MONOORAFJE MATEMATYCZNE
KOMITET REDAKCYJNY.
S. BANACH, B. KNASTER, K. KURATOVSKI,
S. MASURKIEWICZ, W. SIERPINSKI, H. STEINHAUS
TOM VI
THEORIE
der
ORTHOOONALREIHEN
von
STEFAN KACZMARZ
Dozent an der Universitat Lwow
und
HUGO STEINHAUS
Professor an der Universitat Lwow
Z SUBWENCJl FUNDUS2U KULTURY NARODOVVEJ
W ARS Z A W A —I. W О W 193 5

С. КАЧМЛЖ и Г. ШТЕЙНГАУЗ
ТЕОРИЯ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ
РЯДОВ
Перевод с немецкого и обзорная статья
Р. С. ГУТЕРА и П. Л. УЛЬЯНОВА
под редакцией и с дополнениями
Н. Я. ВИЛЕНКИНА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1958

АННОТАЦИЯ
Монография С. Качмажа и Г. Штейн-
гауза является одной из лучших в мировой
литературе книг по теории ортогональных
рядов.
В настоящее издание включены также
статья переводчиков, содержащая обзор
новых результатов в теории ортогональ-
ортогональных рядов и их обобщений, и дополнения
редактора.
Книга рассчитана на студентов старших
курсов, аспирантов и научных работников,
специализирующихся в области теории
функций.

СОДЕРЖАНИЕ
От переводчиков 8
Глава I. Предварительные замечания 9
§ 1. Сходимость и суммируемость 9
§ 2. Некоторые сведения о функциях и интегралах 14
§ 3. Абстрактные пространства 24
§ 4. Операторы и функционалы 28
§ 5. Теоремы резонанса 30
§ 6. Виды сходимости 37
§ 7. Проблема моментов 43
§ 8. Обращение функциональных операций 45
Глава П. Основные понятия 49
§ 1. Ортогональность 49
§ 2.. Примеры 52
§ 3. Полнота 58
§ 4. Замкнутые, полные и плотные системы. Нормирование ... 62
§ 5. Ортогональные ряды и ортогональные разложения 67
§ 6. Проблема наилучшей аппроксимации 71
Глава Ш. Ортогональные ряды в I? 75
§ 1. Ортогоиализация 75
§ 2. Ортогоиализация в более длинном интервале 82
§ 3. О наилучшей аппроксимации 88
§ 4. Счетность 94
§ 5. Полнота и замкнутость 98
§ 6. Теорема Мюитца 103
§ 7. Равенство Парсеваля ПО
§ 8. Теорема Рисса — Фишера 113
§ 9. Бесконечные интервалы 119
Глава IV. Примеры 122
§ 1. Полиномы Лежаидра 122
§ 2. Полиномы Чебышева ,, 130
3. Тригонометрическая система 136
4. Система Хаара 141
5. Система Радемахера 147
6. Система Уолша 155
7. Система {6П (*)} 156
8. Бесконечный интервал 162
9. Полные системы 168

