5/4
ъ-чъ
дович "лы-ыгй и» «.гтут и''лПТ1'хнвчег'хог(1 образдшаиия
К. БЕРЕЗАНСКАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ
И МЕТОДИКА
ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ
Под редакцией
Н. Нечаева б С. Гаисшговита
НАРКОМПРОС ГСФСР
УЧИЕДГИ8

цАУЧ НО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Е. БЕРЕЗАНСКАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ И МЕТОДИКА
ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ
С-
О-
Си.
п.
с:
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Н. НЕЧАЕВА и С. ГАЙСИНОВИЧА
НАРКОМНРОС РСФСР
УЧПЕДГИЗ
19 3 5

V •

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И
МЕТОДИКА ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ*
ВВЕДЕНИЕ
Вопрос о тригонометрических уравнениях полностью
рассматривается с учащимися в 10 классе средней школы.
Ранее, в 9 классе, при изучении формул гониометрии,
выполняя упражнения, наряду с соответствующими
тождественными гониометрическими преобразованиями, учащиеся
решают и уравнения. Но лишь в 10 классе можно
поставить систематический просмотр всего вопроса, в
частности вопрос о решении уравнений в тех случаях,
когда в процессе решения нарушается равносильность между
полученным уравнением (или совокупностью их) и данным.
Для того чтобы ■ учащиеся могли в 10 классе приступить
к изучению вопроса „тригонометрические уравнения", они
должны четко знать из курса алгебры:
1) различие между тождеством и уравнением;
2) теоремы, на которых основывается решение уравнений;
3) определение каждого из нижеуказанных уравнений:
решение и исследование решений уравнений 1-й степени
с одним неизвестным, с целыми и дробными членами;
квадратного уравнения;;'биквадратного уравнения; уравнений
однородных; уравненйй-.^ысших степеней, решение которых
сводится к решению уравнений 1-й и 2-й степени;
иррационального уравнения; логарифмических и показательных
уравнений; системы уравнений 1-й степени с двумя и тремя
неизвестными как с числовыми, так и с буквенными коэ-
фициентами.
В частности, для того, чтобы успешно решать
тригонометрические уравнения, учащиеся должны усвоить из курса
алгебры решение уравнений вида произведения в одной
часги, при условии, что другая часть равна 0; вида дроби;
учащиеся должны уметь (в результате изучения теории
/(*)
пределов в 9 и 10 классах) находить 1ип ^т^ в том слу-
х—*а
чае, когда /(а) = 0 и Р(а) = 0 и др.
Из курса тригонометрии необходимо знать формулы
гониометрии и их использование при решении упражнений, а
именно:
1) формулы приведения;
* Курс проведен в 1934/35 уч. году в 10 классе опытной школы НКП
имени Лепешинского.
3

2) основные зависимости между тригонометрическими
функциями одного и того же угла;
3) тригонометрические функции суммы и разности углов;
двойных и тройных углов; половинных углов;
4) формулы суммы и разности одноименных
тригонометрических функций;
5) введение вспомогательного угла;
6) определение обратных круговых функций и их
свойства.
Таким образом вопрос о тригонометрических
уравнениях основывается на
вышеперечисленных вопросах теории алгебраических
уравнений, которые дополняются, расширяются н
видоизменяются соответственно особенностям
входящих в них тригонометрических функций.
Указание"- отдельные вопросы, рассматриваемые нами
в данной статье, как напр. вопрос о периодичности
тригонометрических функций, сложение обратных круговых
функций и др., а также отдельные типы уравнений,
приводимые нами, прорабатываются с учащимися и в 9 классе;
нами они повторяются с целью дать систематическое
изложение вопроса о преподавании „тригонометрических
уравнений". С этой же целью для учителя помещены в данной
статье некоторые более сложные приемы решения
уравнений и последние §§, не входящие* в курс средней школы
§ 1. Определения. Общие замечания
I. Тригонометрическим уравнением
называется уравнение в том случае, когда в нем
неизвестное содержится под знаком
тригонометрической функции.
Неизвестным в тригонометрическом уравнении является
угол (дуга). Он может быть непосредственно аргументом
тригонометрической функции, как в уравнении а{%х = Ь
или может входить в состав аргумента, как в уравнении
а1ц(х + Ь) = с или аХц кх = Ь и т. п.
Замечания:
1) Уравнение хсоза — з!па = 0, в котором неизвестное х,
есть уравнение ие тригонометрическое, а алгебраическое, его
решение х = Хца**.
2) Выражения:
51п2^С-т-С05аХ=1
или
51п2(3х + а) + С052 (Зх + а) = 1
являются тригонометрическими тождествами.
* В тексте дано мелким шрифтом (§§ 15, 20, 21, 22 и др.).
** Аналогично тому, как уравнение х Уа = 1^—уравнение не
иррациональное, но с коэфициентами, которые представляют собой
иррациональные выражения и т. п.
4

II. Понятия .решить тригонометрическое уравнение",
„найти корень тригонометрического уравнения" не отличаются от
аналогичных понятий в теории алгебраических уравнений.
Но неизвестным аргументом в тригонометрическом
уравнении является угол (дуга), содержащийся под знаком
тригонометрической функции, и при решении уравнения сначала
приходится определять тригонометрическую функцию
аргумента. А тяк как каждому значению тригонометрической
функции соответствует неограниченное множество углов,
то тригонометрическое уравнение имеет неограниченное
множество решений (в отличие от алгебраического
уравнения). Лишь в том случае, когда имеется какое-либо
дополнительное условие, данное задачей, число решений
тригонометрического уравнения ограничивается (напр., надо найти
только острый угол; только углы в одном треугольнике
и т. п.).*
Кроме того, бывают тригонометрические уравнения, для
которых нет соответствующего угла, удовлетворяющего
уравнению, как напр. в случае 2 з!п х = 3, где в1п х = — и т. п.
Таким образом, тригонометрические уравнения в отличие
от алгебраических уравнений или не имеют решений в
области действительных чисел (в данной работе рассматриваются
только действительные значения корней), или имеют
неограниченное множество решений в силу периодичности
тригонометрических функций. В последнем случае решения
выражаются общей формулой.
III. Процесс решения тригонометрического уравнения,
аналогично процессу решения алгебраического уравнения,
заключается в приведении данного уравнения к простейшему
вицу путем последовательной замены данного уравнения
равносильными ему уравнениями.
§ 2. Формулы общего вида
1. Прежде всего, до решения тригонометрических
уравнений, следует повторить с учащимися основное свойстчо
всех тригонометрических фу нкций, а именно их
периодичность, т. е. свойство функций не изменяться
ни по величине, ни по знаку, пои изменении аргумента
на определенную величину. Поэтому тригонометрические
функции называются периодическими. Наименьшее
абсолютное значение величины, прибавление которой к
аргументу не влечет изменения функции, называется
периодом функции. Для функций тангенса и котангенса период
* Некоторые авторы различают «тригонометрические» уравнения и «го-
ннометричгские», считая, что углы, входящие в тригономгтричгское
уравнение —это углы треугольника, а углы в гониометрическом уравнении
следует рассматривать с общей точки зрения, как аргумент круговой
Функции.
5

равен л; период остальных четырех тригонометрических
функций равен 2я;
5ш (2кл + а) = 5Ш а с1%(кл + а) = с1%а
С05 {2кл + а) = С05 а зес (2Лтг + а) = зес а
*ё (^я + а) — *8 а созес (2кл + а) = созес а,
где к произвольное целое положительное и отрицательное
число или нуль.
Следует тщательно повторить общие формулы углов (дуг),
для которых тригонометрическая функция имеет данное
значение.
1) Все углы, имеющие одинаковое значение синуса могут
быть записаны формулами: 2кл + Хо и(2Л + 1)я—х0 или,
объединяя обе формулы:
/пя + (—1)тх0
Объяснение. В первой окружности всегда найдется угол
(дуга), обозначим его х0 (часто обозначают его греческой
буквой а), синус которого равен данному числу, если это
число по абсолютному значению не превышает единицы.
В первой окружности имеется еще одни угол (дуга) с
таким же значением синуса (я—х0). Через х0 обозначен
меньший (по абсолютному значению) из этих двух углов в одной
окружности, имеющих одинаковые значения синуса. Все
остальные углы (дуги) получаются из найденных по свойству
периодичности функций:
2кл + Хо; 2кп + (я — Хо) = (2Л + 1) я — х0.
Выражение тл + (— 1)тх0 включает обе формулы; при т
четном имеем одну и при т нечетном—другую формулу.
Замечание: Это объединение формул (в данном случае двух)"
крайне плодотворно; его следует проводить, где возможно,
при решении уравнений*.
2) Все углы, косинус которых имеет данное значение,
записываются формулой: 2&я±х0.
Объяснение: В первой окружности всегда найдется угол,
х0 (берем меньший\ косинус которого имеет данное значение
(если это значение не превышает единицы по абсолютной
величине); это же значение косинуса в первой окружности
имеет угол (—х^. Остальные решения получаются из
найденных по свойству периодичности функций:
2кл+Хо, 2кл—х0.
Общая формула:
2кя + х0
3) Общая формула углов, тангенс которых имеет данное
значение тл + х0 , где т — любое целое относительное
число.
* Без объединения формул может быть повторение одних и тех же
значений неизвестного в полученных формулах.
6

Объяснение аналогично вышеприведенным: в первой
окружности имеются углы х0 и л + х0, которые имеют одинаковое
значение тангенса (без всяких ограничений).
4) Аналогично рассуждая, получается, что все углы,
имеющие одинаковое значение котангенса, записываются
формулой: пш + х0.
5) Все углы, удовлетворяющие требованию иметь
определенное значение секанса (за исключением значений,
заключающихся между + 1 и — 1), записываются формулой:
2кя±х0.
6) Общая формула углов (дуг), имеющих одинаковый
косеканс (за исключением значений между + 1 и — 1): тл+
+ (-1)"*о-
§ 3. Уравнения „простейшего вида": $ш х = а; со$ х = Ь;
т§х = с.
К решению уравнения простейшего вида: бш х = а; созх =
= Ь; {§ х = с приводится решение любого
тригонометрического уравнения; поэтому учащимся необходимо приобрести
большой навык в решении ур-ний простейшего вида, навык
быстро и безошибочно решать их, и тем самым доводить
до конца решение любого тригонометрического уравнения.
В зависимости от подготовки класса работа проводится
на числовых и буквенных примерах в том или ином порядке:
от числовых примеров—к буквенным, или наоборот,
применяя общие решения к частным случаям.
Крайне важно в каждом случае указывать
учащимся, что простейшие
тригонометрические уравнения, как и любые
тригонометрические уравнения или не имеют решенийили
имеют неограниченное число решений. 1.
Уравнение 8шх = о. Если |о|>1, — нет решений, если \а\ ^ 1,
имеет бесчисленное множество решений.
а) 81пх = 0,5.
х0=30-;
х = т • 180° + (— 1)" ■ 30"
х0 = агс 5ш 0,5;
я
6
х»=тя+( — 1)"-*-
б
х = т л + (—1)" агс $1п 0,5,
где агсзт 0,5 есть дуга в первой окружности, наименьшая
по численному значению (*„).
Если
/п = 0 х= 30°
ш = 1 х=150°
т = 2 х = 390°
т=
х = —
6
л 5
X = Л =—- Л
6 6
Х = 2яЧ = —л
6 6

Указание: Мы считаем полезным: 1) приучать учащихся
по таблицам натуральных тригонометрических величин *
отыскивать угол в градусах и минутах, переводить его
в радианы и давать ответ во всех 3-х указанных формах.
(Обычной ошибкой учащихся является то, что они пишут:
х = тя + (— \)т 30°, пользуясь в одной формуле и радиаи-
ным и градусным выражением угла); 2) отыскивать некоторые
частные значения углов, придавая коэфициенту т различные
значения, хотя мы не приводим их в дальнейшем.
Необходимость этого в отдельных случаях будет указана ниже.
0,5
*о
X
т

гига
т
я
= 180° + 30а =
= т
= 0
= 1
= 2
= 3
.
• 180' + (-
х = 210°
х = — 30е
х = 570°
х = 330°
.
210°
■1)т.
210;
или
1 Я 7
Хп = л ■+- — = -— ж
6 6
х = тп + (— 1)т — п;
6
или (предпочтительно)
8шх = — 0,5
л
х = шя —(—1)"' —
4 б
ИЛИ 51П X = — 0,5
х0 = — 30'
х = т • 180° + (—1)"' (—30°)
х = т • 180° — (— 1)т ■ 30".
Корни те же:
при
ш = 0 х = — 30*
т = \ х =* 210°
т = 2 х = 330*
т = 3 х = 570"
или
х0 = агг 5Ш (—0,5)
х0 = —агсзШ 0,5
х = тл — (— 1Гагс51пО,5.
* В случае, напр., когда 81п х = 0,6, и т. п.
8

Общий случай
ъ) зШ х = а; 0 < а < 1
Хо = агс з!па
х = тп + (—1)т агс зш а,
где агс зШ а = х0
зш х = — а; 0< а < 1
х0 = — агс зш а
х = тл — (—1)'" агс зШ а
II. Уравнение соз х<
а) С05 х = 0,5
Хо=60°
х = 2Л-180°±60°
Ь, при 0<6 <1
Хо =
х = 2кл
б) соз х = — 0,5
х0 = 180°— 60°= 120°
х = 2/г-]80°-4-120°
п
3
Хо = агс соз 0,5
х = 2кл ± агс сое 0,5
= — л
х~2кл-\-—л
— 3
х0 = агс соз (—0,5)
х0 = я — агс соз 0,5
х = 2 кп + (л—агс соз 0,5)
Общий случай:
в) соз х = Ь; 0 < Ь ^ 1
х0 = агс соз Ъ
х = 2к л + агс соз Ь
III. Общий случай:
Уравнение 1^ х = с; с >- 0
х0 — агс 1% с
х = тж + агс 1д с
Указания. 1) Решение простейших уравнений с^ х —с;
зес х = Ъ и созес х = а не представляет новых трудностей.
2) Случаи 81П х = — а, соз х = — а, т.§ х = — а можно
опустить для более подготовленных учащихся.
§ 4. Частные случаи „уравнений простейшего вида"
I- Случай, когда тригонометрическая
функция угла равна 0.
со5х = — Ь\ 0^6<1
х0 = л — агс соз Ь
х = 2кл + (л — агс соз Ъ)
1§х = — с; с>0
Хо = —агс!§с
х = тл — агс тд с
1)
зш х = 0
х = тл
2) *§х = 0
х = тл
х =тл
3) соз х = 0
х = 2/ся + —
— 2
4) с^х = 0
х = тп -\
х = (2А+!)-=-

