Тригонометрические ряды. Том 1 - Зигмунд А.

Автор: Зигмунд А.
Теги: анализ математика тригонометрия
Год: 1965
Похожие
Тригонометрические ряды
Тригонометрические ряды и интеграл Фурье
Ряды
Текст
                    /П.
Trigonometric Series
VOLUME П
CAMBRIDGE
AT THE UNIVERSITY PRESS
1959

Тригонометрические
ряды
том
п
перевод с английского
О.С.ИВАШЕВА-МУСАТОВА
под редакцией
Н.К. БАРИ
U з дате льство *fWl ОЛ ОР"
москва • 1965

У Д К 517 512
Первое издание книги А. Зигмунда «Тригонометрические
ряды» вышло в 1935 году и было переведено на русский язык
(ГОНТИ, 1939). Книга оказала существенное влияние на раз-
развитие теории рядов и до сих пор пользуется широкой популяр-
популярностью у советских математиков
В 1959 году книга Зигмунда вышла в новой редакции
Автор включил в нее много материала, который до того вре-
времени был опубликован лишь в периодической печати. В резуль-
результате книга разрослась до двух томов.
Первый том по кругу рассмотренных в нем вопросов близок
к первому изданию книги, однако во многих местах сделаны
существенные дополнения, а некоторые доказательства заме-
заменены более прозрачными; часть материала перенесена во второй
том.
Второй том настоящего издания в основном содержит но-
новый материал. В нем последовательно излагаются применение
обобщенных производных и обобщенных интегралов к тригоно-
тригонометрическим рядам, новые результаты об интерполировании
линейных операторов и другие актуальные вопросы
Настоящая книга А. Зигмунда и известная монография
Н. К. Бари «Тригонометрические ряды» взаимно дополняют
друга друга и, вместе взятые, могут быть рекомендованы студен-
студентам-математикам старших курсов и аспирантам различных
специальностей как энциклопедия методов и фактов теории
тригонометрических рядов.
Книга может служить пособием для специальных курсов по
тригонометрическим рядам и другим разделам теории функций
Редакция литературы по математическим наукам

Предисловие
к русскому изданию
В 1935 году в Варшаве вышло первое издание монографии
известного математика А. Зигмунда, посвященной теории триго-
тригонометрических рядов, а четыре года спустя появился русский
перевод этой книги. В 1959 году Зигмундом было опубликовано
(на английском языке) новое двухтомное издание книги «Триго-
«Тригонометрические ряды», перевод которого и предлагается вниманию
советского читателя. В новом издании в значительной степени
учтены те результаты в теории тригонометрических рядов, которые
были получены за прошедшие почти 25 лет после первого издания.
Теория тригонометрических рядов являлась (отчасти является
и сейчас), с одной стороны, именно той областью метрической
теории функций, при исследованиях в которой очень часто выко-
выковывались методы метрической теории функций. С другой сто-
стороны, сила и мощь найденных методов в метрической теории
функций испытывалась, как правило, на решении тех или иных
проблем теории тригонометрических рядов. Сейчас уже хорошо
известно, что методы и идеи метрической теории функций глубоко
проникли в различные области математики (в теорию функций
комплексного переменного, в теорию вероятностей, в функциональ-
функциональный анализ, в дифференциальные уравнения, в метрическую теорию
чисел и т. д.). Особенно следует подчеркнуть, что при исследованиях
в самых разнообразных областях математики * многие авторы
широко использовали и используют или результаты, или методы,
или идеи из теории тригонометрических рядов. И совершенно прав
А, Зигмунд, который в предисловии к новому изданию своей
книги отмечает, что теория тригонометрических рядов была источ-
источником ряда новых идей для анализа в течение последних двух
столетий и, вероятно, останется таким источником в будущем.
Характерно, что бурный рост (в первой трети XX века) москов-
московской математической школы весьма тесно был связан с интенсив-
интенсивными исследованиями в метрической теории функций и, в частности,
в теории тригонометрических рядов. Поэтому естественно, что
советским математикам (Н. Н. Лузину, А. Н. Колмогорову,
Д. Е. Меньшову, Н. К. Бари, И. И. Привалову и др.) принадлежит
честь открытия многих фундаментальных результатов из теории
тригонометрических рядов.

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Этим можно объяснить тот факт, что первое русское издание
A939 г.) книги А. Зигмунда было воспринято в Советском Союзе
как своевременное и полезное дело. Но прошло почти 25 лет с момен-
момента первого издания книги, а за прошедшее время эта теория обогати-
обогатилась новыми серьезными результатами. В связи с этим и были напи-
написаны новые книги по теории тригонометрических рядов, в которых
сделана попытка подвести итог по основным направлениям иссле-
исследований в этой теории. Так, в 1957 году была сдана в печать моно-
монография Н. К. Бари «Тригонометрические ряды», а в 1958 году —
монография А. Зигмунда с тем же названием. Обе эти монографии
огромны как по объему, так и по содержанию излагаемого материа-
материала. Кроме того, они существенно отличаются от первого издания
книги А. Зигмунда тем, что в них даны изложения новых вопросов
теории тригонометрических рядов и, кроме того, в них учтены
основные последние достижения этой теории.
Однако следует отметить, что новое издание монографии А. Зиг-
Зигмунда существенно отличается от монографии Н. К. Бари «Триго-
«Тригонометрические ряды» и удачно дополняет ее.
Первое существенное отличие этих монографий состоит в том,
что наряду со значительной частью этих монографий, содержащих
изложение одних и тех же вопросов, в каждой из них имеется
очень много материала, который не входит в другую монографию.
Так, например, в книге Н. К. Бари наиболее полно изложены
все основные результаты советских математиков по теории триго-
тригонометрических рядов, а в книге А. Зигмунда — результаты поль-
польских, французских, английских и американских математиков.
Второе характерное отличие состоит в том, что монография
Зигмунда написана более лаконично, чем монография Бари. Поэто-
Поэтому от читателя монографии Зигмунда требуется большая напря-
напряженность мышления и большая активность в изучении материала.
В целом можно сказать, что монография А. Зигмунда и моно-
монография Н. К. Бари взаимно дополняют друг друга и, вместе взятые,
могут служить энциклопедией по теории тригонометрических рядов.
Настоящее издание монографии А. Зигмунда будет способство-
способствовать дальнейшему развитию теории тригонометрических рядов, а
также будет служить хорошим справочником для математиков,
исследования которых так или иначе связаны с этой теорией.
Одним из инициаторов издания книги А. Зигмунда на русском
языке была Н. К. Бари. Она же начала редактировать сделанный
перевод. Несчастный случай не позволил ей довести до конца
эту работу, которая была закончена ее младшими коллегами.
Я. Л. Ульянов

Предисловие
Первое издание этой книги было написано почти двадцать пять
лет назад. С тех пор теория тригонометрических рядов претерпела
значительные изменения. Она всегда была одной из центральных
частей анализа, теперь же мы видим, что ее понятия и методы
в абстрактной форме проникли в такие далекие области, как теория
групп, алгебра и теория чисел. Однако эти абстрактные обобщения
здесь не рассматриваются, и предметом этого второго издания,
как и первого, является классическая теория рядов Фурье, которую
можно назвать общей основой теории функций действительного
и комплексного переменного.
Эта теория была источником новых идей для аналитиков в тече-
течение последних двух столетий и, вероятно, останется таким источ-
источником в будущем. Многие основные понятия и результаты теории
функций были получены математиками в процессе работы над
тригонометрическими рядами. Возможно, что эти открытия могли
быть сделаны на другом пути, но в действительности они появились
в связи с теорией тригонометрических рядов. Не случайно, что
общепринятое теперь понятие функции было впервые сформулиро-
сформулировано в знаменитом мемуаре Дирихле A837 г.)г), в котором рассма-
рассматривалась проблема сходимости рядов Фурье; не случайно также,
что определение интеграла Римана в его общей форме появилось
в диссертации Римана, посвященной тригонометрическим рядам.
А разве теория множеств — одно из наиболее важных завоеваний
математики девятнадцатого века — не была создана Кантором
при попытке решить проблему множеств единственности триго-
тригонометрических рядов? Позже в тесной связи с теорией рядов Фурье
был открыт интеграл Лебега, а в связи с интегралом Фурье —
теория обобщенных функций (распределений).
Несколько слов об основных проблемах современной теории
тригонометрических рядов. На нее оказали решающее влияние
методы лебеговской теории интегрирования. Они помогли решить
проблему представления функций их рядами Фурье. Эта проблема,
сформулированная в терминах суммируемости рядов Фурье, ныне,
по существу, исчерпана (несмотря на большое число работ, все
еще печатающихся на эту тему). То же самое относится к проблеме
*) Понятие функции как соответствия было сформулировано Н. И. Лоба-
Лобачевским еще в 1834 году.—Прим. ред.

ПРЕДИСЛОВИЕ
сходимости рядов Фурье в индивидуальных точках. Что же касает-
касается сходимости или расходимости почти всюду, то здесь еще многое
предстоит сделать. Например, все еще не решена проблема суще-
существования непрерывной функции со всюду расходящимся рядом
Фурье. Могут сказать, что понятию сходимости, как методу сум-
суммирования рядов Фурье, придается слишком большое значение
только в силу старомодного способа мышления и что, например,
метод средних арифметических гораздо более современен. Но пред-
представляется весьма вероятным, что методы, необходимые для реше-
решения этой проблемы, окажутся весьма интересными и ценными для
теории функций.
Две другие большие проблемы тригонометрических рядов также
ждут своего решения. Это — тесно связанные между собой пробле-
проблемы структуры множеств единственности и структуры функций
с абсолютно сходящимися рядами Фурье. Для их решения все еще
нет общих методов, и, возможно, в поисках этого решения мы
должны будем выйти за пределы теории функций в направлении
теории чисел и диофантовых приближений.
Среди нерешенных проблем следует также упомянуть проблему
поведения тригонометрического ряда на множестве положительной
меры и проблему дальнейшего развития методов теории функций
комплексного переменного.
Другая область — кратные ряды Фурье. Исследования здесь
только начинаются. Обычное перенесение результатов со случая
одного переменного нетрудно, но значительных результатов здесь
сравнительно мало. Эта область громадна и многообещающа,
и в настоящее время мы, возможно, не представляем себе сферы
ее проблем, хотя результаты здесь могут оказаться даже более
важными для приложений, чем в случае одного переменного,
Размышляя о размерах и изысканности достигнутого теорией
тригонометрических рядов в процессе ее долгого развития, подчас
удивляешься — почему только относительно небольшая часть этих
достижений нашла приложения. Частично это объясняется тем,
что многие проблемы анализа могут быть достаточно далеко про-
продвинуты с помощью более экономных средств. Например, там, где
раньше для получения строгого решения проблемы надо было
доказывать равномерную сходимость или по крайней мере сходи-
сходимость почти всюду, теперь мы пользуемся сходимостью по норме,
которая успешно обходит прежние трудности. Можно привести
и другие примеры подобного рода. Однако многие тонкие резуль-
результаты теории, если посмотреть на них с правильной перспективой,
могут дать далеко идущие приложения. Например, перенесение
методов исследования сопряженных функций со случая одного
переменного на многие переменные может быть очень важным
инструментом в теории дифференциальных уравнений с частными

ПРЕДИСЛОВИЕ
производными эллиптического типа; результаты о граничных свой-
свойствах гармонических функций двух переменных могут быть исполь-
использованы для изучения поведения граничных свойств аналитических
функций нескольких комплексных переменных и т. д.
В заключение сделаем замечание о характере этой книги. Ее пер-
первые четыре главы могут служить введением в теорию (в этом случае
часть содержащегося там материала может быть опущена; напри-
например, доказательство существования сопряженной функции метода-
методами теории функций действительного переменного, перестановка
функций, линейные операторы). Материал, содержащийся в после-
последующих главах, может читаться с попутными ссылками практиче-
практически в любом порядке. «Различные теоремы и примеры» в конце
глав большей частью сопровождаются указаниями и предназначены
в качестве упражнений для интересующихся читателей. Числа
в квадратных скобках указывают на библиографию в конце книги.
Примечания в конце каждого тома' содержат библиографические
ссылки и дополнительную информацию относительно результатов,
помещенных в тексте.
Практически вся рукопись была прочитана профессором
Дж. Е. Литтлвудом и П. Суиннертон-Дайером, и их критика
и предложения принесли мне большую пользу. Они, так же как
и профессор Р. П. Боас, Т. Г. Медсен и профессора Гвидо и Мэри
Вейс, помогли мне в долгом и утомительном процессе чтения коррек-
корректур. Без этой помощи многие опечатки и фактические ошибки мог-
могли бы остаться незамеченными, и я им всем чрезвычайно благодарен.
Я также высоко ценю понимание и терпение, проявленные Кембридж-
Кембриджской университетской типографией. Наконец, я в большом долгу
перед моим другом профессором Р. Салемом, с которым я сотруд-
сотрудничал многие годы. Содержание этой книги часто было предметом
наших дискуссий, и во многих местах изложение было предло-
предложено им.
А.Зигмунд

ГЛАВА I
Тригонометрические ряды и ряды Фурье.
Вспомогательные результаты
1. Тригонометрические ряды
Тригонометрическим рядом называется ряд вида
оо
-о~ао+2 (#v cosvx-f-6Vsinvx). A.1)
v=i
Здесь * —действительное переменное, а коэффициенты aQ,aubu ...
не зависят от х. При желании мы можем предполагать, что коэф-
коэффициенты действительны; если они комплексны, то действительная
и мнимая части ряда A.1) могут рассматриваться отдельно. Сво-
Свободный член ряда A.1) удобно писать с множителем 1/2.
Поскольку все члены ряда A.1) имеют период 2я, достаточно
изучать тригонометрические ряды на отрезке длины 2я, например,
на [0, 2я] или [ — я, я].
Рассмотрим степенной ряд
оо
|«0+2 (flv-»vJv A.2)
v=i
на единичной окружности г = егх. Ряд A.1) представляет собой
действительную часть ряда A.2). Ряд
оо
(#v sin vx — bv cos vx) A.3)
v=i
(с нулевым свободным членом) представляет собой мнимую часть
ряда A.2) и называется рядом, сопряженным с рядом A.1). Если
5— ряд A.1), то сопряженный с ним ряд мы будем обозначать
через S. Рядом, сопряженным с 5, будет ряд —S без свободного
члена.

12
ГЛ. I ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Конечная тригонометрическая сумма
у2 (avcos vx-f bv sin vx)
v=l
называется тригонометрическим полиномом порядка п. Если
I an I +1 Ьп | Ф О, то говорят, что полином Т (х) имеет точный
порядок п. Каждый полином Т (х) есть действительная часть обыч-
обычного (степенного) многочлена Р (z) степени п, где z=elx.
Мы будем часто употреблять термин «полином» вместо
«тригонометрический полином».
То обстоятельство, что тригонометрический ряд можно рас-
рассматривать как действительную часть степенного ряда, часто
облегчает определение его суммы. Например, ряды
являются соответственно действительной и мнимой частями ряда
2
где z~relx. Отсюда
Аналогично из формулы
получаем
оо
^ COS VX
v=i
где arctgO=O.
Рассмотрим теперь ряды
v=i
1—2rcosx+r2
v=l
1—rcosA: ?
A.4)
,^ У| sinvx,
v=l
получающиеся из P(r, x) и Q (г, л:) при замене г на 1, и обозна-
обозначим через Dn(x) и бп{х) их п-е частичные суммы. При помощи

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ 13
вычислений, аналогичных предыдущим, получаем
71 sin
cos——cos {^n+Y )
v=l 2sin
Несколько более простой способ доказательства формулы для
Dn(x) состоит в следующем: Dn(x) умножается на 2sin— и про-
произведения 2sin-^cosvjc заменяются разностями синусов. Тогда
все члены, кроме последнего, взаимно уничтожаются. Аналогично
выводится и формула для Dn(x).
Эти формулы показывают, что Dn (x) и Dn (x) равномерно
ограничены на каждом интервале 0<е<л;<2я — е, оставаясь
по абсолютной величине меньше cosec ~ •
Поскольку многие тригонометрические выражения имеют в зна-
знаменателе 2sin^ или 2tg|, полезно иметь в виду следующие
неравенства:
sinw<*/, sinw> — и,
Выражая синусы и косинусы через показательную функцию,
можно - записать п-ю частичную сумму sn(x) ряда A.1) в виде
Если мы определим av и bv для отрицательных v равенствами
a-v = av, b-v=—bv (v = 0, 1, 2, ...)
(так что, в частности, 60 = 0), то sn будет п-й симметричной
частичной суммой 2п-{-1 центральных членов ряда Лорана:
-foo
2 cve«w (cv = -g-(Ov-»v)), A.5)
V= — oo
где если av и bv действительны, то
c_v = cv (v = 0, 1,2, ...). A.6)
Обратно, каждый ряд A.5), удовлетворяющий условию A.6), может
быть записан в форме A.1), где av и ^ — действительные числа.

14 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Ряд A.5), коэффициенты которого удовлетворяют условию A.6),
тогда и только тогда будет рядом по косинусам, когда все cv —
действительные числа; он будет рядом по синусам тогда и только
тогда, когда cv чисто мнимы.
Всякий раз, как мы говорим о сходимости или суммируемости
(см. гл. III) ряда A.5), мы имеем дело с обычным или обобщен-
обобщенным пределом симметричных частичных сумм.
Легко видеть, что сопряженным с рядом A.1) будет ряд
-/ 2 (signv)cveiv*, A.7)
V= —оо
где символ sign г определяется равенствами
sign 0 = 0, signz-^ {гфО).
Каждая из форм A.1) и A.5) тригонометрического ряда имеет
свои преимущества. Когда имеют дело с рядом A.1), то предпола-
предполагают, если не оговорено противное, что коэффициенты av и 6V —
действительные числа. Коэффициенты же cv ряда A.5) удобнее
считать произвольными. Если ряд A.1) имеет комплексные коэф-
коэффициенты и имеет вид Si + iS2, где у St и 52 коэффициенты
действительны, то рядом, сопряженным с A.1), будет ряд Sj + j^.
Мы будем, далее, употреблять следующие обозначения:
А) (х) = -у » Ап (х) = ап cos пх + bn sin nx,
Вп (х) = ап sin пх — Ъп cos пх (п > 0);
таким образом, ряды A.1) и A.3) примут вид
оо оо
2 лп(х), 2 вп(х).
П=0 71=1
Иногда мы будем записывать ряд A.1) в виде
оо
2 Qn cos (nx + ад), где Qn = (al + 6» )Vi > 0.
n=0
Если cv = 0 при v < 0, то ряд A.5) будем называть рядом степен-
степенного типа. Для таких рядов сопряженный ряд S совпадает
. с рядом —iS, взятым без свободного члена. Очевидно, 5 есть
степенной ряд с0 + ctz + c2z2 + ... на единичной окружности | z \ = 1.
В силу периодичности тригонометрических рядов часто бывает
удобно отождествлять точки х, сравнимые по тос12я, учитывая

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АБЕЛЯ 15
все последствия этого соглашения. Так мы будем обычно говорить,
что две точки различны, если они не сравнимы по тос12я; про
точку х скажем, что она не принадлежит множеству ?, если ни
одна из точек вида x + 2nk (k = 0, ± 1, ± 2, ...) не принадлежит
множеству ?, и т. д. Это соглашение равносильно тому, что мы
рассматриваем точки х как бы расположенными на окружности
единичного радиуса. Иногда мы не будем придерживаться этого
соглашения, что будет ясно из контекста.
2. Преобразование Абеля
Так называют формулу
п п— 1
2 uvvv = 2 Uv(vv — vv+i) + Unvn, B.1)
v=l v=l
где i/fe = Wi+w2+ •.. +Uk Для fe = l, 2, ..., п.
Формула B.1) легко проверяется; в интегральном исчислении
ей соответствует формула интегрирования по частям. Очень полезен
следующий результат:
B.2) Теорема. Если v{J v2, ...,vn неотрицательны и не
возрастают, то
\ulvi + u2v2+ ... +unvn\^vimax\Uk\. B.3)
h
Абсолютная величина правой части формулы B.1) не превос-
превосходит
[vn + {Vi —v2) + (v2 — v3)+... +(vn-i — vn)]max\Uk\=vim2Lx\Uk\.
Случай неотрицательных и неубывающих {vv} может быть сведен
к предыдущему обращением порядка суммирования. Левая часть
формулы B.3) тогда не превосходит
vnmax | Un — Uk-i |<2vnmax \Uk\.
Последовательность vOj vu . .., vnj ... называют последова-
последовательностью с ограниченным изменением, если ряд
сходится. Отсюда следует сходимость ряда (vi — 0) + B i) +
+ ... + (vn — vn-i) -f ... = Нф (vn — Vq), так что последовательность
с ограниченным изменением всегда сходится.
Следующий результат — непосредственное следствие форму-
формулы B.1).

16 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
B.4) Теорема. Если ряд щ(х)+щ (х)+. .. +ип (х)+... равно-
равномерно сходится и если {vv} есть последовательность с ограни-
ограниченным изменением, то ряд uQ(x)v0 + ul(x)vi+ ... тоже равно-
равномерно сходится.
Если частичные суммы ряда uo(x)+ui(x)+ ... равномерно
ограничены и если последовательность {vv} с ограниченным изме-
изменением стремится к О, то ряд uo(x)vo-{-ul {x)vl+ ... равно-
равномерно сходится.
Ряд A.1) сходится (и даже равномерно), если J (| av \ + \bv |)
сходится. За исключением этого тривиального случая, вопрос.
о сходимости тригонометрических рядов является очень тонким.
Некоторые частные, но тем не менее важные результаты вытекают
из только что сформулированной теоремы. Применяя ее к рядам
оо оо
а + 2 ^c°svx ^ flSinvx B.5)
v=i v=l
и принимая во внимание свойства Dn (x) и Dn (x), получаем
следующий результат.
B.6) Теорема. Если последовательность {av} стремится
к 0 и имеет ограниченное* изменение (в частности, монотонно
стремится к 0), то оба ряда B.5), а значит, и ряд ^aveivx
сходятся равномерно на каждом отрезке е<л:<2я — 8 (е > 0).
Что касается окрестности точки л; = 0, то поведение в ней
косинус- и синус-рядов B.5) может быть совершенно различным.
Последний всегда сходится при х = 0 (и, таким образом, сходится
всюду), а первый — лишь в случае сходимости числового ряда
#i + #2 + • • • • Если последовательность {av} имеет ограниченное
изменение, но не стремится к нулю, то равномерная сходимость
в теореме B.6) заменяется равномерной ограниченностью частич-
частичных сумм.
Изменяя аргумент х, мы можем представить теорему B.6
в различных формах. Например, заменяя х на х-\- я, получаем
следующий результат.
B.7) Теорема. Если последовательность {av} с ограничен-
ограниченным изменением стремится к 0, то ряды
4
v=i ' v=i
сходятся равномерно на отрезке |л:|<я —8 (е > 0).
В силу B.6) ряды 2v~lcosvJ(: и 2v~lsinvA: сходятся при
хфО(а последний даже всюду). Пользуясь классической теоре-

3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 17
мой Абеля, утверждающей, что если Sav—¦> s, то 2avrv —>s
при г—> 1 —0 (см. гл. III, § 1), из A.4) мы выводим формулы
оо
2
Н0<*<2я). B.8)
COS VX
V
оо
2-
1п -
sin vx
V
1
2 sin у х
Jt— X
2
3. Ортогональные ряды
Система действительных или комплексных функций фо(*),
<PiM> Ф2М1 •••» определенных на интервале (a, бI), называется
ортогональной на (а, 6), если
ь
f О ПРИ тф п, \
* (m, n = 0, 1,2, ...)•
т > 0 при т = n J v ;
(ЗЛ)
В частности,
(I) все функции | фт (х) f интегрируемы на (a, b)\
(II) ни одна из функций фт(лс) не обращается в тождествен-
тождественный нуль (так как Хт^=0).
Если Хо = ^ = А,2 = ... — 1, то система называется нормиро-
нормированной. Ортогональная и нормированная система называется
ортонормированной. Если {ф^ОО} ортогональна, то {фл(л:)Д^2}
ортонормирована.
Важность ортогональных систем основывается на следующем
обстоятельстве. Пусть ряд
где с0, си ...—постоянные, сходится на (а, 6) к функции f(x).
Умножая обе части равенства / =СоФо + С1ф1+ • • • н^ Фп и инте-
интегрируя почленно на (а, &), получим, в силу C.1),
ь
(n-0, 1,2, ...). C.2)
Доказательство здесь носит чисто формальный характер, хотя
з некоторых случаях нетрудно придать ему надлежащую стро-
строгость; например, если ряд, определяющий функцию f (x), сходится
почти всюду, его частные суммы по абсолютной величине мажо-
мажорируются интегрируемой функцией и каждая ф„ ограничена.
Возникает следующая проблема. Пусть функция f (x) определена
г) Открытом или замкнутом.—Прим. ред.
2 А. Зигмунд, т. I

18 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
на (а, 6). Определим числа сп формулой C.2) и напишем
/ (х) ~ софо М + Ci<Pi (*)+... . C.3)
Числа сп называются коэффициентами Фурье функции /, а ряд
C.3) — рядом Фурье этой функции по системе {фп}. Знак «^» в фор-
формуле C.3) означает лишь, что сп связаны с / формулой C.2),
причем не предполагается, что ряд вообще сходится, тем более
сходится к функции f (x). Проблема состоит в следующем: в каком
смысле и при каких условиях ряд C.3) «представляет»функцию f (x)?
Эта книга посвящена изучению хотя и специальной, но важ-
важной ортогональной системы, именно тригонометрической (см. §4);
теории общих ортогональных систем мы будем касаться лишь
в той мере, в какой это необходимо для разработки теории
тригонометрической системы. Следует отметить, что для того
чтобы ортогональная система {cpn} была вообще пригодна для раз-
разложения функций в ряды, она должна быть полной; это означает,
что всякий раз после добавления к ней новой функции if) полу-
полученная система перестает быть ортогональной. В противном случае
существовала бы функция (именно функция г|)), не равная тож-
тождественно нулю, ряд Фурье которой по системе {ф„} состоит
сплошь из нулей.
Если функции ф„ действительны, то черточки в формулах C.1)
и C.2) можно опускать.
Поучительна следующая система функций {фг}, ортонормиро-
ванная на [0, 1]. Пусть ф0(х) — функция периода 1, равная +1
при 0 < х < V2 и — 1 при V2 < х < 1, и пусть ф0 @) = ф0 A/2) = 0.
Положим
) (л = 0, 1, 2, ...).
Функция ф„ (х) принимает попеременно значения ± 1 внутри
интервалов
(О^1), {2"п-\ 2-2-71-1), B'2'п-1,3'2-п), ....
Система {фп} ортогональна, поскольку при т > п интеграл от
произведения <ртц>п по каждому из указанных интервалов равен
нулю. Нормированность очевидна. Эта система не полна, поскольку
к ней может быть присоединена функция if) (х) = 1 (см. также
пример 6 на стр. 62). Функции фп называются функциями
Радемахера. Очевидно,
ц)п (х) = sign sin 2п+1лхх).
1) Значения функции Ц)п (х) тесно связаны с двоичным разложением х.
Если 0<[x<l, причем х не двоично-рациональное число и его двоичное
разложение имеет вид 0, d^d^ ... dn ..., где dn равны 0 или 1, то
44W {l9Wb

4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 19
В некоторых вопросах бывает полезно следующее обобщение
понятия ортогональности. Пусть со (х) — не убывающая на (а, Ь)
функция, и пусть ф0, ф4, ф2, ...—такая система функций, задан-
заданных на (а, 6), что
О прит*,,,! (т)П = 0, 1,2,...),
> 0 при т — п]
C.4)
где интеграл берется в смысле Стильтьеса (Стильтьеса —Римана
или Стильтьеса — Лебега). Тогда система функций {срп} называется
ортогональной на (а, Ь) относительно d(o(x). Если Л,о = Л,! =
= ... = 1, то система ортонормирована. Коэффициенты Фурье
функции f по системе {фп} суть
а ряд софо + ^1ф1+ . •. есть ряд Фурье для f. Если ы(х)=х,
то это определение совпадает с прежним. Если со (л:)—абсолютно
непрерывная функция, то dco(x) можно заменить на (u'(x)dx,
и тогда система функций {фп (xj^co' (x)} ортогональна в указан-
указанном ранее смысле. Случай ступенчатой функции co(x) важен для
тригонометрической интерполяции (см. гл. X).
4. Тригонометрическая система
Система функций
егп* (м = 0, ±1, ±2, ...) D.1)
ортогональна на любом отрезке длины 2я, так как для любого
действительного а
а+2я
С eimxe-inx ДХ = \ 0
2я (т = п).
Ряд Фурье по системе D.1) функции f(x), определенной, напри-
например, на интервале (— я, я), имеет вид
2 cveivx, D.2)
— оо
где
я
Cv = i S f(t)e-Mdt. D.3)
— Jt
2*

20 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Положим
Л Я
Ov = -i-J f(9cosvf<tf, 6V = -1 Jf(f).sinv/d* (v = 0, 1,2, ...
-Я —Я
D.4)
(таким образом, 60 = 0), так что
y ^ D.5)
Группируя в D.2) члены с номерами ± v, запишем ряд в виде
с0 + (cieix + c-ie-ix) +...+ (cneinx + C-ne'inx) + ... ,
или, принимая во внимание D.5),
ап cos nx + bn sin nx) + .... D.6)
Так как ортогональность двух функций cpt и ф2 влечет за собой
ортогональность пар щ ± ф2, то легко видеть, что система функ-
функций
у gixJ^-g—ix gix 0—ix . einx\e—inx einx e—inx
"' 2 ' Ш ? •*•' 2 ' 21 '*••'
или, что то же самое, система
у, cosx, sinx, ..., cos nx, sinnx, ..., D.7)
ортогональна на любом отрезке длинй 2я.
Числа Я (см. § 3) равны здесь 1/2я, я, я, ..., так что в силу
D.4) выражение D.6) будет рядом Фурье функции f{x),
— я<л;<я, по системе функций D.7).
Если функция f(x) четна, т. е. если f ( — x) =f (х), то
я
flv=-|- I f {t) cos vtdt, bv = 0; D.8)
о
а если f (x) нечетна, т. е. если /( — x) = — f (x), то
S D.9)
b
Последовательность функций D.7) называется тригономет-
тригонометрической системой, а D.1) — комплексной тригонометрической
системой. Числа av, bv будем называть коэффициентами Фурье
(прилагательное тригонометрические подразумевается), а числа

4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 21
cv — комплексными коэффициентами Фурье функции f. Наконец,
D.6) называется рядом Фурье, а D.2)— комплексным рядом Фурье
функции /. Когда не может произойти путаницы, мы будем просто
говорить о коэффициентах функции / и ряде (или разложении)
функции /. Ряд Фурье функции / в любой из форм D.2) или D.6)
будем обозначать через
S[f],
а ряд, сопряженный с S[/],— через S[f].
Ряды D.2) и D.6) по существу ничем не отличаются друг от
друга, и частичные суммы второго суть симметричные частичные
суммы первого. В этой книге мы будем для действительных функ-
функций пользоваться попеременно формами D.2) и D.6), для ком-
комплексных же функций — преимущественно формой D.2). Во мно-
многих проблемах теории рядов Фурье (например, в проблеме пред-
представимости функции / рядом S [/]) можно, не уменьшая общности,
ограничиться рассмотрением вещественных функций.
Поскольку члены рядов D.2) и D.6) имеют период 2я, то
удобно допустить (что мы и будем делать ниже), что функции,
ряды Фурье которых мы рассматриваем, определены не только на
отрезке длины 2я, но для всех значений х и периодичны, т. е.
(При этом если на концах отрезка функция принимает разные
значения, то необходимо изменить значение на одном из концов.)
В частности, когда мы говорим о ряде Фурье непрерывной функ-
функции, мы всегда имеем в виду, что функция периодична и непре-
непрерывна на ( — со, + со). Если же мы говорим, что периодическая
функция / интегрируема, имеет ограниченное изменение и т. п.,
то имеется в виду, что функция f обладает этими свойствами на
периоде. Под периодической функцией мы будем понимать функ-
функцию с периодом 2я.
Если г|) (х) — периодическая функция, то интеграл от ty(x) по
любому отрезку длины 2я один и тот же. В частности, так как
f(x) по нашему соглашению определена всюду и периодическая,
то отрезок интегрирования [ — я, я] в D.3) и D.4) может быть
заменен любым отрезком длины 2я, например [0, 2я].
D.10) Теорема. Если ряд D.6) или D.2) сходится почти
всюду к f(x) и его частичные суммы по абсолютной величине
мажорируются интегрируемой функцией, то ряд есть S[/];
в частности, это утверждение имеет место, если ряд сходится
равномерно.

22 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
То, что Ov и bv получаются из формул D.4), доказывается так
же, как и при выводе формул C.2), но теперь этот вывод при-
приобретает надлежащую строгость.
Для функции f(x), определенной на отрезке длины 2я (и пе-
периодически продолженной), ряд Фурье определен однозначно.
С функцией f(x), определенной на отрезке [а, Ь] длины меньшей,
чем 2я, можно связать различные ряды Фурье, так как мы можем
произвольно доопределить / (х) на оставшейся части отрезка дли-
длины 2я, содержащего [а, Ь]. Случай [а, Ь] = [О, я] особенно инте-
интересен. Если определить f(x) на [ — я, 0] равенством f( — x) = f (x),
то продолженная функция будет четной, и мы получим ряд Фурье
из косинусов. Если же продолженная функция нечетна, то полу-
получится ряд Фурье из синусов. Эти два ряда соответственно на-
называются косинус- и синус-ря^амя Фурье функции f(x), опреде-
определенной на [0, я].
При помощи линейной замены переменной тригонометрическую
систему можно превратить в систему, ортогональную на любом
наперед заданном конечном отрезке [а, Ь]. Например, функции
образуют ортогональную систему на [а, 6], и функции f(x), опре-
определенной на этом интервале, мы можем сопоставить ряд Фурье
+оо
Замена переменной позволяет свести изучение таких рядов
к изучению обычных рядов Фурье. Случай функций f (х) с пе-
периодом 1 особенно важен. Здесь
+оо
f(x)~ 2 с
п= — со
К понятию коэффициентов Фурье примыкает понятие преоб-
преобразования Фурье
a (v) = — \ / (х) cos vx dx, |3 (v) = — \ / (х) sin vx dxy
Jt J H J
—oo —oo
+ СХЭ
Y(v) = i \ f{x)e-**dx. D.11)
—oo
Здесь функция f определена на бесконечном интервале и вообще
не является периодической, a v —переменная, непрерывно меня-
меняющаяся от —оо до + со. За исключением того случая, когда функ-

4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 23
ция / абсолютно интегрируема на (— оо, +оо) и, стало быть,
интегралы D.11) сходятся абсолютно и равномерно по v, следует
еще указать, в каком смысле понимаются эти интегралы. Инте-
Интегралы Фурье изредка появляются в теории рядов Фурье, но мы
отложим более детальное их изучение до гл. XVI.
Проблемы теории рядов Фурье тесно связаны с понятием
интегрирования. В формулах D.4) мы неявно предполагали, что
произведения fcosvt, f sin vt интегрируемы. Таким образом, можно
рассматривать ряды Фурье — Римана, Фурье — Лебега, Фурье —
Данжуа и т. п. в соответствии со способом определения инте-
интеграла. В этой книге всюду, где не оговорено противное, инте-
интегралы берутся в смысле Лебега. При этом предполагается, что
читатель знаком с элементами теории Лебега. Результаты спе-
специального характера будут доказываться в тексте или же чита-
читатель будет отсылаться к учебникам.
Всякая интегрируемая функция /(#), 0<х<2я, имеет ряд
Фурье. Достаточно даже, чтобы функция / была определена почти
всюду на [0, 2я], т. е. всюду, за исключением множества меры
нуль. Функции /i (х) и /2(*)> совпадающие почти всюду, имеют
один и тот же ряд Фурье. Следуя Лебегу, назовем их эквива-
эквивалентными [символически fi(x)—^2 ML и не будем отличать их
друг от друга.
На протяжении всей книги будут постоянно использоваться
следующие обозначения:
х?А, х?А, АаВ,
Первое означает, что х принадлежит множеству Л; второе —что
х не принадлежит Л; третье и четвертое — что А есть подмноже-
подмножество множества В.
Меру Лебега множества (в частности, интервала) Е будем
обозначать через |?|. Рассматриваемые множества и функции
всегда будут измеримы, даже если это специально не оговорено.
Под счетным множеством мы будем понимать также и конеч-
конечное множество.
Приведем несколько полезных в приложениях примеров рядов
Фурье. Проверку предоставляем читателю.
(I) Пусть
ф(я) = -1-(л; — х) для 0<х<2я, ф@) = срBя) = 0.
Продолженная периодически функция у(х) нечетна и
со -foo
e%vx
V=1 v=—oo
[см. также B.8)].

24 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Функция ф(л:) может служить для устранения разрывов дру-
других функций, поскольку она непрерывна всюду, за исключением
точки # = 0, где она имеет скачок, равный я. Таким образом,
если периодическая функция / (х) при х = х0 имеет скачок d =
/Ч О) /Ч — О), то разность
непрерывна в х0 или становится непрерывной после изменения
значения f(x0).
(II) Пусть s(x)= 1 при 0<х<я и s(х) = — 1 при — я<л;<0.
Тогда
v=l
(III) Пусть 0 < h < я; положим % (х) = 1 на ( — Л, К) и % (х) = 0
в остальных точках интервала ( — я, я). Функция % четна и
СО +ОО
= А у siq!Le™, D.14)
Л JLJ vh v 7
где значение (sinvh)/vh при v=0 полагается равным 1.
(IV) Пусть 0<&<Л, k + h^n и пусть |л(х) = |лл?fe(л:) пери-
периодична, непрерывна, четна, равна 1 на @, h — k), 0 на {h + k, n)
и линейна на (h — k, h + k). Тогда
со
, vi sin vh sinv^
+OO
sin vh sin v^
n ZJ \h \k
V=z- oo
iv3C
v-й коэффициент функции \л по модулю не превосходит фиксиро-
фиксированной постоянной, умноженной на v~2, так что S [\к\ сходится
абсолютно и равномерно. Пользуясь теоремой F.3), помещенной
ниже, мы видим, что знак «~» в D.15) может быть заменен
знаком равенства.
Для k = 0 ряд D.15) переходит в ряд D.14).

б. РЯДЫ ФУРЬЕ — СТИЛЬТЬЕСА 25
(V) Заслуживает внимания специальный случай /г = fe в D.15).
Тогда
=4 2
(J <4Л6>-
Функция Xh(x) четна, убывает линейно^от 1 до 0 на интер-
интервале 0<х<2/г и равна 0 на Bh, я). Полезно заметить, что
коэффициенты ряда S [X] неотрицательны. Пользуясь сделанным
выше замечанием, что S[X] сходится к А,, и подставляя я=0,
получаем формулу
которой будем пользоваться^ ниже. Функция \л может быть вы-
выражена через К:
Так как обе введенные функции четны и представляют собой
ломаные линии, то для доказательства формулы достаточно про-
проверить ее для значений х, соответствующих вершинам, т. е. для
Функцию % часто называют треугольником или крышей, функ-
функцию \i —трапецеидальной функцией.
(VI) Рассматривая ряд Фурье функции e~iax, О < х < 2я, где
а —любое действительное (но не целое) или комплексное число,
получаем разложение
+ СО
к)а~ 2 -Sr- с4-19)
При а—>0 это соотношение вырождается в D.12).
5. Ряды Фурье — Стильтьеса
Пусть F (х) — функция с ограниченным изменением, опре-
+ОО
Деленная на отрезке 0<х<2я. Рассмотрим ряд 2 cveivx,
V=—со

26 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
коэффициенты которого задаются формулой
-™tdF(t) (v = 0, ±1, ±2, ...), E.1)
где интеграл берется в смысле Римана-—Стильтьеса. Числа *cv
называются коэффициентами Фурье —Стильтьеса функции F
или коэффициентами Фурье для dF. Мы пишем
+ ОО
dF(x)~ ^ с*е™х
V=— oo
и называем этот ряд рядом Фурье —Стильтьеса функции F или
рядом Фурье для dF и обозначаем его S [dF]. Если F (х) абсо-
абсолютно непрерывна, то S[dF]=S[F']. Можно также записать
S [dF] в форме D.6) с
2Л 2Л
av=-i- ^ cosvtdF{t), bv = -^- jj smvtdF(t).
о о
Удобно определить F (х) для всех х равенством
F (x + 2n)—F(x) = FBn)-F@), E.2)
и это можно сделать, не меняя значения F при 0<х<2я.
Тогда в формуле для коэффициентов Фурье — Стильтьеса можно
интегрировать по любому отрезку длины 2я.
Если мы изменим F (х) на счетном множестве и если новая
функция все еще является функцией ограниченной вариации, то
числа E.1) останутся неизменными. Значит, можно раз и навсегда
предположить, что рассматриваемые нами функции не имеют
устранимых разрывов.
Функция- F (х), определенная для всех л: по формуле E.2),
периодична тогда и только тогда, когда F Bя) — F@) = 0, т. е.
когда со = О. Разность
A(x) = F(x)—cox
всегда периодична, поскольку
Д (х + 2я) — Д (*) = F (х + 2я) - F (х) - 2пс0 = 0.
Функцию F (х) с ограниченным изменением, удовлетворяющую
равенству E.2), называют распределением масс (положительных
и отрицательных в общем случае) на окружности радиуса едини-
единица. Если (a, P) — дуга этой окружности и 0<р — сс<2я, то
F($) — F (а) есть, по определению, масса, расположенная на по-

6. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 27
луоткрытой дуге _сс < х<р. Ряд
2 einx = 2 (-i- + cos л: + cos 2л: + ...
—сю
есть ряд Фурье —Стильтьеса для массы 2л, сосредоточенной
в точке х = 0 на окружности.
6. Полнота тригонометрической системы
Эта теорема — простое следствие из результатов, которые бу-
будут получены позднее, но следующее элементарное доказательство,
принадлежащее Лебегу, интересно само по себе.
Пусть f(x) — интегрируемая функция, все коэффициенты а0,
alf bi, ... которой равны нулю, так что
я
f{x)T(x)dx = 0 F.1)
t
для любого тригонометрического полинома Т(х). Покажем, что
f(x)~O. Сначала предположим, что f (x) непрерывна и не равна
тождественно нулю. Тогда существуют точка х0 и два положи-
положительных числа е, б такие, что |/(я)|>е, скажем /(*)>e, на
интервале 1 = (х0 — б, л:0 + б). Достаточно показать, что сущест-
существует последовательность тригонометрических полиномов Тп(х),
таких что
(I) Тп{х)>0 для xql;
(II) Тп(х) стремятся к + °° равномерно на каждом отрезке
/', внутреннем к /;
(III) Тп равномерно ограничены вне /.
Тогда интеграл в формуле F.1) с Т = Тп может быть разбит
на два интеграла: по / и по дополнению его на ( — я, я). В силу
(I) первый интеграл не меньше чем
г\Г\тп1пТп(х),
и, таким образом, стремится к +°° при п—> оо в силу (II).
Второй же интеграл ограничен в силу (III). Так что F.1) не-
невозможно для Т = Тп при больших п.
Если положить
Тп (х) = {t (х)}п, t(x)=l + cos (х - х0) - cos б,
то t(x)>l на /, t(x)>l на /', |*(я)|<1 вне /. Условия (I),
(II) и (III) выполнены, и теорема доказана для непрерывных
функций /.

28 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Предположим теперь, что / только интегрируема; пусть F (х) =
х
= \ fdt. Из условия ао = О следует, что F (x-{-2n) — F (х) = 0г
—я
так что функция F (х) периодическая. Пусть Ао, Аи Ви ...—
коэффициенты функции F. Проинтегрируем по частям интегралы
Я Я
\ F (х) cos vxdx, \ F(x)s\nvxdx
-я -я
при v=l, 2, В силу периодичности F проинтегрированные
члены обратятся в нуль, а из а{ = Ъ± = аг — ... = 0 следует, что
Л1 = В? = Аг = ... = 0. Пусть Лд, Л^, В[, ... — коэффициенты
функции F(jc) —Ло. Очевидно, что А'0=А[ = В1=...=0. Таким
образом, F (х) — Ло, будучи непрерывной функцией, тождественно
равна нулю, и, следовательно, /=0. Этим доказательство закан-
заканчивается. Как следствие получается
F.2) Теорема. Если fi(x) и /2 (х) имеют одинаковые ряды
Фурье, mofi(x)^f2{x).
F.3) Теорема. Если f (x) непрерывна и S [/] равномерно
сходится, то его сумма равна f(x).
Для доказательства F.2) заметим, что все коэффициенты
функции fi — f2 обращаются в нуль, так что /^ — /2~0. Чтобы
доказать F.3), обозначим через g(x) сумму ряда S[/]. Тогда
коэффициенты ряда S [/] будут коэффициентами Фурье функции
g [см. D.10)]. Следовательно, S[/] = S[g"]7 так что f~g, а по-
поскольку fug непрерывны, то f=g. (Более полные результаты
см. в гл. III, стр. 149.)
7. Неравенство Бесселя и формула Парсеваля
Пусть ф0, cpi, ... — ортонормированная на [а, Ь] система функ-
функций, а функция f (х) такова, что |/(#)|2 интегрируема на [а, Ь].
Зафиксируем целое число п>0, положим
и найдем такие значения постоянных у0, уи ...-, уп, при которых
интеграл
ъ
\f-<S?dx G.1)
а
принимает минимальное значение.

НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И ФОРМУЛА ПАРСЕВАЛЯ
29
Если заметить, что
ъ ъ
где с0, си ... —коэффициенты Фурье функции / по системе
{q>v}, то
b b b b
a a a a
b
Прибавляя и вычитая 2 kvl2, получаем
- Ф |2 rfx =
G.2)
v=0
v=0
Отсюда следует, что J достигает своего минимума при yv = cv
для v = 0, 1, ...,я. Таким образом, имеет место следующая
теорема.
G.3) Теорема. Если \ f (х) |2 интегрируема на [а, Ь] и если
Ф = Yo9o + YiTi+ • • • Л-УпЧп, где <р0, ф1? ... образуют ортонорми-
рованную систему на [а, 6], /по интеграл G.1) минимален, когда
Ф есть я-я частичная сумма ряда Фурье функции f no си-
системе {<pv}.
Вследствие G.2) этот минимум, заведомо неотрицательный,
равен
b n
f|Mx-2kvi2. G.4)
v=0
Таким образом,
v=0
Это неравенство называется неравенством Бесселя. Если {<pv}
бесконечна, то можно устремить п к бесконечности и тогда нера-

30 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
венство Бесселя примет вид
со Ъ
2 \cv?<\\f\*dx. G.5)
v=0 a
Поскольку система {eivx/BnI^} ортонормальна на [0, 2я], то
+оо 2л:
V=—оо 0
где cv определены формулой D.3). Если / — действительная функ-
функция, то это дает
V=l
Отсюда следует, что коэффициенты Фурье av, bv, cv стре-
стремятся к 0 вместе с 1/v при условии, что \ f |2 интегрируема.
В некоторых случаях знак «<» в формуле G.5) может быть
заменен на «= ». (Из предыдущих рассуждений следует, что это
всегда имеет место в тех случаях, когда ряд Фурье для f
по системе функций {cpv} сходится равномерно к f и отрезок [a, b]
конечен.) Получаемое при этом равенство называется' формулой
Пйрсеваля. В гл. II, § 1, будет показано, что для тригонометри-
тригонометрической системы формула Парсеваля справедлива.
Замечание. Если функции cpv образуют на [a, b] ортонормиро-
ванную систему по отношению к неубывающей функции со (л:),
то теорема G.3) остается верной при замене интеграла G.1) на
Это замечание полезно при тригонометрической интерполяции
(см. гл. X).
8. Замечания о рядах и интегралах1)
Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные при х>хОг
и пусть g(x)Ф0. Символы
f(x)=o(g{x)), f(x)=O(g(x))
х) Содержание этого пункта не имеет отношения к тригонометрическим
рядам. Оно содержит краткое изложение различных вопросов теории функций
действительного переменного, которыми мы часто будем пользоваться в даль-
дальнейшем. Многие из них хорошо известны и собраны здесь главным образом
для удобства ссылок. При этом мы не претендуем на полноту. Кроме того,.

8. ЗАМЕЧАНИЯ О РЯДАХ И ИНТЕГРАЛАХ 31
означают соответственно, что f{x)/g (х) —>0 при х —>+оо и что
f (x)/g (x) ограничено для достаточно больших х. Те же обозначе-
обозначения употребляются и в тех случаях, когда х стремится к конеч-
конечному пределу или к — оо или когда х стремится к пределу,
пробегая дискретную последовательность значений. В частности,
некоторая величина является о(\) или 0A), если она соответ-
соответственно стремится к нулю или ограничена.
Две функции f(x) и g(x), определенные в окрестности точки
х0 (конечной или бесконечной), называются асимптотически рав-
равными, если f (x)'/g (х) —> 1 при х—>jc0. При этом мы пишем
f(x)~g(x) (*-»*<,).
Если обе дроби f (x)/g (x) и g (x)/f (x) ограничены в окрестности
точки л;0, то мы говорим, что f (х) и g (x) являются величинами
одного порядка при х—>х0, и пишем
Пусть дана последовательность чисел и0, ии uz, ... . Положим
(Л=0, 1, ...).
Аналогичные обозначения будут употребляться и с другими бук-
буквами. Пусть а — конечное число, a f (х)— функция, определенная
в конечном или бесконечном интервале а < х < b и интегрируемая
на каждом отрезке [a, bf], br < 6. Тогда мы будем писать
f(t)dt (a<x<b).
(8.1) Теорема. Предположим, что f (х) и g(x) определены
при а<х < b и интегрируемы на каждом отрезке [a, b'\ (bf < b),
что g(#)>0 и что G(x) —> + °° при х—>Ь. Тогда если f(x) =
~°(§ (х)) пРи х—> Ь, то F (x)~o(G (x)).
Предположим, что | f{x)/g(x) | < A/2) 8 для х0 < х < Ь. Для
каждого х
Xq X Xq
\F(X)\< \ I f Idt + [ \f\dt^
a Xq
некоторые теоремы применяются ниже в более общей форме, чем та, в кото-
которой они доказываются здесь, но делается это только тогда, когда доказа-
доказательство общего случая в сущности то же самое. (Например, неравенства
Гёльдера и Минковского будут применяться к интегралам Стильтьеса, хотя
здесь они доказываются для обычного интеграла Лебега.) Этот материал
приведен не для детального его изучения, а лишь для справок.

32 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Так как G(x)—>оо, то последняя сумма меньше чем гв(х) для ху
достаточно близких к Ь\ а поскольку е произвольно, то теорема
доказана.
Очевидно, что роли а и b в этой теореме можно поменять.
Если а = 0 и Ь= + °°, то эта теорема имеет следующий аналог
для сумм:
(8.2) Теорема. Пусть {uv} и {vv} — две числовые последо-
последовательности, причем последняя положительна. Если un = o(vn)
и Уп—> + оо, то Un = o(Vn).
Доказательство то же, что и для (8.1).
(8.3) Теорема. Предположим, что ряд 2 ^v сходится, что v
положительны и что uv = o(vv). Тогда
U>n + Un+i + . .. =O(Vn+Vn+i+...).
Это очевидно.
(8.4) Теорема. Пусть f (x) — положительная, конечная
и монотонная функция, определенная для *>0, и пусть
о
Тогда (I) если f (х) убывает, то F(n)-—Fn стремится к конеч-
конечному пределу,
(II) если f (х) возрастает, то F (п) < Fn < F (n) + f (п).
Для доказательства (I) заметим, что f(?)<F(&) — F (k—1)<
/(&--1), откуда следует
(fe=l,2, ...). (8.5)
Поскольку ряд 2{/(? — 1) — /(?)} сходится, то сходится также и
ряд ^]{F (k) — F (k—l) — f (&)}; остается только заметить, что
F(n) — Fn + f(O) — его я-е частичные суммы.
Случай (II) доказывается при помощи сложения очевидных
неравенств
(8.6) Теорема. Пусть функция f(x) положительна, конечна
и монотонна при х>0. Если (I) f(x) убывает и F(x)—>co
или (II) /(х) возрастает и f(x) = o(F(x))y то в обоих случаях
Fn^F(n).
Это следует из (8,4).

9 НЕРАВЕНСТВА 33
(8.7) Теорема. Пусть функция f(x), х>0, положительна,
монотонно убывает и интегрируема на (О, +оо), и пусть
Тогда
Если, кроме того, f{x) = o (F* (х)), то F?~F* (n).
Достаточно сложить неравенства / (k + 1) < F* (k) — i7* (k -f- 1) <
<f(k) для ? = n, /z + 1, ... .
Пример. Из (8.6) и (8.7) следует, что
? 2^-р^т^- (8-8)
для а > — 1, р > 1.
Положив /(я)= 1/(я+1) и п — т — \, мы получаем из (8.4),
что разность
стремится к конечному пределу С {эйлерова постоянная) при
т—> оо.
Иногда требуется более точная формула
Чтобы доказать ее, заметим, что для функции f (х)—\/(\-\-х) правая часть
неравенства (8.5) есть l/k(k-\-l). Следовательно, т-я частичная сумма ряда
с общим членом F (k)—F (k — 1)—/ (k) отличается от суммы всего ряда
не более, чем на
" m + 1 '
и, проводя доказательство, как в (8.4) (I), получаем (8.9).
9. Неравенства
Пусть ф(и) — неотрицательная функция, определенная для
ы>0. Будем говорить, что функция f (x), определенная на интер-
интервале (а, Ь), принадлежит классу Ьф(а, 6), [обозначается:
f€L<p(a, &)], если y(\f(x)\) интегрируема на (a, b). В тех слу-
случаях, когда это не может привести к недоразумению, мы будем
этот класс обозначать просто через Ьф. В частности, если f
периодическая, то f g Ьф означает, что f ? Ьф @, 2л). Если ф (и) = иг,
3 А. Зигмунд, т. I

34 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
г > О, то Ьф будем записывать в виде 17; вообще, иногда мы
будем писать <p(L) вместо Ьф; так что, например, через La(ln+L)p
обозначается класс функций f таких, что функция | / |a (ln+1 f |)Р
интегрируема1). Мы будем также систематически пользоваться
обозначениями
ъ
Если интервал (а, Ь) фиксирован, то мы будем просто писать
Шг [f] и 2tr[f]. В отличие от Шг величина ЭДГ имеет смысл только
в случае конечного интервала (а, Ь).
Аналогично, если задана конечная или бесконечная последо-
последовательность а — {ап}, то мы пишем
®г[а]={2|ай|'}1/г.
Вместо L1, Ши Я4, ©4 пишем L, <Ж, И, S.
Пусть (р(и), w>0, и 'ф(у), и>0,—две функции, непрерывные,
обращающиеся в нуль в нуле, строго возрастающие и взаимно
обратные. Тогда для а, Ь>0 имеет место следующее неравен-
неравенство, принадлежащее Юнгу:
х у
где Ф(*)= J ф^, V{y)= ^dv. (9.1)
Неравенство это очевидно геометрически, если представить его
члены в виде лестницы. Легко видеть, что равенство в (9.1)
имеет место тогда и только тогда, когда Ь = ц(а). Функции Ф
и W называются сопряженными функциями (в смысле Юнга).
Полагая <р(и) = иа, ^(v) = v^a(a>0), r=l+a, r;=l + l/a,
получаем неравенство
ab<^r + ^ (a,b>0), (9.2)
где «дополнительные» показатели степени г, г' оба превышают 1
и связаны следующим соотношением:
х) Под 1п+ | / | мы понимаем функцию, равную In | / | при | / | > 1 и О
в остальных точках.

9. НЕРАВЕНСТВА 35
Это обозначение будет употребляться систематически, так что
//, например, будет обозначать такое число, что
Если г = г' = 2, то (9.2) превращается в хорошо известное нера-
неравенство 2аЬ<а2 + 62. Очевидно, что или г<2<г', или г'<2<г.
Если г—>1, то г'—>оо, и обратно. Связь между гиг' может
быть записана также в виде
v = -
г —1
Интегрируя неравенство
в пределах я<х<&, мы видим, что fg интегрируема на (а, Ь),
если f б Ьф (а, Ь), ,g g W (а, Ь).
В частности, fg интегрируема, если f?Lr, g?Lr'.
Рассмотрим теперь (действительные или комплексные) после-
последовательности А = {Ап}, В={Вп), ЛВ = {ЛП5Л} и допустим, что
©Г[Л] = <2Г'[Б]= 1, г>1. Если мы сложим неравенства
для /г=1,2, ..., то получим
Пусть теперь а = {ап] и b = {?>„} две такие последовательности,
что @г [<2] и @Г' [6] положительны и конечны; положим
Ап = aj&r [а], Вп = 6П/©Г, [6] для всех п. Тогда @г [А] = ©г^ [5] = 1,
так что @[ЛВ]<1. Другими словами,
fl]3r'[6], (9.3)
и тем более
ISaA|<Sr[fl]@r'[ft]. (9.4)
Эти неравенства называются неравенствами Гёльдера. Они, оче-
очевидно, верны и в случае, когда @г[а] = 0 или @г/[6] = 0.
Неравенство Гёльдера для интегралов имеет вид
/]2Kr'fe], (9.5)
и его доказательство в точности повторяет доказательство нера-
неравенства (9.4) с заменой суммирования интегрированием. Если
г±=г' — 2, то (9.4) и (9.5) превращаются в известные неравен-
неравенства Коши — Буняковского.
3*

36 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Замечание относительно знака равенства в (9.1) показывает,
что равенство в (9.2) имеет место тогда и только тогда, когда
ar = br'. Так что если допустить, что @г [а] и ©г* [Ь] отличны от
нуля, то доказательство неравенства (9.3) показывает, что знак
равенства в нем имеет место тогда и только тогда, когда |ЛЛ|Г =
=z\Bn\r' для всех п, т. е. тогда и только тогда, когда \ап\г/\Ьп\г'
не зависит от п (где отношения 0/0 не рассматриваются). Если
@г[#] = 0 или <5Г' [Ь] = 0, то в (9.3) автоматически получается
знак равенства и в то же время \an\T/\bn\rf «не зависит от п»,
так что правило выполнено и в этом случае. Принимая во вни-
внимание, что левые части неравенств (9.3) и (9.4) равны тогда
и только тогда, когда arg (anbn) постоянен для всех значений п,
для которых anbn Ф 0, мы приходим к следующему заключению:
(9.6) Теорема. Для того чтобы в (9.4) имело место равен-
равенство, необходимо и достаточно, чтобы обе последовательности
|fln|p/|&n|p/ u ^гё(апЬп) не зависели от п (при этом выражения
0/0 и arg 0 не рассматриваются).
В основном так же доказывается следующая
(9.7) Теорема. Для того чтобы в (9.5) имело место ра-
равенство, необходимо и достаточно, чтобы: (I) отношение
\f{x)\r/\g(x)\r' было постоянным почти для всех х, для которых
оно отлично от 0/0, (II) arg{/ (х) g {x)} был постоянен почти для
всех х, для которых fg ф 0.
Неравенство (9.5) [и аналогично (9.4)] может быть обобщено
следующим образом:
(9.8) Теорема. Если rt, r2, . ..,г^— такие положительные
числа, что Мг{ + 1/г2+ ... + l/rft = 1, и если ft g l/* (a, b) для
/ = 1, 2, ..., k, то
ь
Доказательство проводится по индукции и предоставляется чита-
читателю.
Число М называется существенной верхней гранью (иногда
наименьшей существенной верхней гранью) функции f (x) на интер-
интервале (а, Ь), если (I) множество точек, для которых f (х) > М,
имеет меру нуль, (II) для каждого числа М' < М множество
точек, для которых f(x)>7W', имеет положительную меру. Ана-
Аналогично определяется существенная нижняя грань. Если обе
грани конечны, то f(x) называется существенно ограниченной.

9. НЕРАВЕНСТВА 37
(Эквивалентное определение: / (х) существенно ограничена, если
она ограничена вне множества меры нуль, или f ~ g, где g
ограничена.)
(9.9) Теорема. Если М — существенная верхняя грань функ-
функции \f{x)\ на конечном интервале (а, Ь), то
Wtrlf;a,b]-*M при г->+оо.
Предположим, что М > 0. Пусть 0 < М' < М, и пусть Е —
множество точек, где \f(x)\> М\ Тогда | Е | > 0,
так что Нт$Шг [f\>M\ Следовательно, lim 3JJr [/] >М. В частно-
г-юо
сти, теорема доказана, если М= + °°. Эта часть доказательства
сохраняется и в случае, когда Ъ — а~-\-со.
Предположим теперь, что М < + °°- Поскольку $(#,. [/] <
<МF —аI/г, то limgjtr [f]<M, а это вместе с предыдущим
неравенством limgjlr [f] >М доказывает теорему.
Если Ь — а=+оэ, то (9.9) остается справедливой при усло-
условии, что Шг[1] конечно при некотором г = го>О. (Без этого
ограничения теорема неверна: возьмем, например, а = 2, Ь= +оо,
f{x)= I/logx.) Мы должны доказать, что lim 2ftr [/] <М< -f со.
Можно предполагать, что М=\ (в противном случае мы разде-
разделили бы обе части неравенства на М). Для того, чтобы доказать
lim^Jir [/] < 1, положим (а, 6) = / + /?, где / — конечный интервал,
лежащий в (а, Ь), и такой, что \ |f|°dx<l. Так как |/|<1
R
почти всюду, то
для г>г0. Следовательно, lim%Rr[/]< 1.
Поскольку каждая последовательность а0, аи ... может рас-
рассматриваться как функция /(%), где f(x) — an при п<л:<д+1»
то @г [а] стремится к max|an|, когда г—>оо, npw условии, что
@г [а] конечно при некоторой г > 0.
В силу теоремы (9.9) естественно определить gjjoo [/; а, 6] как
существенную верхнюю грань функции \f{x)\ на интервале (а, 6).
Обозначим через L°° класс существенно ограниченных функций.
Тогда неравенство (9.5) сохраняет смысл и остается справедли-
справедливым для г = оо, г = 1.

38 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Пусть а = {ап}, b = {bn} — RBe последовательности чисел, и пусть
а+ b = {an + bn}. Неравенство
@г [а+ Ь] < ©г [а] +®г [Ь] (г > 1) (9.10)
называется неравенст.вом Минковского. Чтобы доказать его для
г>1 (при г=1 оно очевидно), запишем
и применим неравенство Гёльдера с показателями степени г' и г
к суммам, стоящим справа. Получаем
®гг[а + Ь] <©Г! [а+ 6] ©г N +S' [а+ 6] ©г [6],
откуда следует (9.10) при условии, что @г[а + 6] конечно.
Следовательно, (9.10) установлено в случае, когда {ап} и {Ьп}
конечны, а также и в общем случае после предельного перехода.
Аналогично доказывается неравенство Минковского для инте-
интегралов
которое показывает, что сумма f-\-g принадлежит Lr, если fug
принадлежат I/.
Пусть h(x, ^ — функция, определенная дляа<х<6, c<r/<d.
При помощи рассуждений, аналогичных доказательству (9.10)
и (9.11), можно получить следующее неравенство:
{[
b
\h(x, y)\rdxy/rdy (r>l), (9.12)
которое можно рассматривать как обобщение неравенства Мин-
Минковского, так как оно содержит (9.10) и (9.11) как частные слу-
случаи. Действительно, если (с, d) = @, 2), h(x, y) = f(x) для
0<#<1, h(x, y) = g(x) для 1 <«/<2, то (9.12) сводится к (9.11).
Если (с, d) = @, 2), (а, 6) = @, + оо) и если для n<x < м+1
мы положим А (я, у) = ап или й(х, у) = Ьп в зависимости от того,
будет ли 0<у<1 или 1<у<2 (л = 0, 1, ...), то (9.12) дает
(9.10).
Неравенство (9.12) может быть записано в несколько иной
форме. Пусть
//(*)= $A(jc, y)dy.

9. НЕРАВЕНСТВА 39
Тогда
Жг [Н (х)]
где 5Ш? означает, что интегрирование идет по х.
Если 0<г<1, то (9.10) и (9.11) перестают быть верными,
но тогда их заменяют формулы
(9.13)
являющиеся следствиями неравенства (х~\-у)г <*г + уг, или, что
то же самое, неравенства
A+0Р<1+*р (О0, 0<г< 1).
Чтобы доказать последнее, заметим, что (l-\-t)r—1 — f обра-
обращается в нуль при f = 0 и имеет отрицательную производную
при / > 0.
В связи с этим можно попутно отметить неравенство (след-
(следствие последнего неравенства)
(9.14) Теорема. Пусть задана функция F(x),
и число l<r<-f°°- Тогда
ъ
2Jir[F; a, 6] = sup [ FGdx , (9.15)
g «з
а
где sup берется по всем G таким, что ШГ' [G; a, 6J<1. Утвер-
Утверждение остается справедливым и при $Щг[Л= +°°-
Можно считать, что 5Шг [F] > 0. Пусть /G обозначает интеграл,
стоящий справа. По неравенству Гёльдера
Этот результат верен и при 9ftr [F] = -\- оо. С другой стороны,
если sjftr [F] < + оо, положим
Go (x) = \F (х) Г1 signF ДО/Зйг [Л для г>1.
Нетрудно проверить, что $ШГ' [Go] = 1, /g0 = ЗЛг [Л- Это доказывает
(9.15) при конечном %ftr[F].
Если s$ir[F]= -{-co, то надо показать, что существует функ-
функция G, такая, что 9Jb"[G]<l, a IG существует и как угодно
велик. Предположим сначала, что Ь — а< + оо, и обозначим
через Fn{x) функцию, равную ]*{х) в тех точках, где |F(jc)|</i,

40 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
и нулю в остальных точках. Пусть Gn(x) получается из Fn{x)
точно так же, как Go из F. Если п достаточно велико, то $ЩГ [F ]
положительно (и конечно), так что 5ЩГ'[<3П]=1, и
ъ ь
IG = J FGZ dx = J FnGn dx = $Щг [fn]
a a
неограниченно возрастает вместе с п.
Если интервал (а, Ь) бесконечен, например @, + °°)» то опре-
определим Fn(x), как и прежде, но только на отрезке 0<x<az
и положим Fn(x) = 0 вне этого отрезка. Это обеспечивает
конечность $ЩГ [F ] для каждого п\ в остальном же доказатель-
доказательство не меняется.
Теорема (9.14) сохраняется и при г==со. Доказательство
того, что |/с|<ШЫЛ> остается без изменения и в этом случае.
С другой стороны, если М — существенная верхняя грань \F\
и если 0 < М' < М, то множество Е точек, где |F|>AT, имеет
положительную меру. Если мы выберем такое подмножество ?*
множества Е, что 0<|?'1|<оо, то функция G(x), равная
sigrijF(*)/|?i | на ?t и 0 вне Еи будет обладать свойствами
\G\dx = l, /g=^j \ \F\dx>M\
Ei
так что sup|/G I >M.
Докажем в заключение следующую теорему:
(9.16) Теорема. Пусть f(x) —неотрицательная функция*
определенная для х>0, и пусть г>1, s < г— 1. Тогда если
fr(x)xs интегрируема на @, оо), той {x~1F(x)}rxs интегрируема
X
на @,оо), где F(x)~ \ fdt. Более того,
оо
I {У(У1Г(х)хЫх. (9.17)
о о
Можно считать, что /^0. Неравенство Гёльдера
X XX
0
показывает, что / интегрируема на каждом конечном интервале
и что F (х) = о(х^-{-^г) при х—>0. Последняя оценка сохра-

10. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 41
няется также и .при х —>оо. В самом деле, пользуясь предыду-
предыдущими рассуждениями для оценки определенного интеграла
F(x) — F(Q, получаем
если х>? и ? = ?(е) достаточно велико. Следовательно, F (х) <
< 2EX{-r-i~s)/r для больших х, т. е.
F(Jc) = o(x<r-1-*)/r) при х—>оо.
b
Пусть 0 < а< b < оо. Интегрируя \ Frxs~r dx по частям и поль-
а
зуясь неравенством Гёльдера для
Ь b
a
получаем
b
1/r Г P X F V s j 1 1/r'
Делим обе части этого неравенства на последний множитель
право- части, который положителен, если а и 1/Ь достаточно
малы. Так как проинтегрированный член стремится к 0 при
а—>0, Ь—>оо, то мы приходим к (9.17).
Наиболее интересны в приложениях случаи s — 0 и s = r — 2.
10. Выпуклые функции
Функция ф(х), определенная на открытом или замкнутом
интервале (а, 6), называется выпуклой, если для любой пары
точек Рь Р2 кривой у = ср(х) точки дуги Р{Р2 расположены
ниже хорды Р{Р2 или на ней. Например, хг при г>1 выпукла
на @, +оо).
Неравенство Иенсена состоит в том, что для любой системы
положительных чисел ри р2, ..., рп и для любой системы точек
*ь х2> ..., хп из интервала (а, Ь)

42 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Для п — 2 оно совпадает с определением выпуклости, а при
п > 2 следует из него по индукции. Могут быть допущены и нуле-
нулевые значения для р& при условии, что 2 Pi Ф О- Если функция
—Ф(х) выпукла, то (р(х) называется вогнутой. Только одна
линейная функция одновременно выпукла и вогнута. Вогнутые
функции удовлетворяют неравенству A0.1) с противоположным
знаком.
Пусть Ри Р2, Pz — три точки на выпуклой кривой у = у(х),
следующие в том порядке, как они выписаны. Так как точка Р2
расположена под хордой PiP3 или на ней, то наклон PiP2 не пре-
превышает наклона PiP%. Следовательно, если точка Р прибли-
приближается к точке Pi справа, то наклон PtP не возрастает. Таким
образом, при всех а<х<й существует правая производная
D+tp(x), меньшая + оо. Аналогично для всех а<#<& суще-
существует левая производная D~q>(x), превосходящая —оо.
Если Pt, P, Р2 — точки на выпуклой кривой, следующие
в указанном порядке, то наклон PtP не превосходит наклона РР2.
Полагая Pi—^P, P2—>P, получаем
- оо < D-ф (x)<D+<p (х)< + оо (а < х < й). |A0.2)
В частности, у(х) непрерывна внутри (а, й). Однако в кон-
концевых точках a, b функция ф может быть разрывной (например,
<р'(*) = 0 при 0<*< 1, ф@)=фA) = 1).
Из доказательства существования D+<p (х0) и D ф (л:0) и формулы
A0.2) видно, что каждая прямая /, проходящая через точку
(х0, ф(^о)) с наклоном k, удовлетворяющим неравенству О"ф(л:0)<
<&<О+ф(л:0), имеет по крайней мере одну общую точку с кри-
кривой у = (р(х) и что кривая расположена над прямой или совпа-
совпадает с ней. Такая прямая называется опорной прямой для линии
у=у(х).
Пусть xt < х < х2 — абсциссы точек Ри Р, Р2. Наклон PtP
не превосходит наклона РР2. Первый не меньше чем О+ф(л:1),
а второй не больше чем О"ф (х2)</)+ф(х2), так что
(x2) (xt<x2). A0.3)
Второе неравенство показывает, что D+y(x) — неубывающая функ-
функция от х. То же самое можно сказать и об D~y(x). Так как
Г>+Ц)(х) — неубывающая функция, то она непрерывна, за исключе-
исключением, быть может, счетного множества точек. Пусть х — точка
непрерывности D+<p(x) и xt<ix. Тогда в силу A0.3) и A0.2)
>+ф (х).
А так как D+(p(xi)—>D+q(x) при xt—>x, то D~q>(x) =Д+ф(л:),
т. е. ф' (х) существует и конечна. В итоге имеем следующую
теорему.

10. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 43
A0.4) Т е о р ем а. Функция ф (х), выпуклая на интервале (а, Ь),
непрерывна при а < х < b и имеет неубывающие односторонние
производные, удовлетворяющие неравенству A0.2). Производная
ф' (х) существует всюду на интервале (а, Ь), за исключением,
быть может, счетного множества точек.
Таким образом, непрерывность функции у(х) является след-
следствием ее выпуклости. Если, однако, допустить, что у(х) непре-
непрерывна, то можно слегка изменить определение выпуклости.
Непрерывная функция ф(х) выпукла тогда и только тогда,
когда на любой дуге PiP2 кривой содержится дуга Р[Р'2, лежа-
лежащая под хордой Р{Р2 или на ней. Необходимость очевидна. Пред-
Предположим, что функция удовлетворяет указанным условиям, но
не выпукла. Тогда кривая содержит дугу PtP2, некоторая под-
дуга Р[Р2 которой расположена всюду над хордой PiP2. Передви-
Передвигая Р[ налево, а Р'2 направо, можно считать, что Р[ и Р'2 лежат
на хорде PiP2, и оказывается, что дуга Р'гР'2 расположена над
хордой. Но тогда из дуги Р[Р2 нельзя выделить часть, располо-
расположенную под хордой Р[Р'2, что противоречит условию.
Выпуклая функция не имеет строгого максимума1) внутри
интервала определения. Действительно, если х0 — такой максимум,
то дуга у = <р(х) при \х — яо|<б будет при достаточно малом б
располагаться частично над хордой.
A0.5) Теорема. Для того чтобы непрерывная в интервале
(а, Ь) функция ф(х) была выпукла, необходимо и достаточно,
чтобы ни для одной пары чисел а, р сумма <р(х) + ах + $ не имела
бы строгого максимума в интервале (а, Ь).
Сумма двух выпуклых функций выпукла, поэтому необходи-
необходимость очевидна. Чтобы доказать достаточность, предположим,
что ф(х) не выпукла. Тогда существует дуга PtP2 кривой, все
точки которой расположены над хордой PtP2 или на ней2). Пусть
*i» *2 — абсциссы точек Pt, Р2, и пусть у=—ах — р — уравнение
хорды. Тогда ф (х)-f-ах + р обращается в нуль в конечных точках
интервала (xiy x2) и принимает положительные значения внутри
него; следовательно, эта сумма имеет строгий максимум внутри
интервала (xt, х2), а значит, и внутри (а, Ь).
Полезны следующие обобщения обычной первой и второй про-
производных. Пусть F (х) определена в окрестности точки х0.
х) Мы будем говорить, что функция ср (х) имеет строгий максимум в точке
*о, если cp(*0)>cp(*) в некоторой окрестности х0, но ф не является тож-
тождественно постоянной ни в какой окрестности точки х0.
2) Очевидно, можно считать, что все точки дуги PiP2i кроме концов,
расположены строго над хордой.—Прим. ред.

44 ГЛ- I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Образуем дроби
F(xo+h)—F(xo—h)
(xo-h)-2F(xo)
Пределы этих выражений* при A —»0, если они существуют,
называются соответственно пераой и второй симметрическими
производными функции i7 в точке л:0 и обозначаются DiF(x0)
и D2F(x0). Верхний и нижний пределы дробей A0.6) называются
верхней и нижней (первой или второй) симметрическими произ-
производными и обозначаются через DtF(x0), DiF(x0), D2F(x0), D2F(x0).
Вторая симметрическая производная часто называется производ-
производной Шварца (или Римана).
Если существует F' (х0), то существует и DiF(x0), и обе
имеют одно и то же значение. Это следует из того, что первая
дробь A0.6) есть полусумма дробей {F (xo-\-h) — F (xo)}/h и
{F(x0) — F (xo — h)}/h, которые стремятся к F'(х0).
Если существует F"{xQ), то существует и D2F(x0), и обе
имеют одно и то же значение. По теореме Коши о среднем вто-
вторая дробь в A0.6), если принять А в качестве аргумента, может
быть записана в виде {F (xo-\-k) — F' (x0 — k)}/2k при некотором
0 < k < А, а последняя дробь стремится к F"(х0) при k—>0.
Эти доказательства в действительности дают несколько больше,
а именно: (I) обе производные DtF (х0) и DjF (x0) содержатся
между наибольшим и наименьшим из чисел Дини функции F
в точке хо\ (II) если F'(х) существует в окрестности точки х0,
то обе производные D2F (x0) и D2F (x0) заключены между наимень-
наименьшим и наибольшим из чисел Дини функции Fr в точке х0.
A0.7) Теорема. Для того чтобы непрерывная функция
) была выпукла в интервале (а, й), необходимо и достаточно,
чтобы О2ф(л:)>0 в этом интервале.
Можно предположить, что интервал (а, Ь) конечен. Так как
+ А) —ф(лО} —{ф(х) —ф(* —й)}>0
для выпуклой функции ф, то необходимость (даже более силь-
сильного условия О2ф>0) очевидна. Для доказательства достаточно-
достаточности потребуем сначала несколько большего, именно D2q> > 0 на
(а, Ь). Тогда если бы функция ф не была выпукла, то функция
гр (л:) = ф (х) + ах -\- E должна была бы иметь при соответствующих а

10. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 45
и Р максимум во внутренней к интервалу (а, Ь) точке х0
и, стало быть, г|) (л:0 + h) + г|з (х0— К) — 2гр (л:0) не была бы положи-
положительна при малых h. Так как это выражение равно
ф_(*о + А) + ф (хо — А) — 2ф (*0),
то отсюда следует ?>2ф(л;о)<О, что противоречит предположению.
Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим функции фп (л:) =
2/п. Имеем
так что фд выпуклы. Предел сходящейся последовательности
выпуклых функций — также выпуклая функция [см. A0.1) с лг = 2],
а так как ф„—>ф, то ср выпукла.
Для того чтобы дважды дифференцируемая функция <р была
выпукла, необходимо и достаточно, чтобы ф">0. Это следует
из A0.7).
Допустим, что ф(м) выпукла при и>0 и м0 — точка минимума
для ф(м). ?суш ф(н) «в равняется тождественно постоянной
при и>и0, то она должна стремиться к + оо вместе с и и не
медленнее, чем произведение положительной постоянной на и.
Действительно, пусть щ > и0, <f>(ut) Ф ср (wo). Очевидно, что
ф("О>ф("о)- Если Ро, Pt, Р —точки кривой с абсциссами м0,
Wi, i/, где и>щ; то наклон Р0Р не больше, чем наклон PoPi-
Отсюда следует утверждение.
Если ф(м)—неотрицательная выпуклая и неубывающая на
@, +°°) функция, не равная тождественно постоянной, то из
условия /?Ьф(а, b), b — а<оо, вытекает /gL(a, 6). Это сле-
следует из существования такого k > 0, что ср (| / (л:) |) > k \ f (x) \ при
достаточно большом \f{x)\.
Неравенство Иенсена для интегралов имеет вид
Ф
ь
f (х) р (х) dx
a
ь
p (x) dx
a
ь
\y{f(x)}p(x)dx
A0.8)
р (х) dx
a
в предположении, что ср(и) выпукла на отрезке а<г/<|3, таком,
что а</(л:)<Р при а<х<6, что р(х) — неотрицательная функ-
функция, не равная тождественно нулю, и что все интегралы, входя-
входящие в неравенство, существуют.
Пусть
J fpdx
У = -г - A0.9)
I pdx

46f ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
тогда a<Y<p. Допустим сначала, что a < у < р, и пусть k —
угловой коэффициент опорной прямой для ф, проходящей через
точку (у, ф(у))- Тогда
Ф (и) — ф (у) > k (и — у) (а < и < р).
Заменяя и на f(x), умножая обе части неравенства на р(х)
и интегрируя по а<х<6, получаем
ь ь
a
b b
f{x)p(x)dx — y
в силу A0.9). Отсюда получаем A0.8). Если Y = P» то (Ю.9)
можно записать в виде \ (/ — Р) pdx = 0, откуда видно, что
а
f(x)~$ почти для всех точек, в которых р > 0. Но тогда обе
части неравенства A0.8) обращаются в ф(Р). Аналогичные рас-
рассуждения проводятся при Y = a-
Неравенство Иенсена для интегралов Стильтьеса имеет вид
Ф
ь
а
ъ
dco (х)
а
Ъ
l<p{f(x)}da>(x)
ъ
A0.10)
J dco (х)
где w(x) — неубывающая функция, не равная тождественно посто-
постоянной. Доказательство аналогично предыдущему.
A0.11) Теорема. Для того чтобы функция <р(х) (а<)
была выпукла, необходимо и достаточно, чтобы она была
интегралом от неубывающей функции.
Если ф(х) выпукла, то отношение {<p(x-\-h) — ф(х)}//г, как
легко видеть, равномерно ограничено при лс, x + h, принадлежа-
принадлежащих любому интервалу (а', Ь'), внутреннему к интервалу (а, Ь).
Таким образом, ф(я) абсолютно непрерывна и потому является
интегралом от ф\ Последняя существует вне счетного множе-
множества и не убывает. Доопределяя ф' в остальных точках Так,
чтобы новая функция была неубывающей, видим, чтб ф есть
интеграл от неубывающей функции. Обратно, предположим, что
х
Ф (х) = С+ \ if (t) dt, где a < с < Ь и i|> (f) — неубывающая на (а, Ь) >

10. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 47
функция. Пусть [а', Ь'] — отрезок, лежащий внутри интервала
(а, й), а у = 1 (х) — уравнение хорды, проходящей через точки,
(а', ср(а')) и (&', фF'))- Покажем, что у(х) — ф (а')</ (л:) — / (а'>
при а' < л; < й' или, что то же самое,
л Ь'
1 + 1
х — а' J т ^ 6'—a' J Y (*—а') + F —*)
а' а'
Так как последнее выражение заключено между
х Ь'
i 5
а' и ?L_
х—а' 6'—х '
из которых второе не меньше первого (так как ty не убывает) у
то A0.11) доказана.
Пусть ф(х), х>0, — произвольная неотрицательная неубываю-
неубывающая функция, обращающаяся в нуль при х = 0и стремящаяся
к -J- оо вместе с х. Кривая г/ = ф(х) может иметь разрывы и уча-
участки постоянства. Если в каждой точке х0 разрыва функции ф мы
присоединим к кривой у = Ц)(х) вертикальный отрезок х = хОу
(р(х0 — 0) < у < ф (л:0 + 0), то получится непрерывная кривая
и можно определить функцию ty(y), обратную к Ф(х), положив
'Ф(Уо) (О<#о< °°) равным любому х0, такому, что точка (х0, у0)
лежит на непрерывной кривой. Тогда участкам постоянства функ-
функции ф будут соответствовать точки разрыва г|), и обратно. Функ-
Функция 1|э (у) определена однозначно, за исключением тех значений
у, которые соответствуют участкам постоянства для ф, но так
как множество таких участков счетно, то наш выбор значений
для ty(y) не влияет на интеграл 4я (у) от ty(y), и легко видеть,
что неравенство (9.1) сохраняет силу и в этом немного более
общем случае.
Из теоремы A0.11) следует, что всякая неотрицательная
выпуклая функция Ф{х), х>0, удовлетворяющая условиям
ф@)=0 и Ф (х)/х —> оо, может рассматриваться как функция
Юнга (см. стр. 34). Точнее, каждой такой функции соответствует
другая функция W (х) с теми же свойствами и такая, что
для любых а>0, Ь>0. Достаточно взять в качестве W (у)
интеграл по @, у) от функции ty(x), обратной к ф (х) =D+O(x).
Так как Ф(х)/х стремится к -f оо вместе с х, то легко видеть,
что ф (х) и г|) (х) также стремятся к + оо вместе с х. При этом
аЪ =Ф(а) + ? (Ь) тогда и только тогда, когда точка (а, Ь) лежит
на непрерывной кривой, соответствующей функции у = Ц>(х).

48 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Неотрицательная функция г|) (и) (а < и < Ь) называется логариф-
логарифмически выпуклой, если
для любых щ, и2?[а, 6] и любых положительных ti и /2>
^-'г/2=1. Отсюда немедленно следует, что или г|) = 0, или г|>
строго положительна и logip—выпуклая функция.
A0.12) Теорема. Пусть фиксирована функция f{x). Тогда
справедливы следующие утверждения (а > 0):
(О ЭДсЛЛ — неубывающая функция от а;
(II) ЗЛ«[/] & 2lS[/]—логарифмически выпуклые функции от а;
(III) 3Jii/a[f] а *&i/а [f] —логарифмически выпуклые функции
от а.
Если мы заменим в (9.5) / на | /|°\ a g на 1 и разделим обе
части неравенства на Ъ — а, то получим йа [/] < Яаг [/] для г > 1.
Тем самым (I) доказано. Этот факт для ЭД}а уже неверен, что
легко видеть на примере а = 0, 6 = 2, /(#) = 1.
Пусть далее а=а1*1 + а2*2» гДе аь ** > 0, /i + *2=l» и пусть
/ принадлежит Lai и La2. Заменяя в определении Ша подинте-
]a
гральное выражение \f]a на | ^|aifl.|^|a2<2 и применяя неравенство
Гёльдера с r = l/ti, rr = l/t2, находим
что означает логарифмическую выпуклость для 5Ша[/]« Разделив
обе части на 6 — а, получаем такой же результат для §t«. Таким
образом (II) доказано.
Для доказательства (III) воспользуемся неравенством Гёль-
Гёльдера с показателями степени /*=а/а1/1>1, г'=a/a2t2. Получим
a a
b л b
Разделив обе части неравенства на F —а)а, получим утверждение
теоремы для 2t
П. Сходимость в U
Пусть fi(x), f2(x), ...—последовательность функций, принад-
принадлежащих U (а, 6), г > 0. Если существует такая функция f?U (a, 6),

11. СХОДИМОСТЬ В Lr 49
что yjlrlf — fn\ а,-Ь]—>0 при п—>оэ, то говорят, что последова-
последовательность {fn(x)} сходится в Lr(a, b) (или просто в Lr) к f(x).
A1.1) Теорема. Для того чтобы последовательность функ-
функций fn(x)?U(a, b), г > О, сходилась в U к некоторой функ-
функции f{x), необходимо и достаточно, чтобы yjlr\fm— fn] стреми-
стремилось к нулю при т, п—>оо.
В случае г>\ необходимость следует из неравенства Мин-
ковского, так как если $ЩГ [f — fm] —» О, ЭД}Г [f — fn] —>0, то
При 0 < г < 1 вместо неравенства Минковского нужно исполь-
использовать второе из неравенств (9.13).
Доказательство достаточности опирается на следующие важ-
важные теоремы.
A1.2) Лемма Фату. Пусть rgx(x), g2{x), ...—неотрица-
...—неотрицательные функции, интегрируемые на [а, Ь] и удовлетворяющие
условиям
ь
^ + со (? = 1,2, ...). (П.З)
g (x) = \\mgk {x) существует почти всюду, то g (x) интегри-
интегрируема и
ъ
A1.4)
Пусть hk (x) = inf {gk (x), gk+i (x), ...}. Функции hk измеримы
и мажорируются gft и, следовательно, интегрируемы. Так как
hk<.hk+i и hk—>g, то A1.4) следует из A1.3) на основании тео-
теоремы Лебега об интегрировании монотонной последовательности.
A1.5) Теорема. Пусть {ип (х)} — последовательность неот-
ь
рицательных функций и In=\ un dx. Тогда если /4 + h+ .. • <оо,
a
то ряд Ui (х) -\-иг (х)-\- ... сходится почти всюду на [a, b] к конеч-
конечной функции. В частности, ип(х)-^0 почти всюду на [а, Ь].
В самом деле, если бы ряд «i + ^2+ • • • расходился на мно-
множестве положительной меры, то, в силу упомянутой выше тео-
теоремы Лебега, мы имели бы, что Ii + 12+ • • • — °°-
4 А. Зигмунд, т* I

50 Гл. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
A1.6) Теорема. Если 9ftr [fm — fn\ а, Ь\—>0 при т, п—> оо,
то можно найти подпоследовательность {fnk} последователь-
последовательности {fn}, сходящуюся почти всюду на [а, Ь].
Предположим сначала, что г > 1. Пусть et = sup $ЩГ [fm — fn]
для m, n>i. Так как е^ —> 0, то для достаточно быстро расту-
растущей последовательности {пи} будем иметь гп +?п +••• < + оо.
По неравенству Гёльдера
ъ
\ 1/»й-Ч+11^<F-аI/Г'аКг[/:„й-/пй+1]<F-аI/геПй, A1.7)
а
так что, в силу A1.5), ряд \fni\ + \fn2 — fni\ + \fns — fn2\+.^
сходится почти всюду на (а, &). Таким образом, функция f (x) =
= fnl + {fn2 — fni)+ ... =\\mfnk существует почти всюду.
Чтобы установить существование f (х) при 0</-<1, заме-
заметим, что
при интегрировании правой части этого неравенства мы получаем
сходящийся ряд, если nk растут настолько быстро, что е^ +
2
В этом доказательстве мы молчаливо предполагали, что интер-
интервал (а, Ь) конечен, но доказательство сохраняется и при Ь — а = аэ,
так как A1.7) остается в силе, если интервал (а, Ь) заменить
любым его конечным подинтервалом.
Возвратимся теперь к теореме A1.1). Пусть {п^ и {е^} — последо-
последовательности, определенные в теореме A1.6), и f = \imfnk\ тогда
имеем ЭДЬ [fm — fnk]<&m при nk>m, и, значит, в силу A1.2),
ЭДЫ/m —Л<8т- Теорема доказана.
Следует отметить, что функция Д удовлетворяющая условию
9Jlr If — fm]—>0, единственна. Предположим, что $ЩГ [/ — fm] -^0,
Шг [g — fm]—^0. Если г>1, то по неравенству Минковского
так что ЭДЫ/ — fifl=0, f~g. Если 0<г<1, то вместо нера-
неравенства Минковского воспользуемся неравенством
A1.8) Теорема. Предположим, что f?U(а, Ь), 0 <г < +со.
Тогда для любого г > 0 существует непрерывная функция <р (х),
такая, что ЭДЫ/ — ф!< в.

11. СХОДИМОСТЬ В Lr 51
Предположим сначала, что г>1, Ь — а< + оо. Тогда сущест-
существует ограниченная функция г|)(л:), такая, что $ЩГ [/ — гр] < 1/2е;
в самом деле, взяв Л/" достаточно большим, мы можем положить
if)(jc) равной f в тех точках, где | /| < N, и равной нулю в осталь-
остальных точках. Если мы теперь сможем найти такую непрерывную
функцию ф(х), что $ЩГ [г|> — ф] < 1/2е, то для доказательства тео-
теоремы останется лишь сослаться на неравенство Минковского.
Положим -ф (л:) = 0 вне (а, й), обозначим через Ч? (х) неопределен-
неопределенный интеграл от чр(х). Функции
Цп(х)=п[Ч (x+\/n)-W (х)]
непрерывны и равномерно ограничены и, по теореме Лебега о диф-
дифференцировании неопределенного интеграла, стремятся к ty{x)
почти всюду в (а, Ь). Таким образом, gjb ['Ф — ^Ы —> 0, и мы можем
положить ф = г|)п, где п достаточно велико. Это доказательство
с очевидными изменениями проходит и в случае О < г < 1.
Предыдущее доказательство сохраняется также, если Ъ—а = оо,
но при дополнительном условии, что f(x)=O при достаточно
больших | х |. Общий случай можно свести к этому; действительно,
если мы изменим функцию /, положив ее равной нулю вне до-
достаточно большого интервала, то мы получим функцию f{, для
которой 5ЩГ [/ — ft] произвольно мало.
A1.9) Теорема. Предположим, что последовательность
функций fn(x) сходится почти всюду на конечном интервале
(а, Ь) к пределу f(x) и что $щг [/п; а, 6]<М< + оо при фикси-
фиксированном г>0 и всех п. Тогда 3Jb [fn — f] —> 0 при п—^ со для
0<s<r.
Очевидно, что $ЩГ [/]<М. Пусть Е — множество точек, на кото-
котором последовательность {fn(x)} сходится равномерно к f(x),
и пусть D = (a,b) — Е; \D\ может быть сделано произвольно
малым1). В силу неравенства Гёльдера, имеем
ь
\\fn-f\'dx=\ +\
i i ъ
Если г>1, то, по неравенству Минковского, последнее сла-
слагаемое не превышает BM)S \D \{~s/r и, таким образом, произвольно
мало при малом | D |. Следовательно, $0Ь \fn — f] —^ 0. При 0 < г < 1
доказательство аналогично, с тем лишь исключением, что вместо
неравенства Минковского мы пользуемся неравенством (9.13).
Это утверждение следует из теоремы Егорова.— Прим. ред.
4*

52 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
12. Множества первой и второй категории
Пусть Л —линейное точечное множество. Под порцией мно-
множества А мы будем понимать непустое пересечение А/ мно-
множества А с интервалом /.
Пусть В — подмножество множества А. Скажем, что В плотно
в Л, если каждая порция Л содержит точки из В. Скажем, что В
неплотно в Л, если каждая порция А содержит порцию' (под-
порцию Л), не имеющую общих точек с В. Множество, плотное
в (— оо, +оо), будем называть всюду плотным.
Пусть В d А. Если можно представить В в виде счетной
суммы подмножеств (не обязательно без общих точек), неплот-
неплотных в Л, то скажем, что В является множеством первой катего-
категории на Л. В противном случае будем называть В множеством
второй категории на Л. Если В=А и если Л есть множество
первой категории на В, то будем говорить, что Л есть множество
первой категории на себе. Аналогично вводится определение мно-
множества второй категории на себе.
Если А = ( — оо, +оо) и В имеет первую или вторую кате-
категорию на Л, то будем говорить просто, что В —множество пер-
первой или второй категории соответственно.
Имеет место следующий важный результат:
A2.1) Теорема. Замкнутое множество А (в частности,
отрезок) является, множеством* второй категории на себе.
Предположим, что Л =Aj -^ Аг + . .., где Аг — неплотные мно-
множества на А. Таким образом, существует порция /jA множества Л,
не содержащая точек At. В этой порции выделим подпорцию/2А,
не содержащую точек А2. В /2А выделим подпорцию /3А, не содер-
содержащую точек А3, и т. д. Можно считать, что In+i находится строго
внутри 1п и что |/п|—>0. Интервалы /1? /2, ... имеют общую
точку х, и так как все они содержат точки замкнутого мно-
множества А, то точка х должна принадлежать Л. Значит, х?/пА,
и поэтому х не может принадлежать ни одному из А,, Л2, ..., Ап.
Это утверждение, справедливое при всех п, находится в противо-
противоречии с равенством А=А{-\~А2 + ... .
Если Ви В2, ...—множества первой категории на А, то и
Si + jB2+... тоже имеет первую категорию на Л; таким образом,
подмножество В замкнутого множества А и его дополнение А —В
не могут быть оба первой категории на А.
Всюду плотное множество может иметь первую категорию
(например, всякое счетное плотное множество). Однако если
множество Е плотно в интервале I и является пересечением
счетного числа открытых множеств, то Е имеет вторую кате-
категорию на I. В самом деле, дополнение / — Е является в этом

12. МНОЖЕСТВА ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ КАТЕГОРИИ 53
случае счетной суммой замкнутых1) множеств. Эти замкнутые мно-
множества не могут содержать интервалов, так как это противоре-
противоречило бы плотности множества Е в /; так что они не плотны на /.
Следовательно, / — Е — множество первой категории, а ? — второй
категории на /.
A2.2) Теорема. Пусть fx (х), f2(x), ... — последователь-
последовательность непрерывных на (а, Ь) функций. Если множество Е точек х,
в которых последовательность {fn(x)} неограничена, плотно
в (а, Ь), то Е — множество второй категории на (а, Ь). [Более
того, дополнение Е является множеством первой категории
на {а, Ь).]
Достаточно доказать, что Е есть пересечение счетного числа
открытых множеств. Но если через EN обозначить множество
точек, в каждой из которых выполнено по крайней мере одно
из неравенств | fn (х) | > N, то EN открыто и Е = Е^Е^ ....
Множество ЛС1@, 1) может иметь меру 1 и быть множеством
первой категории или иметь меру 0 и быть множеством второй
категории. Таким образом, хотя мы и можем думать о множест-
множествах второй категории как о более «богатых точками», чем мно-
множества первой категории, но эта новая классификация не согла-
согласуется с классификацией, основанной на мере.
A2.3) Теорема. Пусть /4 (х), f2 (х), ... непрерывны на
замкнутом множестве Е\ тогда
(I) если lim /л(^)< + °° в каждой точке Е, то существует
п->оо
порция Р множества Е и число М, такие, что fn{x)<M для
всех п и всех х б Р;
(П) если последовательность fn(x) сходится на Е к /(х), то
для всякого г > 0 существует такая порция Р множества Е
и такое число п0, что
\f(x)-fn(x)\<B для х?Р, п>п0. A2.4)
(III) Если Е, кроме того, несчетно (например, Е совершенно),
то заключения в (I) и (II) сохраняются даже в том случае,
когда предположения не выполнены на счетном подмножестве D
множества Е.
(I) Пусть Ем — множество таких точек, что fn{x)<M для
всех п. Каждое Ем замкнуто и ? = ?11+?'2+ • • • .По A2.1) неко-
некоторые из Ем не являются неплотными на ? и поэтому, будучи
замкнутыми, должны содержать порцию Р множества Е. Этим
доказан пункт (I).
х) По отношению к /.—Прим. ред.

54 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
(II) Для каждого & = 1,2, ... обозначим через Ей множество
таких точек х?Е, что \fm(x) — fn(x) |<e при m, n>k. Эти
множества Ей замкнуты и Е = Ei + E2 + • • • .Как и при доказа-
доказательстве пункта (I), некоторое EnQ содержит порцию Р мно-
множества Е. Таким образом, | fm (x) — fn(x)\<? для х?Р и т, п>по\
из этого следует A2.4).
(III) Начнем с обобщения пункта (I). Пусть xt, x2, ... —эле-
—элементы Ъ, и пусть ?п —множество Еп в доказательстве пункта (I), по-
пополненное точками хи х2, ..., хп. Е'п замкнуты, и Е = Е[+Е'2+ ,.. .
Следовательно, некоторое Е'т содержит порцию Е. Если взять т0
настолько большим, что E'mQ бесконечно (заметим, что E[ClEffZ...),
то Ет тоже будет содержать порцию Е.
Обобщение пункта (II) проводится аналогично.
13. Перестановки функций. Теоремы о максимуме Харди
и Литтлвуда
В этом пункте, если не оговорено противное, мы будем рас-
рассматривать только неотрицательные и почти всюду конечные
функции, определенные на фиксированном конечном интервале.
Будем предполагать, что это интервал @, а).
1 Для любой функции / (х) будем обозначать через Е (/ > у)
множество таких точек х, что f{x)>y. Мера | Е (f > у) | =т(у)
этого множества называется функцией распределения f. Две
функции fug называются равноизмеримыми, если они имеют
одинаковые функции распределения. Ясно, что если функция f
интегрируема по @, а), то и g интегрируема на этом интервале
и их интегралы равны. Если fug равноизмеримы, то при любой
неотрицательной неубывающей функции х (и) функции % (f) их (g)
также равноизмеримы.
A3.1) Теорема. Для любой функции f(x) существуют
функции f* (х) и f% (х) @ < х < а)— соответственно невозрастаю-
щая и неубывающая, которые равноизмеримы с функцией /.
Функция т (у) = | Е (/ > у) \ невозрастающая и непрерывна
справа. Ясно, что т(у) = а при отрицательных у и т( + со) =0.
Если т (у) непрерывна и строго убывает при у > 0, то для нее
существует обратная функция, которую мы обозначим через jF* (x),
убывающая и равноизмеримая с f(x).
Только что данное определение /* сохраняется с отдельными
изменениями и в общем случае. Рассмотрим кривую х = т (у) и ее
точку разрыва у0. Присоединим к кривой весь отрезок, состоящий
из точек (х, у о), таких, что т(уо + О) < х<Ст(уо — О) (заметим,
что точка х=т(уо) =т(уо + 0) принадлежит первоначальной кри-

13. ПЕРЕСТАНОВКИ ФУНКЦИЙ
55
вой); поступим таким образом для каждого у0. Каждая прямая
х = х01 О<л;о<а, пересекает новую кривую по крайней мере
в одной точке, ординату которой мы обозначим через f*(x0).
Функция /* (х) определена однозначно для 0 < х < а, за исклю-
исключением тех точек, которым соответствуют промежутки постоянства
функции т(у). Эти значения х образуют счетное множество; поло-
положим в каждой из них /* (х) равным любому значению, не на-
нарушающему монотонности функции. Принимая во внимание точки
разрыва и участки постоянства функции т(у), можно геометри-
геометрически показать, что при каждом у0 множество тех точек х, для
которых /* (х) > у0, есть интервал или полуинтервал длины т (у0).
Поэтому | Е (/* > у0) | = | Е (/ > Уо) |.1
Определим /* (х) =f* (a — x)\ свойства функции /* тривиальным
образом следуют из свойств /*.
Предположим, что f(x) интегрируема на @, а). Положим для
каждого х, 0 < л:< а,
где
A3.2)
Ясно, что 9 (х) конечна во всех точках, в которых интеграл от
дифференцируем. Если f — невозрастающая функция, то
A3.3)
В частности, эта формула применима к введенной выше функ-
функции f*(x).
A3.4) Теорема Харди и Литтлвуда. Для любой не-
отрицательной и неубывающей функции %(/), />0,
J %{Bf(x)}dx< jj Х{Э/.(*)}Лс= ^ x{i- I f*dt\dx. A3.5)
О О 0 0
Прежде всего заметим, что для любой функции g (х) > 0
а оо со
lg(x)dx=-^ydm(y)=^m (у) dy, A3.6)
О 0 0
где т(у)= \E(g > у) |. Если g ограничена, то первое равенство
следует из того, что аппроксимирующие суммы Лебега для пер-
первого интеграла совпадают с аппроксимирующими суммами

56 ГЛ. I ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Римана — Стильтьеса для второго. В общем случае при и > О
g{x)dx\
устремляя и к бесконечности, получаем наше утверждение. Нако-
Наконец, второе равенство в A3.6) получается интегрированием
по частям, если заметить, что
ут (у) —> 0 при у —> оо f так как ут(у) < \ g dxj .
E(>)
Сравнивая крайние члены в A3.6), видим, что если имеется
другая функция gi{x)">0 и соответствующая mt(y), то из нера-
неравенства mi (у) > т (у) для всех у следует, что интеграл от gi
не меньше, чем интеграл от g. Следовательно, так как %(/)
монотонно, для доказательства неравенства A3.5) достаточно
показать, что
I Е (в, > у о) | < I Е @/, > у 0) | для всех у0. A3.7)
Доказательство этого неравенства разобьем на три этапа.
A3.8) Лемма. Пусть дана непрерывная функция F(х),
0<я<а, и пусть Н — множество точек х9 для каждой из кото-
которых существует такая точка ?, 0<?<л:, что F (?) < F (х).
Тогда множество Н состоит из счетной системы непересека-
непересекающихся интервалов (а&, pft), таких, что /7(aft)<F(pftj. Все эти
интервалы открыты, за исключением, быть может, одного,
оканчивающегося в точке а.
Так как малые изменения х не влияют на неравенство F (?) <
<F(x), то множество Н открыто, за исключением, быть может,
точки а. Пусть (ah, р&) — какой-либо из неперекрывающихся интер-
интервалов (открытых, за исключением случая $k = a), составляющих Я.
Предполагая, что F (ak) > F фк), обозначим через х0 наименьшее
число из интервала (ал, рА), такое, что F(xo) = {F(ak) + Fфк)}/2.
Таким образом, ни одно |, соответствующее х0, не может при-
принадлежать интервалу (ak, x0), так как точки этого интервала
удовлетворяют неравенству F (х) >F(x0). Следовательно, I < a*,
и из неравенства F (?) < F (л:0) < F(ak) вытекает, что ak?H, что
невозможно. Отсюда следует F (aft)<F (p&).
Замечание. В действительности F (ak) = F($h), за исключением
случая р& = а, поскольку ни одно р& < а не принадлежит Я, так
что F(F(p)

13. ПЕРЕСТАНОВКИ ФУНКЦИЙ 57
A3.9) Лемма. Если Е —какое-щбо множество на @, а), то
\ fdx< \ f*dx.
Е О
Пусть g (х) равна f (х) на ? и- О в остальных точках. Так как
/, то и §•*</* и
\Е\ \Е\
[\ J *d*= \ g*dx< J f*dx,
E 0 0 0 0
что доказывает A3.9).
Обозначим через Е(у0) и Е* (у0) множества из A3.7); пусть
?* (Уо) ~ Е (Э/» > у0) со включением на этот раз равенства.
Фиксируя уо, мы опускаем его как аргумент и пишем* Е, Е*, Е*.
Если положить
F(x)= [fdt-yox,
то множество Е перейдет в множество Н из леммы A3.8). Пока-
Покажем, что
1*1
\ f*dx>yo\E\. A3.10)
о
В самом деле, если (с^, рд) — интервалы, составляющие Е, то,
в силу леммы A3.8),
h
Суммируя по k, получаем неравенство
fdx>yo\E\ A3.11)
и, учитывая лемму A3.9), получаем A3.10).
Возвратимся теперь к A3.3), заменив f на f*. Так как справа
стоит непрерывная и невозрастающая функция, то \Е*\ есть
наибольшее из чисел *<a, таких, что
X x
о
\f*dt>y0.

58 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Следовательно, в силу A3.10), |?|<|?*|, т. е.
\E(Qf>yo)\<\E(Q,.>yQ)\.
Заменим здесь у0 на уо + г и, устремив е к 0, получим A3.7);
доказательство A3.4) закончено.
Кроме Qf{x), определим еще функции
Q}(x) = sup^—\ fdt (x<
5
,Q'f(x)}=sup^-\ fdt @<Б<а;БчЬ*). A3.12)
Неравенство в A3.5) сохранится, если заменить 9/ на 6/, а /*
на fm. Так как
0 = тах(Э, 9'),
то х(©)<Х(в) + Х(в') и
оо
Следовательно, справедливо следующее предложение.
A3.13) Теорема. Если fgL(O, а) и функция 6(л:) = в/()
определена равенством A3.12), то для неотрицательной и не-
неубывающей функции %(и)
а ах
J Х{в (x)}dx<2 J х(| \ rdt^dx. A3.14)
Отсюда, выбирая различные X, получаем следствия.
A3.15) Теорема. (I) Если f g Lr@, a), r>l, mo e(xNLrr/
о
(II) Если f 6 L @, а), то в (х) б La Зля вс^л: 0 < а < 1 и

13. ПЕРЕСТАНОВКИ ФУНКЦИЙ 5Э
(III) Если f lg+ / € L @, а), то в (*) € L u
о о
А зависит только от а.
Нужно оценить правую часть в A3.14), причем мы можем,
не уменьшая общности, считать, что / — невозрастающая функ-
функция, так что можно заменить /* на /.
Тогда утверждение (I) следует из теоремы (9.16) с s = 0;
достаточно положить /(л;) = 0 при х>а. Предложение (II) дока-
доказывается с помощью неравенства Гёльдера. Именно, полагая
%{и) = иа, имеем:
Докажем предложение (III). Заметим, что правая часть фор-
формулы A3.14) при х{и)=и равна
Пусть Ei и Е2 — множества точек, для которых f < ()
и />(а/^I/а соответственно. Ясно, что интеграл от f\n(a/t) no
не превышает конечной постоянной, зависящей только от а.
На Е2 выполнено неравенство 1 < (a/t) < /*, так что
а
flnfdt<2 J f\n+fdt,
0
и утверждение (III) следует из приведенных оценок.
Пример функции f(x)=l/(x\n*x), рассматриваемой на интер-
интервале @, 1/2), показывает, что если fgL, то функция в не обяза-
обязательно интегрируема. Здесь в (х) = l/(x | Inx |).
Для приложений к рядам Фурье полезно несколько видоизме-
видоизменить функцию в (а:). Именно, пусть / (х) — периодическая и
интегрируемая, но не обязательно неотрицательная (или даже

60
ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
действительная) функция. Положим
= sup \
x+t
= sup
0|^
I V \f(u)\
du
A3.16)
при — я<л:<я. Ясно, что Mf(x) не превосходит функции в|/|(л:),
построенной для интервала ( —2я, 2 лI), так что
я л
5 %{Mt(x))dx<\ %{&{fl(x)}dx.
-я —я
Отсюда и из A3.15) легко получаем следующие аналоги для (I),
(II), (III):
\f\rdx
-Jt
Я
—я
я
-Я
Я
A3.17)
Заслуживают отдельного упоминания следующие неравенства,
неявно содержащиеся в предыдущих доказательствах. Во-первых,
для /, интегрируемой и неотрицательной на @, а),
A3.18)
Первое из этих неравенств содержится в A3.11), а второе сле-
следует из первого, в силу A3.12). Наконец, для / периодической
и интегрируемой, но не обязательно неотрицательной,
2я
\E{Mf(x)>y;
A3.19)
Замечание. В то время как в утверждениях (II) и (III) тео-
теоремы A3.15) было необходимо предполагать а конечным, утвер-
утверждение (I) сохраняется для бесконечных интервалов. Предполо-
Это означает, что sup в A3.12) берется по —2л < ?<^ 2я. — Прим. ред.

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 61
жим, например, что / б U (— оо; + °°), г > 1, и рассмотрим аналог
A3.15) (I) для интервала ( — а, а) и функции fa, совпадающей
с функцией / на (-—а, а). Переходя к пределу при а —> + оо,
получаем неравенство
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Последовательность {uv} тогда и только тогда имеет ограниченное
изменение, когда она может быть представлена в виде разности двух неотри-
неотрицательных и невозрастающих последовательностей.
2. Из двух рядов
(I) -^--j-cos *-f-cos2*-f-«- .-{-cos пх-\-...,
(И) sin x+sin 2#-f... -f-sin nx-\~...
первый расходится для всех х, а второй — для всех х ф О mod я.
[ (I) Ни при каком х0 не выполняется соотношение cos пх0 -> 0. В про-
противном случае мы имели бы
sin2 nxo=l— cos2/г#о-»-1, sin2 /глг0=-о-A—cos2nx0)-> — ,
т. е. противоречие.
(II) Если sinnA:0—^ 0, то
sin (n-\-l) х0—sin (п—1) *о=2sin jc0cos nxo—>O,
т. е. sin jco=O, в силу (I).]
3. Используя S [ I s*n x I ]> доказать, что
оо
8 v-i sln2nx
4. Пусть cm = (am—ibm)/2 при т>0 и с_т — ст. Показать, что необ-
N
ходимым и достаточным условием существования lim]>] cmeimx° при М и N,
-м
стремящихся к -f-oo независимо друг от друга, является одновременная схо-
сходимость обоих4 рядов:
оо
2 (<*т cos mxo-{- bm sin mx0)
1
! (am sin mxo—bm cos mx0).

62 ГЛ. I. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ
5. Каждая из двух систем
(I) I, cos л:, cos 2л:, ..., cos ял:, ...,
(II) sin л:, sin 2л:, . ., sin ял:, ...
ортогональна и полна на @, к).
6. Пусть {фд} —система Радемахера (см. § 3), и пусть
где 2ni-f-2-f- ..., nt > /i2 > ... — двоичное разложение положительного
целого числа N. Показать, что полученная система {Xn} ортонормальна
на интервале @,1).
[Систему {Xn} в ин°й форме впервые рассматривал Уолш [1]. См. также
Пэли [1], который дал приведенное выше определение, и Качмаж [1].]
7. Пусть sN (х) — сумма N первых членов ряда Фурье ^ avXv (x) функ-
функции f(x), 0<^#<;l. Доказать формулу
1 п-1
k=0
и показать, что s2n (х) —> f (x) почти всюду при я—>оо. Отсюда, в частно-
частности, вытекает, что система {Xn} полна на @,1).
[Если xq— не двоично-рациональная точка, a /n_i — интервал постоянства
Фд_1, содержащий xq, то |/п_1| = 2~п, и все функции фо, Ф1, ..., фтг—1
постоянны на /д—i, а указанный выше интеграл равен | /тг—i I f f{t)dt.
In-i
X
Поэтому если F (x)= JJ f dt дифференцируема в точке х0, не являющейся
0
двоично-рациональной, то s2n^0) —> F' (л:0).]
8. Ортогональная система может быть определена в пространстве несколь-
нескольких измерений с заменой интервала интегрирования фиксированным измери-
измеримым множеством положительной меры. Показать, что если {фт (л:)} и {\|)п (у)}
ортонормированы и полны соответственно на интервалах а ^ х < 6, с <^ у <^ d,
то двойная бесконечная система {фт (л:) г|?п (у)} ортонормирована и полна
в прямоугольнике
. [Если J J / (х, у) фт (л:) г|)п (у) dx dy = 0 для всех т, п, то функции
R
ь _
/m (У) = J / (^» #) Фт W ^а:—0 почти для всех у и, следовательно, / (л:, у) = 0
а
почти всюду на почти всех прямых # = const.]

ГЛАВА II
Коэффициенты Фурье. Элементарные
теоремы о сходимости рядов S[/] и 3[/]
1. Формальные операции над рядом S [/]
A.1) Теорема. Пусть п—целое число, и — действительное
A.2)
число и
Тогда
(I)
(И)
(III)
(IV)
(V)
Доказательство
(D
/(х)~ f ,
v=-oo
V=—oo
f(nx)~ 2 с
V=—00
einxf(x)~ 2 cve{<
V=—00
v=
несложно:
V
:v+n)x
=—00
J
о о
(II) Предположим сначала, что п > 0. Заметим, что
n-l
' (|i=Of ±1,±2, ...) A3)
I u

64 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
в зависимости от того, будет ли \i делиться на п или нет.
Далее
2я 2яп
о
2я
= J f @
о
что составляет 2jtcv или 0, в зависимости от того, будет ли
|i//i = v целым числом или нет. Случай п<0 сводится к п > О,
так как, очевидно,
(III) J
2я 2я
(IV) J / (/ + a) e-iv< d/ = eivu \f(t
"о о
(V) Это следует из (IV) и A.3).
Если
оо
f (x) ~ y ао+ 2 К cos v* + 6V sin vjc), A A)
l
то (IV) может быть переписано в виде
с»
f (х + и) — 2 {^v {и) cos vx — 5V (и) si
0
2
v=0
A.5) Теорема. ?слм функции f (x) и g(x) интегрируемы
и периодичны, то такова же и функция
2я
\ A.6)
A.7)
Если /~2^v6ivx, g"~2dveiv*, m
+ ОО
Прежде всего покажем, что интеграл A.6) существует для почти
всех х. При этом можем предполагать, что fug действительны,

1. ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДОМ S[f] 65
а этот случай, в свою очередь, может быть сведен к случаю f,
g>0. Имеем
2Jt 2я 2я 2я
\dx\f(x-t)g(t)dt=<\ig(t){\i f(x-t)dx}dt =
0 0 0 0
2я 2Я
= \ g(t)dt\f(x)dx. A.8)
о о
Эта операция законна, так как f {x — t) g (t) измерима на плоско-
плоскости (х, t) (как произведение измеримых функций), и, следовательно
(поскольку подинтегральное выражение неотрицательно), порядок
интегрирования не играет роли. Таким образом, h(x) интегрируема
и, в частности, конечна почти всюду. Периодичность очевидна.
Функция f(x — t)g(t) интегрируема на квадрате 0<л:<2я,
0<^<2я. Таким образом, для произвольных fug функция
\f (x — t)g (t) e~ivx | интегрируема на квадрате, и потому справед-
справедливо следующее равенство:
2я 2я 2я
-L \h(x)edx = ± I L±- J
0 0 0
2я 2я
^ J f {х -1) е-м*-о dx\ dt = cvdv,
о о
и теорема доказана.
Полезно отметить, что A.7) получается, если формально пере-
перемножить S[f(x— *)] = 2 Cvelv*e-<v' и S [g @] = 2 rfv6lv* и почленно
проинтегрировать по отрезку 0<^<2я.
Функция
2я
*(*) = /(/. g)=-r$ f(x-t)g(t)dt,
о
определяемая формулой A.6), часто называется сверткой функ-
функций fag. Очевидно, что /(f, g) = I(g, f).
Для / из A.4) и для
g ~ г12а0 + 2 (av cos vx + bv sin vx)
формула A.7) может быть записана также в виде
2я
~ у ^о^о + 2 i(av«v — bvb'v) cos vx -}- (av6v + «v^v) sin vx}. A.9)
i
5 А. Зигмунд, т. I

66 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Положим в формуле A.6) g(t)—f( — t) и заменим / на —t:
Получим интересный частный случай
2Я +оо
^$/(* + 07(')Л~21<Ч'е"*. A.10)
0 -СО
Предположим, что / и g в A.6) принадлежат IA Тогда
Если мы сможем показать, что интеграл A.6), существующий
в силу неравенства Коши — Буняковского для всех х, есть непре-
непрерывная функция от х, то в A.7) знак «~» можно будет заменить
на « = » [см. гл. 1 F.3)]. Для этого нам нужна следующая лемма
при р = 2.
A.11) Лемма. Если f — периодическая функция из Lp,
1 <р < оо, то выражение
2я
стремится к нулю вместе с t.
Для непрерывной функции это утверждение очевидно. Поль-
Пользуясь теоремой A1.8) гл. I и замечанием к ней, получаем, дважды
применяя неравенство Минковского,
Следовательно, Jp(t\ f) < Зе для достаточно малых \t\, и лемма
A.11) доказана.
Возвратимся к A.6). Если fug принадлежат L2, то
2Я
/(*+и-о-/(*-*)Пг(ОИ'<
при и—>0, и, значит, h непрерывна. Отсюда следует
A.12) Теорема. Пусть f и g —функции из L2, имеющие
соответственно коэффициенты cv и dv. Тогда
+оо

1. ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДОМ Slfl
67
для всех х, и ряд справа сходится абсолютно и равномерно,
В частности,
2Я -foo
±\ f {x + t)f(t)dt ^
2л
2я
A.13)
Последняя формула есть равенство Парсеваля для тригономе-
тригонометрической системы. Равенством Парсеваля часто называют первые
два более общих соотношения A.13).
Если f — действительная функция с коэффициентами av, byt
то последнее равенство может быть записано в виде
A.14?
Возвратимся к A.5). Если / и g интегрируемы, то интегрируема
и функция Л. Важно следующее обобщение этого факта.
A.15) Теорема. Пусть f и g — периодические функции из
Lp и Lq соответственно, где р> 1, q> I, \lp+ \lq > 1., Положим
т = | + 7-1; AЛ6)
тогда функция h(x) = I(f, g), определенная равенством A.6),
принадлежит U и
где под %[h] понимается %[h; 0, 2я] и аналогично для
Так как | I{f, g)\<I(\f |, |g|), то можно предположить,. что
0, g>0. Пусть Я, \i, V — положительные числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию 1А+ 1 /pt-f- l/v = 1. Записывая
-i A) .
-l A)
5*

68 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
и применяя неравенство Гёльдера с показателями степени X, \х, v
[см. гл. I (9.8)], мы видим, что h (x) не превосходит
2л 2я
5
О
2я
X [i-Jr^-^W*]^. A.17)
о
Положим Х = г, Цр—1Д = 1/[х, l/g — lA = l/v. Тогда Я, |я, v —
положительные числа, удовлетворяющие, в силу A.16), условию
1 /Я + 1 /[А + 1 /v = 1 • Два последних множителя в произведении
суть как раз Ш1/[х[[] и Wq/V[g]. Следовательно,
2я 2я
JL J <Ц F(x-t)g«(t)dt}
О О
Выражение в фигурных скобках равно И [/р] И [gQ] = Шр [f] Щ [g],
и поэтому правая часть, в силу A.17), преобразуется к виду
Этим доказательство заканчивается.
Теорема остается справедливой, если 1/р+ 1/9 = 1- Более того,
аналогично теореме A.12) доказывается, что /г (#) непрерывна.
Пусть fi, f2, ..., /ft—периодические и интегрируемые функции с коэф-
коэффициентами Фурье {с^Ц, {с„2)}, ..., {с(п}} соответственно. Определим свертку
h(x) [или I {fi, /2, ...7 fk)\ функций /i, ..., fu ПРИ помощи индуктивной
формулы
u ..., /ft-i), /ft).
Тогда /i (л:)—периодическая интегрируемая функция и, очевидно,
А (*) = '(/!, /а. .... /*) ~ 2 «Я*»" • • • <#'ein*. A-18)
Отсюда следует, что операция свертки коммутативна и ассоциативна.
Впрочем, коммутативность является прямым следствием определения свертки;
ассоциативность также может быть доказана непосредственно из формулы
2я 2я
.. \h(x—ti—...—tk)h(t2)...fk(tk)dt2...dtk.
6
A.19) Теорема. Пусть /i, /2, ..., /ft—периодические функции из клас-
классов I/1, I/2, ..., Lk соответственно. Предположим, что rj > 1 ^ля

1. ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДОМ S[/] 69
и что число
Г Г4 Г2 " ' Ги
положительно. Тогда свертка h(x) — I(fi, ..., /д) принадлежит классу U.
Если правая часть в A.20) равна нулю, то h непрерывна. Более того,
[/i] ... 5(r [fk]- A.21)
Это следует по индукции из теоремы A.15).
Пусть F (х) — функция, удовлетворяющая условию
F(x + 2n)-F(x) = const (-co <jc< + oo) A.22)
и имеющая ограниченное изменение на [0, 2я]. Пусть G(x) обладает
теми же свойствами. Тогда свертка F и dG определяется следую-
следующим образом:
2
A.23)
О
Интеграл здесь берется в смысле Римана — Стильтьеса и, таким
образом, существует для всех х, таких, что F(x — t), как функ-
функция от t, и G(t) не имеют общих точек разрыва. Другими словами,
она существует для всех х, которые не принадлежат счетному
множеству Г) чисел ?7- + т|А, где {|^} и {щ} — точки разрыва функ-
функций F (t) и G(t) соответственно. Пусть ? —множество, дополни-
дополнительное к D. Функция Н на множестве Е удовлетворяет условию,
аналогичному A.22). Если {{аи bt)} — конечная система непере-
неперекрывающихся интервалов, концы которых принадлежат Е, то
2я
2ltf(&,)-tf(ai)|i$ {%\F{bt-t)-F(at-t)\}\dG{t)\,
A.24)
откуда следует, что Я —функция с ограниченным изменением
на каждой конечной порции множества Е. Поэтому она равна
разности двух функций, монотонных на ?", и, следовательно, может
быть доопределена для всех х, например, равенствами
H(x) = limH(x') (jcgD, x'?E, х'-*х + 0). A.25)
Такое доопределение не увеличивает ни изменения монотонной
функции, ни, стало быть, полного изменения функции Н. Пусть VF
обозначает полное изменение функции F на [0, 2я]. Так как из A.24)
очевидно, что полное изменение Н на [0, 2я] Е не превосходит
VFVG/2n, то
^ A.26)

(.70 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Подытоживая, можно сказать, что интеграл A.23) существует
для всех х, кроме некоторого счетного множества D, и может быть,
в силу A.25), доопределен для всех х как функция, удовлетво-
удовлетворяющая условию, аналогичному A.22), имеющая ограниченное
полное изменение на [0, 2я], причем выполнено A.26). Ясно,
что если F и G монотонны, то монотонна и Н. Добавим еще,
что если понимать интеграл в A.23) в смысле Лебега —Стильтьеса,
то Н(х) определяется сразу для всех х, причем все указанные
выше свойства имеют место.
Пусть сп и с'п — коэффициенты Фурье dF и dG. Покажем, что
dH{x)~^cnc'neinx. A.27)
Пусть х0 < Xi < ... < xk = х0 + 2я — точки из Е\ п-й коэффи-
коэффициент Фурье от dH есть предел суммы
k 2я
xj~t
i=l 0
при Q^max (Xj — Xj-i)—>0. Предположим, что q выбрано настолько
малым, что колебание функции е~гпи на отрезке длины, не прево-
превосходящей Q, меньше 8. Тогда ошибка, получающаяся в результате
замены в последнем интеграле e~%n('xJ~t) на е"~ггш, не превосходит
k 2я
7=1 0 j^
2я
dF(u)\}\dG(t)\ =
XQ-t
Но
2я
1 ¦
0
xh-t
f \ e-inud
F(u)\ e~intdG(t) =
2Я
0
2я
0
l»'dG(/) =
На этом доказательство заканчивается. Из A.27) очевидно, что
если в равенстве A.23) поменять местами F и G, то Н изменится

1. ФОРМАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД РЯДОМ S[f] 71
только на постоянное слагаемое1), что, впрочем, непосредственно
следует из A.23), если проинтегрировать по частям.
Если F (или G) непрерывна, то интеграл A.23) существует
для всех х, и так как
2я
dG(t)\,
s
то Н(х) тоже непрерывна.
В частном случае Н (х) имеет вид
2я
F*(x) = ±^F(x + t)dF(t); A.28)
О
F*( — x) есть свертка F( — t) и .dF(t). В силу A.27) (если
dF(x)~%cneinx, то dF(-x) 2 c-neinx),
dF*(x)~^\cn\2einx. A.29)
Покажем, что отсутствие скачка у F* (х) при л: = 0 эквива-
эквивалентно непрерывности F (х) во всех точках. Точнее:
A.30) Теорема. Пусть х<, х2, ...—все точки разрыва F
в полуинтервале 0<х<2я, и пусть dj=F(xj + 0)—F (xj — 0).
Тогда
Пусть Sk (x) — ступенчатая функция, имеющая скачки db
d2, ..., dk в точках хи лс2, ..., Хн, непрерывная в остальных
точках и удовлетворяющая условию, аналогичному A.22). Раз-
Разность Fk(х) = F(х) —-Sk(x) непрерывна в точках хи х2, ..., xk
и имеет скачки */*+1, dA+2, ... в точках xk+i, Xk+2, «... Функция
F* (jc) равна
2я 2я
о
2я
При ± б g E
Fk(t-6)\, A.30)
). A.31)
х) См. последнее замечание на стр. 73.

72 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Первое неравенство показывает, что если взять k достаточно
большим (т. е. отбросить «наиболее сильные» разрывы F), то можно
сделать Н{ ( + 0) — Hi ( — 0) как угодно малым. Далее, при доста-
достаточно малом б разность Sk (t + 6) — Sh (t — б) равна а,- в б-окрест-
ности Xj, j = \, 2, ..., k, и нулю всюду вне этих окрестностей.
Это показывает, что интеграл в A.31) стремится к |di|2 + ... + |d&|2
при б—>0. Отсюда следует теорема A.30).
2. Дифференцирование и интегрирование S[/]
Предположим, что периодическая функция f (x) есть неопре-
неопределенный интеграл Лебега, т. е. / (х) абсолютно непрерывна. Инте-
Интегрирование по частям дает
2я 2Л
4 ^™ dx S f'
0 0
так что c'v — ivcv, где c'v — коэффициенты Фурье функции /'. Так
как / 2я-периодична, то с'0 = 0. Таким образом, если через S [/]
обозначить результат почленного дифференцирования ряда S [/],
то S'[f]=S[n, или
f ~ i 2 vcv?ivx=2 vFvcosva: —avsinvA:).
V= —oo V=l
Из этого следует общая теорема.
B.1) Теорема. Если f (x) есть интеграл k-го порядка
(ft = l, 2,...), moS{h)[f]=S[f{k)l
Следующий результат показывает, что получается, если f имеет
точки разрыва (для простоты предположим, что их конечное число):
B.2) Теорема. Пусть f (х) имеет разрывы первого рода
(скачки) в точках xt < х2 < ... < Хи < xk+l=Xi + 2я, и f (х)
абсолютно непрерывна на каждом отрезке [хи xi+l], если ее до-
доопределить по непрерывности в концах хг, Xt+i. Положим
оо
di = ^lf (^ + 0)-f (*i-0)]f D(x)=l+2 cosvx.
v=l
Тогда
S' [f]-S 1П =dtD (x-xJ + dzD (x-x2)+... +dhD (x-xh). B.3)
Ряд D (x) расходится всюду (см. стр. 61, пример 2), но он
суммируется различными методами к 0 при х Ф 0 (см. гл. III,

2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ Slf] 73
§ 1,2). Формулу B.3), конечно, следует понимать формально:
соответствующие коэффициенты рядов обеих частей равны.
Будем считать, что f (xt) = у [/ (xt + 0) -f f (xt — 0)] для всех /.
Пусть ф(х) — функция, определенная в гл. I соотношением
D.12). Тогда S'[<p]=D(x)— ~. Функция
— xk)
имеет те же самые точки разрыва и те же скачки, что и f(x).
Таким образом, разность g^f — Ф непрерывна, и даже абсолютно
непрерывна. Кроме того,
за исключением точек xt, так что g' =/' — С почти всюду. Далее,
S' [/] =$' [g + Ф] =S' [g] + Sf [O]=Slg'] + Sf [Ф] =
Тем самым B.3) доказано.
Пусть F (х), 0 < х < 2я, — функция с ограниченным изменением,
и пусть cv — коэффициенты Фурье dF. Разность F(x) — cox перио-
периодична (гл. I, § 5), и ее коэффициенты Фурье Cv, v Ф 0, равны
2л 2я
0
2я
~ivxdF — ~
Условимся писать
вместо
+со,
[F(x)-Cox~Co+ 2 7^
где штрих означает, что член с v = 0 в сумме опускается. Тогда
S [dF] получается формальным дифференцированием первого из
этих рядов, и имеет место следующая теорема:

74 ГЛ II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
B.4) Теорема. При сформулированном только что согла-
соглашении класс рядов Фурье — Стилыпьеса совпадает с классом фор-
формально продифференцированных рядов Фурье функций с ограни-
ограниченным изменением.
Если S[dF] — тождественный нуль, то S [F] состоит лишь из
¦свободного члена С. Значит, F (х)~ С и F равна С во всех точ-
точках непрерывности, т. е. всюду вне некоторого счетного множе-
множества. Следовательно, если две функции Ft и F2 с регулярными1)
точками разрыва имеют одни и те же "коэффициенты Фурье —
Стильтьеса, то F{(x) — F2{x)=C.
Пусть / — периодическая функция и F — ее неопределенный
интеграл. Поскольку разность F (x-\-2n) — F (х) равна интегралу
от / по (х, х-\-2п), или, что то же самое, по @, 2я), то необхо-
необходимым и достаточным условием периодичности F является равен-
равенство нулю свободного члена с0 ряда S [f]. Если это условие выпол-
выполнено, то, в силу B.1), S[f]=S'[F], т. е. ряд S [F] может быть
получен формальным интегрированием ряда S [f]. Другими словами,
-f-oo оо
V=—оо V=l
где С —постоянная интегрирования. Если с0 Ф-Q, то этот же
результат применяется к функции f — c0, интеграл F — сох от
которой является периодической функцией. Отсюда следует:
B.5) Теорема. Если f ~ 2 cveivx и F — неопределенный
интеграл от f, то
-f-oo оо
F(x) — сох~С+ 2 cveivx/lv = C-\-^ (avsinvx — bvcosvx)/v.
V=-00 V=i
Пример. Пусть В0(х), В{(х), В2(х), ...—периодические функ-
функции, определенные при помощи условий
(I) яо(*) = -1;
(И) Вк(х)=В^{х), ft = 1,2, ...;
(Ill) интеграл от Bk по @, 2я) равен нулю при k = 1, 2
Пользуясь формулой D.12) из гл. I, получаем по индукции, что
х) Точка разрыва х0 функции F (х) с ограниченным изменением называется
регулярной, если F (хо) = -? [F (a:0+0)+F (х0—0)].—Прим. ред.

3 МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ 75
где штрих означает, что член с v = 0 опускается. Внутри @, 2я),
Bh(x) есть полином степени k (полином Бернулли с точностью
до постоянного множителя). В зависимости от того, будет ли k
четным или нечетным,
v=l v=l
Допустим, что f есть интеграл fe-ro порядка (k = 1, 2, ...). Заменяя
в теореме A.5) f на f(h), g на Bh, получаем полезную формулу
f(x)-co = ~\rh)(x-t)Bk (t) dt. B.7)
О
3» Модули непрерывности. Гладкие функции
Пусть f (х) определена на отрезке /, и пусть
со F)= со F; /) =sup | f (x2) — f(xi)\ для xt^I, х2б/, 1^ — л:2|<б.
Функция со (б) называется модулем непрерывности функции /.
Если / конечен, то f непрерывна на / тогда и только тогда,
когда со (б)—>0 вместе с б. Если для некоторого а > 0, со(б)<Сба,
где С не зависит от б, то будем говорить, что f удовлетворяет
условию Липшица порядка а на (а, Ь). Будем также говорить
в этом случае, что f принадлежит классу Ла и писать
Интересен только случай 0 < а< 1: так как, если fgAa, a>l,
то са(б)/б стремится к нулю вместе с б и /' (х) существует и всюду
равна нулю, т. е. f= const.
Функция / принадлежит Л4 тогда и только тогда, когда f есть
интеграл от ограниченной функции.
Иногда удобно рассматривать классы Ха, определенные для
0<а< 1 условиями со(б) = о(ба), так что если / конечен, то Яо
есть класс непрерывных функций. Под Я4 понимается класс функ-
функций, имеющих непрерывную производную.
Функция F (х) называется гладкой в точке х0, если
o(l) при А->0. C.1)
Это соотношение может быть также переписано в виде
± -F(x0)}-~{F(x0)-F(x0-h)} = o(l). C.2)

76 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Отсюда немедленно следует, что если F' (х0) существует и конечна,
то F — гладкая в точке х0. Обратное, очевидно, неверно, но [как
видно из C.2)] если F гладкая в точке х0 и если существует
односторонняя производная от F в точке х0, то существует одно-
односторонняя производная и с другой стороны, и обе они равны.
Таким образом, если F(х)— гладкая, то кривая y=F(x) не имеет
угловых точек, что оправдывает терминологию.
Если F гладкая в каждой точке интервала /, то будем говорить,
что F гладкая в интервале /. (Если / — отрезок, то предполагается,
что F определена в большем интервале, содержащем /.) Если F
непрерывна и удовлетворяет условию C.1) равномерно по хоб/».
то говорят, что F равномерно гладкая или F принадлежит клас-
классу Х^, Класс Л* по определению состоит из таких функций F (х),
что F непрерывна и левая часть в C.1) есть О A) равномерно
по х0.
Если Fg^i, то FgA^; аналогично, если F ?Ai, то FgA*.
Таким образом, Л* и Х% являются соответственно обобщениями
классов Л4 и Х1в Иногда эти классы важны в тригонометрических
рядах, поскольку они более естественны, чем lt и At. С другой
стороны, основные свойства классов Х{ и Л4 не сохраняются
для X* и Л*. Так, существует функция FgA*, нигде не диф-
дифференцируемая, и функция F^k^, дифференцируемая только на
множестве меры нуль (стр. 83). Тем не менее имеем
C.3) Теорема. Если F (х) — действительная функция, непре-
непрерывная и гладкая на интервале /, то множество Е точек, в кото-
которых F'(х) существует и конечна, имеет мощность континуума
на каждом отрезке /', содержащемся в I.
Пусть L (х) = тх-\-п— линейная функция, совпадающая с F (х)
в концах а, Ъ отрезка /'. Тогда G(x)=F(x) — L(x) — непрерывная
и гладкая и обращается в нуль при х=а, Ь. Если х0 — точка
внутри /', где G достигает максимума или минимума, то оба
члена в левой части соотношения
имеют одинаковый знак при достаточно малом |Л|. Таким образом,
левая и правая производные функции G в точке х0 существуют
и равны нулю, так что G' (х0) = О, F' (x0) =m = [F(b) — F (a)]/(b — а).
Следовательно, Е плотно в /'. Пусть далее а < с < Ь. Пре-
Предыдущее доказательство показывает, что внутри интервала (а, с)
существует такая точка хи что F' (х{) существует и равна наклону
хорды, проходящей через точки (a, F (а)) и (с, F(c)). Отсюда
следует, что если наклоны, соответствующие двум различным
точкам с, различны, то и соответствующие точки xt должны быть
различны. Но кроме случая линейности F(x), когда утверждение

3. МОДУЛИ НЕПРЕРЫВНОСТИ. ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ 77
C.3) очевидно, множество различных наклонов, а следовательно,
и множество точек хь имеет мощность континуума.
Хорошо известно, что функция f (x) может быть не измери-
измеримой и все же удовлетворять условию
для всех л; и ft. По этой причине при определении классов Х#
и Л* мы предполагали непрерывность /. Оказывается, что функции
классов Х% и Л* имеют «значительную степень непрерывности».
C.4) Теорема. Пусть f (х) определена на конечном интер-
интервале (а, Ь). Если f 6Л*, то
© (б; f)=OF1n6)
и, в частности, f ? Ла при любом а < 1. Если f ? Х#, то со F; f) =
= о(в1пв).
Достаточно доказать часть теоремы, касающуюся Л*1). Пусть
М =max| f (x) |. Из условия f?A* следует, что
для х6 (а, 6) и достаточно малых т, 0<t<y- Зафиксируем х
и положим f (* + т) —f (x) =g(x). Тогда левая часть вышеприве-
вышеприведенного неравенства примет вид | g (т) — 2g (т/2) |. Заменяя
здесь т последовательно на т/2, т/22, ..., получаем
I 2g (т/2)-22?(т/22) |< Ах;..., 12п-!?(т^)-2ng(r/2n) \< Лт,
где п будет определено ниже. Сложив эти неравенства почленно,
получим
C.5)
Предположим теперь, что h стремится к 0, оставаясь поло-
положительным. Пусть 0</г<-т>-у> И пусть п — такое положительное
целое число, что 2nh попадает на отрезок Г у у, у~\ . Из нера-
неравенства 2nA<Y следует, что n=^O(\nh). Из C.5) для x=2nh
получаем
l) Случай / ? X* рассматривается аналогично.—Прим. ред.

78 ГЛ. И. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
или f (х + fi) — f (х) = O(h In А), что доказывает следующую
теорему1).
Скажем, что функция f(x), определенная на множестве Е,
обладает свойством D, если для любых двух точек а и Р из Е
функция принимает на множестве (а, §)-Е все промежуточные
значения. Свойство D может рассматриваться как замена (до неко-
некоторой степени) непрерывности. Классический результат Дарбу
утверждает, что каждая точная производная обладает свойством D
на любом интервале, где она существует.
C.6) Теорема. В предположениях теоремы C.3) функция
F' (х) обладает свойством D на Е.
Пусть
а<р, аб?, РбЯ, F'{a)=A, F'(P)=fi.
Пусть далее С — какое-либо число между А и 5, Скажем
А<С<В. Мы должны показать, что на интервале (а, C) суще-
существует такая точка у, что F'(y)=C. Можно считать С = 0, ибо
в противном случае из F достаточно вычесть Сх. Тогда А < О < В.
Рассмотрим функцию G (x) = {F(x + h) — F (x)}/h, где h < C — а
фиксировано, положительно и настолько мало, что
G(a)<0, G(P-A)={F(P)-F(P-A)}/A>O. C.7)
Так как G(x) непрерывна, то в интервале (а, C — К) существует
такая точка х0, что G(xo)=O, т. е. F(xQ + h) =F (x0). Если
у — точка из интервала (*о, *о + А), в которой функция F дости-
достигает максимума или минимума, то F' (у) = 0 = С. А так так
(#<ь #.o + A)C?(a, P), то теорема доказана.
Замечание. Фактически доказано несколько большее. Именно:
если А<С <В и
то существует такая точка у, расположенная между аи В, что
F(y) = C
Вернемся к рассмотрению периодических функций. Для задан-
заданной функции /6LP, р>1, выражение
2я 1/
называется интегральным модулем непрерывности (в Lp) функ-
функции /. Теорема A.11) показывает, что сор(б)—>0 вместе с б для
х) То. же самое рассуждение показывает, что если / (*+&)+/(*—h)—
— 2f(x) = O(ha), 0<а<1, то / ? Ла (см. также примечание (d) на стр. 197).