6 СОДЕРЖАНИЕ
Глава V. Сходимость и суммируемость 173
§ 1. Сходимость ортогональных рядов 173
« 2. Сходимость ортогональных разложений 179
3. Сходимость почти всюду 185
4. Безусловная сходимость . , 198
5. Значение лебеговских функций для сходимости 202
6. Общие замечания о сходимости 207
7. Общие методы суммирования 212-
§ 8. Чезаровские средние 217
§ 9. Лебеговы функции и суммируемость 224
Глава VI. Ортогональные ряды в других пространствах . . . 228
1. Полнота 228
2. Замкнутость 231
3. Обобщение теоремы Рисса — Фишера 236
4. Условия для того, чтобы ортогональный ряд был рядом Фурье 251
5. Мультипликаторы 259
6. Дальнейшие свойства мультипликаторов 264
§ 7. Особые разложения и особые функции 269
§ 8. Особенности Кр и Lp 276
§ 9. Мажоранты и множители расходимости 279
Глава VII. Лакунарные ряды 283
§ 1. Лакунарные системы 283
§ 2. Существование лакунарных систем 287
§ 3. Дальнейшие свойства лакунарных систем 290
§ 4. Приложения 297
Глава VIII. Биортогональные системы и ортогональные поли-
полиномы 303
§ 1. Биортогоиальные системы 303
§ 2. Биортогонализация . 307
§ 3. Биортогональиые разложения . 309
§ 4. Биортогональиые разложения в Z,2 313
§ 5. Системы, ортогональные с весом 319
§ 6. Свойства полиномов, ортогональных с весом 321
§ 7. Полнота и замкнутость 323
§ 8. Разложение по полиномам, ортогональным с весом 329
Р. С. Гуте р и П. Л. У л ь я н о в. О новых результатах в теории
ортогональных рядов (обзорная статья) 333
§ 1. Полнота и замкнутость ортогональных систем 335
§2.0 сходимости ортогональных рядов 352
§ 3. Безусловная сходимость рядов по ортогональным многочленам 385
§ 4. Абсолютная сходимость ортогональных рядов 391
5. О суммируемости ортогональных рядов 396
6. Свойства коэффициентов 406
7. Лакунарные ортогональные ряды 418
8. Устойчивость свойств ортогональных систем 422
9. Базисы в гильбертовом пространстве как обобщение орто-
ортогональных систем 430
§ 10.' О почти ортогональных системах 444
§ П.,Некоторые свойства конкретных ортогональных систем . . 449

СОДЕРЖАНИЕ 7
Н. Я. Виленкин. Дополнения 457
§ 1. Теория мультипликативных систем 459
§ 2. Ортогональные ядра 482
Указатель литературы к основному тексту книги 494
Литература к основному тексту книги 496
Указатель литературы к обзорной статье переводчиков 501
Литература к обзорной статье переводчиков и к дополнениям
редактора 502

ОТ ПЕРЕВОДЧИКОВ
Теория ортогональных рядов, являющаяся частью теории функ-
функций, находит в настоящее время широкое применение в самых
разнообразных областях математики. При этом наряду с изуче-
изучением конкретных ортогональных систем активно разрабатывается
и общая теория ортогональных рядов.
Настоящая монография, написанная выдающимися польскими
математиками С. Качмажем и Г. Штейнгаузом, посвящена именно
общей теории ортогональных рядов. Первое издание книги,
вышедшее в 1935 г., сыграло большую роль в развитии этой
теории. Учитывая это обстоятельство, мы сочли необходимым
оставить без изменения основной текст книги, хотя для некоторых
теорем имеются сейчас более совершенные доказательства. Заме-
ченные нами погрешности были исправлены.
За 20 лет, прошедшие после первого издания, общая теория
ортогональных систем обогатилась целым рядом новых исследова-
исследований. Краткий обзор их сделан в нашей дополнительной статье
«О новых результатах в теории ортогональных рядов». Объем
статьи не позволил нам осветить эти результаты достаточно полно.
При отборе материала мы отдавали предпочтение тем результа-
результатам, которые являются естественным продолжением основного
текста книги.
В связи с этим в статье не затронуты, например, приложения
ортогональных систем к теории дифференциальных уравнений;
мало внимания уделено свойствам конкретных систем и т. д.
Работа над всей книгой проходила совместно. В дополни-
дополнительной статье §§ 1, 6, 8, 9, 11 написаны Р. С. Гутером,
§§ 2, 3, 4, 5, 7, 10 — П. Л. Ульяновым, а затем согласованы.
При написании статьи мы пользовались советами и указа-
указаниями Н. К. Бари и Д. Е. Меньшова, которые ознакомились с от-
отдельными разделами рукописи. Мы считаем своим приятным долгом
выразить им глубокую благодарность. Мы весьма благодарны
также редакторам книги Н. Я. Виленкину и В. Ф. Гапошкину,
очень много сделавшим для улучшения рукописи.