5) $есх = 0— нет решений;
6) созес х = 0 — нет решений.
Обычно решения уравнений 1) и 2) записывают
формулой х=тлк решения уравнений 3) и 4) записывают
формулой х = (2& + 1)-—, так как обе последние формулы
п *
говорят о нечетном числе
II. Случай равенства тригонометрических
функций **
1) Если 2 угла имеют равные синусы (или косекансы),
то они или отличаются друг от друга на четное число
полупериодов, или в сумме составляют нечетное число полу
периодов (л).
В самом деле, если вШ х = вШ а, то
все углы х находятся по формуле х = тл + (—1)та, так как
одно из решений данного уровнения (частный случай) будет
при равенстве углов х и а, т. е. Хо=а, тогда
при т четном, х = 2Ь+а;
при т нечетном, х — (2к + 1) л —а,
Можно записать
х — а = 2кл;
х + а = (2к + \)л.
81п X = 51П :
7 '
- — = 2кл; х = 2кл + -^;
7 7
(2к + 1)л; х==(2к+1)л — ^;
х = тл±(— 1Г—.
2) Если 2 угла имеют равные косинусы (или секансы), то
и в сумме и в разности они дают четное число
полупериодов (л).
С05 X = С05 а.
Рассуждая попрежнему, мы имеем:
х=*2кл±а или х±а = 2кл.
Пример:
созх = соз 17е
х±17в = 2 к -180°
х = 2к ■ 180° ± 17°.
*2Ля±-^-= (4Л±1)-^-; тп + -у = (2т +1) А
** Иногда говорят .освобождение обеих частей от знака
тригонометрических функций".
10
Пример:
х —
■ я
Х + Т =
или сразу:

3) Если 2 угла имеют равные тангенсы (или котангенсы),
то они отличаются на целое число полупериодов:
1&х = 1&а- Все углы х записываются формулой:
х — а = тп
Пример: *вх = *е-«
2
х= тл -| л.
з
§ 5. Простейшее уравнение в случае, когда неизвестное
входит в состав аргумента
Последним этапом в подготовительной работе к решению
уравнений является решение уравнений простейшего вида
в том случае, когда неизвестный угол входит в состав
аргумента. В этом случае возможны разнообразнейшие
комбинации. Рассмотрим некоторые из них как в общем виде,
так и в частных случаях.
1) Уравнение зш (х + а) = а
Определяем аргумент (х + а).
Решение:
(х + а) = агс 51П а
х + а = т л + (— 1)т агс $1п а
х=тл+(—1)**агс §ша — а
2) Уравнение 1%(х ЯЛ = 1
Определяем аргумент (х ——}
Решение:
я п
Х0 =
0 2 4
х = тл 4
2 ^ 4
+ я я
1
4 2
х = тл -\ п
4
3) Уравнение соз 2х = 1
Решение: ^^
2х = 2кл
х = кл
4) Уравнение соз (тх + п) = О
Решение:
(тх + п)о = —
тх + п = 2кл ± —
2
тх = 2кл± ——п
2
= --( 2кл±——п\,
т \ 2 )
\\

5)1§(2х + ^-) = -1
^2 4
2хН =/пя
2 4
2х — тп л
4
тя 3
Х = я.
2 8
К этим же простейшим уравнениям следует отнести
уравнения вида
а8т(кх + т)= Ь или а5й1 (/ос±ш) + Ь =с и т. п.
Пример:
3*е(2х — л)+ 0,4 = 2,8
^(2х —5г)=0,8
2х„—180° = 38°
2х —180° = т • 180° + 38°;
2х=(т + 1)180° +38°;
х = т • 90е + 109°.
Замечания:
Обычными ошибками учащихся при решении
рассмотренных выше уравнений вида
5т(х4;а) = 6
5ш (а ± х) = Ь
5ш кх = с
51П (кх + т) = с
зШ( — +т\ = с и т. п.
'(т±-)-
1) является то, что они при решении стремятся
использовать известные им формулы гониометрии, как напр. функции
суммы, разности углов и т. д., что является совершенно
излишним;
2) то, что учащиеся часто не пишут значений для всего
аргумента в общем виде, а находят сперва численное
значение для х, входящего в аргумент, и затем присоединяют к
нему период.
§ 6. Двучленные уравнения первой степени, содержащие
одинаковые функции с численными коэфициентами,
равными 1, причем неизвестное входит в состав аргумента
Эти уравнения также относятся к „простейшим". Они
решаются на основании сказанного в § 4, II и в § 5.
Пример 1.
51П (8Х + 60°) + 51П 2Х = 0
I прием:
а) 51п(8х + 60°)=—51п2х
5х + 60' = т ■ 180°—(—1)"' • 2х,
12

откуда имеем некоторые значения неизвестного:
при
/л = 0; 8х + 60° = — 2х; х = — 6°
т=\; 8х + 60° = 180° + 2х; 6х = 120°; х = 20е
т = 2; 8х+60° = 360°—2х; 10х = 300в; х = 30*
т = 3; х = 80° и т. д.
б) Иная запись:
8х + 60° + (— 2х) = (2/с + 1) 180°
8х + 60° — (— 2х) = 2к • 180°
Получаем те же решения
при к = 0, 1, 2 . .
Эти уравнения решаются несколько сложнее путем
преобразования по соответствующим формулам гониометрии,
а затем согласно теории решения аналогичных
алгебраических уравнений, а именно:
II прием:
51П (8Х + 60") + 51П 2Х = 0
2 81п (5х + 30°) саз (Зх + 30°) = 0.
В данном случае произведение равняется нулю, и оба
сомножителя определены при любых значениях аргумента,
поэтому
С05 (Зх +30°)= 0 | 51п (5х + 30°) = 0 (см. §4,1)
Зх + 30° = (2* + 1) .90° ' 5х + 30° =/п-180°
Получаем снова:
при
к = 0; Зх + 30° = 90°; х = 20°
к = \; Зх + 30° = 270°; х= 80е и т. д.
при
ш = 0; 5х + 30°=0; х = — 6°
т = 1; 5х + 30°= 180°; х =30° и т. д.
Как уже сказано выше, полезно при обучении решению
уравнений находить частные численные значения
неизвестных, в особенности в случае, аналогичном данному, когда
учащиеся, решив пример различными приемами, могут
проверить правильность решения.
Пример 2.
з1п а = соз /3
8та=зт|
Вопрос может быть поставлен и иначе (см. § 4, II): найти
зависимость между углами а и /3.
Ответ:
а — 0 = 2кп
а + /? = (2Л + 1)я.
13

Пример 3.
8Н1 13 Х = —8Ш $Х
13х + (— 5х) = (2к + \)л ■
13х—(—5х) = 2&я,
0тКУАа х = (2*+1)^
и х = — или х = 20° к.
18
Пример 4.
Хё4х = 1ёх,
4х—х = тп,
ттс
х = —.
3
Обращаем внимание, что, решая указанные в этом §
примеры путем тождественных преобразований по формулам,
мы усложняем работу и часто приводим решение к
необходимости дополнительно исследовать получающиеся корни.
Так, в данном случае уравнение примет вид дроби
1%4х—*§х =0
51п Зх • ^
С08 4х • СОВ X
Соответствующее исследование указано ниже.
Замечания:
1) На основании вышеуказанного решается вопрос: при
каких значениях х
соз 5х = соз Зх?
I прием:
II прием:
5х=2Ая + Зх (§ 4, II)
2х=2кл; х = кл
Ъх = 2кл- х = ~.
4
соз 5х — соз Зх = 0
— 2 з!п 4х з1п х = 0
(исследование см. ниже)
8И1 4Х = 0
4х = /пя
х = ™
4
8Ш X = 0 (§ 4,1)
Х = ШЯ
2) более простой вопрос: при каких значениях угла, ш
раз взятое значение любой его тригонометрической функции
можно приравнять п значениям той же функции?
14

Напр., найти х, если
5^х = 31§х*.
2^х = 0,
х =тп.
В §§ 3, 4, 5 и 6 нами рассмотрены уравнения
„простейшего вида" и их частные случаи (пять видов).
§ 7. Общие указания к решению тригонометрических
уравнений
В решении тригонометрических уравнений можно указать 3
этапа:
1) уравнение приводят к виду, содержащему только одну
функцию одного аргумента на основании
тождественных преобразований по формулам гониометрии;
2) эту функцию принимают за неизвестное и решают
соответствующее алгебраическое уравнение (см. введение);
3) получив корни алгебраического уравнения, исследуют
пригодность их для данного тригонометрического уравнения
и пишут общий вид его корней.
Пример 1. Уравнение 2з1п2х=Зсо8Х заменяется
равносильным уравнением 2—2со82х = Зсо8Х или
2со82х + Зсозх—2 = 0;
получают квадратное уравнение относительно созх, откуда
гпег = -3±|/9Т16.
4
1
соз х = — :
2
с08Х = — 2 (не дает решения).
Окончательно:
х = 2кп + ~ .
— з
Пример 2. Уравнение 3 зт2х—2з1пх = 0 заменяется
равносильным уравнением
6 зтхсозх — 2 8П1Х = 0;
з1пх(Зс08Х—1)= 0.
Уравнение распадается на 2 уравнения первой степени
81П X = 0
и
Зсозх—1 =0;
* Этими примерами подчеркивается наличие неограниченного числа
решений у тригонометрического уравнения.
Так, аналогичный вопрос в алгебре при каких значениях х, 5х=3х,
имеет лишь одно решение. Вопрос, какое число равно своему квадрату,
приводящий к квадратному уравнению в алгебре х2=х, имеет 2 решения;
соответствующие тригонометрические уравнения, напр., 81П2 х = 51Пх и
т. п. имеют по отношению к углу х неограниченное число решений.
15

откуда
х = 2кл 4- агс соз — .
- - з
Указания:
1. Когда при решении в уравнении переносятся члены из
одной части в другую и соединяются подобные члены,
получаются уравнения, равносильные данному.
Таким образом всякое уравнение может быть представлено
так, что одна из его частей равняется нулю М(х) = 0.
2. Когда при решении уравнения освобождают уравнение
от знаменателей и сокращают члены уравнения, то возможно
получение уравнения не равносильного данному, в случае
умножения и деления на выражение, содержащее
неизвестное.
При этом могут быть все 3 случая: и сохранение
равносильности, и потеря корней, и получение посторонних корней*.
3. Когда при решении уравнения над обеими частями
уравнения производят действие возведения в степень (напр.,
при решении иррационального уравнения), то возможно
получение уравнения, не равносильного данному. В
частности, при возведении обеих частей в квадрат, как известно
(см. исследование решений уравнений в курсе алгебры),
получается уравнение, которому удовлетворяют не только все
решения данного уравнения, но и корни того уравнения,
которое получается из данного, если в одной его части
переменить знаки на обратные. **
Из всего вышесказанного следует:
1) что при решении уравнения путем выполнения действия
умножения или деления на выражение, содержащее
неизвестное, и возведения в степень обеих частей уравнения,
необходимо: а) подстановкой проверять пригодность
полученных корней, б) проводить исследование в процессе решения
уравнения, чтобы избегнуть потери его корней, а также и
введения посторонних корней;
2) предпочитают в тех случаях, когда это возможно,
приемы решения, которые давали бы возможность избегнуть
получения дробных уравнений, иррациональных и т. п.
Поэтому: 1) при решении тригонометрических уравнений
далеко не всегда пользуются общими приемами решения;
2) иногда, приводя уравнение к виду, содержащему только
одну функцию одного аргумента, приводят к функции,
которой и не было в данном уравнении, предпочитая приводить к
*&х (см. §§ 9, 11, 13>, так как дуги по тангенсу
определяются точнее (до 45°) и формулы общего вида более простые;
3) вводят искусственные приемы решения уравнении.
В последовательности указанных трудностей мы и будем
рассматривать решение уравнений.
* См. .Исследование уравнений" в курсе алгебры. (Бертран. Алгебра.
Комаров. Теор. основ, арифм. и алг. и пр.)»
** Решения уравнений А^В =0.
16

—— •* -» р о |н о » -
Замечание. 'При решении уравнений с учащимися в 9
классе придерживаются иной системы—решают ур?внения,
требующие выполнения тождественных преобразований в
определенной последовательности согласно программе
гониометрии (см. Рыбкин. Сборник задач по тригонометрии,
уравнения в §§ 2, 3, 8, 9,10, 11). Вопрос о тождественных
преобразованиях уравнений не рассматривается в данной
статье, но как уравнения названных §§, так и уравнения,
данные для 10 класса в §§ 14 и 15 сборника, решаются
указываемыми нами приемами.
§ 8. Уравнение, левая часть которого представляет собой
произведение, а правая нуль
I. Выше указан общий прием решения уравнений: на
практике этим приемом решаются те уравнения, которые путем
тождественных преобразований приводятся к уравнению,
содержащему одну функцию одного аргумента 1-й степени,
квадратному уравнению, биквадратному, уравнению высшей
*\> степени, решение которого путем подстановки или разложе-
\ ния на множители приводит к решению тех же уравнений —
ч^ квадратного и первой степени. В данном § остановимся на
■^ решении уравнений, которые путем разложения на множители
приводятся к решению системы уравнений, равносильных
*"4^ данному, причем каждое ур-ие содержит одну функцию
одного неизвестного аргумента 1-й и 2-й степени. Такой,
например, случай рассмотрен в § 7, в примере 2, где
данное уравнение было лишь второго измерения. В этом §,
в примере 1, рассмотрен аналогичный случай уравнения 3-й
степени. В уравнениях этого рода одна из частей
представляет собой произведение сомножителей, а другая—нуль:
> Л(х)-/«(х).../,(х) = 0.
* II. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы
^ произведение обратилось в нуль, является равенство нулю
С одного или нескольких сомножителей этого произведения.
д(х) = 0, /2(х) = 0 и т.д. Корни /(х) будут корнями данного
ч уо-ия, если они не обращают в бесконечность (или неопре-
5^ деленность) какой-либо сомножитель (или произведение
других сомножителей).
Поэтому полученные корни надо испытывать.
Указание. При этом корни могут быть получены
непосредственным решением тригонометрического уравнения, или
в случае неопределенности выражения они рассматриваются
как значения, которые находятся путем отыскания
предельного значения. * Такие случаи в тригонометрии встречаются
* чаще, чем в алгебре, потому что и некоторые значения
* тригонометрических функций рассматриваются как
предельные (например, значение 1дх для —) . -V.
2 ^
* В .Сборнике задач" Рыбкина имеются соответствуют» е упражнения
в § 14, №№ 64—73.
2 Тоигонометоические уравнения. 722г. 17

