Н. К. БАРИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
РЯДЫ
При редакционном участии
П. Л. УЛЬЯНОВА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961

АННОТАЦИЯ
Монография содержит изложение теории тригонометри-
тригонометрических рядов в ее современном состоянии. В частности, в ней
впервые изложены замечательные исследования Д. Е.Меньшова,
а также исследования ряда других современных советских
и иностранных авторов. Вся теория рядов Фурье изложена
на основе интеграла Лебега; наряду с теорией рядов Фурье
подробно развиты вопросы общей теории тригонометрических
рядов.
Предназначена главным образом для аспирантов и науч-
научных работников, специализирующихся в различных областях
теории функций действительного переменного. Она может
быть использована для работы со студентами университетов
в семинарах и для чтения спецкурсов по теории тригонометри-
тригонометрических рядов. Первая глава доступна и для очень широкого
круга читателей.
Бари Нина Карловна.
Тригонометрические ряды.
Редактор А. 3. Рывкин.
Техн. редактор К. Ф. Брудно. Корректор Л. О. Сечейко.
Сдано в набор 11/XI 1959 г. Подписано к печати 1/IX. I960 г. Бумага 70x108/16. Физ. печ. л. 58,50.
Условн. печ. л. 80,15. Уч.-изд. л. 72,82. Тираж 7000 экз. Т- 08971. Цена книги 3 р. 84к. Зазак 2044.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект 15
Типография Академии, Будапешт

Посвящаю этот труд
светлой памяти моего учителя
НИКОЛАЯ НИКОЛАЕВИЧА
ЛУЗИНА

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 13
Обозначения 15
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
I. Теоремы из анализа
§ 1. Преобразование Абеля 17
§ 2. Вторая теорема о среднем значении 19
§ 3. Выпуклые кривые и выпуклые последовательности 19
II. Числовые ряды, суммирование
§ 4. Ряды с монотонно убывающими членами 21
§ 5. Линейные методы суммирования 25
§ 6. Метод средних арифметических [или (С, 1)] 26
§ 7. Метод Абеля 27
III. Неравенства для чисел, рядов и интегралов
§ 8. Числовые неравенства 31
§ 9. Неравенство Гельдера 32
§ 10. Неравенство Минковского 35
§11. О- и о-соотношения для рядов и интегралов 36
IV. Теория множеств и теория функций
§ 12. О верхнем пределе последовательности множеств 39
§ 13. Сходимость по мере 39
§ 14. Переход к пределу под знаком интеграла Лебега 39
§ 15. Точки Лебега 41
§ 16. Интеграл Римана—Стилтьеса 43
§ 17. Две теоремы Хелли 43
§ 18. Теорема Фубини 44
V. Функциональный анализ
§ 19. Линейные функционалы в С 44
§ 20. Линейные функционалы в LP (р > 1) 45
§ 21. Сходимость по норме в пространствах Lp 46
VI. Теория приближения функций тригонометрическими полиномами
§ 22. Элементарные свойства тригонометрических полиномов 47
§ 23. Неравенство Бернштейна 47
§ 24. Тригонометрический полином наилучшего приближения 49
§ 25. Модуль непрерывности, модуль гладкости, интегральный модуль непрерыв-
непрерывности 50

ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Понятие о тригонометрическом ряде; сопряженные ряды 54
§ 2. Комплексная форма тригонометрического ряда 55
§ 3. Краткие исторические сведения 56
§ 4. Формулы Фурье , 57
§ 5. Комплексная форма ряда Фурье 58
§ 6. Проблемы теории рядов Фурье; ряды Фурье—Лебега 58
§ 7. Разложение в тригонометрический ряд функций с периодом 2/ 59
§ 8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 61
§ 9. Ряд Фурье по ортогональной системе 61
§ 10. Полнота ортогональной системы 64
§11. Полнота тригонометрической системы в пространстве L 65
§ 12. Равномерно сходящиеся ряды Фурье ..... 68
§ 13. Минимальное свойство частных сумм ряда Фурье; неравенство Бесселя 69
§ 14. Сходимость ряда Фурье в метрике L2 70
§ 15. Понятие о замкнутости системы. Связь между замкнутостью и полнотой 71
§ 16. Теорема Фишера—Рисса 73
§ 17. Теорема Фишера—Рисса и равенство Парсеваля для тригонометрической си-
системы 74
§ 18. Равенство Парсеваля для произведения двух функций 75
§ 19. Стремление к нулю коэффициентов Фурье 76
§ 20. Лемма Фейера 77
§ 21. Оценка коэффициентов Фурье через интегральный модуль непрерывности
функции 79
§ 22. Коэффициенты Фурье для функций с ограниченным изменением 80
§ 23. Формальные операции над рядами Фурье *.... 81
§ 24. Ряды Фурье от многократно дифференцируемых функций 88
§ 25. О коэффициентах Фурье для аналитических функций 88
§ 26. Простейшие случаи абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье 91
§ 27. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной функции тригонометри-
тригонометрическими полиномами 92
§28. Плотность класса тригонометрических полиномов в пространствах LP (р > 1) 93
§ 29. Ядро Дирихле и сопряженное с ним ядро 94
§ 30. Ряды по синусам или по косинусам с монотонно убывающими коэффициен-
коэффициентами 95
§ 31. Интегральные выражения для частных сумм ряда Фурье и сопряженного ряда 103
§ 32. Упрощение выражений для Sn(x) и ~Sn(x) 107
§ 33. Принцип локализации Римана 110
§ 34. Теорема Штейнгауза 111
§ 35. Интеграл —— dx. Константы Лебега 112
о
§ 36. Оценка частных сумм ряда Фурье от ограниченной функции 117
§ 37. Критерий сходимости ряда Фурье 118
§ 38. Признак Дини 119
§ 39. Признак Жордана 121
§ 40. Интегрирование рядов Фурье 122
§ 41. Явление Гиббса 123
§ 42. Определение величины скачка функции по ее ряду Фурье 127
§ 43. Особенности рядов Фурье от непрерывных функций. Полиномы Фейера ... 128
§ 44. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся всюду, но неравномерно 130
§ 45. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся в одной точке (пример
Фейера) 132
§ 46. Расходимость в одной точке (пример Лебега) 133
§ 47. Суммирование ряда Фурье методом Фейера 137
§ 48. Следствия теоремы Фейера 141
§ 49. Теорема Фейера—Лебега 143
§ 50. Оценка частных сумм ряда Фурье 144
§ 51. Множители сходимости , 146
§ 52. Сравнение ядер Дирихле и Фейера 146
§ 53. Суммирование рядов Фурье методом Абеля—Пуассона 152
§ 54. Ядро Пуассона и интеграл Пуассона 152

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 55. Поведение интеграла Пуассона в точках непрерывности функции 154
§56. Поведение интеграла Пуассона в общем случае 156
§ 57. Проблема Дирихле 160
§ 58. Суммирование методом Пуассона продифференцированного ряда Фурье 161
§ 59. Интеграл Пуассона—Стилтьеса 163
§ 60. Фейеровские и пуассоиовские суммы для различных классов функций 165
§61. Общие тригонометрические ряды. Теорема Лузина—Данжуа 173
§ 62. Теорема Кантора—Лебега 174
§ 63. Пример всюду расходящегося ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю 175
§ 64. Изучение сходимости одного класса тригонометрических рядов 177
§ 65. Лакунарные последовательности и лакунарные ряды 178
§ 66. Гладкие функции 181
§ 67. Вторая производная Шварца 185
§ 68. Метод суммирования Римана 187
§ 69. Приложение метода суммирования Римана к рядам Фурье 190
§ 70. Теорема единственности Кантора 191
§71. Принцип локализации Римана для общих тригонометрических рядов 193
§ 72. Теорема дю Буа-Реймона 198
ГЛАВА II
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение 202
§ 2. Порядок коэффициентов Фурье для функций с ограниченным изменением.
Критерий для непрерывности функции с ограниченным изменением 203
§ 3. О коэффициентах Фурье для функций из класса Lip a 208
§ 4. Связь между степенью суммируемости функции и коэффициентами Фурье .. 210
§ 5. Обобщение равенства Парсеваля для произведения двух функций 218
§ 6. О скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье от суммируемых функций 221
§ 7. Вспомогательные теоремы о системе Радемахера 223
§ 8. Отсутствие критериев, налагаемых на модули коэффициентов 226
§ 9. Некоторые необходимые условия для коэффициентов Фурье 228
§ 10. Необходимые и достаточные условия Салема 231
§11. Тригонометрическая проблема моментов 234
§ 12. Коэффициенты тригонометрических рядов с неотрицательными частными сум-
суммами 236
§ 13. Преобразования рядов Фурье * 243
ГЛАВА III
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
§ 1. Введение 246
§ 2. Сравнение признаков Дини и Жордана 246
§ 3. Признак Валле-Пуссена, сравнение его с признаками Дини и Жордана ... 247
§ 4. Признак Юнга 249
§ 5. Взаимоотношения между признаком Юнга и признаками Дини, Жордана,
Валле-Пуссена 251
§ 6. Признак Лебега 254
§ 7. Сравнение признака Лебега со всеми предыдущими 258
§ 8. Признак Лебега—Гергена 263
§ 9. О необходимых условиях сходимости в точке 267
§ 10. Достаточные признаки сходимости в точке при дополнительных ограничениях
на коэффициенты ряда 271
§11. Замечание о равномерной сходимости ряда Фурье на некотором отрезке 273
ГЛАВА IV
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Введение 275
§ 2. Достаточные условия для равномерной сходимости, выраженные через коэф-
коэффициенты Фурье 276
§ 3. Достаточное условие для равномерной сходимости в терминах наилучших
приближений 279
§ 4. Признак Дини—Липшица 280
§ 5. Признак Салема. Функции с Ф-ограниченным изменением 283
§ 6. Тождество Рогозинского 288
§ 7. Признак равномерной сходимости, использующий обынтегрированный ряд 291

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 8. Обобщение признака Дини—Липшица (в интегральной форме) 293
§ 9. Равномерная сходимость на отрезке [а, Ь] 296
§ 10. Признаки Сато 299
§11.0 равномерной сходимости около каждой точки отрезка 302
§ 12. Об операциях над функциями для получения равномерно сходящихся рядов
Фурье 303
§ 13. О равномерной сходимости при расстановке знаков у членов ряда 306
§ 14. Экстремальные свойства некоторых тригонометрических полиномов 307
§ 15. Подбор аргументов при заданных модулях членов ряда 309
§ 16. О коэффициентах Фурье от непрерывных функций 311
§17. Об особенностях рядов Фурье от непрерывных функций 316
§ 18. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся неравномерно во всяком
интервале 317
§ 19. О множестве точек расходимости для тригонометрического ряда 318
§ 20. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся на множестве мощности
континуума 319
§ 21. Расходимость на заданном счетном множестве 320
§ 22. Расходимость на множестве мощности континуума при ограниченности част-
частных сумм 322
§ 23. Расходимость для ряда от /2(х) 323
§ 24. Подпоследовательности частных сумм рядов Фурье от непрерывных функций 327
§ 25. Разбиение на сумму двух рядов, сходящихся на множествах положительной
меры 329
глава v
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. Введение 331
§ 2. Теорема Колмогорова—Селиверстова и Плесснера 332
§ 3. Признак сходимости, выраженный через первые разности коэффициентов ... 337
§ 4. Множители сходимости 338
§ 5. Другие формы условия, входящего в теорему Колмогорова—Селиверстова и
Плесснера 339
§ б. Следствия теоремы Плесснера 340
§ 7. Об эквивалентности некоторых условий, выражаемых через интегралы и
через ряды 342
§ 8. Признак сходимости почти всюду для функций из LP(\ <^ р <; 2) 346
§ 9. Выражение условий сходимости почти всюду через квадратичные модули не-
непрерывности и наилучшие приближения 347
§ 10. Признаки сходимости почти всюду на отрезке длины, меньшей чем 2л 350
§11. Индексы сходимости 354
§ 12. Выпуклая емкость множеств 362
§ 13. Признак сходимости, использующий обынтегрированный ряд 378
§ 14. Признак Салема 379
§ 15. Признак Марцинкевича 380
§ 16. Признак сходимости, выраженный через логарифмическую меру множества 384
§ 17. Ряды Фурье, расходящиеся почти всюду 391
§ 18. Невозможность усиления признака Марцинкевича 402
§ 19. О ряде, сопряженном к почти всюду расходящемуся ряду Фурье 406
§ 20. Ряд Фурье, расходящийся в каждой точке 412
§ 21. О принципе локализации для множеств 421
§ 22. О сходимости ряда Фурье на заданном множестве и расходимости вне его .. 425
§ 23. Проблема сходимости и принцип локализации для рядов Фурье с переставлен-
переставленными членами 434
ГЛАВА VI
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
§ 1. Введение 438
2. Две элементарные леммы 438
3. Лемма о множителе Дирихле 440
4. «Исправление» функции для получения равномерно сходящегося ряда Фурье 448
5. Усиленное С-свойство 457
6. Проблемы, связанные с «исправлением» функций 458
7. «Исправление» суммируемой функции вне заданного совершенного множества 459

ОГЛАВЛЕНИЕ У
ГЛАВА VII
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ВОПРОСОВ О СХОДИМОСТИ
§ 1. Введение 472
§ 2. Применение к рядам Фурье методов суммирования с треугольными матрицами 473
§ 3. Суммирование рядов Фурье методами (С, а) 482
§ 4. Метод суммирования Бернштейна—Рогозинского 483
§ 5. Метод суммирования Лебега 485
§ 6. Понятие сильной суммируемости и суммируемости (Я, к) 488
§ 7. Суммируемость (Я, к) для рядов Фурье от функций из класса LP 490
§ 8. Суммируемость (Я, 2) 493
§ 9. Суммируемость (Я, к) с переменным показателем 500
§ 10. Об одном видоизменении понятия сильной суммируемости 503
§ 11. Усиленная сходимость функционального ряда 509
§ 12. Усиленная сходимость тригонометрических рядов 510
§ 13. Суммируемость (С*, 0) 516
ГЛАВА VIII
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 1. Введение 518
§ 2. Сходимость в точке; признак Дини 519
§ 3. Принцип локализации 521
§ 4. Теорема Юнга 521
§ 5. Суммируемость (С, 1) ряда ~a{f) 524
§ б. Суммируемость методом Абеля—Пуассона 526
§ 7. Существование сопряженной функции 528
§ 8. Смысл существования сопряженной функции 531
§ 9. Критерий Лузина для сходимости рядов Фурье от функций с интегрируемым
квадратом 534
§ 10. Условия для того, чтобы два сопряженных ряда были рядами Фурье 538
§11. Коэффициенты степенного ряда для функций класса Н± 545
§ 12. Степенные ряды с ограниченным изменением 547
§ 13. Свойства двух сопряженных функций , 554
§ 14. Функции класса LP. Теорема М. Рисса 564
§ 15. Теорема Зигмунда 568
§ 16. Суммируемость \J(x) \Р при р < 1 572
§ 17. Ряды Фурье для сопряженных суммируемых функций 582
§ 18. А-интеграл и сопряженные ряды 585
§19. Равномерная сходимость двух сопряженных рядов 591
§ 20. Сходимость в метрике LP 593
§ 21. Случай р < 1 595
§ 22. Проблема сходимости в метрике L 598
§ 23. Сходимость сопряженных рядов на множестве положительной меры 604
г л а в a ix
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
§ 1. Введение 607
§ 2. Достаточные условия в терминах модулей непрерывности и наилучших при-
приближений о 608
§ 3. Случай функций с ограниченным изменением 613
§ 4. Необходимые условия *- 618
§ 5. Общие замечания о связи между модулем непрерывности функции и абсолютной
сходимостью ее ряда Фурье 629
§ б. Критерий абсолютной сходимости Шилова 632
§ 7. Критерий абсолютной сходимости М. Рисса 634
§ 8. Критерий абсолютной сходимости Стечкина 636
§ 9. Простейшие операции над функциями с абсолютно сходящимися рядами Фурье 637
§ 10. Роль локальных свойств функции в абсолютной сходимости 638
§11. Суперпозиции функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье 640
§ 12. Некоторые обобщения вопроса об абсолютной сходимости 646

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА X
РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Введение 649
§ 2. Условия для того, чтобы ряды с монотонными коэффициентами были рядами
Фурье 650
§ 3. Ряды Фурье для функций из класса LP 657
§ 4. Д-интегрируемость сумм рядов с монотонными коэффициентами 658
§ 5. Суммируемость | f(x) \Р и \J(x) \P при 0 < р < 1 664
§ б. Равенство Рисса 664
§ 7. Поведение около точки х = О 668
§ 8. Дифференциальные свойства функций f(x) и ](х) 676
§ 9. Ряды с монотонными коэффициентами для функций из класса Lip a 678
ГЛАВА XI
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Введение 680
§ 2. Свойства лакунарных последовательностей 680
§ 3. Лакунарные ряды, суммируемые на множестве положительной меры 684
§ 4. Поведение суммы лакунарного ряда там, где она существует 689
§ 5. Степень суммируемости функций, определяемых лакунарными рядами Фурье 690
§ 6. Непрерывные функции с лакунарными рядами Фурье 691
§ 7. Абсолютная сходимость лакунарных рядов 693
§ 8. Теорема Зигмунда 696
§ 9. Лакунарные ряды, сходящиеся на множестве не первой категории 703
§ 10. Теорема Эрдеша 703
§11. Теорема единственности для лакунарных рядов 708
§ 12. О наилучшем приближении функций, заданных лакунарными тригонометриче-
тригонометрическими рядами 713
§ 13. Локальные теоремы для обобщенных лакунарных рядов 714
ГЛАВА XII
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Введение 721
§ 2. Коэффициенты всюду расходящихся тригонометрических рядов 722
§ 3. Расходимость на множестве второй категории 728
§ 4. Множества типа R 730
§ 5. Множества типа Н 732
§ б. Множества типа На. Теорема Райхмана 735
§ 7. Достаточные условия для /^-множеств 736
§ 8. Базисы 738
§ 9. О мере Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа для R-множеств 743
§ 10. Необходимый признак для замкнутых R-множеств 746
§11. Сумма двух R-множеств 747
ГЛАВА XIII
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Введение 749
§ 2. Влияние точек абсолютной сходимости на сходимость ряда 750
§ 3. Теорема Лузина о категории множества точек абсолютной сходимости 752
§ 4. Простейшие свойства iV-множеств. Редукция к ряду из синусов 752
§ 5. Базисы и абсолютная сходимость 757
§ 6. Общие свойства N- и R-множеств 757
§ 7. Взаимоотношение между классами множеств iV, No и R 759
§ 8. Сумма двух iV-множеств 761
§ 9. Дополнение Салема к теореме Лузина—Данжуа 764
§ 10. Выпуклая емкость множеств и абсолютная сходимость 768
§11. Абсолютная сходимость для рядов специального вида 773

ОГЛАВЛЕНИЕ 11
ГЛАВА XIV
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
§ 1. Введение 781
§ 2. Вспомогательные теоремы о верхней и нижней производной Шварца 783
§ 3. Законность почленного интегрирования тригонометрического ряда 786
§ 4. Обобщение теоремы дю Буа-Реймона; теорема Валле—Пуссена 788
§ о. Теорема Юнга. Постановка проблемы единственности 792
§ б. Свойства нуль-рядов; сумма замкнутых U-множеств 793
§ 7. Я-множества. Теорема Райхмана 796
§ 8. Множества типа Я* 799
§ 9. Подобное преобразование U-множеств . 801
§ 10. Преобразование U-множества в М-множество 802
§11. Критерий для совершенных М-множеств 803
§ 12. Пример Меньшова 804
§ 13. Достаточные условия для М-множеств 807
§ 14. Достаточные условия для замкнутых U-множеств 812
§ 15. Множества типа Я(8) 814
§ 16. Существование U-множества, не содержащегося ни в каком Я(8) 818
§ 17. О точности достаточных условий для совершенных М-множеств 822
§ 18. М-множества в узком смысле 823
§ 19. Симметричные совершенные множества 827
§ 20. Совершенные множества «с постоянным отношением» 829
§21. Несимметричные совершенные множества «с постоянным разбиением» 836
§ 22. Краткий обзор результатов, относящихся к симметричным совершенным мно-
множествам с переменным отношением 836
§ 23. Проблемы, связанные с классификацией множеств меры нуль 838
§ 24. О быстроте стремления к нулю коэффициентов нуль-ряда 840
§ 25. О единственности для различных методов суммирования 844
§ 26. Множества относительной единственности 847
§ 27. Множества относительной единственности для различных методов сумми-
суммирования 851
ГЛАВА XV
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ
§ 1. Введение 852
§ 2. Изображение функции, конечной почти всюду 853
§ 3. Изображение функций, обращающихся в -f-oo или —оо на множестве поло-
положительной меры 864
§ 4. О пределах неопределенности частных сумм тригонометрического ряда 865
§ 5. О множестве предельных функций для тригонометрического ряда 869
§ 6. Универсальные тригонометрические ряды 870
§ 7. Сходимость по мере тригонометрических рядов 875
ДОБАВЛЕНИЯ
К главе II
§ 1. Принцип Фрагмена—Линделефа 877
§ 2. Модуль непрерывности и модуль гладкости в II (р J> 1) 878
§ 3. Обращение неравенства Гельдера 878
§ 4. Теорема Банаха—Штейнгауза 880
К главе IV
§ 5. Категория множества 880
§ 6. Теоремы Римана и Каратеодори 881
§ 7. Связь между модулем непрерывности и наилучшим приближением функции 881
К главе V
§ 8. ^а-меры и интегралы 883
К главе VII
§ 9. Чезаровские средние (С, а) 884
§ 10. Сравнение методов (С, а) с методом А* 887
§11. Применение линейных методов суммирования к функциональным рядам 888

12 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12. Теоремы тауберова типа 889
§ 13. Лемма о точках плотности 892
§ 14. О точках Лебега в Lv 893
§ 15. Слабая сходимость линейных функционалов 894
К главе VIII
§ 1 б. Образ множества 895
§ 17. Сингулярные функции 895
§ 18. Неравенство Бернштейна в пространстве LP (р > 1) 895
§ 19. Неравенство Привалова 896
§ 20. Теорема Бэра 898
§ 21. Неравенство Иенсена 899
К главе X
§ 22. Некоторые неравенства для функций из класса LP 899
К главе XI
§ 23. Вспомогательные теоремы из метрической теории множеств 901
К главе XII
§ 24. Теорема Минковского 903
§ 25. Несколько теорем из теории рядов 904
К главе XIII
§ 26. Равномерное распределение 907
К главе XIV
§ 27. Мажорантные и минорантные функции 910
§ 28. Теорема Минковского о системе линейных форм , 911
§ 29. Теорема Пизо 911
§ 30. Об одной диофантовой задаче 916
§ 31. О множествах типа (Н«>)* 919
Библиография 922
Алфавитный указатель 933

ПРЕДИСЛОВИЕ
Известная книга А. Зигмунда «Тригонометрические ряды»[М6]*) содер-
содержит более или менее исчерпывающее изложение тех результатов по теории
тригонометрических рядов, которые были получены до 1935 года**). С тех
пор интерес математиков к тригонометрическим рядам не уменьшился и
достигнутый прогресс настолько значителен, что представляется необходи-
необходимым изложить современное состояние наших познаний в этой области.
Круг вопросов, которые следовало бы рассмотреть, настолько велик, что
приходится сразу же его ограничить. Поэтому я совершенно исключаю
интегралы Фурье***), тригонометрические ряды от нескольких перемен-
переменных ****) и лишь очень мало касаюсь исследований по наилучшим приближе-
приближениям функций тригонометрическими полиномами.
Я говорю также об ортогональных системах лишь в тех случаях, где
получение теорем теории тригонометрических рядов из более общих, касаю-
касающихся ортогональных систем, оказывается проще; если же перенос теорем
на общие ортогональные системы требует специального изучения, я ограни-
ограничиваюсь их формулировкой для тригонометрических рядов*****).
Несмотря на указанное здесь ограничение материала, его все еще оста-
остается очень много. Когда в 1915 году Н. Н. Лузин написал свою замечатель-
замечательную диссертацию«Интеграл и тригонометрический ряд» [М-9Ъ [М* ю\ где им был
решен и поставлен целый ряд существенных проблем, он отметил, что «поня-
«понятие ряда Фурье не есть понятие вполне определенное и устойчивое, но всецело
зависит от понятия интеграла. Принимая в формулах Фурье все более и более
общее определение интеграла (Коши, Римана, Дирихле, Гарнака, Лебега,
Данжуа), мы расширяем все более и более класс тригонометрических рядов
Фурье». В настоящей книге под словами «ряд Фурье» я всегда буду понимать
ряд Фурье—Лебега. Известно, что существуют тригонометрические ряды,
сходящиеся в каждой точке, но имеющие сумму неинтегрируемую не только
*) Библиография помещена в конце книги; цифры в квадратных скобках в тексте
являются ссылками на эту библиографию. Цифра, снабженная буквой М, означает ссылку
на монографию или учебник.
**) Английское издание книги Зигмунда [М.б] сдано в печать в 1935 году; русский
перевод появился в 1939 году. [Примечание при корректуре. В последнее время
вышла фундаментальная монография А. Зигмунда «Trigonometric series», 2-е издание,
Кембридж, 1959.]
***) Этому вопросу посвящены специальные книги, например Титчмарш [м. 23].
***¦) Основные сведения по этому вопросу можно найти в книге Hobson [M.29J,
т. II или в книге Tonelli tM- 33]. Изложение современных результатов, по моему мнению,
является в настоящий момент преждевременным, так как теория кратных тригонометри-
тригонометрических рядов еще недостаточно разработана.
*****) Общей теории ортогональных рядов посвящена книга Качмаж и Штейнгауз
Iм- 7], русский перевод которой, снабженный дополнительными статьями, освещающими
современное состояние этой теории, вышел в 1958 году.

14 ПРЕДИСЛОВИЕ
по Лебегу, но и по Данжуа, в том смысле, как интеграл был определен
самим Данжуа (см. Denjoyt3]) и А. Я. ХинчинымП] в 1916 году. Чтобы
суметь выразить коэффициенты такого ряда через его сумму по формулам
Фурье, Данжуа позже изобрел новый процесс: тотализацию с двумя
индексами (см. Denjoy ^M- 27^).
Я не сочла возможным осветить в своей кциге эту хотя и очень важную
тему, так как на это потребовалось бы слишком много места. Более того, я не
касаюсь даже и рядов Фурье—Данжуа, если понимать интеграл Данжуа
в смысле первоначального определения: уже на изложение материала по
рядам Фурье—Лебега и общим тригонометрическим рядам (т. е. не являю-
являющимся рядами Фурье) понадобилось очень много страниц. Ведь если в первое
время после создания интеграла Лебега принято было думать, что множе-
множествами меры нуль всегда можно пренебречь, то в настоящее время совершенно
ясно обратное: в целом ряде вопросов теории тригонометрических рядов
некоторые множества меры нуль ведут себя так, как множества положитель-
положительной меры. Таким образом, если прежде об общих тригонометрических рядах
можно было сказать очень мало, то теперь им посвящен ряд интересных работ,
где появились не только новые результаты, но и существенно новые методы
(в частности, в теории тригонометрических рядов иногда значительную роль
играет теория чисел).
Сказанное здесь имеет целью хоть отчасти объяснить объем настоящей
книги. Конечно, желая его сократить, можно было бы пойти по пути лако-
лаконичного изложения, но я сознательно от этого отказываюсь. Мне кажется, что
в последнее время авторы математических работ слишком злоупотребляют
словами «легко видеть», в результате чего читатель часто не понимает доказа-
доказательств теорем или упускает некоторые важные моменты. Я же старалась
сделать изложение вполне доступным для аспирантов и студентов старших
курсов. Особенно это относится к материалу главы I. Я предполагаю, что ее
сможет понимать всякий, кто знает лишь теорию интеграла Лебега в объеме
обычного курса теории функций для университетов *). В следующих главах
содержатся уже более углубленные исследования по теории тригонометри-
тригонометрических рядов; для их понимания иногда требуются дополнительные сведения.
Для удобства читателей доказательства ряда теорем, на которые я ссылаюсь
в тексте, помещены в «Добавлениях». Во «Вводный материал» отнесены неко-
некоторые весьма элементарные теоремы из анализа, теории рядов и теории функ-
функций, которыми я пользуюсь в тексте систематически; я даю ссылки на наибо-
наиболее употребительные учебники, где можно найти их доказательства. Ввод-
Вводный материал написан в виде отдельных теорем, причем я не ставила себе
целью их формулировать в самой общей форме, а лишь так, как это понадо-
понадобится в дальнейшем тексте.
Считаю своим долгом выразить искреннюю благодарность П. Л. Улья-
Ульянову, который прочел всю книгу еще в рукописи и сделал ряд ценных указа-
указаний как в смысле подбора материала, так и в смысле устранения некоторых
недочетов. Он дал также во многих случаях ряд собственных доказательств
теорем других авторов.
27 декабря 1957 г. Н. Бари
*) Например, в объеме книги П. С.Александрова и А. Н. Колмогорова см- ^ или кни-
книги И. П. Натансона tM- *Ч

ОБОЗНАЧЕНИЯ
[a, b] означает множество всех х, таких, что а <;х <; Ь\ соответственно
(а, Ь] для а < х <С Ь; (а, 6) для а < х < Ь и [а, 6) для а < х < 6.
[х] — целая часть числа х.
(х) = х-[х].
W — разность между х и ближайшим целым (по недостатку или по
избытку).
х^х0 (mod а) — разность х — х0 делится на а.
f монотонно не убывает; | монотонно не возрастает; | а (и j a) — стре-
стремится к а, монотонно не убывая (соответственно не возрастая).
f(x) ? С [а-у Ь] — f(x) непрерывна на [а, Ь],
f(x)? L[a,b] — f(x) суммируема на [а, Ъ\
f(x) ^ U [а, Ь] — f(x) суммируема в степени р на [а, &].
"[a,ft]= J"l/lpdx P, l<P<co;||/||crflfftl= max|/(x)|.
[а ) а^х^Ь
Если ясно, о каком отрезке идет речь, то будет употребляться краткое
обозначение ||/||р, или 11/||с.
||/||«, — см. § 9 Вводного материала.
/ (х) ? Lip а означает: существует константа С такая, что | / (хг) — / (х2)| ^
^ С\хг — x2ja для любых х[ и х2 на отрезке, где /(х) определена,
я, О, ~, ^ см. § 11 Вводного материала.
a(f) — ряд Фурье функции /(х).
х ^ Е — точка х принадлежит множеству Е.
Е1 с Е2 — любая точка из Ег принадлежит ?2.

ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
I. ТЕОРЕМЫ ИЗ АНАЛИЗА
§ 1. Преобразование Абеля
Пусть щ, и1У ..., v0, vv ..., vm ... — любые действительные числа;
положим
Vn = v0 + v1 + ... + vn.
Тогда для любых тип имеем
2 ukvk = 2 («л - Ил+i) Vk + anVn- um Ут-г A.1)
k=m k=m
(если m = О, то условимся считать \Л_Х = 0).
Эта формула, носящая название преобразования Абеля, доказывается
мгновенно; надо только заметить, что vk = V^ — Vk-V подставить это выра-
выражение в левую часть и сгруппировать члены.
При т = 0 получаем, в частности,
2 ukvk = nZ (ak - ик+1) Vk + unVn. A.2)
к=0 к=0
Важность формул A Л) и A.2) станет ясной, если заметить, что они играют
ту же роль, как интегрирование по частям: подобно тому, как вычисление
интеграла Ja dv иногда удобно свести к вычислению интеграла jWw, мы и
здесь, полагая
Аик = ик— ик+1,
можем переписать A.1) в виде
П2 AukVk=- 2 икЛ VVi + ит Vm-X ~unVn, A.3)
к=т к=т
т. е. свести вычисление одной из рассматриваемых сумм к другой, что часто
оказывается полезным.
В частности, это бывает удобно, когда одна из рассматриваемых последо-
последовательностей монотонно убывает (так как из ик j следует Аик^0 для
всех к).

18
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Из преобразования Абеля сразу
Следствие. Если все ик^0
Действительно,
2 ukvk
к=т
п
к=т
п-\
2 (и —
к—т
получаем
и ик \ , а |
<2итМ
следствие.
Vk\ ^ Af для т^ к
<2атМ.
^ п, то
A.4)
Рассмотрим теперь случай, когда вместо чисел vn мы имеем функции
vn(x), определенные на некотором отрезке [а, 6]. Полагая
имеем лемму:
Лемма Абеля. Если ип | 0 и
то ряд
2 unvn
/i=0
сходится равномерно на [а,Ь] и для его суммы S(x) справедливо неравенство
\S(x)\^Mu0, a^x^b. A.5)
Действительно, положим
Sn(x)=2oukvk(x).
Тогда по формуле A.2)
Sn (х) = 2о (ик - пк+1) Vk (х) + ип Vn (x),
откуда
Sn (*) - ия ^ W = 2 («л ~ «л+i) ^л W -
Так как
A.6)
а ряд
\(uk-uk+1)Vk(x)\^(uk-uk+1)M, a
2М(ик-ик+1)
к=0
A.7)
с неотрицательными членами сходится (в силу ип ф 0) и имеет сумму Ми0У
то ряд
сходится абсолютно и равномерно на [а, Ь]. Тогда из ип ф 0 и A.6) следует,
что Sn (х) стремится равномерно на [а, Ь] к некоторой функции S (х), для кото-
которой справедливо A.5), и лемма доказана.
Лемму Абеля можно обобщить. Предварительно введем определение.

ВЫПУКЛЫЕ КРИВЫЕ И ВЫПУКЛЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
19
Определение. Последовательность чисел { ип] имеет ограниченное
изменение, если
оэ
2 \Лип\< + оо. A.8)
п=0
Ясно, что если ип ф 0, то условие A.8) имеет место*
Лемма Абеля сохраняет силу, если условие ип ф 0 заменить условием:
последовательность {ип} имеет ограниченное изменение.
Действительно, доказательство полностью сохраняет силу, если только
в правой части A.7) вместо ик — ил+1 написать \ик — ил+1| = \Аик\.
§ 2. Вторая теорема о среднем значении
Пусть f(x) ug(x) — две функции, интегрируемые по Риману на некотором
отрезке [а, ft]. Тогда, если f(x) монотонна на [а, Ь], то имеет место формула
ь i ь
J f(x)g(x)dx = f(a) Jg(x)dx + f(b) § g(x)dx, B.1)
где a<^ ? <>.
В случае, когда/(х) не только монотонна на [a, ft], но и неотрицательна
на этом отрезке, формула упрощается и принимает вид
//(x)g(x)</x = /(a)jg(x)dx,
если
/(х)
B.2)
/ / (х) g (x) dx = / (b) / g (x) dx, если / (x)
B.3)
(см., например, Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, т. II, § 294).
§ 3. Выпуклые кривые и выпуклые последовательности
Определение 1. Кривую у = ср(х)условимся называть выпуклой,
если для любых двух ее точек А и В точки
дуги АВ лежат ниже хорды АВ или на
ней (рис. 1). Аналогично, кривая назы-
называется вогнутой, если точки дуги лежат
выше хорды или на ней.
Например, если у(х) имеет производ-
производную второго порядка и у" (х) ^ 0 на
[а, Ъ\ то <р(х) выпукла на этом отрезке.
Действительно, если а < х < &, то
для любого h > 0, если только оно дос-
достаточно мало для того, чтобы х + Них — h
все еще лежали на {а, Ъ), имеем Рис. 1
<р{х + К) — (р{х)=-11(р'(хд, где
cp(x — h) — (p{x) = — h<р'(хъ), где
У-
О
\
а
i
3
> X
х — h
Поэтому
V(x + h) + v(x - ft) - 2 (р(х) = h [<p'(xj - V'(xj] = h(xx -x2)?>"
0.

20 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
(Здесь х — ft < ? < х + ft.) Итак,
<p(x + h) + <p(x- h)
т.е. т/v\^ <р(х + h) + <р(х — h)
откуда, в силу непрерывности <р (х) следует, что любая точка дуги кривой
между х — ft и х + ft лежит ниже или на хорде, т. е. кривая выпукла.
Теорема. Если F(x) выпуклая на [а, Ь] функция, то ее молено пред-
представить в виде
C.1)
где <p(t) — неубывающая функция на [а, Ь]. Обратно, каждая функция F(x),
представимая в такой форме, выпукла на [a, ft].
См., например, Натансон Iм- 16J, стр. 547.
Впоследствии нам придется подробнее знакомиться со свойствами выпук-
выпуклых функций; в данное время мы говорим о них лишь в связи с понятием
выпуклой последовательности.
Определение 2. Последовательность {ап} (п = 0, 1, ...) называ-
называется выпуклой, если,, полагая
имеем
А*ап^О (л = 0, 1, 2,...).
Ясно, что если кривая у = <р (х) выпукла на О <J x < + °°, то точки
ап = <р(п) образуют выпуклую последовательность.
Укажем ряд свойств выпуклых последовательностей.
1) Если последовательность {ап} выпукла и ограничена сверху, то ап ф .
Надо доказать, что Аап^О. Если бы это было неверно, то нашлось бы
такое т, что Аат <0. Но тогда в силу выпуклости при любом к^т имеем
Аак < 0 и \Аак\ > \Аат\; так как
ап — ат = (ап - ап^) + (ап-г — ап-2) + ... + (ат+1 - ат) =
= -П2 Дак= 2 MflJ>(n-/n)Mflm|->oo
к=т к—т
при п -> oof но ап ограничено сверху, и мы приходим к противоречию.
2) Бела {ап} выпукла и ап -> 0, шо ап ф О-
Действительно, из ап->0 следует ограниченность ап сверху; тогда в
силу только что доказанного ап ф ; вместе с ап->0 это дает ап ф 0.
3) Если {йп} выпукла и ограничена, то
->0 C.2)
2(п+1)А*ап< + оо. C.3)
Действительно, мы уже видели, что при этих условиях ап ф . В силу
ограниченности снизу, тогда числа ап имеют конечный предел. Пусть
Urn an = a;
тогда
а0 - а = (оь - fli) 4- («i - «2) + • • • + (fln - fln+J) + . • •,

§4 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ ЧЛЕНАМИ 21
где ряд, стоящий в правой части, имеет члены, монотонно убывающие, и он
сходится. Поэтому и п лап -> 0 в силу известной теоремы из теории числовых
рядов.
Далее, применяя преобразование Абеля, находим
2 Аат= 2 \-Аат= "^ (т+ \)А*ат + (п+ \)Aanj
m=O m=O m=0
и так как (п + ^)Аап -> 0, а
п
2 Аат = а0 — яп-^~а0 — а при п—>оо,
т=О
ТО
П2 (т+1)А*ат-+а0-а, т. е. ряд 2 (т+1)А*ат
т=О т=О
сходится, а это и надо было доказать.
Замечание. Если {ап} выпукла и ап -> 0, то доказанное предложе-
предложение тем более справедливо.
II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ, СУММИРОВАНИЕ
§ 4. Ряды с монотонно убывающими членами
Теорема 1 (теорема Коти). Если ип \ 0, то ряды
сходятся или расходятся одновременно.
Действительно, в силу монотонности ип имеем при любом к
2*
Z i*2* ^>. ?1 Un ^^ Z U2*
и остается заметить, что
2к
2ип = иг+2 2 и*.
Теорема 2. Если ап \ 0 и 2J ап = +оо, то, полагая Аап = ап— ап+1,
имеем
2 п Аап = + °° .
п
Положим ип= yj кАак. Всилуап|О имеем Аак^О (к = 1, 2, ...).
/с=1
Значит все ип ^ 0 и t. Надо доказать, что ап ->оо. Если бы это было не-
неверно, то
ип f а, где а ф + оо.

22 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Тогда ип = а— еп) где еп ф 0, и следовательно, так как
*1Я - Ип-х = П Лйп = (fl - в„) - (fl - ?„_!) =
то
В силу а„ — 0 и 4ек ^> 0 имеем
а потому па„ -> 0.
Но, применяя к сумме, изображающей ипу преобразование Абеля,
находим
а так как ип -^ а, а пап -> 0, то
at + a2+ ... +an->af
что противоречит условию Е ап = + оо.
Для дальнейшего полезно ввести следующее определение.
Определение 1. Пусть Е ип — сходящийся ряд с ип ф 0.
Полагаем
00
Будем говорить, что этот ряд удовлетворяет условию (L), если
D.1)
Если члены ряда убывают не медленнее некоторой геометрической
грессии, т. е, если
то он удовлетворяет условию (L), но обратное заключение, разумеется, не-
неверно, как показывает хотя бы такой пример:
Овп-! = «2* = 0п, п = 1, 2, ...; 0 < в < 1.
Покажем, что если ряд удовлетворяет условию (L), то каково бы ни было
в < Г, его можно разбить на конечное число / рядов (Z зависит от в) так,
чтобы члены каждого из них убывали не медленнее, чем геометрическая про-
прогрессия со знаменателем 0.
Действительно, условие D.1) означает, что
где с — постоянное. Пусть в задано. Выберем число I так, чтобы
Тогда в силу монотонного убывания чисел ипи в силу D.2) имеем
2 к< k,n D.3)
к=п к—п

РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ ЧЛЕНАМИ 23
а потому в силу D.3)
Следовательно, все / рядов
«1 + U1+1 + «1+2/ + ...»
на которые можно разбить наш ряд 2 ик>, убывают не медленнее, чем гео-
к=\
метрическая прогрессия со знаменателем в.
Докажем теперь теорему.
Теорема 3. Если ряд Zun удовлетворяет условию (L), то
Действительно, имеем из определения
Мп == гп — *л+1»
а потому из"^~<с
ГП — Гп+г '
откуда
т. е.
сгп+1 < (с — 1) гп
или
, где 0 =
Но тогда
а это и значит, что D.4) доказано.
Определение 2. Будем говорить, что возрастающая последователь-
последовательность натуральных чисел
пг < п2 < ... < пк < ...
удовлетворяет условию (L), если ряд 2 — удовлетворяет условию (L), т. е.
ilfC
2 — = О (—) • D.5)
В частности, это имеет место для одного важного класса последователь-
последовательностей, называемых лакунарными.

24 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Определение 3. Последовательность натуральных чисел
nL < п2 < ... < пк < ...
называется лакунарной, если существует такое А > 1, что
Шс+
Пк
=1, 2,...). D.6)
Ясно, что всякая лакунарная последовательность удовлетворяет усло-
условию (L), так как
Пк+5>Ь8пк (s= 1,2, ...),
а потому
В общем случае последовательность, удовлетворяющую условию (L),
можно разбить на конечное число лакунарных (так как она разбивается на
конечное число таких, у которых члены растут не медленнее, чем члены не-
некоторой возрастающей геометрической прогрессии).
Замечание 1. Если последовательность {пк} удовлетворяет усло-
условию (L), то и [гЩ также. Действительно,
Замечание 2. Если последовательность {пк} удовлетворяет условию
(/,), то
т
?пк = О(пт). D.7)
Действительно, по условию имеем
2 — < С —, D.8)
где С — постоянная. Ясно, что С > 1.
Положим
гп
: 2J
к=т
1
Пт
Тогда — = гт — гт+1 и D.8) принимает вид
откуда
#m+l
или, полагая в =
гдеО<0< 1. Но
1
с >
6rm (т= 1,2, ...), D.9)

§5
ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ
25
и, с другой стороны, в силу D.8) rm< —, следовательно
с
т гт
Отсюда
где К — постоянная, а это и доказывает D.7).
§ 5. Линейные методы суммирования
Существует целый ряд приемов, позволяющих приписать «сумму» рас-
расходящемуся ряду; эти приемы носят название методов суммирования рядов.
Наиболее употребительными являются линейные методы суммирования, кото-
которые строятся по следующему принципу: пусть А — некоторая матрица с
бесконечным числом строк и столбцов
А =
... а
1п
ап0... ап
Вместо рассмотрения обычных частных сумм 5пряда 2 ип рассматри-
рассматривают числа
п=0
ап = 2 апк
к=0
E.1)
предполагая, что ряды в правых частях этих равенств сходятся
(л = 0, 1, 2, ...); если при этом существует предел
Hm on = S,
то число S называют «суммой» ряда 2 ип и говорят, что метод, определяемый
л=о
матрицей, суммирует ряд %ип к числу S.
Методы, определенные таким образом, носят название линейных потому,
что если такой метод суммирует ряд Еип к сумме S, то ряд ?Сип} где С посто-
постоянно, суммирует к CS и если ряд Evn суммируется к Sv то ряд ?(ип + vn)
суммируется к S + S±.
Метод суммирования принято называть регулярным, если всякий сходя-
сходящийся ряд суммируется этим методом к числу S, являющемуся его суммой в
классическом смысле слова, т. е.
S= Hm Sn.
П-* оо
Теплиц (Toeplitz[1]) доказал, что для регулярности линейного метода, опре-
определяемого матрицей А} необходимо и достаточно, чтобы были выполнены сле-
следующие три условия:
1. lim ank = 0 (A = 0, 1,...).
П—»оэ
2. Если Ап = ап0 + ап1 + ... + апк +..., то lim Ап = 1 .

26 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
3. Если Кп= 2 \апк\, тоКп<С (п= 1,2, ...), гдеС — постоянное.
к=0
Принято называть их «условиями Теплица», а удовлетворяющие им
матрицы — Т-матрицами.
Мы не будем доказывать, что эти условия необходимы для регулярности
метода (см. об этом, например, Харди/М-2^ §3.2), что касается их достаточ-
достаточности, то она получается мгновенно. Действительно, пусть
S= HmSn.
Л-»оо
Положим Sn = S + ет тогда еп -> 0 при п -> оо. Но
°п = 2 anpSp = S 2 апр + 2 апре =SAn+ ? апре
р=0 р=0 р=0 р=0
Так как Ап -> 1 при п-»оо в силу условия 2, то остается доказать, что
00
lim 2 dnp?P = O.
П*СО р = 0
Пусть е > 0 дано; выберем JV столь большим, что |ер| < е для р > N,
а
тогда
N
р=0
? unp cp
p=0
p=N+l
unp\
В первой сумме число членов ограничено, апр -> 0 при п -> оо, числа ер
ограничены в совокупности; значит, при п -> оо эта сумма стремится к 0;
вторая сумма не превосходит е С, где С — константа из условия 3, as взято
произвольно малым, поэтому правая часть может быть сделана как угодно
малой с ростом п, и теорема доказана.
Принято называть матрицу А положительной, если все апк ^> 0 (к =
= 0,1,..., п = 0,1,...). Ясно, что если для положительной матрицы
выполнено второе условие Теплица, то выполнено и третье.
Матрицу А называют Т*-матрицей, если она удовлетворяет двум первым
условиям Теплица, но не обязательно удовлетворяет третьему (в силу преды-
предыдущего замечания, для положительных матриц этот случай невозможен).
Сделаем еще одно общее замечание о матрицах Т; пусть Sk не стремится
к пределу, но зато существует lim Skn=S, где {кп} — некоторая возра-
возрастающая последовательность из натуральных чисел. Мы можем тогда ска-
сказать, что последовательность Sk суммируется к S некоторым методом Теплица.
Действительно, если положить
апкп = 1, л = 0, 1,2, ...,
апк = 0, если к + кпУ
то полученная матрица удовлетворяет всем трем условиям Теплица и при
этом ап = И ankSk = Skn -> S при п -> оо, т. е. последовательность Sn сумми-
суммируется к S этим методом.
§ 6. Метод средних арифметических [или (С, 1)]
В качестве простейшего примера методов, определяемых матрицами Т,
рассмотрим классический случай, а именно метод средних арифметических
[или (С, 1) *)], введенный Чезаро. Чезаро предложил приписывать расходяще-
*) Обозначение (С, 1) станет понятно, когда будет введено понятие методов (С, а
(см. Добавления, § 9).

§ 7 МЕТОД АБЕЛЯ 27
муся ряду сумму S, если lim ап = S, где
^ "~ /2+1
и доказал регулярность этого метода суммирования.
Если положить
яп ={тТТ ( ,,,),
* 10 (&>л),
то метод средних арифметических определяется матрицей А = ||anfc|| и сразу
видно, что здесь три условия Теплица удовлетворены, т. е. А есть Т-матрица.
Замечание 1. Метод средних арифметических (или метод (С, 1))
является также и вполне регулярным, т. е. если
то и
Действительно, если М любое, то можно найти такое JV, что Sn > М
при п ^> N. Тогда
Первое слагаемое стремится к нулю при п -> оо, а для второго имеем
п — N ^ м
как только п > 2JV + 1, а потому ап становится как угодно большим, если
п достаточно велико, т. е. ап -> оо, а это и надо было доказать.
Замечание 2. Говоря о методе (С, 1), необходимо отметить одну
формулу, которая в дальнейшем часто будет употребляться, а именно: если
Sn — частные суммы, а оп — средние арифметические для ряда ?ик9 то
sn-a* = TTTkkUk- (бЛ)
Действительно,
sn-°n = Sn- • п'^1 = -^j 2Q(Sn- Sk) =
+ «) |Л«
| ...+ «„) = гг|оЛ«л.
§ 7. Метод Абеля
00
Пусть 2 ик — числовой ряд и х действительное число, 0 ^ х < 1.
fe=o
Говорят, что ряд 2 ик суммируется методом Абеля к числу S (или
fc=O
00
кратко: суммируется А к числу S), если 2 иихк сходится для 0 <^х < 1 и
к=0
lim 2 икхк =S. G.1)
1 к0

28 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Условие G.1) можно переписать в другой форме. С этой целью заметим, что
для 0 <; х < 1 имеем тождественно
2 ukx«=(l-xJSkxk . G.2)
к=0 к=0
Действительно, пусть 0 < х < 1 и ряд слева в G.2) сходится. Возьмем такое
г, что х < г < 1. Тогда, так как 21 икгк сходится, найдется такое С, что
\икгк\ <С (к = 0,1,...).
Поэтому
а это выражение стремится к нулю при п -> оо. Но в силу преобразования
Абеля
2 ии*к = "Я Sk(xk - хк^) + Snx"=(l-x)Z Skxk +Snx\
к=0 к=0 к=0
и так как Snxn -> 0, то G.2) доказано. Доказательство аналогично, если пред-
предположить сходимость ряда в правой части G.2).
Поэтому условие G.1) можно также записывать в виде
lim A-х) 2 Skxk=S G.3)
х->1 к=0
и говорить, что ряд суммируем к числу S методом Абеля, если выпол-
выполнено G.3).
Докажем, что имеет место
Теорема Фробениуса. Если ряд суммируем (С, 1) к числу S,
то он суммируем методом Абеля к тому же числу.
Действительно, так как
(n+l)on = S0 + S1+ ... +Sn,
то, применяя преобразование Абеля к правой части G.2), находим
i ukxk = A - хJ 2 (Н + 1)okx« . G.4)
k=0 k=O
Но так как для 0 < х < 1 имеем
ahf 2(+)
К1 х) к=0
или
l=(l-xJi(/c+l)xS G.5)
к=0
то, умножая обе части G.5) на S и вычитая из G.4), находим
2 Ukxk-S = (l - xf 2 (А + 1)К- S)xk =
= A - xf 2(k + l)(°k - S)x« + A - xf v (k + \)(pk - S)xk . G.6)
k=0 N+l

§ 7 МЕТОД АБЕЛЯ 29
Если s задано, то молено выбрать N так, чтобы
\ак+1 — S\ < в для к > N,
а тогда вторая сумма в правой части G.6) меньше е, что же касается первой
суммы, то она стремится к нулю, так как число членов в ней фиксировано.
Отсюда вытекает выполнение G.1) и теорема доказана.
Чтобы сравнить метод Абеля с ранее рассмотренными линейными мето-
методами суммирования, можно было бы вместо непрерывного параметра г рас-
рассматривать любые последовательности гпу где гп -> 1 при п -> со. Однако более
целесообразно рассмотреть вместо матриц \\апк\\ совокупность функций ак (х),
где к = 0, 1, 2, ... иО^1< 1. Если мы положим
а(х)= 2 ak(x)Sk,
к=0
предполагая, что ряд в правой части сходится при х -> 1, и если
lim о (х) = S,
то можно рассматривать S как «сумму» ряда Еику определяемую таким мето-
методом суммирования с непрерывным параметром х -> 1.
Совершенно так же, как была доказана регулярность методов, опре-
определяемых матрицами Теплица, мы видим, что такой метод будет регулярным,
если выполнены условия:
Г. lim ак(х)=0 (к = 0, 1,...).
Х-+1
2°. Если А(х) = 2<*к(х), 0<х< 1, то Л (х)->1 при х->1.
о
к=О
где С — постоянное.
В частности метод Абеля регулярен, так как в этом случае
ак(х) = хк — хк+\
и сразу видно, что все три условия удовлетворены. Более того, метод Абеля
вполне регулярен, так как, если Sk -> + со, то можно для любого М найти
такое к0, что Sk > М при к > /с0; тогда
оо к0 оо
у\ у <ч, гк — (\ х) У S, хк -А- (] х) У
к=0 к=0 к=ко+\
к0
>A-х) 2 Skxk+Mxk°+K
к=0
Если х -> 1, то первое слагаемое правой части есть#A), поскольку к0 фикси-
фиксировано, а второе стремится к М, а потому A — х) S Skxk может быть сделано

30
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
больше любого наперед заданного числа, если х достаточно близко к 1, а это
и значит, что Z ип суммируется Лк + оо,
Представляется очень полезным наряду с методом А рассмотреть еще
один метод суммирования, тесно с ним связанный. Именно, вместо действи-
действительных чисел х, 0 ^ х < 1, стремящихся
к1,мы будем рассматривать комплексные
числа. Мы будем говорить, что z ~> 1 по
некасательному к окружности пути, если
точка z при своем стремлении к точке М
A.0) не выходит из некоторого угла ве-
величины 26 [в <— с вершиной в М и бис-
биссектрисой, совпадающей с Ох. Из геометри-
геометрических соображений (см. рис. 2) ясно, что
это условие можно записать в виде
|z|), G.7)
Рис. 2
где С — некоторое постоянное. Действительно,
г2 = 1 + е2 — 2 q cos a,
2 е cos а - е2 = 1 - г2 = A - г) A + г),
1 —г ~~~ 2 cos а — q ^  cos 0 — q '
G.8)
При 2 -> 1 имеем q -> 0, знаменатель в правой части ограничен снизу, а числи-
числитель не превосходит 2, а это и значит, чтоу^гу <С.
Теперь введем определение.
Определение. Ряд Е ип называется суммируемым к S методом Л*
(или кратко суммируемым А* к S), если
lim
2
n=0
когда г -> 1 по любому некасательному пути (иначе говоря, если г -> 1, то
1-|г
где С постоянно).
Ясно, что если ряд суммируем А*, то он суммируем А.
Докажем теперь, что метод А* также регулярен. Чтобы убедиться в этом,
заметим, что когда мы применяем метод суммирования, описанный в § 7, то
функции, фигурирующие в этом методе, можно считать и функциями ком-
комплексного переменного. Вместо х->1 по действительной оси можно считать,
что х -> 1 по некоторому множеству, для которого точка A,0) является пре-
предельной. Регулярность метода продолжает сохранять силу, если в условиях
1°, 2° и 3° считать х -> 1 по этому множеству.
В частности, полагая ак(х) = хк — хк+\ видим, что все условия регуляр-
регулярности выполнены, если ~ i < С, т. е. метод Д* регулярен.

ЧИСЛОВЫЕ НЕРАВЕНСТВА
31
III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ЧИСЕЛ, РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ
§ 8. Числовые неравенства
1. Для любых двух чисел а и Ь и лгобого р ^ 1 имеем
\с
Действительно, если
то
и
Если же
то
и
|а + b \p<^2p\b\p<^2p(\cl\p + |Ь\р).
2. Для любых двух чисел аи&иО^р< 1 имеем
(8.1)
Положим
(8.2)
Неравенство будет справедливо, если мы докажем, что
+*р при
(8.3)
Но неравенство (8.3) справедливо потому, что функция A + 0р— О +
обращается в нуль при t = 0 и убывает с рос-
ростом /, значит она всюду неположительна.
3. Если аиЬ — любые положительные, а
р и q такие, что р > 1, q > 1 и
то
~
(8.4)
Рис. 3
Положим р = 1 + «, а > 0, и построим
график функции у = ха (рис. 3). Так как это
i_
функция возрастающая, то обратная функция х = у«" определена одно-
однозначно. Так как
а
О

32 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
(потому что 1 + — = 1 + _ 1 = —zry = #)> то нужное неравенство выте-
вытекает из того, что площадь прямоугольника со сторонами а и Ь не превосходит
суммы площадей St + S2.
В случае Ь = аа и только в этом случае неравенство превращается в ра-
равенство.
Совершенно так же можно доказать, что если у (и) непрерывна при
и ;> 0, ср @) = 0, (р (и) возрастает и ср (и) -> оо, а гр (и) -> оо — обратная к ней
функция, то, полагая
Ф (х) = ]<р (a) da, V(y) = f у (v) dv,
б 6
имеем
аЬ<^Ф{а) + Т(р) (8.5)
для любых положительных а и 6.
Такие функции Ф и З7 иногда называют взаимно дополнительными.
1
(В предыдущем примере было ср (и) — иа, где а = р — 1, чр (у) = v"«"). Неравен-
Неравенство (8.5) называется неравенствол1 Юнга.
§ 9. Неравенство Гельдера
Пусть
f(x)eLP[aJ], <p(x)eU[a,p\,
где
Докажем справедливость неравенства
L
jJj |<p(x)Nx)? (9.2)
а а а
или кратко
|М1, (9-3)
(см. обозначения для норм).
Действительно, полагая для краткости
„_ I/WI и__ |У(Х)|
а~ ||/1!р J I|9||9 J
имеем в силу (8.4)
|/(x)y(x)| = ||/||p||y||,eft<||/||p||?>||,(-5-+-f). (9.4)
Но
Интегрируя по х, находим
l<f dx=\ и

НЕРАВЕНСТВО ГЕЛЬДЕРА 33
и в соединении с (9.1) и (9.4) дает
/|/(xMx)|dx<||/||p|H|?,
а
а это и есть (9.3).
Замечание 1. Полагая р = q = 2, получаем известное неравенство
Буняковского
| J / (х) <р (х) dх КA1 /12 dхJ (J \cp\2 dxJ (9.5)
а а а
ИЛИ
Если {ап} и {6П} — две последовательности чисел, причем ряды
1 1
сходятся, то совершенно также имеем
rKlp]7(JhM*]7 (9-б)
при
_1_ J J
Замечание 2. Неравенство (9.3) сохраняет силу при р = 1 и q = оо,
если условиться считать
|М|.= Вт ||9 ||г (9.7)
q+co
Покажем, что предел в правой части (9.7) существует, если функция суще-
существенно ограничена, и он равен ее существенной верхней грани. При этом
под существенной верхней гранью понимается такое число М, что почти
всюду на (а, /?) имеем
и, с другой стороны, для любого ЛГ < М найдется такое множество Е,
тЕ>0, где \<р(х)\ >М'.
Действительно, если (9.8) выполнено почти всюду, то
и поэтому
С другой стороны, если М' < М и \<р(х)\ > М' на Е, то
г
а потому
lira Ы\9>М',
q-*-co

34 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
а так как М' любое, лишь бы М' < М, то
Шп \\<p\\q>M,
откуда и вытекает
М = lim || <p\\q = \ <р\\<». (9-9)
Теперь мы видим, что если В — класс существенно ограниченных функ-
функций, то для / € L и ср еВ неравенство (9.3) справедливо, если понимать под
||<р|!оо существенную верхнюю грань для q>, определяемую формулой (9.9).
' Из неравенства Гельдера выведем одно следствие, весьма полезное в даль-
дальнейшем.
Пусть g(f) ограниченная, периодическая с периодом 2тг, неотрицатель-
неотрицательная и такая, что
Пусть / (х) е U. Если
то
Действительно, в силу неравенства Гельдера
< f \t(t)\"i(t-x) dt{
— 71 —Л
= !\f(t)\'g(t-x)dt,
— Л
откуда
J \a(x)\Pdx<: S{S\f(t)\'g(f-x)dt}dx
— 71 —71
и, меняя порядок интегрирования,
В силу периодичности g(t) имеем из (9.10) и (9.12)
+f
+f\a(x)\Pdx^+f\f(t)\Pdt
и, возводя в степень —, получим искомое неравенство.

§ 10
НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО
35
§ 10. Неравенство Минковского
Пусть / (х) € Lp[a, Ь] и у (х) е Lp[a, b] для р > 1. Покажем, что тогда
Прежде всего заметим, что если !Р(х) € Lp, то
тельно,
) A0.1)
A0.2)
€ IJ. Действи-
Действи^А = \?(х)\р.
Поэтому, применяя неравенство Гельдера, получаем
Л
(JI f(x) + V (х) \(р-ъ dxf (/| <р (х) \р dxf =
а а
ь
= (Л /(х
Если разделить обе части полученного неравенства на ( J | / +
то получим
и так как 1 — = —, то это заканчивает доказательство.
Совершенно также можно доказать, что при 1 =1
п=\
1
(ю.з)
В неравенстве Минковского был оценен интеграл от степени суммы двух
функций, когда эта степень р !> 1. Если р < 1, то это неравенство теряет
силу. Но имеет место неравенство
. A0.4)
Это немедленно следует из (8.2).

36 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Совершенно аналогично имеем для рядов
2 \ап + Ьп\р= 2 (\ап\Р + \Ьп\Р) для 0<р<1. A0.5)
§ 11. О- и о-соотношения для рядов и интегралов
Пользуясь принятым теперь в математической литературе обозначением,
мы будем писать
если vn>0 (/г = 0, 1, 2, ...) и ^~ -> 0 при п -> сх>.
Если же -^- ограничено, то будем писать
Если существуют две положительные константы Л и В, для которых при
достаточно больших п
то будем писать
и, наконец,
будет означать
(в этом случае принято говорить, что ип и vn асимптотически равны).
Докажем, что
1) из ип = О (vn) следует j? ил = О I j? v J ,
п
2) из и„ — vn следует 2
2
Действительно, для случая 1) это вытекает из неравенства
2 ^
а для случая 2) из неравенства
п
2ип

§11
О- И о-СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ РЯДОВ И ИНТЕГРАЛОВ
37
Для случая ип = o(vn) и«п^уп аналогичные соотношения вообще не
имеют места, однако
3) если 2vk->oo и un = o(vj, то 2! «а =
М=0 /с=0
п п
4) если ? vk ->оо и ц„я^vn, то 2 Uk^ 21 vu-
Для доказательства 3), если е > 0 задано, найдем такое N, что
I ылКеvn Для
Имеем
откуда
n
2 nk
N
2 uk
+
n
2uk
N+1
<^
N
2QUk
2vk,
п
2пк
N
2пк
A1.1)
Но знаменатель в правой части A1.1) стремится в бесконечность при
п -> оо, а числитель постоянен, значит вся правая часть может быть сделана
меньше 2е, если п достаточно велико, а так как е произвольно, то левая часть
как угодно мала, а это и надо было доказать.
Аналогично доказывается 4). Надо только выбрать N так, чтобы
e)vn
и принять во внимание, что
N
2vk
к=О
п
2
к=О
-О ПрИ П->оо.
Очевидно также, что
5) если у„>0, Svn<i+<x> и ип
= о(ут)у то ряд Епп сходится и
п+\
Действительно, при любом е>0, если п достаточно велико, то
vk, откуда
м+1
п+1

38 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Совершенно аналогично вместо сравнения членов двух последователь-
последовательностей можно сравнивать две функции /(х)и<р(х), из которых одна положи-
положительна; например, <р(х) > 0.
Мы пишем
?Ц>0, A1.2)
f(x) = O (у (х)), если ^Ц ограничено, A1.3)
/(x)~y(x)f если Д<^|<В, A1.4)
где А и В положительны, и
() если
При этом в соотношениях A1.2), A1.3) и A1.4) мы можем рассматривать
как случай, когда х -> + оо (или х -> — со), так и случай х -> х0, где х0
какое-то фиксированное.
Имеет место утверждение, аналогичное предыдущим, а именно:
Лемма 1. Если
то из
f() O(()) на
()[()] на
Действительно,
I ^ WI = I // @ ^ |< м J <р @ d/ ^ мф (х),
а а
где М постоянное.
Такое же утверждение при замене О на о вообще неверно, но становится
справедливым, если Ф(х)-> оо при х->Ь\ точнее имеет место следующее
утверждение.
Лемма 2. Пусть ср (х) > 0, / (х) и у (х) определены на а<^х < b и сум-
суммируемы на а <; х <; & — е при любом е > 0. Тогда, если
) при
и
Ф (х) ~> оо при х -^ Ь,
то
F(x) = o [Ф (х)] при х -^ b.
Действительно, пусть г > 0 задано. Можно найти такое х0, что
\f(x)\<e<p(x) для
Тогда
откуда
F(x)
Ф(х) ^ Ф (x)

§ 14 ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА 39
Так как Ф(х) -> оо при х -> Ь, то первое слагаемое правой части станет
меньше е, как только х станет достаточно близким к 6, а потому тогда
\F(x)\<2e0(x)
и в силу произвольности е наша лемма доказана.
Замечание. Разумеется, можно было бы совершенно также устано-
установить справедливость утверждения, если бы / (х) = о(у(х)) при х -> а.
IV. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
§ 12. О верхнем пределе последовательности множеств
Лемма. Если для последовательности множеств Еп имеем
21 m En < + °° > mo m lim En = 0.
Действительно,
Шп ?п = (?х + ?а +.. .)(?а
Поэтому
m lim Еп = lim m (?„+...)•
Но "-^аэ
и так как 27 m ?л < + °°, то правая часть стремится к нулю при п -> оо и,
значит, т lim Еп == 0.
§ 13. Сходимость по мере
Пусть {/„(х)} последовательность функций, измеримых и конечных почти
всюду на [а, Ь]. Пусть /(х)также измерима и конечна почти всюду на [а, Ь].
Следуя Ф. Риссу, говорят, что последовательность fn (x) сходится по мере
к {(х), если для любого а > 0 имеем
lim
Лебег доказал, что если последовательность/Дх) сходится к/(х) почти
всюду на [а, Ь], то она сводится и по мере к/(х). Эта теорема необратима (см.,
например, Натансон^м- 16-1, стр. 106—108).
§ 14. Переход к пределу под знаком интеграла Лебега
1. Теорема 1 (теорема Л е б е г а). Если fx(x), ..., /п(х), ...
есть последовательность измеримых функций, ограниченных в совокупности
на множестве Еу т. е.
|/л(х)|<АГ на Е (л=1, 2, ...),
и если
lim /п(х) = /(х) почти всюду на ?,
то
lim J/n(x)dx= $f(x)dx. A4.1)
л-voo Е Е

40 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
(См., например, Натансон^- 1б-1, стр. 139*).)
2. Теорема 2. То же соотношение A4.1) справедливо, если вместо
ограниченности в совокупности функций fn(x) предполагается, что
1/п(х)|<^Ф(*) почти всюду на Е>
где Ф(х) положительная и суммируемая на Е функция.
(См., например, Натансон^- 16-J, стр. 166*).)
3. Теорема 3 (теорема Фату). Если последовательность изме-
измеримых и неотрицательных функций /х (х), /2 (х), ..., /„ (х), ... сходится к
функции F (х) почти всюду на Е, то
sup{|/n(x)dx}. A4.2)
(См. Натансон[МЛ6^, стр. 155.)
Теорема 4. Если /х (х), /2 (х), ..., fn (х), ... — последовательность
неотрицательных функций таких, что
U
/(*)= lim Jn(x),
lim J /„(*)&= J/(x)dx, A4.1)
n-voo e E
то
причем если f(x) несуммируема на Е, то соотношение A4.1) сохраняет силу
в том смысле, что оба члена равенства становятся равны + оо.
Действительно, если /(х) суммируема, то это утверждение мгновенно
вытекает из теоремы 2. Если же /(х) несуммируема, то, полагая (f)N = f(x)
при /(x)^Nh (/)n = N при /(х) > N, видим, что j* (f)N dx -> оо при N -> оо.
Если для каждой /л определить функцию (/„)N так же, как (/)N для /, то
Юм\ < N (л = 1, 2, ...) и (/n)N -> (/)N при л -> оо, а потому по теореме 1
dx при л->оо.
Значит, J (/л)дг dx может быть сделан как угодно большим при достаточно
большом N, а тогда и подавно это верно для |/л(х) rfx, откуда и следует, что
Е
левая часть A4.1) равна + °°-
В качестве следствия этой теоремы получаем
4. Теорема 5. Если их (х), и2 (х), ..., ип (х) есть последовательность
неотрицательных суммируемых на Е функций и если
n=0 E
то ряд 2! ип (х) сходится почти всюду на Е к неотрицательной суммируемой
функции /(х).
*) Теорема там доказана в предположении, что/л (х) сходится по мере к /(*), но так
как всякая последовательность, сходящаяся почти всюду, сходится и по мере (см. § 13),
то наше утверждение и подавно справедливо.

15 ТОЧКИ ЛЕБЕГА 41
Действительно, полагая Sn(x) = 2 ик{х\ видим, что Sx(x)^S2(х)<
<^ ... <^Sn(x) ^ ... Полагая /(х) = lim Sn(x), где /(х) конечна или беско-
бесконечна, имеем по теореме 4
lim $ Sn(x)dx= J/(x)dx.
Но так как
п
lim f Sn (х) dx = lim 2 f ик (x) dx < + °° ,
то отсюда следует, что j* /(x) dx < + oo, а тогда f(x) суммируема.
§ 15. Точки Лебега
Условимся говорить, что точка х есть точка Лебега для суммируемой
функции /(х), если
1 x+h
lim JL J |/@-/(х)|Л = 0. A5.1)
Ясно, что любая точка, где/(х) непрерывна, есть точка Лебега; действительно,
если €>0 любое, а в точкехфункция /(х) непрерывна, то можно найти такое ду
что !/(/) — /(х)| < е для \h\ <^ б, а тогда для тех же значений х
Т
откуда и следует нужное утверждение.
Однако у суммируемой функции может не быть ни одной точки непре-
непрерывности. Тем не менее справедлива следующая
Теорема Лебега. Если f (x) суммируема на [а, &], то почти все
точки этого отрезка являются точками Лебега для /(х).
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала любое число г и пусть
F(u) = ]\f(t)-r\dt.
Тогда для почти всех х € [а, Ь] имеем (по теореме о производной от неопреде-
неопределенного интеграла Лебега)
т. е.
]
Л--0 п ft-vO " х
Пусть г рационально и Ег — множество тех х отрезка [а, &], где соотно-
соотношение A5.2) нарушается; следовательно, тЕг = 0. Пусть Е = ЕЕГп, где гп
пробегает все рациональные числа; тогда тЕ = 0. Докажем, что всякая
точка, не принадлежащая к ?, в которой /(х) конечна, есть точка Лебега
для /(х).
Действительно, пусть х^ такая точка и е > 0 задано. Можно найти такое
рациональное гт что
1/Ы-^Кв. A5.3)

42
ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Тогда
Х
1 хо+
4- J
Х
о+Л
J кп-
Х
A5.4)
Но так как х0 е ?, то х0 е ?Гй и, значит,
следовательно,
1 Хо + Л
х«
если |Л| достаточно мало.
Соединяя A5.3), A5.4) и A5.5), видим, что
A5.5)
откуда и следует утверждение теоремы.
Следствие. Полагая t = х + и или t = х — и, мы видим, что во
всякой точке Лебега
т. е.
Положим
A5.6)
Тогда из теоремы Лебега вытекает, что
0x(h) = o(h) A5.7)
почти всюду.
Замечание. Если х есть точка Лебега, то в этой точке /(х) есть про-
производная своего неопределенного интеграла.
Действительно, если
то
h)~F(x)
а потому для h =h О
= 0A)
Обратное предложение не имеет места.

§ 17 ДВЕ ТЕОРЕМЫ ХЕЛЛИ 43
§ 16. Интеграл Римана—Стилтьеса
Пусть /(х) и g(x) определены и конечны на [а, Ь]. Раздробим отрезок
\а, Ь] на части точками
хо = а<хг<х2< ... < хп = Ь.
Пусть I, — любая точка на [х„ х,-+1]. Составим сумму
o = n2f(h)U(xk+1)-g(xk)]. A6.1)
/с=0
Если а стремится к пределу при max (x^+i — хк) -> 0 и этот предел не зави-
зависит ни от способа дробления отрезка, ни от выбора точек ?л, то этот предел
обозначается
]f(x)dg(x)
а
и называется интегралом Римана—Стилтьеса от /(х) по g(x).
Доказывается, что
если /(х) непрерывна на [a, b],a g(x) имеет на нем ограниченное изменение,
то интеграл имеет смысл (см., например, Натансон^- 161, стр. 251). Если
/(х) непрерывна, a g(x) абсолютно непрерывна на [а, Ь], то
f/(x)dg^(L)f/(x)g'(x)dx, A6.2)
а а
где интеграл справа есть интеграл Лебега.
(См., например, Натансон^-1&\ стр. 290.)
Имеет место
Теорема. Пусть fn (х) (п = 1, 2, ...) — последовательность непрерыв-
непрерывных функций, сходящаяся равномерно на [а,Ь]. Тогда
Km Ш*) *=//(*)<%- A6.3)
Действительно, для любого е найдется такое N, что
l/()/()|< n>N и а<
Поэтому
lf[/()/()]d|< для
lf[/()/n()]g|<
а {[а, Ь]
и теорема доказана.
§ 17. Две теоремы Хелли
Первая теорема Хелли. Пусть {/ (х)} — некоторое семейство
функций с ограниченным изменением на [а, Ь]. Если сами эти функции и их
полные изменения ограничены в совокупности на [а, Ь], т. е.
\f(x)\<M
и (а<.х<6),
Vba(t)<M
то из семейства {/(х)} можно выделить последовательность /п(х), сходящуюся

44 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
в каждой точке [а, Ь] к некоторой функции у (х), также имеющей ограничен-
ограниченное изменение на [а, Ь].
(См. Натансон tM- 16\ стр. 242.)
Вторая теорема Хелли. Пусть f (х) непрерывна на [a, b], a
последовательность gn{x) (п = 1,2, ..,) состоит из функций с ограниченным
изменением на [а, Ь], причем
Если lim gn(x) = g(x), где g(x) конечна всюду на [а, Ь], то
J !
lim J/(x) <&,(*) = !/(*)<%(*)• A7.1)
п-+со а а
(См. Натансон ?м- 16\ стр. 254.)
§ 18. Теорема Фубини
Если^(х, у) суммируема в прямоугольникеR[a^x^h, с <С у < d], rno
для почти всех х е [а, Ь] функция / (х, у) суммируема по у на [с, d] и для почти
всех у функция f(x, у) суммируема по х на [а, Ь]; имеет место формула
у/с
A8.1)
(См., например, Натансон ?м- 161, стр. 379 и стр. 385.)
Заметим, что оба повторных интеграла, входящих в правую часть A8.1),
могут существовать и быть равны без того, чтобы существовал двойной интег-
интеграл в левой части A8.1)(см., например, Натансон ?м- 161, стр. 385), но возмо-
возможен и случай, когда каждый из этих интегралов существует, но они неравны,
т. е. перемена порядка интегрирования незаконна (см. Натансон?м-16],
стр. 386.)
Однако для функций, сохраняющих знак, этот случай невозможен, а
именно:
Если f (x, y)^Ouf(x, у) измерима на R, то конечность одного из повтор-
повторных интегралов влечет суммируемость f(x, у) на /?, тем самым конечность
второго повторного интеграла и равенство A8.1).
(См. Натансон tM- 161, стр. 387.)
Отметим один из важных частных случаев теоремы Фубини.
Если Е — плоское множество меры нуль, то почти все его сечения пря-
прямыми, параллельными осям координат, являются линейными множествами
меры нуль.
(См. Натансон tM- 16l, стр. 371.)
V. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
§ 19. Линейные функционалы в С
Пусть всякой функции / е С [а, Ь] приведено в соответствие некоторое
число, которое мы обозначим U(f), и известно, что
u(h h) u(L) u(h)
2) существует такая константа М, что
\UQ)\<M\\f\\c[afi]. A9.1)
Тогда говорят, что U(f) есть линейный функционал в С [а, &].

§20 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В 1Р (р>1) 45
Имеет место
Теорема Рисса. Всякий линейный функционал в С [а, Ь] имеет вид
A9.2)
где g(t) — некоторая функция с ограниченным изменением на [а, Ь].
(См., например, Натансон ?м-16\ стр. 258.)
Нормой линейного функционала называется наименьшее значение М, для
которого неравенство A9.1) справедливо.
Отметим здесь предложение, которым нам в дальнейшем придется поль-
пользоваться.
Если U(f) имеет вид A9.2), то
sup 11/(/)|= varg=yjg A9.3)
II/lie ^ I " [а,Ь]
(иначе говоря, если функционал имеет вид A9.2), то его норма есть l/Jg).
(См., например, Люстерник и Соболев tM-12\ стр. 167.)
§ 20. Линейные функционалы в Lp(p>l)
Пусть/(х)е Lp\a, b], p > 1. Если каждой такой функции поставить в
соответствие число U(f), удовлетворяющее условиям:
1) UQ fd U(j) + U(f
) Q1 f j (f)
2) существует такое М, что
\U(f)\<M\\f\\ , B0.1)
LP [а,Ь\
то U(f) называется линейным функционалом в Lp [a, b].
Нормой функционала называется наименьшее М, для которого B0.1)
справедливо.
Имеет место
Теорема. Если q определяется из равенства
Р + Я
то всякий линейный функционал в LP [a, b] имеет вид
dx, B0.2)
где g(x)e Lq[a, b].
(См., например, Люстерник и Соболев tM-12\ стр. 170.)
Эта теорема нам не понадобится, но нам необходимо доказать, что
-011„Л1]. B0.3)
если U(f) определено формулой B0.2).
Это последнее обстоятельство доказывается очень просто. Во-первых, в
силу неравенства Гельдера имеем
l^(/)l<ll/IL,lkllL9<llglL- B0.4)
если П/П<1

46 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Теперь докажем, что существует такая /, для которой ||/||LP [а ь] = 1,
неравенство B0.4) превращается в равенство.
Действительно, положим
f(Y\— fe (*)!?-J sign g(x)
/()
Так как p(q — 1) = q, то отсюда сразу находим
111/1 11*111, '
а потому, интегрируя по [а, Ь], сразу получаем
S\f(x)\Pdx=l,
а
т. е.
Теперь заметим, что
ъ
и теорема доказана.
§ 21. Сходимость по норме в пространствах Z>
Напомним ряд свойств функций, принадлежащих Lp [a, b] при р^>
1) Для того чтобы последовательность функций fn(x) e Lp [a, b] сходи-
сходилась к функции /(х) ? Lp[a, 6] по норме, т. е.
Нт||/П —/||^ } =0,
Л—»- со
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось такое N, что
Wfn-fm\\L* [aM<* для n>N, ш > N. B1.1)
2) Я5 всякой последовательности fn (х), сходящейся по норме Lp к f (x),
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к f (x) почти всюду.
3) Пусть р > 1. Если g (x) e U, где -у + -у - 1, то ш ||/п — f\\LP ->0
Р я
ь ь
п-+со а
Ит J /n(x)g(x)dx = J /(x)g(x) их.
Доказательства всех этих предложений можно найти, например, в книге
Натансона^- 16], гл. VII, § 2 и § 6.
Класс функций {/(х)}, принадлежащих Lp, образует всюду плотное мно-
множество в Lp, р ^ 1, если для любого е > 0 и для любой <р? Lp можно найти
такую функцию /, что ||/ — <H|Lp<?.
Доказывается, что:
1) класс всех измеримых ограниченных функций,
2) класс всех непрерывных функций,

§ 23 НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНА 47
3) класс всех многочленов,
4) класс всех ступенчатых функций всюду плотен в LP.
Если речь идет о классе LP [a, b], то аналогично надо и функции <р рас-
рассматривать лишь на [а, Ь].
Доказательство см., например, Натансон ^м-16], стр. 188 и 218.
То, что класс тригонометрических полиномов всюду плотен в Lp[—п, п\
будет доказано в § 28 главы I.
VI. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ
ПОЛИНОМАМИ
§ 22. Элементарные свойства тригонометрических полиномов
Тригонометрическим полиномом называется выражение вида
п
Т (х) = а0 + ^ ak cos кх + Рк sin kx,
к=1
причем, если \ап\ + \Рп\ > О, то число п называется порядком полинома.
Напомним следующие простые свойства тригонометрических полиномов.
1. Произведение двух тригонометрических полиномов есть тригономет-
тригонометрический полином (см. Натансон *м-15\ стр. 32), а следовательно [Т(х)]к есть
также тригонометрический полином при любом целом к.
2. Тригонометрический полином порядка п не может иметь более 2и
действительных корней на [0, 2л)у если даже каждый из них считать столько
раз, сколько единиц в его кратности (см. Натансон*м- 15J, стр. 85).
Теорема Вейерштрасса. Если f (x) непрерывна на всей беско-
бесконечной оси и / (х + 2тг) = / (х) при любом х, то для любого е > 0 найдется
такой тригонометрический полином Т(х), что
|/(х)-Г(х)|<е, -оо<Х< + оо.
Эта теорема будет нами доказана в § 27 главы I. Здесь мы упоминаем ее
нотому, что без нее нельзя доказывать дальнейшие теоремы.
§ 23. Неравенство Бернштейна
Для тригонометрических полиномов справедлива следующая глубокая
теорема, принадлежащая С. Н. Бернштейну П]:
Теорема Бернштейна. Если Тп(х) — тригонометрический
полином порядка не выше п и
|ТДх)|<М на [0<х<2тг],
то
\Т{)\<М на
Существует очень много различных доказательств этой теоремы.Мы при-
приведем здесь доказательство С. Б. Стечкина Ш, которое нам кажется очень
простым. Именно, сначала устанавливается справедливость леммы.
Лемма. Если тах| Тп(х)\ =М и Гп(х0) = М, то
Tn{x0 + t)^M cos nt для -~-^
Положим
Vn(t) = Tn(Xo + t) -M cos nt

48 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
и допустим, что лемма неверна. Тогда найдется такое t0, — < t0 < —, что
Vn(Q<0. B3.1)
Предположим, что 0< t0 < -^- (в случае, если бы ^- < t < 0, рассужде-
рассуждения надо было бы проводить не для [0, 2л;], а для [—2щ 0], в остальном все
сохранилось бы).
Так как у>п (t) есть тригонометрический полином порядка не выше п,
то он должен иметь на [0, 2л;) не более 2п корней [или быть тождественно рав-
равным нулю, что противоречит B3.1)].
Между тем мы покажем, что он имеет не менее 2п + 1 корней. Действи-
Действительно, мы имеем для любого к
а так как | Тп (х) К М, то у>п (^-) имеет знак (— l)k +1 или = 0. В част-
частности, грп у~-\ ^ 0, а потому на отрезке \t0, ~\ функция у>п (f) имеет корень.
Кроме того, на каждом из отрезков Г-~-, - 1, {к = 1,2, ..., 2 п — 2),
лежащих на @, 2л;), она также должна иметь по корню, раз у нее в концах
отрезка разные знаки (или она обращается в нуль) *). Итак, у ipn (f) мы обна-
обнаружили не менее 2п — 1 корней. Но, кроме того, она имеет двойной корень
при / = 0, ибо
у>п(О) = Т
и из
y>'n(t) = T'n(x
следует
так как х0 — точка максимума для Тп (х0).
Итак, тригонометрический полином ipn(f)имеет2п + 1 корень, и мы уже
видели, что это приводит к противоречию. Лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы.
Пусть | Тп (х) | <; М. Обозначим max | Тп (х) | = ^. Пусть х0 — такая
точка, где
(если —T^Xq) = [л} то достаточно вести рассуждения для —Тп(х)). Тогда по
предыдущей лемме
откуда
л п
ТК Тп
J ГЛХо + 0^ = Гп(хо + -^г)-Гп(хо-^г)>/{ J cosntdt = 2^-.
2п 2~п
*) Заметим, что если q>n (t) имеет один корень на двух соседних отрезках, то этот ко-
корень кратный.

§ 24 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОЛИНОМ НАИЛУЧШЕГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 49
Итак,
Но| Тп(х) |<СМ, откуда ^пМ, т. е. |Г„(хЖпМ, а это и требова-
требовалось доказать.
Замечание. Неравенство Бернштейна не может быть усилено, так
как, полагая
Тп (х) М = cos n х у
мы видим, что
max \Тп(х)\ = М, a max | Т'п(х)\ = пМ.
§ 24. Тригонометрический полином наилучшего приближения
Пусть/(х) — непрерывная функция с периодом 2п. Обозначим через
Тп(х)любой тригонометрический полином порядка не выше п. Пусть
Л{Тп)= max |/(х)-Г„(х)|. B4.1)
Рассмотрим нижнюю грань значений л (Тп), когда Тп пробегает совокупность
всех тригонометрических полиномов Тп(х). Обозначим
En(f) = mfA(Tn) B4.2)
и назовем эту величину наилучшим приближением!(х)тригонометрическими
полиномами порядка не выше п.
Теорема Бореля. Для любой непрерывной периодической функции
с периодом 2л и для любого п существует тригонометрический полином
порядка не выше п, для которого
max \f(x)-Tn(x)\ = En{f) B4.3)
(т. е. нижняя граница достигается).
Такой полином называется полиномом наилучшего приближения.
Доказательство теоремы можно найти, например, в книге Натан-
Натансона [М-15-\ стр. 94.
Легко доказывается, что
Е1>Е1>... >?„>... B4.4)
Кроме того, из теоремы Вейерштрасса (см. § 22) сразу следует
lim Еп = 0.
Если мы положим
[0231] B4.5)
и обозначим
, B4.6)
где снова нижняя грань берется по всем тригонометрическим полиномам
порядка не выше я, то?^р)(/) называется наилучшим приближением f(x) в
пространстве LP.

50 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Мы будем в дальнейшем для произвольного р > 1 пользоваться лишь
этим определением, но не существованием полинома, для которого Д°(Тп) =
= Е^ф. В случае р = 2 такое существование доказывается очень легко; с
этим мы познакомимся в § 13 главы I.
Наконец, заметим, что целесообразно рассматривать и наилучшие при-
приближения не на [0, 2jz], а на каком-либо отрезке [а, Ь] с [0,2п]. В этом случае
En(f,a,b) = inf max |/(х)-Гл(*)| B4.7)
и аналогично определяется
Е^ (/, а, Ъ) = inf || / (х) - Г„ (х) \\lp [atb] . B4.8)
§ 25. Модуль непрерывности, модуль гладкости, интегральный модуль
непрерывности
Модуль непрерывности. Пусть функция /(х) определена на отрезке
[а, Ь]. Пусть д > 0 любое. Рассмотрим для любых двух точек хг и х2 отрезка
[а, ь\ лишь бы \х± — х2| < 5, разность |/(хх) — /(х2)|, и пусть
хх е [а, Ь]
co(d,a,b,f)= sup \f(xx)-f(xj\ . B5.1)
ll^ [6]
Если в ходе рассуждений речь идет все время об одном и том же отрезке,
то пишут кратко со F, /). Это число называют модулем непрерывности /(х)
на [а, Ь].
Если не налагать на / (х) никаких ограничений, то со F) может оказаться
и бесконечным. Но если/(х) непрерывна на [а,Ь], то очевидно, что со F, /)
конечно при любом д и
limcoC,/) = 0. B5.2)
0-0
Очевидно из определения, что
" № к + U)<to C, Д) + со C, /2), B5.3)
если функции рассматриваются на одном и том же отрезке.
Отметим ряд почти очевидных свойств модуля непрерывности (для крат-
краткости знак / опускается и пишем просто со (<5)):
1) со (д) монотонно возрастает,
2) если п целое, то
со(пд)^псо(д), B5.4)
а если X любое положительное, то
со(А<5)<(А+1)со(<5), B5.5)
3) если /(х) е Lip а (см. Обозначения), то
со(д)=:0(да) B5.6)
и наоборот.
(См. Натансон Iм-15-\ стр. 107—109.)
Если/(х) определена на некотором отрезке [а, /?], содержащем [а, 6], то
можно определить модуль непрерывности и так
co(d,a,b,f)= sup | / (х + Л) — / (х) | хф,Ь] B5.7)

§25 МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ, МОДУЛЬ ГЛАДКОСТИ 51
при условии брать д <^ min [а — а, /3 — 6], т. е. так чтобы точка х + h при
х е [а, Ъ] не выходила из отрезка [а, /?]. В частности, если f(x)периодическая
с периодом 2тг и определена на отрезке длины 2тг, то мы будем писать кратко
со (<5, /), понимая под этим
co(d,f)= sup | / (х + Л) — / (х) |, B5.8)
где х уже любое.
Модуль гладкости. Если вместо первой разности /(х + Л) —/(х) рас-
рассматривать вторую симметрическую разность, т. е. f(x + h) + f(x — Л) —
— 2/(х), то получаем аналогично определение модуля гладкости
|. B5.9)
Ясно, что и здесь имеют место свойства:
1) со2(д) монотонно не убывает,
для любого положительного Я
Я
1)
2)
B5.10)
Полезно отметить, что если для некоторой монотонно возрастающей g(x)
доказано соотношение
то справедливо и
,/)=0[gC)] при <5->0.
Действительно, если д задано, то определяем п так, чтобы
Тогда
где С постоянно, а это и надо было доказать.
Аналогичное утверждение справедливо для модуля гладкости.
О связи между модулем непрерывности функции и ее наилучшим при-
приближением тригонометрическими полиномами см. Добавления, § 7.
Интегральный модуль непрерывности. Если / (х) ? L[a, /3] и [а, Ъ] лежит
внутри [а, /?], то интегральным модулем непрерывности f(x)na [a, b] принято
называть выражение
,а,Ь,/)= sup
где снова д взято таким, что для х ? [а, Ъ] и О <С I h\ <^ д имеем х + Л ? [а, /?].
Для периодической функции с периодом 2п будем писать кратко
cow(d,f)= sup f |/(x + ft)-/(x)|dx B5.11)
(здесь д может уже быть любым положительным).

52 ВВОДНЫЙ МАТЕРИАЛ
Для интегрального модуля непрерывности справедлива
Теорема Лебега. Для любой f (х) ? L[—л, л] имеем
Достаточно доказать теорему для неотрицательных функций, так как
каждую суммируемую можно представить как разность неотрицательных
суммируемых. Далее, для любого е > 0 можно подобрать ограниченную
функцию ф(х), для которой
$\f(x)-q>(x)\dx<e.
— тс
Поэтому
f\f(x + й) -/(х) |rfx< f\v(x + h)-v(x)\dx + 2e B5.12)
п я
и остается доказать наше утверждение для ограниченной у (х).
Пусть \ф (х)\ <СМ. В силу С-свойства можно найти непрерывную у) ^сов-
^совпадающую с ср (х) на совершенном множестве Р с [—л, л], тпР > 2л — 2л. ~ .
Можно выбрать гр(х) так, чтобы \р{—л) = у)(л) и чтобы \у>(х)\ <^М на [—л, л].
Затем ее надо продолжить периодически с периодом 2л. Ясно, что
Л <?>(* +
Наконец,
h) — <p(
имеем
тс
I
ix<
<
|у(х
J lv(^-
-п
я
—л
+ h)-4
hft)
-V(x)|dx +
-v(x)|dx +
|Лс<<о(,5,у>)
2 J|y(x)-^
¦4г.
y(x)|dx<
B5.13)
для 0 < |Л|< Ь, откуда в силу B5.12) и B5.13)
/ + 2яв>(Л,у) при 0<|/г|<<5. B5.14)
В силу того, что д произвольно, а у> (х) непрерывна, т. е. со(<3, у) -> 0 при д ->0,
мы видим из B5.11) и B5.14), что
со(х)(E,/)->0 при <5->0,
а это и надо было доказать.
Замечание. Для дальнейшего будет необходима такая
Теорема. Если /(х) имеет ограниченное изменение на [0, 2л], то
) = оC). B5.15)
Действительно, разлагая /(х) на разность двух монотонных /(х) = /х (х) —
() и замечая, что

§ 25 МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ, МОДУЛЬ ГЛАДКОСТИ 53
мы видим, что достаточно установить справедливость соотношения B5.15) для
неубывающей /(х). Но если так, то для ft > 0 функция /(х + ft)—/(х) неотри-
неотрицательна на [0, 2л — h). Поэтому
2 я 2л—h 2я
О 0 2п—1
<2МЛ+ 'У
О
где М — верхняя грань /(х); далее,
2я—h 2л 2я—h 2я
( Г/ (х 1 /А / ^хн dx — ( / (х\ dx Г / (х} dx — Г ffx} dx
О Л 0 2л-Ь О
Каждый из двух последних интегралов по модулю не превосходит Mh.
Следовательно,
sup 4M\h\ = 4Md = O(d)

ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Понятие о тригонометрическом ряде; сопряженные ряды
Тригонометрическим рядом называют выражение вида
-у- + 2 йпcosпх + ^sinпх>
где ап, Ьп — постоянные числа (и = О, 1, 2, ...), носящие название коэффи-
коэффициентов ряда *).
Если такой ряд сходится для всех х на — ©о < х < + оо, то он изобра-
изображает функцию, имеющую период 2тг. Поэтому, желая изобразить функцию
тригонометрическим рядом, рассматривают либо периодические функции с
периодом 2тг, либо берут функцию, заданную на отрезке длины 2щ а дальше
продолжают ее периодически, т. е. требуют, чтобы /(х + 2л) = f(x) при лю-
любом х.
Тригонометрические ряды играют выдающуюся роль не только в самой
математике, но и в многочисленных ее приложениях. Но прежде чем говорить
об этом, отметим сразу же связь между тригонометрическими и степенными
рядами. Если мы рассмотрим ряд
A.2)
п=0
где сп = ап —Wnyc0 = ~ и положим z = reix, то ряд A.1) есть нечто иное,
как действительная часть ряда A.2) на единичной окружности; чисто мнимая
часть ряда A.2) при z = eix есть ряд
^ — Ьп cos пх + ап sin пх, A.3)
который обычно называют рядом, сопряженным с рядом A.1)
Если предполагать числа сп ограниченными, то ряд A.2) изображает
аналитическую функцию внутри единичного круга, т. е. при z = reix, где
*) Почему свободный член пишется в виде —^-, станет ясно в дальнейшем (см. § 4).

КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА 55
0<Г г < 1 и 0 <^ х <^2я;; поэтому ее действительная и мнимая части
00
а ^ х^ _ _?о_ _|_ ^ (ап cos пх + Ьп sin пх) гл
и
v (г, х) = Jr (— йп cos пх + #п sin пх) гп
являются сопряженными гармоническими функциями; отсюда и произошло
название «сопряженные ряды». Изучение поведения сопряженных рядов есть
не что иное, как исследование поведения сопряженных гармонических функ-
функций на окружности \z\ = 1.
§ 2. Комплексная форма тригонометрического ряда
Часто бывает более удобно придать тригонометрическому ряду
00
Л*_ + J? ап cos пх + Ъп sin пх B.1)
иную форму. Именно, замечая, что из известного тождества Эйлера
eix = cos x + i sin x
следует
pix -U p—ix . pix — p—ix
COS X = —r, I Sin X =
2 у l л 2 i
мы можем записать ряд B.1) в виде
?—inx — e+inx
y- vg1"n 2" ^tUn 2
откуда, полагая
•• = _?o_ /• = Q/z ~~ ?&n /. _ дп + ibn
H 2 у Ln 2 > L~n— 2
видим, что ряд B.1) принимает вид
"~2 cneinx. B.3)
Это так называемая комплексная форма тригонометрического ряда.
Частная сумма ряда B.1), т. е.
Sn(x) = Jf?o. + JF ak cos kx + bksin kx,
принимает теперь вид
B.4)
т. е. сходимость ряда B.3) надо понимать как стремление к пределу сумм
вида B.4).
В некоторых задачах приходится иметь дело с тригонометрическими
рядами вида B.3), коэффициентами которых являются любые комплексные

56 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
числа. Если же предполагать, что в ряде B.1) числа ап и Ъп все действитель-
действительные, то, как показывает формула B.2), числа сп и с—п будут сопряженными
комплексными числами, т. е. с_п = ~Сп (знак а всегда будет обозначать число,
сопряженное с а).
§ 3. Краткие исторические сведения
Задача о возможности изобразить функцию тригонометрическим рядом,
по-видимому, впервые была поставлена Эйлером в 1753 г. в связи с появив-
появившейся в это время работой Даниила Бернулли «О колеблющихся струнах».
Если струну, закрепленную в двух концах, вывести из состояния равно-
равновесия и, не давая ей никакой начальной скорости, предоставить ей свободно
колебаться, то, как утверждал Бернулли, положение струны в момент вре-
времени / определяется формулой
где I — длина струны и к — некоторый коэффициент, зависящий от плот-
плотности и натяжения струны. Что же касается коэффициентов ар, то это произ-
произвольные постоянные, и их можно подобрать так, чтобы удовлетворить началь-
начальным условиям, т. е. требованиям, чтобы в начальный момент струна занимала
некоторое заданное положение.
Эйлер заметил, что это утверждение Бернулли приводит к парадоксаль-
парадоксальным — по мнению математиков его времени — результатам. Действительно,
если у = f(x) есть начальное положение струны, то, полагая / = 0, мы должны
получить
т. е. «произвольная» функция /(х) может быть разложена в ряд по синусам.
Однако Эйлер и его современники делили кривые на два класса: те, которые
они называли «непрерывными», и другие — «геометрические». Кривую — в
отличие от принятой теперь терминологии — называли непрерывной, если
у и х были связаны некоторой формулой; напротив, геометрической кривой
называли любую кривую, которую можно произвольно начертить «от руки».
При этом всем казалось очевидным, что если кривая задана формулой, то она,
будучи определена на некотором маленьком интервале, автоматически опре-
определена и всюду дальше *). Поэтому они не сомневались, что вторая категория
кривых шире первой, так как, например, ломаную линию они не могли счи-
считать «непрерывной», а лишь составленной из кусков непрерывных линий.
Если бы «произвольную» функцию можно было разложить в ряд синусов,
т. е. представить формулой — это значило бы, что всякая «геометрическая»
кривая есть «непрерывная» кривая, что казалось совершенно неправдоподоб-
неправдоподобным. В частности, Даламбер заметил, что наиболее естественный способ выве-
вывести струну из состояния равновесия, это — взять ее за одну из ее точек и потя-
потянуть вверх, благодаря чему она займет положение, изображенное двумя
прямыми, образующими между собой угол. Даламбер считал, что кривая
такого рода не может быть суммой ряда из синусов **).
*) Это свойство присуще аналитическим функциям.
**) По поводу спора между Эйлером и Даламбером о том, что надо называть «произ-
«произвольной функцией», возникшего в связи с решением проблемы о колеблющейся струне,
см. чрезвычайно интересную статью «Функция» Н. Н. Лузина [4] (она должна также поя-
появиться в томе III Собрания сочинений Н. Н. Лузина).

§ 4 формулы фурье 57
Вопрос о том, какие же функции могут быть изображены тригонометри-
тригонометрическими рядами, значительно позже был снова поставлен в работах Фурье.
В связи с изучением проблем теплопроводности ему пришлось поставить перед
собой следующую задачу: пусть задана функция
(—1 на — тг < х < 0,
( 1 на 0<хО.
Требуется представить ее в виде
Jbansinnx. C.1)
Фурье указал формулы, при помощи которых надо определить ап так, чтобы
ряд C.1) мог иметь /(х) своей суммой. Именно, это ряд вида
4 [ sin х , sin 3х , , sinBn + \)x ]
— [-j— i з h . . . -i 2H+~\ г • • . J .
Фурье не доказал, что ряд обязан сходиться к функции/(х), однако более
поздними изысканиями этот вопрос был решен в положительном смысле.
Во всяком случае важно, что Фурье впервые решил вопрос, как надо опреде-
определить коэффициенты тригонометрического ряда, для того чтобы он мог иметь
суммой заданную функцию. Совершенно другой вопрос — будет ли действи-
действительно такой ряд сходиться и иметь эту функцию своей суммой.
§ 4. Формулы Фурье
Допустим, что функция/(х) не только является суммой тригонометри-
тригонометрического ряда, но этот ряд сходится равномерно на —тс <^ х <^ л; тогда опре-
определить его коэффициенты очень легко. Для этого следует только, умножив
равенство
00
/(X) = -?о_ + J2 ап C0S п Х + Ьп sin П X
на cos кх или на sin кх, проинтегрировать его в пределах от —п до +п (что
законно) и заметить, что
я
J cos mx cos nx dx = 0, m=j=n,
— я
я
J sin mx sin nx dx = 0, тпфп ,
— я
я
J cos mx sin nx dx = 0, тфп ит = п,
— я
я я
J cos2 mxdx = J sin2mxdx = я.
— я —я
В результате получаем *)
cn = i f f(x) cos nx dx; ftn = 1 f /(x) sin nx dx. D.2)
D.1)
л = 0.
*) Свободный член ряда надо было писать в виде ~, чтобы а0 получалось из ап при

58 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Формулы D.2) называются формулами Фурье*), числа апиЬп — коэффи-
коэффициентами Фурье, наконец, ряд, коэффициенты которого определяются по
формулам Фурье, отправляясь от функции /(х), носит название ряда Фурье
для функции /(х). Мы будем его обозначать сг(/).
§ 5. Комплексная форма ряда Фурье
Если ряд, изображающий /(х), задан в комплексной форме (см. § 2) **),
т. е. если мы предполагаем, что
2 E.1)
/1= — сю
то коэффициенты сп определяются формулами
сп = JL ] f(t)e-^dt (л = 0, ± 1, ...), E.2)
которые можно получить либо отправляясь от равенств B.2) и подставляя
значения ап и Ьп из формул Фурье, либо аналогично тому, как выводились
сами формулы Фурье. Именно, предполагая, что
где сходимость равномерная, умножая обе части равенства E.3) на e~inx
и интегрируя почленно, находим
? f(x)e-inxdx= У ск Г е1
—я /с = —с» —я
Но
Г i(k-n)XA — 0> еСЛИ
—я
откуда
я
I f(x)e~lnx{
E.4)
2 я, если к = п,
что и доказывает справедливость формулы E.2).
Числа сп называют комплексными коэффициентами Фурье функции /(х).
§ 6. Проблемы теории рядов Фурье; ряды Фурье—Лебега
В §§ 4 и 5 мы решили только вопрос, как должны быть определены коэф-
коэффициенты тригонометрического ряда, если мы знаем, что он сходится равно-
равномерно к некоторой функции/(х). Оказалось, что в таком случае этот ряд имеет
коэффициенты, определяемые по формулам Фурье, т. е. является рядом
Фурье от /(х).
*) Собственно говоря, эти формулы были известны еще Эйлеру, но Фурье стал ими
пользоваться систематически, поэтому по традиции их называют формулами Фурье и
соответствующий ряд — рядом Фурье.
**) При ссылках на параграф или формулу из той же главы номер главы не ука-
указывается.

§ 7 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 21 59
Однако для того, чтобы функция могла быть суммой равномерно сходя-
сходящегося ряда из непрерывных функций, необходимо, чтобы она была непре-
непрерывной. Поэтому могло бы показаться, что желая изобразить функцию рядом
Фурье, мы вынуждены ограничиться тем случаем, когда она непрерывна.
Мы увидим, что на самом деле теория рядов Фурье охватывает гораздо более
широкий класс функций. Но прежде всего условимся точнее, что надо пони-
понимать под рядом Фурье.
В формулах Фурье фигурируют интегралы. Мы знаем, что понятие интег-
интеграла, начиная от Коши, развивалось и в связи с этим становился все шире
класс интегрируемых функций. В этой книге под классом «интегрируемых
функций» мы всегда будем понимать функции, интегрируемые по Лебегу,
Такие функции, как известно, носят название суммируемых; составленные
для них ряды называют рядами Фурье—Лебега. Для краткости мы все же
будем просто говорить «ряды Фурье», но иметь в виду, что рассматриваемые
функции всегда суммируемы.
Пусть /(х) суммируема на [—л, л]. Тогда для нее всегда можно опреде-
определить по формулам Фурье числа ат Ъп и составить ряд, который мы будем
называть рядом Фурье для этой функции и писать
/ (х) ~ **- + jg an cos nx + bn sin nx F.1)
ИЛИ
а (/) = \ + 2 ап cos nx + bn sin nx. F.2)
1 n=l
Знак ~ указывает на то, что мы построили этот ряд чисто формальным
образом, отправляясь от / (х) и пользуясь формулами Фурье, но мы ничего не
знаем о сходимости этого ряда. Возникает целый ряд проблем: должен ли
ряд Фурье сходиться (на всем отрезке [—л, л] или в заданной точке, или на
некотором множестве) и если да, то сходится ли он к функции / (х) или нет?
В каких случаях сходимость будет абсолютной, когда она будет равномерной?
Что можно сказать о расходящихся рядах Фурье (дают ли они возможность
все же как-то судить о функции?). Этим и многим другим проблемам и будут
посвящены следующие главы книги.
Следует еще отметить, что бывают случаи, когда тригонометрический
ряд задан своими коэффициентами, но мы не знаем, является ли он рядом
Фурье от некоторой функции, или нет. Это — одна из очень интересных, но
трудных проблем теории тригонометрических рядов.
§ 7. Разложение в тригонометрический ряд функций с периодом 21
До сих пор мы рассматривали разложение в тригонометрический ряд
функций с периодом 2л. Если функция / (х) имеет период 21, где I — некоторое
действительное число, то, производя замену переменного,
мы получим функцию
которая будет уже иметь период 2л.

60
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Если мы найдем ее ряд Фурье
V @ ~ -у- +
где
cos n t + bn sin nt,
я
K = \ J <p(t)smntdt,
то, возвращаясь снова к переменному х, получим
-/
*„ = 4" J/ Нг)sinrt& = -r J /(x)sinn-f xdx,n = 1,2,
-я -I
а потому функции / (х) будет отвечать ряд
/ (х) — -^- + J5; ап cos п -|- х + bn sin п -^- х,
G.1)
G.2)
где числа ап и Ьп определены формулами G.1).
Все, что будет говориться в дальнейшем о сходимости обычных тригоно-
тригонометрических рядов, вполне применимо и к рядам вида G.2).
Наконец рассмотрим случай, когда функция /(х) не периодическая. Если
она определена на некотором отрезке [а, 6], где —тс < а < Ъ < п (рис. 4),
-п а О 6
Рис. 4
71
и суммируема на нем, то можно разложить ее в тригонометрический ряд
так: построить функцию у (х), совпадающую с /(х)на [а, Ъ] и определенную
на (—я, а) и F, л) как угодно, лишь бы она была суммируема. Полагая затем
(р (х + 2л) = <р(х), мы разлагаем ср (х) в ряд Фурье. Допустим, что этот ряд
будет сходиться к<р(х) в некоторой точке х, а < х < Ъ\ значит сумма его в
этой точке будет равна /(х). Ясно, что, продолжая /(х) разными способами
за пределы (а, &), мы будем получать разные функции <р(х). Однако впослед-
впоследствии (см. § 33) будет доказано, что ряды Фурье от всех этих функций будут
вести себя одинаково, т. е. если хоть один из них сходится к /(х) в рассматри-
рассматриваемой точке, то и все остальные также.

§ 9 РЯД ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 61
§ 8. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Если /(х) четная, т. е. /(—х) = /(х), a g(x) — нечетная, т. е. g(—х) =
= — g(x)> T0 f(x) g(x)> очевидно, нечетная; напротив, если /(х) и g(x) обе
четные или обе нечетные, то / (х) g (x) — четная.
Это простое замечание позволяет сразу заключить, что у всякой четной
функции ряд Фурье содержит одни косинусы, а у нечетной — одни синусы.
Действительно, для любой нечетной функции <р(х) и для любого а>0 имеем
\<p(x)dx = 0,
-а
а потому для четных / (х) имеем
п
Ьп = \ \f(x)smnxdx = O (л= 1,2,3,...),
—п
а для нечетных / (х) имеем
f(x)cosnxdx = 0, (п = 0,1,...).
Кроме того, для любой четной <р (х) и для любого а > 0 имеем
а а
Г <p(x)dx = 2 Г (р (х) dx .
-а о
Поэтому окончательно: если /(х) четная, то
где
п
2 Г
ап = — / (х) cos nx dx,
о
если /(х) нечетная, то
где
2 г
Ъп = — / (х) sin nx dx.
§ 9. Ряд Фурье по ортогональной системе
Когда мы ставили перед собой задачу, как определить коэффициенты
тригонометрического ряда для того, чтобы он мог сходиться к заданной
функции /(х), мы рассматривали лишь частный случай гораздо более общей
проблемы. Чтобы сформулировать, в чем она заключается, введем понятие
ортогональной системы.

62 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Некоторая система функций q>n(x) ? L2(a, Ь) (п = 1, 2, ...) называется
ортогональной на отрезке [а, 6], если
= 0 тфп;т= 1,2,...; л= 1,2,...
л =1,2,...
(9.1)
Соотношения D.1) суть не что иное, как доказательство ортогональности
тригонометрической системы
l,cosx, sinx, ... , cosnx, s'mnx, ...
на отрезке [—щ я].
Ортогональная система называется нормированной, если
Sv2n(x)dx=l (л =1,2, ...)•
а
Примером нормированной ортогональной системы может служить
система Радемахера (Rademacher i1]), которая строится так: отрезок [0,1]
делится на 2" равных отрезков и функция гп (х) полагается равной + 1
на первом, третьем, ..., BП — 1)-м интервале, и равной —1 на втором,
четвертом, ..., 2п-м интервале (т. е. она попеременно принимает значе-
значения + 1 и —1), а в концах интервалов ее считают равной нулю. И так для
всех значений п (п = 1,2, ...). Ортогональность полученной систе-
системы {гп(х)} на отрезке [0,1] следует из того, что если т 4= п (пусть т < п),
то функция гп (х) на каждом интервале постоянства гт (х) принимает столько
же раз значение +1, сколько и —1 и длины интервалов, на которых она
постоянна, все равны между собой. Таким образом мы убеждаемся, что
\rm{x)rn{x)dx = 0 (тфп).
о
Так как при любом л имеем г%(х) = 1 всюду, кроме конечного числа
точек, то система {гп (х)} нормирована.
В дальнейшем при изучении свойств тригонометрических рядов система
Радемахера окажется очень полезной *).
Тригонометрическая система не является нормированной, но становится
нормированной, если первую функцию умножить на -у~=, а все остальные на
^7=, т. е. система
у п
1 cos х sin x cos nx sin nx
У я ' у^Г ' • • • ' У я ' у я
уже является нормированной ортогональной системой.
Мы не будем рассматривать вопроса о том, почему именно представляется
чрезвычайно интересным и важным изучение ортогональных систем. Этому
вопросу посвящены специальные книги. Здесь же мы хотим лишь указать,
*) Ознакомиться подробно со свойствами системы Радемахера читатель может по
книге Качмажа и Штейнгауза [м. 7].

§ 9 РЯД ФУРЬЕ ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 63
что целый ряд теорем из теории тригонометрических рядов может быть полу-
получен весьма просто, исходя из гораздо более общих результатов, касающихся
так называемых ортогональных рядов.
Ряд вида
(9.2)
2
п=1
где сп — постоянные коэффициенты, а {уп (х)} — заданная ортогональная
система функций, называется рядом по ортогональной системе {уп(х)} или,
короче, ортогональным рядом.
Подобно тому, как мы спрашивали себя, как найти коэффициенты три-
тригонометрического ряда, если мы знаем, что он сходится к некоторой функ-
функции / (х), можно поставить вопрос о том, каковы коэффициенты сю если мы
знаем, что
00
f(x) = 2^cnVn(x). (9.3)
Допустим снова, что ряд равномерно сходится. Будем предполагать
систему {уп(х)}ортогональной и нормированной на (а, Ь). Тогда, умножив
обе части равенства (9.3) на срт{х) и интегрируя в пределах от а до &,
найдем*)
ъ ъ
а а
т. е.
dx (/л =1,2, ...). (9.4)
Эти формулы также называют формулами Фурье, и если для некоторой
функции/(х) по формулам (9.4) найдены числа сп и из них образован ряд
(9.2), то его называют рядом Фурье от функции /(х) по ортогональной систе-
системе {(рп(х)}.
Здесь, как и для случая тригонометрической системы, гипотеза равномер-
равномерной сходимости ряда была крайне ограничительной. Мы можем рассматри-
рассматривать ряд Фурье для функции/(х) при единственном предположении, что
интегралы (9.4) имеют смысл, и писать тогда
п=1
Так же как и в теории тригонометрических рядов, возникает вопрос о
сходимости ряда Фурье и о том, в какой мере он характеризует функцию /(х).
Прежде всего ясно, что для того, чтобы ряд Фурье мог в какой бы то ни
было мере определять свойства функции, необходимо, чтобы у двух разных
функций не могло быть одинаковых рядов Фурье. Для выяснения вопроса,
когда это имеет место, нам необходимо изучить понятие о полноте ортого-
ортогональной системы. Этот вопрос будет рассматриваться в § 10. Здесь же мы
хотим еще указать, что надо понимать под ортогональной системой в случае,
когда функции <рп(х) являются комплексными.
*) Здесь функции <рп (х) и / (х) предполагаются такими, что интегралы (9.4) имеют
смысл.

64 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Если функции (рп (х) являются комплексными функциями действитель-
действительного переменного х, то их называют ортогональными, когда
!<Pm(x)<Pn(x)dx = 0 (тфп) (9.5)
$\<Рп(х)\*йхф0, (л =1,2,...)- (9.6)
а
Система нормирована, если
S\q>n(x)\*dx=l (Л=1,2,...).
а
В случае комплексных функций формулы Фурье принимают вид
сп= $f(x)ipn(x)dx (9.7)
а
для нормированной системы и
$\<Рп{х)\Чх
а
для ненормированной системы.
Важнейшим примером ортогональной системы из комплексных функций
является система {einx} (п = 0, +1, +2, ...); она ортогональна на любом
отрезке длины 2л (см. § 5). Если ввести множитель-^=-, т.е. рассмотреть
систему
то она будет и нормированной.
§ 10. Полнота ортогональной системы
Введем следующее важное определение *).
Определение. Система функций {уп (х)}, определенных на некото-
некотором отрезке [а, 6], называется полной в Lp [a, b] (р ^> 1) (или в С [а, &]), если
не существует ни одной функции/(х)^ LP [a, b] (или /(х) ?С[а, &]), которая
ортогональна ко всем функциям этой системы без того, чтобы f(x) = O почти
всюду на [а, Ь] (для случая пространства С — всюду на [а, &]).
Иначе говоря, для полной системы из равенств
ff(x)tpn(x)dx = O (л =1,2,...) (ЮЛ)
а
и из /(х) € Lp [а, Ь] должно следовать /(х) = 0 почти всюду на [а, Ь] (для
пространства С аналогично, но уже слова «почти всюду» надо заменить на
«всюду»).
*) Относительно всех употребляемых здесь обозначений см. «Обозначения» (стр. 15).

§ 11 ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ L 65
Для того чтобы интегралы, входящие в A0.1), имели смысл для любой
/(х) ? L[a, 6], необходимо и достаточно, чтобы все срп (х) были ограничены на
[а, Ь]; если/(х) ? L? [а, 6], то необходимо и достаточно, чтобы <рп(х) ? Lq[a, b]
(л = 1,2, ...), где — + — = 1 (см. § 9 Вводного материала и § 3 Доба-
Добавлений), наконец, для / (х) ( С от функций <рп(х) требуется одна лишь
суммируемость.
Понятие полноты вводится без предположения ортогональности системы
{<рп(х)}у но мы будем интересоваться тем случаем, когда она ортогональна.
Если функции (рп(х) комплексные, то определение сохраняет силу, только
вместо равенств A0.1) следует писать
Если две функции / (х) ? Lp [a, b] и g(x) ? Lp[a, &] отличны на множестве
меры больше нуля, то они не могут иметь одинаковых рядов Фурье по пол-
полной в LP [а, Ъ\ системе функций {yn(x)} (при р ^> 1). Действительно, если бы
это имело место, то разность у)(х) = /(х) — g(x) была бы функцией, принадле-
принадлежащей к Lp[a, b] и ортогональной ко всем {<рп(х)}, причем условие у(х) = О
почти всюду на [а, Ь] не выполнено, а это противоречит определению полноты
системы.
§11. Полнота тригонометрической системы в пространстве L
Мы докажем, что тригонометрическая система полна в пространстве
L(—тг, тг), т. е. убедимся, что две суммируемые функции имеют одинаковые
тригонометрические ряды Фурье только в том случае, когда они совпадают
почти всюду на (—тг, тг).
Для этого мы предварительно докажем, что, если уже известна полнота
тригонометрической системы в С, то отсюда мгновенно получается и ее пол-
полнота в L.
В самом деле, допустим, что /(х) ? L и
/ (х) cos nxdx = \
A1.1)
/(х)sinлхЛс = 0 (п= 1,2, ... ).
Тогда, обозначая через ап и Ьп коэффициенты Фурье от /(х), имеем
ап = 0 (л = 0,1,...),
Ьп = 0 (л = 1,2, ...).
Рассмотрим функцию
F(x) =
на

66 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Ясно, что F{n) = п а0 = 0 и F(—я) = 0, следовательно, F(x) непрерывна не
только на [—тг, п\ но и на всей прямой — оо < х < + °°- Ее коэффициенты
Фурье Ап и Вп находим, интегрируя по частям, именно
Ап = — I F(x)cosnxdx = — (
—я — л
(в силу (ИЛ)) и аналогично
п л
Вл =JL J F (х) sin пх dx = -^ | /(x)cosnxdx = 0 (л = 1,2, ... )•
Таким образом, у F(x) все коэффициенты Фурье, кроме Ао, должны быть
равны нулю. Раз F(x) непрерывна, то, полагая Ф(х) = F (х) ^-, мы видим,
что Ф(х) непрерывна и имеет все коэффициенты Фурье равными нулю, т. е.
она ортогональна ко всем функциям тригонометрической системы. Но мы
предположили уже известным, что тригонометрическая система полна в С.
Значит, Ф (х) = 0, а потому F (х) = -~ = const. Но так как F'(x) = /(x) почти
всюду, то /(х) = 0 почти всюду, а это и требовалось доказать.
Докажем теперь полноту тригонометрической системы в С.
Мы условились (Вводный материал, § 22) называть тригонометрическим
полиномом всякое выражение вида
п
Тп(х) = ао + J? akcoskx + /^sinkx. A1.2)
Ясно, что если /(х) ортогональна ко всем функциям тригонометрической
системы, то она ортогональна и к любому тригонометрическому полиному,
т. е. для любого Тп(х)
$f{x)Tn{x)dx = O. A1.3)
— л
Мы покажем, что если /(х) непрерывна, но не есть тождественный нуль,
то тригонометрический полином Тп(х) можно подобрать так, чтобы интеграл
в левой части равенства A1.3) был положителен; тогда ясно, что избежать
противоречия можно, только считая / (х) == 0.
Итак, пусть /(х) ф 0; тогда найдется такая точка |, где /(!) = с -h 0.
Не нарушая общности, можно предполагать с > 0 (так как в противном
случае достаточно было бы доказать, что—/(х) = 0). Можно также предполо-
предположить, что 1 = 0, так как если мы умеем для функции у (х), у которой ср @) > О,
найти полином Т* (х), для которого
Sv{x)Tn(x)dx>0,
— л
то полагая <р(х) = /(I + х)и Тп(х) = Т„(х — $), видим, что
ff(t)Tn(t)dt= ff(S + x)Tn(S + x)dt= f V(x)TZ(x)dx>0.
—л —л —л
Итак, остается доказать, что если /@) = с > 0, то можно найти полином
Тп(х), для которого
ff(x)Tn(x)dx>0. A1.4)

§ 11 ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ L 67
Но если/ @) = с > 0, то найдется, в силу непрер ывности / (х), такой интервал
(-д,+д), где/(*)>-!-. Имеем
J f(x)Tn(x)dx= $ f(x)Tn(x)dx + ~f f(x)Tn(x)dx+ J /(x)Tn(x)dx.
-«5
Так как /(х) непрерывна, то она ограничена, т. е.
|/(х)|<М -*<*<я, AL5)
где М постоянное.
Пусть А > 0 задано. Допустим, что удалось подобрать Тп(х) так,чтобы
удовлетворились условия
Гп(*)>1 на (-*,«), A1.6)
$Тп(х)<1х>А A1.7)
-E
|Г„(х)|<1 на (-*,«) и («,»). A1.8)
Возьмем Л>——— , где М взято из условия A1.5). Тогда
и, значит, A1.4) имеет место, а тогда доказательство будет закончено.
Итак, осталось подобрать тригонометрический полиномТп(х)такой, что
удовлетворены условия A1.6), A1.7) и A1.8).
Чтобы найти такой полином, заметим, что если
Т (х) = 1 + cos х — cos д,
то Т(х)>1 на (— ду&) и |Т(х)|< 1 вне (— д,д), а стало быть, и для
Тп(х)=[Т(х)]"
имеем
|ГЛ(х)| < 1 вне (-6, ё) и Тп(х)> 1 на (-*, д).
Кроме того, на I—^~, -тН имеем
Т(х)> 1 + cos -| cos сЗ = ^ > 1,
а потому
д
$Tn(x)dx> ) Tn
при п -> оо и, значит, при любом Л, выбирая и достаточно большим, мы
можем добиться выполнения неравенства A1.7).
Осталось доказать, что Тп (х) тригонометрический полином. Но так как
Т(х) = cos х + с, где с — постоянное, то [Т(х)]п есть тригонометрический
полином при любом п (см. § 22 Вводного материала).

68 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Итак, наша теорема полностью доказана. Из самого определения пол-
полноты системы в пространстве LP следует, что если р' > р, то полнота в Lp
влечет полноту в Lpf. В частности, тригонометрическая система, будучи пол-
полной в L (§ 11), будет полна и в Lp при любом р > 1.
§ 12. Равномерно сходящиеся ряды Фурье
Из полноты тригонометрической системы в С вытекает следующее про-
простое, но важное следствие:
Теорема. Если ряд Фурье непрерывной функции /(х) равномерно схо-
сходится, то сумма этого ряда совпадает с f (x).
Действительно, пусть
/ (х) ~ ~y + ]? CLn c°s nx + bn sin nx,
причем/(х) непрерывна, а ряд в правой части сходится равномерно на
[—п, я]. Обозначим черезS(x) его сумму. Ясно, что S(x) непрерывна. Но мы
видели (см. § 4), что если5(х) есть сумма равномерно сходящегося тригоно-
тригонометрического ряда, то его коэффициенты ап и Ъп получаются из S (х) при по-
помощи формул Фурье. С другой стороны, по условию, ап и Ьп получаются из
/(х)по формулам Фурье. Отсюда следует, что S (х) и /(х) имеют одинаковые
коэффициенты Фурье. Следовательно, в силу полноты тригонометрической
системы в С они должны совпадать тождественно.
Впоследствии (см. § 48) мы убедимся, что в этой теореме требование рав-
равномерной сходимости можно отбросить и утверждать, что если /(х) непре-
непрерывна, то во всякой точке, где ее ряд Фурье сходится, он сходится именно
В данный момент, поскольку мы уже говорим о равномерно сходящихся
рядах, целесообразно сразу же доказать одну лемму, которая будет часто
применяться впоследствии.
Лемма. Пусть тригонометрический ряд
а °°
-— + ^ ап cos пх + Ъп sin nx
имеет подпоследовательность частных сумм, сходящуюся равномерно к неко-
некоторой функции /(х). Тогда этот ряд есть ее ряд Фурье (в частности, это тем
более верно, когда сам ряд равномерно сходится к /(х)).
Действительно, пусть Snk(x) (k = 1, 2> ...) сходится равномерно к/(х).
Тогда и подавно
-^U ПРИ К-> оо.
— л
Отсюда для любого т имеем
п
J [/ (х) — $пк (х)] cos mx dx ->- 0 при к -> оо 9
— л
л
J [/ (х) — snk (x)] sin mxdx-^0 при к -> сю
— л
т.е.
Л Л
lim | Snk (x) cos rnxdx^ J / (x) cos mx dx

§ 13 МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА ФУРЬЕ 69
и аналогично для sin mx. Но в силу ортогональности тригонометрической
системы, если пк^т, то имеем
п п
j Snk (x) cos mx dx = am J cos2 mxdx-=namy
—n —n
а потому
n
lim J Snk (x) cos mxdx = 7z am
и, значит,
n
^1 f(x) cos mxdx
и аналогично для bm. Лемма доказана.
§ 13. Минимальное свойство частных сумм ряда Фурье;
неравенство Бесселя
Вернемся теперь к общему случаю, т. е. к рассмотрению ряда Фурье по
любой ортогональной системе. Мы займемся ортогональными системами пол-
полными в L2, так как они обладают рядом важных свойств, к изучению которых
мы переходим.
Пусть {(рп(х)} полна в L2 [а, Ь], ортогональна и нормирована на этом
отрезке. Поставим перед собой следующую задачу: дана функция/(х)^ L2;
берем п функций системы {уп (х)} и рассматриваем всевозможные выражения
п
ви^а J? аксРЛх)у которые условимся называть полиномами п-го порядка отно-
сительно системы [срп{х)}. Мы хотим знать, как надо выбрать константы
п
а1У а2, ..., ап для того, чтобы полином J? акФк(х) Давал наилучшее прибли-
жение для /(х) в метрике L2, т. е. чтобы норма разности
\\Hx)-2ak9k(x)\\L*
была минимальной. Мы докажем теорему.
Теорема. Среди всех полиномов п-го порядка по нормированной орто-
ортогональной системе {(рп (х)} наилучшее приближение в метрике L2 для /(х) ? L2
дается п-й частной суммой ее ряда Фурье по этой системе.
Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, которую мы для общно-
общности будем доказывать, предполагая срп (х) комплексными, мы напишем, при-
применяя тождество \А\2 = А • А:
II/W - jb
с)] dx =
= I |/(x)|»dx -2ak J l(x)<pk{x)dx-24 I /<
a /c=l a A:= 1 a
n n b
2a«ai I Mx)9j(x)dx;
7=1 a

70 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
и так как
ь
I ()()d = O для
1\<Рк{х)\Чх=\ для Л= 1,2,... ,
а
то
II/W- Jt*k9k(*)\**x= ! \f(x)\*dx- jt«kth- 2*кСн+ 2Ы*>
а к=\ а к=\ к=\ к=\
где ск — коэффициенты Фурье функции /(х).
п
Иначе говоря (добавляя и вычитая J? \ ск |2),
\\№-2W*(x)\\b = \\№+ J|cft-«,|2- J|cft|». A3.1)
Ясно, что правая часть A3.1) будет минимальной в том и только том
случае, когда
<** = <* (&= 1,2, ...,п),
й теорема доказана.
Подставляя в A3.1) вместо ак числа ск, мы как следствие получаем
Н/(*)- Jtck<P*<x)\\b = \\f\\b- J|cft|2- A3.2)
Так как левая часть равенства A3.2) неотрицательна, то и правая тоже,
а потому
00
Это неравенство справедливо при любом л, а потому ряд J5^ | ск\2 сходится и
J A3.3)
Неравенство A3.3) носит название неравенства Бесселя. Оно справедливо
для любой нормированной ортогональной системы и для любой f(x) ? L2.
§ 14. Сходимость ряда Фурье в метрике L2
Как следствие из неравенства Бесселя легко получается важная теорема.
Теорема. Для всякой функции с интегрируемым квадратом ряд
Фурье по любой нормированной ортогональной системе сходится в метрике L2.
Чтобы убедиться в справедливости этого предложения, напомним
(см. § 21 Вводного материала), что для сходимости последовательности
fn(x) в метрике L2 необходимо и достаточно, чтобы при любом s можно бы-
было найти такое Ny что
\\fn(x)-fm(x)\\L*<e для n^N и m>iV.
Покажем, что этот критерий выполнен, если роль функций fn(x) играют
частные суммы sn(x) ряда Фурье для f(x) ? L2.

§ 15 ПОНЯТИЕ О ЗАМКНУТОСТИ СИСТЕМЫ 71
Имеем для любого целого пи
п+р
||s()-sn(x)||i. = || 2
п+р
2
п+р
dx= 2 Ы2>
так как система {(рп(х)} ортогональна и нормирована. Но в силу неравенства
00
Бесселя мы знаем, что если /(x)?L2, то J? \ск\2 < + °°, а потому для
п+р
любого в > 0 можно найти такое N, что JP \ ск\2 < в при и ]> JV, а тогда
п + 1
что и заканчивает доказательство сходимости ряда Фурье для/(х) ? ZA
Однако следует обратить внимание, что была доказана только сходи-
сходимость ряда Фурье в метрике L2. Ниоткуда не видно, что сумма в смысле мет-
метрики L2 этого ряда должна быть равна функции/(х). Это и действительно не
всегда имеет место. Вопрос о том, когда ряд Фурье в метрике L2 сходится
именно к заданной функции, связан с вопросом о так называемой замкну-
замкнутости ортогональной системы в пространстве L2. К изучению этого вопроса
мы сейчас и переходим.
§ 15. Понятие о замкнутости системы.
Связь между замкнутостью и полнотой
Условимся говорить, что система функций {(рп(х)} замкнута в про-
пространстве С на [а, Ь] или в Lp (р ^> 1) на [а, Ь], если любую функцию / (х) ? С
(или / (х) € Lp) можно в этом пространстве с наперед заданной степенью
точности представить в виде полинома по системе {<рп(х)}.
Говоря точнее, система {<рп (х)} замкнута в С (или в Lp), если для любой
/(х)^С (или /(x)^Lp) и для любого в>0 можно так подобрать числа
аь а2, ..., ап, чтобы
|/(*)- Jtak<Pk(x)\<8 ПРИ я<
или
Мы здесь не будем доказывать, а только сформулируем две теоремы,
указывающие на связь между замкнутостью и полнотой, а именно: если
1 = 1, то каждая система, замкнутая в LP (р > 1) (или в С), является
полной в Lq (или в L). Обратно, каждая система, полная в LP (р > 1), явля-
является замкнутой в Lq*).
Мы рассмотрим подробно лишь тот наиболее важный случай, когда
р = 2. В этом случае q = 2 и сформулированная нами теорема приводит к
выводу:
*) Доказательство этих теорем можно найти, например, в книге Качмажа и Штейн-
гауза [М. 7].

72 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Теорема. В пространстве L2 полнота и замкнутость системы экви-
эквивалентны, т. е. каждая полная система замкнута, и наоборот.
Это предложение может быть доказано для произвольных систем, состоя-
состоящих из функций, входящих в L2. Но мы ограничимся рассмотрением того
случая, когда заданная система ортогональна. Кроме того, так как и замкну-
замкнутость системы и ее полнота не могут ни исчезнуть, ни появиться, если мы все
функции системы умножим на любые константы, то можно предполагать
систему нормированной.
Итак, пусть {срп (х)} — нормированная ортогональная система на отрезке
[а, Ь]. Мы видели в § 14, что для любой / (х) ? L2 [а, Ь] ее ряд Фурье по системе
{(рп(х)} сходится в метрике L2. Обозначим через F(x) его сумму, тогда
F(x) = 2ckq>k(x), A5.1)
где знак равенства понимается в смысле сходимости в метрике L2.
Докажем, что числа сп являются коэффициентами Фурье функции F(x).
В самом деле, умножая обе части равенства A5.1) на срп(х) и интегрируя (а это
законно в силу теоремы Рисса, см. § 21 Вводного материала), имеем
/ F (х) уп(х)dx= j?ck f cpk(x) yn(x)dx. A5.2)
a k=\ a
Учитывая ортогональность и нормированность {срп (х)}, выводим отсюда, что
сп= J F(x)vn(x)dx.
а
Отсюда мы заключаем, что функции / (х) и F (х) имеют все коэффициенты
Фурье одинаковыми. Если предположить, что система {<рп(х)} полная, то это
возможно только в том случае, когда/(х) = F(x) почти всюду, а потому мы
получаем
Здесь знак равенства снова понимается в смысле сходимости в L2. Следова-
Следовательно,
при п -> оо, т. е. для любого е > О можно найти такое JV, что
/с-1
Но /(х) была любая функция из L2. Следовательно, согласно определению
замкнутости, мы видим, что {срп (х)} замкнута в L2.
Итак, мы доказали, что полнота системы в L2 влечет ее замкнутость в L2.
Обратное предложение доказывается совсем просто.
Пусть {(Рп(х)} —замкнутая в L2 система и /(х) — любая функция из L2.
Тогда для любого е >0 можно так подобрать числа а1у а2, ..., ап, что

§ 16 ТЕОРЕМА ФИШЕРА-РИССА 73
Но было доказано (см. § 13), что среди всех полиномов порядка п по системе
п
{<Рп (х)} наилучшее приближение к / (х) в метрике L2 дает полином ^Р ск цк (х),
коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье от /(х). Поэтому
II/W - 2 c^^)\\<\\f(x) - ^ ак<рк(х)\\<е.
Но так как мы знаем (см. A3.2)), что
ТО
откуда следует, что
J A5.3)
Мы видели раньше (§ 13), что для любой нормированной ортогональной
системы справедливо неравенство Бесселя A3.3)
Теперь мы видим, что в случае замкнутой системы это неравенство пре-
превращается в равенство A5.3); его обычно называют равенством Парсеваля.
Итак, если система замкнута, то для любой f (x) ? L2 имеет место равен-
равенство Парсеваля.
Но отсюда мгновенно следует и полнота системы {q>n(x)} в L2, так как
если функция /(х) ? L2 ортогональна ко всем функциям системы {^(х)}, то
т. е. все ее коэффициенты Фурье равны нулю; но тогда и ||/||2 = 0 в силу
A5.3), т. е.
J \f\*dx = O,
а
а это возможно только, если / (х) = О почти всюду.
Итак, замкнутость системы в L2 влечет ее полноту в L2, и доказатель-
доказательство полностью закончено.
§ 16. Теорема Фишера—Рисса
00
Мы видели в § 13, что для всякой функции / (х) ? L2 ряд J? | сп |2, составлен-
ный из квадратов модулей ее коэффициентов Фурье, при любой ортогональ-
ортогональной нормированной системе сходится. Кроме того, в случае, когда рассматри-
рассматриваемая система полна, то (см. 15.3)
12 = ^К12.
п-1

74 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Но имеет место следующая гораздо более глубокая теорема:
Теорема Фишера — Рисса. Пусть сп (я = 1, 2, ...) — любая
СО
последовательность чисел, для которых JV|cnl2< + °° и {(рп(х)} — любая
нормированная ортогональная система. Тогда существует такая f (x) ? L2,
для которой числа сп являются ее коэффициентами Фурье по этой системе;
если система полная, то такая f (x) только одна.
00
Для доказательства заметим, что если составить ряд >;' сп срп (х), то он
00
должен сходиться в метрике L2; действительно, раз^ | сп|2< + <х>, то для
00
любого е >0 можно выбрать столь большое N, что ^? |сп|2 < в. Но тогда
N+1
2
п+1
(аналогичное рассуждение мы уже проводили в § 14); следовательно, после-
последовательность Sn(x) сходится в метрике L2. Итак, найдется такая/(х), для
которой ||/(х) — Sn(x)||L* ->Опри п -> сю. Повторяя рассуждения § 15, мы
00
видим, что ряд^ сп<Рп(х) есть ряд Фурье для /(х), причем, если система пол-
п1
ная, то такая /(х) только одна.
§ 17. Теорема Фишера—Рисса и равенство Парсеваля
для тригонометрической системы
Как теорема Фишера—Рисса, так и равенство Парсеваля были нами
доказаны для нормированных систем функций. Поэтому они справедливы
для системы
1 cosx sinx cosnx sinnx
Следовательно, если a0, an, bn — последовательность чисел, для которых
4- + 2*2n + b*n< + oo, A7.1)
то можно найти такую F (x), для которой
sin nx
Отсюда, полагая / (х) = ^c" F (x), видим, что
ao = JL\f(x)dx; an = J_ f (x)cosnxdx; bn = _L ( /(x)si
^ J ^ J ^ J
Итак, если ряд A7.1) сходится, то существует /(х) € L2, для которой ряд
с коэффициентами ап, Ьп является рядом Фурье.

§ 18 РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ ДЛЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ 75
Равенство Парсеваля для тригонометрической системы принимает вид
л
71 J
Отметим еще, что в силу минимального свойства частных сумм ряда
Фурье (см. § 13) мы, в частности для случая тригонометрического ряда, можем
утверждать, что среди всех тригонометрических полиномов порядка не выше
п наилучшее приближение в метрике L2 для любой /(х) ? L2 дается п-й част-
частной суммой ряда <?(/).
В § 24 Вводного материала мы обозначили через Е(пр) (/) наилучшее при-
приближение /(х) ? LP в метрике Lp тригонометрическими полиномами порядка
не выше и; значит,
Ef (/) = { (| / (х) - sn (x) |2 dx }% . A7.3)
— 71
Эта формула будет в дальнейшем полезна.
§ 18. Равенство Парсеваля для произведения двух функций
В этом параграфе мы будем рассматривать функции, принимающие лишь
действительные значения.
Мы хотим отметить еще одно полезное равенство, легко выводимое из
равенства Парсеваля.
Если f(x)€L2ug (х) ? L2, система {(рп (х)} ортогональная, нормированная
и полная на (а, Ь\ причем сп — коэффициенты Фурье для /(х), a dn — коэф-
коэффициенты Фурье для g (x), то имеет место формула
I dx = 2cndn. A8.1)
Действительно, если / ? L2 и g ? L2, то это же верно для их суммы и,
применяя равенство Парсеваля к /(х), g(x) и /(х) + g(x), имеем
a n=l a n=l
J [/ (x) + g (x)f dx=2 (cn + dn)\ A8.3)
a n=l
Раскрывая скобки в левой части A8.3), получаем
= li*{x)dx + 2 lf{x)g{x)dx+ I g*(x)dx =
Вычитая равенства A8.2) из A8.3) и деля на 2, получим нужную фор-
формулу A8.1).

76 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Для случая тригонометрической системы формула A8.1) примет вид
1 t f(x)g(x)dx=*LpL + jganan + bnpn,
где ап, Ъп — коэффициенты для /(х), а ап, fin — коэффициенты для g(x).
§ 19. Стремление к нулю Коэффициентов Фурье
Мы видели, что если / (х) ? L2, то J5? | сп |2 < + °° и отсюда сразу следует,
что |сп| ->0 при п -> оо. Это справедливо для любой ортогональной системы.
Мало того, теорема Фишера—Рисса показывает, что если для каких-то сп
имеем Е с\ < + оо, то эти сп — обязательно коэффициенты Фурье от некото-
некоторой функции / (х) ? L2.
Значительно сложнее обстоит дело, если/(х) ? L, но /2(х) несуммируема.
Тогда мы можем очень мало сказать о коэффициентах Фурье от / (х). Точно
так же, если дана последовательность чисел сп, для которой Е с2 — + оо,
то мы даже не знаем, существует ли функция, имеющая эти числа своими
коэффициентами Фурье.
Укажем здесь простые факты, позволяющие все же хоть в некоторой
мере судить о коэффициентах Фурье.
Теорема Мерсера. Если у ортогональной нормированной си-
системы*) {(рп(х)} функции ограничены в своей совокупности, т.е.
то коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по этой системе
стремятся к нулю.
Пусть /(х) суммируема и е > 0 наперед задано; найдем сначала такую
ь
функцию F (х), для которой J |/(х) — F(x)| rfx<e, причем F(x) ограничена.
а
Это всегда возможно в силу самого определения интеграла Лебега.
Так как всякая ограниченная функция заведомо принадлежит L2, то ее
коэффициенты Фурье стремятся к нулю, значит, для достаточно большого N
будем иметь
I $F{x)q>n(x)dx\<s при п>N.
а
Кроме того,
\$[f(x)- F(x)]Vn(x)d
а
а тогда
\Sf(x)<pn(x)dx\<e(l+M) для n>N,
a
а следовательно,
ь
J f(x)<pn(x)dX-*-0 При Л-*оо,
a
и теорема доказана.
*) Здесь будет идти речь.о функциях, принимающих лишь действительные значения.

§ 20 ЛЕММА ФЕЙЕРА 77
Так как тригонометрическая система состоит из функций, которые огра-
ограничены в своей совокупности, то отсюда, в частности, вытекает
Теорема. Для любой суммируемой функции ее коэффициенты Фурье
по тригонометрической системе стремятся к нулю.
Этот факт имеет очень большое значение, так как в дальнейшем (см. § 62)
мы увидим, что те тригонометрические ряды, коэффициенты которых не стре-
стремятся к нулю, могут сходиться только на множестве меры нуль. Однако
одного только стремления к нулю коэффициентов тригонометрического ряда
все же недостаточно для того, чтобы он сходился (см. § 63); мало того, мы
увидим дальше (глава V, § 20), что и ряды Фурье могут расходиться в каждой
точке. Таким образом, проблема сходимости тригонометрических рядов под-
подлежит серьезному исследованию.
§ 20. Лемма Фейера
Теорема § 19 о стремлении к нулю коэффициентов Фурье является част-
частным случаем следующего общего результата, принадлежащего Фейеру
(FejW)
)
Лемма Фейера*). Если f (х) ? L имеет период 2тг, a g (х) имеет
период 2тг и ограничена, то
lim
=-±. \f(x)dx. \g(x)dx. B0.1)
71
Здесь п -> оо, принимая любые, а не только целые значения (полагая
g (х) = cos х или g (x) = sin х, мы сразу видим, что утверждение, касающееся
коэффициентов Фурье, справедливо).
Для доказательства леммы Фейера заметим сначала, что если для любого
s > 0 можно найти такую <р (х), что
!\f(x)-V(x)\dx<e B0.2)
—я
и если для <р(х) равенство B0.1) уже доказано, то оно верно и для /(х).
В самом деле, имеем для любого п
I J / (*) g (nx) dx~ J (p{x)g (nx) dx\<Me, B0.3)
—я —я
где М — верхняя грань g(x) на [—тг, п]. Далее, раз B0.1) справедливо для
), то найдется такое JV, что
Г (p(x)g(nx)dx—2^" [ <p(x)dx f g(x)dx <г для n>N. B0.4)
—я —я —я
Наконец, из B0.2) заключаем
" g(x)dx
<
2n
<eM. B0.5)
*) Эту лемму можно в первом чтении пропустить. Она понадобится лишь в гла-
главе XIII).

78 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Следовательно, из B0.3), B0.4) и B0.5)
Л Л Л
^f(x)g{nx)dx-^\ f(x) dx J g(x)dx\<BM + l)e B0.6)
при любом и > N. А так как s как угодно мало, то из B0.6) следует B0.1).
Так как класс ступенчатых функций всюду плотен в классе функций
/ ? L (см. Вводный материал, § 21), то мы видим, на основании только что
доказанного, что равенство B0.1) достаточно доказать для ступенчатых
функций. Но для них его доказать уже легко, так как отрезок [—тг, п] разби-
разбивается на конечное число отрезков, на каждом из которых /(х) постоянна,
а тогда, если <57- такой отрезок, /(х) = cj на нем, и к — число отрезков 6jf то
равенство B0.1) принимает вид
л
lim 2 CJ Г 2 ("*) dx=2 CJ 8i4- Г ^ (*) dx B0.7)
и оно будет доказано, если мы убедимся, что для любого интервала <5
lim J g (nx) dx = -A- j g (x) dx . B0.8)
д —п
Пусть Ь = (а, 6). Имеем —я <; а< Ь <^ я. Надо доказать, что
1^ -^ \ % (nx) dx = -^ j g (x) dx, B0.9)
a —л
принимая во внимание, что |g(x)| < М и g(x) периодическая с периодом 2п.
С этой целью заметим сначала, что
nb
b — a
а
Пусть т1 и т2 такие целые числа (каждое из них может быть положи-
положительно, отрицательно или равно нулю), что
, ]
B0.11)
ш2-2тг<п&<(ш2+1Jтг. j
Так как
пЬ т2 - 2л пЬ па
Jg(O*= J g(t)dt+ J g(t)dt- J g{t)dt B0.12)
na mx • 2л m2 * 2л тх • 2л
и длина интервалов интегрирования в двух последних интегралах формулы
B0.12) не превосходит 2я, то
пЪ 2лтг
IJ S(t)dt- J g(Qtf|<4Л1я, B0.13)
na 2лт1
Далее
Т«@Л = (ш2 - mx) J g@itt B0.14)
2лт1 —л

§ 21 ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 79
в силу периодичности g(/). Значит, из B0.13) и B0.14)
| f g (t) dt - (m2 - mx) f g (О Л |< 4Мя. B0.15)
па —я
Но из B0.11)
(т2 — т1 — 1) 2 я < п (& — а)< (т2 — тх + 1) 2 я,
а потому
(&) (бJ, где|б|<1.
Иначе говоря,
тг-тх= п{р-ла) -в, B0.16)
а потому из B0.15) и B0.16)
пЬ
nip — a) '
Отсюда следует, что
nb
и, принимая во внимание B0.10), видим, что B0.9) доказано и таким образом
доказательство леммы закончено.
§ 21. Оценка коэффициентов Фурье через интегральный
модуль непрерывности функции
Мы видели в § 19, что для любой суммируемой функции /(х) коэффициенты
Фурье ап, Ъп стремятся к нулю при п -> оо. Однако иногда знания одного этого
факта недостаточно и приходится оценивать скорость, с которой они стремят-
стремятся к нулю.
Напомним, что в § 25 Вводного материала мы определили понятие интег-
интегрального модуля непрерывности со1 E, /) для/(х) и доказали, что для любой
/ ? L имеем сог E, /) -> 0 при 5 -> 0.
Пусть сп — комплексные коэффициенты Фурье функции /(х), т. е.
2л
С« = 1БГ I f(x)e~^dx (п = 0,±1,±2,...). B1.1)
6
Заменяя х через х + ~ можем написать
о
Складывая B1.1) и B1.2) и деля на два, получаем

80
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
откуда
*<-3ir»i(-f,/).
Итак, для комплексных коэффициентов Фурье функции /(х) имеем
\сп\<~щ{~,1) (л=±1,±2,...). B1-3)
В случае действительных коэффициентов Фурье имеем, рассуждая совер-
совершенно аналогично,
(л =1,2,...)-
B1.4)
Формулы B1.4) дают новое доказательство того, что коэффициенты
Фурье от любой /(х) ? L стремятся к нулю, но они, кроме того, позволяют
судить о скорости этого стремления в зависимости от свойств функции, так
как, грубо говоря, чем функция «лучше», тем быстрее стремится к нулю ее
интегральный модуль непрерывности.
Если/(х) периодическая и непрерывна на [—п, тг], то из определения
модуля непрерывности (см. § 25 Вводного материала) сразу заключаем
МЛ,/К *(<>,/)-2 я,.
а потому для непрерывной / (х) имеем
(л =1,2,...).
B1.5)
§ 22. Коэффициенты Фурье для функций с ограниченным изменением
Пусть /(х) — функция с ограниченным изменением на [0, 2тг]. Если
V — ее полное изменение на [0, 2тг], то мы имеем
Но рассуждая, как в § 21, мы имеем
2л
In
i \
а так как в силу периодичности /(х) имеем для любого к
J

§ 23 ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 81
то можно также написать
2л
dx.
Складывая все такие неравенства для к = 1, 2, ..., 2п и деля затем на
2п, найдем, принимая во внимание B2.1),
2л
и аналогично
1*п|<4' B2-3)
Отсюда выводим: для любой функции с ограниченным изменением
«„ = 0A), *» = 0D") B2.4)
(обозначение of—1 см. в § 11 Вводного материала).
Если потребовать от f(x), чтобы, кроме ограниченности изменения, она
была еще непрерывна, то возникает вопрос, нельзя ли улучшить эту оценку?
Оказывается это не так, в чем мы убедимся в § 2 главы II.
§ 23. Формальные операции над рядами Фурье
Мы видели (см. § 11), что тригонометрическая система полна в L, т. е.
две суммируемые функции могут иметь одинаковые ряды Фурье, только если
они равны почти всюду. Таким образом ряд Фурье, даже если он не является
сходящимся, все же тесно связан только с одной функцией. Мы сейчас убе-
убедимся, что с рядами Фурье, хотя бы и расходящимися, во многих случаях
можно совершать такие же операции, как если бы они сходились к тем
функциям, от которых они являются рядами Фурье.
1) Сложение и вычитание рядов Фурье. Если нам
нужно составить ряд Фурье от суммы или разности двух функций, то доста-
достаточно сложить (или вычесть) ряды Фурье от этих функций. Действительно,
если
ТО
f(x)±g (х) ~ П~2 (сп ± уп) е™
П= — оо
так как
2^J [f(x)±g(x)]e-^dx =
—л
л л
_!_ Г / (r\ p-inx r1r I ^ Г

82 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Так же, если бы ряд Фурье был записан в действительной форме, мы
убедились бы, что если ап и Ъп — коэффициенты Фурье для/(х), а сп и dn —
коэффициенты Фурье для g(x), то для/(х) + g (х) коэффициенты имеют вид
fln ± сп и Ьп ± dn.
2) Умножение на постоянную. Сразу видно, что если
ТО
где к — любое постоянное число. Доказательство проводится, как в преды-
предыдущем случае.
3) Ряд Фурье для f(x+a).Если а — любое постоянное, то из
t(x)~2cn*nx
следует
/ (х + а) ~ 2J (сп eina) einx ~ 2J сп е'л(*+а> .
Действительно,
п п п
-^ J / (х + а) е~'пх dx=~ J / @ в-'ж«-«) dt = elna ~ J / (О <Н"< dt.
—я —л —л
Следовательно, ряд Фурье для /(х + а) выглядит так, как если бы мы просто
в ряде Фурье для / (х) подставили вместо х величину х + а.
Читатель легко убедится, что такой же результат имеет место, если ряд
Фурье задан в действительной форме.
4) Ряд Фурье для f(x)eimx, где т — целое. Имеем
так как
я л
^- J / (*)eimx e~inx dx = -y^" J / (*) e-^n-m^x dx .
— 71 — 71
Отсюда снова следует, что коэффициенты Фурье определяются так, как
если бы мы имели право оперировать с рядом, как со сходящимся: в этом
случае имели бы
/ (y\ pirnx — "V г pin* pimx — XT' r pi(n+m)x — ^V r pikx
I \ J ~~~~ / П jr *Tl *» ^^ lc~TYl
Л= —оо П=— oo k=—<G
5) Ряд Фурье для /(x). Если
то
что проверяется непосредственно по формулам Фурье.
6) Ряд Фурье для «свертки». Допустим, что f(x) и g (x) — две
периодические функции,
f(x)?L [— лул] и g (х) ? L [— л} л] .

§ 23 ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 83
Рассмотрим произведение f(x+f) g(f). Если не налагать на f(x) ng(x) никаких
дополнительных ограничений, то оно может оказаться несуммируемой функ-
функцией переменного t. Но мы докажем, следуя Юнгу (Young[з1), что это произве-
произведение для почти всех х есть суммируемая функция от / на [—п, п] и, полагая
B3.1)
имеем Q(x)? L [0, 2л]. Эта функция Q (х) называется сверткой для f(x) и g (x).
Достаточно, разумеется, рассмотреть случай /(х)^Ои ()^6
Положим
F(x)= I f{t)dt.
—¦л
Тогда функция
J [F(x + t)-F(t-n)]g(t)dt = f
— я —я
существует и конечна для всякого х. Полагаем
f/(' + «)g(O> если /(*
/(f,«,7W) =
I М, если /(f + u)g(t)>M.
Имеем
J d< $f(t + u)g(t)du= fdt lim f f(t,u,M)du =
—Л —П
= lim J df Sf(t,u,M)dii=: lim f du $ f(t,u,M)dt =
lim ff(t,u,M)dt. B3.2)
_„ _„
Предел lim f f(t,u,M)dt может оказаться равным + oo, но в силу равен-
ства B3,2) это может иметь место лишь для точек некоторого множества меры
л
нуль. В тех же точках, где он конечен, он равен J f(t + u)g (t) dt.
Итак, мы убедились, что свертка Q (х) почти всюду определена и сумми»-
руема. Теперь выразим коэффициенты ее ряда Фурье через коэффициенты
рядов для f(x) и g(x).
Если
то коэффициенты Фурье (лп для Q (х) имеют вид
Vn = cnd_n. B3.3)
Действительно,
-"« = ^1 Q(*)e-inxdx = -i- J {i J fix + t)g(f)dt)

84 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Меняя порядок интегрирования, получаем
п п
-^г J /B) в""* Л} Л = ^ { g @ *"" сп dt = cn d.
(Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как по теореме
Фубини (см. § 18 Вводного материала) такую перемену всегда можно произ-
производить над неотрицательными суммируемыми функциями, но e~inx = cos nx —
— / sin nx, a cos nx и sin nx меняют знак лишь конечное число раз на [—тг, п],
поэтому рассматриваемые интегралы распадаются на такие, для которых
перестановка порядка законна.)
Итак,
Q(x)~2cnd-nein*. B3.4)
Полезно отметить здесь же, что если / (х) ? L2 и g (х) ? L2, то 2 \ сп\2 < + °°
и 2 !^п!2<С + °°> а потому и 2 \сгА-п\ < + °°- Теперь покажем, что в сде-
сделанных предположенияхQ(x) непрерывна. Для этого сначала разобьем g(f)
на два слагаемых, g(t) = g1(t) + ga@> та1<у чтобы gx (t) была ограничена, а
J U(t)dt<.e*, где е>0, задано. Имеем
+ 7Г I f^x + ^ + Л) - /(x + 0Ы0Л = Л + h
— TC
Если Ы0|<М @</<2^), то
для 0 ^ j h\ <^ д, где о)± (Й, /) — интегральный модуль непрерывности функ-
функции f (x) и, значит, /г может быть сделан как угодно малым, если д доста-
достаточно мало.
Для /2 находим
Л
Л" / J [/(* + ' + *)-/(* + 0]«Л /J
Итак, |Q(x+ ft)—Q(x)j может быть сделано как угодно малым, если h доста-
достаточно мало.
Теперь заметим, что раз Q(x) непрерывна и ряд B3.4) сходится абсолютно
и равномерно, то этот ряд, в силу теоремы § 12, сходится к Q(x)b каждой
точке. В частности, отсюда получаем, полагая х = О,
= 2n\ t(t)g(t)dt= 2"° cnd.n. B3.5)

§ 23 ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 85
7) Ряд Фурье для произведения. Пусть
/ (х) ~ п^2 спeinx , g (*) ~ п~2 dnеШ -
П= — <о Л=—со
Допустим, что f(x) ? L2 и g(x) ? L2. Тогда f(x) g(x) ? L.
Полагая
покажем, что
Уп = к=2 tkdn-k • B3-5')
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
л
V" = -hr\ f(x)g(x)e-inxdx,
—и
а потому, полагая
h(x) = g(x)e-inx9 B3.6)
имеем
Если обозначить через ^„ коэффициенты Фурье от ft(x), то по форму-
формуле B3.4)
уп = к=2с^-х- B3J)
Но так как на основании пункта 4) этого параграфа из B3.6) следует
1*к = dk+n у
то
/С=+ор
Уп= 2 Ckdn-k>
к со
а это и есть формула B3.5'), которую мы хотели доказать.
Замечание. Напомним, что для числовых рядов доказывается спра-
справедливость следующей теоремы: если и0 + иг + ... + ип + ... абсолютно
сходится, и сумма его равна и, a v0 + vx + ... + vn+ ... абсолютно схо-
сходится, и сумма его равна v, то ряд
«о^о + («о^1 + ^ои1)+ ... +(uovn + u1vn.1+ ... +anv0)+ ...
абсолютно сходится и сумма его есть uv.
Нетрудно проверить, что если бы мы составили ряд для произведения
f(x) g(x)> пользуясьэтой формулой умножения рядов, то коэффициенты этого
ряда как раз и выражались бы формулой B3.7), т. е. мы видим, что с рядами
Фурье здесь можно обращаться так, как если бы они абсолютно сходились.
Следствие. Если мы имеем 2J \сп\ < + °° и 2 1^1 < + °°> то и
2 I Уп\ < + °°> так как известно, что произведение двух абсолютно сходя-
сходящихся рядов сходится абсолютно; кроме того, 2' | уп\ ^ 2 \сп\ 2 ИпЬ так как
в абсолютно сходящемся ряде можно члены переставлять как угодно, и от
этого его сумма не изменится.

86 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Позже (см. § 61) мы увидим, что абсолютная сходимость тригонометри-
тригонометрического ряда на [—п, и) цмеет место тогда и только тогда, когда сходится
ряд из абсолютных величин его коэффициентов. Поэтому имеет место
Теорема. Если f(x)ug (x) разлагаются в абсолютно сходящиеся три-
тригонометрические ряды, то этим свойством обладает и их произведение.
8) Интегрирование рядов Фурье. Пусть /(х) — периоди-
периодическая суммируемая функция, a F(x) — ее неопределенный интеграл Лебега
Мы ставим себе целью найти разложение F (х) в ряд Фурье, если ряд для
/0е) уже найден:
Прежде всего заметим, что
F Bя) - F@) = Jf(t)dt =
о
а потому если с0 4= 0, то F(x) не будет периодической. Поэтому рассмотрим
вспомогательную функцию
0(x) = F(x)-cox. B3.8)
Так как
Ф(х + 2п) = F (х + 2л) - со(х + 2n) = C + ff(t)dt~c0x -co2tz =
о
= C+I f(t)dt-cox = 0(x)
о
то Ф(х) уже периодическая. Она абсолютно непрерывна, как и F(x), и
Ф' (х) = F' (x) — co = f(x)— c0 почти всюду.
Найдем коэффициенты Фурье для Ф(х); имеем для п + О
2л
(интегрирование по частям было законно в силу абсолютной непрерывности
Ф (х)). Так как Ф Bя) = Ф @), то отсюда сразу получаем
Сп = J?, (п = ± 1, ± 2, ...). B3.10)
Мы можем теперь написать
где знак 2" означает, что пропущен член сп = О.

§ 23 ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДАМИ ФУРЬЕ 87
Из B3.8) и B3.11) заключаем
F (х) - с0 * ~ Со + ^' -f- е™ . B3.12)
Ясно, что если бы мы совершенно формально проинтегрировали ряд
вф, то получили бы для F(x) тот же ряд B3.12).
Если бы ряд для f(x) был написан в действительной форме
то так же получили бы
п /v\ ^о у. г I х? "" &п cos пх + ап sin пх
9) Дифференцирование рядов Фурье. РядыФурь е—
Стилтьеса. Пусть F (х) абсолютно непрерывна на [0, 2л] и имеет пе-
период 2тг. Если
F(x)~2cneinx,
то для ее производной найдем
F'(x)~2incneinx. B3.13)
Действительно, достаточно применить формулу B3.10), полагая/(х) =
= F'(x).
Таким образом, ряд Фурье для производной от F (х) получается так, как
если бы мы продифференцировали ряд Фурье для F(x).
Аналогично, если
F (х) — -^- + 2<*п cos пх + bnsin пх,
то
F' (х) ~ 2 п (Рп cos пх — ап sin пх).
Заметим, однако, что эти формулы верны, лишь ecnHF(x) абсолютно
непрерывна, в противном случае она не является неопределенным интегралом
Лебега от своей производной, даже если эта производная существует и сум-
суммируема.
В случае, когда F(x) есть функция с ограниченным изменением, то,
полагая,
2л
с» = "Аг f e'inxdF (п = 0, ± 1,... ), B3.14)
о
где интеграл в формуле B3.14) есть интеграл Римана—Стилтьеса (см.
Вводный материал, § 16), пишут
dF~Zcneinx B3.15)
и называют этот ряд B3.15) рядом Фурье—Стилътъеса от dF.
Если мы положим

88 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
то Ф(х) тоже с ограниченным изменением, и притом периодическая. Пусть
Сп — коэффициенты Фурье для Ф (х); тогда при п =h О, интегрируя по частям,
находим
2я
ax~ 2nin J e п in >
Г Ф (
0 0
так как йФ = dF — c0 dx. Следовательно, если
где знак 2!' указывает, что член с п = 0 отсутствует, то
F(x) ~ Сох~Со + 2' 7keinX ' B3Л6)
Из формул B3.15) и B3.16) следует, что ряд Фурье—Стилтьеса для dF
с точностью до константы совпадает с результатом дифференцирования
ряда Фурье от F (х) — сох.
§ 24. Ряды Фурье от многократно дифференцируемых функций
Допустим, что к ^> 2, функция / (х) имеет производные до порядка к — 1
включительно, и производная (к—1)-го порядка абсолютно непрерывна;
тогда к-я производная суммируема. Обозначая через с^ коэффициенты Фурье
для fik)(x), находим по формуле B3.10)
r(ft> r(ft-i) c(ft)
Лк-i) Ln . Лк-2) __ п п
Ln in > n in (inJ >
и т. д., наконец,
Отсюда сразу ясно, что чем больше функция имеет производных, тем быстрее
ее коэффициенты Фурье стремятся к нулю.
В частности, если/(/с)(х) почти всюду определена и суммируема, то ffi
стремятся к нулю при п -> + оо, как коэффициенты Фурье от суммируемой
функции, а тогда
(^) B4.1)
Такая же оценка, естественно, имеет место, если ряд Фурье имеет дей-
действительную форму, т. е.
^) 4) B4-2)
§ 25, О коэффициентах Фурье для аналитических функций
Пусть/(х) — функция действительного переменного, аналитическая на
отрезке [—щ л] и периодическая с периодом 2л. Оценим ее коэффициенты
Фурье. Мы покажем, что они убывают со скоростью геометрической прогрес-
прогрессии; точнее, найдется такое 0, 0 < в < 1, и такое постоянное А, что
'п1 (Л = О,±1,±2,...) B5.1)

§ 25 О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 89
или в действительной форме
" и |&J<A0" (л = О,1,2,...). B5.2)
Числа в и А зависят, вообще говоря, от рассматриваемой функции f(x).
Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что в силу условий, наложен-
наложенных на /(х), имеем
/(-*) = /(*) и /<*>(-*) = /<*>(*) (/с= 1,2, ...).
При вычислении коэффициентов Фурье для функции, имеющей к произ-
производных, мы видели (см. § 24), что
I с I = l I W I
где 4Л) — коэффициенты Фурье от fik)(x). Но
ТЕ
С"") = Т^ J f(k)(x)e-inxdx.
—л
Поэтому, если обозначить через Мк максимум модуля fk) (x), то
\с \< Мк
Но для чисел МЛ справедливо такое неравенство:
Мк<ВП1 (Л=1,2,...),
где J3 — константа *). Поэтому
Bfey , ,1.0 ч /of;q4
(п== ± Ь±2,...) B5.3)
Выберем число р так, чтобы
-f <1, B5.4)
и положим
9x = -j. B5.5)
*) В самом деле, из сделанных относительно / (х) предположений вытекает, что ее
можно аналитически продолжить на некоторую плоскую область, содержащую отрезок
[—я, л]. Если мы обозначим через С произвольный спрямляемый контур, охватывающий
отрезок [—л, тс\ и лежащий в области аналитичности f(z), то по формуле Коши
/(*) (х) = -^~ Г , ^® , dz:
' 2 я t J (z — x)k+i
с
Если длина контура С есть /, —^— | / (z) \ = М и минимум расстояния точек z на
С от точек х на [— я, я] равен д, то
I/<*>(*) К М/ -J~к !
к ! ^
если выбрать Б так, чтобы В>тиВ> -—^;

90 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Число к в формуле B5.3) находится в нашем распоряжении, так как
функция f(x) имеет производные всех порядков. Поэтому при заданных пир
мы можем найти целое к из условия
р
Если так, то \п\ ^> рк и, принимая во внимание B5.3) и B5.5),
так как в силу B5.4) и B5.5) имеем вг < 1; обозначая через в число, которое
удовлетворяет условию
0гр < 0 < 1, B5.7)
и полагая
имеем из B5.6) и B5.7)
\сп\<А0\"\ (л = 0,1,2,...),
а это и требовалось доказать (см. 25.1)).
Если мы берем ряд Фурье в действительной форме, то неравенства при-
принимают вид
К|<А0" и |&я|<Ав" (л = 0,1,2,...).
Справедливо и обратное предложение, а именно: если у функции/(х)
коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенству B5.1), где А постоянно,
а 0 < в < 1, то f(x) — функция аналитическая на отрезке [—я, л].
Действительно, ряд 2 \сп\ < + °°> и мы имеем тогда
Дифференцируя это равенство к раз, где к любое, получаем
Дифференцирование почленно законно, так как получаемый ряд сходится
абсолютно и равномерно ввиду того, что
и так как к постоянно, то сходимость ряда 2 №п)\пк\ вытекает хотя бы из при-
применения к нему признака Коши.
Итак, f(x) имеет производные всех порядков. Но, кроме того,
00
Мк = max|/c>(x)|<2 A2 в"пк ¦
П = \
Отсюда можно вывести справедливость неравенства
Мк < Вк к !

§ 26 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 91
при некотором В. Действительно,
со со <»
г k С к(к 1^ Г п «
их ук /?у — 2l_ Qx хк~1 fix — v -L fix rk~2 dx =
J ln0 J ln20 J
0 0 0
* * * = \ ) Ink в >
откуда и вытекает нужное неравенство.
Пусть теперь х0 — любая точка [—л, л]. Пусть х — любая другая точка,
для которой
На основании формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
где 0 < в' < к. Но
В силу \х — хо\ <-ъ- правая часть стремится к нулю при п -> оо и,
значит,
т. e. f(x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки х0; но х0 — любая
точка из [—л, я], значит, f(x) — аналитическая функция на [—тг, л].
§ 26. Простейшие случаи абсолютной и равномерной сходимости
рядов Фурье
Начнем со следующего простого замечания. Рассмотрим тригонометри-
тригонометрический ряд
00
-5l + Jg an cos nx + Ъп sin пх . B6Л)
Если
2j I ап I + | On I < + °° у (ZO.Z)
то он сходится абсолютно (и равномерно) на [—тг, л].
Полезно отметить (мы уже указывали на это в § 23), что сходимость ряда
B6.2) не только достаточна, но и необходима*)для того, чтобы ряд B6.1)
сходился абсолютно на [—л, л].
Остановимся сейчас на рассмотрении некоторых конкретных случаев,
когда ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно. Если это имеет место,
то этот ряд имеет суммой ту функцию /(х), для которой он служит рядом
Фурье (см. § 12). В частности, отсюда вытекает, что
*) В § 61 будет показано, что для сходимости B6.2) достаточно абсолютной сходи-
сходимости B6.1) не на всем отрезке [—щ ж], а лишь на множестве положительной меры.

92 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Если f(x) имеет суммируемую производную второго порядка, то ее ряд
Фурье равномерно сходится к f(x).
Действительно (см. § 24) в этом случае
В дальнейшем мы увидим, что наложенные на f(x) требования слишком
ограничительны и можно получить равномерную сходимость в гораздо более
общих предположениях, но пока целесообразно отметить эту теорему, так
как даже и в такой форме она оказывается полезной.
Отметим здесь еще один простой, но важный случай, когда легко обна-
обнаружить абсолютную и равномерную сходимость ряда Фурье, а именно:
Теорема. Если F (х) абсолютно непрерывна и ее производная F' (х) =
= / (х) есть функция с интегрируемым квадратом, то ряд Фурье от F (х)
сходится абсолютно и равномерно.
Действительно, в этом случае, если коэффициенты Фурье от / (х) обозна-
обозначить через ат Ьп, то 2 #п + Ь% < + оо (см. § 13), а по формуле B3.10), обозна-
обозначая через Ап и Вп коэффициенты Фурье от F(x), имеем
Ьп_
п
IВ „\ =
an
п
а потому
I Ап |
Следовательно,
1 оп |2 -\ 2~"т^ и I Вп I ^~2~ап Н 2~~г?
и теорема доказана.
В § 3 главы IX эта теорема обобщается, именно вместо гипотезы f{x) с L2
рассматривается случай f'(x) с Lp (p > 1) и показывается, что результат
сохраняет силу. Там же дается ряд гораздо более сильных теорем об абсолют-
абсолютной сходимости рядов Фурье.
В качестве очень частного случая доказанной теоремы можно сказать,
что если F(x) изображается непрерывной ломаной линией, то ее ряд Фурье
сходится абсолютно и равнохмерно.
В самом деле, в этом случае F'(x) есть функция, которая имеет всюду,
кроме конечного числа точек, производную, и эта производная f(x) состоит
из конечного числа ступенек, а потому она ограничена, а, стало быть, тем
более /2(х) суммируема.
§ 27. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывной
функции тригонометрическими полиномами
Пусть f(x) — непрерывная функция на отрезке [—щ л] и /(—п) = /(тг).
Если мы ее продолжим периодически с периодом 2тг, она будет непрерывной
на всей оси Ох. Условимся в дальнейшем называть функцию с периодом 2тг
непрерывной периодической функцией в том и только в том случае, когда
она остается непрерывной и после ее периодического продолжения; если же
f(x) непрерывна только на некотором отрезке длины 2щ но в его концах
имеет разные значения, а следовательно становится разрывной, если ее про-
продолжить периодически (см. рис. 4 на стр. 60), то мы уже не будем называть
ее непрерывной периодической функцией.

§ 28 ПЛОТНОСТЬ КЛАССА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ 93
После этого уточнения мы можем высказать теорему:
Теорема Вейерштрасса. Для любой непрерывной периодиче-
периодической функции f(x) и для любого г > 0 можно найти такой тригонометри-
тригонометрический полином Т(х), что
\f(X)-T(x)\<8 (-oo<X< + oo). B7.1)
Существует очень много доказательств этой важной теоремы. Приведем
здесь одно из них.
В силу непрерывности f(x) на [—щ л] можно найти такое <3, что
I/(*')-/(**) К-f a™ |*'-**|<й, B7.2)
где хг и х" — любые две точки на [—л, л].
Разобьем отрезок [—п, л] на m равных частей, выбрав m так, чтобы
-—- < ё . Обозначим через у> (х) ломаную линию, совпадающую с / (х) в точках
к —, где к = О, +1, ..., + т, и положим ip (х + 2л) = чр (х) для любых х
(— со < х < + ©о). Из B7.2) ясно, что
\f(x)-v(x)\<-j- для |х'-х"|<<5
и в силу периодичности обеих функций это справедливо и для любых х,
— со < X < + оо.
Так как у (х) — ломаная линия, то по доказанному в конце § 26 ее ряд
Фурье сходится равномерно к ней. Поэтому, обозначая через Sn(x) сумму
первых п членов ее ряда Фурье, можно выбрать п столь большим, чтобы
±- ДЛЯ -оо<Х<+оо.
Ясно, что Sn(x)—тригонометрический полином и, обозначая его через Т(х),
видим, что теорема доказана.
§ 28. Плотность класса тригонометрических полиномов
в пространствах U(p ^ 1)
Только что доказанную теорему Вейерштрасса можно рассматривать как
доказательство того, что класс тригонометрических полиномов всюду плотен
в пространстве С непрерывных периодических функций.
Но отсюда же вытекает, что этот класс всюду плотен в любом простран-
пространстве LP (р^> 1).
Действительно, если f(x) ? Lp, то для любого s (см. Вводный материал,
§ 21) можно найти такую непрерывную ц> (х), что
с другой стороны, можно найти тригонометрический полином Г(х), для
которого
а потому и
\\<P-T\\L*<e

94 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
(предполагается, что норма вычисляется на отрезке длины 2л). Поэтому по
неравенству Минковского (см. Вводный материал, § 10).
||/-T||LP<2e,
и теорема доказана.
§ 29. Ядро Дирихле и сопряженное с ним ядро
При изучении сходимости тригонометрических рядов важную роль
играют функции
Dn(x) = -±-+co$x+ ... +cosnx B9.1)
и
Dn (x) = sin x + ... + sin nx . B9.2)
Функция Dn(x) может быть записана так:
sin (п + 4~) х
Dn (х) = Ь ?1— . B9.3)
2i|
Действителыю,
2sin-|-
2cJt1 Г) (v\ С1П I >^ О Ctti ллс hy
ЫП q JL/^2 \Xj — bill ~q Г" ^„i ^ ЬШ 9 ¦ \*\)o КЛ —
= sin-^- + J? sin ft + -^- x — sin ft —^- x = sin л + ~o~ x ,
откуда после деления на 2 sin-|-H получается формула B9.3).
Выражение B9.3) называется ядром Дирихле, так как Дирихле впервые
стал им пользоваться при изучении сходимости рядов Фурье (см. § 31).
Аналогично Dn (x) называется ядром, сопряженным с ядром Дирихле; оно
имеет вид
х ( 1 Л
_ cos-^ cos л +-Q-U
Dn (х) = * \ *±— , B9.4)
2 sin -j-
в чем также легко убедиться непосредственной проверкой.
Из формул B9.3) и B9.4) сразу видно, что если х ф 0 (mod 2л), то
IA.WK Ц- B9.5)
2 sin-J-
и
B9.6)
Заметим теперь, что функция -^-- убывает на отрезке @,-^-) (в чем
можно убедиться простым дифференцированием), а потому
т = -'

§ 30 РЯДЫ ПО СИНУСАМ ИЛИ ПО КОСИНУСАМ 95
Значит,
*^>4~ Для 0<х<^-. B9.7)
Применяя B9.5) и B9.6), получаем
I А, (*)!<-?- Для 0<|х|О B9.8)
и
1А,(*I<1Г Для 0<|х|<я. B9.9)
Этими формулами мы будем в дальнейшем часто пользоваться. Чаще всего
будет достаточно оценки
и Dn(x)-oD-)npHX^O; B9.10)
иногда же будет важно, что если <5 ^ |х| <^ л, то
|ОпМ1<-^ и I^WKt* B9Л1>
В силу периодичностиDn(х) nDn(x) можно также сказать, что B9.11)
имеет место, если <5 ^ х <^ 2л — д.
§ 30. Ряды по синусам или по косинусам с монотонно
убывающими коэффициентами
Прежде чем переходить к изучению случаев, когда проблема сходимости
тригонометрического ряда требует тонких исследований, мы рассмотрим
некоторые случаи, когда судить о сходимости очень легко.
Начнем с рядов вида
-*l + j?ancosnx C0.1)
2 i
j>bnsmnx, C0.2)
т. е. рядов, состоящих либо только из косинусов, либо только из синусов.
Мы прежде всего рассмотрим важный случай, когда эти ряды имеют монотонно
убывающие и стремящиеся к нулю коэффициенты, что будем запи-
записывать так:
ап | 0 и Ьп\0.
При изучении этих рядов мы воспользуемся оценками Dn(x) и Dn(x), дан-
данными в § 29, и леммой Абеля (см. § 1 Вводного материала). Это позволит нам
доказать теорему:
Теорема 1. Если ап | 0, то ряд
сходится всюду, кроме, быть может, точек х == 0 (mod 2ж); при любом д > О
он сходится равномерно на д^х^2л — д.
Если Ъп \ 0, то ряд
сходится всюду; при любом д > 0 он сходится равномерно над^х^2л — S.

96 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Действительно, полагая в лемме Абеля
Un = an, vo = 4~ и vn(x) = cosnx (л=1,2, ...),
имеем
а так как из формулы B9.11) следует равномерная ограниченность функций
Dn (х) на д <; х <^ 2л — д, то ряд сходится равномерно на этом отрезке. Если
0< х < 2л, то можно всегда взять д столь малым, чтобы д <; х <; 2л — д,
и, значит, ряд C0.1) сходится в точке х.
При х = 0 ряд C0.1) сходится в том и только в том случае, ког-
когда 2Х< + °°.
Для ряда C0.2) доказательство проходит аналогично; надо только в
лемме Абеля положить ип = Ъп и vn (x) = sin nx; тогда Vn (x) = Dn (x) и снова
применение неравенства B9.11) дает доказательство равномерной сходимо-
сходимости ряда C0.2) на д <; х ^ 2л — д, а следовательно, и его сходимости в каж-
каждой точке, кроме точек х == 0 (mod 2л). Но в этих последних он также схо-
сходится, потому что все члены ряда равны нулю.
Теорема полностью доказана.
Замечание. В силу обобщения леммы Абеля (см. § 1 Вводного мате-
материала) ряды C0.1) и C0.2) равномерно сходятся на д < х <^ 2л — д (а значит
и сходятся на 0 < х < 2л) и в том случае, когда вместо ап ф 0 или Ьп \ О
мы предполагаем только, что {ап} или {Ьп} есть последовательность с огра-
ограниченным изменением и притом ап -> 0 и Ьп -> 0.
Вернемся к случаю монотонного убывания. Ясно, что если
ап j 0 и 2/#n< + °°>
то ряд -~- + 2Jап.cosnx сходится абсолютно и равномерно уже на всем
отрезке 0 <^ х <^ 2л (и даже для — оо < х < + оо). С другой стороны, если
условие 2Т ап < + °° не соблюдается, то не только равномерной, но и про-
простой сходимости на всей оси быть не может, так как в точках х = 0 (mod 2л)
ряд C0.1) расходится.
Для ряда 2 bn sin nx вопрос о равномерной сходимости решается иначе.
Именно, имеет место
Теорема 2. Если Ъп \ 0, то для равномерной сходимости ряда
2Т Ъп sin nx на [0, 2л] необходимо и достаточно, чтобы пЪп -> 0.
Условие необходимо. Если ряд C0.2) равномерно сходится на
[О, 2л], то для любого в > 0 можно найти такое т, что
2 и
У Ьп sin nx
ип
Положим х = -^ ; тогда при т + 1 < п < 2т имеем -—<; пх < -^-, а потому
sin их^> sin -^- = —=- . Следовательно,
2,п
а так как Ъп монотонно убывают, то -= mb2m < е, т. е. ш&2т < ]/Ys и, значит,
|/2
/пЬт ->0 при т -> оо. Необходимость доказана.

§ 30 РЯДЫ ПО СИНУСАМ ИЛИ ПО КОСИНУСАМ 97
Условие достаточно. Мы уже знаем, что ряд C0.2) сходится
равномерно на д <; х <^ 2тг — ё при любом д (при единственном условии
Ъп | 0). Значит, если мы докажем, что добавление условия nbn ->0 влечет
равномерную сходимость на (—а, а), где а > 0 любое, то все будет доказано.
Кроме того, в силу нечетности sin х достаточно брать 0 ^ х <^ а. Мы докажем
равномерную сходимость ряда на
Пусть еп = max kbk. Ряд C0.2), как известно, сходится при всяком х;
обозначим
Мы докажем, что rn(x)\ <^Ksn на 0 <^х<^~, где К постоянное, откуда и
будет следовать равномерная сходимость ряда C0.2) на [0, 2тг].
Прежде всего гп@) = 0, если же х фО, то всегда можно найти такое
целое N, что — < х <^ -^тгт" • Если N > п, то мы напишем
= J? bk sin to + 2 b* sin to =
k=n k^N
Если же JV ^ п, то пусть r^1} (x) = 0, a r^2)(x) = rn (x). Произведем оценку
#\) и г&\х) отдельно.
Имеем, в силу [sin кх\ ^ Л|х|,
Для оценки г^2)(х) рассмотрим отдельно два случая:
1) Если п < N, то, применяя преобразование Абеля (см. Вводный мате-
материал, § 1), найдем
Но так как (см. B9.9))
то
в силу п < N и определения гп.
2) Если N^n, то г^2)(х) = гп(х) и тогда те же вычисления показы-
показывают, что
|г„(х)|
Поэтому
значит нужное неравенство доказано.
Замечание. Из доказанной теоремы мгновенно выводится следствие:
Существуют тригонометрические ряды, сходящиеся равномерно на
[—я, я], без того, чтобы сходиться абсолютно на этом отрезке.

98 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Действительно, рассмотрим, например, ряд
У sinny .
^2 п In п
C0.3)
Так къкЬп= 1п , то nbn->0 при п->оо и, кроме того, 6п | 0. Значит,
указанный ряд сходится равномерно на [—ж, тг], но он не сходится абсолютно
на [—тг, тг], так как иначе должен был бы сходиться ряд^—j—¦> а этот ряд
расходится *).
Это небольшое замечание мы делаем потому, что чрезвычайно часто для
доказательства равномерной сходимости функциональных рядов применяется
критерий Вейерштрасса (сравнение членов данного ряда с членами сходя-
сходящегося числового ряда), а в этом случае сразу имеет место и абсолютная, и
равномерная сходимость.
В частности, для тригонометрического ряда2^п^ппх> гДе2П^п! < + °°>
имеет место и абсолютная и равномерная сходимость на [—тг, я],ав рас-
рассматриваемом примере этого нет.
Можно даже построить тригонометрический ряд, сходящийся равно-
равномерно на [—тг, тг], но не имеющий на этом отрезке ни одной точки абсолютной
сходимости (см. об этом в главе IX, § 3).
По поводу рядов вида C0.2), где Ьп \ 0, полезно отметить еще одну
теорему:
Теорема 3. Если Ъп \ 0 и числа пЪп ограничены, то частные суммы
ряда
00
J? bn sin nx
ограничены в совокупности на — оо < х< + °°-
В силу периодичности и нечетности всех членов ряда достаточно рас-
рассматривать отрезок [0, тг], а так как при х = 0 и х = п все члены обращаются
в нуль, то можно ограничиться случаем 0< х < тг.
*) Из теоремы Лузина—Данжуа, которая будет доказана в § 61, вытекает, что ряд
C0.3) может абсолютно сходиться только на множестве меры нуль (потому что
У расходится). Более того, легко показать, что ряд C0.3) не является аб-
п = 2 п1пп
солютно сходящимся при любом х ф 0 (mod л). Действительно, если бы при таком
х имели
v, I sin пх\ < + ^
ТО И
П
поэтому
у. (l-cos2nx)
Г '
а так как У CQS пх сходится, если х ф 0 (mod ж), то отсюда вытекала бы сходимость
У , и мы пришли бы к противоречию.
п=2 п1пП

§ 30 РЯДЫ ПО СИНУСАМ ИЛИ ПО КОСИНУСАМ 99
Мы имеем по условию
\Щ<М (fc=l,2, ...), C0.4)
где М постоянно. Положим
Если и <>, то
I sn (х) |< | J? Ьк sin/be |< 2 IЛй* I* <м xv <Мл •
Если же и > у, то
5„ (х) = ^ Ък sin to + J? Ьк sin /ex = S^ (x) + S<?> (x) ,
где5(^(х) оценивается, как в предыдущем случае, т. е.
\S^(x)\^Mn, C0.6)
а к S^2)(x) мы применим следствие из преобразования Абеля (см. Вводный
материал, § 1). Заметив, что B9.9)
•.WI^Y Для
мы находим в силу C0.4) и C0.5)
I Sl%> (*) К 2 К+1-J- < 2 Af х * - < 2М . C0.7)
Из C0.6) и C0.7) следует
|S,,(*)l<M^+2M = M(rc+2),
и теорема 3 доказана.
Следствие. Имеем при любых п и х
*%? sin kx
<С, C0,8)
С — абсолютная константа.
Действительно, здесь мы имеем дело с частными суммами ряда
C0.9)
у которого 6П = j,t. е.4п|0и4=1.
Ряд C0.9) играет важную роль во многих вопросах теории тригонометри-
тригонометрических рядов; в § 41, в частности, мы исследуем его поведение в окрестности
точки х = 0, так как это даст нам возможность получить некоторые сведения
о поведении рядов Фурье от функций с ограниченным изменением в тех точ-
точках, где они разрывны.
В этом параграфе мы рассмотрели лишь очень немногие вопросы, касаю-
касающиеся рядов по синусам и косинусам с монотонными коэффициентами. Де-
Детальному изучению этого класса рядов будет посвящена глава X. Здесь же
мы хотим, чтобы не отсылать читателя к главе X, доказать еще одну важную
теорему, касающуюся таких рядов.

100 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Теорема 4. Если ап | 0 и последовательность {ап} выпукла, то ряд
? j (ЗОЛ)
7=1
сходится всюду, кроме, быть может, х е= 0 (mod 2л), к неотрицательной
суммируемой функции}(х) и является рядом Фурье от этой функции.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
7 = 1
и применим преобразование Абеля; это дает
Sn (*) = *2 (UJ ~ ai+l) DJ <*> + Qn Dn (X) = *2 A(lJ DJ W + пп Dn (*) , C0.10)
7=0 7-0
где Auj = a.j — ay+1. Полагая zl2ay = auj — zla/+1 и снова применяя пре-
преобразование Абеля, найдем
Sn(x) = "J& aj 2 DP (x) + Aan_r "^ Dp (x) + an Dn(x). C0.11)
;=0 p=0 p=0
Выражение вида
Kj(x)=jhr2Dp(x) C0.12)
принято называть ядром Фейера порядка /. Мы будем его изучать подробно
в § 47. Здесь же сошлемся на то, что Ку(х)^>0 для всех х (см. D7.5)). Из
C0.11) и C0.12) сразу следует
Sn(x) =2A'+ l)^aJKj(x) + nAan^1Kn-1(x) + anDn(x). C0.13)
7=0
Если х ф 0 (mod 2тг), то в силу ап -> 0 последний член правой части
C0.13) стремится к нулю при п -> оо. Кроме того, при х ф 0 (mod 2тг) в силу
C0.12) и B9.3) Кп(х) также остается конечным при п -> оо, anj ап^г ->0
для выпуклых последовательностей {ап} (см. Вводный материал, § 3), а
потому и и Лап_1 Kn-i (х) -> 0 при л -> оо. Отсюда для х ^ 0 (mod 2тг)
/ (х) = lim S, (х) = J1 (/ + 1) J» ay К7 (х). C0.14)
Самое существование предела нам доказывать не надо, так как сходи-
сходила ость ряда C0.1) для всех х, кроме х = 0 (mod 2тг), была установлена при
#п | 0, без гипотезы выпуклости {ап}, в теореме 1 этого параграфа. Таким
образом из C0.14) заключаем, что сумма f(x) ряда C0.14) есть неотрицатель-
неотрицательная функция, поскольку все zJ2ay- ^> 0 и Kj (х) ^ 0 для всех х.
Нам осталось доказать, что ^>яд C0.1) является рядом Фурье от /(х).
С этой целью мы заметим, что раз
/(x) = -|l + j?ancosnx C0.15)
1

§ 30 РЯДЫ ПО СИНУСАМ ИЛИ ПО КОСИНУСАМ 101
и в силу ап ф 0 ряд в правой части C0.15) сходится равномерно на (г, п) при
любом е>0, то
\f(x)dx = f Jdx + 2 a*Jcosnxdx = \(л - e) - J- an^. C0.16)
sin лх
Из an \ 0 в силу теоремы 2 следует, что ряд 2]ап сходится равномерно
на [0, 2л], значит, его сумма непрерывна на этом отрезке, и потому ряд в пра-
правой части C0.16) имеет сумму, стремящуюся к нулю при е->0. Отсюда
следует
п
lim Г f(x)dx = ^-7t. C0.17)
Но так как /(*)^>0, то из существования предела, стоящего в левой части
C0.17), следует суммируемость /(х) на [О,тг], а поскольку /(х) четная, то это
дает
$ f(x)dx = 2 J f
-я О
откуда
Теперь докажем, что при любом к = 1,2, ... имеем
л
ак = -1- ^ f(x) cos кх dx .
—л
С этой целью, умножая обе части C0.15) на cos кх и интегрируя по отрезку
[е, я], находим
I /(x) cos kx dx = ~- j cos kxdx + J? an Г cos kx cos nx dx +
л л
+ ak§ cos2 kxdx + Jg1 an J cos /ex cos nx dx . C0.18)
ТЕ 7E
При e -+ 0 каждый из интегралов J cos foe dx и J cos kx cos nx dx
e e
(n = 1,2, ..., к — 1) стремится к нулю.
Далее
ТЕ Л
lim cos2 kxdx = \ cos2 foe dx = — .
e 0
Наконец,
* со p
^ an cos foe cos nxdx = J!? an
П=к+1
= V a [sin(A: + /2)€ . sin(/2-^)€ ] /3Q jg\
„fr+i "L 2(Л + л) ¦*" 2(n-ft) J У

102 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
и, рассуждая аналогично предыдущему, мы видим, что при е -> 0 правая
часть C0.19) стремится к нулю.
Таким образом, из C0.18) получаем при е ->0
/ (х) cos kx dx = ak ~^~
о
и, учитывая четность /(х),
я
1 Г
ак = -^~ f (x) cos kxdx.
—л
Итак, ряд C0.1) есть ряд Фурье от / (х), и доказательство, таким образом,
закончено.
Следствие. Так как последовательность ^— (п = 2,3, ...) выпукла,
то из доказанной теоремы, в частности, следует: ряд
CQSnx
C0.20)
есть ряд Фурье.
Между тем ряд У jmnx заведомо не есть ряд Фурье (см. § 40), поэтому
мы видим, что ряд, сопряженный к ряду Фурье, не обязан быть рядом Фурье.
Замечание. Для дальнейшего нам будет полезно отметить, что
у ряда C0.20) частные суммы удовлетворяют условию
f C0.21)
где С — абсолютная константа.
Действительно, из формулы C0.13) получаем
2л
2л
^ (/ + О & «у J Kj (х) dx + п Аап.х j Кп.х (х) dx + ап \ \Dn (x) | dx .
j=° о о о
Но так как J | Dn (x) \ dx < A In п, где Л — постоянно (см. § 35), а
о
2тт . 2л
о
' P=Oq
то
=о

§ 31 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ЛЛЯ ЧАСТНЫХ СУММ 103
Эта формула справедлива при любых ап ф 0 и образующих выпуклую
последовательность. Поэтому, учитывая, что для таких последовательностей
00
Jg(j + 1)<42#/< + °° (см. § 3 Вводного материала), имеем
I \Sn(x)\dx<Aanlnn + B,
о
где Л и В — постоянные. Для рассматриваемого нами случая, когда
ап = -j—, следовательно, полагая А + В = С, видим, что C0.21) спра-
справедливо, т. е.
«п COS kx
dx<C (л= 1,2, ...). C0.22)
§ 31. Интегральные выражения для частных сумм ряда Фурье
и сопряженного ряда
Чтобы изучить вопрос о сходимости ряда Фурье на всем отрезке [—щ л]
или в какой-либо его точке, оказывается очень удобным представить частную
сумму этого ряда в той форме, которую ей придал Дирихле.
Пусть
а (/) = ^- + J? ак cos кх + Ьк sin кх C1.1)
к=\
И
Sn(x)= ^ +J? flAcosfoc + ftAsinfoc. C1.2)
Подставляя в C1.2) выражения ак и Ьк из формул Фурье, находим
Sn W = 27Г J /®dt + 2 (lT J /@cos w<e) cosЛх +
n
= i f / (О Г4-+ ^ (cos *'cos ^ +sin tosin fcjc)ldf =
71 n n
t=± \f{t)Dn{t-x)dt, C1.3)
где Dn(n) — ядро Дирихле (см. § 29), а потому
sin [n + —) и
2 sin у
C1.4)

104 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Полагая / — х = и, мы из C1.3) и C1.4) получаем
sin (л+yju
2sin-
du. C1.5)
Если нам будет нужно одновременно рассматривать ряды Фурье от
нескольких функций, например, /, g, яр, мы будем, чтобы отличать их частные
суммы, писать Sn (х, /), Sn (х, g), Sn (х, у). Приняв это обозначение, заметим
сразу, что из C1.5) непосредственно вытекает
/0 = Sn (х, А) + Sn (х,
и если f(x) = Jg fk(x)y гДе ряд равномерно сходится, то
Sn(x,f)=J2Sn(x,fk) C1.7)
A=I
(потому что равномерно сходящиеся ряды можно интегрировать почленно).
Заметим еще, что так как
при любых х, то во всяком случае
2п
C1.8)
и хотя эта оценка в большинстве случаев груба, но иногда и этого бывает
достаточно.
Обычно для исследования проблем сходимости формулу C1.5) подвер-
подвергают ряду преобразований, но прежде чем перейти к этому вопросу, отметим
здесь же, что аналогично можно записать частную сумму ряда, сопряженного
к C1.1), т.е.
00
^J — bn cos nx + ап sin их.
Именно, полагая
_ л
Sn(x) =J? — bk cos kx + ak sin kx,
A=l
находим, рассуждая аналогично предыдущему,
2п
Sn(x)= -™ J№Dn(t-x)dt, C1.9)
О
где
л
А=1
ЯдроЛ (и)> сопряженное к ядру Дирихле, как мы видели (см. § 29),
имеет вид
__ cos-^- — cos \п + —) и
Dn(x) = -1 \ 2) , C1.10)
2 sin —

§31
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СУММ
105
следовательно,
cos
—-^ - cos in + -—) (t - x)
at
ИЛИ
n (х) = - -I J/(и
И ( \\
S-^--COS 77+~ И
2Ч^
2sin|
C1.11)
C1.12)
Теперь для преобразования формул C1.5) и C1.12) к более удобному
виду, докажем одну важную лемму.
Лемма. Если f(x) суммируема, g(x) ограничена и обе имеют период
2я, то интегралы
t)g(t)cosntdt и
t)g(t)sinntdt
C1.13)
стремятся к нулю равномерно при п
Доказательство. Пусть
/(* + *) 2@-
Если х фиксировано, то yx(t) есть суммируемая функция переменного t, и
поэтому ясно, что рассматриваемые интегралы лишь на постоянный множи-
множитель—отличаются от коэффициентов Фурье этой функции. Таким образом
для каждого х интегралы C1.13) стремятся к нулю при п -> оо. Но смысл
леммы — доказать равномерность этого стремления.
Рассуждая так же, как в § 21, имеем
Л Л
| JVx@ cos ntdt\ < J I y>x(t +?) - v>x(Q
(ft
и аналогично для sin nt. Поэтому достаточно доказать, что
dt
C1.14)
стремится к нулю равномерно относительно х при п -> оо. Но
. C1.15)

106
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Замечая, что g(t) ограничена и имеет период2щ следовательно\g{f)\ <^ M
для любого t, а также вспоминая, что и /(f) имеет период 2тг, находим для
первого из интегралов правой части C1.15)
п
J|
1(f/), C1.16)
где сох F, /) — интегральный модуль непрерывности /(х) (см. Вводный мате-
материал, § 25); мы ужезнаем, что сох F, /) стремится к нулю при д -+0 для любой
суммируемой f(x). Заметив, что в правой части неравенства C1.16) х уже
больше не фигурирует, получаем
равномерно относительно х при и -> оо.
Что касается второго интеграла формулы C1.15), то для его оценки мы
возьмем любое е > 0 и разложим /(х) на сумму двух функций /х(х) и /2(х),
из которых первая ограничена, например, |/i(x)|^K, а для второй
Тогда
dt<
dt<
C1.17)
Так как оуг f~, g j ->0, число е произвольно и в правую часть C1.17)
х не входит, то левая часть C1.17) стремится к нулю равномерно и доказа-
доказательство закончено.
Замечание 1. Наша лемма сохраняет силу, если вместо интегралов
C1.13) рассмотреть интегралы
ь ь
cos ntdt и jf(x + t)gA)sinntdt,
где а и Ь — любые две точки на [—я, п]. Действительно, достаточно поло-
положить
g(t) на [а, 6],
0 вне [а,Ь],
чтобы свести этот случай к предыдущему.

§32 УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ЛЛЯ Sn(x) И Sn(x) 107
Замечание 2. В проведенном доказательстве мы нигде не пользо-
пользовались тем, что п целое. Поэтому лемма сохраняет силу, если п -+ оо, пробе-
пробегая все действительные значения.
Замечание 3. Для будущего полезно отметить, что наша лемма
сохраняет силу, если вместо g(t) рассмотреть функцию gx(t), для которой
выполнены условия
для
и, кроме того, при h -> О
б)
равномерно относительно х на [—щ л].
Действительно, в этом случае доказательство леммы проходит слово
в слово.
Замечание 4. Если /(х) — непрерывная функция, то из проведен-
проведенного доказательства получим
cos
где со F, /) — модуль непрерывности /(х), а Л и В — постоянные.
Действительно, в формуле C1.16) в случае непрерывности/(х) можно
wi [-? у /) заменить через 2жо Г—, /1, а второй интеграл формулы C1.15) ввиду
ограниченности /(х) не превосходит В^ [^,g)9 гДе В — постоянно.
§ 32. Упрощение выражений для S (*) и Sn(x)
Мы сейчас применим доказанную в § 31 лемму для упрощения выражений
для5п(*) nSn(x) (см. C1.5) и C1.11)).
Прежде всего заметим, что
sin л + -^- и sin nu cos -^ + cos пи sin -^-
1 2j - 2 2 - 8ШП" +| cos пи. C2.1)
и и и
2 sin -jr- 2 sin -jr- 2 tg -—
и & L
Далее заметим, что функция
непрерывна на [—щ л]. Действительно, могла бы вызвать сомнение
лишь точка и = 0; но, применяя правило Лопиталя, легко находим, что

108 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
lim g(u)=O. Потребуем еще, чтобы g(u -f- 2я) = g(u); тогда g (и) ограниче-
на на (— оо, -f оо).
Из C2.1) и C2.2) получаем
sin(n + — )u .
V *) = sin пи + ^ ^^ sjn т + 1 cog пц ^ ^323^
2sinT
Поэтому из C1.5) получаем
/ (и + х) cos пи du. C2.4)
Два последних интеграла формулы C2.4) стремятся к нулю равномерно
при п -> оо на основании леммы § 31 и ограниченности g(u). Поэтому
), C2.5)
где о A)—величина, стремящаяся к нулю равномерно. Этим фактом мы будем
часто пользоваться.
Замечание. Иногда важно оценить величину оA) более точно;
поэтому укажем здесь же, что если / (х) непрерывна, то, в силу замечания 4,
сделанного в конце § 31, каждый из двух последних интегралов в C2.4) по
модулю не превосходит
^) () C2.6)
где Л и В постоянные. Но так как?(а) есть функция с ограниченным изме-
изменением, а для таких функций интегральный модуль непрерывности с^ F)
имеет порядок О (д) (см. Вводный материал, § 25), то C2.6) есть величина
порядка
К? )]<) <32-7>
Наконец, заметив, что для любой непрерывной функции f(x) модуль
непрерывности со (<5, /) не может превзойти О F), мы заключаем, что в C2.7)
второй член либо того же порядка, как первый, либо бесконечно малое более
высокого порядка. Поэтому окончательно, полагая
C2.8)
находим из C2.5) для непрерывной /(х)
Sn (х, /) = 5п (х, 0+0 [со (?, /)] . C2.9)

§32 УПРОЩЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ ДЛЯ Sn(x) И Sn(&) 109
В случае / (х) любой суммируемой иногда бывает полезна оценка
2я
|Лс, C2.10)
где С — абсолютная константа. Эта оценка получается непосредственно из
C2.4) и C2.8), если учесть ограниченность функции g(u).
После этого замечания, которое будет использовано позже, вернемся к
упрощению формул для частных сумм. Мы хотим еще упростить выражение
для Sn(x). С этой целью заметим, что (см. C1.10))
и ( \\ и и
COS -77 — COS П + -7Г и cos ~Pi COS -7Г cos пи
2 sin-^- 2 sm~2"
4- sin nu
I 2
1 — cos пи sin nu
l
Отсюда, если воспользоваться леммой § 31, сразу получим
Если снова воспользоваться функцией g (и), то можно получить другое
выражение для Sn (x). Именно, если написать
Dn («)- ±ШШ» + г(й) A - cos ли)
то, снова применяя лемму § 31, получим
а так как второй интеграл есть 0A), то
^P^ C2.12)
ИЛИ
я
i |'[/ (* + и)-/ (х - и)] Lz^iZL" d«+O A). C2.13)
О
Для дальнейшего будет также полезно заметить, что, если д > 0 любое,
а /(х) ограничена, то можно C2.13) переписать в виде
^u + O(l), C2.14)
О
я
так как отброшенный интеграл J" есть О A).

110 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
§ 33. Принцип локализации Римана
В § 32 мы нашли удобное выражение для частной суммы ряда Фурье,
из которого можно легко вывести одно важное следствие. Прежде всего,
взяв произвольное <5 > 0 и обозначив через g{u) функцию, определяемую
так:
(О на (— д, <5),
* |— на (— я, — <5) и (б, п),
мы можем на основании C2.5) написать
а так как g (и) ограниченная и периодическая, то отсюда
u + o(l), C3.1)
-6
где снова 0A) равномерно стремится к нулю*). Эта формула позволяет уже
высказать следующее весьма важное предложение, носящее название прин-
принципа локализации Римана.
Теорема Римана. Сходимость или расходимость ряда Фурье
в точке х зависит только от поведения функции f(x) в окрестности
точки х.
В самом деле, значения функции /(х) вне интервала (х — д,х+д) совер-
совершенно не фигурируют в формуле C3.1), а потому вопрос о том, стремится
nnSn(x) к пределу при п -^ оо, зависит только от поведения / (х) на этом
интервале. Более того, так как в формуле C3.1), как было доказано, о A) рав-
равномерно стремится к нулю, можно и о равномерной сходимости Sn (x) на
каком-либо интервале судить по тому, стремится ли равномерно к пределу
интеграл, стоящий в правой части C3.1).
Этот же результат удобно высказать в такой форме:
Теорема. Если две функции /х (х) и /2 (х) совпадают на некотором
отрезке [ау Ь], то во всяком отрезке [а + е, Ъ — в], где е >0, их ряды Фурье
являются равномерно равносходящимися, т. е. разность этих рядов равно-
равномерно сходится к нулю.
Действительно, пусть
*) Обращаем внимание читателя на работу Hille and Klein П], где доказывается, что
д 2л
О
Здесь со± (д, /) — интегральный модуль непрерывности / (х), а К — абсолютная кон-
константа.

§34 ТЕОРЕМА ШТЕЙНГАУЗА 111
Тогда/(х) = 0 на [а, Ь]. Пусть число д > О выбрано так, что д^ еих — лю-
любая точка отрезка [а + «, b — г]. Тогда и + х $ [а, 6] для —д <; ц <; а,
а потому /(а + х) = 0 и по формуле C3.1):
на [<* + *,*-*],
где #A) равномерно стремится к нулю на [0, 2л]. Значит, ряд Фурье от/(х)
равномерно сходится к нулю на [а + е, Ь— е].
§ 34. Теорема Штейнгауза
Из предыдущих результатов можно вывести одно полезное следствие.
Оно принадлежит Штейнгаузу (см. Steinhaus И) и может быть высказано в
следующей форме:
Если X (х) — периодическая функция, удовлетворяющая условию Липшица
порядка 1, то рядыа(^1) uX(x)a(f) являются равномерно равносходящи-
мися на [—л, л].
В самом деле, имеем
Следовательно, полагая
имеем
л
\ C4.1)
Чтобы убедиться в том, что правая часть C4.1) равномерно стремится
к нулю, достаточно применить лемму § 31, вернее замечание 3 к ней, про-
проверив только, что выполнены наложенные там на gx (/) ограничения.
Но условие
равномерно по х и / есть результат того, что gx (t) удовлетворяет условию
Липшица порядка 1, остается доказать, что
равномерно относительно х при h -> 0.
Для этого, задав е > 0, возьмем интервал длины (—е, е); на нем имеем

112 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Если же / € (—щ —г) или / ? (е, тг), то для любого г\ можно найти такое ft,
что подынтегральное выражение для всех / в рассматриваемом интервале
будет меньше % а тогда соответствующий интеграл меньше щ. Этим закан-
заканчивается доказательство теоремы.
§ 35. Интеграл Гsin x dx Константы Лебега
J ж
О
Прежде чем идти дальше в изучении вопроса о сходимости ряда Фурье,
нам необходимо отметить некоторые свойства выражения
D*n(t) = —t-, C5.1)
которое мы будем называть упрощенным ядром Дирихле. Заметим сначала,
что из формулы C3.1), принимая во внимание четность упрощенного ядра
Дирихле, сразу находим
^u + o(l). C5.2)
Если мы рассмотрим случай /(х) === 1, то Sn(x)~ 1 при любом п,
а потому
l\^L C5.3)
Полагая
а потому
пи =
и
находим
6
отсюда
2
п
! и
О
пд
Отсюда сразу следует
00
sin t А. п /о- Л,
-r-d/ = T, C5.4)
т. е. этот несобственный интеграл имеет смысл, и мы даже знаем его величину.
Заметим теперь же, что из существования этого интеграла вытекает:
если д >0 и й'>0, то
д' пд'
=вИт \Щ1Л = От C5.5)
Эта формула нам понадобится позже.
Заметим, что существование интеграла C5.4) необходимо ясно понимать
геометрически, поэтому мы несколько остановимся на этом вопросе, хотя он
и должен быть известен читателю из курса анализа.

§35
КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА
113
Сходимость интеграла \^j-dt можно было бы доказать и иначе.
о
Полагая (рис. 5)
пк= J ^-dt (ft = 0,l,2,...),
кп
МЫ ВИДИМ, ЧТО
_ Г sin (t + кп) . _ f
ч/cf sin*
о
откуда следует, что ряд 27 ик знакочередующийся, причем члены его моно-
к=0
-ЗЛ -2Л
Рис. 5
тонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, так как
Но по известной теореме Лейбница такой ряд должен сходиться. С другой
стороны ясно, что когда сумма 2 икимеет смысл, то она есть интеграл C5.4).
Итак,
>-J ~irdu--2-
Теперь заметим, что
откуда
C5.6)
Так же, пользуясь монотонностью ипп чередованием их знаков, видим,
что если А и В — любые два числа, лишь бы О <С A<i В, то
C5.7)
sin/
В силу четности-у-это же верно, если А < В^О.
Наконец, если А к В разных знаков, то, разбивая интеграл на два,
именно от Л до 0 и от 0 до В, находим
в

114
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Это простое замечание будет для нас в дальнейшем очень важно, так как
из него вытекает, что для любых а и b имеем
<2п,
потому что
nb
<2tz
C5.8)
C5.9)
в силу C5.7).
Заметим теперь, что ограниченность интеграла C5.8) обязана исключи-
исключительно интерференции положительных и отрицательных волн синусоиды.
Если подынтегральное выражение взять по модулю, то результат будет совер-
совершенно другой. Докажем, что
sin nt
t
dt
неограниченно возрастает с ростом и и даже оценим точно порядок его роста.
Это нам будет очень важно для дальнейшего.
Пусть
л пп
slnnt
t
Ясно, что тогда
-7«= J
sin и
du.
C5.10)
и так как при 0 <; v <C л имеем
1 ^ 1
Л (П-\- 1) ^ V + ПП
ПП
а
то
(П + 1)
J sin v dv = 2,
о
</„+!-/„<•
C5.11)
Заставляя п пробегать значения 1, 2, ..., т — 1 и складывая равенства
C5.11), найдем
п-1
ИЛИ
п=2
/п-1
п = 1
Но, принимая во внимание, что
т

§35
КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА
115
где ^ означает асимптотическое равенство (см. Вводный материал, § 11),
находим Im ^ In т. Итак, находим
C5.12)
Таким образом 1п не только бесконечно возрастает с ростом п, но мы
видим точно порядок этого роста.
Заметим, что из C5.12) сразу следует, что
т. е. интеграл
lim
00
л
л
0
sin
X
sin
и
X
и
dx
du =
C5.13)
значит, интеграл C5.4) заведомо сходится только условно, но не абсолютно.
Из формулы C5.12) выведем одно следствие, которое будет играть в даль-
дальнейшем важную роль.
Условимся называть константами Лебега выражения
C5.14)
где Dn @ — ядро Дирихле.
Так как Dn (/) — функция четная, то
Но мы знаем (см. § 32), что
а потому
откуда
о
t
sin nt
dt + 0A),
и в силу C5.12)
Итак,
Ln^-^lnn,
C5.15)
Аналогично можно доказать, что и для ядра, сопряженного с ядром
Дирихле, интеграл от модуля имеет тот же порядок роста, т. е. растет
как In п.

116 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Чтобы убедиться в этом, вычислим один вспомогательный интеграл,
именно
л
~2
sin2 nt А. /ос t^4
Так как
(что проверяется непосредственно умножением обеих частей на sin / и заме-
заменой произведения синусов на разность косинусов), то
C5.17)
A-l
(здесь и в дальнейшем мы не будем подсчитывать точно констант, а писать
то ип ~ vn, если А
Рассмотрим теперь
просто ип ~ vn, если А < — < В, где А и В—положительные постоянные).
Так как (см. C2.11))
-р: ., ,ч 1 — cos nt sin nt
то мы имеем
sin 2 '
2 sin у sinY
(потому что
1 1 _ 1 Г t -]__ 1 t\
~t ; j- — —; rL005"^^" J ~~ "~Tt^Tj #
Следовательно,
o " Sin2 /2 ТГ . 2 . , .
О 8ШТ J
а потому
е„— In п.
Итак,
^-J|Dn(O|*—Inn, C5.18)
Я
а это мы и хотели доказать.

§36
ОЦЕНКА ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА ФУРЬЕ
117
§ 36. Оценка частных сумм ряда Фурье от ограниченной функции
Из результатов предыдущего параграфа мгновенно получаем следующую
теорему:
Теорема Лебега. Если f(x) — ограниченная функция
то для п = 2,3, ...
Sn(x)|<CAf lg л, 0<х<2я
|Sn(x)|<CM In п, 0<х <2п,
где С — абсолютная константа.
Действительно (см. C1.3) и C5.15)),
C6.1)
C6.2)
In n
и аналогично (см. C1.9) и C5.18))
Dn(t-x)\dt =
|„()| In п.
Теорема доказана.
Замечание 1. Можно было бы подумать, что формула C6.1) черес-
чересчур груба; в самом деле, может показаться, что для ограниченной функции
частные суммы ряда Фурье должны быть ограниченными. Однако это неверно
даже для непрерывных функций. Если бы ряд Фурье от непрерывной функ-
функции равномерно сходился к ней, то такая ограниченность должна была бы
иметь место; но мы увидим дальше, что для непрерывных функций ряды
Фурье могут сходиться неравномерно, а также могут расходиться и даже на
бесконечном множестве точек иметь неограниченные частные суммы.
Замечание 2. Если f(x)?L [0, 2л] и |/ (х)\ <М на некотором
[а, Ь] с [0, 2тт], то на любом [a', b'], a < a' <b' < b, имеем
п
\Sn(x)\< AM In n+±\\f(t)\dt (n = 2,3,
Я
где А — абсолютная константа, а д = min (а' — a, b — bf).
Действительно, так как
C6.3)
K + t)Dn(t)dt, C6.4)
t) л]-(—6, 6)
то, выбрав д так, чтобы д = min {а' — a, b — b'), видим, что при х ? [а', Ь']
аргумент / + х в первом интеграле не выходит из [а} Ь] и, значит,
д л
In n, C6.5)
где А — абсолютная константа.

118 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Нотак как вне (—<5, д) имеем | Dn (t) | <^ -^, то для второго интеграла в
C6.4) находим
л
± J f(x + t)Dn(t)dt\^±\\f(t)\dt. (Зб.б)
[—л,л] —(—<5,<5) —л
Соединяя C6.4), C6.5) и (Зб.б), получаем (Зб.З). Вместо C6.3) можно
также написать
|Sn(x)|<CMlnn при n>iV,
л
где N зависит от М, д и J" |/(/)| Л, так как, если N достаточно велико, то при
—л
и ^> N второй член формулы (Зб.З) станет меньше первого.
§ 37. Критерий сходимости ряда Фурье
Вернемся к вопросу о сходимости рядов Фурье. Мы хотим найти условия,
при которых а (/) сходится в некоторой точке х к какому-то числу S.
С этой целью прежде всего заметим, что из C3.1) следует
Sn (х) = -^ J [f(x +1) + f (x - t)] ^dt + o(l), C7.1)
6
где #A) означает величину, равномерно стремящуюся к нулю на [—л, тс].
Кроме того, умножая на S обе части равенства C5.3), имеем
^ ^ o{\). C7.2)
о
Из C7.1) и C7.2) теперь находим
^du + o(l). C7.3)
Отсюда ясно, что для сходимости с(/)к числу S в точке х необходимо и
достаточно, чтобы
[ ^u = 0. C7.4)
Если же мы хотим, чтобы в точке х ряд а (/) имел «естественную сумму»,
т. е. сумму, равную /(х), то для этого необходимо и достаточно, чтобы
lim f[/(x + u)+/(x-a)-2/(x)]^rfu = 0. C7.5)
"— о
Полагая
?*(")=/(* + и) +/(* - и) - 2/(х), C7.6)
мы можем, следовательно, сформулировать такое предложение:

§38 ПРИЗНАК ДИНИ 119
Для того чтобы в некоторой точке х ряд а (/) сходился к f (x), необходимо
и достаточно, чтобы
х (и) ^7^*1 = 0, C7.7)
где ё > 0, а срх (и) определено формулой C7.6).
Если функция/(х) непрерывна на некотором интервале {а, Ь), то можно
ставить вопрос о равномерной сходимости ряда а({) к {(х).
Пусть е >0 любое. Из непрерывности /(х)на интервале (а, Ь) следует
ее непрерывность, а значит, и ограниченность на отрезке [tf + e, b — е].
Поэтому, если умножить C5.3) на {(х), то имеем
(l), C7.8)
где 0A) стремится к нулю равномерно на [а + е, Ъ — в]. Из C7.1) и C7.8)
выводим тогда
Здесь 3 можно брать любым. Поэтому, если мы возьмем 3 < е, то при
х $ [а + е, Ъ — е] и \и\ <; ё будем иметь и + х ? (а, Ь) и и — х ? (а, Ь\
а тогда <рх(и)> определяемая формулой C7.6), будет все еще непрерывна
на (а, Ь). Отсюда, пользуясь C7.9), можно заключить:
Если / (х) непрерывна на (а} Ь) и е > 0 любое, то для равномерной сходи-
сходимости ряда a(f) на [а + е, Ь—е] необходимо и достаточно, чтобы
равномерно на [а,Ь]; здесь ё любое, удовлетворяющее неравенству 0< ё < с,
а <рх{и) — функция, определяемая равенством C7.6) и непрерывная для
§ 38. Признак Дини
Полученные условия сходимости (и равномерной сходимости) хотя и
являются необходимыми и достаточными, однако их очень трудно применять.
Поэтому мы выведем из них ряд признаков, которые хотя и будут лишь
достаточными для сходимости (или для равномерной сходимости), но в про-
простых и важных случаях часто оказываются очень полезны.
Прежде чем выводить эти признаки, введем одно определение.
Определение. Следуя Лебегу, назовем точку х0 регулярной, если
/ (х0 — 0) и f(x0 + 0) существуют и если
1(х)-&
Ясно, что всякая точка непрерывности есть регулярная; регулярными
будут и те точки разрыва 1-го рода, в которых величина функции есть сред-
среднее арифметическое ее пределов слева и справа.

120 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Докажем следующую теорему:
Признак Дини.Ряд a (f)сходится tcf(x) во всякой регулярной точке х,
где интеграл
имеет смысл.
Действительно, если этот интеграл имеет смысл, то можно для любого
е > 0 выбрать г] столь малым, что
О
Тогда при любом п, в силу |sin пи\ <^ 1, имеем
v
О
Но в силу замечания 1 к лемме § 31
Отсюда следует, что
lim
и из C7.9) следует, что сходимость доказана.
В частности, если снова положить
то критерий Дини дает: если в точке х функция f(x) непрерывна и
9-f^dt C8.1)
имеет смысл, то a(f) сходится к /(*) в точке х.
Отсюда можно вывести ряд следствий. Например, если / (х) в окрест-
окрестности точки х удовлетворяет условию Липшица порядка а > О, т.е. если
для \и\ <^ <5, то интеграл C8.1) имеет смысл, а значит, с (/) сходится к /(х).
Если функция / (х) имеет в точке х конечную производную, то в окрестности
этой точки она удовлетворяет условию Липшица порядка а — 1, а потому:
В точке х, где f (x) имеет конечную производную, ее ряд Фурье сходится
к ней.
В частности, если f (х) дифференцируема всюду на (—п, л), то ее ряд
Фурье сходится всюду на этом интервале.

§39 ПРИЗНАК ЖОРДАНА 121
§ 39. Признак Жордана
Как известно, всякая функция с ограниченным изменением есть разность
двух неубывающих ограниченных функций. Если функция монотонна, то
она имеет только разрывы 1-го рода. Кроме того, если функция с ограничен-
ограниченным изменением непрерывна, то ее можно представить как разность двух
непрерывных неубывающих функций.
Этим мы воспользуемся при доказательстве следующей теоремы:
Теорема Жордана. Если f(х) имеет ограниченное изменение на
некотором интервале (а, Ъ), то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого
интервала. Его сумма есть f(x) в точке непрерывности и *- ^+ ' ^ '* ~~ -
в точке разрыва. Наконец, если (а', Ь') лежит целиком внутри интервала
{а, 6), где f(x) непрерывна, то ряд Фурье сходится равномерно на {а', Ь').
В силу сделанных ранее замечаний ясно, что достаточно доказать теорему
для случая неубывающей f(x). В этом случае, полагая
мы видим из
что при фиксированном х каждая из скобок есть монотонная функция от и.
Оценим теперь
д
J
u)-f(x + 0)] i^ du. C9.1)
О
Здесь Ь выбирается так, чтобы х + <3 ? {а, Ь). Но каково бы ни было е > О,
можно взять д± < д столь малым, чтобы
Так как/(х + и) — f(x + 0) не убывает и неотрицательна, то, применяя вто-
вторую теорему о среднем, видим, что
]и, C9.2)
О <52
где 0 < <32 < д±. Но так как (см. C5.7))
при любых положительных дг и <32, то интеграл C9.2) по модулю не пре-
превосходит тсе.
На основании леммы § 31 тогда
в
I \[f(x + u)-f(x + O)]^^-du <2ш,
'о
если п достаточно велико.
Точно также оценивается

122 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Поэтому для достаточно больших п
где е как угодно мало, а тогда на основании критерия сходимости § 37 мы
видим, что ряд сходится в точке х к числу S.
Пусть теперь /(х) непрерывна на некотором интервале [а, Ь], и [а', V] —
любой отрезок, лежащий строго внутри {а, Ь).
Можно выбрать дг столь малым, чтобы
если а' <^ х ^ Ь' и 0 <^ и <С дг. Если так, то в предыдущих оценках интегра-
интегралов х может быть взято любым из (а', 6') и, следовательно,
д
\
о
для а! <; х <^ 6', а это в силу критерия § 37 и значит, что ряд сходится равно-
равномерно на (а', V).
Теорема Жордана доказана.
Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что ecAuf(x) имеет огра-
ограниченное изменение на всем отрезке [—п, п] и непрерывна на нем, причем
/(—тс) = /(я), то ее ряд Фурье сходится равномерно на — ©о < х < + ©о.
Следовательно: ряд Фурье для всякой периодической абсолютно-непрерыв-
абсолютно-непрерывной функции сходится равномерно к ней на — ©о<х< + ©о.
Замечание. Важный частный случай доказанной теоремы был рас-
рассмотрен Дирихле. Он изучал случай, когда функция /(х) ограничена и имеет
лишь конечное число максимумов и минимумов и не более чем конечное число
точек разрыва. Для этих функций он доказал сходимость ряда Фурье в каж-
каждой точке. Ясно, что эти функции все имеют ограниченное изменение.
§ 40. Интегрирование рядов Фурье
Пусть / (х) суммируема и
00
/ (х) ~ Щ- -f ^ an cos nx + bn sin nx.
Z л = 1
Обозначим через F (х) примитивную от /(х). Тогда
F(X) ^X + C+^
причем ряд в правой части сходится равномерно.
Эта теорема принадлежит Лебегу. Чтобы ее доказать, достаточно заме-
заметить, 4ToF(x)—-учесть примитивная от/(х)—-у, она абсолютно непре-
непрерывна и имеет период 2п (см. § 23, п° 8).
Следовательно, ряд Фурье otF(x)—Ц- х сходится равномерно к ней.
Но он имеет вид (см. § 23, п° 8)
^, — bn cos nx + an sin nx
^ п
Это и заканчивает доказательство.

§41 ЯВЛЕНИЕГИББСА 123
Как следствие, получаем для любых а и Ь
ь
+ 2 *~—"- -~
Гi / ч ^х__ Оо*_ , у, - &пcosпх + ял sinпх
т. е. ряды Фурье (даже расходящиеся) можно интегрировать почленно по
любому интервалу.
Следствие. В формуле D0.1) ряд сходится для всех х; в частности
при х = 0; но это означает сходимость ряда
Итак: для всякого ряда Фурье—Лебега ряд У— сходится.
п = 1
Эта теорема дает возможность в некоторых случаях сразу установить,
что заданный ряд не является рядом Фурье—Лебега. Так, например, ряд
^ sin пх
4
не есть ряд Фурье—Лебега, хотя в силу теоремы 1 § 30 он сходится в каждой
точке.
00
Напротив, ряд J^-^f- может и расходиться, в частности ряд
^, cos пх
^2 1П П '
для которого ряд J^~ = ^~п~~[^~п~ расходится, все же является рядом Фурье-
Лебега (это было доказано в § 30).
§ 41. Явление Гиббса
Мы доказали в § 39, что у функции с ограниченным изменением ряд Фурье
сходится в каждой точке, и в частности в точках разрыва. Мы хотим изучить
более детально поведение частных сумм ряда с(/)в тех точках, где f(x) раз-
разрывна. Начнем с изучения одного специального случая, а затем перейдем к
общему.
Пусть/(х) = х на (—щ п) и/(х) имеет период 2п. Так как/(х) нечетная,
то ее ряд Фурье состоит из одних синусов и (см. § 8)
Ъп = — Г f(x) sin nxdx = —\x sin nx dx.
71 J 71 J
о о
Интегрируя по частям, находим
. 2 — x cos nx
n
0
Итак,
/ (x) ~ 2 [sin x — sin 2x + sin 3x __...-(-(_ i)"-i sin nx + ... 1

124 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Так как /(х) имеет ограниченное изменение, то ее ряд Фурье всюду схо-
сходится и притом к / (х) в ее точках непрерывности и к \ ~~ в
точках разрыва 1-го рода. Поэтому мы имеем для х + + п
9 Г sin х sin 2 х , sin 3 х . . sin nx
X — Z \ I ±
, sin 3 х . . sin nx -j- ~|
I з Г • • • ± JJ Ь • • -J >
если же х = + тг, то ряд сходится к 0 (что очевидно и непосредственно, ибо
все его члены тогда равны нулю).
Если мы сделаем замену переменного х = п — /, то когда х пробегает
отрезок [—щ тг], переменное / будет пробегать отрезок [0, 2тг], откуда
следует
л — t sin (л — t) sin 2 (л — t) , sin 3 (л — t) sin n (л — /) __
sin / , sin 2t , sin 3/ , , sin nt (A\ \\
1 Z J П
если / + 0и/=^ 2тг. В этих же точках ряд в правой части D1.1) сходится
к нулю.
Мы уже говорили в § 30, что этот ряд будет играть большую роль во
многих вопросах теории тригонометрических рядов. В § 30 было доказано,
что частные суммы ряда D1.1) ограничены в совокупности, т. е. существует
такая константа С, для которой
I ^ sin kx
Однако для дальнейшего нам нужно изучить более детально поведение этих
частных сумм в окрестности точки х = 0.
Имеем
где, как всегда, Dn{t) — ядро Дирихле. Следовательно,
±. D1.2)
J
о
Но мы знаем, что (см. C2.3))
Dn @ = ^-^ + g(t) sin nt + \ cos nt,
где g(f) ограничена.
Полагая ...
v (t)= g@ Для
0 для

5 41
ЯВЛЕНИЕ ГИББСА
125
и, пользуясь замечанием 3 к лемме § 31, заключаем отсюда, что
равномерно на
или
Если
я;; поэтому из D1.2) и D1.3)
«л
х Г sin /
5„(*) = --о-+ —7-dt + o(l).
Ha0<JC<2?r,
D1.3)
D1.4)
D1.5)
^ (x + 2 я) = гр (x),
то функция у) (х) имеет вид, указанный на рис. б. Мы уже видели, что ряд
Рис. 6
D1.1) есть о{\р) и он сходится всюду к гр (х), кроме точек х = 0 и х = 2п, где
он сходится к нулю.
Заставляя х принимать значения
_ л __ 2л
х--, *- —
мы видим из D1.4), что
О
2л
кп
кл Г sin/
J
D1.6)

126 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Учитывая то, что говорилось в § 35 по поводу поведения кривой у = sin x ,
сразу видим, что кривые у = Sn (х) проходят через начало координат,
колеблются около прямой у = у (х) и хотя при любом х, 0 < х<тг,
имеем
lim Sn(x) = V(x),
Л-*- CD
однако из D1.6) видно, что кривые у = Sn (х) справа от точки х = О сгущаются
около отрезка @, /), где
Такая же картина наблюдается и слева от х = 0, так как все Sn (x)
нечетные функции. Поэтому около точки х = О кривые колеблются не между
~~УИ1Г> как можно было думать, а сгущаются около отрезка [—1,1]. Но
вычисления показывают, что I = 1,8519..., а так каку = 1,57..., то длина
отрезка [—Z, I] превосходит длину ["— у, у] •
Это обстоятельство впервые было отмечено Гиббсом (см. Gibbsll]) почему
его принято называть явлением Гиббса, а отношение I к у константой Гиббса;
эта константа равна 1,17...
Покажем, нто явление Гиббса наблюдается и для любой функции с огра-
ограниченным изменением около ее точек разрыва, если только они изолированы.
Действительно, у функции с ограниченным изменением точки разрыва бывают
только 1-го рода.
Пусть/(х) —такая функция и х0 — изолированная точка разрыва. Если
/ (*<> + 0) — / (х0 — 0) = d, то функция
~
непрерывна в достаточно малой окрестности точки х0, так как д (х0 + 0) =
= / (*о ± °) —| V (±°)>а потому
Так как других точек разрыва у f(x) в рассматриваемой окрестности нет,
если эта окрестность была выбрана достаточно малой, то д (х) непрерывна
в этой окрестности и имеет ограниченное изменение на [0, 2тг]. Значит, ее ряд
Фурье равномерно сходится в достаточно малой окрестности х0, а потому
поведение частных сумм ряда Фурье для/(х) около х0 будет такое же, как
у —ip(x — х0), т. е. как у — гр(х) около х = 0; следовательно, явление
Гиббса здесь также должно быть налицо.
В силу принципа локализации Римана (см. § 33) это же справедливо,
если f(x) ? L[—тг, п] имеет ограниченное изменение на [а, Ь] и х0 — изолиро-
изолированная точка разрыва f(x) на [a, ft].