4. ПОРЯДОК УБЫВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 79
любой /(=LP. Очевидно, что оор(б) — не убывающая функция от &
и р. Если / непрерывна, то оор(б) —>оо(б) при р—>оо. В отличие
от со (б) на сор(б) не влияет изменение функции f на множестве
меры нуль.
По определению, если оорF) =0 Fа), то f 6 Л?; а если оор (б) ==
= оFа), то /6^?. Случай а>1 здесь опять не интересен: если
(орF)=оF), то /== const. Так как сор(б) >(ot (б), то при дока-
доказательстве достаточно рассмотреть случай р = 1. Пусть
J 0<*2 —х4 <2я, 6>0.
о
Тогда
Здесь левая часть не больше, чем 2я6~1оо1 (б) =оA) при б—>0.
Правая часть стремится к \F' {x2) — F' (xt) | при условии, что
F' fa), Ff (x2) существуют. Отсюда следует, что F' (х) постоянна
всюду, за исключением некоторого множества меры нуль, что
означает, что f~ const. Можно также рассматривать класс Л?
периодических функций FgLp, р>1, таких, что
2я
^\F(x + h)+F(x-h)-2F{x)\*dx} V =0(A).
о
Заменяя О (К) на o(h), определим класс Я^; при р = оо и непре«„
рывной F получим соответственно классы Л* и Х%.
4. Порядок убывания коэффициентов Фурье
Коэффициенты Фурье cv функции f удовлетворяют нера^
венствам
|^v|<i-(o(n/|v|), |cv|<4©i(Ji/|v|) (v#0), D.1),
где со и (Oj — модули непрерывности функции f (см. §3). Заменяя
х на x-\-n/v в интеграле, определяющем cv, и беря полусумму
нового и старого интегралов, находим, что
2я 2л
2я

80 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Отсюда
2я
к^ЮК D-2)
0
где правая часть не превосходит ни -g-co(jt/| v|), ни yOOi (я/| v |).
Если /61Д р>1, то из D.2) вытекает, что
|cv|<y<op(n/|v|) D.3)
[см. гл. I A0.12), (I)].
Из второго неравенства D.1) и того, что щ F) —>0 вместе с 6,
получаем следующую важную теорему:
D.4) Теорема Ри ман а —Лебега. Коэффициенты Фурье
cv интегрируемой функции f стремятся к 0 при | v | —> оо.
То же самое, очевидно, имеет место и для коэффициентов
av, bv, поскольку cv = (av — ibv)/2 для v > 0.
Несколько иное доказательство теоремы D.4) получается
следующим образом. Положим f = fi-\rfz, где f{ ограничена,
2я
а \ |/2|d*<e. Соответственно cv=c'v + c'v. Здесь fi?L2, так что
о
Cv'—>0 (поскольку 2lcv|2<°°). А так как
2я
о
то |cv| меньше 8 для достаточно больших |v |. Теорема доказана.
Читатель заметит, что это доказательство теоремы D.4) сохраняется
и для произвольных равномерно ограниченных ортогональных
систем. Полезно следующее следствие из теоремы D.4):
D.5) Теорема. Пусть Е — измеримое множество на @, 2я),
и |lf ^...—последовательность действительных чисел. Тогда
Е
Подинтегральная функция здесь равна
у + у cos 2nx cos 2?n — у sin 2nx sin 2gn,
а интегралы от cos 2пх и sin 2пх по Е стремятся к 0, поскольку
они являются коэффициентами Фурье (с множителем п) харак-
характеристической функции множества Е.
Отметим следующую, несколько более общую форму тео-
теоремы D.4):

4. ПОРЯДОК УБЫВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 81
D.6) Теорема. Пусть f^L(a,b), где (а, Ь) конечен или
бесконечен, и пусть X — действительное переменное. Пусть
а < а' < Ь' < Ь. Интеграл
Ук = Ух (f) = Ук (f; а', &') =
стремится к 0 при X —>±оо равномерно по а' и Ь'.
Сначала предположим^ что Ь — а<оо. Если / = С, то утвер-
утверждение очевидно, так как тогда | Ya,|<2|C|/| k\. Следовательно,
результат справедлив, если / — ступенчатая функция (т. е. если
интервал (а, Ь) может быть разбит на конечное число интервалов,
на каждом из которых / постоянна). Так как непрерывная функ-
функция может быть равномерно приближена ступенчатыми функциями,
то теорема D.6) имеет место и для непрерывных функций. Поль-
Пользуясь теоремой A1.8) из гл. I с г= 1 и записывая / в виде
(/ —ф)> находим, что
I Y*. (Ф) | +1 Yx (f — Ф) I < IYx (Ф) |
для достаточно больших \Х\.
Если Ь — а = оо, например если (а, Ь) = (—оо, + оо), то пишем
f = fi + fZi где /i=/ на интервале ( — A/, +N) и /А=0 вне его.
Если N достаточно велико, то
ь
\ |/г|^<в, | Ya,(/)|<IYa.(/i) | + |Y^(f2) I<°A) +8>
а
откуда следует теорема.
D.7) Теорема. (I) Если /gAa, 0<<х<1 (и даже если
/6Л?), то cv = O(|v|-«).
(II) ?сл« /6 Л* (и дад/с? вслгг /бЛ^), то cv = O(v~1).
Случай (I) следует из D.1) и D.3). Здш> «О» не может быть
заменено на «о» (см. ниже), за исключением предельного случая
a=l, fgAi. В этом случае f является интегралом, Sr [/"] — ряд
Фурье, а потому vcv—>0.
Чтобы доказать (II), заменим х на х± я/v в интеграле, опре-
определяющем cv. Тогда
о
2Я
6 А. Зигмунд, т. I

82 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
2я
1
dx = O
При /gXg имеем cv = o(l/v).
Хорошей иллюстрацией к теореме D.7) служит функция Вей-
ерштрасса, которая может быть определена при помощи сле-
следующего соотношения:
оо
/ (*) = fa (х) = 2 b~™ cos bnx, D.8)
1
где b > 1 — целое число и а — положительное число. Написанный
в последней формуле справа ряд сходится абсолютно и равно-
равномерно.
Теорема, которая будет сейчас доказана, имеет место и для
ряда
D.9) Теорема. Если 0<а<1, то /абЛа. Функция fx
принадлежит Л#, но не принадлежит А.х.
Пусть 0 < а < 1, /г > 0; тогда
/(*) =—2 6~n(X sin bn (*+тлJ sin т&n/l =
1 N+1
где номер N = N{h) определяется из условий fcN/z<l, 6ЛГ+1А>1.
Далее,
|< S ()()
N+1
Следовательно, P + Q=O(/ia) равномерно по х и /бЛа.
Чтобы показать, что /i€A#, напишем
/i ^+л)+/i (^- л) - 2/i w = - 2 b'n cos 6Пх B sin т6
1 N+1

4. ПОРЯДОК УБЫВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ 83
с тем же самым N, что и выше. Тогда
N
R\<h*^>]bn = h20 {bN) = кЮ (/г) = 0 (А),
1
\Т\<4 2 6-л<46-" = О(й),
лн-1
так что R + T = O(h) и /4бЛ#. Утверждение /i?Ai следует
из того, что в противном случае ряд S' [/J был бы рядом Фурье
и коэффициенты S' [fi] должны были бы стремиться к нулю, что
заведомо не имеет места.
Незначительные изменения в предыдущих рассуждениях при-
приводят к следующему результату:
D.10) Теорема. Пусть гп—>0 и
со
g (x) = ga (х) = 2 впЬ~™ cos bnx. D.11)
1
Тогда ga 6 Ха для 0 < а < 1 и gt б Я#.
Вейерштрасс показал, что при достаточно малых а функция
fa(x) нигде не дифференцируема. Распространение этого резуль-
результата на случай а<1 впервые было получено Харди. (Для а> 1
производная f (х), очевидно, существует и непрерывна, так как
ряд S'[/] сходится абсолютно и равномерно.)
Функция fi является примером функции из класса Л^, нигде
не дифференцируемой. В силу теорем D.10) и C.3), g\(x) есть
функция, дифференцируемая на множестве мощности континуум
на каждом интервале. Как мы увидим в гл. V, стр. 331, если
2е?г=оо (например, если гп=п~1^), то g1 дифференцируема
только на множестве меры нуль. Таким образом, гладкие функ-
функции могутt6umb не дифференцируемы почти всюду.
Если мы запишем D.8) в виде 2 ah cos kx, то имеем аи = О (k~a),
причем оценка точная (т. е. О нельзя заменить на о). Этот факт
показывает, что результат D.7), (I), не может быть улучшен.
D.12) Теорема. Пусть F(х) —функция с ограниченным из-
изменением на 0 < х < 2л, и пусть Cv и cv — коэффициенты Фурье от
F и dF соответственно. Если V — полное изменение F на [0, 2л], то
Второе неравенство следует из формулы
2л \c
\dF(x)\ = V.
о
6*

84 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Интегрируя по частям, получаем
2я
для v Ф О, а последняя сумма по модулю не превосходит 2W|v|.
Таким образом, коэффициенты Фурье от функции с ограни-
ограниченным изменением имеют порядок O(l/v). Пример ряда
sin vx
[см. гл. I, D.12)] показывает, что здесь нельзя заменить
на «о». Функция в этом примере, однако, разрывна; пример непре-
непрерывной функции с ограниченным изменением, коэффициенты Фурье
которой не равны o(l/v), гораздо менее очевиден и будет дан
позднее (см., например, гл. V, § 3 и 7).
Рассмотрим ряд Фурье из синусов 2 ^v sin vx функции
определенной на @, я). Для существования коэффициентов
п
2 С
by, — — \ fsmvxdx
2 С
— \
нет необходимости требовать, чтобы функция / была интегри-
интегрируемой на @, л;); достаточно предположить, что интегрируемо
произведение /sin*; тогда fsinvx тоже интегрируемо. В этом
случае будем называть наш ряд обобщенным синус-рядом Фурье.
Например, в этом смысле имеем
1 1
-^Qig^x—sinx + sin2A:+ ... +sinnx+ ... • D.14)
Это соотношение формально получается из формулы для 2 rv sin vx
(см. гл. I, § 1), если устремить г к 1. Для его обоснования
надо только проверить, что числа
я
2 С 1 1
pv=—\ _- ctg -п- х sin vx dx
0
удовлетворяют условиям Pi=l, pv — Pv+i = O при v= 1, 2, ...,
так что рА = p2 = ... = 1.
Этот пример показывает, что коэффициенты обобщенного
синус-ряда Фурье не обязаны стремиться к нулю.
Однако они имеют порядок о (v). В самом деле, разность
bv+i — bv_i есть v-й косинус-коэффициент интегрируемой функции

5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ РЯДОВ S [/] И S[/] 85
2f{x)$>\nx и, таким образом, стремится к нулю. Следовательно,
например, для v нечетных имеем
К= bi + (bz-bi) + ... + (bv-bv-2)=o{v).
Аналогично для четных v.
Следующий результат обобщает и одновременно разъясняет
теорему Римана —Лебега.
D.15) Теорема. Пусть функция а(х) интегрируема, Р(х)
ограничена и обе они периодичны. Тогда
2я 2я 2я
^ ± n->co.D.16)
0 0 0
Заметим, что если для каждого е > 0 мы можем представить а
в виде а = а1 + а2, причем так, что SW [aj < е, а для а2 справед-
справедливо D.16), то D.16) справедливо и для а. Легко видеть далее,
что D.16) выполняется, когда а есть характеристическая функция
интервала, или в .более общем случае — ступенчатая функция.
Если а интегрируема, то полагаем a=a1 + a2, где а2 — ступен-
ступенчатая функция, а Ш [aj мало.
Теорема Римана — Лебега является частным случаем послед-
последней теоремы (при р = е± ix). Как показывает приведенное выше дока-
доказательство, D.16) сохраняется, если заменить $(пх) на P(nx + 9n),
где Qn — произвольные числа. Более того, п может здесь стре-
стремиться к бесконечности как непрерывный параметр.
5. Формулы для частичных сумм рядов S [/] и ^ [/]
Пусть задана периодическая интегрируемая функция /; положим
я я
av = l J f(t)cosvtdt, bv = ± J f(t)sinvtdt, E.1)
так что ряды
J f(t)cosvtdt, bv J
-я -я
оо оо
"ao+2i (av^osvx + bvsinvx), 2 (av sin vx — bv cos vx)
v=l v=l
суть S [/] и S [/] соответственно. Мы будем обозначать частичные
суммы S [/] через Sn[fl» или через Sn(x;f), или просто Sn(x);
аналогично частичные суммы сопряженного ряда S[f] будем
обозначать через Sn[f], Sn(x\ f) или 5п(л:). Пользуясь

86
ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
формулами E.1), получаем
где
_ 1
~ я
= —
V
J
—я
1
f л
я
J
—я
^ J
fit)-
"•" ^J
v=l
n
B s
v=i
—я
я
=—i J f(t)Bn(t-x) dt,
sin С л+4" V
2 sin у у
, (v) = 2 sin vt;=
Ty—cos
2 sin -g- v
(гл. I, § 1). Полиномы Dn(v) и Dn(v) называются соответственно
ядром Дирихле и сопряженным ядром Дирихле. Формулы для Sn
и Sn можно переписать так:
л
Иногда несколько удобнее брать последний член в Sn или Sn
с множителем 1/2. Новые выражения назовем модифицирован-
модифицированными частичными суммами, и будем обозначать через S*} и Sn
соответственно. Таким образом,
п-1
C0S vx
~2 (пп C0S
записывается аналогично. Если положить
D* (v) = Dn (у) - i cos nv = ^^
D*n (v) = Dn (o) -1 sin nc =
E.2)

5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ РЯДОВ S[f] И S [/] 87
и поступить, как выше, то получим
я
S*n(x) = ^ 5 f(x+t)D*n(t)dt,
\ E-3)
В силу D.4), Sn — Sn равномерно стремится к нулю; S*n и Sn
эквивалентны в смысле сходимости, но 5* имеет несколько более
простой вид. Аналогично и для Sn и S*. Назовем Dn модифи-
модифицированным ядром Дирихле, D*b — модифицированным сопряжен-
сопряженным ядром Дирихле.
Положим для фиксированной [функции / и фиксированной
точки х
и будем в дальнейшем всегда придерживаться этих обозначений.
Полином
D*n(u) = ~2 + cos и + ... + ~2 cos пи
— четная функция; интегрируя его почленно, имеем
Dn(t)dt=n.
%}
Следовательно,
п л
S* (г\ f (у\ — —- \ f (г Л- t\ П* (i\rli — ISzL \ D*(+\rl+
-я -я
я я
=» — \ фос (t) Dn (t) dt = — \ sin я/ d/. E.4)
0 0 2 *g у *
Учитывая, что функция Dn нечетна, аналогично получаем
?x(t)D?c(t)dt =
E.5)
о
я
о 2tg-i-/

88
ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Для дальнейших ссылок отметим также следующие формулы:
—я
\Dn(t)dt =
(x + t) + f(x-t)]Dn(t)dt,
= ^Ф,@-
sin n+4r
2 sin -j t
0
COS -7Г Г — С
. 1
<#.
E.6)
Наша основная цель в этой главе заключается в том, чтобы
показать, что при определенных условиях, наложенных на функ-
функцию / вблизи точки х, Sn(x\ /), или, что то же самое, Sn(x\ /),
сходятся к / (х) при п —> оо. Проблема суммирования сопряжен-
сопряженного ряда S[/] приводит нас к рассмотрению выражения
E.7)
где интеграл понимается как предел (если он существует) выра-
выражения
Ух У)
¦dt
E.8)
при 8—>+0- Значение интеграла E.7) там, где он существует,
обозначим через /(#), и функцию f(x) назовем сопряженной
к f(x). Выражение E.8) будем обозначать f(x\ г). Позднее мы
покажем (см. гл. IV, § 3 и гл. VII, § 1), что для каждой инте-

5. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ РЯДОВ Slf] И S^f] 89
грируемой функции / функция / существует почти всюду; но
доказательство этого факта далеко не просто.
Выражение E.7) может быть также записано в виде
1 "с
или _ 1
где интегралы понимаются в смысле «главного значения», т. е.
как предел при 8—> +0 интеграла, взятого по дополнению
к интервалу длины 2е с центром в точке неинтегрируемости
подинтегральной функции (t = 0 в первом случае и t = х—во втором).
Из E.5) формально получаем
я
S* (х) -7(*) = — [ fe(/} cos nt dt. E.9)
Существует аналогия между этим интегралом и интегралом, стоя-
стоящим в правой части E.4), хотя последний всегда сходитсяг
и даже абсолютно, в то время как в E.9) как J{x), так и правая
часть могут не существовать в некоторых точках. Позже мы
увидим, что теоремам сходимости (или суммируемости) для S [f\
обычно соответствуют аналогичные теоремы для ?[/].
Выпишем несколько неравенств, полезных в «теории сходи-
сходимости»:
\Dl(t)\<n, \D*{t)\<j @<t<n; /i = lf2, ...)• E.10)
В самом деле, |Dn|<-2-+l + ---+-2":=n» a вторая оценка сле-
следует из E.2), поскольку 2 tg-gt>t. Первое неравенство E.10)
целесообразно употреблять при t, не слишком больших по срав-
сравнению с 1/я, например при 0<^<я/п, второе —для больших
значений t. Аналогично
Аналогичные неравенства имеют место для Dn и Dn.
В обозначениях § 1 гл. I легко получаем
со
1
~2~ U (хо +1) + f (хо — t)] — 2 An (*<>) cos nt,
0
оо
" If (xo + t) — f{Xo — t)] —— 2 Bn {Xq) sin n^.
l

90 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Таким образом, S [/] в точке х = х0 совпадает с рядом Фурье при
/ = 0 от четной функции -^[f (xo + t) +f (х0 — /)]; §[/] при х = х0
есть ряд, сопряженный при / = 0 с рядом Фурье нечетной функ-
функции ±[f(xo+t)-f(xo-t)}.
6. Признак Дини и принцип локализации
F.1) Теорема. Если первый из интегралов
Щ1сИ F.2)
конечен, то S[f] сходится в точке х к f(x). Если второй ин-
интеграл конечен, то f(x) существует и ? [f ] в точке х сходится
к Т(х).
Формулы E.4) и E.9) указывают на весьма важное обстоя-
обстоятельство, состоящее в том, что, по крайней мере формально,
$п (х) — f(x) и Sn (x) — f (x) суть косинус- и синус-коэффициенты
некоторой функции. В обоих случаях рассматриваемая функция,
по предположению, интегрируема, причем во втором случае суще-
существует f (х). Так что, в силу D.4), имеем соответственно
<% (х) -/(*)-> 0, Sf* (х) - Т(х) -> 0.
Первая часть теоремы F.1) называется признаком Дини схо-
сходимости S[/J. Вторая часть принадлежит Прингсгейму. Поскольку
2tg-ntc^.t при t—>0, то интегралы F.2) и интегралы
dt
одновременно конечны. Оба интеграла конечны, если, например,
/(*) = O(|*|a) (a>0)
при t—>0 и, в частности, если /'(*) существует и конечна. Пер-
Первый интеграл сходится даже, если f разрывна в точке х, при
условии, что фх@ стремится к нулю достаточно быстро. Второй
интеграл расходится, если / (х ± 0) существуют и различны, и мы
позднее увидим, что S [f] всегда расходится в таких точках.

6. ПРИЗНАК ДИНИ И ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 91
F.3) Теорема. Если f (х) равна тождественно нулю в интер-
интервале /, то S [f ] и % [f] сходятся равномерно на каждом отрезке /',
внутреннем к I, и сумма S [/] там равна нулю.
Если опустить слово «равномерно», то F.3) есть следствие
из F.1). В самом деле, если х?1\ то и q>x(t) и фх(t) обращают-
обращаются в нуль для малых \t\ и интегралы F.2) сходятся. Чтобы
доказать теорему 'полностью, нам нужна следующая лемма:
F.4) Лемма. Пусть f интегрируема, g ограничена и обе пе-
периодичны. Тогда коэффициенты Фурье функции% (t)= f (x + t)g(t)
стремятся к нулю равномерно по параметру х.
В силу второго неравенства в D.1), достаточно показать, что
©1F; %)—>0 равномерно по х. Далее,
I \%(t + h)-%(t)\dt<
—Я
Л
Предположим, что |g|<Af, |ft|<6. Тогда
Р<Мщ(8; f)->0.
Вместо того чтобы доказывать, что Q—>0, положим f = fi
где fi ограничена, скажем, |fi|<5, a
-я
Тогда
Q= \ \fi(x+t)\\g(t+h)-g(t)\dt +
—п
п
\fi{x+t)\\g(t+h)-g{t)\dt<B<olF;g) + ±
и, таким образом, меньше, чем е, для достаточно малых б. Это
доказывает лемму F.4).
Возвратимся к F.3); пусть х?Г. Тогда f(x-\-t) = O для
U|<r]. Пусть k(t) — периодическая функция, равная нулю при

92 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
|/|<т| и 1 для остальных t. Пользуясь E.3) и E.2), запишем
п
2tgT
\r \ f (*+t)g(t) sin ntdt. F.5)
4 S
-Я
Здесь функция g" @ = МО/2 tg-н- ограничена. В силу F.4), S*(x)
стремится равномерно к нулю при х?Г.
Подобным же образом S?(x) стремится равномерно kJ(x) на /';
поскольку разность Sn(x)—J(x) представляется формулой F.5)
с заменой sin nt на cos nt.
Предыдущий результат может быть сформулирован иначе.
Назовем два ряда ио + щ+ ... и vo + vt+ ... (сходящиеся или
нет) равносходящимися, если разность (и0 — и0) + («i — vt) + ...
сходится к нулю. Если эта разность сходится, но не обязательно
к нулю, то два ряда назовем равносходящимися в широком смысле.
Наконец, естественным образом определяется понятие «равномер-
«равномерная равносходимость». Следующая теорема есть следствие из F.3),
где положено f=ft — /2.
F.6) Теорема. Если две функции fx и f2 равны на интер-
интервале /, то S [ft] и S [fz] равномерно равносходятся на каждом
отрезке /', внутреннем к /; S [Д] и S [/2] равномерно равносхо-
равносходятся в широком смысле на Г.
Рассматривая для простоты сходимость в отдельной точке, мы
видим, что сходимость S[/] и S[f] и сумма S[f] (но не S[f])
в точке х зависят только от поведения f в произвольно малой
окрестности точки х.
Теоремы F.3) и F.6) выражают принцип локализации Римана—
Лебега.
F.7) Теорема. (I) Пусть f(x) интегрируема, q(x) ограни-
ограничена и обе периодичны. Если в точке х0 числа Дини функции q
ограничены, то ряды S [q/] и q(x0) S [/] равносходятся при х = х0.
Ряды S [qf ] и q (x0) S [/] равносходятся в точке х0 в широком
смысле.
(II) Если q(x)?Au то равносходимость S[qf] и Q{xo)S[f]
и равносходимость (в широком смысле) S [Qf] и q (x0) S [/] равно-
равномерна в точке х0.
Если q (л:0) = 1, то утверждение (I) может быть интерпре-
интерпретировано следующим образом: «малые» изменения функции f

б. ПРИЗНАК ДИНИ И ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 93
в окрестности х0, сохраняющие без изменения / (х0), не влияют ни на
сходимость S [/] и S [/] в точке хо> ни на сумму S [/] в этой точке
(хотя могут повлиять на сумму S[f]).
Для доказательства (I) заметим, что
л
S*n(x0; Qf)-Q(xo)S*n(xo; /)=-i- J f(xo + t)g(t) sinntdt,
—Я
где функция
ограничена. Следовательно, интеграл в правой части, будучи
коэффициентом Фурье интегрируемой функции, стремится к нулю
вместе с 1/п. Величина 3?(х0; (>/)¦—q(*o) <$?(*<); /) равняется
__JL Г
я
J
—Я —Я
-5" J f(xo + t)g(t) cos ntdt,
Я
а последний интеграл стремится к нулю. Таким образом, (I)
доказано.
Положим
В силу D.1), для доказательства утверждения (II) нам доста-
достаточно показать, что OiF; %)—>0 равномерно по х при б—->0.
Рассуждая так же, как и при доказательстве F.4), и замечая, что
\gx(t) | < М, убеждаемся, что для этого остается лишь доказать, что
я
интеграл \ \gx(t+h)—gx(t) \dt стремится к нулю вместе с h
-л
равномерно по х. Разобьем отрезок интегрирования на две части:
отрезок 111<г/8М и его дополнение до [ — я, я]. Первый интеграл
не превосходит 2М-2е/8М = е/2. Вне указанного отрезка функция
gx(t) непрерывна по t, причем равномерно относительно х, так что
второй интеграл стремится к нулю вместе с h равномерно по х. Весь
интеграл, таким образом, меньше, чем е для малых |А|, и это
заканчивает доказательство. Для сопряженных рядов рассужде-
рассуждения аналогичны.
Теорема F.7) содержит F.3). В самом деле, пусть q{x) —
непрерывная функция, равная 0 в /', равная 1 вне / и линейная
в остальных точках. При хо?Г имеем q(xo)S [/] = 0 и так как

94 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Q// то из F.7) следует, что S [/] и S[/] сходятся равно-
равномерно на /', а сумма S [/] равна там нулю.
Аналогом теоремы F.1) для равномерной сходимости является
следующая теорема.
F.8) Теорема. Предположим^ что f непрерывна на отрезке
1 = [а, 6], и пусть (о(б) — ее модуль непрерывности на этом
отрезке. Если функция со (б)/б интегрируема в окрестности
точки б = 0 и если интегралы
с i/(fl)-/(fl-oi du г \f(b+t)-Hb)\ dt
о о
конечны, то оба ряда S [/] и S[f] сходятся равномерно на It
к f uj соответственно.
Пусть I (t) — сумма чисел
©@. l/(*)-/(a-*)|. \f(b + t)-f(b)\ @<t<h = b-a).
Функция I (t)/t интегрируема. Запишем
S*n(x)-f(x) =
S } F.9)
где 0<а</г, и рассмотрим сначала член Р. Пусть x?l. Если
x + t?l, то \f(x + t) — f(x) |<(o (|/|). Если x + tzl, скажем^
х +1 > Ъ, то
\f(t+x)-f{b)\,
и так как | Dn (t) \ < Г1, то легко видеть, что
S
0
при условии, что о достаточно мало. Поскольку Q есть коэффи-
коэффициент Фурье функции {f(x+t) — f(x)}g{t), где g(t) равна нулю
на отрезке [ — а, а] и yctg^ вне его' т0 из (^**) вытекает,
что Q—>0 равномерно на /. Следовательно, SI (х) —> / (х) равно-
равномерно на /. ^
В предположениях теоремы F.8) интеграл, определяющий / (л:),
сходится абсолютно и равномерно на /, так как

7. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ФОРМУЛ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ 95
В частности, /(х), непрерывна на /. Рассуждения, аналогичные
предыдущим, показывают, что S?(х) — /{х) —>0 равномерно на/.
k F.10) Теорема. Если /?L, QgAj, то интегралы
Я Я
11 с 11
Z Z J Z Z
—я —я
взятые в смысле главного значения, равномерно равносходятся
в широком смысле.
Это следует из того, что функция [Q(t) — Q(x)]^ctg-^-(t — я)
ограничена по х, t.
7. Еще несколько формул для частичных сумм
Пусть е-фиксированное положительное число, меньшее я.
Иногда полезны следующие формулы:
8
— 8
8
o(l), I
G.1)
0
В первой формуле член оA) стремится к нулю равномерно
по х\ в последней он стремится к нулю для каждого х и равно-
равномерно на каждом интервале, на котором f ограничена.
Для доказательства первой формулы заметим, что разность
между интегралом в правой части и интегралом, определяющим
5п (х) ( = 5л(л;)-|-0A)), есть синус-коэффициент функции f{x-\-t)g(t),
11 1
где g{t)— функция, равная -—yctgy/ = O(l) при |*|<е
и — yctgy^ в остальных точках интервала ( — я; я). Аналогично
разность между вторым интегралом и интегралом, определяющим
$п (х) — f{x), есть синус-коэффициент от
откуда следует вторая формула G.1).
Отметим также формулу
3„(*) = -5- lf(x + t)l-c°snt dt + Rn(x),
— 8
где Rn{x) стремится равномерно к непрерывной функции.

96 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Поучительно сравнить эту и первую из G.1) формулы с точ-
точными формулами
+\ S^'v(x), G.2)
(«), G.3)
где со —положительное, но не обязательно целое, число, а инте-
грал определен как lim \ и штрих означает, что если со —
Т-Н- со JT
целое число, то последний член в сумме берется с множите-
множителем y •
Мы докажем только первую формулу, доказательство второй
аналогично. Известное равенство
1 +5°
[см. (8.4) ниже] показывает, что
JL
J i
—оо
G.4)
Следовательно, если f (x)=eivx, то левая часть в G.2) есть
[ sin (со-)-у) * . sin(o)—v)M ,
и последний интеграл равен 2я, я, 0, смотря по тому, будет ли
| v | < со, | v | = со, | v | > со. Таким образом, ф°РмУла G.2) доказана
в случае, если f — тригонометрический полином. Следовательно,
мы можем предположить, что ?v = 0 при |v|<co.
Теперь мы используем теорему, которая будет установлена
в гл. IV, стр. 257, и которая утверждает, что ряд Фурье, умно-
умноженный на функцию с ограниченным изменением, можно интегри-

7. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ФОРМУЛ ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ 97
ровать почленно. на любом конечном интервале. Так что если
JL ^
-Т О
G.5)
Интегрируя дважды по частям, получаем
и и
Т оо схэ
Так как | v | > © и \ = \ — \ , то сумма в G.5) равняется
о о т
(у-со) cosr(v+co)
—со) r(v+co)
__ 2 sin Гсо
при Т —> оо (заметим, что 2 I ^v | v~2 < оо). Если F — интеграл
от /, то F ограничена и периодична и предпоследний член равен
(яГ) sinTco [F {x + T)-F(x — T)] = о A).
Следовательно, интеграл в G.5) стремится к нулю при Т—> оо
и равенство G.2) доказано.
Интеграл G.4) .сходится равномерно по X вне произвольно
малой окрестности точки Я = 0. Из предыдущего доказательства
следует, что интегралы G.2) и G.3) сходятся равномерно на мно-
множестве, получаемом при удалении из любого конечного интерва-
интервала | со | < Q произвольно малых окрестностей точек 0, ± 1, ±2, ....
(Эти окрестности должны быть удалены, так как правые части
формул, вообще говоря, разрывны в точках v.)
Установим теперь следующую формулу:
G.6)
которая имеет место во всех точках, где 7(*) существует. (Внут-
(Внутренний предел всегда существует.) Действительно, при необхо-
необходимости можно вычесть из / константу, что ничего не меняет
7 А. Зигмунд, т. I

98 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
в G.6), поэтому можно предполагать, что интеграл от f по
периоду равен нулю, а тогда, применяя вторую теорему о сред-
среднем, убеждаемся в существовании каждого из интегралов
,7.7)
Jt
в отдельности. Их сумма равна
--H'<*+*>
где штрих указывает на то, что слагаемое при & = 0 опускается.
Правая часть последнего равенства может быть представлена
следующим образом:
-К Ы) [ТС*8Т'-Т
откуда G.6) уже легко следует.
8. Признак Дирихле — Жордана
Это название обычно дается следующей теореме (см. также
8.14):
(8.1) Теорема. Предположим, что f(x) имеет ограниченное
изменение на [0, 2я]. Тогда
(I) в каждой точке х0 ряд S[f] сходится к значению
~2 [/ (^о + 0)+/ (*о — 0)]; в частности, S [/] сходится к f(x) в каждой
точке непрерывности /;
(II) если, кроме того, f непрерывна в каждой точке отрезка
I, то S [/] сходится равномерно на I.
Сначала докажем следующую лемму, часть которой здесь
потребуется:

8. ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ — ЖОРДАНА 99
(8.2) Лемма. Интегралы
— \Dn(t)dt, ^-\Dn(t)dty — \s^^dt @<?<я)
0 0 0
все равномерно ограничены по п и ?. Разность между любыми
двумя из этих интегралов стремится к нулю вместе с 1/м
равномерно по ?.
Обозначим эти интегралы соответственно через an(|), (}п(?)>
Yn(|). Ясно, что разность рп — ап равномерно ограничена и рав-
равномерно стремится к нулю при я—>оо. Далее,
л
= — \ и>1 (t) sin ntdtг
о
1 1,1
где щ{1) равняется -—-^cig-^t на @, ?) и нулю на (|, я).
Так как полное изменение со^(^) на [0, я] равномерно ограничено,
то последний интеграл равномерно ограничен и стремится равно-
равномерно к нулю [см. D.13)]. Для завершения доказательства леммы
достаточно показать ограниченность
(?\— —
где
(8.3)
а для этого в свою очередь достаточно показать, что G(v)
стремится к пределу при v—»oo. Так как подинтегральная функ-
функция стремится к нулю, то достаточно доказать существование
limG(mt). Но ал(я)=1 и ап (л) — уп (л) ^->0, откуда следует,
что G(nn)—>я/2, что доказывает (8.2). Мы получили попутно
хорошо известную формулу:
Т^Л-Т • (8.4)
Возвратимся теперь к теореме (8.1) и воспользуемся послед-
последним замечанием из § 5. Заменяя f(x) на
1 г?,
7*

100 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
мы можем предполагать, что хо = О и что /(х) —четная функция.
Мы должны показать, что Sn@)—>/( + 0).
Предположим сначала, что /(^ — неотрицательная и неубы-
неубывающая на @, я) функция. Пусть С —число, большее, чем |р(?)|
для всех п и |. Запишем
(8-5>
где т| выбрано так, что выполнено неравенство | / (т)) — / (+ 0)| < е/4С.
Так как / (t) — f (+ 0) — неотрицательная и неубывающая функ-
функция, то, применяя вторую теорему о среднем, получаем
Т1'
При фиксированном ц В есть синус-коэффициент функции
юл@, равной нулю на @; т)) и {/@ — /( + 0)}-i-ctgy/ на (л, я).
Та?ким образом, в силу D.13),
Я->0, | Л + jB | < е для п>п01 Sn @)-
В общем случае функция / на [0, я] равняется разности /4—/2
двух неотрицательных неубывающих функций (положительного
и отрицательного изменения /). Если мы доопределим fx и /2 на
[ — я, 0] по четности, то формула f = fl — f2 распространится на
[ — я, я] и общий результат будет следовать из только что до-
доказанного частного случая.
Утверждение (II) следует из предыдущих рассуждений, если
заметить, что из непрерывности / на / следует непрерывность
положительного и отрицательного изменения / на /, и все полу-
полученные выше оценки равномерны для хо?1.
В гл. III, § 3, мы дадим иное доказательство теоремы (8.1),
не использующее теоремы о непрерывности положительного и отри-
отрицательного изменения.
Последовательность функций sn(x), определенных в окрестно-
окрестности точки х — х0 и сходящаяся при х = х0 (но не обязательно при
„хфх0), называется сходящейся равномерно в точке х0 к пределу
s, если для каждого е>0 существуют б = б(е) и р = р(г)у
такие, что
\sn(x) — s\ < е при |х — хо|<б и п > р.

8. ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ — ЖОРДАНА 101
Эквивалентное определение таково: sn(xn)—>s для любой после-
последовательности хп—>х0.
(8.6) Теорема. Если f имеет ограниченное изменение, то
S [/] сходится равномерно в каждой точке непрерывности f.
Достаточно рассмотреть случай, когда хо=О и / — четная
и неубывающая на [0, я]. Доказательство, аналогичное доказа-
доказательству (8.1), (I), показывает, что если п достаточно велико,
а х достаточно мало и, например, положительно, то Sn(x) стано-
становится сколь угодно близким к / (+ 0) = / @). Мы опускаем
детали, поскольку более простое доказательство будет дано
в гл. III, §3.
(8.7) Теорема. Пусть av, bv — коэффициенты Фурье функ*
ции /, и пусть F (х) — неопределенный интеграл от f. Тогда
2i (8-8)
V=l
и ряд справа равномерно сходится.
Для доказательства достаточно заметить, что правая часть,
за исключением члена -каох, есть S \F — -к-аохЛ [см. B.5)] и что
г (х) — у аох — непрерывная функция с ограниченным измене-
изменением.
Из (8.8) следует, что
f f (y\
^ [ v Ja
для любых' аир. Таким образом, если S[/] почленно проинте-
проинтегрировать на некотором интервале (а, р), то полученный ряд
8
будет сходиться к \fdx.
а
Полагая в (8.8) х=0, мы видим, что ряд 2 "V" сходится
для любой функции f. Для ряда 2 — это может быть неверно
[см. гл. V A.11)].
Следующий результат является аналогом (8.1), (I), для S[/].

102
ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
(8.9) Теорема. Если f(x) —функция с ограниченным изме-
изменением, то необходимым и достаточным условием сходимости
S [/] в точке х является существование интеграла
= lim {--
1
= lim
/l-v+0
2tgJL,
(8.10)
который представляет тогда сумму ряда S [/].
Сначала мы докажем следующую лемму:
(8.11) Лемма. Если f — функция с ограниченным изменением,
то Sn(x)— f (x\ п/п) стремится к нулю в каждой точке непре-
непрерывности f и ограничена в каждой точке разрыва.
Пусть y(t) = ^[f(xo + t)-f(x0-t)]. Так как S[f] в точке х0
совпадает с S[ip] в точке ^ = 0, то можно предполагать, что
х0 = 0 и f(x) — нечетна. Следовательно, г^о (t) = f (t). Предполо-
Предположим также на время, что /(^ — неотрицательная и неубывающая
на [0, я] функция. Тогда
п/п
/
= —L С
"^ «3
0
Щ
cos ntdt = A +В. (8.1»)
0 п/п z lg "
Предположим сначала, что f непрерывна при / = 0, т. е.
вместе с t. Так как |бп|<л, то
Я/П
|Л|< 5
0
Для заданного е > 0 выбираем г\ так, чтобы / (т]) < е; тогда имеем
п/п
Дважды применяя вторую теорему о среднем, получаем
п/п
•n"
e

8. ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ — ЖОРДАНА ЮЗ
т^ким образом, \В'\<в. Так как В" есть коэффициент Фурье,
та он стремится к нулю. Итак, разность (8.12) стремится к нулю.
Аналогично доказывается, что (8.12) ограничена, если /(-(-0)^=0.
Если не предполагать, что f — неотрицательная и неубываю-
неубывающая на [0, я] функция, то можно ее разложить на ее положи-
положительное и отрицательное изменение. Обе эти функции непрерыв-
непрерывны при ? = 0, если непрерывна f, так что (8.11) полностью дока-
доказана.
Пусть теперь п/(п+ 1)</г<зхМ. В общем случае, когда f —
функция с ограниченным изменением, получим
п/п
*Jl \ \f(t)\ — ^
при п —> оо, и, учитывая (8.И), убедимся в справедливости
(8.9).
Если f имеет скачок в точке х, то, очевидно, f(x; n/n)—> ±оо,
так что S [/] расходится в точке х к 4-оо. Этот факт также
содержится в следующем более общем результате, в котором
предполагается только интегрируемость /.
(8.13) Теорема. Если f (x0 ± 0) существует и если положить
O)/(*o-O) = /, то
Sn (х0) > /
In п л *
Мы можем предполагать, что хо=Ои что / нечетна. Утвер-
Утверждение теоремы легко проверяется для функции ф(х), опреде-
определенной в гл. I D.12), если использовать тот факт, что частные
суммы гармонического ряда асимптотически равны In п. Вычитая
(//я) ф (х) из /, мы получаем нечетную функцию g, непрерывную
? обращающуюся в нуль при лг = О; достаточно доказать, что
Sn(O, g) = o(lnn). С этой целью запишем [ср. E.11)]
п/п
п/п
Aп/г)=оAп/г)
[ср. гл. I, (8.1)].

104 гл. п. коэффициенты фурье
Из (8.13) вытекает следующее утверждение: если коэффициенты
Фурье ап, Ьп имеют порядок о(\1п), то f не может иметь раз-
разрывов первого рода, В самом деле, из предположения следует,
что
В частности, если коэффициенты Фурье функции f с ограничен-
ограниченным изменением имеют порядок о (\/п), то функция f имеет только
устранимые точки разрыва. Это означает, что f(x + O) =f (x—0)
для всех точек х, и, изменяя значения функции / не более чем
на счетном множестве точек, где / разрывна, мы можем сделать
/ непрерывной всюду.
(8.14) Теорема. Пусть f — интегрируемая периодическая
функция, и пусть она имеет ограниченное изменение на интер-
интервале I. Тогда S [/] сходится к у [/ (# + 0)+/ (х — 0)] в каждой
внутренней точке х интервала /. Если, кроме того, f непре-
непрерывна в интервале I, то сходимость равномерна на каждом
отрезке, внутреннем к /. Необходимым и достаточным условием
сходимости S [/] во внутренней точке х интервала I является
существование интеграла f (x), который представляет в этом
случае сумму §[/].
Для доказательства изменим. /, положив ее равной нулю вне
/. Новая функция будет иметь ограниченное изменение, и оста-
остается лишь сослаться на (8.1), (8.9) и F.6).
9. Явление Гиббса
Изучим теперь частичные суммы sn(x) специального ряда
2^4 (9.1)
V=l
в окрестности тонки х = 0. В этой окрестности ряд (9.1) не может
равномерно сходиться, поскольку ф (х) имеет разрыв при х^О.
Предполагая, что х > 0, и используя (8.2), мы видим, что

9. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА Ю5
равномерно на 0<л:<зх. Следовательно, sn(x) равномерно огра-
ограничены и
Я X
^ n(x), (9.2)
где | Rn (х)\ < е, если х < е, п>по(е).
Рассмотрим интеграл (8.3). Интегралы от (smt)/t по интерва-
интервалам (kn, (k + l)n) убывают по модулю и имеют чередующиеся
знаки при k = 0, 1, 2, .... Это показывает, что кривая y = G(x)
имеет вид волны с максимумами Мх > Мъ > Мь > ... в точках
я, Зя, 5я, ... и минимумами т2 < т4 < т6 < ... в точках 2я,
4я, .... Полагая х=п/п в (9.2), получаем
Таким образом, хотя sn(x) стремятся к ф(д:) в каждой фиксиро-
фиксированной точке х, 0 < х < 2я, но кривые у = sn (л:), проходящие
через точку @,0), накапливаются к интервалу 0<y<G(n) оси
Оу [см. также (9.4), ниже], отношение длины которого к длине
интервала 0<у<ф( + 0)=уЯ есть
о
Аналогично, слева от точки х — 0 кривые y = sn(x) накапливаются
к интервалу —G(jt)<y<0. Такое поведение частичных сумм
называется явлением Гиббса, и его общая форма может быть
описана следующим образом. Предположим, что последователь-
последовательность {fn{x)} сходится при хо< x<Cxo + h к пределу f(x) и что
/(#о+О) существует. Предположим далее, что верхний и нижний
пределы последовательности {fn(x)} удовлетворяют неравенствам
lim fn{x)>f(xo + O) или limfn(x)<f(x0 + 0).
n-*°° n-*oo
*-**о эс-*х0
Будем говорить тогда, что для {fn (x)} имеет место явление
Гиббса в правой полуокрестности точки х=х0. Аналогично для
левой полуокрестности. Если f(x)=\\mfn(x) определена и непре-
непрерывна в точке х0, то отсутствие явления Гиббса в точке х0
эквивалентно равномерной сходимости {fn (x)} в точке xQ.
(9.3) Теорема. Если f — функция с ограниченным измене-
изменением1), не имеющая устранимых разрывов, то для ряда S[f]
г) Достаточно предположить, что коэффициенты / имеют порядок ОA/п);
хм. теорему C.8) из гл. III. [В этом случае в формулировке теоремы надо
добавить, что / не имеет точек разрыва второго рода.—Прим. ред.]

106 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
имеет место явление Гиббса в каждой точке разрыва и только
в этих точках.
Можно предположить, что / имеет только регулярные разры-
разрывы, т. е.
для всех х.
Предположим, что f (?+0) — f (g — 0) = / Ф 0. Функция
непрерывна в точке ?. Следовательно, S[A] сходится равномерно
в точке ? [см. (8.6)]. Таким образом, поведение Sn(x; f) около
точки х вполне определяется поведением Sn [ln~ly(x — ?)], так
что для S[f] имеет место явление Гиббса при х = ?. Если f
непрерывна в точке ?, то S[/] сходится равномерно в этой точке
и явление Гиббса отсутствует.
(9.4) Теорема. Частичные суммы sn(x) ряда (9.1) строго
положительны на 0 < х < зх.
Теорема верна при п=1. Предположим, что она верна для
номера п— 1 и что- sn (x) имеет неположительный минимум
в точке х0, 0 < х0 < я. Так как
sin ( п+— )х0—sin-^*o
Sn(xo) = Dn(xo)-± = Ь f_Z_ ?—= 0,
2 sin у х0
то мы приходим к заключению, что sin (п+1/2) лг0 = sin xo/2
и, стало быть, |cos(/z+1/2)a:o| = cosa:o/2. Отсюда следует, что
sin пх0 = sin (п + у J XqCos-^Xo — cos fn + у j x0siny a:0 > 0,
т. е. sn(x0)— sn-i(x0)>0 и, значит, sn_1(xo)<sri (xo)< 0, что про-
противоречит предположению.
10. Признак Дини — Липшица
Мы знаем, что 5*(х) — f(x) формально есть синус-коэффициент
Фурье [см. E.4)]. Поэтому мы можем применить к этой разности
соображения, которые привели к оценкам D.2) для коэффициен-
коэффициентов Фурье. Зафиксируем х и положим

10. ПРИЗНАК ДИНИ — ЛИПШИЦА
{Q7
Тогда
Я—Т]
-л
я-т]
\
= [ % (t) sin ntdt— \ % (t + r\) sin nt dt =
0
я—ц
5
%(t)sinntdt +
Я-Т]
О -г\
Обозначим последние четыре интеграла через /?, /2,
соответственно. Так как
sin/tf-n-ctg тг
, то
2т|
При я>2 и t?(n — tj, я)
а так как неопределенный интеграл есть непрерывная функция,
то /2=оA) равномерно на каждом интервале, на котором / огра-
ограничена. Наконец, | /41 не превосходит
л
1
Разность внутри фигурных скобок может быть преобразована
и оценена так: у sin-g- л / sin у/ sin у (^ + т])< зх2т]/4^2. Подытожи-
Подытоживая все это и замечая, что 2 tg -^f>t на @, я), получаем
A0.1) Теорема. Пусть г\=п/п. Для каждого х величина
|S*(x) — f(x)\ мажорируется выражением
A0.2)
причем оA) равномерна на каждом интервале, где f ограничена.

108 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Как следствие получаем следующую теорему:
A0.3) Теорема Дини —Ли пшица. Если f непрерывна и ее
модуль непрерывности ю(б) удовлетворяет условию юFIп6—>0
вместе с б, то S[f\ сходится равномерно.
Так как
то первый член в A0.2) не превосходит со (rj) 1п/г = оA). Анало-
Аналогично, так как ф(^)—>0 равномерно по х, то оставшиеся члены
в A0.2) стремятся к нулю равномерно [гл. I (8.1)].
A0.5) Теорема. Если модуль непрерывности f на интер-
интервале I есть о (| In 61), то S[/] сходится равномерно на каждом
отрезке, внутреннем к I.
Поскольку непрерывная функция, совпадающая с / на /
и, скажем, линейная вне /, удовлетворяет условиям теоремы A0.3),
то достаточно воспользоваться F.6).
В гл. VIII, § 2, мы увидим, что условие
A0.6)
не обеспечивает сходимости S[f] в точке х0, так что A0.5) есть
результат, касающийся в первую очередь равномерной сходимости.
Тем не менее имеет место теорема:
A0.7) Теорема. Ряд S[f] сходится в точке х0 к сумме
f(xQ), если только выполнено условие A0.6) и коэффициенты
Фурье функции f имеют порядок О (п~6) при некотором б > 0.
Не нарушая общности, мы можем предположить, что Xq, = 0, f
четна, /@)=0. Удобно также считать ао = О, чего можно добиться
вычитанием -^-^(l — cosx) из S [/]. Наконец, предположим, что
~б @ < б < 1) для м = 1, 2, Положим г = уб и запишем
Здесь Р—>0 при /г—>оо, так как / непрерывна при ? =
и |Dn|<A2. Если
s(t)=sup\f(u)lnu\ для 0<и</,

10. ПРИЗНАК ДИНИ — ЛИПШИЦА 109
ТО
и остается только доказать, что /?—>0. Мы воспользуемся тем
фактом, что ряд Фурье можно интегрировать почленно после
умножения его на функцию с ограниченным изменением [этот
факт будет установлен позднее, в гл. IV, теорема (8.16)]. Поэтому
имеем
\ sin nt cos vt ,,
J? V п 2 \ sin nt cos
v=l n—r ^ l& о
Заменим произведения sin nt-cos v/ на разности синусов и приме-
применим вторую теорему о среднем к множителю у ctg у t. Полу-
Получаем, что при v Ф п множитель при av не превосходит по модулю
4nr/n\v — п\. Множитель при ап ограничен. Следовательно,
v=l
n—1 с»
v=l v=n-{-l
где штрих обозначает, что при суммировании следует опустить
член с v=n. Далее,
[И
п-1
т" « й.]+,
= О (n-Vt«) + О (/г' In n) = о A),
2п оо
V=n+1 y
= О (n-Vie in л) + О (/г-1^) =оA),
так что R—>0, чем заканчивается доказательство.
Аналогичные рассуждения показывают, что я/?и предположе-
предположениях теоремы A0.7)

ПО ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Доказательство следующей теоремы вполне аналогично дока-
доказательству теоремы A0.3).
A0.8) Теорема. Если /бЛа, 0<а<1, то Sn(x; f)—f(x) =
= 0(п~а\пп) равномерно по х.
Действительно, теперь ф (t) = О (/а), ф {t + х\) — ф (t) = О (т]а)
[ср. A0.4)]. Первый член в A0.2) имеет порядок 0(п~а\пп)у
второй — О(п~а) или О (п'1 In n) в зависимости от того, будет ли
а< 1 или а = 1; третий член имеет порядок О(п~а) и, наконец,,
легко видеть, что четвертый член имеет порядок О (х\) =
= О (л-*).
Можно показать на примерах, что множитель \пп в A0.8)
не может быть, вообще говоря, опущен (см. стр. 496, пример 10).
Предположим теперь, что существует такая постоянная С, чта
функция f(x) + Cx монотонна для всех х. (Сама функция f (x),
будучи периодической, не может быть монотонной, если толька
она не константа.) Такую функцию / будем называть функцией
монотонного типа. Имеет место следующая теорема.
A0.9) Теорема. Если f —функция монотонного типа
и принадлежит классу Ла, 0 < а < 1, то
sn{x, f)—f{x)=O{n-«), Sn(x, f)-J(x)=O(n-«) A0.10)
равномерно по х.
Пусть g(x)=f (x) + Cx возрастает. Разность Sn (x) — / (x)
записывается при помощи интеграла от n~1{f(x + t)—f{x)}Dn{t) па
интервалу (— я, я). Здесь можно заменить f на g", поскольку
интеграл от tDn(t) по ( — я, я) равен нулю. Достаточно доказать,
что интеграл по @, я) имеет порядок О(п~а); доказательства
для оставшегося интеграла аналогично. Пусть 2к~1<я<24. Наш
интеграл равен
я
о
TC2~k k Я2-О'-1
= S +2
0 1
Так как g (х + t) — g (х) =0 {ta) wDn = 0(n), то Р=(
= O(n~a). Кроме того, g(x + t) — g(x) неотрицательна и возра-
возрастает. Применяя дважды вторую теорему о среднем, получаем

11. ПРИЗНАК ЛЕБЕГА Ц\
для Qj значение
. «2-U-» sin
0B~;а) \
r OB)
I 2siny/ ^
= 0BHi-a)n),
откуда следует, что
2 Qj = 2 О (п-1) 2Н{~а)=О (^2feA-a)) -О (п-«).
1 1
Следовательно, Р + 2 Qj =O(n-a), и первая оценка в A0.10)
установлена. Доказательство второй оценки аналогично.
11. Признак Лебега
A1.1) Теорема. Если f интегрируема, то для почти всех х
при А-> + 0. A1.2)
Эта теорема принадлежит Лебегу. Она усиливает известный
результат, состоящий в том, что производная от неопределенного
интеграла от f(x) существует и равна f(x) почти для всех х
[этот факт получается из A1.2), если опустить знак модуля
в левой части]. Всякая точка л:, для которой имеет место A1.2), назы-
называется точкой Лебега для f.
Докажем следующую несколько более общую теорему.
A1.3) Теорема. Предположим, что f?U (г>1). Тогда
для почти всех х
jj \f(x±t) — f(x)\rdt = o{h) при h-> + 0. A1.4)
Пусть a — рациональное число. Функция \f(x) — a|r интегри-
интегрируема и, следовательно,
h
/Г1 \ \f(x± t)-a\rdt->\f(x)-a\r
о
почти для всех х. Пусть Еа — множество точек, для которых это
не имеет места. Так как |?а|=0, то сумма Е всех Еа имеет
меру 0. Докажем A1.4) для *, не принадлежащих к Е. Пред-

112 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
положим, что х0 не принадлежит ?, и пусть задано е > 0; обозна-
обозначим через р такое рациональное число, что \f(x0) — Р| < у б.
В неравенстве
h
{¦~]\f(xo±t)-f(xo)\rdty/r<
1/r
первый член справа, в силу предположения, стремится к | / (х0)—РI <
< -<? 6. Второй член равен | Р —/ (х0) |. Таким образом, правая часть
меньше е для достаточно малых Л, и A1.3) доказано.
Мы будем систематически употреблять обозначения
Л
dt.
Ф(А) =ФХо(Н) = J |фХо(О IЛ, ЧГ (А) = ?,0(А) = J
о о
#з (ИЛ) следует, что Фх (А) = о (К), Ч^ (А) = о (А) Зля почти
всех х.
Следующий признак сходимости ряда S [/] принадлежит Лебегу:
A1.5) Теорема. Ряд S[/] сходится к f(x) в каждой точке х,
в которой выполнены условия
l-dt^Q при т1 = ^->0, A1.6)
w сходится равномерно на каждом отрезке, на котором функ-
функция f непрерывна и второе из условий A1.6) выполняется равно-
равномерно.
Используем A0.1). Первый член в A0.2) имеет порядок оA),
по предположению. Третий член есть 2г\~1ФBг\) =о(\). Интегри-
Интегрирование по частям дает для второго члена значение
=0A),
поскольку Ф(/)=о(/) [см. гл. I (8.1)]. Теорема доказана.
Пользуясь аналогом для (ЮЛ) для сопряженных рядов, нахо-
находим при помощи аналогичных рассуждений, что одновременное

11. ПРИЗНАК ЛЕБЕГА ЦЗ
выполнение следующих двух условий:
+(НЧI л_»0 A1.7)
t
•n
влечет за собой соотношение
&п к*) —,
Если мы также заметим, что при п/(п-{- 1)<Л<яМ первое усло-
условие A1.7) дает
оA) A1.8)
при п—>оо, то мы можем заключить, что яри условиях A1.7)
S[/] сходится в точке х тогда и только тогда, когда суще-
существует f(x).
Условия A1.7) заведомо выполняются, если / удовлетворяет
условиям Дини — Липшица на некотором интервале, содержащем
точку х.
В гл. VIII, § 4, мы увидим, что существует интегрируемая
функция /, такая, что Sn(x; f) неограничены в каждой точке х.
Сейчас мы покажем, что тем не менее Sn (x) и 3„ (х) имеют
порядок о(In я) почти для всех х. Точнее,
A1.9) Теорема. Если ФХоAг) =o(h), то Sn(x0) f)=o(\n/t)\
если *?XQ(h)=o{h), то Sn(x0; f)=o{\nn).
В силу E.4) и E.10), \Sn(xo) — f(xo)\ не превосходит
1/п я
п jj |cp(/)|d/+ J r1\<p(t)\dt =
0 1/п
J na>(t)dt.
1/п
Сумма первых двух членов справа равна Ф(я)/я —О A) — о (Inn).
Так как Ф(/) =o(t), то оставшийся интеграл имеет порядок
о (In л). Таким образом, Sn(x0) =о(\пп).
Аналогично из E.5) и E.11) следует, что
1/п я
5 ШИ
5 J
0 1/п
А. Зигмунд, т. 1

114 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
В силу A1.9), Sn (х) и Sn(x) имеют порядок о (In я) в каж-*
дой точке непрерывности f. Более того, если f непрерывна
на интервале /, то Sn(x) и Т$п(х) имеют порядок о (Inn) равно-
равномерно на каждом отрезке, внутреннем к /. Доказательство этого
немного проще, чем доказательство A1.9), поскольку не требуется
интегрирование по частям.
Наиболее важные признаки сходимости рядов Фурье —это
признаки Дини, Дини—Липшица и Дирихле — Жордана; все они
основываются на различных идеях. Можно показать, что признак
Лебега содержит в себе три остальных, но он менее удобен практи-
практически, потому что второе условие из A1.6) соответствует не таким
простым свойствам функции /. Интересно, однако, следующее
применение признака Лебега.
A1.10) Теорема. Предположим, что /gX?/p, р>1. Тогда
S [/] сходится к f (x) в каждой точке Лебега для функции f\
сходимость является равномерной на каждом отрезке, на ко-
котором f непрерывна. В каждой точке множества Лебега,
в которой существует f{x), ряд $[f] сходится к f(x).
Достаточно доказать часть теоремы, касающуюся S[f]. Мы
покажем, что второе условие A1.6) выполнено всюду и равно
мерно по х. По неравенству Гёльдера с р'=р/(р— 1)
равномерно по х.
12. Константы Лебега
Так называются числа, определяемые следующим образом:
sin
dt.
—л
Ясно, что, если |/|<1, то
2 sin -j t
Sn(x; f)\<-jr\ \f{x + t)\\Dn{t)\dt.<Ln
для всех х\ в то же время очевидно, что для f(t) ^= signDn(t)
будет Sn@; f)=Ln. Так как функция s\gnDn{t) разрывна лишь
в конечном числе точек, то при любом заданном 8 > 0 мы можем

12. КОНСТАНТЫ ЛЕБЕГА Ц5
при помощи небольшого сглаживания функции вблизи точек раз-
разрыва получить такую непрерывную функцию, для которой
5д@; f)>Ln — e. Таким образом, для каждого п Ln есть:
(I) максимум \Sn(x\ f)\ по всем х и всем /, удовлетворяющим
условию |/1< 1;
(II) верхняя грань1) | Sn (x; f)\ по всем х и всем непрерывным
функциям f, удовлетворяющим условию |f|<l.
Докажем, что
Ln =4л~2 In п-\~О A) с^а 4я~2 In n при п—>оо. A2.1)
Так как \Dn— Dn|<y > а функция ~ —-j^g \ t ограничена при
|Л<я, то
о
п-1
я/n п—1
Сумма в фигурных скобках заключена между
и пп
и, таким образом, равна jt"xn [In n + O(l)]. Поскольку интеграл
от sin nt по @, п/п) равен 2М, то равенство A2.1) доказано.
Можно добавить, что так как величина \Dn(t)\ равномерно
ограничена на любом интервале 8<^<я, 0 < 8 < я, то из A2.1)
вытекает, что
8
-|- J \Dn(t)\dt = -^\nn + O(l)~-^\nn A2.2)
при любом фиксированном г @ < е < я).
Полезны также следующие формулы:
6
~?-\nn. A2.3)
Jt
х) Под верхней гранью мы всегда понимаем наименьшую верхнюю границу.
Аналогично—для нижней грани.
8*

П6 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
Они эквивалентны, так как \Dn — Dn\^-^ и Dn(t)>0 на @, я).
Левая часть второй формулы равна — 5*@; /), где /(/) =
= sign/(—я</<я). Так как / имеет скачок, равный 2 при
t = 0, то из теоремы (8.13) получаем — S?@; /) с^2п~1 In n, откуда
вытекает A2.3).
Первый интеграл в A2.3) есть аналог констант Лебега Ln
и есть максимум |5„@; /) | по всем функциям /, удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям | /1 < 1. Этот максимум достигается для функции
f(t)=s\gnDn(t).
13. Формула суммирования Пуассона.
Понятие преобразования Фурье
A3.1)
функции g(x), определенной на ( — оо, +со) (см. гл. I, § 4),
полезно в теории рядов Фурье в связи со следующим простым
фактом.
'Предположим сначала, что g(x) абсолютно интегрируема
на (— со, + °°). Тогда ряд
2f A3.2)
fe=-oo
абсолютно сходится для почти всех х на [0, 2л], как это видно
из неравенства
-{-оо 2Я +оо
2 \ \g(x+2kn)\dx= J \g(x)\dx<co
k==—cx> 0 —оо
[см. гл. I A1.5)]. Пусть Gn(x) — п-я симметрическая частичная
сумма ряда A3.2) и G(x) = \imGn(x). Функция G(x) существует
для почти всех х и периодична. Так как Gn(x) мажорируются
интегрируемой функцией, то коэффициенты Фурье cv от G есть
2 л: 2(n+l)Jt
lim -±- \ Gn (х) е-»х dx = lim^- \ g (x) er** dx = y (v).
A3.3)
Таким образом, при наших предположениях коэффициенты Фурье
cv суммы G(x) ряда A3.2) равны преобразованию Фурье y(v)
функции g{x).

13. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА Ц7
Если, кроме того, окажется, что 2 cveivx = S [G] сходится
в точке х = 0 и его сумма равна сумме ряда A3.2) в точке х = О,
то мы получаем равенство
-f-oo -f-°° -f-°°
2 ?Bfoi)= 2 i S g(x)<r-*>*dx. A3.4)
h=—oo v=—oo —oo
Это часто используемое соотношение называется формулой сумми-
суммирования Пуассона. Сумма, стоящая справа, определяется как
предел симметрических частных сумм.
Предположим, например, что g(x) не только абсолютно инте-
интегрируема на (—оо, +оо), но к тому же имеет ограниченное
изменение, причем 2g (x) = g(x+0)+g(x — 0) для всех х. При
этих предположениях мы докажем формулу A3.4).
Пусть Vk — полное изменение g на отрезке /& = [2kn, 2 (k + 1) я],
k = 0, ± 1 ... . Так как ряд A3.2) сходится абсолютно в неко-
некоторой точке х0 из /о, то из неравенств \g(x + 2kn) —
— g(Xo + 2kn)\^vk, при х б /0 и 2^<°°» вытекает, что ряд
A3.2) сходится абсолютно и равномерно на /0 к сумме G(x),
очевидно, с ограниченным изменением и такой, что 2G (х) =
= G(x + 0) + G(x — 0). Тогда формула A3.4) есть следствие тео-
теоремы (8.1).
Равенства cv — У (у), слегка измененные, сохраняются и в слу-
случае, когда g(x) не абсолютно интегрируема на ( — оо, +оо).
Именно предположим, что g(x) интегрируема на каждом конеч-
конечном интервале и что
(I) jj \g(x)\dx-*O при ?->±co;
(II) функция g*, определенная формулой
(*) = ?(*) — ~h \ ?(t)dt для
(Л = 0,± 1, ±2 ...),
абсолютно интегрируема на ( — оо, +оо).
Условия (I) и (II) заведомо выполнены, если, например, g(x)
стремится монотонно к нулю в окрестностях -{-оо и —оо.
Теперь мы докажем следующую теорему.

118 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
A3.5) Теорема. При условиях (I) и (II) интеграл A3.1),
определенный как lim \ , существует при м = ±1, ±2, ...,
и коэффициенты Фурье с% функции
п 2пя
G*(x) = lim j У g(x-\-2kn)—~— \ g(x)dx> A3.6)
г k=—n —2rut
удовлетворяют равенствам с\ = 0, с? = y (v),v = ± 1, ± 2,....
Функция G* (x) может быть записана в виде 2j?* (x-\-2kn),
так что в силу уже использованных ранее соображений она
интегрируема на [0, 2я], и с% получаются из формулы A3.3) при
замене Gn вместо Gn и g* g. Далее, поскольку интеграл от e~ivx
по периоду равен нулю при v=± I, ± 2, ..., то, в силу (I),
имеем
со
-г (х) e~lvx dx = у (v) (v = ±l, ±2, ...).
—со
Интеграл от g* (x) по каждому из интервалов Bkn,
2я
&=ьО, ±1, ..., очевидно, равен 0. Следовательно, \ G*(A;)dA: = O
о
И ?* =0.
Укажем одно следствие из теоремы A3.5), которое будет
полезно в теории интегрирования дробного порядка (гл. XII, § 8).
A3.7) Теорема. Пусть 0<а< 1, и пусть Wa{x)~перио-
Wa{x)~периодическая функция, определенная при 0 < х < 2я формулой
Та (х) = lim
п->оо
Тогда
-foo — -rcaisignv
где штрих указывает на то, что в сумме опущен член при
v = 0.
Функция ?а (х) есть G*(a;), соответствующая функции g{x),
равной 2ял:а-1/Г(а) при х > 0 и нулю в остальных точках. Коэф-
Коэффициенты 4fa суть
для

13. ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ПУАССОНА 119
Заметим теперь,-что1)
б~2я1аГ(а)= \ t*-ie-udt для 0<а< 1. A3.10)
о
Положив t = \u, мы видим, что Cy = v~aexipf — -лШ'а ) дляv>0,
2 у
и так как c!_v = c*, то получаем формулу. A3.9).
В силу теоремы B.6) гл. I, ряд в A3.9) сходится равно-
равномерно вне любой окрестности точки # = 0. Если в A3.8) мы
опустим член ха~{, то предел будет существовать равномерно
на 0<л;<2я (это будет функция G*, соответствующая функции
g (х), равной 2пха~{/Т (а) при х > 2я и нулю в остальных точках).
Следовательно, с ошибкой, имеющей равномерно порядок 0A),
периодическая функция Wa (х) равна 0 при — я < х < О
и 2яха-1/Г(а) при 0<л:<я.
Рассматривая ряды Фурье от функций Wa (х) ± ?а (—•х)
и используя соотношения Г (а) Г A —а) = я/этяа, получаем полез-
полезные формулы:
оо
XI COS VX ^ /1 ч . 1
2—— = r(l-a)sinT:
v-i v
v=l
~ГA —a) cos у na-xa~i
A3.11)
Формула суммирования Пуассона может быть записана в не-
несколько иной, более симметричной форме. Пусть а > 0, и пусть
g(х) = h (ах/2л). Тогда, в силу A3.4),
-j-oo -]-оо -j-oo
2 h(dk)= 2 i \ ^(y)e-2nivy/ady. A3.12)
fe=_oo V=—оо —оо
x) Эта формула легко получается из классического определения Г(а) =
оо
= \ ха~{е~хйх, если применить теорему Коши к интегралу от функции
о
га в~2, взятому по границе области, ограниченной дугами 0 <; arg z •< -^ п
окружностей |z| —8 и \z\=R и сегментами (е, R) и (i&, iR) действительной
и мнимой осей; если 0<а<1, то интегралы, взятые по дугам окружностей,
стремятся к 0 при s -> 0 и R -> оо, откуда следует A3.10).

120 ГЛ. It. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ ^_^
Если (что часто бывает удобно) мы изменим определение A3.1)
преобразования Фурье, заменив там множитель 1/2я на 1/]/Bя)
и соответственно положив
х(и) = -±= \ h{y)e-^dy, A3.13)
У \Щ j^
то члены, стоящие справа в формуле A3.12), могут быть записаны
в виде ]/Bя) а~г% Bjiv/a) и формула Пуассона приобретет сле-
следующую форму:
V'a 2° h(ak) = Vb 2 X(bk), A3.14)
k= —оо k=—оо
где а и Ь — два любых положительных числа, удовлетворяющих
условиям а6 = 2я, а % (и) — преобразование Фурье A3.13) функ-
функции h.
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Пусть задана последовательность положительных чисел &п, стремя-
стремящихся к нулю. Тогда существует непрерывная функция f(x), коэффициенты
Фу{)ье которой удовлетворяют неравенству | ап \-\-\ bn | > гп для бесконечного
числа номеров п (Лебег [1], Харди [1]).»
[Положить, например, / (x) = eni cos я^+е^ cos п2х-{-..., где {п^} растут
так быстро, что 28^<°°-]
2. Предположим, что / ? AgJ и /6Л^, Pi>l, Рг> 1- Показать, что
/ ? Л„, если точка с декартовыми координатами (а, 1/р) находится на отрезке,
соединяющем точки (alt I/Pi), (a2, l/p2) (Харди и Литтлвуд [5]).
[Использовать A0.12) (III) из гл. I.]
3. Пользуясь равенством
м- 2я м-
2 1 1 ? лтл sin п (х—t) ,. ._ _ч
— (ап sin пх— Ьп cos nx) = —^f (t) 2j „ ' dt* Доказать (8.7)
а, о я,
и формулу
со 2Я
1 0
4. Показать, что числа Cfe= l + 2-2fe-f3-2fe+• • • (ife = l, 2, ...) являются
рациональными кратными от jt2fe.
[Проинтегрировать ряд sin *-|--^-sin 2x-{-... нечетное число раз и поло-
положить л:= 0.]

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
121
5. Если f (х)—периодическая функция, имеющая k непрерывных производ-
производных, то ее коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенствам
Если /(fe) имеет ограниченное изменение, то
где V—полное изменение
на 0-<л:<:2я.
6. Пусть /(л:), 0<]л:<;2я, имеет к непрерывных производных на отрезке
[О, 2я], но не обязательно непрерывна, если ее продолжить по периодичности.
Показать, что ее коэффициенты Фурье сп равны
а . Р
—пг
Х+о(\)
7. Пусть /(*)- 2<V?inx, h>°>
при п->4-оо.
= -2f J /(')<*/. Показать, что
ЗС-/1
Штрих указывает на то, что член с п = 0в сумме опущен. Знак «~» может
быть также заменен на « = ».
[Если F (х) есть интеграл от /, то /д (х) = [F (x-\-h)—F (х—h)]/2h.
Применить (8.7).]
8. Пусть 0< а < 1. Система функций {ei(n+a)x}n=Q^ ±1 ±2j ортого-
ортогональна и полна на любом интервале длины 2я.
Каждая из систем cos ( п-\~к ) х и sin ( п~^~~9~ ) х' л = 0,1,2,...
ортогональна и полна на @, я).
Объединенная система cos ( л4—9-
и полна на любом интервале длины 2я.
Показать, что
in f n+-n" ) х
sin
ортогональна
а ряд сходится абсолютно и равномерно.
9. Пусть f (х) определена на 0<;л:-<2я. Ряд S [/] не может сходиться
равномерно, если / (\-0) Ф f Bя—0), даже если функция f (х) ведет себя
f ()
e~iax
хорошо. Предположим далее, что а таково, что g (x) = f (x) e~iax принимает
Одинаковые значения в конечных точках 0 и 2я. (Такое а всегда существует,
хотя и не обязательно действительное, при условии, что / (~\-0) Ф О
и f Bл—0) Ф 0.) Если S [/] сходится равномерно к ?"(*), то получаем

122 ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
равномерно сходящееся представление
+оо 2л
Это ряд Фурье при действительном а; если /D-0)=—/Bя—0), то а=1/2
(ср. с примером 8).
10. Если а не есть целое действительное число, то
-f-oo -f-oo
2 sin (я-fa)* ^ c
v Д ; = я, У,
п=—оо п= —оо
при 0< *<2я.
[См. гл. I D.19).]
11. Пусть f (х)—периодическая неотрицательная и не равная тождественно
нулю функция. Докажите, что ее коэффициенты Фурье удовлетворяют нера-
неравенствам
l«ml<% 1*т1<Яо. km К «0 (т Ф 0)
(Каратеодори [1]).
12. Пусть g(x)—периодическая нечетная неотрицательная на @, я) и не
равная тождественно нулю функция. Показать, что ее коэффициенты Фурье
Ьт удовлетворяют неравенствам
\bm\<mbi (m = 2, 3, ...)
(Рогози некий [1], Дьедонне [1]).
[Доказать по индукции, что | sin mt | <^m \ sin 11, /n—1, 2, ...]
13. Пусть 0<а< 1. Показать, что функция х~а~{, 0<л: <; я (не инте-
интегрируемая) имеет обобщенные синус-коэффициенты Ьп <=* Спа, где С Ф 0
не зависит от п
[С"^Л}6л==$ х~а~1 sin nxdx=na\ х-0 sin
о о
14. Показать, что
. 1 k sin x , 2r /
...=Tl_ fe (
sin a:-(-sin 3#4-sin Ъх-\- ....
' ' '
Вторая формула формально получается из первой переходом к пределу при
г->1.
15. Пусть функция f(x), ()•<*•< я (не обязательно интегрируемая)
такова, что g(x) = f (x) sin х—функция с ограниченным изменением. Тогда Ьп
стремятся к конечному пределу. Если, кроме того, g(-f-O) — g (я—0) = 0, то
Ь A)

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 123
[Заметить, что -
я 2я
2 Г . . sin я* . 2 f /1
6л = \ g (Х) : dX~ \ g -тг X
п я Л s ч у sin л: it J Ч2
о о
1
"FT ПХ
2
g (X) : dX~ \ g [ -pr X )
.. sin x я J 42 У ft
0
Если я = 2&+1, то последний интеграл есть 26^ @; g (*/2)).]
16. Пусть
(*) 2 <Vlei(n+a)x
есть ряд Фурье некоторой интегрируемой функции /(*), 0<!*<;2я, по орто-
ортогональной системе g^+a)^ 0<а<1 (так что сЛ=Dа)). Показать, что все
ряды (*) равномерно равносходятся на каждом интервале (е, 2я—8). Равно-
Равносходимость может, вообще говоря, не иметь места на всем интервале @, 2я)
( если, например, а=-=-, сумма S (х) ряда (*) удовлетворяет условию
17. Пусть f (х)—периодическая и интегрируемая функция; рассмотрим
функции
4 tg — 2f 4sin-g-/
периодические и нечетные. Показать, что обобщенным синус-коэффициентом
/i(^) является величина Sn(x0; f)—/(%), и что коэффициенты Фурье функ-
функции f2(t) по системе sin ( п-\"к ) t равны Sn(x0)—f (x0).
18. Пусть f (х) периодична и интегрируема; предположим, что четные
функции
in
интегрируемы на @, я). (Это равносильно интегрируемости выражения | f(xo+t)—
—f (хо—t) I ^-1.) Показать, что косинус-коэффициенты /3 (t) и коэффициенты
Фурье 74 @ по системе cos Г п-\—^ Л t суть соответственно Sn (х0)—7(*о)
и Sn(x0)—Г(х0).
19. Если f (х)—характеристическая функция интервала (—/г, /г),
0</г<я, то
Т(х)=±-\п
sm-^(x-h)

124
ГЛ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ
[Заметить, что
-тг ctg -?г t dt = \n
sin 6/2
sin a/2
для любого интервала (at b)t содержащегося в (—2я, 2я).]
20. Пусть g(x) = 0 при |*|<& и g(x) ctg
= -^- ctg-^-x в остальных точках
интервала (—я, я), 0<&<;jt. Показать, что
) = -tt( 1 — ) ^-ct?-7r*ln
В частности,
sin у (Jf—Л)
sin— (x+h)
sin —(x—h)
= n—h,
причем подинтегральная функция слева неотрицательна (М. Рисе [1]).
21. Рассматривая S [cos ал:] в точках х=0, Л, показать, что
«—ft»
ft=l
K=-N
N
__l = lim V
J а2—/г2 N-^+oo ^
K=-N
22. Если /(*o+O + /(*o—0 монотонно возрастает к +оо при ^—> 0,
О < t < /0, то S [/] расходится к +оо в точке х0.
[Пусть [f(xo+t) + f(xo—t)]/t = x(t). Тогда
Л/П
rt/n
Jt/П
23. Пользуясь формулой (см. § 12), выражающей константы Лебега
в следующем виде:
2л п
?п=— \ sign sin (tt+yj * [ у+2 cos/j^J dx>
k=i

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 125
и интегрируя по частям, доказать, что
п
я/г
г я ZJ А: б 2я+1
(Фейер [8]).
24. Пользуясь S I I s*n х 11 (см- СТР- 61, пример 3) и формулой
= sin*+sin3x+ .. . + sinB/j—1) х,
sin х
доказать, что
1.1, . 1
оо
L — — У 3 5 " 2feB^+l) — 1
Это равенство, в частности, показывает, что {Ln} строго возрастают (Сегё [1]).
25. Показать, что заключение теоремы F.7) (I) сохраняет силу, если
предположение теоремы заменить следующими условиями: (I) / (х) ограни-
ограничена; (II) q(x) интегрируема и удовлетворяет условию
(У. Юнг [11]).
26. Рассмотрим периодические функции fp(x), определенные формулами
при | х К я, р' = р/(р—1). Показать, что (I) /р (х) принадлежит классу Л*,
1<р<сх), но не принадлежит Л|, q>p\ (II) fp (x) не принадлежит А%.
27. Пусть 0<а<1, —оо<Р<+оо. Модуль непрерывности функции
оо
/а, 3 (*)= 2 b~nan-V cosb^x (b = 2, 3, )
n=l
имеет порядок О Fа 1п~р 1/6), если а>0, и О Aп~(Р") 1/5), еслиа = 0, Р> 1.

ГЛАВА III
Суммируемость рядов Фурье
1. Суммирование числовых рядов
Рассмотрим бесконечную числовую матрицу
#00 #01 • • • а0п
а10 ап ... а1п
ат
Каждой последовательности s0, si9 s2, ... сопоставим последова-
последовательность {оп}, задаваемую равенством
si + ... +anvsv+ ... (л = 0, 1, 2, ...), A.1)
при условии, что ряды справа сходятся цри всех п. Если ап
стремятся к конечному пределу s, то мы скажем, что последователь-
последовательность {sv}, или ряд, частичные суммы которого равны sv, сумми-
суммируется матрицей М к пределу (сумме) s. Выражения ап называются
линейными средними (определенными матрицей М) для {sv}. Мат-
Матрица М, такая, что anv=0 для m<v, называется треугольной.
Предположим, что числа
существуют (и конечны) для всех п. Матрица называется регу-
регулярной, если выполняются следующие условия:
(I) lim anv = 0 для v = 0, 1, ...;
(II) Nn ограничены;
(III) lim An = l.
п—юо
Из конечности Nn вытекает существование АП1 а также сходи-
сходимость рядов A.1) для каждой ограниченной (в частности, сходя-
сходящейся) последовательности {sv}.
A.2) Теорема. Если М — регулярная матрица и если sv
стремятся к конечному пределу s, то en—>s.

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 127
Действительно, положим sv — s + ev, ev—>0. Соответственна
имеем оп = о'п + Оп, где
On = sAn, o'n = гоапо + Eianl + ... .
Здесь o'n—>s по условию (III). Пусть N — верхняя грань для Nnr
и пусть | ev | < r\l2N для v > v0, где ц — любое наперед заданное
положительное число. Тогда
Первая сумма справа стремится к нулю при я—> оо [условие A)]>
J_
2
и, таким образом, меньше -^ц для п > п0. Остаток не превосходит
Nv\I2N =-g- г]. Следовательно, |(Тп|<г] для п> п0, т. е. оп—>0%
on—>s, что и требовалось доказать.
Заметим, что если s = 0, то условие (III) не используется
в предыдущих рассуждениях.
Условие (II) само по себе показывает, что из ограничен-
ограниченности {sv} вытекает ограниченность {стп}; действительно, если
|sv|<i4 для всех v, то |ад|<ЛЛЛ
Интересно заметить, что условия (I), (II) и (III) также^
и необходимы, для того чтобы последовательность {оп} стреми-
стремилась к s для каждой {sv}—>s. Действительно, рассмотрим последо-
последовательность sv = 1 для всех v и последовательность sv = 0 для-
всех v Ф fx, Sy, = 1. В первом случае s = 1, во втором s = 0. Так как.
оп=Ап в первом случае и оп = ап[1 во втором, то необходимость,
условий (I) и (III) очевидна. Необходимость условия (II) менее
очевидна, и мы не будем здесь ею заниматься (см. гл. IV, стр. 269).
Условие (II) есть следствие (III) в том случае, когда числа anv,
неотрицательны. Такая матрица называется положительной.
A.3) Теорема. Если М — положительная регулярная мат-
матрица, то
lim sv < lim on < lim on < lim sv A.4)
для любой последовательности {sv}, для которой оп определены.
В частности, если М положительна, то теорема A.2) сохра^
няется и для случаев s — + оо и s = — оо.
Пусть limsy^s, lim sv = s. Для доказательства последнего
неравенства в A.4) мы можем предположить, что s < + оо. Пусть,
а —любое число, большее чем s. Тогда sv < а для v >v0 и.,
в силу (I),

128 гл. in. суммируемость рядов фурье
Следовательно, по условию (III), Птад<а, и, таким образом,
Timon<s- Первое неравенство A.4) доказывается аналогично.
Если матрица М не положительна, то A.4) не обязано иметь
место. Однако справедлива следующая теорема.
A.5) Теорема. Пусть М — регулярная матрица, и пусть
С = \\mNi. Тогда для любой последовательности {sv}, для кото-
которой s и s конечны, оба числа a = liman, a = l\man расположены
на отрезке с концами
Другими словами, а и а лежат на отрезке, концентрическом
с [s, s] и в С раз большем.
Положим sv = Sv + Sv, гДе sv=-j(s + s) для всех v. Тогда
lim | Sv | =-2"(s — s). Соответственно on = Gfn + an, где
o'n —> ^ (l+ s)> Iim I °n I < c • " (s —?)•
Э^им доказательство заканчивается.
A.6) Теорема. Пусть pQy ри рг, ... и q0, qu qz, ... — две
последовательности, и пусть
Pn = Po + Pi+ ..- +Рп, Qn = qo + qi+ . ..+?Л,
qn> 0 для всех п, Qn—>co.
При этих предположениях, если pn/Qn—>s, то PJQn—>s.
Положим sv = pv/qv, an = Pn/Qn', тогда
Здесь а являются линейными средними для s, и нетрудно про-
проверить, что матрица М — положительная регулярная матрица.
Поэтому достаточно применить A.3).
В частности, полагая qv = 1 для всех v, мы получаем клас-
классический результат Коши: если sv—>s, то
(So + st + . •. + sn)/(n + 1) -> s\
Пусть задана последовательность so,Si,s2, ...; определим для
каждого k =0, 1, ... последовательность SJ, 5f, S\, ... условиями:
1 (Л = 1,2, ...; n=0, 1,...).

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 129
Аналогично, для k = 0,1, 2, ... определим последовательность
чисел Л*, Лд,Л?, ••• следующими равенствами:
1 (? = 1,2, ...;/i = 0, 1,...).
Мы будем говорить, что последовательность s0, s4, s2, ... (или
ряд, частичные суммы которого суть sn). суммируется при помощи
k-x чезаровских средних арифметических, или, короче говоря,
(С, к)-суммируема {суммируема (С, kj), к пределу (сумме) s, если
(С, 0)-суммируемость есть обычная сходимость. Из (С, /^-сумми-
/^-суммируемости последовательности вытекает (С, fe + 1 )-суммируемость
к тому же пределу [достаточно применить теорему A.6), поло-
положив pn = S^ qk=Aa]. Для того чтобы найти численные значе-
значения Л?, используем следующее предложение: если
для всех п и если \ х | < 1, то
2 апхп = {1-х) 2 Лп^ A.7)
пра условии, что оба ряда сходятся. Действительно, если 2 Апхп
сходится и мы раскроем скобки в правой части и приведем подоб-
подобные члены, то получим ряд, стоящий слева. Обратно, если | х\ < 1
и 2 апХ>П СХ°ДИТСЯ' то
A -ХГ 2 С1ПХП = 2 *П 2 "пХП = 2 АпХП,
0 0 0 0
по правилу Коши перемножения степенных рядов, и
сходится.
В частности,
2^S
n=0 n=0
оо
= 0-*Га 2 An~
0
2 s*jcn=(i-jcri 2 s*-^n=
n=0 n=0
2 s*-2jcn =... -(i-x)-k 2
n=0 n=0
9 А. Зигмунд, т. I

130 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Это позволяет нам переформулировать наше определение
следующим образом: последовательность s0, sb ... (или ряд
Wo + Hi +И2+ с частичными суммами s0, s4, s2, ...) (С, а)-
суммируем к пределу (сумме) s, если
a Sn
< = ^ ->s прИ п->оо, A.8)
еде Sn и An определяются формулами
A.9)
2
/1 ОПЛ — ^1 Л^ ^j одЛ — ^1 Л^ ^/j Мдл .
п=0 п=0 п==0
Мы будем иногда записывать этот факт следующим образом:
оо
(С,a) lim sn = s или (С, а) 2 и>п = s.
.о. .
Если {а^} ограничена, то будем говорить, что {sn} (С, а)-огра-
ничена (ограничена (С, а)).
В этом новом определении а уже не обязано быть неотрица-
неотрицательным целым числом. Единственное ограничение то, что аФ — 1,
-«-2, —3, ... [иначе, как видно из первой формулы A.9), An
равны нулю для достаточно больших п\. Оказывается, однако,
что интересен лишь случай a > — 1. Числа 5" и а? называются
соответственно чезаровской суммой и чезаровским средним по-
порядка а для последовательности {sv} (ряда 2^v)- Числа An
называются числами Чезаро порядка а. Полезно напомнить, что
в случае ряда г/0 + ^1 + ^2+• • • имеем S^l1 = un.
Из определения An и 5" следует, что
2 v () 1 = 2 uv ()
v=0 v=0
для всех а и р. В частности, заменяя а на а—1 и р на 0,
получаем
А1=^АГ\ S^Ssr1; 0-И)
v=0 V=0
следовательно,
Al-Al-i=Al-\ SS-SS.t^sr1. A.12)
Из A.10) (II) мы получаем важную формулу
2 ^
2j
v=0

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 131
которая показывает, что
v=0 n v=0 n
Из первой формулы A.9) вытекает, во-первых, равенство
Ла (а+1)(а+2).
Л« - я!
A.15)
так что
2 |Л?|< + оо для а<^1, A.16)
v=0
и, во-вторых, следующая теорема.
A.17) Теорема. An положительны при а > — 1, возрастают
(как функция от п) при а > 0 и убывают при — 1 < а < 0; Ап = 1
5ля всех п. Яе;ш а < — 1, то А% сохраняют знак для всех доста-
достаточно больших п.
Г(х) в формуле A.15) обозначает гамма-функцию Эйлера,
и фактически сама формула задает гауссовское определение
этой функции. Позднее (в гл. V, § 2) нам потребуется более
точная формула, именно
^-ТЙТГ {1+0(|)}. A-18)
Для доказательства ее заметим, что In (I -\-u)=^u-\-0(u2) для
достаточно малых |и|, и, следовательно,
~ V2
V—1 ' V=l V—1
^) A.19)
по формуле (8.9) гл. I и в силу того факта, что остаток ряда
с членами порядка 0(l/v2) имеет порядок 0A/п). Сравнивая
последнюю формулу с A.15), мы видим, что const = 1пA/Г(а+ 1))
и A.18) вытекает из A.19).
Полезно отметить, что если а —положительное целое число,
то
).. .(п + а) п 9т
Л ' A"*0)
9*

132 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
A.21) Теорема. Если ряд суммируем (С, а), а >-— 1,
к сумме s, то он также суммируем (С, а-f/i) к s при любом
А>0.
A.22) Теорема. Если ряд uo + Ui+... суммируем (С, а),
а> — 1, к конечной сумме, то ип~о(па).
Пусть On — чезаровские средние этого ряда; тогда
п п
n<*+h_( у лЛ-1 о« \# да+h __ ( yi Wi-1 да а \ / да+h
v=0 v=0
Следовательно, On+h представляют собой линейные средние для
о>п, причем нетрудно подсчитать, пользуясь A.10) и A.15), что
условия (I), (II) и (III) регулярности удовлетворяются при
а> — 1, h > 0. Это доказывает A.21). Более того, так как матрица
здесь положительная, то пределы неопределенности для {On+h}
заключены между пределами неопределенности для {а"}.
Для доказательства A.22) запишем
uJAl = ( 2 A~X2S« )IAI = ( S Anl;2A« a? )/A%.
v=0 v=0
Предположим, что о%—>0 (этого можно достичь, вычитая посто-
постоянную из и0). Надо показать, что коэффициенты при о% здесь
удовлетворяют условиям (I) и (II) (условие (III) излишне, так
как 0у —> 0). Условие (I) следует из A.15), так как а> — 1.
Для доказательства (II) предположим сначала, что а>0. Тогда,
так как А%> А% > 0, имеем
п < 2j I nv IZjIv
v=0 v=0
[см. A.16)]. Если — l<a<0, тогда Л5"а~2 = 1, Л7а < 0 для
v > 0, и, пользуясь A.П), находим, что Nn=2 для всех п. Это
доказывает A.22).
A.23) Теорема. При предположениях теоремы A.22) если
Y<a, то Sl = o(na).
При у= —1 это утверждение превращается в теорему A.22).
Теорема A.23) следует из предыдущих рассуждений, примененных
к формуле
v=0

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 133
Для уф — l, —--2, ... утверждение теоремы может быть запи-
записано в виде а? =о(па~у).
Рассмотрим ряд Uo + ut+ ... . Обозначим через sn его частич-
частичные суммы, его первые средние арифметические через an. Таким
образом,
v=0
Часто полезно рассматривать разность
i
An—>0 а вела ряд суммируем (С, 1), то он сходится.
В частности, ряд wo + Wi+..., суммируемый (С, 1) и имеющий
члены порядка wv = o(l/v), сходится1). Если uv=O(l/v) и если
ряд ограничен (С, 1), то частичные суммы ряда ограничены. Менее
очевидна следующая теорема.
A.26) Теорема Хард и. Если ряд wo + Wi+... суммируем
(С, 1) и если uv — O A/v), то ряд сходится.
К этой теореме мы вскоре возвратимся. Сейчас заметим лишь,
что условие Ап—>0 может выполняться не только приav = о A/v).
Отметим два случая, когда Ап—>0:
(a) 2vl"v|2=M конечна;
(b) wv—>0, причем av=0, если v не принадлежит последова-
последовательности пА < /г2 < лг3 < ... целых чисел, для которых tih+Jnu > q>
где (/ — фиксировано и больше чем 1.
Предположим, что (а) выполнено. По неравенству Коши —
Буняковского
v=l v=l
так что Нт|Ап|<УИ2. Но Ит|ДЛ| не изменится, если мы заме-
заменим каждое uQj uu иъ ..., ик на нуль. Выбирая k достаточно
большим, мы можем сделать М произвольно малым; таким обра-
образом, HA 0
Другое полезное следствие из A.25) таково: если 2 ип сходится, то

134 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Мы можем заменить (а) на (а'):
где р > 0. Заключение и доказательство сохраняются, если
в последнем мы используем неравенство Гёльдера вместо нера-
неравенства Коши — Буняковского.
В случае (Ь) положим | ип^ \ = ev, и пусть tih<n< rik+f Тогда
k k к
I Ал К (л* + 1 Г1 2 "v^v < 2 (njnk) ev < 2 ev?v-ft,
v=l v=l v=i
и сумма справа есть линейное среднее для {ev}. Условия (I)
и (II) регулярности выполнены, так что из ev—>0 вытекает
Скажем, что ряд 2 uv имеет лакуну (р, q), если uv = 0 для
. Случай (Ь) может быть обобщен следующим образом.
A.27) Теорема. Если ряд 2^v с частичными суммами sn
имеет бесконечно много лакун {ти, т'и), таких, что m'k/mk>q> 1
и суммируемое, 1) к числу s, то smk—>s (а также и sm* —>s).
Мы можем предположить, что s = 0. Так как s0 + s4 + ... + sn =
= (п+1)ап, то имеем
(mk — mk) smk = sm
k
= o{m'k)=o{mk — mk), A.28)
откуда следует, что smk = o(l) и теорема A.27) доказана.
Если мы ничего не будем предполагать относительно сумми-
суммируемости 2 uv и положим
s* = sup | sm |, a* = sup I an |,
k п
то тождество {mh — mk)smk-=mhaw:k_i—mkaMk-\ дает
и, значит,
s*<i4ga% A.29)
где Лд зависит только от q.
Пусть k — положительное целое число. Рассмотрим выражение

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 135
Нетрудно проверить, что
n+fe-l
n+fel
n,k=sn+ 2 С1""^Г1)^. A.31)
+l
(Если ft = l, то полагаем сумму справа равной нулю.) Если
& стремится к оо вместе с п таким образом, что n/k ограничено,
то an? k определяют метод суммирования, не менее сильный, чем
(С, 1): если on->s, то onik—>s. Это следует из A.30), если
положить av = s + ev, ev—>0.
Особенность этого метода состоит в том, что an? & получаются
из sn прибавлением к ним линейной комбинации с положитель-
положительными коэффициентами, меньшими 1, членов ип+1, ип+2, ..., ил+лн
[см. A.31)]; в некоторых приложениях это полезно. Случай
особенно прост. Мы можем назвать оп,и запаздывающими первыми
арифметическими средними1). Заметим, что anii=sn, o0in=Gn-i.
Возвратимся теперь к теореме A.26). Предположим, что
ov-->s, \u^\<4Alv для v —1, 2, ... . По только что сделанному
Замечанию,
n-f-fe-l n+k-i
!^1
v=n-fl
Пусть е--любое положительное число и пусть k = [m]+l2).
Тогда последнее выражение равно А[пг]/п < Аг. Так как n/k<
<п/п&= — ограничено, то on,k—>Sy так что lim] sn — s| < Аг.
Отсюда, учитывая, что е произвольно мало, заключаем: limsn~s.
Ряд и0 -f- Ui + ... называется суммируемым методом Абеля
(иногда говорят: методом Пуассона), или к-суммируемым {сум-
{суммируемым А) к сумме s, если степенной ряд и0 + utx -f- a2^2 + • • •
сходится при |х|< 1 и если
сю
lim 2 UvXv = s, A.32)
а: -> 1 — 0 v=0
где х стремится к 1 вдоль действительной оси. В силу A.7),
А-суммируемость последовательности {sv} может быть определена
как существование
оо
lim (I — x) 2
эс-М-О v=0
*) Числа аит часто называют средними Валле-Пуссена. — Прим, ред.
2) Через [х] обозначается целая часть х.

136 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
A.33) Теорема. Если ряд ?/0 + wi+«-- суммируем (С, а),
а > — 1, к сумме s {конечной или нет), то он также суммируем
А к s.
Действительно, пусть / (х) = ио + utx + и2х2 + ..., и пусть
{хп} — последовательность точек на действительной оси, стремя-
стремящихся к 1 слева. По A.9)
/(n)(n) s vi (n) s UUl
v=0 v=0
Выражение справа есть линейное среднее для последовательно-
последовательности {а?}, соответствующее матрице М с anv=A%A — xn)a+i xvn.
Эта матрица положительна и удовлетворяет условиям (I) и (III).
Следовательно, f{xn)—>s и A.33) доказано.
Эти рассуждения также показывают, что пределы неопределен-
неопределенности для метода А (т. е. lim f(x) и Нт/(л;)) заключены между
пределами неопределенности для метода (С, а).
A.34) Теорема. Если ряд ио + щ+ ... суммируем (С, а),
а> — 1, к конечной сумме s, то соотношение A.32) сохраняется
и для случая, когда х стремится к 1 вдоль любого пути L, лежа-
лежащего между двумя хордами единичной окружности, проходящими
через точку х = 1.
Такие пути L в будущем будут называться некасательными.
В окрестности точки 1 они характеризуются неравенствами
|1—*|/A—|* IX const. A.35)
Для доказательства A.34) заметим, что если {хп} — некоторая
последовательность точек, стремящихся к 1 вдоль L, то f(xn),
как и выше, есть линейные средние последовательности о%, порож-
порожденные матрицей М, удовлетворяющей условиям (I) и (III).
Матрица М уже не положительна, но
с» с»
У \п I— У 4al 1 у la+1 I у lv — I 1 х а+1/П I у ha+1
ZJ I anv I — Zj лу| A — xn\ \xn\ — | A —Xn J{i — \Xn\)
v=0 v=0
ограничены, в силу A.35). Тем самым теорема A.34) доказана.
A.36) Теорема Таубера. Пусть sn и f (x) есть частич-
частичные суммы и абелевы средние для ряда 2 ип> общий член кото-
которого имеет порядок оA/п). Тогда, если N = Г 1__х 1 , то
f(x)-sN-*O при *->1—0. A.37)

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ
137
В частности, р-яд суммируем методом Абеля тогда и только
тогда, когда он сходится.
Соотношение A.37) остается справедливым, если условие ип =
= оA/п) заменить на
... +пип=о(п).
Предположим сначала, что цп=пип —> 0. Левая часть в A.37)
равна
2
1
S unxn=
iV+i
Замечая, что Л/< 1/A — х) < N+ 1 и 1 — хп^п(\ — х), имеем
2
1
2
1
\Q\<
0.
Следовательно, P + Q —> 0, откуда следует A.37).
Пусть теперь v0 = 0, vn = щ + 2и2 + ... + nan для п > 0 и пред-
предположим, что уп = о(п). Пользуясь преобразованием Абеля, имеем
vk—vk-i
ft=l
/?=1
Так как уд = о (я), то ряды 2 ^ft и ио + 2 yft/^ (^ + 1) равносхо-
о i
дятся. Таким образом, если tn и g(x) соответственно частичные
суммы и средние Абеля для второго ряда, то s^—tN —» 0,
/ (x) — g(x) —> 0- Но члены второго ряда имеют порядок оA/п),
так что на основании уже рассмотренного случая имеем
g(x) — tN —> 0. Из этого и предыдущих рассуждений вытекает
соотношение A.37).
оо
A.38) Теорема Литтлвуда. Если ряд^ип,ип=ОA/п),
о
суммируется методом к, то он сходится.
Мы можем предположить, что |мд|<1//г для п>0 и что
f (х) = 2 ипХп —> 0 при л: —> 1. Если заменить здесь х на xfe (k =
= 1, 2, ...), то мы видим, что для каждого степенного полинома

138 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Р (х) без свободного члена
2 ипР (хп) -> О
о
При X -г* 1.
Предположим, что, каковы бы ни были числа 0 < ?' < ? < 1
и 6 > О, всегда можно найти полином Р(х), такой, что
(I) 0<Р(х)<1 на @, 1),
(II) Р(х)<6х на @, ?),
(III) 1_Р(х)<6A-х) на (Е, 1).
Покажем, что мы можем тогда доказать сходимость 2 ип- Пусть
дано любое 0 < х < 1, пусть N =N (х) есть наибольшее целое
неотрицательное число, удовлетворяющее неравенству xN > ?,
и пусть N' =N' (x) — наименьшее целое положительное число,
удовлетворяющее неравенству х^' < ?'. И N и N' являются неубы-
неубывающими функциями от х, принимающими последовательно все
значения 1, 2, 3, ... при л: —^ 1. Ясно, что N < N' и
jy-lnd/E) а,^,1пA/?')
— 1ПA/АГ) ' — 1ПA/ДГ) '
Для Р, удовлетворяющего условиям (I), (II) и (III), имеем
оо N N' ' оо
)-l}+ ^ипР{хп)+ 2 ипР(хп) =
7V-J-1 ЛГ'+1
= А(х)+В(х
причем
IA w i 2 4
\С(х)\<6 2
N'+i
JV+1
Возьмем произвольное е > 0. Из асимптотических выражений
для N и Nr мы видим, что если ?' и ? достаточно близки друг
к другу и далеки от точек 0 и 1 Г мы можем взять ?' и ? сим-
симметричными относительно у ), то имеем lim | В (х) \ < 8. Зафикси-

1. СУММИРОВАНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ 139
ровав ?' и I и замечая, что N A —x)N' A-х) стремятся к конеч-
конечным ненулевым пределам, получаем lim | А (х) | < е, limjC (x) | < е,
если б достаточно мало. Так как 2 ипР (*n) —> 0, то lim | sN | < Зе,
т. е. sN —> 0.
Остается только построить полином Р, причем можем считать,
ЧТО ?'=у — Г], ? = -1- + Г|. ПОЛОЖИМ
х i
#ft (x) ={4x A -*)}\ Р (х) - J #ft @ dt / J i?ft @ Л,
где fe — положительное целое число. Ясно, что Р удовлетворяет
условию (I). Так как /?*(*) <A — 4rj2)fe на интервале @, 1), но вне
(V V )
1
о
2
то находим, что
max
J (l-^-Yd^l,
для 0<д:<-2" — т) и достаточно большого ?. Мы получили усло-
условие (II), аналогично обстоит дело с условием (III).
Возвратимся снова к A.2). Если последовательность оп в A.1)
имеет ограниченное изменение, то скажем, что {sn} (или ряд
с частичными суммами sn) абсолютно М-суммируем. Однако
только абсолютная А-суммируемость представляет интерес для
тригонометрических рядов. Параметр п в этом случае есть непре-
непрерывная переменная, и определение должно быть очевидным обра-
образом изменено: ряд2^п абсолютно А-суммируем, если функция
f(r) ^ 2 ипГп имеет ограниченное изменение на 0 < г < 1. Каждый
абсолютно сходящийся ряд, скажем, с действительными членами
представляется в виде разности двух сходящихся рядов с неотри-
неотрицательными членами, и соответственно f(r) представляется в виде
разности двух неубывающих ограниченных функций. Следова-
Следовательно, всякий абсолютно сходящийся ряд абсолютно к-сум-
мируем.
Параллельно теории расходящихся рядов можно построить
теорию расходящихся интегралов. Мы рассмотрим только аналог
для метода (С, 1). Пусть задана функция А (и), определенная

140 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
для ?/>0 и интегрируемая на любом конечном отрезке 0
Будем говорить, что функция А (и) стремится к пределу s при
и —> оо в смысле метода средних арифметических, если
и
и'1^ A(v)dv —* s при и —» + °°. A.39)
Мы будем тогда писать (С, l)lim A(u)=s. Легко видеть, что
tt-юо
если А (и) стремится к пределу s при и —>оо, то также имеет
место и A.39).
Рассмотрим интеграл
сю
U a(v)dv, A.40)
где a(v) интегрируема на каждом конечном отрезке 0<<0
Будем говорить, что интеграл A.40) (С, \)-суммируем к s, если
и
имеет место A.39) для частичного интеграла А(и)=\ a(v)dv,
и 0удем писать
оо
(С, 1) J a(v)dv = s.
о
Последнее соотношение выполнено, если A.40) сходится к s,
т. е. если А (и) —> s при и —>+оо. В качестве примера легко
подсчитать, что интеграл
оо
(С, 1)-суммируем к сумме ix'1 или +°° Для х Ф 0 или х = 0
соответственно.
Рассмотрим ряд а0 + а4 + ... . Обобщая понятие частичной
суммы Ап = а04-а1+ ... +ап, введем понятие сумма-функции
А (и), определяемое формулой
А(и)= 2 ап (и>0).
Таким образом, Л (и) представляет собой ступенчатую функцию
такую, что А (и) = Ап для п < и < п + 1. При а = /г функция А (и)
имеет скачок #„.

2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СУММИРУЕМОСТИ S If] И S U] 141
A.41) Теорема. Для того чтобы ряд ao + #i + • • -был
(С, 1)-суммируем к конечной сумме s, необходимо и достаточно,
чтобы (С, 1) lim A(u)=s.
Действительно, предположим, что п<а<п+1. Тогда, обо-
обозначая через sn частичные суммы ряда, имеем
и п~1 ' и п v ;
\A(t)dt
о
Если оп —> s, то sn = o(n) и, таким образом, правая часть в A.42)
стремится к s. Обратное утверждение получаем, полагая и = п
в A.42).
Определение суммируемости (С, 1) для ао + а{+ .,. в тер-
терминах сумма-функции А (и) часто оказывается полезным. Выражая
второй член в A.42) через ап, получаем формулу, аналогичную A.24)
A.43)
выражение A.43) может быть названно интегралом в смысле
(С, 1) для ]?а„.
Замечание. В предыдущих рассуждениях о суммируемости мы
ограничивались числовыми рядами. Аналогичные результаты имеют
место для функциональных рядов, причем для различных видов
сходимости или суммируемости—ограниченной, равномерной и т. д.
Например, если ряд^и^^) равномерно (С, а)-суммируем, а> —1,
на множестве Е точек t, то он также равномерно суммируем
(С, Р), Р > а, и равномерно суммируем А на ?. Мы будем поль-
пользоваться этими результатами впоследствии, не формулируя их
явно. Изменения в доказательствах, необходимые для этих обоб-
обобщений, могут быть легко сделаны читателями.
2. Общие замечания о суммируемости S[f] и S[f]
Пусть задана последовательность s0, sb ..., рассмотрим линей-
линейные средние
on = cin0s0 + anlsi+ ... +anksk+ ... , B.1)
порожденные матрицей М, удовлетворяющей условиям (I), (II) и (III)
регулярности (см. § 1). Если sk суть частичные суммы ряда 2"а
и мы подставим в B.1) sk = u0 + ul+ ... +uk, то получим
en=a<noUo + a<niUi+ . • . +u>nhUk+ .. • , B.2)
где u>nk:=ank + an,k+i+ .... Здесь справа мы имеем линейные
средние для ряда 2^ft-

142 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Переход от B.1) к B.2) может быть оправдан при очень
общих условиях (он тривиален, если матрица М конечнострочна1).
Мы здесь не будем заниматься этим вопросом, так как во всех
случаях, которые нас будут интересовать, или обоснование оче-
очевидно, или, как это имеет место в случае суммируемости Абеля,
форма B.2) проще и естественнее, чем B.1). Мы возьмем B.2)
за отправную точку и применим эти идеи к рядам Фурье.
Напомним, что случай непрерывного параметра п может быть
сведен к стандартному случаю, если рассматривать дискретные
последовательности значений параметра, и поэтому мы не будем
останавливаться на этом случае.
Во всех интересующих нас случаях ank удовлетворяют условию
B.3)
для всех я, и мы для простоты условимся раз и навсегда считать
его выполненным. Оно автоматически выполнено для конечно-
строчных матриц. Весьма важную роль играют линейные средние
двух основных рядов
+ cos/ + cos2/+... , B.4)
О + sin*-fsin2*+... . B.5)
Эти средние мы будем обозначать через Kn(t) и Kn{tY
оо
42 B.6)
/1=1
оо
ft*@ = 2 "nhsinkt B.7)
ь=1
Обе эти функции непрерывны, причем первая из них —четная,
а вторая — нечетная. Если линейные формы даны в виде B.1), то,
очевидно,
со со
/С»@ = 2 ankDk(t)= Ц-2 anksmfk + ^jt, B.8)
k=0 2sin<
B.9)
!) Матрица Af=||anfc|| называется конечнострочной, если для каждого п
найдется k(ri) такое, что anfc = 0 при k^>n(k). — Прим. ред.

2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СУММИРУЕМОСТИ S[f] И S[f] 143
где Dk и Dk обозначают ядро Дирихле и сопряженное ядро
Дирихле и Ап = cino + ^т + . •. •
Обычно называют линейные средние ряда B.4) ядрами, соот-
соответствующими методу М. Линейные средние B.5) называются
сопряженными ядрами.
Пусть aAl bk — коэффициенты Фурье некоторой функции /.
Линейные средние для S [/] и S [/] суть
оо
ап (х) =вп(х; /) =-о-а0апо+ 2 (flfcCOS&A; + &Asin&*)an&, B.10)
оп(х)=ап(х\ /) = 2 (akunkx — bkcoskx)ank. B.11)
При предположениях B.3) имеем
я
<**(*) = Ц f(x + t)Kn(t)dtt B.12)
-Я
я
Zn{x) = -±lf(x + t)Kn{t)dt. B.13)
— Л
Действительно, левая часть в B.12) равна
Я
Я
-Я ft=l
я я
f{t)Kn(t-x)dt=\
изменение порядка интегрирования и суммирования законно в силу
условия B.3); аналогично доказывается B.13).
Мы всегда будем предполагать, что
ал0 = 1 для п = 0, 1, .... B.14)
[Заметим, что в любом случае ап0 —> 1, если линейные средние
B.2) ряда 1 + 0 + 0+ ... , сходящегося к 1, тоже сходятся к 1.]
Мы будем называть B.14) условием (А). Оно может быть также

144 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
записано в следующем виде:
я
(A) 1J Kn{t)dt=\.
Если оно выполнено, то
я
*n(x)-f(x)=^4x(t)Kn(t)dU B.15)
так как левая часть равна
-Я
я
— я
а последний интеграл равен правой части B.15), поскольку Kn(t)
четно.
Если Кп удовлетворяет условию (А) и
(В) Кп>0
для всех п, то мы будем называть Кп положительным ядром.
Если же имеет место лишь условие
(В') -1-
-я
где С не зависит от п, то мы будем называть ядро Кп квази-
положительным. Каждое положительное ядро квазиположительно,
как легко видеть из условия (А).
Следующая теорема непосредственно вытекает из B.12).
B.16) Теорема. Если Кп положительное ядро, то для
любой функции /, удовлетворяющей условию
имеем
т<ап{х; f)<M. B.17)
Если Кп квазиположительно, то из |/i<Af вытекает
\(*п(х; f)\<CM B.18)
с тем же С, что и в условии (В').

2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СУММИРУЕМОСТИ &Щ И S if] 145
Введем теперь условие (С) в дополнение к условиям (А) и (В)
или (В'), рассматривавшимся до сих пор. Пусть
@<б<я). B.19)
Будем говорить, что ядро Кп удовлетворяет условию (С), если
(С) [in (б) —>0 для каждого фиксированного б @ < б <я).
Условие (С) означает, что ряд B.4) равномерно суммируем
методом М к нулю вне произвольно малой окрестности точки
* = 0.
Если выполнено условие (С), то разложение [см. B.12)]
б
<*n(*)=i-lf(x+t)Kn(t)dt + ± J f(x + t)Kn(t)dt9 B.20)
-б) б^\г\^я
в котором последний член мажорируется выражением
показывает, что поведение оп (х) в точке х зависит только от
значений / в произвольно малой окрестности (х — б, jc+б). Мы,
разумеется, знаем, что это имеет место и для ядра Дирихле,
которое не удовлетворяет условию (С), но в нашем случае пос-
последний интеграл в B.20) равномерно мал для всех тех функций
я
f, для которых \ 1/@1 dt ограничен1).
-п
B.21) Теорема. Предположим, что ядро Кпудовлетворяет
условиям (А), (В) [или лишь (В')] и (С). Тогда для любой интег-
интегрируемой функции /, если числа f (хо±О) существуют и конечны,
имеем
r 0)}. B.22)
В частности, если f непрерывна в точке х0, то
B.23)
Если f непрерывна во всех точках отрезка /=[а, E], то соотно-
соотношение B.23) выполняется равномерно по xo?l. В частности,
если f непрерывна всюду, то B.23) выполняется равномерно
по х0.
^Фиксированной константой. —Прим. ред.
10 А. Зигмунд, т. I

146
ГЛ, III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Предположим сначала, что Кп положительно. Изменяя, если
нужно, значение f(x0), мы можем считать, ч-ft оно определено
равенством f{xo)= [f(xo+O) + f (x0 — 0)]/2, так что
|фхо@1<4"8 для 0<^<б = б(е). B.24)
В силу B.15), \ап(х0\ f) — f(xo)\ не превосходит
я
Здесь
по условию (А) и
по условию (С), так что
-~2~с
Q->0
для п>п0,
B.26)
B.27)
что доказывает первую часть B.21).
Если / непрерывна в каждой точке / (при этом подразумева-
подразумевается, что / также непрерывна в точке а слева и в точке р спра-
справа), то мы можем найти такое б, не зависящее от х0, что B.24)
имеет место для всех хо?1. Как и выше, имеем B.25). Интеграл
в Q не превосходит
B.26) имеет место равномерно на / и B.27) справедливо для всех
хоб /.Если ядро /С^квазиположительно, то в предыдущие рассужде-
рассуждения нужно внести лишь незначительные изменения. В неравенстве
для \on — f\ надо заменить Кп на \Кп\, что дает в предыдущих
обозначениях
откуда, как и выше, следует заключение.

2. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СУММИРУЕМОСТИ S[f] И S; Щ 147
B.28) Теорема. Предположим, что ядро Кп>0 удовлет-
удовлетворяет условию (С) и что т</(#)<А1 для x?l=(a, b). Тогда
для любого е> 0 иО<д<(Ь — а)/2 найдется такое п0, что
т-г<вп{х)<М + е для *e/6 = (a + 6, 6—6), п>п0. B.29)
Достаточно доказать второе неравенство. В силу замечания
относительно разложения B.20), имеем
б
где о A)—>0 равномерно по х. Предположим, что х^1&. Тогда
x + t?l для |*[<6, и последний интеграл не превосходит
6 я
±- J Ka(t)dt=M,
I
-6
откуда следует теорема.
Пусть дана функция f(x)\ обозначим, через М(а, Ь) и т(а, Ь)
верхнюю и нижнюю грани / на интервале а < х < Ь. Для любого
х положим
М (х) = limAf (х — Л, д:-ЬЛ), т(х) = \\тт(х~Л,
Эти пределы существуют, так как выражения, стоящие под зна-
знаком предела, суть монотонные функции от Л. Назовем М(х)
й m (я) максимумом и минимумом f в точке х.
B.30) Теорема. ?Ъш положительное ядро Кп удовлетво-
удовлетворяет условию (С), то для любой последовательности {хп}—>х0
имеем
т (х0) < Шп ап (хп) < lim ап (хп) < М (х0).
В частности, {оп (х)} сходится равномерно в каждой точке
непрерывности f.
Действительно, если h достаточно мало, то значения / на
интервале (х0 — h, xo + h) заключены между т (х0)—г и М(хо)+е
и, таким образом, для п достаточно больших ап(хп), в силу
B.28),, содержатся между т(хо)—2г и М(хо)-{-2г.
Сформулируем отдельно следующий частный случай теоремы
B.30): если f (х) стремится к +со при х—>х0 (т. е. если М (х0) =
= т (х0) = + со), то ап (х0) —Н- оо.
Что касается сходимости {ап(х)}, то здесь нет таких простых
результатов, как B.21). Предположим, что Ап= 1 в B.9). (Это име-
имеет место для всех важных методов суммирования; во всяком
10*

148 гл. ш. суммируемость рядов фурье
случае Лл—»1 по условию (III) регулярности.) Тогда разность
имеет некоторое сходство с Кп (t) [см. B.8)], что указывает на
то, что результатам для оп (х) соответствуют результаты для
'л
1
1/п
= on(x)-J(x\l/n).
Если це стремиться к чрезмерной общности, мы увидим, что это
действительно так для методов, имеющих фундаментальное зна-
значение для рядов Фурье, именно методов Чезаро и Абеля.
3. Суммируемость S\f]n ${f] методом средних арифметических
Методу (С, 1) для B.4) соответствует ядро
C.1)
v=0 v=0 2 sin —
2
Умножая числитель и знаменатель в правой части на 2 sin -у t
и заменяя произведение синусов в числителе на разность коси-
косинусов, мы легко находим, что
2
C.2)
Таким образом, (С, \)-ядро положительно.
Отныне всегда будем употреблять символ Kn(t) для (С, 1)-ядра
(и далее Дл для соответствующего сопряженного ядра). Кп на-
называют также ядром Фейера, оно обладает следующими свой-
свойствами:
ах
(A) -LjKn(Qdf = l; (В) Kn(t)>0;
—Я
(С) [in (S) —> 0 для каждого 0 < б < я,
где

3. СУММИРУЕМОСТЬ S [f] И S* [f] 149
Свойство (А) "следует из соответствующего свойства для Dv
[см. C.1)], а (С) из неравенства
Ый)<
Следовательно, в терминологии предыдущего пункта ядро
Kn(t) положительно и удовлетворяет условию (G). В следующей
теореме, являющейся следствием B.16) и B.21),
si
fsin(n+lL" л2
-k-t
dt C.3)
обозначает (С, 1)-средние для S[/]; этого обозначения мы далее
будем придерживаться.
C.4) Теорема Фейера. В каждой точке х0, в которой
существуют пределы f(xo±O) (если даже оба они равны беско-
бесконечности одного знака), имеем
В частности, оп (х0)—> f (х0) в каждой точке непрерывности
функции /. Сходимость оп равномерна на каждом отрезке, состо-
состоящем из точек непрерывности функции f. В частности, ап(х)
сходятся равномерно к f(x), если f всюду непрерывна.
Если т</(д:)<М для всех х, то
(п = 0, 1, ...). C.5)
Так как ядро Кп (t) равно нулю лишь в конечном числе точек,
то легко видеть, что если 1ф const, то C.5) может быть заме-
заменено строгими неравенствами
т<ап (х) < М.
(Если f = C, то вп(х) = С для всех х и /г.)
Теорема Фейера имеет ряд важных приложений, некоторые
из которых мы сейчас укажем.
Если S[/J сходится в точке х0, в которой функция f непре-
непрерывна, то его сумма непременно равна f(x0). Общее, если S [/]
сходится в точке х0, являющейся точкой разрыва первого рода'
для f, то его сумма равна s= {/(*о + 0) + / (*о — 0)}/2.
Действительно, в точке х0 ряд обязательно суммируется (С, 1)
к s, и таким образом, если он сходится, то его сумма должна
быть равной s.

150 гл. ш. суммируемость рядов фурье
Аналогичные рассуждения показывают, что если в точке х0
функция f непрерывна или имеет разрыв первого рода, то число
{f (хо + 0) + / (х0 — 0)} /2 заключено между пределами неопреде-
неопределенности для {Sn(x0) /)}.
Если S[/] есть ряд Фурье, S[/]=S[g], то f + lg не может
иметь разрыв первого рода ни в одной точке. Действительно,
если, например» f(xo±O) существуют, конечны и различны. и если,
скажем, / (х0 + 0) — /[(х0 — 0) > 0, то, по (8.13) гл. II, ?п(а:0; f)-~»
—>— оо, а значит, и ап(х0\ f) = on(x0; g) —> — со, что невозможно,
если# ограничена в окрестности х0. В частности, если и fug имеют
ограниченное изменение, то они непрерывны.
Тригонометрическая система полна (гл. I, § 6). Действительно,
если все коэффициенты непрерывной функции / равны нулю, то
<*п (*;/) обращаются тождественно в нуль и, значит, /(х)ееО,
так как f(x) = limon(x; f). Для разрывной функции применяем
те же рассуждения, что и в § 6 гл. I.
C.6) Теорема Вейерштрасса. Если f периодична и не-
непрерывна, то для любого е > 0 существует тригонометрический
полином Т (х) такой, что \f(x) — Т (х) | < е для всех х.
Мы можем взять Т(х) = ап(х; f) с достаточно большим п.
C.7) Теорема. Если f(x) ограничена и имеет коэффициен-
коэффициенты Фурье порядка 0A In) (в частности, если f имеет ограни-
ограниченное изменение), то частичные суммы ряда S [/] равномерно
ограничены.
Действительно, ап равномерно ограничены и из предположе-
предположения о коэффициентах следует, что [см. A.25)] разности sn — cn
равномерно ограничены.
Если мы используем теорему A.26) и тот факт, что коэффи-
коэффициенты Фурье от функции с ограниченным изменением имеют
порядок 0{\/п) (см. также замечание в конце § 1), то теорема
Дирихле —Жордана (8.1) гл. II становится следствием теоремы
Фейера.
Теорема (8.6) из гл. II может быть обобщена следующим
образом:
C.8) Теорема. Предположим, что коэффициенты Фурье
функции f имеют порядок 0(\/п) и что х0 есть точка непре-
непрерывности для f. Тогда S[f] сходится равномерно в точке х0.
Это есть следствие того общего факта, что если ряд 1>ип(х)
равномерно суммируем (С, 1) в точке х0 к сумме / (*0) (равномер-
(равномерная суммируемость (С, 1) ряда S [f] в каждой точке непрерывности
/, следует из теоремы B.30) и если ип(х) имеют равномерно

3. СУММИРУЕМОСТЬ S If! И Slf] 151
порядок O(l/n); то ряд сходится равномерно в точке х0. Дей-
cтвиfeльнo, в обозначениях доказательства теоремы A.26) имеем
\<*n,k(x)-~ Sn(x) I <Аг для всех х. Так как оп (х) сходятся равно-
равномерно в точке х0 к пределу f(x0), то, в силу A.30), то же имеет
место и для on,h(x) и, стало быть, | cn,k (x) — f(x0) \ < е для
\х-~хо\<б и я>я0. Для таких я и # имеем | sn (х) — f (xQ) | <
< (Л + 1) е, и теорема C.8) установлена.
C.9) Теорема Лебега. S[/] суммируем (С, 1) к f(x)
в каждой точке х, где Ox(h)=o(h) (и, следовательно, почти
всюду).
Заметим, что
Kn(t)<n + l, Kn(t)<(n+l)tt
@<^<я; Л —абсолютная константа), C.10)
первое неравенство следует из C.1) и оценки |Dv|<v+-2~<
</z-fl, а второе из C.2). Первым неравенством C.10) пользу-
пользуются при t не очень больших по сравнению с l/п, вторым — для
остальных t. Применяя это к формуле
М*)-Ы*)= ? \ <Px(t)Kn(t)dt C.11)
о
[(см. B.15)], мы видим, что \on(x) — f(x)\ мажорируется выра-
выражением
1/п я
0 0 1/п
= P+Q. C.12)
Ясно, что
>0; C.13)
интегрируя по частям, находим, что Q не превосходит
J -те-*<
1
1/n
J
1/п
^ = оA). C.14)

152 гл. ш. суммируемость рядов фурье
Таким образом, P + Q=o(l), и теорема доказана.
В качестве приложения получим новое доказательство формулы
Парсеваля для тригонометрической системы (гл. II, § 1). Пусть
fgIA Тогда
2зх
±[\оп(х;П\*с1х=
и так йак ад—>f почти всюду, то, в силу леммы Фату [гл. I
A1.2)] получаем
2я
v=—оо
Это неравенство вместе с противоположным неравенством Бесселя
дает формулу Парсеваля.
Следующая теорема дополняет теорему C.4):
C.15) Теорема. ?с/ш /gAa, 0<а<1, то ап(х) — f(х) =
= 0(п~а) равномерно по х. Если f g Л* (в частности, если fgAi),
то on(x) — f (х) = О (пгх In n).
Действительно, в оценке C.12) для \on — f\ имеем ср(/) =0(taI
что немедленно дает Р = 0(п~а) или Р =0{п-1) и Q — О(п~а) или
B = 0 (я-1 In я), соответственно, когда f gAa или f 6Л#.
Впоследствии нам понадобится некоторое обобщение первой
части теоремы C.15).
C.16) Теорема. Пусть со* (t)— неотрицательная и воз-
возрастающая функция, определенная в правой полуокрестности точ-
точки t = 0. Предположим, что со* (t) t~a убывает при некотором а,
О < а < 1. Пусть со (t) — модуль непрерывности для периодической
функции f. Тогда, если со (t) = О (со* (t)) при t—> + 0, moan — f =
= 0 (со* A/лг)). Аналогично из со (t) = о (со* (t)) вытекает
* (¦?))¦
Рассмотрим, например, случай «о». Не уменьшая общности, мы
можем предположить, что со* (t) определена и обладает требуемыми
свойствами на @, я). Действительно, если первоначальный интервал
определения есть @, е), с 0 < е < я, то достаточно положить

3. СУММИРУЕМОСТЬ S [f] И КШ 153
<o*(/)=g>*(8) для е</<я. Как и в C.12), рассмотрим члены
Р и Q. Ясно, что
о
п
\nJ С n(ta~2)
чем заканчивается доказательство.
Вернемся к (С, 1)-суммируемости S[/]. Во избежание повто-
повторений установим раз и навсегда, что при образовании арифмети-
арифметических (или любых линейных) средних для тригонометрических
рядов мы всегда будем принимать во внимание свободный член,
с которого ряд начинается, даже если этот член равен нулю
(как в ?[/] или S'[/]) [ср. B.5)].
Сопряженное ядро Фейера есть
^3ттйтт2ттгг
v=0 v=0 2 sin -?¦ t
в силу тех же рассуждений, что и при доказательстве C.2).
Неравенство
sin(Az + l)/<(/2 + l)sin^,
примененное к
sin^—sin(n-\-l)t
7 —Т~
Дает
Kn(t)>0 для 0</<я, /1 = 1, 2, ..., C.18)
так что ^n(*)sign*>0 на ( — я, я).

154 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
(С, 1)-средние для S[/] задаются формулами
C.19)
Ясно, что если / интегрируема и S[/] = S[/J, то Ъп(х\ f) =
= on(x;f).
C.20) Теорема. В каждой точке, в которой Wx(h)=o(h)
(следовательно, почти всюду), имеем
»0. C.21)
Действительно, пусть Kn(t)= -^-zig-^t — Hn(t). Неравенства
получаются немедленно [см. C.17)]. В силу C.19) и C.17)
|tfn(#)—f (х\ \1п)\ не превосходит
1/п тс
л
О 1/п
1/п
1/п
и рассуждения, подобные рассуждениям в C.13) и C.14), дают
P*+Q*=o(l). Это доказывает теорему.
Предположим, что 1/(/г +1) <Л< 1/п. Так как f{x\ h) —
— J(x; 1/Аг)-^0вкаждой точке, в которой ^(А) = o(h) [см. гл. II,
A1.8)], то мы заключаем, что в такой точке суммируемость
(С, 1) ряда S[/] эквивалентна существованию f(x). Далее будет
показано (см. гл. IV, § 3, и гл. VII, § 1), что f{x) существует
почти всюду для интегрируемой /. Учитывая это, мы можем
сформулировать следующее предложение:
C.23) Теорема. Ряд S[/] суммируем (С, 1) к сумме f (х)
почти всюду.
Интересно рассмотреть интегральные (С, 1)-средние от S [/] и
S [/] (см. стр. 140). Возвращаясь к формулам G.2) и G.3) гл. II,

4. МНОЖИТЕЛИ СХОДИМОСТИ 155
находим, что, "за исключением случая, когда со — целое число,
правые части в них суть суммы-функции для S[/] и ?[/]. Левые
части равномерно ограничены для со, заключенных на любом
конечном интервале, и сходятся равномерно, если исключить
окрестности целочисленного значения со. Следовательно, если мы
будем интегрировать равенства по со, то можно изменить порядок
интегрирования слева и получить формулы
2sn^co^
2 0-?>vW = ^ I f(x + t)^—dt, C.24)
2 (i-i
C.25)
аналогичные C.3) и C.19). Левые части здесь суть непрерывные
функции от со, и первый интеграл сходится абсолютно.
4. Множители сходимости
В гл. VIII мы увидим, что ряд Фурье может расходиться
почти всюду. Поэтому можно поставить вопрос о множителях
сходимости для рядов Фурье; так называется последовательность
{Xv} такая, что для каждого ряда Фурье 2 (av cos vx + bv sin vx) ряд
oo
сходится почти всюду,
Последовательность A,0,A,i, ... называется выпуклой, если
A2A,v>0 для всех v, где
A A,v =КУ — A,v+i, A2A,V = AA,V — A A,v+i.
Геометрически это равносильно тому, что ломаная с вершинами
в точках (v, Xy) является выпуклой. Покажем, что если {kv}
выпукла и ограничена, то она не возрастает. По предположению
величина AA,V не. возрастает. Она не может быть отрицательна
для некоторого значения v, так как из этого следовало бы, что
она меньше некоторой отрицательной константы для всех после-
последующих значений v, откуда бы вытекало, что ^v—^ + оо, а это
противоречит предположению. Таким образом, AXn = Xn — in+i>0
для всех п, так что

156 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
В равенстве
члены справа не возрастают и, таким образом, по классической
теореме Абеля, пАХп—>0. Принимая это во внимание и суммируя
ряд 1 -А^о +1 -A^i+ ... при помощи преобразования Абеля, полу-
получаем следующий результат.
D.1) Теорема. Если {кп} —выпуклая и ограниченная после-
последовательность, то {Кп} не возрастает, п&Хп—>0 и ряд
2( ) D.2)
71=0
сходится к сумме А,о— H
Геометрически очевидно, что если функция % (х) выпукла, то
последовательность {кп} = {К (п)} выпукла.
В частности, если мы возьмем %п = 1/\пп для п = 2, 3,...
и надлежащим образом выберем Хо, %и то {Хп} будет выпуклой.
D.3) Теорема. Пусть sn и ап — соответственно частичные
суцмы и (С, \)-средние ряда ио + аН . Если ап сходится
и если sn — o(\in), где {l/jx^} выпукла и стремится к нулю, то
1 + Uiii]1 + ... сходится.
Применяя преобразование Абеля дважды к я-й частичной
сумме последнего ряда, находим, что она равна
h=0 fe=0
Возьмем 1л,д=1пя для п>2. Из D.3), C.9), C.23) и теоремы
A1.9) гл. II выводим:
D.4) Теорема. Если аи, bk — коэффициенты Фурье некоторой
функции, то оба ряда
со со
2flft cos kx-\-bh sin kx
2
сходятся почти всюду.
Результат, очевидно, сохраняется, если In k заменить на ka,
а>0.
Первый из рядов D.5) сходится в каждой точке, где Фх(к) =
= о(Н), в частности в каждой точке непрерывности /. Если f

5. (С, а)-СУММИРУЕМОСТЬ 157
непрерывна на.(а, 6), то этот ряд равномерно сходится на
каждом интервале (а+ 8, Ь — е), е > 0.
5. (С, а)-суммируемость
E.1) Теорема М. Рисса. Теоремы C.4) Фейера (за исклю-
исключением последнего замечания) и C.9) Лебега сохраняются, если
суммируемость (С, 1) заменить на (С, а), а > 0.
Пусть /Си @ обозначает ядро метода (С, а) и а? (л:) = а? (х; f)
являются (С, а)-средними для S[f]. Тогда
п
Kn(t)= 2 AnZlDv(t)/An, E.2)
v=0
E,3)
— Я
Jt
On (x)-f(x) = |. J Фя @ /CS(/) Л. E.4)
0
Последнее равенство вытекает из того, что для Кп @ имеет место
условие (А) (стр. 143) для K%{t).
Достаточно рассмотреть случай 0 < а < 1. Покажем, что
\KZ(t)\<n+l<2n, \K$(t)\<Aan-«t-W) E.5)
для /z=l, 2, 3, ..., 0</<я, где Аа зависит только от а.
Эти неравенства аналогичны неравенствам C.10) и сводятся к
последним при а = 1. Как только E.5) будут установлены,, доказа-
доказательство обобщенной теоремы C.9) проходит, как и выше. Ана-
Аналогично для обобщения теоремы C.4) достаточно показать, что
ядро Kn(t) квазиположительно и удовлетворяет условию (С)
(стр. 145). Оба факта вытекают из E.5); действительно,
Л, 1/
\\Kn(t)\dt<2n J
1/n
it + Aan-<*
i/n
И
max | Kn (t) | < Aan~c
Остается доказать E.5). Первая часть следует из E.2) и оценки
-2<п+1*

158 гл. ш. суммируемость рядов фурье
Для второй имеем из E.2)
l (t) = Ц_ Im
2A*sin-jt
2
i(n+i)f oo \
P. Г .+ it. VI +a — \ .... 1 ! .- лч
Так как Л? монотонно убывают к 0, то последний ряд
сходится для 0<^<д и модуль его суммы <2Лп+1| 1— e~lt \~
[см. гл. I, B.2)]. Таким образом, так как |Imz|<|z|, |/С?@1
мажорируется выражением
< Аа {п-Ч-*-1 + п-Ч~2} E.7)
для 0<^<я. Если nt>\, то
nt2 = (nO1""
правая часть в E.7) не превосходит 2Лссп~а^""а~1, откуда следует
вторая часть E.5). Для 0<^<1/п вторая часть E.5) есть след-
следствие первой. Тем самым теорема E.1) доказана.
Пусть Gn = огп(*; f) являются (С,а)-средними для S[f]. Следую-
Следующая теорема распространяет теоремы C.20) и C.23) на суммируе-
суммируемость (С, а).
E.8) Теорема. Пусть 0<<х< 1. Тогда в каждой точке х>
в которой Wx (h) =o(h),
В частности, S[f] почти всюду суммируем (С, а) к сумме f(x).

5. (С, а)-СУММИРУЕМОСТЬ 159
Доказательство аналогично доказательству C.20). Пусть
(п @ — сопряженное (С, а)-ядро. Тогда
')dt, E.9)
_ . . ... E.10)
v=o
1 1
2 2
Покажем, что
1^@1
(для
<п,
к
0
п
<а
Н i
А®
<
Л
i-i
1)
<
cos (
2
Лап-
sin -^-1
-of-(eH-i)
E.11)
E.12)
Первое неравенство здесь следует из E.10) и оценки |DV|<
. Для доказательства второго неравенства заметим, что
для Hn{t) имеем формулу, аналогичную формуле E.6) с заменой
Im на Re, и предыдущие рассуждения применимы вновь.
Чтобы доказать E.8), запишем E.9) в виде
1/П Л
0 1/п
E.13)
так что, как и в доказательстве C.20),
0 1/п
и теорема доказана..
Для дальнейших приложений нам потребуется уточнение E.6)>
именно если — 1 < а < 1, то имеем
E.14)
Применяя повторно преобразование Абеля к последнему ряду
в E.6), мы получаем все более и более точное приближение

160 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
для K%(t). Например,
v=n+i
1 51Ч1Л+Т+-а;^ТЯЧ , а 1
> "г
EЛ5)
Аналогичная формула имеет место для /С" (t). Наконец, добавим,
что оценки E.5) и E.12) сохраняются также для —1<а<0.
6. Суммирование методом Абеля
Пусть av, 6V —коэффициенты Фурье функции f. Абеевы (или
просто А) средние для S[f] и S[f] —это функции
f (г, х) = y «о + 2 (a^ cos vx + bv sin vx) rv,
v=i
F.1)-
f (г, х) = 2 («v sin va: — fev cos vx) rv,
v=l
и мы хотим исследовать их пределы при г—>1. Так как av, bv^^O,
то ряды сходятся абсолютно и равномерно для 0<г< 1 — б, 6>0.
Поэтому f (r, x) n f (г, jc) (эти обозначения мы будем употреблять
систематически) — непрерывные функции в точках reix при г< 1.
Абелевы средние четного ряда г/2 + 2 cos v^ и нечетного ряда
2 sin v? имеют вид
со
р (г а — J_4_ У /
v ' / — о х i
v=l
V=i

6. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ 161
(см. гл. I, § 1). Они соответственно называются ядром Пуассона
и сопряженным ядром Пуассона. Стандартные формулы B.12)
и B.13) (где непрерывная переменная г играет теперь роль преж-
прежнего п) имеют вид
я я
f(r, x) = ± \f(x + t)P(r,t)dt = ± \f{t)P{r,t-x)dt, F.4)
—я
я
+ t)Q(r, t)dt=-± \f(t)Q(r,t-x)dt.
—Я -Я
F.5)
Правые части здесь обычно называются интегралом Пуассона
и сопряженным интегралом Пуассона от /. Таким образом, выра-
выражения «абелевы средние ряда S [/]» и «интеграл Пуассона от функ-
функции /» суть синонимы.
Знаменатель
А (г, t) = 1 — 2rcost + г2 @<г < 1)
в F.2) и F.3) положителен для всех t. Отсюда следует, что
Р (г, t) > 0 для всех ?,
Q (г, t)>0 для всех 0 < / < я.
Следовательно, Р — положительное ядро. При фиксированном г
его максимум и минимум расположены соответственно в точках
/ = 0 и t — n. Таким образом,
Иногда удобно бывает пользоваться неравенством
Р(г, O^gq^s F = 1—г, |*|<я), F.8)
где А —- абсолютная постоянная. Для 0<г<х/2 оно очевидно,
так как в этом случае и Р (г, t) [см. F.7)] и б/(б2 + ^2) заключены
между двумя положительными постоянными. Для 1/г<'*<1
P(r t\- l A+г)A—г) б 1 * б
riftj) —у j <. j ^ Yл 62Ч-^2'
и F.8) опять-таки справедливо. В частности, из F.7) и F.8)
вытекают
Р(г, *)<{, P(r, t)<™ @<t<n, 0<г<1), F.9)
неравенства, аналогичные неравенствам для ядра Фейера [см. (ЗЛО)],
если заменить б на 1/(п + 1).
. Зигмунд, т. I

162 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Ядро P(r, t) положительно и удовлетворяет условию (А)
(стр. 144), т. е.
\P(r, t)dt = \ F.10)
—Я
[как это видно из почленного интегрирования ряда в F.2)],
а также и условию (С) в силу второго неравенства F.9). Таким
образом, все предположения, позволившие нам вывести теорему
C.4) из B.21), имеют место, и мы получаем следующий результат:
F.11) Теорема. Теорема C.4) Фейера сохраняется при
замене (С, 1) средних ряда S[/] на абелевы средние.
Разумеется, этот результат, как и некоторые из результатов,
установленных ниже, вытекает уже из теоремы Фейера и того
факта, что суммируемость (С, 1) влечет суммируемость А для
любого ряда. Но непосредственное изучение суммируемости А
для рядов Фурье интересно по двум причинам. Во-первых, сум-
суммируемость А ряда S [/] может иметь место при более слабых
условиях на /, чем суммируемость (С, 1); во-вторых, суммируе-
суммируемость А рядов Фурье обладает особенностями, которых нет
у (С, 1)-суммируемости. Например, мы можем рассматривать
пределы функции /(г, х) при (г, х), стремящейся к точке на еди-
единичной окружности не только по радиальным, но и по некасатель-
некасательным и даже по произвольным путям.
Функции /(г, я) и f(r, x) из F.1) представляют собой дей-
действительную и мнимую части функции
регулярной при \z\ < 1. Таким образом, /(г, л:) и /(г, х)—-гармо-
х)—-гармонические функции, т. е. в декартовых координатах ?, т] они удо-
удовлетворяют уравнению Лапласа
дЧ дЧ _Q
Каждая действительная гармоническая функция внутри еди-
единичного круга является действительной частью некоторой регу-
регулярной функции1). Следовательно, если и (г, я) — гармонична
в круге 0<г < /?, то
оо
U (Г, X) =="пГ#о"~Г ^/j (б
х) См., например, Л.иттлвуд, Лекции по теории функций, стр. 84
(см. также Маркушевич А. И., Краткий курстеории аналитических функ-
функций, стр. 44. — Прим. ред.)

6. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ 163
Пусть / (л:)— непрерывная и периодическая функция, и пусть
(г, л:) —полярные координаты точки. Теорема F.11) утверждает,
что интеграл Пуассона f(r, х) от f(x) стремится равномерно
к f(x) при г—>1. Другими словами, интеграл Пуассона дает
в случае круга решение (и притом, как показывается в теории
гармонических функций, единственное) следующей задачи
Дирихле. Пусть даны:
(I) плоская область D, ограниченная простой замкнутой кри-
кривой С,
(II) функция /(р), определенная и непрерывная для р?С;
требуется найти функцию F(p), гармоническую в D, непрерывную
bD + Си совпадающую с f(p) на С. Как мы увидим ниже,
в случае единичного круга интеграл Пуассона дает решение более
общей задачи Дирихле, в которой / (р) — произвольная интегри-
интегрируемая функция.
FЛ2) Теорема. Если т</(л:)<УИ для всех х, то
@<г< 1,
В частности, f(r, x)>0, если />0.
Если т < / (л:) < М для х ? (а, Ь), то для любых е, т) > 0 суще-
существует такое число л0, что
т — е</(г, х) <М + г для ro^r< I, *g(fl + T|, b — tj).
Это частный случай теоремы B.16) и B.28).
Так как Р (г, х) строго положительна при г < 1, то отсюда
следует, что еслц m^f(x)^.M на [0, 2я] и 1фconst, то мы
имеем строгую оценку
m<f{r, x)<M @<г<1).
Пусть т (х0) и М (х0) — минимум и максимум функции / в точке х0
(стр. 147).
F.13) Теорема. Если L — произвольный путь, идущий из-
изнутри единичного круга к точке A, х0), то пределы неопределен-
неопределенности для /(г, *) при приближении точки (г, х) к точке A, х0)
вдоль L заключены между т(х0) и М(х0).
Действительно, если (гп, хп) — произвольная последователь-
последовательность точек с гп< 1, приближающаяся к A, х0), то [см. B.30)J
m(xo)<lunf(rn, xn)^limf(rn, xn)^M(x0).
В частности, из F.13) вытекает, что если f непрерывна в х0,
то lim/(r, х) вдоль L существует и равен f(x0).
И*

164 гл. in. суммируемость рядов фурье
Предположим, что / имеет в точке х0 разрыв первого рода
и что
Пусть
—скачок f в х0. Не ограничивая общности, мы можем предполо-
предположить, что л:0 = 0. Функция
1
имеет скачок я при х = 0 (см. стр. 23). Отсюда следует, что
непрерывна при х = 0 и g@)=/ @). Более того,
•, x)=g(r, x) + ±<?(r, x)=g(r, x) + j-arctgl^s;;o^ F.14)
(гл. I, § 1). Вдоль любого пути L, ведущего к A,0) изнутри
единичного круга, имеем limg(r, х) =g(O)=f @), так что поведе-
поведений f (г, л:) вдоль L зависит от поведения последнего члена
в F.14). В F.14) arc tg есть угол, по модулю меньший чем я/2,
образованный отрезком, соединяющим (г, х) и A, 0), с отрица-
отрицательным направлением действительной оси и отсчитываемый по ча-
часовой стрелке. Следовательно:
F.15) Теорема. Предположим, что f (х) имеет в точке х0
разрыв первого рода и что f (х0) = у {f (х0 + 0) + f (х0 — 0)}. Пусть
L —- произвольный путьf приближающийся к точке ЛA, х0) изну-
изнутри единичного круга и образующий в А угол Э (— я/2 < Э < я/2)
с вектором АО, причем угол отсчитывается от вектора АО
и положительным считается направление по часовой стрелке.
Тогда lim f (г, л:) вдоль L существует и равен
f(xo) + ±Q, где d = f(xo + O)-f(xo-O). F.16)
Если L не имеет касательной в Л, то f (r, х) имеет конечное
колебание при (г, х)—>A, х0) вдоль L.
Если L касается единичной окружности в точке Л, то Э = я/2
или 8=—я/2 и соответственно F.16) сводится к /(л:0 + 0) или
/(*Ь-0).

7. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 165
Пусть % (х) — характеристическая функция интервала (а, 0).
Интеграл Пуассона
X(rf x)=-±-$P(r, t-x)dt F.17)
а
для X имеет простую и полезную интерпретацию.
Пусть С —единичная окружность с центром в 0, a z и ? —
точки внутри С и на С соответственно. Точку ?', в которой
луч & пересекает С, будем называть противоположной ? по
отношению к z. Если s — дуга на С, то дугу s', состоящую
из точек, противоположных точкам дуги s, будем называть про-
противоположной s (по отношению к z).
F.18) Теорема. В обозначениях F.17), 2яХ(г, х) есть
длина дуги s' = (eia\ е*Р'), противоположной s = (eict, е*Р) по отнси
тению к z = reix.
Пусть s, s' обозначают также длины дуг s, s'. Угол у, под
которым s видна из z, равен 1/2(s + s/). С другой стороны, он
равен
-2) = bn J g^- = R S
i
eia
Таким образом,
у (s + s') =-i-s + ях (^ *)»•
откуда следует теорема.
Линии уровня х (г, дс), будучи кривыми, на которых y постоянен,
суть те дуги окружностей, проходящих через eia, e*P, которые
расположены внутри С.
7. Суммирование методом Абеля (продолжение)
Из теоремы C.9) выводим, что S [/] суммируем А во всех
точках х, в которых Фх(/г) =o(h), в частности почти всюду.
Этот результат ниже будет усилен [см. G.9)]. Сначала мы дока-
докажем некоторые теоремы о суммируемости А формально продиф-
продифференцированного ряда Фурье. Если
lim F{Xo+h)-F(x°-h)=DiF(xo) G.1)
лМо zn
существует, то он называется первой симметрической производной
от F в точке х0 (см. гл. I). В общем случае верхний и нижний

166 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
пределы при А—>0 отношения G.1) называются верхней и нижней
первой симметрической производной. Мы будем их обозначать
через DiF(xQ) и DiF(x0) соответственно. Если F'(х0) сущест-
существует, то существует и п^(х0) и их значения равны.
G.2) Теорема Фату. Предположим, что
* ^°+2 (^v cos va:+Bv sln v*)
а что существует DtF (xo), конечная или бесконечная. Тогда ряд
S' [F] суммируем А в точке х0 к значению ?>i^(*o)» #*. e.
2 v (fiv cos v*0 — Av sin v*0) rv G.3)
v=i
стремится к D^ (x0) при r —> 1.
Общее пределы неопределенности для G.3) яри г—>1 всегда
заключены между DtF (х0) и D^ (x0).
Достаточно доказать вторую часть. Если F (г, *) — интеграл
Пуассона для F, то G.3) есть {dF (г, х)/дх}х==Хо. Из формулы
я
/?(r';c) = -F S F{t)P{r,t-x)dt
— П
по'лучаем
L(m^L\ =__L Ь
—я
я
=4" ^^(О^^.О*. G.4)
— Я
где штрих обозначает дифференцирование по t,
g (t) = {F (x0 + t)-F(x0-t))l2 sin U
Заметим, что K(r,t) обладает свойствами (А), (В), (С) ядер.
Свойство (В) очевидно; очевидно и (С) — этим свойством обладает
также и Р' (г, t). Для доказательства того, что
К(г,0Л = 1, G-5)
— я
положим F (х) = sin х, хо = 0. Тогда F (г, *) = г sin #, #"(/) = 1
и сравнение крайних членов в G.4) дает G.5).
Так как максимум и минимум функции g(t) в точке / = 0
соответственно равны DtF (xQ) и DiF(x0), то теорема G.2) следо.

7. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 167
вала бы из теоремы B.30) (с хп = х0 для всех л), если бы было
известно, что g(t) интегрируема. Последнее не обязательно_верно
[за исключением случая, когда, например, DtF (х0) и DtF (x0)
конечны], но это не влияет на доказательство, как видно из сле-
следующих рассуждений. Пусть 0<6<я. Так как Р'(г, t) обла-
обладает свойством (С), то правая часть в G.4) равна
б
i \g(t)K{r,t)dt + o(l).
Интеграл здесь заключен между верхней и нижней гранями для
б
g(t) на ( — 6, 6), умноженными на — \ Kdt. Но последний интег-
рал стремится к 1 при г—>1. Следовательно, пределы неопреде-
неопределенности выражения G.3) при г —>\ заключены между верхней
и нижней гранью для g(t) на ( — 6,6). Полагая б произвольно
малым, мы можем заменить эти границы на DiF(x0) и D^ {xo)\
теорема G.2) установлена.
G.6) Теорема. Если F' (х0) существует и конечна, то
dF{r,x)/dx->F'(x0)
при (г, л:), приближающейся к (\,х0) по некасательному направ-
направлению.
Мы можем предположить, что л:0 = 0, F@) = 0. Временно пред-
предположим также, что F'@)=0. Пусть дано г > 0; пусть а таково,
что \F(u) |<e|и\ для |и|<2а. Из G.4), пользуясь свойством (С)
для Р' (г, t), имеем
— Jt
a
¦i- J F(x + t)P'(r,t)dt + o(l)=A + o{l). G.7)
—a
Предположим, что | x | < а. Тогда для 11 | < a имеем | i7 (jc + /) | <
|, и далее
a rt
\Л\<~ \ (\x\ + \t\)\P'\dt<~ I {\x\ + t)P'dt<
0

168 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Выражение в фигурных скобках остается ограниченным при при-
приближении по некасательному направлению. Следовательно, пола-
полагая е произвольно малым, мы видим, что G.7) стремится к нулю
в силу предположения F' @) = 0.
В общем случае положим
F (х) = {F (х) - F' @) sin *} + F' @) sin х.
Производная от выражения, стоящего в фигурных скобках, при
х = 0 равна нулю, а для функции F'@)sinA;, интеграл Пуассона
которой равен F (O)rsinx, теорема очевидна.
G.9) Теорема. Пусть F(х) —неопределенный интеграл
от интегрируемой и периодической функции f. Тогда:
(I) ряд S [/] суммируем А к сумме DiF (х0) в каждой точке х0,
в которой существует D{F (x0) (конечная или бесконечная);
(II) в каждой точке, в которой F' (xo) = f (х0) существует
и конечна (следовательно, почти всюду), интеграл Пуассона
f(r,x) от f стремится к f(x0) при (г, *) —>A, х0) по некаса-
некасательному пути.
Действительно, предполагая, что всегда можно сделать сво-
свободный член в S[f] равным нулю, имеем S[/] = S'[F], f(r,x) =
==dF(r, х)/дх, и наша теорема следует из теорем G.2) и G.6).
Здесь часть (I) не следует из C.9), так как условие фх(К) = о(К)
более сильно, чем требование существования симметрической
производной.
Иногда важно знать поведение интеграла Пуассона при при-
приближении по касательным направлениям. Нам будет полезен сле-
следующий результат, в котором для простоты положено л;0=0;
этот результат показывает, какого типа оценки здесь можно
получать.
G.10) Теорема. Предположим, что
л
~ J f(t)dt\ <M для |А|<я; G.11)
о
тогда
(Ш) G.12)
f(r,u)du\<KM\x\, G.13)
где 8=1—г, а К —абсолютная константа.

7. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 169
\ —
Предположим, что свободный член в S [/] равен нулю. Тогда
X
F (x)=[fdt периодична. Для /(г, x) = dF(r, х)/дх имеем равен-
о
ство G.7) с сг = я и без члена оA). Тогда G.8) с г = М пока-
показывает, что имеет место G.12) с /С=1.
В общем случае мы положим /" = Д
— константа. Ясно, что |/2|<М и /i = /—/2 удовлетворяет G.11)
с константой 2М вместо М; кроме того, свободный член в S [//]
равен нулю. Отсюда следует, что /(г, x)=fi{r, x) + f2{r, x)
удовлетворяет G.12) с /( = 3.
Для доказательства G.13) мы сначала предположим, как и вышег
X
что F(x)= \ fdt периодична. Из равенства, предшествующего
о
G.4), получаем
X Jt
/(г, u)du=F (г, X)-F(r,0)=±\>F (t) {Р (г, t-x)-P (г, /)}Шг
-я
так что левая часть в G.13) не превосходит
л
M-i 5 \t\\P(г, t-x)-P(r, t)\dt = MI(r, х)
5
О
-Jt
и достаточно показать, что
1(г,х)<К\х\ (|^|<п). G.14)
Случаи л: > 0 и л: < 0 в G.13) эквивалентны, и мы можем пред-
предполагать, что 0<#<я, или даже 0 <.х^.-^п, так как в про-
противном случае G.14) очевидно.
Далее
5 J
—Jt-fX —Я

170 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Ясно, что
—a
п—х
/2= J (t + x)P(r, t)dt-\tP(r,t)dt<
0 х
П-Х X
<х \ P(r,t)dt+\(t + x)P (г, t) dt <
х 0
я я
<х jj P{r, t)dt + 2x[p(r, t)dt = ^nx.
о о
Аналогично /3 <-^ пх- Так как подинтегральная функция в /4
равномерно ограничена, то /4 = О(л:). Подытоживая все эти нера-
неравенства, получаем G.14). Если функция / произвольна, то мы
представляем ее в виде суммы f=fi-\-f2i, как и ранее.
Ряд
оо
2 v (Av cos v* + Bv sin vx)
v=l
является сопряженным к S' [F] и в то же время получается
формальным дифференцированием %[F]. Мы его будем обозначать
§* [F]. Очевидно,
со
2 v (Av cos vx + Bv sin vx) rv = dF (r, x)/dx.
v=i
G.15) Теорема. ?сл^ F периодична и интегрируема, то
разность
(г, х)
91
стремится к нулю вместе с 1—г для каждого значения х, для
которого функция F является гладкой, что означает, что
+ F(x-t)-2F(x)=o(t). G.17)

7. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 171
Из формулы F.5), где вместо / берем F, получаем
я
= 4~$ {F(x + t)+F(x — t) — 2F(x)}Q' (r, t)dt,
о
так как Q' четно и интеграл от Q' по ( — я, я) равен нулю.
Отметим, что
ПЧг а_ r\(\+r*)cost-2r] Q,n , -1 ^|
J ' V V .*; 2A—cos/) ' I /7 18ч
Пусть
, 6 = 1—г.
В силу условия G.17) ?(^)=о(/). Представим последний выпи-
6 я
санный интеграл как сумму А + В, где А = \ , В = \ . Тогда
о б
(см. G.18)]
о о
я я
Здесь fii равно выражению в круглых скобках в G.16), и таким
образом G.15) будет доказано, если мы покажем, что В2—>0.
Собирая отдельно члены с cos? и с cos2^ в числителе, находим
О'(г t\ 071 Л- A—rJ[(l + 02-2rcos/+2rcos2/] _
У (Г, Г)-У A,*)- 2(l-cos0A2(r, /) ~
^62 [А (г, Q+2rsing/]
"" 2A—cos ОД» (г, t) *
Так как A>4rsin2y/, то последнее выражение имеет порядок
ОF2Г4). Следовательно,
я я
я
± \ o(t)O(№-*)dt=8* \ о
б б
и теорема G.15) доказана.

172 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Таким образом, при предположениях G.17) (в частности,
если F' (х) существует и конечна) суммируемость А ряда %' [F]
в точке х эквивалентна существованию интеграла
±П . GЛ9)
Мы ниже покажем (гл. IV, § 3), что если F' {х) существует
в каждой точке множества Е, то интеграл G.19) существует
почти всюду на Е и, следовательно, ряд S' [F] суммируем А
почти всюду на Е.
G.20) Теорема. Если f интегрируема и F —неопределенный
интеграл от f, то
G.21)
в каждой точке гладкости функции F, в частности в точках
непрерывности функции /. Если f непрерывна всюду, то сходи-
сходимость равномерная.
Это усиление теоремы C.20), так как условия гладкости,
h
которые могут быть записаны в виде \ ^x(t)dt = о (Л), слабее,
о
нежели 1?x(h) = o(h).
Предположим, что свободный член в S [/] равен нулю. Тогда
F периодична и / (г, x)=dF(r, х)/дх. Интегрируя по частям,
получаем
?1^ ^ \*%*, G.22)
где I (t) = F (x +1) + F (x — t) — 2F (x). Проинтегрированный член
имеет порядок о(I) по предположению, и теорема G.20) следует
из G.15).
Теорема G.20) показывает, что при предположениях гладко-
гладкости G.17) ряд S[/] суммируем А в точке х тогда и только тогда,
когда / (л:) существует. Мы покажем теперь, что из существова-
существования J(x) вытекает G.17) и, следовательно [по теореме G.20)],
суммируемость А ряда S[f] в точке х.