III. Пример 1. в
2 виг3* + 81п х соз х =2з!п2х,
2 8Ш3Х — 3 8Н1 X СОЗ X = О,
81П X (2 81П2 X — 3 С05 X) = О,
а) 81пх = 0.
Второй множитель имеет определенное значение Значит
х = тп.
Проверка:
2зп13тя — 81П тп соз тп = 2 зШ 2 хгт, я
О —0-(+1)=0; 0 = 0, *
} б) 2 81П2Х —ЗСО8Х = 0.
2 — 2соз2х — 3созх=0, |*
2 соз2 х + 3 соз х — 2=0..
тЛ = -3±т/9 + 1б V
4
соз х, = — ;
2
созх2=—2 (нет решения).
х = 2Ля+ —.
— з
Проверка:
2-*(±-=-) + -п(±-=-) сов (±^)-28.п(±^).
— \ 2 / 2 2 2 2
±-\-±^=±У 3;
4-|/з= + У^.
В решенном примере испытания корней можно было не
делать.
Пример 2.
*8 — (1+созх)=0.
Указание: Можно предложить ученикам преобразовать
левую часть ур-ния, получают ял х=0, откуда
х = тя
Действительно: а) 1%— = 0,
х = 2тп.
18

б) 1+созх=0;
созх = —1;
х = 2кл ± л,
но
*2 -у обращается в оо при этом значении х.
Имеем
*8 Х (1+С08Х) = 1е~ ЗСОЗ2 * =8ЮХ.
з1п х = О,
при х — 2кп±п.
Таким образом корни уравнения:
из а) х = 2тл (четное число щ и из б) х=(2/с + 1)л
(нечетное число л).
Или все корни можно записать одной формулой: х = пл,
где п любое целое четное и нечетное число
Пример 3.
созх(1§х — 1) = 0.
а) созх =0.
х=2кл+~,
~ 2
при этом значении х второй множитель обращается в оо.
Преобразуем:
в1пх—С08Х „.„
сов х = 8ш х — соз х;
созх
Это выражение при найденном значении х не равно 0:
81п (2кж + —) — сов(2кл +— ] = ± 1 — 0 ф 0
и 2кл +— не есть корень уравнения.
В решенном примере, после испытания 1-го полученного
корня, убедились в его непригодности.
б) *ех—1 = 0,
*е*= 1;
X = 772Я+— .
- 74
Это корень данного уравнения.
Замечание. Из выражения, полученного после
преобразования левой части ур-ия: зт х — соз х = 0, ученики находят
сразу решения ур-ния, которое мы имеем в случае б).
Проверка:
соя (шя + у) • Гцгая + ^) — 1 ] =0,
±^(1-1) = 0; ^0=0.
Пример 4.
> совес 2 х • 81п х = 0.
2» '\ 19

После преобразования:
созес 2х-зи1х=:—— — ; -— = о не имеет ое-
2 8ШХ С08Х 2С08Х 2С08Х "С И1ИСС1 ус
шения.
Действительно:
а) созес 2 х = 0 — нет решения,
б) зШ х = О,
х = тщ при этом значении х первый множитель
созес 4тл обратится в оо.
При подстановке х = тч, обращается в .
г 2созх г 2-0
Значит х = тп также не будет корнем уравнения.
Данное уравнение ие имеет решений.
Пример 5.
41%х • 8ш 4х = 0.
Преобразуем:
4^Х-81п4Х=-^^-481ПХС08ХС032х= 1б8ЩгХС08 2Х,
СОВХ
откуда х=тл, х=(2к+1)—.
Действительно данное ур-ие распадается на 2 уравнения.
а) 1&х = 0; второй множитель имеет определенное
значение и х = тп.
б) 51п4х = 0,
4х = тп,
п
х = т —.
4
Первый множитель обращается в оо только при некоторых
значениях т в выражении для х, напр., при т = 2; 6; 10;
14 и т. д., т. е. при значениях т = 4 к + 2, где к—любое
целое число*.
При подстановке в преобразованное уравнение
х ~ т —^ , убеждаемся, что
16 Вт2—- сой т — = 0,
4 2
при всех значениях т (включая и т = 4 к + 2). В самом деле
16 з!п2 №±±\ псоз(2/с + 1)тг = 16 • 1 - 0 = 0.
Корни уравнения:
х = тп; х = т - .
4
2я 10я 18-я
1еТ=18"Т~=18~4~= • • • -оо,
6я 14-л:
чгТ=»в-^-= оо.
20

Пример 6.
Решить уравнение:
япх- с!^х ■ (1—1§2х)= 0.
81пх = 0 с(ех = 0 1— 1%*х-
' х = тп; х — тп.-\--^-;х = ти:
0
п
2 ' —~4
Две первые группы корней, обращая один из множителей
в нуль, в го же время делают другой множитель бесконечно
большим. Преобразовав 8Н1х-с(ех(1—1§!гх) = с08 2х8есх|
убеждаемся, что только решения х = тя + — будут корнями
данного уравнения.
Указание: Если дано уравнение вида произведения
нескольких (более двух) сомножителей (в другой части
уравнения 0), то для решения исследуют порознь каждый из
сомножителей, который может стать равным нулю, находят
общий вид корней и проверяют подстановкой в уравнение.
§ 9. Приложение теории предыдущего параграфа
I. Часто при решении уравнений пользуются приемом
сокращения обеих частей уравнения. Как известно из курса
алгебры, при этом может получиться уравнение, не
равносильное данному. Поэтому следует предпочесть прием, при
котором все члены переносятся в одну часть уравнения, а
в другой части 0; тогда общие множители, на которые
можно было сократить все члены уравнения, будут
сомножителями произведения, и исследование проводится согласно
сказанному в § 8.
Пример 1.
0 81п2х=6зтх при |6|<|о|.
Решение:
0 8Н1гХ—6 81ПХ»= 0
81ПХ(08ШХ — 6) = 0
81П X = 0
х = тл
а 8Н1 х — 6 = 0
х = тл + (— 1)"
аГС 81П
Указание:
Сократив обе части уравнения на 8И1Х, теряют первую
группу корней.
Пример 2. ЙП.Х.2ЙП2Х-8ЩХ
8тх(81пгх+ 1 — 4со8х) = 0
81П X (С082 Х-^-4 С08 X — 2) = 0
1) з1пх = 0
х = тл
2) С082Х + 4С08Х —2 = 0
С08Х= — 2 + /б ,
откуда, так как
со8Х = — 2—у 6 не дает решения
х = 2кл ± агс соз (|/1Г— 2).
21

Корни:
х = тл; х = 2Агтг + агссоз (|/б —2].
II. Однородные уравнения относительно зшх и соз х.
Указываемый прием имеет большое значение при решении
однородных тригонометрических уравнений, содержащих
функцию и кофункцию одной дуги.
Пример 3. о зшх = 6 созх. Однородное уравнение 1-й
степени.
Решение: а зш х — Ъ соз х = 0. Для приведения к одной
функции* вынесемсозх за скобки: созх(о{&х — Ъ) — 0.
а) созх = 0 не может быть корнем уравнения**.
б) о^х— Ь = 0
ь . ь
1§х= ; х = тл + агс18 —
а а
есть общий вид корней данного уравнения.
Пример 4.
а1%х + Ь&%х = 0
^х(о+6с*е2х)=0
а) 1§ х = 0 не удовлетворяет данному уравнению.
б) а + Ьс1%Ъс = 0; с^2х = — -; 1%>х = — —
Ь а
х — тл + агс 1ц I/ ——
при условии, что Ь и а разных знаков.
•Пример 5.
ЗШ2 X + ЗШ X СОЗ X = 1
51П X СОЗ X — (1 — ЗШ2 X) = 0.
Получаем однородное уравнение относительно зшх и созх
второй степени:
з!п х созх— соз2х = 0
соз2х(*ех—1) = 0.
а) соз2х = 0
соз х = 0
х = (2ЛЧ+1)-у
б) ^х—1=0
х = тл -{
4
Обе группы
значений неизвестного
| удовлетворяют ура-
| внению.
Пример 6. Уравнение третьей степени без свободного
члена: 3 у 3 з!п3 х = соз3 х.
* Не содержащейся в данном уравнении.
** В данном случае можно было сократить члены уравнений на созх,
так как соб \ имеет определенное значение, не может равняться 0, в чем
можно убедиться подстановкой.
22

Решение:
со83х(3)/з 1д3х— 1) =0;
а) соз х = 0 не может быть корнем уравнения, так как
з/У-(±1)фО;
б) (/з!ёх—1)(г^х + з/~3^х+\)=0
з дает мнимые корни, не
х = тл + — рассматриваемые в дан-
6 ной работе.
Пример 7. Однородное уравнение второй степени в
общем виде:
а вш2х + Ъ 8Н1 х соз х + с соз2 х = 0,
соз2х (а 1§8 х + Ь \%х + с) = 0.
а) корни ур-ия созх = 0 ке удовлетворяют данному
уравнению (можно сократить на созх);
б) е*д2х + Идх + с = 0;
_ ь ± / Ь* — Лас
х = тл + агс 1е =^- .
1а
Пример 8. Рассмотрим однородное уравнение 4-й
степени:
81П3 X СОЗ X + 8Ш2 X СОЯ2 X — 4 81П X С083 X — 4 СОЗ4 X = 0.
1) Члены уравнения можно делить на з1п4х без потери
корней, гак как корень уравнения з1п4х = 0 не
удовлетворяет данному уравнению, в чем легко убедиться.
Тогда уравнение запишется с!§ х+с!^ х—4 с!^ х —4 с1§* х=
= 0 или с*8*(1+с*ех)(1 +2с*е*)(1 — 2с*дх) = 0.
2) Так как корни уравнения соз4х = 0 удовлетворяют
данному уравнению, то уравнение перепишется:
С084х(*§3х + *&2х — 4*&х — 4) = 0
или
С084х(*вх + 1)(1§х —2)(^х + 2) = 0
и решения х = (4&±1) — уравнения соз4х = 0 будут
корнями данного уравнения дополнительно к тем, которые будут
получены после рассмотрения остальных сомножителей.
§ 10. Уравнение вида дроби
I. Уравнения, в которых тригонометрические функции
неизвестного аргумента входят в знаменатель одного или
нескольких членов (т. е. с дробными членами), путем
приведения к общему знаменателю, перенесения членов в одну
А (х)
часть уравнения, приводятся к виду —*-— = 0, где А и В
23

являются тригонометрическими функциями (без дробных
членов). Некоторые уравнения в таком виде и даются.
Освобождение от знаменателя в данном случае, как
известно из курса алгебры, нежелательно, так как возможно
получение уравнения неравносильного данному.*
С08Х 1
Пример 1. Решить уравнение: ~т—17Г7;~~о -
Решение:
4 С05 х — 2
3(2—с а )" ~ ^ак как знаменагель имеет определенное
значение и не равное нулю, го данное ур-ие равносильно ур-ию
я
4 созх — 2 = 0, откуда х=2 кл±—.
Замечание: Деление на <р (х) можно заменить умножением
на—: , и рассматриваемый случай решения уравнения может
быть сведен к решению уравнения, левая часть которого
имеет вид произведения, а в правой нуль (применяется в том
случае, когда знаменатель обращается в бесконечность).
Пример 2.
«1п х — сое х Л , . ч . Л
= 0 ИЛИ (51П X—С08Х) С1§ Х=0.
Решение:
а) з1п х— соз х = 0. Разделим все члены на соз х**, получим
1&х = 1. И корень х=тя+ — (при этом значении х знаме-
4
нагель дроби не равен 0).
б) *§ х = оо или с1§ х = 0, имеем х = тл + -^ •
Итак:
. я , я
4 ' 2
Замечание: Освободившись от знаменателя, мы потеряли
бы вторую группу корней.
Проверка:
( я\ ( п \ я
в1п!пт-ь~г-) — со81тя + —--) эрйп —
/ я \ я
±С08 ——
4
^г =(т-и,т±со.--)сЦт =0.
—ГТ А (*) Л
* Если взять за корни дробного уравнения -— = 0 корни того урав-
В(х)
нення, которым является числитель, приравненный нулю, т. е. А (х) = 0,
то корни могут не удовлетворять первому уравнению (в том случае, если
найденное значение неизвестного является также корнем знаменателя).
** При делении на соя х корень «е теряется, так как сов х = 0 не
является корнем уравнения: 1 — 0 ф 0.
24

Пример 3.
зесх = соз х + 5"! х
= соз х + зш х
С08Х
I — соз2 х— соз х а'п х
= 0.
СОЗ X
Левая часть ур-ия тождественно равна нулю при том
значении х, при котором
1—соз2х— соз х апх= 0, гак как при этом значении х, соз х ф0
81П2Х — СОЗ X 51П X = 0
81П X (31П X — СОЗ X) = 0
31П X = 0
х = тп
81П X — СОЗ X = 0
х = тп + -
4
Проверка:
1) 8ес тп = соз тп + зШ тп
±1 = ± 1
2) зес (тп + — ^ = соз (тп + —) + &1п(тп + п-) ;
я я , я
— 8ес ~Г ~ ~ с 4— 4 (лри ш нечетном)
г 2 2
— у/~2 = — у^2 и г. д.
81П2 X СОЗ 2 X
Пример 4.
31П X С08 X
81П 2х • С08 X — С08 2х . В1П X
= 0
■ 51П X • СОВ X
51П (2Х — X) «. 51ПХ -
31П X • СОВ X 81П X • С08 X
Данное ур-ие может быть не равносильно'уравнению 51пх=0,
гак как при этом значении х и знаменатель обратится в 0.
Сократив числителя и знаменателя дроби на общий множитель,
который обратит числитель и знаменатель в 0 при
предельном значении х, а именно на зШх, имеем =+ 1, а не
С08Х
нулю при х=тх. Данное уравнение не имеет решения.
Пример 5.
Решить ур-ие:
5ш х . ф х __ 9
1—соз х 4
25