I' Л Л В Л 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Эта глава содержит известные определения и теоремы, кото-
которыми мы будем пользоваться во всей книге. Некоторые из этих
теорем будут доказаны.
§ 1. Сходимость и суммируемость
Пусть \ап) и {Ьп}—две бесконечные последовательности и
sn = at-f-02 + • • • + ап> в дальнейшем часто используется сле-
следующее преобразование, называемое преобразованием Абеля
2 афк= S sk(bk — bk+l) — snbn+l-\-sn+pbn+p+l. [l.l.l]
к = п + \ & = rt + I
Преобразование Абеля может быть записано и так:
п+р п+р-1
2 «а= 2 чФк—ьк.п)—snbn+1-\-sn+pbn+p. [1.1.2]
к = п + 1 Д: = п + 1
В обеих формулах можно заменить $к на s^ = sft-f-c, где с
не зависит от к.
Пусть </>!¦ Обозначим через /' множество всех последова-
последовательностей {лг/j}, для которых
2а1
к=Л
и через ^' число, определяемое равенством 1—г=1- Тогда
имеет место теорема Э. Ландау: Если для любой после-
оо
довательности {хк} из lq ряд ^акхк сходится, то {ан) при-
к = 1
надлежит Р , т. е.
со
21 **!*<«>.

10 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Справедлива также обратная теорема; она почти непосред-
непосредственно вытекает из неравенства Гельдера:
2КМ B|
к=1 / \k=l
Из 11.1.3] следует, что для любой последовательности {%}
не принадлежащей 1Ч, существует такая последовательность {ук}
со с
из I9, что ^Ei\akyk\ = со и даже
1 А1
Доказательство [1.1.3]. Пусть последовательность {ак}
удовлетворяет условиям [1.1.3] и, вопреки утверждению,
Положим
Как известно, ряд
й 4
сходится при а> 1 и расходится при а< 1. Положим
v __ I ^ft jgVg sign ^ft
и выберем а так, чтобы — <а< 1, тогда
"к
так как да> 1. Поэтому {Xjc}?lq и, в силу предположения, ряд
оо
должен сходиться. Но, с другой стороны,
к-1
последний ряд расходится, ибо а< 1.
Более глубокой является следующая теорема:
[1.1.5] Пусть И означает пересечение всех классов f, где р > 2
{или p>^)

Сходимость и суммируемость 11
Если не существует такой последовательности {хк} ? Н,
со
для которой ряд 2 akxk расходится к -{- oo, то найдется
такое рг, что 1 < р' < 2 {соответственно, р' < у') н {ад.} яри-
надлежит f'.
Доказательство, Рассмотрим случай р > 2 (для /? > <7
теорема доказывается аналогично).
Предположим, что такого р' не существует. Это означает,
что существует последовательность \р'п\, обладающая свойствами
2>//>1, \\тр2, 2
П->оо ft=l
В силу замечания, сделанного нами после [1.1.3], для каж-
каждого п существует такая последовательность {х^}, что
fakx{n) = + oo, {хНб^. —4--т«1.
Изменим знаки у хкп1 так, чтобы выражение аих^ стало
неотрицательным, после чего нормируем последовательности {х^}
со р
Так, ЧТОбы ДЛЯ ЛЮбОГО П рЯД 2 *« 1 СХОДИЛСЯ К Туп .
Построим теперь из последовательностей \х^) новую после-
последовательность {хк}. Положим я(&)=1 для l^&^&j, где
kl — наименьшее натуральное число, для которого
S4!)>i. (О
Далее, положим я(&) —t-f-1 для k, удовлетворяющих нера-
неравенству A{<fc<fti+i, где kUl — наименьшее натуральное число,
для которого
Обозначим л4п(Аг)) через хк. Последовательность \хк) принадле-
принадлежит Н. В самом деле, пусть р > 2. В силу того, что lira /?„ = 2.
П->оо
найдется такое N, что при п > N справедливо неравенство рп < р.
Далее, найдется такое К, что при & > К имеем n(k)^>N и
2 !4l< 2
= 841' ' ft = BT i 1'

