложим N (р)/М
С этой целью в формуле (8.58) заменим х на р:
'W ЛЦр) ^i.M'(pfc) p-Pk *-.
Перейдем от изображения к оригиналу. Оригиналом левой ч -
является i (t). Оригинал правой части равен сумме оригиналов
слагаемых.
Учтем, что множители N (р$М' (pfe) у слагаемых суммы пр
части (8.60) есть постоянные числа (не функции р!). Кроме ■
функциями р в правой части являются только множители 1/(р—'
нм соответствуют функции времени вида е"*' [см. формулу (8.
Поэтому
'ю-ДЯЙ*'- «»,
Переход от изображения (функции р) к оригиналу (функци
с помощью формулы разложения (8.61) основан на том, что и ■
женте представлено в виде суммы простых дробей ~ ■. •
а пригиналами их являются показательные функции -ш^\^к*•
Число слагаемых т,,^-ге11*' равно числу корней уравнения М{'>
— 0. Коэффициенты N (дО/ЛГ (ps) можно сопоставить с постоянн •
рнтегрнрования дифференциального уравнения (уравнений) цени в
классическом методе расчета.
Если среди корней уравнения Л1(р) = 0 есть нулевой корень (р = 0),
то ему в правой части уравнения (8.61) соответствует слагаемое
Слагаемое ЛГ(0)/ЛГ(0) представляет собой составляющую
искомого тока (напряжения), обусловленную постоянными вынуждающими
силами. Если постоянных вынуждающих силвсхеменет,тоЛГ(0)/.М'(6) =
= 0.
Важно сделать некоторые замечания к формуле (8.61).
1. Формула разложения применима при любых начальных
условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения
источника э.д.с или тока, воздействующего на схему.
2. Если начальные условия не нулевые, то в состав N{p) войдут
внутренние э.дл.
3. Если уравнение М(р) = 0 имеет комплексно-сопряженные корни,
то слагаемые, соответствующие им в формуле (8.61), оказываются
также комплексно-сопряженными н в сумме дают действительное
слагаемое. £
4. Если воздействующая на схему э.д,с синусоидальна: Em sin (e>t +
+ 1J1) и изображение э.д.с взято в виде Ёт—_:~, где комплексная
амплитуда Ет=.Ет&*, то при использовании формулы разложения
из правой части ее для перехода от комплекса к мгновенному
значению следует взять коэффициент при / (взять мнимую часть)*.
В соответствии с этим внутренние э.д.с, которые появляются
в правой части формулы разложения при ненулевых начальных
условиях в цепях с синусоидальной э.д.с, должны быть умножены на
коэффициент /.
Умножать внутренние эд.с. на / необходимо потому, что только
в этом случае наличие внутренних э.д,с будет учтено при взятии
мнимой часта от правой часта формулы разложения. В цепях с
постоянной э.д.с. внутренние э.д.с. умножать на / не нужно.
5. Если воздействующее на схему напряжение синусоидально, то
принужденная составляющая решения входит в число слагаемых
У д}>| \ еР*( и определяется корнем р = /<о. Вычисление принужденной
доставляющей в виде члена этой суммы, соответствующего корню
Р = /ю для сложных схем, в большинстве случаев более громоздко,
чш непосредственное вычисление ее с Помощью символического метода.
Поэтому для сложных схем переменного тока принужденную
составляющую рекомендуется вычислять символическим методом.
С помощью формулы, подобной формуле (8.61), можно определять
не только- токи н напряжения, но н многие другие функции времени
* Мнимая, а пе действительная часть из формулы разложения(берется потому.
410 заданная э.д.с, Ет sin (wt+ty *сть мнимая часть нвмплекса Сп^в' (С"- ч- Ч-
(заряд конденсатора, скорость перемещения какого-либо тела j"
нической системы и т. п.).
Пример 94. Определить ток i^t) в схеме рис. 8.18 с помон«.
формулы разложения и сравнить с резу.
татом решения классическим методом (*
пример 81), если £ = 150 В; R = H't=R,-
= 50 Ом; С =100 мкФ;
ис(0) = 50 В.
Решение. Составим послекомм i'
ционную операторную схему (рис. 8.3
имея в виду, что начальные условия и * <(
левые. Внутренняя э.Д,с исф)1р поз:«
Рис. 8.32 учесть, что до коммутации конденсатор б-
заряжен до напряжения исф) током *
поэтому она направлена встречно току /2(р). Узел 0 схемы заземл
Потенциал узла t обозначим <Pi(p) и определим его по методу у
вых потенциалов:
По закону Ома для участка цепи с э.д.с,
/i0,)=°-9,M+(E/p) >
После преобразований
11 ллЕ-исЩ*£р+Е_м{р) ':
Уравнение М(р)=0 имеет корни
л=°и ">=- w=-400 cJ-
поэтому
ЛГ(й) = Е = 150;
ЛГ(р,)=(150-50)-50-1О0.(— 400)-Ю-*+160=—50;
М' (p)=2RxRJDp+Ri+R,i
«'(рО-Я.+Яз-ЮО;
М' (pJ-2-50-50.100- НН(—400)+100=.—100.
Ток в схеме рис. 8.18 f
что совпадает с результатом примера 81. -*
Пример 95. Найти i(t) в схеме рис. 8.20 путем применения »*
мулы разложения и сравнить результат с результатом решения ■
же задачи классическим методом (см. пример 82).
Решение. Изображение синусоидальной э.д.с 127sin(314f —50°)
E(p) = £m~to- где £»=127*~Лг В.
В схеме ненулевые начальные условия:
I(p)(R*+pL) = E(p)+Li(py, t(0_) = —25,35 А.
Так как действующая в схеме э.д.с. синусоидальна и
изображение ее взято в виде Ёт ■-- - (Ёт—комплексная амплитуда), то в
дальнейшем в связи с этим от правой части формулы разложения
следует взять коэффициент прн мнимой части (см. п. 4. § 8.49), поэтому
умножим внутреннюю эл-С. Ы(р) на j.
После небольших преобразований находим
tin\ _£т+/Щ0)(Р-/Ч _ /Ц$_
Следовательно,
tf(p)=£«+jLi(0)(p-H; Ai(p)=(p-/io)(/;2+pL).
Уравнение М (р) = 0 имеет корни рг = /со с^1 нр2 =—R^L = — 210 с-1,
поэтому
AT(P)=fls+pL+L(p-jto);
М' (Pi) - 2-+-3/ = 3,61e'56'so'-
- ЛГ (ft) = — 3,61ei5"OS0' = 3^1 е-'1»**»'.
ЛГ(л) = 127е-/^;
ЛГ (pj = 127е-^+/(-210 -/314) ^ (—25,35) = 5,4 -/46,4 =
=47,1е-/83°24'.
Ток
fl27e»w'-S0°J , 47,1е-/83"г*'
-210/1 __.
Г 3,61e-'1S3°«'*
= 35,2sin(co^-106020')+13,lsin40°16'e-flw A;
4l . 13,lsin40p16'=8.45.
ьтат совпадает с результатом примера 82.
§ 8.50. Дополнения к операторному методу. 1. Для перехода
от изображения F{p) к функции времени / (t) мсжет быть использовано
обратное преобразование Лапласа:
Т + /Ш
/(0 = ^ J FM&dp. (a)
V—/СО
Функция F(p) аналитична в области Rep>v и стремится к пулю
ПРИ |р|-»-оо. При практическом использовании этой формулы интег-
рад по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, замен
контурным интегралом, охватывающим все полюса функции F(p): '..
Полюсами называют значения р, при которых Р{р) обраща
в бесконечность. В случае, когда F{p) = N{p)fM(p), полюсами явл-
ются корни уравнения М(р) = 0. В теории функций комплексно
переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равна су
вычетов (Res), подынтегральной функции во всех ее полюсах, т. е.
Выпетом функции в некотором полюсе называют величину,
которую уменьшается разделенный иа 2я/ контурный интеграл от это
функции, когда контур прн его стягивании пересечет этот полю
Но вычет функции -j-^ ep' 8 простом полюсе рн равен -гь?*;е"*'.
Поэтому
Таким образом, используя обратное преобразование Лапласа, выв
формулу разложения (8.61).
2. Запишем формулу разложения при наличии кратных норией.
Положим, что уравнение М (р) =0 имеет q простых корней (д, рй . „ ■
..., ря), корень рг кратности г и корень ps кратности s.
В этом случае формулу разложения.запишем следующим образом:
*(р)^ V *Ы„Рь' , i_ d^-*
.Д^(Р)(Р-РгКеР'Ч 1 _ d»' №{p)(P-ps)seP'l
A L Л1 (p) Jp-Pr + (s- 1)! * dp*-* L « (p) >=V
Прнмер 96. Найти оригинал „У? = -д, , - Корню д= —о соответству
оригинал . - — eP'=-=-e"«t. Корню р^О второй кратности соответству
м 1Р)р—а <*°
оригинал
*)/>1р*(р-М.Ь=0 dp\p+a)D=Q \ (p+o)a
dp
Следовательно,
§ 8.51. Переходная проводимость. В § 1.15 говорилось о том,
ток i в любой ветви схемы может быть представлен в виде произв
дения напряжения If на входе схемы на собственную или взанмну ■
проводимость g:
i=Vg.
Прн переходных процессах это соотношение также имеет силу.
Если на вход какой-яибо цепи в момент 2=0 включается постоянное
напряжение U (Э.д.с. Е), то ток i(t) в любой ветви этой схемы равен
произведению постоянного напряжения V иа нроводимость git):
i(f) = tf£(f). (8.62)
При переходном процессе проводимость является функцией
времени, поэтому в скобках указывается время t; g{1) называют
переходной проводимостью. Она измеряется в тех же единицах (См), что и
обычная проводимость.
Если в формуле (8.62) принять £/=1 В, то при этом /(0=gf0.
т. е. переходная проводимость какой-либо ветви схемы численно равна
току i(#) в этой ветви йрн подключении цепи к постоянному напря-
а) 5)
* Рис. 8.33
жению в 1 В. Индексы у g(t) указывают, о какой именно
переходной проводимости идет речь. Если индексы одинаковы, то имеется
в виду собственная переходная проводимость ветви, номер которой
соответствует цшрре, указанной в индексе; если индексы разные,
то — проводимость между теми ветвями, номера которых указаны
в индексе.
Так, например, если источник постоянного напряжения U при
нулевых начальных условия? включается в первую ветвь, то ток
первой BerBH«t1(Q = (/g,l(0, а ток третьей ветви is{f) = Ugsl{f).
Переходную проводимость можно определить либо расчетным,
либо опытным путем. При расчетном определении gkk(t) классическим
или операторным методом ток ft-ветви находят при включении
истопника постоянного напряжения в ft-ветвь. Прн определении gtmtf) так
ft-ветви определяют при включении постоянного напряжения U в т-
ветвь. Далее, в полученных формулах полагают 1/^1 В. При
опытном определении переходной проводимости ток i(t) соответствующей
ветви находят путем осциллографнрования.
В § 1J6 было доказано, что gkjn—fjink- Это свойство вытекает из симметрии
определителя системы отввеительно главной диагонали.
Аналогично можно доказать, что операторное нзо6ражевиеяров»димости£Ьт(р)
Равно операторному изображению gmuip)- Но если равны изображения двух
переходных проврдиыостей, та равны и сами переходные проводимости, т. е.
Данное равенство свидетельствует о том, что на переходные процессы рад ■
страняется теорема взаимности. Для переходных процессов теорема вэанын
формулируется следующим образом (см. ескелетные» схемы рис. 8.33): в люб
линейной электрической депя ток переходного процесса А-йегви i/, (t), выэывае
включением э.д-С- en(t) в m-ветвъ (рис. 8-33, с), равен току переходного пронес
. *т (О в «-ветви, вызываемому включением э.д_с. е^ (i) в k-ветвь (рис. 8.33, 6ji-
"прм условии, что et,{t)=em{t).
§ 8.52. Понятие о переходной функции по напряжению. Пр.
подключении линейной электрической цепи с пулевыми иачальн
условиями к постоянному напряжению
между какими-то двумя точками о и Ь сх
мы возникает напряжение иаь (t),
являющееся функцией времени и пропорциональн
воздействующему напряжению U;
uab{t) = Vh{t), (8.62*
Ряс. 8.34 где Нф —переходная функция по напря'
жению. Это безразмерная величина,
численно равная напряжению (между точками а и Ь схемы, если на
вход подать постоянное напряжение в 1 В; h(t), так же как н g(0^
можно определить либо расчетным, либо опытным путем.
Пример 97. Определить переходную проводимость схемы рис. 8.
Решение. При замыкании ключа
'W = f(l-e"£').
По определению, переходная проводимость равна току в цеп •
при £ = 1 В. Следовательно,
Пример 98. Найти собственную переходную проводимость перво
ветви gu(f)t взаимную переходную проводимость между третьей .
^первой ветвями gn(t) и переходную функцию напряжения на конденс .
торе h„c (t) для схемы рис. 8.34. Параметры схемы: 7?2 = 1000 Ом'
R2 = 2000 Ом; С=50 мкФ.
Решение. По определению,
С помощью классического метода определим:
Полагая в этих формулах Е = 1 В, находим:
g„ffl — 1 I «а с «,Я,С . o„f/l — i_e K,R,c'l
a ERSC JV(p)
Подстаиовка числовых значений дает;
gu(0 = 0,00033 + 0,00067e-St* См;
^31(0=0,001е-30'См; ftnc(0 = |-(l-e-300.
Пример 99. Определить взаимную переходную проводимость между
первой и третьей ветвями схемы рис. 8.4, а при включении источника
Э.Д.С. в первую ветвь и следующих значениях параметров:
«,-«,= 100 Ом; LI=1 Г; С = 100 мкФ.
Решение. Изображение тока третьей ветви
Корни уравнения М(р)=0 (см. пример 76):
л—loo+yiooc* p2=— too—yioo <r».
Полагаем Е = 1 В н в соответствии с формулой разложения находим
щ-ЧЙ б= SpiR^iC+^.RiC-bL,) ePt'4" apsR3L1c+(«1«ac+ii)"eP*'*
После подстановии значений параметров, корней ft и ft и
использования формулы (в**—er>*)f{2j)=*=sinx - ,
получим
Вы (0 = МО - 0,01е-100' sin 10W См.
при£>=1В
Таким образом, взаимная переходная
проводимость между третьей и первой
ветвями схемы рис. 8.4, а при данных
значениях параметров как функция
времени представляет собой затухающую си- Рвс* е-35
нусоиду.
Пример 100. В схеме рис. 8.35 u(0= 170sin(314^+30°) В; Лг =
= 10 Ом; йа=5 0м; ^ = 15 Ом; /.^ЗОмГ; £а = 50мГ; М = 25ыГ.
Найти i\(Q с помощью формулы разложения.
Решение. Составим уравнения по методу контурных токов:
^(Р)[Я1+/?в+р(1а+^+2Л1)]-/а(р)[й3+р(1,а+М)]=(;(р);
— /iW[«.+P(^+M)]+/.<rtP?i+^+pW=0.
Совместное их решение дает
W (Р—М А (р) (р—/fi>)(0.QQ0875p*+2,6p+27S) /И (р) '
Qf
Корни уравнения Л4(р)=0: }
p1=314j, pa=^286Q и ра = —114 (г1;
М' (PJ = 0.000875рв+2,6р + 275 + (р - /ш) (0,00175р + 2,6); \
N (рО = 170е'30" (20 + 0,05 - 314/) = №Ш&™>';
ЛГ(ра)= 17ДО0'(20-0,05-2860)= 123- iTtfe»10*;
tf (/^ = 170е/зо* (20 - 0,05 -114) = 14,29 - 170Е/300:
Лl'(p1)=^0,000875.314s^-2^-314j^-275=188,7 + ^817^838e/77••
М' (Ра) = 6890+/755 = бЭЗОе*5016';
М' (ра) = ^-- 284 - 754/ = 806е-'110Чв'.
. Ток
?m_imJJ^Ppi*+J^eP»'4--^-ep4 =
fW-|mW(S) + лПрО +Л1'Ы t
= Im {5,13е? в*-**»1)+З.ОЗе'^^'е-286"+3,01е*,40°е-я?'} =-
= 5,13sin(o^-8°40')- l,16e-*"«+ 1,97еи« А. ,
J 8.53. Интеграл Дюамеля. Познакомимся с третьим методом р;*
переходных процессов в линейных электрических цепя_х —рас .
том с помощью интеграла Дюам-
При использовании интегр ■
дг=и'(т)Ат Дюамеля условимся перемени •
по которой производится интегр ,,
рование, обозначить т, а под t •*
прежнему понимать тот мсме '
времени, в который требуется на"
* ток в цепи. Пусть к цепи с ну
выми начальными условиями в м-'
мент времени £=0 подключи- *-
напряжение и{х) (рис. 8.36).
Для того чтобы иайти ток
цепи в момент времени t, замен
плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начал. -»
напряжения и(0) и от всех ступенек напряжения, вступающих в ■-
стене с запозданием во времени. ;
Напряжение и(0) в момент времени t вызовет в цепи ток u(0)g(
где g(t) — переходная проводимость.
В момент времени т+Дт (рис. 8.36) возникает скачок напряж
ния Ли«=а-^-Дт = «'(т)Дт.
Для того чтобы найти составляющую тока в момент времени
вызываемую этим скачком напряжения Дм, необходимо ы'(т)Дт ум •
жить на значение переходной проводимости с учетом времени я-
ствия скачка до момента времени t. =
Из рис. 8.36 видно, что это время равно t— т — Дт. Следователи!-
пркращение тока от этого скачка равно i*'("i)g(t—т—Дт)Дг.
Полный ток в момент времени it получим, если просуммируем все
частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току u(0)g(t):
<(0=<t<g>ffp)+£if(i)ff(f-T-Ai)&i.
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно,
что 'ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем
больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал
времени Дт на бесконечно малый dx и перейдем от суммы к интегралу:
i
i(t)=u(0)g(t)+lu'(x)g(t-T)dx. (8.63)
о
Формулу (8.63) называют интегралом Дюамеля.
Приведем еще пять форм записи интеграла Дюамеля.
1. Интеграл в (8.63) возьмем по частям:
$wdu=«j—$vdu; и' (т,) dT=do; g{t~x)=u;
t t i
J "' tog (*-T)dT=g(/-T) U (T) I+5 U (T)g* (*~x)<iT^
t
=£<0)a(Q~g<Oa(0J+jj«tog'<r--OdT.
Подставив результат в (8.63), получим
о
2. Для любых двух функций /j (Q и /я (J) путем замены переменных можно
доказать справедливость следующего соотношения:
t t
о о
Распространив это соотношение на (8.63) и (8.63а), получим еще две формы
записи интеграла Дюамеля:
i
Щ=а (0е (0)+J и #—$£ Ю л: (в-63^
«
i(0=«(0)g(0+U'(i-^£(x)dT. £8.63flj
3. Имея в виду формулу дифференцирования определенного интеграла Q (а) =
** \/(х, с$Дя по параметру а
в учитывая соотношение (я), запишем еще две формы написи:
Два последних соотношения имеют непосредственное отношение к теор-
свертки операторного метода: если F±{p)==f±t[) и fa(p)=/a(r), то
rtW'i«#
'I'
мы*—о*.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти не только ток, -
и любую другую физическую величину, например напряжение. В
случае в формулу вместо переходной проводимости g{t) будет вхо
переходная функция h(t).
§ 8.54. Последовательность расчета с помощью интеграла Д >
меля. Расчет с помощью интеграла Дюамеля проводят в четыре этап -
Рнс. 8.37
1) определение переходной проводимости g(f) (переходной функ
h(f)) для иееледуемой цепи;
2) -определение g(t—т) {h[t—t)1 С этой целью в формуле
g(f) \h(f)\ заменяют t на (t—т);
3) определение и'(х). Для этого находят производную от зада Г
ного напряжения и (t) по времени (ив полученном выражении за ■
няют t на т;
4) подстановка найденных на этапах I, 2, 3 функций в форму
{8.63), интегрирование по переменной т и подстановка пределов.
Пример 101. Найти ii—f(t) и ui=f(ff при включении клю■
в схеме рис. 8.37, о. Напряжение источника э. д. с. u(t)
- 100(1—е^) В; о = 0,25 с1; Я = 0,5 Om;"L1=1 Г; Л1 = 0,5 Г. '.
решение. Переходная проводимость цепи, состоящей из
последовательно включенных R и L, g(f)=-p(l —е-1"), где Ь=К/£,;
Первое слагаемое в формуле (8.63) выпадает, так как н(0)=0.
При этом
и' (/) =—■ 100 (1 -е-°0= ЮОае-Ч и' (т) - 100«г<".
i i
l1(0=U'WgP-T)dt=-^|e^[l-e-b('-l>]dt.
При интегрированин учитываем, что cref от х не зависит:
f1(0=200(14-e-°-5'-2e-o.B5'J Д.
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
и2(/)=Л1^:=50(е-0.а«-е-(,.вО В.
§ 8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложной форме
напряжения. Пусть напряжение и(т) изменяется во времени по
сложному закону, например в соответствий с рис. 8.37, б. Начальное
напряжение равно иф). В интервале от т=0 до т = /, напряжение
плавно растет,*и-закон его изменения в этом интервале времени u^(t).
В момент т=#! оно меняется скачком от иа до щ, а затем снова
плавно растет, но уже по другому закону иг(х) во времени по
сравнению с первым интервалом. При т = ^, напряжение скачком
уменьшается от значения ис до нуля.
Требуется найти ток в каждом из трех интервалов времени. Под
первым интервалом будем понимать интервал времени от т '= 0 до т = /,
(не включая скачка напряжения от иа до н^); под вторым—от /, до 4»
включая скачок от иа до щ, но не включая скачок от ис до 0, под
третьим — при т > t2, включай скачок от ис до 0.
Интегрирование по-прежнему проводим по т, понимая под t
фиксированный момент времени, в который требуется найти ток. Ток
в любой момент времени t определится действием всех напряжений,
ьоздействующнх иа цепь до момента L
В первый интервал времени
*(0-«(q>tftfH-j|«.(T)g(*-T)dT.
в
Во второй интервал времени
t(t)=°u(tyg\f)+lu't(T)g(t-T)d% +
о
+ («6-«e)g('-'i) + S и',{т)Ш{1~%)йх,
■ 237 _.
где слагаемое {и^— *a)g{/—^сбусловлено скачком напряжения от -
до щ в момент времени tx.
Б третий интервал времени г
Пример 102. В электрической ценя рис. 8.37, а в момент времени *=0 за
кается ключ и напряжение « (Q изменяется в соответствии с рис. 8 31, б; и (0) =50В"
В первый интервал времени от *=0 до (=^=4снапряжение»ч:{/)=150 — 100e-<w
где я=0,25 с-1. Во втор ой .интервал времениот(=^=4сдо(=^а=6сы2(Q =50
■4-lOOe-''"-'il, где с=0,4 с1. Параметры схемы рис. 8.37, a: J?=0£ Ом; Ц=1
[вторичная цепь разомкнута).
Найти закон изменения тока is во времени для обоих интервалов времена
а также значения тока ii при (=2 и 5 с.
Решение.
Б первый интервал времени (^(t^lOOoe-01:
t
if (0=«Be W+J "H^)£С—0 dT=-^-(1-e-b'j+
0
*
о
При f=2 с
»i=i00<i —е-^-т-ИЮр+е-1—2e-°-6)=94,9 A.
Во второй интервал времени (включай скачок щ—ид = 3б,9 Щ
I. I
« fr
l1(Q=WOfl-£-0-sO+200<0,632r1.718e-°-5')+-^|-[l-e-0-5('-''»]-
100с Г fe , б—с ri, .-с^-ьк-г.п^,
{й-^Rl с "•" с * ~г* JB *
При f=5 с
^=100(1 -€rW)+2DO(D^iB-IJlfie-^+-^|-0 ^e-°-s)-
~ (0,5-о1£>,5 (-l-ge-^+O^-'-'+e^Vr^ J-«-
=91,79+98,2+29—14,67=204, 32 A.|
§ 8,56, Сравнение различных методов расчета переходных >
цессов* И классический и операторный методы расчета теоретичес ■
ножно применять для решения задач любой сложности. Каким и
них пользоваться, во многом зависит от навыка и привычки.
Однако классический метод более физически прозрачен, чем one
раторный, в котором решение дгарференцнальных уравнений силь •
«механизировано».
Если пря сравнении методов исходить из объема вычислительной
работы, то решение уравнений первого, второго, а иногда и третьего
порядков для источников постоянной (сжусоидальиой), а. д. с. или
тока целесообразно проводить классическим методом, а решение
уравнений более высоких порядков— операторным. Объясняется это тем,
что'чем выше порядок характеристического уравнения, тем более
громоздкой и трудоемкой оказывается операция нахождения постоянных
интегрирования в классическом методе.
Если воздействующее напряжение изменяется во времени линейно
или в виде всплеска одной или несколько экспонент, рекомендуется
применять операторный метод или интеграл Дюамеля. Но основной
областью применения интеграла Дюамеля являются случая, когда
напряжение изменяется по сложному закону во времени, например
при наличии скачков напряжения (см. § 8.55), или когда переходная
проводимость g(f) и (или) воздействующее на схему напряжение
заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется
путем числового интегрирования).
Рассматриваемый в § 8.66 метод расчета переходных процессов,
получивший название метода пространства состояний, используется
главным образом, когда расчет осуществляется с применением ЦВМ,
Дтя ручного счета этот метод громоздок.
Классический и" операторный методы, а также метод пространства
состояний и интеграл Дюамеля в аналитической форме имеют общий
недостаток: необходимость определения ьсех корней
характеристического уравнения, что для уравнений высоких степеней (например, 5-й,
6-й, 7-й, ...) требует много времени. В этих случаях может быть
использован метод трапецеидальных частотных характеристик (см.
например, [7]) или спектральный метод в том виде, в каком он
рассмотрен, например, в гл. 9. Кроме этого, в этих случаях применяют
моделирующие установки.
§ 8.57. Дифференцирование электрическим путем. Для
четырехполюсников рис. 8.38, а, б при определенных условиях выходное
напряжение и%{$) пропорционально производной от входного
напряжения щЩ, т. е. ьа(t)^du^fyldt. Схему рис. 8.38, д применяют Чаще
схемы рис. 8.38,[б, та«; как при практическом осуществлении она
обладает меньшими габаритами, массой и более удобна при регулировке.
Если Ui{t) = Ui(p), то dutitydt^pUtdfy, Отсюда1 следует, что
четырехполюсник осуществляет дифференцирование, если для него
l/2Co)=pU,(p). Для схемы рис. 8.38, д Vt{fi=U1'(p)l^^l- Чтобы
схема осуществила дифференцирование, необходимо выполнить условие
1^Ср|^1, тогда lJuip)mRCpVi{p). Для синусоидального процесса
заменим р на /юн тогда схема рне. 8.38, а будет выполнять свои
Функции, если (о#С<^1.
Аналогично доказывается, что для схемы рнс. 8.38, б необходимо
выполнить условие (<aL/J?)-< 1. Если «|(0 — несинусоидальная
периодическая функция, то эти условия должны выполняться для
наивысшей частоты функции щ.{1).
9*1
При дифференцировании импульсных воздействий длительность >
i„ параметры схем рис. 8.38, а, б должны удовлетворять условия
HC-^tUH LfR<^ta. Эти условия получим из даух предыдущих, - i
Рис. 8.38
в первом приближении будем считать, что поступление на вход четы:
рехгашюсника импульса длительностью t„ соответствует воздейств' »
иа вход одной полуволны синусоиды частотой й,= 2п/(2^н>=я/^и.
§ 8.58, Интегрирование электрическим путем. Для чегырехп*
люсников рис. 8.38, е, г при определенных условиях выходное напря
жение «stO—J^i(')<#•
Схема рис. 8.38, в предпочтительнее схемы рис. 8.38, г по причи
нам, упомянутым в § 8.57.
Если MOt^I/jO'), to \ux{t)At=^Ux{p)lp. Отсюда следует, ■
-схема выполняет свои функции, если соотношение между ее парам ■
рами обеспечивает выполнение соотношения £/2(р) = Ux{p)fp;
Для схемы рис, 8.38, в fs(p) = fi(p)/(#Qj-j-l), т. е. для и-
должно быть | RCp 15> 1. Заменив р иа jro, найдем условие e>RC J> t
при котором схема рис. 8.38. в будет выполнять функции интегри^
рующего звена при синусоидальном процессе. Для схемы рис. 8.38,
<«ВД)>1.
При интегрировании импульсных воздействий длительиостыо
должны быть выполнены следующие условия: RC^>tB для схе '•
рис. 8.38, в и (L/#)]>*„ для схемы рис. 8.38, г.
Напряжение с выхода интегрирующего (дифференцврующе. •
устройства подается для наблюдения (записи) на электронный осн. ''
лограф.
§ 8.59. Применение метода эквивалентного генератора для ра
чета переходных процессов, Для расчета переходных процессов пр",
меняют также метод эквивалентного генератора. Рассмотрим его •'
примере трехфазной цепи рис. 8.39, а. В ней еА = Ет%т(еЛ-^^);
gg=£msin((o(— 120°+q>); ec=£fflsin(e)«+ 120"+q>).
Внутреннее сопротивление источника трехфазной э. д. с положим
равным нулю.
В фазах В и С включены R и С, в фазе A—R и L. Требуется
составить операторное, изображение тока фазы А при замыкании ключа. г
Согласно методу эквивалентного генератора, следует операторное
изображение напряжения разомкнутой ветви Uao- к. ж (р) разделить
на сумму операторного сопротивлении включаемой ветви ZA (р) и
входного операторного сойротнвления всей схемы по отношению к точкам Л
и О'—обозначим его ^(р):
При разомкнутом ключе мгновенное значение напряжения
его "изображение
ZA(p)=R+pL; 2В1(Р) = |(Я+^).
Следовательно,
ЪЁтСр
/Л(Р) =
(р-/Ц(2р*И7+3/>«С+1) •
Для перехода к функции времени следует применить формулу
разложения.
По существу, поступаем так же, как и в § 1.26 при обосновании применения
метода^эквивалентного генератора к расчету цепей постоянного тока. Всю схему.
за исключением ветви, в которой замыкается ключ, представляем в виде
активного двухполюсника. Зажимы подключаемой ветви обозначаем А в О'. Вводим
в эту ветвь две равные й противоположно направленные э. д. с. е, (Q я са (f);
каящая из них равна напряжению на зажимах ветви при ее холостом
ходе—обозначим его через чло.я „. Далее замыкаем ключ и для нахождения тока в любой
ветви схемы пользуемся принципом наложения. Представляем ток в виде суммы'
Двух токов: i ([)=?($+? it).
«(**=
Ток \l' (ft вызван всеми э. д. с. активного двухполюсника и э. д. с. ei.
направлеввонвстречно "до*«.я(0- Ток ГЩ вызван только одной э. д. с. е^
направленной так же, как я Цдся.хО-
Поскольку э. д. с. £*(0 направлена встречно ыдо'к.яО»10Я •*(*) в ПОДИ >■
чаемой ветви равен нулю, а в остальных ветвях схемы токи останутся теми
какими они были до замыкания ключа. Ток С (f) определим при действии э. Hi -
££(|)=ид0,к я р), когда ео есей схеме имеют место нулевые начальные условия.
Если происходит размыкание какой-либо ветви схемы^дъ токи в осталь . ,
ветвях этой схемы могут быть найдены путем наложения двух режимов: 1) док i
мутационного; 2) режима, возникающего в соответствующих ветвях пассивна
схемы при нулевых начальных условиях от включения в размыкаемую № '"
источника тока, ток которого равен и противоположно направлен току в ра
каемой ветви. ;-
Пример 103. В качестве иллюстрации методики расчета переходных про J
сов путем введения источника тока найдем для схемы рис. 8.39, б ток fa при р ■.
ыыкании ключа третьей ветви, полагая, что до коммутации в схеме был уст :
вившийся режим; i?t=40 Ом; £a=160 Ом; L=2 Г; £=120 В. После рази ..
нвяключа »2=44-41, где i\—ток докоммутационного режима; i11— ■"" «* - •
ника тока /s=0,5 А (в данном случае постоянного) в схеме рис. I
Изображение тока /" (р)=/а<р) а", п* ■—г- *
Следовательно,. ■'*
*s=0,5-HU(l— e-ww'jA.
1§ 8.60, Переходные процег.
1 при воздействии импульсов нап < .
1 жения* Ток в любой схеме п»
воздействии иа нее импульса и
пряжения (рис. 8.40, а) можно на.
ти, например, тремя способами:
1) применяя интеграл Дюам- ■
2) определяя ток при t < t±
же, как от действия постоянно'
напряжения U; при tz>t,_ лей*
вующее на систему напряжение р.
но нулю. Следовательно, сисге
освобождается от вынуждают. •
э.д. с. н по ней протекают ев»»»'
ные токи, обусловленные запа •
энергии в индуктивностях и емк;
стях системы;
3) представляя импульс в *
де двух постоянных напряжен
Положительное напряжение Е/д*
ствует начиная с( = 0; отриц- •
ное—начиная с t = tt. При t<L,
токи в цепи определяются од;
напряжением U; при О^— •>'
ми наприжениями с учетом сдв :■
второго напряжения иа время
'?—
'Ь п п
Рассмотрим 'третий способ. Положим, что требуется найти ток
в цепи при подключении ее к напряжению, имеющему форму
равнобедренного треугольника (рис. 8.40, б). Задача решается в три приема.
Сначала определяем ток в интервале времени от (=0 до t^ti
от действия напряжения щ^=Ы (рис. 8.40,в). Затем для интервала
времени 'tg^zt^ti находим ток в цепи от действия двух
напряжений (рис. 8.40, в и г); от продолжающего действовать напряжения
и±*=Ы и от вступающего в действие при ^^дополнительного
напряжения ug=-^2k(t — t1).
Для интервала времени t>.l2 ток определяется действием трех
напряжений; продолжающих действовать напряжений и2 и иа й вновь
вступающего в действие при t = ts напряжения u^~k{t — t^ [при
t^t2 сумма напряжений щ, иг и щ (рис, 8.40, д) даст нуль].
Из трех перечисленных способов обычно наиболее экономным
является первый.
При воздействии серией импульсов переходный процесс
рассчитывают часто операторным методом.
Пример 104„ На последовательно соединенные R и L поступает
серия прямоугольных импульсов напряжения единичной амплитуды;
длительность импульса т и длительность паузы также т (рис. 8,40, е).
Используя третий способ в сочетании с теоремой запаздывания
(см, § 8.40), находим изображение напряжения:
t/(p)=X(I—e-P*+e-^r— e-spr+_j.
В скобках бесконечная геометрическая прогрессия со
знаменателем —е-**. Сумма членов ее равна -, . д-. Изображение тока
*№ = р(1+<те*)(д+р1у
Применяем формулу разложения. Корни знаменателя: р'=0;
р° = —Я/L; T/JK = (aE + /61[)T = /n(2^+I) (-.oo<ft<oo).
Группируя член fe = 0 с ft = -=l, член k=l с членом ft=«^2
и т, д., получим:
г«-ж—
"т' 2 у *[»Р»+0~»»(«|
§ 8.61, Дельта-функция, единичная функция и их свойства.;
Импульсная переходная проводимость. Дельта-функцией b(i) или
единичным импульсом (рис. 8.41, а) называют прямоугольный импульс
амплитудой 1/Дт и длительностью Дт при Дт->-0. Единичным
называют потому, что площадь его равна единице: д--Дт=1,
Размерность 6 (0 равна сг1.
Единичной функцией 1(f) фис. 8.41,6) называют функцию, .
ную единице при (>0 и равную нулю при (<0. Единичная .. ..
ция 1(—Я (рис. 8.41,в) равна нулю при <>0 и единице при «'
функции 1(() и !(•—<) имеют нулевую размерность. Свойства 6(
1) из определения 6(f) следует, что
'■ <>0
|б(()Л=[ц
«о-
2) производная функции 1 (й равна 6-функции:
3) 6-функция обладает фильтрующим действием:
f(06(f-<J=f(«6(<-«:
4) изображение по Лапласу 6-фушшии равно 1:
5аюе*«к—1.
о
Единичные функции 1(0 и 1(—/) также обладают фильтруют:
действием. Умножение произвольной функции f(t) иа 1 (0 обра > - -
произведение /(*) 1 (0 в нуль при *<0. Аналогично,
Импульсное (игольчатое) напряжение или ток в виде б-фуню ;
единичной площади записывают так: 6(f)-1. Здесь единица и --
размерность В-с или Ас соответственно.
В соответствии с рис. 8.41 импульсное напряжение едини *'\<
площади, равное 6(*)-1 В-с, можно представить как сумму дв
прямоугольных импульсов: импульса напряжения I/Дх, -вступаю» -
в действие при ( = 0, и импульса —(1/Дт), вступающего в действ
при t = Дт.
При *>-Дг и нулевых начальных условиях ток на входе ц-'<
при воздействии на нее иаприжения в виде fi-функцив i{i)~\ ,
: Разложив g(t—Дт) в ряд Тейлора по степеням Дт и уч •■■ ■,
малость Дт, получим
где g if)— импульсная переходная проводимость. Для моментов
времени (>-Де она численно равна току в цепи при воздействия иа цепь
напряжения в виде 6-функции.
Обратим внимание иа то, что в двух формах записи интеграла
Дюамеля [формулы (8.63а) и (8.636)] используется импульсная
переходная проводимость.
Наряду с понятиями «переходная проводимость» g (t) и
«импульсная переходная проводимость» g ($ применяют'дуальные им понятий:
переходное сопротивление r(f) и импульсное переходное сопротивление
г" (0- Переходное сопротивление гаЬ (*) численно равно напряжению
на входе цепи иаЬ (*) при воздействии иа ее вход единичным током:
uab{t) = \ Arab(t).
Импульсное переходное сопротивление /&(() численно равно
напряжению иа входе цепи uab{t), после того как иа её вход
воздействовал импульс тока в виде 6-функции единичной площадью:
«.|{0 = вГО-1 (A-c»-r&(f).
Величины г ft) и r'(t) могут быть входными и взаимными.
§ 6.62. Обобщенные функции и нж применение к расчету переходных
процессов. Обобщенными функциями (ОФ) [19. 22] называют функции времени / [*}.
которые терпят разрыв, например, при /=0 Значение функции при * <0
обозначим |/_| (/), при *>-0 /+(f) (рис. 8.41.е). Имея в виду фильтрующее свойство
единичных функций, можно записать
В общем случае / [1} может содержать также 6-функцию и ее производные.
Производная от / {(}
^ff—ILV) 1 (-0+/4- И 40 +
+/;ю i('}+e(o[/4.<o)-^<o)i-
Используя ОФ. можно решать задачи на переходные процессы, о которых
говорилось в § 6.28, а также задачи на "импульсные воздействия- В этом случае
необходимо составить уравнения для послекоммутационной схемы, выразить токи,
напряжения в нх производные через ОФ и,-воспользовавшись фильтрующим
свойством 1(—f). 1(0 н 6(1), приравнять в этих уравнениях коэффициенты,
содержащие только 1(—/). только 1 у) и только 6(f), а затем решить их совместно.
Пример 105. Путем использования обобщенных функция решить задачу при*
мера 86 (см. рис. 8.24).
Решение. В уравнение для послекоммутационной схемы
(dur dUf \
с'-аг+с--аг-)+^-* w
подставим: иСж=иС(_(*) 1(— 0+«с1+(0 ' (0:
%,-%,-<0 > (-0+%,tW 1 (0:
■4,-"4,-<0 M-0+"at(0ЧО-ШЮ.йк.Су-иц»-)];
£-£ 1 [—0+15 1 в-
Коэффициент» ери 1 (—/), 1 (0 * в{ф яают Ч?и уравнения
«tciuc,4-W+Ca«^(0J+«c1+(0=a ('
"С (°+)(Ci+C2)=Ci«c, (0-)+саыс, (0-).
Из (б) находим 4Ci_(0=E. "з (^^(О^^С^ДС^-г-С^-далее решаем (-'
классическим или операторным методом, имея в виду, что Мс1+(0=«с,+ ■-
В результате получаем тот же ответ, что в в примере 86.
§ 8.63.Дополняющиедвухполюсняки.Двадвухполюсника1содерж
щие R, L, С, называют дополняющими, если входное сопротивление пр
их последовательном (параллельном) соединении оказывается чисто актив
ным, не зависящим от комплексной частоты р. Так. двухполюсн .-
е.. / Ъ I
flj S)
Рис. 8.42
из параллельно соединенных L и fj2 и двухполюсник из параллельй'
соединенных С и Rt (рис. 8.42, о) являются дополняющими при н' •
последовательном соединении и выполнении условия R1 = R2=^R
= \^Ь/С. Двухполюсники Rz, С и Ru L при их параллельном соеди
нении (рис. 8.42 6) являются дополняющими при том же условии
Элементы двух дополняющих двухполюсников взаимно дуальнЬг
Элементам L^, Clt Rx одного соответствуют такие дуальные элементы С
£з, Rjt дополняющего, что произведение сопротивлений двух взанм:/
дуальных элементов должно быть равно R*, где R — произволь.'
активное сопротивление. /
Последовательное соединение L, н С, в исходном двухполюсн
заменяется на параллельное соединение Св = £а//?2и13^=Су?2ввоп(
няющем. Параллельное соединение Сг и Lt в исходном двухполюсн
заменяется на последовательное соединение J^^CJi^ н C^LJ'*
в дополняющем.
§ 8.64. Понятие о передаточных функциях и частотных характеристн
звеньев и систем- Нередко, особенно в задачах автоматического регулирований,
об устойчивости системы и о характере переходного процесса в иен судят но ч • '.
ной характеристике системы. Принято расчленять систему на отдельные элемен
или звенья.
Каждое звено можно схематически представить в виде некоторого четыр-
полюсникв (рис. 8.43, а) либо в однолинейном начертании (рис. 8.43.6). Бх- .'
иыми (Жд,) и выходными {ХдЫ^ величинами ногут быть как электрические, нал •
мер ток, напряжение, заряд, так и неэлектрические величины, вапрнмер коор .,
дата или скорость перемещения какого-либо тела механической системы. ^
На рис. 8.43, a VBS я UBba—входное и выходное напряжения. Какова бы
ни была схема внутренних соединений каждого звена, всегда можно выходную
величину выразить через входную:
SUX-
W0>)=K(P)*«(P). (8-64) v%
т№К(р)—пере&точнапфункцияввена. j
Передаточная функция зависит
от схемы внутренних соединений зве- а) I)
на и является функцией Комплексов»
частоты р. Ряс 8.43
Пример 1«6„ Составить К (р)
четырехполюсника рве. 8.44, а.
Решение. С понятием передаточной функции звена тесно связано понятие
частотной характеристики звена. Последнюю получают из выражения для К (p)i
заменив р на, /о:
К(М =
[8.6SJ
где ю—угловая частота; К #вэ)—комплексное число, которое может быть записано
н в алгебраической и показательной формах:
K(ja)=V+iV=AeW; j4=V^+Pa; q>=arctgCrt/.
(8.66J
Зависимость 1/=/(е>) называют действительной {вещественной) частотной
' "=/(а)—мнимой частотной характеристикой, Л=/(ю) —
амплитудной частотной характеристикой, e)=/(wj—фазовой частотной
характеристикой, А^^еЦ^льгарифмической частотной характеристикой* Зависимость
Ле-'Ч':=^(ю), построенную в полярных координатах, называют амплитудно-фазовой
частотной'характеристикой.
Пример 107. Построить в координатах I), jV зависимое^. К (/ю), а В коердан
натах U, ю зависимость U=f(fo) для четырехполюсника рис. 8.44, е.
Решение. В выражении /С(р)=р/(р+о) заменим р ие fvr.
/CCfa) =
/»
/to (a—/0)>
tP+& н^+*Ит' ««-Не8 '
+/-
Таким образом, U*=t&fl/fl+efy в •■ (
Придавая со различные значения, например и/с=0; 0,5; I; 2; 10;... , иск '
подсчитать U в V я построить на комплексной плоскости зависимость К (Jo) " ■
= /(<о) в декартовой системе координат (рис. 8.44, б). На рис. 8.44, в построев i
вещественная частотная характеристика t/=/(w) для четырехполюсн '_
рнс. 8.44, о. ";
Частотные характеристика отдельных звеньев и всей системы в целом «о
определять либо расчетным путем, если известны схемы внутренних соединен" '.
звеньев и значения параметров, либо опытным путем. При их опытном опре
кии поступают следующим образом: на вход звена (системы в целом) под > .
синусоидальное напряжение неизменной амплитуды и, изменяя частоту со от
до максимально возможной (теоретически до бесконечности), определяют амплиту «|
и фазу выходной величины. • ,'
Отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной дает зад .
ние А. а сдвиг по фазе1 выходной величины по отношению ко входной—значение fp
Вернемся к вопросу о передаточных функциях. Положим, что система обр
зована несколькими последовательно соединенными звеньями, например
(рис. 8.44, е). Пусть iCi(p)—передаточная функции первого звена; Kg (р)—второму
*fa (p)—третьего.
Тогда операторные изображения выходных величин звеньев можно вырази '
через операторные изображения входных следующим образом; \'
^(р^Мр) Kit»: ft
' *э(р)=хэ(р)К81»; А
*Лр)=*э(р)*я(р)- - <
Для того чтобы выразить выходную величину всей системы xt (р) через вх .
ByrojCj(p), перемножим (а), (б), (в). Получим ;
% (р) х3 (р) *„ (р) =*д (р) Kt (р) *я (р) Кв (р) х3 (р) Кя (р|,
•откуда i
*4(р)=а1(р)К(р);
Таким образом, для получения передаточной функции нескольких последов '
телько включенных звеньев следует перемножить передаточные функции а
звеньев (полагаем, что Kn_j ие зависит от п зв^на).
На рис. 8.44, д изображена замкнутая система (система с обратной связью
Она состоит из основного звена с передаточной функцией К (р) и звена обрат
связи с передаточной функцией /С0с 09- Роль последнего часто выполняет усн
тель, работающий в режиме пропорционального усиления. В соответств
с рис. 8.44, д
*ос (Р) = Кос (р)Х3(р) И X3(p)=iC(p)[*i(p)+*-c<:(P)l-
Отсюда
Знак минус в знаменателе соответствует положительной обратной связи, виа
плюс—отрицательной обратной связи (изменена полярность на выходе зав
обратной связи).
Если значение Кое(р) выбрано так, что 1—К(р)К©с (р)=0, то в сн -
возникают звтоколебания (амплитуда их ограничивается нелинейностью системы).
При аетокоавбаниях выходная величина периодически изменяется но времени"
при отсутствии входного сигнала xi.
§ 8.65. Системные функции .и понятие о видах чувствительности. Систем
функции Я (р)—это обобщенное название функций, характеризующих четы
полюснви- Ими могут быть, например, передаточная функция напряжения
U {p)IVi (р), передаточная функция тока. /а (p)/It (р) и т. п. Если какой-либо
параметр (R, L, С) в схеме четырехполюсника изменяется, то изменяется модуль
„ аргумент системной функции и можно говорить о чувствительности системной
функции к изменению этого параметра.
Под классической чувствительностью понимают отношение относительного
изменения функции ДЯ (р)/// (р) к относительному изменению параметра Ах/х:
* \Н х ] Н{р) их
Применительно к установившемуся синусоидальному режиму говорят о
чувствительности модуля и чувствительности, аргумента И (/<*>).
В отношении резонансных систем с высокой добротностью пользуются гоня-
чяем корневой чувствительности, имея в виду чувствительность // (р) к изменению
положения пуля или полюса этой функции, находящегося вблизи мнимой оси
плотности комплексной частоты. Понятие чувствительности используют главным
образом в задачах синтеза. Электрические цепи стремятся сформировать так,
чтобы они были по возможности мало чувствительны к изменению параметра.
§ 8.66. Метод пространства состояний. Метод пространства
состояний (метод переменных состояния) представляет собой упорядоченный
способ нахождения состояния системы в функции времени,
использующий матричный метод решения системы дифференциальных
уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (в нормальной
форме). Применительно к электрическим цепям под переменными
состояния понимают обычно величины, определяющие энергетическое
состояние цепи, т. е. токи через индуктивности и напряжения
на емкостях (независимые начальные значения). Значения этих
величин полагаем .известными к началу процесса. Переменные состояния
в обобщенном смысле обозначим х. Так как это некоторые функции
времени, то их можно обозначить x(f).
Пусть в системе п переменных состояния. Матрицу-столбец
переменных состояния в л-мерном пространстве состояний обозначим
Г1
[*]=[;;; I, т выходных величин (токи, напряжения) назовем у,
матрицу-столбец выходных величин—[у}=у " |.
Источники воздействий (источники э. д. с и тока) будем имено-
вать г. Матрица-столбец источников воздействий [zj=l""l.
п - l*J
Для электрических цепей можно составить матричные уравнения
[■*]=[AQM+|WJM; (8.67)
М=[РЛ*]+РЭ]И. (8.68)
где [AfJ, [Щ, [Р\, [QJ — некоторые матрицы, определяемые структурой
Цепи и значениями «е параметров.
На основании принципа наложения решение (8.67)
V
о -'
где (Jf(0)] — матрица начальных значений х.
Первое слагаемое в формуле (8.69) описывает свободные проц
в системе, второе —принужденные при нулевом исходном состоян .
[вывод формулы (8.69) см. в конце параграфа].
Из (8.68) и (8.69) находим
0/(0] = [P]er«]'[jc(0)]+{[P]eI^('-fl[iV][2{T)]dT + [QJ[ztr)]. (8. «
о
Поясним формулу (8.69) иа простом примере. Ток в с
рис. 8 45 до коммутации был i((L)-B(2R). Уравнение ссстоян
для згой схемы <«/<tt—-№>(+№№• т. е.
И=di/dt; [М] = - Я/Ц [N] = 1/L, И = Е;
о
Матричную функцию е№* в формуле (8.69) вычисляют по
муле (геореме) Сильвестра [13]: \
ёщ* ^eV^J+eV[Ae]+...+^' [Anl <8.7l"
MJ-Щ ;
(8.7
7,г_ собственные значения (характеристические числа) квадрата
матрицы [Ж], т. е. это корни уравнен
det([M|-?.[I]) = 0. (8.7
Из уравнения (8.73) следует, что урави_
ние относительно X составляют, приравнив"
нулю определитель матрицы [Af], в которо
все элементы этой матрицы атт(т=1,...п)
расположенные по главней диагонали, заме
няют на элементы атт — "К.
Характеристические числа К— это не •
иное, как корни характеристического уравн
ния послекоммутациопной схемы. Запись решения в виде ряда (8.71
предполагает, что все характеристические числа различны (мет кр
ных корней). Если же среди корней уравнения det^Wj— 3.[1])«=
будет кратный корень Яя кратности s, те составяяюн&я- eW, вбус-
ловленная этим корнем, имеет вид
(s-1)! \dfr*l П Cl-M $=**'
/3.'
где j4d/(^,[I]—[Af])—присоединенная матрица к матрице Я[1]—[MJ.
В ней все элементы Qi} заменены на алгебраические дополнения.
Составляющие решения по формуле (8.74) соответствуют части
решения по формуле разложения (см. § 8.50), учитывающей кратные
корни.
Пример 108. Методом-пространства состояний исследовать
переходный процесс в схеме рис. 8.46, а. До коммутации был
установившийся режим; Е = А Е, /*=1 А; # = 20Ом;£=1 Г, С=1 Ф.
в) 6)
Рис. 8.46
Решение. Обозначим токи и напряжения в соответствии
с рис. 8.46, а. До коммутации
W = Jj-^ = 0,5A; «c(0-) = *(4l + ^) = 3B.
В качестве переменных состояния выбираем ток it н напряжение
на емкости ис.
Известно несколько способов составления уравнений состояния.
Рассмотрим наиболее целесообразный, основанный на сведении
послекоммутационной схемы к резистивной с источниками э. д. с. н тока.
С этой целью индуктивности в послекоммутационной схеме заменяем
на источники тока, которые доставляют ток в том же направлении,
что и в исходной схеме (в рассматриваемом примере L заменяем
на источник тока iT с напряжением на нем Ldijdf), а емкости С
заменяем на источники э. д. с, причем в соответствии с теоремой
компенсации э. д. с. этих источников должны быть направлены
встречно токам в ветвях с емкостями, т. е. встречно напряжениям ис
на емкостях (в рассматриваемом примере емкость С с напряжением
На ней ис заменена на э. д. с. .Е,- ис).
В результате схема окажется без индуктнвностей н емкостей
(чисто резистивной), но с дополнительными источниками тока и
э- Л. с. (рис. 8.46, б).
В полученной резистнвной схеме один из узлов заземляем. С. -'
ляем уравнения по методу узловых потенциалов и определяем ю '-
циалы незаземлениых узлов. В рассматриваемом примере не зазе
всего один узел а. Поэтому
q>„ = щ =(h + /й) R+UC.
По известным потенциалам узлов рассчитываем напряж • ■
на источниках тока Lk dibfdt, эквивалентврующих индуктивности-rt -
н токи im=Cmducm/dt через источники э. д, с, эквивалентврую < '
емкости Ст.
. Для первой ветви схемы рис. 8.46, б
dlt 2R ис Е J? .
°ГСН)Да -зг=—гЬ—г + т-т'- -
Ток второй ветви £а можно определить либо по первому зак.
Кирхгофа, либо по закону Ома для участка цепи с э. д. с:
1!-С-Г = —r—= jj '! + '«-
Отсюда d«c/d/=(/1/C)+(/^C). Таким образом, уравнения п-< ;
менных состояния для послекоммутацаоиной схемы рис. 8.46,й таков. •
&i _ 2R 1 1 р к , . ''.
-£=c-t1+0uc+0-E+E-li,
ит ВД=[М]М+РЧМ, да И=Р§1г [*)=[£]; [*Q
L-5r-J
W 11 Г1 Rl
■га-а w>-ra
Составляем уравнение для определения характеристических чисел
Отсюдаг,8+4Я+1«»0; *,=—0,27; *,=—3,73 «г1.
По формуле (8.72),
,.,-М-МЦ Л ' °1+3,Чо 'J Г-0.078 -0,289]
lrfJ- 1,-1, 3.46 [ 0,289 l,077j:
,.i'-l«l-*.M_r 1.077 0,2891
И" 1,-1, L—0,289 — 0.078J"
По формуле (8.69),
Щ={е-»-27'И1)+е-"3'ИЛ[з'5]+5'{е-0-г,''-ЧМ+
+e-«."i-e[^Jj[J ~3[3*-
Выполнив подсчеты, получим:
■ il==— 1 +0,75е-°-Е"+0,75е- 3-«' А;
«с = 6 - 2,8е^ °-2" - 0,2е~ 3-га В.
Если за выходную величину у принять напряжение иа? между
точками d и /, то
Гч,]-[-* -4[*J+[io][f].
Поясним переход от (8.67) r (8.69).
Решение неоднородного уравнения (8.67) можно- получить в виде суммы
полного решения однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения. Полное решение однородного уравнения
И«ДОИ (875)
для ?3=т. где т—постоянная величина, находим по аналогии с решением
скалярного дифференциального уравнения х=тх х=ест '*-*» х (т) в виде
[*„ (ГЦ—fP4<' - «[*я (т)]. (8.76)
Подставив (8.76) в (8.75), убеждаемся в справедливости решения однородного
уравнения (8.75). Функцию f^м^t обозначим [ф(0), а е'м]у —ч= Rp (*—т)].
Так как е*м1*=[1]+гМ]*+-№1+..., то [<р(0)]=[11.
1*«»]=1ф«—1Ш«ЮИ*«1-
Общее решение
И9)=[Ф('~*)1 [*<i)]+to ('-*)№ <9Ы*<*)1=
-»е—i)in4+[eeii«wi-=Rp(*—i)iw»it
гче [й<01 нужно определить.
Подставим
[* (01 =[<р «г-^1 [Я(01 С8-77)
Б Уравнение (8.67):
[№<<-*>]-[ЛЧ Ир('-т)П [J? (OJ+bp (f-т)!IR <f)i=W (г]. (8.78)
Поскольку ftp(f—т)1 есть матрица, столбцы которой являются решением •.
веивя (8.75), первый член выражения (8.78)—нулевая (патрица. Следователь
[К(0]=№('-^ГЧ^1М. (8. "
Проинтегрируем (8.79) at x до ft
1
Из уравнений (8.77) и (8.80) следует .
* ;
IV (*-т)П [* <*>]=№ ЮГ1 [* WI+S № (Я.—i)]-* [W] [z (Ь)1 Л. f8-B •
Но Кр(0)1=[Ц. Умножая (8.81) слева на [q>#—t)I и учитывая, что
Гфр-г)Пч>(г.-т)Г1=е™*'-Ае~1л(Н^-А=еГ«]('-»-)=[ф(/_^1, ^.
получим
Полагая в (8.82) г=0 и заменяя затем переменную Я на т, получим форму..
(8.69).
Вопросы для самопроверки
1. Что понимают под принужденными и свободными токами, и напряжена ■
2. Сформулируйте законы (правила) коммутации. 3. Дайте определение неззан*- '•
мым и зависимым начальным условиям. 4. Объясните, почему при составл- .> ,'
[характеристического уравнения путем приравнивания нулю входного сопр. ■
ния z„= tf(p)/Al(p) нельзя сякращать числитель н знаменатель дроби на ■ ■ ■ >
р множитель 5. Чем определяется число ■
ней характеристического уравнения? 6.
ложите сущность классического метода р"
чета и принцип составления уравнений i
определения постоянных интегрирован •
7. Дайте обоснование обобщенным заке.
коммутации. 8. Запишите известные '
соотношения между f{f) к F[p), а та "'
теоремы операторного метода и предель:
соотношения. 9. Почему р называют к ■'
лексной частотой? №. Охарактеризуйте -ч
1Щ расчета операторным методом. II, '
ределвть переходную и импульсную п <
йодную прсводииоетв (сопротивления)"
функции. Укажите, с какой целью >
используются. 12. Охарактеризуйте идею расчета при помощи интеграла Дю
13. Поясните принцип работы интегрирующих и дифференцирующих ufii
14. Чем следует руководствоваться при формировании дополняющих двухт i
никое? 15. Перечислите основные этапы расчета методом переменных с- -■ ■ ■-
16. Как составляют уравнения переменных состояния путем сведения после •
мутационной схемы к чисто резистивнов? 17. Охарактеризуйте сильные иотн.\
тельно слабые стороны известных Вам методов расчета переходных проц- *
16. В схеме рис. 8.47 с источником тока /„ в момент (=0 одновременно раз
кается ключ Ks и замыкается К±- Показать, что заряды, протекшие через сап'
тивления Ri и Да за время от 0 до со, не зависят от емкостей d и Са. On ■
лить величины этих зарядов о/пест; ? и - ° 1. 19. Ре...
задачи 11.4; 11.12; 11.15; 11.26; 11.29; 11,32; 11.38; 11.40; 11.47; 11.50; 11_
Рис. 8.47
254
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД
§ 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записо. Как известно
вз предыдущего (см. ,§ 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую
периодическую функцию f (£), удовлетворяющую условиям Дирихле.
Обозначим период функции Т, а основную частоту—о0=2я/Г.
Ряд Фурье можно записать двояко.
Первая форма записи:
/4*>=A.-r-f] -4*sin(feffl0i+4>ft); (9.1)
вторая форма записи:
f(f)=A0+ 2 iA'hsmk&Di+A'bcosk<i)0t), (9.1a)
* = i
где у5о_постоянная составляющая ряда; Ak — амплитуда А-гармоники
ряда; ^ — начальная фаза ft-гармоники;
i4*=i4fecos^ft; Al=Aksm^k\
-Г/Ч
Al=^ I f(t) sin k^tdt;
(9.3
A'h=T | f® coskv0tdt. (9.4)
— T/2
Из курса математики известно, что sinx^fe'* —ег/л)/(2у").
Следовательно,
sш(faл(+«=^[e'■^s•"'+»«^-e-'^s•"'+*•,]. (9.5)
Подставив правую часть формулы (9.5) в формулу (9.1), получим
Ш = А.+щ 2 Л[е"^( + ^-е-п^+П (9.5а)
Обозначим:
Ак = А„ъ'\ (9-6)
А+~-А,/Г»*ш (9.7)
Тогда ряд (9.5а) можно записать так:
А., * 255
Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ^
Фурье, Текущий индекс k может принимать все целые числовые "
чения от — со до -j-co. но ие может равняться нулю, так как п
янная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого*
Пример 109. Предстаешь функцию f(fj = 2 + 3sm(to/+30y
+ 2 sin (2a0i — 45°) в комплексной форме записи.
Решение. Д, = 2; Д = Зе'Э0О*А_1^ —Зе-'30°; Л = 2е-/4Б°; А_^
= _2е^45°; ^(0 = 2+-'-[Зе'<ш°,+30Ч — Зе-Ч^+^^+геЧ8^"4^1"
_ 2е-'ЧЕш»'+45°>]. )
Составим выражение для комплексной амплитуды Аь. По о
лению [см. формулу (9.6)],
Аь = Де***=Ак cos ifc+jAk sin % = Ai+jAU ('''
где А'к определяется формулой (9.3), Л*—формулой (9.4). ;
Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9): С
г/а
Ah = =- V f(t) (sin kw0t + i cos kaof) dt=
Я/2
Г/2
1 -f (f) (cos kw0t~j sin k<a0t)dt
-If/2
-4.
~т „
— Г/2
Л=Г ( f®e-t**dL (9.
—T/2
Подставим правую часть формулы (9.10> в формулу (9.8):
k = oo Г/Э
f(f)=A,+ J e/Wr $ We-i-*dL (9:;
"- ft = —со —Г/2
g 9.2. Спектр функции и. интеграл Фурье. Ряд Фурье —
тригонометрический ряд, представляющий собой изображение пери
ческой функция суммой синусоид, амплитуды которых коне
а аргументы кратны основной частоте ш0.
Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, i'
ставляющий непериодическую функцию суммой бесконечно боль •'
числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргу
соседних синусоид отличаются на бесконечно малую величину. ■*
Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для р
Фурье fi*3 формулы (9.11)] предельным переходом-при стремл -;
периода Т к бесконечности, »
На функцию /(£) при представлении ее интегралом Фурье и
дывают ограничение, а именно полагают, что $ f(t)dt есть вели •
конечная (не бесконечно большая), Это серьезное ограничение. Рад
функций этому усявшв» яе удовлетворяет *.
Т/2
Так как во определению [см. формулу (9.2)], Д,=у- . f f(t)dt.
а при Т-^со J fitydt есть величина конечная, то Ал = 0.
~™ Т/2
Преобразуем выражение =- \ f (Oe-fc^d/, стоящее под знаком
-L'
суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение кщ заменим на ю
[под ю будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту]. В ряде
Фурье разность двух смежных частот Д<о = (а,=2л/7'. Следшателъно,
1/Г = Дю/(2я).
При Т-*~ то, заменив Дш дифференциалом йы, получим
Т/2 +а=
Г f f(Oe-'*^d/=g С f(t)er"*'dt.
-Т/2 -co
Обозначим
+™
S(/b)= J f(t)e-f»'dt (9Л2)
Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию
времени f(t) в-функцию частоты S(j&); преобразование (9.12) называют
прямым преобразованием Фурье; a S (/со) — спектром функции f (t).
Это комплексная величина, зависящая от вида функции /(*). В
соответствии с(9.12) в (9.11)заменим ~ | ДОе-^'^на^УфЫ
и учтем, что при изменении k от —то до + то a = ka0 также изде-
няется от — оо до +«>. Следовательно, <--.#
Заменив сумму интегралом, получим
1+С
f(l>~S J SU")*"<1*- (9-13)
* Среди функции / (0, Для которых интеграл $ / (f) dt расходится, наиболее
важной для практики является функция f(f)=^A, где Л •—постоянное число. Для
того чтобы эту функцию представить интегралом Фурье,'-лольэуются следующим
приемом. Находят интеграл Фурье для функции f (() =Ле"**-вде р>0 в f(f)=Q
ПРВ ' <: О. Для этой функции J /(f) dt сходится, поэтому она может- быть
предъявлена интегралом Фурье. Далее в полученной выражении устремляют р к нулю.
Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье
мулу обратного преобразования Фурье). Она выражает нелерио,
скую функцию f(t) в виде бесконечно большого числа синусоид ■-'
ных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно мальве
амплитудами 5(/со)dta [S(/со) конечно, но произведшие S(}Ща
бесконечно мало, так как бесконечно мала величина йы\ •;
В соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции си - **'
на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно боль?
шого числа гармонических воздействий, символическим методом н.? ■'
реакцию системы на каждое из воздействий и затем проеумми. ч . \
реакции на все воздействии.
Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными ■■
образованиями. ;-
Отметим, что представление функции /(f) в комплексной ш',
в виде интеграла Фурье [формулы (9.13)] привело к иеобходи ■*
формально ввести отрицательную угловую частоту.
Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования поЛапл,.
F(fi=\№v"dt
V
пра условии, что f(i} = 0 при f<0.
Если учесть, что /(г) = 0 при £-<0, и заменить р на j«, то (9.
переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра фущщий£
могут быть подучены из соответствующих формул изображений..
Лапласу, если в последних р заменить на /го.
Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр функций f( .
= €"*, полагая, что /(0 = 0 при (<;0. .<-
Изображение по Лапласу 1/{се+р). Заменим р на /го н получим
спектр S (/») = 1/(«.ф/ю); S(jto) есть комплексная величина, равная
S(со)е'*«. Модуль ее равен 1/]/а*+со*; аргумент 4>, = arctg[—со/а].
Графики для экспоненциального импульса изображены иа рис. 9.1, а, б.
Пример 110, Найти 5(ш) и tpe(w) для прямоугольного импульса
(рис. 9.1, в) амплитудой А и длительностью 4-
решение. По формуле (9.12) находим спектр
■А1
S(/ro) = y4 Xe-Wdt^A-
Модуль S(<o)=~!lsHi~l.
График этой функции приведен иа рне. 9.1, е. Пунктиром
показана огибающая. Аргумент jpt прямоугольного импульса определим
по формуле tg<pa=°".'^~ = — tg^p- График ipff показан на
рис. 9.1, д. (Иа рас. 9.1. г по оси абсцесс (о.)
При значениях а>(в=я, Зл, .... tps возрастает скачком на л.
§ 9.3. Теорема Рейля. Теорему Рейлн записывают следующим
образом:
\ f*№dt = -~ j Ssfa)d(a. (9.15)
Функция 7О=0 при f<0; S(w) представляет собой модуль
Спектра S(/<») функции /(f):
S(/to)= J f(i)e-wdt, (9.16) '
Если "принять, что f(f) есть напряжение, приложенное к активному
сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет собой
энергию, выделяющуюся а этом оопрогавлеяни.
Таким образом, площадь квадрата модуля спектра S (<■>), рязЗе-
ленная на п, является анергией, рассеиваемой в активном сопротш-
ленаи, на которое еоэдействует /(*).
В качестве основы при выводе теоремы Рейлн служит обратное
преобразование Фурье
j V
Умножим обе части последнего равенства иа/(/} и проинтегрируем
по t от —оо до + со:
+ to +co Г+оэ -|
В правой части изменим порядок интегрирования:
+^HfC^S(yM)^Hd'eTS(/w>C0(f)eft*'dildffl* ^
В соответствии с формулой (9.16)
следовательно,
J /■«)*-£ J SO«)S(-/«>)d(o=^ J Sa(ffl)dB.
Для перехода к формуле (9.15) учтем, что пра (<0 функци
/(0=0. Это дает возможность заменить в левой части нижний п
дел с — оо на О. Приняв во внимание, что квадрат модуля Sa(
есть четная функция частоты, заменим \ в правой части последне -
+» ~™
уравнения на 2 $ . В результате получим формулу (9.15).
о
§ 9.4. Пр1шененне спектрального методаХпектральный(частотньй
метод исследования процессов в электрических цепях основан
использовании понятии спектров воздействующих импульсов и ч
пых свойств цепей. Особенно широко его ^применяют в раднотехни
при рассмотрении вопросов прохождения модулироваяиых колебав ■
через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной те
при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники к*
.ротких импульсов длительностью порядка нескольких микросеку
а в некоторых случаях даже нескольких наносекунд. Допуска
что модулироваиное колебание или соответственно импульс, про
через четырехполюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время".
запоздал во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменила-
форма импульса (колебания) на выходе по сравнению с фор
импульса (колебания) на входе. Недопустимость изменения фор
импульса (колебания) следует из того, что именно в форме импу ..,
(колебания) заключена информация, которую он несет, *
Положим, что иа вход некоторого четырехполюсника с перед ''
ной функцией ЛГ (/(») =/f («в)е",(в>' при нулевых начальных услов'
воздействует сигнал fi(t), имеющий спектр SB,(/ft>). На выходе ч
рехполюсника появится сигнал fe(f), спектр которого
SwniM-KWSnUvb (9.1
+«
Так как сигнал fx(t) может отличаться от сигнала fj{l) по ;
чине (по амплитуде), положим в а раз, н запаздывать на пек
время 10, но по форме должен быть таким же, как н ft(t), то можно
записать, что f%{t) = ait{t~Q.
Если к функции /, (t) применить преобразование Фурье, то
окажется, что спектр функции ft (t) равен
* ' cSB1(/o))e-'w4 (9.18)
Действительно,
SBUtlM = a J Mt-Qe-Wdt.
Введем новую переменную ^ = / — /0. Тогда
Сравнивая (9.17) и (9.18), замечаем, что
К (И = К И & Ы - ое-'6"".
Следовательно, для прохождения импульса или модулированного
колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо,
ni~s_4
J
. чтобы модуль передаточной функции четырехполюсника был постоянен
(не зависел от частоты), а аргумент ф(о>)=—e>f0 линейно изменялся
в функции частоты (рис. 9.2, с).
В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выполнены
лишь, приближенно в некоторой полосе частот, которую называют
полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значениями.^,
при которых отношение максимального значения /((<■>) к
минимальному равно Y2 (рис. 9.2, б). Такой характеристикой обладает,
например, схема рис. 3.42, а. Для .этой полосы приближенно полагают,
что /С (со) = const и ip(to)=—ate.
Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник
не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические
составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы
"ропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов
треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых
Других форм принимают, что они занимают полосу частот, грубо го-
^ря, от «о = 0 до ш=2я/(и, где t„~длительность импульса.
Так как в полосе пропускают идеальные условия для прохсж t
ния импульса все же не выполняются, то, проходя через четырех..
люснйк, импульс в какой-то степени искажается. Определить степе.'.
искажения можно двумя способами, основанными на частотных п > j
ставленчях. ■,
Первый способ состоит в непосредственном применении прямого ■■
обратного преобразований Фурье. " V
Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра Ut(j > ■
.входного сигнала %(*); 2) определение передаточной функции четырех
полюсника К (j<a); 3) получение спектра выходного сигнала t/a (/со) =я^
~ КЦЩйх(/«>); 4) определение K3(f) по t/8(Ja).
Последнюю операцию можно осуществить с помощью форму .,
(9.13), но практически ее удобнее выполнить,, используя табли < ■■
изображений по Лапласу, заменив /со на р в (7£(/со).
Такой путь решения мало чем отличается от решения той же за;
дачи операторным методом н для сложных схем оказывается мал».,
пригодным, поскольку решение достаточно громоздко, и, пользуя ■'
им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный эл-
мент схемы при неизменных остальных влияет на фронт импульса "
ва его вершину. Пользуясь этим методом, трудно также судить о i *,
какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформац.1 .,
фронта, какие^на деформацию вершины импульса.
В литературе по импульсной технике получил распространев
второй способ решения, также основанный на спектральных пред .
леннях. В основу его положено то обстоятельство, чтоискаже:4
формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фро
входного импульса зависит от свойств передаточной функции четыре '■■
полюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших частотах)
а искажение вершины импульса определяется свойствами переда i'-.
ной функции на низких частотах (теоретически на частотах, близ .
к нулю).
Для того чтобы в этом убедиться, проделаем некоторые выкладк
Взяв в качестве исходной формулу (8.636) и заменив в вей вхо
иое напряжение u(t) на %(*)■ ток »"(f) на выходное напряжение
тырехполюсника usftj> переходную проводимость g(t) на переход ■
функцию четырехполюсника h{t), получим
Uz(Q=u1(i)h(0)+luz(i~%)h' fr)dt (9.1
a
Положив, что напряжение %(/), подводимое в момент *=0к i -
с нулевыми начальными условиями, является синусоидальным н ■
амплитуде равно 1:
и,(1)-1ш[1 .«pg,
где 1 "представляет собой комплексную амплитуду входного иапряж,
ння, т. е, Ог= 1. Учтем, что _^
и, р- т) = lm [t - «*»e*T.
После подстановки (а) и (б) н формулу (9.19) получим
и3(г)=Тт!ш0)+5й* (х)е-^ Ale*"}.
Комплексную амплитуду напряжения щЩ в установившемся
синусоидальном режиме частоты » определим, если в квадратной
скобке положим t-*-oo:
0а (со)=h (0) + J ft' (т) е-"*" А.
о
Передаточная функция четырехполюсника
*CG«3=t78Htf^)=M0)4Th4*)e-^T. "• (9.20)
*>
При со = оо *"
K(joo)^h(0). {9.20')
При и = 0
/C(0)=ft(ooj. (9.21)
Из формулы {9.20*) следует, что сврйства переходной функции
четырехполюсника в начальный момент, т. е, ft(0j, определяются
свойствами передаточной функции на бесконечно большой частоте К (/то),
В свою очередь формула (9.21) свидетельствует о том, что свойства
переходной функции' при относительно больших моментах времени
зависят от свойств передаточной функции при нулевой частоте.
Таким образом, -чтобы ие исказился фронт импульса, следует
обеспечить условия неискаженной передачи на высоких частотах, а для
сохранения формы вершины импульса—условия неискаженной
передачи на' низких частотах.
Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на
искажение формы импульса, прежде всего составляют полную схему
замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы,
влияющие на частотные свойства [паразитные емкости ламп импульсных
трансформаторов, индуктивности рассеяния трансформаторов,
емкостные свойства р-в-переходов транзисторов, зависимость коэффициентов
усиления транзисторов от скорости процесса /от частоты to)].
Затем из полной схемы замещения образуют две расчетные схемы.
Первая схема представляет собой расчетную схему для высоких
частот и служит для выяснения степени искажения фронта импульса.
Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания
последовательно включенных емкостей по пути следования сигнала
(относительно" больших по сравнению с паразитными) и разрыва нндук-
тивностей, включенных параллельно активным сопротивлениям схемы.
Вторая схема представляет собой расчетную схему для низках
4actnorri и служит для выяснення степени деформирования вершины
импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, оставляя
* ней последовательно включенные -емкости по пути следования сиг-
нала, а также индуктивности, включенные параллельно акти
сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивностн *
пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочастотной с
ие учитывают.
В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений, о штор
шла речь в § 8.16, число оставшихся индуктивностей и емкостей ок
зывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения. <s .
Для каждой из схем характеристическое уравнение оказыв
вдето первой или второй, сравнительно редко третьей степени, и
'а Т1 П"« Тс' L,
jet*
1L
этому влияние каждого из элементов схемы на искажение фронта
вершины импульса может быть выявлено относительно легко. Рас
переходного процесса в высокочастотной и низкочастотной сх
производят обычно операторным методом. "'
Окончательный результат (кривую всего переходного проц •
получают, сопрягая решения для этих двух схем. Вопрос об иска
иии заднего фронта импульса принципиально решается так же, к ■
вопрос об искажении переднего фронта импульса.
Проиллюстрвруем сказанное на примере. На рис, 9.3, а из ■
жена схема лампового усилителя на сопротивлениях, где #„ — на >
зочное сопротивление; Ср—относительно большая разделител
емкость (через нее проходит только переменная составляющая в
ной величины); Са—относительно малая емкость нагрузки и (
емкость второго каскада усиления. Пунктиром показаны и
анодного напряжения £а и весьма малые по сравнению с Ср
сколько -пикефарад) межэлектродные емкости С^ С„ и Gt itm™_-_,
анод —катод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости Сс, и'С„
не учитываем, как оказывающие малое влияние на работу" схемы.
Схема замещения для расчета переходного процесса при
воздействий относительно малых по амплитуде переменных составляющих
представлена на рис, 9.3, б. Она является схемой третьего порядка.
Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 9.3, в) и для
формирования вершины импульса (рис. 9.3, г) являются схемами
первого порядка.
Для схемы рис. 9.3, в
где &! = <№) + <№ + (№.
Для схемы рис, 9.3, г
Если входное напряжение представляет собой прямоугольный
импульс (рис. 9.3, &), то фронт выходного напряжения будет в виде
нарастающей экспоненты (рис. 9.3, е), а -вершина — в( виде спадающей
экспоненты (рис. 9.3, ж). Результирующая кривая цВЫ1 изображена
на рис, 9.3, э. Подбор параметров усилителя осуществляют исходя из
допустимой деформации фронта н вершины выходного импульса но
сравнению с входным импульсом.
§ 9.5. Определение переходной функции четырехполюсника' через
передаточную и передаточной через переходную. Если в формуле
(9.20) заменить /«о на р, то передаточную функцию четырехполюсника
на комплексной частоте найдем через переходную функцию
следующим образом:
К (р) - ft (0)+$ ft* (т) е-»т d-z. (9.22)
CI
В свою очередь переходную функцию ft(i) определим через
передаточную К (р), исходя из следующих соображений. В формуле для
К (/ш), заменив /и на комплексную частоту р, получим К (р).
Выразим выходное напряжение четырехполюсника Us (p) через входное Vx (p)
ч передаточную-функцию
U. О)-ад* (Я. (а)
Так как h(f) есть выходное напряжение ut(t) при «»{*) = 1 (*), то,
положив в (a) V1(p) = l/p, получим
h&)=Kip)/p*
(9.23)
Бапресыдпя самопроведкм
I. Чей ирннципйадьво -отличается ряд Фурье от тгнтеграла Фурье? "5а
в лрокоммеятирувте формулы ятрзшого и обряяюго преобразования Фурл. 2.'
объяснить, что при обратном преобравоваши -Фурье кроме яолоюстельздВ -уг
во£ частоты га используется и отрицательная? 3. Любая ли функция /(Q пожег
вшть преобразована по Фурье? 9. Для функции /#) известна Tip). Как заня
сать S (/со) 9той функции? S. Построить трафики -модуля -л аргумента спектр
функций ftr* я (I—<х/)зе~°' <футнив фавны йулю ври J<0). б.гзрврму
и докажите теорему Решш, дайте ей физическое ишкеваяме. 7. Что и
под полосой пропускания реального «етырехполюсннка? 8. Чей ^уководсте^те
нря составления укороченных схем четырехполюсника при исследовании дефор*
наци» фронта и вершины проходящего через него короткого импульса? 9. %
определить К (jh через hit) к ft (t) через д (/»)? 18. Решите вадиа ШМ, 46-35--
16.36, 16.41.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 10.1. Характеристика синтеза. Синтезом линейной
электрической цепи называют определение структуры целя и числовых значени
составляющих ее элементов R, L., С во известным операторным Е
ражен иям этой цепи или по временным характеристикам при в
действии на вход импульса определенной формы. Одному и тому ж '
операторному выражению, принятому в качестве исходного при сна"
тезе, может соглветствовать несколько различных схем разной струк
туры. Поэтому, после того как получено несколько решений, выби-
вз них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончатся '
ион выборе схемы являются стоимость, габариты" и масса устройства
Задачи синтеза ставит и решают в теории сложных фильтров
в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотех
нике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сгла
живагощих устройств.
Синтез развивался главным образом по двум направлениям: 1) -
известным операторным функциям {по Z (р) для двухполюсников
по передаточной функции для четырехполюсников]; 2) по .времени.*1
характеристикам, т. е. по известному временному отклику снсте
при воздействии импульса обычно прямоугольной формы.
Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг друг
В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на первом
уномянутых направлении.
В § Ю.2—10.9 рассмотрены основные сведении о синтезе це •
по заданной «аераторной функции цени {более полно об этом
. например, {9}). Методика синтеза цепей по заданным временный фу
цдям здесь не рассматривается (для ознакомления с вей следует об
титься, например, к [17]).
В теории автоматического регулирования распространен синт
основанный на использовании логарифмических частотных харик ■
ристик; в импульсной технике подбор параметров электронных н п
лупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих сх
производит, используя спектральный метод, рассмотренный в гл. _;
§ 1(К2. Условия-, которым должны удовлетворять' входные
сопротивления дв-зэдшлюсншщв. Если представить входное сопротивление
двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных
до убывающим степеяаи оператора р,
то должны выполняться следующие пять условии:
1) все коэффициенты а а Ь в числителе и знаменателе должны
быть неотрицательны (в- дальнейшем будет ясна, что условие 1
вытекает из условия 3);
2) наивысшая степень полинома числителя (я) не может отличаться
от наивысшей степени полинома знаменателя (mi более чем на 1.
То же и в- отношении минимальных степеней числителя и знаменателя;
3) если условиться значения р, при которых Z(p) = 0, называть
нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(p) = oo.
называть полюсами Z (р), то нули и полюсы должны быть расположены
только в левой части плоскости, р;
4) нули, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть
только простые, ие кратные;.
5) если вместо р в выражение Z(p) подставить /со, то при любом
значении о должно быть ReZ(/«3^G,
Поясним эти требования, Иэ§ &11 известно, что свободные
процессы описываются слагаемыми1 вида A»eV и обязательно должны
затухать вв-временя; рь-— корни уравнения Z(p}—^. Но затухать
свободные процессы (слагаемые вида- А^^) могут только в том
случае, если действительна» част pk отрннательна. Отсюда следует, что
нули уравнения Z(p) = 0 должны обязательно находиться в левой
части плоскости р.
Поскольку каждому пленарному двухполюснику соответствует
дуальный, в вжщная проводимость дуального двухполюсника У (р} =
= Z(p)/k, где k~ некоторый ксеффициеит, имеющий размерность Ом2
(см. § 3,43), то входное сшротнвлекне дуального двухполгашика равно
k/Z (р^ Нуля дуального двухпшяосннка, являющиеся полюсами
исходного, также должны быль расположены в левой чает» плоскости р.
Из курса математики известно, что если имеются два кратных
корня уравнения N(py—G, то соответствукнвяе им слагаемые в
решении берутся в- виде fCt+fyfaP*. Earn допустить, что на мнимой
оси могут быть два кратных корня р=/р\ то соответствующая им
свободная составляющая fa + C^fff** нарастала бы до бесконечности,
чего физически быть не может. Все коэффициенты а и & в числителе
и знаменателе Z(pf должны быть положительны. Еелн бы это
условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы
Гурвица {ем. § 17.2), среде корней уравнения Z(p)=b появились бы
корни с положительной действительной частью;
Поясним, почему степень т ие может отличаться от степени п
более чем на I. Двпуетим, что- степень т больше степени и на 2.
«яда р-*.оо является нулем второй: кратнвсти для Z(p}, а то> чтв
происходит при р-*~оо, можно считать происходящим на мнимой «^
плоскости р (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тог.
на мнимой оси получается кратный корень, чего быть ие может.
Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника^'
убедимся, что степень в не может быть больше степени т болеем
чем на 1.
Если в Z(p) вместо р подставить /ю, то Z(/w) будет представля .,
собой комплексное сопротивление двухполюсника в установившемся
синусоидальном режиме при частоте «, в Re Z (/«>) — действительн •
часть входного сопротивления. В том случае, когда двухполюсник
содержит активные сопротивления, его ReZ(/<o):>0 [он потребляем
активную мощность /а Re Z (jto)]. Если же двухполюсник чисточ
реактивный, то Re Z (/<») = 0. В общем случае для пассивного
двухполюсника всегда должно быть ReZ(/u>)^0.
Пример 111. Задано несколько выражений вида N(p)/M(p).
Выяснить, могут ли они представлять собой входные сопротивления ■
некоторых двухполюсников:
л\ V+P+'
Решение. Первое выражение ие может представлять собой Z(p)i
так как один из коэффициентов в .числителе отрицателен. Второе и
третье выражения также ие могут представлять собой Z (р): вто ■»-'
потому, что максимальная степень р в знаменателе больше
максимальной степени р числителя на 2, третье потому, что
V+P+I "I . (1—иЗ)(1—2щ»)
P3+Pa+P+1 J O-tW+'a3)
при значениях <о от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение
всем требованиям удовлетворяет и потому может представлять собо.
Z(p) некоторого двухполюсника.
Кроме названных общих свойств Z(p) перечислим свойства Z(p
двухполюсников, состоящих только из R и С, только из R и L -
только из t и С. RC- и Я£-двухполюсники имеют чередующиес
простые нули и полюсы па отрицательной вещественной оси шгоск_
сти р. Для 7?С-двухполюсников ближайшей особой точкой к нач.
координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Дл '
двухполюсников типа RL ближайшей к началу координат особой тсЧ
мой является нуль, при р = 0 полис отсутствует. Двухполюсник "
типа LC имеют чередующиеся простые нули и полюсы на мнимой оси
Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на I,
Существует несколько способов реализации двухполюсников по за
данной Z (р), удовлетворяющей перечисленным в §. 10.2 условиям. Т ■ ■
основных способа реализации рассмотрены в § 10.3—10.5.
§ 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схем*'
Познакомимся с понятием непрерывной дроби. Непрерывной дрсб-.
Re {-
называют дробь вида
ь+~
Входное сопротивление или входная проводимость лестничной
(цепной) схемы по типу рис. 10.1, а, в которой продольные сопротивления
названы Zx, Z3, ZB,... и поперечные проводимости— Y%, Yt, Ytt...t
могут быть представлены непрерывной дробью.
Для того чтобы убедиться в этом, проделаем небольшие выкладки.
Найдем входную проводимость правой частя схемы по отношению
к зажимам тп. Она равна j—. Суммарная проводимость правой
части схемы по отношению к зажимам тп с учетом ветви с
проводимостью Ул равна YA-] j—. Входное сопротивление по отношению
2'+Т7
к тем же зажимам
Далее определим входное сопротивление всей схемы, равное
Z.+— Ц . (10.2)
Таким образом, возникает задача о переходе от (10.1) к (10,2), т. е.
задача о последовательном упорядоченном определении элементов
лестничной схемы (Z„ Z3,...; Yit Yt, Ye, ...)по выражению (10.1), С этой
целью:
1) располагаем полиномы N (р) и М (р) либо по убывающим, либо
по возрастающим степеням р;
2) делим многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе
деления получались положительные (не отрицательные) слагаемые и
чтобы они не содержали р в степени больше 1;
3) учитываем, что если в процессе деления возникнет необходимость
перейти от расположения полиномов по убывающим степеням к
расположению' их по возрастающим степеням, то эта операция -'-
Допустима. г следует
При делении полинома N на полином М будет -получена, досгигают
и остаток OjlM, т. е. «f ЗД<5Ь,£&>
7 _ Zl_ _ 7 J-"' — 7 Л- * ходят и деистви-
£v=
При делении M/Oi будет получено частное УЕ в остаток J*= * £^
Но ^—Zj + 0* "*^ + (ПИ5ч Поэтому ^- = УЯ4- ,
На основании изложенного процесс последовательного определени"
элементов можно представить следующей схемой:
Пример 112. Определить параметры лестничных схем, для котор. •_
Z(p) = JLl3o~ ' Располагая сначала при делении полиномы по уб.~
вающим, а затем (для реализации второй схемы) по возрастаю
степеням р. Как будет видно из дальнейшего, в процессе делен
в обоих случаях не возникнет необходимости в переходе от распо *
" жения по убывающим к расположению по возрастающим степеням -
Решение. Производим деление, расположив слагаемые по уб-
вающим степеням р:
/гЧ-9р*+8 1Р3+Зр
р'+Зр*
данной
основных
и*+3р
р-+4р
€»■+«
ер"
10
7Г»
10
Т?
0
!^~
10
в"
36 7
ге',-г«
6pi+8
i,-Y.
§ 10.3. Pqo 1 б изображена схема и на ней указаны соответств .'
Познакомимся здах значения ишиктявностей н емкостей, получ- ■
при делении, когда слагаемые были расположены во убывающим
степеням р*.
Схема и параметры для второго случая, когда при делении
слагаемые расположены по возрастающим степеням р, даны на рис. 10.1, е.
Рассмотрим далее пример, который является иллюстрацией того,
что иногда в процессе деления возникает необходимость изменения
порядка расположения слагаемых.
Пример 113. Требуется реализовать лестничной схемой
Z(p) =
2fP+2p+l •
2р*+2р*+р p-+Zx
2p"+2p+I
2р*+2р + 2
• Так как примеры имеют чисто иллюстративный характер, то не следует
обращать вникание на то, что индуктивности ж емкости в примерах достигают
практически трудно осуществимых значений. Кроме того, реализуемые здесь Ztp)
можно рассматривать как нормированные по частоте и величине (см. § 10.9).
" этом случае от норынроваввых Ra, £„ С„ параметров вереяодят я действи-
™ьным, осуществить которые практически уже не составит затруднений.
Так как получаем отрицательные слагаемые, дальнейшее веден'
прекращаем и переходим к расположению по возрастающим степенны
I+2p+2»4l+£+£
1+f+p' I ■-'■''■
I+P+P'
1+Р
Р+1?
U*
На рис. 10.1, г изображена соответствующая схема.
В заключение отметим, что могут встретиться такие Z(p), к* ■,
рые невозможно представить лестничной схемой. В этом случае пр
меняют второй способ реализации, описанный в § 10.4. [Второй с ■>'-
соб применяют ие только в случае невозможности представления Z <'
лестничной схемой.] .'
Если н он окажется неприменимым (например, при комплекс . >
нулях и полюсах), то следует воспользоваться методом Бруне (см. § 10.5.
§ 10.4. Реализация двухполюсников путем последовательного
деления простейших составляющих. В качестве введения ко вто < ■
способу реализации двухполюсника запишем операторные сопроти; ',
ння для простейших одно- и двухэлементных двухполюсников.
рис. 10.2, а—-д изображены простейшие двухполюсники и запи -■■
соответствующие им операторные сопротивления; на рас. 10.2, •?, ж .
сопротивления и проводимости и на рис. 10.2, з—проводимость. J
рис. 10.2, а С= 1А*„, для рис. 10.2, б £.—о,, для рис. 10.S, в 2ак .
= 1/Ск и <о|=1/(/+СЛ), для рис. 10.2. г аа==7?ь и mk — RbILb, .
рис. 10.2,.а Ь=1/С и d=l/KC.
Сущность метода состоит в том, что заданное Z (р) представл ■ >;
в виде (рис. 10.3, с) *
zo,)-ajD+a+2^-+zl(p). по.
Первому слагаемому ajj соответствует последовательно соединенн-:
ивдуктивность ttjj второму —последовательная емкость 1/Оо. Кяжд'
слагаемому вида ■■ 'О соответствует последовательно соединен .
параллельный резонансный контур; (слагаемому _., *^= — пара по .»•
Pi,s==t/<»fc, находящихся на мнимой осн плоскости р). Сопротивлен1
^~%±$р) Уже не содержит полюсов на мнимой оси. Функцию Zt (р), ере"
полюсов которой нет полюсов, находящихся на мнимой оси, наз.и . <
функцией минимального реактивного сопротивления. Возможны
дующие варианты для Zt(p) *:
a) ^i(P)a2pTm"* в ST0*C слУчае еГ0 <куществляют последова-
тельным соединением двухполюсников рнс, 10.2, г;
г»
Ph a,P
r*t
-*-Ф
rtrU
>6
гаку
P'tui
Рве. 10.2
б) Ztfp)^^ * +bfl; Z, (р) реализуют в виде активного
сопротивления о„ и последовательно с ним соединенных двухполюсников
рис. 10.2, а;
в.
—^JM 1
в) Zt(p) = b0 осуществляют в виде активного сопротивления Ь0.
Индуктивность й,= lim -^.(рис. 10,3,а).
Величину ае в схеме рнс. 10.3, а определяют как интегральный
вычет функции 2(р)=-щ\ в полюсе р==0:
щ _ Res Z (р).Af (0)/М' (0).
Коэффициент о* в выражении -^гг\ определяют как иетегралън
вычет функции Z(p) в полюсе р = /щ [ему же равен выпет функ
Z(p) при р =— /шй, так как они оба действительны]:
> Res Z(p)=
*<М*>
После того как найдено оА можно определить I* и С» двух >
люсникз рис. 10.2, е:
. Сь~Щ2аь); L*=l/(<oIQ.
Реализацию двухполюсника можно осуществлять не только по -
входному сопротивлению Z(p), но н по его входной проводим
У (р) = VZ (р). Входную проводимость У (р) представляют в виде сх
рис. ЮЛ б
В соответствии с правой частью (10.4) двухполюсник осуществля
в виде параллельного соедннення емкости а',, индуктивностн 1/о£, дву
полюсников по типу рис. 10.2. а (им соответствуют слагаемые в .
пе содержащего полюсов на мнимой оси. Коэффициенты a'e w a'h m
деляют путем нахождения интегральных вычетов функции У(р) со
ветственно при р=0 н р = /ю», а С=а\= Нш У{р)/р.
Если функции Уг{р)— 2?Тп' т0 ^ реализуют в виде парам
ного соединения двухполюсников рис. 10.2, е. Если функция КЕ(р)
= У, ^Е7 • то ее реализуют параллельным соединением двухполюсник
рис. 10.2, яс*. Следует иметь в виду, что, при реализации двухп
люсника по его Z(p) в виде последовательного соединения простейш -
двухполюсников, начиная с некоторого этапа, пожег оказаться цел
сообразным перейти от сопротивления к проводимости и дальнейшу
реализацию осуществлять уже параллельно соединенными двухпол ■
никами. Потребность в таком переходе может возникнуть, яапрн
когда остающаяся для реализации часть Z(p) имеет нуль при р=
Этому нулю соответствует полюс У(р) при р==0, который реализу
индуктивностью.
Пример 114. Реализовать Z(p) = £j^g^±?.
Решение. Так как Z(p) имеет полюс при р=0, то в схеме •
жег быть выделена последователыю включенная емкость С= 1/щ, г -
a»=ResZ(p)=2/2 = l. Функция Z(p) не имеет полюсов, лежащие
р=о i
на мнимой оси. Поэтому в состав его не входят последовательно вкл
* Полагаем, что коэффициенты т в г действительны и положительны.
ченныс явухполюсннки типа рис. 10.2, е. Определим, какое Z{p)
осталось реализовать {назовем "его Z,(p)J:
ZB(p)~Z(p)- р - ^+Яр+8-.
Функция Z3{p) имеет нуль при р = 0. Для реализацин оставцкйся
части схемы перейдем к проводимости Уя(р) =*— ,vg-. Полюсу этой
проводимости при р==0 соответствует индуктивность
a; = ResK„(/))=l.
р = 0
Осталось реализовать
V.(Р) - П 0») --^=да% - да+да*
Слагаемому р/(р + 2) в соответствии с рис. 10.2, ж отвечает ветвь
из последовательно соединенных R=l Ом и С=0,5 Ф. В соответствии
-W ȣ^OQ-
if/ г;
Рве. 10.4
Ч . ^
с рис. 10.2, е проводимости l/(p+2j отвечает ветвь с 1 = 1 ГиЯ = 2 0м,
Полученная схема изображена на рис. 10.4, с.
Пример 115. Реализовать Z(p) = ^q^r^pr-
Решение. При р = 0 у Z (р) нет полюса, поэтому последовательная
емкость у искомого двухаолюеннха отсутствует. Функция Z{p) имеет
Два полюса pls=rir/, расположенных иа мрнмой осн. Выделим
параллельный резонансный контур рис. 10.2, *, соответствующий этим
полюсам:
Сй=1/2я*=1Ф; «л=1; i,ft=l/KCft)=l Г.
Найдем функцию минимального реактивного сопротивления:
• В соответствии с рис. 10.2, г реализуем Z%{p) в виде пар
ного соединения активного сопротивления 1 Ом и индуктнвностн
Схема искомого двухполюсника изображена на рис. 10.4, б.
Двухполюсники, состоящие только из R и С, могут быть
зованы, например, канонической схемой рис. 10.4, в, а состоящие
и U— схемой рис. 10.4, г.
Для схемы рис. 10.4, в
ZW_«.+| + |_^: *,_£; <,_^.
R' = Urn Z(p); 1^== UmpZ(p); bk= Res Z(p). .
p-rt» p-»o p=—<*a
Для схемы рис. 10.4, г
««-*■+*+j^ -
R"=limZ(p); L0= lim Z(p)/p.
Параметры R* н Lb находим, имея в виду, что сопротивл
■ ^ соответствует параллельному соединению R* и /*, где оА= '
mb=RblL& о;А== Res Z(p)/p.
р — тк
§ 10.5. Метод Бруне. Основные этапы метода Бруне следу
1. Прежде всего проверяют, не содержит ли заданное Z(p) [н -
вем его Zw (p)] полюсов на мнимой оси. Если они имеются, то
состава Z^O)) выделяют соответствующие этим полюсам один >
несколько последовательно включенных параллельных резонанс
контуров. В результате получают
Этот этап соответствует переходу от рис. 10.5, а к рис. 10.5Г
Коэффициент flA= Res ZBn{p).
р •= ш>ь
Функция Z{p) ие имеет полюсов на мнимой оси и предста
собой функцию минимального реактивного сопротивления.
2. Полагая р = /ю, в Z(/co) выделяют действительную часть, т.-
находят ReZ(/co) и определяют частоту ю, при которой ReZ(/e>).
нимальна. Эта частота может быть равна нулю, бесконечности
иметь некоторое конечное значение (в последнем случае ее будем
зывать ю0). Подсчитаем также минимальное значение ReZ(ya), к '
рое назовем Rmin.
3. Из Z(p) вычитают Rmi„ и находит Z,(p). Этой операции
ветствует переход от рис. 10.5, б к рис. 10.5, е. Заметим, что
пени числителя и знаменателя Z,(p) одинаковы.
4. Если частота, при которой имеет место минимум Re £(/<■)), равна
тглю или бесконечности, то уже на этой стадии делается попытка
реализовать Z(p) лестничной схемой. Если же минимум ReZ(/ro)
имеет место при некоторой *o==6>e, отличающейся от 0 и оо, то
дальнейшую реализацию производят несоответствии с п. 5—12.
5 '"^h ^щ
5. Подсчитывают Zt(p) при р =/<■>(>■ Так как при частоте р=Щ,
действительная часть Z{p)=Rm\n, то действительная часть разности
Z(i^a) — ^min равна нулю, т. е. ^Цщ) представляет собой чисто
реактивное сопротивление Z,(/(i>o)=/Xf.
6. Возможны два случая. Первый, когдв Xt>0, второй, когда
Х,<0. Будем полагать X1=aeLl>0 (случай Х,<0 рассмотрен
в п. 12). Тогдв
L^X^. (10.6)
7. Составим разность Zt(p) — pLL и приведем ее к общему
знаменателю.
Так, например, если исходить из того, что
то проводимость оставшейся для реализации части двухполюсника
у ,_■> ' ' P3+»iP+*> lsA
*0\Р/— 7. t^ — nl- — >ЯГ.-1->Л/1—*>Л^_1_пЙ1 hJ.\-X-a. ' ''
■ bifi-pU
Обратим внимание на то, что в знаменателе Уо(р) имеется
слагаемое— рЧч, которое при дальнейшей реализацин приведет к
появлению в схеме отрицательной индуктивности.
8. Поскольку при р = 1Щ Ziip)— P^i=Qt то Ул{р) = оо. т. е.
Р=/(й„ является полюсом Ya(p). Наличие полюса у Y0(p) позволяет
представить оставшуюся часть двухполюсника ветвью из
последовательно соединенных £а н Са, настроенной в резонанс на -частоту <да,
и параллельно ей присоединенного двухполюсника с сопротивлением -
Z,W (рис. №.5. ф v
9. Полагаем 2»С)=#8(/л)/Ма(р). Степени полиномов JVa(p)-
Mt{p) должны быть такими, чтобы после приведении правой ч
(10.7) к общему знаменателю, степень полинома числителя левой ч
равнялась степени полинома числителя правой части; то же и в
шенни степенен знаменателей Так, если Кв(р) соответствует выр"
нйю (а), то Z2(p) = (c1p + ce)/de,
Методой неопределенных коэффициентов можно найти Cj, с^гй0'
L2. В рассматриваемом случае
Разность (Ь„ — «!)>-0; это следует из того, что условие Xt>~
означает, что lm[£±g±*J>o, а при р=/ю0 ReZ1(^)=ft
10. Реализацию Zs(p) производят, как правило, лестничной схем .
Так, в рассматриваемом примере Z3 (р) реализуют индуктнвн
Ьз = с,М0 = —ft^i-i/be и активным сопротивлением R3—a„fb0 (рис 10.5,
Важно обратить внимание на то, что L-, оказалась отрицательней.
11. Так как физически осуществить отрицательную индукт ■
невозможно, то дальнейший этап реализации в методе Бруие с
в том, чтобы три магнитно не связанные индуктивности t\, L2 н '
заменить трансформатороМт состоящим из индукншностей Z* и
между которыми, имеется магнитная связь (взаимная индуктивность
Это действие является обратным по отношению к операции «раз
эывания» магнитносвязанных цепей.
На рис. 10.5, е изображены два участка цепи: левый до преобр..
аовавия, правый —после преобразования; показаны положнтель
направления токов в ветвях и указаны одноименные зажимы кату -
Напряжения между точками / и 2 для обоих участков цепи в си
их эквивалентности должны быть одинаковы, т. е.
—Р *•*/*+рЩ%—pLJa - рШ*.
Подставляя в эти две строки /, = /Е + /8 и учитывая, что важд
из уравнений должно удовлетворяться при любых значениях токо-
получаем:
M = Lj Lt^l^+I^ /,-£.+!«, (ML1
где L4 и 1^ положительны. Окончательная схема изображена -
рнс. 10.5, ж.
12. Еслв условиться сумму степеней полиномов в числителе и
мевателе Zs,„(p) называть порядком ZS№(p), то совокупность
численных операций («цикл Бруне»> позволяет снизить порядок на
Естественно, что потребность, в каком-либо- одном ил» веекол ■
этапах в яобом конкретном примере 'может н ме возникнуть («апри-
уер, в этапах 1 или 3).
Для 2„д(р}, порядок которых достаточно высок, может
возникнуть потребность применить эту тюследрвательность операций не один
раз. В заквючение заметим, что если в п. 5 Х,<0, то /ч<;0,
я вычитание согласно п. 7 сопротивления — p(£J сводится к
прибавлению сопротивления -KplZ-il.
Некоторым недостатком метода Бруне является его относительная
сложность а необходимость введения в схему -идеального
трансформатора с коэффициентом связи Kz = Mz/(LtLu) — l.
§ Ю.в. Понятие о
инках. Из § 8.64 известно, что передаточная функция четырехполюсника К (р)
равна отношению операторного изображения выходной величины к оператврному
изображению входной. Ее можно представить в виде отношения двух полиномов.
Полюса if (p) всегда находятся в левой части плоскости р. В самой общем
случае часть нулей К (р) *ожет находиться и в правой части плоскости р. В
соответствии с расположениек лулеи передаточной функции все четырехполюсники
можно подразделить на два клвсса: на минимально- и нвашшально-фазовые.
Минимально-фазовыми (м. ф.) называют такие четырехполюсники, все яуля
передаточной функции которых расположены в левой части плоскости р. У
неминимально-фазовых (н. ф.) четырехполюсников хотя бы часть нулей иекоднтся
в правой части плоскости р.
Название обт.ясннется тем, что при одинаковом значении модулей
передаточной функции ы. ф. и и. ф. четырехполюсников фаза передаточной функции м. ф.
четырехполюсника кеяыне фазы передаточной функции и. ф. четырехполюсника.
Поясним сказанное. С этой целью разложим числитель * знаменатель
передаточной функции на множителя;
к&)
(Р—Pi)(P—Pi) — (Р—Рп)
~*J>—Pl)iP—pd — ip-Pnd'
где ри рь ..., р„—нули, а р2, р4, .... рт—полюсы передаточной функции. И
нули и полюсы в общем случае представляют собой комплексна числа.
Если исследуется работа четырехполюсника в установившемся
синусоидальном процессе при изменяющейся частоте ю, то вместо р в К(р) подставляют /ш.
Каждый ка биномов р—рц можно представить в показательной форме в виде
Pj€ *, где pj—модуль, а од—аргумент комплекса р—Рь- Угол tpk отсчитывается
от оси -J- 1 комплексной плоскости в направлении против часовой стрелки до
положительного направления вектора р—рь- С учетом сказанного
Срагшим выражения для дэух передаточных функций:
fW-SEg-'Jfw-f
Положим, что pi и р, равны но модулю и денетвиталвиы. Нуль первого
выражения находится в левой части плоскости р (вис. 10.6, о), а нуль второго
Р,=—р1~~в правой части плоскости р (рис. 10.6, б). Пусть на вход обоих
четырехполюсников воздействует синусоидальное напряжение частотой на. Некото-
Рои конкретной чистоте на комплексной плоскости соответствует точка а иа оси
+/■ Образуем разности р—р± я р—р2 на рис. Ю.6, в и разности р—р\ и p—Pt
на рис. 10.6, б:
Р~Рх _ РГ н—-к P-P't = РГ '&-**
Модули этих передаточных функций одинаковы н равны plffil, топ§^
аргументы различны. Аргумент «pi—фа первого четырехполюсника Меньшее
менте ф£—ф, второго четырехполюсника. Четырехполюсник с передаточноб
цией К' (р) мниималь ■ •
+j I вый. а четырехполюсник с
м. ф. четырехполкк
существует однозначная за
ыость между модулем и ар
тон передаточной функция
модулем н аргументом пе
точной функции нет од .
ной зависимости.
Рис. Ю.6 Рассмотрим совокупи
вопросов, которые нов-.'
онределить, можно ли физически осуществить четырехполюсник по заданной
редаточкой функции или по Z- или г-параметрам.
§ 10.7. Условия, накладываемые ва параметры четырехполюсников и на
даточную функцию. Перед тем как рассмотреть совокупность перечнеле ■
вопросов, напомним основные уравнения линейного пассивного четырехполюс"'
в Z- и в У-форме. *
Уравнения четырехполюсника в Z-форме:
Ua=liZsl+kZ2i- f
Схемы для опытного определения Zn. Zla, ZH изображены
рис. 10.7, а, б; Z\\—входное сопротивление четырехполюсника по отн«
к зажимам /—/ при разомкнутых зажимах 2—2 (в §4.2 обозначалось как
/ , ./ Г, .2 I, ' I, 7, ,2 1
• *- -*—W 0-*- ■ « I i» * -•—l
I » -*—0 0-*- ■ I !-,.,# _•—I
a) I) I)
Pec. 10.7
0'
ZM—входное сопротивление четырехполюсника во отношению к зажимам -
при разомкнутых зажимах /—1 (в § 4.2 обозначалось 2М); Zt2—взаимное с>
тивление между входной и выходной ветвями. Для схемы рис. 10.7, а пап ряж -
на зажимах 2—2 U№=^/iZ2i. На основании теоремы взаимности Zla=Zsi-
Уравнения четырехполюсника в У-форме:
(№
Схемы для опытного овределення Уы, yffl и Yu—YSi изображены
рис._ 10.7, е, г; Yu~входная проводимость четырехполюсника по othoi
и зажимам/—1 при короткозамкнутых важные* 2—2; Ум—входная проводи <
по отношению к зажимам 2—2 при короткозамкнутых зажимах /—I.
Между Z- и У- параметрами существуют соотношения:
zii-ivm 2u-4i—iwm z^Yr^Yb
Если вычеты функции 7^, Zjj, Zu в рассматриваемом полюсе обозначить
соответственно Aii, A^j, Ац, то и любом полюсе на оси / между вычетами имеет
g/eeto соотношение
которое называют условием вычетов. Доказательство этого условия производят
методами матричной алгебры; в силу громоздкости оно здесь пе дано (см.,
например, [9]). Условие (10.12) означает, что матрица вычетов £^параметров в
полюсах является неотрицательной. Для У-параметров условие (10.12) также* имеет
-силу, причем под *ц, *м н ku в этом случае следует понимать соответстпенво
вычеты в полюсах функций Уц, Уш н Уг* на оси f.'
Заметим, что если в полюсе выполняется условие АцА»— *}s=0, то полюс
называют компактным. Z- вли У-параметры, во всех полюсах которых выполняется
условие компактности, называют компактными Z- или У-параиетрамн.
Входные сопротивления четырехполюсника со стороны зажимов /—/ при
к х. или к. в. со стороны важнмов 2—2, я также ^входные сопротивления со
стороны зажимов 2—2 при х. х. или к. я. со стороны зажимов /—I должны
удовлетворять тем же условиям, что и входные сопротивления двухполюсников
(см. § 10.2).
Кроме того, Z-параметры любого четырехполюсника на любой частоте
и(р=пи) должны удовлетворять - еще так называемому условию вещественной
части (условию Геверца):
'и'м—'bShO. (10.13)
где ru=ReZu(/io); rffi=ReZw(;W); r1B=ReZ„(/«).
Соотношение (10.13) является следствием того, что матрица Пассивного
четырехполюсника является положительной вещественной. Формулы (10.12) и
(1013) накладывают ограничение на коэффициент усиления Q синтезируемого
четырехполюсника. Для 1'-параметров условие вещественной части
записывается так:
Sufe—ЛаЭД (10.13')
где gu=Re,y„0'o); 8ш=ЪеУ*№У. gis=ReK12(/(a).
В литературе во синтезу четырехполюсников используют также некоторые
дополнительные понятая и Теоремы (условия),, до енх пор пе упоминавшиеся.
Познакомимся с основными из нах.
Если у входной и выходной ветвей четырехполюсника без взаимоиндукции
нет общего зажима, то такие четырехполюсники называют уравновешенными. Если
общий зажим имеется, то четырехполюсник называют неуравновешенным. С
практической точки зрения неуравновешенные четырехполюсники выгоднее
уравновешенных, так как содержат меньшее число элементов.
Для неуравновешенных четырехполюсников существует условие Фиадкова и
Герста. Оно состоит в том, что: а) коэффициенты при р в числителе и
знаменателе функции — Ylb Уц н Ум неотрицательны; б) коэффициенты при
соответствующих степенях р в — Уи че превышают коэффициентов при соответствукицих
степенях р в Уц или Уи. При атом предполагается, что общий множитель, если
си имеется в числителе соответствующей функции, пе сокращается.
При синтезе четырехполюсника задается 'обычно его передаточная функция.
Передаточная функция может быть задана различным обраэомТтаи, например,
она может быть задана в виде передаточной функции по напряжению нли току,
■фи наличии и отсутствии нагрузки на выходе четырехполюсника, с учетом
н Сез учета входного сопротивления источника питания и т. п. Довольно часто
в Руководствах но синтезу цепей ее задают и виде передаточной функции но
напряжению при питании со стороны зажимов /—/ и х. х. на зажимах 2—2
(см. рис. 10.7, о).
Будем ее обозначать КвхлЫ=Кяя.1 (в литературе распространено
обозначение Г„):
fn«.i=7'la=l/MI/l/1=Zu/Zla=—У1а/Ум.
Полюсы Km* образуются на нулей Zu, которые не являются одновременно
"Улямн ZM, и на полюсов Zu, пе являющихся одновременно полюсами Zla.
-5Я1
Передаточную функцию К0Хл чсащо представить в виде отношения
полиномов по степеням рг '
„ g«P" + cn-iP""I+---+QtP+ga "
Au" ('mPm+Ьm-lPп■-^+-..+6lP+*(.■
Если вывести за скобки а„ в числителе и Ьт в знаменателе, то получим
Отношение а„/6т обозначают £ (или Q) я называют ковффищентеж
четырехполюсника.
Как уже говорилось, при решении задач синтеза четырехполюсников неоС
димо эаать свойства JCw«.i н ее составляющих 2„, 2ц или —Ум и Ум. Н
рые из них были сформулированы в настоящем параграфе. Дополним их и др.
не ненее важными, опускай доказательства. (Доказательства можно найти в
■шальных руководствах по синтезу, например в 19[.)
Be. Г перечислены важные для синтеза свойства 2ц. Zls. Уц, Уы. Кя%
которые должны быть выполнены для любого четырехполюсника. В лп. II
рассмотрены те дополнительные свойства, которыми обладают частные
четырехполюсников.
I. Условия, накладываемые на Zu. Zu, Yllf Уи, KB* к Зля есек пасси
четырехполюсников.
А. Должно быть удовлетворено условие вычетов я условие вещест
Б. Условия, которые должны выполняться в полюсах функций:
1) полюсы Zla. У1Я и Кцх.л ве "огут находиться в правой полуплоскости;-
2) у Кцх.х не может быть пвлюса в нуле и в бесконечности:
3) полюсы Zu и Уи на оси /и—простые с вещественнымн значения
вычетов;
4) полюсы Ках-х на оси /со—простые с мнимыми вычетами.
Б. Условня.-которые выполняются в отношения нулей функций: нули Zu,
Kui-ж могут быть кратными и находиться в любой точке плоскости р.
II. Передаточная функция fax.* неуравновешенного четырехполюсника
взаимной индуктивности обладает следующими свойствами:
1) ее нули могут находиться на комплексной плоскости всюду, кроме
жительной вещественной оси; ;
2) при положительных вещественных р величина передаточной функции
дится между 0 н 1;
3) коэффициенты числителя передаточной функции положительны (часть
вил может равняться нулю) я не превышают соответствующих коэффиця
знаменателя при условии, что функцию не сокращают на общий множитель.
III. Свойства'передаточной функции КВил уравновешенных четырехполюсн
1) нули передаточной функции могут находиться в любой точке комплекс
плоскости, включая я положительную вещественную ось;
2) для положительных вещественных р величина передаточной фугас
находится в пределах —1-J-+I. Крайние значения можно получить только '
р=0, или при р=со, или в обоих этих случаях;
3) коэффициенты в числителе передаточной функции могут быть отриц
пыми. не превышая но величине соответствующие коэффициенты знаменателя а-
условии, что функцию не сокращают на общий множитель.
Частным видом четырехполюсника с общим зажимом (неуравиовешенн
является цепная схема.
IV. Передаточная функция цепных схем обладает дополнительным свойством
ее нули не могут находиться п правой полуплоскости.
V- В еще более частном случае—в случее цепной схемы, собранной тол
ьз активных сопротивлений и емкостей,—кущ нередаточнои функция нахса '
только на отрицательной вещественной оси.
для цепных ^^-четырехполюсников нули н полюсы ¥г%_ являются простыми,
расположены на отрицательной вещественной оси и чередуются. Полюсы Уи
располагаются на отрицательной вещественное оси н являются простыми> Нули Уц
иогут быть на отрицательной вещественной оси.
Перейден к вопросу о реализации четырехполюсника по его
заданной передаточной функции, полагая, что она удовлетворяет условиям
физической реализуемости. Существует много различных методов
реализации. В одних методах в основу положена передаточная функция
при холостом ходе четъпрехполюсника, в других —передаточная
функция четырехполюсника, нагруженного на согласованное активное
сопротивление. В последнем случае принято нагрузку брать равной 1 Ом
и называть ее нормализованной.
В одних методах реализации сопротивлеине источника питания
полагают равным нулю, в других—равный заданной величине.
Каждый способ реализации имеет те или иные
ограничения. Так, реализация реактивных
четырехполюсников методом смещения нуля по заданным
У2г и Уы лестничной схемой, нагруженной на
R, может быть осуществлена, если все нули
передаточной функции Ки гаходятсяв левой
полуплоскости.
Более общим, но и более сложным являет- ,, 10 g
ся способ реализации по Дарлингтону по трем
параметрам Za, ZK, Za, позволяющий учесть
внутреннее сопротивление источника, а также способ реализации, в
основе которого лежит представление передаточной функции в виде
произведения передаточных функций нескольких согласованно
нагруженных ч€тьпрехполюсников. Один из этих четырехполюсников ив-
ляется четырехполюсником постоянного затухания, другой
—четырехполюсником фазового сдвига, третий и последующие—минимально-
фазовыми *.
§ 10.8. Синтез четырехполюсников Г-образными /?С-схемамн.
Г-образный четырехполюсник (рис. 10.8) является делителем
напряжения. Его передаточная функция по напряжению при холостом ходе
"■М _ г*(Р> ПО 141
Viip) Zi№+z*{pV l " '
В дальнейшем вместо Z^(p) н Zs(/>) будем писать соответственно
Положим, что с помощью Г-образного четырехголюсника,
состоящего из #С-элементов, требуется реализовать передаточную функцию
по напряжению при. холостом ходе:
t/.C№(0=WAf, (10.15)
где N и М — полиномы по степеням р; N/M удовлетворяет условиям,
которые предъявляются к передаточной функции ЯС-четарехполюсника
(см. § Ю.7).
__ * Для ознакомления с различными способами реализации рекомендуется
обратиться к И и [17]. -
Приравняем иравые части (10.10) и (10.11):
NIM-ZJ^+ZJ.
(10,
Разделим числитель и знаменатель правой части (10.16) на н- .
рый полином Q = Q(p) (не имеет ничего общего с козффйци -
усиления), выбранный таким образом, что он имеет тот же пор -
что н полиномы U и М, а корин его чередуются с корнями *ур .
инй U = 0 и М = 0. Тогда
Из уравнения (10.17) находим Za=U/Q и Z1 = (M—N)/Q. P .
зуем двухполюсники Z2 и 22 по найденным операторным со
тивлениям*. Реализация двухполюсников производится в соответ
с § 10.3 н 10.4.
Аналогично производится синтез Г-образными /&-схемамн. v
§ 10.9. Четырехполюсник для фазовой коррекцин. На рис. I1
изображена симметричная скрещенная схема, состоящая из ч"
реактивных двухполюсников Z\
ZE, на выходе которой вк
активное сопротивление R. П<
жительные направления токш.
напряжений указаны на _ схеме. I
В уравнении Os-\-iaZ1= t~
заменим £/а на /aR и учтем, что /4"
= /0 — /й. Это дает возможн ■
выразить 1Ь через /й: ч '
'* —'• я+Zj-
Подставим tb в /,=/„—/'
Составим уравнение для периферийного контура:
0t = 2Ztla+0a = Ua
Передача напряжения
Ка~ж=
Входной ток
R{Za-ZD
' ft(?14-ZJ+2Z1Zt-
f -I _|_/ _/ gfl+2i+Za
• Предполагаем, что полином Q (p) может быть ьайдеи i
летворяют условиям, перечисленным в § 10.2,
Входное сопротивленне
(, " /, ZR+Zi+Z, '
Приравняв Z„ = Rt получим соотношение ZjZa=R\ Из него
следует, что реактивные сопротивления Zt и Z2 взаимно обратны.
В формулу для Kv подставим Za = R2/Z1:
Kv=j=& = Ku(v>)e'4™. (a)
Так как Zj—чисто реактивное сопротивление., то модули
числителя и знаменателя формулы (а) одинаковы и потому Kv (ю) = 1. При
изменении частоты л> меняется только аргумент ф (<■>).
Четырехполюсник рис. 10.9 служит для фазовой коррекции. С этой целью его
включают между источником питания с внутренним сопротивлением R
и активной нагрузкой R, и он, не изменяя -напряжение источника
питания по модулю, поворачивает его на требуемый угол q>(to) по
фазе, осуществляя этим фазовую коррекцию. Определим Zl из (а) при
нормированной нагрузке R = I Ом:
7 '-^ 7 _'+*Р
По известному Ки(р) найдем операторные сопротивления Zr{p) и
Z-Лр) и реализуем-их методами, рассмотренными в § 10.3—10.5.
§ 10.10. Аппроксимация частотных характеристик. Аппроксимация—это
приближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью,
которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от
нее в допустимых пределах вне
этих точек, давая в то же время 1КШ)}
физически реализуемую функцию.
Например, кривая |КГ0<а)| '
рис. 10-Ш, а—это частотная
характеристика идеального фильтра
НЧ |*</*)! =/<*), где*С{/*)-пе-
рёдаточная функции; х = <о/ше;
*>с—безразмерная величина,
равная частоте среза.
В диапазоне изменения х от 0 до
1 !*(/*) |=1: при *>1 I К</*)1= Рис. 10.10
—0. Пунктирная кривая 1 рис.
•0.10, б повторяет кривую рис. 10.10, а, кривая 2 характеризует гладкую
аппроксимацию, при которой отклонение от кривой 1 неодинаково в диапазоне
аппроксимации Црнвая 8 иллюстрирует равковолиовую аюпроксныацию, при которой
ВДсолютные яначенвя максимальных отклонений от кривой I в обе стороны одн-
йамшы. Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно полиномами Баттерворса,
Равново л новую—полиномами Чебыпгева (Кривые 2, 3 рис. 10.10, б неточны).
Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квад-
Рата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:
-
Принимают, что в
полюсы 1 К (А) |а:
= 1 \КЦх)\ = \(\Г2, откуда m='. Полагая р=/ж,
КЦх)К(-№ =
"КГ
р»_(-1),да,>-е *• . ft=0, 1 п.
Полюсы расположены свмнетрнчно по окружное™ единичного радиуса.
' " ' . - - -- «,л1„. _ -поли
... ffi-~Pa) образуют знаменатель КЦх) и i
Баттерворса. При с
уш
Ч
используют значения рА, щ
щнеся только в левой пол
сти. Это обеспечивает фвэ
теуществныость /f (p). Зава
лннокн при й=1, 2. 3:
крв я=1 (р+1);
при л=2 ps+|/Yp+fe
при л=3 pS-j-Sps+Sp-f-
Задзваясь величиной >
кого -затухания фильтра в
белах (обычно при х=2)
= 10 Ig ({/i/C/*}*. определим /к
' 20lg2
при о=18 дБ /1=18/(20 lg2)=2.98=B3. В расскат
*<Р)=
1
>+2р*+2р+1*
Функцию К (р) реализуют известными методам*.
Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка л 8
в тригонометрической форме:
r„(*)=cosnafccosjt.
Полагая arcoosx=6 и имея в нкду, '
i eosnB=cos"B-
sdn e=V^l—** , получим алгебраическую форму ааписв в?<
Гвег)=*"+С|^-г(«»-1)+С'^^
1 (рве. 10.11. а).
Например, при л=5 Гв(л0=16ж!—20л«+5л:.
В интервале *=0-Ы Т„(*Э колеблется от 1 до -
х> 1 Гл (л) нваотояво возрастает.
Квадрат модуля яормировенпой передаточной функции фильтра НЧ
помощи полиномов Чебышева шшроксимяруют так:
\ктр-
Максимальное отклонение | КЦх) | от 1 равно ^f2:
On» *> '• т- е-в области эвтуяаие* фильтра НЧ,
Примерный вид аппроксимирующей кривой |fC(pO[ показан на рис. 10Л1. С.
для заданного отклонения -j и величины затухания а в децибелах при х=2
fl^20Ig|bfj/Ui,t=a20Ig|,l//CG2)| порядок полинома Чебышева определяют по
n—j^-Arcb ——, гае 1,32-АгсЬ2.
Например, для v=0,4 ■ 0=30 дБ при *=2
Придаваем п=
— "ж «fan елевые* ,^, ,_„_,,, „-.
в \Ш}х}\ х*=рьН н приравняем к нулю
Для составления КШЬ еледуе» вяределнть иолюсы |K(MIS
в левой поауяяоекосте. Подстег ■"■«■-«■ -- -
авакенател» %К (/*> р.
При в=ех=е1 ГяМ=Гж(рг/Л«адт[иссоз^1=>±-^.
При *>1 Г.<*}=Гж(-£^=с1)пДгсп-Е?-.
Так как о*—комадексиое число, те arccos-^-—тоже комплексное число,
которое положим равный cc*4-/pV Тогда
7,n{-^J=cos(№ti+/epV>=co8H»*chePi—/s5nnaish«P([=±://v.
Отсюда
cosnctAcbnpt-^e к shinajiSh«p,A=a±:l/'y'
Так как efcnpi^C, то
сов/ю^О н ай=>(2й-}-1}-п/фв), *=0, I, ..., в-
Прв этом
sinnajt=±l: sh«pft=l/V7 8*=—Arsb I/y.
Поскольку'агссо5(рй/7)=оА+УРл, то
Pfc=«*+/b*=>/CBs(aA.T-/pft).
Действительные и мнимые части полюсов р/,, лежащих в левой полуплоскости;
%=-внЭЛ8п1(2А+1)^, fc^dtPftCM^^1'", ft=S, I и.
Из последней строчки следует, vto
« на эллипсе, он
_. В рассматривавши орнкере пои и =*4 и v=0,4 В*= 0,412, sbBA=0,421;
cnPfc=l,08.
т- с- полюсы вь расположены на эллипсе, одна полуось которого равна sh В*.
ДРУгая-chp,"
Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом sh Щ,?
тую радиусом ch R^ (рис. 10.12) и через начало координат проводин пв* ~
пересечения с окружностями под углами а*=(2А-т-1)(п/2л), где- к=*0, 1, ..„'
В примере ацяв22.3; 67; 111; 156°.
Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса проводин
тикали а из точек пересечения с окружностью большего радиуса—горна
Точки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей в левой в>
плоскости дают искомые полюсы. В примере ft^=—0,16Ч_±/0,995; , р"
=—0,388 ±/0,416. Нормированная передаточная функция -'.
KW-
(Р-Ро) (Р-Ро) (P-Pi) ft»-А) Цр+0.1ь4)»+0.993>Н(р-т-0,38в)»-Н1.4..
По К (р) определяют схему и ее нормированные параметры LB. Св. Для. ~
хода от нормированных к действительным параметрам L, С пользуются ср>.
игеннянн L=L,JiutL и С=^£^,/шс.
Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует i'
предпочтение, зависит не только от стоимости и от габаритов при пракл- -
осуществлении схемы, но и от того, иас
ко фазочастотные характеристики получат-*'
ся четырехполюсников удовлетворяют IK-."
ленной задаче. «-
В заключение отметим, что нормис' "
распространяется ие только на передел <
функцию четырехполюсника, но и на др\
функции, в честности на входное сопро _
ние или проводимость двухполюсников.
Если аппроксниируют на передгто*.
функцию, а входное сопротивление (прю
сть) некоторого двухполюсника, то оно о-
нормнруется не только но частоте ю0, но „.
величине. При нормировании Z(p) по .. ->'
не входное сопротивление (проводимость) ^
на некоторую безразмерную величину Нщ
При переходе от схемы, реамщющй
рованное сопротивление Z„ (ее параметры-
£н. Св н частота х), к той же схеме, но с ненормированными парамаг
(ее сопротивление Z. а параметры R, L, С) последние определяют, жа
Z R , jiaL ,
венно сопоставив почленно одинаковые слагаемые у ~в-—~в—г-к—г i
. У Z.-R.+I.L.+^L- (,_i). 'J
Получим R=RJt1h I.=I.B(—), С«С^/(Адш«); а,,—величина беэразме-■
Рис. 10.12
Вопросы для самопроверки
1. Определите задачи синтеза, перечислите условия, которым должны
летворять Z (р) физически реализуемых двухполюсников. 2- Поясните идею
лизации двухполюсников лестничной схемой. Покажите, как следует упорядоч *
определять ее элементы. Любое ли Z (р) может быть реализовано лести
схемой? 3. Как осуществить оеализацню путем последовательного выд
простейших составляющих? 4. В чем идея реализации методом Бруне? Б. К
четырехполюсник называют минимально-фазовым? 6. Запишите условия вь. .
и условие вещественной части для Z-параметров. 7. В чем состоит задача шл
симзции н как она решается? 8. Как от нормированных параметров не;
и. задавшись некоторыми ffo и с^? 9. Решить задачи 12.%'
к ненормированным, задавшись f
12.7; 12.10- 12.14; 12.17; 12.28.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
УСТАНОВИВШИЕСЯ ПЮЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
И МАГНИТНЫХ ЦЕПЯХ, СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ
С РАСПРЕДЕЛЕМШМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 11.1. Основные определения. В данной главе рассмотрены
основы теории установившихся процессов в электрических и
магнитных цепях, содержащих линии с распределенными параметрами.
Электрическими линиями с распределенными параметрами
называют такие линии, в которых для одного и того же момента времени
ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной
точки (сечения) линии к другой, соседней точке.
Под магнитными линиями с распределенными параметрами
понимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль
которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии
к соседней.
Эффект непрерывного изменения тока (потока) и электрического
(магнитного) напряжения вдоль линии имеет место вследствие того,
что линии обладают распределенными продольными и поперечными
сопротивлениями (рис. 11.1, с).
а) * в)
Рис. 11.1
На схеме рис. 11.1. о изображен участок линия с
распределенными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент
ДЛИНЫ ЛИНИИ.
Сопротивления Z„ Z2, ZB, '.. называют продольными
сопротивлениями, в них включены сопротивления и прямого, н обратного
проводов; сопротивления Zt, Z6t Ze, ... называют поперечными
сопротивлениями.
В результате утечки тока через сопротивление Z4 ток 1%Фн.
Аналогично, ток is^=ia и т. д. Напряжение между точками а и Ь
ие равно напряжению между точками с и d и т. д.
В электрических линиях с распределенными параметрами
продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов
линии и индуктивносгями двух противостоящих друг другу участков
линии длиной dx. Поперечные сопротивления состоят из
сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между^
проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг"
10 Зав. 1653 £59
другу элементами (участками) линии. В магнитных линиях с "
пределенными параметрами продольные сопротивления предст. -. -•
собой магнитные сопротивления самих магнитных стержней, образ '_
щих магнитную линию, а поперечные соаротивлення обусд* -
утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими д<"
другу участками линии.
Линию с распределенными параметрами называют однородной., ■ ■■
равны друг другу все продольные сопротивления участков лвд, '
одинаковой длины и если равны друг другу все поперечные со >■
тивления участков линии одинаковой длины. Так, участок f
рнс, ИЛ, а однороден, если ZI = ZS=ZS= ... и Zt = ^=Ze.
Линию с распределенными параметрами называют неодноч'
если продольные сопротивления в неб. различны или попе < --
сопротивления неодинаковы.
Кроме того, линии с распределенными параметрами можно ■■
разделить на две большие группы: нелинейные и линейные.
В нелинейных линиях с распределенными параметрами про и <-
и (или) поперечные сопротивления являются функциями прот- - -'
по ним токов, в линейных продольные а поперечные сопроти
не являются функциями протекающих через них токов, .,
В качестве примера нелинейной электрической линии с распр_\
ленными параметрами можно назвать электрическую линию перед,
высокого напряжения при наличии между проводами линии тих<
электрического разряда — явление короны на проводах. В этом
чве емкость между противостоящим» друг другу участками ли ■■
является функцией напряжения между этими участками.
В качестве примера нелинейной магнитной линии с распред
ними параметрами можно назвать линию, образованную параллел '
расположенными магнитными"сердечниками, которые в процессе р •» •.
линии могут насыщаться.
Когда говорят о линии & распределенными параметрами, то об. ■<
этот термин мысленно связывают с мощными линиями передачи эл-
трической энергии на большие расстояния, с телефонными ителегр.
ными воздушными и кабельными линиями^ с рельсовыми лини
автоблокировки на железнодорожном транспорте, с антеннами в '
диотехнике и другими родственными линиями и установками.
В то же время с линиями с распределенными параметрами
дело и тогда, когда «линии» в буквальном смысле слова, казалось •-
вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно :. -
ких частотах представляет собой линию с распределенными пар.' -
рами. Картина электрического и магнитного полей катушки показа
парне. 11.1,6. Линии напряженности электрического поля £ п« *
заны пунктиром, линии напряженности магнитного поляг И— с ■>
нымн линиями.
Схема замещения катушки показана на psre, H.l.e. Из рису
видно, что кроме гащуктивносгей в схеме есть межвитковые емк>"
и емкости на корпус прибора (на землю).
Если по катушке проходит переменный ток, то через меже
вые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и
же напряжении между соседними витками ток через емкости тем
больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте
(десятки, сотни, тысячи герц} ток через емкости несоизмеримо мал по
сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно
„е учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота
тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через
емкости могут во много раз -превышать токи через витки катушки.
g этом случае вся катушка в целом-будет оказывать прохождению
переменного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление
(количественные изменения перешли в качественные). При промежуточных
частотах порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры
катушки соизмеримы с длиной волны) индуктивная катушка является
типичной линией с распределенными параметрами. Если индуктивная
катушка намотана на стальной сердечник, который способен
насыщаться и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом
представляет собой сложную совокупность из электрической н
магнитной нелинейных цепей с распределенными параметрами.
В курсе ТОЭ изучают только основы однородных линейных цепей
с распределенными параметрами. Вся теория излагается применительно
к электрическим линиям с распределенными параметрами на
переменном токе. Теория однородных линейных электрических цепей с
распределенными параметрами на постоянном токе непосредственно
следует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту
равной нулю.
Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном
токе в значительной мере аналогична теории однородных линейных
электрических линий с распределенными параметрами, только вместо
тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, вместо
электрического напряжения
—магнитное напряжение, вместо
продольного активного сопротивления —
продольное магнитное
сопротивление, вместо поперечной
электрической проводимости — поперечная
магнитная проводимость.
§ [1.2. Составление
дифференциальных уравнения для
однородной линии с распределенными
параметрами. Пусть R0 — продольное
активное сопротивление единицы
длины линии; L0 — индуктивность
единицы длины линии; С0 —емкость единицы длины линии; Gfl —
поперечная -проводимость единицы длины линии. Поперечная
проводимость G0 не является обратной величиной продольного
сопротивления Ва.
Разобьем линию на участки длиной dx (рис. 11.2), где
*—расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное
«противление равно Radx, индуктивность—L0dx, Тфоводимость
утечки—G0dx и емкость^-Cedx. Обозначим ток в начале р. ~\
ваемого участка линии через» и напряжение между проводами "
в начале участка и. И ток, и напряжение являются в общем ел
функциями расстояния вдоль линии х и времени t. Поэтому в .
иейшем в уравнениях использованы частные производные от ы и,
времени t и расстоянию х.
Если для некоторого момента времени t ток в начале рассм <_
ваемого участка равен (, то^ в результате утечки через ноле ■
элемент ток в койце участка для того же момента времени >.
i-\—^-dx, где -^—скорость изменения то_ка в направлеиии х.
рость, умноженная на расстояние dx, является приращением той
пути dx.
Аналогично, если напряжение в начале участка и, то в к>.
участка для того же момента времени напряжение равно ч-\—^
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замк ^
контура, образованного участком, линии --длиной dx, обойдя ertf»
часовой стрелке:
~u+Pvdxi + L0dx^+u-\-^dx=Q.
После упрощения и деления уравнения на dx получим
Пр первому закону Кирхгофа;
i = di+i + ^dx. (It
Ток di (рис, 11.2) равен сумме токов, проходящих через прово
мость G0dx и емкость C0dx:
di-(u+^dx)G0dx+-§rCodx(u+^dx).
Пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, тогда
di^uG0dx+Codx-~. (lC
Подставим (11.3) в (11.2), упростим и поделим уравнение на -
-£-<*+*•*■ ("^
Уравнения (11.1) и (11.4) являются основными дифференциальн ■
уравнениями для линии с распределенными параметрами.
§ 11.3. Решение уравнений линии с распределенными пар -
рами при установившемся синусоидальном процессе. Пусть нап^
жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону '
времени. Воспользуемся символическим методом.
Изображение тока
i = Im sin («af -f- q>,) -»- /е"*,
где / = /те/ф'/]^.
Изображение напряжения
и = Um sin (at+q>„) -*■ йе/ш.
где C = U^SVb}
Комплексы Out являются функциями расстояния' х, но не
являются функциями времени. Множитель р®1 есть функция времени t,
но не зависит от х.
Представление изображений тока и напряжения в виде
произведения двух множителей, из которых один является функцией только jc,
а другой — функцией только /, дает возможность перейти от
уравнений в частных лроизводных [уравнений (ИЛ) и (11.4)] к уравнениям
в простых производных. Действительно,
1»§-*1»/-are"*-'<,)t«/e"*:
<1',5)
~ 1
С,,|^/шС„£/е<"<, J
Подставим (11.5) и (Н.6) в (ИЛ) и (11.4), сократив в
полученных уравнениях множитель еР":
-fdU/dx-ZJ; (11.7)
fXlI/dx-YJO; (I1.8)
где
4-J?.+/Ki.; (11.9)
Vo*e,,+/ioC„. (u.id)
Решим систему -уравнений (11,7) и (11.8) относительно О. С этой
Целью продифференцируем (11.7) по х:
ST ."Ж- <lul)
В (11.11) вместо -у- подставим правую часть уравнения (11.8):
fj-зд^. (U.12)
Ургвнение (11,12) представляет собой линейное дифференциальное
Уравнение второго порядка. Его решение':
О^А&т+'Ар-У*. (11.13)-
Комплексные числа Аг и At есть постоянные интегрирования,
которые ь дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или
Через напряжение и ток в конце линии.
Комплекснсе число
v-уад air
принято называть постоянной распространения', его можно пре-
вить в виде
V=a+#, (11.
где а — коэффициент затухания [характеризует затухание иад ■
волны на единицу длины линии, скажем, на I м (киЦ; £ — - •
циент фазы,; он характеризует изменение фазы яадзюадгй волки
единицу длины линии [на 1 м (км)}:
Ток / найдем из уравнения (11.7):
f 1 dQ _ А^Г**—АдЦ-Е* ,.r
Отношение Z0/y = Z0/\rZ0Y№=}/ ZJY^ имеющее размерность
противления, обозначают ZB и называют волновым сопротивление
в Г yf Г еи-1&ъ в ' 1
где z„ — модуль; q>B — аргумент волнового сопротивления ZB.
Следовательно,
/=|»е^-|^е**. (И.
§ 11.4. Постоянная распространения и делкмвг сопротивление. Как гов
лось ранее, постоянная распространения '_
Для линии постоянного тока ю=0н потому
y=VR&. (1U
Для линии синусоидального тек* без потерь (fi0=G0=0)
Запишем формулы для приближенного определения В в се в линия с м
потерями, когда (i4>/oLo)< 1 и {C/g/uCoXt. С этой целью перепишем
мулу (11.18) следующим образом:
*-«^('-'£Г (•-!*)" _
и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда {т'
воспользуемся соотношением У(+х яа I+(.k/2$. Получим
рассмотрим вопрос о «ошавом еопрвшююнии. Для постоянного тока («=0)
яз (11-17) следует, дао
2B=V"J?JG0. (11.23)
Для лнввн сияусоязалыюго тока без лоща. {8Л=*Я11=Щ
2В=УЦ/СГ. (11.23а)
Для линии сввусоидадшрго кокя е «алыда вотерая!, когда
=Ь<' ■ &<'■
*.^[,.„ (-£-+,§,)].
§ 11.5. Формулы для определения комплексов напряжения и тока
в любой точке дияяи через .комплексы напряжения н тока в начале
линии. Как н раньше, через х будем обозначать расстояние «и1 начала
линии до текущей точки на ней.
Пусть в начале лдаии при х = 0 напряжение Сг и ток /^
Составим уравнения для определения постоянных Л, и А% через Ut н 11ш
Из (11.13) в (11.16') ся&д/ет (х = 0):
0*«=A+^w (11.25)
/А-А.-Л- С11-26>
Для определения Д ш <И.2Й) вычта» i(HJS6J;
Дд =С,5(б, - Мн) - *V*; О' -27)
■ 4=И9£0Н-/,2^-Л#'Ч 01-28)
где ylj — модуль, Фл — аргумент комплекса Ац Ах — модуль, t£„ —
аргумент* комплекса Ая.
Подставим (1127) я <11.2ф в (1U3):
Введем гиперболические функции. Известно, что
chх = 0,5(е1+(г*), sh дг= 0,5(е* — е*).
Поэтому
©.Б^+е-т*)—eh**; ' ,__ (H.29)
0,5 (ev* - е-"") = sh ух. (II.30)
Следовательно,
6 = Githyx—IlZmAiyx. (11.31)
Аналогичные преобразования, примененные к (11.16), дают
j^^cbyx——^fihv*. (11.32)
, * Индексы «о» и №»—ншальные буквы слов «отраженная! в «падающая*
1»олны), см. § 11.8,
Формулы (11.31) и (11.32) позволяют найти комплексы
капания и тока в точке линии, расположенной на расстоянии jc'V
Рис. 11.3
Следует иметь в виду, что аргументом гиперболических функ'
в этих формулах является комплексное число ух = а,х + $х.
§ 11.6. Графическая интерпретация гиперболических сии .*
косинуса от комплексного аргумента. Гиперболические фуик
комплексного аргумента сами являются комплексами и могут' ■
изображены векторами на ко .
ной плоскости.
Заменим ух в уравнениях (1-
и (11.30) иашг+/Рх:
ch.y.* =>^ (е*хе®х+*гахе-'*
shf* => ^ (е<"е#Л r e-^e-Л»
По таблицам показа .'
функций найдем значения е**
и на комплексной плоскости" ,-
11.3) отложим векторы е°* -
е-охе-/рл_ Первый из них по модулю равен е°х и по отношению к1
действительных значений повернут на угол (к против часовой стр
второй по модулю е-*" и по отношению к сен -действительных _
ченнй повернут на угол (к по часовой стрелке.
Гиперболический косинус равен полусумме этих векторов, а г
болический синус—их полуразности.
§ 11.7. Формулы для определения напряжения и тока в
точке линии через комплексы напряжения н тока в конце ли
Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца ли
а длину всей линии (рис. 11.4) /:
</-'-*• О,
Пусть известны напряжение, и ток в Конце линии Ь\ и /я.
ставим в (11.13) и ([[.I6') х = 1, О=*0г, / = /а и составим два'
нения для определения постоянных интегрирования Ак и Ла:
/„Z^A^e-V-y^e?1. ~
Отсюда
Если подставить (11.34) в (11.13) и (11.16% заменить 1-х на у
й перейти к гиперболическим функциям, то получим:
0 = 0^сЬуу+1агв^1уу; (11.35)
1 = ^1&уу + 1гсЪуу. (11.36)
Зная Os и /в с помощью формул (11.35) и (11.35), можно найти
комплексы напряжения и тока л точке, находящейся на расстоянии у
от конца линии.
§ 11.8 Падающие и отраженные волны в линии. Подставим в
формулу (U.13) ^е"*"0 вместо А1г А^^а вместо As [см. (11.34)] и,
заменив у на ct-j-jfj, получим
O^Ale"^<*-<f',+A^°"^-'t'>. (11-37') .
Аналогичную операцию проделаем с формулой (11.16'), причем
в дополнение заменив ZB на гве/<Ря [см. формулу (11.17)]:
/ Ае^^^ + ^е^'Л^. (11.38')
Для перехода от комплексов напряжения н тока к функциям
времени умножим правые части формул (11.37') и (11.38') на ]/2е'а'
и от произведений возьмем мнимую часть:
w=>41j/2ea'sinM + ^0 + Bjf)+>4Bj/2e^sin(ft)f+^n-Bjf); (11.37)
■ l=r-^->/2e^sin((oZ + if9+Bjf-q)B) +
+ -^^e-"sinH+^n-Bjf-4.B). (11.38)
Падающей электромагнитной, волной называют процесс перемещения
электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от источника
энергии к приемнику, т. е. в
нашем случае в направлении уве- /
личения координаты х.
Электромагнитное состояние
определяется совокупностью
электрического и магнитного полей.
Падающая волна, распростра- _
кяясь от источника энергии к
приемнику, несет энергию,
заключенную в ее электрическом
и магнитном полях.
Отраженной электромагнитной волной называют процесс
перемещения электромагнитного состояния (электромагнитной волны) от
приемника к источнику энергия, т. е. в нашем случае в сторону
Уменьшения координаты х.
Падающая электромагнитная волна образована падающей волной
"Спряжения [второе слагаемое формулы (11.37)] н падающей волной
Мчало
яати
* , 1 $ -
Рис. 11.4
*^ fZAje-01*
С- * „
-
-^
X
$Zr.
■тока {второе слагаемое формулы {UJ38J]. Отраженная эдект
ная волна образована отраженной волной напряжения [первое
гаемое формулы (11.37)] и отраж ■
волной тока [первое слагаемое форму"
(11.38)].
Знак минус у отраженной волны
ка свидетельствует о том, что ■."
энергии, который несет с собой охр
ная электромагнитная волна, д
в- обратном направлении по сравн "i
с потоком энергии, который несет е;
бой падающая волна.
Каждая компонента падающей
р 11 с ны (волна напряжения или волна"
ис' ' ка) представляет собой синусоид
колебание, амплитуда которого
шается по мере роста х (множитель е-**), а аргумент является ф'
циен времени и координаты х.
Каждая компонента отраженной электромагнитной волны
тухает по мере продвижения волны от конца линии к началу (м
житель епл;). физически эффект
уменьшения амплитуд падающей
«отраженной вола по «ере их продвижения
по линия объясняется наличием
потерь в линии, ^^^^
На рис. 11.5 изображены графики ^^^ "^^ШШ^^^
распределения падающей волны напря- . ^И^
женин вдоль линии (в функции х) для *~—-^^
двух смежных моментов времени: tt и
'а?>^1- Падающая волна раепростра- р и 6
ня'ется слева направо. При построении ис- "
принято fofj+*„=<).
На рис. 11.6 представлены графики распределения отраж
волны напряжения для двух смежных моментов времени: 1г и 41>
Отраженная волна распространяется справа налево.
§ 11.9. Коэффициент отражения. Отношение напряжения
женной волны в конце линии к напряжению падающей водны в к
линии называют коэффициентом отражения по напряжению и
начают /С„. В соответствии с формулой (11.34)
А&у1 _ z„— 2„
" A&-V1 " z„-f 2В ' ;
При согласованной нагрузке /Со = 0, -при холостом ходе К„
Коэффициент отражения по току Ki л„.
§ 11.10. Фазовая скорость. Фазовой скоростью »ф называют
рость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблю
одну и ту же фазу колебания, или иначе: фазовая скорость —
Ли-
скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния. Если
Лаза падающей волны напряжения неизменна, то й соответствии с
формулой (И-37)
J erf + фп—рж=const.
Возьмем производную по времени от обеих частей последнего
А(шг-гЧ,п-Р*>=е. или »-p^ = 0L
Отсюда
Оф = (/лг/£Г/=(й/Р.
Пример 116. Найти фазовую скорость для воэдуишой двухпроводной
линии с малыми потерями.
Решение. Из формулы (11.22 а) следует, что р = а У LaC0. Поэтому
Н=ч/Ъ-ЦУЦ&. (U.39)
Индуктивность едшицы длины двухпроводной воздушной линии
[см. формулу (2.10)]
где ц0—магнитная постоянная; d—расстояние между осями проводов;
г—радиус каждого провода.
Емкость единицы длины воздушной двухпроводной линии [см.
формулу (19.43Й
C0=-p"fe~T-, где eft—электрическая постоянная.
Фазовая скорость
§ И.ft. Длина волны. Под длиной волны К понимают расстояние,
на которое распространяется волна за один период Т=1ф
%=vT = vll (11.40)
Пример 117, Найти длину злектг*омагнитной волны при / = 50 н
50 10s Гц.
Решение. При / = 50 Гц
При /=50-10еГцЯ = 6м.
§ 11.12. Линия без искажений. Линия бея искажений представляет
собой линию, вдоль которой волны всех частот распространяются
с одинаково» фазовой скоростью н затухают в равной стененн.
При движении электромагнитной волны по линия без искажений
Болны напряжении и тока уменьшаются по амплитуде, но формы волн
напряжения в конце и начале линии подобны: точно так же гак
формы волн тока в начале и конце линии. , }•
Неиекажающие линии находят применение в телефонии. При ' •
фонном разговоре по таким линиям не искажается тембр голоса,^
не искажается спектральный состав голоса. ? ■'-
Для того чтобы линия Выла неискажающен, коэффициент зату
ния а и фазовая скорость оф не должны зависеть от частоты; а и
не зависят от частоты, если между параметрами линии имеет . -^
следующее соотношение:
R0/U=G0/C0. (ri;;.
Для сокращения записи обозначим /?(/^о==Св/С0=/г. По от Г
лению, у = а -+■ /р — YZfXw Но ч
Z0 = Re-\- jv>L0 = to (ft -f /a.);
K0 = G0+/«C0 = C0(ft + /o));
у = (к + МУЩ>- f.
Следовательно,
a=k ущ,=Vra>; n"f
Из формул (11.42) и (11.43) следует, что коэффициент затухаин
и фазовая скорость рф в линии без искажений действительно не ■":•'
сят от частоты. „
В линии без искажений волновое сопротивление
является действительным числом и также не зависит от частоты. ч
Чтобы убедиться, что форма волны напряжения в конце линии и» naflHit-'
подобна форме волны напряжения в начале линии «j, .возьмем напряженнее
входе линии в виде суммы двух синусоидальны*; колебаний, одно из капоры»
частоту ю, а другое 2©, и составим выражение для-щ. Пусть
«!=£/,-„ sin (af+*])+&** sin <2©Н-*ь). ■
Так как для линии без искажения коэффициент затухания а. не эави
частоты [см. формулу (11.42)1, то амплитуды Обоих колебаний на расстоян ■
уменьшаются в одинаковой степени и. становятся рввнымн Ui^/T*" я !/„,
Для линии без искажения жоэффициенг фазы р прямо пропорционален част ■
поэтому для частоты 2© коэффициент р в два раза больше, чем для част ■ .
Следовательно, мгновенное значение напряжения в .конце линии
ti2=Uim<r*' sin («i+^i-pTH-f/^e-a'sm <2arf-f 1^-20/)=
-I4^*[«(l-|)+ft] + I/rfH*-n[s»(l-^.)+1,]. \
Вынесем e~aI за скобку и .обозначим время /-т-Е- черед я:- Получим f.
" Wim Л^+ад+йцЛ (2шЛ-ад.
Если сопоставить последнее выражение с выражением для щ, то можно еде-
лать вывод, что напряжение в конце линии имеет ту же форму, что я напряжение
в начале линии. Однако _ово уменьшено по амплитуде за счет затухания я
смещено во времени на $11в>=1$Оф —на время движения волны по линии длиной /.
§ 11.13, Согласованная нагрузка. Линия с распределенными
параметрами, как правило, служит в качестве промежуточного звена между
источником энергии и нагрузкой.
Обозначим сопротивление нагрузки Z2(Za=tfs//a). Если ZU^=Z9,
то падающая волна частично пройдет в нагрузку, частично отразится
от нее (возникает отраженная волна).. Часто берут Za = ZB. Такую
нагрузку назьшают Согласованной; при ней отраженная волна
отсутствует. В этом можно убедиться с помощью формулы (11.34).
Действительно, отраженная волна отсутствует, так как Ах = 0:
Л, _ 0,5 (tfa - l^ZJ г* = 0,5 (Ол - 0^ е-*1 = 0.
§ 11.14. Определение напряжения и тока при согласованной
нагрузке. Чтобы получать формулы для определения напряжения и
тока в любой точке, удаленной от конца линии на расстояние у,
в формулы (11.35) и (11.36) вместо ZB подставим Z3, заменим /EZ3Ha
0ъ и UsfZ* на /а. Получим:
0 =- Ой (ch уу+ sh yy) = dp™-, - (11.44)
/ = /и (ch yji+ sh yy) = /ве™. (11.45)
В начале линии ери у = 1
Ох=0^'=и^'ё1'^';
где £/а^модуль, a ipUt аргумент комплекса (?а; /а —модуль, a yi,
аргумент комплекса /а.
§ 11.15. Коэффициент полезного действия линии передачи при
согласованной нагрузке. Коэффициент полезного действия линии
передачи равен отношению активной мощности в конце линии Я2 к
активной мощности в начале линии Р^:
Рв=*Уя cos (фу, — <р, J = £/в/а cos у,,
где фв —аргумент волнового сопротивления Zv
При согласованной нагрузке угол между Ь\ и /j также равен qj„
поэтому в соответствии с формулами (11.46)
Л га U\h cos 4>в = VJd?*1 cos «)„.
Следовательно,
Ч = Р^Л-е*1 (11.47)
§ 11.16. Входное сопротивление нагруженной лшжн. На рис. 11.7
изображена схема, состоящая из источника напряжения Ог, линии
с распределенными параметрами длиной / и нагрузки 2^. Входное
(11.46)
сопротивление Z^^tt^. В формула» (11.35} и (11.3% вместо^
подставим I и заметим £/"а на Уагг, Получим
или
Если нагрузка еоглаеовааа (г.. е. Д»=<2в>, то из (11.48) следуя^
что входное овяроянваенве равно воянавему:
7 _ гд fcl1 yt+& ТО у ■
§ 11.17. Определение напряжения' н тмга в- линии без похерь*
Строго говоря, линий без потерь не сумм^
ствует. Однако- можно создать линию е
п
малыми потерями (с очень малыми JP„ вб§,
-£ по сравнению с rot^ » «Со евозветственвЕ^-'
.— _ . ,гт. и раепдостреиить иа нее теорию линий'
\j\Uj ^г\\\^г без потерь. --
~*^' Т Из предыдущего [см. формулу (11.20)k-
. I известно, что' если Д, = Сд,= СЦ. да -4'
Рис. 11.7 v~°+/P — faV LaC(„
т. е. коэффициент затухания а= 0, а коэффициент фазы р = е>1/Х0С(Г
При этом волновое сопротивление ZB = \rLo/C0 является чисто \
активным feM. формулу (11.23 аД1
Для определения напряжения О и тока I в любой точке линии
обратимся к формулам (11.35) и (11.36):
l = -£shyy-f-l2v&yg.
Учтем, что уу^(а.+ №у = ф + $)у=1№.
Гиперболический косинус or мнимого аржумшга/у ртек круговому -
ихняусу ©г аргумента х:
ch jx = 0,5 (е**-j-е-'*) = 0,5 (cos х+j sin x -J- cos Jt—/ sin x) = cos л:.
Следовательно, cbyy=cbjPy=cospy.
Гиперболический синус от аргумента jx равен круговому синусу -
гг аргумента л:, умноженному на /:
sh/r=0,5(e*" —e^ = 0,5(cosjc+/sm.* —cosx-f-jsinxj^/smji:,,
Следовательно, shi'.J:=sh/pV=jswip,y,
Поэтому дня лишен без потерь формулы (H.3S) ж (33,33.) пере*
вашем следующем образом:
0~Us<cQS$y+jJ1&lsm$y; (11.35')
4 /=/-^-6inpif+i,«ospi/. (il.36')
§ 11.18, Входное сопротивление линии без потерь при холостом
ходе. При холостом ходе '/я=0. Поэтому
Исследуем характер изменения ^«.в ври изменении расстояния у
от конца линии до текущей точки на вей.
В интервале значений р$ «т 0 до я/2 Igfe изменяется от 0 до оо,
поэтому Z^I-r имеет емкостный характер (множитель—/) и по модулю
изменяекйот яэ до GifpHc, .H.8,aafc.
На рис. 11.8, а расположение
кривой выше оси абсцисс соответ-
ствуетмцгуктивионуха^ратдеруреак- дЛ |я- я\ s
тивного сопротивления линиих,ни- tt' —' ^-' 1—^=»^—
же оси—еикостному. В'интервале
значений р*у от я/2 до я lg ру
отрицателен и изменяется от —то
до 0, поэтому £вх*л изменяется во
модулю от 0 до оо и имеет
индуктивный характер (множитель -J-/)
и т. д.
Таким образом, изменяя длину
отрезка линии без потерь, можно **ис. 11.8
имитировать емкостное и
индуктивное сопротивления любой величины. Практически это свойство
используют ври высокой вааоте в различных радаотеишческих
установках.
§ 11.Id. Входное сопротивление линии £ез потерь при коротком
замыкании иа конце линии. При коротком замыкании на конце линии
(Уг=0« из формул (11.35') и (11.36') следует, что входное-сопротивление
-ZBIE.e = /ZBtgpi/ = jl/I^EetgpV. (П-50)
где р=«^£^А.
Будем менять длину отрезка линии у и исследуем характер
изменения входного сопротивления.
В интервале значений фу от 0 до я/2 4§Й/ положителен и
изменяется от 0 да оо, еявдшигельйо, & этом интервале входное
сопротивление имеет лядуктиввин характер и raj модула© язяеннеяся от О да оо
(рис. 11.8, б).
'ТТ
- В интервале Ру от я/2 до я входное сопротивление имеет емк
характер и изменяется по модулю от то до 0 (в точке ру=я/2 tg >
скачком изменяется от + со до — то).
Таким образом, изменяя длину отрезка короткозамкнутой иа коиц'
линии, также можно создавать различные по величине индуктивны'
и емкостные сопротивления. Отрезок короткозамкнутой на конце лини -
без потерь длиной в четверть длины волны теоретически имеет входное'
сопротивление, равное бесконечности. Это позволяет применять его пр '■
подвеске проводов в качестве изолятора,
§ 11.20. Входное сопротивление линии без потерь при реактивно*
нагрузке. Определим входное сопротивление линии без потерь при
чисто реактивной нагрузке Z„ = jXB (в § 11.20 а заменить на Р):
^ г.смау+у.^щ /*.<»-4'е<"'-|"Й '
cma.y+i-~-f&na.y cmu.y\\+i-^-tgay\
Обозначим — jZjZB=*tgv и учтем, что tg(ay +v)- (*1 tg^'tgv/
Получим v
т. е. входное сопротивление изменяется по тангенсоиде, начало которой -"
смещено иа угол v.
При индуктивной нагрузке
при емкостной
§ 11.21. Определение стоячих электромагнитных волн. В линиях-
без потерь при холостом ходе, коротком замыкании, а также при чисто,
реактивных нагрузках возникают стоячие электромапгитиые волны.:
Стоячая электромагнитная водна представляет собой электромаг, j
■нитную волну, полученную- в результате наложения движущихся
навстречу падающей и отраженной электромагнитных волн одинаковой-1
интенсивности. *
Стоячая электромагнитная волна образована стоячими волнами '.*
напряжения и тока. Математически такие волны описываются
произведением двух периодических (в нашем случае — тригонометрических)'
функций. Одна из них —функция координаты текущей точки на лии
(в нашем случае Ру), другая—функция времени (at). Стоячие волн
напряжения и тика всегда сдвинуты по отношению друг к дру
в пространстве и во времени.
Сдвиг во времени между стоячими волнами напряжения и токч.'Ц
равен 90°, сдвиг в пространстве—четверти длины волны [см. форму-Jl
лы (11,52') и (И.53'), (11.54') и (11,55*)]. Ж
Точки линии, где периодическая функция координаты проходит
через нуль, называют узлами, а точки линии, в которых периодическая
функция координаты
принимает максимальные значения,
— пучностями.
При возникновении
стоячих волн электромагнитная
энергия от начала к концу
линии не передается. Однако
на каждом отрезке линии,
равном четверти длины
волны, запасена некоторая
электромагнитная энергия.
Эта энергия периодически
переходит из одного вида
(энергии электрического поля)
в другой (энергию магнитного
поля). -
В моменты времени, когда
ток вдоль всей линии
оказывается равным нулю, а
напряжение достигает максималь- "
ного значения, вся энергия рис. ц.д
переходит в энергию
электрического поля.
В моменты времени, когда напряжение вдоль всей линии равно
нулю, а ток достигает максимального значения, вся энергия переходит
в энергию магнитного поля.
§ 11.22. Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе
линии. Из формул (1L36') "и (11.35') следует, что при холостом ходе
tf=tfacosfe/; ' (H.52)
_.г Л
KVCf
: Sin (it/.
(11.53)
Для перехода к функциям времени умножим правые части формул
(11.52) и (11.53) на \Г2&Ш и от полученных произведений возьмем
мнимые части:
и = V2 Vxcos pysmat; (l 1.52')
_ V2 Ut
sin Py sin (mt -j- 90°).
(11.53')
Угол 90° в аргументе у синуса в формуле (11.53') соответствует
множителю j в формуле (11.53).
В точках py*=kn, где ft = 0, 1, 2, ..., будут узлы тока и пучности
напряжения.
График стоячик воля напряжения и тока для трех смежных
моментов времени 0^=0, <о?2 = я/2 и cof3=-^n показан на рис. U.lfc-o—
напряжения, б —тока. Сплошными линиями обозначена волна при
<i)f, = 0, тонкими—при *oiB = n/2, пунктирными — при «rfs^-j п Я^я
напряжения и при Ыа=я для тока.
§ 11.23. Стоячие волны в лкнии без потерь при коротком
замыкании иа конце линии. Из формул (11.35*) и (J 1.36*) следует, что при
коротком замыкании на конце линии
O = i^VLjC0%mf,y, (11.54)
/ = /Bcosf& (11.55)
Для перехода К мгновенным значениям умножим правые чести
формул (11.54) н (11.55) на ^2&ш и от произведений возьмем
мнимые части:
s=V2 /aj/Z^sinpi/s«st(Krf-r-SG0fc <H.54')
i =>r2/ecosp^s«iiai. <1IJ>5')
В правой части формулы (11.54')—в формуяе для напряжения —
есть множитель sin p^sin (of+90°), как ив формуле (11.53') для тока/.
Следовательно, картина стоячей волны напряжения spa жорояжом
замыкании на конце лимим качесшенно повторяет картину стоячей
волны тока при холостом ходе линии.
Аналогично, картина стоячей волны тока в короткозамкиутой
липни качественно повторяет картину стоячей волны нанфянвення при
холостом ходе линии.
§ 11.24. Четвертьволновый трансформатор. Для согласования линии
без потерь, имеющей волновое сопротивление ZBlt с активной
нагрузкой £„ = #н ^ 2б1 применяют чеедертьвалновый трансформатор (ЧВТ).
Он представляет собой отрезок линия без потерь длиной в четверть
волны Л/4 с волновым сопротивлением Zs&, Сопротивление ZM
рассчитывают так, чтобы входное сопротивление в схеме рис. 11.9, в по
отношению к точкам а и Ь оказалось равным ZBl {при этом на линии
с ZBl не будет .отраженных волн, следовательно, не будет и потерь
анергии от них):
7 fiHcos90°+/ZBZan90° ZJi _7
^вхой— Б — ~Б Ад*
Отсади 2ва*УВД*.
На линии с ZB3 есть и падающие и ■отраженные волны, во
протяженность этой яййии мала, поэтому и потери в «ей ошосительно
не велики.
§ 11.25. Бегущие, стоячие и смешанные волны в линиях без
потерь. Коэффициенты бегущей и стоячей волн. При согласованной
нагрузке на линии имеются только бегущие волны напряжения (О =
= 1Уее'^) и тока (У = /Ве^^>. Таи как при любом у\е№в\=1, то
для бегущей волны действующее значение напряжения и тока вдоль
линии неизменно (рис. 11.10, с). При
возникновении на тшатсттчжвож
действующее значение напряжения и» линии
изменяется в фуяюавв расетаянн» у иропернио-
нально) ст$у\ ир» жетшеим юэде [см. фор- #»,,
мулу (11.52$ юш вретюраштально fsiopifj py
при коротком замыкании [см. формулу
(11.54)).
Ори нееогляеввацно# активной, нагруз-
г\г\г§
б)
ке на линии возникает- ежшвтти втт#~ fly
комбинация бегущей и стоячей волн. Если
обозначить т*=ХуЖа, то> "V /™\ /~ч /■
' /7 = f?acospj(+pjrf?2smeg= U V/ V/
или "f
О = £?EeJ» -f / (m - Ц&в sm р>.
Первое слагаемое шреяклнет бегущую вздрое— «вдчута волны.
Распределение шнрдажеяия на лини* в функция раескшшя $
V =» 1/а V cosa fa+m8 sin2 p#
При /п>1 напряжение иа кеищ линии минимально, а через
четверть длины волны $у = л/2 максимально (рис. 11.10, б). При/rKl
напряжение на конце линии максимально, а через py=itj2 минимально
(рис. 11.10, в).
Коэффициентом бегущей ешны называют отношение минимума
напряжения смешанной волны к ее максимуму: К6х = fmin/t/max.
Коэффициент стоячей вО&НЫ Кьв ~ ^Kujai
§ 11.26. Аналогия между уравнениями линии с распределенными
параметрами и уравнениями четырехполюсника. Напряжение и ток
на входе линии с распределенными шцаюпрлмй ({/,, 1^ связаны
с напряжением и током в конце этой линии (U2, Js) следующими
уравнениями [получены из (11.35) и (11.36), в которые вместо у
подставлена длина всей линии /}г
Ot^Oschyl+lvZrStiyl; /1-*-^shv'-r-Achv&
Сопоставим их с известными из ч. 1 учебника уравнениями
четырехполюсника: f/! = ylt/2+B/a; y, = Cf/a+0/a. Из сопоставления
следует, что уравнения по форме полностью аналогичны, а если, при-
A=D = chyt't (11.
B = ZHshvft (11.57
C=sbyl/Ze, (11.51$.
то зависимость между #t и && и Ув и зависимость между /„ и £7^
f /, в линиях с распределенными параметрами точно такие же, как-
и в четырехполюснике. Другими словами, при соблюдении условий.'.
(11.55) —(11.58) четырехполюсник эквивалентен линии с распределен^--
иыми параметрами в отношении связи между входными и выходными'
токами и напряжениями.
Если сопротивление нагрузки ZB = Ze, то у четырехпоЛосника,.
как и у линии, 2В„ = 2С (см. § 11.17). Входное сопротивление в этом'
случае повторяет Zc и потому .называется повторным.
§ 11.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией
с распределёнными параметрами и обратная замена. При перемене
местами источника и нагрузки в схеме рис. 11.7 токи в источнике
и нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладаетсимметричный _
четырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными
параметрами может быть заменена симметричным четырехполюсником;
и, наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком _
однородной линии с распределенными параметрами. При замене будем
всходить из уравнений (11.56) —(11.58) и зависимостей, с помощью '
которых параметры симметричного четырехполюсника связаны с коэф- .
фивдентамн А, В, С.
Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника
Ъ^{А-\)1С; (11.59)
Za=l/C, (11.60)
или
A=D=l+-^t (11.61)
£-2^+х-; (Н.В2)
C=l/Z8. (11.63)
Для симметричной П-схемы
Zt^B; (11.64)
4^£/И-1), (11.66)
ИЛИ
Л = 1+1*-; (11.66)
B = Z4; (11.67)
Рассмотрим сначала последовательность операций при замене Т-и
П-схем замещения четырехполюсника эквивалентной ему линией
с распределенными параметрами (имеется в виду замена при
фиксированной частоте).
Пусть известны параметры Z,bZ8b Т-схеме (Z4 и Z6 в П-схеме).
Требуется найти ZB и yl 'для эквивалентной линии.
По формулам (11.61) —(11.63) [или соответственно (11.66) — (11.68)]
находим коэффициенты А, В, С.
Для определения волнового сопротивления ZB разделим (11.57)
на (11.58):
Za=V~BJC. - (11.69)
Для определения yt составим выражение для thy/, использовав
(11.66), (11.57) и (11.69):
. tM-f*-2p-J3L. (.U0,
но ttW=— .
Умножив я числитель, и знаменатель последней формулы на е1*,
получим
Отсюда
Правую часть формулы (11.71) переведем в показательную форму
Пусть она будет равна Afe/V. Тогда ё^^М, и так как е^=е?(*+м*'=
—e/i&t где ft — целое число, то 2р7 —2fcc=v. Отсюда
BZ-J+ftn. (а)
Для реальных линий Ец, L^ C„, "Ca>0. Это накладывает условие
на определение к. Следует подсчитать pi по приближенно известному
значению фазовой скорости в линии
В* = <о/Д>ф _ (б)
и затем, сопоставив значения "В/, найденные по (а) и (б), определить к,
округлив его значение до ближайшего целого числа.
Рассмотрим теперь последовательность операций при замене линии
с распределенными параметрами эквивалентным ей четырехполюсником.
Известны yl и Z„. Требуется найти сопротивления Z, и Zb в Т-схеме
(Z4 и Z5 в П-схеме). С этой целью по (11.56) — (11.58) находим значения
коэффициентов Л, В, С, а затем по (11.59) и (11.60) определяем Zx
и Z„ для Т-схемы [илн по (11.64) и (11.65) сопротивления Z4 и Zg
для П-схемы].
Любой ли симметричный четырехполюсник можно заменить участком линии
с распределенными параметрами и любую ли линию с распределенными параметрами
можно заменить четырехполюсником?
Очевидно, подобную занеяу можно осуществить, если полученные в результате
расчета параметры таковы, что заменяющее устройство физически можно
выполнить. Как правило, замена участка линии с распределенными параметрами
четырехполюсником возможна всегда, а обратная замена—не всегда. Она невозможна
в тек случаях, когда в результате расчета волновое сопротивление окажется чисто
яшвмыы числом; в реальных линиях этого не бывает.
§ 11.28. Четырехполюсник заданного затухания. Включаемый
между источником сигнала и нагрузкой четырехполюсник,
предназначенный для ослабления амплитуды сигнала б заданное число раз,
называют четырехполюсником заданного затухания (аттенюатором).
Его собирают обычно по симметричной Т- или П-схеме и нагружают
согласованно.