7. СУММИРОВАНИЕ МЕТОДОМ АБЕЛЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 173
Так как дробь tlig-^t и обратная ей дробь ограничены и моно-
монотонны около точки t=0, то, применяя вторую теорему о сред-
среднем, убеждаемся, что существование J(x) эквивалентно суще-
я
ствованию интеграла \ Г1(ф(/)Л. Соотношение l(t)=o(t) будет
о
получено, если мы применим к последнему интегралу следующую
лемму са = 1 и h(u) = u~1ty(u):
G,23) Лемма. Предположим, что h(u), 0<и<а, интегри-
интегрируема на каждом интервале (г, а), е > 0, и что существует
а а
{несобственный) интеграл \ hdu= lim \ hdu. Тогда, если а > О,
(u)u«du = o(ta) (t->0). G.24)
j
о
u
Пусть H(u)= \ h(v)dv. Для />е интегрирование по частям
о
дает
t t
[ uah (и) du = [иаН (u)Ye - а ? w»-^ (w) du.
e e
Устремляя е к нулю и замечая, что (и)=оA), получаем G.24).
Пусть 6(^)= \ %(u)du. Незначительное изменение в доказа-
о
тельстве G.15) [интегрирование по частям 6(/) вместо %{t)]
показывает, что G.16) стремится к 0, если вместо G.17) выпол-
выполнено следующее: @(t)=o(t*). Если интеграл G.19) существует,
л
то существует \ t~*l(t)dt. Тогда в силу G.23) с а = 2 мы имеем
о
в(^)=о(/2). Следовательно, из существования интеграла G.19)
вытекает суммируемость А ряда S' [F] в точке х.
Пусть 2 cvzV — ф (z) ~- степенной ряд, действительная и мни-
мнимая части которого на |z| = l суть S [/] и S[f] соответственно.
Если этот степенной ряд суммируем (С, 1) в точке eix°, то cp(z)
стремится к пределу при z, стремящемся к eix<> по некасатель-
некасательному пути [ср. A.34)]. Таким образом, рассматривая мнимую

J74 ГЛ. III СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
часть cp(z) и применяя C.9) и C.23), получаем следующий
результат.
G.25) Теорема. Если /GL, то для почти всех х гармони-
гармоническая функция 7 (г, х) имеет предел при (г, х), стремящемся
к A, х0) по некасательному пути.
Тот факт, что S [/] почти всюду суммируем А к /, может
быть дополнен следующим утверждением.
G.26) Теорема. Пусть задано множество Е на @, 2я)
меры нуль. Тогда существует периодическая интегрируемая функ-
функция f (х) > 0, такая, что для всех хо?Е имеем f (г, х) —> + со
при reix, приближающемся к eix<> изнутри единичного круга.
Действительно, пусть Gn —открытое множество, содержащее
Е и такое, что |Gn|<l/rc4. Пусть fn(xy=n2 на Gny fn(x)=O
всюду вне Gn. Пусть /(*)=2Ы*)- Очевидно, f >0, /n<f
для каждого п и
2я 2л
о
так
reix
что f
—>eix°
0
? L. Если
имеем
xo€
0
то *<)€Gn и, таким образом, для
lim fn(r, x)=n*y
и, стало быть, lim/(r, х)= +со.
Аналогичные рассуждения показывают, что S [/] суммируем
(С, 1) к + со в каждой точке множества Е.
8. Суммируемость рядов S [dF\ и S [dF]
Пусть F (*), 0<л;<2я, — функция с ограниченным измене-
изменением. Из теоремы G.6) видно, что в каждой точке, где F' (х)
существует и конечна, S [dF] суммируем А к числу Fr (х). Ана-
Аналогично из теоремы G.15) вытекает, что в каждой такой точке
суммируемость А ряда § [dF] эквивалентна существованию инте-
интеграла G.19).
(8.1) Теорема. Пусть о%(х)^и о%(х) обозначают чезаровские
средние порядка а для S[dF] и S[dF] @<а<1). Тогда
<^(*)->^М> (8.2)
Ц ^.T,y}«8 (8-3>
для почти всех х.

8. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ StdF] И SCrfF] 175
Мы только наметим доказательство, которое аналогично дока-
доказательству E.1) и E.8). Сначала мы докажем следующий аналог
теоремы A1.1) гл. II.
(8.4) Теорема. Пусть F (х) имеет ограниченное изменениеТ
Fx(t)=F(x + t)-F(x-t)-2tF'(x),
Gx(t)=F(x + t) + F(x-t)-2F(x).
Обозначим через Ф*(Л), ТЖ(Л) полное изменение соответственно
функций Fx(t), Gx(t) на отрезке 0<?<Л. Тогда
для почти всех х.
Пусть y — некоторое число, и пусть Vy(t) — полное изменение
функции F(t) — yt. Для почти всех х имеем Vy (x) = \Ff (х) — у\г
т. е.
h
h-*^\dt{F(x±t)-y(±t)}\-+\F'(x)-y\ при Л-> + 0,
о
где индекс t показывает, что изменение берется по отношению
к переменной t. Рассматривая рациональные значения V и рас-
рассуждая так же, как при доказательстве теоремы A1.1) в гл. II,
получаем, что
h
\\dt{F(x±t)-(±t)F'{x))\=o{h),
О
и, следовательно,
h h
]
о
для почти всех х.
Теперь легко доказать, что (8.2) имеет место при каждом ху
для которого Фх(Л) = о(А). Действительно,
О
я
в% (х) -F' (х) = -1 5 КЪ (t) dtFx(О,
5
О
1/п
1/п

176 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Здесь Л<2лФхAМ)=оA). Интегрирование по частям в силу
E.5) дает
ijn
а это приводит к (8.2). Для доказательства (8.3) заметим, что
\KZ(t)dt[F(x + t)+F(x-t)] =
О
П
1/п я
= ~4" I Kn(t)dtGx(t) + -^- J Hn(t)dtGx(t)
0 l/n
[cp. E.13)]. Два члена справа имеют порядок оA), так как
\рж (A) z=o(h). Интегрирование по частям дает
я я
= оA) (8.5)
для каждого х, для которого F гладкая, т. е. (8.3) доказано.
Рассуждая, как и при доказательстве теоремы A1.9) из гла-
главы" II, находим, что частичные суммы рядов S [dF\ и S [dF\ имеют
порядок о (Inn) почти всюду.
Принимая и на этот раз без доказательства) что интеграл G.19)
существует почти всюду [см. гл. VII A.6)], мы видим, что
%[dF\ суммируем (С, а),- а > 0, почти всюду. Отсюда вытекает
в свою очередь, что теоремы D.4) и G.25) сохраняются для
рядов Фурье — Стильтьеса.
9. Ряды Фурье в точках разрыва первого рода
Пусть задана числовая последовательность s0, slf s2, ...; рас-
рассмотрим числа
B^) («=1.2,...). (9.1)
V=l

9. РЯДЫ ФУРЬЕ В ТОЧКАХ РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА 177
Можно проверить, что матрица, преобразующая {sn} в {тл},
удовлетворяет условиям регулярности (см. § 1). Метод суммирова-
суммирования, определенный формулой (9.1), называется методом логариф-
логарифмических средних.
Пусть av = (s0 + Si + • • • + sv)/(v + 1) • Осуществляя замену sv =
= (v+ l)Ov — vov-i в (9.1), получим
v=i
(9-2)
Матрица, преобразующая {оп} в {тЛ}, тоже удовлетворяет усло-
условиям регулярности, так что метод логарифмических средних
не слабее метода (С, 1). Если аЛ=(-—1)п, то тп—>0, хотя liman
не существует; таким образом, метод логарифмических средних
строго сильнее метода (С, II).
Теорема (8.13) гл. II может быть переформулирована так:
в каждой точке я, где функция / имеет скачок d, члены
v (bv cos vx — av sin vx)
ряда S' [/] суммируемы методом логарифмических средних к din.
Таким образом, члены продифференцированного ряда Фурье опре-
определяют скачки функции.
Можно показать на примере (см. стр. 494, пример 3), что,
вообще говоря, здесь нельзя заменить логарифмические средние
на (С, 1). Однако это может быть сделано, если данная функ-
функция имеет ограниченное изменение. Мы будем предполагать, что
F (х) не обязательно является периодической, но удовлетворяет
условию
~-F(x) =const ( — сю <х< + о
и имеет ограниченное изменение на [0, 2я].
(9.3) Теорема. Пусть dF (x) ~ 2cveivx\ тогда
4 F(x0-0)]. (9.4)
Если
F~-?
х) Нетрудно видеть, что для метода (С,1) каждая последовательность
оп является преобразованием от некоторой {sn}.—Прим. ред.
12 д. Зигмунд, т. I

178 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
то S[dF]—Sf[F] и (9.4) может быть записано в виде
п
-jp 2 v (flv cos vx0—Лу sin vato)--^-1 [F (xo+O)-F (*0—0)]. (9.5)
При доказательстве (9.4) можно предполагать, что Xo = O.
Нетрудно проверить, что (9.4) [или (9.5)] справедливо для
функции
(я *) sinx + sin2A;+ ...@<лс<2я).
Вычитая из F эту функцию с некоторым коэффициентом, мы сво-
сводим нашу задачу к случаю, когда F непрерывна при х = 0; нам
нужно показать, что
имеет порядок о(п). Выберем г\ настолько малым, чтобы полное
изменение функции F на (— rj, rj) не превосходило 8. Тогда
^Л [ \dF(t) \<2пл-1г<гп1
-л
max |D
Следовательно, Л + В = о(п) и теорема (9.3) доказана.
Применим теорему (9.3) к функции Z7*, связанной с F посред-
посредством формулы A.28) гл. II. Пользуясь результатами A.29)
и A.30) гл. II, получаем следующую теорему.
(9.6) Теорема. Пусть dF (x) ~^cveivx, и пусть dx, d2, ..
все скачки функции F (х) в полуинтервале 0<л;<2я. Тогда
(9.7)
функция F всюду непрерывна тогда и только тогда, когда
В частности, F непрерывна, если cv—>0.

9. РЯДЫ ФУРЬЕ В ТОЧКАХ РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА 179
Условие Rn—>0 эквивалентно условию
^ЕК1^0- 0.9)
Действительно, i?n<i?^max \ck\, и, таким образом, из (9.9) выте-
вытекает (9.8). Обратное следует из неравенства Коши — Буняков-
ского:
V2,
Пусть снова /?L. Для приложений представляет интерес
изучение суммирования последовательности {v (bv cos vx — av sin vx)}
методом Абеля, что означает существование предела
оо
A—гJ v (bvzosvx—avsmvx)rv=(l—r)-^f(r, x) (9.10)
v=l
при г—>1. Вместо d(xo) = lim [f(xo-\-t)—f(xQ — t)] можно рас-
рассматривать обобщенный скачок:
h
8(хо)= lim -i- J [/(*0 + 0 —/(*о —01* =
~* о
- lim ^(^о+Ц+^^о-Ц-г^^р)
inn ^ ,
где F — интеграл от /. Таким образом, условие 8(хо) = О экви-
эквивалентно гладкости F в точке х0. Из существования d(x0) выте-
вытекает существование 8(х0), и оба числа равны.
(9.11) Теорема. Если 8 (х0) существует и конечна, то
выражение (l—r)fx(r,x) при х= х0 стремится к 8(хо)/к при
Можем считать, что ао = О, так что F периодична и /*(/*, х)=р
= Fxx(r,x). Можно также считать хо = О. Для функции /~
— 2 v~1sinvA; утверждение (9.11), очевидно, имеет место, и, таким
образом, мы можем ограничиться случаем б(л:о)=О. Так как
функция
12*

180 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
я
четна по / и так как \ Р" dt= Р' (г, я) — Р' {г, 0), то
r,*)_ 1 \
\ F(t)JLp(r t-x)dt-
дх* *~~ я J r w дх* ^ <г' l x)at-
—я
Т^^-ЬО+^^-О-З/7^)}/3"^^)^- (9.13)
— Я
Достаточно показать, что выражение
обладает свойствами (В') и (С) ядер (см. § 2). [Свойство (А)
здесь не нужно, поскольку S(jco) = O.]
Свойство (С) следует из (9.12). Последняя формула также
показывает, что P"(r, t) меняет знак на @, я) только один раз,
именно в точке t = r = x(r), для которой
cos т 2г
так что т—>0 при г—>\. Кроме того,
A —гJ = 1—cosT+sin2T ^ 3 а
1^_Г2 1 + sin2 т 2 '
так что
%~VS(l—r). (9.14)
Для того чтобы проверить свойство (В'), мы должны пока-
показать, что
я
\t\P"(r, /)|rf/<_^-.
О
Здесь левая часть равна
л я
P"dt = -2тр//(^ т) + 2Р(г,т)-Р(г,0)-Р(г, я)<
<-2тР'(г, т) + 2Р(г, т).
Так как Р(г, т)<1/A—г), то достаточно получить аналогичную
оценку для — тР'(г, т), что легко сделать при помощи (9.14).
Этим доказательство (9.11) заканчивается.
Отметим, что, начиная с (9.13), мы в доказательстве нигде
не пользовались тем, что F есть интеграл. Таким образом, наши

10. СИНУС-РЯДЫ ФУРЬЕ 181
рассуждения показывают, что для любой интегрируемой F, глад-
гладкой в х,
Fxx(r, jc)=o{A—r)}. (9.15)
С очевидным распространением на равномерность мы можем сфор-
сформулировать следующий результат.
(9.16) Теорема. Если F€^*> то справедливо (9.15) равно-
равномерно по х. Если FgA*, то утверждение сохраняется с «О»
вместо «о».
10. Синус-ряды Фурье
Если f(x) нечетна, то ее интеграл Пуассона может быть запи-
записан в виде
л
±\ t. (ЮЛ)
Так как Р (г, и) четна и убывает на 0 < и < я, то разность
в квадратных скобках положительна для 0 < х < я. Таким обра-
образом, если f(t) неотрицательна и f(t)=?=O на @, я), то /(г, х) строго
положительна для 0<л;<я. [Разумеется, /(г, 0)=/(г, я) = 0.]
Если т</(/)<УИ и /(/) =fe const для 0<^<я, то из A0.1) выте-
вытекает
\
о
для 0 < х < я. Эти неравенства могут быть переписаны в виде
m\i(r, x)<f(r. x)< M\x(r, *),
где [i (г, я) (положительная для 0 < х < л) есть интеграл Пуас-
Пуассона для функции
|i@ = sign* (|*j< я).
Этот результат сохраняется, если суммируемость А заменить
йа суммируемость (С, 3).
A0.2) Теорема. Если нечетная функция [(х)ф0 неотри-
неотрицательна на @, я), то третьи арифметические средние ряда
J5[/] строго положительны для 0<л;<я. Более того, если
Цх)фconst и т</(л:)<Л1 на @, я), то
mol (x; ii) < в3п(х; f) < Мо3п {х; \х) @ < х < я; /г= 1, 2, ...).

гл. hi. суммируемость рядов фурье
Для доказательства достаточно (рассуждая, как и в случае
с ядром Пуассона) показать, что ядро Kn(t) строго убывает на
(О, п) или, так как Кп@ — полином, что {Kl(t)}'<>0 на этом
интервале. Выражение {Кп (t)}' есть чезаровское среднее Sn (t)/An
для ряда 1/2 + cos t + cos 2t + • • • > продифференцированного по-
почленно. Используя формулу A.9), получаем тождество
A0.3)
где
Д(г, t) = l— 2rcost + r2.
Применяя снова A.9), мы видим, что выражение в квадратных
скобках представляет собой степенной ряд
/Со (о+2/Ci (о г+з/с2 (о /•¦+••-.
где Kn{t) — ядро Фейера, т. е. неотрицательная величина. Так как
г/ A — г2) = г + г3 + ... также имеет неотрицательные коэффи-
коэффициенты, то мы видим, что Sn(t)<c0 на @, я), откуда следует
теорема A0.2).
11. Явление Гиббса для метода (С,а)
Явление Гиббса было определено в § 9 гл. II. Пусть М(х0.
и т (х0) — максимум и минимум функции / в точке х0 (см. § 2))
Так как для каждой последовательности {хп}—*х0 пределы неоп-
неопределенности оп(хп) заключены между т (х0) и М(х0) [см. B.30)],
то для (С, 1) средних ряда S [/] явление Гиббса не имеет места.
Легко видеть, что если явление Гиббса для (С, а) не имеет
места при а = а1? то оно не имеет места ни при каком (*>(*!.
Действительно, если
т (х0) -6<а«1 (*)<М (х0) + е
для \х — *о|<т], п>п0, то
т (х0) — 2е < а« (х) < М (х0) + 2е
для \х — #о|<т], n>n,i [см. A.5)]. Поэтому достаточно рассмо-
рассмотреть случай 0 < а < 1.
A1.1) Теорема. Существует абсолютная постоянная а0,
0<а0< 1, со следующими свойствами: если f (х) имеет разрыв
первого рода в точке ?, то для средних о*(х; /) имеет место
явление Гиббса в I для а < а0, но не для а>а0.

11. ЯВЛЕНИЕ ГИББСА ДЛЯ МЕТОДА (С, а) 183
Так как ряд S [/] равномерно суммируем (С, а) в каждой
точке непрерывности, то достаточно (как в гл. II, § 9) доказать
A1.1) для функции
f(x) —- sin я + у sin 2л; + ...
при 1 = 0. Замечая, что S' [/] = cos я + cos 2# + ..., находим
X Я
Kan(t)dt, аЦх) =1(я-х)- J Kl{t)dt. A1.2)
х
Возьмем сначала а = 1. Тогда первая формула дает
n (x) = -тх+7[+Т ) ti dt +
(И.З)
где Rn(x) =O(l/n) равномерно по x.
Замечая, что an (x) —>у(я — х) для 0 < x < 2xc, мы выводим
формулу
Г /"si
К
siriH
К
о
[Эта формула аналогична формуле (8.4) гл. II и может быть
получена из нее интегрированием по частям.] Из A1.3) и A1.4)
получаем
od
ад(дс)=4-(я-*)-
Я i ) du + Rn(x),
nx
для п > 1. Следовательно:

184 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
(I) если дано произвольное I > О, то существуют 6=6 (/) > О
и по~поA), такие, что
<Уп{х) < -т^п — S для 0<л;<//п, п > /го.
Воспользуемся теперь приближенной формулой E.15) для Кп (О-
Интегрируя правую часть этой формулы по (х, п), применяя
вторую теорему о среднем к первому интегралу и пользуясь
второй формулой A1.2), получаем для Оп(х) значение
/ \ (X 1 1 1 • &J \ . D /1 1 С \
у (Я-*)— К~СЧ'ХЛ~ a+1 "" l11^)
где 10i | < 1 и | В | меньше абсолютной постоянной. Так как
An >Cna для /г>1 и 0<а<1, то мы видим, что для достаточно
больших пх первый из трех последних членов в A1.5) больше
двух других по абсолютной величине. Поэтому имеем:
(II) если -? <а<1, то существует такое 1и что |Gп(*)|<
<уя, для IJn^x^n, n>rii.
Теперь покажем, что
(III) если 1—а достаточно мало, то \ Оп(х) |<уя для
Это вместе с (II) показывает, что если а достаточно близко
к 1, то для Оп(х) не имеет места явление Гиббса. Прежде всего
заметим, что имеет место неравенство
AllAl>A\lA\ для -1<а<р
Из него выводим, что |(Тп(#) — On (х) | меньше, чем
sin vx
_ , А*» _ #n+1 V пхф-а)
Для Р = 1 последний член меньше, чем ~^пх(\— а), и, таким
образом, в силу (I), достаточно взять а таким, что у A —a) h <
()
Для того чтобы показать, что для достаточно малых положи-
положительных а явление Гиббса имеет место, рассмотрим разность
On — вп = вп — sn, которая, в силу A1.6), по модулю меньше, чем

12. ТЕОРЕМЫ РОГОЗИНСКОГО 185
/шх/(а+ 1) < пха. Так как sn (я/я) стремится к пределу, большему,
чем -i-я (гл. II, § 9), то отсюда следует, что Шп а? (я/я) > у я,
и, таким образом, явление имеет место для достаточно малых а.
Итак, установлено существование такого а0, 0<а0<1, что
для а < а0 явление Гиббса имеет место, а для а > а0 не имеет.
Если мы покажем, что множество G, состоящее из таких а, для
которых это явление имеет место, открыто, то из этого будет сле-
следовать, что для а = а0 явление Гиббса не наблюдается и тем самым
теорема A1.1) будет доказана.
Пусть 0 < а' < а0. Как и в (II), мы видим, что найдется
такое /', что
\Оп(х)\<~2П для а'<а<1, /7я<*<я, п>п'.
Из оценки A1.6) для |а" — Оп\ выводим, что Оп(х) есть равно-
равномерно непрерывная функция от а, в области 0<а< 1, 0<#</7я,
/1 = 1, 2, .... Если для некоторого а > а' явление Гиббса имеет
место, т. е. если существует последовательность хп —> 0, такая,
что On (xn) >уЯ + 8 для всех достаточно больших я, то, во-пер-
во-первых, 0 < #п</7я, и, во-вторых, при достаточно малом 6 —а имеем
<*п {хп) :>~2nJrYe" ^то показывает» что G открыто. Теорема A1.1)
доказана.
12. Теоремы Рогозинского
Пусть % (t) — некоторая функция, причем К @) = 1. Тогда всякий
ряд и0 + ut + ... может рассматриваться как ряд
оо
2 uvk{vt) A2.1)
v=0
в точке ^ = 0. Пусть sn(t) п-я частичная сумма ряда A2.1),
a sn п-я частичная сумма для 2 uv Мы будем изучать поведе-
поведение sn (t) при п —> со и одновременно t —» 0.
A2.2) Теорема. Предположим, что ап = О A /я), тогда спра-
справедливы следующие утверждения:
(I) Если X(t) непрерывна в t = 0 и имеет ограниченное изме-
изменение на каждом конечном интервале, то из sn-^>s вытекает
(II) Если %" (t) существует и ограничена на каждом конечном
интервале, то из суммируемости (С, 1) ряда и0 + и>\ + • • • к числу s
вытекает
->s. A2.3)

186 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
(I) Пользуясь преобразованием Абеля, находим
n-i
sn(an)= 2 sv[A,(van) — ^ ((v + 1) ^n)] + snX (nan). A2.4)
v=0
Это линейное преобразование последовательности {sv}, удовле-*
творяющее условиям регулярности, поэтому (I) доказано.
(II) Пусть On— (С, 1)-средние ряда uo + Ui+ ... . Преобразо-
Преобразование Абеля дает
sn (ая) — snX (пап) + апХ (пап) =
п-2
+ na(n-D [X ((п — 1) ап) — X (пап)] + апХ {пап), A2.5)
и правая часть есть линейное преобразование последовательности
{av}. Полагая uo = l, ut =и2— ... =0, т. е. so = Si = ...=l,
ao = Gi= ... =1, убеждаемся, что сумма коэффициентов при av
справа равна 1. Тем самым доказано условие (III) регулярности.
Заметим теперь, что для любого фиксированного х
X (х + и) — X (х) = иХ' (х + ви),
Л/ \ лА / \ 1
где 6 и | 8i | заключены между 0 и 1. Пусть | пап | </г для всех я,
пусть, далее, число М мажорирует IM0I» |^'@1 и 1^@1 на
интервале (— /г, /г); тогда получаем, что сумма модулей коэффи-
коэффициентов при av в правой части A2.5) не превосходит
п-2
Это доказывает условие (II) регулярности. Условие (I) следует
из непрерывности X при t = 0. Итак, левая часть A2.5) стремится
к s, откуда следует A2.3).
Заметим, что если ап = а/п, где К (а) =0, то A2.3) упрощается.
Заметим также, что если члены ряда ио +#!+••• зависят
от параметра и если предположения относительно этого ряда выпол-
выполняются равномерно, то заключения выполняются тоже равномерно.
Предположим теперь, что X (t) удовлетворяет тем же условиям,
что и выше, за исключением условия X @) = 1. Случай X @) Ф 0
легко свести к случаю Я@) = 1, рассматривая функцию X(t)/X(O).
Если, однако, А,@)=0, то условие (III) регулярности уже более
не выполняется и матрицы, порождающие преобразования A2.4)
и A2.5), будут иметь суммы 0 в, каждой строке.
В этом случае имеет место следующий результат.

12. ТЕОРЕМЫ РОГОЗИНСКОГО 187
A2*6) Теорема. Если Х@)=0, а остальные условия теоре-
теоремы A2.2) выполнены, то
sn (an) —> О, sn (ап) — (sn — s) Я (шхя) -> О
соответственно в зависимости от того, сходится ли ряд
#<> + #!+... ^лм суммируется (С, 1) /с сумме s.
Наиболее важные частные случаи получаются при Я(?) = cos t
и Я@ = sin/. Это связано с тем, что если обозначить через Sn(x)
частичную сумму ряда
оо
~2 ао + 2 (^vCosvx + &vsinvA:)? A2.7)
то
п
= y ао + 2 (°v cos vx + ^v s'n VJC)cos v<Xn)
v=1 i A2.8)
-i [Sa (jc + од) -Sn(x- a»)] =
П
= — ^ (av s'm vx — ^vcos vx) sin va^
v=i
суть sn(an) с X(^)=cos^, sin/. Таким образом, из первой фор-
формулы выводим теорему.
A2.9) Теорема. Пусть аЛ = 0A/п), и пусть Sn(x) —
частичная сумма ряда A2.7). Тогда
[S(x +
в каждой точке, где Sn(x)—>s, и
YlSn(x + an)-Sn(x-an)]-(Sn(x)-s)cosnan A2.10)
стремится к s в каждой точке, где ряд A2.7) суммируем (С, 1)
к s. В частности, если A2.7) есть S [f], то A2.10) стремится
к f(x) в каждой точке непрерывности f и сходимость является
равномерной на каждом отрезке непрерывности.
Если ап = |5, Где р —целое нечетное число, то A2.10)
превращается в выражение
%)+**(*-?)].

188 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
и это выражение дает метод суммирования тригонометри-
тригонометрических рядов, который не слабее метода (С, 1).
Если ап =^+(9(я~2), то последний член в A2.10) имеет
порядок оA), так как Sn(x) = o(n) всюду, где ряд A2.7) сумми-
суммируется методом (С, 1). В частности, все сказанное относительно
A2.11) применимо также к выражению
] <Р = 1.3.5...). A2-12)
A2ЛЗ) Теорема. Пусть A2.7) есть S [/], и пусть ? — точка
непрерывности функции /. Тогда для любой последовательности
hn—>0 выражение
n(l + hn + ±)+Sn(l + hn-?)] A2.14)
стремится к f (g).
Действительно, полагая в A2.5) K(t)=cost, ап = п/2п, полу-
получаем, что 1 \т | sn (ап) | < A lim | av |, где А — абсолютная постоян-
постоянная. Аналогично,
Мы можем предполагать, что / (g) = 0. Принимая во внимание,
что av(l + hn; /)-»0 [см. B.30)], имеем тп(Б)->0.
В гл. VIII мы увидим, что Sn(x\ f) может расходиться в точ-
точке ^ непрерывности /\ Теорема A2.13) указывает на существова-
существование определенной симметрии в поведении кривой y = Sn (x) вблизи
точки |: Среднее арифметическое значений Sn(x), взятых в кон-
концах интервала длины п/п, мало отличается от f E), если рас-
расстояние середины этого интервала от | мало.
Мы указали применение случая A,(^)=cos/. Пусть теперь
A,(/)=sin/. Из второй формулы A2.8) и из A2.6) получаем
A2.15) Теорема. Пусть ап = О AМ), и пусть Sn(x)
и Sn(x) — частичные суммы ряда A2.7) и сопряженного ряда.
Тогда
в каждой точке, где сходится сопряженный ряд. В каждой точ-
точке, где он суммируем (С, 1) к s, имеем
ls

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 189
Следовательно, если A2.7) —ряд Фурье функции /, то для
любого фиксированного целого числа q имеем
Sn (x + qn/n) -Sn(x- qn/n) -> 0
в каждой точке, где {§Л*)} суммируема (С, 1) и, в частности,,
почти всюду.
A2*16) Теорема. Пусть Sn(x) частичные суммы ряда
оо
^]cveivx, и пусть ап = 0A/п). Тогда Sn(x + an)—>s, если
Sn(x)->s, и
Sn(x + an)-(Sn(x)-s)e*™n-+s, A2.17)
если {Sn(x)} —суммируема (С, 1) к s.
Достаточно применить теорему A2.2) с Я (t) =elt к Sn(x + an) =
13. Приближение функций тригонометрическими полиномами
Пусть дана периодическая и непрерывная функция f(x).
Отклонение б (/, Т) тригонометрического полинома Т (х) от /
определяется формулой
6(f,T)=m*x\f(x)-T(x)\.
Нижняя грань чисел б (/, Т) по всем полиномам
Т (х) = у а0 + 2 (av cos vx -j- bv sin vx)
l
данного порядка п обозначается через Еп [f] и называется наилуч-
наилучшим приближением функции f порядка п. В силу C.6), En[f]
стремятся (монотонно) к нулю при п—>оо.
A3.1) Теорема. Для заданных fun величина En[f\
«достигается»', это значит, что существует полином Г* (х) =
= Г*(л:; /, п) порядка п такой, что б(/, T*)=En[f].
Действительно, пусть Г1, ^/...—последовательность поли-
полиномов порядка п таких, что
6(f,TkLZEn[f\ + l/k (ft = lf2,...)- A3.2)
В частности, Tk равномерно ограничены. Таким образом, если
по, ..., bhn — коэффициенты Tk, то все эти числа ограничены
в совокупности. По теореме Больцано — Вейерштрасса имеется под-

190 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
последовательность точек (ао, ..., Ьп) в {2п + 1)-мерном простран-
пространстве, которая стремится к пределу (а*, ..., 6*). Соответствующие
Тк (х) стремятся равномерно к полиному Г* (х) порядка п. Из
A3.2) имеем б (/, 71*) <?„[/], и так как противоположное нера-
•венство очевидно, то отсюда следует A3.1).
Положим
f(x)=T*(x) + R(x),
так что | R (х) | < Еп = Еп [f]. Пусть sh (x) и ги (х) обозначают
частичные суммы, a Ok(x) и Qh{x) — (С, 1)-средние для рядов
S [f] и S[R] соответственно. Для k>n имеем Sk = T*-\-rh, так что
. n-\-h—i « n+Л—i
й 2 sft=r*+ й 2 rft, Aз.з)
—J-c-t. A3.4)
Так как |ра|<?"п для всех &, то правая часть в A3.4) отличается
от Г* не больше, чем на (\ -\-2nlh) Еп, и, таким образом, от f
не больше, чем на 2(l+n/h)En. Левая часть A3.4) есть запазды-
запаздывающее среднее арифметическое для S'[f] (см. стр. 135). Для
h = n имеем
A3.5) Теорема. Пусть ап(х) =оп (х\ /). Тогда разность
между f и
хп (х) = 2oZn-i {х) — on-i (х)
не превосходит 4?"n[f].
Мы знаем, что хп (х) получается прибавлением к Sn (x\ f)
некоторой простой линейной комбинации следующих п — 1 членов
ряда S[/]. Таким путем мы получим полином, приближение кото-
которого к f почти так же хорошо, как наилучшее приближение Еп.
(Не следует забывать, однако, что хп есть полином порядка
21
A3.6) Теорема. Пусть f(x) периодична и k раз дифферен-
дифференцируема. Если | f u)(x) |<М, то
En[f]<AhMn-h (л = 1, 2,...)- A3.7)
Если f{h) непрерывна и имеет модуль непрерывности со (б), то
Еп[П<Вн<й(^)п-к (« = 1,2...). A3.8)
Постоянные Ak и БА здесь зависят только от k.

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 191
Пусть Tm = 2a2m-i —ffm-i. Используя формулу C.24) с о) = 2т
и с со = т, получаем
гг- A/Л ^ f р/ | л h (pit) I, /1Q Q\
% ^Л| = \ / \X -p I) —7g Ш, \lO.u)
— CO
где
(t)=sm*t — sin2 4-^=4-(cos/-cos2/),
и по A1.4)
A3.10)
Введем функции
со
H0(t)=h(t)/t\ Ht{t)=^Ht-l(u)du (/ = 1,2,...)
и временно примем на веру, что:
(I) интеграл, определяющий Ht(t), абсолютно сходится для
i = h 2, ...;
(II) Я3@)=Я5@) = Я7@) = ...=0.
Тогда законно интегрирование по частям столько же раз,
сколько существует производных у f, и мы находим для хт — /
значение
0
2
2
ят2
о
2 ?
О
Следовательно,
где СА = ~\ \Hh(t)\dt,
Я J
о

192 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
так что E2m-i<Cktri~kM. To же самое неравенство сохраняется
и для E2m(<E2m-i), и отсюда следует, что для любого п (четного
или нечетного) справедливо неравенство
превращающееся в A3.7), если положить Ak =
Докажем теперь (I). Достаточно показать, что каждое Hi(t)
есть O(t~2) в окрестности t = oD. [Так как H0(t) ограничено, то
отсюда также вытекает, что каждое Нг (t) ограничено для
0<^< оо.] Наше утверждение очевидно для H0(t). Пусть теперь
hi (t) обозначает i-й интеграл от h (t), периодический и не имеющий
свободного члена; hi (t) равно или
± -^ (cos t—2'1 cos 2t), или ± у (sin t — 2~l sin 2t).
Интегрирование по частям дает
H,m—4?-*bP-...-,*'gg+W)iffi<u.
A3.11)
Здесь р — некоторое положительное число. Так как |йр()|
тб последний член по модулю не превосходит р\ t~(P+1). Следо-
Следовательно, Hi =O(t~2). Если мы проинтегрируем A3.11) по (t, + оо),
интегрируя члены справа по частям, то найдем, что Н2 (t) есть сумма
линейных комбинаций из h2{t)t~2, h^(t)t~3, ... и остатка О(ГР).
Аналогично Я3 (/) есть сумма линейных комбинаций из h3 (t) Г2,
Л4 (/) Г3, ... и остатка О (/~~(р-1)) и т. д. Тем самым (I) доказано.
Для доказательства (II) применим A3.9) к функциям f(t) = l
и f(t)= cos t. Соответственно хт (х) = 1 и тт (х) = cosx, т>\.
Это дает при л: = 0
Интегрируя второй интеграл дважды по частям и пользуясь
первым тождеством, получаем
оо
\ cos — H2(t)dt = 0.
О
Здесь cos (t/m) —» 1 равномерно на каждом конечном интервале
оо
при т—>оо, так что \ H2dt=0. Аналогично доказывается, что

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 193
\ #4^ = 0, и так далее. Итак, утверждение (II) установлено.
I
Вторая часть теоремы A3.6) получается из первой при помощи
простого приема. .Пусть дана периодическая и интегрируемая
функция f(x), интеграл от которой равен F (х), и число б > 0.
Пусть далее
б эс+б
h{x)=±lf(x + f)dt = ± \[ И0Л = ^+*>=^=й. A3.12)
-б Х-6
Функция /б (х), также периодическая, называется подвижным
средним для/(я). Если / имеет k непрерывных производных, то /б
имеет k + l таких производных. Для абсолютно непрерывной /
имеем (f6)'=z(f'N. Хотя нам это здесь и не потребуется, заме-
заметим, что модуль непрерывности для f6 не превосходит модуля
непрерывности для /. Очевидно,
\h(x)-f(x)\<®F\f). A3.13)
Возвращаясь ко второй части A3.12), положим
Тогда /б(х) будет k+l раз дифференцируема и, в силу A3.12) и
A3.13),
< Bвг ш Bб;
х) | = | Р (х) - № (х) |< со (б; р>).
Следовательно, в силу A3.7),
Еп [Я < ?п [^1 + Ял [?] = Л^п^^б^со (б; р>) + Л&п"ьсо (б;
и полагая здесь б = 2яМ, получаем A3.8) с ВА = Лл + Ак+1/2л*
A3.14) Теорема. Если f имеет непрерывную k-ю произ-
производную F = 0, 1, ...) и если Р>бЛа, 0<а<1, то
En[f] = O(n-k-^. A3.15)
Для а = 1 это неравенство имеет место даже в том случае,
когда Р>?Л
Достаточно доказать последнее утверждение. Предположим, что
(x-t)- 2f(fe) (x) | < Mt,
где УИ не зависит от х и t. Пусть /бб(*) обозначает подвижное
среднее для f6, и пусть f(x) = f66(x)+g(х). Таким образом, /бб
А. Зигмунд, т. I

194 гл. in. суммируемость рядов фурье
имеет k + 2 производных и
I /66 W = 26 =
—26)—2/<fe>(A:)
Из A3.12) следует, что
6 6 26
-6 -б -26
26
о
и так как операция б коммутирует с дифференцированием, то
26
i} B6 — t)dt .
В последнем интеграле подинтегральная функция по модулю
не превосходит Mt{2§ — ^)<УИб2, так что \g{k) {х)\^-^МЬ. Следо-
Следовательно, в силу A3.7),
Еп [/] < Еп [/бб] + Еп [g] < Ah+zn-k-* B6) Af + \ Akn-k Мб.
Полагая здесь б = 2я/п, получаем
Еп [f] < ВМгГк~г, В --
Наша ближайшая цель состоит в доказательстве теоремы, обрат-
обратной A3.14).
A3.16) Лемма. Пусть Т (х) —полином порядка п и М =
= тах \Т(х)\. Тогда
| Г (х) | < 2/iM, \T'{x)\<2nM. A3.17)
Эта лемма чрезвычайно полезна; в гл. X, § 3, мы покажем,
что множитель 2 справа излишен. Запишем
2я 2rt
Г(л) = 1 j T{t)Dn{x-t)dt, Г
о

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 195
Так как Г —полином порядка п, то в последнем интеграле мы
можем прибавить" к
любой полином Q, все члены которого имеют порядок, больший
чем п. Если мы положим
п-1
Q= — 2 ksin{2n — k)t
i
и соберем вместе члены kslnkt и ks\nBn — k)t, то получим
2rt
1' (х) = -^ J Т (* + t)sinntKn-i{t) dU
о
2я
7"|<2л — [ MKn-i(t)dt =
0
A3.18)
что и требовалось доказать. Для доказательства второй части
леммы используем формулу
2л 2л п
Т' (x)=—[T(x + t)D'n(t)dt = —[ Tlx + t) {y\kcosktX dt.
0 0 i
Прибавляя к выражению в фигурных скобках полином
п — 1
2 &cosBn — &)^, получаем
1
T'{x)=^-^T(x + t)cosntKn-i{t)dt, |Г|<2пМ. A3.19)
о
A3.20) Теорема. Предположим, что f удовлетворяет
условию A3.15) при некотором k =0,1,2,... и 0<а,<1.
Тогда f имеет k непрерывных производных. Если а < 1, то
/(ft) 6 Ла. Если а = 1, mo /W принадлежит Л* (яо яв обязательно АЛ
и со (б; р)) = О(81пв).
Предположим, что En[f]<cMn-(k+a\ n=l,2, ... . Пусть Тп
есть полином наилучшего приближения порядка п для /. Тогда
f{x)= lim T2n(x) или
n
— T2n_i)+... , A3.21)
13*

196 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
где ряд сходится равномерно. Так как ип = Т2п — Т2п-х— по-
полиномы порядка 2п и
то первое неравенство A3.7), примененное / раз, показывает,
что a(n) = 0B-n(ft-^+a)). Следовательно, ряд A3.21), почленно
продифференцированный / раз, /<&, сходится абсолютно и равно-
равномерно. В частности, /W существует и непрерывна.
Положим f — Tz=g. Достаточно показать, что утверждения
теоремы A3.20) справедливы для функции g. Пусть 0 < h < V2
и пусть N — целое число, удовлетворяющее условию 2-N<A<
<2~<iV-1>. Так как g = u2 + u3+ . .. , где un = T2n — T2n-i, то
x + h)-g(k) {х) = 2 {и^ (x + h)- и™ (х)} = 2+2=^ +Q.
2 ЛЧ-1
A3.22)
Полиномы ип имеют порядок 2П, ип = О B-n(fe+a)). Следовательно,
по теореме о среднем и в силу первого неравенства A3.17) имеем
ЛГ N
\ Р |< h 2 max и?+{) (*) | < Л 2 B ¦ 2h)fe+1 - О B-«
2 2
при условии, что 0 < а < 1. Наконец —и это верно при 0 < а< 1 —
имеем
оо оо
|Q|< 2 2|max4fe)(*)l< 2 2 B-2^)feO B—(fe+«)) =
N+i N+l
oo
= 2 ОB-па)=ОB-^а)-О(/га).
ЛГ+1
Следовательно, gW G Ла для 0 < а < 1.
Если а = 1, то мы по-прежнему имеем Q=O(h), однако вы-
вышеприведенная оценка для Р изменяется следующим образом:
P = O{hN)=O(h\nh).
Следовательно, P + Q=^O(hlnh) и со (б; gW) =0 (б In б).

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 197
Остается доказать, что gWgA* для а = 1. Считая, что h и N
связаны теми же неравенствами, что и раньше, имеем
gm (x + h) + gW (x - ft) - 2gW (x) =
Z^ ^^^ ^ i. A3.23)
Члены в Qi по модулю не превосходят 4max|Hnft)(*) |, так что
автоматически мы получаем ту же самую оценку, что и для Q,
именно Q1=O(ft). Рассуждая так же, как при оценке Р, и поль-
пользуясь теоремой о среднем, получаем
N N
I Pi I < h2 2 max | u%+2) ] =h2 2 0 Bn) - 0 (h*2N) =0(h).
2 2
Следовательно, Pi + Qi = O(A) и gWgA*.
Замечания, (а) Из A3.6) и A3.20) мы видим, что для того
чтобы En[f]=O(n~-(k+a)), где k —целое неотрицательное число
и 0 < а < 1, необходимо и достаточно, чтобы f имела непре-
непрерывную k-ю производную, принадлежащую Ла, если а< 1, и Л*,
если а = 1.
В частности, для того чтобы En[f] = O (n~a), необходимо
и достаточно, чтобы /бЛа, 0<а< 1, а для Еп=О (п'1) f€A*.
(b) Так как класс Л4 содержится в Л*, но не совпадает с ним
[гл. II D.9)], то мы не можем в теореме A3.20) заменить Л*
на Л1в Взяв, например, k = 0, мы проверим это на простом
оо
примере. Пусть / = 2 2~mcos2mjc, 2N<n < 2*+!. Тогда
1
\f(x)-Sn(x\f)\ = \ S 2-mcos2mJc|< 2 2"m-2-^<2M.
JV+l TV-f-l
В частности, En[f]<2/n, так что, в силу A3.20), /бЛ^ (этот
факт мы проверили непосредственно в гл. II, стр. 82). Тем
не менее f не принадлежит Л1? так как ряд S' [/] не является
рядом Фурье. Таким образом, нет простой характеристики класса Л4
в терминах порядка наилучшего приближения.
(c) Если /6Л*, то по теореме A3.20) En[f] =0 A/л), а также
@F; /) =0F In б). Отсюда следует, что любая функция /бЛ*
имеет модуль непрерывности О F In 6) и, в частности, принад-
принадлежит Ла, 0<а<1 [см. гл. II, C.4)].
(d) Доказательство C.15) показывает, что если
f(x + t) + f(x-f)-2f(x)=0(t*) (/>0) A3.24)
для 0<а< 1, то on[f] — f = 0(n-a). В частности, En[f]=O (n~a),
так что 1^Ла, т. е. {(x + t) — f(x) =0(ta). Так как из послед-

198 гл. in. суммируемость рядов фурье
него условия в свою очередь вытекает A3.24), то мы видим,
что Ла, 0<а< 1, может быть определен как класс непрерыв-
непрерывных функций, удовлетворяющих условию A3.24)г). Лишь для а = 1
условие A3.24) приводит к новому классу Ла, более обширному,
чем Л1в
(е) Для каждой непрерывной функции f
\f(x)-Sll(x'yf)\<(Ln+l)En[fh A3.25)
где Ln — константы Лебега (гл. II, § 12). Действительно, пусть
Тп — полином наилучшего приближения порядка п для функции /
и пусть f = Tn + g. Тогда
g\ + Lnmax\g\=(Ln+l) En[f].
В частности, так как Ln=O(\nn), то
f (х)- Sn(x; f) =0 {n-k-*\nn) (ft = 0, 1, .. .; 0<а<1) A3.26)
при условии, что / имеет k производных и f(fe)gAa для а<1,
/<*>6Л* для а = 1.
Неравенство A3.25) показывает, что приближение / при по-
помощи Snlf] не более чем в Ln-\-\ =0 (Inn) раз хуже наилуч-
наилучшего. При k = 0 A3.26) дает теорему A0.8) из гл. II. Если
о (б; /) =о( | In б Г1), то, в силу теоремы A3.6), Еп= оA/1п п)
и' A3.25) показывает, что в этом случае S [f] сходится равно-
равномерно к jF. Это — теорема A0.3) гл. II.
A3.27) Теорема. В предположениях теоремы A3.20)
для функции f справедливы те же утверждения, что и для f.
Обозначим ряд A3.21) сноза через и±-\-иг-\- • • • • Покажем, что
7=7/1 + м2+... (url = T2n-f2n-i для п>\). A3.28)
Пусть Ln — константы, введенные в гл. II A2.3). Так как Ln =
= О (Inn), то
max \ип (х) | < L2n max | ип (х) \=О(п)О B~п (fe+a>) = О (п2~па).
Это показывает, что ряд 2j un сходится равномерно к функции
f*(x). Если fn суть частичные суммы ряда uL + U2+ . - -, то
частичные суммы в A3.28) суть Jn. Так как fn—>f и /Л—>/*
равномерно, то каждый коэффициент Фурье функций fn стремится
к соответствующему коэффициенту функции /, а коэффициенты7л
стремятся к соответствующим коэффициентам /*. Следовательно,
f*--=J, откуда следует A3.28).
1) Это может быть также непосредственно установлено при помощи
метода, которым мы доказывали теорему C.6) из гл. II.

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 199
Ряд A3.28), продифференцированный почленно / раз, /<&,
также сходится равномерно. Действительно,
max | Тй? (х) | < B.2tl)j • max \Zn(x)\ = O {п2~» <fe-M «)) = О (п2-™).
Остается показать, что 7(/г) удовлетворяют тем же заключе-
заключениям, что и /W в теореме A3.20). Предположим сначала, что
. Тогда, аналогично A3.22),
и с этого момента доказательство остается в точности тем же,
что и выше, так как мы имеем те же оценки для производных
от ип через тах|нЛ|, что и для ип. Здесь нужно пользоваться
вторым неравенством A3.17) вместо первого. Подобным же обра-
образом получаем и аналог соотношения A3.23).
Предположим теперь, что k=0 и а< 1. Так как вычитание
постоянной из f не влияет на En[f], то мы можем предположить,
что свободный член в S [/] равен нулю, так что интеграл F
от функции / периодичен. В силу теоремы A3.6), En[F] =0 (п~{~а)
и по только что рассмотренному случаю F имеет производную,
очевидно равную f и принадлежащую Ла. Рассуждения сохра-
сохраняются, если k = 0, <z=l.
Полагая в A3.14) и A3.27) k — 0, получаем следующий результат.
A3.29) Теорема. Если f принадлежит Ла, 0< а < 1, то
и f принадлежит Ла; если f принадлежит Л*, то и f принад-
принадлежит Л #.
Следует добавить, что если f^Au то функция / не обязана
принадлежать Ль так как функция, сопряженная с ограничен-
ограниченной функции, не обязана быть ограниченной.
Теорема A3.29) может быть также доказана непосредственно;
мы ограничимся лишь первой частью, несколько обобщив ее.
A3.30) Теорема. Если модуль непрерывности функции f
равен со (ft), то модуль непрерывности f не превосходит
~2od(u)du l h <-?-), A3.31)
о *
где А — абсолютная постоянная.
Мы можем предполагать,что со(/)// интегрируема в окре-
окрестности 0 и, стало быть, интеграл, определяющий f, абсолютно
сходится, так как в противном случае нечего было бы доказывать.

200
гл- П1. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Далее, равенство A3.31) получается с помощью интегриро-
вания по частям. Г Заметим, что \ а~2со (и) du = o (Г1) при t—>0.1
t
Для доказательства A3.30) рассмотрим формулы
Первая очевидна, так как ctg -^ нечетен, а вторая следует
из первой при замене х на x + h и ^ на / — Л. Подинтегральные
функции соответственно мажорируются функциями со A1 \) \ t \~х
и со( 11 — h\) | / — Ар1. Таким образом, если мы выделим интервал
(— 2А, 2А) из интервала интегрирования (— я, я) и положим
л
/(А)=—V '~1@@^» то мы Допустим ошибку не более 2/BА)<
о
<4/(А) в первом интеграле и не более / (/i) + /(ЗА)<4/(А)
во втором. Отсюда следует, что с ошибкой, не превышающей
8/,(А), имеем
-2/1 я
= --К S +5
-2h Jt
t—h
-"rt 2/i'
Первый член справа по модулю не превосходит
— 2Л Л гл /I / W с in
-Я 2/1
sin
sin —
21 Л
= \ О (АГ2) со @ dt=o(h\ Г2со @ л) .
2/ h
Простое интегрирование показывает, что коэффициент при
f(x-\-h) — f (x) в оставшемся члене есть 0A), так что этот член

13. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ 201
имеет порядок О"(со (ft)). Так как
со (А)< со (А) 2А J Г2 Л < 2А J Г*©(*) Л,
то мы видим, подытоживая результаты, что \f(x-\-h) — / (х)\ не
превосходит первого выражения в A3.31), и так как оно возрас-
возрастает вместе с А, то отсюда следует неравенство для со (А; /).
Мы знаем, что приближение функции / при помощи Sn [f]
только в О (In n) раз хуже, чем наилучшее приближение En[f].
Приближение / при помощи Tn = 2cr2n-i— вп-\ имеет тот же по-
порядок, что и En[f]. Любопытно, что оп сами по себе дают только
посредственное приближение, хотя они сходятся равномерно
к любой непрерывной функции /.
A3.32) Теорема. Если ап (х\ /) — / (х) =о A/п) равномерно
по х, то /=const.
Действительно, если ^ — комплексные коэффициенты Фурье
функции /, то
2л
и из соотношения / — ап=оA/п) вытекает, что левая часть здесь
есть о A/п), что означает, что ^=0 при кфО, т. е. f^c0.
Таким образом, если 1ф const, то (С, 1)-средние для S [/]
никогда не дают приближение порядка о A/п). Аналогичные рас-
рассуждения показывают, что абелевы средние f (г, #) для S [/] ни-
никогда не дают приближение порядка оA—г), за исключением
случая /=const. Вообще рассмотрим матрицу (с конечными или
бесконечными строками)
Доо Yoi • • • Yom0 \
Yio Yii
Yno Ym
Чип
\
A3.33)
Если f— 2 Аи (х) и если /n = 2 УпьАъ. (х) приближается к f с
о
ошибкой o{Qn) или O(Qn), где Qn—>0, то в каждом столбце мат-
матрицы A3.33) l — ynk должны иметь порядок o(Qn) или O(Qn) со-
соответственно. Если fn суть Sn(x;f) или rn(x;f), то ynk = 1 для
фиксированного k и достаточно большого п, так что это условие
выполнено. Это условие только необходимо, но не достаточно,

202 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
однако оно объясняет тот факт, что для тригонометрических ря-
рядов с коэффициентами, быстро стремящимися к нулю, обычные
частичные суммы могут дать лучшее приближение, чем более
сильные методы суммирования.
Пусть 0< а < 1. В силу теорем C.15) и A3.20), имеем, что
°п [/] — f = О(п~аI) тогда и только тогда, когда/?Ла. Докажем
теперь следующую теорему.
A3.34) Теорема. Для того чтобы on[f] — f = 0 (п'1), необ-
необходимо* и достаточно, чтобы f?A{.
Необходимость. Предположение ап [f]—f= О A/п) влечет за
собой существование и непрерывность /. Будет удобно писать
Тп(х) вместо ап (х; f). Положим f^Tn + gn. Тогда
On [f]-f={on [Тп]-Тп} + {оп [gn] -gn} = O(l/n).
Предположение gn=O (l/п) приводит к ап[ gn] = О A/п), и, таким
образом, та же оценка имеет место для Тп — оп[Тп]. Из общей
формулы A.25) выводим, что
Тп-<Уп1Тп]=Тп1(п+1),
а так как левая часть есть О (l/п), то отсюда следует, что
Тп (х) =0 A). Следовательно, Тп (х) удовлетворяет условию Ai
равномерно по п и, таким образом, f= lim Tn принадлежит А{.
Достаточность. Меняя ролями / и /, заключаем, что нам
достаточно показать, что если /бЛ^-то ап [/]— f = O A/n). Из
C.17) мы видим, что оп(х) — f (х) равно
я 1/п л
0 ( ^Sin -у- t J о 1/п
Предполагая, что \f(x-\-t)—f (x)\^.M\t\, имеем
1/п
| Р Кя (п+ I) С 2Mt (п +\)t(—t V2 dt =0 AМ).
о
По второй теореме о среднем
sin(n±l)u du
1 ^А
л 2
/ I 2 sin
Здесь и далее О подразумевается равномерным по х.—Прим. ред.

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 203
Обозначим интеграл слева через Rn(t). Так как f существует
почти всюду и |/'|<7W, то, интегрируя по частям, получаем
If' (x + t) + f {x-t)]Rn(t)dt} ,
i/n
я
| Q | < л (п + 1 Г1 [\Rn(Vn) 2МП-1 + J 2M • An 4^ dt\ = О (п'1).
i/
i/n
Следовательно, P + Q=OAM), а„ — 7 = О
A3.35) Теорема. Если S [/] — ря<Э степенного типа, то
f—-Onlf] = 0(l/n) тогда и только тогда, когда fgA^
Действительно, в этом случае f = —i(f — c0).
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Пусть простая замкнутая выпуклая кривая L задана уравнениями х —
= ф@> ^ = г15@' 0</-<2я. Показать, что если фд @ и *фл @ являются
(С, 1)-средними для S [ф] и S ['ф]? то кривые x — yn(t), y = \pn(t) находятся
внутри L (Фейер [5]).
[Если А, В и С—постоянные и функция Лф @ + ^@ + ^" неотрицатель-
неотрицательна, но не равна тождественно нулю, то A(pn(t)-\-By\)n(t)-}-C^>0. Здесь, как
и в примере 2 ниже, результат немедленно распространяется на любое неот-
неотрицательное ядро, в частности на ядро Пуассона.]
2. Пусть ф (t) и г|з (t) — периодические функции, ф/г (t) и г|)д (t) суть (С, 1)-
средние для S [ф] и S №L а ^» Ln—длины кривых x = (p(t), y = ty(t) и х =
==Фп@» ^ = ^@» ^ <> ^ ^ 2я соответственно. Показать, что Ln^.L для
всех п. (Ср. Полна и Сегё, Задачи и теоремы из анализа, I, стр. 80, № 89.)
[Пусть 0 = /0<*1<...<А = 2я. Пусть Aj-ф-ф (tj)—<p (O-i), Д./Ф @ =
==ф@~ЬО—ф(О—1"Ь0 и аналогично для г|), фд, г|зп. Тогда
я
\ [ Д7-ф (/) cos a-|- A;\|) (/) sin a | Kn @
для всех а и /. Проинтегрируем это по а на 0<Ja<J2:t, изменим справа по-
порядок интегрирования и используем равенство
2я
\ | a cos a+6 sin a ] da = 4 (
о

204 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Суммирование по / дает
2п
J ^ {(Д,-ф(/)J+ (ДЖО) 2}Vl **
о j
2я
^ LKn(t)dt = L,
о
так что L^<^ L.]
3. Пусть /(х) периодична, интегрируема и равна 0 для хо<^ х<^ xo-\-h.
Пусть Г — любая окружность, касающаяся изнутри единичной окружности Г^
в точке егх°. Показать, что / (г, х) стремится к нулю при reix, стремящемся
к егх° по части А лунки между Г и Г1? для которой х>х0. Какая теорема
локализации дает этот факт? (Хард и и Рогозинский, Ряды Фурье,
стр. 106.)
[Пусть #0 = 0. Для reix, стремящейся к егх° по А, имеем
0
/(г, *) = л-1 J P{r, x~t)f(t)dt + o(\).
-h
Если reix принадлежит А, то и гег^х~^ принадлежит А при ^<0. Теперь
достаточно заметить, что
Р(г, и) =-i-Re {(!+«'«)/(! — «««)}
ограничено для z = reiu, расположенного между Г и Г^ [ функция ? —
= -7r-(l-\-z)/(\—z) отображает эту область на вертикальную полосу на плос-
кости Б ), и что \ \f\dt мал вместе с h.]
-h
4. Для ряда -о- + г cos ^+r2cos 2л;-f-... /г-я частичная сумма неотри-
неотрицательна для 0<г<;1/2, хотя не обязательно для г>1/2 (Фейер [6]).
[Частичная сумма равна
1—/*—2/*+1[С03(П+1)*—ГСО8ДХ]
"( ' х)- 2A—2rcosx+r2) •
Сумма -^—\- г cos х отрицательна для лс = я, если г]>1/2.]
5. Пусть fn(r, x) есть я-я частичная сумма ряда f(r, x) из F.1). Пока-
Показать, что если т<С/(*)<;/11 для всех х, то т < /д (г, х)<М для г<1/2, но
не обязательно для г>3/г (Фейер [6]).
[Следствие из примера 4.]
6. Для любого N=\, 2, ... существует число г^ со следующими свой-
свойствами. При предположениях примера 5 имеем m^Cfn(r, х)^,М для г^у<;
О<1, n^-N. Более того, r;vOiv+b ^дг—>1 при N ~~> со. (Шур и Сегё
[1]. См. пример 4.)

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 205
7. (С, 1)-средние оп(х) ряда Itn~1sinnx положительны и меньше, чем
1/г(я—х) в интервале 0<a;<ji.
[См. гл. II (9.4). Кроме того,
х я
1
<М*)= 2~х+ ]
о
8. Если ряд «o+wi + w2+ • • • суммируем (С, а) или А к сумме s, то то же
имеет место и для ряда 0-f wo+wi+ • • •» в то время как И1 + н2Н-... сумми-
суммируется к s—Uq.
9. Пусть дан ряд «0-|-и1-|-И2+ • • • с частичными суммами sn; пусть
— модифицированные частичные суммы. Пусть a*a=s*a//l"—(С, а)-средние
последовательности {s?}. Показать, что
*arn- J
0 v y 0
10. Пусть a*a (a:; /) суть (С, а)-средние для 5* (х; /). Показать, что при
предположениях A0.2)
ma*2 (х) |я)<а*2 (х; /) < Мо*п2 (х; ц) @ < х < я).
[Почленное дифференцирование ряда —я--}- cos M~cos 2^-j- ... дает
VI *9 1 1 + г 1 —г2 Г 1 1 — г2
о
так что S*2 (/)< 0 для 0 < f < л.]
11. (С, 3)-средние в A0.2) не могут быть заменены на (С, 2)-средние
(Фейер [4]).
{Kn{t)Y положительно, если sin ( п -\--к- j t = 0, cos ( n H—о")^""*»
cos -j-1 < —
12. Если
F'(xo) = \\m[F
существует и конечна, то в точке х0 ряд S' [F] суммируем методом логариф-
логарифмических средних к сумме F' (х$).
13. Пусть функция / (z)=CQJt-cizJrc2z2-{-.. . регулярна при | z |< 1 и не-
¦ прерывна при |г|<;1. Пусть a, b, a, P—числа, действительные или комплекс-
комплексные, удовлетворяющие условиям а-)-р=1, aea-j-peb = O. Показать, что тог-
тогда asn(zealn) + $sn(zebln) сходится равномерно к /(г)для|г|<1. Здесь
sn (z) — Cq-\-CiZ-\- ... -\-cnzn. (Рогозинский и Сегё [1].)
[Рассуждения вполне аналогичны рассуждениям § 12.]

206 ГЛ. III. СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
14. Пусть S% (х)—модифицированные частичные суммы ряда $ [/]. В каж-
каждой точке х, в которой Ф^. (t) = o (t), для того чтобы сходился ряд 2 (Sk—f)/k,
я
необходимо и достаточно существование интеграла \ — ,— dt. (См. Хар-
5 2sin^- t
ди и Литтлвуд [7].)
[Пусть
un(x) = sin x+2"-1 sin 2х-\-... -\-пг1 sin пх, гп (х) = -~-(л;—х)—ип (х).
Ясно, что \ип(х)\ ^ пх, и применяя преобразование Абеля, получаем гп(х) =
— 0A/пх). Пусть Тп(х) — n-я частичная сумма заданного ряда. Тогда
я 1/п я
Здесь А —> 0 и вследствие неравенства для гп
Тп(х)-— [ _Фх@ Jt~/
1/п ^gyf
15. Предположим, что /^ (/г) есть интеграл от фх (/) по 0 < t < /г, а Фх (h)
имеет свой обычный смысл. Ни из одного из условий
(I) Fx(h) = o(h), (II) <bx(h) = O(h),
взятого в отдельности, не вытекает суммируемость (С, 1) ряда S [/] в точке х.
Показать, что если оба они выполняются, то S [/] суммируется (С, 1)
к f (x). (Харди и Литтлвуд [8].)
Это обобщение теоремы C.9) типично, и многие другие результаты могут
быть обобщены подобным образом.
[Доказательство аналогично доказательству C.9), за исключением того, что
теперь мы разбиваем интеграл C.11) на интегралы, распространенные на интер-
интервалы @, k/n), (k/n, я), где к велико, но фиксировано. В силу (II) и второй
оценки C.10), второй интеграл мал вместе с l/k. Ядро Фейера имеет конечное
число максимумов и минимумов на @, k/n), и, таким образом, по второй тео-
теореме о среднем и в силу (I) первый интеграл стремится к 0.] *
16. Пусть f периодична и к раз непрерывно дифференцируема, и пусть
Тп (х) есть полином наилучшего приближения для / порядка п. Тогда Т^ (х)
сходятся равномерно к fk (х) (Э. Штейн [1]).
[Если хп (х) = хп (х; f) есть запаздывающие (С, 1)-средние ряда S [/], то
Второй член справа равномерно стремится к нулю. Предыдущий член есть,
в силу A3.16),
0(nk)max \Tn(x)—xn(x;f)\,
X
и остается заметить, что Тп—/ и хп—f имеют порядок о(п~к).\

ГЛАВА IV
Классы функций и ряды Фурье
1. Класс L2
Пусть cpi(x), ФгС*)» • • • —ортонормированная система на [а, Ь].
Если си с2, —коэффициенты Фурье функции /? L2 по сис-
системе {фп}» то ряд 2lcv|2 сходится. Обратное утверждение пред-
представляет собой один из наиболее важных результатов в теории
интеграла Лебега.
A.1) Теорема Рисе а—Ф и шера. Пусть ф1? ф2, ... —про-
—произвольная ортонормированная система на [а, Ь\ и пусть
с{, с2, ...—произвольная последовательность чисел, таких, что
y\\cv\2 сходится. Тогда существует функция f?Y?(a,b), для
которой коэффициенты Фурье по системе {фу} равны cv для всех v.
Кроме того,
Ь оо
J|*dx = 2 icv!2, A.2)
v=l
/-snj»d*-»O, A.3)
где sn есть п-я частичная сумма ряда 2спфп(х).
Из равенства
6 n+fe
^ \sn+k-Sn?dx = 2l \cv\*
a n-f-1
вытекает, что W2[sm — sn] —>0 при т,п—>со. По теореме A1.1)
гл. I существует функция /gL2, такая, что $Щ2[/ — sn] —>0.
Если п> j, то
ь ъ ъ

208 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
В силу неравенства Коши—Буняковского, последний интеграл
по модулю не превосходит W2[sn — f] =o(l). Устремляя п к оо,
получаем, что Cj есть коэффициент Фурье функции f по сис-
системе {ср,-}. Таким образом, sn обозначают п-е частичные суммы ряда
Фурье функции /, и левая часть в A.3) равна
ь
\\f\*dx-(\ci\*+\c2\*+...+\cn\*)
[гл. I, G.4)]. Устремляя дк оо, получаем A.2).
В гл. I, § 3, мы определили понятие полноты ортонормиро-
ванной системы. Система {(pv}> ортонормированная на [а, Ь], назы-
называется замкнутой, если для каждой функции f?U справедливо
равенство Парсеваля
| (ly A.4)
v=l a
В пространстве L2 понятия «замкнутости» и «полноты»
системы эквивалентны. Каждая замкнутая система, очевидно,
полна. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
произвольную функцию f ? LA Коэффициенты Фурье ее по сис-
системе {фп} обозначим через cv. Так как 2lcv|2 сходится, то,
в силу теоремы A.1), найдется функция g б L2 с коэффициентами
Фурье cv, причем Ш\ [g\ = \ci\% + \c2f + Поскольку fug
имеют одни и те же коэффициенты Фурье, {ф^ полна, то f~g,
откуда следует A.4).
Если в теореме A.1) система {ф^ полна, то функция / опре-
определена однозначно. Предположим теперь, что ^v} не полна и что
{'Фп} — одна из дополняющих ее систем в том смысле, что система
ф!, ф2, ..., 'Фь'Чь ••• ортонормирована и полна на [а, Ь]. Пусть
ь
dn = \ f\pn dx. Из равенства Парсеваля
и из A.2) получаем d1 = d2=...=0. Таким образом, если {yv}
не полна, то функция /, о которой идет речь в теореме Рисса—
Фишера, определяется однозначно при условии, что ее коэффи-
коэффициенты Фурье по системе {ф^ равны cv, а коэффициенты по неко-
некоторой пополняющей {фу} системе равны нулю.

1. КЛАСС L8 209
A.5) Теорема. Ортонормированная на [а, Ь] система {cpv}
полна тогда и только тогда, когда для любой функции /? L2 [а, Ь]
и любого е > 0 найдется линейная комбинация S = yl(fl + ...
...+Удфп с постоянными коэффициентами, такая, что
Действительно, полнота эквивалентна A.4), а это в свою
очередь эквивалентно тому, что <%ft2[f — sn]—>0, где sn — частич-
частичные суммы ряда Фурье 2 сп4п функции f. Следовательно, если
{фу} полна, то мы можем найти такое S = sn, что W2[f — S] < е.
Обратно, если Ш2 [f — S] < 8 для некоторого S = Yi<Pi + ... + УпЧп,
то 5Ш2 [f — sn] <Ш2 [f-S] < е [гл. I, G.3)], так что Ш2 [f — sn] ->0.
Тригонометрическая система полна (гл. I, § 6). Следовательно,
она замкнута, и мы получаем еще одно доказательство равенства
Парсеваля для этой системы (см. также § 1 гл. II и § 3 гл. III).
Пусть av, bv — коэффициенты Фурье некоторой функции f?\J
по тригонометрической системе. На основании теоремы A.1) мы
можем утверждать, что ряд
S [/].= 2 (^vSinvx — bvcos vx) A.6)
также является рядом Фурье некоторой функции из класса IA
Тогда S [/] суммируем (С, 1) почти всюду, и по теореме C.20)
гл. III сопряженная функция f(x) существует и равна (С, 1)-сумме
ряда A.6) почти всюду. Следовательно, S [/] = S [/] и, в силу
равенства Парсеваля,
2rt 2Jt
±| rfx. A.7)
Проблема сходимости почти всюду рядов Фурье будет рас-
рассматриваться нами позже (см. гл. XIII); здесь же мы упомянем
лишь один частный результат.
A.8) Теорема. Ряд
оо оо
уа0 + 2 (cincosnx + bnsinпх)=^Ап(х) A.9)
п=1 0
сходится почти всюду, если 2 (#п + ^пIп2/г < оо.
Из условия вытекает, что ^]Ап(хIпп также является рядом
Фурье и, таким образом, достаточно применить теорему D.4) гл. III.
В гл. XIII, § 1, мы докажем, что условие 2 (ап + Ьп) Inn < со
достаточно для сходимости почти всюду ряда A.9); но доказа-
14 д. Зигмунд, т. I

210 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
тельство этого факта значительно сложнее. Достаточно ли услсн
вие 2(Яп + Ьп)<°о, остается неизвестным1).
2. Теорема Марцинкевича
Тот факт, что каждая интегрируемая функция почти всюду
равна производной от своего неопределенного интеграла, играет
фундаментальную роль в вопросах представления функций их
рядами Фурье. Но в некоторых вопросах даже более сильные
теоремы A1.1) и A1.3) гл. II оказываются недостаточными, и воз-
возникает необходимость более глубокого проникновения в строение
функций и точечных множеств. Весьма полезен следующий
результат.
B.1) Теорема Марцинкевича. Пусть Р — замкнутое
множество на отрезке [а, Ь] и пусть %(t) = %P(t) равно рас-
расстоянию от точки t до множества Р. Тогда:
(I) Для каждого А, > 0 интеграл
_&^А B.2)
конечен для почти всех точек из Р; более того, если /?L[a, ft],
то интеграл
ъ к
j l^JSidt B-3>
сходится абсолютно почти во всех точках Р и
ъ
^\Jk(x)\dxK2K-^\f (x)\dx. B.4)
Р а
(II) Если все смежные интервалы к Р имеют длину, меньшую
чем 1, то интегралы
\ \
dt, J0(x) = ^ ^j-Y{ dt B.5)
a a
сходятся абсолютно почти во всех точках Р и
ъ
^ \J0(x)\dx<A J \f(x)\dx, B.6)
Р а
где А — положительная постоянная, не зависящая от f.
Эта проблема была выдвинута Н. Н. Лузиным. —Прим. ред.

2. ТЕОРЕМА МАРЦИНКЕВИЧА 211
(I) Достаточно рассмотреть Д. Мы можем предполагать, что
/>0. Тогда 0<Л(х)< оо, и если мы докажем B.4), то отсюда
будет следовать, что интеграл J%, (х) почти во всех точках Р.
Заметим, что функция % (t) обращается в нуль на Р и ее график
на любом смежном к Р интервале d есть равнобедренный тре-
треугольник с высотой -9"|d|; кроме того, % (t) линейна справа
и слева от Р.
Интегрирование в B.3) можно считать распространенным лишь
по множеству Q = [a, b] — Р. Имеем
\d}t. B.7)
Изменение порядка интегрирования законно в силу положитель-
положительности подинтегральной функции. Чтобы оценить внутренний инте-
интеграл, зафиксируем точку /, лежащую на одном из смежных интер-
интервалов (а, Р); пусть для определенности t ближе к а, чем к р. Тогда
оо
tV+1 <2 I «-x-lrf«=2ri(/-a)~*'=2rlx-*'(9- B-8)
t-a
Эта оценка справедлива и в случае, если точка t расположена спра-
справа или слева от Р. Из B.7) и B.8) непосредственно следует B.4).
(II) Рассмотрим /0 и предположим, что />0. Если А, = 0,
l = b — a, толевая часть в B.8) не превосходит
2
t-a
что в комбинации с равенством
[ J0(x)dx= \ f(t) {In
Р Q
немедленно дает B.6).
Иногда полезна некоторая модификация функции % (/). Обозна-
Обозначим через х* (О ( = Хр @) функцию, равную нулю на множестве Р,
равную |d|, если t находится в интервале d, смежном к Р, и
равную нулю слева и справа от Р.
B.9) Теорема. В предположениях теоремы BЛ) интегралы
'¦ гз i dt
а ¦ ¦ а
сходятся почти во всех точках Р.
14*

212 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Достаточно рассмотреть J%\ для У* доказательство аналогично.
Мы можем предполагать, что />0. Так как % (*) < тт К* (О для
всех t, расположенных между крайними точками Р, то сходи-
сходимость J% представляет собой более сильный результат, чем сходи-
сходимость J\. Однако он в свою очередь может быть выведен из
последнего результата. Пусть задано е > 0; обозначим через Qe
объединение всех интервалов, составляющих Q, каждый из кото-
которых концентрически растянут в 1+8 раз (при этом некоторые
из растянутых интервалов могут уже перекрываться). Пусть
Pe = [fl, b]-Qe[a, ft]. Так как QeIDQ, | Qe-Q|< (ft-a) e -» 0
вместе с е, то
PeCZP, \P — Ре|->0.
Легко видеть, что
Так как J%{x, /, Ре) конечен почти всюду на Ре, то это же
утверждение имеет место и для Д (х, /, Р). Устремляя е к нулю,
5получаем, что J% (х, /, Р) конечен почти всюду на Р.
Замечания, (а) В случае множеств Р, имеющих период 2я, иногда удобнее
•вместо Jx (x) пользоваться интегралами
2л:
= ) 1 ь+Г dt= \
n 2 sin -^(x—t) Л
и соответственно изменить определение /0- Теорема B.1) при этом изменяется
несущественно: множитель 2/А, в B.4) должен быть заменен другим множите-
множителем, зависящим от X:
/wi^- BЛ1)
Доказательство остается прежним.
(Ь) Интересно отметить, хотя мы здесь этим не будем пользоваться, что
аналог теоремы B.1) имеет место в евклидовом пространстве любой размер-
размерности. Предположим, например, что Р — замкнутое множество, содержащееся
внутри круга /С, и что % (t) обозначает расстояние от точки / той же плоскости
до множества Р. Если f интегрируема на /С, то два интеграла
к к
где \t—х\ есть расстояние между t и х, a do — элемент площади, сходится
абсолютно почти всюду на Р. Если размерность пространства возрастает на 1,
то это же происходит и с показателем степени в знаменателе у рассматри-
рассматриваемых интегралов.

2. ТЕОРЕМА МАРЦИНКЕВИЧА 213
(с) Сходимость интеграла 1\{х) имеет простой геометрический смысл.
Пусть d*, d%, ...—смежные интервалы к ограниченному, замкнутому нигде
не плотному множеству Р. Обозначим через 6* (х) расстояние от х ? Р до
di^=[ai, bi\\ таким образом, 6i(x) = min(\x—а$ |, \х—bi |). Почти каждая
точка х?Р является точкой плотности для Р, а в точке плотности \di\ =
= o{di(x)} при dj —> х. Конечность интеграла 1\(х) почти всюду на Р может
быть интерпретирована следующим образом: ряд
2Л4 1/М*)}* B.12)
сходится для любого Я > 0 и почти всех х?Р.
Действительно, пусть х—точка плотности множества Р, а т]>0 настолько
мало, что | di | <; 6i (х) для всех d^, расположенных внутри интервала
(х—х\, х-\-ц). Пусть d'x, d'2, ...—все dj, расположенные, скажем, на интервале
(х>х-\-г\). Мы можем предположить, что х-f-t] не попадает ни в один из^^. Пусть
Ь\(х)—расстояние от х до dj. Тогда
и, таким образом, сходимость ^ {| d^ \/д\(х)}^* эквивалентна сходимости
интеграла. Аналогичные рассуждения справедливы для интервала (х—т], х).
Так как те части ряда B.12) и интеграла /J, которые распространены на d$,
лежащие вне (х—т|, х-^ц), конечны в любом случае, то отсюда следует
наше утверждение. Аналогичные интерпретации могут быть даны для /J (х)
nJl(x).
(d) Если мы в B.3) и B.6) заменим / (t) dt на dF (t), где F имеет огра-
ограниченное изменение, то получающийся интеграл сходится почти всюду на Р.
Однако для приложений более интересен следующий результат, в котором для
простоты мы рассмотрим интеграл типа B.10).
Пусть \i(t)—положительная мера, распределенная на окружности единич-
единичного радиуса, такая, что
<A\t\ B.13)
для всех t. Тогда, если X > О, то интеграл
я я
-= \ /(О л (г) ^ зс=рТ
2 sin -?- (/—д
сходится почти всюду на Р. Доказательство остается без изменения, если мы
заметим (пользуясь интегрированием по частям), что из B.13) вытекает

214 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
3. Существование сопряженной функции
C.1) Теорема. Если f б L, то
T(x) = —jr\lf(x + t)-f{x-t)]±ctg±tdt=-± lim \ C.2)
О с
существует для почти всех х.
Этот результат уже был сформулирован и использован в гл. III,
§ 3. Мы дадим для него два доказательства: одно здесь, а вто-
второе в гл. VII, § 1. Последнее доказательство существенно короче
первого, но оно использует теорию аналитических функций.
С другой стороны, тот факт, который мы докажем здесь, являет-
является более общим и его нелегко получить методами теории функ-
функций комплексного переменного.
C.3) Теорема. Предположим, что F?L периодична и имеет
конечную производную в каждой точке некоторого множества Е
положительной меры. Тогда интеграл
F* (X) = --L ? F(X+t)+F(X-t)-2F(X) _± ?
существует почти во всех точках множества Е.
Покажем, что C.1) вытекает из C.3). Пусть ао = О (это не
влияет на /). Неопределенный интеграл F от f тогда является
периодической функцией и
= F(x+s) + F{x-*)-2F(x) | ? /(x+l)--/(x-0 ^ C>5)
2tg^8 e 2tgy*
В каждой точке х, где F дифференцируема, проинтегрированный
член стремится к нулю вместе сей существование jF* (л:) экви-
эквивалентно существованию 7 (*)• Более того, F*(x)=J{x).
Возвратимся теперь к C.3). Частный случай F=\ fdx, fgL2
был рассмотрен в § 1. Из этого рассмотрения следует, что F* (х)
существует почти всюду, если F есть интеграл от функции из L2
и, в частности, если F^A^
Запишем

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 215
и обозначим через Ek множество таких х?Е, что \q(x,
дЛя \h\ < l/k. Следовательно,
е±се2се3с. . .cEkc. .се, \Ek\->\E\.
Зафиксируем k, скажем k=M, и рассмотрим произвольное замк-
замкнутое подмножество Р множества ?м. Докажем, что jF* (х)
существует почти всюду на Р. Так как величина \Е — Р\ может
быть сделана как угодно малой, то отсюда будет следовать C.3).
По предположению,
\F{x + h)-F(x)\<M\h\ для xgP, |A|<1/Af. C.6)
Пусть G (х) — непрерывная функция, совпадающая с F на Р
и линейная на смежных к множеству Р интервалах du d2, ....
Мы докажем, что G(x)^Au а для этого достаточно доказать, что
\G(x + h)—G(x)\<A\h\ для |А|<1/М, C.7)
где А не зависит от х, h. Предположим, например, что h > 0.
Рассмотрим сначала два частных случая: (I) x и x + h принадле-
принадлежат Р; (II) интервал (#, x + h) не содержит точек из Р. В слу-
случае (I), C.7) с А=М следует из C.6). В случае (II) (х, x + h)
содержится в смежном интервале d, a G в этом интервале ли-
линейна. Таким образом, если |d|<l//W, то C.7) с А = М снова
следует из C.6). Так как может быть лишь конечное число
интервалов d с |d|> 1/УИ, то C.7) всегда имеет место в случае
(II) при условии, что А достаточно велико.
Пусть, наконец, интервал (х, x-\-h) содержит точки из Р.
Пусть x + hi и x + h2, hi^h2 — крайние точки Р в (х, x + h).
Модуль приращения функции G на (#, x + h) не превосходит
суммы модулей приращений на интервалах (х, x + h{), (x+h{, x+
+h2), {x + hz, x + h), а каждое из этих слагаемых, в силу дока-
доказанного выше (для случаев I и II), не более чем в А раз пре-
превосходит длину соответствующего интервала. Снова приходим
к C.7). Следовательно, GgAj.
Положим Н (x)=F (x) — G(x), так что
F(x) = G(x) + H(x). C.8)
Из C.6) и C.7) мы видим, что Н (х) удовлетворяет неравенству,
аналогичному C.6), с М' = М + А вместо М. Так как, однако,
Н (х) обращается в нуль на Р, то отсюда вытекает, что всюду,
за исключением точек, лежащих на конечном числе смежных
интервалов
(x), C.9)
где 1 (х) — расстояние от точки х до множества Р.
Функции G и Н периодичны, и теорема C.3) будет доказана,
если мы покажем, что интегралы G* (х) и Я* (х) существуют

216 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
почти всюду на Р. Это уже было доказано для G*, так как G
Рассмотрим Н*(х). Если х?Р, то Н(х)=0 и C.9) дает
1/М 1/М
^ 1Н (x+t)+H (x-t)-2H (х)\ , м, С X(x+t) ..
Интеграл справа конечен почти всюду на Р. [См. B.10) и B.11)
с Х = \, / = 1; можно также использовать конечность /^ в B.2).]
Поэтому то же самое имеет место и для интеграла слева; нако-
наконец, сходимость интеграла в левой части не нарушится, если
заменить интервал интегрирования @, 1/М) на @, я). Следова-
Следовательно, интеграл Я* (х) сходится, даже абсолютно, почти всюду
на Р, чем заканчивается доказательство C.3).
В этом доказательстве мы неявно пользовались тем, что множества ?&
измеримы (для того чтобы обеспечить существование замкнутого подмножест-
подмножества Р). Для доказательства измеримости достаточно показать, что для любого
фиксированного а функция
ч F(x+t)—F(x)
)= sup v ' ' к '
0<|П<а
t
полунепрерывна снизу, т. е. что lim q(*)>Q(*o). Это неравенство полу-
чается немедленно, если [F (x-\-t)—F(x)]/t интерпретировать как наклон
хорды. Действительно, если, например, F непрерывна в точке х0 и если х1у
\xi—хо К а» таково, что абсолютное значение углового коэффициента хорды,
соединяющей точки Ро (xQ, F (х0)) и ^1(^1,^(^1)), превосходит q (х0)—8, то
абсолютное значение углового коэффициента хорды РР^ превосходит q (xq)—
—2е при условии, что абсцисса х точки Р достаточно близка к xq, откуда
следует требуемое неравенство. Если F разрывна в точке х0, то обе части
неравенства равны f
Непосредственными следствиями C.1) являются теоремы E.8)
и C.23) из гл. III, первоначально сформулированные без дока-
доказательства. Из C.3) и теоремы G.15) гл. III получаем также
следующее утверждение.
(ЗЛО) Теорема. Если периодическая интегрируемая функ-
функция F (х) дифференцируема на множестве Е положительной
меры, то рядЪ' [F] суммируем А к сумме C.4) почти всюду на Е.
Существование f (х) нетривиально даже в том случае, когда f (х) непре-
непрерывна. Существование J является следствием не малости f (x-{-t)—f (x—t)
при малых |/|, а интерференции положительных и отрицательных значений,
действительно, мы сейчас покажем, что существует непрерывная функция /,
для которой интеграл
г» if/vJ./W^--;)!^ (ЗЛ1)

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 217
расходится во всех- точках х. Для упрощения обозначений мы будем рассмат-
рассматривать функции с периодом 1, заменяя при этом верхний предел интегриро-
интегрирования я в C.11) на 1. Прежде всего нам потребуется следующая лемма.
C.12) Лемма. Пусть g(x)—функция с периодом 1, причем выполнены
следующие условия: \ g (х)\ •< 1, | g' (х)\ < 1 и ни для одного значения х
разность g (х-\-и)—g (х—и) не обращается в нуль тождественно по и г). Тогда
i/n 0
для /г = 2,3, ..., где С и С4—положительные постоянные, не зависящие
от п.
Введем обозначения пх—у, nt = u. Так как g периодична, первый инте-
интеграл равен
1 п-1 . п 1
\g(y+u)-g(y-u)\
О v=l v=2
Первый множитель справа имеет порядок Inn, а второй является перио-
периодической непрерывной и нигде не обращающейся в нуль функцией от у
и, следовательно, ограничен снизу положительным числом. Тем самым первая
часть леммы доказана. Аналогично получаем вторую часть, замечая, что
1
^ u)—g(y—и)|
О
Положим теперь
оо
/(*)= 2 ang(Xnx)t C.13)
71=1
где числа ап>0 и целые числа 0<A,i<A,2< ••• будут определены ниже.
Тогда
S lHx+t)tf{x °'*>flv S
- 4 oo 1
V-l
i ^ «п1пЯд—2
n=i
x) В качестве ^(д:), 0<х<;1, мы можем взять, например, ломаную
с вершинами в точках @, 0), (!/з» 1/з), A.0) (поскольку, как видно из дока-
доказательства, условие | g' (х)\ < 1 можно заменить g(*NAi.—Прим. ред.).
2) Причем равномерно по у.—Прим. ред.

218 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
так как \ g Cknx-{-Xnt)—g (Xnx—%nt)\ < 2. Если мы возьмем ап=1/п\, 'кп =
__2(п'J) то правая часть C.14), разделенная на v!, стремится к С In 2 > О,
а это показывает, что ряд C.11) расходится всюду.
Интересно отметить, что интегралы
j dt и j H*+i)+nx-t)-mx)dtt (ЗЛ5)
О О
хотя и кажутся подобными интегралу C.2), могут расходиться всюду для
непрерывной функции /. Доказательство аналогично вышеприведенному, но
несколько более сложно.
Следующая теорема найдет применение в гл. XII. Ее доказа-
доказательство аналогично доказательству теоремы C.1), но сложнее
в деталях.
C.16) Теорема. Если /6L, у > 0, то мера множества
Ey=Ey(f), где |/(#)|>#, удовлетворяет условию
S 1Л<**. C-17)
О
где А— абсолютная постоянная.
Мы можем предположить, что />0. Действительно, если
f = fi + U, то EzyWaEyifd+Eyfo),
\Егу{П\<\ЕуЦ,)\+\Еу{и)\. C.18)
Следовательно, если fx и /2 — положительная и отрицательная
части функции / и если теорема имеет место для f{ и f2, то она
имеет место также и для f.
Мы можем далее предположить, что
2я
dx = l. C.19)
Функция F(x)= \ f dt не убывает на (—оо, + оо), и
о
-г,..ч 1 Г F(x+t)-\-F(x—t)—2F(x) ,, ,о от
——^at (o.zU)
почти всюду.

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ СОПРЯЖЕННОЙ ФУНКЦИИ 219
Зафиксируем у и обозначим через Q множество точек х, для
каждой из которых можно подобрать |6(#, # + 2я) так, чтобы
ЩЕ^>У- C-21)
Множество Q открыто (быть может, пусто) и периодично. Допол-
Дополнение Р множества Q замкнуто. Если Р и Q не пусты, то Q
является суммой семейства {(аг, Ьг)} непересекающихся интерва-
интервалов, таких, что
^Е^-У. C-22)
Этот факт доказывается таким же образом, как лемма A3.8) гл. I
и замечание к ней.
Положим теперь F =G + H, где G совпадает с F на Р и ли-
линейна на каждом отрезке [at, Ьг\; следовательно, Н=0 на Р.
Если Q пусто, то полагаем F = G, H = 0 и пренебрегаем Я в сле-
следующих рассуждениях.
Функция G (х) принадлежит Л4. Точнее,
0<G(x+h)-G(X) <у доя 0<л<2я
Первое неравенство очевидно, так как G вместе с jF не убывает.
Второе неравенство получается немедленно, если х и x + h
одновременно принадлежат Р или же лежат в одном и том же
смежном к Р интервале; общий случай выводится из этих двух
при помощи рассуждений, использованных на стр. 215.
Следовательно, G есть неопределенный интеграл от (периоди-
(периодической) функции g=G'. Имеем 0<g(;c)<y для почти всех х,
и g(x) = f(x) почти всюду на Р (так как G = F на Р). Ясно,
что Н есть неопределенный интеграл от h = H' и
Так как Я = 0 на Р, то интеграл от h по любому интервалу
(яь bi) равен Н (bi) — Н(аг) = 0 и
bi bi 2я 2л
\ fdx= \gdx (/=1, 2, ...), [ fdx= \ gdx. C.23)
°j °j 0 0
Так как \Ezy(f)\<\Ey(g)\ + \Ey{h)\, то достаточно показать, что
каждый из двух членов справа мажорируется выражением
2Я
Л
У

220 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Для g имеем
2л 2Л
0 О
2Л 2Л
<У~г \ gdx=y-x \ fdx
о о
по C.23).
Останется оценить \Ey(h)\. Прежде всего, суммируя C.22)
по всем (a*, bi) на периоде, получаем
2л
_ =—$f(x)dx = -. C.24)
о
Далее, пусть %* (л:) — функция, равная Ьг — аг на каждом
интервале (аг, bi) и равная нулю на Р. Покажем, что
Н(*)<УХ*(х). C.25)
Для х из Р это очевидно, так как обе части равны нулю.
Если же ui < х < bi, то
0<F (x) — F (at)<y (x-at), 0KG(x)-G (аг)<;у (х-аг);
и из равенств Я(аг)=0, H = F — G вытекает
что дает C.25).
Положим
Г<х\- 1 С __^L_— а* 1 Г
'W-IT J 7 1 V ~^\
- -л |2sin-2-(x—0/ -я
Если мы применим C.20) к h, то, в силу C.25), получим
\%(x)\<yl(x) для л:б Р. C.26)
Пусть Q* — множество, получающееся из Q в результате
концентрического расширения каждого интервала (аг, bi) в три
раза, и пусть Р*—дополнение Q*. Имеем
(*)d*<B|Q|, C.27)
р*
где В— абсолютная постоянная; этот результат аналогичен B.11)
и доказательство его в точности такое же.
Теперь легко оценить \Ey(h)\. Пересечение ЕУ(Н) с Q* имеет
меру не более чем |Q*|<3|Q|. На Р, и тем более на Р*,

4. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 221
имеет место неравенство C.26); таким образом, если \h{x) \>y,
то I (х) > 1. Но, в силу C.27), подмножество множества Р*, где
/(х)>1, имеет меру не большую, чем B\Q\. Следовательно,
подытоживая все результаты и пользуясь C.24), находим, что
Этим заканчивается доказательство теоремы C.16).
4. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье
Мы знаем, что для того, чтобы числа cv '(v =0, ± 1, ±2, ...)
были коэффициентами Фурье для функции из 1Д необходимо
и достаточно, чтобы сумма 21 cv |2 была конечной. Естественно
спросить: нельзя ли доказать что-нибудь столь же простое
и для классов U с г Ф 2. На этот вопрос приходится дать от-
отрицательный ответ, и именно это и делает равенство Парсеваля
и теорему Рисса — Фишера столь исключительными орудиями
исследования. Мы рассмотрим критерии иного рода, содержащие
чезаровские или абелевы средние рассматриваемых рядов.
Прежде всего подчеркнем следующее обстоятельство. В при-
приведенных ниже доказательствах решающее значение имеет тот
факт, что (С, 1)-ядро и ядро Абеля удовлетворяют условиям
(А), (В), (С), сформулированным в § 2 гл. III (и, в частности,
положительны), а также то, что ряд S[f] суммируем этими мето-
методами. Поэтому рассуждения применимы без изменений к любому
другому ядру с этими свойствами. Логически метод (С, 1) проще,
чем метод Абеля, но последний во многих отношениях важнее,
особенно в применении к гармоническим и аналитическим функциям.
Последовательность изложения будет следующая: в § 4 и 5
будут установлены результаты, относящиеся к (С, 1)-средним,
а в § 6 мы сформулируем без доказательства их аналогии для абе-
левых средних.
Кроме классов Ьф, Lr, введенных в § 9 гл. I, мы будем рас-
рассматривать и другие классы функций. Обозначим через В, С, А
и V классы всех периодических функций, являющихся соответ-
соответственно ограниченными, непрерывными, абсолютно непрерывными
и функциями с ограниченным изменением. Если
S cve™ D.1)
есть ряд Фурье для функции из определенного класса, то будем
говорить, что сам ряд принадлежит этому классу. Через S будем
обозначать класс рядов Фурье —Стильтьеса. (С, 1)-средние для
D.1) будем обозначать через оп(х).

222
ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
D.2) Теорема. (I) Для того чтобы ряд ^cveivx принадле-
принадлежал классу С, необходимо и достаточно, чтобы последователь-
последовательность {ап (х)}х равномерно сходилась.
(II) Для того чтобы ряд ^cveivx принадлежал классу Вг
необходимо и достаточно, чтобы оп (х) были равномерно огра-
ограничены.
Необходимость в A) есть не что иное, как теорема Фейера
[гл. III, C.4)]. Для доказательства достаточности заметим, что
для n>\k
2я
При п~—> оо левая часть стремится к си, а правая часть — к fe-му
коэффициенту Фурье непрерывной функции f(x) = limcrn(x).
Необходимость в (II) вытекает из теоремы B.30) гл. III: если
К — точная верхняя грань функции |f|, то | ап (х) | < К- Обратно,
если | ап (х) | < /С, то для больших п
2Я
k=-n
fe=-v
\k\
где v — любое фиксированное положительное целое число, не пре-
превосходящее п. Устремляя п к со, получаем неравенство
справедливое для всех v. Следовательно, V | сд |2 сходится и по
теореме Рисса — Фишера D.1) есть ряд Фурье от функции fg IA
Поэтому ап (х) —> f (х) почти всюду и из неравенства | сг^ (х) | < К
вытекает,'что |/(л:)|</С почти всюду.
D.3) Теорема. Ряд ^ cveivx принадлежит классу S тогда
и только тогда, когда Ш[ап] = 0A).
Сначала предположим, что ^cveivx есть S[dF]. Тогда
2л
°п(х)=± \Kn{t-x)dF{t),
О
2я
D.4)

4. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 22$
где \dF(t)\ поставлено вместо dV (t), a V (t) обозначает полное
изменение F на @, t). Пусть V = VBn). Правая часть послед-
последнего неравенства есть тригонометрический полином по х со сво-
свободным членом, равным У/2я. Поэтому интегрирование па
0<л;<2я дает
2я
Ш[ап]< $|dF(f)| = V, D.5)
и одна часть теоремы D.3) установлена. Для доказательства
второй части нам потребуется следующий классический результат
который мы сформулируем здесь без доказательства.
D.6) Теорема Хелли. Пусть {Fn{x)} — последовательность
функций, равномерно ограниченных и имеющих равномерно огра-
ограниченное изменение на отрезке [а, Ь]. Тогда существует подпо-
подпоследовательность {Fnk (*)}> сходящаяся в каждой точке [а, Ь]
к функции F (х) с ограниченным изменением.
Предположение о равномерной ограниченности может быть
заменено ограниченностью {Fn} в отдельной точке х, так как
первое вытекает из последнего в силу равномерной ограничен-
ограниченности изменений.
Возвращаясь к теореме D.3), предположим, что Ш1[а
для всех п. Пусть
Функции Fn(x) имеют равномерно ограниченные изменения на
[О, 2я] и обращаются в нуль при я = 0. Следовательно, сущесФ-
вует подпоследовательность {FVj (x)} равномерно ограниченных
функций, сходящаяся всюду к функции ^(л:) с ограниченным
изменением (полное изменение ее не превосходит V) на [0, 2я].
Если |fe|<rt/, то, интегрируя по частям и устремляя / к сог
получаем
2л:
2Я
2п 2л
±F B71) + ^

224 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
так как ^(О^О. Следовательно, D.1) есть S[dF] и доказатель-
доказательство теоремы D.3) закончено. Полученный результат может быть
сформулирован в следующей эквивалентной форме.
D.7) Теорема. Для того чтобы ряд ]>] cveivx принадлежал
классу V, необходимо и достаточно, чтобы Ш[о'п]—0A), /л. е.
чтобы ап имели равномерно ограниченные изменения.
Следующий результат дополняет теорему D.3).
D.8) Теорема. Для того чтобы ряд ^cveivx был S[dF]
с неубывающей F, необходимо и достаточно, чтобы вп>0
для всех п.
Необходимость следует из D.4), так как Кп(и)>0. Обратно,
если сгл(х)>0, то Fn(x), используемые в доказательстве теоремы
D.3), не убывают и, значит, F(x) = \imFnj(x) также не убывает.
D.9) Теорема. Для того чтобы ряд y]cveiy?x был S[dF]
с неубывающей F, необходимо и достаточно, чтобы
2 <Vv^Iv>0 D.10)
и, v=o
для всех п>0 « всех (комплексных) ?0, |1? ..., %п.
2я
Если cv=BTt)~1 \ e~ivxdF, где F не убывает, то
о
i, v=0
Обратно, если мы возьмем lv = eiy?x для всех v и обозначим
через оп (С, 1)-средние ряда V?veivx, то левая часть неравенства
D.10) превратится в
(п + \)со + п (cteix + c-te-ix) + ... + (cneinx + C-ne~inx) =(n + l)an(x)
J
0
2Я
5
n
( 2
n
2e~
=0
2 dF > 0.
и остается лишь применить теорему D.8).
Пусть и+ и и~ обозначают соответственно max(w, 0)
и тах( — и, 0), так что
\ Uu). D.11)

4. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, О-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 225
Так как интеграл .от ап по @, 2я) —константа (равная 2яс0), то
первое равенство показывает, что условия
SR[crn]=O(l)f ЯК [о*] =0A)
эквивалентны.
D.12) Теорема. Предположим, что ^cveivx есть S[dF]
и что
F(x)^±[F(x + 0) + F(x-0)} D.13)
для всех х. Пусть V, Р, N обозначают соответственно полное,
положительное и отрицательное изменение F на отрезке а < х< р.
Тогда
Э
*P, ^endx->N. D.14)
а а а
Так как S [dF[ = S' [T7] [гл. II, B.4)], то из D.13) вытекает
Р
Jorwdx->/?(P)-JF(a) D.15)
[гл. Ill, C.4)]. Достаточно доказать первую формулу D.14), так
как два других соотношения в D.14) следуют из нее, если учесть
D.15), D.11) и равенства
F(a)), 2N=V-(F(P)-F(a)).
Очевидно, НтЯЛ[огл; a; P]>V\ Действительно, в силу D.15),
X
функции Fn (х) = \ ап dt сходятся к F(x) — F(a) на [а, р],
а
и Ш[0п, а, Р] есть полное изменение Fn на [a,-p]. Полное изме-
изменение V предела не может превосходить нижнего предела полных
изменений Fn. Поэтому остается доказать, что \\тШ[вп\ a, p]<V.
Если [а, р] совпадает с [0, 2я], то это следует из D.5), и,
стало быть, теорема D.12) в этом частном случае установ-
установлена. Пусть р — a < 2я. Предположим, что неравенство, кото-
которое мы хотим доказать, неверно. Если через V обозначить
полное изменение F на отрезке [р, а + 2я], то мы будем иметь
а+2я Р
J \on\dx-+V + V\ Пгп J \an\dx> V.
а а
*5 д. Зигмунд, т. 1

226 гл- IV- КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Отсюда вытекает, что lim ЯК [оп\ р, а + 2я] < V, что противоречит
противоположному неравенству, которое мы уже доказали (с a, р
вместо р, а + 2я). Таким образом, теорема D.12) доказана.
Мы знаем, что оп(х\ dF) —>F\x) для почти всех х [гл. III,
(8.1I, и мы будем иногда писать а(х) (= limсг„,(х)) вместо F' (х).
Пусть Р (х) — положительное изменение F (х) на (а, х), и пусть
есть разложение Р на абсолютно непрерывную и сингулярную
части. Тогда Ра{х) и Ps(x) неотрицательны и не убывают для
х>а. Более того, как хорошо известно, почти всюду выпол-
выполняются равенства
Ps (*) =0, Р'а(х) = Р' (x)=(Ff (х)У=о+ (х).
В силу D.12),
Р Р
D.16)
Для того чтобы Р(х) было абсолютно непрерывно на [а, р],
необходимо и достаточно, чтобы PS(P) = O, или
Р
а а
Аналогично, для того чтобы отрицательное изменение Af (а:) для F
было абсолютно непрерывно на [а, Р], необходимо и достаточно*
чтобы
Р Р
? Ondx-> \ a'dx. D.18)
а а
Если и Р (х) и N (х) абсолютно непрерывны на [а, Р], то, объеди-
объединяя D.17) и D.18), получаем
Р
J сг|rfx; D.19)
обратно, из этого соотношения вытекают D.17) и D.18). (Дей-
(Действительно, тогда из D.16) и из аналогичной формулы для аи
мы видим, что Ps($) = Ns($) = 0.) Таким образом, условие D.19)
является необходимым и достаточным для того, чтобы F (х) была
абсолютно непрерывна на [а, 0]. Таким образом, справедлива
следующая теорема:

4. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 227
D.20) Теорема. Пусть ^cveivx есть S[dF], где F удовлет-
удовлетворяет условиям D.13). Условия D.19), D.17) и D.18) необхо-
необходимы и достаточны для того, чтобы соответственно функция F,
ее положительное изменение и ее отрицательное изменение были
абсолютно непрерывны на [а, |3].
Пусть Fk (х), 0 < х < 2я, — последовательность равномерно
ограниченных функций. Если Fk(x) стремятся почти всюду к пре-
пределу F (х), то С^—>Сп при к—>оо, где С? и Сп обозначают
соответственно п-е коэффициенты Фурье для Fk и F. Обратное,,
очевидно, неверно. Если, например, 1и /2, ... есть последова-
последовательность интервалов, длины которых стремятся к нулю, так чта
каждая точка из @, 2я) принадлежит бесконечному числу /&, то
последовательность характеристических функций Fk (x) интер-
интервалов Ik расходится в каждой точке х, в то время как | С% | <
<|/д|/2я—>0 при k—> оо (равномерно по п). Однако обратное
утверждение верно, если функции Fk монотонны.
D.21) Теорема Каратеодори. Пусть {Fk{x)}, 0 < х <
< 2я, —последовательность равномерно ограниченных неубываю-
неубывающих функций, и пусть С% — (комплексные) коэффициенты Фурье
для Fk. Если lim С^ = Сп существует для каждого п, то числа Сп
fe->oo
являются коэффициентами Фурье некоторой ограниченной неубы-
неубывающей функции F (х), 0 < х < 2я, и Fk (х) —> F (х) в каждой
точке непрерывности F.
В силу теоремы D.6), найдется подпоследовательность после-
последовательности {Fk}, сходящаяся к неубывающей функции ^(л:),
0 < х < 2я. Очевидно, что Сп суть коэффициенты Фурье функ-
функции F, и остается лишь показать, что Fk (I) —>F(l) в каждой
точке непрерывности F, внутренней к @, 2я). Предположим, что
Fk(l) не стремится к F(l). Тогда мы можем найти подпоследо-
подпоследовательность {Fk.}, такую, что limFfe.(|) существует и отличен
от Fd), например, больше, чем F (I). Мы можем выбрать под-
подпоследовательность {Fkfj (х)} из {Fkj (х)}, такую, что Y\mFk>(x) =
= G (х) существует всюду. Коэффициенты Фурье для G (х) по-
прежнему равны Сп, так что F (х) — G(x). С другой стороны,
и так как G(x) не убывает и F (х) непрерывна при #=?, то
имеем G(x)>F(x) в некотором интервале справа от I, так что
условие G (x) ~ F (х) не выполняется. Это противоречие показы-
показывает, что Fk(l)->F(Q.
Теперь мы распространим теорему D.21) на ряды Фурье —
Стильтьеса. Будем считать, если не оговорено противное, что
15*

228 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
каждая неубывающая функция Ф, рассматриваемая ниже, опре-
определена для всех х и удовлетворяет условию
2я) — Ф(х)=ФBя) —Ф@).
D.22) Теорема. Пусть F± (х), F2 (x), ... — последователь-
последовательность неубывающих функций, и пусть с\ — коэффициенты
Фурье для dFk- Тогда
(I) Если для каждого п существует \\тсп = сп, то суще-
существует неубывающая функция F (х), такая, что коэффициенты
Фурье для dF равны сп. Более того, существуют постоянные Bk,
такие, что {Fk(x) — Bk} сходятся к F (х) в каждой точке непре-
непрерывности F.
(И) Обратно, если для некоторой числовой последователь-
последовательности Bk последовательность {Fk(x)— Bk} сходится к (неубыва-
(неубывающей) функции F (х) в каждой точке непрерывности F, то, обо-
обозначая через сп коэффициенты Фурье для dF, имеем сп—>сп для
всех п.
(I) Пусть Bk — свободные члены рядов SIT7*]. Так как Fk — Bk
равномерно ограничены, то найдется подпоследовательность
{Fk(x) — Bk-}, сходящаяся к пределу F (х) всюду на 0<л;<2я.
Пусть Сп- коэффициенты Фурье функции Fk — Bk. Тогда Со=О
для всех k; интегрируя по частям, получаем для п Ф О
2я
C"=i \ {Fh-Bh)e-*«*dx = ~ (ckn-cl). D.23)
о
Таким образом, lim Cn = Cn для каждого п. По теореме D.21),
Fk(x) — Bk сходится к F (х) в каждой точке непрерывности F,
внутренней к @, 2я). Следовательно, если в D.23) мы положим
k—> оо, то получим Сп = (сп — с0)Jin для п Ф 0. С другой стороны,
если через уп обозначить коэффициенты Фурье для dF, то, инте-
интегрируя по частям, получаем
2Я
ZJt J
так что сЛ — со=уп — Yo Для п Ф 0. Более того,
2nyo=F Bя) -F @) = lim {Fkj Bя) -Fhj @)} =
так что \о = ^о- Следовательно, сп = уп для всех п.

4. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 229
Доопределим.теперь ^(л:) вне @, 2я) с помощью условия
F (x + 2n)—F (х) = F Bя) —F @).
Тогда, учитывая, что
получаем, что Fk(x) — Bk сходится к F (х) в каждой точке непре-
непрерывности F, отличной от 0(тос12я). Отсюда в свою очередь
вытекает сходимость и в точках, сравнимых с 0(mod2jt), если F
в них непрерывна.
(II) Будем писать Fk вместо Fk — Bk, что не изменит коэф-
коэффициентов Фурье — Стильтьеса. Пусть Сп, Сп — коэффициенты
для Fk, F, рассматриваемых на @, 2я). Очевидно, Сп—>Сп*
Если F непрерывна в х, то
2тссо =Fk(x+ 2л) — Fk (x)->F(x+2ti) — F (х) = 2пс0
и, таким образом, со—>с0. Для пФО
— (сп — Со) = Сп—>Сп = (сп — ^о) in,
откуда вытекает с\—>сп.
Мы можем применить теорему D.22) к проблеме распределе-
распределения дробных частей последовательности
*ь Ч, •.-? *h, ... D.24)
действительных чисел. Пусть Г — окружность длины 1; мы будем
рассматривать вещественные числа как точки на Г, отождествляя
тем самым числа, сравнимые по modi. Пусть задана полуоткры-
полуоткрытая дуга a<x<|3 на Г, 0<|3 — а<1. Обозначим через v&(a, |3)
число точек из хи х2, ..., xk, которые попали на дугу. Будем
говорить, что F (х) есть функция распределения последователь-
последовательности D.24), если F (х) не убывает на ( — оо, +°°)> удовлетво-
удовлетворяет условию F(x+ 1)— F (х) = 1 и если
для любой дуги (a, P), в концах которой/7 непрерывна. Если D.24)
имеет функцию распределения, то последняя определена с точ-
точностью до произвольного постоянного слагаемого. Если F (х) =
= х + С, то скажем, что D.24) равномерно распределена modi,
или просто равномерно распределена.
D.25) Теорема. Для того чтобы D.24) имела функцию
распределения, необходимо и достаточно, чтобы пределы
lim ±{e-2ninxi + e-2ninx2+ ... +e-2ninxk}=Cn D.26)
fc-юо й

230 ГЛ IV КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
существовали для п = 0, ± 1, ±2, .... В этом случае чис-
числа сп будут коэффициентами Фурье — Стильтьеса {по отно-
отношению к интервалу @, 1)) функции распределения последователь-
последовательности D.24).
Достаточность. Пусть Fk(x) — неубывающие функции, опре-
определенные условиями Fk (х) = vk @, x)/k для 0 < %< 1 и Fk(x+l) —
— Fk(x) = l для всех х. В частности, /^@) = 0, Fk A) = 1, Fk(x)
представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках
х{, х2, ... Xk и в точках, сравнимых с ними по modi; выраже-
выражение под знаком предела в D.26) равно Сп= \ e~2ninxdFk- Если
о
Сп—^сп для всех п, то из теоремы D.22) вытекает, что сп
являются коэффициентами Фурье — Стильтьеса некоторой неубы-
неубывающей функции F, удовлетворяющей условию F (х + 1) — F (х) = 1.
(Так как cq = \ для всех k, то мы имеем также со = \.) Более
того, существуют такие постоянные Bk, что Fk(x) — Bk—>F(x)
в точках непрерывности F. Отсюда следует, что для любой дуги
(а, Р), в концах которой функция F непрерывна,
^Необходимость. Предположим, что последовательность D.24)
имеет функцию распределения F. Пусть а —точка непрерыв-
непрерывности F, и пусть Fk — функции, определенные выше. Если х есть
точка непрерывности F, расположенная на (а, сх-f-1), то выра-
выражение Fk(x) — Fk(a) = vk(a, x)/k стремится к пределу. Так как
Рк(х-{-1)—Fk(x) = \, то оно должно стремиться к пределу для
любой точки непрерывности F. В силу теоремы D.22), коэффи-
коэффициенты Фурье — Стильтьеса функции Fk{x)—Fk(a) должны стре-
стремиться к пределу при k—>co. Тем самым равенство D.26) дока-
1
зано, так как входящая в него дробь равна \ e-2ninxdFk{x).
о
D.27) Теорема. Для того чтобы последовательность D.24)
была равномерно распределенной, необходимо и достаточно,
чтобы пределы D.26) существовали для п= ± 1 ± 2, ... и все
были равны нулю.
Для доказательства нужно лишь заметить, что ряд Фурье —
Стильтьеса функции х + С состоит только из свободного члена,
равного 1, и что предел с0 в D.26) всегда существует и равен 1.
Из теоремы D.27) вытекает следствие: для любого иррацио-
иррационального х последовательность х, 2х, Зх, ..., kx, ... равно-
равномерно распределена. Действительно, если xs = sx, то для п Ф 0

4 КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 231
абсолютная величина выражения, стоящего под знаком предела
в D.26), равна
и
Аналогично доказывается следующее предложение (которое
будет использовано в гл. VIII, § 4): если х иррационально,
то последовательность х, Зх, 5х, 7х, ... равномерно распределена.
D.28) Теорема. Пусть т^, т2, —последовательность различных
целых положительных чисел, и пусть сц, а2, —произвольная последова-
последовательность действительных чисел. Тогда для почти всех х последователь-
последовательность ms (х—as) равномерно распределена.
Достаточно доказать, что для почти всех х имеют место равенства
s=l
а для этого достаточно показать (см. примечание на стр. 133), что все ряды
°° 27iimsn(x—as)
Б ; (n=±i. i2, )
сходятся почти всюду. Последнее в свою очередь вытекает из следующей
леммы.
D.29) Лемма. Пусть ф1 (х), ф2 (х), —о рто нор мир о ванная равномерно
ограниченная система на (а, Ь). Тогда ряд
оо
2 *&- D.30)
s=l
сходится почти всюду на (а, ЬI).
Пусть s^v—частичные суммы ряда D.30), и пусть / (х)—такая функция,
что 50?2 [/—Sjv] —> 0 (§ 1). Для N = k2 имеем
Ъ оо
IV+1
ъ
Таким образом, ря^ ^ \ I /—sfe212 dx сходится, откуда следует, что s^ -> /
а
почти всюду [гл. I, A1.5)]. Для произвольного Af найдем номер k, такой, что
k2 ^ N < (k-\-\J. Тогда s^y получается из sfe2 прибавлением менее чем
(&+1J—k2 — O(k) членов, каждый из которых имеет порядок ОA//г2). Таким
образом, прибавленные члены дают в сумме О (k) О A//г2) = о A), и sN-> f
почти всюду.
х) Эта лемма верна и без предположения о равномерной ограниченности (она
немедленно следует из теоремы Меньшова—Радемахера).— Прим. ред.

232 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
5. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье (продолжение)
Пусть $ —семейство функций F(x), а<л:<р, обладающих
следующим свойством: для любого е > 0 существует б > О,
такое, что
\%[F(bh)-F(ah)]\<B E.1)
для любой F?$ и любой конечной системы 5 непересекающихся
подинтервалов (а^ Ьи) отрезка [а, р], удовлетворяющей условию
2Ffc — я*) < б. Будем говорить тогда, что функции F б 8 равно-
равномерно абсолютно непрерывны на [а, ($]. Ясно, что предел всюду
сходящейся последовательности функций из Щ является абсолютно
непрерывной функцией.
Пусть ф (и) неотрицательна и не убывает при и > 0 и <р (и)/и —>оо
вместе с и. Пусть f — семейство функций f(x), определенных
на [0, 2я] и таких, что
где С не зависит от /. Тогда интегралы F от функций
ооразуют семейство равномерно абсолютно непрерывных функций.
Нам нужно показать, что суммы в E.1), равные \ fdx, равно-
8
мерно малы вместе с |5|. Пусть дано М > 0, и пусть и0 таково,
что <р(и)/и>М для и>и0. Положим |/|=/i + /2» где /i = |/|,
если |/|<w0, и fi = 0 в остальных случаях. Таким образом,
значения /2 или равны 0, или больше и0. Далее,
fdxU J ftdx+
Выбирая М достаточно большим и вслед за этим полагая | S |
достаточно малым, мы, очевидно, можем сделать последнюю
сумму как угодно малой.
E.2) Теорема. Для того чтобы ряд
оо со
~та°+21 (avcos vx+^v s^n vx)= 2 ^n (x) (^)
1 0

5. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 233
принадлежал L, .необходимо и достаточно, чтобы функции
n(t)dt (л=1, 2, ...) E.4)
были равномерно абсолютно непрерывны на [О, 2jt].
Если Fn равномерно абсолютно непрерывны, то они тем более
имеют равномерно ограниченное изменение, Ш [оп]=0 A), и поэтому
2 Лд W есть S[dF]. Так как F есть предел всюду сходящейся
подпоследовательности из Fn, то F абсолютно непрерывна
n>S[dF] = $[f], где f = F'.
Обратно, пусть 2 Ап{х) есть S[/]. Предположим для простоты,
что ао = О. Тогда функции Fn в E.4) совпадают с точностью
до постоянного слагаемого, зависящего от п, с (С, 1)-средними
ас
ряда Фурье от функции F(x)~{ fdt. Таким образом,
о
<max
t
а эта величина стремится к нулю вместе с \S\. Тем самыъг
теорема E.2) доказана.
Очевидно, 2 Ап (х) принадлежит классу А тогда и толька
тогда, когда ап равномерно абсолютно непрерывны.
E.5) Теорема. (I) Для того чтобы ряд ^]Ап(х) принад-
принадлежал классу L, необходимо и достаточно, чтобы Ш[ат — оп]—>0
при т, п—> оо.
(II) Если 2ЛП(*) ecmb Sffl. то ЯК К — f]->0.
Предположим, что ^Ап(х) есть S[/]. Интегрируя неравенство
-f(x)\Kn(t)dt E.6>
-я
по 0<х<2я, получаем
я 2я
ЯЛ [(Тд — /] <с— \ т] (/) Кп (t) dt, где
—я

234 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Так как г) (t) непрерывна и обращается в нуль при /=0 [гл. I,
A1.8)] и так как правая часть последнего неравенства совпадает
€ (С, 1)-средними для S[r\] при i = 0, то Ш[ап — /] —>0. Это
доказывает (II), а также и необходимость в (I), так как
Ш[о1П — on]<m[om--f] + m[Gn — /]->0 при т, п->оэ.
Обратно, если Ш[оп — ат] —>0, то существует функция /?L,
такая, что Ш[ап-!]->0 [гл. I, A1.1)]. Для n>\k\
л л л
{on-f)e-iMdt.
Устремляя п к оо и замечая, что модуль последнего члена
не превосходит 5Ш[ад —/], мы видим, что ck есть &-й коэффи-
коэффициент для /. Итак, теорема E.5) доказана.
E.7) Теорема. Пусть ф(^), и>0, выпукла, неотрица-
неотрицательна, не убывает и такова, что ц)(и)/и—> оо вместе с и.
Тогда для того, чтобы ряд ^]Ап(х) принадлежал простран-
пространству Ьф, необходимо и достаточно, чтобы
2л
J <p{\on(x)\dx<C< оо, E.8)
' о
где С не зависит от п.
Для доказательства необходимости условия рассмотрим
Kn(x-t)\f(t)\dt. E.9)
В силу неравенства Иенсена и того, что интеграл от функции
K — t) по [0, 2я] равен я, находим
Kn{x-t)v(\f(t)\)dt. E.10)
Интегрируя это неравенство по х и меняя порядок интегрирова-
интегрирования справа, получаем
2я 2Я
$Ф(|ап|)^<5Ф(|/|)Л, E.11)
о о
что доказывает необходимость условия-

5. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 235
Что касается достаточности, то из неравенства Иенсена
2л 2л
вытекает, что Ш [ап] = 0 A), и поэтому 2 Ап (х) есть S [dF]. Более
того, функции E.4) равномерно абсолютно непрерывны. Следова-
Следовательно, F абсолютно непрерывна и 2 А*(*) есть S [/], f = F'. Так
как вп(х) —> f (х) почти всюду, то из E.8) вытекает, что
*ЯК[фA/|)]<с> т. е. /бЬф.
В частности, для того чтобы ряд E.3) принадлежал классу
I/, г> 1, необходимо и достаточно, чтобы ifftr [оп] =0A). Как
показывает теорема D.3), этот результат при г = 1 не имеет места.
E.12) Теорема. Предположим, что ср(и), и>0, выпукла,
неотрицательна и не убывает. Тогда если /?ЬФ, то
2я 2я
y(\on\)dx--> ^ y(\f\)dx.
о
5 частности, если /gLr, г>1, то 5Щг[сгЛ] —> 5Шг(/)-
2я
\
о
В силу E.11), достаточно показать, что lim \ ф (| ап |
/о
- Пусть Е — некоторое множество точек, на котором
рро ограничены. Так как оп —>
ф (| ап |) dx —> \ Ф (| /1) dx и, следовательно,
Е
2я
lim J <p{\on\)dx> J ф
о
<уп равномерно ограничены. Так как оп —> / почти всюду, то
Правая часть здесь может быть сделана сколь угодно близкой к
2я
\
о
Ф (I /1) dx, так как | ? | может быть сделана сколь угодно близкой
о
к 2я. Этим доказательство теоремы E.12) заканчивается.
Пусть ф(&)(&>0) — выпуклая, неотрицательная, неубывающая
функция, причем ф@)=0. Предположим, что 2 An {%) принад-
принадлежит классу Ьф. Поставим следующий вопрос: будет ли выпол-

236 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
няться условие
2л
[<p(\On-f\)dx->0. E.13)
Применяя неравенство Иенсена к неравенству E.6), мы видим,
что условие E.13) имеет место при условии, что функция
я
т|(/) = \ q>{f {x + t) — f (x) \}dx интегрируема и стремится к нулю
-я
вместе с t. Это может не иметь места, если у (и) растет слишком
быстро, но мы можем спасти положение, добавляя множитель
V4 к аргументу ф в E.13): если /?ЬФ, то функция
интегрируема и стремится к нулю вместе с t.
Действительно, пусть f = g + А, где g ограничена и выполняет-
я
ся неравенство \ <p(|A|)d* <е. По неравенству Иенсена
2Я
2Я
2я
где последний член не превосходит
2я
а предыдущий член ограничен и стремится к нулю вместе с /.
(Из наших предположений относительно ф вытекает, что на каж-
каждом интервале 0< и<а имеем ф (и) <Ми, где М =ф (а)/а.) Следо-
Следовательно, полное изменение меньше е для малых \t\, что доказы-
доказывает утверждение. Таким образом, мы получили следующую
теорему.

5. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 237
E.14) Теорема. Предположим, что ф(м), м>0, выпукла,
неотрицательна, не убывает и ф @) =0. Если 2 Ап (х) есть S [/],
где fg Ьф, то
2я
В частности, если f ?Lr, г>\, то 50lr [/ — a^] —> 0.
E.15) Теорема. Предположим, что ^Ап(х) есть S[dF],
где F(x)=-j[F(x + 0) + F(x — 0)] длявсехх.
(I) Для того чтобы F была абсолютно непрерывна на отрезке
(а, р], необходимо и достаточно каждое из следующих условий:
ас
(a) функции Fn {х) = \ оп dt равномерно абсолютно непрерывны
а
на [а, р];
(b) т[о,п-вп; ар]->0.
(II) Если функцию ап (t) в условиях (а) и (Ь) заменить на at (t),
то мы получим необходимые и достаточные условия (скажем,
(а'), (Ь')) для того, чтобы положительное изменение F было абсо-
абсолютно непрерывным на [a, PJ.
Легко видеть, что из (Ь) вытекает (а), так что для (I) доста-
достаточно доказать достаточность (а) и необходимость (Ь). Первое
получается немедленно, так как при наших условиях функция F
в доказательстве теоремы D.3) абсолютно непрерывна на [а, р].
Предположим теперь, что ^]Ап(х) есть S(dF) и что F абсо-
абсолютно непрерывна на а<х<р. Если мы убедимся в том, что
Ш[от — оп\ а', Р']—>0 для любого отрезка [а',р'], внутреннего к
(а, Р), то необходимость (Ь) будет доказана. Действительно,
в силуD.12), 2Jt[av; а, а'] и 9Ji[orv; p', P] стремятся соответственно
к полному изменению F на (а, а') и на (Р', Р), и таким образом
малы вместе с а' — а, р — р'.. То же самое имеет место и для
интегралов от \от — ап\ по (а, а') и (Р', Р).
Пусть f(x) =F' {х). Для проверки, что ЯЛ [<tm — ап; а', р'] —>0
достаточно доказать, что Ш[от — f; a', P'J—>0. Заметим, что
2л Р а-(-2л:
^±± 5 . E.16)
Для х?(а', Р') и /?(Р, а + 2я) подинтегральное выражение для
wm стремится равномерно к нулю, так что $Щ [wm\ a', p']—>0.

238 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Так как vm =от (х; /*), где /*=/ на (а, Р), /*=0 в остальных
точках, то ЭДН^т —/*;0, 2л]—->0, а также gift [ym — /;а,'Р'] —»0,
Следовательно,
$Щ [Om-h <*', р'] < Ж [vm — f; a'$'] + m[wm; а', р'] -> О,
и (I) доказано.
Аналогично для доказательства утверждения (II) мы должны
доказать достаточность (а') и необходимость (Ь'). Если функции
х
Fn{x) = \ Gndt равномерно абсолютно непрерывны на [а, Р], то их
а
предел, который представляет положительное изменение F на [а, х]
[ср. D.12)], является абсолютно непрерывной функцией на [а, 0].
Для доказательства необходимости условия (Ь') мы начнем
со случая [а, Р] =[0, 2я]. Пусть V(x),P(x) и JV (х) — соответ-
соответственно полное, положительное и отрицательное изменение функ-
функции F на [0, х]\ тогда
(Уп=(У'п — On, где а; = (?„ [dP] > 0, Gn = Gn[dN]>0. E.17)
Соотношения Р'-\-N' =V = \ F' \, Р' — N' =F' (верные почти всюду)
показывают, что Р' =F'+, N' =F'~ почти всюду.
Неравенства оп<св'п, о'п>0 показывают, что 0<а?<Gп. Если
мы определим Qn (x) равенством
а+ (Х) = вп (х) ап (х)
в точках, где о'п Ф 0, и Qn(x) = l в остальных точках, то 0<
<0^(x)<l для всех х и п. Заметим, что почти всюду Gn~>Fr
[гл. III, (8.1)], а также и Gn->F'+. Те же рассуждения, применен-
примененные к ап [dP], дают &п—>Р' =F'+. Следовательно, Qn (x) стремится
к 1 почти во всех точках, где р (х) =Р' (х) Ф 0.
Используя теперь (в первый раз) предположение, что Р (х)
абсолютно непрерывна, покажем, что 9Jt[Gn — р\ 0, 2я] —->0. Дей-
Действительно,
2я 2л
+ — p\dx= J \o'nQn-p\dx<c
2я 2Я
Первый интеграл справа мажорируется выражением ffi [в'п — р] —> 0.
Последний интеграл справа также стремится к нулю, так как
подинтегральная функция | 0^ (х) — 1\р (х) мажорируется функ-

5. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И (С, 1)-СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 239
цией p(x)?L и-стремится к нулю почти всюду. Таким образом,
ш к-р]-> о, т[о+г-о+]<т[о+ -р] + т[о+-р]-»о,
и необходимость условия (Ь') доказана для случая [а, Р] =[0, 2я].
Отбросив это ограничение, мы будем действовать, как и в слу-
случае (Ь). Достаточно показать, что 5Ш [а^ — р\ а', Р'] —>0 для любого
[а', Р'], внутреннего к (а, Р). Предположим для простоты, что
[а, PJ заключен внутри [0, 2я], и возвратимся к E.16). В этой фор-
формуле vm есть ат{х\ dF*), где F* равна F (х) на [а, р],/г(а) на
[0, а] и Т7 (Р) на [р, 2я]. Положительное изменение Р* для F*
абсолютно непрерывно, так что если р* = Р*', то5Ш [t>m — р;«', Р']<
< ЯЛ [^т — Р*; 0, 2я] —> 0. Так как шт стремятся равномерно к нулю
на [а', Р'], то имеем 2Л[а5п —р; а',Р']—>0.
Условие (Ь) выполнено, если существует неотрицательная,
неубывающая выпуклая функция ф (и), и>0, такая, чтоф (и)/и -^оо
вместе с и, и если ЯЛ[ф(|ад|); а, Р] =0A). Аналогично условие (Ь'}
выполнено, если 9Л[ф(ад)а, р]=ОA).
Многие результаты этого и предыдущего пунктов сохраняются (хотя
некоторые неравенства превращаются в менее точные) для ядер (С, а),0 < а < 1 _
Пусть
) п
о
Доказательства следующих результатов для 0 < а < 1 в точности те же, что
и для случая а = 1.
E.18) Теорема. Пусть ср—та же, что а в E.7). Если ЭД[ср(|а^|] =
= 0A), то E.3) принадлежит классу Ьф. Если E.3) есть S [/], / ? L то
яи[(К[Л)]оA)
, кроме того, ф@) = 0, то Ш [ср (| /—а^ [/4^,)] -> 0 яра п -> оо.
E.19) Теорема. Для того чтобы E.3) принадлежал классу S, яеоб-
ходимо и достаточно, чтобы Ш [а^] = ОA). Для того чтобь* E.3) принад-
принадлежал классу L, необходимо и достаточно, чтобы ffl [а^—а^1 "^" 0 ЯР" ^v
п -^ со.
Если в теоремах этого и предыдущего пунктов мы заменим
оп на частичные суммы sn, то полученные условия останутся
достаточными, хотя и перестанут быть необходимыми. Доказатель-
Доказательства достаточности сохраняются, за исключением одного пункта;
мы не можем пользоваться тем, что sn(x\ f)—> f (x) почти всюду,
так как это неверно (см. гл. VIII, § 3). Но нам достаточно знать,,
что существует подпоследовательность {snk (x; /)}, сходящаяся
к f (x) почти всюду, что, как мы увидим в гл. VII, §6, справедливо.

240 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Сделаем еще некоторые полезные замечания относительно
достаточности условий в теоремах этого и предыдущего пунктов.
При доказательстве того, что из определенного поведения оп (или
sn) вытекает принадлежность ряда к определенному классу, нам
на самом деле не было необходимости рассматривать все значе-
значения п\ достаточно предположить, что условия выполняются для
некоторой последовательности {rih}, стремящейся к + °° • Таким
образом, если {оПк (х)} или {snk (x)} сходятся равномерно, то ряд
принадлежит классу С [см. D.2)]; если Ш [snj =0 A), то он есть
S [dF] [см. D.3)]; если snk(x) неотрицательны, то ряд является
S [dF], где F не убывает [см. D.8)], и т. д.
Эти замечания дают возможность сформулировать в несколько
иной форме некоторые из доказанных выше теорем. Например,
для того чтобы ^ Ап (х) принадлежал классу С, необходимо и
достаточно, чтобы ап(х) были равномерно непрерывны. Необхо-
Необходимость следует из неравенства E.9). Применяя его к разности
/ {x + h) — f (x), получаем
со (б; ап)<(о(б; f).
Обратно, если оп (х) равномерно непрерывны, то, в силу клас-
классической теоремы Арцела, найдется подпоследовательность
{вцк(х)}, сходящаяся равномерно к непрерывной функции f{x),
и, таким образом, ^Ап(х) является рядом Фурье непрерывной
функции.
E.20) Теорема. Если Ш [snk\ =0A) для последовательности
частичных сумм ряда 2 Ап (х) (в частности, если snk неотри-
неотрицательны), то этот ряд есть S [dF], где F — непрерывная функ-
функция.
Мы уже знаем, что ^Ап(х) есть S [dF], и, таким образом,
надо только доказать, что F непрерывна. Предположим, что
F (х0 + 0) — F (х0 — 0) = d Ф 0 для некоторого х0; пусть для простоты
*о = О, 2F.@)=F( + 0) + F( — 0). Пусть ср (х) ~ 2 v~L sin vx [см.
гл. I, D.12)]. Мы можем написать
F (x) = {F(x)-(d/n)Ф(x)} + {d/n)Ф(jc) =Л(х) + F2(х),
где Ft непрерывна в точке х = 0. Соответственно
Так как ф@) =срBя), то мы имеем S [dF2] — S' [F2], и п-я частич-
частичная сумма ряда S[dF2] равна {din) \Dn(x)-~ у ] . Таким обра-
образом, для любого е > 0, $!Sl[Sn\ —г, е]с^С1пя, где С —положи-

6. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АБЕЛЕВЫ СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 241
тельная постоянная [гл. II, A2.2)]. Если мы сможем показать, что
для достаточно малого е и п > п0 справедливо неравенство
W[si; — е, е] < у С In я, то функция Ш [sn; — s, е], а также Ш [sn]
стремятся к со, что противоречит предположению. Пусть/ = [ — 8,
г], /' = [ — 2е, 2е]. Если xg/, то
n(x-t) dF.it)
<^\Dn(x^t)\\dF^
где Dn(u) равномерно ограничены для е<|и|<я. Интегрируя
это неравенство по / и обозначая через Ln константы Лебега,
получаем
J \sll(x)\dx)< I J \dF(t)\^\Dn{x-t)\dx<Ln^ \dF±(t)\.
J Г I Г
Так как Ln = O(\nri), а полное изменение функции /^ на отрез-
отрезке / мало при малом 8, в силу непрерывности Ft в 0, то для
достаточно малого 8 и п > п0 имеем 9K[Sn; —8, 8] < у С In п. Это
доказывает теорему E.20).
6. Классы функций и абелевы средние рядов Фурье
Пусть
оо
f(g, х)=~ао+У1 (ап cos nx+ bn sin nx) Qn @<q<1) F.1)
л=1
— гармоническая функция, порожденная рядом
уао+У (ап cos пх + Ьп sin пх) = 2 Ап{х). F.2)
Сформулируем результаты относительно абелевых средних,
аналогичные теоремам, доказанным в двух предыдущих пунктах.
(Как было сказано в § 4, мы опускаем доказательства.)
F.3) Теорема. Для того чтобы ряд ^]Ап(х) принадлежал
классу С, или, что то же самое, чтобы
М l-2Qc??q+Q ). F-4)
О
16 А. Зигмунд, т. I

242 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
где f (t) — непрерывная функция, необходимо и достаточно, чтобы
f (Q, х) равномерно сходилась при Q —> 1. Для того чтобы ряд
2 Ап (х) принадлежал классу В, необходимо и достаточно, чтобы
f (q, x) была ограничена при 0<q< 1.
F.5) Теорема. Для того чтобы ряд 2 Ап(х) принадлежал
классу S, или, что то же самое, чтобы
2Л
dF{t) (
о
где F (t) — функция с ограниченным изменением, необходимо и доста-
достаточно, чтобы интеграл
2л
\ | f (q, х) | dx = Ш [f (q, л:)] F.7)
о
был ограничен при q —> 1. Последнее условие эквивалентно усло-
условию 3JI[/+(q, я)] =0A). Если имеет место F.6), то
2я 2я
\ | / (q, х) | dx < \ | dF (x) |.
о о
F.8) Теорема. Для того чтобы f (q, x) была представима
в виде F.6) с неубывающей F (t), необходимо и достаточно, чтобы
f (Q, х)>0 для 0 < q < 1.
F.9) Теорема. Если f (q, x) задана формулой F.6) и если
то
->р' ^ Г@> x)dx->N,
а а а
где V, Р, N соответственно полное, положительное и отрица-
отрицательное изменения F на [а, р].
Этот результат приводит к следующему утверждению.
(8.11) Теорема. Пусть F (q, х) —интеграл Пуассона от
периодической функции F с ограниченным изменением, удовлетво-
удовлетворяющей условию F.10). Тогда полное (положительное, отрицатель-
отрицательное) изменение функции F (q, х) на дуге а<х<р стремится
к полному (положительному, отрицательному) изменению F (х)
на а < х < р при q —> 1.

6. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АБЕЛЕВЫ СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 243
F.12) Теорема. Каждое из следующих условий является
одновременно необходимым и достаточным для того, чтобы ряд
^jAn(x) принадлежал классу L [т.е. чтобы f (q, x) представ-
представлялась в виде F.4) с /?L]:
X
(I) \f(Q,u)du — равномерно абсолютно непрерывная функ-
о
ция от х для 0 < q < 1;
2л
(II) l\f(Q,x)-f(Q',x)\dx->Q при Q,q'->1.
о
F.13) Теорема. Пусть ф (и) неотрицательна, выпукла и не
убывает для и^0,и пусть ц>(и)/и—>со вместе с и. Тогда для
того, чтобы ряд 2 Ап (х) принадлежал классу Ьф, необходимо
и достаточно, чтобы
1). F.14)
F.15) Теорема. Если ^Ап(х) есть S[f], /?Ьф,где ф(^)
выпукла, неотрицательна и не убывает для &>0, то
2я 2я
J ф(| f(Q, X)|)rf*-> J ф (| / |) €/Х @">l). F.16)
о о
?сл^т кроме того, ф @) =0, то
$ Ф (||/(<?>*)-/(*) О d*-> О (Q-^l).
о
F.17) Теорема. Для того чтобы ряд ^Ап(х) принадлежал
классу U, г> 1, необходимо и достаточно, чтобы
2я
5
о
Если 2 Дг (^) есть S [/], гЗв f б ЬГг г> 1, то
2я
\\f(Q,X)-f(x)\rdx->0 (Q->1).
F.18) Теорема. Если ^Ап(х) есть S[dF],ade F удовле-
удовлетворяет условию F.10), то каждое из условий (I), (II), приведен-
16*

244 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
ных ниже, одновременно необходимо и достаточно для того, чтобы F
была абсолютно непрерывна на [а, (}]:
X
(I) Функции \ f (q, и) du равномерно абсолютно непрерывны
а
на [а, р];
(И) m[f(Q, x)-f(Q\ *);а, р]->0 при Q, Q —> 1.
Если f (q, x) заменить на f+ (q, л:), то мы получим необходи-
необходимые и достаточные условия для того, чтобы положительное изме-
изменение функции F было абсолютно непрерывно на [а, р].
F.19) Теорема. Пусть ЗАЛ*) ecmb S[dF], где F удовле-
удовлетворяет условию F.10), и пусть
f(x)=\\mf(Q, x)=F'(x).
Из двух условий
р . э Э
5 J J
первое необходимо и достаточно для того, чтобы F была абсо-
абсолютно непрерывна на [а, р], второе — для того, чтобы положи-
положительное изменение F было абсолютно непрерывно на этом отрезке.
Аналогом неравенства E.11) для абелевых средних является
следующее неравенство:
2л 2л
\v(\f{Q,x)\)dx<\V(\f{x)\)dx. F.20)
о о
Пусть 0<q<q' < 1, так что q=q'R, где 0 < R < 1. Из F.1)
вытекает, что f (q, х) является интегралом Пуассона от f (q\ x),
а из F.20) вытекает, что
2тс 2тс
l<t(\f{Q, x)\)dx<^<p{\f(Q',x)\)dx @<q<q'<1). F.21)
о о
Таким образом, имеет место
F.22) Теорема. Если у (и) неотрицательна, не убывает
и выпукла для и > 0 и f (q, x) — гармоническая функция для q < 1,
2л
то интеграл \ <р (| / (q, х) \) dx представляет собой неубывающую
о
функцию от q.

6. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АБЕЛЕВЫ СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 245
Особенно важен случай ц(и) = иг, г>1.
Если f(q, x) задана формулой F.6), то, положив F = Fi — F2,
где Ft, F2 не убывают, мы представим f (q, x) в виде разности
двух неотрицательных гармонических функций. Если / (q, x) неот-
неотрицательна, то интеграл F.7) ограничен (будучи равным па0).
Это утверждение имеет место и в случае, если / (q, x) предста-
представляется в виде разности двух неотрицательных гармонических
функций. Таким образом, справедлива
F.23) Теорема. Для того чтобы гармоническая функция
f (q, x), 0<q< 1, была представима в виде F.6), где F — функ-
функция с ограниченным изменением, необходимо и достаточно, чтобы
f(q, x) была разностью двух неотрицательных гармонических
функций.
Пусть z=Qelx. Тогда ядро Пуассона Р (q, x) есть действи-
действительная часть функции
±4-z-l-z2+ - !+*
2-tz-tz -f-... - 2(\-г) '
Таким образом, гармоническая функция F.6) является действи-
действительной частью функции
2я
Ф(г)=^\ e^^LdF(t) (z=Qeix), F.24)
регулярной в |z|< 1. Мнимая часть функции O(z) равна
оо
f (q, x) = 2 (av sin vx — 6V cos vx) qv =
v=l
2я
т. е. гармонической функции, сопряженной с /(q, x) и обращаю-
обращающейся в нуль в начале координат. Следовательно, имеет место
F.26) Теорема. Функция Ф(г) с 1тФ@) = 0, регулярная
в круге | z | < 1, имеет в этом круге неотрицательную действи-
действительную часть тогда и только тогда, когда Ф {г) представима
формулой F.24) с неубывающей и ограниченной F(t).
Ограниченность интеграла F.7) отнюдь не влечет ограничен-
ограниченности соответствующего интеграла для /(q, х), что видно на
примере
/(Q, X)=P(Q, X), /(О, *)=Q(Q, X).

246 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
(Тот факт, что gji [Q{Q, *)] Ф 0A), можно либо проверить непо-
непосредственно, или же заметить, что sin л; + sin 2л:-f .. . не есть
S [dF].) Следовательно, справедлива
F.27) Теорема. Предположим, что интеграл F.7) не пре-
превосходит С для 0<q< 1. Тогда интеграл от q~1|/(q, x) \(и тем
более от \f(q, x)\) вдоль любого диаметра единичного круга не
превосходит -%С.
Этот результат почти элементарен, и для того чтобы не поль-
пользоваться представлением F.6), доказательство которого значи-
значительно глубже, предположим сначала, что /(q, x) непрерывна
при q<1. Тогда /(q, x) есть интеграл Пуассона от функции
f{) f(U)
, *)=--1" \f(t + X)Q(Q, t)dt,
dt
При оценке члена в фигурных скобках мы можем предполагать,
что 0<^<я. Тогда Q(q, t)>0, Q(q, t + n)<0 и указанный
член равен
lim M
R оэ
2
[см. гл. I, D.13)], а все выражение справа равно
л я

6. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И АБЕЛЕВЫ СРЕДНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 247
Переходя к общему случаю, зафиксируем R, 0</?<1, и при-
применим полученный результат к функции
/i(Q» x) = }(qR, х),
гармонической и непрерывной для.р<1. Так как функция 5Ш I/i
(q, х)\ О, 2тс] не превосходит С, то интеграл
о
не превосходит -^ С. Для завершения доказательства теоремы
остается лишь устремить R к 1.
Пусть ?/(q, х) — гармоническая функция при q<1, и пусть
1/ (q, х) — сопряженная к ней. Гармоническая функция v(q, x) =
= Ух (Q, х) обращается в нуль в начале координат (заметим, что
V имеет вид 2 Ап (х) Qn) и является сопряженной для функции
u(q, x) = Ux(q, x). Предположим, что U удовлетворяет условию
SOM^Mq, х); °» 2л;]<С для 0<q<1.
Тогда, в силу F.27) и условия Коши — Римана,
\dQ = J | C/p | de < 1 C,
j \ J p | de < 1
Ь D Ь
интегрирование происходит вдоль произвольного диаметра D еди-
единичного круга. Последний интеграл представляет собой полное
изменение U на D. Таким образом, теорема F.27) может быть
переформулирована следующим образом:
F.28) Теорема. Пусть U (q, х) — гармоническая функция
при q < 1. Тогда если полное изменение U на некоторой окруж-
окружности q = Qo < 1 «в превосходит С, /по полное изменение U на
любом диаметре единичного круга не превосходит -^С.
Рассмотрим интеграл Пуассона f (q, х) от функции f из Lp,
/?>1 [гл. III, F.4)], и предположим, что
2Я
^¦J|/(Q,x)|"dx<M" @<q<1). F.29)
О
Оценим Srl/^Q, x)] при г>р. Применим к F.4) теорему A.15)
из гл. II. Если q определено равенством 1/г= 1/р+ 1/fl— 1 (так
что (/ > 1), то
Иг [/ (Q, х)] < Ир [Л Я, [2Р (С, 01- F.30)

248 гл- JV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Для оценки <&q [P (q, t)\.используем неравенство F.9) из гл. III,
в котором можно считать А > 1; получим
6 оо
K-^- \ b:«dt + ~A4« J Г**Л<Л*6",
о б
ок^-1/а'' F.31)
Следовательно, замечая, что \lq'= 1/р — 1/г, получаем следую-
следующее предложение.
F.32) Теорема. ?слм F.29) имеет место для некоторого
р > 1, то
для г > р, где В— абсолютная постоянная.
Вычитая из f соответствующий полином, мы можем сделать
М сколь угодно малым. Таким образом, получаем следующий факт.
F.33) Теорема. Если ряд 2 An (х) принадлежит Lp, р > 1, то
ИР[/(Q, X)] = 0{(l-Q)i/r-i/P} При Q-»l.
Следующий результат обобщает теорему F.32).
F.34) Теорема. Если 9Гр [f (q, л:)] <УИ A — q)~p для некото-
некоторого р> 1, Р > 0, то
P+1/1/p для г>р,
Вэ зависит только от р.
Пусть
0<q<1, Qi = Q1/2, gW = /(Qi, x).
Так как Qi > q, to /(q, л:) есть интеграл Пуассона от g(x):
f (q, A:)=g(Qt, x). По предположению,
%Plg]=%lf(Qu x)]<M(l-Qi)^
и, в силу теоремы F.32), примененной к g, имеем
Так как A —Qi)/A —q) заключено между г/2 и 1, то отсюда
следует теорема F.34) с B$=2^+iB. В утверждении этой тео-
теоремы в отличие от F.32) нельзя заменить «О» на «о»; см. при-
пример 6 в конце главы.

7. МАЖОРАНТЫ АБЕЛЕВЫХ И ЧЕЗАРОВСКИХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 249
Следующая теорема есть аналог теоремы F.32) для тригоно-
тригонометрических полиномов. Она утверждает, что оценкам для гармо-
гармонических функций f (q, х) должны соответствовать оценки для
полиномов порядка п—1/A—q).
F.35) Теорема. Если Т —полином порядка п, то
Яг[Л<ЯлA^>-A/г)Яр [Л, F.36)
где г>р>1, а В — абсолютная постоянная.
Ядро Фейера Kn{t) удовлетворяет неравенству
Ъя1Кп]<Апи*\ F.37)
аналогичному F.31), ибо, как мы уже отмечали (стр. 161), оценки
для Кп @ и P(q, t) будут аналогичны, если мы отождествим п
с 1/A—q). Если а& обозначают (С, 1)-средние полинома Т, то
имеет место неравенство [ср. с F.30)]
И, [а,] < <&р [Т] % [2Kk] < ЛЯР [Т] fei/«'. F.38)
Поэтому для запаздывающих средних хп = 2a2n-i — ст^-! (стр. 135)
имеем
Яг [тп] < ЛЯр [Л {2 BмI/3' + nW) < 5ЛЯР [Л nW,
и остается лишь заметить, что хп = Т.
7. Мажоранты абелевых и чезаровских средних рядов Фурье
Эти средние имеют простые оценки через неотрицательные
функции
t
M(x)=Mf(x)=sup j\ \f(x + u)\du,
введенные в гл. I, § 13. Доказательства будут основаны на сле-
следующей лемме.
G.1) Лемма. Пусть %(t, р), -—я</<л;, — неотрицатель-
неотрицательная функция, зависящая от параметра р и удовлетворяющая
условиям
я я
(I) $х(*. Р)Л<К, (II) \ \t-ft%(t, p)\dt<Ku G.2)
— Я -Я
где К и К\ не зависят от р. Положим
я
h(x, p)= \f(x + t)%(t, p)dt. G.3)

250
ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Тогда справедливо неравенство
sup|A(x, р)\<АМ{х),
G.4)
где А зависит лишь от К и Ki-
t
Зафиксируем х и положим F(t) = \ f(x-\-u)du. Тогда, инте-
b
грируя правую часть G.3) по частям и используя неравенство
\Fi(t)\^ft\M(x)\, получаем
\h(x,
Выражение в квадратных скобках не превосходит +
убедиться в этом, достаточно записать G.2) (I) в виде
n, р)]} .
чтобы
и применить G.2) (II). В результате имеем
\h(x,
т. е. лемма доказана.
Полезно заметить, что если td%/dt имеет постоянный знак
и [если 5((±я, р) —ограниченные функции от р, то G.2) (II)
вытекает из G.2) (I). Это получается немедленно, если отбросить
знак абсолютной величины в G.2) (II) и проинтегрировать по частям.
Объединяя G.4) с неравенством A3.17) гл. I, получаем сле-
следующий факт.
G.5) Теорема. В предположениях леммы G.1) функция
N (x)=supjA(x, p)\
v
удовлетворяет неравенствам
Nr{x)dx<Ar
G.6)
— Я
Я
N(x)dx<A

7. МАЖОРАНТЫ АБЕЛЕВЫХ И ЧЕЗАРОВСКИХ СРЕДНИХ РЯДОВ ФУРЬЕ 251
где постоянные. зависят лишь от явно указанных индексов,
а также от К и Ki-
Полезно отметить, что Аг остается ограниченной при г—>+ °°.
Отметим некоторые конкретные функции %. Одна из них —
ядро Пуассона P(q, t). Первое неравенство G.2) в этом случае
очевидно, а второе следует из первого, так как tdP/dt^O и
±Я)=ОA).
Ядро Фейера Кп @ удовлетворяет лишь первому неравенству.
Такое обстоятельство имеет место и для ядер Kn(t), 0<б<1,
которые к тому же не сохраняют постоянный знак при б < 1.
Однако ядро Кп (t) может быть мажорировано функцией, удовле-
удовлетворяющей условиям G.2), именно
lK&{t)l ^ АЛЯ л>!' 1
где сF) зависит только от б @<б<1). Действительно, обозна-
обозначим правую часть через Hn{t). Функция Hn(t) превосходит либо
2~6~~1сF)я, либо cF)/26+in6\ tf+i. Следовательно, в силу нера-
неравенств E.5) гл. III, она превосходит \Kn(t)\ при условии, что
сF) взято достаточно большим. Легко видеть, что Hn(t) удовле-
удовлетворяет первому неравенству G.2), из которого следует и вто-
второе, так как \tHn(t) |<A +6)Hn(t). Таким образом, справедливо
следующее утверждение.
G.8) Теорема. Неравенства G.6) будут иметь место, если
в качестве N (х) взять любую из следующих функций:
sup|f(Q, x)\, supldnMI1).
р<1 n^l
Константы здесь по-прежнему зависят лишь от указанных явно
индексов, а во втором случае еще и от б2).
Пусть ?=Q?ie. Возьмем произвольное 0<а<1. Обозначим
через Qa (x) открытую область, ограниченную двумя касательными,
проведенными из точки ^ = 1 к окружности | ? | = а, и наиболь-
наибольшей дугой окружности, заключенной между точками касания.
Через QG(x) обозначим область, полученную из Qa после пово-
поворота ее на угол х вокруг начала координат. Если /(q, 8) есть
!) Утверждение справедливо и для я>0. Достаточно, например, заме-
заменить п на n-j-1 в правой части G.7) и неравенство будет иметь место для
п>0. Впрочем, это несущественно.
2) Результат сохраняется и для 6 > 1. Это следует из того легко про-
проверяемого факта [см. гл. III A.10) (II)], что N(x) = N6 (х) является невоз-
растающей функцией от 6 при 6 >— 1.