12 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ибо | хкп> | <] 1 для всех я и k. Отсюда следует, что
„(»(*)) \vn(h) __
*А I —
''j ftj + l оо
- ъ
2
2i
ft = ^.+ l г=^
т. е. {*й}(;#. В силу A) и B) ряд
ft, 1:г
2
ft = l
имеет неотрицательные члены и расходится к -j-схз. То же самое
со
имеет место для ряда 2вл*л> а 9Т0 противоречит предположению
ft=i
теоремы.
Суммируемость. Если последовательность {sk} расходится,
то иногда бывает возможно каким-либо способом поставить ей
в соответствие некоторое число в качестве «обобщенного пре-
предела». В таких случаях говорят, что последовательность {sk} сум-
со
мируема этим способом. Если же sk — частные суммы ряда 2 ак,
то ряд называют суммируемым этим способом.
Одним из важнейших способов суммирования является способ
первых средних арифметических; он состоит в том, что вместо
первоначальной последовательности {sk} рассматривается последо-
последовательность средних величин \оп)
и обычный предел этой новой последовательности liin an ставится
п -> со
в соответствие последовательности {sn} как ее «обобщенный
предел». Каждая сходящаяся последовательность суммируема спо-
способом первых арифметических средних к первоначальному пре-
предельному значению. Способы, обладающие таким свойством, назы-
называют регулярными.
Существуют последовательности, которые не суммируемы
способом первых средних арифметических, но суммируемы мето-
методами средних арифметических высших порядков* Эти методы
ввел Чезаро. Мы приведем их здесь в форме, наиболее удобной
для рядов.

СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ 13
Для каждого неотрицательного целого п и Для каждого г,
отличного от —1, —2, —3, ..., положим
1) (г 4-2) ... (r+п) п*
Мы говорим, что ряд 2ай суммируем методом Чезаро по-
й = 1
рядка г [или, коротко, (С, г)-суммируем] к s, если последова-
последовательность {о^>},
стремится к пределу s при я —>-оо. При г==0 мы получаем
обычную сходимость, а при г=1—суммируемость первыми
арифметическими средними. Число s принимается за «обобщенную
сумму» ряда. При г^>0 метод суммирования (С, г) является
регулярным.
Если г1 > г, то метод (С, г,) сальнее, чем (С, г), т. е.
(С, г)-суммир'уемый ряд суммируем и (С, rt). Все методы Че-
Чезаро не противоречат друг другу, т. е. если ряд суммируем
двумя различными (С, г) методами, то обе обобщенные суммы
равны между собой.
Метод суммирования Пуассона (Абеля) является регулярным
методом, более сильным, чем все методы Чезаро, и не противо-
оо
речащим этим методам. Этот метод состоит в том, что ряду 2йп
п=о
ставится в соответствие в качестве «обобщенной суммы» пре-
предельное значение
со
lim 2anxn = s,
если последний предел существует.
Теплицевские методы суммирования. Пусть
В=\\Ьщ\\ (i, k=l, 2, ...) — бесконечная матрица и {sk} — по-
последовательность, которую нужно просуммировать. Положим
оо
Bi = ^biksk (/=1,2,...).
k = l
Предположим, что Bj существует для каждого i и lim Bi = s.
i -> оо
Тогда последовательность {sk} называется суммируемой матри-
матрицей В к сумме s.