Положим, что требуется найти сопротивления Z2 и Zs такого
четырехполюсника, собранного по Т-схеме, полагая известными
затухание (в неперах) и характеристическое сопротивление Zc. Исходим
из двух соотношений:
eha=l-r~^ и Zc=VBjC=V2Z1Zs+Zi.
Из первого находим Zx/Zs^=cha—1 и подставляем во второе.
Пример 118, Дано: а-=0,963 Hn;.Zc = 700 Ом.
Найти Z, и Z3.
Решение. ZjZ^ch 0,963*-1=0,6; Z^ — OJoZc ZC = 2,25Z.;
Z.!=31iOm; 28 = 622 0m.
§ 11.29. Цепная схема. На практике приходится встречаться со
схемой, представляющей собой каскадное включение нескольких
одинаковых симметричных четырехпо-
ё, ёт Цг люсяиков (рис. 11.11).
Такую схему принято называть
-г-0. цепной схемой. Исследование расп-
Цм'Ля*1 ределения "тока и напряжения вдоль
—^ цепной схемы удобно проводить,
используя теорию линий с
распределенными параметрами.
Действительно, в предыдущем параграфе
говорилось о замене одного
четырехполюсника отрезком линии длиной /, имеющей постоянную
распространения у и волновое сопротивление ZB. Если число четырехполюсниксв
равно п, то длина отрезка линия с распределенными параметрами
будет в п раз больше, т. е. равна nl.
Обозначим напряжение и ток на выходе п четырехполюсника
через Опп и !„+£ тогда напряжение и ток на входе первого
четырехполюсника
&i=&«+icbynl+lM1ZBshynl; (11.72)
£_ГТ
Рис. П.II
h-
_0**L
sh ytil -j- ^я+i ch ynl.
(11.73)
* Таблицу гиперболических функций см. в § 8,18.
Напряжение и "ток иа входе к от начала четырехполюсника (k^n):
сУ* = #вчсп(п-й+1)??+Упн2в5П(ге-й-Н)т*; (11.74)
;ft=-^iLsh(«-fe-r-l)V/ + ^1c!i(n-fe-r-l)V?. (1U5)
Рассмотрим несколько числовых примеров на материал,
изложенный в § 11.1-11.28.
Пример 119. Для некоторой линии длиной 5 км из частоте 1000 Гц
были проведены опыты по определению ее входного сопротивления при
холостом ходе и коротком замыкании на конце линии. Оказалось, что
2,м., = 535е-/и'Ом и ZIHB.8=467,5e-J№ Ом. Требуется найти
волновое сопротивление ZB и постоииную распространения у этой линии.
Решение, Из формулы (11.48) следует, что яри холостом ходе,
когда Zfi = co,
Z^^.ZjthyL
При коротком замыкании, когда Za=0,
ZBXt.3 = ZBihyt,
отсюда
ZB = Уг^ж.Ал. - V 53Бе-/и*467.5е-»е° - 500е~/з^ Ом;
th yl = VZ**x.JZB^s = 0,935е^.
По формуле (11.71),
евагсдзг _ 1 +0.9&5е _^ . ]ie/sriO'_ei,fMefi,4i4.
1—O^oV27' * '
4,11=е^"; 8Г10' = 1,414 рад; 2а/•= 1,414;
а=1.414/(2/) = 0Д414; 2^1,414; P=0,l4l4 (6=1);
у =а+/р -0L3e^ км*1.
Пример 120. Определить Ro, L^ G0 и С„ для линии примера Ц9,
полагая ZB = 500e~t3r Ом и т = 0,2е'Ч5° км*1.
Решение, В соответствии с формулами (11.17) и (11.18) yZB =
—^o+/$>i-o- Следовательво,
Ro -Ь 1®Ц - 0,2e'*s° - бООег-'37* = lOW =99+j\ 3,9,
или
#„ = 99 Ом/км и £fl=13,9/(2n-100Q)'=0,00222 Г/км;
V0B = Go + jaCe.
Таким образом,
Оа+/юСо=0,2е'Ч57(500е-'зт') = 0,0557- Ю""-]-/0,396- 10-*.
Пример 121. Линия примера 120 подключена к постоянному
напряжению (<о=0). Определять напряжение и ток в начале линии,
если на конце линии включена нагрузка 400 Ом и ток в нагрузке
0.5 А.
Решение, По формуле (11.23) находим волновое сопротивление
линии Z„ для постоянного тока:
Постоянная распространения [см. формулу (11.19)] t
V = VKfi, = V 99- 0,0557 -I0-' =9,0743 км '.
По формулам (11.35) и (11.36), при y=i
C/1-c'1,chv/+/8Z,shv/; A^/.chit + ^shtt.
По условию;/2 — 0,5 А; (У, = /,R, = 0,5 ■ 400= 200 В; yl = о!—0,0743х .
х5 = 0,371; crm!=ch0,371 — 1,07, shal = sh0,371 =0,379.
Следовательно,
l/,=200-1,07+0,5.1330 0,379 = 466 В;
/1 = 0,51,07+-^-0,379-0,594 A. »
Пример 122. Линии примера 119 короткозамкнута иа когщ
и присоединена к источнику синусоидального напряжения ■частотой'
1000 Гц. Определить напряжение и ток в начале линии, если ток.'
в конце линии /я = 1 А. -
Решение. При коротком замыкании
t/i = y8Zeshy/ и J1 = lschyl. '
По данным примера 119, .
V = a+;p = O,1414+/0,1414 км-1; ( = 5 км;
Vi = 0,707 + /0,707; z. = 500e-'3'- Ом.
е«=(Могеяиго _ 2,02 (cos 40I20'+/sin40°20') = 1,54+/1,305;
е-т = е-».™ V"0™ = 0,495 (cos 40"20" — /sin'40°20') =0,377 — /0,32;-
ch y/ = 0,5 (eW+r-i») = O,96 + /0,4925= l.OJei270»;
sh ft=0,5 (e« - e-") - 0,582 + /0,812 «» jW,
Следовательно,
01_71Z.shT/- l■50Oe-B'•e<S4•2•'=5O0e'l,•м• B;
7I=7,chv/=l,07e'»™' A.
Пример 123. Линия примера 119 замкнута на активное
сопротивление Za = 400 Ом. Определить 0± и /„ если по «нагрузке протекает-
ток Уа=0,5 A;(/=1000 Гц.
Решение.
V^-Utchyl+l^shyl-
= 200-l,O7e^'»'+O,5-S(>0e-'37V5™' = 463e'!!" В;
7I = 7>chy!+f!,shy/=0,8e(5M' A.
Пример 124. По данным примера 123 определить комплекс деист
дующего значения падающей волны в начале линии (А^.
Решение. В соответствии с формулой (11.28)
912
Пример 125, Записать выражение для мгновенного значения
падающей волны напряжения в начале в конце линии по данным
примера 124.
Решение. Мгновенное значение падающей волны напряжения
в начале линии при х = 0 ]/2^-431sin(tof+19°30').
Мгновенное значение падающей волны напряжения в конце линии
при х=1 в общем виде Vr2^e-eesin(mf+^n — р7); отсюда
е-«( _ е-ч,707 _ 0>495; (М = 0,707 рад=40°20';
УЪА^^УЪ-т -0,495=301 В;
tfa - fit = 19°30Г - 40°20' ш, —20°50'.
Следовательно, мгновенное значение падающей волны напряжения
в конце линии' 301sin(eii —20°50') В.
Пример 126. Определить затухание в неперах для линии
примера 119г если на крнце ее включена согласованная нагрузка.
Решение. Затухание в неперах равно аЛ. Так как произведение
ai=0,1414-5 = 0,707, то затухание линии равно 0,707 Нп.
Пример 127. Какую дополнительную индуктивность £0доп нужно
включить на каждом километре телефонной линии с параметрами:
#0 = ЗОм/км; La = 2-10" Г/км; С0= КИОм^-км-1; С0=6-10-° Ф/км,
чтобы линия стала неискагкающей?
Решение, Для того чтобы линия была ненскажающей, ее
параметры должны удовлетворять уравнению (11.41). Следовательно,
£Одоп+£о=Я(А/00^3.6- 10-s/10-s= 18-10-" Г/км.
£од0г. = гё—2=16 ыГ/км.
Пример 128, Определить наименьшую длину короткозамкнутой на
конце двухпроводное воздушной линии; чтобы при частоте 10s Гц
входное сопротивление ее равнялось 800/ Ом. Расстояние между осями
проводов d = 20 см, радиус каждого провода г=2 мм.
Решение,УВ соответствии с формулой (11.50)
Для двухпроводной линии
L0~-mr, c-j^g^. ^„J——J;
лГ^^ЕШл/Ъ. 1/^ = 377 0м;
f t„ n У е^' У е^
^5„з77!5ва=553 0м.
По условию, 800/=/553tgpV.
Отсюда
tgPS—800/553—1,445; fy=5b°20' = 0,963 рад;
КрА- 1/(3-10") с/см;
р=юKiA=»Кйй=2л- 10"ДЗ-101«)-2,092-1(Н or1.
Искомая длина линии
#=0,963/(2,092-10"a) = 46,l см.
Пример 129. В Т-ехеме рис, 6.5, а ^ = 100 Ом, ^,=—-500/Ом.
Определить характеряегаческое сопюотивление четырехполюсника и
произведение yl аквдвалентной ему линии с распределенными
параметрами.
Решение. В соответствии с формулами (11.61)—(11.63)
£ =2^+^-^200 Ч-=^-=20ЭЦ-20/*«200е'50*0';
C=l/Za = l/(~S00i) =0,0026^°.
По формуле {И.Щ,
Zu = VWi - V 2№еР™г!ф,вШ^) = 3l6e-W2=Jo- 0м>
По формуле (П„70),
tgT/ = Vr^/^=V200e*6^-O,Oe2e^/(i,O2e',r^)^O,498+/0,369.
По формуле (11.71),
a(=0,Sin2,475=©,454; ^=25*5W0,437 рад;
Y*=0,454 + /0,437.
Вопросы для самопроверкм
1. За счет чего тшш и иапряжения вдоль 'линяй £ распределенными
параметрами неодинаковы для одного и того же момента времени? 2. Каков
физический смысл постоянно! распространения у и «вявового сопротивления ZB?
Зависят ли они от вдовы линяя; как мя шределить сжятним путем? 3. Из каких
условий определяют постоянные jij. * As? 4,_ К*к яотязять, что еигвая, «роходя
по линии без искажений, не изменяет еврей формы? 5. Почему стремятся нагрузку
брать согласованной с Z„? 6. В «ем различи^,между бегущей и стоячей волнами
в физическом и математическом отношении? Какую волну (называют смешанной?
7. При кзиом соотношении между параметрами можно считать реальную линию
с Д0Ф0 и С0ф0 как линию без потерь? 8. В каком смысле можно говорить об
эквивалентной замене яннии чепфелюпюсннком? 0. Каково назначение
четвертьволнового трансформатора? 10. Решите задачи 13.3. 13.11: 13.23: 13.31; 13.37:
13.43.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
СОДЕРЖАЩИХ ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 12.1. Общие сведения* В гл. 8 рассматривались переходные
процессы в линейных электрических «елях с сосредоточенными
параметрами.
Для электроэнергетики, телефонии, телеграфии, счетной техники,
радиотехники и импульсной яехкики существенное значение имеют-
также переходные процессы в электрических цепях, содержащих линии
с распределенными параметрами,
В тех участках цепей, которые могут быть представлены как
участки с сосредоточенными параметрами, расчет переходных
процессов производят с помощью методов, изложенных в гл. 8. В данной
главе обсуждаются особенности переходных процессов в самих линиях
с распределенными параметрами, вопросы согласования и увязки их
с переходными процессами на участках цепей с сосредоточенными
параметрами.
Как уже говорилось в § 11.2, основными уравнениями для линий
с распределенными параметрами являются уравнения (11.1) и (11.4).
Они справедливы для установившихся и переходных процессов.
В силу того что иитегрйрование двух совместных
дифференциальных уравнений в частных производных [уравнений, (11.1) и (Ц.4)]
в общем виде1 представляет собой довольно сложную в математическом
отношении задачу, в курсе ТОЭ переходные процессы изучают
несколько упрощенно, а именно: рассматривают переходные процессы
в однородных линиях без потерь, т. е. яри Р0 = 0 и G„ = 0.
Практически это вполне оправдано, поскольку реальные линии с
распределенными параметрами, как правило, обладают относительно малыми
потерями.
Изучение переходных пронеоеов при i?0=0 и" €^»=0 дает
возможность качественно исследовать основные черты процессов. В
количественном етношеиин неучет R0 и С для начальных стадий переходного
процесса существенного влияния обычно не оказывает, однако для
последующих стадий учет #0 и С0 желателен и даже^ необходим.
В энергетических, телефонных, и телеграфных устройствах,
содержащих линии с распределенными параметрами, переходные процессы
возникают при подключении лший к источнику э. д. е., при
отключении от источника э. д. с, при подключении и отключении нагрузки,
а также при атмосферных (грозовых) разрядах.'
В радиотехнических устройствах и устройствах, используемых в
вычислительной технике, также происходят переходные процессы типа
рассматриваемых в данной главе, например в линиях задержки и
формирующих линиях.
§ 12.2. -Исходные уравнения и их решение, Из уравнений (11.1)
и (11.4) при Я„ = 0 и С0 = 0 следует, что
-!-<;£. над
Ток и напряжение являются функциями двух переменных:
расстояния х от начала лияил и времени /. Продифференцируем (12.1)
по х н (12.2) по h
В соответствии с (12.4) в правую часть (12.3) вместо d*ifdxdt под- ■
ставим — С0^ и обозначим ЬаС0=1/о*: " - /
Из предыдущего [см. § 11.10, формула (11.39)] известно, что o=>i
_— 1/У/,0Са есть скорость "распространения электромагнитной волны по
линии. Если уравнение (12.2) продифференцировать по х, а (12.1)— '
по * и в правую часть продифференцированного уравнения (12,2) под-\
ставить правую часть продифференцированиого уравнения (12.1), то.-'
получим
S-4-э"- сад;
Равенства (12.5) и (12.6) являются уравнениями второго порядка
в частных производных. Из курса математики известно, что уравне- -
ния такого вида называют волновыми.
Решением уравнения (12.5) является сумма любых функции ft •
и fe причем аргументом функции f± является ('—'{j-j. a аргументом
функции /я — (t -j- ~j:
Для сокращения записи в дальнейшем будем обозначать:
«д-Ь(<—£): (12-8) ■
«c=/s('+'f)- (12.9К
Следовательно,
и = ив + н0, "(12.10),
где индексы «а» и его означают отраженная и падающая (волны). '
Вид функций fa и fa определяется граничными условиями в начале :.
и конце линии. Функции ft и fa в общем случае должны позволять
дважды дифференцировать их по х и t.
Подстановка функций fJt— i] и /s(' + -£-J в (12.5) дает
тождество.
Решение уравнения (12.6):
*-ft(«-|) + ft(« + f). (12.11)
Для сокращения записи обозначим:
Ъ~ъ(* ~i): (12.12)
b-4b(*+£). (12.13)
Тогда
f-t+4. (12.14)
§ 12.3, Падающие н отраженные волны на линиях. В
соответствии с формулами (12.7) и (12.11) напряжение и ток в линии могут
быть представлены в виде двух функций: функции ft(t — —) и
q>i ('—-£] — падающие волны; функции -/Jf+^j и ФаК-Ь-^J
—отраженные волны.
Падающие волны перемещаются со скоростью v по направлению
от источника энергии к приемнику, т. е. в сторону увеличения
координаты х; отраженные волны—от приемника энергии к источнику,
т. е. в сторону уменьшения координаты х.
Обсудим, как следует понимать, что аргументом функции /t
является t — — (аналогичные выводы можно сделать и по отношению
к другим функциям). \
Пусть в некоторой точке линия л:=х^ при t=tt значение
функции /ifo— у) равно Ft. Это значение функция Д будет принимать
во всех точках линии, где x>Xj с запозданием во времени, равным
(x—xjfo н обусловленным конечной скоростью перемещения волны по
линии.
Так, в точке х=х1 значение функции fx будет равно Fx при t =
= 12 — *1+**~^,Ж1 • Действительно,
л(^-*)-А(4+*=а-*) = Ь(«|-Ь)-^
Таким образом, каков бы ни был закон изменения напряжения
падающей волны /х "в начале линии, по такому же закону, но с
запозданием во времени изменяется напряжение падающей волны в любой
точке линии,
§ 12.4. Связь между функциями flt fa н функциями ф1( фг. Найдем
связь между функциями /t н "фц а также /а и щ. С этой целью
в (12.1) и (12.2) подставим (12.7) и (12.11) и для сокращения записи
обозначим:
*Н) .. *f'-4) .
-К) "'" ~W-
——- = «;
Тогда уравнение (12.1) дает
Из (12.2) следует, что
!<й-!<р;=адч-ед. (шб».
Перепишем (12.16) я (1216):
fi-fi-^W+Й): (I2.16'j-
Я+Л-дМ-Й- (12.16^
Но
i*>«« (ТйА - vmz - z„>
ZH—волновое сопротивление однородной линии без потерь [см-
формулу (11.23а)].
Таким образам,
Следовательно,
К—fi=z„ori+<A
fi+'fi-z.*rt-4«.
ч*=ГА
■й—fi/z..
<12.15".
<12.16")
(12.17':
(1218'.
Если произведение двух функнлй ^например, <Й н fO при любы
значениях х a t равны, то это значит, что сама функции ty2 и /
равны с точностью до постоянной. Поэтому
*('-7) = £A('-i): <1219
*С+2Ь-£'«('+£)- <12-
Постоянные интегрирования опустили, так как полагаем, что в
ках и напряжениях падающей н отраженной волн отсутствуют пост
янные составляющие, не зависящие от х и от t. Два последних ур
нения можно переписать с учетом (12.Щ, (12.9), (12.12), (12.18):
*E="„/ZB; (12.1
«о — К1Ъ- " (12.20
Из (12.19') следует, что ток падающей волны для любого момен
времени и для любой точки на линии равен частному от деления н"
пряжения падающей волны для того же момента времени и для
же точки линии на волновое сопротивление.
Из (12.20') вытекает, что ток отраженной волны для любого ы>
мента времени и для любой точки линии равен взятому с обрати
знаком частному от деления напряжения отраженной волны в той же
точке линии и для того же момента времени на волновое
сопротивление. Знак минус в (12,2В') означает, что ток отраженной волны
направлен встречно положительному направлению шсчета тока,
показанному на рис. 11.2.
§ 12.5. Электромагнитные процессы при движении
прямоугольной велны во линии. Пусть источник постоянного напряжения и,
имеющий внутреннее сопротивление, равное
нулю, подключается к незаряженной
однородной линии с распределенными
параметрами, у которой J!*—4i—О (P^- 12,1).
По линии перемещается падающая
электромагнитная волна. Начальный участок
волны, первым продвигающийся по линии,
принято называть фронтом водны. В
данном случаеволна имеет прямоугольный фронт.
Двигаясь по линии, волна создает меж-
ду проводами линии электрическое и мат- ^ис* ■'
нитное поля.
Приращение магнитного потока (нотокосиепления) на фронте волны
за время dt равно произведению тока i на индуктивность участка
линии длиной dx: dip = iL0dx; оно вызывает э. д. с.
']/%!—<2L = -«.=
Даким образом, на фронте вашим возникает ».. д. с самоиндукции,
численно равная напряженно генератор3- На фронте водаы
происходит зарядка проводов линии: один провод, например верхний,
присоединенный и плюсу источника ».. д. с, приобретает положительный
заряд, другой (нижвин)—отркцагелышн заряд (такой же величины).
Кроме того, иа фронте волны возникает ток смещения i^, = dqidt,
где dq — приращение заряда на бдаом из проводов линии за время dt:
dq= Cutt'dx=C0№dt.
Проходящий по диэлектрику на фронте волны ток смещения равен
току падающей волны, проходящему по проводам линии:
iCM = dqldt =* Cotw = ujZi.
Электромагнитная волна, продвигаясь по линии, каждой единице
линии сообщает энергию электрического поля Qu*/2 и энергию
магнитного поля Lai%}2. Можно показать, что эта количества энергий
равны. Действительно,
Следовательно»
еде -c#mpcjt->LjzA
Когда падающая волна достигает конца линии, к которомувобщ.-"
случае присоединена некоторая нагрузка или другая линия (с друг
волновым сопротивлением), то часть падающей волны проходит ви^
грузку (или соответственно во вторую линию), а часть отражается -
возникает отраженная волна.
Чтобы выяснить, какова форма волны, проходящей в нагрузку'
какова форма отраженной волны и как они деформируются во в
мени, применяют расчетную схему, которую принято называть схем ■
замещения для исследования солноЬых процессов в линии с распре
ленными параметрами.
§ 12.6. Схема замещения для исследования волновых процес ~ч
в линиях с распределенными параметрами. Для обоснования мет».,
дики составления схемы замещении обратимся к рис. 12.2, а. На н
изображена линия с распределенными параметрами, на конце кото
ф|
Jk
включена некоторая нагрузка. Начиная с того момента, когда падакк
щая волна дойдет до конца линии, по нагрузка пойдет ток i\, и н»:
ней будет напряжение ын.
На рис. 12.2, а изображены эпюры волн ы и (' на линии для мо-:J
мента времени, непосредственно предшествующего подходу волныГ.
к концу линии. ^
В соответствии с формулами (12.10) и {12.14) напряжение и т
в любой точке линии можно представить в виде суммы падающих
отраженных волн. Это справедливо также в отношении напряжени-
и тока в конце линии. Следовательно,
un+u0*=uBi (12.21
4+ **=*». ^ (12.22"
Заменив ir на ujZBt a iB на — un/ZB, получим
Ча + "о = "Н: «а — «о = 1в%в
га
2ын=ип+(вгв.
(12.23
Таким образом, напряжение на конце линии ип и ток в нагрузке i
независимо от характера нагрузки связаны с напряжением падающ •
волны Ип уравнением (12.23). Последнему соответствует схема с
сосредоточенными параметрами, изображенная на рис. 12.2, б. В ней к источ--
нику з. д. с, напряжением 2м„ подключают последовательно
соединенные ZB и ZB.
Расчет переходного процесса в схеме с сосредоточенными
параметрами (рис. 12.2,6) производится любым из методов^ рассмотренных
в гл. 8. Расчет дает возможность определить iB~/(i) и u„=f(i).
После того как эти зависимости найдены, можно определить характер
изменения во" времени напряжения а тока отраженной волны: u0=f{t)
и »о~/(0- Действительно, из уравнений (12.21) и (12.20') следует, что
M0=«-(0-Mfc ]
<»© — «*<№ [ (12.21')
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение
схемы замещения.
§ 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику
постоянного напряжения. В линии без потерь, так же как и в
колебательном контуре без потерь, при
подключении .к источнику постоянной а. д. с.
возникают незатухающие колебания. Период
колебаний состоит из. четырех частей или
стадий (рис. 12.3) одинаковой
продолжительности l/v, где I—длина линии, и — ско- Д)
рость распространения волны. Для
рассмотрения этих стадий воспользуемся двумя
различными схемами замещения. Первая
схема (рис. 12.4, а) соответствует
разомкнутому концу линии (2в = со), когда к нему g)
подходит падающая от начала линии
волна. Вторая схема (рис. 12.4, б)
соответствует моменту времени, когда отраженная
волна подошла к началу линии, где вклю-
.чен генератор постоянного напряжения,
внутреннее сопротивление которого пола- $)
гаем равным нулю (Z„=0).
Рассмотрим каждую из стадий процесса
в отдельности.
Первая стадия. От генератора к концу
линии распространяются волна напряжения г)
ып1=и и волна тока iBl = UgJZ^ = i (см. рис.
12.3, л).
Вторая стадия заключается в том, .что Рнс- ,2-3
от конца линии к ее началу движется
отраженная волна (ая1, i0l). Для определения ып1 и служит схема рис.
12.4," а. Она составленаi в соответствии с общим методом,
изложенным в § 12.6. В ней к напряжению 2ап1^2а_ подключаются волно-
|-2гН~
Ф
"°Ч" fm
1 '<»
*"*3 fat
и
<<■ Y*u
и v~~-
f£ V-+-
«zB = 2нп1 z'lz"=2unl = 2o.
В соответствии с формулой (12.2Г) отраженная волна напряжения
- Ищ = "н —ищ^гн^-^ ил = иа1 = и;
в соответствии с формулой (12.201) отраженная волна тока
Таким образом, в течение второй стадии процесса от конца линии,
к началу продвигается отраженная волна uol=u, iai — — '• Резуль-:
тирующее состояние на линии определяется наложением первой пада-;
ющей волны (ud, inl) н первой отраженной волны (uBl, i01). На i
рис. 12.3, б дана эпюра распределения напряжения и тока по линии .
для некоторого момента времени во второй стадии. (В этой стадии.!
для участков линии, на которые прошли отраженные волны, резуль- -3
тирующее напряжение равно 2м, а результирующий ток равен нулю.)]
Третья стадия процесса состоит в том, что волна ии, iM, дойдя"]
до начала линии, отразится от генератора, как от короткозамкнутого-j
конца линии (внутреннее сопротивление генератора принято равным^
нулю), и вызовет распространение в направлении от генератора к концу j
линии второй падающей волны (мп2, (п3), являющейся, по существу,;
отраженной волной по отношению к волне (ы01, iD1),
Для определения характера отражения волн от начала линии
используем схему рис. 12.4, б. В ней Z„ = 0t 2i^| = 2u. Так как
нагрузка ZK=0t то н напряжение на ней равно нулю. Но напряже^
ние на нагрузке в соответствии с (12.2Н равно сумме напряжений
падающей волны (в данном случае uol = и) и напряжения отраженной
от начала линии волны, распространяющейся от генератора к концу
линии и потому названной второй падающей волной. Следовательно,
О^ы+Иаг- Отсюда
"■« = — «» ^=Ц^4 = -'.
доения трех волн: первой падающей волны (wnl. (,а). первой
отраженной от конца волны («01, i"01) и второй падающей волны («„a, in3).
Четвертая стадия процесса заключается в том, что на три
предыдущие волны накладывается четвертая волна, представляющая собой
отражение от разомкнутого конца линии второй падающей волны.
Отражение второй падающей волны от конца линии произойдет
б соответствии со схемой замещения рис. 12.4, о, только вместо
2ы,д = 2м в схеме будет напряжение Йы^ = —2и.
Вторая отраженная волна имеет ыоа = — и, ioa—L
Результирующее состояние на линии во время четвертой стадии (рис. 12.3, г) есть
результат наложения четырех волн:
Цц+Ищ + Ищ+^м^и + и — и — и=0;
*«а+'«+*'.«+% = ' —1-1 + 1 = 0.
Таким образом, к концу четвертой стадии напряжение и ток вдоль
всей линии равны нулю—линия приобретает такое же состояние,
какое у нее было к началу первой стадии. Затем процесс повторяется
до бесконечности, так как Р, и С, были приняты равными нулю.
В действительности благодаря наличию сопротивления ft0 н утечки С0
колебательный процесс постепенно затухает и вдоль линии
устанавливается режим, соответствующий установившемуся процессу в линии
при постоянном напряжении.
В рассмотренном примере линия на конце была разомкнута,
поэтому отраженные волны имели такую же прямоугольную форму,
как "и падающие.
Отраженные волны будут иметь форму, в общем случае не
похожую на форму падающей волны, если в состав нагрузки на конце
линии входят емкости и (или) индуктивности, а также в том случае,
если в месте перехода с одной линии на другую есть сосредоточенные
индуктивности и (или) емкости.
§ 12.8. Переходный процесс при подключении источника
постоянного напряжения к двум последовательно соединенным линиям
при наличии емкости в месте стыка линий. Пусть первая линии
имеет длину ij и волновое сопротивление Zm, вторая линия—длину
4 и ZB3^fcZEl. Напряжение источника э. д. с. равно и (рис. 12.5. с).
В месте стыка линий есть сосредоточенная емкость С.
Требуется определить форму волны, проникающей во вторую
линию, характер изменения тока через сосредоточенную емкость,
а также результирующее распределение напряжения в тока вдоль
первой линии при движении по ней отраженной от стыка линий
волны.
Переходный процесс начинается с того, что от генератора по
первой линии распространяется падающая волна с прямоугольным
фронтом ив1 = и и (о1 = и/21,1.
Для определения характера изменения токов и напряжений, когда
падающая волна дойдет до стыка линий, обратимся в схеме
замещения с сосредоточенными параметрами (рис. 12.5, б). В этой схеме
нагрузка образована двумя параллельными ветвями —емкостью С и
волновым сопротивлением второй линии,^.
ф* * {/- фГ^у^
Рис. 12.5
Две параллельные ветви появились в схеме замещения потому,
что в исходной схеме рис. 12.6, а падающая волна.^дойдя до места
стыка линии, встречает два пути для своего
дальнейшего рашространення: первый путь—
через емкость С, второй путь—по второй
липни с волновым сопротивлением ZBi.
Расчет переходного процесса в схеме рис,
12.5, б дает:
t'"z„+z„<'-eW)'
''-&•*
, 2« h\z»vA
h z.,+z,,V * z,,l-
°=-*»-*-££к^-<!"У'
z„+z„
p z„z„c •
(12,24)
(12.25)
(12.26)
(12.27)
(1228)
Характер изменения t2, is. ii и Uq в
функции от времени изображен на рис. 12.6. В
первый момент после подхода волны в месту
t стыка линии напряжение падает до нуля,
Рнс. 12 б так как незаРЯжениая емкость для этого
момента времени представляет собой как бы
короткое замыкание.
Начальное значение тока через емкость равно Ъх)!^. Затем емкость
заряжается, напряжение на ней растет, ■& ток через нее уменьшается.
Ток te в схеме замещения представляет собой ток электромагнитной
волны, распространяющейся по второй линии: напряжение волны,
распространяющейся по второй линии, равно i&Z^.
Для получения отраженной волны напряжения,
распространяющейся по первой линии в направлении от стыка линий к генератору,
из ординат кривой рис. 12.6, г нужно вычесть напряжение падающей
волны и затем перенести полученную кривую на линию, зная .скорость
отраженной волны.
На рис. 12.-7, а, б изображены соответственно отраженные волны
напряжения и тока.
Эпюра распределения напряжения и тока вдоль первой и второй
линий для момента времени, когда отраженная от стыка волна дошла
до середины первой линии,
представлена соответственно на рис. ] 2.8,0,6.
Перепад тока е/ в кривой рис.
12.8, б равен току через емкость
для данного момента времени. По
второй линии волна продвинулась
на расстояние, вдвое большее, чем
прошла отраженная волна по
первой линии. Это объясняется тем,
что первая линия кабельная, а вто-
Стык линий
шв\ [/ра-х^
ш
i
Падающая
по первой
линии
волна
я)
\.т,7
Пидающая
по второй
линии
волна
Рис. 12.7
""« в)
Рнс. 12Л
рая — воздушная. Скорость продвижения волны по воздушной линии
30(гООО км/с, а по кабельной—около 150000 км/с*.
Пример 130. В схеме рис. 12.5, а 2^=50 Ом; 2^ = 400 Ом;
*в = 100км; С= 5,62 мкФ; /, = 60 км; и = 10 кВ; первая линия
кабельная,-вторая воздушная. Построить эпюры распределения волн
напряжения и тока вдоль линий для момента времени, когда
распространяющаяся по второй линии волна дойдет до конца второй линии.
Решение. По формуле (12.28),
Р=-5.-^'.№.^—4000 rt
Ток падающей волны по первой линии
- "i„-u/ZB,= 104/50=200 А.
По формуле (12.24), 1В=>44,5(1 — еиш) А. График le=f(t)
изображен на рис. 12.6, а.
По формуле (12.25), i8 = 400e-*oow А. График h=f(f) представлен
на рис. 12.6, б.
По формуле (12.26), i, = 44.5(l+8е"адои) А. График тока (,
изображен на рис. 12.6, ft.
По формуле (12.27), «c = uzM= 17750(1-е-*00") В. Кривая ос
изображена на рис. 12.6, г.
* Формуле для скорости v движения волны по линии и входящие в нее LB и Св
приведены в § 11-10.
По условию, падающая по второй ^воздушной) линии волна должна
дойти до конца второй линии. Расстояние ^=100 км она пройдет
за время i = yw= 100/300000= 1/3000 с.
За это время отраженная от стыка волна пройдет по первой
(кабельной) линии расстояние, в два раза меньшее.
Графики распределения и и i вдоль линии изображены на
рис, 12.8, а, 6. ■■=
Перепад ef на рис. 12.8, б равен току fe при t= 1/3000 с: is =?=
= 400е-4'3=106 А.
Отрезок fg равен току is при с = 1/3000 с: ts — 44,5(1— e~i/3) =
= 32,7 А.
Отрезок тп на рис, 12.8, с равен напряжению ttc при i = 1/3000 с:
ыс=-13,06 кВ.
В рассмотренном примере электрическая цепь, содержащая линию
с распределенными пираметрами, подключалась к источнику
постоянного напряжения.
Однако часто встречаются цепи, в которых э. д. с. источника
изменяется по синусоидальному закону во времени. Если длина линии
с распределенными параметрами и частота синусоидальной э. д. с.
таковы, что время пробега волны по линии (t = l/v) много меньше периода
переменного тока 7*. например составляет величину порядка (30^-55) ?*.
то при исследовании первых стадий переходного процесса в первом'
грубом приближении можно принять, что линия подключается
к источнику постоянной э. д. с, которая равна амплитуде
синусоидальной э. д. с. (расчет ва наиболее тяжелый случай). Если же время
пробега волны по линии составляет большую, чем (aFj-J-aolt часть
периода, то при расчетах необходимо "учитывать изменение э. д. с.
источника при'перемещении падающей волны по линии.
При отключении нагрузки или ее части в линиях также
возникают переходные процессы. Расчет нх производят на основании
принципа наложения, включая в размыкаемую ветвь источник тока,
который дает ток, равный и противоположно направленный току в
размыкаемой ветви (см. 8.59).
Результирующие волны тока и напряжения на всех участках линии
находят наложением на волны тока н напряжения, которые были на
линии до отключения ветви, волн тока и напряжения,
продвигающихся от места размыкания в остальные участки линии.
При подключении е каком-либо месте линии новой ветви токи н
напряжения в этой ветви находят методом эквивалентного генератора,
а токи в остальных участках линии — методом наложения.
§ 12.9. Линия задержки. Под линией задержки, орименяемой
в импульсной технике, понимают устройство, которое включают между
источником сигнала и нагрузкой, служащее для задержки
поступления сигнала в нагрузку на некоторое заданное время t„, В простей-*
шем случае (ори малом £,) линию задержки выполняют в виде куска
коаксиального кабеля длиной I, Он создает задержку ts = ljv$. Если
хотят получить относительно большое i31 то используют цепочку из п
каскадно соединенных одинаковых фильтров низкой частоты (см.
рис. 5.1, о), выбирая параметры L и С фильтров так, .чтобы полоса
частот сигнала D — шс находилась в полосе прозрачности фильтра н
чтобы й)с<С<В2, где ша = Т' ^ — частота среза фильтра. Параметры
фильтра согласуют с нагрузкой £H=|/2L/C. Время задержки *а*=а
& п (db/des)^ = n V2LC.
Выведем эту формулу и в более широком плане обсудим вопрос о времени
задержки сигнала при прохождении «го через четырехполюсник-
В § 9.4 было показано, что передаточная функция четырехполюсника К (/и)=
= (!% {jv>)№i (/«•)=[/( (/ш) | eft"'*1, пропускающего сигнал без искажения, но
с задержкой £,=/, во времени, должна обладать двумя свойствами: 1) модуль
\K(jv% | = const (в частности, равен единице)
2) аргумент ф((о)=—ю£_
Применительно к фильтру КЦа)=1№=ЩРеЯ>). Сопоставление
характеристик фильтра с характеристиками четырехполюсника для зоны прозрачности
дает:
|/С(/ш)1 = 1/е°=11 Ь=—ф(<в)=ш*а.
Для фильтра НЧ рис. 5.1, а в зоне прозрачности
ft=arccos A =arccos (1 —ePLC)
нелинейно эаввент от ш, Для определения времени задержки t's приближенно
заменим ату нелинейную зависимость прямой с угловым коэффициентом, равным
ldb\ . (йЬ\
-=- 1 , т. е. положии 6=ш 1^—1
\da/a=a - \йш/а=о
Тогда время задержки, создаваемое одним фильтром,
<f(l— v?LC)
«-£
dwja^o d(l— vFLC)
1 (-2t»/,C)« '
\T\—{i—efiLCy-
Если каскадно соединены и фильтров НЧ. то время задержки в и раз больше:
Если сигнал, проходящий через четырехполюсник, представляет собой
короткий импульс, то его частотный спектр весьма широк и четырехполюсник в
отличие от линии с распределенными параметрами не в.состоянии пропустить без
затухания колебания всех частот. В этом случае можно только условно говорить
о времени задержки, понимая под ним усредненную производную dbjeki.
подсчитанную для основной части частотного спектра.
§ 12.10. Использование линий для формирования кратковременных импульсов.
На рис. 12.9, а изображена схема, позволяющая формировать прямоугольные
импульсы тока в нагрузке RK. В схеме имеется источник постоянного тока / и
три линии. При размыкании ключа от источника тока / по первой линии
длиной /д с волновым сопротивлением ZB распространяется прямоугольная падающая
полна тока //2 и волна напряжения IZJ2. Дойдя узла а, волна частично
пройдет во вторую и третью линии и частично отразится. Для определения волн,
проходящих но вторую н третью линии, служит схема замещения рис. 12.9, б.
Из нее следует, что /я—//4 и /3=//2.
По второй линии распространяется волнаUM=/tZB.потретьей (/a=/a-0,5Zo.
Волна (/я, дойдя до конца второй линии, где включена нагрузка Ra=ZB, погло-
Щаится в ней без отражения.
Волна Ut, дойдя _ до кс-роткоэамкнутого конца третьей лнннв, отразится of
него с переменой внака у напряжения. Отраженная от конца третьей линии волна
напряжения —/OTp.0,5ZB=^—/ZB/2, дойдя до узла а вызовет токи /;=/;=—//4
в первой я второй линиях в соответствии со схемой замещения рис. 12.9, «. Волна
тока /J поглощается без отражения в сопротивлении Zn, шунтирующем источник
а) 6} 6)
Рис. 12.9
тока. Как только волна тока /J дойдет до конца второй линии, импульс тока
в нагрузке Ца прекратится, поскольку тонн /а и /J рааны по величине я
противоположны по знаку. Прямоугольный импульс тока через нагрузку появится
через время (fx+l£lv H протекает в течение времени 2lafv, равного удвоенному
времени движения волны по линии длиной 1В.
Вопросы для самопроверки
1. При каких допущениях рассматривают переходные процессы в линиях
С распределенными параметрами? Какими дифференциальными уравнениями
описываются эти процессы? 2. Каи понимать, что аргументами функций, являющихся
решением, оказываются ('•^■^■J я [/+—)? 3. Кнк согласовывают переходные
процессы в линиях с распределенными параметрами с переходными процессами
в нагрузке иа конце линии? 4. Обосновать методику составления схем замещения
для исследования волновых процессов, когда волна дойдет до нагрузки. 5. Как
из временных графиков напряжения i^ на нагрузке и тока („ в нагрузке
получить графики отраженных волн щ и i„ иа линии? 5. В каком случае в качестве
линии задержки используют линию с распределенными параметрами, а в каком
каскадное соединение фильтров НЧ? 7. Решите задачи 15.5; 15.6; 15.12; 15.17-
ЧАСТЬ II
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Во второй части курса ТОЭ рассмотрены нелинейные электрические
и магнитные цепи. Пол нелинейными электрическими цепями
понимают электрические цепи, содержащие элементы с нелинейными вольт-
амперными, вебер-амперными и кулон-вольтными характеристиками.
Если цепь содержит хотя бы один такой элемент и изображающая
точка в процессе работы перемещается по существенно нелинейному
участку характеристики этого элемента, то она орииадлежит к
рассматриваемому классу цепей.
Хотя к нелинейным электрическим и магнитным цепям и ориме-
нимы законы Кирхгофа, но такие методы расчета, как методы
узловых потенциалов и контурных токов, а в более общем смысле — методы,
основанные на оринципе наложения и иа постоянстве пираметров
элементов цепей, рассмотренные в первой части курса, к нелинейным
цепям неприменимы. Дело в том, что сопротивление и ороводимость
нелинейного активного сопротивления, равно как индуктивность
нелинейной индуктивности и емкость нелинейной емкости, являются
нелинейными функциями мгновенного значения тока (напряжения) на этих
элементах, т. е. представляют собой переменные величины, а потому
для расчета малопригодны.
Вместо них используют вольт-амперные характеристики нелинейных
активных сопротивлений, вебер-амперные характеристики нелинейных
индуктивностей и кулон-вольтные характеристики нелинейиых,емкостей.
Один и тот же нелинейный элемент в зависимости от поставленной
орн исследовании задачи и выбранного метода анализа должен быть
описан различными характеристиками.
При определенных условиях в некоторых нелинейных цепях могут
возникать физические явлении, принципиально невозможные в
линейных. К их числу относятся автоколебания, субгармонические
колебания, автомодуляция, триггерные явления, зависимость установившегося
процесса от начальных условий и ряд других.
Приступая к расчету токов и напряжений или к исследованию
условий существования того или иного явления, надлежит правильно
поставить саму задачу, оринимая во внимание то главное, что
оказывает решающее влияние на процессы в цепи, и пренебрегая
относительно втс4>6степеннымн факторами. Если этого ие сделать, задача
может оказаться трудно разрешимой, а само решение, если оно будет
получено,—малообозримым. Однако и после ряда упрощающих
допущений процессы в нелинейных цепях описываются одним или
несколькими нелинейными дифференциальными "уравнениями, точное решение
которых, как правило, неизвестно. Поэтому возникает задача о том,
каким образом можно решать нелинейные дифференциальные
уравнения приближенно, орименяя для этой цели специфические методы,
разработанные для нелинейных цепей, а также ориемы,
рассмотренные в первой части курса для линейных цепей, используемые орн
кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных
сопротивлений. Как и в первой части курса, материал излагается,
руководствуясь правилом «от простого к более сложному».
Во вторую часть курса включена глава, посвященная электрическим
цепям с переменными во времени параметрами. Эти цепи занимают
промежуточное положение между линейными и нелинейными цепями.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
§ 13.1. Основные определения. Как уже говорилось в § 1.1,
под нелинейными электрическими цепями принято понимать
электрические цепи, содержащие нелинейные элементы. Нелинейные элементы
подразделяют на нелинейные сопротивления, нелинейные
индуктивности н нелинейные емкости.
Нелинейные сопротивления (HQ в отличие от линейных обладают
нелинейными вольт-амперными хирактеристиками. Напомним, что вольт-
амперная характеристика (в. а. х.) —это зависимость тока,
протекающего через сопротивление, от напряжения на нем. Нелинейные
сопротивления могут быть подразделены на две большие группы:
неуправляемые и управляемые НС. В управляемых НС в отличие от
неуправляемых кроме основной цепи, как оравило, есть еще по крайней мере
одна вспомогательная или управляющая цепь, воздействуя на ток
или напряжение которой можно деформировать в. а. х. основной цепи.
В неуправляемых НС в. а. х. изображается одной кривой, а в
управляемых—семейством кривых.
В группу неуправляемых НС входят лампы накаливания,
электрическая дуга, бареттер, газотрон, стабиловольт, тиритовые
сопротивления, полупроводниковые выпрямители (диоды) и некоторые другие НС.
В группу управляемых НС входят трех-электродные (и более)
лампы, транзисторы, тиристоры, терморезисторы и другие элементы.
§ 13.2. Вольт-амперные характеристики нелинейных
сопротивлений. На рис. 13.1 изображено одиннадцать типов наиболее часто
встречающихся я. я. х. неуправляемых НС.
В. а. х. типа рис. 13.1, а имеют, например, лампы накаливания
с металлической нитью. Чем больше протекающий через нить ток,
тем сильнее нагревается нить и тем больше становится ее
сопротивление.
Если величину, откладываемую по оси абсцисс, обозначить х,
а величину, откладываемую по оси ординат, f{x), то характеристика
рис. 13.1, с подчиняется условию f(x) = ~f(—х).
Нелинейные сопротивления, для которых выполняется это условие,
называют НС с симметричной вольт-амперной характеристикой.
В. а. х. типа рис. 13.1, б обладают тиритовые сопротивлення,
некоторые типы терморезисторов, и лампы накаливания с угольной нитью.
Для данной группы характерно то, что с увеличением
протекающего тока сопротивление их уменьшается. В. а. х, их симметрична.
В. а. х. типа рис. 13.1, й обладает, например, бареттер. Бареттер
выполняют в виде спирали из стальной проволоки, помещенной
в стеклянный сосуд, заполненный водородом ори давлении порядка
80 мм рт. ст. В определенном диапазоне изменения тока в. а. х,
бареттера расположена почти горизонтально. Бареттер используют,
например, для стабилизации тока накала электронных ламп при
изменении напряжения питания. В, а. х-, типа рис. 13.1, в также
симметрична.
В. а. х. типа рис. 13.1, г в отличие от предыдущих не
симметрична. Ею обладают полупроводниковые выпримители (кремниевые,
германиевые), широко применяемые для преобразования переменного
тока в Постоянный. Они способны пропускать ток практически только
в одном, проводящем, направлении. Широко используют их также
в различных датчиках и ореобразователях устройств автоматики.
В. а. х. типа рис. 13.1, д имеют электрическая дуга с
разнородными электродами, газотрон и некоторые типы терморезисторов. Если
напряжение повышать -начиная с нуля, то сначала ток растет, но
остается весьма малым, после достижения напряжения Ul (наоряже-
иия зажигания) происходит резкое увеличение тока в цепи и
снижение напряжения на электрической дуге или газотроне. Для верхнего
участка в. а. х, приращению тока соответствует убыль напряжения
на нелинейном сопротивлении.
Участок в. а. х. типа верхнего участка кривой рнс. 13.1, д
называют падающим участком еольт-амперной характеристики *.
Электрическую дугу широко применяют при сварке металлов,
в электротермии (в дуговых электропечах), а также в качестве
мощного источника электрического освещения, например в прожекторах.
* Падающий участок в. а. х. представляет собой такой ее участок, на
котором положительному приращению тока через НС соответствует отрицательное
приращение напряжения на НС.
Газотрон представляет собой лампу с двумя электродами, аапол-4
ненную благородным газом (неоном, аргоном н др.) или парами
ртути.
В. а. х. типа рис. 13.1, е имеет двухэлектродная выпрямительная
■ лампа — кенотрон. По нити накала лампы пропускают ток. Этот ток
разогревает катод (один из двух электродов лампы) до высокой
температуры, в результате чего с поверхности катода начинается
термоэлектронная эмиссия. Поддействием электрического поля поток электронов
направляется ко второму, холодному, электроду — аноду. В
начальной части в. а. х. зависимость тока от напряжения подчиняется закону
трех вторых: /=ои3/2. В. а. т. кенотрона не симметрична, это
объясняется тем, что поток электронов направляется с катода на анод только
в том случае, если анод положителен по отношению к катоду.
В. а. х. типа рис. 13.1, ж обладают лампы с тлеющим разрядом.
К числу их относятся стаонловольты (стабилитроны) и неоновые лампы.
При тлеющем разряде благородный газ, которым заполнена лампа,
светится. В. а. х. типа рис. 13.1, ж свидетельствует о том, что в
определенном диапазоне значений токов напряжение на лампе остается
практически неизменным.
Некоторые типы точечных германиевых и кремниевых диодов имеют
я. а. х, типа рис. 13. |,з.
Электрическая дуга между электродами, выполненными из одного
н того же материала н находящимися в одинаковых условиях, имеет
в. а. х, типа рис. 13.1, и.
В. а. х. четырехслойного германиевого (кремниевого) диода —триии-
стора — изображена на рис. 13.1, л; в. в. х, туннельного диода — на
рис. 13.1, к (о принципах работы тринистора см. § 15.43 и
туннельного диода см., например, [21]).
В качестве управляемых нелинейных сопротивлений широко
применяют транзисторы, тиристоры и трехэлектродные электронные лампы.
Их характеристики и применение рассмотрены в гл. 15.
§ 13.3. Общая характеристика методов расчета нелинейных
электрических цепей постоянного тока. В гл. 13 учебника рассматривается
методика расчета простейших нелинейных электрических цепей с
последовательно, параллельно и последовательно-параллельно соединенными
НС и источниками э. д. с. Кроме того, изложена методика расчета
сложных цепей, в состав которых входит только одно "НС (Или цепи,
сводящиеся к -таким) *.
Обратим внимание на то, что с линейной частью любой сложной
разветвленной цепи, содержащей нелинейные сопротивления, можно
осуществлять любые преобразования* рассмотренные в гл. 1. Но эти
".преобразования целесообразны, если оии облегчают расчет всей
сложной схемы. Одно из таких преобразований — от треугольника
сопротивлений к звезде для облегчения нахождения входного
сопротивления линейной части схемы —использовано при расчете в § 13.9.
* С расчетами более сложных схем, которые выходят за рамки кур'са, можно
ознакомится, например, в [21].
Из методов расчета, ориведенных в гл, 1, к нелинейным цепям
орименимы следующие: метод двух узлов; замена нескольких
параллельно включенных ветвей одной эквивалентной; метод эквивалентного
генератора.
До проведения расчета нелинейных цепей должны быть известны
вольт-амперные характеристики входящих в схему нелинейных
сопротивлений. Расчет нелтшейных цепей постоянного тока производят, как
оравило, графически.
§ 13.4. Последовательное соединение нелинейных сопротивлений.
На рис. 13.2, а изображена схема последовательного соединенна НС
с заданной в. а. х., линейного сопротивления R и источника э. д. с. В.
Требуется найти ток в цепи. В. а. х. НС обозначена на рис. 13.2, б
как 1 = }фнсУ, в. а. х. линейного сопротивления — прямая линия.
б) в)
Рис. 13.2
В. а. х. всей цепи, т. е. зависимость тока в цепи от суммы падений
напряжений на НС и R, обозначена через I=f(UHC-^UH). Расчет
основывается на законах Кирхгофа. Обсудим два способа расчета.
Первый способ иллюстрирует рис. 13.2,6, второй —рис. 13.2, в.
При расчете цепи по первому способу строим результирующую
в. а. х. всей пассивной части схемы, исходя из того, что при
последовательном соединении через НС и R проходит одинаковый ток.
Для построения результирующей в. а. х, задается произвольным
током —точкой т, проводим через нее (рис. 13.2,6) горизонталь в
складываем отрезок тп, равный напряжению на НС, с отрезком тр,
равным напряжению на R:
tnn-\-mp = mq*.
Точка q принадлежит результирующей в. а. х. всей схемы.
Аналогично строят и другие точки результирующей я. а. х. Определение
тока в цепи при задаииой э. д. с. В производят графически по резуль^
тирующей в. а: х, С этой целью следует заданную величину э. д. с. Е
отложить по оси абсцисс и через полученную точку провести
вертикаль до пересечения с результирующей в. а. х, в точке q. Ордината
точки q равна искомому току.
* Здесь и далее черта над отрезком означает, что речь идет о его длине.
При расчете цепи по второму способу нет необходимости строить
результирующую в. а. х. всей пассивное части схемы. Учитывая, что
уравнение lR-\-UHC = E в координатах / и UHC представляет собой
уравнение прямой, проходящей через точки 1=E/R; t/ = t//fc=0;
/=0; UHc'=U = Et проводим на рис. 13.2, в эту прямую. Тангенс
угла а~наклона ее к вертикали, умноженный на отношение тц1т{
I, НС/
а)
/
масштабов по осям, численно равен R. Точка пересечения прямой
с в. а. х. НС определяет режим работы цепи. Действительно, для этой
точки ток, проходящий через НС и R, одинаков, а сумма падений
напряжений 0ИС -}- UR = Е. При изменении э. д. с. от Я до £х прямую
/ = f (t/R) следует переместить
параллельно себе так, чтобы она
исходила из точки / = 0, t/=E,
(пунктирная прямая на рис.
13.2, е).
Аналогично рассчитывают
цепи при последовательном
соединении двух и большего числа_
НС. В этом случае сначала
находят в. а. х. двух НС, затем
трех и т. д.
Рис. 13.4 Обсудим применение второго
способа для расчета цепи рис.
13.3, ос двумя различными НС; в. а. х. НС1 н НС2 изображены на рис.
13.3'б. Так как НС2 имеет нелинейную я. а. х., то вместо орямой / = f (f/R),
как это было на рнс.„13.2,в, теперь нужно построить нелинейную
зависимость I=f(UJ. Начало ее (рис. 13.3,в) расположено в точке
/ = 0, Ul=!E, Отсчет положительных значений Us производится влево
от этой точки. Так как положительные аначення t/s на рис. 13 3, боткла-
дываются вправо от начала координат, а на рис. 13.3,в—влево, то
кривая /=/(!/,) рис. 13.3, в представляегсобой зеркальное
отображение кривой 2 рис. 13.3, б относительно вертикальной оси,
проведенной через точку £/! = £.
§ 13.5. Параллельное соединение нелинейных сопротивлении.
Схема параллельного соединения двух НС изображена на рис. 13.4, а;
ее в. а. х. —на рис, 13.4, б. При построении результирующей в. а. х.
исходят из того, что напряжения на HCt и НС2 равны н силу вх
параллельного соединения, а ток в неразветвленной части схемы
/=/,+/„.
Кривая 3 рис. 13.4, б представляет собой я. а. х. параллельного
соединения. Строим ее следующим образом. Задаемся произвольно
напряжением и, равным отрезку От, Проводим через точку т
вертикаль. Складываем отрезок pin, равный току в НС2, с отрезком тр,
равным току в НС1:
mn-\-mp = mq.
Отрезок тд равен току в неразветвленной части цепи при
напряжении От. Аналогично определяют н другие точки результирующей
в. а. х. параллельного соединения.
§ 13.6. Последовательно-параллельное соединение нелинейных
сопротивлений. На рис. 13.5 изображена схема последовательного
соединения НСЗ и двух параллельно
соединенных НС1 и НС2, Требуется
найти токи в ветвях схемы. Заданы
Рис. 13.5
Рис. 13.6
я. а. х. нелинейных сопротивлений (кривые /, 2, 3 рис. 13.6) н э. д. с.
Е. Сначала строим я. а. х. параллельного соединения в соответствии с
методикой, рассмотренной в § 13.5 (кривая 1\2 на рис. 13.6). После
этого цепь сводится к последовательному соединению НСЗ и НС,
имеющего в. а. х. 1-\-2.
Применяем второй способ построения (см. § 13.4). Кривая 3"
рис. 13.6 представляет собой в. а. х. НСЗ, зеркально отраженную
относительно вертикали, проведенной через точку V = Е. В точке
пересечения кривой 3' с кривой 1-\-2 удовлетворяется второй закон
Кирхгофа: V^V^ — E. Сумма токов /i+Za — 's-
§ 13.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двух
узлов. Для схем, содержащих только два узла или ориводящихся
к ним, применяют метод двух узлов. Рассмотрим его на примере
схемы рис. 13.7. В схеме три НС и три источника э. д. с. Пусть я. а. х.
НС изображаются кривыми рис. 13.8, а-в. Для определенности
положим, что £i> Еъ~> Ea. Выберем положительные направления для
токов. Пусть, например, все токи направлены к узлу а. Тогда, по
первому закону Кирхгофа,
л+л+л-а (Щ)
Каждый из токов является нелинейной функцией падения
напряжения на своем НС. Так, 1Х является'функцией Ult /s—функцией
Ua и /8 —функцией £/8.
Выразим все токи в функции одного переменного —напряжения
f/oft между двумя узлами. Для этого выразим Ult Ut, UB через э. д. с.
и{/п6:
Ul = El-Vab; (13.2)
иг^Еа-иаЬ;
Ua*=En-Vab.
(1аз)
(13.4)
Таким образом, возникает задача о том, как перестроить ирнвую
Л—f(^i) в ирнвую Л=/(£/п&), кривую l2 = f(U^ — B кривую /в =
~fWat) и т. д. На рис. 13.9 показано, как
из иривой /,=f(t/^ рис. 13.8, а получить
кривую Л —f(^ns)— точки соответственно
обозначены одинаковыми цифрами.
Для точки 5 кривой рис. 13.8, а /, = 0 и
t/, = О; при этом иаЬ = Ег [см. (13.2)1, т. е. t
чало кривой I^fiUab) сдвинуто в точкуиаЬ
= £,.
Росту иг при t/x>0 соответствует убыль
£/<.(.. Для точки 2 при £/, = £х Uab =0. Росту
Рис. 13.7 \Щ при t/!<0 отвечает рост им, причем
. Vab>El.
На основании изложенного рекомендуется поступать следующим
образом:
1) сместить кривую 7j = ^(t/j) параллельно самой себе так, чтобы
ее начало находилось в точке иаЬ=^г (ирнвая, полученная в
результате переноса, оредставлена пунктиром на рис. 13.9);
Л
1
"7
Рис. 13.8
2) провести через точку UBb=El вертикаль и зеркально отразить
пунктирную кривую относителыю вертикали.
Аналогичным образом производится перестройка кривых и для
других ветвей схемы. Нанесем кривые Л =f (£/„>). it^f(Uab) и /8 =
= fWBb) на одном рисунке (кривые /, 2, 3 на рис. 13.10) и построшг.
кривую /i4-/a + /a = f(^n6) (ирнвая 4 на рис. 13.10), просуммировай'
ординаты кривых /-, 2, 3. Точка m пересечения кривой 4 с осью абсцисс
дает значение UBb, при
котором удовлетворяется
уравнение (-13.1).
Восставим в этой точке
перпендикуляр к оси абсцисс. Орди-
£t
*г
„viju
j\
/4—
Mr
Bl
\
*
ч ,
[^
2
наты точек пересечения перпендикуляра с кривыми /, 2, 3 дадут
соответственно токи Ib /s и /8 по величине и по знаку.
§ 13.8, Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих НС
и э. д. с, одной эквивалентной. Положим, что имеется совокупность
нескольких параллельных ветвей, содержащих НС и источники э. д. с.
Рис. I3.ll
О*
Рис. 13.12
(рис. 13.11). Параллельные ветви входят в состав сложной схемы,
не показанной на рис. 13.11. Каковы должны быть э. д. с. и я. а. х.
эквивалентного нелинейтого сопротивления НСЭучасткасхемырис. 13,12,
чтобы он был эквивалентен параллельным ветвям рис. 13.11?
Одна ветвь рис. 13.12 будет эквивалентной ветвям рис. 13.11
в том случае, если ток / в неразветаленной части цепи рис. 13.11
при любых значениях напряжения 1)аЬ будет равняться току / в ветвн
рис. 13.12,
Воспользуемся построениями на-рис. 13.10. Кривая 4 этого рисунка
предстааляет собой зависимость /^-Ь/а+'а— И^яА т. е. является
результирующей я. а. х. трех параллельных ветвей. Такую же в. а. х.
должна иметь ветвь рис. 13.12. Если ток / в схеме рис. 13.12 равен
нулю, то t/„j = £e. Следовательно, Е9 на рис, 13.10 определяется
напряжением Uobl ори котором кривая 4 пересекает ось абсцисс. Для
определения в. а. х. НСЭ необходимо кривую 4 рис. 13.10 зеркально
отобразить относительно вертикали, проведенной через точку т.
В. а. х. НСЭ изображена на рис. 13.13. Важно подчеркнуть, что
включение э. д. с. в параллельные ветви привело к тому, что в. а. х.
НСЭ стала несимметричной, несмотря на то что я. а. х. нелинейных
сопротивлений /, 2, 3 в схеме рис. 13.7 были взяты симметричными.
Таким образом, изменяя э. д. с. в ветвях параллельной группы,
можно изменять ее результирующую в. а. х, и как бы искусственно
создавать НС с самыми оричудливыми в. а. х.
§ 13.9. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного
генератора. Если в сложной электрической цепи есть -одна ветвь с НС,
/ то определение тока в ней
можно производить по методу
эквивалентного генератора. С этой
целью выделим ветвь с НС, а
всю остальную линейную схему
представим в виде активного
двухполюсника (рис. 13.14, с).
Как известно из § 1.25,
схему линейного активного двухпо-
Рнс. 13.14 люсника по отношению к
зажимам акЬвыделенной ветви
можно представить в виде последовательного соединения источника э. д. с.
с э. д. е., равной наоряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви
яМ^пб*.*), сопротивления, равного входному сопротивлению RBt
линейного двухполюсника, и сопротивления ветви ab (рис. 13.14,6).
Определение тока в схеме рис. 13.14,6 ие представляет труда и
может проводиться в соответствии с § 13.4. '
Пример 131. Определить ток в ветви ab схемь! рис. 13.15 по
методу эквивалентного генератора ""при К^К^Й? Ом; i?a= 108 Ом;
R3-=8I Ом; /^ = 54 Ом; £ = 70 В. В. а. х. НС изображена на
рис. 13.16, а.
Решение. Размыкаем ветвь и определяем напряжение холостого
хода Uabx^ = 24 В.
Для подсчета входного сопротивления RBt линейной части схемы
относительно зажимов ab необходимо преобразовать треугольник
сопротивлений Rlt Ra, Rf, (или J?4, R0, R3) (рис. 13.15,6} в эквивалентную
звезду (рис. 13.15, в) по формулам (1.35) — (1.37):
R°=wrefm =18 °"; *«=4-45 °":
Для определения тока в ветвноЬ схемы (рис, 1-3.15, о)на рас, 13.16, а
проводим прямую, проходящую через точки t/ = t/n6„=20 В, /=0
kU = 0, / = £/вбЖждам = 0,351 А (уголд» наклона этой прямой к
вертикали с учетом масштабов по осям равен /?вя). Точка пересечения этой
-H)-Jff-20-fO 10 20 30 W SO V,B D
С)
Рис. 13.16
,№*
100
ВО
К„.Вм
200 f
КО f
ев ml
to soj
20
*h
L
0,1 о,г 0.3 в.* u,s 1Д
S)
прямой с в. а. х, НС (точка л) определяет рабочий режим схемы.
Ток / = 0\22 А.
§ 13.10. Статическое в дифференциальное сопротивления.
Свойства нелинейного сопротивления могут быть охарактеризованы либо
его в. а. х., либо зависимостями его статического и
дифференциального сопротивлений от тока (напряжения).
Статическое сопротивление R„ характеризует поведение НС
в режиме неизменного тока. Оно равно отношению нааряжения на НС
к протекающему по нему току:
*=,=«///. (13.5)
Сопротивление R„ численно равно тангенсу угла а между осью
ординат и прямой, идущей в точку Ь (рис, 13.16, а), умноженному
йа отношение масштабов по осям /%//П/.
При переходе от одной точки я. а. х. к соседней статическое
сопротивление изменяется.
Под дифференциальным сопротивлением RB принято понимать
отношение малого (теоретически бесконечно малого) приращения
напряжения dU на НС к соответствующему приращению тока dl:
RB = dU/dI. (13.6)
Дифференциальное сопротивление численно равно тангенсу угла р"
(рис. 13.16, и) наклона касательной к в. а. х. в рабочей точке,
умноженному на «1(//«1/. Оно характеризует поведение НС при достаточно
малых отклонениях от предшествующего состояния, т. е,
приращение напряжения на НС связано с приращением тока, проходящим
через него, соотношением dU = RBdI.
Если в. а. х. НС имеет падающий участок, т. е, такой участок,
на котором увеличению напряжения на AU соответствует убыль тока
на Д/, что имеет место, например, для электрической дуги (см. ее
я. а. х. на рис. 13.1, д), то дифференциальное'сспротивленне на этом
участке отрицательно.
Из двух сопротивлений (R„ и RA) чаще применяют RA. Его
используют, наоример, при замене НС .эквивалентным линейным
сопротивлением н источником э. д. с. (см, § 13.11), а также при исследовании
устойчивости режимов работы нелинейных ценен (см. § 17.3).
Пример 132. Построить кривые зависимости RCT и RK в функции
тока / для нелинейного сопротивления, в. а. х, которого изображена
на рис. 13.16, и.
Решение. Кривые построены на рис. 13.16,6.
§ 13.11. Замена нелинейного сопротивления эквивалентным
линейным сопротивлением и э. д. с. Если заранее известно, что
изображающая точка будет перемещаться лишь по
определенному участку я. а. х. НС и этот
участок может быть с известной
степенью приближения заменен орямой
линией, то НС при расчете может быть
\р=/?Л заменено эквивалентным линейным
сопротивлением и источником э. д. с.
/ * I Положим, что рабочая- точка пере-
1 мещается лишь по участку -аЪ (рис.
13.16, а, а также рис. 13.17}. Для
этого участка
Рис. 13.17 Фис. 13.18 U = U0+Itg$ = Ub+fRM. (Г3.7)"
Уравнению (13.7) удовлетворяет участок цепи рис. 13.18. "На нем
Е = — U0 и линейное сопротивление R=RK.
Замена НС линейным сопротивлением и источником э. д. с. удобна
тем, что после нее вся схема становится линейной и ее работа может
быть исследована методами, разработанными для линейных цепей.
Однако при этом необходимо внимательно следить за тем, чтобы рабо*
чая точка ие выходила за пределы линейного участка я. а. х. а
■ц
;
Пример 133. Выразить аналитически участок я. а. х. рис. 13.16, а
в интервале между точками о и с.
Решение. Из рис. 13.16, а находим U0 = — 45 В и RB = tg$ =
= 220 Ом. Следовательно, U^—45+220/.
Нелинейные сопротивления в ряде случаев придают электрическим
цепям свойства, принципиально недостижимые в "линейных цепях,
например, стабилизация тока, стабилизация напряжения, усиление
постоянного напряжения и др.
§ 13.12. Стабилизатор тока. Стабилизатором тот называют
устройство, которое способно поддерживать в нагрузке неизменный
ток при изменении сопротивления нагрузки н напряжения на входе
всей схемы.
Рис. 13.19 Рис. 13.20
Стабилизацию постоянного тока можно производить с помощью
различных схем. Простейшей схемой стабилизатора тока является схема
рис. 13.19. В ней последовательно с нагрузкой R„ включено НС типа
бареттера Б. На рис. 13.20 приведена в. а. х. бареттера 0.3Б17 —35.
Первая цифра означает ток в амперах, который бареттер способен
поддерживать постоянным, цифры 17—35 показывают область
изменения напряжения на бареттере в вольтах на участке бареттирования
(поддержания постоянства тока).
Пример 134. Бареттер 0.3Б17—35 используется для стабилизации тока накала
электронной лампы. Номинальный ток накала 0,ЗА, напряжение 6 В. Определить,
в каких пределах можно изменять наяряжение U иа входе схемы, чтобы ток вити
накала лампы оставался неизменным и равным 0.3 А.
Решение. Сопротивление нити накала лампы
Кя=6/0.3 =20 Ом.
Проводим'через точки а и ft (рис. 13-20), ограничивающие участок
бареттирования, две прямые под углом се (tgce с учетом масштабов по осям численно
равен 20) к иертикали. По рис. 13.20 определяем, что наяряжение U можно
изменять в интервале 23-5-41 В.
Пример 135. В схему предыдущей задачи введено последовательное
сопротивление ft. Полагая напряжение иа входе схемы неизменным и равным 41 В. найти.
До какого максимального значения Rt в схеме имеет место стабилизация тока.
Следовательно, filma,=8
-20=60 Ом.
Рис. 13.21
§ 13.13. Стабилизатор напряжения. Стабилизатором напряжения
называют устройство, -напряжение на выходе которого [/„
поддерживается постоянным или почти постоянным при
изменении сопротивления нагрузки /?„ или на-
• пряжения [/, на входе устройства.
Схема простейшего стабилизатора
напряжения показана на рис. 13.21. В качестве НС
используется стабилитрон; /?6 — балластное
сопротивление. На рис. 13.22 изображена в. а. х.
стабилитрона.
При анализе работы стабилизатора
определяют пределы допустимых изменений U1 при
ЛГН — const, а также исследуют работу
стабилизатора при одновременном изменении С/, и RB.
Для оценки качества работы стабилизатора иногда пользуются
понятием коэффициента стабилизации. Под ним понимают отношение
относительного приращения
напряжения на входе стаби- А«Л
лнзатора (AtAj/tAJ к относи- ,„
тельному приращению
напряжения на выходе стабилизато- m
pa QJUjUJ. M
Пример Ш. В схеме рис, 13.21 20
ЯИ=й кОм; Кб=2 кОм. В. а. х.
стабилитрона соответствует рис. „
13.22. Определить границы допу- №
стимого изменения |/„ при
которых на выходе стабилитрона
поддерживается стабилизированное на- 6
пряжение 150 В.
Решение. Воспользуемся
методом эквивалентного
генератора. Разомкнем ветвь стабилитрона
200 250 500 U,B
Рис. 13.22
найдем напряжение холостого хода:
<W
-*5
или UlB
) В. Следовательно^ напряжение U. может измениться от 220 до
Пример 137. Для схемы рис. 13.21 при Rc=2 к®** (в- а- *■ стабилитрона
см. на рис. 13.22) и 1/^=250 В определить, в каких пределах можно изменять
сопротивление нагрузки Rm чтобы стабилизатор мог выполнять свои функции по
стабилизации выходного напряжения.
Решение. Воспользовавшись .методом эквивалентного генератора, определим
ЗД>
2000R
lta"*w"»i R„+R6 ~ 2000+Дя-
Задача сводится к определению значений RB, при которых прямые,
характеризующее /?л, будут проходить через точки т a n в. а. х. стабилитрона. В дан-
Яй-О"
3
4
5
рх.ж' В
ISO
167
178
«в,-0»
1200
1330
1425
«„.Ом
6
7
8
v*-*> B
137
194
200
«„,. Он
1500
1555
1600
ном примере неизвестны ни тангенсу углов а, ни исходные точки на оси абсцисс,
нз которых должны быть проведены прямые, поэтому решаем задачу путем
пробных построений. С этой целью
задаемся значениями RB в
подсчитываем соответствующие им t/z x и Re,
(табл. 13.1).
По данным таблицы проводим
несколько Лучей. Графически находим,
что прямые (пунктирные прямые на
рис.13.22) пройдут через точки man
соответственно при RBn,in=3,3 кОм н
ЯнП1М=8 кОм.
§ 13.14. Усилитель
постоянного напряжения. Усилителем
постоянного напряжения
называют устройство, приращение
напряжения на выходе
которого больше приращения
напряжения на входе. Усилители
постоянного напряжения часто выполняют на управляемых НС—трех-
электродных лампах или транзисторах. На рис. 13.23 изображены
анодные (по существу, вольт-амперные) характеристики трехэлектрод-
нон лампы 6С2С. Под ними понимают зависимость анодного тока
лампы /в от анодного напряжении U, при сеточном напряжении Vc
в качестве параметра.
Схема усилителя постоянного напряжения изображена на рис. 13.24.
ш
л
io
Л
Lb
io
faM 1
/
/
Г
/*
7^
s8
^
/
ис=
>fc
о
л
=- *
--
1,0 во по по год гм гзо зго и,,в
Рис. 13.23
Входное (усиливаемое) напряжение подается на сетку лампы,- На(
выходе усилителя (зажимы а а Ь) включена нагрузка /?„.
Сетка триода. расположена ближе к катоду, чем анод. Влияние.
поля сетки на поток электронов с катода на анод значительно больше
влияния поля анода. Поэтому сравнительно незначительные изменен
ния напряжения на сетке приводят к резкому изменению анодного'
. тока к напряжения на выходе усилителя. Составим уравнение по вто>
'А
Рис. 13.24
Рис. 13.25
рому закону Кирхгофа для анодной сети: Ua-\-IeRB = E. Это
уравнение в координатах Utt /и описывает прямую, лроходящую через точки
Ua = E, /а = 0 н 1/а = 0, /в = Я//?„. Прямая составляет с вертикалью,
угол a (tgamufmj=/?„). Точки пересечения прямой с иривыми
семейства в. а. х. лампы (см. рис. 13.23) дают возможность определить
значение /„ при выбранном Vc.
Пример 138. Построить зависимость 1/вы-,=/Д/с) для схемы рнс. 13.24, если
Кн=12 кОм и £-=240 В. Триод 6С2С.
Решение. Из точке /в=0, Ut=E через точку Vt=^0, Ia=E/Ra проводим
прямую. Точки нересечення ее с анодными характеристиками дают
соответствующие значения *' " " 'ч——-
Ш\
1^А
• Vnbix~f(Uc> отличается от
зависимости /а=/((/с) (рис. 13.25)
только масштабом (1/в=/,!?,„ J?„=
§ 13.15. Терморезнсторы. Тер-
марезисторы представляют собой
НС, сопротивление которых сильно
зависит от температуры Т тела тер-
ыорезнстора.
Так кви эта температура аа-
висчт не только от тока,
проходящего ло терыорезистору, но и от
температуры опружающей среды, в,
. 13.26 то они представляют собой темпе-
ратурво управляемые НС-
Другими словами, один и тот же терморезистор обладает различными в. а. х- при
различных G. Ток, нагревающий терыорезистор, может проходить по самому тер- '
ыореэистору либо во нагревательной обмотке, электрически изолированной от него. ;
Терморезисторы подразделяют надва класса: термиагшры (с отрицательным
температурным коэффициентом) и позщторы (с положительным температурным
коэффициентом). Термисторы изготавливают нз окислов меди и марганца, позн-
сгоры—нэ титаната бирия, легированного редкозечельиымя металлами. Постоян- j
наи времени нагрева терморезисторов составляетобычвонесколькодесяткон секунд. )
На рнс. 13.26, а изображены в. #. х. термистора типа ММТ-4, а ни 5
рнс. 13.26, б—позистора СТб-1. |
Вопросы дм самопромрки
1. Дайте определения следующим понятиям: нелинейное сопротивление,
нелинейная злектричесиая цепь, статическое и дифференциальное сопротивления.
2. Качественно изобразите в. а. х. известных Вам -тнпол неуправляемых и
управляемых НС. 3. Как заменить несколько параллельных ветвей с НС и
источниками э. д. с. на одну эквивалентную? Определите характеристики элементов
эквивалентной ветви. 4. Перечислите этапы расчета нелинейных цепей (НЦ)
методом двух узлов и методом эквивалентного генератора- 5. Перечислите свойства,
которыми при определенных условиях могут обладать НЦ и не обладают
линейные ueiiH. 6. Решите задачи 2.4: 2.8: 2.13; 2.14;.2.15; 2.20; 232.
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ
§ 14.1. Подразделение веществ на две группы—ферромагнитные
и неферромагнитные. Из курса физики известно, что все вещества
по магнитным свойствам подразделяют на три основные группы:
диамагнитные, парамагнитные и ферромагнитные. У диамагнитных веществ
магнитная проницаемость р. немного меньше единицы, например
у висмута она равна 0,99983; У парамагнитных веществ р. немного
больше единицы, например ji платины равно 1,00036. У
ферромагнитных веществ (железо, никель, кобальт н их сплазы, ферриты н
др.) р. много больше единицы (например, 10*), а у некоторых
материалов даже до 10*).
При решении большинства электротехнических задач практически
достаточно подразделять все вещества ие иа дна-, пара- и
ферромагнитные, а иа ферро- и неферромагнитные. У ферромагнитных веществ р.
много больше единицы, у всех неферромагнитных р. практически равно
единице.
§ 14.2. Основные величины, характеризующие магнитное поле.
Основными векторными величинами, характеризующими магнитное
поле, являются магнитная индукция В и намагниченность / *.
Магнитная индукция Я—это векторная величина, определяемая
по силовому воздействию магнитного поля на ток (см. гл. 21).
Намагниченность Т— магнитный момент единицы объема вещества.
Кроме этих двух величин магнитное поле характеризуется
напряженностью магнитного поля И.
Тра величины—Я, J, Я—связаны друг с другом следующей
зависимостью**:
в=М#+7). (14.1)
В СИ индукция В измеряется в теслах (Т):
I Т=1 В.с/м*=1 Вб/м»
* Стрелка лад буквой свидетельствует о том, что речь идет о векторе в
пространстве.
** Пояснения к формуле (14.1) см. в § 14.24,
или в кратных ей единицах Вб/см*, а в системе СГСМ — в гауссах
(I Гс^Ю-8 Вб7смв).
Намагниченность J и напряженность поля Я в СИ измеряют
в амперах на метр (А/м), а в системе СГСМ — в эрстедах (Э).
Намагниченность J представляет собой вектор, направление кото^
рога полагают совпадающим с направлением Я в данной точке.
J = xfi. (14.2J
Коэффициент к для ферромагнитных веществ является функцией Я.
Подставив (14.2) в (14.1) и обозначив l-f-x = |i, получим
В=и^Я = р,аЯ, (14.3)
где Цо —постоянная, характеризующая магнитные свойства вакуумаГ
р.а—абсолютная магнитная проницаемость
В СИ Цо=4л-10-7 г/м= 1,256- 10* Г/м; в СГСМ Цо=1. Для
ферромагнитных веществ fi является функцией Я.
Магнитный поток Ф через некоторую поверхность S — эею поток
вектора магнитной индукции через эту поверхность:
<&=\BdSt (14.4)
где dS — элемент поверхности S.
В СИ магнитный поток измеряют в В - с или веберах (Вб); в СГСМ—.
в максвеллах (Мкс) или кратных единицах —киломаксвеллах (кМкс):
1 Мкс^КН Вб; 1 кМкс = 108 Мкс.
При расчетах магнитных цепей обычно используют две величины—
магнитную индукцию В и напряженность магнитного поля Я.
Намагниченность J в расчетах, как правило, не используют [при
необходимости значение /, отвечающее соответствующим значениим
В и И, всегда можно найти по формуле (14.1)].
Известно, что ферромагнитные тела состоят из областей
самопроизвольного (спонтанного) намагничивания. Магнитное состояние каждой
области характеризуется вектором намагниченности. Направление
вектора намагниченности зависит от внутренних упругих напряжений и
кристаллической структуры ферромагнитного тела.
Векторы намагниченности отдельных областей ненамагниченного
тела направлены в различные стороны. Поэтому во внешнем по
отношению к ферромагнитной среде пространстве намагниченность
ферромагнитного тела, если оно не помещено во внешнее магнитное поле,
не проявляется. Если же ферромагнитное тело поместить во внешнее
магнитное поле, то под его действием векторы намагниченности
отдельных областей будут поворачиваться по внешнему полю. В результате
этого индукция результирующего магнитного поля оказывается во
много раз (сотни и даже сотни тысяч раз) больше, чем магнитная
индукция внешнего поля до помещения в него ферромагнитного тела.
§ 14.3. Основные характеристики ферромагнитных материалов.
Свойства ферромагнитных материалов принято -характеризовать
зависимостью магнитной индукции В от напряженности магнитного поля Hd
„ Ситка." пределшгс,
цикщ ала правая
размагничивания
различают два основных типа этих зависимостей: иривые
намагничивания и гнстерезисные петлн.
Под кривыми намагничивания понимают однозначную зависимость
между В и Я. Кривые намагничивания подразделяют на начальную,
основную и безгистерезисную (что будет пояснено далее).
Из курса физики известно, что ферромагнитным материалам
присуще далекие гистерезиса—отставание изменения магнитной индукции В
от изменения напряженности магнитного поля Я. Гистерезис
обусловлен, грубо говоря, внутренним трением областей
самопроизвольного намагничивания. При
периодическом изменении
напряженности поля
зависимость между В и Я
приобретает петлевой
характер.
Различают несколько
типов гнстерезисных
петель—симметричную,
предельную и несимметричную
(частный цикл).
На рис. 14.1
изображено семейство
симметричных гнстерезисных петель.
Для каждой симметричной
петли максимальное
положительное значение В
равно максимальному отрица- Ряс м (
тельному значению В и
соответственно Ятях = |—Ята* |."
Геометрическое место вершин симметричных гнстерезисных петель
принято называть основной кривой намагничивания. При очень
больших Я вблизи ±Нтвх восходящая и нисходящая части гистерезис-
ной петли практически сливаются.
Предельной гистерезиснои петлей или предельным циклом
называют симметричную гнстерезисную петлю, снятую при очень" больших
Ятя][. Индукцию при Я = 0 называют остаточной индукцией и
обозначают ВГ.
Напряженность поля при В = 0 называют задерживающей или
коэрцитивной силой и обозначают Яс.
Участок предельного цикла В,Яе (рис. 14.1) принято называть
кривой размагничивания или шспинкой» гистерезиснои петли.
Этот участок используют при расчетах магнитных цепей с
постоянными магнитами и магнитных элементов запоминающих устройств
вычислительной техники.
Если изменять Я периодически и так, что -+- Нп,вхф\ — Ягавя|,
то зависимость между В к И будет петлевого характера, но центр
петли ие совпадает" с началом координат (рис. 14.2). Такие гистере-
зисиые петли принято называть частными петлями гистерезиса, или
частными циклами.
titcuMHtmpuvime,
еттерезисиые
веяна ми
частные циклы*
Рис. 14.2
Когда предварительно размагниченный. ферромагнитный материал,
(В = 0, Н = 0) намагничивают,' монотонно увеличивая Я, получаемую
зависимость между В к И назы-
ваш i начальной кривой
намагничивания.
Начальная и основная ирй*"
вые намагничивания настолько
близко расположены друг к
другу, что практически во многих
случаях их можно считать
совпадающими (рис. 14.2).
Безгистерезисной кривой
намагничивания называют
зависимость между В и Я,
возникающую, когда при намагничивании ферромагнитного материала его
периодически постукивают или воздействуют На него полем, имеющим
кроме постоянной составляющей еще и затухающую По амплитуде
синусоидальную составляющую. При этом гистерезис как бы снимается.
Безгистерезисная кривая намагничивания весьма резко отличается
от основной Кривой.
В различных справочниках, а также в ГОСТ 802—58 в качестве
однозначной зависимости между В и Я дается основная кривая
намагничивания.
§ 14.4. Потери, обусловленные гистерезисом. При периодическом.
перемагничивании ферромагнитного материала в нем совершаются'
необратимые процессы, на которые
расходуется энергия от
намагничивающего источника. В общем случае
потерн в ферромагнитном сердечнике
обусловлены гистерезисом,
макроскопическими вихревыми токами и
магнитной вязкостью. Степень
проявления различных видов потерь зависит
от скорости перемагничивания
ферромагнитного материала. Если
сердечник перемагничивается во времени
весьма замедленно, то потери в
сердечнике обусловлены практически
только гистерезисом (потери от
макроскопических вихревых токов и
магнитной вязкости при этом стремятся к
нулю).
Физически потери, обусловленные
гистерезисом, вызваны главным обра- рис 14,3
зом потерями от микроскопических
вихревых токов при скачкообразных поворотах векторов намагнич
нести отдельных намагниченных областей (скачки Баркгаузена, из:.
стные из курса физики). =. *
Площадь гйстерезисной петли §HdB характеризует энергию,
выделяющуюся в единице объема "ферромагнитного вещества за один цикл
перемагничивания.n
Представим площадь гйстерезисной петли рве. 14.3 в виде суммы четырех
площадей:
фн dB=Sl+Slt-i-St-i-Si.
Площадь Si соответствует движению от точки I до точки 2; так как на этом
участке Н>-0 и dB>-D. то произведение Я(ГЯ>0 и Si>0.
Площадь Sa характеризует движение от точки 2 во 3; так как в этом
интервале Я>0и dB<0, то SB<0.
Площадь Sj—движение от точки 3 до 4; Ss>-0, так как й<0и dB<0.
Площадь St—движение от точки 4 до /; S, < О, так как И <0 и АВ > 0.
Если ферромагнитный сердечник подвергается периодическому
намагничиванию (например, в цепях переменного тока), то для
уменьшения потерь на гистерезис в нем он должен быть выполнен из маг-
нитномягкого материала (см. § 14.5).
§ 1Ф.5. Магнитномягкие в магнитнотвердые материалы.
Ферромагнитные материалы можно подразделять на магнитномягкие и
магнитнотвердые.
Магнитномягкие материалы обладают круто поднимающейся
основной кривой намагничивания и относительно малыми площадями
В
1 /
6)
Рис. 14.4
гистерезисных петель. Их применяют во всех устройствах, которые
работают или могут работать при периодически изменяющемся
магнитном .потоке (трансформаторах, электрических двигателях и
генераторах, индуктивных катушках и т. п.).
Некоторые магнитномягкие материалы, например перминвар, сплавы
68НМП и др., обладают петлей гистерезиса по форме, близкой к
прямоугольной {рис 14.4, а). Такие материалы получили распространение
в вычислительных устройствах и устройствах автоматики.
В группу магнитномягких материалов входят электротехнические
стали, железаннкелевые сплавы типа пермаллоя и др.