J42 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ СКАЧКА ФУНКЦИИ ПО ЕЕ РЯДУ ФУРЬЕ 127
§ 42. Определение величины скачка функции по ее ряду Фурье
Допустим, что в некоторой точке х функция / (х) имеет разрыв первого
рода, причем
/ (х + 0) - / (х - 0) = d. D2.1)
Величину этого скачка можно определить из следующей формулы (см.
W)
lim 5i(x) = _ А.
л-.» In п п *
В самом деле, имеем
D2 2\
f(x + t)-f(x-t) = d + e(t), где в(/)->0 при /->О.
Но из формулы C1.9) в силу нечетности Dn{t) имеем
поэтому
Докажем прежде всего, что
D2.3)
D2.4)
Действительно, полагая v = п ~ , имеем
— ylnvj= In v^ In n.
D2.5)
Итак, формула D2.4) доказана.
Докажем теперь, что
D2.6)
Для этого возьмем rj >0 произвольно и выберем д > 0 так, чтобы
Тогда
при
Dn@
In
D2.7)

128 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
(в силу C5.18)), где С постоянно. Кроме того, так как
Ai@|<y при <5</<я D2.8)
в силу B9.11), то
л
je(t)Dn(t)dt=O(\),
д
а потому из D2.7) и D2.8) следует D2.6). Из D2.3), D2.4) и D2.6) теперь сле-
следует справедливость формулы D2.2).
Следствие 1. Во всякой точке разрыва 1-го рода ряд, сопря-
сопряженный к ряду Фурье для f (x), расходится.
Действительно, в этой точке
Sn (х, /) = — A In n + en In П,
где еп -> 0. __
Следствие 2. Если f (х) непрерывна в точке х, то Sn (/, х) = о (In л);
ecAU~Sn(x, f) = о(\п л), то точка х не может быть точкой разрыва 1-го рода.
Следствие 3. Если у функции f(x) коэффициенты Фурье имеют
порядок о (—] , то у нее не может быть точек разрыва первого рода.
Действительно, тогда
(см. Вводный материал, § 11).
Отсюда, в частности, заключаем:
Если f (x) имеет ограниченное изменение и коэффициенты Фурье порядка
о (—] , то она непрерывна.
Действительно, у функции / (х) с ограниченным изменением точки раз-
разрыва могут быть только 1-го рода; но в силу следствия 3 таких точек быть
не может, а потому f(x) непрерывна.
Однако нельзя утверждать, что если f(x) непрерывна и имеет ограничен-
ограниченное изменение, то ее коэффициенты Фурье имеют порядок о (—j .В этом мы
убедимся в § 2 главы II.
§ 43. Особенности рядов Фурье от непрерывных функций.
Полиномы Фейера
Мы хотим показать, что если на функцию / (х) не налагать никаких огра-
ограничений, кроме непрерывности, то ее ряд Фурье может и расходиться в
некоторой точке, и сходиться неравномерно около некоторой точки, хотя он
сходится всюду. Первые примеры такого рода были даны Дю-Буа-Реймоном *)
и Лебегом, поэтому принято называть эти факты особенностью Дю-Буа-Рей-
мона (для случая расходимости) и особенностью Лебега (для случая неравно-
неравномерной сходимости).
Мы построим здесь, следуя Фейеру (см. Fejer И), некоторые тригономет-
тригонометрические полиномы, из которых будут строиться функции, обладающие либо
одной, либо другой из этих особенностей. Впоследствии (в главе IV) те же
*) Du Bois-Reymond Ш.

ПОЛИНОМЫ ФЕЙЕРА
129
полиномы Фейера будут служить для построения значительно более слож-
сложных примеров, а именно: непрерывных функций, у которых ряд Фурье рас-
расходится на всюду плотном множестве, или на множестве мощности контину-
континуума, а также непрерывных функций, у которых ряд всюду сходится, но не-
неравномерно на любом интервале <3, лежащем на [—п, п].
Элементы построения. Рассмотрим два тригонометрических
полинома
v _ cos пх . cos (п + 1) х , ,cos Bп — 1) х
,п) - —п 1 ^=1 г" " ' "• I
Г
cosBn
1
Q(x,n) =
__ sin пх . sin (n + 1) х
+
-[¦
J |
2 '
sin B n —
i
D3.1)
Отметим следующие их свойства:
а) Существует такая константа С, что
JQ(x,n)|<C и | Q (х, п) j < С
для любых х и п.
Действительно,
sin 3 nx 1
D3.3)
' sin kx
Но, как известно (см. C0.8)), мы имеем
sin kx
к
(-оо<*<+
Поэтому, полагая С = 2M, видим, что свойство а) доказано.
б) Если через у (х, Q) или ср (х, Q) обозначим любую частную сумму поли-
полинома Q (х) или Q (х) (т. е. сумму любого числа первых слагаемых в этом поли-
полиноме), то
\<р (х, Q)|^2 (I + In n)
|9>(x,Q)|<2(l+ In л),
потому что
D3.4)
в) Если Ь <С х ^ л, то
D3.5)
где Мй — константа, зависящая только от д.

130 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Действительно, всякая сумма ср (х, Q) либо имеет вид
р- ( 4- к)
2 —г~~ Для
к=0 П — К
либо вид
V cos (п + к) х __ -у cos B п + к) х
п-1
_COJ
~0 П~
Значит, каждая из сумм, входящих в выражение ср (х, Q), имеет вид
Еак cos (л + к) х, где числа ак положительны, монотонно убывают или мо-
монотонно возрастают и притом не превосходят 1; поэтому, применяя следствие
из преобразования Абеля (см. Вводный материал, § 1), мы видим, что
каждая такая сумма не превосходит константы, зависящей только от д. Это
же рассуждение справедливо для y(x,Q)y так как там все сохраняет силу,
только косинусы заменены синусами,
г) Наконец, положим
pV v sin их , sin (п + 1) х . sin Bп — 1) х
f{X, П) — ¦ - -\ п _ 1 [-••• + ~ —j у
т. е. Р(х, л) — сумма первых п членов Q(x, л), а Р(х, л) — сумма первых л
членов Q (х, л). Тогда мы имеем
Р@, л) = 1 + -1 +... + i-> In л, D3.8)
sin л-^- sin B л- 1)-^-
1 ^
> Л _1_ ,
следовательно,
> -У1. D3.9)
У2
Этими фактами мы воспользуемся для построения нужных примеров.
§ 44. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся всюду,
но неравномерно
Пусть а > 1 целое, которое мы подберем позже. Положим
пк = акг D4.1)
и обозначим
Qk(x)=Q(x,nk), D4.2)
где Q(x, л) — тригонометрический полином, определенный формулой D3.2).
Положим
g(x) = 2±Qk(x) D4.3)
к=2 К

§44 РЯД ФУРЬЕ, СХОДЯЩИЙСЯ ВСЮДУ, НО НЕРАВНОМЕРНО 131
и докажем, что если а подобрано надлежащим образом, то ?(х)есть функция
со свойствами, указанными в заглавии параграфа.
Действительно, в силу D3.3) для всех х и к
\ЯЛх)\<С, D4.4)
а потому ряд D4.3) сходится абсолютно и равномерно, значит g(x) непре-
непрерывна. Так как при любом а > 1 и при к ^> 2 имеем
a*i>3fl(ft-1I,
т. е. (см. D4.1))
тгк > Зпк^±,
то, в силу D4.2) ни при каком п член, содержащий sin nx, не входит одновре-
одновременно в два разных Qk(x), поэтому в ряде D4.3) все синусы, как в обычном
тригонометрическом ряде, расположены в порядке возрастания множителя п
при х.
На основании леммы § 12 ряд D4.3) есть ряд Фурье 0Tg(x), поскольку
его частные суммы с номерами Зпк сходятся равномерно к g (x).
Докажем, что частные суммыSn(x, g) ряда Фурье для^(х) ограничены
в своей совокупности.
Действительно, каждая такая сумма имеет вид
—
'Qm+l) D4>5)
(в частных случаях второе слагаемое суммы D4.5) может отсутствовать).
Но тогда на основании D4.2) и D3.3) имеем
W<A, D4.6)
где А — абсолютная константа. Далее, на основании D4.2), D3.2) и D3.4)
имеем
qrTyPfcQm+i)^ (ш_|_1J 2A+ In я("+О2)<2A+1пя) D4.7)
и, следовательно, из D4.5), D4.6) и D4.7)
), D4.8)
где В — абсолютная константа.
Кстати заметим (это нам понадобится в главе IV), что, полагая
Sn(x,g)-g(x) = Rn(x,g),
имеем
\Rn(x,g)\<K (л = 1,2,...;-и<хО), D4.9)
где К — абсолютная константа, что вытекает из ограниченности g(x) и
из D4.8).
Перейдем к изучению сходимости ряда cr(g).
Заметим сначала, что для любого 3 >0 на отрезке д < х ^ п (а значит,
и —л <^ х <^ — д) ряд Фурье от g(x) сходится равномерно.
Действительно, из той же формулы D4.5) видно, что

132 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
а тогда из D3.3) и D3.5) следует
/71 + 1 V '
если п, а следовательно и т, достаточно велико.
Мы видим таким образом, что ряд Фурье от g (x) сходится при любом
х ф О (mod 2тг). Но для х = 0 (mod 2п) он также должен сходиться, так как
состоит из одних синусов.
Нам остается доказать, что ряд a (g) сходится неравномерно около
С этой целью рассмотрим его частные суммы с номерами
vm = 2nm-l.
Каждая такая сумма имеет вид
т-\ л _ 1
S/v\ NT1 Л (г\ Л- Р (г п \
/с=1
поэтому
Полагая
находим из D3.3) и D3.9)
если только выбрать а так, чтобы
In а>У2A+С).
Итак,
^ (т = 1,2,...) D4.10)
для некоторой последовательности точек хт, стремящихся к 0, а это и значит,
что ряд Фурье от g (х) сходится неравномерно около х = 0.
Теорема доказана.
§ 45. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся
в одной точке (пример Фейера)
Мы рассмотрим полиномы Фейера Q (х, п), введенные в § 43, и, пользуясь
ими, будем строить ряды Фурье от непрерывных функций, расходящиеся
при х = 0; при этом будем получать по желанию ряды, имеющие либо
ограниченные, либо неограниченные частные суммы. Те и другие примеры
будут позже (в главе IV) использованы для построений более сложного харак-
характера.
Возьмем сначала, как и в предыдущем параграфе,
где а — целое ий^2; положим
Qk{x) = Q(x,nk) D5.1)

§46 ПРИМЕР ЛЕБЕГА 133
и пусть
А:=1
Мы видим снова, как в предыдущем параграфе, что /(х) непрерывна, и ряд
D5.2), если в нем рассматривать каждый член всякого полиномаQk(x)отдель-
полиномаQk(x)отдельно (а не группировать их в суммы), есть ее ряд Фурье.
Мы видим, так же как при доказательстве D4.8), что
\Sn(x,f)\<B D5.3)
для любых лихи что ряд а (/) сходится равномерно на (—л ^ х <^ — ё)
и (д <^ х <^ тг), т. е. сходится при любом х ф О (mod 2тг). Но при х = 0 он
расходится, так как, полагая
Vm = 2 Пт — 1 , /Лт = 3 Пт-Х ,
имеем
SvJO)-S,m(O) = P^>^- = ^^= lna>0, т = 1,2,...
Следовательно, не выполнен критерий сходимости Коши.
Итак, а (/) расходится при х = 0, хотя его частные суммы ограничены
в своей совокупности в силу D5.3).
Если бы вместо пк — ак2 мы положили бы
пк = а^
то получили бы
т2
т. е. ряд не только расходился бы в точке х = 0, но и имел бы в этой точке
неограниченные частные суммы.
§ 46. Расходимость в одной точке (пример Лебега)
Предыдущие примеры Фейера (см. § 45) хотя и удобны для дальнейших
построений, но они обладают одним недостатком: так как соответствующие
функции построены чисто аналитическим путем, при помощи формул, то не
удается их изобразить кривыми и понять геометрически, почему произошла
расходимость ряда Фурье.
Поэтому мы изложим здесь пример Лебега (лишь слегка измененный для
сокращения доказательства), где функцию уже можно, хотя бы приблизи-
приблизительно, изобразить графически.
Пусть п19 п2, ...,%,... — последовательность целых чисел, которые
мы подберем позже. Положим
я0=1, ак = пгп2...пк (к =1,2,...).
Обозначим
р
ск | 0.
Выберем позже последовательность чисел ск, пока будем предполагать только
0.
Пусть
f(x)=cksinakx на 1к,
/@) = 0,

134
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Ясно, что /(х) определена всюду на [—л, п\ она непрерывна на каждом 1к
и обращается в 0 в его концах, т. е. не имеет разрывов и в конечных точках;
наконец, /(х)->0 при х->0 (рис. 7) в силу ск ф 0, и,значит, /(х) непрерывна
всюду.
Покажем, что ее ряд Фурье сходится всюду на [—л, я], кроме х = 0.
Так как /(х) имеет лишь конечное число максимумов и минимумов на
[д, я], то она имеет ограниченное изменение на этом отрезке (также и на
Рис. 7
[—я, —3]). Значит, ее ряд Фурье сходится в каждой точке [—я, л]у
кроме х = 0.
Покажем, что при надлежащем подборе чисел ск и пк ряд а (/) расходится
при х = 0.
Как известно, для любой /(х) имеем
значит, при х = О
Наша / (х) четная, поэтому
Покажем, что при надлежащем подборе ск и пк имеем
при
D6.1)
D6.2)
Если так, то Sak@, f) -> + °° при к -> оо (как видно из D6.1)), и тогда ряд
о (/) расходится при х = 0.
Чтобы оценить Jky мы разобьем его на три слагаемых
-Г/(О-^л+Г/(О^
О
Имеем
Oft
D6.3)
sin

J46
ПРИМЕР ЛЕБЕГА
135
Значит,
(JO <max 1/@ |flft-J- =
D6.4)
так как ск | 0.
До сих пор мы не определелили еще чисел ск и пк. Мы предположим
теперь, что пг = 2, q = 1. Если с19 с2, ..., ск_г и п19 п2, ..., пк_г уже опре-
определены, то/(/) определена на 119 /2, ..., 1к~ъ т. е. на f-т^Г"^ • Она на этом
полуинтервале непрерывна, а /^>——, поэтому -^ ограничена. Следова-
Следовательно, если л достаточно велико, то
sin л* Л
может быть сделан как угодно малым (см. § 19).
Так как ак = л^ ... пк, то при п19 ..., лЛ-1 уже фиксированных, пк
еще в нашем распоряжении и, значит, увеличивая его, мы можем сделать ак
как угодно большим, в частности таким, что
\Л" < J f(t)~
sin ак t
dt
D6.5)
откуда следует, что J^
Остается оценить
= (?A) при /с
^. Имеем
ак
Ск *
Т In
1 — cos 2 ак t
_
dt =
Ск С C0s2akt ..
-^J —-f dt.
Но по второй теореме о среднем, учитывая, что --положительно и монотонно
убывает на интервале интегрирования, находим
cos 2aktdt
2ан
Поэтому из ск -> 0 следует
откуда, в силу D6.4) и D6.5),

136
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Мы можем теперь положить хотя бы ск = ¦,_ , тогда ск I О и
г In Пк
]к = -w- У\П Пк + О A) ПрИ /С—> оо .
Таким образом, доказательство завершено.
Из рис. 7 видно, что функция / (х) по мере приближения х к нулю совер-
совершает все более и более частые колебания; таким образом, наглядно обнару-
обнаруживается, что расходимость ряда а (/) при х = 0 вызвана тем, что / (х) имеет
в окрестности этой точки неограниченное изменение.
Замечание. Впоследствии (в главе V, § 22) нам будет нужен пример
непрерывной функции, у которой ряд Фурье сходится к нулю всюду на
[О, 2тг], вне некоторого отрезка [а, Ь], сходится в каждой точке (а, Ъ) и расхо-
расходится либо только в а, либо только в Ь, либо в обоих концах интервала (а, Ь)у
и притом имеет в точках расходимости неограниченные частные суммы (будем
говорить кратко: неограниченно расходится). Все такие примеры легко полу-
получить, отправляясь от построенного примера Лебега.
Действительно, если положить
о
на
то
f(x) на [0, я],
?n@,9>)=4sn@,/),
а потому а(ср) неограниченно расходится при х = 0; кроме того, а (<р) сходится
на 0 < х <; л и сходится к нулю на (—л9 0), что вытекает из принципа лока-
локализации (см. § 33). Если положить
то получим функцию, для которой а (сра) расходится при х = а, сходится к
нулю на [а — л, а] и сходится
ш на {а, а + ж].
Функция W (х) = <р (—х) имеет
ряд Фурье, сходящийся всюду,
кроме х = 0, где он неограни-
неограниченно расходится, и, кроме того,
этот ряд сходится к нулю при
0х<>.
Поэтому
О
а
У
Рис. 8 DK ' v '
имеет ряд, сходящийся всюду,
кроме х = 6, где он неограниченно расходится, причем он сходится
к нулю на F, b + л).
Пусть теперь 0 < а < b < 2л. Построим X (х) следующим образом.
Выберем точки а и у так, чтобы 0<а<а< у<6и пусть
1
Цх) =
на (а, у),
0 вне (а, Ъ),
Д(х) интерполируется линейно на (а, а) и (у, Ь) (рис. 8).
По теореме Штейнгауза (§ 34) ряд сг (А^а)! является равносходящимся с
Д(х) о((ра), а потому он сходится всюду, кроме х = а, где он неограниченно
расходится, причем вне [а, 6) он всюду сходится к нулю (либо в силу А(х) = 0,
либо в силу <ра(х) = 0).

§47 СУММИРОВАНИЕ РЯДА ФУРЬЕ МЕТОДОМ ФЕЙЕРА 137
Совершенно также, если через А*(х) обозначить функцию, равную
1 на (у, 6), равную 0 вне (а, /?) и интерполируемую линейно на (а, у)
и (&,/}), где
О < а < у < 6 < j8 < 2тг,
то мы увидим, что G(k*Wb) является равносходящимся с А*(х)с QFb(x))y a
потому он расходится неограниченно при х — Ь, сходится всюду, кроме
х = b и сходится к нулю вне (а, 6].
Наконец, полагая
мы увидим, что F(x) непрерывна и с(/) расходится неограниченно при х = а
их = Ьу а всюду в других точках сходится, и притом сходится к нулю всюду,
вне [а, 6].
Замечание. Коэффициенты Фурье у тех рядов, которые мы
строили в §§ 45 и 46, стремились к нулю по довольно сложному закону.
В связи с решением некоторых задач из теории интегральных уравнений
возникла проблема: можно ли найти такую непрерывную четную функцию
/(х), у которой
00
<r(f) = J2ancosnx, где \ап\ |0
и притом с(/) расходится при х = 0. Салем (см. Salem С14]) дал утвердитель-
утвердительный ответ на этот вопрос. Мы не будем приводить здесь доказательства, так
как оно основано на изучении некоторых теоретико-числовых неравенств,
которые увели бы нас слишком далеко от материала этой книги.
§ 47. Суммирование ряда Фурье методом Фейера
Мы видели, что даже ряды Фурье от непрерывных функций имеют точки
расходимости (§§ 45 и 46). Возникает вопрос, в какой мере ряд Фурье может
тогда быть использован для вычисления значений функции /(х)? Здесь естест-
естественно, как всегда, когда встречаются с расходящимися рядами, прибегнуть
к тем или иным методам суммирования.
Напомним (см. Вводный материал, § б), что функциональный ряд назы-
называется суммируемым методом (С, 1), если существует предел
limcrn(*),
где
**(*)= 7TTT^5*W> D7Л>
к=0
а Sn(x) — частные суммы ряда.
Применение этого метода к рядам Фурье принято называть суммирова-
суммированием методом Фейера, так как Фейер первый обратил внимание на целесо-
целесообразность использования чезаровских сумм в этом случае и доказал основ-
основную теорему. Позже она была обобщена Лебегом.
Мы знаем (см. C1.3)), что частная сумма Sn(x) ряда Фурье от функции
/(х) выражается формулой

138 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
где?>„(а)—ядро Дирихле. Поэтому чезаровская сумма, определяемая D7.1),
должна иметь вид
jirTo \n(t-x)dt, D7.2)
—л —л
где
^n(u) = 7rh:|oD*(u)e D7*3)
Следовательно,
л
±j D7.4)
Функция Кп{и) называется ядром Фейера; мы сейчас найдем для нее
удобное выражение.
Так как
sin (л + у) ы
cos пи _ cos (Л + 1) а
¦,
2 sin у 4 sin2 ~2
ТО
и ( \ — 1 4^ cos ku — cos (k + 1) и _ 1 — cos (л + 1) ц
*=о 4 sin2 у (л + 1) 4 sin2 у
= 2(я'+1)
V
Итак,
/ sin (л + 1)"
7^
(и
sin (п + 1) "о"
sin у
Из этого выражения выведем сразу ряд свойств ядра.
1)Кп(и)>0.
Это свойство в дальнейшем играет существенную роль.
2) Имеем
m? для
а потому
(^) для 0<1«|<я D7.7)
Для 0<<5<|и|<я, D7.8)
откуда при любом д > 0, полагая
М„(в)= max
имеем
D7.9)

§47 СУММИРОВАНИЕ РЯДА ФУРЬЕ МЕТОДОМ ФЕЙЕРА 139
3) Имеем
л
±\Kn(u)du = \. D7.10)
—л
Это вытекает из D7.3) и из
л
^\Dk{u)du = \ (к = 0,1,2,...).
4) Если <5 > 0, то"
д
lim ljX(a)rfa = l. D7.11)
Это сразу следует из D7.9) и D7.10).
Опираясь на эти свойства, мы сможем доказать следующую теорему,
касающуюся суммирования рядов Фурье методом Фейера.
Теорема Фейера. Если х есть точка непрерывности функции
f(x) или точка разрыва первого рода, то в этой точке a(f) суммируется мето-
методом Фейера соответственно к f(x) или к U^t. ^ 5 если (а> ^) есть
интервал, где f(x) непрерывна, то a(f) равномерно суммируем методом
Фейера Kf(x) во всяком отрезке [а, /?], лежащем внутри интервала (а,Ь).
Наконец, если{(х) всюду непрерывна, то ее ряд Фурье равномерно сумми-
суммируем методом Фейера на [—ж, л], т. е. оп{х) равномерно сходится к}(х) на
этом отрезке.
Для доказательства этой теоремы мы будем опираться на лемму, которая
окажется полезной и в других случаях.
Лемма. Пусть
л
±j{x + i)Yn(f)dt, D7.12)
где функция Уп@ обладает следующими свойствами:
1) 4/n(t) — четная функция;
л
2) j\Wn(t)\dt^C (n = 1,2,...), где С — постоянно;
•—л
3) полагая для д > О
Mn(d)=^supJWn(t)\,
имеем
lim Мп(д) — О;
Л-*- оо
¦—Л
Тогда: если х — точка разрыва первого рода для f (x), то
я-> ©о,
fn(x) -> f(x) в каждой точке непрерывности f(x).
Если1(х) непрерывна на (a, b), mofn(x) ->/(x)равномерно на [а, /?] для
любого [а, /?] с (а, Ь).

140 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Для доказательства леммы заметим сначала, что из свойства 4) функции
Wn (t) имеем
/(х + 0) + / (х - 0) __ J_ f/(x + O) + /(x-O)
2 ~~ л) 2
] D7.13)
о
в силу четности Wn{t). Из D7.12) и четности Уп(/) заключаем
D7.14)
О
Поэтому из D7.13) и D7.14)
/ (Г\ /(* + 0) + /(х-0)_
^J D7.15)
Покажем, что интеграл в правой части D7.15) стремится к нулю при
п -> оо и притом, если /(х) непрерывна в (а, 6), то стремится равномерно на
[а, /?] при а<а</3<&. С этой целью выберем число <5 так, чтобы
\f(X + t)-f(x + 0)\<8,
при 0<х<<5. D7.16)
I / (х — о — / (^ — о) к в
Это возможно для всякого фиксированного х; если же/(х) непрерывна на
(а, 6) (в этом случае /(х + 0) = /(х — 0) = /(х)), то можно выбрать д таку
чтобы оно не зависело от х, а <^ х <^ /? и неравенства D7.16) были справед-
справедливы. Выбрав так 5, разобьем интеграл формулы D7.15) на два: интеграл 1г
по интервалу @, д) и интеграл L по интервалу E, ж). Имеем на основании
D7.16)
\I1\<2sS\Vn(t)\dt<2eC
о
в силу свойства 2) функции
Для 12 находим
D7.17)
При постоянном х интеграл в D7.17) конечен, а множитель перед ним стре-
стремится к нулю в силу свойства 3) функций Ч/п (/), значит, /2 -> 0. Кроме того,
если х $ [а, /?] с (а, 6), то интеграл в D7.17) при любом х не превосходит
а так как/(х) непрерывна на (а, Ъ) и, следовательно, ограничена на [а, /?],
то /2 ->0 равномерно. Лемма полностью доказана.
Для того чтобы вывести из этой леммы сформулированную выше теорему
Фейера, достаточно доказать, что ядро Фейера удовлетворяет свойствам,

§ 48 СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ФЕЙЕРА 141
указанным в лемме;тогда, полагая fn(x) = сгл(х), придем к нужному заклю-
заключению.
Но свойство 1) для ядер Фейера выполнено; 3) и 4) нами были доказаны
{см. D7.9) и D7.10)), а 2) следует из того, что для ядер Фейера
в силу Кп @>° и свойства 3). Итак, теорема Фейера полностью доказана.
§ 48. Следствия теоремы Фейера
Из теоремы Фейера можно вывести ряд интересных следствий. Прежде
всего она дает новое доказательство классической теоремы Вейерштрасса
о приближении непрерывной функции тригонометрическим полиномом
{см. § 27).
Действительно, так как мы убедились, что для непрерывной/(х) функции
ап (х) равномерно стремятся к /(х), то, выбрав л достаточно большим, можем
утверждать, что
|/(*)-*п(*)|<е, -оо<х<+оо.
Но оп(х) есть, очевидно, тригонометрический полином, а потому теорема
доказана.
Далее заметим, что метод (С, 1) регулярен (см. Вводный материал, § 6),
т. е. сходимость ряда к числу S влечет его суммируемость методом (С, 1)
к тому же числу S. Отсюда сразу следует, что:
Если а (/) сходится в точке непрерывности функции f (x), то он сходится
именно к f (х); аналогично, в точке разрыва 1-го рода, если a (f) сходится, то
непременно к /ft+ °>+ /»-<»>.
Наконец, фейеровские суммы позволяют в некоторых случаях составить
суждение и об обыкновенных частных суммах ряда Фурье. Так, например,
можно доказать теорему:
Для функции f (x) с ограниченным изменением частные суммы ряда а (/)
ограничены в своей совокупности.
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что, если
/п</(х)<АГ, -rc<x<>, D8.1)
то для фейеровских сумм имеем также
-я<х<гс. D8.2)
Действительно, принимая во внимание положительность ядра Фейера,
мы из формулы D7.4) и из D8.1) сразу находим, что
л
т ±$Kn(t)dt<en(x)^M±$Kn(t)dt,
—л
а тогда формула D7.10) сразу показывает справедливость нашего утвер-
утверждения.
Заметив это, сравним теперь оп{х) и Sn (x). Мы имеем (см. Вводный мате-
материал, § 6)
Sn (х) — ап (х) = —^г-г- 2 k (ak cos kx + bk sin kx). D8.3)
k=\

142 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Отсюда следует
\Sn(x)-cyn(x)\^1^J^k(\ak\ + \bk\).
Но если /(х) с ограниченным изменением, то, как мы знаем (см. § 22),
I ак I ^ ~17~ и
где V — полное изменение /(х); поэтому
откуда
2V -M^Sn(x) ; 2V + M. D8.4)
Формула D8.4) не только доказывает ограниченность в совокупности
частных сумм ряда Фурье для функции с ограниченным изменением, но и
указывает границы, в которых они заключены, в зависимости от границ этой
функции и ее полного изменения.
Замечание. Мы видели (см. D8.1) и D8.2)), что если / (х) заключена
между шиМна отрезке длины 2тт, то и ап(х) (и = 1, 2, ...) на этом отрезке
заключены между т и М. Для дальнейшего нам будет полезно оценить
ап (х), зная только границы /(х) на некотором отрезке [а, Ь]. Докажем, что
Если
m < / (х)< М на а^х^Ь,
то для любого б > 0 найдется такое No (зависящее от д), что
/л-<5<(тп(х)<М + <5 при n>iV0(E), я + <5<*<&-<5. D8.5)
Действительно, из D7.4) находим
—5 д
л
+ -I [ / (х + и) Кп (и) йи = Гп + 1'к + Ik" • D8.6)
д
В силу D7.7)
—д л
[±)\f(u)\du = o(l) D8.7)
и такое же заключение имеет место для Гп".
Для оценки Гп' заметим, что если а + б^х^Ь — б и |а( <С 5, то
х + и $ [а, Ь], а тогда
—д
Но мы знаем D7.11), что
<5
lim-if К„(и) Л/= 1.
Значит, можно выбрать JV0 (зависящее от б) столь большим, чтобы, например,
иметь

J49
ТЕОРЕМА ФЕЙЕРА-ЛЕБЕГА
143
и, кроме того (см. D8.7)),
— и
откуда в силу D8.6) видим, что D8.5) доказано.
§ 49. Теорема Фейера—Лебега
Теорема Фейера, доказанная в § 47, дает возможность судить о сумми-
суммируемости ряда сг(/) лишь в тех точках, где/(х) либо непрерывна, либо имеет
разрывы 1-го рода. Однако произвольная суммируемая функция может не
иметь ни одной точки указанного типа. Лебег обобщил результат Фейера и
доказал следующую теорему.
Теорема Фейера — Лебега. Для любой суммируемой функции
/(х) ряд a(f) суммируется почту всюду методом Фейера к f(x).
Для доказательства теоремы положим
f(x-t)-2f(x)
D9.1)
**@ = Л >*(")!<*«•
О
D9.2)
Докажем, что ряд оф суммируется методом Фейера к f(x) во всякой точ-
точке х, где
0x(t) = o(t). D9.3)
Для этого заметим (см. § 47), что
О 6
D9.4)
и докажем, что при выполнении D9.3) интеграл в правой части D9.4) стре-
стремится к нулю. С этой целью заметим, что
так как
Кп@1<2л
D9.5)
ДЛЯ ЛЮбогО
Поэтому
к=0
D9.6)
в силу D9.3).
Далее, в силу D7.6)
D9.7)

144 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
В интеграле правой части D9.7) произведем интегрирование по частям; полу-
получим, опять опираясь на D9.3) (см. Вводный материал, § 11),
1 Y1
D9.8)
Из D9.6) и D9.8) в силу D9.4) вытекает
an(x)-f(x) = o(l)
в каждой точке, где выполнено D9.3).
Нам остается убедиться, что условие D9.3) имеет место почти всюду. Но
в § 15 Вводного материала было отмечено, что это соотношение выполняется
во всякой точке Лебега, следовательно, почти всюду.
Теорема Фейера—Лебега доказана.
В качестве следствия получаем следующую важную теорему.
Если а (/) сходится на некотором множестве Е, тЕ > 0, то его сумма
равна f(x) почту всюду на Е.
Действительно, мы знаем, что метод (С, 1) регулярен. Поэтому в точке,
где а (/) имеет некоторую сумму S, он должен суммироваться к тому же числу
S методом Фейера. Но так как методом Фейера он суммируется к /(х) почти
всюду, то множество точек из Е, где сумма ряда а (/) отлична от / (х), имеет
меру нуль.
Замечание. Мы видели, что ряд а (/) суммируется методом Фейера
во всякой точке Лебега. Известно, что в этих точках /(х) есть производная
своего неопределенного интеграла. Можно поставить вопрос, должен ли ряд
а (/) суммироваться методом Фейера в такой точке, где это последнее условие
выполнено. Лебег (см. Lebesgueil]) показал, что это уже не должно иметь
жеста, однако здесь имеет место суммируемость (С, 2).
§ 50. Оценка частных сумм ряда Фурье
В § 49 мы показали, что в точках, где выполнено условие
Фх(/0 = JI f(x + и) + f(x - и) - 2f(x)\du = o(h) E0.1)
о
рядог(/) суммируется методом Фейера. Было также отмечено, что условие
E0.1) выполняется почти всюду. Сейчас мы хотим оценить рост частных сумм
Sn(x) в этих точках.
Покажем, что во всякой точке х, где выполнено E0.1), имеем
E0.2)
Следовательно, оценка E0.2) также справедлива почти всюду.
Мы видели (см. C7.9)), что
Sn(x)-f(x) = 1J [/ (х + и) + f (х-и) - 2/(х)] il^H. du + о A), E0.3)

§50
ОЦЕНКА ЧАСТНЫХ СУММ РЯДА ФУРЬЕ
145
где о A) стремится к нулю, а д — любое положительное фиксированное число.
Полагая <р (и) = / (х + и) + f (х — и) — 2/ (х), имеем
sin пи
Но из E0.1)
поэтому (индекс х пока, для краткости, опускаем)
E0.4)
E0.5)
jk(«)l «to = *?)=*?
"
б в
Из E0.4), E0.6) и E0.7) следует
д
sin пи
E0.6)
E0.7)
Если при заданном е >0 выбрать 6 так, чтобы Ф(/) < е/ для 0 <^ / ^ б,
что возможно в силу E0.1), то
E0.9)
поскольку е как угодно мало. Но о A) также есть о (In и), поэтому из E0.3),
E0.8) и E0.9) находим
\Sn(x)-f(x)\=o(\nn).
Но так как х фиксировано, то f(x) постоянно, т. е. |/(х)| = о (In n) и оконча-
окончательно
Sn(x)=o{\nn),
что и требовалось доказать.

146 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Замечание. В§36 было доказано, что для ограниченной функции,
а значит для непрерывной, имеем при всех х и и > 1
\Sn(x)\^CM\nn (л =2,3,...),
если |/(х)| <^ М (С—абсолютная константа). Если /(х) непрерывна, то усло-
условие E0.1) выполняется, и даже равномерно, а потому для непрерывных функ-
функций ранее найденная оценка заменяется более сильной: вместо О (Inn)
появляется о (In и).
§ 51. Множители сходимости
Принято говорить, что числа {{лп} являются множителями сходимости
для некоторого ряда
«о (*) + «i(*/ + ... + un(x)+...
на отрезке [а, &], если ряд
сходится почти всюду на [а, Ь].
Результаты §§ 49 и 50 позволяют доказать, что в качестве множителей
сходимости для ряда Фурье на [—я} я] могут быть выбраны числа
_ 1 —2 3
(fi0 и [ах можно взять как угодно), т. е. имеет место
Теорема. Если akubk — коэффициенты Фурье (к = 1, 2, ...), то ряд
-у аи cos кх + Ьк sin кх
i~2 Ink
сходится почти всюду на [—тг, я].
Для доказательства заметим, что в § 50 было доказано Sn (x) = о (In n)
почти всюду. Поэтому в силу того, что последовательность fin выпукла (опре-
(определение и свойства выпуклых последовательностей даны в § 3 Вводного мате-
материала), то остается, полагая ип (х) = ап cos nx + bn sin их, применить тео-
теорему 6 (см. Добавления, § 12).
§ 52. Сравнение ядер Дирихле и Фейера
Мы знаем (см. §§ 45 и 46), что существуют непрерывные функции, у кото-
которых ряд Фурье расходится в некоторой точке. С другой стороны, для
любой непрерывной функции /(х) ряд a(f) суммируется к /(х) во всякой
точке (см. § 47).
Мы хотим объяснить, почему происходит такое явление, а для этого
сравним ядра Дирихле и Фейера. Как известно,
)n{t-x)dt E2.1)
n(t-x)dt, E2.2)
где Dn(u) — ядро Дирихле, а Кп(и) — ядро Фейера.

§ 52 СРАВНЕНИЕ ЯДЕР ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА 147
Если в точке х0 ряд a(f) сходится к /(х), то это значит, что Sn(x0)->f(xd);
если он суммируется методом Фейера к /(х), то ап(х0) -> /(х0).
Естественно поэтому поставить вопрос так: пусть /(х) непрерывна и
!-х)а, E2.3)
где Фп{и)— некоторая функция, которую мы также будем называть ядром;
спросим себя, от каких свойств этого ядра зависит равенство
lim /„(*) = /(*)
П-*-со
или существование таких точек х0, где fn (x0) не стремится к /(х0) или вообще
не стремится ни к какому пределу?
Прежде чем ответить на этот вопрос, покажем, что и проблема сходи-
сходимости ряда Фурье по произвольной ортогональной системе приводит к задаче
того же типа, а потом будем решать обе эти задачи вместе.
Пусть {(рп(х)} —некоторая ортонормированная система на (я, 6). Желая
изучить сходимость ряда Фурье от некоторой функции /(х) по этой системе,
мы рассматриваем частную сумму этого ряда, т. е.
иначе говоря,
() i%()//(o%(oj/(O[i
/г=0 а а /с=0
Полагая
мы назовем функцию ФпЦ, х) ядром системы {q>n(x)}. Мы имеем
Sn(x) = $f(tHn(t,x)dt. E2.4)
а
Лебег первый обратил внимание на важность изучения поведения функ-
функций вида
$ E2.5)
которые теперь обычно называют «функциями Лебега» для заданной системы.
Роль этих функций в вопросе о сходимости ряда Фурье станет совершенно
ясной, если доказать теорему (см. Lebesguet2l).
Теорема. Если для некоторой точки х0 последовательность Qn(x0)
(п = 1, 2, ...) неограничена, то существует непрерывная функция /(х), для
которой ряд Фурье по системе {(рп(х)} неограниченно расходится в точке х0.
Эта теорема будет мгновенно доказана, если мы установим справедли-
справедливость следующего более общего предложения:
Лемма. Пусть
fn(x,f) = $f{fHn(t,x)dt, E2.6)
а
где Фп (f, x) при каждом фиксированном х суммируема по переменному t, a
f(t) ограничена. Тогда, если
Шдп(х0)= + с*э, E2.7)

148 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
то найдется непрерывная функция /(х), для которой
ПйТ|/п(Хо,/)| = + оо. E2.8)
Действительно, прежде всего, полагая при заданном п
= sign0n(t)xo),
имеем
fn (Xo, g) = U @ фп (t, *о) Л = J | Ф„ (/, хо) \dt = Qn (x0). E2.9)
а а
Значит, существует для всякого и такая функция g(f), что \g(t)\ <; 1 и для нее
fn(Xo,g) = Qn(x*). E2.10)
Если бы это была одна и та же функция g(f) для всех п и если бы она
была непрерывна, то теорема была бы уже доказана, так как в силу E2.7)
мы имели бы
Um\fn(x0,g)\ = + oo.
Поэтому прежде всего позаботимся о том, чтобы заменить g(t) непрерывной
функцией g*@, для которой /п(х0, g*) «велико», а затем будем переходить от
разных функций для разных п к одной функции.
Подберем сначала для заданного п непрерывную g*(f) так, чтобы для
/«(*.?*) иметь
fn(Xo,g*)>±Qn(xJ. E2.11)
Для этого достаточно взять такое е, что
|еп(*о), E2.12)
если тЕ < е, что возможно, так как при фиксированных п и х0 функция под
знаком интеграла есть суммируемая функция от /, а потому ее интеграл как
угодно мал, если множество, по которому интегрируют, имеет достаточно
малую меру. В силу С-свойства мы можем найти непрерывную функцию
g*(f), совпадающую с g(t) на совершенном множестве Р, тР > (Ь — а) — еу
и такую, что |g*@| <C 1. Тогда для нее в силу E2.6)
Из E2.12) следует, что
СР
"СГ 2 [ \Ф It х ) I dt <Г ——о (х ) Г52 13)
и, значит, из E2.9) и E2.13) вытекает E2.11).
Обозначим для каждого п через gn(t) функцию, которая обладает свой-
свойствами:
a) gn @ непрерывна,

i 52
СРАВНЕНИЕ ЯДЕР ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
149
Мы уже видели, что такую функцию для каждого п построить можно. Пусть
теперь еп — последовательность чисел таких, что
л=1
, 2
E2.14)
(например, можно взять еп = —); пусть пк — возрастающая последователь-
последовательность целых чисел, которые мы подберем позже. Тогда, полагая
/ (х) = 2* гк gnk (x), E2,15)
мы видим, что /(х) непрерывна, так как gn(x) непрерывны и все \gn(x)\ ^ 1 и
2 ек < + °°> а значит, ряд E2.15) сходится равномерно. Ясно, что
ч J
k=l a
U (ч, /) = JI' ч gnk @ фп (t, х0) dt= i ч J gnk (о фп (t, xo)dt= i sk /„ (x0, gns).
ak\ kl * kl
i
k=l
Здесь почленное интегрирование законно в силу равномерной сходимости
ряда E2.15).
Покажем теперь, что при разумном подборе чисел пк будем иметь
E2.8)
Если хотя бы для одной из функций gm (x) имеем
lim |/n(xo,gm)| = + оо,
то теорема уже доказана. Допустим, что этого нет. Обозначим
Hm|/n(Xo,gTO)l = yTO.
Выберем по индукции числа пк так, чтобы
Л-1
E2.16)
E2.17)
E2.18)
Это возможно, так как {gn(xQ)} неограничена в силу E2.7) и, значит, числа
пк можно подобрать так, чтобы Qnk(x0) -> °° и притом достаточно быстро для
того, чтобы условия E2.17) и E2.18) были удовлетворены. Так как
к~\
?р ?пр
А:— 1
к-\
при и -> со в силу E2.16), то можно взять пк столь большим, что
к\
^о, 2! ?pgnp
i
<
1
sp УпР < -g- Ч Qnk (x0)
в силу E2.18).
С другой стороны,
fnk \х0, 2l '
Р=к+\
р=к+\
E2.19)
E2.20)

150 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
потому что |g«p(x)| ^ 1, а значит,
IJ г* @ ф* (и *о) л К /1ф** (и хо) I л = Qnk (x0)
и, кроме того, имеем E2.14).
Отсюда в силу свойства в) функций gn(x), E2.19) и E2.20)
k+\
~оЧ 9пк(х0) -~аЧ 9пк(*о) --^sk 9пк(х0) >-<г?к 9пк (х0),
6
а это стремится к + ©о при к -> ©о в силу E2.17). Значит, E2.8) справедливо
и лемма доказана*).
Отсюда немедленно вытекает и справедливость формулированной выше
теоремы Лебега. Действительно, если в доказанной лемме роль Фп(/, х) играет
ядро заданной ортогональной системы, то fn (/, /) превращается в частную
сумму ряда Фурье от /(х) по этой системе (в силу E2.4)) и E2.3)), а потому,
если в некоторой точке выполнено E2.7), то найдется непрерывная /(х)
с расходящимся в этой точке рядом Фурье. Таким образом теорема Лебега
доказана.
Рассмотрим теперь специально случай тригонометрической системы.
Если ее нормировать, т. е. взять систему
1 cosx sinx cos nx sin их
-if— у ~-\f— у • • • у л[— у лг— у • • •
то роль ее ядра должна играть функция
^ ,, v 1 , " cos/ос cos kt+ sin/ex sin/с/
а потому функции Лебега (см. E2.5)) имеют вид
Но в силу периодичности Dn(u) имеем
т. е. функции Лебега не зависят от х и превращаются в ранее рассмотренные
нами константы Лебега Ln (см. § 35). Но мы знаем, что lim Ln = + ©о
*) Так как при умножении / (/) на некоторую константу fn (x, /) умножится на ту же
константу в силу E2.6), то можно всегда найти / (х), удовлетворяющую условиям леммы,
и такую, что |/@К * • Эт° замечание не понадобится для теоремы Лебега, но будет
использовано позже в главе IV.

§52
СРАВНЕНИЕ ЯДЕР ДИРИХЛЕ И ФЕЙЕРА
151
(потому что Ln ^-A. ln п); и поэтому теперь мы видим, что существование
непрерывных функций с рядами Фурье, расходящимися в некоторой точке,
объясняется именно тем, что константы Лебега неограниченно растут с
ростом и. Заметим еще, что так как
при любом х, то можно для любой точки х найти непрерывную /(х) с рядом
Фурье, расходящимся в этой точке.
oil
2
_L
-л
Рис. 9
Рис. 10
Л
Теперь вернемся к вопросу о суммируемости ряда Фурье методом Фей-
ера. Сравнивая формулы E2.5) и E2.2), мы видим, что если бы для
хотя бы при одном значении х0 было выполнено E2.7), то можно было бы
найти непрерывную /(х), для которой ап(х, /) не стремилось бы ни к какому
конечному пределу при и -> оо, т.е. а(/) был бы несуммируем методом
Фейера в этой точке. Но в силу периодичности Кп (и) и его положительности
имеем
а тогда в силу свойства 3) ядер Фейера (см. § 47)
для всех п и х. Таким образом, для ядра Фейера выполнение E2.7) ни в какой
точке невозможно.
В § 2 главы VII мы увидим, почему метод Фейера применим почти всюду
(теорема Фейера—Лебега, § 49), тогда как существуют всюду расходящиеся
ряды Фурье (глава V, § 20) — это также результат разного поведения ядер
Фейера и Дирихле.
Заканчивая этот параграф, мы считаем целесообразным изобразить гео-
геометрически ядра Дирихле и Фейера (см. рис. 9 и 10).

152 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
§ 53. Суммирование рядов Фурье методом Абеля—Пуассона
Укажем здесь еще один классический и очень важный метод суммирова-
суммирования рядов Фурье. Для этого напомним (см. Вводный материал, § 7), что ряд
со
2 ип (х) называется суммируемым методом Абеля в точке х0 к числу S, если
00
при всяком г, 0 <; г < 1, ряд 2 ап(хо)гП сходится и, полагая
п=0
имеем
lim S(xo,r) = S.
r-*l
Пуассон применил этот метод суммирования к рядам Фурье, поэтому
указанный метод, когда его прилагают к тригонометрическим рядам, обычно
называют методом Пуассона или Абеля—Пуассона.
Так как мы знаем (см. Вводный материал, § 7), что метод Абеля сильнее
метода (С, 1), то из теорем Фейера и Фейера—Лебега (см. §§ 47 и 49) мгно-
мгновенно следует
Теорема. Для любой суммируемой f(x) ряд a(f) суммируется почти
всюду методом Абеля—Пуассона к этой функции f(x); он суммируется к
/(*+ ) + /(*— ) в0 всякой точке разрыва 1-го рода и к f (х) во всякой точке
непрерывности.
Может показаться, что после этих теорем уже больше нечего сказать о
суммировании рядов Фурье методом Пуассона; однако мы увидим в § 55 и
§ 56, что можно получить гораздо более глубокие результаты. Сначала выве-
выведем те вспомогательные формулы, которые нам будут для этого нужны.
Для произвольного тригонометрического ряда
00
—- + J? an cos nx + bn sin nx E3.1)
Z л-1
назовем «пуассоновскими суммами» функции
00
/ (г, х) = Ц- + 2 (ап cos nx + bn sin nx) rn , E3.2)
когда ряд в правой части E3.2) сходится. В случае, когда ряд E3.1) есть ряд
Фурье от некоторой функции/(х), эти функции можно выразить через/(х)
в интегральной форме, подобно тому, как это делалось для частных сумм и
фейеровских сумм ряда Фурье. Этим мы займемся в следующем параграфе.
Далее в § 57 воспользуемся полученными результатами для решения одной
важной задачи, называемой проблемой Дирихле.
§ 54. Ядро Пуассона и интеграл Пуассона
Прежде всего найдем удобное выражение для/(г, х), если E3.1) есть
а (/). Имеем
л л
an = ^-J/(Q cos л* <ft, bn= 1J/(Q sin л/df,

\ 54 ЯДРО ПУАССОНА И ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА 153
а потому
2
Но так как О <С г < 1, то ряд ? rn cos n(t — х) при фиксированном г схо-
дится равномерно относительно /, а потому по теореме Лебега (Вводный
материал, § 14) его можно почленно интегрировать даже после умножения
на f(x); поэтому
E4.1)
Найдем теперь более простое выражение для ряда, стоящего в квадрат-
цых скобках в E4.1). Пусть
Р(г, а) = ~ + 2 гП c°s па.
^ л=1
Рассмотрим вспомогательный ряд
и положим z — г (cos a + i sin а). Если \z\ = r< 1, то этот ряд сходится и
L
_! . У17п _ _L , ^ = _J±A___ = lr + 2/rsina
2 "" ^4 ~ 2 "*¦ 1-2 2 A - 2) 2[1 - 2r cos а + г2] *
Но, с другой стороны,
=-^-J? Гп (COS Па + i sin Па) .
1
л=1
Поэтому, отделяя действительные и чисто мнимые части, найдем
+ ^ rn cos па == ""г
2 ^ЙГ, we»-- 2[l-2rcosa-
п • г sin a
г7 sin па — —
^ 1 — 2r cos а + г2
Итак, мы установили, что
^^Т. E4.2)
Это выражение принято называть ядром Пуассона, а выражение
сопряженным с ним ядром.
Для всего дальнейшего будет очень важен тот факт, что ядро Пуассона
при 0 ^ г < 1 есть положительная величина (как и ядро Фейера). В самом
деле, так как
1 -г2> 0 и 1 -2r cosa + r2-(l-rJ + 4rsin2|
то Р{г, а) > 0 при 0<Сг< 1.

154
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Вернемся к формуле E4.1). Имеем
1 -г2
С=2г cos {t-
dt. E4.4)
Интеграл в правой части E4.4) называется интегралом Пуассона.
Очень важно уяснить себе геометрический смысл ядра Пуассона (см.
рис. 11). С этой целью возьмем на плоскости
круг с центром в начале координат и ра-
радиусом 1; если через точку М с полярными
координатами (г, со) провести радиус и взять
перпендикуляр к нему, то, обозначая через
Q одну из точек его пересечения с окруж-
окружностью, найдем
Мф=\ -г2.
Если Р — точка с полярными координа-
координатами A, Oi то
МР2 = 1 - 2г cos (со - 0 + г2,
а потому
Рис. 11
1_Г2
— 2r cos (co —
MQ
МР)
Таким образом, мы снова видим, что ядро Пуассона есть положительная
величина, а интеграл Пуассона можно записать в виде
MQ
МР
dt.
Теорему § 53 можно было бы высказать так: если точка М (г, со) стре-
стремится к точке РA, со), т. е. к точке окружности, лежащей на одном радиусе
с ней, то почти для всех значений со имеем
f(r,co)-+f(co) при г->1
и это верно, в частности, для всех тех со, где / (со) непрерывна. Но мы хотим
показать, что имеет место значительно более общее предложение. К этому
сейчас и переходим.
§ 55. Поведение интеграла Пуассона в точках непрерывности функции
Докажем следующую теорему Фату (см. Fatou[1]).
Теорема. Если f(co) непрерывна в некоторой точке РA, со0), то для
интеграла Пуассона
f(r,<o) = ±jf(t)P(r,<o-t)dt E5.1)
—я
имеем
/(г,со)->/«)
как бы точка М(г, со) ни стремилась к Р A, coQ), лишь бы она оставалась
внутри окружности радиуса 1.

§55 ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА В ТОЧКАХ НЕПРЕРЫВНОСТИ 155
Прежде всего отметим следующие свойства ядра Пуассона:
а) р (г> 0 ^ О ПРИ любом U0<r<l.
б) Имеем
Действительно, из E4.4), полагая /@^ 1, найдем
в) Если |/| ^> 5, то имеем
т (г, 5) = max Р (г, /) -> 0 при г -> 1
Действительно,
1 -2rcos/ + r2>l— 2rcos5 + r2 при
а потому
что и доказывает наше утверждение.
Отсюда и из б) сразу следует для любого Ь >0
г) Ит-Гр(г,0<Й= 1-
Действительно, в силу четности Р (г, /) имеем из б)
2
а последний интеграл не превосходит — т (г, 5).
Теперь для доказательства теоремы заметим сначала, что, умножив
E5.2) на / (соо), имеем
Вычитая это равенство из E5.1), находим
я
/ (г, ю) - / К) = 1J [/ @ - / Ы] Р (г, f - о,) <й.
—я
Пусть е > 0 задано. Выберем 6 так, чтобы
1/@-/К)К? при |/-оH|<3,

156
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
и разобьем интеграл E5.5) на три: по интервалу со0 — 6 < ? < со0 + б и по
интервалам (—л < / < со0 — б) и (со0 -\- б < t < л). Имеем в силу положитель-
положительности ядра Пуассона, E5.6) и E5.2)
со0 —<5 —п
Что же касается интегралов по остальным интервалам, то на них
|/ — а>| ^ S, а потому в силу E5.3) можно добиться, чтобы
P(r,t~co)<ey
если только г взять достаточно близко к 1. Тогда каждый из этих интегралов
по модулю не превосходит
т. е. может быть сделан как угодно малым.
Теорема доказана.
§ 56. Поведение интеграла Пуассона в общем случае
Мы убедились в § 55, что если f(co) непрерывна при со = со0У то интеграл
Пуассона стремится к f(co0) каким бы путем точка М(г, со0) ни стремилась к
точке РA,а>0) (оставаясь внутри единичной Ок-
Окружности).
В случае, когда / (со) не является непрерывной
при со = со0, дело обстоит сложнее. Однако и здесь
можно получить хорошие результаты, если только
устремлять М к Р не по каким угодно, а только по
некасательным к окружности путям. Это значит,
что мы разрешаем точке М двигаться кР, оставаясь
все время внутри некоторого угла величины 2(р<п
с биссектрисой, совпадающей с ОР (см. рис. 12).
Прежде чем изучать поведение интеграла
Пуассона в общем случае, докажем одну тео-
теорему Фату, касающуюся поведения частной произ-
производной от /(г, со) по со.
Теорема 1. Если f (со) имеет в точке РA,со0) конечную производную,
то
Рис. 12
Э/(г,а>)
¦Г К),
если точка М(г, со) -^РA, со0) по любому некасательному пути.
Чтобы убедиться в этом, докажем сначала лемму:
Лемма 1. Пусть {(и) имеет ограниченную производную {'(со) на неко-
некотором интервале (со', со") и пусть f (со) непрерывна в некоторой точке соп
этого интервала. Тогда
дсо
¦/'К),

§56 ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 157
когда М(г, со) -^РA, со0) как угодно, лишь бы она оставалась внутри единич-
единичной окружности.
Мы имеем из E5.1)
""' ^dt. E6.1)
дсо л
—и
Так как
ЭР (г, ц) = -A -r2Jrsinn ,5б 2)
ди [1—-2r cos и-{-г2]2 у ^ * '
то ^' есть нечетная функция, отрицательная или равная нулю на
[О, п], причем для любого д > 0 имеем
тах
ЭР (г, и)
2A-
ПРИ
Выберем д так, чтобы (а>0 — б, со0 + 5) содержался внутри {со', со")
и разобьем интеграл E6.1) на два по интервалу (со0 — 5, со0 -f д) и по остав-
оставшейся части окружности. Во втором интеграле при любом е > 0, как только
М станет достаточно близкой к Р, множитель — 1~ в СИЛУ E6.3) станет
по модулю меньше е, а значит, весь этот интеграл будет не превосходить
s J 1/@1 dt. Что же касается первого интеграла, то, интегрируя по частям,
— л
имеем
—ffi <o s^ * -
0 — д а>0 — 3
Здесь обынтегрированный член стремится к нулю, когда М->Р, потому что
ядро Пуассона стремится к 0, а/(/) ограничена, что же касается интеграла,
то его можно рассматривать как интеграл Пуассона от функции, равной
/' (/)на (со0 — <5, со0 + <5) и нулю на оставшейся части окружности; эта функ-
функция, по предположению, непрерывна при со = со0, а потому, на основании
результатов предыдущего параграфа, этот интеграл стремится Kf'(co0), как
бы М ни стремилось к Р.
Таким образом наше утверждение относительно - 1^ справедливо,
и лемма 1 доказана.
Переходим к доказательству теоремы 1. Следовательно, мы теперь отка-
откажемся от гипотезы, что /' (со) непрерывна в со0У а ограничимся тем, что она
существует и конечна; зато будем рассматривать движение по некасательным
путям.
Для простоты рассуждений предположимсо0 = 0и/@) = /'(О) = 0 (это
не уменьшает общности, так как можно было бы рассмотреть вместо/(со)
функцию /х (со) = f(co)—/@) — со /' @) и изучить для нее поведение интеграла
Пуассона).

158 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Итак, мы должны доказать, что если /@) = /'@) = 0, то
^?г*-0, E6.4)
если М(г, со) ->РA, 0) по любому некасательному пути.
Прежде всего заметим, что в силу наших условий имеем lim *-~- = 0,
а потому для любого е > 0 можно найти такое д > 0, что
f~\<? при |f| <<5 E6.5)
Для дальнейшего удобно считать <5<-^-,
Пусть У @ = Она (—5, 5), !Р@ =/(Онай<|*| <яиУ(* + 2я) =
Ясно тогда, что, обозначая через У7(г, со) ее интеграл Пуассона, имеем
С другой стороны, так как У7(?) удовлетворяет условиям леммы 1 на
(—<5, д) и У @) = 0, то ^ЦГ~^- -* 0, когда Af (г, а>)->Р A,0) как угодно. Отсюда
следует, что интеграл в правой части E6.6) стремится к нулю, а потому из
E6.1) следует, что E6.4) будет иметь место, если мы убедимся, что интеграл
может быть сделан меньше Се, где С постоянное. Но в силу E6.5) имеем
д
dt.
дсо
Мы сейчас докажем, что выражение
Q оИ {гу t а)) /ел ч\
= * даТ— E6J)
остается ограниченным на —д <^t<^d, когда точка М(г, со) ->РA, 0) по
любому некасательному пути.
Чтобы убедиться в этом, заметим сначала, что на основании E6.2)
¦ ^ | | ,. | 2r sin (t — со) A — г2) | ^ 2 111 | sin (t — со) \
Так как
|gtt геш\ — |^(/-«>) _ г| ^ | Sin (/ _ со)|,
потому что модуль комплексного числа не меньше модуля его мнимой части,
то

J56
ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПУАССОНА В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
159
Кроме того, заметим, что д <-у, а потому \t\ <^-2-|sin /|, откуда
sin/1
IQK*
elt-reuo\
E6.8)
Мы можем ограничиться рассмотрением случая —
скольку М (г, со) -^Р A, 0). Рис. 13
выполнен для со > 0, но случай со < О
рассматривается совершенно анало-
аналогично.
Так как речь будет идти о не-
некасательных путях, то существует
угол КРК' с вершиной в Р и бис-
биссектрисой ОР такой, что точка М
при своем приближении к Р не
может выйти из этого угла. Обоз-
Обозначая а = КРу', где Руг параллель
к оси Оу, проходящая через Р, ви-
видим, что вектор РМ образует с по-
положительным направлением оси аб-
абсцисс угол ср, где ср ^> -^- 4* а (если
з
со < 0, то будем иметь ср^-^-л — а).
Отсюда ясно, что rei(o = 1 + Qeiqf, где
е — длина вектораМРи~ +
Таким образом,
— а, т.е. а<^^ f" ^ я — а.
л — а. Поэтому
еи — 1 — z"e
е 2 — е 2
= *ее
где а =
E6.9)
(Здесь снова пользуются тем, что модуль комплексного числа не меньше
модуля его мнимой части.)
Теперь из E6.8) и E6.9) заключаем
у \ 2
е*
- ч
—
')
1
е
=
Q
IQK*
! sin ГI
Если
sin4||sin(y-^)|^|sinD--^)j
| < a, то sin D- — ^) I > sin ~ и тогда
IQK-V.
sin у

160 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
т. е. Q ограничено. Если же д ;> |/
в E6.8) ограничен снизу, значит
1> а, то при Af (r,со) ->Р( 1,0)знаменатель
Q\ снова ограничено. Этим заканчивается
доказательство теоремы 1.
Пользуясь доказанной теоремой 1, мы можем теперь получить результат,
касающийся поведения интеграла Пуассона для любой суммируемой функ-
функции /(х). Именно мы докажем следующую теорему, также принадлежащую
Фату:
Теорема 2. Во всякой точке со0, где f(a>) является производной от
своего неопределенного интеграла, интеграл Пуассона f (со, г) -> f (со0), если
точка М(г, со) стремится к точке РA, со0), следуя по любому некасательному
пути.
В частности, отсюда следует, что ряд Фурье от любой суммируемой функ-
функции суммируется методом Пуассона к этой функции почту всюду*).
Чтобы убедиться в этом, положим
Имеем, интегрируя по частям
Обынтегрированный член стремится к нулю, когда М -^Р A, со0), если только
со =h —n и со =h n. Что касается интеграла, то его можно переписать в виде
-?-F{r,co), E6.10)
а потому на основании только что полученного результата, если
М(г, со) ->РA, со0) по некасательному пути, то выражение E6.10) стремится
к F'(co0) всюду, где F'(x) существует и конечна. Следовательно, во всякой
точке, где f(co0) = F' (со0), имеем /(г, со) -> f(co0), а это и требовалось доказать.
Так как из теории интеграла Лебега известно, что равенство Ff(co) =
= f(co) имеет место почти всюду, то отсюда, в частности, вытекает, что почти
для всех значений со
/(г,соО->/(со),
когда М (г, со') ~^РA, со) по любому некасательному пути. Тем более это
имеет место, когда М (г, со) -^РA, со) при г -> 1, откуда видно, что теорема
§ 53 есть следствие теоремы Фату.
Мы теперь укажем на роль, которую играет интеграл Пуассона при
решении знаменитой проблемы Дирихле.
§ 57. Проблема Дирихле
Эта проблема была поставлена Дирихле в следующей форме: дан замкну-
замкнутый контур и функция /(х), непрерывная на нем. Требуется найти функцию,
гармоническую**) внутри этого контура и стремящуюся к заданным на
*) Более того, он суммируется почти всюду к / (х) методом А* (см. определение А*
в § 7 Вводного материала).
**) То есть удовлетворяющую уравнению Лапласа
82F 82F _ 0
Эх2 "+" Эу2 — Ь*

§ 58 СУММИРОВАНИЕ ПРОДИФФЕРЕНЦИРОВАННОГО РЯДА ФУРЬЕ 161
контуре значениям, когда точка любым способом стремится изнутри к
периферии.
Рассмотрим тот частный случай, когда рассматриваемый контур есть
окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Если обозначим через
х и у декартовы координаты точки М (г, со), то будем иметь
где ап,Ьп — коэффициенты Фурье для f(x), и, следовательно, F(x, у) есть
действительная часть аналитической внутри круга радиуса 1 функции, опре-
определяемой степенным рядом
¦у+ 2{an-ibn)z\ z = re<».
Но известно, что действительная (и мнимая) часть всякой аналитической
функции есть функция гармоническая, значит, теорема § 55 позволяет утверж-
утверждать, что функция F{x, у) дает решение задачи Дирихле для круга.
Если расширить постановку задачи Дирихле, не требуя уже того, чтобы
значения функции, заданные на границе, определяли непрерывную функцию,
но при этом позволять точке стремиться изнутри к периферии лишь по нека-
некасательным путям, то F (х, у) стремится к f(co) почти всюду и, таким образом,
дает решение обобщенной проблемы Дирихле.
§ 58. Суммирование методом Пуассона продифференцированного
ряда Фурье
Пусть
a(F)= ^-° + 2 Лп cos пх + Вп sin пх . E8.1)
Мы знаем, что ряд
2 п (Вп cos пх — Ап sin пх), E8.2)
полученный от дифференцирования E8.1), вовсе не должен быть рядом
Фурье, так как его коэффициенты
ап = пВп и Ъп = — пАп
даже не должны стремиться к нулю. Поэтому к ряду E8.2) нельзя применять
предыдущие теоремы. Но имеет место следующая
Теорема Фату. Если в некоторой точке х функция F(х) имеет
симметрическую производную, равную числу I, то, продифференцировав ряд
a(F), получим ряд, который в точке х суммируется к числу I методом
Пуассона.
Так как симметрической производной называется lim \~h F ~~ >
если этот предел существует, то по условию теоремы
) — F(x — h) j /со о\
Й = 1 • E8-3)
ft-0
Полагая, как всегда
Bnsmnx)rn,

162
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
можем написать
2х (Вп cos пх - Ап sin пх) г".
E8.4)
Здесь почленное дифференцирование законно, так как при г < 1 ряд E8.4)
сходится равномерно относительно х. Нам надо доказать, что
Эх
Но
при
dt' <58-5>
а так как
9Р(г,ц)
Эй
есть функция нечетная (см. E6.2)), то
В силу E6.3) для любых е > 0 и 6 > О можно выбрать г0 < 1 так, чтобы
ЭР (г, и) ^ ^ для 8^а^7г и Го^г< j Поэтому
Эй
где
E8.6)
E8.7)
где С — постоянно. В силу E8.3) число 5 можно, кроме того, предположить
столь малым, чтобы
n)-F{x-u) , ^ Eа8)
2и
Тогда из E8.6), E8.7) и E8.8)
__ 1 f
9F(r,x) __ 1 f F(x+a)-F(x-n)o ЭР (г, и)
"~ ~^J ~ Й ^ Эй
о
ЭР(г.ц)
В силу E8.8) имеем
,. E8.9)
E8.10)
где Сг постоянно. Действительно, из E6.2) видим, что
ЭР (г, а)
ди
2ц sin и
sin2 и
, для

§ 59 ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА-СТИЛТЬЕСА 163
Для /3, интегрируя по частям, находим
2J(Mi)(fo-/. E8.11)
в силу того, что Р (г, 6) -> 0 и формулы E5.4).
Теперь из E8.7), E8.10) и E8.11) получаем
V%*>-+1 при г-*1,
и теорема доказана.
Замечание. Так как наличие обыкновенной производной в некото-
некоторой точке обеспечивает существование симметрической производной в той
же точке и их равенство, то отсюда, в частности, следует:
Если в некоторой точке х производная F\x) существует и конечна, то
—дх ~~*F' (х) пРи г ->1, т. е. там, где F(x) имеет конечную производную,
продифференцированный ряд Фурье суммируется к этой производной методом
Пуассона.
В § 56 мы, в сущности, уже получили этот результат (только фор-
формулировали его в других терминах). Теперь мы видим, что требование
существования F'(x) можно заменить более слабым — требованием су-
существования симметрической производной. Зато в теореме настоящего
параграфа уже М (г, х0) ->Р A, х0) по радиальному пути, а в § 56 допу-
допускалось М(г, х) ->РA, х0) по любому некасательному пути.
§ 59*). Интеграл Пуассона—Стилтьеса
Будем называть интегралом Пуассона—Стилтьеса выражение
(О — некоторая функция с ограниченным изменением на [—л,
Интегрируя по частям, получим
Если со =h +71, то обынтегрированный член при г -> 1 стремится к нулю. Что
касается интеграла, то по теореме 1 § 56 он должен стремиться к ^"(^о) во
всякой точке со0, где W\co) существует и конечна, если только точка М (reia))
стремится к точке Р (ei(O°) по любому некасательному пути.
В частности,
и (reiw) -> W\co) при г -> 1,
если W(co) существует и конечна.
Отсюда в качестве следствия получаем: ряд Фурье—Стилтьеса сумми-
суммируем методом Абеля—Пуассона почти всюду.
Для дальнейшего нам будет полезно доказать, что если со =h + л и
W(co) = + оо, то мы имеем
и (геш) -> + оо при г->1.
*) Этот параграф в первом чтении можно пропустить.

164 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Чтобы убедиться в этом, в силу того, что уже было сказано об обынтегри-
рованном члене, достаточно доказать, что
-|гР(М-<ч)Л-> + со при г->1.
Это такой же интеграл, как E8.5), поэтому сразу видим, что для любого
д
где !/]]< е, если д фиксировано и г взято достаточно близким к 1. Теперь
представим /2 в виде
Л = - i jW + «) - УН] —^ du -
-V(<»-u)] ^^-d« = /3 + /4. E9.1)
Покажем, что /3->+оои/4->+оо. Доказательство для обоих интег-
интегралов совершенно одинаково. Проведем его для /3.
Так как W(x) = + ©о, мы можем, если А задано, предположить д столь
малым, что
Ф(со + и)-Щсо)>Аи для 0<
Имеем
/ ! ГДУ(д> + ц)-У(ц) Гп ЭР (г, и)
о
но — и ^f^->0 (см. E6.2)), поэтому
и мы видели (см. E8.11)), что
отсюда следует, что при г -> 1 можно сделать /3 > -g-, где А наперед задано,
и доказательство закончено.
Замечание. То, что ряд Фурье—Стилтьеса или ряд, получаю-
получающийся после дифференцирования ряда Фурье от функции с ограниченным
изменением (см. § 23), может не быть рядом Фурье, видно хотя бы из такого
простого примера: ряд
^, sin nx

§ 60 ФЕЙЕРОВСКИЕ И ПУАССОНОВСКИЕ СУММЫ 165
как мы знаем (см. § 41), есть ряд Фурье от функции, монотонной на [0, 2п],
и однако после его дифференцирования получаем ряд
2* cos nx,
который не есть ряд Фурье, поскольку его коэффициенты не стремятся к
нулю.
§ 60. Фейеровские и пуассоновские суммы для различных
классов функций
Мы докажем сейчас ряд теорем, которые показывают, как можно судить
о свойствах функции, изучая последовательность ее фейеровских или пуас-
соновских сумм.
Теорема 1. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от непрерывной функции, необходимо и достаточно, чтобы последова-
последовательность его фейеровских сумм {<тп(х)} сходилась равномерно.
Необходимость условия есть просто теорема Фейера (см. § 47). Для дока-
доказательства его достаточности заметим, что если заданный тригонометрический
ряд есть
00
-у + ^ ап cos nx + bn sin nx,
то
n ( k Л
а потому для k ^ n
F0.2)
Если последовательность ап (х) равномерно сходится, то, полагая /(х) =
= lim ап (х), видим,что / (х) непрерывна. При и -> ©о из равенств F0.2) путем
перехода к пределу получаем
л
\ f(t) cos ktdt (fc = O,l,...),
—л
а это и надо было доказать.
Теорема 2. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от ограниченной функции, необходимо и достаточно, чтобы нашлась
константа К, для которой

166 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Необходимость этого условия была доказана в § 48. Для доказательства
достаточности заметим, что если оно удовлетворено, то
Но в силу равенства Парсеваля из F0.1) получаем
4
-л k==l
Отсюда следует, что если т любое целое, т <^ и, то
Устремляя п -> оо и оставляя т постоянным, заключаем отсюда, что
и так как т любое, то ряд 2 а\ + Ь\ < + °°-
Значит, рассматриваемый тригонометрический ряд есть ряд Фурье от
некоторой функции/(х) ? /А Но так как огп(х)->/(х) почти всюду, то из
\ап (х)\ < ^ следует |/(х)| < К, и теорема доказана.
Теорема 3. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от /(х) ? U (р > 1), необходимо и достаточно, чтобы
(п = 1,2,...), F0.3)
К постоянно.
Для доказательства необходимости заметим, что
я
1 Г
Поэтому, замечая, что — \Kn (и) du = 1 и что Кп (и)^0 и применяя лемму,
—я
доказанную в § 9 Вводного материала, сразу находим
IK(*)lk<!l/(*)IU> F0.4)
и так как правая часть F0.4) не зависит от п, то доказательство закончено.
Для доказательства достаточности рассмотрим функции
Fn{x) = lon{t)dt F0.5)
О
и докажем, что они равномерно абсолютно непрерывны, т. е. для любого е
существует такое 6, что для любой системы неперекрывающихся интервалов
(ah Ь) с суммой 2 (bt — at) < д имеем
SlFnQd-FnMKe. F0.6)

§ 60 ФЕЙЕРОВСКИЕ И ПУАССОНОВСКИЕ СУММЫ 167
Действительно, обозначая через S эту систему интервалов, имеем в
силу F0.3)
если д достаточно мало.
Рассуждая так же, видим, что и полные изменения этих функций огра-
ограничены в совокупности. Поэтому по теореме Хелли (см. Вводный материал,
§ 17) из них можно выделить подпоследовательность Fn;(x), сходящуюся в
каждой точке к некоторой функции F(x); по теореме Хелли она должна иметь
ограниченное изменение, но из равномерной абсолютной непрерывности функ-
функций Fn(x) сразу следует, что она абсолютно непрерывна.
В самом деле, если в формуле F0.6) вместо п написать пу- и перейти к
пределу при / -> ©о, то получим
Покажем теперь, что рассматриваемый ряд есть а (/), где /'(х) = F' (х).
Действительно, имеем
f ап@ cos ktdt = Fn(t) cos ktf+k f Fn (/)sin kt dt =Fn Bm) + к [Fn (t) sin kt dt
0 Ob 0
и
J <rn @ sin ktdt = —k J Fn(t) cos kt dt.
о о
Заставляя n -> oo по последовательности njy для которой Fnj(x) -> F(x),
мы получаем из формул F0.2)
2п 2л
ак = -F{2n)+- [F(t)sinktdt, bk=-- \F(t)cosktdt
71 71 J 71 J
(переход к пределу под знаком интеграла здесь законен в силу теоремы
Лебега (см. Вводный материал, § 14)).
После интегрирования по частям двух последних интегралов заключаем
отсюда
2п 2п
ак = ^J / @ cos kt dt, bk = -i- j / @ sin kt dt,
0 0
а это и надо было доказать.
Остается доказать, что /(х) ? U. Но для этого достаточно заметить, что
ап (х) -> f (x) почти всюду, тогда, пользуясь неравенствами F0.3) и леммой
Фату (см. Вводный материал, § 14), сразу получаем ||/(x)||lp< К.
Следствие. Если /(х) ? Z/, р > 1, то
f\f(x)-*n(x)\Pdx-+O при п->оо. F0.7)
Мы уже знаем (см. F0.4)), что если /(х) ? Lp, то

168 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Пусть е > 0 задано. Можно найти (см. § 28) такой тригонометрический
полином Т(х), что
-Т(х)||г,<е. F0.8)
Следовательно, при любом п
\\<?n(x,f)-T)\\LP<e,
К(х,/)-*„(*, Г) ||i,<e. F0.9)
Но раз Т (х) — тригонометрический полином, то непрерывная функция
°л (х> Т) стремится к Т (х) равномерно, и тем более
К(х,Г)-Т(х)||г,<е F0.10)
как только п станет достаточно большим. Поэтому из F0.8), F0.9) и F0.10)
имеем
если п достаточно велико, и тем самым F0.7) доказано.
Ниже при доказательстве теоремы 4 мы увидим, что это утверждение
остается в силе и при р = 1, т. е., если f(x) ? L, то
Однако теорема 3 справедлива лишь при р > 1. В самом деле, если р — 1,
т. е. если
то мы не можем утверждать, что рассматриваемый ряд есть ряд Фурье (см.
ниже замечание к теореме 5). Случай ряда Фурье рассматривается в следую-
следующей теореме:
Теорема 4. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье, необходимо и достаточно, чтобы
2л
J \ат(х) — tfn(*)|dx-^0 пРи ТП->оа Ц П -> оо .
Мы знаем (см. § 47), что
Поэтому, полагая
имеем
л л л
—л —л
F0.11)

§ 60 ФЕЙЕРОВСКИЕ И ПУАССОНОВСКИЕ СУММЫ 169
Если обозначить через о* (х) фейеровскую сумму для с(Ч*), то
а потому из F0.11)
Но так как W(t) непрерывна и !Р@) = 0, то ог*@)->0 при н->оо и, значит,
Л *л(*)-/(*)!*:->О. (б0Л2)
Отсюда
и необходимость нашего условия доказана.
Для доказательства его достаточности заметим, что из
2я
5\an(x) — <*m(x)\dX->0 При Ш->оо, П -> оо
О
следует существование константы К, для которой
Л*л(*)|Л<К (л = 1,2,...).
о
Полагая, как в теореме 3,
мы, как и там, будем доказывать, что последовательность функций Fn(x)
равномерно абсолютно непрерывна. Здесь, сохраняя обозначения теоре-
теоремы 3, имеем
2 I Fn Фд - Fn (*д К 11 *п (О I dt. F0.13)
S
Но
S
lVn@~ ^@1^ + 11^@1*. F0.14)
Пусть е > 0 задано. В силу условия теоремы можно взять к столь боль-
большим, чтобы
y F0.15)
о
Фиксируем теперь к; тогда, взяв 6 достаточно малым, можем добиться того,
чтобы J \<Tp(t)\ Л<-|-при р<^к, как только mS < д. Но если так, то из
F0.14) и F0.15)
и, следовательно, из F0.13)
2\Fn(bt)-Fn{at)\<e при 2(pt-at)<d.

170 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Теперь, как в теореме 3, мы видим, что из последовательности {Fn(x)}
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой F(x), кото-
которая должна оказаться абсолютно непрерывной и притом рассматриваемый
ряд есть ряд Фурье от Р(х).
Теорема доказана.
Замечание. В процессе доказательства мы установили, что для
любой / (х) € L имеем
f\f(x)-on(x)\dx-+0 при п-^оо. F0.16)
о
Наконец, докажем еще одну теорему.
Теорема 5. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье—Стилтьеса*), необходимо и достаточно, чтобы
Л*„(*)|<*х<К (л = 1,2,...),
—л
где К — постоянное.
Необходимость условия вытекает из того, что для ряда Фурье—Стил-
тьеса имеем
F0.17)
(эта формула выводится так же, как D7.2)). Поэтому
где \dF\ есть не что иное, как dV(f), если под V(t) понимать полное изменение
F(x) на 0 <^ х <^ t. Отсюда, меняя порядок интегрирования, получим
2л 2л 2л
О
2л 2л 2л
АЛ АЛ
7n(x)\dx<\\±$Kn(t~x)\dF(t)\)dx =
где V — полное изменение F(x) на [0, 2л].
Итак, необходимость доказана.
Для доказательства достаточности мы снова вводим в рассмотрение
функции Fn (x), уже рассмотренные в теоремах 3 и 4. Правда, мы уже
не сможем доказать, что они равномерно абсолютно непрерывны, но все
же они имеют равномерно ограниченные изменения, поскольку
Xi
для любого разбиения отрезка [0, 2л] точками xt. Поэтому в силу первой
теоремы Хелли (см. Вводный материал, § 17) существует подпоследователь-
подпоследовательность rij такая, что Fnj{x) -> F(x) для любого х из [0, 2зг], где F(x) имеет
*) См. § 23, п. 9.

§60 ФЕЙЕРОВСКИЕ И ПУАССОНОВСКИЕ СУММЫ 171
ограниченное изменение. Остается доказать, что данный ряд есть ряд Фурье—
Стилтьеса от dF.
Для этого, как при доказательстве теоремы 3, пишем
О
и затем интегрированием по частям получаем
Заставляя п стремиться к бесконечности по подпоследовательности njy нахо-
находим
a* = ^
о
и аналогично для Ьк (переход к пределу был законен в силу второй теоремы
Хелли, § 17 Вводного материала).
Теорема доказана.
Замечание. Мы знаем (см. § 59), что не всякий ряд Фурье—Стил-
Фурье—Стилтьеса есть ряд Фурье. Таким образом, условие
jVn(x)|tf*<K (л =1,2,...)
не является достаточным для того, чтобы ряд был рядом Фурье, и это пока-
показывает, что при р = 1 теорема 3 теряет силу.
Учитывая, что ряд Фурье—Стилтьеса есть результат дифференцирова-
дифференцирования ряда Фурье от функции с ограниченным изменением, мы получаем в
качестве следствия теоремы 5 следующую теорему:
Теорема 6. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от функции с ограниченным изменением, необходимо и достаточно,
чтобы
J (л = 1,2,...).
Все доказанные теоремы относились к рассмотрению фейеровских сумм.
Если вместо них мы рассмотрим пуассоновские суммы, т. е.
/ (г, х) = -^- + J? (an cos пх + Ъп sin nx) гп
и заметим, что
где Р(г, и) — ядро Пуассона, то можно будет доказать совершенно аналогич-
аналогичные теоремы; действительно, при доказательстве мы все время пользовались
выражением ап(х) в виде

172 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
и опирались только на то, что Кп(и)^Ои
Но мы также имеемР(г,и)
Поэтому все рассуждения проходят слово в слово (то что г -> 1 не по после-
последовательности, а пробегая все значения, не играет роли, так как можно было
бы рассматривать последовательность rk -> 1 при к -> сю и рассуждать с
ядрами Р(гк, и)).
Таким образом получаются следующие теоремы.
Теорема Г. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от непрерывной функции, необходимо и достаточно, чтобы его пуассо-
новские суммы f (г, х) стремились равномерно к пределу при г -> 1.
Теорема 2'. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье от ограниченной функции, необходимо и достаточно, чтобы существо-
существовала константа К, для которой
0<г< 1,
|/()|<К ^ '
Теорема 3'. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье для f(x) ? Lp (p > 1), необходимо и достаточно, чтобы
Кроме того, если f(x) ? LP (p > 1), то
\\f(r,x\y<\\f(x)\\LP. F0.18)
Имеем также
J\f(x)-f<r,x)\'dx-+O при г->1, F0.19)
причем это справедливо как при р > 1, так и при р = 1.
Теорема 4'. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье, необходимо и достаточно, чтобы
2п при Г -^ 1
\f(r,x)-f(e,x)\dx->o '
О U Q -> 1 .
Для случая ряда Фурье—Стилтьеса рассуждение несколько сложнее.
Мы не будем его проводить и ограничимся формулировкой теоремы, анало-
аналогичной теореме 5, а именно
Теорема 5'. Для того чтобы тригонометрический ряд был рядом
Фурье—Стилтьеса, необходимо и достаточно, чтобы
Отметим еще, что в главе VIII (§ 14 и § 20) вместо фейеровских или пуас-
соновских сумм ряда Фурье мы будем изучать его частные суммы Sn(x) и для
них рассматривать вопрос о поведении ||Sn||LP и ||/ — Sn\\Lp при р^> 1.

§61 ОБЩИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ТЕОРЕМА ЛУЗИНА-ДАНЖУА 173
§ 61. Общие тригонометрические ряды. Теорема Лузина— Дан ж у а
До сих пор мы изучали ряды Фурье. Теперь мы будем рассматривать
тригонометрические ряды самого общего вида и докажем относительно них
ряд очень простых, но важных теорем. Начнем с рассмотрения вопроса о том,
когда тригонометрический ряд сходится абсолютно на множестве положи-
положительной меры. Здесь имеет место теорема, доказанная одновременно и неза-
независимо Н. Н. Лузиным W и А. Данжуа (см. Denjoy[2]).
Теорема Лузина — Данжуа. Если тригонометрический ряд
^Г + J?an cos nx + Ьп sin nx F1.1)
сходится абсолютно на множестве Еу тЕ > 0, то
Обозначим Qn = Va% + b% (п = 1, 2, ...) и положим
aQ = 0,^- = Q0, an = Qncosan, bn=Qnsinan (л = 1,2,...).
Тогда ряд F1.1) принимает вид
21 е„ cos (лх-aj. F1.2)
Абсолютная сходимость ряда F1.2) на Е означает, что
Qn\ cos (пх — «„)!< + °° для х?Е. F1.3)
0
2
п=0
По теореме Егорова можно найти совершенное множество Р с Е, тР > О,
на котором ряд F1.3) сходится равномерно. Пусть S(x) — его сумма на Р,
тогда в силу равномерной сходимости F1.3)
J<S(x)dx = 2* 0п Л cos (nx - ап) | dx.
Но
JI cos (nx — an) j dx ^> | cos2 (nx — an) dx =
p p
= -i J[l + cos 2(nx - an)] dx = ~mP+ i Jcos 2 (лх - О dx .
p p
Если обозначить через f(x) функцию, равную 1 на Р и нулю вне его, то
J cos 2 (nx — an) dx = J /(x) cos 2 (nx — an) dx =
P -я
= cos 2 an j /(x) cos 2 nx dx + sin 2 an J /(x) sin 2 nx dx, F1.4)
—л —n
а потому
| cos 2 (nx — an) dx -> 0 при n -^ oo ,
так как интегралы в правой части F1.4) отличаются лишь ограниченным
множителем от коэффициентов Фурье для /(х).

174 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Из этого вытекает, что
f | cos (nx — ап) | dx> -т-тР
р
при п достаточно большом, а значит сходимость ряда F1.3) влечет сходимость
ряда 2 Я™ откуда следует и
2\ап\<+оо, ^|йп|<+оо.
Теорема доказана.
§ 62. Теорема Кантора—Лебега
Рассмотрим теперь вопрос о том, что можно сказать о коэффициентах
тригонометрического ряда, если он уже не абсолютно, а просто сходится на
множестве меры больше нуля.
Здесь имеет место
Теорема Кантора — Лебега. Если тригонометрический ряд
сходится на множестве Е, тЕ > 0, то его коэффициенты стремятся к нулю.
В самом деле, если
24 cos (их-О F2.1)
сходится на Е, тЕ > 0, то имеем
lim Qn cos (nx — an) = 0 для х ? E.
Если найдется такая последовательность nv п2, ..., nk, ..,, для которой
Qnk>d>0, F2.2)
то имеем очевидно
lim cos (nk x — аПк) = 0, х ? Е.
Покажем, что этого не может быть. Действительно, тогда и
lim cos2(Hfc x — аПк) = 0, х ? Е.
По теореме Лебега о законности перехода к пределу под знаком интег-
интеграла для случая, когда речь идет о функциях, ограниченных в своей сово-
совокупности, имеем, интегрируя по множеству Е
lim j cos2 (nkx — аПк) = 0.
к~*°° Е
Но так как, рассуждая, как в § 61, мы имеем
г 1
lim cos2 (nkx — аПк) dx = -у тЕ,
Е
а тЕ > 0, то мы приходим к противоречию.
Следовательно, нельзя было предполагать F2.2), поэтому
Нте„ = О> F2.3)
и теорема доказана.
Замечание. Название этой теоремы объясняется тем, что Кантор
доказал ее для случая, когда ряд сходится на некотором отрезке [a, ft], a

§63 ПРИМЕР ВСЮДУ РАСХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА 175
Лебег обобщил на случай любого множества положительной меры. Мы счи-
считаем целесообразным привести здесь отдельно доказательство теоремы Кан-
Кантора, так как оно даже не требует знакомства с интегралом Лебега.
Итак, пусть ряд F2.1) сходится на некотором отрезке [а, ft]. Перепишем
его для удобства в виде
2Qnco$n(x~an). F2 А)
Надо доказать, что Qn ->0. Допустим, что это неверно; тогда найдется такое
Ь > О, что
Qn>* F2.5)
для бесконечного множества значений н.
Обозначим через d длину отрезка [a, ft]. Когда х пробегает [a, ft],
то х— ап пробегает отрезок той же длины d. Взяв такое п1у для которого
nxd > 2тг, мы видим, что cos пг (х — ani) успевает пробежать все свои
значения, пока х пробегает [a, ft], значит, можно найти такой отрезок
[а1} Ьг] внутри [a, ft], где этот косинус ^у. Если при этом п выбрано та-
таким, что для него удовлетворено F2.5), то
Положим йг = bx — av Рассуждая аналогично предыдущему, можем
выбрать н2 так, чтобы для него удовлетворялось F2.5) и чтобы n2d1^>2n>
а тогда в отрезке[а1У Ьг] найдется отрезок [а2, ft2], для которого cos и2(х—аП)^
^>-гг, а потому
t cos п2(х - «n2)>у, а2<х<ft2.
Этот процесс можно продолжить неограниченно, так как чисел п, удо-
удовлетворяющих неравенству F2.5), имеется бесконечное множество. Мы полу-
получаем последовательность отрезков [ак, Ьк], вложенных друг в друга, причем
Qnk cos пк (х — аПк) > у. F2.6)
Существует точка |, принадлежащая всем этим отрезкам одновременно.
В такой точке | неравенство F2.6) выполнено для всех к (к = 1, 2, ...),
а потому
li m Qn cos n (x — an) =f= 0,
а значит ряд 2 Qn cos n(x — an) Должен расходиться в точке |. Между тем
I лежит в отрезке [a, ft], где ряд сходится, и мы пришли к противоречию.
§ 63. Пример всюду расходящегося ряда с коэффициентами,
стремящимися к нулю
Возникает вопрос, должен ли тригонометрический ряд с коэффициен-
коэффициентами, стремящимися к нулю, сходиться на множестве положительной меры.
Этот вопрос был поставлен Фату (Fatou[1J) и первый ответ на него был дан
Н.Н. Лузиным[1]. Именно Н.Н. Лузин построил пример тригонометрического
ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, и расходящегося почти всюду
(подробнее об этом см. §§ 1 и 2 главы VII). Затем Штейнгауз (Steinhaus[1])
дал пример тригонометрического ряда с коэффициентами, стремящимися к
нулю, и расходящегося в каждой точке.

176 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
Мы здесь изложим пример Штеингауза из его более поздней работы
(Steinhaus^J).
Рассмотрим ряд
^ cos к (х — In In к)
1 \
}
Положим lk = [In к], vk = In In к и
« (х\ - Пу cosfe(x-v/Q _ Пу
Л=п+1 Ш К k=n+l
Прежде всего заметим, что
откуда
так как |лп ц| < |ц|. Пусть vn ^ х <; уп+х (п ^ 3); тогда для п + 1
<С п + Zn имеем в силу монотонного возрастания чисел vk:
а потому
!*-
Применяя к разности vn+in — vn = In ln(n + ln) — In In n теорему о среднем
значении, находим
I Г V 1 <-" ln <Г^ ^
1 k ' ^^ п In п ^ п '
а потому для vn < х ^ vn+1
^i |( ^J F3.2)
Правая часть неравенства F3.2) стремится к у при п -> оо; поэтому для
любого г можно найти такое N, что
г + е для n>N. F3.3)
С другой стороны,
поэтому
gn>l-e Для H>N, F3.4)
если N достаточно велико. Если взять е <-g-, то из F3.3) и F3.4)
4~2e>T для vn<^<Vn+i и n>N. F3.5)
Пусть теперь х — любая точка отрезка [0, 2я]. Покажем, что найдется
бесконечное множество таких значений п, для которых gn(x) >-^-.Всамом
деле, если мы отметим на оси абсцисс точки v3, v4, ..., vn, ..., то они стре-

§64 ИЗУЧЕНИЕ СХОДИМОСТИ ОДНОГО КЛАССА ТРИГОНОМ. РЯДОВ 177
мятся монотонно к бесконечности, значит, отрезки [vm vn+1] (п^З) покры-
покрывают всю ось абсцисс.
Следовательно, каждая точка вида х + р • 2л непременно лежит в неко-
некотором интервале вида [vm vn+1]; но gn(x + p • 2л) = gn{x)} а потому в точке
х удовлетворено неравенство F3.5), если п^N.
Но для достаточно больших р неравенство х + р • 2л < vn+1 требует,
чтобы п было достаточно велико, поэтому для бесконечного множества зна-
значений н ;> N действительно будем иметь gn (х) > -j-. Значит, в рассматривае-
рассматриваемом ряде F3.1) имеется бесконечное множество «кусков», у которых сумма
членов имеет величину, превосходящую —, а потому ряд расходится. Раз это
доказано для любого х на [0, 2тг], то ряд расходится в каждой точке.
§ 64. Изучение сходимости одного класса тригонометрических рядов
Фату (Fatou111) доказал целый ряд важных теорем, касающихся рядов,
у которых
ап = о(\) и *„ = *(!). F4.1)
Но оказывается, что многие из этих теорем сохраняют силу, если удовлет-
удовлетворяется менее сильное требование, а именно
т(л)= v/c(KI + IM) = o{n). F4.2)
к1
Ясно, что из F4.1) следует F4.2), но обратное, вообще говоря, не
имеет места.
Тригонометрические ряды, коэффициенты которых удовлетворяют усло-
условию F4.2), обладают целым рядом интересных свойств. Они могут не быть
рядами Фурье (см. глава VI, § 3), но имеет место такая теорема:
Теорема 1. Если ряд
00
-у- + 2 ап c°s пх + Ъп sin nx
п = \
с коэффициентами, удовлетворяющими F4.2), есть ряд Фурье, то он схо-
сходится почти всюду; если он a(f), edef(x) непрерывна, то этот ряд сходится
равномерно,
В самом деле, известно, что если для тригонометрического ряда Sn (x) —
частные, а ап(х) — фейеровские суммы, то
п
]?k(akcoskx + bksinkx) <^
k\ + \bk\) = o(l) F4.3)
в силу F4.2). Поэтому Sn (х) — стп(х) -> 0 равномерно в силу F4.3). Но для
любого ряда Фурье ап(х) ->f(x) почти всюду, поэтому и Sn(x) ->¦ f(x) почти
всюду. Если же / (х) непрерывна, то ап (х) -> / (х) равномерно, а тогда и Sn (x) ->
->/(х) равномерно, и теорема доказана.

178 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ.1
В качестве следствия выведем теорему
Теорема 2 (Фату). Если тригонометрический ряд имеет коэф-
коэффициенты вида
то он сходится почти всюду.
Если он, кроме того, есть ряд Фурье от непрерывной функции, то он
сходится равномерно.
Действительно, прежде всего ясно, что наш ряд есть ряд Фурье, так
как 2J #л + ЬК + оо. Кроме того, как мы уже говорили, из F4.1) следует
F4.3) и, значит, мы находимся в условиях применимости предыдущей
теоремы.
Замечание. Гипотеза относительно непрерывности является допол-
дополнительным требованием, а не вытекает из F4.1). Можно показать, что суще-
существуют функции, у которых коэффициенты Фурье удовлетворяют условию
F4.1) и, однако, они неограничены на любом интервале д, лежащем на
[—л, п] (см. глава VIII, § 13).
§ 65. Лакунарные последовательности и лакунарные ряды
Выведем еще некоторые следствия из теоремы 1 § 64. Для этого напом-
напомним, что в § 4 Вводного материала мы условились называть последователь-
последовательность натуральных чисел {пк} удовлетворяющей условию (L), если
к=\
к=т Пк
Последовательность {пк} была названа лакунарной, если существует такое
А > I, что
^ (/с = 1,2,...)- F5.1)
Наконец, было показано, что всякая лакунарная последовательность удов-
удовлетворяет условию (L).
Теперь введем определение лакунарного ряда.
Определение. Ряд
2 ак cos nkx + bk sin nk x F5.2)
называется лакунарным, если натуральные числа {пк} образуют лакунарную
последовательность (т. е. удовлетворяют условию F5.1)).
Если последовательность {пк} удовлетворяет условию (L), то мы будем
говорить, что ряд F5.2) есть A.)-ряд (таким образом, всякий лакунарный ряд
есть A.)-ряд, но обратное, вообще, не имеет места).
Докажем, что если коэффициенты (^-ряда стремятся к нулю, то он
входит в класс рядов, изученных в § 64. Действительно, функция т(н), опре-
определенная в § 64 (см. F4.2)), в данном случае принимает вид
т(л)= 2 пк(\ак\ + \Ьк\).
Покажем, что х(п) = о(п), тогда мы будем находиться в условиях § 64. Так
как ак -> 0 и fik -> 0, то для любого е > 0 найдется такое р, что \ак\ ^еи

§65 ЛАКУНАРНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ 179
\Ьк\ <^ е при /с^>р. Если пт — наибольшее из чисел последовательности
{пк}у не превосходящее п, то
т р т
*(«) = 2 «ДКЖЫК 2 пк{\ак\ + \Ък\) + 2е 2' Щ. F5.3)
Так как первое слагаемое правой части F5.3) не зависит от п, то можно
взять п0 столь большим, чтобы это слагаемое было меньше еп для п^>я0.
Тогда
-?<* + !*- 2 пк<се (дляп>п0),
Л Aim к=р+1
где с постоянно, потому что для последовательностей {пк}, удовлетворяющих
условию (L), имеем
2 пк = О(пт)
к1
(см. Вводный материал, § 4).
Итак,
а так как г как угодно мало, то
т(п) = о(п)
и наше утверждение доказано.
Из доказанного утверждения и теоремы 1 § 64 сразу получаем
Следствие 1. Если (Ь)-ряд есть ряд Фурье, то он сходится почти
всюду; если он ряд Фурье от непрерывной функции, то сходится равномерно.
Из сделанного выше замечания о том, что всякая лакунарная последова-
последовательность удовлетворяет условию (L) и из следствия 1 получаем теорему
Колмогорова161.
Если лакунарный ряд есть ряд Фурье, то он сходится почти всюду.
Кроме того, из следствия 1 также сразу получаем: если лакунарный ряд
есть ряд Фурье от непрерывной функции, то он сходится равномерно.
В главе XI, § 6 будет доказано более сильное предложение, а именно,
что в указанных условиях ряд должен сходиться и абсолютно.
Укажем еще одну теорему, касающуюся последовательностей, удовлет-
удовлетворяющих условию (L).
Теорема. Пусть {пк} — последовательность, удовлетворяющая усло-
условию (L), и f (x) — функция с интегрируемым квадратом. Тогда
Snjc (х) -> / (х) почти всюду при к -^ оо .
Доказательство. Пусть
-у- + ?ancosnx + bnsmnx
— ряд Фурье от / (х), Sn (x) и ап (х) — его частные и фейеровские суммы. Так
как ап (х) -> / (х) при п -> ©о почти всюду, то достаточно убедиться, что
$пш (х) — <*пк (х) -> 0 почти всюду.
Мы покажем, что
J J
dx < +°° > F5.30

180 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
тогда по теореме Лебега (см. Вводный материал, § 14) будет иметь место схо-
сходимость почти всюду ряда
к=1
а следовательно, и стремление к нулю его общего члена.
Итак, остается доказать сходимость ряда F5.3'). Как известно,
Sn (х) - <уп (х) = -^-j-y J; т (ат cos тх + Ът sin тх).
Поэтому в силу равенства Парсеваля
п
(x)S(x)]Mx 2т^< + *
Оценим сумму первых р членов ряда F5.3'); имеем
п
1 Р С ! Р 1 П~
fr=l _я k==l m=0
< j? ~V J?m2 (a^ + *^) • F5-4)
Для сокращения записи введем обозначение
Имеем
Но последовательность {%} удовлетворяет условию (L), поэтому и {п|}
также (см. Вводный материал, § 4), а потому
2\<С\, F5.6)
где С — постоянное. Но тогда, полагая п0 = 0, находим из F5.5) и F5.6)
2-Т Jl;m<cJ>(Vni_l+1+...+Vni)^.
Наконец, из определения vm ясно, что
У (a*m + b*m) F5.7)
и, следовательно, из F5.5) и F5.7)
nk
2«2 2
при любом р. Отсюда следует сходимость ряда в правой части F5.4), и этим
заканчивается доказательство теоремы.

§ 66 ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ 181
Следствие 2. Из доказанного предложения вытекает теорема Кол-
могорова[6].
Если {пк} есть лакунарная последовательность и f(x) ? L2, то
snk(x)->f(x) почти всюду.
§ 66. Гладкие функции
Для дальнейшего изучения рядов, которые мы уже рассматривали в
§ 64, а также и во многих других вопросах, нам будет полезно ввести понятие
гладкой функции.
Определение. Функция F(x) называется гладкой в точке х, если
^0
Обозначая для краткости
A*hF = F(x + h) + F(x-h)-2F(x),
можем сказать, что гладкость F (х) характеризуется равенством
A\F = o(h).
Если равенство F6.1) выполнено равномерно относительно х на некото-
некотором отрезке [я, Ь], то мы будем говорить, что F (х) равномерно гладкая на этом
отрезке.
Слово «гладкая» было, по-видимому, введено для того, чтобы выразить
такую мысль: если F(x) гладкая в некоторой точке, то эта точка не может
быть угловой. Действительно, если j| F = o(h) в точке х, то
+ F(x-h)-2F(x) F(x + h)-F(x) F(x-h)-F(x) m
= = 0A)
т. е. если существует производная справа в точке х, то в ней должна существо-
существовать и производная слева и они должны быть равны между собой. Мало
того, если в некоторой точке F(x) гладкая, то в этой точке
D+F = D~F = DF и D+F = D-F = DF,
где D+F и D~F означают верхнее правое и верхнее левое производные
числа, DF — верхнюю производную (когда они равны), и аналогично для
левых производных чисел.
Заметим, что если f(x) непрерывна в точке х0) или хотя бы только «сим-
«симметрически непрерывна», т. е.
/(*о + й)-/(*о-й)-*О при й-*0,
то примитивная F(x) от f(x) удовлетворяет условию гладкости в этой
точке, так как
F (х0 + К) + F(x0 - h) - 2F(x0) = f l/(x0 + 0 - /(*о - *)]dt = °W
о
при h -» 0.
Однако гладкие функции, несмотря на свое название, вовсе не должны
иметь почти всюду производную; более того, они могут быть лишены произ-
производной почти всюду, как мы увидим дальше (см. главу XI, § 4). Однако имеет
место теорема.

182 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Теорема 1. Если F (х) —непрерывная и гладкая на некотором интер-
интервале (а, Ь), то она имеет производную F'(x) на множестве Е мощности кон-
континуума в любом интервале (a, Р), лежащем внутри (а, Ь).
Чтобы доказать это, прежде всего заметим, что, если функция F(x) имеет
в некоторой внутренней точке х0 отрезка [а, Ь] максимум или минимум, то
F'(x0) существует и равна нулю. В самом деле, имеем
F(xo + h) + F(xo-h)-2F(xo) _ F(x0 + h) - F(x0) F(x0 - h) - F(x0) ,fifi 9,
h ~ /Г h h ^DD'Z'
Но в точке максимума (или минимума) оба члена правой части F6.2) не поло-
положительны при h > 0 достаточно малом (соответственно неотрицательны).
Поэтому из стремления к нулю их суммы следует, что каждый из них стре-
стремится к нулю, а тогда F'(x0) существует и равна нулю.
Пусть теперь [a, р] — любой отрезок внутри {а, Ь), и L(x) = тх+ п —
линейная функция, совпадающая с F(x) для х = а и х = (J. Разность g(x) =
= F(x)— L(x) есть гладкая функция, обращающаяся в нуль в концах а и р.
Значит, g(x) имеет абсолютный максимум или минимум в некоторой точке х0
внутри (а, Р). Поэтому g'(xo) = O, значит, F'(х0) существует и равна т.
Отсюда, в частности, вытекает, что для непрерывных и гладких функций
справедлива теорема Лагранжа о конечном приращении, т. е.
Мы убедились, что в любом [а, Р] внутри (а, Ь) есть точки, где F'(х)
существует. Но можно показать и больше, именно, что множество этих точек
имеет мощность континуума. Действительно, пусть у таково, что а < у < р.
Найдется точка х0 в (а, у), где F' (х0) существует и равна тангенсу угла накло-
наклона хорды соединяющей точки (a, F(a)) и (у, F(y)). Если наклоны, отвечаю-
отвечающие разным уу различны, то и соответствующие точки х0 различны. Но если
кривая у = F(x) не является прямолинейным отрезком на (а, C) (а в этом
случае теорема уже доказана), то тогда величины тангенсов этих наклонов
образуют интервал, т. е. их множество имеет мощность континуума, а потому
и точек дифференцируемости F(x) имеется множество мощности континуума
во всяком интервале. Теорема доказана.
Для дальнейшего введем такое определение.
Определение. Будем говорить, что функция](х) обладает свой-
свойством D на некотором множестве Е, если для любых двух а ? Е и р ? Е
и для любого числа С, заключенного между /(а) и f(P), найдется такая точка
у ? Е, лежащая между а и р, что f(y) = С.
Буква D происходит от имени Дарбу, так как он отметил, что этим свой-
свойством обладают не только функции, непрерывные на некотором отрезке, но
и некоторые разрывные; в частности, если/(х) есть точная производная,
т. е. если существует такая F(x), что f(x) = F' (х) в каждой точке некоторого
отрезка, то она обладает свойством D на этом отрезке.
Докажем теорему.
Теорема 2. Если F(x) — непрерывная и гладкая на некотором интер-
интервале (а, &), то ее производная F' (х) обладает свойством D на множестве Е тех
точек,, где она существует.
Это множество ?, как мы видим, по теореме 1, не только не пусто, но
имеет мощность континуума в каждом отрезке [а, р] внутри (а, Ь).
Пусть а?Е, р?Е
A = F'(a), B = F'(P)
и пусть С заключено между Аи В; например, для определенности, А < С <
< В. Мы должны доказать существование такого х0, а<хо</?, хо? Е,

§ 66 ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ 183
что F' (х0) = С. Если вычесть Сх из F(x), то можно принять С = 0, а тогда
А < 0 < В.
Положим при фиксированном ft
, ч F (х + h) - F (x)
g (X) = ft •
Выберем ft так, чтобы О < ft < & — j8 и, кроме того, предположим его доста
точно малым для того, чтобы
Так как g(x) непрерывна на [а, /?], то на этом отрезке [а, /?] есть точки, где
она обращается в нуль. Пусть у — самая левая из таких точек. Из
следует F{у + ft) = F(y). Если х0 есть точка на (у, у + ft), где F(x) дости-
достигает максимума или минимума, то F' (х0) = 0 = С. Но так как
g(a)<0 и
в силу сделанного выбора ft, то
a
и, значит, (у, у + h) лежит внутри [а, /?], поэтому и х0 внутри [а, /?], Кроме
того, раз F' (х0) существует, то х0 б Е. Итак, мы нашли точку х0 ? ?, где
F'(x0) = С, и доказательство закончено.
Приложим полученные результаты к изучению поведения суммы три-
тригонометрического ряда, рассмотренного в § 64. Прежде всего докажем такую
теорему:
Теорема 3. Если коэффициенты ряда
-у- + 2 ап cos nx + bn sin nx (бб.З)
удовлетворяют условию
r(n) = 2k(\ak\ + \bk\) = o(n), F6.4)
то сумма обынтегрированного ряда
/?(*) - § х + С - 2 bnC0Snx-anSinnx F6.5)
л = 1
есть функция непрерывная и равномерно гладкая на [0, 2л]. Ряд F6.3) схо-
сходится в тех и только тех точках, где F'(x) существует и притом, если
N = Гу], /ля имеет место равенство
__ j-^ + j^ fl^ cos /ex + &fe sin /ex] -» 0 при ft~>0 F6.6)
Fix + h)-F (x -
j^ j^
равномерно относительно х на [0, 2тг].
Для того чтобы иметь право говорить о сумме обынтегрированного ряда,
надо убедиться, что он сходится. Но поскольку

184 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
то ряд F6.5) мажорируется рядом
/с — 1 К — 1 К — 1
(мы здесь применили преобразование Абеля). Отсюда ясно, что ряд F6.5)
сходится абсолютно и равномерно. Пусть F(x) — его сумма, следовательно,
она непрерывна на [0, 2тг].
Теперь для доказательства теоремы положим
Ак = ак cos кх + Ък sin кх, Вк = Ък cos кх — ак sin kx .
Тогда
F(x + h)-F(x-h) _ е (х\ __ у л [*™kh \\ л. У A slnkh - Р 4- О
Так как в окрестности точки и = 0 имеем
sin
и
то
N
= О(и*)<С\и\,
и таким образом F6.6) действительно выполнено и притом равномерно отно-
относительно х на [0, 2тг].
Аналогично имеем
-2h)-2F(x) ^o sin2 А-Л
= ^2 &к - ~~
Ah kZ\ k kh
N
sin2 kh
Так как |sin u\ <^ \u\9 то
к
как мы уже видели при оценке Q; поэтому
т. е. F(x) равномерно гладкая на [0, 2тг].
Наконец, из F6.6) ясно, что ряд F6.3) сходится в тех и только в тех точ-
точках, где существует симметрическая производная от F (х), т. е.
У F(x+h)-F(x-h)
Oh
и сумма S(x) этого ряда равна этой симметрической производной.

§ 67 ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ШВАРЦА 185
Но так как для гладких функций, где есть симметрическая произ-
производная, там есть и обычная, то и последнее утверждение теоремы до-
доказано.
Замечание. Доказанная теорема справедлива для лакунарных
рядов с коэффициентами, стремящимися к нулю, так как для них выполня-
выполняется условие теоремы 3 (см. § 65).
Следствие 1. Если для тригонометрического ряда выполнено усло-
условие теоремы 3, то ряд сходится на множестве мощности континуума во
всяком интервале (а, Ь) ? [0, 2п] и его сумма S(x) обладает свойством D на
множестве тех точек, где она существует.
В частности, этим свойством обладает всякий лакунарный ряд, если
только его коэффициенты стремятся к нулю.
Действительно, в силу теоремы 3 S (х) существует там и только там, где
существует F' (х) для гладкой функции F (х), определяемой равенством F6.5)
и притом S(x) = F' (х); остается сослаться на теорему 2 и доказательство
закончено.
Следствие 2. Если коэффициенты тригонометрического ряда
удовлетворяют условию теоремы 3, то его сумма не может иметь точек
разрыва 1-го рода.
Действительно, в окрестности точки разрыва не было бы выполнено
свойство D.
Для случая, когда коэффициенты удовлетворяют более сильному тре-
требованию
(±) [±) F6.7)
аналогичный результат нами был уже получен (см. § 42).
Замечание 1. Из теоремы 3 можно получить новое доказательство
теоремы Фату (см. § 64) о том, что ряд с коэффициентами, удовлетворяющими
F6.7), сходится почти всюду. Действительно, так как из F6.7) следует
1' ап + ЬпК + °°, то ряд F(х) есть ряд Фурье. Поэтому сумма F (х)обын-
тегрированного ряда есть абсолютно непрерывная функция (см. § 40) и, сле-
следовательно, F'(x) почти всюду существует. А тогда в силу теоремы 3 ряд
F6.3) сходится почти всюду.
Замечание 2. Если выполнено только условие F6.4), но не выпол-
выполнено условие F6.7), то ряд F6.3) может даже почти всюду расходиться. При-
Примеры этого рода мы встретим в § 3 главы XI.
§ 67. Вторая производная Шварца
Изученное нами в § 66 понятие гладкой функции будет играть большую
роль в дальнейшем: но прежде чем переходить к его приложениям, нам надо
ввести еще одно новое понятие.
Определение. Пусть функция F(x) определена в некоторой окрест-
окрестности точки х; если существует предел отношения
F(x + h)+F(x-h)-2F(x) ,fi? n
при h -> 0, то говорят, что F (x) имеет в точке х вторую производную Шварца
и пишут
D2F(X) = lim F(x + n)+F(x-h)-2F(X)
h0 "

186 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Если отношение F7.1) не стремится к пределу при h ->0, то числа
называют соответственно верхней и нижней производной Шварца в точке х.
Покажем, что если F (х) имеет обыкновенную вторую производную
F" (х) в точке х, то D2 F (х) существует и
D2F(x) = F"(x). F7.3)
Действительно, если F"(x) существует в точке х, то F' (х) непрерывна в
точке х и потому F' (и) ограничена в окрестности точки х. Ясно, что
Л\ F = F (х + К) + F (х - Л)- 2F (х) = J [F'(x + 0 - F'(x - t)] dt. F7.4)
о
Отсюда
* F
- Р»(Х) | = | J 2J. [^
2t v
*€@,Л)
т. е. F7.3) доказано.
С другой стороны ясно, 4ToD2F(x) может существовать без того, что-
чтобы F"(x)существовала; например, если F(x) — непрерывная нечетная функ-
функция, то в точке х = О имеем
для всех Л, значит, и D2F = 0 при х = 0, тогда как F" @) может и не существо-
существовать, если мы требуем от F(x) только непрерывности и нечетности.
Итак, вторая производная Шварца является прямым обобщением обыч-
обычной второй производной.
Заметим теперь, что, как и в случае обычной второй производной, имеем:
если х есть точка максимума и в ней D2 F(x) существует, то D2 F(x) <I О,
а в точке минимума D2F(x)^0. Это непосредственно следует из того,
что A\F (x) <; 0при достаточно малом h в точке максимума и A\F(x) ^> 0 в
точке минимума.
Аналогия идет еще дальше. Именно имеет место теорема.
Теорема. Если F (х) непрерывна на [a,b]u D2F(x) = 0 на а < х < Ь,
то F (х) линейна на этом отрезке.
Чтобы доказать это, возьмем любое в >0 и рассмотрим вспомогательную
функцию
Ясно, что <р(а) = <р ф) = 0. Покажем, что она не может принимать положи-
положительных значений на [а, Ь]. Действительно, если бы это было неверно, то в
силу непрерывности <р(х) она достигала бы своего максимума где-то внутри
[а, Ь], т. е. нашлась бы такая точка х0 внутри этого отрезка, где заведомо
имели бы D29?(x0)<;0. Но, с другой стороны,

§68 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ РИМАНА 187
так как вторая производная Шварца от суммы равна сумме вторых производ-
производных Шварца, а у слагаемого е(х— а) (х— Ь) есть обычная вторая производ-
производная, равная 2е, значит, и вторая производная Шварца имеет ту же величину.
Но D2 9? (х0) <^ 0, D2F(x0) = О, и мы получаем в<^0, что противоречит
выбору г.
Итак, ср (x)< 0 всюду на [ау Ь\ т. е.
F(x)-F(a) - F{p)bZFa(a\x ~ <0<?(* -a){b- x)<e(ft - аJ.
Если бы в выражении для ср (х) мы взяли перед е знак —, мы бы дока-
доказали совершенно так же, что ср (х) ^> 0 всюду, т. е.
F(x)-F(a)
Поэтому
F (x)~F (а) - ^^р^ (х - а) | < е (b ~ а)*. F7.5)
Но ? совершенно произвольно, поэтому левая часть неравенства F7.5) должна
быть равна нулю, откуда
^
а это и значит, что F (х) линейна. Теорема доказана.
Мы теперь применим понятие второй производной Шварца к одному
методу суммирования тригонометрических рядов.
§ 68. Метод суммирования Римана
Рассмотрим тригонометрический ряд
00
~Y + 2 ап cos nx + bn sin nx, F8.1)
коэффициенты которого стремятся к нулю (или хотя бы только ограничены).
Тогда, интегрируя его почленно два раза, получим
а° 2 _i_ г _i_ Г) ^у* an cos пх + Ьп sin nx
Ясно, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно (в силу ограниченности
ап и Ьп); обозначим через F(x) его сумму. Это непрерывная функция, которую
мы будем называть функцией Римана для тригонометрического ряда F8.1).
Итак,
г-/ ч а0 2 , п , п ^г» ап cos nx + Ьп sin nx ,AQ оч
r Vх/ ~~ ~ x \ ^x \ u ~~ л& ^2 • VDO- *•)
Допустим, что в некоторой точке х0 функция F(x) имеет Шварцеву произ-
производную D2F (x0). Тогда мы условимся говорить, что ряд F8.1) суммируется
в точке х0 методом Римана и его римановская сумма равна D2F(x0).
Для того чтобы оправдать это определение, мы докажем теорему Римана:
Теорема 1. Если тригонометрический ряд с коэффициентами, стре-
стремящимися к нулю, сходится в точке х0 к числу S, то он суммируется в этой
точке методом Римана к тому лее числу S.

188
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ
ГЛ. I
Для доказательства мы прежде всего заметим, что из формулы F8.2)
после элементарных тригонометрических преобразований сразу следует
^
Положим для краткости
F8.3)
,Ап = ап cos nx0 + Ьп sin лх0.
Из формулы F8.3) непосредственно видно, что для суммируемости ряда F8.1)
методом Римана в точке х0 к числу S необходимо и достаточно, чтобы
Таким образом, теорема 1 будет доказана, как только мы докажем
теорему 2:
00
Теорема 2. Пусть ряд Ао + 2 Ап сходится и S —его сумма;
тогда
ki(^fJl S. F8.4)
Переходим к доказательству этого последнего утверждения. Положим
Из сходимости ряда 2 Ап следует, что для любого е > 0 можно найти такое
N, что
\Rn\<e при n>N. F8.5)
Напишем теперь
л
Если п
Кроме
в силу
n nh ^2
пп )
фиксировано, а Л -
А> + 2Ап(
того,
F8.5), а потому из
Л+
= л +
.л то s"
sinn/zV
л/z J
N
F8.7) и
N
2
1 ПЛ
nh
м-
— 1,
-(Ао +
= 1 /
F8.8)
in/7
nh
-Г-
IftL
а потому
А1 + ...-
<в
-S
<2s
¦^ . f-sinn/na
N+1  1» J
при достаточно
hAN)\<s.
. F8.6)
малом /i
F8.7)
F8.8)
F8.9)
как только h станет достаточно малым.

J68
МЕТОД СУММИРОВАНИЯ РИМАНА
189
Таким образом для доказательства F.8.4) достаточно убедиться, что и
последнее слагаемое в правой части формулы F8.6) может быть сделано как
угодно малым при h -> 0. Но мы имеем Ап = Rn^ — Rn, значит,
N+l
(употребленное здесь преобразование Абеля законно, так как при п -> оо и
h любом Rn
. Но в силу F8.5) из F8.10) получаем
sin/7/42
s'mnhY
nh
(N+\)h
и остается доказать, что последний интеграл конечен, тогда вся правая
часть F8.11) меньше Се, где С постоянно, и так как это верно при любом /z,
то верно и при h -> 0. Так как
d
~dt
( sinn2 _ r> sin
\~Т~) ~ t
sin / t cos f — sin t
t2
то в окрестности / = 0 подынтегральная функция ограничена, кроме того,
при / -> оо имеем
d (sintY
а потому интеграл в формуле F8.11) действительно имеет смысл и доказа-
доказательство закончено.
Замечание. При доказательстве теоремы 2 мы рассматривали ряд
2 Ап как числовой ряд, не интересуясь тем, как он получился из заданного
00
тригонометрического. Можно вообще говорить, что числовой ряд 2 ип СУМ~
л=0
жируем методом Римана к числу S, если
В таком случае теорема 2 есть утверждение, что метод Римана регулярен.
Теперь условимся говорить, что функциональный ряд 2 ип(х) сумми-
суммируется методом Римана равномерно к S(x) на множестве Е, если
lim [ио(х)
S(x)
равномерно относительно х на Е.

190 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
Из доказательства теоремы 2 сразу видно, что равномерная сходимость
2 ип(х) на Е к S(x) влечет его равномерную суммируемость методом Римана
к S(x) на Е.
Это замечание будет существенно использовано в § 71.
Вернемся теперь к изучению функции Римана F(x) и докажем еще
одну теорему Римана.
Теорема 3. Если коэффициенты тригонометрического ряда стре-
стремятся к нулю, то его функция Римана является равномерно гладкой на
[—л:, п].
Эта теорема является немедленным следствием результатов § 66. Действи-
Действительно, если мы проинтегрируем ряд
-у- + 2 ап cos пх + Ъп sin пх, F8.12)
где ап -> 0, Ъп -> 0, то получим ряд с коэффициентами порядка о (— )
ао „ | п ^ bncos пх—апsin пх /ао 1ОЧ
~2~X -\- С — 2d • {bo.lo)
Интегрируя ряд F8.13), получим по теореме § 66 такой ряд, сумма которого
должна быть равномерно гладкой. Но эта сумма F(x) есть сумма ряда, полу-
получающегося от двукратного интегрирования F8.12), а потому это и есть функ-
функция Римана для ряда F8.12), и теорема доказана.
Этой теоремой мы воспользуемся в § 70, а пока рассмотрим применение
метода Римана к рядам Фурье.
§ 69. Приложение метода суммирования Римана к рядам Фурье
Метод Римана, как и методы Фейера и Абеля—Пуассона, в приложении
к рядам Фурье дает следующий результат:
Теорема. Ряд Фурье от любой суммируемой функции f(x) сумми-
суммируется методом Римана почти всюду к этой функции.
Действительно, пусть
/ (х) ~ -тг + J^ an cos пх + bnsinnx. F9.1)
Имеем ап ->0 и Ъп ->0, так как это коэффициенты Фурье. По теореме § 40
ряд Фурье можно почленно интегрировать; иначе говоря, если
F(x)=]f(t)dt,
то
n=\
причем в силу абсолютной непрерывности F (х) ряд F9.2) всюду сходится
к ней и даже равномерно на [—п, тс]. Далее, если Ф(х) — неопределенный
интеграл от F (х), то
л=1
и, следовательно, функция Римана Ф(х) для ряда F9.1) есть результат дву-
двукратного интегрирования/^). Но так KaKF(x) непрерывна, то Ф' (х) = F (х)

§ 70 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ КАНТОРА 191
в каждой точке; далее F' (х) = /(х)почти всюду, таким образом Ф" (х) = f(x)
почти всюду, но так как D2 Ф (х) = Ф" (х) там, где Ф" (х) существует (§ 67),
то О2Ф(х) = / (х) почти всюду, а потому ряд F9.1) суммируется почти всюду
к f(x) методом Римана.
Теорема доказана.
Теперь мы начнем прилагать метод Римана уже к общим тригонометри-
тригонометрическим рядам, и, в частности, к очень важному вопросу о единственности
разложения функции в тригонометрический ряд.
§ 70. Теорема единственности Кантора
Пользуясь методом суммирования Римана, мы можем решить следующий
важный вопрос: может ли существовать два различных тригонометрических
ряда, сходящихся в каждой точке к одной и той же функции / (х)? Ответ на
этот вопрос является отрицательным. Чтобы убедиться в этом, докажем
следующую важную теорему:
Теорема Кантора*). Если тригонометрический ряд
-у- + 2Xcoshx + bnsmnx G0.1)
сходится к нулю в каждой точке х на [0, 2л]у то все его коэффициенты
равны нулю.
По теореме Кантора коэффициенты ряда G0.1) стремятся к нулю (здесь
можно опираться даже не на теорему Кантора—Лебега, а на теорему самого
Кантора — см. § 62, замечание). Строим функцию Римана F (х) для ряда
G0.1), она непрерывна на всей бесконечной прямой. По теореме § 68 ряд
G0.1) должен суммироваться к нулю в каждой точке, т. е.
D*F(X) = O -7Г
Тогда по теореме § 67 имеем
F (Х) = Ах + В. G0.2)
Но, с другой стороны, раз F(x) есть функция Римана для ряда G0.1), то
F(x) = ^X2 + CX + D- ^ancosnx + bnsinnx^ (m3)
л = 1
Из G0.2) и G0.3) получаем
^-X* + A1x + B1 = 2anCOanx + bnSinnx, G0.4)
Л=1
где Аг и Вг — новые константы. Но правая часть G0.4) имеет период 2я,
значит и левая тоже, а это возможно только при
ао = О и Аг = 0. G0.5)
Теперь имеем
В — v пп cos пх + Ьп sin пх ПС) К\
л=1
Ряд G0.6) сходится равномерно; поэтому (см. § 12) его коэффициенты явля-
*) Cantor [и.

192 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
ются коэффициентами Фурье от его суммы, но она есть постоянное число Въ
а потому
-^ = 7^ = ° (п=1,2,...),
откуда
ап = Ьп = О (л =1,2,...). G0.7)
Из G0.5) и G0.7) следует, что ряд G0.6) имеет все коэффициенты равными
нулю и таким образом теорема Кантора доказана. Он сразу же обобщил эту
теорему, доказав следующее предложение:
Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, кроме, быть
может, конечного числа точек, то все его коэффициенты равны нулю.
В самом деле, рассуждая, как при доказательстве предыдущей теоремы,
мы видим, что рассматриваемый ряд имеет коэффициенты, стремящиеся к
нулю, и его функция Римана F(x) должна быть линейной на каждом интер-
интервале, где ряд сходится к нулю, так как там D2F(x)e==0. Но F(x) должна быть
гладкой в силу теоремы 3 § 68. Поэтому она не может иметь угловых точек.
Следовательно, она не может состоять из различных прямолинейных отрезков,
а должна быть просто линейной. А если так,то доказательство заканчивается,
как в предыдущей теореме, т. е. доказываем, что все коэффициенты ряда
равны нулю.
Замечание. Теорему Кантора можно высказать в следующей более
общей форме: если тригонометрический ряд с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю, суммируется к нулю методом Римана всюду, кроме, быть
может, конечного числа точек, то все его коэффициенты равны нулю.
Действительно, при доказательстве теоремы мы опирались только на то,
что коэффициенты ряда стремятся к нулю и D2F(x) = 0 всюду, кроме, быть
может, конечного числа точек.
Следствие. Пусть f (x) — функция с периодом 2л конечная в каждой
точке [0, 2л]. Тогда не существует двух различных тригонометрических
рядов, каждый из которых сходится к{(х) всюду на [0, 2п\ кроме, быть
может, конечного числа точек.
Действительно, допустим, что существовали бы два таких тригонометри-
тригонометрических ряда; тогда их разность есть ряд
"Т" + 2а*cos пх +6"sin пх >
п = \
у которого не все коэффициенты равны нулю, и, однако, он сходится к
нулю всюду, кроме, быть может, конечного числа точек. Но мы уже ви-
видели, что это невозможно.
Здесь, конечно, то же требование сходимости можно заменить на сумми-
суммируемость методом Римана (но при этом заранее потребовать, чтобы коэффи-
коэффициенты стремились к нулю).
Теорема о единственности разложения функции в тригонометрический
ряд допускает значительные обобщения. Мы посвятим этому вопросу главу
XIV, здесь же ограничимся формулировкой наиболее важных результатов.
Для этого введем определение.
Определение. Множество Е, лежащее на [—л, л], назовем М-мно-
жеством, если существует тригонометрический ряд
-^г + 2 пп cos nx + bn SLtl пх'
у которого не все коэффициенты равны нулю, сходящийся к нулю всюду на
[—л, л] вне множества Е.

§ 71 ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА 193
Если множество Е не есть М-множество, то мы будем его называть
U-множеством *).
Приняв это определение, мы можем теперь две предыдущие теоремы
сформулировать так: если Е есть пустое или конечное множество, то оно
U-множество.
Сам Кантор доказал еще, что всякое приводимое множество (т. е. такое,
у которого производное множество является конечным или счетным) есть
опять [/-множество. Впоследствии Юнг (YoungW) доказал, что любое
счетное множество есть [/-множество (см. § 5 главы XIV).
Напротив, легко доказать, что любое множество Е, тЕ > 0, есть
М-множество. В самом деле, возьмем совершенное множество Р ? Е, /лР>0,
и положим /(х) = 1 на Р и f(x) = О вне Р. В силу принципа локализации
(см. § 33) ряд а (/) сходится к нулю на каждом смежном к Р интервале, а
поэтому и всюду вне Е. Таким образом, существует тригонометрический ряд,
сходящийся к нулю всюду вне Р, но с отличными от нуля коэффициентами
(например
2п
Следовательно, Е есть М-множество.
В течение долгого времени существовала гипотеза, что, напротив, любое
множество меры нуль (а не только конечные и счетные) должно быть [/-мно-
[/-множеством. Эта гипотеза была опровергнута Д. Е.МеньшовымШ, построившим
первый пример совершенного М-множества меры нуль (см. доказательство
в § 12 главы XIV).
§ 71. Принцип локализации Римана для общих
тригонометрических рядов
Введенная в рассмотрение Риманом функция F(x) играет важную роль
не только в вопросе о единственности разложения функции в тригонометри-
тригонометрический ряд, но и при изучении вопроса о его сходимости или расходимости.
Напомним, что для рядов Фурье была доказана следующая теорема
(см. § 33): сходимость или расходимость ряда o(f) в точке х зависит только
от поведения функции f(x) в окрестности точки х.
Допустим теперь, что рассматривается уже не ряд Фурье, а произволь-
произвольный тригонометрический ряд. Оказывается, что тогда можно судить о его
сходимости, изучая функцию Римана. Именно имеет место теорема, которую
по аналогии с предыдущим, можно высказать в такой форме:
Для любого тригонометрического ряда с коэффициентами, стремящи-
стремящимися к нулю, сходимость или расходимость ряда в некоторой точке х зависит
только от поведения Римановой функции F(x) в окрестности точки х.
Эта несколько расплывчатая формулировка будет далее уточнена (см.
стр. 198). Риман доказал это утверждение так: он строил функцию Цх),
равную единице на [а, /3], равную нулю вне (а, Ь) и имеющую на [0, 2тс] не-
непрерывные производные до 4-го порядка включительно. После этого он до-
доказывал, что разность
-°t + J?(akcoskx + bksmkx)-± ^F(t)X(t)^Dn{t-x)dt G1.1)
*) Из определения сразу вытекает, что всякая часть (/-множества есть (/-множество:
напротив, множество, содержащее М-множество, есть само М-множество.

194 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
стремится к нулю равномерно на [а, ^] и отсюда уже приходил к нужному
заключению.
В настоящее время идея введения функции Я (х) полностью сохраняется,
но доказательство теоремы Римана обычно проводят, пользуясь теорией
формального умножения рядов *); кстати, эта теория дает и многие другие
полезные результаты, в чем мы убедимся в главе XIV.
Итак, сначала введем понятие формального произведения двух тригоно-
тригонометрических рядов. Для удобства изложения будем записывать тригономет-
тригонометрический ряд в комплексной форме
Рассмотрим два тригонометрических ряда
П=2т спе™ G1.2)
Л=— оо
И
lj[ Упе(пх- G1.3)
Условимся называть их формальным произведением ряд
""i "/<„<?**, G1.4)
П= — оо
где
Р=?р G1.5)
в предположении, что все ряды G1.5), определяющие Кп, сходятся (л = О,.
±1, ±2,...)-
Во всем дальнейшем нас будет интересовать тот случай, когда
2\ Уп\ < + °°- При этих условиях ряд G1.3) сходится абсолютно и равно-
равномерно на [—л, тг] и является рядом Фурье от некоторой функции Я(х). Что
касается ряда G1.2), то он будет любым**), лишь бы
сп->0 при н->±°о.
Докажем следующие две леммы Райхмана:
Лемма 1. Если сп -> О при п -> ± оо и если ряд 2 1 Уп\ сходится, та
все Кп, определяемые формулой G1.5), имеют смысл и Кп->0 при п -> + оо.
*) Эта теория была создана Райхманом (см. Raichmanfil, см. также Zygmund )
**) Полезно здесь же отметить, что если ряд G1.2) является рядои Фурье от некоторой
функции / (х), то формальное произведение превращается в ряд Фурье от/(х) А(х). Дейст-
Действительно, если обозначить через Кп коэффициенты Фурье от / (х) А (х), то
Л 31
If • If
2л J 2n J
= 2 Уя ~o— / W e~i{n~q)t dt = 2 Сп~я Уд ^ 2 cp У"~р •
q=— со J ^r=—oo p=— аэ
Здесь почленное интегрирование было законно, так как мы предположили Е\уп\ < 4-с
а потому ряд а (Л) равномерно сходится.

§ 71 ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА 195
В самом деле, если М = max |cn|, то при п -> + оо
И
Кп |< М 2 I 7п-Р I + max \ср\ 2 \ Уп-Р \ <
I п j
_ ,/я\ + max|cp| 2 \yq\->0 ПРИ п-^+оо
Р>Ы
и аналогично проводится доказательство для п -> — со. Лемма 1 доказана.
Условимся говорить, что ряд G1.3) быстро сходится к S, если он схо-
сходится к S и если сходится ряд
где
Так, например, если коэффициенты ряда G1.3) имеют порядок О (—J >
то Гп = О (—Л и, следовательно, рядG1.3) быстро сходится. Впоследствии мы
будем часто брать в качестве ряда G1.3) ряд а (Я), гдеЯ(х) — функция, имею-
имеющая три непрерывных производных. Тогда коэффициенты ряда а (Я) будут
иметь порядок О [--А (см. § 24) и о (Я) будет быстро сходиться к Я (х).
Переходим к доказательству следующей леммы.
Лемма 2. Если сп -> 0 при п -> + оо и ряд G1.3) быстро сходится к
нулю на некотором множестве Еу то формальное произведение G1.4) сходится
к нулю равномерно на множестве Е.
В самом деле, пусть х0 $ Е и
п=к
Имеем для к > О
I Я-кЫ \ = \2?п *iM* \ = \~2Vn einx° I = I Rk+гЫ I < A+i G1.6)
-к (/1)
и, значит, ряд
сходится равномерно для х $ E.
Тогда
п=+т
п=—т
/3=+ со
' 2 ср1
р=-со
Р=+со
(пхо п-+т
п=—т
п=+т
?¦>• 2 Уп-
п=—т
т — р
q2 cpelr*.R-m-p(x0) -2\
p = —ao q——m — p p=:--o> p= — oo
Поэтому
i Qm(x0) \<~2r\cp\\ R-m-P(x0) I + P~2 "l cp 11 Rm-nW I,

196 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
и принимая во внимание неравенства G1.6), мы теми же рассуждениями, как
в лемме 1, убеждаемся, что Qm(x0) -> 0 при т -> оо и притом равномерно для
х0 ? ?, так как оценка Rk (х0) через Гк или Гк+1 справедлива для всех х?Е.
Из этих двух лемм можно вывести теорему:
Теорема 1. Если ряд G1.3) быстро сходится к некоторой функции
Я (х), а сп -> 0, то ряд
""JT [К„-А(х)сл]е"« =ПЯ2~Кпе""-ЦхГ2т спе*«* G1.7)
Л = — оо Л= — со Л=— оо
сходится к нулю равномерно на [—я, л].
Чтобы убедиться в этом, положим
Го = Го ™ * (*),
Л/* = Гп Для я^О
и составим формальное произведение ? K*neinx рядов 2/ спе'пх и Jj у*е/пх.
Правда, у последнего ряда y*Q не есть постоянная величина, но нетрудно
убедиться, что доказательство леммы 2 не изменилось бы, если бы предполо-
предположить у0 ограниченной функцией от х, что имеет место в нашем случае. По-
Поэтому мы можем применить лемму 2, так как ряд 2 7neinx быстро сходится к
нулю на [—я, л] и мы найдем, что 2 K*neinx быстро сходится к нулю равно-
равномерно на [—лу л]. Но
К* - Р~2Г ср у*_р = сп [Уо - Я (х)] + X сР Уп-р = К„ - А (х) сп,
а поэтому
2К*Ц
сходится к нулю равномерно на [—тг, я], и теорема 1 доказана.
Соединяя лемму 2 и только что доказанную теорему 1, мы можем выска-
высказать такое предложение, которым часто будем пользоваться в дальнейшем.
Следствие 1. Пусть Я (х) — функция, у которой ряд Фурье быстро
сходится и ? cneinx — ряд с коэффициентами сп ->0 при п -> + оо. Тогда
формальное произведение ряда 2J cneinx и ряда Фурье для Я (х) сходится к нулю
всюду, где Я(х) = 0 (далее если ряд 2 cneinx расходится). В тех же точках,
где Я (х) -h 0, оно расходится, если расходится ряд 2 cneinx и сходится к
Я (х0) S (х0), если 2 cneinx сходится к S (х0).
Замечание 1. Отметим, что это утверждение можно усилить.
Именно, если предположить Я(х)^О в некоторой точке, .то
lim Qn (х0) = Я (х0) lim Sn (x0) ,
при Я (х0) > О
limQn (зсц) = Я (xo)ihnSn (x0)
lim Qn (x0) = Я(xo)limSn(x0),
при Я(хо)<О.
lim Qn (х0) = Я (х0) lim Sn (x0)
Это непосредственно вытекает из рассмотрения частных сумм ряда
который, как мы видели, сходится к нулю. Поэтому, в частности, если
Iim"|Snfo)| = + оо,то и lim|Qn(x0)j = + «.

§ 71 ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ РИМАНА 197
Этот результат будет нами существенно использован в главе XIV.
Из теоремы 1 непосредственно вытекает еще
Следствие 2. Если ряд Фурье для А (х) быстро сходится и 2 cneinx
равномерно сходится на Е к S(x), то формальное произведение равномерно
сходится на Е к А (х) S (х). Если на множестве F имеем |А(х)| > а > 0, то
равномерная сходимость формального произведения на Е влечет равномерную
сходимость 2! сп е*пх на нем-
Замечание 2. В следствиях 1 и 2 слова «сходимость» или «равно-
«равномерная сходимость» могут быть заменены на «суммируемость» или «равно-
«равномерная суммируемость» методом Римана. В самом деле, по теореме 1
сходится к нулю равномерно на [—я, я]. В силу замечания к теореме 2 § 63
отсюда следует, что этот ряд равномерно суммируем к нулю методом Римана
на [—я, я], а это значит, что разность рядов
ZKneinx и Л
равномерно суммируется к нулю методом Римана на [—я, я]. Отсюда сразу
и вытекает нужное заключение.
Рис. 14
Мы имеем теперь возможность доказать следующую важную теорему:
Теорема 2. Если тригонометрический ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю, суммируется методом Римана к нулю в каждой точке
некоторого интервала (а, Ь), то он сходится к нулю в каждой точке (а, Ь) и
притом равномерно на всяком отрезке, целиком лежащем внутри (а, Ь).
Пусть А(х)= 1 на [а, /3], А(х)=Овне(а, Ь) и А(х) интерполируется между
[а, а] и [Ьу /?] как угодно, лишь бы она имела непрерывные производные до
3-го порядка включительно (см. рис. 14). Мы уже говорили, что в таких
условиях ряд сг(А) быстро сходится. Пусть
Составим формальное произведение G1.4) заданного ряда и ряда с (А). Так
как А(х) = 0 вне (а, 6), то в силу следствия 1 ряд G1.4) сходится к нулю вне
(а, Ь) и, значит, суммируется вне (а, Ь) к нулю методом Римана. Кроме того,
в силу следствия 1 и замечания 2 о суммируемости ряд G1.4) суммируется
к нулю методом Римана в каждой точке (а, 6), поскольку мы предпо-
предположили, что это имеет место для ряда G1.2) на (а, Ь). Итак, ряд G1.4) сумми-
суммируется методом Римана к нулю в каждой точке на [—я, л]. Если так, то по
теореме § 70 (см. замечание к ней) он имеет все коэффициенты равными нулю.
Но по теореме 1 настоящего параграфа ряд

198 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
сходится к нулю равномерно на [—л, л]. Раз все кп = 0, то это значит, что
сходится равномерно к нулю на [—я, я]. Но Я(х)= 1 на [а, 0], поэтому
2 cneinx сходится равномерно к нулю на [а, /?], и доказательство теоремы 2
закончено.
Теперь мы можем выразить в точной форме и доказать теорему, которая
несколько образно была сформулирована в начале этого параграфа. Именно
мы имеем следующую теорему, известную под названием принципа локали-
локализации Римана.
Принцип локализации Римана. Пусть Ft (х) и F2 (х) функ-
функции Римана для двух тригонометрических рядов, с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю; если эти функции равны на некотором интервале {а, Ь) или,
хотя бы, если их разность есть линейная функция на {а, Ь), то разность
данных тригонометрических рядов есть ряд, сходящийся к нулю всюду на
(а, Ь) и притом равномерно во всяком отрезке [а, C], целиком лежащем
внутри (а, 6).
Для доказательства теоремы рассмотрим два тригонометрических ряда
с коэффициентами, стремящимися к нулю. Пусть G1.2) есть разность этих
рядов,а Fx(x) и F2(x) их римановыфункции. Тогда по условию теоремы ри-
манова сумма F(x) для ряда G1.2) есть линейная функция на (а} Ь). Если так
D2 F (х) = 0 на (а, Ь).
то Следовательно, ряд G1.2) суммируется к нулю методом Римана в каж-
каждой точке интервала (а, Ь) и остается применить теорему 2.
Из принципа локализации Римана сразу следует справедливость выска-
высказанного в начале этого параграфа утверждения: сходимость или расходи-
расходимость ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, зависит лишь от пове-
поведения функции Римана.
Действительно, если для двух рядов с коэффициентами, стремящимися к
нулю, имеем F1(x) = F2(x)ua (a, b), то сходимость или расходимость обоих
рядов в любой точке х ? {а, Ь) может иметь место только одновременно
(и притом если они сходятся, то имеют одинаковую сумму). Именно в этом
смысле и надо понимать, что сходимость или расходимость зависит только
от поведения функции Римана.
Полезно еще отметить, что доказанный здесь общий принцип локализа-
локализации Римана содержит как частный случай принцип локализации Римана
для рядов Фурье (см. § 33). Действительно, если два заданных ряда являются
рядами Фурье от f± (x) и /2 (х), то функции Fx (x) и F2 (x) получаются в резуль-
результате двукратного интегрирования /х (х) и /2(х)(см. § 70), а потому, если
/i (х) — /г Iх) на (а> Ь), то F± (х) — F2 (x) будет линейной на этом интервале,
и если общий принцип локализации уже доказан, то можно утверждать,
что а (/х) — a(f2) сходится к нулю на (а, Ь) всюду и притом равномерно на
[а, /3], лежащем внутри {а, Ъ).
В главе XIV мы увидим ту роль, которую играет установленный здесь
принцип локализации Римана.
§ 72. Теорема дю Буа-Реймона
Пусть / (х)—функция, конечная в каждой точке [—ж, п]. Мы уже видели
(см. § 70), что не может существовать двух различных тригонометрических
рядов, сходящихся к ней всюду на [—п, л]. Но если существует один такой
ряд, должен ли он быть ее рядом Фурье?

§ 72 ТЕОРЕМА ДЮ БУА-РЕЙМОНА 199
Вопрос, разумеется, имеет смысл только для суммируемой/(х), так как
иначе ряд Фурье просто нельзя было бы написать (мы всегда говорим лишь
о рядах Фурье — Лебега).
Заметим, что сходимость тригонометрического ряда в каждой точке
вовсе не влечет того, чтобы он был рядом Фурье. Действительно, напри-
например, ряд
^ sin пх
сходится всюду, так как это ряд по синусам с монотонно убываю-
убывающими коэффициентами (см. § 30); однако он не является рядом Фурье
(см. § 40).
Поэтому вопрос естественно поставить так: пусть / (х) конечна в каждой
точке и суммируема. Пусть существует тригонометрический ряд, сходящийся
к ней всюду на [—я, л]. Будет ли этот ряд ее рядом Фурье?
Мы здесь дадим на этот вопрос положительный ответ в том случае, когда
f(x) ограниченная функция; именно в таком виде теорема была доказана
Лебегом, обобщившим первоначальный результат дю Буа-Реймона*). Но
прежде чем доказывать эту теорему, мы должны убедиться в спра-
справедливости следующей леммы:
Лемма. Если F(х) непрерывна на [а,Ь] и
на (a, ft),
то для любых хои h таких, что а^х0 — 2/z<xo + 2/z^ft, имеем
F(xo-2h)-2F(xo)
111 ^ 4 Л2 ^
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим вспомогательную функцию
(х-х0J
2 4Л2
Ясно, что W (х) есть многочлен второй степени относительно х, причем
V(xo + 2fi) = F(xo + 2h), W(xo) = F(xo) и W(x0 ~ 2ft) = F(x0 - 2ft),
т. е. разность
r(x) = F(x)-y(x)
обращается в нуль при х — х0 — 2ft, х0 и х0 + 2/z. Кроме того, г(х) непрерывна
на [а, Ь] и
D*r(x) = D2F(x) - F{x°+ 2h) + F(x2° ~ Щ ~ 2F(Xo) .
Так как г(х) имеет минимум и максимум где-то внутри (х0 — 2ft, х0 + 2ft),
лусть в каких-то точках хх и х2, и в них заведомо D2r(x1)^0 и D2r(x2)^0, то
*) Дю Буа-Реймон (du Bois-Reymond [2] рассматривал лишь случай ограниченных
функций, интегрируемых в смысле Римана.

200 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ ГЛ. I
отсюда сразу ясно, что
4 Л2
откуда и следует справедливость леммы.
Мы теперь можем доказать теорему:
Теорема дю Буа-Реймона — Лебега. Еслиf(x)ограничена
на [—я, п) и существует тригонометрический ряд
СО
-??- + J?an cos пх + bn sin пх, G2.1)
сходящийся к ней всюду на этом отрезке, то этот ряд есть ее ряд Фурье.
Прежде всего заметим, что из сходимости ряда G2.1) следует ап->Ои
Ьп -> О (см. § 62). Поэтому можно построить функцию Римана и получить, как
в § 68
2F(xo)_ а0 , ^f,
4/^2 — 2 ^^v
G2.2)
В силу теоремы Римана (см. § 68, теорема 1) имеем в каждой точке
D«F (*)=/(*). G2.3)
Но f(x) по условию ограничена; значит, по предыдущей лемме
•F(x-2ft)-2F(x) ^ЛА (?24)
4Л2
где М постоянное (и это для любых h и любых х, —л <^х<^ж). Далее
заметим, что /(х), как сумма всюду сходящегося ряда непрерывных
функций, измерима, а значит, будучи измеримой и ограниченной, она
суммируема.
Из равномерной сходимости G2.2) следует, что он является рядом
Фурье от функции, стоящей в левой части равенства, т. е.
тГ i \ % G2.5)
— л
и аналогично
— Л
Но
D*F(x) = ит
Поэтому в силу G2.3)
=
Если мы теперь заметим, что в силу G2.4) подынтегральные выражения
в интегралах G2.5) и G2.6) ограничены при любых х и h одним и тем
же числом М (это верно для всякого п), то можно совершить предельный

§ 72 ТЕОРЕМА ДЮ БУА-РЕЙМОНА 201
переход под знаком интеграла, а потому
= ит -А- Г F
— Л
П
= —Г/(х) cos nxdx
7Ь J
2/,)+F(x-2/i)-2F(x)
и аналогично
л
bn = -^\ f(x)sin nxdx,
— л
а это и требовалось доказать.
Замечание. Мы предположили f(x) ограниченной, но указанная
теорема допускает значительные обобщения. Можно также не требовать схо-
сходимости ряда в каждой точке [0, 2п\ (см. об этом главу XIV, § 4).

ГЛАВА II
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение
В этой главе мы ставим перед собой следующие задачи:
А. Зная свойства функции, оценить скорость, с которой ее коэффициенты
Фурье стремятся к нулю (то, что они должны стремиться к нулю, было дока-
доказано в § 19 гл. I).
Б. Имея последовательности чисел
ао> av a2,..., ап,..; blf b2,...,bn,...,
установить, существует ли функция, имеющая их своими коэффициентами
Фурье, и если да, то каковы ее свойства.
К сожалению, эти задачи далеко не могут считаться полностью решен-
решенными. Поэтому мы вынуждены решать их частично. Так, например, мы изу-
изучаем скорость стремления к нулю для коэффициентов Фурье функции с огра-
ограниченным изменением (см. § 2) для функций из класса Lip а (см. § 3), для
функций из класса LP (p > 1) (§§ 4 и 5). Но в то же время мы показываем,
что если f(x) только суммируема, то ее коэффициенты могут стремить-
стремиться к нулю как угодно медленно (§ 6). С другой стороны, мы показываем
{см. § 7), что если не учитывать знаков чисел ап и Ью а налагать ограни-
ограничение только на их абсолютные величины, то и задачу Б нельзя решить, кро-
кроме того случая, когда 2 ап + &л < + °° (этот случай был уже разобран
в § 16 гл. I).
Таким образом, вопрос о поведении коэффициентов Фурье для /(x)?L
является очень тонким вопросом. Мы указываем все же в § 9 некоторые необ-
необходимые условия для этих коэффициентов, и даже в § 10 условия необходимые
и достаточные, однако они являются очень мало прозрачными. Решение
проблемы Б, или так называемой «тригонометрической проблемы моментов»,
служило предметом многих работ, но, к сожалению, здесь формулировки
таковы, что для конкретно заданной последовательности чисел не удается
выяснить, являются ли они коэффициентами Фурье, и тем более найти соот-
соответствующую функцию. Большинство теорем оказываются сведением поста-
поставленного вопроса к некоторому другому, тоже весьма трудному. Поэтому
полученные результаты мы приводим в § 11 без доказательств.
§ 12 посвящен вопросу несколько иного рода: можно ли утверждать, что
тригонометрический ряд должен быть рядом Фурье, если все его частные
суммы неотрицательны при любом х? Этот вопрос тоже не решен до конца,
но мы сочли целесообразным изложить то, что в этом направлении известно.
Наконец, в § 13 мы касаемся вопроса о преобразованиях рядов Фурье.

§ 2 ПОРЯДОК КОЭФ. ФУРЬЕ ЛЛЯ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 203
§ 2. Порядок коэффициентов Фурье для функций с ограниченным
изменением. Критерий для непрерывности функции
с ограниченным изменением
1. Порядок коэффициентов Фурье для функций с ограниченным измене-
изменением. Мы видели (см. гл. I, § 22), что если/(х) есть функция с ограниченным
изменением, то
Мы знаем, что если / (х) разрывна, то эту оценку улучшить нельзя, так как
разрывы у функций с ограниченным изменением могут быть только 1-го рода,
а при этих условиях улучшение оценки A) невозможно (см. глава I, § 42).
Возникает вопрос, нельзя ли утверждать, что
= о{\) и *„ = *(¦!¦
если /(х), кроме того, еще непрерывна. Мы покажем, что и это неверно.
С этой целью мы построим на отрезке [0, 2п] множество, подобное класси-
классическому канторовскому, которое строится на отрезке [0, 1 ], т. е. выбросим
сначала из сегмента [0, 2л] интервал bf с центром в точке п и длины -^-,
затем из каждых двух оставшихся сегментов выбросим интервалы <5^2) и bf
длины -^- с центрами в серединах отрезков Г0, -?-1 и \-^~, 2 п 1, из которых
они выбрасывались, и т. д. Если Ф @) = О, Ф Bтг) = 1, Ф (х) = -^ на Ь^\ Ф(х) =
1 3
= Т и Т С00Тветственн0 на ^i2) и ^22) и т. д. и она дополняется по не-
непрерывности в точках канторовского множества, то получается классическая
канторова ступенчатая кривая, которая возрастает от 0 до 1, причем
ф' (х) = 0 почти всюду.
Если мы положим / (х) = ф(х)—^> т0 / (°) = / B7Г) = 0, а потому f(x)
пнепрерывна не только внутри отрезка [0, 2тг], но и на всей бесконечной оси,
если положить/(х + 2тг) = /(х). Ясно, что она имеет ограниченное изменение
и, однако, мы сейчас покажем, что ее коэффициенты Фурье не могут иметь
порядок tff—j, а лишьО(—|. С этой целью мы проинтегрируем по частям
интеграл в правой части равенства
2л
что дает
Рп
tint J
2nni J 2nni
о
(здесь интеграл взят в смысле Стилтьеса, см. Вводный материал, § 16).
Докажем, что для п = Зт (т = 0, 1, ...) все числа Рп равны меж-
между собой и отличны от нуля, откуда и будет следовать, что сп = О (—] , но

204 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Имеем
2л
Поэтому, так как Ф(х) постоянна на д^\ а на сегменте]-^-, 2я| она меняется
так же, как на 10,-^1, только поднята на у вверх, то
2л
2п 3
о о
но, совершая здесь замену переменного Зх = t7 получим
2л 2л
Р3ш = 2 | е-я-^ЛФ [TJ = J е-1*т~1хAФ = Р8—1,
о о
так как ф(у) =уф(х) • Отсюда видно, что
р т = р о = р __ Г^-« ^/ф
О
Остается показать, что эта величина Рх + 0. Для этого мы рассмотрим
ее действительную часть, т. е.
2jt 2jt 2jt
2л ~3~ 1Г "Т
J cos х йФ = 2 f cos х йФ = 2 П cos хйФ+ Г cos х ^ф! =
= 2 f Г cos х + cos fx H—^-J u/Ф = 4 Г cos fx +
о
2n
9
Ал С ..=
и таким образом наше утверждение доказано.
Замечание 1. То, что коэффициенты Фурье от построенной нами
функции не имеют порядок о (—), можно вывести также из общих теорем,
касающихся проблемы единственности разложения функции в тригоно-
тригонометрический ряд (см. глава XIV, § 7), но мы предпочли сделать это здесь
непосредственным вычислением, чтобы не отсылать читателя к тонким ме-
методам там, где можно обойтись очень простыми рассуждениями.
Замечание 2. Возникает вопрос, нельзя ли, наоборот, по поведению
коэффициентов Фурье установить, что функция имеет ограниченное изме-
изменение. Укажем здесь достаточное условие Лоренца (Lorentz[1J):

§ 2 ПОРЯДОК КОЭФ. ФУРЬЕ ЛЛЯ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 205
1) если 1 <р<2 и
j )P(y B.2)
или
2) если 2 <; р <^ оо и
1
1
), где у+ j,= l, B.3)
то /(х) имеет ограниченное изменение. При этом Лоренц показывает на при-
примерах, что теорема утратит силу, если в формуле B.2) заменить — на — при
а < 1 или в B.3) заменить у + —любым меньшим числом.
2. Критерий для непрерывности функции с ограниченным изменением.
Мы доказали, что существуют непрерывные функции с ограниченным изме-
изменением, у которых коэффициенты имеют порядоко(—1, а не о f—j. Возникает
вопрос, нельзя ли по характеру коэффициентов Фурье заключить о непре-
непрерывности функции с ограниченным изменением? Ответ на этот вопрос
можно указать в нескольких различных формах. Одной из таких форм
является
Теорема Винера (Wiener W). Для того чтобы функция с ограни-
ограниченным изменением была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы
n = о, B.4)
где qI = al + b\.
Мы сначала докажем, что необходимое и достаточное условие может
быть записано в виде
Шп л jf el sin» ¦§? = <), B.5)
а потом докажем эквивалентность условий B.4) и B.5).
Если ряд Фурье для f(x) имеет вид
f(x)~^2~+ 2? am cos mx + bm sin mx,
/п=1
ТО
f(x + t)~± A0(t) + У; Am(t) cos mx + BJt) sin mx,
где
AJt) = am cos mt + bm sin mt, A0(t) = ^-,
Bm(t) = bm cos mt — am sin mt,
следовательно,
00
f(x + t) — f(x)~2 «m@ cos mx + Pm(t) sin mx,
/71=1

206
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
ГЛ. II
где
ат @ = Am @ ~ «т = ат (COS Hit — 1) + Ьт Sill Ш/ =
fr 2in2m
= 2ътт~ cosmy frm — 2sin2m у am =
/8OT@ =
Поэтому
= fftm cos m у — ^m sin m yj 2 sin m ~ = B
-bm = bm (cos mt-\)-am sin mi =
и, следовательно, по равенству Парсеваля
2 sin ш
— 2 sin -у- Г— 6m sin /п у — am cos ш у) = — 2 sin^- Лш Г-yj
В силу периодичности подынтегрального выражения имеем для любого к
Заставляя к пробегать значения 1, 2, ..., 2п и складывая полученные равен-
равенства, найдем
2л
. B.6)
Если заметить, что в случае непрерывности / (х) имеем
где со(д) — модуль непрерывности /(х) (см. Вводный материал, § 25), то
где V — полное изменение /(х). Поэтому в силу B.6)
и, значит, если /(х) непрерывна, то условие B.5) действительно выполняется.
Допустим теперь, что /(х) разрывна. Значит, найдется такая точка |г что
|/(| 0)/@)| d0

§ 2 ПОРЯДОК КОЭФ. ФУРЬЕ ЛЛЯ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 207
Мы условимся считать
Тогда для всех достаточно больших п любой отрезок [а, /?] длины п- содержа-
содержащий точку |, таков, что в нем |/(/?) — /(а)| >у следовательно, для любого
х в сумме J^ Г/ (х +.fc—] — /[х + (к — 1) —]1 содержится член, превосходя-
превосходящий-^-, а потому и интеграл от этой суммы не меньше чем -^ d2, т. е. не
СТреМИТСЯ К Нулю При П -» оо.
Итак, мы доказали, что условие B.5) необходимо и достаточно для не-
непрерывности f(x).
Докажем теперь, что B.5) эквивалентно условию
i;m IJfcVi-O. B.7)
Возьмем целое число г, которое подберем позже, и, обозначая через Рп числоу
стоящее в левой части формулы B.5), разобьем Рп на два слагаемых
nJeJSsitffc^- и п J? lMk^
к=\ к=пг+1
Мы видим, что
к=\ ч J k=nr+l
Обозначим через Qn сумму, стоящую в левой части B.7). Мы знаем
(см. гл. I, § 22), что
1дл1<Х и I^K-y^
откуда
и, значит,
Pn<JrrQnr + 2V'2 w<JTr^ + 2XT- B8>
лг+1
Взяв г достаточно большим, мы можем сделать второй член правой части
B.8) как угодно малым. После этого мы г зафиксируем, а п устремим в беско-
бесконечность, тогда при Qn -> 0 получим Рп -> 0.
Наоборот, если Рп -> 0, то и подавно
к=1
тт О
а так как при О <С и <; у имеем sin и ^> — и, то и
k=\
а это и значит, что Qn ->0. Итак, эквивалентность B.5) и B.7) установлена.
Полагая
к=\

208 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
имеем, в силу неравенства Буняковского,
и, значит, из Qn -> 0 следует Тп -> 0.
С другой стороны, так как
то
к=1
а потому из Тп -> 0 следует Qn -> 0.
Итак, B.7) и B.4) эквивалентны, а поэтому эквивалентны B.5) и B.4).
Следовательно, теорема доказана.
Замечание 1. Из теоремы Винера вытекает, что если / (х) с ограни-
ограниченным изменением и
то f(x) непрерывна. Это было уже доказано в § 42 главы I.
Замечание 2. С. М. ЛозинскийW дал другую форму условия, при
котором функция с ограниченным изменением оказывается непрерывной, а
именно: для этого необходимо и достаточно, чтобы
где снова дк = Уа% + Ъ\.
§ 3. О коэффициентах Фурье для функций из класса Lip a
Пусть
a(f) = -у- + J? an cos nx + bn sin nx.
Тогда (см. Lorentz[1]) имеем:
Если /(x)^Lipa и «> —— у@<р<2), то
Действительно, так как для f(x + ft) — j(x — ft) ряд Фурье имеет вид
2 2* (bn cos пх — ап sin nx) sin иЛ, C.1)
то, в силу равенства Парсеваля и / ? Lip a,
зт
4 J? («I + b%) sin2 /eft = — f [/ (/ + ft)
где С — постоянное. Поэтому при любом л

§3
О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Lip a 209
и, полагая h = -т—и замечая, что тогда sin2 kh^ у при п^к<^2п — 1,
найдем
2/7-1 -,
где Сх — новая константа.
Применяя неравенство Гельдера, находим отсюда
2л-1
к=*П
2л-1
откуда
Но тогда из а > — заключаем
<-%
что и требовалось доказать.
Следствие 1. В частности, при р = 2 отсюда получаем, что для
/ ^ Up a
Следствие 2. Если а > у, то теорему можно применить при р = 1,
откуда
и так как правая часть стремится к нулю при п -> ©о, то отсюда вытекает
теорема Бернштейна:если /(х) ^ Lip а при а >^-, то ее ряд Фурье сходится
абсолютно.
(Эта теорема будет также доказана иначе в гл. IX.)
Лоренц показывает на примерах, в каком смысле его теорему нельзя
улучшить. Мы не будем останавливаться на этом, отсылая к работе автора,
здесь же докажем другую теорему Лоренца, где, наоборот, по поведению
коэффициентов Фурье можно заключить, что /(х) принадлежит к некоторому
классу Липшица, а именно:
Если
2<
то f (x) ? Lip а.

210
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
ГЛ. II
Действительно, из условия теоремы следует
поэтому
2П
В силу того, что ряд Фурье для/(х + h) — /(х— h) имеет вид C.1), имеем
, | ft |
Если мы выберем п так, чтобы
то отсюда
ft 12°-™ + ~) ¦
ь \ <r -1-
" I ^t 2" *
где К — новое постоянное, и теорема доказана.
Следствие. Если
то
/(x)eLipa @
Действительно, в этом случае у\ак\
к
Ьк\ = О (--Л , и мы находимся
в условиях предыдущей теоремы.
В работе Лоренца читатель найдет ряд других интересных теорем о
функциях, принадлежащих к классу Lip a, и некоторых их обобщениях.
§ 4. Связь между степенью суммируемости функции
и коэффициентами Фурье
Известно (см. гл. I, §§ 13 и 16), что если / (х) ? L2 и {сп} — ее коэффициенты
Фурье по любой нормированной ортогональной системе {(рп(х)}, то
2
/7=1
и это неравенство превращается в равенство, если система полна. Напротив,
если дана последовательность чисел {сп}, для которых 2! \сп\2 < + °°, то
найдется /(x)^L2, для которой эти числа будут коэффициентами Фурье и
Вопрос теперь ставится так: если р — любое число, лишь бы р > 1, и
мы знаем, что /(х) ? Lp, то что можно сказать об ее коэффициентах Фурье?
И наоборот, если ~У\сп\р <С -\- оо, то существует ли функция, имеющая
72=1
эти сп своими коэффициентами Фурье, и какова степень ее суммируемости?

§4 СТЕПЕНЬ СУММИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ 211
Ответы на эти вопросы для случая тригонометрической системы даются
теоремой Хаусдорфа—Юнга (см. HauscTorff[1] и W. H. Young Г4],[5]^ для общей
ортогональной—теоремой Рисса (см. F. Riesz[2]). Прежде чем их сформули-
сформулировать, введем обозначения. Мы будем писать
1М1 {
п
где г — любое положительное число. Будем обозначать через р число, удо-
удовлетворяющее неравенствам
и через q число, определяемое формулой
Тогда q > 2. Имеем теорему:
Теорема Хаусдорфа — Юнга. 1) Пусть
и пусть
сп = lf(t)e-^int dt (n = 0, ± 1, ± 2,...), D.1)
о
т.е. сп — ее коэффициенты Фурье по нормированной и ортогональной на
@,1) системе {e27lint}. Тогда
\\с\\я<\\Пр- D-2)
2) Если сп (п = 0, +1, +2, ...) — последовательность чисел, для кото-
которой ||с|]р< + °°, пго существует такая f(t)?LJ(O, 1), для которой удов-
удовлетворено условие D.1) и
II/II,<II clip- D-3)
Эта теорема есть частный случай более общего результата Ф. Рисса:
Теорема Ф. Рисса. Пусть {срп (t)} — нормированная ортогональ-
ортогональная система, состоящая из функций, ограниченных в своей совокупности
<Рп«)\<М, "<'<"' D.4)
П = 1, Z, . . .
1) Если /? Lp(a, b), то коэффициенты Фурье
cn = Sf4>ndt D.5)
а
от f(t) no системе {(pn(f)} удовлетворяют условию
-' D.6)
2) Если для последовательности чисел сп имеем \\с\\р<С + °°, пго суще-
существует функция f (t) ? U (а, Ь), удовлетворяющая D.5) для всех п и такая, что
l\\c\\p. D.7)

212 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Существует несколько доказательств этой теоремы*). Мы дадим здесь
доказательство, принадлежащее Зигмунду и Кальдерону (см. Calderon and
Zygmundtl]) и построенное на применении принципа Фрагмена—Линделефа
(см. Добавления, § 1).
Доказательство теоремы Ф. Рисе а. Мы начинаем с пер-
первой части теоремы и прежде всего заметим, что, не нарушая общности, можно
сделать следующие предположения:
а) система {срп} состоит из конечного числа функций,
б) функция / ступенчатая,
в)||/||р=1.
Действительно, мы можем всегда подобрать ступенчатую функцию/*(/)
так, чтобы ||/ — f*\\p << в; обозначая через с* ее коэффициенты Фурье, полу-
получаем из D.5) по неравенству Гельдера (см. Вводный материал, § 9)
< sM~я (j|^|2dx)^ <eM я. D.8)
а
Так как мы предположили, что система {(рп(х)} состоит из конечного
числа функций, то отсюда следует справедливость неравенства D.6) в общем
случае, если оно было доказано только для ступенчатых функций.
Далее, если неравенство D.5) доказано для любого конечного числа
функций 9>i, <р2, ..., tpN, то, переходя к пределу при N -> оо, видим, что оно
остается справедливым.
Наконец, законность гипотезы в) следует из того, что при умножении /
на константу обе части неравенства D.5) умножаются на эту же константу.
Итак, ни одно из сделанных предположений не нарушает общности
доказываемой теоремы.
Заметим теперь, что всегда можно подобрать числа dn так, чтобы
\\c\\q = 2cndn, D.9)
причем ||d||p = 1. Действительно, для этого достаточно принять, например,
(равенство D.9) тогда получается мгновенно, а
11 ||р" (\\с\\я-У z\c»
ибо p(q—\) = q).
Положим
1
dn = DPnsn, где K| = l, a Dn
тогда
2Dn=\. D.10)
Кроме того, положим
f(t)=FP(t)*l(t), где F@>0, а
*) Доказательство, принадлежащее Риссу, можно найти в книге Качмажа и Штейн-
гауза [м.7].

§4 СТЕПЕНЬ СУММИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ 213
тогда в силу ||/||р = 1 имеем
J 1. D.11)
Мы можем теперь выразить коэффициенты сп так:
и, принимая во внимание D.9),
Если мы теперь заменим —через г, т. е. рассмотрим функцию
Ф(г) = 2 D* en J F* @ п @ уп @ dt, D.12)
а
то каждый из интегралов в правой части равенства D.12) (в силу того, что / —
— ступенчатая) есть линейная комбинация с постоянными коэффициентами
выражений вида Яг, где все X положительны. Но тогда и Ф(г) есть такая же
линейная комбинация, а потому она ограничена в любой вертикальной полосе
плоскости z.
Оценим верхнюю грань Ф(г) на прямых х = -^ , х = 1. Для х = 1 из
D.10) и D.11) находим
Для z = -о" + *У> применяя неравенства Буняковского к правой части
D.12), найдем
6 1,. 1
К D.13)
В силу неравенства Бесселя, так как интегралы в правой части неравенства
\- iy
D.13) являются коэффициентами Фурье от F2 (t) v\(t), имеем
Итак,|Ф(;г)|<^Л1 на* = 1 и|Ф(г)|^ 1 нах =~2 - Если мы хотим приме-
применить вторую форму принципа Фрагмена—Линделефа (см. Добавления, § 1)
для оценки Ф (z) в полосе у < х <^ 1, то надо подобрать линейную функцию
L(t) так, чтобы она равнялась 0 при t = 1 и равнялась 1 при t =-*¦. Такой
функцией будет L @ = 2A —t). Полагая Мг = 1 и М2 = М, находим тогда
+ О'о)|<12A-*)А*1-2<1-'«> Для i<xo<l, — оо<у0<со;

214
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
-•ш-
отсюда, так как
находим
а это и заканчивает доказательство первой половины теоремы.
Для доказательства второй половины фиксируем число N и положим
МО =
... + CNcpN(t) ,
где {сп} — заданная последовательность чисел.
Так как \(рп\ <^ М, то срп ? /Д значит и /N ? 1Л Мы всегда можем выбрать
g(t) так, чтобы !|g|lp = 1 и
Действительно, для этого достаточно положить хотя бы
так как тогда D.14) следует из того, что
Ь _ i
SiNgdt = a —х— =
а
и при этом
— II/..I
= 1.
Обозначая через dn коэффициенты Фурье от g(f), получаем
У\с \р
Но на основании первой половины теоремы мы имеем
12, 2
а потому
Раз так, то
IN+k
у\сп
2 t iN+k
l\
N+1

§4 СТЕПЕНЬ СУММИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ 215
при любом ку откуда следует, что {fN} сходится по норме пространства ZA
Значит (см. Вводный материал, § 21), найдется такая / ? IS, что ||/ — fN\\q ->0
при N -> оо; тогда, заставляя N -> оо, мы из D.15) получим
I с \\p
и остается только доказать, что числа сп являются коэффициентами Фурье от
/, чтобы теорема была полностью доказана.
Но так как
при N -> оо, то
и доказательство закончено*).
Замечание 1. Мы здесь не изучаем вопроса о том, когда неравенства
в теореме Ф. Рисса обращаются в равенства. Отсылаем интересующихся к
работе Зигмунда и Кальдерона.
Замечание 2. В доказательстве теоремы Рисса существенно исполь-
использовалось предположение, что р > 1. Однако сама теорема Рисса, а следова-
следовательно и теорема Хаусдорфа—Юнга, остается справедливой и при р = 1.
В этом случае q = оо, и если условиться считать (см. Вводный материал, § 9)
11/11-=sup|/|
и аналогично принять
max ,
С. =¦
п
то оба утверждения теоремы Рисса оказываются верны, в чем можно мгно-
мгновенно убедиться.
Замечание 3. В доказанной теореме Рисса, как в утверждении
1), так и в утверждении 2), предполагалось р^2и тем самым # ^> 2. Таким
образом из суммируемости |/|р мы заключали о сходимости 2 \cn\q ПРК Р<2,
а также из сходимости 2J \сп\р делали вывод о суммируемости \f\q при р <С2.
Мы хотим показать, что оба утверждения перестают быть верными, если
числа р и q поменять местами, иначе говоря, если считать р > 2. В этом
можно убедиться на примерах. Мы рассмотрим случай тригонометрической
системы.
Действительно, если бы утверждение 1) было верно и для р > 2, то, так
как непрерывная функция суммируема в любой степени р, можно было бы
утверждать, что для такой функции сходится ряд
считая q как угодно близким к 1. А между тем в главе IV, § 14 мы покажем,
что можно построить такую непрерывную функцию, для которой при любом
?>0
*) Обращаем внимание читателей на работу Marcinkiewicz and Zygmund W, где дается
некоторое обобщение этой теоремы.

216
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
ГЛ. II
Точно так же и утверждение 2) перестает быть верным при р > 2. Дей-
Действительно, если мы рассмотрим ряд
4 <+oo
то
для любого р > 2.
Следовательно, если бы утверждение 2) при р > 2 было верным, то рас-
рассматриваемый ряд был бы рядом Фурье от /(х) ? ZA А между тем в главе
XI, § 3 мы убедимся, что этот ряд не может быть рядом Фурье, так как там
будет доказано, что лакунарныи ряд является рядом Фурье только при усло-
условии сходимости ряда из квадратов его коэффициентов, а в нашем случае этот
ряд расходится.
Укажем один простой факт, вытекающий из теоремы Хаусдорфа—Юнга.
Следствие. Если f(x) ? Lp, p > 1, то оба ряда
сходятся.
Действительно, если р ^> 2, то / ? Lp влечет / ? L2, а тогда достаточно
заметить, что
1
1 1
и аналогично для Ьп.
Если же 1 < р <; 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга должен сходиться
ряд Е \an\q + \bn\qy где—|— = 1. Но тогда для любого т
л=1
an
где С постоянно, так как^ r~J < + °° при р > 1. Значит,^
рассуждение для ^—^-совершенно такое же.
Из доказанной теоремы, в частности, следует сходимость рядов
при /(х) ^ Lp. Что касается второго из этих рядов, то он сходится и при
/(х) ? L (см. глава I, § 40), но для первого, если р = 1, это уже неверно.
Действительно, в главе I, § 30 мы доказали, что ряд
^т COSHX
^ In п
л=2
есть ряд Фурье, а между тем ^ п1пп = +

§4
СТЕПЕНЬ СУММИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ И КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
217
Укажем, что Харди и Литтльвуд (Hardy and Littlewood[5]) нашли необ-
необходимые и достаточные условия, которые надо наложить на /(х), чтобы ряд
сходящимся, а также доказали, что если они выполнены, то
Что касается суммы ряда
о
bn
, то легко доказать равенство
Эта формула получается применением равенства Парсеваля к функции /(х)
и функции
п — х ^ sin nx
— 2—гГ-
(см. гл. I, § 41), причем применение равенства законно, как будет доказано*
в § 5, так как эта функция с ограниченным изменением.
Заканчивая этот параграф, посвященный связи между степенью сумми-
суммируемости функции и ее коэффициентами Фурье, мы укажем без доказатель-
доказательства еще две теоремы Пэли (см. Paley[1]).
Введем следующие обозначения: если q, с2, ... — любая последователь-
последовательность чисел (действительных или комплексных), то будем обозначать
через у1у у2,
Ут
числа
С8|, ...,
расположенные в
равны между собой, то
порядке убывания; если несколько чисел \сп _
в последовательности уп будет соответствующее количество повторяющихся
членов.
Имеют место следующие теоремы:
Теоремы Пэли. Пусть {уп(х)} — ортогональная нормированная
система на [а, Ь] и \q>n(x)\ < М (п = 1, 2, ...), а <^ х <^ Ъ.
1) Если 1 < р ^ 2, f(x) ? Lp и q, с2, ..., сп, ... — ее коэффициенты
Фурье по системе срп (х), /ия
л=1
<АР\ \f\Pdx
где Ар зависит только от р и М.
2) Если #>2 и
которой
c2,
последовательность чисел, для
то существует функция f (х) ? U (а, Ь), для которой числа сп являются коэф-
коэффициентами Фурье по системе {срп (х)} и
л=1
где Bq зависит только от q и М.

218 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Доказательства этих теорем, кроме работы автора, можно найти и в
книге Зигмунда tM- 6] (см. § 9.4).
Близкому с этими результатами вопросу посвящена и работа Литтль-
вуда (Littlewood[5]).
Наконец, необходимо отметить теоремы Харди и Литтльвуда, относя-
относящиеся к вопросу о связи между степенью суммируемости функции и ее
коэффициентами Фурье (см. также Зигмунд tM-6] § 9.5). Некоторые частные
случаи их результатов разобраны нами в § 3 главы X.
§ 5. Обобщение равенства Парсеваля для произведения двух
функций
Мы видели в главе I, § 18, что если /(х) ? L2 и у(х) ? U, причем ап и
Ъп—коэффициенты Фурье для / (х), ап и (Зп — для (р(х), то имеет место равен-
равенство Парсеваля
я
-1 \f(x)cp(x)dx=^ + j>(anan + bnpn). E.1)
Докажем, что формула сохраняет силу, если f?Lp,(p?LqH —|— = 1
(р > 1). Мы уже знаем (см. Вводный материал, § 9), что в этом случае
произведение / (х) <р (х) суммируемо.
Обозначим через Sn(x) частную сумму ряда Фурье для /(х). Имеем тогда
±§Sn(x) <p(x) dx= Ij
+ 2ак cos кх + bksinkx
<Р (х) dx =
к=\
Поэтому достаточно доказать, что
л л
i-J/(*) <p(x) dx=\im I §Sn (х) ср (х) dx
ИЛИ, ЧТО
lim v(x)[f(x)-Sn(x)]dx = O.
— Л
Но в главе VIII, § 20 будет доказано, что при р > 1
+O при п-+оо,
если /(х) ? Lp. Если так, то по неравенству Гельдера
я
j\Hx)-Sn(x)\\<p(x)\dx<\\t(x)-Sn{x)\\p\\<p(x)\\q^O,
—я
л о скольку 93 (х) ? L*.

§5 ОБОБЩЕНИЕ РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 219
Пользуясь этим равенством, можем получить следующий критерий для
того, чтобы некоторый ряд был рядом Фурье от / (х) ? Lp.
Теорема. Для того чтобы ряд
~~ + j?an cos nx + Ьп sin их E.2)
был рядом Фурье от функции / (х) ? Lp (p > 1), необходимо и достаточно
чтобы для каждой функции у (х) ? Lq с коэффициентами ап, $п ряд
^ + 2апап + Ьпрп E.3)
л=1
был сходящимся.
Условие необходимо. Это было только что доказано. Мы даже
показали, что сумма этого ряда есть
±jf(x)<p(x)dx.
Условие достаточно. Рассмотрим функцию ср (х) ? Lq с рядом
а (^) = "Y + -2 ап cos пх + ^n sin nx. E.4)
Обозначим через оп(х) и тп соответственно средние (С, 1) для рядов E.2) и
E.3). Ясно, что
Но хп = гп{(р) — линейный функционал в Lq, потому что an(t), как тригоно-
тригонометрический полином, принадлежит Lp при любом р, норма этого функ-
функционала есть — ||<гп||р(см. Вводный материал, § 20).
Так как ряд E.3) сходится, значит тем более (С, 1) суммируем, то числа
тп(<р) ограничены для каждой q> ? Lq, т. е.
где М — константа, зависящая от q> (но не от п).
Следовательно, lim тп(^)< + °°. Поэтому на основании теоремы
Л-»оо
Банаха—Штейнгауза (см. Добавления, § 4) нормы функционалов хп (у) огра-
ограничены, т. е.
Отсюда по теореме 3 § 60 главы I следует, что ряд E.2) есть ряд Фурье от
некоторой / ? Lp, и доказательство закончено.
Вернемся к равенству Парсеваля и докажем теорему:
Равенство Парсеваля сохраняет силу, если f (x) имеет ограниченное изме-
изменение, a q>(x)€ L.

220 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Действительно, в этом случае и /(х) ограничена, и функции Sn(x) ограни-
ограничены в совокупности, а потому произведение у (х) [/(х)—Sn(x)] мажорируется
суммируемой функцией. С другой стороны, Sn(x) ->/(x) почти всюду. На осно-
основании теоремы Лебега о законности перехода к пределу под знаком интеграла
имеем тогда
я
П—*¦ оэ —Я
и доказательство заканчивается как в предыдущем случае.
Это рассуждение уже не годится, если / (х) только ограничена, но не с
ограниченным изменением. Однако и в этом случае, т. е.при <р(х) ? L и f(x) —
ограниченной, равенство Парсеваля справедливо, если только вместо сходи-
сходимости ряда, стоящего в правой части, рассматривать его (С, 1) сум-
суммируемость.
Действительно, пусть сгп(х) — фейеровские суммы ряда Фурье от /(х).
Тогда ап (х) -> / (х) почти всюду и | ап (х) — / (х)| < М, а потому
j
Л-*-со — Я
Но
-|- + 2 A —
^1
и правая часть этого равенства есть не что иное, как п-я чезаровская сумма
для ряда E.3). Поэтому нужное утверждение доказано.
Возвращаясь к случаю, когда /(х) имеет ограниченное изменение, выве-
выведем одну теорему, которая часто бывает полезной.
Всякий ряд Фурье после умножения на любую функцию с ограниченным
изменением можно интегрировать почленно по любому отрезку, т. е. если
ср(х) с ограниченным изменением и
f (х) ~ -у- + 2 ап cos пх + t>n sin nx,
то
b b b b
f(x) q>(x) dx= -^-1 <p(x) dx + ^Уап \<p{x) cos nxdx + bn\cp (x) sin nx dx. E.5)
a
Прежде всего заметим, что достаточно доказывать формулу E.5) для
случая [а,Ь]= [0, 2л]. В самом деле, если 0 < а < Ъ < 2тг, то достаточно
считать ср (х) = 0 вне (а, Ь), и тогда можно производить интегрирование по
отрезку [0, 2л]; если же длина отрезка [а, Ъ] превосходит 2тг, то его можно
разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых формула уже
доказана.
Итак, достаточно доказать, что
2я 2л 2л 2л
dx= -~- Г <р (х) dx + 2J ап \ 9 (х) cos nx dx + 2Т bn [ q> (x) sin nx dx. E.6)
0 0 6

§6 О СКОРОСТИ СТРЕМЛЕНИЯ К НУЛЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 221
После умножения обеих частей E.6) на —, мы видим, что эта формула превра-
превращается в равенство Парсеваля
^ J /(х) <р(х) dx=^-ao + 2anan + bnpn,
о
справедливость которого для f(x) (Lh<p(i)c ограниченным изменением уже
была доказана*).
§ 6. О скорости стремления к нулю коэффициентов Фурье
от суммируемых функций
Поставим вопрос так: можно ли найти такую функцию А (и) f °°, что
для любой суммируемой функции имеем
Ш- FЛ)
Оказывается, что на этот вопрос приходится дать отрицательный ответ;
более того, можно для любой Я (и) f °° построить непрерывную/(х), у кото-
которой коэффициенты Фурье не удовлетворяют соотношению F.1). В самом деле,
выберем числа пк так, чтобы
и положим аПк = -ц^у ЬПк = ^щ] ап = Ьп = О, если пфпк (к = 1,2,...).
Тогда ряд
J? ап cos nx+bn sin пх = J? ~jjn~\ [cos nkx + sin nk x]
есть ряд Фурье от непрерывной функции, поскольку он сходится абсолютно
и равномерно, но в то же время соотношения F.1) не имеют места, так как
апкЬ(пк)=\ и ЬПкЬ{пк) = \ (fc=l,2,...)-
Итак, даже для непрерывных функций нельзя утверждать, что коэффи-
коэффициенты Фурье обязаны стремиться к нулю с некоторой определенной «ско-
«скоростью».
Однако, если f(x) ? Lp (p > 1), то мы видели (§ 5), что при р<2
имеем 2! \an\q + \рп\ч < + °°, а при р > 2 уже во всяком случае
2 \ап\2 + |^i|2 < + °°, т. е. все таки ап и Ъп не могут быть «слишком велики»
для больших значений п.
Иначе обстоит дело для случая f(x) $ L, а именно:
Если f(x) только суммируема, то ее коэффициенты Фурье могут стре-
стремиться к нулю как угодно медленно. Точнее:
*) Можно вместо ограниченности изменения накладывать на / (х) другие ограни-
ограничения. Так, например, равенство Парсеваля сохраняет силу, если у (х) ? L, / (х) ограни-
h
чена, и, кроме того, [/(х+ и) — f(x—u)]du = о I г-| равномерно относительно х (см.
о
Izumi and Sato Ш).

222 коэффициенты фурье гл. II
Если ?п { 0 как угодно медленно, то можно найти такой ряд Фурье
вида
2 ап cos nx,
у которого ап^ еп (п = 1,2, ...).
Это будет показано в § 2 главы X.
Банах (Banach Ш) отметил также, что можно построить последователь-
последовательность положительных Яп, стремящихся к + ©о, и суммируемую / (х), для
которой
Можно ли все же указать какие-либо необходимые условия для коэффи-
коэффициентов Фурье от суммируемой функции?
Здесь мы только напомним, что ряд^ —должен сходиться (см. глава I,
§40), но для ^-^это уже неверно (см. § 4); таким образом, коэффициентыа„
и Ъп неравноправны. В главе VIII мы увидим, что ряд, сопряженный к ряду
Фурье, не должен быть рядом Фурье. К вопросу о необходимых условиях
мы вернемся в § 9 настоящей главы. А сейчас поставим вопрос о достаточ-
достаточных условиях. К сожалению, и здесь приходится говорить почти только
об отрицательных фактах.
00
Известно, что условие 2 ап + &л < + °° является достаточным. Но,
как отметил Орлич (Orlicz[1]), можно найти последовательность положитель-
положительных чисел упу уп -> 2, при п -> ©о, такую, что ряд
однако 2 (ап cos nx + Ъп sin nx) не есть ряд Фурье.
Далее заметим, что никакое условие вида
где Х(п) f оо, не может оказаться достаточным для того, чтобы ряд
2ап cos nx -f bn sin nx оказался рядом Фурье. В этом мы убедимся в § 8.
Далее напомним, что в § 4 настоящей главы было отмечено: никакое
условие вида
где q > 2, не является достаточным для того, чтобы ряд 2 ап cos пх +
-f Ъп sin nx был рядом Фурье.
Обратим еще внимание на следующий факт: если в ряде Фурье некоторые
коэффициенты заменить нулями, то он может перестать быть рядом Фурье.
Действительно, пусть ап = , тогда ряд 2 ап cos nx является рядом
|/1п л
Фурье (см. § 30 главы I). Теперь заменим нулями все ап, для которых п ф 2к
(к =1,2,. .). Получим ряд 2 а2к cos 2Лх, который будет лакунарным; если
бы он был рядом Фурье, то (см. глава XI, § 3) мы должны были бы иметь
2 (а2кJ < + °°, а между тем
Л2 > V 1 — 4- оо
Это и доказывает наше утверждение.

§ 7 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СИСТЕМЕ РАДЕМАХЕРА 223
В § 8 мы укажем большие трудности на пути к решению вопроса о доста-
достаточных условиях для коэффициентов Фурье. Но для этого нам понадобятся
некоторые вспомогательные теоремы.
§ 7. Вспомогательные теоремы о системе Радемахера
В § 9 главы I было дано определение функций Радемахера. Сейчас мы
докажем несколько теорем, касающихся этих функций, и применим их затем
к изучению тригонометрических рядов.
Теорема 1 *). Если 2 с* < + оо, то ряд
2cnVn((), G.1)
где (pn(t) есть п-я функция Радемахера, сходится почти всюду.
В самом деле, из 2 сп < + °° следует, что ряд G.1) есть ряд Фурье от
некоторой /(х) ? L2, для которой
f [f(x)-Sn(x)Ydx-+O ПРИ /2->оо.
6
Отсюда при помощи неравенства Буняковского выводим
l\f(x)-Sn(x)\dx-+O.
о
Пусть (а, 6) — любой интервал на [0, 1]; тогда
т. е.
b b
$Sn(x)dx-+$f(x)dx при п->оо. G.2)
а а
Теперь обозначим через F (t) неопределенный интеграл от /(/), тогда
F' (t) = f(t) всюду, кроме некоторого множества Е, тЕ = 0. Пусть I55—полу-
I55—получается из Е добавлением всех точек / вида t = -—-, где р и к — любые целые;
снова т$? = 0. Докажем, что ряд G.1) сходится всюду вне <??. Действительно,
пусть t^ff. Тогда /$ (-—-, р^ J, где к — какое-то целое и р принимает
одно из значений 0, 1, 2, . .,2* — 1.
Для любого /^> к на интервале / = {-—-, -^--) имеем
поэтому
$Sn(x)dx=$Sk-1{x)dx (n>k)
I I
и в силу G.2) отсюда §f(x)dx= J Sk^.1(x)dx. Но Sk_1(x) постоянна на /
а потому
<Vi @ = у Js*-i W dx = yj/ W dx • <7-3>
*) См. Rademacher [1], а также Paley and Zygmyndd], Колмогоров [4].

224 коэффициенты фурье гл. II
Если к -> оо, то длина интервала / стремится к нулю и поскольку
t? Е, то правая часть G.3) стремится к /(/), а значит
limSk-1(t)=f(t),
к
а это и заканчивает доказательство теоремы.
Теорема 2 (Zygmund[7J). Если ряд
G.4)
где cpn(t)—функцияРадемахера, суммируется методом (С, 1) на множествеЕ,
т?>0, то ? с*< + оо.
Доказательство. Имеем для и-й чезаровской суммы ряда
ь 1
G.5)
и по условию an(t) сходится на Е, тЕ > 0. Значит, найдется такое If, mg7 > 0,
где an(t) сходится равномерно к с@ и а@ непрерывна. Поэтому для доста-
достаточно большого N имеем при п > N, например,
т. е. найдется такое М, что
|огп@|<М для n>N и ^^,
м, следовательно, найдется такое Мг, что
\an(t)\<M1 для /€У и л=1,2,... G.6)
Отсюда
Jст2 @dt <М\т% (п = 1,2,...). G.7)
Значит,
G.8)
Из определения функций Радемахера легко вывести, что система
{<Pk(x)<Pj(x)}, где /с =h /, также ортогональна. Числа
суть коэффициенты фурье по этой системе от функции /(х), характери-
характеристической для множества W (т. е. / (х) = 1 на W и / (х) = 0 на С If). Значит,
2 2 t>lj < + °°. При рассмотрении суммируемости ряда G.5) методом (С, 1),
а также сходимости ряда 2J сп конечное число первых членов не играет
роли, поэтому, не нарушая общности, можно считать, что для некоторого Nx
имеем сп = 0 для n^N1.
Это число N± можно предположить столь большим, что
2 2
k=Nx+\

§ 7 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СИСТЕМЕ РАДЕМАХЕРА 225
Из-за выбрасывания членов в сумме an(t) (т. е. предположения
сг = с2 = ... = cNl = 0) константу Мг в формуле G.6), может быть,
придется изменить на некоторую М2.
Применяя к последней сумме в неравенстве G.8) неравенство Буняков-
ского и учитывая G.9), получаем
поэтому, замечая еще, что <р\ (/) = 1 почти всюду для любого п, найдем из
к=ш\ ч к=\
Значит,
при любом п. Пусть N2 произвольно.
Если iV3 > N2, то
Но iV3 можно взять как угодно большим; отсюда следует, что
J"
а так как N2 любое, то 2J С1 < + со-
/с=1
Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Теорему 2 можно несколько усилить, а именно
высказать ее в такой форме:
Если для ряда ? сп <Рп @ чезаровские суммы удовлетворяют условию
К@1<М (л =1,2,...) G.10)
на некотором ёГ, т^ > 0, то 2 с% < + ©о.
Действительно, при доказательстве теоремы 2 мы сначала обнаружили
существование множества положительной меры, где выполнено условие
G.10), а дальше опирались только на этот факт.
Замечание 2. Мы для упрощения доказательства проводили рас-
рассуждение с методом (С, 1). На самом деле справедлива гораздо более общая
теорема.
Теорема. Если ряд ? сп Ун @ суммируем каким-либо методом Т, или
даже Т* на множестве меры больше нуля, то 2 сп < + °° *)•
Для случая сходимости эта теорема была доказана Колмогоровым и
Хинчиным [1].
*) О методах Г и Г* см. § 5 Вводного материала.

226 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
§ 8. Отсутствие критериев, налагаемых на модули коэффициентов
Мы хотим показать, что если не заботиться о знаках чисел ап и Ъп, а учи-
учитывать только их модули, то никакое условие, кроме 2J ап + Ь% <С + оо,
не достаточно для того, чтобы ряд
2 йп cos nx + Ъп sin nx
оказался рядом Фурье. Впервые этот факт был обнаружен Литтльвудом
(Littlewood Ш), показавшим, что если ряд 2 Qn расходится (д% = а\.+ ft?),
то можно так подобрать числа ап, что ряд
не будет рядом Фурье. Затем Сидон (Szidon ^) дал такое усиление теоремы
Литтльвуда:
Если все ряды
± -у- + jg ± (an cos nx + bn sin nx), (8.1)
n=\
где знаки -{-и — молено выбирать как угодно, являются рядами Фурье, то
Другими словами, если 2 ап + Ъ\ = + ©о, то можно всегда так подоб-
подобрать знаки + или —, чтобы получить среди рядов (8.1) такой, который не
является рядом Фурье.
Этот результат в свою очередь содержится в гораздо более сильном
результате Зигмунда. Для того чтобы его сформулировать, введем в рас-
рассмотрение функции Радемахера. Положим
Ао (х) = -Ц-, Ап (х) = ап cos nx + bn sin nx
и будем рассматривать ряды вида
со
2±Ап(х). (8.2)
п=0
Если мы исключим из рассмотрения все те случаи, когда либо +1, либо —1
в качестве множителя у Ап(х) встречается лишь конечное число раз, то выки-
выкинем лишь счетное множество рядов вида (8.2). Все остальные ряды могут
быть записаны в форме
2 An(x)<pn(t), (8.3)
где <рп (/) есть п-я функция Радемахера, а / — некоторое число на интервале
(О, 1), причем / =h^qi где р и q — целые. В самом деле, для любого / 4= -^
имеем (рп (/) = + 1 или <рп (t) = — 1 при любом п и, значит, ряд (8.3) прини-
принимает форму (8.2); обратно, если дан ряд (8.2) и в нем знаки + и — встречаются
бесконечное множество раз, то, как легко видеть, найдется одно вполне опре-
определенное /0 =h L-, для которого cpn(t0) = + 1 или <pn(t0) = — 1 и принимает
именно такой знак, который стоит у Ап(х).
Условимся говорить, что почти все ряды вида (8.2) обладают некоторым
свойством, если этим свойством обладают ряды (8.3) для почти всех значений t
на интервале @, 1).

§ 8 ОТСУТСТВИЕ КРИТЕРИЕВ, НАЛАГАЕМЫХ НА МОДУЛИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 227
Приняв эту формулировку, мы можем теорему Зигмунда сформули-
сформулировать так:
со
Теорема 1 *). Если 2 &% + Ь\ — оо, то почти все ряды
/2=1
± -у- + 2 ± (ап cos пх + Ъп sin пх)
не суммируемы (С, 1) почти всюду на [0, 2л] и, следовательно, не являются
рядами Фурье.
Эта теорема действительно с избытком покрывает выше сформулирован-
сформулированную теорему Сидона.
В свою очередь, она может быть получена из теоремы 2 § 7. В самом
деле, допустим, что 2 ап~\- Ь\ = + оо. Докажем сначала, что тогда
ут л 2 /«Л _|_ (^
п = \
для почти всех значений х.
Действительно, допустим, что это неверно. Тогда найдется такое ?,
00
тЕ > 0, что 2 А„ (х) сходится на Е. Можно тогда выбрать внутри Е
такое IT, mW > 0, на котором сумма 2 А^(х) ограничена. Пусть
2 А2п(х)<М на 9.
Полагая Ап (х) = gn cos (пх + ап), можем интегрировать ряд 2 А% (х) по-
почленно по множеству 9; тогда получим
2 9п I cos2 (пх + ап) dx < Mmff. (8.4)
Но
при п -> оо; значит, для достаточно большого N каждый член ряда в левой
части (8.4) при n^N превосходит q% а, где а > 0, поэтому
2 &< + <*>,
а это противоречит гипотезе 2 ап + Ь% = + °°.
Итак, мы убедились, что если 2 ап + Ь% = + о°, то 2 А%(х) = + оо
для почти всех значений х.
Теперь обозначим через Е плоское множество точек (х, /), обладающих
таким свойством: если (х0, /0) $ Е, то ряд
2An(xQ)Vn(tQ)
суммируется методом (С, 1), т. е. соответствующий ряд
2±Ап(х0)
суммируется методом Фейера. Докажем, что тЕ = 0.
*) Зигмунд доказал более общую теорему, а именно несуммируемость этих рядов
любым методом Т *. Однако, поскольку мы в доказательстве опираемся на теорему 2 § 7,
а она была доказана лишь для метода (С, 1), то и здесь мы получаем более слабый результат.

228 коэффициенты фурье гл. II
Действительно, ?А% (х0) = + °° Для почти всех х. Пусть & — множество
тех х, для которых это имеет место, тогда mW =¦ 2л. Если х0 ? If, то по преды-
предыдущей теореме Зигмунда множество тех t, для которых2Ап (х0) cpn(t) сумми-
суммируется методом (С, 1), имеет меру нуль. Значит, множество точек (х0, t) ? Е
имеет меру нуль, и это верно для всех х0 ? %. Следовательно, для почти всех
х0 на [0, 2л] вертикальная прямая х = х0 пересекает Е по множеству меры
нуль. Но тогда по теоре?ле Фубини (см. Вводный материал, § 18) имеем
гпЕ = 0. Если так, то, снова по теореме Фубини, почти всякая горизонталь-
горизонтальная прямая пересекает Е по множеству меры нуль, т. е. для почти всех /0
со
ряд 2 Ai (х) Vn (Q может суммироваться методом (С, 1) лишь для множества
точек, имеющего меру нуль. Но это значит, что «почти все ряды»^ + Ап(х)
суммируются методом Фейера лишь на множестве меры нуль, а так как ряд
Фурье должен суммироваться методом Фейера почти всюду, то почти все
ряды 2 + Ап(х)не являются рядами Фурье, и доказательство закончено.
Замечание 1. Полезно отметить, что если 2 ап + Ь% = + °°, то для
почти всех рядов 2 ± (fln cos nx + bn sin nx) частные суммы ряда почти всюду
неограничены. Действительно, если ряд 2 (ап c^s nx + bn sin nx) <pn (t) имеет
ограниченные частные суммы на плоском множестве Е, тЕ > 0, то
тогда на основании замечания к теореме 2 § 7 на множестве положи
тельной меры ? (ап cos nx -f bn sin nxJ <+ oo} а это противоречит гипотезе
2<% + Ъ2п = + оо.
Этим замечанием мы воспользуемся в главе V, § 23.
Замечание 2. Мы доказали, что если 2 а1 + *°п = + °°, то почти
все ряды
2 ± (ап cos nx + bn sin nx)
не являются рядами Фурье. Интересно отметить, что когда 2 ап + Ь% < + ©о,
то почти все эти ряды сходятся. Этот результат является немедленным след-
следствием теоремы 1 § 7.
§ 9. Некоторые необходимые условия для коэффициентов Фурье
В § 6 мы уже говорили о трудностях нахождения необходимых условий
для коэффициентов Фурье от суммируемых функций.
Здесь мы, следуя Салему (Salem[1]), укажем некоторые необходимые уело
вия, которые могут представить известный интерес.
Пусть
¦^г + j?ancosnx + bnsmnx (9.1)
л = 1
есть ряд Фурье от некоторой суммируемой функции /(х). Пусть ср (х) — функ-
функция с ограниченным изменением, ап и рп — ее коэффициенты Фурье; мы будем
предполагать а0 = 0. Тогда справедливо равенство Парсеваля (§ 5)
J f(x) 9(х) йх = тс2 (а„ «« + Ьп К) ¦
—п л = 1
Пусть (л — переменный параметр; рассмотрим функцию, равную q> (/лх)
на (—щ л) и с периодом 2тг. Если an(jj), рп(/л) — ее коэффициенты Фурье, то
мы будем иметь
]^ \ (9.2)

§ 9 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ Д,ЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 229
2п
Пользуясь леммой Фейера (см. глава I, §20) и тем, что ao = —[(p(x)dx = 0,
6
мы видим, что интеграл в левой части (9.2) стремится к нулю при ^-»оо,
Кроме того,
2п /л-2п
*) dx = Т^Г f (P(y)dy->0 при /*-> оо
о 6
снова в силу а0 = 0. Поэтому из (9.2) получаем:
lim 2 [«n<*n(/*) + bnPn(f*)] = O
является необходимым условием для того, чтобы ап, &„были коэффициентами
Фурье.
В частности, если положить ср (х) = cos х или <р (х) = sin x и считать. /л
не целым, то найдем
п ^ (-1)" an a0 sin [лп
x = 2!*smtm2 ^_П2 + ~ ,
— п
f (х) sin /btxdx = 2 sin /лтс 2L
п = \
Если вместо {(х) рассмотреть f(x + эт), то мы избавимся от множителя
(—1)". Заставим теперь /л -> оо, принимая значения, не приближающиеся ни
к каким целым числам; например, положим
где р пробегает все целые числа.
Отсюда имеем такие необходимые условия для того, чтобы числа ап и Ьп
были коэффициентами Фурье:
lim р у ап _о-lim V nbn =0. (9.3)
(9 -0^-а(^
Из первого из этих условий можно, в частности, извлечь такое следствие:
Если ап ф 0, то для того чтобы ряд
был рядом Фурье, необходимо чтобы
Ит(ап-йп+1Iпл = 0. (9.4)
Для доказательства этого утверждения покажем сначала, что если
ап ф 0, то
—=0- (9-5)

230 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Действительно, все члены ряда в формуле (9.5) отрицательны,
поэтому ряд
00
знакоположителен, и в силу ап ф 0 его сумма не превосходит
azp+i J? гту-;
п=2р+1 П2 _ _ | р . [ i I
Р+-j) ^~тп2> а потому
Следовательно,
Р
и это доказывает (9.5).
Отсюда следует, что при ап ф 0 необходимое условие (9.3) можно пере-
переписать в виде
f = 0. (9.6)
р
Но так как
1 1
l-2n J'
то условие (9.6) равносильно условию
j™ | «« [Т^ТЬ21Г + 2, + 1-2„] = ° •
Так как
^fl" 2P+l+2n <27-2a^Q
при р -> оо? поскольку ап ->0, то условие (9.7) принимает вид
ИЛИ
ИЛИ
I + 3 +-*-+ 2р-1

§ 10 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ САЛЕМА 231
Но, полагая лп = ап — ап+ъ мы сразу видим, что каждый из числителей
дробей в (9.8) не меньше лар (поскольку все Аап^О по условию), а потому
(9.8) влечет
7
Но тогда и
Аар\пр->0}
и наше утверждение доказано.
Это необходимое условие позволяет построить пример ряда из
косинусов:
2 ап cos пх,
у которого ап ф 0, и однако он не является рядом Фурье *). Для этого доста-
достаточно положить, например,
ап = ± для 2<— 1J<^<2ma, /л = 1,2,...
Тогда монотонность налицо, но
(а^ - а?>) In 2»" = [~ - -^) тЧп 2 -> In 2
при ш-^оо и необходимое условие не соблюдено.
§ 10. Необходимые и достаточные условия Салема
Мы хотим теперь указать некоторые условия, которые хотя и не явля-
являются прозрачными, но все же представляют интерес как необходимые и доста-
достаточные. Они были выведены Салемом (Salem [1]).
Обозначим через {М} класс функций
со
00 (х) = 2 ап COS ПХ + Рп sin Пх
непрерывных, дифференцируемых, |со (х)| ^ 1, и таких, что ряд Фурье от
ft)'(x) абсолютно сходится.
Теорема. Для того чтобы ряд
2T^nc°snx + bnsmnx (Ю-О
был рядом Фурье, необходимо и достаточно, чтобы 1) формально проинтегри-
проинтегрированный ряд
2> — \ cos пх + ^- sin nx
сходился к непрерывной функции F(x);
2) выражение
стремилось к нулю, когда со, находясь в классе {М}, меняется так, что
(«л + Рп) стремится к нулю.
2 («
1
*) Первый пример такого ряда был построен Сидоном (см. Szidon t1!).

232 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Условия необходимы. Допустим, что A0.1) есть ряд Фурье от
суммируемой функции/(х). Необходимость условия 1) есть классический
результат. Пусть теперь со(х) принадлежит {М} и пусть
j(x)d = 2ап + № = ?. A0.2)
-я n = 1
Мы имеем
я
i [/ (х) со (х) tfx= j? ап ап + Ъп рп. A0.3)
Применение равенства Парсеваля законно (см. § 5), так как со'(х) имеет
абсолютно сходящийся ряд Фурье, а потому со(х) не только с ограниченным
изменением, но и абсолютно непрерывна (более того, ряд в правой части
A0.3) даже абсолютно сходится).
Пусть Е — множество точек, где \со(х)\ ^> в3; тогда из
1
и из равенства A0.2) следует, что тЕ < яе3. Обозначая черезСЕдополнение
к ? и принимая во внимание то, что |со(х)| <^ 1, имеем
СЕ
а так как е -»0, то необходимость 2) доказана.
Условия достаточны. Достаточно будет доказать, что F(х)
абсолютно непрерывна; действительно, тогда ^(х)есть неопределенный интег-
интеграл от некоторой суммируемой/(х), и так как -и -—- являются коэффи-
коэффициентами Фурье от F(x), то, интегрируя по частям, убедимся, что ап и Ъп —
коэффициенты Фурье от /(х).
Пусть (сг, dj, (c2, d2), ..., (с„, i) — некоторая система неперекрываю-
неперекрывающихся интервалов, лежащих на [—щ тс]. Выберем функцию со'(х) = —
следующим образом: пусть р — целое положительное как угодно большое
число. Положим для / = 1, 2, ..., v
и а/(х) = 0 во всех остальных точках [— л, л].
Ясно, что свободный член ряда Фурье от а/(х) равен 0, что ее ряд Фур1 е
сходится абсолютно и что

§ 10 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ САЛЕМА 233
т. е. со (х) принадлежит к классу {М}. Пусть
со (х) = 2 ап cos пх + Рп $т пх •
п — \
Тогда коэффициенты ряда Фурье для со' (х) имеют вид п/Зп и —пап, поэтому
K(x)Ac= 2 (- if] п$п - (-тг) пап= ~ 2 ап<*п + Ьпрп. A0.30
С другой стороны,
так как со(х) = 0 вне всех (ch dt) и \со(х)\ < 1 всюду.
V со
Поэтому, если 2 № — сд стремится к нулю, то 2 а1 + Рп -> О? а тогда,
1=1 П=1
в силу условия теоремы, и 2 (ап ап + Ьп рп) ->0, а потому из A0.3')
J F (*) а/(*)</*-> 0. A0.4)
— я
Мы докажем, что из этого следует 2 I F(dt)—F(ct)\-^O, а тогда абсолют-
абсолютная непрерывность F(x) будет установлена. Имеем
j F(x)co/(x)dx= 2 | F(x)co/(x)dx+ Г F(x)co/(x)dx.
—я г== с^ / 1 \
Применяя первую теорему о среднем значении и обозначая через ух некото-
некоторую точку, такую, что с,- < у{ < с( (l + y-J , и через <5Z- такую точку, что
rfi(i-i)<«i<4
имеем
Г Г
J J
f F Mco' (x)dx=F(d) f
J : J
1
Значит,
я
j> (x) со' (x) dx = -i. ^ [F (y,) - F (<3,)]. A0.5)
—я
Но выражение в правой части A0.5) как угодно близко к -j 2 \.F(di)~-F (c)\,
если р достаточно велико, и, значит, из того, что интеграл в левой части
V
A0.5) стремится к нулю (см. A0.4)), вытекает, что 2 \F(dt) — F(c()]-^Oy
а это заканчивает доказательство.

234 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
§ 11. Тригонометрическая проблема моментов
Вопрос о том, когда заданные числа {ап} и {Ьп} могут быть коэффициен-
коэффициентами Фурье или, более специальный вопрос, когда они являются коэффи-
коэффициентами Фурье от функции, удовлетворяющей дополнительным требова-
требованиям (например, ограниченной или неотрицательной, или монотонной),
может быть поставлен в терминах так называемой «тригонометрической про-
проблемы моментов».
Принято называть «моментами» функции / (х) числа
S A1.1)
и «тригонометрическими моментами» числа
cn=2$f(t)el»'dt (л = 0, ± 1, ± 2,.. .)• A1.2)
О
Проблемой моментов называется такой вопрос: задана последователь-
последовательность чисел /лп, существует ли такая /(х), для которой справедливы равенства
A1.1)? Аналогично ставится и тригонометрическая проблема моментов. Так
как система [eint} полна на [0, 2тг], то равенство нулю всех моментов функции
возможно только, если она равна нулю почти всюду, а потому функция одно-
однозначно задается своими тригонометрическими моментами. Но, разумеется,
далеко не всякая последовательность чисел может быть последователь-
последовательностью моментов некоторой функции. Проблемой моментов занимался целый
ряд авторов, начиная с П. Л. Чебышева. Основные сведения о степенной
проблеме моментов читатель найдет в книге И. П. Натансона [МЛ51 часть II,
глава VII. Подробное изложение результатов, относящихся как к степенной,
так и к тригонометрической проблеме моментов, можно найти в книге
Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна tM-2]. Мы здесь не имеем возможности изла-
излагать эти результаты, так как это потребовало бы слишком много места.
Ограничимся для примера формулировкой одного из них. Для этого надо
сначала ввести одно определение.
Пусть с0 — действительное, с0 ?= О, сг, с2, ...,сп, ... — комплексные
числа. Рассмотрим тригонометрические полиномы
п.
k=—n
с, вообще говоря, комплексными коэффициентами; пусть
п
а\' п) = 2j ЛкСк>
к=-п
где
Очевидно, что если Тп (e(t) есть тригонометрический полином с действи-
действительными коэффициентами (А_к = Ак, к = 1, 2, ..., п), то и а (Тп) есть дей-
действительное число.
Условимся называть конечную последовательность
^0> ^V ^2? • • • у ^п
ненегативной на окружности 0 <^ / <С 2я, если из соотношений
Тп(е»)ф0, Tn(
всегда следует

11 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ 235
Бесконечную последовательность
назовем ненегативной на окружности, если при любом п этим свойством
обладает последовательность
С0 у С1 у • • •у Сп -
Можно указать ряд критериев для того, чтобы последовательность с была
ненегативной на окружности, например критерий Теплица: для этого необ-
необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма
2Ci+kXiXk, где m = |y
была неотрицательна.
Приняв это определение, сформулируем следующую теорему
Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна tM-23.
Для того чтобы существовала функция f (х), удовлетворяющая соотно-
соотношениям
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
и чтобы была ненегативна на окружности последовательность
У о, Уху • • •, Ут • • • ,
где
а последовательность у1У у2, .. определяется с помощью разложения
Таким образом, с одной стороны, задача для случая ограниченной функ-
функции казалось бы полностью решена, но, с другой стороны, практически крайне
трудно проверить, существует ли для заданной последовательности чисел
ограниченная функция, имеющая их своими коэффициентами Фурье, и тем
более ее найти.
Существуют и другие критерии, носящие столь же законченный харак-
характер с точки зрения чисто теоретической, но в то же время затруднительные
для применения к конкретным случаям. Такова, например, теорема Кара-
теодори (см. Caratheodory ПМ2]).
Для того чтобы числа 1, а1У а2, ..., ап, ...; bv b2, .-..,&„, ... были коэф-
коэффициентами Фурье от положительной функции, необходимо и достаточно,
чтобы точка (а1У а2; ...,anybly 62, . ..,6П) в 2п-мерном пространстве при-
принадлежала телу Кпу являющемуся наименьшим выпуклым телом, содержащим
кривую
хг = 2 cos (р, х2 = 2 cos 2 q>y . . . , хп = 2 cos ncp,
y1 = -2sin(p, y2 = ~2s:n2(p, . . . , yn = -2sinri(p
(л = 1,2,...)'-
В том же направлении имеется работа Байада (Bajada Ш), см. также
Гизетти (Ghizzett П], и, [3])? Паньи (Pagni M).

236 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
§ 12. Коэффициенты тригонометрических рядов
с неотрицательными частными суммами
В работе Хелсона (см. НекопШ) указано, что Штейнгаузом был поставлен
следующий вопрос:
Пусть у тригонометрического ряда
+i cne"" A2.1)
— 00
N
все частные суммы ? cneinx неотрицательны при любом х. Следует ли
n=-N
отсюда, что это ряд Фурье?
Этот вопрос возник в связи с тем, что Штейнгауз^ доказал теорему:
если тригонометрический ряд сходится всюду и сумма его положительна,
то этот ряд есть ряд Фурье *).
Вопрос в этой форме до сих пор не решен. Мы хотим изложить здесь два
результата, тесно связанных с решением поставленной проблемы. Прежде
всего заметим, что если проблема Штейнгауза решается положительно, то во
всяком случае из
2 Cneinx^O при всех N и х A2.2)
должно следовать сп ->0 при \п\ -> оо.
Здесь будет доказано, что это действительно имеет место. Этот результат
будет следовать из теоремы Хелсона, в которой доказывается даже более
сильное утверждение (см. ниже теорему Хелсона).
С другой стороны, будет дан пример, принадлежащий Турану (см.
Turan Ш) и показывающий, что при неотрицательности частных сумм ряда
A2.1) возможен все же случай 2 сп = + °°- Следовательно, при выполнении
A2.2) ряд не обязан быть рядом Фурье от / ? L2. Должен ли он все же быть
рядом Фурье — остается еще не выясненным **).
Сформулируем теперь теорему Хелсона:
Теорема Хелсона. Если
JI 2 cneinx\dx<A A2.3)
О л=-Л7
при N -> оо, то сп ->0 при \п\ -> оо.
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что в случае, когда выпол-
выполнено A2.2), то и условие A2.3) выполнено, так как тогда
2л N 2л N
Г I V Г pin* ! ri y Г V Г pinx rfv г О тт
J | sLJ ^п ** ! MX — J ?j ^п " UX — Lq • Z 71 .
О n=—N 0 n=—N
*) Доказательство этой теоремы Штейнгауза (и даже более общего результата) будет
нами дано в § 4 главы XIV.
**) Для случая, когда ряд сходится всюду, кроме одной точки, к неотрицательной
функции/(х), можно только утверждать, что f (х) ? L, но нельзя утверждать, что /(х) ? Lp
°° cos пх
для р > 1. Действительно, мы знаем (см. § 30 главы I), что ряд 2j 1r, „ сходится всюду,
п=2 mJ}
кроме х = 0 (mod 2л), и его сумма / (х) неотрицательна. Однако / (х) ? LP, каково бы ни
было р > 1, так как, если бы / (х) ?Lp (р > 1), то (см. § 4) имели бы
п=1 п
что при ап = — не имеет места.
Inn

§ 12 КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 237
Поэтому из теоремы Хелсона немедленно следует, что если у тригонометри-
тригонометрического ряда все частные суммы неотрицательны при любом х, то его коэффи-
коэффициенты стремятся к нулю.
Доказательство теоремы Хелсона. Если обозначить
через gn(x) фейеровские суммы ряда A2.1), то из условия A2.3) сразу сле-
следует
J\oN(x)\dx<A, A2.4)
о
а потому (см. § 60 гл. I) рассматриваемый ряд A2.1) есть ряд Фурье—Стил-
тьеса от некоторой функции /х(х), т. е.
2я
-in* dp (п = 0, ± 1,...)- A2.5)
Допустим противное тому, что мы хотим доказать, т. е. сп —/->0. Это
значит, что найдется такое е >> 0 и такая последовательность целых tij, что
|^|>в, /=1,2,... A2.6)
Если определить функции gn{x) условием
х
= ]je
то {gmj(x)} ограничены в совокупности и имеют одно и то же полное измене-
изменение, а потому по первой теореме Хелли (см. Вводный материал, § 17) из
последовательности {gn/(x)} можно выделить подпоследовательность, сходя-
сходящуюся в каждой точке к некоторой у{х) с ограниченным изменением. Чтобы
не менять обозначений, будем считать, что уже вся последовательность {nj)
обладает этим свойством. Тогда в силу теоремы о переходе к пределу под
знаком интеграла Стилтьеса (см. Вводный материал, § 17) имеем для любой
непрерывной <р(х)
2л 2я
J q> (x) dy= lim J (p (x) e~inix d/i. A2.7)
О j+oo О
Если мы разложим р (х) на сумму двух функций, из которых одна син-
сингулярная (см. Добавления, § 17), а другая — абсолютно непрерывная, то
равенство A2.7) остается в силе для сингулярной части, так как для абсо-
абсолютно непрерывной соответствующий интеграл должен стремиться к нулю.
Будем в формуле A2.7) рассматривать в качестве ср (х) такие непрерывные
функции, которые по модулю не превосходят единицу и обращаются в нуль
вне некоторого интервала {а, Ь). Имеем
2я Ь
sup J q> (x) dy = sup J q> (x) dy = Var у
<P 0 I 9?! ^ 1 a (a, b)
в силу свойств норм линейных функционалов (см. § 19 Вводного материала).
Но из A2.7) видим, что для таких ср
dy\^l\dii\ = Vzri*, A2.8)
а (а>Ь)
т. е.
Var у < Var /и. A2.9)
(М) (а, Ь)

238 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Так как/х(х) сингулярна, то и Var/x есть сингулярная функция х (см.
@,х)
Добавления, § 17), а потому, поскольку A2.9) справедливо для любых а и Ь,
мы имеем
при
для почти всех х. Поэтому у'(х) = 0 почти всюду. Покажем, чтЪ у(х) син-
сингулярна. Для этого надо только убедиться, что у(х) =h const. Но, полагая в
A2.7) ср (х) = 1, мы видим, что в силу A2.5) и A2.6)
2я 2я
§ dy = limJ ?-fn^d/г = lim2лсщф0,
о У-* °° о У— °°
а тогда ясно, что у(х) ф const. Итак, у(х) сингулярна.
Рассмотрим теперь для тех же rij функции hn (x), определенные так:
hn(x) = ]e-ir* 2 ckeiktdt.
О /с=—п
В силу условия A2.3) их полные изменения ограничены в совокупности,
и сами они тоже, а потому можно, рассуждая по предыдущему, утверждать,
что найдется такая у* (х), для которой при любой непрерывной у (х)
2л 2л mj
§(p(x)dy* = lim J (е~(пч* 2 cn einx) q> (x) dx.
О У-*-°°0 n=-trij
Здесь последовательность {mj} содержится в {nj}-
Покажем, что для всякого к > 0 имеем
2я
e~ У >
о
т. е. коэффициенты Фурье—Стилтьеса а% от у*(х) обращаются в нуль для
всех к > 0.
Действительно, мы имеем
2я 2я mj
= $ e~ikx dy* = lim J 2 Cn ^n~mrk^dx = 0, A2.8')
так как /г — rnj^O и, следовательно, /г — m;- — к < 0 при /с > 0, а потому
каждый интеграл в правой части A2.8') равен нулю.
Покажем теперь, что если ак — коэффициенты Фурье—Стилтьеса для
у(х), то
af = ak при
Действительно, с одной стороны
—ft)*/7v — О тт lim гПш
2л mj
2тса% = lim J 2* Спв^-^-^йх = 2л lim cm + ft, A2.90
у-со о n=-mj /-*
так как только при п = mj + к интеграл в правой части A2.9') отличен от
нуля. С другой стороны, в силу A2.7), подставляя ср{х) = е~~1кх, находим
2я 2я
2и ак = f e~ikxdy = lim j e-Un*+k)x dp = 2л lim с„у.+Л.

§ 12 КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 239
Раз lim сщ+к существует, а последовательность {т;} содержится в {tij}, то
lim ст.+к = lim cnj+k, а потому
;-»оо ;-» со
Следовательно, у функции у (х) — у * (х) все коэффициенты Фурье—
Стилтьеса с неположительными индексами равны нулю, а потому
у(х)— у*(х) абсолютно непрерывна по теореме Ф. и М. Рисса (см. гла-
глава VIII, § 12). Но по той же теореме из af — О при к > О следует, чтоу*(х)
абсолютно непрерывна. Значит, и у(х) абсолютно непрерывна, а мы дока-
доказали ранее, что она сингулярна.
Из полученного противоречия вытекает, что A2.3) и A2.6) несовместны,
а потому
lim | сп | = 0 при | /г | —>—Ь- °°,
и теорема доказана.
Остается открытым вопрос, не должна ли при наличии условия A2.3)
функция fi(x) быть абсолютно непрерывной. Если бы это было верно, то спра-
ведливость гипотезы Штейнгауза была бы доказана, потому что ряд 2 сп einx
П = — оо
оказался бы просто рядом Фурье.
Замечание. Не только для тригонометрических рядов, удовлетворя-
удовлетворяющих лишь условию сп -»0 при \п\ -> оо, но даже для рядов Фурье условие
Хелсона
J\Sn(x)\dx<C
о
(где Sn(x) — сумма п первых членов ряда), вообще говоря, не имеет места.
Это будет доказано в § 22 главы VIII. Таким образом, теорема Хелсона заве-
заведомо необратима.
Мы теперь переходим к построению примера Турана, упомянутого в
начале этого параграфа и показывающего, что неотрицательность частных
сумм тригонометрического ряда во всяком случае не влечет то, что он есть
ряд Фурье от f(x) ? L2.
Теорема Турана. Существует тригонометрический ряд
? ancosnx, A2.10)
у которого частные суммы Sn (х) ^> 0 (—л <С х <^ я), п = 1, 2, ..., и, однако,
В качестве коэффициентов ап Туран берет коэффициенты разложения в
ряд Тейлора для A — z) 2 , как известно,
__!_ .ixv _Bл-^1)_м_ zn ^ A2 л})
причем ряд сходится для \z\ < 1. Полагая
- B л — 1) 11
покажем, что ряд A2.10) удовлетворяет условиям теоремы Турана.

240 КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ГЛ. II
Для этого прежде всего заметим, что
! ! J 2л + 0„ ' ГДе и<^п
(как доказывается при выводе формулы Валлиса, см., например, Фихтен-
голыд, т. II, стр. 169), откуда сразу следует для п = 1, 2, ...
°^ = И 2п+6п ' A2.13)
а потому
2а* = + °°.
Теперь надо показать, что частные суммы ряда A2.10) все неотрица-
неотрицательны.
С этой целью заметим сначала, что в силу A2.13)
ап<г= (я = 1,2,...). A2.14)
Теперь докажем лемму:
Лемма. Если
g (х) = d0 + dx cos x + ... + dn cos nx
— тригонометрический полином, у которого коэффициенты положительны
и монотонно убывают (или возрастают), то g(x) не обращается в нуль в
интервале
0<х<^. A2.15)
Для доказательства запишем g (x) в виде
и
и
S (х) = 2 dv c°s vx + 2 dv cos vx.
0 U]
В первой сумме число членов не меньше, чем во второй, и притом в силу
A2.15) все эти члены неотрицательны. Следовательно, если сложить каждый
член dv cos vx второй суммы с членом dn-v cos (n — v) x первой суммы, то
2
[f
-dn-vcos(n-v)x]. A2.16)
Но для рассматриваемых значений v в силу A2.15), очевидно,
Кроме того,
(п -~ v) х < vx < п — (п — v) х.
Следовательно,
| cos v х | < | cos (n — v) x | = cos (n — v) x. A2.17)
Так как мы коэффициенты полинома g (x) предположили монотонно
убывающими, то
</„<</„-„,
а отсюда и из A2.17) следует, что все члены суммы, стоящей в квадратных
скобках в A2.16), положительны, а потому лемма доказана.

§ 12 КОЭФФИЦИЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 241
Теперь вернемся к доказательству теоремы. Если мы возьмем частную
сумму Sn(x) ряда A2.10), то так как числа ап положительны и монотонно
убывают (см. A2.12)), мы находимся в условиях леммы, т. е. заведомо имеем
Sn(x)>0 при 0<х<-^-.
В силу четности полинома Sn(x) достаточно теперь доказывать его неотрица-
неотрицательность для -^ < х ^ п.
Кроме того, для п <^ 2 утверждение очевидно, так как
— 1 — i_ — А
и полиномы
о 1 с* / \ ii с* / \ ii i о
неотрицательны просто потому, что 1 —- [ -к- + -~-1 > 0.
Итак, достаточно рассматривать Sn(x) при
л>3 и -^<х<тг. A2.18)
Так как коэффициенты в разложении .. ^монотонно убывают, то по
теореме Абеля ряд A2.11) сходится не только для |z| < 1. но и для z = ен,
если только t ф 0 (mod 2тг).
Следовательно, в этих условиях
00 j
Отделив действительную часть, имеем
Re^fl,e'"=2T a,cosrf=ReL(l - в") 2J = Re [е 4 [е 2 - е 2) \ =
v=0 v=0
2 1
Отсюда следует, что для 0 < х < 2 ж
71 —X
COS 4 °°
Sn(x) =-—=-- 2 avcosvx.
2sin^- *"T1
Но в силу A2.18) во всяком случае cos п Т х >-гр-, откуда
5„(^)>—pL=^ — 2' a^cos^x. A2.19)
21/ . X 1>=л + 1
[/sinT
Мы теперь займемся оценкой сверху ряда, стоящего в правой части
A2.19).

242 коэффициенты фурье гл. II
В силу леммы Абеля (см. Вводный материал, § 1) и учитывая, что
1А,(*)К Цг, ^=1,2,...;
2sinT
имеем
I ^ an i-i
A2.20)
Но так как в силу A2.14) имеем
sin —
то из A2.19), A2.20) и A2.21) следует
1 \. A2.22)
' sin у ]J7i(n + l)sin у рш у
Из этого мы должны теперь заключить, что Sn(x)^0. Пусть сначала
Тогда
. х ^ х
а потому
"X.
пп sin — >> 2 ,
и это в силу A2.22) влечет Sn(x) > 0.
Теперь рассмотрим случай
-<*<-. A2.23)
п ^ п v ;
В этом случае, так как при х > О
имеем в силу A2.23)
Но мы уже отмечали, что достаточно рассматривать случай п ^ 3, а между
тем уже при п ^> 2 имеем в силу A2.24)
1 ^1 /г 2 /1 /" 2 1 1/" 12
5 < 2
а потому из A2.22) снова заключаем, что Sn(x)>0, и теорема полностью
доказана.
Замечание 1. Автор отмечает, что в последнем пункте доказатель-
доказательства было существенно использовано неравенство
71П
так как если бы взять, например, ап<^-^=, то уже данный ход рассужде-
|/2п
ний не привел бы к цели.

§ 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 243
Замечание 2. Если бы в лемме рассмотреть вместо интервала
О < х < — меньший интервал 0 < х < -?- , то необращение g(x) в нуль было
бы тривиальным; однако этого факта было бы недостаточно для доказатель-
доказательства теоремы.
С другой стороны, хотя для доказательства теоремы это и не нужно,
можно отметить, что расширить интервал [О, —I уже нельзя. Действительно,
если для п ^> 1 рассмотреть полином
?0 (*) = 1 + C0S X + • • • + C0S ПХ у
то так как
g(*) + A(*)
где Dn (x) — ядро Дирихле, видим, что
sin In + -jjx
n -h 1 n
sin —2— x cos ~2 :
ou v/ Z X X
2 sin -^ sin —
Но отсюда ясно, что go(x) обращается в нуль при х = —, а между тем он
удовлетворяет условиям леммы.
Ряд интересных замечаний и дополнений к данному вопросу содержится
в уже упомянутой работе Турана (Turan Ш).
§ 13. Преобразования рядов Фурье
Ряд авторов изучал следующий вопрос: допустим, что
^ л=1
При каких условиях, наложенных на числа Хпу ряд
-у- К + 2" (ап cos пх + Ьп sin пх) К A3.2)
снова является рядом Фурье, и если он есть o(F), то что можно сказать об
этой функции F(x), зная свойства / (х)? Мы не будем рассматривать здесь те
случаи, которые уже разобраны в книге Зигмунда^-6^, §4.60, и хотим указать
некоторые более поздние работы в том же направлении.
Так, например, Салем (Salem Ш) показывает, что можно всегда выбрать Хп
так, чтобы Хп t ©о, последовательность {Яп} была вогнутой и при этом
ряд от непрерывной /(х) преобразовывался в ряд от непрерывной F и ана-
аналогично для случая /(Lh F ? L.
А. Ф. Тиман И указал эффективное необходимое условие для {Яп}, чтобы
ряд Фурье любой ограниченной функции, или непрерывной, или интегри-
интегрируемой преобразовывался в ряд Фурье функции того же класса (а также
ряд Фурье—Стилтьеса в ряд Фурье—Стилтьеса). Это условие:
к^\
сходится равномерно относительно п. В частности, если {Яп} монотонна, то
отсюда Хп — Яп+1 = i

244 коэффициенты фурье гл. II
А. А. Конюшков[13 показал, что если 0 < а < 1, 1 ^ р ^ °° и
/(х)? Lip (а, р), т. е.
то для любой выпуклой последовательности {Хп} с Дп->0 ряд A3.2) будет
рядом Фурье от F ? Lip (а, р), т. е.
Проблему преобразования ряда Фурье можно обобщить, а именно:
дана матрица ||%||. Совершаем преобразование, определяемое этой матрицей,
над коэффициентами ап и Ьт т. е. берем
А = Д akJ aj; Вк =^akj bj. A3.3)
Предполагая, что эти ряды сходятся, т. е. Ак и Вк определены для любого /с,
спрашиваем себя, при каких условиях, наложенных на матрицу, ряд
-Ф- + 2 лк cos кх + Вк sin кх A3.4)
будет снова рядом Фурье, и какова определяемая им функция.
В частности, Харди ЭД первый рассмотрел этот вопрос для случая, когда
f (x) ~J?akcoskx,
(т. е. матрица является той, которая употребляется в методе (С, 1)). Харди
показал, что такая матрица преобразует ряд Фурье в ряд Фурье, и если
f(x)?Lp(l<p< оо), то и F (х) ? ZA Далее Беллман (Bellman ?2J) рассмат-
рассматривал случай, когда
А - V ап
В этом случае для произвольного ряда Фурье числа Ак могут уже не
иметь смысла, но если / ? Lp при р > 1, то он показал, что вновь получен-
полученный ряд будет рядом Фурье от F ? Lp. Матрица Беллмана является транспо-
транспонированной по отношению к матрице, Харди.
Другие авторы рассматривали также матрицу Харди, но для ряда из
синусов, а также и матрицу Беллмана для этого случая, и при этом налагали
на /(х) те или иные условия.
Не имея возможности останавливаться на всех частных результатах,
отметим один достаточно общий результат Юнга (F. Young П]). Он изучал
произвольные матрицы ||аЛ;|| и указал условия, при которых они преобра-
преобразуют ряд от / ? LP в ряд от F ( Lp. В частности, из его результатов
вытекает, что если матрица обладает этим свойством, то и транспониро-
транспонированная тоже, а потому теорема Беллмана могла бы быть выведена из
теоремы Харди.
Укажем еще, что в уже упомянутой работе А. А. Конюшкова есть тео-
теорема, аналогичная теореме Беллмана, а именно:

§ 13 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 245
Если g(x)~2Jbnsinnx и g(x) ?Lip а, 0<а<1, то и RnHG(x)~2JBnsinnx,
ОО 1
где Вп = 2 -г у имеем G(x) ? Lip а.
Там же имеются и теоремы о преобразованиях рядов Фурье для функций
из классов Lip (а, р).
Наконец, говоря о преобразованиях рядов Фурье, отметим работу
Рудина (Rudinf^), где ставится вопрос, при каких условиях, наложенных
на функцию ср (z) из того, что ^спе[пх есть ряд Фурье, следует, что и 29 (О е*пх
есть ряд Фурье. Оказывается для этого необходимо, чтобы у (z) удовлетворяла
условию Липшица в окрестности нуля. Это условие недостаточно, так как
cp(z) = \z\ удовлетворяет условию Lip 1, а между тем J? \cn\ einx может и не
быть рядом Фурье; это вытекает из результатов Кагана (Khf1])

ГЛАВА III
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
§ 1. Введение
В главе I мы уже рассматривали некоторые признаки для сходимости
ряда Фурье в заданной точке. Мы имеем в виду здесь рассмотреть €ще ряд
признаков, а также сравнить различные признаки между собой. Принято
говорить, что некоторый достаточный признак А сильнее признака В, если
1) каждый раз, когда можно вывести сходимость ряда из признака В,
можно получить тот же результат из признака Ау но
2) существуют случаи, когда признак А позволяет доказать сходимость,
тогда как признак В применить невозможно.
Если условие 1) выполнено, а относительно 2) ничего не известно, то
говорят, что признак А не слабее признака В.
Два признака А и В называются несравнимыми, если можно указать
случаи, когда А применим, а В — нет, точно так же, как и обратно.
Мы заканчиваем главу некоторыми замечаниями, касающимися равно-
равномерной сходимости; более подробно равномерная сходимость будет изучена
в главе IV.
§ 2. Сравнение признаков Дини и Жордана
В § 38 главы I было установлено, что если х точка регулярности для
f(x) и если
Л + f(x-t)-2f(x)\dt
имеет смысл, то ряд о (/) сходится к / (х) в этой точке (признак Дини).
С другой стороны, из теоремы Жордана (глава I, § 39) следует, что если
/ (х) имеет ограниченное изменение в окрестности точки х и х —точка регуляр-
регулярности, то a(f) сходится к / (х) в этой точке.
Покажем, что признаки Дини и Жордана несравнимы.
Действительно, положим
х па yj <^ л 5-. л
Тогда ясно, что / (х) монотонна на @, п) и на (—п, 0), а потому она с ограни-
ограниченным изменением на [—п,п]. Она, кроме того, всюду непрерывна, в част-

§ 3 ПРИЗНАК ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 247
ности при х = 0. Поэтому, применяя признак Жордана, мы видим, что ее
ряд Фурье сходится к ней всюду и, в частности, при х = 0.
Однако признак Дини не применим при х = 0, так как интеграл
dt .
= +00.
Напротив, если рассмотреть функцию
у)(х) = ][х sin — на
то для нее признак Дини показывает, что ряд Фурье сходится в точке 0, так
как интеграл
имеет смысл. Однако функция ip(x) имеет неограниченное изменение в любой
окрестности точки 0, а потому признак Жордана не применим.
Мы укажем в следующих параграфах еще ряд признаков для сходи-
сходимости в точке. Напомним (см. § 37 главы I), что для сходимости a(f) к f(x)
необходимо и достаточно, чтобы
о
г Г / ч sin пи .
1\т\ (px(u)——du,
где
Этим критерием и будем пользоваться.
§ 3. Признак Валле-Пуссена *), сравнение его с признаками
Дини и Жордана
Пусть
>0 при /->0.
есть функция с ограниченным изменением на некотором отрезке
О <; / <; д, то a(f) сходится к f(x) в точке х.
Имеем по определению
t
о
а потому
@ [^@]/ почти всюду.
*) Vallee-Poussin [i].