14 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Если каждая строка матрицы В содержит только конечное
число элементов, отличных от нуля, то такие методы суммиро-
суммирования называются конечнострочными.
[1.1.9] Для того чтобы метод суммирования, определяемый матрицей В,
был регулярным, необходимо и достаточно, чтобы
со
1°. lim U^ifc^1'
i •> со й = 1
2°. lim *ifc = 0 (&= 1, 2, . ..).
i ¦> oo
CO
3°. ^\bik\<M (/=1, 2, ...),
k = \.
где ряды в условиях 1° и 3° предполагаются сходящимися и Мне
зависит от i.
Только такие методы мы будем называть «методами сумми-
суммирования Теплица».
Легко показать, что методы суммирования Чезаро являются
теплицевскими методами. Пуассоновский метод также будет яв-
являться методом Теплица, если непрерывно меняющийся параметр х
заменить произвольной последовательностью {xt}, для которой
|л^|<1, lim jfj=l. (Если мы установим, что для полученной
г ->со
матрицы В выполняются требования 1°, 2°, 3°, то получим дока-
доказательство теоремы Абеля о степенных рядах.) Подробности по
этим вопросам можно найти в книге Г. Харди [9].
В заключение этого параграфа упомянем два часто употреб-
употребляющихся символа: если {хп} и {уп}— две последовательности,
то хп*=О(уп) означает, что | хп\ ^.К \уп |, где К не зависит
от п; хп-=о{уп) означает, что | хп\ < kn \уп\, где limftn = 0.
П -> со
§ 2. Некоторые сведения о функциях и интегралах
Мы предполагаем известными важнейшие теоремы теории
функций действительного переменного и теории интеграла Лебега
(см., например, книгу С. Сакса [6]). Тем не менее, мы остановимся
на некоторых теоремах, которыми будем пользоваться в даль-
дальнейшем.
[1.2.1] Теорема Н. Н. Лузина. Пусть функция f(x) опреде-
определена на отрезке [0, 1], измерима и почти всюду (/я. е. за исклю-
исключением множества меры, нуль) конечна на этом отрезке. Тогда
для любого s > 0 найдется замкнутое множество А на от-
отрезке [0, 1] такое, что мера этого множества больше, чем
1—г, и функция f(x) непрерывна на А.
Так как замкнутое множество может быть разложено на со-
совершенное и не более чем счетное множество, а пересечение

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ И ИНТЕГРАЛАХ 15
замкнутых множеств тоже замкнуто, то из сформулированной
теоремы следует другая теорема:
Если {/„@) — последовательность функций, определенных на
отрезке [0, 1], измеримых и почти всюду конечных, то существует
совершенное множество D положительной меры, на котором все
функции /„@ непрерывны.
Теорема Вейерштрасса. Всякая непрерывная функция *[ 1-2.2]
может быть с любой точностью аппроксимирована полиномами
в замкнутом конечном интервале. Другими словами:
Если функция f(t) непрерывна на отрезке [а, Ь) и г > 0,
то существуют натуральное число п и полином pn(f) сте-
степени п такой, что |/@— pn(/)|<s для всех t на отрезке
\а, Ь].
Одно из доказательств этой теоремы основано на следую-
следующей теореме С. Н. Бернштейна:
Если функция f{t) непрерывна на отрезке [0, 1], то
"m iGM?)''A-'>ll~1WW. C)
П > со ¦*¦ \Р I \ " I
причем сходимость равномерна на отрезке [0, 1]. Если функция/(Л
непрерывна на некотором отрезке [а, Ь), то подстановка т= . __
переводит ее в функцию, определенную и непрерывную на от-
отрезке [0, 1J; поэтому мы можем ограничиться доказательством
формулы C). С этой формулой можно сопоставить следующую
теоретико-вероятностную схему (игру).
Отрезок [0, 1] делят на части [0, t) и [t, 1]; затем наугад
выбирается я точек отрезка [0, 1]. Если при этом р раз встре-
встречаются точки левого участка, то выигрыш составляет /(—).
Сумма, стоящая в формуле C) под знаком предела, является
математическим ожиданием выигрыша при такой игре. Поэтому
вполне естественно, что для больших п математическое ожида-
ожидание выигрыша приближается к /(/), ибо величина математического
ожидания дроби ^ близка к t. Точнее говоря, значения дроби,
отличающиеся от t более чем на v-rr> B совокупности мало
Vn
вероятны.
Для строгого обоснования этого рассуждения воспользуемся
доказательством, принадлежащим Э. Ландау.
то
Доказательство C). Если положим ( n\tp{\ —t)n~p — rp,