252 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
интеграл Пуассона от f, то положим
N(x) = Na,t(x)= sup |f (Q, 0)|. G.9)
Ясно, что N есть возрастающая функция от а.
G.10) Теорема. Функция N (х) из G.9) удовлетворяет нера-
неравенствам G.6), причем константы будут зависеть также и от а.
Зафиксируем х и положим ?=Qe4e, р=ре{^~х\ Для Z?Qa(x}
имеем
я
l , p)dt, 1
Здесь выражение %(t, p) зависит от переменной t и параметра р
точки из Qo. Очевидно, что имеет место G.2) (I). Левая часть
в G.2) (II) с l = x — Q, P'=dP/dt, удовлетворяет неравенству
я я
1 1
dt =
dt<
— Я
inl(/-6)P'(Q, 0
я
\P'(Q, 01 Л-
Предпоследний интеграл, как мы знаем, ограничен. Последний
член равен
1—Q 1—Q *
0
Рассматривая отдельно случаи р>аид<а, мы видим, что
последнее выражение не превосходит некоторой постоянной, зави-
зависящей только от а. Это доказывает G.2) (II), а вместе с тем
и теорему.
Наиболее важный частный случай теоремы G.10) получается
при а = 0, когда QCT вырождается в радиус единичного круга
и G.10) сводится к G.8).
Результаты этих пунктов могут быть распространены на ряды
Фурье — Стильтьеса, и эти обобщения не требуют привлечения
новых идей. Для простоты ограничимся теоремой G.8).

8. РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 253
G.11) Теорема. Пусть ап и f{r,x) соответственно (С, 1)
и абелевы средние ряда S[dF] и пусть N (х)—одна из функций,
упомянутых в теореме G.8). Тогда
2л
dF(*)| @<a<l), G.12)
и
2л 2л
J|an(x)-F'(x)|edx->0, J \f(r, x)-F'(x)\adx->0 @<а<1).
'о о
G.13)
Пусть 0</?<1. NR{x)=max\f(r, x)\. По теореме G.8)
и последнему неравенству теоремы F.5) имеем
2л 2л
Устремляя R к 1, получаем неравенство G.12) для абелевых
средних. Рассматривая (С, 1)-средние для f(R,x) и устремляя
R к 1, получаем G.12) в оставшемся случае.
Соотношения G.13) следуют из того, что \en(x) — F' (х)\а
u\f(r,x) — F'(x)\a стремятся к нулю почти всюду [см. гл. III,
{7.2) и § 8] и мажорируются интегрируемыми функциями.
в. Равенства Парсеваля
Пусть f(x) и g- (х) — периодические функции из класса IA
Если их коэффициенты Фурье соответственно равны cv и c'v, то
справедливо равенство Парсеваля [гл. II, A.13)]
2л -j-oo
-^\fsdx= 2 CvC'-v (8Л)
О V = —CXD
или, что то же самое,
2л +оо
-%f\fgdx= 2 с^- (8-2)
О v=—оо
Оба ряда справа абсолютно сходятся. Если / и g — действитель-
действительные функции и если
/~ у +2(

254 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
ТО
2л оо
i I tedx=\a«a'*+lL («М^ + бЖ). (8.3)
Вышеприведенные формулы имеют место не только для случая
/?La, #61Л но и в ряде других случаев. Два функциональ-
функциональных класса К и Ki будем называть дополнительными, если равен-
равенство (8.1) имеет место для любых / ? К, g€Ki. При этом сумма
ряда в правой части понимается в смысле суммирования каким-
либо методом. Будет доказано, что ряды Фурье функций, при-
принадлежащих ко взаимно дополнительным классам, имеют много
одинаковых или аналогичных свойств; равенство Парсеваля (8.1),
в котором fug входят симметрично, как раз и является сред-
средством для обнаружения этих общих свойств. Равенство Парсеваля
очевидно, если f есть тригонометрический полином, a g — инте-
интегрируемая функция (достаточно проинтегрировать почленно).
Пусть ..., [г-!, [г0, [ij, ... —бесконечная в обе стороны после-
последовательность чисел. Предположим, что вместе с cv, с^ числа
cv\iv, Cv/fi-v тоже являются коэффициентами Фурье, скажем функ-
функций /*, g^, и для /* и g^ имеет место равенство Парсеваля.
Тогда из (8.1) вытекает, что
2л 2л
Ai*g*dx. (8.4)
Число ц-v обязано быть отличным от нуля, если c'v ф 0; если же
c'v =0, то значение, приписываемое Cv/|X-v, не влияет на результат, и
для простоты мы можем положить его равным нулю даже при (x_v = 0.
Предположим, например, что ^ = 0 и что \iv = iv для каж-
каждого v. Тогда f*—f и g4i=— G, где G — неопределенный инте-
интеграл от g, являющийся в нашем случае периодической функцией.
Таким образом, получаем
2л 2л
'Gdx. (8.5)
Эта формула, разумеется, может быть доказана при помощи
интегрирования по частям. (Менее тривиальна аналогичная фор-
формула для дробных производных и интегралов; см. гл. XII, § 8.)
Если Hv=— /signv, то f*=% g*=g и формально
2л 2л
(8.6)

8. РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 255
(8.7) Теорема. Следующие пары классов являются взаимно
дополнительными: (I) V и V (г > 1); (II) В и L; (III) Ьф и Lw,
если Ф и ? — сопряженные функции в смысле Юнга\ (IV) С
и S. Во всех этих случаях ряд в (8.1) суммируем (С, 1).
Утверждение (IV) здесь надо понимать в том смысле, что
если cv — коэффициенты ряда S [f], а ^ — коэффициенты ряда S [dG]y
то имеет место (8.2) с заменой fg на/dG. (II) представляет собой
предельный случай (г = со) для (I).
Пусть оп(х) представляют собой (С, 1)-средние ряда S[/L
тп —(симметрические) (С, 1)-средние ряда (8.1) и Дп— разность
между интегралом в (8.1) и хп. Тогда
f-on)gdx, (8.8)
и, в силу неравенства Гёльдера,
Следовательно, Ап—>0 прип—>оо [ср. E.14)], откуда следует (I).
Эти же рассуждения применимы и в случае г = 1 [здесь следует
использовать E.5)], и, таким образом, (II) также доказано. Для
доказательства утверждения (III), обобщающего (I), применим
неравенство Юнга [гл. I, (9.1)] к Ап/16:
В силу E.14), получаем НпГ| Ап ^влГЧОД [^ {-jf|g|} ] •
Пусть g = g' + g", где g' — тригонометрический полином
Ш MF \ -r\g"\ \ < е. (На основании теоремы E.14) мы можем
взять g'=em(x\g) с достаточно большим т.) Заменяя g на g'
и g" в (8.8), мы получаем выражения An и Ап, связанные равен-
равенством An = An + An, Так как gr есть полином, то Ап—>0. С другой
стороны,
Отсюда вытекает, что lim | Ап | <С 8п-18, так что Дп—>0.
В (IV) g(x) в (8.1) заменяется на dG(x), а f непрерывна.
Тогда 2я | Ап | не превосходит max | / (х) — ап (х) |, умноженного
на полное изменение G на [0, 2я]. Таким образом, Дп—>0.
Пусть g(x) — характеристическая функция множества Е,
a f (x) — интегрируемая функция. Тогда равенства Парсеваля (8.1)

256 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
и (8.3) могут быть записаны в виде
оо оо
[fdx= 2 cv \ eivxdx=-^a0\E\ + 2 \ («vcos vx + b^sin vx) dx.
E v=—oo E v=l E
Следовательно, имеет место следующее предложение.
(8.9) Теорема. Ряд S [f] — можно проинтегрировать почлен-
почленно по любому множеству Е в том смысле, что полученный ряд
суммируется (С, 1) к числу \ fdx.
Е
Применяя (8.1) к функциям f (х — t) и g (t) от переменной t,
находим, что в каждом из случаев, упомянутых в (8.7), имеем
2я +°°
где ряд справа равномерно суммируем (С, 1). Более того, спра-
справедлива следующая теорема.
(8.11) Теорема. Если заданы две интегрируемые функции
/, g, то формула (8.10) имеет место в смысле (С, 1) для почти
всех х.
Этот результат следует из того, что левая часть A (jc) в (8.10) —
интегрируемая функция, а ряд справа есть S [h] [гл. II, A.5)].
Заменим в (8.1) g(x) на g{x)e~inx, и пусть c"v — коэффициенты
Фурье функции g(x)e~lnx. Так как c!_v=Cn-v> то
~ ^fge~inxdx= 2 cvc;_v (8.12)
0 V=-oo
Мы приходим к следующему результату.
(8.13) Теорема. Ряд Фурье функции, являющейся произве-
произведением функций /?ЬФ, gZLxp (Ф и Ч? —сопряженные функции
в смысле Юнга), может быть получен формальным перемножением
по правилу Лорана рядов S [/] и S[g]. Ряды (8.12), определяющие
коэффициенты для fg, суммируемы (С, 1). Результат остается
справедливым и в случае /бВ, g?L.
Очевидно, что каждое из неравенств 2 I cv | < °°> 2 \c'v\ < °°
влечет за собой абсолютную сходимость рядов в (8.12). Если
имеют место оба неравенства, то S [fg] сходится абсолютно.
Пусть f (х) непрерывна и G(x) имеет ограниченное изменение.
Если cv, c'v суть коэффициенты рядов S[f] и S [dG], то имеет

8. РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 257
место следующий аналог формулы (8.12):
\= 2 cvc-v (8-14)
v=—оо
В предыдущих результатах мы можем заменить суммируемость
(С, 1) суммируемостью (С, а), а > 0. Вопрос о возможности замены
суммируемости (С, а) обычной сходимостью является более дели-
деликатным. Отправляясь от доказательства пунктов (I) и (II) теоре-
теоремы (8.7), мы видим, что суммируемость (С, 1) можно заменить
сходимостью при условии, что 3&1Г [/ — s^] —> 0, где sn = Sn (х\ f).
В гл. VII, § 6, мы увидим, что это действительно имеет место,
если /?Lr, г > 1 [однако не при г = 1; см. гл. V, A.12)]. Таким
образом, по крайней мере в (8.7) (I) ряды Парсеваля сходятся.
В частности, если f?Lr, g^V\ г>\, то имеет место сходи-
сходимость в (8.12). Доказательство следующей теоремы гораздо проще.
(8.15) Теорема. Если f интегрируема, a g имеет ограни-
ограниченное изменение, то ряд в (8.1) сходится.
Пусть Ьп есть разность между интегралом и п-й частичной
суммой ряда в (8.1). Тогда
2JT 2Jt
Так как Sn [g] равномерно ограничены и стремятся к g вне счет-
счетного множества, то подинтегральная функция в последнем инте-
интеграле мажорируется интегрируемой функцией и стремится к нулю
почти всюду. Таким образом, 6П—>0.
Из теоремы (8.15) получаем следующий факт.
(8.16) Теорема. Если f —интегрируемая периодическая
функция, (а, Р) — конечный интервал, a g(x)—функция с ограни-
ограниченным изменением на (а, C) (но не обязательно периодическая), то
^ (8.17)
Таким образом, ряд Фурье можно почленно интегрировать
после умножения его на функцию с ограниченным изменением.
Если р — a=2jt, то это утверждение есть не что иное, как теоре-
теорема (8.1); случай [3 — a < 2я приводится к случаю Р — а=2п, если
положить g (х) = 0 на |3 < х < a + 2я; в общем случае мы разби-
разбиваем интервал (a, P) на конечное число интервалов длины, не пре-
превосходящей 2я.
17 А. Зигмунд, т. I

258 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Последний результат может быть распространен на случай
бесконечного интервала. Не ограничивая общности, мы можем
считать, что (а, Р) =( — оо, + со). Справедливо следующее пред-
предложение.
(8.18) Теорема. Формула
-f-oo 4~°° -|-оо
\ fgdx= У, cv \ g(x)e™xdx (8.19)
— оо V=—оо —оо
имеет место, и ряд справа сходится для любой интегрируемой
и периодической f при условии, что g(x) (I) интегрируема и (II)
имеет ограниченное изменение на (— оо, +00)-
+оо
Пусть G(.x) = 2 g{x + 2kn). Если этот ряд сходится в неко-
— оо
торой точке, то он равномерно сходится и его сумма имеет огра-
ограниченное изменение на [0, 2я] (гл. II, § 13). С другой стороны,
так как
+оо 2я +оо
2 \ 18(х~^~%kn) \&х— \ |g(x) Idx < oo,
k=—oo 0 —оо
то ряд, определяющий G(x), заведомо имеет точку сходимости.
Пусть c'v — коэффициенты Фурье функции G(x). Тогда имеет
место формула (8.1) с заменой g на G. Так как равномерно схо-
сходящийся ряд после умножения на интегрируемую функцию можно
интегрировать почленно на [0, 2я] и так как f периодична, то из
определения G следует, что
2я -Ь°° 2я . 4-°°
[ /G dx = [ fg dx, \ G (x) e~inx dx= { g (x) <Tin* dx
*J V d J
0 —oo 0 —oo
и равенство Парсеваля для f и G принимает вид (8.19).
Предположение, что g интегрируема на (— со, 4- со), разу-
разумеется, существенно для того, чтобы (8.19) имело место. Однако
если ?о = О, то условие (I) в (8.18) может быть заменено усло-
условием (Г) g(x)—>0 при \х\—>оо.
Действительно, пусть g* (х) = g Bkn) для 2&я < х < 2 (k + 1) я,
fe = 0 ± 1, ..., и пусть Vk обозначает полное изменение функции
g(x) на отрезке 2?я<х<2(&+ 1) я. Функция g* {х) имеет огра-
ограниченное полное изменение на (— оо, + оо). Так как у(х) =
=g(x)—g* {x) на отрезке 2йя<х<2 (?+ 1)я не превосходит v^
по абсолютному значению, то yM интегрируема и имеет огра-
ограниченное изменение на (— оо, + оо). Применим (8.19) к f и у.

8. РАВЕНСТВА ПАРСЕВАЛЯ 259
Так как интеграл от f по периоду равен нулю и g{x)—>0 при
| л; | —> оо, то легко проверить, что
-J-OO -{-00 -{-ОО -}0
? fydx= [ fgdx, [ ye-ivxdx-= { ge~™xdx
—оо —оо —оо —оо
для v = ±l, ±2,..., и формула (8.19) для / и у сводится
к этой же формуле для fug-
Равенства (8.1) и (8.10) могут быть распространены на случай
нескольких множителей. Рассмотрим конечное множество функ-
функций /, /1э f2, ..., с коэффициентами Фурье cv, c'v, c^, ... соот-
соответственно. Формально перемножая S [f], S [Д], S [f2], ... и инте-
интегрируя результат по @, 2я), получаем формулу
-ST J /Л/а ... Л = 2 W?;..., (8.20)
О M-jn-{-v+...=O
которая в случае двух функций сводится к (8.1). Доказательство
сохраняется, если все ряды 2|4i|» 2lcv|» ••• сходятся. (Отно-
(Относительно 2|ся1 ничего не предполагается.) Действительно,
пусть F = fj2.... Тогда S [F] - S [f J S [f2] ... = 2 Упвш, где
уп = 2 c'nc'v - • • Для |и +v+ .. • =л. Ряды, определяющие y^? схо-
сходятся абсолютно, и 2lYn|< °°- Левая часть (8.20), таким обра-
образом, равна
причем ряды здесь абсолютно сходятся. В частности, (8.20) имеет
место, если все функции f, flt f2, ..., за исключением, быть может,
одной, являются тригонометрическими полиномами. Отметим еще
.следующий результат, в котором мы ограничиваемся тремя функ-
функциями.
(8.21) Теорема. Пусть х (t) ~ 2 х?ем, у (t) ~ 2 У*ем,
~^hve™, и пусть x?L\ y?L\ йб'В. Тогда
2л
±.^x(t)y(t)h(t)dt= 2 WJb (8-22)
условии, что сумма справа рассматривается как
l м
lim 2 2
17*

260 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Обозначим последнюю сумму через SLt м; пусть XL (t) и YM (t)
обозначают частичные суммы рядов S [х] и S [у]. Интеграл в (8.22),
если заменить в нем х, у соответственно на XL, YM, превра-
превращается в SLtM. Пусть H = sup\h(t)\. Тогда
2я
!-[xLYMhdt <
^
2rt
\x-XL\\y\dt+^\XL\\y-YM\dt}<
о
хь] т2 [ у] + т2 [XL[ зл2 [У - ym\) -> @
при L, УИ—>оо. Это доказывает (8.21).
Если у {t) =x (t) ~ %x-neint, то (8.22) дает формулу
2 +оо
J 2 ЗДЛ-я> (8.23)
0 X, Ц=-оо
которая находит применения в теории квадратичных форм.
(8.24) Теорема. В обозначениях (8.21) предположим, что
x(t)?V, y{t)?L\ h(t)eU тогда
2я 2я +<х>
0 0 п=—оо
причем ряды справа абсолютно сходятся.
Для доказательства применим (8.1) к произведению функций
2я
х(и) и #i (w) =2^ \ у (v)h( — и-— v) dv. Последняя функция при-
6
надлежит L2 и имеет коэффициенты y-nh-n [гл. II A.15), A.5)].
9. Линейные операторы
Мы докажем теперь ряд результатов, относящихся к теории
линейных операторов и применяющихся в теории тригонометри-
тригонометрических рядов.
Рассмотрим множество Е из произвольных элементов х, у, z,—
Часто оказывается удобным называть множество Е пространством,
sl его элементы х, у, 2, ... —точками. Е называется метрическим
пространством, если каждой паре точек х, у из Е сопоставлено
неотрицательное число d(x,y), которое называется расстоянием
между точками хну, удовлетворяющее следующим условиям:

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 261
(I) d(x,y) = d(y,x)-
(II) d (х, г)< d (х, y) + d (у, z) (неравенство треугольника);
(III) d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.
Мы будем говорить, что последовательность {хп} точек из Е
стремится к пределу х, х?Е, и будем писать limxn=x, или
хп —» х, если d (х, #л) —> 0 при п —> оо.
Как только введено расстояние, мы можем определить различ-
различные понятия, хорошо известные из теории евклидова пространства.
Прежде всего под шаром с центром х0 и радиусом q мы пони-
понимаем множество точек х?Е, таких, что d(x, a:0)<q; этот шар
будет обозначаться S (x0, q). Это понятие позволяет в свою оче-
очередь ввести различные виды точечных множеств, таких, как
открытое, замкнутое, неплотное, плотное, всюду плотное, опре-
определения которых остаются теми же, что и в евклидовом про-
пространстве. Далее, мы можем рассматривать множества первой
категории, т. е. счетные суммы неплотных множеств, и множе-
множества второй категории, т. е. все остальные множества
(ср. гл. I, § 12).
Метрическое пространство Е называется полным, если для
любой последовательности точек хп, таких, что d (хт, хп) —> 0 при
т,п—> оо, существует точка х, такая, что d(xm, x)—¦>(). Нера-
Неравенство d (х, х') < d (х, хт) + d (xm, х') показывает, что такая
точка х единственна. Весьма важен тот факт, что полное метри-
метрическое пространство Е является множеством второй категории,
т. е. оно не может быть представлено в виде суммы счетного
числа неплотных в Е множеств. Доказательство этого факта
в общем случае в точности то же самое, что и в случае (рас-
(рассмотренном в гл. I, § 12), когда ? — одномерное евклидово про-
пространство.
Пространство Е называется сепарабельным, если существует
счетное множество, плотное в ?.
Пространство Е, не обязательно метрическое, называется
линейным, если выполняются следующие условия:
(I) определена коммутативная и ассоциативная операция,
называемая сложением, обозначаемая знаком + и применимая
к любым двум точкам х, у из Е\ если х и у принадлежат ?,
то х + у принадлежит Е\
(II) существует единственный элемент о (нулевой элемент),
такой, что х-\-о=х для всех х?Е;
(III) определена операция, называемая умножением, приме-
применимая к любому х?Е и любому скаляру1) и обозначаемая
точкой. Вместо а-х мы будем часто писать ах. Предполагается,
г) Мы будем пользоваться только полями комплексных или действи-
действительных чисел.

262 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
что произведение обладает свойствами
1.x =х, 0-х = о, а-х$Е, если х?Е,
дистрибутивно по а и л: и ассоциативно по а. Последнее озна-
означает, что р- (а-л;) = ра-л;.
Формула х — у =х + ( — \)у определяет вычитание элемен-
элементов из Е>
Предположим, что каждому элементу х линейного простран-
пространства Е сопоставлено неотрицательное число ||*||, называемое нор-
нормой х, которое удовлетворяет условиям
<||*|| + Ы1. ||ах||=|а| ||*||,
|| х || = 0 тогда и только тогда, когда х=о.
Если расстояние между любыми двумя точками х, у нашего
линейного пространства Е определить формулой
то это расстояние удовлетворяет условиям (I), (II), (III), сфор-
сформулированным выше, и Е превращается в нормированное линей-
линейное пространство. Полное линейное нормированное простран-
пространство обычно называют банаховым пространством.
Дадим теперь несколько примеров пространств. При этом
точками в Е будут или числа, или функции, а сложение и умно-
умножение имеет свой обычный смысл. Не может произойти непри-
неприятности, если точку о мы будем обозначать через 0.
(a) Пусть Е — множество всех комплексных (или только всех
действительных) чисел. Если ||*||=|я|, то мы имеем банахово
пространство.
(b) Пусть Е — множество С всех непрерывных функций x(t),
определенных на фиксированном отрезке [а, Ь], и пусть ||*|| =
= sup|x(?)| для t?[a,b]. Тогда Е есть банахово пространство.
Соотношениехп-+ х означает, чтохЛ (t) равномерно сходится к х (t).
(c) Пусть Е есть множество всех комплекснозначных функ-
функций x(t), определенных и существенно ограниченных на [а, 6],
и пусть ||*|| есть существенная верхняя грань \x(t)\ на [а, Ь\
(см. гл. I, § 9). Мы снова получаем банахово пространство,
и хп —> х означает, что хп (t) сходятся к х (t) равномерно на мно-
множестве полной меры.
(d) Пусть р > 1, и пусть Е — множество всех комплексно-
комплекснозначных функций x(t)?Lp[a, b]. Пусть
Это пространство линейно, нормировано и полно [см. гл. I, (9.11),
A1.1)]. Для р = со получаем случай (с).

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 263
(e) Пусть 1 < р < оо, и пусть Е — множество всех последо-
последовательностей х ={Xk} комплексных чисел, таких, что 2 I xk \p < <*>•
Пусть
II -^ II — ||*||р — VZj I xk )
Это пространство линейно, нормировано и (как легко видеть)
полно. Его часто обозначают через 1Р.
(f) Пусть Е — множество всех ограниченных последователь-
последовательностей x = {xk) комплексных чисел. Если мы положим ||я|| =
= sup\xk\, то получим банахово пространство. Это предельный
случай р = со пространств 1Р.
(g) Пусть Е — множество всех сходящихся последовательностей
x = {xk} комплексных чисел; положим снова || х\\ =sup \хн !• Мно-
Множество Е (подмножество предыдущего множества) есть нормиро-
нормированное линейное пространство. Оно также полно. Действительно,
предположим, что хт = {х™, xf, ...}?? для га = 1,2, ..., и что
\\хш — хп\\—>0 при га, п-^оо. Это эквивалентно тому, что
\х™—xk\~^P ПРИ ^»^—>°° равномерно по k. Отсюда вытекает
существование такой х — {хд}, что | х™ — х^ \ —> 0 при га —» оо рав-
равномерно по k. Покажем, что (I) {л:^} сходится, (II) ||*т—х\\—>0.
Для доказательства (I) заметим, что
I Xu-xi | < |Xh — х™| + \х™ — х™\ +1 х™ — xi |.
Первый и третий члены справа меньше, чем е, для достаточно
больших т равномерно по k и /. Зафиксировав такое достаточно
большое га, мы сделаем второй член меньше е, выбирая k и I
достаточно большими. Следовательно, | хи — хг \ < Зе для k, l боль-
больших, и, таким образом, {л^} сходится. Утверждение (II) следует
из установленного выше факта, состоящего в том, что \х™ — jc^ | —^ О
при га-^оо равномерно по k.
(h) Пусть р> 1, и пусть Нр —класс всех функций х (t) с перио-
периодом 2я, принадлежащих классу Lp, ряды Фурье которых являются
рядами степенного типа. Если || *|| = Шр [х; 0, 2я], то пространство
превращается в банахово пространство.
(i) Пусть X — множество всех характеристических функций на
{а, Ь], т. е. функций x(t), принимающих на [а, Ь] только значе-
значения 0 и 1. Множество X не образует линейного пространства,
так как 2х, вообще говоря, не является характеристической
функцией, если х — характеристическая функция. Однако если
мы для х?Х, у?Х положим d(x, у)=Ш[х — у\ а, 6], то X пре-
превращается в полное метрическое пространство.
Рассмотрим наряду с пространством Е другое пространство (/.
Если каждому х ? Е соответствует однозначно определенная точка
и = и(х) из ?/, то мы будем говорить, что и(х) есть функцио-

264 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
нальный оператор (или преобразование), определенный на Е. Если
пространства Е и U линейны и если для любых двух чисел Xt и А2
имеет место равенство
и (M
то оператор г/(л;) называется линейным. Если и ? и ?/ — метри-
метрические пространства и если и (хп) —» и (*) при *Л —> л:, то будем
говорить, что оператор и непрерывен в точке х. Если линейный
оператор непрерывен в некоторой точке, то он непрерывен в любой
другой точке, т. е. непрерывен всюду.
(9.1) Теорема. Для того чтобы линейный оператор и(х)
был непрерывен на Е, необходимо и достаточно, чтобы сущест-
существовало такое число М, что
|| и (х) || <М || л: || для любого х?Е. (9.2)
Достаточность условия очевидна. Для доказательства необ-
необходимости предположим, что отношение || и (х) ||/|| х || неограничено.
Тогда существует такая последовательность точек хп, хп Ф О, что
1|и(*лI1>ЛН*л||- Умножая хп на соответствующие постоянные,
мы можем предположить, что \\хп\\ = 1 In. Таким образом, хп—>О,
в то время как предыдущее неравенство дает ||м(хд)||>1, что
противоречит непрерывности и при х = 0.
Нормы в обеих частях неравенства (9.2) могут иметь различ-
различный смысл, так как пространства Е и U могут быть различными.
Линейный непрерывный оператор обычно называют ограничен-
ограниченным. Если U есть пространство всех комплексных или всех
действительных чисел и если || и (х) || = | и (х) |, то линейный опера-
оператор и называется функционалом.
Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих (9.2) для всех х ? Е>
мы будем называть нормой оператора и обозначать через М^1).
(9.3) Теорема. Пусть Е — нормированное линейное прост-
пространство и L—линейное многообразие, плотное в Е. Пусть и=и(х) —
линейный оператор, определенный для x?L, принимающий значе-
значения из банахова пространства U и удовлетворяющий неравенству
|| (x$L). (9.4)
Тогда и(х) может быть единственным образом продолжен
как линейный оператор на все Е без увеличения М в (9.4).
2) Норму оператора и (х) ча*сто обозначают через ||я|[. Эта терминология
и обозначение—очень естественная при систематическом изучении предмета—
возникает в связи с тем обстоятельством, что множество линейных операто-
операторов и (х), определенных на Е, может рассматриваться как новое пространство,
для каждой точки и которого определена норма \\u\\. Разумеется, \\u\\ »
|| и (я) || имеют различный смысл.

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 265
Действительно, пусть л;* — произвольная точка из Е, {хп} —
последовательность точек из L, такая, что \\х% —хп\\—>0, и
ип = и(хп), /г = 1,2, Имеем \\хт — хп\\—*0 и, таким образом,
по (9.4), \\ит — ип\\—>0. Из полноты U вытекает существование
и%^Л\тип, и мы положим, и% =и (х%).
Элемент и% не зависит от выбора последовательности {хп}—>х%.
Действительно, если мы возьмем другую последовательность
{х'п}-^х% и положим ищ = Ит и (х'п), то объединенная последо-
последовательность {х'п}=хи х[, х2, х'2, ... также будет сходиться к х%
и элемент u'l = lim и {х'п) должен быть одновременно равен и% и и*.
Следовательно, и'* = и*.
Справедливость неравенства (9.4) в точках хп, а также соот-
соотношения || хп || —> || х% ||, || ип || —> || и* || (являющиеся следствием того,
что хп—>х%, ип—>и%), влекут за собой справедливость (9.4)
и для х%. Аналогично, если
и(ах + $у)=аи(х) + $и(у) (х, y?L),
то этЬ равенство автоматически будет выполняться и для х, у$Е.
Это показывает, что продолженный оператор удовлетворяет усло-
условию (9.4) и аддитивен. Из неравенства (9.4) вытекает непрерыв-
непрерывность и и, таким образом, существует и единственно непрерывное
продолжение и(х) с плотного множества на все Е.
Следующая теорема составляет основу теории линейных опе-
операторов.
(9.5) Теорема Банаха — Штейнгауза. Пусть{ип(х)}•—
последовательность ограниченных линейных операторов, определен-
определенных в банаховом пространстве ?, и пусть MUn —нормы операто-
операторов ип. Если sup || ип(х) || конечен для каждой точки х, при-
принадлежащей некоторому множеству F второй категории на Е
(в частности, если он конечен для любых х?Е), то последова-
последовательность MUn ограничена. Другими словами, существует такая
постоянная М, что
II M*)H<Af ||*|| для х?Е и л = 1, 2,
Доказательство опирается на две леммы.
(9.6) Лемма. Пусть {ип (х)} — последовательность ограничен-
ограниченных линейных операторов, определенных в нормированном линей-
линейном пространстве Е. Если F есть множество точек х, в которых
sup || ип (х) || < оо, то F = Fi + F2 + ..., где множества Ft замк-
п
нуты, и последовательность {\\ип(х)\\} равномерно ограничена
на каждом из них.

66 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Действительно, пусть Fmn есть множество таких точек х,
что ||Ищ(*)||</г. Так как операторы ит непрерывны, то множе-
множества Fmn замкнуты. Таким образом, замкнуто и произведение
Fn=-FinF2nFZn ... . Заметим, что \\ит{х)\\<сп для x?Fn, ra =
= 1, 2, ..., и что F = Fl+F2+... .
(9.7) Лемма. Если множество F из леммы (9.6) есть множе-
множество второй категории, то существуют шар S(xQ, q), q > О,
и число К, такие, что\\ит(х)||<К для x?S(x0, q) и т — 1, 2, ... .
Действительно, так как F =FlJrF2Jt- ..., a F —множество
второй категории, то по крайней мере одно из множеств Fu F2, ...,
скажем jF&, не является неплотным множеством. Таким образом,
найдется шар S (x0, q), в котором Fk плотно. Так как Fu замк-
замкнуто, то Fk содержит S(xQ, q) и, следовательно, \\ит(х)\\*сК для
x?S(x0, q) и т= 1, 2, ... .
Возвратимся к доказательству (9.5). Пусть S(x0, q) — шар,
о котором шла речь в лемме (9.7). Каждая точка xgS@, q)
может быть представлена в виде (хо + х) — хо = х1 + хо, где xt?
6 5 (х0, е). Следовательно, || ип (х) \\ < || ип (xt) \\ + \\ ип (х0) \\ < 2/С для
/г = 1, 2, ... . Отсюда следует, что на шаре ||х||=1 выполнено
неравенство
к поэтому || Мд(^)||<М || д:|| для всех х и п.
Из доказанной теоремы вытекает следующее утверждение:
если последовательность {J|m*(*)||} неограничена в некоторой
точке, то множество точек, где она ограничена, имеет первую
категорию в Е.
Применим теорему (9.5) к функционалу вида
ь
u{x)=^x(t)y(t)dt, (9.8)
а
где функция x = x(t) — переменная точка банахова пространства
Е, а у = y(t) — фиксированная функция, обладающая тем свой-
свойством, что произведение x(t)y(t) интегрируемо на [а, Ь] для
любой х?Е. Для x(t)?U мы определим ||*|| как Шг[х; а, Ь].
(9.9) Лемма. (I) Если интеграл (9.8) существует для всякой
ограниченной или даже только для всякой непрерывной функции
x{t), то y?L[a, b].
(II) Обратно, если интеграл (9.8) существует для любой
x?L[a, b], то функция у существенно ограничена.
(III) Если интеграл (9.8) существует для любой x?U[a, b],
!>1, то y?Lr'[a, b], где r' =r/(r— 1).

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 267
Часть (I) тривиальна [достаточно взять x(t)—1]. Докажем
утверждение (II). Пусть yn{t) есть функция y(t), урезанная
числом п [т. е. равная y(t) всюду, где последняя функция
по модулю не превосходит /г, и равная нулю в остальных точ-
точках]. Из существования интеграла (9.8) вытекает существование
ь
(л = 1,2,...) (9.10)
для любой x?L[a, b]. Эта формула определяет последователь-
последовательность функционалов в пространстве L[a, b], причем легко видеть,
что норма Мип равна существенной верхней грани функции
\yn{t)\. Из существования (9.8) вытекает, что ип(х) сходится
для каждой функции x?L[a, b]. Таким образом, в силу теоремы
(9.5), Мип = ОA), т. е. y(t) существенно ограничена. Докажем (III).
Пусть уп и ип (х) имеют тот же смысл, что и выше. Тогда ип (х)
есть функционал в пространстве U[a,b] с нормой Мип =
= ШГ' \уп\ а, Ь] [см. гл. I, (9.14)]. Таким образом, в силу тео-
теоремы (9.5), Шг>\уп)=О{\), т. е. $ir>[#] < оо.
(9.11) Теорема. (I) Если последовательность
ъ
ип(х)= ^x(t)yn(t)dt (9.12)
а
ограничена для любой ограниченной или даже только для любой
непрерывной функции x(t), t?[a,b], то Ш [уп; а, Ь] = ОA).
(II) Если ип(х) ограничены для любой функции x?L [a, b],
то существенные верхние грани функций \ уп \ ограничены в сово-
совокупности.
(III) Если ип(х) ограничены для любой функции л:?1/[а, 6],
1<г< оо, то ШГ'1Уп,а,Ь]=ОA).
Для доказательства (I) заметим, что, в силу (9.9) (I), каждая
из функций уп интегрируема, так что ип(х) есть функционал
в пространстве В или пространстве С. Полагая х= sign yn,
мы видим, что норма Мип в В равна Ш [уп] и применение тео-
теоремы (9.5) дает Ш[уп] =0A). Это же доказательство проходит
и в случае х?С при условии, что мы сможем показать, что
и в этом случае Мип — Ш[уп]- Последнее, однако, очевидно,
так как функция sign yn(t) является пределом сходящейся почти
всюду последовательности непрерывных функций, по модулю
не превосходящих 1.
В случае (II) мы поступаем аналогично: каждая из функций
уп существенно ограничена [см. (9.9) (II)], и Мип равно суще-
существенной верхней грани функции \уп\-

268 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Наконец, в случае (III) каждая из функций уп принадлежит
V [а, 6], ип есть функционал в Lr й Мип = уЛг'[Уп] [гл. I, (9.14)].
(9.13) Теорема. (I) Предположим, что yn(t)?L[a, b] для
п = 1, 2, ... и что последовательность (9.12) сходится для
любой ограниченной функции x(t). Тогда функции Yn(t) =
t
= \ yn(u)du равномерно абсолютно непрерывны.
а
(II) Заключение остается в силе, если (9.12) сходится лишь
для характеристических функций х (t) измеримых множеств.
Достаточно доказать утверждение (II). Доказательство будет
аналогично доказательству теоремы (9.5).
Покажем, что \ уп dt стремится к нулю вместе с | Е | равно-
равномерно по п. Пусть X — множество всех характеристических функ-
функций x{t) на [а, Ь]. Рассмотрим интеграл (9.12), который мы обо-
обозначим через 1п(х). По предположению, последовательность 1п{х)
сходится для любого х?Х. Мы должны показать, что |/|
для любого /г, если
Пусть /р,, v (х) = /р, (х) — Iv(x). Обозначим через Хп множество
точек xgX, таких, что | /ц, v (х) | < е/4 для всех [х, v>n. Тогда
Х = ^Хп. Множества Хп замкнуты, и так как X, будучи пол-
полным метрическим пространством, не может быть множеством пер-
первой категории в себе, то одно из Хп, скажем Хпо, содержит
шар S(xo,8'). Заметим теперь, что X, хотя и не является
линейным пространством, но обладает некоторым свойством, кото-
которое можно использовать вместо линейности: если х — произволь-
произвольная точка из 5@, б'), то найдутся в S(x0, б') такие две точки
xt и #2, что x=xt — лг2. В самом деле, достаточно положить
xi(t) = x(t) + xo(t)[l-x{t)], x2{t)=x0(t)[l-x(t)\.
Ясно, что \Iil4V{x)\ = \I^v(xi) — I^v(x2)\<&/2 для ||*Ц<6\
|Jt>n0, v>n0.
Отсюда следует, что | /^ (*) — /По {х) | = 11^щ (х) |<в/2 для
||^||<б', \i>n0. Так как 1По(х) —> 0 при ||^||—>0, то найдется
такое б" > 0, что |/ц(*)|<е для ||^||<б" и \х>п0. Наконец, так
как Д (л;), /г(л:), ..., /no-i (x) равномерно стремятся к нулю при
||*|| —>0, то найдется такое б, что |/тг(#)|<е для ||х||<8 и для
всех п.
В некоторых случаях нам будет нужен следующий аналог
леммы (9.9) для рядов:

9. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 269
(9.14) Теорема. Пусть задан ряд ai-\-a2,+ - - - . Тогда
(I) если ряд
I>akbk (9.15)
1
сходится для любой ограниченной последовательности {bk} или
даже для любой последовательности {bk}, стремящейся к нулю,
2
(II) если ряд (9.15) сходится для любого сходящегося ряда
*2jbk, то последовательность {ak} имеет ограниченное изменение;
(III) если ряд (9.15) сходится для любой последовательности
(М6/Г, 1<г<оо, то {ак}ЫТ\
(I) Если 2|а&| — °°» то (9.15) расходится для ограниченной
последовательности bn = signan, и даже для сходящейся после-
последовательности 67l = e7lsignan, где {гп} — положительная последо-
последовательность, достаточно медленно стремящаяся к нулю.
(II) Нетрудно видеть, что из предположений (II) вытекает,
что ап = 0 A). Пусть 2 6л —произвольный ряд, сходящийся к нулю,
и пусть tu— bt + &2+ • • • +?fc. Пользуясь преобразованием Абеля,
со
мы можем записать сходящийся ряд (9.15) в виде 2'fc(flfc~~a*+i)-
1
Последний ряд сходится для любой последовательности {tk},
стремящейся к нулю. Следовательно, в силу утверждения (I),
'2 laA~~a*+i| < о° 1СМ- также гл. I, B.4)].
п
(III) При фиксированном п сумма sn = 2 аФк определяет
линейный функционал в пространстве Г последовательностей {bk}
и имеет норму Ып= (| (h \r' + ... +1 ап \r')l/r'. В силу теоремы (9.5),
из предположения о том, что для любой последовательности
{bk}?l\ sn=O(l) вытекает, что Nn = O(l), т. е. {ап}?Г'.
Рассмотрим бесконечную матрицу 91 — {о>пт\п, т=о, 1, определяющую
метод суммирования последовательностей (гл. III, § 1).
Для каждой последовательности чисел x={xk} положим
yn=a>noXo+(*>niXi+-.'+<*>nkXk+.-- • (9.16)
Предположим, что Xk~+s; тогда yn—^s при условии, что матрица 91 удовле-
удовлетворяет условиям (I), (II) и (III) регулярности. Нами ранее была доказана
необходимость условий (I) и (III); теперь мы перейдем к доказательству
необходимости условия (II).
Обобщим несколько понятие суммируемости методом Щ, предполагая,
что ряды (9.16) сходятся лишь для достаточно больших п, скажем для я>-п0,
где п0 зависит от {*&}. Покажем, что если для каждой сходящейся последова-
последовательности {xk} ряды (9.16) сходятся для всех достаточно больших п и если

270 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
(мь1 не требуем существования Птг/д и тем более соотношения
lim уп='\\т хь), то числа
Nn=\a>no l + l «ni 1+ • • • +1 Onft I+ • • •
конечны и равномерно ограничены для достаточно больших п. (Если матрица
Щ конечнострочна, то конечность всех Nn очевидна.)
Пусть Е — множество всех сходящихся последовательностей х={х^}. Оно
образует банахово пространство [см. пример (g) на стр. 263]. Имеем E=Ei +
+ Я2+ ... + ?т+..., где Ет — множество всех сходящихся последователь-
последовательностей х, таких, что ряды (9.16) сходятся для всех п > т. (Если 91 конечно-
конечнострочна, то Ei=E2= ... =Е.) Так как Е не является множеством первой
категории в себе, то некоторое Ето также не будет множеством первой кате-
категории. Для любой последовательности * — {*&}? EmQ ряды (9.16) сходятся»
если я !> /п0. Это значит, что
стремится к пределу при / —>¦ оо для фиксированного п > т0. Здесь уП1 . есть
линейный функционал на Е. По теореме (9.5) нормы уПу ., т. е. числа | ап0 | +
+ 1 <*ni 1 + • • • + | Ujij | ограничены при / —>¦ оо, а это означает, что Nn конечны
при п^то. Остается показать, что Nn ограничены. Из конечности Nn выте-
вытекает, что выражения уп из (9.16) определяют при п > л0 линейные функцио-
функционалы в Е и, по предположению, для каждого х?Е уп—О{\)- Поэтому
остается лишь еще раз применить теорему (9.5).
Заканчивая этот раздел, рассмотрим некоторое применение
рядов Фурье к классу линейных преобразований пространства I*
бесконечных в обе стороны последовательностей х = {хп}> с нор-
мой \\x\\ = B \хп\*I/2 < °°- Ряд 2 понимается здесь как сумма
—оо
—оо О
Пусть атп — бесконечная матрица чисел, где индексы m, n
меняются от — оо до Ч-оэ. Каждой точке x?l2 мы сопоставим
последовательность у={ут}, где
Ут — 2л ^тпхп \Щ == ^» i 1, . . . ).
п
По теореме (9.14) последовательность у будет определена для
любого x?l2 тогда и только тогда, когда У)\атп\2 < оо для каж-
п
дого т. Для того чтобы исследовать, будет ли у ?l2, мы огра-
ограничимся одним частным случаем; именно, пусть атп = ат-п,
где а = {ап} — некоторая бесконечная в обе стороны последова-
последовательность. Этот случай легко исследуется при помощи рядов
Фурье Итак, положим
Ут=У\ат-пхп (/п = 0, ± 1, ...)• (9.17)*

9 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 27t
Если ]>]аьеш—ряд Фурье функции a(t), то мы будем называть
a (t) характеристикой преобразования (9.17).
(9.18) Теорема. (I) Для того чтобы последовательность у,
определенная формулой (9.17), удовлетворяла условию у?12,
каково бы ни было х ? I2, необходимо и достаточно, чтобы пре-
преобразование имело существенно ограниченную характеристику.
Если М — существенная верхняя грань функции \a{t)\, то || у || <
<Л1||*||, и М есть норма рассматриваемого преобразования.
(II) Предположим, что преобразование (9.17) имеет харак-
характеристику a (t) ? 1А Для того чтобы каждому у 6 Р соответ-
соответствовало некоторое xgl2, удовлетворяющее (9.17), необходимо
и достаточно, чтобы функция l/a(t) была бы существенно огра-
ограничена. Если l/a(t) существенно ограничена, то решение х един-
единственно и дается формулой
Хп^^а'п-тУт (п=0, ± 1, ...), (9.19)
т
где a'k — коэффициенты Фурье функции l/a(t).
Мы знаем, что условие ||а||<оо одновременно необходимо
и достаточно для того, чтобы преобразование (9.17) было опре-
определено для всех я 61*. Если x(t)~^xheiht, a (t) ~ ^] aheikt,
2Я
то ym = l/2n \ a (t) х (t)e'lmi dt и, в силу равенства Парсеваля,
о
2я
t. (9.20>
Если || у || конечна для любого #?1*, то a(t) должна быть суще-
существенно ограниченной [см. (9.9)]. Пусть теперь М — существенная
верхняя грань функции |а(*)|. В силу (9.20), ||#||<М||х\\, при-
причем М не может быть заменено меньшим числом, т. е. М есть
норма преобразования (9.17). Тем самым (I) доказано.
Переходим к (II). Пусть задана функция у (t) <^> 2 Унеш € L2.
Если система (9.17) имеет решение х = {х^}, такое, что x(t)~
~2*АвШб1Л ТО
y(t)=a(t)x(t). (9.21)
Так как у (t) ? L2 произвольно, то a (t) Ф 0 почти всюду и поэтому
существует не более одной точки x = {xk}, удовлетворяющей
условиям (9.17). Если x(t)=y (t) a'1 (t) принадлежит L2 для
любой y(t)?U, то l/a(t) должна быть существенно ограниченной.
Если последнее условие выполнено, то точка x = {Xk}y определен-

272 ГЛ IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
ная формулой у (t) a~1(t)~ ^xkelht, является (единственным)
решением системы (9.17) и она определяется формулой (9.19).
Итак, (II) доказано.
Обратимое линейное преобразование в I2, сохраняющее норму,
называется унитарным. Как видно из (9.21), преобразование (9.17)
унитарно тогда и только тогда, когда \ a (t) \ = 1 почти всюду.
В этом случае l/a(t)=a(t), и (9.19) может быть записано в виде
хп = Лат-пУт. (9.22)
т
Рассмотрим произведение (т. е. результат последовательного
применения) двух преобразований типа (9.17), характеристики
которых соответственно a(t) и b(t). Как видно из (9.21), это
произведение является преобразованием того же типа с характе-
характеристикой a(t)b(t).
Если характеристика a (t) зависит от параметра а и задается
формулой
где ф (t) — некоторая измеримая функция, то преобразования (9.17),
которые мы обозначим через Та, образуют группу со следующими
свойствами:
^а+Р = ТаТ$, Та1 = Т-а.
Если а действительно, а функция <р (t) чисто мнима, то эти пре-
преобразования унитарны.
Примеры, (а) Предположим, что a (t) = 2' eint/n = / (л — /)
на @, 2я) [см. гл. I, D.12)]. Тогда (9.17) может быть записано
в виде
Это преобразование, которое имеет норму я, может рассматри-
рассматриваться как дискретный аналог сопряженной функции. Существует
такое у?12> что система (9.17) не имеет решений x?l2.
(b) Если aa(t) =е*а<я"-*>, то преобразование (9.17) сводится к
sinrnx
—n
для а нецелого и к
для а целого. Здесь имеем группу унитарных преобразований.

10. КЛАССЫ Lj$) 273
10. Классы LS
Пусть Ьф(а, 6), как и раньше, обозначает класс всех функций /,
таких, что функция Ф(|/|) интегрируема на (я, Ь). Наиболее
важным здесь является класс Lr, соответствующий функции
ф(и)—иг, однако вполне естественные проблемы приводят подчас
к другим классам. Например, в различных вопросах важен класс
Lln+L таких функций/, что |/|1п+|/| интегрируема. Естественно
возникает следующий вопрос: можно ли так видоизменить класс
Ьф, чтобы получилось линейное нормированное пространство?
Для этого прежде всего необходимо определить норму ||х|| =
•.= ||^||ф> причем нужно это сделать так, чтобы конечность \\x\\
и интегрируемость Ф (| х (t) \) были бы в известной степени экви-
эквивалентны. Заметим, однако, что здесь не годится [как в случае
ф (ц) = иг] положить
ъ
где Ф_! — функция, обратная к Ф. В самом деле, во-первых,
условие || ах || =' а 11| х ||, вообще говоря, не будет выполнено.
Во-вторых, если Ф(и) растет слишком быстро, то из интегрируе-
интегрируемости Ф(|#|) не обязательно вытекает интегрируемость ФB|л:|).
По этим причинам мы должны поступить иначе; оказывается, что
вопрос может быть легко разрешен, если одновременно с Ф мы
будем рассматривать другую функцию Y, такую, что пара Ф, Y
сопряжена в смысле Юнга (гл. I, § 9). Мы показали на стр. 47,
что для любой неотрицательной выпуклой функции Ф(а), и>0,
обращающейся в нуль в начале координат и обладающей тем
свойством, что Ф(и)/и—> оо вместе с и, существует сопряженная
по Юнгу функция W. В этом параграфе мы все время будем пред-
предполагать, что Ф обладает всеми только что сформулированными
свойствами.
Рассмотрим функцию х(/), а</<6, такую, что произведение
x(t)y(t) интегрируемо на (а, Ь) для любой у (t) ?Ьцг(а, Ь) и положим
и
\x{t)y{t)dt , A0.1)
где верхняя грань берется по всем у, для которых
ь
Класс всех таких х будем обозначать 1_Ф. Отнюдь не очевидно,
что так определенная норма ||jc|| должна быть конечна. Мы дока-
А. Зигмунд, т. I

274 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
жем это несколько позже; сейчас же временно, чтобы избежать
этой трудности, мы будем понимать под L<b класс таких функций
x(t), а<?<&, что введенная нами норма ||х||ф конечна. Поль-
Пользуясь неравенством Юнга, замечаем, что Ьф(ЦЬф. Очевидно, что
ЬФ — нормированное линейное пространство. Классы ЬФ часто
называются пространствами Орлича.
Мы докажем, что LS является полным пространством. Пред-
Предположим, что \\хт — хп\\—>0 длят, п—>со, так что ||#m — xn\\ < е
для m, /2>v=v(e). Отсюда следует, что
ь
J (Xm — xn)ydt <е, A0.2)
а также и
A0.3)
если Qy < 1 и т, п > v. Пусть а таково, что (Ь — a) W(a) = 1. Полагая
y(t)=asign{xm — xn), получаем из A0.2), что Ш[хт — хп\ а, 6]<
<е/а. Так как е произвольно, то существует последовательность
№mk(t)}, сходящаяся почти всюду к функции x(t) [гл. I, A1.1)],
и в силу A0.3) Ш[{х — хп)у\ а, 6]<е, если Qy<l. Таким образом,
II х — хп || < е для п > v, откуда следует полнота пространства ЬФ.
Мы неявно предполагали здесь, что Ь — а< оо, но результат
сохраняется и в случае Ь — а=оо. В самом деле, приведенные
выше рассуждения показывают, что Ш [хт — хп\ а\ Ь']—>0 для
любого интервала (а', 6'), а < а' < Ъ' < Ь. Таким образом, мы
установили существование подпоследовательности {хт (t)} сходя-
сходящейся почти всюду на (а, Ь), остальная часть доказательства
не меняется. В дальнейшем для краткости мы будем предполагать,
что Ь — а < оо. Тем не менее результаты будут справедливы и для
случая Ъ — а = со; нужны лишь незначительные изменения в дока-
доказательствах.
Мы уже отмечали, что если л;?Ьф, то л;?Ьф. Более того,
если существует такое число 0 > 0, что 0л:?Ьф, то *?Lo. Покажем,
что и обратно, если л;?ЬФ, то найдется такая константа 0 > 0,
что Qx ? Ьф. Точнее, имеет место следующее предложение.
A0.4) Теорема. Если *?L<b, ||jc||gfcO, то
ь
Ф(|*|/||х||)Л<1. A0.5)

10. КЛАССЫ Ьф 275
Прежде всего покажем, что
ь
\\xydi
л: ||, если Qy<l; ,jQ gv
x\\Qy, если Qy > 1.
Первое неравенство очевидно. Предположим теперь, что Qy > 1,
и заменим # в интеграле, стоящем слева, на y/qy. Так как Ч?
выпукла и Чг@)=0, то ? (|у |/Qy)<xF (|y |)/Qy и, значит,
ъ ь
а а
т. е. второе неравенство A0.6) справедливо. Отсюда следует, что
интеграл в A0.6) не превосходит ||*||Qy, где
Ь. 1).
Докажем теперь неравенство A0.5) в случае, когда х — ограни-
ограниченная функция. Пусть ср = Ф\ Полагая у = <p(|*|/||x||)sign*l
используем неравенство Юнга, обращающееся в данном случае
в равенство (см. стр. 47, 34). Имеем
Мы можем предполагать, что интеграл, предшествующий Qy,
не равен нулю1). Отсюда следует, что Qy>Qy (для нашего у)
и, таким образом, q^=1; и, следовательно,
Перейдем к общему случаю. Пусть хп (t) равно х (t) в точках,
где \x(t)\^Cn и равно нулю в остальных точках. Тогда A0.5) сохра-
сохраняется, если подинтегральная функция слева равна Ф(|*п|/||*л||),
а п настолько велико, что ||*п||=?0, следовательно, A0.5) имеет
место и для функций Ф(|хп|/||х||), и, значит, для Ф|
(Последнее получается из предыдущего при п—>оо.)
A0.7) Теорема. (I) Если интеграл (9.8) существует для
всех л;?Ьф(а, 6), то #?L?p-(a, 6).
(II) Если для любой функции x^U® последовательность (9.12)
ограничена, то \\уп 11^ = 0A)
В противном случае A0.5) очевидно.—Прим. ред.
18*

276 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
(III) Если для любой функции x?Lo последовательность (9.12)
ограничена, то существует постоянная 0 > 0, такая, что
а»Т(в| |)o(i)
(| |)()
(I) Пусть у11 есть га-срезка функции у; рассмотрим интеграл
ь
\ xyndt. Так как уп, будучи ограниченной функцией,
лежит Ьф- и так как
| tin (X) \<\\Х
то ип(х) есть функционал в Ьф. По предположению, {ип(х)}
сходится для всех х ? L$>, следовательно, найдется такая констан-
константа М, что \\ип(х) \\<М \\х\\ф для /г = 1, 2, ... . Возьмем теперь
функцию х, такую, что 9К[Ф(|л:|)]< 1. Тогда х принадлежит Ьф
ъ
<27W
ъ
и имеет норму ||*||ф<2. Но так так неравенство \ xyndt
а
имеет место для каждого х, для которого 2К [Ф (| * |)] < 1,
то ||уп||чг<2/И для д=1, 2, ... и, таким образом,
\\у\\чг<2М.
(II) В силу (I), функция уп всегда принадлежит Цр-. Из не-
неравенства
где константа Х = Хп положительна и настолько мала, что ?и/п?Ьр,
следует, что ип(х) есть функционал в пространстве 1_ф. Таким
образом, в силу (9.5), | ип(х) \ <М \\х\\ф для /г = 1, 2, ... .
ъ
В частности, \xyndt <2/И для х, удовлетворяющих условию
Ш [Ф (| * |)] < 1. "Таким образом,
\\yn\W<2M для /г = 1, 2, ... .
(III) Предположим, что x?L<b. Тогда х/\\ лг||ф? Ьф и последова-
последовательность {мл(х)/||х||ф} ограничена для каждого х?ЬФ. В силу (П)э
|||^, для п = 1, 2, ... , так что
для е =
Этим доказательство A0.7) заканчивается.

10. КЛАССЫ Ьф 277
Мы можем теперь избавиться от излишних ограничений в опре-
ъ
делении 1_ф. Покажем, что если \ xydt существует для всех у,
а
удовлетворяющих условию Ш [Ч? (| у |)] < 1, то норма || х ||, опре-
определенная формулой A0.1), конечна. Пусть xn(t) есть д-срезка
функции х. По предположению, последовательность интегралов
ь
vn (у) = \ хпу dt сходится для всех у ? Ьф, для которых
а
Ъ
\4{\y\l\\y\\)dt<\.
Отсюда следует, как и в (I), что || хп||ф = <9A), т. е. ||*||ф< оо.
Полезно отметить, что теорема A0.7) имеет место и для класса
ЬФ(?), где Е — произвольное множество.
Мы уже отмечали, что для того, чтобы х (t) ? L<b, необходимо
и достаточно, чтобы для некоторого 0 > 0 0* ? Ьф. Отсюда следует,
что если существует постоянная С, такая, что
ФBа)<СФ(а) A0.8)
для достаточно больших и и если Ь — а< оо, то классы Ьф и Ьф
тождественны.
Простой подсчет показывает, что если ф(и)=иг, г>1, то
|| л: ||Ф = г/1/г/г1/г2Кг [х], так что с точностью до постоянного множи-
множителя мы получаем здесь ту же норму, что и в примере (d)
на стр. 262.
Мы можем определить норму х несколько иным путем. Зафикси-
Зафиксируем выпуклую неубывающую функцию Ф(и) @<гг < оо), удовле-
удовлетворяющую условиям ф@)=0 и Ф(и)/и—> оо при и—>оо. Пусть
Ч? (v) — функция, дополнительная к Ф(^) в смысле Юнга, и пусть
Ф=Ф', -фг^Ч1". Удобно нормировать Ф при помощи условия
фAL-\рA) = 1. A0.9)
Это можно сделать, например, при помощи замены у (и) на ц(ки),
где k таково, что площадь прямоугольник^, противоположные
вершины которого находятся в точках @, 0) и (&, <p(fe)), равна 1
(эта площадь есть непрерывная функция от k и возрастает от 0
до оо вместе с k)\ тогда новая функция Ф(&) будет соответство-
соответствовать старой функции k~1(&{ku).
Рассмотрим класс всех функций x(t), а<2"<6, таких, что
Ф@|х|) интегрируема на (а, Ь) при некотором 0>О (нормировка

278 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
не влияет на этот класс). Тогда
ь
A0.10)
для всех достаточно больших положительных X. Пусть Хо есть
нижняя грань всех X, удовлетворяющих неравенству A0.10);
Яо — неотрицательно и равно нулю тогда и только тогда, когда
х~0. Назовем Хо нормой х, и обозначим ее через Nx или N<dX.
Nx — неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда
х ~ 0, и N (ал:) = | а | Nx для любого скаляра а. Кроме того,
справедливо неравенство
A0.11)
Действительно, если X > N*, \х > Ny, то из A0.10) и аналогичного
неравенства для \y\/\i получаем, пользуясь неравенством Иенсена,
i ч^>+^ i ч^
Отсюда вытекает, что N(х + у)<^ + М'» и, полагая X—>Nx, \i—>Ny,
получаем A0.11). Таким образом, Nx обладает всеми свойствами
нормы.
Если O(u)=uv/p, где 1 < р < оо, то W(v) =^vv'lp\ неравен-
неравенство A0.9) справедливо и мы непосредственно видим, что Nx = || х ||р.
Совокупность всех функций x(t), таких, что 0л: принадлежит
Ьф (а, Ь) при некотором 0 > 0, есть, как мы знаем, класс ЬФ,
для которого мы уже определили норму ||л:||ф. Обозначим ФA) = v.
Так как 0<v< 1, то из A0.5) выводим, что
так что Ыл:< || х Ц/v. С другой стороны, если X > N*, то для всех г/,
удовлетворяющих неравенству Ш [W (| у |)]< 1, имеем

10. КЛАССЫ Ьф 279
так как, в силу A0.9), ФA)<1. Взяв верхнюю грань первого
интеграла по всем у и устремив X к Nx, мы видим, что ||x||o<2Nx.
Таким образом,
Ф A) Njc < || л: ||ф< 2Nx. A0.12)
Это неравенство показывает, что нормы ||#||ф и Nx эквивалент-
эквивалентны в том смысле, что их отношение" содержится между двумя
положительными абсолютными постоянными. Это показывает,
что Ьф, будучи полным пространством по отношению к норме
||х||ф, также полно (и, таким образом, является банаховым про-
пространством) по отношению к норме N<&x.
Применим вышеизложенное к некоторым неравенствам.
Пусть задан оператор у = Тх, преобразующий функции х (s) ?
(а, Ь) в функции y(t)^LOl(au 64) и такой, что
Ъ
<bi(\y\)dt<A J O(\x\)ds + B, A0.13)
а
где Ф и Ф1 — функции Юнга, а Л и В — постоянные, не зависящие
от х. Оператор Т не обязательно линеен; мы предполагаем только,
что он положительно однороден; это означает, что для каждого
скаляра а, если Тх определен, то и Т (ах) также определен и имеет
место равенство
A0.14) Теорема. При только что сформулированных пред-
предположениях оператор Тх определен для всех х?Ьф(а, 6), и спра-
справедливо неравенство
||ф> A0.15)
или, что то же самое,
NOly^CNox, A0.16)
где постоянная С не зависит от х.
Преимущество A0.15) и A0.16) перед A0.13) заключается
в однородности соотношений.
Тот факт, что Тх определен на L&(a, &), следует из положи-
положительной однородности Т и того, что соотношение х б Ьф влечет
за собой ЦхЦфбЬф [см. A0.5)]. Положим X = NoX^ Xl = No1x.
Из A0.13), примененного к */||х||ф, мы видим, что Ф4 (у/\\ х ||ф)
интегрируема, так что y^L^1(al, 64), и Тц^Ыф^/ конечно. Нам
нужно показать, что

280 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Если X = 0, то х^О и (в силу положительной однородности
Т) у~0, Я4 = 0, так что A0.16) имеет место. Поэтому мы можем
предположить, что X > 0. Мы можем также предположить, что
Xt > X, ибо если Х^Х, то мы имеем A0.16) с С=1.
Пусть X < X' < Х[ < Xt. Применяя неравенство A0.13) к х/Х\
получаем
сц a
а так как Ф4 выпукла и Ф4 @) = 0, то
что вместе с предыдущим неравенством влечет за собой неравенство
Xt<cCX', а значит, и A0.16) с С = С1/Ф1 A). Этим заканчивается
доказательство теоремы A0.14).
Замечание. Эти рассуждения проходят и в случаях, когда
ф(и)=и или Ф1(и)=и.
В качестве иллюстрации рассмотрим функции x(s), интегри-
интегрируемые на конечном интервале (а, 6), и оператор 6 = Тл:, опре-
определенный при помощи равенства
t+h
Q(t)=sup 4" [ \x(s)\ds.
h
Этот оператор нелинеен, но положительно однороден и удовле-
удовлетворяет условию A0.13) с (аи Ь^ = (а, 6), ф(и)^=и 1п+ и, Ф4 (и) = и
[гл. I, A3.15) (III)]. Поэтому он удовлетворяет неравенствам A0.15)
и A0.16). Аналогичное замечание справедливо и для оператора
Tf=J [см. гл. VII, B.9)].
Следующая теорема обобщает неравенство Гёльдера.
A0.17) Теорема. Если л:(/)?Ьф(а, 6), y(t)^L^r(a, b), где Ф
и Ч* — взаимно дополнительные функции в смысле Юнга, то функ-
функция ху интегрируема на (а, Ь) и
ъ
A0.18)

10. КЛАССЫ Ьф 281
Неравенство очевидно, если Ыфл: или N^y равно нулю. Если
ни одно из них не равно нулю, то для X > Ыфл:, \х > Nwy имеем
51т|^
а а
Ъ
Г тШ^КФA)+^A) = 1, A0.19)
«3 \ И- у
и, устремляя Л, к N<&x, \i к N^y, получаем A0.18).
Теперь мы рассмотрим случай равенства в A0.18). Мы можем
предположить, что Хо = No (х) и [х0 = N^y положительны, так как
в противном случае имеет место равенство. Вспоминая определе-
определение Яо, мы замечаем, что если A0.10) имеет место для всех
X > ХОч то, в силу леммы Фату, оно имеет место и для Л,=Л,0-
Примеры показывают, что возможно строгое неравенство в A0.10)
даже при Х=Х0, нас же интересует случай, когда
ь
(^)=ФA). A0.20)
Если интеграл A0.10) конечен при некотором X < Хо, то он
представляет собой вблизи точки Хо непрерывную и строго убы-
убывающую функцию от X и A0.20) справедливо. Следовательно,.
A0.20), например, имеет место, если фBа)<Сф(и) для всех и
или если это неравенство выполняется для достаточно больших и*
а интервал (а, Ь) конечен.
Предположим теперь, что справедливо A0.20) и что интеграл
от ЧЧН'о1)^! по (а, Ь) также равен 1. Если мы в A0.10) заменим
Хо, |л0 на а и |i, то крайние члены будут равны и, рассматривая
случай равенства в неравенстве Юнга |t)<O(^) + ? (г)), мы при-
приходим к следующему заключению: если А,о Ф 0, \х0 Ф 0, то равенство
в A0.18) имеет место тогда и только тогда, когда
(I) arg (ху) постоянен почти всюду на множестве, где ху Ф 0'г
(II) точка (л:^)^, yit)^'1 лежит почти всегда на непрерыв-
непрерывной кривой, полученной из графика т] = ф(?) присоединением к нему
вертикальных сегментов в точках разрыва функции ф.
Рассуждения этого параграфа применимы и к интегралу
ъ
Стильтьеса \ <&(\x(t)\)d\i(t), где \х (t) — неубывающая функция,
а
и, в частности, к сумме 2 Ф(я*)- Можно определить нормы
||я||ф и Кфа для последовательности а —{at}, получить нера-
неравенство Гёльдера | 2 аФг \ < Noa-N^fe, вывести аналог теоремы
A0.14) и т. д.

282 гл. iv. классы функций и ряды фурье
11. Преобразования рядов Фурье
Рассмотрим два тригонометрических ряда:
2 w™, (li.i)
— оо
f>Keivx, A1.2)
— со
и связанный с ними ряд
2 4v^ivx. (п.з)
— оо
Под {A,v} мы будем теперь понимать бесконечную в обе стороны
последовательность ..., А,_ь Яо, А,А ... . Пусть заданы два класса Р
и Q тригонометрических рядов. Мы будем говорить, что {kv} —
последовательность класса (Р, Q), если из того, что A1.1) при-
принадлежит Р, всегда следует, что A1.3) принадлежит Q.
A1.4) Теорема. Для того чтобы {A,v} принадлежала любому
из классов (В, В), (С, С), (L, L), (S, S), необходимо и достаточно,
чтобы 2 kveivx был рядом Фурье — Стильтьеса1).
,Пусть A1.1) есть S[fL и пусть оп(х), 1п{х), <?(*) обозна-
обозначают (С, 1)-средние рядов A1.1), A1.2) и A1.3) соответственно.
Тогда
п 2я
С^)vKeivx = ^\ tn(t)f(x-t)dt. A1.5)
Пусть х = 0. Если {Кп} принадлежит классу (С, С) или (В, В),
то последовательность \в*п @)} ограничена для любой f б С; в силу
теоремы (9.11), имеем Ш [ln(t)] =0 A), откуда следует, что A1.2)
принадлежит S. Обратно, если ряд A1.2) есть S[dL], то имеем
2я
n{x-t)dL{t), A1.6)
так что равномерная ограниченность последовательности {ап (х)}
влечет за собой равномерную ограниченность {о* (л:)}. Аналогично,
если ат (х) — оп(х) равномерно стремится к нулю при т, п—>оо,
то и От(х) — Оп{х) равномерно стремится к нулю при т, п—->оо.
Тем самым теорема A1.4) для классов (В, В) и (С, С) доказана.
Если {Кп} принадлежит классу (S, S), то она преобразует,
1) Здесь и далее в этом параграфе в формулировках теорем условие не-
необходимо и достаточно для каждого из указанных классов в отдельности.—
Прим. ред.

11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 283
в частности, ряд ^>]eivx?S в ряд A1.2), который, следовательно,
—оо
принадлежит S. Обратно, если A1.2) есть S[dL], то A1.6) дает
2я
\o*n(x)\<-±-[\on(x-t)\\dL(t)\. A1.7)
Интегрируя это неравенство по @, 2я) и меняя справа порядок
интегрирования, получаем Ш [Оп]<(^/2я) Ш [ап], где v — полное
изменение L(t) на [0, 2я]. Следовательно, A1.3) принадлежит S,
если A1.1) принадлежит S.
Остается рассмотреть лишь случай (L, L). Так как
2я
|aSi(*)-<U(x)|<-^-$ \<ym(x-t)-on(x-t)\\dL(t)\,
о
Ш [о*т - а* ] < (v/2n) Ш ]ат - ап],
то достаточность условия очевидна [см. E.5)]. Для доказательства
необходимости рассмотрим для каждого п систему неперекрываю-
неперекрывающихся интервалов In = (aj\ E™), (а™, |5?), ... . Из AL5) следует, что
2я
J о*п{х) dx = ± \f<t){\ ln(*-t) dx) dt. A1.8)
In 0 In
Предположим, что A1.2) не принадлежит S, так что неопределен-
неопределенные интегралы от функций 1п (х) не имеют равномерно ограничен-
ограниченных полных изменений. Мы можем тогда найти такую последо-
последовательность /i, /2 ... , что коэффициенты при f (t) в A1.8) не будут
ограничены при ^ = 0. Так как они непрерывны по t (для каж-
каждого п), то их существенные верхние грани не ограничены в сово-
совокупности; таким образом, в силу теоремы (9.11), существует
функция /GL, такая, что правая часть в A1.8) неограничена
и тем более Ш [On] Ф О A). Следовательно, A1.3) не принадлежит S
и {кп} не принадлежит классу (L, L).
Пусть Р обозначает класс всех тригонометрических рядов,
сопряженных с рядами, принадлежащими классу Р.
A1.9) Теорема. Для того чтобы {Хп} принадлежала любому
из классов (В, В), (С, С), (L, L) (S, S), необходимо и достаточно,
чтобы ряд, сопряженный ряду 2 kneinx, принадлежал S.
Это следует из A1.4). Действительно, пусть 8V = — /signv.
Условие {kn} G (В, В) означает, что всякий раз, как ^cveivx при-
принадлежит В, ряд 2 &vKCv?ivx принадлежит В. Для этого необ-
необходимо и достаточно, в силу теоремы A1.4), чтобы 2 &vKeivx б S.
Аналогично рассуждаем в остальных случаях.

284 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
A1.10) Теорема. (I) Для того чтобы последовательность
{кп} принадлежала любому из классов (В, С), (S, L), необходимо
и достаточно, чтобы 2 kneinx принадлежал L.
(II) Классы (В, С) и (S, L) характеризуются тем, что ряд,
сопряженный ряду 2 ^n0inx, принадлежит L.
Достаточно доказать (I); доказательство утверждения (II) будет
тогда аналогично доказательству теоремы A1.9). Рассматривая
оо
ряд 2 е™х ? S, мы убеждаемся в необходимости условия теоремы
— оо
для класса (S, L). Достаточность следует из достаточности для
случая (L, L) в теореме A1.4), нужно лишь поменять ролями
cv и A,v.
Пусть теперь / — произвольный элемент из В. Если {kn} ? (В, С),
то, полагая в A1.5) х = 0 и пользуясь (9.13) (I), мы видим, что
неопределенные интегралы от /v (x) должны быть равномерно
абсолютно непрерывны. Таким образом, ^lneinx?L. Обратно,
если последнее условие выполнено, то из A1.5) вытекает, что
Таким образом, {<Jm(x)} равномерно сходится и A1.3) принад-
принадлежит С.
Пусть %{и), #>0, — неотрицательная неубывающая выпуклая
функция, такая, что %(и)/и—> оо вместе с и.
A1.11) Теорема. Если A1.1) есть S[/], причем %(|/1)
интегрируема, и если A1.2) есть S [dL], то A1.3) есть S[g],
причем % Bя | g \/v) интегрируема; здесь v обозначает полное изме-
изменение L на [0, 2я].
Неравенство Иенсена, примененное к A1.6), дает
2я
Теперь остается лишь проинтегрировать это неравенство по
0<л:<2я, изменить справа порядок интегрирования и приме-
применить E.7). В частности, получаем следующее утверждение:
если A1.2) принадлежит S, то {%п}6 (Lr, L/) при всех г>\.
Условия, наложенные здесь на ряд A1.2), только лишь доста-
достаточны, но не необходимы. Это видно уже на примере %(и) = и2,
так как в силу равенства Парсеваля и теоремы Рисса — Фишера
{Xn}G(L2, U) тогда и только тогда, когда Л,^ =0A).
Пусть теперь Ф, W и Фи Yi-—две пары взаимно сопряженных
в смысле Юнга функций.

11. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 285
A1.12) Теорема. Классы (L<b, Ьф1) и (L|r, L^) тождественны.
A1.13) Теорема. Для того чтобы ряд 2 cveivx принадле-
принадлежал Ьф, необходимо и достаточно, чтобы для каждой функции
g ? L|r с коэффициентами Фурье c'v ряд
был бы (С, \)-ограничен г) [?Ш/, что в данном случае эквивалентно
этому, (С, 1)-суммируем].
Если / ? ЬФ, g ? L|r, то существуют положительные постоян-
постоянные Л,, jut, такие, что А,/?ЬФ, \ig?Lw, и необходимость в A1.13)
следует из (8.7). Для доказательства достаточности обозначим
(С, 1)-средние рядов 2 cveivx и A1.14) через ап(х) и %п соответ-
соответственно. Тогда
Так как {тп}, по предположению, ограничена для каждой ggL^-,
то отсюда следует, что 2 cveivx принадлежит Ьф [см. A0.7)].
Теорема A1.13) доказана.
Для доказательства теоремы A1.12) заметим, что в силу тео-
теоремы A1.13), если {ЯП}?(ЬФ, ЬФ1), то для любой /?Ц> с коэф-
коэффициентами Фурье cv и любой g G Ь|гх с коэффициентами с'^ ряд
со
2 ^v^v будет (С, 1)-ограничен. На основании все той же теоремы
—со
A1.13) это означает, что 2 Kc'veivx€ ^чг [и, значит, {ЯЛ}? (Ц^, Цг)].
В качестве следствий получаем
(I) если Ф и *Р — сопряженные по Юнгу функции, то классы
(LJ,, ЬФ), и (L|r, L|r) тождественны,
(II) ваш г > 1, s > 1, то классы (Lr, Ls) t/ (Ls', Lr) тождест-
тождественны; в частности,
(I/, Lr) = (Lr', Lr').
Предположим, что ряд A1.12) есть S[dL], а ряды A1.1)
и A1.3) —соответственно S [/] и S [g], причем / непрерывна. Тогда
формула
2я
X)=^\ f{x-t)dL(t)
х) Ряд называется Т-ограниченным, если последовательность его Т-средних
ограничена.—Прим. ред.

286 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
немедленно приводит к следующему неравенству между модулями
непрерывности функций f и g:
2л
соF; g)«оF;/)^-$ \dL\. A1.15)
О
A1.16) Теорема. Предположим, что ^lneinxпринадлежитS.
Тогда {Хп} принадлежит классу (Ла, Ла), 0<а<1, а также
классам (А%, Л*) и (к%, Х%).
Утверждение относительно класса (Ла, Ла) следует из A1.15),
а остальное—из аналогичного неравенства:
max
x-h)-2g(x)\<
Полученный выше результат может быть сформулирован в тер-
терминах «действительных рядов Фурье». Если cv = -^{av — ibv)>
c_v = cv, то A1.1) превращается в
оо
~2"ао + 2 (avcos vx-\-bvsm vx). A1.17)
v=l
Если Xv действительны и %_V~KV, то A1.2) и A1.3) превращаются
соответственно в
оо
2 *,vCOSV*V A1.18)
v=l
оо
1
-^ао^о + 2i (av ^osvx-}-bvs\nvx) %v, A1.19)
v=l
Для того чтобы распространить предыдущие результаты на эти
ряды, нужно лишь всюду вместо A1.1), (П.2), A1,3) подставить
формулы A1.17), A1.18), A1.19).
Полезен следующий пример.
Пусть Ко, Кг1 А,2, ...—произвольная положительная после-
последовательность, стремящаяся к нулю и выпуклая, начиная с не-
некоторого номера. Например, можно взять
1 Л 1 А 1
п па п In п ' п In In п '

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 287
для достаточно больших п. В гл. V, § 1, мы покажем, что ряды
2 ^v cos vx принадлежат L. Отсюда будет следовать, что эти
последовательности принадлежат классам (В, С) и (S, L).
Будет также показано (гл. V, §1), что ряд 2 2 H'v sin vxr
сопряженный к ряду A1. 18), принадлежит L, если jjl±, jut2, ...
положительны, монотонно убывают и ^H-v/v < оо. Таким обра-
образом, в частности, последовательности
_ 1 _ 1
(lrittI"^8 ' n In n (In In n)iJr&
принадлежат классам (В, С) и (S, L) при условии, что 8 > 0.
Для 8=0 это уже неверно.
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Пусть ф! (х), Ф2М, ...—ортонормированная система на [0, 2я]. Тогда
система Bя)~1у'2, ф1 (х), 'фз (х)> ••• также ортонормирована на этом отрезке.
Если первая система полна, то полна и вторая.
2я 2я
Использовать формулу \ fgdx=—\ /^с(л: для /?L2, ^gL2.
о о
2. Пусть ф1, ф2, . —ортонормированная система, состоящая из равно-
равномерно ограниченных на [а, Ь] функций. Пусть s^ — частичные суммы ряда
х
и пусть функции Sfc(A;)=\ s^ (t) dt равномерно абсолютно непрерывны
а
на [а, Ь], что заведомо выполнено, если все | sk | мажорируются некоторой
интегрируемой функцией. Тогда этот ряд является рядом Фурье.
В силу D.6), подпоследовательность Sn (x) сходится к некоторой абсо-
X
лютно непрерывной функции /7(л:)=\ fdt. Покажем, что для любой огра-
ничейной функции g
и
I
gs dt-* \ gfdt.
И, fj
Это очевидно для любой ступенчатой функции, а любая ограниченная g может
быть равномерно приближена такими ступенчатыми функциями, за исключением
Ь
множества сколь угодно малой меры. Для g=^pm получаем ат= \ /фт dt.

288 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
Я 2я
от, f f(x±t)—f(x) лм f f(x-\-t) + f(x—t) — 2f(x) ..
3. Интегралы \ ' v л- '—l-^-dt, \ ' v ~ '^' v '-^-dt могут
о о
расходиться для всех х, даже если / непрерывна (§ 3). Показать, что если
f^L и если один из интегралов существует для х ? ?, то остальные два тоже
существуют почти всюду на Е.
I Интеграл \ / ^ существует почти всюду.
оо
4. Если / —jr ao-\- ^p. (an cos nx-\-bn sin nx), то для почти всех х справед-
1
лива формула
у ancosnx+bnsmnx =± Г
„=i
причем ряд слева сходится почти всюду.
dt,
5. (а) Пусть f (х) непрерывна и периодична. Тогда для того чтобы J(x)
была непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы интеграл
я
сходился равномерно при /г-*-|-0. (Ь) Если / ^ L, то для того чтобы /'б L,
необходимо и достаточно, чтобы интеграл / (л:; /г) сходился по метрике прост-
пространства L. (Относительно теоремы (а) см. Заманский [3].)
[Для доказательства (а) нужно использовать равномерность в соотношении
C.21) гл. III.]
6. Пусть Р(г, х) — ядро Пуассона и q^>\ — фиксированное число. Тогда
2я
что показывает, что в теореме F.34) в отличие от F.32) мы не можем заме-
заменить «О» на «о»,
7. Если интегральный модуль непрерывности ©i (б; /) имеет порядок
о {(In l/б)}, то 3# [/—Sn [/]] -> 0. Это интегральный аналог признака Дини —
Липшица (гл. II, § 10).
8. Для того чтобы периодическая функция / принадлежала классу А\,
необходимо и достаточно, чтобы / почти всюду совпадала с-функцией с огра-
ограниченным изменением. (Харди и Литтлвуд [9].)
Необходимость: Если ап=ап (х; /), то имеет место неравенствоУЯ [ап (jc-f-
+h)~ ^WK^l/W1)- /(*)]< С/г, SR[a;j<;Cf н остается применить

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 289
D.7). Достаточность: Если / не убывает на 0<#<2:rt, то 3R [f(x-\-h)—
—/ Ml есть
2n-h 2л 2л h
\ U(x+h)-f(x)]dx+ ^ ( J
О 2Я-Л 2Я-Л
9. Для того чтобы периодическая функция / принадлежала ^ р>
необходимо и достаточно, чтобы / была эквивалентна интегралу от некоторой
функции из LP. (Харди и Литтлвуд [9].)
Необходимость: Рассуждая, как и в примере 8, получаем fflp [сгД] <; С
и применяем E.7). Достаточность'
2 Я x+h 2п
5 { y J
10. Тригонометрический ряд с (С, 1 ^средними оп является рядом Фурье
тогда и только тогда, когда существует неотрицательная неубывающая функ-
функция Ф(и), «>0, удовлетворяющая условию Ф (и)/и -> оо при м->оо и такая,
2Я
что J Ф(|<тп|)?**=ОA).
о
[Если / принадлежит L, то найдется функция Ф(м), удовлетворяющая
вышеуказанным условиям, и такая, что Ф (| / |) ^ L. Для любой функции Ф,
удовлетворяющей этим условиям, существует выпуклая функция Ф4 <; Ф,
удовлетворяющая этим же условиям.]
И. Пусть Ф(м), «>0, —выпуклая неотрицательная функция, и пусть
Ф (и)/и -> оо при и •+ оо. Тогда для того, чтобы тригонометрический ряд был
S [dF], где F имеет абсолютно непрерывное положительное изменение Р (#),
2Я
причем Рг (х) ? Ьф, необходимо и достаточно, чтобы \ Ф (/+ (reix)) dx=O A)
о
при г -> 1 [см. F.13)]. Аналогичное утверждение верно для ап. Наиболее
интересен случай Ф(й)=«р.
12. Пусть задана периодическая функция /?D\ 1<;р<сх). Рассмотрим
множество U=Uf всех функций ф, являющихся конечными линейными комби-
комбинациями с постоянными коэффициентами функций / (#4-^), где —оо < X <-f-oo.
Показать, что для того, чтобы U было плотно в D\ необходимо и достаточно,
чтобы ни один коэффициент Фурье функции / не обращался в нуль. (Это эле-
элементарный аналог более глубокой теоремы Винера [3], относящейся к преоб-
преобразованию Фурье.)
[Необходимость: Если член eihx отсутствует в S [/], то он отсутствует и в
S [ф] и, таким образом,
2Я
-L- [ A—
1
для всех ф. Достаточность: достаточно показать, что если все члены в S [/]
отличны от тождественного нуля, то для любого целого k и любого 8>0най-
19 А. Зигмунд, т. I

290 ГЛ. IV. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
дется функция ф, такая, что 3J?p [ф—eihx]<^e. Мы можем предположить, что
k = 0 и что свободный член в ряде S [/] равен 1. Пусть /i = o*n-i[/] с п [на-
[настолько большим, что 3#р [/—fi] < 8. По теореме A.1) гл. II, имеет место ра-
п
венство — >, /i (х-\ 4=1, так что
j=\
Эти рассуждения (принадлежащие Р. Салему) проходят и для случая р=оо,
т. е. для пространства С]
13. Пусть g=Tf—линейный оператор, определенный для действительных
/ с действительными g, и такой, что
(I) Шг<л*[Ш|г.
Для комплексных функций /=/± —}— //2 ? V положим Т [/]=Т [fi\-\-iT [/У-
Тогда неравенство (I) сохраняется.
Пусть gv=zTfv. Интегрируя неравенство
<МГ || /icosa-j
по 0<а<;2зх, меняя порядок интегрирования и замечая, что
С | a cos a+b sin a | r da=(a*+b*I/2 rCr,
о
получаем
14. Пусть 1<^р<^оо, n = 0, 1, ... . Пусть Lg (обобщенные константы
Лебега) определены как sup3#p [Sn] для всех / с 3#р [/] < 1, где Sn=Sn [/].
Показать, что !? = ??'.
15. Пусть L+ обозначает класс всех S [/] с / интегрируемой и неотрица-
неотрицательной. Определим соответственно В+, С+ и обозначим через S+ класс всех
S [dF] с неубывающей F. Тогда {А,^} принадлежит любому из классов (В+, В+),
(С+, С+), (L+, L+), (S+, S+) тогда и только тогда, когда ЗА,^71* ? S+; {Хп}
принадлежит (В+, С+) (принадлежит (S+, L+)) тогда и только тогда, когда
2VinxL+
16. Пусть ап(х) и /(г, л:) обозначают (С, 1) и абелевы средние тригоно-
тригонометрического ряда Т. Каждое из условий
(нормы понимаются в смысле § 10) является одновременно необходимым и дос-
достаточным для того, чтобы ряд Т принадлежал L<x>.
17. Если / ? L<j> и если Ф удовлетворяет условию
(I) ФBи)/Ф(и) = 0A) при ы->оо,

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 291
ТО
II/-<Ы1Ф - 0, Цап||ф->||/||ф.
Аналогичное утверждение имеет место для абелевых средних / (г, х).
18. Условие (I) из примера 17 необходимо и достаточно для того, чтобы
пространство L<x> было сепарабельно (Орлич [2]).
[Достаточность следует из примера 17.]
19. Пусть задана матрица {атп}, т, я = 0, 1, .... Рассмотрим линейные
средние
последовательности {sn}. Показать, что для того, чтобы каждая сходящаяся
последовательность \sn} преобразовывалась в сходящуюся (не обязательно к
тому же самому пределу) последовательность {от}, необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись следующие три условия:
(I) \\татп существует для каждого п\
т
(II) 2 I атп I < С» гДе С не зависит от т;
п
(III) Лт= 2 атп стремится к пределу при т -*- оо.
п
Если эти условия удовлетворяются и если пределы в (I) и (III) соответ-
соответственно равны ап и Л, то 2 | ап К С, и для любой последовательности.
{sn} -> s имеем
вт-+ As+ao(so—s)+ai(Si—s)+... . (Шур [1].)
[Доказательство аналогично рассуждениям на стр. 126—128 и 270.]
19*

ГЛАВА V
Специальные тригонометрические ряды
В этой главе мы будем изучать некоторые специальные триго-
тригонометрические ряды, которые представляют не только самостоя-
самостоятельный интерес, но и служат для иллюстрации общей теории.
1. Ряды с коэффициентами, монотонно стремящимися к нулю
В гл, I, § 1, мы доказали, что если последовательность {av}
монотонно стремится к нулю, то оба ряда
оо
\ао+ 2 avcosvx, A.1)
v=l
ex»
2 avsinvx A.2)
V=l
равномерно сходятся всюду, за исключением произвольно малой
окрестности точки х = 0. Если av>0 при всех v, то очевидно,
что необходимым и достаточным условием равномерной сходимости
всюду ряда A.1) является сходимость ряда 2av. Для ряда A.2)
положение дел не столь тривиально.
A.3) Теорема. Пусть av>av+l и av—>0. Тогда для того,
чтобы ряд A.2) равномерно сходился, необходимо и достаточно,
чтобы vav—>0.
Если A.2) сходится равномерно и если х = тс/2п, то
п п
2 avsmvx>sin-jTC'an 2 1 >sin -j- п-ап -^п,
т. е. пап—>0 при п—>оо. Этим доказана необходимость. Обрат-
Обратно, пусть vav—>0, так что eft = sup vav—>0. Пусть 0<

1. РЯДЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, МОНОТОННО СТРЕМЯЩИМИСЯ К НУЛЮ 293
и пусть А/= Л^ —целое число, удовлетворяющее нерав'енству .
Разобьем остаток ряда A.2) Rm (х) — ат sin mx + • • • на две час-
части, Rm= Rm-\-R'mj где Rm состоит из членов с номерами v<
a Rm — из членов с номерами v>m + N. Тогда
\Rm(x)\ =
av sin vx
m+N-l
A.4)
Применяя преобразование Абеля и пользуясь неравенством
Dm(x)\<Cn/x (гл. II, § 5), находим, что
оо
|#т|= 2 {dv-av+l)Dv(x) — am+NDm+N-l(x)
m+N
< 2am+Nn/x < 2 (N + 1) am+iv < 2c».
Следовательно, |i?m|<6em, и равномерная сходимость ряда A.2)
доказана.
Примечания, (а) В случае когда {vav} монотонно убывает
к нулю, вышеприведенное доказательство достаточности может
быть упрощено. Действительно, в этом случае мы можем запи-
записать ряд A.2) в виде 2vflv(v~1sin vx); так как частичные суммы
ряда ^v-^sinvx равномерно ограничены, то достаточно восполь-
воспользоваться теоремой B.4) гл. I.
(b) Если av>av+i—>0, то условие vav=O{l) необходимо
и достаточно для равномерной ограниченности частичных сумм
ряда A.2); доказательство этого факта вполне аналогично преды-
предыдущему. Пример ряда 2v~lsinv* показывает, что это условие
не влечет за собой равномерной сходимости.
(c) В предположении, что av^av+i, av-->0, условие vav—>0
необходимо и достаточно для того, чтобы ряд ^avsinvx был
рядом Фурье непрерывной функции. Достаточно доказать, что
это условие необходимо. Итак, пусть (С, 1)-средние оп(х) ряда
равномерно сходятся. Тогда, в частности, ап(к/2п)—>0.
Так как s'mu > — и на Го, ^я j , то

294 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Сохраняя лишь т^Г-^п! членов слева, получаем
т т
^2vav—>0, |а^^0' тат—>0.
v=l v=l
Аналогичная модификация имеет место и для утверждения (Ь)г).
A.5) Теорема. Если av—>0 и последовательность а0, #i, ... вы-
выпукла, то ряд A.1) сходится всюду, за исключением, быть мо-
может, точки х = 0, к некоторой неотрицательной интегрируемой
функции f(x) и является рядом Фурье этой функции.
Дважды применяя преобразование Абеля, имеем
п-2
sn (х) = 2 (v + 1) A2avKv (x) + nKn-i (x) Aan-4 + Dn (x) an, A.6)
v=0
где sn — частичные суммы ряда A.1), a Dv и Кv — соответственно
ядра Дирихле и Фейера. Если х Ф О, то два последних члена
стремятся к нулю при п —> оо. Поэтому
sn(x)-+f(x)= 2 (v+l)A2avKv(x), A.7)
v=0
и это выражение неотрицательно, поскольку {av} выпукла.
Далее,
= 2 (v+l)A2av \ Kv(x)dx = n^ (v+l)A2av< + oo
v=0 —к v=0
(см. гл.' III, § 4), следовательно, / интегрируема.
При доказательстве того, что A.1) есть S[/], можно пред-
предположить, что #0 = 0. Так как аи а2, ... монотонно убывает
к нулю, то применение теоремы A.3) [см. также замечание (а),
выше] показывает, что ряд 2 v^ sin vx, получаемый почленным
интегрированием ряда A.1), сходится равномерно к непрерывной
функции F(x) и, следовательно, является рядом Фурье функ-
функции F. Так как F' (х) существует и непрерывна при х Ф0 и так
как F (х) непрерывна всюду, то F есть первообразная для^;=/.
Если мы сначала проинтегрируем по интервалу (г, п), а затем
!) То есть в предположениях av > av+4, av -+ 0, условие vav = 0(l) необ-
необходимо и достаточно для того, чтобы ряд ^}avs'mvx был рядом Фурье огра-
ограниченной функции.— Прим. ред.

1. РЯДЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, МОНОТОННО СТРЕМЯЩИМИСЯ К НУЛЮ 295
устремим 8 к 0,-то получим, учитывая, что F@) = F(tc) = O,
(x) sin vx dx = ^\f{x) cos vx dx,
av = — \ f (x) cos vx dx (v > 0).
Это верно также и при v = 0, поскольку F — периодична и
я
\ fdt = 0 = па0. Таким образом, ряд A.1) есть S[f].
-я
В приведенном доказательстве того, что ряд A.1) есть ряд
Фурье, мы фактически пользовались только тем предположением,
что последовательность {av} монотонно убывает к нулю. Отарда
следует теорема:
A.8) Теорема. Если av—>0, Aav>0, то сумма f (х) ряда
A.1) непрерывна при хфО, интегрируема по Риману (вообще
говоря, в несобственном смысле), и этот ряд есть ряд Фурье —
Римана функции f.
Если {av}, кроме того, выпукла, то, как мы только что виде-
видели, f неотрицательна и F есть интеграл Лебега от f. Одна лишь
монотонность {av}, однако, не обеспечивает L-интегрируемости /;
в самом деле, справедливо следующее утверждение:
A.9) Теорема. Существует р%д вида A.1) с коэффициен-
коэффициентами, монотонно убывающими к 0, сумма которого f (х) не
L-интегрируема.
Пусть заданы последовательности 0 = Xi < Xz < • • • и {ak},
ak+i<ak—>0, причем ak = a^n+1 при ln < k<K+u п = 1, 2, ... .
Применяя преобразования Абеля, получаем
2 2 A.10)
v=0 n=l
Заметим теперь, что
J \Dn\dx^Clnn, ^ \Dn\dx>Cilnn.
0 1/п
Обе эти оценки следуют из неравенства A2.1) гл. II; действи-
действительно, так как Dn (x) =0 (п), то разность между этими двумя
интегралами имеет порядок 0A). Из AЛ0), замечая, что

2% ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Dn (х) | < 2/х при 0 < х < я, получаем
Я т— 1 оо
1Дт
n=l
Полагая
и рассуждая, как на стр. 217, получаем, что последний интеграл
неограничен при т —> сю.
Для любой последовательности положительных чисел гп—>0
нетрудно построить, скажем геометрически, такую выпуклую
последовательность {an}, что ап>&п и an —>0. Таким образом,
коэффициенты Фурье могут стремиться к нулю как угодно мед-
медленно (см. также пример 1 на стр. 120).
Если ап и Ъп — коэффициенты Фурье интегрируемой функции,
то ряд 2*дМ сходится (гл. II, § 8). Пример ряда Фурье
iff <••">
п=2
показывает, что ряд ^ап/п может расходиться.
'Пусть sn и <тд — соответственно частичные суммы и (С, ^-сред-
^-средние ряда A.1). Тогда в предположениях теоремы A.5), Ш [f — ап] —> 0
[ср. гл. IV, E.5)].
A.12) Теорема. В предположениях теоремы A.5) 9ft[/ — sn]
стремится к нулю тогда и только тогда, когда ал = о{Aпп)}.
В самом деле, вычитая A.7) из A.6), находим, что величина
| / (х) — sn (x) | заключена между
ап | Dn (х) | ± { || (v + 1) №avKv (x) -Ь Aan^Kn-i (x)n).
v=n—1
Если мы проинтегрируем это неравенство по ( — я, я) (члены
в фигурных скобках неотрицательны), то получим
где Ln —константы Лебега (гл. II, § 12). Так как Ln имеют по-
порядок, в точности равный Inn, то теорема A.12) доказана.
Если anlnn—>oo, например, если ап = (In n)~1/2 при п> 1, то
9К[/ — sn]—> °° и> таким образом, 2Jl[sn]~>oo. Ряд A.11), играю-
играющий важную роль в ряде вопросов, представляет собой предель-
предельный случай, поскольку здесь SUfZ — s^] ограничены и даже стре-
стремятся к пределу, но отличному от нуля. (Sft[sn] также стремятся
к конечному пределу.)

1. РЯДЫ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, МОНОТОННО СТРЕМЯЩИМИСЯ К НУЛЮ 297
Теперь мы переходим к ряду 2avSinvxc а!>а2> ...—>0.
Обозначим его частичные суммы через tn(x). Применяя преобра-
преобразование Абеля, получаем
tn (*) = 2 Dv (x) Aav + anDn (x) -> 2 Dv (x) Aav =g(x) A.13)
v=i v=l
при п —> оо. Если мы заменим Dv на D?, то получим функцию
g* (x), 0<x<jt, отличающуюся от g(x) на непрерывную функ-
функцию -к ^j A^vSinvx. Ряд, определяющий g*, имеет неотрицатель-
ные члены, и так как интеграл от Dl(x) по @, л) имеет порядок,
в точности равный In n [гл. II, A2.3)], то мы можем заключить,
что g*, а следовательно, и g интегрируемы на @, тс) тогда
и только тогда, когда 2^avlnv сходится. Пусть этот ряд схо-
сходится. Замечая, что
оо
ап In n = In n 2 A#v < 2 A^v In v —> О,
V=n V=?«.
получаем, что ЗЛ [^ — ^п] —>0. В частности, ^]avsinvx есть S [g].
Таким образом, справедливо следующее утверждение:
A.14) Теорема. Пусть a1>a2> • • •—>0- Тогда сумма g(x)
ряда 2 av sin va: интегрируема в том и только в том случае,
когда 2 Д #v In v < оо. ??уш зто условие выполнено, то 2 #v sin va:
есть S[g] и 3R[g — tn]->0.
В предположениях теоремы A.14) функция g* неотрицательна
на @, я), так что g(x) ограничена снизу на этом интервале.
Если последовательность a4, a2, ... к тому же еще и выпукла,
то g(x) положительна на @, п), за исключением случая, когда
ai = a2= ... = 0. Для доказательства этого утверждения применим
преобразование Абеля к ряду ^DvAav и воспользуемся тем, что
/Cv>0 на @, п) [гл. III, C.18)].
A.15) Теорема. Если предполагать лишь выполнение следую-
следующих условий: av —> 0 и Aav > 0, то ряд 2 av sin vx является обоб-
обобщенным синус-рядом Фурье (гл. II, § 4).
Действительно, простой подсчет показывает, что в этом случае
оо
2g (x) sin х = #! + #2 cos х + 2 (av+i — flv-i) cos vx.
v=2
Ряд справа равномерно сходится и, таким образом, представляет
собой S[2gsin;c]. Записывая формулы Фурье для коэффициентов

208 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Щ> а>2, #з— #i> • •• и складывая, получаем
к
av=—\ g (х) sin vx dx (v = l, 2, ...)•
Здесь подинтегральная функция непрерывна, так как
непрерывна.
Пусть hn — частичные суммы гармонического ряда 1 + у -f-
4- -q-+ • • • > так что hn ^- In п. Пусть ап —> 0, Аап > 0. Из формулы
о
п п—1
S^-=S hvAav + anhn A.16)
v=l v=l
следует, что если 2 v~lav конечна, то конечна и 2^avlnv.
Обратно, из конечности последней суммы вытекает, что anlnn<
оо
<2 Aavlnv =0A), и значит, в силу A.16), 2 v~lav конечна.
Таким образом, если ^>а2> ...—>0, то условия ^iv~1av<oo
и 2^avlnv<oo эквивалентны. Следовательно, в теореме A.14)
сходимость ряда ^]кап\пп можно заменить на сходимость ряда
Как мы уже знаем, последний ряд всегда сходится, если
ряд A.2) является рядом Фурье (независимо от поведения коэф-
коэффициентов ап). Отсюда, в частности, следует, что ряд
n=2
сопряженный к ряду Фурье A.11), не является рядом Фурье.
2. Порядок роста функций, представляемых рядами
с монотонными коэффициентами
Прежде всего мы дадим еще одно доказательство формул
оо
п=1
оо
1
2 n-^sinnx ^^-^(l — p)cos-g-^p
n=l
B.1)
установленных в гл. II, § 13.

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ 299
В силу формулы A.9) гл. III, имеем
5 А^гпе1п* = A-ге1х)*~1 @<г<1). B.2)
п=0
Так как Ап^ положительны и убывают к нулю, то ряд 2 Ап^егпх
сходится при х Ф 0; устремляя г к 1, выводим из B.2), что
п=0
B.3)
Пользуясь формулой A.18) гл. III (с а= —р) и соотношением
2 sin -kXc^lx и отделяя в B.3) действительные и мнимые части,
получаем формулы B.1).
Замечание. Наши рассуждения показывают, что вторая формула
B.1) имеет место при 0 < Р < 2.
Пользуясь формулой B.1), мы установим некоторые более
общие формулы. Часто при исследовании ряда A.1) удобно счи-
считать, что ап = а(п), где функция а (и) определена для всех дей-
действительных а>0. Обычно ап и задается как а(п).
Положительная функция Ь(и), определенная для и > и0, назы-
называется слабо колеблющейся, если при любом б > 0 функция
Ь(и)иь при достаточно больших и возрастает, а Ь(и)и~6 убы-
убывает. Если b (и) — слабо колеблющаяся функция, то для любого
фиксированного k>0
b(ku)~b(u) при и—>оо, B.4)
причем это соотношение выполняется даже равномерно на каждом
отрезке вида г)<k< 1/rj, 0 < rj < 1.
Действительно, если, например, 1<&< 1/г), то для больших
и имеем
b {ku)l(kuf < b (и)/иь , b (ku) < k6b (и) < ггб6 (и).
Аналогично b (ku)>v\6b(u). Устремляя б к нулю, получаем B.4)
при 1 <k< 1/г). Случай г)<k< 1 рассматривается аналогично.
Если р4, р2> • • • —действительные числа, то каждая из функ-
функций
lnPix, lnlnP**, ..., B.5)
а также произведение любого конечного числа этих функций,
является слабо колеблющейся функцией.

300 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
B.6) Теорема. Пусть ап = п-$Ьп, где 0<р<1, Ьп=Ь(п)>
а Ь(и)—слабо колеблющаяся функция. Пусть
оо оо
h(x)= 2 n-tbn cos nx, gp(x) = 2 n~^bn sin nx. B.7)
n=l n=l
Тогда при х-
\ ' ! B.8)
gp(x)^xP-ifc(x-1)r(l-p)cos^^p. j
Достаточно доказать формулу для gp; доказательство для f$.
совершенно аналогично. Положим
Заметим, что для ягах Л1, W > 0,
2 п-Р<СрУИ1"р, | 2 /r-frsinrtx^CATV1 @<х<я),
B.9)
где С — абсолютная постоянная, а Ср зависит только от р. Пер-
Первое1 неравенство следует из того, что
п<М
а второе — из теоремы B.2) гл. I.
Пусть 0<co<Q< + oo. Тогда
2n-Psin/ix= S + 2 + 2 =S1 + 5a + S8. B.10)
п < со/х (о/дс ^ п ^ Q/л п > Q/ж
Ряд 2 Ьпп~& sin пх соответственно разбивается в сумму 7\ + Тг + 7Y
В силу B.9), имеем
| Si |< Сэ©1-^-1, 1531< CQ-^P-1. B.11)
Зафиксируем е > 0. В силу B.1), имеем
хР-1 B.12)
при условии, что (о и 1/Q достаточно малы (но фиксированы),
а х достаточно близко к 0.
Зафиксируем б > 0 так, чтобы выполнялись неравенства б < р
и р + б< 1. Так как u6b(u) при больших и монотонно стремится
к +оо, то ubb(u)>v6b(v) для больших и и всех я<а. Следова-

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ 301
тельно, если х мало, то
2 () () 2
п < со/х п < со/х
Ь (со/*) (со/х)б
Так как fc(o>/x)c^ b(l/x), то последнее произведение меньше,
чем &х&-{ЬA/х), при условии, что со достаточно мало, а я близко
к нулю.
Используя формулу B.11) с заменой р на Р — б, а также
формулу B.2) гл. I, получаем
| Т31 = | S М-бп-е+* sin nx | < 2fc (Q/x) (п/х)'6 С
и, таким образом,
для достаточно большого Йих, близких к нулю.
С другой стороны,
Q,x Q/x
2 S
(J
о/ас (o
Здесь ^^^(l/x) S2 и, таким образом, в силу B.12), Т'2 заклю-
заключено между (В ± 8)xP~1fc(l/x). Наконец, в силу B.4), | У^ I не
превосходит
Q/x
max |6(n) —6(l/x)|2
@/oc
Подытоживая, видим, что функция g^ = Ti + T3 + T't + Tl при до-
достаточно малом х заключена между
и, таким образом,
)B^ib(l/) при x
чем завершается доказательство теоремы B.6).
Замечание. Вторая формула B.8) имеет место при 0 < р < 2.
В частности,
gi(x) = ^n-ibnsinnx(^^nb(l/x) (x-» + 0). B.13)
В самом деле, укажем необходимые изменения в предыдущем
доказательстве. Легко проверяется, что второе неравенство B.9)

302 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
имеет место при любых E > 0; следовательно, неравенство B.11)
для S3 и оценка для Т3 имеют место при E > 0. С другой сто-
стороны, если [J < 2, то
П < (О/Х П < (й/Х
и вместо предыдущего неравенства для Tt получаем | Tt | <
<Сз+б^2~^~1^ (®/х). Пользуясь тем, что второе равенство B.1)
имеет место при 0 < E < 2, видим, что оценки для S2 и Т2 сох-
сохраняются без изменения, и доказательство завершается, как
и выше.
Если b (&) — слабо колеблющаяся функция, то b (и)/и непре-
непременно убывает и, следовательно, ряд ^1n"ibn и интеграл
оо
\u~ib(u)du одновременно сходятся или расходятся. Положим
и оо ^
В(и)= [ t~^b(t)dt, R{u)=[t~ib(t)dt,
1 ^ \ B.14)
В*(и)=У}п-1Ь(п), R*(u) =
Тогда при и —> оо имеем
(I) b(u) = o{B(u)}, В(и)~В*(и), если В (и)*
(II) 6 {и) = о {R(u)}, R(u)~R*(u), если В (и) =^0A).
Действительно, пусть &>1. Тогда для больших i/ справедлива
неравенство
и и
и/к и/к
Полагая k большим, получаем, что b (и) = о{В(и)} независимо
от того, ограничена В (и) или нет. Аналогично, b(u) = o{R (и)}.
Так как разность В (и) — В* (и) стремится к конечному пределу,
то В(и)~В*(и), если обе эти функции неограничены. Пусть
теперь и—>оо, и пусть N — целое число, удовлетворяющее нера-
неравенству N <u^N + 1. Тогда
R(N+l)<R*(N+l) = R*(u)<R{N), R(N+l)<R(u)<R(N).
Так как R(N+l)~R(N) [b (и) — слабо колеблющаяся функция] г
то отсюда следует вторая формула (II).

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ 303-
B.15) Теорема. Если ряд ^ — расходится, то
h (*) = 2 пЧп cos пх ~ В A /л'), ^
если же этот ряд сходится, то \ (х~~> + 0). B.16)
fl@)-f1(x)^R(l/x) J
Для доказательства первой формулы B.16) запишем
Д*A/*)-М*)= S M'Ml-cosn^)-
l/
— 2 ^л^ cosnx =
n>i/x
n>i/x
Тогда (записывая Ьпп~г в виде Ьпп-6п-{+6 и рассуждая так жег
как при оценке Т3 в теореме B.6), но с Q=l) получаем
u2 = O{b(l/x)} = o{B(l/x)} = o{B*(l/x)}^
Так как ЬпП'1^—cosnx) <-^-nbnx^, то несложное рассуждение
показывает, что
Следовательно,
Если ft @) = 2 6Л/л < оо, то
— 2 M"
n^i/x
Здесь Fj и F2 снова имеют порядок O{b(l/x)} = o{R* A/х)}ь
так что
Перейдем теперь к предельному случаю E = 0 теоремы B.6).
B.17) Теорема. Если Ь(и) монотонно убывает к нулю и
если — ubf (и) — слабо колеблющаяся функция, то при х—>-|-0
Ш~-±пх-Ч'(Цх), | B18)
go(x)c^x-1b(l/x). J
Предположения теоремы будут выполнены, если, например,
Ь(и) при больших и совпадает с одной из функций B.5) или

304 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
с произведением конечного числа этих функций. В частности,
B.19)
2 sin nx
n=2 J
Так как функция л: In A/л:) не интегрируема, то вторая фор-
формула показывает, что ряд 2 (sin яя)/In/г не является рядом Фурье,
что, впрочем, нам уже известно (см. стр. 298).
Начнем с /0. Положим
с (и) = и [Ь (и) — Ъ (и + 1)], сп = с (п) = пАЬп.
Имеем с(и)= — иЪг (u + Q), О<0<1, и, значит, с (и) ~ — ub' (и),
так как — ub'(и)—слабо колеблющаяся функция. Ясно, что
оо оо
2 bncosnx = 2 ЬЬп {Dn (х) — \\ =
1 1 L J
оо
4 "' ~~ B.20)
1
Если числа сп удовлетворяют условиям, наложенным на Ьп
в доказательстве теоремы B.15), то из этой теоремы и формулы
B.20) получаем
так как х~гс (х'1) —> оо.
Анализируя доказательство теоремы B.15), видим, что доста-
достаточно (окончательно) выполнения следующих условий:
(I) сп/п = АЬп убывают;
(II) спп6 = п1+6АЬп возрастают при некотором 0<б< 1;
(HI) c{ku)c^c{u) равномерно в каждом интервале т]<&<1/т].
Так как c{u)c^L~ub' (и) и так как — ub' (и) — слабо колеблю-
колеблющаяся функция, то условие (III) выполняется. Так как — ub' {и) —
слабо колеблющаяся функция, то — Ь'(и) убывает. Поэтому Ь{и)
выпукла и сп/п = АЬп убывают [условие A)]. Наконец, .
b(n)—b(n+l) __ b' (n4-6)
в силу теоремы Коши о среднем и того, что функция — и{+6Ь' (и)
возрастает. Так как последняя дробь меньше, чем {(п+ \)/п}{+6,

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ 305
то мы видим, что п{+6АЬп возрастает при замене п на п-\-\,
т. е. условие (II) выполнено.
Доказательство соотношения для gQ аналогично. Так как
то мы воспользуемся второй формулой B.16), где Ьп все заменены
на Cm и получим
оо оо
^ {b(u)-b{u+l))du =
x-i
Следовательно, g0 (x) ~ x~lb (x'1).
Теоремы этого пункта допускают аналоги, в которых функция
/ и ее коэффициенты меняются ролями. Именно, мы предполагаем,
что функция /(%), 0<л;<я, достаточно хорошо себя ведет
в каждом интервале (е, я), е > 0, и стремится к оо определен-
определенным образом при х—> + 0, и интересуемся поведением синус- и
косинус-коэффициентов ап, Ьп функции /. Два следующих резуль-
результата являются аналогами теорем B.1) и B.6).
B.22) Теорема. Пусть О < [J < 1. Для коэффициентов
функции
имеют место соотношения
B.23)
-g- я6п ~ Ле-1Г A - р) cos у яр. '
B.24) Теорема. Пусть 0<р<1, и пусть b(х) — функция,
имеющая ограниченное изменение на каждом интервале (е, я)
и слабо колеблющаяся при х—^ + 0. Тогда для коэффициентов
функции х~$Ь(х), 0<л;<я, имеют место соотношения
B.25)
6д^пР-1&AМ)ГA-р)соз|яр. j
20 А. Зигмунд, т. I

306
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Для ап в B.22) имеем
о о
Аналогичная формула имеет место для Ьп, и интегралы, стоящие
справа, стремятся при п—>оо соответственно к действительной
и мнимой частям интеграла
[см. гл. II, A3.10)]. Отсюда следует теорема B.23).
Мы опускаем детали доказательства теоремы B.24), мало чем
отличающегося от доказательства теоремы B.6) [интервал @, я)
разбивается на @, (о/п), (со/л, Q/n) и (Q/n, я)]. Предположения
относительно Ъ (х) означают, что для каждого б > 0 функции
хьЬ (х) и х~6Ь (х) соответственно возрастают и убывают в некото-
некоторой правой окрестности точки х = 0. Тот факт, что Ь(х) имеет
ограниченное изменение на каждом интервале (е, я), гарантирует,
что вклад, вносимый в величину ап и Ьп интегралами, распро-
распространенными на (е, я), имеет порядок ОA/п) и, таким образом,
мал по сравнению с правой частью формулы B.25).
Следует добавить, что так как периодическая нечетная функ-
функция имеет обычно разрывы в точках ± я, то ее коэффициенты
Фурье не могут быстро стремиться к нулю; таким образом, часто
удается получить простые формулы не для коэффициентов Фурье,
а лишь для преобразования Фурье, т. е. для интегралов от fcosmx
и от fs'mmx, распространенных на полуось 0<л;< оо (при этом
f вообще непериодична).
Для некоторых проблем бывает важно не только оценить
сумму ряда, но и найти общую мажоранту для его частичных
сумм (или остатков). Для рядов, рассматриваемых в этом пара-
параграфе, такие оценки неявно содержатся в вышеприведенных дока-
доказательствах. Здесь мы удовлетворимся следующими неравен-
неравенствами, в которых 0<fJ<l и 0<л;<я;
N
N
N
n=l
<ln(l/x) + C.
B.26)
B.27)
B.28)

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ
307
Рассмотрим, например, B.27). Если N<l/x, то стоящая здесь
сумма совпадает с суммой 54 в B.10), соответствующей некото-
некоторому со<1, и, таким образом, наше неравенство следует
из оценки B.10) для 54. Если N > 1/#, то сумма в B.27) отли-
оо
чается от 2 на сумму 53 из B.10), соответствующую некоторому
Q>1, так что B.27) следует из второй формулы B.8) и второго
неравенства B.11). Доказательство формулы B.26) аналогично.
Наконец, формула B.28) устанавливается комбинацией подобных
рассуждений с доказательством формулы B.16) (для Ьп=\).
Так как Dn(x) ограничены снизу на @, я) равномерно по пу
то в результате преобразования Абеля получаем, что при любом
а>0 частичные суммы ряда ^n-asmnx равномерно ограничены
снизу на @, я). Для ряда ^n-acosnx положение иное,
B.29) Теорема. Существует число а0, 0<а0<1, такое,
что для любого а>а0 частичные суммы Sn ряда ^]n-acosnx
равномерно ограничены снизу, а для любого а < а0 это утвержде-
утверждение неверно; а0 есть {единственный) корень уравнения
Применяя преобразование Абеля, обнаруживаем, что если sn
равномерно ограничены снизу при некотором а, то это обстоя-
обстоятельство имеет место и для всех больших значений а. Таким
образом, достаточно рассмотреть случай 0<а<1; кроме того,
мы можем предполагать, что 0<*<я.
Прежде всего сведем эту задачу к подобной задаче, относя-
относящейся к интегралам; покажем, что
<Са,
B.30)
где Са зависит только от а. Действительно,
VJ 2sin
J 2sinyjc
\ cos их du = cosvjc,
щ) X
20*

308 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
л
« V+2 „ . 1
v=l
и так как, в силу теоремы о среднем, здесь и-а — v-a = O(v-a-i)y
то первая сумма справа имеет порядок 0A) равномерно по п и х,
откуда следует B.30).
Таким образом, достаточно рассмотреть те значения а,
0 < а < 1, для которых интеграл
П
SCOS UX , „ .
о
ограничен снизу. Это выражение ограничено снизу тогда и только
тогда, когда последний интеграл, как функция от и, имеет
нертрицательный минимум на @, оо). Этот минимум достигается
3
при t> = —я и равен
з
cos и ,
du
Так как т@)<0, тA)=+°°» то достаточно доказать, что
т (а) возрастает вместе с а, 0 < а < 1.
Итак,
3 1
Я Я
' / \ f 1 1 COS U 1 . \ л 1 COS U
m(a)=i lndu>\ ]n
а так как u~acosu убывает на 0<1/<^я, то последний инте-
интеграл больше, чем
1 Iя Iя
cosl | j \n-^du- J lnarftt|>cosl {l—J Ida} > 0,
и l l
откуда следует утверждение теоремы.

2. ПОРЯДОК РОСТА ФУНКЦИЙ 309
Теорема B.24) может быть использована для получения асимптотических
выражений для коэффициентов некоторых рядов Тейлора.
B.31) Те оре м а. Пусть
оо
{^Г=2 Ап'**п' <2-32)
а, Р—действительные числа и а>2х).
Р ^ р а^-1,2, .... B.33)
Л^' Р — (—I)" A а | — 1)! P^Cln^P, если а= — 1, — 2, .... B.34)
Числа Л"' Р являются обобщением чисел Чезаро Л", а соотношение B.33)
обобщает формулу A.15) гл. III. Сначала докажем B.33). Для функции
F(z) = Fa,$(z) имеем ^_i, р=а^а, р + Р^а, р-1' поэтому
„ла-1, Р = ал«1Д 4-РЛ^Г1. B.35)
Отсюда вытекает, что если соотношение B 33) имеет место для некоторого а,
то оно справедливо и для а—1. Следовательно, если мы докажем B.33) для
значений —1 < а < 0, то тем самым будет доказана справедливость этой
формулы для всех отрицательных нецелых а. С другой стороны, предположим,
что B.33) имеет место при некотором а >—1. Так как 77а_|_1 р = A—z)/7^ p,
то [см. гл. III, A.7)]
п п
2 Л$Р 2
(+)
v=l v=2
c_|_l ' Г(а+2) v ' '
и, таким образом, B.33) имеет место для значения a-f-1. Отсюда следует,
что если мы докажем соотношение B.33) при —1<Ссх<.0, то оно будет
установлено для всех нецелых а.
Нам потребуется теорема B.24). Прежде всего заметим, что если
t, то, в предположениях теоремы B.24), имеем
\ х~Ч(х)
cos nxdx =
равномерно по г\ и г]'; это утверждение неявно содержится в доказательстве
теоремы.
г) Если а ^2, то In {a/(l—z)} не имеет нулей в круге |z|<l-
2) Нетрудно видеть, что если a >—1 и ф (и)—слабо колеблющаяся
функция, то
v=l

310
ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Отсюда следует, что если Х(х)—функция с ограниченным изменением на
[0, л], то, в предположениях теоремы B.24), коэффициенты Фурье функции
х~$Ъ (х) X (х) задаются формулами B.25), причем в правой части добавится
множитель А, (-[-О)» Достаточно доказать это утверждение для монотонной
функции X. При вычислении коэффициентов достаточно интегрировать по про-
произвольно малому интервалу @, е), так как интеграл по оставшейся части
-интервала @, я) имеет порядок О(\/п). Записывая X (х) = Х (-\-0)-\-{Х (х)—
—Х( + 0)}|и применяя к интегралу, содержащему X (х)—Л, (—f-О), вторую тео-
теорему о среднем и замечание из предыдущего параграфа, мы получаем наше
утверждение.
Теперь мы можем доказать формулу B.33) для —1<а<0. Так как
вблизи точки х=0 справедливо равенство F (reix) — O {\ x\~a~i \п^ (\/\ х\)}
равномерно по г, 0<г<1, то, следовательно, \F(reix)\ мажорируется на
@, я) некоторой интегрируемой функцией от х. Отсюда
Далее
ReF(eix) =
1
Bsin"T~;
a+i
In*
2 sin -y-
cos nx = S [Re
_L (я—
cos Ф, B.36)
где
Ф = -s- (я—x) (a+l)+p arctg
~2~ (л—*)
In -д- acosec -jr- jc
Так как множитель {...}2 в B.36) есть слабо колеблющаяся функция,
а функция cos Ф и -! х/( 2 sin —к-*> )\ имеют ограниченное изменение
и при х—>0 стремятся соответственно к cos — я(а+1)=—sin-^-na и 1,
то из предыдущего замечания и первой формулы B.25) выводим, что
А^ ~ — A sin -i- *a cos-^- яаГ (—а) па liAi,
Я Z Z
откуда следует B.33) в силу равенства T(z)T(\—z) = n/sinnz.
Таким образом, теорема доказана для всех нецелых а. Если мы теперь
докажем B.33) для а = 0, то мы тем самым докажем теорему и для а= 1, 2,...
и, в силу B.35), также и для а — —1, —2, .... Таким образом, остается
показать, что A^^(lnn)^.
Это равенство может быть получено из формулы B.33), в которой взято,
скажем, а
— # Действительно, из ^о,р =
i'P "a-0
вытекает, что
v=0
Пусть 6—малое положительное число, скажем 0 < 9< -д- , и пусть n' = [Qn).

3. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЯДОВ ФУРЬЕ — СТИЛЬТЬЕСА 311
Разобьем последнюю сумму на две суммы Рп и Qn, распространенные соот-
соответственно на v</i' и v>/z'. Заметив, что Av2 положительно, убывает
-1 -- —,Э
и i4v"<Cv 2 при v>0, а также, что все Лv 2' , начиная с некоторого
номера, положительны, мы пишем
1 'Х V
v=0 v=0
=An*n,{Al +0A)}, B.37)
1 ft
и находим, что \Рп\<^-^-е (\nn)pf если 0 достаточно мало (но фиксирова-
фиксировано), а п достаточно велико.
Так как Av 2* ^* Av2 (\nv)$, то
п _1. о A n _- _i
V=n'-fi V=n'-fi
Последняя сумма равна
п п' __1 _1 п' _1_ __1
/ \1 ^ V У \ А & Л & 1 ___ XI Л ci Л &
v=0 v=0 v=0
[см. гл. Ill, A.10) (I)], и, стало быть, на основании тех же соображений, что
и в B.37), мы видим, что эта сумма произвольно близка к 1, если 6 доста-
достаточно мало. Подытоживая, заключаем, что при достаточно больших п А^ =
=zPn-^-Qn заключено в пределах A ^ е) ln^/г, так что Л^ « \rfin. Тем са-
самым доказательство теоремы B.31) завершено.
Аналогичные рассуждения можно применить (хотя детали доказательства
несколько более громоздки) для получения асимптотических значений коэф-
коэффициентов Тейлора для функции
где а и Pj действительны, cij положительны и настолько велики, что F ре-
регулярна в круге |г|<1.
3. Об одном классе рядов Фурье — Стильтьеса
Начнем с построения некоторого класса совершенных нигде
не плотных множеств. Пусть ОА — отрезок длины /, концы ко-
которого имеют абсциссы х и 1-\-х. Пусть мы имеем d чисел а A),
аB), ..., a(d), таких, что

312 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Рассмотрим d отрезков вида [la(j)-\-x, la(j)-\-li\ + x], где т\ —
полджительное число, настолько малое, что эти отрезки попарно
не пересекаются и все содержатся в ОА. Назовем эти отрезки
«белыми». Смежные интервалы1) назовем «черными», и выбросим
их из отрезка О А, Полученное в результате разбиение отрезка
ОА назовем разбиением типа
[d; a(l), ..., a(d); ц].
Отправляясь от отрезка [0, 2я], выполним разбиение типа
[ds, 0^A), ..., а^Щ; ту
и выбросим черные интервалы. На каждом из оставшихся белых
отрезков мы выполним разбиение типа [d2\ «2A)» • • . > <*2 №); т]2]
и выбросим черные интервалы и т. д. После р операций мы по-
получим d^.-.dp белых интервалов, каждый из которых имеет
длину, равную 2ят]1т]2.. -ЦР- При р —> оо мы получаем замкнутое
множество Р меры
2яНт dt ...-dpTji• • -ЦР-
Этот предел существует, так как для каждого р г|р < Шр.
В дальнейшем у нас будет dp>2 для каждого р. Множество Р
будет тогда совершенным и нигде не плотным.
, Нетрудно проверить по индукции, что абсциссы левых концов
белых отрезков ранга р, т. е. полученных после р-го шага в по-
построении, задаются формулой
х = 2я [aL (вО+тиог (9а) + ^г^з (9з)+ . .. +Л1Л2.. -i\P-iaP (9р)Ь (ЗЛ)
где Qk принимают значения 1, 2, ..., dk< Абсциссы точек, при-
принадлежащих множеству Р, задаются такой же суммой, но про-
продолженной до бесконечности.
Множество Р имеет в некотором смысле однородную струк-
структуру. Рассмотрим окрестность произвольной точки из Р. Эта
окрестность содержит белый отрезок / некоторого ранга. Если
обозначить через /i=/, /2, ..., In все белые отрезки ранга р,
то множества ДР, /2Р, ..., /^Рконгруентны, в сумме составляют
Р и расположены на отрезках, не имеющих общих точек.
Построим теперь некоторую неубывающую функцию F (х),
постоянную на смежных интервалах к Р и возрастающую в каж-
каждой точке Р. Пусть для каждого k существуют dk положитель-
положительных чисел: Я&A), ЯАB), ..., Xk (dh), сумма которых равна 1.
Обозначим через fi& наибольшее из чисел ^(/). Пусть Fp(x) —
непрерывная неубывающая функция, определенная при помощи
следующих условий:
Два из них могут оказаться полуинтервалами. — Прим. ред.

3. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЯДОВ ФУРЬЕ — СТИЛЬТЬЕСА 313
(a) Fp@)=0,. FpBn) = l;
(b) Fp (x) линейно возрастает на величину Я4 (94) Я2 (92) ...
... Кр (Эр) на каждом из белых интервалов, левый конец которого
задан формулой C.1);
(c) FT,(x) постоянна на каждом черном интервале р-го шага
разбиения.
Рассматривая |FP+1— Fp|, сразу же обнаруживаем, что если ряд
сходится, а это мы всегда будем предполагать, то Fp равномер-
равномерно сходятся при р —> оо к функции F(x), обладающей сформу-
сформулированными выше свойствами и удовлетворяющей условиям
F@) = 0, FBrt) = l.
В частном случае, когда Xk(j)=l/dh, полученную функцию
будем называть функцией Лебега, построенной на множестве.
Вычислим коэффициент Фурье — Стильтьеса
2я
Пользуясь формулой C.1) для абсцисс левых концов белых
отрезков, находим, что сп равно пределу при р—^оэ суммы
) 2 Xt (90 Я2 (92).. Лр (ер) ехр { - 2шп [а, (94) + у\а2 (92) +
распространенной на всевозможные комбинации из 9А, где
принимают значения 1, 2, ..., dh. Положив
Qk (Ф) = Ml) ^<1)Ф + Я» B) eia*B)<p + ... + h (dh)
мы можем записать предыдущую сумму в виде
V
Bл)-1 Д Q
k
i
(где Yji ... щ-i = 1 при & = 1). Следовательно, переходя к пределу,.
получаем
оо
Cn=2S~ П Q* Bjtni1i • • • %-i)- C'2>
Рассмотрим теперь несколько примеров. .
A) Множества канторовского типа. Эти множества получа-
получаются в результате последовательных разбиений типа
[2; 0, \-lh; Ы,

314 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
где 0 < gfc </-о~ • Точки множества имеют вид
jc = 2rt [et A — Ei)
где Ер равно 0 или'1.
Полиномы Qh (ф), соответствующие функции Лебега, будут
равны
и, следовательно, коэффициентами Фурье — Стильтьеса функции
Лебега будут величины
с»
Сп =* 2S" П еХР i—njli ( ! — Ik) Si • • • 5ft.i> COS ЯД^ . . . gft.! A — ?ft) =
ЕСЛИ МЫ ПОЛОЖИМ Si • • • Sfc-i A — Sft) = rA» TO
1 p+i
Итак,
, cn.= (- 1 )n BЯ) И cos rtnrft. C.4)
l l
Еще более частный случай получится, если положить lk = l
(k = l, 2, ...) О < g < -у-. В этом случае множество называется
множеством канторовского типа с постоянным отношением раз-
биения, и
C.5)
Классический случай Кантора получается при ?=~; тогда
сп по-прежнему коэффициенты Фурье — Стильтьеса функции
Лебега.

3. ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЯДОВ ФУРЬЕ — СТИЛЬТЬЕСА 315
Предположим., что l = l/q, q = 3, 4, 5, ... . Для n=qm фор-
формула C.5) дает
оо
= - BЯ) Д cos n(q—l) q~h.
k=i
Последнее выражение не зависит от т и отлично от нуля. Таким
образом, мы получили следующий результат:
C.6) Теорема. Если %=l/q, q= 3, 4, ... , то коэффици-
коэффициенты Фурье — Стильтьеса функции Лебега F (х) не стремятся
к нулю.
Таким образом, периодическая функция F (х)— х12п имеет
ограниченное изменение и непрерывна, и тем не менее ее коэф-
коэффициенты Фурье не равны о{\/п) (ср. с гл. II, стр. 84).
B) Симметрические совершенные множества порядка d. Эти множества
получаются при целом d>l и при последовательных разбиениях типа
[d+i; о, (i-^)d-i, 2A~ЫП ..., 1—Ел; Ел],
где 0< gk < \l(d-\-\). Множество канторовского типа получается здесь при
d=\. Точки аи (/), У = 1, 2, ..., d-\-\> образуют арифметическую прогрессию,
первый член которой равен нулю, а последний 1—g^. Точки множества
определяются формулой
где 8р принимает значения 0, 1, ..., d. Полагая у^ = (\—^)/d, мы можем
записать полином, соответствующий функции Лебега, в виде
Следовательно,
2яс -r-n«T7 sin {(d+U "«d-^i • ¦ ¦ 6a-i (l—
k=i
Наше множество симметрично и совершенно; пусть d = 2g четно, построим
функцию так, что при каждом k число %ъ, (/) равно коэффициенту X (у) при
г'* в разложении

316 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Тогда требование Л, A) + Л, B)-f- -\-X B^+1) = 1 выполнено; и при Yfc =
= A—Eft)/2g получаем
2ясп=(—1)"TT
C) Рассмотрим симметричное совершенное множество порядка <2; пусть
%hU) Для всех & равны коэффициентам X(j) при z?-1 в разложении 2~~d ^
Тогда
Qfc (ф)= [у A + ^Ф) j d (v*=(l -Ik) d
2ясд = (-1)» f]
ft=i
Рассмотрим теперь модуль непрерывности функции F, огра-
ограничиваясь случаем, когда dp=d, ч)р=у) и fxft = max[A,A(l), Я^B), ...
..., Xk(d)]=\L все постоянны. Покажем, что тогда F удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица порядка | In jul |/| In r] |.
'Пусть х и х' > х— две точки из Р. Если jc и л:' —концы
одного и того же интервала, смежного к Р, то
F(x') — F(x)=0.
В противном случае обозначим через р номер того шага разбие-
разбиения, в результате которого впервые в интервале (х, х') окажется
не менее двух черных интервалов. Тогда найдется по крайней
мере один белый отрезок ранга р, содержащийся в (я, х'), и, сле-
следовательно,
С другой стороны, при разбиении порядка р— 1 в (х, х') сущест-
существует не более одного черного интервала ф, (У). Отсюда следует,
что
Таким образом,
где А не зависит от х.
Распространение этого результата на случай, когда х или х'
или обе эти точки находятся вне Р, получается без труда; нужно

4. РЯД Дп-Vrfl eicn ln n einx 317
лишь применить-предыдущее неравенство к интервалу (х{, х[),
где х1 и х[ — крайние точки множества Р в интервале (х, х').
Пример. Функция Лебега, построенная на симметричном со-
совершенном множестве порядка d с постоянным отношением раз-
разбиения ?, принадлежит к классу Ла, где а = 1п (d + 1)/| Ing |.
4. Ряд 2# 2 aeicnlnneinx
Степенной ряд
оо
V егсп\ъп1 ^ D.1)
n=i n2+Ct
впервые изученный Харди и Литтлвудом, обладает многими инте-
интересными свойствами. Мы будем предполагать, что а — действи-
действительно, а с — положительно.
D.2) Теорема. Если 0< а < 1, то ряд D.1) сходится рав-
равномерно на отрезке 0<л:<2я к функции фа(л:)?Ла.
Эта теорема является следствием некоторых лемм, принадле-
принадлежащих ван дер Корпуту и имеющих значительный самостоятельный
интерес.
Пусть заданы действительная функция / (и) и числа а < Ь\
положим
ъ
I(F;a,b)=^F(u)du, S(F;a,b)= ^ F (n),
D (F; a,b) = I (F; a, b) — S(F; а, Ь).
D.3) Лемма. (I) Если f (и), а<^<6, имеет монотонную про-
производную f (и) и если существует такое положительное число X,
что ff>X или f = —Я на [а, 6], то \ I (F; а, 6)| < 1Д.
(II) ?а/ш f'(w)>Q>0 или /"(w)<_q<0, mo |/(F;a, 6)|<
41
ь
(I) Так как / (F; a, b)==Bm)'1 \ -^y , то, применяя вторую
a
теорему о среднем к действительной и мнимой части последнего
интеграла, получаем |/|<2/лЯ< 1Д.
(II) Мы можем предположить, что /">Q. (В противном случае
надо заменить /на ¦—/ и / на 7.) Тогда /' возрастает. Предпо-
Предположим сначала, что /' имеет постоянный знак на [а, 6], скажем

318 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
/'>0. Если а<у<Ь, то f>{y — a)Q на [у, Ь]. Поэтому
\I (F; a, b)\<\I (F; a, y)\ + \I (F; у, b)\<(y-a)
и, выбирая у так> чтобы последняя сумма приняла минимальное
значение, получаем | / (F\ a, &)|<2q-1/>. В общем случае [а, Ь]
разбивается на два отрезка, на каждом из которых /' имеет
постоянный знак, и утверждение (II) получается путем сложения
неравенств для этих отрезков.
D.4) Лемма. Если f (и) монотонна и \f'\<у на [«» Ь], то
\D(F;a,b)\<A,
где А —абсолютная постоянная.
Предположим сначала, что а я Ь — нецелые числа. Тогда
ъ
сумма S имеет вид в \ F (и) dty(u), где г|) (и) — произвольная функ-
а
ция, постоянная на интервалах п < и < п-{-1 и имеющая скачки,
равные 1 в точках п. Если мы положим г|) (и) = [и] -\- -^ при и не-
нецелом (\и] обозначает целую часть и) и ty(n) = n, то
ъ
(u)dx(u), где %(и)=и-[и]~ (и Ф 0, ± 1, ...).
Функция X имеет период 1. Интегрируя по частям, находим,
что
Частичные суммы ряда S [%] = — 2 (sm 2тспи)/лп равномерна
ограничены. Умножая ь[Х] на F' и интегрируя по (а, 6), получаем,
что D — R равно сумме выражений
/ С /'[») ^2яг{/(u)+nu>_ f Пц) dg2ni{/(u)-T.u}| D.5)
а а
для /г = 1, 2, .... Дроби /'/(/' in) монотонны. Вторая теорема
о среднем показывает, что D.5) по модулю не превосходит
2/лп(п — 1/2), и таким образом ряд с общим членом D.5) сходится
абсолютно и равномерно. Это завершает доказательство в случае,
когда а и b нецелые. Если а, или 6, или оба эти числа целые,
то достаточно заметить, что D (F\ a, b) отличается от lim D(F;
а-\-&; b — е) не более чем на 1.

4. РЯД
einx 319
Замечание. Условие | /' | < х/2 можно заменить условием | /' | <
<1 — е, где е > 0, одновременно заменяя А на Л8.
D.6) Лемма. Если f"(u)>Q>0 или f"(u)<—Q<0, то
;a, b)\<[\f' (Ь)-Г (a)
Мы можем предполагать, что /">Q. Пусть ар — точка (или
одна из них), где f {о.р)=р — 112-, и пусть
при р = 0, ±1, ±2, .... Тогда |/'(и) —р|<х/2 на (ap, ap+1).
Пусть аг, аг+1, ..., аг+8 —все точки а, принадлежащие отрез-
отрезку a<r/<6, если таковые существуют. Из D.3) и D.4) следует,
что
5 (F; ар, ар+1) = S (Fp; ap, ap+1) == / (Fp; ap, ap+1) — D (Fp; ap, ap+1)
не превосходит по модулю 4р-1/* + А Такое же утверждение
имеет место для S(F;a, аТ) и S (F; ar+s, b). Так как S(F\a,b)
является суммой таких выражений, образованных для интервалов
(а, аг), (аг, аг+1), ..., (аг+в, &), и число этих интервалов равно
s-j-2 =f (ar+s) — /' (ar) + 2, то мы и получаем утверждение леммы.
Для доказательства теоремы D.2) нам необходим следующий
результат.
D.7) Теорема. Частичные суммы sN(x) ряда 2 eicnlnnelnx
имеют порядок O(N1/2) равномерно относительно х.
Функция / (и) = Bл)'1 (си \nu-\-их) имеет возрастающую про-
производную. Если v> 0 —целое число и a = 2v, 6 = 2V+1, то в силу
леммы D.6) \S(F\ a, b)\ < С 2VaV, где С зависит только от с-
Этот же факт имеет место и в случае, когда 2v=a<6<2v •
Если 2n<N<2n+1, то
|s*(*)|<l + |S0F; I, 2)| + | S (F; 2, 4)|+... ~b|S(F; 2", Л/)|<
< 1 + С A + 21/2 + ... + 21/2П) < Ct21/%n < С^172,
где Ci зависит только от с, и D.7) установлено.
Возвратимся теперь к теореме D.2). В силу преобразования
Абеля N-я частичная сумма ряда D.1) может быть записана
в виде
ЛГ-1
2 sv (x) Av-V2-a + Sn (х) м-1'*'*. D.8)
v=l
Так как Av-^-a = о (v~3/2-«), то из D.8) и из оценки sv(x) =
= O(vx/2) делаем вывод, что частичные суммы ряда D.1)

320 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(I) равномерно сходятся при а > 0;
(II) равномерно имеют порядок 0(\nN) при а = 0;
(III) равномерно имеют порядок O(N~a) при а < 0.
Пусть 0<а< 1. Устремляя, N к оо в выражении D.8), по-
получаем
оо
Фа (X + К) - фа {х) = 2 {Sv (x + h)- Sv (X)} Аv-Vi-а =
V=l
N оо
= 2+ 2 =
1 +N+1
Пусть 0 < A < 1, N = [l/h]. Члены суммы Q имеют порядок
О A/) Av-x/2-a = o (v-i-а); следовательно,
С другой стороны, так как s'v (x) с точностью до постоянного
множителя равна частичной сумме ряда D.1) при а = —3/2, то
Sv(x) =O(v3/2) в силу приведенного выше утверждения (III).
Поэтому, применяя теорему о среднем значении к действительной
и мнимой частям разности sv(x-\-h)—sv(x), получаем
N N
\Р\< 2 O(Av8/«)Av-1/i-a = o(AJv-e = O(AiV1"a)=O(Aa).
v=l 1
Так как Р и Q имеют порядок О(Аа), то такой же порядок имеет
и разность ФсЛя + А) — <pa(x), т. е. (pagAa.
Теорема D.2) теряет силу при а=0. Можно показать, что
в этом случае ряд D.1) „нигде не суммируется методом А и, сле-
следовательно, не является рядом Фурье. (Другое интересное след-
следствие состоит в том, что функция
2
регулярная при | г | < 1, не может быть аналитически продолжена
ни через какую дугу окружности |г| = 1 ни для какого а.)
Однако имеет место следующая теорема.
D.9) Теорема. Если Р > 1 и с> 0, то ряд
оо
~-, picn In и
2-^ ?ешх D.10)
равномерно сходится при 0<я<2я.

5. РЯД Sv-P е'У* g*v* 321
Для доказательства заменим в D.8) Av-Va-a Ha Av-1/2ln-Pv =
= O(v-3/2ln-P v), л/~1/2~а на ЛГ^Чп'РДО и заметим, что ряд,
члены которого имеют порядок O(v-4n"Pv), сходится.
D.11) Теорема. Существует такая непрерывная функция
f(x), что ряд 2 Aап|2~8+| Ьп\2~е), где ап, Ьп —коэффициенты
Фурье функции /, расходится при любом е > 0.
Действительно, за / (х) можно взять действительную или мни-
мнимую части функции D.10), где р>1; полагая ^ = (ап + ^пI/2,
имеем Qn = n-l/*\n-& n, 2 Qn~e расходится, а это эквивалентно
расходимости 2 Aатг|2~8 + | Ьп |2"8).
5. Ряд 2 v-te
Займемся исследованием ряда
2 V-Pe*v«giv*# E.1)
v=l
Здесь раз и навсегда условимся, что 0<а<1, —я<л:<л;.
E.2) Теорема. (I) Если Р > 1—1/2а(>1/2), то ряЗ E.1)
равномерно сходится к непрерывной функции i|)a,pM-
(II) ?Ъш, /срожв того, V2a + P<2, то г|)а, р (х) gAi/ia+p-i.
При фиксированном jc и«>0 функция /(м) = Bл) ¦(«/<*
имеет убывающую производную
Г(м) = Bя)-1(то«-4+х). E.3)
Следовательно, если п0 — положительное целое число, то, в силу
леммы D.3) (II), имеем
e2nif (и) du
<4 BяI/2{а A -а)}~1/2/х1-1/»» =Ла/1*-1/аа (п>п0).
E.4)
Так как f'(u)—>*/2я при и->со, то |Г(м)|<8/4 при w>n0
и достаточно большом д0- В силу леммы D.4) и замечания, сле-
следующего за ней, \D(F; n0, /г)|<Л. Объединяя это с E.4), получаем
По
2
| 2H|2l + i 2
V=l i По+1
Обозначим через sn (x) сумму, стоящую слева. Тогда, пользуясь
преобразованием Абеля, получаем для Л/-й частичной суммы ряда
21 А. Зигмунд, т. I

322 Гл. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
E.1) следующее выражение:
N-i
2 sn(x)An-^ + sN(x)N^. E.5)
n=l
Здесь члены суммы имеют порядок О(п1-1^)-О(п~$-1)=0¦(л"л/«а-Р)
и sNN~^ = 0(Nl~1/2a~^). Отсюда следует, что при предположении (I)
сумма E.5) равномерно стремится к пределу при N —>оо.
Заметим также, что если 1/2« + р = 1, то E.5) равномерно
равна О (In А/), а если 1/2сс + Р<1, то она равномерно равна
^1_1/2а_^
Для доказательства (II) устремим в E.5) N к со. Получим
f-\- n) — ^pa, Э (¦*/ == 2j \sn \X ~\- fl) — Sn \X)) /\tl P =
N
где 0<А<1 и iV = [l/A]. Члены, входящие в Q, имеют порядок
" (д-Р-1) =О(л"/2(Х~Р). Следовательно1),
Применяя теорему о среднем к действительной и мнимой частям
sn и пользуясь только что сделанным замечанием (при р = — 1),
находим, что члены, вводящие в сумму Р, имеют порядок
O(hn2-1/^a) О (д-Р-1). Следовательно,
Р =0 (АЛ/2-1/2а-э) =0
Отсюда следует, что ^
E.6) Теорема. Пусть Р > 0. Тогда
(I) ряд 2 v~PeivVvx равномерно сходится на отрезке е<|л;|<
<я, е > 0, w, в частности, сходится для всякого хфО\
(II) если V2a + p<l, то сумма ^a, p (х) этого ряда имеет
порядок
0A) При Х-
х) Интервал (х, x-(-/i) может целиком не принадлежать (—я, Jt), но так
как он находится внутри (—2гс, 2л;), то легко видеть, что вывод сохраняется.

5, РЯД 2v~P efva g*v* 323
смотря по тому, какое из следующих условий будет выполнено:
;1, <х + р = 1иа + р>1, и имеет порядок
О (\ х |—A—1/га—Э)/(!— а)^ «п// у > О*
(III) если х/2« + Р = 1, то
э(х) = 0A) при х—> + 0, я|?а,р(х) = 0Aп|х|) яри х—>—0;
(IV) вела р > 1/2а, то ряд E.1) есть S [г^а, э]-
(I) При е< | х|<я и и>по = по{г) \ f (и) | имеет положитель-
положительную нижнюю грань. По лемме D.3) (I) левая часть в E.4) равно-
равномерно ограничена. Пользуясь леммой D.4) и примечанием к ней?
мы видим, что частичные суммы sn (x) ряда 2 ei(va+V3C> равномерно
ограничены при е<|л;|<я. Для завершения доказательства (I)
остается лишь применить преобразование Абеля.
(II) Буквой С мы будем здесь обозначать положительную
постоянную, не зависящую от х и п. Пусть сначала 0<л:<я.
Покажем, что
| sn (х) | <Сп1-**, | sn(x) \<C/x @ < x<я). E.7)
В силу D.4) и (I), достаточно доказать, что при достаточно,
малом х эти неравенства выполнены для интегралов 1п (х) =
п
= \ eiv(Vv*dv. Эти же новые неравенства немедленно полу-
получаются, если мы заметим [см. E.3)], что f (и) превосходит-
и С!*0 и С"*, и воспользуемся леммой D.3).
При фиксированном х первое из неравенств E.7) удобнее
использовать, если п мало, а второе — если п велико. Приз
п — xi/(a-i) правые части в E.7) имеют один и тот же порядок,.
Следовательно, полагая М=[х{^а~Щу имеем
оо М со
*х/э(*)=2 s7l(x)An-P=2+ S =А + В.
п=1 1 М+1
Члены, входящие в Л, имеют порядок О (п{~а) О(п-$-{), а члены,
входящие в б, —порядок О^Дм-Э). Отсюда следует, что если
+ р< 1, то I
a"P) + О ртЛГР) = О (jc-d-a-3)/(i-o))e
Аналогично получаются остальные оценки в (II) при л:—>-f-0.
Случай — я < х < 0 немного сложнее, так как /' (н) меняет
знак. Единственный нуль функции /' равен
21*

324 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Эта величина стремится к оо при х—> — 0, и надо рассмотреть
лишь малые значения х. Ясно, что |/'|>С|я| при. и>2ио~
Положим N = [2u0] и разобьем ряд E.1) на две части ^и22
соответственно с n^N и n>N. Так как в любом случае
sn (x)=O(ni-1^a) равномерно относительно х, то, учитывая, что
частичные суммы ряда E.1) выражаются формулой E.5), имеем
2i = О (РНоI7111-*) =О(\Х |-(i-V2
Если мы сможем получить такую же оценку для 22> т0 этим
доказательство (II) в случае х < 0 будет завершено.
Применяя преобразование Абеля, находим
22 = 2 {sn(x)-sN(x)}An-K
N + 1
Пользуясь тем, что | /' | > С | х \ при и > N + 1 г и применяя лемму
D.4) и D.3) (I), мы получаем, что sn(x) — sN(x)=O(x~1) при
л > N, откуда вытекает оценка
22 = О (*-W-p) = O(\X |-A-
'(III) Доказательство содержится в доказательстве (II).
(IV) Из (I), (II) и.(III) следует, что функция ^а,э(*) всегда
L-интегрируема на @, я}. Оценки для х—> — 0 дают гораздо
больший порядок роста, так как показатель A — 1/2а—•$)/([ — а)
может быть как угодно велик, если I—a и Р достаточно малы.
Тем не менее г|)а,р L-интегрируема на ( — я, 0), если р > V2^-
С другой стороны, легко видеть, что ряд E.1) есть ряд Фурье —
Римана, если 0<сс<1, Р>0. Действительно, если этот ряд
почленно проинтегрировать по х, то полученный ряд будет схо-
сходиться абсолютно и равномерно к непрерывной функции *? (х),
такой, что W (х) = гра, р (х) при х Ф 0 [см. (I)]. Таким образом,
W (х) есть интеграл Римана от i|)a,p(*), а ряд E.1) —ряд Фурье —
Римана от г|)а,р. Следовательно, при р > 1/2а имеем ряд Фурье —
Лебега.
В частном случае р = х/2а в E.6) (II) получаем оценку 0A/*)
три х—> — 0. Для дальнейших приложений нам необходим сле-
следующий результат.
E.8) Теорема. Если 0 < a < 1 и у — действительное число,
то функция
оо
Ха, V (*) = 2 "~V2a Aп п)~У еЫа еЫХ E-9)
2

6. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ 325
имеет порядок
О (x-(l-3/2<x>/(i-a) ln-Y-i) u О (V1 ln-V JL-Л
соответственно при х—> + 0 и х—> — 0. Кроме того, если у > 1,
то Ха, у интегрируема и ряд E.9) есть S[%a,Yb
Доказательство, по существу, то же, что и в теореме E.6) (II),
(IV).
6. Лакунарные ряды
Лакунарные тригонометрические ряды —это ряды, в которых
члены, отличные от нуля, «очень редки». Такие ряды могут быть
записаны в виде
оо оо
2 (akcos nkx + bhS'mnkx) = 2 Апъ (х), F.1)
если еще принять для простоты, что свободный член также равен
нулю. Мы определим лакунарный ряд более конкретно, именно
как такой ряд, у которого номера nh при всех k удовлетворяют
неравенству
nh+i/nh > q > 1,
т. е. эти номера растут не медленнее геометрической прогрессии
со знаменателем, большим 1.
Пусть задан лакунарный ряд F.1). Рассмотрим сумму
2 (<А+ь\)= 2 oi. F.2)
F.3) Теорема. Если 2q|<oo, то ряд ЪАПк(х) сходится
почти всюду.
Пусть sm (x) и ат (х) обозначают соответственно частные суммы
и арифметические средние ряда 2ЛП (я), в котором отсутствую-
отсутствующие члены предварительно заменены нулями. Тогда последова-
последовательность am (x) сходится почти всюду и теорема F.3) следует
из того, что sm (х) — от (х) —> 0 для всех х [гл. III, A.27)].
Верна также и обратная более глубокая теорема: если ряд
ЪАпк(х) сходится на множестве положительной меры, то
2q| < оо. Мы докажем даже более общую теорему. Пусть Т* —
произвольный линейный метод суммирования, удовлетворяющий
первому и третьему условиям регулярности (гл. III, § 1); второе
условие может и не выполняться. Все линейные методы сумми-
суммирования, употребляемые в анализе, принадлежат этому типу.