248 сходимость ряда фурье в точке гл. III
Следовательно,
= j X'(и) sm пи du + ^x(u)~^du. C.1)
О О
Первый из интегралов правой части C.1) стремится к нулю при и -> оо
потому, что % (и) с ограниченным изменением, а значит %' (и) суммируема на
(О, <5). Покажем, что и втопой интеграл стремится к нулю. Для этого заметим,
что х(и) непрерывна в точке 0 и имеет в ее окрестности ограниченное изме-
изменение. Поэтому а(х) сходится к 0 при и = 0. Но тогда
в
lim f[*@ + u)+x(O-u
n-"o
или
lim
а так как <рх (и) четная, то и % (и) четная, значит, отсюда следует
Мы видим, что
а потому a(f) сходится к /(х), и теорема доказана.
Докажем теперь, что
Признак Валле-Пуссена сильнее признаков Дини и Жордана.
Действительно, если f(x) имеет ограниченное изменение, то и фх(и)
также. Отсюда следует, что срх (и) является разностью двух монотонных, но
тогда и % (t) тоже окажется разностью двух монотонных и, следовательно,
будет иметь ограниченное изменение. Кроме того, % (t) -> 0 при / ->0. Действи-
Действительно, если/(х)= П*+ ) + /(*- ) ^ то рх(ц)->о при и ->0, следова-
следовательно, и %{() -> 0.
Таким образом, если выполнен признак Жордана, то и признак Валле-
Пуссена выполнен.
Теперь допустим, что выполнен признак Дини. Так как
/ @ = f(Px О" T~$Vx(u) du почти всюду,
о
то
|*^| |Wtt)l<fo. C-2)

§ 4 ПРИЗНАК ЮНГА 249
Первый член правой части C.2) суммируем в силу условия Дини. Затем,
интегрируя по частям
е д д
\\\l \^f\-du, C.3)
мы видим, что при г ->0 правая часть C.3) стремится к пределу, поэтому
и второй член правой части в C.2) суммируем на @, <5), значит, %' (/) сумми-
суммируема на @, д). Отсюда следует, что %{t) имеет ограниченное изменение
на @, <5).
Кроме того, % @ -> 0 при / -> 0, так как
u-+O при /->0.
Таким образом, если признак Дини выполнен, то выполнен и признак
Валле-Пуссена.
Мы доказали, что признак Валле-Пуссена не слабее признака Жордана
и не слабее признака Дини. Но так как эти два признака несравнимы (см.
§ 2), то признак Валле-Пуссена сильнее каждого из них.
§ 4. Признак Юнга-)
Пусть выполнены следующие условия:
а) <Рх @ -> 0 при / -> О,
б) функция
0@ = tec (О
имеет ограниченное изменение на некотором интервале @, б),
в) обозначая через V(h) полное изменение 6{t) на интервале @, /z), имеем
Тогда а (/) сходится к / (х) в точке х.
Для доказательства мы снова будем опираться на критерий сходимости
причем за Ь примем такое число, что в (t) имеет ограниченное изменение
на @, 6).
Имеем
in nt А. Г ,,ч sin nt .. , Г ,., sin nt A. /л 1Ч
у- л = \ Vx(t)—T-dt + \<Px(t)—[—dt. D.1)
к —
Здесь к — некоторое фиксированное число, которое мы подберем позже.
В силу условия а) мы знаем, что
sup \<px{f)\->0 при п->оо,
*) W. H. Young m.

250
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
а потому
к —
п
sup
и остается оценить второй интеграл в D.1).
Положим
у* (О 0@
* t2
на
ни.
D.2)
О вне этого интервала.
Тогда функция |п@ имеет ограниченное изменение в силу б). Если мы обо-
обозначим через Wn ее полное изменение на [—тг, тг], то так как
мы видим (см. глава I, § 22), что
1_
л
sin i
Wn
Заметим, что Wn зависит от того, как мы выбираем число /с. Покажем,
что для любого ? > 0 можно так подобрать /с, что
Wn<sn.
Если это будет доказано, то будем иметь
и в силу D.1) и D.2) теорема будет доказана.
Итак, осталось оценить полное изменение Wn функции |п. Имеем
кл
кл
fbv " ?кл
и 1П(<5) = -^ = оA); поэтому, если мы покажем, что полное изменение
%n(t) на I——, <5)есть0(н) при надлежащем выборе /с, то это будет верно и
для (—тг, тг), поскольку скачки функции в точках— и д равны о(п) и 0A).
Для проведения этой оценки заметим, что в силу условия в) имеем для
полного изменения V (t) функции в (t) неравенство V (t) <At, где А—постоян-
А—постоянное. Поэтому 6(t) можно представить в виде 6{f) = 61(t)—62(f), где вх и в2
монотонны и
le^KAt, \et(t)\<At.

ПРИЗНАК ЮНГА И ПРИЗНАКИ ДИНИ, ЖОРДАНА, ВАЛЛЕ-ПУССЕНА
251
При любом разбиении отрезка (-^-, <51 точками деления
Ч) — „ у Ll у ?2 у • • • у 1т — и
имеем
т-\
2
1=0
Oi (U)
tl
m-\
m-\
m-\
+ 2
i=0
V{ti+1)-V{tt)
кп
Аналогичная оценка справедлива для 62(О- Поэтому
д в
т-\
2
1=0
= 2-
2V(d)
: кп
п п
В итоге
кп
п
кп
т — \ |
i=0
i\
при достаточно большом п, а потому
1У(Л) = 0(Л),
а это и надо было доказать*
§ 5. Взаимоотношения между признаком Юнга
и признаками Дини, Жордана, Валле-Пуссена *)
Покажем, что признак Юнга сильнее признака Жордана.
Действительно, если / (х) имеет ограниченное изменение, то и ух (t) также.
Если в рассматриваемой точке х значение функции есть /(х), то (px(f)->0 при
i ->0. Функция 6(t) = tcpx(f) есть функция с ограниченным изменением, как
произведение двух функций с ограниченным изменением.
Наконец, для оценки полного изменения V (h) функции в (t) на @, h)
заметим, что для любых двух функций ip(t) и g(t) с ограниченным изменением
и любого отрезка {а, Ь)
Vary(/)g(O< max
(a,b) ^t^b
Vary + max | у @ I Varg
(a,b) a^t^b (a,b)
(где Var F обозначает полное изменение F на (a, b))y а потому, если \<px (t)\ <^ M
(a,b)
на О <; t <C h, то
h Var <px{t)^O{h),
т. е. признак Юнга выполнен и, следовательно, доказано, что признак Юнга
не слабее признака Жордана.
Ниже будет показана, что существуют случаи, когда признак Юнга
лрименить можно, а признак Валле-Пуссена уже не применим; следова-
*) Сравнение различных признаков сходимости сделано Харди (Hardy I4]).

252 сходимость ряда фурье в точке гл. III
тельно, тем более тогда не применим и признак Жордана, а потому мы
видим, что
Признак Юнга не только не слабее, но и сильнее признака Жордана.
Наше утверждение доказано.
Покажем теперь, что
Признак Юнга не сильнее признака Дини..
Действительно, рассмотрим пример, который уже фигурировал при
сравнении признаков Дини и Жордана (см. § 2):
гр (х) = Ух sin — на 0 < х ^ п,
Ясно, что, полагая х = О, имеем ср0 (t) =2][! sin —. Поэтому
0@ = 2/2 stay.
Значит,
</0(О=C/*81Пу--|=СО8у)#.
Если бы признак Юнга был удовлетворен, то мы должны были бы иметь
а между тем
h
cos--
vr
где С — положительная постоянная, т. е. признак Юнга не выполнен, хотя
признак Дини можно применить.
С другой стороны, признак Дини не сильнее признака Юнга. Действи-
Действительно, мы давали пример, когда признак Дини не применим, а признак
Жордана применим. Но в таком случае применим и признак Юнга.
Из двух последних утверждений вытекает
Следствие. Признак Юнга и признак Дини несравнимы.
Перейдем к сравнению признака Юнга с признаком Валле-Пуссена.
Докажем сначала, что
Признак Юнга не сильнее признака Валле-Пуссена.
Действительно, если бы признак Юнга был сильнее признака Валле-
Пуссена, то в силу результатов § 3 он был бы и подавно сильнее признака
Дини, но мы только что убедились в неверности этого.
Покажем теперь, что и обратно:
Признак Валле-Пуссена не сильнее признака Юнга.
Действительно, возьмем любое число а, 0 <а < 1, и положим
на 0 < х <; а,
= 0 при
= 0,

§ 5 ПРИЗНАК ЮНГА И ПРИЗНАКИ ДИНИ, ЖОРДАНА, ВАЛЛЕ-ПУССЕНА 253
В силу этого определения
@ 2^у^ на 0
I |
Так как
л/ /A n sin In / . o cos In / o sin
остается ограниченным при ? -> 0, то в (f) имеет ограниченное изменение и
т. е. признак Юнга выполнен.
Если положить
то для выполнения признака Валле-Пуссена надо было бы, чтобы %(f)
имела ограниченное изменение на некотором @, <5), а тогда #'@ должна было
бы быть суммируемой на @, <5). А мы покажем, что %'{t) несуммируема около
точки / = 0.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
t
п In и , , 2 sin In / /к i\
ТгпГаи + Т~~Ш~~ • ^л;
о
Но
о
Также находим
dtt= sinint
In и \nt
0 0
откуда, подставляя в E.2), получаем
о о
Так как при малых и положительных значениях и функция In2 и убывает
с ростом иу то
t
I Г sin In и — с
IJ " In2 и
sin In и — cos In и
du
2/
In2*
а потому из E.3)
2_ Г sin In и . _ sin In / — с
f J ~1гГи ~ Ш~

254
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
и, подставляя в E.1), находим
sin In t + cos In 11
xV) =
tint
u
1
Но так как , 2 суммируема около t = 0, то остается доказать, что
sin In / + cos In t
' Tint
не суммируема около t = 0. Это значит, что
Я sin in t + cos in i
о
Полагая In t = — и, получаем
sin In t + cos In t
tint
dt =
I cos и — sin и |
и
(см. глава I, § 41).
Следовательно, мы убедились в несуммируемости %'(f), и теорема
доказана.
Из двух последних теорем вытекает, что признаки Юнга и Балле-
Пуссена несравнимы.
§ 6. Признак Лебега
Лебег получил признак сходимости, более сильный, чем все предыдущие.
Этот признак самим Лебегом был высказан в нескольких различных формах.
Мы докажем его сначала в следующем виде:
Теорема Лебега. Если
(fx(U + h) _ (рХ{и)
и + h и
при h -> + 0, то ряд а (/) сходится к f (x) в точке х.
Мы будем опираться на следующую лемму:
Лемма 1. Если условие F.1) выполнено, то, полагая
F.1)
имеем
Для доказательства заметим, что из F.1) тем более следует
F.2)
F.3)
F.4)
Совершая в первом интеграле F.4) замену переменного и = v — h, находим
после элементарных вычислений
2Л
^Mdu_>0. F.5)

ПРИЗНАК ЛЕБЕГА 255
Пусть г> 0 задано. Возьмем /готак, чтобы
*М1йи<е при
h
Тогда и подавно
ИЛИ
2Л
J |Рх(н)|Л*<2еЛ при Л<Л0.
л
Это удобно переписать в виде
к
\\ух(ц)\&и<,г\1х при h1<2h0. (б.б)
А
2
Пусть теперь t^2h0. Тогда в силу (б.б) имеем при любом л = 0, 1, 2, . .
2»
Но отсюда
j \
2^T1
а это и значит, что
т. е. (б.З) доказано.
Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы Лебега. Чтобы
доказать справедливость этой теоремы, достаточно убедиться в том, что для
некоторого д > 0 имеем
±
t 2"
lim f ^^-smnudu = 0. F.7)
Л-*-оо J U
О
С этой целью положим
1 = jf^smnudu. F.8)
л
п
Покажем сначала, что
/= j v±?L sin пи du +оA). F.9)

256
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
Действительно, в силу леммы 1, имеем
2*
п
2*
Кроме того,
J
J и
ПрИ П^- со,
ffiv (И) у с V
потому что ^^—t- суммируема на (о, п).
Из F.10) и F.11) вытекает справедливость F.9).
Теперь, заменяя в F.9) переменное и на и + —-, найдем
/ = - Г —-—-^-sinnudu + o(l).
п
Складывая F.8) и F.12), получаем
[\<Px(u)
smnudu
Но тогда
и
'KiJ
что вытекает из F.1), где h — —.
Кроме того, мы имеем
п
п
потому что, в силу леммы 1, из F.1) следует F.3). Но
0 0
а потому из F.13) и F.14) следует F.7), и теорема доказана.

§6
ПРИЗНАК ЛЕБЕГА
257
Мы хотим показать, что признак сходимости Лебега, выраженный усло-
условием F.1), можно высказать в несколько иной форме, более удобной для
применения к конкретным случаям*). Докажем такую лемму:
Лемма 2. Условие
(рх(и + h) _ <рх(и)
и+ h и
при Л->0
F.1)
эквивалентно совокупности двух условий
Л
фх {U + К) — фх (и)
du=o(l) при Л->0.
F.3)
F.15)
Иначе, говоря, можно высказать следующее утверждение, которое также
может быть названо признаком сходимости Лебега:
Если в некоторой точке х выполнены условия F.3) и F.15), то a(j) схо-
сходится к f(x) в этой точке.
Чтобы доказать лемму 2, заметим, прежде всего, что если F.1) выпол-
выполнено, то выполнено и F.3) — это было содержанием леммы 1. Далее, мы
имеем
фх {U + h) фх (и) __ фх (Ц + h) — фх (и) h фх(и
h
Покажем, что из F.3) следует
«5
селе)
FЛ7)
Пусть е>0 задано. Выберем »?>0 столь малым, чтобы Фхф < st при
/ <^ 2 г) (что возможно в силу F.3)). Так как
п п
если h достаточно мало, то остается оценить
»/
Но
а потому
п
u(u + h)
ч ч
h h
F.19)
*) Что касается данной формы, то она удобна для сравнения этого признака с дру-
другими (см. § 7).

258
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
В силу выбора числа г\ имеем при
поэтому
h h
Кроме того, обынтегрированный член есть
ФХBК)
"Г
ФХBЩ
ft2
Из F.19), F.20) и F.21) следует, что
2е 2е
п "I" h
F.20)
F.21)
в силу h^r]y и, принимая во внимание F.18), видим, что интеграл F.17)
может быть сделан меньше 9в, а так как в произвольно мало, то F.17)
доказано.
Итак, мы убедились, что из F.3) следует F.17). Но так как из F.16)
имеем
<рх (U+ h) — (fx (U)
<рх {и + h) tpx (и)
и (и + h)
то, интегрируя по и от h до <5, видим, что из F.1) и F.17) следует F.3) и F.13)-
Окончательно: F.1) влечет F.3) и F.15).
Напротив, если выполнены F.3) и F.15), то, так как F.3) влечет F.17),
а из F.16) имеем
<Рх (и + h) _ фх(и)
h
h) —
г <Px(u + h)
(u + h)u
мы совершенно также убеждаемся, что F.1) имеет место.
Итак, F.1) влечет F.3) и F.15), а они в свою очередь влекут F.1), и лемма
2 доказана.
§ 7. Сравнение признака Лебега со всеми предыдущими
Мы хотим теперь доказать, что признак Лебега сильнее признаков Жор-
дана, Дини, Валле-Пуссена и Юнга.
Для этого мы прежде всего, следуя Харди (Hardy №), докажем, что при-
признак Лебега не слабее признаков Валле-Пуссена и Юнга.
Признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена.
Для доказательства этого предложения покажем, что если
G.1)
есть функция с ограниченным изменением на некотором @, $) и %{t) ->0 при
/ -> 0, то
(Px(u-\-h) _ <рх(и)
и-\- h и
при
G.2)

§ 7 СРАВНЕНИЕ ПРИЗНАКА ЛЕБЕГА СО ВСЕМИ ПРЕДЫДУЩИМИ 259
С этой целью заметим, что почти всюду
МО = ['*(')]' = * @+ '*'('), G.3)
а потому G.2) будет справедливо, если
f _^L+A_lM du = o{\) G.4)
h
д
G.5)
Доказывать G.5) не надо, так как, если %(f) имеет ограниченное изме-
изменение на @, <5), то %' (/) суммируема на @, <5), а тогда (см. Вводный материал,
§ 25) даже
!
Таким образом, все сводится к доказательству G.4).
Но так как, по условию, %(t) -> 0 при / -> 0, то и подавно
а потому из леммы 2 (§ 6) будет следовать *), что G.4) справедливо, если мы
докажем, что
j\it + k)<f>\ = o(l). G.6)
Заметим теперь, что из G.1) сразу видно, что на любом отрезке, не содер-
содержащем точку t = 0, функция % @ абсолютно непрерывна. Поэтому если / > О,
то
t+h
|*(/ + л)-*@1< J \x'{u)\du,
t
а потому для любого rj > h
t+h
{
h t
t+h
lnf J
г? + Л 2Л П+h
J |дГ(и)|rfa — In/rj|^(a)|da — J
V h 2h
2h r\
2h
*) При доказательстве леммы2нигде не были использованы свойства (рх(ц), поэтому
лемма справедлива для любой суммируемой функции, в частности для (9

260 СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ ГЛ. III
В каждом из этих трех интегралов логарифмический множитель ограничен,
а потому сумма всех этих интегралов не превосходит некоторую константу,
умноженную на
+ h
и, следовательно, может быть сделана как угодно малой, если взять г\ доста-
достаточно малым. Если же г\ фиксировано, то
f = gA) при Л + 0,
и, значит, G.6) справедливо, и доказательство закончено.
Докажем теперь следующую теорему (см. Hardy №):
Признак Лебега не слабее признака Юнга.
Пусть выполнены условия теоремы Юнга, т. е.
а) срх (t) -> 0 при / -> О,
б) функция 6(t) = tcpx(t) имеет ограниченное изменение на @,26),
в) полное изменение V(h) функции в (t) на интервале @, h) удовлетворяет
условию
В силу а) имеем
а потому достаточно доказать, что
du = o(\) при Л->0,
чтобы убедиться, что выполнены условия, входящие в признак Лебега,
а тогда теорема будет доказана.
В силу б) мы можем представить в (/) в виде
в @ = &(')-& (О,
гДе gi@ И ?г@ — монотонно неубывающие, gx{0) = g2@) = 0, и
а следовательно, в силу в),
I^ и 1^=0A). G.7)
Пусть т — целое число, для которого mh < д; мы его подберем позже.
Имеем
mh
<Px(t + h) - «МО | ^ _ Г I 4>x(t +h)~ <px(t)
\dt =
t Г J I t
dt
<Px (t + h) - <px (t)
t
Г I
h h mh
Если положить
/л= Sup \q>x(t)\,
[h,(m + \)h]
TO
mh
dt =
Gg)

СРАВНЕНИЕ ПРИЗНАКА ЛЕБЕГА СО ВСЕМИ ПРЕДЫДУЩИМИ
261
Но если т фиксировано, a h -> 0, то из срх (/) ~> 0 следует ^ -> О, а потому
/i=0(l). G.10)
Теперь в силу ух (t) = ^~- имеем
Git)
mh
dt
Si V + h) gl (Q
t + h t
mh
f+JI
mh
t + h
g2(t)
dt
Ясно, что оба интеграла оцениваются одинаково, поэтому достаточно оценить
первый; имеем
+ ft) & (О
mh
t + h
Если
h)t
т/г
/с = sup
0<^
gl(t)
(а эта величина конечная в силу G.7)), то
mh
G.13)
Эту величину можно сделать как угодно малой, если т выбрать достаточно
большим, но выбор т мы сделаем позже.
Оценим теперь /3. Его можно в силу монотонности^/) записать так:
_ Гgi<*+*)-gift)
Поэтому
mh
h)t
С gt
~) t(t
t(t + h)
6+h
(m + \)h
д+h
_ Г gi
~ J u(u
mh
6+h
(m+\)h
d + h
Г gl{u
gl{u)
mh
u{u +
gift»)
и (а + А)
d+h
J u(u + ft) + Л J ^(j
mh (m+\)h

262
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
Так как во всех этих интегралах
d+h
ft (a)
u{u
d+h
о
д+h
G.15)
может быть сделано как угодно малым, если h достаточно мало; далее
mh
ft (а)
а (и + ft)
< /с In (и + /г)
mh
т+ 1
G.16)
и, наконец,
2Л f -J
-ft л+л
т
Если мы сначала выберем /л так, чтобы
k]nJR±l<7])
т
где г} > О задано, после этого возьмем /z так, чтобы
feln дд^ <rj при ш
и, наконец, потребуем, чтобы
2 [л In я? < ?7
G.17)
G.18)
G.19)
G.20)
(что возможно, так как /а ->0, если m/z~>0), то будем иметь в силу G.13)
и G.18)
|/«1<Ч
и в силу G.14)—G.19)
|
что и заканчивает доказательство теоремы.
Мы убедились, что признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена
и не слабее признака Юнга. Покажем теперь, что
Признак Лебега сильнее признаков Жордана, Дини, Валле-Пуссена и
Юнга.
Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать простое замечание: мы знаем,
что признаки Валле-Пуссена и Юнга несравнимы. Значит, можно указать
случай, когда признак Валле-Пуссена применить можно, а признак Юнга
нельзя. Но признак Лебега не слабее признака Валле-Пуссена, значит и он
в рассматриваемом случае может быть применен. Итак, признак Лебега
сильнее признака Юнга. Совершенно также заключаем, что он сильнее при-
признака Валле-Пуссена. Но этот последний сильнее признаков Дини и Жор-
Жордана. Значит, признак Лебега сильнее этих двух, и доказательство нашего
утверждения закончено.
К сожалению, как было отмечено и самим Лебегом, практическое приме-
применение его признака довольно затруднительно, поэтому и приходится часто
прибегать к признакам более слабым, но зато более удобными для проверки.
Лебег сделал также следующее полезное замечание: если нам удастся разбить
функцию f(x) на сумму двух, к каждой из которых применим какой-нибудь
признак, то ряд a(f) сходится, как сумма двух сходящихся рядов. Что каса-
касается его собственного признака, то он автоматически выполнен для суммы,
если выполнен для каждого из слагаемых.

§ 8 ПРИЗНАК ЛЕБЕГА-ГЕРГЕНА 263
§ 8. Признак Лебега—Гергена
Можно доказать следующую теорему *), в которой вводится несколько
менее ограничительное условие, чем в признаке Лебега:
Теорема. Если
при h->0,
то ряд а (/) сходится к f (x) в точке х.
Следовательно, здесь, сохраняя второе условие теоремы Лебега, мы в
первом заменяем \<рх(и)\ через ух{и). Для доказательства теоремы, как всегда,
будем доказывать, что при некотором д имеем
при л-*оо. (8.1)
о
Снова, положив
в
(8.2)
я
п
покажем, что
/= ^^LSmnudu + o(l). (8.3)
л
Действительно, так как У*Ш суммируема на C, п\ то добавленный
интеграл
J ^si
д
Что касается интеграла
2-
п
(8-4)
то здесь будем рассуждать так: полагая
имеем теперь Ф?@ = ^(/). Далее
2? 2-
п
(8-5)
*) Эту теорему некоторые авторы называют признаком Лебега—Гергена, хотя Гер-
ген (Gergen Ш) рассматривал несколько иное условие.

264
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
Обынтегрированный член равен нулю. Под знаком интеграла Ф% (и) = о (и), а
d (sin пиЛ пи cos пи — sin пи п(п\
Поэтому, замечая еще, что длина интервала интегрирования есть —, видим,
что интеграл в (8.5) есть 0A).
Итак, (8.3) установлено. Снова из (8.2) и (8.3) находим (как в доказа-
доказательстве теоремы Лебега)
(8.6)
1 ПЫи)
~ 2} \~tT~
<Px\U-\---
n
Иначе это можно записать
sin na da +
ijfx («) \}- - -VI sin пи da+ o(l). (8.7)
J
В силу второго условия нашей теоремы имеем
в s
GZ \ |
и ~ — I I
— smnada
da = 0A)
при п -> oo, а потому из (8.7)
Докажем, что
sin пи
(8.8)
(8.9)
Действительно, здесь доказательство такое же, как при оценке интеграла
(8.4), только
d sin пи
1п

§8
ПРИЗНАК ЛЕБЕГА-ГЕРГЕНА
265
а потому
2-
2-
Следовательно (8.9) доказано. Кроме того, очевидно, что
(8.10)
даже без умножения на ^—; поэтому из (8.9) и (8.10) следует, что можно (8.8)
переписать так:
S+-
1 = 0AL-2-
2-
sin пи
¦(¦+f)
3.11)
Складывая два разных выражения для /, а именно (8.8) и (8.И), получим
sin
Здесь снова отделим кусок, который можно оценить по второму условию
теоремы, а именно напишем
sin па da +
2л
sin па da.

266
СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
ГЛ. III
Первый интеграл по модулю меньше, чем
«5 д
п
An
а потому
2 л2
sin пи
°("+Й(» + 2т)
da.
(8.12)
Снова будем интегрировать по частям; учитывая, что Ф* (а) = о (и), а
найдем
«5
sin
d
Ж
sin пи
и[и+и)[и+2т
sin
Подставляя это в (8.12), находим
1 = 0A).
Но интеграл в левой части (8.1) отличается от / на величину оA), так как
it
J-^ sin
= <P* (и)
sin пи
и
(здесь рассуждение то же, что и при оценке интеграла (8.4)). Это и закан-
заканчивает доказательство.
Замечание. Признак, только что нами доказанный, выглядит не-
несколько сильнее признака Лебега, однако это усиление незначительно.
Важно заметить, что условие
выполняется почти всюду для любой суммируемой функции /(х) (см. Вводный
материал, § 15), поэтому хотя в индивидуальной точке это условие и не обя-
обязано выполняться, но множество тех точек, где его нет, имеет лишь меру
нуль. Таким образом впоследствии, когда мы будем изучать сходимость

§ 9 О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ 267
рядов Фурье на множествах, а не в индивидуальной точке, превосходство
признака Лебега—Гергена над признаком Лебега не может ощущаться.
Однако в данный момент речь идет о сходимости в индивидуальной
точке *).
Отметим еще один признак сходимости, принадлежащий Идзуми (Izumi Ш),
а именно: если f(x) — четная периодическая функция и
Л f(x)\dx = o(f) при /->0 (8.13)
и если выполнено условие
л
п
Jy(n, t)dt = o(^j , (8.14)
о
где
=2 J
то ряд Фурье от f(x) сходится в точке х = 0.
Это условие является обобщением критерия Лебега, так как, если выпол-
выполнено (8.13) и
то и (8.14) имеет место.
Автор утверждает также, что если для четной f(x) выполнено (8.13),
то для сходимости ряда Фурье от f(x) в точке х = 0 необходимо и доста-
достаточно, чтобы
я
п
lim Jip(n,/)cosntdt = 0.
§ 9. О необходимых условиях сходимости в точке
Возникает вопрос, в какой мере найденные достаточные условия сходи-
сходимости являются необходимыми. Мы сейчас убедимся, что не только условие
но даже менее ограничительное
не является необходимым для сходимости ряда Фурье в точке х.
Точнее, имеет место следующая теорема (см. Идзуми, Мацуяма и Цути-
кура (Izumi, Matsuyama, Tsuchikura Ш).
*) По поводу сравнения различных признаков сходимости в точке см. также работу
Morse and Transue Ш.

268 СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ ГЛ. III
Теорема. Для любой функции е (/), лишь бы е (/) ^>0 и e(t)->0 при
/->0, существует суммируемая f(x) такая, что ряд a(f) сходится в точке х
и в то же время
j^e(t) (9.1)
для бесконечного множества значений t.
Доказательство. Мы будехМ предполагать х = 0, /@) = 0 и брать
/ (х) четной, тогда
Рассмотрим последовательность положительных чисел tn9 /n | 0, и две
последовательности положительных чисел {ип} и {vn} таких, что
00
П = \
— ->0 при н->оо (9.3)
и интервалы
(tn-un,tn + un) (n=l,2,...) (9.4)
взаимно не пересекаются и лежат на @, тг).
Рассмотрим множества
&п = (tn - Un, tn ~ t>n) + (tn + Vn, tn+Un) {П = 1, 2,. . .) .
Определим четную функцию /(/) так:
Cnt — teAn (л =1,2,...) (9.5)
и/(/) = Ов остальных точках @, тг), где {сп} — последовательность положи-
положительных чисел, которую мы определим позже.
Мы имеем
tn-Vn tn+Un
tn—Un tn+Vn
y(un-vn) + tn\n\t-tn\
Л=1
Следовательно, если
то функция f(x) суммируема.
Далее
71 00
sin mt ,. >.? Л Г sin mt
(9.6)
tn — t
О "^ Лп
л? f si
= ^ы cn
„ = 1 ^
sin m tn cos m (t — tn) + cos mtn sin /n (/ —
(9.7)

§9
О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ
269
потому что два интервала, составляющие Лт расположены симметрично
относительно tn, и мы учитываем четность косинуса и нечетность синуса.
Предположим, что
(9.8)
и покажем, что тогда правая часть (9.7) стремится к нулю при т
Действительно, так как
при любых а и j3 на @, со) (см. глава I § 41) и, кроме того,
,. Г sin mt А. ~ /гк ,.ч
lim I —-%— dt = Oy (9.9)
а
если а и /? положительны, то можно для любого е> 0 найти такое N, что
2
JV+1
а тогда
сп cos mtn
Vn
sin mt
N+I
<
кроме того, когда N фиксировано,
так как каждый член есть 0A) в силу (9.9).
С другой стороны, мы имеем
tn~ Vn
tn—Un tn+Vn
_ Vn) __ Сп /л in | /л _ /
сп (ип vn) cn tn Ь
tn—Vn
I /„ -
= 2cn(vn-un) (9.10)
J f(t)dt\ = cn J ^д = cn-{fnIn-g--(un-
Допустим, что выполнено условие
ct(Ui-vd<^cntn\n-^-,
(9.12)

270 СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ ГЛ. III
а также, что
|с„/„1п^->в(д. (9.13)
Тогда мы получим в силу (9.11), (9.13), (9.12) и (9.10)
\ff(u)du\ = \ ? J/@* + /7
0 /=л+1 Лг tn-un
Мы теперь поступим так: предполагая, что tn подобраны как угодно,
лишь бы
2?е(/л)< + оо,
мы потребуем, чтобы
^cntnln^ = e(tn), (9.14)
тогда (9.13) заведомо удовлетворено. Соотношение (9.14) дает еще больший
простор для подбора сш ип и vn. Мы выберем сп столь малыми, чтобы
00 -.
^ z 2
/=п+1
Тогда (9.12), которое в силу (9.14) принимает вид
будет справедливо, лишь бы а( <^ 1 и, кроме того, будет справедливо (9.8).
Наконец, заметим, что, уменьшая сп, мы только заставляем расти—,значит,
можно всегда удовлетворить (9.3), а, разумно подбирая ип (достаточно
ип + vn+1 < tn — tn+1), мы убедимся, что и (9.4) справедливо. Таким образом
все условия будут удовлетворены и теорема доказана.
Замечание. Мы убедились, что сходимость ряда а(/) к /(х) в не-
некоторой точке х не влечет за собой выполнение условия
t
§<px(u)du = o(t). (9.15)
о
Однако можно заметить, что если наложить некоторые ограничения на
коэффициенты ряда, или на быстроту его сходимости, то условие (9.15)
окажется уже необходимым.
Так, например, Харди и Литтльвуд (Hardy and Littlewood ДО) доказали,
что если
ап = 0(-±г) и Ьп = 0(±), д>0
и, кроме того,
то условие (9.15) выполняется.

§ 10 ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ 271
П. Л. Ульянов 110\ не налагая никаких ограничений на коэффициенты
ряда, а лишь на быстроту его сходимости, также получил необходимость
(9.15); точнее, он доказал, что из
(iinW) ?>0'
следует
§ 10. Достаточные признаки сходимости в точке при дополнительных
ограничениях на коэффициенты ряда
В признаках сходимости, рассмотренных в §§ 2—8, мы налагали только
ограничения на функцию /(х), для которой изучается сходимость ряда а (/).
Если сделать дополнительные предположения, касающиеся скорости стрем-
стремления к нулю коэффициентов ряда, то можно получить ряд новых признаков.
Напомним, что уже в § 64 гл. I было доказано, что для сходимости ряда
-^- + Jg an cos nx + bn sin nx A0.1)
при условии
*=1
необходимо и достаточно существование производной F' (х) от функции F(x),
получающейся в результате интегрирования ряда A0.1).
Можно указать и другие условия в таком роде. Например, Харди и
Литтльвуд (Hardy and Littlewood M) доказали, что если
=<>?) и Ъп = 0{±
то необходимым и достаточным условием сходимости ряда к /(х) в точке х
является условие
x+h
x-h
Мы здесь дадим доказательство другой теоремы, также принадлежащей
Харди и Литтльвуду (Hardy and Littlewood t9]) и дающей достаточный признак
сходимости, основанный как на поведении функции в рассматриваемой точке,
так и на скорости стремления к нулю коэффициентов ряда.
Признак Харди и Литтльвуд а. Если
<5>0, A0.2)
и если
f(x + h)-f(x) = o(-\-\, A0.3)
mo a (/) сходится к f(x) в точке х.
Будем, как всегда, доказывать, что при некотором а
lim ' ~ /А Э1И/" А* — п

272 сходимость ряда фурье в точке гл. III
В силу условия A0.3) имеем
а потому тем более
о
и, значит,
1 1
п п
JV*@^t~dtI < л J| ?>x (u) 1 du = оA). A0.5)
0 0
Далее из A0.3) следует, что
Положим г =-о", где <5 — число, входящее в A0.2). Можно всегда считать
д < 1, так как, если коэффициенты ряда удовлетворяют условию A0.2) при
д ^> 1, то и подавно при <5 < 1. Поэтому г < 1. Имеем
й ' п ' (Ю.б)
Наконец, остается оценить интеграл по отрезку) — , а). Если мы дока-
докажем, что
а
A0.7)
If
то, складывая A0.5), A0.6) и A0.7), увидим, что A0.4) доказано. Итак, остается
доказать A0.7).
Из определения ух (t) ясно, что у нее коэффициенты Фурье того же по-
порядка, что и у f (х); кроме того, она четная.
Итак,
к=\
Но всякий ряд Фурье, после умножения на функцию с ограниченным изме-
изменением можно интегрировать почленно (см. глава II, § 5), поэтому
dt =
nr If rf
а0 Г sin nt ., . 1 f sin 2п( ., , 1 v Гsin (n + k)t + sin (n — k) t ,.
-f J —r~dt + Ta-J —r- d/ + т ^ a"J ——hr-^—- dt •
т if кФп it (Ю.8)

§ 11
ЗАМЕЧАНИЕ О РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ
273
Но для любого т =h О, применяя вторую теорему о среднем значении, имеем
а потому из A0.2) и A0.8) заключаем
потому, что г —
Но
— &1 г ^2 ~Г
2п + 1
и так как г — д = —--^ то окончательно
что и заканчивает доказательство теоремы.
Замечание. Важно заметить, что если бы мы предполагали выпол-
выполненным только второе условие теоремы Харди и Литтльвуда, т. е.
f(x + h) — f(x) = яГпп-^-
то ряд сг(/)не обязан был бы сходиться в рассматриваемой точке х. В этом
мы убедимся в § 4 главы IV.
§ 11. Замечание о равномерной сходимости ряда Фурье
на некотором отрезке
Еще в 1905 г. Фату (Fatou Ш) отметил, что каждое условие сходимости
в точке может быть переделано в условие равномерной сходимости на неко-
некотором интервале, если только требуемое условие выполняется равномерно на
этом интервале или на несколько большем, его содержащем. Уточним, что
под этим понимать.

274 сходимость ряда фурье в точке гл. III
Известно (см. глава I, § 37), что для ограниченных функций
«5
где оA) следует понимать как величину, равномерно стремящуюся к нулю
на 0<^х<^2 7г. Таким образом, для равномерной сходимости a(f) на неко-
некотором [а, Ь] необходимо и достаточно, чтобы для некоторого <5>0 имело
место равенство
lim \(Px(t)^7^dt = O A1.1)
n— о
равномерно на a^x^b.
Во всех признаках сходимости в точке доказательство всегда велось по
такому принципу: если некоторое условие А выполнено в данной точке х,
то для этого х справедливо A1.1), а потому ряд сходится. Мысль Фату заклю-
заключается в том, что обычно, когда условие А выполнено равномерно на (а, 6),
то и A1.1) имеет место равномерно на (а, Ь). Здесь только следует не упустить,
одно важное обстоятельство.
Для того чтобы ряд равномерно сходился на (а, &), необходимо, чтобы
f(x) была непрерывна на (а, 6), включая и его концы, если же в концах име-
имеются разрывы, то можно ожидать равномерной сходимости лишь на отрезке
[a', b ], целиком лежащем внутри (а, Ь). Поэтому и все признаки равномерной
сходимости формулируются соответствующим образом. Мы не будем повто-
повторять все заново и ограничимся одним примером.
Всматриваясь в доказательство справедливости признака Лебега, можно*
получить теорему:
Если f (x) непрерывна на (а, 6), включая и его концы, и если
в
х(и + h) (рх (и)
равномерно на (а, Ь), то a(f) сходится к f(x) равномерно на (а, Ь).
Отметим теперь, что обратный переход от интервала к точке уже недо-
недопустим, т. е. если некоторое условие, которому функция удовлетворяет рав-
равномерно на интервале, влечет равномерную сходимость ряда внутри этого
интервала, то отсюда не следует, что выполнение его в одной точке влечет
сходимость в этой точке.
Например, в главе IV, § 4 будет доказано, что если
(\) (Ц.2>
V" т)
на некотором [а, Ь], то a(f) сходится равномерно на всяком [а\ &'], целиком
лежащем внутри (а, Ь). Однако в конце предыдущего параграфа мы уже отме-
отметили, что выполнение условия A1.2) в одной точке не гарантирует сходи-
сходимости ряда в этой точке.
Наконец отметим, что ряд условий равномерной сходимости ряда Фурье
на отрезке [а, Ь] может быть получен из условий равномерной сходимости на
[О, 2п] при помощи принципа локализации, разумно использованного в каж-
каждом отдельном случае. Этот вопрос будет освещен в § 9 главы IV. В той же
главе будут рассмотрены условия равномерной сходимости на всем отрезке
[0,2п].

ГЛАВА IV
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Введение
Мы уже знаем (см. глава I, §§ 44, 45), что ряд Фурье от непрерывной
функции не только не должен сходиться равномерно, но даже может расхо-
расходиться. Эту главу мы начнем с изучения тех условий, при которых ряд
сходится равномерно. Эти условия могут быть разделены на следующие
четыре типа:
1) Условия, наложенные на коэффициенты тригонометрического ряда,
из которых следует его равномерная сходимость. Если не считать таких
сильных ограничений, при которых уже имеет место абсолютная, а значит
тем самым и равномерная сходимость ряда, то можно, в качестве примера
указать такое условие: если Ьп ф 0 и nbn -> 0, то ? Ъп sin nx сходится равно-
равномерно (см. глава I, § 30).
2) Условия, наложенные на функцию, при которых ее ряд оказывается
равномерно сходящимся, например признак Жордана (см. глава I, § 39), его
обобщение (см. § 5 настоящей главы), признак Дини—Липшица и его обоб-
обобщение (мы их изучим в § 4 и § 8).
3) Смешанные условия, а именно такие, где заранее известно, что f(x)
непрерывна и, кроме того, ее коэффициенты удовлетворяют некоторым усло-
условиям (например теоремы Пэли, Саса и некоторые другие—см. § 2), признак
Сато (§ 10).
4) Условия, вытекающие из сравнения данной функции с другими,
имеющими равномерно сходящиеся ряды Фурье (см., например, § 11).
Сравнение функций с другими полезно и при изучении вопроса, когда
данный ряд сходится равномерно на некотором интервале длины меньшей,
чем 2тг (см. § 9).
В§ 13 и 15 изучается вопрос о том, как получить ряд Фурье от непре-
непрерывной функции либо за счет расстановки знаков у членов ряда, либо
00
за счет подбора в ряде 2J Qn cos (nx — ап) аргументов ап при фиксиро-
§ 16 посвящен вопросу о том, что вообще можно сказать о коэффициентах
Фурье от непрерывной функции.
Мы ставим также вопрос о том, какие операции можно совершать над
непрерывными функциями, чтобы получать равномерно сходящиеся ряды
Фурье. Этому вопросу посвящен § 12.
Мы переходим далее к изучению тех особенностей, которые могут наблю-
наблюдаться у рядов Фурье от непрерывных функций. Мы показываем (см. § 18),
что они могут сходиться неравномерно не только около одной точки, как это

276 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
наблюдалось в § 44 главы I, но и в любом интервале А, лежащем на [0, 2 я].
Также и расходимость ряда от непрерывной функции может иметь место
как на любом счетном множестве (§21), так и на множестве мощности кон-
континуума (§ 20 и 22). При этом такое явление может иметь место, например,
для /2(х), хотя a(f) сходится равномерно (§ 23).
Наконец, в §§ 24 и 25 рассматривается вопрос о разбиении ряда Фурье
от непрерывной функции на два, каждый из которых уже обладает некото-
некоторыми «хорошими» свойствами.
§ 2. Достаточные условия для равномерной сходимости, выраженные
через коэффициенты Фурье
Мы не будем здесь указывать столь сильные ограничительные условия,
при которых уже имеет место
так как это приводит к абсолютной сходимости тригонометрического ряда;
изучению абсолютной сходимости будет посвящена глава IX. Существуют
условия гораздо менее ограничительные, например: если Ъп \ О и nbn-^O,
то ряд
00
2Jbnsinnx
сходится равномерно. Это было уже доказано (см. § 30 главы I).
Сейчас мы хотим указать некоторые условия, налагаемые на коэффици-
коэффициенты ряда, которые гарантируют его равномерную сходимость, если мы
заранее знаем, что это ряд Фурье от непрерывной функции.
Сюда относится, в первую очередь, такая простая теорема, уже доказан-
доказанная в § 64 главы I.
Теорема. Если f (х) непрерывна и для ее коэффициентов Фурье выпол-
выполняется условие
2k(\ak\ + \bk\) = o(n), B.1)
то ее ряд Фурье сходится равномерно*).
Отсюда, в частности, следует, что если/(х) непрерывна и ее ряд Фурье
лакунарный, то он сходится равномерно. Правда, в главе XI будет доказано,
что для непрерывной / (х) лакунарный ряд Фурье сходится абсолютно, но
это тонкий результат Сидона со сложным доказательством, здесь же теорема
получается очень легко.
Отметим, что в доказанной теореме требование непрерывности было
существенным, так как даже такие ряды, где вместо условия B.1) коэффи-
коэффициенты удовлетворяют более сильному требованию
могут быть рядами Фурье от функций, неограниченных на любом интервале
(см. главу VIII, § 13) и, следовательно, тогда не могут сходиться равномерно.
*) В § 2 главы II мы видели, что если функция с ограниченным изменением непре-
непрерывна, то для нее выполнено условие B.1), а потому, пользуясь только что сформулиро-
сформулированной теоремой, можно получить новое доказательство того, что ряд Фурье от непре-
непрерывной функции с ограниченным изменением равномерно сходится.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 277
Докажем теперь следующую теорему Пэли (y)
Теорема Пэли. Если /(х) непрерывна и ее коэффициенты Фурье
неотрицательны, то ее ряд Фурье сходится равномерно.
Для доказательства теоремы представляется целесообразным рассмо-
рассмотреть отдельно случай четных и нечетных функций. Докажем две вспомога-
вспомогательные теоремы:
Теорема 1. Если f (x) четная и ограниченная, причем
где #„^>0 (п = 0, 1, 2, ..), то ? ап < + оо и, значит, ряд a(f) сходится
п = \
равномерно.
Имеем для фейеровской суммы порядка 2п в точке х = О
k=0 ' k=n
а так как ап(х) для ограниченной функции ограничены,то Sn@)<^ Af (n=
= 1, 2, ...), где М — постоянно, т. е.
-f-4- Sak<M и i4< + oo.
Кстати, достаточно было бы предполагать ограниченность f(x) лишь
вблизи точки х = 0.
Теорема 2. Если f (x) нечетная и ограниченная, причем
f(x)~2bns\nnx,
/2 = 1
где bn^0 (п = 1, 2,....), то частные суммы ряда Фурье от f(x) ограниче-
ограничены в совокупности. Если f(x), кроме того, непрерывна, то ее ряд Фурье
равномерно сходится.
Пусть |/(х)| <^М, тогда и |^(х)| <^М, но
Полагая п = 2т и х = -j—, получим для l^k^2m неравенство
vlnfe п > 2 к п - к
и, значит, из ьшл 4т ^ тг 4т ~" 2ш
следует
5()- B.2)
5
Но для 1^А:^П7 все величины в скобках в формуле B.2) не меньше,
чем у, а потому
2
к=\

278
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
гл. IV
и, значит, тем более
Но
то
так как
к
отсюда следует
(*)i
<
ккк
пг
к=\
sin/ex
<4mM.
к
т +
1 J k Sin
Ьк sin kx
<5М.
Итак, равномерная ограниченность частных сумм для ограниченной f(x)
доказана.
Пусть теперь f(x) непрерывна, тогда Gn(x)->f(x) равномерно. Следова-
Следовательно, если е задано, то можно найти такое н, что
\t(x)-an(x)\<e, 0<х<2л;.
Так как все Ьк^0, а коэффициенты в разложении ап(х) имеют вид
(l --jrpr) bk (Для т = 1, 2, ..., и), то функция g(x) = f(x) — ап(х) имеет
неотрицательные коэффициенты Фурье. Кроме того, |g(x)| <е. Поэтому, по
только что доказанному для частных сумм Sm(g, x) ее ряда Фурье, мы должны
иметь
| Sm (g, х) | < 5 е для любых т их.
С другой стороны, если р ^> п, то
а потому для любых р и q, если ^> р ^ п, имеем Sq(on, х) = Sp(en, x), a
тогда
S* (/i ^) ~ Sp (/, х) = S, (ст„, х) - Sq (аю х) + Sq (g, x) ~ Sp (g, x) =
и, значит,
Следовательно, ряд Фурье от /(х) сходится равномерно.
Замечание. Ясно, что в случае нечетной /(х) требование непрерыв-
непрерывности было необходимым, так как, например, ряд
J!, sin пх
--^ й
с полонсительными коэффициентами сходится неравномерно (см. § 41, гл. I).
Теперь для доказательства теоремы Пэли остается заметить, что если
/(х) непрерывна, то и обе функции
ср (х) = --
— t(—x)
будут непрерывны. Одна из них имеет ряд Фурье -~ + ^ап cos пх, другая
2Ьп sin пх. В силу доказанных теорем 1 и 2, так как все ап и &п неотрица-
неотрицательны, ряды Фурье от ф(х) и ^(х) равномерно сходятся, а значит, это верно
и для ряда а (/), так как f(x) = <p (x) + у (х).

§ 3 ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ В ТЕРМИНАХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 279
Теорема Пэли была обобщена Сасом (Szasz^) доказавшим, что
Если f(x) непрерывна и
^ К
где К> 0, то ряд a(f) сходится равномерно*).
§ 3. Достаточное условие для равномерной сходимости
в терминах наилучших приближений
Пусть / (х)—непрерывная функция и Еп (/)—ее наилучшее приближение
тригонометрическими полиномами порядка не выше п.
Прежде всего установим справедливость следующего неравенства Лебега
(см. Lebesgue[M-3°]):
Если Rn (х, f) = f (x) — Sn (x, /), то
| /?„(*,/) |< CEn(f) Inn, C.1)
где С — абсолютная константа.
В самом деле, пусть Тп (х) —тот тригонометрический полином порядка п,
который дает для /(х) наилучшее приближение; тогда
|/(х)-Тп(*)|<Еп. C.2)
Рассмотрим частную сумму с номером п для ряда Фурье от /(х)— Тп(х);
имеем
Sn (х, f~Tn) = Sn (х, /) - Sn (x, Tn) = Sn (x, /) - Tn (x), C.3)
так как п-я частная сумма ряда Фурье от полинома порядка п совпадает
с этим полиномом.
Но по теореме Лебега (см. глава I, § 36) имеем в силу C.2)
C.4)
где Сх — абсолютная константа, а тогда в силу C.2), C.3) и C.4)
<Еп(/)A+С11пл)<СЕп(/Iпл,
л это и требовалось доказать.
В качестве следствия неравенства Лебега получаем теорему:
Теорема. Если
lim Е„(/Iпл = 0, C.5)
П—¦ оо
то ряд Фурье от /(х) сходится равномерно.
Действительно, из C.5) и C.1) сразу следует, что Rn(x,f)->0
равномерно.
Замечание. Если мы будем рассматривать наилучшее приближение
/(х)на некотором отрезке [а, Ь] с [—п9 п]у то можно также получить неко-
некоторую оценку Rn(x, /), которая несколько сложнее, но все же бывает полезна.
Именно, полагая /х(х) = /(х) на а^х^Ь и выбирая ее на @, а) и F, 2л)
*) См. также Szasz [3] я указанную там литературу.

280 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
как-нибудь, лишь бы она была непрерывна на [0, 2п] и /х@) = 1гBл)у мы
имеем
\Rn(x,f)\<AEn(ttlnn+o(l) C.6)
равномерно на всяком [а', V) с (я, Ь); здесь А — абсолютная константа.
Это следует из того, что при х ? [а', Ь']
а так как5„(х, /) — Sn(x, /х) =оA) равномерно на (а', &'), а ко второму члену
приложима формула C.1), то отсюда следует C.6).
Поэтому, если можно /х (х) выбрать так, чтобы Еп (/х) In n -> О, то
Rn(x,f)-*O равномерно на [а', &'], т.е. ряд a(f) сходится равномерно на
] (b)
§ 4. Признак Дини—Липшица
Как следствие теоремы § 3 можно мгновенно получить
Признак Дини — Липшица. Если
D.1)
равномерно наО^х^2щто а (/) сходится равномерно на этом отрезке.
Если условие D.1) выполнено равномерно на некотором [а, Ь] с. [—л, л],
то a(f) сходится равномерно на всяком [а', V], а < а' <&'<&.
В самом деле, из равномерного выполнения условия D.1) на 0 ^х^ 2тг
сразу следует, что для модуля непрерывности со F, /) рассматриваемой
функции / (х) имеем
lim а>(<»,/Iп4- = 0. D.2)
Но на основании теоремы Джексона (см. Добавления § 7)
а так как из D.2) следует
lim
Л—>- оо
ТО
lim En In n = О
Л-*- 0D
и тогда мы находимся в условиях теоремы § 3; значит, а (/) сходится
равномерно.
Если условие D.1) выполнено равномерно на [а, Ь], то
lim со (<5, /, а, Ь) In -i- = 0,
откуда
lim со ( — ? /, а, 6) In n= 0.
Л-v оо V Л /
Поэтому, если взять fx (х) непрерывной на всем отрезке [0, 2л] и совпадающей
с f(x) на (а, Ь), то по теореме Джексона

ПРИЗНАК ДИНИ-ЛИПШИЦА
281
а тогда мы находимся в условиях замечания к теореме § 3, и следовательно
а (/) равномерно сходится на любом [а', &'], а <д' <&' <6.
Замечание. Признак Дини—Липшица может быть доказан и без
теории приближения функций (например, опираясь на признак Лебега
(глава III, § 6)). Но мы считали целесообразным показать, как легко его-
получить, применяя результаты
этой теории. Отметим еще, что
ниже (в § 5 и § 8) будут даны
теоремы, из которых признак
Дини---Липшица выводится как
следствие.
Сейчас мы хотим подчер-
подчеркнуть, что признак Дини—
Липшица должен выполняться
равномерно на всем отрезке
[О, 2 л] или на некотором от-
отрезке [а, Ь], для того чтобы
можно было выводить заклю-
заключения о сходимости ряда. На-
Напротив, если условие D.1) вы-
выполнено только в некоторой
точкех, то отсюда не следует,
что a(f) сходится в этой точке.
Чтобы убедиться в этом, до-
докажем такую теорему.
Теорема. Пусть /л (t)
положительна, непрерывна на
[О, л], /л@) = О, ^~ возрастает при t -> 0 и ~ не суммируема около t = 0.
Тогда существует непрерывная f (t), для которой
1/@-/(о)|<М0,
и однако ее ряд Фурье расходится при t = 0.
Если эта теорема будет доказана, то, полагая, например,
lnmlnInm
видим, что [I (t) удовлетворяет условиям теоремы и, кроме того, /л (h) =
1
= ol
, а поэтому будет доказана справедливость утверждения, высказан-
высказанного относительно условия Дини—Липшица.
Для доказательства теоремы понадобятся две леммы.
Лемма 1. Если /л (t) положительна, непрерывна на @, л),
растает при t -> 0 и не суммируема около t = 0, то
воз-
возlim Г
П"+со J
jli (i) sin nt
t
dt = + oo.
Доказательство основано на том же принципе, на котором построена
доказательство того, что константы Лебега неограниченно растут с ростом п
(рис. 15).

282
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ГЛ. IV
Рассмотрим те интервалы др (р = 0, 1, ..., п — 1), лежащие на @, п)у
где |sin nt\ ^~2 • Это будет для
n
"
т. е.
Имеем для этих интервалов
Если мы обозначим через ар сегмент, лежащий между др_г и др, т. е.
то
так как длина ар+1 меньше длины Ьр и, кроме того, ^~ убывает с ростом t.
Отсюда
T J -Tat'
следовательно,
я
J
Р-0 зр+ор+1
1 С /л (t)
бл
л эта величина стремится к + со при п -> оо в силу несуммируемости у
около / = 0.
Лемма 2. Пусть [г (t) удовлетворяет условиям леммы 1. Тогда суще
ствует непрерывная g(f), \g(t)\ <^ 1, йля которой
= + со
Для доказательства леммы 2 достаточно выбрать Фп(/, х) так, чтобы она
удовлетворяла условиям леммы § 52 главы I и
затем положить х = 0 и принять во внимание, что можно считать \g(t)\
(см. замечание в конце доказательства указанной леммы).
Лемма 2 доказана.

ПРИЗНАК САЛЕМА 283
Теперь для доказательства теоремы, сформулированной на стр. 281, взяв
g(t) из леммы 2, положим
= g(t)/*(t) на @, я)
Тогда f(t) непрерывна, /@) — 0 (потому, что мы предположили
значит
поскольку |g(/)j <^ 1, и остается доказать, что ряд Фурье от f(t) расходится
при t = 0.
Но в силу четности f(t) имеем
о
а мы видели, что
lim
и теорема доказана.
§ 5. Признак Салема. Функции с Ф-ограниченным изменением
Рассмотрим непрерывную функцию /(х). Докажем следующую теорему
Салема (Salem Ш):
Пусть п — любое нечетное. Если выражение
^ также и выражение Qn(x), получающееся из него заменой ж на —п}
стремятся к нулю при п -> ©о равномерно наО^х^2тг, mo a(f) сходится
равномерно.
Для доказательства этого предложения напомним, что
О
где 0A) стремится к нулю равномерно, а
Если мы докажем, что в условиях нашей теоремы имеет место равно-
равномерная сходимость к нулю интегралов
]^t E.2)
t, E.3)

284 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
то теорема будет доказана. Полагая
п
будем доказывать, что интеграл j ipx{f) sl"n dt-+O равномерно относи-
в
тельно х.
Если мы обозначим через co(d,f) модуль непрерывности нашей функ-
функции /(х), то
|%@| <<*>(<»,/), если 0<f<<»,
а потому
j,f)=o(l) E.4)
равномерно по х, откуда ясно, что достаточно рассматривать интеграл в
пределах от —до п.
Имеем
к-
п
2-
п
J
п
Совершая замену переменного nt = uy находим
Поэтому, если мы убедимся, что
стремится к нулю равномерно по х и по и на п ^ х ^ 2 п, то будем иметь
/„ -> 0 равномерно по х, что в соединении с E.4) докажет равномерное стрем-
стремление к нулю интеграла E.2).
В сумме E.5) имеется п — 1 член; если п нечетно, т. е. п — 1 четно, мы
сможем их соединить попарно. Если же п четно, то мы добавим к этой сумме
член с номером к = п — 1, так как /(х) непрерывна, то |/(х)| < М, где М —
некоторая константа, а тогда \yjx(t)\^2M и добавленный член по модулю
не превосходит—— для п <; и <С 2тг, т. е. он равномерно стремится к нулю.
Таким образом, можно, не нарушая общности, ограничиться рассмотрением
случая, когда п нечетно. Тогда сумму E.5) можно переписать в виде
^0 LM п ) и + кп М п )и + (к+1)л}>
где знак 2' означает, что к пробегает одни четные числа.

ПРИЗНАК САЛЕМА
285
Для оценки суммы E.6) заметим, что
n_J .
n ) u + kn
fu + (k+l)n\ 1
{ n j a + (k + 1) n -
Но
¦ц + (/с+1)^Г 1
1
1
и + кп и + (А: + 1) п
<п
IJ
при
далее |%@1 ^ ^М при любом /, и, наконец, для и <Г 2тг имеем
если /с + 3 <^ У п, а потому, полагая v = []/ п — 3], находим
л^/ [ЖМ^] Г 1 1
^ I л )\и Л- кп и -\- (к 4- I)
ПОСКОЛЬКУ V -> со при П -> со.
Таким образом, отбрасывая величину, равномерно стремящуюся к нулю,
мы можем сумму E.6) заменить суммой
и + (к + 1) п
Сделаем последнее преобразование, а именно заменим здесь
^ + ; поскольку
E.7)
и + кл
1
1
\ и + ктт (к+1)п
IJ
при
то мы совершаем ошибку, которая не превосходит
где С — абсолютная константа, т. е. ошибка снова равномерно стремится к
нулю. Но тогда сумма E.7) заменяется выражением
1 я-2/^
п 2L -
^Х1 п )

286 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
т. е. выражением
+^),
3
_ (
Если к выражению E.8) добавить член
~ 2М
который по абсолютной величине не превосходит ,т. е. равномерно стре-
стремится к нулю, то это выражение станет равно — Тп (х + —), где Тп(х)—функ-
Тп(х)—функция, входившая в условия теоремы. Но так какТп(х) по условию равномерно
стремится к нулю при л -» сю, то это же верно для E.8), а значит и интеграл
E.2) равномерно стремится к нулю.
Для интеграла E.3) надо заменить ipx (t) на ipx (—/) и тогда все рассужде-
рассуждения проходят совершенно так же, поскольку предполагалось, что после
замены в выражении Тп (х) числа я; на — п получается выражение Qn (x), снова
равномерно стремящееся к нулю.
Теорема доказана.
Полученный признак равномерной сходимости с первого взгляда может
показаться мало удобным для применения. Однако из него можно вывести
ряд интересных следствий.
Прежде всего докажем, что он содержит в себе как признак Дини—-
Липшица, так и признак Жордана.
Действительно, если выполнен признак Дини—Липшица, то
и, значит,
со — ,/ In— = 0A).
Но в выражении для Тп (х) и длярп (х) каждый числитель по модулю не пре-
превосходит со (~|, а потому
и также
\Qn(x)\=o(l),
откуда и следует, что a(f) равномерно сходится.
Что касается признака Жордана, то здесь можно рассуждать следующим
образом: сначала выбираем число m так, чтобы m -> оо при п -> оо; но
{m->0. E.9)
Этого всегда можно добиться, если только m устремлять к бесконечности
достаточно медленно. Затем сумму Тп(х) разбиваем на два слагаемых:

§5
ПРИЗНАК САЛЕМА
287
в первой сумме знаменатели меняются от 1 до т, во второй больше или
равны т + 1. Тогда
k=0
где через V обозначено полное изменение функции f(x); в силу E.9) Тп(х}
равномерно стремится к нулю.
Теперь покажем, что признак Салема дает результат значительно более
общий, чем признак Жордана. Введем определение.
Определение. Функцию f(x) будем называть функцией с Ф-ограни-
ценным изменением на отрезке [а, Ь], если сумма
остается ограниченной, как бы мы ни выбирали точки разбиения х,- на отрезке
[а, Ь] (классический случай Ф(() = t); здесь функция Ф@ предполагается
непрерывной, возрастающей при ^Ои Ф@) = 0. Это понятие было введено
Юнгом(Ь. С. Young Ш).
Мы не будем здесь рассматривать вопрос, при каких условиях, наложен-
наложенных на Ф (t), ряд Фурье от функции с Ф-ограниченным изменением равномерно
сходится; этим вопросом Салем занимался в уже упомянутой работе (Salem v\
гл. VI). Мы здесь ограничимся одним простым примером.
Пусть
Обозначим через Vp[a, b] верхнюю грань чисел
Она должна быть конечна, если f(x) имеет Ф-ограниченное изменение при
Ф@ = tp. Можно доказать (так же как доказывается, что у непрерывной
функции с ограниченным изменением на [а, Ь] полное изменение на отрезке
[а, х] есть непрерывная функция от х), что Vp [a, t] — непрерывная функция
от t, если f(x) непрерывна на [а, Ь].
Докажем, что если f(x) непрерывна и Vp @, 2п) конечно, то вф сходится
равномерно. Положим т = []/ п] — 1 и напишем
2
k=0
Выбирая q так, чтобы 1 = 1, имеем
2

288 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
стремится к нулю при
потому, что ряд ^ (к , ш сходится. Но Vp\x, -р
П -> оо.
Далее,
2
(& + :
ОПЯТЬ В СИЛу СХОДИМОСТИ 2 (k+Dq И Ш -^ оо.
Таким образом Тп(х) равномерно стремится к нулю; дляQn(x) рассужде-
рассуждение то же самое. Применяя признак Салема, видим, что a(f) равномерно
сходится.
§ 6. Тождество Рогозинского
Прежде чем переходить к изучению новых признаков равномерной схо-
сходимости рядов Фурье, мы докажем несколько общих теорем о сходимости и
суммируемости функциональных рядов, а также выведем одно тождество,
принадлежащее Рогозинскому; в дальнейшем оно будет чрезвычайно полезно.
Пусть Ф (а) — непрерывная функция, имеющая две непрерывные произ-
производные при а ^ 0.
Пусть JS" ик (х) — бесконечный ряд, состоящий из функций, непрерыв-
непрерывно
ных на некотором отрезке а^х^Ь. Положим
tn(x,*) = 2uk(xH(ka) F.1)
к=0
и докажем следующие теоремы:
Теорема 1. Если в точке х ряд ? ик (х) сходится к S (х), то при
любом постоянном А
tn (х, а) -> S (х) Ф @) при п -> оо
равномерно относительно а на 0<^ а<^— .
Теорема Г. Если ряд 2 ик(х) сходится к S(x) равномерно на а^
< х <; Ь, то
U)S
равномерно на а^х^Ь и 0<^ а^ —.
Теорема 2. Если в точке х ряд 2J ик (х) суммируется к S (х) методом
(С, 1), то
tn (X, a)-S (X) Ф @) = [Sn (X) - S (X)] Ф (Па) + Rn (X, a) , F.2)
где
Rn(x,a)->0
равномерно на 0 <^ a <C — .

§ 6 ТОЖДЕСТВО РОГОЗИНСКОГО 289
Теорема 2'. Если 2 Щ (х) суммируется к S (х) методом (С, 1) равно-
равномерно на а^х^Ь, то
Rn(x,a)-+0
равномерно на а^х^Ь и 0 < а <С — .
Для доказательства всех этих теорем выведем сначала одно тождество.
Пусть
Ан (а) = ф (to) - Ф [(к + 1) а] , 4* (ка) = Лк (а) _ Ак+1 (а) .
О^а^ —, где А — постоянно, то по теореме Лагранжа сразу
получаем
равномерно при к < п.
Обозначим через Sn(x) частные, а через ап(х)—чезаровские суммы ряда
2 ик(х). Докажем теперь, что еслиRn{x, а) определено формулой F.2), то мы
имеем
Rn{x,a)Jl2\ok{x)-S{x)\{k+\)Al{a) + [an.l{x)-S{x)]nAn.1{a). F.4)
/с=0
Действительно, на основании преобразования Абеля мы можем написать
tn (ЗГ,«) = "l Sk (х) Лк (а) + Sn (х) Ф (па) .
&0
Так как
2
то, умножая на S(x), находим
S (х) Ф @) = *2 Лк (a) S(X) + S (X) Ф (па)
к=0
и, следовательно,
/„(*, a)-S(xH(O) = П2 [Sk(x) - S(x)]Лк(а) + [Sn(x) - S(x)]0(m). F.5)
к=0
Поэтому из F.2) и F.5) имеем
п-1
n(x,a)= 2[Sk(x)-S(x)]Ak(a).
к=0
Снова применяя преобразование Абеля и замечая, что
2 [Sp (х) - S (х)} = (к + 1)[ак (х) - S (х)],
р=0
находим
п-2
n (X, а) = 2 К (X) - S (х)) (к+1)А1 (а) + [ап_г (х) - S (х)] п Лп_х (а),
к=0
а это и есть F.4).

290 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Теперь перейдем к доказательству сформулированных теорем. Заметим
прежде всего, что из формул (б.З) следует
= о(±) при 0<а<А и
при
а потому из F.4) получаем
I Rn(*,«) | = О A) "j?-\ok{x)-S (х) | + ОA)| ^„_х(x)-S (x) |. (б.б)
к=0
Отсюда мы легко выведем теоремы 2 и 2\ Действительно, пусть е> О
задано. В условиях теоремы 2 имеем для достаточно большого N
\an(x)-S(x)\<e для n>N,
а в условиях теоремы 2' это неравенство имеет место равномерно на [a, ft]..
Но из (б.б) получаем
J \ok(x)-S(x)\ +
k=N+l
+ O(l)\an_1(x)-S(x)\. F.7>
Так как во второй сумме в F.7) число членов меньше л, а каждый из них
меньше е, то вся вторая сумма меньше е; то же справедливо для последнего
члена формулы F.7); то и другое имеет место равномерно, если мы находимся
в условиях теоремы 2'. Остается рассмотреть первую сумму. Но функции
ип(х) непрерывны, значит, и ап(х)тоже (при fc = 0, 1, 2, ..., TV), и в условиях
теоремы 2' это же верно для S(x) на [a, ft]. Поэтому найдется такое С, что
\ok(x)-S(x)\<C,
k = 0,l,...,N
(и это же верно в точке х, если мы находимся в условиях теоремы 2). Отсюда
ясно, что первый член формулы F.7) не превосходите • О {—-] = 0A).
Мы убедились, что в условиях теоремы 2 имеем Rn(x, a) = o(l), и что это
имеет место равномерно на [a, ft], если мы находимся в условиях теоремы 2\
т. е. обе эти теоремы доказаны.
Чтобы доказать теоремы 1 и Г, достаточно заметить, что если ряд схо-г
дится kS(x), то и ап(х) -> S(x), а тогда /?„(х, а) -»0 и, по доказанному, это
имеет место равномерно на [a, ft], если сгп(х)->5(х) равномерно, что в свою
очередь должно иметь место в условиях теоремы Г. Поэтому из формулы
F.2) в силу ограниченности Ф(а) сразу видим, что tn(x) — S(x) Ф@) стре-
стремится к нулю в случае теоремы 1 и притом равномерно в случае теоремы Г.
Таким образом все теоремы доказаны.
Мы теперь применим полученные результаты к тому важному частному
случаю, когда рассматриваемый ряд есть тригонометрический, а роль Ф(а)
играет cos а. Итак, пусть
ик (х) = ак cos кх + bk sin кху к = 1,2,...,
ф (а) = cos a.

§ 7 ПРИЗНАК РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 291
Мы находимся в условиях применимости доказанных теорем. Но в рассматри-
рассматриваемом случае, как показывает простое вычисление,
tn(x,a) =j?Uk(x)C0ska = ~[Sn(x + a) + Sn(x-a)],
к=0
откуда, применяя формулу F.2), находим
Y iSn (X + а) + Sn (X -a)]-S (X) = [Sn (X) -S(X)] COS Па + Rn (X, a) . F.8)
Формулу F.8) будем называть тождеством Рогозинского. Важно заме-
заметить, что из доказанных теорем следует:
Rn(x, а) ->0 равномерно относительно 0<^ а<^ —, если an(x)-^S(x)u
это имеет место равномерно на а<^х<^Ь, если ап (х) -> S(x) равномерно на
a<x<ft.
Сам Рогозинский использовал этот результат для изучения одного метода
суммирования (см. глава VII, § 4), но его тождество может быть применено
для получения целого ряда других интересных теорем. В частности, мы при-
применим его в следующем параграфе для изучения вопросов, связанных с рав-
равномерной сходимостью ряда Фурье.
§ 7. Признак равномерной сходимости, использующий
обынтегрированный ряд
Пусть F(x) — периодическая функция и
F(x) = //(*) Л.
о
Имеют место следующие теоремы (см. Salem С13!):
Если f(x) непрерывна и
\Sn(F,x)-F(x)\=o[±) G.1)
равномерно на 0<^х<^2:7г, то a(f) сходится равномерно на [0,2 л;].
Если f(x) непрерывна на [а, ft] и
|Sn(F,x)-F(x)| = *(.!) G.2)
равномерно на [а, ft], то для любого е> 0 ряд a(f) сходится равномерно на
(а+ е, Ь — е).
Для краткости обозначим через sn(x) частные суммы ряда a(f) и через
Sn(x) частные суммы ряда a(F). Если f(x) непрерывна всюду, то ап(х) стре-
стремится к /(х) равномерно на всем отрезке [0, 2л]; если же она непрерывна
лишь на [a, ft], то ап(х) ->/(х) равномерно на (а + е, ft— е) при любом
е > 0. Поэтому, применяя тождество Рогозинского (см. § 6), видим, что
у [sn(x + ")+sn(x - а)] - f(x) = [sn(x) -f(x)] cos па + Rn(x, а), G.3)
где i?n(x, а)->0 равномерно на 0^ а^—и равномерно на
первом случае, во втором же равномерно на (а + е, ft — е).

292 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Если мы проинтегрируем равенство G.3) по а от 0 до ft, где ft<^—, то
получим
h
\-[Sn{x + h)-Sn(x - h)]-f(x)h = [sn(x)-f(x)] ^ + \Rn(x,a)da. G.4)
6
Если — < e, то в силу G.2)
±[Sn(x + h)-Sn (x-h)] = ~[F(x + ft) - F(x -h)] + o A)
равномерно на (а + e, b — e) (и это же справедливо равномерно на [0, 2тг],
если выполнено G.1)).
С другой стороны,
также равномерно на [0, 2п\ если /(х) непрерывна всюду, и равномерно на
(а + е, b — е), если /(х) непрерывна на (а, 6), а Л ^— < ?•
Отсюда следует, что левая часть формулы G.4) есть о {—J + ^ (ft) = о f—j,
поскольку ft = О Г—1, и, значит, из G.4)
(±) G.5)
Но в силу уже отмеченных выше свойств Rn (х, а) для любого г\ > О
можно найти такое N, что
I Rn (*,а) I < V Для п > N
при 0 ^ х <^ 2п в случае G.1) и при я+ е^х^б — ев случае G.2). Сле-
Следовательно,
h
\r,h<r,^- G.6)
равномерно на 0<^х<^2:г или на (а -{- е, b — е). Так как rj может быть
взято как угодно малым, то из G.5) и G.6) заключаем
равномерно на 0 <^ х <^ 2 л или на а +
Полагая теперь Л = -^-, находим
равномерно на [0, 2л;] в случае G.1) и на (а -{- е, b — е) в случае G.2), и обе
теоремы доказаны.
Замечание. Доказательства этих теорем даны Салемому но, как
отмечено им самим, идея интегрировать тождество Рогозинского принадле-
принадлежит Зигмунду, использовавшему эту мысль в другом случае.

§ 8 ОБОБЩЕНИЕ ПРИЗНАКА ДИНИ-ЛИПШИЦА 293
§ 8. Обобщение признака Дини—Липшица (в интегральной форме)
Докажем следующую теорему:
Теорема. Если f (х) непрерывна и условие
h
+ 0-/(* - t)]dt =o(-\-\ (8.1)
[lnT )
выполнено равномерно на [О, 2 л], mo a(f) сходится равномерно на [О, 2л].
В таком виде эта теорема была доказана Салемом (Salem t13l), однако ее
можно сформулировать несколько иначе, и тогда она примет вид, в котором
была доказана СБ. Стечкиным*), а именно:
Если f(x) непрерывна,
F (*) = //(О Я
о
и для симметрического модуля гладкости **) имеем
то а (/) сходится равномерно.
Эквивалентность обеих формулировок сразу следует из того, что
F(x + h) + F(x-h) - 2F(
о
и из определения симметрического модуля гладкости.
Докажем теперь, что если
то для Rn(F,x) = F (х) — Sn (x, F) имеем
Rn(F,x)=o(±) (8.3)
равномерно на [0, 2л].
Действительно, из формулы C.1) имеем
|/?„ (F, х) |< CEn(F) In л,
где С — постоянное. Но по теореме Джексона (см. Добавления, '§ 7)
EniFXC,^^), (8.4)
где Сг — снова постоянное. Поэтому
*) Стечкин получил свою теорему и изложил ее доказательство в докладе на семи-
семинаре по теории функций действительного переменного в Московском Университете в
1954 году до знакомства с работой Салема.
**)См. Вводный материал, § 25.

294 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
и в нашем случае в силу (8.2)
равномерно на 0<^х<Г2я;. Но тогда по теореме предыдущего параграфа,
полагая Rn (/, х) = / (х) — Sn (x, /), находим
\Rn(f,x)\ = o(l)
равномерно относительно х, и теорема доказана.
Можно, не пользуясь теорией приближения, доказать предыдущую тео-
теорему непосредственно. Это было сделано В. И. Черейской W *).
В следующем параграфе мы дополним эту теорему, рассмотрев случай,
когда условие (8.1) выполнено не на всем отрезке [0, 2ж\ а лишь на неко-
некотором [а, ft], содержащемся в нем. В данный же момент мы хотим указать,
почему эта теорема является обобщением признака Дини—Липшица.
Прежде всего ясно, что если признак Дини—Липшица выполнен, то из
l/( 0/(l<(ft,/) Для
мы находим
и, значит, выполнено условие (8.1) теоремы Салема—Стечкина. Но, с другой
стороны, условие (8.1) может быть выполнено без того, чтобы функция / (х)
удовлетворяла условию Дини—Липшица. Чтобы доказать это, рассмотрим
следующий пример (Салем пишет, что этот пример принадлежит Зигмунду).
Пусть
1(*)=2S^> 0<«<l- (8-5)
Ясно, что/(х) непрерывна, так как ряд сходится абсолютно и равномерно.
Имеем
л=1
Докажем, что F(x) имеет модуль гладкости со2 (<3, F), удовлетворяющий
условию (8.1). Действительно,
F(х + h) + F(х - h) - 2F (х)= - 4 у sin2^"-1/*) sin2nx.
Выберем N так, чтобы
Имеем
Ln=l n=N+l
Но
n+i
1*г = 01-г-гы1 (8-7)
*) Аналогичный результат был получен М. Сато. Позднее он дал также некоторое
обобщение этой теоремы (см. Sato Ш).

§ 8 ОБОБЩЕНИЕ ПРИЗНАКА ДИНИ-ЛИПШИЦА 295
Покажем, что и первая сумма в (8.6) имеет тот же порядок. В самом
деле, во-первых,
sin2B"-ih) ^ , 2 УЦ 22п-2 __ №_ Щ 2"
»
• 2*) =0 № = о (j-^—A, (8.8)
К1)
2 ^ j
К1пт)
1
потому, что /г2 [in—J — #A); во-вторых,
2"
<
Складывая (8.8) и (8.9), мы видим, что и первая сумма в правой части
<(8.б) имеет тот же порядок, что и вторая, и окончательно
КI
откуда ясно, что условие (8.1) удовлетворено.
Теперь мы хотим показать, что условие Дини—Липшица не имеет места,
т. е. что
1пт;
Чтобы доказать это, заметим, что, как показал С. Б. Стечкин^, если
/?„(/)= max \f(x)-Sn(x)\,
О ^ X ^ 2п
то для лакунарного ряда, у которого -5^-> я, имеем
En{i)>CRn{t), (8.11)
где С — постоянная, зависящая только от Я.
В нашем случае ряд для/(х) лакунарный. Если мы для заданного п
определим N из неравенства
2N<n<2N+1, (8.12)
то Sn(x) = S2N(x) при всех п, удовлетворяющих (8.12). Но мы имеем
^ cos 2к х % cos 2k х
к = \ * а N+1
л потому для тех же п
N+l

296 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
где а> О постоянно. В силу (8.11) отсюда следует
Еп(/)>Сг^ при 2"<н<2"+1,
где Сг — новая константа, Сх> 0. Из неравенства Джексона тогда следует
Так как (N + 1) In 2> In n в силу (8.12), то отсюда
a{i't)>C^. (8.13)
Отсюда следует, что условие
Ы
не может выполняться, поскольку из него вытекало бы
что противоречит (8.13), поскольку мы предположили, что а < 1.
Итак, условие Дини—Липшица не выполнено, и наше утверждение
доказано.
§ 9. Равномерная сходимость на отрезке [а, Ь\
В ряде случаев бывает, что некоторая функция /(х), вообще только сум-
суммируемая, оказывается непрерывной на некотором отрезке [а, Ь] длины,
меньшей чем 2тг, и удовлетворяет на нем тем или иным дополнительным
условиям. Можно ставить тогда вопрос о том, сходится ли ее ряд Фурье
равномерно на всяком отрезке [а19 Ьг], целиком лежащем внутри [а, Ь] (если
в концах отрезка [а, Ь] функция имеет разрывы, то, разумеется, уже не
может быть равномерной сходимости на всем [а, Ь]).
Здесь часто бывает удобно применять метод продолжения функций *),
суть которого заключается в следующем: мы строим функцию/х(х) так, чтобы
она совпадала с f(x) на [av b±], и продолжаем ее вне этого отрезка так, чтобы
в результате она обладала на всем отрезке [0, 2тг] тем «хорошим» свойством,
которое она имела на [а, Ь]. Если это свойство настолько «хорошее», что бла-
благодаря ему рядсг^) сходится равномерно, то, в силу принципа локализации
Римана (см. глава I, § 33), ряд<т(/) будет сходиться равномерно, во всяком
(а + е, Ь — е) при ?> 0. Иногда такое продолжение не удается, но можно
взять /х (х), совпадающую с / (х) на (а + ~, Ъ — ~J, и продолжить ее такг
чтобы «хорошее» свойство наблюдалось на [0, 2тг]. После этого мы видим,
что a (f±) сходится равномерно на [0, 2тг], а тогда а (/) сходится равномерно
на (а + в, Ъ — в).
Как же можно «продолжить» функцию с сохранением заданного свой-
свойства? Для этого применяют идею, впервые использованную Риманом при
доказательстве принципа локализации: строят функцию Я (х), равную еди-
единице на [av &J, равную нулю вне [а,Ь] и проинтерполированную между
аиа19ЬгиЬ либо просто линейно (рис. 16), либо как-нибудь более деликатно,
*) Ряд интересных теорем, касающихся «продолжения функций», можно найти в
статье П. Л.Ульянова [5].

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НА ОТРЕЗКЕ [а,Ь]
297
если нужно заботиться о наличии у нее производных до некоторого порядка
(в частности, в точках а, а1У Ьг и Ъ они тогда должны быть равны нулю).
После этого, полагая
обнаруживают (если Я (х) удачно подобрано), что /х (х) уже обладает на [0, 2л)
такими свойствами, как /(х) на [а, Ь].
Разумеется, этот метод в каждом отдельном случае требует специаль-
специального изучения, так как в общем виде
нельзя ответить на вопрос, будет ли
так построенная /х (х) решать пос-
поставленную задачу: все зависит от то-
того, каким именно свойством обладала
/(х) на [а, Ь].
Мы здесь рассмотрим лишь один
пример для иллюстрации описанного
метода; именно, мы хотим показать, что
имеет место теорема:
Теорема. Если /(х) суммируема на [0,2л] и непрерывна на [а, Ь],
причем
h
1
\
0 - /(* - 0}dt=o
ln
(9.1)
равномерно относительно х на #<^х<С&, то для любого в> 0 ряд a(f)
сходится равномерно на (а + в, Ъ — г).
Эта теорема, так же как и теорема § 8, была доказана как Стечкиным
(см. сноску на стр. 293), так и
Салемом (Salem t13l). Метод про-
продолжения функции в данном
случае был применен Стечки-
Стечкиным, тогда как Салем проводил
для этого случая специальное
доказательство.
Покажем, что если / (х) удов-
удовлетворяет условию теоремы, то
можно построить такую /х (х), pUc. 17
которая совпадает с / (х) на
(а + 2e, b — 2e), и для нее удовлетворено условие (9.1) равномерно на
[О, 2л]. Для этого строим Я (х) так: Я (х) = 1 на (а + 2в, Ъ — 2е); Я (х) = О
вне (а + е, Ъ — е); Я (х) линейно интерполируется на (a -f е, а + 2е) и на
(Ь — 2в, Ъ — е) (рис. 17); и полагаем
fi (*) = /(*)*(*)•
Так как f(x) непрерывна на [а, Ь]} то /х(х) непрерывна всюду на [0, 2л].
Имеем
/i(* + 0 - /i (х - 0 = /(х + 0 А(х + 0 - /(х - t)X(x - 0 =
= f(x + 0 [Я(х + 0 - Я(х - 0] + [/(* + 0 "fix ~ t)]X(x - t). (9.2)
Пусть х лежит на [о, а + yj или на [b — у, 2л\и \t\ <~; тогда первое
слагаемое в правой части (9.2) равно нулю, так какЯ(х + /) — Я(х — t) = 0.
| + -|-, b — yj и |*|< у, то /(х + f) ограничена в силу не-

298 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
прерывности / (х) на [а, Ь\ тогда как Я (х) удовлетворяет условию Липшица
порядка 1, значит, |Я(х + t) — Я(х — f)| < K\t\, где К постоянно. Соединяя
оба эти результата, получаем
для 0 <^ х <; 2л и |f| <-2-, где Кг — новое постоянное. Но тогда, взяв
находим
(9.3)
о о
и таким образом все сводится к оценке интеграла
7(х) = \цх - 0[/(х + 0 - /(х - 0]dt.
о
Если х ? О, а + -|-1 или х ? \b — ~ , 2л и | ftj <^ -|-, то / (х) = О, потому
что Я(х — t) = 0. Если х ? [а + Зе, & — Зе], a |ft[ <С е, то Я(х — t) = 1, а
тогда
/(*)= [[/(Х + 0-/(х-0]л=4-Л-)
lln?j
по условию теоремы.
Если же х ? а + -|-, а + Зг и | ft| < -|-, то в силу монотонного убывания
Я(х — t)upu t возрастающем имеем по второй теореме о среднем значений,
замечая, что О <^ Я (х) <^ 1 всюду:
i
при 0 < | < ft.
Аналогичное рассуждение проводим для х ? Ь — Зе, & — у> в этом
случае Я (х — t) будет возрастающей функцией от t и мы найдем
лотому что
( + t)-f(x-t)]dt\ =
, = *(Л
Итак, мы убедились, что для/х(х) условие (9.1) удовлетворено равно-
равномерно на0^х^2тг. Значит, по теореме §8, имеем: а (/х) равномерно сходится

§ 10 ПРИЗНАКИ САТО 299
на [0, 2тг]. Но /х(х) = /(х)на(я + 2е, Ъ — 2в). Значит, вф сходится равно-
равномерно на (а + Зв, Ъ — Зв). Так как в> О произвольно, то теорема доказана.
Следствие. Если на некотором [а, Ь] с [0, 2п] выполнен признак
Дини—Липшица, т. е.
/ 1 \
(9.4)
lni"
равномерно на [а, Ь], то для любого в> 0 ряд вф сходится равномерно на
(а+ е, b — г).
Действительно, рассуждая как в § 8, мы убедимся, что если выполнено
(9.4), то выполнено и (9.1) и остается применить только что доказанную
теорему.
§ 10. Признаки Сато
Вернемся к вопросу о равномерной сходимости на всем отрезке [0, 2тт].
Мы видели, что существуют признаки, выражаемые только через коэффи-
коэффициенты ряда, и признаки, выражаемые только через свойства функции.
Укажем теперь одну теорему Сато, из которой получаются признаки смешан-
смешанного типа, т. е. такие, в которых фигурируют как свойства функции, так и
условия, наложенные на коэффициенты Фурье.
Сначала введем определение.
Определение. Пусть Ф(п) — положительная функция целочислен-
целочисленного аргумента п. Функция f(x) принадлежит классу Ф (я), если
Ф(п)Цf(x + t)cosntdt = О (I) A0.1)
а
равномерно относительно х, п, а, Ъ при Ъ — а <^ 2тг.
Имеет место следующая теорема*):
Теорема Сато (Sato Ш). Пусть f(x) принадлежит классу Ф(п), где
Ф(п) = О (я), и f (х) имеет модуль непрерывности со (<5). Тогда для любой моно-
монотонно возрастающей @ (п), где 1 <^ 0(п)<^Ф(п), найдутся три абсолютные
константы А, В и С, для которых
^-. A0.2)
Для доказательства заметим (см. C2.9) из главы I), что
•I am in ,, , ПО ^^
"о 2tg^-
где
(см. Вводный материал, § 25). Таким образом достаточно доказать, что инте-
интеграл в A0.3) по модулю не превосходит правую часть A0.2). Но можно это
доказывать, предварительно заменив нижний предел интегрирования через
^, так как, полагая
*)См. также работу Нэша (NashH]).

300
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
гл. IV
имеем
,,
Итак, будем доказывать существование таких А, В и С, что
. A0.4)
Прежде всего напишем
л
• О 4-rr i^i ^
— /? Лк
A0.5)
/с=1
к-
п
и будем соединять числа 1к попарно, как это делал Салем (см. § 5). Так как
п
, Л — 1
Л,
2tg
то можно написать для любого нечетного к
¦+— -
2 -
л
" J ^Х 1
я
л
2?
л
я;
_1 ч.
[ 2tg-
1
(к — 1)
п
2
'+пЯ)]
2tg-
1
Л ^
п
2
с in
bill
sin ntdt +•
Но в силу определения^(t) имеем для —
Кроме того,
1
1
t .
к- 1
2tg -
2tg—
-?¦11.A0.7)
A0.8)
A0.9)
2 s 2
а потому из A0.6), A0.7), A0.8) и A0.9) получаем

i 10 ПРИЗНАКИ CATO 301
Обозначим через q наибольшее нечетное число, для которого
(п-
Ф(п) •
Тогда q ^ п — 2 и
СО I
где знак 2' означает, что к пробегает лишь нечетные числа. Но
значит, остается доказать, что
sin 1
г Г
2tg~
и тогда неравенство A0.4) будет доказано.
Полагая для краткости /3 = (q + 2) ^ , видим, в силу определения #,
что /3 <С тг и
A0.10)
Так как f(x) принадлежит к классу Ф(п), то
ь
(Ю.П)
при любых а, & и х. Но по второй теореме о среднем для некоторого
% $ <У <я, имеем
V
откуда в силу A0.10) и A0.11)
Если п < 4, то формула A0.4) тривиальна, значит, теорема полностью
доказана.
Из этой теоремы мгновенно получается
Следствие 1. Пусть f (х) принадлежат классу Ф (и), где Ф (п) =
= О (и), и ее модуль непрерывности со(д) удовлетворяет условию со (- j In ф— -> О
при п -> оо; пусть, кроме того, для некоторой монотонно возрастающей
и стремящейся к бесконечности 9{п) имеем со Г—J In 0{n) -> 0 при п -> оо.
Тогда ряд Фурье от f(x) сходится к ней равномерно.

302 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Отсюда сразу же вытекает признак Дини—Липшица. Действитель-
Действительно, достаточно положить Ф(п) = &(п) = In n, чтобы убедиться, что при
col—Jinn ->0 выполнены условия, сформулированные в следствии 1, а
тогда имеет место равномерная сходимость.
Можно высказать и такое
Следствие 2. Если для модуля непрерывности f (х) имеем
ь
J/ (х + 0 cos ntdt = O pjp),
и если
то ряд Фурье orn f(x) сходится равномерно.
Действительно, достаточно положить Ф(п) = -j^- и 0(п) = \пп.
§ 11. О равномерной сходимости около каждой точки отрезка
Отметим справедливость следующей простой теоремы:
Теорема. Пусть f(x) обладает следующим свойством: для каждой
точки х0 отрезка [О, 2л] найдется такая окрестность 1Хо и такая функция
g(x) = gXQ (х), 4mof(x) = g(x) на I (x0) и ряд Фурье omg(x) сходится равномерно.
Тогда ряд Фурье от f (x) сходится равномерно.
По теореме Гейне—Бореля мы можем найти конечное число точек
xv х2, . .., хт таких, что интервалы /Х1, 1Х2, ... 1Хт перекрываются и покры-
покрывают весь отрезок [0, 2тг]. Пусть hk = (uk, vk). Без ограничения общности
можно предполагать, что
"*<«>л-1<Нл+1 <vr (k= 1,2,.,., /л),
причем (um+1, vm+1) = (uly vx) (mod 2л).
Пусть К{х) — непрерывная функция с периодом 2тг, равная 1 на
(%-ъ uk+i)y равная 0 вне (uk, vk) и линейная на интервалах (ик, vk_^) и
(«л+ь ^л)- Нетрудно видеть, что
*i(x) + k2(x) + ...+Xm(x)=\.
Ясно, что
[ + .--+ Ю] =°AК) + . . • + * (Яп),
поэтому достаточно доказать равномерную сходимость каждого из рядов
a (fXk). Но в силу определения 1к (х) имеем
а относительно a (gXk) предполагалось, что этот ряд сходится равно-
равномерно.
Если теперь заметить, что АЛ(х) удовлетворяет условию Липшица по-
порядка 1, так как она — непрерывная ломаная, то по теореме Штейнгауза
(см. гугава I, § 34) мы видим, что a (gXH Хк) и Хк (х) a (gXjc) равномерно равно-
сходящиеся, и, значит, a(gXky Xk) сходится равномерно. Это и заканчи-
заканчивает доказательство.

§ 12 ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД ФУНКЦИЯМИ 303
§ 12. Об операциях над функциями
для получения равномерно сходящихся рядов Фурье
Ясно, что если /х (х) и /2 (х) — две функции с равномерно сходящимися
рядами Фурье, то это же имеет место для их суммы или разности. Мы увидим
в главе IX, что в случае, когда речь идет об абсолютной сходимости, то и
произведение /х (х) на /2 (х) имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Для
равномерной сходимости это уже неверно: в § 23 мы увидим пример функции
/(х), у которой ряд Фурье сходится равномерно,-а у /2(х) ряд Фурье расхо-
расходится на множестве мощности континуума. Тот же пример показывает, что
если
где ряд для / (х) сходится равномерно, то для Ф (х) это не имеет места даже
в таком простом случае, как g{u) — и2 (а для абсолютной сходимости мы
имеем положительный результат в случае достаточно хорошей g{u) см. § 11,
главы IX).
Таким образом, даже, казалось бы, незначительное ухудшение функции
нарушает ее свойство иметь равномерно сходящийся ряд Фурье. Тем более
интересно указать, что можно за счет разумно подобранного монотонного
преобразования независимого переменного превратить любую непрерывную
функцию в такую, у которой ряд Фурье сходится равномерно. Мы имеем в
виду следующую теорему Бора (ВойгШ):
Теорема. Пусть Ф(() —непрерывная периодическая функция с перио-
дом2я. Тогда существует такая строгомонотонная и непрерывная tF), что
имеет равномерно сходящийся ряд Фурье.
Заметим, что сначала Ж. Паль (РаН1^) доказал несколько более слабую
теорему, именно он для любой непрерывной Ф(/) определил tF) с указан-
указанными выше свойствами так, что ряд для f(d) оказался равномерно сходя-
сходящимся на д <^ в <^ 2тс — д для любого <5 > 0. Затем Бор получил теорему,
сформулированную выше.
Мы здесь приводим не доказательство Бора, а доказательство Салема
(Salem t10^), так как оно проще и короче. Как и доказательство Паля, оно опи-
опирается на результаты Фейера из теории конформных отображений. Прежде
всего нам понадобится одна теорема Фейера (Fj^)
Теорема Фейера. Пусть f(z) = 2J akzk — степенной ряд, сходя-
щийся для |z|<l. Пусть функция f(z) непрерывна для \z\^\. Допустим,
что w = f(z) — однолистная функция, осуществляющая конформное отобра-
отображение круга \z\ < 1 на некоторую конечную область плоскости w. Тогда ряд
?akzk сходится равномерно на \z\ = 1 (а значит и равномерно для \z\ <^ 1).
Докажем сначала, что если
где ряд сходится при |z| < 1, то имеет место равенство
йу = я2к\ан\*1*9 A2.1)
(Cr) ft-l
где 0 <^ г < 1 и интегрирование распространяется на круг Сг радиуса г с
центром в начале координат.

304 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Действительно, переходя к полярным координатам, имеем:
Н| f'(z)|»dxdy = jQdQ] |/'(e<?<*)\*dq> =
<C,) 0 0
= \quq \ 2« *
U-i
Здесь все операции законны, так как подынтегральная функция неотрица-
неотрицательна, значит, можно перейти от двойного интеграла к повторному; кроме
того, интегрируются ряды с положительными членами. Итак, A2.1) доказано.
Рассмотрим случай, когда f(z) непрерывна при \z\ <С 1 и w = f(z) есть
однолистная функция, дающая конформное отображение круга \z\ <1 на
некоторую область плоскости w. Тогда
(Сг)
определяет площадь Тг образа круга (Сг) на плоскости w. Но в этом случае
Тг обязательно остается конечной, когда г-> 1. Значит, на основании A2.1)
имеем
2 k\ak\* < + oo. A2.2)
Теперь покажем, что ряд 2 &к*к на \z\ = 1 равномерно суммируем
(С, 1). Действительно, f(z) непрерывна в круге \z\ ^ 1, поэтому f(gei<p) равно-
равномерно стремится к f(ei(p) при д -> 1. То же самое справедливо для их дейст-
действительных и мнимых частей. Следовательно, по теореме § 60 главы I дей-
действительная и мнимая части ряда 2 akeikq) являются рядами Фурье от не-
прерывных функций. Поэтому они равномерно суммируемы методом (С, 1), а
значит, тогда и ряд 2 ^keik(p равномерно суммируем методом (С, 1) к f(ei<p).
о
Теперь из A2.2) и равномерной суммируемости (С, 1) на окружности |z| = 1
заключаем в силу леммы Фейера (см. Добавления, § 12), что ряд ^
2
к=0
равномерно сходится для \z\ = 1, и теорема Фейера доказана.
Переходим к доказательству теоремы Бора.
Пусть Ф@ периодическая с периодом 2тг. Не нарушая общности, можно
добавить кФ@ константу так, чтобы
о
В таком случае Ф{{) должна где-то обращаться в нуль. Пусть это будет при
/ = 0 (этого можно достичь сдвигом). Тогда Ф @) = Ф Bтг) = 0. Так как
j Ф (f) dt = 0, то найдется по крайней мере одно значение а @ < а < 2тг),
где Ф (а) = 0.
Допустим сначала, что в открытом интервале @, 2тг) точка а единствен-
единственная, где Ф{{) обращается в нуль. Тогда Ф{() существенно положительна в

§ 12 ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД ФУНКЦИЯМИ 305
одном из двух интервалов @, а) и (а, 2тг) и существенно отрицательна в дру-
другом*). Пусть a (t) — любая непрерывная с периодом 2ж и такая, что а@) =
= а B ж) = 0, причем a(t) существенно возрастает в @, а) и существенно убы-
убывает в (а, 2тг). Тогда уравнения
Х = а(/М A2.3)
у=ф(О /
изображают простую замкнутую жорданову кривую. Пусть w = f(z) — одно-
однолистная функция, осуществляющая конформное отображение круга г < 1
на область, ограниченную этой кривой A2.3). Такая/(г) существует по тео-
теореме Римана (см. Добавления, § 6). В силу теоремы Каратеодори (см. Добавле-
Добавления, § 6) граница круга перейдет в жорданову кривую A2.3) взаимно одно-
однозначно и непрерывно. Рассмотрим/(г) на |z| = 1, т. е. г = ei(p. При изменении
<р от 0 до 2л можно считать, что t{cp) изменяется от 0 до 2ж непрерывно и суще-
существенно возрастая (по теореме Каратеодори). Если так, то для мнимой части
f(ei<p) имеем
где t (у) непрерывна и существенно возрастает. Но по доказанной теореме
Фейера, если
то этот ряд сходится равномерно на \z\ = 1. Отсюда следует, что ряд Фурье
от Ф [?(<?)] сходится равномерно, и тогда теорема доказана.
Допустим теперь, что а не есть единственная точка открытого интервала
(О, 2 п)9 где Ф @ обращается в нуль.
Пусть Мг — максимум |Ф@| Для O^f^a и пусть t± — точка, на
) | Ф(^)[ M П М | Ф@| ( 2)
(О, а), где | Ф(^)[ = Mv Пусть далее М2 —максимум | Ф@| на (а, 2л)
и f2—точка на (а, 2тг), где |Ф (/2)| = M2. Определим функцию w (t) следующим
образом:
max | Ф (/01 + sin (-1 для 0 < t < t±,
-,,, /А 0^<'<* ^ п '
max | Ф (/01 + sin j^-J для *!<*<я
и аналогично
для
-max|(P(O|-sin|^^| для
и далее будем ее продолжать периодически.
Сразу видно, что w(t) непрерывна, с ограниченным изменением, что
Фг (t) = Ф (f) + и/ (f) на [0 ^ t ^ 2 тг], обращается в нуль только при f = О,
t = a, t = 2 ж и что Фх (t) существенно положительна на открытом интервале
(О, а) и существенно отрицательна на (а, 2тг). Поэтому, применяя к ней только
что полученный результат, видим, что существует монотонная tF) нужного
вида, для которой ряд Фурье от Фг [tF)] сходится равномерно на [0 <^< 2л].
Но так как w (t) непрерывна и с ограниченным изменением, то тот же резуль-
результат справедлив для Ф@, и теорема доказана.
Замечание. Остается нерешенной проблема, поставленная
Н. Н. Лузиным: можно ли для любой непрерывной Ф(?)подобрать не просто
*) Мы считаем, что Ф (f) ф 0 (в противном случае теорема тривиальна).

306 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
непрерывную монотонную, а абсолютно непрерывную и монотонную t=tF}
так, чтобы для
ряд Фурье сходился равномерно?
Н. Н. Лузин ставил также другую проблему: можно ли для любой
непрерывной Ф (t) подобрать монотонную t@) так, чтобы ряд Фурье от /F) =
= ^[f @)] сходился абсолютно?
Оба эти вопроса не решены.
Можно еще поставить вопрос, нельзя ли для каждой непрерывной Ф (х)
подобрать непрерывную монотонную Р(у)так, чтобы ряд Фурье для Р[Ф(х)]
сходился равномерно?
§ 13. О равномерной сходимости при расстановке знаков
у членов ряда
Можно ставить вопрос еще так: дан тригонометрический ряд
00
— + 2 ancosnx + bns\nnx. A3,1)
Рассмотрим все те ряды
¦т + У, ± К cos nx + bn sin nx), A3.2)
которые можно получить из данного путем произвольного изменения
знаков его членов. При каких условиях, наложенных на ап, Ьпу можно
добиться того, чтобы какой-либо из рядов A3.2) оказался равномерна
сходящимся?
Исчерпывающий ответ на этот вопрос дан в работе Зигмунда и Салема
(Salem an J Zygmunc ^). В § 8, главы II мы разъяснили смысл выражения
«почти все ряды» вида A3.2). С этим разъяснением теорему Салема и Зигмунда
можно сформулировать так:
Теорема. Пусть
Если
? - < + ОО , (Iv3.v3)
п=1 П У1П П
шо почти все ряды A3.2) сходятся равномерно а, следовательно, являются
рядами Фурье от непрерывных функций.
Если гп монотонно убывает и если при некотором р > 1 имеем Rn(\n n)p f ,
то условие A3.3) является и необходимым для того, чтобы почти все ряды
A3.2) были рядами Фурье от непрерывных функций.
Мы не будем здесь давать доказательства этой теоремы, так как оно тре-
требует большого вспомогательного материала *). Укажем лишь, что в качестве
простого следствия этого результата получается теорема, ранее доказанная
Зигмундом и Пэли (Paley and Zygmuna ^), а именно
*) Доказательство содержится в упомянутой работе Зигмунда и Салема [6], где есть
также много других интересных результатов.

14 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ 307
Если
<+оо, е>0,
то почти все ряды A3.2) сходятся равномерно.
В самом деле, при выполнении условий теоремы Зигмунда и Пэли имеем
1
< + сю , поскольку \'Rn = О
In2 2п
Теорема перестает быть верна, если s = 0.
Действительно, достаточно рассмотреть ряд
sin akx
где а — любое целое, лишь бы а> 1. Ясно, что для него, полагая Ьп = О,
если п =?«= ал, Ьа* = ^^, если /с = 2, 3, ..., имеем
Между тем этот ряд ни при какой расстановке знаков не может оказаться
равномерно сходящимся, так как иначе его сумма оказалась бы непрерывной
функцией, а тогда, поскольку это ряд лакунарный, он должен был бы схо-
сходиться абсолютно (см. глава XI, § 6), чего нет, так как
к=2
§ 14. Экстремальные свойства некоторых тригонометрических
полиномов
Для дальнейшего изучения равномерной сходимости тригонометрических
рядов нам понадобятся некоторые вспомогательные результаты, которые
имеют также и самостоятельный интерес.
Поставим такую задачу: пусть числа гр^>0 (р = 1, 2, ..., п) заданы.
Полагаем
/(*)=J"rpcos(px-ap). A4.1)
p=i
Требуется подобрать числа ар так, чтобы max |/(x)| был минимальным.
Когда х меняется, то 1/(х)| имеет максимум, являющийся положительной
и непрерывной функцией от ару обозначим ееМ(ах, ..., ап); когда ар меня-
меняются, то эта функция имеет минимум [л; мы будем искать для него оценку
сверху. Покажем, что
где С — абсолютная константа. С этой целью установим справедливость
леммы
Лемма. Пусть
= ri cos (х — ai) + r2 COS B X — а2) + ... + Гп COS (ПХ — ап) ,

308 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
где числа гр ^> 0 заданы. Тогда можно подобрать числа ар (р = 1, 2, ..., п)
так, чтобы
где С — абсолютная константа.
Эту лемму можно доказывать разными способами (см., например, Little-
wood П]); мы здесь даем доказательство Салема (Salem Ш).
Заметим прежде всего, что
2л
j / (х; ах — 71 {гг + ... + гп). U4-^)
Отсюда ясно, что
г\+ ... + г*<2М2. A4.4)
Рассмотрим теперь для любого целого положительного к интеграл
2л
Ik = J f2k(x) dx.E^n его рассматривать как функцию от ару то эта функция
92/
имеет минимум, и в точке, где он достигается, необходимо я-2 J> 0 для
о о. р
р = 1, 2, ..., и. Это неравенство дает
J2ftBfc-1) f2k~2(x) r2psm*(px~ap)dx-f 2kf2k~l(x)rpcos (px -ар)dx>О,
о о
откуда тем более
$Рк~1(х)rp cos (рх - ар)dx < Bк -l)r2p §f2k-2 (x)dx .
о о
Если написать такие неравенства для всех р = 1,2, ..., и, то после
сложения их получим
f f2k (x) dx < B /с - 1) (rf + ... + r\) ff2k-2 (x) dx . A4.5)
о о
Но, применяя к последнему интегралу неравенство Гельдера, найдем
§f2k-2 (x) dx < {2nf { §f2k (x) dxp~,
о о
A4.6)
что в соединении с неравенством A4.5) дает
2я I I
(]72л(*)*0*< Bя)*B/г- 1)(г?+ ... +г«).
о
Если мы рассмотрим ту функцию |/(х)|,для которой интеграл 1к имеет
минимальное значение, то она достигает своего максимума М, по крайней
мере, в одной точке х0 и имеет величину МЯ@< X < 1), по крайней мере,
в двух точках а и Ь, из которых одна левее, а другая правее х0, причем между
ними |/| превосходит MX (это следует из того, что /(х) имеет нули на [0, 2 л]).
Тогда
f
2(ЛГ - MX) < f |f (х) | dx
p=l
откуда

§ 15 ПОДБОР АРГУМЕНТОВ ПРИ ЗАДАННЫХ МОДУЛЯХ ЧЛЕНОВ РЯДА 309
Но тогда в силу A4.4) имеем:
а потому
2л Ъ
\^^(^^. A4.7)
Так как X здесь пока еще произвольно, 0 < X < 1, мы выберем его так, чтобы
Х2кA — АJ было максимальным; для этого надо взять Я =
ft+1
Таким образом,
2я к 1 2J%
A4.8)
О
Сравнивая неравенство A4.8) с неравенством A4.6), находим
1
М2 < Ак (^rf-f (Л + .. . + rl), A4.9)
где А — абсолютная константа.
Если выбрать к так, чтобы правая часть A4.9) была минимальной, то мы
найдем
и тем более аналогичное неравенство имеет место для fi = min M (В — аб-
абсолютная константа). Но так как
2}
то, упрощая, можно написать
nYr\+ ... +г2, A4.10)
где С снова абсолютная константа.
Итак, лемма доказана.
Как показал С. Н. Бернштейн[4], найденная оценка A4.10) не может
быть улучшена.
§ 15. Подбор аргументов при заданных модулях членов ряда
В § 13 мы рассматривали вопрос, можно ли подбором знаков + добиться
того, чтобы ряд
°% + J? ± (an cos пх + Ъп sin nx)
п = 1
сделался равномерно сходящимся и, следовательно, стал рядом Фурье от
непрерывной функции. Указанная там теорема Зигмунда и Салема была
дана без доказательства; здесь же мы рассмотрим близкий к этому вопрос,
где решается хотя и менее трудная задача, но зато дается ее решение с подроб-
подробным доказательством.

310 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Вопрос ставится так: пусть числа гп^0 (п = 1,2, ...) заданы. Тре-
Требуется подобрать ап(п = 1, 2, ...) так, чтобы ряд
00
2 гпсо$(пх~ап) A5.1)
был рядом Фурье от непрерывной функции.
Этот вопрос был поставлен Салемом и он дал на него ответ в следующей
форме (Salem Ш).
Теорема Салема. Если
со со 1/ р
Я„ = 2 * и 2^t< + ~> 05.2)
то всегда можно подобрать числа ап так, чтобы ряд A5.1) оказался рядом
Фурье от непрерывной функции.
Действительно, сначала покажем, что существуют целые числа пк, для
которых
< + со. A5.3)
В качестве таких чисел можно взять пк = 22'\ Действительно, на основании
теоремы Коши (см. Вводный материал, § 4), если ип^0 и ип \ О, то ряды
2J ип и ? 2пи2" сходятся или расходятся одновременно. Поэтому, если выпол-
выполнено A5.2), то сходится и ряд
а тогда, снова применяя теорему Коши, видим, что сходится и
а это и влечет сходимость A5.3) при пк = 22к.
Теперь положим
Пк + 1
fk(x)= JZ rpcos(px~~ap)y ft= 1,2, ...
ПА+1
На основании леммы § 14 мы можем для всякого к выбрать
аР (Р = Пи + 1, • •., пк+1) так, чтобы
со
а если так, то ? /А(х) сходится равномерно, а потому функция
/1
непрерывна и это решает в положительном смысле поставленную Салемом
задачу. Теорема доказана.
Замечание. Салем доказал также (Salem Ш), что его теорема в извест-
известном смысле не может быть улучшена. Точнее: если i?° ф 0, причем /?? In n
изменяется монотонно, и 2 ,— = + °°> то можно построить ряд
лИпл
^ rp cos (рх — ар), для которого Rn ^ JR^, и однако ни при каком выборе
р=\
чисел ар этот ряд не является рядом Фурье от непрерывной функции.
Салем показал также, что если числа гп убывают достаточно регулярно,
то на быстроту стремления гп к нулю можно не налагать никаких ограниче-

§ 16 О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 311
ний и все же добиться подбором аргументов ап нужного результата. Точнее:
если г„ ф 0, а | — | — вогнутая последовательность, то можно подобрать ап
так, чтобы ряд 2 rn cos (пх — ап) был рядом Фурье от непрерывной функции.
Вопрос о том, будет ли иметь место аналогичная теорема для рядов вида
2 ± rn c°s их, остается открытым.
§ 16. О коэффициентах Фурье от непрерывных функций
Возникает вопрос: можно ли сказать что-либо о скорости стремления
к нулю коэффициентов Фурье от непрерывных функций?
Еще Лебегом было отмечено, что какова бы ни была последовательность
положительных чисел ет лишь бы еп -> 0, гожно найти непрерывную функ-
функцию, у которой для бесконечного множества значений п модули коэффициен-
коэффициентов Фурье удовлетворяют условию
Действительно, достаточно выбрать числа пк столь быстро растущими,
чтобы
и положить, например,
/(*)= Уепксоъп,,х.
к=\
Ясно, что /(х) непрерывна и
\йПк\ = ?п7с для к = 1, 2, .. .
Далее вопрос можно ставить так: раз для любой f(x) ? L2 имеем
2? а\ + Ьп <С + °°> то ЗТ0 верно для всякой непрерывной /(х). Но, может
быть, можно для каждой непрерывной f(x) найти такое г> 0, что уже
2\апГ* + \Ъп\*-*< + ™.
Этот вопрос поставил Карлеман (Carlemant1^), и сам дал на него отрица-
отрицательный ответ. Более того, он доказал следующую теорему.
Теорема Карлемана, Существует непрерывная функция f (x)
такая, что для любого е > 0 имеем
где ап и Ьп — ее коэффициенты Фурье.
Мы не будем здесь приводить доказательства Карлемана, а получим его
теорему из результата Салема, изложенного в § 15.
Положим
где /S> 1. Тогда, полагая
г> __ ^ 2 __ ^7 Z
А" ~~ ^d Р ~~ JL п(\п,
видим, что

312 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
а потому
Но тогда по теореме Салема можно подобрать числа ап так, чтобы
^ rn cos (пх - ап)
п = \
был рядом Фурье от непрерывной функции.
Но так как для этого ряда
то
при любом ?> О, откуда и следует справедливость теоремы Карлемана.
Более того, тот же пример может служить для доказательства теоремы
Банаха (Banach Ш): существует последовательность еп -> 0 и непрерывная
функция /(х), для коэффициентов Фурье которой имеем
Чтобы убедиться в этом, возьмем только что построенную функцию и
подберем еп так, чтобы
2Т Г1~е- = + оо .
Тогда наш результат будет доказан. Для удобства оценок будем вместо еп
писать 2еп. Так как г;* = ^ ,^, то достаточно выбрать еп так, чтобы
Но это заведомо будет иметь место, например, если, начиная с некоторого п0У,
п?- 1
(In лJ? ^ In п '
т. е.
пе* > (InнJ^-1 для п^п0,
для чего достаточно взять
?nlnn>B/S - 1) In Inn ,
а это можно сделать, хотя бы взяв еп = —=.
МП П
Отметим, что Банах получил свою теорему, опираясь на один результат,,
доказанный в той же работе и представляющий самостоятельный интерес.
Именно, он доказал, что если {пк} — любая лакунарная последовательность
и числа ак и (Зк любые, лишь бы 2J al + Pi < + °°, то всегда молено найти
непрерывную функцию, для которой аПк = ак и ЬПк = /?Л (т. е. на заданных
лакунарнои последовательностью местах коэффициенты Фурье могут быть
выбраны как угодно, лишь бы ряд из их квадратов сходился) *).
*) Отметим еще одну теорему Банаха (Banacht1!), а именно: если ак-+ 0 и/3к-+ О
то всегда существует суммируемая функция /(х), для которой аПк — аи, ЬПк = &к.

§16
О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
313
Доказательство этого предложения, кроме работы автора, можно найти
в книге Зигмунда [М-6]? § 9.6.
Далее, отметим следующую теорему Пзли (Paley W).
Теорема Пзли. Каковы бы ни были числа dn ^> О, l
можно найти такую непрерывную f (x), что для ее ряда Фурье
2 гп cos (пх-ап)
имеем
Теорема Пэли может быть получена как следствие более общего резуль-
результата, принадлежащего Орличу *) (Orlicz И).
00
Теорема Орлича. Пусть dn ^> 0 (п = 1, 2, ...) и 2 <% = +00-
Пусть {(рп(х)} — ортогональная и нормированная на [О, 1] система, для
которой
|?>п(х)|<Л (л =1,2,...). A6.1)
Тогда существует непрерывная функция f (x), для которой коэффициенты
Фурье ап по системе {уп (х)} удовлетворяют условию
dn\an\ =
л=1
A6.2)
Для доказательства этой теоремы установим следующую лемму Орлича
(см. Orlicz M):
Лемма. Пусть для некоторой последовательности fn(x) ? L имеем
при любых п1У п2, ..., пт:
1
т
\
dx<K,
где К —¦ постоянное. Тогда
.27)«
A6.3)
A6.4)
сходится почти всюду на [0,1].
Доказательство. Рассмотрим последовательность rn(t) функций
Радемахера. Покажем, что из A6.3) следует
1
j
2
dx<2K
A6.5)
Действительно, при всяком t имеем
1
J
dx
i
= Г
О
7=1
dx
dx
j
*) Оба результата получены независимо и почти одновременно.

314
РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
гл. IV
(здесь через п\ обозначены те значения /, при которых г, (/) = -f- 1, и через
п\ — значения /', при которых r;-(f) = — 1).
В силу известного соотношения (см. ХинчинИ или Качмаж и Штейн-
гауз[м-7^ теорема t4-5-7!) имеем для функций Радемахера и любых с;-
dt.
A6.6)
Полагая в A6.6) Cj = /у(х) и интегрируя по х, получим в силу A6.5)
1
I
ш
о о
dt dx =
= 8 Г/
1 1
ш
о о
rfx Д<16К. A6.7)
Если бы ряд A6.4) расходился на множестве положительной меры, то можно
со
было бы найти такое множество ?, /я?>0, на котором ряд J?f](x) расхо-
расходился бы равномерно, т. е. можно было бы для любого А взять столь большое
т
Щ что J?fj(x)> А для х^Е. Но это находится в противоречии с A6.7),
а потому лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы Орлича. Допустим, что теорема
неверна. Тогда для любой f(x) ? С имеем
2dn\an\=C1(f)<+oo. A6.8)
Пусть п1У п2, ..., пк,... — любая последовательность натуральных чисел.
Из A6.8) следует
2dnt\ant\<C1(f).
Но так как
т
к=\
1
J
к=\
то мы имеем при любом т и любых пк
1
Поскольку это справедливо для любой / $ С, то в силу леммы § 52 главы 1
имеем
lim Г
m-*co J
dt<K<
A6.9)
где К — постоянное, не зависящее от {пк}.

§ 16 О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 315
Положим/у(х) = dj(pj(x).Тогда из A6.9) следует: существует такая кон-
константа К, что
1
г < т
2UV) dt<K-
О
Но тогда по лемме Орлича имеем
сходится почти всюду, следовательно
сходится почти всюду. По теореме Егорова для любого е> 0 можно выбрать
множество Р, тР> 1 — г, на котором сходимость равномерна. Тогда
7 = 1 Р
Но так как, в силу A6.1), если взять е < у^ , получим
СР
откуда
э
то 2 dj < + °°> а это противоречит условиям теоремы.
В качестве следствия получаем теорему:
Теорема. Если {<рп(х)} — любая ортонормированная система, для
которой
\<Рп(х)\<А,
то найдется непрерывная /(х), у которой коэффициенты Фурье ап по системе
{срп (х)} удовлетворяют условию
при любом е > 0.
Действительно, возьмем dn = ^= и найдем по теореме Орлича такую
непрерывную /(х), для которой
Пусть е> 0 задано.
Обозначим г =2— е. Не нарушая общности, можно считать г> 1.
Найдем г' такое, что у + у= 1. Тогда г'> 2 и

316 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Поскольку левая часть равна + оо, то, следовательно, и правая
тоже.
Для случая тригонометрической системы это дает новое доказательство
теоремы Карлемана.
Вернемся к теореме Пэли.
Условимся говорить, что F(z)?C, если F(z) регулярна в круге \z\ <1
и непрерывна в замкнутом круге \z\ ^ 1. Для доказательства своей теоремы
00
Пэли установил, что если dn^0 и 2 d% = + °о, то существует такая
F(z) ? С, что
п=0
п=\
С. Б. Стечкин t11] изучал более общую проблему, а именно: при каких
условиях, наложенных на систему неотрицательных функций Фп, существует
функция F{z) ? С, для которой
При этом он опирался на теорему Пэли (см. Стечкин 11(Ч), но получил резуль-
результаты, обобщающие как теоремы Пэли, так и теоремы Карлемана и Банаха.
Среди многих доказанных С. Б. Стечкиным предложений отметим сле-
следующее:
Пусть dn ^> 0 и 0 < гп < 2 (п = 1,2, ...). Для того чтобы существовала
F(z) ? С, для которой
необходимо и достаточно, чтобы ряд
расходился для любого rj > 0.
В частности, при еп^ е> 0это условие, очевидно, эквивалентно расхо-
расходимости ряда 2J
§ 17. Об особенностях рядов Фурье от непрерывных функций
Мы до сих пор изучали те условия, при которых ряды Фурье от непре-
непрерывных функций оказываются равномерно сходящимися. Однако мы уже
знаем (см. глава I, §§ 44, 45), что можно построить ряд Фурье от непрерывной
функции, сходящийся всюду, но неравномерно около одной точки, или рас-
расходящийся в одной точке. Сейчас мы хотим усилить эти примеры, т. е. при-
применить метод «сгущения особенностей» и таким образом показать, что ряд
Фурье от непрерывной функции может сходиться неравномерно уже в любом
интервале (а, Ь), лежащем на [0, 2тг], а также может расходиться как на
счетных всюду плотных множествах, так и на множествах, имеющих мощ-
мощность континуума.

§ 18 РЯД ФУРЬЕ, СХОДЯЩИЙСЯ НЕРАВНОМЕРНО ВО ВСЯКОМ ИНТЕРВАЛЕ 317
18. Непрерывная функция с рядом Фурье, сходящимся
неравномерно во всяком интервале
Рассмотрим непрерывную функцию g (x) с рядом Фурье, сходящимся
всюду, но неравномерно около х = 0 (см. глава 1, § 44).
Пусть г19 г2, ...,гк, ... — все рациональные точки отрезка [—я, я].
со
Выберем положительные ек так, чтобы 2 ек < 1, и положим
О(х} — У ?, v(х — г \ (\R W
V / — i1 к о V к) * V /
к=\
Ряд A8.1) сходится равномерно и, значит, G(x) непрерывна. В силу равно-
равномерной сходимости ряда A8.1) имеем
к = \
поэтому
Rn(G,х) = Sn(G,x) - G (x) - 2ek[Sn(g, x-rk)-g{x- rk)\ =
k = \
= 2?kRn(g>x-rk). A8.2)
Пусть ^> О задано. Берем такое N, что
Так как по формуле D4.9) главы I
\RnB,x-rk)\*CK, A8.3)
ТО
12ЧЯп(е,*-гА)|<Кч. A8.4)
N+1
С другой стороны, так как ряд для?(х) сходится в каждой точке, то
Rn (g» x) -* 0 при п -> оо и любом х, а потому
2*kRn(g,x-rk)-+0 при л->оо. A8.5)
k = l
Из A8.4) и A8.5) следует, что
Rn(G, x)->0 при н->оо
и при любом х, т. е. ряд Фурье для G(x) сходится в каждо'й точке.
Докажем теперь, что он сходится неравномерно около каждой точки
Г; (/ = 1,2, ...), а так как их множество всюду плотно, то значит неравно-
неравномерно во всяком интервале Д лежащем на [—щ я], как бы мал он ни был.
Пусть Tj фиксировано. Окружим его столь малым интервалом Л, чтобы
все точки rk для к = 1, 2, ..., N, но к 4= /, находились от л на некотором
расстоянии <3> 0. Следовательно, если х ?Д то \х — гк\ ^> д для fc =
= 1,2, ...,Nh кф].
Но так как ряд для g (х) сходится равномерно вне (—д, д) при любом
д> 0, то это значит, что для всякого кф /, /с = 1, 2, ..., N имеем
\Rn(g,x-rk)\<n для x^Zl, A8.6)
для всех /г^> п0, где п0 зависит только от rj.

318 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Но из A8.2) находим
Rn(G, х) = ву/?п(?, х - г,) + 2?kRn(g,x- rk)+ 2ekRn(g,x- rj).
/с=-1 N+1
Поэтому для х ?А из A8.6) и A8.4)
|tfn(G,x)|>ey-|fln(g,x- 0I -42*k-Kri>ej\Rn(g,x- гу)|-Ч(К+1).
Так как ^ в нашем распоряжении, мы можем его взять столь малым, чтобы
Пусть теперь vm и хт — те числа, которые входят в неравенство D4.10)
главы I. Полагая
S/72 I j 1" -^/72
для выбранного нами гу, найдем
и так как по формуле D4.10) главы I
l#,m(g,xm)|>l (/я =1,2, ..),
то
!^(G,UI>f (m=l,2,...). A8.7)
Итак, мы нашли последовательность чисел |m, lim |m == гу- (поскольку
limxm = 0) и таких, что A8.7) имеет место. Это значит, что ряд Фурье от
G(x) сходится неравномерно около гу, итак как это справедливо при любом /,
то доказательство закончено.
§ 19. О множестве точек расходимости для тригонометрического ряда
Прежде чем переходить к построению рядов Фурье от непрерывных
функций, расходящихся на всюду плотном множестве или на множестве
мощности континуума, докажем некоторые общие теоремы о струк-
структуре множества точек расходимости для любого ряда из непрерывных
функций.
Введем определение:
Определение. Последовательность функций fn (x) будем называть
ограниченно расходящейся в точке х0, если
- оо < Шп/П(х0) <lim fn(x0) < + оо ,
и неограниченно расходящейся, если
iinf|/n(x0)| = + оо.
Будем говорить, что последовательность расходится, если нет необходи-
необходимости различать случай ограниченной и неограниченной расходимости.
Докажем теорему.
Теорема. Если функции fn(x) непрерывны на некотором отрезке
[а, Ь], то множество Е точек неограниченной расходимости последователь-
последовательности {fn(x)} есть множество типа G&.

§ 18 РЯД ФУРЬЕ, СХОДЯЩИЙСЯ НЕРАВНОМЕРНО ВО ВСЯКОМ ИНТЕРВАЛЕ 319
Доказательство. Обозначим через СЕ множество, дополнитель-
дополнительное к Е. В каждой точке х0 ? СЕ имеем
Пусть
Ясно, что F(k) замкнуто, а потому и
/2=1
замкнуто. Но для хо? F{k) все [/„(x)j не превосходят К, а потому lim j/n(x0)j<Xv
т. е. х0 ? СЕ, Поэтому и
21 Я*> с СЕ .
к=1
Но и обратно, СЕ (Z 2 F(k\ так как если lim \fn (xo)| < + °°, то можно
найти такое fc, что \fn (х0)! <^ /с для п = 1,2, ..., т. е. если х0 ? СЕ, то х0 ? /дЛ)
оо
при некотором к. Итак, СЕ = 2 F(k\ но каждое F(fc) замкнуто, значит, СЕ
к\
есть множество типа Fa, а потому Е есто множество типа Gd.
Из этой теоремы получаем:
Следствие. Если ряд из непрерывных на [af b] функций неограни-
неограниченно расходится на множестве всюду плотном на [ау Ь\> то множество
точек неограниченной расходимости имеет мощность континуума на любом
отрезке, принадлежащем [ау Ь].
Действительно, мы только что видели, что множество СЕ, дополнитель-
дополнительное ко множеству Е точек неограниченной расходимости, есть множество
типа Fa, т. е.
СЕ = У, F^
где все F(/c) замкнуты. Но если бы хоть одно из F(/c> было где-нибудь плотным,
оно должно было "бы содержать отрезок, а это противоречит тому, что Е всюду
плотно.
Значит, все F(/c) нигде не плотны. Но тогда СЕ есть множество первой
категории, а значит, Е второй категории, а потому имеет мощность конти-
континуума на любом отрезке, лежащем в \ау Ь] (см. Добавления, § 5).
Впоследствии (глава V, § 22) мы коснемся вопроса о строении множества
точек расходимости (без требования неограниченной расходимости) для ряда
из непрерывных функций. Сейчас, чтобы не разбивать хода изложения, вер-
вернемся к рядам Фурье от непрерывных функций.
§ 20. Непрерывная функция с рядом Фурье, расходящимся
на множестве мощности континуума
Рассмотрим функцию/(х), определенную рядом D5.2) главы I, где поло-
положено пк = ак\ В полиноме Qk (x) заменим аргумент х через к\ х, т. е. рас-
рассмотрим функцию
Ф(х) = JKiQ,<(/c!x). B0.1)
Л=1

320 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Она снова непрерывна, ибо BceQk(x) ограничены в своей совокупности (см.
глава I, формула D3.3)).
Прежде всего заметим, если в ряде B0.1) каждый косинус рассматривать
как отдельный член ряда, то это обычный тригонометрический ряд, т. е. в
нем все косинусы расположены так, что их порядки возрастают. Действи-
Действительно, так как()к(х) = Q(x, пк)и мы видели, что пк~> Зпк-Ъ то тем более
к\пк> 3(/с— 1)! пк-ъ т. е. косинусы, входящие в Qk (k\ х), не встречаются
в Qfc-i ((к— 1)! х), а значит и подавно в предыдущих членах. Отсюда, при-
принимая во внимание и равномерную сходимость B0.1), мы видим, что это ряд
Фурье от Ф(х).
Покажем сначала, что рядо*(Ф) расходится во всех точках, соизмеримых
с я, и имеет в них неограниченные частные суммы. Действительно, пусть
г — 4- Р >тг
х- ±jn.
Тогда, как только /с ^> q, будем иметь
Но если мы положим
/j[ = fc!Bnft-l), ZJ = 3nft_1(
то, сохраняя обозначения § 43 главы I, получим
поэтому при fc !J> q
Итак, в рассматриваемой точке х имеем
для всех достаточно больших к. Отсюда ясно, что в этой точке ряд Фурье от
Ф (х) расходится и, кроме того, имеет неограниченные частные суммы. Это
мы в предыдущем параграфе назвали неограниченной расходимостью. Итак,
ряд Фурье от Ф (х) неограниченно расходится во всех точках, соизмеримых
с пу т. е. на множестве, всюду плотном на [0, 2л], а потому на основании след-
следствия к теореме предыдущего параграфа он расходится (и притом неограни-
неограниченно) на множестве мощности континуума.
До сих пор остаемся неизвестным, можно ли построить непрерывную
функцию, у которой ряд Фурье расходится на множестве положительной
меры.
§ 21. Расходимость на заданном счетном множестве
В примере § 20, установив расходимость ряда на множестве всюду плот-
плотном, мы автоматически получили и расходимость на множестве мощности
континуума. Так было и в целом ряде других примеров, строившихся раз-
разными авторами, так как все они добивались неограниченной расходимости
на всюду плотном множестве, а тогда (в силу теоремы § 19) она уже распро-
распространялась на множество второй категории.
Недер (Neder M) поставил вопрос, можно ли построить тригонометри-
тригонометрический ряд, расходящийся на заданном счетном множестве и сходящийся
всюду вне его?

§21 РАСХОДИМОСТЬ НА ЗАДАННОМ СЧЕТНОМ МНОЖЕСТВЕ 321
Докажем, что ответ на этот вопрос оказывается положительным.
Пусть
— заданное счетное множество на [0, 2тт). Возьмем функцию/(х), непрерыв-
непрерывную и такую, что ее ряд Фурье расходится при х = 0, сходится во всех
остальных точках и имеет ограниченные частные суммы. Такую функцию мы
строили в § 45 главы I. Пусть гп — положительные числа и ^еп <+ °°.
Положим
F(x) = 2*kf(x-xk). B1.1)
Так как ряд B1.1) сходится равномерно, то F(x) непрерывна. Докажем сна-
сначала, что ее ряд Фурье расходится в каждой точке ху (/ = 1,2, ...).
Пусть ?> 0 задано. Для рассматриваемой точки ху выберем столь боль-
большое р, чтобы р> / и
V
ek<e. B1.2)
В § 45 главы I мы видели, что для ряда Фурье функции /(х) существуют
две последовательности целых чисел vm и /лту для которых
Svm (/, 0) - S,a (/, 0) > In a (m = 1,2, ...). B1.3)
Так как при любом п в силу равномерной сходимости ряда B1.1) имеем
Sn(F,x) = 24Sn(/,x-xft),
то
Значит,
р
С f P у Л С (F г \ V' .р Г <? П v v\ <C ^/v у 41 |
+ ?у [5,ж (/, 0) - S^ (/, 0)] + J" fift [S,m (/, xy-xft) - S^ (/, xy - xk)\. B1.4)
Напоминаем, что у функции/(х) частные суммы ограничены в сово-
совокупности, т. е.
\Sn{Ux)\<A п = 1, 2, ... , - я<х<я . B1.5)
Отсюда из B1.2) и B1.5) следует
с2Лг. B1.6)
2
Так как ряд для / (х) сходится всюду, кроме х = 0, то Sn (/, ху — хк) ->
-> / (X/ — хЛ) при п -> оо для /с Ф / и /с = 1, 2, ..., р. Отсюда следует, что
Srw (/, эсу- — хЛ) — Sfzm (/, ху — хк) -> 0 при любом /с ^ /, /с < р и при /л -> оо.
Но тогда
i' ^ [&«(А ^; - ^) - S^(/, ху - х,)] -> 0
Л1

322 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
при т -> оо. Итак, для любого ^> 0 можно взять т столь большим, что
p
2'
Л=1
/, х~хк) - S,m (/, xj - xk)]
B1.7)
Если предположить е выбранным так, что 2Ае <^, то из B1.3)—B1.7)
находим
SVm(F, xj) - Sj,M(F, xj) >ej\na-2r]>^-lna, B1.8)
если выбрать rj так, что 2r\ <^In #.
Из формулы B1.8), справедливой для всех достаточно больших /л, сле-
следует, что ряд Фурье от F(x) расходится при х = xjy т. е. во всех точках задан-
заданного счетного множества.
Легко видеть, что если | f [0, 2п) и | ф Xj ни при каком /, то ряд Фурье
от F(x) сходится при х = |. Действительнох тогда, сохраняя предыдущие
обозначения, имеем для любых п и п + q
\°n+q\r>b) onVr>^/l^ ±J к l^n+q \h g xk) °nV/>^ xk)\ "Г
+ J? eJSn+,(/,f-x^)-Sn(/,f-xfc)|. B1.9)
Но каждый член, входящий в первое слагаемое B1.9), может быть сделан как
угодно малым при п достаточно большом, ибо | — хк ф 0 (к = 1, 2, ..., р)г
а потому ряд Фурье для / сходится в точке I — хк, следовательно, первое
слагаемое B1.9) есть 0A) при п -> оо, а второе не превосходит 2Ае <^.
Следовательно, Sn+9 (F, I) — Sn(F, |) можно сделать как угодно малым, и
теорема доказана.
§ 22. Расходимость на множестве мощности континуума
при ограниченности частных сумм
Мы строили в § 20 пример ряда а (/) от непрерывной функции, расходя-
расходящегося на множестве мощности континуума. Его частные суммы были не
ограничены. Мы строили в § 21 ряд с ограниченными частными суммами, но
расходящийся на заданном счетном множестве.
Можно поставить вопрос так: существует ли непрерывная функция/(х),
у которой а (/) расходится на множестве мощности континуума, но частные
суммы ряда все же ограничены? Положительный ответ на этот вопрос дается
в работе Тандори *) (TancioriW). И снова элементом построения служат поли-
полиномы Фейера (см. § 43 главы I).
Рассмотрим последовательность точек хк, которые мы выберем позже,
и пусть
Л = 1
где, как и в примере § 45 главы I,
*) Тандори отмечает, что Зигмунд (Zygmund t15l) уже строил пример ограниченной
функции с рядом Фурье, расходящимся на множестве мощности континуума и имеющим
ограниченные частные суммы.

§23 РАСХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДА ОТ /2(ж) 323
Здесь, как и в указанном примере, имеем очевидно
Так как, повторяя рассуждение, которое проводилось в § 45 главы I,
мы видим, что
&. (Л *) - S*. (F, х) = JL Р (Х - Хт, пт)
и
то можно окружить точку хт столь малым интервалом 1ту внутри которого
в силу непрерывности полинома Р (х, пт) будем иметь
SVm(F,x)-S,m(F,x)>±\na, х?1т. B2.1)
Выберем теперь точки хт следующим образом: берем хъ х2 и х3 так, чтобы
/2 С 1Ъ 13 с/], а интервалы /2 и /3 не перекрывались; далее х4, х5, х6 и х7
так, чтобы /t с /2, /5 С /2 и /4 с /5 не перекрывались, также /6 и /7 не пере-
перекрываются и /6 с /3, /7 С /3 и т. д. Всего этого можно добиться, если брать
все 1т достаточно малыми.
Ясно, что, продолжая этот дихотомический процесс, мы получим совер-
совершенное множество Р, каждая точка которого содержится в бесконечном
множестве интервалов типа 1т. Поскольку в каждой такой точке справедливо
неравенство B2.1) для бесконечного множества значений га, то в та-
такой точке ряд Фурье от F (х) расходится, и доказательство теоремы
закончено.
Можно усилить теорему, построив точки расходимости так, чтобы их
множество было мощности континуума во всяком интервале. Для этого после-
последовательность {пк} разбиваем на счетное множество последовательностей
{щк} (i = 1, 2, ...). Затем перенумеруем все двоичные интервалы
в виде одной последовательности Jlt J2y ..., Jh ... Для всякого I построим
на Ji совершенное множество Pz при помощи последовательности {nik}.
Ясно, что Е = 2 Pi имеет мощность континуума в любом интервале на
[О, 2тг], и при этом ряд Фурье расходится в каждой точке множества Е.
§ 23. Расходимость для ряда от /2(х)
Обозначим через S класс непрерывных функций, у которых ряд Фурье
всюду сходится. Что можно сказать об операциях, не выводящих из этого
класса?
Оказывается, здесь, кроме совершенно тривиального факта, что операция
суммы или разности не выводит из класса S, ничего положительного сказать
нельзя. Уже операция умножения выводит нас из этого класса. Более того,
операция умножения выводит из класса S даже тогда, когда у множителей
ряды Фурье сходятся равномерно.
Дадим, следуя Салему (Salem t7^), пример непрерывной функции /(х), у
которой ряд Фурье сходится равномерно, тогда как ряд Фурье от /2(х) расхо-
расходится на множестве мощности континуума.

324 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Пусть функция со (х) определена на — 2л <^ х ^ 2л и обладает свойствами
а) она непрерывна, возрастает, нечетная,
б) °~^ несуммируема на @, л) и убывает.
Пусть г1У г2, ..., гт ... — множество всех чисел вида г = 2л ~, где
дробь -j правильная, несократимая, а^Ои^ — нечетное. Ясно, что это мно-
множество всюду плотно на @, 2л).
Полагаем
Ч(х) - 2* У* ю(х - rft) на [0, 2я],
А 1
где ряд 2% < +°° и все у^> 0. Ясно, что ч (х) непрерывна и возрастает
на [0, 2л].
Пусть
i (х) = Ч (*) - Ч @) - ^^^ х на [0, 2п\ . B3.1)
Тогда I (х) есть непрерывная функция с ограниченным изменением на [0, 2л]
и I Bя) = | @) = 0. Если мы потребуем, чтобы | (х + 2л;) = | (х), то она
будет всюду непрерывна и с ограниченным изменением. Поэтому ее ряд
Фурье равномерно сходится, а также и ряд Фурье от ?2(х), так как она тоже
непрерывна и с ограниченным изменением.
Пусть, далее,
g(x) = 2cpsinmpx, B3.2)
где ср> 0 и ^ ср < + оо, а числа тр — целые; мы подберем их позже.
Ясно, что ряд Фурье для g (x) сходится абсолютно, поэтому и ряд Фурье
для?2(х) обладает тем же свойством, а, стало быть, ряд аля g2(x) сходится
и равномерно.
Мы теперь положим
/(x) = |(x) + g(x)
и докажем, что ряд Фурье для I (x) g (x) расходится во всех точках гк; тогда из
будет следовать, что и ряд Фурье для /2 (х) расходится во всех этих точках,
поскольку ряды для |2(х) и g2'(x) сходятся равномерно. Если мы, кроме того,
обнаружим, что частные суммы ряда Фурье для |(x)g(x) неограничены во
всех точках гк, то это же будет верно и для ряда от /2 (х), а тогда он будет
расходиться на множестве мощности континуума, поскольку множество
{гк} всюду плотно (см. следствие к теореме § 19),
Итак, переходим к изучению ряда Фурье для
Обозначая черезSn(F, x) и Sn(F, x)частные суммы ряда Фурье от F и сопря-
сопряженного к нему ряда, имеем в точке гк
Sn(&,rk)=± J [S(rk + t)g(rk+t)+Hrk - t)g(rk - 0] S^dt+o (I), B3.3)
О
где д можно взять как угодно малым.

§23 РАСХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДА ОТ /2(ж) 325
В частности, нам удобно выбрать д так, чтобы
д < min (rk, 2п — тк).
Тогда тк — t и rk + t при 0 < t < д не выходят оба из @, 2л).
Так как ряд B3.2) сходится равномерно, то можно, подставив его вместо
g(x) в формулу B3.3), произвести интегрирование почленно, а это дает
= 2ср[ \Hrk+t) sin mp(rk + t)+i(rk - 0 sinmp(rk - Q] ^ dt + о A) .
Раскрывая синус суммы и разности, найдем
д
J
к J к t
о
Так как
l
cos mpt sin nt = ~2 [sin (л + rap) / + sin (n — тр) t],
то
= у Sn+fnp(f,rfc) ± у Sjn-^Cf, Г,) + (?A) .
Но | (f) — функция с ограниченным изменением, поэтому частные суммы ее
ряда Фурье ограничены в совокупности и, значит, первое слагаемое в правой
части формулы B3.4) остается ограниченным при п —> оо.
Положим теперь п = mq; будем иметь
г(ф,гк) = ^ cos m9rft J [f (rft+0 - f (rft - 0] —f^dt +
0
E
2 CpCGsmprk [?(rk+f) — S(rk — 01 — —4 dt + O(l). B3.5)
ъФа J L
Ho
sin mpt sin mqt = [1 — cos (mp + mq) t] — [1 — cos
а потому
<5
- 01
-^Snip+mq (?, Гк) 2~5|тр-тй|(?> ^ ^ ^ ^
так как (см. C2.14) главы I) имеем для любой ограниченной f(x)

326 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
где <5> 0 — любое. Но |(f) — функция с ограниченным изменением; значит,
ее коэффициенты Фурье имеют порядок 01—j, а потому
2 !
\тр-гщ\
где С — постоянное.
До сих пор мы не налагали на целые числа тр никаких ограничений.
Теперь предположим, что они образуют лакунарную последовательность.
Тогда выражение в правой части формулы B3.6) остается ограниченным.
Действительно, пусть для определенности р <Cq, тогда тр < mq, и если
1+Е
тр + mq _ trig 2
mq — тр . тр 1
1 1 i~
TTlq л
Следовательно, ряд, стоящий в правой части формулы B3.5), имеет сумму
ограниченную с ростом mqy т. е.
Но так как д было выбрано таким, что гк + t и rk — t не выходят за
[О, 2л; ], то по формуле B3.1)
а потому
в
"Smq (Ф, rk) = cq cos mq rk^[rj (rk+t) - rj (rk -~ t)] "^p1 dt + О A).
о
Но из определения г\ (х) вытекает, что выражение в скобках в последнем
интеграле положительно и больше, чем
уЛ«(9-*>(-0]=2уЛа>@,
поэтому
д
" ^dt + O A). B3.7)
О
Если мы интеграл в формуле B3.7) заменим на
^ sin» IVЯ, B3.8)
О
емо на
порядка 0A), а потому
0)(t) , в ч
то так как-у- суммируемо на (о, те), мы изменяем интеграл на величину
°^^tdt + O(l), B3.9)
О
где член 0A) зависит от гку но не от mq.

24 ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ЧАСТНЫХ СУММ РЯДОВ ФУРЬЕ 327
В силу несуммируемости ^у- интеграл B3.8) стремится к <*> при q -> ©о
(здесь надо провести рассуждение такого же типа, как в лемме 1 § 4).
Лакунарную последовательность {mq} можно выбрать так быстро стре-
стремящейся к бесконечности, как нам угодно, и благодаря этому добиться
чтобы
л
cq \ °-p- sin2 mqtdt->- ©о при #->оо.
о
Тогда и левая часть неравенства B3.9) будет стремиться к бесконечности,
если только cos mqrk не стремится к нулю. Однако, благодаря нашему
выбору тк этого не может случиться, так как
где р нечетное, а потому для любого целого I имеем
B1 +1)Р —
= п
л
^~2Р
(потому что из нечетного вычитается четное, т. е. разность по модулю не
меньше единицы). Отсюда
Итак,
Sm (ФуГк)->оо при ?->оо,
q
т. е. частные суммы ряда Фурье для Ф (х) не ограничены в точке гк, и это спра-
справедливо для всех гк. Мы уже видели, что этого достаточно для того, чтобы
теорема была доказана.
§ 24. Подпоследовательности частных сумм рядов Фурье
от непрерывных функций
Д. Е. Меньшовым было отмечено следующее обстоятельство. Все авторы
которые строили примеры непрерывных функций с расходящимися где-либо
рядами Фурье, обычно доказывали самую непрерывность этих функций, опи-
опираясь на то, что их ряды Фурье имели равномерно сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность частных сумм.
Поэтому Д. Е. Меньшов поставил вопрос: нельзя ли для любой непре-
непрерывной функции найти в ее ряде Фурье равномерно сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность частных сумм? Однако он сам же дал отрицательный ответ на
этот вопрос. Более того, он показал, что существуют непрерывные функции,
у которых в ряде Фурье любая подпоследовательность частных сумм расхо-
расходится хотя бы в одной точке.
За недостатком места и ввиду сложности доказательства мы отсылаем
читателя к работе Д. Е. Меньшова м.
Тем не менее можно любую непрерывную функцию разложить на сумму
двух непрерывных, для каждой из которых соответствующий ей ряд Фурье
содержит подпоследовательность частных сумм, сходящуюся равномерно.
Этот результат, полученный Д. Е. Меньшовым в той же работе, напротив,
очень легко доказывается, и мы дадим здесь его доказательство.
Пусть
*i=l, %=!, 7\(*) = 1.
Построим рекуррентным способом последовательности положительных чисел
?j -> 0, целых Пу монотонно возрастающих и тригонометрических полиномов

328 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
j(х)следующим образом: если es, ns,Ts(x) уже определены для s = 1,2, ...
..., /— 1, то выбираем щ так, чтобы
где vs — порядок полинома Ts (x).
Положим
1
с . .
° 7 ¦
J ~ 2/ щ
и выберем по теореме Вейерштрасса тригонометрический полином Т}(х) так,
чтобы
|/(х)-Ту(х)|<г; (-*<*<*), B4.1)
где /(х) — заданная непрерывная функция.
Ясно, что числа {п7} монотонно возрастают и что еу->0 при /->оо.
Ясно также, что
[Г2 (х) - Тг (х)] + ... + [Tj (х) - ТН1 (х)] + ... ,
где ряд сходится равномерно потому, что выполнено B4.1).
Полагаем
U (*) = Тг (х)+ [Т3 (х) - Т2 (х)] + ... + [T2j+1 (x)-T2j (x)] +..., \
к (х) = [Т2 (х) - Тг (х)] + • • • + [T2J (х) - TiHl (x)] + ... /
Так как
B4.3)
то оба ряда B4.2), сходятся равномерно, а потому/х(х) и /2 (х) непрерывны.
Ясно также, что
/(*) = /l(*) + /2(*)
в силу самого построения этих функций.
Положим
т'к = п?М 1 тк = П2к+1
и докажем, что
Sm'kifг*х) сходится равномерно к /х(х),
SmkdwX) сходшся равномерно к /2(х)-
В силу условий, наложенных на числа И/, имеем
tnh>vs1 1 < 5 < 2к — 1,
m"k>va, 1<^<2/с.
Поэтому
Smi (Т8, X) - Ts (X) , 1 <5 < 2к - 1 ,
^()
Полагаем
(х)=Тх(х) + "f [Т2,+1 (х)-Т2/(х)] , ^>(х)= 1 [Т2/+1 (х)-Т2/(х)],
)- 2 [T2j (х)-Т2/-! (х)] , tf?> (x)= i [Та, (х)- T2/-i (х)]

§ 25 РАЗБИЕНИЕ НА СУММУ ДВУХ РЯДОВ 329
Тогда
и, значит,
Но в силу B4.4) имеем
«S ' \w '1 == ф ' (х*\
JTih \.тк 1 тк \ / > /Оу1 А\
Кроме того,
я
=4 \RW(x + t)DmL(t)dt,
— 71
п
1 f .„,. . t)Dm'k{t)dt,
где Dn @ — ядро Дирихле.
Так как в силу B4.3)
TO
так как т'к = п2^ (С — постоянное).
Значит, Smfc (Rft) -> 0 при /с -> оо и притом равномерно, а потому из
B4.5) и B4.6) заключаем, что
равномерно, и совершенно также доказывается, что
равномерно.
Доказательство закончено.
§ 25. Разбиение на сумму двух рядов, сходящихся на множествах
положительной меры
В предыдущем параграфе у нас уже возникал вопрос о разложении
непрерывной функции на сумму двух, обладающих «более хорошими» рядами
Фурье (именно такими, у которых существует равномерно сходящаяся под-
подпоследовательность частных сумм).
Здесь мы укажем другую теорему такого рода, а именно:
Теорема. Всякую непрерывную на [0, 2л] функцию молено предста-
представить в виде суммы двух функций, у каждой из которых ряд Фурье схо-
сходится на множестве, мера которого положительна на любом интервале
[а, Ь] с [0, 2л).

330 РЯДЫ ФУРЬЕ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ГЛ. IV
Этот факт непосредственно вытекает из следующей теоремы (см.
Н.К. Бари И):
Всякую функцию, непрерывную на [а, Ь], можно разбить на сумму двух
функций, каждая из которых имеет производную на множестве Е, мера кото-
которого положительна в любом интервале [а, /?], лежащем на [а, Ь].
Если вспомнить, что в точке, где функция имеет производную, ее ряд
Фурье сходится (см. глава I, § 38), то и получается нужное утверждение.
Сделаем еще одно замечание. В той же работе Н. К. Бари доказана сле-
следующая теорема.
Всякая непрерывная функция F(x) может быть представлена в виде
Р (х) = к [ft (*)] + /2 [ft (*)] + /з [ft (х)], B5.1;
где все функции ft и <р{ (i = 1, 2, 3) абсолютно непрерывны (число слагаемых
в формуле B5.1) не может быть сведено к двум в общем случае).
Таким образом, если бы удалось доказать, что всякая функция вида
f[<p(x)], где / и <р — абсолютно непрерывны, имеет ряд Фурье, сходя-
сходящийся почти всюду, то это было бы верно и для любой непрерывной F(x).
Однако вопрос о справедливости подобной гипотезы остается открытым.
Изучение функций, являющихся суперпозициями абсолютно непрерыв-
непрерывных функций, может быть сведено к тому случаю, когда наружная функция
/монотонна, а внутренняя<р(х) удовлетворяет условию Липшица порядка 1,
так как любая суперпозиция двух абсолютно непрерывных функций может
быть представлена именно в таком виде (см., например, ту же работу
Н. К. Бари^2] или работу Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова М). Значит, у q>(x)
ряд Фурье не только сходится равномерно, но даже и абсолютно (см.
глава IX, § 2). Однако из этого мы пока ничего не умеем вывести относи-
относительно f[q>(x)]9 зная только, что / монотонна и абсолютно непрерывна.

ГЛАВА V
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ
НА МНОЖЕСТВЕ
§ 1. Введение
Мы посвящаем эту главу изучению вопроса о сходимости ряда Фурье на
некотором множестве, лежащем на [0, 2л]. Начнем с рассмотрения условий,
при которых имеет место сходимость почти всюду.
Условимся называть признаками типа Вейля следующие теоремы: если
W(n) монотонно не убывает и
2 (u*n + bi)W(n)< + оо, A.1)
то ряд
тг + 2 #ncosnx + bnsmnx A.2)
сходится почти всюду на [0, 2п].
Название это было предложено Н. Н. Лузиным потому, что Вейль пер-
первый обратил внимание на признаки такого рода. Было доказано Фату
(Fatou Ш), что за W(n) можно принять п; потом Вейль (Weyl Ш) показал, что
3
можно взять W(n) = У п, Гобсон (HobsonW) получил W(n) = ne для любого
?> 0; Планшерель (Plancherel W) обнаружил, что можно взять W(n) = 1п3п
и Харди (Hardy M) снизил этот множитель до In2 п.
Так обстояло дело в то время, когда Н. Н. Лузин писал свою диссерта-
диссертацию^-9^. Он отчетливо подчеркнул, что чем медленнее возрастает функция
Вейля, тем шире класс рядов, сходящихся почти всюду в силу этого признака
и, следовательно, тем более сильным является этот признак сходимости.
А поэтому он настаивал на важности снижения множителя Харди. Он выска-
высказал гипотезу*), что ряд Фурье от любой функции с интегрируемым квадратом
сходится, и, если бы это оказалось верным, то всякая возрастающая функция
была бы функцией Вейля. Гипотеза Н. Н. Лузина до сих пор не подтверди-
подтвердилась, но и не опровергнута, хотя прошло более 40 лет с тех пор, как она
была высказана. Что касается множителя Харди, то он был понижен в 1925 г.
до In n в работе Колмогорова и Селиверстова ?1] и независимо от них в работе
А. И. Плесснера (PlessnerW). Ниже In n множитель Вейля до сих пор спу-
спустить не удалось, но и невозможность такого снижения не доказана.
Настоящую главу мы начинаем с доказательства теоремы Колмогорова—
Селиверстова и Плесснера (§ 2).
*) В главе VIII мы будем говорить о том, что именно привело Н. Н. Лузина к такой
гипотезе.

332 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Как показал Плесснер, условие 2J(а% + Ь*)\пп можно заменить экви-
эквивалентным ему условием
о о
где f(x) — функция, для которой а (/) есть ряд Фурье (см. § 5). Этот признак
сходимости для рядов Фурье от функций из L2 перенесен Марцинкевичем на
случай функций из Lp(\ <^ р <^ 2) (см. § 8). В § 9 мы указываем другие формы
признака сходимости для рядов Фурье из L2 и переносим их затем (§ 10) на
случай, когда речь идет не о сходимости почти всюду ца [0, 2л;], а лишь
почти всюду на некотором отрезке длины, "меньшей чем 2^.
Возвращаясь к вопросу о поведении рядбв Фурье для функций из L2 на
[О, 2л;], мы изучаем вопрос о связи между ростом множителя Вейля и суще-
существованием некоторой почти всюду сходящейся подпоследовательности част-
частных сумм ряда Фурье (§ 11).
В § 12 к той же проблеме сходимости для функций из L2 мы подхо-
подходим с другой стороны, а именно изучаем те множества меры нуль, на кото-
которых все же может расходиться ряд <?(/), если коэффициенты ряда Фурье
удовлетворяют условию типа A.1). «Густота» или «разреженность»
этого множества меры нуль находится в зависимости от роста функции
Вейля W(n).
В §§ 13—16, отказываясь от гипотезы, что f(x)?L2 или хотя бы от
/(х) ? Lp при р > 1, мы указываем некоторые признаки, когда a(f) сходится
почти всюду или на множестве меры больше нуля. В § 17 доказывается, что
существуют ряды Фурье, расходящиеся почти всюду, а из результата § 19
следует, что это возможно даже и тогда, когда ряд, сопряженный к ряду
Фурье, сам оказывается рядом Фурье. В § 20 дается построение ряда Фурье,
расходящегося уже в каждой точке. Построение такого примера сложнее,
чем примеров, где расходимость имеет место почти всюду (и поэтому мы изло-
изложили их построение независимо), однако без него нельзя обойтись, если же-
желать построить пример ряда Фурье, сходящегося на заданном множестве и
расходящегося вне его (см. об этом в § 22).
В § 21 мы решаем вопрос, в каком смысле можно и в каком нельзя гово-
говорить о переносе принципа локализации со случая отрезка на случай мно-
множества положительной меры.
Наконец, заканчивая главу (§ 23), мы приводим некоторые результаты,
показывающие, насколько в вопросах сходимости важен порядок, в котором
расположены члены ряда Фурье.
§ 2. Теорема Колмогорова—Селиверстова и Плесснера
Изучение условий, при которых ряд Фурье сходится почти всюду, мы
начнем со следующей важной теоремы, найденной одновременно и незави-
независимо А. И. Плесснером (Plessner Ш), с одной стороны, А. Н. Колмогоровым
и Г. А. Селиверстовым W, с другой стороны.
Теорема. Если
то ряд
~п I 2л ancos nx-\-onsmnx (/-U
сходится почти всюду.

§ 2 ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА-СЕЛИВЕРСТОВА И ПЛЕССНЕРА 333
Приводимое ниже доказательство принадлежит А. И. Плесснеру. Нач-
Начнем с установления следующей леммы:
Лемма 1. Пусть последовательность^(х), /2 (х), ...,/„ (х), ... состоит
из суммируемых функций, определенных на множестве Е, тЕ > 0. Пусть
для п^т
^тп == ^Pv/m /m? Jm+1 ]mi • • • у In Jm) >
^mn == Hll\fm I mi Jm + 1 I mi • • • » / n /m/
Jmn = I Фт,М Л, jmn = j U^) ^^ •
E E
Положим
Jm= HmJmn, jm= Hm/mn
(эти пределы существуют, потому, что Фтп может только расти с ростом и,
а сртп только убывать, значит, это же верно для Jmn и jmn).
Если
\imJm = 0 и lim/m = 0, B.2)
то последовательностьfn(x) сходится к конечному пределу почти всюду на Е.
Доказательство. Положим
Этот предел существует, так как Фтп(х) может лишь расти с ростом и;
ясно, что
Jm = S0m(x)UX.
Е
Выберем числа тк так, чтобы
О ^ Jmk < 2? у
что возможно в силу B.2). Тогда
2 Jmk < + °° ,
к=\
а потому, так как Фтк (х) ^ 0 для всех х, то
B.3)
сходится почти всюду на Е (см. Вводный материал, § 14).
Пусть х0 — точка множества I?, тЖ = тЕ, где ряд B.3) сходится. Тогда
Фгпк(хо) ->0 при /с -> оо. Значит, для любого е можно выбрать к так, чтобы
О < Фтк(х0) < е .
Но так как Фтп(х) ^ Фт(х) при любом п>ш, то
О < ФШАП (х0) < е, п>тк,
т. е.
fn(xo)-fm(Xo)<e, n>mk.
Совершенно аналогично, рассматривая <рт (х) = Нт сртп (х), получаем
для любого х0 ^ ^j, где If х — некоторое множество ш^], = /пЕ. Следова-
Следовательно, если х0 $ F^, то

334 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
если только тк достаточно велико и п > тк, а это и значит, что последова-
последовательность сходится при х = х0. Но х0 — любая точка &$'1, значит почти
всюду на Е последовательность сходится. Лемма доказана.
Переходим к доказательству теоремы Колмогорова—Селиверстова—
Плесснера.
Без ограничения общности можно предполагать, что
Мы будем пользоваться леммой 1, где роль множества Е будет играть отрезок
[О, 2тг], а роль функций fn(x) — частные суммы Sn(x) ряда B.1).
Если мы докажем, что
2 (д| +Ч) In ft,
k=m+\
0>jmn=\<Pmn(x)dX^-K\! 2 (flf + «) In ft ,
j> \ k=m+l
B-4)
где К — абсолютная константа, то сходимость ряда B.1) почти всюду будет
установлена. Мы ограничимся доказательством первого из неравенств B.4),
второе совершенно аналогично.
Далее, так как
Фтп = max (Sm - Sm, Sm+1 - Sm, ... , Sn - Sm)
совпадает с
Ф1п = max @, S2 - S±, ... , Sn - S±) - max @, S2, S,, . . , Sn), B.5)
если предположить, что а0 = a1 = Ъг = .. = am = bm = 0, то достаточно
доказать, что
О < J Ф1п (х) dx < К / ^ (at + bt) In /г, B.6)
о ' к~х
чтобы B.4) было справедливо при любом т. Но если всмотреться в формулу
B.5), определяющую Ф1п(х), то станет ясным, что при всяком х величина
Ф1п(х) совпадает с некоторойSp(x), где р = 1, 2, . ., я. Иначе говоря, можно
написать
р(х)
фт(х) = 2" (#/<cos ^х + Ьк sin ftx),
к2
k=2
где число членов суммы при разных х различно (поэтому мы обозначили его
через р(х)), нор(х) может принимать лишь значения 2, 3, ..., п.
Итак, наша теорема будет доказана, если будет доказано такое
предложение:
Лемма 2. Если р (х) есть целочисленная функция, принимающая для
каждого х лишь одно из значений 1, 2, ..., я, то *)
2я
B.7)
*) Для случая, когда р (х) = 1, надо считать, что
У ak cos kx + bk sin kx = 0.
2
к=2

§ 2 ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА-СЕЛИВЕРСТОВА И ПЛЕССНЕРА 335
Чтобы убедиться в справедливости неравенства B.7), рассмотрим триго-
тригонометрический полином
Fn (х) = ? (ак cos кх + Ък sin kx) ]fhuc. B.8)
Так как
2я 2я
aky\nI = ~§Fn(t)cosktdt, bjlnk = ^-JFn(t)sinktdt,
о о
TO
2n
а потому выражение / из левой части неравенства B.7), которое мы должны
доказать, имеет вид
2я 2п
о о
или, меняя порядок интегрирования,
2п 2я
л * п V/ \
О О
Применяя неравенство Буняковского, находим
о оо
и так как, в силу B.8)
2я
О
то неравенство B.7) будет доказано, если мы убедимся, что
о о
где С — абсолютная константа.
Интеграл J в левой части неравенства B.9) можно переписать так:
2я 2я 2я
Г Г Г pl?l cos Ht — x)j 1 Г Г р& c°s m(t — y)j I jj.
J — ^ —ir — w^ У' —-./• dy\dt =
JLJk=2 Vln/c \[j i^2 Vlnm 7J
0 0 " 0
2л
0 0 0

336 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Так как
если
2л
J cos k(t — х) cos m(t — у) dt = О,
2л
j cosk(t — x) cos k(t — y) dt = л cos к (х — y),
то, обозначая через р(х, у) наименьшее из чисел р(х) и р(у), мы имеем
О О
к=2
Обозначим через Е множество тех точек квадрата [О <С х <^ 2тт],
[^у<Г2тг], где р(х)^р(у)у и через СЕ его дополнение. Тогда на Е
имеем р (х, у) = р (х), и на СЕ имеем р (х, у) = р (у) и
к=2
а потому
Е
2п 2п
к=2
Ink
dxdy + л
k=2
РЩ COS к (Х- У)
ink
л
Ink
о о
2п 2п
СЕ
2л 2л
dx dy + л
о о
рЩсоьк(х-у)
4
In к
dxdy =
о о
Р(У)
cos k(x — у)
к=2
dxdy,
B.10)
так как, меняя х и у ролями во второй строке B.10), мы видим, чгго второй
интеграл совпадает с первым. Так как р(у) уже не зависит от х, то
неравенство B.10) повлечет за собой неравенство* B.9), если мы докажем,
что при любом п имеем
2л
^ cos kx
dx<M
где М — абсолютная константа. Но этот факт доказан в § 30 главы I (см.
30.21). Таким образом теорема доказана.
Следствие. Если {(х) $ L2, то
\Sn(x)\=o(}/\nn)
B.11)
почти всюду.
71-1

§ 3 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ И ПЕРВЫЕ РАЗНОСТИ КОЭФФИЦИЕНТОВ 337
По теореме Колмогорова—Селиверстова и Плесснера ряд
~ ап cos пх + Ьп sin пх (~ 10.
/У . (Z.IZ)
?Г2 ЬПП
должен сходиться почти всюду, так как для его коэффициентов
CLn п Ьп
выполнено условие 2 (ап + Рп) ^п п < + °° в силу 2 а\ + Ъ\ < + °°-
Пусть х0 — точка, где ряд B.12) сходится. Полагая
ип = ап cos пх0 + bn sin пх0, ln = fin n B.13)
и применяя теорему 4 из § 25 Добавлений, видим, что
Но так как ряд B.12) сходится почти всюду, то для почти всех точек отрезка
выполнено B.11), и теорема доказана.
Замечание. Напомним, что в главе I, § 50 было доказано для любой
суммируемой /
Sn(x) = о (Inn).
Теперь мы видим, что если /? L2, то это условие усиливается: можно In n
заменить на ]/" In п.
§ 3. Признак сходимости, выраженный через первые разности
коэффициентов
Следующее простое замечание принадлежит Салему (Salem Ш): если для
тригонометрического ряда
— + а± cos х + ... + о-п cos пх + • • • 9 C.1)
даже не являющегося рядом Фурье, имеем ап -> 0, то к нему можно приме-
применить преобразование Абеля, что дает возможность утверждать для всех точек,
кроме точек вида х н== 0 (mod 2тт), одновременную сходимость этого ряда и
ряда
(До — fli) sin|- + (fll — ая) sin3|- +.. .+(ап — ая+1)8т^±1^ + ... C.2)
Поэтому если ряд C.1) сходится почти всюду, то и ряд C.2) тоже, и наоборот.
Отсюда, в частности, в силу теоремы § 2 вытекает, что если
2(ап-ап+1)Чпп< + со,
71=1
то ряд C.1) сходится почти всюду (это верно, даже если он не является рядом
Фурье).
Такое же рассуждение справедливо для ряда
2bnsmnx, C.3)
00
т. е. если Ъп -> 0 и 2 (Ьп — bn+1J In п < + °°, то ряд C.3) сходится почти
71=1
всюду.

338 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Наконец, для сходимости почти всюду общего тригонометрического ряда
у + 2 ап cos пх + Ьп sin пх = 2 Qn c°s (nx — ап)
при дп -> О достаточно сходимости
2 \{ап - ап+1J + (Ьп - bn+1J] In n ,
а это равносильно выполнению двух условий:
C.4)
Это можно хотя и не точно, но наглядно выразить словами, что здесь
при переходе от одного члена ряда к другому «мало» меняются и ампли-
амплитуды рп и фазы ап. Если Мп — точка плоскости с координатами (ап, Ьп), то
теорема Колмогорова—Селиверстова и Плесснера утверждает сходимость
ряда почти всюду, если
а высказанные Салемом условия C.4) означают, что ОМп -> 0 и
Эти условия могут быть, в свою очередь, заменены другими, в которые входят
вторые, третьи и т. д. разности коэффициентов. См. например, ту же работу
Салема, а также ДжваршейшвилиШ.
§ 4. Множители сходимости
Последовательность чисел {^„} назовем множителями сходимости для
класса функций {/(х)}, если каждый раз, как/(х) входит в рассматриваемый
класс и
у + 2Х cos пх + 6П sin их D.1)
есть ее ряд Фурье, то ряд
% an cos пх + bn sin nx) fin D.2)
сходится почти всюду.
Из теоремы Колмогорова—Селиверстова и Плесснера сразу следует,
что для функций, входящих в класс L2, множителями сходимости являются
числа
с")
([л0 и fi± могут быть любые).
Действительно,
2 № & + «^*) In л = 2а\ + Ь*
если / (х) $ L2 и достаточно применить теорему Колмогорова—Селиверстова
и Плесснера, чтобы получить сходимость ряда D.2) почти всюду.
Если f(x) $ L, то (см. глава I, § 51) в качестве множителей сходимости
можно принять числа
?п = Ш (« = 2,3,...).

§ 5 ДРУГИЕ ФОРМЫ УСЛОВИЯ, ВХОДЯЩЕГО В ТЕОРЕМУ КОЛМОГОРОВА 339
§ 5. Другие формы условия, входящего в теорему
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера
Следуя Плесснеру (Plessner M), докажем, что если
а (/).== \ + 2 ап cos nx + bn sin nx,
то условия
CO
«< + oo, (A)
/2=1
2л 2л
о о
о о
являются эквивалентными. После того как это будет установлено, можно
утверждать, что
ряд а (/) сходится почти всюду, если f (x) удовлетворяет условию (В), или
условию (С).
Чтобы убедиться в эквивалентности соотношений (А), (В) и (С), положим
2л
гр (х, 0 = f(x + t) - f(x - t); W(f) = J [v (x, t)]4x,
о
2л
О
Надо доказать, что если (А) выполнено, то интегралы
2я 2я
конечны, и, обратно, если они конечны, то (А) имеет место.
Мы будем проводить доказательство дляУ@; Для Ф{() оно совершенно
аналогично.
Если разложить яр (х, /) в ряд Фурье по переменному х, то
y>(x,t)~ 2 2 (bk cos kx — ак sin kx) sin kt.
Поэтому на основании равенства Парсеваля
2я
W{t) = J уJ (х, 0 их = 4 п 2 (а\ + b%) sin2 kt. E.1)
о ~~
Положим
k=l
Тогда ясно, что

340 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
причем все эти функции неотрицательны, интегрируемы и
Поэтому на основании известной теоремы об интегрировании возрастающих
последовательностей неотрицательных функций мы заключаем, что
2л
E.2)
t
о
конечен в том и только в том случае, когда
2л
^dt
" " о
конечен. Но так как
2л 2л
о к=1 о
то существование интеграла E.2) эквивалентно сходимости ряда
2п
Но ясно, это I %—— dt ~ In к, а потому существование интеграла E.2)
или, что то же, интеграла
2л 2я
t
О О
эквивалентно сходимости ряда (А), а это и требовалось доказать.
§ 6. Следствия теоремы Плесснера
а) Мы убедились, что для функций, удовлетворяющих условию (А),
интегралы (В) и (С) существуют. Но по теореме Фубини (см. Вводный мате-
материал, § 18) из существования этих двойных интегралов вытекает, что инте-
интегралы
fPfr + O-Zfr-OI'd (a)
6
6
6
существуют для почти всех значений х [и суммируемы по х на @, 2тт)].
Факт существования интегралов (а) и (/5) почти всюду вовсе не является
тривиальным. В главе VIII, § 7 будет показано, что хотя

§ 6 СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ ПЛЕССНЕРА 341
существует почти всюду не только для / ? L2, но и для / ? L, однако
2л
может быть равен + °° Для всех х, даже для непрерывной f(x) (см. ниже
§ 8); это же можно было бы показать для
2л 2л
б) Отметим далее такое следствие из теоремы Плесснера:
Если
(
к
г
то ряд а (/) сходится почти всюду.
Действительно, в этом случае
равномерно на [0, 2п], т. е. (в обозначениях § 5)
равномерно на [0, 2п\ а значит
6
Можно было бы доказать то же самое, предполагая лишь
и рассуждая над ср2 (х, t) вместо уJ (х, /).
Теорему *) о сходимости почти всюду ряда а (/), если f(x) удовлетворяет
условию F.1), мы доказали здесь лишь потому, что она мгновенно получается
из теоремы Плесснера. Однако следует отметить, что позднее Марцинкевичем
был получен гораздо более общий результат, а именно: если
F.2)
для х ? Е, то а (/) сходится почти всюду на Е (см. ниже, § 15).
*) Она была доказана Плесснером.

342 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Полезно здесь же отметить, что условия типа F.1) или F.2) налагают
ограничения на поведение f(x + f) — /(х)или равномерно на [0, 2 л\ или на
некотором множестве меры больше нуля и позволяют высказываться о пове-
поведении а (/) на отрезке или на множестве; это вполне аналогично тому, что
признак Дини—Липшица
(
или более общий признак Салема—Стечкина (см. § 8 главы IV)
X
co2(d,F) = o(-^j\, где F(x)= J f(t)dt,
позволяют судить о поведении ряда на целом отрезке, или почти всюду на
нем, но условие
выполненное в индивидуальной точке, не гарантирует сходимости оф в этой
точке (см. глава IV, § 4).
§ 7. Об эквивалентности некоторых условий, выражаемых
через интегралы и через ряды
Мы видели в § 5, что существование интеграла
/(x-or dtdx< + oo (В)
, где су (/) = ^- + ^а„ cos пх + 6„ sin пзс, (А)
о о
и сходимость ряда
п=1
являются условиями эквивалентными. Оба эти условия достаточны для схо-
сходимости почти всюду ряда ог(/).
Обобщая результат Плесснера об эквивалентности условий (А) и (В),
Ульянов W доказал, что если на функцию a (t) наложить некоторые ограни-
ограничения, которые мы перечислим ниже, и положить
2л
со(к)= J a(t)dt,
2л
~к
то условия
2л 2л
J j*(t)[}(x+t)-f(x-t)]*dtdx< + °o G.1)
СО
о о
и
являются эквивалентными.

§ 7 ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЙ 343
В качестве таких условий, налагаемых на «(/), можно принять:
1) a(t) неотрицательна и не возрастает на [0, 2тг],
о
3) существует такая константа С, что для всех достаточно малых д имеем
д 2л
о
Последнее условие выглядит несколько искусственным (в противопо-
противоположность первым двум); смысл его в том, что a(t) при / -^0 возрастает не
слишком быстро.
Докажем, что при выполнении требований 1), 2) и 3) условия G.1) и
G.2) равносильны.
В силу равенства Парсеваля имеем
2я
j [/ (*+0 - / (* - О]2 dt = 4 я i (a\ + bt) sin* kt.
0 ~
Следовательно,
2я 2я 2я
[ j a (t) [f (x+t) - f (x - 0] 2dxdt = 4n2 (a2k + b2k)$a (t) sin2 kt dt.
0 0 0
Таким образом остается доказать, что
$а (/) sin2 kt dt^w (ft) = J a (/) dt.
О 2я
к
В силу условия 3) имеем
2я
f а @ sin2 ktdt=U (t) sin2 kt dt + (a (t) sin2 kt dt <
0 0 2я
к
2л
< ft2 la (t) t2 dt + fa (/) dt < D n* С + 1) f а(/) Д.
q 2 я 2я
Но
2я
п ~~Г (И+ О
¦<ьЯ /С '
/С—1
Г a (/) sin2 ft/tf/= ^ Г a @ sin2 ft/Л =
О
2я
2л 2л
к ~к
о
G.3)
С другой стороны,
2я , 2я
п=1 ч у п-1
2я 2я О

344 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
в силу того, что a(t) не возрастает. Значит, для 0< / <С ~
2я
2л
~к
в силу G.4). Поэтому из G.3)
2л
2л ~к 2л 2л
n2
Jа
sin2
0 2л 2л
~к ~к
2л
к 2л
[где М = ~§$m2ktdt = ^ J sin2 и da = у].
о о
Итак,
J l
О 2я
и теорема доказана.
В частном случае а(/) = увсе условия удовлетворены и мы возвра-
возвращаемся к теореме Плесснера.
Смысл доказанной теоремы Ульянова в том, что если бы удалось усилить
результат Колмогорова—Селиверстова и Плесснера, т. е. получить сходи-
сходимость ряда Фурье из условия
о о
где a(t) при /-^0 растет медленнее, чем у, то это означало бы, что ту же
сходимость ряда Фурье можно вывести из условия
где уже со (к) растет медленнее, чем In к.
Например, сходимость интеграла
2л 2л
Г {
J J
Пп-i-
0 0
эквивалентна сходимости ряда
Однако вопрос о том, достаточно ли подобное условие для сходимости
почти всюду ряда Фурье, остается открытым.
В качестве приложения приведенного выше исследования эквивалент-
эквивалентности сходимости рядов и интегралов докажем следующую теорему Улья-
Ульянова^12];

§ 7 ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫХ УСЛОВИЙ 345
Теорема. Если для некоторого е> 0 имеем
G.5)
М )
то ряд а (/) после любой перестановки его членов сходится почти всюду на
[О, 2я].
Орлич доказал *), что если aknbk — коэффициенты Фурье для f(x), то
при любом е> 0 из сходимости ряда
п-1
G.6)
следует, что a(f) сходится почти всюду при любой перестановке его членов.
Поэтому нам достаточно доказать, что условие G.5) влечет сходимость ряда
G.6). Но по предыдущей теореме Ульянова, полагая
1п
мы видим, что сходимость ряда G.6) эквивалентна сходимости интеграла
2л 2л
о о
а так как из G.5)
'i—\f(x + t)-f(x-{)]*dxdt, G.7)
то сходимость интеграла G.7) имеет место, и теорема доказана.
Следствие. Если /(*)? Lip a, (а> 0), то ряд a(f) после любой
перестановки его членов сходится почти всюду**).
Это сразу вытекает из только что доказанной теоремы.
Замечание. Мы знаем, что если
то ряд а (/) сходится равномерно (признак Дини—Липшица).
В только что доказанной теореме Ульянова на функцию f(x) на-
накладывается немного более сильное ограничение, но зато сходимость
почти всюду ряда а (/) имеет место и после любой перестановки его
членов.
*)См. Качмаж и Ш т е й н г а у з[МЛ], стр. 198.
**) Однако он не должен сходиться абсолютно, если а^С —, как будет показано в § 4
главы IX. Поэтому множество меры нуль, где он может расходиться, зависит от сделан-
сделанной перестановки членов.

346
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
ГЛ. V
§ 8. Признак сходимости почти всюду для функций из 1/A <^ р <^ 2)
Марцинкевич (Marcinkiewicz M) получил одно интересное обобщение
теоремы Плесснера, а именно он доказал теорему:
Теорема. Если 1 <^ р <С 2 и
(8.1)
о о
то ряд Фурье от /(х) сходится почти всюду.
Для случая р ¦= 2 это теорема Плесснера. Если р = 1, то наше утвержде-
утверждение сводится к признаку Дини (глава 1, § 38).
Действительно, если (8.1) выполнено, то в силу периодичности/(х) и
нечетности подынтегральной функции в (8.1) мы имеем
о о
-я О
2л —t
2л
—t
2л л
-п О
2я 2я
{
0-я
{
0 -2
Здесь, меняя порядок интегрирования, мы пользовались теоремой Фубини
(см. Вводный материал, § 18); так как из (8.1) и (8.2) следует
О -2я
то снова по теореме Фубини
2я
(u + v)-f(u)
dv < +
(8.3)
для почти всех и ? [0, 2тг], а тогда для почти всех и выполнен признак Дини.
Таким образом остается рассмотреть случай 1 <р <2.
Не нарушая общности, можно предположить, что /(*)^>0, так как,
полагая
где f± (х) = f(x) при /(*)^>0, f±(x) = 0 в остальных случаях, мы видим сразу,
что каждая из неотрицательных функций /х (х) и /2 (х) должна удовлетворять
условию (8.1).
Обозначим через Ат Вп и Сп множества точек, где соответственно
/(*)<л, п</(х)<л + 1, /(х)>л + 1
и через Сх множество тех /, где х + t С Сп при —тг ^ / ^ л (здесь п фиксиро-
фиксировано).
Положим
<р(х)=№^ ДЛЯ х$Ап+Вп,
\п + 1 для х $ Сп,
и пусть
V (х) = /(х) — <р(х).

ВЫРАЖЕНИЕ УСЛОВИЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ 347
71
Мы уже видели, что из (8.1) следует (8.2), а это влечет Г у~
—п
почти всюду на [0, 2тг], значит, тем более это верно почти всюду на Ап. Тогда
и подавно
J —~~~ТЛ Л < + °° почти всюду на Ап.
сх
Но если х ? Ап и / $ Сх, то имеем |/(х + /) — /(х)| > 1, а потому и подавно
г | / (х + 0—/(х) |
J —~ПТ| Л < + оо почти всюду на Ап. (8.4)
С другой стороны, очевидно, что
для х ( Лп и / ( Сх. Поэтому из неравенства (8.4) находим
J |j^±ib=^ Л < + ос почти всюду на Ап .
Если / не входит в СХ) то х + / не входит вСп, а тогда гр(х + /) = 0; кроме
того, у (х) = 0 на Ат значит почти всюду на Ап
л = f|y
Тогда в силу признака Дини ряд Фурье от у (х) сходится почти всюду на Ап*
С другой стороны, для всех х и /
значит если условие (8.1) выполнено для/(х), то оно выполнено и для<р(х).
Но ср (х) ограничена, поэтому если условие (8.1) выполнено для р < 2, то оно
верно и для р = 2.
Итак,
О О
а тогда по теореме Плесснера ряд Фурье от у (х) сходится почти всюду. Так как
то ряд Фурье от/(х) сходится почти всюду на Ап. Поскольку это верно при
любом п и тАп -> 2л при п -> оо, то этот ряд сходится почти всюду на
(—тг, тг), а тогда теорема доказана.
§ 9. Выражение условий сходимости почти всюду через квадратичные
модули непрерывности и наилучшие приближения
Мы уже знаем (см. § 2 и § 5), что если
°(f)=^r + 2ancosnx + bnsinnx , (9.1)
то условие
B *)\ + oo, (9.2)

348 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
а также
2я
(9.3)
о о
достаточно для сходимости почти всюду ряда (9.1), и при этом условия (9.2)
и (9.3) эквивалентны.
Сейчас мы, следуя С. Б. Стечкину E6J, докажем еще несколько усло-
условий, эквивалентных (9.2) и (9.3). Эти преобразованные условия окажутся
полезными для получения теорем, касающихся сходимости ряда а (/) уже
не почти всюду на [—щ п\ а почти всюду на некотором отрезке [а, Ь],
—п < а <' Ъ < тг.
Условимся в обозначениях. Пусть
coV>{dJ)=^upJ\Ahf{X)\\L>
это—квадратический модуль непрерывности;
f(x-2h)-2f(x)]*dx
— квадратический модуль гладкости. Наконец,
п
Кп + 1\1) — II/Vх/ оп1Л/11^2 — J U\x) °п\л)\ ил
—п
где, как всегда,
Q (у\ —
2
Sn (x) = у +j? ak cos kx + bk sin kx.
Докажем, что условия (9.2) и (9.3) эквивалентны каждому из следующих
условий:
ОТ (/)}»<
п=1
(9.4)
(9.5)
(9.6)
Прежде всего нам понадобится такая
Лемма. Если f (х) С L2 [—я, я], то
J
И D'
Действительно, в силу равенства Парсеваля
71 со
~ f U(x+h) -f(x - h)]*dx = 4 ,2" Й sin* Aft <
71 J Л-1
= 1,2,...)
(9.7)
L Л = 1

§ 9
ВЫРАЖЕНИЕ УСЛОВИЙ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ
349
где ql = а\ + Ь\. Поэтому
Ho
значит,
Л2
m=A:
k—\ m—k
(/)] = f [/ (*) -
(9.8)
и лемма доказана.
Вернемся к доказательству эквивалентности всех условий (9.2)—(9.6).
Так как
П 1
У ~ — In n ,
то сходимость ряда (9.2) эквивалентна сходимости ряда
Так как члены этого ряда неотрицательны, то можно изменить порядок
суммирования и убедиться на основании (9.8), что этот ряд можно переписать
в виде
У —
а это и есть ряд (9.4). Итак, (9.2) и (9.4) эквивалентны; эквивалентность (9.2)
и (9.3), как мы уже говорили (см. § 5), была доказана Плесснером*
Теперь на основании только что доказанной леммы мы видим, что
НИ1.>)Г<8Д#Д/
а потому сходимость ряда (9.4) влечет сходимость ряда (9.6).
Так как очевидно
то сходимость (9.6) влечет сходимость (9.5).
С другой стороны, сходимость (9.5) влечет сходимость Г9.4); в самом деле,
если обозначить через Ц2)(/) наилучшее приближение f(x) тригонометриче-
тригонометрическими полиномами порядка не выше п в метрике пространства L2, т. е.
?(?)(/) = min *-¦- ' - *
тп

350 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
то так как здесь минимум достигается (см. глава I, § 13), когда за полином
Тп (х) принимается частная сумма ряда Фурье, т. е. Sn (x), то
Но по теореме Джексона для пространства L2 (см. Добавления, § 7) мы имеем
Таким образом, сходимость (9.5) влечет сходимость (9.4) и эквивалентность
всех условий (9.2)—(9.6) доказана.
§ 10. Признаки сходимости почти всюду на отрезке длины,
меньшей чем 2 л
Отметим ряд теорем, в которых рассматриваются условия для того,
чтобы ряд Фурье от некоторой функции сходился почти всюду на отрезке
длины меньшей, чем 2тг. Здесь удается снова воспользоваться методом «про-
«продолжения функций» (см. § 9, главы IV), чтобы свести этот случай к случаю,
когда функция обладает нужными свойствами на всем отрезке [0, 2тг].
Для формулировки теорем введем обозначения. Положим
',/,fl,6)=SUp |Мл/(*)||<а,&)= SUp
f(x-h)-2f(x)\*dx
i
= sup
0<h<d
S\f(x)-Sn(x)\*dx
Разумеется, для определения со<2> или а>?2> необходимо, чтобы f(x)?L2 не
только на отрезке [а, Ь], но и на некотором содержащем его отрезке, иначе
интегралы не будут иметь смысла; но Ц2)(й, /, а', V) и со<2>(<5, /, а', Ь'), если
(а', V) строго внутри (а, Ь)у а д достаточно мало, уже имеют смысл, если
f(x) $L2Ha [a, b].
В этих обозначениях справедлива теорема С. Б. Стечкина[6].
Теорема. Если f(x) $ L на [0, 2п] а для любого (а', Ь'), целиком лежа-
лежащего внутри [а, Ь], имеем f(x) $ L2 на (а', V) и
(ЮЛ)
n=\
или
или
00 1 Г ' /1 чтя
2 4H2)B-' /' а''ь')Г
2-
то ряд а (/) сходится почти всюду на (а, Ь).
Заметим, что для рядов A0.2) и A0.3) приходится начинать счет не с
п = 1, а с некоторого достаточно большого N, так как f(x) $ L2 лишь на

§ 10 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ НА ОТРЕЗКЕ 351
(а', Ь'), а не на (а, Ь), а потому интегралы, входящие в выражение для со<2
или с42) при малых п могут не иметь смысла; на сходимость ряда a(f) это не
оказывает влияния.
Мы не будем давать здесь доказательства этой теоремы, отсылая к работе
автора; отметим только, что С. Б. Стечкину понадобилось «продолжить»
функцию с отрезка [а, Ь] на отрезок [0, 2 л] так, чтобы ее квадратическии
модуль непрерывности или квадратическии модуль гладкости, грубо говоря,
сохранили свой порядок. После этого можно было уже пользоваться теоре-
теоремами из § 9.
Далее, если обозначить через ?^2) (/, а, Ь) наилучшее приближение в
метрике L2 для функции /(х) на отрезке (а, 6), то имеет место такая теорема
[см. Н.К. Бари ^]:
Теорема. Если f(x) ? L на [0, 2л] и если для любого (а', Ь'), лежащего
строго внутри (а, 6), имеем
то а (/) сходится почти всюду на (а, Ь).
Условие (В) из § 5 можно также перенести на отрезок [а, Ь], что и было
сделано П. Л. Ульяновым ш, доказавшим теорему:
Теорема. Пусть /(х) ? L[0, 2л] и /(х) ? L2 (a',bf) для любого
(а', Ь') с (а, Ь) с [0, 2л]. Если для любого е > 0 (s <-^-ч имеем
S
7 /|/(х + 07/(Х-^2^*<Л(г)<+оо, (Ю.4)
а+е О
та ряд а (/) сходится почти всюду на (а, 6).
Ульянов доказал эту теорему для случая, когда f(x) ? Lp (I <^ p <^ 2)
и под знаком интеграла тоже |/(х + 01—f(x — 01р> н0 мы в предыдущей
формулировке ограничились случаем р = 2 для того, чтобы дальше сравни-
сравнивать эту теорему с остальными, о которых идет речь в этом параграфе.
Ввиду того, что здесь доказательство не длинное и достаточно простое,
мы приведем его полностью.
Доказательство. Пусть 0 < б ^д0 = min 1 ~~а7~ &, 4. Положим
аг = а + г, Ъх = Ъ — s и
при х $ (а± + <5, Ьг — б),
j 0 при х $ Го, ах + -j] + \b± — ~2 у 2тг] ,
а в отрезках \а± + -^,аг + б и \b1 — dib1 —^] интерполируем9?(х) линейно;
далее продолжаем ее периодически. Ясно, что ср(х) ? Lip 1, точнее
I <Р (*а) - V (*i) К К | х2 - хх|, где /С = 4. (Ю.5)
Положим F (х) = / (х) у (х) и F (х) = 0, если ср (х) = 0. Очевидно, что
F(x) $ L2 [0, 2тг]. Докажем, что
2л 2л
J J -
О О

352 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Так как при любом г\ > О очевидно
2я 2л
О г\
то достаточно доказать, что
д
2я 4
/= J J
о о
Но F(х) = 0 длях $ |о, аг + у] + [&х - ~, 2тгJ , поэтому
д д 6 б
ах+2д 4 Ъх-26 4 г"" 4 4
/= J J+ J
J I J
0 ах+2б 0 ba—2E О
Оценим сначала /2; полагая в условиях теоремы е = 25, видим, что
a.i+26 О
д
aj+26 0
Остается оценить 1г и /3. Но, как видно будет из хода доказательст-
доказательства, оценки для интегралов 1г и /3 совершенно аналогичны. Рассмотрим,
например,
/1= J
0^ + 2E 4
Так как \ф(х)\ ^1 и удовлетворяет A0.5), то имеем
Отсюда следует, что
<f|/(;c + 0| + 2 !
а потому в силу выбора д, условия f ? L2 (а + s, b — в) и неравенства
а, + 2д 4 ау + 2д 4
jt\f(x-t)\*dtdx + 2 J
«.+ 4
7
О 6 0

§ 10 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ НА ОТРЕЗКЕ 353
мы видим, что
о о
а тогда по теореме Плесснера ряд Фурье от F (х) сходится почти всюду на
[О, 2л]. Но для х ? [а± + д, Ъх — Ь] имеем F(x) = /(х)и> значит, в силу прин-
принципа локализации Римана для рядов Фурье а (/) сходится почти всюду на
\a1-\-dyb1 — й], т.е. почти всюду на [а1 + 2е,Ь1 — 2е]. Но е> 0 произ-
произвольно, поэтому ряд Фурье от/(х) сходится почти всюду на [а, Ь]. Теорема
полностью доказана.
Мы применили к случаю отрезка [а, Ь] все указанные в § 9 условия,
эквивалентные условию (9.2), входящему в теорему Колмогорова—Селивер-
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера. Что касается самого этого условия (9.2), т. е.
то может показаться, что перенос его на случай отрезка [а, Ь] невозможен,
так как в нем нигде нет речи о поведении функции на каком-то интервале.
Однако П. Л. Ульянов справедливо заметил, что уже в самих коэффициентах
Фурье содержится такое условие, а поэтому естественным переносом теоремы
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера с отрезка [0, 2л] на отрезок [а, Ь]
является такая
Теорема. Если f(x) ? L [0, 2л] и / (х) ? L2 [а, Ь]9 то аз условия
/ + oo A0.7)
2
следует сходимость почти всюду на [а, Ь] ряда Фурье от /(х).
Действительно, полагая
i
[О вне [а,Ъ],
видим, что если ак и @к — коэффициенты Фурье для/х(х), то условие A0.7)
означает
а потому ряд Фурье от /х(х) сходится почти всюду. Но тогда в силу принципа
локализации ряд Фурье от/(х) сходится почти всюду на [а, Ь]. Теорема
доказана.
Мы не останавливаемся на доказательстве эквивалентности всех выве-
выведенных здесь достаточных условий сходимости ряда Фурье почти всюду на
[а, Ь], отсылая интересующихся к уже упомянутым работам С. Б.Стечкина^,
П. Л. Ульянова Ш и Н. К. Бари г»].
Отметим еще, что вопросом о переносе условий сходимости почти всюду
на случай, когда речь идет о некотором отрезке [а, Ь]9 занимался Алексич
(AlexitsW). Он доказал сначала, что условие
эквивалентно такому условию: существует положительная монотонно возра-
возрастающая функция Я (х), для которой
о
и затем, переходя к случаю отрезка [а, Ь], получил теорему:

354 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Если f(x)?L [О, 2л], /(х) ? L2 [а, Ь] и
где X (х) положительная, монотонно возрастающая и удовлетворяет условию
f
J
< + °°, то ряд оф сходится почти всюду на [а, Ь].
J X \?)
О
Заканчивая этот параграф, мы хотим указать, что, пользуясь получен-
полученными условиями для сходимости почти всюду на некотором отрезке, можно
несколько усилить результат Колмогорова—Селиверстова и Плесснера уже
для классического случая сходимости почти всюду.
В самом деле, если/(х) уже не принадлежит L2 на [0, 2тг], то признак
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера применить нельзя. Однако при
этом вполне может случиться, например, что на всяком смежном интервале
(ак, Ьк) к некоторому замкнутому множеству F меры нуль, для любого (а', &'),
лежащего в (акУ Ьк), выполнено условие
(или любое, ему эквивалентное). Тогда a(f) будет сходиться почти всюду на
(ак, Ьк) и поскольку это справедливо для любого /с, то а (/) сходится почти
всюду (так как mF = 0). Это замечание принадлежит С. Б. Стечкину.
Аналогичное замечание было сделано Ульяновым в применении к его
теореме, сформулированной ранее (см. Следствие 3 на стр. 516 в работе
Ульянова Ш). Обобщая идею Ульянова, можно сформулировать такое след-
следствие из полученных теорем:
Пусть j (x) ^ L на [0у2п] и пусть для почти всякой точки х0 из [0, 2 л]
найдется такая окрестность д (х0) и такая функция ц> (х) =<р{х, д (х0)), что
f (х) = <р (х, д (х0)) на д (х0) и функция <р (х) удовлетворяет на д (х0) одному из
условий, гарантирующих сходимость почти всюду ее ряда в(<р) на этом д;
тогда ряд a(f) сходится почти всюду на [0, 2 ж].
В качестве таких локальных условий могут быть, в частности, взяты те,
которые рассмотрены Стечкиным, Ульяновым или Алексичем.
§11. Индексы сходимости
Мы знаем (см. глава I, § 65), что если f(x) ? L2, то для любой лакунарной
последовательности {пк} имеем Snk(x)-+f(x) почти всюду.
С другой стороны (см. § 2), если
то
Sn(x)~+f(x) почти всюду.
Салем (Salem W)поставил следующий вопрос: что можно сказать о пове-
поведении частных сумм ряда Фурье от /(х), если для ее коэффициентов известно,
что
2№ + Ь*)а>(п)< + оо, A1.1)
где со (п) t °°, но со (и) растет медленнее, чем Inn? Чтобы ответить на этот
вопрос, он ввел такое определение:

§ 11 ИНДЕКСЫ СХОДИМОСТИ 355
Определение. Последовательность целых чисел {пк} назовем
последовательностью индексов сходимости для /(х), если
«*(*)-/(х)
почти всюду при А: -> оо.
Пользуясь этим определением, он доказал такую теорему:
Теорема, Если со (п) \ оо и 2 (ап + Ь%) со (п) < + °°, то найдется
такая последовательность {пк}, зависящая только от со (и), но не от f(x), что
{пк} есть последовательность индексов сходимости для любой /(х), удовле-
удовлетворяющей A1.1).
Собственно говоря, вопрос идет не об отыскании какой-нибудь последо-
последовательности {пк}, зависящей лишь от со (и), но о последовательности какможно
медленнее растущей, в противном случае можно было бы брать в качестве
{пк} лакунарную последовательность, и тогда вопрос решался бы сразу.
Естественно, что чем со (и) растет быстрее, тем больше надежды, что {пк}
можно сделать растущей медленно.
Изложим метод, которым Салем находил {пк} для заданной со (п).
Прежде всего, как это делается и в доказательстве теоремы Колмого-
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера, Салем сначала дает оценку для интеграла
I = fsn(x)(f)dx, A1.2)
о
гдеп (х)меняется вместе с х, но может принимать лишь значения 1,2, ..., п.
Для краткости положим
Ар (х) = ар cos px + Ър sin px (р > 1)
и будем считать а0 = 0.
Функцию Sn(x) (/) можно записать в виде
где
если
если р > п (х).
Из этого определения функций ipp (x) следует, что хрр (х) ^> ^р+1 (х). Имеем
Мы предположили, что ряд 2J (а1 + Щ) ^ (п) сходится. Значит, существует
такая F(х) С L2, что ее ряд Фурье есть 2 (an cos nx + bn sin их) ]/го>(л). При-
Применяя преобразование Абеля, найдем
/ =
о о
где Аир =¦ Up — цр+1, если р =f= n, и 21пп = цп. Имеем
2тг 2тг
о о

356
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Так как \fp+1(x)\ < 1, то
кроме того,
а потому
к
Переходим к оценке интеграла
2я
j =
о
Его можно записать в виде
F)
(
V '
p=i
.
2я 2я
Действительно J FSp(Aipp)dx= J Ay)pSp(F) йх,гак как каждый из этих
о о
интегралов в силу равенства Парсеваля есть р-я частная сумма ряда, чле-
членами которого служат произведения коэффициентов ряда Фурье для F и
для Ау)р. Имеем
Будем изучать интеграл Jo. Имеем
о=
A1.7)
НО
«О»)
о о
а так как последовательность \рр (х) монотонно убывающая и притом \рр (х) = 1
или 0, то
= ^^р и
2
p=i
= Vi»" кроме того, со(р) монотонно растет,
p
поэтому для первого члена правой части равенства A1.7) находим
A1.8)

§ 11 ИНДЕКСЫ СХОДИМОСТИ 357
Далее имеем
2л 2л
" С Sp(Ay>p)Sq(Ay>q)^_ " С Sp(Ay,p)Ayq^
/>, I ' л[ - . =^г "-Л, ^> -1/- — — «л >
'*¦¦¦' ч I vCO(D)CO(flf) "^^ 1 I V СО ( D) О) (О)
q=p-f-i j ' \г/ \т/ q=p-\-i j ' v^/ v1'
о о
так как
fsp (A Wp) A Wq dx =Jsp (A Vp) Sq (A Vq) dx.
о о
Последнее равенство вытекает из того, что каждый из интегралов левой
части, в силу равенства Парсеваля и условия р < q, есть р-я частная сумма
ряда, составленного из произведений коэффициентов Фурье для Sp(Ayp) и
для Ащ.
Мы можем поэтому написать
2л 2л 2л
dx =
о о
где мы положили
С SpjAxpp) " 4V4_//Y_ Csp(aVp)~ (r
Снова применяя формулу Парсеваля, убеждаемся, что
2л 2л
о о
Пусть теперь кр и кр — два положительных числа, которые мы подберем
позже, но такие, что
В силу неравенства Юнга (см. Вводный материал, § 8)
Следовательно,
О
Ню для любой / ? Lv имеем
где Ар — константа, зависящая только отр, причем для р^ 2 имеем
(см. глава VIII, § 14).
Если так, то, выбирая кр ^> 2, можем написать
2л 2л
J\SP(хр)|"»dx<Dкру* J ixPf>dx<2n{Akp)*v,
0 0
потому что, как видно из определения %р(х), она положительна и меньше 1.

358 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Отсюда следует, что
2л
п г
p=l J
0
<2* JhUiftf+ 2*. A1.9)
Здесь fep можно еще выбрать как угодно, лишь бы было кр ^> 2.
Стремясь сделать правую часть A1.9) минимальной, мы должны были
бы найти минимум выражения
_1 Г 4&л*»
кР[_о)(р)\
Но это требует решения трансцендентного уравнения
А кРе — окр
Если положить
*р = ^, (НЛО)
то это дает приближенное решение, поскольку со (р) -> оо. Такой выбор воз-
возможен лишь при
что будет иметь место, как только р станет достаточно большим, пусть при
р ^> р0. Положим
кр = 2, если р < р0,
и определим кр по формуле A1.10) для р^р0- Тогда из A1.9) следует, что
2л
n
<
* 2 lco(p)]
Из формулы A1.4) и выражения интеграла J формулы A1.5) сразу видно,
что в левой части неравенства A1.11) числу р надо придавать лишь те зна-
значения, которые может принимать п (х) в интеграле /, так как для других
значений имеем Ayp = 0. Поэтому если п (х) пробегает только значения,
входящие в некоторую последовательность {пк}, то надо изучить, при каких
условиях сходится ряд
—(-1
#С= 1
Кроме того, так как числа со (пк) можно умножить на любую константу, не
нарушая сходимости ряда 2 (ап + Ь%) со (и), то левая часть неравенства
A1.11) остается ограниченной, если только сходится ряд
1
оу{пк)\А

§ 11 ИНДЕКСЫ СХОДИМОСТИ 359
где А можно предполагать как угодно большим. Следовательно, при выпол-
выполнении этого условия мы будем иметь
1<С\ с ™ ^-'2
где С зависит от со (и), но не от /. Отсюда тем же методом, которым доказыва-
доказывается теорема Колмогорова—Селиверстова и Плесснера, можно заключить,
что Snk (/) сходится почти всюду к / (х).
Таким образом получается
Теорема. Если ряд ? (ап + #0 м (п) сходится и если для последова-
последовательности {пк} можно найти такую константу Л, что
то последовательность {пк} есть последовательность индексов сходимости.
В частности, если со (п) = In n и пк = к для к ^> 2, то
Ык °° 1
2р
k=\ K
если только взять Л> е, и мы возвращаемся к теореме Колмогорова—Сели-
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера.
Если положить, например, со (п) = У Inn, то достаточно взять пк расту-
растущим, как к1пк, чтобы ряд A1.12) оказался сходящимся. Хотя рост к1пк и
достаточно быстрый, но все же гораздо более медленный, чем у лакунарных
последовательностей, поскольку к1пк = еAп/сJ.
Салем отметил, что если со (п) очень медленно растет и тем более, если
со(п) = const, то эта оценка ничего хорошего не дает, и, в частности, не по-
позволяет получить теорему о лакунарных подпоследовательностях ряда а (/)
для / $ /А Однако в этом случае можно применить другой, более простой
метод и тогда получить хорошую оценку. Для этого поступаем следующим
образом.
Обозначим черезапф фейеровскую сумму порядка п для ряда Фурье от
/ (х). Если Qn = d*n + Ъ\, то мы имеем в силу равенства Парсеваля
о
Рассмотрим последовательность {пк}у для которой
XT' @1 ' ^2 "Г • • • ~Г Пк Qrik ^ \ /111 О\
J> Jf < + °° . A1. ю)
Тогда мы будем иметь
Л
т. е. почти всюду j? [Snk(f) — стПк (f)f < + °°, а потому и подавно почти
к=\
всюду, откуда следует, что Snk (/) -> / почти всюду. При этом даже не
требуется, чтобы / $ L2.

360 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Например, если мы предположим только щ\ -> 0 (хотя / ? L2), то можно
выбрать последовательность пк так, чтобы удовлетворялось условие A1.13).
Действительно, если nq\ ->0, то имеем
как среднее арифметическое чисел, стремящихся к нулю. Поэтому можно
выбрать числа пк так, чтобы 2J ипк <С + °° и> следовательно, тогда выпол-
выполнено A1.13) и, значит, {г^} есть последовательность индексов сходимости.
Пусть теперь / ? L2. Более того, пусть
Докажем, что тогда A1.13) будет выполнено, если
б)
В самом деле, полагая и0 = 0, можно записать левую часть A1.13)
в виде
nk
так как если / <^ nk, то ^~r ^ n,k в силу гипотезы -^-г f . Таким образом
выполнение условия б) при монотонном росте —т-т гарантирует условие
A1.13) и, в силу доказанного ранее, приводит к выводу, что {пк} есть после-
последовательность индексов сходимости. Таким образом доказана
л2
Теорема. Если —^умонотонно возрастает, то для всех функций,
удовлетворяющих условию
последовательность {пк}, удовлетворяющая условию
±4- * i _
последовательность индексов сходилюсти.
В частности, полагая со(п) = const, мы видим, что за {п^} можно принять
любую лакунэрную последовательность (и даже, более того, любую после-
последовательность, удовлетворяющую условию (L), см. глава I, § 65), и мы воз-
возвращаемся к теореме, доказанной в главе I, §65.
Если же со (п) растет, то получаются новые результаты.
Мы хотим теперь отметить, что в само определение последовательности
индексов сходимости не входило никаких требований на f(x), кроме ее
суммируемости. Мы Здесь рассматривали функции f(x) $ /Я Но можно
изучать индексы сходимости для f(x) $ U при 1 <^ р <2. Укажем имею-
имеющиеся в этом направлении результаты.

§ 11 ИНДЕКСЫ СХОДИМОСТИ 361
Литтльвуд и Пэли (Littlewood и Paley М) показали, что если /(х) ? Lp
(р 1), то лакунарные последовательности снова являются последователь-
последовательностями индексов сходимости (как и в случае р = 2), но при р — 1 это уже
неверно. Более того, как показал Зигмунд (смДм-6^, § 10.33), вопрос о том,
можно ли найти последовательность индексов сходимости, совсем не завися-
зависящую от функции /(х), т. е. годную для всех f(x) ? L, решается отрицательно.
Действительно, как отметил Зигмунд (см.[М-6^, § 10.33), для любой последо-
последовательности {1к} положительных чисел можно найти такую /(х) ? L и такую
последовательность пк, что~> Хк (к = 1, 2, ...) и Snk (x) почти всюду
расходится. Этот результат можно получить, если исследовать внимательно
метод, которым в § 17 строится функция с почти всюду расходящимся рядом
Фурье.
Итак, нельзя найти последовательность индексов сходимости, годную
для всех/(х) ? L. Однако, как показал Салем (Salem Ш), можно найти после-
последовательность индексов сходимости, общую для всех /(х) с одинаковым инте-
интегральным модулем непрерывности. Именно, имеет место
Теорема. Для любой суммируемой /(х) с интегральным модулем
непрерывности (о^(д) последовательность чисел {пк}, для которых
есть последовательность индексов сходимости.
Мы будем опираться на результат, который будет установлен в § 21
главы VIII: если /(х) $ L и р любое, 0 <р < 1, то
2л 2л
)P A1.15)
о о
где С — абсолютная константа.
Рассмотрим выражение
В главе VII, § 4 доказывается, что Вп (х) -*¦ f (х) почти всюду при п
Имеем из A1.14) и A1.15)
о
Но так как
cod) C)= sup
то отсюда сразу следует
где А — некоторая новая константа, в силу свойств интегрального модуля
непрерывности.
Выберем рп так, чтобы сделать правую часть неравенства A1.16) мини-
минимальной; для этого надо взять

362 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
При таком выборе рп имеем
J | Sn (х)-Вп (х) |лих < Ае а& (|) | In coV (-L) |.
О
Если теперь взять числа пк, удовлетворяющие A1.14), то
U'
значит, 2 \Snk(x) — ВПк(х)\рпк сходится почти всюду, а потому тем
к=\ '
более | Snk(x) — ВПк(х) |р»*->0 почти всюду. Отсюда следует, что и |Snjfc(x) —
— ВПк(х)\ -> О почти всюду, а так как Вп{х) -> f(x) почти всюду, то
Snk(x) -> f(x) почти всюду, и теорема доказана.
Замечание. Укажем здесь две работы Зигмунда, где вопрос о выборе
подпоследовательности пкч для которой Snk (x) ->/ (х), ставился в несколько
иной форме. Именно, Зигмунд сначала доказал (см. Zygmund t10J), что для
любой /(х) $ L2 можно для почти всякого х разложить натуральный ряд на
две последовательности {пк} и {тк} (разложение, вообще говоря, зависит от
выбора точки х), чтобы Snk (х) -> f (x), а последовательность {тк} удовле-
творяет условию ^—<+ °°« Позже (см. Zygmund M) он обобщил этот
результат на функции /(х)? U (р> 1) и отметил, что при р = 1 теорема
теряет силу.
Этот результат, как отметил сам Зигмунд, следует считать несравнимым
с предыдущими, поскольку, с одной стороны, там речь шла о последователь-
последовательностях {пк} достаточно «редких», но зато не зависящих от выбора точки,
а в его случае выбор последовательности зависит от точки, но эта после-
последовательность «очень густая» (пропускаются лишь номера тк, для кото-
pblx^i<+°°)-
к=1
§ 12. Выпуклая емкость множеств *)
Ряд авторов занимался изучением следующего интересного вопроса:
если сходится ряд
где W(n) f °°, то что можно сказать о множестве Е точек расходимости
ряда
у + 2 ап cos пх + bnsin пх ?
Мы знаем (§ 2), что если W{n) растет, как In и, и тем более быстрее, чем
In /?, то тЕ = 0. Однако возникает вопрос, нельзя ли высказать нечто боль-
большее, чем это утверждение о мере множества, зная, например, что W{n)
быстро растет?
Здесь возникает идея классификации множеств меры нуль и различения
среди них более «толстых» и более «тонких». Эта идея будет нами далее рас-
рассматриваться и в главах XII, XIII и XIV. Здесь мы осветим ее, вводя понятия
*) Этот параграф рекомендуется читать после §§ 19 и 20 главы XIV.

§ 12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 363
о логарифмической емкости, а-емкости, и, наконец, выпуклой емкости мно-
множеств.
Рассмотрим систему всех множеств {В}, измеримых по Борелю и лежа-
лежащих на [0, 2л],
Будем называть мерой [л всякую неотрицательную вполне аддитивную
функцию множеств, определенную на {JS} и нормированную, т. е. [л [0,2ж] =1.
Будем говорить, что мера [л сосредоточена на В, и писать \i -< В, если
[л (В) = 1, т. е. если
j
в о
Валле-Пуссен (Vallee-Poussin ГО) ввел понятие логарифмической емкости
множеств; это понятие, изучавшееся затем в работах Фростмана (Frostman M),
Неванлинна [МЛ71 и других авторов, оказалось очень полезным. Мы не будем
здесь указывать, как надо находить величину логарифмической емкости мно-
множества, так как это нам не понадобится, нам нужно будет лишь уметь раз-
различать, имеет ли множество логарифмическую емкость положительной или
равной нулю. Поэтому скажем только, что Валле-Пуссен предложил такое
Определение 1. Множество Е, измеримое В, имеет положитель-
положительную логарифмическую емкость, если существует мера [л такая, что /* -< ?
и функция
2л
v(x,r)=\\n-eW±—{di* A2.1)
О
@<С г < 1) остается равномерно ограниченной по х при г -> 1*).
Если же при любой [л-^Е выражение v (х, г) не является равномерно
ограниченным по х при г -> 1, то мы считаем логарифмическую емкость Е
равной нулю.
Связь этого понятия с поставленным нами вопросом станет ясной, если
мы сформулируем следующую теорему Берлинга (BeurlingW):
Теорема Берлинга. Если
то ряд
~ + У ап cos пх + bn sin nx
может расходиться только на множестве, логарифмическая емкость кото-
которого равна нулю.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы, так как оно полу-
получится дальше как частный случай более общих результатов.
Фростман и другие авторы изучали также понятие а-емкости множества.
Мы и здесь ограничимся тем, что будем различать случай а-емкости положи-
положительной и равной нулю, а именно:
Определение 2. Множество Е, измеримое В, имеет положитель-
положительную а-емкость (О < а < 1), если найдется такая и -< Е, для которой функция
2л
leit-reixla^ О2-2)
о
остается равномерно ограниченной по х при г -> 1.
2л
*) Относительно определения интеграла вида f f(x) d/u см. Добавления, § 8.
6

364 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Если такой IX -< Е, для которой это условие выполнено, не существует,
то Е имеет а-емкость, равную нулю *).
При таком определении имеет место
Теорема Салема и Зигмунд а**). Если
то тригонометрический ряд
Q °°
-7Г+ 2 ancosnx+ bns'mnx
может расходиться только на множестве, у которого A — а)-емкость
равна нулю.
Эту теорему, как и теорему Берлинга, мы получим позже из более общего
результата.
Введем, следуя К. В. Темко М, понятие выпуклой емкости множества.
Для этого рассмотрим последовательность {Ап}, обладающую свойствами:
1) Хп ->0 и 2) {Хп} выпукла. Известно (см. глава I, § 30), что тогда функция
Q(*) = *o+j^cosnx, A2.3)
определяемая рядом A2.3), который сходится всюду, кроме, быть может,
точки х — 0, есть неотрицательная суммируемая функция. Раз так, то
Q(r,x) = A0+2'Anrncosnx, A2.4)
как пуассоновская сумма от Q(x), удовлетворяет условию Q(r, x) ^> 0 при
0<Сх<^2тт иО^г<1. Дадим определение, предложенное К. В.Темко:
Определение 3. Множество Е, измеримое JS, имеет положитель-
положительную выпуклую емкость относительно последовательности {Яп}, если суще-
существует мера [х -< Е, для которой функция
v(x,r) = fQ(r,x-t)d{*(t) A2.5)
о
остается равномерно ограниченной по х при г-> 1; здесь Q (г, х) определено
формулой A2.4).
В случае отсутствия такой ^, считаем выпуклую емкость Е относительно
{Яп} равной нулю.
Покажем, что логарифмическую емкость и а-емкость можно рассматри-
рассматривать как частные случаи выпуклой емкости, если разумно подобрать последо-
последовательность {Яп}.
Начнем с логарифмической емкости; мы имеем
2я 2л
| еи 1
*) В § 9 главы XII рассматривается понятие размерности множества по Хаусдорфу.
Отметим, что Фростман изучал связь а-емкости множества с его размерностью и доказал:
если а-емкость множества Е положительна, то его хаусдорфова размерность порядка а
положительна; если Е имеет а-емкость равной нулю, то любое его замкнутое подмно-
подмножество имеет хаусдорфову размерность а 4- е равной нулю при всяком е >> 0.
**)См. Salem and Zygmund Ш.

§ 12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 365
Докажем, что это выражение совпадает с
v(x,r) = ]nQ(r,x-t)dv(t),
о
если в качестве чисел {Хп} принять!—> и Яо = 0, т. е. если положить
В самом деле, тогда
Q(r,x-t) = 2 C°S"f~° m = Re 2 е!!^~^ = Re Г J e^-«> r"-'
о
(здесь почленное интегрирование законно, поскольку О^г << 1). Но
1л _ rPi(x-t)\
у ещх-Ъ гп-г = еЪ-0 = __ дг ^ rg >}
^ li@ lf@ ¦
а потому
а это и надо было установить.
Итак, логарифмическая емкость множества положительна, если поло-
положительна его выпуклая емкость относительно последовательности |—1, и
наоборот.
Теперь рассмотрим случай а-емкости. Здесь также можно написать
Г
v(x Г)= Г *р® = Г_*1«
V ' 7 J I eit _ reiX \a J I 1 — reKx-t)
О ' ' 0 '
e re
О ' ' 0
Если выражение [1 —re^x~^\~a разложить в степенной ряд по степеням г,
то будем иметь
[1 — ге*х-*Ц ~а = 1 + 2 Уп
п = 1
где
7n = ^+Jl^±J1^3, A2.6)
Ясно, что если v(x, г) остается равномерно ограниченным для г -> 1, то
это справедливо и для
2я
Но
Re [ 1 — гг^-')] ~а - 1 + 2 Уп rn cos п (х — t),
l

366 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
а потому, полагая
Q(x)=l+2yncosnx, A2.7)
МЫ ВИДИМ, ЧТО
Q (г, х) = 1 + 2 Уп rn cos nx
и
jQ(,х-
о
остается ограниченным равномерно по х при г -> 1, т. е. множество имеет
положительную емкость относительно последовательности {уп}, причем
нетрудно подсчитать, что А2уп^0, т. е. наша последовательность выпукла.
Напротив, если Q(x) определена равенством A2.7), где числа уп заданы
формулой A2.6), то, как мы видим, действительная часть от
2п
~) A _ rei{x-t))a P
остается ограниченной равномерно по х при г-^1. Но так как для лю-
любого г < 1 и для любого /? имеем
1 -ге* = \\ -ге*е\е*в,
где аргумент б от A —ге^) заключен между — ~ и ^, то
A — ге^)~а = 11 — re^ \~a e~iaQ,
а потому
Re A — ге^)~а = 11 — re1? \~a cos ад,
причем cos ад заключен между cos а у и 1.
Отсюда сразу следует, что если действительная часть интеграла / равно-
равномерно ограничена при г -> 1, то это верно и для v (х, г), т. е. тогда и а-емкость
множества положительна.
Итак, случай положительной а-емкости — это случай положительной
емкости относительно последовательности {уп\, определяемой формулой
A2.6).
Но можно доказать*) (см. Добавления, § 9), что
где С (а) — константа, зависящая лишь от а, а так как ряд
сходится абсолютно и равномерно при 0<С а < 1, то, полагая
Q*(*)= J^^cosnx,
мы видим, что функция Q (х), определяемая равенством A2.7), отличается от
C(a)Q*(x) на непрерывную функцию ф(х), поэтому для
f Q*(r,x
*) В § 9 Добавлений получена формула
А% = С(а) п« + О^-1) ,
из которой и вытекает наше утверждение, если заметить, что Ajp1 совпадает с уп.

§ 12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 367
равномерная ограниченность по х при г -> 1 имеет место одновременно с
2л
равномерной ограниченностью J Q(r,x — t) d{i (t). Отсюда заключаем *):
Множество Е имеет положительную а-емкостъ тогда и только тогда,
когда оно имеет положительную выпуклую емкость относительно последо-
последовательности | -^ 1 .
Это замечание нам будет полезно в дальнейшем.
В указанных работах Берлинга, Зигмунда и Салема и Темко имеется
ряд весьма интересных теорем, касающихся логарифмической емкости, а-
емкости и выпуклой емкости. Не имея возможности излагать их здесь,
мы перейдем к основной теореме Темко, из которой цитированные ранее
теоремы Берлинга, а также Зигмунда и Салема получаются как следствия.
Эту теорему мы, несколько видоизменяя формулировку Темко, выскажем в
следующей форме:
Теорема 1. Пусть W(n) t оо ц J$? W( r < + °°. Если
то тригонометрический ряд
Ц- + 2 &п cos пх + bn sin пх
может расходиться только на множестве, имеющем выпуклую емкость рав-
равной нулю относительно последовательности {Хп}у где
1 - v 1
kW(k)'
Как доказательство этой теоремы, так и вывод из нее результатов Бер-
Берлинга и Салема и Зигмунда будут даны несколько позже. Пока, для
упрощения доказательства, мы считаем целесообразным видоизменить поня-
понятие выпуклой емкости и для этого ввести такое определение.
Определение 4. Множество Е имеет обобщенную положительную
емкость относительно выпуклой последовательности {AJ, Хп ->0, если суще-
существует такая мера /л-<Е, для которой
v (г) = f Го (г, х-у) dp (х) dp (у) A2.8)
о о
остается ограниченным при г -> 1. Здесь снова
Q(r,t)= 2* Krncosnt.
Ясно, что если Е имеет положительную выпуклую емкость (в смысле
Темко) относительно {Ап}, то и его обобщенная емкость относительно той
же последовательности положительна, потому что равномерная ограничен-
ограниченность по х для
*) Идея сравнения рядов для Q (х) и для Q* (х) взята из вышеупомянутой работы
Зигмунда и Салема.

368 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
влечет тем более ограниченность #(/*), определяемого формулой A2.8). Об-
Обратное же не очевидно*).
Отсюда следует, что если будет доказана теорема, аналогичная теореме
Темко, но где слова «выпуклая емкость» заменены словами «обобщенная
выпуклая емкость», то теорема Темко будет тоже доказана, так как, если
расходимость возможна лишь на множестве обобщенной выпуклой емкости
нуль, то она возможна и на множестве выпуклой емкости нуль (в смыс-
смысле Темко).
Оперировать с обобщенной выпуклой емкостью значительно проще,
так как здесь имеет место следующая простая теорема**):
Теорема 2. Для того чтобы множество Е имело положительную
обобщенную емкость относительно выпуклой последовательности {Яп}, не-
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая мера /л -< Е, для ко-
которой
2(* + №)Лп< + оо, A2.9)
где ап и рп — коэффициенты Фурье—Стилтьеса для меры [л, т. е.
2л 2л
ап = -i- J cos nxd/л; рп = -i- j sinnxd/u.
о о
В самом деле, полагая
Q@ =2^ncosnf; Q(r,t) = 2^г"cosnt,
мы знаем, что Q(r,t) неотрицательна и непрерывна при 0<г<]. Вычис-
Вычислим v (г):
2л 2л
v(r)= J
о о
Ш
о о "~1
2я 2л
— ал ап \
^-„Г Г л / \ i • Г- л / ч (
2 К г \cos пУ cos п* йр (х) +sm пУ sin nx dp{x) \
и О О }
С \ ^ О , . , • Ч
= j 2/ К гп(^ап cos ny + прп sm ny) rf/г (у)=
о 'п==г
2я 2я
= я Д Л„ г" [an j cos лу dju (у) +Рп J sin «у d/t(y) ] =
A2.10)
*) В настоящее время К. В. Темко доказала, что определения выпуклой емкости и
обобщенной выпуклой емкости эквивалентны, если пАХп |. Этот результат пока не опуб-
опубликован. Таким образом, если это ограничение на Хп введено, то, пользуясь определением
4 вместо определения 3, мы не получим более сильных результатов, однако доказательст-
доказательства значительно упрощаются.
**) В цитированной работе (Темко t1!) была доказана необходимость условия A2.9)
для того, чтобы выпуклая емкость Е была положительна. В настоящее время в работе
Темко, сданной в печать, доказана и теорема текста.

§ 12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 369
Все совершаемые операции законны, ибо при г << 1 рассматриваемые ряды
равномерно сходятся, так как числа {1п}, а также {\ап\} и {\Рп\} ограничены
в совокупности.
Теперь ясно, что если обобщенная емкость положительна, то для неко-
некоторого /л-{Е левая часть A2.10) ограничена при г-^ 1, значит и правая
также, а тогда
п=\
Если же, наоборот, этот ряд сходится, то правая часть равенства A2.10) огра-
ограничена при г -> 1, значит и левая часть тоже, а тогда обобщенная емкость
положительна.
Теорема доказана *).
Следствие 1. Если для двух разных выпуклых последовательностей
{К} и {К} имеем
то множества обобщенной выпуклой емкости нуль для той и другой после-
последовательности будут одни и те же.
Это замечание мы используем ниже для вывода теорем Берлинга и
Зигмунда—Салема из теоремы Темко.
Следствие 2. Если 2J К < + °°> т0 всякое В-множество имеет
положительную обобщенную емкость относительно {А„}.
Действительно, для любой нормированной меры ^ имеем
о о
а потому
2 № + Р1Ж<2 2 ал< + оо.
71-1 П=1
Поэтому для изучения множеств с обобщенной выпуклой емкостью, равной
нулю, надо рассматривать лишь случай, когда
2 К = +
71-1
Наконец, имеет место
Следствие 3. Всякое множество Е, измеримое В, т?> 0, имеет
положительную обобщенную емкость**) относительно любой выпуклой после-
последовательности {Хп} с 1п -»0.
*) Отсюда легко следует, что если Е имеет обобщенную выпуклую емкость относи-
относительно {Яп}, равную нулю, то этим свойством обладает и любое Ег С Е. Действительно,
если бы это было неверно, то нашлась бы такая /я -< Elf что для ее коэффициентов Фурье—
Стилтьеса ап и ($п имели бы
Но тогда про ту же fi можно сказать, что /j, -< Е и условие (*) выполнено, значит, Е имеет
положительную обобщенную емкость относительно {Ал}, что противоречит нашей
гипотезе.
**) Темко доказывала это предложение для случая выпуклой емкости, т. е. пользуясь
определением 3.

370 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Действительно, для любого й7, измеримого В, положим
Ясно, что /и(W)неотрицательна, вполне аддитивна, ^[0, 2п] = 1 и]
т. е. /л -< Е. Если обозначить через % (х) характеристическую функцию для
множества Я, то
2л 2л
If 1 Г
я J я J
О О
1 Г 1 Г* • ч
рп = — smnxdu= ~ y(x)sinnxax,
о о
т. е. коэффициенты Фурье—Стилтьеса от \х оказываются коэффициентами
Фурье от ограниченной функции % (х). Но если так, то
а тогда для любых Хп -> 0 и подавно
и значит Е имеет положительную обобщенную емкость относительно {А„}.
Но смысл понятия обобщенной емкости выявляется на том, что, напротив,
для любой выпуклой последовательности {Хп} с 1п->0 можно построить
такое совершенное множество меры нуль, которое имеет обобщенную выпук-
выпуклую емкость*) положительной относительно этой последовательности.
Чтобы убедиться в этом, мы будем опираться на следующую лемму,
доказательство которой находится в § 24 гл. XIV.
Лемма 1. Пусть ^(п)> 0 и гр(п) f оо при п -> оо, но в остальном
она произвольна. Существует совершенное множество Р, тР = 0, и такая
монотонная F(x), постоянная на смежных к Р интервалах, что для
2л 2л
ап = ^ \ cosnxdF, /?„ = -! J sinnxdF A2.11)
о о
имеем •
i(«2 + /»2) = O(v(n)). A2.12)
k = l
(Из доказательства теоремы § 24 главы XIV видно, что это множество
есть М-множество.)
Из этой леммы вытекает
Следствие. Для любой у (п) f оо можно найти такую меру (л, что
li -< Р, тР = 0, и для
2л 2л
If 1 Г
ап = — cos nxd/л, ($п = —\ sin nxdju
О О
имеем
*) Темко доказывала аналогичную теорему для выпуклой емкости (вместо обобщен-
обобщенной выпуклой емкости); доказательство, приводимое ниже, основано на той же идее, но
значительно короче.

12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 371
Действительно, полагая для любого отрезка
где F(x)—функция, построенная в лемме 1, и требуя от ^ (Е) полной аддитив-
аддитивности, мы можем определить ^(?) на любом борелевском множестве, лежа-
лежащем на [0, 2тг]. При этом [л[0,2л]= FBn) — F@) = 1, ^-<Р, и нужное
условие для коэффициентов выполнено в силу доказанной леммы.
Теперь мы имеем возможность доказать теорему:
Теорема 3. Для любой выпуклой последовательности {Хп} с Хп -> О
можно найти такое совершенное множество Р, тР = 0, у которого об-
обобщенная емкость положительна относительно последовательности {Хп}.
Прежде всего покажем, что можно найти такую монотонную у(п), что
2) v(n)An = 0(l).
Действительно, достаточно взять гр{г^) = -^, где 0 < а < 1. Так как при
выпуклости {Хп} и Хп -^0 имеем Хп ф 0, то ip(n) t OG- Так как из 1п \ О
следуетЛХПУ> 0 и, кроме того, % АХп < + °°, то по известной теореме (см.
Добавления, § 25) будет сходиться и ряд
где Rn = 2J ДХк =^ Хп+Ъ а значит сходится ряд
к=п+\
и условие 1) выполнено. Кроме того,
ip(n)Xn=:X}l-a-^O при н->оо,
а потому 2) также имеет место.
На основании следствия леммы 1 мы можем найти такое Р, тР — 0, и
Такую меру /г, что ^ -< Р, и для
2п 2п
1 Г 1 Г
ап = — cos nx dpi, j8n = — sin nx d^
о о
имеем
2" К + Я) = (%(«)).
А1
А:=1
Тогда, как мы сейчас покажем, обобщенная емкость Р относительно {Хп\
будет положительна.
В самом деле, полагая
имеем
и на основании преобразования Абеля
2 (а1 + Р1) К = 2' SkA Хк + Sn К = О [ V Ч> (к) А Хк\ + О Up (n) Хп),

372 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
а так как ряд 2 V (&) Л1к сходится и у> (п) Яп -> 0, то
а это и значит (см. теорему 2), что обобщенная емкость Р относительно {Яп}
положительна, и теорема доказана.
Прежде чем переходить к доказательству теоремы Темко, докажем еще
одну, также принадлежащую ей, лемму:
Лемма 2. Пусть {Хп} — выпуклая последовательность, для которой
00
Хп -> 0, пАХп | 0, и ? Хп = -f ex). Положим
#00 = 24 cos/be. A2.13)
Пусть
Тогда для любого п
\Гп(х)\<А1Н(х) + А,у 0<х<2тг, A2.14)
где Аг и А2 — постоянные зависящие только от {А„}.
Заметим, прежде всего, что из условий леммы вытекает: Н(х) существует
для всех х, 0 <х <2я, она неотрицательна и суммируема (см. глава I, § 30).
Кроме того (см. глава X, § 7), имеем
если Х{п) = Хп и Я(/) интерполировать линейно между Х(п) и А(я+1). Знак
~ понимается как всегда в смысле существования двух положительных чисел
В и С таких, что
Пусть теперь 0<х<2я;ит = Г—1 ; тогда
т п
Гп (х) = 2J У к cos kx + 2 У к cos kx = Г%
к=\ т-\-\
Имеем в силу того, что Лк (t) |
ft-1
/с
т Г
22'
*-2k

§ 12
ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ
373
Далее для любого п при х^Ов силу преобразования Абеля
| Г$(х) | = J5? yk cos kx
а потому
Но так как ^|Я (t) |, то
а потому и
и, следовательно,
\Гп{х) | <
и лемма доказана.
Из доказанной леммы получим один важный факт, который является
центром тяжести в теореме Темко: подобно тому, как в теореме Колмого-
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера доказывалось неравенство
2л 2л
о о
где п(х) принимает любые значения 1, 2, .. .* п, а С — абсолютная константа,
так будет доказана
Лемма 3. Пусть
Если для чисел
имеем
2
к=п
2л
2л 2л
= —\ cosnxd/л, Рп = — {smnxd/л
о о
то для п (х) = 1,2, ..., п
О О
где С — абсолютная константа.
Прежде всего заметим, что
значит,
A2.15)
A2.16)
(Ш7>
п п W(n) >
о 1 . ,

374 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
поэтому все условия леммы 2 выполнены.
Далее мы имеем
2л 2л 2л
J= fi f jvcosA:(x~^ tf//(r)
о о о
Меняя порядок интегрирования, находим
2л 2л 2л
Ши(х)_ле,/,Лл 4\ п(У) ^о
<§
0 0 0
Но (см. рассуждения при доказательстве теоремы Колмогорова—Селивер-
Колмогорова—Селиверстова и Плесснера)
2л
Г пЩ, cos k(x-t) п<У> cos m(y-0 ., _ п(^? cos A:(x - у)
о
где п (х, у) = min (п (х), и (у)). Поэтому
о о
Опять рассуждая, как в § 2, видим, что
2л 2я
i '1\У) г»пч ls(\" i/Л
' щк) d/*(x)dM(y). A2.18)
0 0
Но мы уже отмечали, что числа {Хп} удовлетворяют всем условиям леммы 2
и так как роль чисел уп этой леммы теперь играют
1
A2.19)
то в силу этой леммы (см. 12.14) получаем при любом т
IL cos kt ^
Я W(<k)
где Л3 и А2 постоянны, a H(f) определяется формулой A2.13).
Теперь можно, применяя формулу A2.19), написать
п®> cos к (х- у) Л и( _ v , л
к— 1
Отсюда и из A2.18) находим
J < 2 я /У"[Лх Я(х - у) + А2] d/г (х) rf^ (у) =
О б
- 2п Аг И Я(х - у) dp (х) dp (у) + 2лА2У A2.20)
ибо f rf/^ (х) = 1.
6

§ 12 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ 375
Так как H(t) = 2 Хк cos kt (см. A2.13)), то для ап и рп, определенных
формулой A2.15), имеем
2л 2л со
S]H{x-y)dvtx)diA{y)=n2{dk + №h< + «>' A2.21)
О О п==х
Здесь нужно рассуждать так, как при доказательстве формулы A2.10), а
затем перейти к пределу при г->1 и опираться на условие A2.16).
Из A2.20) и A2.21) получаем
где С — постоянное, и лемма 3 доказана.
Мы теперь имеем возможность доказать основную теорему этого пара-
параграфа, а именно следующую:
Теорема. Пусть W(n) foo uj nw(n) <+°°' Пусть
*2 A2-22)
2
Если ряд
2(a* + b*)W(n)< + oo, A2.23)
то тригонометрический ряд
у + 2 а" cos nx + bn s5n nx A2.24)
сходится всюду, кроме, быть может, множества Е, у которого обобщенная
выпуклая емкость относительно {?,п} равна нулю.
То что {Хп} выпукла, мы уже видели при доказательстве леммы 3. Мы
имеем право предполагать, кроме того, что W(ri) растет не слишком быстро,
точнее, не настолько быстро, чтобы 2 К < + °° (так как мы видели, что в
этом последнем случае множеств с обобщенной емкостью, равной нулю,
совсем нет). Итак,
Возьмем такую ip{n) f ©о, чтобы
Это всегда возможно (см. Добавления, § 25). Пусть
Ап = aJV&)\ Вп = ЬпМП). A2.25)
Имеем тогда
2(А* + В") W(n) < + оо . A2.26)
Рассмотрим тригонометрический ряд
Y + 2^ncosnx+Bnsmnx. A2.27)
Если Е есть множество точек расходимости ряда A2.24), то частные суммы
Sn(x) ряда A2.27) должны быть неограничены в каждой точке (см. Добавле-
Добавления, § 12, следствие теоремы 5), потому что гр(п) f со. Если мы докажем, что
множество точек, где Sn (x) не ограничены, должно иметь обобщенную ем-
емкость нуль относительно {Ап}, то наша теорема будет доказана*).
*) Выше (см. подстр. прим. к теореме 2) мы видели, что часть множества обобщенной
емкости нуль сама имеет обобщенную емкость, равную нулю.