Решение:
5 со5гх— 9 соз х + 4
4 соз х (1 — со8 х) '
5 соз2х— 9созх + 4=0, откуда созх=1; созх = 0,8.
Со5Х=1 может быть посторонним корнем, ибо он обращает
знаменатель в нуль. В самом деле:
б!п х 1г х I + соз х 9 „1
, — = = 2,а не — присовх=1.
1 —созх созх ' 4
П р и м е р 6.
51П X „ СОЗХ
1 + С08 X 51п X
81пг х — 2 8)п х — 2 8ш х соз х + соз х + созг х
(I +созх)81пх
1 — 231П X + СОВ X — 251П X С08 X
= 0,
= 0,
(1 + созх)з1пх
1 —28ШХ + СОЗХ — 28Н1ХСО8Х = 0,
(1—2зшх)-(1 +созх) = 0.
а) 1 — 2 81п х == 0; зШ х = —; при этом значении синуса
неизвестного аргумента знаменатель не обращается в 0, значит
уравнение удовлетворяется при
х0 = - и х=шя + ( — 1)"-.
6 6
б) Если 1 +со$х=0, го и знаменатель дроби
(1 + созх)зтх = 0.
совх = — 1 не удовлетворяет уравнению.
Проверка. Для удобства проверки напишем 2 функции
для общего вида корней:
2)х = (2А + 1)»-^.
о
п
соз —
= 2 ±
п
6
1) х = 2к.
Подставляем:
1)
1
2
^
2 —|/з
4 — 3
л +
2-
2-
1 и '
п
510 7
, п
I + С08 —
О
VI
2
" 1 '
2
Уз.
2+|/~3
= 2-/5,
26

п я 1 ]/з~
51П— —С08— —
2) ^- = 2 ®; —? =2+ 2
я я . ]^3 1
1—С05— 81П— 1— —
6 6 2 2
1
= 2+^3; 2 + ^3=2 + 1^3,
2 — \П
Таким образом общий вид корней данного уравнения
х = тя + ( — 1)"--.
4 б
§11. Приемы решений уравнения, левая часть которого
однородная функция II степени относительно зт х и сое х.
Пример 1. В § 9 даны примеры решения однородного
уравнения II степени относительно зт х и соз х.
Укажем иной прием* решения примера 7 из § 9:
азШ2Х + &81ПХС08Х + ССО82Х = 0.
Вынесем за скобки зтх-созх. Имеем:
з!п х созх (о 1& х + Ь + с с1§ х) = 0.
Левая часть уравнения состоит из 3 множителей:
а) з1пх = 0. Не удовлетворяет уравнению. (Убеждаемся
подстановкой);
б) соз х = 0. Не удовлетворяет уравнению;
в) а 8 ~—е с = 0. Уравнение равносильно ур-ию:
решения которого не обращают знаменатель в 0.
Корни уравнения:
х = тя + агс*е -ь±Уь*-*м
1а ч
совпадают с решением примера 6 в § 9.
Способ решения более громоздкий, но рекомендуется
в учебниках (без подробного исследования).
Пример 2. Однородная функция второй степени
относительно 81пх и со8Х-в левой части ур-ия, а в правой
свободный член (в общем виде):
1-й способ: а 81п2 х + Ъ бш х соз х + с соз2 х = п.
Заменяя
1%х 1
81П X = — И СОЗ X = - -
±УГ1 + 18!Х ±У 1+*8*«"
В § 13 приведен еще один прием в .Добавлении*.
27

получаем
— ~ * —- = 0. Это уравнение равносильно
ур-ию:
(о — п)*§2х + Ыёх + с— л = 0,
2(а — п)
2-й способ. Сделать данное уравнение однородным,
умножив правую часть на (8Ш2х + со82х).
(О — П.) 31П2 X + Ь 8Н1 X СОВ X + (С — П) С082 X = 0.
Откуда (см. § 10, пример 1 или § 9, пример 7)
т^-пш + итгЪ-ЫУ Ь*-4(Д-П)(С-П).
2(й—П)
решение то же.
Замечания: 1. Этот способ быстро дает ответ, но
способ 1) имеет то преимущество, что показывает прием замены
функций синуса и косинуса через тангенс, крайне полезный
в аналогичных случаях, см. § 13)*.
2. Иногда, решая указанный пример способом 2), говорят:
умножим правую часть уравнения на (81П2х + соз2х) и
разделим все члены на соз2х. Надо выяснить учащимся,
почему в данном случае можно выполнить указанные действия,
не нарушая равносильности данного и полученного уравнения.
Приложения:
а) Для примера соз2х — зш2х — 2 ]/3 зшхсозх = 1, имеем
по формуле:
х = гпл + агс♦е~2>Гз±2^ ,
4
т. е. имеем корни
X = ГПп; щл — "- .
3
Проверить корни непосредственным решением данного
уравнения.
б) Для примера о 81П2 х 4- & §1п х соз х + с соз2 х = а, где а =
« п, имеем корни
х = 2йя + - ;х=тл—агс 1§ ~ . Проверить.
2 Ь
§ 12. Уравнения иррациональные
В § 7 уже были указаны трудности, связанные с решением
уравнений в том случае, когда обе части уравнения
возводятся в степень (мы ограничиваемся возведением в квадрат)
и необходимость проверки получаемых решений при
употреблении этого приема.
Возведение в квадрат обеих частей уравнения прлменяется
здесь, так как этого нельзя избегнуть.
* В § 13 приведен еще один прием.
28

Пример 1. Иррациональное уравнение*
У 3 81П X = — СОЗ х/2
Возводим в квадрат обе части уравнения:
3 81П X = 2 СОЗ2 X,
28Н12х + 35тх — 2 = 0,
зт х = - и з!п х = — 2 (нет решения).
Корни уравнения:
' б
или
х = (2к + \)л — -и х=2А:я+ -
б б
Проверка:
1) Подставляем х = (2к + 1)л — п ,
б
|/ззш („ -1) = _ со, (*_|) /Г,
/771.+1^1^,
3 зт — = — соз •— у 2 ,
б б г
1 / — +1/ ."' удовлетворяют.
2) Подставляем х =» 2 Ал; + —»
б
Вторая группа корней принадлежит уравнению, в котором
знаки членов одной из частей противоположны данным,
а именно уравнению:
|/ Зз1пх= + созх|/2Г.
Пример 2. Иногда пользуются приемом возведения
в квадрат обеих частей уравнения в том случае, когда
уравнение содержит функции синуса и косинуса в первой степени.
* В иррациональном уравнении тригонометрическая функция
неизвестного аргумента находится под знаком у
29

Полезно на примерах выяснить невыгодность этого
приема:
Способ I: з!п х + соз х = 1,
У 1 —сов2х = 1 — соз х,
1 —соз2х = 1 — 2со8Х + соз2х,
С052Х — СО8Х = 0,
соз х (соз х —1) = 0.
а) созх = 0; б) созх=1;
х=(2А + 1)-;х=2Аж
Проверка:
1) 31П [(2к + 1)|] + соз [(2к + 1) *] = 1=
±1 + 0 = +1.
Другими словами, те корни, записанные формулой (2А + 1) -,
удовлетворяют уравнению, для которых к—четное, включая О,
а именно: й = 0, 2, 4... При нечетном к углы, записанные
этой формулой, не удовлетворяют данному уравнению *.
2) Проверка решения х = 2кя:
8Н12 кп + соз 2 кп = 1;
0 + 1 = 1; удовлетворяют.
Способ II. Решим тот же пример иным способом**:
зШх +созх = 1.
Зная, что
31П п = сое ^ = V* ;
4 4 2
перепишем данное уравнение:
81П — ЗШ X + СОЗ я СОЗ X = У_2_
4 4 2
соз
(-;)-1?-
х — == 2Лл •.
4 — 4'
х = 2/сл + -; х = 2/ся.
2
* Если записать корни уравнения созх=0 как х=2ктс± — .тореше-
Я .Я
ния х == 2 кп + — удовлетворяют уравнению, а х= 2 Ля — — — не удов-
летворяют.
** Другие приемы решения указаны также в § 13.
30

При этом способе сразу получились только те решения
которые удовлетворяют уравнению. Но, конечно, этот способ
удалось использовать только благодаря тому, что все коэ-
фициенты данного уравнения равны 1. Далее приведем более
общий прием.
Способ-Ш. 8шх + 81п(90° — х) = 1,
2 81п45°-соз(х — 45°) =1,
соз(х—45°) = -^;,
решения те же.
Замечания. Можно на числах показать те лишние корни,
которые получились при решении примера 2 способом 1—
возведение в квадрат обеих частей ур-ия.
В самом деле:
при способе 1 получены решения:-90°, 270°, 450°, 550°, 810°
и т. д., затем 0°, 360°, 720°, 1080° и т. д;
при способе II и III получены: 90°, 450°, 810° и т. д., затем
0°, 360°, 720°, 1080° и т. д.
Сравнивая, видим, что лишние решения, полученные при
первом способе, это 270°, 560° и т. д. при А = 1, 3, 5 и г. д.
П р и м е р 3. Приведем еще один пример, который содержит
функции синуса, косинуса в 1-й степени. Решим возведением
обеих его частей в квадрат:
81П X + С08 X + 8Ш 2 Х= 1 *,
(31П X 4" С08 X)2 = (1 — 31П 2Х)2,
1 + 8ш2х = 1 — 28ш2х + 5шг2х,
81п22х —3 8ш2х = 0,
8ш2х(81п2х —3) = 0.
а) 81п2х = 0;
б) 81п2х = 3 (нет решения).
2х = тп,
где т число четное и нечетное;
2
Проверка: 2х = 2кл; 2х = (2к + 1)л,
1) 81п кп + соз кп + 31П 2кп =
= 0 + 1 + 0=+1; значения неизвестного удовлетворяют
уравнению при к четном (включая к = 0), г. е. при т, кратном
числу 4 и равном 0.
2) 8ш(2Л + 1) — + со8(2*-ИЬЯ + 81п(2й + 1)я =
= ±1+0 + 0 = +!.
* Полезно запомнить:
81П 2 X = (81П X + С08 х)2 — 1-
31

Значения неизвестного удовлетворяют при к четном
(включая & = 0); т. е. при т = 1, 5, 9... (арифметическая
прогрессия).
Убедимся на числах, что корнями уравнения
31П х + соз х + зт 2х = 1 будет
х = — при т = 0; при т=\, 5, 9... и при т кратном
числу 4 (т. е. т = 4, 8, 12...)-
Возьмем для т значения ряда натуральных чисел и нуль:
ш = 0, 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8...
х —0;-^-; щ -~; 2п\ —; Зя; -^; 4я...
81п 0 + соз 0 + 5Н10 = 0+1+0=1 (удовлетворяет).
31П 1- соз |-5шя = 1+0 + 0=1 (удовлетворяет).
31П л + соз ж + зш 2 ж = 0 — 1 + 0 ф 1 (не удовлетворяет).
в1п 1- соз — + зш 3 ж = — 1 + 0 + 0 ф 1 (не удовлетво-
ряет).
зш 2п + соз 2я + зш 4 я = 0 + 1 + 0 = 1 (удовлетворяет).
Дальнейшее не требует проверки.
Пример 4.
В решенном примере мы имели соотношение
31П 2Х = (31П X + СОЗ ХУ — 1.
Пользуясь этим соотношением легко решается пример вида:
а $1п 2х = Ъ (з1П х + соз х).
о(81ПХ + СОЗХ)2—Ь (8Н1 X + СОЗ X)—0 = 0,
агг—Ьг — е = 0,
где
ч г =■ з!п х + соз х = V 2 соз (45°—х),
откуда
2 — ,
2а
т. е.
С05(45°-х)-зт(45° + х) = Ь± ^3 + ^г ,
2а у2
откуда определяют х.
Решить: 2 з!п 2х = 3 (зт х + соз х).
§ 13. Уравнение озтх + #со8Х = с
I. В частных случаях решение уравнения этого вида дано:
1) в § 9, пример 3, в именно уравнение 0 51пх== йсозх— без
свободного члена и 2) в § 12, в частности пример 2, случай
з!п х + сов х = 1 (тремя способами)
32

Различные примеры указанного вида в различных частных
случаях могут решаться различно, Дадим еще один пример:
У~2&тх+ |/2со5х = — 1
2 2 2
С08 -^- 81П X ■+■ 81П — С08Х =
4 4 2
ал[х+т)в=ал{-тУ
х + — =тпя—(— 1)- —,
4 6
откуда
или
или
х = 2кл--^-^-
х = 2кл л
12
х = (2к + 1)л+ ——-
6 4
II. Рассмотрим способы решения данного уравнения в
общем виде.
1-й способ: путем возведения обеих частей уравнения
в квадрат
а 81П X + Ь С08 X = С
а 81п х + Ъ у\ — з!п2х = с
(можно решать относительно созх).
Ьу 1 —81п2х = с — а 81пх
р _ й2 зШ2 х = с2 — Час 81п х + о2 з1п2 х
(о2 + Ь>) й1п2 х — Час 81п х + (с*— й2) = О
_ ас ± У1^' — (аг + 6а) (с2 — &2)
~ а2 + Ь*
йпХв«±м^ЕЕЕЕЕ
в2 + &2
X - Я* + (- 1Г ОГС 8Ш ^±М^!±^Е^.
а2 + &2
Для получения вещественных корней о2 + й2>-с2.
Найденные решения необходимо испытать.
* Можно выразить и через функцию косинуса.
3 Тригонометрические уравнения. 7212. 33

Пример:
з1пх + 7созх = 5.
Условие соблюдено: о2+#а>-с2
Решение: (зШх)2 = (5—7созх)2
1 — созгх = 25—70 сое х + 49 созах
25со5ах—35созх + 12 = 0
35 ±5
С05 X =
СО5Х1 = 0,8
х = 2 кп + агс сое 0,8
х = 2Л.180° +36°.
50
сое х2 = 0,6
х = 2 кп + агс соз 0,6
х = 2 к • 180° + 52е.
Полученные решения могут принадлежать не только
данному уравнению
8ШХ = 5 — 7С08Х,
но и уравнению
8}п х = — (5 — 7 соз х).
Необходимо проверить:
з1пх = 5 —7-0,6>0.
Непригодны те углы,
которые дают
отрицательное значение синуса.
36°; 2*. 180°+ 52° (с точно-
з1пх = 5 —7-0,8<0;
• Не пригодны те углы,
которые дают
положительное значение синуса.
Решения: х = 2Л.180°-
стью до 1°).
Значение же х = 2 к ■ 180° + 36° и х = 2 к ■ 180°—52° служат
корнями ур-ия: з5пх=—(5—7 созх)
2-й способ. Наилучший прием, помогающий избежать
иррациональности при решении ур-ия а з!п х + йсозх = с,
заключается в том, что все функции рационально выражают
через тангенс половинного угла*:
О • 2 8Н1 — СОЗ —- + Ь | СОЗ2
2 2 V
_с}п2^\ =
)-
2*8 I 1-182-Г
?- +Ь -=С
2а1&- +Ь-
ЬХ^~-с(1 + 1^^
= 0.
1+16°
Это уравнение равносильно уравнению
(Ь + с)№^ — 2о*§|+(с — й) = 0, откуда
, х __а±Уа*-(с + Ь)(с-Ь)
42" М^ '
* См. указание 1 § 7.
34