Магнитнот&рдые материалы обладают полого поднимающейся
основной кривой намагничивания н большой площадью гйстерезисной
легли. В группу магнитнотвердых материалов входят углеродистые
стали, сплавы магнико, вольфрамовые и платиноксбальтовые-сплав.*
и др. Из магнитнотвердых материалов выполняют постоянные магниты.
На рис. 14.4, б качественно сопоставлены гистерезисные петли для
магнитномягкого материала типа пермаллоя (кривая /) и для магнит-
нотвердого материала (кривая 2).
§ 14.6. Магнитоднэлектрикя и ферриты. В радиотехнике, где
используют колебания высокой частоты, сердечники индуктивных ка-'
тушек изготовляют из магнитодиэлектриков или из ферритов.
Магнитодиэлектрики — это материалы, полученные путем
смешения мелкоизмельченного порошка магнетита, железа или пермаллоя
с диэлектриком. Эту смесь формуют н запекают. Каждую
ферромагнитную крупинку обволакивает пленка из диэлектрика. Благодари
наличию таких пленок сердечники из магнитодиэлектриков ие наш-.
щаются; и. их находится в интервале от нескольких единиц до несколь1
ких десятков.
Ферриты — это материалы, которые изготавливают из окислов меди
или цинка и окислов железа и никеля. Смесь формуют и обжигают,
r результате чего обычно получают твердый раствор, например Ztr - FejjO,.
По своим электрическим свойствам ферриты являются
полупроводниками. Их объемное сопротивление р= 1-т-Ю7 Омм, тогда как для
железа ps=wl(h* Ом-м.
Можно получить самые различные магнитные свойства ферритов.
В отличие от магнитодиэлектриков ферриты могут насыщаться.
Коэрцитивная сила ферритов составляет примерно 10 Д/м. Маркируют их
буквами и цифрой. Например, феррит НЦ-1000 означает никельцнн-
ковый феррит, у которого на начальном участке иривой
намагничивания р. = 1000.
§ 14.7. Закон полного тока. Магнитное поле создается
электрическими токами. Количественная связь между линейным интегралом от
вектора напряженности магнитного поля И вдоль любого
произвольного контура и алгебраической суммой токов £/, охваченных этим
контуром, определяется законом полного тока
§HdT=£l. (14.5)
Положительное направление интегрирования йТсвязано с положи?
тельным направлением тока / правилом правого винта.
Закон полного тока является опытным законом. Его можно
экспериментально проверить путем измерения §Hdl с помощью
специального устройства (известного из курса физики), называемого магнитным
поясом.
ж
. М. д. с. Iw вызывает магнитный поток в магнитной цепи подобно
тому, как э. д. с. вызывает электрический ток в электрической цепи.
Как и э. д, с, м. д. с. есть величина
направленная (положительное направление на
схеме обозначают стрелкой).
Положительное направление м. д. с.
совпадает с движением острия правого винта,
если его вращать по направлению тока r
обмотке.
Для определения положительного
направления м. д. с. пользуются следующим
мнемоническим правилом: если сердечник
мысленно охватить правой рукой,
расположив ее пальцы по току в обмотке, а затем отогнуть большой
палец, то последний укажет направление м. д. с.
На рис. 14.5 даны несколько эскизов с различным направлением
намотки катушек на сердечник н различным направлением м. д. с.
§ 14.9. Разновидности магнитных цепей. Магнитной цепью
называют совокупность м. д. с, ферромагнитных тел или каких-либо иных
тел (сред), по которым замыкается магнитный поток.
Магнитные цепи могут быть подразделены на. неразветвленные и
разветвленные. Примером неразветвленной пели может служить цепь,
Рис. 14.5
показанная на рис. 14.6. Разветвленные цепи делятся на
симметричные и несимметричные. Магнитная цепь рис. 14.7 симметрична: в ней
С\ = Фя, если обе части ее, расположенные слева и справа от
вертикальной пунктирной линии, одинаковы в геометрическом отношении,
изготовлены из одного и того же материала и если /,Ю! = /аш2.
Достаточно сделать /да^ь/дОД» или изменить направление тока
в одной из обмоток, или сделать воздушный зазор в одном из
крайних стержней магнитопровода, чтобы магнитная цепь рис. 14.7 стала
несимметричной. В несимметричной цепи рис. 14.7, как правило, поток
§ 14.10. Роль ферромагнитных материалов в магнитной цепи*
Электрические машины,, трансформаторы и другие аппараты
конструируют так, чтобы магнитный поток в них был по возможности наи-
большим. Если в магнитную цепь входит ферромагнитный- матери -
то поток в" магнитной пели при одной и той же м. X с. и'одинак
геометрии цепи оказыв
во много раз больше, чем в'
случае отсутствия ферром
нитвого материала.
Пример 139. Возьмем д
одинаковых в геометрическан.
отношении кольцевых
сердечника (рис. 14.8).. Пусть par
диус их средней магнитной
линии R = 10 см и поперечное,
сечение S = 2 см*. Один
сердечник неферромагнитный,
например деревянный, а
другой — ферромагнитный (кри*
вая намагничивания рис, 14.9).
Намотаем на каждый кольце-,
вой сердечник обмотку с
"числом витков е»==200 и
пропустим по ним- одинаковый ток
/, например в 1 А.
Определить потоки в сердечниках. "
Решение. По закону
полного тока напряженность
поля одинакова .в обоих
сердечниках и не зависит от ма-
Рнс. 14.9 териала:
Я=/к>/(2я#)-1-200/(2л-0,1) = 318 А/и,
Магнитный поток в неферромагнитном сердечнике
Чфнф = В5=[1о}1Я5 = 1,256.10-«-318-210-*=8-10-в Вб.
По кривой намагничивания рис. 14.9 находим, что при Я = 318 А/м
Вы 1,02 Т.
Магнитный поток а ферромагнитном сердечнике
W
0,8
В
/
/
«
0 80
ч> п
ТО IS
?о го
00'Ш
оо га
IfifH,
ф*.
= BS=1,02-10^-2 = 20,4-10-1 Вб.
Таким образом, поток в ферромагнитном сердечнике в 20,4-10*/8 ="■
= 2550 раз больше, чем в нарерромагнитнш.
Ферромагнитные материалы вводят в магнитную цепь также с цел
сосредоточения магнитного поля в заданной области пространства и
придания ему определенной конфигурации.
§ 14.11. Падение магнитного напряжения. Падением магншпн
напряжения между точками а и Ь магнитной пели называют лин
ный интеграл от напряженности магнитного поля между этими точками:
Uuab^\Hdl. (14.6)
Если на этом участке Я постоянна и совпадает по направлению
с элементом пути dl, то Hdl~HdlcosO° н Я можно вывести из-под
знака интеграла. Тогда
ь
Vuab = H\dl = mab, (14.6а)
где 1пЬ — длина пути между точками а и Ь.
Падение магнитного напряжения измеряют в амперах (А).
В .том случае, когда участок магнитной цепи между точками а и Ъ
может быть подразделен на п отдельных частей так, что для каждой
части fi = Hll = const, то
иыаь= Е ЯА- (14.7)
§ 14.12. Вебер-амперные характеристики. Под вебер-амперной
(максвелл-амперной) характеристикой (в. а. х.)* понимают
зависимость потока Ф по какому-либо участку магнитной цепи от падения
магнитного напряжения"на этом участке: Ф=/(1/„).
Она_ играет такую же важную роль при расчетах и исследовании
магнитных цепей, как н в. а. х. нелинейных сопротивлений при
расчетах и исследовании электрических цепей с нелинейными
сопротивлениями (см. гл.. 13).
В. а. х. при расчетах магнитных цепей в готовом виде ие задаются.
Перед расчетом их нужно построить с помощью кривых
намагничивания ферромагнитных материалов,
входящих в магнитную цепь. . * .
§ 14.13. Построение вебер-амперных
характеристик. На рис. 14.10 изображен
участок магнитной цепи, по которому
проходит поток Ф. Пусть участки 1Х н~
1% сечением S выполнены из
ферромагнитного материала, кривая B = f(H) для которого дэна, например,,
на рис. 14,9. На участке длиной 6 магнитный поток проходит по
воздуху.
Требуется построить в. а. х, участка цепи между точками а и Ъ.
Пра построении допустим, что: 1) магнитный поток вдоль всего
участка от о до Ь'постоянен (отсутствует рассеяние); сечение
магнитного потока в воздушном зазоре такое же, как и на участкех /х и ^
(отсутствует боковой распор силовых линий в зазоре*. В действитель-
* В гл. 14 (в отличие от гл. 13} под в, а. х. понимается вебер-амдерная
[характеристика.
=33= *
Для неферромагнитных участков (участок 6)
^0 Г/и '^ ' ,1Г^ Г/и
Таким образом, для определения Я (А/м) в воздухе следует
умножить индукцию, выраженную в теслах, на коэффициент 0,8-10s.
Для каждого значения В
определим поток Q> = BS и найдем
По результатам подсчетов строим
кривую $> = f(U^.
Пример 140. Построить в. г
для участка цепи рис. 14.10 прн
6=0; 0,005; 0,05 см; ^-10 см;
/2 = 5 см"; S = 5 сма.
Решение. Определим
падение магнитного напряжения между
точками а и Ъ участка магнитной
цепи рис. 14.10 при 6 = 0,005 см и
В = 0,5 Т.
Из кривой рис. 14.9 находим, что индукции В = 0,5 Т
соответствует напряженность поля Я = 40 А/м.
Таким образом, при В =0,5 Т Ht = Hs = 40 А/и.
По формуле &я0ь = Я1/1+Яа?а+Яв6 подсчитываем VKab =
- 40-0,1 +40-0,05+0,8-0,5- 10е.5- И)-4 = 26 А.
Значения UHab при иных зазорах и индукциях находим
аналогичным образом. Подсчеты сводим в табл. 14.1.
Таблица 14. Г
%tib
50
30
to
/
/
'/
/
t
/
'
е<
9=есм
~~~О,О05
/
/
'
^
S
tffl
100 100 300 400 500 BOO Ччнд4
Рис. 14.11
0,8
t.0
U
1,2
8.8
S.6
1Q.4
11,2
■ По данным таблицы на рис. 14.11 построены в. а. х. при трех
значениях 6. Из построений видно, что если участок, для -которого
строят в. а. х„ не имеет «воздушного» включения, то в. а. х. круто
поднимается вверх. При наличии воздушного включения в. а. х.
спрямляется и идет более полого,
§ 14.14. Законы Кирхгофа для магнитных цепей. При расчетах
магнитных цепей, как и электрических, используют первый и
второй законы (правила) Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма
магнитных потоков е любом узле магнитной цепи равна нулю:
£ф = 0. * - (14.8)
Первый закон Кирхгофа для магнитных цепей следует из принципа
непрерывности магнитного потока, известного из курса физики
(см. также § 21.8).
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений
магнитного напряжения вдоль любого замкнутого контура равна
алгебраической сумме м. д. с. вдоль того же контура:
2".-2/Л <14-9>
Второй закон Кирхгофа для магнитных цепей по сути дела есть
иная форма записи закона полного тока.
Перед тем как для магнитной цепи записать уравнения по
законам Кирхгофа, следует произвольно выбрать положительные
направления потоков в ветвях магнитной цепи и положительные направле- ,
ния обхода контуров.
Если направление магнитного потока на некотором участке
совпадает с направлением обхода, то падейие магнитного напряжения этого
участка входит в сумму j^Um со знаком плюс, если встречно ему,
то со знаком минус.
Аналогично, если м. д. с. совпадает с направлением обхода, она
входит в y\lw со знаком плюс, в противном случае—со знаком
минус.
6 качестве примера составим уравнения по законам Кирхгофа для
разветвленной магнитной цепи, изображенной на рис. 14.12.
Левую ветвь назовем первой, и все относящиеся к ней величины
будут с индексом 1 (поток Ф,, напряженность поля Hi, длина пути
в стали llt длина воздушного зазора 6lt м. д. с. /,1^).
Среднюю ветвь назовем второй, н все относящиеся к ней величины
будут соответственно с индексом 2 (поток Фа, напряженность поля ЯЕ,
длина пути в' стали /я, длина воздушного зазора 6S, м. д. с. /вш^.
Все величины, относящиеся к правой ветви, имеют индекс 3 (по- -
ток Ф3, длина пути на вертикальном участке & суммарная длина
пути на двух горизонтальных участках Га).
Произвольно выберем направление потоков в ветвях. Положим,
что все потокн (Фя, Фа, Фл) направлены вверх (к узлу а). Число
уравнение:
W
По второму закону Ккрх-
гофа следует составить
число уравнений, равное числу
ветвей, за вычетом числа
уравнений, составленных по
первому закону Кирхгофа.
В рассматриваемом
примере по второму закону
Кирхгофа составим 3—1=2
уравнения.
Первое из этих
уравнений составим для контура,
образованного первой и вто
рой ветвями, второе — для
контура, образованного первой и третьей ветвями (для периферийного
контура).
Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа
необходимо выбрать'положительное направление обхода контуров. Будем
обходить контуры по часовой стрелке.
Уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями,
ДА + ^ьА—#Л—#<jA = /iiwi — /stt>2.
(б)
где #ci и Яца —напряженности поля соответственно в воздушных
вазорах 62 и 6%.
В левую часть уравнения вошли слагаемые Htlt и ЯвД со знаком
плюс, так как на первом участке поток Ф, направлен согласно с
обходом контура; слагаемые #в/а и ЯсД — со знаком минус, так как
поток Ф3 направлен встречно обходу контура.
В правую часть уравнения м. д. с. Ilwt вошла со знаком плюс,
так. как она направлена согласно с обходом контура, а м. д. с.
/8iwa—со знаком минус, так как она направлена встречно обходу
контура.
Составим уравнение для периферийного контура, образованного
к и третьей ветвями:
Иг1г + #сА — #а/з — #в/8 = IjWj.
<в)
Совместно решать три уравнения {(а), (б), (в)] с тремя
неизвестными (ф„ Фя, Фд) не будем, так как в § 14Л8 дается рещение рас-.
Рис. 14.13
сматриваемой задачи более совершенным методом, чем метод на основе
законов Кирхгофа, —методом двух узлов.
§ 14.15. Применение к магнитным цепям всех методов, исполь-'
зуемых для расчета электрических цепей с НС. В гл. 13 подробно
сбсуждались различные приемы
расчета электрических цепей с НС. Все
эти методы полностью применимы и
к расчету магнитных цепей, так как
и магнитные и электрические цепи
подчиняются одним н тем же
законам — законам Ккрхгофа.
Аналогом тока в электрической
цепи является поток в магнитной цепи,
аналогом э. д. с. — м. д. с. Аналогом
вольт-амперной характеристики
нелинейного сопротивления — вебер-ампер-
ная характеристика участка
магнитной цепи. '
§ 14.16. Определение м. д. с не-
разнетвленной магнитной цепи по
заданному потоку. Заданы
конфигурация и геометрические размеры
магнитной цепи, кривая (кривые) намагничивания., ферромагнитного
материала и магнитный поток или индукция в каком-либо сечении.
Требуется найти м. д. с, ток или число витков намагничивающей обмотки.
Расчет проводим в такой последовательностн:
1) разбиваем магнитную цепь на участки постоянного сечения н
определяем длины lb (м) и площади поперечного сечения Sk (м8)
участков (длины участков берем по средней .силовой линии);
2) исходя из постоянства потока вдоль всей цепи, по заданному
потоку н сечениям Sk находим магнитные индукции на каждом участке:
Bfe = OYSt;
3) по кривой намагничивания определяем напряженности поля Нк
для ферромагнитных участков магнитной цепи; напряженность поля
в_ воздушном зазоре
НА„-0#-Ю>Вт; (14.10)
4) подсчитываем сумму падений магнитного напряжения вдоль всей
магнитной цепи 2j Н^-ь и на 'основании закона полного тока праравг
ннвэем эту сумму полному току Iter.
Основным допущением при расчете является то, что магнитный
поток вдоль всей магнитной цепи полагаем неизменным. В действи-
телЁНЬсти небольшая часть потока всегда замыкается, минуя основной
путь. Например, для магнитной цепи рис. 14.6 поток, выйдя из левого
сердечника, в основном направляется по пути тасЪп, но небольшая
часть потока идет по воздуху по пути mqn. — -
Поток, который замыкается, минуя основной путь, называют
потоком рассеяния. При малом воздушном зазоре поток рассеяния
относительно мал; с увеличением воздушного зазора поток рассеяния может
стать соизмеримым с основным потоком.
Пример 141. Геометрические размеры магнитной цепи даны на
рис. 14.13 в миллиметрах; кривая намагничиваяня показана на
рис. 14.9. Какой ток должен протекать по обмотке с числом витков
к> = 500, чтобы магнитная индукция в воздушном зазоре Вв= 1 Т.
-Решение. Магнитную цепь разбиваем на три участка: /, =
= £ + ^ = 30 см; Sj = 4,5 сма; /„ = 13,5 см; 5в=6сма.
Воздушный зазор 6 = 0,01 см: Se=S1 = 4^cMa. Индукция Bt =
= Ве-1Т.
Индукцию на участке /я найдем, разделив поток <D = B/)Se на се-
чениа Ss второго участка:
В2 = ф/Sa = B6S6/SZ = 1 - 4,5/6 = 0,75 Т.
Напряженности поля на участках /х и la определяем согласно
кривой намагничивания (см. рис. 14.9) по известным значениям Ву и В2:
Нг - 300 А/м; Яа = 115 А/м.
Напряженность поля в воздушном зазора
Яв=0,8-10e-Be = Q,8-10е-1 = 8-10е А/м.
Подсчитываем падение магнитного напряжения вдоль всей
магнитной цепи:
= 300-0,3+115-0,135+8- 10е- 10-*- 135,6 А.
Ток в обмотке
/ = £ ЯА/а>= 185,6/500 = 0371 А.
§ 14.17. Определение потока в неразветвленной магнитной цепи
по заданной м. д. с. Заданы геометрические размеры магнитной цепи,
кривая намагничивания, и полный ток. Определить поток.
Для решения задачи необходимо построить зависимость потока
в функции от ^ ***** и на "^ найти рабочую точку.
Пример 142. Найти магнитную индукцию в воздушном зазоре
магнитной цепи примера 141, если /а> = 350 А,
* Таблица 14.2
вс. т
0,5
1Д
1,2
М»
Вр Т
0,5
1 1
1,2
1,3
Bf, Т
0,375
0,825
0,9
($75
Hfr А/М-10'
4
8£
9^
10,4
Ну А/м
50
460
700
1020
Иа, А/м
25
150
200
300
2«*'ft. а
58,3
246.3
333
450,5
_Ф, В6-10-»
22,5
49,5
54
58,5
Решение, Задаемся значениями Вв=0,5; 1,1; 1,2 и 1,3 Т и для
каждого из них подсчитываем 2j #*'* так же» как в предыдущей
задаче. Подсчеты сводим в табл. 4.2. ^
По данным табл. 14.2 строим зависимость Ф=/ (2j #А) (рис. 14.14)
и по ней находим, что при /а>=350 А Ф = 55-10 6 Вб.
Следовательно, Be = Q/Se = 55-10-Б/4,5-10-*-= 1.21 Т.
§ 14.18. Расчет разветвленной магнитной цепи методом двух
узлов. Ранее отмечалось, что для расчета разветвленных магнитных
цепей применимы все методы,
которые обсуждались в гл, 13.
Рассмотрим расчет
разветвленной магнитной цеп» (см. рис.
14.12) методом двух узлов.
Пример 143. Задано:
геометрические размеры в
миллиметрах; кривая намагничивания рис
14 9;/1ю1 = 80 А; /ада2=300А;
6,=* 0,05 мм, 6а =0,22 мм. Найти
магнитные потоки в ветвях
магнитной цепи.
Решение. Как и в схеме
рис. 13.7, узловые точки обозна-
~7 \
7 ±
ь----±л
SO W0 ISO № 250 т ШЕН^А
Рис. 14.14
рис. 13. г, узловые точки ииизна-
чш буквами о и Ь. Выберем положительные направления потоков Фи Ф^
Ф3 к узлу а. Построим зависимость потока Ф1 от падения магнитного
напряжения первой ветви t/ri. Для этого произвольно задаемся рядом
числовых значений Ви для каждого значения В2 по кривой
намагничивания находим напряженность
#! на пути в стали по первой
ветви.
Падение магнитного
напряжения на первом участке UM =
= #,/! +0,8-Ю'ВД. где 1г =
= 0,24 м — длина пути в стали
по первой ветви. Выбранному
значению В2 соответствует Ф2 =
= ад.
Таким образом, для каждого
значения потока Ф, подсчитываем
0Л н по точкам строим
зависимость Фх = f (У*,) - кривая /
рис. 14.15.
Аналогично строим зависимость <ba^f(Um) — кривая 2 рис. 14.15;
С/вВ = Я2/я + 0,8-ЮвВА> где /я = 0,138 м- длина пути в стали во
второй ветви. r T —
Кривая 3 есть зависимость Фа=*{№ю)' £/яя = ^»'з+"»*»• гДе
/з^0,1 и 6^0,14 м. Им соответствуют участки третьей ветви,
имеющие сечения 9 и 7,5 сма#
"Ж
too
SD
6
(1
V
У
h
/
г
10
J^.
иоо
600
V»,A
Рис. 14.15
Магнитная цепь рис. 14.12 формально аналогична нелинейной
электрической цепи рис. 13.7. Аналогами 1г и /а электрической цепи
рис. 13.7 являются магнитные потоки Ф2 и Фг. магнитной цепи
рис. 14.12. Аналогом э. д. с. Et является м. д. с. Ди^. Аналогом
зависимости тока в первой ветви от падения напряжения на
сопротивлении первой ветви £72 = f (С,)] является зависимость магнитного
потока ф1 в первой ветви магнитной цепи от падения магнитного
напряжения £/Л вдоль первой ветви [Oi = fiP^f\ и т. д.
Воспользуемся аналогией для определения потоков Ф„ Фд, Ф3.
С этой целью выполним графические построения, подобные построе-
. виям на рис. 13.10.
Вспомним, что кривые рис. 13J0 представляют собой зависимости
токов в ветвях схемы ие от падений напряжений Ю1г t/s, t/s) вдоль
этих ветвей, а от напряжения [/„„ между двумя узлами (о и Ь)
схемы рис. 13.7.
В соответствии с этим введем в расчет магнитног напряжение—
разность магнитных потенциалов — между узлами а и Ь: t/11„6=«piul — (pBft,
Выразим магнитный потенциал точки о(фмо) через магнитный
потенциал точки Ъ («Put), следуя от точки Ъ к точке а сначала по
первой ветви, затем по второй и,
ф,&\ ~ "
xtf-J
наконец, по третьей. Для пер-
, вой ветви
4W.-4P»6-(ffi'i +
Здесь ЯЛ + ffeA = l/ia
падение магнитного
напряжения по первой ветви. Знак
минус перед скобкой обусловлен
тем, что при перемещении
согласно с направлением потока
магнитный потенциал (как и
электрический при
перемещении по току) снижается (если бы двигались против потока, то
магнитный потенциал возрастал бы и нужно было ставить плюс). Плюс
перед 1,10! свидетельствует о том, что при перемещении от точки Ъ к
точке а идем согласно с направлением м. д. с. /,1^. Таким образом,
для перной ветви
&■«» —ЧЬв — ЧЪ* — Ца+ /,»&; (а)
для второй ветви (перемещаясь от Ь к а по потоку Фа и согласно
с направлением м. д. с. I2wJ
V»aJ,=—V*i + I,wzi (б/
для третьей ветви (на ней м. д. с. отсутствует)
Цщл- I/*. (в)
- Графическое решение задачи приведено на рис. 14.16. Н# 'нем
'зависимость ®i=/(f/BoE) представлена кривой /, Фг=/(^»«б)
—кривой 2\ Фз=Л^маь)—кривой 3. Построение их производилось так же,
как и построение соответствующих кривых рис. 13.10. Начало
кривой / смещено в точку УяаЬ = ^щ = 800 А; качало кривой 2 — в точку
Uect — /««%= 300 А. Кривая 123 представляет собой Ф1+ф3+Фа^=
= f (Рыаъ). Она пересекает ось абсцисс в точке т. Проведем через
точку m вертикаль и найдем потоки в ветвях:
Ф,= 126,2-1СГ« Вб;
Ф3=—26-КН Вб;
ф3=_Ю1,2-1(Н Вб.
В результате расчета потоки Ф3 и Ф3 оказались отрицательными.
Зто означает, что в действительности они направлены противоположно
положительным для них направлениям, показанным стрелками на
рис. 14.12.
Рассмотрим, какие изменения произошли бы в построениях на рис. 14.16,
если бы какая-либо из N. Д. с. изменила направление на противоположное,
например в результате изменения направления протекании тока в этой обмотке.
Допустим, что изменилось на противоположное направление м. д. с.*/ет»2. В
уравнение (б) ы. Д- с. /год вошла бы теперь с отрицательным знаком. При
построениях это-нашло бы свое отражение в том, что кривая 2 рис. 14.16 переместилась
глево параллельно самой себе так, что пересекла бы ось абсцисс не в точке
11явЬ=ЭВЬ А, а в точке 1/„,л=—300 А (см. пунктирную кривую 2' иа рис. 14.12).
Кривые 1 и 3 останутся без изменений, но суммарная кривая О^+Ф^-} Ф3=»
— t Wucb) будет иная.
§ 14.19. Дополнительные замечания к расчету магнитных цепей. 1. При
построении' вебер-амперных характеристик участков магнитной цепи в § 14.12 в
далее явление гистерезиса не учитывалось. Поэтому в. а. х. исходили из начала
координат, не зависели от предыстории и им соответствовало соотношение
Ф(—1/и)=—ф(^м)- Если учитывать гистерезис, то у в. а. х. каждой ветви
будут неодинаковые восходящий и нисходящий участки, которые в свою очередь
зависят от магнитного состояния, предшествующего рассматриваемому (от
магнитной предыстории). Б этом случае Ф(—t/j Ф — Ф р/„). Для получения более
правильных реэ«1ьтатов при построении в. а. х. следует" учитывать гистерезис,
что практически возможно, если известны гнетерезисвые зависимости
используемого материала.
2. В логических устройствах н устройствах, применяемых в вычислительной
технике, используют элементы, имеющие разветвленные магнитные цепи,
выполненные из феррита с почти прямоугольной петлей гистерезиса (транефлюксоры,
биаксы, леддики и др.)-
Изложенную- в § 14.18 методику расчета, если ее несколько видоизменить,
кожно применить и к определению потокораспределення в упомянутых элементах
при установившихся режимах работы. В этих случаях расчет следует начинать
с определения положения узлов магнитной цепи этого элемента (в них узлы, как
правило, выражены в неявном виде). Затем каждую ветвь следует представить
как две параллельные со своими длинами и рассматривать последние как
самостоятельные ветвн со своими потоками. Это необходимо потому, что магнитные
потоки в двух параллельных участках каждой ветвн могут замыкаться ио
различным путям, т. е. ведут себя по-разному. Так, например, магнитные потоки двух
параллельных участков при определенных условиях могут замыкаться в пределах
одной ветвн. Сам расчет выполняют в принципе так же, как и в § 14.18. Однако
еесер-амперные характеристики каждого участка должны быть взяты в виде
прямоугольной (ромбовидной) легла с исходящими на двух ее противоположных углов
горизонтальными (почти горизонтальными) прямыми. Для каждого^сочетэння
[<i д. с. (они'могут и отсутствовать) будет пр^ крайней мере по два решении
и соотпетствии с хем, что й. &.* X. имеют петлевую форму,
3. Если число узлов магнитной цепи больше двух, то потокораспределени
в неб можно найти методом постепенного приведения к магнитной цепи с двум
узлами. Так, в трехотверстном трансфлюксоре рис. 14.17 цифры в кружках /, 2,,
означают узлы. Восемь тонких линий—это средние магнитные линии ветвей
Стрелки на них указывают произвольно выбранные направления потоков. Провод
с токами /i и /а проходят через отверстия трансфлюксора.
Сначала строим зависимость суммы потоков ветвеВ 5 и б от магнитного напря
жеаия между узлами 3 и 2, учитывая ток /^ Затем строим зависимость Ф4.7 =
= /([/ны). Имея в виду, что Qe.e=«I>4.j, суммяруа
абсциссы полученных кривых и находим ФБв
После этого задача оказывается сведенной i
задаче с двумя узлами 1 и 2. Б более сложных
задачах можно- воспользоваться методом, рассмот
ренным в [21].
4. Уместно отметить, что методика расчета
разветвленных магнитных цепей в историческом
плаве развивалась постепенно в полном соответ*
ствни с законом отрицания отрицания.
Сначала расчет проводили, используя
магнитны^ сопротивления участков магнитной цепи RH
(см. § 14.23). Однако ввиду того что ft,,-шляется
нелинейной функцией магнитного потока,
который перед проведением расчета неизвестен, на
второй стадии перешли к расчету магнитных цепей с использованием однозначных
нелинейных вебер-амперных характеристик (см. § 14.13). Впоследствии появилась
необходимость нспользоветь петлевые зависимости потоков от магнитных
напряжений (см. § 14.19). В настоящее времн при расчете магнитных цепей,
работающих прн больших скоростях перемагничиванни, оказываетси необходимым
учитывать зависимость магнитного состояния не только от предыстории, но и от
скорости изменении потоков для учета магнитной вязкости (см. § 16.8) н условий
проникновения электромагнитной волны в ферромагнетик.
§ 14.20. Получение постоянного магнита. Возьмем замкнутый
кольцевой сердечник из магнитнотвердого материала. Сделаем в нем
Рис.Д4.17
-8000-&ЮО-ШО-ШЮ О Н,А/М
8)
областей самопроизвольного намагничивания сохранили свою
ориентацию, вызванную предшествующим воздействием внешнего поля.
Магнитный поток в теле сердечника определяется суммой
магнитных моментов всего сердечника. Вынем выпиленный кусок (рис. 14.18, б).
Объем намагниченного вещества уменьшится на объем вынутой части.
Кроме того, магнитному потоку прядется проходить через воздушный
зазор. Все это приведет к уменьшению магнитного потока в теле
сердечника.
В воздушном зазоре сердечника при отсутствии на нем обмотки
с током проходят магнитный поток — устройство представляет собой
постоянный магнит.
§ 14.21. Расчет магнитной цепи постоянного магнита. Величина
магнитной индукции в зазоре магнита (Вс) зависит от соотношения
между длиной воздушного зазора б и длиной ферромагнитной части
магнита 1С (рис. 14.18,6). Обозначим: И6 — напряженность поля в
воздушном зазоре; Вс — магнитная индукция в теле магнита; Яс —
напряженность магнитного поля в теле магнита.
Найдем две неизвестные величины Bf и Иа полагая известными
кривую размагничивания ферромагнитного материала, зазор S и
длину /с. Одна связь между ними (нелинейная) дается кривой
размагничивания (рис. 14.18, в). Другая связь (линейная) следует из
закона полного тока.
Действительно, если воспользоваться законом полного тока, то
можно записать
$га = //,7с+Яви-0. (14.11)
Нуль в правой части уравнения (14.11) объясняется тем, что на
постоянном магните нет обмотки с током. Но Н6{Ат = 0,8- (0е В6{Г).
Если зазор достаточно мал, то можно в первом приближении
принять, что рассеяние потока отсутствует и BtSt, = Bt$b, где Sc
—площадь поперечного сечения магнита; Se —площадь поперечного сечения
воздушного зазора. Отсюда
А,=Вс-|ч Яв-0,8-Юе-Ве = 0,8-106|^Вс.
Подставив Яс в уравнение (14.11), получим
tfe«A0=-JWW <14-[2)
где
W = 0,8-10e^-^-. (14.(3)
Коэффициент N, зависящий от геометрических размеров, называют
размагничивающий фактором*: [N] = A-mJ(B-c).
* Название коэффициента АГ подчеркивает, что с его помощью можко
определить то размагничивание (уменьшение магнитного потока в теле магнита),
которое происходит при введении воздушного аазора в магнитную цепь постоянного
магнита.
■Для определения Яс н Вс на рис. 14.18, в следует нанести прям <
построенную по (14.12). В точке пересечения прямой с кривой р
магничивания удовлетворяются обе связи между Вс и Я„ котор.
должно быть подчинено решение.
Приведенный расчет даст достаточно точный результат, если зазор 6 оче
мал по сравнению с длиной I. Если это условие не выполнено, то значительи
часть магннтнык силовык линий замыкается, как показано пунктиром на рис. H.I8,
В этом случае лоток, индукция и напряженность вдоль сердечника изменяютс
Это учитывают при расчете, вводя неноторые поправочные коэффициенты, свр-
деляеыые из опыта.
Пример 144. Найти В„ В6, Нс и Яв, если постоянный магн
(рис. 14.18, б) имеет R = 5 см; б = 1 см. Кривая размагничивали
изображена на рис, 14.18,е.
■Решен ие. Если пренебречь боковым распором магнитных силовы
линий в зазоре, то Sj = Se. При этом размагничивающий фак
/V=0,8-"2—eZT=263-10e. На рис. 14.18, в проводим прямую
'по уравнению Яс =—263-10е-Д..
Точка а ее пересечения с кривой размагничивания дает Вс = 0,3 Т
Такая же индукция будет в воздушном зазоре. Напряженность пол
в теле магнит» Яс =—8000 Л/м. Напряженность поля в воздушно
зазоре Яб = 0,8-Юе-0,3 = 24-Ю*(А/м).
§ 14.22, Прямая и коэффициент возврата. Частично залслш
зазор б на длине /„.,. (рис. 14.18,6) куском магнитномягкого ма
риала. Под действием поля постоянного магнита внесенный ку
намагнитится и поток в теле магнита возрастет.
Ввиду наличия гистерезисе магнитное состояние постоянного
магнита будет изменяться не по участку аЬ (рис. 14.18,е) кривой
размагничивания, а по нижней ветви adc частного цикла.
Для упрощения расчетов принято заменять частный цикл прям -
линией, соединяющей его вершины. Эту прямую линию назыв
прямой возврата.
Тангенс утла наклона прямой возврата к оси абсцисс называ
коэффициентом возврата. Его числовые значения для различны
магнитнотвердых материалов даются в руководствах по постоянн
магнитам.
Обозначим длину оставшегося воздушного зазора (рис. 14.18,6)
6^ = 6 —/в-с и на основании %акона полного тока запишем
ЯЛ+Я6А -f /„ с#т с - 0.
Напряженность поля в магнитномягком материале Яис мног
меньше напряженности поля в магнитнотвердом материале и в воз'
душном зазоре при одном и том же значении магнитной индукции
поэтому слагаемым ИШС1ШС пренебрегаем по сравнению с остальными
При этом
Яс(№,=-0,8.10<|-|.Вс1П. :, (14.12-
Магнитное состояние постоянного магнита определяется
пересечением прямой возврата с прямой, построенной по (14.(2').
Пример 145. Воздушный зазор магнита примера 144 уменьшен
вдвое. Найти индукцию в нем.
Решение. Находим N= 131,5- 10е. Прямая ОА (рис. 14.18,в)
пересекается с прямой возврата в точке d. Поэтому ВС = 0,42Т.
Такая же индукция будет и в воздушном зазоре, так как S6 = SK.
Следовательно, уменьшение зазора со значения б до 6^ привело
к увеличению магнитной индукции в нем с 0,3 до 0,42 Т.
Если же величину зазора 6^ получить не путем его уменьшения
со значения б до 6^, как в предыдущем примере, а путем выемки из
намагниченного сердечника куска длиной бь то магнитное состояние
магнита определится пересечением луча ОА с кривой
размагничивания baj в точке е. В этом случае ВС = В6=0,48 Т, т. е. возрастет
* не 0,48—0,4
по сравнению с магнитной индукцией примера 145 на - ц4 X
> 100 = 20%.
Таким образом, магнитный поток в постоянном магните зависит
не только от величины воздушного зазора, но и от предыстории
установления этого зазора.
§ 14.23. Магнитное сопротивление и магнитная проводимость
участка магнитной цепи. Закон Ома для магнитной цепи. По определению,
падение магнитного напряжения Vu—Hl, но
Я = В/(р0р)=Ф/Кц5),
где Ф —потек; S—поперечное сечение участка.
Следовательно,
у-=ф^в-=ФК": <1414>
откуда
R„ = №#S): (14.1S)
Уравнение (14.14) нязовают законом Ома дяя магнитной цепи.
Это уравнение устанавливает связь между падением магнитного
напряжения С„ и потоком Ф; /?„ называют магнитным сопротивлением
участка магнитной цепи. Обратную величику магнитного
Сопротивления называют магнитной проводимостью'.
Gm=1/Rb-m0|iS//. (14.16)
Из предыдущего известно, что вебер-амперная характеристика участка
магнитной цепи в общем случае нелинейна. Следовательно, в общем
случае RH и GK являются функциями магнитного потока
(непостоянными величинами). Поэтому практически понятиями Ra и G„, при
расчетах пользуются лишь в тех случаях, когда магнитная цепь в целом
или ее участок, для которых определяются Ru и G„, не насыщены.
Чаще всего это бывает, когда в магнитной- цепи имеется достаточно
большой воздушный зазор, спрямляющий вебер-амперную характери-'
стику магнитной цепи в целом или ее участка.
Магнитное сопротивление .участка цепи R„ можно сопоставить
статическим сопротивлением нелинейного сопротивления RCT (см. § 13.1
н так же, как последнее, Еи можно использовать при качественно
рассмотрении различных вопросов, например вопроса об изменены
потоков двух параллельных ветвей при изменении потока в неразве
вленной части магнитной цепи (как в § 13.2 по отношению к электр!
ческой цепи).
Пример 146. Найти Ru воздушного зазора постоянного магнит
и магнитный поток, если 6 = 0,5 см, площадь поперечного сеченн
воздушного зазора S=1,Scm8, t/„ = 1920A,
Решение.
Ф = UJRU » 1920/0,256 ■ I08 = 7230.10"8 (Вб).
§ 14.24. Пояснения к формуле В=р,0 (Й-fV). Контур с током i, охватывающн
площадку AS, создает магнитный момент Й=£43(рис. 14.19, о). Вектор А5числеш
равен площади AS, а положительное направление AS связано с положительны
направлением тока правилом правого винта.
ПвВерхнвсптый mm
С лнжтй плотностью ЬИ,
paSgouJ
Рис. 14.19
Ферромагнитный кольцевой сердечник (рис. 14.19,6) имеет обмотку с число
виткое и>. по которой проходит ток /. Каждая единица объема ферромагнитног
материала обладает некоторым вектором намагниченности 7, что при расчете мож
рассматривать как результат наличия в ферромагнитном материале контуров с мол
вулярнымн токами. Эти токи показаны в сечениях сердечника на рис. 14.19,
(намагничивающая обмотка с током / ве показана).
Среднюю линейную плотность молекулярного тока (А/ем), приходящегося н
единицу длины сердечника в иапраапении Д(, обозначим Ь„. Единичный вектор
совпадающий по направлению с направлением fi„, обозначим V. Молекулярны
ток 8ий/я° охватывает площадку AS. Положительное направление вектора AS
=ASS° связано с положительным направлением этого тока правилом правог
винта. Через S° обозначен единичный вектор по направлению AS*.
По определению, намагниченность Т представляет собой магнитный моме
единицы объема вещества. Среднюю по объему намагниченность вещества J мож
определить путем делении магнитного момента контура с током ЬыА1п", охваты,
вающим площадку AS, на объем ДК—A/AS;
* —Л АС й "V •
Следовательно, средняя по объему намагниченность 7 численно равна средней
линейной плотности молекулярного тока и направлена по S".
Как видно из рнс. 14.19, в, на участках, являющихся смежными между
соседними контурами, Молекулярные токи направлены встречно и взаимно
компенсируют друг друга. Нескомпенсиоованными остаются только тока по периферийному
контуру (рис. 14.19, в).
11так, наличие областей самопроизвольной намагниченности в ферромагнитном
теле при расчете можно эквивелентировать протеканием ло поверхности этого
тела, считая его неферромагннтньш, поверхностного тока с линейной илотностью6н,
причем по модулю 6^,=/.
Запишем уравнение по закону полного тока для контура, показанного
пунктиром на рис. 14.19, б. При этом учтем, что после введения поверхностного тока
сердечник станет неферромагнитным н будет намагничиваться ве только током /,
протекающий по обмотке с числом витков w, но в поверхностным током с
линейной плотностью в„.
На дливе dl поверхностный ток равен SKdl=Jdl. На длине всего сердечника
поверхностный ток равен & J dl. Таким образом,
§ — dt=Iw-i.(i7dt.
Отсюда
fd--7)"7-""-
Величину —=—J обозначают И и называют напряженностью магнитного поля.
1*в _ _ _
В отличие от магнитной индукции В и намагниченности J напряженность поля Н
не зависит от магнитных свойств намагничиваемого тела Это я явилось
основанием для того, чтобы закон полного тока для любых сред записывать в виде
Если ферромагнитное тело намагничено неравномерно но высоте и по
толщине, то плотность молекулярных токов смежных контуров ни рис. 14.19, в
неодинакова, а токи на смежных между соседними контурами участках компенсируются
неполностью. Отсюда следует, что перавномерло намагниченное ферромагнитное
тело при растете можно заменить таким же в геометрическом смысле
неферромагнитным телом, по поверхности которого течет поверхностный ток, плотность
которого изменяется но высоте тела, а во внутренних точках тела течет объемный
ток, плотность которого также изменяется от точки к точке.
Вопросы для самопроверки
I. Дайте определения В, 1, Н, Ф, fig, щ, р., Д„. Как они связаны между
собой и в каких единицах измеряются? 2. В чен отличие начальной, основной и
СезгистерезисноЙ кривых нимагннчиваиия? 8. Что понимают иод частным и вре-
дельным циклами, остаточной индукцией, коэрцитивной силой, ыагиитиомягкими
и магнитнотвердыми материалами? 4. Дайте определение понятиям *м. д. с»,
«магнитная цепь», «машитопровод»; 5. Как определить направление м. д. с? 6. С какой
Целью обычно ■ стремятся выполнить магнитную цепь с возможно меньшим
воздушным зазором? 7. Как выбирают направление магнитных потоков в ветвях?
6. Сформулируйте первый и второй законы Кирхгофа для магнитных целей. 9.
Перечислите этапы расчета цепей методом двух узлов. 10. В чем отличие магнитного
напряжения от падения магнитного напряжения? 11. Как экспериментально
получить постоянный магнит? 12. Как рассчитывается магнитная цепь с постоянным
Магнитом? 13. Могут лВжЙв ферромагнитном материале быть направлены
встречно? 14. Решите задачи 3.2; ЗЛО; 3.13; 3.15; 3,19.
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
§ 15.1. Подразделение нелинейных сопротивлений на три основ
ные группы. Нелинейными электрическими цепями переменного пит
называют электрические цепи переменного тока, в состав которых вхо
дит одно или несколько нелинейных сопротивлений.
Как известно из ч. I учебника, прохождению переменного ток.
оказывают сопротивление не только активные сопротивления, но i
индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопро
тивлення для переменного тока можно подразделить на три группы
1) активные, 2) индуктивные и 3) емкостные. Каждую из этих груш
можно подразделить на управляемые и неуправляемые.
Управляемые нелинейные сопротивления обычно имеют _один или
несколько управляющих электродов (зажимов) или управляющих
обмоток, включаемых в управляющую цепь (цепи), воздействуя на ток
или напряжение которых можно управлять величиной сопротивления
в главной цепи. При отсутствии специальных управляющих алектродов
или обмоток управляющий ток или напряжение могут ^воздействовать
на нелинейное сопротивление через электроды или обмотки ■ главной
цепи.
§ 15.2. Общая характеристика нелинейных активных
сопротивлений. Широкое распространение в качестве управляемых нелинейных
активных сопротивлений получили трех-(и более) электродные лампы,
транзисторы и тиристоры. Свойства, принцип работы, характеристики
и применение их рассмотрены "в § 15.27—15.43.
Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются
электрическая дуга, германиевые н кремниевые выпрямители, тирито-
вые сопротивления, термисторы, бареттеры, лампы накаливания и др.
Их основные свойства и вольт-амперные характеристики обсуждались
в гл. 13.
Нелинейные активные сопротивления можно классифицировать также
по степени влияния температуры нагрева сопротивления, обусловленной
протекающим по сопротивлению током, на форму вольт-амперной
характеристики.
Так как тепловые процессы (процессы нагрева и остывания) являются
процессами инерционными, то сопротивления, нелинейность в. а. х.
которых в основном обусловлена изменением температуры в результате
нагрева протекающим через сопротивления током, .принято называть
инерционными.
Сопротивления, нелинейность в. а. х. которых обусловлена иными
(не тепловыми) процессами, принято называть безынерционными или
почти безынерционными.
К группе инерционных сопротивлений относятся электрические лампы
накаливания, термистор, бареттеры; к группе безынерционных или
почти безынерционных сопротивлений— электронные лампы»
полупроводниковые диоды н транзисторы,
Если постоянная времени нагрева инерционного сопротивления много больше
периода переменного тока, то величина сопротивления за период переменного тока
практически ве меняется, так как она определяется ве мгновенным, я
действующим значением переменного тока. Если к нелинейному инерционному
сопротивлению подвести синусоидальное спряжение (при условии, что постоянная
времени "нагрева сопротивления значительно больше периода синусоидального данри-
жения), то ток через него будет практически синусоидальным.
Можно сказать, что инерционные нелинейные сопротивления занимают
промежуточное положение между линейными и «елнвейными сопротивлениями. К
нелинейным они тяготеют вследствие того, что сопротивление их является функцией
действующего значения тока; к линейным—потому, что в установившемся режиме
работы их сопротивления для различных
моментов, времени внутри периода воздействующей на г:
схему э.д. с. остаются практически 'неизменными. 0~11
§ 15.3. Общая характеристика нелиней- &Л\
ных\ индуктивных сопротивлений. Под
нелинейными индуктивными сопротивлениями, а' '
или нелинейными индуктивностями, пони- Рис. 15.1
мают индуктивные катушки с обмотками,
намотанными на замкнутые сердечники из ферромагнитного материала,
для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от
протекающего по обмотке тока нелинейна. Индуктивное сопротивление таких
катушек, оказываемое прохождению переменного тока, непостоянно;
оно зависит от величины переменного тока.
Индуктивную катушку со стальным сердечником называют иногда
дросселем со стальным сердечником.
Нелинейные индуктивности подразделяют на управляемые и
неуправляемые, но деление на безынерционные и инерционные на них не
распространяется, так как их нелинейность обусловлена свойствами
ферромагнитного материала, а не тепловым эффектом.
На электрических схемах нелинейную индуктивность изображают
либо в виде замкнутого сердечника с обмоткой, как на рис. 15.1, а,
либо в соответствии с рис. 15.1, б.
Сердечники нелинейных индуктивностен при относительно низких
частотах делают обычно двух типов: пакетные и спиральные.
Пакетные сердечники состоят из тонких пластив ферромагнитного
материала кольцевой, П- или Ш-образной формы.
Спиральные сердечники изготовляют из тонкой ферромагнитной
ленты, по форме в виде туго навитой часовой пружины.
Пластины, пакетного и отдельные витки спирального сердечников
изолируют друг от друга эмалевым лаком, жидким стеклом или каким-
либо иным изолирующим составом н запекают. Изоляция необходима
для уменьшения потерь энергии в сердечнике от вихревых токов (см.
§ 15.4).
При ^высоких, частотах резко возрастают потери в листовых
сердечниках, поэтому сердечники, предназначенные для работы на высоких
частотах, выполняют обычно из феррита.
§ 15.4. Потери в сердечниках нелинейных индуктивностей,
обусловленные вихревыми токами. Если по индуктивной катушке со
стальным сердечником проходит переменный ток, то в сердечнике возникает
переменный магнитный поток, под действием которого в листах
сердечника образуются вихревые токи. На рис. 15.2 изображен один лист
сердечника. Пусть магнитный поток, увеличиваясь, направлен вверх
(вдоль листа). В плоскости листа, перпендикулярной магнитному потоку,
по закону электромагнитной индукции наводится э.д.с. &га э.д.с
вызывает в нем ток, который называют вихревым. Контур, по
которому замыкается вихревой ток, изображен
пунктиром на рис. 15.2. Вихревые токи по закону Ленца
стремятся создать поток, встречный по отношению
к вызвавшему их потоку.
Потери энергии д листе на вихревые токи
пропорциональны квадрату наведенной в контурах'
листа э. д. с. н обратно пропорциональны
сопротивлению контуров. Э.Д.С., наводимые в контурах, по
которым замыкаются вихревые токи, при заданной
Рис 15 2 ширине листа b пропорциональны толщине листа а,
амплитудному значению индукции и частоте, В свою
очередь сопротивление контура пропорционально
периметру контура и удельному сопротивлению. При b^f>а периметр
контура почти не зависит от толщины листа. Поэтому потери энергии
на вихревые токи пропорциональны квадрату амплитудного значения
индукции, квадрату частоты и квадрату толщины листа.
Уменьшить потери в листовом сердечнике на вихревые токи можно
двумя путями: 1) изготовлением сердечника из тонких изолированных
друг от друга листов (см. § 15.3); 2) добавлением в ферромагнитный
материал примесей, увеличивающих его удельное сопротивление.
При частоте 50 Гц толщина листов' обычно 0,35—0,5 мм; при
высоких частотах — до 0,005 мм.
Кроме потерь от вихревых токов в сердечнике есть еще потери,
обусловленные гистерезисом и магнитной вязкостью.
§ 15.5. Потери в ферромагнитном сердечнике, обусловленные
гистерезисом. Из § 14.4 известно, что ферромагнитному материалу присуще
явление гистерезиса. Площадь гистерезисной петли в координатах В,
И (В — индукция, И — напряженность поля), снятая при достаточно
медленном изменении магнитного поля во времени (когда вихревые
токи практически отсутствуют), характеризует энергию, выделяющуюся
в единице объема ферромагнитного материала за один период
переменного тока (за одно перемагничивание). Потери в сердечнике,
обусловленные гистерезисом, пропорциональны объему сердечника, первой
степени частоты и площади гистерезисной петли. От толщины листов
потери на гистерезис не зависят*.
Гистерезисные петли, при достаточно быстром изменении
магнитного поля во времени, называют дишштесшми. Динамические петли
шире соответствующих статических за счет вихревых токов и
магнитной вязкости.
* Явление поверхностного эффекта (сн. ч. Ш учебника) здесь не учитываем.
Рис. 15.3
Степень отличия динамической петли от соответствующей
статической зависит от скорости перемагничивания (от частоты), удельною
электрического сопротивления материала, толщины листов, температуры
н наличия в магнитном потоке высших гармоник.
§ 15.6. Схема замещения нелинейной индуктивности. В расчетном
отношении нелинейную индуктивность рис. 15.1, а можно представить
в виде схемы рис. 15.3, а. В ней параллельно с идеализированной
(без потерь) нелинейной индуктивностью включено сопротивление RtB,
потери в котором имитируют потери энергии в сердечнике на
гистерезис н вихревые токи, а
последовательно включено активное сопротивление
самой обмотки Ro6; (/ — напряжение на
нелинейной индуктивности.
Как уже отмечалось, потери энергии
"на гистерезис и вихревые токи Ргв
зависят от качества ферромагнитного
материала и толщины листов сердечника.
Если сердечник выполнен из
низкокачественного магнитного материала, то
потери в нем относительно велики, а
сопротивление Rr.„ достаточно мало и ток
/г.в = UlRr в может оказаться соизмеримым с током /ц,
протекающим по идеализированной (без потерь) нелинейной индуктивности; в
этом случае ветвь с сопротивлением RT-B необходимо учитывать в
расчете.
Если же сердечник изготовлен из тонких листов
высококачественного магнитномягкого материала, то потери в сердечнике малы, а
сопротивление Я,., = 1/а/Л-.в очень велико и потому ветвь с сопротивлением
Ria можно не учитывать, т. е. считать, что ее нет.
Часто вводят еще одно упрощение: полагают
активное сопротивление обмотки Ro6 настолько
небольшим, что с падением напряжения в нем
можно не считаться. Аналогичное упрощение _ часто
делалось и при расчете линейных индуктивностей.
В этом случае сопротивление катушки со стальным
сердечником оказывается чисто индуктивным
(соответствующая схема замещения представлена на рис.
15.3, б).
Переход от схемы замещения рис. 15.3, а к
схеме замещения рис. 15.3, б вызван стремлением
облегчить расчеты цепей. При этом учитывают основной полезный
нелинейный эффект — нелинейность между индукцией В и
напряженностью И и пренебрегают побочным вредным эффектом—потерями,
обусловленными гистерезисом и вихревыми токами в сердечнике.
При периодическом процессе нелинейность между В н И
учитывают, ведя расчет по кривой, абсциссы которой равны полусумме
абсцисс восходящей и нисходящей ветвей предельной гистерезисной петли
(рис. 15.4),
Рис. 15.4
§ 15.7. Общая характеристика нелинейных емкостных,
сопротивлений. Б обычных конденсаторах обкладки разделены веществом,
диэлектрическая проницаемость которого не является функцией
напряженности электрического поля. Для них зависимость мгновенного
значения заряда q на одной обкладке от мгновенного значения
напряжения и между обкладками (кулон-вольтная характеристика) представляет
собой прямую линию (рис. 15.5), а их емкость не зависит от
напряжения и. Для нелинейных конденсаторов зависимость q от и нелинейна
(рис. 15.6).
Нелинейные конденсаторы называют еще вариксндами. На
электрических схемах вариконды изображают в соответствии с рис. 15.7, а.
Пространство между обкладками вариконда заполняют септетсдиэлект-
риком. Сегнетодиэлектритш называют вещества, диэлектрическая
проницаемость которых является функцией напряженности электри-
'«О.
0—1—
С) ё)
Рцс. 15.7
ческого поля. Название «сегнетодиэлектрини» им присвоено потому,
что впервые это свойство было обнаружено у кристаллов сегнетовой
соли,
Сегнетодиэлектрики, подобно ферромагнитным веществам, обладают
гистерезисом. Электрическим гистерезисом называют явление
отставания изменения электрического смещения D от изменения
напряженности поля Е. Как и в ферромагнитных веществах, площадь гистере-
зисной петли в координатах D, Е при медленном изменении поля
характеризует потери на электрический гистерезис в единице объема
сегнетодиэлектрика за один период изменения Е.
Кроме потерь на гистерезис в варикондах есть еще потери,
обусловленные тем, что проводимость сегнетодиэлектрика не равна нулю,
а-также вязкостью процессов поляризации.
На схеме замещения вариконд можно представить в виде
параллельного соединения идеализированного (без потерь) вариконда и ветви
с активным сопротивлением RTIH потери в котором имитируют в
расчетном отношении активные потери в вариконде (рис. 15.7, б).
Наличие потерь в варикондах является вредным побочным
эффектом. Чем выше качество сегнетодиэлектрика, тем уже петля
гистерезиса и меньше потери в нем. Для облегченвя исследования свойств
алеятрических цепей, содержащих вариконды, гистерезисом и потерями
обычно пренебрегают и зависимость q — f(u) принимают в виде
пунктирной кривой рис. 15,6, .-Абсциссы ее-равны полусумме абсцисс
восходмией и нисходящей ветвей предельной- гнстерезнсной петли.
Рис. 15.8
Лишь при исследовании схем, в основе действия которых лежит
явление гистерезиса, например при анализе работы некоторых запоминаю^
щнх и счетных устройств, гистерезис необходимо учитывать.
§ 15.8. Нелинейные сопротивления как генераторы высших
гармоник тока и напряжения. Если нелинейное сопротивление
присоединить к генератору синусоидального напряжения, то проходящий через
сопротивление ток будет иметь несинусоидальную форму и потому
нелинейное сопротивление
будет являться генератором вы- М ■
сших гармоник тока. Для
того чтобы убедиться в этом,
рассмотрим рис. 15.8. На нем
кривая / — в. а. х,
сопротивления, кривая 2 —
синусоидальное напряжение на нем,
кривая 3 — ток через
сопротивление.
Для построения кривой
(=/(о>0 последовательно
придаем ш/ значения, равные, например, 0, я/6, я/4, я/3, л/2 и т. д.;
для каждого из них находим напряжение и, переносим
соответствующее значение и на кривую u=f(i) н из нее определяем значение
тока i для взятого момента времени. Найденное значение тока i
откладываем на той ординате, которой соответствует
-выбранный момент времени.
Эта операции показаны на рис. 15.8
стрелками. Так, по точкам строят кривую 3. Она
\ j i имеет пикообразную форму и может быть раз-
^!^< ложена на гармоники.
T""jj^ Аналогично, если через нелинейное
сопротивление пропустить синусоидальный ток, то
напряжение на нем будет иметь несинусоидальную
форму. Соответствующие построения приведены
на рис. 15.9. Следовательно, нелинейное
сопротивление является генератором высших гармоник
напряжения.
Амплитуды первой и высших гармоник токов
нелинейно зависят от амплитуд первой и
высших гармоник напряжений на нелинейных
сопротивлениях.
Все это затрудняет анализ и расчет
нелинейных цепей и в то же время позволяет осущест-.
вить с их помощью ряд важных в практическом отношении
преобразований, принципиально невыполнимых с помощью линейных
электрических цепей при неизменных во времени параметрах.
Рис 15.9
§ 15.9. Основные преобразования, осуществляемые с помощью
нелинейных электрических цепей. На рис, 15.10, а схематически
изображен четырехполюсник, в состав которого входят одно или
несколько нелинейных сопротивлений. Будем называть такой
четырехполюсник нелинейным (НЧ).
На рис. 15.10,6 представлен нелинейный шестиполюсник (НШ).
В отличие от четырехполюсника он имеет еще два зажило («полюса»),
к которым присоединяется источник управляющего напряжения или
тока.
С помощью нелинейных четырехполюсников и шестиполюсников
можно осуществить ряд очень важных преобразований:
1. Преобразовать переменный ток в постоянный. Устройства,
предназначенные для этого, называют выпрямителями (см.' § 15.54).
2. Преобразовать постоянный ток в переменный с помощью устройств,
которые называют автогенераторами (см. § 15.55) и инверторами.
3. Осуществить умножение частоты, т. е. получить на выходе
четырехполюсника напряжение, частота которого в несколько раз
Рис. 15.10
больше частоты входного напряжения. Четырехполюсники, с помощью
которых производят умножение частоты, называют умножителями
частоты; устройство, удваивающее частоту,— удвоителем частоты;
устройство, утраивающее часкпу, — утроителем, и т. д.
4. Осуществить деление частоты, т. е. выполнить операцию,
обратную умножению частоты. Четырехполюсники, используемые для этого,
называют делителями частоты. Их работа здесь не рассматривается;
с ней можно ознакомиться, например, по [22].
5. Стабилизировать напряжение (ток), т. е. получить на выходе
четырехполюсника напряжение (ток), почти ие изменяющийся по
величине при значительном изменении величины входного напряжения.
Такие четырехполюсники называют стабилизаторами напряжения
(тока). Устройства для стабилизации напряжения в цепях постоянного
тока рассмотрены в гл. 13.
_ 6. Осуществить триггерный эффект, т. е. эффект резкого
(скачкообразного) изменения выходной величины при незначительном
изменении входной. Триггерный эффект рассмотрен в § 15.59 и 15.61.
7. Произвести модуляцию. Как уже говорилось в § 7.15,
модуляция есть процесс, при котором амплитуда (фаза или частота)
высокочастотного колебания, поступающего на вход четырехполюсника,
преобразуется таким образом, что характер изменения ее повторяет
характер изменения управляющего низкочастотного сигнала.
Устройства, предназначенные для этого, называют модуляторами.
8. Осуществить демодуляцию, т. е. выделить из выажочастотногь
модулированного колебания запечатленный в нем низкочастотный
управляющий сигнал. Устройства для демодуляции называют демодуляторами
или детекторами.
9. Преобразовать желаемым образом форму входного напряжения.
Так, например, при подаче на вход нелинейного четырехполюсника
напряжения синусоидальной формы нашего выходе можно получить
напряжение прямоугольной или пикообразной формы.
10. Осуществить усиление напряжения (тока), т. е. получить на
выходе нелинейного устройства напряжение значительно большей
величины, чем управляющее напряжение на его входе. Управляющее
напряжение может быть постоянным или переменным.
С помощью трансформаторов также можно усиливать напряжение,
однако в усилителях напряжения на нелинейных сопротивлениях
энергия, потребляемая управляющей цепью, может быть в сотни, тысячи
и даже сотни тысяч раз меньше энергии на выходе усилителя, тогда
как в обычных трансформаторах эти- энергии почти равны.
Усилители напряжения на нелинейных сопротивлениях позволяют
усиливать не только переменное, но н постоянное напряжение и
притом с плавным изменением коэффициента усиления. Простейший
усилитель напряжения постоянного тока рассмотрен в § 13.14.
11. Осуществить усиление мощности, т. е. выделить на выходе
устройства (в, нагрузке) мощность, значительно большую мощности,
поступающей в управляющую цепь.
Процесс усиления мощности требует дополнительных пояснений. Энергия,
поступающая-на вход усилителя мощности (на вход четырехполюсника рис. 15.10, а),
доставляется находящимся вне четырехполюсника источником сигнала и
расходуется на управление режимом работы нелинейного сопротивления, входящего
в состав четырехполюсника.
Выделяющаяся в нагрузке энергия поступает от источника энергии,
находящегося внутри рассматриваемого четырехполюсника либо включаемого на выходе
четырехполюсника последовательно с нагрузкой.
Когда говорят об усилении мощности, то пмеют в виду, что приращенве
мощности, выделяющейся в нагрузке, оказывается больше приращения мощности,'
потребовавшейся для изменений режима работы нелинейного сопротивления.
12. Осуществить степенное н логарифмическое преобразование
входного напряжения (тока).
С помощью нелинейных электрических цепей кроме перечисленных
можно осуществить и другие нелинейные преобразования. К их числу
относится, например, плавное преобразование частоты с помощью
нелинейных четьгоехполюсников и шесгаполюсшжов, не содержащих
подвижных частей. Рассмотрение этого преобразования выходит за рамки
курса (см. [22]).
Нелинейные устройства широко применяют для умножения
электрическим путем двух, трех функций и более, а также в электрических
счетных и запоминающих устройствах, в качестве нелинейных
фильтров, логических устройств и т, п. Несомненно, что по мере развития
техники и изучения свойств нелинейных целен последние будут
находить применение.для выполнения и других функций.
Многве нэ перечисленных в данном параграфе типов преобразований (преоб-
разовавне постоянного тока в переменный и обратное преобразование, модуляция
и демодуляция, усиленве тока, напряжения, мощности) осуществляют с помощью
нелинейных устройств, и в этом смысле они являются нелинейными
преобразователями. Однако при определенных условиях в относительно небольшом диапазоне
изменений входной величины эти преобразователи могут- обладать почти линейной
зависимостью амплитуды (действующего или среднего значения) выходной
величины от амплитуды (действующего, или среднего значения) входной.
Вне этого диапвзова зависимость выходной величины от входной является
в тон или иной степени (часто в очень значительной) нелинейной.
Для многих других типов преобразователей (например, логарифмических
и степенных) зависимость выходной величины от входной ве может быть
линейной, так как это противоречило бы самому назначению и самому принципу работы
преобразователей этого типа.
Если же зависимость ныходной величины от входной может быть линейной,
или близкой к линейной, то в'бслыьинстве случаев стремятся выбрать режим
работы преобразователя таким образом, чтебы работа его проходила именно на
линейном участке. Так поступают, в чаептести, при использовании электронных,
полупроводниковых и магнитных усилителей тока, напряжении, мощности.
§ 15.10. Некоторые физические явления» наблюдаемые в
нелинейных цепях. В электрических цепях переменного тока, содержащих
нелинейные индуктивности н линейные емкости или нелинейные емкости
н линейные индуктивностн, а также нелинейные индуктивности и
нелинейные емкости, при определенных условиях (далеко ие всегда!)
возникают физические явления, которые невозможны в линейных цепях *.
Таких явлений довольно много. Ограничимся кратким рассмотревием.
только некоторых, наиболее важных вз них:
1. Возникновение интенсивных колебаний в цепи на Еысшей
гармонике при отсутствии этой гармоники во входном напряжении.
В линейных цепях возникновение интенсивных колебаний нависшей
гармонике может быть только при наличии этой гармоники во
входном напряжении.
2. Возникновение субгармонических колебаний.
Под субгармоникой понимают гаруонику, частота которой в целое
число раз меньше частоты источника э. д. с. Субгармонические
колебания представляют собой колебания на какой-либо из субгармоник.
Чаще всего они наблюдаются на частотах ю/3; ю/2; со/5 и т. д.
(to — частота источника э. д. с.) —см. § 15.53.
3. Возникновение колебаний в цепи на гармонике с частотой тоу/п,
где т и л — целые числа.
4. Зависимость характера установившегося режима в нелинейной
цепи переменндго тока от предшествовавшего этому режиму состояния.,
, цепи и начальной фазы источника э. д. е., от которого питается цепь.
Это явление может наблюдаться в нелинейных электрических цепях
в зоне существования триггерного эффекта, о котором было упомянуто
в § 15.9. Суть явления состоит в том, что при подключении нелиней-
* Имеются в виду «обычные* линейные цепи, цираыетры которых не являются
функцией времени. О линейных' цепях с непостоянными во пременй параметрами д
см. гл. 18. |
ной резонансной цепи к источнику э. д. с. в ней может возникнуть
один из двух возможных режимов. Какой нз режимов возникнет,
зависит от начальной фазы генератора и состояния цепи,
предшествовавшего включению'(см. § 15.591.
5. Возникновение автомодуляции.
Автомодуляция представляет собой процесс периодического или
почти периодического изменения амплитуд токов и напряжений в
нелинейных электрических цепях без воздействия на них внешнего
модулирующего фактора, т. е. без воздействия на них низкочастотного
сигнала (см. § 15.56).
Перечисленные физические явления имеют место в резонансных
цепях только в определенных для каждой цепи диапазонах
параметров, которые, как правило, оказываются такими, что практически эти
явления наблюдаются сравнительно редко. Кроме того, исследование
условий возникновения этих явлений часто связано с весьма
громоздкими математическими выкладками, поэтому в курсе с достаточной
полнотой отразить все эти явления трудно. Подробнее можно
ознакомиться с этими явлениями по [21] и [22].
§ 15.11. Разделение нелинейных сопротивлений по степени
симметрии характеристик относительно осей координат. Кроме деления
на активные, индуктивные и емкостные, управляемые и неуправляемые
(а активных —еще на безынерционные и инерционные) нелинейные
сопротивления можно классифицировать еще по одному признаку —
по степени симметрии характеристик для мгновенных значений
относительно осей координат.
Пусть х и #—величины, характеризующие режим работы
нелинейного сопротивления. Условимся jc обозначать величаку, откладываемую
по оси ординат декартовой системы, а у—величину, откладываемую
по оси абсцисс.
Характеристики, для которых выполняется условие—у(—*)=#(*),
принято называть симметричными: характеристики,
неудовлетворяющие этому условию, —несимметричными.
Симметричными характеристиками обладают нелинейные
индуктивности' и емкости, а из активных сопротивлений — тиритовые
сопротивления, электрическая дуга с однородными электродами и некоторые
другие-типы сопротивлений.
Однако основные типы нелинейных активных сопротивлений —
электронная лампа, транзистор и тиристор — имеют несимметричные
характеристики.
В ближайщих 13 параграфах рассматриваются основные особенности
работы нелинейных сопротивлений с симметричными характеристиками.
Основные особенности работы нелинейных сопротивлений с
несимметричными характеристиками —электронной лампы и транзистора —
излагаются в § 15.27—15.43.
§ 15.12. Аппроксимация характеристик нелинейных
сопротивлений. Для проведения математического анализа нелинейных цепейпере-
менного тока и изучения их общих свойств целесообразно выразить
;
аналитически зависимость между мгновенными значениями и и i дл
нелинейного активного сопротивления, зависимость между В й Н дл
нелинейной индуктивности, зависимость q и и для нелинейной емкости.
Приближенное аналитическое описание характеристик нелинейных
сопротивлений принято называть аппроксимацией характеристик.
§ 15.18. Аппроксимация симметричных характеристик для мгн
венных значений гиперболическим синусом. При исследовании свойст
электрических цепей явлением гистерезисе, как правило, можно п
небречь. Лишь при исследовании цепей, в основе действия которы
лежит это явление {например, работы запоминающих магнитных устройст
с прямоугольной петлей гистерезиса), гистерезис необходимо учиты
вать.
*1
1Г,
1
J
1,
-0
1
1
1
Рис.
1,0
Q5
0
15.11
/
1
* т
^
0 2000 Н,А1н
9
На рис. 15.11, а изображена типичная симметричная характерн
стика y—f(x).
Для нелинейной индуктивности рель jc играет мгновенное значе'
ние индукции В; роль #—мгновенное значение напряженност ■
поля Н. Для нелинейной емкости роль у играет напряжение и
роль х—зар^д д. Для нелинейных активных сопротивлений (напри
мер, тиритовых сопротивлений) роль х играет напряжение, роль у
ток.
Существует большое количество различных аналитических выраже
ний, в той или иной мере пригодных для аналитического описани
характеристик нелинейных сопротивлений [21]. При выборе наибол
подходящего аналитического выражения для функции y=f(x) исх
дят не только из того, что кривая, описываемая аналитическим выра"
жением, должна достаточно близко всеми своими точками распол
житься к опытным путем полученной кривой в предполагаемо
диапазоне перемещений рабочей точки на ней, но учитывают
те-возможности, которые выбранное аналитическое выражение да
при анализе свойств электрических цепей. В дальнейшем для анал!
тического описания характеристик симметричных сопротивлен
но типу рис, 15,11, а будем пользоваться гиперболическим сину
y = asbpx, (15_
В этом выражении аир — числовые коэффициенты; а измеряется
в тех единицах, что и у; р—в единицах, обратных единицам
измерения х, так что произведение р* есть величина безразмерная. Для
определения двух неизвестных коэффициентов и и р следует
на полученной опытным путем .зависимости #=/(л) в предполагаемом
рабочем диапазоне провзвольно выбрать две наиболее характерные
точки, через которые должна пройти аналитическая кривая,
подставить координаты этих точек в уравнение (15.1) и затем решить
систему из двух уравнений с двумя неизвестными.
Пусть координаты этих точек ylt Xi н у2, х2 (рис. 15.11, о).
Тогда
y1 = ashfix1; tfc=ash$x2.
Отношение
ft*i=diPVshp«B. (15.2)
Трансцендентное уравнение (15.2) служит для определения
коэффициента р. После этого определяется коэффициент
n^jfj/shPx,. (15.3)
Пример 147. Кривая намагничивания трансформаторной стали Э4!
изображена па ряс. 15.11, б. Найти коэффициенты а и В.
Решение. Выбираем две точки на привой: #f=200 А/м: В, —1.1 Т; #„ =
= 2400 А/м; Вг= 1,532 Т.
По уравнению (15.2) имеем sh(l,532jj)/sh(l,ip)=12. Задаемся произвольными
значениями р и производим подсчеты:
Р... 6 5,22 4,57 3,92 3,26
РВЯ ... 8,2 8 7 6 5
рВ* ... 6,6 5,74 5,03 4,32 3,59
shRS2/shpB(... 13.5 9,58 7,25 6,24 4,1
а=НфЬ pBa=2400/sh 8,82= 1200/1690=0,71.
Пунктирная криза я рис. 15.11, б построена по уравнению #=0.71 sh (5,75 В).
§ 15.14. Понятие о функциях Бесселя. При анализе нелинейных цепей широко
используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя
Функция Бесселя ныражаются степенными рядами и для ник составлены
таблицы. Функцию Бесселя от аргумента х обозначают Jp{x), где р—порядок
функции Бесселя. Общее выражение для 1р (х) в виде степенного ряда имеет вид
(*/2)Р (х/2)Р** {х1ЩРЪ (х/2)р™
.01/11 11(р-И» +2|{р+2)1 2Л{р+Ъ)\ "
jpW- OlBl llio-Mll + 21 №4-2)1 ~»/n-l-ai +"• (,&Ь'
Для гл. 15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто
мнимого аргумента. Для их получения в общее выражение (15.5) вместо х
следует подставить }х, гдв /=У—• 1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.1
дана функция — jJtiJx) вместо ЗуЦх), функция jJ,(jx) вместо /8(/х). Сделано
это потому, что без дополнительного множителя / или —/ эти функции, как
правило, не используются.
*
0,0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
2,8
3,2
3,6
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0
7
8
9
10
11
12
J„ (W
1.00
1.04
1.16
1,39
1.75
2,28
3,05
4,16
5.75
8,03
11,30
16,01
22,79
32^8
46,73
67,23
168,6
427.56
1093^9
2815,7
7288
18948
- IJ.tM
0Д) -
0,20
0,43
0,72
1.08
1,59
2,30
3,30
4.73
6,79
9,76
14,04
20,25
29,25
42,32
61,34
156
599,87
1030,91
2671
6948,9
18142
— Л1М
0,00
0,02
0,08
0,28
0,39
0,39
1,13
1,80
2,79
4,25
6,42
9.63
14,35
21,33
31,62
46,78
124
327.6
864,50
2281
6025
15924
1
Ы» (M
*>№ .^.
0,13 -10-*
0,01
0,04
0,10
0,21
0,41
0,73
1,25
2,07
3,34 .
5,29
8.29
12,84
19.74
30,15
85,17
236,07
646,69
1758
4758'
12834
Таблица 15.1
Л(/Ю
ОД)
0,67-10*
0-Д1-10-*
0,58-10-*
0,019
0,051
0,114
0,234
0,446
0,810
1,416
2,405
3,992
6.510
10,468
16,63
51.0
150,5
433,3
1226
3430
9507
При х—0 не равна нулю только функция Бесселя нулевогонорядка: Jo(0)
= 1. По данным табл. 15.1 на рис. 15.12 построены кривые функций Бесселя.
Из таблицы н рис. 15.12 видно, что с ростом х значения функций увеличиваются.
Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и то
§ 15.15. Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодически-
аргумента в ряды Фурье. Если аргумент х изменяется по периодическому векону
например но закону синуса х— хт sinio(, гд
хю—амплитуда колебаний, то по периодическо
му закону изменяются и функция sh(досалю
и ch (xm sin Ы). Так как периодические функ
пин можно представить рядами Фурье, то ра
ложим в ряд Фурье эти функции. С згой це
лью в (15.5) вместо к подставим хщ sin tof, уч
тем известные ив тригонометрии формулы:
йп=о=0.5— 0,5cos2a; (15.
sln»a=~ 0.23 sin За+0,75 sin а; (15.
'гап*а=0,375—0.5cos2oH-0,125cos4a, (15.8
сгруппируем все слагаемые с sin tat, cos2uj/
д / 2 з 4 s х sin3firf и т. д., а также отдельно выделим п
стоянную составляющую. В результате групп
Рис. 15.12 ровки оказывается, что коэффициентами пр
тригонометрических функциях являются ряд
которыми' изображаются функции Бесселя различных порядков от чисто мнимо
аргумента /хт. Окончательно получим:
$Щхт sin Ы)=2 [~ /J, (jxm)\ sin tat— 2jJs (/х»Д sin $at— 2jJt (jxm) sui &j*^..-;
. * ... ■' (15.
chlxmtiiitaf)=zJv(jx^+2Ja(jx„)cos'2ti>t-{-2Jiiixln)cas4<ot-i-... (15.1>
*
дач-
-JJ,№>
I
*&(№/-
T
Ряд для sh {xm sin tat) состоят только из нечетных гармоник и не имеет
noci единой составляющей. Ряд для ch {хт smut) имеет постоянную составляющую
и четные гармоники.
Пример 148. Разложить в ряде Фурье sh (4 sin Ы) и ch (4 sin Ы).
Решение. Значения функций Бесселя берем нэ таблицы:
—/У,(/4)=9,76; /У8(/4)=3,34; Js(/4)=1.416;
—/А(/*)=0.505: /в(/4)=П.З: Ja0"4)=—6.42.
В соответствии с (15.9) и (15.10) получим:
sti(4sin<oQ=2.9,76sin«fl<—2-3,34 sinЗш(4-2-0,505sin5®t~...;
«h(4 sinы)= 11,3—2-6,42cos2(u(-J-2-1,416cos4ы(+...
§ 15.16. Разложение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально
меняющейся составляющих в ряд Фурье. Из § 15.13 известно, что мгновенное
значение функции у сиязано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой
■{чфмуле аргументом гиперболического синуса является ве х, как было в §15.14,
в произведение р*. <В соответствии с этим для разложения -sh({Um sin Ы) я
cli (p*m sin tat) в (15.9) и (15.10) следует вененить х на §хт.
■ Если jf=jre-fjfI„sinti>(, где хв—постоянная составляющая, хт—амплитуде
синусоидальной составляющей, то
у=а sh (B*e+ $хт sin Ы) =ash B*e ch (p>m sin юД +а ch В*л sh фхт sin at).
Следовательно,
у=а sh В*в уи fjf,xm) ±2JS (/p*m) cos 2Ы -+2J, (/B^) cos 4o»( -f...)+
-feechB*e (2 [— jj, ■ (/BXbi» shierf—2jVj (/Bjtm> sin Зш(—...J. (15 11)
Из (15.11) следует) что постоянная составляющая функции у
Sro-otshPVeO'B*™)- (15.12)
Первая гармоника функции у
ft=2achp\*e[— /А (/£>„)) sin <»f; (15.13)
вторая гармоника
yt=2а sh p\*e [Jt (/?*m)l cos 2at; (i5.14)
третья гармоника
ft=2achB*e{— lh№xm)\&n2iut (15.15)"
ii т. д. t
Пример 149. Разложить в ряде Фурье функцию #/га—sh(2+4 sin «О-
Решение. По табл. П.1 находим sh2=3,63-, ch?=3,7. Значения функций
Бихжля берем ив табл. 15.1. В соответствии с (15.11) имеем
y/a=sh (2+4 sin Ы)=3,63 (11,3—12,844 cos 2ш/+2,832 cos 4ы(—...)+
+3,76 (19,52 sin tat—6,674 sin Зю*+1,01 sin 5W—...J.
Твким обрезом, ^„/«=41,1; йт/«=73,4; уш/а=46,7.
§ 16.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных сопротивлений.
I Еслв лелннейное сопротивление с симметричной характеристикой работает
в условиях, когдв одна из определяющих его состояние величин, например
неличина х, изменяется во времени но закону х=ха+жт sinw/, то в отношении
другой определяющей его состояние величины (величины у) можно сделать следующие
выводы.
1. Постоянная составляющая функции у3 зависит ве только от х& но и
от х„. Это следует из формулы (15.12).
2. В кривой y—j(<i>t) появляются четные гармоники, которые исчезают при
*о=0. Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей
(от знака jtj.
3. Путем измене&ня ~ха или jfo можно изменять амплитуда первой в высш
гармоник функций у((о/).
Первое из этих свойств поясним графически. Пусть нелинейное сопротивлен
работает при отсутствии синусоидальной составляющей (xm=OJ. Тогда изображе
иием этого процесса из характеристике нелинейного сопротивления будет точка
{рис. 15.13, а). Для нее
у=Ы &x=px't=Arsbyll!a.
Этот результат следует из (15.12), если учесть, что Jo(0)=l.
двух соотношений (доказательство см.. например, i
(15.1
"•—7 1
/ I,.
fr
Если же нелинейное сопротнвлеиме.работает-при хтфО, то, для того чтоб
постоянную составляющую функции у„ сохранить прежней, постоянная и
щаа ха должна быть снижена (или снизится сама) со зизчення х'а до х%.
Постоянную составляющую (3xJ получим из формулы
Px;=Arsh--
(15.17
где х% определяется ординатой точки Ь, расположенной- ниже точки а (рис.
15.13, б).
Первое н третье нз этих свойств широка используют в теории управляемых
нелинейных сопротивлений, второе свойство—в теории умножителей-частоты. "
Пример 150. Нелинейное сопротивление с характеристикой у=а.$\\$х сначала
работало Ерн (^/«=41,1 и отсутствии переменной составляющей ($х.т=Щ. Зате
режим работы его изменился: постоянная составляющая у„!а осталась прежней
но ноявнлась переменная составляющая fix, амплитуда которой рхт=4. Найт
постоянные составляющие р*е в этих двух режимах.
Решение. В первом режиме Bx£=Arsh 41,1=4,41. Во втором режим
p\*;=Arsh41,l/J0(/4)=Arsh 3,63=2.
Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянна
составляющая рх0 изменилась с 4,41 до 2, т. е. более чем в два раза.
П. В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содерж-
щеи одну нелинейную индуктивность (емкость) с беэгистерезнсной симметрично
характеристикой, в которое действуют генераторы синусоидальных колебам
с частотами ft и /я в возникают токи и напряжения частот /т.я=я&-Ья/Е (m
л—простые целые числа; они могут принимать положительные, отрицательные
нулевые значения), для периодических процессов описываются теоремой Мзнл
и Роу.
Если через Wm,„=Um,nIm,n+Um,ntm,„ обозначить среднюю за пери
мощность, «втекающую» в нелинейную индуктивность (емкость) на частоте [т, „
=а лги-т-п}в. то теорема устанавливает связь между мощностями, «втекающим
в нелинейный элемент из различных частотах. Эту теорему а
1 im
(15.18)
§ 15.18. Появление постоянной составляющей тока (напряжения, потока.)
заряда) иа нелинейном элементе с симметричной характеристикой. Если к
нелинейному сопротивлению с симметричной в. а. х., например i—шР, подвести
напряжение в виде двух компонент: u=UiBniat-{-UB sm (2mt+<p), частоты
которых относятся как 1:2 [в более общем случае как 2А/(2р+1), где k ир—целые
положительные числа}, то 'В токе, проходящем через НС, несмотря на отсутствие
выпрямителей, появится ностоянизя ооставлякжцяя, равная—0,75 aUfUs sin ф.
Ее величина зависит не только от Ux и Ий, но и от угла ср. Сам факт
возникновения постоянной составляющей в этих условиях называют селективным
выпрямлением. Селективно оно потому, что возникает не при любом соотношении частот
двух напряжений, а при вполне определенном. Сходное явление имеет место
б нелинейных индуктивностях в емкостях. Тик, если на нелинейную
индуктивность с в. а. х. i=ash(SQ воздействовать потоками частот и и 2ю, то при
отсутствии постоянной составляющей в м. д. с. в потоке кроме указанных
гармоник появится и постоянная составляющая. Для ее определения положим Ф=Ф0 +
-\-Q>i 8Н1(ю£-г-ф)+Ф2яп2(|>(, подставим в формулу для тока и, разложиз ток
в ряд Фурье, приравняем постоянную составляющую тока нулю. В результате
получим формулу для определении Ф0:
где 60=рф0; Ь1=рф,; Ьз=рфа.
Если через нелинейную емкость проходят иерваи и вторая гармоники тока,
а угол ф=^=0, то на емкости будет постоянная составляющая заряда при
отсутствии постоянной составляющгй напряжения из емкости.
§ 15.19. Типы характеристик нелинейных сопротивлений. При
анализе и расчете электроческих цепей с нелинейными
сопротивлениями в зависимости от рассматриваемого вопроса используют
различные типы характеристик одного и того же нелинейного
сопротивления: а) характеристики для мгновенных значений; 6) вольт-амперные
характеристики по первым гармоникам тока и напряжения; в) вольт-
амперные характеристики лля действующих значений.
§ 15.20. Характеристики для мгновенных значении. Основным
типом характеристик являются характеристики, связывающие
мгновенные значения основных определяющих величин: тока* и
напряжения на нелинейном4активном сопротивлении, индукции и
напряженности в сардечнике нелинейной индуктивности, заряда и напряжения
на нелинейной емкости. Будем называть их характеристиками для
мгновенных значений. Иногда перед этим названием добавляют
соответственно следующие слова: вольт-амперные, вебер-амперные или
кулон-вольтные.
§ 15.21. Вольт-амперные характеристики по первым гармоникам,
Под в. а. х. по первым гармоникам понимают графическую или
аналитическую связь между амплитудой (действующим значением) первой
гармоники тока н амплитудой (действующим значением) первой
гармоники напряжения на нелинейном сопротивлении.
Этот тип характеристик подразделяют на две, подгруппы.
В первой подгруппе характеристик принимают, что напряженн
(поток или заряд) на нелинейном сопротивлении изменяется по
синусоидальному закону.
Во второй подгруппе характеристик принимают, что по синус
идальному закону во времени меняется ток через нелинейное актив
ное сопротивление (напряженность в сердечнике нелинейной нндук
тивности или напряжение на нелинейной емкости).""