326 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
F.4) Теорема. Если ряд 11АПк(х) Т* суммируем на мно-
множестве Е положительной меры, то 2q|< со.
Для доказательства нам нужна следующая лемма.
F.5) Лемма. Пусть задано множество gCZ@, 2дт) положи*
тельной меры и числа X > 1, q > 1. Тогда существует целое
число ho = ho(%, X, q), такое, что для любого тригонометрического
полинома Р (х) = 2 (a,- cos п^х + bj sin UjX) с nj+Jtij > g > 1
u Mi>/io имеет место неравенство
^ F.6)
неравенство справедливо также и в том случае, когда Р (х)
есть сумма бесконечного ряда, для которого S (а) + Ь)) < оо.
Запишем полином Р в комплексной форме 2cveinvx, где
ft_v= —nv. Тогда
Имеем
Р* (х) dx = J ( 2 с^^ ) ( 2 eve"*") dx =
= 181 2 I с* I2 + 2 <чЯ J ei(%-nv>- dx. F.7)
Обозначим через ут комплексные коэффициенты Фурье характе-
характеристической функции множества %. Тогда последний интеграл
равен 2щп^-п . В силу неравенства Коши — Буняковского послед-
последняя сумма по модулю не превосходит
JJ,, V
= 2яBЫа)BК-«/I/2. F.8)
Мы утверждаем, что существует такое число А = A (qr), что
ни одно целое число N не может быть представлено более чем А
различными способами в виде nv — п^ с \i ф v.
Достаточно предположить, что 0 < fx < v, и рассмотреть два
случая:
(I) N = nv + n^
(II) N = nv—-n[i.

6. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ 327
В случае (I) -имеем XI2N < nv < N, и так как nv растут не
медленнее, чем qv, то число тех nv, которые удовлетворяют этому
неравенству, не превосходит у+l, где qy = 2. В случае (II), так
как а», < njq, то nv — nv/q < N, т. е. nv < Nq/(q— 1). С другой
стороны, nv > N. Так как число nv, заключенных между Л/
и Nq/(q—1), ограничено (числом, зависящим от q)y то отсюда
следует существование Д(<7).
Таким образом, последний множитель в правой части F.8) не
превосходит {2Д (| yh |2 +1 yh+i |2 + ... )}1/2, где h — наименьшее це-
целое число, представимое в виде nv — n^, l<fx<v. Но
Это показывает, что h—>oo при fti—>oo.
Числа Yv зависят только от g, и 2 | Yv I2 = | % \ Bя)"х < 1.
Следовательно, взяв пх достаточно большим, скажем так, чтобы
n1>h0 (g, X, (/), мы можем сделать последний множитель
в правой части F.8) меньше, чем
откуда, в силу F.7), следует F.6).
Если Р — бесконечный ряд с Ъ{а)-\-Ь)) < оо, то мы сначала
применим F.6) к частичным суммам Рг ряда Р. Затем, устремляя
i к оо и замечая, что
4dx-> [РЫх,
получаем требуемый результат.
Переходя к доказательству теоремы F.4), обозначим через pmn
элементы рассматриваемой матрицы Г*. По условию, для всех
х?Е каждый из рядов 2 pmnsn(*), m=0, I, 2, ..., сходится
п
к сумме %т{х), стремящейся к конечному пределу при т—>оо.
Рассмотрим сначала случай, когда матрица конечнострочна.
Полагая pm,n + Pm,n+i+ ... =Rmn, имеем
оо
хт(х)= 2 AnAx)Rmnh, F.9)
где Ank (x) = аъ. cos щх + &а sin n^x. Стоящая здесь сумма имеет
лишь конечное число членов, отличных от нуля. Так как %т(х)
сходятся на Е, то можно найти множество ШаЕ, | g | > О,
и число М, такие, что |тт(л:)|<Л1 при всех xgg и при всех т.
{В самом деле, Е = Е1-\-Е2-\- • • •» где ?р — множество всех точек
xg?, таких, что |тте(*)|<р для всех т. По крайней мере одно

328 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
из множеств Ер, скажем Ем, имеет положительную меру и может
быть взято в качестве %.)
Используем теперь лемму F.5) с Я = 2. Множество % и числа
q, X определяют целое число й0, такое, что при nt > h0 имеет
место неравенство F.6). Можно считать, что последнее условие
в данном случае выполнено, так как всегда можно опустить
в сумме %Ank(x) конечное число членов1), что не окажет
влияния на Т*-суммируемость (это может лишь изменить значе-
значение постоянной М). Таким образом, имеем
Пусть теперь К > 0 — фиксированное целое число. Так как
WmRmn- = 1, /г = 1,2, ..., то последнее неравенство дает
т-юо
\с тс
2 (а\ + Ь\) R2mnh < Ш*, 2 (а\ + Ы) < 4М*,
fei h Л1
2
откуда следует сходимость ряда F.2).
Мы можем теперь избавиться от ограничения конечностроч-
ности матрицы Г*. Именно, пусть %т(х) — выражения, аналогич-
аналогичные тт(х) [ср. F.9)], с той лишь разницей, что верхний предел
суммирования равен не +оо, а числу N=N(m). Возьмем N
настолько большим, чтобы выполнялись следующие условия:
(a) |TTO(*)-TSi(*)|<l/m для x^E-EmJ\Em\<\E\2"^'1;
(b) li(p PP) l
Если Е* =Е1 + Е*+..., то |?*|<|?|, и на множестве
? — ?*, имеющем положительную меру, линейные средние Тт(х)
стремятся к конечному пределу. В силу условия (Ь), т^ (х)
являются Т*-средними, но соответствующими уже конечнострочной
матрице Т. Таким образом, общий случай сводится к рассмотрен-
рассмотренному выше частному случаю.
Замечания: (а) Если сумма 2q|=oo бесконечна, то из F.4)
вытекает, что ряд 2 АПк (х) не суммируем почти всюду ни одним
методом суммирования. Рассматривая, в частности, метод (С, 1),
получаем следующее утверждение: если Sq| = oo, то И1АПк(х)
не является рядом Фурье.
(Ь) Если Sq| бесконечна, то не только последовательность частич-
частичных сумм ряда 2 Ап (х) расходится почти всюду, но этим же
г) Заменив их нулями.—-Прим. ред.

6. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ 329*
свойством обладает любая подпоследовательность этой последо-
последовательности. Действительно, выбор такой подпоследовательности
равносилен применению некоторого линейного1) метода суммиро-
суммирования, матрица которого в каждой строке содержит одни лишь
нули, за исключением единственного элемента, равного 1.
(d) Доказательство теоремы F.4) сохраняется, если предпола-
предполагать лишь, что ряд 2 Ап (х) Т*'-ограничен в каждой точке мно-
множества Е, | Е | > 0. В некоторых вопросах желательно иметь
аналогичный результат при условии односторонней ограничен-
ограниченности.
F.10) Теорема. Предположим, что 2q|=oo и что
%т(х) являются Т*-средними ряда 2Ank{x). Тогда множество
точек х, в которых
т]п(х) = о{% QlR2mnh}1/2 (oJS=ak+«)f F.11)
имеет меру нуль*
Здесь Tm(jt) = тах{0, хт (х)}. Сумма в фигурных скобках,,
которую мы обозначим через Г™, стремится к + °° вместе с /л?
так как при фиксированном k Rmnk—>1- Следовательно, из F.10)
вытекает, что если Т*-средние ряда 2 Ап, (х) ограничены сверху
(или снизу) в каждой точке некоторого множества положительной
меры, то ряд 2 qj сходится.
Предположим, что F.11) имеет место в каждой точке х?Ег
|*?|>0 и что ряд SqI расходится. Тогда для всякого е>0
существует множество % С Е с | % \ > 1/21 ЕI такое, что хт (х)/Гт < е
на % при т>т0. Опуская несколько первых членов в 2ЛПа(#),
что не влияет на g, мы можем предполагать, что щ сколь угодно
велико. Пусть an, j}n — коэффициенты Фурье характеристической
функции множества g. Тогда
<4>
0
| — я
2еГго | % | + яГ
Регулярного.— Прим. ред.

330 гл- v- СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Если щ выбрано достаточно большим, то правая часть здесь
будет меньше, чем еГтB| g | + я). Это показывает, что
\
\с(х = о(Гт). F.12)
В силу F.5), левая часть неравенства
{немедленно следующего из неравенства Гёльдера) при достаточно
большом tit превосходит Г™, умноженную на некоторую фикси-
фиксированную постоянную. По теореме (8.20), которая будет доказана
ниже, интеграл \ т™ dx (< 2К* [тт]) не превосходит произведения
(В
некоторой фиксированной постоянной на Г^. Таким образом,
\ | Чт \dx превосходит Гто, умноженное на некоторое фиксирован-
фиксированное число. Это противоречит F.12) и доказывает теорему F.10).
В этих рассуждениях мы фактически пользовались тем, что
числа Гт конечны. Этот факт вытекает из того, что ряд, опре-
определяющий хт(х), сходится на множестве положительной меры.
Рассмотрим два лакунарных ряда
2 b~na cos bnx = fa (*), 2 b~na гп cos bnx = ga (x)
(уже изучавшихся в гл. II, § 4), где а > 0, Ь>2 — целое и еп—>0.
Из F.4) выводим, что если 0<а<1, то множество всех точек
дифференцируемое™ непрерывной функции fa{x) имеет меру нуль.
Действительно,
Ua(x+h)—fa(x— h) >n ^n(l-g) ^„'ип„'{ sin bnh
2S ~ ~~ 2j b Sln-^ x\ bnh
В каждой точке дифференцируемости функции fa левая часть
стремится к fa (х) при h —^ 0; это означает, что ряд S' [/а] =
= —S Ьп^~а) s\nbnx суммируется некоторым линейным методом
суммирования к конечному пределу. Следовательно, если бы fa
существовала на множестве положительной меры, то мы имели бы
2 62т1A~а)< оо, что неверно.
Этот результат утверждает меньше, чем классический резуль-
результат Вейерштрасса — Харди (см. стр. 83), состоящий в том, что fa
нигде не дифференцируема, если 0<сс<1. Однако в доказатель-
доказательстве последнего факта используется специальная структура ко-
коэффициентов и показателей степени в S[/], в то время как дока-

6. ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ 331
зательство, данное выше, имеет силу для общих лакунарных
рядов (см. задачу 17, стр. 367), для которых усиленная теорема
уже неверна. Например, проведенное выше доказательство пока-
показывает, что функция gi (х) почти нигде не дифференцируема,
если S8n = oo. С другой стороны, мы знаем, что g1(x) — гладкая
функция и, таким образом, заведомо дифференцируема на мно-
множестве мощности континуума (гл. II, §3).
Теорема F.4) показывает, что если лакунарный ряд «ведет
себя хорошо» на множестве Е положительной меры, то он «ведет
себя хорошо» на @,2я). Дадим теперь другой пример этого
принципа.
F.13) Теорема. (I) Предположим, что ряд 1>АПк(х) схо-
сходится на множестве Е, |?|>0, к функции f(x), совпадающей
на Е с другой функцией g(x), определенной на интервале
/ = (а, P)JD?" и аналитической на /. Тогда ряд
cos пкх + Ьи sin nkx) Qnh
сходится в некотором круге \z\ < 1 +е (z = qeix, е > 0).
(II) Если ряд ^Anh(x) сходится к нулю на множестве Е
положительной меры, то этот ряд состоит 'из тождественных
нулейг).
, Предположение относительно g означает, что в окрестности
каждой точки xg(a, P), g представляется степенным рядом.
F.14) Лемма. Если Н—измеримое множество на @, 2я),
то мы можем найти такую последовательность чисел hm—»0,
что для почти всех х?Н и для m > т0(х) точки х ± hm при-
принадлежат Н.
Пусть х (л:) — характеристическая функция Я. Тогда
2Я
при t—>0. По теореме A1.6) гл. I существует последовательность
km—>0, такая, что % (x+km) — % (x)—>0 почти всюду, и, следователь-
следовательно, почти всюду на Я. Так как % принимает только значения 0 и 1, то
получаем % (х + km) = % (х) для почти всех х g Н и m > mo(x). Более
того, в качестве {km} может быть взята некоторая подпоследо-
подпоследовательность любой наперед заданной последовательности, стремя-
стремящейся к нулю. Поэтому, повторяя те же рассуждения для ин-
х) Этот результат имеет место и в случае, если ряд содержит свободный
член.

332 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
2Я
теграла J (km) = \ | % (х — km) — % (х) | dx, получаем последователь-
последовательность {/гт} с требуемыми свойствами.
Применим эту лемму для доказательства F.13) (I), где Н=Е.
Тогда для почти всех х ? Е и достаточно больших т будем
иметь
g(x+hm)—g(x—hm) _ f(x+hm)—f(x—hm) _
2hm ~ 2hm -
= 2 n*
При т—>со левая часть здесь стремится к g'(x). Отсюда сле-
следует, что ряд
2 nk {bh cos nkx —
суммируется некоторым линейным регулярным методом почти всюду
на Е. Обозначим через S, S\ S", ... соответственно ряд 1>АПк(х)
и ряды, полученные из него последовательным почленным диффе-
дифференцированием. По теореме F.4) 2я1(а1 + 61) < со. Следова-
Следовательно, существует такое подмножество ^d?, |?|=|?|, что S'
сходится на Е^ к функции g' (x). Произведя аналогичное рассуж-
рассуждение, получаем, что найдется множество E2CZEU \E2\=\Ei\,
такое, что S" сходится на Е2 к сумме g"(x), и т. д.
Все 5(v) сходятся на множестве ?* = EEtE2i .... Ясно, что
|?*|=|?|. Применим лемму F.5) при А, = 2 к P = S(V\ Ш = Е*.
Можно предположить, что п^ настолько велико, что неравенство
F.6) имеет место. Таким образом, полагая ук = а% + ЬЦ9 имеем
\g*4x)\*dx. F.15)
Е*
Далее мы можем предполагать, что интервал (а, Р) замкнут.
Тогда классическое неравенство Коши для коэффициентов сте-
степенного ряда дает
|g(v>(x)|<Mv!8-v (a<*<p, v=l, 2, ...)
с соответствующими М и б. Применяя это неравенство к F.15)
и сохраняя только один член слева, получаем

7. ПРОИЗВЕДЕНИЯ РИССА 333
Полагая v = [1/2^к] равной целой части от 11фпк, получаем
и пункт (I) теоремы F.13) доказан.
В качестве следствия получаем следующую классическую
теорему.
F.16) Теорема Адамара. Если степенной ряд
2*Л nk+i/nk>q>l F.17)
сходится при \ г | < 1 и аналитически продолжаем, за некоторую
дугу круга |z| = l, то радиус сходимости ряда F.17) больше 1.
В самом деле, ряд 2 ?ft?tn*x» по предположению, суммируется
методом Абеля к функции g (л;), аналитической на дуге (а, Р)
и, таким образом, в силу теорем F.4) и F.3), этот ряд сходится
к g(x) почти всюду на (а, Р).
В случае (II) g == 0. Отбрасывание нескольких первых членов
в F.1), имеющее целью сделать п^ настолько большим, чтобы
можно было применить неравенство F.6), равносильно превраще-
превращению g в полином степени m<ftt. Ясно, что |g(v)| мажорируются
величиной 7Wmv, где М равно сумме модулей коэффициентов g;
в силу теоремы F.15), имеем
Последнее неравенство, будучи выполнено для достаточно боль-
больших v, влечет за собой Yi =0. Аналогично у2 ^Уз^ .. - =0,
и случай (II) доказан.
Примечание. Из теоремы F.13) (II) следует, что если два
лакунарных ряда St и S2 имеют одни и те же показатели {nk}
(или, что то же самое, если объединение последовательностей
показателей рядов S{ и S2 дает лакунарную последовательность)
и если эти ряды сходятся к одной и той же сумме на множестве
положительной меры, то Si == S2. Этот результат имеет место
для любых двух лакунарных рядов, но доказательство этого
факта значительно.труднее.
7. Произведения Рисса
Рассмотрим бесконечное произведение
оо
Л (l+avcosnvx), G.1)
V=l
где {hv} — положительные целые числа, удовлетворяющие условию

334 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
и — l<ctv<l, av ФО при всех v. Пусть
V'k = nh + nk-i+ ... +ni9 ii'k =
Тогда
Таким образом, [i'k > \ik при q — 2>1, поэтому будем в даль-
дальнейшем предполагать q>3\ k-e частичное произведение выражения
G.1) представляет собой неотрицательный тригонометрический
полином
2 Y [] ( ) G.2)
v=i i=i
где Yv = 0, если v не представимо в виде п\> ± п\» ± ...,
k > /' > i" > ... . Разность
Pk+l — Pk= PkU<k+l COS tlk+iX
есть полином, младший член которого имеет порядок \i'k > [i^.
Следовательно, переход от ри к pk+i состоит в прибавлении к G.2)
группы членов, порядки которых превосходят \ik. Устремляя k—> oo,
мы получаем из G.2) бесконечный ряд
сю
1+ 2 Yvcosvx, G.3)
v=i
в котором Yv = 0, если v Ф щ ± п{> ± п\» + ..., i> i' >/">....
Будем говорить, что ряд G.3) представляет произведение G.1).
Частичные суммы sn(x) ряда G.3) обладают следующим свойством:
sllk(x) = pk(x)>0. Из теоремы E.20) гл. IV следует, что G.3)
есть ряд Фурье — Стильтьеса некоторой неубывающей непрерыв-
непрерывной функции F (х). Эта функция получается в результате почлен-
почленного интегрирования ряда G.3). В частности,
х
F(x)-F @) = 1 im \pk (t) dt. G.4)
ft->oo «j
Таким образом, получаем следующую теорему.
G.5) Теорема. Ряд G.3), представляющий произведение G.1),
где яд+1/яд>3, — I<av<+1, есть ряд Фурье —Стильтьеса
неубывающей непрерывной функции F, определенный равен-
равенством G.4).
Ряд G.3) получается при формальном перемножении членов
в G.1) и заменой произведений косинусов линейными комбина-

7. ПРОИЗВЕДЕНИЯ РИССА 335
циями косинусов. При этом не может получиться подобных
членов, так как каждое целое число N может быть представлено
в виде пг ± щ> ± п\» ± ... с i > V > /" > ... не более чем одним
способом. (Такая сумма, будучи больше, чем [ii-ь должна быть
положительной.) Действительно, допустим, что имеется другое
представление N = пи ± п^ ± ..., k > k1 > ..., с k Ф /, скажем
k < i. Тогда nt = апг-1 + Ьпг-2 + спг-3+ ..., где а, 6, ? принимают
только значения 0, ± 1 и ± 2. Правая часть этого равенства
меньше, чем
и, таким образом, не может равняться щ. Следовательно, k = i
и щ> ± л^ ±... = я^' ± яд- ±... . Отсюда в свою очередь сле-
следует V=k' и т. д.
В частности, Ynv = av Если последовательность av не стре-
стремится к 0 (например, если av = 1, nv = 3V), то мы, следуя Ф. Риссу,
получаем новый пример (исторически первый) непрерывной функ-
функции с ограниченным изменением, коэффициенты Фурье которой
не равны оA/п).
Произведения G.1) называются произведениями Рисса.
G.6) Теорема. Если — 1 <av< I, nv+i/nv>g>3и 2с^ = оо,
то функция F, определяемая из G.4), почти всюду имеет произ-
производную, равную нулю.
В силу теоремы (8.1) гл. III, ряд G.3) почти всюду сумми-
суммируется (С, 1) к функции F' (х). Этот ряд имеет бесконечно много
пропусков (\iki ц'ъ) и так как
то из A.27) гл. III следует, что частичные произведения ри{х) схо-
сходятся к F' (х) почти всюду. Из неравенства 1+и<еи вытекает
0<pk (*;)<exp(
( 2
v=l
Так как 2а? = со, то частичные суммы ряда 2 av cos nvx прини-
принимают как угодно большие отрицательные значения почти во всех
точках [см. F.10)]. Таким образом, \impk(x)=0; т. е. F'(x)=0
почти всюду. Попутно мы доказали, что произведение G.1)
сходится к нулю почти всюду.
Замечание. Пользуясь теоремой F.3), легко показать, что если
в G.6) предположить 2av<°°, то ряд G.1) будет сходиться
почти всюду к конечному пределу, отличному от нуля.

336 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
G.7) Теорема. Если av—>0, 2Г4 = °° и nv+l/nv>q>3,
то ряд G.3), представляющий произведение G.1), и сопряжен-
сопряженный с ним ряд сходятся почти всюду, причем первый из этих
рядов сходится к нулю.
Частичные суммы s^ (x) ряда G.3) сходятся почти всюду.
То же самое имеет место и для частичных сумм s» (x) сопряжен-
сопряженного ряда, так как последний суммируется (С, 1) почти всюду
и имеет те же самые лакуны, что и ряд G.3). Если tn = 7
со
частичные суммы ряда 1 + 2 Yv?ivx, то функция М (х) = sup | /„ (х) |
i k n
конечна почти всюду.
Возьмем произвольную точку х, в которой последователь-
последовательность t^ сходится, так что М = М(х) конечно, зафиксируем k
и возьмем столь большое число Л, чтобы выполнялись неравенства
G.8ft-i)
; / = 1,2, ..., ft-1; |io=O).
Число А на первый взгляд зависит от /г, но мы докажем
по индукции, что неравенства верны при всех k и некотором Л,
не зависящем от k.
Имеем
Snk = (l+ 2 YvCOSva:) (l+akcosnkx) =
R v=i
Hi ^ak 2 Yv[cos(nft—v)x+cos(nft+v)xj. G.10)
v=i
Так как яд ± v > 0, то переход от s^ к t^ состоит в замене
косинусов экспонентами. Оценим теперь t^ при (j,fe_± < К < \ik.
Рассмотрим отдельно случаи
(а) \ik-i <h<nki (b) яА<К<(гА.
В случае (а), как это видно из G.10),
или ^=

7. ПРОИЗВЕДЕНИЯ РИССА 337
в зависимости от того, будет ли lk<nk — H*-i или 'k>nk — ц,^.
В последнем случае последний член справа по модулю не пре-
превышает
1
в силу G.8^-i). В случае (Ь) имеем
2 H^+v)x для Я > nk
и последний член снова по модулю не превышает -7г|ал| А Сле-
Следовательно,
или | ^_^J<±|aft| Л G.11)
соответственно при iik-i<'k^nk или /гд<А,<^ (в круглых
скобках справа в первом неравенстве добавлено слагаемое 2 лишь
из-за случая X = nk). В частности,
для всех X6[|iA-i + l, |ift].
Предположим теперь, что Л настолько велико, что
Тогда, если р*-4 < |л < ц*, то
м-
Если Aу_1<A<Aу, / < k, то имеем
Таким образом, из G.9ft-t) и G.8ft_i) следуют G.9ft) и G.8А),
и, следовательно, эти неравенства имеют место при всех к.
В частности, последовательность tk(x) ограничена даже в том
случае, когда av не стремятся к нулю. Если av—>0, то, в силу
G.11), tx сходятся почти всюду. Так как s^ft сходятся почти
всюду к нулю, то s% также сходятся к нулю почти всюду. Этим
доказательство теоремы G.7) завершается.
22 А. Зигмунд, т. I

338 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
G.12) Теорема. Пусть n^+l/nv>3 при всех v, и пусть
2 «v < °° • Тогда (а) (комплекснозначный) ряд
G.13)
i
представляющий произведение
со
I] (I + iavcosnvx), G.14)
будет рядом Фурье ограниченной функции', (Ь) если nv+i/nv>q > 3,
то ряд G.13) и сопряженный с ним ряд сходятся почти всюду.
Здесь 6V получаются из mv тем же путем, что и yv получа-
получались из av; 6V или действительны или чисто мнимы. Очевидно, что
| П A + mv cos nvx) | < И A + DI/2 < fi A + <*vI/2 < оэ
v=i 1 1
и, таким образом, существует подпоследовательность частичных
сумм ряда G.13), которая равномерно ограничена. Это доказы-
доказывает (а) (см. гл. IV, стр. 240).
оо
Если через tn обозначить частичные суммы ряда 1 + 2 Sv?iv*>
1
то доказательство пункта (Ь) получается повторением доказа-
доказательства теоремы G.7) с небольшими изменениями, связанными
с тем, что члены ряда G.13) мнимы. Действительно, ясно, что
частичные суммы с номерами \ik ряда G.13) и сопряженного с ним
ряда 2 ^v sin vat сходятся почти всюду. Следовательно, t^ сходятся
почти всюду и доказательство, аналогичное доказательству тео-
теоремы G.7), показывает, что t% сходятся почти всюду. Теперь
достаточно заметить, что в каждой точке х, где t\{x) и t\( — х)
одновременно сходятся, имеет место сходимость рядов 2^vcosvjt
и 2 ^v sin vx.
Замечания, (а) Теоремы G.6), G.7) и G.12) сохраняют силу,
если в G.1) и G.14) avcos^vA: заменить на av cos nvx + pv sin nvx =
= qv cos (nvx + 0V) с очевидным условием, наложенным на qv.
Доказательство остается без изменений.
(Ь) Индексы ненулевых членов в рядах G.3) и G.13) содер-
содержатся в отрезках [ц^-ь 1*>ь]- Последний отрезок содержит nk, и так
как
ii-i <nk(l +<Г1+ .. .)/М1 -Я'1- - •.)
то мы видим, что какое бы малое 8 > 0 ни взять, индексы нену-
ненулевых членов этих рядов расположены в интервалах (я&A—е),

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 339
яьA+е)) ПРИ условии, что q достаточно велико, q>qo(s). Это
замечание мы используем позднее (гл. VI, § 6).
(с) Теоремы G.6), G.7) и G.12) (Ь) сохраняются при nv+i/nv>3.
Для G.6) это доказывается разбиением произведения G.1)
на два произведения, содержащих соответственно члены с четными
и нечетными v. По крайней мере одно из этих произведений
удовлетворяет предположениям теоремы G.6) с q = 9. Следова-
Следовательно, в силу замечания к теореме G.6), ри (х) сходятся к нулю
почти всюду. Используя тот факт [он будет доказан в гл. XIII,
E.13)], что если ряд ^Ak(x) (С,1)-суммируем почти всюду
к сумме а (х) и если последовательность {Snk} частичных сумм
сходится почти всюду к пределу s(x), то s(x)=g(x) почти всюду%
мы видим, что F'(x)=0 почти всюду.
Обобщения теорем G.7) и G.12) (Ь) основываются на теореме
[см. гл. XIII, стр. 264, замечание (I)] о том, что если подпосле-
подпоследовательность Sp, частичных сумм ряда S [/] (или S [dF]) сходится
почти всюду, то сходится последовательность s^ частичных сумм
сопряженного ряда. В нашем случае s^ (x) сходятся почти всюду,
и, следовательно, то же самое имеет место для s^ (x). Последую-
Последующая часть доказательства остается без изменений.
8. Ряды Радемахера и их применения
Некоторыми свойствами лакунарных тригонометрических рядов
обладают и ряды Радемахера
со
2 Cv4>v(t), (8.1)
v=0
где функции фу уже были определены в гл. I, § 3. В этом нет
ничего неожиданного, поскольку, по определению,
Ряды Радемахера тесно связаны с исчислением вероятностей
и являются типичными представителями весьма обширного класса
рядов, при этом возникающих. Нам понадобятся лишь простые
свойства рядов вида (8.1), которые могут быть установлены непо-
непосредственно.
Мы будем предполагать, что числа cv в (8.1) могут быть
комплексными.
(8.2) Теорема. Ряд (8.1) сходится почти всюду, если
2 \cv |2 < оо. Если 2 \cv |2 = о°, то ряд (8.1) не суммируем почти
всюду ни одним методом Т*.
22*

340 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Доказательство второй части теоремы (8.2) аналогично доказа-
доказательству теоремы F.4) и может быть предоставлено читателю.
Необходимо лишь заметить, что система функций
Фу, k @ =Ф; @ Ф* @ @< / < * < со)
ортогональна на @, 1). [Подобным же образом можно доказать
аналог теоремы F.10).]
Если 2lcvl2<°°» то РЯД (8-1) с частичными суммами sn(t)
является рядом Фурье некоторой функции /?1А Более того
[см. гл. IV, A.1)],
где 0<а<Ь<1. Третье из соотношений, которое выполняется
равномерно по а и 6, является следствием второго, а второе
следует из первого в силу неравенства Коши—Буняковского.
Пусть F (/) — неопределенный интеграл от /(/), и пусть ?,
Е\~\ —множество точек, в которых F' (t) существует и конечна.
Мы только что доказали, что интеграл от sn по любому фикси-
фиксированному интервалу / стремится к интегралу от f по /. Поэтому
интеграл от sn — Sh-i по / стремится к интегралу от f~sk-{ при
п—>оо. Пусть интервал / имеет вид (/2~\ (/+ 1) 2~к), 1 = 0, 1, ...
. .., 2'4 —1. Так как интеграл от q>j(t) по / равен нулю при
/>&, то интеграл от sn — sk-i no / равен нулю. Отсюда следует,
что для интервалов / указанного вида интеграл от f по / равен
интегралу от Sk-i по /.
Пусть теперь t0 Ф P/2q, t0 6 Я, /06^-(/2"k, (l-\lJ~k). Так
как функция Sk-t постоянна на /А, то
f(t)dt->F'(t0) при &->аэ,
чем доказательство теоремы (8.2) и заканчивается.
В дальнейшем нам потребуется аналог леммы F.5), и поэтому
мы сформулируем его отдельно.
(8.3) Лемма. Пусть произвольно заданы множество % d @, 1)
и число К > 1. Тогда существует такое целое число h0 =h0 (g, Я),
что для любой конечной суммы Р (t) = 2 с&фь @ справедливо
/'о
неравенство
ь-11 % 121 ck I2 < 51 р (О г л < ь | g!

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 341
Этот результат имеет место и при N — со при условии, что
21**Г<°°-
Доказательство аналогично доказательству леммы F.5), и мы
предоставляем его читателю.
(8.4) Теорема. Если 2 kv |2 < °°, то сумма /(/) ряда (8.1)
принадлежит классу U при любом г > 0. Точнее, имеет место
неравенство
}1/rBI/2' (r>0) (8-5)
где Аг и Вг положительны и конечны и зависят только от г.
При этом Вг<2&1/2, где 2k— последнее четное число, не мень-
меньшее г.
Предположим сначала, что cv действительны и г = 2/г — четное
целое число. Тогда
\^ ... <fj.dt, (8.6)
где Aa]a2...a. = {ai-\-a2Jr... + aj)\lai\a2\ ...О/! и а1? а2, ..., а,—
целые положительные числа, сумма которых равна 2k. Индексы
т{, т2, ..., mj меняются между 0 и п. Легко проверить, что
интегралы справа обращаются в нуль, за исключением того случая,
когда все аь а2, ..., а,- четны и когда интегралы равны L
Замечая, что
мы получаем второе неравенство (8.5), где f = sn, r = 2k и ВЦ
равно верхней грани дробей Л2рг . .2pJ-Mp1.. .p^- Так как sn(t)—>f(i)
почти всюду, то отсюда следует неравенство для /.
Замечая, что
находим, что
Bfh < (k + 1) (k + 2) ... 2kl2h < fe\ B2h < k1'*.
Второе неравенство (8.5), будучи верным при г = 2, 4, ...,
должно иметь место при любом г > 0, так как Шг [/; 0, 1 ] есть

342 ГЛ. V.. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
неубывающая функция от г [гл. I, A0.12), (I)]. Ясно, что Вг<
где 2k — наименьшее целое четное число, не меньшее чем г.
Первое неравенство (8.5) очевидно для г>2, так как в этом
случае
Если 0 < г < 2 < 4, то возьмем положительные числа tt и
так, чтобы tt +12 = 1, 2 = rti + 4^2. Функция SftS [f] логарифмически
выпукла по а [гл. I A0.12), A1), так что у2 = Яй|[Л'/
i
П(у)"\ что дает Шг If] > y2~{2-r)/r.
Если cv=c'v + ic"v и f = f'-\- if" комплексны, то
шг т < Шг щ+шг щ < вг
и отсюда следует второе неравенство (8.5) с удвоенным Вг. Та-
Таким образом, если, например, B^v2I/2 > Bcv2I/a» T0
ЗКг [f ] > 9Лг [f ] > Аг B <\,2I/2 > j АТ (S | cv I2I/.,
что дает первое неравенство (8.5) с половиной первоначального Аг.
Оценка B2&<2fe1/2 позволяет усилить второе неравенство (8.5).
(8.7) Теорема. Если 2 I cv |2 < °°, mo exp{[x | f (t) |2} интег-
интегрируема при любом [х > 0.
Действительно,
1 оо 1 оо
ехр (ц | /1») dt = ^ -^ I I / Г * < 2 Ж (VY2)". (8-8)
Так как kk/k\ <^lkn/n\ = ek1 то ряд справа сходится, если
4е\ху* < 1, что имеет место при достаточно малом у. Отсюда сле-
следует, что при любом [х > 0 функция ехр {l*>\'f — sn |*) интегрируема,
если только п достаточно велико. Так как | / f < 2 [ | / — sn |2 +
+ |sn|2], а функция sn(t) ограничена, то отсюда следует интег-
интегрируемость exp([x|f|3).
Теоремы о рядах Радемахера позволяют нам получить неко-
некоторые результаты о рядах
2 ± (я»cosnx + bnsinnx), (8.9)
п=1

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 343
получающихся из обычных рядов
оо оо
4"ао+ 2 (ancosnx + bnsinпх)= ^Ап(х) (8.10)
n=l 0
при произвольной расстановке знаков у членов последнего ряда.
Пренебрегая последовательностями из ± 1, содержащими только
конечное число членов, равных +1, или конечное число членов,
равных—1, мы можем записать (8.9) в виде
оо
2Лп(*)ф»(9. (8.11)
п=0
где фЛ — функции Радемахера, а параметр t, гФр12^, пробегает
интервал @,1). Если значения t, для которых ряд (8.11) обла-
обладает некоторым свойством Р, образуют множество меры 1, то мы
будем говорить, что почти все ряды (8.9) обладают свойством Р.
(8.12) Теорема. Если ряд
оо
(8.13)
сходится, то почти все ряды (8.9) сходятся почти всюду на
отрезке 0<х<2я. Если ряд (8.13) расходится, то почти все
ряды (8.9) почти всюду несуммируемы произвольным фиксирован-
ным методом Т*.
Пусть St(x) обозначает ряд (8.11), а если последний сходится,
то и его сумму. Пусть Е — множество точек (a:, t) прямоуголь-
прямоугольника 0<х<2я, 0<^<1, где ряд сходится. Если сумма (8.13)
конечна, то, в силу теоремы (8.2), пересечение множества Е лю-
любой прямой х=х0 имеет меру 1. Так как Е измеримо, то его
плоская мера равна 2я, и, следовательно, пересечение Е с почти
всякой прямой t = t0 имеет меру 2я. Итак, первая часть теоремы
(8.12) доказана. Вторая часть будет следовать из тех же самых
соображений, если мы покажем, что из расходимости ряда (8.13)
следует расходимость А\{х)-\-А\{х) + ... для почти всех х.
Для доказательства этого факта предположим, что А\(х) +
+ А22(х)+... сходится на множестве Я, |#|>0. Тогда суще-
существует такое подмножество Н' множества Я, \Н' \ > 0, и постоян-
постоянная М, что на И' сумма нашего ряда не превосходит М. Поло-
Положим Ап(х) = Qn cos (nx +In), Qn>0. Интегрируя ряд по #',
получаем
n=l H'

344 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Так как коэффициенты при Qn стремятся к -у |#'|>0 [см. гл.
II, D.5)], то сходится ряд 2 Qni что противоречит предположе-
предположению. Таким образом, теорема (8.12) доказана. В качестве следст-
следствия, полагая, например, Т* = (С, 1), получаем следующее утвер-
утверждение.
(8.14) Теорема. Если ряд (8.13) расходится, то почти все
ряды (8.9) не являются рядами Фурье.
Теорема Рисса —Фишера утверждает, что если сумма (8.13)
конечна, то ряд (8.10) есть ряд Фурье. Теперь мы видим, что
теорема Рисса —Фишера не может быть улучшена, так как имеет
место следующая теорема.
(8.15) Теорема. Ни одно условие, налагаемое на модули
чисел ап, Ьп и допускающее расходимость ряда (8.13), не может
быть достаточным для того, чтобы ряд (8.10) был рядом Фурье.
(8.16) Теорема. Если ряд (8.13) сходится, то для почти
всех t сумма St (х) ряда (8.9) принадлежит всем классам V, г > 0.
Более того, для любого \х функция exp {\xS2t (x)} интегрируема на
0'<а:<2я для почти всех t.
Обозначим через y2 сумму ряда (8.13) и положим \i настолько
малым, что правая часть неравенства (8.8) сходится. Если К =
= /С([х, у) есть сумма последнего ряда, то, как и в (8.7), имеем
Интегрируя это неравенство по 0^х<2я и меняя порядок ин-
интегрирования, получаем
1 2Л
J dt jj exp{|iS?(*)}d*<2*dC. (8.17)
о о
Здесь внутренний интеграл конечен для почти всех t. От предпо-
предположения, что |я мало, мы избавляемся так же, как и при дока-
доказательстве теоремы (8.7).
Рассмотрим теперь лакунарный ряд
{nk+i/nk>p> 1) (8.18)
и сумму
^ ). (8.19)

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 345
(8.20) Теорема. Предположим, что nk+i/nh>q> 1 при всех
k и что ряд (8.19) сходится, так что ряд (8.18) есть S[f].
Тогда
2Я
, (8.21)
для всех г > 0, где Ar,q и BT,q зависят только от г и q. Если
у < 1, то справедливо также неравенство
2Л
exv\if2dx<C (8.22)
при условии, что |х<|Ло(<7)> где С —абсолютная постоянная.
Достаточно доказать (8.22), так как из него следует второе
неравенство (8.21). Первое же неравенство (8.21) следует из вто-
второго, в силу соображений выпуклости, использованных при дока-
доказательстве теоремы (8.4).
Сначала предположим, что q>3, и рассмотрим ряд
оо
St (х) == 2 @v cos nvx + bv sin nvx) <pnv (t).
v=l v
Тогда справедливо неравенство (8.17) при условии, что [л дос-
достаточно мало; здесь К — абсолютная постоянная. Отсюда выте-
вытекает, что существует такое г0Фр12<*, что
(8.23)
о
Рассмотрим произведение Рисса (§ 7)
k
Pk (x) = П A + <Pnv (<o) cos nvx) = 1 + 2 Yv cos vx.
v=l
Имеем Ynv = 9nv(^0) при v= 1, 2, ...,*,
ft 2я
sWfc (x, /) = 2 Л"г W = 4" S S^o (^ + ") Pk (u) du.
v=l 0
Функция %(v) = exp(\xvz) возрастает и выпукла при у>0. Функ-
Функция Bn)-1pk(x) неотрицательна, и интеграл от нее по @,2л)

346 ГП V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
равен 1. Поэтому неравенство Иенсена дает
2л:
о
2л:
о
2л:
$
О
в силу (8.23). Полагая k—>оо, получаем
2л:
(^) (8.24)
Это—неравенство (8.22) с той лишь разницей, что [х заменено на
-J- [х. Здесь правая часть 2я/(— абсолютная постоянная, так как
Y<1 и [х достаточно мало.
В общем случае q>\ мы разобьем ряд (8.18) на Q лакунар-
ных рядов, для каждого из которых q>3. (За Q можно взять
наименьшее целое число у, такое, что <^>3.) Соответственно
f =fi + f2Jr • • • +/V В силу неравенства Иенсена и неравенства
(8.22) для случая q>3, имеем
2л: Q 2л:
О ^ fe=l О
так как Yft» соответствующие /^, не превосходят 1. Тем самым
неравенство (8.22) доказано в общем случае.
Рассуждение, которым мы уже пользовались при доказательст-
доказательстве теоремы (8.7), показывает, что, в предположениях теоремы
(8.20), левая часть (8.22) конечна при любом [х > 0.
Ниже будем обозначать
/+=max{f, 0}, f-=max{-f, 0}.
(8.25) Теорема. Пусть Y2 = 2 (<А + Ь\)< оо, / (х) = 2 Anjl (x).
Тогда
где hq и \iq —положительные числа, зависящие только от q.
Точно такие же неравенства имеют место для /+ и /~.

В. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 347
Доказательство основывается на следующей лемме, полезной
и в ряде других вопросов.
(8.26) Лемма. Пусть функция g(x)>0 определена на мно-
множестве Е, \Е\ > 0, и
(I) ^j]gdx>A>0, (II) ~[g*dx<B.
Тогда для любого 0 < б < 1 множество E&CZE, на котором g (x) >
>8А, имеет меру, не меньшую, чем \Е | A — 8J(А2/В).
Интеграл от g по множеству Е—Е&, на котором g < 8А,
меньше 8А\Е\. Следовательно, в силу (I), интеграл от g no Eq
превосходит A —б) А \ Е |. С другой стороны,
\ gdx< ( ^ g2dx
^б Еб
в силу (II). Отсюда
т. е.
Возвратимся к (8.25). Достаточно провести доказательство
для /+. Так как интеграл от / по @,2я) равен 0, то
О
[см. (8.21)]. Так как
$5
о о
то применение леммы (8.26) с б=1/2 показывает, что f+ пре-
превосходит -^yAi9q=yXq на множестве, мера которого не меньше,
чем 2tt-g-Ai, q
Ниже нам понадобится следующий аналог теоремы (8.25) для
функций Радемахера.
(8.27) Теорема. Пусть f(x) = 1?1cn(pn(x), 0<х<1, где сп
действительны и у2 = 2 Сп < оо. Тогда существуют две абсо-
абсолютные постоянные е, т] > 0 такие, что \i{x; \f(x) \ > уц}>Е.
Аналогичные неравенства имеют место для f+ и /-. Этот факт

348 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
следует из леммы (8.26) и из неравенств SR2[/]<^2Y»
A [cm. (8.5)].
(8.28) Теорема. Пусть f (г, х) = 2 (я* cos nkx + bk sin nkx) rnk —
гармоническая при г < 1 функция, связанная с рядом (8 18).
Тогда, если 2 (#! + ^1) = °° # ??лг/ со (и) — произвольная функция,
определенная для и > 0 и монотонно стремящаяся к + оо
те с и, то
1г, я) |) йл; —» + оо при г—>1.
о
Этот результат следует из теоремы (8.25), так как подынтег-
подынтегральная функция больше или равна (o{Kq [^(al + bDr271*1]1/*} на
множестве, мера которого не меньше 2
(8.29) Теорема. Пусть ft{r, x) — гармоническая функция
^An{xLn{t)rn. Тогда если 2(^ + ^2) = °° и если ®(и) та жг->
что и в (8.28), то для почти всех t интеграл \ (o{\ft(r, x)\}dx
неограничен при г —> 1.
Достаточно показать существование последовательностей {ги}—>\
и {Mk}—>oo, обладающих следующими свойствами: для почти
всех /
\ft(rk, x)\>Mh, (8.30)
для бесконечного числа номеров k и для х? X = Xt,k с |Х|>
>а>0, где а — абсолютная постоянная. Действительно, тогда
•наш интеграл будет превосходить a(o(Mk) при r=rk для беско-
бесконечного числа номеров k.
Применяя (8.27) к ft(r, x), мы видим, что для всех г<\
множество Е = ЕГ тех точек прямоугольника 0<х<2я, 0<?< 1,
в которых
\ft(r, х)\>ц{^А2п(х)г^2 (8.31)
пересекается с любой прямой х— const по множеству, мера кото-
которого не меньше 8. Следовательно, |?|>2яе. Обозначим через
#6 F< 1) множество таких чисел t0, что пересечение Е с пря-
прямой t—t0 имеет меру, не большую 2яб. Тогда
2яб|Яб| + 2яA-|Яб|)>|?|>2яе,
откуда |#6|<A— е)/A— б). При б = е2 получаем |Яб |< 1/A +г).
Следовательно, множество чисел t0, таких, что пересечение Е

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 349
с прямой t=t0 имеет меру, большую, чем 2яе2, имеет меру
> е/A + е) > у е" (здесь предполагается е < 1, что всегда воз-
возможно).
Очевидно, надо показать, что величина т]{2 Л„ (#)г2П}1/2 ста-
становится большой при г->1 на множестве точек х, дополнение
к которому имеет малую меру. Точнее, мы покажем, что сущест-
существуют последовательности rk—>1, М'и —>оо, такие, что
(8.32)
вне некоторого множества меры, не большей яе2.
Допустим, что последнее утверждение уже доказано. Тогда
мы покажем следующее: существуют последовательности rk —> 1
и TWfe—>оо, а также последовательность множеств Ти, |Т^|>у8,
такие, что для каждого t$Tk и для всех x?Xt,ki \xXt,
выполнено неравенство
\ft(rh,x)\>Mb.
Положим
Ясно, что |Т0|>уе и утверждение, содержащееся в (8.30), спра-
справедливо на То при Mk = Mk. Так как замена / на t + p2~q сказы-
сказывается только на конечном числе членов ряда ft (г, х), то неравен-
неравенство (8.30) выполняется на сумме всех множеств, получающихся
из То сдвигом на p2~q при условии, что мы положим, например,
Mk = 1/2^ik- Так как эта сумма имеет меру 1, то теорема доказана.
Впрочем, нам еще осталось доказать утверждение, связанное
с неравенством (8.32). Положим Ап (х) = gn cos (nx -f- xn) и рассмот-
рассмотрим два случая:
(I) Япф0A), (II) с* = 0A).
В случае (I) существует такая последовательность пх < nz < ...,
что Qnk—>°°. Положим rk=\ — l/nk. Имеем
Л {2 Аи (х) г2«} V. > г) | Anh (x) \rnkk > r\Qnk | cos (nkx + xJlh) [в"*
для любого k. Множество точек, где неравенство | cos (jx + Xj) \ > б
не выполняется, имеет меру, меньшую яе2 при условии, что б
достаточно мало (ограничения на б не зависят от /). Отсюда сле-
следует (8.32) для случая (I), если положить М'к = у\Ье'^Пк.
Перейдем теперь к случаю (II). Мы можем предположить,
что Qn<l для всех п. Задав М > 0, покажем, что мера мно-

350 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
жества В = ВГ точек х, в которых
2M5(*)/*n<M,
стремится к нулю при г —> 1. Положим h (г) = ^ д?/271 и проин-
проинтегрируем последнее неравенство по В. Получим
(a2ncos2x2n-$2nsin2x2n)^ М\В\,
(8.33)
где а,-, Р; — коэффициенты Фурье характеристической функции
множества В. Неравенства Коши — Буняковского и Бесселя пока-
показывают, что второй член не превосходит по модулю величины
так как q^<1, г< 1. Если бы для некоторой последовательности
значений г, стремящейся к 1, |5| было бы больше некоторой
положительной постоянной, то, так как h1/2 (r) = o{h(r)}9 из (8.33)
следовало бы, что ~^\B\h{r) <М \В | для г и 1 — г достаточно
малых, что неверно.
Это показывает-, что |ВГ|—>0 при г—>1. Тогда, полагая,
например, M'k = k, находим такие rk< 1, что
1
вне множества точек х, мера которого не превосходит яе2. Сле-
Следовательно, | ft (г, *) | > Ми, t б Tk, \iTk > -g- е, х б Xtj н, \iXt, k > яе2,
и мы получили то же самое заключение (с иными M'k), что
и в случае (I). На этом доказательство (8.29) заканчивается.
Ряд 2 ±Лл(л:) называется случайно непрерывным, если при
почти каждой расстановке знаков этот ряд является рядом
Фурье от непрерывной функции.
Пусть 2(а^ + ^)<°°- Тогда для почти всех t сумма St (x)
ряда (8.11) принадлежит всем классам Lr. Естественно спросить,
будет ли ряд 2 ^Ak(x) случайно непрерывным. Отрицательный
ответ на этот вопрос следует из того факта [см. гл. VI, F.1)],
что если лакунарный ряд есть ряд Фурье ограниченной функции,
то сумма модулей членов ряда конечна. Поэтому ряд
± sin IOjc ± 2"Чт 102л; ±... ± п'1 sin 10пл: ± ...
не является рядом Фурье ограниченной (тем более, непрерывной)
функции ни при каком выборе знаков. Однако справедлива сле-
следующая теорема.

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 351
(8.34) Теорема. Обозначим через snjt(x) частичные суммы
ряда (8.11). Тогда
(I) Если у*=^{аЪ + Ы)< оо, то для почти всех t snit(x) =
i_
= o{(lnnJ} равномерно по x.
(II) Если 2 (al + b%) (InfeI+8 < оо при некотором г > О,
mo почти все ряды (8.9) сходятся равномерно и таким образом
являются рядами Фурье непрерывных функций.
Как показывает пример лакунарного ряда
2 ±(n\nn)-1sml0nx,
утверждение (II) неверно при е = 0.
(I) Рассмотрим неравенство (8.17). При его доказательстве
было показано, что оно имеет место для произвольно больших \х,
при условии, что у достаточно мало. Оно, следовательно, спра-
справедливо и для частичных сумм sn, % {х) (для них значение у
меньше):
i 2л
\ dt[ exp{^, t (x)}dx^.2nK, (8.35)
о о
где К не зависит от п. Зафиксируем t и обозначим через Mn(t)
максимум |sre, *(х)|. Пусть х0 — точка, в которой этот максимум
достигается. Так как производная от snit не превосходит 2nMn(t)
[гл. III, A3.17)], то snit не может изменяться больше, чем на
-к-Мп{г) на интервале длины -т~. В частности, \sn9t\ превосхо-
превосходит ^Mn(t) при х ^
хо
Интеграл слева увеличится, если взять его по всему интервалу
@,2л;). В силу (8.35), имеем
о
Следовательно,
1 t
[ ехр {| [х {Ml (t) - a In n) X dt < 8Кпп ' * да
при любом а > 0. Возьмем а|л = 12. Тогда правая часть, будучи
О(п~2), образует сходящийся ряд. В силу A1.5), гл. I, ряд

352 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
2 ехр {-^И-Мп — 31пм| сходится почти всюду, и, таким обра-
образом, Mn(t)< 12(xlnn для почти всех t и достаточно больших п.
Так как, опуская первые несколько членов, мы можем сделать у
как угодно малым и, следовательно, [а как угодно большим, то
для почти всех t, откуда следует (I).
(II) Положим
Sn, t (x) = 2 Ak (x) <pft @ (In
i
В силу (I), Snit(x) = o{(InnI^} для почти всех t, равномерно
по х. Зафиксируем такое значение / и допустим, для простоты,
что а{ = bi = 0. Тогда преобразование Абеля дает
п-1
n
= У 0{lnfe)Vi}0 ( J7-TT7T-1 -t 0A).
^ X } * \ k (In kf*+1/*e J v '
Члены последнего ряда имеют порядок о {ft
так что snit(x) сходится равномерно при п—> оо.
Можно поставить такой вопрос: если ряд ^±4 (*) случайно
непрерывен, то следует ли отсюда, что почти все ряды сходятся
равномерно. Эта задача не решена, но мы можем доказать сле-
следующее:
(8.36) Теорема. Пусть {nk} — произвольная лакунарная
последовательность индексов (m. e. nk+i/nk> q > 1). Тогда если
ряд Ji^n (x) случайно непрерывен, то последовательность
{snk, t (x)} сходится равномерно по х для почти всех t.
Пусть t0 — фиксированное число, не являющееся двоично-рацио-
двоично-рациональным. Заметим, прежде всего, что почти все ряды
принадлежат классу С (т. е. являются рядами Фурье непрерыв-
непрерывных функций). Действительно, пусть множество Е d @, 1), | Е \ = 1,
таково, что 2Мт(#)фт@ принадлежит С при t?E. Для каждого
t?E определим V посредством равенства
фт(Офт(*о) = фт@ (/П= 0, 1, 2, . . .)•
При этом преобразовании двоичные интервалы одного и того же
ранга меняются местами. Поэтому очевидно, что преобразование

8. РЯДЫ РАДЕМАХЕРА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 353
сохраняет меру .всех открытых множеств, а также (переходя
к дополнениям)—всех замкнутых множеств и, наконец, — всех
измеримых множеств. В частности, множество точек /' также
имеет меру 1.
Разобьем ряд 2j Am (х) фт (/) на «пачки» Pk = ^Ат (х) фт (t).
В силу только что сделанного замечания ряды
принадлежат С для почти всех t (ибо существует. такое t0, что
числа (фт(^о)} образуют нужную нам последовательность из ±1).
Следовательно, ряды Ро + Я2 + Я4 + ... и Pi + ^з + ^5 + ... при-
принадлежат С для почти всех t. Но оба ряда имеют лакуны,
и теорема A.27) гл. III показывает, что последовательность
{snK t (х)} сходится равномерно по х для почти всех t.
Докажем теперь теорему несколько иного характера.
(8.37) Т е о р е м а. Если радиус сходимости степенного ряда ^\ anzn
равен 1, то почти все функции
не могут быть аналитически продолжены через дугу окружности \ z \ = 1.
Допустим, что для каждого t из некоторого множества Е положительной
внешней меры существует дуга (а, Р) окружности |z| = l и два положитель-
положительных числа 6, М, такие, что в области
А: 1—26<г<1+26, a—6<9<P + 6
функция ft (z) регулярна и численно по модулю не превосходит М. Числа а,
р, М, 6 зависят от t, но считая их рациональными, мы можем так выбрать
подмножество множества Е—будем обозначать его по-прежнему, Е—также
положительной внешней меры, что эти числа уже не будут зависеть от t ?Е.
Пусть А* обозначает область 1—6 < г<; 1, а < 9< Р, и пусть е>0
настолько мало, что каждый круг с центром в точке г ? А* и радиуса 8
содержится в А. По теореме Коши
' / ч МР-
1/Р)B)К—1Г<СРРР Для Р=1.2, ..., t?E-;z?A*.
Пусть %ZDE—множество всех t, для которых эти неравенства выпол-
выполнены. Ясно, что % измеримо (даже В-измеримо) и | % \ > 0. Но при |г[<1
/(,p)(z) = 2MVi@ c bn = ann(n-l) ... (n-
о
и таким образом, применяя (8.3) с Х = 2 и предполагая р достаточно большим,
получаем
23 А. Зигмунд, т. I

354 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
В частности (устремляя г к 1), имеем
апп{п—\) ... (л—р + 1)<21/2СРрР.
Положим р = [г|/2]-|-1, где 0<г]<1. Для достаточно больших п
\ап\{п A—T])}nT1 2
и, таким образом,
при г] фиксированном и достаточно малом. Следовательно, радиус сходимости
ряда ^ апгП больше 1, что противоречит предположению. Теорема доказана.
Случайное расположение знаков ± 1 в тригонометрическом ряде тесно
связано со случайным расположением множителей 0,1. т. е. со случайным
выбрасыванием членов. Достаточно заменить уп (t) в (8.11) на
0). (8-38)
Функции ф?М принимают значения 0,1, причем каждое из них—на мно-
множестве меры 1/2-
В двух следующих теоремах через Т будет обозначаться линейный метод
суммирования, удовлетворяющий условиям (I), (II) и (III) регулярности
(см. гл. III, § 1), а через Т*—линейный метод суммирования, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям (I) и (III).
(8.39) Теорема (I). Если ряд ^ сп суммируем методом Т и если
2 \сп\2<со, то ряд
2 i) (8.40)
Т-суммируем почти всюду.
(II) Обратно, если ряд (8.40) суммируем на множестве Е положительной
меры некоторым методом Т*9 то 2 сп Т*'-суммируем и ^] I сп |2<оо.
Утверждение (I) получается немедленно, так как, в силу теоремы (8.2),
2 спфп @ сходится и, следовательно, Т-суммируем почти всюду. Стало быть,
и ряд (8.40) Г-суммируем. Для доказательства утверждения (II) заметим, что
если Е—множество всех точек, где Г*-суммируем ряд ^] ЗД*> то мера Е
должна равняться 1. В самом деле, при замене t на t-\~p/2<i изменяется
только конечное число членов ряда (8.40), и, таким образом, множество Е
инвариантно относительно сдвигов на р/2з. Это означает, что средняя плот-
плотность Е на каждом из интервалов вида
одна и та же и равна \Е\. Так как | Е \ > 0, то теорема о точках плотности
утверждает, что относительная плотность Е на некотором интервале /Р) q
должна быть сколь угодно близка к 1. Следовательно, |?| = 1. Пусть ?* —
множество, симметричное с множеством Е относительно точки t = 1/%. Так как
11 ?* | = 1, то существует to?EE*. Складывая ряды (8.40), соответствующие
значениям t = t0 и * = 1—*0> и замечая, что <рпA—^0) = —4>п(*о) Для всех я,
мы получаем Г*-суммируемость ряда ^ сп- Следовательно, ряд ^ сп фп @
Г*-суммируем на Е, и из теоремы (8.2) следует, что 2lcnl2<°°-
(8.41) Теорема. Пусть 2 (агН~^) —°°- Тогда для любого метода сум-
суммирования Т* и для почти всех f ряды
2 (ап cos пх+Ьп sin пх) ф* (t) = ^Лп (х) ф* (t) (8.42)

9. РЯДЫ С «МАЛЫМИ» ЛАКУНАМИ 355
не суммируемы Т* при почти всех х. В частности, почти все ряды (8.42)
не являются рядами Фурье.
Если бы первое заключение было неверно, то существовало бы множество
X, | X | > 0, такое, что для каждого х0 ? X ряд ^ Ап (*о) Ф« @ суммируем Т*
на множестве точек t положительной меры. Отсюда, в силу (8.39) (II), выте-
вытекало бы, что 2 А&(хо) <°°» а также^ что 2 (а/г+ &п) < °°» что противо-
противоречит предположению теоремы.
В случае 2(a? + &rt)<°° между рядами (8.11) и (8.42) оказывается
меньше аналогии. Так, в силу (8.34), почти все ряды ^j фп (t) n sin nx
являются рядами Фурье от непрерывных функций, в то время как почти все
ряды ^ Фп @ п~х sin nx являются рядами Фурье от разрывных функций,
потому что функция 2 п~г sm nx разрывна.
9. Ряды с «малыми» лакунами
Это название дано рядам вида
2 (ctk cos nkQ + bh sin nkQ),
где индексы ni< n2< ... удовлетворяют неравенству
nk+i — nk>q>0 для ?=1,2...,
т. е. растут не медленнее арифметической прогрессии с разностью
q. Очевидно, следует рассматривать лишь случай q>\. Все
лакунарные ряды (см. § 6) принадлежат этому классу (по край-
крайней мере после отбрасывания первых нескольких членов), обрат-
обратное же неверно.
Теоремы о лакунарном ряде, доказанные в § 6, показывают*
что если он «ведет себя хорошо» на множестве Е положительной
меры, то он «ведет себя хорошо» и на @, 2я).
Теперь мы покажем, что если Е представляет собой доста-
достаточно большой интервал, то некоторые аналогичные заключения
имеют место и для рядов с малыми лакунами. Нам будет удоб-
удобнее записывать ряды в комплексной форме.
(9.1) Теорема. Пусть
N
— конечная сумма, где
nk+i-nh>q>0 (? = 0,1,...), (9.3)
и пусть I — интервал, длина которого больше 2n/q, т. е.
23*

356 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Тогда
^\^, (9.4)
, (9.5)
где Aq зависит только от 6.
Этот результат имеет место для бесконечного ряда (9.8), если
он сходится равномерно.
Неравенство (9.4) в некоторой степени напоминает первое
неравенство F.6); имеется сходство и в доказательствах. Для
доказательства (9.4) надо показать, что при соответствующей
функции X, интеграл \ |Р|2х^0 мажорирует произведением неко-
i
торой фиксированной постоянной на 2|^!2- В лакунарном слу-
случае мы имели X = 1 на /. Разреженность членов лакунарного
ряда позволяет провести доказательство, основываясь на наиболее
очевидном свойстве коэффициентов функции X (доопределенной
нулем вне /), состоящем в том, что 2|Уй|2< °°- В нашем слу-
случае потребуется, как это будет видно ниже, по крайней мере,
чтобы S I Yfe I < °°» это свойство не имеет места для разрывных
характеристических функций; поэтому мы будем вынуждены
выбрать функцию X иным образом.
Хотя мы не заинтересованы в обобщениях ради них самих,
гно доказательство теоремы (9.1) будет удобнее вести, если не
предполагать, что nk — целые числа. Одновременное преобразова-
преобразование 0—>с0, nk—>nk/c не изменяет ни Р, ни правую часть в (9.4)
и в (9.5). Так как мы можем также предполагать, что интервал
/ симметричен относительно точки 0 = 0 (если 0О — середина /,
то преобразование 0 —0О не изменяет \сп\), достаточно взять
Пусть X — действительная функция, равная нулю вне /, и y {и) —
ее преобразование Фурье (стр. 22). Тогда
-эх -°°
' (ПЬ — Пъ) >
(9.6)

9. РЯДЫ С «МАЛЫМИ» ЛАКУНАМИ 357
где штрих указывает на то, что суммирование ведется по всем
/ Ф k. Если функция х ограничена, скажем не больше М, а выра-
выражение в фигурных скобках больше некоторого положительного
числа Г, зависящего только от 6, то, сравнивая крайние члены
неравенства (9.6), получаем
— Я
т. е. (9.4) установлено.
Покажем, что наши дополнительные условия действительно
могут быть удовлетворены. Положим
% (х) = 2я cos у х для | х | < я, х(х)=0 в остальных точках.
(9.7)
Тогда
/ ч 4 cos ли
У(и) = 1-4И» ;
так как | nh — пг |> | k —1\ q, то
со
2 <
() ^ 4/2-1
I 2=1
-1
2/—1 2/ + 1
/=1
Отсюда следует (9.4) с Лб =2я A +6J/4б B + б)< Л A +6).
Для доказательства (9.5) обозначим через \Cj\ наибольшее
из \ck\- Тогда, используя (9.8), имеем
+ОО
± \ x
к
\ck\\y(nj — nh)\>\Cj\ I 4—-
Так как левая часть здесь не превосходит \ | Р \ dx, то отсюда
—эх
следует (9.5), где Лб то же, что и раньше.
Неравенство, противоположное (9.4), также справедливо. Оно
проще устанавливается и имеет место при более общих предпо-
предположениях.

358 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
(9.9) Теорема. Пусть Р и {пъ) — те же, что и в (9.1),
и пусть J — интервал, длина которого равна 2nv\/q, где ц > 0.
Тогда
\21\ch\*. (9.10)
Мы можем предположить, что q = \. Неравенство (9.10) следует
из формулы Парсеваля, если Пд —целые числа и, скажем, |У |<2я.
Действительно, в этом случае левая часть не больше, чем
щ
о
Для доказательства неравенства (9.10) в общем случае заме-
заметим, что в последнем члене в (9.6) 2'<Y@)- Следовательно,
—я
, 1"
2
Эта же оценка имеет место для интеграла от | Р р по любому
интервалу длины я и приводит к (9.10) при т| = 1, а также и при
т|<1 (сВ^г)-^).
Если т] > 1, то разобьем / на конечное число интервалов Д,
длины которых заключены между я и 2я; заметим, что левая часть
в (9.10) не превосходит наибольшей из дробей 1Д1 \ | P\2dx.
А
Таким образом, теорема (9.9) доказана, причем ВТ1<ЛA+т) х).
Из теоремы (9.1) без труда выводится следующее обобщение F.16).
(9.11) Теорема. Если радиус сходимости R степенного ряда
^nh nk->oo, (9.12)
равен 1, то функция f не может быть аналитически продолжена через дугу
окружности | z \ = 1.
В самом деле, предположим, что замкнутая дуга / на |z| = l есть дуга
регулярности функции /. Тогда существуют такие постоянные С, б, что
(ср. с аналогичными рассуждениями на стр. 353)
|/<P>(z)|<CPp!<CPpP для р=1, 2, .. .,'9 ^ /, 1—6< г< 1.
Отбросим несколько первых членов ряда (9.12), возможно, изменяя значе-
значение С так, чтобы стало возможным применить неравенство (9.5) к функции

10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ САЛЕМА 359
Р (9) = //р> (relQ). Устремляя г к 1, получаем
\ch\nk (лл-1) .:. (лл-р + 1)< А Ш -^r \ \ f^(reiQ) |
Г-+1 Ml ^
Таким образом, имеем p = [flfce]-fl и при достаточно большом k
hm|cA| А
если 8 достаточно мало. Отсюда вытекает, что R > 1 и полученное противо-
противоречие доказывает теорему (9.11).
Фактически здесь доказано больше, чем явно сформулировано, именно: если
\im(nk+i—%
то каждая дуга окружности |z| = l, длина которой больше, чем /у
(и, следовательно, также каждая дуга, длина которой равна 2я/у), содер-
содержит по крайней мере одну особую точку функции /.
10. Степенные ряды Салема
Вернемся к теореме (8.34). Она, разумеется, имеет место
и для степенных рядов. Следуя Салему, мы сформулируем это
утверждение следующим образом:
(ЮЛ) Теорема. Пусть г1ч г2, ... —последовательность поло-
положительных чисел, стремящихся монотонно к нулю, такая, что
2^"п сходится и что последовательность {1/гп} вогнута. Тогда
существует последовательность чисел гп, \ гп \ = 1, таких, что ряд
2 e/nein3C сходится равномерно1).
Примеры последовательностей {гп}, удовлетворяющих этому
предположению, следующие:
n-^ilnn)-112'*, /i-ViflnfO-^lnln/i)'2"8, ..., и т. п.,
где е > 0 и п — достаточно велико. Множители гп не равны ± 1, и
мы ничего не знаем о множестве допустимых последовательностей
{гп}, за исключением того очевидного факта, что оно имеет мощ-
мощность континуума.
Мы можем предположить, что гп=г(п), где г (и) монотонно
убывает и дифференцируема, а 1/г(и) вогнута. Сходимость ряда
оо
2 гп эквивалентна сходимости интеграла \ r2(u)du.
1
х) При гп, монотонно убывающих к нулю, и {\/гп} выпуклой теорема
немедленно следует из (8.34). В самом деле, тогда 1/гп>шг, где а>0—
фиксированное число, гп = О A/я), предположения теоремы (8.34) выполнены,
и мы можем взять в качестве {гп} почти любую последовательность состав-
составленную из ±- 1.

360 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Доказательство теоремы A0.1) основано на некотором расшире-
расширении леммы ван-дер-Корпута, доказанной в § 4, на выражения
вида
ъ
I{F\a,b)=^r(u)F(u)du, S(F;a,b)=
где г (и) — положительная убывающая функция, aF (и) = ехр 2nif (и).
Некоторые из этих обобщений являются непосредственными след-
следствиями случая г= 1, другие менее очевидны.
Возьмем за переменную интегрирования первообразную R=zR(u)
от г (и). Это возрастающая функция от и, так что u = u(R) также
возрастает и / = \ e2nif dR с
fn = Г (и)/г (и), fRR = Г (и)/г* (и) - Г (и) г' (и)/г* (и).
Здесь г' < 0. Следовательно, fRR > /" (иIгг (и), если f (и) > 0.
Применяя лемму D.3), получаем следующий результат.
A0.2) Лемма. Если f"(u)>0 и f'(u)>0, то
| / (F; а, Ь) |< 4 max (r (u)/{f (u)}1/2).
Случай \" < 0, /' > 0 немного труднее, и мы должны будем
ввести дополнительную гипотезу, что г'If монотонна.
A0.3) Лемма. Если f < 0, f>0, и rfIf" монотонна, то*
Имеем
1 = ^ [r(u)~r(b)]F(u)du + r(b)^ F(u)du = P + Q. A0.4)
Тогда
| Q | < \r (b) max {1 /| /" (и) |1/2} < 4 max {г (и)/1 f" (и) \у%
P--L-1 r(u)-r(b) f(и)-!'(Ь) .2лти)
Г~2Ш] f'(u)-f'(b) TW) йе
а
Множитель (/' (и) —/' (b))lf (и) убывает и содержится между 0 и 1.
Производная предыдущего множителя может быть записана в виде
Г («О Г г'(») r{u)~r(b) 1
f'(u)—f'{b) L Г (и) /' (и)—Г (b) J -

10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ САЛЕМА 361
и, таким образом, имеет постоянный знак. Следовательно, при-
применяя вторую теорему о среднем к двум монотонным множителям,
получаем
IP К 2 max г<ц>-г<*> • таг. Г {и)~Г {b) -max r' 1
| F |<— max f/{u)_f/{bj-max ^ <max-^-l,
и, подытоживая все результаты, получаем A0.4).
Заменяя / на —/ (что не влияет на |У|), мы можем заменить
предположения леммы A0.3).на следующие: /" > 0, /'<0. Если
/" > 0, но ничего не предполагается о знаке /', то мы разбиваем
(а, Ь) на интервалы, на которых знак /' постоянен, и из A0.2)
и A0.3) получаем следующее предложение.
A0.5) Лемма. Если f"(и) имеет постоянный знак и г'If"
монотонна, то
| / (F; а, Ь) | < 8 max (г/| /" |1/з) + max | г'If" |.
Замечание. Член max | r'If" | здесь необходим. Возьмем, на-
например,
Г = /', / = BШ') (^2яг/(Ь) _ е2я\№)
и предположим, что f (и) неограниченно растет вместе с и\ пусть
f(b) = f(a) + Y' Тогда |/| = 1/я. Но взяв, например, / = 1п1гш,
мы видим, что max (r/\ f" |1/2) на (а, Ь) стремится к нулю при а—» оо.
A0.6) Лемма. Если f (и) монотонна и \f'\<C1/2i то
|/(F;a, b)-S(F; а, Ь)\ <Лтахг(^).
Здесь Л —абсолютная постоянная. Действительно, приг(&) = 1
эта лемма сводится к D.4). Общий же случай сводится к этому
после применения второй теоремы о среднем к равенству
ъ
I-S=[r(u)F(u)d%(u),
а
где функция % определена так же, как в § 4.
A0.7) Лемма. Предположим, что f"(и) имеет постоянный
знак, a rr/f" и r/\ f" |1/2 монотонны. Тогда
\)du, A0.8)
где А —постоянная, фигурирующая в A0.6).

362 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
Доказательство аналогично доказательству D.6). По предполо-
предположению, /' монотонна, скажем, возрастает. Пусть ak определено
при помощи условий /' (ak) = k — V2 при k целом, и пусть аг, <xr+i,...
. ..,аг+в — точки а из интервала а<а<6, если таковые сущест-
существуют. Рассмотрим значения а, аг, аг+1, ..., ar+s, Ь величины а,
которым соответствуют значения
Г (а), г-*!* r + V2,..., r + s-42, Г (Ь)
величины v = f {и). В интервале (а&, aft+i) имеем | f — k | < 1/2-
Пусть
Sk = 2 Г (П) e2rti/(n) = 2 r(M)e2jti</(n)-fen}e
ah<n^ah+l ak<n^ah+l
Так как (f-uk)'=f'-k, {f-uk)" = f", то из A0.5) и A0.6)
получаем
max (r/| f |V2) + max | r'If" \ + A max r, A0.9)
где максимум берется по aA<w<aft+i. A0.9) имеет место также
и для неполных интервалов (а, аг) и (ar+s, 6).
Пусть теперь ф (и) — произвольная положительная монотонная
на (a, b) функция, скажем убывающая; рассмотрим сумму
a (a, b) = 2 тах Ф (и) = Ф (а) + Ф (аг) + • • • + ф
которая распространяется также и на интервалы (а, аг) и (ar+s, b).
Если мы введем новую переменную v = f (и), тоф(а) превратится
в убывающую функцию Ф(и) и а будет равно
r+S-l/a
Г-1/2
Г (а)
Так как f{u) положительна и монотонна, то
ь
а<2тахф4- \ yf"du.
a
Отсюда и из неравенства A0.9) получаем A0.8) (конечно, можно
опустить член \г'\ справа, увеличив величину Л на 1).

10. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ САЛЕМА 363
Переходим теперь к доказательству теоремы A0.1). Рас-
Рассмотрим ряд
2г(/1)е2я«*<п>+пЧ A0.10)
1
где
оо и со
g"(u)=r*(u)/\jr*(t)dt, g(a) = j ln( JrM*)*» (и>1),
и I v
и применим к нему оценку A0.8) с f(u)=g{u) + ux. Так как
f" (и) =g"(u), то оценки равномерны по х. Покажем, что 5 мало
для больших а и Ь> а.
Далее, г (и) {/" (и)}~1/2 = С \ r%dt j убывает и стремится к
и
нулю. Величина
|r'|/f = |r'|r
= |r'|r
U
также монотонно убывает к нулю, так как \т'\г 2~{\/г)' поло-
положительна и убывает, поскольку функция 1/г вогнута. Таким
образом, первые три члена справа в A0.8) малы при больших а.
Наконец, в силу вогнутости 1/г, имеем
Следовательно, rf" = r3 / \ r2dt<\r'\u интеграл в A0.8) не пре-
превосходит
ь
$|r'|d«<8 J
что мало для больших а. Следовательно, ряд A0.10) сходится
равномерно, откуда следует A0.1) с гп = 2г^\

364 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Если ап = гп/п и {гп} — положительная убывающая последователь-
последовательность, то частичные суммы tn ряда ^ansinnx положительны при 0<л:<я.
[Применить преобразование Абеля и использовать теорему (9.4) гл. П.]
2. Если 2 (ak cos kx~\-bk sin kx) = ^ Ak(x) есть ряд Фурье, то ряд
2 Ak (x)/\nk сходится в метрике L. Это утверждение справедливо и для ряда
2 Bk(x)/(lnk)iJ[~e при е>0, но не при 8 = 0.
[Рассмотреть ряды 2 cosnx/lnn и ^ sin лх/^пяI^8.]
3. Пусть {ап} положительна, выпукла и монотонно убывает. Тогда моди-
модифицированные частичные суммы tf* = i/2 (tn~\-tn-i) РяДа 2 йп s*n nx поло"
жительны при 0<а:<я. Для tn это может быть неверным.
Дважды применить преобразование Абеля и использовать тот факт, что
Km>0, Dm>0 внутри @, я). Для отрицательного утверждения рас-
рассмотреть ряд ^ rmsmmx, п = 2, r >-о~.
4. Пусть
n=l
где k=\, 2, ..., а /г—такая постоянная, что 0</гЯ<я. Показать, что Rk
обращается в нуль на (/г/г, л) и является полиномом степени k—1 в каждом
из интервалов ((k—2)h, kh), [(k—4)h, (k—2)h]y . .. (при k=l, 2, см. стр. 25).
[Рассмотреть функцию Bk (x) (стр. 75) и разность &-го порядка
Bk (x+kh)-( \^)Bh (x+(k~2) h)+...±Bk (x-kh).
Этот результат может быть также получен последовательным применением
теоремы A.5) гл. II к Ri(x).]
5. Пусть hi, h2, ...,hs ...—положительные числа, ^] ^s < °°- Пусть
оо
RW="+2 ancosnx, где «п^
n=l s
Функция R (х) имеет производные всех порядков и непостоянна. Если
d = hx — (^2+^з+•••) положительно, то R (х) постоянна на @, d). Если
h = hi-jrh2+... О, то R(x) = 0 на (h, я); см. Мандельбройт [2].
[Заметить, что ах ф 0, ап = О (n~k) при любом фиксированном k.]
6. Если ап монотонно убывают к нулю и если ^ ап sin nx ? L, то
2 Q>n cos nx 6 L.
[2 <v < оо.]

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 365
7. Если {ап} положительна, выпукла и стремится к нулю, то суммы
рядов 2 апcos пх и 2 пп sxn nx имеют непрерывные производные внутри
интервала @,2л;).
[Ряд'2 aneinx, продифференцированный почленно, равномерно сумми-
суммируется (С, 1) на каждом отрезке, внутреннем к @, 2я).]
8. Пусть ап — косинус-коэффициенты функции f(x), такой, что функция
/ (*) In 1/ | * | интегрируема на (—я, я). Тогда ряд ^ ап1п сходится и
сю 2Я
^-J я
n=l О
В частности, это имеет место для таких функций f, что / 1п+ 11 \ ? L. (Харди
и Литтлвуд [2].)
[Умножить обе части первой формулы B.8) гл. I на f (х) и проинтегри-
проинтегрировать по (—я, я). Эта операция законна, потому что частичные суммы ряда
2 (cos nx)/n равномерно имеют порядок 0Aп1/|*|) в окрестности точки
х=0 (см. B.28)).]
9. Пусть ui > а2 > ... -> 0, а± > 0, и пусть tn (x) — частичная сумма
ряда ^iavs[nvx, g (x) = \imtn(x). Тогда
(I) \img(x)/x=^1vav (даже если ряд справа расходится). В частности,
функция g (х) строго положительна в некотором полуинтервале 0 < x<^ б.
(II) Существует полуинтервал 0<л:<^6, в котором все tn строго поло-
положительны (Хартман и Винтнер [1].)
(I) Пользуясь A.13), имеем
v=l
Так как члены последнего ряда неотрицательны и сомножитель при Aav
1 / 1 Л2
асимптотически равен — ( v-j--n- ) х при jc —»- —J— 0, то мы получаем
hm g (x)/a:=—— «i-f-— V f v-|—^~ ) Aav, и применение преобразования
Абеля показывает, что это выражение есть ^ vav. I
10. Если «! > а2 >...-> 0, «! > 0, g (х) — 2 av sm vx, 0 < Y < 2, то
х~уё (х) € L@, я) тогда и только тогда, когда ряд 2 vY~lav сходится.
(Боас [1, III], Хейвуд [2]; обобщения см. Алянчич, Боянич и Томич [I].)
Рассмотреть формулу (*) из примера (9). Так как интеграл от
х~у 1 — cos ( v -|—— ) х \ ( 2 sin-^-x J по @, я) имеет точный порядок vY
[доказательство то же самое, что и в A2.1) гл. II], то х~у g (x) принадле-

366 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
жит L @, я) тогда и только тогда, когда 2vYAav<°°> или, что то же
самое, 2 vY-1av < оо.
11. Пусть b (и) — слабо колеблющаяся функция. Тогда в обозначениях B.7)
и в предположении 1 < у < 2 справедливы формулы
/vW-fr (О)-^ Ь(х~1)Г(\-у) sin-i-rtv,
gy (х) ^хУ~Ч (*-i) Г A—у) cos i- ity,
аналогичные формулам B.8) (см. также замечание на стр. 303).
[Положить y=P+1 и интегрировать соотношение B.8) вблизи точки
х — 0. Повторяя эту процедуру, получим аналогичные соотношения при
k<y<k+\, k = 2, 3, ....]
12. Если Ь (и)—слабо колеблющаяся функция, то в тех же обозначениях»
что и выше, справедливы соотношения
g2(x)~xB(\/x), g2
Последние два соотношения имеют силу соответственно в зависимости от
того, расходится ли ряд 2 Ьп/п или сходится.
[Проинтегрировать B.13) и B.16). При доказательстве (I) нужен следую-
следующий факт—легко получаемый дифференцированием — если 6 (а) —слабо колеб-
колеблющаяся функция, то такова же B(u)(R(u))t при ^bjn расходящемся
(сходящемся). С помощью аналогичных рассуждений получаются формулы
для fk и gk при & = 3, 4, ... .]
13. При а=1 сумма фа (х) ряда D.1) принадлежит классу Л*. (Уже было
указано, что она не принадлежит Ai). При-^-а+Р^ сумма г|?а, р (*) ряда E.1)
принадлежит классу Л*.
14. Если у>0, 6>y(l+Y)> то ряд
2
сходится равномерно на окружности |г| = 1. (Ингам [2].)
[Доказательство идет тем же путем, что и в § 4. Имеем
2 v-1/2exp[2ju (v (In v)Y+'*v*)]< A (In/гI/2<1+^)/J
2
Периодическая и интегрируемая функция / (х) называется функцией с огра-
ограниченным отклонением (Адамар), если для каждого фиксированного интер-
ь
вала (а, Ь) справедливо соотношение \ fe~inx dx—O (\/n). В частности, коэф-

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 367
фициенты Фурье таких функций имеют порядок 0A/п). Каждая функция
с ограниченным изменением является функцией с ограниченным отклонением.
Примеры функций с ограниченным отклонением, но не с ограниченным изме-
изменением были даны Алексичем [2], Бреем (см. Мандельбройт [1]) и Хиллом [3].
15. Функция х sin A/x) (| х\ <^ я) имеет ограниченное отклонение (Брей;
см. Мандельбройт [1]).
[Достаточно показать, что интеграл от xexpi(nx± 1/х) по любому интер-
интервалу, содержащемуся в @, я), равномерно имеет порядок ОA/п). Подстановка
х2 = и сводит этот интеграл к интегралу от ехр (аш1//2± и~1/2) по интервалу
(с, d) из @, я2). Можно предположить, что с>С/я, так как интеграл па
интервалу @, С/я) имеет порядок О(\/п). Для соответствующего С производ-
производная от пи1/* + w~1/2 на (С/п, я2) монотонна и больше, чем С±п. Приме-
Применить D.3) (I).]
16. Показать, что если в лакунарном ряде 2 (ak cos лл*+^л sin n^x)
имеем | ад |-f-[ bu | = ОA/ла), то сумма f (х) этого ряда имеет ограниченное
отклонение. Однако это не обязательно функция с ограниченным изменением,
как показывает пример функции /(*)=2 2~k cos 2kx, не дифференцируемой
почти всюду (Хилл [3]).
17. Предположим, что для лакунарного ряда, имеющего вид f(x) =
==y^j(ak cos nkxJr^k sm nkx), сумма | 2 (I ah I + I bk I) конечна, но сумма
^nk(a\-\-bk) бесконечна. Тогда f (x) почти нигде не дифференцируема.
[Ср. стр. 331].
18. Предположим, что ^ (I ап 1 + 1 Ьп \)/п сходится, но ^] (сг^-\-Ь^) рас-
расходится. Взять, например, ап=п~1'2, Ьп=0. Тогда почти все непрерывные
функции
2 i п~Чап cos rtx-\-bn sin nx)
почти всюду не дифференцируемы.
19. Заключение в примере 7 неверно, если {ап} просто монотонно убывает
к нулю. Суммы рядов 2 апcos пх и 2 йп sm nx МОГУТ быть тогда почти
всюду не дифференцируемы.
[Применение преобразования Абеля дает
2 ancosnx=Bslny)^] Ao^sin Bn+l) у,
с у=:1/2х. Рассмотреть случай, когда последний ряд является лакунарным,
и использовать упражнение 17.]
20. Если n^+i/^ft^3 и 2а1<.°°» то произведение Рисса
[] A+ak cos nkx) = 1 + 2 Уп cos nx
представляет собой ряд Фурье функции /, обладающей тем свойством, что
ехр (A, (In | /1J интегрируема при любом Х>0. В частности, / ? 1> при
любом р >0
21. Рассмотрим произведение J| A+a^ cos n^x), где
Тогда уже нельзя утверждать, что частичное произведение р^ есть частичная

368 ГЛ. V. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
сумма для Pfe+i, но порядок наименьшего члена в Pk+i — Pk стремится к бес-
бесконечности вместе с k, В частности, р^ стремится почленно к тригонометри-
тригонометрическому ряду. Последний есть ряд Фурье — Стильтьеса непрерывной, неубы-
неубывающей функции (Винер и Винтнер [1].)
22. Обозначим через Кт ядро Фейера. N— частичное произведение для
с»
произведения Рисса ?] A -f-cos 2П*) равно 2/С N (x) и, таким образом, оно
стремится почленно к l-}-2cos х-\-2 cos 2л:-f-... —ряду Фурье — Стильтьеса
разрывной функции (Винер и Винтнер [1].)
23. Предположим, что nk+i/nil > q > 2, | ak | <; 1, dF ~ ?] A -f-afc cos щх).
Показать, что F ? Аа, где a=l — In 2/\nq.
24. Пусть — 1<а^<: 1, ^ а1==0°- Показать, что для почти всех последо-
последовательностей, составленных из ^ 1, произведение П A i c^ cos&x) расходится
к нулю почти всюду по х.
25. Предположим, что—1< а&-<+ 1, 2 aI~ °°» nk+i/nk^ 3- Показать,
что тригонометрический ряд, представляющий JJ (l-f-Шд cos n^x), расходится
почти всюду [ср. G.12)].
26. Пусть М—некоторый (не обязательно линейный) метод суммирования
рядов Uq-\-u^-\- ..., обладающий следующими свойствами: (а) если ^| ип
сходится к числу s, то он также М-суммируется к s; (b) если 3jj un и 2 Vn
М-суммируются к *s и t соответственно, то ^ (aun-\-bvn) М-суммируется к
as-{-bt\ (с) если ио+и1 + и2+• • • -^-суммируется к s, то ряд w1+a24-...
М-суммируется к s—u0. Показать, что ряд
(*) cos a:+cos 2х-\- ... +cos 2пх-\ ...
не может М-суммироваться ни на каком измеримом множестве Е d @, 2я),
|?|>0, к конечной измеримой сумме (Колмогоров [4]).
[Предположим, что ряд (*) М-суммируем на ?, | Е \ > 0, к измеримой
сумме /(*)• Так как из суммируемости (*) в точке х вытекает суммируемость
в точке 2kx, то |?|=2я. В частности, / (л:) ограничена на множестве HczE,
мера которого как угодно близка к 2я. Пусть %(х) — характеристическая
функция Я, и пусть Hpf—множество, характеристическая функция которого
есть %BNx). По теореме D.15) гл. II, | HHN\ —>- \ Н2 |/2л, и таким образом,
при соответствующем Н и достаточно большом Nt \ HH^ \ произвольно близка
к 2я. При x?HHfl имеем
/ (a:) = cos х+ .. . +cos 2N~{ x + f, BNx),
и мы приходим к противоречию, так как / (*) и / B^) ограничены на ^,
в то время как, в силу (8.25), сумма, cos х-\-... -J-cos 2N~{x велика вместе
с N на большой части интервала @, 2я), и, таким образом, в некоторых точках
множества НН}
27. Пусть Е с @, 2я), | Е \ > 0, nk+i/nk>q>\,

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 369
Показать, что существуют две положительные постоянные %q и \iq, зависящие
только от q и такие, что
на подмножестве Е, мера которого не меньше, чем jj,g|?|, при условии, что
«1 достаточно велико.
[Доказательство аналогично доказательству (8.25). Сначала показывается,
что
Е
при условии, что л4 достаточно велико. Это вместе с первым неравенством F.6)
(имеющим место при замене Р на ?) дает \ \f\dx^Bqy\E\. Так как
Е
^ J ^
Е Е Е
где х—характеристическая функция множества Е, и так как последний интеграл
мал по сравнению с у» если п1 Достаточно велико, то мы видим, что
\ /+ dx > -^- Б^ | Е !• Сопоставляя это с тем, что
[см. F.6)], и применяя (8.26), получаем наше утверждение для /+].
24 А. Зигмунд, т. I.

ГЛАВА VI
Абсолютная сходимость
тригонометрических рядов
1. Общие ряды
Из абсолютной сходимости комплексного тригонометрического
ряда 2 ckeikx (в частности, степенного ряда, рассматриваемого на
единичной окружности) в индивидуальной точке х0 следует сходи-
сходимость ряда 2 | ck I и, таким образом, абсолютная (и равномерная)
сходимость ряда 2 cheikx для всех х. Для ряда
^2 inkx) = % Ak(x) A.1)
положение менее просто. Из сходимости ряда
со
2da*i+i**i) (L2>
естественно следует абсолютная (и равномерная) сходимость
ряда A.1) при всех х: но, с другой стороны, ряд A.1) может
абсолютно сходиться на бесконечном множестве точек и в том
случае, когда ряд A.2) расходится. Примером может служить ряд
члены которого, начиная с некоторого, обращаются в нуль для
всякого х, соизмеримого с я.
A.3) Теорема Д анжу а—-Л у з и на. Если ряд A.1) абсо-
абсолютно сходится на множестве А положительной меры, то ряд A.2)
сходится.
Предположим для простоты, что ао = О, и запишем k-й член
ряда A.1) в виде QAsin (kx + xk), где Qh = (a\ + b%)l/2 > 0. Функция
со
A.4)

1. ОБЩИЕ РЯДЫ 371
конечна при любом х^А. Следовательно, существует множество
Е d А, | ? | > 0, такое, что а (х) ограничена на Е, скажем, а (х) < М.
Так как частичные суммы ряда A.4) равномерно ограничены на ?,
то ряд можно проинтегрировать почленно по Е:
jj \ \ = J a(x)dx<M\E\. A.5)
k=i E
Для доказательства сходимости ряда q4 + q2 + ..., что эквива-
эквивалентно сходимости ряда A.2), достаточно показать, что все мно-
множители при Qk в формуле A.5) превосходят некоторое число 8 > 0.
Этот факт становится очевидным, если заметить, что при замене
подинтегральной функции на sin2 (kx + xk) интеграл не увеличи-
увеличивается и что полученный в результате этой замены интеграл,
стремится к 1/2|?| [гл. II, D.5)].
A.6) Теорема. Пусть \ at | > | а2 \ > ... . Тогда
(I) Если ряд ^]ancosnx абсолютно сходится в некоторой
точке х0, то 2lan|<°°-
(II) Это же утверждение имеет место и для ряда 2 ansmnxr
если ХофО (mod л).
В случае (I) мы можем предположить, что 0 < х0 < зх. Из пред-
предположения вытекает, что 2 I an I cos2 пх0 < оо. Утверждение тео-
теоремы следует из того, что 2 cos2 пх0 = 1 + cos пу0, с у0 = 2х0, и того,
что частные суммы ряда 2 I an \ cos ny0 ограничены. Утвержде-
Утверждение (II) доказывается аналогично.
A.7) Теорема. Пусть Qn = (al + b2nI/2. Если Qi>Q2>...
и если ряд 2 An {*) сходится абсолютно в двух точках х' и х",
для которых \ х' — х" \ < зх, то 2 Qn < °° •
Запишем ряд A.1) в форме ^Qnsm(nx + xn) и положим
t = x' — х". Так как
nt = (пх' + хп) — (пх" + хп),
то
| sin nt | < | sin (nxr ¦+ xn) | +1 sin (nx" + xn) |; A.8)
таким образом, ряд 2 Qn I sin nt \ сходится, откуда, в силу A.6), (II)
и следует утверждение A.7).
Очевидно, теоремы A.6) и A.7) останутся справедливыми, если
мы будем лишь предполагать, что {| а^ |} и {Qn} соответственно
имеют ограниченное изменение.
Множество А в теореме A.3) имеет положительную меру.
Это свойство, будучи достаточным для обеспечения сходимости
24*

372 ГЛ- VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ряда A.2), не является, однако, необходимым. Проблема, состоя-
состоящая в том, чтобы охарактеризовать те множества Л, для которых
из абсолютной сходимости ряда A.1) на А вытекает конечность A.2),
все еще не решена. Впрочем, некоторую ясность в положение дел
вносят следующие результаты.
Предположим, что Qi + Q2+...=°o для ряда A,1); пусть
А— множество всех точек, в которых а (х) конечно. Дополнитель-
Дополнительное множество имеет тип G6 [см. доказательство теоремы* A2.2)
гл. 1]. Следовательно, Л есть множество типа Fo, т. е. пред-
представляет собой сумму счетного числа замкнутых множеств, при-
причем ни одно из этих замкнутых множеств не содержит интервала,
так как в противном случае мы бы имели | А | > 0 и Qi + Q2+ • • •
... < оо. Отсюда следует, что все они неплотны и А — множество
первой категории. Таким образом, приходим к следующей теореме.
A.9) Теорема. Если ряд 2Лп(х) абсолютно сходится на
множестве второй .категории (хотя бы и меры нуль), то ряд
,A.2) сходится.
Множество А всех точек, где ряд ЪАп (х) абсолютно сходит-
сходится, обладает рядом любопытных свойств. Обозначим через А мно-
множество всех точек абсолютной сходимости ряда 25n(x), сопря-
сопряженного с 2>Ап(х), и через С и С соответственно множества всех
точек сходимости, не обязательно абсолютной, рядов 2ЛП (х)
и ИВп(х). Удобно располагать эти множества на единичной ок-
окружности.
A.10) Теорема. Каждая точка из А есть точка симмет-
симметрии для множеств Л, Л, С, С.
Имеем
Ап (х + К) + Ап (х — h) = 2Ап (х) cos nh,
Вп (x + h) — Bn (x — h)= 2Ап (х) sin nh.
Из первой формулы вытекает, что если 2 | Ап (х) | < со и если
ряд ^An(x + h) сходится (абсолютно сходится), то и ряд
%Ап(х — к) сходится (абсолютно сходится). Это доказывает свой-
свойство симметрии множеств А^я С. Вторая формула дает доказа-
доказательство для множеств Л, С. __
В силу теоремы A.3), множество Л (и аналогично Л) имеют
меру или 0, или 2я.
A.11) Теорема. Если множество А бесконечно, то каждое
из множеств С и С имеют меру или 0, или 2я.
В силу теоремы A.10), если х?А и x + h?A, то все точки
x + 2/i, x + 3h, ... принадлежат А. Так как Л бесконечно,

1. ОБЩИЕ РЯДЫ 373
то h может быть сделано как угодно малым, и поэтому А всюду
плотно. Предположим, что множество С и его дополнение С
имеют положительную меру; пусть с и с' — соответственно их
точки плотности. Существует такое г > О, что для любого интер-
интервала |/|<2е, содержащего точку с, выполнено неравенство
11С | > г121 / |, а для любого интервала /, I У | < 2е, содержащего
точку с'', —неравенство \JC \ > 1/2 \J |. Пусть / = (с — 8, с+ 8);
возьмем точку хо?А, отстоящую от середины дуги (с, с') менее,
чем на 1/2е. Симметрия относительно х0 переводит множество С
в себя, а интервал / — в некоторый интервал /, |У|=2е, содер-
содержащий с'. Неравенства
\JC\>1/2\J\9 \JC\>42\J\
несовместны, что приводит к противоречию. Для С рассуждения
аналогичны.
Существует тригонометрический ряд, абсолютно сходящийся
на некотором совершенном множестве, но не всюду (см. упраж-
упражнение 1 в конце главы). С другой стороны, мы покажем, что
существует совершенное множество Р меры нуль, которое в от-
отношении к абсолютной сходимости тригонометрических рядов ведет
себя как множество положительной меры: если ряд A.1) абсо-
абсолютно сходится на Р, то ряд A.2) сходится.
Точечное множество 5 называется базисом, если каждое дей-
действительное число х может быть представлено в виде а^Ч-
+ «2*2+ • • • +UmXm, где а1? а2, ... — целые числа, xi9 x2, ...
принадлежат 5, а т зависит от х. Мы можем так^ке писать
x = e1xi+ ... +епхп,
где bj = ± 1 и xj необязательно различны.
A.12) Теорема. Если S — базис и если ЪАп(х) абсолютно
сходится *на 5, то 2q^ < оо.
Мы сведем общий случай к случаю ряда из одних синусов,
для которого это утверждение получается просто. В самом деле,
неравенство
| sin п (е^! + е2х2 + ... + гтхт) \ < | sin nxi \ + ... +1 sin nxm \
(8,.= ±1), A.13)
которое легко доказать по индукции, показывает, что если
21 bn sin nx | сходится на S, то он сходится всюду и, таким об-
образом, S | Ьп | < оо. (Рассуждения проходят и для ряда из косинусе в
2an cos nx, так как неравенство
sin п (г±х± + ... + гтхт) \ < ] cos nxt | + ... +1 cos nxm

,374 ГЛ. VI АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
показывает, что если 2\ancosnx\ сходится на S, то I>\ansmnx
сходится всюду.)
В общем случае нам потребуется следующая лемма.
A.14) Лемма. Пусть S— базис, и пусть S* = SU —множе-
—множество, получаемое из S сдвигом на и. Тогда существует такое
множество Т второй категории, что для любого у?Т имеем
где aj —целые и x*-gS* при всех /.
По предположению, для любого х имеем x=at (х* —
+ B — ") + . • • , т. е.
где k-k(xI)—целое число. Пусть Еп — множество тех х, для ко-
которых k(x) = n. Тогда по крайней мере одно из Еп, скажем
?По, есть множество второй категории, и мы можем взять в ка-
качестве Т множество Епо, сдвинутое на пои. Мы можем сказать,
что S* есть базис для Т. [Нетрудно доказать, что S* есть базис
(см. упражнение 2 в конце главы), но нам этого не потребуется.]
Переходим к доказательству теоремы A.12). Пусть v — произ-
произвольная фиксированная точка из S, и пусть x = y + v\ тогда
Ап (х) = Ап (v) cos ny — Вп (v) sin ny.
По предположению, S | An (v) \ < оо, и поэтому ЪВп (v) sin ny абсо-
абсолютно сходится на множестве S*, полученном из S сдвигом на
— V. В силу леммы A.14), S* есть базис для множества Г второй
категории. Приведенное выше доказательство для ряда из синусов
показывает, что ряд 2В„ (v) sin ny абсолютно сходится на Т и,
таким образом, для всех у [см. A.9)]. Следовательно, то же са-
самое имеет место и для ряда S {An (v) cos ny — Вп (v) sin ny} =
= 1>Ап(х). Таким образом, ряд A.2) сходится.
Вышеприведенное доказательство может быть несколько изме-
изменено, если сослаться на теорему A.3) вместо теоремы A.9). До-
Достаточно заметить, что лемма A.14) и ее доказательство сохра-
сохраняются, если заменить в них слова «второй категории» на слова
«положительной внешней меры». Так как множество точек у, в
которых 2 | Вп (v) sin ny \ сходится, измеримо, то оно имеет поло-
положительную меру, и поэтому оно совпадает со всем отрезком
[О, 2я].
*) Если одному и тому же х соответствует несколько различных значений
k(x), то можно взять любое из них. — Прим. ред.

2. МНОЖЕСТВА ТИПА N 375
В качестве иллюстрации к теореме A.12) покажем, что кан-
торово троичное1) множество С, построенное на [0, 1] (или на
любом другом отрезке) является базисом. Точнее, докажем, что
множество точек вида х + у, где х ? С, у ? С, заполняет весь ин-
интервал [О, 2].
Рассмотрим множество К всех точек (х, у) плоскости, для
которых л: б С, у g С. Множество /С может быть получено следу-
следующим образом. Разобьем квадрат 0<х<1, 0<у<1, который
мы обозначим через Qo, на девять равных частей, и пусть Q,
есть сумма четырех замкнутых угловых квадратов. Повторяя эту
же процедуру с каждым из этих угловых квадратов, обозначим
сумму новых угловых квадратов через Q2 и т. д. Ясно, что К =
= Q0Q1Q2 • • • • Проекция каждого Qj на диагональ у = х квадра-
квадрата Qo заполняет всю эту диагональ. Другими словами, каждая
прямая Lh с уравнением x + y = h, 0<A<2, пересекается с каж-
каждым Qj по крайней мере в одной точке. Так как Qj замкнуты
и образуют убывающую последовательность, то отсюда следует,
что KLh Ф 0, а эта есть как раз то утверждение, которое мы хо-
хотели доказать. Аналогично мы можем показать, что веегразности
х — у(х?С, у?С) заполняют отрезок [—1,1].
2. Множества типа Л^
Ниже мы будем неоднократно пользоваться следующим клас-
классическим результатом Дирихле:
B.1) Лемма. Пусть k произвольных действительных чисел
<z1? а2, ... , а^, и пусть Q — произвольное положительное целое
число. Тогда мы можем найти целое число q, l<g<Qfe и целые
числа рь р2, ..., Ра, такие, что
Ж
Я
q
i+i/fc (! — *¦•> *"> •••» *ч- B-2)
Пусть (х)=х — [х] обозначает дробную часть х. Рассмотрим k-
мерный полуоткрытый единичный куб /, определенный неравен-
неравенствами 0<л^< 1 (/= 1, ... , k), и разобьем / на Qk конгруент-
ных полуоткрытых кубов при помощи гиперплоскостей, парал-
параллельных граням куба / и расположенных на расстоянии 1/Q. Из
Qk + 1 точек с координатами
(па,), (па2), ..., (nak) (л = 0г 1, ..., Qk),
по крайней мере две, скажем те, которые соответствуют n~qY
и n = q2> qiy находятся в одном и том же подкубе куба /.
Определение этого множества см. на стр. 314. — Прим. ред.

376 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Следовательно, | (д^) — (Qiaj) I < 1/Q Для всех / или, полагая
l]h [j] = p"v имеем
| (^2 — ^l) «7 — (Pi —Pi
а это и есть первое неравенство B.2) с q = q2— qi>l, pj~p"j— p)~
Замечания, (а) Дроби pj/q не должны быть все несократи-
несократимыми.
(b) Первое неравенство B.2) показывает, что для любого 8 > О
мы можем найти такое целое число q > 0, что каждое из произ-
произведений qau qa2, ..., qak будет отличаться от целого числа мень-
меньше, чем на 8. Достаточно взять Q>—.
(c) Для любого набора с^, а2, ..., ak существуют дроби pj/q
с как угодно большим q, для которых
\*j-pj/q\<q-l-i/h (/=1, ..., k). B.3)
Действительно, мы можем брать последовательно Q=l, 2, ... .
Если соответствующие q ограничены, или хотя бы имеют ограни-
ограниченную подпоследовательность, то это будет означать, что неко-
некоторое значение соответствует бесконечно многим различным зна-
значениям Q. Выбирая еще более редкую подпоследовательность
и учитывая, что дроби — ограничены j , мы можем добиться
того, что pj тоже останутся постоянными. Тогда при Q—¦> со
первое неравенство B.2) дает, что о/ = —. Таким образом, q в
B.2) может быть выбрано сколь угодно большим, если не все ctj.
рациональны. Что касается последнего случая, то здесь мы даже
имеем ау- —— = 0 для бесконечно многих q.
В предыдущем параграфе мы исследовали свойство множества
?, состоящее в том, что всякий раз как ряд 2Л& (х) абсолютно
сходится на Е, то он абсолютно сходится всюду. Теперь мы до-
докажем несколько теорем о множествах, не обладающих этим
свойством.
Множество Е называется множеством типа N, если сущест-
существует ряд 2Лд(а:), абсолютно сходящийся на Е, но не всюду (и,
таким образом, имеющий Sq^=oo). Если рассматриваемый ряд
есть ряд из синусов, то назовем множество Е множеством типа
Ns. Каждое множество типа Ns есть множество типа N. Ниже
будет доказано, что справедливо и обратное утверждение.
B.4) Лемма. Всякое счетное множество есть множество
типа N.

2. МНОЖЕСТВА ТИПА N 377
Пусть Е состоит из чисел яа1т шх2, .... В силу замечания
(Ь), для каждого k существует такое целое число q=nk, что
| sin nnkaj | < ~y для ¦ / = 1, 2, ...,&.
He уменьшая общности, можем считать, что nk+i > /i*. Тогда
члены ряда 2 | sin nkx | меньше, чем —j при х = яа7- и k > /, и этот
ряд сходится на ?, но, разумеется, не всюду.
B.5) Теорема. Каждое множество типа N есть множествен
типа Ns.
Доказательство состоит из двух частей.
B.6) Лемм а. Пусть Е — множество типа N, и пусть х0 — фик-
фиксированная точка множества Е. Обозначим через ЕХо множество ?v
сдвинутое на —х0, т. е. множество всех точек вида х — х0, где х?Е.
Тогда ЕХо есть множество типа Ns.
Действительно, пользуясь неравенством A.8), где х' = х, х" =
= х0, мы видим, что если ряд
) с 2q^=oo
абсолютно сходится на Е, то ряд SQ^sinn (х — х0) тоже абсолютно
сходится на Е, т. е. I>Qnsmnx абсолютно сходится на EXOt
B.7) Лемма. Если Е — множество типа N8, то множество-
Ео, полученное из Е добавлением к нему некоторой точки х0, не
принадлежащей Е, есть тоже множество типа Ns.
Действительно, предположим, что 2q^ | sin nx \ сходится при
х?Е и что 2q^ = oo. Пусть со^, со^>1, — числа, монотонно стре-
стремящиеся к +оо и такие, что
п
(Например, можно взять co^=2Qft ПРИ достаточно больших п.).
1
В силу леммы B.1) с & = 1, для каждого п существуют такие
целые числа qn > 0 и рп, что
Следовательно,
пх0
1
I qnnx0—pnn < -т—j- < — , sin nqnx0

;378 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
При х ? Е имеем
|<2 ^|i|2|i| < ос.
Таким образом, ряд 2 ^ sin л<7л* абсолютно сходится при х = х0,
а также при всех л;??, в то время как 'Х—= оо.
Целые числа nqn не обязательно возрастают, но, очевидно,
.лишь конечное число из них может равняться любому наперед
заданному целому числу. Следовательно, после перестановки чле-
членов ряда ^-^ sin nqnx, мы получаем тригонометрический ряд из
синусов, абсолютно сходящийся на ?0, но не всюду.
Возвратимся к теореме B.5). Пусть Хоб?. В силу леммы B.6),
существует ряд ?±Qn\smnx\ с %Qn=co, сходящийся на ЕХо.
В силу леммы B.7), существует ряд 2гд | sin/zx | с 2г„ = оо,
сходящийся на ЕХо и в х0. Таким образом,
— х0) | < оо (х?Е); 2rn | sin пх01 < оо;
и, следовательно,
2гп | sin пх | < оо для х б ?,
что доказывает теорему B.5).
Теорема B.5) доставляет новое доказательство теоремы A.12),
так как последняя, как уже было замечено, для синус-рядов до-
доказывается просто.
Так как свойства N и Ns эквивалентны, то из леммы B.7)
следует, что свойство N не нарушается., если присоединить
к множеству одну точку, а, следовательно, и любое конечное
число точек.
Более общим является следующее предложение.
B.8) Теорема. Если Е—множество типа N и D счетно, то E-\-D
является множеством типа N.
Мы знаем, что Е есть множество типа Afs. Пусть D состоит из точек
х±, х2, ...; обозначим через Еь. множество Е, пополненное точками jq, x2, ...
..., хк.
Как вытекает из доказательства леммы B.7), для любого ряда 2rn|sinn*|,
*с 2г71 = оо, сходящегося на ?, мы можем построить ряд 2г^ | sin njc |, Sr^=cx>,
-сходящийся на Е^. При этом
-2г„ | sin пх | < 2гп | sin па: | для всех х.
Более того, из предыдущих рассуждений вытекает, что для любого заданного
jV > 1 мы можем найти такое N > Af, что
N N

2. МНОЖЕСТВА ТИПА N 379
Умножая 2 гп\ sln nx I на достаточно малое число, мы можем также предпо-
предположить, что сумма ряда в точках дг4, лг2, ..., #& меньше заданного числа
>0
Рассмотрим теперь ряд ^ Q^sinnx с 2 Qn—°° и
2 Qn | sin л* |< оо для at^^i- B.9)
Возьмем Ni настолько большим, что
2рл>!» 2в»'sinда:i^t для *=*i-
1 1
со
Отправляясь от остатка ^ Qns^nnA:» построим ряд ^] Q/г I s*n я* [ с 2 6л=
= 00, сходящийся на Е2- Пусть N2^>Ni таково, что
ЛГ2 N2
sin лл: / <; ^2" ДЛЯ * = *1. *2»
таково, что
S Q^ isin ^^1 ^ 2j Qii I sin nx I.
Вообще, определив N^i и Nk_i'^ N^-t, мы рассматриваем 2 Qw sin/где.
oo
и строим ряд 2 Q«fe) s*n nxi c 2 6л^=о0« Выбираем числа N^ > ^_j
и Nk^Nk так, что
2 Qnft)>l, 2 6nfe)|sinnx|<^- для x = xu хъ ..., A:ft, B.10)
pjjfe) | sin да: [< 2 Qnlsinrtxl Для всех а: B.11)
и т. д.
Ряд
где jVo = O, Ni^=Niy обладает нужными нам свойствами. Действительно,
V V eW|sinn*|

380 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
сходится на ?, как это видно из B.11) и B.9). Он сходится на D в силу
второго неравенства B.10). Наконец, первое неравенство B.10) показывает,,
что 2 Qn = co.
Следующая теорема показывает, что в теореме» B.8) нельзя
заменить D на произвольное множество типа N.
B.12) Теорема. Существуют два множества А и В типа
N, таких, что А-\-В не является множеством типа N.
Каждое х, 0<х<2зг, может быть записано в виде
Пусть заданы kx = 1 < k2 < ... < kp < ... . Положим
Др = 2я Р|] ek2-h (eft = 0, 1).
Выражения
представляют два совершенных и неплотных множества Л и Б на
[0, 2я]. Так как каждая точка из [0* 2я] может быть записана
в виде х + у с х?А и у?В, то отсюда следует, что А + В не
есть множество типа N. Оказывается, однако, что при соответ-
соответствующем выборе kp оба множества А и В будут типа N.
В самом деле, имеем
2h2V (Д4 + Д3 + ... + Дзр-0 = 0 (mod 2я)
2k2P (Д2р+1 + Д2Р+з +...)< 4я B
Возьмем, например, fep=p2 и рассмотрим ряд 2j ! sin 2^2рл: |. Пре-
Предыдущие неравенства, очевидно, показывают, что ряд сходится
на А. Таким образом, А есть множество типа N. Точно так же
и В есть множество типа N. Теорема доказана.*
Очевидно, что при сдвиге множество типа N всегда переходит
в множество типа N. Имеет место следующий более глубокий
результат.
B.13) Теорема. Если Е —множество типа N, то Е^ —мно-
—множество типа N при любом X. (Здесь Е% обозначает множество
точек вида хХ, где х?Е.)
Случай Х = 0 тривиален. Напомним теперь, что мы рассматри-
рассматриваем Е как периодическое множество с периодом 2я. Следова-
Следовательно, Ех имеет период 2я | А, | и множество ?ь приведенное по

2. МНОЖЕСТВА ТИПА N
381
mod2jt, вообще говоря, «богаче» точками, чем та часть множест-
множества ?, которая расположена на интервале длины 2я.
Так как Е — множество типа Ns, существует ряд 2
пх
с 2§п=:00, сходящийся на Е%. Пусть {соп}, как и в доказатель-
доказательстве леммы B.7),— возрастающая последовательность чисел,
удовлетворяющая условиям 2 Q^n1 = °°, 2Qrcc°na<°o. На осно-
основании леммы B.1), выберем целые числа рЛ, дЛ, так что
____ f\
71 X
тогда
| sinpnx\<
sin-
sin
<2
Яп
X
n
¦у
я Л/
„2
1*1
sir
+ qn
п
[~х х
sin
п
т
л:
-^-1 sin рлд
Следовательно, ряд 2 Qn^n1) sinp^xl сходится на Е%, а так как
2рл°)п1 = оо, то ?д, есть множество типа Л/ (только конечное
число рп может принимать заданное значение).
Получим теперь некоторое необходимое условие для того,
чтобы множество ?d[0, 2я] было типа N. Пусть функция F(x),
0<*<2я, задает распределение единичной меры, сосредоточенной
на множестве Е; т. е.
2ft
dF=\dF = l. B.14)
О Е
Если Е замкнуто, то F — неубывающая функция, постоянная на
смежных к Е интервалах.
По предположению, существует ряд 2Qn|sinnx|, сходящийся
на f, с 2Qn = co- В частности, 2 Qnsin2nx < оо на Е и, таким
образом,
N
Эта дробь не превосходит 1. Умножая ее на dF и интегрируя
по @, 2я), получаем
If
2rt
J si

382 гл. vi. абсолютна^ сходимость тригонометрических рядов
Следовательно,
2Я
Нт Л sm*nxdF = Oy
или
2Jt
" =1. B.15)
Таким образом, приходим к следующей теореме.
B.16) Теорема. Если Е есть множество типа Л/, то для
любой положительной меры dF, удовлетворяющей условию B.14)„
имеет место соотношение B.15).
Это значит, что не только коэффициенты Фурье — Стильтьеса
от dF не стремятся к нулю, но их верхний предел имеет наиболь-
наибольшее возможное значение. То обстоятельство, что для любого
распределения меры 1 по Е имеет место B.15), можно интерпре-
интерпретировать как указание на «малость» множества Е (см. также
упражнение 10, стр. 399).
Замечания, (а) По-видимому, не известно, является ли условие B.15)г
будучи выполнено для всех функций, указанного типа, достаточным для того,
чтобы Е было множеством типа N. Однако почти очевидно, что если BЛ5)
выполняется для заданной функции Fy то существует такое подмножества
Е' С Е типа N, что
г*
'=0.
Действительно, из B.15) вытекает существование такой последовательности
2Я
, что \ sin2 п^х dF <C 2~k. Следовательно,
2Я
так что ^ I s*n nkx I < °° почти всюду по мере dF.
(b) Применим теорему B.16) к симметричным совершенным множествам
канторова типа (см. гл. V, § 3). Мы знаем, что точки такого множества Р
суть
.) (еА = 0, 1), B.17)
где п+г2+... = 1 и Гр>гр+1+Гр+2+..., или, иначе, r^ = g± ... gA_± (I —
—?k), если мы хотим выразить явно г^ через отношения разбиения.

2. МНОЖЕСТВА ТИПА N 38$
Пусть F—функция Лебега для Р. Тогда [гл. V C.4)]
2Я оо
\ cos 2пх dF= ГТ cos 2лпг&.
о k=i
Если Р—множество типа N, то имеем необходимое условие
оо
Ит П cos2
n->oofe=1
или
оо
flm П A—si
n->oofe=1
Последнее условие эквивалентно тому, что
Ит 2 sin22nnrk = 0. B.19),
п -»• оо k= 1
Тот факт, что из B.18) вытекает B.19), следует из неравенства \-\-х^.ех
если учесть, что произведение в B.18) не превосходит 1. Обратное следует
из неравенства
A—е,)A—е2) ...A_ея)>1 — (е1 + е2-Ь.••+»»).
имеющего место при е-<^ 1 и легко проверяемого по индукции.
Мы сейчас докажем, что если последовательность г& (которая убывает}'
такова, что —^- = 0A), то Р не есть множество типа N.
rk+i
Предположим, что —— < М, и возьмем любое а, 0 < а < М. Тогда,.
/a I \
если п достаточно велико, то интервал ( т~ » т~ ) содержит по крайней мере-
одно гд и для этого г& имеем
sin2 2nnrk > sin2 (ълп ^) =sin2 -1 шх,
что противоречит B.19).
В частности, если ^ > 6 > 0 для всех &, то Р не есть множество типа N.
(с) Условие lm 2 I sin 2япг^ j = 0, весьма сходное с условием B.19),
k=i
достаточно для того чтобы Р было множеством типа N. Действительно, пусть
последовательность {пр} такова, что
со
2 I sin 2лпргк |< tip,
k=i
где 2rlp<°°- Из соотношения B.17) вытекает, что
оо
. | sin Яр* К I: sin 2nnPrk К Лр»
откуда следует ^ |sin/ipA:|<oo при х?Р.

384 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
3. Абсолютная сходимость рядов Фурье
C.1) Теорема С. Н.Бернштейна. EcAuf?Aaua>1/2,mo
S [/] абсолютно сходится. При а^1^ абсолютная сходимость
может не иметь места.
Предположим, что. ^]Ап(х) есть S[f]. Тогда
f(x + h) — f(x—h) 2 2 Bn(x) sinnh,
2rt
C.2)
Если со (б) — модуль непрерывности функции /, то интеграл слева
б равенстве C.2) не превосходит 2со2BЛ). Полагая h =
= 1, 2, ..., имеем
v =
2v
n=2v-l+1
2
C.3)
так как в предыдущей сумме все множители при
По неравенству Коши — Буняковского
2v 2V 2V
2
2
и, наконец,
оо оо 2v ©•
Qn = 2j 2j 6^<2j
n=2 v=i п^г^-1^-! v==1
больше 1f2-
?)* C-4)
192
C.5)
Если со(б)<Сба, а > 1/2, то последний ряд сходится и первая
часть теоремы C.1) установлена. Доказательство второй части
этой теоремы содержится в доказательстве теоремы C.10).
Замечание. Вышеприведенное доказательство дает несколько
больше, чем фактически сформулировано в теореме C.1). Действи-
Действительно, для абсолютной сходимости S [/1 достаточно сходимости

3. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ 385
ряда 2 21/av©(n2~v). Это условие, как легко видеть, эквивалентно
сходимости ряда 2 п~1/2® (я/я) или сходимости интеграла
i
^C.6) Теорема. Если f(x) имеет ограниченное изменение
и принадлежит классу Ла при некотором а > О, то S [/] абсо-
абсолютно сходится.
Второе условие, наложенное на /, отбросить нельзя, как пока-
показывает пример
п=2
Здесь функция /(х) имеет ограниченное изменение и даже — более
того — является абсолютно непрерывной [гл. V, A.5)], но S [/]
не сходится абсолютно.
Пусть со (б) — модуль непрерывности функции f и V — полное
изменение f на [0, 2я]. Очевидно, имеем
2N
/i— 1
Проинтегрируем это неравенство по @, 2я) и заметим, что все
интегралы слева равны. Полагая N =-2v, получаем
2JI
п=1
2V
2V
2 Q.
n=2 v=l
25 А. Зигмунд, т. I

386 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Если со(б)<Сба, а > 0, то ряд справа сходится, откуда следует
теорема C.6). Сходимость ряда 2 ®1/2 (я 2~v) эквивалентна сходи-
сходимости ряда 2 п~1(>>1/2 f-^f J или сходимости интеграла
1
C.8) Теорема. Если функция f абсолютно непрерывна
и /'?LP, р> 1, то ряд S[f] абсолютно сходится.
Этот результат следует из теоремы C.6); действительно, если
LP p> 1, то /gAi/p', так как если 0<Л<2я, то
0С+/1 0С+/1
j ($
2л
При р = 2, а также при р>2 теорема C.8) доказывается непо-
непосредственно. Действительно, если ап, Ьп — коэффициенты Фурье
функции /', то —, — — коэффициенты Фурье /, и из неравенств
и неравенства Бесселя 2 (ап + Ь%) < со вытекает абсолютная сходи-
сходимость S [f]. [Эти рассуждения могут быть распространены на общий
случай р> 1, если вместо неравенства Бесселя воспользоваться
его обобщением на случай 1 <р<2, т. е. теоремой Хаусдорфа —
Юнга B.3) из гл. XII.]
C.9) Теорема. Заключение теоремы C.8) сохранится, если
вместо интегрируемости I /' р предположить интегрируемость
1/'|1п+|/'|.
Мы отложим доказательство до гл. VII, стр. 455, где этот
результат будет получен как следствие из следующей теоремы:
Если S.[f] и S [/] — ряды Фурье от функции с ограниченным
изменением, то S [/] абсолютно сходится.
Здесь мы только заметим, что интегрируемости | /' | (ln+1 f iI"8,
е > 0, было бы недостаточно. Действительно, если / задана фор-
формулой C.7), то S [/] сходится абсолютно только при х = 0 и х = п.
Тем не менее f' (x) ~ {x In2 а:) при х-^ + 0 [гл. V, B.19)], так
что функция | /' | Aп+1 /' II"8 интегрируема при любом 1 > е > 0.

3 АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ' 387
Проблема абсолютной сходимости рядов Фурье может быть
обобщена следующим образом. Пусть задан ряд ^]Ап(х). Спраши-
Спрашивается, для каких значений показателя р ряд
сходится. Теорема C.1) есть частный случай следующего результата.
(ЗЛО) Теорема. Если /gAa, 0< а< 1, то 2 (К|р + | Ьп\$) <
< оо при р>2Bа+1)~\ но не обязательно при р = 2Bа + I).
Доказательство первой части похоже на первую часть доказа-
доказательства теоремы C.1). Пусть y = 2B<x + 1). Так как 0 < у < 2,
то мы можем далее предполагать, что 0 < р < 2. В силу неравенств
Гёльдера и C.3), имеем
2 с?<( 2 е2пI/2Р( 2
2v-l+i 2V~1+1 2V~1
2 Q*< 2 2«i
n=2 v=l
и последний ряд сходится, если со (б) < Сба, так как 1 — р (V2 + a)<
< 0. Отсюда вытекает конечность 2 Qn и, следовательно,
2
2(|| |))
Вторые части теорем C.1) и C.10) являются следствием
результатов, полученных в гл. V, § 4. Там было доказано, что
действительная и мнимая части ряда
in Inn
T+7
@<о<1) C.11)
принадлежат классу Ла, и легко видеть, что для них обеих
SP*1*-1-». Ряд
°°* in Inn
2f
принадлежит классу At [гл. V, D.9)], однако 20п8 = с».
C.13) Теорема. Если f имеет ограниченное изменение и если
fgAa @<а<1), то 2 (|аЛ|э-+| Ьп |Э)< со при p>2( + 2j'
но не обязательно при р = 2 (а + 2).
Если An(x) = Qncos(nx+yn), то (\np+\n\q\+
f содержится между 2~1/аР и 2 так, что ряды ^(\ап\$-\-\Ьп\$)
и 2 Qn сходятся или расходятся одновременно.
25*

388 гл. vi. абсолютная сходимость тригонометрических рядов
Доказательство сходимости ряда при р > 2 (a -f 2) * аналогично
доказательству теорем C.6) и (ЗЛО), и мы предоставляем его
читателю.
При доказательстве того, что ряд 2 (| ап |Р + | Ьп |Р) может рас-
расходиться при р = 2 B + сх), достаточно предполагать, что 0 < а < 1,
так как случай а = 1 исчерпывается рядом C.12). Мы отправляемся
от ряда
оо
2 n-V»o (in n)-y ein«einx (о < а < 1).
В гл. V, E.8), было доказано, что это есть ряд Фурье, если у> \.
Поэтому проинтегрированный ряд
— 1%п~*а~*Aпп)-Уе*пае1пх C.14)
есть ряд Фурье от функции с ограниченным изменением (более того —
абсолютно непрерывной). В силу E.2) гл. V, сумма ряда C.14)
без логарифмического множителя есть функция из класса Л«,
и, в силу A1.16) гл. IV, сумма C.14) принадлежит классу Ла.
С другой стороны,
S I Сп |2/B+а) = S П1 (ln/l)-2V/B+a) = ^
если y достаточно близко к 1. Отсюда вытекает, что и для дей-
действительной и для мнимой частей ряда C.14) ряды 2 (I ап 1Р + ! Ьп |Р)
расходятся при р = 2B + а).
4. Неравенства для полиномов
Проблема абсолютной сходимости рядов Фурье тесно связана
со следующей проблемой, относящейся к тригонометрическим поли-
полиномам.
Рассмотрим все полиномы вида
п
Т(х) = ^+2 (akcoskx+bksmkx), D.1)
фиксированного порядка п >1, такие, что | Т (х) \ < 1. Оценка вели-
величины суммы
дается следующей теоремой.
D,2) Теорема. (I) Если \ Т(х)|<1, то
(II) Обратно, для каждого п существует такой полином D.1),
что - ~ ~

4. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ПОЛИНОМОВ 389
Здесь А и В — некоторые абсолютные положительные константы.
Так как \ak\ + \bk\ содержится между Qk и 2ll*qk, то в ДОКа-
ri
зательстве можем заменить Г (Г) на Г* (Г) = -у- + 2 Q*- УтвеР~
1
ждение (I) получается немедленно, так как
1
2я
D.3)
Для доказательства (II) рассмотрим полином
N
g (х) = gt (X) = 2 {ф2А-1 (О COS kx -f- ф2А @ Sin fex},
где ф1? ф2, ...—функции Радемахера (гл. I, §3). В силу тео-
теоремы (8.4) гл. V,
1 2я 2я 1
т\ dt \ \ g* (Х) \ dx = \ dx \ I gt (х) I dt >
2я
> Ai | \ (cos2 х + sin? a: + ... + sin2 NxI^ dx\ = гяЛ^1/».
Поэтому существует такое t = t0, что
2л
I \gto(x)\dx>2nAiN1/*.
о
Пусть «а, 6^ — коэффициенты Фурье функции f(x)= signg-f0 (x).
Пусть av являются (С, 1)-средними ряда S [/], и пусть
Лт 2N-1
являются запаздывающими средними ряда S [/] (гл. III, § 1);
при п — 2N— 1 или n = 2N, 1/3TJNr есть искомый полином Т.
Ясно, что |V3^iv|<l, так как |/|<1 и, следовательно,
|av|<l. Таким образом, достаточно показать, что Г (xN) > CJV1/a

390 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
при некотором фиксированном С. Имеем
N
2я
Так как gto(x) — полином порядка N, а N-e частичные суммы
полинома iN и ряда S [/] совпадают, то последнее выраже-
выражение есть
2JC 2Л
±^\gt0\dx = 2A1N1/\
о
Этим заканчивается доказательство (II).
D.4) Теорема. Для любого г > 0 и любого полинома D.1)
положим
Тогда справедливы следующие утверждения: (I) при любом
1<г<2а любом Т(х), |Т|<1, ГгG1)<Л/г''»+1/г; (II) для любого
1<г<2 и любого п существует полином вида D.1), для кото-
которого |7|<1 и Гг(Г)>Вп-1/2+1/г>
Ограничения на г существенны: при г > 2 утверждение (I)
неверно, а утверждение (II) тривиально.
Утверждение (I) доказывается, как и в теореме D.2), за исклю-
исключением того, что мы пользуемся неравенством Гёльдера вместо
неравенства Коши —Буняковского. Чтобы доказать утвержде-
утверждение (II), применим неравенство Гёльдера
Г (Г) < Гг (Г) Bп + 1)(г)/г < ЗГГ (Г) nir~i)/r
для любого полинома Т порядка п\ очевидно, полином Г, для
которого Г (Т) > Вп1/*, удовлетворяет также неравенству Гг (Т) >
4
5. Теоремы Винера и Леви
Очевидно, что абсолютная сходимость ряда S [f] в точке Хо
не является локальным свойством, а зависит от поведения /
на всем отрезке [0, 2л]. Однако имеет место следующая теорема.

5. ТЕОРЕМЫ ВИНЕРА И ЛЕВИ 391
E.1) Теорема. Если каждой точке х0 соответствует окрест-
окрестность 1Хо точки х0 и функция g(x) = gxo(x), такие, что (I) S [^]
сходится абсолютно и (II) g(x) = f(x) в 1Хо, то S [/] абсолютно,
сходится.
По теореме Гейне — Бореля мы можем найти конечное число
точек Xi < х2 < ... < хт, таких, что интервалы 1Х1, 1Х2, ..., 1Хт
покрывают [0, 2я]. Пусть IXk = (uk, vk). Мы можем предположить,
что последовательные интервалы перекрываются и даже что и^ <
< vk-i<uh+i < vk, & = 1, 2, .. .,га, где um+i = ui + 2n, vo=vm — 2n.
Пусть kk (x) — периодическая непрерывная функция, равная I на
{Vk-u Uk+i), равная нулю вне (Uk, Vh), и линейная на (uk, vk-i)
и (Uk+u vk). Легко видеть, что Xt (х) + Х2 (х) + ... + Хт (х) = 1.
Так как h'k (x) имеет ограниченное изменение, то коэффициенты
Фурье для Xk имеют порядок О (п"г) и S [А^] абсолютно сходится.
Так как S [fh] = S [gXkh] = S [gxk] S [Xk], то отсюда следует,
что S [fkk] абсолютно сходится (гл. IV, § 8). Для завершения
доказательства теоремы E.1) остается заметить, что
E.2) Теорема. (I) Предположим, что ряд S [/] абсолютно
сходится, что значения (вообще говоря, комплексные) функции f (i)
расположены на кривой С и что ф (г) — аналитическая функция
(не обязательно однозначная) комплексного переменного, регуляр-
регулярная ё каждой точке кривой С. Тогда ряд S [ф (/)] абсолютно схо-
сходится.
(II) В частности, если f (t) Ф О и если S [/] абсолютно схо-
сходится, то и S[l//] абсолютно сходится.
Для любой g (х) = У) akeikx условимся обозначать
ll?!l = 2lfl*l» Mg=max\g(x)\. E.3)
X
Ясно, что
E.5) Лемма, (а) Если g (х) — ^ akeihx — дважды непрерывно
дифференцируемая функция, то
'\\g\\<4(Mg + Mg'). E.6)
(b) Если g (x, 0) периодична по х и если для каждого значения
параметра 0, О<0<2я, имеет место неравенство \\g(x, 0)||<Л,
то
II Г»
:2лА.

392 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
(а) Имеем | а0 | < Mg\ если пфО, то, интегрируя по частям,
находим | ап | < n~2Mg". Так как 2 ^~2 = ^~ < 4, то отсюда сле-
следует неравенство E.6). Пункт (Ь) очевиден.
Возвратимся к E.2) (I). Так как ф аналитична при z = f(x),
то существует Q > О, такое, что ср (г) регулярна в каждом круге
\z — /(x)|<2q. Пусть s (x) — такая частичная сумма ряда S[/], что
Тогда ф [s (х) + qeiQ] дважды непрерывно дифференцируема по х
и Э. Следовательно, для каждого Э норма || ф [s(x) + Q?i9] || ко-
конечна и является ограниченной функцией от 9.
С другой стороны, имеем
(S + QeiQ _ fyi = Q-ie-iQ {1 + 2 (f - s)"Q-ne-™j ,
1
и поэтому, в силу E.4),
Так как по формуле Коши
то утверждение (b) леммы E.5) влечет за собой, что ||ф[/(я)]||
конечна. Этим доказательство теоремы E.2) заканчивается.
Теоремы E.1) и E.2) (II) принадлежат Винеру, E.2) (I)—Леви.
Из E.2) (II) вытекает следствие: если F (z) регулярна при
| z | < 1, непрерывна и отлична от нуля при | z \ < 1 и если ряд
Тейлора функции F абсолютно сходится на окружности \ z \ = 1,
то ряд Тейлора для \/F также сходится абсолютно при \z\= 1.
Легко проверить, что рассуждения предыдущего доказатель-
доказательства также дают следующий результат:
E.7) Теорема. Пусть f(x) имеет абсолютно сходящийся
ряд Фурье, и пусть Fn(x) — последовательность аналитических
функций, равномерно сходящихся к нулю в некоторой области,
содержащей множество значений f(x). Тогда \\Fn [f (х)] \\ —>0.
Отсюда получается следующая теорема:
E.8) Теорема. Если f(х) имеет абсолютно сходящийся
ряд Фурье, то
\im\\ fn\\i/n=Mf.

6. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 393
Пусть R>Mf, Fn{z)={zlR)n. В силу теоремы E.7),
\im\\Fn[f(x)]\\--
откуда вытекает, что ,•
п->оо лч
Так как это имеет место при любом R > Mf, то отсюда следует,
что
С другой стороны, имеем
\\
откуда lim||/n ||1/п>УИ/. Этим доказательство теоремы E.8) за-
заканчивается.
6. Абсолютная сходимость лакунарных рядов
F.1) Теорема. Если лаку парный ряд
2 (a/ cos rijx + bj sin rijx) = 2 Qj cos (tijX + xj) (^- > q > 1)
F.2)
ряд Фурье функции /, ограниченной сверху (или снизу), то
F.3) Теорема. ?с./ш частичные суммы sm лаку парного
ряда F.2) удовлетворяют условию
llmsm(A:)< + oo F.4)
т->оо
(i/уг^ limsm(A:) > — со) в каждой точке некоторого интервала
(а, Р), то ^Qj < °°-
Теорема F.1) есть следствие теоремы F.3). Действительно,
из предположений теоремы F.1) вытекает, что (С, 1)-средние ат(х)
ряда F.2) ограничены сверху. Так как sm(x) — crm (л:) —> 0, в силу
лакунарности ряда и того, что ak, bk—>0 (см. стр. 134), то sm(x)
ограничены сверху и 2 Qj < °° по F.3).
Удобнее, однако, начать с более простого доказательства
теоремы F.1), тем более что часть этого доказательства будет
вслед за этим использована при доказательстве теоремы F.3).
Мы прежде всего напомним некоторые свойства произведений
Рисса, определенных в § 7 гл. V.

394 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Пусть ти т2, ..., nth — последовательность положительных
целых чисел, удовлетворяющих условиям my+1/m;>Q>3 для
всех /, и пусть
# (*)= П {1 +cos(m^ + y>. F.5)
R (x) — неотрицательный полином со свободным членом, равным 1,
Я (X) = 1 + 2 Yv COS (V* + T|v), F.6)
так что 28
(x)dx=l. F.7)
Более того, 0<Yv<l при всех v и Yv=0 Для всех v, кроме
v = mj ± тг ±тг± ... {k > i >}'> Г >...). F.8)
Для любого v существует не более одного такого представления,
и, таким образом, в частности, mj-й член в F.6) есть cos (m/X + g/).
Пусть задано q> 1. Так как сумма в F.8) заключена между
то значения v, для которых Yv # 0> расположены на интервалах
(trij/q, rrijq) при условии, что Q достаточно велико, скажем
Q > Qo (?)• Интервал (mj/q, ntjq) будем называть ^-окрестностью /П/.
Возвращаясь к теореме F.1), разобьем {tij} на г подпоследо-
подпоследовательностей
{njr+8}j=o, 1, ..., где s = 1, 2, ..., г.
При этом мы берем г настолько большим, чтобы имело место
неравенство Q = qr > max C, Qo (q)). Зафиксируем s и положим
{1+cos (^r+sX+^r+s)}* F>9)
Так как номера (отличных от нуля) членов в Rs содержатся
в ^-окрестностях nJr+s (j = 0, 1, .. ., k) и так как единственный
в такой окрестности отличный от нуля член ряда S [/] имеет
номер njr+s, то отсюда следует, что
2Я 2я k к
i~\f(x)Rs Wdx=4"\f W {Scos(^r
0 0 ' j=0
F.10)

6. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 395
Но если М — верхняя грань функции /, то левая часть здесь не
превосходит
о
в силу F.7). Отсюда следует, что правая часть в F.10) не пре-
превосходит 2М. Полагая k—> оо и складывая неравенства для
s=l, 2, ..., г, мы видим, что 2Су<2Мг. Теорема F.1) дока-
доказана.
В предположениях теоремы F.3) найдется такой подинтервал /
интервала (а, C), что sm равномерно ограничены сверху, скажем
sm < М на / [см. гл. I, A2.3)]. Поэтому теорема F.3) вытекает
из следующей леммы о полиномах.
. FЛ1) Лемма. Пусть задан интервал I и произвольное
q > 1. Тогда мы можем найти целое число п0 = п0 (q, \ 11) и по-
постоянную A = A(q, |/|), такие, что для любого лаку парного
полинома
Т (х) = 2 (aj cos njx + bj sin njx) = 2 Qj cos (njX + Xj)
(nj+i/nj>q> 1), F.12)
для которого nt>n0 и Т(х)<^М на /, имеет место неравенство
Нам необходима теперь дополнительная информация о числах yv,
фигурирующих в F.6). Предположим, что v задано формулой
F.8), но не равно rrij. Тогда
Мы уже отмечали, что v заключено между тq_~[ и i^
б
и, таким образом, между 1/2mj и *\tfnj. Отсюда следует, что v
должно отличаться от mj+l [если такое т вообще входит в F.5)]
по крайней мере на 3/2 mj^>3/2mi. Аналогично, оно должно отли-
отличаться от my_i [если вообще такое входит в F.5)] по крайней
Мере на
1l2mj — 1/3mJ = 1/QmJ > 1/2mJ-l > 1/2tf?i.
Сопоставляя эти оценки, мы видим, что каждое v, для ко-
которого ууф0, входящее в F.6), или совпадает с mj, или отли-
отличается от каждого mj не менее чем на 1/2т1.
Возвратимся к Т(х). Как и раньше, разобьем {tij} на г под-
подпоследовательностей {njr+s}, где s=l, 2, ..., г, и г удовлетво-
удовлетворяет наложенным выше условиям. Пусть Ts состоит из членов Т

396 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
с номерами fijr+s (так что Т есть сумма всех Ts), и пусть Rs
определяется равенством F.9). Положим
Рассуждая аналогично предыдущему, получаем
2я 2я 2я
^\TUdx = 2li\T*tdx = 2ilil TFdx^^Qj. F.13)
О sO s 0
Для оценки левой части мы пишем
где /2-;= — Я/. Так как общими членами в различных Rs
являются только постоянные члены, то 80 = r, |6V|<V2 для v Ф 0.
Следовательно,
С]\^11тИмь lsv|<^ Для всех / и v. F.14)
Пусть
TU=^Cmeimx, где Ст = 2 *А> F.15)
п.—v=?n
и пусть iV = [1/2^il- Заметим, что:
(I) С0 — 1/2 |х [так как левая часть F.13) есть 2С0];
(II) | Ст |<г 3|^| = Ф [в силу F.15) и F.14)];
(III) Ст = 0 для 0<|m|<iV (так как 6v = 0 в Rs, если v
отличается от какого-нибудь rij меньше чем на N).
Обозначим через к (х) периодическую непрерывную функцию,
равную 0 вне /, равную 1 в середине / и линейную на каждой
половине /. Ряд S [к] = 2 Keixx сходится абсолютно. Конкретные
значения ^v [см. гл. I, D.16)] нам не нужны. Рассмотрим формулу
2я
~2^ \ aTu dx = 2j kmCm.
о
С одной стороны, в силу (I), (II) и (III), сумма здесь не превос-
превосходит
к0С0- ^ |bmCw|>i-|i(bo-2r 2 l^l)*> FЛ6)
с другой стороны, интеграл
2Я 2я
~ J XTUdx^^ jj W dx<^ J Udx = Mr. F.17)
0 I 0
Если iV=[V2^i] настолько велико, что выражение в скобках
справа в F.16) превосходит 1/2АЧ), то, сравнивая F.17) и F.16),

6. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ЛАКУНАРНЫХ РЯДОВ 397
получаем, что 1Wk0\i<Mr, так что |х<ЛМ, где Л = 4гД0,
и лемма F.11) доказана.
Замечания, (а) Теорема F.3) сохраняется, если вместо-частных сумм sm
ряда F.2) мы рассмотрим линейные средние. При этом удобнее иметь дело
со средними, примененными к членам ряда, нежели со средними частичных
сумм (см. стр. 141).
Допустим, что мы имеем матрицу {am, n}m> n=Oj {^ и ряд wo + wi+- • • •
Рассмотрим выражение
Относительно атп мы предположим только, что limamn = l для каждого п.
т
Предположим теперь, что средние
<*m (*) = 2 amn.QJ COS (rijX + Xj) F.18)
ряда F.2) удовлетворяют следующим условиям при х ? (a, Р):
(I) они существуют [т. е. ряды F.18) сходятся];
(II) они непрерывны;
(III) Шйат(л:)<+оо.
т
Тогда, как и выше, существует такой подинтервал / интервала (a, Р), на
котором ат равномерно ограничены сверху, скажем постоянной М. Замечая,
что F.11) имеет место не только для полиномов, но и для бесконечных рядов
(как это легко доказать, рассматривая (С, 1)-средние Т и переходя к пределу),
имеем
Если мы отбросим только конечное число членов слева и затем устремим m
к. оо, то увидим, что каждая частичная сумма ряда *S\ q . ^ AM и, таким
образом, 2 Qj < AM.
Условие (II), разумеется, выполнено, если матрица конечнострочная.
Оно также выполнено и в некоторых других случаях, например, для метода А.
(Ь) Теорема F.3) останется справедливой, если вместо F.4) мы предпо-
предположим, что для каждого х ? (a, P) имеем по крайней мере одно неравенство
limsm(A:)<4-oo, Urn sm (x) >—оо. F.19)
Достаточно показать, что из новых предположений вытекает, что по крайней
мере одно из неравенств F.19) имеет место на некотором подинтервале
интервала (a, P). Действительно, предположим, что это не так, и обозначим
соответственно через Е+ и Е~ подмножества (а, Р), на которых limsm=+oo
и limsm=—оо. В силу A2.2) гл. I, множество Е+ [будучи множеством
точек неограниченности последовательности непрерывных функций
является дополнением до множества первой категории на (a, P). Аналогично
Е~~ является дополнением до множества первой категории на (a, P). Отсюда
следует, что Е+Е~ представляет собой дополнение до множества первой
категории на (a, P) и, в частности, непусто, что противоречит предположению.

398 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Это утверждение может быть получено несколько иначе: если 2 Qj = +oo,
то на всюду плотном множестве точек, имеющем первую категорию на любом
интервале, имеем одновременно
^— со, Hmsm(*) = +oo. F.20)
Имеет место и соответствующий результат для линейных средних, рас-
рассмотренных в (а).
(с) Если q велико, то теорема F.3) может быть получена при помощи
следующего простого геометрического рассуждения.
Пусть /—подинтервал интервала (а, Р), на котором sm(x).^M для всех
т. Рассмотрим кривые у —cos (tijX-\-Xj) при / = 1, 2, ... и обозначим через
Ij один (любой) из интервалов, на котором cos (rijX-]-Xj) > 1/2. Предполагая,
что всегда возможно, что п^ достаточно велико, мы выбираем интервал Iit
целиком лежащий в /. Так как /i2/n-i велико, то мы можем найти интервал /2>
целиком лежащий в /4 (только что рассмотренном), и т. д. Пусть х*—общая
точка интервалов /, 1и /2, .... Так как
т
2 Qj COS (njX* + Xj)<CM
;=l
для всех т и так как cos (tijX*-\-Xj) !>1/2> то отсюда следует, что 2 Q/
сходится.
Эти рассуждения имеют место при <7>4. Действительно, пусть dj и 6j
обозначают соответственно длину интервала Ij и расстояние между последо-
последовательными интервалами Ij. Нам удается найти интервал Ij+idlj, если
F.21)
Замечая, что dj = 2n/3nj, 6j=4n/3tij, мы обнаруживаем, что F.21) эквива-
эквивалентно неравенству tij+l/nj^>4.
Рассматривая неравенства cos (njx-\-tcj) > 8 >0, где 8 произвольно мало,
но фиксировано, мы можем распространить предыдущее рассуждение на слу-
случай q > 3. Однако эти рассуждения не проходят для общего случая q > 1.
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Множество точек, где ряд ^] п~г sln n^x абсолютно сходится, содержит
совершенное подмножество.
[Рассмотреть графики кривых y = sinn\x.]
2. (I) Каждое измеримое множество положительной меры является бази-
базисом (Штейнхауз [5]).
(II) Каждое множество второй категории является базисом (Немыцкий [1]).
[Предположить, что |?|>0, х?Е, у ? Е. Для доказательства (I) доста-
достаточно показать, что множество разностей х—у содержит интервал. Обозначим
через Eh множество Е, сдвинутое на h. Рассматривая окрестность точки
плотности, мы без труда обнаруживаем, что ЕЕ^фО для всех достаточно
малых h. Доказательство (II) аналогично.]
3. Пусть С—канторово троичное множество, построенное на [0, 2д].
Каждое х?С может быть записано в виде 2я (а13-1+а23~2+...), где с^
равно или 0, или 2. Пользуясь этим, показать, что каждое z ? [0, 4я] может
быть записано в виде *+*/, где х?С, у?С (что показывает, что С—базис).

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 399
4. Пусть А—множество точек абсолютной сходимости ряда ^]Лп(х).
Тогда А инвариантно относительно преобразований (I) сдвига, (II) симметрии,
при которых некоторая точка а ? А переходит в Ь \ А.
[Если ряд записан в виде ^ Qns^n (я*+*п) и если а> &» с^А, то рас-
рассуждения, аналогичные рассуждениям в доказательстве A.7), показывают,
что ряд абсолютно сходится в точках: (I) а—Ь-\-с, (II) а-\-Ь—с]
5. Если тригонометрический ряд абсолютно сходится на совершенном
множестве Е канторовского типа (см. гл. V, § 3), то этот ряд сходится равно-
равномерно на Е (Арбо [1], Малявин [1]).
[ Этот факт, вытекает из теоремы A2.3) (II) гл. I, однородного строения Е
и доказательства теоремы A.10).]
6. Для того чтобы ряд S [h] абсолютно сходился, необходимо и доста-
достаточно, чтобы функция h- была сверткой (гл. II, § 1) двух функций / и g
из класса L2 (Рисе; см. Харди и Литтлвуд [12]).
[Достаточность этого условия следует из теоремы A.7) гл. II; если же
ряд 2 cneinx абсолютно сходится, то нужно рассмотреть функции с коэффи-
коэффициентами Фурье \сп\1/2 и \cn\1/2signcn.]
7. Предположения теорем C.1) и C.10) могут быть ослаблены. Заклю-
Заключения сохраняются, если условие / ? Аа заменить на / ? Аа.
8. Пусть 0<а<1, 1<!р<;2. Если ап, Ъп—коэффициенты Фурье
функции /6Ag, то 2A «д fMbnt) сходится, если р>р/[рA+а) —1]
(Сас [2]).
[Доказательство аналогично доказательству теоремы C.10), но вместо
формулы Парсевалй нужно использовать неравенство Хаусдорфа—Юнга,
которое будет установлено в гл. XII, § 2.]
9. (I) Если /6Ла, 0<а<1, то ]g лр-1/2 (| ап | + | Ьп |) сходится при
Р<а (Вейль [1], Харди [1]).
(II) Если, кроме того, [ имеет ограниченное изменение, то
2p/2
. (III) Если КЛ«при 0<а<1, 1<р<2, то ^ *Y (I ап 1 + 1 Ьп |)<со
при Y<a—1/Р-
10. Пусть F (х), 0<^л:<;2я, есть неубывающая функция скачков, т. е.
приращение F на любом интервале равно сумме всех скачков F на этом
интервале. Пусть й\, d2, ...—все скачки F. Показать, что
2л
lim \ cos 2nx dF (x)=
[Ср. с B.16).]
\
n-co J
11. Если лакунарный ряд 2 (ak cos nkx-\-bk sin nkx), ^
абсолютно А-суммируем (см. стр. 139) на множестве Е положительной меры,
то 2(laA| + l&&l) сходится.

400 ГЛ. VI. АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
[Предполагая для простоты, что ряд состоит из одних косинусов, поло-
положим /(г, х) — 2 а&г hcosrikX. Уменьшая ?, мы можем предположить, что
1
д
интеграл
дг
t(r,x)
dr равномерно ограничен при х ? Е\ интегрируя по х,
о
изменяя порядок интегрирования и применяя лемму F.5) гл. V, заключаем,
что \ [ /, aktihr н ) dr конечен.
О
D Я ^ ^ , 1 V
Взяв интеграл по 1 ^г^ 1 и сохранив в сумме 7} только
k-й член, получим, что У) | пь | сходится.]