Условие вещественности корней—то же: о8+^>-с2.
х = 2 тп + 2 агс (е г !
Ь + с
Решение выше приведенного уравнения:
81П X + 7 СОЗ X = 5
приводит к решению уравнения:
откуда
6*б»| -1|
'|-1-0.
Е 2 12 '
а 2 2
— = т- 180 + 26°
2
6 2 3
- = т-180в~
2
-18
х = 2т-180+ 52°; х=2 ш • 180° —36е
(с той же точностью).
Пользуясь этим способом, корни уравнения получают сразу.
Замечание. Следует отметить, что данное уравнение
0 51ПХ + #С08Х = С
приводится к тому же уравнению, выраженному через 1%—-
при помощи рассуждений, аналогичных тем, которые даны
в § 11, в примере 2, как 2) способ для решения уравнения,
левая часть которого представляет собой—однородную
функцию относительно з!пх и созх, а именно:
перепишем:
2а в1п— • сов— + ь(сов? — — я1п"—^ = с.
2 2 \. 2 2)
Умножмм правую часть уравнения на (соз2 — + з1п2 —)
и разделим все члены на соз2 —, получим:
2 а з!п — зтг — 51п8 —
2 Л-Ь — Ь 2-=с + С 2
X X х
соз — соз2 — созг —
2 2 2
2а\%^ + Ь — М22| = с + с(е2-.
* л 2
(Ь+с)1%*?--2<Иё-—(Ь-с)=0
и т. д.
3* 35

3-й способ. (Искусственный прием)—введение
вспомогательного угла.
а) озшх + #созх = с. Вынесем а за скобки в левой части
уравнения* и обозначим — = \%д>.
а (з!п х -\— созх) = с,
а (ЗШ X + 1§ ф СОЗ X) = С,
а 81п (х + <р) _
~- — с,
СОЗ?>
8№ (X + <р) ■
с соз у
откуда, обозначив наименьшее численное значение (х + д>)0-
= а, имеем:
X + (Р = 2 кл + а; X = 2 Лтг + а— ф
Х + у5==(2/с + 1)тг — а: X = (2/с + 1)л — а — «р.
Для получения вещественных решений:
должно быть
но
с соз <р ^ 1 •> ^- а2
-~<1; соз2д>< —-,
а с2
2 1 1а2
соз^ф— —
1 +*82 Я> Ь* а* + ь2
1 +—
а2
т. е. должно быть
с2 <_ а*
а*+Ь* с2
Откуда для получения вещественных корней данного
уравнения должно быть соблюдено условие о2+ й2>с2(см. выше),
б) Если вынести за скобки множитель Ь, и обозначить
— = 1%ф, то получим:
Ь
Ь соз (х — у)
С,
СОЗ ф
х-9 = 2/с^±агссо8С-^^,
ь
х = 2 кп 4- агс соз д> ^У + 9;
— ь
С СОЗ <р - .
вещественные корни—при условии - •< 1 или попреж-
нему а* + Ь2><?.
* Можно разделить обе части уравнения на а или на Ь.
36

Пример (тот же):
5Н1 X + 7 С08 X = 5,
7 соз (х — п>) ,_ , 1 л-!*
— ; *' = 5; 1&Ф-_=0,14;
соз <р 7
у =а= 8°; соз у * 0,99; агс соз ^^ % агс соз 0,71 % 44е *,
7
х = 2Ая-|-агссо8^^ + д».
7
х = 2А-180±44° + 8в,
х = 2к- 180 + 52°; х = 2к • 180° — 36°.
Добавление. Укажем, что и решение уравнения 2-й
степени, левая часть которого (см. § 11) однородная функция
относительно зтх и созх, путем введения двойного угла
приводится к виду уравнения, рассмотренного в данном §:
С51П2Х + Й51ПХС05Х + СС032Х = Й,
01^-со^х А5.п2х 1_+со!1х==
2 2 2
Йз1п2х + (с—о)соз2х = 2й—а — с.
Если полученное уравнение решать способом введения
вспомогательного угла, то можно записать:
81П2х + ^^соз2х = -2й-а-с
ь
г, С — а .„ 81ПО>
Вводя = 1§ <р — ——, имеют
Ь соз <р
51П 2Х • СОЗ Ц) + СОЗ 2Х • 31П ф = —— • СОЗ ф,
ь
81П (2х + <р) = соз <р;
откуда определяют (2х + ф) и окончательно х.
§ 14. Уравнение, имеющее вяд равенства одноименных
функций или кофункций (дополнительные упражнения к §6)
Решим уравнение, которое при помощи тождественных преобразований
приводится к виду равенства одноименных функций. Зависимость между
углами (дугами) пишется согласно сказанному в § 4, II и в § 5.
Пример 1.
СОЗ Зх + 81П Зх = СОВ X + 31П X,
31П Зх — з!ПХ = СОЗ X — СОЗ 3 X,
СОЗ 2Х 31П X = 51П 2Х 5Ш X,
31П х (соз 2х— йп 2х) = 0,
япх = 0, соз 2х = соз ( -—2x1,
* Для примера ограничиваемся точностью до 1° и пользуемся таблицей
натуральных тригонометрических величин.
37

х = /ля, 2х = 2кп ±
(т-*)'.
Указанный прием особенно часто применяется в примерах вида,
приводимого ниже.
Пример 2.
51П (Я \% х) = СОЗ (Я 1& *)•
Решение:
соз(— — я1{;х) = соз(я!{»х),
(надо взять знак — перед п 1§ х),
т. е.
Пример 3.
Р е ш е и и е:
откуда
или
п
2
\п
— я*Б*
*8х).
- 2я 1^ х
*ВХ =
±я1ех
= 2Ьс —
= 2йя
я
2 '
х = тя + агс 1^ (0,25 — к).
СОЗ <С05 X) = 31П (51П X).
СОЗ
(СОЗ X) = СОЗ ( - —51П X ] ,
соз V =2кп±_ (— — зтх)
п
соз х ± 81п х = — (4к ± I).
Возведя обе части в квадрат, получаем:
я2
±3|п2х= -(4к±1)* — 1,
4
так как
1зш2х1<1, то к = 0
и
яг
±зш2х=+ —— 1
4
/я*
зш 2х =
'-=ьй-')-
§ 15. Показательные и логарифмические уравнения
Решение тригонометрических показательных и логарифмических
уравнений** приводится к решению всех типов уравнений, рассмотренных
выше на основании теории решения алгебраических показательных и ло-
* Или сразу: разность углов равна целому числу периодов:
2х — (" -2х\ =2кя,
„■ п кп , п
4х = 2Кя+ -; х=
2 2 8
х = |-(4& + 1).
** Тригономе1рическая функция неизвестного аргумента находится в
показателе степени или под знаком 1^-
38

гарифмических уравнений. Эти упражнения можио предлагать у^ащимся
во время повторгния курса или в порядке внеклассной работы.
Примеры:
1) а1+*х = а.
Ре ш е нне:
2) |/Г2"-2СО!
Решение:
1 +1§ х = I; х = тл.
= Ь
3) а*1пх = Ь.
Решени е:
—+СОЯХ
2а = 2°,
— + соз х = 0.
2
2я
х=2кп±~—:
О
2 ЯП х1%а = \% Ь;
"218а '
1&Ь
21ея
х = тл + (—1 )т агс 81п
4) аме'х^1ех + п_ь>
Ре ш е и и е:
Л 1&8 V + т 12 < + п =
откуда находят 1^х и т. д.
5) а*ех+<*е* =Л
Решение:
18 х + с1{; х = 2 и т. д.
6) а1+гвх=агвр+*ех)-
Решение:
1/зГ(1Ех+ 1)
1 + 1й х
1^х
= 0,
18*:
■1;
х = тл —
1Вх=|/?
х = тя -+-
7) та21ех + па1ех = Ь.
Решение:
аЬ* = у,
ту^ + пу — 6=0
и т. д. Аналогично решается:
9) Ч\/ дзтж-сшж^!
39

Решение:
ЯП X—СОЗ X
а *х =а°;
81ПХ—С08Х
1е*
81П х — соз х = 0;
12 х = 1;
п
х=тл + —
4
= 0:
Ч*хг
с1{; х = 0
х = тп + —.
1е их/-—
10) 1/тас08Х=т.
11) а48!п*х . а3,1п'* = а*-а381пх
Решение:
4 81П1 х+4 вт' х—3—3 зт х __ „е.
4зтг.\-(зт х+ 1) —3(з1пх + 0 = 0,
(81П X + 1)(4 81П2 X — 3) = 0,
з!п х = — 1
х=тп — (— I)'
12) та*1"-** + пасо*'х = р.
Решение:
п
81п*.х= —
4
х=ггт±(г-1Г~
та
,81п*Х
Обозначив а*ш*х =2,
имеем
па
па
/712 + = р1
2
тга— рг + па = 0,
откуда определяют 2, а затем х<
13) 5 - 41-со»' * - 7 ■ 2»!п°х = 6;
Решение:
б-г281'"'*— 7.28,'п'* = 6; 2и"п"х=ч2.
5га — 7г— 6 = 0;
21 = 2; гг= — — ;
ййпЪс = 2. 2зш' х = _ А (не дает решения)
5
8Н12Х = 1; 81ПХ = ±1; X =/Пя ± (~ 1)т — .
14) та1+С08Х — па1-'08* = р.
Решение:
2 соз" 4 2—2 Сов»-^ 2 соз1-?-
I 2 — па 2 = р; а г = 2;
па*
тг —■ — = р; тгг — рг— пав = 0,
откуда определяют г, а затем х.
15) 1{*. 81П х = 0.
40

Решение:
Потенцируя:
81пх = 2°=1; х«пгл + (—1)х = тя+ (!—)"• —.
16) 1е С08Х =0,00001. У ранение невозможно.
17) 1в1вх + 1вс1вх=18Ю.
Решение:
!§; х • с1{» х = 1. Это тождество.
18) 1е сов 3 х + \% сов х = —1^5 — ]§; 4.
Решение. Потенцируя:
С08 Зх • С08 X = —-—.
4
/У
(4 • С083 X — 3 С08 X) С05 X = - .
4
16С08«Х — 12С05гХ — У^б =0
6± 1^36+16^5 * __ 6±(4 + 21/5^)
С082х= _ _—. ч
10+21/? 2 — 2\/~5
со82х= — ; со82х = — не дает решения
-,/ 10+2/?
СОЗХ=±|/
16
Отрицательное значение косинуса х не удовлетворяет данному
уравнению (при положительном основании). Таким образом корни уравнения
запишутся:
V 10 + 21^5"
С08 X = + ■* ;
19) (81п х)с°з х = I. В этом "показательном уравнении основанием также
служит тригонометрическая функция неизвестного угла (дуги).
Решение: сов х 1ц в!п х = 0
СО8Х = 0
1(1 з!п х=0
8Щ X = 1
х = тя+_
20) (сое 2х)2 со8 Зх+4 с05 *-' = $ес 2х.
Решение. Заменив 8ес 2х = (сое 2х)—2 и взяв логарифм обеих частей,
получим
(2 соз Зх + 4 сое х — 1) 18 соз 2х = —1& со82х,
(2 «08 Зх + 4 соз х) 18 соз 2х = 0,
(созЗх + 2соз х) 1& сок 2х =0,
(4соз3 х — соз х) 1^ сое 2х = 0,
созх(4соз2х— 1)18 соз2х = 0,
* уг9 + 41/~5 =2 + УЬ ,
41

откуда:
СО5Х = 0
х = (2* + 1)~
4соз* х = 1
1
соз х = ± —
2
х = 1кп ± —
3
2
X = 2&эт ± я
3
12 сое 2х = 0
сое 2х = 1
2х'=2Кэт
х=&я
§ 16. Уравнения, содержащие обратные
круговые функции
1. Так как вопрос об обратных круговых функциях
недостаточно полно изложен в принятом в школе учебнике
тригонометрии Рыбкина, то в данной статье мы уделим
несколько дополнительных строк тождественным
преобразованиям с обратными круговыми функциями, без которых
невозможно решение соответствующих уравнений *.
1) Основные свойства обратных круговых функций:
Значение сумм:
агс 8ш т + агс соз т = —,
2
агс1д/п+агсс1д/п= —,
агс вес т + агс созес т = —.
2
Эти углы (дуги) дополняют друг друга до —, потому
что
8Ш а = соз (—_ а);
4& а = с4§ (—. — а) и вес а = созес Г — — ал.
б) Каждую из обратных круговых функций можно
выразить через остальные:
Если агс зШ т = а, то есть 51п а = т, то
СОз а = у \ — пР ; т. е. а = агс СОЗ у 1—/
-; т. е. а = агс1§у/ 1 —\
■т*
С1ёа= "^
У \—т*
■т*
зеса =
т
1
ут
Т.
Т.
е. а = агсс1§
е. а = агс зес
/ТЕ
/п=
Ш
П
/па
У 1 — т2
созес а =
т.
е. а = агс созес —
т
* Не останавливаясь на определении обратных круговых функций,
установлении их многозначности, обозначениях и пределах их
изменения и т. п.
42

или
а = агс з!п т = агс соз |/" 1 — т2 = агс*§ у/~ 1 — /л2 =
. VI —ша 1 1
= агс сг^ *■ = агс зес гг= = агс созес —.
т /.1-1Я1 т
При /п<Л эти соотношения справедливы. Так как слово
агс написано с малой буквы а, то мы не ставим двойного
знака при радикале*.
2) Сложение обратных круговых функций:
1) агс81Пт + агсз1пп = агсз1п[ту 1 — п2 + пу^Х—т2\.
Доказательство: пусть
агс зШ т =а а; агс з1п п = /?,
тогда
и агс8Н1т + агс81ПП = а±@
81П (а± Р) = 8Ш а С05 Р ± СОЗ а 51Л $ =
= т>/ 1—и2 ± пу^ \—т2
2) агссо8/п + агссозп =
= агссо8[/пп+ "рХ (1 — т2) • (1 — л2) 3,
что следует из соотношения:
С08 (а +_ @) =* С08 а С08/5 ~+ 81П а 8Н1 /3 =
— лт+ у^О— ш2)-(1 — п2)
3) агс1&т + агс1§п = агс *е Ш±"
1Тт«
что следует из соотношения:
*В (« + /») = ,т1вв1в/?-
Замечания:
1) Формулы сложения других функций получаются
аналогично.
2) Если слагаемые представляют разноименные функции,
то на основании соотношения а) их преобразуют и приводят
к одноименным функциям.
II. Уравнения.
Пример 1. агс81пх+агс81п — = —
^ 2
агс81пх = - =—; х = -*—^-.
2 6 3 . 2
В рассматриваемых уравнениях неизвестным является
тригонометрическая функция угла (дуги).
* агс—обозначение наименьшего по абсолютной величине значения угла
(дуги), соответствующего данному значению тригонометрической
функции:
43