Если воздействующее на нелинейное сопротивление синусоидально
напряжение (синусоидальный ток) не содержит постоянной составля
ющей, то в. а. х. для первых гармоник данного нелинейного сопр
тивления изображается какой-то одной кривой. Если же воздейству
щее напряжение (ток) содержит постоянную „составляющую, то вольт
амперные, вебер-амперн
или кулон-вольтные харак
теристики изображаются
семействами кривых, на
которых лостоянная состав
ляющая тока, напряжения
потока или заряда
является параметром.
Этот тип характернсти
получают расчетным (ана
литическим) или графиче
ским путем по- соответст
вующим характеристика
. для мгновенных значени '
f или снимают эксперимент
тально.
При графическом пост
роении задаются различны
ми значениями амплитуд
воздействующего на нелинейное сопротивление напряжения (тока,
индукции, заряда), по точкам строят кривую тока (напряженности,
напряжения) в функции времени и путем разложения ее в ряд Фур
находят соответствующие амплитуды первой гармоники тока (напря
женнссти, напряжения).
(Пример графического построения -кривой тока в функции времен
для управляемой нелинейной индуктивности см. на рис. 15.17.)
Аналитически построение точек обсуждаемой характеристики прои
водят, используя формулы (15.12) н (15.13) или иные подобные им
В § 15.23 рассмотрено применение формул (15.12) и (15.13) д
получения единых характеристик по первым гармоникам для управл
емых симметричных нелинейных сопротивлений.
Для нелинейной индуктивности в. в. х. по первым гармоника
можно получить опытным путем при помощи схемы рис. 15.14, а
где ИТ1 —источник синусоидальной э. д. с, ИТ2 — источник постоя
ной э. д. с, аЬ — зажимы управляемой цепи НС; ей — зажимы упр .
ляющей цепн НС. Измерительный прибор Vl реагирует на перв
384
Рис. 15.14
гармонику напряжения, а измерительный прибор Ах — на первую
гармонику тока.
На рис. 15.14, б качественно изображены в. а. х. управляемой
нелинейной индуктивности по первым гармоникам. Параметром на них
является ток управления /0.
В. а. х. по первым гармоникам для управляемой нелинейной емкости
изображены на рис. 15.14, в. Параметром на них является
управляющее постоянное напряжение &0.
Снятие характеристик рис. 15.14, б производят следующим
образом. Устанавливают некоторое произвольное значение тока /„ в цепи
управления, затем плавно повышают напряжение ft и для каждого
его значения записывают величину тока /,. Затем то же проделывают
при новом значении /0 и т. д. Результаты измерений наносят на график,
и соответствующие точки соединяют плавной кривой.
В. а. х. для первых гармоник используют при расчете
установившихся режимов в нелинейных цепях, который называют расчетом
по первой гармонике (см. § 15.47).
При расчете применяют в. а. х. той подгруппы, которая более
подходит по условию работы данного нелинейного сопротивления.
§ 15.22. Вольт-амперные характеристики для действующих
значений. Под в. а. х. для действующих значений понимают зависимость
между действующим значением синусоидального (несинусоидального)
напряжения на нелинейном сопротивлении и действующим значением
тока, протекающего через это сопротивление. Если напряжение (ток)
содержит постоянную составляющую, то а. а. х. для действующих
значений изображаются семейством кривых, на которых постоянная
составляющая тока (потока, напряжения или заряда) является параметром.-
&ги характеристики получают графическим или аналитическим
путем из .характеристик для- мгновенных значений или снимают
опытным путем с помощью схемы рис. 15.14, а, но приборы V, и ^-в этом
случае должны измерять действующие значения.
В. а. х. для действующих значений зависят от формы напряжения
на нелинейном сопротивлении н (или) от формы протекающего через
него тока, поэтому необходимо указывать, при каких условиях они
получены.
При качественном н грубом количественном анализах полагают,
что характеристики, снятые при одной форме напряжения на
нелинейном сопротивленни, близки к характеристикам, снятым при другой
форме напряжения. В действительности же количественное различие
в характеристиках может оказаться значительным. В. а. х. для
действующих значений используются при расчете, называемом расчетом
по а. а. х. для действующих значений (см. § 15.48).
§ 15.23. Получение аналитическим путем обобщенных характеристик
управляемых нелинейных сопротивлений по первым гармоникам. Как уже отмечалось,
нелинейные индуктивности и емкости, а также большая группа нелинейных
активных сопротивлений имеют характеристики для мгновенных значений, которые
могут быть приближенно описаны формулой j/=ash fix. Для каждого нелинейного
элемента под х и у следует понимать свои величины (см. § 15.13).
13 Зак. (653
3SS
Такям образом, х и у—обобщенные обозначения величин, спределтощнх
работу нелинейного элемента. Для всех перечисленных нелинейных элементов
можно построить единые характеристики по первым гармоникам. С этой целью
положим **=Xft-J-jcmsm<o(. Тогда в соответствии с формулой (15.13) амплитуда
первой гармоники функции у
!/ш=?аспр*01-/А0'&хт)]- 05.Ю)
Формула (15.19) устанавливает связь между амплитудой щт первой
гармоники у, амплитудой хт первой гармоники х и постоянной составляющей щ.
Рис. 15.15
* На рис. 15.15, а изображены характеристики управляемого нелинейного
элемента Qxm=f(yi„ll2a>) при рл:в=0, 1, 2, 3, 4, 5, построенные по формуле (15.19).
Кривыми можно пользоваться при известном значении параметра $х0. Если
известен нерхц, а постоязная составляющая j/0/«, то семейство кривых pjcm=/(j(ini/2a)
при параметре уа/а, может быть построено следующим образом. Из формулы (15.12}
находим
*"&
в вместо сЬрдГо в (15.19) подставим
Получим
Кривые рис. 15.15, б, построенные по формуле (15.20), являются
характеристиками управляемого нелинейного элемента ври значениях параметра у0/а =
= 0,50, 100, 150 и 200. Обратим внимание на то, что йт/(2а), P*m. !fo/«—это
величины с нулевой размерностью. Если насштабы по осям уменьшить в \Г2 раз,
то кривые рис. 15.15, б будут представлять собой характеристики по действующим
значениям первых гармоник. Характеристика неуправляемого нелинейного
элемента изображена на рис. 15.15. б кривой, для которой j/o/a=0-
§ 15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивность-
Простейшая управляемая нелинейная индуктивность изображена на
рис. 15.16, Она состоят из оЕжюток ш, и w„, намотанных на ;
тый ферромагнитный сердечник. Площадь поперечного сечения
пика S (м^, длина средней магнитной линии
/(м).
Обмотка ш, вклнуюна в цепь переменного
тока» и по ней проходит переменный ток i,
содержащий первую и высшие гармоники.
Обмотка управления (подмагничинання) w0
присоединена к источнику постоянной э.д.с.
Е0 через дополнительную индуктивность L0 и
регулируемое активное сопротивление R0. По
обмотке w0 протекает постоянный ток /0 = Eo/Re
Хотя переменный магнитный поток и
наводит в обмотке w0 переменную э.д.с., но
переменного тока по ней практически не проходит,
так как дополнительная индуктивность L0 образует для переменного
тока достаточно большое индуктивное сопротивление.
Пусть приложенное к обмотке ш, напряжение равно t/mcoscof.
Это напряжение равно э.д.с. самоиндукции, взятой с обратным знаком
(активное сопротивление обмотки о>, считаем весьма малым):
ёФ ,, ,
и = — Cl = w1 -тг = Um cos m.
Отсюда магнитный поток
ф=^8тюг-ьФ0==Фст8Йшг+Ф0; (15.21)
<bm = Vj(mu, (15.22)
где Фт — амплитуда переменной составляющей магнитного потока;
Фв — постоянная составляющая магнитного потока.
Управляемая нелинейная индуктивность позволяет путём изменения
постоянного тока /в в обмотке w0 управлять переменным током <".
Принцип управления режимом работы нелинейной индуктивности
и характер изменения во времени отдельных величин поясним с помощью
рис. 15.17, а, б, где кривые Ф=/(Я() представляют ссбой
зависимости потока Ф в сердечнике от произведения напряженности
магнитного поля И на длину средней магнитной линии / сердечника*
Построения на рис, 15.17, а соответствуют случаю, когда /„ = 0,
а на рис. 15.17, б—когда 10ф0. На обоих рисунках переменная
составляющая потока Omsinca/ одинакова. Для рис. 15.17, а
постоянная составляющая потока Фв=0, для рис. 15.17,6 Флф0. На
кривых Ф=/(е>9, 0 = f(Ht) и iw1 = f(ed) наиболее характерные
соответствующие друг другу точки обозначены одинаковыми буквами.
Построения производим в такой последовательности
Сначала откладываем значения постоянной составляющей потока Ф„
и строим кривую <bmsiaat=f(u>t).
Затем произвольно задаемся различными моментами времени,
например равными сог=0; и/2; я; Зп/2; 2л, и для каждого значения ш£
с помощью кривой Ф—f(Ht) находим соответствующие значения Ш
и строим кривую iWi + low0 = f\e>f) (для рис. 15.17, a l„w0=G), Ось
времени для этой кривой направлена вертикально вниз и проходит
через точки о, с. е в нижней части рисунка.
Ток i не содержит постоянной составляющей, так_как в цепи обмотки
Щ нет источника постоянной э.д.с. и выпрямителей.
Прямая А—А рис." 15.17, б является нулевой линией для
кривой /ш, = /(©(). Ток i изменяется относительно этой прямой так, что
среднее значение его за период от <of=0 до со£=2я равно нулю.
Рис. 15.17
Другими словами, проводим прямую А— А так, чтобы площадь St
была равна площади Sa. Расстояние, на которое удалена прямая
А—А от оси ординат, равно Iow0.
Полезно сопоставить выводы § 15.17, сделанные а общей форке, с теин
выводами, которые применительно к нелинейной индуктивности следуют из
рассмотрения рис. 15.17, а, б. Сопоставимыми величинами являются
*—Ф; у -(«я,+Л,ш»); хо—Ф0; хт—Од»
Уь—1оЩ; »=/(»')—(""i+ZoOi,,) =/(wf).
В § 15.17 говорилось что;
а) путем изменения уа можно влиять на величину амплитуд первой и" высшей
гармоннкфункцииу=/(<о9; этот в1иод подтверждается построениями на рве. 15.17,_
о, 6—амплитуды первой и высших гармоник функции iwl=J(<s>l) зависят от'/р<ив
(чем больше 1$ш0, тем "больше амплитуда первой гармоники тока i):
б) у0 зависит не только от ха, но н от хт; из построений рис. 15,17, а, 6
следует, что /ешв зависит не только от Ф0, но и от Фга;
в) при наличии постоянной составляющей в составе функция х в кривой у =
= [(at) появляются четные гармоники. [Из рис. 15.17, б следует, что при наличии
постоянной составляющей Ф„ в составе магнитного потока Ф в кривой iwl=f(mf)
появляются четные гармоники—кривая 1щ=/(<1>1) неснмыетрична относительно
прямой И—А.\
Запишем потоки через индукции и сечения:
e>ffl=BraS; (15.23)
Ф„ = ВД (15.24)
где Вщ — амплитуда переменной составляющей индукции; В0 —постск
янная составляющая индукции.
Из формул (15.22) и ^15.23) следует, что
Bn^UnKaw^). (15.25)
Если магнитную индукцию Вт измерять в Гс, S—в см3; Um заменить на VV%
где (/—действующее значение напряжения па обмотке и^, то
„ _У%-№ (/-№
Ьт —2«ms ~~ 4.44KS- *хьщ
Формула (15.25) дает возможность найти амплитуду переменной
составляющей магнитной индукции по амплитуде синусоидального'
напряжения Umt частоте /, числу витков да, и сечению S.
По закону полного тока, произведение напряженности поля Н на
длину средней магнитной линии / должно равняться алгебраической
сумме м. д. с:
Я/=ш2 + I0w„. (15.27)
'Так как ток / содержит первую и высшие гармоники, то
уравнение (15.27) распадается на ряд, уравнений: на уравнение для
постоянных составляющих, ив уравнения для первой гармоники, второй
гармоники и т. д.
Уравнение для постоянных составляющих
10Щ = Нп1, (15.28)
где Н0 — постоянная составляющая напряженности поля.
Переменный ток i содержит первую, вторую и другие вьешие
гармоники, но постоянной составляющей ие содержит, так как в цепи
обмотки ш, нет источника постоянной э.д.с. и выпрямителей.
Уравнение для первой гармоники
Iimw1=Hvnl, (15.29)
где 11т — амплитуда первой гармоники тока t; Hlm — амплитуда первой
гармоники напряженности поля. Аналогично,
l^w^H^l. (15.30)
Из (15.28)-(15.29) следует, что
#о = /ооУ/, (15.31)
Hln, = IimWJl, (15.32)
Him = hmWjl (15.33)
и т. д.
Формула (15.31) дает возможность определить постоянную
составляющую напряженности поля И0 через постоянную составляющую
тока /„. Формула (15.32) позволяет найти Н1т через 11т н т. д.
§ 15.25. Вольт-амперные характеристики управляемой нелинейной"
индуктивности по первым гармоникам. Под в. а. х. управляемой Г
нелинейной индуктивности по первым гармоникам будем понимать
зависимость действующего значения первой гармонию* переменного
напряжения Ut на обмотке w1 нелинейной индуктивности от
действующего значения первой гармоники переданного' тока /, при постоянном
токе, /р, взятом в качестве параметра.
Как уже говорилось в § 15.21, в* а. х. нелинейной индуктивности
«ожна получить либо опытным путем с помощью GxeMbtpuc. 15.14, о,
либо расчетным путем.
Рассмотрим расчетный, путь, основанный на использовании
обобщенных характеристик, о чем говорилось в § 15.23.
Примем,, что зависимость между мгновенным значением9 напряженности
магнитного поля Н~ и мгновенным значением магнитной индукции В выражается
гапероЪличеекив- синусом:
Н=а sh рВ. (1S.34)
В (15.34) Я играет ту же роль, что у, в (15.1), я B^-z% же, •яашх.
На основании знилогии между (15.34) и (15.1) ясно, что характеристики
управляемой нелинейной индуктивности но первым гармоникам будут полностью
совпадать е характеристиками ряс. 15ЛБ, б, если (&% заменить на pBmt йт/2а —
на Ихт\1ч и параметр |/0/а—на Щ\а.
Из. формулы (1-5.25) следует, что
Кроме того, и
Савойи™
На основании
э (15.32)
формулы
евт=
V
1ш=
А.=
05.31)
Шт.
=0Sm
V*h
Him
~ 2s,
нв
w&-
=HiJIwi.
alV2
at
we
(15 a
Таким образом, для перехода от семейства кривых в безразмерных единицах
^В(л=/(//1т/2а) при параметре Щи к семейству кривых (/,=/(7^ при
параметре /Jj нужно масштаб по оси орданит изменить в (0WiS)/(p F2) раз, масштаб
по оси абсцисс—в (atyr2)/wl раз и значения параметра'—в aljwe раз..
Пример 151. Управляема» нелинейная индуктивность рис. 15.16 имеет
следующие, данные: 5=2,2 см2; /=25" см; wr—2S0; we=l77&- Аналитическое
выражение кривой намагничивания H=0,7l sh5,75 В-
Ввспользовавпикъ кривыми p*Bi=-/(i/iin/2o:) ПРИ параметре у„(а (см.
рис. 15.15, б), построить для иее семейство в. а. х. по первым гармоникам Ut =
= / (/]) при параметре /0.
Решение. Подсчитаем коэффициент для перехода от фхт. к напряжению V-
caaiiS _ 314 - 250 ■ 2,2 ■ IQ-* _ „
Р^2 5,75-^2.
Таким образом, при переходе от (3%, к наяряжению V масштаб по оси орди-
пат. на рис. 15J5,.d должен быть увеличен в 2,13 раз». Определим коэффициент
цля перехода от И±^Ъэ. к действующему значению первой гармоники, тока;
ей KS/wi=0,71 - 0.25,^2/250= 10*.
Сдедетакяьн», «асяггав во -пси -ийсщит: полжет Фгаъ ивмеиен в id-3- явв.
Коэффициент дая тареиодз ет #Г0/а ж току /0
allwB =0.71 .«.25/1775= 10-».
Семейство в. а. х. изображено на рис. 15.18.
В литературе, посвященной электрическим цепям с нелинейными индуктив-
ностими, используют термин «индуктивное сопротивление» нелинейной
индуктивности по первой гармонике.
Шв шшддятжяаи Феярипитвт&м ш первой гармонике птишшот -отношение
действующего значения первой гармоники напряжения il± на зажимах чйвдякй
нелинейной индуктивности, включенной в цепь переменного тока, к действующему
значению первой гармоники тока 1±,
протекающего через эту обмотку:
где Xi—функция напряжения fj и
тока намагничивания /в. Изменение
Xt в функции от {/х при /0=coret и
X] в функции от 1С ври fj^const
можно прозкззнонревать,
^воспользовавшись кривыми трис. -15Л8. Так,
если -прямить J/i--=8^2 В, то при
/0=0, /1=0,01 А и, следовательно,
Хг=в,52/0>в1=852 Юм.
При /„=«,61 А Х,=81'Щ/0.084=
= 101 Ом.
рПри /„=0,015 А Х1=66,5 Ом.
' Таким ©бризом, изменяя ток
намагничивания 1$, -нежно -управлять
сопротивлением JQ-.
Пример 152. Обмотка (щ
управляемой индуктивности примера 151
подключена к синусоидальному
напряжению U=12,2 В (f=50 Гц). Обмотка управления ш$ подключена к источнику
поствяшюй э. д- -с- 2:ц=1 В. Активное сопротивление цели ■яодмагничиааниЯ
До'=50 Ом. Определить амплитуду переменной тахггавляющей Вт и постоянную
составлявшую В„ мавнитиой индукции.
Релленя«. Во'формуле (16.25),
В -SpZWMBOfiS V? 0,11 %№1,А-
Рис. 15.18
12,2 Уз,
2я50-250-2,2.1О-*'
= 1Т; (№„ = 5.75.
Постоянная составляющая тока /в=£0//?(,:= 1750=0*02 А.
Постоянная составляющая напряженности поля H„=IqW№/1=141% A/m.
Параметр На\а_= 141,5/0,71=200. По формуле (15.17),
.§ 15.26. Вольт-амперные характерииикн доравдиемой нелинейной емкости по
первый гармоникам. Кулон-вольрную характеристику иелннейкбй емкости приВли-
^жеппо можно описать гиперболическим етнуеом:
Пусть заряд
u—ad)fk>.
ff=Qo-t-CmSill<Of,
где <J0—ясстояяная составлгаощая заряда; Qra — амплитуда первой гармоники
заряда.
При этом напряжение на емкости имеет постоянную составляющую V0,
в также первую и высшие гармоники. Формулы (io-K)1!-^-15) можно рас-
гростравить ва нелнвеВную емкость, если заменить у„ ва Uf. щт на (/«,; х„
на Qnf Н на Qe. В соответствии с этим постоянная составляющая взнряжения
l/e=a sh 0ЗД O'PQm)- С5-1*0)
Первая гармоника напряжения на емкости разна
2а ch fW„ [— jJi O'PQm)] sin tot
i dq/di. Следовательно, в
jj (Cm sin ^=<"Q/m с*»8 ы'-
Ee амплитуда «oQm=PQm->. ^ а действующее значение в К2 раз меньше:
Под в. е. х. управляемой нелинейной емкости по первым .гармоникам будем
понимать зависимость действующего значении первой гармоники тока через
емкость /, от действующего значения первой гармоники напряжения U± при
параметре (JB.
На основании записанного соответствия между V0 и ув, уш и (Jlm и т. д.
можно утверждать, что семейство кривых PQm=/(t'im/2a) Прл параметре t/„/«
полностью повторяет семейство кривых Р*т=*/(йт/2а) ПРН параметре y9Ja,
изображенное на рис. 15.15,6.
Для перехода от семейства кривых PQm=/(fim/2a) к семейству в. а. х.
управляемой нелинейной емкости по первым гармоникам следует учесть формулу
(15.41) и то, что действующее значение первой гармоники напряжения не емкости
(/1=^LttjA2 в Св=^г«-
Другими словами, для перехода от семейства кривых. RQm=/((/im/2a) при
вараметре V0ja к семейству иривых /i=/(fi) при параметре U„ необходимо
масштаб по оси ординат изменить в io/(pV2) раз, но оси абсцисс—-в aV% раз
и параметр—в а раз. Подобно тому, как для нелинейной индуктивности вводят
понятие индуктивного сопротивления но первой гармонике (см. § 15.25), для не-
линенвой емкости вводят понятие об емкостном сопротивлении по первой
гармонике: ^i=fi//i, где Щ—действующее значение первой гармоники напряжения
на емкости; /^—действующее значение первой гармоники тока через нелинейную
емкость; А!—функция С/, 11 f0.
На 'электрических схема* транзистор р-я-р-типа изображают, как
показано на рис. 15.19,6, а транзисторы л-р-л-типа в соответствии -
с рис. 15.19, е.
Перваяр-вёласяь Втораяр-еШсшь
§ 15.28. Три основных способа включения транзисторов в схему.
Различают три основных способа включения триодов в схему в
зависимости от того, какой из электродов транзистора является общим для
управляющей н управляемой цепей. На рис. 15.20, а изображена схема
с общей базой, на рис. 15.20, б-схема с общим эмиттером и ва
рис. 15.20, в—схема с общим коллектором.
Во всех схемах £„ —источник э. д. с. в цепи нагрузки; £у —
источник э. д. с. в цепи управления. Для всех схем, в которых
используют транзисторы типа р-л-р, полярность источников э. д. с,
должна быть такой, чтобы коллектор имел отрицательный, а эмиттер
положительный потенциал по отношению к базе.
§ 15.29. Принцип работы транзистора в качестве управляемого
сопротивления. Рассмотрим принцип работы транзистора р-п-р'-типа
в схеме с общей базой (рис. 15.20, о). Вследствие диффузии в
переходном слое между эмиттером и базой и между базой и коллектором
деются объемные заряды (на рис. 15.19, а не показаны). В р-области
объемные заряды отрицательны, а в л-области положительны.
Объемные заряды в каждом переходном слсе создают
электрическое поле, вектор напряженности которого направлен от я- к р-обла-
сти, т. е. поле препятствует движению носителей положительных
зарядов из р- в п-область и движению носителей отрицательных зарядов
из п- в р-область.
Разность потенциалов на переходном слое между р- и п-областями
называют потенциальным барьером. Потенциальные барьеры зависят
от величины и полярности каждого источника э. д. с, включенного
в схему.
Так, включение источника э, д. с. Es в схему рис. 15.20, а
приводит к уменьшению потенциального барьера между эмиттером и базой
по «равнению с разностью потенциалов на этом слое, когда источник
э. д. с. Еу не включен. В свою очередь включение источника э. д. с.
Ев приводит к увеличению потенциального барьера между базой н
коллектором по сравнению с разностью потенциалов на этом слое,
когда Ев не включена.
Объясняется это тем, что результирующая напряженность поля на
переходном слое коллектор — база при наличии э. д. с. Е„ равна сумме
напряженностен от объемных зарядов и от э. д. с. Ек, тогда как на
переходном слое эмиттер —база результирующая напряженность поля
при наличии э. д. с. Е, равна разности напряженностей от объемных
зарядов н от э. д. с. Еу.
Кривая / рис. 15.19, г — зависимость изменения потенциала вдоль
триода при отсутствии э. д. с. Ен и Еу, кривая 2 —при наличии
э. д. с. £„ н Ег При сниженном потенциальном барьере между
эмиттером и базой энергетический уровень части носителей зарядов
оказывается достаточным для того, чтобы от эмиттера в базе,
соединенной с отрицательным полюсом источника э. д. с, Еу, двигались дырки
(носители положительных зарядов).
Небольшое количество отрицательных зарядов движется прн этом
от базы к эмиттеру, но ток, создаваемый ими, относительно мал, так
так концентрацшгатомов примесей в области базы значительно меньше
концентрации атомов примесей в эмиттере.
Хотя в п-области при этом и происходит частичная рекомбинация
положительных и отрицательных зарядов, однако благодаря малой
толщине «-слоя большая часть носителей положительных зарядов
успевает продрейфовать к переходному слою между базой н
коллектором. В переходном слое между базоп^ я коллектором носители
положительных зарядов оказываются под воздействием сильного
электрического поля, образованного источником э. д. с. Ен (обычно Е„>-£у).
Под действием этого поля носители положительных зарядов
втягиваются в область коллектора и движутся к электроду коллектора.
Таким образом, большая часть носителей пшожительных зарядов,
" вышедших из эмиттера н прошедших в п-область, устремляется ж
коллектору (потенциал коллектора отрицателен по отношению к
потенциалу базы и потенциалу эмиттера).
В результате к электроду базы подходит лгаиь незначительное
количество носителей положительных зарядов ив числа тех, которые
вышли из области эмиттера н прошли в область базы, '
При принятых на ряс 15.20, а положительных направлениях для
токов ток эмиттера £9 равен сумме тока коллектора £„ и тока базы £б:
Отношение тока коллектора к току эмиттера ijia ■=■ а. Обычно а =■
= 0,95 ч-0,99 и зависит от режима работы.
Транзистор является управляемым активным сопротивлением. В нем
коллекторным током и падением напряжении между электродами
коллекторной цепи можно управлять путем изменения э. д. с. Еу.
Следует иметь в виду, что при изменении полярности э. д. с. Ев
в схеме рис. 15.20, е транзистор теряет свойство управляемости и на
участке между базой и коллектором работает как обычный
неуправляемый диод. Этот режим является ненормальным режимом работы
транзистора.
Принцип действия транзистора n-p-и-типа аналогичен принципу
действия транзистора р-л-р-типа. Но концентрация атомов примесей
в базе транзистора п-р-и-типа много меньше концентрации примесей
в п-области эмиттера. В транзисторе п-р-п-тива в область базы
поступают не дырка, а электроны. Полярность включения источников
питания Еу и Ев транзисторов п-р-я-типа противоположна полярности
источников питания транзисторов р-л-р-тнпа.
В соответствии с этим направления прохождения токов в
соответствующих ветвях для этих тисов транзисторов противоположны.
§ 15.30. Вольт-амперные характеристики транзистора. Свойства
каждого транзистора определяются двумя семействами его в. а. х.
Первое семейство характеристик —зависимость тока выходной цепи от
напряжения между электродами транзистора, включенными в
выходную цепь, при каком-либо из остальных токов транзистора, взятом •
в качестве параметра. В качестве параметра может быть взята и любая
другая величина, например напряжение между электродами
транзистора, включенными в цепь управления. Это семейство описывает
свойства транзистора по отношению к выходной цепи. Второе семейство
характеристик — зависимость тока входной цепи (цепи управления) от
напряжения между электродами транзистора, включенными во
входную цепь, при напряжении между электродами, включенными в
выходную цепь (при токе выходной цепи), взятом в качестве параметра.^
Это семейство характеристик описывает свойства транзистора по
отношению к цепи управления.
На рис. 15.21.0 качественно изображено семейство выходных
характеристик £к=/(и9В) при параметре £э для схемы с общим эмиттером
(га. рис. 15.20,6). Правее вертикальной пунктирной прямой А — А
кривые начинают круто подниматься. Это свидетельствует о том, что
в данной зоне может произойти пробой транзистора. Поэтому в зоне
правее прямой А-г А работать нельзя.
Расположенная в третьем квадранте кривая ОБ иллюстрирует
потерю управляемости транзистора при изменении полярности э. д. с.
в выходной цепи.
При протекании тока по транзистору он нагревается выделяющимся
в нем теплом. Каждый транзистор в зависимости от размеров и усло-
396
рин охлаждения может отдавать в окружающее пространство опреде-1
ленное количество теплоты. Допустимое количество теплоты, выделяю-:
щейся в транзисторе, характеризуется так называемой мащностью-рас-
сеяния Ря = ывк1я (дается в каталогах). На рис. 15.21, а пунктиром
нанесена гипербола iK = pKfti3K = f (w,K). Транзистор не перегревается
в условиях длительного режима в том случае, если рабочаяточка
находится внутри заштрихованной области (кратковременно можно
работать и в области, находящейся выше пунктирной кривой). На рис, 15.21,6
качественно изображено семейство входных характеристик транзистора
*в=/("9б) при
рис. 15.20,6).
в схеме с общим эмиттером (см.
V**'*l.
^ЧМ
Рис. 15.21
Важно обратить внимание на то, что любой ток транзистора
(например, iK или (Г)) является функцией ие одной, а двух переменных.
Так, ток 1К является функцией ueK и »„, ток i6 — функцией «i6 и ам.
(Эта положение будет учтено в § 15.34.)
Транзистор может быть использован в качестве усилителя тока,
напряжения и мощности.
Коэффициент усиления гю току ftj равен отношению приращения тока на
выходе к'приращению тока на входе. Коэффициент усиления по току для схемы
с общим эмиттером, где выходным током является i„, а входным ig,
*,=Д/я/Д<б=а;<1-а).
Коэффициент усиления но току для схемы с общим коллектором, где выход*
ной ток iB, а входной *6,
^=Д(9/Д<6=1/(1-а).
Так как коэффициент a=0,95-j-O,?9, то kt*= 19-г-100.
% 15.32. Транзистор в качестве усилителя напряжения. При работе траиэи-
стора в качестве усилителя напряжения важно, чтобы приращение напряжения
на нагрузке Дивы„ включен вой в выходную цепь, было больше приращении
напряжения на входе управляющей цепи Дивх.
Коэффициент усиления по напряжению *в=Дивы1[/Д"в1- При использовании
транзистора в качестве усилителя напряженна его включают либо по схеме
с обшей базой (см рис. 15.20, о), либо по схеме с1 общим эмиттером (см.
рис. 15.20,6).
Поясним, за счет чего получается усиление. Входное сопротивление
транзистора RBI равно отношению приращения напряжения на входных зажимах к-прт-
ращенню входного тока.
' Выходное сопротивление транзистора fiabl, равно отношению приращения
напряжения на выходных зажимах к приращению выходного тока.
В схеме с общей базой
RbZ = Явь 9б = ДЫЭ6/Д'В: НйЫК =Лвы.. 9К = A«slt/ufК-
Для схемы с общей базой Йны, оказывается примерно на два порядка
больше, чем Дд.
В схеме с общим эмиттером
«в<=«в<.вб=Д"б./Д('б: «Ны.=«вьи..к='й"»к/Д^-
Для схемы с общим эмиттером Reblx обычно в несколько раз больше R„.
При работе транзистора в качестве усилителя нзнряжения (и в качестве
усилителя мощности) в обеих схемах сопротивления нагрузки RB берут обычно того
же порядка, что и выходное сопротивление транзистора со стороны зажимов
эмиттер—коллектор, т. е. Йн^Яньи-вя-
Составим выражения для определения ku в схеме с общей базой:
*„=Дивьи/Анв*^ ЫЛвПЫ&а*. ев),
но
Д/к/Д/,=а, в Дя«м.,б«»В»ых.»к/Я№*б1
следовательно, ku=a ■ „—"-.
«ВЖ. Вб
Если учесть, что а Близко к 1, то для схемы с общей базой 6н=в
«вйрыьвк/йвж. вб и составляет величину порядка нескольких сотен.
Составим выражения для кв в схеме с общим эмиттером.
Входным током в схеме с общим эмиттером является ток базы, а выходным—
ток коллектора. Поэтому
" й(^х ^Д/бЯм-аб 1~« * Явьвб *
Если учесть, что. г-^-—*=19-г-99, в отношение - ЛЯ—'. в схеме с общий
эмиттером составляет величину порядка нескольких единиц, то для схемы с общий
эмиттером ка составляет величину от нескольких десятков до нескольких сотен.
5 1Б.ЗЭ. Транзистор в качестве усилителя мощности. Усиление по мощности
достигается во веек схемах включения рнс. 15.20. Коэффициент усиления по
мощности kp равен отношению прир&щеиня мощности в нагрузке АРВ к
приращению мощности на входе транзистора-ДРу:
kp=APJAPy.
Для схемы рнс. 15.20, а
Таким образом, коэффициент усиления но мощности для схемы рис. 15.20, а
в первом грубом приближении примерно равен коэффициенту .усиления гщ
напряжению для этой схемы. Наибольшее усиление по мощности достигается в схеме
с общим эмиттером. Для нее kp может достигать значений 104 и более.
§ 15.34. Связь между приращениями входных в выходных величин
транзистора. Напряжение на входных зажимах иу и напряжение на выходных
зажимах иа являются функциями входного lt и выходного ia токов, т. е.
«i~«/ift.«: OS**)
u2=fB('i. у. (15.42а)
Запись Ut=3(/i((i. is) свидетельствует о-том, что Ut есть функция двух
переменных (('[ и гв). Условимся исходные значения токов и напряжений обозначать
большими буквами (f, /), а приращения—малыми (Д*, Ли). Пусть токн получили
малые приращения Мг и Atg и стали равными Д-j-Ati и Ia-\-Aia. При этом нэ-
прнжеякя также получили приращения и стали равными и^-^-Ащ. н Ua-\-Avz.
Следовательно,
(/l-fAoi=t/1[(/J-fAf1), (/«+ДУ]; (15.43)
(/.rf-Aii,—(/,[(/Н-Д<1)> tfi+ЛЩ- (15.43а)
Найдем связь между приращениями напряжении Лы( и Ди„ И приращениями
токов Aii и Д<з- С этои Целью разложим правые 'части равенств (15.43) и (15.43а)
в ряд Тейлора для .функции от двух переменных по степеням приращении Ait
и Д*а 'в воспользуемся тем, что в силу малости приращений можно пренебречь
слагаемыми, содержащими Ai± и Л£1( в степенях выше первой. Получим:
(/а+дИв=1/а(/(. /j+Aitptyay^ ,,+Д(,<к/»йщ/1# v
где IfXJtldidj j — частяая производная (/i no ix, в х©торую подставлены
значения /х и /в, определяющие собой исходные значения токов (до получения
приращений); {dUildijjj j —частная производная U± по ia, в которую подстаалены
■значения 1г и /2. '
Для сокращения записи введем следующие обозначения,
Обритим внимание иа то, что К^ФИ^
Значения Rn, Rla, R21, x>w могут быть найдены графическим путем из
характеристик транзистора или опытным путем, поэтому в дальнейшем будем полагать
вх ..известными. Если на (15.43) вычесть (15.42), а из (15.43а)—(15.42а) и затея
частные производные заменить соответственно на Rn, R&, R&, R&, то волучим:
Д%=J?jS АЬ+Цп &ia; (15.44^
Attz^RnAii-i-Rn&ib. (15.44aJ
Для некоторых типов маломощных внзкочастотннх транзисторов Й,ч=275 Ом;
RIS=250 Ом; i&1=475 кОм; ^=500 кОм.
Формулы (15.44) связывают малые приращения токов Ait в ui,c малыми
приращениями напряжений А% и Аиа. Иа этих формул следует, что по
отношению к малым приращениям транзистор, являющийся управляемым нелинейным
сопротивлением, можно заменить эквивалентной линейной схемой замещения.
§ 15.36. Схема замещения транзистора для малых приращений- В специальной
литературе но транзисторам в схемы замещении для малых приращений вводят
не сопротивления Rn, j?l:, Rs±, R&, о которых шла речь, а некоторые расчетные
сопротивления—сопротивления базы R& коллектора Rs, эмиттера R, и
некоторый расчетный источник s, Д. с, величина э. Д- с. которого равна произведению
тока управляемой цеон. на расчетное сопротивление Rm.
гЧ^п!
Значения R6, Дк, J?s н Rm определяют через /fo, Rlt, tiai H Rm-
Рассмотрим схему замещения транзистора, когда общим электродом является
база. На.рис. 15.22, а изображена схема с общей базой. Входным током в Пей
является ток ("i=<9, выходным током is=—iB (положительное исправление для
тока U принято яротивоположшл* положительному направлению тока iK на
рис. 15.20, а). Схема рис. 15.22, б заменяет схему ряс. 15.23, а для малых
приращений.
По второму закону Кирхгофа составим уравнения для двух контуров схемы
рис. 15.22, б:
A»i«№+Jfe}£fc+/teAfc (15-45)
Д%=иЯ1П=Ч)т—я)п; fiHB=Upj=(pp—qij.
(15.45а)
Последние уравнения дают возможность найти сопротивления R6, Ra, Rx н
Rm по известным сопротивлениям ft,, ftj, Дя, #ю. Источник э. д. с.
Rtn Д('»(Д('в=;Д,|) введен в схему замещения рис. 15.22, б для того, чтобы учесть
в расчете усилительное действие транзистора; э. д. с. этого источника
пропорциональна входному току.
Таким образом, для расчета малых приращений входных и выходных токов
в нелинейной схем? рис. 15.22, а определения коэффициентов усиления и входным
сопротивлений следует произвести расчет линейной схемы рис. 15.22, 6,
подключив к ее входным зажимам тп источник малой (обычно синусоидальной) з>. д. с,
а к выходным зажимам р?—нагрузку Ra.
-тока m Ai3=ctufa и зашунтировать его сопротивлением RK_
2. При относительно высоких частотах и быстро протекающих процессах
следует учитывать, что р-л-переходы обладают емкостными свойствами и имеет
иесто инерционность основных носителей зарядов. Емкостные свойства учитывают
■vffid/.
в расчете, шунтируя в схеме замещения коллекторный p-n-переход некоторой
емкостью Ск. Инерционность носителей Заряда, учитывают, вводя зависимость
коэффициента усиления а транзистора от частоты со (оператора р):
1+р/ш»
. где Ое-коэффициент усилении транзистора на постоянном токе; Щ~1==К^Л.
Емкость энмитерного перехода обычно не учитывают, так как она шунтирует
относительно малое по сравнению с Дя сопротивление Rs. Для высокой частоты
схема замещения транзистора, собранного по схеме с общей базой, изображена
на рис. 15.25, а, с убищм эмиттером-1—на рис. 15.23, 6. В зависимости от типа
транзистора RK имеет значение от нескольких десятых мегома до нескол!
мегом; fi,—нескольких десятков ом; fig—нескольких десятков или сотен ом;
Ск—от нескольких единиц до-нескольких десятков пикофарад.
Решение. На рис. 15.24, в проводим прямую, представляющую
собой'в. а. х. нагрузки Ян = 500 Ом. Эта прямая пройдет через точку
£н=0 и «„„ = £«0 = 10 В и через точку iK = £ко/Я« — 20 мА и u„=U
Семейство входных характеристик транзистора ПН, как это видно
из рис. 15.24, б, обладает той особенностью, что в интервале значений
«?К = 0,2-И0 В зависимость тока базы i6 от напряжения между
эмиттером и базой изображается одной и той же кривой (практически не
зависит от «„)-' Найдем значение тока £6 = /б0 при отсутствии синусои-
Рис 15.24
дальнего сигнала на входе, т. е. в режиме, когда на вход цепи
управления действует только постоянная з._д. с. £,0=0,25 В (цепь
управления замкнута через источник сигнала).
Из рис, 15.24, б следует, что при «sfi = 0,25 В ток i6 = ho =
= 250 ыкА (точка п). Далее найдем ток tK = /K0 и напряжение н„ =
='Vat0 в этом режиме.
На семействе кривых рис. 15.24, в режим работы при £, = £^0
определяется точкой п, полученной в результате пересечения в. а. х.
нагрузки с той кривой семейства ie=/(«,«), для которой параметром
является i6 = 250 ыкА.
tB точке л £к = /к0=13,1 мА та им = изкЯ = 3>,5 В. Линеаризуем
входную характеристику в рабочей точке. С этой целью проведем
в окрестности точки л (рис. 15.24, б) прямую так, чтобы она на
возможно большем участке совпала с касательной к кривой »в=/(ывб)
401
в точке п. Крайними точками проведенной прямой ■ будем считать
точки р и т. В точке р ток £в = 350 мкА и иа6 — 0,27 В. В точке щ
ток f6 = 150 мкА и нэб = 0,23 В. Этим точкам соответствуют
одноименные точки р и т на рис. 15.24, в.
В точке р рис. 15.24, в £к=18,6 мА, в точке т £„ = 8,6 мА,
Таким образом,, при подаче на вход схемы синусоидального
напряжения с амплитудой Г/эбга = 0,02 В в цепи управления появится
синусоидальная составляющая тока, имеющая амплитуду Itm^=I^= 100мкАг
а в выходной цепи кроме постоянного тока /к0 появится
синусоидальный ток с амплитудой 1кт=Ъ,0 мА *. При этом на выходных зажимах
транзистора действует синусоидальная составляющая напряжения,
имеющая амплитуду Г/вкт — 2,45 В.
Найдем искомые коэффициенты усиления.
Коэффициент усиления по току
h = A»BbII/AiBx - W,» = 5,0 (мА)/100 (мкА) = 50. \
Коэффициент усиления по напряжению '•
йи=Дивых/Диы-=Ки/жт/[/вйт = 500-5,0-10-5/0,02= 125.
Коэффициент усиления по мощности
=5оо(5,о- ю-у/о.ог- loo- ю-»-625а
Входное сопротивление транзистора между зажимами эмиттер —
база для синусоидальной составляющей
tfB,.e6 = tWV<=0,02 (В)/100 (мкА>=200 (Ом).
Выходное сопротивление между зажимами эмиттер — коллектор для
синусоидальной составляющей
Яш «=-"...//.* = 2,45 (В)/5,0 (мА) = 490 (Ом).
В .тепловом отношении транзистор работает в ненапряженных
условиях, так как мощность, выделяемая в нем в режиме,
соответствующем точке п (рис. 15.24, б),
^8К<Ло = 3,5 (В)-13,1 (мА)=45,8 (мВт), ;
что значительно меньше допустимой для данного транзистора мощности
рассеяния 150 мВт.
§ 15.37. Основные сведения о трехэлектродной лампе. Трехэлек-:
тродная лампа (триод) имеет три электрода: катод, анод и сетку. Эти \
электроды находятся в вакуумированном стеклянном или металлическом ]
баллоне. '■
Катод, подогреваемый нитью накала от вспомогательной батареи \
(обычно не показываемой на схемах), испускает электроны вследствие ■
явления термоэлектронной эмиссии. Поток электронов направляется л
* Берем первую гармонику Беременной составляющей коллекторного тока.*
ко второму (холодному) электроду —^ноду — только в том случае, если
потенциал анода выше потенциала катода. Если же потенциал анода
сделать ниже потенциала катода, то потока электронов от катода к аноду
не будет (в этом случае анод не притягивает электроны, а отталкивает
их). В результате этого электронная лампа обладает несимметричной
в. а. х.
Третий электрод—сетка —расположен ближе к катоду, чем анод.
Поэтому электрическое поле,. создаваемое между сеткой и катодом,
даже при малых напряжениях между ними оказывает сильное
влияние на поток электронов с катода на анод. Сетка является
управляющим электродом. Путем изменения потенциала сетки можно управлять
анодным током лампы. Как и транзистор,
электронная лампа может быть включена в I -*—-l
схему тремя основными способами: с общим ка- 1 la flfy
тодом, с общей сеткой и с общим анодом (в 4/i\ X
зависимости от того, какой из электродов яв- Г"\г-С3.1^д (ч)^а
ляется общим для анодной и сеточной цепей). До^! Т
На рис. 15.25 изображена наиболее часто ^e\j) uc I I
употребляемая схема — схема с общим като- Т- 1- -*
дом. Как и транзистор, электронная лампа
может служить в качестве усилителя тока, Рис- 5-25
напряжения и мощности. Возможность
выполнения лампой всех этих функций основывается на том, что изменение
разности потенциалов между сеткой и кнтодом оказывает более
сильное влияние на поток электронов с катода на анод, чем изменение
(на ту же величину) разности потенциалов между анодом и катодом.
§ 15.38. Вольт-амперные характеристики трехэлектродной лампы
дли мгновенных значений. Цепь, образованная анодом и катодом
трехэлектродной лампы, источником э. д. с. £а и нагрузкой J?B, назы-
\ вают анодной цепью.
Цепь, образованную сеткой и катодом электронной лампы и
источником э. д. с. £с, называют сеточной цепью.
Напряжение между анодом н катодом ив называют анодным
напряжением, между сеткой и катодом ыс —сеточным напряжением.
Ток в анодной цепи £в и ток в сеточной цепи £с нелинейно зависят
от анодного и сеточного напряжений ыа и ис.
Под анодными характеристиками трехэлектродной лампы понимают
зависимость анодного тока i„ от анодного напряжения ив при сеточном
напряжении и^ взятом в качестве параметра.
На рис. 15.26 изображено семейство анодных характеристик лампы.
Стрелка на рис. 15.26 (а также на рис. 15.27 и 15.28) указывает
направление, в котором возрастает параметр.
Если семейство анодных характеристик рассечь прямыми на —const,
то можно получить семейство кривых £„ = f(«c) при параметре и„.
Такие кривые называются сеточными (анодно-сеточными)
характеристиками трехэлектродной лампы (рис. 15.27). Для них характерно,
что ток £(,=7^0 при &с=0, а также что имеется область насыщения,
в которой ток £„ почти не увеличивается с ростом ыс.
Семейство зависимостей сеточного тока tc от сеточного напряжения.
ис при различных значениях анодного напряжения' и положительных
значениях ыс для одного из типов ламп изображено на, рис. 10.281 _'
В общем случае при работе лампы одновременно меняются щкщ'
и изображающая точка на семействах анодных и сеточных
характеристик перемещается с одних кривых на другие. В частном случае
работы, когда и3 остается неизменным или почти неизменным, *a=/(ut)
изображается одной кривой семейства кривых рис. 15.27.
Рис. 15.26
Ряс 15.27
Рис. 15.28
Рис. 15.29
Если электронная лампа работает при отрицательных или сравни-,
тельно малых положительных напряжениях на сетке, то сеточный ток
имеет малую величину и его в расчете, как правило, не учитывают
Следует отметить своеобразие сеточной характеристики по сравнению с
обычными вольт-амперными: сеточная характеристика дает связь ие между током че
нелинейное сопротивление и напряжением на нем, чт
характерно для «обычных» в. а. _х., н между мгновенны
значением тока через нелинейное сопротивление в
мгновенным значением управляющего напряжения на этом
сопротивлении.
§ 15.39. Аналитическое выражение
сеточной характеристики электронной лампы.
Сеточная характеристика при Ha>=const может быть
приближенно представлена отрезками прямых
(рис. 15.29). Часть сеточных характеристик, на-,
пример характеристика, выделенная жирной линией на рис. 15.27,
может быть описана полиномом третьей степени:
'» = 'ao-h G"c — bu%.
Здесь гя0 —значение тока ia при ис=0; а и Ь—числовые
коэффициенты; а измеряется в А-В-1; 6 —в А-В-8.
Для определения коэффициентов а и Ь следует выбрать на
характеристике две точки с координатами irt, ua я iaa, иег и решить систему
двух уравнений с двумя неизвестными:
i*i = ho+auti—bub. ]
Характеристика по тнпу пунктирной кривой на рис. 15.27 может
быть приближенно описана полиномом второй степени:
i» = i«o+put-H«£,- •
где р и q — числовые коэффищвдш.
Сущестеуют аналитические выражения я для анодных харасгеристик.
§ 15.40. Связь между малыми приращениями входных и выходных величин
влёктронной лампы. Как уже говорилось в § 15.39, анодный ток iH" является
функцией не только анодного, но и сеточного напряжения; ia=Ia(ut, и£). Если
по отношению л некоторому исходному состоянию ((/„, Uc) сеточное напряжение
получит небольшое приращение Дис, то оно вызовет приращения анодного
напряжения Дия и анодного тока А(а-
Если проделать выкладки, аналогичные выкладкам § .15.34, то получим
Частную производную (^/t/du^fv у , в которую подставлены значения Ия
н Uf соответствующие исходному состоянию, принято называть внутренней
проводимостью электронной лампы (проводимость между анодом а катодом)
а=(%*-) . (15.46)
Величину, обратную gt, называют внутренним сопротивлением лампы
(сопротивление между анодом и катодом):
ft,= l/fi,- (15-47)
Частную производную lplaldu^v и , подсчитанную при исходных значениях
U„ в 1)„ называют крутизной характеристики лампы (имеет размерность
проводимости):
(15.*
-C&L--
Проводимость gt и крутизна характеристики S зависят от вида характеристик
лампы и исходных напряжений (/, в Uc. Огношеине S к gt называют
коэффициентом усиления лампы:
S \дис JV„, -U.
Коэффициент усиления лампы ц показывает, по сколько раз приращение на,
пряжения между сеткой и катодом Дия оказывается более эффективным, чем
приращение напряжения между анодом и катодом Дыа в отношении получения
одинакового приращения .анодного тока Aij. С учетом сказанного формулу для Д^
можно записать следующим образом:
Ai,=AUj£"f-AKc5, (15.50)
или
Дил=Rt Ai„—р. Дыс. (15.50а)
§ 15.41. Схема замещения электронной лампы для малых приращений. На
схеме рис. 15.30, а через VH, (/,, 1/с, /я обозначены постоянные составляющие
напряжений и тока, соответствующие исходному состоянию схемы (до получения
приращения сеточного напряжения). Положительные направления для приращений
Дис, Аи„, Д1а те же, что н для исходных напряжении н токов.
Составим уравнение, для приращений напряжений в .анодной цепи, вызванных
приращением напряжения йас на сетке лампы. С этой целью составам два
уравнения по второму закону Кирхгофа для анодной цепи. Одно из них для режима
до получения приращений: С/,-§-1/д=£, другое—для режима после получения
приращений; (/B-{-Awa-I-bf„-f-AuH=E. Если в~последнем уравнении Uj-f-l/,,.
иить ва Е, то окажется, что
Дна-4-Д«н=0, (15.51J
где Д%—приращение напряжения ие нагрузке RH.
В уравнение (15.51) вместо Дин подставим ftHA/„ и вместо Динв соответствии
с уравнением (15.60а) подставим RibiB—мМс. Получим
(ftH-r-fti)ui„=Mfi«c- (15-52)
.Уравнению (15.52) отвечает схема рис. 15.30, б. В этой схеме к источнику
в. д с. |1Диа присоединены сопротивление нагрузки Ra в внутреннее
сопротивление электронной лампы Ri- Таким образом, для малых приращений анодную цепь
электронной ламны' замещают (имитируют) источником з. д. с. р Дия и
последовательно с внм включенным сопротив-
diff^i лением Rt. Э. д. с. этого источника
пропорциональна изменению напряже-
вия на сетке лампы (т. е. это
зависимый источник э- д. с; ср. с § 15.35).
На рис. 15.30, в изображена
другая часто используемая схема
замещения. В ней вместо источника
э. д. с. включены источник тока
\i&uc!Ri и шунтирующее его
сопротивление Rt (напомним, что переход
от источвнка э. д. с. к источнвну i
ка рассмотрен в § 1.2).
В схемах 15.30, б, в ие учтены
межэлектродные емкости, поэтому
такие схемы применимы для
относительно низких частот. (Схема замещения
для высоких частот изображена на
рис. 9.3, б.)
Пример 154. Между сеткой и като-
домтриода 6С2С приложено напряжение
citf (рис. 15.30, в). Зависимость аиодаого
изображена на рис. 15.31.
«| ео вотттттгоощЁ
Рис 15.31
Uc+&ac=Uc+VcmfAa<al=~2-г-0.05
тока i„ от анодного напряжения и„ при параметре „с ,,„. — ,,—.. .-.«..
Э. д. с. £■„= 150 В; J?H= 15 кОм. Найти параметры схемы замещения триода и
определить с номсшью этой схемы амплитуду синусоидальной составляющей тока
в анодной цепи.
Решение. Определим положение рабочей точки на характеристиках лампы
по постоянному току. На рис. 15.31 наносим прямую, характеризующую
нагрузочное сопротивление анодной цепи J?B_ (Ее часто называют нагрузочной прямой.)
Прямая проходит через точки ia=0, Ын= 150 В н fB=E1,/ftl,'=H) мА, Ио=0.
Рабочей точкой в рассматриваемом режиме будет точка пересечения прямой
с той крнаоб семейства, для которой параметр ис=—2 Б- Координаты этой
точки; Ыа=94 В и »„=3,67 мА.
По определению [ем. формулу (15.46)], для нахождения gj следует, считая за
исходное положение найденную -рабочую точку, при неизменном цс=—2 В дать
приращение анодному напряжению Дыв, найти соответствующее ему приращение
анодного тока Aia и разделить Aia на Дия;
gi=diJdu.A^&lJlHia=5 мАу50 В=10"* См. Д£=1/е,=10« Ом.
Проводимость gi пропорциональна тангенсу угла наклона касательной в
рабочей точке к кривой «я=/(и»), для которой ыс=—2 В.
Для определения крутизны характеристики S при «3=94 В даем приращение
сеточному напряжению Дцс=—1—(—2J = 1 В и из рисунка находим
соответствующее ему приращение Д(я=4,67—3,67=1 мА. Следовательно, S=©Va/£)uc:=
к=Д|я/Дия=10-* А/В. Кюффидиен! усиления p=Sfei=W. Амплитуда
синусоидальной составляющей тока в анодной цени согласно (15.52)
'«"-iSs-2-10-"*--
Анодный ток ia=3,b7-$-0,G2tiina>t мА.
§ 15.42. Поороенне зависимости вход—выход для электронной лампы при
больших сигналах. Напряжение между сеткой в катодом ис является входным,
а напряжение на .нагрузке RB (см. рис. 15-30, а)—выходным. Напряжение на
нагрузке равно произведению тока jH на сопротивление RH. Если амплитуда
переменной .составляющей напряжения щ_ достаточно большая (например, соизмерима
или больше постоянной составляющей напряжения Vc), то линейные схемы
замещения рнс. 15.30, б, в применить нельзя. Определение зависимости тока »а от
времени t при подаче на сетку лампы напряжения любой формы я любой
амплитуды можно производить путем графических построений. Сущность последних
состоит в следующем:
1. Придавая времени / различные вначения, находят отвечающие им ыгйовен-
ные значения ис.
2. Для каждой нары соответствующих друг другу значений f и ыс анодный
ток (а определяют ординатой точен пересечения нагрузочной прямой и той кривой
семейства <a=f («а), для которой данное значение ыс является параметром.
3. Строят кривую зависимости cH=f(J). Разложение ее в ряд Фурье
Позволяет найти постоянную составляющую, а также амплитуду первой и высших
гармоник ряда Фурье. Повторив построения при ниой амплитуде или иной форме
напряжения и„ определяют новые значения постоянной составляющей и
амплитуд первой н высших гармоник тока iB. В результате ряда такнх построений
получают данные, на основании которых,можно построить любые представляющие
интерес зависимости между входными и выходными величинами. В принципе
аналогичные построения могут быть продела им и для транзистора.
§ 15.43. Тиристор—управляемый полупроведниковый днод. На
рис. 15.32, а изображена простейшая схема включения тиристора.
Ткристор —это четырехслойный полупроводниковый прибор с тремя
р-«-переходами (/, 2, 3). Напряжения иа них обозначены ult щ,, и3;
в. а. х. р-л-переходов 1 и 3 изображены иа рис. 15.32, &, в. а. х.
перехода 2—на рис. 15.32, е {включен встречно р-я-переходам / и5).
При «г^Из,™ в переходе 2 происходит лавинная ионизация .(пунктир
на рис. 15.32, в). Суммарная в. а. х. трех переходов i=/(u), т.е.
ц. а. х. всего тиристора, изображена на рис, 15.32, а. Она получена
сложением абсцисс рис. 15.32, в в двух абсцисс рис. 15.32, 0.
Участок 1 — 2ш ией соответствует участку лавинной ионизации второго
р-я-перехода.
Бели при замкнутом ключе К рис. 15.32, а э. д. с. £ станет
немного больше цвав, тиристор зажжется, т. е. перейдет в открытое
состояние. Ток в цепи станет равным току i'p на рис. 15.32,
о\-Прямую / на рис. 15.32, д называют нагрузочной. Для погашения
тиристора необходимо, чтобы ток через него уменьшился до К^
(рис. 15.32, г). До сих пор речь шла о работе тиристора в режиме
отсутствия управляющего сигнала (так работает тиристор —см. § 13.2).
При воздействии управляющего сигнала (импульса тока или
напряжения) на управляющий электрод (расположенный вблизи р-п-пере-
хода 2, см. рис. 15.32, а) от вспомогательной цели, не показанной
на рнс. 15.32, Oj происходит лавинная ионизация р-и-перехода 2.
Подавая импульсы управления, можно снижать напряжение
зажигания (т. е. зажигать прибор при более низком Из,*).
Управляющий электрод
I 2 А
1
ч
fi
w7
-^
a
Ь)
Т~~Т
Пунктиром на рнс, 15.32, д показано положение нагрузочной
прямой 2 в управляемом тирасторе. Переход от закрытого состояния
к открытому происходит за доли микросекунды. Тиристоры
выполняют на токи от долей миллиампер до нескольких килоампер. На
рис. 15.32, е, ж показано условное изображение тиристора на схемах.
Рис. 15.32, е соответствует управлению тиристором со стороны
анода, рис. 15.32, ж—со стороны катода.
§ 15.44. Общая характеристика методов анализа и расчета
нелинейных электрических цепей переменного тока. Анализ нелинейных
явлений и получение числовых соотношений в нелинейных цепях
переменного тока является более сложным и трудоемким, чем анализ
и расчет линейных электрических цепей.
Как правило, в нелинейных электрических цепях содержатся либо
нелинейные индуктивности, либо нелинейные емкости, либо
безынерционные в тепловом отношении нелинейные активные сопротивления.
Токи и напряжения в таких цепях в той или иной степени
несинусоидальны.
Токи- и напряжения в большей степени синусоидальны в цепях,
содержащих только инерционные в тепловоч отношении нелинейные
активные сопротивления.
Все методы анализа нелинейных цепей можно подразделить на две
большие группы: аналитическую и графическую. Аналитические
методы в отлнчие от графических дают возможность проводить анализ
в общем виде, а не только для частных значений параметров.
Недостатком аналитических методов является то, что приходится
выражать аналитически характеристики нелинейных сопротивлений,
а это веегда связано с некоторой погрешностью. Расчет сколько-
нибудь сложных нелинейных электрических цепей переменного тока
можно произвести лишь с известной степенью првблвжения.
Наиболее широко распространены следующие методы аналнза и
расчета нелинейных цепей переменного тока:
1) графический при .использовании характеристик нелинейных
сопротивлений для мгновенных значений;
2) аналитический при использовании характеристик нелинейных
сопротивлений для мгновенных значений при их кусочно-линейной
аппроксимации;
3) аналитический или графический при использовании в. а. х. по
первым гармоникам;
4) аналитический или графический при использованнн в. а. х. по
действующим значениям несинусоидальных величин;
5) аналитический путем расчета по первой и одной или
нескольким высшим или низшим гармоникам;
6) с помощью линейных схем замещения;
7) малого параметра;
8) интегральных уравнений;
9) моделирования на моделях.
В дальнейшем кратко охарактеризован каждый метод. Тот или
иной метод целесообразно применять в зависимости от характера цепи,
формы в. а. х. нелинейного сопротивления, а также'от того, какое
нелинейное явление в цепи исследуется. Чем сложнее характер
нелинейного явления, тем более сложным и громоздким оказывается метод
его анализа. И, наоборот, анализ грубых нелинейных явлений
производится более простыми средствами.
§ 15.45. Графический метод при использованнн характеристик
нелинейных сопротивлений для мгновенных значений. Этот метод
применим, как правило, к цепям, в которых известен закон
изменения во времени какой-либо одной определяющей работу
нелинейного сопротивления величины, например тока, напряжения,
заряда.
Гюследовательность. расчета данным методом такая:
1) исходя из физических предпосылок, положенных в основу
анализа, находят закон изменения во- времени одной из определяющих
работу нелинейного сопротивления величины;
2) используя характеристики (характеристику) нелинейного
сопротивления для мгновенных значений, путем графических построений
находят закон изменения 'во времени второй величины, определякщ
работу нелинейного ^сопротивления;
3) по результатам п. 2 путем вспомогательных графических
строений и жростейших фасчетов находят выходную величину я иск
мое соотношение между параметрами схемы. "*.
Достоинствами метода являются простота и -наглядность, а так -
легкость учета гистерезишых явлений. Примеры см. s § 15.8 и 15.2
§ 15.-46. -Аналитический метод при использовании характерист
нелинейного сопротивления для мгновенных значении лри их к
сочно-линейной аппроксимации. Основным содержанием метода
ляется сведение "задачи о ■нахождении периодического решения -и
нейных уравнений ж нахождению периодического решения снеге .'
линейных уравнений.
Основные -этапы метода следующие:
1) замена вольт-амперной (вебер-амперной, кулон-вольтной) хар
теристики нелинейного сопротивления -{нелинейного элемента) дл
мгновенных значении отрезками прямых яиний;
2) подстановка в нелинейные дифференциальные уравнения у
нений прямых п. 1 (этим -ненинейные дифференциальные уравненн
будут сведены к линейным). Каждому нелинейному уравнению бу
соответствовать столько линейных уравнений, сколько отрезков пр
мых заменяет характеристику нелинейного сопротивления (элемент
3) решение системы линейных дифференциальных уравненн*.
Каждому линейному участку характеристики нелинейного сопрот -■
ления будет соответствовать свое решение со своими постоянным*
интегрирования;
4) определение постоянных интегрирования всходя из согласовали
решения на одном линейном участке <с решением «а другом линейно
участке.
Наиболее эффективен этот метод, когда характеристику нелине"
«ого элемента -с известной -степеныо приближения можно замен
отрезками прямых, расположенных таким -образом, что когда од
величина, определяющая режим ^работы нелинейного элемента, напр
мер ток, меняется, во другая, например потокосцеплевпе, ненэменн-
Еще более эффективен метод, если отрезки прямых, заменяют -
в. а. х. нелинейного элемента, могут быть взяты совпадающими с осям
координат. :
Пример решения ■задачи дли этого .случая ем. в § 15.51-=М5. ^
§ 15.47. Аналитический (графический) метод расчета по нерв
гармоникам токов и напряжения. Ъ этом методе по сложному зако ■
изменяющиеся токи и напряжения на нелинейном сопротивлении зам .
няют их первыми гармониками. В расчете используют ъ. а. х. п
первым гармоникам в аналитической форме или в виде графическо
зависимости. -
Основные этапы расчета щ аналитическом «арианте:
1) выражают аналитически в. а. х. нелинейного -сопротнвлен '■
для мгновенных значений; 1
2) путем- подстановки в нее первой гармоники напряжения или
тока получают формулу, которая дает нелинейную связь между
амплитудой первой гармоники тока через нелинейное сопротивление
и амплитудой первой гармоники напряжения на нем [в качестве
примера такой связи можно назвать формулу (1-5.19)];
3) в уравнение, составленное для исследуемой цепи по второму
закону Кирхгофа, подставляют вместо мгновенных значений* тока и
напряжения на нелинейном сопротивлении' мгновенные значения их:
первых гармоник, а высшими гармониками пренебрегают;
4} уравнение разбивают на два уравнения: одно из- них выражает
собой- равенство- коэффициентов при- синусных влагаемых- леве* и
правой частей уравнения, другое—равенство коэффициентов, при
косинусных слагаемых обеих- частей уравнения;
5) производят совместное решение этих двух уравнений;
Основные этапы расчета в графическом- варианте
1) в качестве зависимости' между амплитудой первой гармоиияк-
напряжения на нелинейном сопротивлении и ашшитудой первой гар-
гаоиики тока через него берете» нелинейная завиеимость в- виде
графика, Э*а зависимость может- быть- получена любы»1 путем, в. tow
числе копытным;
2)- произвольно задаются амплитудой /^ первой гармоники тока
через нелинейное сопротивление, из графика находят соответствующую
ей амплитуду первой гармоники напряжения на нелинейном
сопротивлении и гатем путем построения векторной диаграммы но -первой
гармонике для всей схемы- определяют амплитуду t/щ, первой
гармоники напряжения на входе- схемы. Построение векторной диаграммы
производится: так же, как к для обычных линейных цепей
синусоидального- тока* а именно: если не учитывать потери, в сердечнике, то
первая" гармоника напряжения на нелинейной индуктивности
опережает первую гармонику протекающего через нее. тока на 90^, первая
гармоника напряжения на нелинейной емкости отстает or
протекающего через нее тока на 90"; первые гармоники напряжения и тока
на нелинейном активном сопротивлении по фазе совпадают;
3) путем построения нескольких векторных диаграмм; для
различных значений- 11т находят соответствующие им L/M и строят в, а. х.
всей схемы ^im—f(^v«)-
Данный метод позволяет исследовать такие нелинейные явления,
как. преобразование постоянного тока в переменный и обратное
преобразование, явление резонанса на основной- гармонике, триггерпый
эффект на первой гармонике, некоторые типы авгомодуляшюнных
процессов. Но он не позволяет- исследовать более сложные явления,
как, например, резонанс на- высших и низших гармониках, резонанс
на дробных гармониках и др.
Если пользоваться аналитическим- вариантом этого метода, то
решение можно получить в общем виде, что весьма существенно, так
как становится возможным- исследовать решение при изменении любого
из параметров цепи. Этот метод будет применен для анализа, работы
автогенератора (см. § 15.55) и для анализ» разветвленной иепи- с
нелинейной индуктивностью (см. пример 159).
§ 15.48. Анализ нелинейных цепей переменного тока путем ис
пользования вольт-амперных характеристик для действующих зна
чений. В этом методе графический расчет проводят путем использс-
вания в. а. х. нелинейных сопротивлений для действующих значений
полученных расчетным или опытным путем.
В этом методе полагают, что в действительности несннусоидальн "
изменяющиеся токи и напряжения могут быть заменены
эквивалентными им синусоидальными величинами (эквивалентность в смысл
действующего значения).
Все этапы расчета рассматриваемым методом полностью совпад
с перечисленными в § 15.47 этапами графического расчета метод ■
первой гармоники. Отличие между методами состоит только в том
что в данном методе яспользуется в. а. х. не для первых гармоник
а для действующих значений.
Метод применен в дальнейшем для исследования простейших явле
ний в феррорезонаненых цепях (см. § 15.57—15.62).
Если исследуют нерезонансные электрические цепи или резонанс
ные, но для которых по тем или иным соображениям заранее из
стно, что в изучаемых режимах работы в них не могут возникат-
резонансные явления на высших и низших гармониках, то амплитуд
первой гармоники тока, как правило, оказывается больше амплиту
высших гармоник тока. Прн этом действующее значение тока в цеп <
сравнительно мало отличается от действующего значения первой
гармоники тока.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример: пуст
ток в цепи содержит первую и третью гармоники и действующее
значение третьей гармоники тока составляет 40% от действующего
значения первой гармоники (/3 = 0,4/j). Действующее значение нескну
соидального тока будет У I\-\-I\ = 1,075/j, т. е. всего на 7,5% боль
действующего значения первой гармоники /-,.
Метод позволяет изучать некоторые свойства нерезонансных
электрических цепей, как, например, эффект усиления мощности. Дл
исследования свойств резонансных нелинейных цепей метод пригоде
в ограниченной степени. Так, им можно приближенно исследоват.
простейший трнгтерный эффект (см. § 15.59), но нельзя, например,
исследовать резонансные явления на высших гармониках.
§ 15.49. Аналитический метод расчета по первой и одной или нескольким
высшим или низшим гармониками Решение этим методом осуществляют в так
последовательности: 1) составляют систему дифференциальных уравнений цепи;
2J аналитически выражают характеристики нелинейных элементов и полученные
выражения подставляют в дифференциальные уравнения цепи.
Решение для искомой величины изображают в виде ряда, состоящего из
перовой н одной иди нескольких высших или низших гармоник, например в виде
x=xlm saitot+Xsn, an (Зй»(^-фэ).
Предполагаемое решение подставляют в уравнения системы.
В результате этой подстановки оказывается возможным разбить уравнения.
системы на несколько трансцендентных алгебраических уравнений, составленных
относительно амплитуды первой гармоники, амплитуд высших (соответственн
низших) гармоник и их фаз.
Чнсло трансцендентных уравнении в общем случае и два раза больше числа
учитываемых гармоник, поскольку для каждой из гармоник уравнение
разбивается на два—на уравнение для синусной и уравнение для косинусной
составляющих.
Далее совместно решают систему трансцендентных уравнений. Трудность
решения состоит в том, что каждое из трансцендентных уравнений обычно содержит .
все неизвестные. Поэтому прн решении часто используют метод последовательных
приближений.
Решение этим методом, как правило, довольно громоздко. Однако метод
позволяет "исследовать такие сложные явления в нелинейных цепях, как резонанс
на высших гармониках, низших н дробных гармониках и т. п. Более подробно
с методом можно ознакомиться, например, в [21 j.
Рассматриваемый метод в литературе называют также методом
гармонического баланса. Частным случаемегоявляетсяметодпервойгармоники (см.§ 15.47).
§ 15.50. Расчет с помощью линейных схем замещения. Этот метод применим
к расчету нелинейных электрических цепей, на которые воздействуют постоянные
н синусоидально изменяющиеся э. д. с, если переменные составляющие токов и
напряжений относительно малы, например но много раз меньше соответственно
постоянных составляющих токов н напряжений-
Последовательность расчета такова:
1) определяют положевне рабочей точки на характеристике нелинейного
сопротивления по постоянному току. В окрестности этой точки будет перемещаться
изображающая точка под воздействием малой переменной э. д. с;
2) через рабочую точку по"" постоянному току проводят касательную к
характеристике нелинейного сопротивления и производят замену участка
характеристики нелинейного сопротивления отрезком касательной;
3) составляют линейную схему замещения для расчета переменной
составляющей. Вид схемы зависит от характера нелинейного сопротивления, а ее
параметры—от величины тангенса угла, составленного касательной к характеристике
н одной на осей координат.
Применение вычислительных машин. Метематаческие счетные машины
применяют для: 1) табулирования решений систем трансцендентных уравнений и систем
алгебраических уравнений высоких степеней; 2J табулирования решений,
выраженных в виде медленно сходящихся рядов; 3) интегрирования систем линейных
дифференциальных уравнений, к которым сводятся нелинейные дифференциальные
уравнения при кусочно-линейной аппроксимации характеристик нелинейных
сопротивлений, а также в некоторых других случаях.
§ 15.51. Расчет электрических цепей, содержащих индуктивные
катушки, сердечники которых имеют почти прямоугольную кривую
намагничивания. Кривые намагничивания некоторых
высококачественных магнитномягких материале», например 65НП, 68НМП и др.,
близки по форме к прямоугольной: на участке О —о рис 15.33, о
кривая почти совпадает с осью ординат, а на участке а — Ь
расположена почти параллельно оси абсцисс.
На рис. 15.33, а пунктиром показана предельная петля
гистерезиса. Коэрцитивная сила Нс для таких материалов очень мала и
составляет всего 1— 10 А/м.
Расчет электрических цепей переменного тока, содержащих
индуктивные жатушки, сердечники которых выполнены из упомянутых
магнитных материалов, обычно производят с помощью метода кусочно-
линейной аппроксимации (см. § 15.46). Для облегчения расчета
кривую намагничивания заменяют идеально прямоугольной (рис. 15.33,6).
Участки 4—/ и 2—3 параллельны оси абсцисс, а участок /—2
совпадает с осью ординат.
Если изображающая точка перемещается по участку /—2,
изменяется только индукция в сердечнике при напряженности пол
в сердечнике, почти равной нулю.
При движении изображающей точки по участкам 4—/ и 2
меняется только напряженность поля Н, а индукция в сердечник-
остается неизменной.
Пример 155. Схема рис, 15.33, в состоит из источника синуоо
идальной э. д. с. « = e = £msin(uf, нелинейной индуктивности с за
данной зависимостью иотокосцепления ф от тока L и активного сопр"'
тивлення R.
фк-"""1^]
Вывести формулу для определения if и / и построить график
изменения ty и i во времени в установившемся режиме.
Решение. Так как потокосцепление ф равно произведению и-
дукцйи в сердечише В на площадь поперечного сечения сердечн '•
и на число витков обмотки, т. е. ifr = BSw, а по закону полного
ток i=—. т. е. пропорционален напряженности магнитного поя
в сердечнике, то зависимость потскосцепления ■$ от тока i (рис. 15.33,
качественно такая же, как и зависимость В=f (Я) (рис. 15.33, б). Им' "-
diji
-\-Ri = Em$in<ot.
(15.5
В интервале времени от cof = 0 до Ы=еЛх (назовем его перв
ток i = 0, все напряжение приходится на нелинейную нндуктивност.
dtydt = Em sin at и потокосцепление ф изменяется от — ifm до +
(изображающая точка на рис. 15.33, б перемещается от 1 к 2).
В этом интервале dty = Em$uuetdt, следовательно,
где С —постоянная интегрирования.
(15.5.
Во втором интервале времени от <Bi = <»fi до ш?=я
потокосцепление ty остается постоянным и равным ч]зт; dfyfdt = 0; из уравнения
(15.33) получим
Ri — Em sin (of, или t =—^- sinat. (15.55)
Таким образом, во втором интервале времени ток i изменяется по
закону синуса, потокосцепление 1р постоянно и равно ij>m. При этом
изображающая точка на рис. 15.33, б перемещается по участку 2—3.
Найдем постоянную интегрирования С и значение firfx. Для
определения С запишем уравнение (15.54) при tt>i = 0. При d»f=0
1])=—ij)m, поэтому — ij>m =—^-f С. Отсюда С=—i})m+-^L.
Для определения (о£2 воспользуемся также уравнением (15.54),
учтя, что при fi)f=G>i!x i]; = il>m. Получим
= О- COS blt-
■фтЧ —•
COS(0fj=: l-
или (ofi-^arccosf 1
('-ТМ-
Характер изменения тока i, потокосцепления ф и --гг, когда
■^.—< 1, показан иа рис. 15.34.
Если амплитуда э. д. с. Em<i(n\pmt то второго интервала времени
не возникнет, т. е. ток i = 0 в
течение всего периода.
§ 15.52. Расчет электрических
цепей, содержащих нелинейные
емкости с прямоугольной кулон-
вольтной херакгеристикой. Метод
расчета рассмотрим на примере
цепи рис. 15.35, а, которая состоит
из источника синусоидальной э. д. с.
e = E„,sinb}t, нелинейной емкости
с почти прямоугольной кулон-вольт-
ной характеристикой (рис. 15.35, б)
и активного сопротивления R. Задача
эта близка рассмотренной в § 15.51.
По второму закону Кирхгофа,
ис -ffi-jf = e. Прн перезарядке
емкости изображающая точка
движется по участку 2—1 характеристи- Рис 15.34
ки q=f(ttc); при этом ис — 0.
Когда перезарядка закончится, все напряжение источника окажется
приложенным к емкости. Прн * = 0 ? = —?«. В интервале перезарядки,
когда нс=0, Е
К концу перезарядки при ш^ q достигает значения qm:
COS (0^=1 £"■
+Цг
ЙГ
k=L
кг
В интервале времени от ъА^ до я ис = £m sin и/.
Графики i, ^t нс изображены на рис. 15.35, е.
§ 15.53. Субгармонические колебания. Субгармоническими называют колебавия,
период которых ГСк больше периода Г=2т вынуждающей силы e(i). Числе
т=2,ск/7" характеризует порядок субгармонических колебани?-В цепи рис. 15-36, i
с нелинейной индуктивностью'и нелинейной емкостью, имеющими идеально прямс
угольные характеристики (рис. 15.36,6, в), при воздействии э. Д. с. *fO=;fcj
в виде меандра (рис. 15.36, ф 'могут существовать субгармонические колебании
нечетного порядка.
Если обозначить й=2фга/(т£) и Ь=2Ддт/(т£), то для существования
субгармонических колебаний в цепи рис. 15 36, а необходимо, чтобы о>1 и Ь<1.
Порядок»! равен сумме смежных чисел натурального ряда, в интервале между
которыми находится .сумма а-\-Ь. Так, для существования колебаний третьего
порядка необходимо, чтобы 1 <_а-\-Ь -С2. Физически субгармонические колебания
возникают потому, что за время г поижосцеяленне if нелинейной индуктивности
не успевает измениться на величину 2ifm. Условие Ь < 1 означает, что невеза-
рядка нелинейной емкости на величину 2gm должна происходить за время, мень~
шёеЧ.
Графики ь. д. с. e(i). заряда q, напряжения на емкости ис, тока i н потоко-
сцеплеиня if при колебаниих третьего порядка (ет=3, «=t,25 и &=0,5)
изображены на рис. 15.36, г. Пр» построения кривых учтено, что увеличение заряда
может иметь место только после того, как if достигло значения ifm, а уменьшение
заряда—только после того, как if достигло значения—фт.
§ 15.54. Выпрямление переменного напряжения. Под
выпрямлением переменного напряжения понимают процесс преобразования
переменного напряжения в постоянное или пульсирующее. Выпрямление
производят с помощью полупроводниковых, ц
б) /-wwMft ——Ц_
" Ряс. 16.37 Рис. 15.38
Неуправляемый „диод изображают на схемах в виде большой
треугольной стрелки с поперечной чертой у острия. Стрелка показывает
проводящее направление. Сопротивление диода в проводящем
направлении в тысячи раз меньше, чем в непроводящем.
По числу фаз выпрямленного переменного напряжения
выпрямительные схемы делятся на однофазные н многофазные. Однофазные
схемы подразделяют на схемы однополупериодного и двухполупериод-
ного выпрямления.
В одношлупериодкых схемах выпрямление производится в течение
одного полупериода питающего напряжения, в двухполупериодных—
в течение Ъбонх полупериодов.
■ Простейшая мостовая схема однофазного 'двухполупериодного
выпрямления' представлена на рис. 15.37, а. Она состоит из четырех
полупроводниковых диодов (/, 2, 3 и 4), источника выпрямляемого
синусоидального напряжения e(i) и активной нагрузки к„. На рис,
15.38, а показаны положительные направления тока i и напряжения ия
на диоде.
Маи.«и 417
На рис. 15.38, б изображена в, а. х. диода. ■-.
В целях облегчения анализа вместо нее будем пользоваться идеалн-,
зированной в. а, х., изображенной на рис. 15.38, в.
В соответетвнн с этой идеализированной характеристикой, кот ';
через диод проходит ток. падение напряжения на нем равно нулю nti
следовательно, сопротивление са-,
мого диода равно нулю. Когда.'
напряжение наднодеотрнцатель-*
но (т. е. отрицательна взятая Ъ'
направлении стрелки рис. 15.38, а
разность потенциалов на самок
диодеК диод не проводит ток*'
(Ё = 6) и сопротивление его рав- .
но бесконечности.
Диод открывается, когда ва- '
пряжение па нем, увеличиваясь, '
становится равным нулю, и за*" '
крывается, когда ток через него,'" '
уменьшаясь, становится равны»
нулю. ^
Рассмотрим работу мостовой.-
схемы рис. 15.37, а.
Источник э. д. с. включен в
одну диагональ этой схемы, а на- •
грузка. R„ — в другую. Диода \
работают попарно-.
В первый полупериод, когда .
э. д. с. e(t) действует согласно с-
положительным направлением
напряжения на диодах / и 3*.
эти диоды проводят ток, а диоды"
2 и 4 тока не проводят. Во вто- .
рой полупердад, когда э. д. с/'-
—— e(fj изменит знак и действует сог->
2Jt*aft лжно с положительным направ** *
1 леннем напряжения на диодах 2
и 4, ток проводят диоды 2 и 4, а .
диоды 1 и 3 тока не проводят. .
Направление прохождения токае
через нагрузку показано карие.
15.37, а стрелкой. Ток через
нагрузку протекает все время в ■
одном и том же направлении. Форма напряжения на нагрузке
иллюстрируется кривой рис. 15.37, б. Через 00 обозначено среднее
значение напряжения на нагрузке.
Нршиер 156. Расшоа-рим работу схемы однопояуиериодного выгиишлеяня, когда
нагрузка RH шунтирована емкостью С (рис 15.39, a}; e(t)=Emsm.vit.
Решение. По законам Кирхгофа, ыд+ыс=е(0, Uc~(W *=='i_f"*ar B
соответствии с в. а. х. рис> 15.38, е диод закрыт и' сопротивление его теоретически
равно -бесконечйости, когда иаарижеете «а нем *л отрицательно. Диад
скрывается в момент <ntls когда напряжение на вем ид=е(<)—«с, увеличиваясь,
становятся равным нулю. Как только диод откроется, напряжение на емкости становится
равным э. д. с: Usy^E^ sfn tatt-
Как только диод откроется, ток через емкость станет изменяться но закону
ia=C —-£-=aCEmca$t£t {пунктир на рис. 15.39, б), а ток через нагрузку—по закону
(,=-^=™^ип©( (пунктир с точкой на рис. 15.39, е). Ток через диод i=i1+(a=:
= £mMBCco8iof-£--=—sintof я (рис. 15.39, ^ в моментata становится равным нулю
в диод закрывается; tgcirfE=—«iCft cirfe=arctg(—tuCfQ; (ft =ftH).
В интервале от atg до 2n-\-ait1 емкость разряжается на RH (рис. 45.39, в) и
напряжение на лей нзыениетсн во времени по показательному закону вс =
led—nK,)
= £,„,8гпи(2е aCR . ftrf>*)& (см. гл. 8). При этом l^i^/ft,,, ia>=—1(
(кривые рис. 15.39, д, е). Зависимость ut(b>f) изображена на рис. 15.39, ж. Момент
открытия диода ш(л определим из -условия »c<«/i)=e(ci>fJ. Из этого условии х
получаем трансцендентное уравнение относительно со/,:
(ВЯ+HKl— till)
sin altf wCS = sfticirfi.
£ следующий период процесс повторяется. Чем больше величина ftC во
сравнению с периодом 2лМ, тем меньше пульсация налряжения на нагрузке Л„.
§ 15.55. Ламповый генератор. Ламповый генератор * является
простейшим, иесодержащим подвижных частей преобразователем энергии
источника постоянной at. д. с в энергию неременного тока.
Возникающие в ламповом генераторе колебания относятся» классу
колебание, называемых автоколебанаями.
Автоколебания представляют собой периодические колебания,
возникающие в системах, ;наход«щнхся под воздействием постоянных
вынуждающих сил (сил, не являющихся ■ функцией времени).
В системе, описанной здесь, источником постоянной вынуждающей
силы Является источник постоянной э. д. с. £г.
Рассмотрим принцип работы лампового генератора с колебательным
■контуром в-деви юетки {рис. 15.40, а)4 В анодную цепь лампы
включены индуктивность LB и источник э. д. с. £а. В сеточной цепи имеется
колебательный коняур, состоящий из индуктивностн L, магнитно
связанной с LBt активного сопротивления R и емкости С.
Выходными зажимами генератора являются зажимы
индуктивности L„. Напряжение на этих зажимах но форме близко к
синусоидальному.
Воспользовавшись методом первой.гэрмоники (см. § 15.47), определим
амплитуду я угловую частоту автоколебаний в схеме рнс. 15.40, а,
когда сеючяая характеристика лампы по форме близка: а) к жарчой
* Его называют также ламповым автогенератором. Кроме схемы рис. 18.-40, а
с колебательным контуром в сеточной цепи применяется схема и с колебательным
контуром в анодной цепи. Все выводы § 15.55 распространяются и на схему
с колебательным контуром в анодной цели.
кривой рис. • 15.27 и б) к пунктирной кривой рис. 15.27. Э™ кр - "
повторены па рис. 15.40, б, в. '■
Составим уравнение'По второму закону Кирхгофа для мгновенн
значений величин колебательного контура сеточной цепи, учтя, ч ".
при выбранных положительных направлениях для токов имеет место-
встречное включение магнитносввзанных индуктивностей L и La: '>
(15.56%,
где ис — напряжение на сетке лампы (оно же напряжение па емкости).
Из опыта известно, что ток i изменяется во времени почти по-
гармоническому закону, поэтому положим £*=/,,, sin «af. Тогда *
iy-MT7-+«+^=°-
-Tr=e>Imcosti>t\ «с
4J<
dt =
Im COS (Of = — Ucm COS (Of,
TReUCm=Iml/«>C (ic=0).
Анодный ток является функцией сеточного напряжения ib = f(ucy.
(рис. 15.40, б, в). Так как зависимость ia = f(uc) однозначна, то
первая гармоника тока ia, т. е. —Iamcosot, находится в фазе с первой-
гармоникой uc = — l/Cmcos«(.
Производная dijdt уравнения (15.56) может быть найдена следую- ■
ищу образом: -^ = -$- ■ -%-. Но
dt
di.