376 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Допустим, что это неверно. Тогда по теореме 2 найдется такая /л -< Е}
что для чисел
2я
ап = — f cos их й[л, /Jn = — sin их rf/г
о о
будет выполнено условие
+ #ОАп< + оо. A2.28)
Мы докажем, что для такой /л, если п(х) = 1, 2, ..., и, имеем
Sn.Cx)^ | <с]/(
О г к=\
| J Sn.Cx)^ | <с]/^(Л| + В» W(A). A2.29)
Здесь снова идет рассуждение в точности, как в теореме Колмогорова—
Селиверстова и Плесснера.
Рассмотрим функцию
?п (*)= 2 А УЩк) cos кх + Вкyw(k) sin /ex.
Тогда
2я
О
а потому
2я 2я 2я
оо
\ \
о о
Следовательно,
2я 2л 2я 2я
оо
[ J jf COSy|^° ^(x) Jdt = J J Fjj
где J — выражение, рассмотренное в лемме 3 и относительно него было дока-
доказано, что оно не превосходит абсолютной константы С. Но тогда
2я
Р<С \ Fl{t)dt = Cn 2
откуда и вытекает справедливость неравенства A2.29).
Поэтому, обозначая, как в теореме § 2,
Ф1п(х) = maxiS^x), S8(x), ... , Sn(x)},
видим, что и

i 12 выпуклая емкость множеств 377
Такое же неравенство справедливо и для q>ln(x), если положить
у1п (х) = max {- S± (х), - S2 (х), .. - , - Sn (x)}.
Так как ряд A2.26) сходится, то мы имеем при любом п
A2.30)
О
где К — абсолютная константа. Но /л -< Е, а на множестве ? суммы Sn(x)ne
ограничены в каждой точке. Это противоречит условиям A2.30), и теорема
доказана.
Из этой теоремы как следствие вытекает теорема Берлинга, если поло-
положить W(ri) = я, так как тогда
и, значит, в силу следствия 1 к теореме 2 при
тригонометрический ряд может расходиться лишь на множестве обобщенной
выпуклой емкости, равной нулю относительно I—>. Но тогда, как мы знаем,,
логарифмическая емкость этого множества тоже равна нулю, и теорема
Берлинга доказана.
Если же положить W(n) = па, то
Ап —
Ап Ji
к=п
а потому тригонометрический ряд с коэффициентами ап, Ьп, где
2(^п~^гЬп)па << + оо? может расходиться лишь на множестве обобщенной
емкости нуль относительно < —^ > , т. е. A — а)-емкости нуль — это
теорема Салема и Зигмунда.
Замечание. К сожалению, для случая
теорема о выпуклой емкости ничего не дает, так как ряд
^ п\пп
расходится. Но уже для случая
где е> 0, можно получить, что множество точек расходимости имеет обоб-
обобщенную емкость нуль относительно {Яп}, где
7 =
ЛAп кI+? ~ (In
Мы сочли целесообразным осветить здесь детально вопрос о выпуклой
емкости, так как это понятие, по-видимому, окажется полезным в ряде вопро-
вопросов теории тригонометрических рядов, где приходится иметь дело с тонкими
свойствами множеств меры нуль. В частности, оно встретится нам при изу-
изучении абсолютной сходимости (см. глава XIII, § 10).

378 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
§ 13. Признак сходимости, использующий обынтегрированный ряд*)
В § 7 главы IV была доказана теорема о том, что если / (х) непрерывна,
F(x) — ее неопределенный интеграл и
равномерно на [0, 2 тг], то и
\Sn(x,f)-f(x)\ =
равномерно на [0, 2тг]. Здесь мы докажем теорему Салема (Salem t13]), ана-
аналогичную сформулированной, где /(х) не предполагается непрерывной, но
зато, конечно, и сходимость не будет равномерной; все же она имеет место
почти всюду. Точнее мы докажем теорему.
Теорема. Если /(х) суммируема, F(х) — ее неопределенный инте-
интеграл и
\Sn(x,F)-F(x)\ = o{±) A3.1)
на некотором множестве Е (равномерность не нужна), то
\Sn(x,f)--f(x)\ = o(l)
почти всюду на Е.
Доказательство**). Пусть
2 ап cos nx + bn sin nx A3.2)
есть e(f), тогда***)
/рч _ у> — Ьп cos nx + an sin nx ПЗ Tl
Так как ряд A3.3) сходится всюду к F (х), поскольку F(x) абсолютно
непрерывна, то из условия A3.1) заключаем
bk cos kx + Qk sin kx
k=n+l
f 1Л
почти всюду на Е.
Ряд, сопряженный к A3.2), имеет вид
a(f) = 2(—bk cos kx + ак sin kx), A3.4)
и по теореме § 5 главы VIII он должен суммироваться (С, 1) почти всюду на Е.
Далее, по теореме 4 из § 12 Добавлений, если
и ряд 2ик суммируем (С, 1), то ]?ик сходится. Отсюда сразу следует, что ряд
A3.4) сходится почти всюду на Е. Теперь применяем теорему Кутнера (глава
VIII, § 23): если тригонометрический ряд сходится на некотором множестве
?, ш?> 0, а его сопряженный суммируем (С, 1) на Е, то сопряженный ряд
*) Результат этого параграфа опирается на факты, устанавливаемые в §§ 5 и 23
главы VIII.
**) Это доказательство принадлежит Зигмунду и устно было сообщено им Салему.
*##
) Мы предположили в ряде A3.2) ао = 0, иначе F(x) не была бы периодической.

§ 14 ПРИЗНАК САЛЕМА 379
сходится почти всюду на Е. Это позволяет утверждать, что сходимость a(f)
на Е почти всюду влечет сходимость почти всюду на Е для сг(/), а тогда наша
теорема доказана.
Замечание. Справедливо и обратное утверждение:
Если
I О /у -f\ 4- /yi f\ A | 11/у "р A Q F^\
то
\sn (x> F) — F (x)l = о (—) почти всюду на Е.
Действительно, A3.5) означает, что a(f) сходится почти всюду на Е;
следовательно, по теореме Кутнера и a(f) сходится почти всюду на Е. Это
значит, что ряд
2 (— bkcoskx + aksinkx) сходится почти всюду на Е,
к=\
а тогда в силу теоремы 3 из § 25 Добавлений
^v ~Ьк CQS кх ~^~пк sin кх — (—1
к=п+1
т. е.
I Sn(x, F) — F(x) | = о (—) почти всюду на ?,
и теорема доказана.
§ 14. Признак Салема
В главе IV, § 8 была доказана теорема, одновременно и независимо уста-
установленная Салемом и Стечкиным: если
A4.1)
Г 1л|
равномерно на а^х^Ь и если/(х) непрерывна на (а, Ь\ то a(f) сходится
на (a -f г, b— е) равномерно (здесь ?> 0 может быть взято любым).
Салем (Salem t13]), отбрасывая требование непрерывности/(х), доказывает
следующую теорему :
Теорема Салема. Если
(
г щ
равномерно на а^х^Ь, то a(f) сходится почти всюду на {а, Ь).
Доказательство. Мы предполагаем, что в ряде a(f) свободный
член равен нулю, так как это не уменьшит общности рассужденний. Тогда
F(x)= ff(t)dt
о
будет периодической и из условия A4.1) сразу следует
±T] A4.2)

380 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
равномерно на (а, Ъ). Поскольку F (х) непрерывна, то из A4.2) следует (см.
глава IV, § 9)
равномерно на {а + е, Ъ — в), на основании § 13 тогда
почти всюду на (а + е, Ъ — е). Но так как е> 0 произвольно, то
Sn (А х) — / (х) = о A) почти всюду на (а, Ь),
и теорема доказана.
§ 15. Признак Марцинкевича
В предыдущей теореме Салема (§ 14) условие A4.1) предполагалось вы-
выполненным на целом отрезке [а,Ь] (и притом равномерно) и получалась
сходимость почти всюду на [а, 6].Марцинкевич (см. MarcinkiewiczPl) ранее
рассматривал некоторое условие, очень похожее на условие Салема, но
предполагал его выполненным на множестве и получал сходимость почти
всюду на этом множестве.
Теорема Марцинкевича. Если
н
iill(x+u)-Hx)\du = ot-lT) A5.1)
для х^Е, тЕ > 0, то a(f) сходится почти всюду на Е.
Салему эта теорема была известна, однако он отмечает, что его ре-
результат нельзя получить из теоремы Марцинкевича, так как у последнего
под знаком интеграла выражение f(x-\-t)— f(x — t) берется по абсолют-
абсолютной величине.
Доказательство теоремы Марцинкевица основывается на двух леммах.
Лемма 1. Пусть Р — совершенное множество на [О, 2л], Ап (п =
= 1, 2, ...) — его смежные интервалы, h (t) — неотрицательная функция
такая, что
h @ = 0 на Р, A5.2)
ъ[тЛ<^±- (П=1'2'-)' A5-3)
где А — постоянное, не зависящее от п; тогда
, _ - dt < + оо почти всюду на Р. A5.4)
Доказательство. Обозначим через хп центр интервала^ и
положим
Х \
д - (х
Определим функцию ip (t) условием
= Зй[хл + 3(*-хл)] для t?dn
= 0 вне всех дп (и = 1,2, ...).

i 15
ПРИЗНАК МАРЦИНКЕВИЧА
381
Обозначим через Ф (х) характеристическую функцию множества Р и дока-
докажем сходимость двойного интеграла
= J
О О
Так как у> (t) = О вне всех <5П, то
Но если / ? <3Ш а х ? Р, то ]х —t\ >y Jn, а потому
для всех п ^> п0, если п0 выбрано так, что -д- > 6 п для всех п ^> п0.
Заметим теперь, что
Хп+ -д- х№+ "
а потому на основании A5.3), A5.7) и A5.8)
П = «о Jn
n=\
Сопоставляя это с A5.6), видим, что двойной интеграл A5.5) имеет смысл.
Отсюда на основании известной теоремы Фубини сразу заключаем, что
+ со A5.9)
о
почти всюду на Р.
Докажем, что если х0 есть точка плотности множества Р, то A5,9)
влечет за собой A5.4).
Действительно, из A5.9) во всяком случае следует
x-t\
Если мы положим, как в формуле A5.8), и = хп + 3(/ — хп), то, когда t
пробегает дп, аргумент и пробегает Ап.
Из
мы найдем \t — х| < |и — х!A + у *?—-— \\. Но поскольку х — точка плот-
плотности для Р, то
U — Хп
и — х
-О при \и —х| ->0, а потому можно сделать

382 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
где е > О наперед задано (рели только t —х достаточно мало). Отсюда сле-
следует, что
J \t-x\ai ^ 1 +
5
f
J
\t-x\ai ^ 1 + в J |u-x|>
как только дп будет находиться в достаточно малой окрестности точки хг
а потому
Так как Л (х) = 0 вне всех Апу то A5.4) доказано.
Лемма 2. Пустьf(x) удовлетворяет условию A5.1) в0 всех точках Ег
тЕ > 0. Тягдя существует такое совершенное множество Р, содержащееся
в Е, тР> 0, что
№ = g(x) + h(x), A5.10)
где
(-^A A5.11)
ln|7|J
равномерно на @, 2 тг), ш^гда как
h(x) = O для х?Р
и, кроме того,
JJ-A_ (л=1,2,...) A5.12)
1П "An
для некоторого постоянного А и всех смежных интервалов Ап множетсва Р.
Доказательство. Обозначим через Еп такое подмножество Е, на
котором
t
при х?Еп и \t\<±. A5.13)
T
1п[Л
Ясно, что Е1 с ?2 с ... С Еп с ... к Е = ? Еп, а потому можно найти
такое п0, что ш?По > 0. Положим — = д, nQ= В и рассмотрим некоторое
совершенное Р $ ?По и диаметра меньше д. Так как п0 можно взять как угодно
большим, то д можно считать как угодно малым.
Пусть &(х, t, M) есть совокупность тех точек v из интервала
ix + у /, х + О) > Для которых
In
— X
Если х ?Р и |/| < б, то имеет место A5.13), а потому
x+t
fM — f (x) I dv < —,— .
Но для точек 1Г(х, /, М) имеем \v — х\ > -^ \t\9 значит,

§ 15 ПРИЗНАК МАРЦИНКЕВИЧА 383
откуда
In -я-111
если 5, а значит и |f|, достаточно мало. Если мы примем М= 14В, то получим.
тУ(х,0 = /п#(х,и4В)<Ш. A5.14)
Пусть теперь х < у — любые две точки из Р. Из A5.14) мы находим
Значит, на интервале |х+ у (у — х), у — у (у — х)> найдется точка ^кото-
^которая не входит ни в % (х, у — х), ни в % (у, у — х). Поэтому
Отсюда
In г-, — In , , _ y !
In
Обозначим через g(x) функцию, которая равна /(х) на Р и линейна в
смежных интервалах. Легко видеть, что для нее
^ \t\<»
и таким образом условие A5.11) удовлетворено. Полагая
видим, что h(x) = 0 на Р и остается доказать A5.12).
Пусть J — любой из смежных к Р интервалов и х его левый конец.
Так как х ^ Р, то имеем
~л 1п 7 1п
где Л = В + ЗС, и лемма доказана.
После того, как эти леммы доказаны, переходим к доказательству
теоремы.
На основании леммы 2 можно разбить /(х) на сумму
причем g(x) удовлетворяет условно A5.11). Но тогда
| g (x+t) — g (x — t) | = ОI—r-\ равномерно на @, 2тг)

384 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
и, значит,
о
я стало быть, и подавно
6 о
Но тогда по теореме Плесснера (см. § 5) ряд Фурье от g (х) сходится почти
Бсюду.
С другой стороны, так как функция |/z(x)l удовлетворяет условиям
леммы 1, то для нее на основании этой леммы почти всюду на Р выполнен
признак Дини (см. глава I, § 38), а потому ее ряд Фурье сходится почти
всюду на Р. Отсюда мы заключаем, что и ряд Фурье от / (х) сходится почти
всюду на Р.
Так как во всяком подмножестве %? множества Еу т% > 0, содержит-
содержится Р, обладающее таким свойством, то ясно, что а (/) сходится почти
всюду на Е.
В § 18 будет доказано, что эта теорема в известном смысле не может
-быть усилена.
§ 16. Признак сходимости, выраженный через логарифмическую
меру множества
Укажем еще один признак сходимости ряда аф почти всюду на [0, 2л;];
он является интересным потому, что выражен в известном смысле через
структуру функции /(х) и, в частности, дает указания, когда ряд Фурье от
характеристической функции некоторого множества сходится почти всюду.
Этот признак найден Н. М. Кайдаш М.
Прежде всего введем понятие логарифмической меры множества.
Рассмотрим произвольное измеримое множество Е. Пусть е > О задано.
Покроем Е такой системой интервалов д1У <52, ..., дп, ..., что
и рассмотрим число
(оно может и равняться + оо).
Нижнюю грань этих чисел по всем покрытиям множества Е, удовле-
удовлетворяющим указанному условию, мы назовем логарифмической мерой мно-
множества Е с точностью до г и будем обозначать L(E, e). Ясно, что с уменьше-
уменьшением е функция L{E, e) может только возрастать, а потому существует предел
который мы назовем логарифмической мерой множества Е. Случай L (Е) =
— _|_ оо не исключается.
Нашей ближайшей целью является доказательство теоремы:
Теорема. Пусть f (x) неотрицательна и суммируема; положим

§ 16 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ ЛОГАРИФМ. МЕРУ 385
и пусть L [Е (/)] — его логарифмическая мера. Если функция cp(l) = L [Е (/)]
суммируема на О <^ I <+°о, то ряд Фурье от f (х) сходится почти
всюду.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится несколько лемм.
Лемма 1. Пусть О — открытое множество на [О, 2л].
Расположим составляющие его интервалы в порядке убывания
и составим ряд
i<Uln<y. A6.2)
Если этот ряд сходится, то для характеристической функции
ip(x) множества О ряд Фурье сходится почти всюду и имеет место
неравенство
"r%(+)+WJ() , A6.3)
где К — абсолютная константа.
Доказательство. Пусть у> 0 любое; рассмотрим интеграл
2я 2я
) =] \\У (х+а) - V(X)| ^их. A6.4)
О у
Имеем
2я 2я 2я 2я
у О
так как подынтегральная функция во внутреннем интеграле может прини-
принимать лишь значения 0 или 1. Поэтому
2п 2я 2п 2л
«) da - 2 J y>(x+a)y> (x)dx
2я 2я
о
2я 2я
A6.5)
Обозначим через N(a) число тех интервалов дп, для которых дп ^ а, и
покажем, что
rfx> ^ Qn-*)= 2 dn-N(a)a. A6.6)
На всякой прямой х + а = с имеем
/ . ч @, если у) (с) = 0,
V (х + «) = {
{13 если у (с) = 1 •

386
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Таким образом, множество точек, где гр(х + а) = 1, состоит из парал-
параллельных прямых (рис. 18), пересекающих ось абсцисс в точках, принадлежа^-
щих интервалам ёп. Произведение у)(х)у)(х+а) будет равно 1 по крайней
мере во всех заштрихованных прямоугольных треугольниках с основанием
0
Ьп и высотой дп. Пусть а0 фиксировано. Рассмотрим те треугольники, которые
пересекаются прямой у = а0. Это будут треугольники, у которых дп> а0.
Отсюда геометрически ясна оценка A6.6).
Возвращаясь к формуле A6.5) и подставляя A6.6), получим
2я
Но так как mG = 2 ^ш то
2я
2я
A6.7)
Оценим сначала интеграл А2(у); имеем, обозначая N (у) = т,
Л(у) = 2 f iV(a)da = 2[1 (<5a - <52) + 2(д2-д3) + ... + т(дт- у)] =
так как ясно, что N(a) = /с, если 5л+1 < а<^ дк (рис. 19).
Итак,
A6.8)

§ 16 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ ЛОГАРИФМ. МЕРУ 387
Переходим к оценке интеграла А1(у). Если дк+1<^а^дк, то надо в
подынтегральной функции брать лишь те <5Ш индекс которых больше или
равен к + 1, поэтому (рис. 20)
2я
n=\
где К — постоянное.
№1
0
}
4
> & &
2
f
b 4 ft "~
Рыс. /Р
Соединяя A6.8) и A6.9), найдем
дп(\пдт-\пу)=
1
й„|1пдп|, A6.9)
/'*
Рмс.
A6.10)
где С постоянно.
Точно так же находим для интеграла
JpV>(x-*)-V>(x)\dadx<CiZdn
О у П==1
Поэтому, соединяя их вместе, найдем
2я 2я
О у
П=1
A6Л2)
Так как правая часть неравенства A6.12) не зависит от у, то это значит, чгб
интеграл
2я 2я
Л
О у
IУ (х + «)+У (х - Д) - 2 у (х) 1
rfg rfjc

388 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
остается ограниченным при у -^0 и верна формула A6.3). Но подынтеграль-
подынтегральная функция неотрицательна. Отсюда следует, что она интегрируема по
Лебегу в квадрате @ <^ а <С 2л, 0 <^х <^ 2л). Тогда из теоремы Фубини сле-
следует, что интеграл
существует и конечен для почти всех значений х.
Применяя признак Дини, мы можем сказать, что в каждой точке, где
этот интеграл существует, ряд Фурье от^(х) сходится. Следовательно, он
сходится почти всюду, и лемма полностью доказана.
Лемма 2. Пусть Е есть множество с конечной логарифмической мерой.
Тогда ряд Фурье для его характеристической функции гр (х) сходится почти
всюду и имеет место оценка
2я
J J Мх+а) + гр{х- а) - 2гр{х)\
О О
2я 2
J J
где L (Е) — логарифмическая мера, а К — постоянное.
Доказательство. Из определения логарифмической меры сле-
следует, что L(jE)=lim L (Е, е), где L (Е, е) — логарифмическая мера с точностью
до е. Если в фиксировано, то мы можем выбрать последовательность покры-
покрытий Gn (e) для множества Е
таких, что
00
причем
lim j? dfi (в)
Мы будем предполагать, что интервалы п-го покрытия Gn (e) целиком содер-
содержатся в интервалах (п — 1)-го покрытия Gn^x (е).
Рассмотрим характеристическую функцию грпе{х) для множестваGn(е)
и применим к нему оценку из леммы 1. Имеем при любом у> О
2л 2л
\wn (x-|-ol) -\- w е(х — &) — 2 wn е (х)\ — =^ /С 2 ^к 00 I^ ^к (е)I •
О у
Оставляя у фиксированным, перейдем к пределу при п -^ оо. Функции
Уп,е(х) стремятся к пределу \рв(х) при п -^ оо, так как Gn(e) с Gn^.1(e)y и
следовательно, при каждом х имеем yn-i,e (x) ^ ipne (x). Функция уе (х) есть
апять характеристическая функция некоторого множества. Переход к пре-
пределу при п -^ оо под знаком интеграла законен, так как все уп>е (х) ограни-
ограничены в своей совокупности (при любом е). Поэтому
2л 2л
J J \Ve(x+a) + ipe(x- a) -2y>e(x)\^-dx<^KL (E, e).
о у

§ 16 ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ, ВЫРАЖЕННЫЙ ЧЕРЕЗ ЛОГАРИФМ. МЕРУ 389
Если мы теперь заставим е -> 0, то функции щ (х) будут стремиться почти
всюду к функции гр (х), характеристической для множества Я, а потому
2л 2я
J J И* + «) + V(x - а)
О у
Устремляя у к НУЛЮ> видим, что нужная оценка получена.
Повторяя рассуждение, касающееся признака Дини, данное в доказа-
доказательстве леммы 1, мы убедимся, что ряд Фурье от %р (х) сходится почти всюду,
и лемма 2 доказана.
Наконец, отметим еще почти очевидную лемму.
Лемма 3. Если /(х)^Ои конечна почти всюду, у) (х, I) — характери-
характеристическая функция для множества ?(/), где
то для почти всех х
Действительно, для всех тех точек (х, /), в которых f(x)<^l, имеем
у(х, 1) = 0, а если /(х)> /, то ip(xy I) = 1. Поэтому, если х фиксировано и
f(x) конечна, то ц(х, I) имеет на интервале @, ©о) лишь одну точку разрыва,
ограничена и измерима, значит она интегрируема на @, со). Кроме того
ясно, что длина того отрезка, на котором чр (х) = 1 совпадает с величиной
ординаты f(x) нашей функции, откуда и следует, что
а это и требовалось доказать.
Доказательство теоремы. Оценим двойной интеграл, при-
применяя лемму 3:
2я 2я
J
О у
2я 2я оо
\{V(X + a, I) + f(x - а, I) - 2ф, I)} dl
О у
2л 2я
О у О
Так как под знаком интеграла стоит абсолютно интегрируемая функция по
трем переменным х, Z, а и а> у, то можно изменить порядок интегрирования.
В результате перестановок получим
2я 2я
J
О у
со 2я 2я
<J{J
О 0 у

390 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Для двойного интеграла, стоящего в фигурных скобках, мы можем взять
оценку из леммы 2, а это дает
2я 2я
J
J J
О у
00 00
< § KL[E(l)]dl = K \<p(l)dl. A6.13)
о о"
По условию теоремы функция ср{1) = L[?(Z)] суммируема на 0 <^ / < оо.
Значит, правая часть A6.13) конечна, при этом она не зависит от у. Отсюда
следует, что
2я 2я,
J
О О
Существует, следовательно, почти всюду
2я
и в силу признака Дини ряд Фурье от f(x) почти всюду сходится. Теорема
доказана.
Следствие. Если f(x) неотрицательна, непрерывна или хотя бы
полунепрерывна снизу, и если область
составленная из интервалов, на которых /(*)> /, такова, что
м
j2UO|inan(OI<tt
О
сходится (где М верхняя грань f (х) на [О, 2n]), то ряд Фурье для f (x) сходит-
сходится почти всюду.
Действительно, в этом случае Ег имеет логарифмическую меру, равную
2 дп @11П $п (О I и высказанное условие есть требование суммируемости этой
логарифмической меры.
Заметим, что так как вопрос о сходимости почти всюду ряда а (/) не решен
не только для случая, когда f(x) ? L2, но даже и для случая, когда f(x) огра-
ограничена, то представляет, в частности, большой интерес вопрос, когда для
характеристической функции f(x) некоторого множества Е ряд Фурье схо-
сходится почти всюду? В работе Г. П. ТолстоваИ был рассмотрен один специ-
специальный случай, когда это имеет место. Именно, если Р совершенное мно-
множество и д19 д2, ..., дп, ... его смежные интервалы, расположенные в порядке
убывания их длин, то в случае, когда они убывают со скоростью геометри-
геометрической прогрессии, ряд a(f) сходится почти всюду, если / (х) характеристи-
характеристическая для Р.
Покажем, что теорема Г. П. Толстова вытекает из результатов Н.М.
Кайдаш.
В самом деле, если 6п убывает со скоростью геометрической прогрес-
прогрессии, т. е.
дп = 0[-], где а > 1,
то

§ 17 РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 391
а тогда множество G ~СР имеет конечную логарифмическую меру. Поэтому
по лемме 2 для характеристической функции ср(х) множества G ряд а (у) схо-
сходится почти всюду, а тогда он сходится почти всюду и для о (/), так как
/() фI
Замечание*). Если у)(х)—характеристическая функция некоторого
множества, то интегралы
J j dadx AбЛ4)
о о
О О
существуют или не существуют одновременно, так как в каждой точке х
выражения |у (х + a)-\-ip{x — a) — 2ip (х)\ и [у (х+ а)+у(х — a) —2у (х)f
либо одновременно равны нулю, либо одновременно равны 1, либо первое
равно 2, а второе равно 4. С другой стороны (см. § 5), существование интеграла
A6.15) эквивалентно условию
если ап, Ъп — коэффициенты Фурье для ip(x). Отсюда следует, что из лемм 1
и 2 можно вывести такие следствия:
1) Если ip(x)— характеристическая функция некоторого открытого
множества и если для его смежных интервалов дп (расположенных в порядке
убывания) ряд 2 Ьп |1п дп\ < + °°, то для характеристической функции
этого множества ряд Фурье удовлетворяет условию
(и следовательно, сходится почти всюду).
2) То же заключение о ряде Фурье справедливо, если гр (х) — характе-
характеристическая функция множества с конечной логарифмической мерой.
§ 17. Ряды Фурье, расходящиеся почти всюду
Мы хотим доказать, что существуют ряды Фурье, расходящиеся почти
всюду**). Первый пример такого рода был построен А. Н. КолмогоровымW.
В его примере частные суммы ряда почти всюду не ограничены.
Позднее Марцинкевич (Marcinkiewicz M) построил такую функцию, у
которой ряд Фурье расходится почти всюду, но частные суммы ограничены.
Так как в доказательствах существования таких функций имеется много
общих элементов, представляется целесообразным сначала доказать одну
лемму, которая затем пригодится для построения обоих нужных примеров.
Условие 3° этой леммы необходимо только для примера Марцинкевича:
для примера Колмогорова достаточно, чтобы были удовлетворены усло-
условия 1°, 2° и 4°.
Лемма. Существует последовательность функций (рп(х), удовлетво-
удовлетворяющих условиям:
1°. Vn(x)>0; fcpn(x)dx = 2 (л =1,2,...).
о
*) Это замечание принадлежит П. Л. Ульянову.
**) Кроме приведенных здесь, доказательство существования таких рядов имеется
и в § 19. Оно короче, но геометрическая картина там менее ясна.

392
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
2°. Всякая tpn (х) есть функция с ограниченным изменением.
3°. Существует такая постоянная А, что
\Sp(x,<pn)\<Alnn (p= 1,2, ...
для всех х ? Нп, где
lim
П-*оо
п = 2л.
4°. Для всякого е> 0 существует такое а>0а такое целое N, что для
любого п > N найдется
множество 1ГШ для кото-
которого
б) для любого х ? Wn
найдется такое рху что
\SP?x,<pn)\>a\nn,
в) л <Рх<^п, 2де
шп зависит только от п, но
не от е.
Для доказательства
леммы положим
л, л2
Пусть
Рис. 21
— возрастающая последовательность нечетных чисел, которые мы подберем
позже. Пусть
m1=n,2mk+ 1=\ Bи+
Полагаем
Ясно, что отрезки Ак не перекрываются.
Пусть
= 2, ... ,п).
@ вне всех Ак.
Мы видим (рис. 21), что прямоугольники по мере продвижения слева направо
становятся все более узкими, но все более высокими. Площадь каждого из
них есть
(А=1,2,...,«),
а потому
f ^n (х) dx= 2 \ <Рп (х) dx=n | = 2.
Из построения видно, что <рп(х)^0 и <рп(х) с ограниченным измене-
изменением; значит, условия 1° и 2° выполнены.

§ 17 РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 393
Пусть для п ^> 2
] (*= 1,2,-.-«-О
fcl
Ясно, что
тНп = (п-1)У^-^Гп\^2л при /г^со.
Мы хотим оценить для х^Нп частную сумму Sp (х, срп) при любом р.
С этой целью мы сначала заметим, что для всякого к имеем
тк ^ К п ^ п у
а потому отрезки dk (рис. 22) не только не перекрываются с Л у (при любых
4
. 22
к и /), но если х $ 4, а К J;-, то всегда при п ^ 2
A7.1)
Кроме того, при / < к имеем для t^Aj-и
а при /> А: + 1
11 - х | = / - х = (f - Лу) + (Aj - Ак+1) + (Ак+1 -х)>
Наша цель доказать, что функции срп(х) удовлетворяют условиям 3° и 4°.
Неравенство A7.1) нам будет нужно для обоих этих условий. Теперь перей-
перейдем к доказательству выполнения 3°.
Мы хотим оценить для х $ dk выражение
Sp(x, Vn) = -i- Г <pn(t) —' 2?- dt. A7.4)
oJ 2sin-2-
Вместо этого достаточно оценить
о
так как
A7.6)

394 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
где С не зависит от п, поскольку j cpn (t) dt — 2 (см. глава I, § 32).
о
НО 2л
^ ^^ridt. A7.7)
О J~l
На основании
из формул A7.1)—A7.3), если х ? dk, находим при / = к и / = к + 1
A,
затем
2п+ 112^2
~~'2^~ Y^i T <F^~i для
2n + l 1 2 ^ 2
а потому из A7.7)
J^7 J Tfcl
7=1 У j=k+2J
Л-1 1 n-k-l I
г
= 8
L
2 у <121пп'
7=1 7 J
так как каждая из сумм, входящих в квадратную скобку, не превосходит
Из A7.6) и A7.18) вытекает для х $ dk
\Sp(x,Vn)\<Alnn, A7.9)
п—\
где А постоянно. Но Нп = ? dk9 а потому A7.9) имеет место для любого
А:=1
х $ Нпу а это значит, что условие 3° леммы выполнено.
Для доказательства 4° напомним, что числа тку входящие в определение
срп (х), пока еще не определены. Допустим, что мы задали Ях < Я2 < ... < Хк^х
и таким образом определили т1 <ш2 < ... </лЛ_1в Мы можем выбрать тк
столь большим, чтобы
^ \ 4>n(t)Dmk{t-x)dt\<\ (Л>2) A7.10)
для всех х$ ^^.Действительно, в силу A7.1) функция —^j-L- ограни-
2sinhr
чена на каждом AJf а потому интеграл
А, 2
можно сделать как угодно малым с ростом тк (см. глава I, § 19).
Выбрав тк так, чтобы удовлетворялось A7.10), мы теперь по индукции
определили все числа тъ т2, ..., тп. Начнем для х $ dk оценивать Smk(x, (pn).

§17
РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ
395
Так как ядро Дирихле Dn(t) = -^ + cos t + ... + cos nt, то очевидно для
любых /
Поэтому по теореме Лагранжа для t
\Dm(t-x)-Dmk(Aj-x
значит, для / ^> к
t^l для />*,
Следовательно, для х $ 4-i
(t-x)dt=± §<pn(t)Dmk(Aj-x)dt+O(l). A7.11)
Но
Drub \ Aj X) —
sin {mk + —) (Aj - x) sin B mk+ 1) f/ 2 ^ г - y
2sin-V-
поскольку Bmfc + 1) = Bn + 1) Ал, где Ял — целое.
Заметим, что для / ^ к имеем А;- — х ;> 0, кроме того, Д,- — х < 2л,
поэтому знаменатель положителен и, значит,
^ A7.12)
2m(j)(k+J?
где сумма положительна. Имеем, кроме того,
а потому
«Н*
sinBmfc + !)-«-
2п
С 2
Из A7.11) и A7.12), учитывая <pn(t)dt= —, находим
П
2
4я п
sinB/n,+ l)|-|J'r_l_:T +0A»
sinBmfc+l)|-
A7.13)

396 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
До сих пор к мы предполагали произвольным. Пусть теперь мы рас-
рассматриваем лишь такие к, для которых
или
Для этих к имеем
п-к>Уп.
п 1 п—к+1
) = к]~ + 1 '
A7.14)
A7.15)
а потому из A7.13) и A7.15)
^ J <Pn{t)Dmh(t-x)dt
sinBm, + l)|- +0A) A7.16)
при х^4-1 и ft,'удовлетворяющем A7.14).
Замечая, что
Smi (х, <рп) = ^\<Р „(О ?
мы из A7.10) и A7.16) находим для х? dfc-i и2<1с<я- Ул
Пусть й> 0 задано. Обозначим через Gfc_i(<5) множество тех
которых
Покажем, что для
sinB/nft+ l)y
2
имеем
Действительно, если х ^ йЛв1, то
\к-г ^ х Ак
2 ^2^2'
Т. е.
Но 2ш^ -\- \ = 1к Bп + 1), поэтому
2л
и достаточно изучить поведение
при
2л
или
| sin hk и | при 0 < и < 2 л:.
A7.17)
4-i, Для
A7.18)

§17
РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ
397
Но множество тех и, для которых [sin Xku\ <<5, состоит из 4 Хк интер-
вальчиков (рис.23), длина каждого из которых, как легко видеть, есть
arcsin S r '
—Yk—, а сотому общая сумма их длин равна 4 arcsin д. Значит, множество
тех / из @, 2 тг), где [sin Хк B п + 1) /| < <5, имеет меру 4 arcsin <$, а множество
Рис. 23
техх, где выполнено A7.18), имеет, следовательно, меру, меньшую
^ 4 arcsin б
8 arcsin б
Отсюда тем более
4 arcsin б
п
_mG < 4 arcsin д = О (<5).
Заметим, что если х ? G, но х ? dk, то
A7.19)
Соединяя A7.19) и A7.17), мы видим, что для х ? dk, х ? G и /с< п — fn
имеем
A7.20)
Положим Еп = 2J dkn^n= [CG(d)] Em где СО (д)—множество точек
2
г?= 1
[0,2л] и xiQ(b). Имеем
Поэтому
т. е.
при л-оо.
если д выбрано разумно и п> N, где N достаточно велико.
Но если х(^ш то х ( Еп, а значит, для него найдется такое /г, что
х?йк-г и /с<п —1/и, кроме того, х ?G, поэтому для него верно A7.20),
причем т1^:тк^:тп. Поэтому, вспоминая, что т1 = п, мы можем утвер-
утверждать, что для любого х ^ Wn найдется такое рх, п^рх^ тю для которого
причем
т %?п > 2 л — 8 для п > N.

398 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Если предположить N достаточно большим, то
Л-\пп-ОA)>^\пп при n>N
и, обозначая а = j—s, можем написать
n>N.
Мы видим, что 4° выполнено и лемма полностью доказана.
Для построения примеров Колмогорова и Марцинкевича мы теперь рас-
рассмотрим функции срп (х), входящие в предыдущую лемму, и выберем последо-
последовательность целых чисел
П1 < П2 < • • - < Пк < • - - ,
удовлетворяющих ряду условий, которые будут сформулированы ниже, но
во всяком случае
a) jL
После этого функции
_ A7.22)
будут определены почти всюду и суммируемы, так как
2л
со $<Pnk(x)dx в
^, 0 о ^ 1 ^ I
(тем более это верно, если в знаменателе In nk), и остается применить теорему
Лебега (см. Вводный материал, § 14).
Покажем, что при разумном подборе чисел {пк} функции Ф(х) и F(x)
имеют почти всюду расходящиеся ряды Фурье, причем для Ф (х) имеем
Tim \Sn(x,Ф)\ = + °° почти всюду, A7.23)
а для F (х)
п-
lim | Sn (x, F) | < + оо почти всюду. A7.24)
Числа {пк} мы будем строить по индукции наряду с некоторой другой
последовательностью
q±<q2< ... <qk< ...
Прежде всего положим
1
Далее, предполагая, что
Як-i
уже построены, выберем ^л> ^-i и так, чтобы для i = 1, 2, ..., /с—1
иметь на множестве РЛ, т Рк > 2 я — -^, неравенства
б) I Sp(x, ?>л«)-9М*) |< т ПРИ

§ 17 РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 399
Это возможно, так как все <рп (х) с ограниченным изменением, значит их
ряды Фурье сходятся к ним всюду, кроме точек разрыва, а потому Рк может
быть выбрано по теореме Егорова.
После того как qk определено, мы находим пк так, чтобы
в) finлЛ>2ктщ (i = 1,2, ... ,/с— 1)
(где числа тп взяты из условия 4° леммы) и, кроме того,
г) УШГк
Таким образом, по индукции мы определяем все пк и все qk. Так как
тп^ п^> 1, то из в) во всяком случае следует а), а потому функции Ф(х)
и F (х) теперь полностью определены.
Докажем, что их ряды Фурье расходятся почти всюду, причем удовлетво-
удовлетворены условия A7.23) и A7.24).
Обозначим через М множество тех х, для которых ряд A7.21) сходится
к Ф(х), а ряд A7.22) сходится к F(x), и, кроме того, Ф(х) и F(x) конеч-
конечны. Имеем
тМ = 2п.
Положим
Р = lim Pk,
где множества Рк определены в условии б). Имеем
тР = 2 п.
Пусть е> 0 задано. Рассмотрим множества^, определенные в условии
4° леммы, и пусть
%> = lim <%Пк.
к-* оо
Так как
W^>2n — е
для всех достаточно больших значений и, то
Пусть, наконец
Е = ёГРМ.
Тогда
> 2 я — е .
Покажем, что а(Ф) расходится в каждой точке Я, a a(F) почти всюду
на Я; в силу произвольности е отсюда и будет следовать их расходимость
почти всюду.
Заметим, что ряды с положительными членами можно интегрировать
почленно; это же верно, если мы все члены ряда умножим на функцию,
меняющую знак лишь конечное число раз в интервале интегрирования; но
ядро Дирихле обладает этим свойством, а потому
2л
2л
-1 нМ J

400 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
и аналогично
2
Пусть ?7> 0 задано. Если х ? Я, то х ? М и, значит, можно взять столь
большое /с, что
к-\ 1
A7.25)
A7.26)
Но х ? Е, значит, х ? Р, а потому х ? Pft для к ^> /с0, следовательно, для
этого х
<4- при
(при i = 1,2, ..., к — 1). Отсюда следует, что при
имеем
л-1 j
так как из в) уж во всяком случае
1 /с—1 1 1
:т^5^=:<Т. A7-27>
Из A7.25) и A7.27) следует
Л-1
= Sp(x,<pn,)-0(x)
—, если
к
и х^?. A7.28)
для
. A7.29)
Совершенно так же имеем
Заметим, что из г) и подавно следует пк~> qky а потому неравенства
A7.28) и A7.29) во всяком случае справедливы, если р^> пк.
Теперь заметим, что если х ? ?, то х ? ^ПЛ для бесконечного множества
значений к; следовательно, на основании условия 4° леммы найдется такое
Рх, пк < рх < тПк, что
\Sp,(x>Vn*)\>alnnk. A7.30)
Напишем тогда
$*(*,ф) - ф(х) = y:J=SPx(x} <рщ) - Ф(х)+
21ущЗРЛх,?п)). A7.31)
Имеем
\SPx(x,<Pn,)\<(Px+l) J <pn
о

§ 17 РЯДЫ ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЕСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 401
а потому в силу условия в), наложенного на пк,
Тогда из A7.28), A7.30), A7.31) и A7.32) находим
^^ Пк _ 1/1« п.. ^^ .^Ы О/ 9/С-2 V '
2
и так как ?? произвольно мало, то правая часть может быть сделана как
угодно большой с ростом к.
Но так как для любого х ? Е это соотношение справедливо для беско-
бесконечного множества значений /с, арх^ пк, то для х ? Е
П—»оо
Расходимость на Е ряда о(ф) отсюда уже вытекает, и в силу
тЕ>2л — е
и произвольности в соотношение A7.23) имеет место почти всюду.
Для доказательства расходимости ряда o(F) на Е рассуждаем так:
имеем также
SPx (х, F)-F (x) = 2 ~ SPx (x, срщ) -F(x) +
+ ^МХ' ^ +,=#+11^7 8рЛх> ^ ¦ A7'33)
Из A7.32) сразу видно, что
°^ 1
A7.34)
Из A7.33), A7.29), A7.30) и A7.34) находим, что
|Sp,(x,F)-F(x)|>a-^-~l-^2->|, A7.35)
если взять?7<~и к столь большим, чтобы -т~<"т-
о Ко
Итак, для х ? ? найдется бесконечное множество значений рх, для кото-
которых справедливо A7.35). Между тем, если ряд Фурье от какой-нибудь функ-
функции сходится на множестве положительной меры, то он сходится именно к
ней почти всюду на этом множестве. Значит, из A7.35) следует расходимость
a (F) почти всюду на Е, а значит, и почти всюду на [0, 2л].
Нам осталось доказать, что
почти всюду. С этой целью положим
к-* с»
где множества Нп взяты из условия 3? леммы. Имеем
тН = 2 л,

402
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
гл-V
так как пк растут очень быстро (см. условие г) леммы). Положим
Е* = НРМ
и докажем, что условие A7.24) имеет место для любого х? Я*, т. е.
почти всюду.
Действительно, пусть х ? Я*. Пусть р — любое целое. Найдем к
такое, что
Имеем
\SP(x,F)\<
ft-1
<? In
SP{x,(pnj)
2
щ
Sp(X,<pnk)
In Пк
j=k+\
In /i/
A7.36)
Но в силу A7.29) и
при достаточно больших /с мы будем иметь
Л-1
SP (x, 9>л,)
~ для
A7.37)
В силу условия 3° леммы
In Пк I
<Л для х?НПк, A7.38)
а значит, и для х ? Я* это будет верно при достаточно больших к. Наконец,
n))U4gk+1 2 Е^т^4^+1 ^ ?-<?*, A7.39)
так как qj^qk+1 для /> /с + 1.
Соединяя A7.36), A7.37), A7.38) и A7.39), находим
l
при
для любого х g Я*, и доказательство закончено.
Замечание. Мы получили для функции Ф(х) равенство
lim \Sn(x, Ф)\ = + оо почти всюду.
Л—» оо
Возникает вопрос, можно ли было построить такую / (х), для которой
lim Sn(x, /) = + оо почти всюду.
П-*со
Оказывается, что это невозможно. Более того, мы докажем в § 4 главы
что если для ряда Фурье имеем
lim Sn(x) = + ©о
на некотором Е, тЕ\> 0, то почти всюду на нем
lim Sn(x) = — оо .
§ 18. Невозможность усиления признака Марцинкевича
Результаты предыдущего параграфа позволяют нам доказать, что теорема
§ 15 в известном смысле не может быть усилена. Именно имеет место следую-
следующая теорема Марцинкевича (Marcinkiewicz W).
Теорема. Пусть co(t) — положительная, четная функция, не убы-
убывающая на некотором @, д) ш < <5 <у) и такая, что
lim co(t) = 0, lim co(t)lnJ]r=
A8.1)

18 НЕВОЗМОЖНОСТЬ УСИЛЕНИЯ ПРИЗНАКА МАРЦИНКЕВИЧА 403
Тогда существует функция f (х), для которой
t
A8-2)
почти всюду на [0, 2л] и, однако, ее ряд Фурье расходится почти всюду.
Положим
q> (t) = a>(t) In щ @</<<5). A8.3)
Тогда из A8.1) вытекает, что <p(t) -> + °° при /
Если положить
то <pi @ может только убывать на @, <5), ср1 @ <^ у @ и
lim
*—о
Если мы обозначим
M0 f
lnm
то ясно, что сог (t) ^co(t) и
Нтй>1(/Iп14т= + °°- A8.4)
Покажем, что для любого а, 0<^ а^ 1, справедливо неравенство
a^i@<wi(«0 пРи 0<^<^« A8.5)
В самом деле, функция / In— монотонно возрастает на @, д), a^i@MOHO"
тонно убывает. Поэтому функция
e>i @ = У1 (О
- „„л
монотонно убывает на @, д), т. е.
«tfe)>^M при о</1</2<^. A8.6)
Из A8.6) следует
т. е. A8.5) справедливо.
Так как из A8.4) следует
lim сох (—) In п = + ©о,
Л-* со V Я У
то, полагая
имеем lim гп = 0. Но в силу ыг (—) -> 0 можно считать, что
1 <еп<1 при п^п0. A8.8)
In л

404 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Обозначим
In л
где <рп(х) — функции из леммы § 17. Мы уже доказали, что если числа пк
выбраны так, чтобы удовлетворять условиям а), б), в) и г) (см. построение
примеров Колмогорова и Марцинкевича, стр. 398), то функция
к=\
имеет почти всюду расходящийся ряд Фурье.
Если мы потребуем, чтобы, кроме этих условий, числа пк удовлетворяли
еще дополнительному условию, а именно, чтобы
а это возможно, ибо е ->0, то функция/(х) будет удовлетворять условиям
нашей теоремы.
Чтобы убедиться в этом, раз уже установлена расходимость оф почти
всюду, достаточно доказать, что f(x) удовлетворяет условию A8.2).
С этой целью, сохраняя обозначения § 17, рассмотрим множество
Ясно, что его мера больше 2 п — 2 }[еп — ——, а потому
в силу г) и е). Пусть ?>0 задано. Можно найти такое р, что -2^=т<в и
тогда, полагая
D(e) = П Dnk,
имеем
mD{e)>27t— e.
Так как все функции fu (x) состоят из конечного числа ступенек, то
можно покрыть точки разрыва fh(x), ..., /Лр(х)системой из конечного числа
отрезочков с общей суммой длин, меньшей чем в, и тогда оставшееся мно-
множество В(е) состоит из конечного числа интервалов, на каждом из которых
все fm(x) постоянны при / = 1, 2, ..., р.
Докажем, что на множестве
функция f(x) удовлетворяет условию A8.2). Так как
тА (е)^>2 ж — 2е ,
a s произвольно, то отсюда будет следовать, что A8.2) имеет место почти
всюду.
Оценим сначала для х0 ? Dn (n ^> и0) интеграл

§18
НЕВОЗМОЖНОСТЬ УСИЛЕНИЯ ПРИЗНАКА МАРЦИНКЕВИЧА
405
Поскольку х0 ?Dn, то найдется такое /с, что
г Л А 4- У*« Л
По построению <рп(х) равна нулю вне всякого
1
поэтому очевидно, что (см. A8.8))
и
~fl/n(Xo+O-/n(^o)l* = O при 0<|и|<|?.
Если же -3™<|и|<~, то/„(х0) = 0 и в силу A8.7)
Но в силу A8.5) и A8.8)
а потому
2 еп «о (и),
/п+ 1
Рассуждая так же, если -^-<С|# | <—^— (/п = 1, 2, ..., п — 1),мы
найдем
IJI Ux0 + t) - fn(x0) | dt
0
1 2(m + 1) 1
\u\
\\ n Inn ^ m
т. e. A8.9) и подавно справедливо.
Отсюда следует, что для любого х0 ? Dn имеем
t)dt
п 8п Wl { п )
M
(u),
»^> (и) для
а потому для х0 ^ Dn/C в силу е)
и
| J | fnk(x0+t) - fnk(x0) | dt | < 8 ent со (и) <
О
Пусть теперь x0 ? -A(e). Напишем
(u). A8.10)
A8.11)

406
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ
гл-V
Так как х0 ? А(е), то х0 ? D (г), т. е. х0 ? Dnk при к ;> р + 1; поэтому в силу
A8.10) имеем для 0 < |и|< 1
2
A8.12)
в силу выбора числа р.
Но х0 ? А(е), значит х0 ? В(е), а потому всякая из fnjt (х) (к = 1,2,
постоянна в некоторой малой окрестности точки х0, и, значит,
.., р)
о
если только и достаточно мало. Отсюда
и
\_
U
A8.13)
Объединяя A8.12) и A8.13), видим, что при достаточно малом и
и..
о
/(*о+0-/(*о)
dt
и это справедливо для всех х? А (е). Значит, для каждого хо? А(е) можно
найти такое постоянное СХо (зависящее от х0), что
' U .
уже для всех и на @, 2тт], т. е. в точке х0 справедливо A8.2). Этим и заканчи-
заканчивается доказательство теоремы.
§ 19. О ряде, сопряженном к почти всюду расходящемуся
ряду Фурье
Возникает вопрос, являются ли рядами Фурье ряды д(Ф) и o(F), где
Ф(х)и F (х) — функции, построенные в § 17. Покажем, что ответ на этот
вопрос в обоих случаях отрицательный.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что функции Ф(х) и F (х) неотрица-
неотрицательны. Но по теореме М. Рисса(М. Rie^zW), которая будет доказана в главе
VIII, если для неотрицательной функции тр(х) ряда(^) есть ряд Фурье, то
^(х) 1п+ гр (х) € L. A9.1)
(Под In+x понимается функция, совпадающая с In х, если lnx^O, к равная
нулю, если In х < 0.)
Докажем, что для Ф(х) и F(x) условие A9.1) не имеет места. Достаточно
это доказать для F (х), так как Ф (х) ^> F (х) почти всюду, поскольку все члены
ряда A7.21) больше соответствующих членов ряда A7.22).
Теперь заметим, что
при любом N.

§ 19 О РЯДЕ, СОПРЯЖЕННОМ К ПОЧТИ ВСЮДУ РАСХОД. РЯДУ ФУРЬЕ 407
Тем более
F(x)ln + F(x)> y^^\n+^^ при любом N.
v ' \ / ^ ^ In Пк 1П Пк
к=\
Но при любом п имеем (замечая, что /Лу^> п)
In п ^ы п nlnn rrfi n In л ^ л In л -
2 , л =2lnn-lntan 2
л In л In л In л ^
отсюда ясно, что
т. е. F(x) ln+ F(x) несуммируема.
Замечание. Из доказанного сразу следует, что при любом р > 1 мы
имеем
F(x)eLp и Ф{хIи.
Таким образом, ни пример Колмогорова, ни пример Марцинкевича не
решают вопроса о существовании ряда Фурье, расходящегося почти всюду,
и для которого f(x) $ LP при р > 1 (в частности, вопрос остается открытым
для функции с интегрируемым квадратом, о чем мы уже говорили во введе-
введении к этой главе).
Мы убедились, что ни пример Колмогорова, ни пример Марцинкевича
не дают ответа на вопрос, может ли у ряда o(f), расходящегося почти всюду,
сопряженный ряд а (/) также быть рядом Фурье. Оказывается, что этот во-
вопрос тем не менее решается в положительном смысле.
Этот результат был замечен CyHyo™(SunouchH3J). По сути дела он уже
содержался в книге Харди и Рогозинского (Hardy and RogosmskitM-283).
Желая доказать теорему Колмогорова о существовании функции с рядом
Фурье, расходящимся почти всюду, они построили эту функцию не так, как
это было сделано Колмогоровым; Сунуоти, анализируя их рассуждения,
убедился, что для построенной ими функции f(x) ряд дф сам является
рядом Фурье.
Чтобы построить такую функцию, мы докажем лемму:
Лемма. Существует последовательность тригонометрических поли-
полиномов Тп (х), обладающих свойствами
а) Тп(х)>0,
б) 1 $Tn(x)dx=l,
в) каждому Тп соответствует такое множество Еп, тЕп -> 2л при
п -> оо, что для любого х?Еп найдется кх, для которого
\Skx(x,Tn)\>Mn
U Мп -> оо При П -> оо.
Эта лемма играет ту же роль, как лемма § 17, но здесь функции срп(х),
которые были разрывны, заменены тригонометрическими полиномами.

408 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Для доказательства леммы положим, как это было и в лемме § 17,
и пусть опять га0, тъ ..., тп — целые числа такие, что 2га7- + 1 делится на
2и + 1 (/ = 1, 2, ..., и), но, кроме того, предполагаем
ш0 > л4 и mJ+1 > 2 m;.
Положим
где Fm — фейеровское ядро. Покажем, что тригонометрические полиномы
Тп(х) удовлетворяют условиям леммы.
Действительно, Тп(х)^>0, так как фейеровские ядра неотрицательны,
а поскольку у фейеровских ядер свободный член равен — , то
л
JTn(x)dx=l.
71
Л
Таким образом удовлетворены условия а) и б).
Пусть rrij ^ k^ mj+v Тогда
2
cos r (x ~
r=i
Действительно, для ml при l^j частная сумма к первых членов ряда
Фурье от Fmi просто совпадает с самим полиномом Fmi\ для остальных Fmt
мы записываем их выражения через косинусы в явной форме и берем к пер-
первых членов этого разложения.
Если теперь разложить каждый из членов последней суммы на два,
пользуясь тем, что
ml + 1 — г = к + 1 — г + raz — к,
и обозначить, как всегда, через Dk(u) ядра Дирихле, то
2 "^ Ш/ + i
Следовательно,
к \^7 п) — | .j
/=О /=/+1 '
п-\- \ ^тт mi +1 х 2 3' v • /
Это том<дество справедливо при rrij ^ к ^ mj+1, мы его используем при
к = Ш;.

i 19 о ряде, сопряженном к почти всюду расход, ряду фурье 409
Рассмотрим Smf (х, Тп)на интервале /у (Д;- +-^г, Aj+1 ^Л. Еслих?/у>
то для любого /, даже и для I = /, имеем | х — Az | ^> —аг ^> -==-, так как и4 <; га0.
Но если t Ф 0, то Fm@ = О [—^-) (см- главу I, § 47), значит,
Отсюда следует, что члены вида Fmi(x — А), встречающиеся в 5Х и S2,
к -\- 1
ограничены, а так как при к = rrij и l^j + I имеем и —:^у <^ 1, то при-
приходим к выводу, что и сами суммы 5Х и 52 ограничены.
Итак,
где Я — ограниченная величина.
Заметим теперь, что так как 2 т; + 1 делится на 2 п + 1, то
mj + " 1 (х —
sin
sin
2 sin ^Д
2 sin —
2 sin
Л/ — x
и, значит,
/=у+1 2 sin-—у> —
Члены, входящие в последнюю сумму, все положительны, поэтому
1 . __J -^ 1 __ 2 п + 1
L/ — х Ai — х ^^ Ai — Aj (I — j) 4 n '
Кроме того, из mj+1 > 2ш; следует т Z7?7 ^-^- для / ^> / + 1, а потому
1 2п+1 ^ 1 \
2(п {
4л:
1-1п(л-/) sinBm;+l)x
" *
Если рассмотреть лишь те значения /, для которых ]^п —|Гп, то для них
is*
Обозначим через Еп множество тех х, для котор ых х g /; при / <^ // — }Гп
jsinB/ny+l)-|
х ^ 1
Ясно, что для них
и, следовательно,
У In п *
A9.3)
С (х т \ \ \> ^П П И М
шДХ, 1 п) | .> —jg ^ « — ^и/г ?
A9.4)

410 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
где Мп -> оо при п->оо. Но сумма длин интервалов /; при /О — ]fn
имеет порядок
+2n при п^°°>
а если из этих интервалов выкинуть точки, в которых нарушается неравен-
неравенство A9.3), то, как мы видели при доказательстве леммы § 17, мы выкинем
лишь множество, мера которого не превосходит 4 arcsm , = оA), поэтому
Пп л
тЕп->2я при п->оо,
и лемма доказана.
Переходим к построению функции/(х) с рядом Фурье, расходящимся
почти всюду, но таким, что и оф есть ряд Фурье.
Выберем последовательность пк так, чтоОы
Так как Тп (х) есть тригонометрический полином порядка пгпу то можно
написать
тпк
Тпк{х)= 2 c{>k)elvx
v==-mnk
(записывая полином в показательной форме). Если выбрать числа vk так,
чтобы
Ч > тП1 ,'»z>vi + mn1 + mn2,...,vk > уЛ-1 + тпъ__х + тПк,...,
то тригонометрические полиномы
Pnt(x) =-^Lr- у clk) elvx =-j^- У с*> &*+**)*
обладают тем свойством, что при / ф к полиномы РПк и Рщ не имеют подоб-
подобных членов. Так как
2п 2п
то в силу A9.5)
2я
v r 'PnA(x)|dx< + oo, A9.6)
2
к=\
а потому функция
F(x)=2JPnk(x) A9.7)
определена почти всюду и суммируема. Ее значения будут комплексными
числами. Полагая
докажем, что /(х) является искомой функцией.
Для этого прежде всего заметим, что в ряде A9.7) члены идут в возра-
возрастающем порядке показателей eivx. Записав каждое РПк в развернутом виде,
получаем ряд
2 Pn{x)J~Z~ye™, A9.8)
2 k{)
к=\ v=0

§ 19 О РЯДЕ, СОПРЯЖЕННОМ К ПОЧТИ ВСЮДУ РАСХОД. РЯДУ ФУРЬЕ 411
который, как легко видеть, есть комплексный ряд Фурье от F(x). В самом
деле, поскольку A9.6) сходится, то почленное интегрирование после умно-
умножения на г ivX законно, и тогда ясно, что
F(x)e-ivxdx = yv.
Отсюда сразу следует, что функции /(х) и g(x) суммируемы, причем
<т(/) и ст (g) являются действительной и мнимой частью ряда A9.8).
Теперь докажем, что ряд A9.8) расходится почти всюду. Для этого
возьмем множества ЕПк из предыдущей леммы; пусть
Е = lim ЕПк.
Ясно, что
тЕ = 2 тг.
Пусть х0 € Еу тогда х0 ? ЕПк для бесконечного множества значений к.
Так как при любом р про Sp (x, Тп) можно сказать, что это часть полино-
полинома Тпу то лемма утверждает,, что для хо?ЕПк найдется часть полино-
полинома ТПк, модуль которой превосходит МПк. Но такая часть непременно
встретится в ряде A9.8), поскольку в нем фигурируют все ТПк{к), лишь
деленные на УЪ4Пк. Значит, в ряде A9.8) найдутся такие части
21 v eivx
а-
для которых
2
причем это верно для бесконечного множества значений к. Поэтому ряд
расходится для всякого х0 ? ?, т. е. почти всюду.
Если бы один из рядов a(f) или a(g) сходился на некотором множестве
положительной меры, то и другой сходился бы на нем почти всюду. Это будет
доказано в § 23 главы VIII. А тогда и ряд A9.8), который имеет вид аф +
+ i cr(g), сходился бы на множестве меры больше нуля. Но мы убедились,
что это невозможно. Итак, a(f) и a(g) расходятся почти всюду, и теорема
доказана.
Замечание*). Возникает вопрос, почему в этом примере a(f) ока-
оказался рядом Фурье, тогда как этого не было в примерах Колмогорова и Мар-
цинкевича.
Если вместо того, чтобы умножать все полиномы ТПк(х) на множители
eiv**, мы бы взяли просто
то получили^ бы снова функцию гр(х) ^>0. Докажем, что мы имеем
^(x)ln+^(x)^L.
Действительно, при любом к имеем
*) Это замечание принадлежит П. Л. Ульянову [Я].

412 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Из формулы A9.4) сразу видим, что
Мп ~ ]/ЬГй .
Поэтому достаточно доказать, что
о
Но приy~^x^:~имеем для ядра Фейера
sin (л + 1) 4 V
где С — положительная константа. Поэтому
с Тп (х) %? 1 Г Тп (х
о 1==0 о
л
f^o n + 1 J m' (п + 1) (In лI
2 /t!j
n m*
где Сх — новая константа; здесь мы опирались на то, что т, > л4.
Следовательно,
Если так, то у у (х) ряд д{хр) заведомо не есть ряд Фурье. Но в примере Харди
и Рогозинского полиномы ТПк(х) умножены на множители е( кХ благодаря
чему F(x) получилась уже не положительной функцией, а комплексной, у
которой действительная и мнимая части принимают как положительные, так
и отрицательные значения. Таким образом произошла интерференция поло-
положительных и отрицательных значений, которая привела к нужному эффекту.
§ 20, Ряд Фурье, расходящийся в каждой точке
В примерах предыдущих параграфов ряд Фурье расходился почти всюду.
Если мы хотим добиться расходимости в каждой точке*),то можно базиро-
*) Существование функции с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке,
обнаружено А. Н. Колмогоровым. Но в его заметке [31 (содержащей лишь 2 страницы)
были только указаны свойства тех тригонометрических полиномов, из которых строится
такая функция. Подробное проведение всего доказательства сделано Зигмундом
(см. Зигмунд [М-5], §8.4), отметившим, что его построение отличается от построения в
указанной заметке, причем изменения были ему сообщены А. Н. Колмогоровым.
Мы здесь придерживаемся в основном доказательства Зигмунда, но только даем
более подробное изложение и заменяем п° 8.404 новым рассуждением, которое нам ка-
кажется более простым.

§ 20 РЯД ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЙСЯ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ 413
ваться на той же идее, однако необходимо несколько подправить те вспомо-
вспомогательные функции, которыми мы пользуемся.
Прежде всего мы лемму предыдущего параграфа усилим так:
Лемма. Существует последовательность тригонометрических поли-
полипомов /л(х), обладающих свойствами
а) /„(*)>О,
б) ±jfn(x)dx=\, л =1,2,...,
в) если vn есть порядок полинома fn(x), то найдутся такие числа Хп -> со,
числа Мп -> оо, множества Еп
E1(ZEt(Z... С Еп С ..., [0,2л]=2Еп
/1=1
// оля каждой точки х ? Еп существует такое целое кХУ что 1п <' кх К vn и
Skx(x,fn)>Mn.
Таким образом, свойства полиномов/п(х) те же, что у полиномов Тп(х)
из леммы § 19, но множества Еп заполняют весь отрезок [0, 2ж].
Покажем сначала, что если эта лемма доказана, то существует функция
/(х)со всюду расходящимся рядом Фурье, причем для всех х имеем неогра-
неограниченную расходимость, т. е.
lim
П— оо
Чтобы построить такую функцию, мы будем поступать, как это сделано в
§ 17, т. е. мы выберем числа пк достаточно быстро растущими и положим
/W = i#. B0.1)
Прежде всего мы можем считать пк взятыми так, что
МПк>АМпь_г, B0.2)
тогда ряд2/чг= сходится; поэтому в силу свойства б) ряд B0.1) сходится
почти всюду и определяет суммируемую функцию/(х). Если мы возьмем
пг = 1 и будем строить пт рекуррентно так, чтобы
*пт>*«~-г, B0.3)
; > vn_ , B0.4)
то, как мы сейчас покажем, ряд Фурье от / (х) будет всюду расходиться.
Действительно, мы имеем, если х ? Е^,
s*.^ = 2ущ8^М + Ш8к-(х'^ +Лш18М"'-)- Bа5)
В силу выбора числа кх мы имеем из свойства в)
С другой стороны, так как кх ^ ЯПт >уЛж_1в силу B0.3), то кх превосхо-
превосходит порядки всех fn., входящих в первую сумму, значит, Skx (х, fn.) = \щ (х)

414 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
для / = 1,2, ..., т — 1, а так как все /лД*)^>0, то вся первая сумма в B0.5)
неотрицательна.
Теперь заметим, что для любого /
а потому
_
B0Л)
так как УМп$ > 2 ][Мп^ в силу B0.2) для любого sn ]/А1Пт+1> vnm в силу
выбора чисел пт (см. B0.4)).
Соединяя B0.5), B0.6) и B0.7), видим, что
Так как всякая точка х принадлежит множеству ЕПт, если только т
достаточно велико (в силу свойства в)), то мы видим, что для любого х
lim | Sn (x, /) | = + со
и теорема доказана.
Итак, мы свели дело к лемме, и, разумеется, в ней центр тяжести всего
доказательства.
Построение полиномов fn (x) будет отличаться от построения полиномов
Тп(х)в двух пунктах: так как мы не имеем права потерять ни одной точки,
то мы не можем отбрасывать то множество, где sin (кх + -у) х мал (как это
делалось в лемме § 19). Поэтому число кх надо будет выбирать более точно.
Кроме того, нельзя будет также отбрасывать те интервалы,которые окружают
«опасные»точки Д из предыдущего построения; для исправления положения
мы добавим к полиному Тп (х) некоторый неотрицательный полином хп {х)г
который при некотором га будет иметь достаточно большие частные суммы
Sm (х, тп) в этих интервалах и, с другой стороны, в силу тп(х) ^ 0 не испортит
поведения Тп (х) там, где суммы Sfcx(x, Гп)были велики. Сейчас эту общую
идею выскажем уже в точной форме.
Для упрощения техники вычислений вместо точек Д, по которым мы
строили полином Тп(х) в лемме § 19, мы рассмотрим точки
х __ j^L i п _ q I n\
и положим снова
1 ^
* п \Х) = п \ i ^ гmi\
где Fm — ядро Фейера. Числа га0 < т1 < ... < тп — целые числа, кото-
которые мы подберем позже, но будем предполагать, что гау+1 > 2гау
(/ = 0, 1, ..., п — 1). Как и в лемме § 19, мы можем для любого /с, лишь
бы гау^А:<у /пу-+1, написать
ЪЛХ, 1 п) ~ п + j ^ Гт,(Х-Х,) , ЯТТ,^1 ^ТТ t>i ^ ~ Х'> +
+ -Агг 2 ^^Dk(x-Xl). B0.8)

§20 РЯД ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЙСЯ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ 415
Так как фейеровские полиномы все неотрицательны, то при любом х
Поскольку
sin (л+ 4-1* ¦ ,,
sin kt
sin (л+ 4-1*
л @
где |^л@1 < С ПРИ любых /с и t ? [О, 2л; ] (см. глава I, § 32), то
Допустим теперь, что к = р п, где д целое. Тогда
sin к (х — х}) = sin (кх — дп —~ I) = sin
= sin fex
XI - X
Окружим интервалом длины 2д все точки xz и, кроме того, все середины
отрезков между ними, т. е. выкинем из [0, 2тг] все интервалы 1{ вида
| = 0,1,...,2п — 1.
Здесь Ь — число, которое мы подберем позже, но во всяком случае оно будет
о{—\. Обозначим
Ясно, что всякая точка из [0, 2тг] попадает либо в один из /,, либо в один
из а{.
Пусть х $ a2j или х ? ог2у-+1. Тогда будем применять к нему формулу B0.9)
именно при этом значении /. Поскольку
то при I ^ / + 1 имеем xt — х > 0; кроме того, при l^> j + 1 имеем
в силу fc <~2mj^i у поэтому если для рассматриваемого х и для некоторого
кх мы имеем
-sin/cxx>~, B0.12)
то из B0.9), B0.10) и B0.11) находим
1 " 1
Skx(х, 7П)> щ^^-у ^ хТ-^

416 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
где сумма положительна; после этого, заметив, что х > xj9 можем написать
1 " 1
^ 0@
(х, Т„)
_ щ
где С постоянно. Таким образом, если / <^ п — ]рп, мы получим
Skx (*, Тп) > С In ]/п = Сг In n. B0.13)
Итак, если / <^ п — f п и если для каждого х $ a2j и каждого х ? ст2;+1
можно найти свое кх, удовлетворяющее условиям
а) /пу</сх<-2-оту+1,
/3) /схделится нал,
у) -si^
то для всякого такого х будем иметь B0.13).
Мы пока допустим, что при разумном подборе чисел ш; такое кх найти
можно и закончим доказательство леммы, а потом вернемся к этому пункту.
Рассмотрим полином
где Fn — фейеровский полином п-го порядка. Ясно, что порядок полинома
гп(х) равен 2п2; он неотрицателен и удовлетворяет условию
rn(x)dx^ 1. B0.14)
о
Имеем для любого целого I
1 п 1 п
Кроме того, так как | F^ (х)| ^ п2 при всех х, то \%'п (х)\ < 2п3. Отсюда вытекает,
что если положить <5 = -^-, то для х $ 1г имеем
| |<2л<
откуда
t«W>t Для xel, (/ = 0, 1 2 л). B0.15)
Положим т0 = 2л2. Из \D'm(x)\ <m^ и Dmo(O) = m0 + -^следует для
I ?>m.(х) - Dmo@)|^ 4
а потому уже во всяком случае
?>то(х)>1 на -<5<х<б. B0.16)
Итак, если мы возьмем <5 = -о~т> то будУт удовлетворены оба неравенст-
неравенства B0.15) и B0.16).

§20 РЯД ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЙСЯ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ 417
Мы положили т0 = 2и2; пусть теперь
/„(*) = у [Тп(х) + тп(х)],
где числа тъ т2, ..., тп пока еще в нашем распоряжении. Так как справед-
2л
1 Г
ливо B0.14) и также— Tn(x)dx = 1, то условие б) леммы для полиномов
6
fn(x) выполнено; кроме того, очевидно, что они неотрицательны.
Ясно, что порядок полинома fn (x) есть тп, поскольку таков порядок
Тп (х), а порядок тп (х) есть 2 и2 = т0 < тп. Поэтому, полагая 1п = т0 = 2 и2
и vn = mm мы видим, что если кх удовлетворяют условию а), то
как это требовалось в лемме, причем 1п -> оо.
Поскольку кх^ 1п = т0, а порядок хп (х) есть т0, то
а значит
Skx(fn) = у s^(Tn) + у S/^ (rn) > ^- In л = C2 In л B0.17)
в силу B0.13) для всех х? ст2;- и х? ст2у+1 при / <^ п — V~n.
Покажем теперь, что для х ? /f (Z = О, 1, ..., 2и) имеем
Sm0 (*,/„)> С In л, B0.18)
где С — некоторая положительная константа.
Действительно, полагая в формуле B0.8) / =?= О и к = тф имеем
Так как все фейеровские полиномы неотрицательны, то
с (г Т )Ъ> 1 V1 mi ~ ш° п Гг — гЛ B0 1 Q"i
Пусть x 6 /m, т. e.
Если m четное, пусть т = 2/, то m— = 2/— = x;- и, значит,
| x — Xj I < <5.
Тогда в силу выбора д. из B0.16) следует, что, отбрасывая член I = / из фор-
формулы B0.19), мы только усиливаем неравенство, т. е. при т = 2/ из B0.19)
следует
(П + 1) 2' Tni + l ^то(Х ~ Xl) ^ ~~ ^+1 ^' I ^т0 (Х ~ Xl) I >
B0.21)

418 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
где знак 2" означает, что I = / исключено и, значит, ни у какого из членов
суммы в B0.21) аргумент не может быть равен нулю. Но замечая, что при
0<и<л
имеем
o(х, Тп)> —
Jg \x-xi\ '
Поскольку х отличается от 2 /—на величину порядка О (—И , то
. n
n
1
2n
n
B0.22)
где СЪС2, ... — положительные константы.
Если т нечетное, т = 2/ + 1, то отбрасывать члены из B0.19) не нужно.
Но замечая снова, что
П л
о (х Т
и что х отличается от B/+ 1)— на величину порядка О I—j, видим, что
51Я.(х,Тп)>-С
1=1
B/+D--Z
л п
1-2Л > - Cg In П . B0.23)
> - С' 212/4-1-2
Таким образом, из формул B0.22) и B0.23) мы видим, что при любом
х $ Im (m == 0, 1, ..., 2 и) имеем
Sm0 (*, Г„)>-С9 In н, B0.24)
где С9 = max (C5, С8).
Заметим теперь, что так как mQ есть порядок полинома хп (х), то
Но если х $ /ш, то в силу B0.15) имеем
а потому
B0.25)
во всех /ш, а тогда в силу B0.24) и B0.25)
~g 2^ Ш П > С10
а это и есть формула B0.18), которую мы обещали доказать.
Обозначим теперь через Еп отрезок Го, — (п—Yn)\. Ясно, что
Ех С Е2 с ... С Еп с ... и [0, 2п] = 2 Еп.
1

§ 20 РЯД ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩИЙСЯ В КАЖДОЙ ТОЧКЕ 419
Если х ? Еп, то либо х ? 1т для некоторого т, либо х ? ат) причем этот
индекс т таков, что если т = 2/ или т = 2/ + 1, то /^ я — уй". Поэтому
для такого х либо найдется по формуле B0.17) такое кХ) что
либо по формуле B0.18) для него
Sm.(X,
Во всяком случае для всякого х^Еп найдем такое кх, что
и
Ska(xffn)>Mm где 7Ип->оо,
и лемма доказана, кроме того пункта, который был отмечен на стр. 416.
Нам остается доказать, что если т0 выбрано, то можно так подобрать
числа тк(к = 1, 2, ..., и), чтобы
1) то<т1< ... <тп,
2) для каждого х ( (т2;- и х ( ст2;+1 найдется такое кх, что &х делится на и,
-sinM>i-.
Возможность такого определения чисел rrtj мы сведем к некоторой теоретико-
числовой задаче.
Прежде всего.заметим, что если х $ a2ji то
а если х ? cr2;+lj то
где в обоих случаях
т. е.
и, обозначая rj == -^— = -^—-, видим, что
^<е<у-^, B0.26)
где ^ — положительная константа, зависящая только от п, но не от х.
Если кх делится на я, то кх = q я, где ? целое, поэтому
2п"
— sin kxx =
0—— J при xea2jy
при x€

420 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
В обоих случаях gnXj и gnxj+1 кратны 2тг, а потому
— sin quQ — = — sin 2 п q в при
— sin kx х
27l=sm27tQd при
Таким образом, если задано 0, удовлетворяющее условию B0.26), то надо
уметь найти целые дг и д2 так, чтобы
y, а также sin2:rce0 ^>
иначе говоря, чтобы
<(e*)<i5- и 12
где (х) означает дробную долю числа х.
Покажем, что каково бы ни было N, всегда можно найти такие q1 и q2,
причем
где М — константа, зависящая только от rj.
Допустим сначала, что
Тогда, так как —- - ^ = у и ~- - -^- -= у, то числа @), B0), C0),
(т б), ... отстоят друг от друга на расстоянии, не большем чем длина каждого
из интервалов -у2~, -^ или То~> 12" г ПОЭТОМУ) заставляя q пробегать
последовательно все целые числа от N до N+M, щеМ = \—\+ 1, мы заве-
заведомо найдем такие дг и д2, как нам нужно.
Если же у<0<у-*г> то |-<20 < 1 - 2??; полагая 0о = 1—20,
видим, что
4
а потому можно, по предыдущему, найти дг и ^2 так, чтобы
sin 2гс ех 0О ;> у и sin2^^0^
а потому
y и
откуда
0>y и — sin
Полагая
мы видим, что для 0 нужные числа ^ найдены, причем снова
и
t<M t<Mb где Af1 =

§21 О ПРИНЦИПЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЛЯ МНОЖЕСТВ 421
Теперь остается последний шаг: построение чисел т(. Так как т0 уже
определено, мы предположим, что шо< тг < ... < ш;- уже известны, и будем
определять /пу-+1. Мы уже умеем для каждого х ? ст2;- и х ? оу-+1 определить
fcx так, чтобы
sin fc
причем кх = gn, где е можно сделать больше наперед заданного числа JV и
меньше N + М, где М зависит только от и. Поэтому если взять N таким,
чтобы nN ^> ш;, то мы будем иметь кх ^> т; для всех таких х.
Если теперь выбрать ш;+1 так, чтобы (N + М) п <у/Пу+1, то мы уви-
увидим, что
и это последнее неравенство, которое надо было установить.
Таким образом, закончено доказательство леммы, а значит и всей тео-
теоремы.
Замечание. В построенном примере всюду расходящегося ряда
Фурье имеем в каждой точке неограниченную расходимость, т. е.
lim|Sn(*,/)l= + oo.
До сих пор неизвестно, можно ли построить всюду расходящийся ряд
Фурье, для которого в каждой точке
M\Sn(X,f)\<+oo.
Марцинкевич Ш отметил, что если такие ряды существуют, то существуют
и ограниченные функции с рядом Фурье, расходящимся почти всюду. Дока-
Доказательство можно найти в работе П. Л. Ульянова W (теорема 12). Однако не
только для ограниченных функций, но и для функций с интегрируемым
квадратом до сих пор не удалось построить таких рядов и вопрос о их суще-
существовании считается одним из самых трудных в теории рядов Фурье.
§ 21. О принципе локализации для множеств
Мы знаем (см. гл. I, § 33), что если две функции ^(х) и /2 (х) совпадают
на некотором отрезке [а, Ь\ то во всякой его внутренней точке ряды аAг)
и а(/2) ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся одновременно.
Возникает вопрос, нельзя ли было бы перенести эту теорему на мно-
множества, пусть даже в несколько ослабленной форме, а именно, нельзя ли
утверждать, что если /х(х) = /2 (х) на ?, тЕ > 0, то ряды а (/х) и а (/2) ведут
себя одинаково почти всюду на Е.
Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным, если не налагать на
функции и на множество никаких дополнительных ограничений.
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что при разумном подборе
чисел {пк}, входящих в построение функции Ф(х) из примера Колмогорова
(см. § 17), для любого е> 0 множество Е тех точек, где Ф(х)=/=0, может
быть сделано таким, что тЕ < г. Действительно, функции ц>п (х), постро-
построенные в § 17, обладают тем свойством, что срп(х) = 0 всюду, кроме отрез-
2
ков лъzJ2, ...,АПу длина каждого из этих отрезков есть—т, а так как
тк^Хкп, где Я^> 1, то

422 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
а потому множество Еп тех х, где <рп (х) ф 0, имеет меру
Но
Поэтому функция Ф(х) может оказаться отличной от нуля только там, где
хоть одна из <рПк(х) ф 0, значит, Е = Е {Ф (х) ф 0} с 2 ЕПк, я потому
к=\
Так как числа пк в нашем распоряжении, мы можем сделать их такими,
00 1 е
чтобы выполнялось условие^—^~2 * а Т0ГДа
Ф(х) = 0 на СЕ, тСЕ>2л — е.
Тем не менее a(f) расходится почти всюду.
Этот пример показывает, что принцип локализации для множеств не
имеет места.
Однако в § 19 мы видели, что функция Ф(х) не суммируема ни в какой
степени р > 1. Если рассматривать лишь функции из Lp(p > 1), то, как мы
увидим, при соответствующих ограничениях, наложенных на множество,
принцип локализации оказывается справедливым*). Это результат Г. П. Тол-
стоваИ, который мы сейчас изложим. Он доказал для случая р = 2, но дока-
доказательство легко распространяется и на случай / (х) $ Z/, лишь бы р> 1.
Итак, докажем теорему:
Теорема. Для любого /л, 0 < [л < 2тг, существует совершенное нигде не
плотное множество Р, тР = /л, такое, что если функции fi (x) и /2 (х) из
Lp(p > 1) совпадают наР, то их ряды Фурье являются равносходящимися**)
почти всюду на Р.
Для того чтобы доказать это предложение, нам понадобится одна вспо-
вспомогательная лемма, касающаяся точек плотности.
Будем для любого множества g" и интервала (а, @) обозначать через
#(а, Р) ту часть ^, которая попала на (а, @).
Как известно, для любого множества Е положительной меры почти все
его точки являются точками плотности и, значит, для почти всех х $ Е имеем
lim mE(x'x + /l) - 1
/2-0 I k I
Обозначая, как всегда, через СЕ дополнение к Е} можно записать это
соотношение в виде
lim '"С?(хх + й),==0> B1J)
/2-0 I П I
Г. П. Толстов показывает, что, разумно выбирая множество, можно
добиться, чтобы для его точек отношение, стоящее в левой части B1.1), стре-
стремилось к нулю так быстро, как мы захотим. Точнее, имеет место такая
*) Вопрос о том, не будет ли он справедлив для/(х) е LP без дополнительных огра-
ограничений на множество, остается открытым.
**) Термин «равносходящиеся» введен в § 33 главы I.

§ 21 О ПРИНЦИПЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЛЯ МНОЖЕСТВ 423
Лемма. Пусть ср (К) — любая функция, определенная на некотором
отрезке 0<Cft<T/z0, положительная, монотонная, lim у (К) =0; пусть
[а,Ь] — любой отрезок. Если 0 < {л < Ь — а, то существует совершенное,
нигде не плотное множество Р, тР = /л, такое, что почти для всех х ? Р
имеем
mCP{^ + h)«P(\h\), B1.2)
если \h\ < д (д, вообще говоря, зависит от х).
Доказательство. Не нарушая общности, можно предполагать
Ч> (h) < 1- Положим
B1.3)
Ясно, что
л=1 п=к
Обозначим через N наименьшее целое число, для которого
00
n=N
(такие числа существуют, потому что Ъ — а > [л, а ряд 2^п сходится).
Положим
b - а - /л — ? [лп
Ясно, что
Удалим из [а, Ь] систему интервалов (ап,Ьп) таких, что Ьп — ап = ип;
мы потребуем от этих интервалов, чтобы они не имели общих концов, и чтобы
оставшееся после их удаления совершен-
совершенное множество Р было нигде не плотным.
В остальном они произвольны. Ясно, что
тР = [л. Докажем, что это множество п
удовлетворяет условиям леммы.
Чтобы убедиться в этом, присоединим Рис- 24
к каждому интервалу (ап, Ьп) слева интер-
интервал о'п и справа интервал о„ , оба длины [лп^х (рис. 24). Так как сумма
длин присоединенных интервалов образует сходящийся ряд, то множество Е
точек, попадающих в бесконечное множество таких интервалов, имеет меру
нуль *). Поэтому почти все точки Р не входят в Е. Рассмотрим любую точку
х еР, не принадлежащую к Я и не являющуюся точкой первого рода для Р;
докажем, что для нее имеет место неравенство B1.2), если |й| достаточно
мало, тогда доказательство леммы будет закончено.
. . — и
«п =
00
V и
= b
ДЛЯ
— а
п>
— /И.
N
N.
*) По известной теореме, если И mgn < + °°, то для ? = lim $п имеем т? = О
(см. Вводный материал, § 12).

424 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Пусть h > 0 (доказательство для h < 0 совершенно аналогично). Разо-
Разобьем все интервалы (апу Ьп) на два типа: интервал (апу Ьп) будет отнесен к
первому типу, если о'п (с тем же номером п) содержит точку х, все остальные
будут второго типа. При любом х имеется лишь конечное число интервалов
первого типа; кроме того, х не совпадает с ат Ъп ни при каком п. Поэтому,
выбрав h меньше, чем расстояние от х до любого из (ат Ьп) первого типа,
мы видим, что между х и х + h нет ни одной точки, принадлежащей какому-
нибудь интервалу первого типа. Таким мы и выберем ft. Заметим теперь, что
если между х и х + h есть точка | некоторого интервала (ат Ьп) второго
типа, то х + ft > I ^> ат но х не входит в о'т значит, х < ап — [лп„ъ откуда
ft^> (in^v Поэтому если к — наименьший номер интервала второго типа,
имеющего точки между х и х + /z, то из соотношения ^к^ <^ ft следует, что
к -> оо при ft -» 0. Можно выбрать ft достаточно малым, чтобы к > N, тогда
К — ап — А*л Для всех п ^ /с. Но в таком случае
, х + Л) 21 (ап, bn)
в силу B1.3) и монотонности (p(h)y и, значит, лемма доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Пусть /х(х) и /2(х) обе принадлежат
L(p)(p > 1). Определим q из условия
и пусть 0 < [л < 2тг. Построим на основании леммы такое совершенное, нигде
не плотное Р, тР = ^, что для некоторого а > 0
почти всюду на Р, если только |ft| достаточно мало.
Если /х (х) = /2 (х) на Р, то разность /t (х) — /2 (х) = 0 на Р. Если мы дока-
докажем, что из / (х) = 0 на Р следует, что а (/) сходится к нулю почти всюду на Р,
то теорема будет доказана.
Мы докажем, что если Ь достаточно мало, то во всякой точке х, где выпол-
выполнено B1.4), будем иметь
"~AI rift <+ 00. B1.5)
Тогда, применяя признак Дини, увидим, что а (/) сходится в такой точке х,
а, значит, a(f) будет сходиться почти всюду на Р. То, что он должен сходиться
к нулю, следует из / (х) = 0 на Р и из того, что если ряд а (у)) сходится на неко-
некотором множестве положительной меры, то именно к ip (x) почти всюду на этом
множестве (см. гл. I, § 48).
Чтобы доказать B1.5), рассмотрим выражение |/(х+ h) — /(х)|, для
|/(х — К) — /(х)| рассуждение совершенно аналогично/
Итак, рассмотрим
J' I / (у _|_ h\ / (y\ Г f (y\ — i (y\
J/g + Д) /M rfft=J|iM_IW ldy_
у -х
Не нарушая общности, можно считать д < 1 и разбить интервал (х, х + &)
на сумму интервалов вида (х + <5nfl, х + дп) (п = 1, 2, . .). Обозначим для

§ 22
О СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ НА ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ
425
краткости через Ап часть СР, попавшую на (х + дп+1у х + Зп). Так как / (х) = О
на Р, то
х+дп
у - х
Применяя неравенство Гельдера, найдем
Ап
Ап
где М = { $ \f(y)\pdy}p. Но \у-
О
Г dy ^ тСР(х, х ¦
{
Ап
9 а потому на основании B1.4)
дт С
где С зависит только от 6, но не от и, а тогда
| In E |
и из B1.6) получаем
-7Г<
что и заканчивает доказательство теоремы.
Если р = 1, то теорема уже перестает быть верной. Действительно, если
опираться на один результат Д. Е. Меньшова, который будет доказан в глав?
VI, то можно утверждать большее, а именно: каково бы ни было совершенное
нигде не плотное Р, можно построить две суммируемые функции /х (х) и /2 (х)
такие, что/х (х) = /2(х) на Р и, однако, ряд Фурье от/х(х) расходится почти
всюду на [0, 2тг], а ряд Фурье от /2 (х) сходится почти всюду на [0, 2тг]. Этот
результат сразу вытекает из существования почти всюду расходящихся рядов
Фурье (см. § 17) и из теоремы Д. Е. Меньшова (см. § 7 гл. VI): для любой
суммируемой f (х) и для любого совершенного нигде не плотного Р молено
найти такую суммируемую g (х), что g (х) = / (х) на Р и, однако, ряд Фурье
от g(x) сходится почти всюду.
§ 22. О сходимости ряда Фурье на заданном множестве
и расходимости вне его
Поставим вопрос так: пусть дано множество Е\ при каких усло-
условиях существует ряд Фурье, сходящийся на ? и расходящийся на его допол-
дополнении С??
Прежде всего отметим ряд случаев, когда решение вопроса нам уже
известно или может быть получено легко. Если Е совпадает со всем отрезком,
то решение тривиально; если Е пусто, т. е. СЕ совпадает со всем отрезком,
то решение дается примером, построенным в § 20.
Случай, когда Е есть отрезок длины, меньшей чем 2тг, был рассмотрен
Штейнгаузом (Steinhaus И); мы его не будем разбирать, так как можно полу-
получить нужный результат из более общей теоремы Райхмана (Rajchman W);
для любого замкнутого множества F можно построить тригонометрический

426 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
ряд, сходящийся всюду на F и расходящийся всюду на его дополнении.
Райхман, правда, не заботился о том, чтобы его ряд был рядом Фурье, однако,
добавляя к его рассуждению лишь несколько слов, можно убедиться, что
теорема верна и для ряда Фурье.
Для доказательства теоремы Райхмана построим сначала функцию
Ф(х), у которой ряд Фурье расходится в каждой точке (см. § 20). Пусть
а{Ф) = ^- + 2? ancos пх + bnsin пх. B2.1)
Построим далее функцию Я (х) так, чтобы она была равна нулю на F, чтобы
она была положительна на каждом смежном к F интервале (ап, /Зп) и чтобы
она была непрерывна вместе со своими производными до третьего порядка.
Для этого достаточно, например, положить
х — апу (Рп — хL на (ап) Eп), /2 = 1,2,...,
) на F
и
1
Если
^ (*) = Го + 2 Уп cos пх + дп sin пх, B2.2)
то
имеет ряд Фурье, сходящийся к нулю в каждой точке F и расходящийся в
каждой точке вне F; это вытекает из того, что этот ряд Фурье можно рас-
рассматривать как произведение рядов B2.1) и B2.2), из которых второй имеет
коэффициенты порядка О (\) и сходится к нулю в каждой точке F; кроме
того, так как Я (х) =/= О вне F, то произведение расходится, так как ряд B2.1)
расходится. Все эти результаты вытекают из теоремы о «формальном произве-
произведении» двух тригонометрических рядов, так как в данном случае формальное
произведение превращается в настоящее произведение (см. гл. 1, § 71).
Итак, теорема Райхмана доказана и, значит, для случая, когда Е зам-
замкнуто (в частности, когда Е — отрезок), поставленная проблема решается
положительно.
Прежде чем идти дальше, заметим, что поставленную в начале этого
параграфа проблему приходится разрешать по-разному, в зависимости от
того, хотим ли мы просто получить расходимость на Е или неограниченную
расходимость, т. е. выполнение условия
iim]Sn(jc)| = + co.
Мы видели (см. § 19, гл. IV), что множество точек, где ряд из непре-
непрерывных функций неограниченно расходится, есть всегда множество типа Ge,
т. е. его дополнение типа Fa.
Таким образом, можно ставить вопрос так: существует ли для любого
множества Е типа Fa тригонометрический ряд, сходящийся всюду на ? и
неограниченно расходящийся всюду на СЕ? И, в частности, существует ли
ряд Фурье, обладающий этим свойством?
На первый вопрос положительный ответ был дан С. Б. Стечкиным^,
опиравшимся на результаты Герцога и Пираниана (Herzog und Piranian W),
построивших степенной ряд, сходящийся на заданном Е типа Fa, лежащем
на круге сходимости и расходящийся неограниченно на СЕ.

§ 22 О СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ НА ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ 427
Но С. Б. Стечкин не ставил себе целью построить ряд Фурье, удовле-
удовлетворяющий тем же условиям.
Позднее Целлер разрешил в положительном смысле вопрос о ряде
Фурье. Именно, Целлер (ZellerW) доказал следующую теорему:
Теорема. Каково бы ни было множество Ее. [О,2 л] типа Fay молено
найти такой ряд Фурье, который сходится в каждой точке Е и неограни-
неограниченно расходится в каждой точке его дополнения СЕ = [О, 2л] — Е.
Прежде всего нам понадобится следующая
Лемма. Пусть [а,Ь] — произвольный отрезок, лишь бы выполнялось
[а, Ь] с @, 2л), и [с, d] с (а, Ь); если е > О — любое положительное и N
как угодно большое, то существует тригонометрический полином
cos kx + bk sin kx),
к=р
для которого </ > p^N и удовлетворены условия:
l)]\Te(x)\dx<e, B2.3)
2) \Sk(x,Te)\<s, хф,271]-[а,Ь], fc=l,2,..., B2.4)
3) для всякого х ? [с, d] найдется такой индекс кх, что
1Ж^Ге)|>|. B2.5)
Доказательство леммы. Мы знаем (см. § 20), что существует
функция / (х), у которой а (^неограниченно расходится для всех х из [0, 2л].
Положим
f(x) при x?[c,d],
/i (х) =
О при x^[0,2n]-[c,d].
В силу принципа локализации Римана ряд а (/) неограниченно расходится
при х ? [с, d] и сходится при х ? [0, 2л] — [с, d]. Что делается в самих точках
end, мы сказать не можем. Если окажется, что и в них о-^) неограниченно
расходится, то положим
?W=/i(x).
Если же в одной из этих точек, или в обеих ряд а (/х) не является неограни-
неограниченно расходящимся, то мы положим
<Р(х) = Ш + г(х),
где т(х) — непрерывная функция, у которой а (г) неограниченно расходится
в с, или в d, или в обеих этих точках (смотря по тому, как нам нужно) и схо-
сходится всюду в остальных точках. Кроме того, требуем, чтобы г (х) = 0 для
[О, 2л] — (с, d). Построение такой функции возможно (см. гл. I, § 46).
Таким образом, мы получаем такую ^(х), которая удовлетворяет усло-
условиям: ср (х) = 0 при х ? [0, 2л] — [с, d] и а (<р) неограниченно расходится на
[с, d]. Умножая <р(х) на любую константу Я, мы получим функцию ^(х) =
= Я99 (х), для которой снова гр (х) = 0 при х ? [0, 2л]— [с, d] и а (у) неогра-
неограниченно расходится на [с, d]. Но благодаря возможности брать Я каким
2л
угодно, мы можем сделать [ |^(х)| dx таким, как нам угодно, и, в частности,
6
\\гр{х)\йх<^, B2.6)
О
где б = min [с—а, Ь—d, 1, а, 2л — Ь].

428 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Так какс(^) неограниченно расходится на [с, d],TO для любого х ? [с, d]
и для любого М найдется такой индекс пх ^> N, что
\Snx(x,ip)\>M. B2.7)
В частности, это будет верно при М > — + «•
Но Snz(/, ^)есть непрерывная функция от t при пх фиксированном, зна-
значит, можно найти такое rjxy что
Е
Таким образом, каждая точка х отрезка [с, d] может быть покрыта
интервалом (х — rjxy х + Ух)> в котором справедливо B2.7). По лемме Гейне—
Бореля можно найти конечное число таких интервалов, покрывающих весь
[с, d]. Значит, можно найти такое L, что для любого х ? [с, d] существует
такое пх, N <Сих<^ L, для которого справедливо B2.7).
Мывидим, что функция у(х) имеет, образно говоря,«маленький»интеграл
(см. B2.6)), «большие» частные суммы на [с, d] (см. B2.7)) и она равна нулю
вне [с, d], значит, тем более вне [а, Ь]. Мы теперь покажем, что ее можно
приблизить тригонометрическим полиномом, который благодаря указанным
свойствам у (х) удовлетворит всем требованиям леммы.
Сначала мы найдем функцию а(х) периодическую, непрерывную, как и
ее производная а'(х)9 такую, что а (х) = 0 при х $ [0, 2л] — [с, d] и
2л
B2.8)
О
2л
j
2л
Поскольку j a\x) dx = а Bтг) — а @) = 0, свободный член в ряде а (а') равен
нулю, а, значит, ее можно аппроксимировать с любой степенью точности
тригонометрическим полиномом /3(х) со свободным членом, равным нулю;
например, фейеровской суммой порядка т для ряда <х(а'), где т взято доста-
достаточно большим. При этом можно, не нарушая общности, считать m^> L.
Пусть
\"'(x)-P(x)\<-?j-, 0<х<2тг. B2.9)
Так как /3(х) имеет свободный член, равный нулю, то, полагая
у(х)= f/3(Od/, B2.10)
б
видим, что у(х) есть тоже тригонометрический полином; пусть
т
у (х) = 2 0-кcos kx + bk sin kx, m^L.
Докажем, что полином
т
Те (х) = 2 ак cos kx + bk sin kx
удовлетворяет всем условиям леммы.
Для этого, прежде всего, заметим, что при х ? [0, 2л] — [с, d] имеем
а(х) = 0, значит и а'(х) = 0, а потому из B2.9) следует
¦|< WT Ha f°> Щ-[с^]' B2.11)

§ 22 О СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ НА ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ 429
Кроме того, из B2.9) и B2.10)
«'@-j8@l*<2^-^-<-^r, B2.12)
о
откуда
|У(*)|<2?Г при %€[0,2*]-[c,d], B2.13)
так как там а(х) = 0. Далее, из B2.12)
2я
/|«@-у@|Л<-^г2я <2^r. B2Л4)
о
Сопоставляя B2.8) и B2.14), найдем
2я
о
Если теперь учесть, что L > N и сравнить B2.15) и B2.6), то получим
2я
о
Заметим теперь, что
Те (*) = у (х) - ? (ak cos кх + Ьк sin кх) = у (х) - SN^(x, у), B2.17)
/с=0
2я
и так как
то
N^(x, y)< BJV - 1) J | y(x) j dx < -?-, B2.18)
и, следовательно,
2я 2я
о о
а значит, и подавно
О
и, следовательно, условие 1), которому должен удовлетворять полином
Те(х), удовлетворено.
Для того чтобы доказать, что и условие 2) имеет место, оценим сначала
Sn(x, у) для всех п и для х ? [0, 2л;] —• [а, Ь].
Имеем
2я 2я+(х-е5)
Sn(x,y) =±$y(t)Dn(t-x)dt=± J у@/)п(х-0Л =
О х-6
х+д 2я+х-E
^J ^ j /1(х)+/,(х). B2.19)

430 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Так как
sin kt
4, sin kt
2
(см. гл. I, § 30), то
| / ?>„ (ц) йы | <> + 2 (яр + 2) < 24 для 0</х</2<2тг, B2.20)
а потому, производя в /х(х) интегрирование по частям, найдем в силу B2.11)
и B2.13)
t х+д х+д t
х-д
х-д .х-д
x-d
213L
2* + ± -?д
иг 216L
Т О12Г ^ О9 " \Л2.2\)
212L
Мы здесь имели право пол^оваться B2.11) и B2.13), так как при x ^ [0, 2я] —
— [а, Ь] и при 5 = min [а, с — а, Ъ — d, 2я — Ъ] для х — <3<^<Сх-{- б точка
U[c,d].
Далее имеем в силу B2.16)
i I
2*
dt
2sin-
sin — о
а потому из B2.19), B2.21) и B2.22)
|Sn(x,y)|<-4- ПРИ
B2.23)
Переходим к оценке Sn (х, Те). Если n<^N — 1, то Sn(x, 7Y) = 0, потому
что у полинома Те(х) коэффициенты ак и Ьк равны нулю при k^N— 1.
Если же п > N — 1, то из B2.17) видно, что
Sn (х, Г.) - Sn (х, у) - SN.X (х, у),
а потому в силу B2.23) и B2.18)
lsn(x,Tt)|<|Sll(x,y)-SiV-1(xly)|<^ + 4-<-^ на [
т. е. условие 2) также выполнено.
Переходим к условию 3). Пусть х $ [с, d]. В силу B2.7) для этого х най-
найдется такое пх, N <С пх <С N, что
Но
B2.24)

§ 22 О СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ НА ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ 431
а в силу B2.15)
S^(x,y-v)|<Bnx+l)-i-J|y-v|df<BL + l)l^r<-^-, B2.25)
о
значит, из B2.24) и B2.25)
|Sn.(x,y)|>4- + e--J--
Наконец, из B2.17) в силу лх>ЛГ и B2.18)
а это и значит, что выполнено условие 3).
Лемма полностью доказана.
Переходим к доказательству теоремы Целлера. Пусть Е —заданное мно-
множество типа Fa. Если Е — пустое множество, то задача решается примером
А. Н. Колмогорова (см. § 20). Если Е содержит хотя бы одну точку, то ее
Рис. 25
можно перенести в начало координат. Тогда СЕ с @, 2л). Так как СЕ ти-
типа 6?а, то, не нарушая общности, его можно считать составленным из
таких открытых множеств Giy которые удовлетворяют условию
00
Итак, пусть СЕ = П Gt, где множества Gt удовлетворяют этому требо-
71=1
ванию.
Каждое открытое множество есть сумма не более чем счетного мно-
множества интервалов. Всякий интервал можно представить в виде суммы счет-
счетного множества отрезков, причем можно их выбрать так, чтобы любая точка
интервала принадлежала не более чем двум таким отрезкам. Поэтому каждое
Gt можно представить в виде суммы счетного множества отрезков [с$\Ь$]
(к = 1, 2, ...), причем любая точка х ? Gt принадлежит не более чем двум
таким отрезкам.
Внутри каждого такого [а$у Ь$] мы помещаем отрезок [4°, djp], выбирая
его так, чтобы каждая точка х ? Gt непременно попала в какой-либо [ty, d$]y
но не более чем в два таких отрезка (рис. 25).
Если так, то, располагая затем все [a(l\ bft] в одну последовательность,
пусть просто [ajy bj](j = 1,2, ...), и содержащиеся в них [ф, d$] в после-
последовательность [Су, dj] (нумерация у [с, d] производится по тому же закону,
как у [а, Ь], так что [cjy dj] с (ajybj)), мы видим, что любая точка из СЕ при-
принадлежит бесконечному множеству [cjy dj]y с другой стороны, любая точка
х ? Ев силу того, что G( вложены друг в друга, не может войти в бесконечное
множество G,- (иначе она вошла бы в СЕ), а тогда она может принадлежать
лишь конечному числу [ajybj]y т. е. если х $ Еу то х ? [aJy bj] для всех доста-
достаточно больших /.

432 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Теперь применим нашу лемму. Для всякого / можно найти такой три-
тригонометрический полином Ту(х), для которого:
2) \Sk(x,Tj)\<±-;uiHx ф, 2*]-[ay.,ft7-],fc=l,2,...,
3) для всякого х ? [Cj, dj] найдется такой индекс кх, что
\Skx(x,Tj)\>2J.
Кроме того, от полинома 7\(х) мы ничего не требуем, но остальные Ту (х)
строим рекуррентно так: когда полином Т^г(х) уже найден и, следовательно,
его степень пгН1 известна, надо выбирать Ту(х) таким, чтобы его отличные
от нуля коэффициенты имели индексы, превосходящие т^ (т. е. роль N в
нашей лемме должно играть число ш^х + 1).
Составим теперь ряд
Он должен сходиться почти всюду к некоторой суммируемой функции / (х),
потому что
Л24
2 Лгдх)|<*х<2
/=1 о 7=1
Обозначим через Т ряд, который получается из 2J Tj (x), если сохранить
порядок членов, но каждый член во всяком полиноме Tj (x) рассматривать
как отдельный член ряда Т (а не группировать их, объединяя в полиномы
Tj (х)).
В силу выбора полиномов Tj (x) ряд Т есть обыкновенный тригонометри-
тригонометрический ряд (т. е. в нем каждый cos кх ц sin кх встречается не более одного
раза), и легко убедиться, что он есть ряд Фурье от /(х) (рассуждение то же,
как при построении расходящегося ряда в примере § 19).
Поэтому сходимость или расходимость ряда Фурье от /(х) в какой-либо
точке определяется сходимостью или расходимостью ряда Т в этой точке.
Покажем, что он сходится в каждой точке Е и неограниченно расходится
в каждой точке СЕ.
Действительно, пусть х ? ?, значит х ? СЕ. Поэтому найдется такое
/(х), что х ? [ctj, bj] для всех /> /(х). Но тогда в силу построения полиномов
Tj (х) имеем
I Sk(x, Tj) I < ~ для всех к и для / > / (х). B2.26)
Пусть а > О любое. Тогда найдется такое N, что N ^> i (x) и
Рассмотрим разность
Sk+P(x,f)-Sk(x,f)

22 О СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ НА ЗАДАННОМ МНОЖЕСТВЕ 433
при k^N и р>0. Имеем
Sk+P (х, /) - Sk (х, /) Js [Sfc+P (x, Tj) - Sk (x, 7,)] +
J—i
+Д W*> Ty) -2Sk(x,
В силу B2.26) и B2.27)
2N\Sk+p(x,Tj)\<± и 2N\Sk(x,T})\<±.
Следовательно,
| Sft+P (x, /) - Sk (x, OK*?) Sk+p (x, Tj) - Sk (x, Tj) \ + a.
Если t — тригонометрический полином, то существует такое No, что
Sn(ryx)^r(x) при h
а потому можно найти такое Nl9 что
Sn(x,Tj) = Tj(x) при
и при всех /, /= 1, 2, ..., JVX — 1.
Поэтому если взять N2 = max (JVlf N), то
Sfc+P (^ ^y) - Sk (x, Tj) = 0 при fc > N2J p > 0,
откуда
и, значит, по критерию Коши ряд сходится в точке х.
Если же х $ СЕ, то х ? [су-, dy-] для бесконечного множества значений /.
В силу свойств полиномов Tj тогда найдется такая последовательность зна-
значений kj(x)9 что
\Skj(x,Tj)\>2J,
т. е. в ряде найдется бесконечное множество кусков, абсолютная величина
каждого из которых растет с ростом /, а потому ряд неограниченно расхо-
расходится.
Теорема полностью доказана.
Заметим теперь, что теорема Целлера решает проблему об отыскании
ряда Фурье, сходящегося на любом Е типа Fo и неограниченно расходя-
расходящегося на СЕ.
Если мы поставим вопрос так: какова должна быть структура ?, чтобы
существовал ряд Фурье (или вообще тригонометрический ряд), сходящийся
на ? и расходящийся на С?, но без требования неограниченной расходи-
расходимости, то окажется, что Е будет уже более сложной природы, именно ти-
типа Fed- Действительно, легко доказать справедливость следующей теоремы:
Теорема. Если функции fn (x) все непрерывны на некотором отрезке
[а,Ь], то множество точек сходимости последовательности fn(x) есть мно-
множество типа Fod.
Доказательство. Для любых натуральных /z, тик определим
множество

434 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
В силу непрерывности функций /п(х) ясно, что F?% замкнуто. Если мы
положим
л.1 Л п,т >
то и F$ будет замкнутым, а потому
будет множеством типа Fa. Наконец,
к=\
будет множеством типа Fad- Докажем, что Е есть множество сходимости для
последовательности fn (х).
В самом деле, пусть х?Е. Тогда х0 ? Е{к) (к = 1, 2, ...); для любого
е > 0 можно найти такое к0, что j- < ?. Так как х0 ? ?(/"о), то х0 ? F(^o) для
некоторого т0, а значит х0 $ F^o для и > т0. Следовательно,
1/л (*о) - /ш(^о) \<? Аля п > т0,
значит, последовательность /п(х) сходится при х = х0.
Обратно, если fn(x) сходится при х = х0, то для любого ?>0 можно
найти такое т0, что |/^(x0) — /шо(хо)! < ?> в частности, для любого к можно
найти такое т09 что \fn (х0) — fm (хо)| <-тГ при п > т ^ /п0. Следовательно,
для любого к будем иметь х0 $ F^m при гп > ш0 и п > ш, т. е. х0 $ F^}, a
значит ихо( ?(/°, а потому их(?.'
Итак, ? есть множество сходимости для последовательности fn(x).
Можно доказать и обратную теорему, а именно:
Теорема. Если Е есть произвольное множество типа Fedf лежащее
на [а} Ь], то молено найти последовательность непрерывных на [а, Ь] функ-
функций, ограниченных в своей совокупности, такую, что она сходится к нулю на
Е и ограниченно расходится всюду вне Е на [а,Ь].
Доказательство можно найти в работах Хана (Hahn^) и Серпинского
(SierpinskiW).
Однако этот вопрос решен для случая, когда от функций /„ (х) требуется
только непрерывность. Если же требовать, чтобы они были частными сум-
суммами тригонометрического ряда, то эта проблема становится очень трудной.
Она не решена до сих пор даже для общего тригонометрического ряда, и тем
более для ряда Фурье.
Ряд интересных замечаний и постановок проблем, касающихся мно-
множества точек сходимости и расходимости тригонометрического ряда, чита-
читатель найдет в работе П. Л. Ульянова^.
§ 23. Проблема сходимости и принцип локализации
для рядов Фурье с переставленными членами
Мы видим в § 19, что ни пример Колмогорова, ни пример Марцинкевича
не решают вопроса о том, существует ли функция /(х) $ LP (р > 1), у которой
ряд Фурье расходится почти всюду. Вопрос о существовании таких функций
остается открытым. Но интересно отметить, что если допускать в ряде Фурье
перестановку членов, то можно и для этих функций добиться расходимости
почти всюду. Точнее, имеет место

§ 23 ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ И ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 435
Теорема Ульянова^. Если f (х) ? U (О, 2тг) A<р<2) и
/ (х) ? L2 @, тг), то в ряде Фурье а (/)
~~ + J?ancosnx + bnsinnx B3.1)
можно так переставить члены местами, чтобы вновь полученный ряд
-f- + 2 пт»cos mvx + brnpsin mv x B3.2)
неограниченно расходился*) почти всюду на [О, 2л].
Доказательство. Не ограничивая общности, можно предпола-
предполагать Ьк = О (к = 0, 1, 2, ...). Так как / (х) ? L2, то 2* #п = + °°> а потому
ряд
%Jto), B3.3)
где срп (t) — функции Радемахера, для почти всех значений t0 является почти
всюду по х неограниченно расходящимся (см. гл. II, § 8, замечание 1).
Выэерем одно такое /0 и возьмем его иррациональным, тогда g^(/o)-f=O при
любом п. Обозначим через nt те п, для которых (pn(t0) = + 1, и через kt те п,
для которых (pn(t0) = — 1. Тогда ряд B3.3) разобьется на два ряда
-^-+ ^anicosntx и — JgabCOskiX. B3.4)
Пусть Е — множество точек из (О, 2тг), в которых ряд B3.3) неограни-
неограниченно расходится, А — множество точек на (О, 2л), где расходится первый
из рядов B3.4) и В = Е — А. Ясно, что тА + тВ = тЕ = 2л. Не ограни-
ограничивая общности, мы предположим, что тА > 0 и тВ > 0. В противном
случае доказательство только упрощается.
Пусть ?>0 целое, N^0 ий>0 — произвольные числа. Возьмем
совершенное множество Ре с А, тРе > тА— е. Так как первый ряд в
B3.4) расходится на А неограниченно, то для любого х ? Ре можно найти
(р (х) такое, что
<р(х)
Л? ал, cos я,-х >D. B3.5)
Но cos щх — непрерывная функция, и потому найдется интервал дх с центром
в х, для каждой точки которого B3.5) справедливо. Значит, множество РЕ
покрыто системой интервалов и по лемме Гейне—Бореля можно выделить
из них конечное число, покрывающее Ре. Тогда из B3.5) вытекает существо-
существование такого L(e,N, D), что
Цх)
anicosntx
>D для любого х?Ре и L(x)<L(e,N,D). B3.6)
Аналогично, можно взять совершенное множество Qe С В, mQB >
В — е, и найти число М(е, Ny D) такое, что
М(х)
пкг cos kt x
>D для любого x?Qe и М(х)<М(е,N, D). B3.7)
*) Можно даже добиться того, чтобы ряд B3.2) не был суммируем методом Теплица.

436 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ НА МНОЖЕСТВЕ ГЛ. V
Возьмем последовательность et = —, Dt = i. Положим N±= N = 0 и пусть
тг = L(ely 0, 1). В силу B3.6) имеем
<р(х)
ащ costit
> 1 при x?Pei,
Положим
mv = nv для
B3.8)
B3.9)
В силу B3.7) мы можем для чисел е = ег, Nt = О, D = 1 найти множе-
множество Q?l ? В, mQet > mB — ег, и число [лг = М(ег, 0,1) такие, что
М(х)
^ aki ccs kt x
Положим
для любого
Gi и М(х) < /иг. B3.10)
mv+Tl=kv при K^v^fa. B3.11)
Далее, в силу B3.6)для е = е2 = ~^-у N = хг и D = 2мыможем найтимно-
жество Р?9 ? А, тР?о > тА — в2, и число r2 = L (е2, тъ 2) такие, что
Цх)
>2 для любого x^Pf2 hL(x) ^ т2. B3.12)
cos и, х
Положим
Pl = nv, r±+
и т. д. Числа mv определяются по индукции.
Рассмотрим теперь ряд
п
anicosnix+
B3.13)
.x B3.14)
i
(здесь r0 = ^ = 0, а внутри каждой суммы в круглых скобках номера
щ и kt идут в порядке возрастания).
Теорема будет доказана, если мы докажем расходимость почти всюду
для ряда, стоящего в левой части B3.14).
Положим
Ао = lim Рек и Во= lim Q?k.
к—>~ оо к—*- оо
Ясно, что Ао с А, гпА0 = тА, Во с В, шВ0 = тВ, тА0
будем доказывать неограниченную расходимость ряда
= 2п. Мы
~Т + 2 umv C0S m^ X B3Л 5)
в каждой точке Ао + Бо; тогда он будет неограниченно расходиться почти
всюду.
Достаточно доказать для Ао, так как для Во доказательство аналогично.
Если х? Ло, то для бесконечного множества значений к имеем х ?Ра..
Но тогда из самого определения чисел тк и множеств Рп следует
Цх)
> fc, где
1 < L (х) < тл+1.

§23
ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ И ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
437
Таким образом, для бесконечного множества значений к в ряде B3.15)
имеются «куски», по модулю превосходящие к, т. е. он неограниченно расхо-
расходится для х ? Ао. Этим заканчивается доказательство.
Заметим, что ряд B3.15) является рядом Фурье от f(x) по системе
{cos т(х}. Это позволяет получить следующее интересное следствие из тео-
теоремы Ульянова:
Следствие. Если вместо обычной тригонометрической системы рас-
рассматривать ту же систему, но с членами, переставленными местами, то
принцип локализации для рядов Фурье может уже не иметь места.
Действительно, построим функцию
/(х) так (рис. 26):
/(*) =
7x
\J* Л, V7«
/(__ }Л — 7Г<" У <^0
/ V ЛЛ Л ^ x \ u ?
/ (x + 2л:) = / (x) для всех x.
Ясно, что/(х) = 0 при х? [1, 2л; —
1(х)^ЬР@,2л) при
2л-1 2л
Рис. 26
Из теоремы Ульянова вытекает, что можно в ряде Фурье для /(х)так
переставить члены, чтобы полученный ряд^+ 2 ат cos mix почти всюду
неограниченно расходился на @, 2л), а значит, в частности, почти всюду и
на A, 2л— 1). Но этот ряд будет рядом Фурье от /(х) по ортогональной
системе, получающейся из тригонометрической при соответствующей пере-
перестановке членов. С другой стороны, разложение нуля по этой системе должно
дать ряд, сходящийся всюду к нулю; принцип локализации, таким образом,
нарушен. При этом интересно отметить, что здесь / (х) имеет на @, 2л) произ-
производные всех порядков, а р может быть любым, лишь бы 1 <^ р < 2.
Обращаем внимание читателя на работы П. Л. Ульянова t12]'tl3], где
доказан ряд теорем, касающихся систем, получаемых из тригонометри-
тригонометрической при помощи перестановки ее членов.

ГЛАВА VI
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
§ 1. Введение
Настоящая глава посвящается вопросу, который был поставлен и в
известном смысле до конца разрешен Д. Е. Меньшовым. Вопрос этот можно
формулировать так: дана измеримая функция/(х) и любое положительное
число в. Можно ли, изменяя функцию / (х) только на некотором множестве
If, mW < в, добиться того, чтобы превратить ее в такую функцию g(x), у кото-
которой a (g) сходится почти всюду, или всюду, или сходится равномерно? Что
надо потребовать от функции /(х) для положительного решения этих вопро-
вопросов? Можно ли потребовать не только того, чтобы «исправление» функции
происходило лишь на множестве, мера которого не превосходит е, но еще
чтобы/(х) оставалась неизменной на некотором заданном множестве? Все
эти проблемы мы и будем разбирать сейчас, излагая полученные Д. Е. Мень-
Меньшовым результаты.
В § 3 будет доказана важная лемма, которая касается глубоких и тон-
тонких свойств множителя Дирихле; она будет изложена в таком виде, чтобы
можно было ее применять затем кобеим основным теоремам Д. Е. Меньшова.
В § 4 будет доказано, что любую измеримую/(х), конечную почти всюду
на[0, 2я], при любом е > 0 можно так изменить на множестве мерыменьше в,
чтобы превратить ее в непрерывную g (x) с равномерно сходящимся рядом
Фурье.
Но, как показал Д. Е. Меньшов, то множество, на котором происходит
изменение, нельзя выбрать произвольно (см. § 6).
Однако, если уже не требовать от «исправленной» функции, чтобы ее
ряд Фурье сходился равномерно, а ограничиться сходимостью почти всюду,
то получается следующий результат (см. § 7): для любой суммируемой/(х)
и любого совершенного нигде не плотного Р можно так изменить/(х) вне Р,
чтобы получилась суммируемая функция g(x) с рядом <r(g), сходящимся
почти всюду (в частности, можно для любого е > 0 сделать тпР > 2п — в).
В § 6 даются без доказательств некоторые теоремы Д. Е. Меньшова, пока-
показывающие, в какой мере полученные результаты могут быть усилены и в
каких случаях такое усиление невозможно.
§ 2. Две элементарные леммы
Лемма 1. Пусть Я (х) — непрерывная ломаная на некотором отрезке
[ayb]; если |А(х)| ^Мп число звеньев ломаной равно к, то для любых п и х
- х

§2
ДВЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЛЕММЫ
439
Действительно, если (а, /?) такой отрезок, на котором Х(х) прямолинейна,
то по второй теореме о среднем (см. Вводный материал, § 2)
— X
dt
потому что
для любых end (см. гл. I, § 35).
Так как отрезок [а, Ь] разбивается на к отрезков, на каждом из которых
1(х) прямолинейна, то утверждение леммы справедливо.
Лемма 2. Пусть е > 0 и ip (x) — периодическая с периодом 2п такая,
что
\jv(f)dt\<e,
Тогда для любых п их
2л
sin n(t — х)
— X
dt
<An2s,
где А — абсолютная константа.
Чтобы доказать это, заметим
непрерывную производную на всей бесконечной оси, и, кроме того,
Чтобы доказать это, заметим сначала, что функция g(у) =—— имеет
где С постоянно. Но отсюда
d
для любых п и х.
Теперь, интегрируя по частям, получаем
J v@ sinfn^x) dt=2
о о
где мы положили
В силу условий леммы |Н(/)| <^ е для 0 <^ t <^ 2щ а потому
< 2/2 е + С/22 е 2я < Ли2 е ,
где Л постоянно, и лемма доказана *).
*) Легко подсчитать, что А < 16.

440
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
ГЛ. VI
Обе доказанные леммы очень элементарны, и мы их выделили только
для того, чтобы не разбивать изложение мелкими замечаниями. Теперь же
мы переходим к таким леммам, которые будут играть решающую роль в дока-
доказательстве основной теоремы.
§ 3. Лемма о множителе Дирихле
Здесь будет доказана одна лемма, касающаяся свойств «исправленного»
множителя Дирихле, т. е. выражения вида
sin n(t — х)
t — х
C.1)
которым обычно при изучении вопросов сходимости заменяют настоящий
множитель Дирихле
sin
- х)
о . t — х
2 sin —=—
Будет установлен некоторый факт, характеризующий интерференцию поло-
положительных и отрицательных волн функции C.1), когда аргумент t пробегает
п=сг
некоторую систему интервалов равной длины и расположенных на равных
расстояниях друг от друга, а х пробегает некоторое множество.
Первое утверждение этой леммы мы используем в § 4, а второе в § 6.
Лемма 3. Пусть [c,d] — любой отрезок, v > 8 — любое целое, г > 2 —
любое целое и q = rv. Пусть
д _ й- с
q v '
= cs-d'
. d — с и , d — с
а = с Н , Ь = d —,
V ' V У
~2
(см. рис. 27).
Тогда имеем
* r_sinjz_(r
-"Ч J t-
<A для а
6, n=l,2,...,
2)
s=l
f sin n
J —f
— x)
<A-j- для x?E, n =-- 1, 2,...,
где А — абсолютная константа.

ЛЕММА О МНОЖИТЕЛЕ ДИРИХЛЕ
Доказательство. Так как —-—— = q д = г v д, то а = сг и b =
= cq_r. Поэтому существует такое р, г <^ р <^ q — г — 1, что
1) если х ? [а, Ъ\ то ср < х ^ ср+1,
2) если х ? ?, то ср + 2<5 < х <^ ср+1 — 2д (см. рис. 28).
Рис.
Обозначим
<28
Нам надо оценить
Имеем для любого 5 ф р, s =j= p + 1
I 1 ^ I <
I 1щ ^ I < min
где min берется по всем / из (as, cs). Но для 5 > р + 1
- Cp+i = cs-d'- ср+1 =-
откуда
I In.(х) | <yiriy^T^i)* для 5 > P + ^ C-4>
а для s <C p — 1 имеем x — t^cp — cs = (p — s)vd, откуда
^n. WI < Jfzr^s Для s < P - 1 • C.5)
Обе формулы C.4) и C.5) дают во всех случаях
I In. (х) | <4-J- Vuhv\ Для | р - 5
1 2
потому что для любого натурального /с> 1 всегда т—i~<y • Наконец,
!/„,(*)!<2тг ~
для любых п, s и х (гл. I, § 35).
Теперь для оценки 1„{х) мы будем различать два случая
а) 2р-1<?,
б) 2р - 1 > q.
В случае а) мы положим
Кп (х) - 2~' In. (х), Qn (х) = v /„s (х),
l 2
в случае б)
s=2p—q
= I7
Имеем в обоих случаях

442 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Оценим сначала Qn(x). В сумме фп(х)для случая а) имеем s^> 2p, зна-
значит, 5 — Р^> Р^г> а потому из C.6)
д v r д q
В случае б) имеем s^2p — q — 1, значит,
р — s^>q Ч 1 — p^q+1 — (q — r— l) = r+2>r,
следовательно, справедлива та же оценка; в обоих случаях число членов
суммы меньше q, а значит
Переходим к оценке Кп (х). Полагая т = р — 1 в случае а) и т = q — р
в случае б), имеем в обоих случаях
р+т
Kn(x)=s_2Jns(x). (ЗЛО)
Это выражение мы и будем оценивать.
Полагая t = as + г, имеем
р+т &'
^п \л) ~~ ^ — —ОХ. yo.ll)
Положим
д= -р + \"х . C.12)
V О V
Тогда X ^ 0, ибо ар + х < ср < х; с другой стороны
о X — йр — Т ^^ Ср t-i — Ср ¦,
— А — ^ - ^ ~д — А ,
значит, | А| <^ 1. Но
Поэтому
„ ,, _ 1 v Г sinnvd(s-p + X) .
Исключим из суммы Кп (х) три интеграла, именно те, где 5 = р, 5 = р — 1
и s = р + 1; их оценим отдельно. Во-первых, мы для любых а, р,Хип имеем
(см. гл. I, § 35)
| Г sinn(
J—r
Кроме того, если расстояние от х до любого cs не меньше, чем 25, a as ^ f ^ cs,
то |/ — х| > 25 — 5' > д, а потому
I ^п, (х) К 2 я для любых 5 и х
и
I^WKj, если х^? и 5 любое.
Итак, для a^x^b выкидывание трех интегралов из суммы C.11)
означает отбрасывание величины, по модулю не превосходящей бтг, а для
х ? Е эта величина не превосходит 3 ~ .

ЛЕММА О МНОЖИТЕЛЕ ДИРИХЛЕ
443
Остается оценить
p+tn
*(х)= у 1 Г sin y(s-p
sin y(s-p+А)
где Y = п v д и где знак 2J' означает, что s=f=pHS=fi=p+l.
Полагая 5 — р = v, если s > р и р — s = vy если р > 5, получим
V== 0
Если обозначить
+ 4- fsinY(
sin У (g ± A) " sin У (р zb A) _
то
1 1 i m 1
1 LI<r V
A j
так как |Я| ^ 1.
Поэтому при любом т имеем |/?К 1, откуда следует
Но
m 1 ' •
у 1 Г Sin
~ 0
У(г?
+ A) +
V
m
2
sin У (г? —
1
6
sin Y v
г
7
¦A)
2
<
cos
+ 2^ =
m
у 2 у Sin
//т
¦ w ь
)
+ 2^.
при любых У и т, где 6? — абсолютная константа (гл. 1, § 41), поэтому
X + 2i<^-X> C-14)
где L — абсолютная константа.
Учитывая разницу между Кп(х) и К*(х), заключаем отсюда
для
C.15)
чу наконец, принимая во внимание C.8), C.9) и C.15),
-^-< 1 )и
где А — абсолютная константа. Лемма 3 доказана в обоих случаях.
Замечание. Ввиду чрезвычайной глубины этой леммы Меньшова*),
мы считаем целесообразным отметить основную идею, которая могла остаться
*) Это подтверждается тем, что с ее помощью он доказал целый ряд важных теорем.

444 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
скрытой за выкладками: точка х не может подходить очень близко к концам
end рассматриваемого отрезка [с, d], так как она отстоит от них не меньше,
^ с
чем на -—— q 6 = rvd; поэтому непременно существуют как отрезки
(as, cs) налево, так и направо от нее. Так как ср <^ х <^ ср+1, то сказать, что
2р —1 <^ q, это значит сказать, грубо говоря, что х лежит в левой половине
отрезка [с, d], а при 2р —1 > q — в его правой половине. Сумма Qn (x) рас-
распространена на интегралы по таким (as, cs), которые «сравнительно далеко»
от х (так как \s — р\^ г), а потому оценкаQn(x) достаточно грубая: в ней
можно заменить sin n(t — х) единицей и играть только на том, что длина д'
интервала интегрирования не больше <5, а расстояние от t до х, грубо говоря,
равно сумме длин интервалов (cs, cs+1), поместившихся между t и х, т. е.
5 — р\ vd^ rvd == q д. Поэтому величина каждого/„s(x) из суммы Qn(x)
имеет порядок —«, а всех их не больше q, что и дает нужную оценку.
С суммой Кп (х) дело обстоит иначе. Здесь есть интервалы (as, cs), которые
близки к точке х, и даже для случая 1) разность t — х может стать рав-
равной нулю. Мы вынуждены поэтому отдельно оценивать те интервалы,
где s = р—1, р или р + 1; впрочем, это не страшно, так как каждый
такой интеграл в отдельности не превосходит 2л (чего достаточно в
случае 1), так как там отбрасывание константы ничего не меняет) и не
превосходит -^ в случае 2), где оцениваемая величина должна иметь та-
такой же порядок.
Теперь в сумме Кп (х) уже нет интегралов, распространенных на «опасные
интервалы», но среди остальных все же есть «близкие» к х, и потому их уже
нельзя оценивать грубо. Здесь приходится играть на том, что столько же
интервалов (as, cs) налево от того интервала (ср, ср+1), где лежит х, сколько
и направо от него, и их-то мы и объединяем попарно (случай v = s — р и
v = р — s).
Это дает возможность учесть интерференцию положительных и отрица-
отрицательных волн синуса — употребление формулы
sin Y (v + X) + sin Y (v - X) = 2 sin Y v cos Y X.
Далее, так как интервалы (as, cs) очень малы, то когда точка t пробегает такой
интервал, ее расстояние от х почти такое же, как если бы она оставалась в
as, значит, при пробегании числом 5 разных значений у нас t — х меняется
почти как член арифметической прогрессии с разностью vd. Но, как мы уже
знаем,
^ sin kx
есть величина, ограниченная для любых N и х. В этом факте также учтена
уже интерференция положительных и отрицательных волн синусоиды.
Использование этого факта и дает последнее неравенство, нужное для
оценки Кп(х).
Тонкость полученной оценки может быть продемонстрирована следую-
следующими соображениями: пусть [с, d] лежит на [0, 2п] и пусть F (х) — характе-
характеристическая функция для множества, составленного из интервалов (as> cs)
(s= 1,2, ...,?). Тогда
а с
2л
sin n(t-x) df = Грф sin n(t-x)
t — X

ЛЕММА О МНОЖИТЕЛЕ ДИРИХЛЕ
445
Так как F (/) ступенчатая, значит имеет ограниченное изменение, то част-
частные суммы ее ряда Фурье ограничены в совокупности, поэтому можно
утверждать сразу, что и
sin n(t — x)
— x
dt
где С постоянно. Но все дело в том, что, как было показано в § 48 гл. I,
если некоторая функция F (х) с ограниченным изменением имеет максимум
модуля, равный М, и полное изменение V, то частные суммы ее ряда Фурье
удовлетворяют условию
|Sn(x,F)|<M + 2 V
и, значит, в интересующем нас случае, где, как легко подсчитать, V = 2q,
аМ=1, мы могли бы только утверждать, что
А так как q в рассматриваемой лемме может быть сделано как угодно
большим, то утверждение
sin nit — х)
у Г sin n (t
1 J ~~Tr:
— х
dt
где А — абсолютная константа, базируется на том, что интервалы (as, cs), где
F(x)= 1 и вне их F(x)= 0, это не какие-нибудь q интервалов, а интервалы,
подобранные так, что на них происходит интерференция положительных и
отрицательных волн синусоиды sin nt.
Следствие 1. Пусть [с, d] — любой отрезок на [0, 2л]. Сохраняем
все обозначения леммы. Пусть
О вне всех (as, cs).
Числа hs выбраны так, что
01Л.+Г
г '
Тогда
3) hs = О, если (as, cs) вис (а, Ь).
sin n(t — х)
<В
для любых п и х, где В — абсолютная константа.
Для доказательства заметим прежде всего, что
sin n(t — х) ..
t - х
C.16)
-2К Ins (x) = 2(ha- hp) lns (x) + hp 2 lm (x).
C.17)

446
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Если х ? [а, Ь], то hp = 0. Если же х ? [а, Ь], то по доказанной лемме
Поэтому из формулы C.17) и учитывая 0<; /zs<C 1, для любого хна [0, 2п]
имеем
\Jcp(t)^^^dt\<ijhs-hp\\Ins(x)\+A. C.18)
Отбрасывая, как это мы делали при доказательстве леммы, те интегралы
для которых s = р, s = р — 1 и s = р + 1, и замечая, что \hs — hp\ <^ 2 для
любых 5 и р и справедливы формулы C.7), мы видим, что C.18) дает
sin n(t — х)
dt
. C.19)
К интегралам правой части C.19) применим формулу C.6). Будем иметь
Ho \hs — hp\ <-—-^-L в силу условия 1), наложенного на числа hs, а потому^
из C.19) и C.20)
2л
<4-
L
где В — абсолютная константа.
Следствие 2. Пусть
Положим
и пусть
и п<~о-
2" '
q>(x) вне всех (a's, c's)
и интерполируется линейно на каждом (as, a's) и (cj, cs), где q> (x) — функция
из следствия 1. Тогда g(х) — непрерывная ломаная на [0, 2п], причем g (х) = О
вне [а, &],
2л
C.21)
любых п и х, где С — абсолютная константа и
2л
C.22)
То, что g{x) — непрерывная ломаная, равная нулю вне [а, Ь], видно иа
ее построения.

§3
ЛЕММА О МНОЖИТЕЛЕ ДИРИХЛЕ
447
Чтобы убедиться в справедливости C.21), достаточно, пользуясь C.16),
доказать, что
:в', C.23)
где В' — абсолютная константа. Но на каждом (as, cs) (рис. 29) функция
g(/) — q> (t) есть непрер ывная ломаная,
состоящая из трех звеньев, и поскольку
0<^ /zs<^ 1, имеем
Поэтому в силу леммы 1 § 2 имеем
-у@1 —"(f.Tx)df
Так как g (t) — <р (t) = О вне всех (а3, cs), то
Рис. 29
sin n(t — х)
t — х
dt
sin n if ~ x)
dt
a»
k\
+ 36^, C.25),
где знак^' означает, что мы отбросили три интеграла: для s = p, s = р — L
и 5 = р + 1, каждый из них не превосходит 12л; в силу C.24).
Так как в интегралах правой части C.25) уже
то
в силу выбора числа г\.
Так как число интегралов в формуле C.25) меньше, чем q, то правая
часть C.25) не превосходит 2 + З&т = В' и, значит, C.23), а стало быть,,
и C.21) доказано.
Кроме того, так как ф(х)ф g(x) только на (asy a's) и (c's, cs), а в этих интер-
интервалах \у(х) — g(x)\ <; 1, то
2Й
и C.22) тоже доказано.
Замечание. Впоследствии, применяя эти результаты к доказатель-
доказательству леммы 4, мы при построении ср(х) положим, что hs = 1 на всех (as, cs)
в некотором (а', Ь') внутри (а, Ь), что ns возрастает на (а, а') и убывает на

448
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
гл. VI
(/?', Ь), причем, так как число интервалов (cs, cs+1) длины vd, которые укла-
укладываются на {а, а') и (bf, Ь), будет равно г, то можно было бы сделать так,
чтобы переход от каждой «ступеньки лестницы» (рис. 30) к следующей тре-
требовал «шага», равного — [т. е.hs+1 = hs + -на(а,а')и/zs+1 == hs —- на(&',b)).
Однако нам удобнее, чтобы это было так для всех ступенек, кроме первой
и последней, где «шаг» должен быть сделан в два раза меньше. Почему это
f
2r{"
n
п
Puc. 30
так, будет видно из леммы 5, здесь же мы только указываем вид ср (х) для
геометрической картины и отметим, что при таком выборе чисел hs условие
\hs+1 — fts| <C— удовлетворяется для всех s.
§ 4. «Исправление» функции для получения равномерно
сходящегося ряда Фурье
Мы докажем здесь следующую замечательную теорему Д. Е. Мень-
Меньшова^.
Теорема Меньшова. Пусть f (x)—измеримая функция, конечная
почти всюду на [О, 2л]. Каково бы ни было а > О, можно построить функцию
g (х), совпадающую с f (х) на некотором множестве Е, тЕ > 2л — а, и такую,
что ряд cr(g) сходится равномерно на [О, 2л].
Для доказательства теоремы нам понадобится следующая лемма:
Лемма 4. Пусть [с, d] —любой сегмент на [0, 2л], у — любое действи-
действительное, в — любое положительное, v > 8 — любое натуральное.
Тогда существуют функция ip (x) и множество б такие, что
а) у) (х) — непрерывная ломаная на [0, 2л] и гр (х) = 0 — вне [с, d],
б) k(x)l<2^|r| па 0<х<2тг,
в) |]>(x)dx|<e,
г) ip (х) = у на И? , где
д) т & >{d - с) A - ~) и % с [с, d],
) | JVco
sin n(t — х)
t - х
dt
<Bv\
/г=
где В — абсолютная константа.
Если у = 0, то достаточно положить яр (х) == 0 и все условия будут
удовлетворены при I? === [с, d]. Поэтому в дальнейшем считаем у =f= 0.

§4
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИИ
449
Выберем натуральное г столь большим, чтобы, полагая
иметь
Зафиксировав так г, а значит и q, положим
qv
D.1)
D.2)
D.3)
и построим числа cs и as, как в лемме § 3, но при д' — д, т. е.
cs = c + dvs E = 0, ±1, ±2,...),
Положим снова
и пусть
Пусть % (х) = 1 на (а', Ь'), % (х) = 0 вне (а, Ь) и будем ее интерполировать
линейно между а и а', а также Ь1 и Ь (рис. 31).
a cs.fcs a'
Рис. 31
Обозначим через Г3 величину интеграла
Из рис. 31 ясно, что Г5 = 0, если от-
отрезок (с5_х, cs) помещается вне (а, 6), что
Г5 = vdy если (с5_х, cs) лежит на (а', Ь')> и
что, если (с5_г, cs) лежит на (а, а') или F',
Ь), то Г3 есть площадь трапеции или тре-
треугольника при s = г + 1 или s = q — г.
Так как на отрезке (а, а'), длина которого
есть = q д = rvd, помещается ровно г
Рис. 32
отрезков длины vd, то при переходе от
(cs-i> cs) к (cs> cs+i)> если °^а они лежат на
(а, а'), площадь Г5+1 получается из площади Г3 добавлением прямоуголь-
прямоугольника с высотой —и основанием vdy т. е.
(рис. 32). Точно также обстоит дело, если (cs_x, cs) и (cs, cs+1) оба лежат на
ф', Ь), надо только Г5+1 — Г8 заменить на-|Гв+1 — Г3\.

450
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ
гл. VI
Для случая, когда мы переходим от отрезка, лежащего налево от а,
к отрезку направо от него, аналогично для а'у Ъ1 и Ъ изменение площади
происходит лишь на у^З. Итак, во всех случаях
1 s+1 — 1 s\^~vo [ь — 1, z,. . .,q — i;.
Мы теперь построим функцию ^(х)так, как указано в следствии 1 лем-
леммы 3, но полагая для всех 5
тогда будем иметь
1
1 и \hs+1 — fts| «С —, как требуется при опреде-
4
Рис. 33
лении этой функции. Кроме того, заметим сразу, что мы будем иметь для
любого s
г. с*
D.4)
= ] %(t)dt,
потому, что <p(t) = 0 вне (as, cs) n<p(t)= hs на (as, cs), длина которого равна д,
значит
v fcp(t)dt = vhsd = rs= l'X(t)dt.
С8—i С8—i
Теперь ясно, почему <p(t) имеет вид, указанный на черт. 30. После того,
как(? @ определена, мы построим g (/)так, как указано в следствии 2 леммы 3.
Наконец положим
V{x) = v[x(x)-vg(x)] D.5)
и докажем, что ip (x) удовлетворяет всем условиям леммы 4.
Условие а) выполнено, так как %{х) и g(x) обе являются непрерывными
ломаными на [0, 2п] и обе равны нулю вне [с, d].
Условие б) вытекает из того, что \%(х)\ ^ 1, |g(x)| <^ I, a v > 1.

§4 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИИ 451
Чтобы убедиться в справедливости в), введем вспомогательную фуинкцкю
(рис. 33)
V* (х) = у[х(х) — vq>(x)].
Имеем
V>* (x) - у (*) = vy [g(x) -<p(x)],
а потому в силу C.22), D.2) и D.3)
Следовательно, в) будет доказано, если мы убедимся, что
|
о
D.6)
Но из D.4) следует сразу, что для любого s
0. D.7)
Пусть | любое на [0, 2п]. Если |<^ с, то у* @ = 0, поскольку ср (t) и
x(t) обе равны нулю вне (с, d). Если с < I, то найдется такое /с, что
Тогда
J ^* @ d/= J*v* (/) d/+ |Г* (О Л - JV (О Л,
О 0 С С
D.8)
к—\
поскольку (с, ск) = 2 (сз-ъ cs) и к каждому (с5_ь cs) можно применить D.7).
s—l
Далее имеем в силу D.4), D.2) и D.3)
Т
Ск
+ ^|у|<2^|у|<-|-. D.9)
Из D.8) и D.9) следует, что D.6) доказано, а значит, как уже разъясня-
разъяснялось выше, справедливо и условие в).
Положим
g = [a',b'\- 4~i (as,cs),
s=2r+l
т. е. выкинем из [a', bf] все интервалы (as, cs), лежащие внутри него. Имеел!
Для получения I? из (a', bf) мы выбросили интервалы длины д и их
меньше, чем q штук, поэтому сумма их длин меньше q д = ~~ с7 а значит

452 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
т. е. мера множества I? такая, как требуется в условии д) и притом % лежит
на [с, d]. Но на этом множестве % имеем у(х) = у, потому что g(x) = 0 вне
всех (as, cs), а %{х) == 1 всюду на (а', V). Итак, условие г) тоже выполнено.
Наконец осталось доказать е). Но так как % (х) есть непрерывная ломаная
на [0, 2я], и она состоит из 5 звеньев, то по лемме 1 имеем, учитывая | % {t)\ <; 1,
2л
sin n(t — х)
Что же касается g(t), то она была построена так, чтобы удовлетворялось
следствие 2 леммы 3, а потому
о
где С — абсолютная константа. Отсюда в силу D.5)
где В — новая абсолютная константа, и лемма 4 полностью доказана.
Замечание. Идея этой леммы следующая: мы хотим «малым» изме-
изменением превратить функцию, равную у на [с, d] и нулю вне [с, d], в такую
функцию у>(х), которая не только непрерывна, но и имеет интеграл, не пре-
превосходящий наперед заданное число е на любом отрезке @, |); кроме того,
она по модулю не должна превосходить 2v \ у\, где v задано и частные суммы
ее ряда Фурье должны иметь тот же порядок, что v\y\. В дальнейшем v будет
очень велико, так что изменение функции на множестве меры, меньшей чем
—, будет малым изменением (см. условие г)). С другой стороны, соотношение
между v и у в последующих построениях будет таким, что v\y\ будет
тоже мало. Рис. 33 показывает, почему, вычитая изу%{х)функцию yv<p(x),
мы получаем функцию с малым интегралом: площади, ограниченные
кривыми у%{х) и yv<p(x) на каждом (cs, cs+1) одинаковы, значит их разность
равна нулю, а на каждом куске некоторого (cs, cs+1) всякая такая площадь
мала, потому, что д было выбрано столь малым, чтобы | у\ vd было меньше
чем-J.
Итак, можно добиться, чтобы при малом изменении функции сделать ее
интеграл очень малым. Но если бы ее изменять на произвольно выбранных
малых интервалах в большом числе, то частная сумма ряда Фурье изменен-
измененной функции оказалась бы очень велика. Тот факт, что для построенной
tp(t) удовлетворяется условие е) объясняется тем, что изменение произ-
производилось на разумно подобранных интервалах длины <5 (опираясь на лемму
о множителе Дирихле). Что касается перехода от <р (t) к g (/), то он делается
для непрерывности ip(t)y а свойства ^*(/)и tp(t) одинаковы, потому что cp(t)
отлична от g(/) лишь на интервалах чрезвычайно малых. Этим мы закан-
заканчиваем попытку объяснить идею доказанной леммы.
Мы переходим теперь к доказательству теоремы. Отметим прежде всего,
что можно вести доказательство для функции Ф (х), обладающей свойствами:
1) Ф(х) непрерывна на [0, 2л],
2) Ф(х) = 0 вне некоторого отрезка [А, В], целиком лежащего внутри
(О, 2я).

«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИИ
453
Действительно, пусть а > 0 задано. Допустим, что мы умеем найти такое
множество Ег и такую функцию G (х), что
на Ev где
D.10)
и cr(G) равномерно сходится.
Пусть теперь / (х) —любая измеримая и конечная почти всюду на [0, 2п ].
Пусть
А=-^, В==2тг~ -^-,
Так как/(х) обладает С-свойством на [0, 2л], значит и на (А', В'), то можно
найти такое Р с (А', В'), тР >
>(B'-A')-± = 27t-lo,4VO
f(x) = Ф(х) на Р, где Ф (х) — функ-
функция непрерывная на (А', В') (рис.
34). Если мы положим Ф (х) = О
на (О, А) и (В, 2п), затем проин-
терполируем ее линейно на
[А А'] и [BfB]y то Ф (х) будет удов-
удовлетворять условиям 1) и 2). Пред-
Предполагается, что мы уже умеем
Рцс
, у у
найти G (х), удовлетворяющую условию D.10) неравномерно сходящимся
рядом Фурье.
Полагая
мы видим, что
G(x) = f(
и при этом гпЕ > 2п — с, потому что
на
а
т
- G.
D.11)
Итак, мы убедились, что достаточно доказать теорему для функции
Ф(х), непрерывной всюду и обращающейся в нуль вне некоторого [А, В],
целиком лежащего внутри [0, 2зт].
Обращаемся к доказательству теоремы для этого случая.
Прежде всего представим Ф(х) в виде ряда
т=1
где все функции Фт(х) ступенчатые, ряд сходится равномерно и
- а
D.12)
D.13)
В силу непрерывности Ф(х) это всегда возможно.
Кроме того, можно всегда предположить, что Фт(х) = 0на [0, Л] и
[В, 2п] для т = 1,2, ..., поскольку Ф (х) = 0 на этих отрезках.
Для каждой функции Фт(х) отрезок [0, 2п] распадается на конечное
число сегментов, на каждом из которых она постоянна; пусть д^ —эти сег-
сегменты, перенумерованные слева направо; на первом и последнем из них

454 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
фт (х) = 0. Перенумеруем сначала все gW, затем все qJ\ и т. д., получим пос-
последовательность сегментов
причем, если vm — число всех интервалов постоянства функ-
функций Фг (х), Ф2 (х), ..., Фт (х), то для s, удовлетворяющего условию
vm-1<s<ym, D.14)
имеем
4 = дЫ
при некотором значении / и
фт(х) = уа для х?Д>, D.15)
где
ly.Ki D-16)
в силу D.13).
Пусть теперь
пг<п2< ... <ns< ... D.17)
— последовательность натуральных чисел, которые мы определим позже.
Положим
в. = йй- DЛ8)
На основании леммы 4, в которой мы положим
[c,d]=Aa, e = es, ^ = 2^3^+1)^ у = ys y D.19)
мы можем для каждого s, удовлетворяющего условию D.14), найти такую
непрерывную ломаную y>s(x), что
а) ^s-W = 0 вне As,
в) |/
о
= ys на %s, где
4 и mg>s>A
потому что v ;> 8 • 2т ~, значит — <;
2л
sinn(^ — x).
• 2т
для любых п и х, где А — абсолютная константа, потому что, как мы уже
М^- 32.71
< ~2W •
Заметим еще, что если ys = 0, то можно взять ^s(x) == 0> как было ука-
указано в начале доказательства леммы 4.

§ 4 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИИ 455
Пусть теперь
Тогда
^=2л~~у D.20)
потому что интервалы Д? для s, пробегающего значения от vm^1 + 1 до vmy
составляют все отрезки постоянства Фт(х), т. е. не перекрываются и запол-
заполняют отрезок [0, 2л].
Полагая
Е = ПНт,
имеем в силу D.20)
тЕ>2л — о. D.21)
Если теперь положить
Gm (*) = %(*) на 4, "m-i<s<vm, D.22)
то из г) следует
Gm (х) = ys на W8
и так как H?s с As, то в силу D.15)
и, следовательно,
G(y\ — Ф (у\ ня И
т\л) — 4Sm ул) Hcl lJm,
откуда
От(х) = Фт(х) на Е(т= 1,2, ...). D.23)
Каждая Gm (x) непрерывна, так как все ips (x) непрерывны и обращаются
в нуль в концах As.
Разрыва в точке 0 или 2л при периодическом продолжении тоже не
произойдет, так как мы уже говорили, что ^s(x) = 0, если ys = 0, а на отрез-
отрезках [О, А] и [В, 2л] имеем Фт(х) = 0 при любом т.
Наконец, так как каждая ips (x) удовлетворяет условию б), то в силу
D.22)
а следовательно, полагая
т=\
видим, что G(x) непрерывна, поскольку ряд сходится равномерно. Из D.11)
и D.23) получаем тогда
О(х) = Ф (х) на ?,
и поскольку ш?> 2л — а (см. D.21)), то осталось доказать, что a(G) равно-
равномерно сходится, чтобы теорема была доказана.
Заметим, прежде всего, что ряд 2 Ws (x) тоже сходится равномерно к
G(x). Действительно, всякая Gm(x)может быть определена как сумма ^s(x)
для vm_1 < s <^ vmj потому что для любого х только одна из этих функций
отлична от нуля (^s(x) = 0 вне Д> на основании а)). Кроме того, каждая

456 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
*ps(x) удовлетворяет б). Этого достаточно, чтобы убедиться в справедливости
утверждения
), D.24)
s=l
где ряд равномерно сходится.
Для того чтобы убедиться в равномерной сходимости a (G) (при соответ-
соответствующем подборе чисел пк, которые мы пока еще не определили), достаточно
показать, что для любого е > 0 можно найти такое JV, для которого, полагая
2л
имеем
\Sn(x)-G(x)\<s при
В силу D.24) можем написать
2я
Sn(x) = 2i; (v>s(t)Sin^xX)dt. D.25)
S=l J
О
Функции ^s (t) полностью определяются лишь, после того, как даны числа ns,
которые пока удовлетворяли только D.17); по этим ns строятся es (см. D.18))
и тогда уже можно определить ^s(/) по лемме 4 "с удовлетворением всех усло-
условий D.19). Положим пг= I и пусть
уже выбраны. Тогда eS9 а вместе с ними и ^s для 5 = 1, 2, ..., к — 1 уже
построены. Каждая из них есть непрерывная ломаная, значит, их сумма
тоже, а потому
2я
1
S=l J 5=1
как только п станет достаточно большим, так как о* J} y>s(x)
к-\
D.26)
сходится рав-
равномерно к этой функции. Выберем же пк > пк_г и достаточно большим,
чтобы неравенство D.26) имело место для п > пк. Теперь все ns определены
и все ips(x) таким образом построены.
Пусть теперь п любое; найдем число к так, чтобы
пк<п<пк+1. D.27)
Тогда, если п -+ оо, то и к -> оо, значит можно взять п столь большим, чтобы
<
Кроме того, мы будем считать п уже столь большим, чтобы, определяя
к из неравенства D.27) и находя затем т из
} D.29)
иметь

УСИЛЕННОЕ С-СВОЙСТВО
457
где А — константа, входящая в условие е) для функций ips (x) при
Vm_1 < 5 < Vm.
00
Наконец, в силу равномерной сходимости ряда 2J Vs (x) можно предполо-
предположить, что для этого же к
У^(х) <~. D.31)
Теперь, полагая
2я
sin n (t — х)
имеем на основании D.26) и D.31)
Sn(x)-G(x)\ =
к-\
5=1
2 \Jn.(x)\'
Теперь на основании свойства е) функций ips (x) имеем
D.33)
потому что к удовлетворяет D.29) и т удовлетворяет D.30).
Наконец, на основании леммы 2 можем для всякого ]т в силу свойства
в) функций y>s(x) написать
D.34)
так как es удовлетворяет D.18). Поэтому из D.27) заключаем, что
I Jns(x)\^ 16я!+1~г—i"<^~r при
и, следовательно, в силу D.28)
Соединяя D.32), D.33), D.34) и D.28), получаем
\Sn(x)-Q(x)\<e,
и доказательство закончено.
§ 5. Усиленное С-свойство
Нам представляется целесообразным ввести такую терминологию.
Определение. Функция f(x) обладает усиленным С-свойством на
некотором Е с [0, 2тг], тЕ > 0, если для любого е > 0 существует такое
Рс?, тР > тЕ—е, на котором f(x) = g(x), где g(x) непрерывна на [0, 2ж]
и ее ряд Фурье равномерно сходится на [0, 2л].

458 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Приняв такое определение, мы можем теорему Меньшова, доказанную
в § 4, формулировать так: если измеримая функция конечна почти всюду на
[О, 2тг], то она на нем обладаем усиленным С-свойством. Однако легко видеть,
что она обладает усиленным С-свойством и на любом Е, тЕ > 0, лежащем
на [0, 2п]. Действительно, взяв е > 0, можно найти ff, тЖ > 2ж — ей такую
g(x), что /(х) = g(x)na&EH cr(g) сходится равномерно. Пересечение ?1Г есть
множество, для которого т фЕ) > тЕ — г, и внутри него можно взять
совершенное Р, тР у>тЕ — е; на Р имеем /(х) = g(x) и g(x) обладает нуж-
нужными свойствами; значит, f(x) обладает усиленным С-свойством на Е.
Это простое замечание позволяет высказать следующее
Следствие из теоремы Меньшова. Для любой измеримой
f (x), конечной почти всюду на [0, 2п\ существует последовательность совер-
совершенных нигде не плотных множеств Рк (к = 1, 2, ...) таких, что
1) множества Рк не имеют попарно общих точек,
2) если Q = 2 Рк, то mQ = 2щ
3) f(x) = fk(x) на Рк (ft =1,2, ...),
где все fk(x) непрерывны и имеют равномерно сходящиеся ряды Фурье на
[О, 2л].
Действительно, находим сначала совершенное, нигде не плотное Р19
тР1>0, на котором /(х) = /±(х), где /Х(х) непрерывна и a(f±) равномерно
сходится.
Допустим, что Рг,Р2, ...,Pk-i уже построены; все они совершенные,
нигде не плотные, попарно без общих точек и
/ (х) = /;. (х) на Pj для / = 1, 2, ... , к — 1,
где все /у(х) непрерывны и все a(fj) сходятся равномерно. Полагаем
Q^i = Pi + P*+ .-.+Pk-i.
Поскольку Q^_! нигде не плотно, имеем mCQk_1 > 0; поэтому на CQk_x
функция /(х) обладает усиленнымС-свойством, значит, найдется совершенное
Рц> тРк > mCQk-t — у, на котором /(х) = fk (x), где fk (x) непрерывна и a (fk)
равномерно сходится. Построенное Рк не имеет общих точек с Р19 Р2, ..., Рк-г.
со
Ясно, что, полагая Q = 2J Рк, имеем mQ = 2тг, и доказательство закончено.
к=\
Это следствие из теоремы Меньшова окажется очень полезным в даль-
дальнейшем (см. гл. XV, § 2).
§ 6. Проблемы, связанные с «исправлением» функций
Мы убедились, что любую измеримую функцию /(х), конечную почти
всюду, можно «исправить» на множестве как угодно малой меры так, чтобы
превратить ее в непрерывную g(x) с равномерно сходящимся рядом Фурье.
В частности, это справедливо для любой непрерывной функции /(х). Однако
то множество, на котором /(х) остается неизменной, зависит от функции / (х).
Д. Е. Меньшов поставил проблему, нельзя ли добиться превращения непре-
непрерывной функции /(х) в g (x) с равномерно сходящимся рядом Фурье, требуя,
чтобы /(х) оставалась неизменной на некотором заданном множестве и можно
было бы исправлять ее только вне этого множества. Он показал, прежде
всего, что его теорему (доказанную нами в § 4), можно усилить в том смысле,
что множество е {те < г), где разрешается менять функцию, можно считать
зависящим только от г и от модуля непрерывности /(х), но не от других
свойств этой функции. Точнее, он доказал теорему (см. Д.Е. Меньшов РЧ)

§ 7 «ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 459
Для любой положительной неубывающей функции q (<5), определенной для
д > 0 и такой, что lim q (д) = 0,и для любого е > 0 существует множество
д—»О
е, те < е, такое, что если f (х) — любая непрерывная, для которой модуль
непрерывности со (<3) удовлетворяет условию
а)(д)^@(д) при любом E,
то f (х) можно так изменить на еу чтобы для вновь полученной g (х) ряд o(g)
сходился равномерно.
Но все же в предыдущей теореме е зависит от модуля непрерывности
f(x). Д. Е.Меньшов поставил вопрос: можно ли выбрать е так, чтобы оно
зависело только от е? Оказалось, что этого нельзя сделать, даже если отка-
отказаться от требования равномерной сходимости ряда a (g) для исправленной
функции g(x), а требовать лишь его сходимости в каждой точке. Именно
Д. Е. Меньшов РЧ доказал теорему:
Для любого множества е, те<С2л, можно определить функцию /(х),
непрерывную на [0, 2л] и такую, что: какова бы ни была у(зс), непрерывная
на [0, 2л] и совпадающая с f (x) всюду вне е, ряд в (у) расходится по крайней
мере в одной точке.
Таким образом, выбрать заранее Е, тЕ > 2л— е, и требовать, чтобы
непрерывную/(х) можно было сохранить на Е и, изменяя ее только вне Е,
получить непрерывную g(x) с рядом cr(g), всюду сходящимся, уже невоз-
невозможно.
А если требовать, чтобы a (g) сходился лишь почти всюду? Этот вопрос
остается открытым. Однако если бы он решался в положительном смысле,
это означало бы, что ст(/)для любой непрерывной/(х) сходится почти всюду.
Действительно, мы видели в § 21 гл. V, что существуют совершенные
нигде не плотные множества Р, обладающие таким свойством: если/х(х) и
/а (х) обе принадлежат Lp (р > 1) и /х (х) = /2 (х) на Р, то а (/х) — а (/2) сходится
к нулю почти всюду на Р. Поэтому если «исправление» /(х) вне такого Р
возможно, то это значит, что ее ряд Фурье сходится почти всюду на Р. Но
выбирая множества Рп такого же типа во всяком смежном к Р интервале
дп, получаем новое множество Q = Р + Рг + ... + Рп + ..., на котором
а (/) опять сходится почти всюду. Вставляя разумно подобранные множества
в каждый интервал, смежный к Q, и продолжая такой процесс до бесконеч-
бесконечности, мы убедимся, что а (/) сходится почти всюду. Но вопрос о сходимости
почти всюду ряда Фурье от непрерывной функции до сих пор не решен и,
по-видимому, очень труден.
Если же потребовать, чтобы после изменения/(х) вне заданного совер-
совершенного нигде не плотного множества получалась лишь g (x), у которой
a (g) сходится почти всюду, но сама она только суммируема, то такая проб-
проблема уже решается положительно. Имеет место даже более общий результат,
который мы изложим в § 7.
§ 7. «Исправление» суммируемой функции вне заданного
совершенного множества
В этом параграфе мы докажем следующую теорему Д. Е. Меньшова t^:
Теорема. Пусть f(x) — любая суммируемая на [0, 2тг] функция и
Р — любое совершенное нигде не плотное множество на [0, 2л]. Можно
найти такую суммируемую g(x), что
g(x) = f(x) на Р
и a (g) сходится почти всюду.

460 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Для доказательства теоремы нам понадобится несколько лемм. Лемма
5 напоминает лемму 4 и так же, как эта последняя, базируется на свойствах
множителя Дирихле, рассмотренных в § 3. Разница между ними заключает-
заключается в том, что в лемме 4 от функции ip(x) требовалась непрерывность и
налагались условия на ее модуль; здесь будет достаточно сделать ее ступен-
ступенчатой и наложить ограничения не на ее модуль, а лишь на интеграл от
модуля; зато вместо того, чтобы иметь заданное значение у на каком-то
множестве меры, близкой к длине отрезка, где \р (х) определена, требуется,
чтобы она имела заданное значение на множестве, выбор которого от нас
уже не зависит. Утверждение д) леммы 5 несколько слабее, чем в лемме 4,
так как оно опирается на вторую половину леммы о множителе Дирихле,
но для наших целей его достаточно.
Лемма 5. Пусть [с, d] — произвольный сегмент, у — любое действи-
действительное, е — любое положительное число, *>> 8 — любое целое; наконец,
Q — любое совершенное нигде не. плотное, множество, Q с [с, d].
Тогда существует функция у (х) такая, что
а) у>(Х) ступенчатая на [с, d],
в) I/у(ОЙ
I С
г) ip(x) = у на Q,
d
для
Д)
где
е)
а В — абсолютная константа.
Доказательство. Если у = 0, то достаточно положить гр (х) = О
и Е = [с, d]. Поэтому будем считать у =/= 0.
Сначала, как в доказательстве леммы 4, выбираем г столь большим,
чтобы для
q = rv
иметь
^?<*. G.1)
Зафиксировав так г, а значит и q, мы снова, как в лемме 4, положим
д = ^^ . G.2)
Теперь мы положим
xs = c + vds (s = 0, 1, •••,?).
Тогда
с = х0 < хг < ... < xq = d.
В лемме 4 эти числа обозначались cs, но сейчас будет удобнее через cs
обозначить «слегка» сдвинутые точки. Именно, раз Q нигде не плотно, то
можно выбрать а < д так, чтобы точки
E = 0, 1, ..., q)

§ 7 «ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 461
все лежали вне Q, т. е.
cs?Q E-0,1,...,?).
Кроме того, заметим, что
C1 = xl — a = xo + vd — d>xo,
поскольку v > 8, значит
хо = с<сг< ... <cq = d — a<d,
т. е. все cs (s = 1, 2, ...,#) лежат на (с, d).
Так как все cs вне Q и Q нигде не плотно, то можно найти <5' < д так,
чтобы, полагая
я* = cs - V,
иметь
[as,cs]?Q (s=l,2,...,9). G.3)
Поскольку
fх — а3 = <5' < д ; Cj — с = хг — а — х0 ^ v д — 5 > 5 ,
то имеем
с<аг.
Наконец,
cs+1-cs = vd.
Определим теперь ср(х) из условий
на
( 0 всюду на [c,d] вне всех (as, cs).
Ясно, что ср(х) ступенчатая. Кроме того,
Поэтому
С
Положим
(с
Ясно, что у) (х) ступенчатая, т. е. а) удовлетворено.
Так как ср (х) всегда того же знака, что и — у, то
d Ct q CS
j\v(f)\*t=\j<pWt+2 J
с с ce__i
а потому
т. е. б) также доказано.

462
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Чтобы доказать в), покажем сначала, что
Действительно,
с
J
так как д = .
qv
Рассмотрим теперь
aSv(t)dt
для 0 < /5 < vd. Имеем
S<p(t)dt.
c
-—-, поэтому \y\ /5 <-—?|7|<^-всилу G.1). Кроме того,
( )
<p(f) фО только на (asy cs), а потому
J V№t
IrKi-
Итак,
^ для
Случай (с, с + /5) совершенно аналогичен.
Наконец, пусть | — любая точка на [с, d]. Находим такое ск, которое
ближе всего к | слева (или число с). Тогда
так как средняя сумма равна нулю.
Итак, свойство в) доказано.
Из того, что ф(()фО только на сегментах [aS9 ca], не содержащих точек Q,
следует, что *р(х) = у на Q, а это есть свойство г).
Наконец, полагая
мы видим, что
т. е. условие е) также выполнено.

«ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ
463
Остается доказать, что выполнено д). Но множество Е в силу построения
чисел cs удовлетворяет условиям леммы 3, а потому
sin n(t — x)
t - x
dt
L-^- (П = 1,2, . . .) ДЛЯ
d-c
На каждом [as, cs] имеем cp(t) = —^ у, а вне их cp(t) = 0, поэтому для
— oo < x < + oo имеем
¦ — x
откуда
t - X
a — с
Л
.d-c
sin n(t — x)
— x
dt,
a,
T= Av\y\
для x € E. Кроме того, известно, что
d
sin n(t — x)
t-x
dt
<2n
для любых с, d,x и п и, значит, для х ? Е
d
sin n (t — х)
— x
dt
Av\y\<Bv\y\,
где В — абсолютная константа, т. е. д) доказано и доказательство леммы
5 закончено.
Лемма б. Для любой суммируемой на [с, d] функции f(x) и для любой
последовательности положительных чисел ат (т = 1, 2, ...) можно постро-
построить последовательность ступенчатых функций Фт(х)(т = 1,2, ...) таких,
что
а) все Фт (х) ступенчатые на [с, d],
00
б) 2* фт(х) = f(x) почти всюду на [с, d],
в) Л фт (О I dt < ат (т = 2, 3, . ..).
Доказательство. Положим
(Л2=1,2,...)-
Так как f(x) суммируема, то можно для всякого т найти ступенчатую gm(x)
такую, что
Пусть Ет — множество тех t с [с, d], для которых

464 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Тогда из того, что
Л
СЕт
СЕт
следует
а потому
Полагая
Е = \т Ет,
имеем, следовательно,
тЕ = d — с.
Но в силу определения Ет отсюда следует
на ?, т. е. почти всюду на [с, d].
Положим
= 2, 3, . . . ) •
Так как gm(x) были ступенчатые, то и Фт(х) обладают этим свойством, т* е.
свойством а). Кроме того, ясно, что
2
т=1
)= lim Zm(x) = f(x) ПОЧТИ ВСЮДу,
т. е. и б) выполнено.
Наконец,
-^ /71 I /71~" ^^; О ' О /71 y»lt ", *-*, • • • j у
т. е. в) верно, и лемма б доказана.
Переходим к доказательству теоремы. Пусть/(х) — заданная сумми-
суммируемая функция. Полагая в лемме б числа ат = ^ и [с, d] = [0, 2тг], строим
Фт(х), ступенчатые на [0, 2тг], такие, что
00
2тФт(х)=/(х) почти всюду на [0,2л]у G.4)
т=1
2я
й- G-5)
Для всякого т отрезок [0, 2п] распадается на конечное число отрезков, на
каждом из которых Фт(х) постоянна. Мы перенумеровываем слева направо
сначала все отрезки для Фх (х), затем слева направо все отрезки для Ф2 (х),
и т. д., затем для Фт(х) и т. д. Полагая vQ = 0 и обозначая через v1 число

§ 7 «ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 465
отрезков постоянства для Ф1(х), ..., через vm—vm_x — число отрезков
постоянства для Фт (х), ..., имеем
и для каждого fc, *>m_i < к < vm на отрезке (bk9 Ьк) функция Фт(х) постоянна;
пусть ук — ее значение. Весь отрезок [0, 2л] целиком разбит на неперекры-
неперекрывающиеся отрезки [bk, b'k], vm._x < fc <>m (рис. 35). Ясно, что когда т задано,
Ук
I !
—i i И ,_,
? !
Рис. 35
то для заданной точки х единственным образом определяется то fc, для кото-
которого х ? [Ьк, Ьк\ причем, если т -> оо, то заведомо и к -> оо.
Положим
/ ч (У* на [bk,b'k]y
*ftW\0 вне [«]. ^-°'
Тогда
*mW= i &00> /Л=1,2, ...,
кроме, быть может, точек 6^ и Ь^.
Покажем, что
00
2 gs(x) = f(x) почти всюду на [—тг, ж]. G.7)
5=1
Действительно, пусть к — любое. Находим такое ш, что vm_x < fc <^ vm.
Тогда
Но из всех функций gs (x) второго слагаемого правой части равенства G.8)
только одна может быть отлична от нуля в точке х, а так как величина ее
есть yS9 a ys есть значение Фт (х) в этой точке, то второй член правой части
т—1
G.8) равен либо 0, либо Фт (х), значит, вся правая часть G.8) равна 2 Фр (х)
1
р=1
или 2 ФР(х)] но при к -> оо имеем т -> оо, а потому из G.4) следует
р-1
к
lim 21 gs W = I gs 00 = / W почти всюду. G.9)
Возьмем теперь для каждого к натуральное пк, которое определим
позже.
Пусть Р —-множество, входящее в формулировку теоремы. Пусть Рк есть
часть, попавшая на (Ьк9 Ьк)9 тогда Рк — нигде не плотное или пустое.
Положим
G.10)
В лемме 5 положим, подбирая т для к из условия vm_1 < к <Г vm,
у = ук, е = ек, [с,d] - [Ьк,Ь'к], Q = Pk.

466 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Все это возможно, так как v > 8, все остальные числа—любые. На основа-
основании леммы 5 можем найти такую ук(х) и измеримое Еку что
а) грк(х) ступенчатая на [bk, b'k],
б) Л
в)
г) Vk(x) = yk на
К
Д) ! \*n^
ьк
е) /л ?л>(% - bk) (l - 2^ё) > (Ь'к - Ьк) [\ - ^),
где Ек ? [bk, b'k].
Мы потребуем, чтобы грк(х) = 0 вне (ЬкУ Ь'к) на [0, 2л], Так продолженная
^(х) все еще будет ступенчатой на [0, 2тт], и она будет определена вполне
после задания чисел пкУ от которых зависят ек.
Так как Рк есть часть Р на [Ьк, Ь'к], то в силу свойства г) функции грк (у)
и в силу G.6) имеем
= Vk = gk(x) на Рк.
Кроме того, в силу самого определения
% (х) = 0 и & (х) = 0 вне
откуда
= &W на Р.
Это верно при к = 1, 2, 3, ... Значит, из G.9) следует
со
2 грк (х) = f (x) почти всюду на Р.
Так как
Л«т@|Л=Ы(»*-»*),
Ьк
то из свойства б) выводим
bk bk
а потому (так как вне (bky b'k) имеем грк (t) = 0)
2я Ь'к 2я
2 f 1%@|Л<2^ Г |Фт@1<« = 2 Г
в силу G.5), значит,
2л
2 [
m=l

§ 7 «ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 467
со
откуда следует, что 2 Wk (x) сходится почти всюду и
л/Л U /ЧЛ (Н 1 1\
X) = И \Х) \1 AZ)
есть суммируемая функция. Имеем Н (х) = f(x) почти всюду на Р.
Надо теперь показать, что числа пк можно подобрать так, чтобы у Н (х)
ряд Фурье сходился почти всюду.
Так как все грк(х) ступенчатые,то, обозначая через S$\x) частную сумму
к
ряда Фурье для 2 уу (х), имеем
limS{Jc)(x)= 2 Vj(x) почти всюду,
У1
и, кроме того,
о
где
НтеП|Л(х) = О(О<х<2л, /с = 1,2, . ..)-
П-*оо
Полагая 2*
г / \ If /^\ sin nit — х) ,.
Jnj(x) = - J v,@ t_x dt,
О
видим, следовательно, что
к к
lim ? Jnj(x) = 2 V,(x) почти всюду.
Пусть лх = 1. Допустим, что rz1<rz2< ... <Спк_1 уже определены,
тогда ^(х), ..., грк_1(х) уже известны, и мы имеем
lim 2^JnJ(x)= 2>Дх) почти всюду.
На основании теоремы Егорова можно найти такое Gky на котором это
стремление к пределу равномерно, причем
mGk > 2 п — р , Gk с [0,2 п].
Значит, можно найти такое rz^ > rz^_x, чтобы
к-\ к-1 1
У Jni(x)— У Wi(x) <-г для x?Gh vl п~>пк. G.13)
Тогда все я^ уже определены, причем
и все грх (х),.. .,у>к (х),... и Gl9 G2, ..., Gk9... уже построены. Имеем, полагая
G = lim Gk, mG = 2 я;.
Нам надо теперь оценить ул> 7- (х) для любых х, 0 < х < 2тг, любых /ил^ пл+1.
Так как
2я
If / ,ч sin л (/

468 «ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
a ipj(x) обладает свойством в) и равна нулю вне (bky b'k), то
-sj @<|<2я),
а потому можно применять лемму 2 § 2, что дает в силу G.10)
IJnj Wl<7<l+1^ для л<лм.1.
Отсюда следует, что
Un;(x)l<jf при любом х, />/с+1, п^пк+1. G.14)
Обозначим через Qm совокупность тех сегментов [bk, b'k], vm_x < к <^ vm1
для которых
Оценим меру Qm. Его дополнение CQm распадается на отрезки (bk, b'k), где
\Ук\ > 2ш > на каждом таком отрезке Фт (х) = ук, а поэтому
Но поскольку в силу G.5)
2п
ТО
и, значит,
Поэтому, полагая
Q= lim
имеем
= 2 я;.
Положим
«5; = \Yj\(bj ~ bjJ™, vm_x </<rm G.15)
И
^m-i + 2
Ясно, что
\Yj\(b'j-bj)
"»—1+1
2n
откуда, полагая
имеем снова
= 2 n.

«ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 469
Положим
Ей.
Так как в силу свойства е) имеем
mEk>(b'k-bk)[l-±),
2
ТО
и, полагая
Q" = \\mQrrmy
т-*<х>
имеем снова
mQ" = 2n.
00
Обозначая через G' множество точек, где ряд 2 ^(х) сходится к Н(х),
имеем опять
mG' = 2 п.
Обозначим через %? общую часть множеств G, G',Q9Q'yQ" и открытого интер-
интервала @, 2тг); имеем
Докажем, что ряд Фурье от Н(х) сходится в каждой точке множества %.
Пусть Sn(x) — сумма п первых членов ряда Фурье для Н(х), тогда
где
и rjn(x)->0 на 0<х<2я;.
Докажем, что для х ? I?
lim In(x) = H(x).
Из определения I? следует, что для x^W найдутся такие к0 и ш0, что
т> *^ т, Х? ту ™ > Щ у G Л 6)
Кроме того, х ? G'.
Когда п задано, определяем /с из условия
и затем т из условия
Ясно, что при п -> оо имеем /с -> со, а тогда и т -> оо. Можно взять пх столь
большим, чтобы для него уже /л > т0 и fc> fc0; тогда для п^пх всегда
будем иметь выполненными условия G.16).

470
«ИСПРАВЛЕНИЕ» ФУНКЦИЙ НА МНОЖЕСТВЕ МАЛОЙ МЕРЫ ГЛ. VI
Имеем при всяком х
2,w)
sinп(*~
sinn(t-x)
,_x
для любого п и почти для всех х (в силу G.12)).
Так как в силу G.11)
2л
то сходится и ряд
2я
7 = 1 J
для любого хип= 1, 2, ..., а в таком случае равенство G.17) можно интегри-
интегрировать почленно и, значит,
2я
где
/; (х) = Д 'jnj (*); I"n (x) = У„,л (х); /А" (х) =
Так как было доказано, что имеет место G.14), т. е.
16
/л/MI^C"^» если j^k+l и п^пк
то
а потому
lim Гп" (х) = 0 для любого х.
Далее, так как х ? Gk, то в силу G.13)
к-\ к~\
¦^ г /у\ ^i
^^^ %) Л,У \ / ^^и^
потому что п^пк, а поэтому
i А: — 1
для
Но так как х ^ G', где 2 %pj (x) = Я (х), то из G.1
lim Гп(х) = Н(х).
Л-*оо
Остается доказать, что
получаем

§ 7 «ИСПРАВЛЕНИЕ» СУММИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ 471
Если ук = 0, то из свойства б) функции ipk(t) следует сразу, что | \грк (t)[ dt = O,
bk
т. е. ipk(f) = 0 почти всюду на (bk, bk), а потому Jn,k(x) ^ 0. Поэтому будем
предполагать укф0.
Рассмотрим два случая: 1) х ? (Ьк, Ь'к) и2)х( (Ьк, Ь'к). Начнем с первого
случая.
Мы знаем, что x?Qm для га, связанного с к условием vm_1 < /c<>m,
причем, в силу определения Qm, интервал (Ьк, Ь'к) таков, что на нем
Ы<2*й-
С другой стороны, х ? Q'm поэтому х € Ек, а потому в силу свойств д) функ-
функции ipk(f)
\(
значит
|Уп,,(х)|<В.8^->0 при п->оо,
так как при этом и га -> оо.
Допустим теперь, что х ? (ЬкуЬ'к); тогда х ? (bj9 ftj) для / =f= к и vm_x <
< / < vm. Но _х ^ й^, значит х ? (&л — Зл, Ьл) и х ^ (ft^, ^ + дк) (так как
й; - bj+l9 а х 6 FУ + ву-Д и это при любом /, vm^ < / < vm).
Отсюда следует, что когда Ьк <^ / ^ bky a x не только вне (&ь &?), но даже
вне (ЬЛ — дк, Ък + ^), то
\t-x\>dk.
Но мы предположили ук =f= 0, значит йЛ ^ 0 в силу G.15), и
\^(t)\dt. G.19)
bk
В силу свойства б) функций грк(х)
f\4>k{t)\dt<2\yk\{b'k-bk)y
поэтому вследствие G.15) и G.19)
и, значит, снова limjnk(x) = 0 при п -> оо.
Мы убедились, что ряд Фурье от Н (х) сходится к ней почти всюду. Если
теперь положить
(х) на Р,
1(х) на СР,
то G(x) суммируема, и ряд Фурье от G(x) сходится к ней почти всюду, так как
G(x) = Н(х) почти всюду, поскольку Я(х) = /(х) почти всюду на Р.
Теорема доказана.

ГЛАВА VII
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ. ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСОВ О СХОДИМОСТИ
§ 1. Введение
Настоящая глава посвящена двум вопросам как будто бы различным,
но на самом деле тесно связанным между собой. Прежде всего, поскольку
мы знаем, что ряд Фурье может даже всюду расходиться (см. гл. V, § 20),
то возникает вопрос о тех методах, которыми можно его суммировать. При
этом, конечно, интересны такие методы, которые для любой f(x)?L сумми-
суммируют ее ряд Фурье почти всюду и притом к этой функции. В § 2 мы изучаем
вопрос, какие линейные методы суммирования обладают этим свойством.
В качестве приложения полученных результатов мы в § 3 показываем, что
ряды Фурье суммируются почти всюду любым методом (С, а) при а > 0.
В §§ 4 и 5 с этой же точки зрения рассматриваются метод Бернштейна—
Рогозинского и метод Лебега *).
Следующие параграфы посвящены различным методам суммирования
уже нелинейного характера. Сюда прежде всего входит понятие сильной
суммируемости, т. е. изучение вопроса о том, когда
Лгх J|Sm(x)-/(x)|^0 при п^оо. A.1)
Здесь идея заключается в том, что если ряд расходится или не сходится к
/(х), то Sm(x)-/(*)=? оA).
Однако можно показать, что для любой суммируемой / (х) соотношение
A.1) имеет место почти всюду, т. е., образно говоря, когда п велико, то среди
частных сумм Sm(x) (т = 0, 1,..., п) число тех, которые заметно откло-
отклоняются от / (х), должно быть мало сравнительно с п (и так для почти всех х).
*) Разумеется, существует целый ряд других методов суммирования, которые мы
не смогли осветить здесь за недостатком места. Отметим, например, введенное Беллманом
Bellman W) понятие случайной суммируемости. Ряд называется случайно суммируемым
(к числу S, если для его частных сумм Sk имеем
[ M1
lim k~ln = S
П~*т J [1 + ^@1
k=\
почти всюду на 0<*<1, ще{<рк(г)}—радемахеровская система. Беллман доказал,
что для любой f(x)eL ее ряд Фурье случайно суммируется к ней почти всюду.

§ 2 МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ 473
Этот результат можно даже усилить, вводя понятие сильной суммируемости
(Я, к), т. е. изучая, когда при некотором к > О имеем
Оказывается, что если A.2) имеет место в данной точке х при некотором к,,
то оно имеет место и при всех к' ^ к, т. е. выполнение условия A.2) дает
тем больший результат, чем к больше. Можно доказать, что для любой
f(x) ? L условие A.2) имеет место почти всюду при любом к. Однако ввиду
большой трудности доказательства этой теоремы мы доказываем ее в § 8
лишь при к = 2 (значит, она верна и при к = 1, т. е. любой ряд Фурье почти
всюду сильно суммируется), и кроме того, в § 7 мы доказываем теорему при
любом к, но предполагая, что f(x) ? LP для р > 1. Как мы уже отмечали,
эти теоремы, указывающие на суммируемость ряда Фурье некоторым мето-
методом, можно рассматривать и как результаты, касающиеся исследования
сходимости ряда, так как они указывают, как часто встречаются частные
суммы, мало отклоняющиеся от /(х).
В связи с этим вопросом стоит задача, которой мы посвящаем § 10.
Именно, вместо рассмотрения средних арифметических для \Sm(x) — f(x)\
(или средних арифметических каких-то степеней этих величин) рассматри-
рассматривается ряд
- Sm(x)-f(x)
-*? т
и ставится вопрос о его сходимости. Здесь, следуя П. Л. Ульянову, мы по-
показываем, что он может оказаться всюду расходящимся, даже тогда, когда
Sm(x) ->/(х) равномерно (более того, может оказаться всюду расходящимся
даже ряд
v? Sm М ~ / (*)
<2 т >
т=\
хотя здесь уже члены ряда могут иметь разные знаки). Это показывает, что
даже у равномерно сходящихся рядов Фурье частные суммы могут очень
медленно стремиться к f(x).
§§ 12 и 13 стоят несколько в стороне от предыдущих; они посвящены
изучению усиленной сходимости или (С*, 0) суммируемости тригонометри-
тригонометрических рядов. Здесь речь идет о том, когда ряд не только сходится в некоторой
точке х0, т. е.
но еще и Sn (х0 + hn) -> S каждый раз, как hn = О W. Полученные при этом
теоремы используются при решении вопроса, как по сходимости данного
ряда судить о сходимости сопряженного с ним ряда. С этим мы встретимся
в главе VIII, § 23.
§ 2. Применение к рядам Фурье методов суммирования
с треугольными матрицами
В §§ 47 и 49 главы I мы изучили применение к рядам Фурье метода
(С, 1). Сейчас мы, следуя С. М. Никольскому М, поставим вопрос в следую-
следующем общем виде.

474 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Пусть f(x)— любая суммируемая функция с периодом 2п и
00
— + J5? ап cos nx + bn sin nx
ее ряд Фурье.
Рассмотрим треугольную матрицу Л, состоящую из действительных
чисел
Я<0"> А<»> ... Ж»),
где предполагается Я?п) = 1 (« = О, 1, 2,...). Положим
Un (/- х) = т + 2 *$ ^ cos fo + Ьк sin
и введем следующее определение.
Определение. Будем говорить, что Л есть матрица типа FC)
если
limUn(f,x) = f(x) B.2)
П-»оо
для всех непрерывных f(x) в каждой точке. Аналогично будем говорить»
что Л есть матрица типа F9 если B.2) имеет место для всех суммируемых
/(х) в каждой точке Лебега.
Буква F введена в честь Фейера, так как матрица с элементами
определяющая фейеровский метод суммирования, является как матрицей
типа Fc, так и типа F в силу теорем Фейера (§ 47 главы I) и Фейера—Лебега
<§ 49 главы I).
Поставим вопрос: при каких условиях, наложенных на элементы мат-
матрицы Л, она будет типа Fc и когда она будет типа F? Этим вопросом зани-
занимался С. М. Никольский, а затем Б. Надь. Мы здесь изложим полученные
ими результаты.
Начнем с изучения матриц типа Fc. Для этого заметим сначала, что
л
(/, х)= ~ J' Ц- + 2 Х<® cos k(t - х)] f{t) dt,
B.3)
а потому при фиксированном х мы имеем дело с линейными функционалами,
определенными в пространстве С. Из критерия слабой сходимости линей-
линейных функционалов (см. Добавления, § 15) следует, что для выполнения равен-
равенства B.2) для всех непрерывных функций необходимо и достаточно, чтобы
оно выполнялось для функций тригонометрической системы (так как мно-
множество тригонометрических полиномов всюду плотно в С, см. § 27 главы I)
и чтобы нормы функционалов Un(f,x) были ограничены в совокупности.
Выполнение B.2) для тригонометрической системы означает
ШпА<2>=1 (Л =1,2, ...). (А)

§2
МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
475
Подсчитаем норму функционала Un (/, х)
л
Un||с = sup | Un(f,x)| = ± Г
!/f|i
i- +
J
cos k(t~x)
dt =
dt.
Ограниченность норм функционалов Un (f, x) означает, что
cos kt
dt<Clt
(B)
где Сг — абсолютная постоянная (в дальнейшем С( обозначают абсолютные
постоянные).
Таким образом, для того, чтобы Л была матрицей типа Fc, необходимо
и достаточно выполнение условий (А) и (В).
Отметим, что для матриц типа Fc сходимость в B.2) равномерная на
всем отрезке. Действительно, пусть Тт(х)—тригонометрический полином
порядка ш, для которого
Il/-Tm||c<e.
Здесь через || ||с мы обозначаем норму в пространстве С.
Из условия (В) следует
сь через || ||с мы обоз
Из условия (В) следует
Un(Tm)\\+C1s,
B.4)
второй член в правой части B.4) при выполнении условия (А) стремится к
Нулю При П ~> оо.
Условия (А) и (JB) полностью решают вопрос о том, является ли Л мат-
матрицей типа Fc. Условие (А) очень простое, наоборот (В) совершенно не
наглядно. Поэтому возникает необходимость дальнейшего изучения условия
(В); такому изучению и посвящены работы С. М. Никольского^ и Б. Надя
<NagyW).
Для выполнения условия (В) необходимо, чтобы имели место нера-
неравенства
<ся.
О»)
В самом деле, (cos kx\ ограничены единицей, а функции
, ч cos х , cos 2 х , cos п х cos (я + 2) х cos B п + 1) х
п. п. —-I*** 1 1 * п.
равномерно ограничены в совокупности, поэтому
71 7
f (т + J1 я(™cos mt)cos ktdt <i [
\ + У ^ cos mt
dt

476
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
гл. VII
<Q
dt.
Заметим, что выполнения условий (А), (а) р (/?) еще не достаточно
выполнения (В), что видно на следующем примере. Пусть А(лп) = 1
1 <^ &<^ р1Г~1 и для к = п, а остальные А(?> = 0. Тогда условия
(а) и (/?) выполнены: условие (/?) выполняется, так как
для
для
(А),
]
а условие (В) нет, так как
+ 1 = In
j
К= 1
Гп+П
1ЛП
-ту +
co$kx + cos пх
к=1
Рассмотрим вторые разности чисел
(п фиксировано):
- о
—1).
Если л\ ^ 0 (/с = 0,..., п — 1), то, как всегда будем говорить, что А(? }—
выпуклая последовательность; если 4^0, то вогнутая.
Основным результатом работы С. М. Никольского является следующая.
Теорема Никольского. Если при каждом п система чисел
Л(тр(к = 0, 1,..., п — 1) выпукла или вогнута, то следующие утверждения
эквивалентны:
1) Л есть матрица типа Fc;
2) Л есть матрица типа F;
3) числа ttf, составляющие матрицу Л, удовлетворяют условиям (А),
(а) и (/?)•
Каждая матрица типа F является матрицей типа Fc. Выше мы уста-
установили, что для произвольных матриц типа Fc выполняются условия (А),
(а) и (/?). Поэтому для доказательства теоремы Никольского нужно показать
только, что при условии выпуклости или вогнутости каждой строки мат-
матрицы Л из выполнения (А), (а) и (/?) следует, что Л есть матрица типа F.
С. М. Никольский опубликовал эту теорему в 1948 г. В 1950 г. Надь
опубликовал теорему, обобщающую теорему Никольского, при этом он зна-
значительно упростил выкладки Никольского.
Теорема Надя. Для того чтобы матрица Л была матрицей типа
F, достаточно, чтобы выполнялись условия (А) и
п—1
у
л-fc
= 0 \i=n-k
И1К ce
(г)
(Надь рассматривает комплекснозначные матрицы Л, но мы ограничимся
только случаем матриц из действительных чисел).

§ 2
МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
477
Покажем, что для выпуклых и вогнутых последовательностей A(g>(fc =
= 0, 1,..., п — 1) из условий (а) и (Р) следует (у). Это так, ибо при условии
выпуклости (в случае вогнутости изменяется знак)
п — \ I п п ]Л п-\ п л
2\2 ^\\А1\=У(п-к)(Ак-Ак+1) 2 4 =
к=0 \i=n-k I k=0 i=n-k
[-к) 2 |-(n-fc+i) 2 т
{ i=n-k i=n-k+l
2 т[^-к)-{п-к
i=n-k+l
к=\
2
i=n-k+l
2
k=l
J
i=n-k+l
\ 2 т~ J 7-
l fc+2 k+1
2
i = n-fc+2
= a@») - я(») - a^I - 2 W
Таким образом, доказав теорему Надя, мы тем самым докажем и теорему
Никольского.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы Надя, установим неко-
некоторые соотношения, являющиеся следствиями из условий (А) и (у).
Пусть v = р^-П. Так как
|(Л+1) для
i=n-k
у (Л — К) ДЛЯ V
то из условия (у) следует
Проведя преобразование Абеля, получаем
П v—1 П
1 = A q ^ri + l == .*- ^А: == ^ ^А: ' -si ^/c =
А:=.О А:=0 A:=v
= '2(к + 1)^2 + vAv Ч (п - г- + 1L - ? (п - A) J|
2(
А:=0
мли
и на основании B.5)
B.5)
B.6)

478 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Покажем, наконец, что
2п = 2 Ип*с|->0 при п->оо. B.7)
к=0
Для каждого целого г ^> 1 можно так определить число п0 = по(г), что
п ^
2 —> г для всех т^г и п^> п0. Для п^ по(г) имеем
л V—1 * П—Г
к=г Г k=v
и на основании B.5)
г-1
п-\
к=п-г+1
i=n-k
к=0
С €
По заданному г>0 выбираем вначале г так, чтобы было — < -^,
а затем на основании условия (А) выбираем п настолько большим, чтобы
было также
'v i /I2 i
2 \Пк\
и B.7) доказано.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы Надя.
С этой целью, полагая
t, B.8)
мы заметим, что
п
UM, x)-f(x) = ij Ut) К„@ Л, B.9)
О
где, как обычно,
Мы будем доказывать, что Un(f, x) -> f(x) во всякой точке, где
t
что, как известно, во всякой точке Лебега выполняется. Докажем, что это
будет справедливо, если Kn(f) удовлетворяет следующим условиям:
1) тпп(д) ^ max I Kn(t) | -> 0 при п -> со (д > 0),
2) существует функция К% (/), убывающая на [0, п] и такая, что
|кп@1<к*@
(короче — монотонно убывающая мажоранта для Kn{t))\
3) /
о
а затем убедимся, что Kn(t) действительно удовлетворяет условиям 1), 2) и 3)

§ 2 МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ 479
Итак, пусть эти условия удовлетворены; возьмем любое е > 0 и опре-
определим д > О так, чтобы
&x(t)<?t для
Имеем
о о
С другой стороны, для достаточно больших значений п
Следовательно,
и так как е произвольно, то правая часть B.9) как угодно мала, а тогда:
B.2) имеет место.
Остается убедиться, что Kn(f) удовлетворяет условиям 1), 2) и 3).
Обозначая, как всегда, через Dk(f) ядро Дирихле, полагая
zin*ik+1)t
4
4
2sin2y
= Mk(t) - Mn{t) =
4 sin2 ~
— sin —L-^-J— / sin —-— t
2 sin2 L
получаем, дважды применяя преобразование Абеля,
кп со = i Dk(t) лк="i4 со л\+мп
/0 Л0
Так как при <5>0 функции |Мл(/)| и |Nfc(/)| на отрезке [<5, я] не пре
восходят ^ , то
sin2 4'^
а потому в силу B.6) и B.7) имеем

480
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
ГЛ. VII
Для того чтобы доказать существование К* (/), удовлетворяющей 2) и 3),
построим монотонно убывающие функции M*k{f) и Nf(f), мажорирующие
соответственно Mk(t) и Nk(t). Положим
при
w
Очевидно
Пусть
ш
_
U
Очевидно, |Nft@|<N?@ И
B.10)
ПрИ
при
^Д). B.11)
Построим теперь функцию K%(f):
2
к=0
Легко видеть, что K*{f) монотонно убывает и
Кроме того, из B.5), B.6), B.10) и B.11) следует, что
- о
где Л постоянно.
Итак, мажоранта К* (/), удовлетворяющая 2) и 3), построена, и доказа-
доказательство теоремы Надя закончено; вместе с тем доказана и теорема Николь-
Никольского.
Из теоремы Никольского следует, в частности, что при условии выпук-
выпуклости или вогнутости чисел каждой строки Л каждая матрица типа Fc
есть матрица типа F. С. М. Никольский в той же статье показал на примере,
что существуют матрицы типа Fc, не являющиеся матрицами типа F.

§2
МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ С ТРЕУГОЛЬНЫМИ МАТРИЦАМИ
481
С. М. Никольский указал ряд конкретных методов суммирования, к
которым применима его теорема. Таковыми, в первую очередь, являются
методы суммирования (С, а) при любом а > 0 (см. Добавления, § 9).
Мы рассмотрим их применение к рядам Фурье в § 3 настоящей главы,
здесь же мы хотим отметить еще некоторые результаты, касающиеся общих
методов суммирования.
С. М. Никольский и Надь, как мы уже говорили, рассматривали средние
вида
п
2 (ак cos kx + bk sin kx) X Jf1),
т. е. элементы матрицы Л умножали на члены ряда Фурье, а не на его част-
частные суммы, как это делают, когда рассматривают, например, теплицевы
матрицы.
С. М. Лозинский М рассматривал треугольные матрицы
0 0 0
О О
&?> /42) 0 ... (М)
0
и определяемые ими средние
где Sj(x) — частные суммы ряда Фурье от /(х). Он назвал метод суммиро-
суммирования, определяемый такой матрицей, «фейеровским методом», если для
любой непрерывной /(х)этот метод суммирует ряд a(f) равномерно к/(х).
Он получил целый ряд результатов, касающихся этих методов. Укажем
здесь некоторые из них.
Будем называть «ядром» метода функцию
где Dj(f) — ядро Дирихле; Ясно, что
л
*п(х) = 4- \i(t)Kn{t-x)dt.
—л
С. М. Лозинский доказал теоремы:
Теорема 1. Следующие три утверждения эквивалентны:
1° метод, определяемый матрицей (М), есть фейеровский;
2° для любой f?L имеем
lim $\f(x)-on(x)\dx = 0;
П-» со —л
3° матрица (М) удовлетворяет двум первым условиям Теплица, т. е.
lim /cj"> = 0, lim

482 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
(т. е. она Т*-матрица в терминологии § 5 Вводного материала) и, кроме
того,
— П
где С — постоянная.
Теорема 2. Если метод, определяемый матрицей (М), суммирует
ряд Фурье от всякой непрерывной f(x) к этой f(x) в каждой точке, то он
суммирует ряд a(f) равномерно, т. е. является фейеровским*).
Теорема 3. Для того чтобы метод с матрицей (М) суммировал
ряд Фурье от любой ограниченной f к f(x) во всякой точке, где f непрерывна,
необходимо и достаточно, чтобы он был фейеровским и чтобы для любого
д, 0 < д < п, интегралы
\Kn{t)dt
6
были равномерно абсолютно непрерывны на <5 <^ х <^ 2тг — ё.
С. М. Лозинский изучил далее методы с неотрицательными ядрами
(^ЛО^О для всех /) и доказал для них целый ряд теорем. В частности, он
показал, что для того, чтобы такой метод был фейеровским, необходимо и
достаточно, чтобы матрица (М) удовлетворяла двум первым условиям Теп-
Теплица (т. е. была Т*-матрицей).
Не имея возможности перечислить здесь все полученные С. М. Лозин-
Лозинским м результаты, мы отсылаем читателя к этой очень интересной работе.
§ 3. Суммирование рядов Фурье методами (С, а)
В § 9 Добавлений введено понятие суммируемости методами (С, а).
Если мы применим это определение к ряду Фурье, то, обозначая средние
порядка а через а%(х), будем иметь согласно формулам (9.7) и (9.12) Доба-
Добавлений
Sa (х) 1 п
а% (х) = -1—- = —- J? An-k {dk cos kx + bk sin kx),
где ~ + 2? ak cos kx + bk sin kx — ряд Фурье. Докажем теорему:
Теорема. Для любого а > 0 и для любой суммируемой f (x) ряд а (/)
суммируется к f (х) методом (С, а) во всякой точке Лебега; если f(x) непре-
непрерывна на [0, 2л;], то ряд a(f) суммируется к J(x) равномерно.
Эту теорему можно было бы доказать непосредственно, изучая стрем-
стремление вп{х) к/(х) (см., например, Зигмунд 1м-6\ § 3.31), но мы выведем ее
как следствие из теоремы С. М. Никольского (см. § 2 настоящей главы).
Для этого заметим, что матрица Л, употребленная С. М. Никольским,
в нашем случае имеет вид
и нам достаточно доказать, что числа А?*> образуют выпуклую или вогнутую
последовательность и удовлетворяют условиям (А), (а) и (|8) теоремы Ни-
Никольского.
Кроме того, достаточно изучить случай 0 < а < 1, так как при а = 1
метод (С, 1) является методом Фейера, а при а> 1 метод (С, а) сильнее
*) Аналогичное предложение было выше доказано для матриц Л Никольского.

§ 4 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ВЕРНШТЕЙНА-РОГОЗИНСКОГО 483
метода (С, 1) и, значит, теоремы Фейера и Фейера—Лебега тем самым имеют
место.
Если 0 < а < 1, то последовательность 4П) вогнута. Действительно,
Аа„ '
а так как Аап > 0, а Аа~\ < 0 при 0 < а < 1 (к = О, 1,..., п — 1), то все
4 < 0.
В § 9 Добавлений было показано, что
где [л (а) — некоторая положительная константа, зависящая только от а.
Поэтому условие (А), входящее в теорему С. М. Никольского, выпол-
выполнено, так как
Неравенство (а) из теоремы С. М. Никольского также выполнено,
поскольку
где М (а) — константа, зависящая только от а.
Неравенство (f$) вытекает из соотношений
п—1 *(п) п—\ л ла п л ла ( 1 п \
Таким образом, матрицы Л, определяющие методы (С, а) при а>0,
являются матрицами типа Fc и типа F, и теорема доказана.
Замечание. Применяя принцип локализации, сразу видим, что
если f(x) непрерывна на [а, Ь], то суммирование методом (С, а) имеет место
равномерно на любом [а', Ъ»'], лежащем внутри (а, Ь) (здесь следует опираться
на то, что равномерная сходимость влечет и равномерную суммируемость
(С, а) в силу теоремы § 11 Добавлений).
§ 4. Метод суммирования Бернштейна—Рогозинского
Пусть
Вп(х) = у [Sn (х + ап) + Sn(x- an)],
где Sn(x) — частные суммы тригонометрического ряда, а [ап]—последова-
[ап]—последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю.
Определение. Условимся говорить, что тригонометрический ряд
суммируется методом Бернштейна—Рогозинского к числу S в точке х0,
если Вп(х0) -> S при п -> оо.
В. Рогозинский (Rogosinsky С1»2»3]) изучал случай, когда ап =р^-}
гдер —-нечетноечисло; С. Н. Бернштейн ?3] рассматривал случай ап = - п

484 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
впоследствии оба они переносили некоторые из своих результатов на случай
Мы не имеем в виду излагать здесь все результаты, касающиеся этого
метода*); они весьма различны в зависимости от того, как выбираются числа
ап. Подробное изложение вопросов, связанных с методом суммирования
Бернштейна—Рогозинского, читатель может найти в статье С. Б. Стечкина,
напечатанной в Приложениях к книге Харди tM-24J (см. стр. 479). Мы здесь
ограничимся доказательством того, что для рассмотренного Рогозинским
случая ап = Р^(р нечетное) этот метод суммирования дает хороший резуль-
результат в применении к рядам Фурье, точнее, имеет место
Теорема. Если J (х) — любая суммируемая, то ряд а (/) суммируется
к f(x) почти всюду методом Бернштейна—Рогозинского при ап = р-^-,
где р нечетное, т. в.
почти всюду.
Если на некотором отрезке [а, Ь] функция f(x) непрерывна, то сумми-
суммирование имеет место равномерно на любом отрезке [аг, Ь±], целиком лежа-
лежащем внутри (а, Ь).
Чтобы убедиться в этом, напомним тождество Рогозинского (см. § б
главы IV):
у lSn(x + а) + М* - «)] -S(x) = [Sn(x) -S(x)] co$na + Rn(x,a), D.1)
где Rn(x, a) ->0 равномерно относительно а при 0^ a^ —, если о-п(х)->
-> S (x), и при этом Rn (x, a) -> 0 равномерно относительно х на некотором
отрезке, если ап(х) ~>S(x) равномерно на этом отрезке (здесь ап (х)— фейеров-
ская сумма порядка п).
Если положить ап = р^-, где р нечетно, то cos пап = 0, и отсюда сразу
следует, что
в каждой точке, где ап(х) ->S(x), и равномерно на любом отрезке, где ап(х)->
-> S (х) равномерно.
Теорема доказана. Из ее доказательства видно, что при ап = р^ , где
р нечетное, метод Бернштейна—Рогозинского не слабее, чем (С, 1); можно
было бы доказать, что фактически они эквивалентны. Если же взять ап =
= 2пл. 1, то это метод более сильный, чем (С, 1) (это было доказано
С. Н. Бернштейном).
Можно также доказать, что если
где р нечетное, то такой метод снова суммирует ряд a(f) к/(х) почти всюду
(см. А. Ф. Тиман М, И). А. Ф. Тиман доказал также, что условие D.2) и
*) См., например, И. П. Натансон Ш, Ф. И. Харшиладзе

§ 5 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 485
необходимо для того, чтобы суммируемость с(/)к/(х) имела место почти
всюду для любой f(x) ? L.
Заметим, что так как
~[Sn(x + a) + Sn(x — a)] =~+ J?(akcoskx + bksmkx)coska
и, как было доказано в § 6 главы IV, для cos ka имеют место формулы (б.З)
= О {-) при
при
(где А — любое постоянное), то метод Бернштейна—Рогозинского можно
исследовать, отправляясь от теорем Никольского или Надя и пользуясь
оценками D.3). В частности, как заметил С. М. Никольский, для а = j-
числа 4П)> входящие в его матрицу, т. е.
образуют вогнутую последовательность*) и удовлетворяют условиям (А),
(а) и (/?) его теоремы, в чем очень легко убедиться.
§ 5. Метод суммирования Лебега
Напомним, что метод суммирования Римана (см. § 68 главы I) состоит
в том, что тригонометрический ряд
~ + ^ ап cos пх + bn sin пх E.1)
интегрируют два раза, от суммы F(x) полученного ряда берут обобщенную
вторую производную (если она существует) и приписывают ее в качестве
суммы ряду E.1). Естественно поставить вопрос, почему надо было два раза
интегрировать и брать (обобщенную) производную второго порядка, а не
один раз интегрировать и брать в том или ином смысле обобщенную первую
производную.
Ответ на этот вопрос является очень простым: после однократного ин-
интегрирования ряда E.1) хотя бы и с коэффициентами, стремящимися к нулю,
получается ряд
ао v I r ^?bn cos пх—ап sin пх
который может оказаться расходящимся на всюду плотном множестве точек
(см. ниже, глава VIII, § 13), а в эпоху Римана с такими рядами было трудно
обращаться. Теперь мы можем сказать, что раз его коэффициенты имеют
порядок о (-А , то он сходится почти всюду (см. глава I, § 64). Правда, сумма
*) Собственно говоря, А2Пк ^ 0 лишь для к < п — 2, но не для к = п — 1, как это
требуется в теореме Никольского, однако поскольку
то, как видно из элементарного подсчета, условия С. М. Никольского являются след-
следствиями условия Надя и в рассматриваемом случае.

486 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
F(x) этого ряда может быть неограниченной на любом интервале (см. глава
VIII, § 13). Однако можно все же искать для нее обобщенную производную.
Эта идея и была положена Лебегом в основу его метода суммирования.
Определение 1. Будем говорить, что ряд E.1) суммируем мето-
методом Лебега в точке х0 к числу S, если ряд E.2) сходится в некоторой окрест-
окрестности (х0— /г, х0 + h) этой точки и если сумма F (х) ряда E.2) в точке х0
имеет симметрическую производную, равную числу S, т. е.
*)-/(*-*) = S. E.3)
Легко доказать теорему:
Теорема. Пусть f(x) — любая суммируемая функция; тогда а (/)
суммируется методом Лебега к f(x) почти всюду.
Действительно, по теореме § 40 главы I, если ряд E.1) есть с(/), то ряд
E.2) сходится всюду и его сумма F(x) есть неопределенный интеграл от/(х).
Поэтому F' (х) существует и равна / (х) почти всюду, а стало быть, и симмет-
симметрическая производная от F (х) равна f(x) почти всюду, но это и значит, что
ряд E.1) суммируем почти всюду к f(x) методом Лебега. Теорема доказана.
Мы.теперь несколько обобщим определение суммируемости методом
Лебега. Именно введем
Определение 2. Будем говорить, что ряд E.1) суммируем в точке
х0 к числу S обобщенным методом Лебега, отвечающим последовательности
{hn}, Ля-»0, если
Полезность введения такого метода будет нами обнаружена в § 11 главы
XI. Здесь мы пока преобразуем определения простого и обобщенного метода
Лебега для удобства их сравнения с линейными методами.
Сначала заметим, что если в (х0 — ft, х0 + h) ряд E.2) сходится, то
+ 2 Т Isin k (*o + h) - sin k (x0 - ft)] ± -
= 1+ y(akcoskx0 + bksmkx0)s^. E.4)
Из E.3) и E.4) заключаем, что ряд E.1) суммируется в точке х0 к числу S,
если
lim ff + 2 К cos kxo + bk sin kx0) ^1 = S. E.5)
Потребуем, чтобы у ряда E.1) коэффициенты ak->0, bk->0. Тогда, если
обозначить через Sk(x) частные суммы ряда E.1), то, применяя преобразо-
преобразование Абеля и учитывая*), что ак -> 0, Ък —> 0, можно переписать E.5) в виде
П^со yk=Q L
*) Для того чтобы преобразование Абеля было законным, нет необходимости требо-
требовать, чтобы ак-+ 0 и Ьк-+ 0, но достаточно, чтобы
J?(\ak\+\bk\) = o (л),
к=0
так как в этом случае Sn (х0) = о (п).

§ 5 МЕТОД СУММИРОВАНИЯ ЛЕБЕГА 487
и говорить, что ряд E.1) суммируем методом Лебега к числу S, если выпол-
выполнено условие E.6).
Переходя от непрерывного параметра h к последовательности hn->0
при п -> оо, будем говорить, что ряд E.1) с коэффициентами, стремящимися
к нулю, суммируется в точке х0 к числу S обобщенным методом Лебега, от-
отвечающим последовательности {hn}, если
Sin khn Sin (k + 1) fel
) fell о sr\_ о
По аналогии с E.7) условимся говорить, что числовой ряд 2 Щ сумми-
к=О
руем к числу S обобщенным методом Лебега, отвечающим последователь-
последовательности {hn} с /zn->0, если
lim 2: ~~bh 7ь ! 1 \ и \Ьк — Ь ,
п
где Sn = 2J Щ-
к=О
Докажем, что такой обобщенный метод Лебега есть один из методов
Т* (см. Вводный материал, § 5).
В самом деле, положим
_ sin khn sin (к + 1) hn , , n
rik — —T7h (i, I. i \h J\^^ л =г~ U j
__ i _ sin /?n
пО ~ ь
и докажем, что два первых условия Теплица удовлетворены.
Действительно,
lim апк = 0 при кфО и при /с = О
в силу hn -> 0 и
"по -г «ni i- .. . i- о>пк -г • • • = 1 ^- ¦+¦ ]—^п 2hn~\ -т~ • • - — 1 >
так как S1" " -> 0 при fc->oo.
Мы доказали, что матрица Ца^Ц есть Т*-матрица, но не Т-матрица.
Поэтому обобщенный метод Лебега, вообще говоря, не регулярен. Однако
есть один важный частный случай, когда он оказывается регулярным.
Именно, если коэффициенты ряда E.1) имеют порядок о (—j, или даже если
только
к=\
то ряд E.1) сходится в тех и только тех точках, где он суммируется методом
Лебега, и притом в этом случае его сумма и лебеговская сумма равны. Это
следует из теоремы 3 § 66 главы I. Таким образом, для рядов с коэффициен-
коэффициентами, удовлетворяющими условию E.8), обобщенный метод Лебега, соответ-
соответствующий любой последовательности {hk}, регулярен. Этот факт будет нами
существенно использован в главе XI.
Замечание. Иногда бывает целесообразно применять метод Лебега
к ряду, получающемуся от дифференцирования ряда Фурье; однако

488 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
следует заметить, что каждый раз, как такой ряд суммируется методом Ле-
Лебега, он суммируется и методом Абеля; это было по существу дела дока-
доказано в § 58 главы I, хотя термин «суммировать методом Лебега» там еще не
употреблялся.
§ 6. Понятие сильной суммируемости и суммируемости (Я, к)
По теореме Фейера для любой / (х) ? L имеем почти всюду ап(х) -> / (х)
при п -> со, откуда вытекает
А
I
, 2 <s-(x' /) - / (*» = ° О) почти
г»
Харди и Литтльвуд (Hardy and Littlewood W) впервые поставили во-
вопрос, будет ли почти всюду иметь место более сильное соотношение, а именно
ЯТТ J I Sm(X> /)-/(*) I = * О) • F-2)
Если соотношение F.2) выполнено в некоторой точке х, они предложили
говорить, что ряд сильно суммируем в этой точке. Можно также условиться
говорить, что ряд сильно суммируем с показателем /с, или, как говорят неко-
некоторые авторы, (Я, к)-суммируем (Н в честь Hardy), если для этого к
1 m-0
Из неравенства Гельдера сразу следует, что если к± < /с2, то
(Я, /с2)-суммируемость влечет (Я, /с1)-суммируемость, потому что для
любых с0, с1У..., сп имеем
п ( п Лк2 ( п \ к2 i _ ^ ( п у
^, I ^т I х ^; \ ^, | ^т I 2 / | ^ ^ J" ==\"i^/ 2<I ^ I ^m I 2} у
т=0 Vm==0 J (т=0
а потому если
т. е.
п
т=0
ТО
т. е.
Мы видим таким образом, что соотношение F.3) дает тем более сильный
результат, чем больше к.
Харди и Литтльвуд ГО доказали, что если / (х) ? U при р > 1, то при
любом /с > 0 суммируемость (Я, к) имеет место почти всюду. Точнее, если
положить
?*(') = /(* +') + /(*-0-2/(х)
и
F.4)

§6 ПОНЯТИЕ СИЛЬНОЙ СУММИРУЕМОСТИ И СУММИРУЕМОСТИ (H,fe) 489
то F.3) имеет силу при любом к во всякой точке, где
Фр(х, h) = o(h), F.5)
а мы знаем (см. Добавления, § 14), что F.5) имеет место почти всюду.
Если же f(x) ? L, но f(x) ? LP при р > 1, то Харди и Литтльвуд уста-
установили, что выполнение условия F.5) в некоторой точке еще не влечет вы-
выполнения в ней равенства F.3) (и притом ни при каком /с). Именно, хотя при
выполнении условия F.5) и можно доказать, что
т=0
а также
но уже если
то существует при любом /с>0 такая суммируемая /(х), что, несмотря на
выполнение в точке х условия F.5), имеем
m=0
Другими словами, понизить множители In л и fin n в соотношениях
F.6) и F.7) нельзя.
Однако Харди и Литтльвуд заметили, что недостаточность условия
F.5) для выполнения F.3) еще не дает повода утверждать, что соотношение
F.3) не может выполняться почти всюду*). Они поставили проблему, будет
ли все же F.3) иметь место почти всюду при / (х) ? L?
Первым, кто частично дал положительный ответ на этот вопрос, был
Марцинкевич. Он решил проблему, поставленную Харди и Литтльвудом,
для случая к = 2, т. е. показал, что для любой f(x) ? L
Тпгт 2 №т(х) ~ f(*)Y=o{\) почти всюду.
' 0
m=0
Далее Зигмунд М решил тот же вопрос уже при любом /с, т. е. показал,
что F.3) имеет место почти всюду для / (х) $ L и к > 0 любого.
Ряд авторов затем изучал вопрос, при каких дополнительных условиях,
наложенных на функцию /(х), мы имеем в данной точке выполненным усло-
условие F.3). Гак, например, Ванг (Wang И) доказал, что если а > у и
h
то F.3) имеет место.
*) Множество точек, в которых выполнено условие F.5) для случая р = 1, содержит
в себе все лебеговские точки. Мы знаем, что во многих теоремах из теории тригонометри-
тригонометрических рядов доказательство того, что некоторое явление имеет место почти всюду, стро-
строится на том, что оно имеет место во всех точках Лебега. Однако, например, для / (х) е L2
имеем почти всюду Sn (х, /) == о (УIn п), но нельзя утверждать, что это соотношение спра-
справедливо во всех точках Лебега. В частности, для непрерывной функции оно не должно
иметь места в каждой точке, хотя всякая точка непрерывности есть точка Лебега.

490 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Мы не будем излагать здесь результатов, касающихся (Я, /^-суммируе-
/^-суммируемости в точке, а остановимся на случаях (Я, /с)-суммируемости почти всюду.
Подробно мы разберем случай (Я, /с)-суммируемости для f(x) ? Lp(p> 1)
при любом к > 0 и случай / (х) ? L, но уже при к = 2.
§ 7. Суммируемость (Я, к) для рядов Фурье от функций
из класса L(p)
Пусть f(x) ?Lp(p> 1). Положим
0p(x,h)= S\<px(t)\pdt.
О
В § 14 Добавлений доказано, что
Фр(х, h) = о (Л) почти всюду. G.1)
Заметим теперь, что если в некоторой точке х справедливо G.1), то спра-
справедливо и
фА(*,А) = *(А)
для любого рх <С р. В самом деле, по неравенству Гельдера
и н
j>«@lft<tt<П
О I 0
0
j
О I 0
а потому
Это замечание скоро будет испо'льзовано. В частности, из него сразу
следует, что если р > 1 и Фр(х, h) = о (Л), то и
Фг(х9Н) = о(Н). G.2)
После этих предварительных замечаний мы можем доказать теорему*):
Теорема. Если f(x) $ Lp, p > 1, и если к > 0 любое, то
At 2\Sm(x)- f(x)\k = o(l) при п-+ао G.3)
m=0
во всякой точке ху где выполняется соотношение
0p(x,h) = o(h)
и, следовательно, G.3) выполнено почти всюду.
Прежде всего заметим, что, не нарушая общности, можно считать
р <^ 2. Действительно, если этого нет, то возьмем рг такое, что 1 < рг <^ 2.
Из G.1) в силу рг<^р тогда следует
Если мы сумеем отсюда вывести, что G.3) имеет место, то, следовательно,
G.3) будет доказано для р.
*) См. Hardy and LittlewoodW (для р = к = 2), Carlemant2!.

§ 7 СУММИРУЕМОСТЬ (H,k) ЛЛЯ РЯДОВ ФУРЬЕ ОТ ФУНКЦИЙ Lp 491
Итак, будем доказывать теорему для р <С 2. Кроме того, предположим
сначала к > 1 (от этого ограничения избавимся позже).
Мы знаем (см. глава I, § 32), что для любой f(x) ? L
л
Sm(x,f) - f(x) = -i- J <Px(t)*^dt + em(x),
0
где sm(x) -> 0. Поэтому, полагая
0
докажем, что если в точке х выполнено G.1), то
2\Ш\к оA
Тогда из неравенства
2\Ш\к = оA). G.4)
т—0
(см. Вводный материал, § 8) в силу G.4) и равномерного стремления ет(х)
к нулю сразу получится G.3). Теперь, разбивая интеграл 1т(х) на два инте-
интеграла, находим
/m(x) = ^ f <Px(t) "^ dt + -i- f
0 J_
n
где
n
= ^ Фг (x9 -~1 = /720 fl] = 0 A) ДЛЯ 1 <7Л < Л, G.5)
так как в точке х выполнено G.1), а значит, и Фг мс, —1 = 0 Г—), как мы уже
отмечали выше.
Рассуждая, как и выше, мы заключаем отсюда, что вместо G.4) доста-
достаточно доказать
1 п
т=0
Но если положить
«f> при 1
О при —
то, обозначая через an и Ъп коэффициенты Фурье для g(/), имеем
Ьт= I'm-
Мы предположили, что число р, для которого мы доказываем теорему,
удовлетворяет условию р^2. Тогда, определяя q из равенства
1 + 1=1
Р 1 Я

492
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
мы по теореме Хаусдорфа—Юнга (см. глава II, § 4) находим
2я
так как g (/) ? Lp, если / (х) ? LP. Отсюда
1 1
1 Г МО
п } \ t
п
dt
Интегрируя по частям, имеем
da
Но в силу G.1) Фр(х, а) = о (и), а потому
п
\
следовательно,
откуда в силу G.7)
и, значит,
Соединяя вместе все оценки, находим окончательно, что если в точке х
выполнено G.1), то в этой точке
Нам надо было доказать справедливость G.3) в точке х, где выполнена
G.1). Мы теперь видим, что G.3) доказано при к = q. Следует его доказать
при любом к.
Прежде всего случай k^q не требует дополнительных рассуждений,
так как выше было уже отмечено, что если G.3) верно для /с2, и к± < /с2,то
G.3) верно и для kv Итак, G.3) доказано для k^

§8 СУММИРУЕМОСТЬ (Я,2) 493
Пусть теперь /с > q. Найдем такое qv что qx > /с, и определим рг из
условия — + — = 1. Так как q± > q, то рг < р. Но тогда из Фр(х, h) = о (Л)
следует и ФР1(х, /г) = о (Л), и, значит, по доказанному
в рассматриваемой точке х. А если так, поскольку к < #1> то будет верно и
что и заканчивает доказательство теоремы.
Заметим, что если / (х) непрерывна, то /(х) ? LP при любом р и, кроме
того, для нее в каждой точке выполняется G.1). Поэтому, если/(х) непре-
непрерывна, то при любом /с>0
2\Sm(x,f)-f(x)\*=o(l)
т=О
в каждой точке.
Можно было бы доказать, что это соотношение выполнено равномерно.
§ 8. Суммируемость (Я, 2)
Мы переходим теперь к рассмотрению случая, когда /(х) ? L (но /(х) ? Z/
при р > 1). Зато для упрощения мы ограничимся суммируемостью
(Я, 2) (вместо (Я, /с) при любом к > 0).
Теорема Марцинкевича*). Если f (x) ? L, то
^4rr i [Sm(x, f) -f(x)? = o(l) почта всюду.
Для доказательства этой теоремы понадобится ряд лемм.
Лемма 1. Если 0 <^ г < 1 и ?>„(х) — ядря Дирихле, то
2n{)n{y) {yyy)
/1=0
Г) К1 + ГJ + 2Г (COS Х + C0S У)]
П(г г у\ - A " Г) К1 +
v ' л' /; ~ 4 [1 - 2 г cos (х - у) + г2] [1 - 2 г cos (х + у) + г2] *
Если заметить, что для ядра Пуассона имеем выражение (см. § 54 главы I)
1 -г2
- v>yv— 2 ' ^' -^-r— 2 l-2rcos^ + -
то элементарными выкладками находим
Подставляя в (8.1) сначала у = -^ (х — у), потом 93 = -к (х + у) и вычитая,
мы убедимся в справедливости утверждения леммы.
*) Marcinkiewiczt5].

494 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Замечание. Так как для — тг^ср^л
1 -2rcos(p + r*=(l -rJ+ 4rsin2|->(l - гJ + 4г^>|A - гJ + ^1 ,
если 4г>1, то при г >-^-имеем
IО (Л *> У)\ ^ гп _ r\2 . /v _ v\2i ги _ r\2 I ^y -и v^i» (8-2)
гJ + (х _ т [A _ г)
где С постоянно.
Лемма 2. Имеем
/с=0
*(x)=± j J /(и
Это немедленно следует из леммы 1.
Лемма 3. Пусть Р — совершенное множество, {дп} — система его
смежных интервалов, Ф(х) — функция с периодом 2 л, равная нулю на Р,
а Ф (х) = дп для х ? дп. Тогда
л
J 0{tttX)dt < + оо почти всюду на Р. (8.3)
—я
Пусть Лп — интервал концентрический с Ьт но в три раза меньше, пусть
Ф*(х) = 0 вне {An) и Ф*(х) = 6п для x^jn. Если W(х)— характеристическая
функция множества Р, то
я
J
(8.4)
Если / ^ zln, а х ^ Р, то |/ — х| ^Лп, откуда следует, что
s<x ПРИ
^п
а так как Ф*(/) = Зп на Ат то ряд в правой части (8.4) сходится. Поэто^му
по теореме Фубини
я
I ^ (*) (/ _!(^J rf/ < + °° почти всюду
—я
и, в частности, почти всюду на Р
Отсюда можно вывести, что почти всюду на Р справедливо (8.3) (надо
провести рассуждение, аналогичное тому, при помощи которого в лем-
лемме 1 § 15 главы V из формулы A5.9) было выведено A5.4)).
Лемма 4. Пусть Р — совершенное множество на [—п, п\ и {дп} —
система его смежных интервалов. Пусть /(х) ^0, и /(х) = 0 на Р. Допустим,

§8 СУММИРУЕМОСТЬ (Я,2) 495
что она удовлетворяет, кроме того, условиям*)
j/(x)rfx<<5n (л =1,2,...) (8.5)
8п
и
J f(x+u)du^k + h, х?Р. (8.6)
-л
Пусть х0 — точка плотности Р, в которой выполнено условие
-j2 ™>l <. A — A \X0, J) (Q. I)
—л
(здесь Ф — та же функция, как в лемме 3), и пусть, наконец,
J f(xo + u)du = o(h). (8.8)
Тогда для частных сумм Sn(x) ряда а (/) имеем
lim S(r, x) = lim (I - г) 2 гП Sn(xo) = 0. (8.9)
г-*1 г-*\ п=О
Для упрощения формул мы примем х0 = 0. Кроме того, мы будем счи-
считать / (х) = 0 для 1х| > -у • Это возможно потому, что, изменяя / (х) вдали от
х = 0, мы изменяем Sn(x) лишь на величину, которая равномерно стремится
к нулю при п -> оо, а тогда если (8.9) справедливо для измененных Sn(x),
то оно справедливо и для первоначальных Sn(x).
В самом деле, если Sn(x) = Sn(x) + en(x), jj\e en(x)->0, а для §п(х)
равенство (8.9) справедливо, то из S?(x)<^2 [S^z(x)]2 + 2 [^(x)] сразу сле-
следует, что и для Sn(x) формула (8.9) верна.
В силу леммы 2 и замечания к лемме 1, полагая Я = 1 — г, имеем
я п
2 2
S(r,O) = (l-r) j?r«Sl(O) = ^ Г [f(u)f(v)D(r,ufv)dudv^
л л
~ 2 ~ 2
л л
2 2
,/ ч du dv
~ 2 ~2
Пусть
2 2
Я2du dv
. _ Г Г// w/ \
о о
я я
2" 2
№dvdu
= J J / \V) 1 W [Д2 + (Ц _ V)
0 0
*) Собственно говоря, условие (8.5) вытекает из (8.6), если положить х = ап, h = О,
/с = <5П, где дп = (ап, /?п), но удобно его выписать отдельно для упрощения ссылок.

496
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
гл. VII
Обозначим через Do область, ограниченную прямыми v = О, а = я, v = и,
v = и — Я, и черезDk(k^ 1) область, ограниченную прямыми v = 0, и = тг,
г; = и — 2*-^, t; = u — 24 (рис. 36). Ясно,
что для любого Я, полагая
с с ,, ч ,, v A2dudv
~~ J J 7 W'W [Я2 + (и - ^J] [Я2 + (и + ^
(8.10)
имеем
, (8.11)
Рис. 36
J J/(»)/(^)
*
если т достаточно велико. Оценим теперь Ак.
Так как \и —v\ ^>2Л~3Я в Dk, то
./ ч du dv
Dl
X
Полагая Xk =. 2ЛЯ и /л(х) = J / (u) du, находим
ибо
Покажем, что для и ?СР имеем
М«)< *(«) + **.
Действительно, если и ? дп = (аП9 /5„), то
Ш = J / @ dt = Т
U A U a
поэтому (8.13) справедливо. Но если так, то из (8.12) и (8.13)
п п
2 2
(8.12)
(8.13)
в силу (8.6) и ап?Р, если и — ап — 1к <С 0. Если же и — Я^ ^ а„, то в
силу (8.5)
. (8Л4)
Пусть {б^} — смежные интервалы к Р, попавшие на @, я). Так как
точка х = 0 есть точка плотности для Р, то можно выбрать М так, чтобы
(8.15)
а тогда в силу (8.5)
4
*k<i2\m*{u)%<^2\%mdu=
22*
i

СУММИРУЕМОСТЬ (Н, 2) 497
х' Гф@
Но из (8.7) (причем у насх0 = 0) следует и подавно w J -jrdt < К, а зна-
чит, тем более J!^ j -^r di < К, т. е. J? [jn) < К, потому что Ф (/) = <^ на д„.
Итак,
где Л—постоянное.
Теперь оценим А"к. Имеем
о
Если мы положим
к
то интегрирование по частям в правой части (8.17) дает
я
л { J ^">d"^ | + 2 J J f(ll)du
= F { J ^">d"^ | + 2 J J f(ll)du ?
о и о о
С^/*(О). (8.18)
Соединяя (8.16) и (8.18), имеем из (8.14)
где В — новое постоянное, и в силу (8.11)
/<С{/*@) + К@,/)}, (8.19)
где С — постоянное.
л п
2 0 0 0 0 2
Так как для интегралов \ f, [ \ и [ [ с тем же подынтегральным
2 2 2" 2
выражением, как у интеграла /, оценки могут быть произведены совер-
совершенно так же, то в результате
S (г, 0)<С,{/•(<)) +К (О,/)},
где Сх — новое постоянное, а потому
lirn S (г, 0) < C.ifiO) + К (О, /). (8.20)
Но левая часть неравенства (8.20) не изменится, если мы заменим /(х)
новой функцией /х(х), совпадающей с /(х) на произвольном интервале
(— А,А) и fjx) = 0 для |х| >,/j. Поэтому

498 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Из определения /*@) и К @, /) и из условия (8.8) следует, что если л ->0,.
то /?@) и К@, /г) могут быть сделаны как угодно малыми*). Поэтому
Ш S(r, 0) = 0,
г->1
а значит, в силу неотрицательности S(r, x) лемма 4 доказана.
Лемма 5. Если последовательность неотрицательных чисел {ап}
удовлетворяет условию
lim (I -
r-»l
то
(см. теорему Харди и Литтльвуда в § 12 Добавлений).
Лемма 6. Если функция f (x) и точка х0 удовлетворяют условиям
леммы 4, то
т=0
Это мгновенно следует из лемм 4 и 5.
Лемма 7. Если / (х) ? L, / (х) > 0 и f (х) = 0 на ?, тЕ > 0, то для
любого е > 0 найдется такое совершенное Р с. Е, что
а) mP > тЕ ~ е ,
к
б) \ f(x + u)du<^M{k + Л), х?Р (к и h любые положительные),
в)
гд^ бп — смежные к Р интервалы, а М постоянное.
Так как во всякой лебеговской точке, принадлежащей Е, имеем,
для f(x)
f\f(x Л-и)- f(x)\du = //(х + u)du = о (h + k),
-h -h
то при п достаточно большом во всяком случае будет
к
J f(x+u)du^h + k, если /г<~, fc<-^. (8.21)
-/2
Обозначая через ?п множество точек, где выполнено (8.21), видим, что
т(Е — ?no)<^y е, если п0 достаточно велико. ПустьР — совершенное мно-
множество, Р с Епо и /л (ЕПо — Р) < ^. Покажем, что оно удовлетворяет всем
условиям леммы, если принять
*) Надо положить Р± = Р [—zl, zl] -f- [— jr, —zl] + [zl, тг] и построить Фг (х) для
/х(х) так, как Ф (х) строилась для / (х); тогда будем иметь Фг (х) = 0 вне (—А, А), откуда.
К (О, А) -^ 0 при zl -^ 0.