Пример 2. х = агс 81П соз х. Уравнение может быть
представлено в виде:
81п х = сов х, откуда х = -у-.
4
Пример 3. х = Агс 81П зш агс соз —.
Уравнение можно переписать:
81П X = 81П агС С08 *,
2
81пх = 81п —; х = тл + (— 1)т —'
Пример 4. агс 81П 2х = 3 агс зш х. Обозначим первый угол
(дугу) через у, второй—г; тогда у = 3г,
81П у = 2х; 81П 32 = 3 8И1 2 — 4 81П3 2 з= Зх — 4Х3,
т. е.
2х = 3х —4х3,
и
хх = 0; х2,з = +_ — -
Иная запись решения:
агс 81п 2х = агс зш (Зх — 4х3),
2х = 3х —4х3
и т. д.
Пример 5. агс 31П х = 2 агс зт .
Решение:
агс зт х = агс зт 2—— 1/ 1
У
на основании формулы:
8Н1 2Х = 2 ЗШ X ■ С08 X.
Тогда:
агсзтх = агсзтху 2 — х2 .
х —Х|/2 —х2 =0.
х1 = 0; 1 ="|/ 2 — х2
1=2—х2; х2,3 = ±1.
Пример 6: агс1§х + агс1§3х=— ,
4х = оо; 1=3х2; х = +У^
1 —Зх= — 3
Но так как углы должны быть острые, то х = + -—
* Решение при помощи составления системы уравнений указнвается
в § 18.
44

Пример 7. агс соз х + агс соз (1 — х) = агс соз (— х).
агссоз[х(1—х)—|/1_х2]/ 1—(1 —х)2 ] = агс соз (— х)
х — х2 — ^/(1 — х2)(2х— х2) = — х,
(1 — х2) (2х — х2) = (2х — х2)2
(2х — х2) [ 1 — 2х] — 0; хх = 0; х2 — 2; (невозможно);
Проверка:
1) агс соз 0 + агс соз 1 = агс соз О
- + 0= ^;
2 2
хх удовлетворяет уравнению.
2) агс соз—|- агс соз — = агс соз (—V
' 2 2 \ 2)
~" 71 Я 2
—+ - =—я;
3 3 3
ха удовлетворяет уравнению.
Пример 8. агсс1§ 4 + 2агс1§ — +агс1д—= —;
о X 4
агс 1е + агс 1е ■+- агс 1е— = ,
5 4 512 5х 4
где
1
2~
„.!„. 5 ,2-25 .5
2 агс 18 у =агс1е ——- =агс^у7^-=агс1е—■
Затем:
^+-^
агс^-4 12 +агс^ —=-^,
15 х 4
1 ~Т ■ 12
, 1 , . 32 я
агс!§— + агс1§7 =-.
х 43 4
_}_, 32
. х 43 п 43 + 32х ,
агс*§ =—; —1—— = 1;
1__3^ 4 43Х-32
х 43
43 + 32х = 43х —32; 75= Их; х = —
45

§ 17. Уравнения, содержащие тригонометрические
функции дуг (а + х); (р±х)
1. Решение этих уравнений служит подготовительной
работой к решению системы уравнений.
Пример 1. Указанные тригонометрические функции даны в сумме
(разности), в произведении или в частном, с коэфипиентами или без них
р з!п (а — х) — 9 51п ф — х) = а
Способ 1)> вытекающий из общей теории решения уравнения:
р з!п а соз х — р соз а зт х — д з'т $ соз х + д сов /? зт х = О,
(р зт а — д зт @) соз х — (р сое а — д сов 0) яп х = 0.
р 81п а — 9 зт в
*В х = Ь •
р соз а — ^ с08 Р
Полученное выражение для 18 х можно привести к виду, удобному
для логарифмирования.
Р яп а
_9С0зр- БГ^ «ЕР-^Р" =
р соз а 1§ у • с1§ а — 1
^созр"
_ (*8Р — «8^)«е« _зт(у—^)з!па
*8 У —18 а С08 р" 81п (у — а)'
где введен вспомогательный угол <р,
р 51п а
18 да = ;
ЙУ дсозр1
рсоза
д сов/?
= 18 V С1§ а.
Способ 2) рк1п(а—х)=дзт(Р—*)• Перепишем в виде
пропорции и составим производную пропорцию:
з!п (а — х) д
2 5Ш
б!п (/} - х) р
81п (а — х) + 31П (р* — X) ? + р
8Ш(а — х) — 5т(р" — х) д—р
а + Р"
Ч+Р
2С08'
в + Р~
откуда находят —
Пример 2. /п 18 (а + X) = п 18 (о. — х).
Решение:
Способ I) ш =п : •
1—18а18Х 1 + 4§ а 1§ х
и т. д.
46

Спосо&2)^^> = Л
1ё(а~х) т
18(а + х) + Ъ(а—х)_п+т
18 (д + х) — 18(а — х) п — т'
81П 2д СОЗ (Д + X) СОВ (Д — X) П + ТП
сов (а + х) соз (а — х) з1п 2х п — /п'
п — т
ып2л-= 81п2д
п + т
2х = тп + (— I) агс 81п
Г п"— т~\
| з1п 2а .
Пример 3. д «1П (х + т) 81п (х + п)* = Ь. Тригонометрические функции
аргументов даны в виде произведения.
Решение:
а
— —~ [соз (2л* + т + п) — сов (т — л)] = Ь,
26 ,
сов (2х + т + п) = — Н соз (т — п),
а
2х + т + п = 2кп ± агссоз Н соз(ш
Г 2Ь , .Л
г-соз(т — п)
Г 2Ь , 1
з — - + сов (ш — п)
1 Г 2Ь , Т ш + п
х = Кя ± — агс соз|
Пример 4. 8Ш(38°+х) • со5(52° —х)=—.
Решение:
I 1
Г 2~ [8»п 90° + 81П (2х - 14°)] = —,
51п(2х —14°) = 0,
2х—14= т- 180°; Х = /п.90°+7°,
имеем решение при т = 0; х=7°.
П р и м е р 5. а \% (а + х) 1& (^ — х) = Ь.
Решение:
з!п (а + Р) + 51П (а—/? + 2х)
соз (а+ 0)+соз (а—р+2х)~ '
откуда, обозначив
а-0 + 2х=у,
имеем уравнение:
а з!п у — Ь соз у = с,
где:
с = Ь соз (а + /}) — а 31п (а + /Г).
Откуда определяем у и затем х.
* 5таСоз^= — [51п(а+/?) + 51П(а—/*)] =
= -у- [зш (/? + а) — ей ф — а)],
сое а соз /? = — [соз (а + 0) + соз (а — /»)],
зт«51п/? = — — [со8(а + Р> — соз(а — /5)].
47

§ 18. Системы тригонометрических уравнений
1. Как сказано в § 17, решение уравнений, в которые
входят тригонометрические функции углов (а + х) и (/?±х),
служит подготовительной работой к решению системы
уравнений. Напр.: надо угол в 120° разделить на 2 угла так,
чтобы синус, косинус (или иная тригонометрическая функция)
одного из них был в 2 раза более синуса или косинуса
1 2
другого, или составлял—, - и т. п. тригонометрической
о о
функции другого угла; или надо 120* разделить на 2 части
так, чтобы сумма синусов углов (или других
тригонометрических функций) составляла любое число.
Другими словами:
Решить уравнения:
а) !!Е2^ = 2.
з!п(120 — х)
Указание: ап х + зш (120 — х) = 2+1
апх —81п(120 —X) 2—1'
Ответ: 90°; 30°.
б) 81П X + 81П (120" — X) = 1-А ,
Ответ 105°; 15°.
в) созх — 81п(120°— х)= ^6~3>/2 .
Решение: _
Уб — зУг"
з1п (90° — х) — 81п (120° — х) =
2 81П (— 15°) соз (105° —х) =
зная, что ,/"« ,Л7
8ш15° = У в"172,
4
получаем /
соз (105°— х)= Уг
4
/б —з 1/г
2
и ответ: 75°; 45°.
Но все указанные уравнения можно было записать в виде
систем, а именно:
а) х + у=120°
з!пх о
— ^г,
з1пу
б) х + у= 120°,
51П X + 51П V = -*-— »
2
в) х + У=120°»
/б— 3|/2
СОЗ X — В1П у = — -~ ,
и для решения применить способ подстановки.
48

II. Записанные выше системы двух
уравнений с двумя неизвестными относятся к
простейшим, когда в одном уравнении дана
зависимость между углами(или дугами),в другом—
зависимость между любыми их
тригонометрическими функциями (частное, сумма,
произведение).
Приведем решение нескольких таких систем на буквах.
Пример 1.
х + у = е
ь'тх -\-&'ту— 6
г, . Х+ У Х—У и
2 8111 ■ СОЗ - = 6
2 2
2 81п — соз — = 6;
2 2
х —у Ь
С08 —-^ = —,
2 а
2в1п —
2
х—у
откуда находим ——— и (х — у). Обозначив х—у=ш,
имеем:
откуда
Пример 2.
X-
81ПХ
-у = /п,
х + у =
X —
У =
х—у =
- соз у =
а,
а+ т
2
а — т
2
а,
:Ь.
-у- [51п (х + у) + з1п (х — у)] = 6;
— [зт (х + У) + 31П а) = 6;
з1п (х + у) = 26 — зт о;
х + у = тп + {—I)"1 агс зШ (26 — зш о),
х—у = с;
х = — [тл + (— 1)т агс зШ (26 — з!п о) -+- а\;
у = — [/пл; + (— 1)" агс зт (26 — з1п о) — а).
Пример 3.
х+у = а;
б!пх т .
а!пу и
51П X + »1П У _^_+^?
51П X — 8Ш у Ш — П '
4 Тригонометрические уравнения. 7212. 49

откуда после преобразований получим:
Пример
Пример
г
4.
5.
18
х — у .а т — п
- = х#— • и
2 2 т+ п
х—у— а
8ШХ + С08у=&
х— у — а
81пх + 81п(90° — у) — Ь и
х + у = е; *е* — *8У =
8ш(х— у) _ь.
созхсозу
2 51П (X — У) __
Т.
Т.
-Ь;
ь-
д.
д.
откуда
соз (х + у) + соз (х — у)
2з1п(Х— у) = &С080 + ЙС03(Х—у),
2зш(х — у) — &соз(х — у) = ^соз а и т. д.
Пример 6.
х + у = а; *цх-1ёу=Ь.
Решение:
з'ш х • з!п у .
С08 X • СОЗ у
Составим производную пропорцию:
соз х соз у + з1п х з!п у 1 +Ь
созхсозу — 81пх81пу 1—Ь
С05 (X — у) \+Ь
соз (х + у) 1 — Ь
С08(Х — у)= С08 0
У ' 1— Ь
и т. д.
Пример 7.
х + у=е
С08аХ + С082у=&.
Решение. *
Преобразуем II уравнение следующим образом:
1+соз2х , 1 +со82у ,
тогда данную систему уравнений можно переписать:
х + у=е
соз2х +соз 2у= 26 — 2
соз (х + у) соз (х — У)—Ь — 1
С08(Х — у) =
С08Й
и т. д.
50

Пример 8.
х + у = а
тзн1х + пз1пу = Ь
Решение:
т 8Н1 х + п з1п (а — х) = Ь
ГП51ПХ + П8Ш0С08Х—ПЗШХСОЗЙ = Ь
81ПХ(/Л— ПС08 0) + П31П0С03Х = Ь
И Т. Д.
Замечание. Эта система иногда решается искусственным
приемом. Полагают, что х — у = 2г; кроме того известно,
что х + у =2й (вместо о). Тогда х = й-\-г\у — й—г. И
второе уравнение можно переписать:
/Л8ш(# + 2)+П81п(й— 2)_ #;
/П8Ш ЙС08 2 + Я2 81П2С08Й-}- П31ПЙС08 2 — П81П2С08 й = Ь,
где неизвестно 2.
(т + п) 81п й соз 2 + (т — п) соз й 81П г — Ь
и т. д.
Оба приема приводят к уравнению одного и того же вида,
0 8ШХ + &С08Х = С,
но первый прием проще.
III. Более сложная система двух уравнений
с двумя неизвестными во втором случае,
когда оба уравнения показывают зависимость
между тригонометрическим и функциями углов
(ДУГ)-
Рассмотрим типичные случаи.
Пример 9.
31П X + 51П у = ТП
соз х 4- соз у = п
В этом случае функции, имеющиеся в одном уравнении,
являются дополнительными к тем, которые имеются в другом
уравнении.
Решение:
2 81п —^-'- соз — - = т
2 2
о х+У х—у
2 соз соз = п
2 2
Ь; Х + У — т
х 2
х + у = 2 кп+ 2агс ^~ .
п
Подставив значение (х + у) в одно из преобразованных
уравнений, можно найти (х—у), а затем х и у по их сумме
и разности.
4* 51

Пример 10.
зШхсозу = о
созХ81пу = Ь
Сложив и вычтя почленно данные уравнения, получим:
51П(х + у) — а + Ь; х + у = ист + (— 1У"агсз1п(е +Ь)
5т(\—у)=а—Ь; х — у = тп + (— 1)"'агсзШ(о— #)
откуда находят х и у.
Пример 11.
81ПУ
Решение:
С05Х
С08у
з1п х = а з1п у
С08 X— Ь С05 у
5Ш2 X + С082 X = О2 81П2 у + Ь2 С082 у
о2 81П2 у + Ь2 соз2 у = 1; (о2 — й2) 8Ш2 у = 1 — б2;
' — ш/ -■> -ьг
81ПХ . - _,
—б2
Решения необходимо проверить.
Пример 12.
Решение 1#х + 1еу = о
I способ: с^х + с!§у= Ь
\^х + ^у = а
*ех = о —1&у
1 -+-?- = *.
а—*6У *8У
Откуда находят 1§у, у, а затем 1&х и х.
II способ:
1ех = е — 1&у; с^х = 6 —с*еу-
Перемножив почленно:
1 =аЬ — ас\%у— Ы^у+ 1
#*еу + ос!еу—об = о
и т. д.
Решения необходимо проверить.
62