Mt
~1гп
ystot
. . *!-я*-^— <15-57)
где S —крутизна характеристики лампы по первой гармонике. Ее '
находят графическим или аналитическим путем по характеристике -
ia = f(iic), придавая /„, различные значения. Каждому значению /„,-'
соответствует некоторое UCmt а значит, и некоторые /,„, и S. В свою
очередь,
-2Г = -1т(—ио«cos*>9 = "^sin«* (ucm =fU 1/wC). r
На рис. 15*49, г, д изображены зависимости S=f(/,„), соответстг
вующие рис. 15.40, б, в. Для рис. 15;40, г с ростом/т уменьшается S
вследствие насыщения (из рис. 15.40, б видно, что при больших vc
анодный ток почти не увеличивается с ростом tic). Зависимость S=
= f(fad, изображенная на рис. 15.40, д, имеет другой, характер:
сначала S возрастает вследствие перехода на более крутой участок
кривой iB=f(tic) рис. 15.40, в, а затем уменьшается вследствие
насыщения. Подставив найденные значения dijdt, uc и тока i в уравнение
(15.56), получим
Ul—^jImcose,t+(R—~Wmsin(otf = 0. (15.58)
Сумма -двух функции, одна из которых изменяется во времени по
закону синуса, а другая- по закону косинуса, равна вулю для любого
момента времени. Это может быть либо в случае, когда /„ = 0 (коле-"
бания отсутствуют), либо при Im Ф 0, когда выполняются два условия:
toL=l/(wC); (15.59)
R = M$/C. (15.60)
Из (15.59) следует^ что угловая частота автоколебаний
<o=l/]/ZC. (15.61)
Исследуем, условия возбуждения колебаний, используя (15.60).
С этой целью .построим зависимость левой и правой частей (15.60)
в функции от /м — рис. 15.40, с, ж (рис. 15.40, е соответствует рис.
15.40, г, а рнс. 15.40, ж—рис. 15.40, о"), полагая, что изменяется R,
аМиС неизменны. Сопротивление R не является функцией
амплитуды тока im* поэтому левая часть (15.60) представляет собой прямую,
параллельную оси абсцисс. Чем меньше R, тем ниже расположится
прямая. Правая часть (15.60) —кривая, подобная кривой рнс. 15.40, г
или кривой рис. 15.40, д.
При Rz>Rt прямая не пересекается с кривой, поэтому колебания
отсутствуют. Колебания возбудятся при R*^Ra. Рис. 15.40, е
иллюстрирует так называемое мягкое возбуждение колебаний, когда при
уменьшении R амплитуда тока /„ плавно увеличивается начиная
с нулевого значения. Рис. 15.40, ж иллюстрирует так называемое
эюесткое возбуждение колебаний, когда при плавном уменьшепии R
амплитуда /„, сказдом увеличивается с нуля -до некоторого
относительно большого значения, например при R=Rt до Гт, а при R=RS
ДО Гт.
Аналогичным образом могут быть рассмотрены условия возбуждения
колебаний, если оставить неизменными R и М и изменять С или
если R и С неизменны, а меняется М. Правая ветвь кривой рис. 15.40, Ж
соответствует устойчивым колебаниям (вычерчена утолщенной линией),
левая — неустойчивым колебаниям (левая ветвь кривой является
нерабочей ветвью). Для токов и напряжений сеточной и анодной цепей
(для их первых гармоник) могут быть построены векторные диаграммы
для действующих значений первых гармоник (рис. 15.40, з). Уравнё-
нию (15.58) соответствует уравнение в комплексах
jmLl—i/-f-/#-/-^-=D. (15.62)
Для мгновенных значений изменяющихся во времени величин
анодной цепи (постоянная составляющая тока („ напряжения ия и
цоетеянная а. д. с. Е„ не учитываются) справедливо уравнение
Ену соответствует уравнение в комплексах
/col,/, - /о)М/ + /я#- + Ой = О, (15.63)
где /?„ —активноеатротавлениеиндуктивтюсти /,„; t?„— комплекс пер-,
вой гармоники анодного напряжения.
Энергия на покрытие потерь в сеточной цепи доставляется из
анодной цепи вследствие наличия магнитной связи между ними.
Воздействие выходной цепи (в данном случае анодной) на входную
цепь (в рассматриваемом случае на сеточную) называют обратной
связью. Обратная связь является необходимым условием существования
автоколебаний.
Рис. 15.41
§ 15-56. Аатомодуяяция. Автомодутщией называют режим работы нелинейной'
эдектршескоЯ непл, находящейся вод воздействием перведичешой вынуждающей'.
силы частотой «а, при которой амплитуды юков и напряжений в цепи периоде* -
чески изменяются без воздействия внешнего модулирующего фактора- Автомоду-;
ляцкя возникает вслцасшие неустойчивое™ периодического режима работы на'
частоте вынуждающей сила св. Процесс оказывается периодическим или почти
нериодтеопм для сгибающих амплитуд первых гярионмк. '
Выведем основные зависимости, списывающие провесе ядташадуняйин в схеме '
рис. 15.41, а с -нелинейной емкостью, кулон-вольтную характеристику которой
в соответствии с § 1556 выразим в виде fcc=ashpij-
Так каи в цепи действуют постоянная £а н синусоидальная £w sin (ciJ-J-ф)
S. д. с, то заряд q имеет постоянную н скиусоидяльную компоненты: д =
Постоянная составляющая напряжения ял емкости (си. f t5„16)
(/Co=«-ftPQ-/etfp4?-,);
первая гармоника ыс .=2acli|J%|—//ifjipQ^sm.mb
первая гармдаина тока it=tDQ«CQS(irf.
цепи
iR+L^+uc=£0+£n sin (ш(+ф)
подставить записанные выражения для i%, UCa+uCt и разбить его в
соответствии с методом гармонического баланса на уравнение для постоянной
составляющей, для синусной и косинусной компонент, а затем два последних уравнения
возвести в квадрат и сложить для устранения^ угла ф. то, введя обозначения
а=$Ет1(е?Ц. b=RlaL, c=2ap7(a1£); PQ„=n, Щт=т,
получим два следующих уравнения;
a sh п!л Цт)=Ее=иС9; (а)
6*m*+M— Д-.(/яОснп—mY=(P. (б)
Разрешим (б) относительно екп-
Уравнение (в) дает связь между пит, обусловленную параметрами цепи по
первой гармонике частоты ш, а уравнение (в) по постоянной составляющей. На
рис. 15.41, б изображена зависимость я от т, построенная по соотношению (в)
при в=0,5; 6<еаО,1; «=в,*54. Верхний участок кривой соответствует знаку плюс,
а нижний—аваку минус перед радикалом в формуяе (в).
Задаваясь значениями я в интервале C-j-б и бери соответствующие ем
значения m из рис. 15.41, б, по формуле (а) строим зависимость $Qa=f(Ocl>fa\
(рис. 15.41, в). Иа рисунка видно, что в области значений ~иСо[а=Э&-ъ-&}
имеется падающий участок, не прикрытый восходящими участками
Если Ea=*=UgQ будет такова, что вэображающая точка окажется на
падающей участи, хэра!ггернстиЕИ рис. 15.41, в, то режим вынужденных колебаний
окяйе1сгГТЙ(}Чждашинм и в системе начнется процесс автомодуляции. Последний
■будет вроцеооои теюнчивым. так- как для нега имеется единственный предельный
НИКЛ- _
На рис. 15.41* б, е пунктиром доказано, как двигается изображающая точка
при автомодуляции. Стрелки указывают направление движения.
На рве. 15.41, е показан характер изменение во времени тока it (первой
гармоники тока i}.
§ 15.57. Определение ферроре^онансных цепей. Рассмотрим группу
довольно грубых явления, которые имеют место в цепях, содержащих
нелинейную вадушивноеть и линейную емкость; тайне цени «азйшавэт
феррореэатшяшми, Диалогичные явления имеют место в цепн* явней-
ной ивщукзвввостыо в нелинейной емкостью.
Для анализа .этик явлений можно воспользоваться методом первой
гармоники 4см. § 15.47) нян методом расчета! so действующим
значениям (см. § 15.4% В § 15.58—15.61 будет иряиенеи метод расчета
по действующий значениям. При этом будем пользоваться в. я. х.
нелнвенпой нндувюшнйети дм действующих значений тока и
напряжения. В этом методе в действительности «есинусоадааьньк тхяш и
напряжения заменяют их эквивалентными ощ^соидаяьншш
величинами (жвяваяеилиоен. в смысле действующего значения ш> § 7.12),
Когда в § 15.58—15.61, 15.64, 15.67 говорится о сдайте во фазе
между тогам и вайряженяем на кавом-либо элементе схемы, то под
ним понимают угол менаду эквивалентным синусоидальным током и
эквивалентным он^совдаяышм напряжением.
§ 15.58. Построение вольт-амперной характеристики
последовательной феррорезонансной цепи. В схеме рис. 15.32, с,
последовательно включены нелинейная индуктивность L, линейное активное _
сопрогнвленке R и линейная емкость С. В. а. х. катушки' со стальным .
сердечником UL=f(I) изображается кривой / на рис. 15.42, б; в. а. х.
• прямой 2; в. а. х. активного сопротивления UK=
-кривой 4,
1
-е
Ьр-czzHiJ
емкости ^с^'^г"
= Я/ ^- прямой 3.
Точки, принадлежащие результирующей в, а. х. схемы -
получаем следующим образом.
Произвольно задаемся некоторым током /, находим для него
разность напряжений Ut — Uc (напряжения на индуктивности и на
емкости находятся в противофазе) н
напряжение Ur; результирующее напряжение V равно
гипотенузе треугольника, построенного на
катетах t/д н VL — VC.
При сравнительно малом активном
сопротивлении Я на результирующей в. а. х. цепи
имеется падающий участок, а сама в. а. х.
имеет N-образную форму. С увеличением R;
падающий участок на в. а. х. исчезает.
§ 15.59. Триггерный эффект в
последовательной феррорезонансной цепи.
Феррорезонанс напряжений. На рис. 15.43, а отдельно
представлена кривая 4 рис. 15.42, б. Будем '
начиная с нуля плавно увеличивать
напряжение источника э..д. с. в схеме 15.42, а. При
этом изображающая точка на рис. 15.43, ~
перемещается от точки 0 через точку / к точ- ■
ке 2. Если напряжение и дальше повышать, то изображающая точка
скачком переместится из точки 2 в точку 4, а затем движение будет
происходить по участку 4—5.
При уменьшении напряжения изображающая точка перемещается
от точки 5 через 4 к точке 3, затем произойдет скачок в точку / и
далее от точки / к точке 0. Таким образом, при увеличении напря-'
жения и достижении им значения U2 в цепи происходит
скачкообразное увеличение тока со значения /s до It. При этом резко изменяется
угол сдвига фаз между током в цепи н общим напряжением: в точке 2
ток отстает от напряжения {UL>UC), в точке 4 ток опережает
напряжение (UC>UL). При плавном уменьшении напряжения источ
ника э. д. с. и достижении им значения Ux ток в цепи скачком
уменьшается со значения /3 до 11т
Явление резкого изменения тока в цепи при незначительном изме-.
нении напряжений на входе будем называть триггерным эффектом'
е последовательной феррорезонансной цепи.
Если схему рис. 15.42, а подключить к источнику напряжения V,
величина которого находится в интервале между Vx и £/2, то в схеме'
установится один из двух возможных режимов. Первый режим
соответствует положению рабочей точки на участке между точками ./ н 2,
второй—на участке между точками 3 и 4,
На каком из двух участков окажется рабочая точка, зависит от
характера переходного процесса в цепи при подключении ее к
источнику э. д. с.
Феррорезонансом напряжений называют режим работы цепи
рис. 15.42, о, при котором первая гармоника тока в цепи совпадает
по фазе с напряжением и источника э. д. с. На рис. 15.42, 6
построены в. а. х. для действующих значений; феррорезонанс напряжений
приблизительно соответствует точке р (находится немного левее ,ее).
Феррорезонанс напряжения можно достичь путем изменения
напряжения или частоты источника питания схемы, путем изменения емкости
и параметров катушки со стальным сердечником.
Рис. 15.43
Пример 157. Кривая / рис. 15.43, 6 представляет собой в. а. х.
нелинейной индуктивности. Пренебрегая активным сопротивлением,
определить емкость, которую следует включить лоследовательно
с нелинейной- индуктивностью (схема рис. 15.42, а), чтобы триггерный
эффект происходил при 60 В. Во сколько раз ток после скачйа /«
будет больше тока до скачка lSr если <о = 314 <г'?
Решение. Из точки £/ = 60 В, /=0 проводим касательную
к в. а. х. нелинейной индуктивности. Касание произойдет в .точке а.
В. а. х. емкости (прямая) должна быть проведена из начала
координат параллельно касательной. Тангенс угла наклона ее к оси абшисс
численно равен 1/(«оС),
Из рис. 15.43, б находим: 1/(юС) = 600 Ом; С = 107314-.600 =
= 5,32 мкФ. . "
Ток при скачке изменяется с /s=0,06 А до /4 = 0,3 A; /J/^S.
§ 15.60. Вольт-амперная характеристика параллельного соединения
емкости и катушки со стальным сердечником. Феррорезонанс токбв.
В схеме рис. 15.44, с параллельно соединены нелинейная индуктив-
ноль L и линейная емкость С. В. а. х. нелинейной индуктивности
изображена кривой / на рис. 15.44.6, л емкости —прямой 2.
По первому закону Кирхгофа, I = ic+Ii. Так как токи /с и /£
находятся в противофазе, то точке р пересечения кривой / и
прямой 2 соответствует режим феррорезонанса токов — ток / = 0.
Результирующая в. а. х. всей схемы изображена в виде нунктирной
кривой 3 рж. 15.44, б (абсциссы кривой 3 равны модулю разности абсцисс
кривой / и прямой 2). Кривая 3 рис. 15.44, б повторена на рис. 15.44, в
» -
Ряс. 15.44
с тем отличием, что на рис. 15.44, в учтено, что в режиме
феррорезонанса токов (точка d на рисунке) ток / в иеразветвленнои части схемы
до нуля не снижается за счет высших гармоник и активной
составляющей первой гармоники в токе //..
§ 15.61. Триггерный эффект в параллельной феррорезонансной
цепи. Если схему рис. 15.44, а питать от источника напряжения,
плавно увеличивая величину напряжения
этого источника при неизменной частоте,
то изображающая точка пройдет без
скачков по всем участкам в. а. х. схемы.
Если же схему витать от источника
тока, то при плавном увеличении величины
тока этого источника и неизменной
угловой частоте <■> изображающая точка будет
сначала перемещаться по участку О —е—
о, затем произойдет перескок из с в Ь,
после этого движение будет происходить
по участку Ь—е. При последующем
плавном уменьшении тока движение
будет происходить от с через b к d, затем произойдет скачок из d в
е и далее <л е к О. Обратим внимание на то, что режим феррорезо-
иансатоков в схеме рис. 15.44, а и режим феррорезонанса напряжений
в схеме рис. 15.42, с могут быть достигнуты изменением величины
входного напряжения U при фиксированных угловой частоте о, емкости
С и неизменной в. е. х. нелинейной индуктивности.
Пример 158, В. а. х. нелинейной индуктивности в схеме рис. 15.44, а
изображена в виде кривой / на рис, 15.45. Пренебрегая активным
!
г)
и,в
/
в
J ' /
i/B.1 t Щ
■fr
ЯР
0,265
P«e. 16.45
сопротивлением и высшими гармониками, определить емкость С,
которую нужно'включить в схеме рис. 15.44,6, чтобы триггерный эффект
имел место при токе /в = 0,15 А; и>=314 с-1.
Решение. На рис. 15.45 откладываем величину тока 1й влево
от точки 0; получаем точку г. Из нее проводим пунктиром
касательную к кривой / в точке п. Через точку п проводим горизонталь.
Ордината ее равна напряжению t/a=*112 В, при котором произойдет
триггерный скачок. Из точки 0 проводим прямую 2, параллельную
касательной т. Прямая 2 представляет собой в. а. х. емкости. Абсцисса
точки а (0,235 А) равна току через емкость при напряжении £/а.
Следовательно, 1/(юС) = 112/0,235 = 478 Ом; С = 6,68 мкФ.
§ 15.62. Частотные характеристики нелинейных цепей. Под
амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) понимают зависимость
амплитуды какой-либо величины, определяющей работу нелинейного
элемента, от1 изменения угловой частоты ю при неизменной амплитуде
внешнего воздействия.
mvL жь
-^ Рис. 15.46
-., Фвзочаапотная характеристика (ФЧХ)—зависимость фазы этой
величины от ю при неизменной амплитуде и фазе внешнего воздействия.
Построим АЧХ цепи рис. 15.46, а, полагая, что вебер-амперная
характеристика нелинейной индуктивности описывается уравнением
ig-вссф3, ток источника тока /fc = /msinct>f, /m = const, ca=var, /? = 0.
В уравнение ij+/E=/* подставим il=C-^~ = C-^- и te=cfl(r.
Примем ф^фязшю* и в токе it удержим* только первую гармонику
0,75a^i, sin at. Получим уравнение, в которое входят а» и ф„:
0,75и(& — иЮЪ. = =£ 1т.
Плюс в правой части соответствует ,режнму до резонанса, минус —
после резонанса. Разрешим уравнение относительно о:
Г 4 С -*-Сфтш
"При построении зависимости фю(ю) учтем, что угловая частота
«>S=0 и действительна, а также что при х-О У 1 ±х?& lit 0,5*.
* 1а=а(флШиГР"а-7^*лШ«(—«р,25ф^шЗЫ,таккакш*Р=0,7Бшр—-
*™ 0,25 ып 31
...Если to = 0, то tym = fr4/m/(3a). При 0.75со|4>/m
свл^ф,
при /m> 0,75co|&
УЯ
а^'
ч-l
Характер зависимости i]jm (w) показан на рис. 15.46,6. Если не
учитывать активное сопротивление # второй ветви, то ty„ теоретически
могла бы возрастать до бесконечности. С учетом небольшого активного
сопротивления этой ветви зависимость tym(o>) имеет rV-форму
(рис. 15.46, в).
При плавном -увеличении & имеет место скачок из точки / в точку 2;
при последующем плавном уменьшении ш — скачок из точки 3 в точку 4.
- При значительном R зависимость фт (ю) приобретает вид . кривой'
рис. 15.46, г.
§ 15.63. Применение символического метода и построение
векторных и топографических диаграмм для нелинейных целей. В § 15.57—
15.62 были рассмотрены некото-
I, z^Plf рые явления, которые анализи-
"^ ровались графически с помощью
вольт-амперных характеристик по
действующим значениям' или по
первым гармоникам.
Приближенное исследование режимов
работы сложных разветвленных
нелинейных цепей переменноготока,
особенно когда высшие гармони-*-
ки выражены слабо, часто про
.изводят путем построения
векторных или -типографических
диаграмм.
Диаграммы строят отдельно
для каждой из гармоник.
Построение производят в принципа
так же, как и для линейных
цепей (см. §3.18). Отличие состоит
в том, что зависимость первой
гармоники напряжения на
нелинейном сопротивлении от первой гармоники тока через него
является нелинейной и берется из графика или ее подсчитывают, лользуясь
аналитическим выражением.
Если не учитывать потери в ферромагнитном сердечнике' и потери
от высших гармоник тока, то парвая гармоника напряжения на
нелинейной индуктивности по фазе на 90° опережает первую гармонику
тока через нее. Если же учитывать потери в стали сердечника и (или)
потери в активных сопротивлениях цепи от высших гармоник тока,
то'этот угол меньше 90° (см., например, рис. 15.49,*). Аналогично,
если ие учитывать наличие потерь в сегнетодиэлектрике и потерь^
в.цепи от высших гармоник тока, то первая гармоника напряжения
на нелинейной емкости на 90° отстает от первой гармоники тока через
емкость.
Пример 159. Для цепи рис. 15.47, о построить топографическую
диаграмму по первой гармонике при /х = 0,2 А. В. а. х. по первой
гармонике для нелинейной индуктивности изображена на рис. 15.47,6.
Емкостное сопротивление по первой гармонике Хс = 229 Ом; Rx = 250 Он;
#в = 407 Ом; Яа=122 Ом.
Решение. Обозначим токи в ветвях и узловые точки схемывсоот-
ветствии с рис. 15.47,с. На рис. 15.48 направим ток /х = 0,2 А
лооси-f-l. Потенциал точки е примем
равным нулю. Находим Фа = ф„ + (/ii-
Напряжение на нелинейной
индуктивности Оц при токе /, = 0,2 А по модулю
равно НО В (найдено из кривой рис.
15.47, б) и по фазе на 90° опережает ток
А; ч\=-ф|+'А; /А=0,2-250=50 в
и по фазе совпадает с /,.
Под действием напряжения Оге, по
модулю приблизительно равного 122 В,
протекает ток /а, численно равный
122/407 = 0,3 А и по фазе совпадающий
с 01е. Ток /8=А + ^а- По модулю ток
/я^0,41 А;ф; = фс+/А;/А, = 0,41х '
X 122 = 50 В; Ч>а=Фб-На(— ftc).
Напряжение на емкости £/oJ, численно равно 0,41-229 = 94 В и
по фазе на 90° отстает от тока Д».
Напряжение на входе схемы рис. 15.47, а в рассматриваемом режиме
работы по модулю равно 164 В.
Из рис. 15.48 можно определить углы межоу любыми токами н
напряжениями цепи рис.' 15.47, а. Проделав аналогичные подсчеты я
построения при других значениях тока /, (например, равных 045; 1; 2;
3 А и т. д.£ можно определить в этих режимах значения всех токов,
напряжений и углов сдвига фаз, свести данные в таблицу н затем,
пользуясь ею, построить кривую зависимости любого тока, напряжения,
угла сдвига фаз в функции от модуля входного напряжения или от
модуля какого-либо другого напряжения (тока).
При рассмотрении характеристик управляемой нелинейной
индуктивности (см. § 15.24), феррорезонансных схем (см. § 15.57—15.62)
нелинейную индуктивность полагали идеализированной, а именно: ие
учитывали потерн в ее сердечнике, наличие потока рассеяния и
падение напряжения в активном сопротивлении самой обмотки. Это
делалось с той целью, чтобы основные свойства упомянутых схем и
устройств ие были завуалированы относительно .второстепенными
факторами.
Рассмотрим векторную диаграмму нелинейной индуктивности с
учетом этих факторов.
429
Рис. 15.48
I tbJ%4. Вентерная диаграмма яелинейной индуктивности.
иейная нндуктавность изображена на рис. 15.49. а. Активное с
тивление самой обмотки w назовем /?. *
Проходящий по обмотке ток .создает в сердечнике магнитный поток;..
Большая часть этого потока (поток Фт) замыкается по сердечнику,".
* меньшая часть (поток Ф„) — по воздуху. Поток Фт называют основным,.
ж Фх — потопом рассеяния.
Обычно вюток Ф3 составляет всего несколько лронентов от потока Фт.:
Однако могут быть и такие режимы работы, в которых поток <1^\
оказывается соизмеримым с потоком Ф„. Такие режимы имеют место,'
«ели сердечник работает Тфи большом насыщении «ли когда в сердеч-.^-
вике имеется относительно большой воздушный зазор в.
При построении векторной диаграммы заменим в действительности
несинусоидальный ток и несинусоидальный ноток эщивалентными-синуео- .
идальными величинами.
Огаешение иотокоснегшения .рассеяния '%=т1Ф5 к теку /принято ;
называть индуктивностью рассеяния:
Ls = ф(// = wfi>JJ. И 5.64)
^Яндуктнаное сопротивление Xs = taLe называют инддктивн&Ш'сапро-
тшдением рассеяния.
Схема замещения нелинейной индуктивности изображена на
рис. 15.49,6. Она отличается дат схемы рис. ХбДааем, что в ней
добавлено сопротивление Xs. Вверазвегвленной части схемы -включены
активное сопротивление /? обмотки w и индуктивное лвнрошвление
рассеяния Xs.
На участке сЪ есть две ветви. Правую ветвь образует
идеализированная нелинейная индуктивность, по которой проходит ?намагннчи-
вающии ток 1и. Левую ветвь образует активное ■сопровдвлевие Дс,
потери в котором -равны потерям Рс на гистерезис и на вихревые токи .
в сердечнике нелинейной индуктивности. По левой ветви течет ток
Ъ-ВД*. JI5.-65)
На рис. 15.49, в изображена векторная диаграмма шепмнейной яндук- .
тивности в соответствии со схемой рис. 15.49, б. Э:а векторная
диаграмма .строится так же, как м для обычных линейных -еяем.
Начнем ее построение с потока Фт.
Оба потока Фт и &м пронизывают обмотку wt рис. 15.49, а н
наводят в ней э.д.с. самоиндукции.
Напряжение (]кЪ на зажимах идеализированной нелинейной
индуктивности равно по величине и противоположно по знаку s. д. с.
самоиндукции, возникающей в обмотке wl схемы рис. 15.49, а под действием
основного потока Фт:
Oa = Jam^. (I5.66)
Деление Фт на J/2 объясняется переходом от амплитудиого
значения потока к действующему. Напряжение 0сЬ- на 90° опережает
поток Фт.
Ток /ц—это ток через ндеализированную индуктивность (т. е. через-
индуктивность, в сердечнике которой нет потерь энергии); он на 90"
отстает от напряжения. йсь и по фазе совпадаете истоком Фт. Ток /е
совпадает по фазе с напряжением 0съ. О том. как определять токи /^
и /с, сказано в § 15.65 и 15,66.
По первому закону Кирхгофа,
/=-/„+/„ (15.67)
Напряжение Ую, иа входе схемы равно геометрической сумме напря-
- жения ись, падения напряжения //? в активном сопротивлении и
падения напряжения jIXs в индуктивном сопротинленнн рассеяния.
Токи in и /с не пропорциональны напряжению U,сЪ, а следовательно,
и напряжению Veb ва входе схемы, т. е, если напряжение Vob
увеличить, например,' в 1,3 раза, то токи /м и /с увеличатся не в 1,3 раза,
а больше.
Прн построении векторной диаграммы исходили из того, что напряжение (/^
известно. По напряжению Vcb определили токи /^ и /с и затем нашли
напряжение иаъ на входных зажимах, индуктивной катушки.
Однако обычно бывает известно напряжение (/ой, а напряжение Vcb
неизвестно- Поэтому ври построении векторной диаграммы прн заданно» lfab сначала
следует разобраться, может ли напряжение 1!сЬ в исследуемо» режиме работы
схемы значительно отличаться от напряжения £/„£.
Если падения напряжения в сопротивлениях R н Xs составляют малую вели*
чину по сравнению "с V^, изпринер всего 3—8% от t/ea, то можно в первом
приближении считать, что £/cs =!=£W Если же падения напряжения в conpor»-
влениях Ц т Хя соизмеримы с напряжением (/еВ, то тогда для определения
напряжения Vtb приходится проделывать вспомогательную работу,, а иненио: строят*
векторные диаграммы для нескольких значений Ucb, например равных 1; ОД 0,8;
0,7 qt t/ea; для каждого из этих значений. Vcb находить свое О^, по результата»
строить вспомогательную кривую £/cs=/(fоб), из нее находить f/c& прн заданной
Vgj,. и затем строить искомую векторную диаграмму>
§ 15.65. Определение намагничивающего тока. Ток I и его
составляюпще 1и и 1С находят либо опытны»' путем; либо
аналитическим, либо путем графических построений.
Рассмотрим их аналитическое определение. Если I |м> обозначить
длину средней магнитной линии на пути в стали'feme. 15.567, 6-(pfy^
длину «воздушного» зазора в магнитной цепи, В ff)—мгновенное зна-
чение магнитной индукции, И (А/м) — мгновенное значение напряжен^?
ностн поля в сердечнике, то .на основании закона полного тока
мгновенное значение
намагничивающего тока
- lr=m+o,m.,»l4 (I5(j8)
На векторвой диаграмме
откладывают действующее значение
намагничивающего тока 1^.
Of
а/|Г7
800
700
800
*ы
"'""
too
1
~
1
J * S § 7 8 рВт
Рис. 15.51
> значения намагничивающего тока нужно в
выражении (15.68) подставить Bnsiniot вместо В(Вт=Фт/8), И запенить иа
ash(pBmsiniof), разложить гидерб^нческий синус от периодического аргумента
в ряд по функциям Бесселя |см. формулу (15.9)1 » воспользоваться формулой, (7.11').
с помощью которой определяется действующее значение тока через амплитуды
отдельных гармоник. В результате получим
, _ Vial „
Для определения действующего з
женив (15.68) подставить Bfflsir
*}A[-,v,
ОрЗД-г-
о.Щвт-ю»-\
+Ша №Втур -Ь I- /'. 0"pSm>]a-
(15.69)
На рис. 15.51 изображена кривая, выражающая зависимость /utCi/(|^2a/) =
■=/ фВт) и построенная по (15.69) при 6=0. С помощью этой зависимости по
рега находится ^wjAV&s/), а затем определяется lu {w. a и / известны);
. § 15.66. Определение тока потерь. Ток /с, обусловленный
потерями в стальном сердечнике, определяется как частное от деления
потерь в сердечнике от вихревых токов н гистерезиса на э. д. с ,
наведенную рабочим потоком Фт в обмотке w1 и равную напряжению Ucbi
Ucb = etWjOjVZ = 4,44/да1Ф/л.
(15.70)
(15.71)
Здесь Рс^трс — полные потери в стали от вихревых токов и
гистерезиса, где т —масса сердечника, кг; рс — потери в 1 кг сердечника.
- Величина потерь в I кг электротехнической стали ирв индукциях 1 0 и 1st
и частоте 50 Гц нормирована ГОСТ 802—58.
Обозначим; Ри1_потерн в I кг стали при Вт=1 Т и /=50 Гц; р16—потери
в-1 к!- стапи при Вт=1.5_Т и /=50Гц. Значения ры и рь( приведены в табл. 15.2.
Тзв'лвЛА 1&|$м|»
Марка (пала
Э41
Э42
Э43
Э41
Э42
Э43
0,5
0,5
0.5
0.35
0,35
0.35
р,-л, Вт/кг
1.6
1.4
1.35
1.2
1,05
Рй, Вт/кг -
3.6
3,2
2.9
3,2
2,8
2.5
Потери при других индукциях и частотах, мало отличающихся от 50 Гц,
определяются следующей эмпирической «рормулоЗ:
(.,-й.,В»<//Б0)М Вт/кг; n=.5.69le-&i.
Ж
Р»/Г!. <\*Г<
§ 15.67. Основные соотношения для трансформатора со стальным
сердечником. В § 3.39 рассматривались соотношения, характеризующие
работу трансформатора, для которого зависимость между"
напряженностью поля и потоком в сердечнике
была линейной, а потери в сердечнике
отсутствовали.
Для улучшения магнитной связи
между первичной (ву,) и вторичной (aij
обмотками трансформатора его сердечник
выполняют из ферромагнитного
материала (рис. 15.52) *. р^ 1552
В данном парнграфе рассмотрены
соотношения, характеризующие работу
трансформаторн-с учетом того, что зависимость между
напряженностью поля и потоком в ферромагнитном (стальном) сердечнике
нелинейна и что в сердечнике есть потерн, обусловленные гистерезисом и
вихревьши токами.
Для уменьшения тока холостого хода сердечник трансформатора
стремятся изготовить таким образом, чтобы он имел возможно меньший
воздушный зазор, расположенный перпендикуларно магнитному потоку,
либо совсем не имел его.
В силу нелинейной зависимости между потоком и напряженностью
поля в сердечнике по обмоткам трансформатора протекают
несинусоидальные токи **.
Анализ работы трансформаторн будем проводить, заменив в
действительности несииусоидальные токи и потоки нх эквивалентными
в смысле действующего значения величинами: /j — комплекс
действующего значения тока первичной обмотки; /в —комплекс действующего
* № рис. 15-52 н 15,53 для большей наглядности обмотки ш^ и и>1 показаны
неходящиыися на разных стержнях. Практически их располагают обычно на одном
в том же стержне.
'* Несниусоидалышсть проявляется главным образом g режимах работы, блнз-
к холостому хоДУ-
кях к холостому ходу.
значения тока вторичной обмоткн; Фт — комплексная амплитуда основ-'.
иого магнитного потока, проходящего по сердечнику трансформатора,'-•
пронизывающего обмотки щ и w2 и наводящего в них э.д.с '..
Вследствие наличия рассеяния небольшой по сравнению с Фт-.
поток — поток рассеяния первичной обмотки Ф(1 — замыкается по воз- )
духу, образуя потокосцепление только с обмоткой и^. Другой, также ,_
небольшой по сравнению с Фт, поток — поток рассеяния вторичной
обмотки Фг* — замыкается по воздуху, сцепляясь только с обмоткой ша.':
Полагают, что потокосцепление потока Фм с обмоткой wx пропор-'\
1шонально току /ж:
Vu=*>£b=Lji. (15.72ЭЦ
Коэффициент пропорциональности Lts между потокосцеплением Фи.;
и током /х называют индуктивностью рассеяния первичной обмотки; J
L1S зависит от числа витков и конструкции обмотки.
Принимают также, что потокосцепление ф3, потока Фм с обмот- „
кой wa пропорционально тику вторичной цени /^
Фи = иА.=^«. (15.73»
Коэффициент пропорциональности Lss между потокосцеплением ifM,
обусжшяенным потоком рассеяния' Фм н током /в, называют
индуктивностью рассеяния вторичной обмотки; Lss зависит от числа витков.
и конструкции вторичной обмотки.
Индуктивное сопротивление первичной обмотки, обусловленное
потоком рассеяния Ф13,
Xu=*a>Lu. (I5.74)
Аналогично, индуктивное сопротивление вторичной обмотки,
обусловленное потоком рассеяния Ф^, ,
Xu = ®U» (I5.75)
Пусть /?, — активное сопротивление первичной обмотки,, Ra — актив-
ф вое сопротивление вторичной
ff, xs, i■;т^--\ х$г ^г обмотки,, Z„ —сопротивление на-
(Х)1й '<. >г Wn\0H На рис. 1&53 изображена
у^ Щ.'* <'.&г -V ' схема того же трансформатора,
1 I что и на рис. 15.52, нона ней
Рас, И-.83 активныегсои^этявления и-
индуктивные сонре^ивяешШс
обусловленные потоками рассеяния, представлены отдельно выделенными: Rx,
Хп, Rs, X,^, Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для
обеих цепей.
Для первичной цепи
lJk+lXm!i+P**t$k -U» (15.76)
*Уй
- Для вгармчнэй щели
hns + iXjf+jti}wA+ U„ = 0. (15.77)
в обмотке да, -основным рабочим потоком Щ„. Деление <^„ на %/~й
объясняется переходом от амплитудного значения к действующему.
Аналогично, /юи^-^-—напряжение, численно равное э.д.с,
.наводимой в обмотке шг основным 'рабочим лотоком Фт.
Обозначим ток /д при холостом ходе трансформатора через 70.
Магнитодвижущая сила трансформатора при холостом ходе равна itfs>x-
М.Д.С трансформатора при наличии тока /а равна 1-^)^1 ^я)2.
Трансформаторы конструируют обычно таким образом, что падения
напряжения /^?i и fiMfii много -меньше, чем падение напряжения *«% —щ.
Если это учесаъ, то для .правильно сконструированных
трансформаторов уравнение (15..76J запишем так:-
I«w4i-pf-«*0i. ■ <15.76')
Уравнение $5.76',) «справедливо как -при «олостом ходе, так и при
нагрузке. Другими словами, щм переходе от холостого хода -к режиму
работы при нагрузке поток Фт практически остается неизменным по
величине.
Но если в этих #вух режимах поток Фт- один и тот же, то должны
(быть равны н создающие ело м.д,с в этих двух режимах, т. е.
/^ 4- /вюа = /0и)х. (15.78')
Отсюда, поделив обе части равенства на wu получим
*! = *•+& №78)
где
Таким образом, ток первичной цепи /ж может быть представлен
как геометрическая сумма двух токов: тока холостого хода /0 и
тока /'а. Ток jg принято называть приведенным ■(к числу витков пер-
обмшки,} дтдричным люком. Он численно равен току
измененному в щ^щ раз.
Кроме хощ, & .правильно сконструированных трансформаторах
падения напряжений 7а9?я эд 7?аХималыпоеравненйюс jtBK>a-pv, -поэтому
из уравнения (15.77) следует, «то
Л5.7Э)
Если почленно разделить (15.76*) на (15.79) и перейти к модулю^
то получим '.
иливъщ/а>и (15.80):
т. е. отношение напряжения на входе трансформатора к напряжению ■
на его выходе (на нагрузке) приблизительно равно отношению числа,
витков первичной обмотки к числу витков вторичной обмотки.
В правильно сконструированных трансформаторах при нагрузке, :
близкой к номинальной, ток /0 составляет всего 1 — 10% от тока llti
поэтому уравнение (15.78) можно приближенно представить так:
Между модулями токов /, и lt при нагрузке, близкой к вомя- -
нальной, имеет место следующее приближенное соотношение: :-_
Ixfh^WzfWj, (15.81) -,
т. е. ток 1Х почти пропорционален току /а. Эта пропорциональность ■
немного нарушается за счет
тона холостого хода /0.
В активных сопротивлениях
вторичной цепи выделяется энер- ;
гия, которая переносится магнит- ;
ным потоком из первичной цепи
во вторичную и восполняется
источником питания схемы.
§ 15.68. Векторная днаграм- '
на трансформатора со стальным
сердечником. На рис. 15.54, с -
изображена векторная диаграм- -
Рис. 15.54 ш ПрН индуктивной нагрузке
ZK=RB-tjXK.
Построение диаграммы начнем с тока /s, расположив его
произвольно. Под углом ч>„ = arctg XjRB к нему расположим вектор
напряжения на нагрузке V„. Прибавим н вектору йв векторы /sJ?a и /в|Хи.
Сумма падении напряжения во вторичной цепи равна нулю. Это дает
возможность построить вектор jawa
V*'
Далее строим вектор Фт Urn на 90° отстает от вектора jinw^-rr^}.
В сердечнике трансформаторн, как и в сердечнике нелинейной
индуктивности, есть потери, обусловленные гистерезисом и вихревыми
токами. Вследствие этого ток холостого хода /0 состоит из
геометрической суммы намагничивающего тока /№ н тока потерь /с (рис. 15.54,6):
U-1.+L
Ток /„ совпадает по фазе с потоком Фт, а ток /5 опережает
поток Фт на 90°. Токи If. и /, определяют так же, как для
нелинейной индуктивности..
Ток холостого хода /„ опережает поток Йц на некоторый угол у
В соответствии с уравнением (15.78) ток /, равен геометрической
сумме тока /п и тока /£ = — /а^. Геометрическая сумма падений
напряжений /,R„ ftjXa и jaw1 -~J^ дает напряжение на входе
первичной цепи «?,.
С целью удЬбочитааюсти на рис. 15.54, а не выдержаны имеющие
место в действительности соотношения между модулями напряжений,
а также между модулями токов
Пример 160. Повышающий трансформатор имеет сердечник нз
трансформаторной стали Э41 при толщине листов 0,5 мм. Кривая намагничивания Н —
= 0,71 sh (5J5B). Сердечник выполнен из пластин, имеющих кольцевую форму
без воздушного зазора; 1^=250. и^= 1750,-- S=2,2 см3, /==25 см. Пренебрегая Д,
и Ад, определить ток холостого хода /„ при t/t= 15 В и /=50 Гц.
Р е ш е н и е. Амплитуда индукции Вт=^-щ—р=1,22Т.Пропзведеннера,„=
= 5,75-1.22=7/52. ' Щ
. По кривой рис, J5.51 прв pSw=7,02 находим wjyfou 1^2)=185. Но
a(K2/a>,=0.7-0,26j/2/250=IO-s. Следовательно, /„=0,185 А.
Масса сердечника т= 7,8 (г/см*)-2,2 (cm2J-25 (см) =0,428(кг). Из табл. 153
находим; р„„=|,6 Вт/кг, Pi,6=3,6 Вт/кг; п=5,69 lg (3,6/1,6) я= 1,13.
Удельные потерн в стали при Bm=l,22T рс=1.6-I.221-13-1=2,1 Вт/кг.
Полные потерн в сердечнине массой 0,428 кг Рг=0.428-2,1=0,9 Вт.
Ток, обусловленный потерями в стали, /с=рс/1/1=0,Э/15=О,О6 А.
Ток холостого хода /0 практически равен току /ц.
§ 15.69. Метод интегральных уравнений. От нелинейного дифференциального
уравнения можно перейти к интегральному, используя одну из форм записи
интеграла Дюанеля. Поясним идею этого перехода- Решение линейного дифферен- \
■шального уравнения, например уравнения
а£+°1д+а«*=/Ю, (а)
может быть записано в виде
*№ = .</)g(0>-f$/tag'<f-T)dT. щ
о
Под g (f) понимаемся здесь либо переходная проводимость, либо переходная
функция в вависнмостн от того, чем является х по отношению к вынуждающей
силе /(f); g(l) определим как решение (а) при f(/)=l.
Если исходное уравнение нелинейно, например
^•f-oi57+я„*-т-а**=< (0.
то нелинейный член Ьх* можно перенести в правую часть а рассматривать как
-внутреннюю вынуждающую силу:
ДГ-НЧ^^™/»— ьл (в)
Используя (б), запишем решение уравнения (в):
*=[/(0-6^(/)Ig(0)+5[/(r)-6x»(T)lg'^—Odx. (г)
Переходная функция g(i) определяется по линейной частя исходного иелн^
небного дифференциального уравнения при воздействии на нее 1(1). Уравнение (г)
является интегральным-уравнением по типу Вольтерра второго рода. Его можно
решать методом последовательных приближений, полагая xtlt)—x{0) и пользуясь
следующим соотношением для А-го приближения:
'»(0-pW-fa|_,WI*(0)+Jg«-taJ_1«i)]e'((-i)tfE.
в том случае, когда процесс последовав
Пример 161. Решить уравнение jf4-*,= 1 при *(0)=0.
Решение. Для определения g(Q на линейную часть системы воздействуем
ничным напряжением dx/dt=l; g(/)~£ f'(/)=H: g{ty=0; g* (<— т)=1.
Записываем рекуррентное соотношение: .
I t
it-(«at *_f(l—ifft—f—^-:
§ 15.70. Метод малого параметра. Нелинейное дифференциальное уравнение
иногда решают путем последовательных приближений, представляя искомую
величину х в виде ряда но степеним некоторого коэффициента р., который называют'
малым параметром:
гв* ха—решение уравнения нулевого приближения; последнее получают из исход*
вого. полагая, что все нелинейные члены в исходном уравнении отсутствуют;
Xi—решение уравнения первой поправки; эта поправка учитывает влияние
нелинейных членов в первом приближении; х3^-решение уравнения второй поправки
и т. д.
Если исходное уравнение является дифференциальным уравнением второго
или более высокого порядка, а принужденный режим представляет собой
колебательный процесс,- то квадрат угловой частоты первой гармоники и? нлн первую
степень а также разлагают >в ряд по малому параметру:
где og—квадрат угловой частоты в нулевом приближении, когда всеми
нелинейными членами пренебрежеяо: p,fr—поправка первого приближения, вызван вая
нелинейными члелаыи уравнения; цг/г—поправка второго приближения и х-д.
Пвеледоввтельиость решения рассмотрим на двух (гримерах.
1. При jc(0)=0 решить уравнение
д+*=-1. (15.82)
К такому уравнению, например, сводится задача- о переходном процессе
в цепи, состоящей на нелинейной индуктивности и активного сопротивления, при
подключении ее к постоянному напряжению к при квадратичное аппроксимации
зависимости потокосцепления от тока.
Все дкнеЭные члены уравнения переносим в леву» честь, а лещшйные.
умножив на некоторый малый параметр р.,—н правую (в примере \1=Ц:
jjjL_l=._,tA (15.82a)
Представим решение (15.82) в виде ряда по степеням ц:
Jc=jee+pjei+iAie+... (15.826)
Подставим (IS.826) в (15.82а):
^4^^+l?^-l=-1^-l«iwI-w>W+Svi)-." ('5-83)
№ (15.83) образуем систему уравнений, приравняв члены левой и правой
частей его при одинаковых степенях р:
уравнение нулевого приближения --j-—1=0; (15.84)
уравнение для первой поправки ~£=—х%1 (15.85)
уравнение для второй поправки —тг——2*»*i- (15.86)
Проинтегрируем (15.84);
Постоянную С0=0 определили на начальных условий.
Подставляем хв=1 в уравнение (15.85) и интегрируем его:
Для нервой повравкя начальные условия также нулевые. Поэтому Cj=0 и
до—ДО-
Пояставим ха и xt в (15.86):
В соответсгеии с (15.826)
jc=Xe-J-uxi+p.%+...=»-^- + ^. (15.87)
Аналогичным путем можно было бы получить и последующи члены ряда
(15.826). Так как уравнение (15.82) имеет точнее решение x=thf, то, ваял в
разложении th t три первых члена ряда, можно убедиться, что они оказываются
(1Й8Г
._. и с правой частью (15.87).
2. Решить уравнение для лампового генератора (вывод уравнения см. в
промере 165) Я|ри .начальных условиях xiOj^At в х'(0)=О:
Коэффициент ki при нелинейном члене в дальнейшем будем считать малым
параметром н обозначим и,. В соответствии с предыдущим-
«-*+№+!*»+-. риз,
■Ai
-gr+P~-jji-t-P-&—i>ll— <Hi+m+lfxi+-)4x
" [v+r,Tf+r'^+ -)+f-l*-l^ <*.+№+l>*.+->--0- ('5*0.
Образуем нз уравнения (15.90) три уравнения, соответствующие и. в нулевой,
первой и второй степенях:
5+i*,=0; (1&S1) .
5+Л1=(1 -1) §/+*А: С'5-92» '
^+Л,и(|-ха^-г.Л*-+Лч+(Л. (15.93) ;
Проинтегрируем (15.91)
x0~A0cos(nt.
Подставив хяв (15.92) и учтя, что smaco^c*^0,25sina-f-0,25sin3a, получим
!^+tfXl=~-c>A0ll—0£bA*)sintj>t-\-AdtCQStj>t-i~0.25ioA*sin3<i>t. (15.94)^-
Уравнение (15.94) можно трактовать следующим образом: на колебательный '
Z-C-KoiiTvp без потерь [левая часть уравнения (15.94)J воздействуют вынуждающая
сила с "угловой частотой и, равной собственной частоте колебательного контура, *,-
и сила с угловой частотой, в три раза большей.
Известно, что если подключить колебательный LC-хонтур, имеющий активное,
сопротивление Ц -*■ 0, к источнику синусоидальной э. д. с. Ет sin Ы ври
оговоренных условия*, то амплитуда тока в цепи будет нарастать до бесконечности.
Действительно,
i= i„p +iCB =^ sin Ы~ е-« sin (crt+v).
При R-*0 v->0 и o=R/(2L)^.0.
Разложим е-6' в ряд и, учитывая малость б, возьмем два первых члена ряда. .
Получим
"2L
t sin tot.
Такие члены в решении дифференцивльяых уравнений, амплитуды которых нара- '
стают теоретически до бесконечности при увеличении иреыени t, называют веко- ■
выми членами. При дальнейшем решении уравнения (15.94) необходимо помнить
о том, что амплитуды вековых членов должны оказаться равными гулю при
любом *>0.
Решение (15.94) запишем следующим образом:
x1=Л^w'+BlCOsЫ^-(Qвmw^+Й1"cosюQ^•^£'iEinЗo)^-J-FicosЗшi,. (1555)
Первое и второе слагаемые представляют собой полное решение однородного
уравнения; четвертое и пятое—частное решение неоднородного уравнении. Третье
слагаемое представляет собой вековой член. Его можно было, бы ие вводить
в дальнейшие выкладки по определению коэффициентов Ab Bt, Elr F^, d, Dlt '
однако ввезем его, чтобы показать, что его присутствие выкладкнм не помешает.
Дважды продифференцируем (15.95) по времени:
х*~— Aitifismmt—B^»Bcosmf-f-C,tticos((>f—
.—£>i<a sin Ы+ю (С, cos Ы—В± яп соф—fto8 (Сх sin <ot-\-D, cos со/)—
—Эю^Е,- sin За*— 9в№х cos 3W. ' ' (15,95)
Подставим (15.95) к (15.96) s (15.94), выделим на левой и правой частей (15.94)
слагаемые соответственно с sinter [формула (15.97)], cosarf [формула {15,98)1,
ыпЗа>< [формула (15.99)], cos Зои* [формула (15.100)]:
£>,=0,5,4,, (I—0.25Л»!); (15.97)
2юС,=А&; (15.95)
—&o»£1=0.25»»/*J; (15.99)
ад/-,=0. (15.100)
Слагаемые (15.94) с вековыми членами дают пуль:
if(CIsinm(+D1cosi»i)(eia—е?)=0. (15.101)"
Используем также заданные начальные условия для спределения Ал, В2, Ct,
Dj, Etl F,. Так нак начальные условия уже были удовлетворены при
определения х0, то для всех последующих приближений начальные условия нулевые. Имея
это в виду, из (15.95) находим:
Из (15.100) fi=0, поэтому В,=0. Из уравнения (15.95), используя условие
jej (0) =0, имеем
/ etAx+Di+SaEt^O.
Но Dj и Ех известны из (15.97) и (15.99), поэтому
-3£,=
32в
Поправку на угловую частоту fa, а вместе с тем и значение Ай найдем, исхода
из того, что амплитуда векового члена должна быть равна нулю при любом /;> О.
Отсюда d=0 и Dj^O.
Из (15.98) следует, что /i=0, a из (15.97), что Лв=2.
Таким образом,
Ограничившись первым приближением и перейдя or fx к klt получим
x=xa~\-iixl='Al,cosvtt -f-Aii^s-^gsiniut—~- sin ЗиЛ.
Первое приближение привело к изменению амплитуды вервой гармоники
с Л0=2 до 2 1/*+1 „ J и^к появлению третьей гармонвки.
Угловая частота первой гармоники в первом приближении не изменилась и
раина угловой частоте со0 нулевого приближения. Аналогичным образом
производится и второе приближение. Однако каждое последукжцее приближение но
сравнению с предыдущим более трудоемко.
В основу данного метода положены работы французского математика Пуанкаре
по небесной механике. Метод называют методом малого параметра потому, что
в нем производят разложение решения в ряд по степеням малого параметра.
Насколько этот, параметр должен Быть мал в каждом примере, заранее сказать
нельзя/ Важно, чтобы ряды для х и для соа ила © сходились. Если ряды будут
сходиться медленно или вообще не будут сходиться, то пользоваться этим Методом
ие икеет смысла.
Вопросы для самопроверки
1. Охарактеризуйте известные Вам типы нелинейных активных, индуктивных
и емкостных сопротивлений. 2. Какие физические явления могут наблюдаться
в нелинейных н не могут в линейных цепях? 3. Как из характеристик для мгио-
веяных значений можно получить в. а. х. для первых гармоник я в. а. х. для
действующих значений величин? 4. Начертите схемы замещения электронной дампы
И транзистора для малых переменных составляющих. 5. Охарактеризуйте
основные положения известных Вам методов расчета .периодических процессов
нелинейных цепей. 6. Сформулируйте условия нахождения моментов времени открытия и
закрытия диодов. 7. Определите, что понимают под автоколебаниями; как выявить
условие, когда они возникают. 8. В чем причина возникяовения субгармонических
колебаний? Я, В чем принципиальное отличие феррорезонанса напряжений н токов
от реэонансов в соответствующих линейных цепях? 10. Что понимают под
частотными характеристиками нелинейных цепей? 11. В чем сходство и в чем различие
в построении векторных диаграмм по первым гармоникам для нелинейных и
лянейных цепей? 12. Дайте онределение понятий «индуктивность рассеяния»,
«намагничивающий ток», сток потеръв. 13. Постройте векторную дааграмму
трансформатора со стальным сердечником при активно-емкостной нагрузке. 14. В чем
идея метода малого параметра? 16. Запишите рекуррентное соотношение,
являющееся решением нелинейного интегрального уравнения. 1в. К нелинейному
активному сопротивлению с симметричной характеристикой приложено периодическое
напряжение без постоянной составляющей. Можно ли утверждать, что.
протекающий через него ток не может содержать постониную составляющую? 17. Решите
иадачи 10.9; И». 10; 10.20; 10.23; 10.37; 10.33; 10.39; 10.41; 10.48; 10.58; 10.61.
ГГТАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
§ 16.1. Общая характеристика методов анализа и расчета
переходных процессов. Методы анализа и расчета переходных процессов
в нелинейных цепях могут быть классифицированы: а) по -виду
основных операций, которые необходимо выполнять для интегрирования
нелинейных дифференциальных уравнений, — на графические
(графоаналитические) и аналитические; б) по характеру величины, для
которой производится расчет (расчет по мгновенным значениям токов'и
напряжений и расчет по мгновенным значениям огибающих токов и
напряжений).
Под графическими (графоаналитическими) понимают такие методы,
в которых основными операциями прн определении зависимости от
времени искомых токов и напряжений являются графические построения,
нередко сопровождаемые и некоторыми вспомогательными числовыми
подсчётами.
В графических (трафо-аналитических) методах характеристики
нелинейных сопротивлений обычно не требуется выражать аналитически.
В данной главе рассмотрены следующие графические методы:
1) метод, основанный на графическом подсчете определенного
интеграла (см § Ш.2); 2) метод, основанный на замене определенного
интеграла нпиближенной суммой по формуле трапеций (см. § 16.5).
Аналитическими называют такие методы, в которых основной
операцией при определении зависимостей искомых токов и напряжений
от времени является точное (приближенное) аналитическое
интегрирование дифференциальных уравнений цепи путем использования
аналитических выражений характеристик нелинейных сопротивлений.
Рассмотрены следующие аналитические методы: 1) метод
интегрируемой нелинейной аппроксимации (§ 16.3); 2) метод
кусочно-линейной аппроксимации (§ 16.4); 3) метод медленно меняющихся
амплитуд (§ 16.7).
К группе аналитических относятся также методы, рассмотренные
в § 15.69 и* 15.70. Графические методы имеют следующие преимущества
перед аналитическими: а) отсутствие необходимости выражать
характеристики нелинейных элементов аналитически, что позволяет избавиться
от погрешностей, связанных с аналитическим представлением
характеристик; б) простота учета гистерезиса и других сложных нелинейных
зависимостей.
В свою очередь аналитические методы также имеют перед
графическими преимущества. Из них основным является то, что они дают
возможность получить решение в общем виде, а не для какого-то
одного конкретного сочетания параметров. Получить решение в общем
виде желательно потому, что анализ его позволяет выяснить все
особенности процесса при изменении всех параметров.
Как уже упоминалось, все методы расчета могут быть подразделены
на две подгруппы: на.расчет по мгновенным значениям токов и
напряжений и на расчет по мгновенным значениям огибающих токов и
напряжений.
Расчег по огибающим важен, потому что он дает возможность,
ие вдаваясь в мелкие детали процесса внутри каждого периода
действующей в схеме периодической э.д.с. (внутри каждого периода
автоколебаний в автоколебательной системе), судить о макроструктуре
процесса. Расчет по огибающим возможен не только для нелинейных
цепей; он представляет существенный интерес и для линейных цепей.
Точность расчета по огибающим уступает точности расчета по
мгновенным значениям. Однако относительная быстрота проведения расчета
по огибающим и возможность судить о макроструктуре процесса часто
являются решающими факторами.
Там, где это необходимо, целесообразно дополнять расчет по
огибающим расчетом по мгновенным значениям. Метод расчета по огибающим
представлен методом медленно меняющихся амплитуд (см. § гб.7).
Все остальные методы относятся к подгруппе расчета по мгновенным
значениям. *■
Довольно часто электрические 'цепи содержат несколько
нелинейных сопротивлений. Переходные процессы в таких цепях можно
рассчитывать методом Волынкина (см. § 16.5).
Теории переходных процессов в электрических цепях с управляемыми
нелинейными индуктивнымя, емностнымн и активными сопротивлениями выходит
эа рамки курса. Интересующиеся этим вопросом могут ознакомиться с ним.
например, по J2I1-
§ 16.2. Метод расчета, основанный на графическом подсчете
определенного интеграла. Метод расчета, основанный на графическом
подсчете определенного интеграла, применим к нелинейным
электрическим цепям, описываемым дифференциальными уравнениями первого
порядка, допускающим разделение переменных. Последняя оговорка
очень существенна. Она свидетельствует о том, что метод применим
к цепям П0СТОЯЙНОГО в, как правило, неприменим к цепям перемен-
ного тока. Основные этапы и последовательность расчета
проиллюстрируем на конкретном примере.
Нелинейная емкость через сопротивление ft подключается к источнику
напряжения U (рис. 16.1, а). Кулон-вольтная характеристика емкости задана графи-
€3
в) в)
Рис. 16.1
чески (рис. 16.1, б). Полагая, что в схеме нулевые
кривые изменения заряда q, напряжения
времени.
Составим дифференциальное уравнение:
Чс<д)+я5
=u.
Разделим переменные:
KU-uc(4),
(16.1а)
f((?) =
U-uciq)-
(16.2,
Для построения кривой F(q) (рис. 16.1, в) используем кулон-вольтную
характеристику. С этой целью задаемся произвольным значением д. По кулон-вольтной
.характеристике находим соответствующее, ему ис и по (16.2) подсчитываем F (<j).
Пря q=0 ис=0 и F(q) = \jU; при «с=(/ f(<j)=со. Левую часть уравнения-
(16.1а) проинтегрируем по t от О до текущего значения t, а правую—по q от q =
= 0 до текущего значения д. Получмм
t=R\Fiq)d
(16.3)
Графически подынтегральное выражение F {g) dq представляет собой
заштрихованную площадку рис. 16.1, е.
Согласно уравнению (16.3), для определения времени I, соответствующего
конкретному значению q, нужпо подсчитать площадь, выраженную определенным
интегралом \F(q)d(}, н умножить ее на сопротивление fi.
Кривая / рис. 16.2, а качественно представляет собой зависимость q от t.
С помощью кривой q=f(t) и кулон-вольтной характеристики нелинейной емкости
строят занисимость ис=Д/) (кривая 2).
Ток в цепи для произвольного момента времени определяется по формуле
t=(U—ucyR (кривая 3).
§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации.
Метод интегрируемой нелинейной аппроксимации основан на аппрокси-
CD
мации характеристики нелинейного сопротивления такой нелинейное
функцией, которая, во-первых, достаточно точно отображает
характеристику нелинейного сопротивления в
предполагаемом интервале
перемещения изображающей точки по ней • и,
во-вторых (и это главное), дает
возможность точно проинтегрировать
уравнение в известных функциях.
Ценность метода заключается в том,
что в результате интегрирования полу- ■
чают зависимость исследуемой
величины от времени и от всех параметров
схемы.
Метод применим к дифференциальным уравнениям первого порядка,
а также к уравнениям, сводящимся к уравнениям первого порядка
путем замены переменных.
Пример 162. Определить закон нарастания во времени тока i пря замыкании
ключа в схеме рис. 16.2, 6. Зависимость тока I от потокосцепления ф нелинейной
индуктивности выражена формулой i=k^. В схеме нулевые начальные условия.
Решение, Из дифференциального уравнения цепи -~+Ri=U следует,
что *М= #(>/((/—fli).
Вынесем на знаменателя множитель Д и заменим i на k$H
Обозначим /у=оа н заменим /гф4 на ф); dtp на tfh/fX
Получим: ч
д.- ' "ь - ' -Ч ' , ' у
2,mRt4i\ • l-ущ
'С помощью (16.4) можпо определить время, которое необходимо, чтобы
отношение i/ly достигло задаинов величины.
§ 16.4. Расчет методом кусочно-линейной аппроксимации. При
расчете методом кусочно-линейной аппроксимации осуществляется
замена характеристики нелинейного сопротивления отрезками прямых
линий, что позволяет перейти от нелинейного дифференциального
уравнения к нескольким линейным уравнениям, отличающимся друг
от друга лишь значениями коэффициентов.
Каждое из линейных уравнений справедливо для того интервала
времени, в течение которого рабочая точка перемещается по
соответствующему линеаризованному участку. Метод применим к цепям,
содержащим источники постоянной и "(или) синусоидальной Э.Д.С, к цепям
первого и более высоких порядков.
- Для сложных нелинейных цепей с источником (источниками)
синусоидальной э.д.с. - основная трудность расчета данным методом
заключается в определении постоянных интегрирования, исходя из законов
коммутации я времени работы на каждом линейном участке. В
сложных цепях неизвестные определяют обычно из трансцендентных
уравнений, часто применяет ЭВМ. Впервые идея
этого метода была высказана русским физиком
Н, Д. Папалекси в 1912 г.
Рассмотрим основные ;
[ расчета
а простейшем
■фнмер 163. Емкость С заряжается через НС от
источника постоянного напряжения V (ряс. 165, а).
Определить закон изменения тока в цепи при зарядке
Решение. В. а. х. НС заменим двумя отрезками
прямых линий (рис. 165.6). Пусть на участке от t=D
до i"=ii uHC=k^, где иас—напряжение на
нелинейном сопротивления; Д%—коэффициент. На участке i~>i,
•hc-V.+Ч-
Размерность коэффициентов ftj и Aj равна
размерности сопротивления. В уравнение цепи uc-\-uHC=V вме-
с подставим
И—
для первого
'участка m Vt+I^i, а для второго—на feai".
При зарядке енявети ток постепенно -уменьшается от максимального з
до нуля. Поэтому изображающая точка перемещается сначала по первому участку.
а затем по второму.
Для первого участка
Для первого участка
Постоянную интегрирования найден
Поэтому (/o+ft1((0+)=y и HOi)=A1=(U—Vtl)/k1.
Следователь по, при работе «а первом участке
Пусть при <=fj зек *=tf. Ладстаеяяв (16.5) ij вместо!
решим полученное уравнение юиюснтельяо in
При работе на втором участке
(f-Л)
(16.5)
1 ti вместо ( н
(16.6)
Практически важной является задача о переходном процессе при
подключения иекагружевяого^ратф^натора (с разомкнутой вторичной обмоткой) или
нелинейной яидукгквиеюя к всажяясу лмнусондалыюн э.д.с Emsm(eit-\-ip) (рис.
16-4, а). Рассмотрим эту задачу качественно.
Если автнвное севротяалеем* "°f""*~Jr пгГиоцц '. шд_i4-J-^^— J
а амалитуда установившегося значения потокосиеилеив*¥W«fiS^MBe
окрестности точки о (ряс. 16.4, б), то при замыкании ключа в иомен
Э-Д.с, £m sin ((о(-т-ф) проходит через нулевое значение, в цепи возникают очеяйй
большие кратковременные броски тока. Последние метут превышать .амплитудой
тока холостого хода трансформатора в 20—50 раз и даже более'. Физически они ■-'
возникают вследствие того, что к концу первого полусериода (nfto) потокоецшле- *
иие достирает величины, близкой к 2фл.
Рис. 16.4
Из кривой рис. 16.4, б видно, что если- ^=*;&pj„, то в цепи будет очень
большой ток, во много раз превышающий ток при ф=Фт-
Хот* броске тока я очень кратковремемиы, по все же в системах с мощными
трансформаторами они нежелательны, так как требуют принятая специальных мер.
для устранения вредных последствий.
графо-аиалитического-метода расчета переходных процессов в нелинейных цепях,
основанного на замене определенного интеграла приближенной сумной по формуле
трапеций.
Из курса математики известно, что если интервал интегрирования (Ь—а)
в определенном вндареяе \f(xfd* ргэвга на * ввшок частей в через дь, уь
л и„ обозначить значение функции /де соответственно при х=а. *i=a+ft,
Да=о+2А н т. д., где Л=(Ь—я)/п, то
2л
<й+2й+2л+-+2&-г+№.>. Об-7)
Рассмотрим метод на примере цепи рис. 16.5, а, состоящей иэ нелинейной
индуктивности и сопротивлений Ri и R,- Зависимость ^ от * для нелинейной
индуктивности аадана кривой рис. 16.5, б. Пусть э. д. с. ех (*) имеет форму,
изображенную на рис. 16.5, в
Обозначим токи в ветвях в соответствии с рис. 16.5. о. Составим уравнения
по законам Кирхгофа: —
«.-«+* <^«= <*+3-*»
Отсюда
££ + <*-*№. tlB*
я=__* - «ft_/frfr . ■ (16.9)
Разобьем время * на равные промежутки г(*'=/ет); тогда вместо (&—о)/2п
лучим (пт—Щ/2п=т/2. Последоватепьпо проинтегрируем (16.8) от t—О до
Но по (16.7) \ i<tt=4-fi, следовательно,
о
.- о
где ^—остаточное потокосцеплеиие, н дальнейшей примем его равным нулю.
Для /=2т
о о
Вт
Но по (16.7) С i Л=-|-<2'i+i«b следовательно,
о
2т
t,+^-i,-J>(0«-l№- 0611>
D
Для /=ПТ
Уравнение (16.12) позволяет последовательно определять tt. 1Я, t» в '». Д-
В левой части его находятся неизвестный ток („ н соответствующее ему потоке-
сцепленне ty„, a J] «ft в правой части известна по результатам подсчета аа
1. По заданной в (г) .строят кривую J e(t)dt.
о
2. На рис. 16.5, б проводят прямую OS под углом ее к оси абсцисс, тангенс
которого равен Rt/2.
3. Ток ("i нахсдят-~йз (16.10). С этой целью на рас. 16.6 берут э
[e(l)df, равное отрезку 11'. Этот отрезок откладывают на рис. 16.5, б и
нерезок ВС равен ifi, отрезок CD — -=- it. Ток 1г равен отрезку ОС.
4. Ток fjj находят аналогично, только в
A\)ua\e(t)dt, )
отрезку 22' (рис. 16.6), предварительно вычитают Яи'ч, а затем уже перемещают
полученный отрезок параллельно оси ординат.
31
5. Для определения iB из С e(t)dt вычитают Rf(ti+■'«)№ т- л- Если elf)—
функции периодическая с периодом Т, то рекомендуется брать т==(тв"*"зё')'"»
если непериодическая, то т выбирают после предварительных пробных подсчетов.
Пример 164, В схеме рис. 16.5, а ^=(^=20^. Зависимость Ч>=/(0
изображена на рис. 16.5, б. В интервале от /=0 до /=0,1 с e(f)=400/, далее
«(/)_о.
Построить кривую i=f (0 > полагая начальные условия нулевыми и
остаточное потокосцеплеиие фо=0.
Решение. Принимаем интервал времени т=0,025 с. Находим Rx/2=OJ0125.
Результаты подсчетов сводим в табл. 16.1.
Таблица 16.1
«
1
2
3
4
5
е
7
8
m
0JQ25
0,05
0,075
0,10
0,125
0,15
0,175
0,2
Je (() dl
0,125
0,5
1,13
2
2
2
2
2
п—1
ft=i
0
0,004
0,01
0"J562
0,45
0,565
0,645
0,715
m n~\
5'm*-T+Sk £ ■»
0 ft=l
0,125
0,496
1,12
1,943
1,55
1,435
1,355
1,285
(n
i 0,16
Ц24
1,85
15,7
4,6
^2
2,76
2,36
По данным табл. 16.1 на рис. 16.6 построен график \e(t)dt=flf),
рис. 16.7, а—график i=f{f).
кими нелинейными сопротивлениями, а также к цепям, описываемым уравнениями
второго, третьего и более высоких порядков.
В качестве примера рассмотрим вопрос о переходном процессе в простейшей
цепи с двумя нелинейностямн.
В схеме рис. 16.7, б к источнику э. д. с. е (f) подключены последовательно
соединенные нелинейная индуктивность (зависимость i=f(ty) задана) и нелиней-
$e(t)dt
LA
ное вктивное сопротивление с заданной в.,а. х. u=/(i). Проинтегрируем уравне.
те цепи -т£- + и(0=е(0 по t от О до t—nx, учтем, что
J и (i)dl=Y [2« (Щ+2в («а)+...+2ы (<я_й+И (У1.
о
В результате получим формулу, аналогичную (16.12):
Л1 ft=n— 1
^a+~uil„) = ^e(i)dt~x ^ «ЙО- (16.13)
о *=i
Последовательность расчета по (16.13) такая же, как и по (16.12). Разница
лишь в том, что вместо прямой -^ « (прямое OS) на рис. 16.5, 6 следует нанести
крнаую -««(fi.
§ 16,7. Метод медленно меняющихся амплитуд. В электротехнике и
радиотехнике для расчета переходных процессов широко применяют
метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод был предложен
в 1921 г. голландским ученым Ван-дер-Полем.
Рассмотрим основы этого метода на примере нелинейной цепи
второго порядка, находящейся под воздействием периодической
возмущающей силы.
Пусть уравнение этой цепи записано следующим образом:
я + f W ж + &1х = A sin at.
(J6.14)
Под действием периодической силы с частотой ю в цепи
устанавливается вынужденное колебание, первая гармоника которого имеет
частоту и. Полагаем, что высшие гармоники выражены слабо.
Искомая функция x(f} может быть представлена как
х = a sin at + b cos tat, (16.15)
где а и b — медленно меняющиеся во времени амплитуды искомого
колебания.
Медленность изменения а и b во времени определяется тем, что
их производные по времени являются величинами первого порядка
малости по сравнению^*; произведениями ъш и cob:
ж<т- гг<иЬ- <1(U6>
Если это учесть, то, вместо того чтобы взять
jt = аа> cos a>t — Ь& sin est-\-sin at j- -J-cos»rf —r (16.17)
можно в первом приближении принять
-jT- ^аа> costof — 6© sin to/. (16.18)
Аналогично, вместо того чтобы вторую производную брать в виде
—£-s=w — arasmm — его cos ш-\-as cos m -тг — и sin at -^ -j-
. d?a . , №b . , .da . ,db
-\-др Sinorf + ^— COSft)f+lOCOS<i]I^ (OSinGrf-rr,
пренебрежем в ней слагаемыми второго порядка малости и оставим
слагаемые первого порядка малости. Получим
g-^-{(u^ + 2w^)sin«* + (-(uafc + 2w^)cos(o*. (16.19)
Обратим внимание на то, что слагаемые первого порядка малости
оставлены в выражении для dbc/df2 и ими пренебрежено в
выражении для dx}dt. Объясняется это тем, что исследуемая цепь обладает
малыми потерями, поэтому амплитуда второго слагаемого левой части
(16.14) относительно мала по сравнению с амплитудами первого и
третьего слагаемых левой части (16.14).
Далее, в функцию f(x) вместо х подставим (16.15) и разложим / (л)
в ряд Фурье. Затем умножим ряд Фурье, которым выразилось f[x),
на -it- [на правую часть (16.18)]. Получим
f(x)^f =^о(я, b) + Fx(a, b)sinЫ + FB{a, fc)costof +
-r-Fs(o, b)sm2ast-\-Fa(q. fc)cos2<of-j-... (16.20)
Так как расчет ведется по первой гармонике, то постоянной
составляющей F0(a, Щ и высшими гармониками ряда Фурье [Fs(a, fc),
Ft(a, b) и др.] в дальнейшем пренебрегаем.
В (16.14) подставим правую часть (16.19) вместо d^x/df2, F1(a,
b)s'm&t+F2(a, bjco&at вместо f(x)dx/dt н al ip sin at-{-b cos tat)
вместо cajx.
Тогда (16.14) разобьется на два уравнения. Одно из них [уравне--
вие (16.21)] будет выражать собой равенство коэффициентов при
cosot в левой и правой частях (16.14), другое [уравнение (16.22)] —
равенство коэффициентов при sin of в левой и правой частях (16.14):
-Stojf+Me, Ь) + а(с,>5-сов) = Л; (16.21)
2w^+F2(a, Ь) + ЬМ-еР)=*0. (16.22)
Система уравнений (16.21) и (16.22) представляет собой два
совместных дифференциальных уравнения, составленных относительно
мгновенных значений медленно меняющихся амплитуд а и Ь.
В общем случае решение системы (16,21) —(16.22) может
производиться методом малого параметра или методами числового
интегрирования, а также при помощи метода Волынкина. В частном случае,
когда внешняя периодическая сила равна нулю (А=Щ и функция
F,(a, b) = 0, система сводится к одному дифференциальному
уравнению первого порядка:
£~-Т5? "'=0>- <16-23>
Ранее были рассмотрены основные этапы перехода от
дифференциального уравнения для мгновенных значений [уравнение (16.14)]
к дифференциальным уравнениям для медленно меняющихся амплитуд.
Метод применим и к другим, более сложным уравнениям.
В заключение необходимо отметить, что если максимальное значен
ние слагаемого f(x)dx/dt в (16.14) (и подобных ему), выражающее
собой падение напряжения в активном сопротивлении контура
(контуров), соизмеримо с максимальными значениями остальных слагаемых
(16.14), то в выражении dx/dt должны быть сохранены слагаемые
первого порядка малости, которыми ранее пренебрегли. Огибающая
колебаний определяется уравнением
im=V<?(i)+b'm.
Пример 165. Определить закон нарастания амплитуд колебании напряжения
на сетке лампового генератора § 15.55.
Решение. Уравнение лампового генератора было выведено ранее [см.
уравнение (15.56)1:
кЭц-и£-+..-*%-«1
Диодный ток 1„ выразим через сеточное напряжение ис следующим образом:
[Ср. с (15.46), см. пунктирную кривую рис. 15.27.1
Производная от анодного тока по времени
di„ . , oil. duc
-ш—ь-^тг-
Подставив ее в (16-5(5), получим
Поделив последнее уравнение на Z.C=l/wJ, где ю0—угловая частота
автоколебаний (см', формулу (15.61)1, и обозначив
Ma'—RC ЗЬМ
~ LC V a Me'— RC"
(16.24)
f - b (1 -k^) ^ + oX=0. (>6.25)
~. duc 1 dx . d*uc _ 1 d*x
~d7~ Vki di ' dP~ V^t dP '
^--Ml-.**J^ + cugx=0. . (16-26)
Множитель —^(l^j^H представляет собой функцию f (л) уравнения (16.14).
Таи как на систему не девствует внешняя нериодическан сила в частота
аитоколебанай равна ш0, а не ш, то примем, что х=о япы/. Таким образом,
-=^ = ащ cos (ОоК (16.27)
-^«.SoiB-^eettf-fflSa Attf. (16.28)
/
Подставим (16.27) и (16.28) в (16.26), учтя, что
sin* bV cos «/=0.25 (cos ы/—cos Зщ1):
2щсов<йа1--г,—«а? ип a«*+«fi>i5 »п aj—к1аа>йсов<йа1+0,Ш1е>1)Ф X
Х(сов<в,)Г—cos3(%0=0.
Таи как расчет ведем по медленно меняющейся первой гармонике, то слагаемое
с cos Зщ^ не учитываем. Получим
2-^=«&1 (l-0,25tfs). (16.29)
Введем новую переменную р=0,25аа. Вместо (16.29) будем иметь
difjdt=k1y(l—y). (I6.30)
Уравнение (16.30) представляет собой уравнение с разделяющимися перемен-
J у(1—у) *-
Здесь—1пС0 обозивчена постоянная интегрирования;
У гм. „_ «У" L
1+Све*'' 1+Cie-
=2Уу=— — ■ *=csmcV
Амплитуда напряжения ив емкости изменяйся во времени следующим образом-
" VI, ]/l+C,e-« ' 3»/И
/ У
Постоянную интегрирования Cj определим по начальному значению
амплитуды напряжения Uc. Так, если при t=0 Uc=Uc{0_), то
VTT5?
§ 16.8. Перемагиичивание феррнтовых сердечников импульсами тока. В
устройствах вычислительной техники в .качестве запоминающих элементов применяют
миниатюрные ферритовые сердечники различной формы, в частности кольцевые
с внешним диаметром порядка 1 мм из материала с прямоугольной петлей
гистерезиса (ППГ). Через отверстия в инх пропускают проводники, являющиеся одно-
витковыми обмотками (на рис. 16.8, а показан только один проводник). При
записи информации по одному на проводников пропускают прямоугольный или
почти прямоугольный импульс тока (рис. 16.8, б) длительностью всего в несколько
десятков наносекунд или несколько микросекунд. Под действием этого импульса
сердечник перемагничивается. Хотя в ферритовом сердечнике и отсутствуют
макроскопические вихревые токи (в нем нет замкнутых токопроводящнх контуров,
играющих роль вторичных обмоток трансформатора), персмагинчивается оп все же
не мгиовенпо.
На длительность -процесса перемагничивания сердечника при высоких
скоростях перемагничивания решающее влияние оказывает магнитная вязкость. Она
как бы создает внутреннее поле трения, которое влияет на процесс
перемагничивания. Эт» влияние зависит от величины и скорости изменения намагн,йчендести
й ог превышения воздействующей напряженности поля Нва над коэрцитивной
При математическом описании тормозящего действия магнитной вязкости
исходят иа уравнения
Щ=Нви-а
dJ
(16.33)
где И0~ напряженность поля, при котором происходит перемагничивание фер.
рита с ППГ; Н0 несколько больше коэрцитивпой силы Цс по статической петле
гистерезиса; Не находят опытным путем для каждого типа феррита.
Напряженность внешнего поля, вызванная током i, HBU=iw/l, где w число
витков, /—длина средней магнитной линии.
454
учитывает тормозящее действие магнитной вязкости. Множитель
где А—некоторый коэффициент; J—текущее значение намагни-
ченности; Jg—намагниченность насыщения.
Решим уравнение (16.33) относительно dJ/dt, заменив J на индукцию В
в J„ на индукцию насыщения Bs. Получим уравнение огносительпо В:
^-_*(1-^(Я„_Н.). (16.34)
Это уравнение с разделяющимися переменными. Из (16.34) следует, что для
перехода ив точки 1 в точку 4 (рис. 16.8, в) под действием импульса тока (
длительностью ta должно выполняться соотношение
\ (Ннн-Ив)(Из=
k I-
Если же V (Нин—H^dt<zM, то изображающая точка из положения 1 после
прекращения действия импульса перейдет в точЯу 2 или 3 или им подобную
[конечное состояние зависит от величины ( (HHH—/7e) dt и амплитуды импульса'
тока]. Из состояния J в состояние 4 сердечник может быть переведен и иным
путем—путей воздействия на него несколькими следующими друг за другом
импульсамм одинаковой полярности, дли каждого из которых J lfiBB—H$dt<M-
После первого импульса рабочая точка перейдет на положения 1, скажем, в поло
жение 2, после второго из 2—в S и затем из 3—в 4.
§ 16.9. Определение фазовой плоскости и характеристики областей ее
применения. Качественное исследование процессов в нелинейных электрических цепях,
описываемых дифференциальными уравнениями первого и особенно второго поряд
ков, в ряде случаев производят с помощью фазовой плоскости.
Фазовой плоскостью (ф. п.) называют плоскость, по оси абсцисс которой
откладывают исследуемую величину (назовем ее х), а по оси ординат—проивводную
от исследуемой величины dx/dt (последнюю принято обозначать $.
В литературе можно встретить и другие виды фазовых плоскостей; 1) когда
"по оси абсцисс откладывается какая-либо одна величина (нанример, ток первой
ветви), а по оси ординат—другая величала (например, напряжение на емкости
по второй ветви); 2) когда по оси абсцисс откладывается амплитуда синусной
составляющей колебания, а по оси ордннет—амплитуда косинусной составляющей
колебания и т. д.
В каждой конкретной задаче под х понимают либо ток, либо напряжение.
Либо заряд, либо индукцию. Любому сочетанию значений хну исследуемой цели
соответствует вполне определенная точка ф. п.
Для качественного исследования процессов в электрических цепях,
описываемых уравнениями третьего порядка, применяют трехмерное феэовое пространство.
На одной оси декартовой системы этого пространства откладывают значение
функции х;>на другой—dx/dt, на третьей—d3x/dP.
Качественное- исследование—это выявление общих свойств исследуемой цепи
без интегрирования нелинейного дифференциального уравнения. Под общими
и понимают обычпо зависимость характера переходного процесса от началь-
455
ных условий, возможность возникновения в схеме автококебаниЙ, резонансных
явлений, автомодуляции, а также устойчивость перечисленных режимов и
режимов равновесия.
Все эти вопросы в ряде случаен можно решить и иным путем, без приалече-
нвя ф. п. Применение последней дедает/исследовйние боде$ иш-лядным и оправдапо
в тех случаях, когда объем работы соизмерим или меньше объема работы при
решении тех же задач иными методами.
Обычно ф. п. применяют для исследоваивя процессов в электрических цепях,
содержащих источники постоянной э. д. с. и не содержащих источники периоди-
ческой э. д. с. Однако ее можно использовать и для исследования процессов
в цепях, содержащих источники синусоидальной (постоянной) э. д. с, если
предварительно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений, к
уравнениям для медленно меняющихся составляющих (вешчин).
§ 16.10. Интегральные кривые, фазовая траектория -я предельный цикл.
Зависимость y=f(x), получаемая нз решения дифференциального уравнения системы,
представляет собой семейство кривых на фазовой плоскости, соответствующих
различным значениям постоянных интегрирования. Кривые y=f(x),
соответствующие различным начальным условиям, называют интегральными кривыми.
Начальное положение изображающей точки на ф. п. определяется значениями х
я dx/dt=y при/=0.
Интегральную кревую, проходящую через точку ф. п. с заданными
начальными условиями, называют фазовой траекторией.
Вид фезовой траектории вавнсит ог конфигураций схемы, характера
нелинейности н соотношения между параметрами
Если' процесс в цепи является периодическим, то через интераалы времени,
равные периоду процесса,
соответствующие друг другу
значения х и dx/dt=y повторяются
й фазовая траектория в этом
случае является замкнутой
кривой. Замкнутую фезовую
траекторию называют предельным
цик&и.
Если интегральные кривые
и .снаружи и нанутрн навивают-
Рис. 16.9 ся на предельный цикл, то его
называют устойчивым, если
удаляются от него—неустойчивым. Если же процесс непериодический, то фезовая
траектория представляет собой незамкнутую кривую.
; Фазовую траекторию можно наблюдать на экране электроннолучевого
осциллографа. С этой целью на одну нару отклоняющих пластин его подают
исследуемую величину х, а за другую пару—производную от х.
§ 16-11. Изображение простейших процессов на фазовой плоскости.
Рассмотрим несколько простейших примеров на описание процессов в линейных цепях.
Требуется изобразить на фазовой плоскости переходный процесс в схзме
рис. 16.9, а, вызываемый пра нулевых 'начальных условиях замыканием ключа.
Обозначим i—ток в цепи, ис—напряжение на емкости. В уравнение цепи iji-f-
(|Р
=Е вместо i иодставим С-
dt '■
Положим нс=х, duc/dt—dx/dt=y, тогда
y=iE-x)/RC.
Последнее уравнение описывает прямую аЬ рис. 16.9, б, которая является
фезовой траекторией рассматриваемого процесса. Точка ft—это точка равновесия.
В качестве второго примера рассмотрим изображение синусоидального
колебания t=r=/rasincfl* (рис.16.10, а).
Обозначим i=x, тогда
y=dxldt=tufrncoaii>t,
т. е. х=/тйпю(; y—tnImco&iut-
Разделив первое уравнение на /т, второе—на о/р,, возведя в каадрат
полученные выражения и сложив их, получим уравнение эллипса:
Следовательпо, изображением синусоидального процесса (фазовой, траекторией)
ва ф. п. является эллипс (рис. 16.10,6).
Направление движения изображающей точки показало стрелкой. В верхней
полуплоскости #=-тт->'0; следовательно, изображающая точка движется в сторону
увеличения координаты х. В нижней полуплоскости !/= j*"^"* Г,ОЭТОМУ
изображающая точка движется в сторону уменьшения
координаты х. В целом перемещение изображающей точки
на ф. п. происходит всегда по часовой стрелке.
§ 16.12. Изоклины. Особые точки. Построение
фазовых траекторий. Тангенс угла наклона,
образованного касательной к интегральной кривой в неко>
торой точке ф. п. и осью абсцисс, определяет вели^
чину dy/dx в этой точке. Совокупность точек ф. п.,
для которых dy/dx=const, называют изтпинаа. На
ф. п. можно провести множество изоклин, для каждой
из которых свое значение dy/dx.
Для всех точек ф- п., отображающей процессы в
цепи второго порядка (кроме особых точек), dy/dx
имеет вполне определенное значение. В особых точкак
(о. т.) dy(dx=0l0, т. е. не определено. Ч*реэ эти
точки может быть проведено множество изоклин с
различными значениями dy/dx.
Особые точки, классифицируют по виду
интегральных кривых, окружающих эти точки.
Если о. т. окружена эллипсами (рис. 16.11, а), д« ^ ..«-«: „. ..
центр; она соответствует двум мпимым корням характеристического уравнения.
Если о. т. окружена свертывающейся спиралью, то ее ивзывают устойчивым
фокусом (рис. 16-11,6); ей соответствуют комплексно-сопряженные корни сотри-
цательной действительной частью.
4ь %, '$-.& #> $&
в) В) В) г) д) е)
Рис. 16.11
Если v. т. окружена раскручивающейся спиралью—неустойчивый фокус
(рис. 16.11, в), то ей соответствуют комплекспо-сопряженные корни с
положительной действительной частью.