§8 СУММИРУЕМОСТЬ (Я,2) 499
Действительно, условие а), касающееся меры, выполнено. Далее, если
х ? Р, то х?Еп, а потому, если Л<^ — и fc<^ —, то б) следует из (8.21),
так как М > 1. Допустим, что к > —, a h = О, тогда
к п
j f(x+u)du*C jf(u)du< ™- <Mk.
О —п
О
1 г
Так же устанавливается, что если h > —, то f(x -f- н) Л/ <Г TW/z. Итак, б)
—h
справедливо. Условие в) сразу следует из б), если положить h = О, к = дп
их= ашгде3„ - (аш 0„).
Лемма 7 доказана.
Переходим, наконец, к доказательству теоремы. Прежде всего, не нару-
нарушая общности, можно принять /(х)^>0. Пусть ?n = {f(x)^n}. Положим
/ (х) = fn(x) + /?п(х), где /п(х) = / (х) на J2#I и fn(x) - 0 вне Ет т. е. /п(х) огра-
ограничена. Но для ограниченных функций доказываемая теорема верна, так
как мы установили в § 7 ее справедливость для f(x) e Lp при р > 1. Поэтому
у- 2 [Sm(*> U) ~ Ш)]2 = 0 (8.22)
' /71 О
/71 = О
почти всюду.
Теперь в силу леммы 7, поскольку Rn(x) = 0 на ?„, i?n(x) ^0 и
i?n(x) ^ L, можно найти такое совершенное Рп с Ет т (Еп — Рп) <— , что
-h
где {бр} —смежные к Рп интервалы, а М постоянная. Тогда для функции
-~^~ = W(х) удовлетворены условия леммы 4, а стало быть, и условия
леммы б, а потому
1 N
ЛГ4- 1 ^ m(> )
почти всюду на Рп, а значит, и
«т тог JsS,(x,^n) = O
ЛГ-voo iVTl m = 0
почти всюду на Р/г
Так как Rn(x) = 0 на Рп, то это можно переписать и так:
ЛГ-vco iV "Г A m = 0
почти всюду на Р„.
(х, /?„) - /?п (х)]2 = 0 (8.23)

500 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Из (8.22) и (8.23) сразу следует
lim -±—2[Sm{x,f)-f(x)]* = 0 (8.24)
N-+- от ~т~ m=0
почти всюду на Рп. Но так как тРп ->2п при п -> оо, то (8.23) имеет место
почти всюду и это заканчивает доказательство теоремы.
Следствие. Для любой f (х) ? L ряд сг (/) сально суммируется к f (x) поч-
почта всюду.
Действительно, в § б мы назвали ряд сильно суммируемым к / (х) в точке
х, если
Это то же, что суммируемость (Я, 1). Далее было доказано, что если к± < /с2,
то суммируемость (Я, к2) влечет суммируемость (Я, /q). Значит, теорема
Марцинкевича о суммируемости (Я, 2) влечет суммируемость (Я, 1), а это
и требовалось доказать.
Замечание. Некоторые авторы следующим образом обобщали
понятие о сильной суммируемости: вместо всей последовательности част-
частных сумм Sn(x) они рассматривали некоторую ее подпоследовательность
Spm(x) и изучали условия, накладываемые на последовательность и на
функцию, при которых почти всюду
т=\
(8.25)
для к = 1 или для /с^> 1. Не имея возможности перечислить все получен-
полученные здесь результаты, отметим некоторые из них. Например, Сунуоти (Su-
nouchi W) доказал, что условие (8.25) выполнено для любой f(x) ? Lp(p > 1)
и при любом /с^>1, если рт — возрастающая последовательность целых
чисел, таких, что^- = 0(рт+1 — рт) (в частности, это верно, если рт = т\
где г^> 1 любое). Салем (Salem №) показал, что если рт растет слишком
быстро (например, если ^Ш1 -> ооO то можно найти даже непрерывную
V т
f(x), для которой (8.25) уже не имеет места. С другой стороны, он показал,
что для выполнения соотношения (8.25) необходима известная регуляр-
регулярность последовательности рт. Напротив, Цутикура (TsuchikuraW), предпола-
предполагая, правда, / (х) не только непрерывной, но и с модулем непрерывности
(8) = ol |, показал, что при к = 1 соотношение (8.25) имеет
1)
со
место для произвольной последовательности рт.
§ 9. Суммируемость (Я, к) с переменным показателем
Мы установили в § 7, что если f(x) $ Lp (p> 1), то для любого к в точке
х0, где /(х) непрерывна,
Am(Xo,f)-f(xJ\k~o(l). (9.1)
Поскольку каждая из разностей Sm(x0, /) — /(х0) вовсе не должна быть
малой и даже Sn(x0, /) не обязана стремиться к /(х0) при п -> оо, наличие

§9 СУММИРУЕМОСТЬ (Н, к) С ПЕРЕМЕННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ 501
соотношения (9.1) означает, что все же количество тех членов суммы, кото-
которые велики, мало сравнительно с п. Ясно, что чем больше к, тем сильнее
утверждение, которое мы можем вывести относительно поведения разностей
Sn(x0,f) — /(х0). Поэтому возникает такой вопрос: нельзя ли найти такую
функцию к(п), что к(п) -^ оо, но все же соотношение (9.1) имеет место при
замене к через к(п).
Этот вопрос, как указывает Туран (ТигапИ), был поставлен Грюн-
вальдом, но Туран разрешил его в отрицательном смысле даже для всюду
непрерывных функций. Именно он доказал теорему:
Теорема. Если к(п) f оо как угодно медленно, то можно построить
всюду непрерывную функцию f (х) такую, что для некоторого х0 формула
Ит -^ 2 I S-(*o> /) - / (*о) \т = 0 (9.2)
уже не имеет места.
Чтобы доказать эту теорему, рассмотрим два случая.
Случай I. Существует последовательность положительных чисел
227<nx<n2<. . <л„<... (9.3)
такая, что
Мы рассмотрим функцию f(x), встречающуюся в фейеровском примере
ряда Фурье от непрерывной функции расходящегося в одной точке,
именно
j? (9.5)
где
п, v __ COSHX , COS (/I + 1) ЭС , , COS B Л— 1)Х
cos B л + 1) х cos3nx /(\ cz\
j .. -—. (9.b)
Когда nv задано, мы сначала находим целое число г так, чтобы
2г3<Х<2(г+1K. (97)
В силу (9.3) имеем г^>3.
Положим хо = Ои рассмотрим частную сумму ряда (9.5) с номером
2-2(г~1K в этой точке. Поскольку Q @, п) =0 при любом п, имеем в
силу (9.7)
,<^ (о, /0) = [~G^- + ~(~-Т + • • • +
где С= у (In 2K.
/0@) = 0, поэтому
|Г)^)^)Aпп1,)"Т~. (9.8)

502 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
_ 2
Хотя С < 1, но при v достаточно большом C(lnnvK> (Inn*,L, а потому
правая часть неравенства (9.8) превосходит
k(nv) к(пь) in nv lf 1 if—-
(Innv)-r = e^rlnlnn*>e-T- *lnIn«* (ny ' "
и, следовательно,
J|Sm@,/o)-/o@)|*^-»-oo ПРИ V
m=0
а потому в случае I доказательство доведено до конца.
Случай II. Существует такое N, что
при n>iV. (9.9)
y In n
В этом случае мы построим функцию
J?-^Q(*>, (9Л°)
где целые числа гп„ будут подобраны позже, но во всяком случае они удовле-
удовлетворяют условию
mv>3mv-lf (9.11)
выполнение которого необходимо для того, чтобы в двух разных тригоно-
тригонометрических полиномах, встречающихся в ряде (9.10), не было косинусов с
одинаковыми множителями при х.
Здесь снова /х(х) всюду непрерывна и /х@) = 0. Полагая
2mv
uimv= 2\Sj{Q,h)
7=0
имеем
amv J|;(,/1)
7=0
Но если mv<^j<^2mv—1, то
, /i) - -^r (-^ + -^-=T + • • • + 2^7=7) > "i5"ln
2mv-i '
а потому
2mv-\
1
1п/п„
Г e-tfk{2mv)^f (g 12)
J • \ /
О
Из (9.9) вытекает, что при достаточно большом п
стало быть, при достаточно больших v
Inmv> 2k{2mv),

§ 10 ОБ ОДНОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ ПОНЯТИЯ СИЛЬНОЙ СУММИРУЕМОСТИ 503
а тогда из (9.12) находим
2kBmv) 2kBmv)
1J от С 1 \kBtn.,) с ( 1 \kBm.,) г
*-j лшр ^^ i ¦*¦ j ^ w i f fkBmv) /U "^ j I v I p—t fkBmv) A* ->>
m ^ \ v2 J J I v2 J J
0 kBmv)
Q = j^lg^J^2^ fc B /л v). (9.13)
Если мы теперь предположим, что
kBmv)>l0v*
(а это всегда можно сделать, так как числа mv в нашем распоряжении), то
U2mv \ (№\кBт)
—Ту >Т1Г kBmv)->°o при i>->oo,
т. е. соотношение (9.2) заведомо нарушается и доказательство закончено.
§ 10. Об одном видоизменении понятия сильной суммируемости
Мы условились говорить (см. § 6), что ряд a (/) сильно суммируем к
/(х) в точке х, если
т=0
Было доказано (см. § 8), что для всякой f(x)?L условие (ЮЛ) выполнено
почти всюду.
Допустим теперь, что вместо A0.1) мы введем новое условие
Ясно, что требование A0.2) более сильное, чем A0.1)*).
*) Действительно, пусть ет > 0 (т = 0, 1,...). Покажем, что из условия (А)
вытекает (В)
1 п
—i—т JS ?т = о A) при п —¦ оо т\
Пт1ш=о
но из (В), вообще говоря, (А) не следует.
Для удобства будем сравнивать (А) с (В')
п
— 2! ?т~*° при "->о°) (В/)
m=l
П
так как ясно, что (В) и (В') эквивалентны. Положим
s = i ^
Тогда Sn ->• S < -j- оо при п -^ со в силу (А). Имеем
! И - = о л — Sm-i ДЛЯ
1 /И

504 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Возникает вопрос, при каких условиях, наложенных на /(х), условие
A0.2) имеет место? Этим вопросом занимался ряд авторов, но мы здесь ука-
укажем только один результат, принадлежащий П. Л. Ульянову, который нам
кажется чрезвычайно интересным. Именно Ульянов доказал, что даже для
непрерывной функции с равномерно сходящимся рядом Фурье не только
ряд в левой части A0.2), но и ряд
^ Sm (X, /) — / (Х) ПОЗ)
т=\
может оказаться расходящимся в каждой точке (хотя на сходимость A0.3)
могла бы оказать влияние интерференция положительных и отрицательных
членов ряда).
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, отметим, что
Ульянов ВД доказал *) существование таких непрерывных функций / (х) с
равномерно сходящимся рядом Фурье, для которых ни в какой точке х не
существует
Нт Г/
Л-*0 J
Теперь для получения нужного утверждения надо связать существо-
существование предела A0.4) и сходимость ряда A0.3). Этот вопрос интересен сам по
себе, и мы дадим здесь доказательство следующей теоремы (см. Зигмунд 1м-6\
стр. 67—68):
Теорема. Пусть f (x) ? L,
S*(X) = Sn(x) - J^osnx+bnsinwc ^ (ю 5>
и x0 — точка Лебега для /(х). Тогда необходимым и достаточным условием
сходимости ряда
Поэтому
Откуда
потому что из Sn-*- S следует
А* *_[*_ *±ч
Sn
Итак, из (А) следует (В'), а значит и (В). Но из (В) может не следовать (А), например
__ 1
?п~ ыпГ+1)
1 "-г
Действительно, ?п -+ 0, значит и ~г 2j sm ->¦ 0, а между тем
п ~
т=\
V
1
= +
* л1п(л+1)
*) Ранее Харди и Литтльвуд (Hardy and Littlewood I12') построили пример непре-
непрерывной функции, для которой A0.4) не существует почти всюду, но ряд Фурье равно-
равномерно сходится. Метод Ульянова совсем другой, и у него предел A0.4) не существует уже
всюду.

§ 10 ОБ ОДНОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ ПОНЯТИЯ СИЛЬНОЙ СУММИРУЕМОСТИ 505
является существование предела
lim
t *
h
Доказательство. Мы знаем (см. глава I, § 32), что
следовательно,
я
\]—Ц-а. (ю.8>
6
Так как выполнение A0.7) эквивалентно существованию предела
f П09>
то мы в дальнейшем можем доказывать теорему, заменяя интеграл в A0.7)
через интеграл из A0.9), Имеем, полагая
л /гч v sUxG)-f(x0)
к=\
и пользуясь (Ю.8),
/(xo + Q + /(xo-f)-2/(x0) у sin to
^ri ;й~*~Л- (юло>
о ™~2
Известно, что на 0 < х < 2тг имеем
гс — х ^ sin kx
(см. глава I, § 41). Положим
тг / \ ^ sin kx
к=\
И
Ясно, что
|(/л(х)|<лх, 0<х<2тг, A0.11)
и так как
гп(х)= 2 ^ТГ- > 0<x<27i, A0.12)
к=п+\
ТО
1Г^ХI<^х ДЛЯ °<^<^> A0ЛЗ>
где С —постоянное (см. глава I, § 41 и Вводный материал, § 1).

506
СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Теперь, обозначая для краткости
из A0.10) получаем
0 2tg-2-
В силу A0.11)
так как х0 — точка Лебега, значит
Далее
Покажем, что при п
tg ^
Пусть в > 0. Тогда существует такое б, что
h
(О|Л|Л| 1]РИ
(в силу того, что х0 --точка Лебега для /(*)). С другой стороны, при любом
<3>0 на отрезке [б, тс] функциигп(х) равномерно стремятся к нулю, и по^
этому найдется такое пг, что
для
Теперь, пользуясь A0.13) и A0.18), после интегрирования по частям
получаем
.-2tg2
при п j> п2.

§ 10 ОБ ОДНОМ ВИДОИЗМЕНЕНИИ ПОНЯТИЯ СИЛЬНОЙ СУММИРУЕМОСТИ 507
Отсюда и из A0.19) вытекает справедливость A0.17).
Теперь из A0.14)— A0.17) следует
л
Ап(х0) = 1J JZM-t^ldt + o(l) A0.20)
п
при п -> оо. Но предел
- dt = lim
п
всегда существует. Поэтому из A0.20) следует, что сходимость ряда A0.6)
эквивалентна существованию предела
Остается перейти от интеграла A0.21) к интегралу A0.9). Но для любого
Л можно найти такое п, что ^^-j <Л < —, а так как
2tg-|-
то теорема полностью доказана.
Из нее сразу получаем следствия:
Следствие 1*). Если f (х) ? U (р > 1) и х0 — ее точка Лебега,
то существование предела
lim Г /<*» + *>+ /<*»-*>-?/<*»>¦ <# A0.22)
ft
эквивалентно сходимости ряда
™sk(xO)f)-f(xo) A0.23)
В силу предыдущей теоремы достаточно убедиться, что в точке х0 схо-
сходится ряд
" sk(x, /) - s*k(x, f) A0.24)
*) Следствия 1 и 2, а также замечания 1 и 2 принадлежат П. Л. Ульянову.

508 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Но он даже сходится абсолютно и равномерно на [0,2 я], так как в силу
самого определения S*(x, /) имеем
и, значит,
^ !SjE(x,/)-Sfc(x,/)| < 4, 1 дл 1 + 1 **1 A0.25)
а этот ряд сходится, если ак и Ьк — коэффициенты Фурье от /(х)? I/ (p > 1)
(см. главу II, § 4, следствие теоремы Хаусдорфа—Юнга).
Итак, следствие 1 доказано. Замечая, что для непрерывной /(х) всякая
точка является точкой Лебега, отсюда выводим
Следствие 2. Если f(x) непрерывна, то в любой точке х существо-
существование предела
lim
эквивалентно сходимости ряда
^ Sk(x, /) - / (х)
Но, как мы уже говорили, Ульянов доказал существование непрерыв-
непрерывных /(х), для которых предел A0.22) не существует ни в какой точке, хотя
ряд а (/) сходится равномерно. Итак:
Существует непрерывная f(x) с равномерно сходящимся рядом Фурье,
для которой ряд
" Sk(x,f)-f(x)
расходится в каждой точке.
Этот факт указывает на то, что хотя у такой функции разности Sk(x, f) —
— f(x) равномерно стремятся к нулю, но они стремятся к нулю чрезвычайно
медленно, и даже возможная интерференция положительных и отрицатель-
отрицательных значений этих разностей не приводит к сходимости ряда A0.23).
Замечание 1. В главе VIII, § 11 будет доказано, что если /? L и
/ С L, то
к
Поэтому сразу видим, что в следствии 1 можно гипотезу /(х) $ Lp заменить
менее ограничительным требованием f(x) ? L и f(x) ? L.
Замечание 2. Так как для любой /(L у ряда
^ ак cos кх + Ьк sin кх
коэффициенты имеют порядок о U-), то он сходится почти всюду по теореме
Фату. Отсюда следует, что ряд A0.24) сходится почти всюду. Но тогда
ясно, что для любой f(x) $ L для почти всех х существование предела A0.22)
эквивалентно сходимости ряда A0.23).

§ 11 УСИЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА 509
§11. Усиленная сходимость функционального ряда
Пусть
есть ряд из измеримых функций.
Определение. Назовем ряд A1.1) усиленно сходящимся к числу
S в точке х0, если он сходится к S в этой точке и если существует последо-
последовательность чисел {ап} такая, что для некоторого <5,0<б< — ,
и последовательность
Sn(x0 + am)-+S при л->оо,
где Sn(x) — частные суммы ряда A1.1).
Целесообразность введенного определения станет ясной, если мы дока-
докажем теорему:
Теорема. Если ряд из измеримых функций сходится на множестве
?, тЕ > 0, то он,усиленно сходится почти всюду на Е.
Пусть ^>0 задано. Найдем по теореме Егорова такое совершенное
Р, тР > тЕ — % где ряд сходится равномерно. Кроме того, по теореме
Лузина о С-свойстве можно считать Р выбранным так, что все члены ряда
являются непрерывными функциями на Р. Значит, его сумма S(x) непре-
непрерывна на Р. Пусть х0 — точка плотности для Р. Возьмем любое 3, 0 < 3 < -^ ,
и по лемме § 13 Добавлений найдем такие ат что
<5<пап<1 -д для и>п0, ( .J12v
j
Пусть е > 0 задано. В силу равномерной сходимости ряда на Р можно
взять пг столь большим, что
\Sn(x)-S(x)\<e, x?P, п^П1. A1.3)
Наконец, в силу непрерывности 5(х)на Р можно взять п2 столь большим,
что
\S(x + h)-S(x)\<e, если х^Р, x + h?P, |/*|<-f. A1.4)
Если обозначить через N число, превосходящее п0, пг и п2, то для n^N
все условия A1.2), A1.3) и A1.4) будут выполнены.
Тогда при п^ N и т^п имеем
I Sn(x0 + «m) - S (х0 + ат) |
|S(xo + am)-S(xo)|<
откуда
|Sn(x0 + am)
а это значит, что
Sn(Xo + am)-+$(xo) При
Так как х0 была любой точкой плотности для Р, то во всякой точке плот-
плотности для Р ряд усиленно сходится, т. е. это имеет место почти всюду на Р.

510 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Но тР > тЕ— г], где rj произвольно мало. Отсюда ясно, что ряд усиленно
сходится почти всюду на Е.
Из доказанной теоремы немедленно получаем
Следствие. Если тригонометрический ряд сходится на множестве
Е, тЕ > 0, то он усиленно сходится почти всюду на Е.
Эта теорема будет нам очень полезна в главе VIII при изучении вопроса
о сходимости ряда, сопряженного к данному.
Предварительно нам понадобится изучить условия, при которых три-
тригонометрический ряд усиленно сходится в индивидуальной точке. Этим мы
займемся в § 12 настоящей главы.
§ 12. Усиленная сходимость тригонометрических рядов
Начнем с доказательства следующей леммы*):
Лемма 1. Пусть v (х) — функция с ограниченным изменением на
(—Д А) и непрерывная при х = 0. Пусть {hm} — последовательность чисел
таких, что
\hm\<^ (/л = 1,2,...). A2.1)
Пусть а^>0 любое, а числа икт удовлетворяют условию
\Uum\<Ck (/л = 1,2,...; fc=l,2,...). A2.2)
Если, полагая
п
C(m) _ v //,
к=0
имеем
Sgn> = o(na) при п-^оо и т^п, A2.3)
то для
к=0
имеем
Доказательство. Сделав преобразование Абеля, найдем
S{v(khm) - v [(к + l)hm]} + Sg"> v{nhw) = П + Т"п
(значок т мы для краткости опускаем).
Так как п^т, то \nhm\ <^ \mhm\ ^ Д а на (—А, А) функция v(x)
с ограниченным изменением, значит и подавно ограничена; кроме того, на
основании A2.3) S(™) = o(na), поэтому
Т*п = о(п°). A2.4)
Далее, на основании A2.3) можно найти такое N, что
]^т)|<?Па для n>JV и ш>п. A2.5)
Имеем
N л-1
к=\ N+1
*) Эта лемма и ряд дальнейших теорем доказаны Марцинкевичем и Зигмундом
Marcinkiewicz and Zygmund t2]).

УСИЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
511
В силу A2.5)
v(khm)-v[(k+l)hm]}
N+l
z'J var v(x) ,
(-Л, A)
так как jm/zj <^ Д а потому все аргументы у v(x) не выходят из отрезка.
(- А А).
Отсюда
где С — постоянное, и остается оценить 7^".
Докажем, что числа— "^ограничены в совокупности. Действительно^
можно найти такое п0, что
^ 1 для п ;> п0
в силу A2.5). Если же п < п0, то можно написать в силу A2.2)
:2
к=\
Выбрав К = max A, С), видим, что
|^т)|</<:иа для всех л и
Отсюда мы заключаем, что
N
\2
к=\
<K2ka\v(khm)-v[(k+l)hm]\^KNa2\v(khm)-v[(k+l)hm]\.
к=\ к=\
Так как v(x) по условию непрерывна при х = 0, то можно выбрать
так, чтобы
~у—г ПрИ | X | << Г\ .
A(N +1) >
Тогда для всех и, для которых
имеем при
а потому все аргументы у v(x) в последней сумме заключены между — rj и
??, т. е. каждый член этой суммы не превосходит _f , а значит вся сумма
не превосходит 2s. Отсюда
и доказательство закончено.
Следствие. Полагая икт = и'к для всех т и требуя, чтобы

512 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
удовлетворяло условию
получаем для
п
к=\
(при тех оке условиях на v(x) и {hm})
Т™ = о (па) при п->оо и т^п.
Мы имеем теперь возможность изучить усиленную сходимость триго-
тригонометрических рядов в индивидуальной точке. Здесь представляется целе-
целесообразным рассмотреть отдельно ряды из косинусов и ряды из синусов.
Сначала докажем две леммы:
Лемма 2. Для того чтобы ряд
^~+ yancosnx A2.6)
усиленно сходился к S при х = О, необходимо и достаточно, чтобы ряд
сходился к S.
Не нарушая общности, можно считать S = О, так как можно было бы
рассмотреть ряд со свободным членом —¦—S.
Обозначим через S* частную сумму ряда-^- + 2 ап- Еслимыпредполо-
z k=\
жим, что он сходится к нулю, то
Но cos х есть функция с ограниченным изменением на любом интервале и
непрерывная при х = 0. Поэтому, применяя лемму 1 для случая а = О
к сумме
Sn(hm) = -%-+ j?akcoskhm,
где
БИДИМ, ЧТО
5„(Л
а это и значит, что ряд A2.6) усиленно сходится к 0 в точке 0. Итак, сходи-
сходимость A2.7) влечет усиленную сходимость A2.6) при х = 0.
Обратное очевидно из определения усиленной сходимости. Лемма 2
доказана.
Замечание. Из доказательства видно, что если только предпо-
предполагать
то все же получим
а потому из

i 12 усиленная сходимость тригонометрических рядов 513
следует
к=\
при hn = О (—]. Это нам пригодится позже.
Лемма 3. Для того чтобы ряд
усиленно сходился при х = О, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
последовательность {nbn} суммировалась к О методом (С, 1).
Условие достаточно. Положим
с -пЬ и у -
Из уп = оA) следует
S* = cx+c2 + ... + cn = o
Нам надо доказать, что для
п
sn (x) = 2^ &/сsin to
имеем
Sn(hm) = o(l) при п->сю,
если {ftm}—некоторая последовательность, удовлетворяющая условию
<1-<5. A2.8)
Мы имеем
Sn (hm) = 2 Ьк Sin khm = 2 "F Sin ktl™ = Ьт2Ск -Fh
k=\ k=\ k=l
sin t
Ho —— есть функция с ограниченным изменением на любом отрезке и
непрерывная при / = 0. Поэтому, полагая в лемме 1 а = 1, v(x) =
u* = cky найдем
Так как hm = 0 (-J-) — О Ш при т > л, то
Так как, кроме того, рассматриваемый ряд сходится к нулю при х = 0, то
мы видим, что он усиленно сходится к нулю при х = Ои достаточность
условия доказана.
Замечание. Из доказательства вытекает, что
О,
если только hn = О I — I, и {nbn} суммируемо к нулю методом (С, 1).

514 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
Условие необходимо. Нам дано, что существует последова-
последовательность {/?„}, удовлетворяющая A2.8), для которой
л
2 Ькsinkhm-»- О при п->оо и т^п.
к=\
Надо доказать, что {nbn} суммируема к 0 методом (С, 1), т. е.
Имеем
к=\
Положим икп = Ък sin khn; тогда
и
п л
к=\ к^\
X
Полагая v(x) = —.—, видим, что эта функция имеет ограниченное изменение
sin х
на (—1, 1) и непрерывна при х = 0. Поэтому, применяя лемму 1 (здесь
А = 1), находим
1, khn • л^
к=\ л к=\
Но в силу nhn^b имеем -г- = О (п), а потому
и доказательство окончено.
Лемма 4. Для того чтобы ряд
•Щ-+ ^CLn cos nx + bn sin nx
л = 1
усиленно сходился к числу S при х = 0, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись условия
а) -~ + JF ап =. S у
л=1
б) {nbn} суммируется к 0 методом (С, 1).
Необходимость условия а) очевидна, так как усиленная сходимость
ряда к S при х = 0 требует сходимости к S при х = 0; но 2 ^п $'т пх всегда
00
сходится к 0 при х = 0, а значит тогда -j- + 2 ап = 5-
Но по лемме 2, если а) выполнено, то
л=1
усиленно сходится к S при х = 0. Значит, тогда 2 Ьп sin nx как разность
двух рядов, усиленно сходящихся к S, сама усиленно сходится к нулю.
В этом случае по лемме 3 необходимо выполняется условие б).

§ 12 УСИЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 515
Итак, необходимость а) и б) доказана.
Пусть теперь оба условия а) и б) выполнены; по лемме 2 ряд из коси-
косинусов в силу а) должен усиленно сходиться к S при х = 0; по лемме 3 ряд
из синусов должен усиленно сходиться к 0 в этой точке. Значит, их сумма
усиленно сходится к S, и лемма 4 доказана.
Теорема 1. Для того чтобы тригонометрический ряд
а °°
-т?- + ^ ап cos nx + bn sin nx A2.9)
усиленно сходился kS(x0) в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы он
сходился к S (х0) в этой точке и чтобы последовательность
{п (bn cos пх0 — ап sin nx0)}
суммировалась к 0 методом (С, 1).
Чтобы убедиться в этом, напишем Sn(x0+ hm) в развернутом виде:
Sn(x0 + hm) = 4- + 2 0*cosfc(*o + hm) + bksmk(xo H
(x0) cos khm + Bk (x0) sin khr
k=\
где
Ak (x0) = ak cos kxQ + bk sin kx0,
Bk (x0) = &ft cos kx0 — aft sin te0.
Тогда ясно, что усиленная сходимость ряда A2.9) в х0 к S(x0) имеет
место в том и только том случае, когда усиленно сходится к S(x0)
при / = 0 ряд
^г+ У Ak(x0)coskt + Bk(x0)sinkt, A2.10)
потому что, обозначая через S*@ частные суммы ряда A2.10), имеем оче-
очевидно
для любых hm.
Но по лемме 4 ряд A2.10) усиленно сходится к S(x0) при х = 0 в том
и только том случае, когда
и {пВп(х0)} суммируется к 0 методом (С, 1).
Подставляя значения Ап(х0) и Вп(х0), мы видим, что теорема
доказана.
Из доказанной теоремы 1 и следствия теоремы § 11 получаем важйый
результат:
Теорема 2. Если тригонометрический ряд
-у- + J^ an cos пх + &п sin nx
77=1

516 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. VII
сходится на множестве Е, тЕ > 0, то почти всюду на этом множестве
последовательность
{п (bn cos пх — ап sin nx)}
суммируется к нулю методом (С, 1).
Этот результат будет использован в § 23 главы VIII.
§ 13. Суммируемость (С*, О)
Определение усиленной сходимости для тригонометрического ряда
принадлежит А. И. ПлесснеруМ, хотя он не употреблял этот термин, а
говорил «суммируемость(С*, 0)». Первоначально данное им определение было
таким:
Определение. Тригонометрический ряд суммируется (С*, 0) к
числу S в точке х0, если для его частных сумм Sn(x) имеем
Sn(x0 + hn)-+S при п->оо
каждый раз, как hn = О (—1.
Термин «суммируется (С*, 0)» не кажется нам удачным, потому что из
определения следует, что суммируемость (С*, 0) в некоторой точке неиз-
неизбежно влечет сходимость в ней (тогда как обычно «суммируют» расходя-
расходящиеся ряды). Именно поэтому, если ряд не только сходится, но еще удов-
удовлетворяет более сильному условию, то нам кажется, что здесь лучше было
бы говорить об усиленной сходимости.
Оставляя в стороне вопрос о терминологии, покажем, что условие,
введенное нами в определение «усиленной сходимости», и условие, сформу-
сформулированное сейчас под названием «суммируемость (С*, 0)», эквивалентны
(этот результат принадлежит А. И. Плесснеру). Следовательно, мы должны
доказать такое предложение:
Теорема. Для того чтобы тригонометрический ряд суммировался
(С*, 0) к числу S в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы он усиленно
сходился к S в точке х^.
Необходимость условия очевидна; в самом деле, пусть {hn}—любая
последовательность, удовлетворяющая условию
<1-*- A3.1)
Из (С*, (З)-суммируемости следует
Sn (хо + Лт) ->¦ S при п->оо и т^п,
потому что
и, значит, усиленная сходимость имеет место.
Для доказательства достаточности покажем, прежде всего, что, не
нарушая общности, можно принять х0 = 0. Действительно, при доказа-
доказательстве теоремы § 12 мы уже видели, что усиленная сходимость ряда A2.9)
в х0 к S имеет место тогда и только тогда, когда ряд A2.10) усиленно сходится
к S при t = 0. Это было следствием тождества

§13 СУММИРУЕМОСТЬ (С*, О) 517
Итак, будем рассматривать случай х0 = 0. Тогда по лемме 2 усиленная
сходимость влечет выполнение условий
и {nbn} суммируемо (С, 1) к нулю.
С другой стороны, из замечаний, сделанных в конце доказательств
леммы 2 и леммы 3, следует, что из hm = О (—) и только что выписанных
условий вытекает
j
к=\
к=\
а потому
и доказательство закончено.
Из доказанной теоремы и из следствия теоремы § 11 сразу получаем:
Если тригонометрический ряд сходится на множестве Е, тЕ > 0, то
он (С*, О)-суммируем почти всюду на этом множестве.
Замечание. Обозначение (С*, 0) введено А. И. Плесснером потому,
что он рассматривал вообще суммирование (С*, а), которое находится в
таком же взаимоотношении с методом (С, а), как (С*, 0) с обычной сходи-
сходимостью. Он получил для метода (С*, а) аналогичную теорему.
Все эти результаты он применил к исследованию сходимости и сумми-
суммируемости (С, а) для сопряженных рядов (см. об этом в § 23 главы VIII).

ГЛАВА VIII
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 1. Введение
Напомним, что в главе I нами уже было введено определение: мы усло-
условились для ряда
-—- + jj?an cos nx + bnsinnx A.1)
называть сопряженным такой ряд:
2? — Ъп cos пх + ап sin nx, A.2)
77=1
и отметили, что эти ряды представляют собой действительную и чисто мни-
мнимую части степенного ряда
на окружности \z\ = 1.
Если ряд A.1) есть ряд Фурье от некоторой функции /(х) ? L2, то
00
J? а% + Ь\ < + °°, а тогда по теореме Фишера—Рисса найдется такая
/(х), для которой A.2) будет рядом Фурье. Такую/(х) называют сопряжен-
сопряженной с /(х).
Заметим для дальнейшего, что тогда в силу равенства Парсеваля
т. е.
л л
Jx)rfx<J>(x)<fr, A.3)
—л
что нам впоследствии понадобится.
Так как для ряда Фурье от произвольной суммируемой /(х) сопряжен-
сопряженный ряд уже не обязан, вообще говоря, быть рядом Фурье (примеры см. в
§ 30 главы I), то возникает вопрос, можно ли говорить о функции / (х), сопря-
сопряженной с/(х), если /(x)^L2. Что_бы ответить на этот вопрос, заметим, что
если / (х) ? L2, то можно выразить / (х) через / (х), не переходя к рассмотрению
рядов Фурье A.1) и A.2) от этих функций. Действительно, Н. Н. Лузин

§2 СХОДИМОСТЬ В ТОЧКЕ; ПРИЗНАК ДИНИ 519
(см. [м-101, § 65) доказал, что для любой /(х) ? L2 почти всюду имеет смысл
интеграл
J/(x + Q-/(«-O<tt> (L4)
о ™~2
п
определяемый как lim J, и тогда оказывается, что
A.5)
Существование интеграла A.4) представляет важный факт в метри-
метрической теории множеств; мы будем говорить об этом подробно в § 8.
Здесь же мы, не останавливаясь на случае / ? L2, отметим, что, как
показал И. И. Привалов Ш, интеграл A.4) имеет смысл почти всюду для
любой /(х) ? L.
В настоящее время принято называть сопряженной с/(х) и обозначать
через/(х) функцию, определяемую равенством A.5) (в силу теоремы И. И.
Привалова она определена почти всюду). Такое название оправдывается
тем, что, как доказал В. И. Смирнов М, если функция /(х) оказывается сум-
суммируемой, то ряд A.2) является ее рядом Фурье. Если условиться через
a(f) обозначать ряд,_сопряженный с рядом o(f), то это утверждение можно
записать так: если / $ L, то d(f) = <?(/). Эта теорема будет доказана в § 17.
Целью настоящей главы является:
а) изучить поведение ряда дф в некоторой точке в зависимости от по-
поведения /(х) (§§2—4);
б) исследовать суммируемость ряда а (/) методами (С, 1) и Абеля (§§ 5 и 6);
в) доказать существование сопряженной функции для любой сумми-
суммируемой (§ 7);
• г) найти условие, при котором два сопряженных ряда являются рядами
Фурье, и рассмотреть свойства коэффициентов таких рядов (§§ 10 и 11);
д) рассмотреть .ряд случаев, когда суммируемость/(х) влечет сумми-
суммируемость /(х) (§§ 13—15);
е) показать, что при известном обобщении понятия интеграла сопря-
сопряженный ряд сг(/) можно рассматривать как ряд Фурье от /(х) даже и тогда,
когда /(х) несуммируема;
ж) установить, что ряды, сопряженные с рядами Фурье, ведут себя
в ряде случаев как ряды Фурье (§§ 19—22);
з) рассмотреть, что можно сказать о сходимости двух сопряженных
рядов, если уже не предполагать, что один из них есть ряд Фурье (§ 23).
§ 2. Сходимость в точке; признак Дини
Обозначим через Sn (x) сумму п первых членов ряда o(f). Мы уже видели
(см. глава I, § 31), что
где
_ л COS-^- — COS \П + — I U
D(u)=2sinku 2\ 2J
2sin —

520 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Замечая, что Dn (и) — нечетная функция, и полагая t — х = и, находим
j COS fЛ + уj U
2 sinl
Ho
cos|.. , Л , i*
cos ли 1
2sin|- 2tg-|
а так как
и даже равномерно относительно х (в силу леммы § 31 главы I), то
u + o(l), B.2)
где 0A) также имеет место равномерно относительно х.
Если в рассматриваемой точке х функция /(х) (см.§ 1) определена, т. е.
интеграл
J
имеет смысл (здесь, как в § 1, интеграл понимается как lim (), то в силу B.2)
fc-*0 О
и+ 0A) B.3)
(существование интеграла понимается в том же смысле).
Но есть функция, непрерывная на [0, я], а потому снова
в силу леммы § 31 главы I можно в интеграле формулы B.3) заменить в
знаменателе 2tg-|- через и, поскольку совершаемая ошибка войдет в
0A); отсюда
п
О
где снова 0A) имеет место равномерно относительно х. Таким образом:
Для того чтобы д (/) сходился к / (х) в точке х, необходимо и достаточно,
чтобы
л
lim lim [/ (х + u) — f(x — u)] c snu du \ = 0. B.5)
е
Отсюда мы сразу получаем

§4 ТЕОРЕМА ЮНГА 521
Признак Дин и. Если в точке х интеграл
da B.6)
i
имеет смысл, то ряд а (/) сходится к / (х) в этой точке.
Действительно, если этот интеграл имеет смысл, то, как вытекает из
_ f (х -\- и) 1 (х It)
B.6), / (х) существует в точке х, функция /-Л-———*-± - суммируема и
равенство B.5) имеет место.
В частности, если для некоторого х имеем при каком-то а > О равен-
равенство | /(х + и) — /(х — и)\ = О(иа), то интеграл B.6) имеет смысл.
Отсюда вытекает, что дф сходится к/(х) во всякой точке, где /'(х)
существует и конечна.
Кроме того, если /(х) удовлетворяет на [0, 2тг] условию Липшица по-
порядка а>0, то дф Сходится к /(х) всюду (можно было бы доказать, что
сходимость равномерна, но это можно получить из более общих теорем;
см. §§ 13, 19).
§ 3. Принцип локализации
Из формулы B.2) следует, что сходимость или расходимость ряда,
сопряженного к ряду Фурье от f (x), зависит только от поведения f (x) в
окрестности рассматриваемой точки, так как для любого Ь > О
заведомо стремится к нулю при п -> оо. Но для ряда Фурье мы знаем, что
не только сходимость или расходимость, но и величина суммы ряда зависит
лишь от поведения /(х) в окрестности точки; в случае рядов, сопряженных
к рядам Фурье, это уже неверно. Действительно, величина / (х) определяется
формулой A.5), и, значит, она зависит уже от значений /(х) не только в
окрестности рассматриваемой точки*).
§ 4. Теорема Юнга
Юнг (Young И) доказал теорему:
Теорема Юнга. Если /(х) — функция с ограниченным изменением,
то необходимым и достаточным условием сходимости ряда дф в точке х
является существование в этой точке функции /(х), т. е. существование
предела
*) Если две функции fx (х) и /2 (х) совпадают на некотором интервале (а, Ь), то для
любого е > О ряды a (/i) и а (/2) в интервале (а + е, Ь — в) отличаются на ряд равномерно
сходящийся, как это имеет место и для рядов Фурье, но уже нельзя утверждать, что этот
ряд равномерно сходится к нулю, как это имело место для рядов Фурье.

522 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Чтобы убедиться в этом, положим
/^Л D.1)
и покажем, что Sn(x) — / (х, -^ j -> 0 при и -> со.
Так как/(х) имеет ограниченное изменение, то у нее могут быть только
точки разрыва 1-го рода. В главе I, § 42 было доказано, что в точке разрыва
1-го рода ряд дф заведомо расходится. Но в этих точках и /(х) не может
существовать, так как
п
расходится, a yx(f)->f(х + 0) — f (x — 0) при/->0. Итак, остается изучить
вопрос лишь для случая, когда /(х) непрерывна в рассматриваемой точке х.
В силу формулы B.2) имеем
п
dt =
| 2tg|
. D.2)
Пусть s > 0; в формуле D.2) мы предположим и столь большим, что ~ < г.
Так как / (х) с ограниченным изменением и непрерывна в рассматривае-
рассматриваемой точке х, то ipx(t) с ограниченным изменением и непрерывна при t = О,
а потому можно написать rpx (t) = P(t) — N (t), где Р (t) и N (t) непрерывны,
монотонны иР@) = N@) = 0. Выберем?? столь малым, чтобы Р(/)< г и
N @ < г при 0 < / < % и для оценки интеграла
„, а = f_Zifcosnfd/-
» 2tgT »
разобьем каждый из двух последних интегралов на два: от — до г\ и от ^ до
тг. По второй теореме о среднем
где — < | < rj. Но Р (??)< г и снова по второй теореме о среднем
cos л/
dt
1
I'
2tg;
cos ntdt
~ . 7t П
2&тШ

§4
ТЕОРЕМА ЮНГА
523
Так как для N (t) рассуждение аналогично, то окончательно
<2е,
* 2tgi
n
т. е. этот интеграл как угодно мал.
Но интеграл
cos nt dt =
при п -> ©о, потому что у*'^ есть суммируемая функция на (rj, л). Отсюда
следует, что
Остается оценить /2. Так как -^ < ч, то \ipx (f)\ < 2e, а потому
1 — cos л/
Итак, мы убедились, что Sn(x)—/ (х, —¦] может быть сделано как угодно
малым. Но если / (х) существует, то fix, — )-> / (х)при п -> оо, значит тогда
а потому ряд a(j) сходится и именно к f(x) в рассматриваемой точке.
Но и наоборот, если ряд сходится, то /(х) существует и Sn(x) ->/(*)..
Действительно, пусть /z>0 задано. Найдем такое п, что ^ t
Имеем
~
и, значит, из того, что Sn (x) имеет предел, следует, что / 1х, ~\, а вместе с ним
/ (х, Л) имеет тот же предел, т. е.
Urn Sn (*) =
Теорема доказана.

524 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
§ 5. Суммируемость (С, 1) ряда a(f)
Положим
< (х) = от (х, /) = Ш±Т 2 Sn (х, f)
и докажем следующую лемму:
Лемма. Если функция f (x) удовлетворяет в точке х условию
(x-u)\du = o(t), E.1)
то, полагая fm (х) = / (х, -^-), имеем
| — /(* — 0] г-Л->0 при ш-^оо.
Так как fm(x) ->/(х)там, где f(x) существует, то дт (х) -> /г(х) в этом
случае. Но условие E.1) выполняется в каждой точке Лебега,_т. е. почти
всюду (см. Вводный материал, § 15), а в § 7 будет доказано, что f(x) сущест-
существует почти всюду.
В результате мы сможем утверждать, что
Ряд а({) суммируем (С, 1) к f (x) почти всюду.
Переходим к доказательству леммы. С этой целью прежде всего найдем
удобное выражение для ядра Кп(х), сопряженного к ядру Фейера, т. е.
вычислим
1 „ cos
у - cos [k + у] х
1 sin (л + 1) х
cos [к + Т)х =
X Л + 1 . . 9 X '
как показывает элементарный подсчет.
Итак,
K.W-ictgi-rLfii<i±J)i E.2)
Кп (х) = —Ц- [sinх - ^±^1 • E.3)
4 sin2 = L л + i j
ИЛИ
Ц
4 sin2 -=-
Для дальнейшего заметим, что при О <^^С — имеем
Kn(t)=O(n4) E.4)
(это легко следует из того, что Slna ^ —при

§5 СУММИРУЕМОСТЬ (С, 1) РЯДА ст(/) 525
Обозначая, как и раньше,
v*@ = /(* + 0-/(*-0
и полагая
^*(O = Jlv*(a)|<to, E.5)
о
имеем из формулы E.1)
У* @ = о@- E-6)
На основании формулы B.1) имеем
п=0 л=0
и, следовательно, из E.2)
л
тп л
°пг (X) ~ fm (X) = - ±jvx(t) Km(t) dt-±$y>x
О п_
т
@dt+ ^^]yx(t) «ШЕ+Ж dt~I1 + I2. E.7)
sin2
sin2"
Но на 0^/^— имеем E.4) и, кроме того, на основании E.6)
а потому
Далее,
и интегрируя по частям, заключаем, что
Ш1^. E.9)
Пусть г>0 задано. Выберем д так, чтобы !F* (/)< st для
(что возможно в силу E.6)). Тогда
; а

526 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Так как е как угодно мало, то отсюда ясно, что /2 может быть сделано
как угодно малым при т достаточно большом. Значит, из E.7), E.8) и E.9)
следует, что
и лемма доказана. Из нее, как мы уже говорили, будет следовать сумми-
суммируемость а(/) к/(х) почти всюду, как только само существование f(x) почти
всюду будет доказано.
§ 6. Суммируемость методом Абеля—Пуассона
Собственно говоря, мы можем уже утверждать, что такая суммируе-
суммируемость имеет место почти всюду, так как это справедливо для метода (С, 1),
а метод Абеля сильнее его*). Однако нам необходимо для будущего произ-
произвести оценку разности
v(r,x)-/OT(x),
где fm (х) — уже употреблявшаяся в § 5 функция, a v (г, х) — пуассоновская
сумма для ряда сг(/).
Лемма. Если f(x) удовлетворяет в точке х условию
hx + u)-f(x-u)]du = o(t) F.1)
и rj == arcsin (I — г), то
п
при г -> 1.
Так как г; (г, х) означает пуассоновскую сумму для ряда, сопряженного
к ряду Фурье от /(х), то (см. E4.3) из главы I)
где
Отсюда следует, что
rj п
v(r,x)-fv(x)=~±jvAt)Q(rJ)dt + ±jvx(t)<l(r,t)dt=:J1 + J2, F.2)
О п
где
— A — гJ ctg —-
i^2 2
*) Более того, в силу теоремы § 7 Вводного материала из суммируемости (С, 1) сле-
следует суммируемость А*,

§ 6 СУММИРУЕМОСТЬ МЕТОДОМ АВЕЛЯ-ПУАССОНА
Положим
A(r,t)= I -2rcosf+ r2 = (l -rJ+ 4rsin2у,
Имеем, интегрируя по частям,
Л = -
Но в силу F.3)
п , v г sin 77 г sin?? г sin??
поскольку rj = arcsin A — г), откуда при г -> 1 имеем г\ -> О и
Q(r,rj) = O{—). F.5)
Кроме того,
dQ(r,t)_ r{(l+r2)cos/-2r} _'
5A-гJ
Поэтому при 0 ^ / ^ г]
dQ(r,t)
A — гJ sin2 ?? v ^2 J
и так как мы предположили (см. 6.1), что
то из F.4), F.5) и (б.б) получим
Далее заметим, что
Q (г, л) = 0 и q (r, jt) = 0.
Кроме того, ? (г, ??) = О (—) и
Э/ ~ ~~ 4/1 Z2^ ~ UI ^ J "^ U U4~J '
а потому
и, значит,
v(r,x)-/4(x)-*0,
что и требовалось доказать.
Но там, где / (х) существует, имеем/^(х)->/(х). Значит, в точке, где вы-
выполнено F.1) и/(х) существует, ряд а(/) суммируется к/ (х) методом Абеля—
Пуассона.

528 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Мы знаем, что F.1) заведомо имеет место во всякой точке Лебега, т. е.
почти всюду; кроме того, в § 7 будет доказано, что / (х) существует почти
всюду. Из этого можно заключить, что
Ряд а (/) суммируется методом Абеля—Пуассона Kf(x) почти всюду.
§ 7. Существование сопряженной функции
Докажем теперь теорему*), которая уже неоднократно была сформули-
сформулирована, а именно:
Теорема Лузина — Привалова. Для любой f(x) ? L почти
всюду существует сопряженная функция f(x)
Чтобы убедиться в этом, мы для удобства примем йо = Ои аналогично
предыдущему положим
Нам надо доказать, что }п(х) почти всюду стремится к некоторому пределу
при г} ->0.
Допустим сначала, что f(x) ? L2. В этом случае ]? а\ + Ъ\ < + со.
Но тогда существует g(x), для которой а (/) является рядом Фурье, т. е.
d(f) = a (g). Следовательно (см. § 53 главы I), ряд a (g) суммируется к g(x)
методом Абеля почти всюду, т. е.
v (r, x) -> g(x) почти всюду,
где v(r, х) — пуассоновская сумма ряда o(g) или(т(/). Но, с другой стороны,
в силу леммы § б имеем
v (г, х) — fn (x) -> 0 почти всюду,
где r\ = arcsin A —г), т. е. rj ->0 при г -> 1. Отсюда следует, что
Л? (х) -^ 8 (х) почти всюду,
т. е. для случая f(x) ? L2 теорема доказана.
Для дальнейшего нам будет полезно напомнить, что если / (х) сущест-
существует, то
/ч(х)-*/(х).
Поэтому f(x)= g(x) почти всюду, т. е. для случая, когда f(x) ? L2, сопря-
сопряженной функцией следует назвать ту, у которой о (g) = a (/).
Переходим к общему случаю. Ясно, что lim fv(x) существует в тех и
только тех случаях, когда существует lim /*(x), где
v
Поэтому мы будем доказывать, что /* (х) почти всюду имеет предел при rj -> 0.
*) Доказательство взято из книги Hardy and Rogosinski [M-28].

СУЩЕСТВОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 529
Положим
Тогда F(x) — абсолютно непрерывная и периодическая, так как FBn) =
= F @), поскольку мы предположили а0 = 0. Кроме того, F'(x) = /(х)
почти всюду.
По теореме Егорова*) существует совершенное множество Р такое, что
тР > 2л — s и
равномерно на Р. Так как /(х) на Р непрерывна, то
|/(
Тогда
при х ?Р и |Л| <^ ho(s).
Множество СР есть система интервалов {?„}, причем 2/ 6П < е. Если
точки 0 и 2тг не входят в Р, мы их будем считать за концы интервалов дт
все остальные концы принадлежат Р. Если мы растянем каждый дп втрое,
сохраняя его центр, отбросим части, выходящие за [0, 2п\ и заменим пере-
перекрывающиеся интервалы неперекрывающимися, то получим новое открытое
множество, дополнение к которому естьР* с Р; ясно, что тР* > 2п — Зе.
Так как е произвольно, достаточно показать, что /(х) существует почти
всюду на Р*.
Пусть Ф(х) — непрерывная периодическая функция такая, что Ф(х) =
= F (х) на Р, в точках 0 и 2тг, и интерполируемая линейно в каждом дп. Тогда
где q>(x) = f (х) на Р и <р (х) =?Ш^и& на дп = (ап, Ьп). Так как 2' *„ <
< + оо, то Ьп < /z0 для п > N, если N достаточно велико. Если х ^ йп и
л > N, то 0 < х — ап < /z0 и 0 < #п < 2п, поэтому
\F(x)-F(an)\^2M6n)
отсюда и \F(bn) — F(an)\^2Mdn. Следовательно, q>(x) ограничена, а тогда,
по уже доказанному, ^(х) существует почти всюду.
*) Теорема Егорова формулируется для последовательности измеримых функций и,
как показал Г. П. Толстов^], может даже оказаться неверна, если речь идет о пределе
lim F(x, У) = / (х).
у->0
Однако Г. П. Толстов показал, что если F (х, у) измерима по Борелю по совокупно-
совокупности переменных и F(х, у) -*¦ /(х)при у-+ 0 и хе Е, тЕ > 0, то можно для любого е > О
найти такое ?, т$ > тЕ — в, где F (х, у) -> /(х) равномерно при у -+¦ 0. В нашем случае
мы и можем пользоваться этим результатом, поскольку F (х) непрерывна и, значит, отно-
отношение
F(x + h)-F (x)
/г
есть измеримая по Борелю функция по совокупности переменных х и Л.

530 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Полагая
мы будем доказывать, что г (х) существует, т. е. что гп стремится к пределу
почти всюду на Р*, а тогда все будет доказано.
Ясно, что R(x) непрерывная, периодическая, R@) = RBn) = 0и R(x) =
= О на Р; существует такое С = С(е), что
| R (х) | <; С для всех х.
Кроме того, если х ? дп и п > N, то
\0(x)-0(an)\^\^^[F(bn)~F(an)]\^\F(bn)^F(a^
значит,
Допустим теперь, что х?Р*. Тогда
" , 1 f fl(* + Q + /?(xQ ^ __ ff , „
Так как
R^ ^fr^^^W >± г(x) почти всюду,
то щ почти всюду на Р* стремится к пределу.
Наконец, остается доказать, что vn стремится к пределу почти всюду
на Р*, но это безусловно будет иметь место, если
о
почти всюду на Р*. Проведем доказательство для x + t. Имеем
п+х 2л
Р* Р* х О Р*
Но если /(Р, то R(t) = 0. Если /(вп, а х ?Р*, то |х — /j > dm значит^
г dx
J (t-
(/ - хJ
и, следовательно,
С+16М
а это и доказывает теорему, потому что суммируемость неотрицательной
функции 1(х) на Р* означает, что I (х) конечна почти всюду на Р*.

§ 8 СМЫСЛ СУЩЕСТВОВАНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 531
§ 8. Смысл существования сопряженной функции
Мы уже говорили, что Н. Н. Лузин первый доказал существование
интеграла
Г/(х + 0-/(х-0д
J (8.1)
для почти всех х, если/(х) — любая функция с интегрируемым квадратом.
Он же первый обратил внимание на то, что существование этого интеграла
или, что то же*), интеграла
является результатом интерференции положительных и отрицательных
величин, входящих в подынтегральное выражение; действительно, даже
для непрерывных функций, если заменить подынтегральное выражение
его модулем, интеграл может перестать иметь смысл, т. е.
dt = + со . (8.3)
Н. Н. Лузин указал, что такое явление может иметь место почти для
всех значений х, даже когда /(х) непрерывна.
Впоследствии другие авторы указ ьюали примеры непрерывных функций,
для которых равенство (8.3) имеет место уже в каждой точке (см., например,
Kaczmarz Ш).
Чтобы построить такую функцию**), покажем сначала, что существует
такая непрерывная g(x) с периодом 1, что
2) g(x) удовлетворяет условию Липшица порядка 1,
1
3) Л1пп<
где А и В — положительные константы.
Действительно, пусть сначала g(x) выбрана так, чтобы g(x + u)
— g(x — и) не обращалась в нуль тождественно относительно и ни при
каком х, но при этом g(x) непрерывна на @,1), удовлетворяет условию Лип-
Липшица порядка 1, g@) = g(l) = 0 и |g(x)|< 1. Например, g@) = g(l) = 0,
gi-A = 1 и g(x) линейно интерполируется на [0, -j) и на (-j, I j.
Ясно, что для так построенной g(x), если ее периодически продолжить
с периодом 1, имеем
Л g (х + и) - g (х - и) | du > С > 0 (8.4)
*) Интегралы (8.1) и (8.2) в заданной точке х существуют или нет одновременно, так
как есть непрерывная функция на [0, я].
**) См., например, Kaczmarzl11,

532
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
при любом х, так как этот интеграл, как непрерывная периодическая функ-
функция от х, не обращающаяся в нуль ни при каком х, должен иметь положи-
положительную нижнюю границу. Кроме того, из |g(x)| <C 1 сразу следует
(8.5)
Положим пх = у, nt = и; тогда
u)-g(y-u)
du =
1
Замечая, что при 0 <^ а <^ 1, имеем
(8.6)
2 1 • • • I „ -1 <^> ,, i 1 I • • • I „, i M 1 <?>- П I • • • I „
n — i ы -j— i и -\- n — i"^z n
и, принимая во внимание (8.4) и (8.5), находим справедливость неравенства
A In n <С 1п <; В In л,
т. е. 3) доказано.
Так как |g(x + и) — g(x)| <^К|н| в силу того, что g(x) удовлетворяет
условию Липшица порядка 1, мы получаем
g (пх
— g (пх - nt)
t
Отсюда сразу же следует, что и
1
dt<2K.
g (nx
— g (пх — nt)
t
(8.7)
(8.8)
где К — константа из (8.7), а Вл —новая константа.
Пусть теперь ек > 0, 2 ек < + оо и
f(x)= 2*kg(nkx),
где числа ек мы определим позже, так же как и целые числа пк. Ясно, что
/(х) непрерывна и имеет период 1. Докажем, что для нее
-t)-nx-_t)
t
= + °о
(8.9)
при всех значениях х.
Ясно, что если это будет установлено, то отсюда мгновенно можно
перейти к /(х) с периодом 2тг, для которой (8.3) имеет место для всех х.

\ 8 СМЫСЛ СУЩЕСТВОВАНИЯ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 533
Чтобы доказать (8.9), заметим, что
t
g (ПкХ+ tlkt) — g (Пк X — rikt) ,, _
t
1
k-\
fc-1
> Л ek In лЛ — Вг^ sj In ny — 2\nnk ]>!, ?j • (8-10)
Остается подобрать числа е;- и и;- так, чтобы правая часть (8.10) стреми-
стремилась к бесконечности при к -> оо. Этого можно достичь разными способами,
например, полагая пк = 2<Л!>', ^ = ^7 ; тогда e^ln лл = /с! In 2, поэтому
правая часть (8.10) равна
А к\ In 2 - Я2 In 2 j^/! - 2 (/с!J In 2 J?-^ =
y = l fc+1 ''
где Лх > 0.
Итак, для любого х при к -> со интеграл
откуда и следует справедливость (8.9) для всех значений х.
Таким образом мы убедились, что даже если / (х) непрерывна, то сущест-
существование интеграла
г/(* + /)-/(х-о dt
есть результат не малости подынтегрального выражения, но интерференции
его положительных и отрицательных значений.
Заметим, кроме того, что существование этого интеграла почти всюду
также указывает на глубину явления: можно показать, что существуют
непрерывные функции, для которых множество точек, где этот интеграл не
имеет смысла, есть множество мощности континуума. Такие факты также
были указаны Н. Н. Лузиным (пример такой функции дан в комментарии
113 ко второму изданию книги Н. Н. Лузина [мл°]).
Н. Н. Лузин уделил много внимания вопросу о том, почему существует
почти всюду интеграл (8.2). Он считал, что указанная интерференция поло-

534 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
жительных и отрицательных величин в этом интеграле есть очень важный
факт, который сыграет основную роль при изучении сходимости рядов
Фурье. Поэтому он не удовлетворился найденным им доказательством
существования этого интеграла, так как, по его словам, в этом доказательстве
«факт существования интеграла глубоко скрыт в теореме Фишера—Рисса
и потому обнаруживается скорее теорией функцией комплексного, чем
действительного» переменного*). Он настаивал поэтому на важности прямого
доказательства существования интеграла (8.2), основанного на методах
действительного переменного.
Это нашло отклик в работе Безиковича М, доказавшего существование
почти всюду интеграла (8.2) для функций с интегрируемым квадратом мето-
методами теории функций действительного переменного. Однако его доказатель-
доказательство не удовлетворило Н. Н. Лузина, так как оно содержало довольно слож-
сложные арифметические подсчеты, затемнявшие теоретико-функциональную
картину. Поэтому Н. Н. Лузин дал новое, уже построенное на чистых мето-
методах теории функций, доказательство существования интеграла (8.2) для
f(x) ? L2, а затем обобщил этот результат, доказав существование почти
всюду на (— оо? -f °°) интеграла
?/(* + /)-/(*-/) dt
если /(х) с интегрируемым квадратом на всей бесконечной оси. Это доказа-
доказательство им никогда не было опубликовано, и лишь после его смерти опуб-
опубликовано по рукописи, найденной в его бумагах (см. Н. Н. Лузин [мл0^
стр. 287—319).
Наконец отметим, что уже в 1926 году Безикович (Besikowitch M)
снова дал доказательство существования почти всюду интеграла (8.2) на
этот раз для любых суммируемых / (х) и опять методами чистой теории функ-
функций действительного переменного.
§ 9. Критерий Лузина для сходимости рядов Фурье от функций
с интегрируемым квадратом
Докажем следующую теорему:
Теорема Лузина №-9\ [мл°1. Для того чтобы ряд Фурье от
функции } (х) с интегрируемым квадратом был сходящимся почти всюду на
[—л, я], необходимо и достаточно, чтобы почти всюду на [— л, л] имело
место
lim fl^±AziL(^Ocosn/d/==0) (9Л)
П-**со J
О
edef(x) — функция, сопряженная с /(х), а интеграл определен как lim f
е—0 е "
Пусть аф имеет вид**)
00
2Т ап cos nx + bn sin n* • (9-2)
1
*)См. Н. Н. Лузиным], § 70.
**) При изучении сходимости можно, не нарушая общности, считать ащ = 0.

§ 9 КРИТЕРИЙ ЛУЗИНА ДЛЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 535
По условию 2J а% + Ьп<С + °°. Тогда сопряженный ряд
2J — Ьп cos пх + ап sin пх (9.2')
по теореме Фишера—Рисса есть ряд Фурье от функции f(x) с интегрируемым
квадратом. Ее-то Н. Н. Лузин и назвал сопряженной функцией. То, что
)du (9e3)
где интеграл существует почти всюду, и было им доказано в ходе доказа-
доказательства только что сформулированной теоремы. Мы сейчас поступим иначе.
Мы будем базироваться на том, что существование интеграла (9.3) уже
установлено (см. § 7) и что если/(х) ? L2, то /(х), определяемая формулой
(9.4), есть именно та функция, для которой (9.2') есть ряд Фурье (это тоже
было доказано в § 7). В этих условиях дальнейшее доказательство теоремы
Лузина проходит очень легко.
Учитывая, что —Ьп и ап можно рассматривать, как коэффициенты
Фурье для/(х), имеем для частной суммы ряда (9.2)
1 Л _ П П
= Ц \№2stok(t-x)dt=±$f(f)Dn(t-x)dt =
— 71 —Л
COS -77 — COS I
? ^ *2_ dt-
t
2sinT
^г J7C
_л 2tg- _я 2tS~2" -я (9.4)
Но
1 h(t + x)_1 Л = 1 f/
2tgi "J
в том случае, когда оба эти интеграла имеют смысл; заметим, кроме того,
что рядом, сопряженным к (9.2'), должен быть ряд, получаемый из (9.2)
умножением всех членов на — 1, а потому, если считать формулу (9.3)
известной для любой функции с интегрируемым квадратом, мы можем писать
о 2^~2
Поэтому из (9.4), (9.5) и (9.6) следует
п
CQSn\ dt + -^~ \](t + x)smntdt (9.7)
для всех тех х, где (9.6) справедливо, т. е. почти всюду.

536 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Далее, так как / (х) ? L, то последний интеграл стремится к нулю при
п -> + °°- Из непрерывности функции для — п <С / <^тг еле-
дует, что первый интеграл в правой части (9.7) отличается от
на величину бесконечно малую; следовательно, почти всюду
л
Sn(x) = /(x) - -ij /a + х)^Д + 0A). (9.8)
Заметим теперь (см. глава I, § 49), что если ряд Фурье от /(х) сходится
на каком-нибудь множестве меры больше нуля, то он сходится именно к
/(х) почти всюду на этом множестве. Отсюда следует, что для того, чтобы
ряд а (/) сходился почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы почти всюду
Sn(x) — /(х)->0; но тогда из (9.8) следует
lim
Л->со
или, что все то же
7i _ _
lim Г Ш±$—№ ~ *> cosntdt = O, (9.9)
„_«, J t
а это и есть теорема Лузина.
После того, как Н. Н. Лузин доказал, что
Fg(* + x)-g(f-x) df
о
имеет смысл почти всюду для любой g(x) ^ L2, он высказал гипотезу, что
для любой /(х) g L2 ряд Фурье сходится почти всюду. Он мотивировал эту
гипотезу тем, что как равномерное распределение на (—щп) положитель-
положительных и отрицательных значений cos nx и sin nx приводит к тому, что для
любой суммируемой функции коэффициенты Фурье стремятся к нулю, так
и интеграл, входящий в формулу (9.9), отличающийся от
J
dt (9.10)
множителем cos nt, должен стремиться к нулю, а потому критерий сходи-
сходимости будет почти всюду выполнен.
Гипотеза Н. Н. Лузина и сейчас, спустя 40 лет после ее высказывания,
не подтверждена и не опровергнута. Однако те соображения, которые к ней
привели, в настоящее время уже не могут иметь силы.
Чтобы разъяснить смысл этих слов, заметим следующее. Допустим,
что сопряженные ряды (9.2) и (9.2') оба являются рядами Фурье. В этом
случае те функции /(х) и /(х), для которых эти ряды являются рядами Фурье„
Н. Н. Лузин называл сопряженными функциями. Он отметил (см. § 72 его

§ 9 КРИТЕРИЙ ЛУЗИНА ДЛЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 537
диссертации), что доказательство существования интеграла, равенство (9.3),
а также и необходимый и достаточный признак сходимости остаются в силе,
если ослабить требование /(х) ? L2 и предположить только, что обе функции
/(х) и/(х) суммируемы. Но в таком случае, если бы равномерное распреде-
распределение положительных и отрицательных значений cos пх приводило к равен-
равенству (9.9), как только интеграл (9.10) имеет смысл, мы должны были бы
заключить, что если / (х) и / (х) одновременно суммируемы, то их ряды Фурье
сходятся почти всюду. А между тем в § 19 главы_У мы видели, что сущест-
существует суммируемая / (х), у которой сопряженная / (х) также суммируема и,
однако, a(f) расходится почти всюду.
Таким образом, проблема сходимости для рядов Фурье от функций с
интегрируемым квадратом либо решается отрицательно, либо при доказа-
доказательстве стремления к нулю интеграла, входящего в формулу (9.8), надо
как-то существенно использовать то, что/(х) ? L2, а не опираться лишь на
существование интеграла (9.10) почти всюду. Заметим, что Н. Н. Лузин
всегда считал важным именно вскрыть, почему этот интеграл существует^
а не ограничиваться знанием одного факта его существования. Он искал
сам и побуждал других искать новые доказательства, надеясь в них яснее
усмотреть тонкую структуру измеримых множеств, известную их симмет-
симметрию, которая приводит к интерференции положительных и отрицательных
величин изучаемого подынтегрального выражения. Из этой структуры
множеств Н. Н. Лузин и надеялся вывести стремление к нулю интеграла
(9.9) для /(х) ? L2. Вопрос о том, имеет ли это место, очень труден и, как мы
уже говорили, все еще остается открытым.
Замечание. В начале § 8 мы показали, что равенство
возможно даже для непрерывных функций при любом значении х.
Аналогично, как показал Качмаж (Kaczmarz Ш), существуют функции,
для которых в каждой точке
a)
ИЛИ
б)
О
(9.1
а также ни в одной точке не существуют интегралы
в)
г) [7(« + 0 + /(х-/)-2/(х)^ (9]2)
6
Напомним теперь, что сходимость ряда Фурье к /(х) эквивалентна
условию
lim f/?±j) + /ft-0-2/(x)sjnnfdf = 0 (g 13>

538 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Любопытно отметить, что, как показал П. Л. Ульянов^, можно по-
построить непрерывную функцию /(х), у которой ряд Фурье сходится равно-
равномерно на [—тг, я], т. е. условие (9.13) выполнено равномерно, и несмотря
да это имеет место случай г) из (9.12), т. е. ни в какой точке х не существует
§ 10. Условия для того, чтобы два сопряженных ряда
были рядами Фурье
Для того чтобынайти такие условия, мысначала изучим классыфункций
рассмотренных Ф. Риссом (F. Riesz №) и названных им Нд (д —положи-
—положительное число)*).
Определение. Аналитическая в единичном круге функция /(г)
принадлежит классу Нд (д > 0), если
2п
2п
Г|/«)Iййв = Нь(/)< + оо . (ЮЛ)
О
Прежде всего заметим, что
f
\f(Qew)\6de A0.2)
есть возрастающая функция от q для любой функции /(г), аналитической
в \z\ < 1. Действительно, если q < 1, то рассматриваемый интеграл есть
непрерывная функция от q; если дг < q2 < 1, то функции
М'^)" ji-jl/fa*'") I' ri + ^-^cosffl-a) da>
О
будут гармоническими, первая в круге |z|<ei, вторая в круге \z\ < q2,
причем они совпадают со значениями \f(Qeie)\8: первая на окружности
\z\ = qv вторая на окружности \z\ = q2. Следовательно, каждая из них
будет гармонической мажорантой для \f(Qeie)\6 в соответствующем круге.
Поэтому
и, следовательно,
J
Итак, мы убедились, что интеграл A0.2) есть неубывающая функция
от о. Поэтому самое существование предела левой части (ЮЛ) не может
*) Подробное изложение свойств этих функций можно найти, например, в книге
М. И. Привалова IM-i9], гл. II. Мы здесь кратко изложим лишь то, что нам необходимо
для изучаемого вопроса в теории рядов Фурье.

§ 10 УСЛОВИЯ ТОГО, ЧТОБЫ СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ БЫЛИ РЯДАМИ ФУРЬЕ 539
вызвать сомнений; условие / ?Нб означает лишь требование, чтобы этот
предел был конечным.
Ясно, что любая ограниченная функция принадлежит Нд при любом
д > 0. Ясно также, что если дг < <52, то Нд2 с Нб1, так как
а потому
2тг
и, значит, если / (z) ? Я^, то и подавно / (z) ? Hdl.
Для изучения сопряженных тригонометрических рядов нам будут
нужны лишь классы Нг и Я2.
Все же сначала докажем общее предложение, необходимое для всего
дальнейшего.
Лемма. Если f(z) ? Н6у то ее можно представить в виде
f(z) = b(z)F(z), A0.3)
где b(z) регулярная, \b(z)\ <^ 1 в единичном круге, a F(z) не имеет нулей в
единичном круге и снова принадлежит классу Нд.
Очевидно, что если / (г) не имеет нулей внутри единичного круга, то,
полагая b(z)= I, F(z) = f(z), мы уже имеем искомое разложение. В про-
противном случае пусть а1У а2,..., аш... — все нули /(г), лежащие внутри
единичного круга, причем каждый кратный нуль повторяется столько раз,
какова его кратность. Пока допустим, что /@)^=0.
Положим
I--2-
Ы-^, ?п(г) = ¦!$>. (Ю.4)
Ясно, что bn{z) имеет аъ а2,..., ап и только эти числа своими нулями
причем, как показывает элементарное вычисление, модуль каждого члена,
входящего в произведение A0.4), равен 1 при z = ew, значит, |ftn(z)| = 1
на окружности и, следовательно, bn{z) регулярна в единичном круге и
\bn(z)\ <^ 1 всюду в нем. В таком случае и Fn(z) регулярна в этом круге.
Так как \bn(z)\ = 1 на окружности, то для любого е>0 можно взять г
столь близким к 1, что
1М/*й)|>1-е.
Значит,
2тг 2л
если г достаточно близко к 1.
Левая часть полученного неравенства возрастает с ростом г, поэтому
неравенство справедливо для любого г < 1. Так как левая часть не зависит
от е, то получаем для любого г < 1
-А- Г| Fn (гею)\д d0^H& (/). A0.5)
о
Если бы / (г) имела лишь конечное число нулей, например только av
a2$---f ат то нужное разложение
i(z) = bn(z)Fn{z)

540
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
было бы уже получено. В случае бесконечного множества нулей, замечая^
что на основании A0.5)
а, с другой стороны,
мы видим, что
1
2n
о
/@)
МО)
1/@)
1 M «2 I • • • I '"«
@I*
для любого л, значит, бесконечное произведение П \ак\ должно быть сходя-
к = \
щимся. Отсюда ясно, что бесконечное произведение
/IKIy^
о-к
к = \
сходится абсолютно для |г| < 1 и даже равномерно в любом круге радиуса.
г < 1 и определяет функцию
Z
1 -
= limbn(z)
а/с
к=\
kl \-akz
которая тоже регулярна и \b(z)\ <^ 1 (эту функцию принято называть функ-
функцией Бляшке). У нее те же нули, как у f(z) и, значит, для \z\ < 1 функция
F(z) =
Ж
b(z)
регулярна и нигде внутри круга не обращается в нуль.
Кроме того, функции Fn (z) сходятся к F (z) и притом равномерно во
всяком круге \z\ = г< 1, а потому на основании A0.5)
±;j\F (reie) Iй d9 < H& (/) для любого
и, значит, F (z) ? Н6.
Итак, для случая / @) ф 0 теорема уже доказана. Если же z = 0 есть
нуль функции/(z) кратности т, то, полагая
видим, что cp(z) регулярна и ^@)^0. В таком случае
2л
2л
откуда следует, что <p(z) также входит в класс Иб. Тогда f(z) = b±{z) F(z)r
где bL (z) = zmb (z) и доказательство закончено.
Следствие. Всякую функцию f(z) класса Н6 можно представить
в виде разности
() /)/)
где fx (z) и /2 (z) обе принадлежат Н° и не имеют нулей в единичном круге^

§ 10 УСЛОВИЯ ТОГО, ЧТОБЫ СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ БЫЛИ РЯДАМИ ФУРЬЕ 541
Действительно, по доказанной теореме
f(z) = b(z)F(z),
где F(z) ? Нд и не имеет нулей, a \b(z)\ <^ 1. Положим
/1(z) = F(z), ft(z) = F(z)-f(z).
Тогда ясно, что f±(z) не имеет нулей; для /2(z) это вытекает из равенства
и из того, что \b(z)\ < 1, когда z внутри круга.
Прежде чем идти дальше, выведем характеристическое свойство функ-
дий, принадлежащих классу И2.
Теорема 1. Для того чтобы функция
/(*)=
л=0
принадлежала классу Н2, необходимо и достаточно, чтобы ряд 2J \сп\2 был
сходящимся.
В самом деле, если q < 1, то из равенства Парсеваля получаем
2^- J I/(«'•)Ме = я1|с„ре2". (Ю.6)
Так как f(z) ? ^2> то ПРИ Q ~^ ^ левая часть A0.6) стремится к конечному
пределу, значит, и правая тоже, т. е. ряд 2J \сп\2 сходится. Обратно, если
2J \сп\2 сходится, то правая часть стремится к конечному пределу при g -> 1,
а значит, f(z) входит в класс И2.
Установив это, сформулируем следующую теорему, справедливую при
любом д > 0.
Теорема 2. Если f (z) ? Нд(д > 0), то
A0.7)
существует почти для всех д и
lim f\f(Qeie)~f(eie)\dd6 = 0.
е->1 о
Мы для простоты будем ее доказывать лишь для классов И1 и И2. Дока-
Докажем ее сначала для И2.
Существование предела A0.7) вытекает из 2J \сп\2 < +°° и суммируе-
суммируемости методом Абеля ряда Фурье и сопряженного с ним.
Пусть у(г)(Я2 иО<1<1; тогда ясно, что y{z) — у(Xz) также при-
принадлежит И2 и в силу равенства Парсеваля
= 2
я*1 V - *пJ. (Ю.8)
При q -> 1 правая часть A0.8) стремится к 2? с%A —А"J. В силу извест-
известной леммы Фату (см. Вводный материал, § 14) отсюда следует, что

542 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Если А -> 1, то правая часть стремится к нулю, значит, и левая тоже, а по-
потому нужное соотношение доказано для любой у(г)?Я2.
Чтобы доказать, что оно справедливо и для И1У мы воспользуемся тем,
что в силу леммы, если f(z) ? Н19 то
f(z) = b(z)F(z),
где |ft (г)| ^ 1 для |z| <^ 1 и F(z) ? Н19 причем F(z) не имеет нулей внутри
единичного круга. Значит, если мы положим
y(z) = [F(z)f,
то у {г) регулярна и принадлежит Н2, а потому
/W = &(z)[y Со-
Сосуществование предела A0.7) вытекает из того, что ft.(z) ограничена, а
Имеем
di 71 J ?71 J
0 0
2n
Так как |ft(z)|< 1, то
i 2j
/ <C-— [
271 ,
0
2jt
0
J
Первый сомножитель стремится к нулю при д -> 1 в силу только что дока-
доказанного, а второй остается ограниченным, потому что y(z) ? Я2. Итак,
/х ->0 при q -> 1.
Для /2 имеем
так как Jft (geie) — ft (eie)\ -> 0 и функции под знаком интеграла мажорируются
суммируемой функцией 2| у2 (е'% значит, переход к пределу под знаком
интеграла законен.
Итак, теорема доказана.
Мы теперь возвращаемся к вопросу о том, при каких условиях два
сопряженных тригонометрических ряда будут аба рядами Фурье.
Теорема 3. Для того чтобы ряды
-$- + 2 ап c°s n х + bn sin nx A0.9)
^ л=1
U
2 — bncosnx + ansinnx A0.10)

§ 10 УСЛОВИЯ ТОГО, ЧТОБЫ СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ БЫЛИ РЯДАМИ ФУРЬЕ 543
были оба рядами Фурье, необходимо и достаточно, чтобы функция f (z)
f(z) = 2cnz\
п = 0
где со = ^, сп = ап — ibm принадлежала классу Нг.
Условие необходимо. Так как ряды A0.9) и A0.10) являются
рядами Фурье, то ап-^0 и йл->0, значит,сп ->0, и функция/(г) является
аналитической функцией, регулярной в круге \z\ < 1.
Полагая z = де(в, видим, что
/ №в) = 2сп<? еШ = \ + 2 (ап ~ ibn) Qn еш =
= -у- + 2t(ancosne + bnsmn0)Qn + i Jg (— bncos п 6 + ansin пв) Qn =
Но (см. глава I, § 54) известно, что если A0.9) есть ряд Фурье от функции
Л(х), то
2л
u{r,Q)=^\h{a)P{r,O-a)da,
О
где Р(г, ф) — ядро Пуассона. Аналогично, если g(x) есть функция, для кото-
которой ряд A0.10) есть ряд Фурье, то
2л
О
Отсюда вытекает, что
2л
f(Qew)= У [М«) + ig(a)]P(Q, в - a)da,
О
а потому
2л
О
где функция Ф(а) = Л (а) + ig(a) суммируема.
Но тогда
2л 2л 2л
0
2л
н 2л
так как — J Р (г, в — a) da = 1.
о
Поскольку левая часть неравенства ограничена при q -> 1 и, как мм
знаем, является неубывающей функцией от д, то она стремится к конечному
пределу при д -> 1, т. е. f(z) принадлежит к классу Нг.
Условие достаточно. Пусть/(г) входит в класс Нг. Для ^<1 имеем
2
л=0

544 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
pind
Так как здесь ряд равномерно сходится, а система —=.- ортогональна и нор-
нормирована, то
2л
ie)e-inede, /1 = 0,1,2,... A0.11)
0
При фиксированном и, если q -> 1, то левая часть стремится к сп. По-
Покажем, что правая часть стремится к
2л
Действительно, °
2л 2л 2л
-^ J / «) е->»в d0 - 2^ J / (е» )*-** </е < ^г JI / (б*") - / («**) 1 de -> О
0 0 0
при g -> 1 в силу теоремы 2. Поэтому мы можем для всякого и написать
2л
Сп = ^\1(е'в)е->"Ыв (п = 0,1,2,...). A0.12)
О
Тогда, полагая f(eie) = ft F)+ z"g@) и замечая, что ft (б) и g (в) суммируемы,
так как / ? /*,, имеем
с" = "i J tft @) + ^ @I (cos п в ~ l sin п
о
Но из формулы
п=0
мгновенно вытекает, что
2л
f(Qei6)ein6de = 0 (п = 1,2,...). A0.14)
о
Совершенно так же, как из A0.11) мы выводили A0.12), мы из A0.14)
заключаем, что
2л
O = -2^J[ft@)+fg@)](cosn0+ isinnO)<№ (n= 1,2,...). A0.15)
о
Складывая A0.13) и A0.15), находим
2л
с„ = -^ J [Л (в) + ig (в)] cos лв d0 (л=1,2,...). A0.16)
О
Напротив, вычитая равенство A0.15) из A0.13), найдем
2л
о
Мы условились, что
Со = 4~, cn==an-ibn (п= 1,2,...).

§ 11 КОЭФФИЦИЕНТЫ СТЕПЕННОГО РЯДА ДЛЯ ФУНКЦИЙ КЛАССА Нг 545
Отсюда выводим:
2л
ап = -i J h (в) cos пвйв (п = 0, 1,2,...)
2л
т. е. ряды A0.9) и A0.10) являются соответственно рядами Фурье от сумми-
суммируемых функций h (в) и gF), а это и требовалось доказать.
§11. Коэффициенты степенного ряда для функций класса Нг
Теорема. Если f (z) €Нг и
л=0
то ряд
Прежде всего заметим, что результат может быть получен легко, если
он уже установлен для частного случая, когда/(г) не имеет нулей внутри
круга радиуса 1.
Действительно, мы знаем (вследствие леммы § 10), что можно написать
где /х (z) и /2(г) обе принадлежат Н± и не имеют нулей внутри круга \z\ < 1;
но тогда, если с'п и с"п — коэффициенты разложения /х (г) и /2(г) в степенные
ряды, то
п=\ п=\
а потому и для сп = с'п — с"п получим J^1-^- < + °°-
л = 1
Итак, вопрос сводится к изучению случая, когда/(г) не имеет нулей
внутри круга радиуса 1. Но в таком случае ее можно представить в виде
где g(z) регулярна и входит в класс Н2.
Полагая
л=0

546 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
мы можем утверждать (см. теорема 1 § 10), что
Мы получим теперь доказательство нашей теоремы, если докажем, что
«/л I I ап
2 2
сходится. Действительно, если этот двойной ряд сходится, то сходится ряд
у. _1_ -у I a I
к=2 т+п=к
а так как
2 атап>
т+п=к
то отсюда и вытекает сходимость 2~f • Итак, все сводится к доказательству
такого предложения из теории числовых рядов с положительными членами:
Если
? U2n< + oo U J* Р* < + оо ,
п=\ п=\
то и
п
Заметим, прежде всего, что если ип^0 и Sn= 2Juk, то сходимость
к=\
2 и\ влечет сходимость 2 ~^ •
Действительно, полагая
Л„ = §(п=1,2,...), Ao = S0 = 0,
найдем
un = Sn - Sn^ = nhn - (n - 1) hn^x
и докажем сначала, что для любого т будем иметь
т т
2K<2 2unhn. (li.i)
п=\ п=\
В самом деле,
hl-2unhn = h%-2 hn[nhn - (л - 1) ftn_J =
= hi - 2nh\ + 2(n - l)hn^hn<hfi(l - 2л) + (л - 1) [Л2_х + ЛЯ] =
Складывая такие неравенства для п = 1, 2,..., /л, получим
п = \
а это и есть нужное нам неравенство A1.1). Применяя к его правой части
неравенство Буняковского, найдем
т \ т т
"V Ь2 <^ 9 / 'V /»2 х1 Ь2
п = \ ' п=1 п=1

§ 12 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 547
откуда
а потому
2
п=\
со
Следовательно, сходимость 2 и% влечет сходимость 2 h%, т. е. сходи-
п=1 п=\
мость 2 Л-
п = \ п
Установив это, заметим, что двойной ряд 22 ^щ можно разбить на
две части: аг и <т2, причем к аг относятся те члены, где /п^л, а к а2
остальные. Тогда
п = \ т^п п = \ т = \
п=\ т=\ п=\ ' п=\ п=
в силу только что доказанного.
Аналогичная оценка производится для <т2, и доказательство закончено.
§ 12. Степенные ряды с ограниченным изменением
Определение. Будем говорить, что степенной ряд
2cnzn A2.1)
п=0
имеет ограниченное изменение, если для z = eix его действительная и
мнимая части являются рядами Фурье от функций с ограниченным
изменением.
Следовательно, полагая
с — а — ih с — -^
мы требуем, чтобы
n = \
A2.2)
cos nx ~~ пп sin пх = а(^)» A2.3)
где Ф (х) и Ф (x) — функции с ограниченным изменением.
Докажем прежде всего, что Ф(х)и Ф(х) непрерывны. Действительно,
раз они имеют ограниченное изменение, то их ряды Фурье сходятся в каждой
точке. Но у функций с ограниченным изменением точки разрыва могут быть
только 1-го рода. Однако, если у какой-нибудь суммируемой функции име-
имеется точка разрыва 1-го рода, то ряд, сопряженный к ее ряду Фурье в этой
точке, расходится (см. глава I, § 42); отсюда следует, что Ф (х) и Ф (х) не могут
иметь разрывов.

548 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Полагая теперь
2
п=0
= F(е(х) = Ф(х) + 1Ф{х)
мы видим, что [л(рс) непрерывна.
Докажем справедливость леммы:
Лемма, 1. Если
(Jn,
п=0
где рщ) ? cnzn имеет ограниченное изменение, то
G(z) = zF'(z)
принадлежит классу Нг.
Пусть
2 nbn cos nx — пап sin nx, A2.4)
2
п = \
2 nan cos nx + nbn sin nx A2.5)
— ряды, получающиеся от дифференцирования соответственно рядов A2.2)
и A2.3). Следовательно, они могут рассматриваться как ряды Фурье—Стил-
тьеса от йФ и йФ (см. глава I, § 23), а потому, полагая
00
(р (г, х) = 2 п Фп c°s nx — ап sin nx) rn,
n = l
^ (r, x) = 2 n(an cos nx + bn sin nx) rn,
дюжем, следовательно, написать
<p (г, дс)= -i- J P (г, x - 0 d<P(/),
о
y(r,x)=-i/p(r,x-Orf*(O,
О
где Р(г,х) — ядро Пуассона. Отсюда следует*), что
2л
О
2л
(потому что ядро Пуассона неотрицательно).
*) Для любой g с ограниченным изменением под \dg\ понимают dV(t), где V(t)
полное изменение функции g на [0, t].

§ 12 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 549
Интегрируя по х и меняя порядок интегрирования, находим
2л 2л 2л 2я
j\<p(r,x)\dx^±j\d0\ j P(r,x-t)dx= j
О 0 0 0
и аналогично
где V (Ф) и V (Ф) — полные изменения Ф и Ф.
Но, с другой стороны,
откуда
2
Поэтому действительная и мнимая части от G{reix) соответственно равны
^ (г, х) т <р (г, х), а тогда
G (reix) | dx <C V (Ф) + V (Ф),
о
т. е. интеграл остается ограниченным при г-> 1. Из определения класса Н1
тогда сразу следует, что G(z) принадлежит Hlf и лемма доказана.
Отсюда вытекает справедливость такой теоремы.
Теорема Харди и Литтльвуда*). Если степенной ряд
п = \
имеет ограниченное изменение, то
Действительно, в § 11 было доказано, что если
/(
то для ее степенного ряда
№
имеем
Но в нашем случае роль/(г) может играть G(г), поскольку из леммы 1 мы
знаем, что G(z)(:H1; тогда
Уп = псп,
поэтому
и теорема доказана**).
*) См. Hardy and LittlewoodW.
**) Это доказательство принадлежит Хелсону (Helsonl2]).

550 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Докажем еще одну важную теорему о степенных рядах с ограниченным
изменением. _
Теорема М. и Ф. Р и с с а *). Если Ф(х) иФ (х) обе имеют ограни-
ограниченное изменение, то они абсолютно непрерывны.
В начале этого параграфа мы уже доказали, что если ряд A2.1) имеет
ограниченное изменение, то функция
p(x) = F (eix) = 0(x) + i0 (x)
есть непрерывная функция. Кроме того, мы отметили, что ряды A2.4) и
A2.5) являются рядами Фурье—Стилтьеса от йФ и йФ. Поэтому, умножая
A2.5) на i и складывая с A2.4), видим, что
й[л~ 2 incneinx.
п=0
Но тогда ясно, что
§einxd^ = O для п= 1,2,3,..
— ТС
Отсюда вытекает, что наша теорема будет доказана, если мы установим
справедливость такой теоремы:
Теорема. Пусть ц (х) — непрерывная функция с ограниченным изме-
изменением. Если
$einxd/* = O (п = 1,2,...), A2.6)
— п
то /л (х) — абсолютно непрерывна.
Действительно, если это будет доказано, то из абсолютной непрерыв-
непрерывности (л(х) вытекает и абсолютная непрерывность Ф(х) иФ(х), а значит,
будет справедлива и сформулированная выше теорема Ф. и М. Рисса.
Доказательство вспомогательной теоремы мы также приведем, следуя
Хелсону.
Прежде всего, любую непрерывную функцию с ограниченным изме-
изменением можно представить так:
А*(х)=А(*) + М*), О2-7)
где fia (х) — абсолютно непрерывна, a f/s (x) = 0 почти всюду. Если мы уста-
установим, что ps (x) = const, то все будет доказано. Прежде всего докажем
лемму:
Лемма 2. Если <р(х) непрерывна и такая, что
<Р(х)= 2 bneinx,
п=\
где
ii*ni< + ~,
п = \
то для [л(х)9 удовлетворяющей A2.6), имеем
См. F. Riesz und M. Riesz t1!.

§ 12 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 551
Это почти очевидно, так как в силу абсолютной, а значит и равномерной
сходимости ряда, определяющего <р(х), мы можем написать
2п оо 2л
б n=-i о
на основании свойств функций ^(х). Значит,
а это и доказывает лемму.
Таким образом мы видим, что для достаточно широкого класса функций
их интегралы Фурье—Стилтьеса по ^s и по [ла отличаются только знаком.
Мы покажем, что это возможно только тогда, когда ^s{x) == const, так как
иначе она была бы сингулярной функцией, а тогда мы пришли бы к проти-
противоречию.
Докажем теперь такую лемму:
Лемма 3. Пусть v(x) есть полное изменение <us(x) на [0, х]. Тогда
существует аналитическая функция ср (z), определенная в единичном круге и
такая, что
а) 0<|p(z)|<l, |г|<1,
б) lim ср (reix) = О
почти всюду по мере v (термин почти всюду по мере v разъяснен в § 8 Добав-
Добавлений).
Пусть Е есть множество тех х, где v' (х) = 0. По теореме § 17 Добавлений
тЕ = 2 тг, потому что /4 (х) = 0 почти всюду.
Будем для любого множества А обозначать через v(A) его образ, т. е.
множество значений v (х) на А. По теореме § 16 Добавлений имеем mv (?) = 0.
Множество СЕ распадается на: множество % тех точек, где^' (х) = + °°,
и множество е тех точек, где v'(x) =f= 0, но хоть одно производное число от
v(x) конечно. Так как тСЕ = 0, то те = 0 и по теореме § 16 Добавлений
mv (е) = 0. Так как [0, 2п] = Е + & + е и мы доказали, что mv (?) = 0и
mv(e) = 0, то отсюда следует, что
mv(&) = mv([0,2n]). A2.9)
Если мы построим аналитическую функцию ц> (г), удовлетворяющую
условию а) леммы и такую, что условие б) будет выполнено в каждой точке If,
то лемма будет доказана.
Рассмотрим теперь гармоническую функцию.
и
u(r,x)=±jP(r,t-x)dv(t).
— ТС
Она неотрицательна, и
и (г, х)->оо при г->1
в каждой точке, где v' (х) = + оо, если только х ф — п их ф п (см. глава I,
§ 59). Отсюда следует, что
и(г,х)->оо на <?.

552 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Если мы обозначим через v (г, х) функцию, сопряженную с и(г,х), то
аналитическая функция
определенная при г< 1, должна стремиться к нулю на I?, а тогда в силу
A2.9) она удовлетворяет условиям леммы 3 и, значит, лемма 3 доказана.
Заметим теперь, что так как у (г) — аналитическая, то она разлагается
в степенной ряд
2
n=0
причем с0 ф 0, так как ср (z) =f= О всюду.
Если мы определим функцию срг(х) на 0<^х<^2тс формулой
то мы видим, что 9V (х) непрерывна и что
п=0
т. е. ее коэффициенты Фурье
образуют абсолютно сходящийся ряд и коэффициенты с отрицательными
индексами все равны нулю. Поэтому для любого положительного п функция
einxcpr (x) также непрерывна, имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье и
коэффициенты с отрицательными индексами и с нулевым равны нулю.
Значит, по лемме 2
f f (г<1; л =1,2,...).
о о
Так как <рг (х) = ср (reix), то <рг (х) при г -> 1 стремится почти всюду к
некоторой предельной функции <р0 (х).
Поскольку \фг(х)\ < 1 при всяком г, то предельный переход под знаком
интеграла законен по теореме Лебега (см. Вводный материал, § 14 и Добав-
Добавления § 8), а потому
lim feinx q>r (x) dfxa = feinx y0 (x) dpa. A2.10)
r-l 6 0
Теперь заметим, что
lim <zv (x) = 0 на & A2.11)
Г-+1
и 8? удовлетворяет условию A2.9); но
feinx (pr (x) d[jLs = J einx <pr (x) d^s + J etnx yr (x) d/*s A2.12)
и так как \(pr(x)\ < 1, то
Js|= J* = 0, A2.13)
eg
a
lim Seinxq>r(x)d/*a = O A2.14)
в силу A2.11) и законности перехода к пределу (см. § 8 Добавлений).

§ 12 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 553
Из A2.12), A2.13) и A2.14) получаем
lim Г einx(pr(x)d/j,s = O
r-l О
и, снова переходя к пределу, находим
J
о
а потому в силу A2.10)
J>^oW^a = O. A2.15)
о
Но в силу своего построения у (z) нигде не обращалось в нуль, значит,
для любого целого т функция cpm(z) есть аналитическая в круге радиуса 1,
причем снова
, 1
О < i (pm (z) < 1
р г _> 1 на If.
1
Если обозначить через (p^j (х) функцию, определяемую однозначно при
помощи равенства
<pZ(x) = \ime
то, повторяя все рассуждения, убедимся, что
(n=\,2, ...)•
О
Но так как
\\т(рт(х)= 1 почти всюду,
поскольку и(гух) почти всюду стремится к конечному пределу, то сноваг
замечая, что
1
для всех т, и, переходя к пределу под знаком интеграла, найдем
2я
J einxdfJLa = Q (П= 1,2, ...).
_ о
Поэтому и
JVn*dA = o (п=1,2, ...).
о
Остается доказать, что это возможно лишь при [л3 = const. Переходим
к доказательству этого предложения.
Лемма 4. Если р'8 (х) = 0 почти всюду и
fetnxdpa = O (п=1,2, ...),
о
/* (х) = const.

554 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Ясно, что это специальный случай доказываемой нами теоремы.
Положим
asn = feinxd/*s (n = 0, ± 1, ± 2, ...).
о
Мы уже знаем, что asn = 0 для п = 1, 2,... Докажем, что это верно и для
/1 = 0,-1, -2,...
Воспользуемся уже построенными функциями <рг(х). Имеем, с одной
стороны,
lim fVr (x) d/xs= lim jj cn r" f eto tf/*s = c0 as0 A2.16)
r-*l о r-+l n=0 6
и, с другой стороны, в силу того, что (рг(х) ->0 на ё'у левая часть A2.16)
равна нулю; отсюда в силу с0 =f= О имеем
Теперь заменим (рг(х) на ^(i)r/x. Тогда слева снова получим нуль, а
справа с0а8_г + qaj, и так как со=?=0, a а? = 0, мы отсюда заключаем, что
я1_! = 0. Продолжая это рассуждение, докажем, что asn = 0 для п = — 1,
— 2,... В результате ^s = const, и теорема полностью доказана.
Из доказанных теорем вытекает
Следствие. Если F(x) и F (х) имеют ограниченное изменение, то их
ряды Фурье сходятся абсолютно.
Действительно, тогда эти ряды являются действительной и чисто мни-
мнимой частями степенного ряда с ограниченным изменением; для него имеем
2 \сп\ < + °°' поэтому и 2/ \ап\ + \Ьп\ < + °°. Но так как по теореме М. и
Ф. Рисса из условий теоремы следует, что F (х) и F (х) обе абсолютно непре-
непрерывны, то эта теорема эквивалентна такой:
Если F (x)u F (х) обе абсолютно непрерывны, то их ряды Фурье сходятся
абсолютно.
Заметим, что если бы F (х) была только абсолютно непрерывна, то ее
ряд Фурье не обязан был бы абсолютно сходиться (см. пример в § 3 главы IX).
Замечание. Полезно отметить, что теорему М. и Ф. Рисса можно
со случая отрезка [0, 2п] перенести на отрезок [а, Ь]. Точнее, как было по-
показано И. И. Приваловым tM-19], если f(x) и f(x) обе суммируемы на [0, 2тг]
и если они имеют ограниченное изменение на [a, ft], то они абсолютно непре-
непрерывны на всяком [а, /3], лежащем строго внутри [a, ft].
Далее П. Л. Ульянов^, предполагая только суммируемость f(x) на
[О, 2тг], доказал, что если f(x) и f(x) имеют на [a, ft] ограниченное изменение,
и, кроме того, f (а) и/' (ft) существуют, то f(x) абсолютно непрерывна на
[a, ft]. Отсюда вытекает, что ранее высказанная теорема И. И. Привалова
справедлива и без требования суммируемости / (х).
§ 13. Свойства двух сопряженных функций
Поставим вопрос, как можно по свойствам функции f(x) судить о свой
ствах сопряженной функции / (х).
Прежде всего заметим, что непрерывная / (х) может иметь сопряженную
f(x) разрывной и даже неограниченной.
Действительно, пусть
п = 2

§ 13 СВОЙСТВА ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 555
Так как для Ъп = —р-^ имеем Ъп \ 0 и пЪп -> О, то по теореме § 30 главы I
ряд A3.1) сходится равномерно и, значит, /(х) непрерывна.
Если так, то /(х) ? L2, и, следовательно (см. § 7), ее сопряженная /(х)
имеет своим рядом Фурье ряд #(/), т. е.
^, cos пх
^ п In п *
п = 2
Но этот последний сходится в каждой точке, кроме х = 0 (см. § 30 главы I),
а потому
/» = 2 С^г~ Для всех х € [0, 2тг], кроме х = 0 . A3.2)
2 птп
п=2
Покажем, что / (х) разрывна и не ограничена около точки х = 0.
Действительно, пусть х > 0 задано. Определим число N так, чтобы
Это возможно сделать единственным образом, поскольку выражение п In n
монотонно возрастает. Ясно, что при х ->0 имеем N -> оо.
Имеем
iSrs±
n=2 N+1
Так как \Dn (х)\ ^ ^ для х > 0, то по лемме Абеля (см. Вводный материал,
§ 1) имеем
N+1
cos пх
п In п
2 х (N + 1) In (N + 1) ^ 2
в силу выбора числа N.
С другой стороны, для 2^n^N имеем
Ix ^ cos —^ = 9N —>¦ 1 при N —>• оо ,
откуда
-— ** COS ПХ 1
' N ^ ' I ^ ^ н In п N -*?- п Inn ^ у
п = 2 п = 2
так как ряд 2~\—расходится.
Поэтому
а это мы и хотели доказать.
Далее отметим, что у /(х) с ограниченным изменением сопряженная /(х)
не должна иметь ограниченного изменения, так как в противном случае по
теоремам предыдущего параграфа они были бы обе абсолютно непрерывны
и имели абсолютно сходящиеся ряды Фурье. Однако ряд a(f) не должен
сходиться абсолютно, даже если / (х) абсолютно непрерывна, а тем более,
если она только с ограниченным изменением.
Н. Н. Лузин первый обратил внимание на то, что функция, сопряжен-
сопряженная к суммируемой, может быть несуммируемой на любом интервале (а, Ь) с
с [0, 2тг]. Он получил также результат значительно более сильный, чем оба

556 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
только что отмеченных здесь факта, т. е. существование непрерывной функ-
функции с разрывной сопряженной и функции с ограниченным изменением, у
которой сопряженная не имеет ограниченного изменения. Именно,
Н. Н. Лузин доказал существование абсолютно непрерывной функции, у
которой сопряженная существенно не ограничена во всяком интервале
[a, ft] с [0, 2тг] (см. Н. Н. Лузин [м-9^ [м-101, §74). Прежде чем приводить
построенный Н. Н. Лузиным пример, выведем одну формулу, представляю-
представляющую и самостоятельный интерес, и также принадлежащую Н. Н. Лузину.
Пусть F(x)— периодическая и абсолютно непрерывная на [—п} тг].
Пусть / (х) ее производная, a F (х) функция, сопряженная к F (х).
Н. Н. Лузин нашел явное выражение F(x) через f(x).
Как известно (см. § 1),
F (х) = - f f F(*+0-Fi*-Q dt f A3.3)
л
где интеграл, определяемый как lim J, имеет смысл для почти всех х. Но эта
е->0 е
формула справедлива для функции, сопряженной с F (х), какова бы ни была
F (х) ? L. В нашем случае, когда F(x) имеет почти всюду производную/(х),
подынтегральное выражение для почти всех х есть непрерывная функция
от t на 0 <^ t <^ тг, а поэтому в формуле A3.3) интеграл можно рассматривать
и как интеграл Лебега.
Так как F (х) абсолютно непрерывна, мы можем при любом е > О произ-
произвести интегрирование по частям в интеграле
1 fF(x + Q-F(x-0 ,
что дает
В силу того, что F(x) имеет почти всюду производную/(х), отсюда находим
dt. A3.4)
О -я
Эта формула справедлива почти всюду на [0<^х<^2тг], если в ней
€ Л
интеграл понимать как lim [j* + J]. Но можно его понимать и как обычный
в-»0 —л е
интеграл Лебега почти всюду на [0<^х<^2тг]. Действительно, если/(х) и
g(x) две какие-нибудь суммируемые функции, то f(x + t)g(t) суммируемо
2л
для почти всех х и интеграл \ f(x + t)g(t)dt есть суммируемая функция от
6
переменного х (см. глава I, § 23).
Так как In |sin^-| <^0 при 0<^ |f| <^тг, то
In
dt. A3.5)

§13
СВОЙСТВА ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ
557
Это и есть формула Н. Н. Лузина, которую мы хотели вывести. Поль-
Пользуясь ею, он построил упомянутый выше пример и даже доказал более
сильное утверждение, а именно:
Теорема Лузина. Существует абсолютно непрерывная функция
F(x) такая, что
1) ряд Фурье от ее производной f (х) и сопряженный с ним сходятся почти
всюду,
2) функция F(x), сопряженная с F(x), существенно не ограничена на
любом отрезке [а, Ь] с [0, 2тг],
3) функция /(х), сопряженная с f (x), несуммируема ни на каком интер-
интервале (а, Ь) с [0, 2тг].
Для построения такой функции Н. Н. Лузин брал множество точек
ri, г2,..., г„,..., всюду плотное на [0, 2тг], и определял f(x) так:
Ап
п=\
sin-
In sin:
I I
\
2 I
A3.6)
Здесь все An>0 и ряд 2 А* достаточно быстро сходится.
Покажем, что если числа Ап разумно подобраны, то функция F(x)y
являющаяся неопределенным интегралом Лебега от /(х), обладает нужными
свойствами *).
Обозначим
?(*) • A3.7)
ln
Эта функция обладает следующими свойствами:
а) ср (х) непрерывна и дифференцируема всюду на [0, 2 я], кроме
х == 0 (mod 2 тг),
б)()>0
)р()>
в) ср(х) суммируема на [0, 2тг],
2я
г) jtp(x)\n
= + оо .
Если потребовать чтобы ? An < + °°, то ряд A3.6) или, что то же,
2 Ап<р(х-гп), A3.8)
п-=\
сходится почти всюду и определяет суммируемую функцию / (х), потому
что ряд
2 An]\(x-rn)dx
п=\ о
A3.9)
сходится, а ср (х) ^> 0 (см. теорему Лебега, Вводный материал, § 14).
*) Н. Н. Лузин в своей диссертации лишь указал вид функции / (х) и перечислил ее
свойства; подробное их доказательство проведено Г. П. Толстовым в комментариях ко
второму изданию диссертации Н. Н. Лузина (см. комм. 122).

558
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
Пусть еп — последовательность положительных чисел, для которых
еп < + оо. Пусть числа Мп выбраны так, что
A3.10)
когда хих+Zi оба лежат вне интервалов вида B/стт— еп, 2кл + еп),
(/с = 0, 1, 2,..,), причем h может быть любого знака; такое Мп существует
в силу условия а) для функции (р(х).
Потребуем, чтобы
«л
Ап<
мп
и, наконец, потребуем еще, чтобы
Ап ]%
A3.11)
A3.12)
(это возможно в силу свойства в) функции ср (х)). Докажем, что при таком
выборе чисел Ап функция/(х) удовлетворяет почти всюду условиям
о
+оо
f(x-t)-f(x)
dt < + оо ,
A3.13)
где б > 0 — некоторое положительное число, а тогда в силу признака Дини
(см. глава I, § 38) ряд Фурье от /(х) будет сходиться почти всюду.
Обозначим через Е множество, состоящее из всех тех х, для которых
ряд A3.8) не сходится, всех гп и, наконец, тех х, которые принадлежат бес-
бесконечному множеству интервалов (гп — 2еп, гп + 2еп); так как2 еп< + °°>
то тЕ = 0 *). Покажем, что в каждой точке х, не принадлежащей ЕУ условия
A3.13) выполнены. Поскольку х не входит в Е, то найдется такое N, что х
не принадлежит (г„ — 2е„, гп + 2еп) для всех п > N. Кроме того, так как
хф гп ни при каком гп (по определению Я), то при б достаточно малом
величины
— гп + 0 —
t
¦ I
— Гп- 0 - У (X —ГП)
t '
dt
конечны при п = 1, 2,..., N в силу свойства а) функции
Имеем, очевидно,
д м д
ф(х— Гп + t) — q> (X — ГП)
N+1
t
<р(Х-
dt
t)—<p(X— Гп)
dt. A3.14)
В силу только что сделанного замечания первая сумма в правой части A3.14)
конечна; остается исследовать вторую сумму.
С этой целью заметим, что при п > N точка х всегда лежит вне
(гп — 2еш гп + 2еп), т.е., полагая ап = х — г„, видим, что ап лежит вне
(—2ew 2еп). Если ап лежит вне (— 2ет 2еп)у то, обозначая через Еп множест-
*) Если И тЕп < -Ь °°, то для lim Еп имеем m lim En = 0 (см. Вводный материал„
П—» ОО П—» 00
12).

i 13
СВОЙСТВА ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ
559
во тех / из @, <5), для которых ап + t лежит вне (— епу еп), на основании
условия A3.11), наложенного на числа Ат находим
ср(ап + t)—cp{an)
dt<AnMnd<end.
A3.15)
Если же СЕп есть совокупность тех / из @, 6), которые не входят в Ет
то для них (ап + t) лежит на (— ет еп), а ап вне (—2ет 2еп), значит, |/| ^> еп..
Поэтому
а Г у (q" + 0-у (а") м<^^1
СЕП СЕЙ СЕЙ
Но при ап + t на (— еп, еп) имеем — еп — ап ^ / <С— ап + еп. Значит,,
первый интеграл в правой части неравенства A3.16) не превосходит
¦^Jy(on)d/. A3.16)
^ "J'^ + O* = $!?'(«
-en-on
на основании условия A3.12). Второй интеграл в A3.16) не превосходит
2Ап(р(ап) = 2Ап(р(х — гп), так как тСЕп^2еп. Сопоставляя это с A3.15)
и A3.16), находим
в
<p(x-rn + t) -у(х-гп)
Но точка х не принадлежит Е, значит, в ней ряд A3.8) сходится, поэтому
ряд в правой части A3.14) сходится и, следовательно, интеграл в левой части,
A3.14) конечен.
Ясно, что замена /на — / ничего не изменит в доказательстве, и таким;
образом признак Дини выполнен всюду вне Я, т. е. почти всюду.
Итак, мы доказали, что ряд <?(/) сходится почти всюду. Н. Н. Лузин,
утверждая, что и сопряженный к нему ряд сходится почти всюду, вынужден
был базироваться на специальных свойствах этого ряда; мы сейчас имеем
возможность просто сослаться на теорему Кутнера (см. ниже, § 23).
Теперь мы должны доказать, что F(x) существенно не ограничена на
любом (а, Ь) с [0, 2л]. Мы будем это доказывать для —F (х), т.е. (см. A3.5))
для функции
In
Для любого п(п = 1, 2, 3,...) из A3.17) имеем
2л
dt.
A3.17)
dt.
Но в силу условия г), которому удовлетворяет функция у (х), ясно, что когда
х -* гп, то — F (х) неограниченно возрастает, а так как множество точек
Г], г2, ..., гт ... всюду плотно на [0, 2тт], то F(x) не ограничена на всяком
интервале на [0, 2тт], а это и надо было доказать.
Наконец, ji3 теоремы Ульянова, которая будет доказана в конце § 17,
вытекает, что / (х) не суммируема ни в каком интервале (а, &), так как в про-
противном случае F(x) была бы абсолютно непрерывной на (а + е, Ъ — е) при
любом е > 0, а между тем она существенно не ограничена на всяком интер-
интервале {а, Ъ) С [0, 2тт].

560 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Итак, теорема Лузина доказана полностью *).
Замечание. Для дальнейшего нам будет полезно отметить одно
следствие из примера Н. Н. Лузина: существует тригонометрический ряд,
сходящийся почти всюду, и такой, что после его интегрирования получается
ряд, расходящийся на всюду плотном множестве (меры нуль) и имеющий
своей суммой функцию, неограниченную на любом интервале (а, Ь) с [0, 2тг].
Действительно, этим свойством обладает ряд а(/), сопряженный к о({).
Мы уже видели, что он сходится почти всюду. Результатом его почленного
интегрирования является ряд a (F). Он сходится почти всюду, поскольку
его коэффициенты имеют порядок о 1 — 1 (см. глава I, § 64). Будучи рядом
Фурье от F (х), он должен сходиться почти всюду именно к F (х), т. е. к функ-
функции, существенно неограниченной на любом интервале. Отсюда следует, что
он должен расходиться на всюду плотном множестве, так как если бы на
некотором интервале (а, Ь) он сходился в каждой точке, то по теореме Бэра
(см. Добавления, § 20) его сумма должна была бы быть ограниченной на не-
некотором отрезке [a, d] с (а, &), и мы пришли бы к противоречию.
Здесь мы получили утверждение более сильное, чем то, которое отме-
отмечалось в § 64 главы I, именно существование рядов с коэффициентами по-
порядка о(—\, сумма которых не ограничена на любом интервале.
После этих замечаний отрицательного характера перейдем к изучению
случаев, когда по «хорошим» свойствам f(x) мы можем судить о «хороших»
свойствах / (х).
Прежде всего постараемся выяснить вопрос, при каких дополнительных
ограничениях на непрерывную /(х)мы можем заключить, что и f(x) непре-
непрерывна.
Мы укажем здесь одно весьма простое достаточное условие, при котором
это имеет место и, более того, при котором / (х) имеет такой же модуль непре-
непрерывности, как и /(х).
Теорема Привалова М. Если f (x) удовлетворяет условию Лип-
Липшица порядка а, 0 < а < 1, т. е.
\f(x + h)-f(x)\^K\h\a, -^<х<тг, A3.18)
где К — постоянная, то и f(x) удовлетворяет условию Липшица того же
порядка а.
Это можно было бы в терминах модулей непрерывности записать так:
если
co(d,f)
то и
Чтобы доказать теорему, сделаем предварительно такое замечание: функ-
функция / (х), определяемая формулой
/»=-! Г/(?+*>-/(*-*><//, A3.19)
где интеграл, вообще говоря, имеет смысл лишь почти всюду, в случае, когда
A3.18) выполнено, оказывается определенной в каждой точке х, так как
*) К сожалению, мы не знаем, как сам Н. Н. Лузин доказывал то, что / (х) не сум-
суммируема ни в каком интервале.

i 13
СВОЙСТВА ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ
561
числитель в подынтегральном выражении имеет порядок О (Г), а знамена-
знаменатель не меньше t при 0 <^ t <^ л. Поэтому выражение под знаком интеграла
при любом х имеет порядок 0(я=а) и> поскольку а > О, интеграл имеет
смысл при всяком х.
Так как и
"~/(х)
тоже имеет смысл, поскольку к нему
применимо предыдущее рассуждение, то мы вправе писать
Г/(х)-/(х-0
dt
в силу нечетности
. Отсюда
A3.20)
— 7Е 2 —Я 2
Мы рассматриваем ft > 0.
Покажем сначала, что если в интегралах формул A3.20) и A3.21) произ-
производить интегрирование по отрезку (—2ft, 2ft), то получатся величины по-
порядка O(fta). Действительно,
а потому
2ft
2/Z
-2 Г
Полагая / — h = и, мы можем применить то же рассуждение к интегралу
A3.21). Итак,
-2Л л
/(*) = - -
J
2tgi
¦J
2ft
--2ft
i I Г /(*+0-/(* + л)
2tg
t-h
Л+
f
2tg
Но мы имеем
/ (x + t) -f (x) / (x+O-
2tg-
2tg
Г

562 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
а потому
' -2ft я Л
-1 J+ J |/(х+0-/(х)]Г-Ц- L_
Li 2ft/ [2tg-i 2tg^
2ft
-2Л
-f(x)]±\ f + J —7
V-я 2ft/ 2 tg
2
Так как
. h
y 2tg—2~ sin — sin—2~
и при |f| ^2Лимеем
то подынтегральное выражение в /х имеет
порядок O(ta)• О [Л • -raj равномерно относительно х; но
2ft
-2ft
и это же справедливо для ]; поэтому
Наконец, для оценки /2 заметим, что
I' —2ft я \
Sill=Sinp:
2ft 2 2 2ft
откуда
Соединяя все полученные оценки, видим, что
|/(х + Л) — / (х) | = О(Лв),
а это и надо было доказать.
Покажем, что в теореме Привалова условие 0 < а < 1 является суще-
существенным, т. е. что теорема перестает быть верна, если а = 0 или а = 1.
При а = 0 мы должны были бы иметь
т. е. функция /(х) ограничена. Однако отсюда не вытекает, что/(х) ограни-
ограничена, так как мы уже показали на примерах, что даже у непрерывной f(x)
сопряженная /(х) не должна быть ограниченной. Итак, при а = 0 теорема
Привалова не имеет места.

§ 13 СВОЙСТВА ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ 563
Если теперь обозначить через F(x) и F(x) неопределенные интегралы от
функций /(х) и /(х), то из ограниченности /(х) следует
|F(хГ) - F(х")|<М |х' - х" |,
где М — постоянное, т. е. F(x) удовлетворяет условию Липшица порядка
а = 1; для F(x) это не может иметь места в силу неограниченности /(х).
Итак, для а = 1 теорема Привалова также не имеет места.
Замечание. Рассмотрим некоторую непрерывную монотонно воз-
возрастающую функцию (р(д). Возникает вопрос, когда из
co(e,f) = 0\<p(d)] (А)
следует
a>(d,f) = O[v(d)]. (В)
Мы видели, что это имеет место, если
) ёа, где 0<а<1,
и это уже неверно, если
<Р(д) = д.
Можно, однако, доказать следующее предложение (см. Н. К. Бари ГО).
Пусть ср(д) удовлетворяет условию: существует такая константа
С > 1, что
Тогда из условия (А) всегда следует (В) и обратно.
_ w(d)
Если дополнительно предположить, что^- монотонно не возрастает,
то условие (*) является и необходимым для того, чтобы для всякой функции
/(х), удовлетворяющей (А), имело место и (В), и, наоборот, (В) влекло (А)
(см. Н. К. Бари и С. Б. Стечкин Ш).
В частности, если ср(ё) = <5а@< а< 1), то при любом С имеем
<р(С8)
lim --^т^ = hm ^-^jjr- = Са,
а тогда при С > 1 условие (*) выполнено и потому теорема Привалова спра-
справедлива. Если же ср{Ь) = 5, то
и условие (*) нарушено при любом С.
Так как ^-~ в этом случае равно 1, т. е. является невозрастающей функ-
функцией, то становится понятным, что нарушение условия (*) ведет к тому, что
теорема Привалова при а = 1 уже не имеет места. Можно доказать, что если
то
По поводу вопросов, связанных с оценкой модуля непрерывности и
модуля гладкости функции /(х) через такие же величины для /(х), см. уже
упомянутую работу Н. К. Бари и С. Б. Стечкина 14, статью Зигмунда (Zyg-
dt1]) и статьи С. Б. Стечкина t5^9].

564 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
§ 14. Функции класса Lp. Теорема М. Рисса
Мы продолжаем изучение вопроса, когда по хорошим свойствам /(х)
можно судить о хороших свойствах /(х).
Мы увидим, что если /(х) ? Lp (р > 1), то и /(х) ? Lp. Но прежде чем
доказать эту важную теорему, нам понадобятся некоторые вспомогательные
предложения.
Лемма 1. Если
(р(г,х)=~+ 2J (апcosпх + Ьпsinnx)гп,
cp(r,x)= — 2 (bn^snx —ansmnx)rn,
то для 0 <I r < 1 и p > 1
константа Ар зависит только от р.
Действительно, полагая
где c;i = а„ — ibn исо=|, и заменяя г = reix, мы имеем
Таким образом, у(гу х) и <р (г, х) могут быть рассматриваемы как u(reix)
и v{reix\ где и и v —действительная и мнимая части функции F(z), регуляр-
регулярной внутри единичного круга.
Следовательно, наша лемма 1 будет доказана, если мы установим спра-
справедливость предложения:
Лемма 2. Пусть
F (z) = u (z) + iv (z), v @) = О
есть произвольная функция, регулярная внутри единичного круга; тогда для
О <С г < 1 и р > 1 имеем
-2л -
\р^Ар ( §\u(reix)\pdx\p, A4.1)
где Ар зависит только от р.
Это утверждение принадлежит М. Риссу (М. RieszW); мы здесь дадим
доказательство, предложенное Кальдероном (CalderonW).
Сначала мы предположим и (z) > 0 и 1 < р <^ 2 (от этих ограничений
мы избавимся позже). Докажем, что для —-^^0^-^-и 1 < р <; 2 имеет
место неравенство
sin в \р < Ар | cos 0 f — Вр cos p 0, A4.2)
где Ар и Вр — положительные константы, зависящие только от р.
Доказательство достаточно проводить для О<^0<^, так как обе части
неравенства A4.2) — четные функции. Так как для 0— -^ при 1 < р<^2
имеем cos рв <0, то, взяв Вр достаточно большим, получим — Вр cos рв > 1

§14 ФУНКЦИИ КЛАССА Lp. ТЕОРЕМА М. РИССА 565
для -^- — 8 <^ в <^ -^, если д достаточно мало. Выбрав так Вр, мы его зафикси-
зафиксируем. Теперь заметим, что на0<0<^ — Означения |cos 6\р превосходят
положительную константу. Поэтому, взяв Ар достаточно большим, можно сде-
сделать Aj>[cos 6\р > 1 + Вр на этом отрезке, значит, j4p|cos д\р — Вр cos рд > 1.
Выбрав так Ар и Вр, мы видим, что правая часть A4.2) превосходит 1
всюду на [ — ~, ~|, а потому A4.2) и подавно верно.
Теперь для доказательства A4.1) положим
тогда
и (z) = R cos О, v (z) = R sin 0 .
Мы можем считать— у < 0<~, так как а(г)>0. Кроме того, так как
F(z)=f=O, то \F(z)\p регулярна при |z| < 1. Поэтому, интегрируя по кругу
| z\ = гу г < 1, мы можем применить интегральную формулу Коши и получим
2n
с
Но тогда
и так как и (z) > 0, то
Теперь, умножая обе части неравенства A4.2) на Rp и интегрируя по х,
находим
f\v\pdx^Ap (\u\pdx- Вр /VcospBdx.
обо
Последний интеграл положителен, значит, его можно отбросить и получить
нужное нам неравенство.
Нам осталось освободиться от ограничений и (z) > 0 и 1 < р <J 2. Нач-
Начнем с первого.
Для краткости обозначим
гр{х) = и (reix),
и пусть
гр (х)=
О , если гр (х) < 0 ,
Ясно, что ^х(х)и — ^2(х) неотрицательны и непрерывны. Поэтому yjl9 у2У а
значит и у, принадлежат L2. Составляя для них соответствующие гармони-
гармонические функции \pl (r, x), ip2(r, х) и гр (г, х) и замечая, что формула A4.1) была
уже доказана, когда и (z) ^> 0, находим

566
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
Замечая, что грг (г, х) -> грг (х) равномерно в силу непрерывности
(и аналогично для гр2 (г, х) и гр (г, х)), находим
Так как у (х) $ L2, то у (г, х) -> у (х) почти всюду, и по теореме Фату, переходя
к пределу, получаем
т. е. формула A4.1) остается справедливой, если только Ар заменить
через 2АР.
Наконец, чтобы освободиться от ограничения 1 <р<^2, докажем, что
если формула A4.1) верна для р, то она в$рна и для q, где
+=i,
причем Aq = Ар.
Для этого рассмотрим любой тригонометрический полином g(x) и его
сопряженный g(x). Имеем
2п 2л
J Vgdx=~ J ugdx, A4.3)
о о
в чем можно убедиться, составляя равенство Парсеваля для обеих частей
и опираясь на сопряженность и и v (здесь все функции принадлежат L2).
Допустим, что полином g(x) выбран так, что
J. A4.4)
Обозначая кратко через ||/||р норму /(х) в U на отрезке [0, 2п\ будем иметь
J ugdx
в силу A4.4); следовательно,
2я
J vg dx
о
<A9\\u\L.
Но так как (см. Вводный материал, § 20)
sup
IIiI^
2п
J z;g dx
\\q>
то отсюда сразу следует
т. е. лемма 2 доказана. Значит, и лемма 1 справедлива.
Мы теперь имеем возможность установить следующую замечательную
теорему М. Рисса (М. RieszW):
Теорема М. Рисса. Если q> (х) ? Lp, р > 1, то у (х) ? LP и
а(ср) = o(q>); при этом
2л I 2л -
| J |^|pdx|p< Ар\] \<p\pdx\p, A4.5)
где Ар — константа, зависящая только от р.

§14 ФУНКЦИИ КЛАССА Lp. ТЕОРЕМА М. РИССА 567
Доказательство. Пусть
00
¦?+ 2 ancos пх + bn$in пх
есть ряд Фурье для у (х). На основании теоремы 3' (см. глава I, § 60) и полу-
полученной при ее доказательстве формулы F0.18) имеем
{f Hr,x)|'<fr)F<(j>(*)lp<frf @<r< 1).
На основании леммы 1 имеем
J m,x)\"dxf < Ар (lV(r,x)|"dxf. A4.6)
J V О У
О
Снова возвращаясь к теореме 3', заключаем, что а (ф) есть ряд Фурье от неко-
некоторой функции Ф(х); д(ф)=^ о(Ф). Но так как а(Ф) есть ряд Фурье, то он
почти всюду суммируется к Ф методом Абеля. С другой стороны, мы знаем
(см. § 6), что для любой /(х)ряда(/) суммируется методом Абеля именно к
/(х). Значит, Ф(х) = <р(х), а потому ~в(ф) = а(ф).
Нам остается доказать неравенство A4.5). Но мы уже отметили, что
<р(г, х) -><р(х) почти всюду; поэтому по лемме Фату (см. Вводный материал,
§ 14) и принимая во внимание A4.6), находим
1 о
2л ч — ,2,71
r-1 ^o
и таким образом A4.5) доказано.
Замечание. Мы доказали только существование константы Ар, для
которой A4.5) справедливо. В ряде случаев этого совершенно достаточно.
Однако иногда бывает важно знать, как меняется Ар, если р неограниченно
растет. В методе Кальдерона такой оценки не содержится. Штейн (SteinW)
дал другое доказательство теоремы Рисса (см., например, Зигмунд?м-61, § 7, 23),
при котором он получил
Ар <^ 2 р для р ^> 2 .
Если бы проводить оценку Ар, пользуясь неравенством A4.2) Кальде-
Кальдерона и переходя затем от р к q, где — И =1, то можно было бы получить
только
*p1+q для р > 2,
где С — абсолютная константа. И так как q ^> 1, то такая оценка значительно
грубее.
Вернемся теперь к теореме Рисса и выведем из нее одну интересную фор-
формулу; обычно ее называют формулой Рисса.
Пусть даны две функции, из которых одна принадлежит Lp, а другая
Lq, где —|— = 1. Мы знаем (см. Вводный материал, § 9), что тогда их произ-
произведение обязано быть суммируемым. Но по теореме Рисса, если /? Lp, то и

568 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
/ ? LPу и если ср ? Lq, то и у ? Lg. Поэтому / ф и f у должны быть суммируемы.
Формулой Рисса называется равенство
о о
Чтобы убедиться в его справедливости, достаточно заметить, что если
00
/ (х) ~ "о- + 2 ап cos пх + Ъп sin пх ,
ТО
_ 00
/ (х) ~ — 2 bn cos пх — яп sin пх,
и если
<Р (х) ~ ~ + 2 ап cos пх + рп sin пх,
то
Но для произведения двух функций, из которых одна принадлежит Lp, a
другая Lq} справедливо равенство Парсеваля (см. глава И, § 5), а потому
2п
~ { f(x) Щх) йх=- 2г (ап рп - Ъп ап)
и по той же формуле
J
~ J
а это и значит, что справедлива формула Рисса*).
§ 15. Теорема Зигмунда
Если р = 1, то теорема Рисса (§ 14) не имеет места, так как/ (х) может
и не быть суммируемой (см. § 13, теорема Лузина). А. Зигмунд указал еще
один важный случай, когда / (х) суммируема и когда можно дать оценку для
ее интеграла. Именно, имеет место
Теорема Зигмунда**). Если | /| 1п+ | /| € L, то / (х) суммируема и
2f\f\dx^Af\f\\n+\f\dx + B, A5.1)
о о
где А и В — абсолютные константы.
Нижеследующее доказательство принадлежит Кальдерону (CalderonW).
Докажем сначала лемму.
*) Правда, в § 5 главы II равенство Парсеваля было доказано лишь со ссылкой на
результат § 20 главы VIII; таким образом, и здесь надо помнить, что формула Рисса будет
окончательно доказана только после установления справедливости этого результата.
**) См. Zygmund t5l.

§ 15 ТЕОРЕМА ЗИГМУНДА 569
Лемма. Пусть F(z) = и (z) + iv (z) регулярна внутри круга \z\ < 1,
и (z) > О, v @) = 0; тогда для г<\
f\v(reix)\dx^cfu(reix)dx + D$u\nudx-2nDu@)\nu@), A5.2)
О 0 0
где С и D — абсолютные положительные константы.
Установим предварительно справедливость неравенства
sin 01< С cos 0 + D (cos 0 In cos в + в sin 0) A5.3)
ДЛЯ —-2"<0<-2".
Действительно, если 0 = + у, то cos 0 In cos в = О и 0 sin 0 = ~; значит,
взяв D достаточно большим, можем сделать D (cos 0 In cos 0 + 0 sin 0) > 1 в
некоторой малой окрестности —у и в такой же окрестности ~. Добавляя
член Ccos0, который положителен, как бы мы ни выбрали С > 0 при
у — <5<С0<;-|- и — у<;0<; — ~ + 5, мы видим, что в этих двух отрезках
правая часть A5.3) больше 1.
С другой стороны, при — у + <5<^0<^~ — 8 имеем cos 0 > а > 0, по-
поэтому при уже выбранном D величина D (cos 0 In cos 0 + 0 sin 0) остается
ограниченной на этом отрезке; значит, можно выбрать С столь большим,
что вся правая часть A5.3) станет > 1; итак, можно сделать ее больше 1
при всех 0, — ~<^0<^~, а тогда A5.3) справедливо.
Так как F(z) не должно обращаться в нуль при |z| > 1, то F In F ре-
регулярна в этом круге и, значит, интегрируя вдоль |z| = г, мы имеем
2л
Re [г^Г J ^(z)lnF(z)f] = ^ J Re [FlnF] tfx = u@)lnu@). A5.4)
с
Но если F = #ег'0, то
Вторую скобку нам удобно переписать в виде
In (/? cos 0) — In cos 0 + i 0
и тогда получим
Re [F In F] - Re {/? (cos 0 + / sin 0) [In (R cos 0) - In cos 0 + i 0]} —
= R cos 0 In (/? cos 0) — # (cos 0 In cos 0 + 0 sin 0).
Подставляя это в формулу A5.4), найдем
2л 2л
2^J /?[cos01ncos0 + 0sin0]rfx=^ J ulnudx — u@)lnu@). A5.5)
о о
Наконец, умножая A5.3) на i?, интегрируя по х и подставляя в A5.5), найдем
2л 2л 2л
J |v|rfx<C j udx + D j t/lnarfx-27rDw@)lnt/@),
0 0 0
а это и есть неравенство A5.2). Следовательно, лемма доказана.

570 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Заметим теперь, что если u(z) > e, то в неравенстве A5.2) первый инте-
интеграл меньше второго, а член, не содержащий интегралов, отрицателен; поэтому
можно написать
J | v (reix) | dx < К f и (reix) In и (reix) dx, если a (z) > e, A5.6)
о о
где К — абсолютная константа.
Пусть теперь на u{z) не наложено никаких дополнительных ограничений.
Докажем, что тогда справедливо неравенство
J \v(reix)\dx^A f\u(reix)\\n+\u\dx + B, A5.7)
о о
где А и В — абсолютные константы.
Положим
и (reix) = у (х)
и пусть
(^
= V>(x) — [у>г (х) + гр 2(х)].
Ясно, что
\v*(x)\<e.
Пусть грг (д, х), уJ (д, х), 1рг (д, х) — соответствующие гармонические функ-
функции гръ \р2 и уъ, а гр1У гр2, у3 — их сопряженные. Поскольку ip3(x) ограничена,
а значит, ^3(х) ^ ^ то> пользуясь неравенством Буняковского, а затем равен-
равенством Парсеваля, найдем
f I V,(ftx)|dx<K2? { f[v,(<?,x)]»dx}*<K2i {J [nf
Теперь в силу формулы A.3) из § 1 имеем
а так как |у»3(х)| ^ е, то
о
2п
J IП (?,х) I dx < f 2 ^ е \г2 л = 2 тг б = L ,
о
где L — абсолютная константа.
Поскольку ^i(x);>?, то имеем в силу A5.6)
A5.8)
2п ___ 2п
J \v>i(Q,x)\dx^K$ Wi(Q>x)InWi(Q>x)dx; A5.9)
о о
то же справедливо для — y>2, а потому
2f2f2\dx. A5.10)

§ 15 ТЕОРЕМА ЗИГМУНДА 571
Складывая A5.8), A5.9) и A5.10), находим
2л 2л 2л
J \y(Q,x)\dx^K§y1(Q,x)\nyl(Q,x)dx+K§ \v>2(Q,x)\\n\y>2\dx + L.
0 0 0
Переходя к пределу при q -> 1, получим
j]^(x)|rfx<K jVln^rfx + K j'l^l^l^l^ + b. A5.11)
0 0 О
Заметим теперь, что если Е есть множество тех х, где у> (х) ^> ?, то
\ dx +
2л
Е О
и также
2я 2л
О О
Отсюда и из A5.11) окончательно получаем (полагая А = 2 К, В =
= An Ке + L)
2л 2л
Л у (эс) | dx ^ А J | гр 11п+ | у | dx + В,
о о
где А и В — абсолютные константы, а это и есть A5.7).
Теперь для перехода к A5.1) нам осталось доказать, что
f | и {re1-) 11п+ | и (reix) \ dx < J | / (х) 11п+ | / (х) \dx. A5.12)
о о
Так как
2л
и (reix) = —
О
то
Применяя к функции Fln+ F формулу Иенсена (см. Добавления, § 21),
получим
2л
±j \f(t)\\n+ \f(t)\ Pr(t-x)dt.
Интегрируя по х, получаем A5.12), и теорема Зигмунда доказана.
Для случая, когда /^>0, эта теорема допускает обращение, т. е. можно
доказать*) теорему.
Теорема. Если f ^> 0 и f суммируема, то {1п+ / суммируема.
Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, рассмотреть случай /^> 1.
Рассмотрим, как и раньше, функции u(reix) и v(reix), т. е. пуассоновскую сумму
от / и сопряженную к ней гармоническую функцию.
*) Эта теорема принадлежит М. Риссу (М. Rieszt1').

572 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Положим F(z) = и (z) + iv(z) и проинтегрируем по кругу \z\ = г регуляр-
регулярную функцию F (z) In F (z). Так как по интегральной формуле Коши
то, приравнивая действительные части, получаем
u In Vu*~+V2 - v arctg -|Ц Лс = ц @) In a @).
J \
о
Но так как О <^ v arctg -^ <^ у |
2я 2я
^ [ н1пнЛс<-^- [ |v|dx+M(O)lnM(O). A5.13)
6 6
Мы увидим в § 18, что если / суммируема, то a(f) = a(f). Отсюда следует,
что v (reix) есть пуассоновская сумма для /, а потому при г -> 1 интеграл в
правой части A5.13) остается ограниченным. Применяя лемму Фату, заклю-
2я
чаем отсюда, что J / In / dx конечен, т. е. / In / суммируема.
о
Пользуясь доказанной теоремой, легко построить новый пример функ-
функции f(x) ? L, для которой f(x) ? L (первый пример был построен Н. Н. Лузи-
Лузиным, см. § 13). В самом деле, положим
на
на
PL <
|_2''
Так как /(х)>0, a /(x)ln+ /(x)^L, то по теореме М. Рисса функция f(x)
должна быть несуммируемой.
§ 16. Суммируемость \f(x)\p при р < 1
Мы уже неоднократно отмечали, что если /(х) ? L, то сопряженная f(x)
не должна быть суммируемой. Однако можно доказать, что для любого р,
О < р < 1 функция \f(x)\p суммируема (см. А. Н. Колмогоров^, Титчмарш
(TitchmarshW), Литтльвуд (Littlewood^, Hardy И)). Здесь будет приведено
доказательство этой теоремы, принадлежащее Титчмаршу. Но предвари-
предварительно нам понадобится несколько лемм. Сначала введем одно определение,
которое будет использовано и здесь, и позже при изучении так называемых
А-интегралов.
Определение. Пусть /(х) — любая измеримая функция. Условимся
говорить, что она удовлетворяет условию (I), если
mE[\f(x)\>n]=o(±). (I)
Это условие названо условием (I), так как оно играет существенную роль
в теории интегрирования (это было отмечено Титчмаршем (Titchrnarsh^11)
Колмогоров ымИ).

§16 СУММИРУЕМОСТЬ |/(ж)|р ПРИ р<1 573
Для случая, когда функция / (х) суммируема, легко сразу же убедиться,
что она должна удовлетворять условию (I). В самом деле, можно написать
к=п
где
Но в силу суммируемости /(х) имеем
2 кт%к < + оо ,
к=\
откуда
к=п к=п к=п
Ниже будет доказано, что если/(х) суммируема, то и/(х) удовлетворяет
условию A). Но прежде чем доказать это, нам понадобится установить спра-
справедливость следующей леммы:
Лемма 1. Существует абсолютная константа А такая, что если / (х)
сопряженная к f(x)u
EN=[\f(x)\>N],
то
л
^jf(x)\dx. A6.1)
Эта лемма принадлежит А. Н. Колмогорову^. Нижеследующее доказа-
доказательство дано Титчмаршем.
Функцию /(х).можно выразить формулой
л
Г
J
06.2)
где символ (Р) означает, что интеграл надо понимать в смысле главного зна-
значения, т. е. как
X —8 Л
ton [J + J].
е0 л х+8
J
е-*0 —л
Действительно, совершая замену переменного, мы от A6.2) сразу переходим
к обычному выражению
л
f(x + t)-f(x-t)dj.
t
о 2
Для удобства вычислений рассмотрим вспомогательную функцию h(x)
2л
l~dt. A6.3)
-Зл
Покажем, что если
VN = [\h(x)\<N]

574 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
и для всех достаточно больших N
л
m*N<?Jl/(*)!<**, A6.4)
—л
то формула A6.1) будет доказана (только с другой константой А).
В самом деле, mbi можем написать в силу периодичности f(x)
f %
Но так как, полагая —^— = и и замечая, что
Ь
tga ~ Ьг + ^л + ST^J =y)^
есть функция непрерывная на [—л, л]} мы можем написать
л
-2nj{x) = {P) Г_М_А = 2й(х) + /(х), A6.5)
J te—^—
*8:
— Л
где
~2~\ непрерывна, значит, при
— п <^ х <Г п и —л <. / ^ л; имеем
v 2 у
где М постоянно, откуда
/ ). A6.6)
—я
Обозначим для краткости
В силу A6.5)
Hx)=-±h(x)-±j(x). A6.7)
Возьмем любое N>2C,тогда если |/(х)| > N, то непременно
> N — С, поскольку ^^ <^ С, а, следовательно, | h (х)\ > л; (N — С) >
> ^ N > N. Поэтому, если только N > 2С, то
и, значит, предполагая A6.4) уже доказанным, имеем
f (х) | dx, если N>2C.

§16 СУММИРУЕМОСТЬ |/(ж)|р ПРИр<1 575
Ясно, что если N <^ 2С, то
!\f(x)\dx 9згГ „
—л \ ^ я; с л;
N ^ 2СМ ~ М '
а потому достаточно принять А = 2AJ, чтобы неравенство A6.1) имело место.
Итак, оно справедливо при всех N при разумном подборе А.
Мы видим, что достаточно доказывать неравенство A6.4) для функции
ft(x), определяемой равенством A6.3).
Для дальнейшего нам будет полезно следующее замечание: если бы
/(х) ? L2, то мы имели бы
f [h (х)]2 rfx< В ] /2 (х) dx, A6.8)
—п -л
где В — абсолютная константа. В самом деле, если/(х) ? L2,to и./ (х)тоже и
(см. § 1, формула A.3))
Но в силу A6.5)
а в силу A6.6)
J
поэтому неравенство A6.8) при разумном подборе константы В справедливо.
Переходим к доказательству неравенства A6.4). Очевидно, достаточно
ограничиться рассмотрением случая /^>0.
Пусть
_ /(х), если 0</<и,
О , если / > п
В силу свойств интеграла Лебега можно выбрать п столь большим, чтобы
2л
$rn(x)dx = an
о
был как угодно мал и, в частности, был меньше 1. Опуская для краткости
знак п и полагая
X
мы видим, что ip @) = 0 и чр B п) — ап.
Положим
0(x) V(x)
Имеем 0@) = 0. Пусть х0 — наибольший корень уравнения в (х) = 0. Ясно,
что

576
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
Рассмотрим на интервале (х0, 2 тс) множество тех точек х1У для которых
max в(х).
^^2
В силу непрерывности в (х) ясно, что это множество открытое; добавим к нему
интервал @, х0), получим открытое множество L; пусть lt = (ai} b) — состав-
составляющие его интервалы (рис. 37). Нетрудно доказать*), что для каждого из них
'вF) 0()
следовательно,
V (pt) - у nbt = у> (а,) - \ nat,
откуда
bt
Рис. 37
at
И
С другой стороны, мы сейчас докажем, что
= ^п21,. A6.9)
A6.10)
и это даст нам возможность оценить 2 h-
Рассмотрим такую точку |, где у'(|) >ул; так как в такой точке
то | ? L, потому что в @ возрастает в точке |. Но у' (х) = гп (х) почти всюду,
а гп(х)по самому определению либо равна нулю, либо гп(х)>и. Значит,
почти все те точки х, где гп (х) ф 0, должны принадлежать L, а потому
2я
это и есть A6.10). Кроме того, отсюда же
CL
где CL дополнение к L относительно [0, 2тс].
Из A6.9) и A6.10) находим
A6.11)
A6.12)
*) Действительно, пусть (щ, bL) — любой интервал из L и z0 — любая его точка.
Докажем сначала, что в (г0) ^ в [bt). Пусть это неверно, т. е. в (г0) > в (bt). Рассмотрим
множество точек отрезка [z0, bt], где в (х) > в (z0). Оно замкнуто. Пусть | — его самая
правая точка. Поскольку 0(zo) > 0{bL)y то I bh значит, z0 ^ I < ^. Поэтому ? е L.
Но тогда по определению L найдется точка ?' > f, где 0A') > 0A), а потому в (!') >
> 0(zo)> 0(^). Тогда f не может принадлежать (z0, ^), иначе | не была бы самой правой
точкой, где0(х) >0(го). С другой стороны, если бы имели bt < ?', то из 0(bt) < 0A') сле-
следовало бы, что bi e L, но L открытое. Итак, гипотеза 0 (z0) > 0 F,) привела к противоречию.
Поэтому для любой точки х е (а/, &) имеем в (х) ^ 0 (^). Отсюда 0 (а/) ^ 0 (&,). Но нера-
неравенство невозможно, так как иначе ate L, a L — открытое.

16 суммируемость |/(ж)|р при Р<1 577
Наконец, введем еще функцию Фп(х) так:
\~п, если x?L,
О , если x?CL.
Тогда
A6.13)
щ
Построим систему L' интервалов /'-, концентрических с lt и таких, что
\\ = 5//(где длины интервалов обозначаются теми же буквами, как они сами).
Интервалы 1\ могут перекрываться.
Все до сих пор построенные множества и функции рассматривались на
[О, 2тг]; дальше мы их продолжим периодически.
Напишем теперь:
Зя Зя Зя
j
—Зя -Зя —Зя
Зя Зя Зя
} ) ]
-Зя -Зя -Зя
= hx{x) + h2{x) + h&(x). A6.14)
Так как^пСО ограниченная функция и, тем более, принадлежит L?, то по
формуле A6.8) имеем
fflnf A6.15)
на основании определения срп(х).
Совершенно так же из A6.12)
2я 2я
[\f = ^n^ = ^nan. A6.16)
Наконец, рассмотрим ft3(x). Для этого сначала оценим
для x?z{>
Так как гп(/) ^Ои Фп({)^ 0, то можно написать
где ^и/з — точки из lt и интегралы заменены их величинами по формуле
A6.13). Но тогда, обозначая через ct центр lt и помня, что х $ l'h а /^ > 5lh
мы получаем
где Л — некоторая абсолютная константа.

578
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
Если CU — дополнение к L' и х ? CL', то х^1\ при любом г, а тогда
._ Ji
Ci 2 оо
Г—U— dx<Tl* Г dx <Г/2 f d* 1/2 f d* _
J (с- - xJ ax^l{ J (c,- - xJ^li J (a - xJ ^ ?' J (a - xJ ~
так как l\ = 5ZZ. Поэтому
Но
CL'
A6.17)
CL7
CL' -Зя
CL'
I- X
dx,
потому что если t ? L, то Фп@ = 0 по определению, а г/2(/) = 0 почти всюду
вне L. Следовательно, учитывая, что суммирование распространяется на все
lt ? [—Зтг, Зя;], находим
J 6anA A6.18)
CL' i
Ш-Зя,3я]
в силу A6.17) и A6.12).
Пусть теперь N > 0 любое. Обозначим через 13 множество тех х, где
Если /g = /3CL' и Zg = Z3L', то в силу A6.18) имеем
J |/z3(x
Значит,
т. е.
Отсюда в силу A6.12)
A6.19)
Пусть теперь /х и Z2 — множества тех х, где соответственно
I К (х) I > у или
В силу A6.15) имеем
2я
то есть
A6.20)

§16 СУММИРУЕМОСТЬ |/(ж)|р ПРИ р<1 579
Аналогично из A6.16) получим
откуда
Если 8? есть множество тех х, где | h(x) \ > N, то 9 с /х + /^ + /3 и,
значит, из A6.19), A6.20) и A6.21)
2л
% <- !М л- 1Оа" л- — ! 4- Г
о
Остается заметить, что из 0 ^ rn(t) <^f(f) следует
Кроме того, в наших рассуждениях п было любым, а потому можно положить
п = N; тогда найдем
2
С — абсолютная константа, а это и есть неравенство A6.4) для функ-
функции h(x).
Мы уже видели, что если оно доказано, то справедливо и утверждение
леммы.
Пользуясь этой леммой, докажем теорему.
Теорема*). Если f (х) суммируема, mo f (x) удовлетворяет условию (I),
т. е.
В самом деле, пусть е > 0. Запишем / (х) в виде / (х) = /х (х) + /2 (х), где
J\h(x)\dx<e.
О
Тогда в силу леммы 1
{Щ + тЕ
Но /х(х) ограничена, а потому Д (х) С L2 и, следовательно, для нее
тЕ{\п (х)! >«} = „(!), т. е.
если только N достаточно велико, отсюда
и так как е > 0 произвольно, то это и доказывает теорему.
*) См. Колмогорове2], Littlewoodt2], TitchmarshW.

580
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
гл. VIII
Прежде чем вернуться к вопросу о суммируемости |/(х)|р, о котором мы
говорили в начале этого параграфа, нам понадобится еще одна лемма. Введем
новое определение:
Определение. Две функции <рг (х) и ср2 (х) назовем равноизмеримы-
мщ если для любого у имеем
тЕ[<рх (х) > у] = тЕ[<р2 (х) > у].
Ясно, что если из двух равноизмеримых функций одна суммируема, то
и другая тоже, и их интегралы равны. Справедлива следующая
Лемма 2. Для любой <р (х),
измеримой на некотором [а, 6], най-
найдется невозрастающая на [а, Ь]
функция g (x), равноизмеримая сср(х).
Не нарушая общности, можно
принять а = 0. Положим
Ясно, что т (у) не возрастает и не-
непрерывна справа. Возьмем функцию
g(x)= sup у.
т(у)>х
Рис. 38
Очевидно также, что g{x) не возрас-
возрастает и непрерывна справа (рис. 38).
Покажем, что g(x)n <p (х) равноизмеримы. В самом деле, пусть у—любое
число. Очевидно, что множество точек g (t) > у есть полуинтервал [0, х),
поэтому
С другой стороны, если g (х) = у1у то уг <^ у и х = т (уг) = m (у), т. е.
x = m(y) = m?{9?>y}.
Поэтому
и лемма доказана.
Теперь мы, наконец, можем доказать теорему.
Теорема. Если f (х) суммируема, то для любого р, 0 < р < 1,
функция \f(x)\p суммируема и
A6.22)
где Ар зависит только от р.
В силу леммы 2 существует невозрастающая g (x), равноизмеримая с
|/(х)|. В силу леммы 1 мы имеем для любого N
= mE[\f\>N]<?j\f(x)\dx,
где С — абсолютная константа.
Положим
= С $\f(x)\dx
о

§16
СУММИРУЕМОСТЬ
581
и докажем, что кривая
лежит целиком не выше, чем у = — (рис 39).
Действительно, у = g(x) монотонна; пусть g(x) == N в некоторой точке
х0 и допустим сначала, что х0 не лежит ни в каком интервале постоянства
для g (х). Тогда g (х) > N для всех х,
О < х < х0, а потому
Но по лемме 1
значит,
м
м
откуда N <^ — . Но в этой же точке х0 для °
У = у имеем у0 - ^, значит, g (х0) < у0.
Таким образом, во всех точках, не лежа-
лежащих в интервалах постоянства g (x), имеем
A6.23)
Рис.
Остается показать, что A6.23) справедливо
и в интервалах постоянства. Допустим, что (а, /3) такой интервал, х0 —
некоторая точка внутри него и
Тогда и подавно g (х0) > у . Выберем N так, чтобы^ < N < g (x0). Очевидно,
что для этого N имеем
и, стало быть, i?<^, T-e-N<C-j, а это противоречит выбору числа N.
Итак, A6.23) справедливо всюду. Но тогда
а потому
в силу A6.22).
Таким образом, полагая
видим, что теорема доказана.
1-р '

582 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Замечание. Поскольку р < 1 и С — абсолютная константа, то
^р ^ 1 - р ~ 1 - р '
где К — абсолютная константа. Эта оценка для Av будет нами использована
в §21.
§ 17. Ряды Фурье для сопряженных суммируемых функций
Мытеперь в состоянии доказать в общем видефакт,который уже наблю-
наблюдали в некоторых специальных случаях, а именно, что если /(х)? L, то
o(f)= o(f). Это обстоятельство впервые было отмечено Лузиным для случая
/ € L2 и Риссом для / ? LP при р > 1.
Прежде чем доказать нужное нам утверждение, докажем лемму
Титчмарша.
Лемма. Пусть /(х)— любая суммируемая функция и /(х) сопряжен-
сопряженная с ней. Тогда найдется такая последовательность множеств Еп,
тЕп -> 2л при п -> оо, что
lim J/(x) cos/be dx = — nbk (k = 1,2, ...),
lim §f(x)sinkxdx = 7iak (k = 1,2, ...),
гд^ aku bk — коэффициенты Фурье от /(х).
Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть случай /^> 0. Возьмем снова
функции и множества, введенные в предыдущем параграфе. Имеем
/ (х) = ул (х) + Фп (х) + [гп (х) - Фп (х)],
значит,
хЬФЛ^)] • A7.1)
Положим Еп = [0, 2п\ — L'\ мы видели, что ml! ^5mL = ~~~, поэтому
„ -> 2л; при п -> оо.
Так как ^п (х) ограничена, то <pn (x) ^ L2, а потому а ((рп) и с (фп) являются
сопряженными рядами Фурье. Следовательно,
2я_ 2л
J 9лW coskxdx = — \ (рп(х) sin /exdx =
о о
2я 2л
= — J /(х) sin foe dx + J (/ — срп) sinkxdx= —7ibk + o(l),
о о
2n
ПОТОМу ЧТО J I/ — <pn| dX = О A) При И —> оо. НО
о
J
о
L' Z/ 0 0
2я 2~я
потому что ап ->¦ О, а срп <^ /.
Следовательно,
| <рп(х)coskxdx = о(I),

§ 17 РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ СОПРЯЖЕННЫХ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 583
откуда, вспоминая, что Еп = [О, 2л] — L', находим
I Фп (х) cos кх dx = — п Ьк + о A).
Еп
Далее, так как Фп (х) — сопряженная к ограниченной Фп (х), то
2л _ 2л
J Фп (х) cos кх dx = — J Фп (х) sin /ex dx.
о о
Но
Значит,
1
-jn при x?L,
О при х ? L.
2я
I ( Фп(х)sinkxdx = \п \ sinkxdx
0 L
и аналогично предыдущему
--n~
2л
( J Фп(х) cos to dxJ < mU \ Ф1 (x) dx= ^({«
L' 0
A n n v y J
откуда опять также заключаем, что
Еп
Наконец, для гп (х)—Фп (х) рассуждаем так, как в предыдущем пара-
параграфе при оценке /г3 (х), и убеждаемся, что
j (rn — Фп) cos kxdx = о (I).
Еп
Объединяя все полученные формулы, находим
J / (x) cos кх dx = — п Ьк + о A),
Еп
а это и требовалось доказать.
Аналогично проводится доказательство для sin /ex.
Отсюда получаем теорему:
Теорема. Если f (x) суммируема, то
Эта теорема впервые была доказана В. И. Смирновым^. Приведенное
здесь доказательство принадлежит Титчмаршу (TitchmarshW).
Действительно, если / (х) суммируема, то независимо от того, какова
структура Еп, если тЕп ~> 2п, имеем
2л__
| / (х) cos кх dx-> | / (х) cos kx dx
Еп О
и аналогично для sin /ex, откуда и вытекает нужное утверждение.
Из теоремы Смирнова вытекает

584 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Следствие. Пусть F(x) — периодическая и абсолютно непрерыв-
непрерывная на [0,2тг] функция. Если ее производная f(x) имеет сопряженную
/(х) ? L [О, 2тг], то F(x) абсолютно непрерывна на [О, 2тг].
Действительно, по теореме Смирнова
*(/) = "(/).
Но ряд а (/), как ряд Фурье, можно интегрировать почленно, и полученный
ряд сходится к абсолютно непрерывной функции. С другой стороны, по-
поскольку этот ряд есть в то же время результат интегрирования сг(/), то оче-
очевидно, что эта функция совпадает с F(x).
Для дальнейшего нам будет полезно отметить, что этот результат можно
перенести с отрезка [0, 2п] на отрезок [а, Ь] следующим образом:
Тео р ем а*). Пусть F(x) — периодическая и абсолютно непрерывная
на [0,2л] функция. Если ее производная f(x) имеет сопряженную f(x)
такую, что / (х) ? L(a, b), то для любого е > О функция F(x) абсолютно
непрерывна на (а + е, b — е).
Для доказательства положим
1 на (а + ~, b — -|-),
О на [0,а + |] и [ft-±, 2п]
и проинтерполируем ее линейно на (а + -^, а + -|-) и (Ь ~- -^, Ъ — -^1; кро-
кроме того, примем Я(х + 2тг) = Я(х). Очевидно, что
\Щ^-Щ^\<К\хг-хх\ A7.2)
4
(достаточно принять К = —). Пусть
Ясно, что /х(х) $ L [0, 2я]. Покажем, что и
Д(хКЧ
В' самом деле,
«-*« i 2tgy
Я
1 Г /
где^(х) ограничена в силу условия A7.2). Поэтому функция f1(x) почти всюду
на (а + -у, b — -у) отличается от Я (х) / (х) на ограниченную функцию и в
силу/(х)? L(a,b) и непрерывности Я(х) отсюда следует, что
*) Эта теорема| принадлежит П. Л. Ульянову.

§ 18 А-ИНТЕГРАЛ И СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ 585
С другой стороны,
так как X (х) = 0 на этих отрезках. Следовательно,
Тогда по теореме Смирнова a (f±) = а (/х). Но /х (х) = / (х) на (а +
так как на этом интервале X (х) = 1. Поэтому на основании принципа локали-
локализации для рядов, сопряженных к рядам Фурье (см. § 3), ряды a(j) и а (/х)
отличаются на ряд Г, сходящийся равномерно на [а -\- е, b— е].
Поэтому
где Т сходится равномерно на (а + е, b — е).
Но сумма ряда, получающегося в результате интегрирования а (Д), есть
функция, абсолютно непрерывная на [0, 2п], а ряд Т можно почленно инте-
интегрировать на (а + 6, b — б) в силу его равномерной сходимости и получить
поэтому снова функцию, абсолютно непрерывную на [а + е, b — е]. Итак,
результат почленного интегрирования a(f) есть ряд, сходящийся к абсолютно
непрерывной функции. Но, с другой стороны, F (х) имеет ряд Фурье, который
может отличаться лишь на константу от результата интегрирования #(/),
а потому наше утверждение доказано.
§ 18. Л-интеграл и сопряженные ряды
Мы знаем, что у суммируемой функции / (х) сопряженная/"(х) не обязана
быть суммируемой. Возникает вопрос, нельзя ли так обобщить понятие
интеграла, чтобы /(х) оказалась уже интегрируемой в новом смысле и
чтобы коэффициенты ряда a(f) определялись по формулам Фурье, отправ-
отправляясь от /(х), если понимать интеграл в этом новом смысле.
Прежде всего отметим, что для так называемого интеграла В [это одно
из определений интеграла, предложенных Данжуа (Denjoy^) и изучавшихся
Боксом (BoksW)] A. H. Колмогоров^ доказал теорему: для любой f(x)? L
функция /(х) интегрируема в смысле интеграла В и a(f) = o(f\ если в фор-
формулах Фурье понимать интегралы в этом смысле. Мы не даем здесь доказа-
доказательства этой теоремы, так как интеграл В не нашел других применений в
теории тригонометрических рядов. Вместо этого мы рассмотрим так назы-
называемый Л-интеграл, который, как мы увидим дальше, оказался очень полез-
полезным, и мы докажем для него такую же теорему, как упомянутая теорема
А. Н. Колмогорова для интеграла В.
Прежде всего, следуя Титчмаршу (TitchmarshW), введем определение
Q-ингпеграла.
Определение. Функция g (х) Q-ынтегрыруема на [а, Ь], если,
полагая
g(x) при |g(*)|<Cn>
О при \g(x)\ > п у
ь
имеем lim | [g(x)]n dx существует; этот предел и будет тогда назван
(Q)!g(x)dx.

586
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
ГЛ. VIII
Q-интеграл не обладает свойством аддитивности, как показывает простой
пример Титчмарша. Пусть
1 ^ ^ 1 , 1
О вне этих интервалов;
-л, _i-
Тогда
О вне этих интервалов.
(Q) U(x)dx = 0, (Q)
-1
НО
Желая получить интеграл, который уже обладает свойством аддитивно-
аддитивности, Титчмарш ввел дополнительное требование, которое в § 16 мы назвали
условием (I), т. е. он потребовал, чтобы для рассматриваемой функции
Он доказал, что если две функции удовлетворяют условию (I) и Q-инте-
грируемы, то тогда их сумма Q-интегрируема и интеграл суммы равен сумме
интегралов. Мы докажем это предложение, но выразим его в иных терминах,
для чего введем понятие А-интеграла.
Мы скажем, что g(x) есть функция А-интегрируемая на (а, &), если она
удовлетворяет условию (I) и если существует
lim
М->оо
g(x) при |g(*)|<n,
О при \g(x)\>n.
где
При этом будем писать
Таким образом, функция g{x) А-интегрируема, если она Q-интегрируема
и удовлетворяет условию (I).
А. Н. Колмогоров вводил А-интеграл в работе^.
Докажем теорему Титчмарша.
Теорема 1. Равенство
(A) j ydx + (А) ] ц>dx = (А) ] (<р + y>)dx
справедливо, если любые два из А-интегралов этой формулы имеют смысл.

§ 18 А-ИНТЕГРАЛ И СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ 587
Покажем сначала, что
lim f{[<p]n + Мп ~ [V + W]n}dx = O.
п->оо а
В самом деле, если \у\ <^пи \у>\ <^-п,топодынтегральноевыражение
равно нулю; но множество точек, где хотя бы одно из этих неравенств не
выполнено, имеет меру о 1 — 1, а подынтегральноевыражениеестьО(п). Отсюда
и получаем нужное утверждение.
Теперь ясно, что переходом к пределу при п -> ©о мы можем доказать
нужное равенство, если любые два из трех пределов
lim S[(p]ndx; lim J[y]ndx и lim
n-+ oo a n-> a» a n-> oo
существуют.
Выведем теперь для А-интегралов формулу, аналогичную формуле
Рисса (см. § 14). Именно докажем такую теорему (см. Ульянов*7]).
Теорема 2. Если ip(x)uy) (х) обе ограничены, a f(x) ? L, то f(x)
А-интегрируема и
f f
(A) ff
о о
(здесь (L) J означает интеграл Лебега).
Мы будем проводить доказательство для /^>0, что не нарушает общно-
общности ввиду аддитивности А-интеграла.
Вернемся ко множествам и функциям, рассмотренным в §§ 16 и 17,
и докажем сначала, что
$dx = \im § f(x)y(x)dx. A8.1)
п^со Еп
Прежде всего напишем, как в формуле A7.1),
/ (х)=?п (х) + Фп (х) + [гп (х)-Фп (х)].
Так как уп (х) сопряженная к ограниченной срп (х), то срп (х) ^ L2, и это же
верно для Фп (х), как сопряженной к Фп (х). Что же касается гп (х) — Фп (х),
то она, как мы видели при доказательстве леммы § 17, суммируема на Еп,
а потому в силу ограниченности у (х) и интеграл
S(fn(x)-0n(x))V(x)dx
Еп
имеет смысл. Но тогда
\fVdx=SVnVdx+ \<?nydx+ S(rn-&n)ydx=I1 + I2 + Is. A8.2)
En En En En
Имеем
\~yny>dx= J (pnipdx- ^
En О Ь
Ho
U L' V О
<М2mU ]Л((рпJdx<M2~an-n f /(x)dx = оA),
о п о
где через М обозначена верхняя грань |у (х)|.

588
СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
С другой стороны, так как упи у> принадлежит L2, то
J VnVdx= - J <pnydx.
о о
Значит,
Но
2я
О
2л
2я
О
2л
в силу определения <рп(х) и ограниченности \у> (х)|. Поэтому
2я
Остается доказать, что /2 = 0A) и /3 = 0A), тогда A8.1) будет доказано.
Имеем
2л __ _
но
и
а потому
Но
а потому
L'
2я
2я
= — J
2я
где К — верхняя грань функции %р (х).
Из формул A8.3) и A8.4) следует
Наконец,
что доказывается, как в § 16 при оценке J |й3(х)| dx.
Еп
Объединяя все полученные формулы, находим
Ея
2я
О
т. е. равенство A8.1) доказано.

§18
А-ИНТЕГРАЛ И СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ
589
Докажем теперь, что
Прежде всего имеем
f
{ $
L'
flfv]ndx\=O.
A8.5)
A8.6)
поэтому достаточно доказать, что
lim
Но подынтегральное выражение равно нулю, если \fyj\ <^ п; поэтому, обозна-
обозначая через &п множество тех х, где |/ (х) у (х)| > п и, полагая &п = &п- Епу
имеем, во-первых,
и, во-вторых,
${fy-[fy>]n}dx
Но
а
$\гп-Фп\\у\с1х
и то, что каждый из этих интегралов есть о A), доказывается совершенно так
же, как это было сделано при оценке Ilt /2, /3. Итак, A8.6) доказано, а стало
быть, доказано и A8.5).
Соединяя A8.5) и A8.1), находим
f[fy>]ndx=-ffvdx + o
О О
2 _
откуда и следует, что (A) J / у их существует и
2я_
(A) J / (х
О
2л
dx = - J / (х) у (х) dx
О
и тогда теорема доказана.
Следствие. Для всякой суммируемой /(х) ее сопряженная А-ин-
тегрируема.
Действительно, достаточно положить \р (х) = 1; тогда у}(х) = 0 и, значит,
/(х) Л-интегрируема и ее (Л)-интеграл равен нулю.
Тот факт, что этот интеграл равен нулю, не должен нас удивлять. Мы
сейчас дадим ему объяснение.
Определение. Назовем рядом Фурье А такой тригонометрический
ряд, коэффициенты которого получают, отправляясь от А-интегрируемой
функции по формулам Фурье, где интегралы берутся в смысле Л-интегриро-
вания.

590 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Приняв такое определение, докажем, следуя Ульянову^, теорему*):
Теорема 3. Если f (х) ? L, то все интегралы
(A) ff(x) cos kxdx и (A) fj(x) sin kxdx (k = 0, 1,2, ...)
о о
имеют смыслу и ряд a(f) есть ряд Фурье А от функции /(х).
Действительно, по теореме 2, полагая ip (х) = cos foe, имеем у(х) = sin kx
и, значит,
(А) | / (х) cos kx dx = — | / (x) sin /ex dx = — n bk.
о о
Аналогично, полагая ip (x) = sin /ex, у (x) = — cos foe, имеем
2тг _ 2я
(Л) | / (х) sin foe dx = J" / (x) cos foe dx = naky
о о
откуда и следует справедливость теоремы.
Замечание 1. Так как в ряде a(f) свободный член равен нулю,
2я_
то этим и объясняется, что (A) J / (x) dx = 0, как мы уже отмечали выше.
В качестве следствия теоремы 3 можно снова получить теорему Смир-
Смирнова (§ 17).
Если /(х) и /(х) суммируемы, то
Это непосредственно вытекает из того, что когда функция суммируема,
она и (А)-интегрируема, причем ее А-интеграл совпадает с интегралом
Лебега. После этого остается только применить теорему 3.
В качестве другого следствия теоремы 3 укажем следующую теорему,
доказанную П. Л. Ульяновым**):
Теорема. Если тригонометрический ряд
~ + 2 ak cos foe + bk sin foe A8.7)
сходится к нулю почти всюду, но не всюду***), то его сопряженный ряд
2J — Ьк cos kx + ak sin kx A8.8)
не может быть рядом Фурье.
Действительно, если бы ряд A8.8) был рядом Фурье от некоторой /(х),
то мы имели бы
2я 2я
Ък= —-^ J/(x)cosfoedx; ak= -^ J /(x)sinfoe dx (k= 1, 2, ...). A8.9)
о о
Рассмотрим функцию /(х), сопряженную к /(х). Тогда ряд
00
— 2 ак cos к* + Ьк sin kx
к
*) Эта теорема упоминается Титчмаршем в его уже цитированной статье, но доказа-
доказательства он не дал.
**) Эта теорема пока нигде не опубликована.
***) Существование таких рядов будет доказано в § 12 главы XIV.

§ 19 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ДВУХ СОПРЯЖЕННЫХ РЯДОВ 591
должен суммироваться почти всюду методом Пуассона к /(х). Но ряд A8.7)
почти всюду сходится к нулю, значит и суммируется к нулю методом Пуас-
Пуассона, откуда следует, что
у — / (х) = 0 почти всюду,
т. е. /(х) = const. Но в силу теоремы 3 ряд A8.7) есть ряд Фурье А; поэтому
2л
-ак = -1(Л)| f(x)coskx dx=0
о
2л
— Ък= ——(A) f /~(x)sin/cx dx=O
71 J
Но ряд A8.7) сходится к нулю почти всюду, значит, и а0 = 0, а тогда ряд
A8.7) должен сходиться к нулю всюду, что противоречит нашей гипотезе.
Теорема доказана.
Замечание 2. Пользуясь А-интегралом, П. Л. Ульянов^] установил
еще ряд интересных свойств сопряженных функций. Так, например, мы знаем,
что для суммируемой функции /(х) пуассоновская сумма /(г, х) выражается
в виде
2[1 + r2-2rcos(t-x)] "
и
Покажем, что тогда для функции / (г, х), гармонически сопряженной с /(г, х),
имеем
о
Действительно, для этого достаточно заметить, что
2л
(см. глава I, § 54), а функции
р (г ич 1
0(г и=
+r2-2rcosu] ' Ч\Чи) i+r2_2rCosu
являются сопряженными, кроме того, они непрерывны; следовательно, мы
можем применить теорему 2, откуда сразу и вытекает справедливость A8.10).
Далее Ульянов показал, что подобно тому, как сопряженная функция
/(х) выражается через данную /(x)^L, можно и/(х) выразить через/(х),
пользуясь Л-интегралом. Об этом и других результатах П. J1. Ульянова
смД6'7].
§ 19. Равномерная сходимость двух сопряженных рядов
До сих пор мы изучали свойства / (х) по свойствам / (х). Теперь мы поста-
поставим вопрос: когда «хорошее» поведение a(f) влечет такое же поведение a(f)?
Здесь можно говорить о равномерной сходимости, о сходимости в метрике Z/,
о сходимости на множествах положительной меры и т. п.
Начнем с простейшего случая, именно с проблемы равномерной сходи-
сходимости. Здесь имеет место

592 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Теорема 1. Если / и f обе непрерывны и ряд Фурье от f сходится
равномерно, то и ряд Фурье от / сходится равномерно.
Для доказательства обозначим черезSn(x), an(x), Sn(x)nan(x) соответ-
соответственно частные суммы и фейеровские суммы рядов Фурье от / и /. Так как
для всякого ряда иг + и2+ ... + ип+ ... имеем
^ их + 2 и2 + . • • + пип
то, в частности,
п
2J k(—bk cos kx + аи sin kx)
sn (x) - дп (х) = ^ г-Г1 = =?!$>.
Пусть в>0задано. Выберем N столь большим, чтобы \Sn(x) — SN(x)\ <s
для всех х при и > N, что возможно ввиду равномерной сходимости ряда
a(f). Тогда в силу неравенства Бернштейна (см. Вводный материал, § 23)
имеем \S'n (х) — S'N (х)| < е п. Запишем ап (х) — Sn(x) в виде
an(x)-Sn(x)= S"W;^W+^ A9.1)
и возьмем п столь большим, чтобы второе слагаемое было по модулю <е.
Тогда
т. е. ап(х) — Sn(x) равномерно стремится к нулю. Но если f(x) непрерывна,
то ап(х) равномерно стремится к /(х), откуда и вытекает справедливость
теоремы.
Также доказывается, что если / и / ограничены и частные суммы ряда
от / ограничены в совокупности, то это справедливо и для /.
Действительно, если
1|
то по неравенству Бернштейна
\S'n(x)\<Cn,
а потому
Но из |/(х)| <^ М следует \дп (х)\ <С М, а тогда
Замечание. Если воспользоваться неравенством Привалова (см.
Добавления, § 19), тс можно перенести эту теорему с отрезка [0, 2я] на [а, й],
а именно доказать следующее.
Теорема 2. Если f(x) и f (х) непрерывны на некотором отрезке [а, Ь]
и a(f) сходится на [а, Ь] равномерно, то на любом отрезке [а', &'], целиком
лежащем внутри (а, 6), ряд а (/) сходится равномерно.
Доказательство проводят совершенно так же, как в теореме 1, только
вместо неравенства Бернштейна применяют неравенство Привалова; получим
\S'n(x)-S'N(x)\<Cen на (<Г,&'),
где константа С зависит только от а' и/. После этого доказательство закан-
заканчивается так же, потому что дп (х) -> / (х) равномерно на {а1, Ь').
Аналогично можно перенести на отрезок [а, Ь] результат, касающийся
частных сумм.

§ 20 СХОДИМОСТЬ В МЕТРИКЕ Lp 593
§ 20. Сходимость в метрике Lp
Мы хотим показать, что если / ? U (р > 1), то снова ряды оф и a(f)
ведут себя одинаково, а именно они оба сходятся в метрике Lp. Но для этого
надо будет предварительно оценить в этой метрике нормы частных сумм
рядов а (/) и а (/).
Прежде всего докажем теорему:
Теорема 1. Если f(x) ? LP (р > 1), то
где Вр — константа, зависящая только от р, а || ||р обозначает норму
в метрике Lp[0, 2тг].
Сначала мы будем оценивать норму не для Sn(x), а для функции
(x + t)^dt B0.1)
и уже потом перейдем к Sn(x\ пользуясь тем, что
+ lC0Sn/. B0.2)
sinln-f —
Так как
sin nt = sin n (/ + x) cos nx — cos n (t + x) sin nx,
то, подставляя это выражение в формулу B0.1), получим
Теперь, полагая
/i (x) = / W sin nx, /2 (x) = / (x) cos nx,
мы видим из формулы, определяющей сопряженную функцию, что
S* (х) = cos их Д (х) — sin nx /2 (x)
и, следовательно,
B0.3)
Отсюда
и по теореме М. Рисса (см. § 14)
где Ар зависит только от р.
Теперь заметим, что на основании B0.2)
я
S п(х) = S* (х) + ~ J / (х +1) cos nt dt. B0.4)
— л
Значит,
|||

594 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
ИМх)||р<Яр||
где Вр — константа, зависящая только от р.
Замечание. По теореме М. Рисса, если / ? Lp,to и / ? Lp, поэтому и
\Sn(x)\\P<Bf
р-
Кроме того, можно написать
т. е.
где Ср зависит только от р.
Заметим еще, что в предыдущих рассуждениях гипотеза р > 1 играла
существенную роль. Если /? L, но /? Lp (p > 1), то мы уже не можем
утверждать ограниченность ||Sn||i, так как в § 22 мы докажем, что сущест-
существует функция / (х) ? L, для которой
6Л
fiin J \Sn(x)\dx= + oo.
Вернемся к случаю р>1. Мы имеем теперь возможность доказать
теорему:
Теорема 2. Если f?Lpf р>1, то
S\f(x)-Sn(x)\pdx^O при п-->оо,
I \f(x)-Sn(x)\Pdx^O при п^оо.
— п
Чтобы убедиться в этом, напомним (см. глава I, § 28), что класс триго-
тригонометрических полиномов всюду плотен в пространстве Lp, т. е. для любого
s > 0 можно найти такой полином Т (х), что
(<j\f(x)-T(x)\rdxf<e.
—л
Если п превосходит порядок полинома Т (х), то п-я частная сумма ряда
о(Т), т. е. Sn(x, 7), совпадает с Т(х), а потому
Sn(x,f)-Sn(x,T) = Sn(x,f)-T(x)
при достаточно большом п. Но тогда
/ - Sn(x, /) = (/- Т) + (Т - Sn(f)) = f-T + Sn(T)- Sn(f) =
= f-T + Sn(T-f) B0.5)
при п достаточно большом.
Отсюда
Но по теореме 1
\\Sn(v)\\p<BP\\<P\\p
для любой <р ? LP, поэтому

§21 случай Р>1 595
а это и значит, что
f \f-Sn\pdx-+O при И-+ОО.
Так как f(x) — Sn(x) = f(x) — Sn(x), то по теореме М. Рисса сразу за-
заключаем
I \f(x) — Sn(x)\pdx^O при и-+оо,
и теорема 2 доказана.
Замечание. Интересно отметить, что если в тригонометрической
системе переставить члены, то теорема 2 теряет силу. Именно, как показал
Ульянов №\ можно построить далее непрерывную функцию /(х), у которой
ряд Фурье по тригонометрической системе с переставленными членами не
сходится в метрике Lp при любом р > 2.
§ 21. Случай р < 1
Здесь уже нельзя употреблять термин «метрика Lp», так как функции
класса Lp при р < 1 не образуют метрического пространства (аксиома тре-
треугольника не удовлетворена). Но все же можно для суммируемых функций
изучать вопрос о поведении
Докажем следующие теоремы.
Теорема 1. Если f(x)?L и 0 < р < 1, то
S\Sn(x)\pdx<Bp($\f(x)\dx)p
л л
где Вр — константа, зависящая только от р.
Мы будем пользоваться формулой (см. Вводный материал, § 10)
j|<P + ^|pdx< $\<p\pdx+ $\y\pdx (p<l).
— л —л — л
Применяя ее к функциям S% f1 и /2, рассмотренным в § 20, и пользуясь не-
неравенством B0.3), находим
J \S* (х; /) |" dx < J Ц (x) \p dx + f| /; (x) \Pdx. B1.1>
—л —л —л
Мы знаем (см. § 16), что два последних интеграла имеют смысл при всяком
р < 1, кроме того,
и аналогично для /2, где Ар зависит только от р. Вспоминая определение
/х и /2, мы видим, что из B1.2) вытекает
B1.3),

596 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
и аналогично для /2, что в силу B1.1) дает
f|S*(x,/)|^x<2Ap(j|/(x)|rfx)^. B1.4)
—я — я
Из неравенства B0.4) имеем
я
|Sn(*)l<|SS(*)H~J|/(OI<ff. B1-5)
— л
Из B1.4) и B1.5) заключаем
п п
—л —л
если положить Вр = 2Ар + 2я. Тогда Вр зависит только от р. Итак,
и это справедливо для любой / ? L и р < 1.
Первое утверждение теоремы доказано.
Перейдем к аналогичной оценке для \Sn(x)\p. Мы можем написать
cos -^- - cos
Г cos -^- - cos (п + — 11
=-^ /(x + 0?
2 sin —
0 —Ц- [1 — cos
2tgT
л
2
где через S% обозначен первый член правой части формулы B1.6). Из опре-
определения S* вытекает
л
SB(x)-/(x) = -J/(x + 0
—я
Замечая, что
cos nt = cos n (t + x) cos nx + sin n (/ + x) sin nx,
мы можем написать, сохраняя прежние обозначения,
<S*(x)—/(х) = cosnx/2(x)+sinnx/1(x).
Поэтому
Отсюда (см. 21.3)
f |S*(x)-/(x)|^rfx< f|/1|prfx+ f |72|ptfx<2Ap( f|/(x)|rfxV.

§21 случай Р>1 597
С другой стороны,
Л/(х)|^х<Лр( $\f(x)\dx)P.
—л -~л
Поэтому
Наконец, из формулы B1.6) заключаем, что
— л —л
если положить В'р = ЗАР + 2тг; при этом В'р зависит только отр, и это закан-
заканчивает доказательство теоремы.
Замечание. Так как в доказанных формулах числа Вр и Вр не
превосходят ЗАр + 2тг, а для Ар в § 16 была найдена оценка
А < С
где С — абсолютная константа, то такая же оценка справедлива и для
с с
чисел Вр:
где Сх — абсолютная константа; достаточно принять С2 > ЗС + 2тг. Эта
оценка была нами использована в § 11 главы V.
Теперь мы переходим к вопросу о поведении интегралов
JI/(x)-Sn(x)|'dx и U'tW-SnWdx.
—л —л
Имеем теорему:
Теорема 2. Если / (х) ? L и 0 < р < 1, то
lim J |/(x) — Sn(x)\Pdx = 0 и lim J|/(x) — Sn(x)\pdx = 0.
Прежде всего для любого е > 0 найдем такой тригонометрический по-
полином Т(х), что
J<e. B1.7)
—л
Положим j(x) = T (х) + R (х). Следовательно,
J|/?(jc)|dx<e. B1.8)
—л
Рассуждая, как и для случая р > 1 (см. формулу B0.5), найдем
\f-Sn(x,f)K\f-T\ + \Sn(x,T-f)\ = \R\ + \Sn(x,R)\ B1.9)
при л достаточно большом. Поэтому
$ \f (х) - Sn(x)\pdx*C j \R(x)\pdx + J \Sn(x,R)\Pdx<
л л л
$\R(x)\dxy B1.10)
—л —л
в силу теоремы 1.

598 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Пусть р' = ~, тогда р' > 1. Если -^ + -i- = 1, то
I \p-p' dxy ( J К dxf = B rc)*' ( j" | /? (x) | tfx)p <
71 —71 —Я Л
B1.11)
в силу (/' > 1 и B1.8). Но тогда из B1.10) и B1.11) находим
л
—я
и так как s произвольно, то
lim
П-+ со —Л
и первая половина теоремы доказана.
Чтобы получить вторую половину, заметим, что для того же тригоно-
тригонометрического полинома Т и при таком же п можно написать аналогично
B1.9)
|/(x)-Sn(x)|<|/ - Г| + \Sn{T - f)\ = \R\ + \Sn(R)\.
Отсюда
<J |^(x)|^x + J \Sn(R)\>dx,
Л Л
где все интегралы имеют смысл (потому что р < 1) даже и в том случае,
когда /, а значит, и R не принадлежит L. Но так как по теореме § 16
и по теореме 1 этого параграфа
то
и снова
Теорема полностью доказана.
§ 22. Проблема сходимости в метрике L
Мы видели в § 20, что если f?Lp(p> 1), то
f\f-Sn\>dx^O и f\f-Sn\>dx^O. B2.1)
—л —л
Аналогично для р < 1 оба эти утверждения имеют место, даже если только
f?L (см. § 21).

5 22
ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ В МЕТРИКЕ L
599
Возникает вопрос, должны ли мы иметь
B2.2)
т. е. справедливо ли B2.1) при р = 1?
На этот вопрос приходится дать отрицательный ответ; более того, ряд
a(f)может не сходиться в метрике L, даже если / ? L. Это показывает сле-
следующий пример Ф. Рисса*).
Пример Рисса. Рассмотрим вспомогательный многочлен
Рп (z) = 1A + г + г* + ... + z"-1J =
= l(l + 2z + 3z2+ ... +nzn~1 + (n- \)zn+ ... +z2"-2).
Так как |РП (*)!=*-
1 —z"
1 -z
, TO
1 I 1 - ein°
Л 1
B2.3)
В силу свойств феиеровского ядра имеем
1 /sin(n + l)—)
откуда сразу получаем
sin —
и i
B2.4)
С другой стороны, если мы обозначим через Qn(z) «кусок» многочлена
Pn(z), состоящий из первых п его членов, т. е.
то
| Qn (е») | = 111 + 2 в» + 3 е
...+
-1* \ = \ ~ "?
(к + 1) е
т \
Докажем, что при достаточно большом п
где С — абсолютная константа. Для этого заметим, что
*2 (к+1) ет = П2 (к + 1) (cos кв + i sin кв),
а потому
I <?-.(«¦)!>!
п~1
l)cosft0
21 к cos /с0 + — 2 cos /c0
/с=О п Л=*0
*) Этот пример приводит Зигмунд (Zygmundt9]), отмечая, что Ф. Рисе сообщил его
ему устно.

600 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Но если мы рассмотрим ряд
1 + cos в + cos 20 + ... + cos пв + ...
и обозначим через SnF) и опF) его частные и фейеровские суммы, то
Значит,
| Qn (eiG) | > | Sn-± @)-оп_г (в) + 1 S^
откуда
|<г„(е'вI>|5п
Но
sn@) =
где DnF) — ядро Дирихле, а
где
и
Кп (в) — ядро
Поэтому
О
Как известно,
Фейера.
2л
О
О
п
Г) /1
ип-1У
2я
2я
О
г(в)|1
Л
J|Kn_i@)|d0 — 2л. B2.5)
= я B2.6)
где Ln — так называемая константа Лебега (см. глава I, § 35). Но, как из-
известно,
а потому
2я
откуда, учитывая B2.5) и B2.6), находим
что и требовалось доказать.
Теперь возьмем последовательность положительных чисел ак, таких,
00
что 2 ак сходится, и построим ряд
/с== 1
/B)= 2 akz^Pnk{z)- B2-7)
Здесь {тк} и {пк}—натуральные числа, которые подбираем так, чтобы
тк+1^тк+2пк и ак\ппк->оо. B2.8)

§ 22 ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ В МЕТРИКЕ L 601
Первое из этих условий гарантирует то, что полиномы zmkPnk{z) «не пере-
перекрываются», т. е. для двух разных значений к никакие два полинома этого
вида не содержат одинаковых степеней 2. Обозначим через Т ряд, который
получится из B2.7), когда каждый одночлен, входящий в любой zmkPnk B),
рассматривается как отдельный член ряда, но их порядок сохраняется
прежним. Тогда ряд Т есть обычный степенной ряд, расположенный по воз-
возрастающим степеням г. Так как
/с—1
то из формулы B2.3) мы видим, что ряд B2.7) сходится на круге \z\ = 1
всюду, кроме точки 2=1. Кроме того,
f | / (reie) \dd < ? ak f\Pnk (re») | dO < ? ak f | Pnk {f) \ d6 =, 2 n ? ak
0 k=l о ^=1 6 Л=1
в силу A0.2) и B2.4), а потому функция/(г) принадлежит классу Н1 (см..
§10). Следовательно, по теореме 3 § 10 действительная и мнимая части ряда
Т являются рядами Фурье от некоторых^ @) и /2@), причем /2@) = f1F)~
Пусть 5?° (в) и S (п2) (в) — частные суммы этих рядов. Если бы мы имели
¦> 0 B2.9)
+ 0, B2 10)
и
то отсюда
0
а также
1'.
0
а тогда и
следовало
бы
2л
0
0
@)| d
(в)|а
( (^^ _ ?B> @)
0^»-О при
f^^^O при
где SnF)— частные суммы ряда Т.
Однако, если выбрать пит так, чтобы разностьSmF) — SnF) предста-
представляла собой «кусок» ряда, определяемый полиномом akeit7lk6 Qnk(eie), то
а потому
T\Sm(O)-Sn(O)\ dO = ak2S\Qne(e»)\ dO>Caklnnk^oo B2.11)
о о
при к -> оо в силу B2.8).
Следовательно, по крайней мере одно из соотношений B2.9) и B2.10) не
имеет места, хотя /х ? L и /2 ? L, причем f2 (в) = /х @). Наше предложение
доказано.
Замечание 1. П. Л. Ульянов t12] отметил, что если в тригонометри-
тригонометрической системе переставлять члены, то можно даже построить функцию
класса LP При всех р < 2, для которой ряд Фурье в метрике L не сходится*
Вернемся к обычной тригонометрической системе.

602 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
Мы убедились, что существует такая f (x) ? L, что f(x) ? L, и, одна-
однако, либо
Однако можно утверждать больше, а именно: для рассматриваемой функции
f(x) оба эти соотношения выполнены одновременно. Это сразу станет ясным,
если мы докажем теорему.
Теорема 1. Пусть f (x) ? L и f(x) ? L; если
S]f(x)-Sn(x)\dx-,O, B2.12)
о
то и
f\f(x)-Sn(x)\dx-+O.
о
Пусть г > 0. Выберем N столь большим, чтобы
2л
J \Sn(x)-SN(x)\dx<s для n>N,
что возможно в силу B2.12). На основании неравенства Бернштеина в мет-
метрике L (см. Добавления, § 18) получаем
f\S'n(x) - S'N(x)\dx < 2sn . B2.13)
о
Но по формуле A9.1)
- Sn(x)| < \Щ^Ш + №Ш. B2.14)
Поскольку N фиксировано, мы можем взять п столь большим, чтобы
1|^<г, B2.15)
а тогда в силу B2.13), B2.14) и B2.15)
ГI *n(x) ~~Sn(x) | <**< 2е + 2^ = B
о
откуда следует, что
2f|an(x)-Sn(x)|dx^0. B2.16)
о
Но, с другой стороны (см. глава I, § 60), имеем для любой суммируе-
суммируемой ф(х)
]\on(x,<p)-<p{x)\dx-+0,
О
откуда в силу гипотезы /(Lh теоремы Смирнова
f\dn(x)-f(x)\dx-*O. B2.17)
о
Из B2.16) и B2.17) заключаем
f\Sn(x)-Hx)\dx-+O,
О
и теорема доказана.
Замечание 2. Здесь также можно вместо отрезка [0, 2п] рас-
рассмотреть отрезок [а, Ь]. Имеет место

§ 22 ПРОБЛЕМА СХОДИМОСТИ В МЕТРИКЕ L 603
Теорема 2. Пусть f(x) ? L и / (х) ? L. Если
JI/(*)-Sn(*)|*c-Of
а
/ля на любом (а', Ь'), лежащем строго внутри (а, &),
Доказательство протекает слово в слово, если только неравенство Берн-
штейна в метрике L заменить неравенством Привалова в той же метрике
(см. Добавления, § 19).
Аналогично теореме 1 доказывается
Теорема 3. Если /(х) ? L, / (х) ? L и
2\\Sn{x)\dx<C (п= 1,2, ...), B2.18)
6
то и
f|Sn(x)|dx<C1 (л =1,2,...) B2.19)
6
(для некоторой новой константы CJ.
Действительно, применяя неравенство Бернштейна для пространства
L, видим, что из B2.18) следует
а потому
|an(x)-Sn(x
откуда
f|Sn(x)|dx<2C.2*+ 2(\an(x)\dx.
6 6
Но мы предположили, что / (х) ? L, а тогда
6
где К — некоторая константа (см. глава I, § 60), а потому, полагая Сг =
= К + 4яС, видим, что B2.19) доказано.
Замечание 3. Перенос этой теоремы с отрезка [0, 2п] на отрезок
[а, Ь] совершается в точности, как в теореме 2, т. е. с заменой неравенства
Бернштейна в метрике L на неравенство Привалова в той же метрике.
Наконец, отметим, что_неравенства B2.18) и B2.19) вовсе не должны
иметь места, когда /(х)и/(х) суммируемы, т. е. можно построить такую
/(x)?L, что /(x)^L, и, однако,
fim f|Sn(x)|dx= + oo и Urn f|Sn(x)|dx= + оо. B2.20)
В самом деле, если хоть один из пределов, входящих в B2.20), был бы
конечен, то и второй тоже по теореме 3. Но тогда имели бы
2(\Sm(x)-Sn(x)\dx<C и f\Sm(x)-Sn(x)\dx<C B2.21)
6 6
для любых /лип, где С постоянное. Однако в примере Ф. Рисса по крайней
мере одно из неравенств B2.21) не имеет места.

604 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
§ 23. Сходимость сопряженных рядов на множестве
положительной меры
Сейчас мы докажем одну общую теорему, которая, в частности, позво-
позволяет судить о сходимости дф на множестве положительной меры по сходи-
сходимости с;(/) на таком множестве.
Теорема Кутнера*). Если тригонометрический ряд
СО
-j + J? an cos nx + bn sin nx B3.1)
сходится на множестве Е, тЕ > 0, а его сопряженный ряд
— J?bn cos nx — ап sin nx B3.2)
суммируем (С, I) на Е, то ряд B3.2) сходится почти всюду на Е.
Доказательство. Полагая
Вп (х) = — Ъп cos nx + an sin nx,
на основании теоремы 2 § 12 главы VII мы можем утверждать, что {пВп(х)}
суммируется (С, 1) к нулю почти всюду на Я, т. е. почти всюду на Е
Б1(х) + 2Б2(х)+... + п Вп (х) п п~ ~.
С другой стороны, в силу условий теоремы, полагая
имеем
lW-r 2W-r---+ п^х;_^^х^ почти всюду на Я,
где через а(х) обозначается чезаровская сумма ряда B3.2). Это условие
можно переписать в виде
п в, (х) + (л - 1) в2 (х) + ...+Д„(:
п
Складывая B3.3) и B3.4), находим
¦а(х). B3.4)
почти всюду на Я, т. е.
ИЛИ
Sn(x)-**(*)
почти всюду на Е и, значит, теорема доказана.
Поскольку всякий ряд a(f) суммируем (С, 1) почти всюду на [—пуп]
(§5), из этой теоремы, в частности, будет вытекать
Следствие. Если ряд а (/) сходится на Я, тЕ > 0, то ряд а (/) схо-
сходится почти всюду на Е.
Замечание 1. Теорема Кутнера есть частный случай гораздо
более общей теоремы Плесснера, которая будет сформулирована ниже.
*) См. KuttnerW.

§ 23 СХОДИМОСТЬ СОПРЯЖЕННЫХ РЯДОВ 605
Эта последняя опирается на очень глубокие факты, касающиеся граничных
свойств аналитических функций. Поэтому нам казалось целесообразным
дать прямое доказательство теоремы Кутнера, которое, как мы видели, про-
проводится, основываясь лишь на методах теории функций действительного
переменного.
Прежде чем формулировать теорему Плесснера, докажем одну важ-
важную теорему, касающуюся метода суммирования А* (см. Вводный мате-
материал, § 7).
Теорема. Если тригонометрический ряд суммируем методом А*
на множестве Я, тЕ > 0, то его сопряженный суммируем методом А*
почти всюду на Я.
Нам придется опираться на теорему Привалова *). Пусть F(z) голоморф-
голоморфна внутри круга; пусть Е лежит на окружности и тЕ > 0. Если действи-
действительная часть F(z) стремится к некоторым конечным предельным значениям
каждый раз, как г -> z0 ? Е по любому некасательному пути, то и мнимая
часть F(z) стремится к конечным предельным значениям по всем некаса-
некасательным путям для почти всех точек z0 ? Е.
Полагая
F(z)= 2cnz"
и сп = ап — ibny мы видим, что теорема Привалова может быть сформулиро-
сформулирована так: если
и (Г,0)= f + j? (an cos пв + bn sin пв) rn
77 = 1
стремится к определенным предельным значениям, когда (г, б)-^A,б0) по
некасательным путям, айо( Я, то почти для всех точек в0 ? Е и
v(r,O)= — % (bn cos пв - ап sin пв) гп
/7 = 1
стремится к определенным предельным значениям, когда (г, в) -> A, б0) по
некасательным путям.
Но из определения метода Л* тогда сразу следует, что если мы потребо-
потребовали, чтобы ряд
~ + J5? ап cos пх + bn sin nx
77 = 1
был суммируем Л*, то и ряд
— 2 bn cos пх — ап sin nx
будет суммироваться А*, а это и надо было доказать.
Теперь мы можем доказать следующее весьма общее предложение**):
Теорема Плесснера И. Если тригонометрический ряд сходится
на множестве Я, тЕ > 0, то его сопряженный сходится на этом множестве
почти всюду.
*) В таком виде теорема была сформулирована и доказана И. И. Приваловым в его
диссертации [М.Ш]; (см. также [МЛ9]? глава IV, § 20). В новом издании книги Привалова
[М.19] эта теорема (и даже несколько более общая) получается как следствие теоремы
Плесснера (см. [М.19], стр. 303).
**) Эта теорема независимо от А. И. Плесснера была доказана Зигмундом и Марцин-
кевичем (Marcinkiewicz and ZygmundW).

606 СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ГЛ. VIII
В § 11 главы VII было доказано, что если ряд Т сходится на Е, то он
усиленно сходится почти всюду на Е; кроме того, в силу теоремы § 7 Ввод-
Вводного материала он суммируется методом А* всюду на Е. В силу теоремы,
которую мы только что доказали, его сопряженный ряд Т суммируется
методом А* почти всюду на Е, а значит, и подавно почти всюду на Е ряд Т
суммируется обычным методом Абеля.
С другой стороны, по теореме 2 § 12 главы VII
{п (bn cos пх — ап sin пх)}
суммируется (С, 1) к нулю почти всюду. На основании теоремы 2 § 12 Добав-
Добавлений наличие этого условия и суммируемости ряда Т методом Абеля к
некоторой точке влечет сходимость ряда Т в этой точке. Следовательно, почти
всюду на Е ряд Т сходится и теорема доказана.
Замечание 2. Эта теорема особенно интересна потому, что здесь
речь идет о тригонометрических рядах самого общего вида. Авторы, изучав-
изучавшие ранее поведение сопряженного ряда по поведению данного, обычно
предполагали, что речь идет о рядах Фурье или хотя бы что наблюдаются
некоторые свойства, которыми ряд Фурье заведомо обладает (как, например,
в теореме Кутнера — суммируемость (С, 1) для сопряженного ряда). В тео-
теореме Плесснера никаких ограничений нет.
Следует еще отметить, что эта теорема сохраняет силу, если вместо схо-
сходимости ряда Т на Е предполагать его суммируемость (С, .1) (или даже
(С, а) при а ^> 0), тогда это же имеет место почти всюду на Е для ряда 7\
Мы не будем давать здесь доказательства этих теорем.
Замечание 3. Ф. В. Широков М решал вопрос, нельзя ли обобщить
теоремы Кутнера и Плесснера, рассмотрев вместо последовательностей част-
частных сумм рядов Т и Т подпоследовательности таких сумм. Точнее: пусть
п1<Сп2<С ... <Спк<С ... — последовательность натуральных чисел. Если
для частных cyMMSn(x) ряда Т предел Snk (х) существует на Е, тпЕ > 0, та
будет ли это верно для Snk (x) почти всюду на Е?
Оказывается, что если ввести гипотезу Кутнера, то ответ положителен,,
а без этой гипотезы (как в теореме Плесснера) этого уже нет. Именно
Ф. В. Широков доказал: если lim Snk(x) существует на Е и Т сумми-
/?-*оо
руем (С, 1) на Е, то lim Snk(x) существует почти всюду на Е.
Если же не делать никаких дополнительных гипотез, то можно так
подобрать ряды Т и Т и последовательность {пк}, что lim Snk(x) существует
почти всюду на [—я-, я], a lim Srik{x) не существует также почти всюду на
[—71, Я].
В примере, построенном Ф. В. Широковым, последовательность пк стре-
стремится к бесконечности очень быстро, именно так, что
ft-
Вопрос о том, не может ли теорема Плесснера быть перенесена на слу-
случай последовательностей {пк}, стремящихся к бесконечности достаточно
медленно, остается открытым.
Замечание 4. Из примера Ф. В. Широкова следует, что теорема
Плесснера, Зигмунда и Марцинкевича не может быть перенесена со случая
сходимости на случай суммируемости произвольным методом Теплица.

ГЛАВА IX
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
§ 1. Введение
Мы знаем (см. глава I, § 61), что если тригонометрический ряд
^? ancosnx +¦ bnsmnx A.1)
сходится абсолютно на множестве положительной меры, то
и тогда ряд A.1) сходится абсолютно всюду. В таком случае ряд A.1) заве-
заведомо является рядом Фурье. Таким образом, если ряд A.1) не есть ряд
Фурье, то он может сходиться абсолютно только на множестве меры нуль.
Вопросы, связанные с абсолютной сходимостью общих тригонометрических
рядов, мы будем рассматривать в главе XIII. Здесь же мы специально хотим
изучать ряды Фурье.
Прежде всего мы указываем ряд достаточных условий для абсолютной
сходимости (§§2 и 3). Эти условия такого характера: для всех функций,
имеющих модуль непрерывности, достаточно быстро стремящийся к нулю,
или наилучшие приближения, достаточно быстро стремящиеся к нулю,
можно гарантировать абсолютную сходимость ряда Фурье. В § 4 рассматри-
рассматривается вопрос о том, в какой мере найденные условия являются необходи-
необходимыми. При этом выясняется, что снизить найденные оценки для модуля
непрерывности или для наилучших приближений нельзя, если говорить о
целом классе функций; но эти результаты не могут считаться исчерпываю-
исчерпывающими вопрос, когда речь идет об индивидуально заданной функции. Как
видно из § 5, вообще нельзя ожидать, чтобы этот последний вопрос мог
решаться путем рассмотрения скорости убывания модуля непрерывности,
так как у двух функций с одинаковым модулем непрерывности ряды Фурье
могут себя вести по-разному в проблеме абсолютной сходимости. Возникает
поэтому вопрос о критериях, которые годились бы для индивидуально за-
заданной функции. Такие критерии мы указываем в §§ б, 7 и 8. Критерий
Рисса имеет то достоинство, что он формулируется для лк^бой функции;
однако практически его применить пока удается лишь в тех случаях, когда
проблема решается и без него. Критерий Стечкина также носит общий
характер, но практически применим лишь в очень простых случаях. Кри-
Критерий Шилова относится лишь к функциям, удовлетворяющим некоторым
ограничительным условиям, но зато может быть практически использован.
В § 9 мы изучаем те операции, которые не выводят нас из класса функций с
абсолютно сходящимися рядами Фурье. Этот же вопрос исследуется в § 1L

608 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
В § 10 показывается, что абсолютная сходимость, в противоположность
обычной, не является локальным свойством.
В § 12 указывается, как можно обобщить проблему абсолютной сходи-
сходимости (например, рассматривая сходимость ? \ап\р + \Ьп\в9 где /? > 0 задано,
или изучая, когда сходится
2\а-пк\ + \Ъгъ\,
где {пк}—некоторая последовательность натуральных чисел).
Мы не включили в эту главу тех случаев, где можно утверждать абсо-
абсолютную сходимость ряда Фурье, опираясь на то, что он лакунарный или с
монотонными коэффициентами (о чем будет идти речь в соответствующих
главах).
§ 2. Достаточные условия в терминах модулей непрерывности
и наилучших приближений
Мы знаем, что если функция / (х) «достаточно хорошая», то ее ряд Фурье
•сходится абсолютно. Например, это имеет место, когда f(x) абсолютно не-
непрерывна, а ее производная /' (х) есть функция с интегрируемым квадратом
(см. глава I, § 26).
Сейчас мы укажем другие, гораздо более широкие достаточные при-
признаки для того, чтобы ряд Фурье был абсолютно сходящимся.
Прежде всего отметим, что одной из первых теорем в этом направле-
направлении была
Теорема 1 Б е р н ш т е й н а И. Если f (x) удовлетворяет условию
Липшица порядка а, где а >у, то ее ряд Фурье сходится абсолютно *).
Мы не будем давать доказательства этой теоремы 1, так как она выте-
вытекает как следствие из других более общих результатов. Сам С. Н. Берн-
штейн позже доказал еще две теоремы об абсолютной сходимости рядов
Фурье, а именно:
Теорема 2 Бернштейна И. Если со (<3, /) есть модуль непре-
непрерывности функции f(x) и если ряд
схооится, то ряд Фурье для f(x) сходится абсолютно.
Теорема 3 Бернштейна И. Если Еп (/) есть наилучшее при-
приближение f (x) тригонометрическими полиномами порядка не выше п} то из
сходимости ряда
^ En(f)
следует абсолютная сходимость ряда Фурье для f(x).
Заметим, что теорема 1 сразу следует из теоремы 2, так как если f(x)
удовлетворяет условию Липшица порядка а>^-, то
*) С. Н. Бернштейн доказал также, что если а ^ — , то можно построить / (х), удо-
удовлетворяющую условию Липшица порядка а, причем а (/) не является абсолютно схо-
сходящимся.

\ 2 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ТЕРМИНАХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ 609
и, значит,
2 -V- = о
ряд сходится.
а при а > у
В свою очередь теоремы 2 и 3 могут быть получены из теорем, доказан-
доказанных позднее Сасом (Szasz Щ и Стечкиным^.
Теорема Саса. Если с№ (<3, /) есть квадратический модуль непре-
непрерывности для /(х), т. е.
а><8> (<$,/) = sup " 2
то сходимость ряда
2- -
п=\ \П
влечет абсолютную сходимость ряда Фурье от {(х).
Теорема Стечкина. Если Е^(/) есть наилучшее приближение
f(x) no норме L2, т. е.
/по сходимость ряда
$[f(x)-T(x)]*dx\ ,
77=1
влечет абсолютную сходимость ряда Фурье для / (х).
Мы докажем сейчас обе эти теоремы методом, предложенным С. Б. Стеч-
киным, а потом поясним, почему отсюда вытекают теоремы 2 и 3 С. Н„ Берн-
штейна.
Имеем
cos пх + bn sin
Тогда
n = \
f(x + К) — f(x — h) ~ 2 ^ (bn cos nx — an sin nx) sin nh.
В силу равенства Парсеваля отсюда
~ ^[f(x + h)-f(x-h)Lx^4
in*
п=1
= 4 ^ е* sin
п=1
где eS = flJ + &S-
Проинтегрируем обе части этого равенства по h в пределах @, -— J ,
получим
k=\
I s
J
sm*khdh.
B.1)

610 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Заметим теперь, что, полагая kh = /, имеем
- к-
п п
J sin2kh dh = у j sin2/d/.
о о
При заданном к выберем целое I так, чтобы
^ п
Тогда
к-
п
0
Следовательно,
если /с^
1л
0
^ /t, 1 . С. t ^
г 1, то
/
? 1
я
0
1 ^
1
, а
2л(/+1)
потому
B.2)
Так как в правой части формулы B.1) все члены неотрицательны, то иа
B.1) и B.2) находим
Л-i- ( [f(x + h) — f(x-h)]2dx dh^A^ql ( si _
J fc=n J " k^n
[) -n 0
Отсюда
Л~Г1 О -л
Но в силу определения соB> E, /) имеем для О <С h
л
{ j[f(x + h)-f(x-h)]*t
—л
а потому
т. е., полагая
мы имеем
где С постоянно (см. Вводный материал, § 25).
Отсюда сразу вытекает, что если выполнены условия теоремы Саса^
то сходится ряд
00 ,
Пг #
П

§2 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ В ТЕРМИНАХ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ 611
Докажем, что отсюда вытекает сходимость ряда ^^„.Действительно,
мы можем написать
/с=1 к=\ п=1 п = 1 к=п
т}[?
=п к=п п=1 r n=\
где В — постоянно, значит, доказана сходимость
а это и означает абсолютную сходимость ряда Фурье для /(х).
Итак, теорема Саса доказана. Что касается* теоремы Стечкина, то ее
можно получить сразу из следующего замечания. Как известно, среди всех
тригонометрических полиномов порядка не выше п наименьшее значение
для интеграла
дает полином Тп (х) = Sn(x), т.е. сумма п первых членов ряда Фурье для
/(х). Значит,
E%(f)={jjf(x)-Sn(x)]*dxf.
Но в силу равенства Парсеваля
1 J [f(x)-Sn (x)p dx = i a\ + bl == i й = гп+1.
Поэтому
и сходимость 2 Епу- влечет сходимость 2! l/^^1 , а значит, и 2^Утр
тогда, как мы видели, ряд Фурье от f(x) сходится абсолютно.
Итак, теоремы Саса и Стечкина доказаны. Покажем теперь, что из них
можно вывести обе теоремы С* Н. Бернштейна. В самом деле, прежде всего
заметим, что так как
при 0 <; h <^ <3, то
а потому сходимость 2 ^=~^ немедленно влечет
а значит, и абсолютную сходимость ряда Фурье для f(x) по теореме Саса.
Совершенно также теорему 3 С. Н. Бернштейна можно вывести из
теоремы С. Б. Стечкина. Для этого заметим, что если Т* (х) тот тригономет-

612 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
рический полином порядка и, который дает для /(х) наилучшее приближе-
приближение, то
?„(/)= max |/(х)-Г*(х)|.
Поэтому для него
( J [f(x)-T*(x)]*dxf<rj2nEn(f).
Но так как
?<?> (/) = min { J [/ (х)-Tn{x)Y dxf,
ТО
а потому сходимость
у, Еп (/)
влечет сходимость V -^Ц, а значит, и абсолютную сходимость ряда а (/).
Замечание 1. Можно было бы вместо разности / (х + ft) — / (х—ft)
рассматривать / (х + ft) + / (х — h) — 2 / (х) и, полагая
со*(<5,/)= sup { J
W2 --,;
доказать совершенно так же, что 2 —h=— < + °° влечет абсолютную
сходимость ряда Фурье для /(х). В самом деле, так как
/ (х + ft) + / (х — Л) — 2 / (х) ~ — 4 J5? (ап cos пх + bn sin nx) sin2 п -~ ,
то
и совершенно так же, как при доказательстве теоремы Саса, мы убеждаемся,
что .^ дп < + оо (так как рассуждение с sin41 то же, что и с sin2 f).
Как следствие получаем: если со|(<5, /) = о(д), то уже во всяком случае
ряд Фурье от /(х) сходится абсолютно; значит, это имеет место, если
равномерно относительно х.
Таким образом мы, в частности, доказали, что у всякой равномерно
гладкой функции ряд Фурье сходится абсолютно (определение гладкости
и равномерной гладкости было дано в § 66 главы I).
Замечание 2*). Отметим, что обе теоремы Бернштейна эквивалент-
эквивалентны, а также эквивалентны теоремы Саса и Стечкина. Это значит, что каждый
раз, как выполняется признак, входящий в одну из теорем Бернштейна,
выполняется и признак, входящий в другую его теорему — и это же имеет
*) Это замечание принадлежит С. Б. Стечкину.

§ 3 СЛУЧАЙ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 613
место по отношению к теоремам Саса и Стечкина. В самом деле, в силу из-
известной теоремы Джексона (см. Добавления, § 7) имеем
B.з)
где С—постоянное; кроме того, Стечкин доказал, что имеем аналогично
^2)(/)<С^)A,/). B.4)
В той же работе Стечкин доказал *), что
B.6)
Л:=0
а также
к—О
Покажем, что если ип и vn неотрицательны и монотонно убывают с ро-
ростом я, то из неравенства
un<Cvn B.7)
и
vn<C~"j?uk, B.8)
где С — постоянно, следует одновременная сходимость или расходимость
рядов 2^-^ и У~ . Действительно, сходимость 2J -^тривиально следует из
2.7) и сходимости 2 ~^- С другой стороны, в силу B.8)
\п
и, следовательно, сходимость 2-^- влечет ^-^=< + °°- Этим сразу доказы-
]/к \'к
ваются оба сформулированных выше утверждения.
§ 3. Случай функций с ограниченным изменением
Если предполагать, что f(x) имеет ограниченное изменение, то от ее
модуля непрерывности можно требовать значительно меньше. Именно имеет
место следующая теорема Зигмунда**), которую мы также выведем из теоре-
теоремы Саса:
*) Неравенство там написано иначе, а именно
это расхождение в индексах объясняется тем, что Стечкин обозначал через Еп (/) наилучшее
приближение / (х) тригонометрическими полиномами порядка ^ п— 1, а не я, как это
сделано у всех остальных авторов, и, в частности, в этой книге.
**) Зигмунд (Zygmundt4!) доказал абсолютную сходимость а (/), предполагая, что /
имеет ограниченное изменение и со (б, /) = О I _ I . Утверждение, сформулированное
в тексте, делает Салем (Salem!8!) и говорит, что из результата Зигмунда оно вытекает
сразу.

614 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Если /(х) имеет ограниченное изменение и
— .. < + °° >
то a(f) сходится абсолютно.
Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, заметим прежде всего,
что если
(<»,/)= sup f\f(x + h)-f(x)\dx, C.1)
о
то для /(х) с ограниченным изменением
ют (д, f) = O (д) C.2)
(см. Вводный материал, § 25).
Заметим теперь, что если 0 <^ h ^ <5, то из
|[/(х+Л)-/(х-Л)]^х<тах|/(х + ЛЬ/(х~Л)|||/(х + Л)-/(х-
—я —я^Х^я —я
^тах{|/(х + h) —
сразу следует
т. е.
а>™(д,
а потому для f(x) с ограниченньш изменением
и, значит, если
сходится, то сходится и
1л '
а тогда применима теорема Саса.
Следствие 1. Если f(x) имеет ограниченное изменение и удовлет-
удовлетворяет условию Липшица порядка а > 0, то ее ряд Фурье сходится абсо-
абсолютно (см. Zygmund t4]).
Действительно, в этом случае со (<5, /) = О (<5а), поэтому
2-7Г.
Отсюда в свою очередь нетрудно вывести

§3 СЛУЧАЙ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 615
Следствие 2. Если f(х) абсолютно непрерывна и ее производная
/' (х) принадлежит Lp (р > 1), то ряд Фурье от f (x) сходится абсолютно *).
В самом деле, обозначая через q число, удовлетворяющее условию
_ -| = 1, имеем по неравенству Гельдера для h ^> О
x + h
x+h
1
- /х+Л
J" /'(О* < J
(и для ft < 0 то же самое рассуждение). Отсюда видно, что /(х) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица порядка —, но, кроме того, она имеет ограниченное
изменение, значит, ее ряд Фурье сходится абсолютно.
Доказанную в следствии 2 теорему можно было бы также получить из
следующего более общего результата:
Теорема 1._ Если /(х) абсолютно непрерывна, а у ее производной
f (х) сопряженная /' (х) суммируема, то а (/) сходится абсолютно.
В самом деле, если/г(х) суммируема, то/(х) абсолютно непрерывна, а
тогда применимо следствие теоремы М. и Ф. Рисса (см. § 12 гл. VIII).
В интересующем нас случае /' (х) ? LP, значит, по теореме Рисса и /' (х) ?
€ Lp (см. гл. VIII, § 14), т. е. /'(х) заведомо суммируема.
Укажем еще один признак абсолютной сходимости.
Теорема 2. Если f(x) абсолютно непрерывна и для ее производной
ср(х) имеем \q>(x)\ ln+|9?(x)| $ L, то a(f) абсолютно сходится.
Действительно, по теореме Зигмунда (см. гл. VIII, § 15), тогда ^(х) $
? L, а значит, мы находимся в условиях теоремы 1.
Замечание. В предыдущих теоремах мы рассматривали абсолютно
непрерывные функции, но налагали еще те или иные ограничения на их
производные. Возникает вопрос: действительно ли это необходимо и не будет
ли одна абсолютная непрерывность гарантировать абсолютную сходимость
с(/)? Ответ на этот вопрос является отрицательным. Более того:
Существует абсолютно непрерывная f (x), у которой а (/) не имеет ни
одной точки абсолютной сходимости. Доказательство этого утверждения
базируется на следующей лемме:
Лемма. Пусть числа ап^0 удовлетворяют условиям:
1) 2^«п=+оо,
2) о» I О,
3)
Тогда можно построить тригонометрический ряд с коэффициентами,
удовлетворяющими условию
сходящийся равномерно на [—п, п], но не сходящийся абсолютно ни в одной
точке этого отрезка.
Для построения такого примера рассмотрим сначала ряд
00
*) Случай р = 2 был уже рассмотрен в главе I, § 26.

616 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Он сходится равномерно, в силу условий 2) и 3) по теореме § 30 главы I.
Поэтому ряды
2ап sin п (х + у) и J^X sin n (х — ~
сходятся равномерно, а стало быть, и их полуразность, т. е. тригонометри-
тригонометрический ряд
~2 ^ о-п sm nix + у I — sin nix — у I = ^ancos nxsmn-j,
сходится равномерно. Но так как
sm у = sm 2 у = -^, sm 3 у = 0,
.я . - л 1/3 . ~ я: л
sm4 у = sm 5 у = — у, sm б у = 0,
то мы имеем дело с рядом
УЗ
—- (ах cos х + а2 cos 2 х — а4 cos 4 х — а5 cos 5 х + . ..).
Докажем, что он не может сходиться абсолютно ни в одной точке.
С этой целью заметим прежде всего, что если бы он оказался абсолютно схо-
сходящимся в некоторой точке х0, то сходились бы ряды
«11 cos х0 | + а4 | cos 4х0 \ + ... + o^+m \ cos A + 3 к)х0 | + ...
и
а21 ccs2xo| + а5 | cos 5 х0 | + ... + а.2+як \ cos B + 3 к) х01 + ...
Докажем, что это возможно только при сходимости рядов
J^ а1+3/с И ^ а2+3к •
В самом деле, если х0 ^ 0 (mod л;), то последнее утверждение очевидно.
Пусть х0 ф 0 (mod тс). Имеем в силу ап ф О
cos A + 3 к) х0 | + а4+3/с | cos D + 3 к) х01 >
[cos2(l + 3ft) x0 + cos2D + 3k)x0] =
^[1 +cosB + 6/c)xo+ I +cos(8 + 6ft)*o] =
= а4+з/с t1 + cos E + 6/c)x0cos3x0]^a4+3it[l — jcos3xo|] .
Пусть хофу (mod тс); тогда 1 — [cos 3xo| = у ф 0. Поэтому
+ T 2 «l+3fc| COS A + 3 ft) X0 |< + со .
ft=O

§3 СЛУЧАЙ ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 617
Итак, ? ai+3k < + °°- Совершенно так же, если х0 ф у (mod л)у доказы-
00
вается сходимость ряда 2 а<>+зк- В силу ап { 0 тогда и ? азк < + °°> по~
к=0
этому 2! ап < + °°, а это противоречит условию 2) нашей леммы.
Итак, осталось рассмотреть только случай х0 = у (mod тс). Но при
х0 = у имеем cos х0 = у, cos 2х0 = —у, cos 4х0 = —у, cos 5х0 =у, по-
поэтому наш ряд принимает вид
~4 К - а2 + Ч — «5 + «7 - «8 + • • • ]
и если бы он сходился абсолютно, это снова влекло бы
Отсюда следует окончательно, что ряд
ах cos х + а2 cos 2 х — а4 cos 4 х — а5 cos 5 х + ...
сходится равномерно, не сходится абсолютно ни в одной точке и, наконец,,
обозначая его коэффициенты через ап, имеем
Лемма доказана полностью.
Вернемся к сформулированной теореме. Рассмотрим функцию
/(*)= У^^. C.3)
В § 30 главы I было доказано, что ряд
" cos пх
^ In п
п=2
есть ряд Фурье. Поэтому после его почленного интегрирования получится
ряд C.3), который будет ог(/), где /(х) абсолютно непрерывна (см. гл. I,
§ 40). Значит, и функция
абсолютно непрерывна. Но ее рядом Фурье будет ряд
и, полагая ап = —г-—для п = 2, 3, ..., мы видим, как при доказательстве
леммы, что этот ряд не имеет точек, абсолютной сходимости.
Наше утверждение доказано.
Предыдущий пример показывает, что если /(х) с ограниченным изме-
изменением (и даже абсолютно непрерывна), то ее ряд Фурье не должен

618 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
сходиться абсолютно. Мы знаем, что он сходится абсолютно, если, кроме
условия ограниченности изменения, добавить требование
/;
I/»!1,/]
/1=1 п
Мы не знаем примера, который показывал бы точность этой теоремы.
Отметим только, что Салемом (Salem ОД) построен пример функции с огра-
ограниченным изменением, у которой ряд Фурье не является абсолютно сходя-
сходящимся, но
где г > 0 любое. Однако более точного примера пока не найдено.
§ 4. Необходимые условия
До сих пор мы рассматривали лишь достаточные условия для того,
чтобы заданная функция имела абсолютно сходящийся ряд Фурье. Поста-
Поставим теперь вопрос, насколько введенные условия необходимы. Первые
результаты в этом направлении принадлежат С. Н. Бернштейну И. Он
доказал следующее предложение:
Теорема 1. Пусть Еп — произвольная последовательность поло-
положительных чисел, для которой
§
n=i *n
Тогда можно найти такую непрерывную /(х), что для ее наилучших
приближений имеем
En(f)<E'n
и, однако, ряд Фурье от f (x) не является абсолютно сходящимся.
Поясним сначала идею доказательства. Она принадлежит С. Н. Берн-
Бернштейну и основана на следующей лемме:
Лемма Бернштейна. Для любого N молено подобрать числа
qn и ап так, чтобы для полинома
N
TN(x)= 2 Qn cos (nx + an)
п=\
выполнялись условия
п=\
[лп
-2- чисел дп
считать равными нулю, т. е.
N
TN (х) = 2 Qn cos (nx + ап).
|S1

§4 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ 619
Допустим, что такие полиномы уже построены и пусть tk(x) — полином
построенный для числа N = 2к, т. е.
2*
к (*) = 2 Qn cos (пх + ап), D.1)
лричем
J еп = 2к D.2)
И
|/л(х)|<С25. D.3)
Докажем, что тогда теорема 1 имеет место.
Положим
uk = 4-(E'z*-E'^)f D.4)
22С
где С — константа из D.3), и пусть
t(x)=2uktk(x). D.5)
Так как в силу D.3) и D.4)
Ч \к(х)|<22С4-№ - Е^) - Е'# - Е'^г,
22С
то, во-первых, ряд D.5) сходится абсолютно и равномерно, а, значит, /(х)
непрерывна, и, во-вторых, если мы обозначим через Sn(x) сумму первых п
членов ее ряда Фурье, то
а потому
| / (х) - S^-г | < 1 и„\ tv (х) |< 2 № - Е'*» ) = Е'^.
k k
v=k
Пусть п задано. Находим для него такое /с, что
2/с-1<и<2/с.
В силу монотонности Е'п и Епф имеем
EnifXE^VXE'^E'n (n= 1,2, ...).
Значит, для построенной нами функции имеем
С другой стороны, ее ряд Фурье не является абсолютно сходящимся.
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что расходится ряд из абсо-
абсолютных величин его коэффициентов, т. е. ряд
2к
п=2*~1+1

620 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
2*
Но мы знаем, что 2 Qn = 2k, a потому дело сводится к доказательству рас-
2*-1 + 1
ходимости ряда
со U.
2 -Л № - Е'^г) 2к = ^2 2 (Е'2* - Е'*») . D.6)
к==1 С -22 к==1
Допустим противное, т. е. что ряд D.6) сходится. Тогда
k=n
и тем более
22 2 (Е'ь Е'ъ+Л = 2* EU = оA)
Поэтому законно преобразование Абеля, и мы находим
оо к 1 к
2 2* (Е'# - ?i*+0 = 22 Е'2 + 11 - 41 2 22 Е'# . D.7)
itfi [ \2) к=2
В силу условия теоремы 2~~- = + °°- Поэтому по теореме Коши (см.
Вводный материал, § 4) 22~2E'2t = + оо. Отсюда следует расходимость
ряда в левой части D.7), т. е. ряда D.6), а мы предположили его сходящимся.
Приходим к противоречию.
Из противоречия вытекает, что ряд D.6) расходится, и это заканчивает
доказательство теоремы. Таким образом, теорема будет доказана, если будет
доказана лемма Бернштейна.
Для доказательства своей леммы С. Н. Бернштейн пользовался свойст-
свойствами символов Лежандра. Мы же будем опираться на одну важную лемму,
принадлежащую Р. О. Кузьмину М.
Лемма 1. Пусть g (v) — действительная функция целочисленного
аргумента, удовлетворяющая условиям
- g @) ^ g B) — g A) <^ ... ^ g (п) — g (п — 1) <^ 1 — 0 , D.8)
4г. Тогда
Прежде чем доказывать эту лемму, заметим, что если мы установим ее
справедливость, то неравенство D.9) будет верно и в том случае, когда
р + 0^Cg(l)—g@)<^gB)—g(l)<^ ... ^g(n)—g(n — 1)^Р +1—0, D.10)
где р — любое целое, а в снова удовлетворяет неравенству 0<CO^-j.
В самом деле, полагая
g*(v) = g{v)-vp (v = 0, 1, ... , п),
мы видим, что для чисел g*(v) — g* (v — 1) будут справедливы неравенства
D.8), если для g(v) — g(v — 1) были выполнены неравенства D.10). Значит,
для суммы
п
V e2nig* (v)

§4
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
621
будет верно D.9), но так как g* (v) отличается от g (v) лишь на целое число,
то е2я'?*(") = g^feto и, значит, оценка D.9) справедлива и для суммы, где
g*(v) заменено на g(^).
Р. О. Кузьмин доказывал свою лемму на основании геометрических
соображений. Мы здесь приведем арифметическое доказательство Ландау
(Landau t1!, [2]^ ВВИду его краткости.
Полагаем
pv = n [g(v) - g(v - 1)] (у = 1, 2, ... , п).
Надо доказать, что при 0 < в
у и
и?а е ем
Для этого прежде всего заметим, что в силу неравенств, которым удовлет-
удовлетворяют числа /?„ мы можем утверждать, что
и что
ctg/31>ctg/32>...>ctg/3n
sin ^v I
»= 1,2. ...,л).
Заметим теперь, что
С другой стороны,
Я = е2
откуда, полагая
находим
Отсюда
К + Pv\
Так как при любом /
\ = к[
Г в
= К [1 + *' 2^
v м & мп Hv-\-i
Vv + i p-Wv
. е
2 sin/
2 2 sin ? 2/Bsin 0 2 CLb l '
то, полагая сначала / = —f}v+i, а потом t = /3V, находим
Но каковы бы ни были числа Xv и pv, имеем тождественно
п—\
2
п
2К =
2 (К
К —

622 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
в чем можно убедиться простым раскрытием скобок и приведением подоб-
подобных членов. Поэтому
2 sin /5 '
П-1
Но каждое Xv имеет модуль, равный 1; кроме того, как мы видели,
ctg /?„ — ctg CV+1 > 0; наконец, при любом (}
а потому окончательно
__ 1 + cos Рг , 1 - cos рп ^ 2 ^ _1_
~~ 2 sin рг " ' 2 sin ^ sin 0л ^^ 0 7
и лемма 1 доказана.
Опираясь на лемму 1, докажем, что имеет место
Лемма 2. Пусть а=\ или а = 2; тогда для любого N и для
О < ш < и < N имеем
N-1,2,...
равномерно относительно т, п и х С [0, 2тг].
Положим
«W-s (?+«)•
Тогда
«W-g("-l) = i^
Обозначим
Ясно, что Л„ — Л^.д^ = ^ , поэтому точки /zm, Лт+1> • • > ^л находятся друг
от друга на расстоянии, равном ^г, и расположены слева направо.
Положим0 = —= . Возможны 2 случая:
1) не существует ни одного целого /с, для которого
|Л„-А|<е D.П)
хотя бы при одном v, т + l<^v^n,
2) такие к существуют.
В первом случае существует такое целое р, что
p + 6<hv<p + 1 -в, и<^<ш.
Тогда мы находимся в условиях применения леммы Кузьмина и сразу видим,
что лемма 2 доказана.

§ 4 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ 623
Во втором случае, прежде всего, покажем, что если N достаточно велико,,
то такое к может быть только одно. Действительно, отрезок [hm+1, hn] имеет
длину
Поэтому, добавляя к нему слева и справа по отрезку длины 6, получим от-
2 1
резок длины, не превосходящей 26 + — < 1 (так как 0<С-^-при любомN)f
значит для достаточно большого N двух различных целых /с, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию D.11) хотя бы при одном v, m + 1 <^<Сн, быть не может.
Рассмотрим теперь то значение /с, для которого D.11) возможно; пусть
оно выполняется для пг <^ v <С п2; здесь т <С пх; п2 <С п.
Напишем
п
2 =
1
(любая из сумм 2а и 2з может оказаться пустой).
Для чисел ft,, с индексами v из ^2 имеем неравенство D.11), поэтому
если vx и v2 — индексы из суммы 2?2. Но, так как точки hv и hv+1 находятся
на расстоянии-^-друг от друга, то точек ft,., индексы которых относятся
к сумме 22, может быть не более, чем О (][ JV); значит, сумма ^2 содержит не
более, чем OQf N) членов, но модуль каждого члена равен 1, а потому
\22\ = 0(Щ. D.12)
К суммам 2i и2з мы можем применить лемму Кузьмина. Действитель-
Действительно, в 2i мы имеем такие индексы v, для которых
(к- \) + 0<hv<k-0
и достаточно принять р = к— 1; для 2з имеем
к + 0<ft,<^+ I ~°
и можно в лемме Кузьмина взять р = к. Таким образом, находим
\2i\<l = O(YN) и \2в\ = 0(Щ. D.13)
Соединяя D.12) и D.13), получаем
и лемма 2 доказана.
Для доказательства леммы Бернштейна достаточно взять а = 1; случай
а = 2 будет использован немного позже.
Замечание 1. Построенный пример одновременно отвечает на
вопрос о том, насколько точна теорема 1 Бернштейна (см. § 2). Именно,
можно показать, что существует функция f (x), удовлетворяющая условию*
Липшица порядка а = ^у, у которой ряд Фурье не является абсолютно
сходящимся.

624
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
гл. IX
Действительно, известно (см. Добавления, § 7), что если /(х) удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица порядка а, 0< а< 1, то
и, наоборот, если это равенство выполнено, то /(x)?Lipa. Но, полагая
Е'п = _—, имеем
Поэтому в силу только что доказанной теоремы можно найти такую/(х),
у которой En(f)<^-^= (т. е. она удовлетворяет условию Липшица порядка
\п
а = yj , и при этом ее ряд Фурье не является абсолютно сходящимся.
Замечание 2. Только что построенный пример дает несколько
больше, чем требовалось. Именно можно показать, что у функции, опре-
определяемой формулой D.5), ряд оф не только не является абсолютно сходя-
сходящимся, но даже не имеет ни одной точки абсолютной сходимости *).
Чтобы убедиться в этом, заметим прежде всего, что
(|)| J
J
„=2*-Ч-1
J
v=2*-4-l
J
J
Но, как было доказано в лемме 2 (надо положить а = 2), имеем
>k / г*\ к
2
Re
поэтому
и, значит,
N
J
2*
cos2
N к
N /c
Но так как было уже доказано, что
то для любого х имеем
2 2
к=\
расходится, &]? 22ик сходится,
к\
*) Этот факт был доказан С. Б. СтечкинымН; он показал в той же работе, что при
Е'п
выполнении условий Efn j Ои-^р= +оо можно построить / (х) так, чтобы удовлет-
удовлетворялись следующие условия для / (х) и ее сопряженной f(x):
2) Бп (/) = О (Е'п),
3) ряды а (/) и с (/) не имеют ни одной точки абсолютной сходимости.

§ 4 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ 625
при N -> оо, откуда и следует, что рассматриваемый ряд не является абсо-
абсолютно сходящимся, каково бы ни было х, 0^х^2тг.
Естественно поставить вопрос, можно ли доказать аналогичную теорему
в терминах модулей непрерывности. Точнее: пусть со(<5) — положительная
функция и ряд 2 -=со(—| расходится. Можно ли найти такую /(х), что
<х>(д, /) = О(со(<5)) и для нее ряд Фурье не является абсолютно сходящимся?
С. Н. БернштейнГ5! ответил на этот вопрос положительно, налагая на
со(8) такие дополнительные ограничения: существует такое в > О, что
д~есо(д) возрастает, а де~1со(д) убывает*).
Мы здесь докажем следующую теорему (см. С. Б. Стечкин^7!):
Теорема 2. Если со(<5) положительна, не убывает на О <^ <5 ^ п}
то существует функция f(x), для которой со(<5, /) = О[со(<5)], и ее ряд Фурье
не является абсолютно сходящимся**).
Для доказательства этой теоремы прежде всего доказывается
Лемма 3. Пусть и(д) | 0 при д -> 0 и
ff ). D.14)
Если
то существует последовательность положительных чисел {Вп} такая, что
К— 1
Если мы докажем существование последовательности, удовлетворяю-
удовлетворяющей условиям 1), 2) и
где М — некоторая константа, то доказательство будет закончено, так как
тогда последовательность -^обладает уже свойствами 1), 2) и 3).
*) В комментариях к Собранию сочинений (т. II, работа 60) он отметил, что первое
из этих условий является излишним.
**) При доказательстве используется даже менее ограничительное условие, чем
^Lz | , а именно условие
где С постоянное.