III способ:
с*е* + с1еу = &
^У + ^х^Ы^х^у
Вычтя почленно:
О = а—Ь \% х Ь&у
По сумме и произведению 1§х и 1%у составляют уравнение
22 —02+—= 0,
ь
откуда находят значения 1&х и 1^ у.
Пример 13.
\ёх + ^у = т
*8(х + у) = п.
Из данных уравнений, как и в предыдущем примере, -.
находят
*2 х ■ 18 У =
п
и т. д.
Пример 14.
8Ш(2Х + у) = -^—
соз(х+2у) = ^;
Решение: 8ш (2х + у) = з1п-|-
С08 (X + 2у) = СОВ —-
2х+у = х+2у = -^; х = у=2Ля + ^-
Пример 15. Система показательных уравнений:
Звт х + 1 + 5вту + 1 _ ]4
3*тх+ 5йп>'=4
3 • 3"пзс+5.58;пу=14
2.58'пу = 2
5б1п>' = 1; з1пу=0; у=тпп;
З6'пх=3; 81ПХ=1; х = тя+ (— 1)™-^ .
Система 3 уравнений с 3 неизвестными:
53

"1
Пример 16:
I. Х+У + 2 = я
з!п х: я1п у: з1п 2 = а: Ь : с
Запишем:
51П 2 = 81П (X + У) = ЗШ X СОЗ У + С08 X • 51П у.
Так как полученное уравнение однородно относительно зт х, зЫуи з!пг
то эти функции можно в нем заменить величинами, им пропорциональными
а, Ь, с, и написать:
с = а ■ соз у + Ь - соз X;
аналогично:
6 = а - соз г + с соз х,
о = Ь соз г + с соз у.
Решив эту систему 3 уравнений с 3 неизвестными, получим
+ с2 —о2
СОЗХ:
СОЗ }' =
СОЯ 2 ■
2Ьс
2Ьс
2аЬ
2. Применить решение для системы
з!п х:$ту :зШ2= I: у 2 :у 2
Пример 17.
соз х: сов у: соз г = т: п: р
Х + у+ 2=я-
Указание: Имеем выше рассмотренный случай, записав первое
уравнение в виде:
8'П(2"_Х):8,П("2 _У):81П("^_г)=5т:П:Р
Пример 18.
*6 х : *й У: *6 г = т '■ п '• Р'<
Х+У + 2 = Я.
Решение:
*е х + <е у + 1е г = 1^х = 1^у_4е1
т+п+р т п р '
Указание. Известно, что 1§ х +1& У + *8 г — *8 х " *В У • 4ё г> когда
х+у+г=я, т. е.
<!_х. 1§у • 18г __ <е х __ 1еу __ *е^
т+п + р гп п р '
Из систем уравнений:
/гг + п + р *е* т
18Х.1еу= и 7"" = — '•
п 1%у п
т + п + р 1д у я
ш »ег р
. х гп + п + р 1ех т
■ 1йх.182= —-^---5^- и -*- =—
п *82 р
находим
и т. д.
54
Ф
18Х=:±р/ ш(т+" + р)
"Р

Откуда
х = агс
4 ±хПп^п±п±Р1
У пр
У = аГС18±|/^^
у тп
= л)
Решения надо проверить.
Пример 19.
18*-1§У = 2: 18Ул!81^3; х + У+2=я.
Решение: ч
18 У (48 х +18 2) = 5 (после почленного сложения)
18 х'16 2 • 182У = 6 (после почленного умножения)
1сх-1еу1Е* = 18Х + *КУ + *К* (тождество при х+у + 2:
■ ~ 18У(18Х +18У+18г)=6
или
18У(18Х + 1Е2) + *82У = 6: 18=у = 6 — 5.
18У = ± ,:
18Х=±-2;
18 2 = ± 3;
наименьшие положительные значения углов, удовлетворяющих уравнению
45°, 63°, 72°.
Пример 20.
Решить систему:
втх=|/ 2 сову
1ех = 2з1п2
0 2__К-3_ где х, у и г—острые углы.
4 218 х*
IV Система уравнений, содержащих обратные
круговые функции. В § 16 при решении тригонометрических
уравнений, содержащих обратные круговые функции, была указана
возможность их решения при помощи системы уравнения. (Пример 4),
Пример 21 (пример 5 из § 16).
агс з!п х = 2 агс зш
1/2
Обозначим:
Тогда
агс 81П х = у
х
агс 81 п
V*
у = 2х
8П1 У = X
X
81п г = —-~г;
У2
8!п22 =281П 2С082 = Х У2 Х'
81ПУ =81П22, ЗнаЧИТ
Х=хУГ2 — Х=; *=«* Х=+1.
55

Пример 22 (пример 6 нз § 16).
агс 1% х + агс 1^3х = -
Введя обозначения у и 2, имеем:
п
у + г=~
12У = х
<ег=3х
48 (У +
Пример 23
*8(У + г)
, х + Зх
г)—~ Г" ! 1 —
1 — х • Зх
(пример 7 из §16),
агс созх + агссоз (1
Введя обозначения у, г, (, имеем с
у+2 =
созу =
СОЗ 2 =
соз ^ —
= оо
■Зхг =
-х) =
:истему
= *
■ X
= 1—X
•
= — X
0;
х =
агс соз (—
4
3
■X).
уравнений:
С08 1 = СОЗ (у+2)= СОЗ у СОЗ 2 — ЗШ У 31П 2
— х = х-0— х)— 1^1—хв |/1-(1—х)2
1
Откуда попрежнему х + 0; -т~ .
§ 19. Различные упражнения с уравнениями
(дополнительно)
I. Иногда нз данного уравнения надо найти
определенную зависимость между искомыми. Такие упражнения
полезно давать учащимся.
Пример 1. Имеется уравнение:
81п (х+у) *§ 2 = соз (х + у).
Какова зависимость между углами х, у, 2? Ясно, чтс
*В(х+у) = с*8 2 и х + у + г=-|.
II. Исследование получаемых решений уравнений проводят
постоянно, но полезно давать учащимся и упражнения, в
которых требуется исследовать возможные значения коэфи-
циентов.
Пример 2. Определить значения т, чтобы уравнение
81П X + СОЗ X = Ш
имело решения.
Решения данного уравнения запишутся формулой:
8ш(х + 4бе) —
56
тУ2

Но
— 1^8111 (Х+45°)^1
« .__ тУ2 __.
— 1 .^ ^ 1, откуда
III. При изложении различных приемов решения уравнений
неизвестные в них обычно обозначались последними буквами
латинского алфавита, но это необязательно; полезно давать
упражнения и на других буквах.
Пример 3. Полагая д известным, определить а из
уравнения:
Ц?° 1е(° + е) _ о
сов2 (а + р) сое3 а
Решение:
81П а соз а — 8Н1 (а + (?) • соз (а + С») = О
81П 2 (а + (?) = 81п 2а
2(а + е) = (2Л + 1)я— 2х
Замечание. При р = 180° • «данное выражение представляет
собой тождество.
Пример 4. Найти значения ц и у, не превышающие —
из системы уравнений:
, 8Ш [I + 81П у = 1
С08/г + созу = 1.
Указание. Возвышая обе части уравнений в квадрат и
складывая, находят соз (р— у); почленным делением
находят 1& ** и т. д. Полученные решения проверить.
IV. Особо важны упражнения, в которых поставлено
требование исключить неизвестное из системы уравнений.
Пример 5. Исключить х из уравнений:
8ш х = т и соз 4х = п.
Решение:
со$4х = 1—2зи122х= 1—48т2хсоз2х
I — п
1 — 4/п2со82х = п; соз2х =
4т3
Подставив значения зтх и созх в зависимость 81пгх +
+ соз2х=1, имеем т2-\—^^- = 1 (что и требовалось по-
4тп3
лучить).
Пример 6. Исключить х из уравнений:
1 + 81пх = 4е1&х; 1—8ЮХ = 4Мдх.
* 2 (« + с) = 2&эт + 2а не дает решения,
57

Решение: Сложив и вычтя почленно данные уравнения
получим:
2итх = 4Ьёх(а—Ь),
откуда
61ПХ = °~ И С08Х=2(С — Ь).
а + Ь
Результат после исключения х запишется
+ 4(о — &)»=!.
/а —Ь\2
\а+ь)
Пример 7. Исключить х из уравнений:
а1%х = т;
Ь соз 2х = п.
Ответ:
п_ а2— та
Ь аа + т2 "
Пример 8. Исключить х из уравнений:
соз3х зт2х 1
(/п 81п х—п созх)2 = та + п2;
а2 Ь2 т2 + па
Пример 9. Исключить х из уравнений:
8Н1X = т
81П — X = П.
2
Пример 10. Исключить х из уравнений:
81л х — соз х = т; соз 2х = п.
>
V. Укажем, что уравнение следует иногда давать в виде
требования, выраженного словами (текстом). Например:
Пример 11. Для какого острого угла косинус его
составляет — его синуса?
5
Уравнение запишется:
4 .
СОЗХ= 81ПХ.
5
Пример 12. Числовое значение синуса дуги, большей
Уз
зи окружности, но меньшей полной окружности, равно —.
Чему равен тангенс '/л этой дуги?
Запись:
81пх = —; ч?тх = ?
2 4
Такие уравнения послужат подготовкой для учащихся
к составлению уравнения из условия задачи (в частности
при решении треугольников в задачах, требующих
применения тригонометрии к решению задач геометрии).
58

Пример 13. Под какой широтой (/х?) находится пункт
земной поверхности, движущийся вдое медленнее г. Москвы
(Широта г. Москвы д> = 55°45')?
Решение: Обозначим скорости неизвестного пункта и
Москвы через V и у^. Тогда V: V! = 2пг : 2лг1г где г и
гг—радиусы соответствующих параллелей, т. е. г = /? соз х и
тх = Я соз д>.
Откуда
V С08Х
1>1 СОЗ <р
подставив данные, имеем:
1 = С08Х ; соз х = V. соз 55°45';
2 со8 55°45' 2
соз х = ^ = 0,285;^х = 7&\20.
Указание: Широта Москвы взята с точностью до Г.
Решение задачи дано до 1/г<>-
Пример 14. Разложить силу в 5 кг на 2
взаимно-перпендикулярные силы р и д так, чтобы одна из них составила
с данной силой угол в 36?.
Решение: Система уравнений
р^ 51п36°
. д 81П54"
р2 + д2 = 25
Ответ с точностью до 1 кг: 3 кг; 4 кг.
Пример 15. На концы рычага действуют силы в 120кг
и 136 кг. Первая—под углом в 60° к плечу. Определить
направление второй силы, если в положении равновесия длины
плеч находятся в отношении 2:3.
Решение: Неизвестный угол обозначим х. Тогда
120-81п60-2=136зтх-3.
Указание. Для получения более точного ответа следует
вычисления выполнять с помощью таблицы логарифмов
(см. § 20).
Пример 16. Найти углы треугольника по его стороне Ь,
высоте 1гь и разности углов /_А — /_С = а.
Решение: Из равенства выражений площади
треугольника:
. . Ьг з1п А в!п С
Ь-Ьь= — ;
501 В
. _6[со5(А — С) — С05(А + С)]
* 2 8Ш (А + С)
имеем уравнение:
2НЬ зш (А + С) + Ъ соз (А + С) = Ь соз (Л — С).
Откуда находят {А + С) и т. д.
* Скорости равномерного движения прямо пропорциональны
пройденным путям.
50

Пример 18. Определить в конусе угол между
образующей и плоскостью основания, если площадь основания,
поверхность шара, вписанного в конус, и боковая поверхность
конуса составляют арифметическую прогрессию*.
Запись условия: 5 основания — 5 шара = 5 шара —
— 5 бок. конуса, откуда имеем соотношение: яг2 — 4я/?2 =
= 4я/?2— лг1, где г—радиус основания конуса, Я—радиус
шара и /—образующая конуса. После сокращения уравнение
перепишется: г2 + г1 = 8/?2; / = ——; /? = г 1&^, где / х—
С08Х 2
искомый; т. е. г2 Н—— = 8г2 \%*-: 1 + —— = 81е* тг- Таким
С08Х 2 С08Х 2
образом /_ х находится как острый угол, удовлетворяющий
уравнению вида дроби:
9 сое* — — 12 сое2 — + 4
2 2 =0
или
(зсов-^-2)2
= 0,
откуда
С08г — { 2 С082 — — П
2 \ 2 )
со8 — — \/—\ х = 2агссоз1/ А
= |/2 ■ Х= '
2 VI' V з
(остальные решения не удовлетворяют условию задачи).
§ 20. Применение логарифмов
В примерах, приведенных для иллюстрации различных методов решения
уравнений, давались общие формулы для корней и указывался нвименьший
по абсолютному значению корень уравнения (иногда на буквах). Простей-
71 71 71
шие числовые наименьшие значения корней, как напр. О; — ; —; -г;
—; — и некоторые другие узнаются сразу по значениям их
тригонометрических функций. Другие вычисляются по таблицам натуральных
записей их тригонометрических функций, а также по таблицам логарифмов
значений нх тригонометрических функций. Несколько примеров
последнего случая, не рассмотренного выше, мы дадим в этом параграфе.
Пример 1.
81П*Х + С08*Х=8И12Х.
Решение:
81П« X + С05* X = 1 — 2 81П2 X С082 X = 1 — У2 5Ш2 2Х.
Уравнение перепишем:
81п2 2х + 2вш2х — 2=0;
8Ш2х=—1± ]/"Г
* Задача из сборника задач Рыбкина по геометрии с применением
тригонометрии, §22 № 11.
60