Если корни отрицательные н действительные, то о. т. типа устойчивый узел
(рис. 16.11, е). При положительных действительных пориях получают о. т. типа
неустойчивый узел (рис. 16.11, в).
457
•Рис. 16.10
о. т. тина
Когда один корень положителен, я другой отрицателен, о. т. типа седло
(рис. 16.11, е).
Пример 166. В цепи рис. 16.12, а ключ замыкают пра нулевых начальных
условиях: £=1 В, tf=l Ом, L=l Г. С=1 Ф.
Вывести формулу для построения
емкости ис. Определить положение и i
переходного процесса.
Решение. В уравнении цепи
LC-.
пчсо изоклин дли напряжения на
т. Построить фазовую траекторию
+ Кт+%-£
учтем, что L=R=C=E=l. Решим уравнение у-У-+у-\-х=1
и относительно dy/dx:
dx ~
1-х—у
(б)
Из уравнения (б) следует, что координаты особой точки -у=0, х=1.
Последовательно прнаавая dy/dx значения©, 1, 2 со, — I, —2, .... строим семей.
ство изоклин (рис. 16.12, б). Все изоклины проходят через о. т. н представляют
собой прямые линии (цепь линейна). Масштабы по осям хну приняты
одинаковыми. Черточки на каждой изоклине характеризуют значение dy/dx для нее.
Так как х(0)=ыс (0)=0 н y(0)=(duc/d^0=0, ток началу процесса
изображающая точка находятся в начале координет.
В установившемся режиме х~1 в (/—0.
Для построения интегральной кривой нз исходвой точки x=s=y=0 проводим
два луча до пересечения с изоклиной dy/dx= 1 в точках тип. Первый луч
ответствует значению dy/dx=co той изоклины, с которой начинается движение,
второй—зивчевию dy/dx—l следующей изоклины, на которую точка перейдет.
.Делим расстояние тп пополам и проводим через исходную и полученную точки
плавяую кривую—кусочек фазовой траектории. Продолжаем аналогичный процесс
далее и строим всю фазовую траекторию в виде свертывающейся спирали.
Слабая точка в примере является устойчивым фокусом. Время в явном виде
на фазовой плоскости не отражена.
Временные зависимости x—f(t) но фезввой траектории y=dx/dt=y1x)
получают по формуле t=\ dx/y(x), где х„—начальное значение х, х—текущее.
В окрестности точки ^пересечения крнаой q/(x) с осью абсцисс
подынтегральное выражение стремится к бесконечности. Чтобы избежать планиметрирования
площади иод кривой, уходящей в бесконечность при ф(х}-»-0, подсчет времени /W
на этом участке производят по средней скорости фср {х) на этом участке: &t =
= А*/Ч>«> (*)•
Примеры применения ф. п. при анализе процессов в ненинеиных цепях
приведены, например, в [20].
Вопросы для саммфоеерки
1. Охарактеризуйте известные Вам группы методов расчета переходных
процессов в нелинейных цепях. 2. Укажите, в чем положительные и в чем
отрицательные стороны расчетов по мгновенным значениям н по огибающим первых
гармоник, графо-аналитических н аналитических методов? 3. Почему метод
расчета, основанный на графическом подсчете определенного интеграла, неприменим
даже для цепей первого порядка, если вынуждающая сила является функцией
времени? 4. Почему метод интегрируемой нелинейной аппроксимпции не удается
применить к электрическим целим, описываемых уравнениями второго и более
высоких порядков? Б. Чем физически можпо объяснить, что при подключении
линейной цепи RL к нсточняху синусоидальной э. д. с. максимпльное значение
тока при переходном процессе це может превысить удвоенного значения
амплитуды тока установившегося режима, тогда как при подключении цепи
«R—нелинейная индуктивность* к источнику синусоидальной э- д. с. это превышение
может быть по много раз больше? 6. Покажите что метод расчета переходных
процессов, основанный на замене определенного интеграла приближенной суммой
по формуле трапеций, применим к уравненним второго, третьего и более высоких
порядков. 7. Охарактеризуйте идею метода медленно изменяющихся амплитуд.
6. Как расчетным путём учитывают магнитную вязкость при перемагничиванин
ферритовых сердечников импульсами тока?
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕЖИМОВ РАБОТЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
§ 17.1. Устойчивость «в малом» и «в большом». Устойчивость
ио Ляпунову. Режим работы электрической цепи, содержащей
нелинейные сопротивления, может быть либо устойчивым, либо
неустойчивым. Как правило, режим работы большинства электрических цепей
является устойчивым и в значительно меньшем числе случаев —
неустойчивым.
Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом».
Под устсшивим режимом работы «8 малом» понимают такой, при
котором достаточно малое отклонение режима работы от исходного
(установившегося) — независимо от того, какими причинами оно
вызвано, — с течением времени уменьшается и система возвращается
в исходное состоиние.
459
Прм неустойчивом режиме работы «в малом» достаточно малое
отклонение с течением времени увеличивается и система ие
возвращается в исходное состояние.
Устойчивым «в большом* называют такой режим работы, при
котором система, получив достаточно большое начальное отклонение,
возвращается в исходное состояние после прекращения действия возмуще- \
ния.
Если при достаточно большом отклонении от исходного состояния
по прекращения действия возмущения система не возвращается в
исходное состояияе, то ее называют системой, неустойчивой «в большом».
Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в
большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, а. На этом
рисунке изображен желоб с помещенным в ием шариком. Если шарик
толкнуть так, что он переместится из положения I в положение 2,
а затем предоставить его себе самому, то под действием силы тяжести
шарик возвращается в исходное
положение (положение равдове-
ду сия). Если шарик толкнуть с
большей силой, то ои пройдет
~~ через положение 3 и выскочит
из желоба. Таким образом,
система рис. 17.1, а устойчива «в
а) В) малом» и' неустойчива «в
большом».
Рис. 17.1 В литературе можно встретить
также термин «устойчивость по
Ляпунову». Системой, устойчивой по Ляпунову, называют систему,
для которой можно указать область допустимых отклонений [область
6(e) на рис. 17.1,6] от состояния равновесия (точки 0), для которой
ни одно из движений, начинающихся внутри области 6, никогда
ие достигнет границ некоторой заданной области е.
Величина области 6 зависит от величины области е.
В нелинейных электрических цепях в общем случае возможны
следующие режимы (типы движения): 1) состояние равновесия; 2)
периодическое движение при отсутствии в системе источников периодической
э. д. с. (тока)—автоколебания; 3) периодическое движение с
частотой источника периодической э. д. с. (тока) — вынужденные
колебания; 4) резонансные явления на высших, низших и дробных
гармониках; 5) квазипериодические (как бы периодические) процессы по типу
автомодуляции, а также ряд других, более сложных типов
движений. Каждый из этих режимов (типов движений) может быть
исследован на устойчивость.
В большинстве практических-задач производят исследование
устойчивости «в малом». Исследование устойчивости <да большом»
производят путем анализа хода интегральных кривых на фазовой плоскости
или путем использования «второго метода Ляпунова». Основы теории
устойчивости были разработаны крупнейшим русским математиком
А. М. Ляпуновым в 1892 г. и изложены в его книге «Общая задача
об устойчивости даижения».
460
§ 17.2. Общие основы исследования устойчивости «в малом».
Общие основы исследования устойчивости «в малом» применимы ко всем
или почти ко всем известным в настоящее время типам движения.
В каждом конкретном случае возможны некоторые особенности при
применения общих принципов.
Для исследования устойчивости исследуемой величине х
(величинам) дают малое приращение Ах, развертывают уравнение, описываю
щее процесс, в ряд по степеням малого приращения Д* и ввиду
малости Ах отбрасывают все члены ряда, содержащие Ах в степенях
выше первой.
В полученном уравнении (уравнениях) выделяют слагаемые,
содержащие Ах и производные от Ах по времени, и образуют из них
дифференциальное уравнение (уравнения) относительно Ах. Уравнение
относительно Ах алгебраизируют, получают характеристическое
уравнение и определяют его корни.
Если хотя бы один корень характеристического уравнения
положителен или положительна действительная часть
комплексно-сопряженных корней, то это свидетельствует о том, что возникшее приращение
Ах будет ие убывать, а возрастать по времени, т. е. исследуемое
движение яаляется неустойчивым.
Если же все действительные корни характеристического уравнения
отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют
отрицательную действительную часть, то исследуемое движение является
устойчивым. -'
Характеристическое уравнение, составленное отвосительно
приращения Ах, для системы второго порядка имеет вид
а0р* + aj) + о2 = 0;
для системы третьего порядка
«•Р8 + «jpa + ОаР + а3 = 0.
Для суждения о характере корней характеристического уравнения
разработано несколько математических критериев. Воспользуемся
критерием Гурвнца (Рауса — Гурвица).
Критерий (теорема) Гурвица состоит в следующем: для того чтобы
действительные части корней характеристического уравнения были
отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы все диагональные
миноры (Alt Да, ..., A„-i) определителя Гурвица (Д„) были больше
нуля.
Определитель Гурвица
Ч а3
Ч а2
0 а,
а3 .
щ .
а3 .
. 0
.. «
.. С
401
Следовательно, условия отрицательности действительных частей
корней характеристического уравнения выражают следующим образом:
<.,><);
Л,=
ДЕ
Ol
Щ
0
\а0 а
ая с£
с£ а4
«I 03
-ОоЯа>0;
>С и т, д,
Сам определитель Гурвица Д„ составляют так:
1) по главной диагонали определителя в порядке возрастания
индексов вписывают коэффициенты от % до а„;
2) в ту часть каждого столбца, которая расположена выше
главной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке возрастания
индексов;
3* в ту часть каждого столбца, которая расположена ниже
главной диагонали, вписывают коэффициенты в порядке уменьшения
индексов (до а0 включительно).
Следствием теоремы Гурвица является лемма: все коэффициенты
характеристинЁСкого уравнения {а^ аи са, ..., а„) устойчивой системы
положительны.
Из изложенного вытекает, что для систолы с характеристическим
уравнением второго порядка положительные вещественные корни (или
комплексно-сопряженныесположительной действительной частью) имеют
место в том случае, если какой-либо из коэффициентов уравнения
(«oi cai a2> окажется отрицательным Для системы с
характеристическим уравнением третьего порядка положительные вещественные корни
(комплексно-сопряженные с положительной дейстшггельной частью)
будут в том случае, если: а) какой-либо из коэффициентов (а0, ait «J
окажется отрицательным; б) Ojfla — cka3 <L 0.
Аналогичные заключения могут быть сделаны и для систем с
характеристическими уравнениями более высоких порядков.
Коэффициенты а0, alt аг, ... могут оказаться отрицательными
в следующих основных случаях:
а) когда в состав исследуемой на устойчивость системы аходят
нелинейные активные сопротивления, обладающие падающим участком
характеристики, и когда точка равновесия оказывается на падающем
участке характеристики;
б) в схемах с чрезмерно большим воздействием выходной, величины
на входную (в схемах с чрезмерно большой положительной обратной
связью). В этом случае поступление энергии из выходной цепи во
входную превышает потребление энергии во входной цепи и приращение
Ах возрастает;
в) В схемах с управляемыми нелинейными индуктивностями (или
нелинейными емкостями) при наличии неявно (в некоторых случаях
и явно) действующих обратных связей. В таких схемах обратные связи
при определенных условиях приводят к появлению на характеристиках
нелинейных индуктивностей (нелинейных емкостей) падающих участков.
Режим работы системы может оказаться неустойчивым, если
изображающая точка окажется на падающем участке характеристики
управляемой нелинейной индуктивности (управляемой нелинейной емкости)
§ 17.3. Исследование устойчивости состояния равновесия в
системах с постоянной вынуждающей силой. Когда рабочая точка по
постоянному току окажется на падающем участке в. а. х., то
состояние равновесия в актеме при определенных условиях может оказаться
неустойчивым.
При исследовании устойчивости нелинейное сопротивление
заменяют расчетной схемой — схемой замещения. Она должна учитывать
свойства НС как при медленных (при w-»-0), так и при весьма
быстрых (при ю-»-со) малых приращениях тока и напряжения на НС.
Свойства НС при ю -> 0 определяются самой в. а. х. НС, снятой
при постоянном токе, на падающем участке которой
дифференциальное, сопротивление Rn<L0.
Если к НС подвести некоторое постоянное напряжение или через
него пропустить некоторый постоянный ток такой величины, чтобы
рабочая точка находилась на падающем участке в. а. х., и затем
воздействовать на НС синусоидальным напряжением или током малой
амплитуды, то сопротивление Z (/ю), оказываемое НС синусоидальной
составляющей малой амплитуды, будет представлять собой
комплексное число. Опыт показывает, что при достаточно большой to
действительная часть этого сопротивления оказывается положительной, т. е.
ReZ(/ro)>-0. Объясняется это тем, что физические процессы в самом
НС являются процессами инерционными, причем инерционность все
сильнее проявляется с ростом "частоты.,
В одних НС инерционность вызвана тепловыми процессами, в
других — процессами накопления энергии в электрическом и (или)
магнитном полях, в-третьих — процессами ионизации и депонизации (которые
также протекают не мгновенно), в-четвертых — инерционностью
процессов диффузии носителей тока и емкостью, обусловленной объемными
зарядами. Но чаще всего инерционность есть следствие нескольких
взаимно связанных друг с другом процессов.
Таким образом, схема замещения НС, когда точка равновесия
находдггся на падающем участке характеристики, по отношению к малым
приращениям должна быть такой, чтобы при ю-»-0 Re Z (/со) = #д.<
<;0, а при со-»-оо ReZ(/G>)>-0.
На рис. 17.2, а изображена одна из возможных схем замещения
для НС с S-образной в. а. х. (рис. 17.2, б), удовлетворяющая
перечисленным условиям. В этой схеме L„ — некоторая малая
индуктивность, которую часто называют «паразитной», #дое>-|/?я|>- 0 —
некоторое добавочное активное сопротивление.
На рис, 17.2, в. изображена одна из возможных схем замещения
для НС с N-образной в. а, х. (рис, |7.2,г). В ней С„ —некоторая
малая емкость, называемая часто «паразитной», и #доб>0—некоторое
добавочное активное сопротивление. Параметры L„ и RBoS, а также С„
и R'R06- зависят от физических процессов в НС и изменяются при
переходе из одной точки на падающем участке в, а. х, в другую.
463
§ 17.4. Исследование устойчивости автоколебаний и вынуждав--
ных колебаний по первой гармонике. В качестве исходных при иссле- -
довании устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний обычно .
служат уравнения, получаемые по методу медленно меняющихся -
амплитуд (см. § 16.7). Однако в тех случаях, когда напряжение на
каком-либо элементе (ток в исследуемой цепи) резко отличается по -
форме от синусоиды, например имеет пнкообразную форму, исследо- ■
вание устойчивости целесообразно проводить по средним за
полпериода значениям величин.
Рис. 17.2
Если через а и Ь обозначить медленно меняющиеся амплитуды
синусной и косинусной составляющих исследуемого колебания, то из
исходных уравнений системы можно получить два уравнения для
медленно меняющихся амплитуд: '
daJdt = A(a, Ь); (17.1) -
db/dt = B(a, Ь). (17.2)
Здесь А и В являются функциями амплитуд а и Ъ, функциями
всех параметров схемы, угловой частоты колебаний « и амплитуды
вынуждающей силы. Обозначим значения а и Ь в установившемся •
режиме, (когда амплитуды не изменяются во времени) через а0 и Ь0,
Для определения а0 и 6„ в (17.1) и (17.2) следует положить dajdt =
= "0 и db/dt = 0 и решпъ систему уравнений:
Л(«о. Ьо) = 0; (17.3)
В(а0, 6„) = 0. (17.4)
Пусть в результате возмущения амплитуды колебания получили
малые приращения Да и Д6 и стали равными: с = а0+Да и Ь = Ье +
+ АЬ.
Подставим эти значения а ч Ь в (17.1) и (17.2), развернем А(а0 +
-f- Да, 6о+ДЬ) и В(а0+Да, Ь0-{-АЬ) в ряд Тейлора по малым
приращениям Да и Д6 и в силу малости приращений ограничимся
слагаемыми ряда с первыми степенями Да и ДЬ. Получим:
Л(о„ + Да, Ь0 + Д6) = Л(а0, ЬЛ + Да^+Д&В,, П7.5)
В(оп-г-Да, Ь„ + Щ^В(а0, b€) + &aAs+АЬВЛ. (17.6)
Для сокращения записи обозначено:
Индекс у свидетельствует о том, что в частные производные должны
быть подставлены значения а и Ь установившегося режима, т. е. а^
и Ь0.
Коэффициенты Alt Blt As, Ва являются функциями а0 и Ь0, но
не являются функциями приращении Да и Lb. Подставим правые
части (17.5) и (17.6) в (17.1) и (17.2), учтя при этом (17.3) и (17.4),
ДК+Да) йЬа dibe+Ш dbb
а также то, что -»^!-_ и 'J ' = _.
В результате получим два уравнения:
dbaldt=At Да+BL&b; (l 7.9)
d&b/dt = Аъ&а + ВВД6. (17.10)
Алгебраизируем их:
p&a^Ajba+Bjbb; (17.9а)
рДЬ = Л2&а-г-ВвА&. (17.106)
Составим характеристическое уравнение
pb+mp+q^O, (17.11)
тде
m=—lAt+AJi (17.12)
q^AlBs-BlAi. _(17.13)
В соответствии с критерием Гурвица для затухания приращений
Да и ДЬ необходимо, чтобы
т>0, 0>О. ~ (17.14)
В автоколебательных системах периодические вынуждающие силы,
как правило, отсутствуют, поэтому обычно можно взять 6=0, тТе,
взять колебание в виде a (t) sin cot (см. пример 165). В этом случае
вместо двух уравнении (17.9) н (17.10) будет одно уравнение
d&ajdt^A^a, (17.15)
где
Для устойчивости автоколебаний в этом случае необходимо
выполнение условия Aj<;0.
Пример на исследование устойчивости 'автоколебаний по формуле
(17.15) см. в§ 17.6*.
* Исследование устойчивости вынужденных колебаний иа высших гармониках
я суВгарйониках, процессов в целях с переменными во времени параметрами,
а также исследование устойчивости процессов автомодуляции даны, например, в'|21|.
§ 17.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в генераторе
релаксационных колебаний. Релаксационные колебания представляют собой
автоколебания, при определенных условиях возникающие в нелинейных электрических цепях
с одним накопителем энергии, например в цепи с одной емкостью (без
индуктивности) или в цепи с одной индуктивностью (без емкости)
На рис. 17-3, а изображена принципиальная схема, генератора релаксационных
колебаний. Она состоит из источника постоянной э. д. с. £, линейного
сопротивления R, емкости С и параллельно соединенного с ней нелинейного
сопротивления НС, имеющего в. а. х. S-образной формы.
В качестве НС с такой в а- х- могут быть взяты неоновая лампа или
тиратрон. На рис. 173, б дана схема генератора с неоновой лампой.
Кривая / рис. 173, е представляет собой в. а. х. неоновой ламны, прямая 2—
" " " сопротивления R.
в)
ч
,"м
с £
/1
",
"
Если бы не было релаксационных колебаний, то режим работы определился бы
точкой т нересечения кривой / и прямой 2.
Для этой точки сумма падений напряжений на НС и R в соответствии со вто*
рым законом Кирхгофа равна 9. д. с. £.
Точку т будем называть точкой равновесия. Она определяет режим работы
схемы при прохождении но сопротивлению R и неоновой лампе постоянного
тока.
Убедимся в том, что режим работы, определяемый точкой т, является неустой*
чивым режимом: достаточно ничтожно малого отклонения от состоянии равнове*
сия, чтобы изображающая точка «ушла» из точки т и не возвратилась в нее.
В схеме начнутся релаксационные колебании.
Для того чтобы, убедиться в неустойчивости" состояния равновесия, составим
линейную схему замещения релаксационного" генератора.
Так как НС имеет S-обраэную в. а. х., то в схеме для исследования устой*
чивости оно имитировано (в соответствии с § 173) дифференциальным
сопротивлением Ra и последовательно с ним включенной малой паразитной
индуктивностью, Ln, эашунтирозаниой активным сопротивлением RR0$-
Дифференциальное сопротивление Яд в точке т пропорционально тангенсу
угла а на рис. 17.3, е и является отрицательной величиной.
Источник э. д. с. в схеме замещения рис. 17.3, г ие включен, так как
исследуется поведение схемы в режиме приращений до отношению к режиму, оиреде*
ляемоку точкой т.
Входное сопротивление схемы в операторной форме относительно точек а и Ь
ХмЫ"""•+ R„s+pl„ + К+1/Ср •
Характеристическое уравнение пени
p*LaCR (Ядо6+й„)+Р Р, («+йдоб+Яд)+С№довКд]+Яд0б (й+йд)=0.
Так как рабочая точка находится на падающем участке в. а. х. НС, то
ca-j-co следует, что йДоб>|Ч
Состояние равновесия будет ъ
отрицательным, т. е. при
*.п<гг+йж,б+Яд)+СййдовЯд<0
Рассмотрим последовательность смены состояний при релаксационных
колебаниях.
Пусть в схеме рис. 17.3, б при нулевых начальных условиях замыкается
ключ К- Емкость С начнет заряжаться, и напряжение на ней будет расти
(рис. 17.4, а). Так как емкость и неоновая лампа
ИЛ включены параллельно, то в любом режиме
работы напряжения на них одинаковы. Как
только напряжение на емкости возрастет до величины,
равной напряжению зажигания щ неоновой
лампы, последняя зажжется и ток в ней возрастет от
нуля до /д (рис. 17.4, б).
Емкость быстро разрядится через ИЛ,
внутреннее сопротивление которой мало по сравнению с
сопротивлением R. При этом изображающая точка
на в. а. х. ИЛ переместится из точки 4 в точку I.
В точке 1 напряжение на ИЛ равно напряжению
гашения ее щ, поэтому неоновая лампа-гаснет и
ток в ней становится равным нулю (точка 2).
Далее емкость вновь заряжается до
напряжения Ид, ИЛ снова зажигается и процесс повторяется.
Траектории движения изображающей точки на
рис. 17.4, б образует замкнутую петлю 12341.
Следует подчеркнуть, что если условия
возбуждения колебаний в схеме выполнены, то
размах колебаний напряжения на емкости не зависит от нагрузки fins
определяется только напряжениями зажигания i,
Рис. 17.4
. д. с. Е и
«г ИЛ. Период
колебаний равен сумме времени зарядки и времени разрядки емкости и зависит от
э. д. с. Е, емкости С, сопротивления R и внутреннего сопротивления ИЛ.
Обратная связь в схеме находит свое ныряжение в том, что емкость управляет
режимом работы ИЛ.
§ 17Л. Исследование устойчивости периодического движения в ламповом
генераторе синусоидальных колебаний. Рассмотрим вопрос об исследовании
устойчивости синусоидальных колебаний в ламповом генераторе (см. рис. 15.40). С згой
целью воспользуемся формулами (16.24) и '(16.29).
В соответствии с (16.29) производная от амплитуды колебаний
A (a)=daJdt=OJbaki(i~0,25а»).
В установившемся режиме работы амплитуду колебаний обозначим щ. Для
определения Оо приравняем dajdt нулю и решим уравнение 1—0,25оЗ=0. Отсюда
В соответствии с § 17,4 для исследования устойчивости периодического
движения a sbi св( в автоколебательной системе, на которую ие воздействует внешняя
а вдстотоа ш> достаточно найти знак производной dA(a)/danpu
с=Сд. Если при этой dA (o)/rfe<0, то процесс устойчив. В вашем случае '
(-Т-к-г-0-64'"-0-75051— "»■
Ранее [см. уравнение (16.32)) было выяснено, что a'M>-RC и *i>-0, тан
как только в этом случае амплитуда колебаний представляет собой вещественную,
величину.
Следовательво, {йА fp)/da)ar^a -<0. Процесс устойчив.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение системы, устойчивой в налом, устойчивой в большом,
устойчивой но Ляпунову. 2. Изложите общие основы исследования устойчивости
в малом. 3. Как но коэффициентам характеристического уравнения, составленного
для малых приращении, можно судить об устойчивости системы? 4. В каких
групвах электрических цепей можно ожидать неустойчивых режимов работы?
б. Изобразите схемы замещения НС с в. а. -X. S- в N-типа для исследовании
устойчивости, когда изображающая точка оказывается на падающем участке
в. а. х. этих сопротивлений. Покажите, что для этих схем выполняются условия
ReZ (;и) -С 0 и ReZ (/ш) :>0. Б. Изложите идею исследования устойчивости
вынужденных колебаний и автоколебаний.
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ПЕРЕМЕННЫМИ
ВО ВРЕМЕНИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 18.1. Элементы целей. Электрические цепи с переменными во
времени параметрами представляют собой электрические цепи, в состав
Которых входят активные сопротивления, индуктивности, емкости и
взаимные индуктивности,
изменяющиеся во времени (если
в состав цепи входят хотя бы
одно изменяющееся во
времени сопротивление, то она
принадлежит к рассматриваемому
— классу цепей).
с* г' ^ г> Угольный микрофон —про-
Рис- 181 стейшее изменяющееся
активное сопротивление (рис. 18.1,о).
Сопротивление его является функцией авукового давления,
оказываемого мембраной на порошок графита.
Индуктивная катушка с незамкнутым ферромагнитным
сердечником, который выдвигается из катушки и вдвигается в нее (рис. 18.1,6),—'
пример переменной во времени индуктивности.
Конденсатор, пластины которого раздвигаются и сдвигаются, не
соприкасаясь (рис. 18.1, в), —пример емкости, изменяющейся во
времени.
Две индуктивные катушки L, и Lt (рис. 18.1,"е), взаимное
расположение которых меняется во времени (например, если одна из них
*Г~Ц~1
вращается вокруг своей оси, перпендикулярной рисунку), —пример^,
взаимной индуктивности, меняющейся во времени. •
Изменение параметров цепи во времени- может происходить под
действием внешней механической силы или чисто электрическим путем.
Параметр цепи может изменяться во времени периодически и
непериодически. Рис. 18.2, а —в иллюстрирует несколько различных'
периодических законов изменения параметров.
§ 18.2. Некоторые общие свойства электрических цепей. Несмотря
на то что цепи с переменными во времени параметрами являются
линейными цепями (описываются
линейными дифференциальными уравнениями), они
обладают свойствами, сближающими их с
нелинейными цепями.
Переменные во времени сопротивления,
подобно нелинейным сопротивлениям,
являются генераторами высших гармоник
тока и напряжения. В силу этого в цепях с
переменными параметрами протекают токи
не только тех частот, которые имеют
источник вынуждающей силы и переменная
составляющая сопротивления, но и токи мно- Рис. 18.2
жества других частот.
Благодаря этому в цепях с переменными параметрами при наличии
в их составе индуктивностей и емкостей могут возникать резонансные
явления на высших и низших гармониках при отсутствии гармоник
данной кратности у источника э. д. с.
Обратим внимание на то, что амплитуды отдельных гармоник тока
в цепях с переменными параметрами линейно зависят от амплитуд
остальных гармоник (в нелинейных цепях
аналогичная зависимость нелинейна).
Наряду с этим цепи с переменными во
времени параметрами обладают линейными
свойствами, принципиально отличающими их от
нелинейных цепей. Так, в цепях с переменными во
времени параметрами амплитуды гармоник тока
и напряжения пропорциональны амплитуде
вынуждающей силы. Другими словами, если
э. д. с. источника увеличить вдвое, то и амплитуды токов и
напряжений увеличатся вдвое. В цепях с нелинейными сопротивлениями,
где' имеет место насыщение,- такой пропорциональности, как известно,
нет.
Ранее говорилось, что переменное сопротивление является
генератором высших гармоник тока. Убедимся в этом на простейшем
примере. На рис. 18.3 изображена схема, состоящая из источника
постоянной э. д. с. F. и активного сопротивления, изменяющегося во
времени в соответствии с кривой рис. 18.2, б:
(18.1)
Рис. 18.3
По закону Ома, ток в цепи
; Известно, что функция 1/(1— х) при |xj<:l может быть разло-
' жена в степенной ряд:
1/(1-*)=1+*+хв+хв-Ь ... +х\ (18.2)
Роль, которую играет х в (18.2), в (18.1а) выполняет ft sin со*.
Поэтому при k<£\
(18.3)
Воспользуемся известными из тригонометрии формулами
sin2a= 0,5(1— cos 2a); sinaa =—0,25 sin За -Ь 0,75 sin a;
sin*cc = 0,375-0,5cos2a+0,125cos4a
и объединим слагаемые правой части ряда (18.3) с аргументами
одинаковой кратности. Получим
-£jL-=(l + 0,5Aa+0.375A4+ _)_|_(fc_|_0,25£3+ ...Jsincof-
-<0.№ + 0.5А*+ ...) cos 2шг-(0,25^+ ...)sin3tof+ ...
Таким образом, несмотря иа то, что в цепи рис. 18.3 включена
постоянная э. д. с, а "переменная составляющая сопротивления
изменяется по закону синуса с частотой са, ток имеет и высшие
гармоники (частоты 2ю, Зю). Постоянная составляющая и амплитуды
гармоник тока нелинейно зависят от коэффициента ft, но линейно зависят
от э. д. с. Е.
Обратим внимание тдкже на то, что при ft=j£0 постоянная
составляющая тока в цепи рис. 18.3 не равна E/Re, т. е. в схеме
наблюдается своеобразный выпрямительный эффект.
Энергия, выделяющаяся в виде теплоты в цепи с переменными во
времени параметрами, доставляется не только источниками э. д. с.
(тока), мшеющцмися в цепи, но и теми внешними источниками
(например, механическими двигателями), которые совершают работу при
изменении параметра (параметров) цепи.
Какую долю энергии доставляет источник э. д. е., а-какую дает
внешний источник, совершающий работу при изменении параметра,
для каждой цепи с переменными параметрами следует рассматривать
применительно к конкретным условиям. Доля энергии, доставляемая
внешним источником, может составлять в одном предельном случае
нуль, в другом— 100%.
§ 18.3. Методика расчета электрических цепей в установившемся
режиме. Если переменный параметр изменяется во времени
периодически, претерпевая резкие скачкообразные изменения (см. рис. 18.2, а),
то расчет цепей целесообразно проводить с помощью классического
метода расчета переходных процессов. В этом случае постоянные
интегрирования определяют, исходя из законов коммутации я
периодичности процесса.
Если же переменный параметр изменяется так, что его можно
представить в виде постоянной составляющей и одной или
нескольких синусоидальных составляющих, то расчет производят, применяя
метод гармонического баланса.
Метод" гармонического баланса применительно к нелинейным цепям
был рассмотрен в § 15.49. Основные черты его и здесь те же.
Последовательность расчета такая: искомый ток (или любая другая
величина) изображается в виде ряда Фурье, например в виде
t = /0-j-/u sin tor-b/ia cos Kf-b^sin2<D/-l-/22 cos 2<о/-Ь ...
Полученное выражение для тока подставляют в дифференциальное
уравнение цепи и вцделяют из него уравнение, выражающее собой
равенство постоянных составляющих левой и правой его частей,
уравнение, выражающее собой равенство синусных составляющих левой
и правой частей, и т. д. Каждое из зтих
уравнений в общем случае содержит
несколько неизвестных (/„, /п, /в, /е1, 7^),
но является линейным уравнением
относительно этих неизвестных (в этом отличие
от нелинейных цепей). Далее решают
систему линейных уравнений относительно 1е,
*и> Ла» /ai, /83.
Метод гармонического баланса можно
применять к расчету цепей, содержащих
несколько переменных во времени
параметров (например, изменяющееся во времени
активное сопротивление и изменяющуюся
во времени индуктивность), причем
характер изменения во времени э. д. с. (тока)
может быть по любому периодическому
закону.
Пример 167. В схеме рис. 18 4, а э. д. с. £ и
индуктивность L гостоянны, а сопротивление
меняется в соответствии с рис. 18.4, б. Определить
закон изменения тока в установившемся режиме.
Решение. Так как сопротивление
изменяется периодически, то и ток изменяется
периодически. Обозначим значение тока в момент t 0 через /я. В этот момент
сопротивление цепи скачком возрастает от Ra до Rt и ток в цепи вачннает
уменьшаться. В момент /=т ток принимает значение /х и сопротивление скачком
уменьшается с Rt до Rt- Последнее приводит к тому, что ток начинает
увеличиваться.
В первом интервале времени от *=0 до t=i ток можно представить в виде
суммы принужденного E/R^ и свободного С^еР^ токов, причем pt=—RJL—no-
рень характеристического уравнения цепи pL+Ry=Q; Ci—постоянная интегри-
"зания.
Во втором интервале времени от t=t до *=2т
*=(£ОД+сУ<'-«; pt~-R3!L.
Задача сводится в определению Двух постоянных С± и Ся.
Рис. 18-4
. 'lip* *==0 l=lt, следовательно,
/.=СЕ/К,)+С*. (18-4*
При /==T l^It, поэтому v--
. . H-=WRd+Cxt?«. (18-Б)/
Начальное значение тока для второго интервала' времени /j можно найти н ^
иначе: — , J,
К концу второго интервала времени, когда f=2t, i-=/s, ?-
/«=(£/'?I)+CEe'J■■^. {18.7) *
Приравнивав правые части уравнений (18.4) в (!8.7), лолучии
IEIRJ+С,=(Е/Я,)+С*«*.
Аналогично, ни уравнений (18.5) н (18.6) следует, что
(Е/Я,)+Ся=(£№()+С^р'х.
Совместное решение двук последних уравнении дает:
г од-е"*) . nRfi> ;
Ce=-e+CieP'T; e-X-^. (18.9)
В первом интервале времени i=(E/R^-{-Ciff^, во втором 1"=(Е/ОД +
-J-Сл"1*'-*- Кривая !"=/(() показана на рис. 18.4, е.
Пример 168. В схеме рис. 18.4, г э. д. с. e=E+E,n sin (cof-J-ip); L=L„X
X (1+* sin erf), активное сопротивление Я не является функцией времени.
Определить постоянную составляющую, а также первую и вторую гармоники тока •
(А<1).
Решение, В дифференциальное уравнение
Ri+~(U)=e+E„sb<n>l+iH (18.10)
подставляем ток
f=/(r|WftSinu£-J-'i3C03(>>;-j-/)liSin2(t)f-j'/i2COs2(t)f. (18.11)
Выделив постоянную составляющую, получим уравнение
R10=E. (18.I2)
Равенство коэффициентов при sin и/ в обеих частях (18.10) после подстановки
в него (18.11) в деления на R дает
hi—ala—0№а/й=(Ет!И)соа<(>. (18.13)
Равенство коэффициентов при cos cef (после деления на R) двет
o/u+/ia—0^ой/и=—06/0+-^-Sin if, (18.14) ;
ори einScrf
<А'й+'м—2о/яа=0; ^ - (18.15>
при cosfta*
лМ1а+2о/й+'ю=0; (18.16)
ашьаЩЯ. (18.17) '
Из {18.12) следует, что в схеме рис. 16.4, г постоянная составляющая тока /в
не зависит от переменной составляющей индуктивности я от переменной
составляющей э. д. с. Однако постоянная составляющая потокосцеплення, равная
£0'о+6Д>&-о'ц1 зависит от амплитуды переменной составляющей индуктивности
(&Lg) и ©т амплитуды первой гармоники переменного тока. -
Это свойство в известном смысле напоминает первое на свойств нелинейных
симметричных сопротивлений, описанное в § 15.17.
Запишем
решение уравнений (18.13)
aM+ftN
'" о?+в*
/ss=v'u—Y'ltf
1 -f-4d*—ОДОА
■ л, к
-(18.16):
-Р'п .
a *
Л4=-^-совф W=
•» .
/«=
~ Я
-°
=Y'tf—
sinip—
(1+40^
v/u;
akl&
—аЩ
Изменяя величину постоянно! э. д. с. Ё в схеме рис. 18,4, г, можно
управлять величиной переменного тока.
Щ 18.4. Параметрические колебания. Возникающие в электрических цепях без
источников 5. д. с. и источников тока незатухающие колебания, обуслоплениые
периодическим изменением индуктивности или емкости системы, называют
параметрическими. Колебания поддерживаются- либо ва счет работы механической
силы при периодическом изменении параметра, либо за счет энергии, вносимой
в цепь при периодическом изменении параметра электрическим путем. Частота
первой лармоники параметрических колебаний оказывается в два раза меньше
частоты изменения параметра.
На рве. 18.5, а изображена простейшая цепь* в которой при определенных
условиях возникают колебания рассматриваемого типа. Цепь состоит на линейной
индуктивности L, нелинейного активногЬ сопротивления, отраничивающего
амплитуду колебаний, R {i)=R(,+kP и изменяющейся во времени емкости С=^Са—
— &Ccos2e>t (ДС/С0<1). (Предположение, что ДС/С0<1, принято только для
облегчения решения.)
Сначала рассмотрим случай, когда емкость изменяется механическим путем.
Внешняя сила, совершающая работу при—изменении величины емкости,
доставляет в цепь энергию. Эта энергия равна -потерям в активном сопротивлении.
Запишем уравнение по второму вакону Кирхгофа:
г ^
i-at+KW-
S'*
Ctfl—f^C082»rj
=0.
В соответствии с формулой (18.2) последнее слагаемое представим так:
Подставим в это уравнение »=аяпи(—bcoswt, разобьем его ва синусные и
косинусные составляющие частоты <о (высшими гармониками пренебрежем) И
решим относительно квадрата амплитуды тока о*+$=Ля:
При Л*;>0 колебания существуют; Ла>0 при aj«сю«СОд (рис. 18.5,6);
«о1р8 определяют как корни уравнения Ле=0. При d^=l/(LQ))
Условием возникновения колебаний в этом случае является
Качественно поясним сущность процесса поступления энергии в цепь при
изменении емкости но времени. Энергия, запасенная в электрическом поле
емкости С с варядрм ±она пластинах, 67e=fle/(2C): Если при неизменном ф емкость
изменить на АС (~7Т~"^М' то 9веРгия станет равна
- * -1 * f, дс\
2<С+ДС) 2С V С У"
Приращение энергии
uff" 2C С *
Верхние кривая рие. 18.5, в изображает по синусоидальному закону во времени
изменяющийся варяд д. Средняя кривая иллюстрирует характер изменения
емкости во времени (для простоты рассуждений он принят не синусоидальным, а
прямоугольным). Когда заряд q проходит через максимум, емкость почти скачком
гшеньшается (ДС-СО), когда через нуль, емкость почтя скачком возрастает
ДС>0).
Уненьшенйе емкости соответствует раздвиганию пластин конденсатора, а
увеличение—их сближению. Поэтому, чтобы при q=*qm емкость почти скачком
уменьшить, нужно быстро раздвинуть пластины. Но пластины заряженного
конденсатора притягиваются друг к другу. Следовательно, для того чтобы
раздвинуть пластины, внешний источник энергии должен затратить работу на преодо-
леана сил притяжения пластин. Эта работа переходит в энергию электрического
поля конденсатора. За период изменения q энергия конденсатора дважды
возрастает на величину
Сближение пластин (увеличение С) происходит при q=0, когда силы,
действующие на пластины (силы поля), равны нулю. Поэтому при сближении пластин
внешняя сила не совершает работы-
Поступление энергия в израметрическую цепь при изменении параметра цепи
пазывают накачкой анергии. Рис. 18-5, в качественно поясняет также, почему
частота колебания в схеме рис. 18.5, а в два раза меньше частоты изменения
параметра (емкости). Если емкость стала бы измениться во времени в соответствии
с пунктирной кривой рис. 18.51, в, то энергия в этом случае в цепь не доставлялась
бы (не накачивалась), ибо сколько энергии доставит в пель внешний источник при
474
уменьшении емкости, столько же цепь отдаст ему обратно при увеличений.
Накачка энергии в непь может происходить ни только при изменении емкости,
но и при изменении во времени индуктивности.
Щ 18.5. Параметрический генератор и параметрический усилитель. В
параметрическом генераторе (ПГ) я параметрическом усилителе (ПУ) емкость варьируют
не механическим, а чисто электрическим путем—изменяя емкость диода (варикапа),
находящегося в запертом состоянии. Схема показана на рис. 18.6, а, причем в ПГ
зажимы аЬ закорочены, а в ПУ и зажимам ab подключают источник сигнала
частотой о)с (показано пунктиром). Источник постоянной э. д. с. Во запирает диод-
Накачка энергии осуществляется от источника синусоидального тока *п частотой соа
и амплитудой /нт. Этот ток проходит через Ц и L и совместно с Е0 образует
падение напряжения па диоде ид=—Ец—Ria—L— "- (кривая / рис. 18-6,6).
Чтобы диод был ваиерт, это напряжение должно быть отрицательным. Диод будет
ваперт, если
Зависимость емкости р-я-перехода Сд от напряжения на диоде vs
иллюстрируется кривой 2 рис. 18.6, 6, а изменение емкости Си во времени—кривой 1
рис. 18,6, е. Среднее за период значение емкости Сд сбозвачим Сг.
Схема замещения .параметрического генератора для частоты параметрических
колебаний ©р=Юц/2|=к i/vLCg изображена ян рис. 18.6, е. Вносимая генератором
накачки (источником синусоидального тока) на частоте со„ энергия компенсирует
потери в активном сопротивлении R на частоте тр. Этот процесс можно трактовать
как уменьшение активного сопротивления колебательного контура га во нули
|ср. с ламювым генератором§ 15-55, в котором re=R^- — - =о|. Амплитуда
установивших™ колебаний онределяется энергетическим балансом.
Если допустить, что глубина модуляции емкости Сд т-%1, то, составив
дифференциальное уравнение для колебательного контура L, R, С„ (зажийы ab
ни рис. 18,6, а короткозамкнуты)
3С1(1-т'йп2.,1)""^"+"5"12''р'1
В I —/mpSilKupf,
i подставив в него
получим два уравнения (синусная и косинусная компоненты):
2ирСг Р VlC^
При работе схемы рис. 18.6, а в качестве параметрического усилителя
генератор накачки настраивают на такой режим, при котором вносимая им анергия
.уменьшает активное сопротивление контура ть не до нуля (как это было в случае
с ПГ), адог,< #. Параметры L и С\ подбирают так, чтобы ю£= 1/V LCX- При
этом источник сигнала (источник э. д. с. Ес частотой ю£) вызовет ток Ic=EJra.
Отношение выходного напряжения (на индуктивности) к входному —1££. =
L V L/C,
= ю£ — =— достаточно-велико—схема работает в качестве усилителя.
Допросы для самопроверки
1. Почему можно сказать, что линейные электрические цепи с изменяющимися
во времени''параметрами занимают промежуточное положение между линейными
цепями с неизменными параметрами и нелинейными электрическими цепями?
2. Изложите известные Вам методы расчета цепей с переменными во времени
параметрами. 3. Какие колебания называют нираметричесними? 4. Что понимают
под накачкой энергии в параметрическую цепь? Как ее практически осуществляют?
6. Расскажите о принципе работа нираметрического генератора и параметрического
усилители.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ЧАСТЯМ 1ИЦ
ПРИЛОЖЕНИЕ А
НАПРАВЛЕННЫ! И НЕНАПРАВЛЕННЫЕ ГРАФЫ
Щ АЛ. Характеристика двух направлений в теории графов. Графом называют
совокупность узлов и соединяющих их ветвей. Каждый граф характеризуется
своей топологией, т._е. информацией о том, какими ветвями связаны Друг с другом
отдельные узлы графа н_какОва проводимость (передача) каждой ветви.
Эта информация о связях и провшимостях может быть представлена либо
в аналитическом виде—совокупностью уравнений, либо в графическом виде—
схемой, на которой показаны узлы, соединяющие их ветви, и дана информация
о передаче каждой ветви.
Теория графов—это учение об общих топологических свойствах графов и о
вытекающих на них методах расчета. '
Теория графов представляет интерес для электриков, радистов, а также для
тех, кто работает в области автоматики и телемеханики, кибернетики, теории
информации. Она находит применение и в других областях техники, например
при анализе пропускной способности сложной разветвленной железнодорожной сети.
В соответствии с ген, что информация об электрической схеме (системе) может
быть выражена двояко, теория графов рвзанезлась в двух, хотя и взаимосвязанных
и дополняющих друг друга, но все же достаточно самостоятельных направлениях.
В первом направлении ва основу принимается информация о схеме (системе),
выраженная в виде совокупности уравнений. Во втором направлении аз основу
принимается информация о системе, выраженная в виде некоторого геометрического
образа или остова некоторой электрической схемы (ее эквивалента), ва которой
показаны только узлы и ветви (а иногда и направление передача по каждой ветви).
В первом направлении научение свойств цепей производят путем использования
общих свойств матриц и определителей. Во втором направлении изучение свойств
пеней производят, применяя правила по преобразованию графов либо (что особенно
существенно) используя правило Мэзона-
Несмотря на то что нервое направление исследования в теории графов
(с использованием матричной алгебры) зародилось много раньше второго (первые
работы по нсследованиютопологических свойств цепей путем использования свойств
натрии относят еще ко временам Кирхгофа и Максвелла), -наибольшие результаты
достигнуты на втором направлении, которое начало интенсивно развиваться при-
нерно с 1953 г.
Второе направление в теории графов в свою очередь развивалось двумя
путями: в соответствии с теорией направленных графов (см. § А.2—А.6) и теорией
ненаправленных графов (см. § А.7—А. 12).
I. Направленные графы
§ Д.2. Основные определения. Направленным или линейным графом (графом
сигнала, диаграммой прохождения сигнала) называют совокупность узлов и
соединяющих их ветвей, стрелки на которых указывают направление "передачи сигнала
(воздействия) от одного узла к другому.
Узлами в направленных графах обычно являются токи и (или) потенциалы
узлов исследуеных электрических цепей, а не узловые точки этих цепей, как это
имеет место в ненаправленных графах (см. § А.7—А. 12).'
Каждая ветвь графа характеризуется величиной передачи. Под передачей ветви
понимают отношение выходной величины ко входной.. Так, например, выходная
величина xt ветви (рис. А.1, а) равна произведению входной величины (входного
сигнала} х4 ни передачу о: ха=ох1.
v 47?
Передача ветви может иметь размерность проводимости, сопротивлении или
нулевую размерность.
К тону или иному узлу графа кроме входного и выходного в общем случае
может подходить и от него может уходить по нескольку ветвей. На рис. A.I, б
в качестве примера изображен некоторый граф с узлами О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Передачи ветвей этого графа обозначены буквама а, Ь, с.... Направление передачи
1 казино стрелками.
Под X] будем понимать узловой сигнал первого узла, под ха—узловой сигнал
второго узла и т. д.
Узловой сигнал ft-ro ума равен сумме сигналов, приходящих к fe-му узлу.
При составлении узлового сигнала к узла выходящие из Л-го узла - сигналы не
учитываются; они учитываются при составлении узловых сигналов тех узлов.
к которым эти сигналы подходят.
Так, узловой сигнал первого узла графа рис. АЛ, б. ^=1 • Хя+Лх£ второго
jrana xa=&*a-r.g'xi; третьего узла x3=ff4 и т. д.
Рис. А.1
Увел графа, выражающий собой величину, принятую в изучаемой системе ва
входную, обычно изображают ва чертеже слева., а узел графа, -соответствующий
выходной величине,—справа.
Принято так изображать граф, чтобы от иходного узла отходила только одна
ветвь, а подходящих ко входному узлу ветвей вообще не было.
Аналогично, к выходному узлу должна подходить только одва ветвь
(отходящих от него ветвей не должно быть). Это можво сделать, введя в граф
дополнительные узлы и ветви, передачи которых равны единице. Так, в графе рис. АЛ, б
дополнительными узлами являются узлы I в 5. Между входным узлом 0 в
дополнительным узлом / имеется ветвь с нередачей 1. Аналогично, дополнительный
узел 6 соединен с выходным узлом 6 ветвью с передачей, равной I. Часто узлы,
передача между которыми равна единице, обозвачают одинаково. Так, например,
для схемы рис. А.1, б узел О можво назвать узлом 1 (тогда па рисунке будет два
узла, обозначенных цифрой I).
§ А.З. Переход от изучаемой системы к направленному п>аФУ- Длй того чтобы
от изучаемой системы, например какой-либо электрической цели, перейти к
соответствующему ей направленному графу, применяют различвые методы в зависимости
от того, каким обравом записывают уравнения для этих цепей: на основании
законов Кирхгофа, используя -метод узловых потенциалов или метод контурных
«оков и т. с.
Направленный граф содержит ту Же иаформацию, что и система ураввений.
Только информация атэ выражена графически.
Если ва основу взять уравнения, составленные па основании применения
наконов Кирхгофа, то узлами графа являются токи ветвей и напряжения на эл&
центах схемы.
В том случае, когда ва основу взяты уравнения, составленные по методу
узловых потенциалов, узлы графа будут выражать собой потенциалы узловых
точек схемы и искомые токи (напряжении).
При некотором навыке граф вычерчивают! даже не записывал сами уравнения,
послужившие основой для его составления,
476
Упорядоченный переход от заданной электрической схемы к направленному
графу, минуя этап составления уравнений, рассмотрим сначала, положив в основу
метод контурных токов (переход от рис. А.2 к рис. А.З, а).
Направления контурных токов во всех контурах выбираем одинаковыми,
например по часовой стрелке. Число узлов в графе будет равно числу контурных
токов плюс число не равных нулю контурных э. д. с. плюс выходвая величина-
Каждому контурному току, каждой контурной э. д. с. и выходной величине
соответствует свой узел. Так, схеме
рис. А.2, в которой три контурных
тока /ji, /ga и /и, одна контурная
э„ д. с. н выходная величина—ток /s,
соответствует граф рис. А.З, а, в
котором имеется пять узлов
Узлы /и располагаем в
серединах соответствующих контуров, а
узлы Etk и узел выгодной величины
выносим ва периферию рисунка.
Соединяем нарисозанные узлы ветвями,
указываем на икх стрелки и запн- Рис. А.2
сываем значения передач ветвей.
Каждый узел~/ы соеднвен с узлом Еьь ветвью с передачей *6ft=l/Zftft, где Хць—
собственное сопротивление й-контура. Стрелка на этой ветви направлена к узлу
/fcft Численное значение Еы, может быть н положительным и отрицательным.
Оно положительпо, если суммарная э. д. с. А-контура направлена согласво
направлению контурпого тока 1^. Кроме того, каждый узел 1ы, соединен
с каким-то другим узлом 1рр (если между контурами k и р на схеме есть общая
ветвь) двумя ветвями. Одна ветвь имеет стрелку, направленную к узлу /щ, и
передачу fc*p=Zfcp/Zfift. где Zbp—сопротивление смежной ветви между к- и
р-контурами. На другой ветви стрелка направлена к узлу /рр. Ее передача
bpr,=ZkpfZpp, где Zpp—собственное соп-
- ■ ротивлеиие р-контура.
J JM При согласном направлении всех
контурных токов передачи всех ветвей
между узлами к и р положительны.
По методу узловых потенциалов граф
строят так же, как н по методу
контурных тонов, только узлами графов ив*
У$5 ?5 ляются потенциалы узлов схемы, узло-
-■ " вые токи и выходная величина.
Если в электрической схеме узлы k
и р соединены ветвью с проводимостью
6) Y/tp, а суммарная проводимость ветвей,
сходящихся в узлах кар, обозначена
Рис. А.З соответственно через Y^k и Ypp, то на
графе между узлами ф„ и фр будут две
нетви (рис. А.З, б). На одной из них стрелка направлена к узлу ф^, а ее передача
«ftp^^'ftpfl'ftft- На другой стрелка направлена к узлу фр, а ее передача opft =
= Ykp№ рр-
Обращаем внимание на то, что первый индекс у а указывает узел, к которому
направлена стрелка, второй—от которого направлена стрелка. Если узлы k и р
на схеме не соединены ветвью с проводимостью Y/ip, то и на графе узлы фл и ф_
не соединены ветвями. Узел щ соединен с узлом узлового тока 1^ь ветвью
с передачей ам==1/Уде, направленной к узлу фд. Искомому току /ftp в ветви
с проводимостью Ytp (полагаем его направленным от узла k к узлу р) на графе
соответствует узел выходной величины /ftp.
В соответствии с законам Ома для участка цепи к узлу графа /ftp должны
подходить две ветви, стрелки на которых направлены к узлу 1Ьр. Передача от
узла фй равна YkP, передача от узла фр равна — Ykp- Если какой-либо из этих
узлов заземлен, то этот узел и передача от него будут отсутствовать.
Если граф составляют для цепи постоянного тока, то комплексное
сопротивление Z следует ваменить на активное сопротивление R, комплексную проводи-
кость К—на актнвную проводимость-g, а точки над q>, E, I, свидетельствующие
о синусоидальном характере изменения этнх неличин во времени, не ставят.
Прнмер 169. Со.ставнть граф для лестничной схемы рис. А-2, считая входной
величиной э. д. с. £а и выходной ток /Б-
Решение. Граф рис. А.З, а составлен по методу контурвых токов для
уравнении, записанных в комплексной форме:
-/uZi+/es(Z,+Zo+Z3)-./MZ3=0;
Передачи ветвей иа рис. А-3, а обозначены:
*al ZB+Zt+ZE' Ьп Zo+Zt' bsa Zt+Zs+ZB'
Передача от узла !& к узлу /6 равна 1, так как /5=/ss.
Пример 170. Составить граф или схемы рис. А.2 на основании метода
узловых потенциалов.
Решеняе. Обозначим: Ye=l/Z0\ У±=Щ01 YS=\IZ* Y№= l/(Zt-^ZJ и
Yu—Yo+Yi+Уь Y^=Ya+Ya-i-Yn. Запишем систему уравнении:
ФЛ1+Ф1 (- УЛ=Ё,П-/ш
На рис. А.З Oflel/Kn; Ъг^Уг^У 11= Уя>Уги «ю-КиЛм-*!^»-
Предполагается, что не равен нулю ни один «з знаменателей выражений Ь/,ру
Ьръг Qfepi &ръ пли значений параметров схемы, находящихся в рабочем диапазоне.
Порядок расположения узлов на чертеже может быть любым (о
расположении узлов входа и выхода уже говорилось), однако рекомендуется это делать
таким образом, чтобы их последовательность при движении слева направо в наи-
, большей степени соответствова-
ptj "и ла фектическому прохождению
Когда граф составлен, его используют для определения передачи от истока
к стоку. Входной сигнал называют истоком, выходной—стоком.
Определение передачи графе производят двумя способами: 1)
последовательным упрощением его путем применения правил, рассмотренных в. Jj A.4; 2)
применением общего выражения для определения передачи направленного графа
(правила Мэзона)—см. § А-5. Возможен и промежуточный путь, когда сначала
граф частично упрощают, а затем применяют это правило.
§ А.4. Правила, используемые для упрощения направленных графов.
Познакомимся с операциями ко упрощению графов.
1. Передача последоватеньно соединенных ветвей (рис. А.5, о) равна
произведению передач этих ветвей (рис. А.5, б). Действительно, х^^ах^ х^^Ьх^,. Под-
ставни в последнее выражение вместо х% его эквивалент из предыдущего,
получим JC3=<'&Xi.
а в
а ь aJ> - А \ ° "•- ° 4ь
О—» О—* О О » О Ъ\^У32 X, Хг \ ?
X, Ъ Ъ Ъ Ь ^Г Ч-*-/
«J & б) г) д)
Рис. А.5
2. Передача Hays параллель вых. одинаковым образом направленных ветвей
равна сумме передач этих ветвей (рис. А.5, в, г}.
Рассмотренное преобразование не может быть применено к параллельным
ветвям, стрелки на которых направлены неодинаковым образом. Так, например,
это преобразование не распространяется на рис. А.5, д.
3. Устранение простой узловой точки. Условимся простой узловой точкой
называть точку графа, к которой в общем случае подходят и от ,которой уходят
a) S) в) г)
Рис. А.6
несколько ветвей и которая не входит в петлю обратной свнаи. Простыми
узловыми точками на рис. А.6, а, в являются соответственно точки 4 и 5. Для графа
рис. А.6, а
Х1=ахг; xt=*bx£ хе=ек*.
Следовательно,
Xg—abXjZ xt=acxi. (A.l)
Грэф рис. A.G, б эквнаалентея графу рис. А.6. а. Гш графа рис. А.6. в
хя=вх1+сх£ xt=bxi=abxl-{-bcXi, x3=1dxi=adxi+dcxt. ~
Граф рис. А.6, г эквивалентен графу" рис. А.6, е.
4. Устранение контура иа пути. Граф рис. А.7, а имеет ветвь обратной связи
с передачей с между узлами 3 и 2. Контур,. образованный ветвями Ь в с,
называют контуром на пути (контуром в пути). Простейшими преобразованиями этот
контур можно устранить н граф свести к рис. А.7, б. Для графа рис. А.7, а
хя=ахх-{-сха% xi=bx3r
Следовательно,
x3=abxl-\-bcx3. (А.2)
Ветвь, выходящую из некоторого узла в приходящую к этому же узлу,
будем называть петлей. Петля be из рве. А.7, б соответствует слагаемому Ьсхз
правоК части равенства (А.2).
_а^ ySi^JD*
7
S.
тельво
Из
лучаем
г з
а)
Рис. А.7
* eb 3 t
0
i 2
а)
J
Рис. А.8
Исключение петли. Граф на рис. А.8, а имеет петлю с
можво устранить и свести граф к изображенному на рис
для графа рис. А-8* а можно написать
первого уравнения
xe=axi+cx£, *г=
находим *г=ах1/(1
аЬ
Ьх&.
-И)ш
1)
передачей с. Эту
А.8, б. Действи-
подставляя во второе, по-
(А.З)
Предполагается, что >с|<:1.
6. Замена двух и большего числа петель одной петлей. Петли с передачами Ъ
а с рис. А.9, а можно заменить одной петлей рис. А-9, б с передачей b+с. Эта
вытекает ва следующих преобразо-
$РЛ
=ах±+bxs -J- схш=
= вх1+ф +c) хЛ.
. Схема рис. А.9, б удовлетво-
а) S) ряет этой строчке.
7. Удлинение (растяжение) уз-
рнс д q ла. В некоторых случаях при
преобразовании графов оказывается
полезным удлинить (растянуть)
узел. Положим, что требуется удлинить узел 2 графа рис. АЛО, д. С этой целью:
а) узел 2 подразделяют иа два узла (рис. АЛО, б): ва старый узел 2, от
которого отходят те же ветви, что и в первоначальном графе, и на новый
узел 2', к которому подходят те же ветви, которые в исходном графе подходили
к узлу 2;
б) узлы 2' и 2 соединяют ветвью, передача которой равна 1.
Проверим справедливость преобразования. С этой целью для исходного графа
рис. АЛО, а запишем узловой сигвал в узле 2:
xu=ax1^-cxi.
Узловые сигналы узлов 2' и 2 графа рис. АЛО, б
. х1=ах1-\-сх^ и *г=1-я£.
Таким образом, узловой сигнал в узле 2 остался без изменений. Не
изменились и узловые сигналы в остальных узлах графа.
Рассмотрим два примера на определение передачи графов
путем-последовательного упрощения.
Первый пример иллюстрирует рис. А.11, а—д, второй—рис. А.12.
Положим, что верхняя н нижняя петли g к h рис. АЛ2 отсутствуют в
имеется только петля е}.
Составим передачу от узла / к узлу 2:
1 +
ac-\-bd-\-a]u-\-bec
Учтя наличие верхней и нижней петель и поделив соответствующие члены
ва (1—g) в (1—А), получим
ас bd a}d+bec
, , i-e"*"i-ft + u-/i)<i-e)
/+ i- f
(l-g)<l-AJ
§ A.6. Общая формула для передачи графа. В 1956 г. Мэзон предложил
общую формулу для определения передачи графа. Эта формула является
основной при расчете графов. Прежде
чем перейти к ней, познакомимся
с некоторыми новыми понятиями.
Прямой путь Р—это путь
вдоль стрелок от истока к стоку,
при прохождении которого ни одни
из узлов не встречается более
одного раза.
Передача прямом пути равна
произведению передач ветвей ©того
Между истоком и стоком
графа может быть несколько прямых
путей. Так, например, для схемы
рис. А.13 между истоком (узел 1) e*j-_
и стоком (узел 2) есть два прямых
пути. Первый прямой путь—это
путь по ветвям с передачами а и
Ь. Передача этого пути Pt=ab.
Второи'прямой путь—это путь по
ветвям с передачами с, е, Ь.
Передача его Ря=сеЫ
Ни один из других возможных путей от узла / к узлу 2 в этом графе не
относится к категории прямых путей. Например, путь через ветви с, /, g, e, b ие
является прямым путем, так как на этом пути узел 3 встречается дважды.
В общей формуле необходимо учитывать также передачи петель обратной связи.
Петля обратной связи представляет собой замкнутый путь, вдоль которого
[по кругу] каждый узел может встретиться только во одному разу.
Передачу петлд обратной связи часто обозначают Т с индексом. Передача
петли обратное связи равна произведению передач ветвей, образующих эту петлю.
В графе на рис. А.13 три петли обратной связи: первая петля с 7\=ft, вторая
с Ta=fg, третья с Г8=
сообщая формула для определения передачи графа G записывается следующим
образом:
2 р*&ь
РА + РгЬа+—+РцЬп
<А.4]
где Рд—передача fe-ro прямого пути от истока к стоку; п—число прямых путей.
Определитель &ь равен единице минус сумма взятых поодиночке передач
петель обратных связей, не касающихся ft-ro прямого пути (но эти петли мотут
насаться друг друга), плюс сумма попарных произведений передач петель
обратных связей, пе касающихся друг друга и fe-ro прямого пути, минус сумма
тройного произведения петель обратных связей, не касающихся друг друга и fe-ro
.прямого пути, плюс и т. д.
Определитель й равен единице минус сумма взятых поодиночке передач
петель обратных связей
(касающихся и не касающихся _ друг
друга) плюс сумма попарных
произведений передач петель
обратных связей, пе
касающихся друг друга, минус сумма
тройных произведений передач
петель обратнвх связей, не
касающихся друг друга, плюс
и т. д.
Пример 171. Применить
формулу (А.4) к графу рис. А.13.
Решение. Для первого
прямого пути с передачей Pt=
= ab определитель А, равен
единице минус сумма передач
петель обратной связи, нзятых
поодиночке и пе касающихся
этого прямого пути (Xt+TJ), плюс попарное произведение передач петель
обратной связи, не касающихся друг друга и выбранного прямого пути.
В графе рис. А.13 отсутствуют петли, которые бы не касялись друг друга и
не касались первого прямого пути. Поэтому слагаемые с попарным произведением
передач петель обратной связи, как и взятые по трое (и более), в выражении
для Aj отсутствуют.
Следовательно, Aj=l—-^"x+Tjf, Г1=А; Ta==fg.
Для второго прниого пути Рв=се/; йа=1—7\.
Знаменатель b=i—Wi+Te+Ta)+TtTti Ts=ed.
В выражении для Д вошло произведение Тг и 7*я двух несоприкасающихся
петель графа. Таким образом,
<A.S)
Рис А. 12
Рис. А.13
■'?-&;££?£*■
§ А.6. Вывод формулы для передачи графа *- Положим, что i
узлов. Для любого (ft-ro) узла справедливо уравнение
где хд—переменвая
швейного графа i
(А.6)
* При первом чтении § А.6 можно опустить. Идея вывода взята па кн.; Р о-
Сншс А. и др. Направленные графы, «Энергия*, 1964, ->
Обозначим проводимость ветви, соединяющей произвольным Образом «ыбран-
>е узлы / в k, через /д. Матрвна прсеодиностей ветвей графа имеет порядок я*
"' " *8. - "
Г=
1 hn 'an
(А.7)
Элементами матрицы являются производные
tjb=dhtdxf. (A.Q
Все элементы ft-строки будут нулями, если хь—независимая переменная.
Матрицу-столбец, составленный из переменных хх, хг х„, обозначим \Х\:
(Д-9)
Единичную матрицу порядка п назовем \V\.
Г1 О 0 ... О
^ ГАЛО)
Обозначим матрицу-столбец
нений, выражаемую графом, записывают
О I 0...0 _
.ооо:.. i
переменных q>b=*fe—f*. Систему урав-
1-«и -fa - -'nil
— 'la I—'и — -
(АЛ1)
(АЛ2)
Введем систему уравнений, матрица которой \А\=[£/—Г]:
аа <*1Я "и -.- «1я
«31 <Чл °M -.- «М
Из линейной алгебры известно, что определитель й-матрицы может быть
записан следующим образом:
й=_£<-1)'+/' PW- a»P" °w" <W> (А-14)
Каждый член суммы содержит я множителей. У каждого множителя имеется
по два индекса. Первый индекс соответствует строке, второй—столбцу; /—число
инверсий чисел I, 2, ..., л в последовательности обозначений ее, р, v, ..., п для
первого индекса; /'—число инверсий чисел 1, 2, ...,пв последовательности
обозначений о/, р\ V, .... п' для второго индекса.
'Напомним, что инверсией индексов называют такое чередование индексов,
при котором г>-в. При подсчете общего числа инверсий данного (например,
первого) индекса нужно уложить все инверсии, которые образуются при переходе
от исходной цифры этого индекса ко всем последующим. Так, положвы, что
какой-то индекс, например первый, имеет чередования 461352. Так как за цифрой-*
в этой последовательности следуют цифры /, 3, 2, меньшие 4, то это дает первые
три инверсии. За цифрой € вахолятся четыре цифры: 1, 3,'5, 2, меньшие 6, что
дает еще четыре инверсии.
Все "цифры, стоящие справа от 7, больше единицы, поэтому по отношению
к индексу / инверсии отсутствуют. За цифрой 3 находится цифра 2—одна
инверсия; за цифрой 5—цифра 2—еще одна инверсия. Итого в последовательности
461352 имеется 3-J-4-J-1 +1=9 инверсий.
Вспомним также, что замкнутой последовательностью двух индексов
называют такую последовательность индексов, в которой второй индекс у последнего
члена принимает то же значение, с которого вачал изменяться индекс первого
члена.
Запишем возможные комбинации чередования индексов, образующих
замкнутые последовательности:
Ц, fk, Ы, lx yp, pi; (А15)
if, fi, ..., пт, тр, рп qu, ..., lq. (A.16)
В комбинации (А.15),замкнутая последовательность образована п множите*
лями. Первый индекс изменяется со значения i, а второй—со значения f.
Последовательность является замкнутой, так как у последнего члена второй
индекс принимает то же значение », с которого иачал изменяться индекс первого
члена. Как уже говорилось, /—число инверсий первого индекса, /'—число
инверсий второго индекса.
Для последовательности (А.15) число инверсий второго индекса на л—1
больше числа инверсий первого индекса. Действительно, первый индекс в (А. 15)
имеет нуль инверсий, второй индекс претерпевает п—1 -инверсии, поскольку
более старшие индексы /, k, I, х, .... р (их число равно и—1) расположены до
младшего индекса «. Следовательно, /'—1=п— 1.
Множители в чередовании (А.15) разделены иа k групп. Первая группа
состоит из «*!=2 множителей; вторая группа—из da=3 множителей; последняя
k-я группа—на *+1 множителей. Число всех множителей в (А.16) размо
порядку определителя, т. е. разно и. Поэтому di-\-d3-\-u%-\-...-\-dit=n. Для
каждой группы множителей справедлива формула /'—I=d— 1. Определим,
насколько различаются /* и / между собой для всей последовательности (А.16),
имеющей k групп:
/'-/=di—l+dz— l-Hfs—1-Ь. .-H*ft-l =
={dt+dx+tk+...+db)-k=n-k, '(A.17)
/'=/+/1—k.
В произведении типа (A.J6) могут быть множители, имеющие одинаковые
индексы, например тт. Каждый такой множитель можно рассматривать как
группу, состоящую яз одного члена. Для такой группы d=l и /'=/==0, т. е. для
этой групны выполняется то же условие /*—l=d~ 1, что и для любой другой
группы в (А.16).
При определении знака каждого слагаемого в (А-14) следует учесть, что при
любом числе k инверсия в 2k не спажется на знаке, так как (—1)**=1. Поэтому
в правую часть (А.17) можно добавить 2k. Тогда
/'=/-j-n+fe. (А.17а)
Распространим полученный результат на определитель матрицы (А.12). При -"
раскрытии определителя матрицы (А. 12) имеем дело с произведениями множителей
даух типов. Первый твп множителя—вто 1"=1; второй тип произведение п
отрицательных множителей вида —Uf- Таким образом, для матрицы (А. 12) знак
перед каждым слагаемым определителя зависит от знака, произведения
(—1)'+/'(—1)", т. е. знак, перед каждым слагаемым второго типа определяется
значением 1+1'-\-п. Но с учетом (А. 17а)
(_»)'+/'+и=1—1)'+'+п+ь+"=(—1)2*7+">+*=<—о*. (Але) ;
4Й6-
Следовательно, знак перед каждым слагаемым второго типа определяется
числом групп вамкнутых в нем последовательностей.
Множители второго типа могут быть нескольких'разновидностей.
Первую разновидность образуют замкнутые последовательности типа (А.15).
В каждой из них только одна последовательность чередования индексов (£=1).
Поэтому перед каждым слагаемым этой разновидности в соответствии с (А.18)
следует поставить знак минус.
Вторую разновидность образуют произведения множителей в виде двух
замкнутых последовательностей чередования индексов (k=2). Перед каждым
слагаемым этой разновидности должен быть поставлен знак плюс, так как (—1)*=1.
Третью разновидность образуют произведения множителей с тремя (fc=3
замкнутыми последовательностями чередования индексов и т. д. Таким образом
д=1-£мн-£мя-£л1Э+...
Положим, что выходным сигналом является выходкой сигнал второго узла х^,
а входным—сигнал х^ первого узла. Воздействия иа остальные узлы равны нулю.
Для нахождения х2 составим выражение
Оц Xi ой ... ai„
% 0 % ... aBn
flni 0 On* — Опп
Разложим числитель (А.19) иа слагаемые. Каждое на них после
перегруппировки множителей имеет вид
Xltlbtkjtj» — trr... tpSt£gtqp
и может быть изписано в виде
, где «i—входной сигнал; Pt—произведение множителей, у которых первый индекс
у первого множителя I, а второй индекс у последнего множителя 2.
Следовательно, Рь представляет собой передачу прямого пути иа узла I
в узел 2; А» представляют собой множители, которые иа содержат цифр 1 и 2
фндексов входного и выходного узлов) и всех цифр, встречающихся в индексах
у множителей Рь.
После перегруппировки множители йд представляют собой замкнутые
последовательности, у которых первый индекс первого множителя и второй индекс
последнего множителя одинаковы.
Это означает, что все Дй представляют собой передачи азмкнутых петель, не
касающихся прямого пути Рь между входным и выходным узлами.
Окончательно
X2=Xi-~r . (А.20)
П. Ненаправленные графы
§ А.7. Определение [и основная формула. Ненаправленный граф представляет
собой топологическое изображение самой электрической схемы. Узлы и ветви
этого графа соответствуют ее узлам и ветвям. В ненаправленных графах в
отличие от направленных стрелок иа ветвях ве ставят. Свойства ветвей характеризуют
их проводимости. Передачи ветвей, имеющие размерность проводимости, в
дальнейшем обозначены латинскими буквами о, Ь, с, ... Поскольку каждой пленарной
электрической цепи соответствует иекоторая дуальная ей цепь, то каждому вена-
487
правленному графу, соответствующему Планерной электрической цепи, пожег ак
ответствовать дуальный ему граф. При работе с ненаправленными графами
основной является формули
Правая часть (А.21) по структуре полностью аналогична формуле Мэзона (А.4)
для направленных графов.
Формулу (А.21) используют для нахождения входного сопротивления
(входной проводимости), взаимной проводимости ветвей и др.
Здесь /—ток, протекающий по некоторой выбранной ветвн граф?, по
отношению к которой и определяется входная или взаимная проводимость**;
Вта—напряжение (ток) источника' питания схемы, присоединенного зажимами к узлам т
и я; С,—произведение проводимостей ветвей пути между узлами тип,
проходящего по выбранной ветви; А,.—определитель для системы, полученной на исход»
ной при коротком замыкании {закорачивании) ветвей выбранного пути Сг\ Д—
определитель исходной электрической схемы.
X} ^ \| х^
а) б) В) г)
Рис. А. 14 -^
Число членов 0,ДГ в числителе (А.21) рнано числу возможных путей между
узлами m и и графе. В это число не входит путь от т к п через источник
питания схемы.
Определитель Д мог быть получен как определитель матрицы проводимостей
ветвей схемы, составленной по методу узловых потенциалов. Однако такой способ
подсчета Д довольно громоздок и трудоемок. Дело в том, что при вычислении Д
путем раскрытия определителя упомянутой матрицы пришлось бы иметь дело
с большим числам слагаемых, часть которых имела бы одинаковые абсолютные
значения, но разные знаки (эти слагаемые соответствуют так называемым избыткам
в каждой строке определителя).
Подсчет Д, при котором не возникает взаимно уничтожающих друг друга
слагаемых, осуществляют путем вычисления его как суммы величин всех
возможных деревьев, которые могут быть образованы для данного графа. Под деревом
понимают совокупность ветвей, которые касаются всех узлов, но пе образуют ни
одного замкнутого контура. Остальные ветви графа, пе вошедшие в данное дерево,
называют -хордами. Для простейшего графа рис. А.14, а образуемые деревья
показаны на рис. А.14, б—г.
Величина дерева равна произнедепаю проводимостей ветвей этого дерева.
Величина дерева рис. А-14, 6 равна аЬ, дерева Л.14,-в—be, дерева рис. А.14, г—
ас. Определитель графа рис. А.14, а Д=«Ь+ос+Ьс.
§ А.8. Определение числа деревьев графа. Для определения числа деревьев
графа положим, что проводимость каждой его ветви равиа единице. Тогда все
ветви каждого дерева будут иметь проводимость по 1 и величина каждого
* Произведение С,Д, часто обозначают и ниаче, например Р^Дд {см. формулу
(А.20)] или Ffcijfc. Если это произведение обозначают как ^Дд, то слагаемые
определителя знаменателя формулы (А.21), т. е. слагаемые Д, обозначают как Р^Д^.
** В общем случае роль / в формуле (А.21) может выполнять пе только тои,_
но и напряжение, ' .
дерева также будет равна 1 (произведение единиц равно единице). Если в
рассматриваемых условиях для исследуемой электрической цепи составить матрицу
узловых проводимостей при любом заземленном узле этой цели, то численное
значение, определителя этой матрицы будет равно числу возможных деревьев
графа. '
В качестве примера подсчитаем число деревьев для графа рис. А.14, а,
положив а=Ь=с=Ь.
-U "3-
Хотя внвнпе числа возможных деревьев и полезно, по оно мало что дает для
расчета, так как деревья еще нужно составить и определить величину каждого
дерева. Для относительно сложных схем отыскание возможных деревьев
оказывается делом довольно утомительным и потому иа практике применяют
упорядоченные способы определения Д, которые рассмотрены и § А.9—А.П.
§ А.8. Разложение определителя по произвольно выбранному узлу. Положим,
что к некоторому узлу s подходит п ветвей с проводимостннн а1г да, ,,., а„.
Определитель раскрывается но узлу при помощи формулы
A=2Ie'Ai+£e№A''+ZIe*a*,*u</*-b" -t-*W*—e-atfft... n, (A-22)
где Уajuj=одйд+ЯзДа+ДзДа+...-j-ояДя: Дл—определитель, получающийся из
определителя исходной схемы Путем заворачивании ветви вд и исключения всех
остальных ветвей, подходящих к узлу s прн холостом ходе всех остальных ветвей
этого узла;
%ajaj&l,=a1aa&.13-l-a1aabla+as?hb&+--- %
&br—определитель, получающийся ва определителя исходной системы при
одновременном закорачивании ветвей а& и о, и исключении из схемы (холостом коде)
всех остальных ветвей, подходящих к узлу в;
£лдог*Дде=одоА»+WA* -Ь •-:
&ijk—определитель, получающийся из опредеянтеля исходное схемы при
одновременном закорачивания ветвей I, /, k и исключении (холостом ходе) всех остальных
ветвей, подходящих к узлу s, по которому производится разложение.
Множитель Д(„.я у последнего слагаемого правой части (А.22) представляет
собой определитель схемы при одновременном закорачивании всех ветвей,
подходящих к узлу s '
§ A.IO. Разложение определителя по путям между двумя произвольно
выбранными узлами. При разложении следует выбирать узлы, по отношению к которым
схема в геометрическом смысле наиболее симметрична. Это упрощает подсчеты.
Разложение определителя Д по этому методу производят прн помощи формулы
•Д-£ВД, (A.23)
где Pj—произведение проводимостей'ветвей £-го пути между выбранными узлами;
Д^—определитель А-го пути, подсчитанный по схеме, полученной на исходной при
закорачивании ветвей, по которым проходит k-R путь.
Пример 172. Найти определитель Д даумя методами для одной и той же
мостовой скрещенной схемы рис, А.15, а. -
Решение., Сначала определим Д путем разложения по узлу 1. К этому
узлу подходят три ветви [a, d, f вместо а^, Oj Оа в (А.22)), поэтому
^abe+d&t+tbj+aJ^j+adArt+dlbjj+adtAMf-
Определитель Да находим для подграфе .рис. А.15, б. Он получен из графа
;. А. 15, а путем закорачиванця ветви а и размыкания ветвей й и /; йа=>
tx+cb+d) (попарное произведение проводимостей ветвей см. § А.8). Для опре-
[еная Д^ служит рис, А.1Б, е, для определения Ду—рис. А,15, s; Д^=й/=ДЛ-
с рис. А.15, й—ас
4у=с+е: Aarf/=1-
Таким образом,
b=(a+d-t-F){ce-{-cb-{-be)-i-ad&-l-c)-l-a}{b+e)+dttc+e)-t-adj. (а)
Теперь найдем й для схемы рис. А.15, а разложением по путям между
.узлами I и 4 (зачерненные кружки на рис. АЛб, о). На рис. А.16, б—е
показаны пять возможных путей между узлами I и 4 и соответствующие им подсхемы
(подграфы) для нахождения Д/,.
Л е
д) е) №)
Для первого пути по ветвям а и е Pi равно произведению проводимостей ;
ветвей этого пути: Pi=ae. При закорачивании ветвей о а с подграф представляет 4
собой параллельное соединение ветвей /, с, Ь. Следовательно, Д^=/-}-с-}-6.
а) б) е) \Г г) д) е)
Рис. А. 16
Для второго пути (рис. АЛ6, в) по ветвям /, Ь
P^=fb\ ui=e+e+c.
Для третьего йути по ветви 6 (рис. А.16, г)
ря=4; Aa=(o-be)c+{o-J-e)(f-J-6)+c(/-b6).
Для четвертого пути по ветвям а, с, Ь (рис. А.16, д)
Pt=atib, Да=1,
к как при закорачивании ветвей о, с, b граф вырождается в точку.
Для пятого пути но ветвям /, с, е (рис-. А.16, с)
Pi=fce, й(=1.
Таким образом,
A=%Pi£k=ae<f+c+b)+fbla+e+c}+
+d[(o+e>c4-(a+e)(f+b)+(M-fc)c]+(M*+/a.
Результаты подсчета Д оСонми методами совпадают.
§ А.II. Разложение определителя но произвольно выбранной ветви. Положим,
что проводимость произвольно выбранной ветви графа равна а. Тогда
определитель графа подсчитывают по формуле
Д^аДа+й0, (А.24)
где Дд—определитель графа при коротком замыкании ветви а; Д°—определитель
графа при разомкнутой ветви а.
% A.I2. Применение основной формулы. Как говорилось в § А.7, формулу
(А.21) применяют для определения входной н взаимной проводимостей, передачи
по току, по напряжению и в других целях.
Рассмотрим вопрос о том, как ею следует пользоваться. Обозначим тип
узлы графа, к которым присоединяется ветвь, содержащая источник литания
схемы. В дальнейшем полагаем, что источником питания является либо источник
э. д. с, либо источник тока, поскольку к ним можно свести любой реальный
источник питания. Кроме того, считаем, что источник питания только один. Если
же источники! литания несколько, то следует воспользоваться принципом
наложения, последовательно находя искомую величину от действия каждого из
источников, учитывая при подсчетах внутренние сопротивления последних.
fft в та й__
а) 5) В) г) д)
Рис. АЛ 7
Под Вта в (А.21) подразумевается либо напряжение источника питания, если
в ничестве последнего взят источник э. д. с, либо ток 1тп источника тока.
В качестве тока / в числителе левой частя (А .21) берут ток по той ветви,
по отношению к которой нужно найти искомую величину. Если необходимо
определить передачу от источника питания к некоторой s-fi ветви, то под / понимают
так в 5-й ветви.
Число слагаемых в числителе (А.21) равно числу возможных путей между
узлами тип, причем каждый из них должен проходить по выбранной s ветви
(путь через источник питании не учитывают).
В сумму TJCj.fi,. часть слагаемых может иходить со знаком плюс, часть со
звайом минус, так как СГ может иметь знак либо плюс, либо минус.
Для того чтобы определить, никой зник будет иметь С,, руководствуются
следующим: произвольно выбирают положительное направление вдоль ветви s
(ставят стрелку из ветви s). Если при движении по пути Сг пройдем по ветви s
согласно с положительным направлением этой ветви (по стрелке на ветви), то Сг
берется со знаком плюс, в противпом случае—со знаком минус.
Вычисляя определитель системы Д, следует учитывать внутреннее
сопротивление источника нитаипя схемы. При питании схемы от источника э. д. с. Д
подсчитывают при закороченных узлах тп (внутреннее сопротивление источника
э. д. с- равно нулю). При питании схемы от идеального источника тока ветвь тп,
в которую включен источник, при подсчете Д разрывают.
Пример 173. Определить взаимную проводимость ветви с источником э. д. с,
(подключенной к узлам тп) и ветви с проводимостью е (рис. А.17, о).
Решение. Для учета знака Сг примем за положительное направление
ветви е, указанное стрелкой. Тогда
491
В графе есть два пути между узлами шил, которые проходят через ветвь ё
Первый путь изображен иа рис. А.17, б: Сг=аеЬ. Этот путь берется со знак
плюс, так как при прохождении, его по ветвн е движемся согласно С напра
нием стрелки на этой ветви. Поскольку при закорачивании ветвей а, е, Ь (ветвей
этого пути) граф вырождается в точку, то bt=l.
Второй путь С2 проходит по ветвям d, е, с {рис. А.17, ё). Так как при прсь:
хождении этого пути по ветви с проходим встречно стрелке в этой ветви (ср.:
рис. А.17, б, в), то Сг=~ dec. При закорачивании ветвей d, е, с граф вырожу;
дается в точку, поэтому А,= 1.
Для нахождения определителя системы й закорачкваем узлы тип {схема
питания от источника s. д. с.) и получаем гряф рис. А.17, а. От последнего пере.
ходим к графу рис. А.17, д.
Для вычисления Д графа рис. А.17, д воспользуемся разложением его п
путям ыещду зачерненными точками. Между этими точками два пути: первый
по ветви е, второй—во ветвям {fl-J-c), {fc-f-d)- Поэтому A=e(o-}-c-}-6+d)+;
+ {a+c)(6+d)-l- Таким образом,
£„„ """ Л _e{a-}-c-}-b+d)+{fl-}-c){u-bd) v *' *-■
Для определения передачи схемы рис. А.17, а по напряжению между вход--
ной ветвью {ветвью с источником э. д. с. между уаками твп)и выходной {ё)
воспользуемся тем, что выходное напряжение на зажимах ветви е равно току /вых.
этой ветви, поделенному на ее проводимость. Следовательно, г
^выи^к- Ляд/* аЬ—йс
Пример 174- Рассмотрим, какие изменения произойдут в вычислениях, если,
схема рис. А.17, а питаетсянеот источника э. д. с.,а от источника тока {рис. А-Щ.
Определить передачу во току к ветви е и отношение ннаряженин на выходе (на'
ветви ё) к входному току. Выходной ветвью по- -
прежнему является ветвь е, во ней проходит ток -
/B(JI. Положительное направление для
прохождения по этой ветви то же, что и в примере 173.
Решение. В отличие от примера 173
входной величиной является теперь входной ток /вж. ■-
Поэтому
Числитель правой части (А.26) такой же, как и :
числитель правой части (А-25). Определитель Д в '
Рис А 18 (А.26) отличен от определителя в {А-25) за счетЛ
того, что для {А.25) оп подсчитывался при пита- -
пни схемы от источника э. д. с, тогда как в
рассматриваемом случае оп должен быть подсчитан при питании схемы от источника
тока. Дли подсчета в этих условиях ветвь с источником тока следует считать;
разомкнутой. Определитель для этого случая был подсчитан ранее [см. формулу-:
(а) в § A.10J. Поэтому
/ВЫ1 . aeb—dec
"7^ la+d+f)ifx+tb+be)+adlb-{-c)+aflb+f)-i-d;^+e)+adl- _ ■
Отношение выходного напряжения на ветви е к входному току f
ЦВЬ1Х 1вь,х/е tib—йс .