ГЛАВА VII
Применение методов теории
аналитических функций
в теории рядов Фурье
1. Существование сопряженной функции
До сих пор мы пользовались комплексными числами, но не
применяли системати'чески теории функций комплексного перемен-
переменного; в частности, мы не пользовались теоремой Коши. Ближе
всего мы подходили к этой теории, когда использовали гармони-
гармонические функции, которые представляют собой действительные
и мнимые части аналитических функций.
Однако действовать с гармоническими функциями неудобно —
даже квадрат гармонической функции не обязательно является
гармонической функцией. Иное положение для аналитических
функдий — элементарные операции, производимые над ними, при-
приводят опять к аналитическим функциям. То же относится
к операции ' взятия функции от функции. Непосредственное
обращение к аналитическим функциям, а не к их действитель-
действительным частям дает поэтому явные преимущества. Значение
и ценность методов теории аналитических функций в теории
рядов Фурье хорошо иллюстрируются задачами о суммируемости
сопряженных рядов и о существовании сопряженной функции.
В гл. III мы доказали несколько результатов о суммируемости
рядов Фурье. Соответствующий результат для сопряженного ряда
был значительно менее полон. Препятствием служило то, что мы
ничего не знали о существовании интеграла
было доказано лишь, что существование f (х) почти всюду экви-
эквивалентно А-суммируемости ряда S[/]. Позднее, в гл. IV, § 3,
мы доказали существование A.1) и, таким образом (в силу дока-
доказанной эквивалентности), А-суммируемость S [/] почти всюду.
26 А. Зигмунд, т. I

402 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Докажем теперь последний факт при помощи методов теории
аналитических функций, не ссылаясь на существование интеграла
(l.i).
A.2) Теорема. Для любой функции /?L ряд S [/] А-сумми-
руем почти всюду. Общее, гармоническая функция, сопряженная
с интегралом Пуассона от /, имеет предел по некасательным
путям почти во всех точках единичной окружности.
Мы можем предположить, что />0, f^O. Пусть z = reix,
и пусть и (г, х) —интеграл Пуассона, a v(r, x) — сопряженная
гармоническая функция. Функция и (г, x)-\-iv (г, х) регулярна при
|z|< 1, и ее значения принадлежат правой полуплоскости. Сле-.
довательно,
G(z)=e-"<r,*)-iO(r,x) A.3)
регулярна и по абсолютной величине меньше 1 при |z|<l.
Отсюда следует, что G(z), рассматриваемая как гармоническая
функция, выражается интегралом Пуассона от ограниченной
функции. Таким образом, пределы G (гегх) по некасательным
путям существуют почти всюду. Так как пределы и (г, х) по нека-
некасательным путям также существуют почти всюду и конечны (=/),
то пределы G должны почти всюду отличаться от нуля. Следо-
Следовательно, существует почти всюду конечный предел v (г, х) по
некасательным путям, и теорема A.2) установлена. Как след-
следствие [см. гл. III, G.20), E.8)] имеем такие результаты.
A.4) Теорема. Для интегрируемой функции f интеграл A.1)
существует почти всюду.
A.5) Теорема. Для почти всех х ряд S[f] суммируем (С, а),
а>0 (и, таким образом, А-суммируем) к сумме f(x).
Распространение на ряды Фурье — Стильтьеса проводится
легко. Так получается
A.6) Теорема. Пусть F (х) — функция с ограниченным
изменением на 0<#<2я. Заключения теоремы A.2) сохранятся,
если в ней S [/] заменить на S[dF]. Интеграл
существует почти всюду и для почти всех х представляет собой
(С, а), а > 0 (и следовательно, и А), сумму рядаЪ[с1Р].

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 403
Предположим, без ограничения общности, что F — неубываю-
неубывающая функция. Интеграл Пуассона и (г, х) от dF тогда неотрица-
неотрицателен. Пусть v (г, х) — сопряженная к и(г,х) функция, a G(z)
задается формулой A.3). Рассуждая, как выше, докажем, что
lima (г, х) по некасательным путям существует почти всюду.
В частности, ряд S [dF] А-суммируем почти всюду. На основании
теоремы G.15) гл. III интеграл A.7) существует почти всюду,
и по теореме (8.3) гл. Ill S [dF] почти всюду суммируем (С, а),
а > 0, к сумме A.7).
Интеграл A.7) можно записать в виде
я я
dF(t) I f dF(t + x) n R.
— = -v \ /— > (L8)
"Л 2tg-^(t-x) Л
где интегралы берутся в смысле «главного значения» (см. стр. 89).
2. Сопряженные ряды и ряды Фурье
Из рядов
со со
Ecos пх ^л sin пх /о ]\
2 2
первый является рядом Фурье, а второй нет (гл. V, § 1). Таким,
образом, S [/] не обязательно есть ряд Фурье.
Из рядов
со со
B.2J
первый является рядом Фурье ограниченной функции -^-(я —х),
0 < х < 2я, а второй —неограниченной функции —In 2sin—
[гл. I, B.8)]. Из рядов
со со
у sin я* у cos/г*
2 2
первый является рядом Фурье непрерывной функции, так как он
сходится равномерно [по теореме A.3) гл. V], а второй —рядом
Фурье разрывной функции. [Последний ряд расходится к + оо
при х = 0 и, таким образом, (С, 1) суммируется там к + со;
следовательно, это ряд Фурье неограниченной и, таким образом,
разрывной функции.] Однако имеет место следующая теорема:
26*

404 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
B.4) Теорема Рисса. Если /gLp, 1 <р< + оо, то fg Lp
и
шР1п<АртРт, B.5)
с постоянной Ар, зависящей только от р. Кроме того, S [/] =S [/].
Как только что мы видели, теорема B.4) неверна при р —1
и при p=zco. При р — 1 ее заменяют две следующие теоремы:
B.6) Теорема. Если f ? L, moj^lI при любом 0 < \х < 1
и существует такая постоянная В^, зависящая только от [х,
что
ЯМ7]<ад}[Я. B.7)
B.8) Теорема. Если функция /1п+|/| интегрируема, то
/?L и S[f\=S[f]. Более того, существуют такие две абсолют-
абсолютные постоянные А и В, что
2п 2я
^\J\dx<A^\f\ln+\f\dx + B. B.9)
о о
Этот результат частично может быть обращен; именно спра-
справедлива
B.10) Теорема. Если /gL ограничена снизу и если S[f]
является рядом Фурье, то fln+\f\?L.
Из теоремы B.4) следует, что если функция f ограничена, то
сопряженная функция f принадлежит любому Lp. Общее, имеет
место
B.11) Теорема. (I) Если |/|<1, то
2я
J exp(^|7|)dx<C, B.12)
о
при 0 < К < 1/2я.
(II) Если f непрерывна, то ехрА,|/| интегрируема при всех
Доказательство всех этих результатов основывается на форму-
формуле Коши
2Я
gL J z^G(z)dz = -^\G(reix)dx^G(O) @ < г < 1), B.13)
\z\=r 0
имеющей место для любой функции G (г), регулярной в круге | г | < 1.

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 405
Пусть /(г, х) — интеграл Пуассона от / и /(г, ^ — сопряжен-
сопряженная гармоническая функция. Из неравенств B.5), B.7), B.9)
и B.12) вытекают аналогичные соотношения для /(г, х) и J(r, х),
и обратно, из последних вытекают первые, если положить г—>1
и применить соотношение Шр [f (г, х)] —> Шр [/] [или теорему F.15)
гл. IV] и лемму Фату. Таким образом, достаточно доказать
неравенства для функций f(r,x) и f(r,x), которые мы будем
также обозначать через u(z) и v (г).
Начнем с B.7) и предположим вначале, что f >0 и /^0 (так
как в противном случае теорема очевидна). Регулярная функция
F(z)=u(z) + iv(z) (z = reix, 0<r<l) B.14)
имеет положительную действительную часть, и поэтому F(z)=fcO.
Мы можем, таким образом, написать
F(z)=Re«>, где #>0, |Ф|<-?. B.15)
Функция
регулярна при | z | < 1 и действительна при z = 0. Если отделить
действительную часть, то второе равенство B.13) дает
2Я 2Я
-о— \ R11 cos \хФ dx = F^ @) = f -s— \ fdx), B.16)
о о У
так как Z7 @) является свободным членом ряда S[/]. Так как
R > | v | и cos (хФ >cos^ , то имеем
2Я 2Я
где
1-^ 2я
1 —и •
Полагая г—» 1, получаем неравенство B.7).
Если / меняет знак, то положим
h=r, h=r, /-/1-/2, 7=Ti-7b B.i7)

406 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
будем иметь
2я 2я
о
2я
так как fi-\-f2 = \f\. Это доказывает теорему B.6) с постоянной
6{J, увеличенной в два раза.
Для доказательства B.5) нам нужно неравенство
B.18)
где р положительно и не является нечетным целым числом,
а а и р постоянные, зависящие от р. Мы можем предполагать,
что ф>0. Так как cospjt/2=?0, то для соответствующего а
(возможно, отрицательного) a cos рф > 1 в некоторой окрестности
точки <р = я/2. Неравенство B.18) тем более сохраняется в этой
окрестности при р>0. Зафиксировав а, берем р настолько
большим, чтобы в остальной части отрезка [0, я/2] было
Р cosp ф > | а | + 1 и, таким образом,
a cos РФ + Р cosp ф > 1 > sinp ф.
Этим неравенство B.18) доказано.
Предположим опять, что f>0; пусть F (г) задается формулой
B.15). Если мы заменим <р на Ф в неравенстве B.18), умножим
обе части на Rp и проинтегрируем по 0<x<2jt, to получим
2я 2я 2я
^ \v\pdx^fi\ uvdx + a \ RpcospG>dx =
0 0 0
2Я 2я
= р5«^х + 2яа(^-$/^)Р' B.19)
о о
пользуясь формулой B.16) с (х, замененной на р. Следовательно,,
положив г —> 1, будем иметь
2я . 2я 2я 2я
а это — неравенство B.5) с постоянной Л? = Р + |а|. [Попутно
заметим, что если а < 0, например если 1 <р<2, то последний
член в формуле B.19) можно опустить и взять Л? = р.]

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 407
Если / меняет знак, мы используем B.17). По неравенству
Минковского
• B.20)
Теперь мы доказали неравенство B.5) при р > 1, р Ф 3, 5, 7,...
и, в частности, при 1<р<2. Доказательство неравенства B.5)
будет закончено, если мы покажем, что справедлива
B.21).Теорем а. Если неравенство B.5) имеет место для
некоторого р> 1 (т. е. для всех f из Lp), то оно имеет место
также и для сопряженного показателя р' =pl(p—\). Более того,
можно взять АР' =АР.
Пусть g— тригонометрический полином, для которого Шр [g] < 1.
Равенство Парсеваля [гл. IV, (8.6)] дает
2п 2я
I 7\r, x)g(x)dx=-^f (г, х) ? (х) dx.
о о
В силу теоремы (9.14) гл. I и того, что полиномы плотны
в Lp', находим, что верхняя грань левой части для всех g равна
ЭД1р' lf(r, x)]i & в силу неравенства Гёльдера и предположений
теоремы B.5) относительно р имеем
\\f(r, xfg dx < Шр^ [f (г, х)] Шр [g] <
< 3JV [f (/% x)] АрШр [g] < АрШр> [f (r, x)],
отсюда ЯКр' [J(г, х)]< ЛрЗЛр' [f (г, х)] и, полагая г—>1, получаем
Этим заканчивается доказательство теоремы B.21).
Чтобы закончить доказательство теоремы B.4), надо показать,
что 'S [/] =S (f[. Это следует из того факта, что из 2КР [/ (/% х)] =
= 0A) вытекает Шр [J (г, х)] =0A) [см. гл. IV, F.17)]. Таким
образом, S [f] есть ряд Фурье функции lim f (/-, x)=f (x) [см. также
г->1
теорему D.4) ниже].
Доказательство теоремы B.8) будет основано на неравенстве
| sin ф | < у (cos ф In cos ф + ф sin ф) + б cos ф I I ф I < -у ) » B.22)
аналогичном неравенству B.18) и доказываемом аналогичным
способом (y, б — положительные абсолютные постоянные). Сначал

408 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
предположим, что / > 0, / ^ 0. Опять положим F (z)=u (z) +
lj- iv (z) = ReiO и применим формулу B.13) к функции G (z) =
= F(z)\nF(z), регулярной при |z|<l. Отделяя действительную
часть, получаем
2я
ИЛИ
L ^ {# Cos ф In R — #Ф sin Ф} dx = и @) In и @), B.23)
2Я
Умножая это на у и прибавляя 6 \ /?созФ^\: к обеим частям
о
полученного равенства, получаем, в силу неравенства B.22),
2л 2я .2я
{ \v(reix)\dx^y { u(reix)\nu(reix)dx+6^ u(reu)dx—
о о о
-2jtYw@)ln(w@)). B.24)
Теперь мы сделаем несколько более сильное предположение
относительно /, именно что />е-¦= 2,718... . Тогда и~>е и не-
неравенство B.24) дает
2я 2я
^ \v(reix)\dx<(y+6) ^ u(reix)\nu(reix)dx.
о о
Полагая здесь г—>1, получаем неравенство B.9) с А = у + &,
5 = 0.
В общем случае обозначим через Ei и Е2 соответственно мно-
множества точек, в которых f>e и /<— е. Пусть f =fi + f2 + f3,
где /1=max(f, e), /2 = min(/, — е), так что |/з|<е. Тогда
Так как
2 я
Ж[Ы<Л ^ |/А[1п|/А|е?*<Л ^ |/|1п+|/Мх + 2яе (й = 1, 2),
о Eh
Ж [/з] < /2я Ж2 [7з] < /2л % [/3] < 2ле,
то имеем неравенство B.9) с постоянными А—у-{-Ь, В = 6ле.

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 409
При доказательстве теоремы B.10) к / можно прибавить постоян-
постоянное слагаемое (это не повлияет на /) и, таким образом, предпо-
предположить, что />1. Тогда будет и>1. Так как <DsinCP>0,
cos Ф In cos Ф< 0, то формула B.23) дает
2я 2л 2я
ulnudx< J и In Rdx<-%- J | у | dx + 2nu @) lnw @) B.25)
и интеграл справа ограничен, так как S [/] есть ряд Фурье. По-
Полагая г—^1 и пользуясь леммой Фату [гл. I, A1.2)], мы видим,
что функция /In/ интегрируема.
Остается показать, что в предположениях теоремы B.8) S [/] =
= S[/]. Однако вместо того, чтобы Давать прямое доказательство,
которое лишь немногим сложнее доказательства теоремы B.4), мы
предпочитаем сослаться на приведенную ниже теорему D.4), по
которой S [/] = S [/] всякий раз, когда /, / ? L.
Переходим к доказательству теоремы B.11). Пусть функции
и, v, F имеют обычный смысл. Применяя B.13) к функциям
G(z) = exp {± ikF(z)} и отделяя действительную часть, получаем
2Я
\ cos ku exp {ip kv} dx = 2я cos {ku @)} < 2я.
о
Складывая-эти неравенства и замечая, что
ехр (к | v |) < exp (kv) + exp (— kv), cos ku > cos к
получаем
2Я
что доказывает неравенство B.12), когда г—> 1.
Пусть / непрерывна и Т — такой полином, что |/—Т\<
< е. По предыдущему expk\f — T\ интегрируема при кг < я/2.
Так как ехр А, | Т | ограничена, то expA,|f| интегрируема при про-
произвольно больших к (к < я/2е с е произвольно малым).
Замечания, (а) Пусть со(^), ^> 0,— неотрицательная возрастаю-
возрастающая функция, имеющая порядок о (tint) при t—> оо. Пусть f(x)
периодична, не меньше 1, и такова, что со{/(х)} интегрируема,
в то время как /In/ не интегрируема. По теореме B.10) S [/] не
является рядом Фурье и по теореме D.4), помещенной ниже, /

410 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
не интегрируема. Этб показывает, что условие интегрируемости
/In/ в теореме B.8) нельзя заменить аналогичным, но более
слабым условием.
(Ь) Существует такая функция / ? L, что / не интегрируема
ни на каком интервале. Пусть g(x)— периодическая функция,
равная
при — я<л; < я. Таким образом, g превосходит 1 и интегрируема,
в то время как glng не интегрируема. Пусть {rk} плотно в @, 2я),
2 #а — сходящийся ряд с положительными членами, сумма кото-
которого больше 1; тогда положим
f(x) = %akg(x-rh). B.26)
Функция / периодична, превосходит 1 и интегрируема на @, 2я)
[гл. I, A1.5)]; но /In/ не интегрируема ни на каком интервале.
Мы покажем, что / не интегрируема ни на каком интервале.
Действительно, предположим, что f интегрируема на некотором
интервале (а, Ь). Пусть (a',bf) — внутренний к (а, Ь) интервал,
и пусть функция 'к(х) периодична, непрерывна, равна 1 на (а', 6'),
равна 0 вне (а, Ь) и линейна на (а, а') и (&', 6). В силу теоремы
F.7) гл. II, разность Kf — (Я/) ограничена и так как, по предпо-
предположению, Я/gL, то и (A,/)gL. Следовательно, по теореме B.10)
и замечанию (а) функция f(x)X(x) принадлежит классу Lln+L
и тем более каждое произведение h(x)g(x — г и) является функ-
функцией класса L ln+ L, что неверно при некотором k.
(с) Теорема B.4) допускает полезные варианты. Пусть функция
F(z)=u(z) + iv(z)
регулярна при |z|<l. Тогда неравенство B.5), где положено
/ (х)=и (геъх), f (x) = v (reix), и неравенство Минковского немед-
немедленно дают
Wp[F(reix)]<A'pmp[u(reix)] @<г<1) B.27)
с постоянной Ар, не превосходящей Ар из неравенства B.5),
больше чем 1.
Другой вариант теоремы B.4) понадобится позднее. Пусть
и(гегх) =2 спг][П^егпх является гармонической функцией (не обя-

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 411
оо
зательно действительной) при г< 1, и пусть Ф(г) = ^1спгп. Тогда
Жр [Ф (reix)] <АРЖР [и (reix)]. ° B.28)
Предположим сначала, что и — действительная функция и обо-
обозначим через v(z) гармоническую функцию, сопряженную с и (г),
такую, что v = 0 в начале координат. Тогда 2Ф = и 4-iv + co =
F и неравенство B.28) следует из B.27) и неравенства
2Я
±
О
и (reix) dx | < Я, [и (reix)] < Шр [и (reix)].
Предположим теперь, что и — комплексная функция, u =
i и что соответственно Ф = Ф1 + /Ф2. Будем писать 2КР[Ф]
вместо Шр [Ф (гегх)] и аналогично для и; имеем
ЯЯР [Ф] < Жр [Ф,] + Шр [Ф2] < Л; EШР [щ] + Жр [и2]) < 2А"РЖР [и].
Аналогичные варианты можно сформулировать для теорем B.6),
B.8) и B.11).
Перейдем теперь к рассмотрению еще нескольких теорем, ана-
аналогичных теореме B.4) для случая р = 1, оо. Одна из них есть
теорема F.27) гл. IV, которую можно сформулировать следующим
образом:
B.29) Теорема. Пусть /?L, и пусть v(z)=J(r, x). Тогда
2л
где D — любой диаметр круга \г\< 1.
Еще один вариант теоремы B.4) при р=1, оо:
B.30) Теорема. Пусть и (г, х) и v (r, х) — сопряженные
гармонические функции при 0<г< 1, и пусть а > 0, 6 = 1—г.
(I) Если и (г, х)=О(б~а) при г—>1 (равномерно по х), то
v(r, х)=ОF-а).
(II) Если Ш[и(г, л:)] = ОF"а), то m[v(r, х)] = О(Ь~а).
Сначала докажем следующую лемму:
B.31) Лемма. Если функция Ф(г) = и(г, x) + iV(r, x) регу-
регулярна при \z\ < 1 и U (г, х) —интеграл Пуассона функции U(х),
то
^ /*(г, х), B.32)
где U* (г. х) — интеграл Пуассона функции \U(х)\.

412 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Действительно, пусть Р, Q — ядро Пуассона и ему сопряжен-
сопряженное ядро соответственно, а
r, t), B.33)
<
непосредственно проверяется, что
I dS (г,
dt
следовательно,
2я
и неравенство B.32) доказано.
При помощи замены переменной для любой функции F (z) =
= u(r, x) + iv(r, x), регулярной при |z|</?, получаем
где tiR(r, х) — функция, гармоническая при г < R и совпадающая
| u(R, x) | при г= /?.
Возвращаясь к B.30), положим г= 1—б, R = 1 — 6/2, и
Ф (б) = max | и (г, *)|, г|)(в) = ЯП[и(г, *)], / (г) -ЯК [F (reix)l
где F = u + iv. Учитывая неравенство B.34), получаем
2я
2Я
<у/(г)= f -^(и2 + v*)V2dx = f (ийг + ^
о
2Я
^ = 2R [Ff (re**)J
О
Интегрирование неравенств для \F' \ и У по г дает
1 1
! F (reix) -F@) |<4 ? Г2ф (~) d/, J (г)- У @)<4 ?Г!
б б

2. СОПРЯЖЕННЫЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ 413
Если ф(б) или if>F) имеет порядок 0(б~а), то соответствующий
интеграл тоже имеет порядок 0(б~а) и теорема B.30) доказана.
B.35) Теорема. Пусть и (г, х) — гармоническая функция
при г< 1, и пусть 1<р<оо, а > 0. Тогда из каждого соот-
соотношения
(I) Шр[и(г, х)] = ОF-а), ^
(II) ЯПр[мх(г1^)] = О(в-а-1), | B.36)
(III) ЖР[иг(х, г)]=О(Ь~а-1) J
вытекают два других.
То, что (II) и (III) эквивалентны, следует из условия Коши —
Римана rur=vx и теоремы B.4), если 1<р<оо, или теоремы
B.30), если р= 1, оо. Эквивалентность (I) и (II) следует из
теорем B.4), B.30) и следующей леммы:
B.37) Лемма. Если функция F(z) регулярна при |г|<1,
то соотношения
(I) ^р [F (/***)]== О (б""), (II) 3Rp[F'(re**)]=OF-a-1) B.38)
эквивалентны.
Допустим, что 9Лр [Т7 (geix)] <: А A — Q)~a, и положим z = reix.
Если С обозначает окружность с центром в точке z и радиу-
радиусом 6/2, то
2я
Возводя обе части последнего неравенства в степень р (если
р < оо) и интегрируя по я, получаем при помощи неравенства
Минковского [гл. I, (9.11)]
2я
О
2я
Первое неравенство сохраняется и при р = оэ. Следовательно, из
(I) вытекает (II).
Обратно, предположим, что Шр [F' (q^x)]< В A—о)~а~{. Так как

414 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
то по неравенству Минковского
Шр [F (reix)-F@)] < $ Жр [F' (Qeix)] dQ<
о
г
^ Б A - Q) dQ < Ваб-а,
о
и, таким образом,
Шр [F (reix)] < Ва"^-" +1F @) | BлI/р = О F"а).
Следующий результат есть аналог теоремы B.6) для рядов
Фурье — Стильтьеса.
B.39) Теорема. Пусть F (х) — функция с ограниченным
изменением на 0<х<2я, и пусть F* (х)—функция, определен-
определенная равенством A.7). Тогда для любого ц, 0 < [х < 1, имеем
2л
\. B.40)
Обозначим через и (г, х) интеграл Пуассона — Стильтьеса от F
и через v(r, я)—сопряженную гармоническую функцию в силу
неравенства B.7), имеем
2Л . 2Л 2Л
\v(r, x)\^dxy/ll<BVi J \u(r, x)\dx^BlL J \dF(x)\. B.41)
0 0
Поскольку v (r, x)—>F*(x) для почти всех х при г—>1, то из
неравенства B.41) следует неравенство B.40).
3. Применение формулы Грина
Главным орудием в предыдущем параграфе была формула
Коши B.13). Некоторые результаты можно получить также при
помощи формулы Грина. Этот последний метод дает хорошие
оценки для постоянных, встречающихся в неравенствах.
Пусть w=w(l, г))— функция, непрерывная вместе со своими
первыми двумя производными при ?2 + т)г<#2. Обозначим через
/ (г) интеграл от w, взятый по окружности радиуса г < а с цент-
центром в 0. Исследуя поведение I (г) при г—>а, естественно рас-
рассмотреть производную dl (r)/dr, а это в свою очередь наводит на
мысль о применении формулы Грина
l\ C.1)
Sr

3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ГРИНА 415
Здесь Sr обозначает круг ?2 + тJ<г2, Сг —его окружность,
— оператор Лапласа, а д/дг обозначает дифференцирование по
направлению радиуса-вектора. Заметим попутно, что формула C.1)
немедленно получается, если мы введем полярные координаты
q, х и используем формулу
Aw = q (qwq)q + q'*wxx. C.2)
В силу периодичности w по х, интеграл по отрезку 0<я<2я
от последнего члена в равенстве C.2) равен нулю, так что пра-
правая часть C.1) принимает вид
г 2к 2л
\ \ q (qwq)qq dq dx = \ wrrdx= \ wrds.
0 0 0 Cr
Пусть ? = ? + /т), и пусть функция
регулярна в окрестности точки ?о = ?о + щ0. Пусть вещественная
функция
w = w(u, v)
непрерывна вместе со своими первыми и вторыми производными
в окрестности точки ио=иAо, %), vQ=v(l0, %). Тогда
Ч/п + ^лл = (Щш + Wvv) \F'(Q I2 C.3)
в точке ? = ?<)•
Действительно, w% = 1Юищ
Если к этим равенствам мы присоединим соответствующие равен-
равенства для wm и заметим, что и, v удовлетворяют уравнениям
Лапласа и Коши — Римана, то получим формулу C.3).
Особенно интересны следующие два случая формулы C.3).
В первом случае мы полагаем /? = |F(?)| и w = w(R); тогда, по
формуле C.2),
Aw^R^iRwRfolF'l*. C.4)
Во втором считаем, что w = w(u) и не зависит от v; тогда, по
формуле C.3),
Aw = wuu\F'\*. C.5)
Пусть функция F (С) = и + ^ регулярна при | ? | < 1 и р — любое
действительное число. Тогда, в силу формул C.4) и C.5),
Д | F \р = р* | F |р"? IF' |2; Auv = р (р - 1) и?'* \ F' |2. C.6)

416 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Первая формула имеет место во всех точках, где F ф О (в про-
противном случае следует предположить, что р>2), вторая —где
и Ф 0. Применим их к доказательству теоремы B.4). Мы знаем,
что достаточно доказать B.4) для случая, когда 1 < р<2 и функ-
функция а —интеграл Пуассона от / — положительна. Так как \F\>u,
то C.6) дает
A|F|*<p'Aa*, P' = ^zt- C.7)
Положим теперь
2к 2я
/ (г) = J ир (г, х) dx, J(r)=^\F (reix) \р dx9 C.8)
о о
и. применим равенство C.1) к функциям w = up и w—\F\p. Тогда
правые части в полученных равенствах будут соответственно гГ (г)
и rj'(г). Таким образом, из неравенства C.7) вытекает, что
J'(r)<pT(r).
Интегрируя это неравенство по а* и замечая, что / @) = У @) >0,
р' > 1, получаем неравенство J (г) < р'1 (г). Так как | F | > | v |,
то это дает
Wp[v(reix)]<Apmp[u(reix)\,
где Ар = р'{/р при 1<р<2. Если функция и меняет знак, то
значение Ар нужно увеличить в два раза. Применение B.21)
показывает, что
<2р при р>2. C.9)
Рассуждая аналогично, можно доказать теоремы B.6) и B.8). 38
При доказательстве теоремы B.8) мы можем начать (как
и в предыдущем параграфе) с предположения, что (>е; тогда
и >е. Обозначим через J (г) и / (г) интегралы от | F (гегх) \ и и In и
по отрезку 0<х<2я. По формулам C.4) и C.5) имеем
Д | F | = | F' |я | F Г1, k{
так что
А | F |< Д (и In и), Г (г) < /' (г), J (г) < / (г)
[мы учли, что У@)</@)]. Отсюда получаем неравенство B.9)
с постоянными Л=1, В = 0. В общем случае, рассуждая, как на
стр. 408, получаем, что Л=1, В = 6ле.
Чтобы доказать теорему B.6) при />0, заменим в формулах
{3.6) р на [а и получим неравенство А | F |^< — (х A — |г)~1Дм'х.

4. В-ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ 417
Отсюда, считая, что J (г) и I (г) заданы формулами C.8), в кото-
которых вместо р стоит [х, полудаем последовательно неравенства
/' (г)< — |i A —I*)/' (г),
а это приводит к неравенству B.7) с постоянной B^=Bn)i"]l A — jx).
Рассуждения на стр. 406 показывают, что для функции /, меняю-
меняющей знак, постоянную В^ нужно умножить на 21/ц.
4. В-интегрируемость
Существует такая функция /?L, что f не интегрируема.
Интересно отметить, что при соответствующем определении инте-
интеграла более общем, нежели определение интеграла Лебега, функ-
функция f оказывается интегрируемой и S [f] будет рядом Фурье
для 7-
Пусть задана функция f(x), а <*.<&; определим ее для
всех х по условию периодичности: f(x + h) = f (х), где h = b~a.
Пусть а = х0 < Xi < х2 < ... < хп = b — любое разбиение отрезка
[а, Ь\ и Q=max(jt/ — */_i). Пусть ^—-произвольная точка из
[Xj-i, Xj]. Рассмотрим выражения
/@=2fFH-0(*j-*j-i). D.1)
которые являются суммами Римана для семейства функций f t (x) =
= f(x-\-t). Если /(х) R-интегрируема, то /(# + 0 тоже R-инте-
грируема и I (t) при q—>0 стремится к пределу, не зависящему
от выбора 'Xj и ?j. В силу периодичности функции / этот предел
не зависит от t. Но даже если f не R-интегрируема, то суммы / (/)
могут при Q—>0 стремиться к пределу У «о л*е/?е. Под этим мы
понимаем следующее: для любого заданного е > 0 можно найти
такое 6 = 6 (е), что если Q < 6, то \I (t) — J\ <е, за исключением
значений t из множества 7, мера которого меньше е (Т может
зависеть от xj и ?7-). Если это имеет место, то мы говорим, что f
В-инпгегрируема на (а, Ь) и что У есть интеграл от f по (а, Ь).
Можно также говорить, что f R-интегрируема «по мере».
D.2) Теорема. Если f L-иншегрируема на (а, 6), то она
также и ^-интегрируема и интегралы от нее в обоих смыслах
совпадают.
27 д. Зигмунд, т. I

418 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Действительно, пусть f=fi-\-f2u соответственно / (t) = /t (t) +
+ /2@» гДе /i непрерывна, а ЯЛ [/2; а, 6] < е2/3F — а). Тогда
ь ь
| /2 @1 л < 2 (*> - *;-i) J I h (li + t)\dt<
так что множество Г значений /, для которых | 72(<) I > ув»
имеет меру, меньшую е. Если J, Ju J2 — интегралы от f, fu f2
по (a, 6), то
I/@-/| = |/i@ + /2@-A-/2l<|/i@-^i I+ 1/2@-^1-
Здесь | 7j (/) — t/A I < -5- при условии, что q < б = б (е). Далее,
1М01<у для *$т- По предположению | J2\ < 3/68_ау < у »
если без ограничения общности считать, что &<Ь — а. Следова-
Следовательно,
|7@-/|<е для /g Г, |Г|<е
при условии, что Q < б, и теорема D.2) доказана.
D.3) Теорема. Для любой периодической функции f?L
функция 7 ^-интегрируема на @, 2я). Более того, Je~lkx В-инте-
грируема на @, 2л) при fc = 0, ± 1, ... a S[/] = S[/].
Зафиксируем & = 0, ± 1, ±2, ..., и пусть 7* (*) будет сумма
D.1), в которой / заменена на J(x)e~lkx. Тогда
7" (о I =
где &j=Xj — Xj-i. Последняя сумма сопряжена с суммой
Таким образом, в силу неравенства B.7),
2л 2л
о
Это показывает, что \Tk(t)\<& вне множества, мера которого
меньше е, при условии, что Ш [/] достаточно мало, скажем мень-
меньше, чем ц=ц(е).
Положим теперь f = fi-\-f2, где Д —полином, а ЯК [/г] < Л-
Соответственно представим 7 (<) =71(f) + 72@ и Ck=c'k + Ck. Оче-
Очевидно, что /i@ стремится (при Q—>0, равномерно по ?) к /г-му

5. УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА 419
коэффициенту функции 2я/ь т. е. к — 2ш (sign/г) ^. С другой
стороны, |/*@|<* Для t$T, \Т\<г\ и |4| < ^.
Таким образом, при достаточно малых Q и t ? Г сумма /fe (^)
отличается от —2ш (signk)c'k меньше чем на 2е, или от —2ш х
x(sign&)c& меньше чем на Зе + т). Так как е и ц произвольно
малы, то Ih(t) стремится по мере к —2ш (sign й) с& при Q—>0.
Это показывает, что функция fe~ikx В-интегрируема на отрезке
@,2jt) и что S[f] = S[/]. В частности (при й = 0), функция /
В-интегрируема на @,2я) и значение интеграла равно нулю. Этим
доказательство теоремы D.3) закончено.
D.4) Теорема. Если обе функции f и f L-интегрируемы, то
S[/]=S[/].
Это следует из теоремы D.3). Другое доказательство будет
дано на стр. 453.
5. Условия Липшица
E.1) Теорема. A) Для того чтобы функция и (г, х), гар-
гармоническая при г < 1, была интегралом Пуассона от функции
f(x)?Aa, 0<а<1, необходимо и достаточно, чтобы
«х (г, *) = 0(б«-1), E.2)
где 6=1 — г равномерно по л при г —> 1.
(II) Для того чтобы функция и была интегралом Пуассона
от функции f из А* или Х#, необходимо и достаточно, чтобы
ихх = О (б-1) или о (б) соответственно.
Так как Ai — это класс интегралов от ограниченных функций^
то доказательство в случае а =М в (I) следует из теоремы F.3)
гл. IV. Поэтому мы можем предположить, что 0< а < 1. Нам
понадобится следующая оценка для производных ядра Пуассона:
\Pt(r, *)<в-*. \pt(r, t)\<At-* (|*|<я; 6 = 1—г). E.3)
Неравенства E.3) следуют из формулы B.33) и неравенств F.9)
гл.III. Так как интеграл от Pt (r, /) по отрезку 0<^<2я равен
нулю, то
я
«х(г, *) = =1\ f(X + t)Pt{r, t)dt =
—я
1 б б^|
27*

420 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
В силу неравенств (б.З), имеем
\А\<
lit Кб
и необходимость условия E.2) доказана.
Обратно, предположим, что имеет место условие E.2). Пусть
v (г, л:) —функция, сопряженная с и\ положим F (z) = u-\- iv.
На основании равенств E.2) и теоремы B.30) (I) имеем F'(z) =
= О(8а~1) при г—»1. Из соотношения
г
F (reix) -F@)=^Fr, (Qeix)eix dQ =
о б
получаем, что F (eix)= lim F (reix) существует равномерно по х.
Следовательно, F (гегх) является интегралом Пуассона от F (егх)
и достаточно показать, что F(eix)?Aa.
При 0 < h < 1 имеем
^ ^ i E.4)
it is
где /i —отрезок 1>г>1—/г радиуса argz=x; /2 —дуга z==
= (l — h)eu, х</<х + Л; /з — отрезок 1—/г<г<1 радиуса
argz^x + A: Так как Ff (A — /г)ви) =O(ha-1), то отсюда следует,
что J2=h0(ha-l)=0(ha). Таким образом,
и аналогично Jz = O (fia). Таким образом, /i -f- J2 + J3 = О (ha) и
F(eix)GAa.
Необходимость условия в (II) следует из теоремы (9.16) гл. III.
При доказательстве достаточности можно ограничиться случаем
Uxx^Ofi-1), рассуждения в случае «о» аналогичны.
Из предположений теоремы вытекает, что уХх = О (б-1) [по тео-
теореме B.30)], так что Fxx(reix) = О (б). Так как dldx^izdldz,
то (zF' (z))r = О(б~1). Интегрируя это соотношение вдоль радиу-
радиусов, мы видим, что/^г^СМ ln-т- ) при г—»1, и еще одно
интегрирование вдоль радиуса показывает, что F (г) непрерывна
в замкнутом круге |z|<1.

5. УСЛОВИЯ ЛИПШИЦА 421
Пусть теперь 0 < h < 1, ?) = eix, t)h = (\—h)elx. Нам потре-
потребуется формула
F(l)=F(lh) + {l-ih)F' {lh)+\{l-z)F''(z)dz, E.5)
где интеграл берется вдоль радиуса. Для доказательства рас-
рассмотрим формулу
lh
которая легко получается интегрированием по частям. Если мы
положим е—>0 и заметим, что
F (У -> F (?), sF' (?е) = О (е In e) = о A),
то получим формулу E.5).
Из соотношений {zF')' =О(б~1), F' (z) =0 мпт^вытекает, что
F" (z) = ОF~1). Таким образом, подинтегральная функция в пос-
последнем члене формулы E.5) имеет порядок 0A), сам член — по-
порядок О (Л), и мы имеем
F (eix) - F (rheix) + hrfg (rheix) + 0 (h),
где rh=l— h, g(z)=zF' [так что g' =0F~1)]. Вычитая это
из аналогичного равенства, в котором х заменено на je-f-Л, мы
получаем
р (ei(x+fc))_f (eix) = J F' (г) dz+O (Л),
так как разность значений функции g в точках (\—h)exx
и A — Л) в* <Л-т-Л> равна интегралу от gr, взятому вдоль дуги, соеди-
соединяющей эти точки, и таким образом имеет порядок /г-О(к-г) =
= 0A). Из аналогичного равенства, в котором x-\-h заменено
на х — /г, замечая, что сумма интегралов справа равна
г \ {g (rhel <*+<>) -g
h
= i\dt J g' (z)dz- J dt-Oith-1) =0(A),
0 rhe*(*-0 0
получаем, что F (e*(*+ft) + F (ei(<x-h))-2F (eix) =0(h), т. е. FgA*.

422 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Замечание. Комбинируя теоремы E.1) и B.30), мы получаем
новое доказательство того, что если / принадлежит одному из
классов Ла @ < а < 1), Л*, Я#, то f принадлежит тому же клас-
классу [см. главу III A3.29)].
Хотя функция, сопряженная с непрерывной функцией, не обя-
обязательно сама непрерывна [см. B.3)], однако некоторые следы
непрерывности все же остаются, как это показывает следующая
теорема (определение свойства D см. в гл. II, § 3).
E.6) Теорема. Пусть функция f (х) периодична и непрерыв-
непрерывна. Сопряженная функция
Т(х)= lim {- -L С
n*+t)-ti*-t) dt\ E.7)
обладает свойством D на множестве Е точек, в которых f (x)
существует.
Мы можем предположить, что свободный член ряда S [/] ра-
равен нулю. Тогда интеграл F от функции / периодичен и имеет
непрерывную-производную, так что он принадлежит классу X*.
Таким образом, сопряженная функция F также принадлежит
классу Я*. Она является интегралом от некоторой функции /?L.
Если f (г, х) — интеграл Пуассона от 7 и f (x\ г) — выражение,
стоящее под знаком предела в формуле E.7), то
Г(г, х)-Т(х\ 1 — г) —>0 при г->1 E.8)
по теореме G.20) гл. III. Предположим, что a<b,f(a)=A,
f(b)=B и что С —некоторое число, заключенное между А и В.
Мы покажем, что существует такое число с между а и 6, для
которого f(c) = С. Предположим, например, что А < С < В. Из
условия E.8) следует, что
lim7(г, а)=А, limf(r, 6) = В.
По теореме G.2) гл. III, пользуясь гладкостью F, получаем
По замечанию на стр. 78 существует такая точка с между а и Ь, что
*Р (с) = С. Следовательно, / (г, c)—>C,f(c\ 1 — г) —>С [по усло-
условию E.8)], откуда следует теорема E.6).

6. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ РЯДОВ S [f] И S[f] 423
6. Сходимость в среднем рядов S [/] и S [/]
Теоремы о сопряженных функциях приводят к результатам,
касающимся частичных сумм рядов S [/] и S [/].
Пусть sn (х) = Sn (х\ /), !п (х) = Sn (х; /), и пусть s* (х) и s* (х) -
модифицированные частичные суммы рядов S [/] и S [/] (гл. II,
§ 5); имеем
я Л
sZ{x) =— J f(x + t) Tdt,
J T
2tgT
T j
Заменяя здесь sin nt на sin я (/ + a:) cos nx — cos /г (t + x) s\n nx и ана-
аналогично заменяя cos nt, мы получаем формулы, выражающие s*
и 5* через сопряженные функции:
s^ = ^Л (х) sin nx — hn (x) cos nx, Л
sti— f(x)= — i"* cos nx — Ая (x) sin nx, J
где gn и Ап равны соответственно f(x)cosnx и /(x)sinnx. Пра-
Правая часть здесь определена почти всюду.
Отсюда следует, что
<\gn\ + \hn\ |
F.4) Теорема. ??уш /б Lp, 1 < р < оо, /по
Жр [sn] < СРШР [/], Жр [7п] < СРЖР [/], F.5)
attptf-sni->o, anPif—s^i-^o (n^oo), F.6)
гйв Ср завысит только от р.
Так как sn — s*—>0, Sn — sn—>0 равномерно по я, то доста-
достаточно доказать соотношения F.6), в которых sn и 7п заменены
на s^ и s*. Неравенство
2Я
и соответствующее неравенство для Гд —s^ показывает, что дос-
достаточно доказать неравенства F.5) для s*, sft.

424 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Пользуясь неравенством Минковского и неравенствами F.3)
и B.5), находим
шр [s*i < тР Qn] + ш
что доказывает F.5). Теперь положим f = f'-\-f, где /' — поли-
полином, а ШР[Г] < е. Тогда, вводя естественные обозначения, имеем
< = s'n' + sr, / - s* = (Г - s*') + (Г - О.
где последнее равенство справедливо при достаточно больших п.
На основании неравенств F.7) последняя сумма не превосходит
BЛр+1)аПр[П<BЛр+1)е, так что Шр [f - s*] -> 0 и, в силу
теоремы B.4),
Жр [7-^] < АРШР [f - s*] -> 0.
F.8) Теорема. ?^ла f б L, 0 < \х < 1, то
F.9) Теорема. Если |/|1п+|/| интегрируема, то
2гс 2Я
При доказательстве этих теорем мы ограничимся случаем s^,
рассуждения для случая sn аналогичны. Опять достаточно рас-
рассматривать s* вместо sn. Доказательство теоремы F.8) ведется
аналогично доказательству теоремы F.4), если воспользоваться
теоремой B.6) вместо B.4) и неравенством
зпк [ф ч- яи < акц [ф] + яки [*]
вместо неравенства Минковского.
Если /ln+|/|eL, то
2л
F.10)

6. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ РЯДОВ 8 [f] И 8 Ш 425
в силу неравенств F.3), B.9) и рассуждений, которые анало-
аналогичны F.7). Мы применим это к kf, где k — положительная посто-
постоянная (ясно, что если /1п+|/| интегрируема, то интегрируема
и функция kf\n+\kf\). Имеем
2Л
Выберем k так, чтобы было 2B/k<&, и положим f = f' + f", где
/' — полином, а интегралы как от 2Л|/"|1п+|&/"|, так и от |/"j
по@,2л) меньше е. [По теореме E.14) гл. IV, мы можем взять
ff = om(x\ f) с достаточно большим т.] Пользуясь теми же до-
доводами, что и выше, мы имеем для достаточно больших п
2Я
так что an[f —s*]—>0.
Отметим еще следствие теорем F.4) и F.9):
F.11) Теорема. (I) Если f ~ 2 cneinx g Lp,g~ 2 c'neinx g lP\
где 1 < p < oo, то ряд в равенстве Парсеваля
2Я +оо
2JT S /?<** = 2 *»c-« FЛ2>
О - —оо
сходится.
(II) Это оюе утверждение справедливо, если |f|ln+|/| интег-
интегрируема и g ограничена.
Это обобщение теоремы (8.7) гл. IV. То, что (I) следует из
F.4), уже было показано на стр. 257. Часть (II) следует ана-
аналогичным образом из соотношения 5Ш [f — sn] —>0 [см. F.9)].
Мы видим, таким образом, что если / ln+1 /.| интегрируема, то
в теореме (8.9) гл. IV можно заменить суммируемость (С, 1) схо-
сходимостью.
F.13) Теорема. Для любой /gL существует такая после-
последовательность {nk}, что snk (x) —>f(x), Snk (x) —> f (x) почти всюду.
Это следует из теоремы F.8) и теоремы A1.6) гл. I. Сначала
мы выберем последовательность {т&}, такую, что smfe—>/ почти
всюду, а потом из {т&} выберем такую последовательность {nk},
что Snk—>f почти всюду.

426 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Последовательность {nk} в теореме F.13) существенным обра-
образом зависит от /. В гл. XV будет показано —и это является
более глубоким результатом, что для / ? 1>, р > 1 можно взять
фиксированную последовательность, не зависящую от /.
Теорема F.4) неверна при р = 1 и р^оо, так как W[f — sn]
не обязательно стремится к нулю для интегрируемой функции /
[гл. V, A.12)] и, кроме того, sn не обязаны сходиться (и тем бо-
более равномерно) к непрерывной функции / (см. гл. VIII, § 1).
Однако если функции f и f обе интегрируемы или обе непре-
непрерывны, то S [/] и S[f] ведут себя во многом одинаково. В самом
деле, справедлива
F.14) Теорема. (I) Если обе функции f и J непрерывны
и ряд S [/] сходится равномерно, то и ряд S [/] сходится рае-
номерно. Если f и f ограничены и S [f] имеет ограниченные час-
тичные суммы, то и S [/] имеет ограниченные частичные суммы.
(II) Предположим, что S[f] является рядом Фурье. Тогда,
если ЗЛ|>„] ограничены, то и Ш [sn] ограничены; если 9Л[/ — sn]
стремится к нулю, то и W[f — sn] стремится к нулю,
Сначала докажем следующую лемму, только часть которой нам
сейчас нужна.
F.15) Лемма. Пусть Т(х) — тригонометрический полином
порядка п, и пусть р>1. Тогда
Для р = со это теорема A3.16) из гл. III, а общий случай
может быть доказан аналогичным образом. Из первой формулы
A3.18) гл. III получаем
2Л
T(x + t)\Kn-i(t)\dt,
откуда, пользуясь неравенством Иенсена, немедленно получаем
первое неравенство F.16). Второе неравенство получается анало-
аналогично, если отправляться от первой формулы A3.19) гл. III.
Возвратимся к доказательству теоремы F.14) и обозначим
через ап и ап (С, 1)-средние для рядов S [/] и S [f]. Предположим,
что S [/] сходится равномерно. В силу формулы A.25) гл. III,
-^-rn + Qn, @.17)
n+{

6. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ РЯДОВ S [f] И S" Ш 427
где по фиксировано и настолько велико, что \sn — sno|<e при
п > п0. Первое неравенство F.16) при р = оо показывает, что
Рп\ < 2е. Ясно, что \Qn\ < e для достаточно больших п, поэтому
\<3п — sn\ < Зе и ап — sn—>0 равномерно по х. Если / непрерывна,
то on—>f равномерно по х. Таким образом, sn—>f равномерно
по х, откуда следует первая часть теоремы F.14). Часть тео-
теоремы F.14), касающаяся ограниченности /, еще проще и не
нуждается в дальнейших пояснениях.
Часть (II) теоремы F.14) доказывается таким же путем при
помощи первого неравенства F.16), в котором положено /?=1.
Предположим, например, что Ш [f — sn] —>0. Тогда Ш [sn — Sn0] < г
для п0 достаточно большого и п > п0. По формуле F.17)
ffi [оп — sn] < Зе при п достаточно большом, а это означает, что
УЯ[оп— !sn] —>0. Это, а также соотношение Ш\[ — оп]—->0 (имею-
(имеющее место, если ?[/] —ряд Фурье) приводят к доказательству
того, что УЯ[[ — sn]—>0.
Замечание. Соотношение оп — sn—>0 в доказательстве первой
части теоремы F.14) основывалось только на условии, что ряд
Фурье S [/] сходится равномерно. Тогда S[/] = S[/], так что {оп}
сходится почти всюду. Поэтому справедлива
F.18) Теорема. Если S [/] сходится равномерно, то S[f] схо-
сходится во всех точках, где он суммируем (С, 1), в частности
почти всюду.
F.19) Теорема. Существует такая абсолютная постоян-
постоянная Ко > 0, что если |/(х)|<1, то
2л 2л'
\ [ exp(K\sn\)dx<Ak, F.20)
j
о о
2л 2л
4sn-/|)dx-Mf ± _
(л-» со) F.21)
ярг/ 0 < Я < Яо. ?*?уш функция f, кроме того, и непрерывна, то
соотношение F.21) имеет место при всех Я > О.
Если |Л<1> то функции gn и hn в первом неравенстве F.3)
по модулю не превосходят 1. Следовательно, пользуясь неравен-
неравенством Коши — Буняковского и теоремой B.11), получаем
2л ' 2Л 2Л
\ ехр (Я | si |) dx < i \ ехр BЯ \gn\)dx) 2 Г \ ехр BЯ | hn \dxj 2 C2x
оо о

428 ГЛ. VII ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
при Я < ~y . Так как \sn — s*|<l, то отсюда следует первое
неравенство F.20) Г при Я < — ) .
Докажем теперь первую формулу F.21). Из неравенств
0<еи—1<?/еи, а>0 и неравенства Гёльдера следует, что раз-
разность между обеими частями формулы не превосходит
2л
— sn\)dx<
2л
2л
-^ \ \f — sn
о о
Если X < ^ и р настолько велико, что р"к < ^ , то последний
множитель ограничен; так как предшествующий множитель имеет
порядок о A) [по F.4)], то отсюда следует утверждение F.21).
Если / непрерывна, то получаем f = f' + f", где /' — полином,
а |/" | < е. Соответственно полагаем sn = s'n-\-Sn и
f-Sn = (f'-s'n) + (f"-Sn) = f"-Sn
при достаточно больших п. Таким образом, первые соотношения
в F.20) и F.21) имеют место при Яе < Яо, т. е. при любом Я > 0.
Результат для sn доказывается аналогично.
F.22) Теорема. Пусть а > 0, р>—1; обозначим через о^г(х) и о&(х)
соответственно (С, ^-средние тригонометрического ряда ^Ak(x) и его
сопряженного ряда ^В^(х).
Если oft (х) = О (па) равномерно по ху то 7з^(х) = О (па) равномерно по х.
Если ЭД[а?] = О(/га), то и !Ш [о%] = 0 (па).
Эта теорема аналогична теореме B.30). Легко проверить, что (С, Р)-сред-
ние a^ = 2 ^n-\uv/^n (см- гл-
v=0
соотношениям
» § 1) любого ряда 2 "v удовлетворяют
71 v=0
В частности,
v=0
a» W-aP_t (^-РАг-
-^ад, F.23)
"+Р)~1^гап~1 М- F-24>

6. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ РЯДОВ S [f] H'S [f] 429
Предположим, что ] а^ (х) К Ф (п) при всех х и п. Тогда |{c^(x)}'K
/г), по лемме F.15), и
| а»*1 (х)-аР (х) | < g?g± < 2Ф («), F.25)
в силу F.23). По формуле F.24), в которой Р заменено на Р + 1, имеем
R+1-4±l К (Р+1) п-«-2пФч(п),
1
при условии, что Ф (v) = O (\а). Это и неравенство F.25) дают, что
??(*)=о (О.
Доказательство для ffl [a^] аналогично.
Следующая теорема является аналогом теоремы F.8) для рядов Фурье—
Стильтьеса. Функция F* здесь определяется формулой A.7).
F.26) Теорема. (/) Пусть sn и sn—частичные суммы рядов S[dF]
и S [df]> Тогда для каждого jli, 0 < jli < 1, имеем
2я 2rt
Щ Ы < Вц J | dF |, 9}?^ [%] < В^ J | dF |. F.27)
О О
(II) Если, кроме того, коэффициенты dF стремятся к нулю, то
ЯЯц [sn-F'\ -> 0, 2}?^ [S—F*] -» 0. F.28)
(I) Пусть dF ~ ^ cveiV3C, и пусть и (г, jc)—абелевы средние для
По теореме F.8), имеем
2я ?1 2я 2я
0 -n
0 0
и, полагая г—> 1, получаем первое неравенство F.27). Результат для sn
доказывается аналогично.
(II) Этот результат более глубок, и его доказательство основывается на
результатах, которые будут доказаны позднее. Дополнительное предположение
о том, что сп —> 0, необходимо, так как, например, из первого соотноше-
соотношения F.28) вытекает, что
и поэтому сп—>0: в частности, функция F непрерывна [гл. III, (9.6)].
Ввиду F.8) достаточно доказать этот результат для сингулярной функции F.
Тогда первое соотношение F.28) сводится к соотношению ffl^ [sn] -> 0.
Нам потребуется следующий факт: если коэффициенты сп ряда dF стре-
X
мятся к нулю и если G(x)= \ %{t) dF (/), где X—характеристическая функция

430 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
интервала, то коэффициенты ряда dG тоже стремятся к нулю Это—частный
случай более общей теоремы A0.9) из гл. XII, но мы приведем здесь его
доказательство.
Прежде всего, так как функция F непрерывна, то непрерывно и ее пол-
полное изменение. Отсюда следует, что для любого ц > 0 можно найти полином
7\ для которого
2л
J \X-T\\dF\<r\
о
(сначала мы аппроксимируем % полигональной функцией, а эту послед-
последнюю—полиномом). Так как из предположения сп—>0 вытекает, что
2л 2л
\ Т (х) е~гпх dF (х) -> 0, то получаем, что \ %(х) е~гпх dF (х)—> 0, как
о о
и утверждалось.
Если F сингулярна, то для любого заданного е>0 мы можем найти
конечную систему а' неперекрывающихся интервалов, что если а"—дополнение
к а', то
J|dF|<e. F.29)
а"
Пусть %' и %"—характеристические функции для о' и а", пусть
X X
= ?
о
о о
и пусть s'n и s^—частичные суммы рядов S [dF\\ и S [^^г]- ^ак как
5л = 5Д+5„, то достаточно доказать, что Ш^ [s'n] и Ш?^ [s^] малы вместе с 8
при условии, что п достаточно велико.
На основании соотношений F.27) и F.29) имеем
2л
Переходя к s'n, обозначим через ai множество, которое получается из а',
если каждый составляющий его интервал заменить концентрическим ему интер-
интервалом вдвое большего размера; пусть а*—дополнение к а^. Так как коэф-
коэффициенты ряда dFi стремятся к нулю и Fi постоянна на каждом интервале
aj, то s/z сходится равномерно к нулю на aj и интеграл от \s'n\^ no aj стре-
стремится к нулю1). Если теперь [Х<|Ы1< 1, то, применяя неравенство Гёльдера,
получаем
2л
$ ls«l'ild;c)|A/|Al|ai|1"|l/'ll<jB!ti | I dF
о: о
т) Мы пользуемся здесь следующим фактом: если тригонометрический ряд
S имеет коэффициенты, стремящиеся к нулю, и если ряд, получающийся из S
после двукратного почленного интегрирования, сходится на интервале (a, b)
к линейной функции, то S сходится равномерно к нулю на каждом отрезке,
внутреннем к (a, b). См. гл. IX, D.23).

7. КЛАССЫ Нр И N 431
Отсюда следует, что Ш?^ [s/J мало вместе с 8, если п достаточно велико.
Этим заканчивается доказательство первого соотношения F.28), второе дока-
доказывается аналогично.
7. Классы Нр и N1)
Пусть р > 0. Функция F(z), регулярная при |z|<l, назы-
называется принадлежащей классу Нр, если интеграл
2л
txp(r) = ixp(г; F) = ^l\F (reix) |рdx G.1)
ограничен при 0<г<1. Вместо Н1 мы будем писать Н. Если
р> 1, то Нр совпадает с классом степенных рядов, действитель-
действительная часть которых есть интеграл Пуассона от функции f (х) ? Lp
[ср. B.27) и гл. IV, F.17)]. Таким образом, для того чтобы
функция Р (г) принадлежала Йр, р> 1, необходима и достаточна
представимость ее в виде
2л
^ G.2)
где / (t) — действительная функция из класса Lp и у — Im F @).
Если у = 0» то по неравенствам B.27) и Шр (и) < 5Шр [f] имеем
2Л
где Ар зависит только от р.
Случай р = 2 особенно прост, так как если
F(z) = %cnzn, G.3)
о
то формула Парсеваля
2л
* 21^п|яг»п G.4)
показывает, что F ? Н3 тогда и только тогда, когда V \сп |2 < °°.
Ясно, что если *F g На, то F ? Нр при 0 < E < а. Это следует
из того, что М'р/р<И'а/а в СИЛУ теоремы A0.12) гл. I.
х) По поводу этого параграфа см. книгу: Привалов И. И., Граничные
свойства аналитических функций, М.—Л., 1950.—Прим. ред.

432 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Функция F(z), регулярная при |z|<l, называется принад-
принадлежащей классу N, если интеграл
2jt
Но (г) = Цо (П F) = Jj- • J In* | F (re**) | dx
0
ограничен при г < I1).
Если F (z) ? Hp, mo F (z) g N. Это следует из неравенства
ир>р\п*и
Неравенство очевидно при 0 < и < 1. Для и > 1 достаточно заме-
заметить, что производная левой части превосходит производную пра-
правой части и что при и = 1 левая часть больше правой.
Позднее мы покажем [см. ниже теорему G.25)], что каждая
F (z) 6 N имеет предел по некасательным путям почти в каждой
точке окружности | z | = 1. Применяя лемму Фату, мы получаем
отсюда, что если F ? Нр, то предел по радиусу F (eix) = lim F (гегх)
принадлежит Lp; если F(z)?N, то \п+ \ F (егх) | принадлежит L.
Пусть ? Ф 0 — фиксированная точка в круге |z|< 1 и
— точка, сопряженная с С относительно окружности |z| = l.
Функция
6(г;С) = —^-^ G.5)
регулярна в круге | z | < 1 и отображает его самого на себя вза-
взаимно однозначно. В частности,
|6(z)| = l для г =1; |6(z)|<l для |z<l.
Точке z = ? соответствует точка ш = 0. Если 0 < | ^ | < /?, то
функция
имеет нуль при z — t, и отображает круг |z[</? на круг |ш|<1.
Пусть F (г) регулярна при |z|</? и не имеет там нулей.
Тогда In 1 У7 (z) | = Re In Z7 (г) является гармонической функцией при
г) Наиболее естественное изучение классов ДО и N проводится в теории
субгармонических функций (см., например, Ра до Т., Субгармонические функ-
функции). Тем не менее, учитывая, что здесь нас интересуют некоторые примене-
применения, мы предпочитаем прямое изучение, основанное на формуле Иенсена.
Чтобы избежать тривиальных осложнений, мы будем предполагать, что F (г)
не равна нулю тождественно.

7. КЛАССЫ Нр И N 433
?, и, таким образом,
2Я
-±-^ln\F(reix)\dx = \n\F(O)\ @<г<Я). G.6)
о
Если F (г) не имеет нулей на окружности \z\ = R, но имеет их
внутри круга, скажем нуль порядка k > 0 при 2 = 0 и нули
?i> Сг» • • •» Cm, отличные от начала координат, то функция
G-7)
v=l
регулярна при |г|</? и отлична там от нуля. Если мы применим
формулу G.6) к функции Ft и заметим, что |П| = 1 на |z| = /?,
то получим формулу Иенсена
2rt m
^{(г)г-Ч=оПтг!!т}+*1п*- G>8)
Эта формула сохраняется и в том случае, когда F (г) имеет
нули на окружности \z\=R. Достаточно доказать, что обе части
формулы G.8) —непрерывные функции от R. Для правой части
это очевидно. То же будет доказано и для левой части, если мы
покажем, что интеграл
2я
/(r)=Jln|ref*-C|d*f |?| = ff, G.9)
есть непрерывная функция от г при г = /?; действительно, в окрест-
окрестности окружности \z\-R функция F представляет собой произ-
произведение не обращающейся в нуль регулярной функции и конеч-
конечного числа линейных множителей 2 — ?, где |?|=/?. Так как
величина интеграла / (г) не зависит от arg ?, то мы можем пред-
предположить, что ?, = R. Далее, для z = reix, где г близко к R, имеем
ln(
и, таким образом, абсолютная величина подинтегральной функции
в формуле G.9) мажорируется интегрируемой функцией. Поэтому
мы можем перейти к пределу при r—>R под знаком интеграла;
другими словами, I (г) непрерывна при r = R. Таким образом,
формула G.8) имеет место для всех функций, регулярных при
|*|<Д.
Предположим теперь для простоты, что /? = 1,
28 А. Зигмунд, т. I

434 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
G.10) Теорема. Если функция F {г) регулярна при -|z(-<l,
то \n\F (z) | мажорируется в круге \z| < 1 интегралом Пуассона
от функции \n\F(elx)\, m. e.
2я
\ l
\
G.11)
Доказательство аналогично доказательству формулы G.8).
Если F не имеет нулей в круге |г|<1, то \n\F (гегх)\ является
интегралом Пуассона от \n\F (егх)\. Если F имеет нули в кру-
круге |г|<1, но не обращается в нуль на окружности |z|=l,
то применяем результат к функции Fx из равенства G.7); так как
\F1\ = \F\ на | г | = 1 и | Fi | > | F | в круге | г | < 1, то отсюда сле-
следует неравенство G.11). Наконец, если F имеет нули на окруж-
окружности |z| = l, то мы применяем неравенство G.11) к функции
F(Rz), где R меньше 1 и F=?0 на |z|=.R, и затем полагаем
R—>1. Этим заканчивается доказательство теоремы G.10).
Пусть ф (и) — неубывающая и выпуклая функция при — оо <
<а< + оо. Неравенство Иенсена [гл. I, A0.8)], примененное
к G.11), дает
2
$фAп|<Р(е{*)()Р(е, x-l)dx.
0
Если мы проинтегрируем обе части по 0 < | < 2я и переменим .
порядок интегрирования справа, то получим неравенство
2я 2я
о о
Предположим теперь, что F (г) регулярна при |z|< 1, и пусть
R< 1. Применяя этот результат к функции F (zR), регулярной
при |z|<l, мы получаем следующую теорему.
G.12) Теорема. Если ц>(и) — неубывающая и выпуклая функ-
функция на ( —оо, оо) и F (г) регулярна при |z|< 1, то интеграл
2я
есть неубывающая функция от г.
В частности [полагая ф(и) = ехрр^ или <р(и) = и+], мы полу-
получаем, что \ip(r) и \х0 (г)— неубывающие функции от г.
То, что \i2(r) есть неубывающая функция от г, следует уже
из G.4).

7. КЛАССЫ Нр И N
435
G.13) Теорема. Пусть F(z) регулярна при |z|< 1, и пусть
?ь ?г» ---—все нули F, отличные от начала координат (сосчи-
(сосчитанные с учетом их кратности). Если интеграл
2я
[ \n\F{reix)\dx
ограничен сверху при г—> 1 и, в частности, если FgN, то произ-
произведение [] | ?v I сходится.
Рассмотрим формулу G.8), в которой R < 1. Имеем
In | F (г) г-" |2=0 + k In Я +
ln [?| =
тг=1
2я
~L Iln
0
где m = т (R) — число нулей в круге | z|</? и | ^ [< |g21< • • • •
Так как, однако, член 1п(/?/| ?л|) не отрицателен, то неравен-
неравенство сохраняется и при m<m(R). Таким образом, полагая
R—>1, мы видим, что при фиксированном т
In
n=l
и теорема G.13) доказана.
Сходимость произведения П I ?л | эквивалентна сходимости ряда
2 ОН С» I). G.14)
G.15) Теорема. Пусть ?ь ?2> ...—последовательность
таких точек, что 0 < | ?л | < 1 и что Ц | ?л | сходится. Тогда
произведение
сходится абсолютно и равномерно в каждом круге \ г \ < г < 1
/с функции P(z), которая регулярна и по модулю меньше 1
n/ш | z | < 1 и для которой в этом круге только точки ?ь ?2, ...
являются нулями.
Сначала мы докажем сходимость произведения ТТ Г-^—%Л .
Так как при | г \ < г
Z — (
2 — I
\ — Г
2LJ~ GЛ7>
и так как 2A —ISnl) сходится, то произведение G.16) схо-
сходится абсолютно и равномерно при | г \ < г. Регулярность функ-
28*

436 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
ции P(z) в круге \z\ < 1 очевидна, так же как и то, что точки
?i, ?2* ... и только они являются нулями р в этом круге. Каждый
множитель в произведении G.16) по модулю меньше 1 при |z|< 1,
так что | Р (z) | < 1 при | z | < 1.
Пусть задана функция F(z)gN, и пусть ?1э ?2, ... —все нули,
расположенные внутри круга | z | < 1 и отличные от начала коор-
координат; если F(z) имеет еще нуль порядка &>0 при z = 0, то
выражение
-?|т^Г' GЛ8)
где у — некоторое действительное число, называется произведением
Бляшке функции F. Если F (z) не имеет нулей при 0<|z|< 1,
то произведение [] заменяется 1 и, таким образом, B(z) = ei^zk
п
для таких F. Мы имеем |B(z)|< 1 при |z| < 1, и частное
G.19)
регулярно и не имеет нулей в круге | z | < 1.
G.20) Теорема. (I) Пусть \х0(г; F)<|х < оо при 0<г<1,
и пусть В (z) — произведение Бляшке функции F. Тогда для функ-
функции G(z), определенной по G.19), имеем ц,0 (п G) < \х.
(II) Если \1Р(г; F)<|х < оо при 0<г<1, то \ip(r\ G)<fi.
Рассмотрим сначала случай (II) и обозначим через Bn(z)
п-е частичное произведение для произведения G.18). Так как
|fin(z)| стремится равномерно к 1 при г—>1, то
lim \ip (r\ -?-*) = lim ц,р (r; F)
Следовательно, \xp Cr\ -g- J<fi Для всех r< 1, а это дает нера-
венство [ip(r;G)<|x, так как Вл(г) стремится равномерно к B(z)
на | г | = г. Аналогичными рассуждениями доказывается и первая
часть теоремы G.10).
Подытоживая, приходим к следующему результату: если F
принадлежит Нр или N, то мы имеем формулу разложения
F(z)=B(z)G(z), G.21)
где G не имеет нулей и принадлежит к тому же классу, что
и F, а |Я(*)|<1.
Мы всегда будем предполагать, что у в формуле G.18)
выбирается так, что G @) действительно и положительно.

7. КЛАССЫ Нр И N . 437
Формула G.21) важна потому, что каждая ветвь lnG, а, сле-
следовательно, и Ga=exp(alnG), регулярна для |z|<l. В силу
этого G допускает ряд операций, которые нельзя применять к F.
a
Например, если G 6 На, то G Р 6 Нр, и это дает возможность рас-
распространить свойства некоторых наиболее простых классов На
(например, когда a = 2) на другие классы Нр. Очень частное, но
типичное применение разложения G.21) заслуживает отдельной
формулировки:
G.22) Теорема. Для того чтобы F g Н, необходимо и доста-
достаточно, чтобы F=FiF2, где /^gH2, F2?H*.
Достаточность условия следует из неравенства 21 F^z | <
<1Л|а+1^2|а» которое нужно проинтегрировать по отрезку 0<
< х< 2я. Чтобы доказать необходимость, предположим, что
M-i (Г5 F) ^ И" Пусть Fi (z) — какая-либо ветвь функции G1/* (z)
[см. G.21)] и F2 = BFi. Тогда
^ = Л^2, ^2(г; Z7*)<И! (г; G)< ji
при fe = 1,2.
Полезен также один вариант формулы G.21). Пусть
B(z)-\=B*{z),
так что В* (z) не имеет нулей в круге | z | < 1 [за исключением
случая J3(z)=l, который мы не рассматриваем] и |B*(z)|<2.
Тогда формулу G.21) можно переписать в виде
F{z)=G{z) + G*(z), G.23)
где G (г) и G* (z) = В* (z) G (г) не имеют нулей при | г I < 1,
а |G*(z)|<2|G(z)|.
Так как | В (z) | < 1 при | z \ < 1, то предел по некасательным
путям
B(eixo)^ lim B(z)
z->eixo
существует почти для всех х0. Более того, там, где он сущест-
существует, справедливо неравенство |B(i)|l
G.24) Теорема. Для почти всех х имеем \B(eix)\=l.
Мы можем предположить, что В (г) имеет бесконечно много
множителей, в противном случае результат получается непосред-
непосредственно. Так как |В(е*х)|<1 почти всюду, то
l\m[i2(nB)=-±-\ \B(e**)\*dx<l
1 ZJX )

438 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
и теорема G.24) будет доказана, если мы покажем, что \i2(r; B)—> 1
при г--> 1.
Обозначим через Bn(z) п-е частичное произведение для произ-
произведения G.18); пусть Rn(z) = B fA • Функция Rn регулярна
и модуль ее не больше 1 при \г\ < 1. Более того,
Выражение \i2(n Rn) есть возрастающая функция от г, прини-
принимающая значение |/?л@)|2 при г=0. Полагая г—>1 и замечая,
что | Вп (eix) | = 1, получаем
1 > lim fi2 (г; В) = lim \i2 (г; Rn) > \ Rn @) |2 = | ?n+i?*+2 • • • I*-
r-М г->1
Так как последнее можно выбрать произвольно близким к 1,
то имеем, что |г2 (г; -В) —> 1.
G.25) Теорема. Если F(z)?N (в частности, FgHp), то пре-
предел по некасательным путям F (егх) = lim F (z) существует
для почти всех х. Более того, \x\\F (егх)\ интегрируем, В част-
частности, F (егх) Ф 0 почти всюду.
Функция G(z) из формулы G.21) принадлежит классу N,
и In | G {z) | является гармонической функцией при | z \ < 1.
Таким образом, интеграл
2я
J \\n\G(reix)\\dx G.26)
о
также ограничен при г—»1. Следовательно, если мы предположим
существование F (егх) и, таким образом, в силу теоремы G.24),
существование G(e ), то лемма Фату, примененная к интегралу
G.26), покажет, что In | G (eix) | 6 L и, следовательно, In | F (егх) \ ? L.
В силу F.5) гл. IV, ln|G(z)| есть интеграл Пуассона —
Стильтьеса. Следовательно, замечая, что ImlnG@) = 0, мы можем
представить G(z) при помощи формулы F.24) гл. IV. Таким об-
образом,
2я
^Й^}' G-27)
0
где X(t) — действительная функция с ограниченным изменением.
Обратно, любая функция G(z) вида G.27) принадлежит классу
N, не имеет нулей в круге |z| < 1 и G@) > 0.
Пусть X(t)= ki(t) — Л2@» гДе ^i@ и ^г@ ограничены и не
возрастают. Тогда
G(z) = G2(z).G?(z), G.28)

7. КЛАССЫ Нр И N 439
где
2Л
= l, 2). G.29)
Функции Gk не имеют нулей и |GA|<1 при \г\< 1, так как дей-
действительная часть показателя степени неположительна. Отсюда
следует, что предельные значения Gk(elx) существуют почти
всюду. Они также почти всюду отличны от нуля, поскольку дей-
действительная часть показателя степени почти всюду имеет конеч-
конечный предел по некасательным путям. Следовательно, G (егх) =
= G1(eiJC)-G;1 (***). а также F (eix) = B(eix)G (eix) существует
(и отличен от нуля) почти всюду. Этим заканчивается доказа-
доказательство теоремы G.25).
Из теоремы G.25) следует, что если i^GN, F26N и если
Fi (егх) = F2 (егх) на множестве точек х положительной меры, то
FF
Имеем также (на основании леммы Фату), что если F()
то F(eix)eL*(p>0).
Интересно отметить, что для любого множества Е меры нуль,
расположенного на окружности |z| = l, существует функция
F(z)=f=O, регулярная при |г|<1, ограниченная (в частности,
F 6 N) и такая, что F (г) стремится к нулю, когда z приближа-
приближается произвольным образом к любой точке из Е. Достаточно
положить
F(z) = exp{-f(r, x)-if{r,x)},
где f(r, х) — интеграл Пуассона от функции / из теоремы G.26)
гл. III.
Если, кроме того, Е еще и замкнуто, то существует функ-
функция F (z), регулярная при |z|< 1, непрерывная при |z|<l и об-
обращается в нуль на Е и только на нем. Пусть f(x) интегрируе-
интегрируема на [0,2я], дифференцируема вне Е, и стремится к + оо, когда
х стремится к любой точке из Е. Тогда f (г, х) —» оо, когда (г, х)
приближается к любой точке из Е, и легко видеть, что опреде-
определенная выше функция F (z) обладает требуемыми свойствами.
Функцию / можно построить следующим образом.
Пусть (а{, Ьх), (а2, Ь2), ... —смежные к Е интервалы, dt =
= bt — au так что 2dj = 2n. Пусть {е*} — такая положительная
последовательность, что
(I) f"-><*>> (И) 2е,<оо.
Положим f(x) = ei(x — ai)-1/2(bi — x)-1/2 на (at, bt) (/= 1, 2, ...),
^=4-00 на ?. Интеграл от функции f по (аи bt) равен произ-

440 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
ведению фиксированной постоянной на е*, так что функция / ин-
интегрируема. Минимум функции / на (а,-, Ьг) равен 2ztld% и стре-
стремится к + °° вместе с /. Следовательно, функция / имеет нуж-
нужные свойства.
Из формул G.21) и G.27) мы видим, что справедлива
G.30) Теорема. Общий вид функций класса N есть
F(z) = B (г) ехр {JL Г *±1 d% {t)\ , G.31)
i. «j e — z j
где К (t) —любая действительная функция с ограниченным изме-
изменением, а В (г) — произведение G.18), в котором 0<|?д|< 1
и S(l —|Cn|)< + oo.
Тесно связана с теоремой G.30) следующая
G.32) Теорема. Для того чтобы функция F(z), регулярная
в круге | z | < 1, принадлежала классу N, необходима и доста-
достаточна представимость ее в виде F (z) =Fi(z)-Fl1 (z), где Fi и F2
регулярны и ограничены в круге \ z | < 1 и F2 не имеет там
нулей.
Необходимость можно получить из формулы G.31), если заме-
заметить, что в обозначениях формулы G.29) G = Gi-Gl1, где Gt и G2
по модулю не превосходят 1 и не имеют нулей. Таким образом,
F = F±.Fl\ где F^BG» F2 = G2.
Обратно, если Fi и F2 обе ограничены, скажем .меньше 1
по модулю, и F2 Ф 0, то
2я . 2л
0 0
Теперь мы покажем, что модули граничных значений функций
из N и Нр, грубо говоря, можно задавать произвольно.
G.33) Теорема. Пусть функция f(x), 0 < х < 2я, неотрица-
неотрицательна и такова, что In / (х) б L (в частности, f > 0 почти
всюду). Тогда
(I) существует такая функция F?N, что \F(ехх)\ = f(x)
почти всюду:
(II) если, кроме того, еще и f?Lp, p > 0, то существует
такая функция F 6 Нр, что \ F (eix) \=f(x) почти всюду.
(I) Возьмем F в виде G.31), где X (^ — неопределенный инте-
интеграл от 1п/(л:) и 5=1. Тогда F GN и

7. КЛАССЫ Нр И N 441
(И) Пусть F такая же, как и в (I). Так как функция <р(и) =
= ер" выпукла, то по неравенству Иенсена
2я
|F(rei35)|»=exp{p-i-$P(r, x-t)\nf(t)dt}<
О
2я 2я
Следовательно, | F (relx) \p мажорируется интегралом Пуассона
от |f|p:
2я 2я
¦A\f(x)\»dx, FgKP.
G.34) Теорема. Если F (z) ? Нр, и г, и q стремятся к 1, то
ЗКр IF (reix)-F (Qeix)] -» О, ЯКР [F (reijc) -F (eix)] -> 0.
Достаточно доказать первое соотношение, так как они эквива-
эквивалентны. Оба соотношения были доказаны в гл. IV, теорема F.17),
для р> 1. В силу формулы разложения G.23), достаточно рас-
рассмотреть случай, когда F (г) не имеет нулей. Пусть Fi(z)=Fx/*(z)J
так что FiZHP. Тогда по неравенству Коши — Буняковского
2я
J \F(reix)-F(Qeix)\vdx<c
2Л 2я
{ IFi {reix)-Fl (Qeix) |»<te}Vf{ J |Л(ге**)+Л(QeV
Если 2р>1, то первый множитель сперва стремится к нулю,
а второй ограничен, так что результат получен при p>V2«
Аналогично получаем результат для р > х/4 и т. д.
G.35) Теорема. Если F(z)?Ha и F (eix) 6 Lp при некотором
Р > a, mof (z) 6 Н3.
При а = 2 это очевидно; действительно, если F (г) = 2 ?nZn
принадлежит классу Н2, то 2 I сп |2 < оо и 2 ^пв1пЛ — ряд Фурье для
F(elx), a F (ге1Х) — интеграл Пуассона от F(eix), и, так как F (eix)
принадлежит классу Lp, то F (гегх) принадлежит классу Нр. Это
так же непосредственно следует для любого а > 0, если F (г) Ф 0
при | z | < 1. Действительно, если мы положим Ft (z) = Т7^2 (z),

442 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
то будем иметь
так что
Ft (г) € Н2Э/а, F (г) е Нэ.
В общем случае полагаем F =BG, где G (г) =? О, G (г) ? На. Так
как | F (eix) \ = \G (eix) | почти всюду, то отсюда следует, что
G (eix) б Lp, G (г) 6 Нр, F = BG ? Нр.
Для любого 0<а<1, 0<л:<2я;, пусть Оа(х) обозначает
область, ограниченную двумя касательными к окружности ] z \ = о,
проведенными из точки егх, и наибольшей из дуг этой окружности,
заключенных между точками касания. Для сг = О область сводится
к радиусу, проходящему через точку eix.
G.36) Теорема. Для любой FGHP, р > 0, положим
N(x)=Na,p(x)= sup \F(z)\.
Тогда N (x) ? V и
2я 2л
i\Ш . G.37)
Эта теорема содержится в теореме G.6) гл. IV, если р = 2. В общем
случае мы берем обычное разложение F = GS, и так как Gi = Gp/2
принадлежит Н2, то имеем
2Я 2я 2я 2я
о
2я 2я
F{eix)\vdx.
Неравенство G.37) доказано с постоянной ЛР =
Следующий результат усиливает теоремы B.4), B.6) и B.8):
G.38). Теорема. Функция
f(x)= sup
я
—^ J [f(x + t)-f(x-t)]±ctg±dt\ G.39)

7. КЛАССЫ Нр И N 443
удовлетворяет неравенствам
(I) ЗД]<ЛРЗД}Р[/] (р>1),
(П) яад]<Адая (о< и- < 1),
2я f G.40)
(Ш) тСп<в jj |/|in+i/|rf* + c,
о J
где коэффициенты справа зависят только от указанного пара-
параметра1).
Выражение, стоящее под знаком модуля в формуле G.39),
есть J(x\ h)\ пусть
и
M(x)=Mf(x)= sup M \f(x + t)\dt,
0<| ^ U J
0<|и|^я и ^
Разность f {x\ 1 — q) — / (q, л:) можно записать в виде
e4 f ^(Q {\~XlZ
1-Q
Так как |Q(q, 01 не превосходит 1/A—q), to мы видим, что
| GQ (x) I < M (x). Пусть RQ (t) — дополнительный к tyx (t) множи-
множитель в выражении HQ(x). Легко проверить, что
я
), J
l
J \
l-Q
откуда интегрированием по частям выводим, что | HQ (x) \ не пре-
превосходит некоторого кратного М(х). Поэтому
\J(x\ l-Q)-l(Q,x)\<CM(x), G.41)
где С — абсолютная постоянная.
Пусть F (Qeix) = f (q, x) + if (q, л:) и Лг (л:) — верхняя грань
\F(Qeix)\ при 0<q<1. Тогда
\Т(х\ 1-q)|<|7(x; l-Q)-J(Q\x)\ + \J(Q,x)\<CM(x)+N(x).
х) Хоть это и не так важно, заметим, что неравенства G.40) сохраняются,
если в формуле G.39) заменить условие, наложенное'на h, условием 0<&<;л;.
Действительно, если 1 < h <; я, то | / (х\ h) \ не превосходит фиксированной
постоянной, умноженной на ffl [/].

444 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
и правая часть мажорирует функцию f(x). Если /?LP, то, по
неравенству Минковского,
в силу теорем G.36), B.4), и неравенства A3.17) гл. I. Это доказы-
доказывает (I), а доказательства (II) и (III) аналогичны.
G.42) Теорема. Обозначим через оп(х) (С, \)-средние для
S [/] и положим
o*(x)=sup\on(x)\.
Имеют место следующие неравенства — аналоги неравенств G.40):
(I)
(III) Il^KB [
о
Неравенства сохранятся, если мы заменим а% функцией
ai (х) = sup (о* (х)\ @ < а < 1),
где On обозначает (С, а)-средние для S [/]; но тогда постоянные
справа зависят также и от а.
Мы рассмотрим только случай а = 1, доказательства при
0<а<1 в точности такие же.
Неравенство G.43), (I) немедленно следует из неравенств
первое из которых получается применением теоремы G.8) гл. IV
к ряду S [/]='§[/]. Однако в случаях (II) и (III) (в которых инте-
интегрируемость / не столь хороша, как интегрируемость /) это рас-
рассуждение не проходит и необходимо иное доказательство.
Имеем [см. доказательство теоремы C.20) из гл. III]
о 1
п
1
п Я

7. КЛАССЫ Нр И N 445
Легко видеть, что правая часть последнего неравенства мажори-
мажорируется функцией М(х)у умноженной на некоторую постоянную,
и что теорема G.42) следует из теоремы G.38) и неравенства A3.17)
из гл. 1 для М (х).
Докажем теперь несколько теорем о произведении Бляшке.
В силу теоремы G.9) гл. III интеграл Пуассона от любой
интегрируемой функции стремится к пределу, когда переменная
точка приближается почти к любой точке егх° на единичной окруж-
окружности, оставаясь внутри фиксированного угла, образованного хор-
хордами, которые проходят через точку егхо. Результат сохраняется,
в частности, для любой гармонической функции, ограниченной
внутри единичного круга. Даже для ограниченных функций резуль-
результат перестает быть верным, если угол заменить фиксированной
областью, касающейся единичного круга; сейчас мы покажем это
при помощи произведений Бляшке.
G.44) Теорема. Пусть Со — любая простая замкнутая кри-
кривая, проходящая через точку z = \, расположенная целиком, за
исключением этой точки, внутри круга | z | < 1 и касающаяся
окружности в этой точке. Пусть кривая Се получается из Со
поворотом вокруг z = 0 на угол 9. Существует произведение
Бляшке В (г), которое для почти всех 90 не стремится ни к какому
пределу, если z—>etQ<>, оставаясь внутри Cqq.
Можно предположить, что при г, достаточно близком к 1,
окружность | z | =г < 1 пересекается с Со в точности в двух точках.
(В противном случае мы заменим область, ограниченную Со, мень-
меньшей областью, обладающей требуемыми свойствами.) Пусть 1п
обозначает длину дуги | г | = 1 — \/п, расположенную внутри Со,
и пусть тп = [2п/1п] + 1. Пусть Sn — система точек, отстоящих
друг от друга на расстояние тп и расположенных на окружности
|z| = l — 1M. Расстояние по окружности между двумя последова-
последовательными точками меньше, чем 1п, так что каждое Се содержит
внутри себя точки из 5П. Сумма ап расстояний точек из Sn от
окружности | z | = 1
п ^ п v "
так как из того, что Со касается |z| = l, вытекает, что nln—>оо.
Выберем пь растущими настолько быстро, чтобы 2супь<О0,
и пусть В (г) — произведение Бляшке с нулями в точках мно-
множества Sni -f Sn2 -f Так как В (г) имеет бесконечно много нулей
внутри любого Се0, то предел B(z), когда z—>ег9°, оставаясь
внутри Се , должен равняться нулю, если он вообще существует.

446 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
На основании теоремы G.24) этот предел не существует для
почти всех 0О.
G.45) Теорема. Для того чтобы функция F(z), регулярная
при | г\ < 1, была произведением Бляшке [т. е. имела бы вид G.18)],
необходимо и достаточно, чтобы
2я
\ \ln\F(reix)\\dx->Q при г~>1. G.46)
Необходимость. Можно предположить, что F @) Ф 0, так что Fr
за исключением множителя e*Y, имеет вид G.16). Можно также
предположить, что F имеет бесконечно много множителей; в про-
противном случае соотношение G.46) очевидно. Рассмотрим формулу
Иенсена G.8), в которой k = 0 и F @) =[] | ?v |. Правая часть воз-
возрастает вместе с R, и, таким образом, если т=т0 соответствует
фиксированному i?0 < 1» то
-^ I ln\F(Re*)\dx>\n {|^@IПт|т} =1пК°П1
0 1 то+1
при R> Ro. Следовательно,
2л:
где справа стоит отрицательное число, модуль которого произвольно
мал, если т0 достаточно велико. Так как |F|< 1, то это приводит
к соотношению G.46).
Достаточность. Из предположения G.46) вытекает, 4toF?N.
Пусть В (х) — произведение Бляшке для F, и пусть G (z) =F (z)/B (z).
Так как предположение G.46) имеет место для B(z), то оно имеет
место и для G(z). Следовательно, G(z) имеет вид G.27), и, таким
образом, ln|G(z) | есть интеграл Пуассона —Стильтьеса от К. В силу
теоремы F.9) гл. IV, полное изменение X(t) на [0,2 я] равно
2я
lim = \ | In | G(reix) \\dx и, следовательно, равно нулю. Таким
о
образом, G(z) = l, F(z)=B(z).
Следующий результат дополняет теорему G.24):
G.47) Теорема. Если произведение Бляшке B(z) содержит
бесконечно много множителей, то множество радиальных пределов

7. КЛАССЫ Нр И N 447
w = В (eix) = lim В (reix) покрывает всю окружность \w\ = l бес-
конечно много раз.
Ясно, что если В (z) содержит п линейных множителей, то точка
w = B(eix) пробегает |до|=1 в точности п раз.
Мы выведем теорему G.47) из следующего, несколько более
общего результата:
G.48) Теорема. Предположим, что функция F (г) регулярна
и по абсолютной величине меньше 1 при \г\< 1. Предположим
также, что \F (eix)\ = \'\m\F {reix)\ = \ почти во всех точках дуги
а< х <Ь. Тогда или F (z) аналитически продолжаема через эту
дугу, или точка F (eix), а < х < Ъ, пробегает окружность \ w \ — 1
бесконечно много раз.
Так как функция В (z) в формулировке теоремы G.47) имеет
по крайней мере одну особую точку на | z | = 1 (потому что любая
предельная точка множества нулей В (г) является особой), то тео-
теорема G.47) следует из G.48).
Чтобы доказать теорему G.48), зафиксируем любое а, | сх | = 1
и обозначим через tt = L(w) дробно-линейную функцию, отобра-
отображающую |ш|<1 на Re?<0 и переводящую точку w = a в точку
? = оо. Функция L{F(z)} регулярна при \z\< 1 и имеет там отри-
отрицательную действительную часть, граничное значение которой равно
нулю почти всюду на дуге а < х < Ъ. В силу теоремы F.26) гл. IV,
2я
^±± iy, y = lmL{F@)}, G.49)
где функция К (t) ограничена и не убывает. Действительная часть
функции L{F(z)} стремится по радиусам к X' (t) в каждой точке
дифференцируемости функции k(t), так что А/(?)=() почти всюду
на (а, Ь).
Обозначим через Е множество точек возрастания X (т. е. точек,
в окрестности которых К не постоянна), расположенных на (а, Ь).
Имеются две возможности: (I) Е бесконечно, (II) Е конечно.
В случае (I) на (а, Ь) существует бесконечно много точек,
в которых симметрическая производная X (t) бесконечна. Это оче-
очевидно, если X(t) разрывна в бесконечном числе точек из (а, Ь).
Если же разрывов конечное число, то (а, Ь) содержит интервал
{t',t"), на котором X(t) непрерывна и на котором имеется бес-
бесконечно много точек из Е. Производная X' (t) должна быть бес-
бесконечной в бесконечном числе точек из (/', Г), так как в противном
случае X(t) была бы абсолютно непрерывной внутри (f, t") и,
таким образом, постоянной там [так как X'(t)=O почти всюду

448 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
на (t\ Г)], что противоречит предположению. В каждой точке,
где А/(/) = оэ, симметрическая производная от X также равна оо.
Таким образом, в случае (I) Re L{F (г)} стремится к — ос
и, следовательно, L{F (г)} стремится к оо вдоль бесконечного числа
радиусов, кончающихся на (а, Ь). Из определения L(w) следует,
что F (г) стремится к а вдоль этих радиусов.
В случае (II) K(t) есть ступенчатая функция на (а, Ь). Следо-
Следовательно, в силу формулы G.49) Ф(г) = L{F (z)} регулярна на
дуге а < х < b окружности | z \ = 1, за исключением конечного
числа точек, в которых она имеет полюс. Легко заметить, принимая
во внимание ограниченность F, что функция F (г) = L'1 {Ф (г)}
регулярна во всех точках дуги (а, Ь).
Возвратимся к теореме G.35). Ее заключение о том, 4ToF?Hp
не сохраняется, если предположение F (г) б На заменить на F (г) ? N.
Например, функция
F (г) = ехр (|-}±1) = ехр {Р (г, х) + IQ (г, х)}
принадлежит классу N и ее граничные значения принадлежат
LP (\F(eix) | = 1 при х =? 0), но F (z) не принадлежит HP ни при
каком Р > 0. (Заметим, что Р (г, х) при |х|<1— г превосходит
величину A—г), умноженную на постоянную, так что
Чтобы обобщить теорему G.35), мы введем подкласс класса N.
Скажем, что функция F(z)?N принадлежит классу N', если
функция K(t) в равенстве G.31) имеет абсолютно непрерывное
положительное изменение.
G.50) Теорема. Предположим, что F(z)?N' и что ср (и),
и > 0, неотрицательна, не убывает и выпукла. Тогда
2я 2я
J q>{ln+\F(reix)\}dx= J ф{1п+ \F (eix) \ }dx. '
о о
Можно предположить, что правая часть конечна. Рассмотрим
равенство G.31) и обозначим через %i (t) и Х2@ положительное
и отрицательное изменения функции X (/). Пусть ut (г, х) и и2 (г, х) —
абелевы средние для S[dX1]=S[^J и S[d%2\\ тогда
и, таким образом,
2я 2я 2я
\ ф{1п+ \F (r, x) |}djt< \ ф{^! (г, x)}dx<C
о о

7. КЛАССЫ Up И N 449
по неравенству F.20) гл. IV. Достаточно показать, что Х[ (х) =
= 1п+1F (eix) | почти всюду. Это следует из равенств
ln\F(e*)\ = X'(x), К[(х)={Х'(х)У,
имеющих место почти всюду. Таким образом, доказательство
теоремы G.50) закончено.
Рассмотрим опять равенство G.31). В силу теоремы F.19)
гл. IV, F (z) принадлежит классу N' тогда и только тогда, когда
интегралы
равномерно абсолютно непрерывны. Это эквивалентно равномерной
абсолютной непрерывности интегралов
х
j In* | F (re«) | Л @<г<1), G.51)
о
в силу неравенств
1п+1 G | + In | В | < 1п+1F | < 1п+1 G | (%.Щ
[см. G.21)] и равномерной абсолютной непрерывности интегралов
J In | В (reil) | dt
о
[см. G.45)].
Интегралы G.51) равномерно абсолютно непрерывны, если суще-
ствуеътакая неотрицательная функция г|) (и), и > 0, что ур (и) и—>оо
вместе сии что
2я
J q{ln+\F(reix)\}dx<C,
о
где С не зависит от г (гл. IV, §6). В частности, полагая г|) (и) =
= ехрсш, мы видим, что I-TciN' и что теорема G.35) следует
из теоремы G.50).
G.53) Теорема. Функция FgN принадлежит N' тогда
и только тогда, когда
2я 2л
lim [\n+\F (reix) \dx=[ln*\F (eix) \ dx. G.54)
r">1 о о
29 А. Зигмунд, т. I

450 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Для доказательства, заметим, что, в силу теоремы F.19) гл. IV,
F (z) принадлежит N' тогда и только тогда, когда
2Л 2л
lim [ ln+ | G (reix) \dx=[ ln+1G (eix) | dx. G.55)
^1 i i
Правая часть в этих двух равенствах одна и та же. Таким образом,
равенства G.54) и G.55) эквивалентны в силу неравенства G.52)
и того, что интеграл от In | В | по отрезку [0,2я] стремится к нулю
[см. G.45)].
Заменяя в G.54) 1п+ на In , мы получаем необходимые и до-
достаточные условия для того, чтобы отрицательное изменение X (t)
было абсолютно непрерывным. Учитывая это и пользуясь равен-
равенством G.54), мы получаем, что соотношение
2я 2л
lim \ 1 In | F (reix) \\dx=\\ln\F (eix) || dx G.56)
имеет место тогда и только тогда, когда k(t) абсолютно непре-
непрерывна.
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний
о классах Нр как об абстрактных пространствах. Для F (г) ? Нр
положим
1 2я i
)\ G.57)
Тогда, если не принимать во внимание несущественный множитель
Bя)~1/р, || f ||р совпадает с обычной нормой] в Lp граничного
значения F (eix). Очевидно, что || Fp \\ > 0 и || Fp \\ = 0 тогда итолько
тогда, когда F ~ 0 [см. G.25)]. Кроме того, \\kF ||р = | k \ \\ F ||р.
Неравенство треугольника
удовлетворяется при р > 1, но не обязательно удовлетворяется при
0<р<1. В последнем случае, если мы определим расстояние
d (F, G) между двумя точками F и G из Нр формулой
2л
то это расстояние уже будет удовлетворять неравенству треуголь-
треугольника и Нр делается метрическим пространством. Тем не менее
удобно сохранить определение G.57) для нормы даже в случае

7. КЛАССЫ Нр И N 451
О < р < 1, хотя неравенство треугольника тогда не будет выпол-
выполняться.
Мы знаем [см, G.34)], что если FgHp, то
2л
J \F(eix) — F(Reix)\pdx->0 при Я-->1. G.58)
о
Пусть
F (z)=co + ciz+... + cnz« + ..., G.59)
и пусть задано e > 0. Если в соотношении G.58) зафиксировать R
достаточно близким к 1 и затем зафиксировать N достаточно боль-
N
шим, то полином Р (г) = 2 cnRnzn будет удовлетворять условию
о
|| F — Р \\р < е. Таким образом, в метрике G.57) множество поли-
полиномов do-\-d1z + ... +dnzn плотно в Нр. Так как эти полиномы
принадлежат Нр, то этот класс можно определить как замыкание
множества всех полиномов в метрике G.57). Так как мы можем
потребовать, чтобы коэффициенты dh были рациональными, то Нр
есть сепарабельное пространство.
G.60) Теорема. Пространство Нр полно.
Надо показать, что если Fn?Hp при и=1,2, ... и если
\Fm — Fn\\p—>0 при т, п—>оо, то существует такая ФбНр, что
^п-ФЦр-^О.
Сначала мы покажем, что гели F€*НР и ||/7||р</И, /по
|F (z)|<M(l-^)-1/p для |z|
Если р=-\, то из равенства G.59) имеем
2л
о
и, полагая г—> 1, получаем |сп|<М. Следовательно,
|F (z)|<M(l+JR + ...)=-T^- для
Если рФ 1, то полагаем F =GB, где В — произведение Бляшке
для функции F и ||G||P<M. Последнее неравенство можно запи-
записать в виде ||GP||1<A1P; и, таким образом, по неравенству G.61),
где р = 1, имеем \Gp(z) \<МР A — R)-1 при |z|</?. Так как |В|<1,
то функция F = GB удовлетворяет неравенству G.61).
Предположения о том, что Fn?Hp и || Fm — Fn\\p->0 приводят
к неравенству !|Fm||p<M для всех т и некоторого М. В силу
29*

452 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
G.61), функции Fm равномерно ограничены в каждом круге |г|<
<i?< 1. Следовательно1), мы можем выбрать из последователь-
последовательности {Fm} подпоследовательность, сходящуюся равномерно в круге
z |</?'</?. Применяя диагональный процесс, мы можем
считать, что эта подпоследовательность {Fmh} сходится равно-
равномерно в каждом круге |г|</?, /? < 1, к функции Ф(г), регуляр-
регулярной при |г| < 1. Пусть
eN = sup||Fm — Fn||p для т, n>N\
следовательно, zN—»0. Если J?< 1, то
2Я
±_ J \<b(Re*)-Fn(Re*)\* dx =
2я
= lim ~ \ | Fm (Re**) - Fn (Re**) \p dx < ej,
boo ZJl J ft
а это показывает, что ||Ф — /7n||p<erl, и теорема G.60) доказана.
8. Степенные ряды с ограниченным изменением
Теперь мы покажем, что если функции f (х) и f (х) имеют
ограниченное изменение, то ряд S [/] обладает некоторыми инте-
интересными свойствами. Эти результаты удобно сформулировать как
теоремы о поведении степенного ряда
F(z)^ao + aiz + a2z2+... . (|z|<l). (8.1)
Будем говорить, что ряд (8.1) имеет ограниченное изменение, если
его действительная и мнимая части при z = eix являются рядами
Фурье от функций с ограниченным изменением. Мы знаем
(см. стр. 150), что тогда функция F (eix) = lim F (reix) непрерывна.
Следовательно, ряд (8.1) сходится равномерно при |г| = 1 и, таким
образом, при |г|< 1.
(8.2) Теорема. Если ряд F (г) имеет ограниченное изменение,
то функция F (е**) абсолютно непрерывна.
Это утверждение эквивалентно следующему:
2) Мы воспользовались тем хорошо известным фактом, что если Fт рав-
равномерно ограничены в некотором круге, то их производные равномерно огра-
ограничены в каждом меньшем концентрическом круге, так что Fm равномерно
непрерывны в каждом меньшем круге.

8 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 453
(8.3) Теорема. Если тригонометрический ряд S и его
сопряженный S оба являются рядами Фурье —Стильтьеса, то
S и S являются обычными рядами Фурье.
Для того чтобы доказать теорему (8.3), рассмотрим степенной
ряд (8.1), который при z=eix превращается в S+iS. По теореме F.5)
гл. IV F (г) принадлежит Н и, таким образом, удовлетворяет
первому условию G.34), гдер = 1. Следовательно, S + /3 является
рядом Фурье [гл. IV, F.12)] и теорема (8.3) доказана.
Часть этого рассуждения заслуживает того, чтобы ее специально
сформулировать: степенной ряд принадлежит классу Н тогда
и только тогда, когда его действительная и мнимая части при
z = eix являются рядами Фурье.
Это замечание в сочетании с теоремой G.35) дает новое дока-
доказательство теоремы D.4). Пусть F (z) — аналитическая функция,
действительная часть которой есть интеграл Пуассона от некоторой
/?L. Тогда по теореме B.6) FgH^, 0 < \х < 1. Если мы предпо-
предположим, что 7б L, то F (eix) = lim F (reix) g L, F (г) 6 H, и S [/] - S If].
Из теоремы (8.2) выводится еще
+ОО
(8.4) Теорема. Если частичные суммы sn ряда 2 Cheikx
—оо
удовлетворяет условию
2я
(8.5)
в частности, если sn>0 при всех п, то Ck—>0.
Из предположения теоремы вытекает, что данный ряд является
рядом S [dF]. Предположим, что \сп \ > е > 0 при Щ<.пг<
< ... —>оо. Ряды
4 4_ie-«+ ... +С_„Je-2i"v*=e-1'V4(x)
являются соответственно рядами S \dGv] и S [dHv], где
Gv (x) = J e'in^ dF (/), Hv (x) = J е~* V$nv (/) Л.
о о
Полные изменения Gv и Hv равномерно ограничены [см. (8.5)].
Переходя к подпоследовательности, мы можем предположить, что
{Gv} и {Hv} сходятся к функциям G и Н с ограниченным изме-
изменением. Коэффициенты для dG и dU являются пределами соот-
соответствующих коэффициентов для dGv и dHv. Отсюда следует, что:

454 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
(а) свободный член ряда S [dG] по абсолютной величине не
меньше е;
(в) S [dH] не имеет членов с положительными индексами;
(с) коэффициенты в S [dG] и S [dH] с неположительными индек-
индексами совпадают.
В силу (в) и (с) функции Н и G — Н абсолютно непрерывны.
Таким образом, G абсолютно непрерывна. Если мы покажем, что
G'(x) = 0 почти всюду, то отсюда будет следовать, что G(#) = 0,
а это будет противоречить (а), чем закончится доказательство.
Пусть F = FO + FU где Fo и Т^ — абсолютно непрерывная и син-
сингулярная части F. По теореме Римана — Лебега
G(x)—lim \ e гп\ d(Fo-{-Fl) = \in\ \ e xrty} dF^,
v <J v v
v о v о
x-\~h x+h
|G(jc + Л) — G(x) | = |lim j e'^dF^K j \dFx\
X
Так как последний интеграл имеет порядок о (h) для почти всех
х, то G'(jc) = O почти всюду.
(8.6) Теорема. Степенной ряд с ограниченным изменением
сходится абсолютно на \ z | = 1.
Сначала будет доказана теорема:
(8.7) Теорема. Если Ф(г) =Ь0~Ь^+ ... ?H, mo
2я
2-Й4<-И ^(eix)dx. (8-8)
А п + 1 2 J
Теорему достаточно доказать для функции, регулярной в круге
| z | < 1 и не имеющей нулей на | z \ = 1. Тогда, применяя доказанное
к функции Ф(/?г), где 0 < jR < 1, и полагая /?—>1, получаем
неравенство (8.8) для любой Ф?Н.
Неравенство (8.8) получается немедленно, если все Ьп действи-
действительны и неотрицательны. Действительно, в этом случае, умножая
обе части соотношения
bosmx+bl sin2x+ ... = Im {е1хФ(е1х)} (8.9)
на (я — х)/2, интегрируя по @, 2я) [левая часть (8.9) сходится
равномерно] и замечая, что п-и коэффициент при синусе ряда Фурье
функций (я — х)/2 равен 1М, получаем
2Я 2я
*)}5=^х<-П \G>(eix)\dx.
о о

8. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 455
Если не все hn неотрицательны, то достаточно построить такую
функцию <D*(z) = 2>nZn, что |&д|<&? и |хA; Ф*)<|хA; Ф)
[см. G.1)].
Пусть В (г)—произведение Бляшке для Ф(г). В нашем случае
В (г) имеет только конечное число множителей, функция W — Ф-ЕГ1
регулярна и не обращается в нуль при | z | < 1, а | W (eix) | = | Ф (егх)\.
Положим
j. 1.
^c'nzn1 Ф2=?2=2^2П (так что Ф=
Функции ФА, а также Ф? (k = 1, 2) регулярны при | г | < 1. Очевидно,
что
W = 2 I *v I | Cn-v I > | 2 cWn-v I = | bn |.
Более того, пользуясь неравенством Коши —Буняковского и равен-
равенством (я2A; Фл) = [Хг A; ФЛ) (следствие из формулы Парсеваля),
получаем
! |A; Ф5) = 1г| A; ©!)|i!(l; Ф2) =
Теорема (8.7) доказана.
Возвратимся к теореме (8.6) и предположим, что F (z) имеет
ограниченное изменение. Применим неравенство (8.8) кФ(г) =
= F' (Rz) = at + 2a2Rz + ... , где 0 < R < 1. (Мы применяем (8.8)
только в случае, когда Ф регулярна в круге |z[<l.) Получим
неравенство
*+...<l \ Re\F'(Reix)\dx.
Интеграл справа равен полному изменению F (г) на |г|=7? и при
R —> 1 стремится к полному изменению V функции F (z) на | z \ — 1
[гл. IV, F.11)]. Следовательно,
|flil + |fl2|+... <yv> (8Л°)
а это представляет собой более точную формулировку теоремы (8.6).
Из теорем (8.6) и B.8) следует теорема C.9) из гл. VI, при-
приведенная там без доказательства: если F абсолютно непрерывна
и F' ? L ln+ Z, то ряд S [F] сходится абсолютно.

456 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
+а>
(8.11) Теорема. Если sn — частичные суммы ряда 2 chelkx
— оо
и если
2я
jj \sn(x)\dx = O(l), (8.12)
о
то
В частности, если \ с{ | > |с2| > ..., то сл==ОA/1п/г).
Пусть М —верхняя грань интегралов (8.12). Применив (8.8)
к сумме
e~ivxsv (x) =cv + cv-{e~ix + ... + c-xe~2ivx (v > 0),
получим
Заменим здесь v на 2п, 2/г—1, 2/г — 2, ..., 1 и сложим получен-
ные неравенства. Замечая, что ^k~x> Aln(\i+l)(\i = l, 2, ...),
i
имеем
2п
{2nk + 2)KM2n
откуда
п
A In n 2 |с
и соотношение (8.13) доказано.
Если условие (8.12) заменить более сильным условием
Ш[зт — sn]—>0, то получим соотношение (8.13) с «о» вместо «О».
9. Интеграл Коши
Пусть g(z) — интегрируемая функция, определенная на окруж-
окружности | z | = 1. Интеграл
С 1=1

Э ИНТЕГРАЛ КОШИ 457
существует при \г\Ф 1; он определяет функцию F (z), регулярную
при \г\< 1, и другую функцию Ft(z), регулярную при | z |,> 1.
Ясно, что
? [ <1), (9.2)
n=0 lt'l = l
оо
S S (\г\>1). (9.3)
В общем случае F и /^ аналитически не продолжаемы одна в дру-
другую.
Пусть
Легко проверить, что
1
2л
О
следовательно,
F(z)-Fx(z*)-*g(eix*) (9.5)
для почти всех х0 при z—>el*° вдоль некасательного пути.
Формулу (9.1) можно переписать в виде
2л
\
О
2л
+ ^\g{eli)Q{r, t-x)dt~\. (9.6)
о
Поэтому для почти всех х0 существует
F(eix<>)= lim F(z),
2_>егас0
где z—>^lx'° вдоль некасательного пути. В силу (9.5), аналогичный
результат имеет место для Fi и некасательных путей в \г\ > 1.
Из (9.6) и B.6) мы видим, что функция F (z) принадлежит
классу Нц при любом |я, 0 < \х < 1.

458 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
(9.7) Теорема. Пусть F (z) определена npu\z\< 1 выраже-
выражением (9.1). Для того чтобы F(eix<>)= lim F (z) совпадала с-
z-+eix0
g (eixo) почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы S [g (егх)\
был рядом степенного типа, га. е. имели место равенства
?>п~^(?>)Л1, = 0 при л=1, 2, ... . (9.8)
1С 1=1
По (9.3) это условие эквивалентно тому, что Ft (г) = 0. Но
если FA (г) == 0, то из (9.4) видно, что F (z)'— интеграл Пуассона
от g(eix), и, таким образом, F (eix) = g (eix) почти всюду.
Обратно, предположим, что lim F (reix) =g(elx) почти всюду.
Так как ggLH FgH^, 0<jx<1, то из G.35) следует,
и, таким образом, Ш [F (гегх) — g (eix)] -f 0 при г—>1. Следова-
Следовательно, коэффициенты Фурье для / (reix) стремятся к соответ-
соответствующим коэффициентам для g{elx) при г—>1. Так как коэф-
коэффициенты с отрицательными индексами ряда F (гегх) равны нулю,
то это имеет место и для g(eix). Этим доказательство (9.7)
заканчивается.
Будем говорить, что функция Ф(г), регулярная при |z|<l,
представима интегралом Коши, если:
(I) Ф(егх) = lim Ф(гегх) существует для почти всех х и инте-
грируема;
(II) Ф(г) дается интегралом (9.1), где g(Q заменена наФ(^).
(9.9) Теорема. Функция F (г), регулярная при \ z \ < 1, пред-
представима интегралом Коши тогда и только тогда, когда F (z) g H.
Если F (г) задается интегралом (9.1), то F^lV1, 0<[х<1,
а из предположения, что lim F (гегх) б L вытекает, что F бН [см.
G.35)].
Обратно, предположим, что F (z) = 2 cnzn ^ H. Так как
щ [F (reix) — F (eix)] -> 0, то имеем
2я 2я
F(eix)e-inxdx = lim [ F (reix) e~inx dx = \im2ncnrn =
ij l
J nij r->l
поэтому F (z) задается интегралом (9.2), а следовательно, и (9.1),
гАе ?(?) заменена на F (Q.
(9.10) Теорема. Пусть F (z) регулярна при |z|J<l. Тогда
следующие два условия эквивалентны:
(I) F (z) представима интегралом Коши;
(II) F (z) является интегралом Пуассона от F(elx).

10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 459
Из обоих условий вытекает, что F (егх) = lim F (гегх) существует
г-И
почти всюду и интегрируема. Если F (г) — интеграл Пуассона от
F(eix), то m[F(reix)]=O(l). Следовательно, FgH и, в силу
теоремы (9.9), функция F (г) представима интегралом Коши.
Обратно, если F (г) задается интегралом (9.1), где g(elt) =F (elt),
то, в силу равенств (9.8), функция Fu построенная по g(elt) = F(eitI
обращается в нуль при | г | > 1. Заменяя в формуле (9.4) g (еи)
на F (elt), мы видим, что F (г) является интегралом Пуассона
от F(e{x).
10. Конформные отображения
Метод конформных отображений полезен для некоторых задач
теории тригонометрических рядов. Дадим здесь несколько основ-
основных фактов, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем.
Пусть функция
... +cnzn+ ... A0.1)
регулярна и однолистна в круге |z|</?. [Однолистность F озна-
означает, что разным z соответствуют различные значения F (z)]. Тогда
F (г) отображает круг | z | < R взаимно однозначно на открытую
область D, ограниченную простой замкнутой дугой. Если w =
= u-\-ivy то, в силу уравнений Коши — Римана,
их Uj,
и площадь | D | области D равна
R 2Л Я 2л
\ J | F' (reix) fr dr dx = J г dr J | 2 ^/n"V(n~1)x |2 dx =
0 0 0 0
dr-Jt)! /г|сд|2/?2П. A0.3)
Если F регулярна и однолистна только при | z \ < /?, то площадь
D есть предел при /?'—»/? площадей D#', образов круга |z|</?'
для /?' < /?. Заменяя в формуле A0.3) R на /J' и полагая /?'—>/?,
получаем
|D|=
где правая часть конечна или бесконечна. Если F (z) регулярна,
но не обязательно однолистна в круге |z|</?, то интеграл в

460 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
равенстве A0.4) есть, по определению, площадь образа \z\<R
при отображении w = F(z). Для R = 1 получаем
A0.5)
A0.6) Теорема. Если функция A0.1) регулярна при \z\ < 1
оо
и если 2 п\сп |2 <°о, tno ряд
1
со + с,е1х+...+спе1пх+... A0.7)
сходится для почти всех х. Если, кроме того, F (г) можно до-
доопределить до непрерывной функции на \ z |< 1, то A0.7) сходится
равномерно при 0<л:<2я.
Действительно, из конечности ряда A0.5) следует конечность
2кд|г и, таким образом, ряд A0.7) является рядом Фурье.
Поэтому последний ряд суммируем методом (С, 1) почти всюду
и, по замечанию на стр. 133, сходится в каждой точке суммируе-
суммируемости. Если F (z) непрерывна при |z|<l, то ряд A0.7) равно-
равномерно А-суммируем к F (е1Х), и, таким образом, есть ряд S [F (е%х)].
Поэтому он равномерно суммируем методом (С, 1) и, следова-
следовательно, в силу конечности ряда A0.5), равномерно сходится.
Приведем следующий классический результат:
A0.8) Теорема Римана. Пусть D —любая односвязная
область, граница которой содержит по крайней мере две точки.
Тогда для любой заданной точки wo?D существует функция
F (z), регулярная и однолистная при | г | < 1, которая отображает
круг \г\< 1 на D так, что F@)=w0.
Этот результат мы примем без доказательства, так как в суще-
существующей литературе имеется много его доказательств. Под одно-
связной областью мы понимаем область, дополнение которой есть
континуум. В наших приложениях нас будет интересовать только
специальный случай, когда D является внутренностью простой
замкнутой дуги. В этом случае A0.8) можно дополнить и имеет
место теорема:
A0.9) Теорема. Пусть D — внутренность простой замкну-
замкнутой дуги С. Тогда функцию F (z) из теоремы A0.8) можно до-
доопределить до непрерывной на \ z | < 1 функции и новая функция
дает взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие
между |z|<l и замыканием D области D.
Сейчас мы дадим доказательство теоремы A0.9). Она пред-
представляет собой простое следствие из следующих фактов:

10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 461
(a) существует плотная последовательность {хп} точек, различ-
различных и таких, что lim F (reiXn), который мы обозначим F (eiXn),
г->1
существует для каждого п\
(b) все точки F (eiXn) различны и принадлежат С;
(c) множество точек F (eiXn) плотно на С;
(d) если | z(k) | —> 1, | z(fe) | < 1, то все предельные точки последо-
последовательности {F (z{k))} расположены на С.
Начнем с вывода теоремы A0.9) из (а), (Ь), (с) и (d). Пусть
w = (d(elt) @<^<2л) A0.10)
уравнение С; предположим, что С описывается в положительном
направлении, когда t возрастает от 0 до 2я. В силу (Ь), мы можем
положить F (eiXn) = со (е%1). Так как отображение w = F (z) конформ-
конформно, то точки F (eiXm), F (eiXn) F (eixv) расположены на С в том же
порядке, что и точки eiXm, eiXn, eixp на окружности.
Пусть z* = eix* и хт < х* < хп. Образ сектора хт < х < хп,
0 < г < 1, есть внутренность криволинейного треугольника, ограни-
ограниченного кривыми w = F (reiXm), w = F (reiXn), 0 < г < 1, и дугой
w = w(eltI tm < t < tni кривой С. Следовательно, в силу (с),
можно найти хт, хП1 хт < х* < хП1 и так, что tm, tn произвольно
близки. Отсюда следует, что вложенной последовательности интер-
интервалов (хт, хп), сходящейся к л:*, соответствует вложенная последо-
последовательность интервалов (tm, tn), сходящаяся к t*.
Из (d) следует, что если {z(fe)} — любая последовательность
с |z(fe)|<l, сходящаяся к z*, то F(zik)) сходится к (о(еи*).
Таким образом, F можно доопределить до непрерывной на |z|<l
функции и все значения F (eix) расположены на С.
По (с) значения F (егх) покрывают С целиком. Чтобы показать,
что различным х соответствуют различные F (eix), предположим,
что х' < х", F (eix') =F (eix"). Если х' < хт < хп < х", то тем более
F (eiXm) = F (eiXn), что противоречит (Ь).
Остается показать, что функция, обратная к F (z), непрерывна
на D. Это следует из того факта (непосредственное следствие
теоремы Больцано —Вейерштрасса), что взаимно однозначное
отображение замкнутого ограниченного множества, непрерывное
в одну сторону, взаимно непрерывно.
Докажем теперь (а), (Ь), (с) и (d), начиная с (d). Предположим,
что (d) неверно. Выбирая подпоследовательность из zD мы можем
предположить, что F (z{k)) стремится к точке о;*, лежащей внутри С.
Так как функция, обратная к F (z), отображает окрестностью*
в окрестность точки z*, | z* \ < 1, то отсюда следует, что все точки
z(b), начиная с некоторой, находятся в произвольно малой окрест-
окрестности точки z#. Это противоречит предположению, что |z(b) |—¦> 1.

462 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Чтобы доказать (а), достаточно заметить, что из конечности
суммы A0.5)'вытекает конечность 2|Сл|2, так что ряд A0.7) как
ряд Фурье А-суммируем почти всюду. Другое доказательство, при
котором не используется теорема Фишера — Рисса, проводится сле-
следующим образом. Интеграл, A0.4), где R= 1, конечен. По теореме
Фубини, |F'|2 интегрируема на почти всех радиусах, и, следова-
следовательно, в силу неравенства Коши — Буняковского, это справедливо
и для \F'\. Для каждого такого радиуса кривая w = F (ге1Х),
0<г< 1, имеет конечную длину, и, таким образом, lim F (reix) =
¦=F(elx) существует.
To, что F(eix) принадлежит С, следует из (d). Предположим,
что х' < х" и F (eix') =F (eix") = w. Тогда, по (d), функция F(z) — w
равномерно стремится к нулю при z, приближающемся к любой
точке дуги а<х<р, внутренней к (х\ х"). Поэтому доказатель-
доказательство (Ь) будет закончено, если мы докажем следующую лемму.
A0.11) Лемма. Пусть G(z)— любая функция, регулярная
и ограниченная в круге \ г | < 1. Если G (z) стремится к нулю
при z, приближающемся к некоторой дуге единичной окружности,
то G (z) = 0.
Этот весьма частный случай теоремы G.25) доказывается эле-
элементарно. Разделив G, если это нужно, на zfe, можно предполо-
предположить, что G@)=?0. Предположим, что дуга окружности |z| = l,
на которой G обращается в нуль, имеет длину больше, чем 2я-п~1>
и положим е = ехрBя/-п~1). Тогда
H(z)=G(z)G(bz) ... GFnz)
регулярна при | z | < 1 и равномерно стремится к нулю при | z \ —> 1.
Следовательно, #(z) = 0, что противоречит неравенству Н@) =
= Gn @) Ф0. Этим доказана лемма и (Ь).
Остается доказать (с). Пусть X, \ X \ =2я, — такое множество
углов х, что
существует. Как и при доказательстве (а), покажем, что A0.7)
является рядом S[F(elx)]. (Второе доказательство (а) показывает,
что co + clreix+ ... сходится почти всюду к F (eix) при г—>1
и мажорируется интегрируемой функцией.) Соответствие между X
и точками С дается функцией t = t(x), определенной и строго воз-
возрастающей на X; если X повторяется периодически, то t(x) соот-
соответственно доопределяется формулой t (х + 2я) = t (х) + 2л. Если
бы (с) было неверно, то функция t(x), x?X имела бы скачки,
тогда скачки имела бы и ограниченная периодическая функция

10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 463
w(t(x)) = F(eix), х?Х. Но это невозможно (см. стр. 150), чем
доказательство теоремы A0.9) заканчивается.
A0.12) Теорема. Если функция F (z) = ^cnzn отображает
| z | < 1 конформно на внутренность простой замкнутой дуги С,
то ^]cneinx сходится равномерно при 0<д:<2я.
Эта теорема следует из теоремы A0.6).
A0.13) Теорема. Если кривая С, ограничивающая область D
в теореме A0.9), имеет касательную в точке ш4бС, то отобра-
отображение w = F(z) сохраняет углы в точке zu соответствующей wt.
Это значит, что если Г' и Г" — две какие-либо кривые из круга
\z\ < 1, подходящие к точке zu имеющие в z4 касательные и пере-
пересекающиеся там под углом а, то образы С', С" кривых Г', Г"
также имеют касательные в точке wi и пересекаются под углом а.
Существование касательной к С в точке тх означает, что если
w стремится к wx вдоль С, то луч wtw стремится к предельному
положению. Другими словами, если z = егх приближается к zi =eiXl
с одной из двух сторон, то выражение
g(z) = arg{F(z)-F(zi)}
стремится к пределу и оба предела отличаются на я.
Функция g(z), будучи мнимой частью регулярной при |z|< 1
функции \n{F(z) — F (zt)}, гармонична при | z | < 1. Она непрерывна
на |z|=l при z Ф zt. Она, очевидно, ограничена на части круга
|z| = l вне любой окрестности точки z4. Но, в силу существова-
существования касательной к С в точке wu она ограничена также в окрест-
окрестности z{. Таким образом, g (z) гармонична и ограничена при | z | < 1,
следовательно, она является интегралом Пуассона от g{eix).
Функция g(elx) имеет скачок d — л в точке x = xt. В силу
теоремы F.15) гл. Ill, limg'(z) существует при z, стремящемся
к z4 вдоль Г' или Г", и, по той же самой теореме, оба предела
отличаются на ad/n=a. Из существования пределов от g (z) вдоль
Г' и Г" вытекает существование касательных к С и С" в точке wt.
Угол между этими касательными равен а, откуда следует тео-
теорема A0.13).
Предположим теперь, что кривая С в теореме A0.12) спрям-
спрямляема. Тогда функция F (егх) имеет ограниченное изменение на
0 <д:< 2я. Пользуясь теоремой (8.6), мы можем поэтому дополнить
теорему A0.12) следующим образом.
A0.14) Теорема. Если граница области D спрямляема, то
степенной ряд для F (г) сходится абсолютно на \ z \ — 1.

464 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Аналогично, пользуясь теоремой (8.2), получаем следующий
результат.
A0.15) Теорема. Если граница области D спрямляема, то
функция F (егх) абсолютно непрерывна.
Заметим, кстати, что в случае, который нас интересует, дока-
доказательства теорем (8.2) и (8.6) упрощаются, так как F' (z) Ф 0
и, следовательно, произведение Бляшке отсутствует.
Пусть С спрямляема и s — длина дуги С, измеряемая от фикси-
фиксированной точки на С. Мы можем выбрать s в качестве параметра
и записать уравнение кривой С A0.10) в виде
w = w(s)=u(s) + iv (s), 0 < s < /, w@) = w(l),
где / — длина С. Любому точечному множеству А а С будет
соответствовать множество 5 на [0, /]. Мы будем называть мно-
множество Л измеримым, если измеримо S, и определим меру Л, как
меру S.
Пусть теперь Е = (а, р) — любая дуга на | г | = 1, и пусть
А — образ Е на С. Длина А равна полному изменению функции
F (eix) на Е, и так как F (eix) абсолютно непрерывна, то
I-J
dx
Е
dx. A0.16)
Эта формула сохраняется, если Е — сумма конечного числа непе-
непересекающихся открытых интервалов и, следовательно, если ? —
любое открытое множество на | г \ = 1. Переходя к дополнитель-
дополнительным множествам, мы получаем формулу A0.16) в случае, когда Е
замкнуто. Так как любое измеримое множество Е содержит зам-
замкнутое множество и содержится в открытом множестве, меры
которых как угодно близки к мере ?, то формула A0.16) имеет
место для любого измеримого множества Е на |z| = l.
В частности, из |?|=0 вытекает, что |Л|=0.
Обратно, предположим, что |Л|=0. Тогда dF (eix)/dx = 0
почти всюду на Е. По теореме G.6) гл. III, если dF (eix)/dx=0
при х=х0, то F' (z)—>0, когда z стремится к eix° вдоль некаса-
некасательного пути. В силу теоремы G.25), это может случиться
только на множестве меры нуль, так как F' ? Н. Следовательно,
|?|=0. Таким образом доказана теорема:
A0.17) Теорема. Если С спрямляема, то множествам меры
нуль на | г \ = 1 соответствуют множества меры нуль на С,
и обратно.
В каждой точке wo = F (eix^)y такой, что dF{eix)ldx существует
и отлична от нуля, кривая С имеет касательную. Мы сейчас
доказали, что dF (elx)/dx ф 0 почти всюду. Следовательно, С имеет

10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 465
касательную почти всюду (результат, конечно, следует также из
классической теоремы о существовании почти всюду касатель-
касательной к спрямляемой кривой). В силу теоремы A0.13), отображе-
отображение w = F(z) сохраняет углы почти всюду на |z| = l.
Пусть zo = eix<> такова, что dF (elx)/dx существует и имеет там
конечное значение ц. Тогда izF' (z) стремится к |л при z —>z0
по некасательным путям. Пусть z4 — некоторая точка сегмента zoz.
Тогда
где последний интеграл берется вдоль сегмента zoz. Ясно, что
последняя дробь стремится к -А- при z—>z0 по некасательным
путям. Следовательно, почти во всех точках z0, |zo| = l, функ-
функция F (z) имеет угловую производную
]jm—Щ L°l? npU z—^Zq no некасательным путям,
Z Zq
и эта производная отлична от нуля. В частности, длины \z — zo\
и \w — wo\ асимптотически пропорциональны, когда z—>z0 по нека-
некасательному пути.
В заключение приведем простое применение конформных ото-
отображений к проблемам сходимости рядов Фурье.
В следующей главе будет показано, что для непрерывной
функции f ряд S [f] не обязан сходиться всюду и тем более равно-
равномерно. Тем не менее имеет место
A0,18) Теорема. Если функция f(t) непрерывная и перио-
периодическая, то существует такая строго возрастающая функция
t = t(Q), 0<Э<2я, отображающая отрезок [0, 2я] на себя,
и такая, что ряд Фурье для g(®)~f(t(Q)) сходится равномерно.
Если существует непрерывная и периодическая функция ср(/),
такая, что
u=f(t), t> = cp(O, 0<*<2я,
представляет простую замкнутую кривую С, то A0.18) следует
из теоремы A0.12). Действительно, С можно также задать урав-
уравнением w=F(eiQ), где F (z) — регулярная функция при |z|<l,
непрерывная при | z | < 1 и с равномерно сходящимся рядом
S[F(eid)]. Отображение ^=/@) взаимно однозначно и непрерывно.
Если мы выберем F так, что 8 = 0 для f = 0, то tfF) имеет тре-
требуемые свойства.
30 А. Зигмунд, т. I

466 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
Функция ф(^) не всегда обязана существовать, но она заве-
заведомо существует, если, например,
f @) = / (а) = / Bя) для некоторого 0 < а < 2я-
и если ф (t) строго меньше, чем f @) внутри @, а), и строго больше,
чем /Bя) внутри (а, 2я), или наоборот. Действительно, тогда
можно взять в качестве ф любую функцию, строго возрастающую
на @, а) и строго убывающую на (а, 2я).
Поэтому достаточно доказать, что в общем случае существует
такая функция со(/), 0<^<2я с со@)=соBя) непрерывная
и с ограниченным изменением, что /± = / +- со имеет только что
описанный вид. В самом деле, ясно, что ряд S [со (t (Э))] сходится
равномерно для любой возрастающей функции /(9), отображаю-
отображающей [0, 2я] на себя.
Вычитая постоянную из /, , мы можем предположить, что
\ fdt — O. Мы можем также предположить, что / @) = / Bя) = 0
о
(в противном случае можно вычесть из / функцию f@)cost,
интеграл которой по отрезку [0, 2я] равен нулю и которую можно
включить в со(^)). Отсюда следует, что / должна обращаться
в нуль в некоторой точке а, внутренней к интервалу @, 2я).
Пусть Mi и М2 представляют собой max \f(t)\ соответственно
на интервалах [0, а] и [а, 2я], и пусть Мх и М2 достигаются
в точках ti и t2 этих интервалов. Определим со4 (t) равенствами
max \f(l)\ для 0</</4; max|/(g)| для
— max \f(l)\ для а</<^2; — max | / (g) | для
Функция со! (t) непрерывна и с ограниченным изменением, о^ @) =
= со! Bя) = 0. Более того, | f | < | <о11, так что / + ^i неотрицательна
на [0, а] и неположительна на [а, 2я]. Если со2(^)—любая непре-
непрерывная функция с ограниченным изменением и обращающаяся
в нуль в точках 0, а, 2я, строго положительная внутри [0, а]
и строго отрицательная внутри [а, 2я], то сумма со == со± -f- co2
обладает необходимыми свойствами.
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Пусть F (z) = u-{-lv регулярна при |г|<Ч,и предположим, что и и v
неотрицательны. Показать, что тогда
°'~8 @<г< 1; 0<е< 2).
О
Если 8 = 0, то интеграл слева не обязан быть ограниченным.

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
467
Отсюда следует, что если действительная и мнимая части и, v функции
F(z), | z|< 1, ограничены снизу, то и u(eix), и v (eix) принадлежат L2"8.
[Пусть Fi(z) — e~nx^F(z) = Ui~\-ivi, так что |t>i|Oi. Применить к FA
рассуждения, употреблявшиеся при доказательстве теоремы B.6). Функция
F (г) = еЯг/4 {(l-f-z)-(l—z)}1^2, отображающая |z|<l на первый квадрант,
дает противоречащий пример при е = 0.]
2. Показать, что постоянная Ар в теореме B.4) удовлетворяет неравен-
неравенству Лр >- Лр при р ;> 2. Отсюда, пользуясь неравенством C.9), показать,
что Лр ~ Лр для р -> оо (Титчмарш [4]).
Рассмотреть / (х) = —^— » О <С х < 2л, и заметить, что / (х) =
= 1п Г 2 sin -|- J~ In л; при х
+0.
3. Для любой
и 0 < в < л пусть
я
—/(?—
тогда
2я
f—e)/2
(b) SKp[7(*;
], P>1 (M. Рисе [II).
[Пусть g(t)—функция, равная нулю на (—е, г) и -=¦ ctg -^- в осталь-
остальных точках (—л, л). Заметить, что по равенству (8.6) гл. IV
я я
T(*+t)g(t)dt,
и использовать пример 20 из главы II, стр. 124.]
4. Пусть Ф, ? и ф1? Ч?!—две пары сопряженных по Юнгу функций-
Если для любой /?Lo f принадлежит Lox и если А—постоянная, не зави-
зависящая от / и такая, что ||7||ф1<^ II / ||ф (такое А всегда существует), то для
любого g ? Ьщ имеем ]?? Lw- Более того,
[Достаточно показать, что если || v ||ф1 <^А \\ и ||ф для любой u-\-iv, регуляр-
регулярной при |z|< 1 и удовлетворяющей условию у@) = 0, то || t; ||^<!2Л || «||^ .
Если h—такой тригонометрический полином, что Ш [Ф (| h |)] ^ 1, то
2я 2я
vhdx =sup
h
uhdx
30*

468 ГЛ. VII. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧ. ФУНКЦИЙ
где a = max {I, supЗД [Oj (| й"| /BЛ))]} [гл. IV, A0.6)]. С другой стороны,
таккакдй[Ф(|Л|)]<1, то \\h ||ф< 2 и, таким образом, || Г||ф1< А \\ h ||Ф<2Л.
Следовательно [гл. IV, A0.4)], Ш[Ф±(\ К\ /BЛ))] < 1, а = 1, и || v ||^ <
<2A\\u\\Wi.]
5. Пусть s (х) вогнута и неотрицательна при х > 0, имеет непрерывную
производную при х > 0 и стремится к -{-со вместе с х: Пусть S (х)—-инте-
(х)—-интеграл по [0, х] от s(t). Пусть R (х) неотрицательна и выпукла при х^>0,
имеет непрерывные две первые производные при х > 0 и стремится к -{-со
вместе с х. Предположим еще, что существует такая постоянная С, что
Тогда из / ? Ljr вытекает, что f, ? Lg.
[Доказательство в точности то же, что и в § 3. Заметить, что 5 Bх) <!
^.CiS(x), где Q не зависит от х. Если 5 (*)< R (х), то 2Я [S (| fl)] <
<С2аИ[/?(|/|)], где С2 не зависит от /.]
6. Если а>0 и |?|(ln+|/|)aSL, то |7| In" B+ |f|) 6 L и
2л;
еЗ
о
7. Предыдущий результат неверен при а = 0 (Титчмарш [1]).
[Взять f (х) = Ъ cosnx/(\n\nn). В силу B.17) гл. V, \Y\-ln~l \ fl имеет
порядок
(х\пх-1\п\пх-1)-1 при jc-^-|-O.]
8. Пример 6 допускает обращение, аналогичное теореме B.10), а именно:
если |/| (ln+ I/I)" и (|ГИп+ \Т\)а~{ интегрируемы при а>1 и / ограни-
ограничена снизу, то | / | Aп+ | / |)а ^ L. Результат можно также сформулировать
в виде неравенства, как в B.25).
9. Если интеграл по отрезку [0,2я] от функции ехр | /1 adx не превосхо-
превосходит 1, ехр | / |а dx <! 1, где а > 0, то ехр X \ f \& интегрируема при р = а (а-)-1)
10. Пусть /(г, х)—интеграл Пуассона—Стильтьеса от функции F (х)
с ограниченным изменением на 0^A:<2jt, F* задана формулой G.1). Тогда
при 0<и< 1
2л
(I) aj^i/V, *)]<^ц
(II) W»lT(r, x)-F*(x)]-+0 (г->1)
|см. B.39)]. Аналогично, если оп (С, 1)-средние для S
2я
(Ш) . ЗКцРаКВ^ J |dF|,

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 469
(IV) Щ[оп—Р*]-+0 (л-»оо).
[Для (II) и (IV) использовать теорему A1.9) гл. 1.]
11. Пусть 0<а<1, 1<р<]оо. Тогда: A) / ? Л^ тогда и только тогда,
когда Шр [их (г, х)] = 0 (б") для ее интеграла Пуассона и (г, х) (Харди
и Литтлвуд [10], [19]); (II) /?Л? тогда и только тогда, когда
ЯИр[Ихх(г, *)] = ОF).
12. Пусть /€Л?, ?>р>1. Тогда f $ Ь^-г+^г.
[Следствие из E.1) и из F.34) гл. IV.]
13. Пусть /€Л?, q>p>\. Тогда /бЛ^р-ц.^.
14. Тригонометрический ряд Т принадлежит классу Ла, 0<а-<1,
тогда и только тогда, когда его (С, 1)-средние ап (х) удовлетворяют условию •
On (х) == О (па~{) равномерно по х. Условие УЛр [оп\ = 0 (na~i) необходимо
и достаточно для того, чтобы Т принадлежал классу Л^, 1 < р < оо.
15. Пусть f(x) и ф (х) определены почти всюду на интервалах
и a<X& соответственно и доопределены вне (a, b) условиями
f(x+h) = f(x), Ф (*+*)—<р(*) = ф(&)—ф (а),
где h = b—а. Слегка изменяя обозначения § 4, можно сказать, что инте-
ь
грал (*) \ / (х) d(p (x) существует в В-смысле, и имеет значение «/, если суммы
/ @=3 / С+Е<) 1ф (^+*«)-Ф (^+*i-i)l
стремятся по мере к J при max (xj—xj_i) -~+ 0. Показать, что
(I) если ф имеет ограниченное изменение и интеграл (*) существует как
интеграл Лебега—Стильтьеса, то он существует в В-смысле и оба интеграла
имеют одно и то же значение;
(II) сопряженный ряд к S [d^li есть S [dP], коэффициенты последнего
определяются в В-смысле.
16. При предположениях G.15) произведение G.16) сходится абсолютно
и равномерно вне любого круга |z| = r>l, если выбросить конечное число
членов, имеющих там полюс. Если дуга окружности |z| = l не содержит
предельных точек последовательности {|п}, то произведение сходится абсо-
абсолютно и равномерно в двусторонней окрестности этой дуги, и, таким обра-
образом, внутренняя и внешняя функции аналитически продолжаются одна в другую*
17. При предположениях G.15) функция G.16) регулярна при |z|<l,
имеет пределы по радиусам в точках eix, если
(Фростман [1]).
[Проверить, например, геометрически, что при z = reix второй член в G.17)
мажорируется произведением постоянной на A — | ?v' |) | eix— ?v I при 0 < г < 1.
Заметить, что

ГЛАВА VIII
Расходимость рядов Фурье
1. Расходимость рядов Фурье непрерывных функций
В гл. II были даны достаточные условия сходимости рядов
Фурье. Теперь мы исследуем, в какой степени эти признаки
представляют наилучшие возможные результаты. Мы увидим, что
'в проблеме сходимости ряда Фурье в индивидуальной точке
создалось такое положение, когда хотя и возможны некоторые
улучшения, но едва ли можно надеяться на получение сущест-
существенно новых положительных результатов, по крайней мере если
ограничиваться применением классических средств гл. II. Такие
признаки, как признак Дини или Дини —Липшица, представляют
собой границу, за которой мы сталкиваемся с расходимостью.
A.1) Теорема. Существует непрерывная функция, ряд
Фурье которой расходится в некоторой точке.
Этот результат впервые был найден дю-Буа-Реймоном. С тех
пор было найдено несколько других примеров. Мы воспроизведем
здесь два из них. Один принадлежит Фейеру и замечателен своей
элегантностью и простотой. Другой пример, предложенный Лебегом,
глубже вскрывает суть дела, и метод, использованный при его
построении, может быть применен во многих аналогичных проблемах.
(I) Доказательство Лебега. Мы знаем, что если п достаточно
велико, то существует непрерывная функция f(x)=fn(x), не пре-
превосходящая по модулю 1, и такая, что Sn @; fn) как угодно вели-
велико; в качестве f (х) можно взять функцию signDn(x), сглажен-
сглаженную в точках разрыва (гл. II, § 12). Эта функция f зависит от п.
Чтобы получить фиксированную непрерывную функцию f, такую,
что последовательность 5^@; /) неограничена при п—> оо,
сошлемся на теорему (9.11) из гл. IV. Если мы заменим в этой
теореме уп (t) на Dn(t), x(t) на f (t) и воспользуемся тем, что
константы Лебега Ln стремятся к +оо, то мы увидим1),
.>ч !) Теорема (9.11) гл. IV (принадлежащая Лебегу) гораздо глубже, но
в частном случае yn{t)=Dn(t) ее нетрудно доказать непосредственно; см.
лекции Лебега, указанные в библиографии.

1. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 471
что существует такая непрерывная функция /, что
5п@; !)ФО(\).
Пусть {Кп} — какая-либо последовательность положительных
чисел, стремящихся к + °° медленнее, чем In я. Так как интег-
интеграл от | Dn (t) | Яй1 по отрезку [0, я] стремится к + оо, то, снова при-
применяя теорему (9.11) гл. IV, мы получаем следующий результат.
A.2) Теорема. Пусть задана последовательность Яд —
= о (In n)\ тогда существует непрерывная функция /, такая, что
$п @; /)>^?г для бесконечного множества значений п.
Мы знаем, что Sn(x; f) = o(\nn) равномерно по х, если / не-
непрерывна (гл. II, § 11). Теперь мы видим, что этот результат
не может быть улучшен.
Применяя теорему (9.5) гл. IV в ее наиболее общей форме
к доказательству теоремы (9.11) из гл. IV, получаем результат,
из которого следует, что множество непрерывных функций f
с S[/], сходящимся в точке 0 или в любой другой фиксирован-
фиксированной точке, образует множество первой категории в пространстве
С всех непрерывных и периодических функций. Таким образом,
множество непрерывных функций, ряды Фурье которых сходятся
хотя бы в одной рациональной точке, также образует множество
первой категории. Следовательно, имеет место следующая теорема.
A.3) Теорема. Из пространства С можно удалить неко-
некоторое множество первой категории так, чтобы ряд Фурье
каждой из оставшихся функций расходился бы на всюду плот-
плотном множестве.
(II) Доказательство Фейера. Пусть N > п > 0. Рассмотрим
два полинома
п
Q(x, N, /i)=2sinMc2—?—, A-4)
i
n
n / at \ о \т Vi sin ^a: ,л r\
R (jc, N, n) = 2 cos Nx У —г— . A.5)
1
Очевидно,
n _ cos (/V—x) x . cos (/V—n-\-\) x
. cos(N—l)x cos(^V+1)a: cos (NA-n) x /Л а,
+ . j j ... A.6)
— полином по косинусам, члены которого имеют порядки от
N — п до N + n. Аналогично, R= —Q представляет собой поли-
полином по синусам.

472 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Так как частичные суммы ряда sinx + Y sin 2л; + • • • равно-
равномерно ограничены, то полиномы Q и Q равномерно ограничены
по х, N, п, скажем
\Q\<C, \Q\<C. A.7)
С другой стороны, при х = 0 сумма первых (или последних) п
членов для Q(x, N, п) из A.6) есть —+ • • • +у + * > 1пп и»
таким образом, стремится к оо вместе с п.
Пусть {Nk} и {я;*}—-две произвольные последовательности
положительных целых чисел, для которых nk < Nh, и пусть
ак > 0, сц + а2 + ... < со. Ряды
#*. nh), A.8)
Nh, nk) A.9)
сходятся к непрерывным функциям, которые мы обозначим через
f(x) и g(x) соответственно. Если Nk + nk < Nu+i — nk+t при всех
k, различные Q не будут содержать подобных членов. Аналогич-
Аналогичное обстоятельство имеет место и для Q. Поэтому, раскрывая
скобки, мы можем представить A.8) и A.9) как тригонометри-
тригонометрические ряды
2 AЛ0)
Обозначая частичные суммы этих рядов через sn (x) и tn (*), мы
видим, что SNk+nk {x) и ^jvfe+nfe (x) равномерно сходятся, так что
ряды A.10) и A.11) суть S[/] и S[g] соответственно. Более
того, S[g]=S[/]. Так как
I sNk+nk @) — sNk @) | > ak In nh,
то ряд S[/] обязан расходиться при л: = 0, если ak\nnk не стре-
стремится к нулю. Таким образом, если, например,
*k=k~\ 0ъ = пК=2», A.12)
то ряд Фурье непрерывной функции f, определенной равенством
A.8), расходится в точке 0.
Легко видеть, что как ряд A.10), так и ряд A.11) сходятся
равномерно при б < | х \ < п для любого б > 0. Это следует из
того, что частичные суммы для Q(x, Nk, nk) и Q(xr Nk, rik)
ограничены в этом интервале равномерно по х и k. (Достаточно
заметить, что частичные суммы ряда -^-+ cos л; + cos 2л; + ... рав-

1. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 47$
номерно ограничены на F, я), и применить теорему B.4) гл. 1.)
Так как ряд S [g] содержит только синусы, то он сходится при
л:=0 и, таким образом, сходится всюду»
A.13) Теорема. Существует непрерывная функция, ряд
Фурье которой сходится всюду, но неравномерно.
Рассмотрим сумму g(x) ряда A.9), удовлетворяющего усло-
условиям A.12). Соответствующий ряд A.11) сходится всюду. Но
при х = п/4п, N = 2п сумма первых п членов для Q (x> N, п)
превосходит
так что
\t3nk{xh) — t2nh(Xh)\>2 2ah\nnh
для некоторых xk, что доказывает теорему A.13).
A.14) Теорема. Существует степенной ряд co+ctz-\-.. .^
регулярный при \ z | < 1, непрерывный при | z | < 1 и расходящий-
расходящийся при 2 = 1.
В предыдущих обозначениях S [g] = S [/] и, таким образом,,
степенной ряд с0 + c±z + ..., сводящийся к S [/] + /S [g] при
z=elx, обладает требуемыми свойствами.
Если мы положим в A.8) и A.9)
то частичные суммы sn {x) и tn (x) будут равномерно ограничены.
[В предположениях A.12) этого не было.] Как и раньше, {sn@)}~
расходится, a {tn(x)} сходится всюду, но неравномерно.
A.16) Теорема. Существуют такие непрерывные функции
F (х) и G(x) =F (jc), что S [F] расходится на всюду плотном
множестве, a S [G] сходится всюду, хотя ни на одном интерва-
интервале не сходится равномерно.
Пусть f (х) и g(x) — суммы рядов A.8) и A.9) соответственно,,
удовлетворяющих условию A.15). Пусть Е — счетное всюду плот-
плотное на [0,2я] множество точек ги г2, ..., и пусть г1-\-гг+ .. - —
сходящийся ряд из положительных чисел. Положим
и обозначим через Fk (x) и Gk (x) частичные суммы этих рядов..
Ряд, определяющий F(x), сходится равномерно, и мы получаем
частичные суммы S [F], складывая соответствующие частичные
суммы S[etf(x — rt)] для всех /.

474 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Имеем
Пусть задано ц > 0. Мы знаем, что частичные суммы рядов
S[/] и S [g] равномерно ограничены, скажем, не превосходят А
по модулю. Тогда частичные суммы S [Rk] и S [Rt] не превос-
превосходят по модулю
Л (е/н-i + eft+2 + . ..)< Л»
если k = k(r\) достаточно велико. Отсюда делаем заключение, что
(I) S [F[ расходится во всех точках. ги 1</<й, в которых
колебание частичных сумм ряда S[e;/(jt — rt)] превосходит т);
(II) если х^Е, то колебание частичных сумм ряда S [F] в х
меньше т);
(III) колебание частичных сумм ряда S [G] меньше ц для
всех х.
Так как г\ и k'1 могут быть сделаны как угодно малыми, то
из (I) и (II) мы видим, что S [F] расходится на ? и сходится
вне Е. Из (III) видно, что S [G] сходится всюду. Остается только
показать, что эта сходимость неравномерна. в окрестности любой
точки ги-
Так как S[g(jt— г^)] сходится неравномерно в окрестности Гд,
то ряд Фурье для Ehg(x — rh) + Rt тоже сходится неравномерно
в этой окрестности, если k достаточно велико. Эта сумма отли-
отличается от G на сумму конечного числа функций, ряды Фурье
которых сходятся равномерно в достаточно малой окрестности rh.
Таким образом, S [G] сходится неравномерно в окрестности г^.
Предыдущие рассуждения дают больше, чем мы намеревались
доказать, ибо показано, что для любого наперед заданного счет-
счетного множества Е d @, 2я) существует такая непрерывная
функция /, что S [/] расходится на Е и сходится вне Е.
Вопрос о существовании непрерывной функции / с рядом
Фурье, расходящимся всюду или почти всюду, все еще не решен,
и, по-видимому, очень труден. Нетрудно, однако, построить
непрерывную функцию / с рядом Фурье, расходящимся на несчет-
несчетном множестве точек. Действительно, пусть г4, г2, ...—последо-
...—последовательность, содержащая все рациональные точки отрезка [0, 2я],
причем каждую — бесконечное число раз, и пусть
/[(*) = 2 ?Q (*->-*, 2-2fe3, 2*3).
Функция / непрерывна, a S [/] получается при замене каждого
Q выражением A.6). В каждой рациональной точке отрезка
[0, 2я] S [/] содержит бесконечно много отрезков, состоящих из
членов, сумма которых превосходит /T2ln2fe , где k — как угодно

1. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 475
велико. Отсюда следует, что Sn (x\ /) неограничены на всюду
плотном множестве точек, и остается лишь применить теорему
A2.2) гл. 1. Построенный нами ряд S [/] оказывается расходя-
расходящимся даже на множестве второй категории.
A.17) Теорема. Существует степенной ряд ^jcnzn = O(z),
регулярный при \ z | < 1, непрерывный при \ z | < 1, сходящийся
на |z| = l, но неравномерно на каждой дуге этой окружности.
Сначала построим ряд с единственной точкой неравномерной
сходимости. Пусть
п п
k=i ft=l
есть степенной многочлен, действительная часть которого при
z==eix равна Q [см. A.6)], и пусть Р* (x)=P(eix). В силу A.7),
t, и, применяя преобразование Абеля, получаем
\Sm(x; P")\<C2\x\'1 @<|х|<я), A.18)
где Ci и С2 — абсолютные постоянные. В частности,
s"(x; P*)I<C2& {k^1' 2? •••)- AЛ9)
Рассмотрим ряд
, nh) (ah=k'*, ^ = nk = 2k*). A.20)
Он равномерно сходится в круге | z \ < 1 к непрерывной функции
Ф(г). Так как любая частичная сумма ряда Тейлора %cnzn функ-
функции Ф(г) есть частичная сумма ряда A.20), к которой прибавле-
прибавлена частичная сумма некоторого члена akP(ze^k, Nk, щ), то из
неравенства A.18) мы немедленно получаем, что 11спе1пх сходится
равномерно вне любой окрестности точки х = 0, а из неравенства
A.19) — что 1>спегпх сходится при л: = 0. С другой стороны, Испе1пх
не сходится равномерно на | z \ = 1, так как сумма первой поло-
половины членов akP (zeih~x, iV&, nk) превосходит при z = e~i'k~1 про-
произведение фиксированной постоянной на aklnnk>C3 > 0.
Чтобы получить неравномерную сходимость на любой дуге
окружности |z| = l, мы поступаем так же, как при доказатель-
доказательстве A.16).
Расходящиеся ряды Фурье от ограниченных функций могут
быть также получены при помощи произведений Рисса (гл. V,
§7).