626 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Прежде всего заметим, что
tiu(—) —>-со ПрИ Я—^со.
Действительно, если бы
lim nu(~)< + со,
то нашлись бы числа Ns как угодно большие, для которых
где К — константа, а тогда в силу D.14) для 1 <С я < JVS
т. е.
Ы7Г' л=1,2, ....
)
а это противоречит расходимости ряда 2J - •
\п
Итак, пи (--)-> + °о. Построим последовательность натуральных чисел
nfc так, чтобы пг = 1, и если п^ п2, ..., пк уже выбраны, то nfc+1 — наимень-
наименьшее из чисел JV, для которых
Тогда
(|)(^) <«k+1) D.15)
ЩШ (Л=1'2;...). D.16)
Заметим, что
пк+1>2пк.
Действительно, если пк<п^ 2пк, то в силу монотонности и (<5)
и, значит, п ф пк+г
Положим теперь
пк < п < /ifc+1 (Л = 1, 2,
и докажем, что эта последовательность обладает нужными свойствами.
Свойство 1) вытекает из того, что и(д) ф 0.
Для доказательства 2) положим для удобства п0 = 0; тогда

§ 4 НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ 627
Но пк+1>2пк, значит, пк— пЬ1^у% а потому
Из D.15) находим
и в силу расходимости ряда в левой части неравенства это доказывает рас-
расходимость
k = \
Г)
а тогда из D.17) вытекает расходимость ряда 2J тр, и свойство 2)установлено.
Остается доказать свойство 3').
Пусть N задано; найдем такое к, что
Тогда
N к-\ ns N
~^±~* ту ""^ч "'^t D I "^f D
> Г)м = у- ^ ?)„ -Н- у- D
71=1 S=l 71 = 71g_1+l П = П]е—i+l
-1 (п. - /W) u ?) + (iV - «,_,) и A) <g n, u A) + N и Й) .
Пусть JV > 1 и, значит, fc^s 1. В силу D.16)
л,и(й<2^п*-1"ЬУ (s = 1, 2, ... , Л-1),
поэтому
но так как в силу D.14)
TO
N
71=1
ИЛИ
71=1
где М — некоторая константа, т. е. 3') установлено, и доказательство лем-
леммы 3 закончено.

628 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Отсюда уже легко свести доказательство теоремы 2 о модулях непре-
непрерывности к ранее доказанной теореме 1, выраженной в терминах наилучших
приближений.
В самом деле, в теореме 2 функцию со (<5) можно, не нарушая общности,
предполагать монотонно стремящейся к нулю. Тогда, полагая со (<5) = и (<5),
можем применить к ней только что доказанную лемму 3.
Значит, на основании этой леммы можно найти такие Вп, что Вп j О,
%
На основании теоремы 1 тогда найдется такая / (х) с неабсолютно сходя-
сходящимся рядом Фурье*), для которой
Вп.
Для модуля непрерывности этой функции на основании неравенства
(см. Добавления, § 7) имеем
-&¦>)-<>№)].
а тогда на основании известного свойства модулей непрерывности (см. Ввод-
Вводный материал, § 25) имеем
E/) О[
и теорема доказана.
Замечание. Приведем здесь без доказательства еще одну теорему
С. Б. Стечкина Р\ позволяющую избавиться от всех ограничений, наложен-
наложенных на со(<5), кроме ее положительности. Для этого сначала надо ввести
понятие истинной мажоранты.
Рассмотрим для заданной положительной функции со (<5) все те функции
/ (х), для которых со(<5,/)<^со(<5). Берем верхнюю грань модулей непре-
непрерывности со (<5, /) для всех таких f(x) и обозначаем ее со*(<5). Эту функцию
С. Б. Стечкин назвал истинной мажорантой; он дал для нее и конструк-
конструктивное определение, но оно нам не понадобится. В той же работе С. Б. Стеч-
Стечкин доказал теорему:
Пусть со (<5) — любая положительная, а со* (<5) — построенная по ней
истинная мажоранта. Если
то для любой /(х), у которой со (д, f) = O[co(d)], ряд аф сходится абсолютно,
если же^—у^-~ = + со, то можно найти f(x) с со(<5, /) = О [со(<5)] и такую,
что cr(f) не является абсолютно сходящимся.
Это и есть окончательный ответ на вопрос о том, можно ли усилить
теорему 2 Бернштейна из § 2.
*) Можно даже добиться, чтобы у этого ряда Фурье не было ни одной точки абсолют-
абсолютной сходимости (см. замечание 2).

§ 5 ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 629
§ 5. Общие замечания о связи между модулем непрерывности
функции и абсолютной сходимостью ее ряда Фурье
Может получиться впечатление, что, зная поведение со F, /), мы имеем
возможность полностью решить вопрос об абсолютной сходимости ряда
o(f). Однако это, конечно, неверно: полученный нами результат хорош,
когда речь идет о целом классе функций /(х), у которых
со (<5,/) = О [со (д)].
Конечно, если
!
то у всех функций этого класса ряды Фурье абсолютно сходятся, но если
этого нет, то про индивидуальную функцию этого класса ничего ска-
сказать нельзя.
Действительно, покажем, что
Существуют две функции f(x) и ср (х) такие, что
в>C,/) = о>C,9>),
и, однако, о{ф) абсолютно сходится, a a(f) не является абсолютно схо-
сходящимся.
Для этого рассмотрим такую /(х), которая удовлетворяет услобию Лип-
Липшица порядка а = -7j у но имеет неабсолютно сходящийся ряд Фурье (такие
функции существуют, см. Замечание 1 в § 4).
Пусть со F)—модуль непрерывности f(x); тогда со(д) = О(д*). Пусть
ср (х) = со (х) на @, л)
Ясно, что(р(х) есть непрерывная функция с ограниченным изменением (так
как со(х) монотонна и непрерывна) и очевидно*), что модуль непрерывности
для ср (х) снова равен со F). Но так как
л 4
то
а тогда по теореме Зигмунда (см. § 3)ряд Фурье от <р (х) сходится абсолютно.
*) Действительно, пользуясь свойствами модуля непрерывности (см. Вводный мате-
материал, § 25), находим для любого h > О
О < со (х + h) - со {%) < о){К) .
Поэтому, если О^х^х + д^тг, то для 0 < h ^ 6
\<р (х + h) - ср (х) | = со (х + К) - со (х) < со (Л)< со (д).
В силу у (л + х) = ср (л — х) это же верно, если л^х^х -\- Н^2ж, а также
если х < л, а х -\- h ^ ж. Отсюда
со (д, ср) ^ со(д).
С другой стороны, очевидно, что неравенство не может иметь места, т. е. со (д, ср) = со(д).

630 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Этот пример принадлежит С. Б. Стечкину. Он показывает, что вопрос
об абсолютной сходимости ряда Фурье от функции/(х) заведомо не может
быть решен до конца рассмотрением только ее модуля непрерывности.
Сделаем еще одно замечание к вопросу о связи между модулем непре-
непрерывности функции и абсолютной сходимостью ее ряда Фурье.
Мы видели, что достаточно быстрое стремление к нулю соF,/) влечет
абсолютную сходимость ряда а (/) (достаточно J? v < + со). Но нельзя
вывести никакого заключения в обратную сторону, т. е. из абсолютной схо-
сходимости ряда о1 (/) никак нельзя заключить, что со F, /) -> 0 достаточно быстро.
Более того,
Пусть со (д) ф 0, но со (д) убывает как угодно медленно. Можно найти
такую f(x)y что для достаточно малых д
о>C,/»а<оC) (а>0) ,
и, однако, a(f) абсолютно сходится.
Чтобы убедиться в этом, напомним (см. глава I, § 21), что для любой
f(x) имеем
Иными словами, существует такое г} > 0, что
»&,f)>v\am\ и *{?,f)> v\bm\, m=l,2, ...
Заметив это, найдем для каждого д > 0 такое целое /с, что
Числа 6, удовлетворяющие E.1), образуют некоторый полуинтервал, левый
конец которого заведомо не есть точка д = 0. Поэтому можно найти такое
nk, что — <^ д для всех 6, удовлетворяющих E.1). Мы можем так последо-
последовательно определить числа пк и без ограничения общности считать пк > пк^_1
(/с = 2, 3, ...). Построим теперь ряд
Ясно, что он сходится абсолютно. Но для его суммы имеем при любом д
Действительно, находим сначала для заданного д такое к, что выпол-
выполнено E.1); для этого Ь в силу выбора чисел пк и монотонности а>C, /) имеем
в силу E.1), и доказательство закончено.
Первые примеры такого рода были построены С. Н. Бернштейном.
Полезно еще сделать одно замечание относительно функций с абсолютно
сходящимися рядами Фурье. Мы уже видели, что их модули непрерывности
могут убывать как угодно медленно. Отсюда уже естественно ожидать, что
они могут не иметь никаких хороших дифференциальных свойств. И дейст-

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ 631
вительно существуют функции с абсолютно сходящимися рядами Фурье,
не имеющие конечной производной ни в одной точке.
Первый пример непрерывной, нигде не дифференцируемой функции был
дан Вейерштрассом. Этот пример годится для доказательства нашего утвер-
утверждения. Возьмем числа а и b положительные и такие, что 0<а<1,
Ъ — целое нечетное и
ab>l+~7i(l -а).
Рассмотрим функцию
f(x) = 2 ancos(bn7ix).
Ее ряд Фурье сходится абсолютно и, однако, мы сейчас покажем, что она
нигде на (—1, 1) не имеет конечной производной.
Действительно, пусть х задано. Для любого п определим целое сп так,
чтобы
<сп + .
с -\ Сп + ~2
Пусть х^=-~- и х'п = —т^—; ясно, что х'п<х<х'^ и lim х? = х,
0 0
0
lim х'п = х. Имеем
f(xn)-f(x'n) =2^
У-п — Хп 3
+ -Ib" 2 ak [cos bkiix"n - cos Ькях'п] = 2x + 2t ¦
6 fc=n
В силу теоремы о конечном приращении
| cos bknx'n —
а потому
2
Далее, так как
то, учитывая нечетность b и то, что при к^п число &*~" есть целое нечет-
нечетное, находим
c
а потому
Каждый раз, как сп четное, мы, следовательно, имеем
/ (Хп)Ч (х'п) ^ у _ | у | _ „ .„
1-а аь-1
з
а так как мы предположили, что й>1 + уяA — а), то число в квадрат-

632 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
ных скобках положительно, а, стало быть,
где а > 0. Если же сп нечетное, то, рассуждая так же, найдем
/(*?~У}< -aanbn.
Так как среди чисел сп должно найтись либо бесконечное множество четных,
либо бесконечное множество нечетных и апЬп -> со при п -> со, то
lim
откуда ясно, что f(x) не может иметь конечной производной в точке х, и
поскольку это рассуждение справедливо для любого х, то доказательство
закончено.
§ 6. Критерий абсолютной сходимости Шилова
Мы уже отмечали в § 5, что все до сих пор полученные критерии
абсолютной сходимости были применимы сразу к некоторому классу
функций, причем в случае, когда они не выполнялись, можно было
утверждать только, что в этом классе найдется функция, у которой
ряд Фурье не является абсолютно сходящимся. Однако для индиви-
индивидуальной функции этого класса никаких суждений высказать было нельзя.
Укажем здесь одну теорему, где, правда, рассматривается не очень
широкий класс функций, но зато для каждой индивидуальной функции
этого класса дается необходимое и достаточное условие абсолютной сходи-
сходимости ее ряда Фурье.
Теорема Шилова ш. Пусть функция W (t) удовлетворяет
условиям
б) W (t) непрерывна при О <С t <^ ~ (а значит, и всюду);
в) W @ не убывает *) при 0 <; f <; ~ ; ее производная W (/) непрерывна и
не возрастает на 0 < t <^ ~ ;
; lim t ф -г — и ;.
*
) Формулируя свою теорему, Г. Е. Шилов условие в) писал в виде: Ф (t) монотонно
возрастает при 0<1<^и постоянна при — ^.t^.—; ее производная Ч"(t) непре-
О О 2i
п
рывна и не возрастает на 0 < t ^ "о" •
Мы здесь даем несколько более простое доказательство теоремы Г. Е. Шилова, при
котором предполагать W (t) постоянной на | — f —\ не понадобилось. Однако по существу
дела здесь никакого обобщения нет, так как в § Юмы убедимся, что класс функций, к кото-
которым применима теорема Шилова, может быть значительно расширен.
**) Геометрический смысл этого условия заключается в том, что при t-*- 0 отрезок
у, отсекаемый на оси ординат касательной к кривой, эквивалентен ординате этой кривой
в точке касания (рис. 40).

§6
КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ ШИЛОВА
633
Тогда ряд Фурье для W(f) сходится абсолютно в том и только том слу-
случае, когда сходится ряд
2п+1
щ
F.1)
Для доказательства заметим, что в ряде Фурье для W(f) в силу ее
нечетности все. ап = 0 и, кроме того, в силу W(n — /)= W(t) обращаются
в нуль все Ьп для четных п. Будем поэтому изучать поведение Ьп для
нечетных п.
Имеем в силу W{n — t) = W(t)
-J ьп = J W @ sin nt ut= J !P@ sin nt dt + J ?(t) sin nt dt =
F.2)
о о
Докажем сначала, что
F.3)
где /?„ -> 2 при п -> со.
Действительно, во-первых, из монотонности W(t)
на [О, -^-j сразу следует, что
F.4)
Далее в силу условия г), если е > 0 любое, можно выбрать п столь большим,
чтобы касательная к кривой у = W(t), проведенная через точку ~, ^f^J >
отсекала на оси ординат отрезок уп такой, что уп > A —&)Wy-\, а тогда
п п
J У @ sin nt dt > уп J sin л/й>2A-е)|р (j) F.5)
о о
и в силу произвольности е из F.4) и F.5) следует F.3).
В интеграле 12 произведем интегрирование по частям; получим, учиты-
учитывая нечетность и,
cos nt
п
2 + — Г Ч" (t) cos nt dt =
F.6)

634 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Так как У7'@ не возрастает на (р-|1 то по второй теореме о среднем
±\V'(t)cosntdt = 1У g)Jcosntdt <-|-y'g), F.7)
Покажем, что
F-8>
Действительно, в силу условия в) угловой коэффициент касательной к
кривой у = W(t) в точке t = — не превосходит угловой коэффициент любой
хорды, пересекающей кривую в точках [1,^A)] и |~^(^)| ПРИ любом
I, 0<|<-^; в частности, полагая 1= п + 1 ' нах°Дим
л (л + 1)
откуда сразу следует справедливость F.8). Отсюда получаем, что /3 = е„,
где
2КК+ОО. F.9)
Соединяя F.2), F.6) и F.9), получаем
Так как /?л -> 2, то отсюда для любого нечетного п
а(9„->—. Это показывает, что сходимость рядов ^l^n+il и 22п
может иметь место только одновременно, а так как 2 Ф^п) = 0» то это же
верно для ^ I&J и ^^^Т )
Теорема полностью доказана.
В § 10 мы покажем, что класс функций, к которым применима теорема
Шилова, может быть значительно расширен.
§ 7. Критерий абсолютной сходимости М. Рисса
Мож^о сформулировать и в самом общем случае условие, необходи-
необходимое и достаточное для абсолютной сходимости ряда Фурье от заданной
функции f(x).

§7 КРИТЕРИЙ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ М. РИССА 635
К сожалению, это условие трудно практически использовать*). Мы
имеем в виду следующую теорему:
Теорема Р и с с а **). Для того чтобы ряд а (/) сходился абсолютно,
необходимо и достаточно, чтобы f (x) могла быть представлена в виде
где ft(x)? L2 и g(x)?L2.
Мы будем все ряды Фурье записывать в комплексной форме. Пусть
h(x)~+2ameimx, g{x)~+?bmeimx.
00 00
В главе I § 23 было доказано, что тогда для f(x) имеем
где
Но из h(x) ? L2 и g(x) ? L2 имеем
а потому из
следует
и достаточность условия доказана.
Напротив, если
и 2 \ст\ сходится, то, полагая
а ][~\~Г Г Ь = VTC FV arS С™
по теореме Фишера—Рисса находим функции h (x) ng(x), принадлежащие
к L2 и такие, что
h (х\ ^ У a pimx о (*х\ s^s У h pimx
причем для F(x), определяемой по формуле
ряд Фурье имеет вид
а значит, она совпадает с f(x).
*) В работе П. Леви (Levy!2) высказана мысль, что задача отыскания необходимого
и достаточного условия для того, чтобы ряд Фурье сходился абсолютно, является не
только нерешенной, но, по-видимому, и неразрешимой (то же суждение сделано и по
поводу равномерной сходимости ряда Фурье).
**)См. Hardy and Littlewoodl7].

636 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Теорема доказана.
При всей законченности этой теоремы она обладает существенным не-
недостатком: неизвестно, какова должна быть структура функции/(х) для
того, чтобы ее можно было представить в виде «свертки» двух функций из
L2 (см. понятие свертки в § 23 главы I), а поэтому теорему М. Рисса трудно
использовать.
Правда, можно было бы доказать, опираясь на нее, уже известную тео-
теорему о том, что если/(х) абсолютно непрерывна и /'(х) ? L2, то ряд Фурье
от /(х) сходится абсолютно (см. глава I, § 26). Действительно, полагая
= 7t — t на 0</<2тг
и продолжая ее периодически, видим, что g(/) ? L2. По условию и /'(/) ? L2.
Образуем свертку
2л 2л
F W = i J /'<х - 0 2 (О Я = ij /'<х - 0 (* - 0 л • G- ]>
О О
Не нарушая общности, мы будем предполагать, что в ряде Фурье для
/(х) свободный член равен 0 (это не отразится на абсолютной сходимости).
Следовательно,
о
Производя интегрирование по частям в формуле G.1), находим
2л 2л
2л
ибо / (х — 2 п) = f (х) и, кроме того, j / (х — /) dt = 0.
о
Итак,/(х) оказалась сверткой двух функций из L2. Но, конечно, этот
пример мало интересен, поскольку доказательство данной теоремы без свер-
сверток совершенно элементарно.
§ 8. Критерий абсолютной сходимости Стечкина
Укажем один предложенный С. Б. Стечкиным критерий абсолютной
сходимости ряда Фурье. Для этого сначала введем некоторое новое понятие.
Допустим, что мы будем приближать функцию / (х) по норме L2 тригоно-
тригонометрическими полиномами вида
Тп(х) = а0 + 2 akcos pkx + ^ksin ркху (8.1)
где рг < р2 < ... < рп. В частном случае, когда рк = к (к = 1, 2, ..., п)
получатся тригонометрические полиномы порядка п. Обозначим через
еп (/) наилучшее приближение / (х) такими полиномами вида (8.1) в мет-
метрике L2, т. е.
еп (/) = min { J [/ (х) - Тп (х)]« dxf.

ПРОСТЕЙШИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ФУНКЦИЯМИ 637
Ясно, что еп (/)<^ Е^ (/), где через Е$ (/) обозначено наилучшее приближение
/(х) в метрике L2 обычными тригонометрическими полиномами порядка п.
Теперь можно сформулировать теорему.
Теорема Стечкин а?8]. Для того чтобы ряд Фурье от /(х) схо-
сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
Доказательство этой теоремы мы приводить не будем.
Заметим, что в общем случае совершенно неизвестно, как найти en(f),
а потому, если не налагать на /(х) дополнительных ограничений, то практи-
практически применить этот критерий невозможно. Однако следует отметить один
интересный частный случай. Именно, С. Б. Стечкин доказал, что если
где дп ф 0, то en(f) = E^(f) (n = 1, 2, ...). Поэтому для функций с моно-
монотонно убывающими дп абсолютная сходимость ряда Фурье имеет место в
том и только в том случае, когда сходится ряд
Достаточность этого условия была уже установлена (см. § 2) без допол-
дополнительных гипотез на коэффициенты ряда; теперь мы видим, что для qn | О
это условие и необходимо.
§ 9. Простейшие операции над функциями с абсолютно
сходящимися рядами Фурье
Для простоты будем записывать ряды Фурье в комплексной форме.
Непосредственно ясно, что если
fiW^Sc'ne*"*, (9.1)
f2(x) = 2c'n*h»9 (9.2)
где ряды (9.1) и (9.2) сходятся абсолютно, то для f1(x) + f2(x), а также для
/i(x) — /2W ряды Фурье сходятся абсолютно. Для произведения f1(x)f2(x)
это также имеет место (см. глава I, § 23, п° 7).
Вопрос об абсолютной сходимости ряда сг(/), где /(х) = -тт\, a a (/L) и
сг(/2) сходятся абсолютно, разумеется, решается отрицательно, если /2(х)
может обратиться где-либо в нуль, так как, если тт-г может неограниченно
- - Мх)
возрастать около какой-либо точки, то эта функция уже не является непре-
непрерывной, а тогда ее ряд Фурье не может сходиться абсолютно.
/ (х)
Мало того, Г. Е. Шилов М отметил, что ряд сг(/)для/(х) = уТ1 может
не быть абсолютно сходящимся даже и в том случае, когда, кроме абсолют-
абсолютной сходимости о{^) и сг(/2), известно, что /(х) непрерывна.
Если же g(j.^) абсолютно сходится и /2(х) нигде не обращается в нуль,
то и о i-г-) абсолютно сходится, а тогда сходится и а (/) при /(х) = 7/T •

638 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Первоначально эту теорему доказал Винер. Ее доказательство мы дадим в § 11,
как следствие одного более общего результата. Ту же теорему можно вы-
вывести из теории нормированных колец, см. И. М. Гельфанд, Д. А. Райков и
Г. Е. Шилов Ш или М. А. Наймарк*). Возникает вопрос, должен ли сходиться
абсолютно ряд Фурье для |/(х)|, если ряд для/(х) сходится абсолютно. Ответ
на этот вопрос оказывается отрицательным (см. Kahane Ш).
§ 10. Роль локальных свойств функции в абсолютной сходимости
Как известно, когда речь идет о сходимости, то имеет место принцип
локализации (см. § 33 главы I), т. е. если две функции совпадают на некото-
некотором интервале, то их ряды Фурье сходятся или расходятся одновременно во
всякой внутренней точке этого интервала.
Легко показать на примере, что для абсолютной сходимости это уже не
имеет места. Действительно, пусть
1 при
0 при -^ <Сх^п,
/(-*) = /(*).
Ряд Фурье имеет вид
// \ 1 , 2 ["cosx cos3x , cos5x cos7x , 
/ w ~ у ¦+¦ ц [~i з ¦*" 5 7 h • • • J •
В точке х = О получаем ряд, который не является абсолютно сходя-
сходящимся, поскольку
— -4- — -4--1- -4- — 4- — -4- оо
А между тем /(х) на отрезкеГ—у, |нсовпадает с функцией ср(х) == 1, у
которой, следовательно, в (у) абсолютно сходится.
Итак, к абсолютной сходимости принцип локализации не применим.
Однако имеет место следующая интересная теорема (см. Wiener И):
Теорема Винера. Если каждую точку х0 ? [— я, л] молено
окружить интервалом дхо, в котором f (х) = gXo (x), где gXo (x) — функция с
абсолютно сходящимся рядом Фурье, то о (/) абсолютно сходится.
Обозначим через S систему всех интервалов дХо. По известной лемме
Бореля, если каждая точка отрезка [—я, п] может быть покрыта некото-
некоторым интервалом из системы S, то найдется конечное число интервалов из S,
целиком покрывающих этот отрезок.
Пусть 3j, д2,..., дт— эти интервалы (рис.41);значит, существуют такие
функции g1(x)J g2(x), ..., gm(x), у которых ряды Фурье -абсолютно сходятся
и притом /(х)= gk(x) на дк (к = 1, 2, ..., т). Мы можем без ограничения
общности предполагать, что концы интервалов дк — (ак, Ьк) удовлетворяют
условию
ak<bk^<ak+1<bk (fc= 1,2,...,/л- 1)
и, кроме того, что ат = аг + 2л, Ьт = Ьг + 2л.
*)М. А. Наймарк, Нормированные кольца, Гостехиздат, 1956, стр. 179.

§ 10 РОЛЬ ЛОКАЛЬНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИИ В АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ 639
Обозначим через Я^(х) непрерывную периодическую функцию, которая
равна 1 на (V-ь ak+i)y равна 0 вне (ак9 Ьк) и линейна на (ак, Ьк^г) и (ак+1, Ьк).
Легко подсчитать, что Ях (х) + Я2 (х) +
Хт (х) = 1. Так как
hk{x) есть непрерывная ломаная, то она удовлетворяет условию Липшица
(порядка 1), а потому ее ряд Фурье абсолютно сходится.
Заметим теперь, что
Поэтому, чтобы обнаружить абсолютную сходимость ряда Фурье для /(х),
достаточно (см. § 9) убедиться в том, что это имеет место для каждой из функ-
функций f(x)Xk(x). Но 1к(х) = 0 вне (ак, Ьк)\ а на этом отрезке /(х) = gk(x). По-
Поэтому f(x)kk(x) = gk(x)Xk(x). Но ряд Фурье для gk(x) сходится абсолютно по
условию, а для Ал(х) мы это только что доказали, значит, и ряд Фурье от
их произведения сходится
УК абсолютно (см. § 9), и теоре-
теорема доказана.
Условимся говорить, что
функция /(х) в точке х0 ло-
локально принадлежит некото-
q\i I рому семейству функций /?,
-п \ V4-Y п *~х если существует g (x) d R,
совпадающая с / (х) на неко-
некотором интервале 5, содержа-
Рис% 42 щем х0. Пусть А — семейство
всех функций с абсолютно
сходящимися рядами Фурье. Теорему Винера тогда можно сформулиро-
сформулировать так: если / (х) локально принадлежит А в каждой точке отрезка
[— щ п], то /(*)€ Л.
В качестве примера приложения этой теоремы покажем, что можно
расширить класс функций, к которым применима теорема Шилова (§6).
Действительно, пусть функция Ч* (х) удовлетворяет условиям теоремы
Шилова.
Пусть F(x) = ^(х) на некотором интервале 5, содержащем точку х = 0;
дальше мы ее определим как угодно, лишь бы она была непрерывна на
[—п, п], F(—7t)—F(n) (рис. 42), и локально принадлежала А в каждой
точке отрезка [— п, п], включая и его концы. Для этого достаточно, например,
чтобы F(x) была непрерывна и имела F (х) с интегрируемым квадратом на
у, 2 п — -^ I. Тогда для абсолютной сходимости ряда a(F) необходимо и доста-
достаточно, чтобы ряд 2J —F (~) сходился.

640 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
В самом деле, полагая
видим, что R(x) = 0 на интервале д. Кроме того, так как функция W(x) ло-
локально принадлежит А в каждой точке вне д, и F(x) также, то и R(x) локаль-
локально принадлежит А в каждой точке вне д, а значит и всюду, поскольку на д
она равна нулю. Значит, ряд a(R) сходится абсолютно. Но
как только п станет достаточно большим для того, чтобы — ?<5. Значит,
ряды 2 ~~ F (-") и 2 ~^\~~\ сходятся или расходятся одновременно.
Кроме того, o(F) и eQP) одновременно принадлежат или не принадле-
принадлежат А.
Таким образом, теорема Шилова переносится на значительно более
широкий класс функций, чем тот, который указан в ее первоначальной фор-
формулировке. В частности, вовсе не нужна нечетность F(x) (условие F(—х) =
= — F(x) должно быть выполнено лишь в окрестности нуля), не нужны
симметрия относительно точки ~ и постоянство в отрезке \~, -| .
Замечание. Возвращаясь к общему вопросу о роли принципа
локализации в проблеме абсолютной сходимости, отметим без доказа-
доказательства следующую теорему (см. Jurkat und Peyerimhoff W): для того,
чтобы ряд
-—- + 2ап cos nx + bn sin nx A0.1)
сходился абсолютно, необходимо и достаточно, чтобы
а) 21 ап - ап+11< + оо , 2\Ъп- Ьп+11< + оо ,
б) 2 ап суммировался методом Абеля,
в) существовала периодическая функция р (х) с абсолютно сходящимся
рядом Фурье и такая, что ряд (ЮЛ) суммируется методом Абеля к р(х) на
некотором отрезке |х| < е, 0 < е < п.
§11. Суперпозиции функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье
Поставим вопрос: при каких условиях, наложенных на функции /(у) и
<р(х), у которых ряды Фурье абсолютно сходятся, можно утверждать, что
ряд a(F) для
абсолютно сходится?
Некоторое достаточное условие для этого дает
Теорема Леви (P. LevyШ). Пусть у(х) имеет абсолютно схо-
сходящийся ряд Фурье и A^(p(x)^ В. Если f (z) есть функция комплексного
переменного z, регулярная в каждой точке отрезка [А, В], то ряд Фурье
от f[cp(x)] абсолютно сходится.

i 11 СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ С АБС. СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ ФУРЬЕ 641
Прежде всего, полагая
/ \ В - А
(*)
— r w 2 '
/ (z\-t(z I B~A) ПЛЯ B-A< ^B-A
мы имеем
и при этом фг (х) снова имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье. Отсюда
вытекает, что, не нарушая общности, можно доказывать теорему для функции
<р (х), удовлетворяющей неравенству
-К <?(*)</С (ИЛ)
и для f(z) регулярной в некотором круге \z\ < г; через г мы обозначаем радиус
сходимости ряда, в который разлагается f(z):
f(z)=--ao + alZ + ... + anzn+... A1.2)
Пусть
+2\сп
Рассмотрим для каждого целого к функцию д>к(х); если
<? (х) ~~2 с?? еш,
то ряд о (срк) абсолютно сходится и (см. § 9)
у | с{к) <^ Мк
Возможны два случая: 1) М<г и 2) М^г.
В первом случае мы можем написать
f(cp) = ao + al(p(t) + 0
поэтому, если
то
Уп = 2 ак Сп\ Го = «О + 2 ак № ,
а значит
так как мы предположили М < г, где г — радиус сходимости ряда ? anzn.
Второй случай мы хотим теперь редуцировать к первому. Для этого
мы поставим себе целью найти для каждой точки х0 отрезка [—пу п] такую
функцию gXo (х), что ср (х) = gXo (x) в некотором интервале, содержащем точку
х0, причем построить ее так, чтобы для ее комплексных коэффициентов
Фурье с'п иметь 2 \сп\ < т. Если нам это удастся, то в силу только что

642 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
доказанного функция f[gXo(x)] будет иметь абсолютно сходящийся ряд
Фурье, и так как это справедливо для любой точки х0, то по теореме
Винера ряд Фурье для f[(p(x)] будет сходиться абсолютно.
Так как сдвиг аргумента у функции не может повлиять ни на абсолют-
абсолютную сходимость ее ряда Фурье, ни на сумму ряда из абсолютных величин
его коэффициентов, мы можем, не нарушая общности, строить функцию для
интервала, окружающего точку х0 = 0. Далее мы можем принять ср @) = О,
так как, полагая F{z) = f [z + cp(O)] и Ф({) = (p(t)—<р@), видим, что F[<t>(x)]=
= / [(р(х)]и, значит, если теорема доказана для F[U>(x)]} то она верна и для
/ шь
Итак, полагая ц> @) = 0, т. е.
2 сп =
мы будем строить g (х) так, чтобы (p(x)=g (х) на некотором интервале (— ft, h)
и чтобы для комплексных коэффициентов с'п функции g(x) иметь 2 К! О.
Для этого, взяв положительное е<^> построим вспомогательную
функцию Ав (х) = А(х) так, чтобы 1) А (х) = 1 на 0 < х < о; 2) А (х) = 0 на
2е<^х<Стг; З)А(х) интерполируется линейно на (q, 2о); 4) А(х) четная.
Пусть 16п = ^ — комплексные коэффициенты Фурье этой функции. Тогда
Поэтому в силу [sin ы| <С 1 и |siiim|^|m| имеем |/п| ^у|-при любом
п = О, 1, ... и |/п| ^ п2 при n=f=O. Отсюда прежде всего следует, что
при любом д ряд Фурье для Л6(х) сходится абсолютно; но этого нам
мало, надо еще показать, что
Л2М«}1<А, (Ц.з>
Л=— оо
где А не зависит от q. Имеем
если выбрать N так, чтобы N = Г—1 + 1.
Покажем теперь, что
2 | If — 1%]_г | -+ 0 при ^-^0. (П.4)
Действительно, если рассмотреть функцию XQ (x)eix, то ее ряд Фурье
имеет вид 2 4g)?'(n+1)x, a потому
Ае (х) A - ?/х) = 21 [^} ^'пх - In eiin+1)x] = 2 (^ ~ ^-i) einx.
Но производная от этой функции есть — iXQ{x)eix -{- А^(х)A —eix), поэтому
действительная и чисто мнимая части этой производной являются функциями
с ограниченным изменением, причем ясно, что полное изменение каждой из
них не превосходит некоторой константы, не зависящей от выбора q, так
как отрезок [—я, п] распадается на пять частей, на каждой из которых

§ 11 СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ С АБС. СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ ФУРЬЕ 643
ке (х) линейна. Отсюда ясно, что модули коэффициентов Фурье для производ-
Г)
ной отАеA—ёх) не превосходят —, где В— абсолютная константа, а
тогда
Кроме того, поскольку площадь, ограниченная кривой у = Хд(хO стре-
стремится к нулю при д -> 0, имеем
Пусть ? > 0 задано. Можно взять No столь большим, чтобы
00 ГЗ
Тогда
Л=+оо JV0 —iV0—1
v I j(q) j(q) — у I j(q) j(q) I j_ у I i(q) j(q) I -J_ у I j(q) j(q) I <"
^j \Ln ln—\ — Zj \ln ln—11 i Zj \ln Ln—1 I i Zj I ln Ln—1 I ^5-
n=-oo n=-N0 -oo Ne+1
и если теперь учесть, что iV0 постоянно, а ? -> 0, то из Iff -> 0 следует, что
вся правая часть A1.5) может быть сделана < 3s, если д достаточно мало.
Положим теперь
g(x) = <p(x)XQ(x),
где о подберем позже. Мы видим, что ср(х) = g(x) на (— д, д). Покажем, что
о можно подобрать достаточно малым для того, чтобы для коэффициентов
с'п функции g{x) иметь ? \с'п\ < г.
Имеем
Поэтому для любого q
__ у
Р=: — 00
Л=—oo f|= — оо Р==—Ц Tl'==z—со
Так как 2 \ср\ сходится, то можно взять q столь большим, чтобы
2\сР\<~^. (И.6)
Тогда будем иметь
Далее,
r — —
за - з •
П=+оо G Л = +оо G
У ! У г (№ ~ /<e>^ I -I- У I Ус /<e> I = ? 4- .9
^ I ^ Lp\Ln-p ln ) I i ^-/ I ^ Lpln \ — °1 I °2 *
p n p
л pq n p
Ho
Л = +оо gr
I c I <- у I /(e) II у /*
1^2 I ^ ^ I *л I I Zj Lp

644 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
и так как
2
я r
то можно взять q столь большим, чтобы| 2! ср\ <^х? а тогда
р=-я 6А
Выбрав q так, чтобы удовлетворялись A1.6) и A1.7), мы его теперь
фиксируем. Заметим, что
I /fe) _ jfsd < I Z«-p - Z"-*+i I + • • • + I Z«-i - Z«} I' если P > °'
l"-p "^ |ep-ep_x|+. .. + №г~№\, если p<0,
а потому
У \с \п у0" I /te> — /<e>
Lp I V -^ Гп ln-\
У \с \п
р=-ч
и эту величину можно сделать < у, взяв q достаточно малым,так как q
фиксировано, а
72=+оо
72= — оо
Итак, взяв о достаточно малым, мы можем добиться того, чтобы
ср(х) = g(x) на (— ?, д) и притом
2\ск\<г,
а это и заканчивает доказательство.
Как следствие из теоремы Леви, получаем уже упоминавшуюся ранее
теорему.
Теорема Винера (Wiener И). Если ср (х) имеет абсолютно схо-
сходящийся ряд Фурье и ср (х) нигде не обращается в нуль, то —-г-г также имеет
абсолютно сходящийся ряд Фурье.
Действительно, если<р(х) не обращается в нуль, то т<^9?(х)<^ М, где
либо т и М оба положительны, либо оба отрицательны, а потому функция
f(z) = — регулярна на этом отрезке, и мы находимся в условиях теоре-
теоремы Леви.
Укажем, наряду с теоремой Леви, один результат Марцинкевича (Маг-
cinkievicz W). Он ослабил требования, налагаемые на /(у), и усилил требо-
требования, налагаемые иа<р(х), чтобы также получить абсолютную сходимость
/ [<КХ)]- В частности, им доказано, что если
(р(х) = 2И сп еШХ у
где 2 \cn\s < + °° Для 0 < 5 < 1, и если существует такая константа А
что
\f(n4y)\<A«tfs (л =1,2,...)
для т' ^ у < М'у где (т, М) с (т', М') [а т и М по-прежнему минимум и
максимум ф(х)]9 то для функции / [^(х)] ряд Фурье сходится абсолютно.

§ 11 СУПЕРПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ С АБС. СХОДЯЩИМИСЯ РЯДАМИ ФУРЬЕ 645
Доказательство Марцинкевича для 5 = 1 не проходит; если бы оно про-
прошло, то это привело бы снова к теореме Леви, поскольку для аналитической
на [а, Ь] функции/(х) всегда существует такая константа К, что
A1.8)
и обратно, если для некоторой/(х) удовлетворены все неравенства A1.8),
то функция/(х) на (а, Ь) является аналитической (см., например, С. Ман-
дельбройдт [м-131, стр. И).
В той же работе Марцинкевич дал пример, когда суперпозиция двух
функций с абсолютно сходящимися рядами Фурье уже не обладает этим
свойством. Именно он положил
О на (—тг,О),
Со М
Г' 7 '
1 на
1п2х
^(х) линейна на (-?-, п\.
Мы здесь рассмотрим пример, очень похожий на пример Марцинкевича,
но изменим функцию так, чтобы было удобно использовать критерий
Г. Е- Шилова (§ б).
Пусть
@) 0
Легко проверить, что все условия а), б), в), г) теоремы Шилова удов-
удовлетворены.
Замечав, что
1 f, I Y
Г 7T+TJ
2 <? Bп+ 1Iп2Bп-Ь
мы видим по теореме Шилова, что <5(<р) сходится абсолютно.
Если мы положим f(x) = ср(х) и
то ясно, что F(x) опять нечетная, F(n — х) = F(x), она всюду непрерывна,
монотонно возрастает наш, ~, ее производная непрерывна и не возрастает
на 0 ^ х <^у. Наконец, и условие г) удовлетворено, как показывает элемен-
элементарный подсчет, так как в окрестности точки х = 0 имеем
I
для ф(х) условие г) удовлетворено.

646 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
Таким образом, к F(x) можно снова применить теорему Шилова. Но
-V 1 F( * )= 1 у_1
а так как
99 I 2 л + U ~~ 2 In2 B л + 1) '
то
11 11
2л+1 Г 1 Г п_ у|2 2л+1 [In In Bл +1)Р
а потому ряд^-зтттт/7(-2тДгг)веДет себякакРяД^B
A)[Шп B л +
т. е. расходится. Из этого мы по теореме Шилова заключаем, что ряд <*
не является абсолютно сходящимся.
Излагая результаты, касающиеся суперпозиций, естественно упомя-
упомянуть об одной проблеме, поставленной И. М. Гельфандом. Рассмотрим все
функции вида f[y (x)]. При каких условиях, наложенных на ср(х), можно
утверждать, что f[<p(x)] имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье, как бы
мы ни выбирали /(у) в классе функций с абсолютно сходящимся рядом
Фурье?
Легко проверить, что если ср(х) = пх + а, где п целое и а постоянно,
то это имеет место. И. М. Гельфанд высказал гипотезу, что это достаточное
условие является и необходимым. Как доказал 3. Л. Лейбензон Ш, если
заранее предполагать, что ср(х) имеет абсолютно непрерывную производную,
то она действительно должна иметь вид ср{х) = пх + а, где п целее и а по-
постоянное.
Доказательство этой теоремы также получается из общей теории нор-
нормированных колец.
§ 12. Некоторые обобщения вопроса об абсолютной сходимости
Вместо того, чтобы изучать, когда сходится ряд
2Ы + \ьп\, A2.1)
можно поставить несколько более общую проблему: дана возрастающая
последовательность целых чисел пк\ выяснить, когда сходится ряд
2\ant\ + \bnt\. A2.2)
Укажем теорему С. Б. Стечкина №\ являющуюся прямым обобщением
результатов §§ 2 и 3.
Если
то ряд A2.2) сходится.
Если f(x) — функция с ограниченным изменением и
то ряд A2.2) сходится.

§ 12 ОБОБЩЕНИЕ ВОПРОСА ОБ АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ 647
Можно ставить вопрос иначе; мы рассматриваем снова все значения п,
но вместо того, чтобы требовать сходимости ряда A2.1), мы требуем, чтобы
п=1
где jS>0 задано. Спрашивается, когда это имеет место?
Укажем, например, теорему:
Теорема С аса (SzaszM). Если /(x)^Lipa, 0<a<^l, то для
всех р > 2^п\ имеем
л-1
2
Для р — я—т-1 это может уже не иметь места.
Z а -\- 1 '
Доказательство первой половины этой теоремы можно получить из
результата Лоренца (§ 3 главы II), таккактам предполагалось а >> -^ ,
а это и значит, что р>о—г~т- Доказательство второй половины теоремы
мы опускаем, отсылая к работе автора; см. также Зигмунд^, § 6.33.
Укажем еще без доказательства некоторые результаты А. А. Конюш-
кова и, изучавшего вопрос, при каких условиях, наложенных на /(х),
имеем
где у^>—1 и /?>0 заданы.
Будем для /? Lp(p^> 1) обозначать через JE<f> ее наилучшее прибли-
приближение в метрике L? тригонометрическими полиномами порядка не выше п
(см. Вводный материал, § 24) и полагать q = -^, если р Ф 1 и q = + °°
при р = 1.
А. А. Конюшков доказал:
1) Если 1<р<2 и /3<^, то
- + оо A2*5)
достаточно для выполнения A2.4).
2) Если 2^р^оо, C^q, у—— > — 1, то A2.5) необходимо для
выполнения A2.4).
Кроме того, Конюшковым рассмотрен ряд случаев, когда условие
A2.5) достаточно для выполнения A2.4) или необходимо для него, но при
дополнительных предположениях относительно ап и Ьп (например, ап^>0,
Ьп^0у или: существует такое г > 0, что п~хап | О и rrrbn | 0).
Конюшксв ставил также вопрос следующим образом: пусть {уп} —
некоторая последовательность положительных чисел, срп ф 0 и рассматри-
рассматривается класс всех функций, для которых
О(<рп). A2.6)
При каких условиях, наложенных на {<рп}, выполнено A2.4) для всех

648 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ГЛ. IX
функций из класса, определяемого формулой A2.6)? Оказалось, что для
этого, если 1<^р<^2, 0</?<^1 и у —— > — 1, необходимо и достаточно,
Ч
чтобы
Ч<РпУ< + °°;
о
если же р = оо, 0 < /?<^ 1, у —у > — 1, то необходимо и достаточно,
чтобы
л=1
С рядом других результатов А. А. Конюшкова можно ознакомиться в
указанной ранее работе.

ГЛАВА X
РЯДЫ ПО СИНУСАМ И КОСИНУСАМ С МОНОТОННО
УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Введение
Эта глава будет посвящена изучению рядов вида
f i A.1)
/2=1
A.2)
где ап j 0. Такими рядами занимались многие авторы, начиная с Фату,
но и сейчас они продолжают привлекать внимание. Элементарные резуль-
результаты, касающиеся этих рядов, были нами уже рассмотрены в § 30 главы 1.
Напомним, что мы доказали там сходимость этих рядов для всех ху кроме,
быть может, хееееО (mod 2n) для ряда A.1), и их равномерную сходимость
на д <^ \х\ <^ п при любом Ь > 0. Было показано также, что для равномерной
сходимости ряда A.1) необходима и достаточна сходимость ряда 2 ат а Для
ряда A.2) условием равномерной сходимости является пап->0.
Прежде чем доказывать новые теоремы о рядах A.1) и A.2), сделаем
общее замечание. Часть результатов, которые мы получили, будет справед-
справедлива и в более общих предположениях, чем ап j 0; однако основные методы
выявляются лучше всего на классическом случае. Некоторые результаты
сразу переносятся на случай, когда последовательность {ап} имеет ограни-
ограниченное изменение (см. Вводный материал, § 1) в силу следующего элемен-
элементарного факта:
Если {ап} имеет ограниченное изменение и ап->0, то молено эту по-
последовательность разбить на разность двух, каждая из которых стремится
к нулю монотонно.
Действительно, пусть
к=п
со
Тогда в силу 2 \^ак\ < + °° имеем Ъп -^ 0 и притом ясно, что bn | 0. Полагая
" к=1
видим, что сп ~> 0. Но, кроме того,
сп - cn+i = bn — bn+1 - (ап - ал+1) = \Аап\-Ас

650 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
значит, сп j 0. Но
п = h — С
кл,п ип v*n
и, следовательно, наше утверждение доказано.
После этого краткого отступления вернемся к изучению рядов A.1) и
A.2) с ап \ 0.
В этой главе мы ставим себе следующие задачи: выяснить условия, при
которых изучаемые ряды являются рядами Фурье (§ 2) и, в частности, рядами
Фурье от функций из класса IP для р > 1; доказать, что хотя суммы рас-
рассматриваемых рядов могут быть обе несуммируемы, но они всегда А-интег-
рируемы, и эти ряды являются их рядами Фурье (А) (см. определения в
главе VIII, § 18).
Мы показываем затем, что суммы этих рядов всегда суммируемы в сте-
степени р, если 0 < р < 1 (§ 5). В § 7 изучается поведение сумм рядов A.1) и A.2)
около точки х = О, а в § 8 их дифференциальные свойства на д <^ |х| <^тт.
В § 9 дано условие, при котором ряд с монотонными коэффициентами
является рядом Фурье от функции из класса Lip a.
§ 2. Условия для того, чтобы ряды с монотонными
коэффициентами были рядами Фурье
Рассмотрим сначала ряд*)
2ап<Р(пх), B.1)
где ср (х) будет означать cos х или sin х и где ап | 0. Как уже упоминалось
в § 1, ряд B.1) сходится в каждой точке, кроме, быть может, точки
х^:0 (mod 2л).
Пусть F(x) — сумма ряда B.1)
Отметим, что для того, чтобы ряд B.1) был рядом Фурье, необходимо и
достаточно, чтобы F(x) была суммируема.
Действительно, допустим сначала, что F(х) суммируема. Из сходимости
ряда B.1) всюду, кроме, быть может, одной точки, тогда следует, что этот ряд
есть ряд Фурье от F (х), в этом можно убедиться, опираясь на теорему
дю Буа-Реймона, которуюмыдокажемв главе XIV(§4). Итак, если F(x)? L,
то ряд B.1) есть a(F) **). Наоборот, если B.1) есть ряд Фурье от некоторой
Ф (х), то почти во всех точках, где он сходится, он должен сходиться именно
к Ф (х) (см. глава I, § 49). Значит, Ф (х) = F (х) почти всюду, т. е. F (х) сумми-
суммируема и ряд B.1) есть ряд Фурье от F (х). Итак, мы пришли к выводу:
Если ап | 0 и
f(x) = 2On<wrix, B.2)
/» = 24sinnx, B.3)
то для того, чтобы ряд B.2) был рядом Фурье, необходимо и достаточно,
чтобы f(x) была суммируема; это оке верно для ряда B.3) и функции}{х).
*) Мы предполагаем, что а0 = 0, так как на изучаемый вопрос это не оказывает
влияния.
**) Можно получить тот же результат, не опираясь на теорему дю Буа-Реймона (см.
Следствие 2 к теореме § 4).

§2 УСЛОВИЯ ДЛЯ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 651
Таким образом, изучение вопроса о том, когда ряды B.2) и B.3)
являются рядами Фурье, сводится к изучению вопроса о суммируемости
/(*) и />).
Установим сначала те результаты, которые для рядов B.2) и B.3) явля-
являются одинаковыми. Для этого снова рассмотрим вспомогательный ряд
2апср(пх), B.1)
где ап \ 0, a q> (х) будет иногда играть роль cos х, а иногда роль sin x. Если
мы обозначим
то D* (х) будет или равно Dn (x) —j, или Dn (х), где Dn (х) — ядро Дирихле,
a Dn(x) — его сопряженное. Поэтому \D%(х)\—четная функция и, как мы
видели в § 35 главы I,
J|D*(*)|d* = O(lnn). B.4)
— п
Пусть
Применяя к этой сумме преобразование Абеля, имеем
SS (х) = 2D% (х) Aak + anD* (x). B.5)
к=0
Если хфО, то |D^(x)l < —, а ап | 0, поэтому второй член правой
sinT
части равенства B.5) стремится к нулю и, значит, из того, что S% (x) ~> /* (х),
где/*(х) = /(х) в случае ряда B.2) и /* (х) = /(х) в случае ряда B.3),
заключаем
f*(x)=2D*(x)Aam.
т=0
По известной теореме Лебега, если ряд
Z^am^\Dl(x)\dx
— л
окажется сходящимся, то /* (х) — суммируемая функция. Но так как
то мы приходим к выводу, что условие
+ оо B.6)
является достаточным для интегрируемости /* (х). Преобразуем немного это
условие. Имеем
= 2 ат[\пт-\п(т-1)]~ап+1\пп^
т=2
, ^ , —^ /71
m=2 m=2

652 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Допустим теперь, что
^— < + °°. B.7)
Тогда и неравенство B.6) заведомо справедливо.
Таким образом, мы приходим к выводу, что если выполнено B,7), то
/*(х) суммируема. Следовательно, мы доказали теорему.
Теорема 1. Если ап \ 0 и 2 — < + °о? тпо ряды
^~+ 2 ancosnx B.2)
и
2 ansmnx B.3)
л=1
являются рядами Фурье.
С другой стороны, очевидно, что для того, чтобы ряд B.3) был рядом
Фурье, условие 2~ < + °° является и необходимым (см. глава I, § 40).
Значит, получаем
Следствие 1. Для того чтобы ряд B.3) был рядом Фурье, необ-
необходимо и достаточно, чтобы 2 — < + °° •
Отсюда сразу вытекает
Следствие 2, Если ряд B.3) есть ряд Фурье, то и ряд B.2) тоже *).
Обратное заключение неверно, так как условие 2 ~ < + °° не является
необходимым для того, чтобы ряд B.2) был рядом Фурье; действительно
(см. § 30 главы I), ряд
^, cos пх
^ In п
( °° 1 \
является рядом Фурье хотя J? п1пп = + °° • Этот результат был нами
выведен из теоремы, которую полезно напомнить.
Теорема 2. Если ап -> 0 и последовательность {ап\ выпукла, то ряд
~Y+ 2 ancosnx B.2)
есть ряд Фурье от неотрицательной функции.
Доказательство ее было дано в § 30 главы I. Эту теорему можно допол-
дополнить, введя понятие квазивыпуклой последовательности. Мы знаем (см.
Вводный материал, § 3), что для выпуклой последовательности
Назовем последовательность {ап} квазивыпуклой, если
2
л=0
*) Заметим, что требование ап \ 0 было здесь существенным. Можно показать (см.
Kahane t2i), что существует ряд 27 ап sin пх с ап > 0, который является рядом Фурье, в
то время как ряд Ё ап cos пх не есть ряд Фурье.

§ 2
УСЛОВИЯ ДЛЯ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
653
Докажем, что если ап->0 и последовательность {ап} квазивыпукла,
то ряд B.2) есть ряд Фурье (но сумма его уже не должна быть неотрица-
неотрицательной).
Действительно, в доказательстве теоремы 2 мы опирались лишь на схо-
сходимость^ (п + 1)А2ап и на вытекавший из этого факт пдап ->0. Для квази-
квазивыпуклых последовательностей из соотношения
следует также
п\Аап
0,
а потому доказательство полностью проходит.
Замечание. Из квазивыпуклости и ап -> О уже не должно следо-
следовать, что ап ф 0, но можно доказать, что из этих двух условий вытекает, что
{ап} имеет ограниченное изменение.
Действительно, раз 2 (п + ^)\А2ап\ < + °°, то и подавно 2 \А2ап\ <
< + оо? а тогда ?Л2ап сходится. Но
? А*ак = (А ап - А ап+1) + (А ап+1 - А ап+2) + ...=Аап,
к=п
так как мы предположили, что ак -> 0} а значит, и лак -> 0. Отсюда
а потому
i
п=0
i 2\
п=0 к=п
а так как^ (п + l)|Zl2an|<
то
для квазивыпуклых последовательностей,
JFMn|,
а это и надо было доказать.
Мы видели, что если ап ф 0 и последовательность {ап} квазивыпукла,
то ряд B.2) есть ряд Фурье. Сидон первый поставил вопрос, не является ли
одно условие ап ф 0 достаточным, чтобы ряд B.2) был рядом Фурье. Он по-
показал на примере, что это неверно. Напомним, что в § 9 главы II мы также
убедились в наличии рядов вида B.2) с ап ф 0? не являющихся рядами
Фурье.
Из теоремы 2 легко вывести следствие:
Существуют ряды вида
2J ап cos nx,
где ап убывает как угодно медленно, и, однако, они являются рядами Фурье.
Это получится' сразу из теоремы 2, если установить справедливость
такого предложения: если ап > 0 и ап -> 0, то можно найти такую выпуклую
последовательность еп, что еп -> 0 и еп ^> ап.
Прежде всего, не нарушая общности, можно доказывать наше утвер-
утверждение для случая^ ф 0, так как, если этого нет, мы положим ап = maxak,

654
РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
гл. X
найдем выпуклую последовательность {еп} с еп -> 0 и еп ^ ап и доказатель-
доказательство будет закончено.
Итак, пусть ап ф 0. Последовательность {ап\ можно предположить
строго монотонной, так как, если этого нет, достаточно провести построение
для \ап + М. Пусть аг > а2 > ... > ап > ... и ап -> 0. Для построения
последовательности {еп} изобразим точки Ап с координатами (и, ап) и соеди-
соединим их бесконечнозвенной ло-
ломаной линией. Эта ломаная L
асимптотически приближается
к 0 в силу ап -> 0. Построим
теперь выпуклую ломаную L',
целиком лежащую выше или на
данной ломаной и также стре-
стремящуюся к Ох; ее ординаты
еп при х = п и дадут решение
задачи.
Для построения такой ло-
ломаной L' возьмем ее первое
звено совпадающим с первым
звеном ломаной L. Затем мы продолжаем его либо прямолинейно (рис.
43), если наклон второго звена L к Ох был круче наклона первого звена,
либо вдоль второго звена.
В силу свойств L ни одно из так построенных звеньев L' не будет парал-
параллельно оси абсцисс. Поэтому, продолжая второе звено L' прямолинейно,
мы непременно встретим L в какой-то точке, являющейся либо одной из
вершин L, либо лежащей внутри какого-то звена. В последнем случае ведем
L' по этому звену до ближайшей вершины. Затем снова продолжаем ее пря-
прямолинейно до встречи с L и т.д. Ясно, что полученная ломаная выпукла^
лежит целиком не ниже L и асимптотически стремится к Ох. Это заканчи-
заканчивает доказательство.
Из доказанного утверждения следует, что никакое условие вида
Рис. 43
О-п
где У7 (п) -> оо как угодно, лишь
< +
1
У{п)
= + оо? не является необходимым
для того, чтобы ряд 2J ап cos пх с ап I- 0 был рядом Фурье.
Действительно, пусть W (п) задано и Z^rrv^ + °°- Можно выбрать
ап | 0 и столь медленно, чтобы все еще 2~mfj== + °°- Но если при этом
последовательность ап еще и выпукла, то ряд 2 ап cos nx будет рядом Фурье
V
Cln
(хотя условие ^ ^у
< -j- оо не выполнено).
Этот результат обобщает утверждение: условие
X1 пп ^ ^
^ <Г —г- ОО
не является необходимым для того, чтобы ряд B.2) был рядом Фурье. (Мы
уже это отмечали ранее.)
Мы убедились, что ряд 2 ап cos пх с ап \ 0 будет рядом Фурье, если
{ап} выпукла или хотя бы квазивыпукла. Теперь докажем теорему:

§ 2 УСЛОВИЯ ДЛЯ РЯДОВ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 655
Теорема 3. Если ап ф 0 и {ап} выпукла или хотя бы квазивыпуклаг
то для сходимости ряда
2 ап cos nx B.2)
в метрике L необходимо и достаточно, чтобы
lim an In п = 0.
Мы знаем (см. глава I, § 30), что сумму п первых членов ряда B.2) можно
записать в виде
Sn (х) =П2(т+1)А*атКт (х) + п Кп-Х (х) А ап_г + Dn (x) ап, B.8)
где Кп(х) — ядро Фейера, а для его суммы f(x) имеем
f(x)=2(m+l)A*amKm(x). B.9)
Поэтому
f(x)-Sn(x)= 2 (m+l)A^amKm(x)-nKn-1(x)^an_1-Dn(x)an.
т=п— 1
Так как в случае выпуклой, или хотя бы квазивыпуклой последователь-
последовательности {ап}, как мы уже отмечали,
2(т + 1)\А*ат\< + оо и (п+1)Идп|->0,
l
то
следовательно,
2 (т+1)\А*ат\$Кт(х)с1х-*0
т=п — 1 —я
при п -> оо и потому
я я
Так как
я
J | Dn (x) | dx ~ In n
—я
(см. глава I, § 35), то теорема доказана.
В частности, ряд
^, cos nx
<? Inn
хотя и является рядом Фурье, но не сходится в метрике L.
Так как ряд
^ sin nx
^i 1ПП
л = 2
не является рядом Фурье, то этот пример не дает еще ответа на вопрос, дол-
должен ли ряд Фурье сходиться в метрике L, если сопряженный ряд является

656 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
рядом Фурье. Все же в § 22 главы VIII, строя несколько более сложный
пример, мы видели, что ответ на этот вопрос отрицательный.
Наконец, заканчивая вопрос о том, когда ряды^ ап cos пх и 2 ап sin пх
с ап ф 0 являются рядами Фурье, сделаем еще одно замечание, относящееся
к случаю ряда
/(х) = 2ansinnx.
Хотя / (х) может быть несуммируемой, но имеет место
Теорема 4. Если ап ф 0, или хотя бы ап—>0 и {ап} с ограниченным
изменением, то / (x) sin пх непрерывна при любом п и
2л
ап = — ! / (х) sin пх dx
(причем интеграл имеет смысл даже при несуммируемой/(х) в силу непре-
непрерывности / (х) sin пх).
Чтобы убедиться в этом, будем рассуждать так. Из равенства
/(х) = 2 ans\nnx,
л = 1
справедливого для всех х, имеем
_ 00 00
2/(x)sinx= 2 2 ап sin пх sin х == 2 ап[со$(п — l)x — cos (п + 1)х] =
= аг + а2 cos х + 2 (ап+1 — ап^) cos пх. B.10)
Но
| ап+1 - ап^ | < \ап+1 - ап \ + \ ап - ап_х \ = \ А ап \ + \А ап_х |,
а потому из сходимости 2 \Лап\ следует
2
2
— an-i I < +
n=2
а значит, и равномерная сходимость ряда B.10); отсюда получается непре-
7/ \ • л. sin пх
рывность /(x)sinx, но тогда, умножая на непрерывную функцию —^— ,
сразу убедимся, что Дх) sin пх непрерывна при любом и. После этого уже
ясно, что числа
2 аъ а2, as alf а^ а%,...
являются коэффициентами Фурье для 2 / (х) sin x, а потому
71
2аг = — f 2j(x)smxdx,
71 J
71
т. е.
71
«i = ^-J/(*)sinxfifx,
71
Я Л
а2 = ~\ 2/(x)sinxcosxdx==— /(x)sin2xcfx

§ 3 РЯДЫ ФУРЬЕ ЛЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Lp 657
и далее из
л
ап+1 — #„_! = — f 2 / (х) sin х cos пх dx =
—л
л
= — f/(x)[sin(n + 1)х — sin (л — l)x]dx
—л
находим, что если
л
—Л
уже доказано для некоторого т, то это верно и для ат+2, откуда справедли-
справедливость этой формулы следует для всех /л, поскольку она доказана для аг и а2.
§ 3. Ряды Фурье для функций из класса LP
До сих пор мы изучали лишь вопрос о том, когда функции f(x) и /(х),
определяемые рядами 2J ап cos пх и 2 ап sin пх с an j 0, являются сумми-
суммируемыми. Мы поставим теперь вопрос об их суммируемости в степени р > 1.
Ответ на этот вопрос дается теоремой:
Теорема. Для того чтобы функции
f (x) = 2an cos лх и /~(х) = 2' ап sin nx (an j 0)
принадлежали классу 2Др>1), необходимо и достаточно, чтобы
2Хл^-2< + оо. C.1)
По теореме Рисса (см. глава VIII, § 14),_если f(x)?Lp (p > 1), то и
/(х)тоже, каждый раз, как функции/(х) и f(x) являются сопряженными;
поэтому достаточно в нашем случае доказывать теорему для f(x).
Пусть F (х) — интеграл от / (х), а Ф (х) — интеграл от |/ (х)\. Если / (х) $
$ LP, то ряд 2ап cos nx есть ее РЯД Фурье, как мы видели в § 2. Отсюда вы-
вытекает законность почленного интегрирования этого ряда, а тогда
F(x) =\f(t)dt = ^^ sin лх.
6 n==1
Так как sin л ^ = — sin (л + к) у = sin (л + 2к) у = ..., то можно на-
написать
л=1
к-1 ' ап
gin П ^ C.2)
/с v/
в силу ап ф 0. Если -^ < л ^ -^ , то sin n у > -^ и> кроме того,
ап Г— т-г1 >4-— ; "о ™сло членов суммы в C.2) имеет
|_/7 Л-р/^ 0/2
/2 П. -\- К
порядок /с, а потому
где С — абсолютная константа.

658 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Отсюда следует, что
и необходимость условия C.1) будет доказана, если мы покажем, что ряд в
правой части C.3) сходьтся. Но так как
л—1 л—1
то ряд в правой части C.3) окажется сходящимся, если интеграл j —— dx
о
имеет смысл. При /(х) ? U это всегда имеет место (см. Добавления, § 22).
Мы убедились, что сходимость ряда C.1) необходима для того, чтобы
/(х) ? Lp. Докажем, что это условие л достаточно.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
+ I 2 fl*cosfac|. C.4)
к=п+\
Обозначим Ап = 2J ак. Замечая, что \Dk (х)| ^т— при 0 < jx| < n и применяя
ко второму члену суммы в C.4) преобразование Абеля, находим, в силу
l/WK|f|6n ДЛЯ
а потому
|/()|<п для
Отсюда
2 \
л=1 J
л
л+1
и если мы докажем, что последний ряд сходится, то /(х) ? Lp, и теорема будет
доказана. р
Остается убедиться, что если ? орппр~2 сходится, то ? —у-тоже сходится.
Если мы обозначим через <р(х) функцию, определяемую так:
9(х) = ап, л<х<н+1 (л=1,2,...),
и положим Ф(х) = § <p(f)dt, то нужное утверждение получится из теоре-
мы 2 § 22 Добавлений. Этим заканчивается доказательство теоремы.
§ 4. Л-интегрируемость сумм рядов с монотонными коэффициентами
Рассмотрим снова ряды
/(*)= 2 aksinkx D.2)
к=\

§4 Л-ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ 659
с коэффициентами ак ф О или хотя бы удовлетворяющими условию
ак->0, ^И^|< + оо. D.3)
к=\
Мы знаем, что/(х) и/(х) при этих условиях могут быть и несуммируемы.
Но если пользоваться понятием А-шгтрала (см. глава VIII, § 18), то можно
доказать теорему (см. П. Л. Ульянов М):
Теорема. Если выполнено условие D.3), то обе функции, опреде-
определяемые рядами D.1) и D.2), А-интегрируемы и эти ряды являются их рядами
Фурье (А)*).
Для доказательства сначала убедимся, что для /(х) и/(х) удовлетворено
одно из условий Д-интегрируемости, а именно
ш?(|/(х)|>п) = вЩ.
Действительно, применяя преобразование Абеля к частным суммам
ряда D.1) и переходя к пределу, что законно, так как ак-^0} имеем для
х ф О (mod 2л)
2
к=0
где Dk(x), как всегда, ядро Дирихле.
Пусть s > О любое. Существует такое р, что
пр
Напишем
/(*) = 2 Л akDk(x) =*2A akDk(x) + 2 Л akDk(x) = Sx(x) + S2(x).
/с=О к=0 к=р
Так как &\ (х) содержит фиксированное число членов, то
где М — некоторая константа, а потому, если п > 2Л/, то
Так как при х ф 0 (mod 2тг)
^<^г> D.4)
2 sin
ТО
а потому
*) См. определение рядов Фурье (А) в § 18 главы VIII.

660
РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Отсюда следует, что
потому что е как угодно мало.
Для / (х) проходят те же оценки, так как замена Dk (х) на Dk (x) приводит
лишь к тому, что в неравенстве D.4) появляется лишний множитель 2.
Установив это, докажем теперь, что
lim I | + uf(pc)dx = na0,
lim [ J + П / (x) cos kx dx = л ak (k = 1, 2,...).
Так как f(x) четная, то достаточно доказать, что
lim [f(x)dx=~UQ и lim \f(x)coskxdx= E.ak. D.5)
Рассмотрим случай /с = 0. Так как на отрезке [в, л] ряд D.1) сходится
равномерно, то
2
к=0
к=0
I , ч * sinne
2-(я-в)~Д-й-
П=1
/с=0
где
Так как
^ sinnx
<c
при любом х и любом к, где С — абсолютная константа (см. глава I, § 41), то
где С± — абсолютная константа, а потому
2
к=0
где
следовательно,
е-0
lim
а это и надо было доказать.
k=0

Л-ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ 661
Рассмотрим теперь случай к=?=0. Имеем аналогично
U(х)coskxdx = ? Аап JDn(x)coskxdx = % Aanbtf ,
где
b$ = §Dn(x) cos kxdx.
е
Ясно, что и здесь числа ?^е) ограничены в совокупности, и, кроме того, как
легко подсчитать
lim ft<?> = 0 при п < к
О
Отсюда сразу получаем
lim j / (х)cos kxdx = -~ ак (к = 1, 2,...),
как и требовалось доказать.
Заметим теперь, что так как / (х) нечетная и было уже доказано, что
то/(х) заведомо (Л)-интегрируема на (—-я, л). Это же справедливо для
/ (х) cos kx, так как она тоже нечетная и
/n?(|/(x)cosfcx|>n)</n?(|7(x)|>n) = o(-i) .
Кроме того, из определения А-интеграла и нечетности f(x) cos kx сразу
следует, что
(А) § f(x)coskxdx = 0 (к= 1,2,...).
—п
Далее, как было доказано (см. § 2), хотя/"(х) и не обязана быть сумми-
суммируемой на (— я, л), все же
ак = ~(L)jf(x) sin kxdx,
если выполнено условие D.3) нашей теоремы, а так как Л-интеграл совпа-
совпадает с интегралом Лебега, если этот последний существует, то мы видим, что
ряд D.2) есть ряд Фурье (А) от /(х).
Теперь перейдем к доказательству того, что и ряд D.1) есть ряд Фурье
(А) от /(х), т. е. докажем, что
(A)Sf{x)dx=aon, D.6)
—я
(A) I f{x) cos kxdx = 7i ak (k= 1, 2,.. .)• D.7)
—я
Рассмотрим сначала случай к = 0. Положим
М/)= sup {*}.

662 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Так как /(х) непрерывна на (в, п) при любом е > 0, то ясно, что
lim/*„(/) = 0.
Положим для любой <р(х)
а (х)= «"(*) на /!<х<>,
К 0 на 0<х</г.
Пусть е > 0 любое; выберем р так, чтобы
2 \Дак\<*
и напишем
/(х) = 1чDfc(x) + i JafcDft(x) = S(x) + Я(х),
тогда
Определим hn(R) так же, как было определено hn (/). Тогда
hn(R)<^--
Выберем N так, чтобы при п^ N иметь
что, очевидно, возможно. Тогда
О
f
}dx|= f"
о о
В силу определения ?>л(х) имеем при любом h из D.8)
поэтому
J (x)}dx = 0.
J
О
Из D.14), D.11) и D.10) получаем
- J{[S(x)]n - S,wTO
о
]n -S(x) -

§ 4 Л-ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СУММ РЯДОВ 663
потому что [S(x)]n = S(x) почти всюду. Второй интеграл в D.15) равен нулю
в силу D.14), а первый может быть отличен от нуля лишь на тех множествах,
где |/(х)!>л или j/?(x)|>/z.
Но первое из этих множеств имеет меру меньше ~ в силу D.10),
2 е
а второе меру, не превосходящую — всилу D.9). Кроме того, подынте-
подынтегральное выражение по модулю не превосходит Зп почти всюду, и
значит,
Принимая во внимание D.12) и D.13), мы теперь получаем из D.15)
т. е.
lim Г[/ (x)]ndx = lim f fhn(R) (x) dx = lim f/ (x)dx = ~a0.
П—> oo ^ n—> oo "П—>-0
0 0 V
В случае к =j=0 проходят те же рассуждения с небольшими изменениями
Значит, формулы D.6) и D.7) доказаны.
Остается заметить, что / (х) sin kx — нечетная функция при любом к
и в силу
имеем
тЕ{ |/(x)sinfoc|>«) = о (-^
откуда следует, что она Л-интегрируема и
(i4)//(x)sinfocdx = 0.
—п
Следовательно, ряд D.1) есть ряд Фурье (Л) от/(х), и теорема полностью
доказана.
Следствие 1. Если1(х) ограничена снизу, то она суммируема на
(— тг, п).
Действительно, для функций, ограниченных снизу, Л-интеграл сущест-
существует только в том случае, когда существует интеграл Лебега, а у нас / (х)
Л-интегрируема.
В частности, если /(х)^0, то она суммируема.
Замечание. В § 2 мы доказали, что /(х) неотрицательна и сумми-
суммируема, если ап -*0 и {ап} выпукла. Теперь мы видим, что из неотрицатель-
неотрицательности /(х) суммируемость вытекает автоматически.
Следствие 2. Если f (х) суммируема на [— тг, тг], то ряд D.1) явля-
является ее рядом Фупье. Это же верно в случае суммируемости / (х) для
ряда D.2).
Это опять вытекает из совпадения (Л)-интеграла с интегралом Лебега,
когда этот последний существует. Мы отмечали раньше справедливость
утверждения, содержащегося в следствии 2 (см. § 2).

664 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
§ 5. Суммируемость |/ (х)\р и |/(х)|р при 0 < р < 1
Мы знаем, что функции / (х) и/Ух), определяемые рядами D.1) и D.2),
при ап | 0 могут быть несуммируемы. Однако они суммируемы в любой
степени р, лишь бы 0<р< 1. Этот результат принадлежит Ульянову.
Чтобы убедиться в этом, докажем прежде всего такую теорему, также
принадлежащую Ульянову М:
Теорема 1. Если последовательность {ак} удовлетворяет условиям
ак->0 и 2\^ак\< + °° у
то для любого р, 0 < р < 1, имеем
lim f|/(x)-Sn(x)|^x = O, lim J |/(x) - Sn(x) \p dx = 0 ,
где Sn(x) и Sn(x) — частные суммы рядов D.1) и D.2).
Действительно, в силу преобразования Абеля
/ (х) - Sn (х) = % А ак Dk (х) - an+l Dn (х) при х ф 0 (mod 2л),
значит,
( 2 V ( р
а потому
00 П
Аналогичное рассуждение справедливо и для f (х) — Sn(x). Теорема до-
доказана.
Так как при 0 < р < 1 из
следует
(см. Вводный материал, § 10), то из доказанной теоремы, поскольку |Sn(x)|p
и |Sn(x)jp всегда суммируемы, сразу следует:
Теорема 2. Если удовлетворено условие D.3), то для любого р обе
функции |/(х)|р и \f(x)\p суммируемы.
§ 6. Равенство Рисса
Мы доказали в § 14 главы VIII, что если р > 1, q > 1 и— Н = 1, то
для /(х) ? Lp, ср{х) ? U имеет место равенство Рисса
(L) I f(x) <p(x) dx=- (L) J /(х)ср (х) rfx ,
—л —л
где /(х) — сопряженная с /(х), а ^(х) — сопряженная с у(х).
В § 18 главы VIII мы доказали аналогичное неравенство, считая, что
/(х) ? L, а ^(х) и ^(х) ограничены;тогда/(х) уже не должна быть суммируема,
но она А-интегрируема и
(A) If (х) ср (х) dx = - (L) J / (х) <р (х) rfx .

РАВЕНСТВО РИССА 665
П. Л. Ульянов рассматривает случай, когда/(х) и/(х)— суммы рядов
D.1) и D.2), удовлетворяющих условию D.3), а<р(х)и^(х)— две сопряжен-
сопряженные функции, причем они обе имеют ограниченное изменение. При этом он
получает аналогичное равенство, но уже применяя А-интегралы в обеих
частях.
Предварительно он доказывает следующую лемму:
Л е м м а . Если f (x) есть четная периодическая функция и коэффи-
коэффициенты {ак} ее ряда удовлетворяют условию
0*-*О, 2\Аак\< +оо, F.1)
а <р(х) — функция с ограниченным изменением на [— л9 тг], то
(A) U(x)V(x)dx=n2 AakSk[v,0],
где Sk [у, 0] — значение k-й частной суммы функции ср(х) в точке х = 0.
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда ср(х) четная.
Положим
и докажем, что при е --> 0 существует
lim /e.
8->0
Имеем
h = !f(x)<p(x)dx = ?A
s k=0
Положим
ф (x)= ^W П?и
0 при 0<|х|<г.
Пусть af — коэффициенты Фурье этой четной функции, S^ и а<? —
ее частные суммы и феиеровские суммы. Из определениясре(х) следует, что
где С — константа, не зависящая от еу а Уьагр (х) — полное изменение функции
^(х) на (а, Ь). Поэтому из равенства
С(е)
а<6) cos х + • .. + na{s) cos nx
Ш 1 ' П
сразу следует, что числа Sff ограничены в своей совокупности константой,
не зависящей от е. Но
\<p(x)Dk(x)dx = J>?(x) Dk(x) = f уе (х) Dk (x) dx =
Поэтому

666
РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
гл.Х
и в силу того, что [SJfl < Cv где Сг — абсолютная константа, переход к
пределув последнем равенстве является законным, и мы имеем
Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы § 4, мы получаем
я я
lim jf(x)<p(x)dx=(A) \f(x)cp(x)dx=^2Aak Sk[<p,O].
e 0 k=z°
Ясно, что совершенно так же докажем
о
(A) j f(xMx)dx=%2AakSk[<p,0].
—я
Складьшая эти два равенства, получим
(A) J / (х) <р (х) dx = л 2 А ак Sk [<р, 0].
—я к=*0
Если ср (х) нечетная, то лемма также справедлива, так как в обеих частях
равенства будут стоять просто нули. Наконец, в общем случае надо пред-
представить ср(х) как сумму четной и нечетной функций.
Мы имеем теперь возможность доказать теорему:
Теорема. Пусть у{х)иу (х)_— две сопряженные функции, обе с огра-
ограниченным изменением. Пусть f (х) и / (х) — суммы рядов D.1) и D.2), удовлет-
удовлетворяющих условию D.3). Тогда
(A) J / (х) ? (х) dx = - (A) $f(x)q> (х) dx.
—я —я
Ввиду аддитивности Л-интеграла достаточно рассмотреть случай, когда
а0 = о и когда <р(х) нечетная.
Пусть сА — коэффициенты Фурье функции у (х). Так как<р(х) и <р(х)
обе имеют ограниченное изменение, то по теореме Харди и Литтльвуда (см.
глава VIII, § 12) имеем
Рассмотрим выражение
Так как
?i Я ч
—л е2 J
*'+l)si
¦я я« '
\Нг— ус { f * 4- fI sinnxD^xWx
21 f + UsJnnxsin/xdx
<¦
I
TO

РАВЕНСТВО РИССА 667
а потому мы можем перейти к пределу по ег и ?2, что дает
Рассуждая, как в теореме § 4, получим
k=l
Но так как Sk [<р, 0] = Sk [dp> 0], то
{A)l]{x)<p{x)dx=-n2AakSk[<p,Q].
—л к=\
В силу леммы имеем
(А) // (х) у (х) dx = л 2 А ак Sk [у, 0],
—л к=\
поэтому, сравнивая два последних равенства, мы видим, что теорема
доказана.
Замечание 1. Нельзя предполагать только ограниченность изме-
изменения ср (х), потому что иначе наши интегралы могут оказаться не имеющими
смысла.
Пример. Пусть
1 / \ ^ cos kx
Тогда / (х) ? L, а / (х) = 2J "тЧг~ ? L.
Если положить
1 при 0<х<7г,
— 1 при — л <х<0,
то легко видеть, что
(A)lt{x)<p(x)dx = 2{L)lf{x)dx = + oo,
—п О
хотя tp(x) с ограниченным изменением на [—п,п].
Замечание 2. Пользуясь доказанной теоремой, можно получить
следующий результат.
Если ак->0, 2/Ия/с|<+°° и
к=\
то / (г, х) — гармоническая функция в единичном круге и / (г, х) представлена
Л-интегралом Пуассона, т. е.
2л
(
о
и аналогично для функции /(х) (см. П. Л. Ульянов^).

668 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
§ 7. Поведение около точки х = О
Мы знаем, что для д <^ |х| <^ п обе функции /(х) и / (х) непрерывны (см.
§ 1). Но при приближении к точке х = 0 они могут неограниченно возрас-
возрастать, даже_быть несуммируемыми. Иногда бывает важно оценить, как ведут
себя/(х) и/(х) около точки х = 0. Мы рассмотрим их поведение для выпук-
выпуклых последовательностей {ап}.
Дляудобства оценки введем в рассмотрение функцию а(х), определяемую
так, чтобы а(п) = ап(п = 1,2, ...), а между точками п и п+1 она либо
линейно интерполируется, либо определяется каким-либо другим способом,
лишь бы она была выпуклой.
Примем, кроме того, гипотезу, что ха (х) f , откуда, в частности, следует,
что пап f . Это условие обычно выполняется для наиболее интересных слу-
случаев рядов вида 2J ап cos пх и ? ап sin пх.
Если ап | 0 и пап ограничено, то частные суммы ряда 2J ап $т пх огра-
ограничены в совокупности, значит,/(х) ограничена (см. глава I, § 30). Поэтому
интересно изучать поведение / (х) лишь для случая пап t °°.
Начнем с рассмотрения поведения
/(х) = ^ я» sin/we
и докажем теорему Салема (Salem M).
Теорема 1. ?сли а (х) — выпуклая функция, а (х) -> 0 при х -> оо?
ха(х) t, fln = fl(^), mo
f (y\ /~^s /7 1 I ПП/7 Y —>¦ О
Знак ^^ здесь и в дальнейшем понимается так, как это указано в § 11
Вводного материала.
Для доказательства этой теоремы поступим так. Прежде всего запишем
Н в виде
в виде
... + а2р_г sin Bр - l)-g- - [а2р+1 sin ^ + ... + азр sinp ^ +
+ азр+1 sin (р+1) ^ +... + а4р_х sin Bр-1)^] + ... =
= Ро -Рг + Р2 - Р3 +... + (- 1)" Рп + ...,
где числа Рп все положительны, монотонно убывают и стремятся к нулю,
потому что ряд ^ ап sin пх сходится.
Так как сумма р — 1 последних членов в Ро не меньше суммы р — 1
первых членов в Plf то
sin (p + l)~
где

ПОВЕДЕНИЕ ОКОЛО ТОЧКИ ж = 0 669
Но
х ( , П . р + 1 . х
_ cos— — cos р +-yhe sin^-vr—xsmp —
П (х) — ^=
ир\х) —
р\х) — х х
2 sin у sin —
Поэтому
. п . (п , п \ . ол
sin -- sin -г- + -г— sin2—i~
4 {4 4pJ^ 4 _ 2р
^ .л; -^" л; л;
Sin-r-p -т—
4 Ар
Итак,
Рассуждая таким же образом, находим
Р2-Рг>-?(а5р-
а потому
Но мы предположили последовательность {ап} выпуклой; поэтому
Яр- азр>азР-а5р,
значит,
2 (ар - азр) > пр - азР + агР ~ аьр у
также
2 (а5р — а7р) > а5р — а7р + а7р — адр,
откуда
и, следовательно,
2 [flp - азр + а5р - а р
С другой стороны, мы имеем
") < ро = ^i sin ^- + а2 sin 2 ^- + . .. + яр sin
и так как 0 ^ sin х ^ х при О <С х ^ ~, то
Но мы предположили, что пап t, поэтому
= 1^- G-2>
Итак,
i(^)<fp«P- G.3)
Перейдем теперь к оценке/(х) для любого х. Для этого выберем р так,
чтобы
п ^ п
и будем сравнивать /(х) и Л|-

670 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
С этой целью докажем сперва, что х2/(х) имеет производную, равную
нулю при х = 0.
Чтобы обнаружить это, применим дважды к ряду
/ (х) = 2 ап sin nx
преобразование Абеля. Имеем сначала (для х =f= 0)
f()
и далее
1{)
л=1
Но (см. глава VIII, формула E.2))
поэтому
4sin2|-/(:c) = j?(n + 1) B sin у cos |-- 7rJrf sin (n + 1)
f sin(n+ l)x. G.4)
(
Если мы продифференцируем ряд, стоящий в правой части G.4), то по-
получим ряд
cosx2(n+ \)Д*ап-2А*ап(п+ l)cos(n+ l)x,
п=\ п=\
который сходится равномерно, потому что 2 \^2ап\(п + 1) < + °° и при
х = 0 он имеет сумму, равную нулю. Отсюда следует, что 4 sin2-^/(х) имеет
производную, равную нулю при х = 0, а значит, это верно и для х2/(х).
Отсюда сразу следует, что
-?2F ДЛЯ 2FT1)"<
где 8 -> 0 при р -> оо. Поэтому для тех же значений х находим
и, учитывая G.3), получаем
Отсюда сразу видно, что для тех же х
С < L&L <г С2,
i^ рар - 2>
где Сх и С2 — постоянные, т. е. f(x)~pap.
Но из
2р ^ 1 ^ 2(р +
л; ^ х ^ л;

§7 ПОВЕДЕНИЕ ОКОЛО ТОЧКИ ж = 0 671
следует
х
и остается доказать, что
Так как
1 2
то — <р<^ —, если х достаточно мало. Поэтому
л х
С другой стороны, если р четно, то
так как мы предположили, что пап f .
Если же р нечетно, то из р + 1 <-7р- + 1 следует р + 1< —, еслих
достаточно мало, а потому
значит, во всех случаях
и доказательство заканчивается.
Пример. Если мы положим а (х) = у-^-, то приходим к выводу, что
сумма ряда
J!, sin nx
2
-^ inn
л =2
ведет себя около х = 0, как -^ц—г > откуда снова подтверждается уже
известный нам факт, что этот ряд не есть ряд Фурье (см. глава I, § 40; функция
х\\пх\ несуммируема).
Перейдем к изучению поведения функции
/ (х) = -~- + Jg ak cos kx G.5)
к=\
в окрестности точки х = 0. Докажем теорему (Салем М):
Теорема 2. Если а (х) — положительная выпуклая функция для
х ^> 0, а (х) -> 0 при х -> + оо, плап \ , 2J &п = + °°? то сумма ряда G.5)
удовлетворяет условию

672 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Для доказательства этой теоремы прежде всего, как мы это делали для
ряда из синусов, оценим /ЬгЧ • Для этого разобьем ряд G.5) на куски так:
2^f 2
к= 1 р-\-1
Зр—1 п Ар
+ 2 fc+ 2
2 T 2
2р+1 ^ Зр+1
B р + /с) ^ + 2 aiP-u cos D р - к) -
2а4Р+.cosDp
к=1 ^ к=\
• + J? (^ - а2Р-к) cos fc -g- - ^' (a2p+fc - a4p_fc) cos к -~-
^ {«ip+k - a 6p_fc) cos к -?- - ^ (a6p+fc - aSp_k) cbsk^- +
k=\ F k=l F
Так как an | и J2an ^> 0, то Pj > P7-+1 при любом / и a2;- > a2j+2, а потому
т. е.
Г + 2 (fl* - a2p-^)cos * ^
/с^ 1
i? ?7 -{- ^y (иг. ci г.) cos /c ^^ (d д.ь а ь)cos /c - —
G.7)
Применяя к правой части неравенства G.6) преобразование Абеля,
находим
«о ^2
2 [«* " °^1 - (^р-* " fl2P-^-l)l ^ Ш
к= 1

§7 ПОВЕДЕНИЕ ОКОЛО ТОЧКИ ж = 0 673
и так как Dk b^-j > 0 при 1^/с^р — 1 ив силу выпуклости {ак} имеем
<*к - Я/н-1 + а2Р-к-1 - я2р-л = Аак + А аар-л-! < 2 А ак,
ар-х - ар+1 = А ар_г + Аар^2А ар-г,
то
Для оценки /(-^—I снизу заметим прежде всего, что в силу гипотезы
плап \ мы можем, сравнивая
= d ak + A ak+l + ... + A а2р_к_г
и
а2р+к а4:р-к = A U2p+k + • • • + А п?р_к_л ,
написать для 5 = 0, 1, 2, ..., 2р — 2к— 1, /с = 1, 2, ..., р — 1,
(/с + s)Aak+s^Bp + k + s)Aa2p+k+s,
откуда
к -\- s 1
и, следовательно,
«4р-Л<у (ДА ~ а2р~/,) • G.8)
Формулу G.7) можно переписать так:
(flA ~ a2P-k) cos ft -J^ - (a2p+, - a4p_,) cos к ^] - a2p.
Если р достаточно велико, то #2р< ^Г2Г соединяя это с G.8), находим
^ - ^-)cos fc 27] •
Так как
и
то, применяя преобразование Абеля к выражению в квадратных скобках
в G.9), как мы делали при преобразовании формулы G.6), находим
к= 1
Итак, мы пока убедились, что

674 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Так как \Dk (х)| < к + 1 при любом х и, с другой стороны, для
<у имеем i!5^;>|-, то ясно, что
при любом /с, 1<^/с<^р—1, откуда
к=\
Но мы предположили, что ап\0 и 2J ап = + °°- Поэтому мы должны
иметь*) и
2
к=\
т. е. сумма в правой части G.10) стремится к бесконечности при р
Поэтому
2
к=\ к=\
Нам надо теперь перейти к случаю любого х. Для этого, как и при
оценке / (х), рассмотрим для всякого х > 0 такое р, что
' GЛ1>
и оценим /'(х) около х = 0. Так как (см. формулу B.9) в § 2)
т. е.
то
sin —
ncos(n+l)x]. G.12)
Если мы продифференцируем почленно ряд в правой части GЛ2), то
получим ряд
Z(n+ l)A*ansm(n+ l)x,
сходящийся равномерно в силу2J(п +^)A2an<C + °°. Значит, его сумма
sin у] f(x)
имеет производную, равную нулю при х = 0, а значит, это верно и для
*2 f(x).
Отсюда, как и в случае / (х), заключаем
*) Наше утверждение основывается на одной лемме из теории числовых рядов (см.
Вводный материал, § 4).

§ 7 ПОВЕДЕНИЕ ОКОЛО ТОЧКИ х = (
где ?->0 при р->оо. Но тогда
2р2 H2pJ -^ л^ ^ 27 ч-г, л=1
а так как 2~( ^ ^ < х<-^- (см. G.11)), то отсюда окончательно выводим
f(x)~ укАакУ G.13)
к=\
где р определяется из неравенства G.11).
Покажем, что отсюда следует
f(x)~J?kAak, G.14)
к=\
где уже q = \ — \- Действительно, с одной стороны, ясно, что
<7 Р
к=\ к=\
С другой стороны, клак j по условию, поэтому
^ Я Р ^
/с=1 /с=1 7+1 Л=1
Но так как р = O(q), то в силу Ыа^ | находим
значит,
2 кАак^(С+ \JкАак.
/с=1 к=\
Соединяя G.15) и G.16), видим, что
?кАак~?кАак,
к=\ к=1
а это в соединении с G.13) дает G.14).
Наконец, остается убедиться, что
2kAak~$t[a(f)-a(t+ \)]dt.
A:=l 1
Для этого заметим, что из t[a(t) — a(t+ 1)] j следует
fa(t) - a(t + l)]dt = Ч2
\ k=l к
5 (fc + 1)^1 flfc+i = I fc^l flfc - A ax
k=\ k=\
\[()()]^T t[a(t) - a(t+\)]dt^2 kA ak,
1 /c=l к к=\
этим доказательство заканчивается.

676 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
Замечание 1. Если a(t) имеет производную, то можно писать
также
/(х)~//|а'@|Л.
1
Действительно, |а'@| ^ \a(t + 1)—fl@l ^ К(* + 1)|> если а (/) выпукла. Но
тогда
J /1 а'@ I Л> I' КО ~ <*(' + 0] *
1 1
и, с другой стороны,
$t\a'(t)\dt=$t\ a' (t) \dt + $t\a'(l)\dt = ОA) +*$ (t + l)\a'(t+ 1)|Л<
112 1
-—1 -
х х
1 1
Замечание 2. В тесной связи с вопросом о поведении /(х) и / (х)
в окрестности х = 0 стоит работа Боса (Boas M), где изучается, при каких
f (х) f (х)
условиях^ или '-±у суммируемы. Оказывается, что:
а) если 0 < у < 1 и ап \ 0, то для f(x) = 2 ап cos пх имеем *-Щ- ? L
тогда и только тогда, когда сходится 2 nV~lanl
б) если /(х) = ~- + 2 ап cos пх и /@) = ®> то — € L тогда и только
тогда, когда 2агЛпп сходится;
в) если f(x) = 2 ап sin пху то Ддя 0^у<1 имеем -—- ? L в том и
только том случае, когда 2 пУ~Л(Хп < + °°-
§ 8. Дифференциальные свойства функций /(х) и /(х)
Мы знаем, что функции / (х) и / (х), определяемые рядами D.1) и D.2),
непрерывны всюду, кроме точки х ф 0 (mod n), при выполнении D.3). Воз-
Возникает вопрос, должны ли эти функции на любом отрезке, не содержащем
х = 0, иметь производную.
Докажем, что если ап->0 и {ап} — выпуклая последовательность, то
/' (х) и /' (х) существуют и непрерывны на любом отрезке д <^ |х| <^ я, д > 0.
Действительно, положим
Мы видели в § 7, что Фх(х) и Ф2(х) изображаются рядами, которые после
дифференцирования сходятся равномерно. Значит, Ф[ (х)и Ф'2 (х) существуют
и непрерывны. Но тогда сразу ясно, что при х=/=0 у /(х) и / (х) сущест-
существуют производные и они непрерывны при б^|х|^тг.

§ 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ f(x) И f(x) 677
Заметим теперь, что если отказаться от условия выпуклости {ап)у то
/(х) и /(х) уже могут оказаться недифференцируемыми почти всюду.
Для построения такого примера возьмем последовательность целых
чисел
которую подберем позже, и потребуем, чтобы
где числа ак положительны и ак ф 0; мы их тоже подберем позже.
Так как вместо
f(x) = 2 ап cos пх
можно также написать
и Аап = О, если п 4= пк, то
/ (х) = ^ Л аПк Dnk (х) = 2{ак- ак+г) Dnk (x) .
Положим рк= ак — ак+1; числа рк > 0 и пока в нашем распоряжении.
Мы хотим подобрать {пк} и {fik} так, чтобы функция
оказалась почти всюду недифференцируемой. Но
• ( , П
Sin \Пк + ^ X
2sini
поэтому
или
/B*) = 25b-^^sinB7l*+1)x" (8Л)
Поэтому
2 sin xf Bx) = 2 Pk sin B пК + 1). (8.2)
Если бы /(х) имела производную на множестве Я, шЕ>0, то и <р(х) =
= 2 sin х/Bх) имела бы производную на некотором множестве Ev тЕг > 0.
Поэтому, дифференцируя ряд (8.2), получим ряд
2?Bn,+ l)^cosBn,+ l)x, (8.3)
который суммируется методом Пуассона на Е1 (см. § 58 главы I).
Покажем, что числа fJk и пк можно выбрать так, чтобы это не имело
места. Для этого достаточно выбрать пк так, чтобы последовательность
2пк ~f 1 была лакунарнсй, а ряд
+IJ/?!= + -
и применить теорему Зигмунда, которая будет доказана в § 3 главы XL

678 РЯДЫ С МОНОТОННО УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ГЛ. X
§ 9. Ряды с монотонными коэффициентами для функций
из класса Lip a
Докажем одну простую, но изящную теорему Лоренца (Lorentz Ш).
Теорема. Если
f (х) = 2 ап c°s их,
где ап ф 0, то для того, чтобы j (х) ? Lip а, 0 < а < 1, необходимо и доста-
достаточно
(9.1)
Это же справедливо для
То, что условие является достаточным, было уже доказано в § 3 главы II,
где даже не требовалось, чтобы ап | 0. Остается доказать, что при вы-
выполнении этсго условия соотношение (9.1) оказывается и необходимым.
Действительно, для функции/(х) это можно доказать так. Имеем
/ (х) ~ /@) - Jx(cos/cx - 1) = - 2 J? ak sin* /c|.
к=1 к=1
Полагая х = ^, получим, в силу |/(х) — /@)|<С|х|а,
1
откуда, учитывая, что для рассматриваемых значений к sin2 /с -^— ^> -^
имеем
значит, из ап I следует
т. е.
а потому для /(х) теорехма доказана.
Для g(x) рассуждаем так:
о
Но g@) = 0, поэтому
max | g(t) | = max | g(t) — g@) |

§ 9 РЯДЫ С МОНОТОННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 679
в силу д (х) ? Lip а. Поэтому
и тем более
Полагая х = — ? отсюда так же находим
а потому, в силу монотонности ап,
и теорема доказана.

ГЛАВА XI
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Введение
Напомним, что тригонометрический ряд называется лакунарным, если
он имеет вид
оо
2 akcosnkx + bksinnkx, A.1)
где натуральные числа пк удовлетворяют неравенству
~f>^>l (fc=l,2,...). A.2)
Настоящая глава будет посвящена изучению тех рядов вида A.1), для
которых выполнено либо условие A.2), либо, в некоторых случаях, какое-
нибудь менее сильное требование, но во всяком случае такое, которое вы-
выполняется, если A.2) имеет место. Мы увидим, что такие ряды обладают
многими свойствами, сильно отличающими их от обычных тригонометриче-
тригонометрических рядов (где нет «лакун» в последовательности коэффициентов). Так,
например, мы уже видели (см. глава I, § 65), что если лакунарный ряд есть
ряд Фурье, то он сходится почти всюду (тогда как обычный ряд Фурье мо-
может всюду расходиться). Теперь мы докажем, что у ограниченных функций,
определяемых лакунарными рядами, ряды Фурье сходятся абсолютно
(§ 7). Из одной лишь суммируемости методом Т* лакунарного ряда на мно-
множестве положительной меры уже следует, что он ряд Фурье от функ-
функции с интегрируемым квадратом (§ 3) и тем самым, в силу уже сказанного
ранее, сходится почти всюду. Теоремы единственности для лакунарных
рядов (§ 11) также резко отличаются от случая общих тригонометрических
рядов (глава XIV).
§ 2. Свойства лакунарных последовательностей
Последовательность натуральных чисел пг < п2 < ... < пк < ... на-
называется лакунарной, если
Пк
Верхнюю грань чисел А, для которых выполнено условие
Пк
назовем степенью лакунарности данной последовательности.

§ 2 СВОЙСТВА ЛАКУНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 681
Грубо говоря, чем степень лакунарности больше, тем последователь-
последовательность более разрежена.
Рассмотрим ряд свойств лакунарных последовательностей, которые
будут употребляться при изучении поведения лакунарных рядов.
Свойство 1. Если выбрать е так, чтобы
то интервалы
не перекрываются.
Действительно, имеем
nk(l + 2e)<nk+l(l-2e),
если
1 -2e
а это и будет выполнено, если B.1) имеет место.
Свойство 2. Каково бы ни было /х, всякую лакунарную последова-
последовательность можно разбить на конечное число лакунарных последователь-
последовательностей, у каждой из которых степень лакунарности не меньше /х.
Возьмем число г столь большим, чтобы
и разобьем нашу последовательность на г последовательностей L
(f = 1, 2, ...,г) так:
ni у ni+r у • • • у ni+jr у • • • (Li) •
Ясно, что каждый член {пк} принадлежит одной и только одной из после-
последовательностей (Li) и, кроме того, для любого i имеем
ni+Jr ^
и свойство 2 доказано.
Для дальнейшего введем
Определение. Последовательность {пк} удовлетворяет условию В2г
если любое натуральное число п можно лишь ограниченным числом
способов представить в виде
п = пк + rij
или
n=--nk-njy
где пк и и7- — члены нашей последовательности*).
Приняв это определение, докажем, что имеет место
Свойство 3. Всякая лакунарная последовательность {пк} удовлет-
удовлетворяет условию В2.
*) Название В2 происходит от идеи изображения п в виде алгебраической суммы
двух членов; если писать п = Пкг ± пи2 ± ... ± ЩР и требовать, чтобы такое изобра-
изображение было возможно лишь числом способов, зависящим только от р, но не от п, то гово-
говорят, что последовательность удовлетворяет свойству Вр; однако этим свойством мы не
будем пользоваться.

682 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Действительно, допустим, что
п = пр + rij или л ==. пр — tij, B.2)
где пр > л;; если п = пр + nj9 то пр < л < пр (l + -yj, т. е.
л j-^<np<n.
Если же п = пр — rij, то лр (l - -у) < л < лр, т. е.
п<пр<п j—[ •
Следовательно, всякое число, которое можно записать в виде л = пр + л;-,
удовлетворяет неравенству
Ьп<п<
Пусть nq — самое маленькое, a nq+s — самое большое из чисел последова-
последовательности {пк}у удовлетворяющее условию B.3). Так как
щ
то
и это значит, что 5 ограничено (независимо от л). Итак, число пр может при-
принять только одно из значений лч>, пч+ъ ..., nq+sy где 5 ограничено, т. е. только
ограниченное число значений. Но из B.2) имеем
= п — пр
или
nJ =
Так как пр может при заданном л принять только ограниченное число
различных значений, то это же верно и для л;, значит, свойство 3 доказано.
В дальнейшем мы увидим, что ряд теорем, которые обычно формули-
формулируют для лакунарных рядов, справедлив и для любых последовательностей,
удовлетворяющих условию В2 (а это значит, что они верны в более общих
предположениях, так как последовательность может обладать свойством В2
и не быть лакунарной).
Свойство 4. Если 1г > 12 > ... > 1р и числа /?- все принадлежат
лакунарной последовательности {пк} со степенью лакунарности X ^ 2, то
всякое число v вида
v = 1Х ± k ± • • • ± h
лежит в интервале
l

СВОЙСТВА ЛАКУНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
683
Действительно, так как
ТО
x a* •
Свойство 5. Если г — любое положительное и А ^> г + 1, то изо-
изображение любого числа п в виде
п = апкх + Ъпкг + ... ,
где все а, Ь, ... натуральные и не превосходят г, а и^ > и^ > ..., возможно
лишь единственным образом.
Действительно, пусть это неверно. Тогда, вычитая два таких изобра-
изображения числа п друг из друга, найдем
О = а пкх + р пК + . ,
где все а, /?, ... целые и по модулю ^ г. Мы можем считать а Ф 0, так как,
если бы оно было равно 0, мы повели бы рассуждение, начиная с члена,
содержащего пк. Если афО, то
следует
| Рпк2
+
1, а потому из
г + 1. Мы пришли к противоречию. Значит, свой-
свойа мы предположили
ство 5 доказано.
Наконец, для дальнейшего иногда бывает полезно следующее усиление
свойства 2.
Свойство 6. Пусть {пк) — лакунарная последовательность и по-
последовательности {Lt} определены, как в свойстве 2. Если взять уь достаточно
большим, то при р ф 1 никакое число пк не может иметь вид
" = 'i±/a±... ±/„ B.4)
где 1г > 12 > ... > 1р и все lm $ Lt для одного и того же i.
Кроме того, если пк $ Lj для / ф i, то существует число С(Я), зависящее
только от X, такое, что
^У B.5)
каково бы ни было v вида B.4) и это верно как при р Ф 1, так и при р = 1.
Для доказательства сначала выберем е так, как указано в свойстве 1,
т. е. чтобы интервалы
Л = Ы1-2е), %A + 2е)) B.6)
не перекрывались. После этого возьмем ^ > 2 так, чтобы
На основании свойства 4, так как степень лакунарности последовательности
Li не меньше [л, то число v, определяемое формулой B.4), лежит в интервале

684 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
и в силу B.7) отсюда и подавно
/1(l-e)<v</1(l+e). B.8)
Но 1г — член последовательности {пк}, пусть 1г = nq. Поэтому из B.6)
и B.8) ясно, что v принадлежит интервалу Aq. Поскольку интервалы лк не
перекрываются, то в д, нет точек из {пк}, кроме nq = lv Значит, если к Ф q,
то пк вне Aqy а потому
(
где С(Я) зависит только от Я, так как выбор е зависит только от А.
Если пк ? (Lj), где j Ф i, то заведомо пкф nq и поэтому B.5) доказано,
Если же пк = nq = 11У то, поскольку в выражении для v по формуле B.4)
предполагается рф1, имеем заведомо 12ф0. Но тогда
k — v\= v — 11\ = \12±13± ... ±i
а так как 12ф0 и 1 — 2е > 0, то пкФ vy что и заканчивает доказательство-
§ 3. Лакунарные ряды, суммируемые на множестве
положительной меры
Напомним (см. Вводный материал, § 5), что мы условились некоторую
матрицу \\PPq\\ называть матрицей Т*, если она удовлетворяет двум первым
условиям Теплица, т. е.
1) lim ppq = О (^=1,2,...),
р—*~ «5
2) lim (Р т + Р +...+/? + ...) = 1 •
p-voo
Мы условились также говорить, что ряд суммируется методом Т* на мно-
множестве Е, если при всяком р ряд
сходится для любого х $ ? и если сумма ар (х) этого ряда стремится к конеч-
конечному пределу при р -> оо их(? (здесь S^ (x) —частные суммы задан-
заданного ряда).
Докажем следующую теорему Зигмунда (Zygmund W):
Теорема Зигмунда. Если лакунарпый ряд
2 ctk cos nkx + bks\n nkx C.1)
k = \
суммируем некоторым методом Т* на множестве Е, тЕ > 0, то
2al + b*k< + oo. C.2)
k=\
Теорема остается в силе и в том случае, когда вместо лакунарности
{пк} предполагается только, что эта последовательность удовлетворяет
условию (В2). Это непосредственно видно из ее доказательства.
Мы рассмотрим сначала тот случай, когда в каждой строке матрицы
\\Ppq\\ содержится лишь конечное число членов. Тогда

§ 3 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ, СУММИРУЕМЫЕ НА МНОЖЕСТВЕ ПОЛОЖИТ. МЕРЫ 685
есть конечная сумма непрерывных функций, т. е. ар (х) непрерывна
(р=1,2, ...).
Докажем существование такого &, mlf>0, на котором |<тр(х)|<С,
где С — некоторая константа.
Действительно, по теореме Егорова можно найти замкнутое &,
/л!Г >0, |f с Е, где<тр(х) сходится равномерно. Тогда а (х) =, lfpi ap(x)
непрерывна на ^, значит, существует константа Мтакая, что |<т(х)| <М
на W, и найдется р0 такое, что
<rp(x)|<Af+l для р>р0 и x$W.
Но так как ^(х), <та(х), ..., сРо(х) все непрерывны, то найдется К такое,
что | а{ (х)| < К всюду для г = 1, 2, ..., р0. Взяв С превосходящим К и М + 1,
получим |ср(х)| < С на ff(p = 1, 2, ...).
Заметим теперь, что если вместо ряда C.1) мы рассмотрим ряд
2 ак cos пкх + bk sin nk x, C.3)
k=v
где v — любое число, то он, разумеется, будет суммироваться Т* на том же
Е; составляя для него частные суммы S*(x) и для них соответствующие
о* (х), мы легко видим, что эти <т*(х) будут тоже оставаться ограниченными
на &; пусть
[а*(х)|<Л на % <р= 1,2, ...)• C.4)
Число v мы определим несколько позже.
Обозначая для краткости
Ак (х) = ак cos пкх + bk sin пкх = дк cos (nft x + ак)
Rm(P) = Ppm + Ppm + l+ ••., C.5)
мы можем написать (применяя преобразование Абеля)
где ряд справа содержит лишь конечное число членов, так как при любом
р числа Rm(p) становятся равными 0, начиная с некоторого т (вследствие
предположения, что в каждой строке матрицы ||/Зр^|| — лишь конечное число
членов).
Имеем в силу C.4) и C.6)
2
J [о*(х)]Чх=
+ 2 2QkQi Rnk (p) Rni (P) J COS (nk X + ak) cos (л, X + az) rfx . C.7)
кф\
Обозначим для краткости
и
со
1<р) =
k=v
+ 2 2 QkQi J cos (nkx + ak) cos (Щ X + at) dx . C.8)
k=v l =
кф\

686 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Следовательно, C.7) перепишется так:
Д2ш^>/(р). C.9)
Теперь оценим I (р) снизу. Положим
%т = — J cos m* dx у ^гп = — | sin тх dx,
& с?
hi = J cos (пкх + ак) cos (niх + ai) dx . (ЗЛО)
Так как
J cos2 (пкх + ak)dx= \ [j + -^ cos
= у mF + у J cos 2(лр: + aft)dx
и второй интеграл стремится к нулю при к -> ©о, то найдется такое /с0, что
ak)dx>^m^ для /c>fc0. C.11)
Далее, полагая г% = ёт + г^и замечая, что |т и г\т — коэффициенты
Фурье от ограниченной функции у (х), которая равна 1 на W и равна 0 вне
его, мы видим, что 2/rm < + °°- Это позволяет нам доказать сходимость
ряда
2 2ЬЬ. C.12)
к I
кф\
Действительно, мы имеем (считая /с > Г)
Ь
-П1)Х + ак + щ\ + COS [(nk - Щ) X + ak-
= COS (ak + az) ?Пк+т — sin (ak + a\) г]Пк+гц +
+ COS (ak — az) |„л_Пг — sin (aft — az) ^-щ •
Значит,
(^ h }2 <^9\& -4- r?2 J_ j&2 4- г?2 1
_ 2(f2 4- г2 ) к ^> I C 13)
Следовательно, достаточно доказать сходимость рядов
00 00 00 00
2 2 Г2Пк+т И 2" 2 1%,-т- C-14)
2
1=-Л
Но в силу свойства 3 (см. § 2) сумма каждого из этих рядов не превосходит
00
5 2гт, где 5 — максимальное число способов, которым т можно предста-
/72=1
вить в виде пк + щ или пк — пь а так как 2 гт < + °°, то доказана сходи-
сходимость рядов C.14), а значит, и ряда C.12).

§ 3 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ, СУММИРУЕМЫЕ НА МНОЖЕСТВЕ ПОЛОЖИТ. МЕРЫ 687
Таким образом, можно найти такое /0, что
1
2
0
кФ1
C.15)
Число vt с которого начинаются индексы в ряде C.3), было до сих пор
произвольным. Мы теперь выберем его так, чтобы оно превосходило /0 из
формулы (ЗЛ5), к0 из формулы C.11) и чтобы при k^vy l^v и кф I имели
\пк —nl\>k и пк + >1о'
\>k к о
Тогда сначала из C.10) и C.11) получим
k=v
k=v l=v
кф\
C.16)
затем, применяя ко второму члену правой части C.16) неравенство Буня-
ковского и опираясь на C.15), найдем
k=v i=v
кф1
k = v l=v j \k=v l = v
кфХ кф1
Из C.16) и C.17) выводим*)
Поэтому из C.9) и C.18)
k=v
т. е.
иначе говоря, вспоминая определение дк,
В частности, при любом целом К из C.19) получаем
где В — постоянное.
*) Вспоминая определение 1Р, мы видим, что C.18) означает
2 Qk J cos2 {nkx + ак) dx +
k=v
+ 2 2 &k Qi J cos (nkx + aic) cos (щх + at) dx \
3 Ш- C.19*>
k=v
Для окончания доказательства мы можем забыть, что такое 1(р), и помнить только, что
для него справедливо C.9), но формула C.19) нам еще понадобится в будущем. Мы пред-
предпочитаем поэтому выписать ее здесь в явном виде и подчеркнуть, что при ее выводе от-
относительно чисел "дк не делалось никаких дополнительных предположений.

688 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
В силу C.5) имеем
Rm (Р) = (Ppi + РР2 + • • • + Pps +...)- (Ppi + • • • + Рт-д ,
а потому в силу условий, которым удовлетворяют матрицы Т*, имеем
Rm (Р) ~+ 1 ПРИ Р">°°И /П ЛЮ60М.
Значит
;а так как К любое, то отсюда следует сходимость ряда 2 Я*, что и требовалось
к=\
доказать.
Нам осталось избавиться от ограничения, которое мы наложили на мат-
матрицу \\Ppq\\, предположив, что в каждой ее строке лишь конечное число чле-
членов отлично от нуля.
С этой целью мы заметим, что так как
°р(Х>= 2 PpaSq(x) ДЛЯ Х??,
q=\
то найдется такое Fp ? Е, mFp > тЕ A - -^р+и и такое q0 (зависящее от р)9
что, полагая,
имеем
^р^о(х) -ap(x)\<j Для зс$Fp.
Ясно, что если
F= П Fpj
Р=\
то
~mE > 0
и на этом F функции орао{х) стремятся к конечному пределу при р-^оо.
Если, кроме того, предположить q0 выбранным так, что
lim @р1 + /?р2 + ... + рт) = 1 ,
то мы видим, что ряд суммируем методом Т* с матрицей ||/?^||, где f}*q = [$pq
для 1 ^ q ^ q0 и ^3*^ = 0 для g > q0. Таким образом, дело свелось к матри-
матрицам уже ранее рассмотренного вида, и доказательство окончено.
Следствие. Если мы рассмотрим метод суммирования (С, 1), то он
удовлетворяет всем трем условиям Теплица, т.е. и подавно он является
методом Т*. Из доказанной теоремы следует, что лакунарный ряд, у
которого 2J а1 + Щ расходится, не может суммироваться этим мето-
методом на множестве меры больше нуля. Но так как всякий ряд Фурье
почти всюду суммируем методом Фейера, то, значит, мы приходим к
выводу:
Лакунарный ряд, у которого 2J а\ + Ь\ = + °°> не может быть рядом
Фурье.

§ 4 ПОВЕДЕНИЕ СУММЫ ЛАКУНАРНОГО РЯДА 689
Это же утверждение справедливо, если вместо лакунарности предпо-
предполагать только, что последовательность {пк} удовлетворяет условию (В2).
Замечание. Мы видели (см. Вводный материал, § 5), что взятие
подпоследовательности есть также некоторый метод суммирования. Отсюда
вытекает, что предыдущая теорема может быть усилена и высказана так:
Если для лакунарного ряда какая-нибудь подпоследовательность част-
частных сумм сходится на множестве Е, тЕ > О, то2 #1 + &!< + °°•
Следовательно, если у лакунарного ряда 2? я| + Ь\ = + °°> то любая
подпоследовательность его частных сумм расходится почти всюду.
Объединяя теорему Зигмунда с ранее упомянутой теоремой Колмого-
Колмогорова (см. глава I, § 65), можем сказать, что справедлива
Теорема. Если для лакунарного ряда
2* ak cos nk х + bk sin nk x
2
имеем
к=\
то он сходится почти всюду; если же 2J я| + Ь\ = + оо, то он не только
почти всюду расходится, но и не может суммироваться никаким методом
Т* на множестве меры больше нуля; кроме того, он в этом случае не есть
ряд Фурье.
§ 4. Поведение суммы лакунарного ряда там, где она существует
Мы доказали в § 3, что лакунарный ряд расходится почти всюду, если
Однако он не может всюду расходиться, если только его коэффициенты
стремятся к нулю. Действительно, в § 66 главы I было доказано, что если
у лакунарного ряда коэффициенты стремятся к нулю, то множество Е точек,
где он сходится, имеет мощность континуума во всяком интервале (a, ft),
лежащем на [0,2тг], и сумма ряда обладает свойством D на этом множестве*).
В § 8 (замечание 2) будут сделаны некоторые добавления к вопросу о
поведении суммы лакунарного ряда на множестве, где она существует.
Здесь мы отметим еще, что если ак -> О и Ьк -> О, но
то ряд, получающийся интегрированием лакунарного ряда, изображает глад-
гладкую функцию, у которой нет производной почти всюду.
Действительно, мы знаем (см. глава I, § 66, замечание к теореме 3), что
для лакунарного ряда с ак-+0 к bk-+0 множество точек, где ряд сходится,-
совпадает с множеством точек, где сумма обынтегрированного ряда имеет
производную. Таким образом, мы убеждаемся в существовании гладких
функций, лишенных производной почти всюду.
Например, ряд
J?-^cqs2"x
*) Свойство D было определено в § 66 главы I.

690 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
расходится почти всюду и после его интегрирования получаем гладкую
функцию
которая почти всюду лишена производной.
§ 5. Степень суммируемости функций, определяемых лакунарными
рядами Фурье
Мы видели (§ 3), что если лакунарный ряд есть ряд Фурье от некоторой
/(х), то /(х) ? L2. Но этот результат можно усилить, доказав теорему:
Теорема. Если лакунарный ряд
2 ak cos пкх + bn sin пкх
есть ряд Фурье от функции f (х), то для любого q > 1 имеем f (x) ? L?.
Докажем, что это верно для q = 2г, где г — любое целое, тогда это
будет верно при всяком q (так как если р > q и /(х) ? Z/, то и подавно
/())
Мы уже знаем, что /(х) ? L2, значит,
Не нарушая общности, можно доказывать теорему, считая
Положим
00
р (у\— у Ci ?пк (с — п _ (h)
1 у~/ / / к \ к. к к)
и будем доказывать, что если-^^> 1 >1 и2" |сл|2 = 1, то при любом Rp
0^ R < 1, имеем
2я 1
где Ся зависит только от q. Замечая, что всякий ряд Фурье почти всюду
суммируется методом Абеля, применяя лемму Фату и пользуясь тем, что /(х)
есть действительная часть от F(eix\ мы получим нужный результат.
Мы уже говорили, что достаточно предполагать q = 2г. Если мы обо-
обозначим
то
причем каждый показатель тх имеет вид
mt = ankl + Ьпь + ... , E.1)
где а, Ъ,... —целые числа и а + Ъ + ... = г, а к1У к2, - - - мы можем рас-
расположить так, чтобы кг > к2 >
Допустим сначала, что X ^ г + 1. Тогда в силу свойства 5 лакунарных
последовательностей (см. § 2) всякое натуральное число можно записать
в форме E.1) не более чем одним способом.

§ 6 НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ С ЛАКУНАРНЫМИ РЯДАМИ ФУРЬЕ 691
Итак, если Х^г-\- 1, мы получаем
2л 2п
± J | F (Reu) Г йв = ± J I g (Re") |* йв = 2' | у, fR^,
О О
где, если тг задано формулой E.1), то только одним способом, и при этом
7l== а\ъ\...***&•••
Так как
то мы получаем
()r (Д )г = г!
так как мы предположили 2 \С1\ = 1-
Итак, для случая А^> г + 1 теорема уже доказана. В общем случае мы,
пользуясь свойством 2 (§ 2), разложим ряд, определяющий F (г), на конечное
число, пусть s, лакунарных, для каждого из которых соответствующее
А>г+ 1. Тогда
и, значит,
о
что и заканчивает доказательство теоремы.
§ 6. Непрерывные функции с лакунарными рядами Фурье
Начнем с напоминания теоремы
Теорема 1. Если f (x) непрерывна и имеет лакунарный ряд Фурье,
то этот ряд сходится равномерно.
Эта теорема (даже в несколько более общей форме) была уже доказана
в § 65 главы I (следствие 1).
Правда, в § 7 будет доказано гораздо более сильное утверждение (тео-
(теорема Сидона), но оно требует сложного доказательства, тогда как сформу-
сформулированный результат был получен совсем элементарно.
Теперь заметим, что для лакунарных рядов легко установить тесную
связь между модулем непрерывности функции и порядком ее коэффициентов
Фурье. Например, мы имеем такую теорему:
Теорема. 2. Для того чтобы функция f (x), у которой ряд Фурье
является лакунарньщ принадлежала классу Lip а @< а< 1), необходимо
и достаточно, чтобы ее коэффициенты Фурье имели порядок О(п~а).
Необходимость условия имеет место даже тогда, когда ряд Фурье не
является лакунарным. Действительно, мы знаем (см. глава I, § 21), что если
со(д) есть модуль непрерывности нашей функции, то
F.1)

692 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
а так как для функции, удовлетворяющей условию Липшица порядка а,
имеем
то
ап^О(п~«) и Ьп
Для доказательства достаточности напишем
/ (х) = 2 аи cos пкх + рк sin пкх. F.2)
В силу нашего условия
, F.3)
так как а*. = а„& и @к = 6ЛЛ.
Так как ряд F.2) сходится и даже равномерно, мы можем написать
/(x) = 2 «/Jcosn/,(x + ft) — cosn/,x] + Pk[sinnk(x + h) — $innkx].
Выберем теперь для любого ft число N так, чтобы
'4|ft|<i- F-4)
Тогда напишем
/(х + ft) —/(х)= 2? аА[со8Пл(х + й) —cos/2ftxj +
+ рк [srn пл (х + h) — sin /гл х] +
+ 2 ак tc°s пк (х + ft) — cos nft x] + /?fc [sin nk (x + ft) — sin nk x] = P + Q
kN+l
и оценим Р ш Q отдельно.
В силу теоремы о конечном приращении из F.3) имеем
и аналогично для членов, содержащих синусы.
Тогда в силу определения лакунарности
и в силу F.4)
Для Q оценка такова
|Q|<2 2
опять в силу F.4), и теорема доказана.

§ 7 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 693
§ 7. Абсолютная сходимость лакунарных рядов
Мы видели в § 5, что если лакунарный ряд есть ряд Фурье, то его сумма
/ (х) ? Lp, где р — любое.
Возникает вопрос, не должна ли f(x) быть ограниченной?
Ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный. Действительно,
мы докажем теорему (Szidon и> Е33):
Теорем а-Сидона. Если лакунарный ряд есть ряд Фурье от огра-
ограниченной функции, то он сходится абсолютно.
Отсюда сразу следует, что если 2 \ак\ + \Ы = + °°> то f(x) не может
быть ограниченной функцией (хотя она и входит в LP при любом р).
Для доказательства теоремы рассмотрим сначала лакунарный ряд из
одних косинусов
2 аксо$пкх,
к=1
являющийся рядом Фурье от функции /(х), причем
В силу свойства 2 (см. § 2) можно разбить наш лакунарный ряд на г лакунар-
лакунарных рядов
У; akr+i cos nkr+i x (i =1,2, . , г),
k=\
причем степень лакунарности каждой из последовательностей {Lt} =
= {nkr+i} (k= 1, 2, ...) как угодно велика. В силу свойства б можно счи-
считать эти последовательности такими, что если р=/=\у 1г > /2 > • • • > 1Р
и все эти 1т принадлежат одной из последовательностей {LJ, то для любого
v вида
v = lx±l2± ... ±lp G.1)
имеем v ф пк ни при каком /с.
Для сокращения записи положим при фиксированном /
akr+i = ак у nkr+i = Wit
и будем доказывать, что
Если мы сумеем это сделать при любом i, то отсюда будет следовать и
2 \ак\ < + со,
Рассмотрим вспомогательный тригонометрический полином
Tq(x)= и (l + eftcos/nftx),
к=\
где гк = + 1. Ясно, что он неотрицателен и, если написать его в развер-
развернутом виде, то
я
То (х) = 1 + 2 sk cos mkx + 2 К cos v x,
где всякое v имеет вид
" = к ± ^ ± • • • ± 1Р,
причем рФ I, а числа /<• все принадлежат рассматриваемой последователь-
последовательности {тк\ и их можно расположить в порядке убывания. Действительно,
произведение косинусов всегда можно преобразовать в сумму косинусов,

694 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
причем коэффициенты при х под знаком косинуса складываются или вычи-
вычитаются.
Мы уже отмечали, что никакое из чисел вида G.1) не может совпасть с
каким-либо пк. Заметив это, положим ек = sign ак и покажем, что тогда
2л
)(x)Tq(x)dx = 2\
о к=1
Действительно, в силу равенства Парсеваля, интеграл в левой части
G.2) должен равняться сумме парных произведений коэффициентов Фурье
для/(х)иТ^(х). Но у /(х) свободный член равен нулю и коэффициенты при
cos /х отличны от нуля лишь при / = пк(к = 1, 2, ...), а у Tq(x) числа v,
для которых Av Ф 0, заведомо не имеют вид v = пк, поэтому отличны от
нуля лишь те произведения, где пк равно некоторому mj9 а тогда ак = а; и
в то же время еу- = sign aj9 поэтому равенство G.2) справедливо.
Но тогда, так как Tq(x)^0%
2л
2Ы<М~ \ Tq(x)dx = 2M,
fc-1 О
потому что свободный член у Tq(x) равен 1.
00
Так как это неравенство справедливо при любом q, то ряд 21 ак\ < + оо.
Если бы мы рассмотрели ряд из одних синусов, то надо было бы пост-
построить полином Tq{x), в котором вместо косинусов стояли бы синусы,
тогда мы также доказали бы, что лакунарный ряд
k sin nk х
от ограниченной функции удовлетворяет условию
Наконец, в общем случае мы можем рассмотреть две функции
ер (х) = ;-^чр } и ip (х) = м ; '-*—}-.
Каждая из них ограничена, если /(х) ограничена, и у каждой из них ряд
лакунарный. Значит, к ним приложимы предыдущие рассуждения, а тогда
они верны и в общем случае.
Замечание 1. Теорема Сидона сохраняет силу и тогда, когда f(x)
ограничена только с одной стороны, т. е. f(x)^M или /(х)^ —М. Это
можно получить из теоремы Зигмунда, которую мы докажем в § 8.
Замечание 2. Теорему Сидона можно доказать в предположениях
более широких, чем требование лакунарности последовательности {пк}.
Прежде всего, сам Сидон (Szidon И) перенес ее на случай, когда {пк} можно
разбить на конечное число лакунарных последовательностей. Дальнейшее
продвижение в этом вопросе принадлежит Стечкину^. Чтобы сформули-
сформулировать его результаты, введем некоторые обозначения.
Пусть N = {пк} —возрастающая последовательность натуральных чи-
чисел. Пусть Ps(n) — число различных представлений целого п в форме
п= Zejtib,, G.3)
j—»
где в; = ± 1 (/ = 1, 2, ...), О < кг < к2 < ... < ks.

§ 7
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ
695
Если мы положим
= sup Ps(n),
то для некоторых s не исключено, что Ps = + со. Если же Ps конечно, то
говорят, что {пк} обладает свойством (Bs) (мы уже упоминали об этом в § 2).
Стечкин изучает тот случай, когда для любого s последовательность
{пк} обладает свойством (Д). Более того, он требует, чтобы
\\ml-\nPs< +
G.4)
и говорит, что последовательность N принадлежит классу R, если выпол-
выполнено условие G.4).
Разумеется, это условие G.4) выполнено, в частности, если все Ps огра-
ничекыв совокупности. Как показал Ф. Рисе (F. Riesz M), если последова-
последовательность {пк} «достаточно редкая», то именно этот случай и имеет место.
Точнее, если
2
к—1
= 1,2, ...),
то для любого 5 представление п в форме G.3) возможно только одним спо-
способом. Действительно, если
s
2 ?j n
;1
kj
то мы имеем
где каждое tj
О < 1г < 1% < .
So
2'
и
может принимать лишь значения 0, + 1, + 2 и
< /v Но это невозможно, так как в силу G.5)
^ 1 /о
0 7=1 ? ' ° Л=1
В частности, если последовательность лакунарная и
то условие G.5) выполняется, ибо
р р
Можно показать, что существуют последовательности, входящие в
класс /?, но такие, что их нельзя представить в виде конечного числа лаку-
нарных последовательностей.
Если N = {пк} может быть разложена на конечное число последова-
последовательностей, каждая из которых входит в класс /?, то мы будем говорить,
что N ^ Ra.
Стечкин доказывает, что любая последовательность, разлагающаяся
на конечное число лакунарных, принадлежит/?*, и что если N?Ra, то

696 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
для нее имеет место теорема, аналогичная теореме Сидона, т. е. если /(х)
ограничена сверху и ее ряд Фурье имеет вид
2 ак cos nkx + bk sin nkx,
где N == {пк} принадлежит (Ro), то этот ряд сходится абсолютно.
Наконец, в той же работе С. Б. Стечкин ставил вопрос, при каких усло-
условиях, наложенных на последовательность {пк}, из непрерывности функции
f(x) следует абсолютная сходимость ее ряда Фурье, если этот ряд имеет
вид G.6). Оказывается, что для этого необходимо, чтобы
где С > 0 и у > 1, т. е. последовательность. {пк} растет не медленнее неко-
некоторой возрастающей геометрической прогрессии. В частности, если
—1->1 При к->оа
то одной непрерывности f(x) уже заведомо недостаточно для абсолютной
сходимости ряда G.6).
§ 8. Теорема Зигмунда
Теорему Сидона можно усиливать и в другом направлении, именно
можно рассматривать вместо отрезка [—л, л] некоторый интервал /. Здесь
имеет место теорема (Zygmund Щ:
Теорема Зигмунда. Если в каждой точке некоторого интер-
интервала I верхний и нижний пределы частных сумм лакунарного ряда конечны,
то этот ряд сходится абсолютно.
Прежде всего заметим, что тогда найдется такой интервал (а, р\
содержащийся в /, на котором
|Sn(*)|<Af (л =1,2,...)- (8.1)
Действительно, пусть Ff — множество тех х ? /, где \SL (x)\ <; к;
ясно, что Ff> замкнуто, следовательно, замкнуто и F{k) = П Ff\ кроме
того, 1=21 F{k)- Таким образом, хотя бы одно из Fik) плотно на некотором
к^\
интервале, иначе их сумма была бы первой категории на /. Но тогда Fik}
содержит отрезок, так как Fk замкнуто.
Далее заметим, что если вместо заданного лакунарного ряда
2 Qk соз (nkx + xk), Qk^O (8.2)
рассмотреть ряд
со
I Qk cos (nkx + хк), (8.3)
к=к0
то их абсолютная сходимость имеет место одновременно, и если для ряда
(8.2) справедливо неравенство (8.1) на некотором интервале (а, /3), то и для
(8.3) справедливо аналогичное неравенство на том же (а, /3), если только М
заменить на некоторое МГ Но в ряде (8.3) наименьшее из чисел пк есть пк(у
и его можно сделать как угодно большим. Поэтому, не нарушая общности,
мы можем (чтобы не менять обозначений) предположить сразу пг настолько

§ 8 ТЕОРЕМА ЗИГМУНДА 697
большим, насколько это нам понадобится, и вместо константы Мг снова
писать М.
Так как доказательство теоремы, предложенное Зигмундом, достаточно
сложно, мы разобьем его на несколько этапов.
Сначала мы выберем число е так, чтобы
и его фиксируем; заметим, что оно зависит только от А. Далее возьмем
так, чтобы
2
и, кроме того,
—Ur<e. (8.6)
В силу свойства 2 (§ 2) можно {пк} разбить на лакунарные последова-
последовательности (Lz), у каждой из которых [л удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6).
Кроме того, в силу (8.6) эти последовательности будут таковы, что выпол-
выполнено и свойство 6 (§ 2).
Рассмотрим вспомогательные полиномы
РЬ(х)= П [l + cos(nl+krx + xl+kr)). (8.7)
к = \
Фиксировав z, положим для сокращения обозначений
тк == ni + kr у ак — Xi + kr
И
PN (х) = П [ 1 + cos (тк х + ак)]. (8.8)
к=\
Начнем с оценки интегралов
§PN(x)dx и |Рдг(х) cos(mx + d)dx ,
а и
где т — целое и а — действительное.
Будем помнить, что
где [I удовлетворяет условиям (8.5) и (8.6).
Прежде всего заметим, что PN (x) можно записать в виде
PN (х) = 1 + G± (x) + G2 (x) + ... + GN (x), (8.9)
гдеС/Дх) состоит из членов, каждый из которых представляет собой произ-
произведение h косинусов. В свою очередь, если расположить в порядке возра-
возрастания множители при х в тех косинусах, которые входят в группу Gh(x),
то можно написать
Gh (х) - Ghh (x) + GhMl (x) + ... + GhN (x), (8.10)
где в группу Ghi входят те члены, в которых максимальный множитель при
х есть Ш/. Каждый из членов группы вм после преобразования произведения

698 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
косинусов в сумму косинусов распадается на 2н~г косинусов с коэффициен-
коэффициентом 2ftiri , а множители при х после этого преобразования имеют вид v =
= rnl + mi+ ... + /77,, значит, в силу свойства 4 (§ 2) они принадлежат
интервалу (т111~~—л, тг —^Ц) , а потому во всяком случае для таких v
всегда имеем
Имеем для таких v при любом а
f cos(vx + a) dx | <^ <— (8.11)
a
для всех членов группы GM.
Из (8.9) и (8.10) заключаем, что
Pn(x)=1 + Z 2Ghl. (8.12)
1=1 h = \
Но при h = 1 в группе 6?л/ только один член при всяком /, а при h ^> 2 (зна-
чит и / ;> 2) число членов равно 1Л _ (поскольку /л, закреплено, а преды-
предыдущие ft—1 членов группы можно выбирать как угодно из числа I—-1
тех mh которые предшествуют mi). Поэтому окончательно GM распадается
(^ j\ l
л _ 1 косинусов с коэффициентами, равными -^—^ , для каждого из
которых справедлива оценка (8.11), а потому
i J Gw(x)dx<±+ i 2*-(iz3^^<4^, (8.13)
а потому из (8.12) и (8.13) заключаем
о
Д /л/ ^
1
J
Так как мы имеем гпх ^ пх, а пх мы имеем право предполагать как
угодно большим в силу замечания, сделанного в начале доказательства,
то отсюда заключаем, что для любого у\ > 0, если только пг достаточно
велико, имеем
\(pN(x)dx-(p-~a)\<v. (8.14)
a
Теперь мы будем оценивать интеграл
р
J PN (x) cos (/Т7Х + a) dx.
a
При этом будем предполагать т ? {пк}, так как остальные значения т впо-
впоследствии не понадобятся.
Будем различать два случая, а именно:
а) /л ф тк ни при каком /с,
б) /л = /77;- для некоторого /.

ТЕОРЕМА ЗИГМУНДА
699
В первом случае, если мы рассматриваем любой из членов вида
cos (vx + b) из группы 6hk9 мы имеем в силу свойства б нашей последова-
последовательности
\т-
а потому
где А (А) — новая константа.
Отсюда, вспоминая величины коэффициентов и число членов в группе
Ош заключаем
2 Ohk cos (mx + а)
а
и, следовательно,
к
где rj можно сделать как угодно малым, если пг достаточно велико, так как
/п = пд^пъ а остальные величины фиксированы. Итак,
J cos(mx + a)PN(x)dx\<r),
(8.15)
где г] как угодно мало, если m=f= mk, а числа тк входят в определение PN (x).
Наконец, рассмотрим, что будет, если т = mjy где 1 f^N. Положим
тогда
где знак П' означает, что пропущен член, где к = /. Имеем
PN (х) = A + cos (mjx + а^) P% (x).
Ясно, что дляР^(х) оценки (8.14) и (8.15) не перестанут быть верны. Но
\ cos (rrijX + aj) PN (x) dx = j P% (x) cos (m;x + aj) dx +
Ъ а
+ I P% (x) cos2 (mjX + aj) dx = J P^ (x) cos (trijX + aj) dx +
a a
(8.16)
P P
\ \ P%(x)dx+~ \ P%(x)cosBmjx + 2aJ)
На основании (8.14) имеем
С|. (8.17)
Далее, так как /лу- не фигурирует в Р%(х), то из (8.15) заключаем
j P% (x) cos imp + aj)dx\<ri. (8.18)

700
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
гл. XI
Наконец, так как уь удовлетворяет условию (8.5), то
Таким образом, 2т,- лежит вне всех интервалов (ткA + 2е), тк+1A —2е)),
если тк любое из чисел, фигурирующих в Р% (х) (само /л,- в нем не фигу-
фигурирует!), поэтому к третьему из интегралов в правой части (8.16) приме-
применима оценка (8.15), и мы находим
у \ P%
2 *
Соединяя (8.16), (8.17), (8.18) и (8.19), получаем
R а |
Г\ С* / ¦'VI А/» I *¦* \ 7~) ^Л/»\ /"/*%-»• •
<2^.
(8.19)
(8.20)
Вернемся теперь к нашему лакунарному ряду и возьмем частную сумму
его с числом членов Nr, где N произвольно, а г — число лакунарных после-
последовательностей (Lz), на которые мы разбили {пк}. Мы можем написать
Nr r N-1
SNr (х) =• 2 Qk cos (пк х + хк) - 2 2 Qs+jr cos (ns+jr x + xs+jr). (8.21)
Аг= 1 s=lj=O
Оценим интеграл
$ SNr(x)P$(x)dxy
(8.22)
где Р]$(х) определено формулой (8.7), а (а, /5)—тот интервал, где выпол-
выполнено (8.1).
С одной стороны, так как при любом i полином P*N(x) ^ 0, имеем в силу
(8.1) и (8.14)
- а
а потому
? JSNr(x)P(//)(x)rfx
1:1 а
С другой стороны,
г N-1
:=^ 2 2
(8.23)
«. (8.24)
Интегралы, входящие в» правую часть (8.24), при s=f=i оцениваются по
формуле (8.15), т. е. каждый из них по модулю меньше rj, а для 5 = i эти
интегралы оцениваются по формуле (8.20), т. е. каждый такой интеграл
^~~ меньше чем на 2^, откуда
по модулю отличается от
*j
Г SNr (х) Р(^ (х) dx> J>> Qi+jr
- 217) -
./=0
вв+уг

§ 8 ТЕОРЕМА ЗИГМУНДА 701
и тем более
J SNr(x) P$(x) их > ^- ^ Qi+]r - 2 ц J? ^ Gs+jr =
В — a N~l Nr
Суммируя теперь по /, находим
r f • В — a Nr Nr В — a Nr
J^ I О \J г 1л) А ЛТ \ Л. ) d Л. J^ ^Z ^~ Ml- ~' cL l] Y ^^ (Jjs S^> ~7 ^' О If • (O.^wvJl
I==r а Л=1 /С==1 /C=l
если выбрать ^? < з~-
Сопоставляя (8.25) и (8.23), видим, что
а это и требовалось доказать.
Замечание 1. Доказанная теорема Зигмунда сохраняет силу,
если существует такой интервал /, в каждой точке которого
либо fim" Sn(x) < + оо, либо lim Sn(x)> — оо. (8.26)
Действительно, прежде всего покажем, что тогда найдется интервал
(a, jS), где
Sn(x)<M (л =1,2,...) (8.27)
или же где
M (п=1,2,...). (8.28)
В самом деле, пусть Е' и Еп —множества тех точек, где lim Sn(x) < + оо
и соответственно limSn(x) > — оо. Рассуждая, как в начале доказательства
теоремы Зигмунда, показываем, что
E' = FX + F2+... и Е" = F? + Ff + ...,
где все множества Fn и F* замкнуты. Если бы Е' и Е" оба были первой
категории, то их дополнения СЕ' и СЕ" должны были бы пересекаться, т. е.
нашлась бы на / точка, где lim Sn(x)— + °° и lim Sn(x) = — оо, что про-
противоречит гипотезе. Итак, либо Е', либо Е" не первой категории, а тогда
хоть одно из множеств Рп или F* содержит интервал, а на нем либо (8.27),
либо (8.28) имеет место.
Теперь, обращаясь к концу доказательства теоремы, мы видим, что
условие |Sn(x)| <^ M не было полностью использовано, а только учитыва-
учитывалось, что Sn(x)^ M; значит, при выполнении (8.27) теорема доказана.
Случай (8.28) сводится к случаю (8.27), если у всех коэффициентов ряда
переменить знаки на обратные.
Замечание 2. Покажем, что если для лакунарного ряда ак -> О
и Ьк -> 0, но
2* + %= +оо, (8.29)
то для любого S во всяком интервале (а,&) $ [0, 2тг] можно найти точку, где
ряд сходится к числу S.

702 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Действительно, из (8.29) и подавно следует
2Ы + \Ьк\ = +со. (8.30)
Отсюда вытекает, что в любом интервале (а, Ъ) ? [0, 2п] найдутся точки |г
где
lim $п (I) = + оо , lim Sn (I) = - оо . (8.31)
Так как иначе, в силу предьщущего замечания, мы пришли бы к противо-
противоречию с (8.30). Следовательно, множество Е точек |, где выполнено (8.31),
всюду плотно на [0, 2тг]. Но так как к лакунарному ряду с коэффициентами,
стремящимися к нулю, применима теорема 3 § 66 главы 1, то для суммы
^(х)обынтегрированного ряда в точке |, где выполнено (8.31), выражение
F((+h)-F(?-h)
2/7
при h -> 0 колеблется между — оо и + °°- Пусть S— любое число. Найдется
последовательность h1} h2, ..., /zm ... такая, что
F(| + hn) - F(S - hn) _ „
2hn *>
а потому по теореме Лагранжа найдутся такие 6п, — 1 < вп < + 1, что
F'(? + 6nhn) = S. Но так как в любой точке х, где F'(x) существует, ряд
сходится и S (х) = F' (х), то
S(S + enhJ = S (п=1,2, ...)-
Мы уже отметили, что множество Е точек, где выполнено (8.31), всюду
плотно, а | + 0nhn как угодно близко к I, поэтому в любом интервале (af b)
найдется точка, где ряд сходится к числу S.
Мы знаем, что если 2 а1 + Ь| = + °°> т° лакунарный ряд почти всюду
расходится. Тем не менее, как мы видим, он должен сходиться на всюду
плотном множестве и притом для любого S всегда есть точка, где
он сходится к числу S.
Следствие. Мы видели (см. глава I, § 63), чтс> существуют ряды с
коэффициентами у стремящимися к нулю, но расходящиеся всюду. Теперь
ясно, что такие ряды не могут быть лакунарными.
Замечание 3. Теорему Сидона можно было бы вывести из теоремы
Зигмунда, рассуждая следующим образом: рассмотрим фейеровские суммы
ряда Фурье от /(х). Если |/(х)| <^ М, то и |огя(х)| <С М. Но для любого ряда
ui + и2 + • • • имеем
В случае лакунарного ряда (где при вычислении фейеровских сумм надо
заменять нулями отсутствующие члены) имеем
^ Qn + x Pn-i + дл/
Покажем, что правая часть (8.32) стремится к нулю. Действительно,
пусть е > 0 задано. Так как qn ->0, то найдется такое п0, что qn < e при
п^п0, а тогда
1 , .1 г- f 1 .

§ 10 ТЕОРЕМА ЭРДЕША 703
кроме того, так как оп <1 С (и = 1, 2, ...),
_?!__ ! 4- -^ir1- </ Г f -1 -'- — -L— 4- ) <- Г Я • —
Значит, |SN — gn\ может быть сделано как угодно малым с ростом N,
а потому из |(т„(х)| <^ М следует, что и |Sn(x)| ограничены в совокупности,,
т. е. выполнены условия, теоремы Зигмунда.
Замечание 4. В теореме Зигмунда предположение о сходимости
на интервале нельзя заменить сходимостью на множестве положительной
меры. Действительно, если взять последовательность чисел ап и Ъп так, что
2 4 + Ъ\< + со, НО 2 Ы + \Ьк\ - + со, ТО рЯД
2? ак cos nk х + bk sin nk x
есть лакунарный ряд, сходящийся почти всюду, но не сходящийся абсо-
абсолютно.
Однако требование сходимости на интервале можно заменить требо-
требованием сходимости на множестве 2-й категории, как мы увидим в § 9.
§ 9. Лакунарные ряды, сходящиеся на множестве
не первой категории
Из предыдущей теоремы можно сделать следующий вывод, принадле-
принадлежащий Стечкину*):
Теорема. Если лакунарный ряд имеет конечные пределы неопре-
неопределенности на множестве не первой категории, то он сходится абсолютно^
Действительно, мы уже говорили (см. § 8, замечание 1), что множество,
Е тех точек, где lim Sn (x) < + <», можно представить в виде
где Ер — множество тех х, при которых Sn(х)^р (и = 1,2, ...), и каждое
из этих Ер замкнуто. Значит, если бы Ер были все нигде не плотны, то Е.
было бы первой категории. Итак, хотя бы одно Ер плотно, а потому содер-
содержит отрезок. Тогда применяем теорему Зигмунда и видим, что ряд сходится
абсолютно.
§ 10. Теорема Эрдеша
Мы видели (см. глава I, § 65), что если для лакунарного ряда
2 akcosnkx + bk$mnkx A0.1)
выполнено условие 2 а\ + b%<i + оо, то он сходится почти всюду (теорема
А. Н. Колмогорова). Дадим теперь обобщение этой теоремы (Erdos M)..
Теорема Эрдеша. Если последовательность {пк} удовлетворяет
условию (Б2) и если 2 а1 + Ь\< + оо, то ряд (ЮЛ) сходится почти всюду.
Так как было доказано (см. § 2), что всякая лакунарная последователь-
последовательность удовлетворяет условию (В2), то теорема Эрдеша является прямым
обобщением теоремы Колмогорова.
Для доказательства этой теоремы мы, прежде всего, докажем лемму„
принадлежащую Сидону (Szidon M).
*) См. комментарий 91 к книге Н. Н. Лузина [м. ш].

704 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Лемма С и дона. Если последовательность {пк} удовлетворяет
условию (В2)у то для всякого тригонометрического полинома
т т
Т(х)= 2 ak cos пк х или Т (х) = ? Ьк sin nk x
к=1 ft=i
имеем неравенство
2л г 2л
О
T*(x)dx}\
где С — константа, не зависящая ни от порядка полинома, ни от его коэф-
коэффициентов.
Доказательство. Имеем
an \ 2 / m Л 2 ( mm
ТЧг\ fir \ — \тт У п2\ — 7т2 I У л4 4- У У п2 п2\ (\О 7\
С другой стороны, если для Т2(х) обозначить через Ак коэффиценты Фурье,
то
I T4(x) dx = I [T2(x)l2dx = л:| — -J- ^.f Д21 A0 3)
J J j 2> "I
Вычислим числа А \ имеем
ТЦх) =
\2 m
akcosnkx\ = J? a2kcos2nkx + JP Jgakaj cos nkx cos tij-x =
k=l
nj)x + ~^^akaj cos (nk - rij)x.
Очевидно, что А% меньше правой части A0.2); теперь оценим А% для р 4=0.
Так как Ар есть коэффициент при cos px, то каждый раз, как
p = nk + nj A0.4)
или
p = \nk-rij\ A0.5)
для каких-то к и /, мы должны брать ^ ака^ в качестве одного из слагаемых,
составляющих Ар; иначе говоря,
±2j A0.6)
где суммирование распространяется на те к и /, для которых выполнено
A0.4) или A0.5).
Но в силу того, что {пк} обладает свойством (В2), найдется не более чем
5 способов, при помощи которых р можно представить в форме A0.4) или
A0.5), где 5 не зависит от р; поэтому число слагаемых в каждой из сумм,
входящих в A0.6), не превосходит s. Поэтому

§ 10 ТЕОРЕМА ЭРДЕША 705
где снова \пк + п,-| — р и, следовательно,
т mm
al2a). A0.7)
р=\ к = \ j = \
Отсюда ясно, что правая часть равенства A0.3) не превосходит кон-
константу, умноженную на правую часть равенства A0.2), и это заканчивает
доказательство.
Случай синусов совершенно аналогичен, так как
2 sin кх sin jx = cos (к — /) х — cos (к + /) х.
Итак, лемма Сидона доказана.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы Эрдеша, нам понадо-
понадобится еще одна лемма.
Лемма 2. Пусть дан тригонометрический полином
= ат cos тх + ... + ап cos nx,
где А (Р) = ат + ат+х + ...+а\ = е.
Мы всегда можем разбить Р (х) на два слагаемых
Р (х) = ат cos тх + ... + а^г cos (/ — 1) х + ai cos lx +
+ a" cos lx + ... + an cos nx,
где a\ + d{ = ah так, чтобы удовлетворялись условия
ат+ ... + (О2<!; Ю2+ ... + ^<| A0.8)
/|. (ю.9)
Доказательство*). Если существует такое q, что
п р
V /72
то достаточно положить I = q + I, a'q+1 = 0, а^+1 = ^+1, и лемма доказана.
Если этого нет, то найдется такое Z, что
am
Положим
тогда
0<E<я?. A0.10)
Мы имеем
?
~2
= е_ д _02 +E_а2. (Ю.П)
Положим
6
ai == —, щ = а,-
*) По существу, лемма 2 есть утверждение, касающееся последовательности чисел
ат,..., «л, а не тригонометрических полиномов Р(х).

706 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Тогда а{ = а[ + а], но так как <5 > 0, то а\ и а{ одного знака; кроме того,
в силу A0.10), \а[\ < |а,|, следовательно \d\ < |fl,|, таким образом A0.9)
удовлетворена. Далее
так как
в силу A0.10); наконец, в силу A0.11)
6
+ д2д + г д
как уже было подсчитано. Итак, A0.8) тоже удовлетворено, и лемма до-
доказана.
Следствие. Повторяя этот процесс, т. е. разбивая теперь каждую
из двух частей, на которые мы разбили Р (х), еще на две и т. д., мы можем
разбить Р (х) на 2Г частей так, чтобы у каждой из них сумма квадратов коэф-
коэффициентов была ^С~. Если взять г достаточно большим, например выбрать
его так, чтобы
где минимум берется по всем отличным от нуля коэффициентам Р(к), мы
видим, что каждый получившийся в результате разбиения кусок состоит
не более чем из двух членов (с коэффициентами, отличными от нуля).
Доказательство теоремы Эрдеша. Будем проводить до-
доказательство для ряда из одних косинусов. Для синусов оно проходит совер-
совершенно так же. Если же мы убедимся, что^ ак cos nkx сходится почти всюду
и 2 &к $т пкх тоже, то это верно и для их суммы.
Положим
Рт(х)= 2 akcosnkx-, 2 а*к = ет. A0.12)
2ш^<2ш+1 2m^2m + 1
Ряд 2J Рщ (х) сходится почти всюду, потому что функции
/72 = 1
т
2 ps(x) = 2 акcos пкх
l 1^2ш+1
следует рассматривать как частные суммы S2m+1 (x) заданного ряда
2ак cosh,(x).
Но так как у этого ряда 2 аК + °°, то к нему можно применить
теорему Колмогорова (см. гл. I, § 65) о сходимости лакунарной подпоследо-
подпоследовательности частных сумм для ряда Фурье от функции с интегрируемым
квадратом. Если мы теперь докажем, что для любого q, удовлетворяющего
условию
2
имеем при т -> оо
2 аксо$пкх->0 почти всюду,
2m^tik<q
то теорема будет полностью доказана.

§ 10 ТЕОРЕМА ЭРДЕША 707
Для каждого Рт (х) найдем свое число v (зависящее от га) столь боль-
большое, чтобы, разбивая Рт(х) по лемме 2 на 2V частей, получили в каждой
части не более 2 членов.
Заставим s пробегать значения s = 1,2, ..., v. Разбивая Рт по лемме
2 на 2s частей P$s, будем иметь для любой из них
-A(P&)<-gf- (i= 1,2,. ..,2s).
Рассмотрим для каждого Р% свое множество ?$s, состоящее из тех х,
где
2*
Мы имеем
2я
mes
Но к каждому из P$s можно применять лемму Сидона, так как этот полином
содержит только косинусы с аргументами пкх, где \пк}—последователь-
\пк}—последовательность, удовлетворяющая условию (В2). Поэтому
2л 2л
О О
где К — новая константа, откуда
mes?^<K^ (i = 1,2,. ..,2s).
Это справедливо для каждого из 2s кусков, на которые разбит Рт(х).
Полагая
2*
^ т — ^ ^rns ,
находим
Положим
m
s=l
^ = lim ^m.
/П->оо
Так как mes Wm ^ em ?—г < Вет, где В — постоянно, и так как
о
2 ?т = 214 < + °°, то
21 mes ^m < + оо ,
а потому
Докажем, что ряд 2 ак cos nkx сходится во всех точках CW, т. е.
почти всюду.

708 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
В самом деле, если х0 ?С1Г, то найдется такое т0, что для т^т0 имеем
*о ? %>mi значит, хо~? <§Г^ (s = 1, 2, ..., v), а потому для т^т0 имеем
1
4К* (s= 1,2,...,*). A0.13)
max \ak\. A0.14)
Покажем, что тогда имеет место неравенство
11 1
2m^rik<q ~ ~ ~
В самом деле, разбивая Рт (х) на 2 куска вида Рш1, смотрим, уклады-
укладывается ли первый из них в сумме
2 akcosnkx. A0.15)
Если да, то эта сумма распадается на Р^ плюс часть куска Р(Д\; если нет,
то сама эта сумма есть часть куска Р(^\; тогда мы разбиваем ее на куски
вида Р$2. Если первый кусок вида Р%2 укладывается в сумме A0.15), то она
разбивается на первый P<i>2 плюс часть второго Р%2 и т. д. Каждый кусок
некоторого P%s либо содержит в себе целый Pms+1 плюс часть другого
Pms+iy ЛИ^° не содержит целых кусков Pms+1, но содержит целый кусок
некоторого Pms,, sf > 5 + 1; продолжая этот процесс, мы разобьем всю
сумму A0.15) на целые куски вида Pml, Pm2, . ..,Pmv, и может остаться
только один член, но и он по модулю не превосходит тз.х\ак\ по всем к,
входящим в наш Рт(х). Но каждый целый Pms удовлетворяет в точке х0
неравенству A0.13), а потому A0.14) доказано.
Так как
1
max | ак | < ][ет < е%
2m^
Vs
и, кроме того, ряд 2 -^-сходится, то из A0.14) находим
1
21 акcosпкх0 |< Ке%,
2m^nk<q
где К — абсолютная константа, т. е. сумма A0.15) стремится к нулю при
т -> оо? и это заканчивает доказательство теоремы.
Замечание. Эта теорема представляет существенное обобщение
теоремы Колмогорова: так как можно построить последовательность {пк},
удовлетворяющую условию (В2) и такую, что
пк = О(к*)
(см. Marcinkiewicz и, а также Качмаж и Штейнгауз tM-7], стр. 359).
§ 11. Теорема единственности для лакунарных рядов
В главе XIV будет доказано, что существуют тригонометрические ряды,
сходящиеся к нулю почти всюду (без того, чтобы все их коэффициенты были
равны нулю). Мы хотим показать здесь, что для случая лакунарных рядов
ето уже невозможно; более того, для таких рядов невозможна даже сходи-

§ 11 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 709
мость к нулю на множестве положительной меры (кроме случая, когда все
коэффициенты равны нулю). Предварительно докажем теорему (см. Zyg-
mund W).
Теорема 1. Пусть последовательность {пк} лакунарна. Если ряд
2J ak cos пк х + Ък sin пк х A1.1)
сходится на множестве Е, тЕ > О к функции F (х), абсолютно непрерывной
на ?*), то продифференцированный ряд
2 nk (bk cos пк х — aksinnkx) 01-2)
сходится почти всюду на Е к асимптотической производной FW (х) и
+ Ь^< +оо. A1.3)
k=l
Доказательство. Обозначим через И множество точек, для
которых <р'(х) существует. Пусть Ег — множество тех точек Е, которые
являются его точками плотности. Ясно, что если
то тЕ2 = тЕ. Далее, по теореме 1 из § 23 Добавлений для любого е > О
найдем такое ^а ?2, что т<о > тЕ2— е, и такую последовательность по-
положительных чисел /гп->0, что для хо?^Г имеем
х0 ? Е2, х0 + К ? Е2, х0 — hn ? Е2 для п = 1, 2,...
Ясно, что
F (х0 + hn) - F (xo-hn) у (х0 + hn)-(p (х0 - hn) v . , ,
2hn '- 2hn ^^ v-o;.
С другой стороны, так как х0 ? Е2 с Н, то если х -> х0, пробегая по точкам
Е, имеем
F(x)-F(x0) = yMi?W ^ ^/ (Хо) ^ (j ] 4;
X — Xq X — Xq
а потому асимптотическая производная F W (х) в точке х0 существует и
F М (х0) = 9?' (х0). Итак,
lim ^(дс + М-^(х-^) = j
всюду на ^, т. е. почти всюду на ?, поскольку е было произвольно.
Отсюда следует, что, продифференцировав ряд A1.1), мы получим ряд
A1.2), который суммируется почти всюду на ? к FM(x) обобщенным мето-
методом Лебега, соответствующим последовательности {hk} (см. глава VII, § 5).
Теперьзаметим, что для коэффициентов ряда A1.2)выполняется условие
в силу #?->0, Ък->0 и лакунарности последовательности {пк}. Отсюда
вытекает (см. § 5 главы VII), что обобщенный метод суммирования Лебега
можно записать и в такой форме, при которой он оказывается методом Т*.
*) Функция F (х) называется абсолютно непрерывной на множестве Е, если она сов-
совпадает на Я с такой функцией ср (х), которая абсолютно непрерывна на отрезке, содер-
содержащем Е.

710 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Таким образом, ряд A1.2) суммируется некоторым методом Т* на множе-
множестве положительной меры, но тогда выполнено условие A1.3) и, значит, этот
ряд есть ряд Фурье. Будучи лакунарным, он, следовательно, сходится почти
всюду. Но на множестве Е он суммируется почти всюду методом Лебега
к FW(x), поэтому в силу теоремы § 5 главы VII он обязан сходиться почти
всюду на ? к FW(x). Теорема 1 доказана.
Следствие. Если последовательность {пк} лакунарная и
то ряд A1.1) не может сходиться к функции, имеющей асимптотическую
производную на множестве меры больше нуля.
Следовательно, кроме случаев очень быстрого стремления ак и Ьк к
нулю, лакунарные ряды изображают лишь плохие непрерывные функции.
В частности, например, для целого Ь, 0< я < 1, ab^ 1 ряд
2 A1.5)
сходится равномерно, но изображаемая им непрерывная функция заведомо
не имеет производной (даже асимптотической) почти всюду, так как здесь
роль пк играет Ьк, а роль ак играет ак, значит,
Мы уже рассматривали ряд A1.5) (см. глава IX, § 5) и показали, что
если b — нечетное целое и
ab> 1 + ~лA-а),
то определяемая им функция нигде не имеет конечной производной. Сейчас,
предполагая только ab^l и b целым, мы можем без всяких выкладок из
общих соображений заключить об отсутствии у его суммы производной почти
всюду.
Вернемся к вопросу, поставленному в начале этого параграфа. Теорема
1 позволяет теперь получить следующую теорему:
Теорема 2. Если {пк} — лакунарная последовательность и если
ряд
2ukcosnkx + bksmnkx (H-1)
сходится к нулю на множестве ?, тЕ > 0, то все коэффициенты ряда равны
нулю.
Прежде всего заметим, что по теореме Зигмунда, доказанной в § 3, из
сходимости ряда A1.1) на ?, тЕ > 0, следует, что он есть ряд Фурье. Пусть
F (х) — его сумма. По условию F (х) = О на Е.
По теореме 1 продифференцированный ряд
2 nk (bk cos nkx — ak sin nkx) A1.2)
снова сходится к нулю почти всюду на Е.
Применяя теорему 1 к ряду A1.2) и так далее, мы убедимся, что F(x)
имеет на Е производные всех порядков, и все они равны нулю почти
всюду на Е.
Кроме того, имеем для любого s

§ 11 ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ ДЛЯ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 711
откуда следует, что, продифференцировав ряд A1.1) любое число раз, мы
получаем ряды, сходящиеся абсолютно.
Далее, мы можем написать для любого s:
2nf (ak cos nkx + bksinnkx) = О на IT, (И-б)
где mlf = тЕ.
Докажем, что для некоторого к09 не зависящего от s, мы имеем
Г! 2 n?(akcosnk
J [ k=ko + l
~m^ J- nf D + Ы). A1.7)
В самом деле, положим для краткости
nf (ak cos пкх + Ьк sin пкх) = дк cos (пк х + ак).
Имеем для любого v
I [2 efcCOS (ПЛХ + ak)f dX
оо со
+ 21 2 QkQjSc°s(плх + ал)cos(пух + aj)dx. A1.8)
При доказательстве теоремы Зигмунда (см. § 3 этой главы, формула
C.19)) мы видели, что правая часть формулы A1.8) должна превосходить
1 °°
-?- тЖ 2 Qk) если v достаточно велико, а это и значит, что найдется такое к0,
8 k=v
при котором неравенство A1.7) будет иметь место.
Но в силу A1.6) мы имеем
2п?(акc°sпкх + bksinпкх) = — 2J nf (akcosnkх + bksinnkх)
к=\ ко+\
на <§Т, а потому формулу A1.7) можно переписать так:
k=ko+l g
 и
о
Отсюда
f \2nf(akcosnkx + bksinnkx)]2dx==n2nF(a*k + Vft. A1.9)
2 пГ
k=ko+l k=\
Выбранное нами к0 не зависит от коэффициентов ряда. Мы можем его
зафиксировать и больше не менять. Если теперь обозначить через М мак-
максимум q\ =%а| + b\ для 1 <; /с^ к0, то
2 nf{al + bf)< ^nM 2 W - С 2п?,
А:=А:0+1 к=1 к=1
где С — постоянное. Допустим, что хоть одно из чисел дк =j= 0, пусть, напри-
hQ ^^l- Тогда
к=\

712 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
и это справедливо при любом 5. Отсюда
', A = 4r
Но поскольку m^>fco+ 1, то
а потому
так как все пк^пко. Но тогда
и так как это неравенство должно быть справедливо при любом s, то мы
приходим к противоречию, потому что г> 1.
Итак, чтобы A1.9) было выполнено, необходимо
ак = Ьк = 0 для к > /с0.
Но если так, то наш ряд превращается в тригонометрический полином.
А полином может обратиться в нуль на множестве меры больше нуля только
тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, т. е.
ак = Ьк=О для fc=l,2,...
и теорема доказана.
Следствие 1. Сумма лакунарного ряда есть функция, которая
не может быть постоянной ни на каком множестве положительной меры;
иначе говоря, любое свое значение эта функция может принимать лишь на
множестве меры нуль.
Следствие 2. Пусть f1 (x) и /2 (х) суммируемы, f1 (x) = /2 (х) на ?,
тЕ > 0 и коэффициенты Фурье от/Дх) и/2(х) равны между собой, кроме,
быть может, тех, которые стоят на местах с номерами пл^> 1, где {пк} —
лакунарная последовательность. Тогда
f± (x) = /2 (х) почти всюду.
Отметим здесь без доказательства некоторые результаты Мандель-
бройта [м-131. Он изучал вопрос, при каких условиях, наложенных на числа
пк, из того, что суммируемая функция f(x) имеет ряд Фурье вида
2 йк cos пк х + bk sin nk х
и имеет нуль «высокого порядка» в некоторой точке х0, следует, что она равна
нулю почти всюду.
Отсылая за наиболее полными формулировками к работе автора, мы
ограничимся здесь рассмотрением случая, когда
где т > 0, a q> (х) непрерывна и у (х0) =f= 0.
Будем говорить, что в этом случае f(x) имеет в точке х0 нуль показатель-
показательного порядка т.

§ 12 О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ 713
Условимся, кроме того, говорить, что последовательность {пк} имеет
показатель сходимости у, если у есть нижняя граница чисел а, для кото-
которых
vJ_/J-oo
В частности, для лакунарной последовательности {пк} имеем у = О,
потому что для любого положительного а
капа1
пак<{Х)капа1
и так как Яа > 1 при Я > 1 и а > 0 любых, то 2—^< + °° Для лакунарной
Пк
последовательности {пк} и а>0 любого.
Мандельбройт доказал теорему:
Пусть f(x) суммируема на [О, 2л] и имеет ряд Фурье вида
2 ак cos пк х + bk sin nk x,
где последовательность {пк} имеет показатель сходимости а<С1. Если
а
т>
1
и f (х) имеет при х = 0 нуль показательного порядка ш, то она равна нулю
почти всюду.
В силу сделанного выше замечания, если {пк} лакунарна, то а = 0.
Поэтому, если f(x) имеет лакунарный ряд Фурье и показательный нуль
любого положительного порядка при х = 0, то она уже должна быть равна
нулю почти всюду.
§ 12. О наилучшем приближении функций, заданных
лакунарными тригонометрическими рядами
Мы здесь укажем без доказательства некоторые теоремы, которые по-
показывают, что и в вопросе о наилучшем приближении функций тригономет-
тригонометрическими полиномами лакунарные ряды обладают специальными свойст-
свойствами, резко отличающими их от общих тригонометрических рядов.
Наиболее замечательной теоремой в этом направлении является
Теорема Бернштейна ГО. Если
^ = 2Рк+\, A2.1)
где рк целое, то для непрерывной /(х), определяемой рядом
/(*)= 2 akcosnkx + bksinnkx = 2 Qkcos (nkx + ak),
k\ k\
2
k=\
наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка п
дается частной суммой Sn(x) ее ряда Фурье.
Чтобы сформулировать некоторые другие теоремы, введем обозначения:
Rn(f) = max\f(x)-Sn(x)\
X
И
АпФ= 2 <?*•

714 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Ясно, что всегда Еп (/) <^ Rn (/) <^ Ап (/). Результат С. Н. Бернштейна заклю-
заключается в том, что при выполнении A2.1) имеем
En(f) = Rn(ft-
Этот результат был дополнен Стечкиным^, доказавшим, что для лю-
любого лакунарного ряда
(где знак~, как обычно, понимается в том смысле, что Ап ~Вп, если СХВП <^
<^ Ап <^ С2Вп, где Сг и С2 — положительные константы). Впоследствии
С. Б. Стечкин И доказал, что это утверждение справедливо и тогда, когда
последовательность {пк} разлагается на конечное число лакунарных.
Кроме того, он доказал, что если
Пк+1
то имеет место и более сильное утверждение
En(f)~Rn(f)~An<f), П->оо
т. е. справедливо асимптотическое равенство).
§ 13. Локальные теоремы для обобщенных лакунарных рядов
Нобль (Noble M) поставил такую задачу: известно некоторое свойство
функции не на [—л9 п], а лишь в окрестности какой-то точки х0. Если это
свойство, будучи выполнено на [—п,п], влечет некоторые следствия для
ряда Фурье <;(/), то при какой «лакунарности» те же результаты будут верны,
когда это свойство выполнено лишь локально?
Это звучит пока слишком неопределенно, но сейчас мы уточним смысл
сказанного.
Известно, что если/(х) имеет ограниченное изменение на [—я,п\ то
Если / (х) удовлетворяет на [—п, ж] условию Липшица порядка а,
0< а< 1, то
[±) (^) A3.1)
Допустим теперь, что f(x)?L на [—п,п] и а) имеет ограниченное
изменение для \х — хо| <^ д или б) удовлетворяет условию Липшица порядка
а, 0 < а < 1 для \х — хо\ <^ д. Тогда Нобль показывает, что для ряда
2 ankcosnkx + bnksinnkx, A3.2)
если на числа пк наложено соответствующее ограничительное условие,
имеем снова в случае а)
и в случае б)
(^) Ш A3-4)

13
ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ
715
В качестве такого условия Нобль, полагая*)
Nk = min (nk - пк-г, пк+1 - пк),
требует, чтобы
lim **_ = + оо.
/С->оо \ППк
A3.5)
A3.6)
Ясно, что для всех лакунарных рядов условие A3.6) выполнено, но оно
может иметь место и для рядов, у которых пропуски между членами значи-
значительно меньше, чем у лакунарных.
Нобль доказывает еще несколько теорем такого типа. Мы остановимся
здесь лишь на двух его теоремах, но зато дадим их в изложении П. Л. Улья-
Ульянова, который, сохраняя метод Нобля, исправил некоторые дефекты в его
доказательстве и к тому же усилил полученные им результаты.
Прежде чем переходить к этим теоремам, докажем следующую лемму:
Лемма. Пусть О < д < 1. Тогда для достаточно большого п сущест-
существует тригонометрический полином Тп(х) порядка не выше п с постоянным
членом, равным 1, и такой, что
1)
где А±
2)
^ для всех х,
абсолютная константа,
\Тп(х)\^А2(е~А^п)
для
A3.7)
A3.8)
где А2 — абсолютная константа, А(д) — положительная константа, за-
висящая только от о (ее можно положить равной -^— .
Для доказательства леммы положим
им
П0(Х)
О
При
при
<
и будем аппроксимировать эту функцию полиномами (но, разумеется, не
равномерно, так как она разрывна).
Для этого мы сначала «сгладим» ho(x). Для любого целого т > 2
с
положим тт = 2~ и определим конечную последовательность {ht(x)}
Х+Тт
так: Л/4.1 = —
для О<
четные.
Ясно, что
— 1; кроме того, потребуем, чтобы ht{x) были все
О
К (х) =
для
71
-j для
X
A3.9)
*) В цитируемой работе Нобля вместо Nk = min (rik — rik-i, rik+i — пи) было на-
написано Nk = max (rik — Пк-i, rik+i — Пк). Но при этом условии дальнейшие рассужде-
рассуждения не проходят (мы имеем в виду выбор полинома Р(х), обладающего нужным свойством).
Впоследствии Нобль указал на необходимость исправления этой ошибки (см. Noble I1]
Correction):

716 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
кроме того, hm(x) монотонна наГ-^-й, й| и она имеет т — 1 непрерывных
производных, обращающихся в нуль в точках —тс и тс. Из определения
hm(x) легко следует, что
DmT
равномерно относительно х. Поэтому, если мы обозначим через ар и Ьр коэф-
коэффициенты Фурье от hm(x), то, интегрируя m — 1 раз по частям, найдем
и аналогично для \ЬР\.
Поэтому, обозначая через Sn (x) п-ю частную сумму ряда Фурье от hm (x),
мы имеем
p=n+l F
равномерно по х. При фиксированном п целесообразно выбрать m так,
чтобы m = mn = |^y ; тогда для любого х мы получим при достаточно
большом п
_ Г_б 2)пп\
где С2 = 2Сге, а п взято достаточно большим для того, чтобы —Г^<'§7 >
тогда можно взять А C) = — .
Отсюда при достаточно большом п имеем для всех х
\Sn(x)\^\hm(x)\ + C2e'A^9 A3.10)
а пото'му в силу A3.9)
^ + C2e~Aid)n<^—^~ для всех х,
если п взято достаточно большим.
Кроме того, в силу определенияSn(x) имеем для его свободного члена
Но hm(x) = O на й<|х|<л;, hm(x) = ~ при
при у <^ | х | ^ д, поэтому
-| и

§ 13 ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 717
Следовательно, можно подобрать константу Яп так, чтобы у Тп(х) =
= hnSn(x) свободный член был равен 1 и притом 1 - Ап<^2. Тогда Тп(х)
удовлетворяет условиям леммы, если положить Аг = 4я, А2 = 2С2.
Итак, лемма доказана.
Докажем теперь следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть
Nk = min (пк+1 — пк9 пк- пк_^
и
= В. A3.11)
Если f(x) ? L [—щ п] имеет ограниченное изменение для \х — хо| <Г <5,
и если
а G) = 2 йПк cos nkx + bnk sin nk х, A3.12)
50
где числа пк удовлетворяют условию A3.11) при В^>-^-, то
Доказательство этой, а также следующей за ней теоремы базируется
на том, что если a(f) имеет лакуны пп < п < п^+1 и если Р (х)—любой
тригонометрический полином порядка ниже Nk и с постоянным членом,
равным 1, то
<*пк = ^ J/ С*) ^ С*) COS
Но выбор полинома Р(х) в нашем распоряжении, и мы можем сделать его
достаточно малым в нужной нам области.
Переходим к доказательству теоремы 1. Не нарушая общности, можно
предполагать х0 = 0. Положим
Mk=min(Nk-l,[nl]). A3ЛЗ)
Пусть ТМк(х)—тригонометрический полином, удовлетворяющий усло-
условиям леммы, где роль п играет Мк. Тогда
= i\t№ Тм" ^ C0S nkxdx =
—п
д
= — J/(x)ТМк(х)cosп^ х dx + -- J /(х)ТМк(х)cosnkxdx = I1 + I2.
-н5 ^|х|^я A3.14)
Но

718 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
Из A3.13) следует, что
А->оо
Поэтому для любого достаточно большого к
в
Значит,
р-А(д)Мк<^ _L__ <^ * (\ Ч 1 1\
А(д) -я In щ *
е 2
В 50
если только А (д) -у ^> 1. Но в условии теоремыбыло взято В ^-у, а в лемме
можно было брать А(<5) = —, значит,A3.17)справедливо.ИзнегоиизA3.15)
следует
при /с достаточно большом.
Для оценки 1± заметим, что в силу условия теоремы f(x) имеет ограни-
ограниченное изменение на (— 5, <5); поэтому достаточно произвести оценку, считая
f(x) возрастающей. Тогда по второй теореме о среднем, интегрируя два раза
по частям, находим
[/(х)Тмк(х) cosnkxdx=^ f (д) ГТМк(х) cos nkxdx =
6
Д Г т, ( v COS П^Х . )
где — Ь < ?7/с < Ь. Так как из A3.7) следует
i Тмк (х) I ^ -у-,
то по неравенству Бернштейна (см. Вводный материал, § 23) имеем
IT' м \^ AiMk it" /^\ i^A^l.
отсюда
з
§ f(x)TMk(x) cos nkxdx
так как Л4? = О (пк).
Оценка для ЬПк проводится аналогично, и доказательство закончено.
Следстви е*). Если f(x)?L [— л, л] имеет ограниченное изменение
на\х — хо\^д и ее ряд Фурье имеет вид A3.12), где
In ПА
*) Именно в таком виде теорему доказывал Нобль.

§ 13 ЛОКАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 719
то
Это немедленно следует из теоремы 1, если положить В = + °°-
Теорема 2. Пусть f (х) ? L[— п, п] и
для \х — хо| < <5, где С — константа и 0< а< 1. Если ряд a(f) удовлет-
удовлетворяет тем же условиям, как в теореме 1, то
Здесь поступаем аналогично. Снова полагаем х0 = 0, но берем
Mk = min{Nk- I, n]ra}.
Ясно, что A3.16) снова имеет место, значит,
Имеем тогда
A3.18)
Так как
AlMk
—g—
то мы получаем по теореме Лагранжа
при фиксированном ё, так как к^\
Интеграл ]х мы разбиваем на две части, именно для — й</<йи для
ь < И < я, тогда Ух = Л + Л-
Имеем
в силу условия Липшица и неравенства A3.7). Далее
Ш< J

720 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ ГЛ. XI
о
так как для больших к в силу A3.8) и А(д)^-^ 1 имеем
е-А(д)Мк <- 1 <- J_ <^ J_
АF) - In nfc П/^ Til
е 2
Соединяя вместе оценки для J2, J3 и J*> видим, что
Аналогично оценивается ЬПк. Теорема доказана.
Следствие. Если f (x) ? L[0, 2n] и
при
и если ряд a(f) удовлетворяет условию
lim V^- = + оо ,
mo
Это немедленно вытекает из теоремы 2, если в ней взять В = + оо
Замечание 1. В теоремах 1 и 2 оценку снизу для В (т. е. В^
разумеется, можно понизить, но мы не ставили себе целью искать здесь точ-
точную константу.
Замечание 2. В недавно появившейся работе Кеннеди (Ken-
(Kennedy М) теоремы Нобля доказаны при единственном предположении
пк+1 — пк ->оо при /с->оо,
однако лишь для/(х)?Ь2[—п,п]. Доказательства основаны на другой
идее.
*) Именно в таком виде теорема была доказана Ноблем.

ГЛАВА XII
СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Введение
Мы видели (см. глава I, § 62), что если тригонометрический ряд сходится
на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю.
С другой стороны (см. глава I, § 63), существуют всюду расходящиеся ряды
с коэффициентами, стремящимися к нулю.
Первый пример тригонометрического ряда с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю, но расходящегося почти всюду, был построен Н. Н. Лузи-
Лузиным в 1911 году. Он служил ответом на проблему, поставленную Фату:
должен ли тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к
нулю, сходиться почти всюду. Н. Н. Лузин М сначала построил степенной
ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, и расходящийся в каждой
точке единичной окружности, а затем показал, что его действительная часть
есть тригонометрический ряд, расходящийся почти всюду*). Как показал
СБ. Стечкин м, на самом деле у степенного ряда Н. Н. Лузина и действи-
действительная и чисто мнимая части являются всюду расходящимися тригоно-
тригонометрическими рядами**).
В § 2 изучается вопрос о скорости, с которой могут стремиться к нулю
коэффициенты всюду расходящихся тригонометрических рядов.
Далее ставится следующая проблема. Пусть коэффициенты тригоно-
тригонометрического ряда не стремятся к нулю. Что можно сказать о множестве
точек, где ряд сходится? Оказывается (см. § 3), это множество должно быть
непременно первой категории***). В дальнейшем все множества меры нуль и
*) В настоящее время мы знаем, что существуют тригонометрические ряды с коэф-
коэффициентами, стремящимися к нулю, и для которых любая подпоследовательность частных
сумм расходится почти всюду (см. гл. XI, § 3).
**) Другие примеры всюду расходящихся тригонометрических рядов, как уже упо-
упоминалось в главе I, даны Штейнгаузом (Steinhaus Ш, t5!). Герцог (Herzog М) доказал,
что существуют тригонометрические ряды, расходящиеся в каждой точке, у которых
все коэффициенты положительны.
***) Виола (Viola l1!) доказал следующее предложение: пусть для тригонометри-
тригонометрического ряда
2l гп cos (пх + ап)
п = \
выполняется условие
гПк >а>0 (к =1,2,...).
Тогда, если rik,i — пи. < С (к = 1,2,...), то множество точек, где ряд сходится, состоит
не более чем из конечного числа точек; если —— < С (к = 1, 2,...), то это множество не
более чем счетно.

722 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
первой категории делятся на такие, для которых может существовать ряд,
сходящийся на них, без того, чтобы его коэффициенты стремились к нулю
(их называют jR-множествами), и те, для которых это невозможно.
В §§ 4, 5, 6, 11 изучаются необходимые условия для того, чтобы множе-
множество было /^-множеством; частично к этому же примыкает и § 9; в § 8 даются
достаточные условия. Как мы увидим дальше (в главах XIII и XIV), всякая
классификация множеств меры нуль является чрезвычайно трудным вопро-
вопросом, так как одни и те же множества при решении разных проблем ведут
себя по-разному. Этого, в частности, мы касаемся в § 10.
§ 2. Коэффициенты всюду расходящихся тригонометрических рядов
После того как были построены первые примеры тригонометрических
рядов, расходящихся почти всюду, а также всюду, некоторые авторы зани-
занимались изучением вопроса, с какой скоростью эти коэффиценты могут стре-
стремиться к нулю.
Прежде всего Р. О. Кузьмин И оценивал коэффициенты степенного
ряда Н. Н. Лузина и нашел, что они имеют порядок 0{п 6J.
Затем ряд авторов (см., например, Р. О. Кузьмин И, Харди и Литтль-
вуд (Hardy and Littlewood t3]) строили степенные ряды с коэффициентами
быстрее стремящимися к нулю и также расходящиеся в каждой точке еди-
единичной окружности. Наконец, Недер (Neder W) доказал следующую общую
теорему:
Теорема Недера. Какова бы ни была последовательность поло-
положительных чисел ап, лишь бы ап -> 0 монотонно и ? «S = + °°> существует
степенной ряд
оо
У С 7п
с коэффициентами
Сп - О(ап) ,
расходящийся в каждой точке окружности \z\ = 1.
Мы приводим здесь эту теорему без доказательства, так как докажем
теорему С. Б. Стечкина и, из которой теорема Недера вытекает как след-
следствие. Именно имеет место
Теорема. Какова бы ни была последовательность положительных
чисел ап, лишь бы ап -> О монотонно и JJ а% = + оо, существует пара сопря-
сопряженных тригонометрических рядов с коэффициентами
и расходящихся в каждой точке.
Для доказательства этого предложения нам понадобятся две леммы:
Лемма 1. Пусть ап j 0 и ? а^= + оо. Тогда существует после-
последовательность натуральных чисел {рп} таких, что
2) ir<aN" где N"

§ 2 КОЭФФИЦИЕНТЫ ВСЮДУ РАСХОДЯЩИХСЯ ТРИГ. РЯДОВ 723
Положим No = 0, пусть No, Nly ...,Л/ГП_1 уже определены; выберем
Nn так, чтобы оно было наименьшим натуральным числом, удовлетворяю-
удовлетворяющим неравенству
(N-Nn-JaN>l.
Такое число Nn должно существовать, так как если бы для всех N > Nn_1
мы имели
(N-Nn^)aN<l,
то
а тогда 2?an< + °° вопреки условию теоремы.
Итак,
(N - Nn_j aN < 1 (Nn_x < N < Nn), B.2)
(^-N^a^^l (л = 1,2,. .)• B.3)
Положим
тогда
и мы докажем, что числа р/2 удовлетворяют условиям леммы.
Так как Nn натуральные, то и рп также. Имеем из B.3)
Рп aNn > 1 ,
следовательно,
7ST<a*»
т. е. удовлетворено второе условие, наложенное на числа рп.
Из B.2) следует
(Nn- l-N^a^l,
(Pn-l)aNn<b B.4)
тем более (в силу монотонного убывания ап)
(Рп— 1)аЛГя + 1<1 ,
а между тем
1
значит, рп+1у> рп—1, т. е. р„+1^>рп, и первое условие удовлетворено.
Остается доказать расходимость ряда 2J —•
Заметим сначала, что из B.4) следует
Рп амп<1 1 + «ivw< 1 + ах = С,
т. е.
Оценим сверху кусок расходящегося ряда 2 а%, именно
Nn + i—I Nn+pn—\ Nn+1—l
2 а%= ^ а%+ ^ <*% = SX + S2. B.6)
N=Nn N=Nn Nn+pn

724 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Для Sx мы используем монотонность чисел ак и неравенство B.5), это дает
Для суммы S2 в силу B.2) имеем
Рп Рп Рп
B.8)
Таким образом из B.6), B.7) и B.8) следует
i— 1
где К — абсолютная константа, а потому
1 1 <» Nn + 1—1
i> 2
что и заканчивает доказательство леммы 1.
Переходим к доказательству леммы 2, касающейся тригонометрических
полиномов. Условимся называть «отрезком» тригонометрического полинома
р-\
Qp (ху Ф) — 2 Qk cos (kx + Ф)
к=0
всякий полином вида
Лемма 2. Пусть р ^> 24. Для любого х, удовлетворяющего неравен-
ствам
найдется отрезок полинома
р—\
^р (х, Ф) = 2 cos (kx + Ф),
k=0
для которого
^ cos (kx + <p) >-|- B.10)
(здесь числа кг и fc2 зависят от х и от ср).
Положим
а
тогда
п ^ а < 3 п ;
пусть грк = кх + ср. Когда к пробегает значения 0 1, ..., р — 1, то
ipQi \ръ ..., ^р_х монотонно возрастают от ^ до ср + р~ а и соседние
р
точки находятся друг от друга на расстоянии —. Рассмотрим функцию
у = cos у) для ^ ^ у> ^ ^ +

§ 2 КОЭФФИЦИЕНТЫ ВСЮДУ РАСХОДЯЩИХСЯ ТРИГ. РЯДОВ 725
Так как по условию леммы р^>24 и тс^ а^Зтс, то сегмент [^0, ^p-j] =
= \ <Р> 9 + ~ а имеет длину
p — \ >. (\ 1 Л \23
Отсюда ясно, что каково бы ни было <р, этот сегмент содержит некоторый
сегмент /+ длины-^-, где cos у^-тг или сегмент/_ длин ы~у где cos ip^ — -^
(а может быть и два таких сегмента). Допустим что он содержит /+ (рассуж-
(рассуждение для 7_ было бы такое же).
Сосчитаем число точек у)к, попавших на такой сегмент /+. Так как
CL ^ 3 Л \ гч л
расстояние между соседними точками грк равно — <^ —, а р ^> 24, то на сег-
сегмент длины-^ таких точек попадет не меньше, чем
Зя; _ i_^_i ^^ t
1 24 '
Обозначим через кх наименьший и через /с2 наибольший номер /с,
для которого грк ? 1+. Тогда ykl, ykl+1, ..., ук2 все принадлежат /+ и
при этом
к2-кг+ l^^j B.H)
(кроме того, О <С кг ^ к2 ^ р — I).
Оценим сумму
2 cos (кх + ф) = 2 cos Wk •
Так как cos ipk^-~- для всех рассматриваемых значений грь то
в силу B.11).
Если бы вместо /+ у нас был бы /__, то получили бы
^cos(кх
к=кх
и тогда все равно
^ cos (кх + <р)
Г. J.
48
и лемма 2 доказана.
Введем теперь в рассмотрение сопряженные тригонометрические по-
полиномы
Tn,p (х, у) = S'cos [(N + к) х-к у],
к=0
Qn,p(х,у) = Д sin [(N + k)x-ky).

726 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Так как их можно переписать в виде
7\т (х v) — "V cos \k (r гЛ 4- /V 1 Г) (г л/ ЛМ
к=о
р—\
к=0
[х - у) + Nx-%] = Dp (x - у, Nx - |),
к=0 ^J V *)
то получаем
Следствие леммы 2. Пусть р ^> 24. Для любого х, удовлетворяю-
удовлетворяющего неравенствам
3 71
т.е.
B.12)
найдутся такие отрезки полиномов TNр(х, у) и QN,p(x, у), для которых
Л cos[(N+k)x-ky]
k=kx
48"
J ^8
k=kj_ I
Теперь мы уже в состоянии перейти к доказательству сформулирован-
сформулированной выше теоремы Стечкина.
Итак, пусть задана последовательность чисел ап таких, что ап | 0 и
2J а% = + °°- На основании леммы 1 выберем натуральные р#1 так, чтобы
Pn<Pn+i(n= 1,2, ...)^уп- = + ~ и ^ <<**„, где Nn= 2 рк.
Так как aN -> 0 приЛГ -> оо, то рп -> оо (и притом монотонно). Из самого
определения чисел Nn .следует, что
Nn^ + pn-l=Nn-l<Nn. B.13)
Положим
— B.14)
и построим ряды
п=1
л=1
Докажем, что это будут сопряженные тригонометрические ряды, удовлет-
удовлетворяющие условиям доказываемой теоремы.
Прежде всего заметим, что это будут обычные тригонометрические ряды,
таккакпорядок полинома TNn_XtPn есть Nn_x + рп— 1 и в силу B.13) он
меньше, чем порядок самого младшего из членов полинома TNn> Pn+1 (и ана-
аналогично ДЛЯ QNn_i,pn).
Ряды S(x) и S (х) являются сопряженными, так как TNp (x, у) и
Qn, р(х, у) — сопряженные тригонометрические полиномы при любых N и р.

§2
КОЭФФИЦИЕНТЫ ВСЮДУ РАСХОДЯЩИХСЯ ТРИГ. РЯДОВ
727
Оценим коэффициенты рядов S(x) и S(x). Имеем для Nn_1 <Г N <
1
1
bN\<
Рп
Но
JL<aN|t<«« (я =1,2,. .)
в силу монотонности последовательности ак, значит, коэффициенты наших
рядов удовлетворяют нужному требованию.
Остается доказать расходимость этих рядов в каждой точке. Мы про-
проведем это доказательство для ряда S(x); так как для5(х) оно совершенно
аналогично.
Пусть х0 — любая точка на [0,2тг]. Так как ряд 2—-расходится, то для
любого целого неотрицательного I найдется такое натуральное число nh что
т—\ ! щ 1
к=\
ЯСНО, ЧТО Щ -> со при / -> оо.
Докажем, что
Рт
к=\
Рт
B.16)
(т. е. для xQ -f 2nl удовлетворено неравенство вида B.12)). Действительно,
из B.14) следует
9 Т7- П1 1
= 2 п у?
Рщ b~i Рк
Рщ
Рк
71
Рт
Вычитая теперь ут + -—из B.15), находим
--<Хо+2я1-У1Ч- —
71
т. е. B.16) доказано.
На основании следствия из леммы 2, как только рт станет
можно будет найти такой отрезок полинома Т Nni-pni (x0, yni), что
24,
cos
+ к)х0 — кущ\
48
откуда
48" •
B.17)
Выражение, стоящее под знаком модуля в этом неравенстве, есть отрезок
ряда S(x) при х = х0.
Так как для всех I, для которых pm ^ 24, неравенство B.17) имеет место,
а рП1 -> оо? то найдется бесконечное множество отрезков ряда S(x), абсо-
абсолютные величины которых не меньше-^ при х = х0, т. е. ряд в этой точке
расходится.
Замечание. В связи с вопросом о скорости стремления к нулю
коэффициентов всюду расходящихся тригонометрических рядов, есте-

728 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
ственно поставить вопрос и о «регулярности» их убывания. Напомним (см.
§ 4 главы XI), что лакунарные ряды с коэффициентами, стремящимися к
нулю, не могут всюду расходиться, т. е. невозможен случай, когда ат =
= Ьт=0 для всех га, кроме га = пк, где {пк}—лакунарная последова-
последовательность. В недавно появившейся работе Кеннеди (Kennedy И) показано,
что требование лакунарности здесь в известном смысле нельзя усилить.
Точнее, имеет место теорема: если Ф(/) | 0при / -> оо, то существует всюду
расходящийся ряд вида 2J ак cos пкх + &к sm ПА гДе
§ 3. Расходимость на множестве второй категории
Мы видели в предыдущем параграфе, что если только дп | 0 и 2J Qn
расходится, то существуют тригонометрические ряды, коэффициенты кото-
которых имеют порядок О (дп), и однако эти ряды расходятся в каждой точке.
Салем поставил вопрос так: рассмотрим ряд
2* ?„ cos (юс-О, C.1)
где числа дп заданы. При каких ограничениях, наложенных на эти дю мы
можем утверждать, что для любых ап ряд C.1) сходится всюду, кроме, быть
может, множества первой категории? Оказалось, что, кроме тривиальной
гипотезы^ Qn < + °° (когда ряд C.1) сходится и даже абсолютно для всех
значений х), никаких других условий указать нельзя. Более того, Салем
доказал следующую теорему (Salem M):
Теорема. Пусть числа дп^0 заданы и 2J Qn= + °°? тогда можно
всегда подобрать числа ап так, чтобы ряд
2J Qn COS (ПХ ~ ап)
расходился на множестве второй категории.
Для удобства рассуждений будем подбирать sn так, чтобы получить ряд
2гпё*Чпх-819 C.2)
расходящийся на множестве второй категории, тогда либо
2rn cos (пх — sn), либо 2rnsin(nx — sn)
обладает тем же свойством, а каждый из них есть ряд вида C.1) при разум-
разумном подборе чисел ап.
Пусть cp(v) —функция, определенная для всех натуральных v и прини-
принимающая целочисленные значения: мы будем предполагать cp(v) f oo, но
подберем ее позже.
Расположим все дроби вида —, где 0 <^ р <^ q, в виде таблицы
О
_0_ _1_
1 1
А _! —
2 ~2 2
_2. !_ A L
р р р '" р

§ 3 РАСХОДИМОСТЬ НА МНОЖЕСТВЕ ВТОРОЙ КАТЕГОРИИ 729
Обозначим через и1У и2, ..., ип, ... последовательность чисел, которые
мы получим, если будем пробегать последовательно строки таблицы, а в
каждой строке все элементы слева направо, но каждую дробь будем повто-
повторять по нескольку раз, а именно:
сначала ср @) раз напишем О,
/п о
затем 99A) раз напишем -у-»
» <рB) раз напишем -у?
» tpC) раз напишем у,
» ц> D) раз напишем -^,
Легко подсчитать при этом законе, что — будет повторено Ц\ ^ ^ Н
раз. Полагая
sn = иг + и2 + ... + ип,
докажем, что так построенный ряд C.2) удовлетворяет условиям теоремы.
Число членов т, которые мы встретим в ряде ?ип раньше, чем дойдем
до тех ип, которые совпадают с дробью —, есть, очевидно,
C.3)
Дальше пойдет ф\ Z +р| членоввида -; рассмотрим соответствующий
этим членам отрезок ряда C.2), он имеет вид
а = X1 rn e2ni(nx—sn).
Но sn = sm + /с— для п = /п + /с, поэтому
J? rm+ke
fc=i
/ p\
_ e2ni(mx—sm) " ^ гтЛ. femk^~~q\ C.4)
Пусть х = — — любая несократимая дробь. Для любого целого / можем
написать х = -°4 = ^L и тогда из C.4) для этого х находим
^ C.5)
fc=i
Здесь через ш;- мы обозначили величину m из C.3), если там вместо р и q
писать pj и qj. Ясно, что /Пу -> оо при / -> оо.
Мы предположили ^ гя = + °°? потому для всякого п можно найти
такое гр(п), что
гл+1 + r/i+2 + ... + гп+Нп) > п . C.6)

730 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Поэтому если
^1-)- + pJ>V(/ny) = V{9»@) + v(l)+... +V[5L^±:^ + Py — l
C.7)
то будем иметь из C.5)
<у | > rrij C.8)
каждый раз, как х удовлетворяет неравенству C.5). Значит, если мы опре-
определим ip(ri) так, чтобы удовлетворялось C.6), и <p(v) так, чтобы
Р«>уЫ0) + ?A)+ ..+<p(v-l)]> C.9)
то будет удовлетворено C.8).
Но в этом рассуждении / любое целое. Поэтому для заданного рациональ-
рационального х в ряде C.2) имеется бесконечное множество отрезков, удовлетворяю-
удовлетворяющих C.8), т. е. он неограниченно расходится для этого х. Итак, он неограни-
неограниченно расходится для всякого рационального х, а тогда и на множестве
второй категории (см. глава IV, § 19).
Теорема доказана.
Замечание. Поскольку гп в этой теореме были любые, лишь бы
2Jrn = + °°, то, в частности, можно предполагать 2 гп < + °° и, значит,
получить расходимость ряда Фурье от функции с интегрируемым квадра-
квадратом на множестве второй категории. Но, как отмечает сам Салем, построить
таким методом ряд, расходящийся на множестве меры больше нуля, заве-
заведомо не удается. Действительно, метод Салема заключается в том, что ряд
2 rn cos (лх - ап)
разлагается на счетное число кусков Uк (х) и для каждого х из некоторого
Е найдется бесконечное множество кусков Utll(x), Um(x), ..,Unk(x),
(зависящих от х) и таких, что \Uni(x)\ > а > 0. Но если
пь+1
то
2и
а потому ряд 2 \ Unk (x) dx < -f oo7 значит, 2 U2njc (x) сходится почти всюду,
6
а тогда Unk(x)->0 почти всюду, что противоречит \Uni(x)\ >а для х ? Е,
если тЕ > О,'
§ 4. Множества типа R
Мы знаем, что если шЕ>0, то из сходимости тригонометрического ряда
на Е следует
lim ап= 0 и lim bn = 0.
П-> со П-> оо
Однако этот результат может быть значительно обобщен. С этой целью введем
Определение. Множество Е назовем множеством типа R или
кратко R-множеством*), если существует тригонометрический ряд, сходя-
сходящийся на ?, и такой, что его коэффициенты не стремятся к нулю.
*) Это название ввел Салем (Salem f31); он упоминает, что назвал эти множества так
е честь Райхмана, изучавшего их структуру.

§4 МНОЖЕСТВА ТИПА Я 731
Из результата, который мы только что напоминали, сразу следует, что
все /^-множества имеют меру нуль. Мы ставим себе целью изучить вопрос,
когда заданное множество меры нуль есть /^-множество, и когда этого нет.
Вопрос этот далеко не решен, поэтому мы вынуждены ограничиться ука-
указанием отдельно необходимых и отдельно достаточных условий.
Прежде всего установим вспомогательное предложение.
Лемма 1. Если Е есть R-множество, то оно сохраняет это свойство
и после любого сдвига вдоль оси абсцисс.
Действительно, пусть х0— любое число, и пусть &—множество точек
вида t = х — х0 при х ? ?. Пусть
-у- + 2 ancosnx + bnsinnx D.1)
— тригонометрический ряд, сходящийся на Е и такой, что
0Й + &2-/-О.
Положим
Тогда
«о = ао у ап = а-п c°s пх0 + bn sin nx0,
fin = bn cos пх0 — ап sin нх0.
и, однако, так как при х = х0 -\- t имеем
ап cos пх Ъп sin пх = ап cos nt + $n sin nt,
то сходимость D.1) на Е влечет сходимость
¦^- + 2ancosnt + pnsinnt на У,
т. е. g7 есть /^-множество.
Лемма 2. Если Е есть R-множество и Е содержит точку 0, то
найдется такая последовательность натуральных чисел {пк}, что
lim sin nkx = 0 при х?Е.
Действительно, пусть ряд D.1) сходится на Е, но а\ + Ь\—^0. Если
х = 0 принадлежит Е, то ряд D.1) сходится при х = 0, а это значит, что
^г+2ап сходится, откуда
ап-+0.
Из сходимости D.1) на Е следует
ап cos пх + bn sin пх -> 0 ка Е
а так как ап cos пх -> 0, то, значит, и Ъа sin пх -> 0 на ?. Но а\ -\- Ъ\ —г> О,
и а„ ->0, значит ftn—^0. Поэтому найдутся такие пк, что
]^|>а>0 (fc=l,2,. .),
а в то же время
lim ЬПА sin ллх = 0 на ?,
отсюда и следует нужное утверждение.
В дальнейшем нам будет полезно следующее определение, принадле-
принадлежащее Арбо (Arbault^):

732 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Определение. Множество g7 точек /, лежащих на [0, 1 ], допускает
нулевую последовательность у если существует последовательность нату-
натуральных чисел {пк} таких, что
lim smnnkt = 0 для t?g.
Приняв это определение, мы можем сказать, что если Е есть /?-множе-
ство на [0, 2л] и ? содержит точку 0, то множество % точек / вида / = -^~,
где х ? ?, допускает нулевую последовательность. Действительно, в силу
леммы 2 имеем
lim sin nkx = 0 для х ?Е
или
lim sin 2лnkt = 0 для /?lf
и {2пк} есть нужная последовательность.
В дальнейшем мы для удобства будем вообще рассматривать множества
на @, 1) и соответственно ряды
-у- + 2 ап cos 2 л пх + bn sin 2лпх. D.2)
Мы условимся говорить, чтобы не вводить новой терминологии, что
множество Е на @, 1) есть /^-множество, если существует ряд D.2), сходя-
сходящийся на ? и такой, что а\ + Ь%—/-+0.
Если так, то предыдущий результат можно сформулировать следую-
следующим образом:
Если Е есть R-множество и Е содержит точку 0, то Е допускает нуле-
нулевую последовательность.
Этот результат, несмотря на свою простоту, очень полезен во всем даль-
дальнейшем.
Чтобы получить новые сведения об /^-множествах, нам понадобится
рассмотреть очень интересный класс множеств, который, как мы увидим
дальше, встречается в целом ряде проблем теории тригонометрических
рядов. Это множество типа Н (так их назвал Райхман (Rajchman И) в честь
Харди и Литтльвуда, впервые рассмотревших эти множества (Hardy and
Littlewood И).
§ 5. Множества типа Н
Райхман дал для этих множеств два разных определения, одно арифме-
арифметическое (Rajchman И) и другое геометрическое (Rajchman M), и доказал
их эквивалентность.
Мы рассмотрим оба эти определения и будем при доказательствах поль-
пользоваться иногда одним, иногда другим.
Пусть Е—замкнутое множество на [0,1]. Точке х ? ? приводим в
соответствие точку Мх с полярными координатами г = 1 и в = 2лх. Когда
х пробегает Е, точка Мх пробегает некоторое замкнутое множество g7 на
окружности радиуса 1. Пусть &к — множество точек Мкх для х ? Е. Ясно,
что точка Мкх совпадает с М(кх)у где @ — дробная часть числа t. Пусть
2лйк — длина максимальной смежной дуги ко множеству $к.
Определение 1. Множество Е называется Н-множеством, если
ЙгтГ(/„>0. E.1)

МНОЖЕСТВА ТИПА Н 733
Например, если Е есть канторово совершенное множество, то, пола-
полагая п = 3Л, видим, что все множества &зк (к = 1, 2, ...) совпадают между
собой и
<*з*=у (fc = l,2,...),
а потому канторово множество есть Я-множество.
Определение 2. Множество ? называется Н-множеством, если
существует последовательность целых чисел п19 п2, ..., пк, ... и два числа
аи 5, 0 <^ а < 1 и 0 <; <5 < 1, таких, что
0<(лЛх-а)<3 для х?? (fc = l,2, ...), E.2)
где (?) — дробная часть числа t.
Здесь требование 5 < 1 является самым существенным.
Если ничего больше не добавить, то эти определения не эквивалентны,
так как во втором не требуется замкнутости Е. Однако, если всякую часть
замкнутого Н-множества условиться опять называть Н-множеством, то
можно убедиться в эквивалентности обоих определений.
Покажем, что всякое множество А, удовлетворяющее определению 2,
содержится в некотором замкнутом множестве Е, удовлетворяющем опре-
определению 1.
Действительно, пусть А есть множество, удовлетворяющее второму
определению. Возьмем входящую в это определение последовательность
пъ п2, ..., пкУ ... и для каждого пк рассмотрим на [0, 1 ] множество Fk тех
х, для которых хотя бы при одном целом JV имеем
+ d. E.3)
Так как 0 <^ N <^ пк, то таких чисел N может быть лишь конечное число
(N = 0, 1, ..., пк) и, значит, множество точек х ? [0, 1] и удовлетворяющих
00
E.3) хотя бы при одном N есть замкнутое множество. Пусть Е = П Fk,
значит, Е тоже замкнуто. Если х ? Ау то, полагая Nk = [nkx— а], имеем
в силу E.2)
0</2лх —а- N
или
т. е. х ? Fk при любом к, значит, х ? Е. Отсюда следует, что А а Е. Теперь
покажем, что Е есть Н-множество в смысле определения 1.
Если х ? Е, то множество <еПк целиком умещается на дуге окружности,
имеющей длину 2nd, а потому максимальная смежная дуга к tm имеет
длину не меньше, чем 2тгA — <5), т. е.
откуда
lim dn ^> 0,
т. е. Е есть Н-множество в смысле первого определения, а А есть часть
Я-множества*).
Обратно, пусть Е удовлетворяет первому определению. Значит, найдется
бесконечное множество таких &т что для них
dn>d>0, E.4)
*) В ходе доказательства показано, что всякое //-множество содержится в замкну-
замкнутом //-множестве. Этим мы часто будем пользоваться в дальнейшем.

734 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
где 2ndn— длина максимальной смежной к %?п дуги. Возьмем такое N, что
и разделим окружность радиуса 1 на N равных дуг А1У А2У .. .yANy каждая
длины -ту-. Любая дуга а длины > 2nd покроет целиком хотя бы одну из дуг
д, а множеств &пу у которых максимальные смежные дуги удовлетворяют
условию E.4), имеется бесконечное множество. Значит найдется хоть одна
дуга д такая, что
Л(а{аПкУ рПк) (fc = l,2, ...),
где (аП1О @Пк) —дуга длины 2ndnky смежная к %Пк. Если так, то %?Пк все
умещается вне дуги (аПк, @Пк), значит, и подавно вне Д- и если мы поло-
положим
4 B 2р) где
то в силу определения %?Пк это значит, что
а <^ пк х — Nk <^ р
или
a (fc=l,2,. .).
HozJ имеет длину -jt- , значит, /? — а = -jt- < 1. Отсюда
х-а)<б, где 3<1,
и мы пришли ко второму определению.
Итак, оба определения эквивалентны.
Покажем теперь, что всякое Н-множество имеет меру нуль.
Пусть А — рассматриваемое множество. Тогда, как мы видели выше,
при любом к всякое х ? А удовлетворяет условию х ? Fk, т. е. каждое
х ? А входит в один из пк отрезков длины — , а именно
• Чс
пкГ^ ^ пк > пк ^Х ^ пк >-"> пк ^ ^ пк
(в случае, если a + 5 > 1, крайний из этих отрезков разобьется на два куска,
один слева от 1, другой справа от нуля). Обозначим через ?^это множество.
Вглядываясь в геометрическую картину расположения отрезков, со-
составляющих Ек, мы легко видим, что если А есть любой сегмент на [0, 1],
то часть Ек, попавшая на А, имеет меру, которая стремится к Ьа при к -> со:
т(ЕкА)-^д А при /с-^со.
Значит, если в выбрано так, что д < в < 1 (а это возможно, потому что
<5 < 1), то при достаточно большом к имеем
и это же верно, если вместо одного сегмента А мы рассмотрим систему S из
конечного числа сегментов, т. е.
т (EkS) < 6S при достаточно большом к.
Но для рассматриваемого Я-множества А имеем
А с П ЕкУ
к=\

§6 МНОЖЕСТВА ТИПА Hff. ТЕОРЕМА РАЙХМАНА 735
отсюда, в частности,
А г~ fl F
*Л \ JLM. -I—*pfc у
где числа рк можно выбрать как угодно. Но ЕР1 есть система из конечного
числа сегментов, а р2 мы можем взять столь большим, чтобы
т(ЕР2ЕР1)<втЕР1<в*.
Также р3 можно-взять столь большим, чтобы
тЕръ (ЕР2 ЕР1) < 0 т {Ерг ЕР1) < 03.
Продолжая этот процесс, видим, что
тА < вк,
где к может быть сделано как угодно большим, а это и значит, что тА = CL
Замечание. Иногда бывает удобно вместо (/), т. е. дробной части t,
рассматривать {/}, т. е. / — N, где N—-ближайшее к / целое. Нетрудно
убедиться, что если бы мы в определении Я-множества рассматривали
вместо (пкх — а) величину {пкх — а}, но при этом предполагали
— -^- <^ а < -^ вместо 0 ^ а < 1 и требовали
\{пкх~а}\<д, где д<-^,
то получили бы снова Я-множество.
§ 6. Множества типа На. Теорема Райхмана
Определение. Множество Е есть множество типа На, если оно
может быть покрыто суммой конечного числа или счетного множества
Я-множеств.
Так как всякое Я-множество содержится в замкнутом Я и все они
имеют меру нуль, то всякое Я нигде не плотно, а тогда На всегда 1-й кате-
категории.
Докажем теперь следующую теорему.
Теорема. Всякое множество, допускающее нулевую последователь-
последовательность, есть множество типа На.
Действительно, пусть Е допускает нулевую последовательность, сле-
следовательно, найдутся такие пк, что
lim sinTZH^x^O, x?E.
Но
sin тс пк х = ± sin п {пк х},
если же 0^/^у, то —^^—'С 1? откуда следует, что
\\т\{пкх}\=0,
к-* оо
Обозначим через ?^ множество тех х, для которых
Если взять т > 2, то —- < -^ и тогда в силу определения Я-множеств и
/72 /d

736 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
замечания в конце § 5 каждое Eff есть Я-множество. Но тогда для задан-
заданного т, полагая
Я? у р(Р)
0 т — Zi ^т у
р=\
видим, что $?т есть Но. Ясно, что если х ? Е, то для любого т найдется такое
р, что х ? Е%\ значит, х ? <zfm. Итак, Е с $?т, значит, Е не только На, но
даже произведение счетного множества множеств <ет типа На, которые с
ростом т могут лишь терять точки.
Как следствие получаем теорему:
Теорема Райхмана. Всякое R-множество есть множество типа
На, т. е. тригонометрический ряд с коэффициентами, не стремящимися
к нулю, может сходиться лишь на множестве типа На.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим заданное /^-множество Е и сдви-
сдвинем его по оси абсцисс так, чтобы получилось множество $, содержащее
точку 0. Это $ будет опять /^-множеством и в силу леммы 2 § 4 множество
$ допускает нулевую последовательность. В таком случае, по доказанному,
<о будет типа На. Но от сдвига Я-множество не перестанет быть Я, значит,
На не перестанет быть Но. Итак, первоначальное множество R имеет тип
На, и теорема доказана.
Следствие. Если тригонометрический ряд сходится на множестве
Е не первой категории, то его коэффициенты стремятся'к нулю*).
Действительно, в противном случае Е было бы типа Яо , т. е. заведомо
1-й категории.
Более того, в главе XIV мы познакомимся подробно с так называемыми
^-множествами (см. определение в § 70 главы I). Будет доказано, что ника-
никакое Af-множество не может быть типа На (см. § 6 главы XIV). Отсюда следует,
что если тригонометрический ряд сходится на Af-множестве, то его коэффи-
коэффициенты стремятся к нулю.
§ 7. Достаточные условия для /^-множеств
Полученное нами в § 6 необходимое условие для /^-множеств очень
слабо. Действительно, не только На не должно быть /^-множеством, но и
Я-множество (в этом мы убедимся в § 8). В поисках достаточных условий
вернемся ко множествам, допускающим нулевую последовательность. Мы
не знаем, всякое ли такое множество есть /^-множество. Но мы видели в § 6,
что если Е допускает нулевую последовательность, то найдутся такие {nk}y
что
Шп|{лЛх}| = 0, х?Е. G.1)
Покажем, что, несколько усиливая условие G.1), мы можем добиться
того, чтобы получить /^-множество и даже /^-множество специальной при-
природы. Введем, следуя Арбо (Arbault M), такое определение**):
Определение. Множество Е называется No-MHom:ecmeoM, если
существует последовательность целых пк такая, что ряд
2/ smnnkx G.2)
сходится абсолютно на Е.
*) Впервые эта теорема была доказана Юнгом (Young W. H. t1]).
**) Арбо пользовался этим определением при изучении абсолютной сходимости. Мы
встретимся еще с множествами No в главе XIII.

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЛЯ Й-МНОЖЕСТВ 737
Так как для х ? Е
то отсюда следует и абсолютная сходимость ряда 2 sm 2лпкх на ?, а тогда
из определения /^-множества ясно, что всякое Л/0-множество есть /?-мно-
жество.
Приняв это определение, докажем лемму:
Лемма. Пусть еп -> 0 и пусть Е обладает таким свойством: сущест-
существует последовательность целых пк таких, что для всякого х ? Е найдется кх
(зависящее от х) и такое, что
|{плх}|<ел для k>kx.
Тогда Е есть Ыо-множество (а» значит, и /^-множество).
Доказательство. Не нарушая общности, можно предполагать,
что 2J е^< + °°> та1< как, выбрав из них подпоследовательность sks == ns,
образующую сходящийся ряд, и полагая nks = ms, мы видим, что достаточно
доказывать теорему для случая сходящегося ряда.
Пусть теперь
bnk = \ (fc=l,2,...),
bn = 0, если пфпк (к = 1, 2,. .).
Ряд
шяпх
сходится и даже абсолютно на Е, так как для х ? Е
| sin л пк х | = | sin л \пк х} | ^ л \ {пк х} | ^ лек
для к^ кх, a 2J 8к < + °°- Кроме того,
2J | bn sin пх | = 0 .
Итак,
2J | й„ sin пх | сходится на Е .
л=1
Отсюда следует, что Е есть ]У0-множество.
Лемма доказана.
Из этой леммы, в частности, можно получить теорему.
Теорема. Всякое счетное множество есть R-множество (и далее
No-множество).
Действительно, пусть
— заданное счетное множество (расположенное на [0, 1]).
Пусть sk —любые положительные числа, стремящиеся к нулю. Выберем
число п± так, чтобы
1
и чтобы в силу теоремы Минковского (см. Добавления, § 24), нашлось такое
ръ для которого
1 п,

738 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Допустим, что пг < п2 < ... < пк__1 уже выбраны; тогда выбираем пк
так, чтобы
I I рф
к к
Ik
при некоторых целых p\k)(i = 1, 2, ..., к).
Ясно, что мы имеем
Теперь мы находимся в условиях предыдущей леммы; в самом деле,
для каждого xh как только к ^> г, будем иметь
\{nkxt}\<ek.
Отсюда следует, что счетное множество есть JVQ-множество, а значит, и
/^-множество*).
Однако нетрудно показать на примере, что /^-множества могут иметь
мощность континуума, например быть совершенными. Чтобы убедиться в
этом, разделим отрезок [0, 1] на 3 равные части и выбросим средний интервал
длины у; каждый из двух оставшихся сегментов q$> и ^>1} разделим на 9
равных частей и выбросим по интервалу длины -^ от первоначального, со-
У
хранив слева и справа по сегменту длины — от д^ или ^1}; вообще после т
у
первых шагов процесса в оставшихся 2Ш сегментах ^т), ..., g$g произ-
произведем деление на Зт+г равных частей и, выбросив средние интервалы, со-
сохраним слева и справа по сегменту длины -о^тт ЙшЧг = 1> 2, ..., 2Ш) и т. д.
Ясно, что получим совершенное множество Р. Легко видеть, из построе-
построения, что если положить
т(т +1)
nm = 3lf2+-+m =3 2 ,
то для любого х ? Р имеем
а потому на основании леммы, доказанной в начале этого параграфа, мы
видим, что Р есть /^-множество.
§ 8. Базисы**)
Для того чтобы получить новые необходимые условия для /^-множеств,
введем понятие базиса, которое понадобится не только здесь, но и в главе
XIII.
Определение. Множество точек Е} лежащее на прямой, назы-
называется базисом, если для любой точки х на этой прямой найдутся такие
*) Доказательство проведено тем методом, которым В. В. Немыцкий [Ч доказывал,
что счетное множество есть N-множество (о понятии N-множества см. глава XIII, § 1).
**) Для чтения §§ 8 и 9 этой главы необходимо предварительно познакомиться с опре-
определениями симметрических множеств и множеств с постоянным отношением. Эти опре-
определения даны в §§ 19 и 20 главы XIV.

БАЗИСЫ
739
точки х19 х2, ..., хп из Е и такие целые числа къ к2,
+ к2х2 + ... + кпхп.
Можно также писать
., кпу что х = кгхг +
где все е,- = + 1, но уже точки xt $ ? не обязательно различны.
В качестве интересного примера базиса можно привести канторово со-
совершенное множество Р. Штейнгауз (Steinhaus И) доказал, что для любого
i ? [0, 1] имеем t = х + У, где х ?Р и у ?Р. Отсюда уже ясно, что любое
f, — оо < t < + °°, можно представить
в виде t = пх + пу, где п — целое, ах(Р
и у?Р.
Для доказательства теоремы Штейн-
гауза разобьем квадрат с вершинами @,0),
A,0), A,1), @,1) на 9 равных квадратиков и
удалим внутренние точки 5 квадратов, об-
образующих крест; с каждым из 4 оставшихся
квадратов поступим так же, и т. д. В резуль-
результате на плоскости получим множество я,
проекции которого как на ось Ох, так и
на ось Оу дают канторово множество Р
(рис. 44).
Пусть t — любое число О <С t <^ 1.
Проведем прямую t = х + У и покажем,
что она непременно пересечет множество я,
а тогда х $ Р и у ?Р. Для того чтобы
убедиться в этом, мы заметим, что наша прямая пересекает основной квад-
квадрат, по крайней мере один из 4-х квадратов, оставшихся после удаления
первого креста, по крайней мере один из 16 квадратов, оставшихся после
второй операции удаления крестов, и т. д. Таким образом она пересекает
каждое из множеств, в результате пересечения которых получается п;
значит, она пересечет и само п.
Итак, канторово множество есть базис.
Мы увидим несколько дальше, что этот результат можно получить и
из более общего, касающегося совершенных множеств с постоянным отно-
отношением*), но сейчас мы ограничимся этим примером. Прежде чем вернуться
к /^-множествам, мы установим еще две теоремы о базисах.
Для этого сначала заметим, что если для некоторого множества Е мы
нашли такое д > 0, что любую точку отрезка О <С / <^ д можно представить
в виде
t = k1xl + k2x2+ ... +kmxm, (8.1)
где все х( $ ?, а все kt целые, то Е есть базис.
Действительно, пусть х — любое положительное. Выберем целое п так,
чтобы
Рис. 44
Тогда, полагая ~ = /, видим, что О <С t < 5, и значит, / можно представить
в форме (8.1). Отсюда следует, что
х = кх пхх + к2 пх2 + ... + кт пхт . (8.2)
Если х отрицательно, то —х представляем в форме (8.2), а так как все
— kt n снова целые, то и в этом случае нужное разложение получено.
*) См. § 20 главы XIV.

740 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
После этого замечания докажем теорему*).
Теорема 1. Всякое множество меры больше нуля есть базис.
Возьмем точку плотности х0 рассматриваемого множества ?. Окружим
ее столь малым интервалом Л, чтобы для любого Ь СА и содержащего х0
иметь
Пусть дг — интервал концентрический с А и такой, что
1 ~~ 7 '
Имеем
Если мы сдвинем дг вправо или влево на величину h> О < h < -~- ,то получим
интервал <52, все еще лежащий в А и содержащий х0, а множество Е перейдет
в Ehf причем
m(Ehd2)>~d2=-~A .
Тем более
(ЕА)^А и m(EhA)>-^A,
9 1
откуда следует, поскольку -^ >у, что множества EnEh должны пересе-
пересекаться. Пусть х ? EEh. Тогда
х = хх, где хх ? ?
и
х = х2 + h, где х2 ^ Е ,
т. е.
и = Х± — Х2 .
Итак, любое ft из @,-g-j можно представить в виде h = хх — х2. Значит,
на основании предыдущего замечания можно утверждать, что Е — базис.
Более того, всякое х можно представить в виде
х = пх± — пх2,
где хг ? Е и х2 ? Е, а п целое.
Из этой теоремы выведем следующее утверждение.
Теорема 2. Всякий базис после любого сдвига остается базисом.
Действительно, пусть Е — базис, а х0 — любое число. Обозначим через
%? множество точек вида t = х — х0, где х ? Е. Надо доказать, что % — снова
базис.
Пусть х любое. Его можно записать в виде
X = К^ Xj -j- К4 Х2 ~г ... ~г Кт Хт ,
где х( ? Е, а /с, целые. Положим
ti = xi-x^
Тогда
^ = ^1 к + К к + • • • +kmtm + пх0,
где tt (^,ап целое.
*) Эта теорема доказана В. В. НемыцкимМ.

§ 8 БАЗИСЫ 741
Если таких представлений для х несколько, то выбираем какое-то одно
из них.
Обозначим через Еп множество тех х, которые записываются в этой форме
при заданном л; имеем
Значит, хотя бы одно из Еп имеет меру больше нуля; пусть это будет Ет.
По предыдущей теореме ЕПо — базис; более того, как видно из доказательства
теоремы 1, любое у можно записать в виде
У = РУ1 - РУ2,
где ух ? Епо, у2 ? Епо, а р целое. Но тогда, так как
Ух = Кк + . . +kmtm + nx0,
у2 = 1гт1+ . .. + lilrll + nx0}
где все tt и г( принадлежат IT, а kt и lt целые, то
y = pk1t1+ ... +pkm tm - plxxx - ... - pl^
и, значит, любое у представляется в виде линейной комбинации с целыми
коэффициентами через точки из W, а это и означает, что %? — базис.
Вернемся теперь к i^-множествам. Докажем теорему:
Теорема 3. Базис не может быть R-множеством.
Другими словами, если тригонометрический ряд сходится на мно-
множестве Е, являющемся базисом, то его коэффициенты стремятся к нулю.
Прежде всего сдвинем Е так, чтобы получить множество W, содержа-
содержащее точку 0. Если Е было базисом, то и W также по теореме 2. Если бы Е
было /?-множеством, то и F также по лемме 1 § 4, а тогда по лемме 2 § 4
множество W допускает нулевую последовательность, т. е. существуют
такие пк, что
lim sin nknt = 0 ,
к
Но W базис. Поэтому для любого / имеем
t = o-i к + Ч к + • • • + amtm,
где все tt (г = 1, 2, ..., т) принадлежат W, а все at целые.
Заметим теперь, что для любых а и /?
| sin (а + /3) | <^ | sin а \ + | sin /3 |
и по индукции
п
sin(x-l + x2 + .. + хп) |< 2 I sin*, [,
в частности,
| sin nx |^n| sinxj
для любого целого п. Поэтому
т т
| sin п пк 11 ^ 2J | sin л; Пд. а{ ti\<^ 2J | а( \ \ sin n nk tt \,
1 =

742 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
а так как sin nktt -> 0 при к -> оо и i = 1, 2, ..., т в силу того, что fz- € У ,
мы видим, что
lim sin л; Лд. / = О
А:-* со
при любом /. Если так, то вся бесконечная прямая — оо </<-(- °° есть
множество, допускающее нулевую последовательность. Но это неверно,
поскольку в силу теоремы § б такое множество имеет тип Нв, т. е. уже на-
наверное первой категории и меры нуль.
Следствие. Канторово множество не есть R-множество.
Действительно, мы видели в начале этого параграфа, что канторово
множество есть базис. Таким образом, //-множества не должны быть ^-мно-
^-множествами (и тем более множества типа На).
Покажем теперь (мы уже упоминали об этом в начале параграфа), что
свойство канторова множества быть базисом есть следствие более об-
общего результата, касающегося симметрических совершенных множеств с
постоянным отношением (см. определение этих множеств в главе XIV, § 20).
Чтобы иметь возможность доказать, что эти множества являются базисами,
нам понадобятся две леммы:
Лемма 1. Каковы бы ни были 2р точек в1У в2, ..., в2р, лежащих на
[О, 1 ], молено всегда, не меняя суммы их абсцисс, разместить их в отрезках
КН^4
Действительно, пусть х = 0Х + в2 + ... + в2р. Так как 0 <^ вг : <^ 1,
то 0<^х<; 2р. Поэтому х = к + в, где к —целое, 0<Г/с<С2р—1 и
О<^0<^1. Если к<Ср, то, полагая
Л/ д/ /3' 1 тт /3' /3'
^ 1 — 02 =: • • • — Uk — А И ^Л+1 — • • • — и2р = 2 n —~k y
ВИДИМ, ЧТО
2р
При этом
значит все условия удовлетворены.
Если же р^к<^2р — 1, то положим в[ = ... =6к+1= 1—тгт~г
и е; = 0 при i > к + 1. Тогда
1 1
и, кроме того,
i =к + 1 - (к + О т+т = к +в =
2
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть р ^ 2 — натуральное число, S — любая система
из конечного числа непересекающихся сегментов равной длины, q и S' — си-
система, получаемая из нее, если из каждого сегмента выкинуть центральный
интервал так, чтобы длины двух оставшихся сегментов были равны —. Тогда,
каковы бы ни были 2р точек на S, их всегда молено разместить на Slf не
меняя суммы их абсцисс.

§ 9 О МЕРЕ ХАУСДОРФА ДЛЯ Й-МНОЖЕСТВ 743
Действительно, любая точка х,- из S имеет вид х( = щ + 6(д, где а( —
левый конец сегмента из S, содержащего xh и 0<Сбг-<. 1.
Если таких точек х( имеем 2р штук, то
На основании леммы 1 можно написать
где для любого i имеем О<^0{<^ —или-^—<^0*<Г 1, поэтому, полагая
х{ = а, + е0$,
видим, что 2 xi = 2 х» и каждое х\ принадлежит одному из сегментов си-
системы S'.
Из доказанных лемм легко вывести теорему.
Теорема 4. Всякое симметрическое множество Р с постоянным
отношением есть базис, иу следовательно, не есть R-множество.
Действительно, пусть I есть то число, которое фигурирует в определении
множества Р с постоянным отношением. Выберем целое р так, чтобы
Пусть х — любая точка на [0, 1]. Положим сначала
0Х = 02 = ... = 02Р = —.
Тогда
2<>t = x.
Обозначим через Slf систему из двух сегментов, оставшихся после уда-
удаления первого интервала в процессе построения Р, через S2 систему из 4
сегментов, оставшихся после второго шага процесса построения Р, и вообще
через Sm систему из 2т сегментов, оставшихся после т первых шагов про-
процесса построения Р. В силу леммы 2 можно найти такие в\, лежащие на Slf
что ? 0/ = 2®i = х'у по т°й же лемме найдутся такие в], что
и все в] лежат на S2 и т. д.; в т-ж шаге найдутся 0^ш), лежащие на Sm и
2J в\т = х, и так при любом т.
В итоге мы найдем такие xh лежащие на Р, что х = 2/ х?-, и так как это
верно при любом х, то Р есть базис.
§ 9, О мере Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа для /?-множеств
Хаусдорф ввел следующее определение для метрических пространств:
Определение 1. Пусть X — пространство и р — любое действи-
действительное число 0 < р < + оо. Пусть для данного в > О
где X = А1 + А2 + ... + А- + ... — произвольное разложение прост-
пространства X на счетное число подмножеств диаметра меньшего, чем в, и р —
показатель степени*).
*) д (А), где А — подмножество X, обозначает диаметр множества А; при этом счи-
считают {S(E)]° = 0, если Е пусто, и [6 (Е)]° = 1 в противном случае.

744 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Тогда
тр (X) = sup тр
е>0
называется р-мерной мерой пространства X.
Легко доказывается, что если p<q, то тр (X) ;> mq (X), причем, если
тр (X) < + со, то mq (X) = 0.
Определение 2. Хаусдорфовой размерностью множества X назы-
называется верхняя грань всех действительных чисел р, для которых тр (X) > 0.
Так, для канторова множества хаусдорфова размерность равна ^^ .
Действительно, каково бы ни было л, можно разбить это множество Р
на 2п частей диаметра-^-, поэтому при е = —-
^ГПР 2 л _ In 2
С другой стороны, пусть р > -j^-; так как п можно взять как угодно
большим, то (-gp-J как угодно мало, а потому тр = 0 и шр (х) = 0.
Совершенно так же доказывается, что если Р — совершенное множество
с постоянным отношением |, то его хаусдорфова размерность есть трут •
Поскольку размерность по Хаусдорфу может служить для классифи-
классификации множеств меры нуль, можно поставить вопрос, нельзя ли по размер-
размерности этих множеств судить о том, будут ли они i^-множествами или нет.
Однако на этот вопрос приходится дать отрицательный ответ, так как имеет
место
Теорема. Как бы мало ни было ?>0, можно найти совершенное
множество хаусдорфовой размерности меньше е а, однако, не R-множество*
Напротив, для любого в < 1 можно найти множество размерности в и
являющееся R-множеством (и даже N ^множеством).
Первая половина этой теоремы доказывается так: выбираем | столь
малым, чтобы
in 2 .
О,
и строим совершенное множество с постоянным отношением |. Тогда его
размерность меньше е и, однако, оно не есть i^-множество в силу теоремы
4§ 8.
Для доказательства второй половины теоремы мы, следуя Салему (см.
Salem М), рассмотрим на [0,1 ] симметрическое*) множество Р с отношениями
|ft, выбранными так: для некоторой последовательности натуральных чисел
*и *2> •••>*/> •••> которые мы определим позже, будем брать ^
(/ = 1, 2, ...), если же к Ф ц — 1, будем полагать 1к= — (т. е. в этом случае
из сегмента д{к) ничего не выкидывается, но он делится пополам при пере-
перек + 1) Я к i б
д ,
ходе к шагу к + 1). Ясно, что при к = ij будем иметь
^ ~~ 2* / Г
причем таких сегментов д{к) имеется 2к штук.
*) Определение этих множеств дано в главе XIV, § 19.

§ 9 О МЕРЕ ХАУСДОРФА ЛЛЯ Й-МНОЖЕСТВ 745
Если положить
лЛ = 2Л(/-1)! для
то
(9.1)
С другой стороны, обозначая через a{sk) левые концы сегаентов д(к)
(s = 1, 2, ..., 2fe), видим из построения, что при к = ij
\{nAk)}\=0[j) (s= 1,2, ... ,2^). (9.2)
Но так как для любых х и у
\{х + у}\<\{х}\+\{у}\
и любая точка х ? Р отстоит не более чем на д(к) от одной из точек а{к) (s =
= 1, 2, ..., 2Л), мы видим, что
= 0(у) для х?Р, k = ij (/=1,2, ...).
Теперь мы находимся в условиях леммы § 8 и из нее заключаем, что Р
есть /?-множество (и даже А[0-множество).
Остается показать, что числа il9i2, • ••>*;> ••• можно подобрать так,
чтобы хаусдорфова размерность была равна 0, где 0 наперед заданное,
О <0 <1.
Пусть в задано, 0 <0 < 1. Покажем, что можно подобрать числа ij так,
чтобы
О < А < 2ч J-jL-J0 < В < + со . (9.3)
Если зто удастся, то
В > тЦР) > А для е = ^ ,
а потому
и, с другой стороны, для всякого 0' > 0 будем иметь mQ, (P) = О, потому что
тв(Р) <+оо. Итак, хаусдорфова размерность Р будет равна 0, если мы най-
найдем ij такие, что (9.3) имеет место. Но для этого достаточно, чтобы
In A < ij In 2 - в (ij In 2 + In / !)< In В
или
в In / ! + In A < ij(\ — 0) In 2 < 0 In / ! + In Я ,
откуда
в In/I +ln Л . flln/1 + 1nB .g 4v
A — 0) In 2 -^ A — 0) In 2
Если выбрать Л и В так, чтобы
In Б-In Л -
A - в) In 2 > '
то всегда можно найти возрастающие целые /;- так, чтобы (9.4) удовлетворя-
удовлетворялось, и это заканчивает доказательство теоремы.
Замечание. При построении этого примера мы убедились, что в
противоположность множествам с постоянным отношением, которые никогда
не бывают ^-множествами, симметрические множества с переменным отноше-
отношением могут быть /^-множествами.

746 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
§ 10. Необходимый признак для замкнутых /^-множеств
Мы уже отмечали, что необходимый признак для i^-множеств, а именно,
что всякое R есть На, является слишком слабым утверждением.
Укажем здесь один результат Салема (Salem^), дающий необходимое
условие для i^-множеств в случае, когда они замкнуты.
JVIbi знаем (см. § 4), что. если Е есть i^-множество и содержит точку 0,
то оно допускает нулевую последовательность, т. е. найдутся такие пк9 что
lim smnnkx = 0, х?Е. (ЮЛ)
Допустим теперь, что ? замкнуто. Построим любую монотонную функцию
F (х), постоянную на смежных к Е интервалах. Так как из (ЮЛ) следует
lim sin27inkx = О,
ТО
1
lim j sin2лпкхdF = lim J sin2 7inkxdF = 0 A0.2)
fc-»-» о k-*oo e
(переход к пределу иод знаком интеграла Стилтьеса законен, так как
sin2 пк л х (к = 1, 2, ...) есть последовательность функций, ограниченных в
совокупности).
Но из A0.2) следует
lim | A — соь2лпкх) dF = 0,
Л-со О
откуда
lim f cos2ttnkxdF = FA) - F @).
к-»со о
Отсюда вытекает такая теорема Салема:
Теорема 1. Для того чтобы замкнутое множество Е, содержащее
точку х = 0, было R-множеством, необходимо, чтобы для любой монотонной
F(x), постоянной на смежных к нему интервалах,
lim j cos 2 ж nxdF = F A) - F @). A03)
Л-*оо о
Впоследствии мы сопоставим это утверждение с одной теоремой об
абсолютной сходимости тригонометрических рядов (см. глава XIII, § 6).
Является ли выведенное условие и достаточным? Этот вопрос остается
открытым, но можно доказать такое предложение (см. Salem^J).
Теорема 2. Если Е есть замкнутое множество и F (х) — любая
монотонная функция, постоянная на смежных к Е интервалах и удовлет-
удовлетворяющая условию A0.3), то найдется Ег с Е, для которого
j dF=O,
Е-Ег
и это Ег есть R-множество (и даже Ыо-множество).
Чтобы убедиться в этом, заметим, что A0.3) влечет существование после-
последовательности \пк}, для которой A0.2) имеет место. Поэтому можно найти
такую последовательность {тк}, что
I к д-4 \ >>•••>

§ 11 СУММА ДВУХ Й-МНОЖЕСТВ 747
Тогда
00
2 к2
к=\
и
или
2 к2 | sin2mk7ixdF< + оо .
к=\ Е
Поэтому (см. Вводный материал, § 14 и Добавления, § 8)
2 k2sin27pmkx< + оо, A0.4)
к=\
почти всюду по мере F, т. е. сходится на некотором Ег таком, что
J dF = O. A0.5)
Е-Ех
Так как при любом N
1 1
N ( N 1 \о / N
U
то в силу A0.4)
00
2J I sin л:/77^х| < + °° на
2J ^| х
и, следовательно, ?3 есть i^-множество (и даже АГо-множество). Теорема 2
доказана.
§11. Сумма двух /?-множеств
Поставим вопрос: должна ли сумма двух i^-множеств снова быть ^-мно-
^-множеством?
Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным. Именно, имеет место
следующий результат Марцинкевича (Marcinkiewicz^).
Существует множество Е, являющееся базисом, и такое, что
где каждое из слагаемых есть R-множество (и даже Ыо-множество).
Доказательство. Положим
сру (t) = sign sin 2vn t
и
v=l
Ясно, что S(f) принимает все значения между—1 и +1. Действительно, если
а любое между —1 и +1, то его можно записать по двоичной системе счисле-
счисления в виде
а = ± 0, аг а2... av...
и подобрать t так, чтобы

748 СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XII
Пусть {пк} — возрастающая последовательность натуральных чисел
которую мы подберем позже. Положим
2 ff«+i@; s«@ = 2
k=0 k=\
Ясно, что S{t) = S1{t) + S2@- Обозначим через Аи В соответственно мно-
множество значений функций S± (t) и S2 (t). Покажем, что множество Е = А + В
есть базис. Действительно, если z — любая точка на [—1, +1], то найдется
такое t, что S (t) = z, т. е.
где х $ Д у ? В, значит, х $ Е и у ? Еу а это и означает, что Е — базис.
Остается показать, что, если мы разумно подберем последовательность
{пк}, то каждое из множеств Аи В есть JR-множество (и даже ЛГо-множество).
Пусть т = 1. Допустим, что п19 п2, ..., пк_ъ т19 т2, ..., тк_г уже
определены. Существует всего 3"*-i чисел вида
f*'
(так как sign принимает только 3 значения: —1, О, +1). Обозначим их в\
(г = 1, 2, ..., З"*-1). Можно найти такое натуральное тк^> пк_ъ что
(см. теорему Минковского в § 24 Добавлений).
Выберем пк^> тк так, чтобы
2П* ^ 2/с'2 ' V • /
В силу A1.1) и A1.2) каждое число в вида
удовлетворяет неравенству
Отсюда следует, что если х ? А, то
j? |sinm2^+1Trx| < + оо,
к=\
а если х $ В, то
00
2^ | smm2knx I < + °° ,
к=\
т. е. А и В — множества типа i? (и даже типа No).