возможно лишь одно решение
81П 2х = — 1 + |/з~*
или, приводя к виду, удобному для логарифмирования:
(п п\ п
« I 51П
3 4/ 12 о ,_
ипи — 18-—18 - = — = =2 /г 31П15°
О 4 Я 71 71 31
С08 — • СОВ — С08 — СОК —
3 4 3 4
з
1881п2х = - 1^2 +1е51п15°; 1евт2х = 0,45155
1,41300
Г, 86455; (2х)0 = 47"12'35"
2х = т • 180° + (— 1)т . 47°12'35" и т. д.
Можно подстановкой найденного решения выполнить проверку (см.
пример 3).
Пример 2.
2СЮУ=1,5
Решение:
С08у1е2=1е1,5
0.17609
сов у = 030ЮЗ ; 1е сов у = 18 0,17609- 1е 0,30103;
1{т сов у = Т.24573
—Т.47861
Т,76712; у=54°12'
Пример 3.
Решение:
3,78 8Шх + 5,36 сов х = 0.
5,36
48 х = -
3,78
18 (— 5,36) = 0,72916п
1е 3,78 = 0,57749
1В1ех = 0,15167«
х0 = — 54°48'27" х = т • 180° — 54°48'27".
Проверка: 3,78 вш х должно = — 5,36 соб х. При т = 1;
х=125°11'33"
16 3,78 = 0,57749 1^ (—5,36) = 0,72916 п
12 81П 125°1ГЗЗ"=Т,91234 1^ сов 125°1ГЗЗ"=Т,76067 п
0,48983 0,48983
Пример 4. Найти острые углы, удовлетворяющие уравнению:
95тх + 10со8Х =11.
Решения будут вещественны, так как 92 + 10г> Цг и находятся по
формуле
с сов <р
81П(Х + аз) = ,
а
Ь
где 1{т <р ■= -, т. е.
а
Юсовое
81П(х + 9>)= д— ,
10
где 489»=—.
* Ясна необходимость приводить решение квадратного уравнения к
логарифмическому виду, что выполняется введением вспомогательного угла.
61

18 10 = 1,00000
1е 9 = 0,95424
181е (р = 0,04576; у = 48°0'46";
1езш(х + у)=1е11 + 1всо8?>— 1^9
1есо8 9>== 1,82541*
1е11 =-,04139
дол. 1е9 = Т04576
1^ ып (х + 9>) = Т. 91256; (х + у)о = 54°50'53"
(х + чр)о = 125°9'7"-
х = 54°50'53" — 48°0'46" =6°50'7"
х = 125°9'7" —48°0'46" = 77°8'21"
Пример 5. Найти х из уравнения 81ПХ = 2 С05гх;
2 81ПгХ + 81П X — 2 = 0;
_1 4- |/17**
81П X = ■ ~ у 1— .
4
Приведя к виду, удобному для логарифмирования:
81пх=*е^г*е15°=з1п(у-45°) р где у,^^.
4 2 сов <р • ]/г
2
№%<Р = \ 18 17 = 1,23045
0,61522 *
<р = 76°22'1"; у> —45°=ЗГ22'1"
3
1еапх=1е51п31°22'1"——1^2 —18С08У
18 51п31°22'1" = 1,716«
3
доп. - 1§2= 1,54846
доп. 1^ со5 у = 0,62764;
1^ йп х = Т.89253;
Х„=51°19'54";
х = т- 180+ (—1)т51°19'54".
Проверка: 1^2 + 21% сов х = 0,30103
7,59150
Т,89253 = 1-з!пх.
Пример 6. Дугу в 30° разделить на такие 2 части, чтобы сниус
одной из двух получаемых при этом дуг был вдвое более синуса другой
Решить.
Пример 7. Найти общий вид дуг х и у, удовлетворяющих системе
у равнени й 58'п х + 3 81п * = 4.
3 . 551п * - 2 • 3$1п у = 5 • Решить.
* Не пользуясь таблицей логарифмов сумм и разностей чисел.
** Второе значение в1а х непригодно.
62

§ 21. Квадратное уравнение
Дадим решение полного квадратного уравнения тригонометрически при
„омоши введения вспомогательного угла (отдельные случаи приведены вы-
я1е)*. Рассматривать, как всегда, будем только случай корней вещественных.
Возьмем 4 случая.
1) ахг + Ьх— с = 0, где а, Ь, с — числа положительные.
=(^),8ес**
где 4ос
Тогда
Так как
Ь Ь Ь
■— 4- — 8есв>= „^(±5ес?> — 1).
<Р
2С082 -
2
вес <р + 1 =
то <р
&С08Р
СОВ ф
V
281П2-
2
вес <р— 1 =
С08 9Р
V
2
.Х, = —--
а сову
Ь 51П
2
х» =
а сову
Эти выражения можно преобразовать, заменив
тогда
2 V ас сов2 —
* 2
Л2 — — ""
а С05 ?> • 4$* ?>
2]/ас
Ь —
—2)/с со82-|
/— 9" 91
V а 2 81П - сок
2 2
— I/ - с*8 — и т д.
Окончательно для уравнения:
ох2 + Ьх = с,
где о, &, с—положительные:
6, с — числа поло]
-5*|/ЙЬТ
2) ох2—Ьх— с = 0; а, Ь, с — числа положительные;
* В программе средней школы этот вопрос ие рассматривается.
63

откуда попрежнему
Ь Ь Ь ,
х = — ± — вес <р = — (1 ± вес у)
2а 2а 2а
В случаях 1 и 2 через у обозначен угол, для которого
4 ас
3) ах2 + &х + С = 0, где а, Ь, с—числа положительные, корни
вещественные,
Аас
/»\* с „ »» с
, Т1 е^ I — 1 >■ — или в случае различных корней —— > —
\2я/ а 4 а3 а
так как
Тогда
-7*У 1
= ( — I С08г (р.
\2а)
или
х = -
подставив значение
Ь
2а ±
& из
; С05<р = - (с08?>
2а 2а
О С08г —
2
*1 ;
а
Ь 81Пг —
2
х2_— ■
а
равенства
4ас
5|П2 <р = ——;
±1)
получим
4) ах2— &х +Д = 0 при а, Ь, с—положительных и корнях веществен-
4аг
ных, то-есть —•<! 1.
Ьг
Введя, как и в случае 3), обозначение
4ас
ей*»-—,
получим
64

В результате исследования имеем*.
!) ох2 + Ьх—с=0;
2) ах2 — Ьх— с=0;
3) ах2 + &х + с = 0;
4) ах2 —&х + с = 0;
1) Х2 + рх — д=0;
2) х2 —рх —9=0:
3) хг + ру+9=0;
4) хг— р\+д=0-,
Решения
XI
~/^<
+ /!«,*
-/>1
+-/>1
— У д с1§ —
+ УТс4е|
-У7"с1б|-
+ /? «*8-|
Хг
+/Х
-/Г*!
-/Т**
+/Х
+ У7 *в |
-УТ**
-/Г»в|
+ /7*в|-
Вспомогат.
угол
2 У ас
*»—V"
г/йс
ггЛгс
51П О) = —'
Ь
2\/Ис
5Ш ?> =
Ь
'8 9>.,- '
Р
2 1/7
2 И7
51П ф =
Р
2 1/<Г
81П у = — —
Р
Полезно в порядке самостоятельной работы учащихся в кружке
непосредственно вывести формулы для уравнения вида
х2 + рх + 9 = 0,
Пример 1. у2 + Зу — 28=0. В этом примере коэфициенты
настолько просты, что решения (—7, 4) легко проверить алгебраическим
способом. Для упражнения учащихся один подобный пример решить
полезно или
а) непосредственным приведением данного уравнения к
тригонометрическому виду; или
б) пользуясь выведенными выше формулами.
Дадим решение б): Данный пример относится к случаю I) и решается
по формулам:
где
*1 = —|/д с48-; х2= 1/9 »е^.
49
Ра
2181е9> = 184 + 18 9— 21ер =1е4 + 1^28 — 21е3.
* а, Ь, с, р, д — положительные; корни вещественные; <р —
наименьшее абсолютное значение вспомогательного угла.
5 Тригонометрические уравнения. '2М 65

16 4 = 0,60206
1^28 ='1,44716
доп. 21вЗ.= Т,0457б
1,0
0,54749
1^ 1§ <р = 0,54749; <р = 74°10'24";
— = 37°5' 12"; |/^ = |/28
16 1^28 = 0,72358 1^ 1^28 = 0,72358
1ес*е|- =0,12152 Щ 1е | = Т.87848
18^1
= 0,84510 п
16
XI = -7
Пример 2.
г~ + 0,56487 2 + 0,02564 =
Этот пример относится к случаю 3).
х2 =
= 0.
-0,60206
= 4
?1 = — ]/? С16 ^Ч 22=— ]/? 1е|-;
ГДе , 49
з!п2 ш = -*
12 81П (р = 18 2 + - 1^ 0,02564 — 1^ 0.Е6487 = Т.75354;
9> = 34°32'13";
'6 21 = 1е *е П°16'1б"э + - \ё 0,02564 (п) = 2,69703 л.
16 *г = '8 с*е 17°16'16"5 + — *ё 0,02564 (п) = 1,71188 п
21 = — 0,0498; г2=— 0,5151.
Пример 3, Найти х из уравнения: х2 + рх + д = 0, где
18 Р = 3,06785; 1е 9 = 1,78609 *.
§ 22. Графическое решение тригонометрических
уравнений
Графический метод решения уравнений имеет большое значение
в технических расчетах. Ои применяется в тех случаях, когда требуется
узнать результат приближенно **« Как известно из курса алгебры,
графический прием решения уравнения заключается в отыскании точек
пересечения геометрических мест, заданных уравнениями- Используя прием
увеличения области, в которой расположены точки пересечения, можно
достигнуть большей точности ответа. Чертежи выполняются обычно на
миллиметровой бумаге. В школе графическая иллюстрация решения
тригонометрических уравнений имеет значение тем, что наглядно
показывает учащимся смысл получаемых решений: множества решений, отсутствия
решений и т. п.
Приступая к графическому решению уравнений, учащиеся должны
уметь чертить основные 3 линии:
у = 8Н1 X, у = С08 X, у = 1{Т X***.
Понятно, что вопрос о функциях и их графиках, согласно программе
8 класса, должен быть известен учащимся.
* Решение примеров вида ах2 ± Ьх ± с = 0 трудностей новых не дает.
** В частности в расчетах по электротехнике, где синусоида играет
большую роль.
*** Погрешность зависит и от точности чертежных инструментов и от
искусства того, кто выполняет чертеж.
66

Пример 1. Решить графически уравнение:
а) 81пх = 0 (или со8Х = 0; 1{»х = 0). Как известно из кур<а алгебры,
решениями данного уравнения будут точки пересечения линий
у = в'ш х и у = О (синусои ды с осью х).
Все решения, записываемые формулой х=из, как при /п>0, так и
при от<0, будут наглядно показаны иа чертеже точками, в которых
синусоида пересекает ось х.
Значения х = 0, я, 2п, Зл . , . —я,— 2я, — Зя ...
Те же значения корней для уравнения с) 1§;х=0. Т
я 3 5 •
б) Уравнение собх = 0 имеет решения в точках —-, —л, — я . . ;
также отрицательные решения.
Пример 2. Графическое решение уравнения к1п х = п (аналогично
с08Х = тп; *6Х = Р) приводит к отысканию точек пересечения синусоиды
у = 81пх и прямой параллельной оси х, т. е. у = п.
Крайне важно, что на чертеже учащиеся увидят, что при | п | > 1 нет
решения уравнения и что при |п|<!1 имеется множество решений.
Пример 3. 1) Решениями уравнения вшх = ах + л (аналогично для
сов х и для \% х) будут точки пересечения графиков, соответствующих
уравнениям у = кш х и у = ах + п.
2) Решить графически уравнение:
собх=1,2х
у = сов х (кривая косинусов)
у = 1,2х (прямая, проходящая через начало
координат под углом сг = агс1$»1,2 к оси х), х=5=38°.
Пример 4. Найти графически корни уравнения:
8ш2х = 81пх. Задача сводится к отысканию точек пересечения двух
синусоид: у = 5Н12х и у = в1пх.
Указание: синусоида у = 81п2\- имеет [период в 2 раза меньший,
чем синусоида у = в!п х. При выполнении чертежа ясны 2 группы корней.
Пример 5. Корни уравнений 81П 2х = сов х [отыскиваются как
пересечение двух синусоид
у = в!п 2х и
у=81п(|-х)*
При построении синусоида у = б!п ( х) сдвинута по, оси х отно-
Я
сительно начала на — .
2
Пример 6. Корни уравнения вШ х = а + сов'х (или в1п х — соб х = а)
находятся, как пересечение кривых у = в!пх и
у = а + сов»,
или
у = 5|пх
V = а + 8Н1
(—Э-
я
где вторая синусоида при построении смещена по оси х на — и по оси у
на а.
Замечание. Аналогичные упражнения могут быть даны для решения
уравнений, содержащих тангенс угла и т. п.
Вопрос о графическом методе решения уравнения рассматривается
нами лишь в наиболее простых случаях и имеет целью только показать
наглядно смысл получаемых решений и метод их получения при помощи
графиков.
* Можно взять и кривую косинусов у = сов х.
5* 67

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение 3
1. Определения. Общие замечания 4
2. Формулы общего вида 5
3. Уравнения «простейшего* вида: 51/7х=а; созх—Ь; {&х=с. . . 7
4. Частные случаи .уравнений простейшего вида" 9
5. Уравнение, в котором неизвестное входит в состав аргумента . 11
6. Двучленные уравнения 1 степени, содержащие одинаковые
функции с численными коэфициентами, равными 1 12
7. Общие указания к решению тригонометрических уравнений . . 15
8- Уравнение1 левая часть которого представляет собой
произведение, а правая нуль 17
9. Однородные уравнения относительно ял х и совх 22
10. Уравнение вида дроби . .• 23
11. Приемы решений уравнения, левая часть которого однородная
функция II степени относительно вгпх и созх. 27
12. Уравнения иррациональные 28
13. Уравнение а в'ш х + Ь соз х = с \. . 52
14. Уравнение, имеющее вид равенства одноименных функций (доп.
к§6) 37
15. Показательные и логарифмические уравнения 38
16. Уравнения, содержащие обратные круговые функции 42
17. Уравнения, содержащие тригонометрические функции дуг (а ± х);
(Р±Х) 46
18- Системы тригонометрических уравнений 48
19. Различные упражнения ■. . . . 56
20. Применение логарифмов 60
21. Решение квадратного уравнения 63
22. Графическое решение тригонометрических уравнений 66
Сдано в производство 26, VI—35 г. Подписано к печати 23/1Х—35 г.
Ота. редактор Н. В. Нечаев Редактор Издатчасти НКП Л. И. Генеиоровская
Техн. редактор Г. Г. Робинсон Изд. ч. НКП № 114/8040 Учгиз К< тт
Уоол. Главпита Б -11620 Форм. 62x94/16,49000 ви. в п. л. 4'/, п. л. Тираж 10.000
5-я тид. Траисжелдориздата НКПС. Москва, Капаичевский тупик, д. 3/Б. Закав 7223

I