/В1 "* /В1 1p±d-{-f}(ce+cb-t-be)+adib+t)+afib+e)+d}ic+e)-i-ad} *
Для определения входной проводимости схемы, питающейся от ^источника,
э. д. с, в числителе {А.21) должны быть учтены все возможные пути между уз-ч
лами тип (путь через источник э. д. с. исключается). Так, например, при-
вычислении входной проводимости схемы рис. А.19, а в числителе (А.21) должи
быть взято четыре слагаемых, так как возможны четыре пути между узлами
в л (рнс. А.19, б—ву.
£bi = Д &+*){Й+ё)+{а+ю)с+{((+с)с '
Все Сг в числителе взяты со знаком плюс, потому что направления всех
четырех путей взяты в виде продолжения во часовой стрелке направления
входного тока. Определитель Д (схема питается от источника э. д. с.) подсчитай
в соответствии с рис. А. 19, е.
Пример 175. Определить передачу по току в двойном Т-мосте (рис. АЗО, с).
Схема читается от источника тока /„,. Выходкой ветвью является ветвь g. По
иен протекает
положительное направление которого п.оквзапо стрелкой.
Решение. На рис. А.20, б, в показаны деа 'пути С, и Cg с передачами
ci =acS и Ca=bdg я соответствующие им подграфы для нахождения определителей:
, A,=ft4-e-}-d и Да=в+с-И-.
. ь графа рис. А.21, а найдем методом разложения по ветвям между
узлами I и 2 (зачернены). Между этими узлами имеются пять путей в соответ.
стбии с рис. А.21, б—е.-
Подграфы утих путей изображены на тех же рисунках. В результате получим
/ва, ^СА-Н^А,— acg(b+e+d)+bdg1a+c-t-f)
/в, й ab[1f>+fig+ie+ft1f;+d)+{c+d)e]+ "'
_ +ucBib+e+d)-\-bdg{a-\-c-\-f)
"• +el(a+b)1f+d+8)-i-cge1p-i-b)+^dia+b) '
§ A.13. Сопоставление направленных и ненаправленных графов. 1. В направ--
денных и ненаправленных графах расчет состоит вз простых и наглядных опера--
ций, при проведении которых Мала вероятность ошибки.
2. По сравнению с обычными алгебраическими методами решение системы
уравнений при номощн графов может дать некоторую экономию времени.
3. При составлении определителя системы ненаправленного графе отпадает
необходимость подсчитывать взаимно уничтожающие друг друга слагаемые, кото-
а} В) 6) г) д) е)
Рис. A.2I
рые появляются при раскрытии определителя матрицы проводимостеЙ системы
уравнений, составленных во методу узловых потенциалов. f
4. Преимущество направленаых графов перед ненаправленными—простота
нахождения передачи по (А.4). Однако, поскольку граф в готовом виде не задан,
спачала нужно построить граф й подсчитать передачи его ветвей.
Б. Преимущество венаправленных графов состоит в том, что не требуется
составлять никаких уравнений и строить граф (так нак графом является сама
электрическая схема);' однако олределенне передачи во (А-21) требует несколько
большего времени, чем применение (А-4).
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
МАТРИЦЫ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ
§ Б.1. Основные свойства ынтрип. Матрица—это совокупность "величин,
расположенных в виде прямоугольной таблицы. Чтобы отличать матрицу по
внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки [ 1 или в двойные ;
пфтикальные черты |) |].
Каждый элемент матрицы Часто снабжают двумя индексами: первый соответ- .
ствует номеру строки, второй—номеру столбца.
Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равво'чнслу столбцов,
например
tthi аа Си] |оц alt a„l
(hi On flail = |ва£ "аз «as|.
Oai Пэг "ssJ ll°af °за "ээ|
Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонвли не
равны нулю, а все остальные—нули, например
Г«и 0 1
494 ;
Матрицу, у которой элементы, расположенные по главной диагонали, равны
единице, а все остальные—нули, называют единичной, например
Г1 О 01
14= о 1 о.
Lo о ij
Неопределенной называют матрицу, в которой сумма элементов любой строки
и любого столбца равна нулю.
Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. Так,
. ГЯЛ °ial foil ^lal
матрица [Л1=| I раапа матрице [В}=\ " I, если «ii=fcif, аа=Ь,л
lOgi (^aj Lfcsi *mJ
У равных матриц равны определители. Для рассмотренного примера a17etg3—
— flM"is=friifcM—Ь126и, во из равенства двух определителей еще пе следует
равенства самих матрни.
Операции над матрицани {их сложение, умножение) постулированы из
соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить
(вычесть) соответствующие элементы этих матриц. Например,
L°2( «aaj [Cgi Си] [atf-Hai аю+СцаА
Умножение двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу
строк второй) производится по правилу «"-строка первой матрицы умножается на
А-столбец второй». Для иллюстрации этого правила умножим две матрицы,
элементами которых являются числа:
П 2ПГ5 61 П.5+2-7 1-6-J-2-81
[з 4Д7 8j~[3-5+4.7 3.6+4-8J"
Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что
[А\ [В] Ф [В] \А\, т- е. результирухщая матрица ззнисит от последовательности
расположения матриц сомножителей.
По отношению к матрице [А], если определитель ее не равен нулю, можно
составить обратную матрицу [А\~К Для этого необходимо: а) каждый элемент
исходной матрицы [А] за ненить его алгебраическим дополнением; б)
транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить
транспонированную матрицу на определитель исходной матрицы [А].
Пример 176. Пусть [А\=l"11 °1а|. Определить [А]'1.
\j>si «ad
Решение. Заменва элементы матрицы на алгебраические дополнения,
получим матрицу Г ' I. После транспонировании будем иметь Iе21 u I
L— «и «iij L— «si °iJ
Следовательно,
[«и — «ial
— Oaf gflj
Произведение [А\ [Ау^=Ц\=\.
Для решения уразнення №][£]=[£] относительно-матрицы [В] следует обе
части этого уравнения умножить на MI-1: УЧгЧАЦЩ^ГАУ^К! и учесть, что
1АГЧА\=1. Получни [В]=1И]-«ЕС]. 1 * У
В матричном уравнении [А] [Х]=0 Можно переставлять столбцы в матрице
1А} ори одновременной перестановке строк в матрице fXJ.
§ Б.2. Общая характеристика применения матриц « алектротехннме. МатрИДК-
применяют для: а) сокращенной записи систем уравнения; б) упорядочения ре "'
. . ини систем уравнений; в)^ исследования тод<к
I,*--—\Ig r—-\i$ логических свойств электрических цепей {см./
£ftd-C3-f*—о 1 Ч р # например, [3]), в теории графов, при синтезе
- '- ■ ™™а пп„ пг-пт1,.т,пиянин ЭВМ и т. д.
*1
!7'
t
i
д| . цепей, при использовании ЭВМ и т. д.
1 1^& Упорядочение решения систем уравнений'
1 | при помощи матриц проиллюстрируем на при-
I мере составного четырехполюсника.
■j—Р Пример 177. Составить матрицы [Л,1 и [A j
двух каскадно соединенных четырехполюсник
1 и 2 (рис. Б Л) и матрицу эквивалентного ■'■
четырехполюсника. ~J
Для второго
Решение. Дли первого четырехполюсника
EMS %
ЕМЙ '
в правой части (а) ва его эквивалент нз (б), получим
Матрица двух каскадно соединенных четырехполюсников "' *
Таким образом,
■й-
/i=, -J-ft+i-4.
_ _ в задав* -
покажем на "
§ Б.З. Основы матричной теории графов. Пронумеруем ветви н узлы
ной схеме. Тан, в схеме рис. В.2„ а 4 узла и 6 ветвей. Произвольно пок..,„ „,
них стрелками полсатятельные направления отсчета токов и напряжений. ВыберейЧ
одно на возможных деревьев в схеме (рис. Б.2, б). Ветви изобразим сллошныыид,-
» хорда—"пунктирными линиями.
Фундаментальными контурами называют контуры, в каждый на которых
входит только по одной хорде. Так, для дерева рис. Б.2, б имеем три контура
а, в, с на рис. Б.2, е.'
Матрицей фундаментальных контуров |ЛГ] называют таблицу нз чисел 1
-—1,0, в которой строки (индекс 0 соответствуют контурам, а столбцы (индекс/)—'
ветвям.
Если при обходе 1-го контура стрелка на ветви направлена согласно с обхо->
дон контура, то в соответствующей клетке таблицы ставят 1, если встречно, т*^
— 1, если ветвь не встретится—0. Для рассматриваемого призера, обходя,
контуры по часовой стрелке, валищем
1 2 3 4 5 6
Контуры
ар 0 0 1 — I 01
[К]=6|0 —110 1 01.
ell — 1 О 0 О — 1J
Матрицу [К] вспользуют для записи уравнений по второму закону Кирхгофа.
Для того чтобы от заданной схемы прийти к выбранному дереву, например от
рис. В.2, а к рис. Б.2, 6, необходимо отсечь часть ветвей, т. е. сделать их
хордами. Каждая ветвь отсекается в двух местах около узлов, к которым она под*
ходит. В примере нужно сделать три отсечения (показаны кружками на рис. Б.2, а, б
я обозначены цифрами I, II, III).
Рис. E.S
Матрицей отсечения или tQl-ыатрнпей (|>4]-ыатрицей) называют таблицу,
составленную на чисел 1, —1,0 так, что номер строки I соответствует номеру
отсечения, а номер столбца /—номеру ветви. Если /-ветвь рассекается f-отсече-
вием (кружком) и стрелка на ней направлева внутрь этого кружка, то в
соответствующей клетке таблицы ставят 1, если ва кружка, то —1, если ветвь не
ватронута отсечением —0. Для рассматриваемого примера
12 3 4 & 6
Отсечения
If—I 0 0 I 0—11
Ю]= III 0—1—1 О 0 1|. (а)
Ш|_ 0 0 l—1—l 0J
С помощью [QJ-матрнцы удобно записывать уравнения по первому закону
Кирхгофа. Ее используют также для записи уравнений по методу узловых
потенциалов и по методу контурных токов.
Известно, что с каждой исходной схемой можно сопоставить дуальную (см.
§ 3.43). Если узлы дуальной схемы взять соответствующими фундаментальным
контурам исходной, то [QJ-ыатрица дуальной схемы и [KJ-ыатрнца исходной схемы
будут одинаковы.
Кроме [/С]- и [QJ-матриц в матричной теории графов используют fAf]- и [#>
матрицы.
[Щ-матрицу, ила матрицу контуров, составляют так же, как и |/С]-матрнцу.
но для всех возможных контуров схемы,
17 Зек. 1вбв ' 497
\Н}-мащпщд% иле патрицу ияциденций {узловую матрицу"), составляют
же, как в [QJ-ыатр'ицу, во дни всех узлов схемы. *■'
Запись уразнении связи напряжений и токов не ветвих через сопротивлеан'
ели проводимости ветвей в комплексной или операторной формах, т. е. aanecv
уравнений во азкону Ома, осуществляют при помощи матрицы полюсных уравне-
. Пий (название обусловлено тем, что каждая ветвь имеет два зажима или полюса).-;
Схема рве. В.2, е повторяет схему рис. В.2, а. В ветвях f к 5 включевц.
источники а. д. е., в ветви 6—источник тока, а в'остальных—активные сопро-"
тивления. Для них имеем Кя/8=£/г-, Rgf3=Ut; RJt=Vi. С помощью матрицы
полюсных уравнений эти соотношения запишем как
и» о о] Г/Л [ия
О Яв О. /, = Ua
(
При решении электротехнических задач за основные обычно принима
уравнения для напряжений вдоль фундаментальных контуров—алгебрзнческа '
сумма напряжений вдоль каждого на них равна нулю, либо уравнения дл
токов, составлен ние для отсечений,—алгебраическая сумма токов для наждого
отсечения разна нулю.
В процессе совместного решения уравнений полезно разделять матрицы не
подматрицы или блоки, с тем чтобы одну группу токов или вниряженнй вира-'
жать через другую (одну группу неизвестных через другую). Для образований
необходимых подматриц переставляют строки и столбцы матриц. ,
Пример 178. Для схемы рве. Б.2, г, полагая известными Vf, Uh, /e, fis, R
Hit составить уравнение для определения токов /х и /в и напряжения £/„((/«; —
Решение. Используя |/С]-натрвду, запишем равенство нулю напряжена
вдоль трех фундаментальных контуров рис. В ,2, е:
2 3 4 5 6
0 0 1—1 (У
-110 1 О
-10 0 О — 1.
Переставим строки и столбцы так, чтобы можно было выделять подматри
6 6 2 3 4
1 О! —1 I 0-
' ■ О 10-1 1 О]
I —| 01 О 0 1 '
_1 0 1> ) 0 oj
[О 1 О-JjTfr-I Г—" I О^ПТ!
1 -1 О \\иЛ Ы О О 1 U, =0.
Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов, охваченных
отсечениями I, II, III на рис. Б.2, а, используй [С]-матрицу:
Переставим строки в столбцы в (г) так, чтобы не требующиеся по условию
задачи токи /t, /8, /д можно было выразить червз 1±, /Е, /<:
ГО О 1—1 О -Г|
I —1 —I 0 0 О 1
L О 1 —I [ 0 — I oj
/■ — "^ 1 о о о -1 /в .
_/J Ь -I u и> 1 oJL/J
Заменим матрицу
TV
уравнении (в) иа ее эквивалент из (б) в в
полученном выражении матрицу 1 /а I заменим на правую часть (д):
Г О 1 0-jjTVl Г—1 1 °1ГЯв ° ° "(Г0 ° —1"[~1
1 — 1 0 \\ил - 0 0 10 Ri О 1 " ° X
L—I о Uii/.J L 1 о oJLo о rJLo —1 ij
*Е i -illlh -
го о —1л-1 г 1 i П
1 1 0 •= — 1 О —II.
|_0 —1 lj L—1 О °J
Последовательно умножим четыре матрицы- Окончательно
Г"<1 Г_<R■+'i^, -(«■+">> ■
и 1 о -и,~\ --(К,+Я
1 _1 о г, _ _R,
-1 0 1_)_и,1 L К,
-Я.
о JU.
Черев матрицу отсечений [<Д, диагональную -матрицу прсводимостея схемы.-
Ig] я транспонированную матрицу отсечений {Q]T можно определить узловую -
матрицу проводнмостей [G]*, используемую для записи урапнений узловыж
потенциалов:
|ог-каш(о1т-
Наппвмео для схемы рис. В.2, а, полагап, что проводимости ветвей l-=jS ,
' Г . - ^ Г- ™^„.„, u nMllUlUnni. Ill П 11ТП уЗСЛ /JJ
|0Г-И11йМт-
.:-п
-1 Oj
-1
—Й ft+ft-f-fie-
Если учесть, что матрицу узловых токов в методе узловых потенциалов [1р _
можно записать в sue—|Ql|li]T-b|Q]fj]|£]T. где (/* Г -транспонированная
матрица—строка токов ветвей с источниками токов Ib, шунтирующими ветви я,
[£]*—траяспонирозанная матрица—строка э. Д. с. ветвей, то уравнения по методу
узловых потенциалов можно авписать и так: .
10] Ш ГС]Т 1Ф1 Ю l'*]T+l« И l£JT»
где |ф]—матрица-столбец узловых потенциалов.
Аналогично, матричное уравнение но методу контурных Токов можно записать .
в виде
[*п и i*f m-рп ит-1К1 и [/*iT-
Здесь [/(]—матрица фундаментальных контуров; [г]—двагонвльная матрица
сопротивлений ветвей {матрица полюсных уравнений); [К 1Т— транспонированная
[/С>«атрвца, [i:JT—транспонированная митрица—строка s. д. с. источников
э. д. с. ветвей. Со знаком плюс топ источника тока 1к входят в [/ц] , если по
шунтирующей его ветви к он дает топ, согласный со стрелкой на ней.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
<■
ИССЛЕДОВАМ6: ПРОЦЕССОВ В НЕЭИВСТРИЧЕСКНХ СИСТЕМАХ
НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ-АНАЛОГАХ
Исследование процессов в неэлектрическйх системах (механических, акустн- -
ческкх, тепловых гидравлических и др.) или в частично неэлектрическйх
(например, и электромеханических) часто производят из электрических моделях-аналогах. •
Стремление использовать для этой цели электрические модели объясняется
тем, что: I) электрические нараметры можно легко изменить в широких
пределах; 2) токв и вапряження можпо измерять с большой точностью; 3) токи »_
напряжения относительно просто записать на осциллографе. В качестве веэлектрв>.
ческих будем рассматривать механические системы.
«еиинческие системы подразделяют на системы поступательного,
вращательного и поступательно-вращательного движения. JS каждой ва этих систем могут
быть активные и пассивиме элементы.
Активными являются источники силы / и источники скорости v для систем
поступательного движения и источники вращающего момента М и угловой
скорости т для- систем вращательного движения.
^ Пассивными являются элементы упругости, трения и массы. Как и при
рассмотрении электрических цепей, эти элементы часто идеализируют, например
считают, что идеальная пружина обладает только упругостью и пе имеет массы.
Для заданной механической системы сначала составляют схему замещения*
а затем, используя аналогию между механическими и электрическими величинами
{о которой будет сказано далее), («разуют электрическую схему-аналог, которую
к подвергают исследованию (экспериментальному или теоретическому).
Перед составлением схемы замещении механической системы необходимо:
1) выбрать систему отсчета для сил и скоростей (или соответственно для
вращающих моментов н угловых скоростей);
I Г I* У'' I Г Ь I'"
В) В)
Рис. В.1
2) соединить между собой узлы, имеющие одинаковую скорость или
одинаковую величину смещения;
3) соединить неподвижные узлы в один узел;
4) иа схеме замещения между соответствующими узлами изобразить активные
я пассивные элементы, имеющиеся в научаемой системе.
Рассмотрим простейший пример.
Механическая система рис. В.1, а образована телом массой т, опирающимся
ни пружину упругости S(S=lfe, где е—податлипость). На тело действует
внешняя сила /(<), являющаяся функцией времени i. При движении тела в
вертикальном направлении возникает вязкое трение о среду. Сила вязкого, трения
пропорционваьна скорости v перемещения тела. В схеме всего два узла:
подвижный а в неподвижный Ь.
Выберем положительное направление для отсчета величины перемещения
тела х, считая за исходное положение тела при отсутствии силы /(f).
Положительное направление для скорости v показаво на рис. B.I, о. Схема замещения
изображена иа рис. В.1, б. В ней четыре ветви. В первой включен источник
силы /*), но второй-^- масса т, в третьей—идеальная пружина упругости S, в
четвертой—сопротивление треняя гтр.
Для схемы замещеная составим уравнение но первому закону механики.
Соглисно этому закону, сумма всех внешних сил, действующих в некотором узле,
должна быть равна сумме сил реакций в этом же узле. В узле а -действуют три
силы реакции: /m=m-^- — реакция системы, обусловленная силой инерции;
/*=*— 1 vdt— реакция системы, обусловленная деформацией пружины; /тр =
fm+ta+fv-t® ИЛЯ «г' + -Нв*+'ч*-/Ю-
Между отдельными элементами механической системы и элементами соотв ^
нующей ей электрической модели (системы) может -быть аналогия двух типов/
в соответствии с тем. что для наждой электрической цепи может быть составлена?
дуальная ей цепь. '-
В первом типе аналогии сопоставимыми величинами являются: сила f-*-
напряжение ы, скорость и—ток (. масса т~индуктивность L, податливость-
пружины е—емкость С, сопротивление трения Гтр—электрическое сопротнвд&-г
Во втором тапе аналогий сопоставимыми величинами являются: сила /—тш>&
скорость о—напряженке ы. масса т—емкость С, податливость с—индуктивное^
L, сопротивление трения гтр—электрическая проводимость С. \
На рис. В.1, в изображена электрическая схема по второму типу аналогий*
соответствующая схеме замещения механической системы рис. В.1, а. Для лее ;
■c+'l+<d='». иля
C^ + ±§udt+Gu=Hl),
где ы—напряжение между узлами а и Ь.
Закон изменения напряжения и во времени в схеме рис. В.1. в соответствует
закону изменения скорости о в системе рис. В.1, а, если параметры электрической,
схемы соответствующим образом подобраны.
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
,. § Г.1. Случайные процессы. Корреляционные функции. Положим, что есть -
/несколько систем, находящихся в одинаковых условиях, и в них происходят
в принципе одинаковые процессы. В си- '
лу влияния на процесс различных
случайных факторов, имеющих
вероятностный характер, процессы в системах
могут несколько отличаться друг от друга.
В результате наблюдения можно
установить, какая величина при
фиксированном моменте времени / является наиболее
вероятной.
Плотность вероятности случайного
процесса обозначают IP (ж. ()■ Она
выражает собой вероятность того, что в
момент- времени t значение величины х
находится в интервале от х до x+dx.
Функцией распределения F(x) называют
вероятность наступления события, при
котором значение величины, ж.
характеризующей это событие, находится в ин- .
тервале от —со до х.
Случайные процессы могут быть
разделены на стационарные и
нестационарные. Стационарными называют
случайные процессы, для которых все функции
распределения ие зависят от изменения ■
начала отсчета времени. Для неагшцио* •
парных случайных процессов функции:
ряс> r_i распределения зависят от времени.
В качестве примера на рнс. Г.1, а, б'
изображены кривые некоторого стацио-'
парного случайного процесса. Для этих кривых вероятность
возникновения колебания с некоторой амплитудой остается той же, если сдвинуть начала
я Mm/UvJu
отсчета времени. Иная картина имеет место на рис. Г.1, в, е. изображающих
кривые х Р) для некоторого нестационарного случайного процесса.- На рис. Г.1. в
начиная с некоторого момента времени ж (г) неограниченно возрастает, а 'на
рис. ГЛ. е—стремится к нулю. Ясно, что для этих кривых сдвиг начала отсчета
времени изменяет вероятностные зависимости.
Для стационарных случайных процессов среднее по множеству
(обозначается х) равно среднему по времени (обозначается (ж)), т. е. х= (х).
Это положение называют аргодической теоремой (гипотезой). Эргсдическая
теорема служит основанием для того, чтобы, обрабатывая всего одну на
временных зависимостей х ((), полученную экспериментально, судить о статистических
свойствах всех зависимостей ж(() при
стационарном случайном процессе в изучаемой
системе.
Для характеристики стационарных
случайных процессов x(t) вводят
автокорреляционную н взаимную корреляционную функции.
Автокорреляционная функция R (т)
является мерой взаимной связи функции x{f) и
функции xlt+t), смещенной по отношению к х{1)
на время т:
■г/41
о)
£Lh_
R(i)= lim
1
-т)=
в (Г.1)
*
I)
м
1-
«
t, t
т
' i
ю
Дт
— г
Свойства Я(т):
1) Я№— функции четная, т. е. R{—
=Д (т) [в этом можно убедиться, введя в
новую переменную (i=f+t);
2) если х{1)~-функция периодическая, то
для нее R (т) может быть представлена в виде
суммы автокорреляционных функций от
постоянной и от синусоидально изменяющихся
составляющих;
3) если в хЦ) имеются гармонические
составляющие, то R (т) ие содержит
информации о начальных фазах гармонических
составляющих;
4) для х (() без постоянной н гар'моннческнх составляющих R (т) *
при т.=0;
5) для случайных функций времени без постоянной н гармонических
составляющих R (т) уменьшается с увеличением т н уже при сравнительно небольших т
стремится к нулю [объясняется это тем. что для чисто случайного процесса
значение х(*+т) уже при относительно небольшом т не зависит от того значения,
которое имела эта функция х(() в момент времени f\.
Взаимной корреляционной функцией RXf,(t) двух функций времени—х(г) и
f/ (г)—называют функцию, определяемую следующим образом:
Рис. Г.2
Ч'Р W = у1^ 2Т $ * М » <'+т) *"
Функция &ф(т) является мерой взаимной связи двух случайных функций
времени.
На рис. Г.2, а изображены две произвольные функции времеви: х (i) н g (Q,
которые позволяют наглядно пояснить свойства функции Rxjl (т).
1. Функция RXu{i) зависит от того, сдвинута функции ytf) на +1 или на
—г, т. е. Кед(-^)эЬДэд(т).
Если всю кривую у (г) рис, Г.2, а сдвинуть на +т влево, т. е. взять
функцию y(f-r-T), то произведение х(г)у((+т) будет равно нулю для любого t,
а значит, д^(т)=0. Если же всю кривую »(Q рис. Г.2, а сдвинуть на —1
вправо, т. е. взять функцию у (f—*)• то на некотором интервале времени прояэ-
ведение орднввт кривых *(() и </(*—■<) ие будет равво нулю. *
2. Сдвиг функции у{1) влево на т дает тот же результат, что н опшпГ-,
функции дг(0 вправо на —т. Поэтому RXJ/(x)=Ry:r{~*). V
3 Для случайных функций времени х(() и y{t). ие содержащих постоянно* ;
и гармонических составляющих одинаковой частоты (для некоррелированных*,
функций), Rx]iii)=0. V
Б Г.2. Прямое и обратяое преобразования Фурье для случайных функцивг1
времени. К случайным функциям времени и к их корреляционным функция*! -
грименяют преобразование Фурье. Так как в общем случае случайная фуикшау
времени *(() или ее корреляционная функция может и ие стремиться к нулю-
при /-»-:£ со, то, для того чтобы к ним можно былочприменить преобразован
Фурье, поступают следующим образом: преобразование Фурье применяют к фувк- '
ции х, (Л, которая ие равна нулю в интервале от —Г до +Т в равна нуДО
вне этого интервала. Еслн затем Г-+со. то x,{t) будет стремиться к x(i).
я Фурье-нзображекие функции *i(0 будет стремиться к Фурье-изображению. ■
функции х((). '
Подобное рассуждение может быть проведено и по отношению к Фурьа-
отображению корреляционной функции.
Фурье-изображением автокорреляционной функции Rx С1) называют
Но
Я. (т) «-***=Rjtfr) (созют—/ sin ©т).
Если учесть четность Rx(i) н cos «я и нечетность sin «я, то
Sx{&)=2iRx{T)cosmdx, (Г.4)
где Я*(ш)—спектральная плотность случайного процесса, которая-
обладает следующими свойствами: 1) действительна н положительна при всех частотах;
2) четная; 3) так же как и Rx{v), ие содержит информации о фазе гармоник,
если таковые содержатся в х (().
Зная S*{n>)- можно онределить актокорреляционную функцию
-Кто
-±S«.
Если на четырехполюсник с передаточной функцией /((/*■>)• модуль которой.
К (<">), воздействует свучайная функция спектральной плотностью 5ЛВ1(ш), то-
спектральная плотность величины на выходе четырехполюсника {вывод опускаем);-
S*BU1 «■>)=*С (о) Sx „ (и). (Г.ф;
§ Г.З. Белый шум и его свойства. Представим себе прямоугольный вмпуЛ.
весьма малой, в пределе бесконечно малой длительности (рис. Г.2, б). Нетру
убедиться в том, что для него Ях{*)фО только при т<1 ± -g-l. Виеэтогов -\
тервала Дл{т)=0. Из предыдущего ясно, что если Дд(т)=^>0 только при оч ■ < -.
малых Т, то процесс, которому соответствует эта функция, является
Положим теперь, что Д_,(т)=е а'Ч, где а очень велико, поэтому Д»(-
очень быстро спадает в функции t no закону экспоненты (рис, Г.2, л). На
Sjt (ю) для втого случая. По определению,
S,(q)= j «jr(T)e-'6rtdT=2Ref J^{T)e-/urtdT=
На рис. Г.2, г начественво построен график $х [и), полагая, что к очень
велико.
Если а очень велико, то влияние afi на значение вваменателя Sx (и)
сказывается только при очень больших ю, соизмеримых с а, т. е. спектральная
плотность Sx (to) кратковременного игольчатого импульса постояние в очень широком
диапазоне частот.
На основании изложенного ыожво сказать, что чем уже импульс (чем он
короче во времени), тем шире его частотный спектр.
Белый шум представляет собой совокупность множества беспорядочно и без
всякой связи следующих друг за другом игольчатых импульсов (рис. Г.2, й),
амплитуды которых имеют случайный характер и подчиняются нормальному
закону распределения вероятности, при котором плотность распределения
вероятности
где коэффициент а—математическое ожидание; коэффициент о—дисперсия.
Так как спектральная плотность каждого импульса постоянна в достаточно
широком диапазоне частот, то и для белого шума 5л.(ш)-=сопз(.
§ Г.4. Источники внутренних шумов в электрических цепях. Активные
сопротивления, электронные лампы, транзисторы, магнитные усилители и многие
другие элементы схем являются источниками
внутренних шумов. Э.д.с, которыми можно в
расчетном смысле эквивалентировать вти шумы, обычно
очень малы и составляют часто несколько
микровольт. Бели шумящие элементы схем включены на
вход усилителя, имеющего очень большой
коэффициент усиленяя, то шумы ограничивают порог
чувствительности схемы н с ними приходится
считаться* '
Активное сопротивление как источник шума.
Вследствие хаотического теплового движения
электронов в неквторын момент времени на одном
конце сопротивлеяиа^вбраэуется избыток влектроиов,
" "(К—недостаток. В смежный момент времени может возникнуть об-
На концах екганного сопротивления как бы возникает нёкото-
f. возникающий в активном сопротивлении R (Ом), является белым
шумом и нмеет спектральную плотность
S,,, (to)=2kTR.
гдв А—постоянная Больцмана, равная 1,38.10"» Дж/град; Т—абсолютная
температура сопротивления.
Шумящее сопротивление в расчетном смысле эквивалентно схеме рис. Г.З, с,
В ней последовательно соединены вешуиящее сопротивлевш в источник э.Д-С,
Квадрат напряжения этого источника
С^1=-5ш(ю)Лш/я=4АГДй/.
Через До» обозначена полоса пропускания усилителя, ва вход которого-вклю--
*чено шушАцее сопротивление (Аш=*2лД/).
Дробовой эффект в электронной лампе. Эффект испускания электронов нитью'
вакала лампы носит случайный характер. В некоторый момент времени нз нити
накала вылетает больше электронов, в смежный с ним момент времени—меньше.
В результате анодный ток при отсутствии сигнала на сетке лампы непостоянен и
имеет некоторую переменную составляющую, которая колеблется около среднего
значений анодного тока.
Эффект называют дробовым, так как он напоминает шум дробинок при их
ударе о мишень. Шум, вызванный дробовым эффектом, также является белым
шумом, спектральная плотность которого не заянсит от частоты. В расчетном смысле
дробовой эффект учитывают, включна в сеточную цепь лампы (рис. Г.З, б)
некоторое сопротивление К=Ят н источник э.д.с. напряжением Um: V^i=4kTRAf.
Для маломощных триодов пользуются формулой ftn=(2-J-3)/S кОм, где S —
крутизна характеристики лампы, мА/В. Для многосеточных ламп Ra, значительно
больше, чем для триодов.
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОННЫХ И ТРАНЗИСТОРНЫ* СХЕМ
«МЕТОДОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОЙ МАТРИЦЫ
И ДВОЙНОГО АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ДОПОЛНЕНИЯ
Метод основан на использовании неопределенных матриц проводимостей
элементов схем, составлении неопределенной матрицы проводимостей всей схемы,
получения на нее укороченной матрицы путем вычеркивания столбца и строки,
соответствующей заземленному узлу, и применении выведенных далее формул для
подсчета искомой величины. Рассмотрение метода начнем с вывода формул
У-параметров транзистора;
9 ')
Рнс. Д.1
8 Д.1. К-тгаранетры транзистора. Составим уравнение но негоду узловых
потенциалов для узла 8 схемы с общим эмиттером рис. Д.1, а {см. рис. 15.23. б),
полагая Ув=*1/ОД
Y.-UR,: ''•-<№)-Н<»С«.
Точки 1, 2,3 имеют потенциалы ф[, фа, ^а, а точка О имеет нулевой потенциал)
Wt+Y.+yj-tiYe-W.. «7„|
'.■—чтГ.;
где a—Y6+Y^+Y,lf—ay,
'i-(<h-4^*«-'fc^|l'«+T-,(l-41-9,i!ji.
В свою очередв,
Сопоставляя два последних уравнения с уравнениями четырехполюсника
в К-форме и заменяя индекс I на б, индекс 2 на к, получим
гк-га-г'<У-+™-*Я .. yc,=y„=^Mil.
Порядок величин для низкочастотных маломощных транзисторов следующий:
У66 = 10"» Ом"', YKK=M • 10-е Ом"';
Убх=— Ю-»Ом-1, Kb6s=32-10-»Om-i.
§ Д.2. Неопределенная митрнца. узловых п|Юводаюстей трананстора.
Представим трананстор трехполюсником (рйс. Д.1, 6) с зажимами Б. К Э. Токи /6,
/g, /s направим соответственно к зажимам Б, К, Э. имеющим потенциалы tpg, ф,,,
фэ. отсчитываемые от нулевого уровня О.
Составим выражения для токов /6 и /к, а выражение для тока L получим,
учитывая, что /б+»в+'э=0:
-*б= У 66 (Фб -*Ps)-f Ye* (Фк-Фэ);
U-Ул (Фв-«Р»)+Yss (Фк-Ф,);
/s=—{Уы+УлдЪ+Рея+Уащ+Ушя+УюдЪ-ОГь+УщЛвь,
Эта система урзаиеннй в матричном виде запишется так:
1П=1У]№
Уеб , ~(Убб+Уб*) У б*
^(Уя+Ужй Уа+Уош+Уа+Ушж —(Уъ+Уюд
У*б — (Ул+Уюд YKK
— неопределенная матрица узловых проводимостей.
В неоп[>€яелениой матрице сумма элементов любого столбца и любой строки
разна нулю. Па нее получают укороченную матрицу, вычеркивая тот столбец
и ту строку, которые соответствуют заземленному узлу схемы.
$ Д.З. Неопределенная матрица узловых проводкмостея аяектронной лампы. На
рис. Д.1, в изображена схема, соответствующая схеме рис. 15.30, в. В вей имеются
три узла (С, A, if), две проводимости: fiu[=g| н gcs—внешняя проводимость
между сеткой и катодом (в частном случае она может отсутствовать).
r№=-4>J-S№.-W-
Источник тока
Тохн. подтекающие и узлам /с, /„ 1К, выразим через потенциалы и проводимости:
/,=g« №e-*.0-bS (Фс-Ф,); W';
' Системе соответствует матричное уравнение (/]=(У][«р], где неопределеи- .."-
ная матрица узловых проводимостей
[У]=
£«
-fi«
-(fi«+S) -g« &K+g«K+S.
§ Д.4. Вывод расчетных формул метода. № рис. Д.1, е изображен трехполюс- •
внешними узлами' 1, 2. О. Узел ft заземлен. 'Входные зажимы 1, 0, выход- ;
(. (7. Потенциалы узлов ф\ и <р8. Положительные направления токов /$ я /..
ны на схеме. Обозначим Кн—проводимость нагрузки, У„ проводимость иеточ- .
иые 2, i
указаны г
нива литания.
Если для этой схемы составить уравнения по методу узловых потенциалов, '
а затеи несколько преобразовать их, выделив в правой части уравнения для.'
узла / слагаемое (£в—ф1)Ки='1.аДляуэла2слагаемое~фаУ'н==—^. то получим ,
[К](ф]=(/]. СД.2) ;
где (/]=
-U
Укороченную матрицу узловых проводиностеб получают вз .
неопределенной, вычеркивая строку я столбец, соответствующие заземленному '■
узлу. В состав матрицы \¥] проводимости Ки в YB ne входят.
Решим уравнение (Д-2) отиосительпо потенциалов внешних узлов ф(. и ф»:
(Д-3)
(Д.*) '
где Д—определитель матрицы fY\: Д*т—■алгебраическое дополнение вместе ,
рннадлежащим ему знаком; к—но»"- ~
В левой части (Д.4) заменим fo в
с принадлежащим ему знаком; fc—номер строки; т—номер столбца.
" " "* " "■ ~а ls!'в и решим уравнение относительно If,
Входное сопротивление относительно узлов 1—0
. д11+ ун Ayfc
Из теория определителей известно, что
а=(ДиДи—Й1»Ди)/Л=Дц, е
где Ди,в—двойное алгебраическое дополнение. Им пользуются тогда, когда число
строк и число столбцов определителя Д> 2. При оговоренном условии Ди «
получают на определителя системы Д. вычеркивая 1-ю и 2-ю строки и 1-й м 2-я
столбцы и умножая на (-^1)>+i+«m=i. Тогда
*»'-» а+У.4» " №6)
f Передача do напряженшо
Передача по току
*'-!&■ ««>
Пример 179. Определить передачу по напряжению К у и по току Кг одвокаскад-
ного транзисторного усилителя с обратной связью, собранного по схеме с общим
эмиттером (рис. Д.1, О).
Решение. Обозначим узлы схемы через ЦБ),2(К).0(Э). Используй
неопределенную матрицу транзистора (см. § Д.2). составим неопределенную матрицу схемы
рис. Д.1, д. не включая н нее Y„ я YB. Проводимость ветви обратной связи К,
войдет со знаком плюс в элементы матриц J—/ и 2—2 н со знаком минус в
элементы 1—2 и 2—1 (с такими ike знаками, с накнмв проводимость входила бы в урав*
иенве узловых потенциалов):
1 2 О
'Г Уйб-^-Уо Y6%-Yn -(T-6e-fKB«) -i
2[ Y^-Yt YKK+Ye -{¥я6+УкД
0l-{Y€6+YKS) -(Y6s+YKb) Y^-i-Y^+Y^+Y^}
Сумма элементов любой строки и любого столбца неопределенной матрицы
равна нулю. Так как узел О заземлен, то вычеркиваем О-строку и О-столбец.
Получим укороченную матрицу
1 2
Определитель ее &={Y€6+Y^(YKK^-Y^-iYB6~Y^iYtl[~Y^
Алгебраические дополнения:
Так как число строк и число столбцов матрицы равно двум, то в этом про.
стон примере а подсчитываем, пе прибегая к двойному алгебраическому
дополнению ДЙ.£»:
о=.(ДиД»—ДиАи>/й=I.
Далее определяем искомые передачи:
К - А» У-6-у" ■
л" Дн +аУв — У„+У7+УИ'
к- _ *****. д УпУкб-Уд
"' А+ДМУИ Wea+YJlYM-i-Yti-iYrt-YJiYte-Yd-i-KiYee+YJ '
Формула для Kt может быть упрощена, если оценить порядок малости отдель-
лых слагаемых знаменателя.
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛВ ДЛЯ ОГИБАЮЩЕЙ. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
§ ЕЛ. Огибающая переходной функции. В § 9.4 Было показано, что при
воздействии на вход четырехполюсника, обладающего переходной функцией А (4),
синусоидальным влпряжением единичной амплитуды (рис. ЕЛ, а) щ (f) «■ 1 • sin to/ =
= па е*"' напряжение на выходе его определится по формуле
u»(0=lm| A(0)+Jfc'We-Ka4Tle;m'J.. ' (ЕЛ)
Если ввести обозначение
а(е>, t)=~h(0)+\h,{z)e-J^di!,
то-выходное напряжение
где о(о>, t) представляет собой
огибающую переходной функции при
воздействии на вход
четырехполюсника синусоидального напряжения
единичной амплитуды.
и, ., Если вместо переходной функ-
ции А (()вфорыулу (Е.2) подставить
Рис. ЕЛ входную или взаимную
проводимость g((). то под а (о, 0 следует
понимать огибающую переходной проводимости, а вместе ut (t) формула (Е.З) будет
определять ток входной влн какой-либо другой ветви.
В общем случае а (<А, f) представляет собой комплексную величину и может
бьпъ записана следующим образом:
с(ш, 0—ет(ю. fl-f/«(ra. 0=.«(ш. *)е/ч,(м'/,1
где
,(и, 0=.К«?(и. О+пЧи, 0, Ф(св. D^arctg ^ % .
Пример 180. Найти огибающую переходной проводимости для схемы рис. ЕЛ, б.
Решение. Переходная проводимость дли этой схемы
e(fi-£U-e L).
В соответствии с (Е.2) с(а, O=.g(0)-T-jjg*(T)e-*«rfr. Но g(0)=.O.
ютельно,
i ё-Ь «. if -№*»)<1
о
1 повазательяой форме
'(М,в"?ЩЩ'1",! L coscrf-f/e L sine)/;*
= У (l—e L'cos«(J-f(e
Окончательно получим
' cosoi-f/e L dno)/=
_ /arete —
ml. */MA
—arctg
1-е L cosiof
Чем больше о>, тем меньше
установившееся значение модуля а(ы. *).
На >рнс. Е.2 изображены три кривые,
которые яарактернэируют вэменение модуля
а{р, f) с увеличением о. Для кривой /
(0=6)!=О; для кривой J(i)=o,>ffli; ДЛЯ
кривой 3 со=ша >t%-
§ Е.2-Интеграл Дюамеля для огибающей. Определение реакции линейной
системы на амплитудно-модулированное синусоидальное колебание
Рис. Е.2
Uj(()=A(0)«(0+jU(/-T)A'(T)A
(Е.4)
вместо ы(г—т) подставим Im[Um{t—т)e^'e-^I-
Вынесем за энак интеграла множитель ewf, пе зависящий от т, .
зовавшись тем, что сумма ыиимых частей равна мнимой части суммы, получим
напряжение на выходе системы
utH)=ImUh(G)Um(f)+lh'{T)Um(f~t)e-^dx \егЛ. (Е.5)
Множитель в квадратных скобках формулы (Е.5) представляет собой
огибающую выходного напряжения (тока). Этот множитель можно переписать в более
удобном для использования виде, если учесть, что согласно (Е.2) А (0)=в (ш, 0) и
Заменив в (Е.5) А (0) на а (ш. С) и А* (т) е-*" на о' (о, т), получим
Kg (0=lm {А (ю, 0©**}, (ЕЛ)
где А(е>, 4)—огибающая выходного напряжения;
*
■Д(ю, 0=в(ю, O^ft-fje-fct, T)t/M{(—т5йт. (Е.7)
Формула (Е.7) для огибающей полностью повторяет формулу (Е.4) я - > > ,
Дюамеля для мгновенных значений. Поэтому формулу (Е.7) называют цнтеерюо ft
Дюалкля для огибающей.
Формула (Е.7) весьма существенна, так как она дает возможность исследовать- '
макроструктуру переходных процессов, ие вдаваясь в мелкие подробности, имеющие •
место внутри каждого периода вынуждающей силы.
Пример 181. Определить закон изменения во времени огибающей тока в не "
рис. Е.1, б при воздействии на нее напряжения и (/)=(/„, sin (of. где Um{f)=kt- '
(линейно нарастающая амплитуда). .,'
Решение. Значение а(о>, Q возьмем на § ЕЛ:
°f-0-te£r: «-т+*» -■*'
Воспользуемся формулой (Б.7). Первое слагаемое в неб выпадает, так хая.-'
а {а, 0)=0. Найдем р'(ы, 1):
«-(й, i)=-le-?t; t/„(*—Ч=*С—Ч- J
Огибающая амплитуд тока
/ i i
Д(ю, 0= f«*(w. T)(/my—t)^=A f (t~-tier^d^=~- С е-"<*т-^
« ■ в ■;
-^|«™._«1е^-1|+4|^>-|=--^('---)+ё->
= & + ^ fe-ff'-h
K-f /at ^ (Я-ЫшЦа ' '
XF [г+е £'от(*^)~«»2ф]+[•*-** ^8т(иН-2ф)-81п2ф| х .
^'-И L соз(о)/+2ф)—соз2ф Г
§ ЕЛ. Теорема Котедьникова. Функцией времени с ограниченным спектром.
Еазывают функцию,- спектр которой ограничен частотами 0—fc, т. е. в спек .
ее яет частот выше fc. Применительно к таким функциям В. А.'Котельниковым.
в 1933 г. была сформулирована следующая теорема: «Любую функцию времени f ({£-'.
состоящую на частот от 0 до /с, можно передавать с любой точностью при пом'
щи чисел, следующих друг за другом через 1/(2/с) секунд».
Эта теорема является основой различных методов-импульсной связи. i.>"
теоретически обосновывает возможность передачи непрерывных сообщении диск > - •
ными значениями; Доказательство проводится следующим образом.
Б12 'i
Функцию временя овределяют через ее спектр Оф>) так:
#Ю-^ J 0(/«)e^'de,
0(/ш)= J /(fle-^Л.
'(0="i J ОСМвЭ'Л». (Е.9)
В свою очередь, ■ О (/со) в интервале от — шс до ч>е может быть нредставлеа
рядом Фурье по частотам (период по частоте равен 2ш£):
С(/ш)=2л**е '
где k может принимать п.
Коэффициент ряда Фурье
-»«
Подставим (Е.10) в (Е.9):
где
Таким образом,
В формула (Е.9) придадим t значение — fai/<oc. Получим
•с _,1т
'(_"S")~i J C(*",e "'*»• <Е-13)
-»«
Сопоставим (E.1I) и(Е.13). Имеем ЛтА^—f(—^2Д=Д//(—ftAQ.
Подставим найденное выражевие для Мь в формулу (E.I2) и изменим-знак
перед h, что возможно, поскольку суммирование производится по всем k от —сот-
до со. Получим *~ .i
m-bim «*:$-?$ ■' <=■■«/
Отсюда следует, что функция времени f((j может быть представлена рядом-
(Е.14), коэффициентами которого являются значения функции, взятые через нц*;'
тервал времени Д/=п/шс= Ц2/€)- Рис. Е.З является графическим пояснели
к формуле (Е.14). Поскольку sinx/x=l при х-*-О к равно О при x=fax, то opt
всех *=fai сумма в правой ча '■
(Е.14) принимает значения f (k Дг);'-
Таким образом, для передаче*
за время О—Г N дискретных эиаче>
ннй через равностоящие интервалу
времени требуется полоса частоте
fc=NfiT. ■ "
Физически можпопояснить,по-'-
чему для передачи N дискретных >\
значений некоторой функции черей',
равностоящие .интервалы времени'
b.t=T{N часло требуемых гар-.-
моник в 2 раза меньше частоты -
l/At=N/T. Положим, что
рассматриваемая функции имеет период Т
ft=-2 *—' *=С *"' и что ее ныразили обычным рядом;
Фурье из N/2 гармоник. Каждая гар*.'
Рис. Е.З моника ряда Фурье определяется ■
двумя значениями—величиной
амплитуды и величаноЙ фазы. Таким
образом, у N/2 гармоник ряда Фурье неизвестно W/2 амплитуд и N/2 фаз. Всего'.
неизвестных N/2+N/2=N. Для однозначного" определения N неизвестных нужно _
. было бы составить N уравнении дли всех N дискретных моментов времевн. для .
которых известны значения функции.
Таким образом, N равностоящих значений функций определяют N/2 гармоник.
ряда Фурье и, наоборот, для получения N значений функции достаточно N/2
гармоник ряда Фурье.
Строго говоря, теорема Котельникова может быть применена к функциям "
времени с ограниченным спектром. Но практически ее применяют к функциям ■
времени с неограниченным спектром.
Применение теоремы Котельникова для приближенного представления функ- "
ций с неограниченным спектром основано на предположенни о том, что спектраль^
ная плотность этой функции при частотах, больших ыс, хотя н пе равна нулю,
но остается достаточно малой но сравнению со значениями снектральной плотно- ;
сти в интервале частот от ш=0 до to=wc. За счет малости спектральной плот- .
ности в диапазоне частот от <о=ъ>с до и=со влияние этой части спектра на
процесс в целом незначительно. -
а) Учебника
1. Теоретические основы электротехники. Ч. I —АтаСе нов Р. И. «Эиер-
гия». 1970. Ч. II —Атабеков Р. И. и др. «Энергию, 1970.
2. Зевеке Г. В. и др. Основы теории цепей. (Энергия», 1975,
3. Теоретические основы Электротехники. Под ред. П. А. И о н в н в в. Ч. I
и II. «Высшак школа», 1975.
4. Ней паи Л. Р., Деыврчав К. С Теоретические основы
электротехники. Т. I и II. «Энергия», 1974.
5. Поливанов К. М. Линейные электрические цепи с сосредоточенными
параметрами. «Энергий». 1972. ЖужоввцввиБ Я., НегневицквйИ.Б.
Теоретические основы электротехники. Ч. II. «Энергия». 1972.
бу Учебные пособия и монографии по линейным цепям
6. Балвбанян Н. Синтез электрических цепей. Госэнергбиздат, 1961.
7. Бессонов Л- А. Линейные электрические цепи. «Высшзн школа».
1974.
6. Г а р д н е р М. Ф„ Б э р и с Д. А. Переходные процессы в линейных
системах. Фваматгна, 1961.
9. Голдмаи С. Теория информации. ИЛ, 1957.
10. Де руосоП-идр. Пространство состояний втеорвн управления. «Наука».
1970.
11. Основы инженерной электрофизаки. Ч. II. Под ред. П. А. Йоиквеа.
■Вькшзн школа», 1972.
12. Круг К- А. Переходные и установившиеся процессы в линейных
электрических цепях. Госэнергоиздет, 1948.
13. Me вон С. Цемыерыац Г. Электронные цепи, сигналы и системы.
ИЛ, 1963.
14 Матханов П. Н, Основы анализа влектрнческих цепей. «Бысшзн
школа». 1972.
15. Н в т х а и о в П. Н. Основы синтеза линейных электрических иепей.
«Высшзн школа», 1976.
16. Розенфельд А. С, Я ли псов Б. И. Переходные процессы и
обобщенные функции. «Наука», 1966.
17. Харкевич А. А. Основы радиотехники. Гос. изд-во по вопр. связи и
радио, 1963.
13. Харкевич А. А. Спектры и знвлиз Гостехиздат. 1962.
19. Ш в а р ц Л. Математические методы для фазнческих наук. «Мир», 1965.
в) Учебные пособия и монографии по нелинейным цепям
20, Андронов А. А. и др. Теорян колебаний. Физматгиз, 1959.
21 Бессонов Л. А. Нелинейные электрические цепи. «Высшая школа»,
1977.
22. Б е с о о и о в Л. А. Автоколебания в велинейных электрических цепях.
Госэнергоиздат, 195В.
23. Д в и и л о в Л. В, Электрические цени с велинейнымн R-злементаш.
«Связь», 1974,
24. Каниввгхеи В. Введение в теорию нелинейных систем. Госэнерго-
издат, 1962.
25. Попов Е. П., Пяльтов И. П. Приближенные методы исследования
автоматических систем. Фвзматгва, 1960.
iftane .-,+. a
техники. (Высшая школа», 1975.
27. Задачник do теоретическим основам электротехники (теория цепей). . ; ^
ред. К. М. Поливанова. «Энергия», 1973. ■■-;
28. Сборник задач do расчету электрических цепей. Пол ред. С. И, Кур*«_т
яева ей. И, П в веся. сВысшак школа», 1967.
29. Шебес М. Р. Теория линейных влектрических цепей в упражне > -,
и задачах, «Высшак школа», 1973.
д) Контрольные вадшшя и методические указания ;с
30. Б е с с о н о в Л. А. и др. Контрольные задания и методические указали^,,
по курсу ТОЭ. «Высшая школа», 1977.
(Предисловие , 8
ЧАСТЬ 1
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Глава первая
Свойства явленных электрических цепей в методы кх расчета. Эмггрнчешк
цепи постоянного тока
$ 1.1. Определение линейных и нелинейных электрических цепей 5
§ 1.2. Источник 9. д. с. н источник тока 6
§1.3. Неразветвленаые и разветвленные электрические цепи 8
S \Л. Напряжение на участке цепи 8
§ I.6. Закон Ома для участка цепи, не содержащего э.д.с 10
§ 1.6. Закон Ома для участка пепи, содержащего э.д.с 10
$ 1.7. Законы Кирхгофа 10
§ 1.8. Составление уравнений для расчета тока в схемах с помощью законов
Кирхгофа -. . II
§ 1.9. Заземление одной точки схемы 13
11.10. Потенциальная диаграмма , 13
1.11. Энергетический баланс в электрических целях 14
1.12. Метод пропорциональных величин , М
1.13. Метод контурных токов 15
1.14. Принцип наложения и метод наложения 19
1.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление 20
1.16. Теорема взаимности 22
§ 1.17. Теорема компенсации ,. . 23
§ 1.18. Линейные соотношения в электрических цепях 24
§ 1.19. Изменения токов ветвей, вызванное приращением сопротивления одной
ветви (теорема вариаций) 26
$ 1.20. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с.
н источники тока, одной эквивалентно! 27
§ 1.21. Метод двух узлов 29
$ 1.22. Метод узловых потенциалов 29
§ 1.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду 33
| 1.24. Перенос источников э. д. с. и источников тока 36'
§ 1.25. Активный и пассивный двухполюсники 36
$ 1.26. Метод эквивалентного генератора . 37
§ 1.27. Передача энергии от активного двухполюсника нагрузке 39
" 1.28. Передача анергии по линии передачи 40
>просы для самопроверки 42
Глава вторая
Электромагнитная индукция. Индуктивность и емкость как параметры
электрических цепей
. Явление электромагнитной индукции 42
Явление самоиндукции и э. д. с. самоиндукции. Индуктивность ... 45
, Явление взаимоиндукции и э. д. с. взаимоиндукции. Вааиннак
индуктивность -, 48
517
§1.28
Вопрс
п
«2.4.
$2.5.
Энергия магнитного поля уединенной катушки -. „, .
Плотность энергии магнитного поля
§ 2.6. Магнитная анергия ыагнитносаяэанных контуров
§ 2.7. Принцип взаимности нааимяой индукции
* 2.8. Коэффициент связи
5 2.9. Закон электромагнитной инериян. Правило Ленца
§ 2.10. Емкость .как-параметр электрической цепи
Вопросы для самопроверки
Глава третья
Электрическое цепи однофазного синусоидального тока
§3.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины . . . .
§ 3.2. Среднее и действующее значения синусоидально, изменяющейся вели-
§ 3.3. Коэффициент амплитуды и коэффициент формы
§ 3.4. Изображение синусоидально изменяющихся величин векторами на
комплексное плоскости. Комплекснзн амплитуда. Комплекс действую-
§ 3.5. Сложение и вычитание синусоидальных функции времени с помощью
комплексной плоскости. Векторная диаграмма
§ 3.6. Мгновенная мощность
§ 3.7. Синусоидальный ток в активном сопротивлении
§ 3.8. Индуктивность в цепи синусоидального тока '. . . . .
§ 3.9. Конденсатор в цепи синусоидального тока
§ 3.10. Умножение вектора на / и на —j
§3.11. Основы символического метода расчета цепей синусоидальиого тока . .
§ 3.12. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусоидального
§ 3.13. Комплексная проводимость
§ 3.14. Треугольник сопротивление и треугольник проводнмостеЙ
$ 3.15. Применение логарифмической линейки для перехода от алгебраической
topMu записи комплекса к доказательной и для обратного перехода . .
аконы Кирхгофа в символической форме записи
§ 3.17. Применение к расчету цепей синусоидального тока методов,
рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока»
§ 3.18. Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей
синусоидального тока ,..
§ 3.19. Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости
§ 3.20. Топографическая диаграмма
§ 3.21. Активная, реактивная и полная мощности
в 3.22. Выражение мощности в комплексной форме записи
§ 3.23. Измерение мощности ваттметром ,
§ 3.24. Двухполюсник в цепи синусоидального тока
| 3.25. Резонансный режим работы двухполюсника «
§ 3.26. Резонанс токов _,
5 3.27. Компенсация сдвига фаз .,
§ 3.28. Резонанс напряжений
% 3.29. Исследование работы схемы рис. 3.26, а при изменении частоты и
индуктивности
§ 3.30. Частотная характеристика двухполюсника
§ 3.31. Канонические схемы. Эквивалентные дпухполюсники ..,.,....
§ 3.32. Передана энергии от активного двухполюсника нагрузке
§ 3-33. Согласующий трансформатор
§ 3.34. Идеальный трансформатор
§ 3.35. Падение и потери напряжения в лияки передачи энергии
§ 3.36. Расчет электрических цепей при наличии в них иагнитносвязавиых
катушек ; -
§ 3.37, Последовательное соединение двух магнитвосвиванных катушек . . .
§ 3.38, Определение взаимной индуктивности опытным путем ,
Б 3.39. Трансформатор. Вносимое сопротивление 98
§ 3.40. Резонанс в ыагннтносвязанных колебательных контурах 101
Б 3.41. «Развязывание» ыагнитносвнзанных цепей 103
§ 3.42. Теорема о балансе активных н реактивных мощностей 103
§ 3.43. Определение дуальной цепи 105
§3.44. Преобразование исходной схемы в дуальную 106
Вопросы для самопроверки 108
Глава четвертая
Четырехполюсник и круговые диаграммы
§ 4.1. Определение четырехполюсника 108
I 4.2. Шесть форм записи уравнений чет&рехполюснииа , , 109
| 4.3. Вывод уравнений в Д-форме 109
§ 4.4. Определение коэффициентов Д-формы записи уравнений
четырехполюсника HI
Т- и П-схемы замещения пассивного четырехполюсника ИЗ
i. Определение коэффициентов Y-, Z-, G-, В-форм записи уравнении
четырехполюсника 1'*
§ 4.7. Определение коэффициентов одной формы через коэффициенты другой
формы И*
§4.8, Применение различных форм записи уравнений четырехполюсника.
Соединения четьфехполюсииков. Условия регулярности 115
§4.9. Характеристические сопротивления четырехполюсников 118
| 4.10. Посгояннал передачи и единицы измерения затухания ИЗ
5 4.11. Уравнения четырехполюсника, записанные через- гиперболические
6 4.5. Т-»
$ 4.6. Опре
§ 4.12. Конвертор сопротивления ]'"
§ '4.13. Инвертор сопротивления 120
§ 4.14. Гиратор 120
§ 4.15. Активный четырехполюсник -■ 120
| 4.16. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу 121
| 4.17. Уравнение дуги окружности в векторной форме записи 122
| 4.13. Круговые диаграммы 123
| 4.19. Круговая диаграмма тока дая двух последовательно соединенных
сопротивлений 123
§ 4.20. Круговая диаграмма напряжения для двух последовательно
соединенных, сопротивлений J25
§ 4.21. Круговая диаграмма для активного двухполюсника J25
§ 4.22. Круговая диаграмма для четырехполюсника ™
§ 453. Линейные диаграммы J|°
Вопросы для самоироверки * 1"°
Глава пятая
Электрические фильтры
| 5.1. Назначение и таны фильтров ..... ч jfjj
| 5.2. Основы теории А-фильтров ......" ™
| 5.3. if-фильтры НЧ и ВЧ, полосовые н заграждающие ft-фнльтры 132
| 5.4. Качественное определение fe-фвльтра |™
§ 5.5. Основы теории /n-фильтров. Каскадное включение фильтров J*
§ 5.6. КОфильтры "О
Вопросы для самопроверки
Глава шестая
Трехфазные цепи
Трехфазная система ». д. с {*•
Принцип работы трехфазного машинного генератора. 141
§16.1.
$6.2.
j 6.3. Трехфазная цепь. Расширение понятии фазы .
| 6.4. Основные схемы соединения трехфазных nenefti определение линейных
и фазных величай
§ 6.5. Соотношения между линейными и фазовыми напряжениями и токами . .
§ 6.6. Преимущества трехфазных систем
5 6.7. Расчет трехфазных цепей ,
§ 6.8. Соединение звезда-—звезда с нулевым проводом
| 8.9. Соединение нагрузки в треугольник
| 6.10. Оператор а трехфазной системы
§ 6.11. Соединение Звезда—звезда без нулевого провода #
§6.12. Трехфазные цепи при наличии взаимоиндукции .*
§ 6.13. Активная, реактивная и полная мощности трехфазной системы . . .
§ 6.14. Измерение активной мощности в трехфазной системе
§ 6.15. Круговые и линейные диаграммы в трехфазных цепих
§ 8.16. Указатель последовательности чередования фаз
§ 6.17. Магнитное поле катушки с синусоидальным током
§ 6.18. Получение кругового вращающегося магнитного поля
§ 6.19. Принцип работы асинхронного двигателя
§ 6.20. Разложение несимметричной системы на системы нулевой, прямой и
обратной посведователыюстей фаз
§ 6.21. Понятие о методе симметричных составляющих
Вопросы для самопроверки
Глава седьмая
Периодические несинусоидальные тонн в линейных алектричесних цепях
§ 7.1. Определение периодических несинусоидальиых токов и напряжений . .
§ 7.2. Изображение нескнусоидалькых токов и напряжений £ помощью рядов
Фурье >
§ 7.3. Некоторые свойства периодических яривых, обладающих симметрией
§ 7.4. О разложении в ряд Фурье кривых геометрически правильной и ве-
FpaBWibHofi форм '. i
рафический (графо-аналитнческин) метод определения гармоник
ряда Фурье
§ 7.6. Расчет токов и напряжений при нееннусоидальных источниках питания
§ 7.7. Резонансные явления при нееннусоидальных токах
§ 7.8. Действующее значение несинусоидального тока и весинусоидального
напряжения
§ 7.9. Среднее по модулю значение несинусоидалыюя функции .-
§ 7.10. Величины, на которые реагируют амперметры и вольтметры при
нееннусоидалькых токах .'
§ 7.11. Активная и нолнзн мощности нееннусоидального тока
§ 7.12. Замена нееннусоидальных токов и напряжений эквивалентными
синусоидальными ,
§ 7.13. Особенности работы трехфазных систем, вызываемые гармониками,
кратными трем ,
7-И. Биения
1 7.15. Модулированные колебания , .
: 7.16. Расчет линейных цепей при воздействии модулированных колебаний
'опросы для самоироверки
Глава восьмая
Переходные процессы ■ линейных электрических цепях
Определение переходных процессов
Приведение задачи о переходном процессе к решению линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициеитями ,
8.3. Принужденные в свободные составляющие токов к напряжений
8.4, Обоснование невозможности скачка тока через индуктивность я скачка
___ на емкости .-
$8.1.
§8.2.
« 8.14. <
§ 8.15. )
§ 8.6. Первый закон (правило) коммутации ]*ц
| 8.6. Второй вакон (правило) коммутации 184
§ 8.7. Начальные значения величин , 185
| 8.8. Независимые н зависимые (гослевоммуташюнные) начальные значения 185
§ 8.9. Нулевые и ненулевые начальные условия 185
§ 8.10. Составление уравнений для свободных токов и напряжений 136
§8.11. Алгебраиаашш системы уравнений для свободных токов 186
§ 8.12. Составление характеристического уравнения системы 187
§ 8,13. Составление характеристического уравнения путем использования
выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе. . . . 189
I. Основные и неосновные независимые начальные значения 190
i. Определение степени характеристического уравнения 191
§ 8.16. Свойства корней характеристического уравнения .....■? 192
§ 8.17. Отрицательнее знаки действительных частей корней хаьактеристи- —
ческих уравнений 193
§ 8.18. Характер свободного процесса при одном корне 193
§ 8.19. Характер свободного процесса при двух действительных неравных
корнях 194
§8.20. Характер свободного процесса при двух равных корнях 194
§ 8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных
корнях 195
§ 8.22. Некоторые особенности переходных процессов 195
§ 8.23. Переходные процессы, сопровождающиеся электрической искрой
Слугой) -. 197
§ 8.24. Опасные перенапряжения, вызываемые размыканием ветвей в цепях,
содержащих индуктивность 197
§ 8.25. Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линей*
нмх электрических цепях 193
€ 8.26. Определение классического метода расчета переходных процессов . . . 199
§ 6.27. Определение постоянных интегрирования в каассическом методе .... 199
§ 8.28. О переходных процессах, при макроскопическом рассмотрении которых
не выполняются законы коммутации. Обобщенные законы коммутации 208
§ 8.29. Логарифм как изображение числа 210
| 8.30. Комплексные иеображення синусоидальных функций 211
§ 8.31. Введение к операторному методу 211
§ 8.32. Прзобрязоваине Лапласа 211
§ 8.33. Изображение постоянной .* 212
| 8.34. Изображение показательной функции е°' 212
§ 8.35. Изображение первой производной 213
§ 8.36. Изображение напряжения на индуктивности 214
6 8.37, Изображение второй производной . . . 214
§ 8.38. Изображение интеграла 214
§ 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе 215
§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения 216
§ 8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние э.д.с 217
§ 8.42. Первый вакон Кирхгофа в операторной форме 219
| 8.43. Второй закон Кирхгофа в операторной форме 219
§ 8.44. Составление уравнении для изображений путем использования методов,
рассмотренных в разделе синусоидального тока 220
§ 6.45. Последовательность расчета операторным методом - 221
"I 8.46. Изображение функции времени в виде отношения N(p)/[M(p)\ двух
поляноыов по степеням р 222
§ 8.47. Переход от изображения к функции времени 223
§ 8.48. Разложение сложной дроби иа простые 225
§ 8.49. Формула разложения 226
§ 8.50. Дополнения к операторному методу. '. 229
§ 8.51. Переходная проводимость 230
§ 8.52. Понятие о переходной функции по напряжению 232
§ 8.63. Интеграл Дюамеля 234
§ 8.54. Последовательность расчета с помощью интеграла Дюамеля 236
^£8.55. Применение интеграла Дюамеля при сложное форме напряжения,. , . 237
Ф21
6-8.56. Сравнение различных методов расчета переходных процессов 23а
6 8.57. Дифференцирование электрическим путем 239
§ 8.58. Интегрирование электрическим путём 240
§ 8.59. Применение метода эквивалентного генератора для расчета переходных
процессов 240
| 8.60. Переходные процессы при воздействии импульсов напряжения 242
| 8.61. Дельта-функция, единичная функция и нх свойства. Импульсная
переходная проводимость 24?
§ 8.62. Обобщенные функции и их применение к расчету переходных процессов 245
6 8.63. Дополняющие двухполюсники ■- - . . 248
§ 8J54. Понятие о- передаточных функциях и частотных характеристиках
' звеньев и систем 246
§ 8.65. Системные функции и понятие о видах чувствительности 248
§ 8.66. Метод пространства состояний '. . 249
Вопросы для самопроверки 254
Глава девятая
Интеграл Фурье. Спектральный метод
6 9.1. Ряд Фурье в комплексной форме записи 253
| 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье 256
| 9.3. Теорема Рейли 259
| 9.4. Применение спектрального метода 260
§ 95. Определение переходной функции четырехполюсника через переда-
точную и передаточной через переходную 265
Вопросы для самопроверки • 266
Глава десятая
Синтез электрических цепей
б 10.1. Характеристика синтеза 266
§ 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления
двухполюсников 267
| 10.3. Реализация двухполюсников лестничной (цепной) схемой 268
§ 10.4. Реализация двухполюсников путем последовательного выделения
простейших составляющих 272
| 10.5. Метод Вруне 276
§ 10.6. Понятие о минимально-фазовом и неилнкыалыю-фавовоы
четырехполюсниках 279
§ 10.7. Условия, накладываемые на параметры четырехполюсников и на
передаточную функцию 260
10.8. Синтез четырехполюснике» Г-образнымн ЙС-схемамн 283
10.9. Четырехполюсник для фазовой коррекции 284
10.10. Аппроксимация частотных характеристик 285
эпросы для самопроверки , 288
Глава одиннадцатая
Установившиеся процессы в электрических н магнитных цепях,
содержащих линии с распределенными параметрами
§ 11.1. Основные определения 289
§11.2. Составление дифференциальных уравнений для однородной линии
с распределенными параметрами 291
§ Н.З. Решение уравнений линии с распределенными параметрами при
установившемся синусоидальном процессе ■ 293
Формулы для определения комплексов напряжения в тока в любой
точке линии через комплексы напряжения и тоигв начале лнвин . . .
§ 11 Л. Графическая интерпретация гиперболических синуса'и коеивуса~от
комплексного аргумента
§ 11.7. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке Ливии
через комплексы напряжения и тока в конце ливни
Л Л. Падающие и отраженные волны в линии . . . *
11.9. Коэффициент отражения , . ,
11.10. Фазовая скорость
11.11. Длина волны
11.12. Линия без искажений
11.13. Согласованная нагрузка
11.14. Определение напряжения и тока при согласованной нагрузке . . .
11.15. Коэффициент полезного действия ливни передачи при согласованной
нагрузке
§ 11.16. Входное сопротивление нагруженной линии
6 11.17. Определение напряжения и тока в линии без потерь
I 11.18. Входное сопротивление ливни без потерь при холостом ходе
§ 11.19. Входное сопротивление линии без потерь при коротком замыкании
на конце ливни
§ 11.20. Входное сопротивление линия без потерь при реактивной нагрузке
| 11.21. Определение стоячих электромагнитных волн
| 11.22. Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе линии . . .
§ 11.23. Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании на конце
линии
§ 11.24. Четвертьволновый трансформатор
§ 11.25. Бегущие, стоячие и смешанные волны и линиях без потерь. Коэф-
$нциенты бегущей и стоячей волн
налогня между уравнениями линии с распределенными
параметрами и уравнениями четырехполюсника
§ 11.27. Замена четырехполюсника эквивалентной ему линией с
распределенными параметрами и обратная замена
§ 11.28. Четырехполюсник заданного затухания
§ 11.29. Цепная схема
Вопросы для самопроверки , '. . .
Глава двенадцатая
§ 12.1. Общие сведении 314
§ 12.2. Исходные уравнения и их решение 315
§ 12.3. Падающие и отраженные волны на линиях 317
| 12.4. Связь между функциями /lt fx в функциями Vi> Vb 317
§ 12.5. Электромагнитные процессы при движения прямоугольной волны
по линии 319
§ 12.6. Схема замещения для исследовании волновых процессов в линиях
с распределенными параметрами 320
§ 12.7. Подключение разомкнутой на конце линии к источнику постоянного
напряжения 321
§ 12.8. Переходный процесс при подключении источника постоянного
напряжения к двум последовательно соединенным линиям при наличии
емкости в месте стыка линий . ." 323
| 12.9. Линяя задержки 326
1 12-10. Использование линий для формирования кратковременных импульсов 327
вопросы для евмопроиерки , , 328
Б23
ЧАСТЬ II
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Глава тринадцатая
Нелинейные влектрвческне цени пестоянного тока
§ 13.1. Основные определения '. ™№
§ 13.2. Вольт-амперные характеристики нелинейных сопротивлений ЗЭ№
| 13.3. Общая характеристика методов расчета нелинейных MeKrpHqecKHX
цепей постоянного тока "32
в 13.4. Последовательное соединение нелинейных сопротивлений 333
§ 13.5. Параллельное соединение нелинейных сопротивлений 334
§ 13.6. Последовательно-параллельное соединение нелинейных сопротивлений 335
§ 13.7. Расчет разветвленной нелинейной цепи методом двук узлов ....... 335
| 13.8. Замена нескольких параллельных ветвей, содержащих НС и а л.с, од-
345
§ 13.9. Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора
§ 13.10. Статическое и дифференциальное Сопротивления
§ 13.11. Замена нелинейного сопротивления эквивалентным линейным
сопротивлением Е В.Д С
| 13.12. Стабилизатор тока
§ 13.13. Стабилизатор напряжения .' , . . ■
| 13.14. Усилитель постоянного напряжения
§ 13.15. Терморезисторы
Вопросы для самопроверки . . , -
Глава четырнадцатая
Магнитные цени
§ 14.1. Подразделение веществ на две группы —ферромагнитные н неферро-
магннтные -
!14.2. Основные величины, характеризующие магнитное поле 345
14.3. Основные характеристики ферромагнитных материалов 346
14.4. Потери, обусловленные гистерезисом 348
14.5. Магнитномягкие н магнитнотвердые материалы 349
14.6. Магнитодиэлектрики и ферриты 350
14.7. Закон полного тока 350
14.8. Магнитодвижущая (нкиагиичинающая) сила 350
§ 14.9. Разновидности магнитных цепей 351
| 14.10. Роль ферромагнитных материалов & магнитной цепи -■ • 351
§ 14.11. Падение магнитного напряжения 352
$ 14.12. Вебер-ампериые характеристики * 353
§14.13. Построение вебер-аилерных характеристик 353
С 14.14. Законы Кирхгофа для магнитных иепей 355
§ 14.15. Применение к магнитным цепям всех методов, используемых для
расчета электрических цепей с НС 357
§ 14.16. Определение М-Д.с. неракеетвленной магнитной цепи по заданному
потоку 357
§ 14.17. Определение потока в нерааветвленнои магнитной пени по ааданрой
м.д.с. ........... ..................-•••• 358
§ 14.18. Расчет разветвленной магнитной цепи методом двух узлов 359
| 14.19. Дополнительные замечания к расчету магнитных цепей 361
§ 14.20. Получение постоянного магнита 362
| 14.21. Расчет магнитной цепи постоянного магнита 363
§ 14.22. Прямая и коэффициент возврата 364
§ 14.23. Магнитное сопротивление в магнитная проводимость участка
магнитной цепи. Закон Ома для магнитной цепи 365
§ 14.24. Пояснения к формуле ~Ш= |1о(Я + J) < 366
Вопросы для самопроверки „■».-- 367
Глава пятнадцатая
Нелинейные алектрнческне цепи переменного тока
§ 15.1. Подразделение нелинейных сопротивлений на три основные группы 368
§ 15.2. Общая характеристика нелинейных активных сопротивлений . . 368
Llfj.3, Общая характеристика нелинейных индуктивных сопротивлений 369
g;J5.4. Потери в сердечниках нелинейных индуктнвностеб, обусловленные
вихревыми токами 369
|. 15.5. Потери в ферромагнитном сердечниие. обусловленные гистерезисом', '. 370
§ 15.6. - Схема замещения нелинейной индуктивности 371
| 15.7. Общая характеристика нелинейных емкостных сопротивлении . . . 372
§ 15.8. Нелинейные сопротивления как генераторы высших гармоник тока
и напряжения 373
§ 15.9. Основные преобразования, осуществляемые с помощью нелинейных
влехтрнческйх цепей . .". 373
§ 15.10. Некоторые физические явления, наблюдаемые в нелинейных цепях 376
§ 15.11. Разделение нелинейных сопротивлений по степени симметрия
характеристик относительно осей координат 377
§ 15.12. Аппроксимация характеристик нелинейных сопротивлений 377
§■ 15.13. Аппроксимаций симметрических характеристик для мгновенных
еначений гиперболическим слиусом 378
8 15.14. Понятие о функциях Бесселя 379
| 15.15. Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодического
' -аргумента в ряды Фурье 380
§ 15.16. Разложение гиперболического синуса от постоянной и
синусоидально меняющейся составляющих & ряд Фурье 381
§ 16.17. Некоторые общие свойства симметричных нелинейных сопротивлений 381
§ 15.13. Появление постоянной составляющей тока (нкиряження, потока,
заряда) на нелинейном элементе с симметричной характеристикой ..... 383
$ 16.19. Типы характеристик нелинейных сопротивлений 383
S 15.20. Характеристики для мгновенных значений 383
| 15.21. Вольт-амперные характеристики по первым гармоникам 383
§ 15.22- Вольт-амперные характеристики для действующих значений 385
§ 15.23. Получение аналитическим путем обобщенных характеристик
управляемых нелинейных сопротивлений по первым гармоникам ...... 385
§ 15.24. Простейшая управляемая нелинейная индуктивность 386
§ 15.25. Вольт-амиерные карактеристики управляемой нелинейной
индуктивности по первым гармоникам 389
$ 15.26. Вольт-амперные характеристики управляемой нелинейной емкости
по первым гармоникам 391
€ 15.27. Основные сведении об устройстве транзистора 392
§ 15.28. Три основных способа включения транзисторов в схему 393
| 15.29, Принцип работы транзистора в качестве управляемого сопротивления 393
§ 15.30. Вольт-амперные карактеристики транзистора , 395
§ 15.31. Транзистор в качестве усилителя тока 396
| 15.32. Транзистор в качестве усилителя напряжения , 397
Я 15.33. Транзистор в.качестве усилителя мощности 393
§ 15.34. Связь между прираЮенинни входных и выходных неличин транзистора 393
| 15.35. Схема замещении транзистора для малых приращений 399
| 15.36. Графический расчет схем на транзисторах 400
§ 15.37. Основные сведения о трехвлектродной лампе 402
9 15.38. Вольт-амперные карактеристики треяэлектродной лампы для
мгновенных значений 403
§ 15.39. Аналитическое выражение сеточной характеристики электронной
лампы 404
§ 15.40. Связь между малыми приращениями входных 'и выходных величин
ипектрояноЙ лампы 405
§ 15.41. Схема замещения электронной лампы для малых приращений 405
$ 15.42. Построение зависимости вход—выход для электронной лампы при
больших сигналах * 407
§ 15.43. Тиристор — управляемый полупроводниковый диод 407
g 15.44. Общая характеристика методов анвлиза и расчета нелинейных влек-
Ржческих цепей переменного тока 408
рафнческий метод при использовании характеристик нелинейных
сопротивлений для мгновенных еначений 409
§ IS.46. Аналитический метод при использовании характеристики нелинейного
сопротивления для мгновенных значений при их кусочно-линейной
аппроксимации 410
§ 15.47. Аналитический (графический) метод расчета по первым гармоникам
токов и напряжепий 410
§ 15.48. Анализ нелинейных цепей' переменного тока путем использовании
вольт-амперных характеристик для действующих значений 412
■' § 15.49. Аналитический метод расчета по первой и одной или нескольким
высшим или низшим гармоникам 412
| 15.50. Расчёт с помощью линейных схем замещения 413
g 15.51. Расчет электрических цепей, содержащих индуктивные катушки,
сердечники которых имеют почти прямоугольную кривую иамагни-
§ 15,52. Расчет электрических цепей, содержащих нелинейные емкости
с прямоугольной кулон-вольтиои характеристикой ,...,...,. 415
§ 15.53. Субгармонические колебания 416
§ 15.54. Выпрямление переменного напряженка 417
§ 15.55. Ламповый генератор , 419
§ 15.56. Автомодулнння 422
§ 15.57. Определение феррореэонансных цепей 423
§ 15.58. Построение вольт-амперноВ характеристики последовательной фер-
рорезоиансной цепи , . . . 424
§ 15,59. Триггерныйзффевтвпосяедрвательнойферрорезонансвойцепи.Ферро-
^езонанс напряжений 424
ольт-амперная характеристика параллельного соединении емкости
икатушкисостальнымсердечипком.Феррорезонанстоков 425
§ 15.61. Триггерный эффект в параллельной феррорезонансной цепи 426
| 15.62. Частотные характеристики нелинейных цепей 427
§ 15.63. Применение символического метода и построение векторных и
топографических диаграмм для нелинейных цепей 428
§ 15.64. Векторная диаграмма нелинейной индуктивности 430
§ 15.65. Определение намагничивающего тока , 431
§ 15.66. Определение тока потерь 432
| 15.67. Основные соотношения для трансформатора со стальным сердечником 433
§ 15.68. Векторная диаграмма трансформатора со стальным сердечником . . 436
б 15.69. Метод интегрвльных уравнений 437
5 15.70. Метод малого параметра 438
Вопросы для самопроверки 441
Глава шестнадцатая
Переходные процессы ■ нелинейных електрнческнх цепях
§ 16.1. Общая характеристика методов анализа и расчета переходных
процессов ,. 442
§ 16.2. Метод расчета, основанный на графическом подсчете определенного
интеграла 443
§ 16.3. Расчет методом интегрируемой нелинейной аппроксимации 444
§ 16.4. Расчет методом кусочно-линейной аппроксимации 445
§ 16.5. Метод расчета, основанный ка замене определенного интеграла
приближенной суммой 447
§ 16.6, Расчет переходных процессов в схемах с несколькими нелинейными
сопротивлениями 449
§ 16.7. Метод медленно Меняющихся амплитуд 450
$ 10.8, Перемагничнвание феррнтовых сердечников импульсами тока ..... 454
§ 16.9. Определите фазовой плоскости я характеристики областей ее пряме-
кения - ■ *Э
§ 16.10. Интегральные кривые, фазовая траектория и предельный цикл .... 400
§ 16.11. Изображение простейших процессов кафавовои плоскости 459
§ 16.12. Изоклины. Особые точки. Построение фазовых траекторий 457
Вопросы для самопроверки ,,.■.....>..■• 459
Глава семнадцатая
Основы теории устойчивости режимов работы нелинейных целен
§ 17.1. Устойчивость «в малом» и «в большом». Устойчивость по Ляпунову . . 459
§ 17 2_ Общие основы исследования устойчивости «в малом» 461
§ 17.3. Исследование устойчивости состояния равновесия в системах с по-
стоянной вынуждающей силой • - - - 4м
§ 17.4. Исследование устойчивости автоколебаний и вынужденных колебаний
по первой гармонике *™
§ 17.5. Исследование устойчивости состояния равновесия в генераторе релак-
сационных колебаний 4оо
§ 17.6. Исследование устойчивости периодического движения в ламповом
генераторе синусоидальных колебании 4W
Вопросы для самопроверки *"*
Глава восемнадцатая
Электрические цени с переыениыми во времени параметрами
§ 18.1. Элементы цепей , *™
§ 185. Некоторые общие свойства электрических цепей ™
§ 18.3. Методика расчега электрических цепей в установившемся режиме 470
§ J8.4. Параметрические колебания *jg
§ 18.5. Параметрический генератор и параметрический усилитель 4/»
Вопросы для самопроверки * *™
Приложения к частям I и II
Приложение А. Направленные и ненаправленные графы
§ АЛ. Характеристика двух направлений в теории графов 477
I. Направленные графы 4*/
§ А.2. Основные определения *£'
§ А.З. Переход от изучаемой снстемы к направленному графу. 4«*
§ А.4. Правила, используемые для упрощения направленных графов 481
§ А.5. Общая формула для иередачн графа *»
§ А.6. Вывод формулы для передачи графа *°*
II. Ненаправлеивые графы » ™£
§ А.7. Определение н основная формула *<»
§ А.8. Определение числа деревьев графа *»
§ А.9. Разложение олределителя по произвольно выбранному узлу «о»
§ А.10. Разложение определителя по путям между двумя произвольно выбран-
ныни узлами *??
§ А.II. Разложение определителя по произвольно выбркиной ветви 4У1
§ A.I2. Применение основной формулы 491
§ А.13. Сопоставление направленных и ненаправленных графов ....... 4»
Приложение Б. Матрицы в влектротехияке
§ Б.1. Основные свойства матриц *-|*
§ Б.2. Общая карактеристяка применения матриц в электротехнике» *«
$ Б.З, Основы матричной теории графов ■ 496
527
Приложение В. Исследование процессов в веалепричесюп системах i
Приложение Г. Случайные процессы в электрических цепях
Б Г.1. Случайные процессы. Корреляционные функция , . 502
§ Г.2. Пряное в обратное преобразования Фурье для случайных функция
времени , * > fig*
6 Г.З. ВелыВ шун и его свойства W*
§ Г.4. Источники внутренних шумов в электрических цепях 5№
Приложение Д. Расчет электронных и транзисторных схем методом
неопределенной матрицы и двойного алгебраического пополнена»
: §■ Д.1. У^араметры транзистора 608
§ Д.2, Неопределенная матрица узловых проводимости трянвистора...... 507
§ Д.З. Нзопределеииля матрица узловых проводиностеи электронной лампы 507
§ Д.4. Вывод расчетных формул метода 508
Пркломеине Б. Интеграл Дюаыеля для огибающей. Теорема Котельником
С ЕЛ. Огибающая переходной функции ... 516
|Б.2, Интеграл Дюамеля для огибающей ........ ... 511
§ Е.З. Теорема Котельникова . 512
Лев Алексеевич Бессонов
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
ИБ 14 1088
Изд. J* ЭР—235. Сдано в набор S2.lB.77. Подп. в печать II.04.78. Формат ШХЭО'/и.
Вуи. тно. W^*3. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 33 усл. печ. л,
33,57 уч.-нзд. л. Тираж 125000 экз. Зак. 14 1658. Цена [ р. 30 к.
Издательство «Высшая школа».
Москва. K-S1. Неглннная ул.. я. 29/14
Ордена ОвтябрьскоВ Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское
вдоизшдатвеппо-техиическоа объединение «Печатный Двор» инеыи А. М. Горького
Союзполнгрвфпроыа ори Государственном комитете Совета Министров СССР So де-
.— оолигрвфчн и книжной торгоали. 197136, Ленинград, П-136, Г™ "
скак ул.. Ев.