476 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
A.21) Теорема. Произведение Рисса
(Ц^) A.22)
определяет ряд Фурье, частичные суммы которого равномерно
ограничены и множество точек расходимости которого имеет
мощность континуума на каждом интервале.
В гл. V, § 7, было доказано, что частичные произведения
ры{х) произведения Рисса A.22) равномерно ограничены, откуда
следует, что произведение A.22) задает ряд Фурье ограниченной
функции/. Заметим, что любая частичная сумма ряда S [/] имеет
при некотором N вид Pjv+ (некоторая частичная сумма для
) Далее,
Так как pN+l — pN — полином порядка 10+ Ю2+ ... +
< 10^+2 и так как константы Лебега Ln имеют порядок 0Aпя)>
то отсюда следует, что частичные суммы для Pn+i—Pn имеют
порядок О (N)-0 (N'1)—О (I) равномерно по N. Так как pN рав-
равномерно ограничены, то же утверждение имеет место и для ча-
частичных сумм ряда S[/].
Пользуясь формулой 1 + z = ехр {г + О (| г |2)}, при | z \ малом
имеем
= exv U 2 Л cos 10ft*} -expFtf (*), A.23)
где последовательность {Fn} сходится равномерно к конечному
пределу. Так как ряд Е/Г1 cos 10fe.x; расходится на множестве ЕТ
имеющем мощность континуума (и даже второй категории) на
каждом интервале [см. гл. VI, теорема F.3), и особенно замеча-
замечания (Ь) и (с) к ней], и так как члены этого ряда стремятся
к нулю, то отсюда следует расходимость pN,-—a следовательно,,
и S[fl —на Е.
Наша функция комплексная, / = /1 + //2, но, как видно из фор-
формулы A.23), и Sf/J, и S [/2] расходятся на Е.
2. Дальнейшие примеры расходящихся рядов Фурье
Теорема Дини—Липшица [гл. II A0.3)] утверждает, что если
модуль непрерывности со F) функции f имеет порядок о {(In б)},
то ряд S [/1 сходится равномерно. Те же рассуждения показыва-
показывают, что если со F) = О {In б)}, то Sn(x; f) равномерно ограни-
ограничены. Однако имеет место следующая теорема:

2. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 477
B.1) Теорема. Существуют две непрерывные функции f (х)
и g(x)—Jt(x), имеющие модуль непрерывности порядка О {(In б)}
и такие, что S[f] расходится в некоторой точке, в то время
как S [g] сходится всюду, но неравномерно.
Как и выше, мы определим f и g при помощи рядов A.8)
и A.9) и предположим, что выполнены равенства A.15). Мы зна-
знаем, что S [/] имеет конечное колебание в точке х = 0и что S [g]
сходится всюду, но неравномерно. Для доказательства неравенства
относительно со F; f) и со (б; g), скажем для первого из них,
возьмем 0<A<V2 и определим v = v (h) как наибольшее целое fe,
для которого 22 </г1. Разобьем сумму, определяющую f, на две
части fi и /2; последняя состоит из членов, индексы которых
превосходят v. Тогда, в силу A.7), имеем
2-fc=4C2-v-i<n^-. B.2)
v-M
Далее, по равенству A.4)
п
Q'(x, N, n) = —NQ{x, N,n) + 2sinN
\Q'\<NC+2n = nC для N = 2n, Cf =
{Мы можем также использовать лемму A3.16) гл. III.] В силу
теоремы о среднем,
= О B-v) = О {(In Л)}. B.3)
Так как \f{x + h) — f {х)\ не превосходит суммы левых частей B.2)
и B.3), то теорема B.1) доказана. Рассуждая так же, как в пре-
предыдущем параграфе, мы можем построить функцию / и g — J
с модулем непрерывности порядка О {(In б)}, такие, что S [f] рас-
расходится на всюду плотном множестве, a S [g] сходится всюду,
но неравномерно на каждом интервале. Также и функция Ф из
теоремы A.17) может быть сделана такой, что ее модуль непре-
непрерывности будет иметь порядок О {(In б)} на |z| = l.
Мы сейчас покажем, что в некотором смысле условия Дини
{гл. II, F.1)] не могут быть улучшены,
B.4) Теорема. Пусть задана непрерывная функция \i(t) > О,
такая, что \i(t)/t не интегрируема в окрестности точки t = 0.
Тогда можно найти такую непрерывную функцию /, 4mo\f(t)—
/(°)I(O для малых t, а ряд S[f] расходится при t=0.

478 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Пусть
t
Если Ш[%п1Ф0A) при /г—>оо, то можно найти такую не-
непрерывную функцию g(x), |g|<l, что интеграл от %n(t)g(t) по
( — я, я) неограничен при п—> оо [гл. IV, (9.11)]. Это означает,
что S[/], где f = g\i, расходится в точке 0. Так как мы можем
считать, что ц@) = 0, то |/(/)-/(<>) | = |/С) К И @-
Остается показать, что из наших предположений вытекает,
что Ш [%п] фОA). Мы это выведем из теоремы D.15) гл. II.
Положим в ней р (t) = | sin t | и а (/) = \i (t) -у- ctg -j-1 при 0 <
<6<|/|<я, а(/) = 0 в остальных точках. Обозначим соответст-
соответствующий интеграл, через 1п(ъ)- Так как Ш [%п\ >/п(е), то
Ит Ш Ы > Ит In (е) = Нт 1п (е).
Так как функция \i (t) -~- ctg -s-1 не интегрируема, то мы можем
сделать \\т1п(г) как угодно большим, полагая 8 достаточно ма-
малым. Это показывает, что Ш [%п\ —> °°- Теорема B.4) доказана.
Особенно интересен случай \х, (t) = о | Г In туг j | Г например,
[х (/) = ^ In туЛ Mn In ууг J для малых |/|j в связи с признаком
Дини—Липшица. Оказывается, что последний есть прежде всего
признак равномерной сходимости и что соотношение
при t->0
не обеспечивает сходимости S [/] в точке х0.
Это замечание может быть дополнено следующим образом.
Пусть / — непрерывная функция, у которой S [/] расходится в точ-
точке 0, причем /@) = 0, f(t) = o{(ln\t\y1}. Пусть ft(t)=:f(t)f
/2@=0 при 0<*<я nfl(t) = O1 f2(t)=f(t) при -я</<0.
Так как /=/^ + /2, то отсюда вытекает, что или S[/i], или S[/2],
скажем первый, расходится в точке ^ = 0. Пусть [а, Ь] = [ — я/4,
0]. Функция fi равна нулю на [а, 6], и, следовательно, заведомо
ее модуль непрерывности там имеет порядок о {(In б)}. Более
того,
1
та/с что fi(x + t) — fi(x) = o{(ln\t\)'1} равномерно на ^
Тем не менее S[/j] расходится в конце отрезка [а, Ь]. Следова-

2. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ФУРЬЕ 479-
тельно, в теореме A0.5) гл. II равномерная сходимость на [а, Ь\
не имеет места, даже если мы дополнительно предположим, чта
f(x + t)-^-f(x)=o{(ln\t\)~1} в концах отрезка [а, Ь].
Мы знаем, что ряды Фурье с коэффициентами порядка 0{\1п)
сходятся во всех точках, где они суммируемы методом (С, 1).
Ряды Фурье непрерывных функций с такими коэффициентами схо-
сходятся равномерно. Мы сейчас покажем, что условие ОA/п) не
может быть заменено более слабым.
B.5) Теорема. Пусть задана функция %(и),
стремящаяся к-\-оо вместе с и. Тогда мы можем найти две не-
непрерывные функции f (х) и g (х) = f (х) с коэффициентами Фурье
порядка О (% (п) - п'1), обладающие следующими свойствами:
(I) S [f\ расходигйся в некоторой точке;
(II) S[g"]=S[f] сходится всюду, но неравномерно.
Пункт (I) показывает, в частности, что теорема A.26) гл. III
не сохраняется, если мы ослабим условие, заключающееся в том,
что члены ряда имеют порядок ОA/п). Заменяя, если это необ-
необходимо, х(и) на %i{u) = mi%{v), мы можем предположить, чта
% (и) возрастает.
При доказательстве (I) мы немного изменим полиномы Q, ис-
используя вместо них полиномы
Q(x; N, п, m)=2smNx^iS-^^ @<tn<n<N), B.6)
т
которые равномерно ограничены и содержат лишь члены, порядки
которых заключены между N — п и N -\-п. Сумма членов, поря-
порядок которых не превосходит N, имеет в точке х=0 значение
Поэтому
где
если
мы
Nh
2-
m
ПОЛОЖИМ
/ \X) — Zih
• i + nk i <
> 5
m
< Nf
и
(x;
- = lr
Nh,
m
Пк:
In
» mk),
B.7)
то, как и в примере, рассмотренном выше, S [/] будет расходить-
расходиться при x = 0. Надо только показать, что при надлежащем выборе
Nk, nk, mk мы можем добиться оценки
для коэффициентов (при косинусах) функции /.

480 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Так как наибольший по модулю коэффициент в выражении
Q (x\>Nb, nk,mk) есть ml1 и порядок членов заключен между Nk ± nk,
то наше требование будет выполнено, если
•или, полагая Nk — nk=bk, если
lr*Bnh + 6h)-mll = O(x{6h)). B.8)
Предположим, что числа Nu nu ти ..., Nk-u nk-u mk-i Уже
определены. Мы выбираем число Qk > 0 так, чтобы In q& > &2,
затем выбираем целое число 8& > 0 так, чтобы
k-*Qh<X@k), Nb-t + nk-i < 6ht B.9)
и, наконец, выбираем тк так, чтобы
k-4>h-m?<t(bh). B.10)
Положим
и покажем, что имеют место условия B.7) и B.8). Из неравен-
неравенства \nQk>k* и второго условия B.9) вытекают неравенства B.7).
Определение nk, первое неравенство B.9) и неравенство B.10)
приводят к условию B.8). Первая часть теоремы B.5) доказана.
Часть (II) получается аналогично, если вместо Q использовать
сопряженный полином Q, получаемый из полинома B.6) при
замене sinNx на — cos А/л;. Та же идея, что и при доказатель-
доказательстве теоремы A.16), приводит к непрерывным функциям с коэффи-
коэффициентами порядка О {%{п)-п~1), ряды Фурье которых расходятся
на плотных множествах, или сходятся всюду, но неравномерно
на любом интервале.
3. Пример ряда Фурье, расходящегося почти всюду
C.1) Теорема А. Н. Колмогорова. Существует такая
функция / б L, что S [/] расходится почти всюду.
В § 4 мы покажем, что существует такая функция /, что
S [/] расходится всюду. Однако доказательства этого результата
значительно труднее, и мы предпочитаем изложить его отдельно.
C.2) Лемма. Существует последовательность неотрицатель-
неотрицательных тригонометрических полиномов /п, свободные члены которых
равны -у и которые обладают следующими свойствами:
для каждого п найдется число Ап и множество ЕпС1[0, 2я],
такие, что
(I) Лл->оо;

3. ПРИМЕР РЯДА ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 481
(II) |?л|->2я;
(III) если х?Еп, то для соответствующего 1=1Х
\St(x; fn)\>An. C.3)
Эта лемма представляет собой главную часть в доказательстве
теоремы C.1). Принимая ее временно без доказательства, заме-
заметим только, что если неравенство C.3) должно иметь место на
«большом» множестве точек х, то / обязательно должно зависеть
от х. В самом деле, из предположения леммы C.2) вытекает, что
2я
V fndx = n и, таким образом, в силу теоремы F.8) гл. VII, инте-
2Я - *
грал \ \Sm(x; fn)\^2dx равномерно ограничен по я, т. Это пока-
b
зывает, в силу [1], что мера множества точек, где имеет место
неравенство C.3) при фиксированном /, стремится к нулю при
п —> оо.
Выведем теорему C.1) из леммы C.2). Пусть порядок поли-
полинома fn будет vn. Мы можем предполагать, что / в (III) удов-
удовлетворяет условию l</<vn. Пусть последовательность номеров
{tik} возрастает настолько быстро, что
Полиномы fnk(x) — 1/2 имеют свободные члены, равные нулю. Сле-
Следовательно, если номера qk растут достаточно быстро, то порядок
полинома fnk (qkX) — V2 меньше, чем порядок самого младшего
отличного от нуля члена из fnh+i (Qh+iX) — V2; в частности, поли-
полиномы fr,h (qux) — V2 не имеют подобных членов.
Положим
fw-l '*"?-": ¦ (з.4)
ft=l Ank
Так как
2я 2я
2 Ап1^ \ | fnk (qkx) -1| dx< ^ А-Ч* \
о о
то ряд C.4) сходится (абсолютно) для почти всех х и его частич-
частичные суммы по абсолютной величине мажорируются интегрируемой
функцией; в частности, / интегрируема. Далее, легко видеть, что
ряд S [f] может быть получен формальным сложением рядов
31 А. Зигмунд, т. I

482 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Фурье для отдельных членов ряда C.4), т. е. последовательным
выписыванием полиномов фд = AZ^2 | fnk (Яи*) — -^\ .
Пусть Шн — такое множество точек х, что xqh?En^ очевидно,
\%k\=z\Enk\. В силу (III), в каждой точке х?Ши некоторая ча-
частичная сумма функции фй(я), т. е. некоторый конечный отре-
отрезок из членов S [/], превосходит по модулю (Л^ — у j Ап^2. Так
как последняя величина стремится к + с» вместе с k, то отсюда
следует, 4To'S[/] расходится в каждой точке х, принадлежащей
бесконечному числу Шн- Так как |^|~>2я, то S [/] расходится
почти всюду. Точнее, {Sn (x\ /)} неограничены для почти всех х.
В предшествующих рассуждениях, отправляясь от заданных
полиномов fnk(x)i мы образовали полиномы ф^(х), не имеющие
подобных членов. Этого же можно добиться и при умножении
fnk (x) на е^ъ*. Положим
g(x) = ^ei^xfnk(x)A-1k/2. C.5)
Выбрав натуральные числа Пи так же, как и выше, мы берем
в качестве \ik положительные целые числа, растущие настолько
быстро, что \ih + vnk < Hk+i—vnfe+1 при всех k. Тогда члены ряда
C.5) представляют собой (комплексные) полиномы без подобных
членов, которые, если выписать их полностью, дадут S [g] в комп-
комплексной форме. Комплексная форма S [g] содержит только einx
с п > 0. Отсюда следует, что S [#]-~РяД степенного типа. В каж-
каждой точке множества ?Пд некоторый конечный отрезок членов
ряда S [g] превосходит по модулю AnJ АЦ* = Л^. Следовательно,
S [g] расходится в каждой точке, принадлежащей бесконечному
числу Еп , т. е. расходится почти всюду, и мы получаем сле-
следующий результат:
C.6) Теорема. Существует ряд S [g] степенного типа, рас-
расходящийся почти всюду.
Действительная и мнимая части S[g] — ряды Фурье. В гл. XIII,
E.1), будет показано, что для каждой f?L множество точек
сходимости рядов S [/] и S [/] совпадает с точностью до множе-
множества меры нуль. Поэтому теорема C.6) показывает, что суще-
существует действительная функция f?L, такая, что и S[f], и S [/]
являются рядами Фурье и оба эти ряда расходятся почти всюду.
Любопытно, что, как мы вскоре увидим, этот результат не может
быть получен при помощи построения C.4).
Возвратимся к доказательству леммы C.2). Положим
4тс/ / • а 1 \

3. ПРИМЕР РЯДА ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ
483
Полиномы fn определяются как среднее ядер Фейера
U (X) = i- {Kmi (X - а,) + Кт2 {Х-02)+...+ Ктп (* ~ Од)},
где целые числа rrij таковы, что
nii > /г4, rrij+i > 2тj, 2mj + 1 кратно 2п+1.
Очевидно, fn > 0 и свободный член fn равен 1/2-
Имеем
i
4
C.7)
и так как
то мы также имеем
Пусть
Ai = (ai-!, аО, Л; = (а4 —л, а, + д-2) (/=1, 2, ..., п).
Оценка /Ст@=О(тГ2) вместе с тг>п* показывает, что
Km. (л; — а,-) равномерно ограничены вне Д{, и, таким образом,
вклад первых двух членов справа в последней формуле для
Smj (х\ fn) меньше некоторой абсолютной постоянной А вне 2 д^:
j(x; fn)
=1, 2, ..., n\
Заметим, что так как
а
C-8)
/я = 0 (mod2jr),
то
sin
T ) (*—аО sin
2 sin у (дс—at)
2 sin - (jf—at)
31*

484
ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Предположим теперь, что xgA,, 1</</г — У п. Поскольку
2mj+l, то множители при Dm. в неравенстве C.8) не
меньше г/2, и так как все знаменатели 2 sin у (х— щ) имеют по-
постоянный знак при />/, то получаем
1
n
i—tUj ,
1
" 2л
1
>i
5m.(JC
sin м
sin м
sin fi
al)
Щ, 1
Щ +
4
2
1
1
l
jx
>
sin (
2я +
4я
(-1
("
Inn
k=2
+ ln(n
1 ^
/г ^
C
для достаточно больших п\ таким образом, в точках, не принад-
принадлежащих 2 А], для которых
sin
AпяI/2 '
\ > (In п)Уг-А = An.
C.11)
имеем
\Smj(x\
Множество точек х из @, 2я), где не выполняется неравен-
неравенство (ЗЛО), имеет меру порядка Q{(lnn)~1/2}. Поэтому если из
интервала @, a[n_ni/2]) устранить точки, где неравенство C.10)
не выполнено, и точки, принадлежащие 2 ^и и обозначить
остаток через Еп, то будем иметь
2я —| Еп\=0{Aпп)
Для каждого х g Еп и соответствующего / = / (х) имеем неравен-
неравенство C.11). Лемма C.2) доказана.
Этим заканчивается доказательство теорем C.1) и C.6).
Мы знаем [гл. II, A1.9)], что для любой /б L Sn(x\ f) =
— о (Inn) для почти всех х. Возможно, что этот результат не
усиляем, т. е. для любой последовательности положительных
чисел Хп=о(\пп) существует такая функция f?L, что для почти
всех точек х имеем Sn (x\ f) > кп для бесконечного числа номе-
номеров п [ср. с теоремой A.2)]. Эта проблема не решена1).
*) Эта проблема недавно решена положительно Штейном (Ann. Math.,
74, № 1 A961)).— Прим. ред.

3. ПРИМЕР РЯДА ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 485
C.12) Теорема. Существует функция f$L, такая, что
[Svnlf]}'расходится почти всюду.
Рассмотрим функцию /, определенную равенством C.4), и за-
запишем в доказательстве леммы C.2) /я" вместо т^. Доказатель-
Доказательство теоремы C.1) и леммы C.2) показывает, что {Sivfe [/]} расхо-
расходится почти всюду, если {Nk} состоят из чисел
(*=1, 2, ...; 1</</1Л-1^Л), C.13)
и достаточно показать, что при соответствующем выборе nk и q^
все Nk будут степенями 2.
В конструкции функции C.4) {пъ}— некоторая последователь-
последовательность, растущая достаточно быстро, причем мы можем выбрать
в качестве /г& степени 2; после того как последовательность чи-
чисел nk выбрана, выбираются qk, достаточно быстро растущие. Для
каждого числа nk мы можем выбрать mj = m]h произвольно, при
условии, что они растут достаточно быстро и число 2mj+l де-
делится на 2/г&+1. Далее, если nk=2v, то число 2/Я/ + 1 делится
на 2V+* + 1 при условии, что mj = 2^ и \i + 1 — нечетное число,
кратное v + 1. Следовательно, все rrij могут быть взяты как сте-
степени 2, и, выбирая qh такими же, мы можем сделать все числа
C.13) степенями 2. Этим доказательство C.12) заканчивается.
В гл. XI, § 4, мы покажем, что если /?LP, p> I, TofS^f/l}
сходится почти всюду при условии, что Xk растут не медленнее
геометрической прогрессии, -4±^>'к> 1', этот результат имеет
место и при р = 1, если S[Л— ряд степенного типа. Теорема C.12)
показывает, что требование того, чтобы S-[/] был рядом степен-
степенного типа, здесь существенно. Она также показывает, что C.4)
не может дать функции f g Lp, р > 1, с S [/], расходящимся почти
всюду (тот факт, что сумма ряда C.4) не принадлежит Lp, может
быть также проверен непосредственно; для этого нужно показать,
что интеграл по @, 2л) от р-й степени общего члена ряда C.4)
стремится к + оо). Имеет место даже более сильное утверждение:
для функции f C.4) S[f] не есть ряд Фурье1). Действительно,
в противном случае S [/] должен быть действительной частью от
ряда S [g] степенного типа, и, таким образом, последовательность
S2" [Л должна бы была сходиться почти всюду, что при соответ-
соответствующем выборе чисел пъ, и q^ неверно.
Из вышесказанного следует, что для g из C.6) ряд S2« [g"]
сходится почти всюду. Однако g все же не принадлежит ни од-
одному Lp, p> 1, и проблема существования функции /gLp,p> 1,
с расходящимся почти всюду рядом Фурье остается нерешенной.
См. Ульянов П. Л., УМН, 12 A957), вып. 3, стр. 100. —Прим. ред.

486 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
C.14) Теорема Марцин кеви ча1). Существует такая
функция /?L, что {Sn(x\ /)} ограниченно расходится почти
всюду*).
Доказательство основано на некотором уточнении формулы
C.4). Рассмотрим те же полиномы fn, что и выше, выберем воз-
возрастающую последовательность чисел щ так, что 2п сходит-
сходится, и положим
2 ' C.15)
где числа qu выбраны так, чтобы полиномы справа не имели
подобных членов. Удобно предположить, что ^/т делится на qh.
Этот ряд сходится почти всюду и f*?L.
(I) Частичные суммы S [/] ограничены почти всюду. В силу
сходимости ряда C.15) почти всюду, достаточно показать, что
для почти всех х частичные суммы отдельных полиномов ряда
C.15) ограничены.
Взяв п достаточно большим, положим
aj-(n\nn)-\
Через С будем обозначать различные положительные абсолютные
постоянные. Сначала покажем, что для всех р и п
\Sp(x; Гп)\<С при xtUn. C.16)
Оценка Dp(x) — О (х-1), имеющая место при | х |< я, равномерно
пори равенство Кт = (т + 1 )-1 {А) + Dt + ... Dm} показывают,
что частичные суммы функций Km (x) имеют также порядок О (х-1)
при |jc|<jt равномерно по т. Применяя эту оценку к частичным
суммам полиномов /я, находим, что
15(*; ^I< [ч+ +
7ГПГ7Г [пг=
Далее, если дс^А*, то \x — aj-i\-1 |x — ay-[-1 одновременно меньше
п\пп, а сумма оставшихся в квадратных скобках членов мажо-
х) Эта теорема показывает, что поведение частичных сумм отличается,
например, от поведения разностных отношений функций. Действительно, хорошо
известная теорема Данжуа (см. Сакс, Теория интеграла, стр. 270) утверж-
утверждает, что если числа Дини функции ft конечны в каждой точке множества Е,
то функция дифференцируема почти всюду на Е.
2) То есть —oo<limSn(a, f)<lim5^(^, /)<oo.—Прим. ред.

3. ПРИМЕР РЯДА ФУРЬЕ, РАСХОДЯЩЕГОСЯ ПОЧТИ ВСЮДУ 487
рируется выражением Сп A + -^+ ... + — J с^Сп Inn, Это до-
доказывает неравенство C.16).
Обозначим дополнение к множеству Un через Vn и множе-
множество точек х, таких, что Ць*>$Упк,— через Wnk. Так как
2 2
I W \\V\<
то 2|\FnJ<oo. Это показывает, что почти все точки х0 не со-
содержатся в Wnk с достаточно большими k, т. е. ^х0 содержится
во всех [/ЛЛ с достаточно большими k. В силу неравенства C.16),
\Sp(x0; fnk (gkx)) I < С для почти всех л:0 и достаточно больших &.
Это показывает, что частичные суммы полиномов, стоящих справа
в равенстве C.15), ограничены почти во всех точках х, т. е. (I)
доказано.
(II) S [/] расходится почти всюду. Предположим, что ту- удо-
удовлетворяют тем же условиям, что и выше, за исключением одного:
на т^ мы накладываем более слабое условие, т^п3.
Оценка Кт (х) = О (т-гх-2) показывает, что при x?Un имеем
Кт{ (x-aj) = О {ml1 (x-aj)-2} = 0 (п-11п» /г).
Следовательно, константа А в неравенстве C.8) теперь имеет
порядок О (/г1 In2 я), и из неравенств C.9) мы видим, что
Smj(x; /n)l>i|sin(m,+ l)x|-C^ C.17)
при х?А*, 1</]
Обозначим через Hj множество точек из Д*, для которых
Так как mj \ А* \ велико, то | Hj \ > Э |Д| |, где Э — положительная абсо-
абсолютная постоянная, и, таким образом, для Еп — 2 Hj получаем
Пусть теперь Ши — множество точек х, таких, что Цъх б ЕПк.
Тогда
C.18)
Если xo?<f%k, то qkXo?Enk и из неравенства C.17) выводим, что
при соответствующих m7- = mj (x0, k) и при достаточно больших

488 гл. viii. расходимость рядов фурье
k имеет место неравенство
I Squm. (x0; f*k (qhx)) | = | Sm. (qkx0; /*ft (x)) \ > ±- Cl^>C> 0.
C.19)
В силу неравенства C.18), множество % точек, которые при-
принадлежат бесконечно многим %к, имеет меру не менее 2jt9. В каж-
каждой точке % бесконечно много членов ряда C.15) имеют, в силу
неравенства C.19), частичные суммы, превосходящие С по абсо-
абсолютной величине. Отсюда следует, что S [/] расходится в каждой
точке %. Пусть D — множество точек расходимости ряда S[/].
Мы только что видели, что |D|>2jt0. Но так как qk+i имеет
делителем qk, то D имеет произвольно малый период, и, таким
образом, будучи измеримым, должно иметь меру 0 или 2я. Отсюда
следует, что |D| = 2jt и (II) доказано.
Теорема C.14) следует из (I) и (II).
C.20) Теорема. Существует S[g]— ряд степенного типа,
который ограниченно расходится почти всюду.
Мы будем кратки. Положим
где 2 1п~1/2& < со, a \ik выбраны так, чтобы полиномы el^kxfnh
не имели подобных членов. Доказательство того, что Sp (x\ g)
ограничены, аналогично доказательству (I); так как не только
частичные суммы для Km(x)i но и частичные суммы для Кт(х)
имеют равномерно порядок О (л:), то частичные суммы для поли-
полиномов ег^хКт (х) (выписанные в комплексной форме) имеют равно-
равномерно порядок О (х-1); дальнейшие рассуждения проводятся ана-
аналогично тому, как это было сделано выше. При доказательстве
того, что S [g] расходится почти всюду, мы уже не можем ут-
утверждать, что множество D точек расходимости имеет произвольно
малый период. Тем не менее очевидно, что для каждого интервала /
Следовательно, если Е — множество точек, принадлежащих бес-
бесконечному числу Enk, то |/?|>|/|0. Отсюда следует, что |?| =
= 2л и, таким образом, |D| = 2jt, так как DzdE.
4. Всюду расходящийся ряд Фурье
D.1) Теорема А. Н. Колмогорова. Существует функ-
функция /?L, такая, что S [/] всюду расходится.
Нам потребуется следующая лемма.

4. ВСЮДУ РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД ФУРЬЕ 489
D.2) Лемма. Существует последовательность неотрица-
неотрицательных тригонометрических полиномов Fu F2, ..., Fn, ... по-
порядков v4 < v2 < ... со свободными членами, равными 1, обладаю-
обладающих следующими свойствами:
каждому п мы можем сопоставить число Ап, множество
Епа[0, 2л] и целое число %п, такие, что
(I) Л„^со;
(II) EiCZE2d..., 2?„ = [0, 2л];
(III) Яп^со;
(IV) для. каждого х?Еп существует k—k(x), для которого
^7i<^<vn, и такое, что
Sk (x\ Fn) > Ап.
Предполагая на время лемму доказанной, докажем теорему D.1).
Пусть п4 = 1, и предположим, что пи п2, ..., ni-i уже опре-
определены. Выберем пг так, чтобы
(а) К{> vn^, (b) Ащ >4ЛП._1, (с) АЦ* > vn._r
Определив {пг}, положим
оо
f /дл __ 'V д—г/2р (х) D 3)
Из условия (Ь) вытекает, что 2^/^1/2 < °°» так что / W6 L. Пусть
xG/7^. Имеем / = ^-1-у + ш, где t? =A~}^Fnv и — сумма членов
ряда D.3), предшествующих v, a w — сумма членов, следующих
за v. Таким образом,
Sp(x\ f) = Sp(x\ u) + Sp(x\ v) + Sp(x\ w). D.4)
В силу (IV), существует k=k(x, I), для которого ^n.<fe<vrl.,
и такое, что
Sk(x; у)>Лу.2. 1
В силу } D.5)
Sk(x\ u)=u(xo)>O. J
Так как коэффициенты любой интегрируемой функции g по модулю
не превосходят n^Wlg], т. е. Sk [g]< Bk + 1) п-Ш [gU то (b)
и (с) влекут за собой неравенство
\Sh(x\ и
-L +...)< ША~}^ < 12vn^-v2i < 12.

490 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Это неравенство вместе с D.4) и D.5) приводит к неравенству
Sk(x; f)>Aj-12.
Так как каждая точка х g [0, 2я] принадлежит всем Ещ с доста-
достаточно большими i, то S [/] расходится всюду.
Переходим к построению Fn.
Зафиксируем и, положим
^ (/=0. Ь 2,..., 2л)
(так что х2у играет роль предыдущих uj) и обозначим через I)
интервал (Xj — б, Xj + б), где б — фиксированное число, меньшее
я-Bп+1)~\ будет определено далее. Интервал (#у + б, xj+i — 6)
обозначим через //.
Fn определяется как сумма двух полиномов
где fn того же типа, как и в предыдущем пункте:
п
М*) = 1Г 2 *»ч <*-*«>' D-6)
1=1
хотя Шг не те же самые, что выше; fn неотрицательны и имеют
свободные члены, равные V2. Будет показано, что соответствующие
частичные суммы для fn могут быть сделаны большими в каждой
точке 2^7- Это не верно для x^^I), и, для того чтобы обойти
эту трудность, мы рассматриваем Fn=fn-\-q)n.
Обратимся сначала к полиному qv Мы хотим, чтобы он был
неотрицательным и со свободным членом, равным г/2 (так что
Fn = fn-\-<pn будет неотрицательным и со свободным членом, рав-
равным 1), и чтобы он был большим, скажем фп00>я, на всех
интервалах I]. Это возможно, если б достаточно мало, например
при
()*), D.7)
где т достаточно велико. Обозначим порядок ф71 через т0.
Уменьшая в случае необходимости б, мы можем предполо-
предположить, что
Dmo{x)>O для *6/;. D.8)
Зафиксировав б и фд, мы приступаем к построению полино-
полиномов fn D.6), где mo<mi< т2< .... Вскоре будут определены
и rrij. Если rrij^k < nij+u то

4. ВСЮДУ РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД ФУРЬЕ 491
n k
,1 XI ( \ . ^ГУ t7li~
и так как /п; — /+ 1 = (mi — k) + (& — / + 1) и Km>0, то
* fl ^™» /72^ —j— 1
и, таким образом,
при условии, что 2k-\-l кратно 2я+1.
Покажем теперь, что если mt < m2 < ... < /Яп растут доста-
достаточно быстро, то каждому х ? /2у- + /2</+i соответствует такое целое
k = /fex, что
(a) 2&+1 кратно 2/2+1,
(b) /л,-<& < Vamj+i,
(c) sin(^ + 1/2)A:<-1/2.
Предположим временно, что это доказано. Тогда для такого k
неравенство D.10) дает
и если / < п —• У п , то
S*(x; fn)> С In л. D.11)
Подытоживая все результаты, приходим к следующему заклю-
заключению относительно Fn = fn-\-фп: если хб hj + /2У+1 и 0< / <
</г — Уя, /ло существует целое число k, удовлетворяющее усло-
условию 1/2m7-+1 > k>mj>m0 и такое, что
Sfe(*; Лг)>С1п/г. D.12)
Действительно, имеем
Sk(x; Fn)=Sk(x; fn) + Sk(x; yn)=Sk(x; fn) + yn>C\nn,
где k определено выше.
Рассмотрим теперь Sp(x; Fn) в интервалах I] и покажем, что
Smo(x;Fn)>±n при х?1) (/= 0, 1, ..., 2и), D.13)
если я достаточно велико.

492 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
В равенстве
Sm0 (х; гп) = Smo (х\ fn) -j- Smo {х\ фп)
второй член справа превосходит п при х g 2 ^* Если мы пока-
покажем, что
Smo(x; fn)>Clnn при x^S^i (л > 1), D-14)
то будем иметь
Smo(x; Fn)>n — Clnn > -jfiy
и неравенство D.13) будет установлено.
. Пусть x?l'i при некотором фиксированном /; возвращаясь
к неравенству D.9), положим k = m0, / = 0. Легко видеть, что
если jcg/ь то расстояние между х и х2г не меньше я|/ — 2/1 х
хB/г+1). Отсюда имеем для / нечетного
Если Z четно, то x — XiZl'o и, в силу D.8), Dmo(x — xi)>O\ сле-
следовательно,
п
^7По (^» /л) -^ 2n ^J 1 / 2f I ^ С in n.
Таким образом, мы доказали неравенство D.14), а также и D.13).
Обозначим через Еп отрезок 0<х<4д (п — Уп )-B/г + I).
Из неравенств D.12) и D.13) видно, что если п достаточно велико,
то для каждого х?Еп имеем Sk (x\ Fn)>Clnn, где k>m0. Мно-
Множества ЕП1 числа Ап=С1пп и индексы Хп = то( = т^) удовлетво-
удовлетворяют условиям леммы D.2).
Остается показать, что если т\ растут достаточно быстро, то
для каждого х? Izj + hj+i, / = 0, 1, ..., п, мы можем найти
целое А, удовлетворяющее условиям (а), (Ь) и (с), указанным выше.
Достаточно показать, что если m0, ml7 ...,т7- зафиксированы, то
мы можем найти такое целое число т), что (а) и (с) имеют место
при некотором k = &х, расположенном между т7- и mj; действи-
действительно, тогда мы можем взять в качестве my-+i любое целое число,
большее 2т).
Зафиксируем / и положим 2^-[- 1 = q B/г-f-1), где q —любое
(нечетное) целое число, и
2/!+1)-11 где 0<Э
Тогда
— sin (k + V2) х = sin (k + x/2) (хгу+2 — x) =

4. ВСЮДУ РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД ФУРЬЕ 493
и х находится в- I2j + hj+i тогда и только тогда, когда 0 лежит
в 5 = (r|, V2 — т)) + A/2 + 'П» 1 — Л) 1 гДе Л положительно, меньше1^
и зависит только от б и п (точнее, от дроби 6/2я + 1). Нам
достаточно показать, что если q0 нечетно и фиксировано, то для
любого Q?S существует нечетное q = q@)>Qo, такое, что
В самом деле, тогда, в силу непрерывности, последнее неравенство
выполняется на некотором интервале, содержащем 0; пользуясь
теоремой Гейне — Бореля, мы устанавливаем существование конеч-
конечной верхней грани множества таких q@).
Пусть J = f-r2 > "J2" ) • Покажем, что если 0 ? 5, Го бесконечно
много чисел вида 0, 30, 50, ... попадают в J. Для 0 иррацио-
иррационального это следует из того, что последняя последовательность
равномерно распределена (см. стр. 129). Предположим теперь, что
Q=p/q рационально и несократимо, и рассмотрим случаи (а)
q нечетно, (b) q четно.
В случае (a) q чисел Qop, (ро + 2)р, ..., (q0 + 2q — 2) p попарно
несравнимы по mod q, так "что, разделив их на q, получим дроби
О, \lq, ..., (q—\)lq в качестве. дробных долей. Если q > 3, то
по крайней мере одна из дробных долей должна попасть в </, так как
| J | == — ; если q = 3, то J содержит дробь -g-. В случае (b) q четно,
следовательно, р нечетно. Тогда q/2 чисел Qop, (Q0 + 2)p,
(Qo + 4)p, ..., (Qo + <7 — 2)p нечетны и несравнимы по modq. Сле-
Следовательно, при делении их на q мы получим в качестве дроб-
дробных долей все числа \/q, 3/q, ..., (q— \)/q. Если 2/q < -~-, т. е.
о
если ^/ > 6, то по крайней мере одна из этих дробей находится
в /; при 9=4 и q = 6 проверяется, что -j- и -^ лежат в J С слу-
случай д = 2 должен быть исключен, так как -^ не лежит в 5 j . Тео-
Теорема D.1) доказана.
В силу теоремы C.14), мы можем спросить, существует ли ряд
S[f], конечно колеблющийся в каждой точке. Если это верно, то
этот результат гораздо глубже, чем теорема D.1), и доказательство
его нуждается в совершенно иных методах. Действительно, если
Sn(*; f)=O(l) в каждой точке х, то существует интервал (а, Ь),
в котором Sn(x; f) равномерно ограничены [гл. 1, A2.3)] и, стало
быть, / также ограничена. Следовательно, заменяя f нулем вне
(а, Ь), мы получаем функцию ft, ограниченную и такую, что ряд
S [/i] расходится (ограниченно) в каждой внутренней точке интер-
интервала (а, Ь). (Тогда легко получить ограниченную функцию f2
с S [/2Ь расходящимся всюду.) Однако построение, приведенное

494 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
выше, дает расходимость {Sn (х; /)} для индексов п = я*, стре-
стремящихся к бесконечности как угодно быстро, что заведомо невоз-
невозможно для ограниченных функций (гл. XV, § 4).
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. В теореме (8.9) гл. IV суммируемость (С, 1) не может быть заменена
обыкновенной сходимостью. Точнее, существует функция /? L и множество ?,
такие, что если JJ [/] проинтегрировать почленно по ?, то полученный ряд
расходится.
[Следствие из теоремы (9.13) гл. IV.]
2. В теореме G.2) гл. III А-суммируемость не может быть заменена
на суммируемость (С, 1). Точнее, существует функция F (х), имеющая конеч-
конечную (а следовательно, и конечную симметрическую) производную в точке
х = 0, но такая, что ряд S' [F] не суммируется методом (С, 1) при х=0.
я
[Проверить, что \ | K'n{t) | sin t dt ф О A). По теореме (9.11) из гл. IV
о
я
г»
существует непрерывная функция g (t) \ g (t) K'n(t) sin / dt Ф 0A). Поло-
Положить F(t) = g(t) sin /.1
3. Теорема (8.13) из гл. II утверждает, что в каждой точке *, в которой
/ имеет скачок d, члены v(bvcosvx—avsinvx) ряда S' [/] суммируются
к d/n методом первых логарифмических средних (гл. III, § 9). В этом резуль-
результате логарифмическое суммирование не может быть заменено суммированием
методом (С, 1). Точнее, существует такая непрерывная функция /(*), что
2 vbv ф О (л).
1
("Заметить, что [ \ D'n(t) | dt ф 0(п). 1
4. Ряд ио-\-щ-\- .. .+мп+ • • • называется суммируемым методом Бореля
или В-суммируемым к сумме s, если
оо
В(к) = е~% 2 snKn/n\ -> s при К -> оо,
где sn = u0-{-Ui-\- ... -\-ип. Показать, что
(I) если ряд сходится, то он В-суммируем к той же сумме;
(II) степенной ряд может В-суммироваться вне его круга сходимости, так
что метод В достаточно силен; тем не менее
(III) существует непрерывная функция / (*) с SI/L не суммируемым мето-
методом В в некоторой точке (Мооре [1]).
[(I) Применить теорему A.2) гл. III; (II) ряд l-|-z-j-z2+. • •» В-суммируем
для Rez< I; (III) достаточно показать, что константы Лебега, соответствую-

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 495
щие методу В, образуют неограниченную функцию. Эти постоянные равны
dt
и имеют порядок In X. Предложения (II) и (III) показывают, что из двух
методов В и (С, k), &>0, ни один не сильнее другого.]
оо
5. Пусть Вь (jc, f) = e~% 2 sn(x* f)№/n\—борелевские средние ряда S [/].
Показать, что в каждой точке х0, такой, что 0^=0 (/) (гл. II, § И),
и, в частности, в каждой точке непрерывности,
а,-1/»
\ /(*о + О -^- dt » О
при А, ~> оо.
6. Если [f(xo+t)—f(xo)]-\n | ^l -»> 0 при /->0, торяд S[/l В-суммируем
в точке л:0 к значению / (а;0) (Харди и Литтл-вуд [2]).
Применить предыдущий результат и заметить, что
п-1
7. Рассмотрим последовательность положительных чисел р0, Pi, P2, ¦••,
обладающих тем свойством, что
-...+рГ1-> оо, -^L-vO.
Ряд Uq-\-ui-\- ... с частичными суммами sn называется суммируемым методом
Вороного—Норлунда, соответствующим последовательности {pv}, или сумми-
суммируем N {pv} к сумме s, если
стремится к s при п -> оо.
Если РП=Л^, а>0, то мы получаем в качестве частного случая чеза-
ровский метод суммирования. Показать, что
(I) если ряд 2 ип сходится, то он суммируем N {pv} к той же сумме;
(II) если 0 < р0 <;/?!<; ... и если ряд 2 и\ суммируем методом (С, 1),
то он также суммируем N {pv} к той же сумме.
[Дополнительные сведения и литературу, касающуюся метода N {pv}, см.,
например, в книге Харди «Расходящиеся ряды».]
8. Пусть pv > pv+l -> О, PV -> 00. Для того чтобы метод N {pv} сумми-
суммировал S[/l к числу f (х0) в каждой точке х0 непрерывности /, необходимо

496 ГЛ. VIII. РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
и достаточно, чтобы последовательность
т
1
была ограничена.
[Детали см. у Хилла и Тамаркина [1, II] (или первое издание этой книги,
стр. 187); также Карамата [6].]
х 9^ Пользуясь полиномами A.4), показать, что для любой последователь-
последовательности положительных чисел еп -> 0 существует такая непрерывная функция /,
что I Sn @; /) I > еп In n для бесконечного числа номеров п [ср. с теоре-
теоремой A.2)].
/ 10у Пусть 0<а<1. Показать, что функция
[где Q определены формулой A.4)] принадлежит классу Ла и что | Sw@; /) —
— / @) | <> С^а In m для бесконечно многих т. Таким образом, множитель
Inn в теореме A0.8) гл. II не может быть опущен (Лебег [1]).
[Доказательство аналогично доказательству теоремы B.1). При а=1 / при-
принадлежит классу А*, но не классу Ai- Чтобы получить пример функции, при-
принадлежащей последнему классу, нужны иные рассуждения.]
11. Существует функция / ? L, обладающая следующим свойством: для
почти всех х можно найти последовательность q± < ^ <С ••• (вообще говоря,
зависящую от х), такую, что
(Это невозможно, если S [/]—РЯД степенного типа; ср. гл. XV, теоремы D.3),
E.10).]
[Доказательство аналогично доказательству теоремы C.1).]

ГЛАВА IX
Римановская теория
тригонометрических рядов
1. Общие замечания. Теорема Кантора —Лебега
В предыдущих главах мы имели дело почти исключительно
с рядами Фурье. Теперь мы докажем несколько свойств тригоно-
тригонометрических рядов
оо
а + 2 (апcosnx + bnsinпх) A.1)
71=1
с коэффициентами, стремящимися к нулю, но в остальном совер-
совершенно произвольными. Риман нашел первые фундаментальные
результаты в этом направлении, и они, а также их последующие
обобщения составляют то, что теперь называется римановской
теорией тригонометрических рядов. Главные пункты теории — это
проблема единственности и проблема локализации, к изложению
которых мы сейчас приступаем.
В этой главе мы предполагаем, если не оговорено противное,
что коэффициенты рассматриваемого тригонометрического ряда
стремятся к нулю. Напомним обозначения
* п=0
оо
(ап sin nx — bn cos пх)= 2 Вп{х),
An(x) = Qncos(nx + an) (Q2n = a2n + b27lr Qn>0).
A.2) Теорема Кантора —Лебега. Если Ап(х)—>0 на
множестве Е положительной меры, то ап, Ьп—>0.
Если Qn не стремится к нулю, то существуют последователь-
последовательность щ < п2 < ... и е > 0, такие, что Qnk > e для всех k. От-
Отсюда и из соотношения Qn cos (nx + ап) --> 0 на Е видно, что
32 А. Зигмунд, т. I

498 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
n ) —->0 на Е. Тем более, cos2 (ядх-f an )—>0 на Е+
Члены последней последовательности не превосходят 1, так что
по теореме Лебега об интегрировании ограниченных последова-
последовательностей интеграл
[ cos2 (nkx + ап) dx
Е
стремится к нулю, в то время как по теореме [4.5] гл. II он
стремится к 1/2\E\t Полученное противоречие доказывает теоре-
му A.2).
A.3) Теорема. Если ^]Ап(х) сходится на множестве Е
положительной меры, то ап—>0, Ьп—>0. Общее, если ^Ап(х)
суммируем методом (С, k), k > — 1 на множестве Е положительной
меры, то an = o(nk), bn = o(nh).
Докажем второе утверждение. Из предположений следует, что
ann~h cos nx -\- knn~h sin nx —> 0 (х ? Е),
[гл. III, теорема A.22)], так что по теореме A.2) апп~к—>0>
A.4) Теорема. Если Ап(х)=^0A) для каждого х?Е, \Е\>
>0, то ап = 0(\), Ьп = 0(\). Если (С, к)-средние ряда У]Ап(х)
ограничены на Е, k > — 1, | Е \ > 0, то ап = О (nh), bn = 0 (rr).
Доказательство предоставляем читателю.
A.5) Теорема. Пусть %{п) — положительная последователь-
последовательность, монотонно стремящаяся к нулю. Предположим, что
2 Ап (х) сходится на Е, \ Е \ > 0, к сумме f (x) и что
для каждого х?Е. Тогда ап = о{% (п)}, Ьп = о{%(п)}.
Результат сохранится, если всюду «о» заменить на «О».
Рассмотрим случай «о» и положим rn(x) = f (х) — sn(x). Тогда
Ап (X) = Гп-! (X) - Гп (X) = Q {% (П)} + О {% (П + 1)} - О {% (П)}
на Е и заключение следует из теоремы A.2).
Теорема A.2) утверждает, что^если |ап| + |6п| не стремится
к нулю, то Ап(х) не может стремиться к нулю, за исключением,,
быть может, множества меры нуль. Мы исследуем природу этого
множества.
Множество Е называется множеством типа Н, если сущест-
существует последовательность положительных целых чисел щ < п2 <
<я3<... и интервал Д, такие, что для каждой точки х?Е ни?

1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. ТЕОРЕМА КАНТОРА — ЛЕБЕГА 499
одна из точек
nkx (k = \, 2, 3, ...)
не принадлежит Д (тос12я).
Замыкание множества типа Н есть множество типа HL Мно-
Множество типа Н неплотно.
Вспоминая определение равномерного распределения последо-
последовательности чисел (гл. IV, § 4), мы видим, что если Е есть
множество типа Н, то для соответствующей последовательности
{rik} и любого х ? Е последовательность tikX, взятая по mod 2ят
не будет равномерно распределена на [0, 2я], более того, не
только на некотором интервале число точек nkx будет меньшег
чем при равномерном распределении, но даже будет существовать
интервал, свободный от этих точек.
Приведем еще эквивалентное определение множества типа Н:
множество ?d@, 2я) имеет тип Н, если существуют целые
числа 0 < tit < п2 < ..., число а и число б < 1, такие, что
cos(ttftx + a)<6 для х?Е (А = 1, 2, ...)• (Г.б)
Множество типа Н можно построить следующим образом.
Обозначим через (х) дробную долю х:
{х)-=х — [х],
зафиксируем число d, О < d < 1, и число а и рассмотрим для.
каждого целого числа п > О множество Еп точек х, таких, что
/пх—а
Тогда для любой последовательности 0 < п^ < п2 <... множества
h = ЬП1ЕП2 .. . ЕПк ...
[возможно, пустое] имеет тип Н. Действительно, если х?Е, то*
х^Еп^ таким образом, пъх расположены по тос12я, на отрезке
|а, а + 2я^] и их нет внутри интервала А = (а + 2яс(, а + 2я).
Множество Еп точек х, удовлетворяющих условию A.7), состоит
из интервалов длины 2nd-n~1, разделенных интервалами длины
2яA — d)-^. Если мы отождествим точки, сравнимые, по mod2jt
(т. е. если мы будем рассматривать Еп на окружности единич-
единичного радиуса), то Еп будут состоять из п равных и равномерно
распределенных отрезков и |?п| =2яй — величина, не зависящая
от п и а.
Канторовское троичное множество С, построенное на [0, 2я],
есть множество типа Н, для которого
я, |я) .(jfe=l, 2, ...)•
32*

500 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Действительно, как легко видеть геометрически или вывести из
параметрического представления точек из С [гл. V, § 3], мно-
множество точек Зк~гх, х g С, совпадает с С, если их брать по mod 2я.
Такие же рассуждения показывают, что вообще любое совер-
совершенное множество с постоянным разбиением (|, 1— 2|, I) есть
множество типа Н, если |=l/qf, <7 = 3, 4, 5, ....
Полезны следующие замечания. Предположим, что в опреде-
определении множества типа Н мы сделаем Д зависящим от k\ т. е.
предположим, что для х?Е точки пкх, взятые по mod2n, не
попадают в интервал ДЛ = (аЛ, Ьь)- Тогда множество Е все еще
будет типа Н при условии, что длины Д& остаются больше неко-
некоторого числа т] > 0. Действительно, выбирая последовательность
kj так, чтобы ak. и bkj сходились, скажем, к а и 6, мы видим,
что Ь — а>у\ и что любой интервал Д', лежащий внутри (а, 6),
-обладает следующими свойствами: для достаточно больших /
и любого х?Е rik.x, не попадают в Д'(mod2:n;). Следовательно,
Е есть множество типа Н.
Соответственно в неравенстве A.6) можно было вЗять а зави-
зависящим от k.
Можно представить этот результат в несколько иной форме.
Пусть задано периодическое множество g, пусть %п — множество
точек пх, где х?Ш, и пусть 1п — верхняя грань длин интервалов,
не имеющих общих точек с %п (если % замкнуто, то 1п — длина
наибольшего смежного с %п интервала). % есть множество типа
Н тогда и только тогда, когда lim ln > 0.
Счетная сумма множеств типа Н называется множеством На.
Множества Нст —первой категории. Они также имеют меру нуль. Это
видно из следующей теоремы:
A.8) Теорема. Всякое множество типа Н имеет меру 0.
Пусть Е — множество типа Н, связанное с последовательностью
{rtk} и интервалом Д. Пусть Еп — множество точек х, таких, что пх не
попадают в Д(тоД2эт). Ясно, что ЕаШ =ЕП1ЕП2 ..., и доста-
достаточно показать, что |g|=0.
Пусть d = Bn — | Д |)Bя). Если мы опустим множители в
ЕП1ЕП2,..., то произведение только увеличится. Таким образом,
если 5 — любая конечная система непересекающихся интервалов, то
) SEn | —> d \ S | при п —> оо. Пусть теперь d<di< I, mi = nu и пред-
предположим, что ти т2, ..., /пл-! уже определены. Если
то мы найдем ти > mk-i в последовательности {я*}, такое, что

1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ- ТЕОРЕМА КАНТОРА-ЛЕБЕГА 501
Отсюда следует, что
\EmiEm%...Emh\<2nd*.
Следовательно, | Ет1Ет2 .. . | = 0 и тем более \ % \ = \ЕП1ЕП2.. .| = 0.
A.9) Теорема. За исключением, быть может, множества
типа На (и меры 0) имеем при п—> со
UmAn(x) = lhnQn, ]ш\Ап(х)= —limQn A-10)
и, в частности, lim |Ап (х)\ = limQn.
Сначала покажем, что если а1э а2, ... —действительные, a n{<C
< nz < ... —положительные целые числа, то, за исключением,
быть может, множества типа На, имеем
— 1. A.11)
Достаточно доказать, что первое из этих равенств имеет место
вне множества Е типа На. Пусть 0 < б< 1; обозначим через Z*
множество таких х, что
cos (nkx + ak) < б при k>i. A-12)
В силу замечаний, сделанных выше, l\ есть Н множество. Вне
На множества
имеем
lim cos (nkX + ak) > б
и вне Ha множества
имеем первое равенство A.11).
Возвратимся к теореме A.9). Достаточно рассмотреть первое
равенство A.10). Пусть последовательность {пъ) такова, что
limQn = lim Qnfe. Вне только что рассмотренного множества Е
(с аПк вместо ak) имеем
lim Ап (х) > lim Ank (x) = lim Qnft = lim Qni
т. е. НтЛп(х)> Птрд. Так как противоположное неравенство
имеет место для всех х, то первое равенство A.10) выполнено
на дополнении Е. Этим доказательство теоремы A.9) закончено.
Отметим следствие из теоремы A.9): если |ап| + |6л| не стре-
стремится к нулю, то Ап(х) может стремиться к нулю лишь
на множестве На. Следовательно (На есть множество первой

502 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
категории), если Ап(х) стремится к нулю на множестве второй
категории, то ап и Ьп стремятся к нулю.
2« Формальное интегрирование рядов
Пусть дан ряд
оо
2 (an cos nx + bn sin пх), B.1)
где ап, Ьп —>0; рассмотрим функцию
n=l
полученную в результате двукратного формального интегрирования
ряда B.1). F (х) непрерывна, так как ее ряд сходится абсолютно
и равномерно. Легко видеть, что
F (x + 2h)+F (X~2h)-2F (х) _ . ,ZA (
n=l
Числитель дроби, стоящей слева, будем обозначать через
AV(x, 2A).
Обозначим верхний и нижний пределы от A2 F (x, 2h)-h~* при /г—»0
через D2/7 (х) и D2F (х) соответственно; если D2F (x)=D*F (x), то
их общее значение обозначается через D2F (x) и называется второй
симметрической производной от F (х) в точке х. Если D*F {x0) сущест-
существует, то мы скажем, что ряд B.1) суммируется в точке х0 риманов-
римановским методом суммирования, или суммируется R, к сумме D2F (х0).
B,4) Первая теорема Римана. Если ряд ^Ап(х), где
&п, Ьп—>0, сходится в точке х к конечной сумме s, то он также
суммируем R /с s.
Надо показать, что A2f (x, 2ht) • D/гг) —> s для любой положи-
положительной {Лг}—> 0. ПОЛОЖИМ
(sin» h)-h-2 = u(h).
Применяя преобразование Абеля, находим, что правая часть ра-
равенства B.3) при h = ht равна
S {()(( ))}. B.5)
71=0
Это — линейное преобразование последовательности {sn}—>s, и до-
достаточно показать, что это преобразование удовлетворяет условиям

2. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 503
регулярности (гл. III, § 1). Это очевидно для условий (I) и (III).
Чтобы проверить выполнение условия (II), мы заметим, что
п=0
2 |и(яА,)-и((л+1)А,)| = 2 | J u'@^|< jl"'@|*. B.6)
j
0
а последний интеграл конечен, так как подинтегральяая функция
имеет порядок O(t~*) при t—>oo.
Теорему B.4) можно обобщить следующим образом:
B.7) Теорема. Если ^Ап(х) имеет частичные суммы sn(x),
ограниченные в точке х, и если
s (х) = lim sn (x), s (х) = lim sn (x),
то оба числа D*F (x) и D%F (x) будут заключены в интервале (s — kd,
s + &6), где s = V2 {s (x) + s (я)}, б = х/2 {s {x) — s (x)}, a k—абсолют-
k—абсолютная постоянная.
Это следует из теоремы A.5) гл. Ill; k есть верхняя грань
по всем {hi} сумм слева в неравенстве B.6).
B.8) Вторая теорема.Риман а. Если ап, Ьп—>0, то
(x—2h)—2F(x)_A и , ^ , sin? nh v ft (t) Q.
4/г
n=l
/г—>0 равномерно по x.
Опять достаточно доказать, что соотношение B.9) имеет место
для каждой положительной {hi}—>0. Ряд в B.9) есть линейное
преобразование последовательности Ап—>0, так что достаточно
проверить условия (I) и (II) регулярности. [Условие (III) здесь
не существенно. ] Условие (I) очевидным образом выполнено. Чтобы
проверить (II), заметим, что
n=l
B.10)
Если мы положим N = [hi1] -f 1, то hi1 < N < 1 + hi1 и правая
часть1) в неравенстве B.10) будет меньше 4 при |А^|<1.
Этим доказательство теоремы B.8) заканчивается.
г) Левая часть B.10) может быть просуммирована точно. Действительно,
положив х=0 в разложении D.16) из гл. I, находим
1
~2п для

504 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Ясно, что если ап и Ьп имеют порядок 0A), то дробь в B.9)
равномерно ограничена при h—>0.
Соотношение B.9) удовлетворяется в каждой точке х незави-
независимо от того, сходится ли ряд ^Ап(х). Следуя терминологии
гл. II, § 3, мы можем сказать, что F (х) равномерно гладка, или
принадлежит классу Я*, или удовлетворяет условию Я*. Сумма
любого тригонометрического ряда с коэффициентами, имеющими
порядок о (я"г), удовлетворяет условию А,*, поскольку она может быть
получена в результате двукратного формального интегрирования
ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю. Если коэффициен-
коэффициенты ^>jAn(x) имеют порядок О (п2), то сумма ряда удовлетворяет-
условию Л *.
Следующая теорема обобщает эти результаты:
B.11) Теорема. Если Qn = (al+ bnfl2 удовлетворяют условию
or* =2 &Qk = o(n), B.12)
tno 2 An (x) сходится абсолютно и равномерно и его сумма f (x)
удовлетворяет условию Х%. Если в соотношении B.12) мы имеем
«О» вместо «о», то /6Л*.
Достаточно рассмотреть случай «о». Если Qn = о (п~*), то теоре-
теорема B.11) получается немедленно. Чтобы доказать абсолютную и
равномерную сходимость ряда B.1) в общем случае, заметим, что
i iV->oo i
oo
= 2o(&)O(&)< oo. BЛЗ)
1
Далее, предполагая для простоты, что ао = О, имеем
со
/х 2h) 2f (x) ^л
1
N оэ
Ah
i N+i
Положим N = [fT1]. Тогда P<aN N~1 = o(l) при h—>0 и оценка,,
аналогичная неравенству B.13), дает
S л((+Г) 2 ()()
N+l N+i
Следовательно, P + Q = o(l) и теорема B.11) доказана.

2. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 505'
Положим
Яп = Цп/п (я=1, 2, ...).
Условие 2&т)д = о(я), совпадающее с условием B.12), выполняет-
1
ся в следующих двух частных случаях (см. гл. III, стр. 143):
(I) 2 щ1 < °°;
(II) У]п~->0; у]п = 0, за исключением, возможно, последователь-
последовательности я*, такой, что nk+1/nk > q > 1.
Идея связать с 2^М функцию F(x), определенную форму-
формулой B.2), принадлежит Риману. В некоторых случаях мы можем:
также рассматривать функцию
^%\bncosnx), B.14)
1
получающуюся из ряда B.1) однократным интегрированием. Тогда
L(x+h)—L(x—h)__A . s? л f
1
Трудность использования этой функции состоит в том, что ряд,
B.14) не обязан сходиться всюду даже в том случае, когда 2 An 00
сходится всюду. (Простой пример дается рядом 2 (sinnx)/Inп.)
Более того, даже если ряд B.14) сходится всюду, L (х) не обя-
обязана быть непрерывной функцией.
С другой стороны, ряд B.14) сходится почти всюду, в самом
деле, его периодическая часть есть ряд Фурье функции из L2 (гл. IV,
§ 1), а так как он имеет члены порядка оA/п), то он должен
сходиться всюду, где он суммируем (С, 1).
Если L(x) существует в окрестности точки х0 и если
>s при /г->0,
то скажем, что 2 Ап (х) суммируем в точке х0 лебеговым методом
суммирования, или суммируем L, к сумме s.
B.16) Теорема. Предположим, что ап и Ьп имеют порядок
о (п'1) или, более общо, что
). B.17)

506 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Тогда если sn (х) — частичные суммы ряда ^jAn(x) и N =
— N (h) = [1/А], то имеем равномерно по х
L (x+h)-L (x-h) /гч__^о
при h—>0. В частности, для того чтобы ^]Ап(х) сходился
в точке х к сумме s (конечной или бесконечной), необходимо
и достаточно, чтобы он суммировался L в точке х к s.
Из условия B.17) и теоремы B.11) получаем, что функция
L(x) существует всюду и удовлетворяет условию Я*. Запишем
последнюю разность в виде
С0
1 ЛГ+1
Обозначим через хп левую часть B.17). Так как (sin u)/u—1 =
= О (и2) = О (и) при | и | < 1, то имеем
оо оо ро
JV+1 N+l iY+i
Следовательно, P + Q = o(l) и теорема B.16) доказана.
Часть теоремы B.16) может быть обобщена следующим образом:
B.18) Теорема. Если ап и Ьп имеют порядок О (ft-1), то
^](х) суммируем L в точке х0 к конечной сумме s тогда и
только тогда, когда ok сходится в х0 к s.
Пусть ^Ап(х) сходится к s в х0. Мы можем предположить,
что s = 0. Имеем
L(xo+h)-L(xo—h)_
2h "
kN oo
}{
i feiV+1
где N = [h~1] и й —фиксированное целое число. Из неравенства
feJV+l feJV+l

2. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 507
видно, что \Q\ произвольно мал, если k достаточно велико. По
теореме A2.2) из гл. III Р стремится к нулю при Л—>0. Отсюда
следует, что {L(xo + h) — L(x0 — /г)}-BЛ)-1—> 0 при h—>0.
Обратно, пусть ^]Ап(х) суммируем L в х0 к s. Мы можем
предположить, что ао = О. Тогда линейный член в B.14) про-
пропадает и ^Ап(х) есть S'[L]. По теореме G.9) из гл, III ряд
^Ап(х) суммируем А в точке х0 к сумме s, а следовательно, и
сходится к s, так как его члены имеют порядок О (я-1) [гл. III,
A.38)], В то время как ^]Ап(х) с коэффициентами о (я-1) является
рядом Фурье, это уже не будет иметь места, если мы потребуем
только выполнения условия B.17); в качестве примера можно при-
привести лакунарный ряд 2 п/2 cos 2nx (см. гл. V, § 6).
B.19) Теорема. Предположим, что ^jAn(x) удовлетворяет
условию B.17) и есть ряд S[f]. Тогда
(I) если f{x)—>s, — oo<s<+oo, при х—>хо + 0, то ряд
сходится в точке х0 к сумме s;
(II) если f(x) непрерывна1) на некотором отрезке а<х<6,
то он сходится равномерно на [а, Ь].
(I) L (х) имеет в точке х0 правую производную, равную s. Так
как L(x) гладка, то левая производная в точке х тоже сущест-
существует и равна s. Следовательно, {L(x0Jrh) — L(x0 — h)}Bh)-1—>s
и по теореме B.16) sN(x)-^s.
(II) Если Л-^-f 0, то {L(x + h) — L(x)}/r1—¦>/(*) равномерно
на отрезке
/ : а < х < а + -g- {b — a).
Так как Ь?Х^, то имеем {L(x) — L (x — h)}• h-1—> f (х) и, таким
образом,
f
равномерно на /. Последнее соотношение имеет место равномерно
и на оставшейся части отрезка [а, Ь] в силу аналогичных сооб-
соображений, и остается только применить теорему B.16).
Если бы мы предположили двустороннюю непрерывность f
в точках а и 6, то равномерная сходимость ряда ^Ап (х) на [а, Ь]
следовала бы уже из его равномерной суммируемости (С, 1),
так как благодаря условию B.17) sn и (С, 1)-средние ряда
п(х) равномерно равносходятся.
Мы напомним следующее определение (гл. II, § 3). Функция
f(x), определенная на множестве Е, обладает свойством D, если
*¦) В точках а и Ь требуется только односторонняя непрерывность.

508 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
f (х) принимает все промежуточные значения, т. е. для любых
двух точек хх и х2 из Е и любого числа г), заключенного между / (л^)
и f(x2) существует точка ???, лежащая между хх и х2, такая, что
B.20) Теорема. Предположим, что ^]Ап(х) удовлетворяет
условно B.17). Тогда множество Е точек сходимости ряда имеет
мощность континуума на любом интервале и сумма f(x) обла-
обладает свойством D на Е.
По теореме B.11) функция L(x), определенная формулой
B.14), принадлежит классу Я*. На основании теорем C.3), C.6)
гл. II конечная производная L' (х) существует и обладает свой-
свойством D на множестве ?, которое имеет мощность континуума
на любом интервале. Так как для гладких функций существова-
существование производной V (л:) эквивалентно существованию первой сим-
симметричной производной, то достаточно применить теорему B.16).
Пример. Как показывает
Sv-^coslO^, B.21)
множество Е в теореме B.20) может иметь меру 0 [гл. V, F.4)].
В каждом интервале можно найти такие точки *4 и х2, что
limStt (xt) = + оо, l\msn (x2) = — оо, где sn — частичные суммы ряда
B.21) (гл. VI, стр. 398). Из теоремы B.16) следует, что выраже-
выражение {L(x + h) — L(x — h)}-Bh)-1 имеет в точке xt верхний пре-
предел + оои в точке х2 нижний предел —оо. Из замечания в гл. Пг
стр. 78, получаем, что для любого заданного конечного т] суще-
существует точка I между *4 и лг2, такая, что ряд B.21) сходится в ?
к сумме г]. Следовательно, хотя ряд B.21) и расходится почти
всюду, но он сходится к любой наперед заданной сумме в некоторой
точке любого интервала.
Пусть задана функция f(x) на (измеримом) множестве Е
и точка х0; скажем, что / (х) имеет аппроксимативный предел при
х—> Хо,
X-+XQ
если f(x) стремится к s при х, стремящимся к х0 по множеству
ШаЕ, имеющему х0 своей точкой плотности. Так как два мно-
множества, имеющие х0 точкой плотности, должны иметь общие точки
в любой окрестности х0, то существует не более одного аппрокси-
аппроксимативного предела.
Соответственно пределы
\imap{f(xo+h)-f(xo-h)}'Bh)
Л*0
-*

2. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 509
называются аппроксимативной и симметрической аппроксиматив-
аппроксимативной производной от f в точке х0 и обозначаются через Др (*0) и
/sap (*())•
Следующая теорема устанавливает смысл однократного интег-
интегрирования сходящегося тригонометрического ряда.
B.22) Теорема. Если ап, Ьп—>0 и если ^Ап(х) сходится
в точке х0 к (конечной) сумме s, то Lsap (*0) существует и равна s.
Мы можем предположить, что а0—0 и s = 0; L(x) существует
почти всюду. Если L (х0 ± К) существуют, то
2
L(xo-\-h)—L(xo+h) _ >п л /и sin nh , V
i 2iv+1
где номер N определяется условиями 2~<N+1> < h< 2~N. Про-
Простое преобразование Абеля [или применение теоремы A2.2) гл. III]
показывает, что
Применяя преобразование Абеля к Q(h) к полагая sn(x0)=sn,
имеем
и 2 sin
sin nh
Ясно, что
Подытоживая, мы видим, что теорема B.22) будет доказана, если
доказать, что
limapQ2(/z) =0.

510 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Так как
5
2-N-l
0
« S т4ж-»<2-">'
то интеграл слева есть 8дг2^ЛГ~1, где ejv-—>0. Пусть ?^ есть мно-
жество таких h из B~N-i , 2-^), при которых Q2(A) существует и
e^4. Тогда
т. е. средняя плотность f^ на B~iV-1, 2-iV) не превосходит е]у2.
Отсюда немедленно следует, что множество Е = ЕХ + Е2+ ... имеет
нуль своей точкой разрежения и что Q2 Ф) —-> 0 при Л, стремящемся
к нулю вне множества Е. Следовательно, limapQ2(^) =0 и тео-
теорема доказана.
Замечание, Даже без предположения о том, что ап, bn-^0r
из сходимости 2Мл(*о) к s вытекает, что Ап(хо)—>0, так что
2^n(*o)—j-— сходится для почти всех h и, как показывает пре-
предыдущее доказательство, сумма последнего ряда имеет аппрокси-
аппроксимативный предел s при h—>0. Предположением о том, что аПу
Ьп = о(\), мы пользовались только для того, чтобы установить суще-
существование функции L(x). [Было бы достаточно предположить, что
On, Ьп = 0(^/2-8), е>0; см. гл. IV, A.1).]
Теперь мы рассмотрим специальный случай, когда 2 An (x) есть
ряд степенного типа
оо
2 cneinx B.23>
о
с сп~->0. Для таких рядов
оо
F(*) = yCo**-2§-e*"*. B.24)
1
Если для фиксированного х0 при Л—->0 имеем
{ B.25)
то скажем, что F имеет в точке л:0 вторую обобщенную произ-
производную, равную а2. Заменим, что из формулы B.25) вытекает не

2. ФОРМАЛЬНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ 511
только соотношение
F (xo+h)+F (xo-h)-2F (х0) ^ л
но и
F (xo+2h)-2F (xo + h)+F (x0)
B.26) Теорема. Если ряд B.23) сходится в х0 к (конечной}
сумме s, то функция F (х), определенная равенством B.24), имеет
в х0 вторую обобщенную производную s.
Доказательство мы здесь опустим; гораздо более общий резуль-
результат будет доказан в гл. XI, § 1.
B.27) Теорема. Если ряд B.23) сходится в х0 к (конечной);
сумме s, то функция
со
L(x)=cox+%¦%*«*
1
имеет аппроксимативную производную в х0, равную s : Lap (x0) — s~
Это — аналог теоремы B.22) и доказательство достаточно наме-
наметить. Мы можем предположить, что ?0 = 0, xo=O, s = 0. Из схо-
сходимости ряда ^Сп вытекает, что ^jCn-n-1 сходится, и, определяя
N, как и выше, имеем
Здесь опять Р (/г)—>0. Применяя преобразование Абеля, видим, что*
оо
/г-1 2 ^•^ = оA). Следовательно,
оэ
и последний член стремится аппроксимативно к нулю при /г—>0-
В гл. XIV, D.1), будет показано, что если ^Ап(х) сходится
на множестве ?, то сопряженный ряд 2 А* (х) сходится почти
всюду на ?. Отсюда и из теоремы B.27) получаем такое следствие:
B.28) Теорема. Если ^Ап(х) сходится на множестве Ef
то L (х) = -|—f- 2 ^п. (х) • п'1 имеет аппроксимативную производ-
производную почти всюду на Е.

.512 ГЛ. IX РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
3. Единственность представления тригонометрическими рядами
Теория рядов Фурье связывает с каждой интегрируемой и пе-
периодической функцией f (x) специальный тригонометрический ряд —
ряд Фурье функции f (x),— который, как было показано, представ-
представляет функцию f (x) в различных смыслах. Естественно исследовать
вопрос о том, может ли функция представляться тригонометри-
тригонометрическим рядом, отличным от ряда Фурье. Эта проблема имеет
много аспектов, так как слово «представлять» может иметь раз-
различный смысл. Проблема суммируемости, а также и сходи-
сходимости в среднем уже обсуждалась в гл. IV. В этом параграфе
мы рассматриваем представление функций всюду сходящимися-
-тригонометрическими рядами. Здесь основную роль играет следу-
следующая теорема:
C.1) Теорема. (I) Если тригонометрический ряд
оо
Т + 2 (пп cos пх + Ьп sin пх) C.2)
п=1
сходится всюду к нулю, то этот ряд обращается в нуль тождест-
тождественно, т. е. все его коэффициенты равны нулю.
(II) Более общо, если ряд C.2) сходится1) всюду к интегриру-
интегрируемой функции f (x), то этот ряд является рядом Фурье функции f.
Начнем с доказательства (I), хотя это частный случай (II).
В силу теоремы A.3), ап—>0, 6д-^0. Отсюда следует, что
функция ^
р/ \ Go*2 ^ &пcosпх—bnsinnx /о о\
непрерывна. По теореме B.4) D2F(x)~0 для всех х и, таким
образом [гл. 1A0.7)], F(х) линейна, F(х) =ах + $. Сопоставляя
это с равенством C.3), полагая х—¦>оо и замечая, что периоди-
периодическая часть ряда C.3) ограничена, находим, что ао = О, а = 0.
Следовательно, т
p+^ancos^+6nsinn*=a C4)
1
Ряд слева сходится равномерно и, таким образом, является рядом
Фурье от правой части. Следовательно, все коэффициенты ряда
C.4) равны нулю, и этим заканчивается доказательство (I).
Из (I) вытекает такое следствие: если два тригонометрических
ряда сходятся всюду к одной и той же сумме, то эти два ряда
тождественны, т. е. у них равны соответствующие коэффициенты.
Под «сходимостью» мы подразумеваем сходимость к конечной сумме.

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 513
Предпошлем доказательству (II) следующее замечание: произ-
произвольный ряд C.2), сходящийся или нет, является рядом S[/J,
если F (х), определенная равенством C.3), удовлетворяет равенству
у
\f(t)dt
C.5)
где А и В —постоянные. Действительно, пусть Ft (х) = F (х) —
—¦°^~-. Периодическая часть ряда C.3) есть тогда S [.Fi], и ряд
C.2) без свободного члена есть S" [Z7!]. Так как по формуле
C.5) Fi есть двукратный интеграл, то
[гл. II, B.1)] и ряд C.2) есть S[fl.
Следовательно, мы получим (II), если покажем, что при пред-
предположениях теоремы справедлива формула C.5). Доказательство
последнего факта основывается на ряде лемм, которые фактически
дают больше, чем нам нужно, но будут полезны при обобщении
(II) (особенно см. ниже, § 8).
C.6) Лемма. Если функция F (х), а < х < Ь, имеет конеч-
конечную производную F' (х) и если в точке х0 все числа Дини для
F' (х) заключены между т и М, то
Это уже было доказано в гл. I, стр. 44.
C.7) Лемма. Предположим, что функция F (х) непрерывна
при а < х < 6 и удовлетворяет условию D2 F > 0 для всех х из
(а, Ь). Тогда F (х) выпукла.
Это теорема A0.7) гл. I.
Пусть дана функция f(x), a<x<fe, не обязательно конечно-
значная; назовем непрерывную функцию ty(x) мажорантной
функцией для /, если для каждого х числа Дини функции гр
не меньше, чем f(x) и отличны от — оо; непрерывную функцию
Ф (х) назовем майорантной функцией для /, если числа Дини
функции ф (х) не больше / (х) и отличны от + оо.
C.8) Лемма. Пусть функция f (х), а < х <. 6, интегри-
X
руема, fi(x)= \fdt, и пусть г > 0. Тогда существуют мажо-
а
33 А Зигмунд, т. I

514 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
рантная и минорантная функции г|) и ф для f, такие, что
1Ы*)^г|>(х)|<е, \h(x)-<P(x)\<B
на [а, Ь]. Функции г|э и ф можно даже выбрать абсолютно
непрерывными.
Это хорошо известный результат из теории интеграла Лебега,,
и мы его здесь примем без доказательства1).
C.9) Лемма. Пусть функция f (х), а < х < Ь, интегрируема
на (а, Ь) и больше —оо. Пусть F (х), а<х<Ь, непрерывна и
такова, что
D2F(x)>f(x). C.10)
Тогда
-\dy \f(t)dt C.11)
выпукла.
Пусть фп — минорантная функция для f, такая, что
<|, п = 1, 2, ..
P»W- \f(t)dt
a
Положим
x x x
ft (x) = [ f dt, /2 (x) = \ /4 df, Ф„ (x) = [ <pn dt.
V V J
a a a
По неравенству C.10) и лемме C.6) имеем
D*F(x)>f(x)>D*On(x). C.12)
Так как крайние члены здесь не могут быть бесконечностями
одного знака, то D2 (F — Фд)>0 и F — Фп выпукла на (а, Ь).
При п—> оо F — Фп стремится к F — f2, которая поэтому также
выпукла, откуда следует лемма.
C.13) Лемма. Пусть f (х), а < х < Ь, интегрируема и
конечна. Пусть F (х) непрерывна и такова, что
D2F(x)>f(x)>D2F(x). C.14)
!) См. Vallee — Poussin Ch. J., Integrates de Lebesgue, Gauthier
Villars, Paris, 1916, или Сакс С, Теория интеграла, ИЛ, М., 1949.

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 515
Тогда
х у
F(x)= J dy J f(t)dt + Ax + B, C.15)
a a
где А и В— постоянные.
Так как G в формуле C.11) одновременно и выпукла и вогну-
вогнута, то она линейна.
Теперь часть (II) теоремы C.1) получается легко. Действи-
Действительно, функция F в равенстве C.3) удовлетворяет условию
D2F = f для всех х. Следовательно, F удовлетворяет условию
C.15), которое, как известно, доказывает, что ^}Ап(х) ecTbS[f]..
Предположение о том, что 2 Ап (х) сходится, использовалось
только для доказательства того, что ап, Ьп—>0 и что ^Ап(х)
суммируем R. Теорема C.1) поэтому справедлива и при этих,
более слабых предположениях.
C.16) Лемма. Если F(х) выпукла на (а, Ь), то D2F(x}
существует для почти всех х из (а, Ь) и интегрируема па
любому отрезку [а', 6'], целиком лежащему внутри (а, Ь).
Так как F (х) есть интеграл от неубывающей функции Цх)
[гл. I, A0.11)], то
I' (х) существует почти всюду на (а, Ь) и интегрируема на (а\ 6').
В каждой точке, в которой существует конечная ?'(*), имеем
правая часть в равенстве C.17) стремится к ?' (х) и D2F (x) = ?' (*).
C.18) Теорема. Предположим, что ряд 2А»М сходится
всюду к функции f(x), причем f(x)>%(x), где % интегрируема.
Тогда f интегрируема и ряд есть S[/j.
Мы можем предположить, если нужно, изменив % на множе-
множестве меры 0, что х конечна. Имеем D2F>%. По лемме C.9),
выпукла. Следовательно, D2H существует почти всюду и интегри-
интегрируема на @, 2я). Отсюда следует, что D2F = f интегрируема.
Следовательно, ряд есть S[/].
33*

516 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
В частности, если ^]Ап(х) сходится всюду к неотрицательной
сумме, то эта сумма интегрируема.
C.19) Теорема. Предположим, что ап, Ьп—>0, и обозначим
через s* (х) и s*(x) верхнюю и нижнюю суммы для ^jAn(x):
s* (х) = lim sn (х), s* (х) = lim sn (х).
Если s* (х) и $* (х) конечны вне счетного множества Е и обе
интегрируемы, то ^]Ап(х) есть S[f], где f=D*F, aF(x) =
Нам понадобится несколько лемм.
C.20) Лемма. Предположим, что функция F(х) непрерыв-
непрерывна при а < х < b и что D3 F > 0 для каждого х, за исключением,
быть может, счетного множества Е. Предположим также, что
ПггГ А2/7^Я)>0 для хеЕ, C.21)
п-М-0 h
где A*F(x, h) = F {x + h) + F (x — h) — 2F (х). Тогда функция F
выпукла на (а, Ь).
Это — обобщение леммы C.7). Как и при доказательстве
последней, мы можем предположить, что D2F > 0 вне Е, в про-
тивном случае мы проведем рассуждения с функцией F (х)-\
и затем положим п —-> оо.
Предположим, что функция F невыпукла. Тогда существует
дуга кривой y = F(x), частично лежащая над соответствующей
хордой. Пусть а и Р — крайние абсциссы дуги и у = 1^ (х) — урав-
уравнение прямой, проходящей через точку (a, F (а)) с угловым
коэффициентом [х. Если [х превосходит наклон хорды, но близок
к нему, то функция G[l(x) = F (х) — 1^{х) принимает положитель-
положительные значения в некоторых точках из [а, р]. Пусть xo = xo(ii) —
точка, в которой G^ достигает своего абсолютного максимума на
[а, р]. Имеем а < х0 < р, так как G|4(a)=0, G^(P)<0.
Ясно, что A2G^ (х0, К) < 0 при малых h > 0. Следовательно,
q, /г)<0 для таких /г и, в частности, D2F (xo)<O. Поэтому
Так как условие C.21) сохраняется при замене F на
и так как A2G^(x0, Л)<0 для малых h, то имеем

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 517
Но G^ (jc0 ± h) — G^ (*0) < 0 для малых /г. Следовательно,
ПНГОц (*0 + К) - G» (х0)}. /Г1 - О,
Это показывает, что различным допустимым [х соответствуют
различные xo = xo([x), что невозможно, так как хо?Е, а множество
допустимых значений |х имеет мощность континуума.
C.22) Лемма. Пусть функция f(x), a<x<b, интегрируе-
интегрируема на (а, Ь) и больше —со, за исключением, быть может, счет-
счетного множества Е. Пусть функция F(x), a<x<b, непрерывна
и такова, что D2 F (х) > f (х) вне Е. Предположим, что F удов-
удовлетворяет условию C.21). Тогда функция C.11) выпукла.
C.23) Лемма. Пусть функция f (х), а < х < Ь, интегри-
интегрируема на (а, Ь) и конечна вне счетного множества Е. Пусть
функция F (х), а < х < Ъ, непрерывна и такова, что D*
D вне Е. Предположим, что
lim №F(x, h)-h~1>0> lim A2 F (x, h)^'1 C.24)
/i-H-0 /i-H-0
на Е: Тогда F удовлетворяет условию C.15).
Если мы используем лемму C.20) вместо C.7), то доказатель-
доказательства лемм C.22) и C.23) проходят аналогично доказательствам
лемм C.9) и C.13).
Переходим к доказательству теоремы C.19). По лемме B.7),
D2 F (х) и D2 F (х) заключены между
| {S* (X) + S, (X)} ± 4 k {S* (X) - S* (X)}.
В частности, D2F и D2 F интегрируемы. Положим f=D2F. Тогда
D2F>f>D2F, и так как F выпукла, то применение леммы
C.23) показывает, что функция F отличается от двукратного
интеграла от функции f на линейную функцию и, в частности,
что D2F существует почти всюду. Отсюда следует, что ^Ап(х)
есть S[f], f = D2F=D2F почти всюду.
Приведенная ниже теорема есть обобщение теоремы C.19).
Ее доказательство немного проще, и мы получим ее как следствие
из результатов, доказанных в § 8.
C.25) Теорема. Предположим, что ап, Ьп—>0. Если
и верхняя и нижняя суммы ряда 2 Ап (х) конечны, за исключе-
исключением, быть может, счетного множества Е, и если s* (x)>% (х),

518 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
где х интегрируема (в частности, если s* интегрируема), то
ряд есть ряд Фурье.
Возвратимся к лемме C.20). Непрерывность функции F там
использовалась только для того, чтобы гарантировать, что функ-
функция G^ достигает максимума, а для этого достаточно полунепре-
полунепрерывности F сверху. То же самое относится и к лемме C.22).
Следовательно, мы имеем следующий результат, который пригодит-
пригодится позднее.
C.26) Лемма. Леммы C.20) и C.22) сохраняются, если
условие непрерывности F заменить условием полунепрерывности
сверху.
4. Принцип локализации. Формальное произведение
тригонометрических рядов
В гл. II, § 6, мы доказали, что поведение S [/] в точке х0
зависит только от значений / в произвольно малой окрестности дг0.
Это частный случай следующего принципа локализации Римана для
общих тригонометрических рядов с коэффициентами, стремящимися
к нулю.
Поведение ряда
оо оо
у + 2 (ап cos пх + Ьп sin пх) = 2 А" М D-1)
1 0
в точке х0 зависит только от значений функции
оо
F(x) = ^—^(an cos nx + bn sin пх)-п-* D.2)
в произвольно малой окрестности точки х0.
Более точной и несколько более общей является следующая
теорема.
D.3) Теорема. Пусть St и S2 — два тригонометрических
ряда с коэффициентами, стремящимися к нулю, и пусть Fi и
F2 — функции F, соответствующие Si и S2. Если Fi(x) = F2(x)
в интервале (а, Ь) или, более общо, если Fx(x) — F2(x) линейна
в (а, Ь), то на каждом отрезке [a, bf], лежащем внутри (а, Ь):
(I) ^ и S2 равномерно равносходятся;
(II) St и S2 равномерно равносходятся в широком смысле.
Если две интегрируемые функции fi и /2 совпадают в интер-
интервале (а, Ь) и так как ряды Фурье можно почленно проинтег-

4. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 519
рировать, то функции Fi и F2, соответствующие S [Д] и S[f2]»
отличаются на линейную функцию. Следовательно, принцип ло-
локализации для рядов Фурье — равно как и для сопряженных ря-
рядов [см. гл. II, F.6)]—есть частный случай теоремы D.3).
Мы основываемся при доказательстве теоремы D.3) на райх-
мановской теории формального произведения тригонометрических
рядов, которая представляет самостоятельный интерес и имеет
много других применений. Будет удобно записывать наши ряды
в комплексной форме.
Пусть даны два ряда:
%cneinx, D.4)
—оо
%yneiax; D.5)
— оо
назовем ряд
fcneinx D.6)
—оо
их формальным произведением, если
Сп= 2° срУп-р D.7)
для всех п. Мы предполагаем, что ряды, определяющие СЛ, схо-
сходятся абсолютно. Это заведомо имеет место, если, например, сп
ограничены (в частности, если сп—>0) и 2|уп|<оо.
D.8) Лемма. Если сп—>0 при п—>±со и если 1,\уп\< оо,
то Сд—>0.
Пусть УИ = тах|сп|. При п—>+оо имеем
+ОО
<м 2 I Ygl+тах I ^р| 2 Iy^I—^Q-
^п п —оо
«>2 Р>2
В случае п—>—оо достаточно заметить, что
—оо
-т— ZJ ср\т—р» А ДС t'p— ^_р, Yp — Y~P*
p=—00
Замечание. Если Crj и Yn зависят от параметра и условия, на-
наложенные на сп и упу выполняются равномерно, то Сп—>0 рав-
равномерно.

с20 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Мы займемся рядами *Lyneinx, для которых
Это условие выполнено, если, например, 1?упегпх есть разложение
функции, имеющей три непрерывные производные.
Пусть
Условие 2|яу7. |< °° эквивалентно тому, что 2ГП < оо. Действи-
Действительно,
оо оо
2 (гЛ+г_„)= 2 2 (Ы+Iy-vIH 2 (Iyv|+Iy-v|)v.
?г=1 n=l v=n v=l
D.9) Теорема Райхмана. Предположим, что сп—>0>
2 | пуп | < оо и </то 2уп?гпх сходится к сумме Х(х). Тогда два
ряда
равномерно равносходятся. В частности, если К(х)=0 на мно-
множестве Е, то 1?спегпх сходится к нулю равномерно на Е.
Сначала мы рассмотрим указанный частный случай. Пусть
Rh(x)= S yneinx.
Если х0 g E, то
для /г>0 и, таким образом, li\Rk(x0)\ сходится равномерно на
Е. Далее,
т т +оо
2 С„е*»*о= 2 в*"*» 2 cpYn-P =
п=—т п=—т р=—со
= 2 cPeipX0 2 Yn-Pei(n-p):<:o =
р=—оо п=—т
+оо +00
- 2 срв*р*в/г_т_р(дс0)- 2
р= — оо р=—оэ
Применяя лемму D.8) (с cpeipx° и Rp(x0) вместо ср и Yp) и за-
замечание к ней, мы видим, что Sm (x0) стремится равномерно
к нулю на Е.

4 ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 521
Только что полученный результат сохраняется даже в том
случае, когда сами коэффициенты сп и уп рядов D.4) и D.5) за-
зависят от переменной х, при условии, что формальное произведение
двух рядов определяется формулами D.7) и D.6); этот результат
есть не что иное, как теорема о лорановском произведении произ-
произвольных рядов, бесконечных в обе стороны. Пользуясь этим за-
замечанием, мы легко можем доказать теорему D.9) в общем случае.
Положим
Yo = Yo —Ч*), У*п = Уп при пфО
и рассмотрим формальное произведение ЪС*пегпх рядов 2спегпх
и 2уп?1пх. Остатки RX{x) ряда Иу*пегпх удовлетворяют неравен-
неравенствам
для k > 0. Следовательно, 2С?*егпх сходится равномерно к нулю
для всех х, откуда следует доказательство теоремы D.9), если
мы заметим, что
С*п = Сп-1(х)сп. D.10)
Сформулируем отдельно некоторые следствия из теоремы D.9).
D.11) Теорема. -Если К(хо)ФО, то для того, чтобы сходил-
сходился ряд tiCneinxo, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
1>спегпх*.
Пусть Т — произвольный линейный метод суммирования, удо-
удовлетворяющий условиям регулярности (гл. III, § 1). Замечая, что,
в силу сходимости ряда ^(Тпегпх к 0, он Т-суммируем к 0, мы
получаем следующий результат:
D.12) Теорема. Если Х(хо)ФО, то для того, чтобы ряд
2Cneinx° суммировался Т, необходимо и достаточно, чтобы ряд
1>спе1пх° суммировался Т. Если сумма последнего ряда есть s, то
сумма первого ряда есть X (х0) s.
D.13) Теорема. Если %спегпх равномерно сходится или сум-
суммируется Т на множестве %, то это же имеет место и для
^Спегпх. Обратное также верно, если |А,(*)|>е>0 на g.
Теорема D.11) может быть дополнена рассмотрением пределов,
неопределенности для частичных сумм. Ограничиваясь случаем
простой сходимости (нетрудно сформулировать результаты и для
суммируемости Т), получаем такой результат:
D.14) Теорема. Если верхняя и нижняя суммы ряда
^Спегпх0 есть s и s, то верхняя и нижняя суммы ряда 2Cnein3C°T

-522 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
есть X(xo)s и X(xQ)s, если Я(х0)>0, и X(xQ)s, X(xo)s, если
X (х0) < 0.
Докажем теперь аналог теоремы D.9) для рядов
2cneneinx (en =-/sign л), D.15)
сопряженных с IiCneinx.
D.16) Теорема. В предположениях теоремы D.9) ряды
2Спгпе1пх, 2Х(х)спгпе1пх D.17)
равномерно равносходятся в широком смысле. В частности, если
X (х) = 0 на множестве Е, то ряд
*о, D.18)
сопряженный формальному произведению, сходится равномерно
на Е.
Обозначим через Sm(x0) частичную сумму ряда D.18). Поло-
Положим c'n = cneinxo и аналогично определим Сп и у'п; тогда
т т +°° -{-оо т
^>т \Xq) = 2j Sn^n = 2j gn 2j СрУп—р = 2j CP 2j Уп—р^п =
— m —m p=—oo p=—oo n=—m
-foo m
= —< 2 c'v S (Y«-p —Y-»-p) =
p=—oo n=l
+oo
= — ^ S CP I#i-P (^o) — /?m-p+l (ATo) — R-m-p {X0) + /?-p (*o)}.
p=-oo
Отсюда следует, как и при доказательстве теоремы D.9), что если
X обращается в нуль на Е и хо?Е, то
~ +оо
Sm (х0) -> — I 2 4 {#i-p (л:0) + R-p {хо)}
—оо
равномерно по х0. Вторая часть теоремы D.16) доказана.
Чтобы доказать общее утверждение, мы используем тот же при-
прием, что и выше, и рассмотрим формальное произведение 2С*вгпЛ рядов
1>спегпх и 2упе*ЛЛ. Коэффициенты С* зависят от х, но если мы
определим «сопряженный» ряд к 2C^inx как 2С?8пегп:х:, то по-
последний ряд сходится равномерно, как показывает только что дан-
данное доказательство, и достаточно применить формулу D.10).
Следующая теорема есть одно из следствий теоремы D.16).
D.19) Теорема. Если^спгпе1пх равномерно суммируем Т на
.множестве %, то и 11Спгпегпх равномерно суммируем Т на мно-
множестве %. Верно и обратное, гели | А,(х) |>е > 0 на %.

4. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 523
Для теорем D.9) и D.16) характерно то, что мы почти ничего
не предполагали об одном из множителей формального произве-
произведения, в то время как на второй накладывались весьма строгие
условия. Однако если первый ряд есть ряд Фурье, то условия,
наложенные на второй, могут быть ослаблены. Легко видеть, что
теоремы F.7) и F.10) из гл. II можно рассматривать как те-
теоремы о формальном произведении тригонометрических рядов
в случае, когда исходный ряд есть ряд Фурье.
Переходим теперь к доказательству теоремы D.3).
Пусть Т —линейный метод суммирования, удовлетворяющий
условиям (I), (II) и (III) регулярности (гл. III, § 1). Скажем, что
Т имеет тип U, если любой тригонометрический ряд с коэффи-
коэффициентами, стремящимися к нулю, суммируемый Т к конечной
интегрируемой функции f(x), есть S[/]. В § 3-мы доказали, что
обыкновенная сходимость и римановское суммирование имеют
тип U.
В дальнейшем мы обычно будем рассматривать формальное
произведение тригонометрического ряда на ряд Фурье функции X.
Мы всегда будем предполагать, что X имеет непрерывную третью
производную. Тогда коэффициенты X имеют порядок О(п~3), и мы
можем применять теоремы D.9) и D.16). Удобно будет также пред-
предполагать, что если из двух функций ф (х) и г|) (х) одна равна нулю
в интервале (а, Р), то произведение qn|) определено и равно нулю
в интервале (а, Р), даже если другой множитель не определен
в этом интервале.
Сначала мы докажем следующий результат:
D.20) Теорема. Пусть Т — любой метод суммирования типа
U. Если ряд iicnelnx, где сп—>0, суммируем Т для а < х < b
к конечной и интегрируемой функции f(x), то в любом отрезке
[а , Ь'], целиком лежащем внутри (а, Ь), этот ряд равномерно
равносходится с рядом S[Xf], где Х~Х{х) равна 1 на [а, Ь']
и равна 0 вне (а, Ь). Ряды ^спгпегп^ и S [Xf] равномерно равно-
сходятся в широком смысле на [а\ Ь'\.
Чтобы доказать первую часть теоремы, заметим, что формаль-
формальное произведение УЕспегпх и S [X] сходится к нулю вне (а, Ь) и сум-
суммируется Т к Xf на (а, Ь). Следовательно, произведение суммиру-
суммируемо Т-во всем отрезке [0, 2я] к сумме Xf. Эта сумма интегри-
интегрируема. Следовательно, произведение есть S[A,/], и мы применяем
теорему D.9). Для получения второй части теоремы мы применяем
теорему D.16).
Теперь мы можем доказать теорему D.3).
Пусть S^=Sl~S2. Нам надо показать, что как S, так и его
сопряженный ряд сходятся равномерно на [а', Ь'] и что сумма
первого ряда равна нулю. Интегрируя 5 два раза почленно, мы

524 гл- 1Х- РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
получаем функцию F(x)—Fl(x)— F2(x), линейную на (а, Ь). Так
как D2F(x)=0 при каждом х, лежащем внутри (а, Ь), то S сум-
суммируем R к нулю при а < х < b и достаточно применить теорему
D.20) с /=0.
В качестве частного случая теоремы D.3) получим следующую
теорему:
D.21) Теорема. Пусть S тригонометрический ряд с коэф-
коэффициентами, стремящимися к нулю, и пусть F (х) — сумма ряда,
полученного после двукратного почленного интегрирования S.
Предположим, что
х у
^^ D.22)
где Аи В —постоянные и f интегрируема на (а, Ь). Пусть
/* (х) равна f(x) на (а, Ь) и 0 вне (а, Ь). Тогда S и S [/*] рав-
равномерно равносходятся в любом отрезке [а', Ьг], целиком ле-
лежащем внутри (a, b), a S и S [/*] равномерно равносходятся
в широком смысле на [а', Ь'].
Достаточно заметить, что ряд Фурье можно интегрировать по-
почленно; следовательно, если Fx (x) есть сумма дважды почленно
проинтегрированного ряда S[/*], то Fl(x) удовлетворяет условиям,,
аналогичным D.22), и, таким образом, F(х) — Fl(x) линейна на
(а, Ь).
Частный случай теоремы D.3), которым мы фактически поль-
пользовались при доказательстве этой теоремы, заслуживает тогот
чтобы его сформулировать отдельно.
D.23) Т еорема. Если сумма F (х) дважды проинтегриро-
проинтегрированного почленно ряда S линейна на (а, Ь), то S и S равномер-
равномерно сходятся на каждом отрезке, лежащем внутри (а, Ь)у
и сумма S равна нулю.
Следующая теорема дает эквивалентную форму условия D.22).
D.24) Теорема. Пусть S = ЪАп (х), F (х)=^- - ^Ап{х)п%\
рассмотрим ряд
~+ 2 (flnsinwx — bncosnx)-^1. D.25)
Мы имеем формулу D.22) для а<х<Ь тогда и только тогда,
когда ряд D.25) сходится равномерно на замкнутом интервале
Ь к неопределенному интервалу от f.

4. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 525
Мы можем предположить, что ао~ О, так что и функция F и
ряд D.25) периодичны. Пусть Ft есть функция F, соответствую-
соответствующая ряду D.25). Если F удовлетворяет условию D.22) при а<
<х<Ь, то Fu получающаяся интегрированием D.2), равна на (а, Ь)
третьему (последовательному) интегралу / и второму интегралу
от абсолютно непрерывной функции
х
\ D.26)
Так как ряд Фурье от абсолютно непрерывной функции сходится
равномерно, то применение теоремы D.20) к ряду D.25) показы-
показывает, что ряд D.25) сходится равномерно к сумме D.26) на каж-
каждом отрезке [а', ft'], целиком лежащем внутри (а, ft). По тео-
теореме B.19), ряд D.25) сходится к L (х) равномерно на (а, ft).
Обратно, если ряд D.25) сходится равномерно на (а, ft) к функ-
функции D.26), то двукратное почленное интегрирование ряда D.25)
немедленно дает функцию D.22) на (а, ft). То же самое заклю-
заключение сохраняется, если мы предположим, что ряд D.25) сходится
к функции D.26) в каждой внутренней точке (а, ft); действитель-
действительно, по теореме D.20), ряд D.25) должен сходиться равномерно
на каждом отрезке [а!, ft'], целиком лежащем внутри (а, ft) и,
таким образом, по теореме B.19), равномерно на (а, ft).
D.27) Теорема. Если ЪАп(х) сходится на (а, ft) за исклю-
исключением, быть может, счетного множества точек к конечной
интегрируемой функции f(x), то ~|~ + ^ сходится равно-
мерно на (а, ft) к неопределенному интегралу от f.
По лемме C.23), функция F удовлетворяет условию D.22) на
(а, Ь), и достаточно применить теорему D.24).
Предположим, что 1>Ап(х) есть S' [Ф], где Ф — функция, рав-
равная на интервале (а, Ь) неопределенному интегралу от некоторой
функции /gL(a, 6). Тогда мы назовем ряд обобщенным рядом
Фурье, связанным с интервалом (а, Ь) и функцией f. Конечно,
ап, Ъп не обязаны стремиться к нулю (хотя они должны быть о (п)).
D.28) Теорема. Пусть S, коэффициенты которого стре-
стремятся к нулю, есть обобщенный ряд Фурье, связанный с ин-
интервалом (а, Ь) и функцией f, и пусть функция f* равна f на
(a, ft) u 0 вне (a, ft). Тогда S и S [f*] равномерно равносходятся
на каждом отрезке [a', ft'], лежащем внутри (a, ft); S и S[/*l
на [а', ft'] равномерно равносходятся в широком смысле.
Это — следствие теоремы D.21), так как функция F(x), соот-
соответствующая 5, удовлетворяет условию D.22) на (a, ft).

526 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Возвратимся к принципу локализации. Риман выводил его из
одной важной формулы, к доказательству которой в несколько
более общей форме мы теперь переходим.
Пусть a<a'<ft'<ft, и пусть А, (х) —функция, которая равна
1 на (а', ft'), равна 0 вне (a, ft), и коэффициенты которой имеют
порядок 0(п'5). Последнее условие можно ослабить, но это не
столь важно.
D.29) Теорема. Пусть коэффициенты ряда 2Л&(л:) стре-
стремятся к нулю, и пусть
Тогда последовательности
п Ь
?$- + 2 (%coskx + bksinkx)—^-^F(t)X(t)^Dn(x-t)dt, D.30)
k=\
b
(ahsinkx—bkcoskx)—±- \ F (t)X(t)^Dn(x — t)dt D.31)
k=i a
сходятся равномерно на [a', ft']. В случае D.30) предел равен 0.
(Здесь Dn и Dn обозначают ядро Дирихле и сопряженное ядро
Дирихле.) Так как интегралы D.30) и D.31) зависят только от
значений функции F (х) из интервала (a, ft), то теорема содержит
принцип локализации.
Чтобы понять смысл теоремы, предположим для простоты, что
а0 = 0, и обозначим 2ЛА (х) через S; тогда функция F периодична
и имеет коэффициенты порядка o(n~z). Предположим на минуту^
что формальное произведение S [F] S [Я] =^Спегпх имеет коэффи-
коэффициенты порядка о(п~2) [это легко доказать, но это не нужно для
доказательства теоремы D.29)]. Тогда РХ0 — Со может рассматри-
рассматриваться как функция Fi (x), соответствующая тригонометрическому
ряду St с коэффициентами, стремящимися к нулю. Так как X = 1
и, таким образом, F = Fi-±C0 на [a', ft'], то разность S — Si схо-
сходится равномерно к нулю на любом отрезке [a", ft"], лежащем
внутри (a,bf) [см. D.3)]. Но последовательность функций D.30)
есть разность п-х частичных сумм рядов S и S"[F1] = S1. Следо-
Следовательно, последовательность D.30) сходится к нулю равномерно
на любом отрезке [a", ft"], лежащем внутри (a', ft'). Другими
словами, формула Римана есть, грубо говоря, следствие прин-
принципа локализации. Единственный недостаток этих рассуждений
состоит в том, что они дают сходимость в [a", ft"], a не в [а', ft'].

4. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 527'
Хотя это не так важно, мы докажем теорему в ее полной форме,
частично из эстетических соображений, частично потому, что вы-
вышеприведенные рассуждения не могут быть применены к случаю-
а'=Ь' (рассмотренному Риманом).
D.32) Лемма. Если V и W — тригонометрические ряды, то
(VW)" = V"W + 2VW + VW,
где произведение понимается в смысле^формального произведения,
а штрихи обозначают почленное дифференцирование.
Если сп, уп, Сп~соответственно [коэффициенты рядов V, Wr
VW, то л-й коэффициент в (VW)" есть
~ 2 сруп_рп2
р=—оо
и достаточно заметить, что
В рассуждениях предполагается, что формальное произведение
в лемме D.32) существует.
Возвращаясь к теореме D.29), предположим, чтоа0 = 0, и обо-
обозначим ^]Ak(x) через S. Разность D.30) есть п-я частичная
сумма ряда
$-S"[FX]=S-{S{F]S[X]}" =
= (S- S" [F] S [Я]) - 2S' [F] S' [Я] - S [F] S" [Я].
Так как S"[f] =S, то
S-S//[^]=5S[l-X]-2S'[f]S'M-S[F] S'ft], D.33)
Замечая, что S, S'[F], S[F] имеют коэффициенты, стремящиеся
к нулю, a S [1 — Я], S' [X], S"(Я) — коэффициенты порядка О(п~3)
и сходятся к нулю на \а', Ь'], мы получаем из теоремы D.9), что
S — S" [FK] сходится равномерно к нулю на [а', Ь']. Это доказы-
доказывает первую часть теоремы. Чтобы доказать вторую часть, заметимг
что, по теореме D.16), ряды, сопряженные каждому из произведений
справа в формуле D.33), сходятся равномерно на [а', Ь'] и что
разность D.31) есть п-я частичная сумма ряда, сопряженного
к S-S"[Fk].
Так как общий ряд 2 An (*) может быть представлен как сумма
двух рядов, где один состоит из единственного члена ~- , а другой

528 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
из остальных членов, то остается доказать теорему D.29) в слу-
случае S =-т?- • Интегрируя дважды по частям, мы видим, что выраже-
выражения D.30) и D.31) равны
2я
-f—JL J {F(t)K(t)}"Dn(x-t)dt, D.34)
0
2я
Dn(x-t)dt D.35)
соответственно. Так как F (t) - ^~ и {F (t) X (/)}" = ~тг на [а', ft'],
то простейший критерий сходимости ряда Фурье и его сопряжен-
сопряженного показывает, что при a'<Jt<ft' выражения D.34) и D.35)
стремятся равномерно к пределу и предел первого есть 0. Тео-
Теорема D.29) доказана.
Замечания, (а) Мы предполагали, что а' < ft', но теорема и ее
доказательство сохраняются, если а'==Ь', при условии, что
X' =Х" = 0 в этой точке. Условие X' = X" = 0 автоматически выпол-
выполняется во всем отрезке [а, ft'], если а' < ft' и коэффициенты X
имеют порядок О(п),
(Ь) Доказательство несколько более слабой теоремы, чем D.29),
которое разъясняет значение формулы Римана, показывает так-
также, что метод формального произведения Райхмана иногда имеет
преимущества по сравнению с первоначальным методом Римана.
Чтобы доказать, что поведение F вне (a, ft) не влияет на поведе-
поведение S внутри (a, ft), следуя Райхману, мы умножаем S на S[X],
где Я —функция, обращающаяся в нуль вне (a, ft); поведение 5S [X]
известно во всех точках. Метод Римана состоит в том, что S инте-
интегрируется дважды, получившаяся функция F (х) умножается на
X (х) и S [FX] дифференцируется дважды. То, что получившийся
ряд St равносходится с 5 на [a', ft'], составляет содержание тео-
теоремы Римана; легко показать, что St сходится к нулю вне (a, ft).
Теорема Римана ничего нам не говорит о поведении ^ в остав-
оставшихся интервалах (а, а) и (ft, ft'). Пользуясь теоремами о фор-
формальном произведении, можно выяснить это поведение из фор-
формулы D.33), и мы видим, что она содержит не только ряд S,
но также и ряд S' [F], полученный после однократного интегри-
интегрирования 5.
Однако следует отметить, что идея Римана введения функции F
в задачу локализации имеет фундаментальное значение. Метод
формального произведения дополняет ее, но ни в коем случае
не может ее заменить.

5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 529
5. Формальное произведение тригонометрических рядов
(продолжение)
Дадим еще несколько приложений теории.
E.1) Теорема. Пусть дано произвольное замкнутое 2л-пе-
риодическое множество Е на действительной оси; тогда существует
тригонометрический ряд с коэффициентами, стремящимися
к нулю, который сходится на Е и расходится вне Е.
Мы знаем, что существует тригонометрический S ряд с коэф-
коэффициентами, стремящимися к нулю, расходящийся всюду
(гл. VIII, § 4). Пусть Х(х) — периодическая функция с коэффи-
коэффициентами, имеющими порядок 0(п), равная 0 на ? и отличная
от 0 вне Е. (См. ниже конструкцию такой функции.) Формаль-
Формальное произведение S на S [X] обладает требуемыми свойствами,
так как по теореме D.9) оно сходится всюду на ? и расходится
на дополнении.
Так как по теореме D.16) ряд, сопряженный этому произведению,
сходится на Е, то степенной ряд 2 ^пегпх, действительная часть
которого представляет собой это произведение, сходится на Е
и расходится всюду вне Е. Поэтому мы имеем следующую теорему:
E.2) Теорема. Для любого замкнутого множества Е, рас-
расположенного на окружности единичного радиуса, существует
оо
степенной ряд 2 anZn с коэффициентами, стремящимися к нулю,
о
который сходится на Е и расходится в остальных точках
окружности.
Возвратимся к функции А,. Рассмотрим все интервалы (а„, рл),
смежные к ? и расположенные на периоде. Пусть А^ (лг) — перио-
периодическая функция, равная
^^}4 на К, рл)
и 0 всюду вне (<хп, рл). Положим
где числа \хп положительны и 2цп<со. Ясно, что функция А, (х)
равна нулю на множестве Е и только на нем, а почленное диф-
дифференцирование последнего ряда показывает, что А/" (х) существует
и непрерывна.
Замечание. Если ряды 5, использованные в последних двух
доказательствах, являются рядами Фурье, то нет нужды обра-
обращаться к теории формальных произведений, а вместо нее можно
использовать теорему F.7) из гл. II.
34 А. Зигмунд, т. I

530 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Единственный всюду расходящийся тригонометрический ряд
с коэффициентами, стремящимися к нулю, который мы до сих пор
знали, это ряд, полученный в гл. VIII, § 4 и фактически являю-
являющийся рядом Фурье. Здесь мы дадим более простую конструкцию
(ряда, не являющегося рядом Фурье).
E.3) Теорема. Ряд
оо
^ COS k (X—In In k)
^J In/г
расходится при всех х.
Положим
ln = [\nn], Ln = ln
In = \Ln, Ln+i),
n+ln
l
cos(kx—Lk)
ii
n-f-l n+1
Ясно, что
^г^->1, E.4)
и так как |sinw|<|tt|, то
п+1п
Gn — Gn(x)K 2llnn 2*2(* —Lkf. E.5)
тг-fl
Предположим, что х?/Л, a k в тех же пределах, что и в
сумме E.5).
Тогда
\x — Lb\<L ^ —L -с 1п -- 1
\Х Lk\^bn+in Ln< nlnn *- —
по теореме о среднем, примененной к функции In In п. Следова-
Следовательно,
п "W^> 2п*\пп '
Правая часть стремится к-r при /г—>оо. Применяя это нера-
неравенство и E.4) к равенству
мы видим, что Gn (дс) делаются больше фиксированной положитель-
положительной величины, когда п достаточно велико. Так как каждое х
принадлежит (mod 2л) бесконечному числу интервалов /п, то отсюда
следует расходимость ряда.

5 ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 531
Применим теперь принцип локализации и формальное произ-
произведение к степенным рядам на границе круга сходимости.
Если ряд
оо
21 апгп E.6)
о
сходится к некоторой точке единичной окружности |г| = 1, то
«тг—>0. Обратное неверно —степенной ряд, действительная часть
которого при z = eix есть ряд из теоремы E.3), расходится в каж-
каждой точке единичной окружности. Справедлива, однако, следующая
теорема:
E.7) Теорема Фату —Рисе а. Предположим, что ап—>0г
так что ряд E.6) сходится при \г\ < 1 к регулярной функции Ф (г)..
Тогда ряд E.6) сходится в каждой точке единичной окружности,
где Ф (г) регулярна, и сходимость равномерна на каждой замкну-
замкнутой дуге регулярности.
Достаточно доказать часть, относящуюся к равномерной сходи-
сходимости. Для простоты мы можем предположить, что ао=О. Непре-
Непрерывная функция
оо
F (*) = — 2 ann-2einx,
1
полученная повторным интегрированием ряда 2 ^neinx, представ-
представляет собой граничные значения при z~eix функции
Пусть [а, Ь] — замкнутая дуга регулярности Ф на единичной
окружности. Для достаточно малого г > О функция Ф регулярна
на замкнутой дуге [а — г, Ь + е]. То же справедливо и для W\
следовательно, функция F бесконечно дифференцируема на
дуге [а —г, Ь + е]. Пусть Х(х) периодична, равна 1 на дуге
fa—\, & + у) и ° вне ДУГИ (а~8' ь + г)- Функция F{(x) =
= k(x)F(x) периодична и имеет столько производных, сколько мы
пожелаем (столько, сколько их имеет X), поэтому мы можем пред-
предположить, что коэффициенты Fx имеют порядок, скажем, 0(п~4).
Но тогда Fi (x) получается при помощи повторного интегрирования
тригонометрического ряда S{ с коэффициентами, имеющими поря-
порядок О(п~2). Последний ряд сходится равномерно, и так как F=:Г
8
на дуге fa —у, Ь + ~) , то отсюда следует, что по теореме D.3)
34*

532 ГЛ. IX РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
2 aneinx и 54 равномерно равносходятся на дуге [а, Ь], т. е. 2 о.пеЫх
сходится равномерно на дуге [а, Ь]. Этим теорема доказана.
Если егх° есть точка регулярности для функции Ф и 2 о>пегпх°
сходится к s, то
s = lim 2 anr"einxo - lim Ф {reixo) =<b(eix<>).
r-*i r-*i
Следовательно, ряд E.6) сходится к функции Ф в каждой точке eix
регулярности.
Условия, наложенные на поведение функции Ф на окружности
круга сходимости, могут быть значительно ослаблены. Если только
^известно, что на дуге [a, b\ F (х) есть двукратный интеграл от функ-
функции / (что заведомо имеет место, если, например, 2 Ып&пХ равно-
равномерно суммируем А на (а, Ь) и тогда / непрерывна), то достаточно
предположить, что функция / удовлетворяет одному из признаков
сходимости рядов Фурье.
Доказательство следующей теоремы, содержащей теорему E.7)
как специальный случай, следует этой идее:
E.8) Теорема. Пусть ап—>0, и пусть Ф(г)=
2 + • • •»121 < 1. Пусть Г — сектор круга | г \ < 1, с дугой
= eix, а<х < Ь). Предположим, что интеграл
E>9)
Г
конечен. {Это заведомо выполняется, если, например, Ф одно-
однолистна и ограничена в Г.) Тогда 2 anZn сходится почти во всех
точках /; сходимость равномерна на любой дуге Г, целиком лежа-
лежащей внутри 1, если Ф(г) допускает непрерывное продолжение на I.
Если Г совпадает с |z|< 1, то E.8) сводится к теореме A0.6)
из гл. VII.
Из конечности интеграла / вытекает конечность интегралов
1 1
\ | Ф' (reix) |2 dr и \ | Ф' (reix) | dr для почти всех х из интервала
о о
(а, Ь). В частности, пределы по радиусам
Ф'
существуют почти для всех х из (а, Ь).

5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 533
Пусть 0 < г < rt < 1. Полагая сначала г4 —> 1, а затем г —> 1
в неравенствах
ь
\ \Ф(г^1х)~Ф(ге1х)\2 dx =
мы видим, что \ \Ф(е1х) — Ф (reix) \2dx—>0 при г—>1. В част-
ности, Ф(егх)?Ь2(а, 6). Отсюда немедленно следует, что
E.10)
равномерно на a<g<6.
Отсюда вытекает, что 2 an (/л) {^ini"}I равномерно суммируем А
и, таким образом, по тауберовской теореме [гл. III, A.36)] рав-
равномерно сходится на а<?<6. Таким образом,
Интегрируя это равенство по ?, получаем сходимость 2 an
и убеждаемся в том, что функция F (х) отличается от двукрат-
двукратного интеграла от Ф(егх) на линейную функцию. Мы покажем, что
функция Ф(егх) удовлетворяет условию к\. на любом отрезке
[а , bf\, целиком лежащем внутри (а, 6), т. е. что
0(eix)|2dJc = o(A). E.11)
Так как функции из А,*, удовлетворяют признаку Лебега сходи-
сходимости рядов Фурье [гл. II, A1.10)]х), то отсюда следует тео-
теорема E.8), в силу теоремы D.21).
г) Рассуждения там даны для функций из Ху2 @, 2я), но они применимы и
в нашем случае.

534 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Предположим, например, что h > 0. Если х и x-\-h из (а, Ъ)
и Ф(е1 ) и ф(е*(*+Л)) существуют, то
|ф (*«<*-:-*>)-ф(е**)|<
|Jo'(z)rfz| + | J O'(z)dz| = P + Q + /?, E.12)
где Ci--сегмент z^geix, I—A<q<1; С2 —дуга z = (l —ft)eilt,
х<гг<.*; + Л и Сз —сегмент z = Qei<*+/l), 1—А<е<1. Легко
видеть, что
о' а' 1— h
Ъ' Ь'
и аналогично \ R2 dx = o(h). Если мы также покажем, что \ Q2dx =
а' а'
= о(/г), то отсюда будет следовать соотношение E.11).
Пусть [а", Ь"\— отрезок, содержащий [а', Ь'} и содержащийся
в (а, Ь). Положим rh = l—к. Для всех достаточно малых h имеем
Ь' Ъ' x+h Ъ"
^eiu)
Ф' {rheiu) |2du. E.13)
\ |Фг (rheia) |2 du
а' а' х а"
Для любого 20 на дуге z = rheij/, а" < и < 6" с достаточно малым/г
и 0 <а < h мы также имеем
2л
~ \ | Ф'
о
Умножая это на а и интегрируя по 0 < а < h, получаем
где dco — элемент площади. Последний интеграл может быть также
записан в виде
где %(z; z0, /г) —характеристическая функция круга с центром
в точке z0 и радиусом h. Следовательно, по неравенству E.13),
Ь'
Q3 dx
(г) |2х (г; гле*и, /г)
{ J
а" | 2*|<1
I г \

5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 535
Внутренний интеграл справа равен нулю, если |z|<l—2/г, он
также равен нулю, если г находится вне Г и h достаточно мало;
для z из Г и удовлетворяющих условию |z|>l—2h интеграл
имеет порядок 0(h). Следовательно,
Ь' Ъ 1
du [ \Of(Qeia)\2dQ=-o{fi).
1 -2/i
Теорема E.8) доказана.
В заключение этого раздела приведем несколько теорем о про-
произведении тригонометрических рядов.
Рассмотрим два ряда
¦и их произведение
ST = ^Cneinx (Cn= S срУд).
p+q=n
Числа Сп определены и стремятся к нулю при п—* оо при условии,
что
Ср~»0, SlYgl<°°- E-14)
Простые примеры показывают, что если 2lYgi<co' T0 обра-
обращение в нуль
в точке х0 не гарантирует сходимости ST в х0 (см. пример 19
в конце этой главы). Первая часть следующей теоремы показывает,
'что положение иное, если ср обращается в нуль в некоторой окрест-
окрестности точки х0:
E.16) Теорема. Предположим, что имеют место условия
E.14) и положим ф (х) = 2 Упе1пх- Тогда
(I) если ф^О б некотором интервале (а, Ь), то и произведе-
произведение ST и сопряженный с ним ряд (ST) сходятся равномерно
<в любом подинтервале (а + е, Ь — е), и сумма ST равна нулю;
(II) если существует функция ф1(х), которая совпадает на
(а, Ь) с ф (х) и такая, что S [ф^ = 2 у'чегпх удовлетворяет усло-
условию 2 I rtYri I <'°°» то в любом интервале (а-ге, b — г) оба ряда
ST-y(x)S, (ST)-(p(x)S
сходятся равномерно, и сумма первого равна нулю.
Доказательство (I) основано на следующей лемме:

536 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
E.17) Лемма. Обозначая через U = 2 Ьпегпх любой абсолют-
абсолютно сходящийся тригонометрический ряд, при предположениях
E.14) имеем ассоциативное соотношение
(ST)U = S(TU). E.18)
Так как коэффициенты ряда ST стремятся к нулю, то левая
часть равенства E.18) определена и п-й коэффициент равен
2 ( 2 cry8)bt= 2 cry86t,
q-\-t=n r-\-s~q r-\-s-\-t~n
при этом ряды справа абсолютно сходятся. Так как ряд TU абсо-
абсолютно сходится, то правая часть в равенстве E.18) также опре-
определена и п-й коэффициент в ней равен
2 ( 2 vA)^r= 2 cry8bt.
r_j_q_n S-\-t=q r-fs-ff=n
Это доказывает лемму. (Разумеется, было бы достаточно предпо-
предположить, что сп = ОA).)
Пусть ?/ = S[A,], где X равна 1 в (а + е, Ь — е), равна 0 вне
(а, Ь) и имеет коэффициенты порядка О(м). Так как TU — 0,
то равенство E.18) показывает, что (ST)U сходится равномерно
к нулю и, пользуясь теоремой D.9), видим, что ST сходится
равномерно к нулю на (а + е, b — е). Отсюда вытекает, что (ST)
сходится равномерно на (а+2е, Ь — 2е) и, таким образом, на
(а + е, Ь — е).
Чтобы доказать (II), положим
ST = SS [ф] = SS [ф - ф4] + 5S Ш.
По (I), 5Б[ф — ф4] сходится равномерно к нулю на (а + е, Ь — е)
и по теореме D.9) 5S [ф^ равномерно равносходится с q>i(x)S =
= (p(x)S на (а, Ь). Следовательно, ряд ST равномерно равносхо-
равносходится с рядом ф(хM на (а + е, Ь — е). Аналогично доказывается
результат относительно сопряженного ряда (ST).
E.19) Теорема. Пусть S = ^>]cveivx, где cv—>0, и пусть
T = 2Yv^ivx, где 2lYv|<oo. Тогда:
(I) если ряд S сходится к 0 на а < х < 6, то и ST там схо-
сходится',
(II) если ряд S сходится на (а, Ь) к конечной функции f ? L (а, Ь)
или, более общо, если функция F, полученная после двукратного
почленного интегрирования ряда S на (а, 6), есть двукратный
интеграл от /gL(a, b), то на любом отрезке [а', Ьг], целиком
лежащем внутри (а, Ь), ряд ST равномерно равносходится с S [ф/*Ь
где ф.(х) есть сумма ряда 2 Yv^ivx u f*=f на (а> Ь) и 0 всюду
вне (а, 6).

5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 537
(I) Если cv—>0, 2lYv|<°° и если [/ — любой абсолютна
сходящийся ряд, то имеет место формула
которая доказывается так же, как и равенство E.18). Пусть теперь
i/ = S [Я], где функция X та же, что и выше. Так как ряд SU
сходится к нулю всюду, и, таким образом, есть тождественный
нуль, то то же самое имеет место и для ряда (SU)T = (ST)U,
откуда вытекает, что ряд ST равномерно сходится к нулю на
(а\ V).
(II) По теореме D.3), S = S[/*] + S1, где ряд St сходится
к нулю на а<х<Ь, и достаточно заметить, что S [/*] Т = § [<р/*]
и что по (I) ряд ST сходится к нулю на а < х < 6.
E.20) Теорема. Если два тригонометрических ряда S и Т
имеют коэффициенты порядка oijf1) и О (п'1) соответственно-
и сходятся в точке х0 к суммам s и t, то произведение ST схо-
сходится в х0 к st.
Заключение теоремы неверно, если оба ряда имеют коэффи-
коэффициенты порядка О (я). Действительно, если S = T = 2 n~1sinnx,
то оба ряда сходятся в точке х = 0 к сумме 0, в то время как
произведение ST, являющееся рядом Фурье для < —^— \ в | х \ < я
сходится при х = 0к я2/4 (см. пример 21 на стр. 585).
Мы можем предположить, что хо = О. Вычитая s из свободного'
члена ряда 5, мы можем также предположить, что s = 0. Пусть
Ряды, определяющие Cv, сходятся абсолютно и
?t +oo -f-°° n—p
— n p~—oo P=— oo \= — n—p
2 + 2 4 2 =Pi
l^2 \p\>2n
Надо показать, что Sn—>0. (Как мы увидим, в нашем частном
случае, s = 0, достаточно предположить, что tn~0A).)
Пусть т = -^ I. Для | р | < т рассматриваем отдельно поло-
положительные и отрицательные р; имеем
71 —р П—\ р | П+| Р I
V=-»J-p ~(n~\p\) w_|p|_f_l

.538 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
так
и
что
п-р
v=—n—p
1 р !^m
я-lPl-
m
f ipI
I P \^m
р=0
Пользуясь формулой E.21) также и для т < | р \ < п, находим
т<| р |<п т<| р |<п
Аналогично, замечая, что для | р \ > /2 имеем
п-р | р |-fn
2 *-{
2 {
v=—гг —р | р | —
находим, что Р3 стремится к нулю.
Наконец, пользуясь последним равенством, получаем
- 3 °
| р 1>2п р>2п
и, подытоживая все результаты, видим, что Sn = Pi-\-P2-\-Pz \-
+ /^4 = ^A). Это доказывает теорему E.19).
Рассмотрим синус- и косинус-разложение функции fgL(O, я).
В то время как оба разложения равномерно равносходятся на
любом отрезке, целиком лежащем внутри @, я), их поведение
в точке х = 0 (или х — я) может быть совершенно различным.

5. ФОРМАЛЬНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ 539
E.22) Теорема. Предположим, что
со
S ansmnx, E.23)
71=1
E.24)
71=1
являются синус- и косинус-разложениями функции /gL(O, я)-
Тогда
(I) если ап = о (п'1), то ряд E.24) сходится при х =0 к сумме 0;
(II) если ап = О (п) и f непрерывна в 0, то ряд E.24) схо-
сходится равномерно при х = 0;
(III) если ап = О(п~1) и f непрерывна в окрестности 0<х<б,
то ряд E.24) сходится равномерно в [0, б].
(I) Пусть х ix) = sign л: (| л: | < я). В силу теоремы D.13) гл. I,
crvl_4V sinBv+l)* __ 2 "^ e<2v+i)ix
2^=1: "л"
Так как ряд E.24) есть произведение ряда E.23) на S[xL то (I)
следует из теоремы E.20).
(II) Анализ доказательства теоремы E.19) показывает, что если
(в предыдущих обозначениях)
для всех /г, то |Sn|<^e, где Л —абсолютная постоянная.
Предположим сначала, что f ( +0) = 0; тогда частичные суммы sn
для E.23) сходятся равномерно при х = 0 [гл. III, C.8)]. Следо-
Следовательно, опуская, если нужно, несколько первых членов в ряде
E.23), имеем |sn(*)|<e для |х|<т]. Так как частичные суммы
S fxl равномерно ограничены, то отсюда следует, что частичные
суммы Sn(x) ряда E.24) удовлетворяют условию | Sn (x) |<Ле для
|х|<т], и так как вклад в Sn(x) опущенных членов сходится
равномерно к пределу, то (II) установлено. Случай /(+0)^=0
сводится к предыдущему при помощи вычитания f D- 0) S [х] из
ряда E.23).
(III) Для любого х, внутреннего к @, я), из равномерной
сходимости ряда E.23) следует равномерная сходимость ряда E.24).
Следовательно, в силу (II), ряд E.24) сходится равномерно в каж-
каждой точке отрезка [0, б] и, таким образом, сходится равномерно на
этом отрезке.
Мы можем поменять ролями синус- и косинус-ряды в теореме
E.22). В отличие от (I) утверждение (II) имеет следующий инте-

540 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
ресный аналог: если а'п = О (п'1), f непрерывна при х = 0 и /@) = 0у
то ряд E.23) сходится равномерно в точке х = 0. Аналогичное
обобщение имеет место и для (III). Доказательство не меняется.
6. Множества единственности и множества неединственности
Множество Е называется множеством единственности, или
U-множеством, если каждый тригонометрический ряд, сходя-
сходящийся к нулю вне ?, обращается в нуль тождественно. В § 3 мы
показали, что каждое счетное множество есть U-множество. Если
Е несчетно, но не содержит никакого совершенного подмножества
(такие множества существуют, если допускается аксиома Цермело),,
то Е также есть U-множество. Это следует из того факта, что
множество точек, где тригонометрический ряд не сходится к нулюг
есть борелевское множество, и, таким образом, если оно не со-
содержит совершенного подмножества, то должно быть счетным; отсюда
вытекает, что ряд обращается в нуль тождественно.
Если Е есть U-множество, то любое его подмножество также
есть U-множество.
Множество ?, которое не является U-множеством, называется
множеством неединственности, или М-множеством. Если Е есть
М-множество, то существует тригонометрический ряд, который
сходится к нулю вне ?, но не равен нулю тождественно.
Каждое множество Е положительной меры есть Ж-множество.
Действительно, пусть Ех — совершенное подмножество множества Ег
| Et | > 0, и пусть f (х)— характеристическая функция множества Е1в
Ряд Фурье функции f сходится к нулю вне Еи а следовательно,
и вне ?, но не равен нулю тождественно, так как его свободный
член равен | Et | BЯ) > 0.
Отсюда следует, что остается изучать только множества меры
нуль, и очень любопытно, что среди совершенных множеств меры
нуль, мы находим как U-множества, так и М-множества. Вероят-
Вероятно, для данного множества Е меры нуль принадлежность его
к типу U или М скорее зависит от арифметических, нежели от
метрических свойств ?, и проблема характеристики множеств U
и М в структурных терминах все еще не решена.
Сейчас мы построим семейство совершенных U-множеств.
F.1) Теорема. Множество Е есть U-множество, если суще-
существует последовательность периодических функций ^ (jc), А2(х), ...,
имеющая следующие свойства:
(I) все къ обращаются в нуль на Е\
(II) каждый ряд Фурье S [ки\ = 2 у^гпх удовлетворяет условию

6. МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕН. И МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ 541
(П1) 2 I Y? I < Л (Л = 1, 2, ...; Л «е зависит от k)\
(IV) lim у?=0 для пфО;
k
Мы можем предполагать, что |?|=0. Предположим, что
5-2 cneinx F.2)
— оо
сходится к нулю вне множества Е\ по теореме A.2), сп—>0.
В силу свойств (I) и (II) и теоремы D.9), произведение
сходится к нулю и на множестве Е (так как ^ = 0 на Е) и вне
множества Е (так как S сходится к нулю вне Е). Отсюда сле-
следует, что произведение обращается в нуль тождественно. В част-
частности,
Q = 2 c-nykn = соУь + 2' с^у\ = 0.
п
Но из свойств (III) и (IV) вытекает, что для фиксированного N
2' С-пу^-^0 при ?—^оо,
, Ш |<ЛГ
| 2 С-^
[п>|ЛГ
Отсюда следует, что
2^-nYn-^0 ПРИ fe-^00,
и, таким образом, соу^—^О, что по свойству (V) дает с0 = 0.
Следовательно, свободный член любого ряда S, сходящегося
к нулю вне множества Е, равен нулю. Это показывает, что все
коэффициенты S должны равняться нулю; действительно, если
Ck Ф 0 при некотором к, то формальное произведение ряда S на
e-ikx есть рЯД^ сходящийся к нулю вне ?, свободный член кото-
которого не равен нулю, что невозможно. Этим доказательство теоре-
теоремы F.1) заканчивается.
F.3) Теорема. Каждое множество типа Н есть множе-
множество единственности.
*) Выбрав подпоследовательность {Х^} и разделив ее на соответствующие
постоянные, мы можем заменить условие (V) на (V') yk — \. Условия (IV)
я (V) означают, что S [^fc] почленно стремится к SW-

542 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Пусть Е — множество типа Н. Это значит, что существует
последовательность целых чисел щ < п2 < ... и интервал А, такиег
что для х?Е все числа щх находятся вне A, mod2ji. Пусть
к (х) — периодическая функция, имеющая три непрерывных произ-
производных, равная нулю вне А и положительная внутри А. Положим
inx
U (х) = X (nkx) = 2 Упе1ппьх = 2 ykne
легко проверить, что Xk удовлетворяют условиям (I) — (V) тео-
теоремы F.1). Следовательно, Е есть U-множество.
В частности, канторово троичное множество, построенное на
[О, 2я], есть U-множество.
Мы рассмотрим теперь некоторое обобщение Н-множеств.
Обозначим точки или векторы в m-мерном евклидовом пространстве
Rm через (*', х", ..., хш)). Предположим, что мы имеем по-
последовательность векторов V1? V2, ... с целыми положительными
компонентами
Vk = (nk, til, ..., <m)). F.4)
Назовем последовательность {Vk} нормальной, если для каждого
фиксированного не нулевого вектора (а\ а", . .., а(т)), компоненты
которого — целые положительные числа, имеем
| a'n'k _j_ п"п1 _|_ ... Ч- a^rtjw | _> со при k —> oo.
Положив все а^\ за исключением одного, равными нулю, мы
видим, что каждое п^р стремится к оо вместе с k. Последова-
Последовательность {Vk} нормальна, если, например, n'k и все дроби nklrikr
n'k'/tik, ..., nW/n^-V стремятся к -f oo.
Говорят, что множество Е имеет тип Н(т), если существует
нормальная последовательность Vu V2, ... и область А в Rn\
такие, что для каждого х?Е точки
(пкх, nix, ..., п^)х) F.5)
лежит вне A(mod2n) [т. е. если А не имеет точек, координаты
которых сравнимы по пюс12(я с координатами F.5)]. Для т = 1
получаем Н множества. Очевидно, что замыкание Н(т) множества
есть также Н(т) множество.
F.6) Теорема. Всякое множество Н(ГП) есть множество
единственности.
Достаточно рассмотреть случай т = 2, так как он типичен.
Пусть Е есть множество типа НB). Мы можем предположит^
что А есть прямоугольник a'<x'<6', a"<*"<b". Обозначим
через (п'и, n'k) такую нормальную последовательность, что для

6. МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕН. И МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ 543»
каждого х?Е точки (n'kx, n"kx) не попадают в А. Пусть \ii{x) =
= 2 &'veivx — периодическая функция, имеющая три непрерывные
производные, обращающаяся в нуль вне (а', Ь') и положительная
внутри (а', Ь')\ обозначим через \х2 (х) = 2 &veivx аналогичную
функцию для интервала (а", 6"). Произведение \ii(xf)\i2(xff) равно
нулю вне А и положительно внутри A(mod2jt). Положим
Кк (х) = (Al (n'hx) ix2 {nix) = 2 b've^x 2 6';eiv^x -= S Y^1"*.
Ясно, что X/j (x) обращаются в нуль на Е. Аналогично так как
формальное произведение 2 ?*п?гпх двух любых рядов 2 d'veivx
и 2 dyeivx удовлетворяет неравенству 2 I ?*п|< 2 I ^vl 2 l^v I» T(>
и после дифференцирования
Следовательно, ЯА удовлетворяют условиям (I), (II) и (III) теоре-
теоремы F.1). Покажем теперь, что условия (IV) и (V) тоже выполнены.
Положим
ykn= f 2 щ b'vW F.7>
и рассмотрим сначала случай п = 0. Тогда
Yo = бо6о+ 2 п 6
и мы покажем, что последняя сумма (в которой | vr \ -f- ] v" | > 0)
стремится к нулю при k—^co. Зафиксируем N и разобьем сумму
на две, 2<1} и 2<2)» собирая в 2Ш все члены с |v'|<W, |v"|<iV.
Так как последовательность {(n'k, п'и)} нормальна, то vrnk-\- v'n'i
не может быть 0, если |v'|<//, |v"|<A/, v; и v" одновременно
не 0 и k достаточно велико. Следовательно, 2Ш = 0 для доста-
достаточно больших k. В 2<2> или lv'l» или lv"l должно быть больше
чем N и, таким образом,
>( S iMCS|s;i)+( ? ie?
|V|>JV -oo |V|>JV
Так как правая часть произвольно мала при достаточно боль-
больших N, то мы видим, что 2A) + 2'B)~~~>0 при fe—>оо. Это дока-
доказывает, что yJ—> 8q6" > 0 при k—> oo, и условие (V) проверено.
Предположим теперь, что п Ф 0. В формуле F.7) сумма справа
не содержит пары (v', v") = @, 0). Следовательно, рассуждая как

544 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
и выше, мы видим, что у^—>0 для каждого п Ф'О и условие (IV)
установлено. Таким образом, последовательность Kh удовлетворяет
всем условиям теоремы F.1) и Е есть U-множество.
F.8) Теорема. Для того чтобы замкнутое множество Е
было Ж-множеством, необходимо и достаточно, чтобы суще-
существовала функция Ф (*), — оо < х < + оо, постоянная на каждом
смежном к множеству Е интервале, но не тождественная по-
постоянная, и которая после вычитания надлежащей линейной функ-
функции становится периодической функцией с коэффициентами
Фурье порядка о(-\
Предположим, что 5= ^]спегпх сходится к нулю вне Е, но не
всюду. По принципу локализации 5 сходится равномерно на
каждом отрезке, не имеющем общих точек с множеством Е. По-
Поэтому, интегрируя почленно S, видим, что в равенстве
Ф (х) = сох + 2' сп (m)~ Vn* F.9)
ряд сходится вне Е, что сумма Ф(х) постоянна на каждом смеж-
смежном к Е интервале, что периодическая часть ряда есть 5[Ф~с0х]
и что его коэффициенты имеют порядок о(п~х). Функция Ф не
может быть тождественной постоянной, так как в противном слу-
случае периодическая часть для Ф была бы равна линейной функции,
а это возможно только тогда, когда со=О, с1 = с_1 = с2= ... =0.
Обратно, предположим, что существует функция Ф (х), которая
постоянна на каждом смежном к Е интервале, но не тождественно
постоянна и для которой Ф — сох при соответствующем с0 перио-
периодична и имеет коэффициенты порядка о(п~1). Запишем
Ф (*) - сох ~ С + 2' Сп (m)"Vn*f F.10)
где сп —> 0. Пусть S4 = 2' спегпх — ряд, полученный почленным
дифференцированием правой части. Так как ряд Фурье можно
интегрировать почленно, то функция Римана Ft= — ^'спп~%егпх,
связанная с St и полученная интегрированием ряда 2 из соот-
соотношения F.10), отличается от — -it- на линейную функцию на
каждом смежном к Е интервале. По принципу локализации D.3)
St сходится к —с0 вне Е, т. е. iS = co + 51=:2 спегпх сходится
к нулю вне Е. Ряд 5 не может быть тождественным нулем, так
как совместно с F.10) это бы означало, что Ф —тождественная
постоянная. Следовательно, Е есть М-множество.
Замечание. Если Е есть М-множество, то существует три-
тригонометрический ряд, сходящийся к нулю вне Е, но не всюду,

6. МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕН. И МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ 545
и имеющий свободный член, равный нулю. Предположим, что ряд 5
сходится к нулю вне Е, но не всюду; ряд 5 должен иметь по
крайней мере один коэффициент с&, отличный от нуля. Если / Ф k, то
T = cke-iixS-cle-ikxS
есть требуемый ряд: он имеет свободный член, равный нулю, схо-
сходится к нулю вне Е, но не всюду, так как множество точек Еи
в которых ряд 5 не сходится к нулю, заведомо бесконечно, и по
теореме [4.9] ряд сходится к нулю только на конечном подмноже-
подмножестве множества Еи именно в тех точках, где cke~iLx — cte~itiX = 0.
Из этого немедленно следует, что если Е — замкнутое множе-
множество неединственности, то существует периодическая функция
Ф(х), постоянная на смежных интервалах Е, но не всюду, и имею-
имеющая коэффициенты порядка о (я'1).
Назовем множество Е множеством неединственности в узком
смысле, или Mo-множеством, если существует ряд Фурье — Стиль-
тьеса S [с1Ф], сходящийся к нулю вне Е, но не всюду. Если | ? | =0
(единственный интересный случай), то Ф'(л:)=0 почти всюду [см.
гл. III, (8.1)] и функция Ф сингулярна.
F.11) Теорема. Для того чтобы замкнутое множество Е
было Мо-множеством, необходимо и достаточно, чтобы суще-
существовала функция Ф (х) с ограниченным изменением на каждом
конечном интервале, постоянная в любом смежном интервале
к ?, но не на ( — со, +оо), удовлетворяющая условию
Ф (х + 2я) - Ф (х) = Ф B я) - Ф @) F.12)
и имеющая коэффициенты Фурье — Стильтъеса, стремящиеся
к нулю.
Доказательство аналогично доказательству теоремы F.8). Пред-
Предположим, что 5 = S \с1Ф] = J! спегпх сходится к нулю вне Е. Тогда
коэффициенты Фурье для с1Ф стремятся к. нулю, функция Ф
задается с точностью до постоянного слагаемого формулой F.9)
и, таким образом, как показывает доказательство необходимости
в теореме F.8), является постоянной на каждом смежном
к Е интервале, но не на (— со, +оо). Более того, из формулы
F.9) вытекает условие F.12). Обратно, предположим, что суще-
существует функция Ф, имеющая свойства, сформулированные в тео-
теореме F.11). Доказательство достаточности в теореме F.8) пока-
показывает, что ряд S=S[gKP] сходится к нулю вне Е, но не всюду.
Как и в случае М-множеств, мы можем заменить условие F.12)
условием периодичности функции Ф.
В связи с теоремой F.11) напомним, что если коэффициенты
ряда Фурье — Стильтьеса с1Ф стремятся к нулю, то функция Ф
обязательно непрерывна [гл. III, (9.6)].
35 А Зигмунд, т. I

546 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
F.13) Теорема. Пусть Е — замкнутое U-множество и Ф(х)у
— оо < х < + °° —функция с ограниченным изменением на [0, 2л],
удовлетворяющая условию F.12) и постоянная на каждом смеж-
смежном интервале, но не тождественная постоянная. Тогда коэф-
коэффициенты ряда Фурье — Стильтьеса с1Ф не имеют порядок оA)
и коэффициенты ряда Фурье функции Ф (х), 0 <л; < 2я, не имеют
порядок о (п'1).
То, что коэффициенты ряда Фурье—Стильтьеса с1Ф не стремят-
стремятся к нулю, следует из теоремы F.11). Если ФBя — 0) Ф Ф( + 0),
то функция Ф(х), продолженная по периодичности с 0<хч<2л,
имеет скачок, и, таким образом, коэффициенты ее ряда Фурье,х оче-
очевидно, не имеют порядок о (я). Если ФBя —0) = Ф@),\то
SUftD] = S'№» и так как коэффициенты ряда Фурье — СтильтьеЪа
с1Ф не стремятся к нулю, то коэффициенты ряда Фурье Ф(х),
0 2я, не имеют порядок о^).
F.14) Теорема Д. Е. Меньшова. Существует совершен-
совершенное М-множество меры нуль.
Мы не приводим оригинального доказательства Д. Е. Меньшова,
так как эта теорема есть следствие результата, который будет
доказан позднее и который мы предположим сейчас доказанным.
Зафиксируем число ?, 0 < g < V2, и обозначим через ЕA)
множество с «постоянным отношением разбиения» (гл. V, § 3),
построенное на [0, 2я] так, что на каждом шагу «белые» интер-
интервалы делятся в отношении ?, 1—2?, g и выкидывается централь-
центральная часть. Мера Е (I) равна 0. Пусть Ф(х) — сингулярная функ-
функция Лебега, связанная с ?"(?). В гл. V, C.5) была получена
явная формула для коэффициентов ряда йФ. Проблема поведения
сп при п—^ оо будет решена в гл. XII, §11, где будет показано,
что спфо{\) тогда и только тогда, когда б^^ есть целое
алгебраическое число, все сопряженные к которому по модулю
меньше I1). Отсюда следует, что, за исключением таких ?, ко-
которые образуют счетное множество, мы всегда имеем сп—>0, и
Е (Е) есть, в ' силу теоремы F.11), М- (и даже Мо-) множество.
Целые алгебраические числа, все сопряженные к которым лежат
внутри единичного круга, будем называть S-числами2).
Замечания, (а) Только что сформулированный результат пока-
показывает, что среди множеств ?"E) М-множества более многочислен-
многочисленны, чем U-множество.
*) Это означает, что 6 является корнем симметрического полинома с це-
целыми коэффициентами и с коэффициентом при старшем члене, равном 1, у
которого все остальные корни (сопряженные с 6) меньше по модулю 1. —Прим.
ред.
2) Обычно их называют числами Пизо.—Прим. ред.

6. МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕН. И МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ 547
(b) Этот результат ничего не говорит об U- или М-характере
множества ?"(?), если 0 есть S-число, так как утверждается
только, что коэффициенты специальной функции Ф не стремятся
к нулю. В частном случае, однако, когда 0 есть целое рациональ-
рациональное @=3, 4, ...), ?(?) = ?@"*) есть Н-множество (см. § 1) и,
таким образом, есть U-множество.
(c) Хотя все множества Е (?) имеют меру 0, однако естествен-
естественно считать, что «толщина» множества Е (?) растет вместе с чис-
числом ?. В частности, ?B/з) «толще», чем ?DАз)- Тем не менее ?(*/з)
как Н-множество есть множество единственности, в то время
как ?DАз) есть множество неединственности. Это показывает,
что не столько метрические, сколько арифметические свойства
множества определяют его как U- или М-множество.
Если Et и Е2 — множества единственности, то их сумма Ei-\-E2
может быть множеством неединственности. Мы получим пример
этого, разбивая совершенное М-множество меры 0 на два подмно-
подмножества Ei и Е2 без совершенных подмножеств. Тогда Е1 и Е2
являются U-множествами (стр. 540), но их сумма не есть U-мно-
U-множество. Множества Е± и Е2 имеют меру 0, но не являются боре-
левскими множествами. Будет ли сумма двух U-множеств, изме-
измеримых по Борелю, U-множеством, не известно. Для замкнутых
множеств имеем следующую теорему:
F.15) Теорема Н. К. Бари. Если Еи Е2, ..., Еп, ...—
замкнутые U-множества, то их сумма Е = ?t + Е2 + ... + Еп + .. fc
есть U-множество.
Доказательство основано на двух леммах.
F.16) Лемма. Пусть Щ —замкнутое U-множество, содержа-
содержащееся в открытом интервале J. Предположим, что тригономе-
тригонометрический ряд S
(I) имеет частичные суммы, ограниченные в каждой точке J — Ш
(II) сходится к нулю почти всюду на J.
Тогда он сходится к нулю всюду на J.
По (II) коэффициенты ряда S стремятся к нулю. Пусть Ji —
открытый интервал, лежащий на J и не имеющий общих точек
с Щ, и пусть А»! (х) — функция, имеющая три непрерывные произ-
производные, равная 0 вне Ji и положительная на Jt. Так как частич-
частичные суммы ряда S ограничены в каждой точке Jx и сходятся
к нулю почти всюду на Ju то формальное произведение Si=.
= S[A,1]S имеет частичные суммы, ограниченные в каждой точке
отрезка [0, 2я], и сходится к нулю для почти всех х. По тео-
теореме C.19) ряд St тождественно равен нулю и, таким образом,
ряд S сходится к нулю на У4. Отсюда следует, что ряд S схо-
сходится к нулю на J — Щ.
35*

548 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Если теперь X (х) обращается в нуль вне J и положительна
на /, то произведение SS [К] сходится к нулю в каждой точке,
не принадлежащей %. Следовательно, оно равно нулю тожде-
тождественно. Отсюда следует, что ряд S сходится к нулю на J.
F.17) Лемма. Множество N, являющееся произведением
счетного числа открытых множеств, не может быть множе-
множеством первой категории на самом себе, т. е. не может иметь
вид 2 Nu где Nt — неплотные множества на N.
Если N множество замкнутое, то это есть теорема A2.1) из
гл. I. Доказательство в общем случае аналогично. Обозначим
через </t,/2, ... открытые интервалы, а через 7Ь J2, ... их замы-
замыкания. Запишем, что N =GiG2 ..., где G* —открытые множества.
По предположению, существует такой интервал </1? что J{N непусто
и /t не имеет общих точек с Л/у, мы можем также предположить,
что JidGi. Аналогично существует интервал J2, такой, что
J2CIJ1, J2N непусто и J2 не имеет общих точек с Л/2; более
того, J2dG2. Вообще существует интервал Jn, такой, что JnCZ
aJn-i, JnN непусто, Jn не имеет общих точек с Nn и JnCZGn,
п^=2, 3, Так как Л ZD «/2~D ... и JndGn, то существует
точка х0, принадлежащая всем Jn и множеству N = GiG2 .... Но
так как xo?jn, то х0 не может принадлежать Nn для всех п. Это
противоречит тому, что N=^]Nn, и доказывает лемму.
Возвратимся к теореме F.15) и предположим, что существует
тригонометрический ряд S, сходящийся к 0 вне Е, но не всюду.
Так как | Е \ < 2 | Еп \ ~ 0, то ряд 5 сходится к нулю для почти
всех х. Пусть N — множество точек, в которых частичные суммы
S неограничены. N непусто; в противном случае по теореме C.19)
ряд S должен был бы быть тождественным нулем.
В гл. I, § 12 было показано, что N есть счетное произведение
открытых множеств. Запишем Ni=NEt. Имеем
По лемме F.17), некоторое множество Nt, скажем множество Nio,
не является неплотным на N\ таким образом, существует откры-
открытый интервал /, такой, что произведение NJ непусто и N{QJ =
= Ei0NJ плотно на NJ. Так как Eio замкнуто, то имеем EioNJ =
= NJ и, в частности,
NJCZEi0J,
что означает, что некоторая порция множества N целиком состоит
из точек множества Eio.
Уменьшая, если нужно, интервал /, мы можем предположить,
что его концы не принадлежат множеству Eio. Следовательно,

6. МНОЖЕСТВА ЕДИНСТВЕН. И МНОЖЕСТВА НЕЕДИНСТВЕННОСТИ 549
множество % = EiQJ = E{QJ есть замкнутое множество единствен-
единственности, расположенное на открытом интервале J. Так как ряд S
сходится к нулю почти всюду на интервале J и так как в каж-
каждой точке множества
J — M = J — EioJc:J — NJ
частичные суммы S ограничены, то лемма F.16) показывает, что
ряд S сходится к нулю на J. Это противоречит тому, что NJ Ф О,
и теорема F.15) доказана.
Пусть дано множество Е; обозначим через Ех множество
точек Кх, где х g E. Доказательство следующей теоремы отложим
до гл. XVI, § 10.
F.18) Теорема. Предположим, что Е и Ех являются под-
подмножествами [0, 2л]. Тогда если Е есть U-множество, то и Е\
есть U-множество.
Две последние теоремы связаны с несколько иным аспектом
теории единственности.
Назовем множество Е меры нуль U*-множеством, если оно
обладает следующим свойством: если тригонометрический ряд
сходится вне множества Е к конечной и интегрируемой функции /,
то S = S[/]. Каждое и*-множество есть U-множество. Верно ли
обратное, не известно, за исключением случая замкнутых множеств.
F.19) Теорема. Пусть Е — замкнутое множество меры 0,
расположенное на [0, 2я], и S — тригонометрический ряд, сходя-
сходящийся вне Е к конечной интегрируемой функции f. Тогда раз-
разность St = S — S [/] есть ряд, сходящийся к нулю вне множе-
множества Е. В частности, S=S[f], если Е есть U-множество.
Это получается немедленно. Действительно, на каждом смеж-
смежном интервале множества Е функция Римана, полученная при по-
помощи двукратного почленного интегрирования ряда S, отличается
от двукратного интеграла от функции / на линейную функцию.
Так как то же самое имеет место и для S[/], то принцип лока-
локализации показывает, что ряд^ сходится к нулю вне ?.
Предположения теоремы F.19) могут быть несколько ослаб-
ослаблены, именно вместо сходимости ряда S можно предположить, что
верхние /* и нижние f* суммы ряда S конечны почти в каждой
точке вне множества Е и интегрируемы. Тогда f*=f# почти всю-
всюду, и ряд S —S[/*] сходится к нулю вне Е.
Вернемся к U-множествам. Пусть е = (е0, еь е2, ...) —после-
—последовательность положительных чисел, монотонно стремящихся
к нулю. Назовем множество Е U (^-множеством, если любой
ряд S=^1cnelnx, сходящийся к нулю вне множества Е и удов-
удовлетворяющий условию
кЛ|<е,п1 F.20)

550 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
для всех п, необходимо обращается в нуль тождественно. Конечно,
если последовательности е и е' пропорциональны одна другой, то
U (е) и U(e') совпадают.
F.21) Теорема. Для каждой последовательности е =
= (е0, еь ...), убывающей монотонно к нулю, безразлично на-
насколько медленно, существует U (г)-множество положительной
меры.
Доказательство аналогично доказательству того, что Н-мно-
жества являются U-множествами.
Обозначим расстояние от точки х до ближайшего целого числа
через {х}\ таким образом, 0<{x}<1/2. Пусть бь б2, ...—после-
...—последовательность положительных чисел, меньших -^ и стремящих-
стремящихся к 0, которые будут определены позднее, и пусть Ял —множе-
—множество точек из [ — я, я], в которых
>Ьп. F.22)
Отрезки, из которых состоит Еп, разделены интервалами дли-
длины Anbjn. Зафиксируем последовательность п1 < п2 < ... и по-
положим
Е=ЕП1Еп%... • F.23)
Покажем сначала, что если {nk} растет достаточно быстро, то
| Е | > 0. Действительно, положим Sk = ЕП1.. .Enk* Возьмем nt= I,
и так как | Еп \ —> 2п, то можно определить пъ п3, ... последова-
последовательно так, чтобы |SA+1|>A—2~k)\Sk\ для k= I, 2, .... Тогда
| Е | = lim | Sk | > | Ei | П A —2~h) > 0.
i
Далее, рассмотрим функцию
X(x, A)- 1 + 2 (^K«ivI = 2 Yv(A) ^vx-
—oo
где 0</г<-^-я. Эта функция равна нулю при ЗЛ<|л:|<я
(см. гл. V, пример 4).
Наконец, определим последовательность положительных чисел
hn, стремящуюся к нулю и такую, что
An8eriLl->0 F.24)
L2 J
и определим бп в неравенствах F.22) условием
ЗЛд = 2бдя. F.25)

7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 551
Определив таким образом Еп, покажем, что каждое
множество F.23) есть U (е)-множество. Предположим, что ряд
5 = ^ сп einx, удовлетворяющий условию F.20), сходится к нулю
вне Е. В частности, ряд S сходится к нулю вне каждого мно-
множества ЕПк. Так как, в силу условия F.25), X (nkx, hnk) равна
нулю на множестве Enk, то произведение SS [A, (nkx, Kk)\ равно
нулю тождественно. У этого произведения m-й коэффициент равен
и так как |c7l|<6|rt| при пк>2\т\, то получаем
km |< 8р| 2' | Yv (hnk) |<Вщ hn\ 2' V-3.
До условию F.24), где n=nk, правая часть здесь стремится к ну-
нулю при k—>оо. Следовательно, ст = 0 для всех т. Так как для
соответствующей последовательности {nk} имеем | Е | > 0, то тео-
теорема F.21) доказана. U (е)-множество может иметь меру, произ-
произвольно близкую к 2я; не известно, существуют ли U (е)-множества
меры 2я.
7. Проблема единственности тригонометрических рядов для
методов суммирования
В предыдущем параграфе мы доказали несколько теорем о един-
единственности представления функций тригонометрическими рядами
в смысле сходимости. Так как, однако, существует ряд Фурье,
расходящийся всюду (гл. VIII, § 4), то естественно поставить
вопрос о теоремах единственности для методов суммирования. Мы
ограничимся методом суммирования Абеля в связи с его важно-
важностью в теории функций. Так как метод Абеля может применяться
и к рядам, члены которых не стремятся к нулю, то мы сначала
должны исследовать условия, которые следует наложить на коэф-
коэффициенты рассматриваемых рядов.
Пусть
P(r, x) = -^-
1—t
2 1 —2rcos.
1
Абелевыми средними ряда
со
G.1)

552 гл. ix. римановская теория тригонометрических рядов
является
1
и мы сразу видим, что ряд G.1) суммируем А к нулю для всех х.
Следовательно, для тригонометрических рядов, имеющих коэффи-
коэффициенты порядка 0(п), при суммировании методом Абеля единст-
единственности нет.
Аналогично, поскольку ряд
оо
-Y+ ^cosnx G.2)
1
А суммируем к 0 для каждого х ф О, не существует (непус-
(непустого) множества единственности для тригонометрических рядов,
суммируемых А и имеющих ограниченные коэффициенты.
Пусть задан тригонометрический ряд
оо оо
(s) -у + 2 (а»cos пх+ъ*sin пх) = 2 А* (х)>
1 О
будем писать
/(г, х)=%) |
G'3)
г
и назовем /* и /# верхней и нижней абелевой суммой ряда 5.
G.4) Теорема. Предположим, что ряд S удовлетворяет
условиям
ап = о(п), Ьп = о(п), G.5)
и суммируем А для каждого х к функции f (x) конечной и интег-
интегрируемой. Тогда S=S[/]. В частности, если f — 0, то ao = ai =
= 6t = ... =0.
Эта теорема может быть обобщена в нескольких направлениях.
Однако доказательства этих обобщений далеко не просты и мы
рассмотрим их отдельно (см. § 8). Не теряя общности, мы можем
предположить, что ао = О.
Следующая лемма — основа всех дальнейших рассуждений.
G.6) Лемма Райхмана. Предположим, что
со
г ^л ап cos nx-\-bn sin пх /т 7\
с~Zj ^г ('•')
1

7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 553
есть S[F] и что ряд G.7) суммируем А в точке х0 к F (х0).
Тогда отрезки
), D2F(x0)] и l
имеют общие точки, а именно
D*F(xo)<f* (xo),U(xo)<D*F(xo). G.8)
Достаточно доказать первое неравенство G.8), так как, если
его применить к —F (х), то оно дает второе.
Пусть F (г, х) — гармоническая функция, связанная с рядом
G.7). Мы можем предположить, что хо=^О, F( — х) = F (х) и F @) =
= limf(r, 0) = 0. Положим F(r, 0) = G(r). Лемма будет уста-
установлена, если мы покажем, что для каждого конечного т
из D*F @) > т вытекает /* @) > т. G.9)
Мы можем даже предположить, что т = 0, в противном случае
можно рассмотреть F (х) — т(\—cosx) вместо F (х).
Предположим тогда, что D2F @) > 0 и что в противополож-
противоположность доказываемому /* @) < 0. В уравнении Лапласа
первый член слева равен r~2f(r, x). Отсюда следует, что rG'(г)
есть возрастающая функция от г на интервале го<г<1. Так
как G(r)—>0 при г—>1, то теорема Коши о среднем дает
G(r) G(r)—G(l) nt , ч ,
и, таким образом, для некоторого а между q и 1
Ш— °Ж = ес (С) - аС (а) < 0.
1П Г In Q ^ \^/ \ / ^
Если мы покажем, что это невозможно, доказав, что
то лемма будет установлена.
Положим
= Д(г, t)=l — 2rcost + r2,
_F(t)+F(—t)—2F@) _ 2F(t)
ШП "ifiJT

554 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Представляя F(r,x) как интеграл Пуассона от F (х), имеем
1—г2 ,, 1С ,,ч . о , 1 —г
, 1С
о
где г] — фиксированное положительное число, меньшее я/3.
По предположению limcp(tf) >0. Следовательно, выбирая ц дос-
достаточно малым, имеем ф (t) > h > 0 для ? из @, г]). Имеем также
cost^>1/2 на @, г]). Замечая, что dP/dt<0 на @, я), мы полу-
получаем
г->1
= Ит { J
о
Таким образом, {rG(r)-(l—г2)-1}'остается больше положитель-
положительного числа при г—> 1. Далее, полагая с (г) = A—г2)-(гIn г), имеем
и так как с (г)—» — 2, с'(г) =0A—г), то получаем неравенство
G.11), и, таким образом, заканчиваем доказательство леммы.
Возвратимся к теореме G.4) и предположим сначала, что ряд
G.7), полученный после двукратного интегрирования ряда 5, есть
S[F] для непрерывной функции F. По лемме G.6), D2F</<D2/7
для всех х. По лемме C.13), функция F есть двукратный неопре-
неопределенный интеграл от функции f и это показывает, что S=fS[/1
(см. стр. 513).

7. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 555
Из предположений G.5) и теоремы Фишера — Рисса вытекает,
что G.7) есть ряд Фурье и, в силу только что доказанного, тео-
теорема G.4) будет установлена, если мы покажем, что из предпо-
предположений теоремы G.4) следует, что функция
F(x) = limF(r, x) G.12)
существует и непрерывна.
Существование F (х) вытекает из дважды примененной к ряду
5 следующей леммы:
G.13) Лемма. Если ряд ио + и1+ .... суммируем (более
того, если только нижняя и верхняя суммы Абеля для ряда
оо
конечны), то ряд 2 ~^ А-суммируем.
1
Действительно, если g (г) = и0 + utr + ..., то
и так как интеграл ограничен, то \G(r) — G(г') | —>0 при г—>1,
/-'—>!, что доказывает лемму.
Позднее будет полезно следующее замечание. Предположим,
что ип — функции параметра х и что g(r) равномерно ограничена
при 0<г < 1 их принадлежит множеству Е\ тогда и± +м2/2+ ...
равномерно суммируем А для х?Е.
Возвратимся к функции F (х) из G.12) и обозначим через D
множество точек разрыва F. Мы покажем, что D пусто. Сна-
Сначала мы покажем, что D не имеет изолированных точек.
Предположим, что х0 есть изолированная точка D. Тогда су-
существует интервал (а, Ь), содержащий х0 внутри, такой, что функ-
функция F непрерывна внутри (а, х0) и (х0, Ь). По лемме C.13)
и неравенству D2F<f<D2/7 имеем
внутри (а, *0), так как лемма C.13) имеет место также и для
открытых интервалов. В частности, F (х0 — 0) существует и конечна.
Аналогично F(xo + O) существует. Так как коэффициенты ряда
G.7) имеют порядок о (я-1), то по теореме B.19) (II) F (х0 — 0) =
!) По теоремам Таубера [гл. III, A. 36,)]' абелевы средние и частичные
суммы для любого ряда с членами порядка о (/г) равносходятся.

556 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
= F (х0) = F (х0 + 0) и функция F непрерывна в х0, что противо-
противоречит предположению.
Далее, пусть Р — любое совершенное множество. Рассмот-
Рассмотрим F (х) на множестве Р и обозначим через DP множество точек
х?Р, в которых F разрывна на множестве Р. Мы покажем, что
множество Dp не плотно на Р.
Пусть последовательность г1 < г2 < ... —> 1 такова, что
max \f(r, х)~ f(rn, *)|<1 (л = 1, 2, ...; 0<л:<2я). G.14)
По предположению, {/ (гЛ, д:)} стремится к конечному пределу
в каждой точке х. По теореме A2.3) (I) из гл. I, в каждой точке
множества Р существует порция П, на которой / (гЛ, х) равномерно
ограничены;. по неравенствам G.14), /(г, х) равномерно ограни-
ограничена для х?П, 0<г< 1. Дважды применяя к ряду 5 замечания,
следующие за леммой G.13), мы видим, что Y\mF{r, x) сущест-
вует равномерно на порции П; таким образом, подмножество DP
не имеет общих точек с порцией П, и, таким образом, не плотно
на множестве Р.
Теперь легко закончить доказательство теоремы G.4). Пред-
Предположим, что D Ф 0. Множество D не имеет изолированных точек
и не плотно. Следовательно, замыкание D множества D совершенно.
Возьмем порцию П множества D, на которой функция F (х) непре-
непрерывна по отношению к множеству D; мы можем предположить,
что множество П совершенно. Обозначим через di = (ai, 6г), i —
= 1, 2, ..., интервалы, смежные к множеству П. Функция
F (х) непрерывна на каждом интервале du и, как показывает
доказательство того, что множество D не имеет изолированных
точек, ^(а^ + О) и F(bi — 0) существуют и равны F (at) и F {bt)
соответственно.
Рассмотрим функцию
Разность F2 (x) =:F(x) — Fi (x) линейна на замыкании каждого ин-
интервала dt и также непрерывна в каждой точке порции П по
множеству D. Следовательно, в каждой точке порции П функ-
функция F (х) непрерывна по отношению к целой окрестности, что
невозможно, так как порция П содержит точки множества D.
Следовательно, D = 0, функция F непрерывна в каждой точке х
и теорема G.4) доказана.
Вышеприведенное доказательство фактически дает больше, чем
сформулировано. Предположим, что ряд 5 удовлетворяет условию

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 557
G.5) и что функции /* (х) и /* (х) конечны и интегрируемы. Тогда
функция F (х) существует всюду и непрерывна. Пусть / (х) = f* (x)
там, где D2F (x)>f* (x) и f(x)=D*F(x) в остальных точках;
функция f интегрируема и конечна, D2F>f >D?F для всех точекх
и вышеприведенное доказательство показывает, что S = S [/].
В частности, f* = f% почти всюду. Однако все это содержится
в теоремах, которые помещены ниже.
8. Проблема единственности тригонометрических рядов
для методов суммирования (продолжение)
Мы сохраняем обозначения предыдущего пункта.
(8.1) Теорема. Предположим, что (I) S = ^]Ап(х) имеет
коэффициенты порядка о(п) и что
(II) /*(*)>х(*)> г^е ФУнкЧия X интегрируема-,
(III) функция f#(x) конечна всюду, за исключением, быть мо-
может, счетного множества Е\
(IV) для каждого х?Е
(l-r)f(r, х)->0 (г-П).
Тогда ряд S есть ряд Фурье.
Заметим, что мы не предполагаем конечности функции f*.
Условие (IV) выполняется автоматически, если вместо (I) мы
наложим более сильное условие | ап \ + \ bn \ —-> 0. Условия (II)
и (III) заведомо удовлетворяются, если функции /* и /^конечны
всюду и одна из них интегрируема.
Так как пределы неопределенности для частичных сумм ряда
содержат верхнюю и нижнюю суммы Абеля ряда, то теорема C.25),
оставшаяся без доказательства, следует из теоремы (8.1).
Мы начнем с доказательства двух лемм о рядах Фурье.
(8.2) Лемма. Если функция F интегрируема и D2F (х0)
существует и конечна, то ряд S" [F] суммируем А в точке х0
к сумме D2F(x0).
Эта лемма, хотя и более элементарна, чем лемма G.6), но не
следует из нее.
Мы можем предположить, что хо=О, F@)=0, функция F чет-
четна и D2F @) = 0. Абелево среднее ряда S" [F] при х = 0 равно
^F(t)P"(r, t)dt, (8.3)
о
где дифференцирование производится по переменной t\ нам надо
показать, что этот интеграл стремится к нулю приг—»1.

558 ТЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Так как часть интеграла (8.3), распространенная на (е, я),
где е > 0, стремится к нулю и так как F(t) = o(t*) при t—»0,
то лемма будет доказана, если мы покажем, что
J t*\P"{r, t)\dt = O{\). (8.4)
о
Простой подсчет показывает, что P"(r, t) = О для тех значений
t, для которых y = cost удовлетворяет уравнению
Произведение корней уравнения равно — 2, и, таким образом,
существует не более одного значения t на @, я), при котором
Р" = 0^ существует по крайней мере одно такое значение t, так
как Р' = 0 для /=0 и / = я. Следовательно, Р" меняет знак
в точности один раз на @, я), именно в точке t = г] =г[ (г). Интег-
Интеграл (8.4) равен
— J t2P"dt+ J t*P'dt = — 2rfP' (r, ti) + 2 J tP'dt—2 J /Р'Л <
ОТ) О Т]
<-2лаР'(г, л)-
О
Jt
<-2т)гР'(/% л)+2 J РЛ =
о
и поскольку, как легко проверить, P' = O(t~2) равномерно по /%
то отсюда следует соотношение (8.4) и лемма доказана.
(8.5) Лемма1). Предположим, что ряд С— ^
S [F] tt
х) Для того чтобы пояснить смысл этой леммы, предположим, например,
что S/[^] = S[^] и что Ф имеет скачок d в х0, d — ф (хо-\-О)—Ф (х0—0).
Тогда, как легко видеть, A2F (xq, О** ~^ ^ ПРИ ^—^+0. С другой сто-
стороны, d есть (обобщенный) предел п-го члена ряда jtS' [O] = rtS" [Z7] в точке
= х0 [гл. Ill, (9.5)]. Если мы возьмем здесь абелев предел, то будем иметь
li(l—r)f(r, x0).

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 559
Тогда в каждой точке х0, где ряд А-суммируем к F(x0), имеем
, К) < п Ш{ { _ r) f (г> Хо) ^ {86)
Tim A2f(^°^)>jtlim(l-r)/;(r, х0). (8.7)
Достаточно доказать неравенство (8.6). (Мы можем предполо-
предположить, что хо — О, F@)=0 и функция F четна. Положим /(г, 0) =
= g(r), F (г, 0) = G(r). Достаточно доказать, что для любого конеч-
конечного т из
>m вытекает я lim(l — r)g(r)>m. (8.8)
Рассмотрим вначале частный случай, когда F± (x) =
со
= -^— 2 п% cos пх> ^i~~ интеграл от Ot = 2 я sin ^х и ^i имеет
1
скачок я при х = 0. Мы проверяем, что и 2/^ (й) • Л и я A — г) g1 (г)
(где gi есть функция g, соответствующая fi) имеют предел я.
Следовательно, вычитая mn~1Fi(x) из F (х), мы сводим общий
случай с любым т в неравенстве (8.8) к случаю т = 0.
Уравнение Лапласа G.10) дает
= 0. (8.9)
Если второе неравенство (8.8), где т = 0, неверно, то g(r) < —у——
для некоторого А > 0 и г, достаточно близкого к 1. Комбинируя
это с уравнением (8.9), получаем
{КГ (г)}' >Т4?.
Это показывает, что G'(/-)—> оо при г—> 1, и так как одновре-
одновременно G (г)—> 0, то мы видим, что G(r) строго отрицательно при г,
достаточно близких к 1.
Рассмотрим теперь формулы
(8.10)
Первое неравенство (8.8), где т = 0, показывает, что F > 0
в окрестности х=0. Так как по второй формуле (8.10) lim (I —r)g(r)
зависит только от значений функции F в произвольно малой
окрестности х = 0, то мы можем предположить, что F>0 при
0<х<я, не нарушая верности или неверности неравенств (8.8).

560 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Но с новой функцией F первая формула (8.10) показывает, что
G(r)>0 при г—>1, что противоречит только что доказанному.
Это противоречие доказывает лемму (8.5).
Мы теперь переходим к доказательству теоремы (8.1) и вре-
временно заменим условие (I) предположением, что ряд С—У, * 2
есть S[F], где функция F непрерывна. Наша ближайшая цель —
показать, что тогда
f* (х) = /# (х) почти всюду. (8.11)
Так как /^ (х) > — оо вне счетного множества, то на основа-
основании теоремы A2.3) (III) гл. I показывается, как при доказа-
доказательстве теоремы G.4), что каждый интервал / содержит подин-
тервал /, такой, что при соответствующем A=Ai
f(r,x)^>A при х?1 @<г<1).
В частности, f*>A на /. По лемме G.6), D2F>A на /; сле-
довательно, функция F (х) —^- выпукла на интервале /. В част-
частности, по лемме C.16), существует почти всюду на интервале /
конечная D2F. По лемме (8.2), /* = /* почти всюду на интервале /.
Обозначим через Q сумму всех интервалов /, таких, что f*=f+
почти всюду на /. Множество Q открыто и f* — /* для почти всех
х ? Q. Дополнение Р множества Q есть замкнутое неплотное
множество. Если мы докажем, что Р=0, то отсюда будет сле-
следовать равенство (8.11).
Предположим, что Р Ф 0; отсюда вытекает, что | Р \ > 0 и,
в частности, что множество Р несчетно. Имеем f% > — оо на мно-
множестве Р, за исключением, быть может, точек из пересечения ЕР.
Следовательно, существует порция П множества Р и постоянная Л,
такие, что
U(x)>A при л: 6 П. (8.12)
Пусть бь б2, ...— к П смежные интервалы. Почти во всех точ-
точках 2 $i имеем f*=f^. Изменяя % на множестве меры 0, мы
можем предположить, что % конечна на 2 ^и за исключением,
быть может, точек из Е 2 ^, и что
U(x)>%(x) при XG26*- (8.13)
Пусть </ — такой интервал, что U = JP. Так как D2'F>f*, то
из неравенств (8.12) и (8.13) вытекает, что D2F мажорируется на /
интегрируемой функцией g", которая может быть равна — оо
только на подмножестве множества Е. Но, по лемме (8.5),
(814)

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 561
на Е. Следовательно, по лемме C.22), разность между F
и двукратным интегралом функции g выпукла на J. Отсюда сле-
следует, что D2F существует и конечна почти всюду на /, а также
/* = /* почти всюду на J. Следовательно, PJ = 0, а это противо-
противоречит предположению о том, что PJ Ф 0. Это противоречие дока-
доказывает равенство (8.11).
Переопределив функцию % на множестве меры 0, мы можем
предполагать, что функция % конечна вне множества Е и что
f*>%
всюду. В частности, D*F>% всюду и D*F> — oo вне множе-
множества Е. Пусть %2~двукратный интеграл функции %. Так как на Е
справедливо неравенство (8.14), то функция
A = F-X2 (8.15)
выпукла на (—оо, + оо). Следовательно, по лемме C.16) функция
D2F =
существует почти всюду и интегрируема на периоде.
Отсюда вытекает, что функция f*(x), равная D*F(х) почти
всюду, интегрируема, и мы можем положить f%= % в теореме (8.1).
Так как функция Д (х) выпукла, то она имеет в каждой
точке х правую и левую производные D+A(x) и D"A(x), обе
не убывающие. Поэтому производные D+F (x) и D~F (x) суще-
существуют всюду и F есть интеграл от любой из них, скажем
от D+F (х) = Ф(х). Покажем, что функция Ф непрерывна.
Единственными возможными точками разрыва для Ф являются
скачки. Так как S" [F] = S' [Ф] и так как по теореме Фату [гл. III
G.2)] абелевы суммы ряда S' [Ф] в точке х0 содержатся между
верхним и нижним пределами при t—>0 от о7— ~ ,
то мы видим, что
Ш Ф (*о+'>-ф (И > fm {Х6)
Если хо$Е и, таким образом, функция /* (х0) конечна, то отсюда
вытекает, что Ф(хо + О) = Ф(*о —0). Если хо?Е, то абелевы
средние f(r,x) ряда S'^J^S"^] удовлетворяют условию
A—г)/(г, хо)-^О, так что по лемме (8.5)
Но оба крайних члена здесь гавны Ф(д:0-(-0) —Ф(х0 —0). Следо-
Следовательно, опять Ф(хо-\-О) = Ф (хо — О). Поэтому Ф (х) = D+F (х)
36 А. Зигмунд, т. I

562 гл. ix. римановская теория тригонометрических рядов
всюду непрерывна, откуда вытекает, что производная F' (х) су-
существует всюду и непрерывна.
Таким образом, F' (х) = Ф(х). Из (8.15) с % = /* выводим, что
(8.16)
где функция X не убывает и непрерывна. Если мы покажем, что
X— постоянная, то отсюда будет следовать, что функция F есть
двукратный интеграл и, таким образом, ряд 5 является рядом
Фурье.
По теореме Фату,
Ф(+/0Ф (/) )> (8Л7)
Пусть г|)(х) — мажоранта функции /у, мы можем предположить,
что г|) абсолютно непрерывна. Все числа Дини функции г|)
не меньше, чем /* (х) и, в частности,
Положим С(х) = Ф(х) — ^(х). Функция G непрерывна, является
функцией с ограниченным изменением и, в силу неравенства (8.17),
удовлетворяет условию
в точках х$Е. Примем временно без доказательства следующую
лемму:
(8.19) Лемма. Если функция G(x) непрерывна, является
функцией с ограниченным изменением и вне счетного множества
удовлетворяет условию (8.18), то G(x) не убывает.
Следовательно, функция G (х) =Ф(х) —1|) (x) не возрастает. Но
функция \р (х) может быть выбрана произвольно близкой к интегралу
X X
\ f*dt. Следовательно, функция Ф (х)— \ f^dt не возрастает,
о о
что с учетом доказанного для функции (8.16) возможно только при
постоянной X.
Это доказывает теорему (8.1) в случае, когда предположение
ап = о(п), Ьп = о(п) заменено условием, что дважды проинтегри-
проинтегрированный ряд S является рядом Фурье непрерывной функции.
Этот результат имеет и самостоятельный интерес. Он охватывает

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 563
важный частный случай стремления к нулю коэффициентов, и более
того, случай \ап\ + \Ьп\=о(пч), г)<!-
Замечание. Предположим, что условия (II), (III) и (IV) теоре-
теоремы (8.1) удовлетворяются не на отрезке [0, 2я], а на некото-
некотором интервале (а, Ь) и что ряд 2 ^2 является рядом Фурье
для функции F (х), непрерывной на (а, Ь). Тогда функция /„.
интегрируема на каждом отрезке, целиком лежащем в (а, 6), и
Доказательство проходит как в предыдущих рассуждениях. В силу
леммы C.26), результат сохраняется, если мы предположим, что
функция F полунепрерывна сверху на отрезке [а, Ь]. Это заме-
замечание будет использовано ниже.
Теперь мы закончим доказательство теоремы (8.1), показав,
что в предположениях теоремы (8.1) предел
F{x) = \imF(r,x) (8.20)
существует в каждой точке х, является непрерывной функцией
и — ^ —ng = S [F]. Разобьем доказательство на несколько этапов:
(I) Предел F (х) существует в каждой точке х и удовлетво-
удовлетворяет условию — оо < F (х) < + со. Если х0 $ ?, то /# (х0) > — со
хп Л (х) гп
и рассуждения леммы G.13) показывают, что lim 2j -jl^-1—суще-
-jl^-1—существует и конечен или равен + оо; повторяя рассуждения, мы
находим, что — F(xo)= lim 2 А» (хо)гпп~2 конечен или равен + оо.
Если х0 g ?, то / (г, х0) = о {A — а-)}, в то время как сумма
2^n(x0)rnn = o{ln(l — г)'1} и %An{xQ)rnn-* стремится к
конечному пределу.
(II) Функция F (х) конечна для почти всех х. По теореме
Фишера — Риссаг ^Ап(х)п~2 является рядом Фурье.
(III) На каждом совершенном множестве Р существует пор-
порция, на которой функция F полунепрерывна сверху. Существует
порция П множества Р и число Л, такие, что
f(r,x)>A
Не теряя общности, мы можем предположить, что Л = 0, так что
/ (г, х) > 0 для х g П (это мы можем сделать, не нарушая усло-
условия ао=О\ полагая, что, возможно, диаметр порции П меньше я,
мы вычитаем из ряда 5 соответствующий одночлен Bcos(x — x0)).
36*

564 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Так как
является убывающей функцией г при каждом jtgll, то функция
F (х) как предел убывающей последовательности непрерывных
функций полунепрерывна сверху (но не обязательно конечна) на пор-
порции П.
(IV) Каждый интервал J содержит подинтервал I такой, что
функция F(х) конечна и непрерывна на I. Имеем /(г, д:)>Л
на подинтервале / интервала /. Предположим, как и выше, что
Л = 0. Функция
%x)r»rr* (8.21)
имеет неотрицательную вторую производную по х и, таким обра-
образом, выпукла на /. В каждой точке х интервала / функция
F(r,x) стремится к пределу, конечному или равному —оо. Она
не может стремиться к — оо в какой-либо точке хо?1. Действи-
Действительно, в противном случае, в силу выпуклости F (г, х), предел
был бы равен — оо на всем интервале /, что противоречит усло-
условию (II). Отсюда следует, что функция F (х) как предел выпук-
выпуклых функций F (г, х) является выпуклой функцией и, таким обра-
образом, конечна и непрерывна на интервале /.
(V) Функция F (х) конечна и полунепрерывна сверху. Пред-
Предположим, что это не так, и обозначим через D множество
точек, в которых функция F (х) или не конечна или не полу-
полунепрерывна сверху. В силу (IV), замыкание D множества D
не плотно. Покажем, что множество D не имеет изолированных
точек.
Предположим, что xQ?D — изолированная точка. Тогда функ-
функция F конечна и полунепрерывна сверху внутри (х0 — е, х0)
и (х0, *о + в) для некоторого 8 > 0. По сделанному выше замечанию
разность между функцией F и двукратным интегралом от функ-
функции % выпукла внутри каждого из интервалов. Следовательно,
пределы F(xo±O) существуют и или конечны, или равны +оо.
Так как коэффициенты ряда S [F\ имеют порядок о (м), то
F(xo + O) = F(xo-O) = F(xo) [ср. B.19)]. В силу (I), F(х0)< + оо.
Отсюда следует, что значение F (х0) конечно и функция jF непре-
непрерывна в точке х0 и внутри интервала (х0 — е, хо + г), а это про-
противоречит тому, что интервал содержит точки из множества D.
Отсюда следует, что множество D совершенно. Возьмем пор-
порцию П множества Z), на которой, в силу (III), функция F полу-
полунепрерывна сверху. На каждом интервале (аг, &*), смежном

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 565
к порции Ц, функция F непрерывна и числа Ffa + O) и F(bi — O),
равные F (щ) и F (bt) соответственно конечны.
Множество точек П, где функция F (х) равна —оо не плотно
на П. С другой стороны, оно должно быть плотно на порции Г^
множества П и благодаря полунепрерывности сверху функции F на
порции П будет содержать порцию П1э а также некоторые из точек
аи bt. Это невозможно, так как F (щ) = F (щ + 0) и F(bt)~
= F(bi — 0) конечны.
Подытоживая все эти результаты, мы видим, что существует
порция D (назовем ее снова П) и интегрируемая функция X
такая, что
х у
\^ (8.22)
конечна и полунепрерывна сверху на порции П и выпукла на
замыкании каждого смежного к П интервала. Отсюда следует,
что функция (8.22), а также и функция F(x)9 конечны и
полунепрерывны сверху на интервале У, так что U = JD. Это
противоречит тому, что интервал J содержит точки множества D.
Таким образом, утверждение (V) доказано.
(VI) Функция F(x) непрерывна. Предположим, что функция F
разрывна, и обозначим через D множество точек разрыва функ-
функции F. Замыкание D множества D не плотно. Покажем, как и при
доказательстве (V), что множество D не имеет изолированных
точек, т. е. совершенно. Рассмотрим порцию П множества D
такую, что
ft(x)>A на порции П (8.23)
для некоторой постоянной Л, и обозначим через Ьи б2, ... смеж-
смежные к П интервалы, а через У —такой интервал, что U=JD.
На каждом б,- функция (8.22) выпукла, D2F существует почти
всюду и f* =f* = D2F почти всюду. Следовательно, изменяя
функцию % на множестве меры нуль, мы можем взять функцию
% конечной вне множества /?2 *« и удовлетворяющей условию
на S*i- (8-24)
По неравенствам (8.23) и (8.24), функция /*, а также и D*F
превосходят на интервале J интегрируемую функцию g, конечную
вне счетного множества, на котором выполнено неравенство (8.14).
По лемме C.22), разность между функцией F и двукратным инте-
интегралом функции g выпукла. Следовательно, функция F непре-
непрерывна на интервале У, а это противоречит предположению, что

566 ГЛ. IX РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
JD ф 0. Следовательно, функция F непрерывна всюду и доказа-
доказательство теоремы (8.1) закончено.
Мы должны доказать еще лемму (8.19). Можно предполо-
предположить, что в неравенстве (8.18) имеет место строгое неравенство,
в противном случае мы будем иметь дело с функциями G(x) — x/n
и затем положим п—» со. Предположим, что функция G(x) не
невозрастающая. Тогда G(a)<G(P) для некоторых a < E.
По хорошо известным результатам из теории интегрирования1)
полное изменение функции G (х) на множестве точек N, где G (х)
йе имеет производной, конечной или бесконечной, равно нулю.
Это значит, что мы можем покрыть множество N последователь-
последовательностью интервалов /1? /2, ..., таких, что если V% есть полное
изменение функции G (х) на интервале Iit то 2 Vt произвольно
мала.
Мы можем предположить, что 2 ^* < G (|3) — G (а). Замечая,
что проекция дуги. y = G(x), х?1г на ось у не превосходит вели-
величины Vt, мы видим, что существует число С, G(a)<C<G(P),
такое, что ни в одном интервале 1г функция G(x) не принимает
значение С; так как множество Е счетно, то мы также можем
предположить, что G (х) Ф С на множестве Е. Пусть X — мно-
множество точек, где G(x)=C, и пусть х0 — последняя из этих точек;
такая точка х0 существует, так как множество X замкнуто. Так
как производная G' (х0) существует, G(xo) = C, и G(x)>C для
х > х0, то мы видим, что G'(#0)>0. Так как хо$Е и неравен-
неравенство (8.18) со строгим неравенством неверно в точке х0, то мы
приходим к противоречию, и лемма доказана2).
(8.25) Теорема. Предположим, что ряд S удовлетворяет
условиям (I), (II) и (III) теоремы (8.1) и что условие (IV) удов-
удовлетворяется во всех точках множества Е, за исключением, быть
может, конечного числа точек хи х2, ..., хп. Тогда ряд S отли-
г) См. V a 1 1 ё е-Р о u s s i n Ch. J., Integrates des Lebesque, или Сакс С
Теория интеграла.
2) Можно заметить, хотя нам это не понадобится, что если
lim {G (x-\-h)—G (x—h)}Bh)~1^0 вне счетного множества Е и G только
непрерывна, то G не возрастает. Действительно, пусть F (х) — интеграл от G (х).
Из равенства
F(x+h)+F(x-h)-2F(x) 1
2t
о
легко выводится, что D^F^O вне ?, и так как функция F гладкая, то —F
выпукла, в силу леммы C.20), и, следовательно, G—невозрастающая функция.

8. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ДЛЯ МЕТОДОВ СУММИРОВАНИЯ 567
чается от ряда Фурье на величину
где at — постоянные и D (x) = -^-\-cosxJrcos2x....
Мы можем опять предположить, что ао = О. Такое же доказа-
доказательство, что и в случае теоремы (8.1), показывает, что функция
F (х) в выражении (8.20) имеет на каждом интервале (хг-и xt) вид
(8.26)
Функция F (х) непрерывна в точках xt, но может иметь в них
угловую точку. Обозначим через D^ (x) ряд
cos х + cos 2x + ... .
Интегрируя Di (x) дважды, мы получаем функцию, имеющую
угловую точку в точке х— 0 и только в ней. Поэтому, если
мы вычтем из ряда 5 линейную комбинацию с постоянными коэф-
коэффициентами рядов D1(x — xt), / = 1,2, ...,я, то функция jF для
этой разности будет гладкой в точках х% и будет иметь вид (8.26)
с Аи Bt, не зависящими от /. Отсюда следует, что рассматривае-
рассматриваемая разность представляет собой ряд Фурье, и теорема установлена.
Если мы ограничимся рядами 5 с коэффициентами, стремя-
стремящимися к нулю, то мы можем рассматривать множества един-
единственности для метода Абеля. Назовем множество Е множеством
типа Ua, если каждый ряд 5 с коэффициентами, стремящими-
стремящимися к нулю, А-суммируемый к нулю вне ?, есть тождествен-
тождественный нуль.
Каждое множество типа Ua есть также множество типа U;
верно ли обратное, неизвестно, за исключением случая, когда
множество Е замкнуто; здесь утвердительный ответ вытекает из
следующей теоремы:
(8.27) Теорема. Пусть Е — замкнутое множество меры нуль
и S — ряд с коэффициентами, стремящимися к нулю, имеющий
конечные верхнюю и нижнюю суммы Абеля вне Е, причем одна
из них, скажем f%, интегрируема. Тогда ряд S — S [f%\ сходится
к нулю вне Е\ в частности, S = S [/*], если Е есть U-множество.
Функция F, полученная после двукратного интегрирования
ряда 5, является на каждом смежном к множеству Е интервале
двукратным интегралом от функции f%. Так как то же самое
сохраняется для St/*], то принцип локализации показывает, что
5 — S[f*] сходится к нулю вне Е.

568 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
9. Принцип локализации для рядов с коэффициентами,
не стремящимися к нулю
Это продолжение §§4, 5. Сначала мы рассмотрим формальное
произведение рядов с коэффициентами, не обязательно стремящи-
стремящимися к нулю.
Рассмотрим ряды
и их формальное произведение
(ST):
где
р
Предположим, что сп = о (| п \к). Ряд, определяющий коэффи-
коэффициенты Сп, абсолютно сходится, если 2 \п \k IУп \ < °о. Так как
мы переходим к обсуждению (С, k)-суммируемости рядов 5, то
интересен только случай k > — 1. Случаи — 1 < & < 0 и &>0
обычно требуют несколько отличающихся друг от друга рассуж-
рассуждений.
(9.1) Лемма. Пусть &>0. Еслисп = о(\п\к)и 2 Mfe|Yn| < °°>
то Cn = o(\n\k).
При k=0 это лемма D.8). Предположим, что п—> + оо, и
положим |cv| =?v I v |fe, I Yv I |v \k = T)V для v Ф 0.
Тогда
-foo
\Cn\<o(nk)+ 2 «vTln-v |J_Iv|F^
V=—oo
где штрих указывает на то, что члены с v^Oh v = n опущены.
Разобьем последнюю сумму на две соответственно с | v ] < 2п
и | v | > 2п. Тогда
lv,>2n
2
[мы воспользовались леммой D.8)], и, таким образом, Сп=о(пк).
(9.2) Лемма. Пусть— 1 < & < 0. ?Ъш cn=o(|tt|fe) и уп =
2l< сх>, то Cn=o(\n\h).

9. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 569"
Пусть п->+оо, kv|=ev|v|\ и пусть IYvK-j^j Для v=?0;
тогда
\Сп\<О(Пк) + S' 8v|v|fe|Yn-v|.
V=—оо
Разобьем последнюю сумму на две соответственно с | v | < ~
и Iv I > т • Тогда
что дает Сп = о(пк).
(9.3) Лемма. Пусть ?>0, S = 2^in*> ^ = 2Удв*п
= %6nein\ где
Сп = о{\п |fe), 2 I Yn 11 л |fe < 00, 2 IS* 11 n \h < 00;
тогда
При fe=0 мы получаем утверждение леммы E.17), а общий случай
доказывается аналогично.
(9.4) Лемма. Пусть А>0, a— h> — 1. ?с/ш <5ля (С, а)-сред-
sa
них вп = —~ ряда 2 w^ имеет место соотношение
Лп о
h
то ряд 2 ^п (С, а — А)-суммируем к s.
Мы можем предположить, что s = 0; следовательно, Sv = o(va~h
По формулам A.10) гл. III,
2 savAu-^ = 2 + 2 =Pn
2
п-л-1) 2 o(va-h
^ 2 \Ап-^\<о(п*-") ъ\

570 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Следовательно,
новлена.
Прежде чем
S?rh=o(n*-h)9
двигаться дальше
ведение двух рядов т
Простой подсчет
2 sinnx.
показывает, что
а—Л г\
Оп —> 0,
, рассмотрим
,. smx.
и лемма
[ формальное
это произведение равно -
уста-
произ-
(9.5)
1 -|-cos х
2
Г что и ожидалось, так как первый ряд (9.5) представляет функцию
1 х. П
-yctg-^ . Оба ряда (9.5) сходятся в точке х=0 к сумме, равной
нулю, но их произведение сходится к 1. Так как второй ряд (9.5)
•есть полином, то мы видим, что простое обращение в нуль в рас-
рассматриваемой точке суммы «хорошего» множителя независимо от
того, как быстро его коэффициенты стремятся к нулю, не может
гарантировать сходимости произведения к нулю в этой точке.
Всюду ниже в этом разделе мы будем обозначать через k'
наименьшее целое число>&:
k, если k есть целое,
k — \
[ [к] +1 в противном случае.
(9.6) Теорема. Предположим, что cn = (\n\k), k>0 и что
Т = S [А,] удовлетворяет условию
(так что X имеет по крайней мере k' + 1 непрерывных произ-
производных). Предположим также, что в каждой точке множества Е
X' ==%"= ... =Х(к/) = 0. Тогда в каждой точке х?Е два ряда
2 Спегпх и 2 М*) спегпх равномерно (С, к)-равносуммируемы\
т. е. ряд
Ц{Сп-Х(х)сп}е1пх (9.7)
равномерно (С, к)-суммируем к нулю на Е. В частности, если
также и Х = 0 на Е, то ряд ^]Спегпх равномерно (С, к)-сумми-
руем к нулю на Е.
Результат сохраняется при — 1 < k < 0, если условия на Т
заменяются на
2|nY.|<a>, Уп = О(п-*). (9.8)
Доказательство, проведенное для любой точки х0 из Е, пока-
показывает, что заключения выполняются равномерно на Е. Не теряя
общности, мы можем предположить, что хо = О. Следовательно,
V @) = X" @) = ... = Х(Ю @) = 0.

9. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
571
Достаточно рассмотреть случай А,@) = 0, так как иначе [как при
доказательстве теоремы D.9)] мы вычитаем. Х@) из Yo-
Начнем с наиболее простого случая — 1 < k < 0 и возвратимся
к доказательству теоремы D.9), где теперь хо = О. Из второго усло-
условия (9.8) вытекает, что Rn(x0) =0 (п~х). Первое условие (9.8) экви-
эквивалентно тому, что 2 Гп<оо. Следовательно, применяя лемму (9.2)
к формуле для частичной суммы Sm (x0) на стр. 520, мы видим, что
Sm (х0) = о (тк) и по лемме (9.4) ряд 2 Спешх° (С, &)-суммируем
к нулю.
Доказательство для &>0 мы разобьем на несколько этапов.
(I) k —целое число (k' = k), Х(х) = (\—егх)к+1. Положим
Легко видеть, что
= 2
Левая часть здесь обозначает формальное произведение. Следо-
Следовательно, если Sln есть 1-я сумма Чезаро для ST в точке х = 0, то
_ VI \k+1r — Akr
2
v=0
\ (9-9)
Следовательно, —?- = оA) и ряд ST (С, &)-суммируем к нулю
п
в точке л; = 0.
(II) k — дробное, X(x) = (l—eix)h'+1. Следовательно, k'—\<
< k < k'. Заменяя k' на k в формулах (9.9), получаем
и достаточно применить лемму (9.4) с a = k', h = k' — k.
(Ill) & и Х(х) —любые. По предположению, Я @) =А/ @) = ...
... =l(kf) @) = 0. Следовательно, если h = 0, 1, ..., k'+ 1, то

572 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
функция Xh (х) = Х(х)A— eix)~h, доопределенная по непрерывности
при х = 0, непрерывна. Запишем
Так как Xh_i = (l — eix)Xh, то у^ 1 = Yn~~Yn-i» в то же время, по-
поскольку Yn "~^ О ПРИ п ~~> ^ °°' мы имеем
Yn= 2 У^"\ (9Л0)
V=—о©
y"= - 2 y" (9.П)
— 4.1 v
для Л = 1,2, ..., fe'+l. Используем формулу (9.10) для п<0
и формулу (9.11) для я>0. Замечая, что для любого а>0
с»
2
п=1
ГО,
сх>
| ул | ма < 2 да
П п=1
аналогично, по
оо
2
оо
v=n-fi
оо
= 2
v=l
формуле (9.
1V* п 1 п°
ОО
п=1
1YvI
10)
оо
j \УН~
oo
v=n
V
n=l
oo
< 2
V=i
имеем
n=i
n=l
< 2 (\yn\ + \y-n\)nh+k'+1< oo, (9.12)
по предположению.
Таким образом,
Чтобы получить ряд ST, мы можем сначала умножить ряд 5 на
ряд Tt = 2 y^+leinx, а затем результат умножить на V =
.= (l—eix)k'+in[лемма (9.3)]. По неравенству (9.12) и лемме (9.1)
ряд STi имеет коэффициенты порядка o(|n|fe). Рассуждения, про-
проведенные для случаев (I) и (II), показывают, что ряд ST = EГ/) f/
(С, &)-суммируем к нулю в точке х = 0. Этим доказательство тео-

9. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
573
ремы заканчивается. При k = 0 мы получаем новое доказательство
теоремы (9.4).
(9.13) Теорема. В предположениях теоремы (9.6) оба ряда
(ST) и X (x)S равномерно (С, 1г)-равносуммируемы в широком
смысле на Е.
Доказательство подобно доказательству теоремы (9.6). Мы опять
можем предположить, что множество Е сводится к точке нуль
и что % @) = V @) = ... = X{hf) @) = 0; надо показать, что ряд (ST)
(С, &)-суммируем при х = 0. Обозначим через Sln 1-ю сумму Чезаро
ряда (ST) в точке нуль.
Для k>0 мы рассмотрим, как и выше, этапы (I), (II) и (III).
(I) Пусть ev=—/signv. Тогда
°п = S
(9.14)
= - / (Aft-4i -
v=i
i (Akc0
^_x+ О (n^1).
С л е довате л ьн о,
(II) Заменяя & на k' в последней формуле (9.14), получаем
и снова применяем лемму (9.4).
(III) Если пользоваться предыдущими обозначениями, то ряд
(ST) будет сопряженным произведению ряда STt на U =
= A — e-ix)k'+{. Так как ряд STX имеет коэффициенты порядка
o(\n\k), то ряд (?Г), в силу (I) и (II), (С, &)-суммируем при
O

574 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Случай — 1 < k < 0 рассматривается так же, как и в теореме
(9.6).
Теоремы (9.6) и (9.13) приводят к принципу локализации для
рядов, коэффициенты которых не обязательно стремятся к нулю.
В § 4 мы связывали с каждым тригонометрическим рядом 5Г
коэффициенты сп которого стремятся к нулю, непрерывную фун-
функцию F(x), полученную двукратным интегрированием S. Обобщая
эти рассуждения, обозначим через F (х) функцию, полученную
из ряда 5 его р-кратным интегрированием:
Если сп=о(\п\к), то ряд справа сходится абсолютно и равно-
равномерно при условии, что р — k > 1. Однако мы ограничимся только
более слабым условием, потребовав, чтобы периодический ряд
в (9.15) был рядом Фурье.
Следующая теорема является обобщением теоремы D.28):
(9.16) Теорема. Предположим, что коэффициенты сп ряда
S имеют порядок o(\n\k), k> — 1, и что периодическая часть
функции F(x), определенной равенством (9.15), есть ряд Фурье.
Пусть sn(x) и 7п(х) — частичные суммы рядов S иЪ соответ-
соответственно. Пусть Х(х)—функция, имеющая достаточное числа
производных, равная нулю вне интервала (а, Ь) длины, меньшей
2я, а равная 1 на подотрезке [а', Ь'] интервала (а, Ь). Тогда две
последовательности
ъ
F (t)X(t)§,Dn(x-t)dt, (9.17)
а
Ь
F W к W wЪп {X~V dt <9-18>
а
равномерно (С, ^-суммируемы на [а1', Ь'] и предел первой равен
нулю.
Доказательство аналогично доказательству теоремы D.29).
Предположим сначала, что с0 — 0, так что функция F (х) перио-
периодическая; можно также предположить, что и К(х) — периодическая
функция. Если Т = S[X], то выражение (9.17) представляет собой
п-ю частичную сумму для ряда
5 - (S [F] Г)<*> = (S — S71) — 2 (?) S<*-«> [F] Г<«>,
9=1
что следует из обобщения леммы D.32) на случай р-х производных.
Ряды S(p-Q) [F] имеют коэффициенты порядка o(\n\k), и если мы

9. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 575
предположим, что ряд Т(р) (а также и Т^\ q < р) удовлетворяет
условиям, наложенным на коэффициенты ряда Т в теореме (9.6),
то, в силу теоремы (9.6), все произведения S(P~Q) [F] Г^> равномер-
равномерно (С, /г)-суммируемы к нулю на [а', &'] и то же самое сохраняет-
сохраняется для ряда 5 — 57 = 5S [ 1 — Я]. Следовательно, последователь-
последовательность (9.17) равномерно (С, &)-суммируема к нулю на [а', Ь'].
В случае с0 Ф О поступают так же, как и при доказательстве
теоремы D.29), при условии, что k>0. Если — 1 < & < 0, то
необходимы изменения. Мы можем предположить, что S = c0,
F=c9xp/p\. Тогда выражение (9.17) примет вид
2Я
{(t)-^yDn(x-t)dt. (9.19)
Эта разность стремится к нулю на [а', &']. Если она имеет,,
скажем, порядок, О (я-1), то по лемме (9.4) она (С, /^-суммиру-
/^-суммируема к нулю и доказательство закончено. Предположим, что про-
производная №+2) существует и непрерывна; тогда {tpk @}(p) имеет две
непрерывных производных, члены ряда S [(tph)M] имеют порядок
О(п~2), и остаток имеет порядок (^(д-1), т. е. (9.19) имеет поря-
порядок 0(п-г), как мы и предположили.
Доказательство оставшейся части теоремы (9.16) проходит
аналогично.
Следствием из теоремы (9.16) является следующий принцип
локализации:
(9.20) Теорема. Пусть Sx и S2 — dea тригонометрических
ряда с коэффициентами порядка о (\n\k), k> — l, и пусть F4
и F2 — функции F, соответствующие St и S2. Если Fl — F2 на
(а, Ь) или, более общо, если Fi — F2 является на (а, Ь) полино-
полиномом степени, меньшей р, то в любом отрезке [а', &'], целиком
лежащем внутри (а, 6),
(I) Si и S2 равномерно (С, к)-равносуммируемы\
(II) St и S2 равномерно (С, к)-равносуммируемы в широком
смысле.
Чтобы доказать часть (I) теоремы, положим Si — S2 = S, F4 —
— F2=F. Надо показать, что если F — полином степени меньшей
р на (а, 6), то ряд S равномерно (С, &)-суммируем к нулю
на [а, Ъ'\. В силу суммируемости последовательности (9.17),
достаточно показать, что
я я
{-=^- \ F{t)X{t)§^Dn{x-t)dt=^ J {F(t)X(t)}PDn(x-t)dt
-Л -Я

576 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
равномерно (С, ?)-суммируем к нулю на [а', &']. Так как (FA,)<p> = 0
на [а', &'], то это следует немедленно. (Если — 1 < k < 0, то
это следует из предположения, что производная A>+2> существует
и непрерывна.)
Доказательство части (II) аналогично.
(9.21) Теорема М. Рисе а. Предположим, что функция
со
<D(z) = 2anZn регулярна при \г\ < 1 и что an = o(nh), k> — 1.
о
Тогда ряд 2 aneinx (С, к)-суммируем в каждой точке регуляр-
регулярности функции Ф и суммируемость равномерна на каждой зам-
замкнутой дуге регулярности.
Это обобщение теоремы E.7) и следствие теоремы (9.20). Дей-
Действительно, допуская, что ао = О (это возможно везде) мы видим
[как и при доказательстве теоремы E.7)], что функция F(x) =
= 2 an (in)-peinx имеет бесконечно много производных на (а —8,
Ь+г) и, таким образом, совпадает на (а —8/2, Ь + г/2) с функцией
Fu соответствующей ряду Фурье 5Ь который имеет коэффициенты
порядка О(д-2). Так как S{ равномерно (С, &)-суммируем (даже
^сли — 1 < k < 0), то ряд ^aneinx равномерно (С, &)-суммируем
на [а, 6].
(9.22) Теорема. Если тригонометрический ряд S с коэффи-
коэффициентами порядка o(nk), k> — 1, равномерно А-суммируем к
нулю на дуге (а, 6), то S равномерно (С, к)-суммируем на любой
замкнутой дуге, внутренней к (а, Ь).
Так как
и {г, x) = 2^n^lni—>0
равномерно на (а, 6), то /жратным интегрированием этого соот-
соотношения по (а, х) находим, что функция F (х) на (a, b) есть
полином степени, меньше р— 1, и теорема следует из теоремы
(9.20) С 52 - О1).
(9.23) Теорема. Если тригонометрический ряд S с коэффици-
коэффициентами порядка o(nk), k>0, равномерно А-суммируем на дуге
(а, 6), то он равномерно (С, к)-суммируем на каждой замкнутой
дуге (а', &'), целиком лежащей внутри (а, 6).
Пусть /(^ — непрерывная периодическая функция, равная на
(а, Ь) абелевой сумме ряда 5. Ясно, что ряд S — S [/] равномерно
г) Конечно, (9.22) также является следствием из (9.21), так как по прин-
принципу симметрии Шварца [см., например, Литтлвуд, Лекции по теории фун-
функций, стр. 129 (или Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналитических
функций, стр. 263. —Ред.)], гармоническая функция и (г, х) продолжаема через
дугу (a, b), и, таким образом, то же самое сохраняется для регулярной фун-
функции Ф(г), |г|< 1, действительная часть которой есть и.

9. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 577
А-суммируем к нулю на (а, Ь) и (С, &)-суммируем на [а\ &'].
Так как S [/] равномерно (С, &)-суммируем [гл. III, E.1)], то
отсюда следует заключение теоремы.
(9.24) Теорема. Предположим, что условие ап-40 б тео-
теореме E.8) заменено на ап = о(пк), k>0. Тогда заключение теоремы
сохранится, если заменить «сходимость» на «(С, ^-суммируемость».
Доказательство получается путем незначительного изменения
доказательства теоремы E.8). Мы начинаем с формулы E.10),
которая была получена без использования порядка убывания ап.
Интегрируя р—1 раз соотношение
6
J ф(е™)с1и- 2Мш)-^{е*™}|->0 (г-И),
а
которое выполняется равномерно на а<|<6, и получая, как и
выше, формулу E.10), находим, что функция F (х) = 2 «д (in)~peinx
отличается от р-кратного интеграла функции Ф (eiu) на полином
степени р—1. Пусть Sl — ряд Фурье для функции, равной
Ф(еы) на (а, Ь) и, скажем, нулю вне (а, 6). Функция Fu по-
полученная р-кратным почленным интегрированием ряда S1? отли-
отличается от функции F на полином степени р—1. Так как, как и
в доказательстве теоремы E.8), функция Ф(еы) удовлетворяет
условию Я!/2 на каждом подотрезке [а', 6'] интервала (а, Ь) и так
как &>0, то ряд Si (С, &)-суммируем в каждой точке х, внут-
внутренней к (а, Ь), в которой применим признак Лебега, и по тео-
теореме (9.20) то же самое сохраняется для ряда 2 <*>пегпх. Следо-
Следовательно, последний ряд (С, &)-суммируем почти во всех точках
из (а, Ь). Часть, касающаяся равномерной суммируемости, дока-
доказывается аналогично.
(9.25) Теорема. Пусть
сп=о(\п\ь), 2iY»IM*<oo (?>0), (9.26)
и пусть S = 2 cneinx, 7 = 2 Упе1пх =S [ср]. Если функция ф прг/-
нимает постоянное значение ф0 яа (а, 6), то два ряда
57 — фо5, E7) — фоЗ'
. равномерно (С, к)-суммируемы на любом отрезке [а, &'],
целиком лежащем внутри (а, 6), и сумма первого равна нулю.
Это аналог теоремы E.16); условие, наложенное здесь на
функцию Ф1(л;)(=фо), является более жестким, чем ранее, так
как мы перемножаем ряды с коэффициентами, не стремящи-
стремящимися к нулю. Достаточно рассмотреть случай фо=О. Пусть
функция Х(х) периодична, равна 1 на [a', bf] и нулю вне
37 А. Зигмунд, т. I

578 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
(а, Ь) и такова, что S [X] =U = 2 ^neinx удовлетворяет условию
2 | Sn 11 п |fc+fc'+i < оо. В частности, 2 I ^ 11 п \ h < оо. Из послед-
последнего условия, взятого совместно с условиями (9.26), вытекает
равенство
(ST)U = S(TU)
[доказательство совпадает с доказательством леммы E.17); см.
также лемму (9.3)], и так как произведение TV есть тождест-
тождественный нуль, то и произведение (ST)V есть тождественный
нуль. В силу условий, наложенных на ряд V, ряд ST равно-
равномерно (С, &)-суммируем на [а\ Ь'\ к нулю. Результат относи-
относительно ряда (ST) доказывается аналогично.
В заключение сделаем несколько замечаний относительно фор-
формальных произведений рядов S=^]cneinx и T = ^]yneinx = S(K),
в случае когда сп не обязательно стремятся к нулю.
Наложим на ряд Т два условия. Потребуем, чтобы уп стре-
стремились к нулю достаточно быстро (что равносильно требованию,
чтобы функция X имела достаточно много производных); другое
требование состоит в том, чтобы достаточное число производных
от функции X обращалось в нуль в точке х0, в которой мы рас-
рассматриваем ряд ST. В то время как первое требование безвредно
и может быть легко Удовлетворено, со вторым дело обстоит иначе;
это обстоятельство несколько ограничивает возможность исполь-
использования формальных произведений, в случае когда коэффициенты
не стремятся к нулю.
Предположим, однако, что Р (х) есть тригонометрический поли-
полином, имеющий в точке х0 достаточное число производных, общих
с производными от функции X. Так как поведение ряда SS[X — Р]
в точке х0 описывается теоремой (9.6), то проблема сводится к
изучению формального произведения SP или в конечном счете
произведения
Seimx,
где пг— целое число, отличное от нуля.
Предположим, например, что пг > 0, и положим T = eimx. Раз-
Разность п-й частичной суммы ряда ST и произведения eimx°S при
— 71
{П — ft —
2 cveivxo— 2
П YY)-i-\ П
— П
-71-1
2
п—m-j-1
Отсюда немедленно следует, что формальное произведение Seimx
и ряд eimx°S (С, 1г)-равносуммируемы в х=х0^ если обе

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 579
последовательности
cneinx*, c-ne-inx* (/г = 0,1,2,...)
(С, к)-суммируемы к нулю1). При том же условии ряды (Seimx)
и eimx<>S равносуммируемы (С, k) в широком смысле при х=х0.
Если ряд
оо оо оо
2 cneinx = тг + 2 (fl* cos пх + Ьп sin ЯХ) = 2 Л» W
-оо 1 0
имеет действительные значения, то это условие сводится к требо-
требованию, что две последовательности Ап(х0) и Вп(х0) должны быть
суммируемыми (С, k) к 0.
Предположим, что наша функция % равна 0 вне интервала
(а, Ь) и 1 на подотрезке [а\ Ь'] интервала (а, 6). Если мы
хотим, чтобы полином Р не зависел от точки х0, удобно предполо-
предположить, что функция А, есть полином в каждом из интервалов (а, а')
и (b\ b). Тогда в любом случае мы можем принять этот поли-
полином за Р, и только что сделанное замечание вместе с теоре-
теоремой (9.6) может дать нам информацию о поведении (даже равно-
равномерном) ряда ST.
РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ
1. Доказать, что
lim | ап cos nx-\-bn sin пх | =\\m(a?L-\-b?lI/2
почти всюду, воспользовавшись тем же методом, которым доказана теорема A.2).
[Заметить, что если т—положительное целое число, Е—произвольное
множество положительной меры и п^-^со, то
(nkx+an )йх-
ft
Е
и что для больших т правая часть имеет порядок т~1/2.]
2. Пусть sn(x)—частичные суммы ряда ^}Лп(х). Из сходимости ряда
2 Лп (х) в отдельной точке х0 не вытекает, что ап —>¦ 0, Ьп—>0. Показать,
что
(I) если
h
для | h | < —, где g конечно, то an, bn—>0;
x) Мы пользуемся тем очевидным фактом, что если последовательность
и0, щ, и2, ... (С, ^-суммируема к s, то и последовательности 0, и0, щ, и2, ...
и Ui, u2, ... (С, ^)-суммируемы к s.
37*

580 гл- 1Х- РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
(II) более общий вывод если а>—1 и если (С, а)-средние а" (лг) ряда
2 An (x) удовлетворяют условию
то \ап\-±-\ьп\ = о(па).
[(I) Из предположений вытекает, что Лп (xQ-\-h) —>• 0; рассмотреть гра-
график кривой у = Лп(х) ]
3. Пусть дано множество Е положительной меры и целое число т>1.
Тогда существует такое положительное число 6 = 6 (Е, т), что для любой
суммы с^е 1 -\-с2егР2Х-{-...-{-стегРтХ с целыми положительными
. . . > рт имеем
Е
[Применить индукцию; можно предположить, что pi = 0.]
4. Каждое совершенное множество Р содержит совершенное подмноже-
подмножество типа Н.
[Рассмотреть, например, пересечение Р с множеством Еп точек, где
cos/2X>0; взять п большим.]
5. Пусть ряд 5 = 2 Лп (х) имеет коэффициенты, стремящиеся к нулю
или хотя бы ограниченные, и пусть F (х) есть функция Римана для ряда S.
Показать, что если ряд S сходится в х0 к сумме s, то
F (х
4сф ~~
sin na sin /гб
при аир, стремящихся к нулю таким образом, что а/р и Р/а остаются
ограниченными (Риман [1]).
[Доказательство аналогично доказательству теоремы B.4).]
6. Если аП1 Ьп -> 0, то F (х)= — аох2— 2 Ап (х)/п* удовлетворяет
условию
{F (хо+а+Р)—F (х0—а+Р)—F (хо + а—P) + F (л:0—а—Р)} а"* -* О,
равномерно по х, при аир, стремящихся к нулю так же, как и в примере 5
(Риман [1]).
7. Последовательность {ап} называется ^.'-суммируемой к пределу s, если
оо
2 ^. sin2 nh
71 = 1
сходится в окрестности точки h — 0 и стремится к s при h —>¦ 0. Показать, что
если последовательность {ап} сходится к s, то она также R'-суммируема к s.
[См. сноску на стр. 503; утверждение близко к теореме B.8), где
взято s = 0.1

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 581
8. Методы R и R' несравнимы (см. Марцинкевич [4], Кутнер [1]).
9. Если S [^1 имеет коэффициенты порядка оA/п), то
lim ар {F (x+h)—F (x—h)} = 0
h
для каждой точки х (Райхман и Зигмунд [2]).
[Доказательство аналогично доказательству теоремы B.22).]
10. Предположим, что S [Я —2 ^п ^ имеет коэффициенты порядка
О(\/п). Тогда для того, чтобы сходился ряд S[/] = 2 ^nW в точке хо>
необходимо и достаточно существование интеграла
я
о
значение интеграла совпадает со значением суммы ряда "S [Л в точке
(Харди и Литтлвуд [16]).
[Это аналог теоремы B.18). Заметим, что
я
h
оо Я
9 _ г* 1 /
= — 2j вп(ч) \ sinnt- -y-cig-y-dt
1 h
и что, полагая h —^ 0, мы получаем для ряда 2 ^ (*о) метод суммирования,
несколько напоминающий метод Лебега ]
11. Если 2 Bn(x) = S If] и если 2 5л (*о) сходится к s, то
я
Hm ap{--i- J
h
[Это аналог теоремы B.22).]
12. Предположим, что ряд S = ^An(x) сходится всюду к сумме / (х).
Если / (х0) > а, то множество Е точек, где / (х) > а, имеет положительную меру
(Штейнхауз [2]).
[Предположим, что |?| = 0. Тогда по C.18) / интегрируема и S = S [/]•
Так как /<а почти всюду, то (С, 1)-средние ряда S не больше, чем а, что
противоречит сходимости ряда S в точке х0 к f (xq) > а. Используя фор-
формальное произведение, можно доказать, что Е имеет положительную меру
в любой окрестности точки х0.]
13. Если 8 = ^ Ап(х) сходится всюду к сумме / (лг) ^ 0, то по теореме
C.18) /?L. Если ряд 5 сходится к функции /> 0 на (а, Ь)у то / не обяза-

582 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
тельно будет интегрируемой на (а, Ь). [Рассмотреть в качестве примера ряд
2 (sin пх)(\п п)-1 на @, я).] Однако f ?L{~e (a, b) для любого е>0.
[Достаточно доказать, что f{~e интегрируема в окрестности х = Ь. Пред-
Предположим, что Ь = 0, и положим
В силу B.8), F принадлежит классу А,*, и по теореме C.4) гл. II со (б; F) =
= оF1п6). Так как Ф монотонно возрастает на (а, 0) и F есть интеграл
от Ф, то мы получаем последовательно при h—> -\-0
h
~ ~2
Odt = o(h\nh), <b(—h) = o(\nh),
-h
fdt = o(\nh).
-h
Следовательно,
h h
~~2 ~~2
5 ( I
— h —h
откуда следует сформулированное утверждение, если положить h = 2~v
и просуммировать по всем достаточно большим v.j
14. Предположим, что ряд 5 сходится для а<^х<^Ь к неотрицательной
сумме / (х). Для того чтобы функция f (x) была интегрируемой на (а, 6),
необходимо и достаточно, чтобы ряд
аох | V ап
-2Г+ h
пх—bncosnx
сходился при х=а и х—b (Верблюнский [2]).
[Пусть F (х)—сумма ряда (*), F монотонно возрастает внутри интервала
(а, Ь) и /^L(a, b) тогда и только тогда, когда F (а + 0) и F (Ь — 0) конечны.
Так как коэффициенты ряда (*) имеют порядок о(п~1), то достаточно при-
применить B.19) (I).]
15. Пусть ? = ?(?)—совершенное множество с постоянным отношением §,
1—2|, Н(|<1/2) на [0, 2я] и Ф (х)—сингулярная функция Лебега, связан-
связанная с ним (см. гл. V, § 3). Показать, что ряд S [^Ф] расходится, или, точ-
точнее, неограничен в каждой точке Е.

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 583
л.
[Предположим, что 0<g<1/3; пусть хо?Е, F(x)=\ Ф(И. Если
О
сходится или по крайней мере ограничен в точке х0, то
при аир, стремящихся к нулю таким образом, что а/р и р/а ограничены
(см. пример 5). Пусть hm—длина «белого» отрезка, a km—длина «чер-
«черного» интервала ранга т. (Напомним, что «черные» интервалы ранга т суть
центральные части, которые мы выкидываем на т-м этапе построения, оста-
оставляя два примыкающих «белых» отрезка.) Имеем
Рассмотрим «белый» отрезок ранга т, содержащий точку х0, и два примы-
примыкающих «черных» интервала рангов т и т—/, / > 0. Ясно, что hm<^km,
так как ?<1/з- Отсюда следует, что xo-{-hm и хо + ?т находятся в одном
и том же «черном» интервале, аналогично для х0—hm и х0—km. Положим
«m = 1/2(^m + ^m)» Pm = 1/2 (km — hm) И применим (*) С (X = (Xm, P = Pm.
Замечая, что приращение функции на «белом» отрезке ранга т равно 2~т
(это свойство выделяет функции Лебега среди всех сингулярных функций,
соответствующих ?), мы видим, что левая часть (*) есть
и, таким образом, не 0A). Это доказывает теорему при KV3-]
16. Пусть 0<^g<[-^-, и пусть ?•— совершенное множество с постоянным
отношением |, 1—2g, g, построенное на [0, 2я]. Пусть Ф—сингулярная
функция Лебега, связанная с ?. Предположим, что коэффициенты ряда
S [dO] = 2 cneinx стремятся к нулю, так что S [d®] сходится к нулю вне Е,
не будучи тождественным нулем. Тогда существует линейный метод сумми-
суммирования М, удовлетворяющий условиям (I), (II) и (III) регулярности (гл. III,
§ 1), который суммирует S [dO] к нулю в каждой точке. Другими словами,
пустое множество есть множество неединственности для метода М (Марцин-
кевич и Зигмунд [3]).
[Пусть hm, km, am, pm имеют те же значения, что и в примере 15.
Если хо?Е, то точки xo-\-ami *o+am±Pm находятся в одном и том же
«черном» интервале, где функция Ф постоянна и, таким образом, функция F,
полученная повторным двойным интегрированием S №Ф]> линейна. Следова-
Следовательно,
-?>т)— 2F (х
= У cne
inx*

584 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
Это соотношение сохраняется, если взять —ат вместо ат. Взяв полусумму
обоих выражений, мы видим, что
+0О
' ""* 2
(•) 2 с*еН nB cos"a*>
равен нулю при всех х ? Е и, очевидно, стремится к нулю при т —* со, если
х($Е. Выражение (*) определяет метод суммирования, удовлетворяющий усло-
условиям регулярности (I), (II) и (III).]
17. Пусть даны две последовательности Uq, «i, ... и Vq, v^, ...; пусть
wn = uovn-{-uivn_1-\-.. .-\-unv0. Зафиксируем {vn}. Необходимым и достаточ-
достаточным условием того, что wn—>0 для каждой {ип}—¦> О, есть ^| | vn \ <^ со.
[Сравнить с A.2) гл. III и гл. IV, стр. 269.]
18. Пусть даны две бесконечные в обе стороны последовательности
..., «_!, и0, иь ... и ..., y_i, v0, vx, ...; пусть
-|-оо -}-оо —1
h==—oo 0 —оо
Зафиксируем {vn}. Для того чтобы wn существовали для каждой {ип}, стре-
стремящейся к нулю при п —> ^ а.*, необходимо и достаточно, чтобы
2 I vn I <+°°- Если 2 I Vn I <+°°' то wn -* ° Для каждой {ип} -> 0.
оо оо
19. Рассмотрим два ряда (U) 2 ип и (V) У] Ул и их пР0ИЗвеДение Коши
о о
(W) 2 и>п> гДе ^n = "oyn+«i^_i+-••+«п^о- Зафиксируем V. Для того
о
чтобы W сходился при любом Ut на члены которого наложено единственное
условие, что они стремятся к нулю, необходимо и достаточно, чтобы
оо
(I) 2 vn сходился к нулю,
о
(") 21 2 yv|<+c*.
0 v=n
Если имеют место (I) и (II), то W сходится к нулю. [Из условия (II) выте-
вытекает, что 2 I vn К °°«]
[Если Uny Vn, Wn—частные суммы для U, V, W, то Wn = u0Vn-\-
V++V]
+ОО СО
20. Рассмотрим два ряда (U) 2 "тг и (V) 2 vn и их произведение Ло-
—оо —оо
+ОО
рана (W) 2 wn> ГДе
—оо
оо -}-оо —1
n-*=2 +2 •
0 —оо

РАЗЛИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИМЕРЫ 585
Зафиксируем V. Для]того чтобы ряд W был определен и сходился (симмет-
(симметрично) при любсм U с ип —>¦ оо, необходимо и достаточно, чтобы
(о 2 кк°°. (") 2 vn=°> о») 2 I 2 4<л
p=—oo v=—-n—p
с Л, не зависящим от п. Если (I), (II) и (III) имеют место, то W сходится
+оо +°о —1 п
к нулю. [Условие (III) удовлетворяется, если 2 | 2 vv I и 2 I 2 Uv I
n=i v=n tt= — oo v=—оо
конечны.]
21. Если ряды «o + tti + +--« и Уо+У1 + У2+ • • •» имеющие коэффи-
коэффициенты порядка О (я), сходятся к s и /соответственно, то произведение
Коши wo-\-w1Jrw2-\- ... этих двух рядов сходится к st (Харди [10]; ср. с тео-
теоремой E.20)).
[Мы можем предположить, что s=tf = 0. Если Unt Vnt Wn—частичные
суммы рядов 2 ип'~ 2 Vn> 2 Wn' то
п т п
wn=2 ukvn^k=^]+ 2 =wh
fe=0 fe=0 k=m+l
где m=[n/2]. Далее,
и после преобразования Абеля получаем аналогичную оценку для W^.]
по
22. Пусть дан ряд (V) 2 "п? положим
«<?)=«„, «<«= | «г0 (*=i.2....)
при условии, что ряд из и^р определен и сходится. U назовем рядом, имею-
имеющим сходимость порядка k, если ряд ^] ип сходится. Обычная сходимость
п
U есть сходимость порядка нуль.
со
Предположим, что сп->0и что Ф(г) = ^спгп регулярна Гна замкнутой
0
дуге z = eix, a<x<6, единичной окружности. Тогда ^ cneinx имеет схо-
сходимость любого конечного порядка k на [а, Ь], и сходимость равномерна на
[а, Ь\ (Райхман [5]).
[За исключением свойства равномерности, эта теорема является следствием
теоремы E.7) Фату. Предположим, например, что х — 0 находится на (а, Ь).
Тогда
п+1

586 ГЛ. IX. РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
регулярна при z=l и по теореме Фату ряд ^ cv^ сходится. Это рассужде-
рассуждение может быть повторено. Равномерность сходимости порядка k может быть
доказана, если рассматривать степенной ряд с коэффициентами, зависящими
от параметра.]
оо
23. Предположим, что сп = О (п~а), а>0, и что Ф(г) = 2 cnzU
0
лярна на замкнутой дуге z = eix, a^x^b; тогда
равномерно по х. Результат сохраняется, если п~'а заменить на положитель-
положительную последовательность %л, монотонно стремящуюся к нулю, и такую, что
¦^- ограничена. Аналогично можно всюду заменить О на о.
%2п
24. (I) Пусть /4 и /2—две замкнутые дуги на единичной окружности, не
имеющие общих точек, и пусть на каждой /&(fc=l, 2) мы рассматриваем
тригонометрический ряд S& с коэффициентами порядка оA). Тогда существует
тригонометрический ряд S с коэффициентами порядка оA), который равно-
сходится с Sj на /i и с S2 на /2. (II) Результат остается в силе, если пере-"
сечением /4 и /2 является дуга ненулевой длины или две такие дуги без
общих точек при условии, что ряды Sj и S2 равносходятся внутри 1^2
(Фрагмен [1]).
[(I) Пусть к—периодическая функция, равная 1 на /4 и 0 на /2, и пусть
7 = S Щ имеет коэффициенты порядка О(п~3). Тогда ряд 5^(^ — S2)r~(-S2
обладает требуемыми свойствами.
(II) Определим ряд S, как выше, с к на этот раз равной 1 на /4 — /2
и 0 на /2 — /4.]
25. Пусть {Sk}—последовательность тригонометрических рядов с коэф-
коэффициентами, равномерно стремящимися к нулю. Если каждый ряд S& =
= 2 cneinx сходится к нулю вне замкнутого множества Р и если
cn = Umc^ существует для каждого п, то ряд S = 2 cneinx сходится к нулю
вне Р.
[Функция F = -\ 2 n~2cneinx линейна на каждом интервале, смеж-
смежном к Р.]
26. Пусть /~ 2 (ап cos пх-\-Ьп sin пх), 0<у<1. Если |ал| + |6л| =
= o(n-1~Y), то f€ky. Результат неверен при у=\; в этом случае справед-
справедлива теорема B.8). Если о заменить на О, то f ? Ау.

Примечания
В этих примечаниях содержатся дополнительные комментарии к резуль-
результатам, приведенным в тексте, и библиографические справки; помещенные
в конце глав разделы «Различные теоремы и примеры» также содержат по-
подобные справки. Числа в квадратных скобках—ссылки на библиографию
(см. конец второго тома). При этом мы не пытались быть полными, особенно
по старой литературе. Читатель, интересующийся библиографией более де-
детально, может обратиться к монографиям Бурхарда, Хилба и Рисса, Плес-
снера, указанным в библиографии, работе Планшереля [1] и соответствующим
разделам периодических изданий Jahrbuch iiber die Fortschritte der Mathema-
tik, Zentralblatt fur Mathematik, Mathematical Reviews и реферативный
журнал «Математика».
ГЛАВА I
§ 3. Современная теория ортогональных рядов изложена в книге Качмажа
и Штейнгауза «Теория ортогональных рядов»1). По теории ортогональных поли-
полиномов см. книгу Сегё «Ортогональные полиномы», а по библиографии—работу
Хилле, Уолша и Шохата, указанную в библиографии. Функции Радемахера
как ортогональная система впервые были рассмотрены Радемахером [1]. Другие
аспекты теории см. в ссылках к примеру 6 на стр. 62, а также Шнейдер [1],
[2], Файн [1], [2], Моргенталер [1].
§ 4. Начало теории рядов Фурье—Лебега было положено Лебегом. Его
работы по теории тригонометрических рядов являются основополагающими,
но мы не пытаемся дать подробные справки об этих и более ранних работах
и отсылаем читателя к его лекциям (см. библиографию), которые дают точное
представление об этом периоде.
Обсуждение понятия интеграла в связи с теорией тригонометрических
рядов см. Лузин [1], и книги Данжуа и Джеффери, включенные в библио-
библиографию. Книга Джеффери содержит дальнейшие библиографические ссылки.
См., кроме того, § 6—7 гл. XI этой книги.
§ 9,10* Исчерпывающие сведения и библиографию можно найти в книге Хар-
ди, Литтлвуда и Полна «Неравенства». Теорема (9.16) принадлежит Харди [2].
§ 12. Множества первой и второй категории были введены Р. Бэром.
Подробное обсуждение этого понятия см. в книге Данжуа, упомянутой выше.
§ 13. Основные результаты этого пункта принадлежат Харди и Литтл-
ВУДУ [1]; см. также Харди, Литтлвуд и Полна «Неравенства», гл. X. Флетт [1]
дал новое и более простое доказательство для A3.15) (но не для A3.13)).
1) См. также Алексич Г., Проблемы сходимости ортогональных рядов, М., 1963.
В связи с новейшими исследованиями в этой области см. Ульянов П. Л., Решенные
и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов, УМН, 20,
1964, вып. 1, стр. 3—69.— Прим. ред.

588 ПРИМЕЧАНИЯ
ГЛАВА II
§ 1. Теоремы A.5) и A.15) принадлежат У. Юнгу [2], [3], [4]; см. также
Харди, Литтлвуд и Полна «Неравенства». Относительно A.30) см. Винер [1], [3].
§ 3. Класс Ла часто обозначается Lip а, классы А,а, Л^ и Х1^—через
lip а, Lip (а, р) и lip (а, р) соответственно. Теорема о том, что если (Oj (б; /) =
= оF), то /== const принадлежит Титчмаршу [5].
Гладкие функции впервые рассматривал Риман [1]; примеры, указывающие
на важность этого понятия, были указаны Зигмундом [1]. Теорема C.3) пред-
представляет собой неопубликованный результат Зальцвассера; она обобщает более
ранний результат Райхмана [1], заключающийся в том, что Е плотно в /.
C.4) доказано Зигмундом в [1]; доказательство, данное в тексте, было сообще-
сообщено автору в 1952 г. Виджаярагаваном (Vijayaragharan).
§ 4. Оценки D.1) и D.12) принадлежат Лебегу [1]. Принадлежность клас-
классам Липшица и недифференцируемость функций Вейерштрасса изучены
Харди [1]. О D.7), D.9), D.10) см. Зигмунд [1]. О теореме D.15) см. Фейер [1];
теорема сохраняется, если а ? L*\ C?L3, \/p-\-\/q=\.
§ 6. Доказательство теоремы F.3) дает хороший пример того, что дока-
доказательство равномерной сходимости ряда Фурье может потребовать более тон-
тонких приемов, нежели доказательство сходимости в точке. О F.3) и F.8)
см. Гобсон [2]; лемма F.4) взята у Плеснера [1]; первая часть F.7) (I) —
у Штейнгауза [1].
§ 7. См. Харди [4].
§ 8. Теорема (8.9) принадлежит У. Юнгу [5]. (8.13) было доказано Лу-
качем [1] и дополняет более ранний результат Фейера [2] (см. гл. III (9.3)).
§ 9. О явлении Гиббса см. Гронвалль [1], Зальцвассер [1], Харди и Рого-
зинский [1], Хильтен-Кавалиус [1]. (9.4) доказано у Джексона [1], Ландау [1],
Турана [1].
§ 10. A0.7) принадлежит Харди и Литтлвуду [2], [3]; A0.8) принадле-
принадлежит Лебегу [1]; A0.9) см. Салем и Зигмунд [3].
§ 11. О A1.1) см. Лебег [2]; о A1.3)—Харди и Литтлвуд [4]; обобще-
обобщения A1.5) можно найти у Гергена [1]; A1.10) доказано у Харди и Литтл-
зуда [10].
§ 12. Оценка A2.1) принадлежит Фейеру [1] (см. также примеры 23 и 24
m стр. 124). Результат можно рассматривать как предельный случай (г=0)
1ледующей теоремы Колмогорова [1]: Если Сг есть класс всех периодических
Ьункций /, для которых |/(Г) (*) I < * для всех х(г=\, 2, ...), то
,р/ч о . ,, , 4 1п л , _ . „ч 4 In /I
^uvU(X)S(x; П\+О(п-г)
Интересные обобщения констант Лебега для случая степенных рядов были
юлучены Ландау [2].
§ 13. Теорема A3.7) принадлежит Вейлю [1].

ПРИМЕЧАНИЯ 589
ГЛАВА III
§ 1. Подробное изложение теории расходящихся рядов можно найти в книге
Харди «Расходящиеся ряды»*).
Теорема A.2) принадлежит Теплицу [1], а условия регулярности (I),
(II) и (III) иногда называют условиями Теплица.
Задерживающие арифметические средние впервые рассматривались Балле
Пуссеном; см. стр. 33 его книги, указанной в библиографии. Задерживающие
средние могут быть определены для любого метода (С, а) как (С, а)-средние
последовательности sn, sn+i» ....
Доказательство A.38) следует идеям Карамата [1] и Ингама [1]; см. также
Виланд [1] и Идзуми [1] (оригинальное доказательство можно найти у Литтл-
вуда [3]). Теорема A.38) сохраняется, если условие ип = О (\/п) заменить на
одностороннее условие ип^Л/п (Харди и Литтлвуд [18]). Для того чтобы
это доказать методом, приведенным в тексте, предположим, что Р удовлетво-
удовлетворяет условию (I) и что
(IV) Р(х)<6хA— х) на @, ?'), (ИГ) 1— Р(х)<6а:A— х) на (?, 1);
AГ) и (ИГ) следуют из (II) и (III) при замене 6. Отсюда следует, что
полиномы Р* (х)-=Р (х)-\-Ьх(\—х) и Р^(х) = Р (х) — 6хA—х) подобно Р не
имеют свободных членов и что
1<Р*(*)<1 + 6л:A— х) на A,1) и — дх A — х) <. Р* (*)< 0 на @, g').
Рассматривая ^ ип ^* (*п)—SN и рассуждая так же, как при доказательстве
A.38), получаем, что limstv^0. Аналогично, рассматривая ^ ипР^(хп)—sN,y
получаем, что lims^, <0. Следовательно, 2 ип сходится к нулю.
§-2. Общие замечания к этому пункту являются лишь усовершенствованием
доказательства фундаментальной теоремы C.4) следующего пункта.
§ 3. О C.4) см. Фейер [3]; о C.9)—Лебег [2]; о C.15)—Бернштейн [1]
(а также Никольский [2], Секефальви-Надь [2]). Теоремы C.20) и C.23) можно
найти у Привалова [1] и Плеснера [2].
§ 4. Тео'ремы о множителях сходимости для рядов Фурье принадлежат
Харди [3]; для сопряженных рядов см. Плеснер [2].
§ 5. О E.1) см. М. Рисе [2]; о E.8)—Зигмунд [2]; о E.15)—Когбетлянц [2].
§ 6. Теорема F.18) принадлежит Шварцу (Н. A. Schwarz).
§ 7. Теоремы G.2), G.6) и G.9) принадлежат Фату [1] (см. также Гросс [1]).
О G.10) см. Харди и Литтлвуд [6]; теоремы G.15) и G.20)' см. у Прива-
Привалова [1] и Плеснера [2]. О G.26) в случае, когда Е замкнуто, см. Фату [1].
§ 8. У. Юнг [6], М. Рисе [2], Плеснер [2].
§ 9. О (9.3) см. Фейер [2]; о (9.6)—Винер [1].
§ 10. Доказательство A0.2) можно найти у Фейера [[4], [11]; см. также
литературу, указанную в последней работе.
§11. Теорема A1.1) была доказана Крамером [1]; см. также Гронвалль [2].
1) См. также Кук Р., Бесконечные |матрицы и пространства последовательностей,
М., I960.—Ярил. ред.

590 примечания
§ 12. Основные результаты пункта принадлежат Рогозинскому [2], [3],
[4]; см. также Бернштейн [4]. Дополнительные результаты можно найти
у Карамата [3], [4] и Агнью [1].
§ 13. Литература о наилучших приближениях весьма обширна. Основные
результаты приводятся в книгах Балле Пуссена, Джексона и Ахиезера
(см. библиографию). Теоремы A3.6) и A3.14) принадлежат Джексону [2];
A3.20) — Бернштейну [1]; важность классов Л* и к* для наилучших прибли-
приближений была обнаружена Зигмундом [1]. Доказательство A3.16), данное в тексте,
принадлежит Ф. Риссу [1]. О первой части A3.29) см. Корн [1], Привалов [2];
о второй—Зигмунд [1]; результат сохраняется, если классы Ла> Л# заменить
на Ка, к* соответственно.
О A3.32) см. Хилле [1]; рассуждения также показывают, что если / е? const,
то 3J? [оп—f\ ф о(\1п). Часть A3.34), относящаяся к достаточности, была
доказана Алексичем [1] (см. также Зигмунд [3]), необходимость — Заман-
ским [1].
Доказательство в A3.6) не содержит никаких сведений о постоянных
А^ и Вь. Фавар [1] показал, что если /<г-1> (х) абсолютно непрерывна
и | /<Г) (х) | <; М почти всюду (г=1, 2, ...), то для каждого п существует
полином Тп(х) порядка п, такой, что
где Кг= У\ /оь | nr+Т ' и РезУльтат не может быть улучшен в том смысле,
что для некоторых /их последнее неравенство превращается в равенство.
Отсюда, в частности, следует, что Л& и J3& в A3.16) могут быть заме-
заменены абсолютными постоянными. Соответствующий результат для / можно
найти у Ахиезера и Крейна [1] (см. также указанную в библиографии книгу
Ахиезера).
О других аспектах теории наилучших приближений см. Заманский [2],
Секефальви-Надь [1], Бари и Стечкин [1]. Наилучшие приближения в LP
изучены Кваде [1].
ГЛАВА IV
§ 1. Теорема A.1) была получена независимо Ф. Риссом [1] и Фише-
Фишером [1]. Несколько других доказательств можно найти в работе Дж. Юнга
и У. Юнга [1]. При исследовании ортогональных систем мы неявно пред-
предполагали, что такие системы должны быть счетны. Это условие в действи-
действительности выполняется; это следует из того, что расстояние 3#2 [ф—Ч1] между
двумя любыми функциями ф и if> из ортонормированной системы равно "^2,
а пространство L2, будучи сепарабельным, не может' содержать несчетную
систему непересекающихся сфер.
Существование / для / ? L2 впервые было доказано Лузиным; см. его
работу [1].
§ 2. На важность интеграла типа /^ впервые обратил внимание Марцин-
кевич (см., например, его работы [1], [2], [3]), но вместо#функции % он поль-
пользовался функцией X* (и ее видоизменениями), что иногда* менее удобно в при-
приложениях. Замечание (d) принадлежит Острову и Штейну [1].
§ 3. Существование / первоначально было доказано при помощи методов
теории функций комплексного переменного (о литературе см. примечания

примечания 591
к гл. VII, § 1), и это доказательство—один из редких примеров применения
теории аналитических функций в теории функций действительного перемен-
переменного. Первое доказательство существования /, проведенное чистыми методами
теории функций действительного переменного, принадлежит Безиковичу [1],
[2]; в [1] он рассматривает случай / из L2, а в [2] —общий случай. См. также
Титчмарш [1], Люмис [1], Штейн и Вейс [3]. Доказательство в тексте
с незначительными изменениями принадлежит Марцинкевичу [2].
Теорема C.16) впервые была доказана при помощи методов теории функ-
функций комплексного переменного Колмогоровым [2]; см. также Титчмарш [1].
Доказательство в тексте следует рассуждениям Кальдерона и Зигмунда [5].
Расходимость почти всюду интегралов C.11) и C.15) изучалась Лузиным
[1], Титчмаршем [2], Харди и Литтлвудом [7], Марцинкевичем [3]. О расхо-
расходимости всюду см. Качмаж [2], [3], Мазуркевич [1].
§ 4. О D.3), D.7) и D.8) см. У. Юнг [6]; о D.9) см. Теплиц [2],
Ф. Рисе [5] и указанную там литературу.
О D.21) и D.22) см. соответственно Каратеодори [2] и Леви [1]; о D.25)
и D.27) —Вейль [2], Шенберг [1].
§ 5. Теорему E.2) можно найти у Дж. Юнга и У. Юнга [1]; о E.5)
см. Штейнгауз [2], Гросс [1]; о E.7) —У. Юнг [7], Зигмунд [4] (случай
ф(и) = иг, г>1, рассматривается также у Дж. Юнга и У. Юнга [1]. Тео-
Теорему E.20) можно найти у Сидона [1].
§ 6. Мы ограничиваемся здесь лишь случайными упоминаниями об анало-
аналогах результатов двух предшествующих пунктов и отсылаем читателя к работе
Фихтенгольца [1]. По представлениям F.6) см. Ф. Рисе [3], Герглотц [1];
о F.27) — Зигмунд [5], Ф. Рисе [4] и более ранние работы Фейера и Рисса [1].
Теоремы F.32), F.33) и F.34) взяты из работы Харди и Литтлвуда
[9,11]. Теорема F.35) принадлежит Никольскому [1]; см. также Сегё и Зиг-
Зигмунд [1], Бари [1].
§ 7. Харди и Литтлвуд [1]. Вторая часть соотношения G.13) доказана
на стр. 144 книги Эванса (см. библиографию).
§ 8. О (8.7) см. Дж. Юнг и У. Юнг [1], Штейнгауз [2], Зигмунд [4].
Обоснование формулы Парсеваля в некоторых иных случаях рассматривалось
Эдмондсом [1], Харди и Литтлвудом [20]. Теоремы (8.15) и (8.18) принадлежат
У. Юнгу [1] и Харди [5] соответственно. Харди [6] дано интересное приложе-
приложение (8.18).
§ 9. Общее изложение теорий линейных операторов можно найти в книге
Банаха, а также в книге Рисса и Секефальви-Надя (см. библиографию).
Теорема (9.5) взята у Банаха и Штейнгауза [1]; мысль о том, чтобы
построить доказательство, пользуясь понятием категории множества, при-
принадлежит Саксу и весьма плодотворна. О (9.13) см. Сакс [1]; (9.18) можно
найти у Теплица [3]; обобщение на I*7 у М. Рисса [1] и Титчмарша [4].
Форму (9.17) обычно называют тёплицевой формой; теория таких форм изла-
излагается в книге Гренандера и Сегё (см. библиографию).
§ 10. Классы LJ, были впервые введены Орличем [1] первоначально
в предположениях, что Ф Bи) = О {Ф (и)} при и -+ -|-оо (то, что последнее
ограничение не необходимо и что Ьф можно определить как класс таких /,
что Ф (k | / |) интегрируема при некотором &>0, было показано в первом
издании этой книги). Существует обширная литература о пространствах

592 ПРИМЕЧАНИЯ
Орлича; здесь мы укажем только работы Бирнбаума и Орлича [1], Орлича [2].
Цанена [1], Морза и Транзе [1], Люксембурга [1], Вейса [1]. Три последние
работы содержат определение нормы, аналогичное A0.10), но с 1 вместо ФA)
справа. Определение A0.10) и последующие разложения (за исключением
A0.14)) взяты у Биллика [1] (то, что вообще равенство в A0.20) не имеет
места, было выяснено Морзом и Транзе в указанной выше работе).
§ 11. Общие высказывания о классах (Р, Q впервые были сформулиро-
сформулированы Фекете [1]. Отдельные результаты см. У. Юнг [8], Штейнгауз [2],
Сидон [2], М. Рисе [4], Бохнер [1], Зигмунд [6], Качмаж [4], Качмаж
и Марцинкевич [1], Хилле [3], Хилле и Тамаркин [1,11], Карамата и Томич
[1], Карамата [5].
Салем [4] показал, что для любого ряда Фурье 2 An (x) существует
последовательность {lkn}f монотонно растущая до -{-со и такая, что ^ Ап (х) ^п
все еще является рядом Фурье (аналогичные результаты для функций из Lp,
р>1, были доказаны Литтлвудом и Пэли [1,111]. Единственное условие,
наложенное на {Хп}, состоит в том, что она должна расти достаточно
медленно, и мы можем ее выбрать так, что {\/Хп} выпукла; в этом случае
^}'kn1cosnx является рядом Фурье [гл. V, A.5)]. Отсюда следует, что любой
ряд Фурье ^ Ап (x) представляет собой свертку двух рядов Фурье (в нашем
случае свертку рядов ^]Лп(х)'кп и 1/г^о1+2 ^ cos nx)'
ГЛАВА V
§ 1. Теорема A.3) принадлежит Шонди и Джоллифу [1]. О A.5) и A.12)
см. У. Юнг [8], Колмогоров [3]. В связи с A.14) см. У. Юнг [8], Сидон [2],
Хилле и Тамаркин [1,11]. Остальные результаты о рядах с монотонными коэф-
коэффициентами можно найти у Буа [1], Секефальви-Надя [3], Хилтен-Кавали-
уса [I].
§ 2. Связь между асимптотическим поведением функции и ее коэффи-
коэффициентами Фурье — классическая тема; ей посвящена обширная литература.
Результаты здесь получаются при различных предположениях, и их не всегда
легко сравнивать. В этом пункте дано несколько основных результатов,
стремясь более к простоте, нежели к общности. Определение слабоколеблю-
слабоколеблющейся функции, как оно введено, взято из работы Харди и Рогозинского [2],
хотя эти авторы им систематически не пользовались. Оно нам показалось бо-
более подходящим, хотя оно и отличается от обычно принятого определения
Фабера [1] и Карамата [2].
Основной результат пункта — теорема B.6). Она содержится в работе
Харди и Рогозинского [2], которые, однако, не рассмотрели предельных слу-
случаев р = 0 и E=1. Из вышедшей недавно работы Алянчича, Боянича и То-
мича [2] заимствовано замечание о том, что часть теоремы B.6) о синус-рядах
сохраняется при 1 < р < 2. Оценки менее точные, чем в теореме B.6), но
сохраняющиеся при более общих предположениях, можно найти у Салема [2];
они были указаны в первом издании этой книги. Наконец, существует ряд
результатов, обратных к B.6); мы отсылаем читателя к работам Харди и
Рогозинского [3], Хейвуда [1], Алянчича, Боянича и Томича [2] и упомянутой
там литературе.
Основная часть теоремы B.29) представляет собой неопубликованный
результат Литтлвуда и Салема. Они показали, что существует do, 0<a0<] 1,
такое, что частичные суммы sn ряда ^ п~а cos nx равномерно ограничены

ПРИМЕЧАНИЯ 593
сверху при а>а0, но не при а<а0. Я обязан Идзуми замечанием о том,
что sn равномерно ограничены снизу при а = а0 и что а0 является корнем
уравнения, данного в теореме.
Теорема B.31) принадлежит Фаберу [1], который основывал доказатель-
доказательство на формуле Коши. Иное доказательство приведено на стр. 93, книги
Лйттлвуда (см. библиографию).
§ 3. Формулы для коэффициентов Фурье — Стильтьеса функций Кантора —
Лебега впервые были получены Карлеманом [1]. Обобщения принадлежат
Салему [9]; см. также Хилле и Тамаркин [2].
§ 4. Ряды D.1) впервые рассматривались Харди и Литтлвудом [11], кото-
которые показали, что эти ряды удовлетворяют определенному функциональному
уравнению, связывающему его с функцией Вейерштрасса. Доказательство
дано на стр. 100 и далее в книге Лйттлвуда (см. библиографию); оно может
быть сокращено и сделано более прямым, если основываться на формуле сум-
суммирования Пуассона, а не на формуле Коши. Новое доказательство функцио-
функционального уравнения было дано Пэли [2]. Обобщения можно найти у Уил-
тона [1], Ранделса [1], Ингама [2]. Харди и Литтлвуд [11] показали, что ряд
2 п~1/2егсп 1п пегпх расходится всюду. М. Вейс [2] показала, что частичные
суммы sn (x) этого ряда почти всюду удовлетворяют любопытному соотно-
соотношению
п-+ооAплI/2Aп1п1плI/2
и получила аналогичные оценки для абелевых средних этого ряда.
Доказательство D.2) взято в основном у Хилле [2]. О леммах D.3),
D.4), D.6) см. Ван дер Корпут [1]. Теорема D.9) принадлежит Карлеману
[2]; см. также Гронволль. [3].
§ 5. Асимптотическая формула для функции E.1) может быть найдена
у Харди [7].
§ 6. Теорема F.3) принадлежит Колмогорову [5]; обобщение можно найти
у Эрдёша [1]. О F.4), F.5), F.10) см. Зигмунд [8], [9]. Теорема F.15) Ада-
мара — классический результат. О F.13) см. Зигмунд [7]; работа содержит
также доказательство замечания в конце пункта.
Доказательство теоремы F.4) использует лакунарность {п^} только в малой
степени. Фактически нам нужно только, чтобы уравнение n[l±:nv^=N имело
ограниченное число решений, а это может выполняться и для {п^} при
nk+i/nk ~* 1- Положение это весьма типично, и многие результаты для лаку-
нарных рядов фактически доказываются для более общих рядов. Мы не рас-
рассматриваем этих обобщений, так как условия лакунарности наиболее просты,
а случай наиболее интересен.
Приведем без доказательства несколько других результатов для лакунар-
ных рядов. Харди [1] доказал недифференцируемость функции Вейерштрасса
2 ап cos bnx при наиболее общем предположении аЪ > 1. Пэли [2] дал (без
доказательства) результат о распределении значений лакунарных степенных
рядов на круге сходимости. Салем и Зигмунд [4] показали, что значения
функции Вейерштрасса ^ b~an cos bnx @ < х < 2л) заполняют целый прямо-
прямоугольник, если а достаточно мало. М. Вейс [1], дополняя более ранние
результаты Салема и Зигмунда [5], а также Эрдёша и Галя [1], показала,
что для лакунарного ряда ^] rk cos (п^х-^-а^) имеет место закон повторного
1/2 38 А. Зигмунд, т. I

594 ПРИМЕЧАНИЯ
логарифма;
о
почти всюду, если гд=о{(У?д/1п 1пУ?д) ^2}. В гл. XV § 4 доказывается цен-
центральная предельная теорема для лакунарных рядов.
Важный результат Харди—Литтлвуда [17] утверждает, что для числовых
лакунарных рядов (ряды из постоянных, все члены которых равны нулю,
за исключением лакунарных мест) из суммируемости методом Абеля вытекает
сходимость; более простое доказательство дано Ингамом [1]. Соответствующий
результат для абсолютной абелевской суммируемости был найден Зигмун-
Зигмундом [20].
Свойства лакунарных рядов с различными определениями лакунарности
изучены в книгах Мандельбройта и Левинсона (см. библиографию).
§ 7. Произведения Рисса G.1) были введена Ф. Риссом [6]; комплексные
произведения G.14) введены Салемом и Зигмундом [1]. Конец пункта см.
у Зигмунда [9]; см. также Шеффер [1].
§ 8. Сходимость рядов Радемахера 2 cv<Pv почти всюду при 2 1 с\ I < °°
впервые доказана у Радемахера [1] (доказательство в тексте взято у Пэли
и Зигмунда [1,1]; обратное предложение было доказано Хинчиным и Колмо-
Колмогоровым [1]. Лемму (8.3) и результат о несуммируемости 2 cv<Pv ПРИ
2|cv|2=oo можно найти у Зигмунда [8] (ср. также Марцинкевич и Зиг-
Зигмунд [1]). Второе неравенство (8.4) сохраняется для широких классов функ-
функций нескольких переменных и представляет собой классический результат
в теории вероятностей. Идея вывода первого неравенства (8.5) при помощи
выпуклости принадлежит Литтлвуду [1].
Теоремы о почти всех рядах 5] i ^п (х) рассматривалась Пэли и Зигмун-
Зигмундом [1] (см., однако, и более ранние работы Штейнгауза [3] и Литтлвуда [6],
[7]). Интересные соображения иного типа можно найти у Салема [2, гл. III].
0(8.22) см. Зигмунд [10]. Второе неравенство (8.21) можно также доказать
непосредственно тем же методом, что и второе неравенство (8.5) (рассужде-
(рассуждения приведены в первом издании этой книги), но значения Вт, q, получаемые
этим методом, намного больше данных в (8.22). О лемме (8.26) см. Пэли
и Зигмунд [1, III, лемма 19] и Салем и Зигмунд [2]. Теорема (8.24) приве-
приведена у Пэли и Зигмунда [1,111], доказательство в тексте следует Салему
и Зигмунду [2]. В последней работе содержится также (8.36). Теорему (8.37)
см. у Пэли и Зигмунда [1, III], дополнения—в более ранних работах
Штейнгауза [3]. Отрядах 2cv<Pv см- Пэли и Зигмунд [1, II].
§ 9. См. Винер [2]» Ингам [3]. О возможных обобщениях на классы
Lp, p Ф 2, по-видимому, ничего не известно.
§ 10. Салем [2, гл. IV].
ГЛАВА VI
§ 1. A.3) было доказано Данжуа [1] и Лузиным [2]; A.6)—Фату [2]
(доказательство в тексте принадлежит Саксу); A.7)—Салемом [1]. О A.9) и
A.11) см. Лузин [1]; о A.10)—Фату [2]. A.12) было доказано Немыцким [1]
(для синус-рядов). Тот факт, что канторово троичное множество представ-

ПРИМЕЧАНИЯ 595
ляет собой базис, был доказан Штейнгаузом [4]; более общие примеры
базисов были позднее найдены Данжуа [2] и Миримановым [1].
§ 2. О теоремах B.5), B.7), B.13), B.16) и примечаниях к B.16) см.
Салем [1], [6]; B.8)—неопубликованный результат Эрдёша. Теорема B.12)
была доказана Марцинкевичем [3].
§ 3. Теорема C.1) доказана Бернштейном [2], [3]; о C.6) и C.9) см. Зи-
Зигмунд [И] (квадратичное изменение использовалось в более ранних доказа-
доказательствах Винером [1]); Салем [7] показал, что в условии J 6 со1/2 F) d6<oo
О
нельзя заменить со1/2 на со1/2+8. Теорема C.13) принадлежит Сасу [1]; обоб-
обобщения см. Салем [2, гл. V], Стечкин [1]. О C.13) см. Варашкевич [1], Зи-
Зигмунд [5].
Пусть задано замкнутое периодическое множество Р и непрерывная
периодическая функция /(*), определенная на Р\ можно ли тогда опреде-
определить / вне Р так, чтобы ряд Фурье продолженной функции сходился абсо-
абсолютно? Существуют совершенные множества Р, для которых это возможно
при любых /; см. Карлесон [1], Рейтер [1], Хелсон [2], Казн и Салем [1],
а также Казн [1].
§ 4. Теорема D.2) принадлежит Бернштейну [2], [3]; при доказательстве
(II) он использовал иное построение. Некоторому упрощению доказательства
(И) (см. первое издание этой книги) мы обязаны Салему. О D.3) см. Сас [1].
§ 5. О теоремах E.1) и E.2) (II) см. Винер [3]; о E.3)—Леви [2].
О E.7) см. Берлинг [1]. Доказательства E.2) (II) и E.7), данные в тексте,
принадлежат Кальдерону.
§ 6. F.1) принадлежит Сидону [3]; F.3) см. Зигмунд [12]. См. также
Стечкин [1, III].
ГЛАВА VII
§ 1. Теоремы A.2), A.4), A.5) (приа=1) и A.6) впервые были доказаны
Приваловым [1], позднее и независимо Плеснером [2]; см. также литера-
ТУРУ» указанную в примечаниях к гл. IV, § 3. О A.3) в случае а>0
см. Зигмунд [2].
§ 2. Теоремы B.4) и B.21) принадлежат М. Риссу [1].Его доказательство
было в первом издании этой книги; настоящее доказательство взято у Каль-
дерона [1]; обобщения можно найти у Харди и Литтлвуда [14]. Теорема B.6)
была доказана Колмогоровым [2]; см. также Харди [8], Тамаркин [1].
Теоремы B.8) и B.11) (I) взяты у Зигмунда [4]; о B.11) см. также Варшав-
Варшавский [1], а B.8)—Кальдерон [1] и Титчмарш [3]. Теорема B.10) была нам
устно сообщена М. Риссом. Замечание (Ь) на стр. 410 принадлежит Лузину
[1]. О B.29) см. Зигмунд [5], Ф. Рисе [4]; однако без наилучшего возможно-
возможного множителя !/2 этот результат в сущности содержится в более ранней
работе Прасада [1], где показано, что если f (х) имеет ограниченное измене-
изменение на некотором интервале, то S [/] абсолютно А-суммируем в каждой внут-
внутренней точке этого интервала. Теоремы B.30) и B.35) взяты у Харди и Литтл-
Литтлвуда [13]; лемма B.31)—у Зигмунда [1].
§ 3. Идея применения формулы Грина принадлежит П. Штейну [1], хотя
саму формулу в виде C.3) и C.4) можно найти в более ранних работах,
например у Харди [9]; см. также Спенсер [1]. Доказательство B.6) по
методу Штейна сообщено нам Зальсвассером.
38*

596 примечания
§ 4. Интеграл В—одно из различных обобщений интеграла Лебега, пред-
предложенных Данжуа [3]; более детально описаны у Бокса [1] (доказательство
D.2), данное в тексте, принадлежит Саксу). Иессен [1] показал, что если
рассматривать только разбиение (а, Ь) на 2п частей и полагать %г = хг, то
/ (/) стремится к / почти для всех t. Теоремы D.3) и D.4) получены Колмо-
Колмогоровым [2]; о D.4) см. также Титчмарш [1], Смирнов [1]. О приложениях
к сопряженным функциям и некоторых иных обобщениях интеграла Лебега
см. Титчмарш [1], Ульянов [1].
§ 5. О классе Ла см. Харди и Литтлвуд [9, II]; о Л* и Я*—Зигмунд [1]
§ 6. Идея выражения Sh (x\ f) в терминах сопряженной функции впервые
высказана Колмогоровым [2]. О F.4) и F.11) (I) см. М. Рисе [1]; F.8)
и F.13) —Колмогоров [2]; F.9), F.11) (II) и F.19)—Зигмунд [4], о F.14)
и F.18)—Фейер [9], Зигмунд [10]. F.22) взято у Салема и Зигмунда [3].
§ 7. Классы Нг впервые рассматривались Харди [9]; класс N—Остров-
N—Островским [1] и Неванлинной [1]. Упрощения и систематический подход к классам
Нг принадлежат Ф. Риссу [7], доказавшему основные факты теории, в част-
частности теорему разложения G.20) (II), существование граничных значений,
теоремы G.24) и G.34). Форма G.23) теоремы разложения систематически
использовалась в работе Харди и Литтлвуда. Крылов [1] обобщил теорию
классов Нг на функции, регулярные на полуплоскости; эта работа содержит
и некоторые новые факты;**
Следует отметить, что теория Нг классов не вытекает из теории гармо-
гармонических функций: существует функция и (q, л:), гармоническая в единичном
круге, удовлетворяющая условию Зйг [и (q, х)] =0 A) для всех г<1 и не
имеющая пределов по радиусам; см. Харди и Литтлвуд [13].
То, что функция регулярная и ограниченная в круге | z К 1 может
иметь пределы, по некасательным путям, равные нулю на любом заданном
множестве меры нуль на окружности |z| = l, доказано Приваловым [1].
Структура множества нулей на окружности |z| = l функции, регулярной
в круге | z |< 1 и удовлетворяющей условию Липшица положительного
порядка при |z|<!l, изучена Карлесоном [1]. О G.33) см. Сегё [2].
Теория классов N в основном развита Неванлинной; в частности, ему
принадлежит теорема G.32). Здесь мы доказываем лишь результаты, относя-
относящиеся к тригонометрическим рядам, и отсылаем читателя, интересующегося
общей теорией, к книге Неванлинна «Theorie der eindeutigen analytischer
Funktionen». Можно добавить, что хотя в теореме G.13) мы предполагаем
только ограниченность сверху интеграла от In | F (reix) |, класс функций,
регулярных в круге | z | < 1 и обладающих этим свойством, не представляет
особого интереса; в частности, эти функции не обязаны иметь граничные зна-
значения (заметим, например, что если f (г)—любая функция, регулярная
в | z | < 1, то F (z)=exp / (z) принадлежит этому классу).
Теоремы G.30) и G.35) можно найти у Смирнова [1], [2]; G.36)—у
Харди и Литтлвуда [1]; о G.44) см. Литтлвуд [2] и Зигмунд [13]; о [7.45] —
Фростман [1]; о G.47) и G.48)—Зейдель [1], а также Кальдерон, Гонзалес-
Домингец и Зигмунд [1], где указаны также и более ранние работы. В связи
с G.50) см. Дуб [1], Зигмунд [12]. G.61) было доказано Харди и Литтлву-
дом [10], [9].
§ 8. Теоремы (§.2) и (8.3) принадлежат Ф. и М. Риссам [1]. (8.4) было
доказано Хелсоном [1] в старых предположениях Штейнгауза. М. Вейс [3]
показала, что из 9J?[sn]=0(l) не вытекает, что ^1C}leihx является рядом
Фурье. Теорема (8.6) принадлежит Харди и Литтлвуду [15]; см. также

ПРИМЕЧАНИЯ 597
книгу Харди, Литтлвуда и Полна «Неравенства», где дано иное доказатель-
доказательство, и работу Фейера [10]. Теорема (8.11) доказана Салемом и автором.
§ 9. Привалов [1], Фихтенгольц [1].
§ 10. Литература о конформных отображениях может быть найдена
у Гаттеньо и Островского [1]. Теорема A0.6) принадлежит Фейеру [12];
A0.14)—Харди и Литтлвуду [15]; о A0.15) и A0.17) см. Ф и М. Рисе [1],
Привалов [1]. О A0.18) см. Бор [1], Салем [13]; к этому же кругу вопросов
относится теорема Меньшова [1]: каково бы ни было 8>0, всякую периоди-
периодическую функцию f ? L можно изменить на множестве меры, меньшей е, так
чтобы ряд Фурье новой функции равномерно сходился,
ГЛАВА VIII
§ 1. Оба доказательства A.1), разумеется, отличаются не существенно.
В то время как доказательство Лебега опирается непосредственно на основ-
основные теоремы о линейных операторах, этот же принцип подразумевается
в более конкретном построении Фейера. Полиномы Q были введены Фейером
[8]. В связи с A.13), A.14) и A.16) см. Фейер [8], Штейнгауз [6]; о A.17)
см. Фейер [7]; о A.21)—Зигмунд [16].
Упомянем еще два результата:
(а) Существует такая непрерывная функц, я /, что S [/1 = 2 ak cos kx
расходится при х=0 и \ ai | > | а2 | >... . (Салем [10]).
(в) Существует такая непрерывная функция f с S [/] равномерно схо-
сходящимся, что S I/2] расходится на плотном множестве (Салем [5]).
§ 2. О B.1) см. Фабер [2], Лебег [1]; о B.5)—Харди и Литтлвуд [3].
§ 3,4. Теоремы C.1) и D.1) доказаны Колмогоровым [6], [7]. Теорема
'C.6) доказана Харди и Рогозинским в книге «Ряды Фурье»; построенный ими
для доказательства C.1) почти всюду расходящийся ряд Фурье является
рядом степенного типа—результат, который мы попутно отметили, но не
подчеркнули, хотя он представляет определенный интерес. Целлер [1],
используя построение Колмогорова, получил ряд Фурье, множество всех
точек расходимости которого есть наперед заданное множество типа FG.
Теорема C.14) взята у Марцинкевича [2], где можно также найти и другие
примеры расходящихся рядов Фурье.
ГЛАВА IX
§ 1. Множества типа Н были введены Райхманом [2]. О A.9) и A.10)
см. Штейнгауз [7], Райхман [2].
§ 2. Теоремы B.7) и B.8) доказаны Риманом [1]; о B.11) см. Зигмунд
[1]. Теорема [2.16] в предположении /jq^ —> 0 доказана Фату [1]. О B.20)
см. Зигмунд [1]; о B.22) — Райхман и Зигмунд [2]; о B.27)—Верблюнский
[1, И]. Теорема B.28) была установлена в предположении \ Е \ = 2к Лузиным
[1], но он, по-видимому, нигде не опубликовал доказательства.
§ 3. Часть (I) из C.1) принадлежит Кантору; часть (II) из C.19)—Балле
Пуссену [1]. Теорема C.18) доказана Штейнгаузом [2] (и обобщает более
ранний неопубликованный результат Банаха для % == 0). Бари [5], обобщая**

598 ПРИМЕЧАНИЯ
более ранние результаты Лузина и Меньшова, показала, что для любой изме-
измеримой и периодической f существует непрерывная и периодическая F, такая,
что F' = f почти всюду и S' [/] сходится к f почти всюду.
§ 4. Основное содержание D.3) принадлежит Риману [1]; часть, относя-
относящаяся к равномерной сходимости, впервые была доказана Фрагменом [1]
и Недером [1]; сопряженные ряды рассматривались Зигмундом [14].
О D.9) см. Райхман [3], [4]; ряд обобщений можно найти у Зигмунда
[14]. О D.29) см. Риман [1], а также Райхман [3], Недер [1], Зигмунд [14].
В связи с D.27) см. Лузин [1], Гобсон [1]. Понятие обобщенного ряда
Фурье было введено У. Юнгом [9], [10].
§ 5. Теорема E.1) доказана Райхманом [3]; о E.2) см. Зигмунд [14];
первый пример степенного ряда, сходящегося на заданном интервале и рас-
расходящегося на другом заданном интервале, был построен Штейнгаузом [10}.
Хорошо известно (см. Серпинский [1]), что множество точек сходимости ряда
из непрерывных функций имеет тип Foq (это множество вида |~J2 Fih* гДе
ft i
Ftk — замкнутые множества). Неизвестно, можно ли для любого периодического
множества S типа Fa& найти тригонометрический (или степенной) ряд,
.имеющий 5 множеством сходимости. О результатах в этом направлении
см. Мазуркевич [1], Герцог и Пиранян [1], Целлер [1] (см. ссылки на Цел-
лера в примечаниях к гл. VIII, § 3, 41)).
Первый пример расходящегося всюду на | z \ = 1 степенного ряда
2 спгп с коэффициентами, стремящимися к нулю, был построен Лузиным [3];
соответствующий пример тригонометрического ряда был получен Штейнгаузом
[8]; о E.3) см. Штейнгауз [9]. Мазуркевич [2] показал, что для любого
линейного метода суммирования существует степенный ряд с коэффициентами,
стремящимися к нулю, не суммируемый ни в одной точке |г| = 1.
Теорема E.7) без равномерной сходимости была доказана Фату [1];
дополнительная теорема доказана М. Риссом [5], [6]. О E.8) см. Зигмунд
115], Лузин [4]. '
Теорема E.16) была доказана частично Фрагменом [1]; по-видимому, эта
работа не привлекла внимания, и теорема была переоткрыта (с иным дока-
доказательством) Зигмундом [17]. Фрагмен первый рассматривал формальные
произведения тригонометрических рядов, хотя в приложениях его теорема
не столь полезна как теорема Райхмана D.9). О E.20) и E.22) см. Зигмунд
[18, II]. Ряд результатов о формальных произведениях был найден Шмет-
терером [1], [2].
§ 6. Существование совершенного М-множества меры нуль впервые было
доказано Меньшовым [1], и этот результат положил начало современной
теории единственности. То, что М-множества в определенном смысле более
многочисленны, чем U-множества, следует также из результатов Салема [8].
Существование совершенных U-множеств было независимо доказано Райхма-
Райхманом [2] и Бари [4], [2]; теорема о том, что Н-множества есть множества един-
единственности, была доказана Райхманом [2], [4], [5]; доказательство в первой
из этих работ неявно использовано в (8.1), но явная формулировка (8.1)
впервые была дана Пятецким-Шапиро [1]. Определение Н<т)-множеств
и теорема F.6) также принадлежит Пятецкому-Шапиро [1]; он доказал, что
для каждого т=2, 3, ... существует множество Н(т>, не являющееся счет-
счетной суммой Н(т~1)-множеств. В той же работе он показал, что существует
совершенное множество неединственности, не являющееся множеством
неединственности в узком смысле.
!) См. также Стечкин С. Б., О сходимости и расходимости тригоно-
тригонометрических рядов, УМН, 6, 1951, вып. 2, стр. 148. — Прим. ред.

ПРИМЕЧАНИЯ 599
Казн и Салем [1], [2] показали, что если Р есть совершенное М-мно-
жество с постоянным отношением разбиения, то существует тригонометри-
тригонометрический ряд, отличный от ряда Фурье—Стильтьеса, сходящийся к нулю вне
Р, но не всюду; с другой стороны, существуют такие совершенные множест-
множества Р, что любой тригонометрический ряд с коэффициентами О A/я), сходя-
сходящийся к постоянной на смежных интервалах к Ру обязательно является
рядом Фурье функции с ограниченным изменением.
Дальнейшую литературу по множествам единственности и неединствен-
неединственности читатель найдет в работе Бари [3].
§ 7,8. М. Рисе [7] первым рассматривал вопросы единственности для
суммируемости тригонометрических рядов. Единственность для абелева сум-
суммирования впервые рассматривалась Райхманом [1]; эта работа содержит
доказательство G.6) (может быть доказано, что ни один из интервалов в
G.6) не может быть включен в другой; см. Райхман и Зигмунд [1]). Райхман
рассматривал случай коэффициентов, стремящихся к нулю, но его метод
применим к рядам, которые после двукратного почленного интегрирования
превращаются в ряды Фурье непрерывных функций (см. Зигмунд [19]).
Теоремы о рядах с коэффициентами о (п) принадлежат Верблюнскому [1, I, II].
Значительные обобщения теоремы (8.2) на метод (С, а) были найдены
Вольфом [1]. Единственность рядов, суммируемых А к нулю, изучалась при
помощи методов комплексного переменного Вольфом [2].
§ 9. См. Зигмунд [14]; относительно (9.21) см. М- Рисе [7], Райхман [4],

Указатель обозначений
А—класс абсолютно непрерывных периодических функций 221
А-суммируемость 135
Л"—числа Чезаро порядка а 130
Л"» Р—обобщение чисел Чезаро 309
Ап(х), Вп(х)—члены сопряженных рядов с действительными коэффициентами,
полученные из ряда с комплексными коэффициентами 14
В—класс ограниченных периодических функций 221
В-интегрируемость 417
Bk (х)—полином Бернулли степени k 75
B(z)=eiyzk TT Z~~\l -r^—.—произведение Бляшке 436
п
2л
tn=-^— \ e~inxdF(x)—коэффициент Фурье — Стильтьеса 313
о
С—класс непрерывных периодических функций 221
С—эйлерова постоянная 33
(С, АО-средние 129
(С, ^-суммируемость 129
(С, ^-ограниченность 130
(С, 1) lim f (и)—предел в смысле метода средних арифметических 140
U-+CO
с» оо
(С, 1) \ a(v)dv = s—интеграл \ a(v)dv (С, 1)-суммируем 140
о о
d(x, у)—расстояние между точками х и у 260
D+(p(x), D~q> (x) — правая, левая производные 42
DiFix)—первая симметрическая производная 44
DiF, DiF—верхняя и нижняя первые симметрические производные 44, 166
D2F (x), D2F (х)—верхняя и нижняя вторые симметрические производные 44
(xQ) — вторая симметрическая производная (производная Шварца, произ-
производная Римана) 44

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 601
D2F (x) — вторая симметрическая производная 502
• / 1 Л
Sin ( Al+~9~ ) Х
Dn(x)= — - ядро Дирихле 12, 86
2sin|
х / 1 \
^ cos -„— cos f nJr~2 ) x
DnM = -^ сопряженное ядро Дирихле 12, 86
2 sin-^
D*—модифицированное ядро Дирихле 87
E(f>y) — множество точек х, в которых f(x)>y 54
En[f]—наилучшее приближение функции / тригонометрическими полиномами
порядка л 189
/—функция, сопряженная функции / 88
/* (#) и /^ (л:)—невозрастающая и неубывающая функции равноизмеримые
с f(xM4
/' (х0) — аппроксимативная производная в точке х0 509
^sap (*о)—симметрическая аппроксимативная производная в точке х0 509
оо
/«(*)= 2 b^nacosbnx, 6>1—целое, а>0—функция Вейерштрасса 82
1
б
fb(x)==~2K' \ /(^+0^ — подвижное среднее 193
б
—б
/ббМ—подвижное среднее для f^(x) 193
2л
1 ?
h(x)=-~— \ f (х—t)g(t)dt — свертка функций / и g 65
о
h(x) = I (fi, f2, ..., fh)—свертка k функций 68
2Я
1 Г
И (х)= -у- \ F (х — /) dG (t) — свертка для случая, когда F (х + 2л) —
о
—F(*) = const имеет ограниченное изменение
на @, 2я) и G обладает теми же свойст-
свойствами 69
Н (множество типа Н) 498
Нст (множество типа Нст) 500
Нт (множество типа Hw) 542
2я
HP—класс функций F (г) с ограниченным интегралом \ | F (reix) \p dx 431
О
39 А. Зигмунд т. I

602 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
~~ 1
)i Knit)—линейные средние рядов — + cos t-{- cos 2t +... иО-fsinf-f
Kn(t)=—гт 2j т^— (С> 1)-ядро, ядро Фейера 148
^ v=0 2 sin у
ие рядов —
... 142
/C?@—ядро метода (С, а) 157
L-суммируемость (суммируемость по Лебегу) 505
L (х)—формально проинтегрированный ряд Фурье 505
dt — константы Лебега 111
2 sin 4-
-Л О
Lr—класс функций / с интегрируемым |/г|, где г>0 34
Ц> (я> Ь), ф (L)—класс функций f(x), таких, что ф(|/(*)|) интегрируема
на (а, Ь) 33
1-ф—пространства Орлича 274
т (у) = \ E(f> у) |—функция распределения функции f 54
М—бесконечная числовая матрица 126
М-суммируемость абсолютная 139
М (а, Ь) и m (а, Ь)—точные верхняя и нижняя грани функции на интервале
(а, Ь) 147
М (х) и т (х) максимум и минимум функции в точке 147
М-множество (множество неединственности) 540
М0»множество (множество неединственности в ограниченном смысле) 545
Ми—норма оператора 264
ъ ±
\f(x)\rdx\r 34
а
/г-срезка см. функция, урезанная числом п 267
2Л
N—класс функций F (г) с ограниченным интегралом \ ln+ | F (reix) | dx 432
№х = Ыфх—норма в классе LJ, 278
Р — класс тригонометрических рядов, сопряженных с рядами из Р(Р=В, С,
L, S) 283
Р (г, /), Q (г, t)—ядро Пуассона и сопряженное ядро Пуассона 161
R-суммируемость (суммируемость по Риману) 502
Rn—остаток ряда
S-числа (числа Пизо) 546

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 603
S—класс рядов Фурье—Стильтьеса 221
S* — модифицированные частичные суммы 86
S"—чезаровская сумма 130
S—ряд, сопряженный с рядом S 11
SI/1—РЯД Фурье функции / 21
Snl/L Sn(x\ f), Sn (x)—частичные суммы ряда S Г/1 85
S [dF]—ряд Фурье—Стильтьеса 26
l — k-я производная S [/] 72
<SrM = {2|anlrjr 34
Т-ограниченность ряда—ограниченность его Т-средних (Г=(С, a), L, В, S) 285
Т (х) — тригонометрический полином 12
U (метод суммирования типа U) 523
U-множество (множество единственности) 540
Ua (множество типа Ua) 567
и*-множество 549
U (е)-множество 549
ь ±
34
а
V—класс периодических функций с ограниченным изменением 221
yn(t)—функция, урезанная числом п 267
a (v)=— \ f (x) cos vx dx,
P(v)=41
sin vxdx,
—oo
+OO
y(x)=z~— \ f(x)e~ivxdx—преобразования Фурье 22
—oo
Г (я) — гамма-функция Эйлера 131
6 (х0)—обобщенный скачок 179
Ь (/, Т)=тах | f(x)—T (x) | — отклонение полинома Т (х) от функции f (х) 189
:sup - \ f(x)dt, где 0<^?<х 55
X
1 = — \ fdt, если /—невозрастаюшая 55
39*

604 УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
suPjr-^ \ fdt @<|<a) 58
X
KQ—класс непрерывных функций 75
Xi — класс функций, имеющих непрерывную производную 75
ка—класс функций, модуль непрерывности которых есть о Fа), 0 <! а <; 1 75
А,?—класс функций, интегральный модуль непрерывности которых есть оF«) 79
А,* — класс равномерно гладких функций 76
A,? —класс функций, для которых условие гладкости выполняется по инте-
интегральной норме порядка р 79
At—класс функций, являющихся интегралами от ограниченных функций 75
Ла—класс функций, удовлетворяющих условию Липшица порядка а 75
Л?—класс функций, интегральный модуль непрерывности которых есть ОF«) 79
Л* — класс непрерывных функций с «ослабленной гладкостью» 76
Л?—класс функций, для которых «ослабленное» условие гладкости выпол-
выполняется по интегральной норме порядка р 79
F(re^)\pdx 431
о
2л:
Ш (') = Ио (П F) ~ J ln+ I F (re**) | dx 432
о
ап—линейные средние 126
0^—чезаровское среднее 130
/)—(?> а)-средние 157
оп(х) = оп(х; /)—(С, 1)-средние для S [/] I49
^м, к—запаздывающие первые арифметические средние 135
<гп,п — средние Валле-Пуссена 135
2 ciji (" >0) — сумма-функция 140
хп=-.— 2 —-—логарифмические средние 177
v=l
<Ри (х)~ sign sin 2n+lzix—функции Радемахера 18
Ф (х), Ч? (у)—функции, сопряженные в смысле Юнга 34
<Р@=Фх(9=Ф*('; V)=\{f{x + t)+f{x-t)-2f(x)} 87
{/(*+0-/(*-<} 87

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 605
112
J
о
Xiv @—функции Уолша 62
Х(х) — характеристическая функция интервала 55, 165
(о F) —со F, /) — модуль непрерывности функции / 75
2я ±
сор F) = сор F; /)= sup j-i- \ [f(x + h)-f (x)]Pdx\P -интегральный
0
модуль непрерывности 78
f (x) ~ g (*) —функции одного порядка 31
/ (я) » g (x) — функции асимптотически равные 31
f(x) = o(g(x)), f(x) = O(g(x)) 30
|?|—мера Лебега множества Е 23
[х] — целая часть х 135
|| д: || — норма х 262
|| х ||ф—норма в классе Ьф 274
{фп} — система функций 18
1п+ | Л 34
limap/(*)—аппроксимативный предел 508
х-*х0
signz 14
Fx(t) = F(x+t)-F(x-t)-2tF'(x),
Gx (t) = F (x+t)+F (x-t)-2F (x),
Фх(к), ^(/г) —полное изменение Fx(t) и Gx(t) 175

Предметный указатель
Абелева сумма верхняя, нижняя 552
Абелевы средние рядов Фурье 241
Абеля метод суммирования 135
— преобразование 15
Адамара теорема 333
Аппроксимативная производная 509
симметрическая 509
Аппроксимативный предел 508
Асимптотически равные функции 31
Базис 373
Банаха — Штейнгауза теорема 265
Банахово пространство 262
Бернулли полином 75
Бернштейна теорема 384
Бесселя неравенство 29
Бляшке произведение 436
Валле-Пуссена средние 135
Ван-дер-Кррпута леммы 317
Вейерштрасса функция 82
Верхняя грань 115
Винера теоремы 390
Вогнутая функция 42
Всюду плотность 52
Выпуклая последовательность 155
— функция 41
Выпуклость логарифмическая 48
— непрерывной функции 43
Гармоническая функция 162
Гёльдера неравенство 35
для интегралов 35
обобщение в классе Ьф 280
Гиббса явление 105
для метода (С, а) 182
Гладкая равномерно функция 76
— функция 75
Грань верхняя 115
— существенная верхняя, нижняя 36
Данжуа теорема 486
Дини — Липшица признак 108
— интегральный аналог 288
— — теорема 108
— признак сходимости S [/] 90
Дирихле — Жордана признак 98
— задача 163
— лемма 375
— ядро модифицированное 87
Дифференцирование S [/] 72
Дополнительные классы функций
254
Задача Дирихле 163
Замкнутость системы функций 208
Иенсена неравенство 41
для интегралов 45
— Стильтьеса 46
— формула 433
Интеграл в смысле (С, 1) 141
— Коши 456
Кантора — Лебега теорема 497
Канторовские множества 313
Квазиположительное ядро 144
Классы функций дополнительные 254
Колмогорова пример ряда Фурье,
расходящегося всюду 488
— теорема 480, 488
Комплексная тригонометрическая
система 20
Комплексные коэффициенты Фурье 21
Константы Лебега 114
Косинус-ряд Фурье 22
Коши — Буняковского неравенство
35
Коши интеграл 456
Коэффициент Фурье — Стильтьеса
313

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
607
Коэффициенты тригонометрического
ряда 11
— Фурье 18, 20
— — комплексные 21
— Фурье — Стильтьеса 26
_____ функции Лебега 314
Лакуна малая 355
— ряда 134
Лакунарный ряд 325
— — абсолютная сходимость 393
Лапласа уравнение 162
Лебега константы 114
— метод суммирования 505
— признак 111, 112
— пример непрерывной функции с
расходящимся рядом Фурье 470
— теорема 151
-- точка 111
— функция 313
Леви теорема 391
Лемма Дирихле 375
— Раихмана 552
__ Фату 49
Леммы ван-дер-Корпута 317
Линейное пространство 261
— — нормированное 262
Линейные средние 126
Липшица условие порядка а 75
— условия 419
Литтлвуда теорема 137
Логарифмические средннге 177
Локализации принцип Римана 518
Лузина — Данжуа теорема 370
Мажорантная функция 513
Максимум строгий 43
— функции в точке 147
Марцинкевича теорема 210
— — о поведении частичных сумм
486
Матрица положительная 127
— регулярная 126
— треугольная 126
Метод логарифмических средних 177
— суммирования Лебега 505
типа U 523
Метрическое пространство 260
— — полное 261
Минимум функции в точке 147
Минковского неравенство 38
— — для интегралов 38
Минорантная функция 513
Множества канторовского типа 313
— с постоянным отношением
разбиения 314
-- всюду плотное 52
— второй категории 52, 261
— единственности, неединственно-
неединственности 540
— неединственности в ограниченном
смысле 545
— первой категории 52, 261
— на себе 52
— плотное (неплотное) в другом
множестве 52
— порция 52
— совершенное симметрическое 315
- типа Н 498
На 500
N,NS 376
Ua 567
U (e) 549
U* 519
Множители сходимости 155
Модифицированные частичные сум-
суммы 86
Модуль непрерывности 75
— — интегральный 78
Некасательный путь 136
Непрерывная функция с расходя-
расходящимся рядом Фурье 470
Неравенство Бевселя 29
— Гёльдера 35
— — для интегралов 35
— Иенсена 41
— — для интегралов 45
___ Стильтьеса 46
— Коши — Буняковского 35
— Минковского 38
-=— — для интегралов 38
— треугольника 261
— Юнга 34
Норма 262
— оператора 264
Нормальная последовательность 542
Нормированная система функций
17
Нормированное линейное простран-
пространство 262
Обобщенная производная вторая 510
Обобщенный скачок 179
Ограниченность (С, а) 130
Однолистность 457
Односвязность 460

608
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оператор 264
— линейный 264
— непрерывный 264
— ограниченный 264
— положительно однородный 279
Опорная прямая 42
Орлича пространства 274
Отклонение полинома от функции
189
Ортогональная система функций 17
Ортогональность относительно dco(jc)
19
Ортонормированная система функций
17
Парсеваля равенство 67, 253
— формула 30, 152
Пизо числа 546
Подвижное среднее 193
Полином Бернулли 75
Полная система функций 18
Полное метрическое пространство 261
Полнота тригонометрической систе-
системы 27, 150
Положительно однородный оператор
279
Положительное ядро 144
Порция множества 52
Последовательность выпуклая 155
— нормальная 542
— равномерно распределенная 229
— с ограниченным изменением 15
— суммируемая матрицей М 126
— сходящаяся в V 49
— функций равномерно сходящаяся
в точке 100
— функция распределения 229
Предел аппроксимативный 508
— функции в смысле метода средних
арифметических 140
Представимость функции интегра-
интегралом Коши 456
Преобразование 264
— Абеля 15
— унитарное 272
— Фурье 22
Приближение наилучшее 189
— функции тригонометрическими
полиномами наилучшее 189
Признак Дини — Липшица 108
— Дини сходимости S [/] 90
— Дирихле — Жордана 98
— Лебега 111, 112
Пример Колмогорова ряда Фурье,
расходящегося всюду 488
Примеры непрерывных функций с
расходящимся рядом Фурье 470
Принцип локализации 575
— — Римана 518
Римана — Лебега 92
Произведение Бляшке 436
— рядов формальное 519
Произведения Рисса 335, 394
Производная аппроксимативная 509
симметрическая 509
— обобщенная вторая 510
— правая, левая 42
— Римана 44
— симметрическая верхняя (первая)
166
— — вторая 502
— — нижняя (первая) 166
— — первая, вторая 44
— Шварца 44
Пространство 260
— Орлича 274
— банахово 262
— линейное 261
— метрическое 260
Пуассона интеграл 161
— — сопряженный 161
— метод суммирования 135
— формула суммирования 117
— ядро 161
сопряженное 161
Равенства Парсеваля 67, 253
Равномерная сходимость последова-
последовательности функций в точке 100
Равномерно абсолютно непрерывные
функции 232
— распределенная последователь-
последовательность 229
Равноизмеримые функции 54
Равносходимость рядов 92
— — в широком смысле 92
Радемахера ряды 339
— функции, система функций 18
Разбиение типа [d\ а A), . . .
• • ., а (d); ц] отрезка ОА 312
Райхмана лемма 552
— теорема 520
Распределение масс 26
Расстояние 260
Расходимость рядов Фурье 470, 476,
480
Регулярная точка разрыва 74
Регулярность матрицы 126
Римана метод суммирования 502
— принцип локализации 518

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
609
Римана производная 44
— теорема 460
— — о суммируемости первая, вто-
вторая 502, 503
Римана — Лебега принцип локали-
локализации 92
теорема 80
— — — обобщение 85
Римановская теория тригонометриче-
тригонометрических рядов 497
Рисса теорема 157
— произведения 335
свойства 393, 394
— теорема о сопряженных рядах 404
Рисса — Фишера теорема 207
Рогозинского теоремы 185
Ряд, лакуна 134
— лакунарный 325
— случайно непрерывный 350
— степенной с ограниченным изме-
изменением 452
— тригонометрический с коэффи-
коэффициентами, монотонно стремящи-
стремящимися к нулю 292
— Г-ограниченный 285
— Фурье 18
для dF 26
— — комплексный 21
— Фуръе — Стильтьеса 26
Ряды равносходящиеся 92
в широком смысле 92
— Радемахера 339
— с «малыми» лакунами 355
— сопряженные 11
Свертка двух функций 65
— к функций 68
Свойство D 78
Симметрическая производная 509
— — аппроксимативная 509
вторая 502
Симметричная частичная сумма 13, 14
Синус-ряд Фурье 22, 181
обобщенный 84
Система функций замкнутая 208
нормированная 17
ортогональная 17
относительно dec (х) 19
— — ортонормированная 17
— — полная 18
— — Радемахера 18
— — тригонометрическая 20
— — — комплексная 20
Уолша 62
Скачок обобщенный 179
Случайно непрерывный ряд 350
Совершенные симметрические множе-
множества 315
Сопряженная функция ЪЪ
существование 214, 401
Сопряженные в смысле Юнга функ-
функции 34
— ряды 11, 404
— ядра 143
Среднее подвижное 193
— Чезаро 130
Средние Абеля (А-средние) 160
рядов Фурье 241
— арифметические первые запазды-
запаздывающие 135
— Валле-Пуссена 135
— линейные 126
— логарифмические 177
— (С, а) 157
— (С, к) 129
— Чезаро 129
Сумма Абеля верхняя, нижняя 552
— Чезаро 130
Суммируемость А 135
— матрицей М 126
абсолютная 139
— методом Абеля (Пуассона) 135
L (Лебега) 505
— (С, к) 129
— (С, 1) 140
— методом R^(Римана) 502
— последовательности при помощи
к-х чезаровских средних 129
— рядов S [dF], S ldF\ 174
Существенная верхняя грань 36
— нижняя грань 36
Существенно ограниченная функция,
36
Сходимость в V 49
— рядов в среднем 423
Счетное множество 23
Таубера теорема 136
Теорема Адамара 333
— Банаха — Штейнгауза 265
— Бернштейна 384
— Данжуа 486
— Данжуа — Лузина 370
— Дини — Липшица 108
— Кантора — Лебега 497
— Колмогорова 480, 488
— Лебега 151
— Леви 391
— Литтлвуда 137
— Марцинкевича 210

610
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Марцинкевича о поведении
частичных сумм 486
— Райхмана 520
— Римана 460
— — о суммируемости вторая 503
„ первая 502
— Римана — Лебега 80
_ — — обобщение 85
— Рисса 157
— — о сопряженных рядах 404
— Рисса — Фишера 207
— Таубера 136
— Харди 133
— — и Литтлвуда 55
— Хелли 223
- Фату 166
- Фейера 149
Теоремы Винера 390
— Рогозинского 185
Точка 260
— Лебега 111
— противоположная 165
— разрыва регулярная 74
Тригонометрическая система 20
— — полнота 27, 150
Тригонометрический полином 12
— ряд 11
-- — с комплексными коэффициен-
коэффициентами 14
— степенного типа 14
Унитарное преобразование 272
Уолша система функций 62
Уравнение Лапласа 162
Условие Липшица 75
Условия (А), (В), (С) для ядер
144
— Липшица 419
Фату лемма 49
— теорема 166
Фату — Рисса теорема 531
Фейера пример непрерывной функ-
функции с расходящимся рядом Фурье
470, 471
— ядро 148
Формула Иенсена 433
— Парсеваля 30, 152
— суммирования Пуассона 117
Функции асимптотически равные 31
— одного порядка 31
— равноизмеримые 54
— равномерно абсолютно непрерыв-
непрерывные 232
— Радемахера 18
— сопряженные в смысле Юнга 34
— Уолша 62
Функционал 264
Функциональный оператор 264
Функция Вейерштрасса 82
— вогнутая 42
— выпуклая 41
— гармоническая 162
— гладкая 75
— — равномерно 76
Функция Лебега 313
— логарифмически выпуклая 48
— мажорантная, минорантная 513
— монотонного типа 110
— обладающая свойством D 78
— принадлежащая классу Ьф (а, Ь)
33
— распределения последовательно-
последовательности 229
— — функции 54
— с ограниченным отклонением 366
— сопряженная 88
— — существование 214
— существенно ограниченная 36
— урезанная числом п 267
Фурье коэффициенты 20
— преобразование 22
— ряд; см. Ряд Фурье 26
— — комплексный 21
— — коэффициенты 18
— синус-ряд обобщенный 84
— синус-ряды 181
Фурье—Стильтьеса коэффициент
313
ряд 26
Харди и Литтлвуда теорема 55
— теорема 133
Хелли теорема 223
Частичные суммы 85
— — модифицированные 86
Чезаро числа 130
— — обобщение 309
Чезаровская сумма 130
Чезаровские средние 129, 130
Числа Пизо 546
Шварца производная 44
Эйлерова постоянная 33

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
611
Юнга неравенство 34
Явление Гиббса 105
для метода (С, а) 182
Ядра, соответствующие методу
143
— сопряженные 143
Ядро Дирихле 86
— — модифицированное 87
Ядро' Дирихле сопряженное 86
— квазиположительное 144
— метода (С, а) 157
—„ — (С, 1) 148 J
— положительное 144
М — Пуассона 161
— — сопряженное 161
— условия (А), (В), (С)
144
— Фей ер а 148

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию
Предисловие
ГЛАВА I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И РЯДЫ ФУРЬЕ.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1. Тригонометрические ряды «11
2. Преобразование Абеля 15
3. Ортогональные ряды 17
4. Тригонометрическая система 19
5. Ряды Фурье — Стильтьеса 25
6. Полнота тригонометрической системы 27
7. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля 28
8. Замечания о рядах и интегралах 30
9. Неравенства 33
10. Выпуклые функции 41
11. Сходимость в Lr 48
12. Множества первой и второй категории 52
13. Перестановки функций. Теоремы о максимуме Харди и Литтлвуда 54
Различные теоремы и примеры 61
ГЛАВА II
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРЕМЫ
О СХОДИМОСТИ РЯДОВ S [f] И S Ц]
1. Формальные операции над рядом S [f] 63
2. Дифференцирование и интегрирование S [[] 72
3. Модули непрерывности. Гладкие функции 75

ОГЛАВЛЕНИЕ 613
4. Порядок убывания коэффициентов Фурье 79
5. Формулы для частичных сумм рядов S [f] и S [/] 85
6. Признак Дини и принцип локализации 90
7. Еще несколько формул для частичных сумм 95
8. Признак Дирихле — Жордана 98
9. Явление Гиббса №4
10. Признак Дини — Липшица 106
11. Признак Лебега 111
12. Константы Лебега 114
13. Формула суммирования Пуассона 116
Различные теоремы и примеры 120
ГЛАВА III
СУММИРУЕМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
1. Суммирование числовых рядов 126
2. Общие замечания о суммируемости S [/] и S [f] 141
3. Суммируемость S [/] и S [f] методом средних арифметических . . . 148
4. Множители сходимости 155
5. (С, а)-Суммируемость 157
6. Суммирование методом Абеля 160
7. Суммирование методом Абеля (продолжение) 165
8. Суммируемость рядов S [dF] и S [dF] 174
9. Ряды Фурье в точках разрыва первого рода 176
10. Синус-ряды Фурье 181
11. Явление Гиббса для метода (С, а) 182
12. Теоремы Рогозинского 185
13. Приближение функций тригонометрическими полиномами . . . 189
Различные теоремы и примеры 203
ГЛАВА IV
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ И РЯДЫ ФУРЬЕ
1. Класс L2 . 207
2. Теорема Марцинкевича 210
3. Существование сопряженной функции 214
4. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье' 221
5. Классы функций и (С, 1)-средние рядов Фурье (продолжение) 232
6. Классы функций и абелевы средние рядов Фурье 241
7. Мажоранты абелевых и чезаровских средних рядов Фурье . . . 249
8. Равенства Парсеваля 253

614 ОГЛАВЛЕНИЕ
9. Линейные операторы 260
10. Классы L|> 273
11. Преобразования рядов Фурье 282
Различные теоремы и примеры 287
глава v
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
1. Ряды с коэффициентами, монотонно стремящимися к нулю . . . 292
2. Порядок роста функций, представляемых рядами с монотонными
коэффициентами 29&
3. Об одном классе рядов Фурье — Стильтьеса 311
4. Ряд 2„^2-Vcn ln Vn* 317
5. Ряд 2v-$eivaeivx 321
6. Лакунарные ряды 325
7. Произведения Рисса . . 333
8. Ряды Радемахера и их применения ЗЗФ
9. Ряды с «малыми» лакунами 355
10. Степенные ряды Салема 359
Различные теоремы и примеры 364
г Л'А в а VI
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
1. Общие ряды 370
2. Множества типа N 375
3. Абсолютная сходимость рядов Фурье 384
4. Неравенства для полипомов 388-
5. Теоремы Винера и Леви • 390
6. Абсолютная сходимость лакунарных рядов 393
Различные теоремы и примеры 398
ГЛАВА VII
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ РЯДОВ ФУРЬЕ
1. Существование сопряженной функции 401
2. Сопряженные ряды и ряды Фурье 403
3. Применение формулы Грина 414
4. В-интегрируемость 417
5. Условия Липшица 419

ОГЛАВЛЕНИЕ 615
6. Сходимость в среднем рядов S [/] и S [/] 423
7. Классы HP и N 431
8. Степенные ряды с ограниченным изменением 452
9. Интеграл Коши 456
10. Конформные отображения 459
Различные теоремы и примеры 465
ГЛАВА VIII
РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Г. Расходимость рядов Фурье непрерывных функций 470
2. Дальнейшие примеры расходящихся рядов Фурье 476
3. Пример ряда Фурье, расходящегося почти всюду •. 480
4. Всюду расходящийся ряд Фурье 488-
Различные теоремы и примеры 494
ГЛАВА IX
РИМАНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
1. Общие замечания. Теорема Кантора — Лебега 497
2. Формальное интегрирование рядов 502
3. Единственность представления тригонометрическими рядами . . 512
4. Принцип локализации. Формальное произведение тригонометриче-
тригонометрических рядов 518
5. Формальное произведение тригонометричеЙсих рядов (продолжение) 529
6. Множества единственности и множества неединственности .... 540
7. Проблема единственности тригонометрических рядов для методов
суммирования 551
8. Проблема единственности тригонометрических рядов для методов
суммирования (продолжение) 557
9. Принцип локализации для рядов с коэффициентами, не стремящи-
стремящимися к нулю 568
Различные теоремы и примеры 579
Примечания 587
Указатель обозначений 600
Предметный указатель . . . 606

А. Зигмунд
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
РЯДЫ
То м I
Редактор А. М. О Л Е В С К И Й
Художник Л. Г. Ларский
Художественный редактор
В. И. Шаповалов
Технический редактор М. А. Б е л е в а
Сдано в производство 23/VII 1964 г.
Подписано к печати 29/ХН 1964 г.
Бумага 60x901/16=19,25 бум. л.
38,5 печ. л. Уч -изд л 33.03. Изд. № 1/0131
Цена 2 р. 42 к. Зак № 317
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16
Главполиграфпрома Государственного
комитета Совета Министров СССР
по печати
Москва, Трехпрудный пер., 9