ГЛАВА XIII
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
§ 1. Введение
В настоящей главе мы прежде всего (§ 2) указываем некоторые класси-
классические результаты, касающиеся вопроса о том, какое влияние оказывают
точки абсолютной сходимости на сходимость и расходимость ряда.
Затем мы начинаем изучать вопрос, на каких множествах ряд может
сходиться абсолютно, без того, чтобы сходиться абсолютно всюду на [—я, л].
Здесь удобно ввести следующую терминологию:
Определение. Множество Е назовем множеством типа А.С,
если из абсолютной сходимости тригонометрического ряда
2 Qn^s(nx-an) Qn>0 A.1)
на Е следует^ дп < + со. Если множество Е не есть А. С.-множество, то
назовем его N-множеством.
В главе I, § 61 была доказана теорема Данжуа—Лузина, которую при
введенной сейчас терминологии можно сформулировать так: всякое мно-
множество положительной меры есть Л. С.-множество. В § 3 настоящей главы
мы показываем, что и любое множество 2-й категории есть А. С.-множество.
Таким образом, N-множества всегда меры нуль и первой категории.
Из определения N-множества следует, что существует ряд A.1), сходя-
сходящийся абсолютно на нем, и такой, что 2 Qn = + °°- Мы доказываем (§ 4),
что, не нарушая общности, можем считать такой ряд состоящим из одних
синусов.
Дальнейшее изучение N-множеств показывает, что ряд результатов,
доказанных нами в главе XII для /^-множеств, справедлив и для N-множеств.
Так, например, всякое счетное множество есть N-множество (§ 6), ни-
никакой базис не есть N-множество (§ 5), сумма двух N-множеств может
оказаться базисом (§ 8). В § 7 мы показываем, что существуют N-мно-
N-множества, не являющиеся ^-множествами; в обратную сторону вопрос не
решен.
Мы изучаем, далее, такой вопрос, который можно было бы назвать пробле-
проблемой относительных А. С.-множеств, а именно следующий: пусть гп \ 0. Пусть
ряд A.1) удовлетворяет условию: дп = О(еп) (п = 1, 2, ...). Если из абсолют-
абсолютной сходимости такого ряда на Е следует J?* qn < -|- со, то будем Е называть
А. С.-множеством относительно последовательности {еп\.

750 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Пользуясь одним добавлением к теореме Данжуа—Лузина (см. § 10),
Яно доказал, что если еп = —, то при любом а множества положительной
а-емкости*) являются А. С.-множествами относительно {sn}. В § 10 этот
результат получается как следствие гораздо более общей теоремы о выпуклой
емкости.
Наконец, в § 11 мы рассматриваем проблему абсолютной сходимости ряда
при специальных предположениях относительно коэффициентов ряда, напри-
например для рядов с почти убывающими коэффициентами, для лакунарных, для
нуль-рядов и т. д.
Есть еще много вопросов, связанных с абсолютной сходимостью, которых
мы здесь не затронули**). Мы рекомендуем интересующимся ознакомиться с
диссертацией Арбо (ArbaultW), специально посвященной этой теме, где содер-
содержится ряд таких результатов, которые для изложения потребовали бы слиш-
слишком много места.
§ 2. Влияние точек абсолютной сходимости на сходимость ряда
Фату (Fatou^) первый обратил внимание на то, что наличие хотя бы
одной точки абсолютной сходимости у тригонометрического ряда позволяет
сделать некоторые заключения о множестве его точек сходимости, а также
и сходимости сопряженного ряда.
Именно, имеет место
Теорема Фату. Всякая точка абсолютной сходимости ряда
00
~2~ ~^~ 2 йп C0S ПХ ~1~ ^п sm пх B-1)
Л = 1
есть точка симметрии для множества его точек сходимости, для множества
точек сходимости сопряженного ряда, а также для множеств точек абсолют-
абсолютной сходимости данного ряда и сопряженного с ним.
Полагая для краткости
Вп (х) == bn cos пх — ап sin пх,
при помощи элементарных выкладок убеждаемся, что
Ап (х + ft) + Ап (х - К) = 2 Ап (х) cos nh ,
Вп (х + h) - Вп (х - К) = - 2 Ап (х) sin nh .
*) Понятие а-емкости и выпуклой емкости даны в § 12 главы V.
**) Обращаем внимание читателя на работу А. О. Гельфонда 14, где показано, что
для любых чисел дПу лишь бы дп -*¦ 0, можно так подобрать кп, чтобы ряд
00
J*7 Qn sin кп х
сходился абсолютно на несчетном множестве точек.
Отметим также, что, как показал Виола (Viola W), если у ряда
00
Jv/ akcosnkx + bksin л хк
коэффициенты ограничены и Z —— < + оо, то множество точек, где он сходится абсо-
пк+1
лютно, имеет мощность континуума на любом интервале.

§2 ВЛИЯНИЕ ТОЧЕК АБСОЛЮТНОЙ СХОДИМОСТИ 751
Допустим, что ряд B.1) сходится абсолютно при х = х0, т. е. 2\Ап (хо)| <
<+°°- Тогда ясно, что сходимость 2 Ап(х0 + Л) влечет сходимость
2] Лп (х0— Л) и аналогично для Вп (х), это же справедливо и для точек абсолют-
абсолютной сходимости. Используя это простое замечание, Н. Н. Лузин^-9]. [мло]
доказал следующие две теоремы:
Теоремы Лузина. 1) Если тригонометрический ряд имеет беско-
бесконечное множество точек абсолютной сходимости, то он либо почти всюду
сходится, либо почти всюду расходится.
2) Если тригонометрический ряд сходится абсолютно в двух точках,
расстояние между которыми несоизмеримо с л, то он либо почти всюду схо-
сходится, либо почти всюду расходится.
Вторая из этих теорем сразу следует из первой. Действительно, пусть
х1 — х0 = |, где | — несоизмеримо ел, и ряд сходится абсолютно в точках
Рис. 45
х0 и хг По теореме Фату он тогда должен сходиться абсолютно во всех точках
вида хп = х0 + п ?, где п — любое целое (так как они попарно симметричны
относительно друг друга), а значит, и во всех точках tn, лежащих на [0, 2л]
и таких, что tn = хп (mod 2л). Но в силу того, что | несоизмеримо с лу этих
точек tn бесконечно много, так как все они между собой различны и, следо-
следовательно, мы находимся в условиях первой теоремы.
Для доказательства первой теоремы заметим, что если множество А
точек абсолютной сходимости бесконечно, то оно должно иметь предельную
точку, а тогда для любого е> О можно найти две точки |х и |2 из А на
расстоянии меньшем, чем е. Так как всякая точка вида |х + я(|2— |х), где
п целое, снова принадлежит А, мы легко убеждаемся, что множество точек,
принадлежащих А, всюду плотно.
Допустим теперь, что для некоторого множества Е, лежащего на отрезке
длины 2тг, множество W точек симметрии всюду плотно, и покажем, что тогда
тЕ = 0 или тЕ = 2л.
Действительно, если бы это было не так, то имели бы
тЕ > 0 и тСЕ > 0.
Тогда Е и СЕ имеют точки плотности; пусть хг — точка плотности для Еу
х2 для СЕ. Можно, следовательно, для любого е> 0 найти такое <5, что если
дг содержит х1У д2 содержит х2и^ д, д2 ^ 6, то
Рассмотрим точку х0 = Xl\^2 и найдем такую точку |?1Г, что |х0—1| <
< -j-; это возможно, так как множество W по условию всюду плотно. Расс-
Рассмотрим интервал дг длины д с центром в х3 (рис. 45); если мы его отобразим
зеркально относительно точки |, то получим интервал д' длины <^ д,
который будет содержать х2. Ясно, что
потому что каждая точка из (Е Ь) при отображении около | перейдет снова

752 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
в точку из Е (так как | — точка симметрии) и при этом попадет в <5', поэтому
т (Е д') — т(Е <5Х), ай'~ д19 поэтому выполнено а). С другой стороны, выпол'-
нено б), поэтому
т(СЕ $') -. 1 /о /14
и так как неравенства B.3) и B.4) несовместимы, если е <^-,то теорема
доказана.
§ 3. Теорема Лузина о категории множества точек
абсолютной сходимости
Мы переходим к вопросу о том, какие множества являются А. С.-мно-
жествами, хотя они и имеют меру нуль.
Теорема Лузин а^м-9ь [мл°]. Если тригонометрический ряд схо-
сходится абсолютно на множестве не первой категории, то ряд из его коэффи-
коэффициентов сходится абсолютно.
Иными словами: всякое множество не первой категории есть А. С.-мно-
С.-множество, даже если оно имеет меру нуль.
В самом деле, пусть Е — множество всех х, где
/7=1
&2 Qn — + °°- Покажем, что Е есть множество первой категории. С этой
целью обозначим через S (х) сумму ряда C.1) и через Sn (x) его частные суммы.
Пусть F^m) есть множество тех х, для которых Sn (x)^m. Ясно, что F^m)
замкнуто, ибо все Sn (x) непрерывны. Поэтому и
со
F(jn)
(
тоже замкнуто. Но F(m) есть множество точек, где Sn (x) <^ m при /2=1,2,...,
следовательно и S (х)<С т. Ясно, что и наоборот, если S (х)<^ га, то и Sn (x) <>z
при всяком я, так как Sn(x)^S(x). Значит, Fim) есть множество тех х, где
5 (х) ^ га, а тогда
— V P(m)
Остается доказать, что каждое Fm нигде не плотно, тогда будет видно,
что Е первой категории.
Если бы Fim) для некоторого га было плотно на каком-то отрезке [а, 6],
то в силу его замкнутости оно содержало бы отрезок [a, b]. На этом отрезке
S(x)<^ га, т. е. ряд сходится абсолютно на [а, Ь]. Но тогда он должен иметь
2'р„<+^в силу теоремы Лузина—Данжуа, а это противоречит гипотезе.
Теорема доказана.
§ 4, Простейшие свойства N-множеств.
Редукция к ряду из синусов
Мы уже видели, что множества положительной меры, а также не первой
категории — всегда А. С.-множества. Итак, JV-множества должны иметь
меру нуль и быть первой категории. Для их дальнейшего изучения докажем
лемму (аналогичную лемме 1 § 4 главы XII):
Лемма 1. Если Е есть N-множество, то, сдвинув его как угодно
вдоль оси абсцисс, получим снова N-множество.

ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛГ-МНОЖЕСТВ 753
Действительно, пусть
4г + 2 ап cos nx + bn sin nx D.1)
тригонометрический ряд, сходящийся абсолютно на Е, но такой, что ряд
п расходится, где дп = f а\ + Ь%. Пусть х0 — любое и % — множество тех
t = х — х0, для которых х € Е. Полагая, как в упомянутой лемме,
ап = ап cos пх0 + bn sin пх0,
Рп = Ьп cos пх0 - ап sin пх0,
мы видим, что
со
-г- + 2/ an cos nt + i^n sin nt
сходится абсолютно для / ? If, и, однако, ^ К «п + Рп — + °°> так как
а2 _|_ ^2 _ ^2 _^_ ?2 _ ^2^ значит, g7 есть N-множество, и лемма доказана.
Эта лемма будет использована для упрсщэния формул, которыми нам
придется пользоваться при изучении N-множеств.
Предварительно введем
Определение. Множество Е назовем Ы*-множеством, если суще-
существует ряд
00
21 Ьп sin nx,
л=1
сходящийся абсолютно на ? и такой, что
Ясно, что каждое ЛГ*-множество есть Л/-множество, но обратное не оче-
очевидно. Однако мы увидим дальше, что обратное утверждение все же справед-
справедливо, а потому понятие Л^*-множества введено нами лишь временно. Когда
его тождество с понятием N-множества будет установлено, мы сможем при
доказательстве всех теорем, касающихся N-множеств, оперировать всегда
лишь с рядами по одним синусам.
Сделаем предварительно следующее
Замечание. Если множество Е есть N-множество и содержит
точку 0, то Е есть N^-множество.
Действительно, пусть Е есть iV-множество. Значит, существует ряд
-у- + 2ап cos nx + bn sin nx,
сходящийся абсолютно на Е, но ^Qn — + со. Поскольку ? содержит точ-
точку 0, то
сходится, а потому и
сходится всюду, следовательно, и
00
21 *nsin пх I

754 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
сходится на Е. Но если ? \дп\ = + оо, а 2\ап\ < + со, то заведомо^ \Ьп\ =
= + со. Поэтому Е есть ^-множество.
Покажем теперь*), что класс Л^*-множеств не расширится, если вместо
рядов вида ? bn sin nx рассматривать ряды
2bnsinknx, D.2)
где кп любые, вообще не целые, лишь бы кп -> со. Точнее, мы хотим показать,
что если для множества Е на [—я, п] существует ряд вида D.2), сходящийся
абсолютно на ?, но с^ |6П| = + °°, то ? есть ^-множество.
Сначала предположим, что все кп целые. Однако они могут быть не все
различны и не идти в порядке возрастания, поэтому D.2) не есть обычный
тригонометрический ряд. Но в силу того, что кп -> со, для любого целого р
может найтись лишь конечное число таких л, что кп = р.
Рассмотрим ряд
2\bn\smknx. D.3)
Он сходится абсолютно на Е, как и ряд D.2). Если мы переставим члены
ряда D.2) так, чтобы числа кп были расположены в порядке возрастания, а
когда несколько из них равны между собой, то поставим их друг за другом
в любом порядке, л затем сложим подобные члены, то получится новый ряд
по синусам, вида обычного тригонометрического ряда, он будет абсолютно
сходиться на Е (так как ст перестановки членов абсолютно сходящегося ряда
и их группировки его абсолютная сходимость не нарушится), а ряд из моду-
модулей его коэффициентов снова будет расходящимся.
Итак, случай целых кп разобран.
Пусть теперь кп не целые. Положим
Тогда (см. следствие теоремы 1 в § 25 Добавлений) имеем
yl^l—J-oo у 1 Ьп 1 <- 1 - оо
Z —s— - ¦+- °°, Z s * < -t- °° ,
2\ьп\*п = + <*>, 2\Ьп\**п< + °°.
На основании следствия теоремы Минковского (см. Добавления, § 24)
полагая для заданного числа п
ь / с р __L
лп — i-i, ъ tn — g^ ,
можем найти такое целое Ап, что
Следовательно, существует такое целое рт что
Д„Л„ = Р„ + вл,
где
*) Это было доказано Арбо (Arbault t1!).

§4 ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛГ-МНОЖЕСТВ 755
Пусть теперь
*n~~ Sn
тогда
Докажем, что ряд
сходится абсолютно на Е. Действительно, имеем для —тс^х^
| sinрпх|<| sinХпкпх\ + | sinвпх|<Хп | sinкпх I + ~
ом
а потому
п 11 sm Кпх I -р а тс ^ ^ <с -р оо на jb,
так как ряд D.2) сходится абсолютно на Е.
Нам остается заметить, что так как кп ->¦ оо по условию, а Л„ — целое,
то рп -» ©о, поскольку 0П -> 0 в силу 2 \Ьп\ — + °°- Значит, на основании
сделанного ранее замечания о случае целых рп можно утверждать, что мно-
множество Е есть ^-множество.
В качестве следствия получаем теорему (см. АгЬаиНЯ).
Теорема 1. Если Е есть ^-множество, то и множество ё?9 полу-
получающееся из него преобразованием подобия, есть N^-множество.
Действительно, пусть ? любое и И? — множество точек /, лежащих на
[—п, п) и таких, что / = f х (mod 2п), где х ? Е. Тогда если ряд
сходится абсолютно на Е, то ряд
b*\n±
сходится абсолютно на I?. Полагая кп =-j, видим, что кп -> оо? и мы нахо-
находимся в условиях предыдущей теоремы.
Итак, $? есть /^-множество.
Ниже (см. теорему 3) будет доказано, что всякое N есть N*. Поэтому
отсюда будет следовать, что
Преобразование подобия превращает любое N-множество снова в JV-
множество.
Докажем теперь теорему, принадлежащую Салему (SalemW):
Теорема 2. Если к Й*-множеству добавить точку, то получим снова
И*-множество.
Для удобства рассмотрений здесь и в дальнейшем будем считать, что мно-
множества лежат на [0, 1 ], а рассматриваемые ряды имеют вид
2Ьп%\ъппх D.4)
(надо было бы брать множества на [—1, 1], но ввиду нечетности синуса на
[—1^ 0] происходит то же, что на [0, 1]). Пусть ряд D.4) сходится абсолютно
п
на Е, но 2 \Ьп\ = + °°- Обозначим Sn = 2 \bk\. Пусть I — любая точка,кв
к=\

756 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
принадлежащая Е. На основании упомянутого выше следствия теоремы
Минковского, если п дано, то, полагая
мы можем найти такое целое А„, что
|{А„л|}|<А D.5)
и при этом
K<Sn. D.6)
Положим
и рассмотрим ряд
2япьтпЛппх. D.8)
В силу 2 \Ьп\ = + оо имеем
С другой стороны, мы покажем, что ряд D.8) сходится абсолютно на мно-
множестве 9у получаемом из Е присоединением точки |; тогда будет ясно, что
9 есть ЛГ*-множество (мы можем не думать о том, являются ли числа п Хп
все различными или нет, так как во всяком случае п Хп -> оо, а тогда мы
имеем случай рядов вида D.2).
Для х ? Е из D.6) и D.7) имеем
2 Qn I sin п К п х К 2 Qn КI sin п п х К 21 Ьп sin п п х | < + оо ,
потому что ряд D.4) абсолютно сходится на Е.
С другой стороны, в силу D.7) и D.5)
Таким образом теорема доказана.
Мы теперь в состоянии доказать, что имеет место
Теорема 3. Всякое N-множество есть М*-множество, т.е. для
любого N-множества Е на @, 1) найдется ряд
сходящийся абсолютно на JS, хотя2 \Ьп\ = + °°-
Действительно, сначала мы возьмем любую точку | ? Е и сдвинем Е так,
чтобы эта точка попала в начало координат. Получим новое множество W,
составленное из точек t — х — |, где х ? Е. По лемме 1 множество <% будет
снова JV-множеством. Но так как оно содержит точку 0, то оно будет JV*-mho-
жеством. Присоединим к нему точку — \. В силу теоремы 2 полученное мно-
множество If х будет снова ЛГ*-множеством. С другой стороны, g^ состоит из точек
вида t = х — |, где либо х ? Е, либо х = 0. Значит, оно получается сдвигом
на | из множества Еъ которое составлено из Е и точки х = 0. Поэтому Е1}
которое есть сдвиг &19 есть N-множество. Но оно содержит точку 0, поэтому
оно ^-множество. Но всякая часть Л^-множества есть, очевидно, JV*-mho-
Жество, а Е с Ev Итак, Е есть Л/^-множество, и теорема доказана.
Таким образом, в дальнейшем при изучении N-множеств мы можем
ограничиться рассмотрением рядов из синусов.

§ 6 ОБЩИЕ СВОЙСТВА N И Й-МНОЖЕСТВ 757
§ 5. Базисы и абсолютная сходимость
Покажем, что в проблеме абсолютной сходимости (как и в проблеме
сходимости, изучавшейся в главе XII), базисы ведут себя так же, как мно-
множества положительной меры, а именно имеет место
Теорем а*). Всякий базис есть А. С-множество.
Пусть Е — базис; если бы Е было JV-множеством, то (см. § 4) существовал
бы ряд
2 bnsmnnx, E.1)
сходящийся абсолютно на Е, но с 2 \Ьп\ = + °°-
Раз Е — базис, то для любого х имеем
х = кг х± + к2 х2 + ... + кт хт,
где все xt ? Е, а все kf целые. Но если так, то
00 00
2\bnsinnnx\^ 2 \bn\(\k1\\sinnnxl\ + ... +\кт\ \si
л=1 п=\
т со
< 2* \К\ 2 \Ьп\ | sinn nxt| < + сю ,
т. е. ряд E.1) сходится абсолютно для любых х.
со
Однако тогда 2 \Ьп\ <+ °° и мы пришли к противоречию. Значит, Е
не есть iV-множество, т. е. оно А. С.-множество, и теорема доказана.
Замечание. Мы видели (см. § 8 главы XII), что всякое симметри-
симметрическое множество с постоянным отношением есть базис. Значит, все такие
множества являются А. С.-множествами (в частности, и канторово мно-
множество тоже). В силу результатов § 9 главы XII существуют и АС.-мно-
жества хаусдорфовой размерности как угодно малой.
§ 6. Общие свойства N- и /?-множеств
В § 7 главы XII было введено понятие /^-множества и отмечено, что
всякое Л?о-множество есть .R-множество. С другой стороны, из самого их
определения ясно, что все ^-множества суть ЛГ-множества. Из этого факта
мы сразу можем заключить, что некоторые теоремы, доказанные нами в главе
XII, дадут нам новые сведения об JV-множествах.
Так, например, лемма § 7 дает достаточное условие для того, чтобы мно-
множество было типа No, а значит, и N; существуют JV-множества хаусдорфовой
размерности, как угодно близкой к единице (так как в § 9 главы XII мы стро-
строили ]Уо-множества, опираясь на эту лемму); всякое счетное множество есть
N-множество (потому что оно ^-множество, как показано в § 7 главы XII).
Покажем теперь, что для замкнутых JV-множеств справедливо такое же
необходимое условие, которое мы доказали в § 10 главы XII для замкнутых
/^-множеств, а именно
Теорема 1. Для того чтобы замкнутое множество Е, лежащее на
[О, 1 ], было N-множеством, необходимо, чтобы для любой монотонной F (х),
постоянной на смежных к Е интервалах, было выполнено условие
lirn J cos 2nnxdF = F A) — F @). F.1)
*) Эта теорема была доказана В. В. Немыцким W для ряда из синусов; теперь мы
видим, что она справедлива и в общем случае.

758 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Действительно, раз Е есть N-множество, то существует ряд
2 Ьп sin n пх,
сходящийся абсолютно на J5, хотя ,2* \Ьп\ — + °°-
Ясно, что тогда и
2\bn\ sin2n7tх< + оо для х€Е,
а потому для всякого х ? Е имеем
п п
2 I Ьк I — 2" I bn I cos 2 л: пх
к=\ к=\
ограничено (хотя, быть может, и неравномерно относительно х). Пусть
Ьк\
п
Тогда, так как 2 №J -> + °°, имеем
Rn (Х) ~> 1 ПРИ П -> оо и X ? Е .
Кроме того, [/?г/х)|<Л. Так как F(х) монотонна и постоянна на смежных
к Е интервалах, то можно, переходя к пределу под знаком интеграла Стил-
тьеса, написать
lim $Rn(x)dF = SdF = SdF = F(l)
п->оо О Е О
откуда
\
lim — °- = F A) - F @), F.2)
2 \Ьк\
к=\
а так как при любом к
о
F@),
то равенство F.2) возможно только, если
и теорема доказана.
Наконец, аналогично теореме 2 § 10 главы XII имеет место
Теорема 2. Если Е есть замкнутое множество и F(x) — любая
монотонная функция, постоянная на смежных к Е интервалах и удовлет-
удовлетворяющая условию F.1), то найдется такое Ег с Е, что
J dF=O
Е-Е,
и Ег есть N-множество (и далее No- множество).
Это вытекает из того, что в теореме 2 § 10 главы XII построенное мно-
множество Ег было JV0-, а значит и JV-множеством.

§ 7 ВЗАИМООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ КЛАССАМИ МНОЖЕСТВ N, No И R 759
§ 7. Взаимоотношение между классами множеств JV, No и R
Мы знаем, что всякое ЛГ0-множество есть N-множество. Возникает вопрос,
не совпадают ли эти классы? Арбо (ArbaultW) доказал, что это не так. Прежде
чем провести доказательство, сделаем следующее простое замечание: если Е
есть Л/0-множество, то оно допускает нулевую последовательность (см. опре-
определение в § 7 главы XII). Это очевидно, так как сходимость
со
2 | sinnk7cx\
к=\
на Е влечет
lim sin пкпх = 0 для х?Е. G.1)
Поэтому если мы построим N-множество, не допускающее ни одной нулевой
последовательности, то мы докажем существование N-множеств, которые
не будут ЛГ0-множествами. Для построения такого примера докажем тео-
теорему Арбо:
не
Теорема 1. Множество Е точек сходимости ряда
1
допускает ни одной нулевой последовательности.
Ясно, что это N-множество, поскольку 2~ц~ + °°- Чтобы убедиться в
справедливости теоремы, покажем сначала, что достаточно ограничиться
рассмотрением последовательностей вида
G.2)
где ти нечетное, а рк -> оо.
Действительно, любое пк можно представить в форме G.2), если только
считать, что рк может быть и равно 0. Значит, вопрос сводится лишь к тому,
чтобы показать, что рк -> оо.
Пусть это неверно, т. е. существует последовательность пк вида G.2), для
которой справедливо G.1), и при этом числа рк для бесконечного множества
значений к остаются меньше некоторой константы М. Тогда можно выбрать
из нашей последовательности пк такую подпоследовательность, для которой
все рк равны между собой; пусть они равны какому-то р.
Итак, для чисел вида
пк = 2Ртк
имеем G.1).
Если взять х ——j+x, то оно заведомо принадлежит Е (поскольку все
члены ряда, начиная с п — р + 1, равны нулю), а между тем
sin2praA
п
так как тк нечетное. Поэтому G.1) невозможно, если пк не удовлетворяет
условию G.2).
Итак, достаточно доказывать отсутствие нулевой последовательности
удовлетворяющей условию G.2).
Мы будем искать такое а, что а ? JS, и при этом
\smnk7ia\ >C>0. G.3)
Тогда G.1) будет нарушено, и теорема доказана. Но при доказательстве суще-
существования а ? Е и удовлетворяющего G.3) можно считать рк растущими как
угодно быстро.

760 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
В самом деле, если рк — подпоследовательность, выбранная из {рк}у
и если для
имеем G.3), то условие G.1) будет нарушено для {п'к}, а значит, и подавно
для всей последовательности {пк}.
Итак, будем искать а, удовлетворяющее G.3), считая рк растущими как
угодно быстро. В частности, нам достаточно предположить, что
тк < 1 п 4)
а этого при заданных тк всегда можно добиться, если рк+1 достаточно
велико сравнительно с рк
Рассмотрим теперь число а, определяемое формулой
« = 1^ТГ- G-5)
Мы потребуем, чтобы числа рк удовлетворяли G.4) и, кроме того
Мы докажем позже, что такое а ? Е. Сейчас мы хотим показать, что для
него
L G.7)
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
2» тка = !% +2» тк g ^
где числа 0s равны 1 или 0, а потому в силу нечетности тк
A)<l + -^ G.8)
и в силу G.4) отсюда следует, что правая часть G.8) заключена между
1 3
Поэтому
у2
т. е. G.7) доказано.
Нам остается убедиться, что найденное нами число а принадлежит мно-
множеству ?, т. е. что ряд
у Isin2
сходится. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим любое целое число п и найдем
5 ИЗ УСЛОВИЯ
Имеем
2" « = 2" 2 2^Г - 2" ^ -2^Т (mod 1), G.10)
k=l k=s

§ 8 СУММА ДВУХ ЛГ-МНОЖЕСТВ 761
Правая часть G.10) не превосходит 9 <^ 1, поэтому
2л—п ^ 2Р»—п *
Отсюда
* 1 Sin 2" na I n P^ 9П
а потому в силу G.6) ряд G.9) сходится, и доказательство закончено.
Из этой теоремы, как мы уже говорили, вытекает
Следствие. Существуют N-множества, не являющиеся /^-множе-
/^-множествами.
Действительно, этим свойством будут обладать все N-множества, не
допускающие нулевых последовательностей, а мы убедились, что они суще-
существуют.
Но та же теорема позволит нам доказать и один незамеченный Арбо
результат*), а именно:
Теорема 2. Существуют N-множества, не являющиеся R-мно-
R-множествами.
Действительно, возьмем снова множество Е тех точек, где сходится
абсолютно ряд
-^ sin 2n пх
Ясно, что точка х = О принадлежит Е. В § 4 главы XII было доказано,
что если jR-множество содержит точку х = 0, то оно допускает нулевую
последовательность. Следовательно, Е не может быть ^-множеством; вместе
с тем оно N-множество. Теорема доказана.
К сожалению, мы не можем сказать, существует ли /^-множество, не
являющееся N-множеством.
Неизвестно также, существуют ли другие множества, кроме ЛГо-мно-
жеств, которые являются и N-множествами и jR-множествами одновременно.
§ 8в Сумма двух ЛГ-множеств
В § 11 главы XII мы показали на примере, что множество может оказать-
оказаться базисом и вместе с тем разлагаться на сумму двух ЛГо-множеств. Однако
это был базис специально подобранный.
В уже упомянутой работе Арбо показано, что канторово множество
нельзя представить не только в виде суммы двух, но даже в виде суммы
счетного множества N-множеств. Мы не будем доказывать здесь это предло-
предложение, так как оно потребовало бы от нас изложения материала, очень дале-
далекого от всего, что рассматривается в этой книге. Мы отсылаем также читателя
к упомянутой статье Арбо, если он хочет более детально изучить вопрос о
том, при каких дополнительных условиях, наложенных на слагаемые, сумма
конечного числа или счетного множества N-множеств есть N-множество.
Здесь мы ограничиваемся доказательством теоремы:
Теорема. Если к N-множеству добавить любое счетное, то получим
снова N-множество**).
*) Этот результат публикуется здесь впервые.
**) Арбо пишет, что эта теорема была доказана Эрдешем другим методом, но не опуб-
опубликована; мы даем здесь доказательство Арбо.

762 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Доказательство. Пусть Е есть N-множество. Значит, суще-
существует ряд
2 bnsinnnx, (8.1)
сходящийся абсолютно на ?, но с 21 \Ьп\ = + ©о.
Прежде всего заметим, что, не нарушая общности, можно считать
06 1
п
Действительно, во-первых замена Ьп на \Ьп\ не влияет на абсолютную
сходимость ряда (8.1) на Е. Значит, можно считать все Ъп неотрицательными.
Если некоторые Ьп равны нулю, то, заменяя их на Ъ'п = Ьп + еп, где вп> 0 и
2 еп <+ °°, мы получим новый ряд, где уже все коэффициенты Ъ'п строго
положительны, и опять 2 \Ь'п\ — + °°, a 2J b'n sin n n x сходится абсолют-
абсолютно на Е.
Наконец, если некоторые &п> 1, то, заменяя их на 1, мы получим новый
ряд, опять сходящийся абсолютно на Е; что же касается расходимости ряда
из коэффициентов, она также по-прежнему будет иметь место, так как если
чисел Ьп, замененных единицами, было конечное число, то расходимость
нарушиться не может, а если их было бесконечное множество, то в новом ряде
коэффициентов будет бесконечное множество единиц, а тогда он заведомо
расходится.
Итак, будем считать О <&П<^ 1. Поэтому, полагая
имеем
5„<н. (8.2)
и
Si < S2 <... < Sn <...
Кроме того,
jb^= + oo. (8.3)
Л = 1
Положим
&. = -?. (8.4)
Тогда на основании (8.3)
+ °°. (8.5)
Выберем теперь р (п) так, чтобы р (п) f oo, но
2-V< + oo, (8 6)
Для этого достаточно предположить, например
пШ > In2 n
или
—т^ In п ^ 2 In In п,
Примем
р № = 2\п\пп
тогда р(/т) | °° и (8.6) удовлетворено.

§ 8 СУММА ДВУХ ЛГ-МНОЖЕСТВ 763
Так как Sn возрастает монотонно, то и р (Sn) также. Обозначим
<7п = Не-
Неясно, что qn f oo и qn целое.
На основании теоремы 1 § 25 Добавлений из (8.6) следует (так как
4n<P(Sn))
Поэтому из (8.4) и (8.7)
2-^< + са. (8.8)
Пусть теперь {а;} — любое счетное множество, и пусть & получается от
присоединения к Е всех точек а;-. Покажем, что 8? есть опять N-множество.
Пусть п задано. Положим
naj = tj (/=1,2,...,?„).
На основании следствия теоремы Минковского (см. § 24 Добавлений) мы
можем найти такое целое Аш что
K<Sn (8.9)
и при этом
откуда
|sin*{Annay}|<-^y- (/=1,2,...,^). (8.10)
on
Покажем, что тогда ряд
%QnsmnnXnx (8.11)
сходится абсолютно на W, откуда в силу (8.5) будет следовать, что %? есть
N-множество.
Имеем на основании (8.9) и (8.4)
2 Qn I sin п К п х I <^ 2 Qn КI sin n n х | <^
^ 2 Qn Sn | sin n л x | = 2 I bn 11 sin n n x \ < + oo для x ? E y
потому что ряд (8.1) сходится абсолютно на Е по условию.
С другой стороны, для любого dj в силу <fn -> oo будем иметь qn ^ /, как
только п станет достаточно велико, а тогда будет справедливо (8.10).
Итак, при х = dj все члены ряда (8.11), начиная с некоторого момента,
удовлетворяют неравенству
т. е. они меньше членов ряда, сходящегося в силу (8.8).
Таким образом, ряд (8.11) сходится абсолютно и при х = ajy каково бы
ни было /. Это заканчивает доказательство теоремы.
Возникает вопрос, нельзя ли найти такие несчетные множества, что если
добавить такое множество к любому N-множеству, получим снова N-мно-
N-множество.

764 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
В работе Арбо есть ряд теорем, относящихся к этому вопросу. В част-
частности, он доказывал существование совершенных множеств, обладающих
этим свойством. Этот результат кажется нам очень интересным, но, к сожа-
сожалению, в доказательстве содержится неточность, которую нам не удалось
исправить. Именно, выбрав q{ri) f оо так, чтобы
V
П +Я(п)
можно было бы на основании теоремы 1 § 25 Добавлений утверждать, что для
любых
Qn>O,2Qn= + ™, (8.12)
имеем
(где Sn—2J gk). Однако Арбо пишет*)
2i т7< + °°- (8ЛЗ)
Между тем, как бы мы ни выбирали q(n) t °o, формула (8.13)заведомо не
может иметь места для любых оп, удовлетворяющих (8.12). В самом деле,
если (8.12) имеет место, то, как известно,
Если выбрать Sn = }/q(n), то qn= Sn — Sn_! >0и J?fti = +°°> a
между тем
i i
поэтому и
что противоречит (8.13).
Таким образом, доказательство теряет силу; вопрос о справедливости
самой теоремы остается открытым.
§ 9в Дополнение Салема к теореме Лузина—Данжуа
Мы хотим теперь изучить, как уже говорилось во введении к этой главе,
проблему об относительных А. С.-множествах. Но прежде чем переходить
к этому вопросу, укажем одно любопытное дополнение к теореме Лузина—
Данжуа, принадлежащее Салему (Salem^).
2
Теорема 1. Если а <— и 2 Яп== +°°, то множество Е тех
точек, где
п
2 ?/c|C0S(/bC — ОСА:)|
lim ^ п <а, (9.1)
2
k==1
имеет меру нуль.
*) Аналогичная неточность была им допущена при доказательстве предыдущей
теоремы, где он писал р(п) вместо p(Sn); нотам, вводя q(n) — [p(Sn)]} удавалось получить
нужный результат.

§ 9 ДОПОЛНЕНИЕ САЛЕМА К ТЕОРЕМЕ ЛУЗИНА-ДАНЖУА 765
В самом деле, пусть / (х)— характеристическая функция для множества
Е. Так как функции
п
2 Qk I cos (kx — аи)
А1
n
2 Qk
k=\
ограничены в своей совокупности, точнее не превосходят 1, то из (9.1)
вытекает
2л п 2л
Г 2 Qk\ COS (toe — аи)\ Г
lim /(x)*=l - dx<a f(x)dx (9.2)
"^ °° J 2 Qk J
о /d о
или
2л
<aj/(x)dx. (9.3)
Так как можно считать | ак\ ^ 2тг, то
2л
О
Но в силу леммы Фейера (см. глава I, § 20)
2л 2л 2л 2л
*"*" 0 ^ О О
поэтому
2 Qk j /fx + -^l|cos/a:|tfx 2 Qk f-J j f(x)dx +
Urn = hm
= hm,
2Qk n^co 2 Qk
n
где ек ->0 при /с -> ©о; но мы предположили, что 2 Qk~+ °°> следовательно
л1
lim-Ц—-О,
а тогда получается
1 № J/(x + ^)|C0Sfcx|dx 2л
lim =- \f(x)dx,
2
2 Q
k=l
2
что противоречит (9.3), если a <—и тЕ> 0.

766 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Ясно, что если 2J Qn = + °°> а 2 Qk\cos (к* — ак)\ < + °°, то
п
2 Qk | COS (кх — аи) |
^=0,
lim
л^°° 2 Qk
к=\
а потому теорему Лузина—Данжуа можно получить как следствие из только
что доказанной теоремы Салема.
2
Интересно, что в этой теореме требование а <<— не может быть усилено,
2
Даже если принять а = —, то теорема уже не будет иметь места, если только
дп = 0A). Действительно, имеет место теорема Салема^:
Теорема 2. Если дп = 0 A), 2 Qn = + °°, то
п
2 Qk | COS (kx — аи) |
lim — = — почти всюду.
к=\
Доказательство опирается на лемму.
Лемма. Пусть уп — любые комплексные числа, лишь бы \ уп\ = О A)
u2\Yk\ = + °°- Тогда
Rn(x) = —L ^0 почти всюду.
Не нарушая общности, можно считать | уп\ < 1, так как от умножения
всех чисел уп на одну и ту же константу величина Rn(x) не изменится и расхо-
расходимость 2* | уп\ тоже.
Применяя равенство Парсеваля и учитывая \уп\ < 1, находим
271
В силу | уп\ < 1 и У | уп| = + ©о можно всегда выбрать последователь-
последовательность целых чисел пк так, чтобы
Тогда ясно, что
оо 2Л
к=1) п*х х< к- <
а отсюда вытекает, что 2 \Rnk(x)\2 <+ °° почти всюду, следовательно,
Rnk(x)-+O почти всюду.
Пусть теперь п любое целое. Определим к так, чтобы

ДОПОЛНЕНИЕ САЛЕМА К ТЕОРЕМЕ ЛУЗИНА-ДАНЖУА 767
Мы
имеем
Следовательно,
Пк
п
S = l
D /V\
Пк
S=l
Пк +
— <Ч 1<-L4iJ--1- (9.4)
S=l S=l
и так как правая часть (9.4) стремится к 0 при к -> ©о и Rm (x) -> 0 почти
всюду, то
#л(*)-> О ПРИ п-^ °° почти всюду,
и, значит, лемма доказана.
Возвращаемся к теореме. Разлагая [cos x\ в ряд Фурье, мы находим
| COS X | = 2 Ст е*тХ у
2 ( 1 ^
где с0 = — и ст = ОI —у I. Следовательно,
I COS Г/СХ а ) I = У* С pikmx g—imak
т=—oo
И
п
2 Qk | COS (kx — ак) | ш= + 00
— -п = 2 cmQmn(x)y
2 Qk m=~°°
k=l
где
п . .,
у pue ~~ltnak ellcmx
Qmn(x)= -
Так как ^ gk = + oo и дк= 0A),то мы вправе применить лемму 1 и
к\
к=\
увидим, что при тфО
всюду вне некоторого множества Ет, гпЕт = 0. Полагая Е = ?Ет, видим,
что тЕ = 0, и для всякого х ? Е имеем llm Qmn (х) = 0 при т = + 1, ±2,...
П—»оо
С другой стороны,
Qmn (х) = 1 при /п = 0.
Кроме того, |Qmn (x)| <С 1 для любых га, п и х.
Отсюда легко получить, что
л
2 Qk COS | (/а — ак) |
Шп— „^ = со = 4 для

768 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Действительно, пусть в> О, тогда
/П= + оо N
2 cmQmn(x) = c0+ 2 cmQmn(x)+ 2 cmqmn{x), (9.6)
т=—оо т=—N \т\ > N
где N выбрано так, чтобы-^ < е. Средний член правой части (9.6) стремится
к нулю при п -> оо, так как число слагаемых ограничено, a Qmn (х) -> 0 при
п -> оо и т Ф О для х ? СЕ. Далее, из
где А постоянно, следует, что крайний член в правой части (9.6) по модулю
не превосходит
и это заканчивает доказательство теоремы.
§ 10. Выпуклая емкость множеств и абсолютная сходимость*)
В § 12 главы V мы рассматривали понятие емкости и обобщенной емкости
множеств относительно некоторой выпуклой последовательности {Яп}. Мы
хотим сейчас приложить эти понятия к изучению абсолютной сходимости.
Прежде всего докажем одну лемму, касающуюся самих обобщенных
емкостей.
Лемма 1. Если Е = ]>} ЕП9 где все множества Еп имеют обобщенную
емкость нуль относительно некоторой последовательности {Яп}, то и Е
имеет обобщенную емкость нуль относительно той же последовательности.
Доказательство. Допустим противное, т. е. что Е имеет поло-
положительную обобщенную емкость относительно последовательности {Хп}.
Тогда, сохраняя все обозначения, введенные в § 12 главы V, имеем: существует
такая мера /л < Е, что
Г Г Q(r,x - у) d/i (х) d/л (у)< К
о о
для 0 < г < 1, где К постоянно.
Из Е = 2J Еп и /л < Е следует, что найдется по крайней мере одно мно-
множество, пусть ЕкУ для которого
Положим для любого В-множества
Тогда новая мера /х сосредоточена на ЕкУ ~\х < ЕкУ и при этом
Q(r,x-y)dJt(x)d]i(y)<K,
потому что Q (г, /)^0 для любых / и г.
*) Этот параграф рекомендуется читать после §§ 19, 20 главы XIV и § 12 главы V.

§ 10 ВЫПУКЛАЯ ЕМКОСТЬ МНОЖЕСТВ И АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ 769
Но отсюда следует, что Ек имеет положительную обобщенную емкость
относительно последовательности {Лп}, что противоречит условиям леммы.
Итак, лемма 1 доказана*).
Переходя к вопросу об абсолютной сходимости, докажем сперва, что
утверждение Салема, рассмотренное в § 9, может быть высказано для случая
множеств нулевой емкости относительно некоторых {ХЛ в следующем виде
(Темкой).
Теорема. Пусть {Хп} — выпуклая последовательность Хп j 0 и
% Хп = -)- оо. Рассмотрим тригонометрический ряд
2QnC0S(TlX + an), A0.1)
где $п ;> 0 и 2J Qn = + °°- Если
то соотношение
т
2 Qn | COS (ПХ + ап) |
1
имеет место всюду, кроме, может быть, множества Е обобщенной емкости
нуль относительно последовательности {Хп}.
Прежде чем доказывать эту теорему, отметим, что она содержит в себе,
как частный случай, следующий результат Яно (Yano^J): если qn = О | —), то
каково бы ни было а, 0 << а << 1, соотношение A0.3) имеет место всюду,
кроме, быть может, множества Е, для которого а-емкость равна нулю.
Действительно, в § 12 главы V было доказано, что множество Е имеет
нулевую а-емкость в том и только в том случае, когда оно имеет нулевую
емкость относительно последовательности |^п=^|- Если положить Хп =-j^ >
то Ях + Я2 + ... + А„ — па и
а потому мы находимся в условиях теоремы Темко.
Для доказательства теоремы нужна лемма (аналогичная лемме, доказан-
доказанной Салемом, см. § 9).
Лемма. 2. Пусть {уп} — последовательность комплексных чисел,
удовлетворяющая условиям
UT^brd (ia4)
2) 2Ы = + °о.
Тогда
2^Упетх
Rm(x) = ~m ^0 при т-^оо, A0.5)
уп |
исключая, быть может, множество Е нулевой обобщенной емкости относи-
относительно {Хп}.
*) Это предложение было доказано Темко, но она пользовалась определением емко-
емкости, а не обобщенной емкости.

770
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ
ГЛ. XIII
Доказательство. Пусть Е — множество тех точек, где Rm (x) —/-> О
при т -> оо. Допустим, что его обобщенная емкость относительно {Хп} поло-
положительна. Тогда по теореме 2 § 12 главы V найдется такая мера ^ < Е, что
если
2л 2л
ап= | cosnxd/и, рп = | sinnxd/u, A0.6)
то
Имеем
A0.7)
т
k^l''
k=\
к=\ 1=1
кф1
yknel
{2
\К — 1
\2\yk\\
m 2
2\Yk\\
2
k=\
Ук
1=1
I У к
Поэтому
A0.8)
Но так как числа | уп\ ограничены в совокупности в силу условия 1) леммы, то
\
k=l
к=\
где С постоянное.
Для оценки /2 напишем
2 2Ч
к=\ 1=1
кф1
\
к=\
т k—l m m
= 2 2 + 2 2 =
к=\ i=\ k=\ /=A+1
Оценим А2. Имеем, применяя неравенство Буняковского,
k=\
m
2
k=\
A0.9)
. A0.10)
Так как Я,<Я,_Л и |«ft_, | = | щ_к\, \ /Sfc_, | = |/?,_ft|, то
i (I«/,-/12 + I h-i I2) А, < 2 (I <*/-* I2 + I Pi-k I2) Я,_л < Cx,
1к+\
i (
1=к+\
2 (
1=к+\
где Сх — постоянное в силу A0.7). Кроме того, заметим, что в силу расходи-
расходимости ряда 2J К и условия A0.4)
поэтому окончательно
32
к-1
A0.11)

i 10 выпуклая емкость множеств и абсолютная сходимость 771
Оценка Аг может быть сведена к А2 переменой порядка суммирования;
поэтому
A0.12)
т
к=\
Так как из определения /2, А1 и А2 (см. A0.8) и A0.10)) имеем
то из A0.11) и A0.12) находим
Соединяя A0.8), A0.9) и A0.13), находим
\\Rm
Ук\
Определим последовательность целых чисел nv так, чтобы
(V
nv
со 2Я
V
Тогда ряд
и, следовательно,
всюду, за исключением множества ^ меры нуль.
В частности, отсюда следует, что
Rnv(X)-+° ПРИ V->oay
за исключением, быть может, множества ц меры нуль.
Пусть теперь для любого п найдено v такое, что
Тогда
а потому
*..<*)--*=-'
к=\
К 2 \Ук\:
Ук\
2 I У к I
к=\
2
^ I У.
fcl
при v-><
Следовательно,
При П->оо

772 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
почти всюду по мере /х; но это невозможно, так как Rn(x) —/-> 0 на Е, а [л < Е,
т. е. 1л{Е) = 1.Из противоречия вытекает, что лемма доказана.
Теперь для доказательства теоремы опять рассуждаем, как в § 9. Имеем
|cos"x|= 2 Cjeijx,
/-=—°°
где с0 = — и Cj: = 01-=г]. Отсюда снова находим
Л^ 1
2J Qk
где
U Qk
k=\
oo Г 7 \
Так как ^ gft = + oo и ^ = 01 j-, fo , ^ ) , то мы вправе применить
лемму 2 и утверждать, что при / =/= О
lim Q;n (x) = О
всюду, кроме, быть может, некоторого множества ?у- нулевой обобщенной
емкости относительно последовательности {Ал}.
Полагая
видном по лемме 1, что обобщенная емкость Е относительно {Хп} также равна
нулю. Но рассуждения § 9 показывают, что во всякой точке х, не принадле-
принадлежащей Е, имеем
lim
к=\
Qk | cos (kx — ак)
2
п л
U Qk
к=\
и этим доказательство теоремы заканчивается.
Следствие. Если выполнены условия теоремы, т. е. 2J Qn = + °° н
еп = о(я1 + .;п. +
ш^? тригонометрический ряд
2gncos(nx-aJ A0.14)
может сходиться абсолютно лишь на множестве ?, обобщенная емкость
которого относительно {Хп} равна нулю.
В качестве примера, приняв Хп = — , приходим к выводу, что если
21 Qn = + °° И

§ 11 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 773
то ряд A0.14) может сходиться абсолютно лишь на множестве нулевой лога-
логарифмической емкости (так как мы видели в § 12 главы V, что в случае поло-
положительной логарифмической емкости емкость (в смысле Темко) для после-
последовательности I 1 положительна, а тогда и обобщенная емкость относительно
этой последовательности положительна.
§11. Абсолютная сходимость для рядов специального вида
До сих пор мы изучали абсолютную сходимость или для произвольных
тригонометрических рядов, или (§ 10) предполагая, что коэффициенты стре-
стремятся к нулю с некоторой определенной скоростью.
В этом параграфе мы хотим показать, что при некоторых специальных
предположениях относительно коэффициентов ряда его абсолютная сходи-
сходимость всюду вытекает уже из абсолютной сходимости в одной точке, или в
двух, находящихся на расстоянии, удовлетворяющем тому или иному
условию.
Простейшей теоремой в этом направлении была теоредоа Фату, доказав-
доказавшего, что если у тригонометрического ряда
~Jr+ 2ancosnx
величины \ап\ монотонно убывают, то абсолютная сходимость его в одной
точке уже влечет 2/ \ап\ < + °°.
Сас (SzaszW) несколько усилил эту теорему. Чтобы сформулировать его
результат, введем терминологию, принадлежащую С. Н. Бернштейну.
Определение. Последовательность положительных чисел дп назо-
назовем почти монотонно убывающей, если существует такая константа С, что
9п+г<Сдп (л = 1,2,...)
(аналогично определяется почти монотонное возрастание:
Qn+i>CQn (n= 1,2,...),
где С> 0).
Приняв эту терминологию, можем теорему Саса сформулировать так:
Теорема Саса. Если для ряда
¦%+ 2 ancosnx A1.1)
последовательность {\ап\} почти монотонно убывает и ряд A1.1) сходится
абсолютно хотя бы в одной точке, то
Положим для краткости \ап\ — дп. Имеем по условию
>— п>2
Не нарушая общности, здесь можно считать С ^ 1; тогда
?„_! | COS (П — 1) X | + Qn | COS ПХ \ >
^>-Ц- [ |cos(n — 1)х| + |cosnx|]>-^- [cos2(n — 1)х + cos2nx] =
= -?-Qn[l -f- cosxcosBn — 1)x];> -^-^nA — I cosxI) для п^2

774 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Если ряд A1 Л) сходится абсолютно в точке х0, то при х0 = О (mod n)
теорема тривиальна; если же хоф 0 (mod n)y то из неравенства
?„_! | COS (П - 1) Хо | + Qn | COS ПХ0 \ >^Qn(l - | COS Хо | ) = Qn у ,
где у =?= О, заключаем
N 1 N 2 л
J?>n<ei +-^[^-i|cos(n- l)xo| + gn|cosnxo|]<^ + -—-,
n = \ Г п=2 У
где A = 2 Qn |cos nxo\ < + oo.
00
Значит, 2 Qn < + °°> a это и требовалось доказать.
Аналогично доказывается
Теорема. Если {\Ьп\} почти монотонно убывает и
00
2]bnsmnx
сходится абсолютно хотя бы в одной точке х0, х0 ^ 0 (mod тг), шо
Действительно, замечая только, что
sin2 (п — 1) х + sin2 пх = 1 — cos х cos B п — 1) х > 1 — | cos x |,
мы видим, что предыдущее доказательство повторяется слово в слово.
Перейдем к доказательству других теорем, касающихся абсолютной
сходимости при специальных предположениях относительно коэффициентов.
Предварительно докажем лемму (см. Salem^).
Лемма 1. Пусть ряд
2 Qncos(knx-an) A1.2)
л = 1
сходится абсолютно в двух точках х1 и х2, причем
xi — Х2 = д ф 0 (mod n).
Пусть
lim-i-^ cos2/crt^< 1. A1.3)
п=1
Тогда
а) если дп монотонно убывает
или
б) если при любом целом р и любом п
Qn+p r
Qn
то
Доказательство. Из абсолютной сходимости A1.2) в хг и х2,
замечая, что
I sinknd | = | sin [(кпхх - ап) - (кпх2 - ап)\ \<
< | cos (кп хг - ап) | + | cos (Ал х2 - ап) |,

§ 11 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 775
находим
nfcn3|< + c5o. A1.4)
Покажем, что если выполнено а) или б), то из A1.4) следует^ Qn <+ °°-
Прежде всего заметим, что A1.4) влечет
а потому найдется такое А, что
т
2Qnsm4nd<A (m = 1,2, ...).
Поэтому если бы J? gn = + оо, то имели бы
т
2 Qn sin2 kn <5
lim^2^-
АП->ос
т
X Qn
п = \
откуда
? Qn COS 2 кпд
lim !=1— = 1 .
т
U Qn
A1.5)
Докажем, что условия A1.3) и A1.5) несовместны, если на числа дп
наложено условие а), высказанное в формулировке леммы 1.
На оснований A1.3) существует такое а, 0 < а < 1, что для некото-
некоторого т0
1 ГП
A1.6)
т
<а
Положим для краткости J? cos 2kp д = vny тогда
| vn | < а п , если
Применяя преобразование Абеля, находим
(П.7)
гcos2/с„E1
/По
п=\
т0
72=1
АЛ-1
21 (е„ -1
vm- Qmo+1v
mo
A1.8)
Если выполнено условие а), то дп монотонно убывают, а тогда из A1.7)
и A1.8) находим
2 gncos2knd
п = \
т0 г т—1 |
: 21 ^л + а5 21 (Qn — Qn+i)n+Qmm + Qmo+1mo \:
" Qmo+2 + • • • + ftn) ~
т. e.
72=1
m
Qn,

776 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
т
где С — константа, которая зависит лишь от т0, но не от т. Так как ? дп-> оо
и = 1
при т ~> оо, то, выбрав а' так, чтобы а < а' < 1, имеем
т т
\2QnC0s2knd\<a' 2Qn,
если т достаточно велико, а это противоречит A1.5).
Если выполнено условие б), то, полагая
гп = -Q-max(gn, дп+1, ...),
мы видим, что дп^Сгт кроме того,
7 Qn 7 7 Qn 7
а так как -^- < С, то
rn<Qn> (П.9)
Итак, сходимость^ qn и 2Jrn имеет место одновременно. Но числа гп по
самому своему построению монотонно убывают. В силу A1.4) и A1.9) имеем
?rnsm4nd< + oo, A1.10)
а тогда, по только что доказанному, из A1.3) и A1.10) следует
значит и 2J Qn < + °°-
Итак, лемма полностью доказана.
В качестве следствия этой леммы получим следующие теоремы Салема:
Теорема 1. Пусть ряд
2 Qn COS (ПХ — ап)
сходится абсолютно в двух точках хг и х2, хг — х2 ф 0 (mod л). Тогда если
выполнено одно из двух условий,
а) дп монотонно убывает
или
/-a Qn+p ^* г> /у, in .*, in \
V) ——- <.t ^/7 = 1, Z, . . . , /У = 1, Z, . . . j ,
то
В самом деле, если х1 — х2 = д ф 0 (mod ж), то
где Dm (x) — ядро Дирихле. Поэтому
2 cos 2 п д
следовательно,
sin Bт+ 1N 1_ . J_ 1
2 sin б ~" 2 ^ 2 "" 2 sin E'
/л
^ cos 2 п д
lim ^=^ = 0,
и мы находимся в условиях леммы 1.

§ 11 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 777
Теорема 1 доказана.
Для того чтобы получить некоторые другие следствия из леммы 1, дока-
докажем сначала лемму:
Лемма 2. Если числа [кп-к—I равномерно распределены*) на (О, 1), то
-i-j? cos 2 *„ Л = 0A).
Действительно, тогда на основании теоремы Вейля (см. Добавления,
§ 26) при любом т, и, в частности, при т = 2, имеем
Нт 12 e2ni2 &) = lim -i У ei2ksd = 0.
Значит,
lim y
откуда
lim-^cos2fcs3 = O. A1.12)
S=\
В частности, если выполнено условие A1.12), то выполнено условие
A1.3) леммы 1, а потому мы сразу получаем теорему (Salem!4!):
Теорема 2. Если числа \кп-~—] равномерно распределены на отрезке
(О, 1) и ряд
2 Qn cos (knx-aj
сходится абсолютно в двух точках хг и х2, где х1 — х2 = 6, то при выполнении
одного из условий а) или б) леммы 1 имеем
Следствие. Если дп удовлетворяют одному из двух условий леммы 1
и ряд
cos (пр х - ап) (р - целое)
сходится абсолютно в двух точках хг и х2, хг — х2 ф 0 (mod n), то
2
Действительно, если хг — х2 = д есть число несоизмеримое с я, то числа
\пР ~2тг) РавномеР^° распределены на отрезке [0, 1] (см. Добавления, § 26),
а потому мы находимся в условиях предыдущей теоремы.
Если же — рационально, то
1 т
lim— ycos2nPd< 1.
В самом деле, пусть <5 = — я, где несократимая дробь. Ясно, что
если п пробегает числа от 1 до q, то прг пробегает полную систему вычетов
по модулю q и, значит, \2пр~ п) (mod 2л) пробегает в каком-то порядке
*) Понятие равномерного распределения дано в § 26 Добавлений.

778
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ
гл. XIII
систему чисел 2п—, где
= 0, 1,
1 и N целое. Тогда
Nq
.,(/ — 1. Пусть т
+ ^, где
cos2
72= 1
Nq+ 1
A1.13)
Второе слагаемое в A1.13) по модулю <j/— 1, поэтому после деления на т
оно стремится к нулю. Надо показать, что
lim — N ^cos2^—< 1
A1.14)
Но это справедливо, так как при т
У cos 2n ~
s=l н
sin
1
так как sin х ^> х — , если 0
2sin —
N 1
соотношение >—, а
т q у
2sin-
Поэтому при достаточно больших т имеем
q о
>* cos 2 л; —
A1.15)
где е как угодно мало и, значит, правая часть A1.15) меньше единицы, а
потому A1.14) доказано и этим доказательство следствия теоремы 2 окончено.
Замечание. Если вместо {пр} взять лакунарную последователь-
последовательность, то результата, аналогичного следствию теоремы 2, уже получить
нельзя. Действительно, например, ряд
2 Qn sm ^ппх
п=\
с монотонно убывающими дпи 2 Qn— + °° сходится абсолютно во всех точ-
точках вида^-, где р и q — любые целые (поскольку при таких значениях х все
члены ряда, начиная с некоторого номера, обращаются в нуль).
Легко привести и примеры лакунарных рядов с монотонно убывающими
коэффициентами, сходящихся абсолютно на несчетном множестве точек без
того, чтобы сходиться абсолютно всюду*).
Заканчивая главу, посвященную абсолютной сходимости рядов, мы счи-
считаем необходимым коснуться вопроса о точках абсолютной сходимости для
так называемых нуль-рядов, т. е. рядов, сходящихся к нулю почти всюду,
но не всюду. Существование таких рядов будет доказано в главе XIV.
Докажем теорему В. Я. Козлова^.
*) Напомним, что лакунарным рядам была посвящена глава XI, где, в частности,
исследовались и достаточные условия абсолютной сходимости этих рядов.

§ 11 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ДЛЯ РЯДОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 779
Теорема. Нуль-ряд не может иметь двух точек абсолютной сходи-
сходимости на расстоянии, не соизмеримом с п.
Пусть
-^г + 2 ап cos пх + bn sin nx
г п=\
рассматриваемый нуль-ряд. Положим для краткости
Ао = -у-; Ап (х) = ап cos nx + bn sin nx .
Мы уже видели (см. § 2), что
Ап (х + h) + Ап (x—h) = 2 Ап (х) cos nh.
Поскольку ряд
2Ап(х)
п=0
почти всюду сходится к нулю,то при любом х0 ряды2] Ап (х0 + h)n^ Ап (х0—Л)
сходятся к нулю для почти всех Л, а значит, и 2/ An(xo)cosn/z сходится к
нулю для почти всех h. Но если х0 есть точка абсолютной сходимости нуль-
ряда, то ? |Д7(х0)| < + °°, следовательно, 2J Ап(хо) cos nh сходится равно-
равномерно относительно h, и так как он для почти всех h сходится к нулю, то
A.W = 0 (п = 0,1,2,...).
Пусть теперь хг — другая точка абсолютной сходимости заданного нуль-
ряда. Тогда
Лп(х1) = 0 (п = 0,1,2,...).
Рассмотрим систему двух уравнений:
ап cos пх0 + bn sin пх0 = 0,
ап cos пхг + bn sin пхг = 0.
Так как определитель системы есть sinn(x1 — хо)фО, если п(х1 — хо)ф
ф 0 (mod л), то
Отсюда следует, что у нуль-ряда не может быть двух точек абсолютной схо-
сходимости на расстоянии, не соизмеримом с л.
Следствие 1. Нуль-ряд может иметь лишь конечное число точек
абсолютной сходимости.
Действительно, допустим, что это неверно и х0, х19 х2, ... — точки абсо-
абсолютной сходимости нуль-ряда. Так как найдется такое /л, что а2т + Ь2т ф О,
то уравнения
ат cos тх0 + Ът sin тх0 = 0,
ат cos mxk + 6m sin /пхЛ = О
имеют отличное от нуля решение, а это значит, что sin m(xk — х0) — 0. Но это
не может наблюдаться для бесконечного множества значений /с, так как
sin mt лишь конечное число раз обращается в 0 на отрезке [0, 2л].
Следствие 2. Не существует нуль-ряда вида
^ ап cos pn х + Ьп sin pn x,
где р — целое.

780 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОБЩИХ ТРИГ. РЯДОВ ГЛ. XIII
Этот результат можно было бы получить из теоремы Зигмунда о лаку-
нарных рядах (см. § 11 главы XI), но поскольку ее доказательство сложно,
мы предпочитаем здесь дать в два слова элементарное доказательство.
Рассмотрим сначала ряд J?/?n sin р"х. Он имеет бесконечное множество
точек абсолютной сходимости, так как все точки вида х^2п~к обладают
этим свойством при любых целых I и к. Поэтому если такой ряд сходится к
нулю почти всюду, то все /Зп = 0.
Пусть теперь
Ап (х) = ап cos pn x + bn sin рп x .
Если ряд 2Ап(х) есть нуль-ряд, то будут при любом х нуль-рядами относи-
относительно к и 2 Ап{х + ft) и 2 Ап(х— Л)> но
Ап(х + ft) — Ап(х— ft) = 2(&;icospnx — ansinpnx)sinpnft,
значит
2 (bn cos pnx~ an sin pn x) sin pn ft
есть (относительно ft) нуль-ряд, а потому
Ьп cos рп х — ап sin рп х = 0 (п = 1, 2,...).
Это рассуждение справедливо для всякого х, а потому
Теорема доказана.
К этим результатам Козлова сделаем следующее добавление, принадле-
принадлежащее Я. В. БыковуW.
Если нуль-ряд сходится абсолютно в двух точках, то мы уже знаем, что
их расстояние д соизмеримо с п. Пусть
где дробь —несократима. При доказательстве следствия 1 мы видели, что если
при некотором m имеем а% + b2m =j= 0, то sin m д = 0, т. е. sin /л — п = О.Так
как—несократимая дробь, то m должно делиться на 5, значит у нуль-ряда
отличны от нуля лишь коэффициенты с номерами m = ks, где к — целое,
т. е. ряд имеет вид
00
¦^ + 2 ак cos ksx + Рк sin ksx.
Отсюда вытекает такое следствие:
Если у нуль-ряда лишь конечное число коэффициентов равно нулю, то он
может сходиться абсолютно лишь в двух точках на расстоянии, равном п.
Действительно, в этом случае число s из предыдущего рассуждения
должно быть равно 1 и, значит, д = г щ где г целое. Но так как х± ф х2, то
Ь Ф 0, кроме того, Ь ф 2щ иначе бы хг и х2 снова надо было считать совпадаю-
совпадающими. Итак, д = л.

ГЛАВА XIV
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД
§ 1. Введение
Настоящая глава будет посвящена двум вопросам, тесно связанным
между собой, и уже немного освещенным в главе I. Первый из них — вопрос,
на который частично отвечает теорема дю Буа-Реймона (см. § 72 главы I),
можно формулировать так: зная, что тригонометрический ряд сходится к
некоторой функции, установить, должен ли он быть ее рядом Фурье. Такая
формулировка выражена в неточной форме, и здесь прежде всего надо уточ-
уточнить, где сходится тригонометрический ряд и к какой функции. Было пока-
показано, что если тригонометрический ряд сходится всюду к ограниченной
функции, то этот ряд будет ее рядом Фурье (см. § 72 главы I). В настоящей
главе (см. § 4) это предложение значительно обобщается, а именно доказы-
доказывается, что если тригонометрический ряд сходится всюду, вне счетного мно-
множества, к конечной суммируемой функции, то этот ряд есть ее ряд Фурье.
Отсюда, в частности, вытекает теорема Юнга: если тригонометрический ряд
сходится к нулю всюду, вне счетного множества, то все его коэффициенты
равны нулю. Этот результат является обобщением теоремы Кантора
(см. главу I, § 70) о том, что сходимость тригонометрического ряда к нулю
всюду, или всюду, кроме, быть может, конечного числа точек, влечет ра-
равенство нулю всех его коэффициентов.
В § 70 главы I мы условились говорить, что некоторое множество Е есть
М-множество, если существует тригонометрический ряд, сходящийся к нулю
вне ?, но имеющий отличные от нуля коэффициенты. Если множество Е не
есть Af-множество, мы условились называть его [/-множеством. Таким обра-
образом, все множества распадаются на М- и [/-множества. Из теоремы Кантора
и Юнга следует, что всякое пустое конечное или счетное множество есть
[/-множество. С другой стороны, в § 70 главы I было доказано, что всякое
множество положительной меры есть М-множество.
Таким образом, остается нерешенным вопрос, какие из несчетных мно-
множеств меры нуль будут М- и какие К-множествами; это и будет второй
темой данной главы (тождество этого вопроса с проблемой единственности
разложения функции в тригонометрический ряд уже разъяснялось в
главе I, § 70). Ввиду того, что проблема единственности чрезвычайно трудна,
она не только не решена в общем виде, но даже и для наиболее простого
случая, когда рассматриваемое множество является замкнутым. С другой
стороны, она представляет очень большой интерес, так как'обнаружилось,
что при ее решении приходится иметь дело с очень тонкими свойствами

782 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
структуры множеств, и поэтому при ее решении оказывается необхо-
необходимым учитывать не только геометрический характер множества (т. е.
расположение его на прямой), но и арифметическую природу входящих в
него точек.
Укажем вкратце расположение материала в данной главе.
В § 2 и § 3 даются вспомогательные результаты, необходимые как для
получения обобщенной теоремы дю Буа-Реймона (доказываемой в § 4), так
и для дальнейших результатов по единственности. В § 5 подробно" разъяс-
разъясняется постановка проблемы единственности; в § б изучаются свойства так
называемых нуль-рядов, т. е. рядов, сходящихся к нулю почти всюду, но не
всюду. Как следствие полученных результатов доказывается, что сумма счет-
счетного множества замкнутых [/-множеств есть [/-множество.
В § 7 доказывается существование несчетных [/-множеств, его дополняет
§ 8. В §§ 9 и 10 рассматривается вопрос, при каких монотонных преобразова-
преобразованиях [/-множество переходит в [/-множество, и когда оно может стать М-мно-
жеством. Начиная с § 11, мы сосредоточиваем наше внимание на случае совер-
совершенных множеств; хотя и для них проблема единственности, как уже гово-
говорилось, еще не решена, но все же она упрощается, так как здесь имеется
метод, позволяющий свести решение проблемы к вопросу о поведении коэф-
коэффициентов Фурье от некоторой функции, постоянной на смежных к задан-
заданному множеству интервалах (см. § 11). Этот метод и применяется дальше.
Сначала (в § 12) рассматриваются простейшие примеры совершенных
М-множеств.
В § 13 их класс значительно расширяется, в § 17 изучается вопрос,
в какой мере введенные ограничения необходимы. Чтобы иметь возможность
судить об этом, понадобилось получить более глубокие сведения о замкнутых
V-множествах —этому посвящены §§ 14 и 15. В частности, в § 15 рассмот-
рассмотрен класс множеств, представляющих обобщение понятия Я-множества
(см. главу XII, § 5). Построение этих множеств позволило решить ряд трудных
вопросов проблемы единственности, которые много лет оставались нерешен-
нерешенными, в частности построить [/-множество, не содержащееся ни в каком Иа
(см. § 16), и изучить связь между М-множествами и «М-множествами в узком
смысле» (см. § 18). §§ 19—21 посвящены изучению конкретных классов совер-
совершенных множеств; здесь обнаруживается (см. § 20), что даже в самом каза-
казалось бы простом случае геометрической структуры множества вопрос о том,
будет ли оно [/- или М-множеством, очень труден и решается только с привле-
привлечением теории алгебраических чисел.
В § 22 мы даем краткий обзор результатов, полученных для совершенных
множеств более сложной природы.
В § 23 мы сопоставляем ряд результатов, полученных в главах XII, XIII
и XIV и касающихся множеств меры нуль. Мы сравниваем R-, N- и [/-мно-
[/-множества и ставим ряд проблем.
В § 24 мы разбираем вопрос о скорости, с которой могут стремиться к
нулю коэффициенты нуль-рядов.
В § 25 и 26 мы указываем на обобщения проблемы единственности. Они
могут быть сделаны в разных направлениях. Во-перьых, можно говорить об
[/-множествах для того или иного метода суммирования, т. е. о тех мно-
множествах, для которых из суммируемости ряда к нулю некоторым методом
следует равенство нулю всех коэффициентов. Во-вторых, можно говорить
об относительных [/-множествах, т. е., например, рассматривать не всевоз-
всевозможные тригонометрические ряды, а лишь ряды из некоторого класса S и
говорить, что Е есть [/-множество в классе 5, если каждый ряд из
класса S, сходящийся к нулю вне ?, должен иметь все коэффициенты
равными нулю.

§ 2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА 783
Наконец (см. § 27), можно объединить оба последних обобщения и рас-
рассматривать ряды из некоторого класса S, суммируемые к нулю тем или иным
методом вне Е, и таким образом изучать U-множества относительно класса S
и заданного метода суммирования.
§ 2. Вспомогательные теоремы о верхней и нижней
производной Шварца
В § 67 главы I мы ввели понятие о второй производной Шварца и при-
применили его к доказательству теоремы дю Буа-Реймона — Лебега.
Напомним, что числа
D*F(x) = tim
и
D2F(x)-lim
были названы соответственно верхней и нижней Шварцевой производной от
F(x)BTO4Ke х. Мы сейчас установим некоторые свойства этих производных,
которые дадут нам возможность значительно обобщить как полученную в § 72
главы I теорему дю Буа-Реймона, так и результаты о единственности разло-
разложения функции в тригонометрический ряд, изложенные в § 70 главы I.
Прежде всего заметим следующее: из самого определения выпуклой
функции (см. Вводный материал, § 3) сразу вытекает, что если F(x) выпукла
на некотором [а, Ь], то
для х ? (а, Ь)
и достаточно малого Л, а потому D2F(x) ^> 0 при х ? (а, Ь). С другой стороны,
ясно, что если F" (х)^0 на (а, Ь), то F(x) должна быть выпуклой на этом
интервале. Мы сейчас докажем теорему, которая является обобщением этого
утверждения.
Теорема 1. Если F (х) непрерывна на (а, Ь) и если
всюду на (а, 6), кроме, быть может, некоторого счетного множества ?, в тач-
тачках которого она гладкая, то F(x) выпукла на (а, Ь). Аналогично, если
кроме точек Е, то F(x) вогнута. Наконец, если
кроме точек Е, и гладкая в точках Е, то F(x) линейна на (а, Ь).
Достаточно провести доказательство для D2F(x)^>0, так как случай
D2F(x)<0 сводится к нему, если вместо F(x) рассмотреть—F(x). Кроме
того, если функция одновременно выпукла и вогнута, то она линейна, а зна-
значит последнее утверждение также будет доказано.
Допустим сначала, что нам удалось доказать теорему в предположении
D~2F>0
всюду, кроме Е. Тогда, полагая
1 X2
~2 ~п '

784 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
мы видим, что D2Fn(x) = D2F(x) -|—, и поэтому, так как для BcexFn(x) имеем
О, мы можем утверждать, что они выпуклы. Но предел последова-
последовательности выпуклых функций есть функция выпуклая*), а потому и F(x)
будет выпуклой.
Итак, допустим, что
D~2F(x)>0
всюду вне Е и является гладкой в точках множества Е. Нам надо доказать,
что она выпукла. Допустим, что это неверно и докажем, что тогда множество
Е должно иметь мощность континуума; это приведет нас к противоречию.
Если F(x) не является выпуклой на (я, 6), то найдется такой интервал
(а, /?), содержащийся в (а, 6), что дуга кривой у = F(x) лежит выше
хорды, проходящей через точки (a, F(a)) и (/9, F(P)). Пусть у = кх + т —
уравнение прямой, проходящей через эти точки, тогда
/? (х) = F (х) — кх-т>0 на (а, р).
Если взять угловой коэффициент q, достаточно мало отличающийся от к,
то и для функции
Q(x) = F(x)-qx-m
можно найти отрезок [а1} рг] с [а, /?], где будем также иметь неравенство
?>(х)>0. Так как д(х) непрерывна и положительна, то ее максимум на
[av рг] положителен и достигается в некоторой точке: Обозначим через xq
самую правую из точек, в которых q(x) имеет максимум; значит,
) на «i<x<x^ и Q(x)<Q(xq) для
Но так как
а в точке максимума 4?2g(x)<^0, если //достаточно мало, и, значит,
то отсюда
т. е. xq есть точка множества Е.
Если мы докажем, что для разных значений q точки xq различны, то будет
доказано, что Е имеет мощность континуума, поскольку можно взять конти-
континуум различных прямых qx -f- m с угловыми коэффициентами, достаточно
близкими к угловому коэффициенту к.
Так как xq есть точка максимума для д (х), то
Q(Xq+h)-Q(Xq) ^ Q и gfa-/?)-gCC
/г ^ — h
для всех достаточно малых h. Следовательно,
D+ Q (xq)<0 и D-q {xq) >0**).
*) Действительно, если у каждой из допредельных функций любая дуга лежит ниже
или на соответствующей хорде, то это свойство сохраняется и в пределе.
**) Мы обозначаем через D+, D~, D+ и D- соответственно верхнее правое, верхнее
левое, нижнее правое и нижнее левое производные числа. Через D обозначается наиболь-
наибольшее из двух верхних, через D — наименьшее из двух нижних производных чисел.

§ 2 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОИЗВОДНОЙ ШВАРЦА 785
Но по условию F(x) гладкая в точках множества Е, значит, в хя, а стало быть
это верно и для д(х); поэтому для д(х) имеем
а потому оба эти числа должны быть равны нулю, т. е. в точке xq функция
q(x) имеет обыкновенную производную, равную нулю. Но тогда
Q'(xq) = O, т.е. F'(xq) = q.
Значит, для разных q точки xq все различны, а это и заканчивает доказа-
доказательство теоремы.
Замечание. Если исключительных точек нет, то о гладкости функ-
функции F(x) ничего и не надо предполагать; отсюда следует, что если
D2 F (х) = 0 на (а, Ь),
то F(x) линейна на (а, Ь). Это уже было доказано (см. главу I, § 67).
Переходим к доказательству следующей теоремы.
Теорема 2. Пусть!(х) суммируема на (а, Ь) и конечна на нем всюду,
кроме, быть может, точек некоторого счетного множества Е. Если F(x)
непрерывна на (а, Ь) и гладкая в точках Е, то при выполнении неравенств
есюоу вне Е, имеем
F(x) = f dt Sf(u)du +Ax + B
а а
всюду на (а, Ь), где А и В — постоянны.
Построим две последовательности непрерывных функций ип(х) и г?л(х),
обладающих следующими свойствами:
1) ип(а) = "п(а) = 0 (л=1,2, ...),
X
2) ип(х)сходится равномерно к J f(t)dt на (а, Ь); также vn(x),
а
3) всюду, где f(x) конечна, имеем
По поводу существования таких последовательностей см. § 27 Добавлений.
Если мы теперь положим
Unix) = J un(t)dt и Vn(x) = | vn(t)dt,
a a
то функции Un (x) и Vn (x) имеют непрерывные производные; поэтому, при-
применяя формулу Коши, находим
Vn(x+h)+ Vn(x-h)-2Vn(x) vn(x+eh)-~vn(x-eh) n
= 1 o<e<i
Но при любом в> 0 правая часть этого равенства при достаточно малом h
должна удовлетворять неравенству
уп(х-вн)^ м_
2dh ^ — п W >
поэтому имеем и
D*Vn(x)>Dvn(x)-e,

786 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
а так как е как угодно мало, то
D*Vn(x)>Dvn(x),
а в точках, не принадлежащих ?, это влечет
D*Vn(x)>f(x).
Аналогично доказываем, что всюду вне Е
<
Положим
Pn{x) = Un(x)-F{x),
Так как для любых ап и /?„ имеем всегда
lim (ап — /3„) > lim ап — lim
Иш(«„ - /?„)<Йта„ - Шп
то _
^2Qa W>^2^(X)-D^(X)>/(X) - /(X) = О
и аналогично
D*Pn(x) < D4/n (x)- &F (х) </ (х) - / (х) = 0.
Поэтому на основании теоремы 1 функция Qn (x) выпукла, а Рп (х) вогнута.
t
Но из равномерной сходимости un(t)nvn (f) к J* f(u) du следует, что Un(x)
а
х t
и Vn(x) равномерно сходятся к J dt J /(a) du, а потому последовательности
а а
Qn (x) и Рп (х) равномерно сходятся к разности
Но эта разность, как предел последовательности и выпуклых и вогнутых
функций, должна быть линейна, т. е. R(x) = Ах + В, откуда и вытекает, что
F(x)= J dt J f(u)du + Ax+ В,
a a
Таким образом, теорема доказана. Мы можем получить из нее целый ряд
важных следствий. Одно из них касается вопроса о почленном интегрирова-
интегрировании тригонометрических рядов.
§ 3. Законность почленного интегрирования тригонометрического ряда
Мы видели (глава 1, § 41), что всякий ряд Фурье можно почленно инте-
интегрировать, даже если он расходится, т. е. даже и в этом случае результат
почленного интегрирования ряда Фурье от /(х) есть ряд, сходящийся к
неопределенному интегралу от /(х).
Естественно поставить вопрос: дан любой тригонометрический ряд с
коэффициентами, стремящимися к нулю. Что можно сказать о проинтегри-
проинтегрированном ряде? Мы знаем, что обобщенная риманова сумма для общего три-
тригонометрического ряда в некоторых случаях играет ту же роль, какую играет

§ 3 ЗАКОННОСТЬ ПОЧЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 787
функция /(х) при изучении поведения ряда Фурье o(f). В вопросе об интегри-
интегрировании это также имеет место, как показывает
Теорема. Пусть тригонометрический ряд с коэффициентами, стре-
стремящимися к нулю, 'суммируется на некотором интервале (а, Ь) методом
Римана к /(х). Если f(x) на этом интервале суммируема и конечна всюду,
кроме, быть может, некоторого счетного множества точек, то ряд можно
почленно интегрировать в любом интервале (а, /3), целиком лежащем внутри
(а, Ь)у и проинтегрированный ряд сходится на (а, /?) равномерно к неопреде-
неопределенному интегралу от f (х).
Эта теорема была доказана Н. Н. Лузиным (cmJm-9^ tM-10], § 90) в пред-
предположении, что f(x) непрерывна, но доказательство мгновенно переносится
на случай суммируемой /(х).
Пусть
а °°
~? + 2 ап cos nx + bn sin nx C.1)
— заданный тригонометрический ряд. Проинтегрируем его формально два
раза; получим после первого интегрирования
г л- а° -v х? bn CQS nx ~ пп sin nx а г>\
* 2 ^ы " п ^ '
и после второго
п==1
Пусть F(x) есть сумма ряда C.3), т. е. функция Римана для ряда C.1).
По теореме 3 § 68 главы I функция F(x) гладкая. Поэтому по теореме 2 § 2
имеем
F(x)= /d/ J f(u)du + Ax+ В на я<х<&.
а а
Полагая
F1(x)=A+ $f(u)du, C.4)
а
видим, что Fi(x) абсолютно непрерывна на (а, Ь) и
F' (х) = Fx (х) всюду на (а, Ь).
С другой стороны, ряд, входящий в формулу C.2), есть ряд Фурье от
некоторой ср{х). Раз F(x) есть сумма ряда C.3), а он получается в результате
интегрирования ряда C.2), т. е. ряда а (у), то
X
F(x) - -Jx2 + Сх + D + J <p (t)dt C.5)
о
и, в частности,
F' (х) = y х + С + (р (х) почти всюду на [а, Ь].
Объединяя C.4) и C.5),получим, что <р(х)на [а, Ь]эквивалентна абсолютно
непрерывной функции, так как
у х + С + q> (х) = Fx (х) почти всюду на [а, Ь].
Поэтому ряд C.2) сходится равномерно на любом fa, /3] с (а, Ь) к функции
Fjl(x) и сходится к /^(х) всюду на (а, Ь). Теорема доказана.
После этого краткого отступления вернемся к нашей цели — обобщению
теоремы дю Буа-Реймона и проблеме единственности.

788 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
§ 4. Обобщение теоремы дю Буа-Реймона; теорема Валле-Пуссена
Лемма дю Буа-Реймона. Если для тригонометрического ряда
Y + 2 ап cos п* + bn sin nx D.1)
с коэффициентами, стремящимися к нулю, функции
S(x) = \imSn(x)
и
S(x) = \hnSn(x)
конечны для некоторого значения х, то, полагая
S(x) = \ [S(х) + S(x)] и д(х) = j [S(x)
имеем для его функции Римана
где и — абсолютная постоянная.
В самом деле, полагая
Ао = — и Ап (х) = ап cos nx + bn sin nx,
имеем
( nh
л= 1
Так как Sn (x) = Ao + Лх (x) + ... + An (x), то, проделав преобразование
Абеля, получим
h) + F(x-2h)-2F(x) "f(> M
0
Но мы уже видели (см. главу I, § 68), что
Sinnhy fsin(n+l)/rJ r d /-Sin ft»
причем последний интеграл сходится. Замечая, что
мы находим, что
/») + F(x-2ft)-2F(x) _ „ . _
4 Л2 ^ ^
i
Пусть ?> 0 задано. Так как
Hm [Sn (x) - S (x)] = S (x) - S (x) = д,
Inn [Sn (x) - S (x)] = S (x) - S (x) =

§ 4 ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЮ БУА-РЕЙМОНА 789
то можно найти столь большое N, что
Sn(x) - S(x) |<« + е, л >N. D.3)
Имеем
A*F(x)
S
4Л2 ^
\2
Первое слагаемое стремится к нулю при h -> 0, так как Л/ конечно, а
каждый множитель при Sn (х) — S (х) стремится к нулю при /г->0; второе
слагаемое в силу D.3) не превосходит (д + е) ц, где /л — интеграл в правой
части D.2). Поэтому, замечая, что е как угодно мало, и переходя к пределу
при h -> О, находим
а это и требовалось доказать.
Из доказанной леммы легко теперь вывести следующее важное след-
следствие (Vallee-Poussint2]):
Теорема Валле-Пуссена. Если тригонометрический ряд с
коэффициентами, стремящимися к нулю, имеет пределы неопределенности
lim Sn{x)u\\m Stl(x) конечными всюду, кроме, быть может, некоторого счет-
счетного множества Е, и обе функции суммируемы на [—п, ж], то этот тригоно-
тригонометрический ряд суммируется методом Римана почти всюду и является
рядом Фурье от своей римановской суммы.
Действительно, по только что доказанному, для функции Римана этого
ряда D.1) имеем
где 5 (х) = \ [S (х) + S (х)] и д (х) = у [S (х) -5 (х)]. В силу условий
теоремы 5 (х) и д (х) обе суммируемы. Значит, полагая / (х) = D2F (x) (или
/ (х) = D2F(x)), видим, что / (х) заключена между 5 (х) — (лд (х) и 5 (х) + /лд (х)
и они суммируемы; следовательно, на основании теоремы § 2 имеем
F (х) - J ( \ f(u)du)dt+Ax+B на [- л, п]. D.4)
— л —я
Так как это верно и при/(х) = D2F (х) и при / (х) = D2F(x), то ясно,
что они почти всюду совпадают, т. е. D2F (х) существует и, кроме того,
F(х) = J ( J D2F(h) du)dt + Ax + B.
Пусть
у + 2 an cos пх + рп sin лх D.5)
есть рядсг(/); покажем, что он совпадает с рядом D.1).
Действительно, в силу D.4) имеем
Zl2F(x) - J [F' (x+0 - F/ (x - 0] dt - fdt j / (x + u)dw. D.6)
о о -t

790 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Умножим два крайних члена тождества D.6) на — cos тх и проинтегрируем
по х от 0 до 2л (интегрирование можно произвести под знаком интеграла;
/(х) — периодическая), поэтому мы находим:
2л 2п
1 Г 1 Г
— \ f(x + и)cosmxdx = — I /(x)cosm(x — u)dx = amcosmu + pmsmmu,
о о
откуда
— f A*F(x) cos mxdx = am I'd/ f cosmudu = 4ams-^^. D.7)
*v ,7 *] *] lib
0 —f
С другой стороны, так как F(x) есть риманова функция для ряда D.1),
находим
n=0
где ряд равномерно сходится. Таким образом, для значения того же интеграла
имеем
sin2 та
~ J A2 F (x) cos mxdx =4 ап
о
Сравнивая эту формулу с D.7), получим ат == am; подобно этому и
Ьт = (Зт. Итак, ряд D.1) есть ряд Фурье от/(х), а это и требовалось доказать.
В качестве непосредственного следствия получаем такое обобщение
теоремы дю Буа-Реймона, доказанной в § 72 главы I.
Обобщение теоремы дю Буа-Реймона. Если тригоно-
тригонометрический ряд сходится к суммируемой функции f (x) и она конечна всюду,
кроме, быть может, счетного множества точек, то этот ряд есть ее ряд
Фуръе*).
Действительно, в этом случае
Шп Sn (x)= lim Sn (x) = lim Sn (x) - / (x)
и, применяя теорему Валле-Пуссена, мы видим, что наш тригонометрический
ряд будет рядом Фурье от своей римановой суммы, а она должна совпа-
совпадать с /(х).
Полезно отметить, что и этот результат можно высказать в более общей
форме, а именно:
Теорема**). Если для тригонометрического ряда lim Sn(x) и lim Sn(x)
конечны всюду, кроме, быть может, счетного множества Е, и если
HmSn(x)>g(x),
где g(x) суммируема и конечна вне Е, то данный ряд есть ряд Фуръе.
*) И. И. Привалов [21 доказал, что если тригонометрический ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю, суммируется методом Пуассона всюду на [0, 2л], кроме, быть
может, замкнутого ?/-множества, к суммируемой функции / (х), то этот ряд есть ряд Фурье
от/(х).
* *) Эта теорема принадлежит Банаху, но нигде не была опубликована (см. Зигмунд[М.б]?
сноска к стр. 275); частный случай ее, когда g(x) = 0, был ранее доказан Штейн-
гаузом (Steinhaus L4]).

§4 ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЮ БУА-РЕЙМОНА 791
Мы ограничимся доказательством этой теоремы для случая, когда
lim Sn(x) — limSn(x). Предварительно докажем лемму:
Лемма. Если функция Ф(х) выпукла на \ау Ь\ то D2 Ф(х) существует
почти всюду на (а, Ь) и суммируема на (а + е, b — е) для г > 0.
В самом деле, по теореме § 3 Вводного материала выпуклая функция
Ф(х) может быть записана в виде
Ф(х) = Ф(а) + fV(t)dt,
а
где <р (t) монотонна на (а, Ь). Поэтому
Так как <р(х) монотонна, то <р' (х) существует почти всюду на [а, Ь] и сумми-
суммируема на [а + еу b — в]. Поэтому
<р(х + 0 - <р(х - 0 = 2<p'(x)t + o(t)
почти всюду, откуда сразу следует, что при h->0 правая часть D.8) стре-
стремится к д/ (х) почти всюду. Значит,
почти всюду на (а, Ь), и лемма доказана.
Переходим к доказательству теоремы. Положим
Заметим, что если F(x) — функция Римана для рассматриваемого тригоно-
тригонометрического ряда, то в силу условий теоремы
D2F(x)=:f(x) всюду вне Я,
и значит, D2F(x) всюду вне Е конечна и, кроме того,
Строим для g (х) минорантные функции ип(х) так, как это было сделано для
f(x) в § 2. Сохраняя все обозначения § 2, имеем тогда
откуда следует, что всюду вне Е
5* (F - Ur)>&F-~D* Un(x)^g(x) - g(x) = 0.
Значит, разность F(x) — Un(x) выпукла. Но в силу самого построения функ-
функций ип (х) они стремятся равномерно к
!g(t)dt = G(x),
а
а потому функции Un (x) стремятся к

792 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Отсюда следует, что F(x)— У^тоже выпукла. Но тогда по лемме этого
параграфаD2(F — W) = /—g существует почти всюду и суммируема на
любом интервале. Значит, f(x) суммируема, а тогда мы возвращаемся к только
что доказанной теореме (обобщение теоремы дю Буа-Реймона).
§ 5. Теорема Юнга.
Постановка проблемы единственности
В качестве другого следствия обобщенной теоремы дю Буа-Реймона
(см. § 4) можно получить теорему Юнга (Young W. Н.М).
Теорема Юнга. Если тригонометрический ряд сходится к нулю
всюду, кроме, быть может, некоторого счетного множества Е, то все его
коэффициенты равны нулю иначе говоря, всякое счетное множество есть
и-мно жество *).
Действительно, ряд сходится к нулю, т. е. к суммируемой функции всюду,
кроме, быть может, счетного множества. Значит, он является рядом Фурье
от нуля, а тогда все его коэффициенты равны нулю.
В § 70 главы I мы доказали, что всякое пустое или конечное множество
есть {/-множество. Сейчас было доказано, что и любое счетное множество
есть ^/-множество. С другой стороны, в § 70 главы I было доказано, что
всякое множество положительной меры есть УИ-множество. Таким образом,
остается нерешенным вопрос, что можно сказать о множествах меры нуль,
но несчетных.
Существование Af-множеств меры нуль долгое время казалось совер-
совершенно неправдоподобным. Привычка пренебрегать множествами меры нуль»
вызванная целым рядом результатов, возникших после создания интеграла
Лебега, заставляла думать, что и в вопросе о единственности разложения
функции в тригонометрический ряд множеством меры нуль можно пре-
пренебречь. Эта гипотеза была опровергнута результатом Д. Е. МеньшоваШ,
опубликованным в 1916 г.; он построил первый пример совершенного М-мно-
жества меры нуль (см, ниже § 12).
После этого естественно было поставить вопрос, существуют ли несчет-
несчетные G-множества. Ответ на этот вопрос был дан одновременно и независимо
А. Райхманом (Rajchman И» И) и Н. К. БариШ. Райхман рассмотрел класс
Я-множеств (см. их определение в § 5 главы XII) и доказал, что все они будут
^-множествами (см. ниже § 7).
Н. К. Бари совершенно иным методом также построила некоторый класс
совершенных (/-множеств. Она доказала также, что сумма конечного числа
или счетного множества замкнутых G-множеств есть снова G-множество
(см. § б).
Проблема о том, каково необходимое и достаточное условие для того,
чтобы данное несчетное множество меры нуль было ^-множеством, не решена
до сих пор даже для случая совершенных множеств. Мы здесь изложим
основные результаты, полученные при попытке разрешить эту весьма труд-
трудную проблему. Интерес этой проблемы станет особенно ясным, когда читатель
увидит, что здесь вопросы теории функций оказываются теснейшим образом
переплетенными с теорией диофантовых приближений и свойствами целых
алгебраических чисел. Не имея возможности полностью изложить здесь все
работы, посвященные единственности разложения функции в тригонометри-
тригонометрический ряд, мы постараемся осветить основные методы и указать возникаю-
возникающие трудности, а также отметить проблемы, на которые стоит обратить вни-
внимание.
*) См. определение U- и М-множеств в § 70 главы I.

§ 6 СВОЙСТВА НУЛЬ-РЯДОВ; СУММА ЗАМКНУТЫХ [/-МНОЖЕСТВ 793
§ 6. Свойства нуль-рядов; сумма замкнутых (/-множеств
Определение 1. Условимся называть нуль-рядом тригонометри-
тригонометрический ряд, который сходится к нулю почти всюду на [—л, л], но не всюду.
Начнем с напоминания некоторых теорем, которые были доказаны в
других главах. Именно в § 11 главы XI было доказано, что если лакунарный
ряд сходится к нулю на множестве положительной меры, то все его коэффи-
коэффициенты равны нулю. Отсюда сразу вытекает, что нуль-ряд не может быть
лакунарным.
Далее из теорем Козлова и Быкова, доказанных в § 11 главы XIII, мы
знаем, что нуль-ряд не может сходиться абсолютно в двух точках на расстоя-
расстоянии, несоизмеримом с л, а если у него лишь конечное число коэффициентов
равно нулю, то он может иметь только две точки абсолютной сходимости,
и их расстояние равно л.
В § 18 главы VIII было доказано, что ряд, сопряженный к нуль-ряду,
не может быть рядом Фурье.
Теперь мы хотим указать новые свойства нуль-рядов и для этого введем
Определение 2. Множество точек, где нуль-ряд не сходится к
нулю, будем называть ядром нуль-ряда. Пусть
% -г 2 ап cos nx + bn sin nx
z n=i
— рассматриваемый нуль-ряд и Sn (х) —его частная сумма. Множество то-
точек, где
nrn|Sn(x)| = +oo,
будем называть приведенным ядром нуль-ряда.
Из теоремы Валле-Пуссена (см. § 4) следует, что приведенное ядро должно
быть несчетным множеством. Действительно, если бы множество точек, где
lim \Sn(x)\ = + °о, было счетным, то Tim Sn(x) и lim Sn(x) были бы конечны
всюду, KpOiWe счетного множества, и суммируемы, так как
почти всюду, а тогда этот ряд был бы рядом Фурье от функции, равной нулю,,
в результате чего все его коэффициенты были бы равны нулю.
Отметим здесь некоторые простые, но важные для дальнейшего свойства
ядер и приведенных ядер нуль-рядов.
Прежде всего ясно из самого определения, что ядро нуль-ряда есть
М-множество. Легко показать *), что оно ^-измеримо и типа 6да.
Приведенное ядро имеет даже более простую природу: оно типа Gd.
В самом деле, если Fm есть множество точек, где
|Sn(x)|</n (л =1,2, ...),
00
то Fm замкнуто, а множество R = 2 Fm есть множество типа Fa. Но ясно,
7Л=1
что приведенное ядро N нашего нуль-ряда есть Лг = CR, а потому N типа Gd*
*) Действительно, если обозначить через %тп множество тех х, для которых | Sn (х) | <
1 °°
< —, то множество тех точек, где ряд сходится к нулю, имеет вид # = П Игр gmn. Но
т т = \ п-*ао
так как %тп замкнуто, то lim gmn имеет тип Fa, а значит, € типа Fa^. Но ядро нуль-ряда
/7->оо
есть Cg, a потому оно типа Gea.

794 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Для изучения свойств ядра Е, приведенного ядра нуль-ряда мы будем
существенно опираться на доказанные в § 71 главы 1 теоремы Райхмана о
формальном произведении тригонометрических рядов.
Докажем теорему (см. Н. К. БариШ).
Теорема 1. Всякая порция*) ядра нуль-ряда содержит порцию при-
приведенного ядра того -же ряда. Существует другой нуль-ряд, для которого
соответственно ядром и приведенным ядром будут служить именно эти
порции ядра и приведенного ядра данного нуль-ряда.
В самом деле, пусть Е и N — соответственно ядро и приведенное ядро
данного нуль-ряда. Пусть 6 — любой интервал, содержащий хоть одну точку
из Е. Пусть X (х) — периодическая функция с периодом 2тг, равная 0 вне б,
положительная на 6 и имеющая непрерывные производные до третьего
порядка включительно. Тогда ряд Фурье для Я(х) имеет коэффициенты
порядка oljp), а потому он быстро сходится. Составим формальное произве-
произведение данного нуль-ряда на ряд Фурье от X (х). Коэффициенты нуль-ряда
стремятся к нулю по теореме Кантора—Лебега (см. § 62 главы I), так как
он сходится почти всюду. Все условия теоремы о формальном произведении
выполнены. Значит, оно сходится к нулю всюду вне д и во всех точках д,
где сходится к нулю первоначальный ряд, т. е. почти всюду. Однако оно не
может всюду сходиться к нулю, так как в точках ё (Е) формальное произве-
произведение заведомо не сходится к нулю. Следовательно, это произведение есть
нуль-ряд. У него существует ядро и приведенное ядро, причем из теоремы
о формальном произведении сразу видно, что это ядро есть порция д(Е) ядра
первоначального ряда, а приведенное ядро доказывает существование пор-
порции приведенного ядра и, разумеется, с ним совпадает.
В качестве мгновенного следствия теоремы 1 получаем:
Следствие 1. Всякая порция ядра нуль-ряда есть М-множестео.
Выведем из теоремы 1 еще некоторые следствия.
Следствие 2. Если Е есть М-множествоу то можно построить
ряд, сходящийся к нулю вне Е, у которого п первых членов имеют равные нулю
коэффициенты (п — любое целое).
Для краткости будем писать тригонометрические ряды в комплекс-
комплексной форме.
Докажем сначала, что существует ряд, сходящийся к нулю вне ?, и
со свободным членом, равным нулю. Для этого возьмем две разные
порции Ь1(Е) и 62(Е) ядра нуль-ряда, построенного для Е, и составим
нуль-ряды
для которых эти порции будут ядрами. Если с^ = 0 или с{>2) — 0, то все
доказано; в противном случае строим ряд
у него не все коэффициенты нули, так как ряды F.1) расходятся в разных
точках, а потому они линейно независимы, и, однако, свободный член ряда
F.2) равен нулю. Этот ряд, очевидно, сходится к нулю вне Е.
Тем же процессом можно уничтожить коэффициенты при любом конеч-
конечном числе членов ряда.
*) Порцией S (Е) множества Е называем ту его часть, которая лежит в интервале д.

§ 6 СВОЙСТВА НУЛЬ-РЯДОВ; СУММА ЗАМКНУТЫХ [/-МНОЖЕСТВ 795
Иногда бывает полезно предложение, в некотором смысле обратное, а
именно
Следствие 3. Для всякого М-множества существует нуль-ряд с
отличным от нуля свободным членом.
В самом деле, пусть ? спе1ПХ нуль-ряд, составленный для данного мно-
множества, и с0 = 0. Пусть
и— i ~ _
Сп
я (х) = с + 2! ш е'пх <" + °в 2') ¦ (б.з)
П=—со ' '
Константу С надо выбрать так, чтобы Я {x)=j= О всюду на [0, 2тг]. Это возможно,
ибо сумма в правой части F.3) есть ограниченная функция.
Так как ряд F.3), определяющий X (х), сходится быстро, то можно при-
применить к формальному произведению данного нуль-ряда и ряда для Я(х)
теорему Райхмана. Мы получим нуль-ряд, который (в силу А(х)^О) имеет
то же ядро, как и данный, но его свободный член имеет вид
т. е.
К>0.
Этими вспомогательными предложениями иногда приходится поль-
пользоваться.
Из теоремы 1 вытекает также следующий результат*).
Теорема 2. Пусть Е — ядро 'нуль-ряда; тогда существует такое
совершенное множество Р, что Е с Р, и всякая порция д (Р) содержит
непустую порцию h(E).
Действительно, пусть N — приведенное ядро рассматриваемого ряда и
Р — множество его точек конденсации. Известно, что тогда Р должно быть
совершенным, а N—Р — не более чем счетным. Докажем сначала, что
Я с Р. Действительно, если rf —некоторый смежный кР интервал и d(E) —
определяемая им непустая порция Е, то по теореме 1 она содержит порцию
d(N), которая будет приведенным ядром некоторого нового нуль-ряда, т. е.
несчетным множеством, а N—Р не более чем счетно. Из полученного про-
противоречия вытекает, что Е с Р.
Пусть теперь д (Р)—любая порция Р. Так как всякая точка Р есть точка
конденсации для JV, то д (N) не пусто, а тогда и д(Е) не пусто. Теорема
доказана.
Основным следствием, вытекающим из теоремы 2, является следующий
результат (см, Н. К. БариШ'Ю).
Теорема 3. Сумма конечного числа или счетного множества замкну-
тых U-множеств есть U-множество.
Пусть «S = 2J Fn, гДе Рп — замкнутые [/-множества. Допустим, что суще-
существует нуль-ряд, сходящийся к нулю всюду вне «S. Пусть Е — его простое
и N — его приведенное ядро. Обозначим через Р совершенное множество,
удовлетворяющее условиям теоремы 2. Покажем, что хоть одно из Fn плотно
на некоторой порции Р. Действительно, если бы это было неверно, то S было
бы первой категории на Р, а тогда N и подавно, а это невозможно, так как N
типа Gd и всюду плотно на IP. Итак, хоть одно из Fn плотно на некоторой пор-
порции Р. Значит, существует такая порция д (Р), которая содержится целиком
в некотором Fn. Но тогда эта порция д(Р) есть [/-множество. С другой
*) Этот результат высказан в работе Н. К. Бари I1! в несколько иной форме, хотя по
существу доказано было именно то, что мы формулируем сейчас как теорему 2.

796 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
стороны, д(Р) содержит Ь(Е), а в силу следствия 1 теоремы 1 д(Е) есть
Af-множество. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Если отказаться от требования замкнутости всех слагаемых, то относи-
относительно суммы [/-множества, вообще говоря, нельзя утверждать, что она будет
[/"-множеством даже тогда, когда речь идет о двух слагаемых. Действительно,
если допустить рассмотрение неизмеримых множеств, то можно построить
такие два [/-множества, сумма которых совпадает со всем отрезком [0, 2л]*).
Если потребовать, чтобы оба слагаемых [/"-множества были измеримы, или
даже В-измеримы, то вопрос о их сумме все еще остается нерешенным.
Можно только указать один простой частный случай, а именно: сумма двух
U-множеств, из которых одно замкнуто, есть опять U-множество.
Действительно, пусть Еги Е2 — два [/"-множества, причем Ел замкнуто.
Допустим, что Е == Ех + Е2 есть Af-множество. Тогда существует тригоно-
тригонометрический ряд
2cneinx, F.4)
у которого ядро % содержится в Е. Пусть д — некоторый смежный интервал
к Еги Ь{%?) — порция %?, определяемая этим интервалом. Если бы все Ь(сэ)
были пустыми, то gT с Е{, что невозможно, так как Ег есть Z7-множество.
Если же некоторое Ь{&) непусто, то по теореме 1 существует новый нуль-ряд,
для которого д(8?) будет ядром и, значит, М-множеством. Однако ё(Е) с Еъ
и тогда Е2 содержит М-множество, что невозможно.
Отметим еще один простой случай, когда, можно высказаться о сумме
двух [/"-множеств.
Если два U-множества лежат на неперекрывающихся интервалах, то их
сумма есть U-множество.
Действительно, пусть Ег лежит на д19 а Е2 на <52; если существует нуль-
ряд, сходящийся к нулю вне Е = Ег + Е2, то его простое ядро содержится
в Е, значит, его порция <5Х (?), которая должна быть М-множеством, содер-
содержится в Е1У а это невозможно.
В общем случае даже если оба множества В-измеримы, как мы уже
говорили, вопрос о сумме двух [/-множеств остается нерешенным.
Укажем еще один важный, но нерешенный вопрос: должно ли всякое
множество не первой категории быть М-множеством? Этот вопрос до сих
пор остается открытым**).
§ 7. //-множества. Теорема Райхмана
В предыдущем параграфе мы рассматривали некоторые общие теоремы,
касающиеся U- и М-множеств. Сейчас мы имеем в виду доказать существо-
существование несчетных [/-множеств. Мы уже говорили (см. § 5), что первые ре-
результаты в этом направлении были получены одновременно и независимо
Н. К. БариМ и А. Райхманом (Rajchman^). He имея возможности излагать
здесь оба доказательства, построенные на совершенно разных идеях, мы огра-
ограничимся здесь теоремой Райхмана, так как она относится к классу Я-мно-
жеств, которые уже были рассмотрены в § 5 главы XII и в дальнейшем
будут часто встречаться.
Пусть W — множество точек 2л х для х ? Е; если Е есть //-множество,
то множество 8? будем называть Я-множеством относительно отрезка [0, 2л).
*) Мы опускаем построение этого примера как мало интересного: его можно найти
в работе Н. К. Бари I1!, § 5.
**) В 1936 г. появилась заметка Е. А. Нерсесовой [Ч, где без доказательства утверж-
утверждалось, что этот вопрос решается положительно. Однако доказательство, насколько нам
известно, опиралось на одну теорему Верблюнского, которая, как мы теперь знаем, оказа-
оказалась неверной (см. об этом в § 17).

§ 7 Я-МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА РАЙХМАНА 797
Докажем теорему Райхмана:
Теорема 1. Всякое Н-множество относительно отрезка [О, 2л] есть
U-множество *).
Чтобы доказать эту теорему, надо убедиться в том, что если ряд
П'2Л cneinx G.1)
П =—со
сходится к 0 вне If, то все сп будут равны нулю. Это эквивалентно утвержде-
утверждению, что если ряд
2 спегтпх G.2)
п=-—°°
сходится к 0 вне Е, где Е есть Н-множество на [0, 1 ], то все сп равны нулю.
Именно так Райхман и проводил первоначальное доказательство своей
теоремы **).
На основании следствия 2 теоремы 1 § б достаточно доказать, что с0 = О.
Рассмотрим ряд
П = — с»
где р любое целое, и докажем, что он сходится к нулю вне Ер, где Ер — сово-
совокупность точек (рх) для xj E.
В самом деле, если х ? Ер, то точки
не входят в Е, значит, ряд G.2) сходится к нулю в каждой такой точке, а
потому и ряд
сходится к 0 для х^Ер. Но так как
1П 1 -о,
где 6пр = 0, если п не делится на р, и 6пр = 1, если — = ш целое, то ряд G.4)
имеет вид
т= + °°
V г pi2nmx
т=—со
т. е. совпадает с рядом G.3), а это и доказывает, что ряд G.3) сходится к ну-
нулю вне Ер.
Важно заметить, что здесь свободный член с0 тот же, как и в ряде G.1).
Мы хотим доказать, что с0 = 0. Если это неверно, то можно, не нарушая
общности, считать с0 = 1, так как от умножения всех сп на одну константу
ряд G.2) не перестанет быть нуль-рядом.
*) В дальнейшем мы увидим, что это неважно, на каком отрезке строится множество,
так как подобное растяжение переводит ^/-множество снова в ^/-множество.
**) Впоследствии им было дано другое доказательство теоремы о том, что Я-мно-
жество суть ^/-множества (см. Rajchman M).

798 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Далее, не нарушая общности, можно предполагать множество Е замкну-
замкнутым. Если Е есть Я-множество, то найдется такой интервал d и такая после-
последовательность чисел пк, что для всех к — 1, 2, ... интервал d лежит в неко-
некотором смежном интервале к ЕПк (см. § 5 главы XII, рассуждение, проведенное
при доказательстве эквивалентности двух определений W-множеств).
Ряд G.2) сходится всюду вне Е, значит, сп -± 0 при п -> + оо, а потому
для любого s > 0 можно выбрать пк столь большим, что
\Стпк\<? (/72=1,2,...). G.5)
Рассмотрим ряд
V гт р2лшх (П а\
т=—а
и обозначим через Fk(x) сумму дважды обынтегрированного ряда G.6), т.е.
р /_\ л J_ ^
т=—оо
(мы предположили с0 = 1).
Так как \стПк\ < г для т = 1, 2, ..., то
fft(x)=y + T(x), G.7)
где
Но так как ряд G.6) сходится к 0 на всяком смежном к ЕПк интервале и, сле-
следовательно, на интервале d, то Fk(x) линейна на d, т. е.
Акх + Вк = ~ +т(х) на d.
Пусть d = (a, j8) и пусть
(где d обозначает и самый интервал и его длину).
Ясно, что можно найти на (a', /J') такую точку |ft, что |ffc — Ак\ > у,
так как если бы такой точки не было, то для любых двух точек хк и ук из
(а', /?') имели бы | хк — ук | <С у, а между тем
Пусть |к — такая точка, что | $к — Ак | > -|-, и пусть
хк = %к — -q > Ук — ftc + ¦§¦ •
Точки xft и ул лежат в (a, fi) = d,a потому
Акхк + Вк = Щ +г(хк),

МНОЖЕСТВА ТИПА Н*
799
значит,
Лк(хк - Ук) = (х, - Ук)
откуда в силу G.8)
г(хк) - г(ук),
Но | хк — ук | = у, поэтому
а так как | Л^ — ?к | > -^, то
We) з~
d2<3e.
т. е.
Но е как угодно мало, a rf> 0, значит, мы пришли к противоречию,
допустив с0 Ф 0. Тем самым теорема доказана.
§ 8. Множества типа Я*
Некоторое обобщение понятия множества типа Я было дано А. А. Шней-
деромШ.
Определение. Условимся говорить, что множество ?, лежащее на
[О, 1 ], есть множество типа Я*, если существует такая неограниченно возра-
возрастающая последовательность действительных чисел
и такое число rf> 0, что для всякого множества Ехк найдется интервал
длины ^> d, не содержащий точек этого множества (здесь Et — множество,
точек х, где х = (Y|), a | ? Я).
А. А. Шнейдер доказал теорему:
Теорема. Всякое множство типа Я* состоит из конечного числа
Н-множгств.
Пусть Е — множество типа Я*, a d и Хк — те числа, которые входят в
определение этих множеств. Покажем, что порция множества Е, находя-
находящаяся в каком-нибудь интервале (а, Ь) длины у, будет Я-множеством. Пусть
пк = [Хк] (квадратные скобки обозначают взятие целой части).
Рассмотрим множество Е — а, т. е. множество Я, сдвинутое на а, и пусть
& — его часть, расположенная на @, -н-). Докажем, что 0? естьЯ-множество.
Пусть к — любое натуральное. Так как If есть часть Е — а, то, очевидно,,
найдутся такие числа ак и flk, что
и все точки вида х = (Я^|), где | ? $*, лежат вне интервала (аь /?А). Рассмот-
Рассмотрим точки z вида (пк |), где снова | ? I?, и докажем, что они все лежат вне
интервала (ак, рк - ^

800 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
В самом деле, так как для I ? % имеем О^^уи пк — [Хк\ т. е
0<Ял —лл<1, то
Пусть для данного ? имеем Nk = [Хк |], тогда
h* = Nk + №); пк* = лк?- (К - пк)ё,
значит,
nfcf = Nfc + (Afcf)-~,
гдеО<б<1.
Если (Я/с|) — 0 4<°. то
(лл«=1+Di) - в±> 1» 4>л- 4 >
если же (A/t.|) —0 — ^0, то
В этом случае при (Я/с|) < аА. имеем и (пл|) < ал; если же (Ал|)> /?л, то
(**?»&-4-
Итак, мы убедились, что для любого к множество точек (пк I), где ! € У,
лежит целиком вне интервала длины у, а так как пк целые, то 9 есть Я-мно-
жество. Отсюда ясно, так как от сдвига на а ничего не изменяется, то часть
Е, попавшая на (а, Ь), есть /^-множество. Все множество Е распадается на
конечное число таких частей.
Таким образом, мы показали, что всякое Я* состоит из конечного числа
Я-множеств, расположенных ¦ на непересекающихся попарно интервалах.
Отсюда уже ясно, что Я* есть [/-множество.
Класс множеств Я* шире класса Я-множеств, как показал А. А. Шней-
дерМ, но мы не будем на этом останавливаться, так как рассмотрение Я*-мно-
жеств во всяком случае не выведет нас очень далеко: они содержатся как
часть в классе множеств Нау т. е. таких, которые состоят не более чем из
счетного множества Я-множеств. Из теоремы 3 § 6 следует, что всякое На
есть [/-множество *). Райхман думал **), что и, обратно, всякое [/-множество
есть часть множества типа На. Эта гипотеза долгое время не была никем
ни подтверждена, ни опровергнута, и лишь в 1952 г. И. И. Пятецкий-Шапиро
показал, что она неверна. Об этом мы расскажем в § 16. Здесь же мы хотим
отметить, что, пользуясь множествами типа Яа, можно построить [/-мно-
[/-множество, которое имеет мощность континуума в любом интервале на [0, 2л],
как бы мал он ни был.
Пример [/-множества, имеющего мощность конти-
континуума во всяком интервале. Возьмем отрезок [0, 2п] и поместим
на нем канторово множество. На каждом смежном интервале к нему поме-
поместим по множеству, получаемому из канторова подобным преобразованием,
превращающим интервал [0, 2л] в этот интервал; в каждом смежном интер-
*) Применять эту теорему можно потому, что всякое Я-множество содержится в
замкнутом Я-множестве (см. § 5 главы XII).
**) Об этом он высказался в письме к Н. Н. Лузину.

§ 9 ПОДОБНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ [/-МНОЖЕСТВ 801
вале к вновь полученному множеству совершаем такую же операцию, и так
до бесконечности. Так как каждое из множеств, которое мы получаем из кан-
торова указанным способом, тождественно некоторой части канторова мно-
множества, то оно типа Н, а значит результат сложения всех этих множеств есть
множество типа На, и, следовательно, [/-множество, в то же время оно имеет
мощность континуума в любом как угодно малом интервале на [0, 2тг].
§ 9. Подобное преобразование U-множеств
Пусть Е — некоторое множество, лежащее на [0, 2п] и 0> 0. Обозначим
через Ее множество точек в х для х ? Е.
Возникает вопрос, должно ли Ев быть U-множеством, если Е есть [/-мно-
[/-множество.
Ответ на этот вопрос дается следующей теоремой Зигмунда и Марцин-
кевича (Marcinkiewicz and Zygmund Щ.
Теорема 1. Если Е есть U-множество на 0 <^ х <; 2п и Ев — мно-
множество точек 0 х для х ? Е, то в случае, когда EQ лежит на [О, 2л] (например,
заведомо при 0 <# < 1), это множество снова будет U-множеством.
Этот интересный результат может быть получен мгновенно, если только
опираться на тесную связь между проблемой единственности в теории три-
тригонометрических рядов и в теории тригонометрических интегралов, ранее
установленную Зигмундом (Zygmund W).
Рассмотрим тригонометрический интеграл
Jcseisxds, c.s = ca, (9.1)
— оо
со
где интеграл понимается как lim J.
Вводится дополнительное требование
lin/f \cs\ds = O. (9.2)
[Л->ОО ft
Множество Е назовем U-множеством для тригонометрических интегра-
интегралов, если из того, что интеграл (9.1) при условии (9.2) сходится к нулю для
всех х вне Е, следует, что cs = 0 для почти всех 5. Множество Е здесь лежит
на (— ©о, + оо).
Зигмунд доказал следующее предложение, доказательство которого мы
вынуждены опустить за недостатком места *).
Теорема 2. Всякое U-множество для тригонометрических рядов есть
U-множество для тригонометрических интегралов, и наоборот.
Вторую половину этого утверждения надо понимать в том смысле, что
каждый кусок множества ?, лежащий в интервале длины <^2тг, будет [/-мно-
[/-множеством для тригонометрических рядов.
Из этого результата сразу вытекает теорема Зигмунда и Марцинкевича.
В самом деле, если бы Ев было М-множеством для тригонометрических
рядов, то оно было бы М-множеством для тригонометрических интегралов,
т. е. нашелся бы интеграл
У у (и) eixa du ,
*) Для доказательства этого предложения Зигмунду пришлось целый ряд класси-
классических теорем, а также теоремы Райхмана о формальном произведении, переносить со
случая тригонометрических рядов на тригонометрические интегралы.

802 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
сходящийся к 0 для всех х вне Ев без того, чтобы у (и) было равно нулю
почти всюду.
Положим х= ?0; тогда
+ 00
J у (и) ешэ du
сходится к 0 для всех ? вне Е; полагая
видим, что
J y*(u)eiSa du
сходится к 0 для всех | вне ?, хотя у* (и) ф 0, следовательно, Е есть Atf-мно-
жество для тригонометрических интегралов, а стало быть, и для тригоно-
тригонометрических рядов. Мы пришли к противоречию.
Отметим, что, так как здесь доказательство проведено со ссылкой на
теорию тригонометрических интегралов, мы считаем целесообразным про-
провести доказательство полностью для одного простейшего случая, которым в
дальнейшем будем часто пользоваться, а именно для случая Я-множеств.
Докажем здесь теорему:
Теорема 3. Пусть Нв лежит на [О, 1 ] и является множеством точек
t — в х, где х принадлежит Н-множеству. Тогда Н6 есть либо Н-множество,
либо сумма конечного числа Н-множеств.
Эта теорема была доказана Н. К. Бари И (до появления работы Зигмунда
и Марциккевича, которую мы только что упоминали). Доказательство было
очень просто, однако теперь, после того как уже введено понятие множеств
типа Я*, его можно провести совсем в два слова.
Действительно, если Е есть множество типа Я, то для него существует
последовательность п19 и2, ..., пк, ... и интервал d такие, что (пкх) ? d при
к = 1, 2, ... и любом х $ Е. Если положить ^= у,топоследовательность
К> hi • • • > К и интервал dтаковы, что для точек t — хв, принадлежащих Е8^
имеем (Ал /) = (у 0 к J = (nkx) g d. Значит, Ев есть множество Я*, а тогда
мы возвращаемся к теореме § 8 *).
§ 10. Преобразование [/-множества е М-множество
Мы видели в § 9, что подобное преобразование всякого [/-множества есть
опять [/-множество. Возникает вопрос, нельзя ли несколько обобщить этот
результат, а именно указать те монотонные функции у — <р (х), которые пере-
переводят отрезок [—щ п] в самого себя, превращают всякое [/-множество снова
в [/-множество. Разумеется, от таких функций ^(х) естественно требовать,
чтобы они имели всюду конечную и отличную от нуля производную, так как
в противном случае тривиально построить пример [/-множества, превращаю-
превращающегося в М-множество.
Однако Салем (Salem Щ доказал, что уже такая простая функция, как
-|-[3 х +-^ х2 sign х] ,
*) А. А. Шнейдер показал, что и обратно, всякое Я* есть результат подобного преоб-
преобразования некоторого Н, но этот факт нам не понадобится.

§ 11 КРИТЕРИЙ ЛЛЯ СОВЕРШЕННЫХ М-МНОЖЕСТВ 803
переводящая отрезок [—л, л] в самого себя, монотонная, непрерывная и
имеющая производную, которая заключена между двумя положительными
константами на [—л, л], может, тем не менее, превратить [/-множество в
М-множество.
За недостатком места мы не даем здесь доказательства этого предложения
и отсылаем читателя к его работе или же к статье Н. К. Бари^, § 13.
§ 11. Критерий для совершенных М-множеств
Выше мы отметили некоторые нерешенные проблемы, касающиеся незам-
незамкнутых [/-множеств. Правда, вопрос о том, когда замкнутое и, в частности,
совершенное множество будет U- и когда М-множеством, также еще далек
от разрешения, но здесь можно указать общий метод, которым пользуются в
целом ряде работ при решении в том или ином частном предположении
вопроса о принадлежности множества к классу U- или к классу М-множеств.
Докажем такую теорему:
Теорема. Для того чтобы совершенное множество Р было М-мно-
М-множеством, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция F(x),
обладающая свойствами:
а) F (х) постоянна на каждом смежном к Р интервале, но не на всем
отрезке [О, 2л],
б) F (х) = Ах + В + Ф (х), где Ф (х) имеет коэффициенты Фурье порядка
о (—) (здесь А может быть отлично от нуля или А = 0).
Условие необходимо. Действительно, пусть Р — совершенное
М-множество, дп (п = 1,2, ...) его смежные интервалы. Следовательно,
существует тригонометрический ряд
fcnenx, c-n = cn, A1,1)
— 00
сходящийся к нулю на каждом дп и с отличными от нуля коэффициентами.
Ясно, что сп -> 0 при п -> + оо, так как ряд сходится почти всюду.
Обынтегрируем формально ряд (ИЛ); получим
Г -1- г Г "V 7 — Pinx /-11 О\
П— — со
(в сумме 2' пропущен член, где п = 0).
Ряд в правой части A1.2) должен сходиться почти всюду, так как его
коэффициенты имеют вид о I — ]. Пусть
Тогда F(x) определена почти всюду. Ясно, что F(x) постоянна на каждом ёп,
так как почленное интегрирование ряда, сходящегося на интервале к непре-
непрерывной функции, законно (см. § 3). Вместе с тем F (х) не константа, так как
иначе бы все сп были равны нулю. Наконец, полагая
ф(х) = -П~^ i~einx,
видим, что F (х) имеет коэффициенты Фурье порядка о | —) и

804 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Итак, необходимость доказана.
Условие достаточно. Допустим, что для некоторого совер-
совершенного множества Р удалось построить функцию F(x), удовлетворяющую
условиям а) и б). Так как
F(x) = Ах + В + Ф(х),
где Ф (х) имеет коэффициенты Фурье порядка о (—1, то ряд а (Ф) почти всюду
сходится и мы можем написать
F (х) = Ах + В' + П~2Т 2? einx, A1.3)
где уп = 0A), а В' — некоторая новая константа. Если мы продифференци-
продифференцируем формально ряд (П.З), то получим ряд
А + Г^°упе1пх A1.4)
с коэффициентами, стремящимися к нулю. Результат двукратного интегри-
интегрирования ряда A1.4), т. е. результат интегрирования A1.3), будет ряд, сходя-
сходящийся равномерно к некоторой функции Ф (х) (функции Римана для ряда
A1.4)). Ясно, что W (х) линейна на каждом дп, поскольку F (х) постоянна на
нем. Поэтому DW (х) — 0 на каждом дю т. е. A1.4) суммируется к нулю, а зна-
значит, и сходится к нулю на дп (см. § 71 главы I). Итак, A1.4) сходится к нулю
всюду вне Р.
Если бы А = О и все уп = 0, то F (х) была бы константа, вопреки нашей
гипотезе. Значит, у ряда A1.4) не все коэффициенты равны нулю. Итак, Р
есть М-множество, и теорема доказана.
§ 12. Пример Меньшова
Мы сейчас воспользуемся теоремой § 11, чтобы построить некоторый
класс совершенных М-множеств; в частности этот класс содержит уже не
раз упоминавшееся множество Меньшова — первое из известных в науке
М-множеств меры нуль.
Пусть ?ш> 0 и lim sm =0. Рассмотрим совершенное множество Р,
которое получается следующим процессом: из сегмента q{0) = [0, 2л] удаляем
концентрический с ним интервал длины д{0)ег; из двух оставшихся сегментов
длины да) удалим по концентрическому интервалу длины да)е2. При /л-й
операции удалим из каждого из 2т~Л оставшихся сегментов длины Qm~'l)
по концентрическому интервалу длины Q{m~1)em и т. д. Продолжая таким
образом, получим совершенное множество Р. Ясно, что если Rm есть система
сегментов, оставшихся после т первых операций, то
mRm - 2л A - ех)A - е2) ... A - ет), A2.1)
00
а потому при 2J ет = + °° имеем mRm ->0, т. е. тР = 0. Д. Е. Меньшов М
771 = 1
рассматривал случай
8т ^ /72+ 1
и доказал, что полученное совершенное множество меры нуль есть М-мно
жество. Этот результат остается в силе для любых
8т , О <С ?т <С 1 И 8т —>¦ 0 ПрИ /72 —>¦ оо .

§12
ПРИМЕР МЕНЬШОВА
805
Наше утверждение станет тривиальным, если 2 ет < °°>так как тогда,
m=l
как видно из A2.1), будем иметь тР^> О, а мы уже знаем, что множество
положительной меры есть М-множество. Поэтому в дальнейшем будем пред-
со
полагать 2J 8т = + °°> а тогда mRm -> 0 при т -> «э.
Рис.
Пусть Sm — система из 2т — 1 интервалов, удаленных при первых т
операциях. Перенумеруем их слева направо
д1У <52, ..., Затв1.
Пусть Fm (x) — непрерывная функция, определяемая условиями
2т-1
для
для
(I =¦ 1 2
и
Fm(x) интерполируется линейно вне Sm.
Ясно, что Fm (x) есть ломаная линия; график ее изображен на
рис. 46 для случая ет = —— .
Ги —{- 1
Из определения сразу же вытекает, что
(рис. 47)
Г Fm+x(x) = Fm(x) на Sm,
^ \ * т + Х\Х) Г т \Х) I ^. 2f
2
4° F^(x) - ±
вне
причем знак + имеем при х << л и знак —
при х> л.
Если обозначить через rjm наибольшее из чи- Рис. 47
селек для к = /л + 1, т + 2,..., то из 2° следует,
что последовательность Fm (x) сходится равномерно к непрерывной функ-
функции F (х), причем
). A2.2)

806 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Ясно, что F (х) постоянна на каждом смежном к Р интервале, но не всюду
на [0, 2л].
Покажем, что ее коэффициенты Фурье имеют порядок о {-—}. Этим будет
доказано, что Р есть М-множество (см. теорему § 11).
Пусть и — любое целое. Возьмем число т так, чтобы
2Ш-Х 2Ш
У^> Rm-i ^П < Ь^ Ш Rm '
Это всегда возможно и притом единственным образом, ибо rjm монотонно убы-
2Ш
вает, а —=г- монотонно стремится к бесконечности, поскольку mRm ф 0;
ясно, что при п -> со будем иметь иш->оо,
Рассмотрим
с
= п J [F (x)-Fm (x)] e-'«* dx + n f Fm (x) tr*" dx^^ + I,. A2.4)
0 0
Так как F(x) = Fm(x) на Sm (см. Г), то из A2.2) и A2.3) следует
Следовательно, 1г -> 0 при п ->°°у так как ^т ->0.
Интеграл /2 мы проинтегрируем по частям, и так как Fm @) = Fm Bл)=0у
то получим
/а=-? \F'm(x)e-inxdx.
о
Но F^ (x) = 0 вне Rm значит,
I2 = i$F'm(x)e-inxdx.
Rm
На каждом из сегментов системы Rm имеем (см. 4°)
кроме того,
ь
2
~ для любых а и Ь;
a
поэтому, так как число сегментов системы Rm равно 2т, мы имеем (в силу
A2.3)) __
I / I ^ ^ 2 от ^.2 2 \r\m-\ rnRm-i от .
1 i2 ' ^ mRm n Z ^ т7?т г^-1 Z ~~ 1 -ет '
так как ш/?т = A — ет) mRm_1 по построению множества Р. Раз rjm и ?т
стремятся к 0 при т -> оо? то /2 -> 0, и теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорема может быть получена, как след-
следствие из теоремы § 13; однако, так как доказательство этой последней много
длиннее и сложнее, мы предпочли дать простое доказательство для данного
конкретного класса множеств, тем более, что такие множества будут еще
встречаться дальше (см. § 19).

§ 13 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЛЛЯ М-МНОЖЕСТВ 807
§ 13. Достаточные условия для М-множеств
Мы видели в § 12, что если процесс построения совершенного множества
ведется таким образом, чтобы в каждом его шаге все оставшиеся сегменты
были равны между собой, а отношение длины выбрасываемого интервала к
длине сегмента, из которого он выбрасывается, стремилось к нулю вместе
с номером т шага процесса, то получается М-множество. Н. К. Бари поста-
поставила вопрос, не остается ли теорема в силе, если совершенно избавиться от
требования равенства длин сегментов каждого шага и сохранить лишь тре-
требование, касающееся стремления к нулю отношения длины интервала, кото-
который выбрасывается, к длине сегмента, из которого он выброшен.
Однако ей не удалось провести доказательство во всей общности и она
наложила некоторое ограничение на взаимоотношение длин оставшихся
после выбрасывания сегментов.
Чтобы сформулировать результат Н. К. Бари и дальнейшие теоремы,
полученные в этом направлении, условимся в обозначениях.
Будем строить совершенное множество Р так.
Из отрезка [0, 2ж] выбрасываем интервал др; из двух оставшихся сег-
сегментов ^11) и ^21} выбрасываем по интервалу 8f} и 6f и т. д. Из 2т~1 сег-
сегментов Qi{n~~1\ Q{21~1\ ..., ?B™-Ч выбрасываем соответственно интервалы
д{{п\ д^\ . . . й^-i, остающиеся сегменты называем q^\ йт), ..., eg2}.
Продолжая этот процесс неограниченно, получаем совершенное множество Р.
Положим
ет= sup J^r A3.1)
= supeA. A3.2)
В § 12 был рассмотрен случай, когда ет->0 (а значит, и *?т->0), но все
$т) (i = l9 2, ..., 2т) равны между собой. Тогда получилось М-множество.
Из двух сегментов (т -f 1)-го шага процесса, лежащих в некотором сег-
сегменте ш-го шага, пусть ^т), мы обозначим через ^т+1) тот, который больше
и через т/^^тот, который меньше *).
В работе Н. К. Бари № было доказано, что если
вт= sup -fr и вт<С (/л =1,2, . .),
где С — постоянно и, кроме того, гт -> 0, то снова получается М-множество.
Верблюнский (Verblunsky M), стремясь избавиться от ограничения, нало-
наложенного на 6т, доказывал, что теорема сохраняет силу при единственном
условии sm ->0. Нов 1952 г.СивиномиКрестенсоном(С1у1папс! Krestenson W)
была обнаружена ошибка в доказательстве Верблюнского. Они, однако, не
смогли решить вопроса о том, падает ли только доказательство, или же и
сама теорема. И. И. Пятецкий-Шапиро W построил пример, показывающий,
что и сама теорема в столь общей формулировке неверна (см. об этом в § 17).
Сивин и Крестенсон в вышеупомянутой работе ввели следующие
условия:
{^) (А)
В этих условиях они утверждали, что снова получится М-множество.
*) Если они равны, то а<.т-¦1}, например, левый, а т[/" Х) правый.

808 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Мы проведем здесь доказательство этого результата, несколько упрощая
рассуждение Сивина и Крестенсона.
Итак, докажем теорему:
Теорема. Если совершенное множество Р, построенное указанным
выше процессом, удовлетворяет условиям (А), то оно М-множество.
Для доказательства, прежде всего, заметим, что, не нарушая общности^
можно числа вт предполагать монотонно возрастающими.
В самом деле, пусть
тогда
(т) "^ "т \L l у ^i • • • у ^ /у
и если мы докажем, что вт — о (—), то старые условия можно заменить
новыми, где {6т} — уже монотонная последовательность.
Мы имеем два случая: 1) 6т ограничены в своей совокупности и 2) суще-
существует последовательность 0mi, 0т2, ..., 0mt9 ... такая, что
^<^2<...<^<...; Ит вт = + сх,.
В первом случае из ^т->0 и вт <С (т = 1,2, ...) сразу следует
0цДт -^ 0, т. е. вт = о [—]. Во втором случае, обозначая через fim то из чисел
61У 62У ..., 6т, которое равно 6т (или последнее из них, если их несколько)^
видим, что (im -> со при ш -> оо? а тогда из (А)
ит Чт — иИт Чт — ~Чт у
где ак -> 0 при к -> «э. Но ^^ ^ ^т и а№п -> 0, ибо /гт ~> ^о, а потому
втЧи-^0, т.е. ёт =
а это и требовалось доказать.
Построим теперь функцию F(x) непрерывную, постоянную на смежных
к Р интервалах и такую, что
In = n J F (x) e'"* rfx -> 0 при /2 -> оо .
Отсюда и будет следовать, что Р есть М-множество.
Сначала поетроим последовательность непрерывных периодических
функций Fm(x) так: пусть
Fl@) = F1Bn) = 0; Fx(x) = 1 на д™,
Fx(x) линейна на й1} и й15.
Допустим, что Fx(x), ..., Fm(x) уже построены и притом так, что Fm(x)
постоянна на всех интервалах системы Sm, где
fc= 1 1=1
и Fm(x) интерполируется линейно на каждом ^т) 0 = 1, 2, ..., 2Ш).

§13
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ М-МНОЖЕСТВ
809
Пусть Rm =
2J
". Мы определим Fm+1(x) так:
:) = Fm(x) на Sm.
Имеем qW = of+*> + дф+х> + r<["+1).
Полагаем, требуя, чтобы Fm+1(x) была непрерывна,
р х /хч_[^т(х) на
(const на
Fm+1(x) интерполируется линейно на rjm+1). Тогда Fm+1 (x) полностью опре-
определена.
Обозначим через А^ прираще-
приращение Fm (x) на e(fm) и через ^?+1) при-
приращение Fm+1 (х)на т[т+1). Тогда по
построению (рис. 48)
1
T^ П0ЭТ0МУ
A3.3)
если только т0 выбрано так, что
Для т > т0.
Для заданного т каждая точка х принадлежит либо Sm, либо Rm. Если
х € Sm, то
)F) )
Если x?Rm, то х ? $"" для некоторого г. Если х ? ojm+1), то Fm+1 (x)
— Fm (х) = 0, если же х ? т<т+1> или х ? $m+J), to
;Fm+1(x)-Fm(x)] =
A3.4)
Каждая точка х $ P принадлежит некоторой бесконечной последователь-
последовательности g{0) d e(? D ... ~D q{™ ~D ..., где числа /m определяются этим х.
Каждая точка х из СР принадлежит конечной последовательности
Если
г^^ или х
Пусть т ^>
есть остаток ряда
Тогда
й»^, то либо х $ айЛ и тогда Fm+1 (x) — Fm (x) =0, либо
, и тогда мы будем пользоваться неравенством A3.4).
q=m
2"
\F,+1(x)-Fq(pc)\= 2"
A3.5)
A3.6)
A3.7)

810 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
где знак ' означает, что в сумме выкинуты те члены, которые равны нулю;
такие будут, когда х попадает либо в некоторый смежный интервал к Р,
либо в такой сегмент, где Fq+I(x) = Fq(x). Мы уже видели, что каждый раз,
как этого равенства нет, можно применять формулу A3.4). Поэтому из A3.4)
и A3.2) имеем
|rm(x)|<i?m+ii \A%\, A3.8)
q=m
причем, если для некоторого значения q член А% в этой сумме не последний,
то следующий за ним член А?+* ($^> 1) появился от рассмотрения некоторого
QQiq+ss, который во всяком случае содержится в д?+г, а этот последний есть
т^+1 (иначе мы бы имели Fq+1(x) — Fq(x) = 0 и член л% в формуле A3.8)
должен был бы отсутствовать).
Но если так, то по формуле A3.3) имеем заведомо
так как q^m7 а т^> т0. Значит, для m ^> т0
*Z\. 03.9)
q=0
Отсюда следует, что ряд A3.6) равномерно сходится к некоторой F(x) непре-
непрерывной, постоянной на смежных к Р интервалах, и притом
\F(x)-Fm(x)\<4rim+l\AT.} на е?>. A3.10)
Мы будем доказывать, что если
1п = п | F (х) e~inx dx,
о
то /„ -> 0 при п -> + оо, Отсюда и будет следовать, что Р есть Л1-множество.
Пусть п задано. Для каждой точки х $ Р найдем такое к = к(х, пO что
где д$ — последовательность сегментов, определяющих точку х. Это к опре-
определено единственным образом, так как — монотонно возрастает и--^ тоже.
Vk Gil
Ясно, что для всех точек х $ Р, принадлежащих одному и тому же д%\ число
к(х, п) одно и то же.
Определим систему Vn, составленную из сегментов так: сегмент qf^
отнесем к этой системе, если для него выполнено неравенство A3.11).
Из определения видно, что тот сегмент д{/^, который содержит q$,
входящий в Vn, заведомо не может войти в Vjf. Система Vn состоит из конеч-
конечного числа сегментов, неперекрывающихся и целиком покрывающих Р.
В самом деле, во-первых, всякое х ? Р непременно войдет в некоторый gjjjf,
принадлежащий Vnj ибо числа-тту /-^ монотонно растут до бесконечности
и, во-вторых, никакой сегмент, вошедший в Vn, не может содержать сег-
сегмента более высокого ранга, который входит в эту же систему Vn.
Заметим еще, что если через Сп обозначим наименьшее из чисел к, для
которых o-f ? VflJ то Сп -> °° при п —> со? так как если бы нашелся такой

§13 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ М-МНОЖЕСТВ 811
qf\ для которого для бесконечного множества значений п было бы верно
к i/бГ 1
A3.11), то это означало бы, что q&> < и -^ — (у = 1, 2, ..), что при nv -> °о
становится невозможным.
Для дальнейшего введем новую последовательность функций, фп(х)>
определяемых так:
(Fk(x), если Qf^Vn,
Vn(x) = \
[ F(x), если x?CVn.
Имеем
In = л /"[F (x) - 9>л (х)] «H"* dx + п f9n (х) г-*™ dx - /; + Гп. A3.12)
о о
Далее
/п = л J [F (х)-уп(эс)] ^даЛ = л ^ J [F (x) - Fft(x)] erb*dx,
Vn Vn eg>
где ^ означает сумму, распространенную на все те q(?, которые принадле-
принадлежи
жат Vn.
Поэтому на основании A3.10)
Но на основании A3.11) отсюда
Так как Ул состоит из неперекрывающихся сегментов, целиком покрываю-
покрывающих Р, то сумма приращений F(x) на них равна ее полному изменению на
[О, 2п\ т. е. равна 2, а потому
Мы видели, что ?п -> оо при п -> °о и Qkr\k -> 0 при к -> °о в силу
условия теоремы, согласно которому 0/с = о [ — j; отсюда вытекает
lim /; = 0. A3.13)
Далее имеем, интегрируя по частям,
1 f 1 Д(к) г
1п= + т J <Pn(x)e~*«dx= + т2ф J e-^dx,
Qilc
откуда
Но на основании A3.11) это дает
A3.14)

812 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Так как ^ = с%+1) + dfh+1) + rfh+1) и, кроме того,
то
0ТКУДа Qb ^ 2 л
-^g-<T~^^<3^, A3.15)
если только /с достаточно велико (ибо г\к ->0). Поэтому из A3.14) и A3.15)
получаем
V k^C
но последнее выражение стремится к нулю при п -> оо? так как Сп -> °°, а
0ft*7fc -^0 при к -> со. Это и заканчивает доказательство теоремы.
§ 14. Достаточные условия для замкнутых 17-множеств
В предыдущем параграфе мы указали некоторые условия, достаточные
для того, чтобы замкнутое множество было М-множеством. Здесь мы зай-
займемся аналогичным вопросом для [/-множеств. Это позволит нам, в част-
частности, судить о том, насколько необходимы те ограничения, которые были
введены в теореме предыдущего параграфа.
Прежде всего мы докажем одну лемму, касающуюся формальных про-
произведений (Rajchman M).
Лемма Р а й х м а н а. Пусть
П=+оо
у с pinx
П——оо
есть тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися к
и пусть
есть последовательность функций, для которых
П = + оо
1) 2J lanp)l < А) где А — абсолютная константа,
П=—оо
2) lima<P> = ao=?O,
р-*оо
3) limc#> = 0 при пфО.
Тогда, обозначая через
формальное произведение рядов 2J Cneinx u 2 ^ein%, имеем
^) = aoCn (л = 0,±1,±2, ...)•

§ 14 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАМКНУТЫХ [/-МНОЖЕСТВ 813
Доказательство. Положим ет = max |с„|. Пусть п фиксировано.
\п\^т
Берем N> \n\ и напишем
S = —со S = —N —oo JV+1
Член о1! содержит лишь конечное число слагаемых; все эти слагаемые,
кроме о^сП9 стремятся к 0 при р -> ^? значит,
lim о^ = а0 сп .
Для 5, заключенного между —°о и —N—1, имеем и — s> п + N
и тогда очевидно |сл._5| <^ ?п+ы, откуда
Для s> N, поскольку мы взяли N>|n|, имеем !п — s| = 5 — /?>N — п и
I Cn-s ^C sN-n >
а потому
Оставляя п постоянным и устремляя N к + °°, мы видим, что разность
№-аосп
при достаточно больших р и N может быть сделана как угодно малой, т. е.
lim 4Р) = ао Сп у
а это и требовалось доказать.
Из доказанной леммы выведем следующую теорему *):
Теорема. Для того чтобы множество Е было U-множеством, доста-
достаточно, чтобы существовала последовательность функций
tp{*)= 1°°4Р)^, A4Л)
П = — оо
удовлетворяющая условиям
1) /р(х) = О для х?Е (р=1,2,...),
2) ряд Фурье для fp (x) быстро сходится
3) существует константа А, для которой
П~2°\<&>\<А (р=1,2, ...),
4) lim atf) = O для п ф 0 и lim с#> = а0 ф 0.
P-VCO
устим, что при выпо
во, т. е. существует
2спе(пх, 14.2)
PVCO PVCO
Доказательство. Допустим, что при выполнении условий 1) —4)
множество Е не есть [/-множество, т. е. существует нуль-ряд
сходящийся к нулю вне Е.
*) В неявном виде этой теоремой уже пользовался А. Райхман; явно ее сформулиро-
сформулировал И. И. Пятецкий-Шапиро (см. [23, а также t3i).

814 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Рассмотрим формальное произведение ряда A4.2) на ряд A4.1); пусть
это будет
ф* A4.3)
В силу только что доказанной леммы имеем
Птс^ = спа0 (л = 0,±1,...). A4.4)
Но ряд A4.3) должен сходиться к 0 на Е, потому что fp(x) = 0 на Е и должен
сходиться к нулю на каждом смежном к Е интервале, потому что там ряд
A4.2) сходится к нулю.
Итак, A4.3) сходится к нулю всюду; но тогда
и это верно при всяком р. Отсюда, пользуясь формулой A4.4) и тем, что
а0 =j= О, заключаем
и, значит, A4.2) вовсе не был нуль-рядом.
Теорема доказана.
Теперь мы приведем без доказательства несколько теорем И. И. Пятец-
кого-Шапиро, дающих достаточные условия для того, чтобы замкнутое мно-
множество было [/-множеством.
Определение. Множество Е назовем элементарным U-множест-
U-множеством, если существует последовательность функций, удовлетворяющих всем
условиям предыдущей теоремы, или те*эд же условиям 1), 3) и 4) и одному из
условий 2') или 2"):
2') каждая fn (х) абсолютно непрерывна и ее производная f'n (x) ? LPn
(Рп> 1),
2") fn (х) = О на некотором открытом множестве Еп, содержащем Е.
Можно доказать, что при замене условия 2) на 2') или 2") рассматри-
рассматриваемое множество все еще будет [/-множеством *).
И. И. Пятецкий-Шапиро доказал также (см. i3j, теорема III), что
Всякое замкнутое U-множество представило в виде суммы конечного
числа или счетного множества элементарных U-множеств.
§ 15. Множества типа H{s)
Предыдущие теоремы хотя и очень интересны, но носят все же вспомо-
вспомогательный характер, так как в них ничего не говорится о структуре рас-
рассматриваемого замкнутого множества Е. Мы сейчас укажем достаточные
условия, выраженные в структурных терминах, где упомянутые выше тео-
теоремы будут применены в ходе доказательств.
И. И. Пятецкий-Шапиро W ввел понятие множеств типа /f(s), обобщаю-
обобщающее понятие Я-множества.
Прежде всего условимся в терминологии. Последовательности
*) И. И. Пятецкий-Шапиро поставил вопрос, не будет ли Е снова ([/-множеством,
если мы предположим, что функции fp(x) удовлетворяют только условиям 1), 3) и 4).
Этот вопрос остается нерешенным.

§ 15 МНОЖЕСТВА ТИПА Н<s> 815
составленные из целых чисел, мы назовем независимыми, если для любого
S
вектора (х,, х2, ..., xs) с целочисленными координатами х^ и с ^ х- > О
имеем
lim | прх + 42>х + + n[s)xs |
lim | прхх + 42>ха + ... + n[s)xs
Определение. Множество Ее. [О, 1 ] называется множеством
типа H(s), если найдется 5 независимых последовательностей {nf},
{nf}, ..., {nf} и параллелепипед А9 лежащий в единичном кубе
5-мерного евклидова пространства такой, что
М> х), (гф х), . .., (п$х)}?А (к = 1, 2, ...)
для любого х € ?.
Ясно, что при 5=1 множество типа #(s) становится обычным множеством
типа Н.
Если ? есть множество точек вида 2л х, где х ? IT, a IT — множество
типа /fs), то мы будем говорить, что Е есть множество типа H{s) относи-
относительно отрезка [О, 2я].
И. И. Пятецкий-Шапиро доказал теорему:
Теорема. Всякое множество типа H{s) относительно отрезка [0, 2ж]
есть U-множество.
Как и при доказательстве теоремы о том, что Я-множества относительно
отрезка [0, 2п] являются [/-множествами (см. § 7), мы будем для упрощения
формул рассматривать все на отрезке [0, 1 ], но писать тригонометрические
ряды в виде
"'** спё*Ыпх. A5.1)
2
Разумеется, теорема § 14 сохраняет силу, если рассматриваются мно-
множества на [О, 1], но ряды для функцийfp(x) пишутся уже в форме A5.1);
на это мы и будем дальше опираться.
Раз IT есть множество типа /fs), то найдутся последовательности п$
(I = 1, 2, ..., 5; к = 1, 2, ...) и параллелепипед А, входящие в определение
H(S\ т. е. такие, что для любого х^Ш при всяком к выполнено одно из усло-
условий:
A5.2)
где/fx, J2, ...,/fs — те интервалы, из которых строится s-мерный паралле-
параллелепипед.
Пусть (pi(x) (I = 1, 2, ..., s) — функция с периодом, равным 1, и удо-
удовлетворяющая условиям
1° (pi(x) = Q вне Аи
2° V; (х) > 0 на А,,
3° \
О
4° ряд Фурье для ^ (х) быстро сходится.

816 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Положим
U (*) = <Рг №* X)] Vt [{nf X)] ... <ps [(пфх)] .
Ясно, что
/р(х) = 0 на & (Р = 1,2, ...),
так как для любой точки х ? % при всяком р имеем выполненным хотя бы
одно из условий A5.2), а потому хотя бы одно из выражений <рг [(nfx)] ока-
окажется равным нулю в этой точке, а значит, и fp (x) тоже будет равно нулю.
Изучим теперь коэффициенты разложения fp (x) в ряд Фурье. Пусть
/pW=rt"i°°4p)^>7X. A5.3)
/2 — — со
Для каждой из функций <^(х) имеем, в силу того, что она периодическая
€ периодом 1
Поэтому, если
т==+оо
т = — оо
<pl[(nfx)\= 2 Pfle™™®*. A5.4)
/П = — оо
Для получения ряда A5.3) надо перемножить ряды A5.4) при
7=1,2,..., 5. Так как все эти ряды быстро сходящиеся, то, как легко
видеть, это же будет верно для ряда A5.3); значит, функции fp(x) удов-
удовлетворяют условию 2) теоремы § 14. Далее, ясно, что
7<р)
m = + oo m=4-oo m = + oo
^ Zi I Pm I ^ I Pm I • • • Zj I Pm Ь
m= — оо m = — oo m = — oo
т. е. и условие З) выполнено.
Остается доказать, что и 4) выполнено. С этой целью возьмем такое по-
постоянное С, что
У I /?<z> <- Г A — ] ? ^
lj ! Pm \ ^ V — 1, *?,..., о^/ .
2
Пусть е> 0. В каждом из рядов A5.4) возьмем к членов, где к столь велико,
чтобы
; -19 S1
и обозначим
к
у
т= —А:
Тогда
/р()
причем \Tf(x)\ <С при любых I = 1, 2, ..., s и р = 1, 2, ..., а
!>f(*)l<2^ (/ = 1,2, ...,s; p= 1,2, ...),
откуда
/„ (х) = Я Гр (х) + gp (х) = Тр (х) + ер (х),

§ 15 МНОЖЕСТВА ТИПА Н(s) 817
где qp (х) состоит из 2s — 1 слагаемых, каждое из них есть произведение 5
сомножителей и по крайней мере один из них по модулю меньше ^^i ,
а все остальные по модулю не больше С, значит, каждое слагаемое по модулю
не больше -^ , откуда
Итак,
\fp(x)-Tp(x)\<e. A5.5)
Заметим теперь, что произведение
Тр(х)= JI1f(x) A5.6)
есть тригонометрический полином, у которого коэффициенты могут быть
отличны от нуля лишь тогда, когда они стоят множителями при
P2ni (mx n$ + m2
где тъ т2, ..., ms — любые целые.
Но последовательности пар независимы, т. е. для любых т19 т2У ..., ms
будем иметь
Щ пф + ... + ms nps) | -> ©о при р -> оо ,
если только т\-\- ш| + • • • + ш| > 0. Отсюда следует, что выражение
minp} + ... + щп{р может равняться нулю лишь при тх = т2 — ...
. .. = ms = 0, т. е. у полинома Тр (х), если только р достаточно велико, сво-
свободный член есть просто произведение свободных членов полиномов Тар\х)
при I = 1, 2, ..., s, а так как они все равны 1, в силу условия 3° для функ-
функций <рх (х), то при достаточно большом р
STp(x)dx=l.
о
Отсюда и из A5.5) следует, что
\lip(x)dx-\\<e
о
при р достаточно большом, а так как е как угодно мало и
lim а^> = 1,
jE7-*oo
то и вторая часть условия 4° для функций fp(x) выполнена.
Теперь докажем, что а^ -> 0 при р -> оо, если n=f=O. Для этого заме-
заметим, что
1
i i
= I [/p (x) - Тр (х)] e-»« rfx + J Тр (х) e-»« dx. A5.7)
о о
Но в силу A5.5) первый интеграл по модулю меньше е, а под знаком второго
интеграла стоит тригонометрический полином, у которого при достаточно
большом р не будет свободного члена.

818 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Действительно, мы видели, что при достаточно большом р полином
Тр (х) имеет вид
Тр(х) = 1 + 2 yyg2»f(mxnS?+...+m^iPfc)>
где yi — какие-то константы; поэтому
Т (x)e~2jlinx = е~2л(пх + 2J у-е2п1(тгП*)+'-'+тп*п*)~-пК A5.8)
Число членов полинома Тр(х) не зависит от р: поэтому, каковы бы ни
были ml9 m2, ..., ms, входящие в формулу A5.8), имеем при р -> оо
Щ П^ + • • + Щ Пр | -> оо ,
а потому, если р достаточно велико, то полиномTp(x)e~2ninx, каково бы ни
было и, не будет иметь свободного члена, т. е. второй интеграл в равенстве
A5.7) равен нулю, если р достаточно велико. Отсюда
lim <#> = 0 при и^О,
и доказательство закончено.
§ 16. Существование [/-множества, не содержащегося ни в каком Я<*>
Это существование будет доказано, если мы построим такое множество
типа ЯB), которое не содержится в сумме счетного множества Я-множеств
(поскольку всякое ЯB) есть CZ-множество) (см. § 15).
И. И. Пятецкий-Шапиро И доказал для любого s^2существованиеH{s\
не содержащегося в сумме счетного множества множеств типа ЯE~1}, но мы
для ясности изложения ограничимся случаем 5=2.
Для построения указанного примера будем каждую точку х интервала
(О, 1) разлагать в двоичную дробь
Х = 0,а1ая...ат..., A6.1)
причем в случае, когда таких разложений будет два, выбираем из них то,
где 1 написана конечное число раз.
Пусть целые числа 1Ъ /2, . . ., ml9m29 . .. выбраны так, чтобы
Г 1г < пгх < /2 < т2 < ... < 1к < тк < ... ,
2° тк — 1к -* оо при к -> оо ,
3° Д >а>0 (*= 1,2, ...).
lk+i
Например, можно, как это делал И. И. Пятецкий-Шапиро, взять
1Bк1)* BкГ
к(),к (Г
На отрезке [0, 1] рассмотрим все те точки, для которых ah = 1 и
ат1 = 1, все остальные as — любые. Они образуют систему из конечного
числа кусков *) (на рис. 49 взято 1г — 2,тх — 5). Мы выкидываем интервалы,
состоящие из всех внутренних точек каждого такого куска длины ^ (на
рис. 49 они отмечены маленькими дужками). Это — первый шаг процесса.
Для каждого к мы в к-м шаге процесса рассматриваем все те точки, для
которых щк = 1 и атк = 1, остальные as любые, лишь бы только это было в
*) Слово «кусок» здесь употребляется потому, что в данный момент нет необходимости
различать интервал, полуинтервал и отрезок.

§ 16 СУЩЕСТВОВАНИЕ [/-МНОЖЕСТВА, НЕ СОДЕРЖАЩЕГОСЯ В Н(s) 819
еще сохранившейся (после предыдущих процессов выбрасывания) части
отрезка. Мы выкидываем интервалы, состоящие из всех внутренних точек
каждого такого куска длины ^- . Проделав это для всех к = 1, 2, 3, . ..,
мы получим, очевидно, замкнутое множество F. Покажем, что оно есть
множество типа Я<2>.
Для этого заметим, что если (у) — дробная часть у, то для х с разло-
разложением A6.1) имеем
B-x)^0,am+1am+2... A6.2)
Полагая
^Н-'H.j A6з)
мы докажем, что при х(Ри любом к
либо (ркх)~^А , либо (qkx)~€A. A6.4)
В самом деле, если для некоторого к и заданного х имеем (ркх)?А,
то щк = 1; с другой стороны, если (qkx) ? л, то amjc = 1, значит, если для
¦4-Н-
некоторого к ни одно из условий A6.4) не выполнено, то для этого к имеет
место щк = 1, аША = 1, а между тем при построении F все точки х, для
которых хотя бы при одном к условие ah = amjfc = 1 выполнено, были
удалены (точки, являющиеся концами смежных к F интервалов таковы,
что (ркх) или (qkx) может попасть в один из концов А, но не в самый интервал).
Итак A6.4) доказано. Остается убедиться, что последовательности
{Рк\ и {?J независимы, тогда будет ясно, что F есть множество типа Н&.
Но если а и Ъ любые целые, а2 + Ь2 > 0, то
\aPk + bqk\ = \a-21*-1 +b-2m*~l\ = 2'*-1 | a + ft.2™*-'*|-> оо при /с->оо
и доказательство закончено.
Мы теперь должны показать, что F не может быть частью множества
типа На.
Этот результат был сначала доказан И. И. Пятецким-Шапиро в работе И,
но доказательство там достаточно сложно. Впоследствии им было дано очень
простое доказательство, которое нигде не опубликовано; мы здесь излагаем
его с согласия автора.
Введем сначала понятие точки густоты.
Определение. Точку I назовем точкой густоты для замкнутого
множества F, если для любой последовательности интервалов A,1+ Лш),
стягивающихся к точке ?, максимум длин смежных к F интервалов (или их
частей), попавших на (?, | + /zm), имеет величину o(hm).
Покажем, что Я-множества не имеют ни одной точки густоты *). Дей-
Действительно, пусть Е такое множество. Пусть Ек — множество точек (кх),
*) Как всегда, достаточно рассматривать замкнутые Я-множества.

820 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
где х € Е. В силу определения Я-множеств найдется такая последователь-
последовательность {пк}, что максимальный смежный интервал ёк ко множеству ЕПк имеет
длину дк> <5>0 (к= 1,2, ...)•
Пусть I — любая точка [0, 1 ]; положим Лк = (?, ? + —) • Интервалы J&
стягиваются к ?. Когда мы образуем множество ЕПк, мы должны [0, 1] растя-
растянуть в пк раз, при этом 4, растянется в интервал длины, равной 1, но на него
попадет интервал Ьь смежный к ЕПк и длины > ё; значит, длина максималь-
максимального смежного интервала к ?, лежащего на Ак9 больше —, т. е. не есть о |—J ,
а потому у Е нет точек густоты.
Заметим теперь, что если какое-либо замкнутое множество есть часть
На, то оно должно иметь порцию, которая будет Я-множеством (по известной
теореме Бэра*)); в таком случае на этой порции не должно быть точек
густоты.
Покажем, что построенное нами множество F типа. ЯB) обладает, напро-
напротив, тем свойством, что во всякой его непустой порции д (F) есть точка гу-
густоты. Отсюда и будет следовать, что оно не может быть частью множества
типа Но.
Пусть f'€«(F) и
Г = 0,0!^...
— ее двоичное разложение. Покажем, что при достаточно большом р точка
| = 0,а1а2...ар000...
также входит в <5(F). Действительно, она должна войти в д, потому что
f' ? д и | ?' — ?| ^С^л, a p достаточно велико; с другой стороны, она должна
войти в F, так как, заменяя все ар+1, ар+2, ... нулями, мы никогда не вве-
введем в рассмотрение таких точек, где выполнено условие щк = amk = 1,
которое запрещалось для точек, входящих в F.
Мы хотим показать, что | есть точка густоты для F. С этой целью возьмем
любое натуральное т, для которого /л> —, где a — число, входящее в усло-
условие 3°, наложенное на числа 1к. Далее найдем для каждого такого m
сное v так, чтобы
их</л</„. A6.5)
Положим / = mv — m — 1; тогда /Z>0, ибо mv — lv^\. Рассмотрим
все точки /5 вида
Д = 0, ах а2 . . . ар QQQ .. . О дх <За ... <5уООО... ,
тп
где числа bt (/ = 1, 2, ..., /) независимо друг от друга принимают значения
О и 1, а аъ а2, ..., ар те же, как в разложении числа ?.
Ясно, что все такие /? принадлежат интервалу (?, f + -^J, так как
О, 0 ... Одгдш .. . dj ^ Л±
Но мы докажем, кроме того, что всякое такое /3 ? F.
*) См. Добавления, § 5,

§ 16 СУЩЕСТВОВАНИЕ [/-МНОЖЕСТВА, НЕ СОДЕРЖАЩЕГОСЯ В Н(s) 821
Действительно, для этого достаточно убедиться, что для знаков а\ двоич-
двоичного разложения /3 мы ни при каком к не будем иметь
одновременно.
Пусть к ^> ^, тогда mfc ^> т„ = /, + /л + 1 в силу выбора /, а потому
с4Л = 0 по построению числа /?.
Пусть /с<> —2; тогда mk^mv_2 </„_! <m и, следовательно, либо
а^й = 0, либо am* совпадает с некоторым as (s = 1, 2, ..., р) и а;'й тоже сов-
совпадает с одним из них; но так как числа as те же, что и у точки I ? F, то поло-
положения, при котором amjfc — 1 и одновременно a\h — 1, не может наблюдаться.
Осталось разобрать случай к = v — 1. Но здесь мы заметим, что так как
по условию 3°
то Zv_i > а^^ am в силу A6.5); но /л было выбрано так, чтобы ш>~ ,
поэтому /„_!> р. С другой стороны, /„_! <шв силу A6.5). Отсюда следует,
что div_x = 0 и, значит, здесь тоже не может быть запрещенной комбинации
знаков a\v_x = 1 и a'mv_x = 1.
Итак, мы убедились, что /3 ? F (f, f + ^].
Заметим теперь, что если на (?,f+ ^] мы возьмем любой интервал
длины > т^л , то он содержит хотя бы одну точку вида /3.
Действительно, всякая точка из (f,f + -^\ имеет вид
... ар00 ... 0am
где am+/ = 0 или 1 независимо друг от друга (/=1,2,.,.). Если
«m+ь ат+2у •••, am+j любые, а am+i = 0 при /> /, то получается точка
вида /5.
Следовательно, справа от каждой точки вида /3 точки, не имеющие вид /3,
могут лежать лишь в интервале длины
Таким образом, расстояние между всякой точкой вида /3 в Г§, ^ + — J
и ближайшей к ней справа точкой вида /3 не превосходит ^л > и> следова-
следовательно, в любом интервале длины, превосходящей ^л , непременно будут
точки вида /3, а они принадлежат F. Значит, максимум длины смежного к F
интервала или его части, попавшей на (I, f + ^г], есть ^л- ^°
а так как m^lv, а ш„ — lv ~>оо по условию 2°, то

822 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
откуда видно, что
1 — (—}
Пусть теперь h — любое положительное. Найдем такое ш, что
Тогда длина максимального смежного к F интервала или его части, попав-
попавшей на (|, | + Л), не превосходит длину максимального смежного к F интер-
интервала, или его части, попавшей на (f,f + ^т] > т- е- она есть ° (^г) > а значит,
и o(ti) в силу A6.6), а потому | есть точка густоты для F.
Доказательство закончено.
§ 17. О точности достаточных условий для совершенных Af-множеств
В § 13 мы рассматривали совершенные множества, которые строятся
так, чтобы (см. обозначения этого параграфа)
lim em = 0. A7.1)
Добавляя еще некоторое дополнительное условие, касающееся отношений
длин cr[m+1) и т$т+1), мы доказывали, что тогда получается Л4-множество,
и упомянули, что Верблюнский хотел доказать достаточность одного только
условия A7.1), однако в доказательстве была ошибка. Мы теперь, следуя
И. И. Пятецкому-Шапиро Ш, покажем, что и сама теорема Верблюнского
неверна, т. е. что существуют замкнутые ?7-множества, для которых отноше-
отношение длины выбрасываемого интервала к длине сегмента, из которого он
выбрасывается, стремится к нулю, когда номер шага процесса построения
стремится к бесконечности.
Докажем, что этим свойством будет обладать то множество F, которое
было построено в § 16 (для данного примера даже нет необходимости требо-
требовать, чтобы числа 1к и тк удовлетворяли условию 3°, достаточно того, чтобы
11<т1<12<т2< ... <1к<тк<С ...
и тк — 1к ~> со при к -> °°).
Условимся называть «нормальным» процессом построения замкнутого
множества л на отрезке [0, 1] следующий процесс: сначала удаляется макси-
максимальный смежный к л интервал или самый правый из максимальных, если
их несколько; в каждом из оставшихся сегментов удаляем максимальный
смежный интервал к л или самый правый из максимальных и т. д.
Покажем, что если к построенному нами множеству F применить нор-
нормальный процесс, то условие A7.1) будет удовлетворено.
Действительно, пусть д — некоторый смежный к F интервал. Значит,
существует такое /с, что д состоит из точек х, для которых
а1ь = 1 и аМк == 1 .
В таком случае длина этого Ь есть ^-.

§ 18 М-МНОЖЕСТВА В УЗКОМ СМЫСЛЕ 823
Внутри интервала Ау составленного из тех точек, где щк = 1, он может
занимать 2тк~1к~1 разных положений, но даже если он самый левый, т. е.
выкидывается из А позже всех остальных, то левее его лежит целый интер-
интервал А' тех точек, где щк = О, и которые заведомо еще не тронуты предыду-
предыдущими процессами выкидывания. Поэтому сегмент д, из которого выкиды-
выкидывается наш интервал д, имеет длину не меньше чем -^-, а значит, отношение
д : q <^ 2mh-h * ^° так как с Уменьшением величины Ь номер шага процесса,
когда он выкидывается, стремится к бесконечности, то о^-=г -* 0, поскольку
Ct к к
тпк — 1к —> оо? и наше утверждение доказано.
Мы видим таким образом, что если к условию A7.1) ничего не добавлять,
то множество F не должно быть М-множеством.
Остается, однако, открытым вопрос, насколько добавочное условие, вве-
введенное Сивиным и Крестенсоном (см. § 13), является необходимым. Не исклю-
исключена возможность, что оно может быть ослаблено.
§ 18. М-множества в узком смысле
Для дальнейшего нам будет полезно ввести следующее
Определение. Совершенное множество Р называется М-мно-
у^ссшвом в узком смысле, если существует функция F(x) с ограниченным
изменением, постоянная на каждом смежном к Р интервале, но не на всем
отрезке [0, 2тг], и такая, что ее коэффициенты Фурье—Стилтьеса удовле-
удовлетворяют условию
сп= § e~inx dF = o(A) при н-^±°°. A8.1)
о
Легко доказать следующую теорему:
Теорема. Всякое М-множество в узком смысле есть М-множество
(в обычном смысле).
В самом деле, пусть Р —это множество. Значит, существует F(x) с огра-
ограниченным изменением, непостоянная на [0, 2я], у которой коэффициенты
Фурье—Стилтьеса равны 0A), хотя эта функция постоянна на смежных кР
интервалах. Положим
Ф (х) = F (х) - [F @) + *?§=*В х] A8.2)
и докажем, что у Ф (х) коэффициенты Фурье имеют порядок о (—j.
Действительно, прежде всего заметим, что из A8.2) следует
Ф@) = 0 и ФBтг) = 0. A8.3)
Кроме того, снова в силу A8.2) Ф(х) имеет ограниченное изменение и
2л 2л 2л 2л
J e-inxd0 = [ е~(«х dF - —[2^~F(°- J e~inxdx= J e-inxdF = o(\) A8.4)
0 0 0 0
в силу A8.1). Но
|
Ф(х)e~inx\2n + in |Ф(х)e~inxdx = т]ф(х)e~inxdx = o{\)
A
|()](){)
о о A8.5)

824 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
в силу A8.3) и A8.4). Но A8.5) означает, что у функции Ф(х) коэффициенты
Фурье имеют порядок о (—), а так как
F (х) = Ф (х) + Ах + В, A8.6)
где Л и В постоянны, то мы находимся в условиях применимости теоремы
§ И, а это и значит, что Р есть М-множество.
Теорема доказана.
Долгое время предполагали, что может быть и обратно: всякое совер-
совершенное М-множество есть М-множество в узком смысле. Если бы это ока-
оказалось верным, то проблему о том, является ли совершенное множе-
множеством М- или {У-множеством, было бы гораздо легче решать. Однако,
И. И. Пятецкий-Шапиро показал м, что существуют совершенные М-мно-
жестеа, не являющиеся М-множествами в узком смысле.
Тем не менее в целом ряде интересных частных случаев доказательство
того, что данное совершенное множество есть М-множество, удается про-
провести, показав, что оно М-множество, в узком смысле и опираясь на только
что доказанную теорему. В этом мы убедимся, изучая в следующих парагра-
параграфах конкретные примеры. Но предварительно сделаем одно замечание.
Замечание. Вместо того чтобы рассматривать коэффициенты
Фурье—Стилтьеса, можно рассматривать преобразование Фурье—Стил-
тьеса
c(t)= fe~itxdF,
о
где / уже не должно быть целым числом. Ясно, что если c(t) ->0 при f -> + °°,
то и подавно сп -> 0 при п ->+ оо? где п целое. Но нетрудно убедиться, что
и обратное справедливо; более того, если сп ->0 при п -> + °о, то c(t) ->0
равномерно при / -> + °°.
Прежде всего заметим, что условие
fe-inxdF = o(l). A8.7)
о
влечет непрерывность F(x) на [0, 2п]. Действительно, при доказательстве
предыдущей теоремы мы видели, что из A8.7) следует A8.6), где Ф(х) с огра-
ограниченным изменением и имеет коэффициенты Фурье порядка oi—J, а значит,
она непрерывна (см. § 42 главы I). Нам надо доказать, что c(t)-*O при
*-> + °°.
Проведем доказательство для /-> + оо; для f-> — °о оно такое же.
Положим
/ = л + е,
где п целое, и 0^0 < 1. Покажем сначала, что
lim fe~inx e~Wx dF = O, A8.8)
n->«> 0
если сп -> 0 при п -> °o.
В самом деле, пусть ?>0 задано; выберем сначала д столь малым,
чтобы
V(d)-V@)<8 и VBn)-VBn-8)<e, A8.9)
где через V(x) обозначено полное изменение F(x) на @, х). Достигнуть выпол-
выполнения этих неравенств возможно, так как F(x) непрерывна на [0, 2п].

18 М-МНОЖЕСТВА В УЗКОМ СМЫСЛЕ 825
Пусть
у,(х) = е-юх на (д, 2 л -E),
и у>(х)определяется на [0,д] и [2 л—д; 2л]у так, чтобы \у(х)\ <^ 1 и была
непрерывна на [0,2л],
Так как ip(x) непрерывна, то можно по теореме Вейерштрасса для любого
0 найти такой тригонометрический полином, что
2 Гке-Ш\<е, 0<х<2тг. A8.10)
2
Тогда в силу A8.9) и A8.10)
| fe~inx e~Wx dF — fe~inx 2 У к e~ikx dF
0 0 k=—N
<
f e~inx \e~~i6x ~ 2 У к e~ikx]
0 L k=—AT -J
f U ] J
f е-*ях U (x) - 2 Ук e-ikx] dF + J | v (x) - e~Wx \ dF <
5 L k=—N J 0
Jrfl/ + 2 Jrf
О 2л—«5
7г)~ 1/Bтг - д)] < Сг, A8.11)
где С постоянное. Но так как ст = ^?A) при т -> + оо? то
f e~ta 21 yke~ikx dF= ? Ук\ e~^n+k^xdF = o(l)
О Л—N Л=—N о
При П -> + оо.
Отсюда следует, что и
2я
J ?-''"* ?-^ rfX -> 0 При П ~> ± оо
О
и 0 постоянном, т. е. A8..8) доказано.
Теперь для заданного е> 0 мы найдем столь большое р, что
«. A8.12)
Для любой из р точек вида 0;- = — (/ = 0, 1, ..., р — 1) находим свое
Пу такое, что
| J ?-^r"z"^xdF\<e для и>Ну.
о
Пусть п' — наибольшее из чисел п0, п19 ..., пр„г и пусть Т> пг + 1.
Тогда для любого / ^ Т имеем в разложении t = п + 6 заведомо п > /г',
а тогда
| J e-inxe~iQixdF |< e (/ = 0,1, ..., р - 1). A8.13)
Но
J e~itx dF = J ?~to ?~^ rfF A8.14)
b о

826 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
и если выбрать 0;- так, чтобы |0 — 0;-| <—, что всегда возможно в силу опре-
определения чисел 0;> то
2я 2л 2л
| J е—inx e—i6x flf — J e-inx g^-idjX flp | ^ J | e~idx — ?-Щ* | rfj^ ^
0 0 0
<|0-0у|4я| УBя)- 1/@)|<г A8.15)
в силу выбора числа р. Соединяя A8.14), A8.15), A8.12) и A8.13), находим
2я
| j e~iix dF\<2s для / > Т
о
и это заканчивает доказательство.
Это замечание о преобразованиях Фурье—Стилтьеса окажется полез-
полезным в § 2 главы XV. Кроме того, оно может быть использовано для доказа-
доказательства теоремы:
Если Е есть М-множество в узком смысле и Ев — множество точек в х
для х ? Е, то в случае у когда Ев лежит на [0, 2п\ это множество снова будет
М-множеством в узком смысле.
Обозначим через Ь верхнюю грань множества Ев; по условию Ь<^2ж.
Пусть F (х) — функция с ограниченным изменением, постоянная на
смежных к Е интервалах и такая, что
2я
]e~inxdF-+O при п-^±оо. A8.1)
о
Такая F (х) существует, потому что Е есть М-множество в узком смысле.
Положим
[ Ф F) для
Ясно, что Ф (х) постоянна на смежных к Ев интервалах. Докажем, что
2я
[ е~м dФ-+O при л->-±оо, A8.16)
6
тогда будет доказано, что Ее есть М-множество в узком смысле.
Действительно, полагая у = 6х, имеем
ь
2л Ь в 2л
| e~inv dФ(y) = \ e-iпydФ = J e~in6xdF = j e~inexdF A8.17)
о боо
(так как на -0-, 2п\ нет точек Е, поскольку на [Ьу 2л] нет точек Ев).
Но мы доказали, что A8.1) влечет
2л
j e~itxdF->0 при t-+ ± оо
о
без того, чтобы / было целым, поэтому, полагая / = пОу видим, что правая
часть A8.17) стремится к нулю при п -> + °о и, значит, A8.16) доказано.

§ 19 СИММЕТРИЧНЫЕ СОВЕРШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 827
§ 19. Симметричные совершенные множества
Условимся называть совершенное множество симметричным, если оно
получается следующим процессом: из отрезка д° = [0, 2п] удаляется цент-
центральный интервал длины да\ остаются два сегмента равной длины да);
удаляем из каждого из них по центральному интервалу одинаковой длины
д{2\ остается 4 сегмента длины q{2\ ...; из 2к~1 сегментов длины д{к~~1} удаля-
удаляется по центральному интервалу равной длины д(к), остается 2к сегментов
длины q{k) и т. д. Если 2к @(/0 -> 0, то полученное симметрическое множество
имеет меру нуль.
Обозначим через Х(к) отношение -(-Лг=х7 » мы виД^ли в § 12, что если Хк ->0
при к -> °°, то полученное множество есть М-множество.
Мы видели далее (см. § 13), что когда симметрия нарушается, но «не
слишком сильно», то опять получается уИ-множество; в противном случае
может получиться и U-множество (см. § 17).
Теперь, отказываясь от рассмотрения несимметричных множеств, по-
поскольку даже и для симметричных картина, как мы увидим дальше, доста-
достаточно сложна, мы хотим изучить роль условия Хк -> 0.
Допустим, что Хк не стремится к нулю.
В случае, когда Хк = у (к = 1,2,...), мы получаем классический пример
канторова множества, и оно, будучи //-множеством, есть [/-множество.
Поэтому возникал вопрос, не будет ли всегда при Хк = А (к = 1,2, ...), где
Я — какое угодно постоянное число, 0<А<1, полученное множество
U-множеством. Отрицательный ответ на этот вопрос был дан Н. К. Бари^;
в § 20 мы разберем детально этот случай совершенных множеств. Здесь же
мы, оставаясь в предположении, вообще говоря, непостоянного ХкУ выведем
некоторые общие формулы.
Нам будет удобно ввести обозначение
t _
Q(k) у
т. е. обозначить буквой ?к отношение длины сегмента шага к + I к сегменту
шага к. Ясно, что 0<|/{ <^и с предыдущим числом А^это |лсвязывается
так:
я(к) ~
Значит, в случае, когда Хк ->0, имеем |Л ->—; и в этом случае, как мы
знаем, получается Af-множество.
Для изучения поведения таких множеств в других случаях будет полезно
раз навсегда вывести формулу, выражающую коэффициенты Фурье—Стил-
тьеса от некоторой монотонной функции, постоянной на смежных интервалах
к данному множеству. Прежде всего заметим, что точки симметрического
множества могут быть записаны в виде
(\-?1) + eiS1(l-?J+... +sJJ2.. . ffc_x(l -!,)+...], A9.1)
где каждое ер равно 0 или 1.

828 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Если выкинутые в /с-м шаге 2к~г интервалов обозначить через д(к) (р =
= 1,2, ..., 2к~1), то их длины равны 2^... ^_х A — 2?к). Их правые концы
получаются из формулы A9.1) при ек = 1 и е( = О для / > к. Левые концы
получаются при ек = 0 и е( = 1 для / > /с. Остающиеся сегменты обозна-
обозначаем oft (р = 1, 2, ..., 2^). Построим функцию
^ W — ^ ~t~ ^ + • • • +^л~Ь •••>
где числа е;- равны 0 или 1 и определяются из формулы A9.1), когда х задано.
Геометрически говоря, если бы заданное множество было канторовым,
получилась бы известная канторова ступенчатая кривая. В общэм случае
она выглядит так же, только ее ступеньки помещаются над смежными интер-
интервалами заданного множества.
Хилл и Тамаркин (Hille and Tamarkin^) указали метод для вычисления
коэффициентов Фурье—Стилтьеса для канторовой кривой *). Следуя их
методу, Салем (Salem W) вычисляет эти коэффициенты и в общем случае так
же, а именно: пусть
In= 2feinxdF.
о
Если atp (р = 1, 2, ..., 2к) — левые концы сегментов qf\ то их абсциссы
получаются из формулы A9.1) при et = 0 или et = 1 в конечном разложении
а(Рк) = 2п[егA - fj + *а?хA - ? J+...+ ekSx ... fM(l - ?к)] •
Разделим [0, 2ж] на сегменты длины, стремящейся к нулю, каждый из
которых либо содержит один целый сегмент gjj0, либо не содержит никакой
его части. Так как в интервалах df (/ = 1, 2, ..., к) функция F(x) постоянна,
а на каждом gf> она возрастает на -^, мы получаем в качестве
приближенной величины для интеграла Стилтьеса 1п
где суммирование распространяется на все комбинации st = О и st = 1.
Имеем
к
= JJ ^mll>' Ji-i{1~ij) cos тг n ?x... f;_!A — f;).
Но
Значит,
/ pnni ТТ спя. тг п ? ? (\ ?\ /1Q ОЧ
Этой формулой мы и будем постоянно пользоваться. Если при некотором
выборе чисел |;- мы обнаружим, что /„ -> 0 при п -> оо? то соответствующее
множество будет М-множеством.
Переходим к рассмотрению частных случаев выбора 1к.
*) См. также Карлеман (Carleman

§ 20 СОВЕРШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА «С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ» 829
§ 20. Совершенные множества «с постоянным отношением»
Рассмотрим тот интересный частный случай, когда f Л = f (к = 1,2, ...).
Получаемые в этом случае совершенные множества будем называть симмет-
симметрическими множествами с постоянным отношением |. При ? = 73 мы имеем
канторово множество, и оно, как известно, есть множество типа Н, т. е.
?/-множество. Случай симметрического множества, где | — рациональное
число, был разобран в 1937 году Н. К. Бари И. Ею было доказано, что если
| рационально, то получаемое множество будет U в том и только в том
случае, когда -у есть целое число *).
В 1943 году вопросом о симметрических множествах с постоянным отно-
отношением занялся Салем^. Для того чтобы сформулировать его результат, нам
придется ввести следующее
Определение. Целое алгебраическое число**) в называется числом
Пизо, если оно является корнем некоторого алгебраического полинома с
целыми коэффициентами и с коэффициентом, равным 1 при старшем члене,
у которого остальные корни, называемые сопряженными к 0, по модулю <1.
Имеет место следующая замечательная
Теорема. Для того чтобы симметрическое множество с постоянным
отношением f было U-множеством, необходимо и достаточно, чтобы число
в = -j было числом Пизо.
Эта теорема была сформулирована Салемом в уже цитированной работе.
Однако в этой работе безукоризненно была доказана лишь одна половина
теоремы, а именно, что если в не есть число Пизо, то рассматриваемое мно-
множество есть Af-множество. Что же касается второй половины утверждения,
то в ее доказательстве содержалась ошибка ***). В 1954 году И. И. Пятецкий-
Шапиро М доказал, что если в есть число Пизо степени и (т. е. корень алгебраи-
алгебраического уравнения п-й степени) и если в > 2п, то множество Р с постоянным
отношением | = -j есть {У-множество. И, наконец, только в 1955 году Зигмунд
и Салем (Salem et Zygmund M), используя метод И. И. Пятецкого-Шапиро,
освободились от наложенного им ограничения в > 2п и доказали, что
первоначально высказанная Салемом теорема верна. Перейдем теперь к
доказательству этой теоремы. Его естественно разбить на две части.
Условие необходимо, иначе говоря: если в = у не есть число
Пизо, то совершенное множество с постоянным отношением | есть М-мно-
жество.
*) Мы записываем теорему в такой форме, которая удобна для сравнения с дальней-
дальнейшими результатами. В работе Н. К. Бари формулировка была слегка отлична, а именно
она обозначала через X отношение длины выбрасываемого интервала к сегменту, из кото-
которого он выбрасывается, и доказала, что если А =— , где дробь — несократима, то множе-
множество будет М при р < q — 2 и U, если р = q — 2 или р = q — 1. Нетрудно видеть, что
1 - Я 1 2q r p 1
так как I = —«— » т- е- ~т = — > то из несократимости дроби — следует вывод: -^-есть
целое число в том и только в том случае, когда р = q — 2 или р = q — 1.
**) Напомним, что некоторое число называется целым алгебраическим, если оно
является корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами и с коэффициен-
коэффициентом, равным 1 при старшем члене.
***) Эта ошибка была обнаружена участниками семинара по теории функций в Москов-
Московском государственном университете еще в 1945 году. Позже, в 1948 году, появилась новая
заметка Салема (Salem I12), где он сам указывает на эту ошибку и разбирает некоторые
частные случаи, когда его утверждение все же верно.

830 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Чтобы доказать это, мы в формуле A9.2) положим lk = f (к = 1, 2, ...).
Получим
/п= enni Пcosnn&~1 A - f). B0.1)
На основании доказанного в § 19 мы можем утверждать, что если для некото-
некоторого I будем иметь /„ -> 0, то соответствующее множество с постоянным
отношением f будет М-множеством. Тем более это будет верно, если мы
докажем, что для некоторого |, полагая
I(t) = ]J cosTit^-1 B0.2)
имеем /(/) -> 0 при / -> оо.
В работе Н. К. Бари М доказывалось прямым методом*), что если f
рационально и f =? —, где /л — целое, то / (/) -> 0, если / (/) определено фор-
формулой B0.2). Мы приводим это доказательство в § 30 Добавлений.
Салем (Salem W) не требовал рациональности ? и показал, что если в =у
не есть число Пизо, то /(/) -> 0. Но здесь уже доказательство проводится от
противного, а именно имеет место
Лемма 1. Если 0 < f < 1 и
не стремится к нулю при t -> + °°> то ? = -^-у где 6 — число Пизо.
В самом деле, если I(t) не стремится к нулю при / -> ± оо? то найдется
такая последовательность t± <Ct2 <С ... <C^S <С • • •> что ^s "^ + °°> но
(в случае, когда последовательность /s -> — со, доказательство проводится
абсолютно так же). Так как 0 = - -, то 0 ;> 1. Выбираем для каждого s число
п = n(s) так, чтобы
Тогда можно написать ts = As0n, где у <Я5 ^ 1.
Так как числа Xs лежат на конечном отрезке, то из ?5 можно выбрать под-
подпоследовательность {tq} так, что соответствующая подпоследовательность Xq
стремится к некоторому пределу А, у <^ А<^ 1. Так как
I(tq) = l{Xq Qn^)) ^ | cos n\ cos nlq в... cos лЛд
и каждое /(^) > а, то
17A- sin2 7iXqQJ)^a* (?=1,2,...),
значит, и
*) См. также Kerschner f1! (Кершнер получил этот результат почти одновременно
с Н. К. Бари, но совсем другим методом).

§ 20 СОВЕРШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА «С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ» 831
откуда
V sin2 nXq QJ<^ In —y (q = 1, 2,...).
y=o
Пусть q фиксировано. Если r> q, то из
sin2 nXr + sin2 nXr в +.. . + sin2 nXr 0"<r> < In -^r
и подавно следует
sin2 nXr + sin2 nXr в + ... + sin2 nXrQn^) < In ~ .
Если зафиксировать #, а г устремлять к бесконечности, то в пределе
получим
sin2 nX + sin2 nXQ +. . . + sin2 nXQn^) ^ jn J_ . B0.3)
Но так как это рассуждение справедливо при любом q, то это значит, что ряд
^sin2:rcA0m B0.4)
m=0
сходится (и его сумма меньше или равна In—X
Но было доказано Пизо (Pisot W), а также Салемом (Salem L9]), что если
для некоторого в существует такое А, -5- <^ A 1, при котором ряд B0.4) схо-
сходится, то в есть число Пизо *) (а А — алгебраическое число из тела К (в)).
Таким образом, лемма 1 доказана, а вместе с тем закончено и доказа-
доказательство необходимости условия теоремы.
Переходим к доказательству достаточности.
Условие достаточно. Иначе говоря, имеет место
Теорема Зигмунда и Салема. Пусть Р — совершенное мно-
множество с постоянным отношением |, где | = у, а в — число Пизо. Тогда Р
есть U-множество.
Заметим прежде всего, что всегда | <у, а потому б> 2.
Мы будем опираться на следующую лемму (как всегда через {х} обозна-
обозначается разность между х и ближайшим к нему целым числом).
Лемма 2. Пусть в — число Пизо степени п и в > 2. Тогда существует
такое А > 0 и такое целое N, что
Доказательство. Прежде всего заметим, что если х19 х2, ..., хп —
корни уравнения с целыми коэффициентами, a Q (х) — любой многочлен с
целыми коэффициентами, то все числа
*) Мы даем доказательство этой теоремы в § 29 Добавлений.

832 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
являются целыми. Действительно, если
2ak 2хГк = 2' akbmk)
k=0 i=l k=Q
где все bmk целые, как симметрические функции корней уравнения с целыми
коэффициентами, а потому и ст все целые.
Пусть теперь Q (х) — многочлен степени п — 1с целыми коэффициентами,
которые мы будем подбирать позже. Положим
где а1У а2, ..., ап_г числа, сопряженные с в.
Мы можем выбрать QF) так, чтобы Q(#)>0, т. е. Д> 0. По только что
доказанному, полагая
2
i=\
видим, что все ст целые.
Так как в — число Пизо, то
Поэтому полагая
ВИДИМ, ЧТО
SUll«H, B0.5)
а потому
оо П—1
^ \дт |< 2 I & I 1 - I at\
т=0 /=1 ' '
Рассмотрим теперь п линейных форм
относительно п целочисленных переменных а0} а1У ...,ап_х. Мы хотим до-
добиться, чтобы удовлетворялись неравенства
8 л-2"
8 п • 2"
B0.6)
По теореме Минковского (см. Добавления, § 28) эти неравенства можно
решить в целых а0) а17 ..., ап^19 если определитель D нашей системы форм
по модулю не превосходит произведение правых частей неравенств B0.6),
т. е.

\ 20 СОВЕРШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА «С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ»
833
Но этот определитель имеет вид
п—\
<?Лт^\
1 аг... а?'1
Ш
где С (в) — величина, зависящая только от в, но не от JV. Значит, неравенство
С(в) _ _j_
действительно удовлетворяется при достаточно большом N, потому что в > 2
по условию леммы, значит,
\N 1
<{8п)«С(в)
нри достаточно большом N.
Но если неравенства B0.6) удовлетворены, то
(e-i)eN
I
1 - ! щ
N
Остается заметить, что так как в силу B0.6)
B0.7)
B0.8)
то уже во всяком случае все |Зт| < 1, а потому из
где ст целое, следует, что \{№т}\ <, |Зт|, но тогда из B0.7) и B0.8) следует
7в-lTF+ii{^m}!<-V
(У — i)y m=0 8-2л
и лемма 2 полностью доказана.
Перейдем к доказательству теоремы Зигмунда и Салема. Для точек мно-
множества Р имеем (см. § 19)
где ет — 0 или 1 (ш == 1, 2, ...).
Обозначим через Q множество точек х, для которых
г А± —iL 4- -4- -^L 4-
л— ^ Т 02 Т • • • Т 0m Г • • • ,
и докажем, что если в — число Пизо степени п, то Q — множество типа Нт)
в смысле И. И. Пятецкого-Шапиро. Если так, то Q, а значит, и Р будут U-мно-
U-множествами *) (см. §§ 15 и 9).
*) Так как в § 9 теорема о подобном преобразовании ^/-множеств дана без полного
доказательства (со ссылкой на теорию тригонометрических интегралов), то мы в § 31
Добавлений доказываем теорему о подобном преобразовании множеств типа H(s), которая
позволяет убедиться в справедливости сделанного здесь утверждения.

834
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
ГЛ. XIV
Рассмотрим число А, удовлетворяющее условиям предыдущей леммы, и
оценим для него 1вт х при х ? Q и любом т. Имеем, взяв N из той же леммы,
XQ ™х = А (в™-1 ег + 6™-* е2 + . . . + ет) +
Сохраняя обозначения леммы 2, имеем
где сш — целое; поэтому по модулю 1
так как все е, по модулю не превосходят 1. Кроме того,
Sm+N+k
k=\
а потому по модулю 1
:—V B0.9)
v ' *=u 8-2"
в силу леммы 2, согласно которой были найдены А и N.
Обозначим через gm дробную долю числа A [i^ti _|_ . _ _|_ —m-i^] и рас-
смотрим в евклидовом пространстве Rm точку Ок с координатами
gk+ъ gk+2, • • •, gk+n- Каковы бы ни были к и числа eh точек Ок имеется не
более 2N+n~1 штук. Действительно, каждое е( принимает только два зна-
значения 0 или 1, а если gk+1 уже закреплено, то gk+2 может иметь только 2
разных значения и т. д.
Пусть теперь х ? Q и Рк — точка ({Х6к+1х}, {А<9*+2х}, . .., {квк+пх}).
В силу неравенства B0.9)
г (s = 1> 2, ..., п),
8-2"
т. е. точка Рк находится внутри куба со стороной
и с центром либо в
2
Ок, либо в точке, некоторые из координат которой находятся от координат Ок
на расстоянии, равном 1. Так как таких кубов имеется не более чем 2N+2n~3,
то их общий объем не превосходит
2п ;
и, значит, в «единичном кубе» пространства R(n) существует фиксированный
куб, не содержащий никакой точки Рк.
Но так как \вт = ст + дт и дт -> 0 при ш -> оо? то это же свойство
справедливо для точек Ркь имеющих координатами дробные части от
ск+1х, ск+2х, ...,ск+пх. Отсюда будет следовать, что Q есть множество ти-
типа И{п\ если мы докажем, что последовательности {ск+1}, {cft+2}, • •., {ск+п}

§ 20 СОВЕРШЕННЫЕ МНОЖЕСТВА «С ПОСТОЯННЫМ ОТНОШЕНИЕМ» 835
независимы, т. е., что при любых целых lly Z2, ..., lm лишь бы они не были
все равны нулю, имеем
I'l Ск+1 + к Ск+2 + • • • + 1п Ск+п I -^ °°
при к -> °°.
Последнее равенство справедливо, ибо
у I г = У11 (XQkJrS д ) = X6k+^ У* I 6s У* I д
s=l s=l s=l s=l
л—1
и так как б> 2, а^ /s+i 0sфО в силу того, что 0 — алгебраическое число
s=0
степени п, а не и — 1, то
л—1
2/ Wi 0s -> °° при к -> оо ,
s=0
У] I д —»- О
потому что <5т -> 0 при /п -> °о.
Замечание 1. Так как всякое целое число ш есть число Пизо,
поскольку оно является корнем уравнения х — т — 0, то, в частности, при
| — — множество с постоянным отношением | есть [/-множество. Нетрудно
сообразить, что оно в этом случае будет просто Я-множеством. Действительно,
если мы растянем отрезок [0, 2тг] в пт раз, где п —любое целое, то множество
точек вида (птх) совпадет с Р, а потому его максимальный смежный интервал
будет иметь длину 2тгA — 2|), а это и значит, что Р есть Я-множество.
В случае, когда | = —, где дробь — несократима и р ф 1, множество с
постоянным отношением | является уже Л1-множеством (см. § 30 Добавлений).
Замечание 2. Доказанная теорема позволяет показать, что вопрос
о том, является ли заданное множество U- или Л1-множеством, не может
быть решен при помощи таких понятий, как а-емкость (или хаусдорфова
размерность), даже в таком простом случае, как множества с постоянным
отношением. Точнее: каково бы ни было а, существуют [/-множества поло-
положительной а-емкости, и наоборот, существуют Л1-множества а-емкости нуль.
Это вытекает из того, что, как показали Полна и Cere (Polya und Szego W)
(см. также Salem and Zygmund И), для того, чтобы множество с постоянным
отношением | имело положительную а-емкость, необходимо и достаточно,
чтобы
Поэтому, если а задано, то, выбрав | так, чтобы 2|а<^ 1, получим мно-
множество а-емкости нуль, а выбрав | так, чтобы 2|а> 1, получим множество
положительной а-емкости. Полагая у = 0, видим, что множество имеет
а-емкость нуль или положительную в зависимости от того, будет ли In 0^> -2—
или In в <-^— • Но, разумеется, можно выбрать как числа Пизо, так и числа,
не являющиеся числами Пизо, и при заданном а удовлетворяющие любому
из этих неравенств (множество чисел Пизо всюду плотно на 1 <0 < оо). Все
же, как мы увидим в § 27, понятие а-емкости, а также и выпуклой емкости
оказываются полезными в проблеме единственности, но, правда, при изуче-
изучении так называемых «относительных» [/-множеств.

836 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
§ 21 • Несимметричные совершенные множества
«с постоянным разбиением»
Теорема Зигмунда и Салема, доказанная в предыдущем параграфе,
может быть обобщена. Введем понятие множества с постоянным разбиением.
Пусть [А, В] — сегмент длины LnN— любое целое положительное.
Возьмем число I, 0 < | < , и удалим из [А, В] любые N интервалов
без общих концов между собой и с [Д В], но так, чтобы длины оставшихся
N + 1 отрезков все были равны L|. Пусть 0 = L а0, L аг, ..., L aN — рас-
расстояния абсцисс левых концов этих отрезков от точки А. Мы скажем, что
имеем (N, |, alf ..., а^)-разбиение отрезка [А, В].
Если мы начнем с (N, |, а1У ..., а^-разбиения отрезка [0,2л;], затем
сделаем такое же разбиение в каждом из отрезков длины 2тг|, оставшихся
после удаления N интервалов первого шага и т. д., то полученное совершен-
совершенное множество назовем множеством с постоянным разбиением.
Можно доказать теорему: для того чтобы множество с постоянным
разбиением (N, |, а±, ..., aN) было U-множеством, необходимо и достаточно,
чтобы 1) !=-?-, где в — число Пизо,
2) av а2, ..., aN — алгебраические числа из тела К (в).
Доказательство этой теоремы, данное Салемом (Salem 19J), содержало
ошибку в части, касающейся достаточности условия, но в настоящее время
есть новое доказательство в работе Салема и Зигмунда (Salem et Zygmund W).
Доказательство .необходимости можно найти также в работе Н.К. Бари W,§9.
§ 22. Краткий обзор результатов, относящихся к симметричным
совершенным множествам с переменным отношением
В § 20 мы видели, что уже при решении вопроса о том, будет ли совер-
совершенное множество с постоянным отношением М- или [/-множеством, прихо-
приходится изучать арифметическую природу числа ¦?, характеризующего это
отношение. Тем более трудна проблема в общем случае симметрических совер-
совершенных множеств. Не имея возможности детально разбирать здесь все те
частные случаи, которые были изучены, мы отсылаем интересующихся к
работам Салема (Salem t9i) и к статье Н. К. Бари &\ здесь же ограничимся
самыми краткими указаниями.
Салем изучал вопрос, что будет, если существует lim |ft, и доказал, что
ft—00
если lim |л = | =f= 0 и если в = ->- не есть число Пизо, то рассматриваемое
ft-* со ?
множество будет М-множеством. Обратная теорема уже не верна, так как
если !л->-2", то> как мы видели (см. § 12), получается снова М-множество,
хотя 0 — 2 есть число Пизо (как всякое целое число).
Естественно поставить вопрос, что будет, когда lim !ft = 0. В этом
ft-со
случае множества будут «очень худыми», и можно было бы ожидать, что они
должны оказаться [/-множествами.
Но эта гипотеза неверна, в чем мы убедимся в конце этого параграфа.
Пока же отметим, что если |ft стремится к нулю достаточно быстро, например,
если
то полученное множество есть [/-множество (см. Salem

§ 22 КРАТКИЙ ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ 837
Однако, в другой работе (Salem Г53) Салем доказал *), что в достаточно
широких предположениях относительно |ft, выражаясь образно, гораздо
более вероятно получить М-, чем [/-множество. Мы сейчас уточним, что надо
понимать под этой фразой.
Рассмотрим снова Симметричное совершенное множество Р с перемен-
переменным отношением |ft. Пусть {ак} и {Ьк} — две последовательности чисел
О < ак < Ьк < i-. Если мы возьмем |ft так, что ак < |ft <^ 6Л, и положим
то 0 < Vk < 1- Отобразим сегмент 0 <^ f <^ 1 на счетно-мерный куб
0<^л<^ 1 (fc = 1, 2, ...) следующим образом: если
t = О, аха2...
есть двоичное разложение числа /, то положим
За исключением точек /, для которых одно из двух возможных разло-
разложений содержит конечное число двоичных знаков (они образуют множество
меры нуль), полученное соответствие будет взаимно однозначным.
Таким образом, мы установили соответствие между множествами Р, для
которых ак<^ ?к<^Ьк, и значениями переменного / на сегменте 0<^/<^1.
Если некоторое свойство будет справедливо для всех Р, кроме, быть может,
тех, которые соответствуют множеству значений / меры нуль, мы будем
говорить, что это свойство выполняется «для почти всех Р».
Салем доказал следующее предложение.
Теорема. Рассмотрим все симметрические соеершенйые множества Р,
для которых ак^ ?к<^Ьк, где О <ак <Cbk Ojr, u последовательности {ак\
и {Ьк} «не слишком близки» друг к другу, а именно Ьр — ар ^ —т-т, где w (p) —
возрастающая последовательность, для которой In w (p) = о (р).
Тогда, если для некоторого /?, О </? <-^, имеем
\\т(а1а2.. .арур2 = а>0,
р ->¦ оо
то почти все множества Р являются М-множествами.
Заметим, что последовательность {bk} всегда можно выбрать так, чтобы
все рассматриваемые множества имели меру нуль.
Покажем, что из этой теоремы вытекает существование симметричных
совершенных М-множеств с отношениями Вк, стремящимися к нулю.
Действительно, можно взять, например
и/(Л)
*) Доказательство можно найти и в работе Н. К. Бари 1*1, § 12,

838 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Тогда In w (к) = V к = о (к); кроме того,
а по формуле Стирлинга имеем
к\ =кке'к
где дк ->¦ 1 при к -э- о©, поэтому
1 Ш~4
(а а2... я )fc = v к) о.к,
где lim а^ = a =f= 0, т. е.
/ а \l __ а J_
л*
а потому, взяв Р = -j-, мы видим, что условия теоремы выполнены. Но так
как а^ <С lft <С 6ft и притом а^ и 6^ стремятся к нулю, то и |ft -> 0, и, значит,
можно найти такие |ft -> 0, при которых получается М-множество, как упо^-
миналось выше.
§ 23. Проблемы, связанные с классификацией множеств меры нуль
Мы хотим напомнить здесь разбросанные по различным главам резуль-
результаты, касающиеся поведения множеств меры нуль, с тем, чтобы вывести неко-
некоторые общие заключения и поставить новые проблемы.
Как известно, в первое время после создания интеграла Лебега приняте
было думать, что множествами меры нуль всегда можно пренебрегать. Но уж-
очень скоро стало ясным, что разные множества меры нуль ведут себя по-
разному, и поэтому появилась потребность как-то классифицировать эти мно-
множества. Так возникли понятия размерности по Хаусдорфу, логарифмической
емкости, а-емкости и т. п. Однако, нам хочется отметить, что в настоящее
время стала ясной невозможность ввести какое бы то ни было разграничение,
при котором одни множества меры нуль оказались бы «пренебрегаемыми» во
всех вопросах, а другие, наоборот, такими, что с ними всегда надо считаться
как со множествами меры больше нуля. Поясним эту мысль на примере:
пусть мы решаем проблему единственности разложения функции в тригоно-
тригонометрический ряд. Тогда канторово множество можно считать «пренебрегае-
мым», так как сходимость тригонометрического ряда к нулю вне его влечет
равенство нулю всех его коэффициентов (т. е. оно ведет себя в этом вопросе,
как пустое множество). Напротив, в вопросе об абсолютной сходимости оно
ведет себя так, как множество положительной меры, т. е. если ряд сходится
абсолютно на нем, то уже сходится абсолютно и на всем отрезке.
Сопоставляя результаты, полученные в главе XII по поводу /^-множеств,
в главе XIII по поводу N-множеств и в главе XIV по поводу [/-множеств,
мы можем прийти к таким выводам: счетные множества являются /?-мно-
жествами (§ 7 главы XII), N-множествами (§ б главы XIII) и [/-множествами
(§ 5 главы XIV), т. е. ведут себя как пустые во всех трех проблемах, которые
мы изучали в этих главах. Множества R и N всегда являются множествами
первой категории (§ б главы XII и § 3 главы XIII), относительно [/-множеств
вопрос остается открытым.

§ 23 О КЛАССИФИКАЦИИ МНОЖЕСТВ МЕРЫ НУЛЬ 839
Взаимоотношение множеств R, JV и U далеко еще не изучено. Можно
только сказать, что заведомо всякое /^-множество есть {/-множество, по-
поскольку всякое R есть Иа (см. § б главы XII), а всякое Иа есть U-множество
(§ б главы XIV); обратное заведомо не имеет места, так как канторовское
множество есть U- (§ 7 главы XIV) и не есть /^-множество (§ 9 главы XII).
Тот же пример показывает, что, существуют U-множества, не являющиеся
N-множествами (§ 5 главы XIII). Должно ли всякое N-множество быть
U-множеством, также неизвестно; можно только сказать, что замкнутое
N-множество не может быть М-множеством е узком смысле, так как в силу
теоремы § б главы XIII для любой монотонной F(x), постоянной на смежных
к JV-множеству интервалах, коэффициенты Фурье—Стилтьеса не могут
стремиться к нулю. Однако, поскольку существуют М-множества, не являю-
являющиеся М-множествами в узком смысле (§ 18 главы XIV), мы видим, что даже
для замкнутых iV-множеств вопрос о том, должны ли они быть U-множест-
U-множествами, не решен.
В § 9 главы XIII было показано, что существуют N-множества, не являю-
являющиеся /^-множествами; в обратную сторону вопрос не решен.
Напомним, что JV- и • U-множества инвариантны относительно операции
подобия (§ 4 главы XIII и § 9 главы XIV) (для /^-множеств этот вопрос не
решен). Сумма двух /^-множеств или двух iV-множеств может не быть
/^-множеством или N-множеством (§ 11 главы XII и § 8 главы XIII), для С/-мно-
жеств, если они замкнутые, вопрос решается положительно (§ б главы XIV),
в остальных случаях он не решен. Добавление к iV-множеству счетного мно-
множества не выводит за класс N-множеств (§ 8 главы XIII); для /^-множеств и
G-множеств этот вопрос не решен.
Изучение поведения замкнутых множеств обычно значительно проще,
чем в общем случае, однако и здесь возникают очень большие трудности.
Даже если рассматривать симметрические совершенные множества (§ 19
главы XIV), то лишь в случае, когда fft ->у , заведомо получаются М-мно-
жества (§ 12 главы XIV), а в случае, когда |ft ->0 очень быстро (например,
|fc = о (-А ), получаются U-множества (§ 22 главы XIV), в остальных же слу-
случаях начинают играть роль арифметические законы. Эти арифметические
законы, в частности, не дают возможности использовать понятие размер-
размерности по Хаусдорфу для классификации множеств в отношении любой
из рассмотренных трех проблем: мы видели в § 9 главы XII, что мно-
множество может иметь размерность как угодно близкую к единице и быть
/?- и АЧшожеством, а при размерности, близкой к нулю, не быть ни /?-, ни
JV-множеством.
Так же обстоит дело и с проблемой единственности: поскольку мно-
множество с постоянным отношением | имеет размерность т^, то можно сде-
сделать эту величину как угодно близкой к единице, взяв | достаточно близ-
близким к -у, но при этом, если в = у не есть число Пизо, мы получим М-мно-
жество (§ 20 главы XIV). И наоборот, если положить I = —, где т — це-
целое, то множество будет U-множеством (так как в = -у = т — число
Пизо), а между тем -^ может быть сделан как угодно малым, если т
достаточно велико.
Все сказанное здесь имеет целью показать, что проблемы, которые мы
изучали в трех последних главах, еще очень далеки от разрешения и требуют
проникновения в тонкие вопросы теории чисел.

840 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
§ 24. О быстроте стремления к нулю коэффициентов нуль-ряда
Пусть тригонометрический ряд
Ц- + 2 ап cos пх + Ьп sin пх B4.1)
^ п = \
сходится к нулю почти всюду. Возникает вопрос, при какой скорости стрем-
стремления к нулю его коэффициентов отсюда уже следует
ап = Ьп = О (л = 0,1,2,...)- B4.2)
со
Ясно, что если 2 ап + Ь\ < + °°, то B4.2) сразу вытекает, так как ряд
п=\
B4.1) оказывается рядом Фурье. Однако, если мы предположим, что
п = \
B4.3)
то ряд B4.1) не должен быть рядом Фурье, и тогда заранее нельзя сказать,
должно ли B4.2) иметь место, или ряд B4.1) может быть нуль-рядом.
Из критерия § 11 вытекает, что если мы найдем монотонную функцию
F (х), постоянную на смежных интервалах к некоторому совершенному мно-
множеству Р меры нуль, и такую, что ее коэффициенты Фурье—Стилтьеса
стремятся к нулю, то это Р будет М-множеством и коэффициенты Фурье—
Стилтьеса для F(x) будут коэффициентами нуль-ряда. Поэтому вопрос о том,
с какой скоростью могут стремиться к нулю коэффициенты нуль-рядов, тесно
связан с вопросом о том, с какой скоростью могут стремиться к нулю коэффи-
коэффициенты
сп= J e-inxdF B4.4)
для монотонных сингулярных функций.
Этим вопросом занимался ряд авторов, например, Литтльвуд (Little-
wood И), Винер и Винтнер (Wiener and Wintner W), Шеффер (Schaeffer M),
Салем (Salem W) и, наконец, Ивашев-Мусатов Pi» f2l. Наиболее сильным резуль-
результатом является результат Ивашева-Мусатова^. Он показал, образно говоря,
что если функция % (у), заданная на полупрямой у ^> 0, стремится к нулю
достаточно регулярно при у -> °о, и если
У
jX2(v) dy -+ ©о при у—>оо, B4.5)
то можно найти такую непрерывную на [0, 2п] монотонно неубывающую
F (х), постоянную на смежных интервалах к некоторому совершенному мно-
множеству Р меры нуль, что
сп = jV"«dF^o{% (л)) , B4.6)
о
т. е. что, грубо говоря, при известной регулярности, сп может как угодно
быстро стремиться к нулю, лишь бы 2 \сп-2 — + °°-
Можно сразу сказать, что если на % (у) не наложить никаких ограниче-
ограничений, кроме B4.5), то выполнение B4.6) невозможно, так как, например,
лакунарных нуль-рядов, как мы знаем, не существует (см. § 6). Однако все
же возможно, что наложенные О. С. Ивашевым-Мусатовым на функцию % (у)
условия регулярности можно ослабить; эти условия таковы:
1) f()O

§ 24 О БЫСТРОТЕ СТРЕМЛЕНИЯ К НУЛЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ НУЛЬ-РЯДА 841
2) для любого е> 0 имеем у1+е%2(у) -> °°,
3) существует такое ш> у, что утх(у) t °°-
Как построение множества Р, так и самое доказательство теоремы
Ивашева-Мусатова очень сложны, поэтому мы их здесь не даем. Здесь же
мы отметим лишь следующее: если не стремиться получить соотношение
B4.6), а только заботиться о том, чтобы 2 \сп\2 расходился так медленно,
П=—се
как мы захотим, то можно не требовать никакой регулярности. Точнее, можно
найти такую F (х), постоянную на смежных к Р интервалах, для которой
сп -> 0 при п -> + °° и при этом
1 \cn\* = O(V(N)), B4.7)
п=—N
где W (N) f оо как угодно медленно. Это предложение мы сейчас и докажем.
Но для удобства сравнения с результатами § 12 главы V мы будем писать
коэффициенты Фурье—Стилтьеса не в комплексной, а в действительной фор-
форме. Итак, докажем теорему, на которую мы уже опирались в § 12 главы V.
Теорема. Пусть W (и) > 0 и W (n) f °° при п ~^°°, но в остальном
она произвольна. Существует совершенное множество Р, тР = 0, и такая
монотонная F (х), постоянная на смежных к Р интервалах, что для
2л 2л
а„ = ^|cosnxdF и pn = ^\sinnxdF B4.8)
о 6
имеем
«„-*0, рп->0 B4.9)
и
). B4.10)
Доказательство. Положим
. B4.11)
Не нарушая общности, Аможно считать, что
Действительно, если B4.10) выполнено для Ф* (п), где ^(и)^: W(n)} то
оно верно и для W (и), а У7* (п) можно подобрать так, чтобы
g*(n-l) «
е (")
где g* (п) = У* B").
Теперь положим
еп = \-?{п~1) . B4.12)
Тогда
О < е„ < 1 и е„—>0 при и -> со .
Строим совершенное множество Р так, как указано в § 12, но принимая
за ?п числа из B4.12): Тогда, сохраняя все обозначения этого параграфа,
имеем
Ц^ ^ B4.13)
а потому mRm -> 0 и шР = О

842 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Строим Fm (х) так *):
Fm@) = 0, FmBn) = l,
Fm (x) интерполируется линейно на сегментах qf системы Rm (i = 1, 2, ..., 2m).
Ясно, что Fm+1(x) = Fm(x) на 5m, F'm(x) = О на Sm,
л: B4.14)
Если обозначить ^m = max ek, то последовательность Fm (x) сходится
равномерно к непрерывной F (х), причем
^ . B4.16)
Ясно, что F (х) монотонна, постоянна на каждом смежном к Р интервале,
но не константа на [0, 2л].
Покажем, что для нее числа
2л 2л
ап = — Г cos nx dF , /?„ = — f sin nx dF
Л J Я J
о о
удовлетворяют условию B4.10). С этой целью мы подсчитаем сначала модуль
непрерывности F (х). Имеем в силу B4.15)
и в силу B4.16)
jfi(x + ft)_ Fm(x)\ +
^ + 1^T. B4.17)
Выберем при заданном /г число т так, чтобы
Это при малых /г всегда возможно и притом единственным образом, так как
последовательность
f]m Ш Rm
монотонно возрастает и стремится к бесконечности.
В силу B4.13) и B4.18) находим из B4.17)
^ + |/z||<
4^ i )). B4.19)
*) В § 12 мы строили функции Fm (x) несколько иначе, в результате чего они не были
монотонны. Однако, для определяемых здесь Fm (x) график на [0, Ъъ\ выглядит так же,
как для прежних на 0,-1 а потому дальнейшие формулы, например B4.14), B4.15),
B4.16), получаются так же, как в § 12.

§ 24 О БЫСТРОТЕ СТРЕМЛЕНИЯ К НУЛЮ КОЭФФИЦИЕНТОВ НУЛЬ-РЯДА 843
Но так-как из B4.18)
то
а потому в силу g,(m) f °o из B4.19) и B4.11)
Следовательно,
со (<5, F) = О
B4.20)
Это и есть оценка, которую мы хотели получить.
Построим функцию f(x) так:
при
оо < X
оо .
Ясно, что /(х) — периодическая, непрерывная на —о<<+ (
fBn) = FBtc)—1 =0= /@)); кроме того, она с ограниченным изменением
на [0, 2п) в силу монотонности F (х). Мы имеем для модуля непрерывности
этой функции в силу B4.20)
Ц . B4.21)
Поэтому, полагая
найдем
2л
2п
[$)^JHi)] [i] B4.22)
в силу B4.21).
С другой стороны, в силу равенства Парсеваля, обозначая через Ак и Вк
коэффициенты Фурье для / (х), имеем
(pn(u)du = 87inj> (А2к
sin2
кп
B4.23)
Поэтому из B4.20) и B4.23) находим
8п п 2 (Л1 + Bt) sin»^ = О Ц- V(n)] ,
откуда и подавно
2 (А
к=\
sin^ ^ = O{-^ ?(nj) .

844 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Так как sin х > — х при О <Г х < -^, то
. 9 t л ^ к2 , Л о
sirr/c-^—^—г" ПРИ /с = 1, 2,..., я,
а потому
J *2 (AI + В» = О (У (я)). B4.24)
Теперь заметим, что коэффициенты Фурье—Стилтьеса от F(x) могут
быть вычислены так:
2л 2л
1 г* 1 ^
ап = — cos ях dF = — I cos ях d/, (пф 0)
о о
2л 2л
I
п Л
Но
2я
f cos nxdf = f (x) cos ях я + я I / (x) sin ях dx,
о о
2л 2л
J sin nxdf = / (x) sin ях Я— я J/ (x) cos ях dx
о о
О О
и так как f(O) = f Bл) = 0, то
ап = пВп, рп = — п Ап,
откуда, принимая во внимание B4.24), находим
п
что и надо было доказать.
То, что ап ->0 и /Зп -> 0, доказывается почти так же, как в § 12, и этим
заканчивается доказательство теоремы.
§ 25. О единственности для различных методов суммирования
Проблему единственности можно несколько обобщить.
Условимся говорить, что множество Е есть множество единственности
для метода суммирования Т и обозначать его через U(T), если для всякого
тригонометрического ряда
-у- + 2 ап cos ях + Ьп sin ях, B5.1)
lim an = 0, lim^ bn = 0
суммируемого методом Т к нулю всюду вне ?, имеем ап = Ъп = 0 (я =
= 0,1,2,...).
Гипотеза о том, что ап->0 и Ьп -> 0, существенна, так как, если от нее
отказаться, то уже множество, состоящее из одной точки, перестает быть
множеством единственности даже для простейших методов суммирования.

§ 25 О ЕДИНСТВЕННОСТИ ЛЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 845
Например, ряд -«- + J? cos nx с ограниченными коэффициентами сумми-
Z л = 1
руем (С, 1) к 0 для всех х, кроме х = 0 (mod 2я).
Так как при доказательстве теоремы Кантора о том, что пустое множество
есть [/-множество, пользуются фактически только тем, что если ряд сходится
к нулю, он и суммируется к нулю методом Римана, то тем самым доказано,
что пустое множество есть U(R), где R — метод суммирования Римана.
Аналогичные предложения могут быть доказаны для методов суммирования
Чезаро и Пуассона *).
Естественно поставить вопрос, что можно сказать о множествах U(T),
где Т — какой-либо метод суммирования с матрицей Теплица (см. Вводный
материал, § 5).
Зигмунд и Марцинкевич (Marcinkiewicz and Zygmund И) доказали сле-
следующую теорему.
Теорема Существует некоторый метод Теплица, для которого
пустое множество не является множеством единственности.
Другими словами, существует ряд B5.1), суммируемый к нулю всюду
некоторым методом Теплица, и у которого не все. коэффициенты равны нулю,
но стремятся к нулю. Мы увидим, что этот метод в известном смысле очень
похож на метод Римана. j
Рассмотрим множество Р с постоянным отношением | <-т> но являю-
являющееся УИ-множеством (их существование доказано в § 20). Тогда существует
ряд B5.1), сходящийся к 0"всюду вне Р. Пусть F(x) — его риманова функ-
функция, т. е.
Р / \ «о х2 ^Яп cos nx + bn sin nx
w 4 ^ п2
л = 1
Функция F (х) линейна на каждом смежном к Р интервале. Следовательно,
если х, х + h,x — h принадлежат одному и тому же смежному к Р интер-
интервалу, включая и его концы, то
F(x+h) + F(x-h) - 2F(x) == Q^ ^25^
Пусть х — любая точка из Р. Обозначая через р\т), ?2т\ • • •> $$ сегменты,
покрывающие Р в /л-м шаге процесса его построения (мы их нумеруем слева
направо), мы можем сказать, что для этой точки существует единственная
последовательность q{™ такая, что
x = i7eff>. B5.3)
m=0
Допустим сначала, что х =f= 0 и х =f= 2тг. Тогда если только m достаточно
велико, то 1 </т <2т. Для всякого такого m сегмент д\™ лежит между
двумя смежными к Р интервалами, пусть /im) и Г^\ где /im) слева, а /Bт)
справа от q(?\ Длины этих интервалов вообще различны, но из самого про-
процесса построения Р и из условия S <Z~r сразу следует, что
где ат — длина каждого ^т) (/ = 1, 2, ..., 2т).
*) Как показал И. И. Привалов t21, если ряд с коэффициентами, стремящимися к
нулю, суммируем методом Пуассона к нулю всюду вне замкнутого (/-множества, то все
его коэффициенты равны нулю. Таким образом, для замкнутых множеств U (Р) суть
обычные (/-множества (Р — для метода Пуассона).

846 ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Отсюда следует, что точки х + ат, х + у ат, х + 2ат принадлежат 4т)
з
или его левому концу, а точки х — ат, х —у ат, х — 2ат — к 1^ или его
правому концу. Таким образом, в силу B5.2) мы получаем
F (х + «/л)+F (X + 2 ат) - 2 F (х + |- ат)
F(x - am) + F(x - 2 am) - 2 F (x - -у«я
^ ^—^ = 0 . B5.4)
выражение
(x+am) + F(x + 2am)-2F^ + -|amj
г
F(x - aOT) + F(x- 2 aOT) - 2 F (x - -?- aml
-1 ^ ^ ;
I 2 am)
стремится к 0 в любой точке х, кроме, быть может, точек 0 и 2п. Однако
нетрудно сообразить, что и в этих точках соотношение B5.4) имеет место,
и таким образом ат (х) -*-> 0 всюду.
Положим hm=^~. Тогда соотношение ат(х) ->0 принимает вид
lim
/Л^оо
кх +ъ*sin kx) (^жгJ cos
= 0. B5.5)
Если обозначить частные суммы ряда B5.1) через Sn(x), то, применяя
преобразование Абеля, можно равенство B5.5) переписать в виде
lim % ankSk = Oy B5.6)
л->-оо к=0
где
kh\2 (sin
;я
j cos6(fc+l)ftn(* = <),l,2,...).
B5.7)
Но равенство B5.6) означает, что ряд B5.1) суммируется к 0 методом сумми-
суммирования с матрицей ||anft||, определяемой формулой B5.7), и нам осталось
доказать, что эта матрица есть матрица Теплица.
С этой целью обнаружим, что выполнены все три условия Теплица, т. е.
1) lim ank = 09
2) ? апк->\ при и->оо,
к=0
3) 2\апк\<С.
к=0

§ 26 МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ 847
То, что условия 1) и 2) выполнены, проверяется мгновенно. Мы можем
написать
00
к=0 к=0
khn
а этот последний интеграл сходится, таким образом условие 3) также вы-
выполнено.
Интересно отметить, что так как суммируемость по Риману к некоторому
числу S эквивалентна условию
lim Ц- + J? (ак cos kx + bk sin kx) [^^-J ] = s>
то рассмотренный здесь метод суммирования, в котором вместо множителя
f-^Tz—г где h -> 0, стоит выражение ( sl" "  cos б/с hn, где hn -> 0, действи-
действительно очень похож на метод Римана. Однако результаты в смысле мно-
множеств U(R) и U(T) для этого метода Т, как мы видим, совершенно различны.
§ 26. Множества относительной единственности
Существует другое направление, в котором можно обобщать проблему
единственности.
Пусть (S) — последовательность положительных чисел е0, е19 ..., еП9 ...,
удовлетворяющих условию
Определение. Множество ?, лежащее на [0, 2п]9 мы назовем мно-
множеством единственности относительно последовательности (S) или, кратко,
П=+ оо
U(S), если всякий тригонометрический ряд 2J cneinx c коэффициентами,
П=—оо
удовлетворяющими неравенствам
|с„|<е„ (n = 0,±l,dz2,...) B6.1)
и сходящийся к нулю всюду вне ?, имеет все коэффициенты, равными нулю
Ясно, что всякое [/-множество есть U(S) для любой последовательности
(S), но легко видеть, что и обратно, если ? есть U(S) для любой последова-
последовательности (S), то Е есть просто [/-множество.
Мы сейчас докажем, следуя Зигмунду (Zygmund^), теорему.
Теорема. Какова бы ни была последовательность (S), можно найти
соответствующее ей множество U(S) меры сколь угодно близкой к 2п.
Таким образом, если отказаться рассматривать любые тригонометри-
тригонометрические ряды с коэффициентами, стремящимися к нулю, а вводить некоторые
специальные ограничения, то как бы слабы ни были эти ограничения, мы все
же приходим к такому парадоксальному на первый взгляд результату: мно-
множества единственности уже не должны иметь меру нуль.
Для доказательства этого предложения рассмотрим множество Ps точек
х, удовлетворяющих условию
?7s<(s-^)<l -Vs, B6.2)
где r)s — последовательность чисел 0 <% <у, выбранных так, чтобы
но "т-->0. B6.3)

848
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ ГЛ. XIV
Ясно, что тР, = 2п{\—2rjs), а потому, если выбрать целые числа
п19 п2, ..., пА, ... так, чтобы
4 л (г]П1 + У]Пг +. .. + Пщ + ...)< ?,
то будем иметь, полагая
Пк
< Ал % г}П1с< в,
значит,
Мы докажем, что Р есть U-множество относительно последовательности
(S), составленной из чисел ss.
rt
С этой целью построим вспомогательную функцию (рис. 50) так:
х2 3
Тьа" "Т" "о~7Г На 0 ^ X Л ,
2 Л
(х - 3 /iJ
4/z3
О
на Л < х <^ 3 Л ,
на ЗЛ <С х <" л:.
Ее ряд Фурье имеет вид
или в комплексной форме
4 Г 1
п=1
где знак 2/' означает, что п = 0 пропущено.

§ 26 МНОЖЕСТВА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ 849
Пусть hs выбрано так, что 3hs = 2щ8. Легко сообразить, что тогда
Я5 (х) = I (sx, hs) = О на Р8. B6.4)
Действительно, из
следует для некоторого целого N
т. е.
и в силу периодичности Я (х, h) отсюда следует нужное утверждение, так как
Цх, Л) = 0приЗЛ<х<2тг —ЗА.
Пусть теперь
2cneinx B6.5)
— тригонометрический ряд, удовлетворяющий условию B6.1).
Рассмотрим формальное произведение ряда B6.5) на ряд Фурье от
-у Я5 (х). Имеем
%% 2 ^''**. B6.6)
Пусть
П~2~№е™ B6.7)
П=—оо
— это произведение. Легко видеть, что если 5 = пк (к = 1, 2, ...) и ряд
B6.5) сходится к нулю вне Р, то ряд B6.7) сходится к нулю всюду. В самом
деле, ряд B6.6) сходится быстро, а у ряда B6.5) коэффициенты стремятся к
нулю в силу B6.1). Значит, применимы теоремы Райхмана о формальном
произведении. Но из сходимости B6.5) к нулю вне Р следует его сходимость
вне всякого РПк, поэтому вне РПк ряд B6.7) для s = пк сходится к нулю.
С другой стороны на РПк заведомо ХПк(х) = 0 в силу B6.4), а потому ряд B6.7)
сходится к нулю на РПк, значит и всюду. Но тогда
Если мы теперь докажем, что
и при т = 0, +1, ..., то отсюда будет следовать, что все ст = О
(ш = О, ±1, ...)•
Имеем по формуле для коэффициентов формального произведения
As) __ у°°г v(s)
где у?} — коэффициенты ряда B6.6). Но эти коэффициенты равны нулю, если
р не имеет вид р = ns, и равны ^у-р^- в этом последнем случае, кроме того,
/*> = 1, поэтому
п
п= + 0° sin3n/z,

850
ПРОБЛЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
гл. XIV
что
Чтобы убедиться, что с(% -> ст при 5 -> °<эу надо, следовательно, доказать,
О при 5->оо (т = О, ± !,•••)•
^- т-'
sin3 n/zs
Это будет доказано, если докажем, что
п=\
sin nhs
nhs
sin nhs
nhs
-0.
Если n = 1, то из |cm_s| ->0и jcm+s| -> 0 при 5 -> oo видим, что сумми-
суммирование можно начинать с п = 2. Но в этом случае, приняв s> \m\y имеем
(п — 1) 5> \т\ для п = 2, 3, ..., а потому в силу неравенства Bб.1)и моно-
л = 2,3,...; 5 = |/л
О При 5-> оо .
Значит, достаточно доказать, что
^ sin3 nhs
л = 2 П ls
Но это действительно имеет место, так как hs = -«- %, а — -> 0 в силу B6.3);
поэтому
sin n/zs
nhs
|sinn/zs|
¦s\" _ .
| sin nfts j3
^, | sin nhs |3 a -v | s*n nfls
•^i П3 Л| S -^ I П/Zs
что легко доказать непосредственно (подобно рассуждению в § 66 главы I).
Теорема доказана.
Замечание 1. С этой теоремой интересно сопоставить ранее отме-
отмеченный факт, касающийся единственности для лакунарных рядов.
Допустим, что лакунарный ряд сходится к нулю вне некоторого мно-
множества If, тЖ < 2п. Следовательно, он сходится к нулю на множестве меры
больше нуля, а тогда все его коэффициенты равны нулю по теореме § 11
главы XI.
Отсюда вытекает, что если в качестве последовательности (s) взять
последовательность чисел ет, где
ет = 0 при тфпк,
где пк — лакунарная последовательность, то всякое множество Е
меры <2тс есть U(s) для этой последовательности.
Правда, Зигмунд в своем определении множеств типа U(s) предполагал
все ?„>0 и последовательность еп монотонно убывающей, но ничто не
мешает нам рассмотреть определение, в котором такое требование отсутствует.
Кстати, теорема Зигмунда сохраняет силу и при этом более общем определе-
определении. Только при доказательстве надо сначала взять
дк = max en,

§27 МНОЖЕСТВА ОТНОСИТ. ЕДИНСТВ. ЛЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 851
затем выбрать последовательность rjk так, чтобы rjk -> О и—Л-->0, и дальше
проводить все по-прежнему, но заменив ек через дк.
Замечание 2. Зигмунд доказал также, правда наложив на после-
последовательность (s) некоторые ограничения, что можно построить множества
U(s) меры 2тг.
§ 27. Множества относительной единственности для различных
методов суммирования
Введенное Зигмундом определение множеств относительной единствен-
единственности (см. § 26) можно расширить. Во-первых, вместо рассмотрения рядов,
у которых коэффициенты удовлетворяют условию
где {sn} —заданная последовательность, можно рассматривать вообще неко-
некоторый класс Т тригонометрических рядов и говорить, что множество Е есть
[/(Т)-множество, если каждый раз, как ряд входит в класс Т и сходится к
нулю всюду, вне Е, то его коэффициенты все равны нулю. Во-вторых, сходи-
сходимость можно заменить суммируемостью тем или иным методом. Укажем
один результат, где оба эти расширения введены одновременно. Он принад-
принадлежит Броману (BrowmanW). Именно, при заданном а @ < а < 1) рассмат-
рассматривается класс Та тригонометрических рядов, для которых удовлетворено
условие
2^±^<+оо. B7.1)
Множество Е называется множеством U(Ta) относительно метода
Абеля, если каждый раз, как тригонометрический ряд принадлежит классу
Та и суммируется к нулю методом Абеля всюду вне Е, то все его коэффициенты
равны нулю *). Броман доказывает теорему:
Для того чтобы замкнутое множество Е было множеством U(Ta) отно-
относительно метода Абеля, необходимо и достаточно, чтобы его (I — а)-емкость
была равна нулю.
О понятии а-емкости см. § 12 главы V.
Там же было доказано, что A — а)-емкость множества равна нулю тогда
и только тогда, когда его выпуклая емкость относительно последовательности
|—| равна нулю.
Это сразу наводит на мысль рассматривать вместо условия B7.1) более
общее условие
где {1п} — некоторая выпуклая последовательность, и изучать [/-множества
в этом классе рядов.
И действительно, как показала Темко **), при известных ограничениях,
налагаемых на {2.п}, [/-множествами относительно метода Абеля в этом
классе будут те и только те множества, для которых выпуклая емкость отно-
относительно {Яп} равна нулю.
*) При этом определении не требуется, чтобы коэффициенты ряда стремились к нулю.
**) Работа сдана в печать в Математический сборник.

ГЛАВА XV
ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ
§ 1. Введение
В 1915 году в своей б диссертации Н. Н. Лузин ввел такое определение:
функция f(x) изобразима тригонометрическим рядом, если существует такой
тригонометрический ряд, который либо сходится к ней почти всюду, либо
суммируется к ней почти всюду одним из трех методов: Фейера, Римана или
Пуассона.
Введя это определение, Н.Н.Лузин доказал (см. [м.эим.10^ g 79^ что
если /(х) — любая функция, измеримая и конечная почти всюду на [—я, тг],
то она изобразима тригонометрическим рядом, суммируемым к ней почти
всюду методами Римана и Пуассона.
И. И. Привалов И доказал, что в тех же условиях можно найти тригоно-
тригонометрический ряд, суммируемый к /(х) почти всюду методом Фейера.
Вопрос о том, можно ли заменить суммируемость сходимостью, оставался
очень долго нерешенным. Но в 1940 году Д. Е. Меньшов^ разрешил его в
положительном смысле опять для любой измеримой функции, конечной почти
всюду. Этот результат Д. Е. Меньшова будет изложен в § 2.
Возникает вопрос, необходимо ли для изобразимости функции тригоно-
тригонометрическим рядом предполагать, что она почти всюду конечна? Что можно
сказать об изобразимости / (х) для случая, когда / (х) = + °о ИЛи / (х) = — оо
на множестве меры больше нуля? Этому вопросу мы посвящаем § 3. Здесь
выясняется, что ответ различен в зависимости от того, как понимать слово
«изобразимость», т. е. в зависимости от тех методов, которыми мы суммируем
ряд. Если же речь идет не о суммируемости, а об обычной сходимости, то
проблема не решена до сих пор. Чтобы подойти к ее решению, представляется
целесообразным изучить для любого тригонометрического ряда поведение
его пределов неопределенности (т. е. верхнего и нижнего предела его частных
сумм). Этому посвящен § 4. Из доказанных там теорем, в частности, вытекает,
что если говорить не о произвольном тригонометрическом ряде, а о ряде
Фурье, то для него случай lim Sn (x) = + °° или lim Sn (x) = — оо не может
наблюдаться на множестве Е, тЕ^> 0.
§ 5 посвящен вопросу о том, каково множество тех функций, которые
могут быть пределами некоторой подпоследовательностиSnk(x) частных сумм
тригонометрического ряда. Здесь формулируется одна весьма общая теорема
Д. Е. Меньшова. В качестве одного из частных случаевэтой теоремы получается
существование универсальных рядов, т.е. такихтригонометрических рядов, что
для любой измеримой функции/(х) найдется подпоследовательность Snjc (x)
частных сумм ряда, сходящаяся к/(х) почти всюду. § 6 посвящен таким рядам.

§ 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ 853
Наконец, в § 7, расширяя понятие «изобразимости» функции тригоно-
тригонометрическим рядом, мы говорим о результатах, которые можно получить,
если вместо обычной сходимости (или суммируемости тем или иным мето-
методом) рассматривать сходимость по мере.
§ 2. Изображение функции, конечной почти всюду
Мы уже говорили в § 1, что Н. Н. Лузин доказал для любой/(х), измери-
измеримой и конечной почти всюду, существование такого тригонометрического
ряда
~- + Jr an cos nx + bn sin nx,
который суммируется к ней почти всюду методом Римана или Пуассона.
Мы отметили далее, что Д. Е. Меньшов усилил этот результат, заменив сум-
суммируемость обычной сходимостью. Мы будем здесь доказывать эту теорему
Д. Е. Меньшова с некоторым добавлением. Прежде чем сформулировать
нужную теорему, условимся в терминологии.
Следуя Н. Н. Лузину, мы будем называть примитивной для функции
/(х), определенной на отрезке [а, Ь], всякую непрерывную функцию F(x), для
которой
F' (х) = / (х) почти всюду на [а, Ь].
Н. Н. Лузин ЭД доказал, что для существования примитивной у функции
/(х) необходимо и достаточно, чтобы /(х) была измерима и конечна почти
всюду. Этот свой результат он использовал при решении вопроса об изобра-
изобразимости функции тригонометрическим рядом. Именно, предполагая /(х) изме-
измеримой и конечной почти всюду на [—я, л], он построил для нее примитивную
F (х) и доказал, что если продифференцировать ряд Фурье от F (х), то полу-
получится тригонометрический ряд, суммируемый к /(х) методами Римана и
Пуассона почти всюду на [—я, л] (см. tM-9^ [M-lol, § 79).
Д.Е.Меньшов доказал для любой /(х), измеримой и конечной почти
всюду, существование почти всюду сходящегося к ней тригонометричес-
тригонометрического ряда. Однако он при этом не ставил вопроса о том, можно ли полу-
получить такой ряд, отправляясь от одной из примитивных для F(x). Оказы-
Оказывается, что это делать возможно, именно мы докажем такую теорему
(см. Н. К. Бари^6!):
Теорема. Для любой функции /(х), измеримой и конечной почти
всюду на [—л, л], существует такая непрерывная на этом отрезке F(x), что
F' (x) — f(x) почти всюду на [—я, л], и результат почленного дифференциро-
дифференцирования ряда Фурье от F(x) есть тригонометрический ряд, сходящийся к f(x)
почти всюду.
Заметим, что даже если бы / (х) была суммируемой, существование такой
F(x) не является очевидным. В самом деле, если взять в качестве F(x) неопре-
неопределенный интеграл Лебега от / (х), то результат почленного дифференцирова-
дифференцирования ряда Фурье от F (х) совпадает с рядом Фурье от / (х), а этот последний
может расходиться почти всюду, и даже всюду (см. глава V, §§ 17 и 20).
С другой стороны, если тригонометрический ряд сходится почти всюду
к /(х), то после его почленного интегрирования получается ряд, который хотя
и сходится почти всюду, но его сумма F(x) может оказаться неограниченной
во всяком интервале, как бы мал он ни был (см. глава VIII, § 13); таким обра-
образом, F(x) даже не обязана быть непрерывной, и тем более примитивной
для /(х).

854 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
После этих предварительных замечаний переходим к доказательству
теоремы.
Прежде всего нам понадобится несколько лемм.
Лемма 1. Какова бы ни была абсолютно непрерывная на [—л, л]
функция*) Ф (х), для любого интервала (а, Ь), лежащего на этом отрезке,
и для любого сг> 0 существует такая непрерывная и с ограниченным изме-
изменением на [—я, л] функция %(х), что
а) % (х) постоянна на всех смежных интервалах к некоторому совершен-
совершенному множеству Р меры нуль, лежащему на [а, Ь], и совпадает с Ф(х)
вне (а, Ь);
б) полное изменение %{х) на [а, Ь] не больше полного изменения Ф(х) на
том же отрезке;
в) если F(x) — Ф(х) — %(х), mo\F(x)\ < а на [—я, л] и F(x) равна нулю
вне (а, Ь)\
г) коэффициенты Фурье для F(x) имеют порядок oi—).
Эта лемма является усилением леммы Н. Н. Лузина (смДм-9^, стр. 34
или [м-10], стр. 78) и по сути дела ею уже пользовался Д. Е. Меньшов (см. W,
лемма 1), хотя она и не сформулирована у него в таком виде.
Чтобы доказать эту лемму, мы прежде всего покажем, что если Ф (х)
абсолютно непрерывна на [а, /?], то можно построить такую непрерывную
монотонную %(х), совпадающуюсФ(х)в точках а и /? и постоянную на всех
смежных интервалах к некоторому множеству меры нуль, лежащему на
[а, /?], что
/5
n)[0(f) — x(t)]eintdt = o(l) при и->оо. B.1)
а
Действительно, как известно (см. глава XIV, § 18), существуют такие
непрерывные монотонные g(x), g@) = 0, gQri)= 1, постоянные на всех смеж-
смежных интервалах к некоторому совершенному множеству меры нуль на
[О, 2л], для которых
lim f e~int dg = O
л-с 0
(здесь п может и не быть целым; см. главу XIV, § 18). Покажем, что функция
% (t), определяемая условием
удовлетворяет нашим требованиям. Действительно, она непрерывна, моно-
монотонна, совпадает с Ф(f) при t=ant = ^, постоянна на смежных интервалах
к некоторому совершенному множеству меры нуль на [а, C] и для нее, как
легко видеть, имеем
lim (e~intdx = O, B.2)
так как аналогичное равенство, но на отрезке [0, 2л], имело место для g(x).
Но, интегрируя по частям, мы находим
—ife-intd0 +i$e-intdx, B.3)
*) Мы здесь не предполагаем Ф (ж) = Ф(— л), так что после периодического продол-
продолжения Ф(х) с периодом 2п она может оказаться разрывной в точках х = я (mod 2л).

§ 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ 855
так как обынтегрированный член равен нулю в силу совпадения Ф(г) и %{t)
в концах [а, /?]. Первый из интегралов правой части B.3) стремится к нулю
в силу абсолютной непрерывности Ф(^), а второй в силу B.2), откуда и выте-
вытекает справедливость формулы B.1).
Закончив это вспомогательное построение, разобьем теперь отрезок
[a, ft], заданный в формулировке леммы 1, на конечное число, пусть N, отрез-
отрезков [хк, хк+1] и х0 = a, xN = ft так, чтобы колебание O(t) на каждом из них
было меньше а. Построим на каждом из них %к (t), как только что было ука-
указано, в виде монотонной кривой, совпадающей с Ф(х)вхки хк+1 и постоянной
на смежных интервалах к некоторому совершенному множеству Pkf лежа-
лежащему на [хк, хЛ+1]. Положим %(t) = Ф(*)вне (а, ft) и я@= яА@ на [%к, Zft+1]
(fc = О, ..., N— 1). Тогда ясно, что функция %(t) удовлетворяет условиям
а) и б) леммы и функция F(t) удовлетворяет условию в); что касается условия
г), то оно есть немедленное следствие формулы
пI [&(t)~x(t)]e-intdt = 5lnx]+ \ф (t) - х(t)] t-Mdt,
где каждое из слагаемых правой части стремится к нулю при п->оов силу
B.1), а число слагаемых не зависит от и, а лишь от а.
Таким образом, лемма 1 доказана.
Переходим к доказательству небольшой вспомогательной леммы 2.
Лемма 2. Пусть [п,Ь] — некоторый отрезок, лежащий на [—тг, п\
и F (х) — непрерывная функция с ограниченным изменением на [—я, л] и
равная нулю вне [a, ft]. Если Sn(x) — частная сумма ряда Фурье для F(x),
а V — ее полное изменение на [а, ft], то
|SA(x)|<-^- B.4)
для любой точки х ? [0, 2тг], расстояние которой от [а, ft] не меньше числа
Действительно, имеем
B.5)
где Dn (и) — ядро Дирихле. Поэтому
Пусть ?> 0. Пусть vn(t) —непрерывная ломаная линия, совпадающая
с F (t) в точках а и ft и такая, что
Имеем на основании B.5)
ь
= /А(х) + /„'(х). B.7)
Но

856 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
при любых t и х, поэтому из B.6) следует
|/А(х)|<2е, B.8)
так как ft — а <^ 2л.
В интеграле Гп (х) производим интегрирование по частям. Так как vn (t)
совпадает с F(t) в точках а и ft, то обынтегрированный член равен нулю,
поэтому
B.9)
Но в силу условий леммы 2 для t ? [a, ft] мы должны иметь
а так как для q <^ \и\ <^ л имеем
то из B.9) выводим
Hovn(t) абсолютно непрерывна, поэтому j \v'n(t)\ dtравен ее полному изме-
а
нению на [a, ft], а это последнее не может превзойти полное изменение F (х)
на том же отрезке в силу построения ломаной vn(t). Отсюда
|/п(*I<-2^- BЛ°)
Из B.7), B.8) и B.10) находим
но так как е могло быть взято как угодно малым, то неравенство B.4) имеет
место, и, значит, лемма 2 доказана.
Соединяя леммы 1 и 2, мы имеем возможность доказать теперь лемму 3
(она является некоторым видоизменением леммы 4, упомянутой работы
Д. Е. Меньшова).
Лемма 3. Пусть ср (х) суммируема на [—л, л] и равна нулю вне некото-
некоторого отрезка [a, ft], лежащего на [—л, л]. Тогда для любого <т> О
молено найти такую F(x), непрерывную и с ограниченным изменением
на [—л, л]у что
а) F(x) есть примитивная для ср(х) на [—л, л]у
б) | F(x)\ < а на [—л, л] и F (х) = 0 вне fa, ft],
в) результат почленного дифференцирования ряда Фурье от F (х) есть
тригонометрический ряд, равносходящийся*) с рядом Фурье отср(х) почти
всюду на [—л, л],
г) если8п(х) есть частная сумма ряда Фурье от F(x), а точка х отстоит
от [a, ft] на расстоянии, не меньшем q, то
(x)\dx. B.11)
*) Напомним, что два тригонометрических ряда называются равно сходящимися в
некоторой точке, если их разность в этой точке сходится к нулю.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ 857
Доказательство. Положим
Тогда Ф (х) абсолютно непрерывна. Строим функцию % (х), удовлетворяющую
условию леммы 1 для заданных в лемме 3 отрезка [а, Ь] и числа а: затем
положим, как в лемме 1,
F(x) = <P (*)-*(*). B.12)
Условие а) удовлетворено потому, что % (х) постоянна на каждом смеж-
смежном интервале к некоторому множеству Р меры нуль на [а, ft]; значит,
%' (х) = 0 почти всюду на [а, ft], а потому F' (х) = Ф' (х) = ср (х) почти всюду
на fa, ft]. С другой стороны, вне [а, Ь] функция %(х) по построению совпадает
с Ф(х), значит, F(x) = 0 вне (а, Ь), но и ср(х) = 0 вне (а, Ь) по условию; следо-
следовательно, F' (х) = 9? (х) даже всюду вне (a, ft).
Условие б) удовлетворено в силу условия в) леммы 1.
Для доказательства того, что в) имеет место, заметим следующее: в силу
условия г) леммы 1 коэффициенты Фурье для F (х) имеют порядок о (—j .
Если a (F) есть ее ряд Фурье и о' (F) ряд, получаемый из него почленным
дифференцированием, то у ar (F) коэффициенты стремятся к нулю. Этим же
свойством обладают и ряд Фурье а (ср)у а значит, и их разность Т= а (ср)—о' (F).
Нам надо доказать, что Т сходится к нулю почти всюду, тогда условие в)
будет удовлетворено.
Если мы обозначим через 4s (х) функцию Римана для ряда Т, то ясно,
что 4s (х) есть неопределенный интеграл от Ф (х) — F (х) (или отличается от
него на линейную функцию), а так как % (х) постоянна на всех смежных интер-
интервалах дп ко множеству Р, то Ч* (х) линейна на каждом таком дп и потому ее
шварцева производная равна нулю на всех дп. Значит, Т суммируется к
нулю методом Римана на каждом &п и, следовательно, сходится к нулю на
каждом &п (см. глава I, § 71), т. е. он сходится к нулю почти всюду на [a, ft],
поскольку пгР = 0. Кроме того, вне [а, Ь] мы имеем ср (х) = 0, значит, Ф(х)
постоянна, hF(x) = 0b силу условия б) нашей леммы, следовательно, рас-
рассуждая так же, убеждаемся, что Т сходится к нулю вне (а, Ь). Итак, условие
в) выполнено.
Наконец, для доказательства г) заметим, что так как % (х) удовлетворяет
условию б) леммы 1, то ее полное изменение на [a, ft], пусть V (у), не превосхо-
превосходит полного изменения V (Ф) функции Ф (х) на том же отрезке, а потому в
силу B.12) имеем
V(FXV@)+V(xX2V@X2S\fp(()\dt B.13)
а
(последнее неравенство следует из того, что Ф(х) абсолютно непрерывна).
Наконец, применяя лемму 2 и пользуясь неравенством B.13), сразу видим,
что условие г) также выполнено. Итак, лемма 3 доказана.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы, напомним еще один заме-
замечательный результат Д. Е. Меньшова (см. глава VI, § 5).
Для любой измеримой функции/(х), конечной почти всюду на [—пу л],
существует последовательность совершенных, нигде не плотных множеств
Р1Л{[л = 1, 2, ...) таких, что
1) множества Р^ не имеют попарно общих точек, )
2) если Q = Рг + Р2 + ... + Р, + ..., то mQ = 2щ B.14)
3) /(*) = /,(х) на Р,С" =1,2, --О, J

858 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
где все /„ (х) — непрерывные функции с равномерно сходящимися рядами
Фурье на [0, 2л].
Переходим к доказательству основной теоремы.
Пусть / (х) — любая функция, измеримая и конечная почти всюду на
[—л, л]. Строим множества Р^ и функции/Дх) из упомянутой теоремы
Д. Е. Меньшова. Покроем каждое Р^ системами Н{™\ состоящими из конеч-
конечного числа неперекрывающихся отрезков; мы будем их выбирать так, чтобы
при любых [л vim каждая точка Рм лежала строго внутри одного из отрезков
составляющих Н™\ чтобы
Hf'aH™-» (/л = 2,3,...)
и, кроме того, чтобы для 1 <^ /и <С m и 1 < // <С т, но ц =f= //, множества
Я^т) и Hffi* не имели общих точек. Это всегда возможно, так как множества
Pf, совершенные и попарно без общих точек.
Положим
gm (*) =
Тогда
/Дх) на
m
О вне 2
B.16)
на множестве Q, определенном равенством B.14), т. е. почти всюду. Действи-
Действительно, если х ? Q, то найдется такое /л, что х ? Pfly значит, х ? Н{™ для m =
= 1, 2, ... и потому при m ^> \х будем иметь gm(x) = /Дх). Но наР^ имеем
/^ (х) = /(х), значит, gm (x) = f(x) при m ^ \i. Итак, B.16) доказано.
Полагая
*i (*) = &(*)> B.17)
видим, на основании B.16), что
f(x)=2Ym(x) на Q. B.18)
Рассмотрим множество
%т = ЯГ + т2 (Н™-* - Н™) (т = 2,3, ...).
Оно состоит из конечного числа отрезков или полуотрезков, которые мы
т
можем предполагать неперекрывающимися. Так как gm(x) = 0 вне ? Н1™\
т—\
a gm_! (х) = 0 вне 2 ДГ* в СИЛУ B-15)» и также в силу B.15) из Н™ с
с Я^ следует, что gm (х) = gm_x (х) на Я^т) (^ = 1, 2, ..., т — 1), то
3^@ = 0 вне gm. B.19)
Пусть
Qm = Pl + P2+-.- +^m. B.20)
m—1
Тогда Qm_i содержится в 2^ ^m>» a потому не имеет общих точек с l?m.
i
Мало того, поскольку мы выбирали Я^т) так, чтобы любая точка изР^ лежала
строго внутри одного из отрезков, составляющих Н™ (при ^ и т любых),

§ 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ 859
то Qm_! не имеет и общих точек с замкнутым множеством %ту которое полу-
получится из Wm присоединением к составляющим его интервалам всех их кон-
концов. Значит, расстояние от %т до Qm_x, а стало быть, и от <0?т до Qm_i есть
положительное число; обозначим его через qm\
Qm = Q{Qm-X, *m)>0. B.21)
Однако в силу того, что мера Qm_i стремится к 2л при т -> °о ясно, что
lim Qm = 0. B.22)
Обозначим еще через 8Р1 множество Я^, оно также состоит из конечного
числа отрезков, как и И?т (т ^> 2). Для дальнейшего отрезки, составляющие
множества 0?т для т ^> 2, нам понадобится раздроблять на еще более мелкие
отрезки. Именно, заметим сначала, что все функции gm (t)y определяемые фор-
формулой B.15), ограничены, так как каждая из fM(x) непрерывна. Поэтому в
силу B.18) и все ^Pm{t) ограничены.Следовательно, существуют такие кон-
константы уту что
, -n<x<n, /л = 1,2, ... B.23)
Мы можем эти ут предполагать отличными от нуля.
Пусть
А1У А2, ... , Ач
— отрезки, составляющие Wx и перенумерованные в любом порядке. Далее,
^2 разобьем на неперекрывающиеся отрезки As с общими концами, которые
нумеруем, начиная с vt + 1 до некоторого v2j и требуем, чтобы
и т. д. Вообще <%т разобьем на неперекрывающиеся интервалы Asy такие, что
4<-^,%-1<^т. B.24)
Мы видели, что q (Qm_i, 8?m) = ?>m> О (см. B.21)), поэтому из построения
интервалов As следует
\t — x\^Qmy если x?Qm_x и t?As при %_i<s<>m. B.25)
Положим
<Р* (*) = ™ На / i если rm-i < ^ < vm. B.26)
О вне 21 s
Имеем в силу B.23) и B.24)
\<P8(x)dx <ymZls<^-. B.27)
При vm_1 <5<rm и vm_1 <5'<rm, если s=t=s>, то 9?s(x) и ^s/(x) никогда
не являются одновременно отличными от нуля. Поэтому из B.26) следует,
что Ут(х) =2 <Ps (x)> значит,
t(x) = 2<Ps(x) на Q B.28)
5=1
в силу формулы B.19).

860 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
Заметим, что в силу построения функций fm(x), для каждой из них ряд
Фурье сходился равномерно. На основании B.15), так как отрезок f—л, л]
распадается на конечное число отрезков, на каждом из которых gm(x) либо
совпадает с fM (x) при некотором [л, либо равна нулю, то в силу принципа
локализации ее ряд Фурье должен сходиться всюду, кроме конечного числа
точек. Из определения Тш (х) (см. B.18)) и cps(x) (см. B.26)) тогда ясно, что и
для каждой cps (x) ряд Фурье сходится всюду, кроме конечного числа точек.
Пусть теперь
hx > h2 >... > hs >..., lim hs = 0,
S-voo
— последовательность положительных чисел, и
пг < п2 <... < ns <...
— последовательность целых чисел, мы их обе потом определим рекуррентно.
Положим
(^ §) B.29)
Покажем, что для каждого 5= 1,2, ... существует функция Fs(x),
удовлетворяющая условиям:
1) Fs(x) непрерывна и с ограниченным изменением на [—л, л],
2) \Fs{x)\<os Н*<х<я],
3) Fs(x) = 0bmAs,
4) F',(x) = <ps(x) почти всюду на [—л, л],
5) S^ (Fs, x) -» q>s (x) почти всюду,
6) если х ? Qm_ ! и vm_x <s^vm, то
Действительно, существование Fs (x), удовлетворяющей первым четырем
условиям, есть следствие леммы 3, так как <р5(х) = О вне As; в силу той же
леммы продифференцированный ряд Фурье от Fs(x) должен быть почти всюду
равносходящимся с рядом Фурье от cps(x); но этот последний, как мы уже
отмечали, сходится всюду, кроме конечного числа точек и, следовательно,
почти всюду сходится к cps (x). Отсюда сразу следует справедливость условия 5).
Чтобы доказать, что и 6) удовлетворено, заметим, что, если /?^5, где
vm-i <s<>m, то / ^ 1Гт, а потому по формуле B.21) имеем
e(Qm-i,4)>em- B.30)
Но тогда, так как Fs (x) построена по лемме 3, она удовлетворяет условию г)
этой леммы, значит,
jJ, B.31)
где д — расстояние от х до ASJ но х ?Qm-ly поэтому из B.30), B.31) и B.27)
следует
\SUFs,x)\^^-, x^Qm_lf B.32)
а это и есть условие 6).
Так K3KJFs(x)j <^ crs<^ YsHa основании B.29), то, полагая
^(x) = lFs(x), B.33)
l

§ 2 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ 861
видим, что ряд сходится равномерно, значит, F(x) есть непрерывная функция.
Мы докажем, что она удовлетворяет условиям теоремы, т. е. является при-
примитивной для/(х), и ряд, получающийся от почленного дифференцирования
ее ряда Фурье, сходится к f(x) почти всюду.
Мы имеем „
S'n{F,x) = --± J F(t)[-^Dn(t-x)]dt
и в силу равномерной сходимости ряда B.33)
S>n(F,x) = 2S'n(Fs,x)- B-34)
Пусть пг — 1 и Нг = 2тг. Допустим, что числа пг < п2 < ... < пк_г и
/*i> Й2> • • • > ^_! уже выбраны; про эти последние мы будем предпола-
предполагать, что если для данного 5 число т подбирается так, чтобы
*m-i<*<"m (тл>1), B.35)
Т0 й,<уеш B.36)
для всех s, удовлетворяющих неравенству B.35). На числа /zs, для
5 — 1, 2, ..., ^, ограничений накладывать не надо. Число Qm в неравен-
неравенстве B.36) есть то самое, которое определено формулой B.21).
Если все п19 По, ..., пк_х и hlf h2, ..., hk_± выбраны, то числа as9 опре-
определяемые формулой B.29) для 5— 1,2, ..., к—1, также определены и,
значит, функции Fs (х) тоже (s = 1, 2, ..., к — 1).
В силу свойства 5) функций Fs(x) можно по теореме Егорова найти такое
множество Ек9 тЕк^> 2п—-^> что
|5Л^,Х)-<РД*)|<^ Для х^Ек E = 1,2,.. .,/с— 1),
если только п достаточно велико. Выберем же п^> пк_г и столь большим,
чтобы для п^пк все предыдущие неравенства удовлетворялись. Тогда
k2\Sn(Fs,x)-<Ps(x)\<T Ддя п>пь и Х^ЕЬ' B-37)
s = l
Заметим теперь, что F's(x) —cps(x) почти всюду в силу свойства 4) функ-
функций Fs(x). Поэтому по теореме Егорова можно найти такое Wk, mWk> 2л—-р ,
что
±
если только |Л| достаточно мало *). Выберем hk таким, чтобы все предыдущие
неравенства удовлетворялись при \h\ <^ hk9 тогда
x?Wk. B.38)
*) Теорема Егорова обычно формулируется для последовательностей измеримых
функций. Однако, как показал Г. П. Толстов I11, если/ (х, у) измерима Б по совокупности
переменных и lim / (х, у) = F (х) на множестве Е} тЕ > 0, то можно для любого е > О
найти множество ? С Е, mi > тЕ — г, на котором f(x, у) -> F (х) равномерно при у -> 0.
В нашем случае теорема применима, так как каждая из Fs (x) непрерывна и, значит,
Fs (х + П) - Fs (х)
— ^ —7 измерима В по совокупности переменных х и h.

862 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
Мы потребуем, кроме того, чтобы hk < hk_1 и чтобы hk <C~o Qm> еслит
выбрано так, что vm_x </c<^m. После этого мы hk фиксируем; выбор пк
и hk фиксирует ак и функцию Fk(x). Таким образом, все функции Fk(x) по-
построены. Заметим, что hk->0 при к -> °°, так как при к -> °° имеем т -> °о?
а ет -> 0 в силу B.22).
Положим
к-*- оо к-* оо
Тогда тЕ = 2л и mW = 2л. Наконец, пусть
9 = QEW.
Тогда mW = 2л.
Докажем, что если х ?|f, то F'(x) = f(x), и ряд Фурье от F(x) сходит-
сходится к f(x).
Пусть х ? If, тогда х ? Q; значит, найдется такое ^, что х ? Р^; кроме того,
х(?ихAУ; значит, найдется такое к0, что х ?Ек для t^ t0 и х ( W*,
для /с > /с0.
Пусть п задано. Определяем к так, чтобы
пк^п<^ пк+х > B.39)
после этого для найденного к ищем т так, чтобы
^m_1<fe<^m. B.40)
Мы возьмем п столь большим, чтобы для соответствующего ему к иметь /с> к0
и для соответствующего т иметь /п — 1 ^> /и. При таком требовании из B.20)
следует, что
x^Qm_x B.41)
и, кроме того, из требования /с> /с0 следует
х?М^ и х?Ек. B.42)
Пусть е> 0 задано. Мы выберем п столь большим, чтобы для соответ-
соответствующих ему кит иметь
и
w-SVsw <*• B-44>
5=1
Последнее возможно, потому что х ? Q, а на множестве Q имеем равенст-
равенство B.28).
После того, как п выбрано столь большим, мы будем иметь в силу B.34)
и B.44)
\S'n(F,x)-f(x)\^\S'n(F,x)-Zys(x)\ + e<:
<2l\S'n(Fs,x)--<ps(x)\ + \S'n(Fk,x)\+ 2 \S'n(Fs)x)\+s. B.45)
Но на основании х ? Ек и B.37), B.39) и B.43) получаем
rn(Fs,x)-cps(x)\<\ + e. B.46)

ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ, КОНЕЧНОЙ ПОЧТИ ВСЮДУ
863
В силу B.40), B.41), B.32) и B.43) имеем
\S'n(Fk,x)\<±-<e.
Наконец, так как ~Dn (t—х) ^ п2, то для любой Fs (х) имеем
B.47)
Тогда на основании B.39), монотонного возрастания чисел пк и определения
as по формуле B.29) имеем
if<?- B-48)
s=k+\ 2 ns Z
Из B.45), B.46), B.47) и B.48) следует
\S'n(F,x)-f(x)\<4e
и, таким образом, мы убедились, что продифференцированный ряд Фурье от
F (х) сходится к / (х) в рассматриваемой точке х. Таким образом, первая
половина теоремы доказана.
Для доказательства второй половины заметим, прежде всего, что
F (х + h) - F (х) ^Fs(x+h)- Fs (x)
Пусть h Ф 0 задано. Подбираем к так, чтобы
B.49)
Мы будем предполагать h столь малым, что для соответствующего ему к
имеем к ^> /с0, т. е. х ? Wk, и, кроме того, как и раньше, удовлетворены B.43)
и B.44). Тогда
F(x+h)-F(x)
-f(x)
F(*+rF(x)-*ik(*)
к—\
Fs (x+ft) - Fs (x)
Fk
- Fk (x)
+ 2
k\
Fs (x)
На основании B.42), B.49), B.38) и B.43) имеем
k—\
2
l
Fs(x+h)
(x)
~<Ps (X)
B.50)
B.51)
Заметим теперь, что в силу B.41) и B.30) из того, что гт_±
следует для t?Ak
Кроме того, из B.49) и B.36) следует |ft| <-^ Qm, значит, для t
~

864 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
т. е. точки х и х + h обе лежат на положительном расстоянии от Д., a Fk(x) =0
всюду вне этого отрезка, поэтому
Fk (x) = 0 и Fk(x + h) = 0. B.52)
Наконец, в силу B.49) имеем \h\ ^> Нк+Ъ а потому
2
Fs(x+h)-Fs(x)
h
На основании B.29) и монотонного убывания чисел hs имеем
B.53)
а потому из B.53) следует
~ Fs(x + ti)— Fs(x)
<2 >4 = i<? (k>2). B.54)
h
Соединяя B.50), B.51), B.52) и B.54), найдем
п.) — F (х) j/ \
при х ? %?, значит, F' (х) = / (х) почти всюду.
§ 3. Изображение функции, обращающихся в + оо или —оо
на множестве положительной меры
Мы видели (см. § 2), что если функция / (х) измерима и конечна почти
всюду, то вопрос об ее изобразимости тригонометрическим рядом решен до
конца. Но возникает вопрос: если /(х) = + оо или f(x) = —°о на каких-то
множествах положительной меры, то что можно тогда сказать об изобрази-
изобразимости такой функции тригонометрическим рядом?
Оказывается, что здесь дело обстоит по-разному в зависимости от того,
идет ли речь о сходимости или о суммируемости тем или иным методом.
До сих пор неизвестно, можно ли найти тригонометрический ряд, кото-
который сходится к + °° или к — оо на множестве положительной меры. Правда,
обычно в таких случаях ряд не называют «сходящимся», но понятно, что
мы имеем в виду утверждение
lim Sn(x)= + oo C.1)
П-*-оо
И
lim Sn(x) = — oo C.2)
на множестве Я, /лЯ> 0.
Этот случай естественно отличать от случая расходимости, когда
lim Sn(x) просто не существует.
П-*со
Единственное, что мы можем сказать по этому вопросу, относится к
рядам Фурье. В § 4 будет доказано, что для ряда Фурье выполнение одного
из условий C.1) или C.2) на множестве положительной меры является невоз-
невозможным *).
*) Более того, в § 4 будет доказано, что для ряда Фурье, если lim Sn (x) = + оо на
Е, тЕ > 0, то lim Sn(x) = —оо почти всюду на Е.

§ 4 О ПРЕДЕЛАХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЧАСТНЫХ СУММ 865
Если требование сходимости к + °о (или к — ©о) заменить на требование
суммируемости к + °о (или к — оо)) то надо еще уточнить, о каком методе
суммирования идет речь. Ю. Б. ГермейеромШ доказано, что не может суще-
существовать тригонометрический ряд, который суммируется методом Римана
к + °° (или к — °°) на множестве положительной меры. Между прочим,
отсюда вовсе не вытекает, что нельзя построить ряд, сходящийся к + °° на
множестве положительной меры, так как теорема о том, что сходимость ряда
в точке х0 к числу S влечет его суммируемость к S в точке х0 методом Римана,
верна лишь для S конечного.
Что касается метода Пуассона, то здесь дело обстоит иначе. Именно,
Н.Н.Лузиным и И.И.Приваловым^ доказано, что существует аналити-
аналитическая функция w(z), голоморфная внутри круга \z\ < 1 и такая, что Re w{z)
стремится к + °°, когда z стремится по радиусам к точкам некоторого мно-
множества меры 2тг, лежащего на окружности (см. также И. И. Привалов^-191,
глава IV, § 5). Так как действительная часть аналитической функции есть
гармоническая функция, то ее можно изобразить в виде
х) = -у-
cos пх + bn sin
и утверждать, что при г-> 1 функция Р(г, х) -> + оо для всех х, принадле-
принадлежащих некоторому множеству Е> тЕ = 2тг; следовательно, ряд
-^- + У' ап cos пх + bn sin пх
суммируем почти всюду методом Пуассона к + °о.
§ 4. О пределах неопределенности частных сумм
тригонометрического ряда
Обозначим
S (х) = lim Sn (x),
S(x)=lim Sn(x)
и будем называть функции S (х) и S (х) соответственно верхним и нижним
пределами неопределенности частных сумм тригонометрического ряда.
Для решения вопроса об изобразимости функции тригонометрическим
рядом важно иметь ясное представление о поведении этих функций 5(х)и
5 (х). Докажем прежде всего следующую теорему (Marcinkiewicz and Zyg-
)
Теорема Зигмунда и Марцинкевича. Если тригонометри-
тригонометрический ряд суммируем методом (С, 1) на множестве Я, шЯ> 0 к конечной
функции S (х), и если
— оо < Hm Sn (x) < + оо для х е Е,
то почти всюду на Е
lim Sn (x) > — оо

866 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
Полагаем
<Рп(х)= sup{S*(x)}.
Очевидно, что
M*)>Pn+i(*) (л = 1, 2, ...)
и
lim <pn(x)=~S(x).
Пусть ?> 0. В силу теоремы Егорова и С-свойства можно найти такое
М, что
МсЕ, тМ>тЕ — е,
все функции<рп(х) непрерывны на М и последовательность уп(х) сходится на
М равномерно. Если так, то S (х) непрерывна на М.
Заметим теперь, что так как <рп (х) -> S (х) равномерно на М, то можно
написать
$n(x)<<Pn(*)<$(x) + rin Для хеМ, D.1)
где г]п -> 0.
Пусть х ? Е; тогда рассматриваемый ряд суммируем (С, 1) к S(x) в этой
точке. В силу формулы Рогозинского (см. глава IV, § 6) тогда для любого
ф
а из 0 <^ а <^— имеем в этой точке х
+ Rn(x,a)y D.2)
где Rn (x, а) ->0 равномерно относительно анаО^
Но на основании леммы из § 13 Добавлений, если х0 есть точка М, являю-
являющаяся его точкой плотности, то можно найти Хп такие, что
D.3)
Из D.2) находим
*п +i[$n(Xo + K) + Sn(xo-ln)]-S(xo) = [Sn(xo) -S(x0)]cosnAn, D.4)
где еп -+ 0.
Соединяя D.1) и D.4), получаем
cos п К [Sn(x0)- S(x0)] < 1 [S(x0 + К) + S(x0 - К)] ~ S (x0) + sn + rjny
а так как п Хп -> л и S (х) непрерывна на М, то в силу D.3) находим
- [S (х0) - S (х0)] < S (х0) - S (х0),
откуда
2S(xo)<S(xo) + _S(xo).
В частности, в силу конечности S (х0) и S (х0) имеем
S (х0) > 2 S (х0) - S (х0) > - - . D.5)
Но так как х0 — любая точка плотности М, а тМ > тЕ — е, где е > 0 было
наперед задано, то D.5) справедливо почти всюду на Е.

§ 4 О ПРЕДЕЛАХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЧАСТНЫХ СУММ 867
Итак, утверждение теоремы о том, что
lim Sn(x) > — оо почти всюду ка Е ,
уже доказано.
Теперь рассмотрим ряд
Я_ _{_ % с рпя Icy А- п <^1Т\ кх
2 7 L- ь tUo Г\,Л L* Ь Oil! Г\,Л, .
1 ^^eJ Л 'Л. 7
где ск — — ак, йк — — Ък. Для него будем иметь, обозначая его частные
суммы через S?}(x):
W(х) =Шп S(nX) (х) = — S (х).
Но хМы уже видели, что S (х) почти всюду на Е конечна. Значит, к lim S{n(x)
можно применить предыдущие рассуждения и получим, что
Значит,
или
S(х) < — S (x) + 2S(х) почти всюду на Е. D.6)
Объединяя D.5) и D.6), видим, что теорема полностью доказана.
Следствие. Если рассматриваемый тригонометрический ряд есть
ряд Фурье от /(х), то для почти всех х $ [0, 2л] имеем
где <р(х) — некоторая неотрицательная функция.
Это непосредственно вытекает из предыдущей теоремы и из того, что ряд
Фурье от f(x) почти всюду суммируем к f(x) методом (С, 1).
Отсюда, в частности, следует, что если на некотором Е, ш?> 0 для ряда
Фурье имеем lim Sn (x) = + °°, то почти всюду на Е имеем lim Sn (x) = — оо^
Таким образом, для ряда Фурье невозможен случай *), когда
limSn(x) = + ©о или limSn(x) = —со на Е,тЕ>0.
/7—»-оо /7—»-оо
Для общих тригонометрических рядов до сих пор не решен вопрос,,
может ли на некотором Е, тЕ> 0, иметь место соотношение
lim Sn (x) = + оо , \lmSn(x) > — оо .
Возвращаясь к рядам Фурье, отметим следующий результат Д. Е. Мень-
Меньшова f9i> t12l, представляющий теорему, обратную к только что доказанной.
Теорема 1 Меньшова. Пусть ср(х) — произвольная неотрица-
неотрицательная функция, измеримая на [0, 2л]. Тогда существует такая f(x)?L,
что для ее ряда Фурье
lim Sn (x) — f (x) + <р(х) , г -,
' ч ; w почти всюду на\ —лул\.
*) Впрочем, это последнее утверждение можно было бы получить и без теоремы
Зигмунда и Марцинкевича. Действительно, мы знаем, что если Sn -+ -f- o° , то и вп -»- -f оо ,
где вп — чезаровские суммы (см. § б Вводного материала). Между тем у ряда Фурье
вп(х) -+ f(x) почти всюду по теореме Фейера—Лебега (см. глава I, § 49).

868 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
При этом(р(х) может быть равна + °° на множестве, положитель-
положительной меры.
Эта теорема позволила Д. Е. Меньшову решить вопрос о том, можно ли
построить тригонометрический ряд по заданным пределам неопределенности.
Именно он доказал следующую теорему.
Теорема 2 Меньшова tl2J. Пусть F (х) и g(x) — две функции,
измеримые на [—п, п] и удовлетворяющие условию
g(x)<^F (х) почти всюду на [—л, л].
Если g (х) и F (х) обе конечны почти всюду, или g(x) = — оо? a F (х) = + оо
почти всюду, то можно найти тригонометрический ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю, для которого g(x) есть нижний, a F(x) верхний предел
неопределенности почти всюду на [—щ п].
Чтобы получить теорему 2 из теоремы 1, достаточно положить
<р(х)= V 2 gv-;, У(Х) = ¦ 'z >
если F (х) и g (x) почти всюду конечны и
<Р (х) = + оо , у> (х) = 0,
если g (х) = — оо, F (х) = + оо почти всюду.
Тогда ср(х) и у) (х) измеримы, у) (х) конечна иср(х)^О почти всюду на
[—71, 7l].
На основании теоремы 1 строим/(х) так, чтобы, обозначая черезSn(x)
частные суммы ее ряда Фурье, иметь
limSn(x)=f(x)~cp(x).
Пусть 7\ есть этот ряд Фурье. Так каку(х) — /(х) измерима и конечна
почти всюду, то на основании теоремы § 2 можно найти тригонометрический
ряд Т2, сходящийся к ней почти всюду. Тогда, складывая Тг и Г2, получим
тригонометрический ряд Т, для частных сумм которого S% (x) будем иметь
Остается заметить, что у ряда Т коэффициенты стремятся к нулю, так
как это верно для Т19 как ряда Фурье, и для Т2, поскольку он сходится почти
всюду. Теорема 2 доказана.
Замечание. Теорема 2 остается в силе, если g(x) и F(х) конечны
на некотором Е, и g(x) = — оо? F (х) = + оо на СЕ (тЕ> 0 и тСЕ> 0).
Действительно, если положить
* W 6 \л/
2
+ OO
F (x) + g (x)
2
0
на
на
на
на
Е,
СЕ,
Е,
СЕУ
то дальнейшие рассуждения проходят без изменений.
Это замечание принадлежит П. Л. Ульянову.

§ 5 О МНОЖЕСТВЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 869
Таким образом, вопрос об определении тригонометрического ряда по
заданным пределам неопределенности g(x) и F(x) решен полностью, если на
любом множестве положительной меры либо g(x) и F(x) почти всюду конечны,
либо g(x) = — оо? a F(x) = + оо.
Если на множестве Е, т?>0, одна из функций конечна, а другая
бесконечна, или обе равны + °о (или — °о), то задача еще не решена и,
по-видимому, чрезвычайно трудна.
§ 5. О множестве предельных функций для тригонометрического ряда
Д. Е. Меньшов поставил и решил еще один важный вопрос, касающийся
поведения последовательностей частных сумм тригонометрических рядов.
Чтобы его сформулировать, введем определение.
Определение 1. Мы скажем, что измеримая функция f(x) есть
предельная функция для некоторого тригонометрического ряда в смысле
сходимости почти всюду, если существует такая возрастающая последова-
последовательность натуральных чисел rik, что
lim Snk (x) = f (х) почти всюду на [— тг, тг],
где Sn(x) — частные суммы данного ряда.
Д.Е.Меньшов поставил следующую проблему. Пусть M={f(x)} —
некоторое множество измеримых функций, определенных почти всюду на
[—л, тг]. При каких условиях оно может быть множеством всех предельных
функций для некоторого тригонометрического ряда? Он дал на этот вопрос
исчерпывающий ответ. Чтобы сформулировать этот ответ, нужно ввести
определение.
Определение 2. Пусть множество М = {/(*)} составлено из изме-
измеримых функций, определенных почти всюду на некотором отрезке [а, ft].
Функцию ср{х) назовем предельным элементом множества М в смысле сходи-
сходимости почти всюду, если существует последовательность функций <рп{х),
принадлежащих М и таких, что
почти всюду на [а, ft].
Множество М будем называть замкнутым в смысле сходимости почти
всюду на [a, ft], если оно содержит все свои предельные элементы.
Приняв эти определения, мы можем сформулировать следующую теорему
Д. Е. Меньшова^:
Теорема 1. Для того, чтобы множество М = {/(*)}, составленное из
измеримых функций, определенных почти всюду на [—тг, тг], было множеством
всех предельных функций в смысле сходимости почти всюду для некоторого
тригонометрического ряда, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкну-
замкнутым в смысле сходимости почти всюду на [—тг, тг].
Добавим к этому, что тригонометрический ряд, который строит
Д. Е. Меньшов для множества М= {/(*)} (в случае, когда оно замкнуто
в смысле сходимости почти всюду), имеет коэффициенты, стремящиеся к
нулю.
Отметим здесь сразу некоторые интересные частные случаи.
Прежде всего, если множество М есть пустое, то из только что сформу-
сформулированной теоремы следует существование тригонометрического ряда с
коэффициентами, стремящимися к нулю, и у которого никакая подпоследова-
подпоследовательность частных сумм не является сходящейся почти всюду. Правда, этот

870 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
результат можно получить и изучая лакунарные ряды, так как мы видели
(см. главу XI, § 3), что если у лакунарного ряда
2! ак cos nk х + bk sin пкх
какая-нибудь подпоследовательность частных сумм сходится на множестве
положительной меры, то 2Jа1 + Н < + °о. Значит, для лакунарных рядов
с ак ->0, Ьк ->0, но 2аЪ + Щ = + °°, множество предельных'функций (в
смысле определения 1) является пустым.
Если множество М состоит из одной единственной функции / (х), то мы
приходим к выводу: существует тригонометрический ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю, у которого всякая подпоследовательность частных
сумм либо сходится почти всюду к заданной функции / (х), либо расходится
на множестве меры больше нуля.
Построение таких рядов было сделано Д. Е. Меньшовым еще до полу-
получения им общей теоремы. Он вводил тогда понятие почти сходящегося три-
тригонометрического ряда, несколько более жесткое, чем требование, чтобы у
ряда была одна только предельная функция в смысле сходимости почти всюду.
Именно, он предложил назвать тригонометрический ряд почти сходящимся
к функции /(х), если существует подпоследовательность S^ (х) частных сумм
этого ряда, для которой lim Snjc (x) = /(х) почти всюду, и если каждый раз,
как некоторая подпоследовательность Snk (x) сходится к конечной функции
<р(х)на множестве Е с [—щ л], тЕ> О, тоср(х) = /(х) почти всюду на Е.
По поводу почти сходящихся рядов Д. Е. Меньшов t17^ доказал следую-
следующую теорему, носящую парадоксальный характер.
Теорема 2. Каковы бы ни были три измеримые функции f± (x), /2 (х)
и /з(х), можно любой тригонометрический ряд разложить на сумму трех
тригонометрических рядов, каждый из которых почти сходится на [—щ ж ]
соответственно к f± (x), к /2 (х) и к /3 (х).
Если дополнительно потребовать, чтобы у заданного тригонометрич е-
ского ряда последовательность частных сумм была конечна по мере, т. е.
для любого М, множество
En{\Sn(x)\>M}
удовлетворяло условию lim тЕп = 0, то в случае, когда коэффициенты задан-
ного ряда стремятся к нулю, можно добиться и того, чтобы у трех рядов, на
которые мы его разлагаем, коэффициенты тоже стремились к нулю.
Сам Д. Е. Меньшов рассматривает эту теорему как указание на то, что
почти сходящиеся ряды не оправдали надежд, которые можно было на них
возлагать в смысле «хорошего» изображения определяемых ими функций.
Но вернемся к теореме 1. Рассмотрим еще один ее частный случай,
а именно тот, где М = {/(х)} состоит из всех измеримых функций, определен-
определенных на [—щ тг]. Такое множество, очевидно, тоже замкнуто в смысле сходи-
сходимости почти всюду на [—тг, тг]. Отсюда сразу вытекает существование так
называемых универсальных тригонометрических рядов, которым мы посвя-
посвятим § б.
§ 6. Универсальные тригонометрические ряды
Определение 1. Тригонометрический ряд называется универ-
универсальным, если для любой измеримой /(х) найдется такая подпоследователь-
подпоследовательность частных сумм этого ряда, которая сходится к f(x) почти всюду.
Самое существование таких рядов, конечно, нисколько не очевидно.
Различные авторы подходили к этому вопросу разными путями. Как мы уже

§ 6 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 871
говорили в конце § 5, существование универсальных рядов можно сразу
получить из теоремы 1 § 5. Но так как она нами была приведена без доказа-
доказательства, то мы считаем целесообразным изложить здесь результаты
В. Я. Козлова^, который дал простое и изящное построение универсального
ряда, а также извлек из своего метода построения этого ряда некоторые инте-
интересные следствия.
Опр еделение 2. Систему функций L2 на [а, Ь]
условимся называть линейно зависимой на Е с [а, Ь\ если существуют такие
константы ct (i = 1, 2, ..., N), не все равные нулю, для которых
сг <Р\ (х) + • • • + cn <Pn (х) = 0 почти всюду на Е . (б. 1)
Если мы положим
и назовем определитель ||д/7-|[ ,, определителем Грама на множестве Е для
системы {<Pj(x)}", то можно доказать теорему:
Теорема 1. Для того чтобы система функций была линейно зави-
зависимой на Е, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель Грама на этом
множестве был равен нулю.
Действительно, если система зависима на ?, то найдутся числа ch не все
равные нулю и удовлетворяющие уравнению F.1). Умножим это уравнение
последовательно на (р±(х), q>2(x), ..., q>N(x) и проинтегрируем по множеству Е,
это дает систему
сгап 212 l )
} F.2)
cNaNN = 0. J
Раз она имеет отличные от нуля решения, то ее определитель равен нулю.
Обратно, если этот определитель равен нулю, то система F.2) имеет
отличные от нуля решения. Мы можем записать эту систему в виде
j ... +CNq>N(x)]q>1(x)dX = Q9
Если первое из этих равенств умножить на съ второе на с2, ... и сложить,
то получим
откуда следует, что c199i(x)+ ... + cN<pN(x) = 0 почти всюду на ?, т.е.
система линейно зависима на Е.
Определение 3. Система {уп (х)} (и = 1,2, ...) называется суще-
существенно линейно независимой на \а, Ь], если любая ее конечная часть образует
линейно независимую систему на всяком множестве Е, тЕ^> 0, лежащем
на [а, Ь].
Ясно, что тригонометрическая система обладает этим свойством, так как
тригонометрический полином имеет на любом конечном отрезке лишь конеч-
конечное число нулей, а потому обращение его в нуль на множестве положительной
меры возможно лишь тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.
Теорема 2. Пусть Е с [а, й], причем тЕ <Ь — а. Если {(рп(х)}
существенно линейно независима на [a,b]u f(x)—любая функция, для кото-

872 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
рой f (х) <рп (х) € L при любом п, то всегда можно изменить f (x) на СЕ так,
чтобы она стала ортогональной к любым N функциям из нашей системы
(N — какое угодно целое число).
Доказательство. По условию теоремы, тСЕ> 0. В силу суще-
существенной линейной независимости системы мы можем утверждать, что рас-
рассматриваемые N функций линейно независимы на СЕ. Не нарушая общности,
можно предполагать систему занумерованной так, что эти функции будут
9^1 (х)> 9^2 (х)> • • •> <Pn(x)- Тогда в силу теоремы 1 имеем
КП?=о,
где
*tj= Svi(x)<Pj(x)dx, (/=1,2,. ..,7V; / = 1, 2,.. ., N).
СЕ
Положим ( f(x) на Е,
( f
гр (х) = ) N
\ 2ck<pk(x) на СЕ
и покажем, что константы ск можно подобрать так, чтобы гр(х) была ортого-
ортогональна ко всем срк(х)(к= 1,2, ..., N). Действительно,это равносильно равен-
равенствам
или
или
N
к
ИЛИ
j f(x) cpj (x) dx+ %ck j Vk(x) cpj (x) dx = 0,
E k=l CE
2ck Stpk(x)q>j(x)dX= - Sf(x)q>j(x)dx (/ = 1, 2,. . ., JV) ,
=l СЕ Е
ickakJ=- Sf(x)<pj(x)dx.
k— 1 E
Но определитель этой системы не равен нулю, значит она разрешима
(если она окажется однородной, то все ск равны нулю, но этот случай нет
необходимости исключать).
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть Е — любое множество, лежащее на [—щ п]у
тЕ < 2тг. Каково бы ни было целое число п и суммируемая функция / (х), ее
можно так изменить на СЕ, чтобы она стала ортогональной ко всем триго-
тригонометрическим полиномам порядка не выше п.
Для дальнейшего будет полезен еще один специальный случай, а именно:
Следствие 2. Пусть Е — любое множество на [—л} п\ симмет-
симметричное относительно точки х = 0п тЕ <2тг. Пусть п — любое целое,a f(x)
произвольная нечетная суммируемая функция. Тогда можно изменить f(x) на
СЕ так, чтобы она осталась нечетной, но стала ортогональной ко всем нечет-
нечетным тригонометрическим полиномам порядка не выше п.
Действительно, в предыдущем построении мы принимаем за функции
<Рь Ф2> • • •> ^лгФУнкЦии sin х, sin 2x, ..., sin Nx. Тогда гр (х) на СЕ представляет
нечетный тригонометрический полином Pn(x)h совпадает с нечетной/(х) на
Е. Так как Е симметрично относительно х = 0, то если х>0их(?, имеем
— х ^ Е, значит, \р (—х) = / (—х) = — / (х) = — гр (х), а если х > 0 и х ? СЕ,
то —х ? СЕ игр (—х) = PN (—х) = — PN (х) = —гр (х) и, значит, все доказано.
Мы теперь имеем возможность доказать теорему.
Теорема 3. Универсальные тригонометрические ряды существуют.

§ 6 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 873
Доказательство. Рассмотрим совокупность всех тригонометри-
тригонометрических полиномов с рациональными коэффициентами:
°>i(x) ,*>2(х),.. .,а>п(х),. . .
Ясно, что для любой функции ср (х), непрерывной на [—щ л\ и для любого
е > 0 можно найти такой полином соп (х), что
V 00 ~соп(х)\<е.
Пусть {еп} — последовательность положительных чисел, стремящихся
к нулю.
Пусть пг — порядок тригонометрического полинома со1 (х).
Положим g1 (x) = (о± (х), тогда
I <°i00 ~ Si (х) \<?i на [—л,л].
Пусть вг (х) = (о2 (х) — g± (х). Изменим ее вне отрезка [—л + е19 л — е±]
так, чтобы новая функция fr^x) стала ортогональной ко всем тригонометри-
тригонометрическим полиномам порядка <^пг. Так как в>±(х) на [—л + el9 л—ег] сов-
совпадает с тригонометрическим полиномом, то ее ряд Фурье сходится равно-
равномерно на [—л + 2е1Ул— 2ех], значит, обозначая через g2(x) его частную
сумму, состоящую из достаточно большого числа членов, можем добиться
того, чтобы
|0i(x) —&(*)!< е2 на [—л + 2е1Ул~2е1]
или
I ®аМ - &(*) -&(*)!< е2 «а [-я + 2е1,я-2е1].
Так как ^i(x) ортогональна ко всем тригонометрическим полиномам
порядка <^и1? то в g2 (x) входят лишь члены, содержащие cos kx или sin kx
/>
г
Допустим, что мы уже построили тригонометрические полиномы
&. (х)> & (х), • • •, gm-i W такие, что
а) в каждом gs (x) содержатся лишь такие cos kx и sin kx, для которых
к> ns_x, где ns_! — порядок полинома gi(x)+ g2(x)+ ... + gs_i(x)
E<ш —1);
б) имеем
-'-'-gs(x)\<?s на [-я + 2ев_1, ^-2ee_J
ДЛЯ 5 = 1, 2, . . ., /77 — 1.
Тогда мы построим gm (x) так: рассмотрим функцию
К (х) = сот (х) - [gl (х) + g2 (х) +... + gm_x (х)]
и изменим ее вне [—л -f ет_ъ л — em_i] так, чтобы она стала ортогональной
ко всем тригонометрическим полиномам порядка ^пт_ъ где пт_1 — порядок
полинома g1(x) + . . + gm_i(x). Получим функцию бГт(х). Она совпадает с
тригонометрическим полиномом на [—л +" em_i, ^г—em-i], поэтому на
[—п _|_ 2ет_1, я — 2гт_1] имеет равномерно сходящийся ряд Фурье и, значит,
взяв достаточно большое число его первых членов, получим полином gm (x)
такой, что
\\(х) ~ gm(x) \<?т на [- л + 2 ет_1, л - 2em_J ,
т. е.
I °>т 00- [gX W +• • - + gm (*)]| < ?ш На [- 7Г + 2ет_!, 7Г - ?т_х] .
Продолжая этот процесс, мы построим gm(x) для всех ш; тогда

874 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
есть обычный тригонометрический ряд, так как по самому построений) функ-
функций gm(x), если cos кх или sin кх содержится в gm(x), то /с> пт_1, где пт_1 —
порядок полинома g± (х) + ... + gm~i (x).
Докажем, что этот ряд является универсальным.
В самом деле, пусть f(x) — любая измеримая функция на [—п, л]. Всегда
можно построить последовательность непрерывных функций fm(x), сходя-
сходящихся к f(x) почти всюду на [—п, л]. Для всякой такой fm(x) можно найти
а)кт (х) так, чтобы
i /m(*) - *>**(*) I < ?т (~ Я<Х<Я) .
Но
^W -[&.(*)+...+ gkm(x)] | < skm ка [- п + 2 гкт_х, п - 2ekm_x].
Поэтому имеем
I /m (*) - [gi (x) +.. . + g*m (x)] |< sm + ekm на [л + 2 ekm_]y n - 2 е^_,],
а потому подпоследовательность частных сумм ряда 2J gm (х) с номерами кт
сходится к / (х) почти всюду.
Теорема доказана.
Замечание. 1. Если f(x) такова, что можно найти последователь-
последовательность непрерывных /т(х), сходящихся к ней всюду на [—п} л] или хотя бы
всюду, кроме концов этого отрезка, то из приведенного доказательства ясно,
что и выбранная подпоследовательность частных сумм нашего ряда сходится
к f(x) всюду, кроме, быть может, точек х = — л и х = я. В частности, если
f (х) = -f оо всюду, то можно положить fm (х) = т и получить отсюда
следствие.
Теорема 4. Существует тригонометрический ряд, у которого
некоторая подпоследовательность его частных сумм сходится к + °°
для —л < х < тт.
Полагая fm (x) =— , мы можем получить теорему
Теорема 5. Существует тригонометрический ряд, у которого неко-
некоторая подпоследовательность частных сумм сходится к 0 для —л <х <тг
(и при этом коэффициенты ряда не все равны нулю).
Если стремиться к получению ряда, у которого подпоследовательность
частных сумм сходится к нулю всюду без исключения, то надо несколько изме-
изменить предыдущее построение. Это можно сделать так: среди тригонометри-
тригонометрических многочленов соп (х) оставить лишь нечетные (это не помешает выбору
сокт (х) так, чтобы сокт (х) отличалось от fm (x) как угодно мало). В силу след-
следствия 2, так как 61(х) — нечетная функция, можно добиться, чтобы и в1(х)
обладала этим свойством, тогда им будет обладать и g2(x); продолжая это
рассуждение, убедимся, что все gm (x) будут нечетными тригонометрическими
полиномами, а тогда ряд 2 gm (х) сходится к нулю и в точках —л и л. Итак,
окончательно:
Теорема 6. Существует тригонометрический ряд, у которого
некоторая подпоследовательность частных сумм сходится к нулю
на — ©о <;* < + ©о (ц при этом не все коэффициенты ряда равны нулю).
Теорема 4 интересна тем, что, как мы отмечали в § 3, до сих пор неиз-
неизвестно, может ли тригонометрический ряд сходиться к + °° на множестве
меры больше нуля. Тем более это неясно, если речь идет о сходимости на
целом интервале [—л, л]. Но если речь идет о сходимости подпоследователь-
подпоследовательности частных сумм к + °о, то ответ дан теоремой 4.
Теоремы 5 и 6 можно сопоставить с результатами главы XIV. Мы знаем,
если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду, или всюду, кроме,

§ 7 сходимость по мере тригонометрических рядов 875
быть может, счетного множества точек, то все его коэффициенты равны нулю.
Мы видим, что это уже не имеет места, если вместо сходимости ряда гово-
говорить о сходимости подпоследовательности его частных сумм.
Возвращаясь к универсальным рядам, укажем, еще одну интересную
теорему Д. Е. Меньшова PaM6]:
Теорема Меньшова. Всякий тригонометрический ряд молено
представить в виде суммы двух универсальных тригонометрических рядов;
при этом) если коэффициенты заданного ряда стремятся к нулю, то и у
двух рядов, на которые мы его разлагаем, коэффициенты удовлетворяют тому
же условию.
Таким образом мы видим, что, несмотря на кажущуюся парадоксаль-
парадоксальность самого понятия универсального ряда, оказывается, любой тригоно-
тригонометрический ряд можно разложить на два ряда такого вида.
Замечание 2. Заканчивая рассмотрение универсальных рядов, мы
считаем необходимым обратить внимание читателя на работу А. А. Тала-
ляна^. Он доказал, что для любой полной ортогональной нормированной
системы {срп (х)} существует универсальный ряд, т. е. можно построить ряд
24iM)
П=1
обладающий свойством: для любой измеримой / (х) существует подпосле-
подпоследовательность частных сумм этого ряда, сходящаяся к / (х) почти всюду.
При этом /(х) может обращаться в + со или в — со на множестве положи-
положительной меры.
Можно добиться того, чтобы у этого ряда ап ->0 при п -> со (вопрос о
стремлении к нулю коэффициентов универсального ряда, построенного
В. Я. Козловым, остается открытым*)).
§ 7. Сходимость по мере тригонометрических рядов
Желая изобразить функцию тригонометрическим рядом, можно также
вместо того, чтобы искать ряд, сходящийся или суммируемый к ней тем или
иным методом, поставить вопрос о существовании ряда, сходящегося к ней
по мере.
Напомним, что некоторая последовательность измеримых функций
/i (х)у /2 (х)> • • •> fn (x) называется сходящейся по мере к функции /(х) на отрезке
[а, Ь], если для любого ?> О множество Еп(е) тех точек из [а, Ь], где
удовлетворяет условию
lim тЕп(е) = 0.
Л~»-оо
Это определение не годится, если / (х) становится бесконечной на мно-
множестве положительной меры. Но в этом случае уславливаются считать, что
fn (х) сходится по мере к / (х), если можно написать fn (x) — срп (х) + гп (х), где
lim <рп(х) — f(x) почти всюду, а гп(х) сходится по мере к нулю.
И-»со
Д. Е. Меньшов t?] доказал следующую общую теорему.
*) В последнее время студенты Московского университета М. И. Лившиц и
А. Я. Подрабинович доказали, что у ряда В. Я. Козлова коэффициенты не стремятся
к нулю.

876 ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ РЯДОМ ГЛ. XV
Теорема Меньшова. Для любой функции /(х), измеримой на
[—л, л], существует тригонометрический ряд, сходящийся к ней по мере на
этом отрезке*).
Мы отсылаем к работе автора, не имея возможности привести здесь дока-
доказательство этой теоремы. Отметим только, что так как от функции / (х) не
требуется ничего, кроме измеримости, то, в частности, она может быть равна
+ °° или — со на множестве меры больше нуля, или хотя бы всюду.
Таким образом, эту теорему следует рассматривать как одно из решений
вопроса: можно ли изобразить тригонометрическим рядом любую измеримую
функцию, не обязательно конечную почти всюду. Этот вопрос, как мы уже
отмечали, не раз, для случая обычной сходимости не решен. Аналогично мы
отмечали, что проблема отыскания тригонометрического ряда по заданным
пределам неопределенности решена лишь в предположении, что на любом
множестве положительной меры эти пределы конечны почти всюду или верх-
верхний равен + со? а нижний — со (см. теорему § 4 и замечание к ней).
Однако если вместо обычных пределов рассматривать «пределы неопре-
неопределенности по мере», то можно получить исчерпывающие результаты.
Мы будем говорить, что измеримая функция F(x) есть верхний предел по
мере на [а,Ь] для последовательности измеримых на [а,Ь] функций /„ (х),,
если для любой <р(х), измеримой на [а, Ь], имеем
lim т { Е [/„ (х) > у (х)] Е [<р (х) > F (х)]} = О
и, кроме того, если для любой ^(х), измеримой на [а,Ь] и такой, что
mE[F(x)> Ч*(х)]> 0, имеем
ИттЕ{Е [/„(х) > V(х)] Е [F(х) > V(х)]} > 0 .
Л->оо
Точно так же мы скажем, что измеримая функция g (x) есть нижний
предел по мере на [а, Ь] для последовательности {/„(х)}, если
lim т { Е [/„(х) < т(х)] Е [г (х) < g(x)]} = О
Л—*- оо
для любой т (х), измеримой на [а, 6], и если для любой измеримой %(х), для
которой mE[g(x) <%(x)]> 0, имеем
lim т {Е [/„ (х) < х (*)] Е [g (х) < х (х)]} > 0.
Л-»-оа
Приняв эти определения, можем сформулировать следующую теорему
Д. Е. Меньшова W:
Теорема. Пусть F (х) и g (х) — любые измеримые на [—л, л] функ-
функции, удовлетворяющие условию
(х) почти всюду на [—п,я].
Тогда существует тригонометрический ряд с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю, и такой, что для него функции F (х) и g(x) являются соответ-
соответственно верхним и нижним пределами по мере на [—л, л].
*) Отметим, что А. А. Талалян W перенес этот результат на любые ортогональные
нормированные полные системы. Точнее, он доказал, что если {<рп (х)} — система, обла-
00
дающая этими свойствами на [а, Ь], то для любой измеримой / (х) существует ряд 2J апсрп (х)у
п = \
сходящийся по мере к / (х) на [а, Ь]. Можно, кроме того, добиться чтобы ап -> 0.

ДОБАВЛЕНИЯ
К ГЛАВЕ II
§ 1. Принцип Фрагмена—Линделефа
Пусть / (z), z = х -f iy, непрерывна и ограничена в полосе 5
(Х<Х<?, — oo<y<-foo,
кроме того, регулярна внутри 5. Если | / | ^ К на границах полосы, т. е. при х — а и
х = ft, то 1 / (z) | < К также и внутри S.
Допустим сначала, что
\f(x+iy)\ -О A.1)
равномерно относительно х, а ^ х ^ ?, если у-> ± оо. Если z0 = х0 + iy0 лежит внутри
S, то берем г) столь большим, чтобы | / (x-f щ) [ < К при а < х < ? и чтобы прямоуголь-
прямоугольник а < х ^1 ?, |у|<?7 содержал точку z0. Тогда, применяя известный в теории анали-
аналитических функций принцип максимума модуля, видим, что | / (z0) | ^ К.
Итак, при условии A.1) теорема доказана.
В общем же случае мы полагаем
fn(z) = f(z)e«=f(z)e п е п
Тогда fn(z) удовлетворяет условию A.1), значит, полагая у = max (| а |, | р |), имеем
2 2
fn(z) | < Кеп на границе S. Поэтому для любого z0 внутри 5 имеем | /л (z0) \ ^Кеп и,
переходя к пределу при п-+ оо, получаем
Можно было бы показать, что если / (z0) = К в некоторой внутренней точке, то
/ (z) = const в 5, но нам это не понадобится.
Другая форма принципа Фрагмена — Линделефа. Пусть/(z)
непрерывна и ограничена в полосе S, а также регулярна всюду внутри 5, и пусть
для всех у. Тогда если L(t) — линейная функция, принимающая значения 1 и 0 соответ-
соответственно для t = а и t = ft, то
I / (*о + /У) | < /Cf<*> • /Ci-L<*°> • A.2)
Хотя этот результат и выглядит как усиление предыдущего, однако, он сам из него
вытекает. Действительно, полагая
мы видим, что /х (z) удовлетворяет условиям, высказанным в первой формулировке прин-
принципа Фрагмена—Линделефа, если там положить К = 1.

878 ДОБАВЛЕНИЯ
§ 2. Модуль непрерывности и модуль гладкости в Lp(p~^> 1)
Если f ? LP [— ж, я;], то полагаем
co(P)(d,f)= sup
h)-f(x)\Pdx\ ,
co(P)(d,f) = sup
В частности, бывает полезен квадратическии модуль непрерывности
<o*(d,f)= sup
а также квадратическии модуль гладкости
,f)= sup И
В случае, когда /(х) определена не на всем отрезке [—п, п\ а лишь на некотором [а,
и принадлежит LP на нем, то аналогично определяют
f(x+h)-f(x) \\LP[atb]t
,a,b,f) = sup |//(х+Л) + /(х-Л)-2/(*);|,
если б таково, что х ± h ? [а, /?] при х ( [а, &] и 0 ^ | h \ ^Z б.
Ясно, что для модулей непрерывности и модулей гладкости в LP имеют место те же
свойства, как для обычного модуля непрерывности, т. е.
1) со(р) (б, f) монотонно возрастает,
2) для любого X > О
oj(p)(U, /)< С Лсо(Р) (д, /) ,
где С постоянное, и аналогично для со(р)F, f).
§ 3. Обращение неравенства Гельдера
Мы знаем (см. § 9 Вводного материала), что если/(л:) ? L2 (р > 1), а у (х) ? L<7, где
y+Y=1> то
Аналогично, если {я,?} $ /р, a {bn} d lq, то {} ё
Покажем, что эти утверждения в известном смысле обратимы. Точнее, имеет места
Теорема. Если {ап} — такая последовательность, что
2l \ о-п ьп | < + °°,
какова бы ни была последовательность Ьп, лишь бы ^ \ Ьп \q < -f °° (q > 1), то
± I ап р < + оо
V
И аналогично, если / (х) 9? (л:) ? L для любой <р (х) ? U (q > 1), то f (x) ? U (где
7 + 7 = 1)-
Чтобы убедиться в справедливости первого утверждения, допустим противное,
т. е. ^ | ап \р = + оо. Положим
ип = | яп \р .
л
По теореме § 25 Добавлений, полагая 5п = J^7 Uk, имеем
/1

§ 3 ОБРАЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВА ГЕЛЬДЕРА 879
q
для любого е > 0. Положим Ьп = —^- ; тогда
< + °о , так как q > 1
и в то же время
Это противоречит тому, что 271 а" I I Ъп \ < + °° для любых &л, для которых ^71 6л I? < +°°.
Из противоречия вытекает справедливость доказываемого утверждения.
Рассуждение для интегралов можно свести к только что доказанному предложению
для рядов. Действительно, допустим, что / (х) ? LP. Тогда
Возьмем любое в и разобьем ось Оу (как это делается при построении интеграла Лебега)
на части точками деления /0 = 0, llf /2,..., 1п,..., находящимися друг от друга на рас-
расстоянии, не превосходящем г. Пусть
Я/= {//<!/(
Так как
//< |/(х)|<// + е,
то
/?^|/М|"<2Р(/?+еР)
(в силу неравенства § 8 Вводного материала) на Et, а поэтому очевидно, что
27 /? /пЕ/ = + оо .
Если мы из этого ряда отбросим все члены, где mEi = 0, то его расходимость не нару-
нарушится. Полагая теперь
aPi = lpt mEi, если mEi ^ 0 ,
щ = 0 , если mEi = 0,
видим, что
27 api = + оо .
По только что доказанному можно найти такие | bi |, что 2l I bi \ч < + ©о? но
^|а/Ь/| = + оо .
Пусть
—-— , если mEi Ф 0 ,
v о, если mEi = О
Тогда vU'
ь
\f(x)cp(x)dx >J?"// l г тEi,
(mEif
где знак 27' означает выбрасывание тех /, где mEi = 0. Но
^/ ,. \bi\mEi __ | щ\ \bi\
= ^ \
(mEi)~P(mEif
С другой стороны,
b
щ |

880 ДОБАВЛЕНИЯ
Значит,
f(x) у (х) | dx = + ос ,
а
ХОТЯ
Л <р (X) \9dX
и мы пришли к противоречию.
§ 4. Теорема Банаха-Штейнгауза
Теорема. Если мы имеем последовательность линейных функционалов Un (x)
в пространстве LP(p>\) и если
\Un(x)\<+oo
для всех х и п = 1, 2,..., то существует такая константа М, что
|! Un || <М (п= 1,2,...).
Эта теорема есть частный случай гораздо более общего результата о линейных
функционалах в пространствах Банаха (см., например, Качмаж и Штейнгауз [м-?],
глава I, теорема 151).
К ГЛАВЕ IV
§ 5. Категория множества
Определение. Множество Е называется множеством первой категории на
[а, Ь], если оно является суммой конечного или счетного числа множеств, нигде не плот-
плотных на [а, Ь].
Это определение принадлежит Бэру. Следуя Н. Н. Лузину, будем говорить, что Е
есть множество второй категории на [я, Ь], если его дополнение СЕ есть множество пер-
первой категории на [а, Ь].
Наконец, если Е не является множеством первой категории, то будем говорить
кратко: Е не первой категории*).
Пусть F — любое замкнутое. Если А — любой отрезок, то часть F, попавшая на А,
называется порцией F. Множество М называется нигде не плотным на F, если на всякой
порции F найдется другая непустая порция, не содержащая ни одной точки множества
М ; назовем множеством первой категории на F множество Е, являющееся суммой конеч-
конечного или счетного числа множеств, нигде не плотных на F. Множества второй и не пер-
первой категории на F определяются так, как для отрезка, с заменой [я, Ь] на F.
Всякое множество второй категории на [я, Ь] есть множество мощности конти-
континуума на любом отрезке А, лежащем на [а, Ь] (см.,например, Н. Н. Лузин [м.и]^ § 21).
Если множество Е типа G^ (т. е. пересечение счетного множества открытых мно-
множеств) всюду плотно на [а, Ь], то оно второй категории на [а, Ь]; действительно, в этом
случае его дополнение есть Fa (т. е. сумма счетного числа замкнутых множеств), и каждое
из этих замкнутых должно быть нигде не плотным, в противном случае оно содержало
бы отрезок, а это противоречит тому, что Е всюду плотно.
Имеет место следующая теорема Бэра.
Всякое непустое замкнутое множество есть множество второй категории на
самом себе **).
В качестве следствия этой теоремы получаем: если непустое замкнутое множество F
содержится в сумме счетного множества замкнутых множеств Fx + F2 4- .. • 4- Fn + • • •,
то найдется такое п и такая непустая порция A(F) множества F, что AF ? Fn.
Действительно, хоть одно из Fn не может быть нигде не плотным на F. Но это и
значит, что среди отрезков, содержащих точки F, найдется такой отрезок А, что A (Fn)
плотно на A (F), а так как Fn замкнуто, то A (F) С A (Fn) С Fn-
*) Бэр такие множества называл множествами второй категории, но в настоящее
время во всех статьях по дескриптивной теории множеств принята более точная терми-
терминология Н. Н. Лузина.
**) См., например, Н. Н. Лузин [м. п], § 21, где доказательство проведено для от-
отрезка, но проходит без изменений и для замкнутого множества.

§ 7 МОДУЛЬ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 881
Замечание. С точки зрения дескриптивной, множества второй категории
весьма «густо» расположены на отрезке, так как, удаляя из него счетное множество
множеств первой категории, мы не можем исчерпать отрезок, — все еще остается мно-
множество второй категории. Но с метрической точки зрения они все же могут быть «пренебре-
гаемыми», так как множества второй категории могут иметь меру нуль (достаточно по-
построить на (О, 1) сумму счетного множества совершенных нигде не плотных множеств Рп
без общих точек и таких, что тРп = ^ , тогда С (Рг + ... + Рп + ...) есть множество
второй категории и меры нуль).
§ 6. Теоремы Римана и Каратеодори
Теорема. Если G есть область, ограниченная простой замкнутой кривой Г,
то существует функция w = f(z), дающая конформное отображение G на круг \ w | < 1,
причем между границей Г и точками окружности эта функция устанавливает гомео-
морфное соответствие.
Это утверждение есть результат теоремы Римана о существовании конформного
отображения на круг для любой односвязной области расширенной плоскости с границей,
содержащей более одной точки (см., например, Маркущсвич [м. 14]^ стр. 376), и теоремы
Каратеодори о соответствии границ при конформном отображении (см., например, Марку-
шевич [м. 14]^ стр. 409, теорема 5 и ее следствие).
§ 7. Связь между модулем непрерывности и наилучшим
приближением функции
Теорема Джексона. Если / (х) периодическая с периодом 2л и непрерывная, то
GЛ)
где С — абсолютная константа (можно принять С = 12).
(См., например, Натансон [м- Щ, стр. 117.)
Для дальнейшего нам будет нужно следующее усиление этой теоремы, а именно
неравенство
?„(/)< С юа (¦!,/). G.2)
Чтобы убедиться в его справедливости, заметим, что при доказательстве теоремы
Джексона в книге Натансона имеем на стр. 116 равенство A00)
1^T ()
О
Ееш написать, как это сделано на той же странице,
| / (х + 2 0 + / (х - 2 0 - 2 / (х) | < 2а> B 0 , G.3)
го отсюда далее получается
I l/n(x)-/(x)|< [l + |- я] со (i-J .
Но мы можем вместо G.3) написать
|/(х+20 + /(х-20-2/(х)|<а>яB/).
Тогда все дальнейшие рассуждения до конца этого параграфа проходят совершенно так
же, и мы получаем
где М — абсолютная константа.
После этого тем же рассуждением, как при доказательстве теоремы Джексона, по-
получаем формулу G.2), где С — другая абсолютная константа.

882 ДОБАВЛЕНИЯ
Аналогичные формулы справедливы и в пространстве LP, т. е.
G.4)
G.5)
Они доказываются так же, только во всех формулах надо вместо нормы в пространстве С
брать норму в пространстве ZA
Имеют место и формулы, выражающие, наоборот, модули непрерывности через
наилучшие приближения. Так, например, как показали А. Ф. Тиман и М. Ф. Тиман L1!,
а Стечкин t5l перенес этот результат на пространство С, т. е. получил неравенство
G-7)
(здесь А — абсолютная константа *).
Наконец, отметим, что если вместо отрезка длины 2л рассматривать отрезок \а, Ь],
то справедливы аналогичные формулы, но константы, входящие в их правые части, уже
не являются абсолютными, а зависят от а, Ь и нормы функции / (х) на отрезке [— и, тс].
Однако, когда в ходе рассуждения речь идет об одной и той же функции, это обстоятель-
обстоятельство не мешает получению нужных оценок.
Для примера покажем, как получить формулу, аналогичную G.1) для отрезка
[а, Ь]. Надо функцию/(х), заданную на [а, Ь], продолжить на отрезок [0, 2л] как-нибудь,
лишь бы получилась функция /х(х), непрерывная на всем отрезке и принимающая одина-
одинаковые значения в концах (например, положить / @) == / Bл) = 0 и проинтерполировать
ее линейно между 0 и а и между Ъ и 2л).
Если Тп (х) есть полином наилучшего приближения для fx (x) на [0, 2л:], то
\U(x)-Tn(x)\^En(h), 0<х<2л,
и поэтому
|/(х)-Г„(х)| <?„(/!), а^х^Ь.
Тогда
En(f,a,b)^En(f1). G.8)
Но в силу неравенства Джексона
fi) G.9)
В силу построения /х (х) ясно, что на [а, Ь] ее модуль непрерывности совпадает с
со [д, а, Ь, /], а на отрезках, где она линейна, имеем
где К — константа, зависящая от нормы /х (х) на [0, 2л], следовательно, от а, Ь и нормы
/ (х) на [а, Ь]. Но поскольку для любой функции (р модуль непрерывности со (<5, (р) > ад,
где а > 0 (если только (р (х) не константа), то отсюда ясно, что
а> (($,/!>< Bco(d,a,b,f), G.10)
где В — константа, зависящая от нормы / на [а, Ь], а потому из G.8), G.9) и G.10)
En(f,a,b)^Aco (-I, а,*,/), G.11)
где А — константа, зависящая от нормы /на [а, Ь].
*)УСтечкина формула G.7) записана несколько иначе, а именно в правой части
А п
стоит — JS7 Ек\ это объясняется тем, что через Еп он обозначал не наилучшее приближение
п к=\
полиномами порядка не выше п, а наилучшее приближение полиномами порядка не выше
п— 1; таким образом,' Еп в наших обозначениях превращается в Еп+1в его обозначениях.

/Lt-МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ 883
Аналогично справедлива формула
где снова А уже зависит от а, Ъ и нормы /. Наконец, справедливы и формулы, аналогич-
аналогичные G.6) и G.7).
Отметим, что связь между наилучшими приближениями и модулями непрерыв-
непрерывности изучалась многими авторами, продолжавшими работы Джексона и С. Н. Берн-
штейна. Нам понадобится одна теорема из этого круга идей, а именно:
Теорема Берн штейн а. Для того чтобы f(x) ? Lip а, 0 < а < 1, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
(См., например, Натансон [м. 15]? Стр. 132.)
Нетрудно установить, что эта теорема равносильна такому утверждению:
Если 0< а< 1, то условия
Е (f) = О I x
эквивалентны, т. е. каждое из них влечет другое.
Для а = 1 это уже неверно, но здесь, как показал А. Зигмунд (Zygmund I11J), надо
брать вместо модуля непрерывности модуль гладкости, т. е.
Условия
эквивалентны.
(См., например, Натансон [м. Щ} стр. 142.)
По поводу дальнейших работ в этом направлении см. Н. К. Бари и С. Б. Стечкин W.
К ГЛАВЕ V
§ 8. //-меры и интегралы
Некоторый класс К множеств, определенных в пространстве #, называется вполне
аддитивным, если
1) пустое множество входит в К,
2) если Е принадлежит К, то и его дополнение СЕ (относительно S) принадлежит К,
3) если все Еп принадлежат К, то и 2 Еп принадлежит К.
Функцию (л (Е) называем мерой, если она определена и неотрицательна для каждо-
каждого Е из класса К. и если
\п=\ ) п=\
для любой последовательности множеств Еп из К, попарно не имеющих общих точек
Число /и (Е) называется //-мерой множества Е. Если в каждой точке Е, за исключением
быть может, точек, принадлежащих Е, //-меры нуль, имеет место некоторое свойство V
мы будем говорить, что свойство V выполнено почти всюду по мере /и на Е.
Интеграл Лебега, определенный, как в классическом случае, но когда вместо меры
Лебега употребляется ^-мера, обозначается
(8.1)
По поводу его свойств см., например, Сакс [м-221, глава I. В частности, в § 12 там
доказывается, что все теоремы, отмеченные нами в § 14 Вводного материала и касающиеся
интегрирования последовательностей функций, остаются справедливыми, если вме-
вместо обычного интеграла Лебега брать интегралы по мере /и,.
В дальнейшем нам придется встречаться с интегралами вида
(8.2)

884 ДОБАВЛЕНИЯ
где F (х) — некоторая функция с ограниченным изменением на каком-то отрезке [а, Ь].
Если каждому отрезку [а,@]С.[а,Ь] поставить в соответствие число F (/?) — F (а), то
мы имеем аддитивную функцию сегментов. Если функция F монотонна, то такая функция
является неотрицательной. В § 6 главы III книги Сакса [м.22] дается подробное разъясне-
разъяснение того, что значит мера, определенная с помощью неотрицательной аддитивной функции
сегмента. Таким образом, определение интеграла (8.2) сводится к определению инте-
интеграла (8.1), если /г-мера определена, отправляясь от монотонной F (х). Если же F (х) не
монотонна, то ее сначала представляют в виде F (х) = Fx (х) — F2(x), где Fx(x) и F2(x) —
соответствующим образом подобранные монотонные функции, и затем определяют
интеграл (8.2), как разность интегралов такого же вида, но для функций Fx и F2 (см.
Сакс [м.22], глава III, §§ 4, 5 и 13).
Таким образом, для интегралов вида (8.2) также оказываются справедливыми упо-
упомянутые выше теоремы об интегрировании последовательностей функций.
К ГЛАВЕ VII
§ 9. Чезаровские средние (С, а)
Пусть для некоторого ряда ]? ип при 0 ^ х < 1 ряд ? ипхп сходится. Положим
/(*) = 2 «лх*. (9.1)
п=0
Также при О <J x < 1 можем написать
1
г = У *л • (9.2)
1 -х
п=0
Производя умножение степенных рядов, получаем
л=0
где Sn = Щ -{- ... -f- ип. Подобно этому можно написать, умножая на ,
1 — X
f(x) _ ^ ЫЬу.п
где S& = So + S± + ..
И
A
A - х)«
вообще
л=0
оо
Л = 0
где 5ПЛ) = $?* х) + ... + sjf"^ для любого целого Л.
Тот же результат мы получили бы, если бы, обозначая через А$ коэффициенты
разложения —: к+1 в степенной ряд, i. e. полагая
A х)
A _ х)к+1 - ^ ™ - ,
умножали (9.1) на (9.4) по правилу умножения степенных рядов.
Теперь будем рассматривать случай, когда а не является целым. Если для а > — 1
обозначить через Ап коэффициенты разложения A — х)~1~а в ряд, т. е. положить
1 " А{а)хп
^ ' л=0
то можно написать
л=0

§9 ЧЕЗАРОВСКИЕ СРЕДНИЕ (С, а) 885
где числа Sna' определяются, как коэффициенты ряда, получающегося от умножения
(9.1) на (9.5).
Определение. Ряд ?ип называется суммируемым (С, а) к числу S, если,
полагая
имеем
lim Gла) = 5 .
Л->оо
В частности, при a = 1 имеем
п = Л + 1, 6Л = О0+ 6Х +. . .-f ол, Сл =
п+1
т. е. мы возвращаемся к методу средних арифметических (поэтому он и был назван (С, 1)).
Из формулы (9.5) ясно, что
д(«> = (а + 1) ¦ ¦. (а + п) (д
л л ! '
а потому при a > — 1 все А п положительны.
Нетрудно убедиться, что
так как
А(ла)
Значит, In —^— стремится к отличному от нуля пределу при л -> оо , а это и доказывает
справедливость (9.9) *).
Установим теперь связь между методами (С, а) и (С, а') при а' > а. С этой целью
выведем сначала две вспомогательные формулы.
Докажем, что для любых а и р
А^^г) =2АГАпр2к . (9.10)
В самом деле,
JZ A<s ) xS • (9Л1>
*) Иногда бывает необходима более точная формула, чем (9.9), а именно
где С (а) — постоянная, зависящая только от а. Чтобы убедиться в ее справедливости,
напишем
где Нп = ? — , а С, и С2 — постоянные, зависящие лишь от а. Но известно, что
к=\ к
Нп = Inn + С + вп , где ?п-^ 0 при л -* оо
(а С — эйлерова постоянная). Подсчитаем Нп точнее. Имеем
xj иг 1 П + 1 . 1
^л+1 — ^л = 1П г ?п+1 —
п+1 ¦

886 ДОБАВЛЕНИЯ
Перемножая ряды в правой части (9.11), приравнивая коэффициенты при одинако-
одинаковых степенях х в обеих частях, получаем (9.10).
Аналогично доказывается формула
№^. (9Л2)
2
к=0
Действительно, в силу (9.5) и (9.6)
v^c(al-^l) П_ ? Sn Хп _ ? Sn Хп
2Ьп х ~-Q—tyirri~ A )a
1 _ угу, „(а) к ^ л<-Р> J5
zr^^Ti-2,Ьк х 2, As х '
откуда тем же рассуждением убеждаемся в справедливости (9.12).
Полагая в формуле (9.12) a = 0, находим
п
Мр Ll) у Лр) о,
о« = Zj Ап-к о/с.
Так как это справедливо при любом /?, то, полагая a = f$ -\- 1, найдем
?}= 2
2 df-fSk. (9.13)
к=о
Закончив вывод вспомогательных формул, докажем теперь теорему:
Теорема. Если ar > a > — 1, то суммируемость (С, а) влечет суммируе-
суммируемость (С, а').
Действительно, пусть h = ar —-а, тогда h > 0. Имеем
с(а') с(а-гЛ)
(аО _ _f>n_ _ on
Но по формуле (9.12)
п п
Q(a+h) у» л(Л-1) с(а) у» л*'*-1) Л(а> ^(а)
оп == ^ А/1_л Ьк = Zj Ап-к М с>к .
Поэтому
(Л1) (
к=о
Полагая
««/с - (а+Л) ,
видим, что матрица || апи\\ положительна Aг > 0). Покажем, что она Т-матрица.
Поэтому
Значит,
k=n
Итак,
In An } = a In n + C5 + -± + 0 1-^-1 ,
откуда
^+°(^)
а это и требовалось доказать.

§10 СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ (С, а) С МЕТОДОМ А* 887
Действительно, Ака^ постоянно при к фиксированном,
Л(Л~г) (п b\h~X Л(онЛ) na+h
Лп-к <^*> \П — К) , Ап ~ П ,
значит,
-к\ь 1 ,1Ч
*-) (^П^Г = 'О> при П^00'
потому что h > 0 и а > — 1. Далее,
п
V л*Л-1> л(а)
^ Лп_/с Аи лал-h)
а + а + + а 1
Значит, и второе условие для матриц Т удовлетворено; третье удовлетворено в силу по-
положительности || ani || а) ff}
Т-матрицы, а тогда
р
ложительности || ani ||. Итак, {о"па)} получается из {off} преобразованием при помощи
Т
Gпа) -> s влечет о-(па/) —» s ,
[i теорема доказана.
Следствие. Если ряд сходится, то он суммируется (С, а) при любом а > О,
и его чезаровская сумма совпадает с обычной суммой.
Действительно, достаточно в предыдущей теореме положить а = 0.
§ 10. Сравнение методов (С, а) с методом Л*
В § 7 Вводного материала было доказано, что если ряд суммируем (С, 1), то он сум-
суммируем и методом Абеля. Здесь будет доказана более общая теорема, а именно:
00
Теорема. Если ряд ^Jur суммируем (С, а) при а > — \ к числу S, то он суммы-
к=0
руем Л* к числу S.
Действительно, согласно формулам (9.1), (9.6) и (9.7) имеем
2'иахл = A-хГ1 2 sTxk = (\-x)avX2 Afoia)xk, A0.1)
Л=0 к=0 к=0
где, по условию теоремы,
oka)-*S при /с->оо A0.2)
Мы должны показать, что если хп -+¦ 1 по некасательному пути, т. е. если
Х~~Хп
(/2=1,2,...),
1 -
lim 2 "к Хп = S, A0.4)
или, следуя (ЮЛ), надо доказать, что
lim (I - xn)a+1 2 Ал° 4a) xi = S A0.5)
Положим
апк = A - x,.)a+1 x\ A[a), A0.6)
тогда A0.5) будет доказано, если мы примем во внимание A0.2) и убедимся, что матрица
|\ апк 11 есть матрица Теплица. Но это действительно имеет место, так как
Г lim аПк = О (к = 0, 1, 2,...)
{потому что a > — 1),
оо оо
2° 2 а„к -- A - xnf'1 2 Л А[т = 1
А=0 к=0

888
ДОБАВЛЕНИЯ
на основании (9.5),
3°
. А: , , .а,
на основании A0.3).
§ 11. Применение линейных методов суммирования
к функциональным рядам
Пусть функции ип (х) (п = 0, 1,...) определены на некотором отрезке [а, Ь].
Мы скажем, что ряд ? ип (х) суммируется к S (х) линейным методом с матрицей А на
некотором [а, р] С [а, Ь], если для всякого х?[а, р] соответствующий числовой ряд,
суммируем этим методом и его сумма есть «S (х), т. е. если
Мх)= ]? ankSk(x)
определены на всех х?[а,р] и
lim оп (х) = S (х) на а ^ х < р .
Если оп(х)-*- S(x) равномерно на [а, р], то будем говорить, что J?un(x) равномерно
суммируема к S (х) на [ а, р].
Легко доказать, что если матрица \\ аПк\\ есть Т-матрица и если
| ип (х)
сп,
л = 0,1,2,...,
A1.1)
где все сп постоянны, то равномерная сходимость ? ип(х) на [а, р] влечет его равномерную
суммируемость на [а, р] методом, определяемым этой матрицей.
Действительно, в силу условия A1.1) и равномерной сходимости У?ип (х) на (а, ру
найдется такое М, что
| S (х)
М
на
[а,
В силу той же равномерной сходимости для любого е > 0 находим такое N, что
| Sn (х) - S(x) |< s для n>JV, a^x^p,
но тогда
\an(x)-S(x)\ =
аПк Sk(x) -
o A)
N+l
2М
A).
В первой сумме число слагаемых ограничено и аПк-+ 0 при и -+- оо и любом фиксирован-
фиксированном к; значит, эта сумма стремится к нулю при п -+ оо (и она не зависит от х); во втором
оо
слагаемом J? \ аПк\<С, где С— константа из условия 3° для матриц Т, т. е. вся сумма
ЛН-1
меньше еС. Теорема доказана.
Пользуясь этой теоремой, мы можем дополнить результаты предыдущего параграфа,
а именно доказать теорему:
со
Теорема. Если ряд ? Uk (t) состоит из функций, ограниченных на множестве Et
fc=O
и суммируется методом (С, а) (а> — 1) равномерно на Е, то он суммируем методом
Абеля также равномерно на Е.

§12
ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА
889
Более того, он суммируем методом Д* равномерно, если только угол, внутри кото-
которого идут пути, зафиксирован, т. е. если
1 -х
1 -
A1.2)
где С — константа, не зависящая от точки t ? Е.
Действительно, в рассуждениях § 10, где мы устанавливали, что матрица || апк ||,
определяемая формулой A0.6), есть матрица Теплица, все остается в силе, если только
принять во внимание A1.2), а тогда, пользуясь только что доказанной теоремой о равно-
равномерной суммируемости, мы и приходим к нужному результату, так как ограниченность
каждой функции ии (t) влечет и ограниченность каждой a)? (t).
§ 12. Теоремы тауберова типа
Так принято называть те теоремы, в которых из суммируемости ряда ^7 ип некоторым
методом при наложении каких-нибудь условий на ип следует сходимость ^7 ип. Название
дано потому, что Таубер (Tauber lA) доказал теорему:
со
Теорема 1 (Т а у б е р а). Если J*7 un суммируется методом Абеля и пип -> О,
оо
то ^J un сходится.
Если ряд ^7 ип суммируем А, то во всяком случае ? иптп сходится при 0 ^ г < 1.
Пусть е > 0; в силу того, что пип -+¦ 0, можно найти такое т, что | пип \ < е для
п > т. Положим
г=1—L.
т
Тогда
Un
n=m-fl
Следовательно,
п=т~\-1
т
? U
п=0
т
-г) ?п\
A2.1)
потому что I 1 — rn I < n A — r).
m 1
Но из nun -+ 0 следует^7 п\ип\ = о (m), a 1 — r = —, поэтому второй член правой
п=о т
части A2.1) есть о A) и, в силу произвольности е, вся правая часть может быть сделана
как угодно малой. Но если г -»- 1, то т -»- оо; в силу того, что ряд ? ип суммируем А,
т
имеем lim У,1 unrn = S, где «S некоторое конечное; но тогда h^Vun -»- S, т. е. ряд сходится,
и теорема доказана.
Теорема 2 (обобщение теоремы Таубер а). Если У, ип суммируется
л=0
методом Абеля, а последовательность {пип} суммируется к нулю методом (С, 1), то
со
yj un сходится.
Очевидно, что, не нарушая общности, можно считать и0 = 0 и можно считать, что
п
ряд суммируется к 0. Положим сп = пип и уп = ^7 Cft.
Имеем по условию: {сп} суммируемо (С, 1) к нулю, значит, сг + с2 + • • • -\- сп = о (п)у
а потому уп = о{п).
Имеем
п п п— 1
Последний член есть о A). Поэтому
Sn = S% + о A) ,

890 ДОБАВЛЕНИЯ
где S% — сумма первых п членов ряда 0+ JS ук (-у т—Г~г) Но этот Ряд сУмми-
0+ JS ук (-у т—Г~г)
руется методом Абеля к нулю.
Действительно, рассмотрим ряд Е' vn, для которого
„1 +.,+...+*, = .*-.
Этот ряд сходится к нулю, а потому он и суммируется к 0 методом Абеля. Значит, Sn — Sn
можно рассматривать как п-ю частную сумму ряда, суммируемого к 0 методом Абеля.
Но и Sn есть п-я частная сумма ряда, который суммируется к нулю методом Абеля, значит,
это верно и для ряда ? ук [-. -.—г—г . Но члены этого ряда —-имеют порядок
о I—- , а потому по теореме Таубера из его суммируемости к 0 следует его сходимость
к 0. Но тогда «S* = о A), a Sn = «S* + о A) = о A), что и требовалось доказать.
Теорема 3. Если ? ик суммируется методом Абеля и Uk ^ 0, то Jsj Uk сходится.
Действительно, если бы это было неверно, то имели бы ? Uk = + °°, но тогда >J Uk
суммируется к + оо методом Абеля, поскольку этот метод вполне регулярен (см. Ввод-
Вводный материал, § 7).
Укажем еще без доказательства следующую теорему:
Теорема Харди и Литтльвуда. Если av > 0 и
оо
lim A - г) ? avrv = 0 ,
r-*\ v=0
то
п
? av = о (п)
(См Харди [м. 24], теорема 96, стр. 197.)
Теорема 4. Если ряд
По -\- и1 + ...+ ип + ... A2.2;
суммируем (С, 1) и если
/720 ряд A2.2) сходится.
Доказат ельство. Положим
Тогда условие теоремы есть гп = о I — I.
Имеем
—— = Гп-1 — гп у для п=1,2,... A2.3)
Так как разность между частной суммой Sn и чезаровской суммой оп для ряда A2.2)
имеет вид
о л Gn = ~ j т~ -—' л Uk ,
п + 1 к=о
то для того, чтобы теорема была доказана, достаточно убедиться, что ап -*¦ 0, если положить
ап = —[-г Е к ик (л = 1, 2,...) .
п + 1 к=о
Мы можем написать
Если положить

§12
ТЕОРЕМЫ ТАУБЕРОВА ТИПА
891
и UQ = 0, то в силу преобразования Абеля
л—1
Но G/с = г0 — Гк, поэтому
л—1
~ <*
и „2
Т+Т
Так как гп = о \ — , то
так же
Поэтому
к=\
//•__ -I
П—1
я теорема доказана.
00
Лемма Ф е й е р а. Если ряд 27 ик суммируем (С, 1) а если
А'=0
mo
сходится.
к=1
к \ ик |2 < + оо ,
, r о A) = о A),
Доказательство. Пусть ^Uk = Sn- Тогда, как известно,
к=о
Ч а Ъ kUk
A2.4)
Следовательно, достаточно доказать, что сходимость ряда A2.4) влечет
п
27 к \ик
lim
— =0.
Пусть е > 0 любое; выберем р так, чтобы
оо
27 к\\
тогда
Значит,
27
к=р+1
к\ик\= ? Ук(Ук\ик\)^
кр+1
in7
/с|ил|а<
A2.5)
е1 ^ ns .
?k\uk\ ? к\ик\
—р ;;^^ ^{-
п п п
если п достаточно велико, и лемма доказана.
Замечание. В этой лемме члены ряда могут принимать не только действитель-
действительные, но и комплексные значения. Кроме того, можно рассмотреть случай, когда члены
ряда являются некоторыми ограниченными функциями ст переменного z, и тогда если
ряд ? Uk (z) суммируем (С, 1) равномерно на некотором множестве и если ряд
?k\uk{z)\2

892 ДОБАВЛЕНИЯ
сходится равномерно на этом множестве, то 2 Uk(z) сходится равномерно. Доказательства
полностью сохраняет силу, так как можно выбрать р зависящим только от е, а не от г
так, чтобы
2 k\uk(z)\*<e.
к=р+1
Теорема 5. Если w (и) > 0 и iv(n) f », то из ограниченности частных
сумм ряда
2unw(n) A2.6)
следует сходимость ряда 2 ип.
Действительно, если Sn •— частные суммы ряда A2.6) и
то, взяв е > 0, можно выбрать р столь большим, чтобы
М
Теперь для любого q > p находим
а потому
я
р+1 v-vv/ ™(q)
M , M , лл 1 , M ^o
\< M —7——rr- H T-r- < 2 e
w(q) ^ w(p)
и, следовательно, ряд 2>ип сходится.
Следствие. Если ряд ^ ип расходится и w(n) f oo? то частные суммы ряда
2!unw(n) должны быть неограниченными.
Теорема 6. Если ряд J? ип суммируем (С, 1) и Sn = о\ — I, где {[лп} — выпуклая
последовательность, стремящаяся к нулю, то J?un цп сходится.
Действительно, применяя дважды преобразование Абеля, находим
2 ик iik = П2 (к + 1) ок A* fik + non-i A/in-i + Sn/Jtn. A2.7)
к=0 к=0
Но Sn fin = о A) по условию, a nAfin_1 = o(\) по свойствам выпуклых последовательностей
(см. Вводный материал, § 3), наконец, ап_г стремится к конечному пределу по усло-
условию леммы. Значит, два последних члена правой части A2.7) стремятся к нулю. Ряд
2! (к + 1) А2(лк сходится (см. Вводный материал, § 3). Отсюда ясно, что сходится ряд
2 (к + \)(УкА2[1к, а значит, и 2 Ukfik, и лемма доказана.
к=0
§ 13. Лемма о точках плотности
Пусть Е — любое множество положительной меры и g — множество его точек
плотности. Пусть А — любое число и х0 ? ?. Тогда найдется такая последователь-
последовательность Ал, что
Положим (см. рис. 51)
(Я) |
(П)
О-к — *о
с(П) Г (л)
А
п /
А /
п 1
к
с + 1 '
с + 2
'с+ 1 '
V 1
— ^о
А
п
А
п
+ 1
к
1 '

§ 14 О ТОЧКАХ ЛЕБЕГА В Lv 893
Так как х0 есть точка плотности для Е, а значит, и для #, то при п ->¦ оо имеем
__ > 1 и — > 1 ,
следовательно, для любого к можно найти такое Пк, что
1
Не нарушая общности, можно числа Пк взять так, что пх < п2 < ... < пк < ...
Положим
7/1 = д. . 1 ПРИ
Так как при п/с^С п < n^+i имеем
4П) = х0 + -^ A - у„) , Дл> = х0 + А
[ в силу A3Л) множество точек #, попавших на/1^п), имеет меру, превосходящую половину
$? Д(п)
Рис. 51
длины этого отрезка, и это же верно для df\ причем Л™ = df\ то можно найти такие
числа г\п -^ 0, что
и, полагая
^п = — A + Пп) ,
видим, что числа Хп удовлетворяют условиям леммы. Лемма доказана.
Следствие. При сохранении условий леммы для любого 6, 0 < д < -у, можно
найти такие ап, что для всех достаточно больших п
хо — ап?$, х0 + ап ? ? , 5 < л ап < 1 — 5 . A3.2)
Действительно, достаточно положить ап = /U из предыдущей леммы, где взято
А = -^. Тогда
_ 1
поэтому
Л а„ = -i- + о A),
и, следовательно, при достаточно больших л условие A3.2) удовлетворено.
§ 14. О точках Лебега в U
Нам понадобится одно вспомогательное предложение, обобщающее результат,
касающийся точек Лебега.
Лемма 1. Если / (х) ? LP (р > 1), то при h -*¦ О
J I / (х ± 0 - / (х) |р dt = о (Л) лоч/тш всюду . A4.1)
о

894 ДОБАВЛЕНИЯ
В случае р = 1 это предложение есть теорема о тем, что почти все точки являются
точками Лебега.
Здесь доказательство проводится тем же методом. Обозначим через г любое рацио-
рациональное число, и пусть Ег — множество тех х, для которых соотношение
h
f(x±t)-r\Pdt-*\f(x)-r\P при h -> 0 A4.2)
о
нарушается. Такое множество Е,- должно иметь меру, равную нулю (так же как и в слу-
случае р = 1). Пусть Е = \? Ег по всем рациональным г, тогда тЕ = 0. Докажем, что для
любого х? Е формула A4.1) имеет место.
Действительно, сначала для е > 0 и для заданного х ? Е находим такое г, что
! / (х) - г |< в.
Далее заметим, что в силу неравенства Минковского
± о -
б
Второе слагаемое меньше е в силу выбора числа г, а первое при h -> 0 стремится к |/ (х) —
— г!, поскольку х ^ Е, а значит, в нем A4.2) ни при каком г не нарушается. Значит, пер-
первый член правой части A4.3) стремится к величине, не превосходящей е. Так как е как
угодно мало, то отсюда следует справедливость нашего утверждения.
Следствие. Положим
0p(x,h)={\<px(t)\Pdt,
о
где срх (t)=f(X + t)+t(x — t) — 2/ (х). Тогда
Фр (х, h) = о (Л) почти всюду. A4.4)
Действительно, так как
I <Рх (t) | < | / (х + t) - f (х)\ + | / (х - t) - f (x) | ,
то из неравенства Минковского и из A4.1) следует
1Л \ h 1
почти всюду, а это и надо было доказать.
§ 15. Слабая сходимость линейных функционалов
Для любого линейного нормированного пространства Е совокупность всех линей-
линейных функционалов / (х), определенных на Е, называют сопряженным пространством и
обозначают через Е.
Последовательность линейных функционалов {fn} из Ё называют слабо сходящейся
к функционалу /0 ? Е, если fn (х) -> /0 (х) для любого х ? Е.
Имеет место
Теорема. Для того чтобы последовательность {fn} линейных функционалов
слабо сходилась к линейному функционалу /0, необходимо и достаточно, чтобы:
1) последовательность {||/л||} была ограничена,
2) fn(x) -+ /0(х) для любого х из некоторого множества G, линейные комбинации:
элементов которого лежат всюду плотно в Е.
(См., например, Люстерник и Соболев 1м. Щ} стр. 194, теорема 2.)

§ 18 НЕРАВЕНСТВО БЕРНШТЕЙНА В ПРОСТРАНСТВЕ Lp 895
К ГЛАВЕ VIII
§ 16. Образ множества
Пусть Е — некоторое множество и / (х) — функция, определенная на Е. Назовем
образом множества совокупность всех точек у, для которых у = f(x) хотя бы при одном
х ? Е. Будем такое множество обозначать через / (Е).
Справедливо следующее утверждение:
Теорема. Если f (х) не убывает на измеримом Е и если /' (х) ^ р для х^Е, то
™/(?)< ртЕ.
(См., например, Натансон [м. Щ, стр. 226; правда, там доказательство проведено в
предположении, что / (х) строго возрастает на отрезке [а, Ь], содержащем Е, но доказа-
доказательство проходит без большого изменения и в нашем случае.)
Следствие. Пусть f (х) не убывает на [а, Ь] и Е ? [а, Ь]. Если тЕ = 0 и /' (х)
конечна в каждой точке Е, то
m / (Я) = 0 .
Удалим из [а, Ь] те интервалы, где / (х) постоянна; таких интервалов не более чем
счетное множество, пусть дп (п = 1, 2,. ..) — эти интервалы. Для каждого из них/(<5,2)
состоит из одной точки. Таким образом, остается рассмотреть множество #, оставшееся
на [а, Ь] после удаления всех дп; на нем, очевидно, f(x) уже строго возрастает.
Пусть Е<§ = Е*, тогда тЕ* = 0. Ясно, что Е* = ^7 Еп, где множество Еп состоит из
тех точек Е*, где |/' (х)| < п. В силу теоремы имеем mf (Е*) = 0 (п = 1, 2,. . .), а потому
mf (Е*) = 0, откуда и mf (E) = 0.
§ 17. Сингулярные функции
Принято называть функцию сингулярной, если она не постоянна, но имеет производ-
производную, равную нулю почти всюду на отрезке, где она определена.
Если f (х) — сингулярная функция на [а, Ь] и имеет ограниченное изменение на этом
отрезке, то функция V%f также является сингулярной на отрезке [а, Ь].
Для доказательства см. Сакс [м- Щ, стр. 193, теорема (9.6), утверждение (И).
§ 18. Неравенство Бернштейна в пространстве
Зигмунд (Zygmund t9]) доказал следующее неравенство:
Если Тп (х) — тригонометрический полином порядка п, то для любого р
1 1
р
| Тп (х) \р dx
V—п ) \—п
Это означает, что
II Тп (х) \\т_„>п] < л || Тп (х) \\щ__щп} ,
тогда как неравенство Бернштейна означало такую же оценку, но для случая, когда
нормы берутся в пространстве С.
Для упрощения доказательства мы ограничимся установлением неравенства
1 1
Тп (х) \р dx \р < 2/1 I J | Тп (х) \р dx\P ,
так как множитель 2 в правой части не будет мешать в доказательствах тех теорем, кото-
которые выводятся из неравенства Бернштейна.
Итак, установим справедливость A8.1). С этой целью заметим, что так как
Тп (х) = — f Тп (и) Dn {и -x)du,

896 ДОБАВЛЕНИЯ
то
Тп (х) = - — Г Тп (и) Dn(u-x)du= - — Г Тп (и -
л J л J
— тс —тс
л
= — Г Гп (и + х) [sin и + 2 sin 2 и +... + л sin пи] du . A8.2)
—тс
Если мы к выражению, стоящему в квадратных скобках в A8.2), прибавим триго-
тригонометрический полином
(л - 1) sin (л + 1) и + (л - 2) sin (л + 2) и +... + sin Bл - 1) и ,
то величина интеграла не изменится, потому что Тп (х + и) есть полином порядка л. Но
п п—1 л—1
Л? к sin ки + ^ ^ s*n @п — к) и = л sin ли + ^ ^ [s*n ^ц + s^n @п — к)и] =
л—1
= л sin ли + 2 sin пи Л? к cos (л — к) и =
Г 1 ^—^ /г? 1г\ 1
= 2л sin ли тт- + 5" cos ки \ = 2п sin ли /Сл^! (и) ,
где Кп-г{и) — ядро Фейера порядка л — 1. Отсюда
2л
Т'п (х) = ~ {тп(и + х) sin ли Кп-х (и) rfa .
—я
Поэтому
I Т'„ (х) | <-^L J | Т„ (и + х) | Kn-i (и) du . A8.3)
Но
— f | Г„ (и + х) | Kn-i (м) du = — Г|Гп(м)|/Сп-1(м-х)^м, A8.4)
71 J 7Z J
и так как для q>(t) = — /Сп_: (/) удовлетворены все условия леммы § 9 Вводного материала,
то, полагая
тс
1 г
о-(х) = — \Тп(и)\ Kn-i (и -x)du ,
—я
имеем
II^WIIp< 11^л(х)||Р, A8.5)
а потому из A8.3), A8.4) и A8.5)
|| П(х)||р<2л||а(х)||р< 2л||7„(х)||р,
а это и надо было доказать.
§ 19. Неравенство Привалова
С. Н. Бернштейн рассматривал случай, когда задан максимум тригонометрического
полинома Г(х) на всем отрезке [—л, л]; тогда из
|Г(х)|<М на [-л,л] A9.1)
он вывел
| V (х) |< пМ на [-л,п], A9.2)
где л — порядок полинома.

§ 19 НЕРАВЕНСТВО ПРИВАЛОВА 897
И. И. Привалов поставил вопрос: что можно сказать о Т'(х), если неравенство A9.1)
выполнено лишь на некотором отрезке [а, Ь] длины, меньшей чем 2п? Он получил сле-
следующий результат [м. is]:
Теорема Привалова. Пусть Т (х) — тригонометрический полином порядка
не выше п и
Т(х)|<М на [а,Ь] . A9.3)
Тогда для любого [а', Ь'\ лежащего внутри [а, Ь], имеем
| Г (х) ! < С (а, а', Ь', Ъ) пМ , A9.4)
где С (a, a', b', b) — константа, зависящая только от a, a', b', Ь, но не от коэффициентов
полинома.
И. И. Привалов доказывал свою теорему, переходя от тригонометрических полино-
полиномов к алгебраическим. Мы дадим здесь другое доказательство (см. Н. К. Бари t7l).
Рассмотрим сначала случай, когда Т (х) — четный тригонометрический полином,
т. е. состоит только из одних косинусов. Положим
cos b — cos а Л . cos a ~\~ cos Ь _
cosx = cosH ~ для 0<*<гс. A9.5)
Тогда, если t будет пробегать отрезок [0, п\ то х пробежит отрезок [а, Ь] (в направлении
от Ь к а).
Поскольку
Т(х)=Р [cos xj,
где Р— многочлен п-й степени, то подстановка A9.5) дает
Т (х) = Р [cos х] = P*(cos 0, A9-6)
где Р* — снова многочлен п-й степени, но уже определенный на [0, л]. Тогда
P*(cosO = *@, A9.7)
где r(t) — тригонометрический полином порядка п. Из A9.6) и A9.7) в силу A9.3) по-
получаем
|т@|< М на @, я). A9.8)
Но так как r(t) — четный тригонометрический полином, то неравенство A9.8) справед-
справедливо и на [— 71, п\. Поэтому мы вправе применить неравенство Бернштейна, а это дает
|т' @1 < пМ на [— щ л]. A9.9)
Но
а из A9.5) находим
dx cos b — cos a . Л
— Sin X —тг = к Sin t ,
поэтому
Г (x) = t' @ -?- ^L . A9.10)
v v' cos b — cos a sin t v '
Заметим теперь, что если х пробегает лишь отрезок \а!', Ь'~\, который целиком внутри
(а, Ь), то, как видно из формулы A9.5), t не может стать равно 0 или п, иначе говоря,
sin t > а, где а — некоторое положительное число, зависящее только от расстояния
от а' до а и от Ь' до Ъ. Поэтому из A9.9) и A9.10)
I т' (х) I < г^ -пМ<С(а, а', у, Ь) пМ на (а', Ь')
1 v ' cos b — cos a a " v ' ' ' ' v ' '
и неравенство A9.4) для случая четного полинома доказано.
Пусть теперь Т (х) — нечетный полином, тогда он состоит из одних синусов.
Мы предположим пока 0 < а < b < n (на доказательстве теоремы в окончательной
форме это не отразится). Имеем
Т(х) = sinxT1(x), A9.11)
где Тг (х) — четный тригонометрический полином порядка п — 1. Поэтому по доказан-
доказанному имеем
\Т;(х)\^С(а,а',Ь',Ь)(п-\) Мг на (а',Ъ%

898 ДОБАВЛЕНИЯ
где Мг — максимум модуля 7\ (х). Но так как мы предположили, что 0 < а < Ъ < п> то
sin х| > а для а ^ х ^ &,
где а > 0. Отсюда и из A9.3) имеем
М
Мг= max ITitxJK—-. A9.12)
Но
7'(х) = cos х7\ (х) + sin хТ[ (х),
а потому
М
\T'(x)\^M+C(a,a',b',b)(n—l) — ^C*(a,a',b',b)nM на (а', &')
и наше утверждение снова доказано (правда, пока с ограничением 0 < а < Ь < л).
Наконец, переходим к общему случаю. Пусть Т (х) — любой тригонометрический
полином порядка п и |Т(х)| ^Мна [а, Ь]. Возьмем любой [а', Ь'] внутри (af b) и пусть
е = min (а' — a, b — b'). Выберем число г\ так, чтобы г\ < — .
Пусть а' — ?? < х < 6У', тогда х ± Зг] ? [а, Ь] в силу выбора rj. Положим
Ti (и) = и Та (и) = _
Тогда Гх (а) и Т2 (и) тригонометрические полиномы порядка п, причем
Mh |T8(u)|< Af
для 0<и^З?7 и а' — г) ^. х^. Ь'.
В силу уже доказанного, так как Т2 (и) — нечетный полином, мы можем применить
предыдущие результаты, лишь если и не обращается в нуль. Но на отрезке f-^-, 3 77 I мы
имеем право применять доказанное неравенство, а потому на [??, 2т\\ лежащем внутри
имеем
\T'2(u)l^C(r])nM,
Тем более для Т[ (и) это тоже справедливо, т. е.
I
Из A9.13) имеем
а потому
| Т' (х + и)\ < 2С (я) пМ, а' — rj < х < &', ^ < и < 2?у.
Если х — любая точка из (а', Ь'), то можно положить хг = х — ??, тогда а' — 77 ^ xi < ^' и
|Т' (хх + ")| < 2С {rj) пМ, г) ^ и^. 2г).
В частности, при и = г\ имеем хг + ^ = х, откуда
|Г(х)|< 2С(г))пМ,
а так как ^ зависит только от а, а', Ь' и 6, то теорема полностью доказана.
Как и для неравенства Бернштейна, здесь можно перенести полученный результат
на пространство LP, т. е. доказать теорему (см. Н. К. Бари 17J).
Теорема. Пусть Тп (х) — тригонометрический полином порядка п и [а} Ь] —
любой отрезок на [— тг, тг]. Для любого [а', Ь'\ лежащего внутри {а, Ь), найдется такая
константа С, зависящая лишь от а, а', Ь' и Ь, что
ъ' JL ь JL
(J \Т'п (х)\р dx)P < С (а, а', Ь\ Ь) п (J \Tn (x) \p dx)p .
§ 20. Теорема Бэра
Следуя Бэру, функцию/(х), определенную на некотором совершенном множестве Р,
называют точечно разрывной на Р, если точки непрерывности / (х) на Р образуют мно-
множество Е, всюду плотное на Р.
Бэр доказал следующую важную теорему:

§ 22 НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИЙ ИЗ КЛАССА Lv 899
Теорема Бэра. Для того чтобы функция /(х) могла быть представ-
представлена в виде
lim/n(x), B0.1)
где все fn (х) непрерывны на [а, Ь] и сходимость имеет место в каждой точке [а, Ь], необ-
необходимо и достаточно, чтобы / (x) была точечно разрывна на всяком совершенном множестве
(См., например, Н. Н. Лузин [м. П], § 47.)
Из этой теоремы, в частности, сразу следует, что если/(х) пред ставима в виде B0.1),
то на любом отрезке [а, /?], лежащем внутри [а, Ь], найдутся точки, где /(х) непрерывна,
а стало быть, и такие отрезки, где она остается ограниченной.
§ 21. Неравенство Иенсена
Пусть Ф (и) — непрерывная функция, выпуклая и определенная для всех значе-
значений и. Пусть р (х) ^ 0 на [а, Ь], а / (х) измерима и конечна почти всюду на [а, Ь]; кроме
того, / (х) р (х) суммируема на [а, Ь]. Тогда, если только
j'p(x)dx>0,
имеем
kf(x)p(x)dx
p(x)dx
B1.1)
$p(x)dx
(См., например, Натансон [м. 1б]; гл. X, § 5, теорема 6.)
ь
Если J p (x) dx = 1, то получаем просто
а
* [J7(*) Р(х) *с] < /* [/(*)] Р(*) О*- B1.2)
а а
К ГЛАВЕ X
§ 22. Некоторые неравенства для функций из класса LP
Теорема 1. Если / (х) ? LP [— щ л] и Ф (х) = 11/ (t)\ dt, то
о
\^p>\)f B2.1)
о
где Ар зависит только от р.
Чтобы убедиться в этом, заметим, прежде всего, что при е > 0 имеем, интегрируя
по частям,
т. е.

900
ДОБАВЛЕНИЯ
По неравенству Гельдера
1
а потому
Uf\pclt[P\ f btfj' P =oix
0 ' f 6 '
при
при х —> 0 ,
Далее, снова по неравенству Гельдера,
)
<
El}
р
/ W I" <*
p—1 n
f-
[\\f(t)\pdt]
B2.3)
Соединяя B2.2) и B2.3), находим
л р
р~
(J \f(x)\Pdx
p-\
Деля обе части на [/(е)] ^ , находим
1 1
[/ (е)]р < о A) + j^-j (j | f(x)\P dx У
Переход к пределу при е -+ 0 дает
о
Ф
х
о
т. е. доказывает существование интеграла B2.2) и даже дает для него оценку
п
р
J ("^)р dx ^ Лр \!; () ?
о 'о
( Р У
где Лр = — г —постоянная, зависящая только от р.
Теорема 2. Пусть р > 1, <р (х) > 0 и рР (х) хр-2
0(X)=$<p(t)dt,
i
то и ФР(х)х-2 суммируема на A,°о) ц
f
I
B2-4)
на A, оо); если
~2 dx >
B2.5)
Др зависит только от р.
Э
р зависит только от р.
Эта теорема доказывается аналогично тому, как было доказано неравенство B2.4).
Сначала заметим, что можно написать для любого а > 1 и любого х > а
р—2
P t P
f<p(t)dt=$(p(t)t P t P dt^C ($ q>P (t) tP~* dt)
1 р—2 р—1
P~X df) P .
B2.6)

§ 23 ТЕОРЕМЫ ИЗ МЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 901
Отсюда мы выведем, что
ф (х) = j (р @ dt = о I х р I при х -> оо . B2.7)
В самом деле, второй сомножитель в B2.6) имеет порядок хр , а первый можно сде-
сделать как угодно малым, если а достаточно велико. Следовательно, взяв е > О любое,
можно выбрать а так, чтобы
Зафиксируем такое а, тогда
х 1.
ф(х) = Ф (а) + J<р (О Л < Ф (а) + exp •
а
Но при достаточно большом х будем иметь Ф (а) < ехр , а тогда
1
Ф(х)<2ехР
Так как г произвольно, то B2.7) доказано.
Далее имеем, интегрируя по частям
B2.8)
\
1 1
фр (х)
Так как — -»- 0 при х -*- оо в силу B2.7), то остается оценить интеграл в правой
части B2.8). Для этого напишем
Р—2 р—2
фр-1 @ р да 1 = [фр-1 (о f-i ^ ] [7 (о * М
и применим неравенство Гельдера; получим
х , х
откуда
]^Л<оA) + Р (J^^)^(j^)^^. B2.9)
Деля обе части B2.9) на первый из двух сомножителей правой части, найдем
х J_ , х
^ p <o(l) + p\
ч
и при х-*- оо видим, что B2.5) справедливо. Этим заканчивается доказательство теоремы.
К ГЛАВЕ XI
§ 23. Вспомогательные теоремы из метрической теории множеств
Лемма*). Пусть Е С [а, Ь], тЕ > 0 и Eh — множество Е, сдвинутое на h. Тогда
т (E-hEhE) -v тЕ при h -+ 0.
Доказательство. Пусть / (х), /^ (х) и /-/* (х) — характеристические функции
множеств Е, Eh, E~h- Легко видеть, что
U (х) = / (х - ft), /_„ (х) = / (х + ft).
*) Эта лемма и две следующие теоремы доказаны П. Л. Ульяновым.

902 ДОБАВЛЕНИЯ
Поэтому
т (E-hEEh) = j / (х) f (х + h) / (х — h) dx.
a
С другой стороны, можно написать
тЕ = $f3(x)dx.
а
Поэтому
О < mE — m(E-hEEh) = |J/ (х) [} (х + h)f(x — h) — f* (x)] dx\ <
а
<J/(* + ft) |/(x — Л)_/(x>| dx +\ |/(x + A)—/(x)|/(x>dx<
a a
<J|/(x—A) —/(x)|dx+}|/(x +A) —/(x)|dx-*O при ft+0
a a
по теореме об интегральных модулях непрерывности (см. Вводный материал, § 25).
Таким образом лемма доказана.
Из этой леммы вытекает
Теорема 1. Пусть Е С [а, Ь], тЕ > 0. Для любого е > 0 найдется множество
Ее, тЕе > тЕ —е и последовательность чисел hn > 0, hn -> 0 таких, что если х0 ? Ее, то
х^Е, Xt+hntE, xQ~-hn?E (л = 1,2,...-). B3.1)
В самом деле, по лемме можно найти такие hn, что
тЕ - m{E-hn Е Ек) < -^ . B3.2)
Пусть
Е0 = П(Е-нп Е Ehn).
Ясно, что Ео? Е. С другой стороны, из B3.2) вытекает, что
т{Е - Ео)< Jg -?— = -|- , т. е. тЕ0 > тЕ - -~-.
Теперь достаточно положить Е€ = Ео, и теорема 1 доказана, так как если х0 ? Ее,
то хо? E-hn E Ehn для всех п, а это значит, что для всех п выполнено B3.1), и теорема 1
доказана.
Отсюда легко выводится
Теорема 2. Если Е С [а, Ь] и тЕ > 0, то найдется множество g С Е, т? =
= тЕу и последовательность положительных чисел hn -*¦ 0 таких, что если х0 ? Е, то
х0 — hn ? Е и х0 -f hn d Е для п > п(х0).
Действительно, положим
<Г = jim (E-hn Е Еня„
Л—» оо
где множества Еип выбраны, как в теореме 1. Ясно, что т? = тЕ, так как, полагая
Нк = Я (Е-^ Е Ел,),
имеем Я/с С Нк+1 при любом А; и в силу B3.2) т(Е — Нк) < -^ • Наконец, mE = iim mHk,
и это заканчивает доказательство.

5 24
ТЕОРЕМА МИНКОВСКОГО
903
К ГЛАВЕ XII
§ 24. Теорема Минковского
Теорема Минковского. Пусть
— любые числа. Каково бы ни было Ау можно найти такое целое q> А и такие целые
Рп Р%> • • • t Pvj что
1
1
(/ = 1,2,...,у).
B4.1)
Доказательство. Прежде всего заметим, что если все U рациональны, то
теорема становится тривиальной. Действительно, приводя тогда эти числа к общему зна-
знаменателю, имеем
U = -%- (? = 1,2,...,*),
но
где все s/ целые. Умножая числитель и знаменатель на N, где N > А и целое, и полагая
qQN = q, имеем
t (/ 12*)
где s'i опять целые. Но тогда
и-А
1+1
(? = 1,2...,*)
ж, кроме того, q > А. Значит, в этом случае теорема доказана.
Итак, интересно рассматривать лишь тот случай, когда хотя бы одно U иррацио-
иррационально.
Заметим теперь, что если дана последовательность чисел ет -+¦ 0 и если для ирра-
иррационального числа t мы подобрали рациональные ¦=— так, что
qm
t —
Рт
<
то знаменатели qm неограниченно возрастают с ростом т$
Действительно, если бы это было неверно, то нашлось бы такое число Д, что беско-
бесконечное множество знаменателей qm не превосходит А, но тогда, будучи целыми, они могут
принять лишь конечное число разных значений. Если так, то нашлось бы такое число q'y
что qm == (f для бесконечного множества значений т. Но расстояние от t до ближайшего
рационального числа со знаменателем q' есть постоянная величина, а потому разность
не может быть сделана меньше ет для бесконечного множества значений т.
t —
Пусть теперь т — любое целое. Разобьем v-мерный куб —^- < хг¦
(/ = 1,..., v)
на Т = mv кубиков за счет того, что каждое ребро делим на m равных частей. Рассмотрим
точки Ми с координатами {/tfj, {kt2}, ..., {ktv}, где к = 0, 1,..., Г. Таких точек будет
Т -f 1, все они лежат в нашем кубе, значит хотя бы в одном кубике их две. Пусть это
точки Mid и Мк2', для определенности положим кх > к2. Имеем
|(Л, — k2)U — рА < —- (/=1,2,..., v),
/л
где pi какие-то целые. Положим q = k± — k2. Тогда q^ Т и
Pi
П-
<
rn q
1,2,...,*).
B4.2)

904
ДОБАВЛЕНИЯ
На основании предыдущих замечаний, так как хоть одно из U иррационально, то
для того, чтобы выполнялись условия B4.2), а значит, и подавно условия
1 (/ = 1,2,..., v), B4.3)
U-
Pi
т
необходимо, чтобы с ростом т число q возрастало. Можно, следовательно, взять т столь
большим, чтобы то q, для которого выполнены все неравенства B4.2), удовлетворяло тре-
требованию q > A.
Итак, взяв т достаточно большим, можно найти такое q, что q > А и
rnq
Но так как тУ = Г, то т = Tv , а Т > q, поэтому m> qv , откуда
1
(/ = 1,2,...,*)
и теорема полностью доказана.
Следствие теоремы Минковского. Для любых действительных
t19 t2,...,tv и для любого е > 0 можно найти такое целое Я,
/= 1,2,..., У)
Заметим сначала, что достаточно рассматривать случай е<-^-, так как |{у}|
при любом у. Пусть теперь
B4.4)
B4.5)
1
Из доказательства теоремы Минковского видно, что можно всегда найти такое q ^ mv&
что
и. Pi
ИЛИ
откуда
\qu-Pi К
Но так как mv
<2е,
IIЬ А ^ А О
1
е
поскольку е < -—-, то, обозначая К = q, видим, что неравенства B4.4) и B4.5) выполнены,
а потому наше следствие доказано.
§ 25. Несколько теорем из теории рядов
Теорема 1. Пусть f (х) положительна при х > 0 и / (х) f оо при х -*¦ оо.
0 (п = 1, 2,...), последовательность {ип} ограничена и ^J un = + сю7 /по
/2=1
сходятся или расходятся одновременно (здесь Sn = иг + ... + ^п).
Эта теорема доказана Валле-Пуссеном (см. [м. 5] т. I, § 366, упр. 3) и Данжуа
(Denjoy И1).

§25
НЕСКОЛЬКО ТЕОРЕМ ИЗ ТЕОРИИ РЯДОВ
905
Для доказательства изобразим на плоскости кривую у = и отметим на ней точки
Мп с координатами 15л,-у-г^-г- (рис. 52).
v / (Ъп) J
Ясно, что прямоугольники Рп с площадью ип ,/о лежат под этой кривой, а по-
/ (Ьл)
тому, когда J7 ^ сходится (т. е. когда кривая ограничивает конечную площадь, то и
Р2+ ... +Р„+ ...< + ~,т.е. ? Пп
сходится.
f(Sn)
^ 1
Напротив, если У? расходится, а
это значит, что площадь, ограничиваемая
нашей кривой, бесконечна, то Qx + Q2
+ ... -f Qn + ... = ©о, где Qn — прямо-
прямоугольник с площадью «л т—— .Поэтому ряд
/ (on-i)
расходится. Но тогда и 2 > /с \ также расхо-
/ (Ъп)
дится, так как разность этих рядов есть схо-
сходящийся ряд. В самом деле, так как {ип} — ограниченная последовательность, то \ип\
< М (п = 1,2,...), а потому для любых т и п, л > т, имеем
<м
и так как при п -*- оо правая часть стремится к нулю, то и левая также, а тогда
ЫЬ есть
Следствие. При сохранении тех же условий для ип имеем
при любом е > 0.
Для доказательства достаточно положить/(х) = х или /(х) = х1+е в предыдущей
теореме и заметить, что
1
= 4- оо и
т
j-^- < -f со при е > 0 .
Совершенно аналогично доказывается
Теорема 2. Ес/ш ип > 0, JS/ мл < + °° ^
1
А
Действительно, на отрезке @, 5), где 5 = 2J Uky отмечаем точки Аь А2У..., Ап,.. •
такие, что Ап-\ — Ап = ип (рис. 53). Строим кривую
У лЛ — п

906
ДОБАВЛЕНИЯ
и замечаем, что прямоугольники Qn (п = 1, 2,...) с основанием ип и высотами—^-все
Rn—1
лежат ниже этой кривой, а так как площадь, ограничиваемая этой кривой, осью ординат
и отрезком OSy конечна, то наше утверждение доказано.
Следствие. Для всякого сходящегося ряда ?ипс неотрицательными членами
существует такая монотонно возрастающая функция w(n) f oo, что ряд ? unw (л) <
Действительно, достаточно положить
__ 1
WU ~ Rn~a '
и заметить, что Rn I 0, а потому wn \ сх>.
00
Теорема 3. Если ряд ? tXk сходится, то
Полагая
к=п
имеем
Un = дп
а потому
2^-2
Rk - Дй+i
к=п
Рис. 53 =
{преобразование законно, потому что Rn-+ 0 при п ->¦ схэ). Полагая
имеем ?П ->¦ 0 при п -*¦ оо и
= max
к>п
Теорема 4. Если /п { м и ряд ^-^ сходится, то
in
ил
найдем
Положим L^n = их + • • • + ^л и гп — ? -у- . Пользуясь преобразованием Абеля,
к=п 1к
Un-
Uh
1к
Ik = J? Гк Aк — lk-i) ~ Гп+i in + Гт+11т+1
т+\ п т+2
Пусть е > 0 задано. Выберем т так, чтобы \гк\ < е для А; > /п, тогда
eE (Ik
m+2
а потому
\Um\
если только п достаточно велико, потому что Um конечно, а 1п -^ оо. Итак,
?/„ = о (/„),
и теорема доказана.

§ 26 РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ 907
К ГЛАВЕ XIII
§ 26. Равномерное распределение
Определение. Последовательность точек
лежащих на [а, Ь], будем называть равномерно распределенной на этом отрезке, если для
любого интервала <5, лежащего на [а, Ь]у среди первых N точек из {хп} число N$ тех точек,
которые попали на интервал д, удовлетворяет условию
lim "*=*.
Это понятие играет в теории чисел важную роль. В качестве примера последова-
последовательности, равномерно распределенной на [0, 1], можно привести последовательность
дробных долей (пв) любого иррационального числа 0.
То, что эта последовательность равномерно распределена, можно было бы доказать
непосредственно, но мы получим это из одной теоремы Вейля (Weyl t2]).
Теорема 1 (Вейля). Для того чтобы последовательность х1у х2,..., хп,...
была равномерно распределена на [О, 1], необходимо и достаточно, чтобы при любом
целом т ф О
lim — j? e27timXk = 0 . B6.1)
«->« п к=\
Чтобы убедиться в этом, докажем лемму:
Лемма. Если / (х) интегрируема по Риману на [0? 1 ] и х1у х2,..., хт,... — равно-
равномерно распределенная на [0, 1] последовательность, то
^2
П-оо П у=1 О
Для доказательства рассмотрим сначала случай, когда / (х) есть функция ступен-
ступенчатая на [0, 1], т. е. [О, 1] можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из кото-
которых / (х) постоянна. Пусть Slf д2,..., дт — эти отрезки и clt с2,..., ст — значения / (X) на
Т
р / ()
них. Тогда
1 т
J7() ^7
о л=1
и, с другой стороны, число рк точек из х1у..., хп, попавших на бк, удовлетворяет условию
^- -> бк ПрИ П ~> оо ,
т. е.
Рк = п (бк -h ef\ где еТ -+ 0 при п -+ оо.
Поэтому
1 п 1 m m m ml
Если теперь функция/ (х) любая интегрируемая по Риману, то мы можем для любого
г подобрать две ступенчатые функции ft (X) и /2 (х) так, чтобы
в + f /i (x) dx ^J- / (x) dx > J/2 (x) лс - в.
Тогда
л П 1 1
П-со Л

908 ДОБАВЛЕНИЯ
откуда при достаточно большом л
1 п 1 п *
— J> 1 (xj) < —- Jg /а (х/) < j /(х)Лс + 2 ?
» * jf J » * • -I Q
И
1 n 1 " 1
-- ^ / (*/) > — ^ /i (*/) > /(x) rfx — 2 e,
следовательно,
1 я 1
п-,00 л у=1 7 6
и лемма доказана.
Переходим к доказательству теоремы Вейля.
Условие необходимо. Положим для заданного т
/(X) = &*Чтх9
тогда, так как при т Ф 0 и целом
j e2nimxdx = 0, B6.3)
6
мы, применяя лемму к действительной и мнимой части, сразу получаем справедливость
утверждения.
Условие достаточно. Действительно, если B6.1) выполнено при всяком
целом т ф 0, то отсюда следует в силу B6.3), что при/(х) = е2 п /тхравенство B6.2) имеет
место. Но тогда для любого тригонометрического полинома вида
т
/(х) = ~—- + J/J (ak cos 2 п кх + Ък sin 2 л кх)
равенство B6.2) также будет иметь место.
Пусть теперь /(х) любая непрерывная на [0, 1]. Тогда можно подобрать тригоно-
тригонометрический полином/е(х) такой, что |/(х) —/е(х)| < 8. ТогдаД (х) = /г(х) — ей /2(х) =
= /е (х) -f- 8 — два тригонометрических полинома такие, что Д (х) ^С / (х) ^ /2 (х), причем
нх интегралы отличаются от интеграла от/(х) меньше, чем на 2s. Ясно тогда, что соот-
соотношение B6.2) верно для/(х). Наконец, пусть/(х; ступенчатая; аппроксимируя ее сверху
и снизу непрерывными, интегралы которых отличаются от ее интеграла как угодно мало,
видим, что и для / (х) соотношение B6.2) справедливо. В частности, оно верно, если / (х) = 1
на некотором д и равно нулю вне его, а тогда получаем
где рк — число точек из х1т х2,..., хп, попавших на б; мы видим, что равномерность рас-
распределения этих точек доказана.
Итак, теорема Вейля доказана. В частности, из нее сразу вытекает равномерность
распределения точек (пв) на [0, 1], если 9 иррационально. Действительно,
1 п 1 2ттв __ 2тт(п+\)в
А у е2пшкв = 1 « i >Q п_^оо
так как 0, а значит, и тв иррационально, а потому е2л1тв ф 1.
Теорема 2. Если 0 иррациональное, то числа (пР6), где л = 1, 2,..., а /> —
f/елое, равномерно распределены на [0, 1].
Для доказательства, согласно критерия Вейля, достаточно доказать, что при любом
целом т ф О

§26
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Так как тв опять иррационально при любом т ф 0, то достаточно доказать, что
для любого иррационального 0.
Для случая р = I теорема только что была доказана. Покажем, что если она верна
для 1, 2,..., р -— 1, то верна и для р, тогда она будет справедлива для всех целых р.
Сделаем предварительно общее замечание: пусть <р(п) — некоторая комплексная
функция целочисленного аргумента такая, что
при любом п. Тогда при любом п и любом т < п
2 V (*) = 2 <Р (* + 1; + аъ где |а1| < 2,
/с=1 к—\
a2, где |a2j<4,
? <f (к) = 2 9 (& + m) + <*т, где \ат\ < 2т,
откуда, складывая, найдем
к=1
Число /л мы подберем позже.
Пусть теперь q> (к) — е2^кРв, тогда
отсюда
2/
п
"^Г1 2nikPd
2е
к=\
imkPd =
2
<2
< 2
У1
Л у,
У=1
т
^ 2jii(k+j)PQ
+ 0(т),
2 0 Я1«!
2
+ О (/л2)
(в силу неравенства Буняковского). Но
т mm
У=1
Поэтому из B6.4) и B6.5; имеем
п 2 т т п
s'j е ^ 2 j^V ,^^1; ^w
22
7=1 /=1
(ш2) ^
В сумме, стоящей в правой части B6.6), имеется т членов, для которых / = /; каж-
каждый такой член равен л, поскольку соответствующие слагаемые во внутренней сумме (где
суммирование иде! по к) все равны 1 и число их равно п. Если же / ф I, то
есть многочлен порядка р — 1 (относительно к) с целыми коэффициентами. Так как тео-
теорема предполагается уже доказанной для 1,2,..., р—1, то
1 "

910
ДОБАВЛЕНИЯ
если Рр-г(к) — многочлен степени не выше р — 1 относительно к. Поэтому при j Ф I имеем
п
у p2ni[(k+j)P—(k+l)P\0 __ „ (п\ (па. п\
к=\
Пусть в > 0 задано. Подберем т так, чтобы — < е. В силу B6.7) для любых фикси-
фиксированных I и / можно подобрать пг так, что для п ^ пг
2л1[(к+;У~(к+1)Р]в
<еп.
B6.8)
В правой части B6.6) число членов суммы, где / = /, равно т, а к каждому из чле-
членов, где / ф I, можно применить B6.8», число этих последних членов меньше, чем т2Т
отсюда
т т п
2 2 е2л1[{х+]У>'~{к+1)Р]в
< тп + sm2n для п
т. е. в силу B6.6)
^ ~4 (тп + sm2ri) + О (т2) < 2 — + 2 en2 + Cm2 для п^п2>
т2
где С — постоянное. Выбирая п2 так, чтобы п2^шиС-<« при п ^ п2, найдем
|-2е+е<5е при п^п%
т
в силу — < s, т. е.
^/
< ~\[*Ге п>п
а так как е > 0 произвольно, то это и значит, что
и теорема доказана.
К ГЛАВЕ XIV
§ 27. Мажорантные и минорантные функции
прерывну!
ff(t)dt,
Пусть / (х) суммируема на (а, Ь). Непрерывную функцию v (x) мы назовем мажорант-
мажорантной функцией для
если:
а
3) Dy (х) > / (х) всюду, где / (х) ф + °°-
Здесь мы обозначили, как принято
X —
Аналогично непрерывная и (х) называется минорантной функцией для того же
интеграла, если
1) и {а) = О,

5 29 ТЕОРЕМА ПИЗО 911
2) J/(f) rff > ц (x), a^x^b,
3) Du (x) < f(x) всюду, где / (x) Ф — оо.
Это понятие введено Валле-Пуссеном. Он доказал, что такие функции существуют
и, более того, что можно для любого е > О построить v (е, х) и и (е, х) так, чтобы
(см. Валле-Пуссен [м. 5] т. I, § 269; тот же результат можно получить, изучая связь интег-
интегралов Лебега и Перрона, см. Натансон [м. 16] гл. XVI, §§ 2, 3, 4 и 5).
§ 28. Теорема Мин ковс кого о системе линейных форм
Минковский (Minkowski [м.31]) доказал теорему:
Пусть дана система из п линейных форм
^i = anxi + #12*2 + • • • + а1Пхп,
L2 = а21хг + а22х2 + ... + а2Пхп,
Ln = ап1хг + ап2х2 + ... + annxn.
Если определитель системы D ф 0, то существуют такие целые xlf x2,..., хПу что
xl+xl + ... +х2пф0 и
п
IL/КПбГ для i= 1,2,..., п.
Доказательство этой теоремы можно найти в целом ряде книг по теории чисел;
в частности очень наглядно оно изложено Б. Н. Делоне (см. Ш, § 23).
§ 29. Теорема Пизо
Теорема Пизо (Pisot ЕЧ). Пусть 9 > 1 и существует такое А, что
J? sin2 яЛвп < + оо. B9.1)
Тогда в есть число Пизо *).
Положим
wn = А0П B9.2)
и
wn = ап + 0л, B9.3)
где ал — ближайшее к wn целое (по недостатку или по избытку), т. е. —^ ^ Рп ^ "о" *
00
Ясно тогда, что из B9.1) следует ^ sin2 тг/гл < + оо, а это возможно только при
л«о
У; 1Мг < + оо. B9.4)
п-0
Докажем теперь, что между числами ап существует рекуррентное соотноше-
соотношение вида
cin+k + Ьг an+k-i + ... + bk an = 0 (п = О, 1, 2,...), B9.5)
*) Определение числа Пизо дано в § 20 главы XIV. Пизо доказывал также, что I
есть алгебраическое число из тела К(в), но это нам не понадобится.

912
ДОБАВЛЕНИЯ
где все bi (i = 1, 2,..., к) — рациональные числа. Для этого предварительно докажем,
что найдется такое к, для которого, полагая
Dn =
аг а2 . . . пп+1
Q.n
имеем
Dn = 0 при п > к .
B9.6)
B9.7)
В самом деле, из членов каждой колонны Dn, начиная со второй, вычитаем члены
предыдущей колонны, умноженные на 0, тогда получим
ва0 ... an — 6an-i
ai а2 —
а0
где мы положили г}р = ар+1 — вар:
В силу B9.2) и B9.3) имеем
откуда
и, значит,
В силу B9.4), полагая
— fip+i — в (wp — ftp) = Bfxp — fip+lt
\r}P\ < e\ fip\ + |^p+i|
< (в2 +
+
имеем Rn ^> Rn+i и Rn ->¦ 0 при п-+оо. Кроме того, в силу B9.9)
Z 4 < (О2 + 1) (Rm + Rm+i) < 2 (б2 + 1) tfm .
По теореме Адамара*) имеем из B9.8)
Dl < (а% + + а?) J7^ ^ *$ 2^! ?7 < [2 (в2 + 1)]" J7 а|
Но
п—1
р=0
= wp
0-^)
и так как wp f и wx = А0 > 1 в силу -^ ^ А < 1, то
Следовательно, в силу B9.12) и B9.13)
где С — абсолютная константа.
I __ I
:св2п,
*) Теорема Адамара заключается в том, что если
11 ^12 * ' * 1
ТО
л п
B9.8)
B9.9)
B9.10)
?„_!• B9.11)
B9.12)
B9.13)
B9.14)
См., например, Ф. Р. Г а н т м а х е р, Теория матриц, стр. 208.

§29 ТЕОРЕМА ПИЗО 913
Из B9.11) и B9.14) находим
Dn < С02П [2@2 + l)]nR0Ri- • • Rn-i = С [202@2 + l)]nR0Ri •.. Rn-i = Сдодг ... gn_lf
где ?П = 202@2 + 1) Rn, а так как Rn -»- 0, то ?л -*- 0 при п-^оо и, следовательно, Dn-+ О
при /1 -*¦ ©о.
Но Dn — определитель, элементами которого служат целые числа, значит Dn —
целое число. Поэтому Dn -* 0 возможно только, если Dn = 0, начиная с некоторого но-
номера /с, т. е. B9.7) доказано. Однако для дальнейшего нам важно убедиться, что к ф О,
т. е. что случай Dn = 0 для п — О, 1, ... невозможен. С этой целью заметим, что а0 есть
ближайшее целое к w0 = 2.9° = А, но -тг<^ A<J 1 следовательно, а0 = 0 или 1. Если
а0 = 1, то ?H = а0 ф 0 и доказательство закончено; если же а0 = 0, то
D, ¦¦
и1 
так как аг есть ближайшее целое кт^1 = А0ииз -д- ^ Л< 1 следует, что wx ^ 1, т. е. аг ф 0,
а. потому и Dx ф 0.
Итак, существует такое /с ^ 1, что
йк_г ф 0 и Dk = Dk+1 = ... = 0. B9.15)
Докажем, что тогда соотношение B9.5; имеет место именно при этом к (и при разумно
подобранных рациональных числах Ь1 ... Ьк).
Для этого рассмотрим систему уравнений
+ я А + • • • + cik-iXk-i = — ал,
B9.16)
Так как Dk-i Ф 0, в силу B9.15), то у этой системы существует решение, которое мы обо-
обозначим
х0 = Ьк, хг = bk-i, ..., Xk-i = Ьг.
В силу того, что все ап целые, числа Ьъ..., Ьк все рациональны.
Но по известной теореме из курса Высшей алгебры, если выполнено B9.15) и мы
рассматриваем систему уравнений
Ojxl + '.'.'. + an+lxn = 0, I B9.17)
С1пХ§ -f- . . . -\- Q-2nXn == U, /
то числа Хк, Хк+г,..., хп можно выбрать как угодно, например,
хк = I, xk+i - 0,..., хп = 0, B9.18)
подставить их в B9.17), решить полученную при этом систему относительно х0,..., Хк-г
(пусть х|5, xj,..., х%-г — это решение) и утверждать, что тогда
х°0, xj,..., 4~i, хл = 1, хл+1 = ... = хп == О
$сех уравнений
тся в B9.16), т
К = ь^ А = ьк-1,>•>> 4-i == fa,
и отсюда следует, что
anbk + cin+ibk-i + ... -Ь an+k-ibi + ал+А: = О
является уже решением всех уравнений системы B9.17). Но при подстановке B9.18)
система B9.17) превращается в B9.16), т. е. решением ее будет
справедливо для всех п, а это и есть соотношение B9.5), которое мы хотели получить
(причем все hi рациональны).
Рассмотрим теперь степенной ряд

914 ДОБАВЛЕНИЯ
и докажем, что имеет место соотношение
B9.19)
где Р (г) — полином степени не выше к — 1с рациональными коэффициентами.
Действительно, если мы произведем умножение
P, B9.20)
то для любого р J> к коэффициент Лр при zP равен нулю, так как, если считать Ьо =
= 1, то можем написать
Ap==i;bsap~s B9.12)
s=0
и, полагая р — к = п, видим, что Ар = 0 в силу рекуррентного соотношения B9.5) для
всех р > к.
Значит, правая часть B9.20; содержит лишь члены Ао, А^,..., Ak-iZ1*-1. Кроме
того, их коэффициенты рациональны, так как они получаются по формуле B9.21) из
рациональных Ьп и целых ап. Итак, правая часть B9.20) есть многочлен Р (z) степени
не выше к—1с рациональными коэффициентами и, значит, B9.19) справедливо.
Умножая числитель и знаменатель правой части B9.19) на некоторое целое число,
мы можем добиться того, чтобы оба многочлена имели уже целые коэффициенты; кроме
того, можно предположить (разделив, если нужно, на общий множитель), что общий
наибольший делитель этих многочленов равен 1.
Итак,
2ат« = Щ-, B9.22)
де R (z) и Т (z) — многочлены с целыми коэффициентами и D [R (z), T (z)] = 1.
Пусть
T() B9.23)
Покажем, что все числа а = -j- целые.
Так как D [R (z), T(z)] = 1, то по известной теореме алгебры*) можно найти два
многочлена с целыми коэффициентами, пусть Рг (z) и Qx (z) так, чтобы
или, умножая на целое t0,
Ра B) Я (г) + Q2 (z) Т (г) = t0, B9.24)
где Р2(г) и <?2(z) — новые многочлены с целыми коэффициентами. Полагая
Т1д B9*25)
имеем в силу B9.24) и B9.22)
j2
n=0
*) Имеется в виду хорошо известная
Теорема. Если R(x) и Т (х) — два взаимно простых многочлена с целыми коэф-
коэффициентами, то найдутся такие два многочлена Р (x)uQ (x) с целыми коэффициентами,
для которых
P(x)R(x) + Q(x)T(x)=\. (A)
Эта теорема обычно доказывается без требования, чтобы коэффициенты у R (х) и
Т (х) были целыми. Но тот способ, при помощи которого отыскивают многочлены Р (х) и
Q(x), удовлетворяющие условию (А), показывает, что их коэффициенты окажутся целыми,
если гаковыми были коэффициенты у R (х) и Т (х).

29 ТЕОРЕМА ПИЗО 915
Таким образом, ср (z) есть степенной ряд с целыми коэффициентами. Но Т @) = t0
в силу B9.23), значит, в силу B9.25)
а потому из B9.25)
-^¦ = 1+AlZ + A2* + ..., B9.26)
где все ft — целые. Следовательно, полагая
найдем из B9.26) и B9.23)
Отсюда ясно, что все at целые. Действительно,
1 = A + агг + ... + osz*) (I + ptz
а потому
А + *i = О,
т. е. о^ целое,
h + iVi + ^2 = О,
т. е. су2 целое, и т. д.
Итак,
T(z) = /0 [1 + axz + ог2г2 + ...
где все ai целые.
Из B9.22) тогда получаем
где все #/ — целые.
Рассмотрим теперь степенной ряд
B9.27)
?(п B9.28)
л=0
и докажем, что его радиус сходимости R ^ 1, а на окружности радиуса 1 он не может
иметь полюсов.
Действительно, из B9.4) следует при г < 1, что
(оо \2 оо оо
^7 <ип/-" < ^7 [л1 ^7
л=0 / п=0 л=0
поэтому если \z\ = г < 1, то ряд B9.28) сходится; докажем, что при |zoj = 1 в точке z0
не может быть полюса.
В самом деле, пусть е > 0 задано. Выберем iV так, чтобы \рп\ < е при п> N. Тогда
при г < 1
2 .
л-0
< A - г)
N
+ О - г) е ? \zor |я < A - г) 2
N+1 л=0
и эта величина может быть сделана как угодно малой при г-* 1, значит,
lim A - г)
л=«0
откуда и вытекает, что в z0 не может быть полюса.
Но если |02| < 1, то
е

916 ДОБАВЛЕНИЯ
значит, J?7 anzn не может иметь полюса при \z\ < у, а при z =-тт должен быть полюс.
Но тогда из B9.27) следует, что
Ж*)
имеет полюс при z =-^-и не имеет других полюсов при |z| <J 1. Следовательно,-^- есть
корень уравнения 1 + a±z + .., + aszs = 0, а остальные корни этого уравнения таковы,
что |г/| > 1. Но тогда уравнение
2s + 012s-1 + ... + <*s = О
имеет корнем z = в, а остальные корни ах, а2,..., as-! таковы, что |а/| < 1
(/ = 1,..., s — 1), а это и значит, что в есть число Пизо.
§ 30. Об одной диофантовой задаче
В § 20 главы XIV ставился вопрос, для каких ?, 0 < ? < 1, имеем
/ (Ц = Я cos гс f?/ -v 0 при *-* оо. C0.1)
у~о
Заметим, прежде всего, что это имеет место для всякого |, обладающего таким свойством
(назовем его свойством Л): существует такое е > 0, что число гр (t) членов последователь-
последовательности*)
удовлетворяющих неравенству
\{W}\>sy C0.2)
стремится к бесконечности, т. е. y>(t)-*~ ©о при ?-* оо.
Действительно, если | обладает свойством Л, то можно написать
где знак П' означает, что мы сохраняем лишь те значения /, для которых C0.2) имеет
место. Но так как для таких / имеем
|cos nW\ = |cos я {t&}\ < cos ne = r) < 1,
то
|/@1 < r(P<h-+ 0 при t-+ оо,
поскольку 0<7?<1 и у (t)-+ оо.
В § 20 главы XIV мы обещали доказать, что C0.1) имеет место, если ? — правильная
дробь и ? ф —, где т целое. Теперь мы видим, что это будет доказано, если мы убедимся,
что такие ? обладают свойством А. Это же мгновенно вытекает из следующей теоремы
(см. Н. К. БариИ).
Теорема. Пусть правильная несократимая дробь, и ф \ и ь <
при достаточно большом t число y(t) членов последовательности
№)м-еш нт
для которых
удовлетворяет неравенству
y>(t)>C\n\nt, C0.4)
где с — константа, зависящая только от и и v.
*) Мы; как всегда, обозначаем через{х} расстояние от х до ближайшего целого числа.

§30 ОБ ОДНОЙ ДИОФАНТОВОЙ ЗАДАЧЕ 917
Положим
rj ==Ь(^-У1 , C0.5)
тогда
*(-^Ув wJ + rJ> C0.6)
где все wj целые и —^~ < г/ < -у .
Пусть m — наименьшее целое число, для которого при заданном /
<~- C0.7)
Имеем
т > 1п/ + 1п2 . C0.8)
^ In v — In a x '
Кроме того, ясно, что
|>0 ДЛЯ /<„,,
[ = 0 для / > /п .
Назовем число г/ «хорошим», если оно удовлетворяет условию C0.3), и «плохим», если
]г/| < е. C0.10)
Докажем, что среди чисел гх, г2,..., гт имеется <р (т) хороших, где
<р(т)> у\пт, C0.11)
а у > 0 — положительная константа, зависящая только от и и t?. Если это будет дока-
доказано, то в силу C0.8) будем иметь
<р (т) > ($ In In f,
где р — некоторая другая положительная константа, зависящая только от и и vf a. так
как у (t) > q> (m) по самому определению этих чисел, то наша теорема будет доказана.
Чтобы оценить ф(т), допустим сначала, что два последовательных числа г/ и г/+1
оба плохие. Так как из C0.6) следует
C0.12)
в силу того, что гу и г/+1 оба плохие.
Но так как в левой части C0.12) стоит целое число и оно строго меньше 1, то оно
равно нулю, т. е.
UWj = VWj+1.
Повторяя это рассуждение в случае, когда г/, г/+1,..., rj+s все плохие, найдем
UsWj = VsWj+s.
Но так как дробь — несократима, то отсюда следует
wj = г% C0.13)
где / целое, и притом / ф 0 в силу C0.9), так как / < т.
Из C0,6) и C0.7) находим
а потому
(U. \m-~J 1
т) <
т. е. в силу C0.13)

918 ДОБАВЛЕНИЯ
Следовательно,
v 1
так как — > 1 и та — / ^ 0, a \rj\ ^ -~-.
Так как / целое и / ф 0, то отсюда и подавно
и,
а потому
s In v ^ (/п — f)(lnv — In «),
т. е.
s< (/п — /)а, C0.14)
где
lnt? '
поскольку и Ф 1.
Итак, мы пришли к выводу: если группа плохих членов из конечной последова-
последовательности rlt r2,..., rm начинается с номера / и состоит из s + 1 членов, то s и / связаны
неравенством C0.14).
Если все rlf r2,..., гт хорошие, чо<р(т) = /пи доказывать нечего. Если этого нет,
то, вообще говоря, существует у групп (v % 1), каждая из которых состоит из записан-
записанных подряд плохих членов
где Si ^ 0 (/ = 1, 2,..., v), а между каждыми двумя группами стоит по крайней мере
по одному хорошему члену. Таким образом число хороших членов
<р {pi) ^5 v — 1,
а точное его выражение
<р (щ) = т— [(sx + 1) + E2 + 1) + • • • + (sv + 1)] = т — {s1 + $2 + ... +sv)—v.
C0.15)
Так как sx ^ та и для любого / ^ 2 имеем, в силу расположения г/ в порядке возра-
возрастания индексов
it > si + 52 + . •. + s/-i, C0Л6)
то из C0.14) и C0.16)
Si <J (m — ji)a ^. [m — (sx + • • • + s/-i)l a
и, следовательно,
т — EХ + • • • + Sv) ^ гп — (st + .. + Sp-i) — [т — (st + • • • + Sv-i)] a =
а потому в силу C0.15)
<р (т) ^ /л A — a)v — v.
Теперь заметим, что может быть два случая
а) т A — а/ > У /п или б) /л A — а)" < "
соответственно этому имеем
-у him -jlnm
^ I In A - а) |
Но тогда в случае а)
1 In /П

§31 О МНОЖЕСТВАХ ТИПА (ff(s>)* 919
если у > О разумно подобрано, а в случае б)
. 1 In/л
9l>l
Значит, неравенство C0.11) доказано и этим закончено доказательство теоремы.
§ 31. О множествах типа (H(s))*
Назовем множество Е множеством типа (H(s))*, если оно определено так, как это
сделано для H{s) (см. § 15 главы XIV), но вместо целых чисел Я/^ берутся любые такие
?}?\ что Ал}->- °о при /c-*oo(l^/^s); определение независимости последовательно-
последовательностей сохраняем прежнее. Докажем*) несколько свойств множеств типа (//(s))*.
I. Каково бы ни было а, если Е есть (Я<«)* (или Я<«), то и ? = Е— а есть (Я<«)*
(соответственно #(s)). Здесь Е — а означает множество точек ? вида t = х — а, где х ? Я;
кроме того, мы будем, для простоты, считать Е лежащим не на интервале @, 1), а на окруж-
окружности длины 1, таким образом, сдвиги можно брать любыми.
Пусть Л1у А2,..., As — интервалы, входящие в определение Е, т. е. найдутся такие
независимые {А**} (/ = l,2,...,s), что для любого х(?и для любого к хотя бы при
одном / имеем
Пусть d = min (Аъ А2,.. .,AS). Возьмем такое целое /л, что —<J -^- и разобьем окружность
на т равных дуг. Найдется хотя бы одна дуга, в которую попадет бесконечное множество
точек вида (ffia), фиксируем ее, пусть q —ее левый конец. Выбросим все те А/сХ), для
которых (Я^ а) не попало на эту дугу, тогда для всех оставшихся к
Из последовательностей {А/?},...,{А/?}} выбросим все те члены, у которых индексы к
такие же, как у выброшенных Aj?\ Полученные таким образом последовательности назо-
назовем «очищенными». Из очищенной последовательности {Аа:2>} выделим таким же образом
подпоследовательность, для которой при некотором с2 имеем
с, <<А«>а) <*,+-!-,
причем отметим все к, для которых при этом были выброшены члены А(л2), и выбросим все
А//) с такими же к также при всех / ф 2. Продолжим этот процесс «очистки». В резуль-
результате через s шагов получим последовательности
такие, «то каждая { у^} есть подпоследовательность {Ал}},т. е. y)l) = A^(/=l,2,...,s),
и последовательность &/(/ = 1,2,...) одна и та же для всех /. Отсюда ясно, что после-
последовательности { уь} независимы, так как при ]? xf > 0 имеем
lim
= lim
поскольку А/^ были независимы. Кроме того, в силу построения { у^} имеем при любом /
ci К i?f а)< ci + -ir (к = 1,2,...),
где значения с/ какие-то, но важно, что они от к не зависят.
Пусть теперь t? &, тогда t = x—а, где х?Е. Если Ai — (At, Bi), то положим
<5/ = (а/, &/), где
*) Приведенные ниже доказательства даны студентом Московского университета
М. И. Лившицем.

920 ДОБАВЛЕНИЯ
Ясно, что
о 2
Покажем, что если / ? &, то для любого к найдется такое /, что
тогда будет ясно, что & есть (H(s))* (или H(s), если числа Ajj? были все целые, что имеет
место, когда Е есть #(S)).
Действительно, раз х ? Е, то для любого к найдется такое /, что
т. е.
y№x![(Ai + N, Вi -j- N)
при любом целом N. Но
Поэтому
fi(A/ -ci + N-eP-L, Bi-e,- в11) -±- + JV)
при любом целом N, т. е. и подавно
а потому наше предложение доказано.
Теперь выведем свойство II.
П. Всякое (#(s>)* есть сумма конечного числа H(s>, лежащих на непересекающах ся
интервалах.
Этот факт обобщает теорему А. А. Шнейдера о множествах типа Н* (см. § 8
главы XIV).
Сохраним все обозначения, введенные при доказательстве свойства I. Пусть Ej
, у j
часть Е} попавшая на — , ^—I • Роль а пусть играет —, тогда сдвинутое Еу превратится
в ?/, лежащее на 0, —I. Оно будет типа (H(S))*, поскольку Ej типа (H(S))*, как часть Е
Но мы покажем, что #/ есть H(s).
Действительно, мы нашли, что для / ^ &j будем иметь при всяком к такое /, что
где E/(/) получается, как di тогда, когда роль а играет ~ . Для нас важно, что длина E/(/)
2
не зависит от / и не меньше, чем — d.
Положим
Тогда все п^ целые и при этом, так как для t ? gj имеем 0 ^ / < —, то
\nftr-Yft\<±.
Следовательно, если Si (J) = (щ (/), ft/ (/)) и б7(/) = (а; (/) + — , to (/) - — Ь то В(> всяком
случае
D°0 ё*(/).
О 0 1
Но длина Ej(/) не меньше, чем — d ^-^d . Значит, если мы докажем, что {п^} неза-
вйсимы, то &j будет H(s) множеством. Но это ясно, так как если ? х] > 0, то
/=i

§31 О МНОЖЕСТВАХ ТИПА (ff(s>)* 921
при к-+ оо. Итак, всякое ?/ есть H(s), значит, и Ej также в силу свойства I, а тогда все
доказано.
Следствие. Всякое (Hs)* относительно [О, 2л] есть U-множество.
Действительно, всякая сумма (/-множеств, лежащих на неперекрывающихся от-
отрезках, есть (/-множество (см. § б главы XIV). Теперь можно доказать теорему:
Теорема. Пусть Е есть множество типа H(s) относительно [0,1]; пусть |
любое и $ — множество точек вида t -— х?, где х?Е. Если ? лежит на [0,1], то оно
есть (#(s))* и, следовательно, (/-множество.
Действительно, пусть {п/^} и Ai — числа, входящие в определение Е, как мно-
множества типа H(S); Положим
Тогда 1$ -*¦ °° при /с -> оо и для t ? % имеем
Независимость {А^} (/ = 1, 2,..., s) очевидна. Теорема доказана.
Замечание. Из хода доказательства видно, что получено несколько более
сильное утверждение, а именно: если Е есть множество типа (H(S))* и ? лежит на @, 1),
то # есть снова (№)* (<? имеет тот же смысл, как в только что доказанной теореме).

БИБЛИОГРАФИЯ
А. МОНОГРАФИИ И УЧЕБНИКИ
а) На русском языке
1. Александров П. С. и Колмогоров А. Н., Введение в теорию функ-
функций действительного переменного, ГОНТИ, 1938.
2. А х и ез е р Н. И. и К р е й н М. Г., О некоторых вопросах теории моментов,
ГОНТИ, Харьков, 1938.
3. Берн штейн С. Н., Собрание сочинений, Изд. АН СССР, т. I, 1952 г.,
т. II, 1954 г.
4. Бернштейн С. Н., Экстремальные свойства полиномов, Москва, 1937.
5. Валле-Пуссен Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых, перев. с франц.,
ГТТИ, Москва, 1933.
6. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, перев. с англ., ГОНТИ НКТП СССР,
1939.
7. К а ч м а ж С. и Ш т е й н г а у з Г., Теория ортогональных рядов, перев. с нем.,
Физматгиз, Москва, 1958.
8. Л е б е г А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, перев.
франц., ГТТИ, 1934.
9. Л узин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, Москва, 1915.
10. Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, изд. 2-е, Гостехиздат,
Москва, 1951.
11. Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, Учпед-
Учпедгиз, 1940.
12. Л ю с т е р н и к Л. А. и Соболев В. И., Элементы функционального
анализа, Гостехиздат, Москва, 1951.
13. М ан д е л ь б р о й д т С, Квазианалитические классы функций, перез. с
франц., ОНТИ, 1937.
14. М а р к у ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, Гостех-
Гостехиздат, Москва, 1950.
15. Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиздат, 1949.
16. Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, Гостехиздат,
1957.
17. Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, перев. с нем.,
Гостехиздат, Москва—Ленинград, 1941.
18. Привалов И. И., Интеграл Cauchy, Саратов, 1919.
19. Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, Гостех-
издат, Москва—Ленинград, 1950.
20. Р и м а н Б., Сочинения, Гостехиздат, Москва—Ленинград, 1948.
21. Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному
анализу, перев. с франц., ИЛ, Москва, 1954.
22. Сакс С, Теория интеграла, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1949.
23. Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, перев. с англ., Гостех-
Гостехиздат, 1948.
24. Хард и Г., Расходящиеся ряды, перев. с англ., ИЛ, Москва, 1951.
25. Хард и Г., Литтльвуд Д. и Полна Г., Неравенства, перев. с англ.,
ИЛ, Москез, 1948.

БИБЛИОГРАФИЯ 923
б) На иностранных языках
26. В а п а с h S., Theorie des operations lineaires, Warszawa, 1932.
27. D e n j о у A., Calcul des coefficients d'une serie trigonometrique, Paris, 1941—1949.
28. Hardy G. H. and Rogosinski W., Fourier Series, Cambridge, 1944.
29. H о b s о n E. W., Theory of functions of a real variable and the Theory of Fourier
series, Cambridge, 1921.
30. L e b e s g u e H., Legons sur les series trigonornetriques, Paris, 1906.
31. Minkowski H., Diophantische Approximationen, Leipzig, 1907.
32. Plessner A., Trigonometrische Reihen Pascals, «Repertorium der hoheren
Analysis», т. I3, Leipzig und Berlin, 1929.
33. T о n e 11 i L., Serie trigonometriche, Bologna, 1928.
34. Vallee- Poussin Ch. J., Lemons sur ^approximation des fonctions d'une varia-
variable reelle, Paris, 1919.
Б. ЦИТИРОВАННАЯ ЖУРНАЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Сокращенные названия журналов
а) На русском языке
ДАН Доклады Академии наук СССР. И АН Известия Академии наук СССР, серия
математическая. МС Математический сборник. ТМИС Труды Математического инсти-
института им. В. А. Стеклова. ТММО Труды Московского математического общества. ТЛИ
Труды Ленинградского индустриального института, раздел физико-математический.
УМН Успехи математических наук. УЗМ Ученые записки Московского государствен-
государственного университета.
б) На иностранных языках
AEN Annales scientifiques de PEcole Normale Superieure (Paris). AJM American
journal of Mathematics (Baltimore). AM Acta Mathematica (Uppsala). Ac. Sz. Acta
Litterarum ac Scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae (Szeged). Ann. di M. An-
nali di Mathematica pura ed applicata (Bologna). Ann.-Sc. N. P. Annali di Scuola
Normale Superiore di Pisa. Ann, M. Annals of Mathematics (Princeton). At. A. L.
Atti Accademia Nazionale dei Lincei (Rome). BAMS Bulletin of the American Mathe-
Mathematical Society. BSMF Bulletin de la Societe Mathematique de France (Paris). CR Comptes
rendus de PAcadernie des Sciences a Paris. BMJ Duke Mathematical Journal (Durham).
FM Fundamenta Mathematicae (Warszawa). GN Nachrichtcn der Akademie der Wisseri-
schaften in Gottingen. JbP Journal de PEcole Polytechnique (Paris). JIMS The Journal of
the Indian Mathematical Society (Madras). JLMS Journal of the London Mathematical Society.
J.M.Ph. Journal of Mathematics and Physics (Massachusetts Institute of Technology). J.r.aJVL
Journal fur die reine und angewandte" Mathematik (Berlin). MA Mathematische Annaien
(Berlin—Gottingen—Heidelberg). Mat Matematica (Cluj). MZ Mathematische Zeitschrift
(Berlin—Gottingen—Heidelberg). Pr. A.M.S. Proceedings of the American Mathematical
Society. PKNA Proceedings Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (Amster-
(Amsterdam)."PNAS Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
(Waschington). QJ Quaterly Journal of Mathematics (Oxford). RCMP Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo. St.M. Studia Mathematics (Wroclaw). TMJ Tohoku Mathematical
Journal. TAMS Transactions of the American Mathematical Society.
Бари H. K., 1. Sur l'unicite du developpement trigonometrique, CR, 177 A923),
1195—1197; FM, 9 A927), 62—118.
2. Memoire sur la representation finie des fonctions continues, MA, 103 A930),
145—248; 598—653.
3. Sur le role des lois diophantiques dans le probleme d'unicite du developpement
trigonometrique, MC, 2 D4) A937), 699—722.
4. Проблема единственности изображения функции тригонометрическим
рядом, УМН, 4, вып. 3 C1) A949), 3—68.
5. Дополнение к моей статье «Проблема единственности изображения функции
тригонометрическим рядом», УМН, 7, вып. 5 E1) A952), 193—196.
6. О примитивных функциях и тригонометрических рядах, сходящихся почти
всюду, МС, 31 G3), 1952, 687—702.
7. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова, ИАН, 18 A954),
159—176.

924 БИБЛИОГРАФИЯ
8. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопря-
сопряженных функций, ИАН, 19 A955), 285—302.
9. О локально-наилучшем приближении периодических функций тригоно-
тригонометрическими полиномами, УЗМ, вып. 181, Математика, т. VIII A956), стр. 107—138.
Бари Н. К. и М е н ь ш о в Д. Е., 1. Sur Pintegrale des Lebesgue—Stieltjes et les
fonctions absolurnent continues de fonctions absolurnent continues, Ann. di M., Serie IV,
т. V A927—28), 19—54.
Бари Н. К. и Стечкин С. Б., 1. Наилучшие приближения и дифферен-
дифференциальные свойства двух сопряженных функций, ТММО, т. V A956), 485—522.
Безикович А. С, 1. Об одном структурном свойстве функций и ансамблей,
МС, 31 A922), 128—147.
Бернштейн С. Н., 1. О наилучшем приближении непрерывных функций
посредством многочленов данной степени, Собр. соч., т. I, стр. 11—104.
2. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов, Сочинения, т. I,
стр. 217—223.
3. Об одном методе суммирования тригонометрических рядов, Сочинения,
т. I, стр. 523—525.
4. Замечание по поводу заметки Р. Салема, Сочинения, т. II, стр. 159—160.
5. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов, Сочинения, т. II,
стр. 166—169.
6. О периодических функциях, для которых наилучше сходящимся рядом
является ряд Фурье, Сочинения, т. II, стр. 178—183.
Быков Я. В., 1. К теории тригонометрических рядов, Уч. зап. Каз. унив., 98:7
A939), 47—51.
Гельфанд И. М., Райков Д. А., Шилов Г. Е., 1. Коммутативные
нормированные кольца, УМН, 1:2 A2) A946), 48—146.
Гельфонд А. О., 1. Распределение дробных долей и сходимость функциональ-
функциональных рядов с пропусками, УЗМ, вып. 148, Математика, т. IV A951), 60—68.
Гермейер Ю. Б., 1. Производные Римана и Валле-Пуссена и их применение
к некоторым вопросам из теории тригонометрических рядов, Диссертация, Моск-
Москва, 1946.
Делоне Б. Н., 1. Геометрия положительных квадратических форм, УМН,
т. III, 1937, 16—62.
Д ж в а р ш е й ш в и л и А. Г., 1. Об одном признаке сходимости ряда Фурье,
Сообщ. Акац. наук Груз. ССР, 11 A950), 403—407.
Ивашев-Мусатов О. С, 1. О коэффициентах Фурье — Стилтьеса сингуляр-
сингулярных функций, ИАН, 20 A956), 179—196.
2. О коэффициентах тригонометрических нуль-рядов, ИАН, 21 A957),
559—578.
Кайдаш Н. М., 1.0 сходимости почти всюду рядов Фурье, Диссертация, МГУ,
Москва, 1954.
Козлов В. Я., 1. О связи между абсолютной сходимостью и единственностью
разложения функций в тригонометрический ряд, ДАН, 15 A937), 417—420.
2. О полных системах ортогональных функций, МС, 26 F8) A950), 351—364.
Колмогоров А. Н., 1. Une serie de Fourier—Lebesgue divergente presque partout,
FM, 4 A923), 324—328.
2. Sur les fonctions harrnoniques conjuguees et les series de Fourier, FM, 7
A925), 23—28.
3. Une serie de Fourier—Lebesgue divergente partout, CR, 183 A926), 1327—1329.
4. Ueber die Surnrnen durch den Zufall bestirnmten Grossen, MA, 99
A928), 309—319.
5. Sur un procede d'integration de M. Denjoy, FM, 11 A928), 27—28.
6. Une contribution a 1'etude de la convergence des series de Fourier, FM, 5
A924), 96—97.
7. Основные понятия теории вероятностей, М.—Л., ОНТИ A936).
Колмогоров А. Н. и Селиверстов Г. А., 1. Sur la convergence des series
de Fourier, CR, 178 A925), 303—305.
Колмогоров А. Н. и Хинчин А. Я., 1. Ueber Konvergenz von Reihen deren'
Glieder durch den Zufall bestirnrnt werden, MC, 32 A925), 668—677.
К о н ю ш к о в А. А., 1.0 классах Липшица, ИАН, 21 A957), 423—448.
2. Наилучшие приближения 'тригонометрическими полиномами и коэффи-
коэффициенты Фурье, МС, 44 (86), 1958, 53—84.
Кузьмин Р. О., 1. О некоторых тригонометрических неравенствах, Журн.
Ленинград, физ.—мат. о-ва, 1 A927), 233—239.
2. О тригонометрических рядах, расходящихся повсюду, ТЛИ, раздел физ.-
мат., 10, вып. 3 A936), 53—56.

БИБЛИОГРАФИЯ 925
Лейбензон 3. Л., 1. О кольце функций с абсолютно сходящимися рядами
Фурье, УМН, 9, № 3 F1), 1954, 157—162.
Л о з и н с к и й С. М., 1. On convergence and summability of Fourier series and inter-
interpolation processes, MC, 14 E6) A944), 175—268.
2. Об одной теореме N. Wiener'a, ДАН, 49 A945), 562—565, ДАН, 53
A946), 691—694.
3. Обращение теоремы Джексона, ДАН, 83 A952), 645—647.
Лузин Н. Н., 1. Об одном случае ряда Тейлора, Сочинения, т. I, стр. 25—30.
2. К основной теореме интегрального исчисления, Сочинения, т. I, стр. 5—24.
3. К абсолютной сходимости тригонометрических рядов, Собр. соч., т. I,
стр. 31—40.
4. Функция (в математике), БСЭ A-е изд.) A934), т. 59, 314—334.
Лузин Н. Н. и Привалов И. И., 1.0 единственности и множественности
тригонометрических рядов, Лузин, Собр. соч., т. I, стр. 280—318.
Меньшов Д. Е., 1. Sur l'unicite du developpernent trigonornetrique, CR, 163
A916), 433—436.
2. Sur les series de Fourier des fonctions continues, MC, 8 E0) A940), 493—518.
3. Sur la representation des fonctions rnesurables par des series trigonornetriques,
MC, 9 E1) A941), 667—692.
4. Sur la convergence uniforrne des series de Fourier, MC, 11 E3) A942), 69—76.
5. Sur les sornrnes partielles des series de Fourier des fonctions continues, MC,
15 E7) A944), 385—432.
5a. Об универсальных тригонометрических рядах, ДАН, 49 A945), 79—82.
6. О частных суммах тригонометрических рядов, МС, 20 F2) A947), 197—237.
7. О сходимости по мере тригонометрических рядов, ТМИС, 32 A950), 3—97.
8. О сходимости тригонометрических рядов, Ac. Sz., 12, Pars A
A950), 170—184.
9. О пределах неопределенности тригонометрических рядов, ДАН, 74 (№ 2)
A950), 181—184.
10. О некоторых вопросах теории тригонометрических рядов, Вестн. Моск.
ун-та., сер. физ.-мат., № 8 A950), 3—10.
11. О рядах Фурье непрерывных функций, УЗМ, 148 A951), Математика,
т. IV, 108—132.
12. О пределах неопределенности рядов Фурье, МС, 30 G2) A952), 601—650,
13. О рядах Фурье от суммируемых функций, ТММО, 1 A952), 5—58.
14. О некоторых свойствах рядов Фурье, И АН, 18 A954), 379—388.
15. О пределах неопределенности частных сумм универсальных тригономет-
тригонометрических рядов, УЗМ, вып. 165, Математика, т. 7 A954), 3—33.
16. О пределах неопределенности по мере частных сумм тригонометрических
рядов, МС, 34 G6) A954), 557—574.
17. О почти сходящихся тригонометрических рядах, МС, 37 G9) A955),
265—292.
18. О пределах последовательностей частных сумм тригонометрических
рядов, ДАН, 106 A956), 777—780.
Натансон И. П., 1.0 суммировании рядов Фурье по методу С. Н. Бернштейна
и В. Рогозинского, ТЛИ, № 4, вып. 2 A937), стр. 39—44.
Н е м ы ц к и й В. В., 1.0 некоторых классах линейных множеств в связи с абсо-
абсолютной сходимостью тригонометрических рядов, МС, 33 A926), 5—32.
Н е р с е с о в а Е. А., 1. Sur la rnultiplicite du developpernent trigonornetrique, CR,
т. 202 A936), 195—197.
Никольский С. М., 1. О линейных методах суммирования рядов Фурье,
ИАН, 12 A948), 259—278.
П л е с с н е р А. И., 1.0 сопряженных тригонометрических рядах, ДАН 4 A935),
235—238.
Р и м а н Б., 1.0 возможности представления функции посредством тригонометри-
тригонометрического ряда, Сочинения, Гостехиздат, 1948, 225—261.
П ривал о в И. И., 1. Sur les fonctions conjuguees, BSMF, 44 A916), 100—103.
2. Обобщение теоремы Paul du Bois-Reymond'a, MC, т. 31 A923), 229—231.
3. О дифференцировании рядов Фурье, МС, т. 30 A915), 320—324.
Пятецкий-Шапиро И. И., 1. К вопросу о единственности разложения
функций в тригонометрический ряд, ДАН, 85 A952), 497—500.
2. К проблеме единственности разложения функций в тригонометрический
ряд, УЗМ, вып. 155, Математика, т. V A952), 54—72.
3. Дополнение к работе «К проблеме единственности разложения функций в
тригонометрический ряд», УЗМ, вып. 165, Математика, т. VII A954), 79—97.
Смирнов В. И., 1. Sur les valeurs lirnites des fonctions analytiques, CR, 188 A929),
131—133.

926 БИБЛИОГРАФИЯ
Стечкин С. Б., 1. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна, ДАН,
60 A948), 1511—1514.
2. Наилучшие приближения функций, представимых лакунарными триго-
тригонометрическими рядами, ДАН, т. 76 A951), 33—36.
3. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов, МС, т. 29 G1)
A951), 225—232.
4. О сходимости и расходимости тригонометрических рядов, УМН, VI, № 2
A951), 148—149.
5. О порядке наилучшего приближения непрерывных функций, ИАН, 15
A951), 219—242.
6. О теореме Колмогорова—Селиверстова, ИАН, 17 A953), 499—512.
7. Об абсолютной сходимости рядов Фурье, ИАН, т. 17 A953), 87—98; т. 19
A955), 221—246 т. 20 A956), 385—412.
8. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов, ДАН, т. 29 G1) A951),
225—231; ДАН, т. 102 A955), 37—40.
9. О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометрическими
полиномами, ИАН, 20 A956), 197—206.
10. Одна экстремальная задача для многочленов, ИАН, 20 A956), 765—774.
11. О коэффициентах Фурье непрерывных функций, ИАН, 21 A957), 93—116.
12. О тригонометрических рядах, расходящихся в каждой точке, ИАН, 21
A957), 711—728.
Талалян А. А., 1. О сходимости ортогональных рядов, ДАН, ПО A956),
515—516.
2. Сходимость почти всюду ортогональных рядов, Диссертация, Мат. инс-т.
АН СССР, 1956 г.
Тем ко К. В., 1. Выпуклая емкость и ряды Фурье, ДАН, т. ПО, № 6 A956;;
УЗМ, Математика, т. 9, вып. 186 A959), 83—108.
2. Об абсолютной сходимости тригонометрических рядов, МС, 43 (85) A957),
401—408.
Тиман А. Ф., 1. Об одном методе приближения непрерывных функций триго-
тригонометрическими полиномами, ИАН, 11 A947), 263—282.
2. О некоторых методах суммирования рядов Фурье, ИАН, 14 A950), 85—94.
3. Замечания о тригонометрических полиномах и рядах Фурье—Стилтьеса,
УМН, XII, вып. 2 G4) A957), 175—183.
Тиман А. Ф. и Тиман М. Ф., 1. Обобщенный модуль непрерывности и наи-
наилучшее приближение в среднем, ДАН, 71 A950), 17—20.
Т о л с т о в Г. П., 1. Замечание к теореме Д. Ф. Егорова, ДАН, 22 A939), 309—311.
2. О точках плотности линейных измеримых множеств, МС, 10 E2)
A942), 249—264.
Ульянов П. Л., 1. Обобщение теоремы Марцинкевича, ИАН, 17 A953),
513—524.
2. О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов,
УМН, VIII, №6 A953), 133—141.
3. О тригонометрических рядах с монотонно убывающими коэффициентами,
ДАН, 90 A953), 33—36.
4. Применение А-интегрирования к одному классу тригонометрических
рядов, МС, 35 G7), 1954, 469—490.
5. О продолжении функций, ДАН, 105 A955), 913—915.
6. Об А-интеграле Коши I, УМН, XI №5 A956), 223—229.
7. А-интеграл и сопряженные функции, УЗМ, вып. 181, Математика, т. VIII
A956), 139—157.
8. О расходимости рядов Фурье, УМН, т. XII G5) A957), 75—132.
9. О перестановках тригонометрической системы, ДАН, т. 116 A957), 568—571.
10. О локальных свойствах сходящихся рядов Фурье, УЗМ, Математика,
т. 9, вып. 186 A959), 71—82.
11. Особые интегралы и ряды Фурье, Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., № 5
A959), 33-42.
12. О рядах по переставленной тригонометрической системе, ИАН, 22, № 4
A958), стр. 515—542.
13. О безусловной сходимости и суммируемости, ИАН, 22 A958), 811—840.
Фаддеев Д. К., 1. О представлении суммируемых функций сингулярными интег-
интегралами в точках Lebesgue'a, МС, I D3) A936), 351—368.
Харшиладзе Ф. И., 1. О методе суммирования С. Н. Бернштейна рядов
Фурье, МС, 11 E3) A942), 121—148.
Хин чин А. Я., 1. Sur une extension de l'integrale de M. Denjoy, CR, 162
A916), 287—290.
2. Ueber die diadische Bruche, MZ, 18 A923), 109—116.

БИБЛИОГРАФИЯ 927
Ч е р е й с к а я В. И., 1. Теорема о равномерной сходимости рядов Фурье, УЗМ,
Матем., т. VIII A956), 159—164.
Шилов Г. Е., 1.0 коэффициентах Фурье одного класса непрерывных функций,
ДАН, 35 A942), 3—7.
Широков Ф. В., 1. О сопряженных тригонометрических рядах, Диссертация,
МГУ, Москва, 1956.
Шнейдер А. А., 1. О множествах, являющихся обобщением Я-множеств,
МС, т. 34 G6), 1954, 249—258.
А 1 е х i t s G. Ueber den EinfluB der Struktur einer Funktion auf die Konvergenz fast
uberall ihrer Fourierreihe, Ac. Sz., 4 A953), 95—101.
Arbault J., 1. Sur l'ensernble de convergence absolue d'une serie trigonornetrique,
BSMF, 80 A952), 253—317.
В a i a d a E., 1. II corpo convesso di Caratheodory, Ann. di M. D) 39 A955), 75—85.
Banach S., 1. Uber einige Eigenschaften der lakunaren trigonometrischen Reihen,
St. М.,т. II A930), 207—220.
Bellman R., 1. Random summability and Fourier series, BAMS, 49 A943), 732—733.
2. A note on a theorem of Hardy on Fourier constans, BAMS, 50 A944), 741—744.
Besico vitch A. S., 1. A general metric property of summable functions, JLMS,
1 A926), 120—128.
Boas R. P., 1. Integrability of trigonometric series, III, QJ, ser. B), 3 A952), 217—221,
В e u r 1 i n g A., 1. Ensembles exceptionnels, AM, 72 A940), 1—13.
Bohr H., 1. Ueber einen Satz von J. Pal, Ac. Sz., 7 A935), 129—135.
В о k s T. J., 1. Sur le rapport entre les rnethodes d'integration de Riemann et de
Lebesgue, RCMP, 45 A921), 211—264.
Browman A., 1. On two classes of trigonometrical series, Thesis., University of
Uppsala, Uppsala, 1947.
Calderon A., 1. On theorems of M. Riesz and A. Zygmund, PAMS, 1A950),
533—535.
Calderon A. P and Zygmund A., 1. On the theorem of Hausdorff—Young
and its extensions, Contribution to Fourier Analysis, Annals of Math. Studies, №25A950),
166—188.
Cantor G., 1. Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometri-
trigonometrischen Reihen, MA, 5 A872), 123—132.
Caratheodory C., 1 Ueber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenz-
reihen die gegebene Werte nicht annehrnen, MA, 64 A907), 95—115.
2. Ueber den Variabilitats.bereich der Fourier'schen Konstanten von positiven
harmonischen Funktionen, RCMP, 32 A911), 193—217.
Carle man Т., 1. Ueber die Fourierkoeffizienten einer stetigen Funktion, AM, 41
A918), 377—384.
2. A theorem concerning Fourier series, PLMS, 21 A923), 483—492.
3. Sur les equations integrates singulieres a noyau reel et syrnetrique, Uppsala, 1923.
С i v i n P. and С h r e s t e n s о n H. E., 1. The multiplicity of a class of perfect sets,
Pr. A. M. S., 4 A953), 260—263.
D e n j о у A., 1. Sur quelques proprietes des series a termes positifs, BSMF, 40, 3
A912), 223—228.
2. Sur l'absolue convergence des series trigonornetriques, CR, 156 A912), 135—136.
3. Mernoire sur la totalisation des nombres derives non sommables, AEN C),
XXXIV A916), 127—222; C), XXXV A917), 181—236.
4. Sur l'integrale riemannienne, CR, 169 A919), 219—221.
Du Bois-Reyrnond P., 1. Untersuchungen uber die Convergenz und Divergenz
der Fourierschen Darstellungsforrnen, Abh. Akad. Wiss., Munchen, XII A876), 1—103.
2. Beweis das die Koeffizienten der trigonometrischen Reihen, Abh. Akad. Wiss.,
Munchen, XII A876), 117—166.
Erdos P., 1. On the convergence of trigonometric series, J. M. Ph., 22 A943), 37—39.
F a t о u P., 1. Series trigonornetriques et series de Taylor, AM, 30 A906), 335—400.
2. Sur la convergence absolue des series trigonornetriques, BSMF, 41 A918), 47—53.
F e j ё r L., 1. Lebesguesche Konstanten und divergente Fourierreihen, JRAM, 138
A910), 22—53.
2. Sur les singularites des series de Fourier de fonctions continues, AEN, 28
A911), 63—103.
3. La convergence sur son cercle de convergence d'une serie de puissances
effectuant une representation conforme du cercle sur le plan simple, CR, 156 A913),
46—49.
4. Ueber die arithmetischen Mittel erster Ordnung der Fourierreihen, GN
A925), 13—17.
F г о s t m a n 0., 1. Potentiel d'equilibre et capacite des ensembles, Lund, 1935.

928 БИБЛИОГРАФИЯ
G e r g e n J. J., 1. Convergence and summability criteria for Fourier series, QJ (Oxf.
ser.), 1 A930), 252—275.
G h i z z e 11 i A., 1. Ricerche sui momente di une funzione lirnitata compressa fra limit!
assegnati, At. A. L. G), 13 A942), 1165—1199.
2. Sui coefficienti di Fourier di una funzione limitata compresa fra lirniti assegnati,
Ann. Sc. N. P. C), 4 A950), 131—156.
3. Ricerche abeliane e tauberiane compiute nelPInstituto Nazionale per le Appli-
cazioni del calcolo, Ann. di M. D), 34 A953), 113—132.
G i b b s W., 1. Fourier series, Nature, 59 A908), 200.
H a h n H., 1. Ueber die Menge der Konvergenzpunkte einer Funktionenfolge, Arch,
d. Math. u. Phys., 28 A919), 34—45.
Hardy G. H., 1. On the summability of Fourier series, PLMS, 2, 12 A913), 365—372
2. Notes on some points in the integral calculus, Mess, of Math., 49 A919), 149—
155; 58 A928), 50—52.
3. Remarks on three recent notes in the Journal, JLMS, 3 A928), 166—169.
4. On certain criteria for the convergence of the Fourier series of a continuous
function, Mess, of Math., 47 A918), 149—156.
Hardy G. H. and Littlewood J. E., 1. Sur la serie de Fourier d'une fonctioo
a carre sommable, CR, 156 A913), 1307—1309.
2. Some problems concerning Diophantine approximation, AM, 37 A914), 193—238.
3. Some problems of diophantine approximation: a remarquable trigonometrical
series, PNAS, 2 A916), 583—586.
4. Abel's theorem and its converse, PLMS, 18 A919), 205—235.
5. Solution of the Cesaro summability problems for power series and Fourier series,
MZ, 19 A923), 67—96.
6. On the strong summability of Fourier Series, PLMS, 26 A926), 273—286.
7. On the absolute convergence of Fourier series, JLMS, 3 A928), 250—253.
8. Some new properties of Fourier constants, MA, 97 A926), 159—209; JLMS, 6
A931), 3—9.
9. Some new convergence criteria for Fourier series, JLMS, 7 A932), 252—256;
Ann. Sc. N. P., 3 A934), 43—62.
10. The strong summability of Fourier series, FM, 25 A935), 162—189.
11. Notes on the theory of series, XX; Generalization of a theorem of Paley, QJ,
8 A937), 161—171.
12. The allied series of a Fourier series, PLMS B), 24 A925), 211—246.
H a r t m a n Ph. and W i n t n e r A., 1. On sine series with monotone coefficients^
JLMS, 28 A953), 102—104.
H a u s d о r f f F., 1. Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes uber Fourierreihen*
MZ, 16 A923), 163—169.
H e 1 s о n H., 1. Proof of a conjecture of Steinhaus, PNAS, 40 A954), 205—206.
2. On a theorem of F. and M. Riesz, Colloq. math., 3, № 2 A955), 113—117.
H e r z о g F., 1. A note on power series which diverge everywhere on the unit circle,
Michigan Math. J., 2, № 2 A953—1954), 175—177.
H e r z о g F. und P i r a n i a n G., 1. Sets of convergence of Taylor series, DMJ, 16
A949), 529—534.
H e у w о о d Ph., 1. A note on a theorem of Hardy on trigonometrical series, JLMS, 29
A954), 373—378.
2. On the integrability of functions defined by trigonometric series, QJ, Oxford,
ser. B), 5 A954), 71—76; 6 A955), 77—79.
H i 11 e E. and T a m a r к i n J. D., 1. Remarks on a known example of a monotone
continuous function, Am. Math. Monthly, 36 A929), 255—264.
H i 11 e E. and Klein G., 1. Riernann's localization theorem for Fourier series, DMJ,.
21 A954), 587—591.
H о b s о n E. W., 1. On the convergence of series of orthogonal functions, PLMS B),
12 A913), 297—308.
I z u m i Shin-ichi, 1. Some trigonometrical series, X, TMJ B), 6 A954), 69—72.
Izumi S., Matsuyama N., Tsuchikura Т., 1. Some negative examples,
TMJ B), 5 A953), 43—51.
Izumi S., Sato M., 1. Some trigonometrical series, XVIII, Proc. Jap. Acad., 32
A956), 20—23.
J u г к a t W. und P e у e r i m h о f f A., 1. Der Satz von Fatou—Riesz und der
Riemannsche Lokalisationssatz bei absoluter Konvergenz, Arch. Math., 4 A953), 285—297.
Kaczmarz S., 1. Integrale vom Dinischen Typus, St. M., Ill A931), 189—199.
К a h a n e J. P., 1. Sur certaines classes de series de Fourier absolument convergentes,
J. Math, pures et appl., 35 A956), 249—259.
2. Sur un probleme de Littlewood, PKNA,Indag.math.,A.60,№3 A957),268—27L

БИБЛИОГРАФИЯ 929
Kennedy Р. В., 1. Fourier series with gaps, QJ, 7 A956), 224—230.
2. Remark on a theorem of Zygrnund, JLMS, 33, № 1 A958), 71—72.
Kerschner R., 1. On singular Fourier—Stieltjes transforms, AJM, 58 A936),
450—452.
Khintchine A. and К о 1 m о g о г о f f A., 1. Ueber Konvergenz von Reihen
deren Glieder durch den Zufall bestimmt werden, MC, 32 A925), 668—677.
Kuttner В., 1. A theorem on trigonometric series, JLMS, 10 A935), 131—135.
Landau E., 1. Ueber das Vorzeichen der Gausschen Surnrne, GN A928), 19—20.
2. Ueber eine trigonometrische Summe, GN A928), 21—24.
Lebesgue H., 1. Recherches sur la convergence des series de Fourier, MA, 61
A905), 251—280.
2. Sur les integrales singulieres, Ann. Fac. Sc. Univ. Toulouse {3), I A909), 25—117.
Levy P., 1. Sur la convergence absolue des series de Fourier, Сотр. Math., 1
A934), 1—14.
2. Sur quelques problemes actuellement irresolus et sans doute insolubles dans les
theories des series et des integrales de Fourier, JEP, 145 A939), 179—194.
L i 111 e w о о d J. E., 1. On the mean values of power series, PLMS, 25 A924), 328—
337; JLMS, 5 A930), 179—182.
2. On a theorem of Kolmogoroff, JLMS, 1 A926), 229—231.
3. On the Fourier coefficients of functions of bounded variation, QJ, 7
A936), 219—226.
4. Mathematical notes A4). On a theorem of Hardy and Littlewood, JLMS, 13
A938), 194—195.
5. On a theorem of Paley, JLMS, 29 A954), 387—395.
Littlewood J. E. and Paley R., 1. Theorems on Fourier series and power
series, JLMS, 6 A931), 230—233.
Lorentz G. G., 1. Fourier-Koeffizienten und Funktionenklassen, MZ, 51 A948),
135—149.
L u к а с s F., 1. Ueber die Bestimmung des Sprunges einer Funktion aus ihrer Fourier-
Reihe, J. r. a. M., 150 A920), 107—112.
Marcinkiewicz J., 1. Sur les series de Fourier, FM, 27 A936), 38—69.
2. Quelques theoremes sur les series et les fonctions, Bull. Sern. Math. Univ. Wilnor
№ 1 A938),-19—24.
3. Sur quelques integrales du type de Dini, Ann. Soc. Polonaise Math., 17
A938), 42—50.
4. Sur une nouvelle condition pour la convergence presque partout des series de
Fourier, Ann. Sc. N. P. 8 A939), 239—240.
5. Sur la sornrnabilite forte des series de Fourier, JLMS, 14 A939), 162—168.
6. Sur la convergence absolue des series de Fourier, Mat., 16 A940), 66—73.
7. Sur la convergence des series orthogonales, St. M., 6 A936), 39—45.
Marcinkiewicz J. and Zygmund A., 1. On the behaviour of trigonometric
series and power series, TAMS, 50 A941), 407—453.
2. On the differentiability of functions and summability of trigonometrical series,
FM, 26 A936), 1—43.
3. Two theorems on trigonometric series, MC, 2 D4), A937), 733—738.
4. Some theorems on orthogonal systems, FM, 28 A937), 309—335.
l
Mazurkiewicz S., 1. Sur Tintegrale U^X + ^ + ^(* ~ *> "~ 2/(x) dt, St. M., Ill
A931), 114—118.
Morse M. and Transue W., 1. A new application of the Young—Pollard con-
convergence criteria for a Fourier series, DMJ, 18 A951), 563—571.
S z. N a g у В., 1. Methodes de sommation des series de Fourier, I, Ac. Sz., 12 A950),
204—210.
Nash J. P., 1. Uniform convergence of Fourier series, The Rice Inst. Pamphl. A953),
Spec. Issue, Nov. 31—57.
N e d e r L., 1. Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, MA, 84 A921), 117—136.
2. Ein Satz uber die absolute Konvergenz der Fourier—Reihe, MZ, 49
A944), 644—646.
Noble M. E., 1. Coefficient properties of Fourier series with a gap condition, MA, 128,
55_62; correction A954), 256.
О r 1 i с z W., 1. Ueber Kunjugierte Exponentenfolgen, St. M., 3 A931), 200—211.
2. Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen (III), Bull. Acad. Pol., Ser.
A932), 229—238.

930 БИБЛИОГРАФИЯ
3. Ueber unbedingte Konvergenz in Funktionenraurnen (I), St. M., IV
A933), 33—37.
Pagni M., 1. Un osservazione sui coefficienti di Fourier di funzione crescenti, At. A. L.
(8), 4 A948), 672—675.
P a 1 J., 1. Sur des transformations de fonctions qui font converger leurs series de Fourier,
CR, 158 A914), 101—103.
Pa ley R., 1. Some theorems on orthogonal functions, St. M., 3 A931), 226—238.
2. On Fourier series with positive coefficients, JLMS, 7 A932), 205—208.
3. A note on power series, JLMS, 7 A932), 122—130.
P a 1 e у R. and Z у g m u n d A., 1. On some series of functions, Proc. Cambr. Phil.
Soc, 261 A930), 337—357, 458—474, 28 A932), 190—205.
P i s о t C., 1. La repartition modulo 1 et les nombres algebriques, Ann. Sc. N. P. B),
7 A928), 205—248.
Plancherel M., 1. Sur la convergence des series de fonctions orthogonales, CR,
т. 157 A913), 539—541.
P 1 e s s n e r A., 1. Ueber Konvergenz von trigonometrischen Reihen, J. r. a. M., 155
A925), 15—25.
P о 1 у a G. und S z e g б G., 1. Ueber den transfiniten Durchmesser (Kapazitatskon-
stante) von ebenen und raurnJichen Punktrnengeri, J. r. a. M., 165 A931), 4—48.
Rademacher H., 1. Einige Satze uber Reihen von allgerneinen Orthogonalfunctio-
nen, MA, 87 A922), 112—138.
R a j с h m a n A., 1. Sur le principe de localisation de Riemann, C. R. de la Soc. Sci.
de Varsovie, 11 A918), 115—122.
2. Sur Tunicite du developpement trigonometrique, FM, 3 A922), 287—301.
3. Rectification et addition a ma Note «Sur Punicite du developpement trigono-
trigonometrique», FM, IV A923), 366—367.
4. Sur la multiplication des series trigonometriques et sur une classe d'ensernbles
fermes, MA, 95 A926), 388—408.
R i e s z F., 1. Ueber die Fourier Koefficienten einer stetigen Funktion von beschrankter
Schwankung, MZ, 2 A918), 312—315.
2. Ueber eine Verallherneinerung der Parsevalschen Formel, MZ, 18 A923),
117— 124.
3. Ueber die Randwerte einer analytischen Funktion, MZ, 18 A922), 87—95.
R i e s z M., 1. Sur les fonctions conjuguees, MZ, 27 A927), 218—244.
R i e s z M. and R i e s z F., 1. Ueber Randwerte einer analytischen Funktion, Quatr.
Congres des Math. Scand. A916), 27—44.
RogosinskiW., 1. Ueber die Abschnitte trigonometrischer Reihen, MA, 95
A925), 110—134.
la. Ueber die Abschnitte der Fourierreihen. Jahresb. der Deutsch. Math. Vereini-
gung 33, H. 9—12, 2 Abt. A925), 87—88.
2. Reihensummierung durch Abschnitts-Koppelungen, MZ, 25 A926), 132—149.
3. Abschnittverhalten bei trigonometrischen und insbesondere Fourierschen
Reihen, MZ, 41 A936), 75—136.
R u d i n W., 1. Transformations des coefficients de Fourier, CR, 243 A956), 638—640.
Salem R., 1. Essais sur les series trigonometriques, Actual. Sci. et Industr., №862,
Paris, 1940.
2. On some properties of symmetrical perfect sets, BAMS, 47 A941), 820—828.
3. On trigonometrical series whose coefficients do not tend to zero, BAMS, 47
A941), 899—901.
4. The absolute convergence of trigonometric series, DMJ, 8 A941), 317—334.
5. On sets of multiplicity for trigonometrial series, AJM, 64 A942), 531—538.
6. On singular monotonic functions of Cantor type, J. M. Ph., 21 A942), 69—82.
7. A singularity of the Fourier series of continuous functions, DMJ, 10
A943), 711—716.
8. On a theorem of Zygmund, DMJ, 10 A943), 23—31.
9. Sets of uniqueness and sets of multiplicity, TAMS, 54 A943), 218—228; 56
A944), 32—49.
10. On a theorem of Bohr and Pal, BAMS, 50 A944), 579—580.
11. Sur les transformations des series de Fourier, FM, 33 A945), 108—114.
12. Rectifications to the papers «Setz of uniqueness and sets of multiplicity I and
II», TAMS, 63 A948), 595—598.
13. New theorems on the convergence of Fourier series, PKNA, Indag. Math., 16
A954), 550—555.
14. On a problem of Smiethies, PKNA, Indag. Math., 16 A954), 403—407.
15. On strong summability of Fourier series, AJM, 77 A955), 393—403.
Salem R. and Zvgmund A., 1. Capacity of sets and Fourier series, TAMS, 59
A946), 23—41.

БИБЛИОГРАФИЯ 931
2. On a theorem of Banach, PNAS, 33 A947), 293—295.
3. On lacunary trigonometric series, PNAS, USA, 33 A947), 333—338, part II,
там же 34 A948), 54—62.
4. Sur un theoreme de Piatetcki—Shapiro, CR, 240 A955), 2040—2042.
5. Sur les ensembles parfaits dissymetriques a rapport constant, CR, 240
A955), 2281—2283.
6. Some properties of trigonometric series whose terms have random signs, AM, 91
A954), 245—301.
Sato Masaka, 1. Uniform convergence of Fourier series, Proc. Japan Acad., 30
A954), 528—531; 698—701; 809—813; т. 31 A955), 261—263, 600—605; т. 32 A956), 99—104.
Sc h a e f f e г А. С, 1. The Fourier—Stieltjes coefficients of a function of bounded
variation, AJM, 61 A939), 934—940.
S i e r p i n s к i W., 1. Sur Tensemble des points de convergence d'une suite de fonctions
continues, FM, 2 A921), 41—49.
Stein P., 1. On a theorem of M. Riesz, JLMS, 8 A933), 242—247.
S t e i n h a u s H., 1. Sur une serie trigonometrique divergente, C. R. de la Soc. sci. de
Varsovie, V, Fasc. 3 A912), 223—227.
2. Sur un probleme de M. M. Lusin et Sierpinski, Bull. Acad. Sci. Cracovie
A913), 435—450.
3. Sur le developpement du produit de deux fonctions en une serie de Fourier, Bull.
Intern, de Г Acad. de Cracovie A913), 113—116.
4. Sur quelques proprietes des series trigonometriques et dc celles de Fourier,
Roczprawy Akad. Unietnoszi Cracow, 56 A925), 175—225.
5. A divergent trigonometrical series, JLMS, 4 A929), 86—88.
6. Nowa walsnosc mnogosci G. Cantora, 7 A917).
S u n о u с h i G., 1. On the convergence test of Fourier series, Math. Japon., 1
A948), 41—44.
2. Convergence criteria for Fourier series, TMJ, 4 A953), 187—193.
3. A Fourier series which belongs to the class H diverges almost everywhere, Kodai
Math. Sem. Rep., 1 A953), 27—28.
4. On the strong summability of Fourier series, Proc. Amer. Math. Soc, 1
A950), 526—533.
Szasz 0., 1. Ueber den Konvergenzexponent der Fourierschen Reihen, Munch.
Sitzungsber. A922), 135—150.
2. Zur Konvergenztheorie der Fourierschen Reihen, AM, 61 A933), 185—201.
3. On the partial sums of certain Fourier series, AJM, 59 A937), 696—708.
4. On the absolute convergence of trigonometric series, Ann. M., 47
A946), 213—220.
Szidon S., 1. Reihentheoretische Satze und ihre Anwendungen in der Theorie der
Fourierschen Reihen, MZ, 10 A921), 121—127.
2. Ein Satz tiber die absolute Konvergenz von Fourier-Reihen in denen sehr viele
Glieder fehlen, MA, 96 A926), 418—419.
3. Verallgemeinerung eines Satzes tiber die Absolute Konvergenz von Fourier-
Reihen mit Lticken, MA, 97 A927), 675—676.
4. Ein Satz tiber trigonometrische Polynome mit Lticken und seine Anwendung in
der Theorie der Fourierreihen, J. r. a. M., 163 A930), 251—252.
5. Ein Satz tiber Fouriersche Reihen stetiger Funktionen, MZ, 34 A932), 485—486.
6. Einige Satze und Fragestellungen tiber Fourier Koefficienten, MZ, 32
A934), 477—480.
7. Ein Satz tiber Fouriersche Reihen mit Lticken, MZ, 32 A934), 481—482.
8. Ueber orthogonale Entwicklungen, Ac. Sz., 10 A943), 206—253.
Та n d о r i K., 1. Bemerkung zur Divergenz der Fourierschen Reihen stetiger Funk-
Funktionen, Publ. Math., 2, Debrecen A952), 191—193.
Та u b e r A., 1. Ein Satz aus der Theorie dec unendlichen Reihen, Monatsh. f. Math,
u. Phys., 8 A897), 273—277.
T i t с h m a r s h E. C, 1. On conjugate functions, PLMS, 29 A929), 49—80.
T о e p 1 i t z 0., 1. Ueber allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace Math. Fyzicne,
22A911), 113-119.
T s u с h i к u г а Т., 1. Remark on a theorem of Erdos and a problem of Zalcwasser,
J. Math. Tokyo, 1 A951), 27—31.
Turan Pal, 1. Egy Steinhausfele problemarol. (Об одной проблеме Штейнгауза),
Mat. Lapok, 4 A953), 263—275.
2. On the strong summability of Fourier series, J. Ind. Math. Soc. (N. S.), 12
A948), 8—12.
Vallee-Poussin Ch. J., 1. Un nouveau cas de convergence des series de Fourier,
RCMS, XXXI A911), 296—299.

932 БИБЛИОГРАФИЯ
2. Sur Punicite du developpement trigonometrique, Bull. Acad. Roy. de Belg.
A912), 702—718.
3. Capacite des ensembles, Paris, 1937.
V e r b 1 u n s к у S., 1. On a class ojt perfect sets, AM, 65 A935), 283—305.
Viola Т., 1. Sull'insieme dei punti die convergenza delle serie trigonometriche gene-
rali, Ann. Sc. N. P. B), 4 A935), 155—162.
Wang F. Т., 1. Note on H2 summability of Fourier series, JLMS, 19 A944), 208—209.
W e у 1 H., 1. Ueber die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonalfunctionen fort-
schreiten, MA, 67 A909), 225—245.
2. Ueber die Gleichverteilung von Zahlen Mod. Eins., MA, 77, 3 A916), 313—352.
Wiener N., 1. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients,.
Massachusetts Journal of Math., 3 A924), 72—94.
2. Tauberian theorems, Ann. M., 33 A932), 1—100.
Wiener N. and Wintner A., 1. Fourier Stieltjes transforms and singular infinite
convolutions, AJM, 60 A938), 513—522.
Y a n о Sh., 1. Notes on Fourier analysis (XV). On the absolute convergence of trigono-
trigonometrical series, TMJ, 1 A949), 46—49.
Young Fr., 1. Transformations of Fourier coefficients, PAMS, 3 A952), 783—791.
Young L. C., 1. Sur une generalisation de la notion de variation de puissance p-ieme
bornee au sens de M. Wiener, et sur la convergence des series de Fourier, CR, 204
A937), 470—472.
Young W. H., 1. A note on trigonometrical series, Mess, of Math., 38 A909), 44—48.
2. Konvergenzbedingungen ftir die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe,
Munch. Sitzungsberichte, 41 A911), 361—371.
3. Sur la generalisation du theoreme de Parseval, CR, 155 A912), 30—33.
4. On the multiplication of successions of Fourier constants, Proc. Roy. Sog. (A),.
87 A912), 331—339.
5. On the determination of the summability of a function by means of its Fourier
coefficients, PLMS, 12 A913), 71—88.
6. Sur la convergence des series de Fourier, CR, 163 A916), 187—190.
7. On the convergence of the derived series of Fourier series, PLMS, 17
A916), 195—236.
Zeller Karl, 1. Ueber Konvergenzmengen von Fourierreihen, Arch. Math., 6 A955),.
335—340.
Z у g m u n d A., 1. О module ciagloci sumy szeregu sprezonego z szeregiem Fouriera,
Prace Math, fiz., 33 A924), 125—132.
2. Contribution a Tunicite du developpement trigonometrique, MZ, 24
A926), 40—46.
3. Ueber die Beziehungen der Eindeutigkeitsfragen in den Theorien der trigono-
metrischen Reihen und Integrate, MA, 99 A928), 562—589.
4. Sur la convergence absolue des series de Fourier, JLMS, 3 A928), 194—196.
5. Sur les fonctions conjuguees, FM, 13 A929), 284—303; 18 A932), 312.
6. Quelques theoremes sur les series trigonometriques et celles de puissances,
St. M., HI A931), 77—91.
7. On the convergence of lacunary trigonometric series, FM, 16 A930), 90—107;
18 A932), 312.
8. On lacunary trigonometric series, TAMS, 34 A932), 435—446.
9. A remark on conjugate series, PLMS, 34 A932), 392—400.
10. Sur le caractere de divergence des series orthogonales, Mat., 9 A935), 86—88.
11. Proof of a theorem of Paley, Proc. Cambr. Phil. Soc, 34 A938), 125—133.
12. Note on the formal multiplication of trigonometrical series, Bull. Sem. Math.
Univ. Wilno, 2 A939), 52—56.
13. On the convergence and summability of power series on the circle of conver-
convergence, FM, 30 A938), 170—196; PLMS, 47 A942), 326—350.
14. Smooth functions, DMJ, 12 A945), 47—76.
15. On the theorem of Fejer—Riesz, BAMS, 52 A946), 310—318.
16. An example in Fourier series, St. M., 10 A948), 113—119.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля лемма 18
— метод суммирования
27
— преобразование 17
Абеля—Пуассона метод
суммирования 152
абсолютная сходимость и
локальные свойства
638
— — — модуль непре-
непрерывности 629
— — тригонометричес-
тригонометрических рядов — см. усло-
условия сходимости
Арбо 736, 750, 754, 755,
759, 761, 764
Ахиезера—Крейна теоре-
теорема 235
А-интеграл 585
А-метод 27
Л*-метод 30, 887
«-емкость — см. емкость
(а)
«-мера — см. хаусдор-
фова мера
Базис 738, 757
Банах 222, 312, 790, 880
Банаха—Штейнгауза тео-
теорема 880
Бари Н. К. 330, 351, 363,
392, 794, 795, 796, 802,
807, 827, 853, 898, 916
Безикович 534
Беллман 244
Бёрлинг 363
Бернштейн С. Н. 47, 209,
608, 618, 625, 713, 773,
883
Бернштейна неравенство
47, 895
Бернштейна—Рогозин-
ского метод суммиро-
суммирования 483
Бесселя неравенство 70
Бляшке 540
Бор 303
Броман 851
Быков Я. В. 780
Бэр 880, 898
Валле-Пуссен 247,363,789
Ванг 489
Вейерштрасса теорема 47,
93
Вей ль 331, 907
Верблюнский 807, 822
верхний предел неопреде-
неопределенности частных
сумм 865
— — последовательно-
последовательности множеств 39
Винер 205, 644
вполне аддитивный класс
множеств 883
выпуклые кривые 19
— последовательности 20
— функции 19, 783
Гёльдера неравенство 32,
878
Гельфанд И. М. 646
Гермейер Ю. Б. 865
Герцог 426
Гиббса явление 123
гладкие функции 181, 612,
689
Гобсон 331
Грама определитель 871
Данжуа—Лузина теоре-
теорема 173
Джваршейшили А. Г. 338
Джексон 881
Дини признак 119, 246,
521
Дини—Липшица признак
280, 293
Дирихле множитель 440
— проблема 160
— ядро 94
дифференциальные свой-
свойства суммы ряда 631,
676
дю Буа-Реймон 198, 788,
790
D-свойство 182
Егоров Д. Ф. 529
единственности проблема
792
единственность лакунар-
ных рядов 710
емкость выпуклая 364
— логарифмическая 363
— обобщенная 367, 768
— (а) 363
Жордана признак сходи-
сходимости 121, 246
Замкнутость и ее связь
с полнотой 72
- системы функций 12
Зигмунд 224, 227, 294,
306, 361, 364, 489, 510,
568, 613, 684, 696, 709,
801, 831, 845, 847, 865,
883, 895
Ивашев—Мусатов О. С.
840
Идзуми 267
Иенсена неравенство 899
изображение функции ря-
рядом 852
индексы сходимости 354
интеграл по мере м 883
- Пуассона — см. Пуас-
Пуассона интеграл
- тригонометрический
801
- (А) 585
- (Р) 573
- (Q) 585
интегрирование тригоно-
тригонометрического ряда 787
Фурье 86, 220
«исправление» функции
448, 459
Каган 638
Кайдаш Н. М. 384
Кальдерон 564
Кантора теорема единст-
единственности 191
Кантора—Лебега теорема
174
канторово совершенное
множество 738, 739,
742, 744 .
Каратеодори 235, 881
Карлеман 311
категория множества 880
Качмаж 531
Кеннеди 720
класс аддитивный 883
- Нд 538
- Та 881
Козлов В. Я. 778, 871
Колмогоров А. Н. 179,
332, 391, 579
Колмогорова и Хинчина
теорема 225
комплексная форма ряда
Фурье 58
- — тригонометриче-
тригонометрического ряда 55

934
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Конюшков А. А. 244, 647
коэффициенты нуль-ряда
840
— Тейлора функций из
Нг 545
— Фурье 57, 60, 63
— — и интегральный мо-
модуль непрерывности 79
— — непрерывных функ-
функций 311
— — суммируемых функ-
функций 221
функций из IF 210
— — — класса Lip a
208, 691
— — — с ограниченным
изменением 80, 203
Крестенсон 807
критерии сходимости ря-
рядов Фурье — см. усло-
условия сходимости
критерий непрерывности
функций с ограничен-
ограниченным изменением 205
Кузьмин Р. О. 620, 722
Кутнер 604
Лакунарные последова-
последовательности 24, 178, 680
— ряды 178, 185, 680,
684, 689, 693, 696, 701,
708, 713
— — обобщенные 714
Фурье 179, 688, 690
— — — от непрерывных
функций 691
Ландау 621
Лебега константы 115
— метод суммирования
486
— — — обобщенный 486
— признак сходимости
254
— теоремы 39, 41, 117
Лебега —Гергена признак
сходимости 263
Леви 640
Лейбензон 3. Л. 646
линейная зависимость 871
линейный метод суммиро-
суммирования — см. метод сум-
суммирования
линейных функционалов
общий вид 45
— — слабая сходимость
871, 46
Литтльвуд 217, 226, 270,
271, 361, 579
логарифмическая мера
384
Лозинский С. М. 208, 481
локализации принцип —
см. принцип локали-
локализации
Лоренц 204,, 208 209, 678
Лузин Н. Н. 305, 331, 533,
556, 721, 751, 752, 787,
852, 865
Лузина—Данжуа теорема
173, 764
Лузина—Привалова тео-
теорема 528
Мажорантные функции
910
Мандельбройт 712
Марцинкевич 332, 346,
380, 391, 402, 421, 489,
493, 510, 644, 801, 845,
865
матрица Беллмана 244
— Теплица (Т-матрица)
26
— треугольная 474
— Харди 244
— F 474
— Fc 474
— Т* 26
Меньшов Д. Е. 327, 438,
448, 459, 792, 804, 852,
857, 867, 868, 869, 870,
875
мера 883
— логарифмическая 384
— Хаусдорфа 743
Мерсера теорема 76
метод суммирования (см.
также суммируемость)
25
— — Абеля (метод А)
28, 152
— — Бернштейна—Рого-
зинского 483
— — вполне регулярный
25
— — Лебега 485
— — линейный 25, 488
— — множителей 29
— — Пуассона 152
— — регулярный 25
— — Римана 187
— — с треугольной мат-
матрицей 473
— — средних арифмети-
арифметических (метод (С, 1))
26
— — Фейера 137
— - Чеззро (С, а) 482,
887
Минковский 35, 903, 911
миноратные функции 910
множество, допускающее
нулевую последова-
последовательность 732
— единственности — см.
множество типа U
— — для метода сумми-
суммирования 844
— — относительно по-
последовательности 847
— замкнутое в смысле
сходимости почти всю-
всюду 869
— меры нуль 838
— относительной единст-
единственности 847, 851
— положительной выпу-
выпуклой емкости 364
— — логарифмической
емкости 363
— — обобщенной емко-
емкости 367, 368
— — а-емкости 363
— с постоянным разбие-
разбиением 836
— типа А. С. 749, 752
Н 732, 733, 736, 796
— ^- На 735, 818
H(s) 815
Я* 799
(His))* 919
М 192, 793, 794У
802, 803, 807, 822, 837
— — М в узком смысле
823, 826
N 749, 752, 757,
759, 761
No 736, 759
— - N* 753
R 722, 730, 741,
743, 746, 757, 759
U 781, 795, 797,
800, 801, 802, 812, 815,
817, 829
— — U элементарное 814
U(S) 847
U(T) 844
U(Ta) 851
множители сходимости
146, 338
модуль гладкости 57
— — интегральный 878
— — квадратичный 612
— непрерывности 50, 881
— — интегральный 51,
878
— — квадратичный 609
моменты функции 234
Надь 476
наилучшее приближение
49, 881
Неванликна 363
Недер 320, 722
некасательный путь 30
Немыцкий В. В. 740, 757
ненегативная последова-
последовательность 234
неравенства Бернштейна
47, 895
— Бесселя 69
— Буняковского 33
— Гёльдера 32, 878
— для функций из IF 32,
878, 899
— Иенсена 899
— Лебега 279
— Минковского 35
— Привалова 897
— числовые 31
— Юнга 32
нижний предел неопреде-
неопределенности частных
сумм 865

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
935
Никольский С. М. 473,
476
Нобль 714
нормированные функции
61
нулевая последователь-
последовательность 732, 759
нуль-ряд 778, 793, 840
Образ множества 895
операции над рядами Фу-
Фурье 81
Орлич 222, 313, 345
ортогональная система
функций 62
ортогональный ряд 63
особенности дю Буа-Рей-
мона 128 -
— Лебега 128
— ряда Фурье 123, 128,
316
О- и о-отношения 36
Палей — см. Пэли
Паль 303
Парсеваля равенство 73,
74
— — для произведения
двух функций 75, 218
Пейеримхоф 640
Пизо 829, 911
Пираниан 426
Планшерель 331
Плесснер А. И. 332, 339,
516, 605
Полна (Пойа) 835
полиномы тригонометри-
тригонометрические 47, 307
— — наилучшего приб-
приближения 49
— — экстремальные 307
— Фейера 128
полнота 64
— тригонометрической
системы 65
порция множества 794
последовательность вы-
выпуклая 20
— лакунарная — см. ла-
канурные последова-
последовательности
— ненегативная 234
— нулевая 732, 759
— почти монотонно убы-
убывающая 773
— с ограниченным из-
изменением 19
пределы неопределенно-
неопределенности частных сумм 865
предельная функция 869
предельный элемент 869
Привалов И. И. 519, 560,
790, 845, 852, 865,
897
признаки сходимости —
см. условия сходимо-
сходимости
— типа Вейля 331
примитивная 853
принцип локализации
ПО, 198
— Фрагмена —Линделё-
фа 877
проблема моментов 234
произведение рядов 85
пространство L/ 15, 35,
45, 46, 899
— С 15, 44
Пуассона интеграл 152,
154, 156
— метод суммирования
152, 865
— суммы 152, 165
— ядро 152
Пуассона—Стильтьеса ин-
интеграл 163
пуассоновские суммы 152,
165
Пэли 217, 277, 306, 313
Пятецкий-Шапиро И. И..
800, 814, 818, 822, 824
Равноизмеримые функ-
функции 580
равномерное распределе-
распределение 907
равномерной сходимости
условия — см. усло-
условия сходимости равно-
равномерной
Радемахера теорема 223
— функции 61, 223, 314
размерность 744
Райхман 425, 736, 792,
796, 812
расходимость тригономет-
тригонометрических рядов 721,
728
Римана метод суммирова-
суммирования 187, 865
— принцип локализации
ПО, 198, 421, 431, 521
— теоремы 187, 881
— функция 187, 788
Римана—Стильтьеса ин-
интеграл 43
Рисе 211, 550, 566, 571,
599, 634
Рисса формулы 568, 587,
664
Рисса—Фишера теорема
73, 74
Рогозикского тождество
287
Рудин 245
ряд лакунарный — см. ла-
кунарные ряды
— по синусам или по ко-
косинусам 95, 649, 657
— почти сходящийся 870
— с ограниченным изме-
изменением 547, 549
— сопряженный — см.
сопряженный ряд
— универсальный 870
— Фурье аналитических
функций 88
— — для произведения
85
— — — «свертки» 82
— — лакунарный (см.
также лакунарные ря-
ряды) 179, 688, 690
— — многократно диф-
дифференцируемых функ-
функций 88
— — непрерывных фун-
ций 128, 130, 132, 133,
311, 691
— — ортогональный 61
— — расходящийся (см.
также расходимость)
391, 406, 412
— — сопряженной функ-
функции 582
— — тригонометричес-
тригонометрический 58, 61
— — функции из U 593,
657, 664
— — — с произвольным
периодом 59
— — функций четных и
нечетных 61
— Фурье—Стильтьеса 87
— Фурье - (А) 590, 659
— числовой 21, 546, 889,
904
ряда Фурье дифференци-
дифференцирование 87, 161
— — интегрирование 86,
220
— — коэффициенты 57,
60, 63, 311
— — суммирование —
см. суммирование
— — сходимость — см.
условия сходимости
— — — в метрике Lp
593, 664
— — — усиленная 509
Салем 137, 228, 231, 243,
285, 291, 306, 310, 323,
337, 354, 361, 364, 378,
500, 668, 671, 728, 746,
755, 764, 769, 776, 802,
828, 829, 831, 837
Сас 279, 609, 647, 773
Сато 299
свертка функций 82, 34
сдвинутые множества 901
Сеге 835
Селиверстов Г. А. 332
Серпинский 434
Сидон 226, 653, 693, 704
сильная суммируемость
488
симметрическая производ-
производная 161
симметрические множе-
множества с постоянным от-
отношением 829
симметричные совершен-
совершенные множества 827,
836

936
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
сингулярные функции 895
система функций замкну-
замкнутая 72
— — линейно зависимая
87
— — нормированная 61
— — ортогональная 62
— — полная 64
— — существенно линей-
линейно независимая 871
Смирнов В. И. 519, 583
сопряженные функции
518, 528, 550, 554, 566,
572, 582, 589
сопряженный ряд 54, 103,
107, 406, 518, 526, 591,
593, 604
Стечкин С. Б. 316, 348,
350, 426, 563, 609, 625,
628, 636, 646, 694, 703,
714, 722, 882
суммирование — см. ме-
метод суммирования
суммируемость сильная
488
— (Я, к) 488
— — с переменным пока-
показателем 500
— (Я, 2) 493
— (С*, 0) 516
Сунуоти 407
суперпозиция функций с
абсолютно сходящи-
сходящимися рядами Фурье
641
существенная верхняя
грань 33
— линейная независи-
независимость 871
сходимость абсолютная —
см. абсолютная сходи-
сходимость
— в точке — см. условия
сходимости
— по мере 39
— почти всюду — см.
условия сходимости
— равномерная (см. так-
также условия сходимо-
сходимости) 68, 91
С-свойство усиленное 457
Талалян А. А. 875
Тамаркин 828
Тандори 522
тауберовы теоремы 889
Темко К. В. 364, 369, 851
теорема о среднем 2-я 19
Теплица матрицы — см.
Т-матрицы
— условия регулярно-
регулярности метода 26
Тиман А. Ф. 243, 484,
882
Титчмарш 572, 582, 586
Толстов Г. П. 390, 422,
529
точечно разрывные функ-
функции 898
точки абсолютной сходи-
сходимости 750
— густоты 819
— Лебега 41, 893
— плотности 893
— разрыва суммы ряда
Фурье 123, 128
— расходимости — см.
ряд Фурье расходя-
расходящийся
Туран 139, 501
Т-матрицы 26
Г*-матрицы 26, 684
Ульянов П. Л. 271, 342,
344, 351, 353, 435, 504,
538, 587, 590, 601, 659,
664, 667
усиленная сходимость
509
условие В2 681
— (/) 572
— (L) 22, 23
условия сходимости абсо-
абсолютной 91, 209, 607,
608, 614, 618, 629, 632,
634, 636, 637, 640, 646,
752, 773
— — в точке 118, 120,
121, 177, 179, 246, 247,
249, 254, 258, 271,
337
— — (почти всюду) 346,
350, 378, 379, 380, 402,
521, 534, 751
— — равномерной (см.
также условия сходи-
сходимости абсолютной) 91,
121, 177, 273, 276, 279,
280, 283, 291, 296, 299,
691
— Теплица 26
Фату 40, 156, 160, 161,
178, 331, 750, 773
Фейера леммы 77, 891
— метод суммирования
137
— суммы 136, 165
— теоремы 139, 303
— ядро 138
Фейера—Лебега теорема
143
фейеровские методы 481
Фишера—Рисса теорема
73
ряд
Фрагмена—Л инде лёфа
принцип 877
Фробениуса теорема 28
Фростман 363
Фубини теорема 44
Фурье ряд — см.
Фурье
— формулы 57, 63
Фурье—Стильтьеса пре-
преобразование 824
ряд 87, 163
Ф-ограниченное измене-
изменение 287
Хан 434
Харди 244, 331, 488, 490
Харди—Литтльвуда при-
признак 271
— — теоремы 217, 270,
271, 549, 890
Хаусдорфа—Юнга тео-
теорема 211
хаусдорфова мера 743
— размерность 744
Хелли теоремы 43
Хелсона теорема 236
Хилл 828
Хинчин А. Я. 314
Целлер 427
Цутикура 500
Частные суммы ряда Фу-
Фурье 55, 103, 107, 117,
144, 865
Чезаро метод — см. метод
суммирования
— средние 884
число Пизо 829, 911
— целое алгебраическое
829
Шварца производная 185,
у о о
Шилов Г. Е. 632, 637
Широков Ф. В. 606
Шнейдер А. А. 799
Экстремальные свойства
отрезков ряда Фурье
69
— — полиномов 307
элементарное ?У-множе-
ство 814
Эрдеш 703, 761
Юнг 32, 244, 249, 287, 521,
736, 792
Юркат 640
Ядро Дирихле 94
— — сопряженное 94
— метода суммирования
481
— нуль-ряда 793
— — приведенное 793
— Пуассона 152
— Фейера 138