16
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
р=0
9=0
Р=0
3=0
— Bnt— l)nt + n(n— l)tz = nt(\— t).
P=0
Пусть |/(f)|^M на отрезке [0, 1]. Зададим е>0 и выберем
число 8 = 8(е)>0 так, чтобы при \t' — ^'|<8 выполнялось не-
неравенство
1/@—/(О К-у (
Тогда для «>max|l, -^Л получаем
\p-nt\>bn p=0
\p-nt\>m
Г <?+P7i
что и требовалось доказать.
Сходимость функциональных
последовательностей
[1.2.3] Теорема Д. Ф. Егорова. Пусть {fk(f)}—последова-
{fk(f)}—последовательность измеримых функций, определенных на [а, Ь), сходя-
сходящаяся почти всюду. Тогда для каждого е > 0 существует мно-
множество Ес[а, Ь], мера которого превосходит число b — а — е,
и такое, что последовательность {fk(t)} сходится равномерно
на Е.

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ И ИНТЕГРАЛАХ 17
Известно, что для последовательности измеримых функций,
которые в совокупности ограничены одной интегрируемой функ-
функцией, допустим переход к пределу под знаком интеграла. Именно,
если такая последовательность сходится почти всюду в конечном
интервале, то сходится и последовательность ее интегралов. При
дополнительных условиях справедлива и обратная теорема, кото-
которая обеспечивает нам сходимость функциональной последова-
последовательности.
Если все функции fh(() интегрируемы, неравенства
(t) выполняются почти всюду на.[а, Ь\ и
ь
fk(.t)dt*CC ft = l, 2, ....
а
где С не зависит от k, то lim fh(t) существует почти всюду
к->оо
на [а, Ь].
Эта теорема будет часто использоваться нами в следующей
форме:
со 6 со
Если функции gk(t)^>0 и ^ f gk(t)dt< оо, то ряд ^gk(t) [1.2.4]
k=l a k=\
почти всюду сходится.
Если lim /й @-/@ почти всюду на [а, Ь), то [1.2.5]
iiminf Г \fn(t)fdt> Г |/@ Г Л (/>>0).
П > со J J
а а
Эта теорема справедлива также и в том случае, если инте-
интегралы слева не существуют, так как неравенство оо !> .. . всегда
имеет место. Но если интегралы слева существуют, и левая часть
конечна, то конечна и правая часть.
Доказательство. Так как lim |/n@|P = |/n@f почти
п->со
всюду в [а, Ь\, то в силу [1.2.3] существует такое множество Е,
что для всех я > N и t? E
при этом тЕ как угодно мало отличается от (Ь — а). Следова-
Следовательно,
f
а Е F.
2 Зак. 2э42. С. Качмаж и Г. Штейнгауз
f\f(t)\pdt-z(b-a).

18 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Ь
Но при тЕ -> Ъ — а интеграл f \f(f) \p dt стремится к Г | f(t) \pdt,
Е а
а
ь ь
lim inf J | /„ @ \pdt> /| fit) fdt — г (b — e).
a a
В силу произвольности выбора s > 0 из последнего неравенства
следует утверждение теоремы [1.2.5].
В предположениях теоремы [1.2.5] из условия Г|/„@1Р^^^
Е
следует, что Г | f(t) \p dt ^ А.
Е
Это свойство непосредственно вытекает из доказанной тео-
теоремы. Отсюда можно прийти к следующему результату:
[1.2.6] Если lim fn(t)—f(f) почти всюду и для каждого s>0
п ->со
существует такое -ц (г) > 0, что
$\fn(t)\pdt<z (Я=1, 2, 3, ...),
Е
как только тЕ < ч\, то
ь
lim Г |/@-/„
Выберем множество Е так, чтобы последовательность {/„@)
равномерно сходилась на дополнительном множестве СЕ, и пусть
тЕ < т, (см. [1.2.3]). Тогда имеет место равенство
Учитывая неравенство |а + Р \р ¦< 2р(|а|р + | р|р) и замечание
в конце доказательства теоремы [1.2.5], получаем, что
f\fV)-fnV)\pdt^2p(f\f(t)\pdt+f\fn(t)\pdt\^.2p-2z.
Е \Е Е )
Складывая левые части, получим утверждение теоремы.
Неравенства Шварца и Гёльдера—Рисса
Обозначим через Lp(p^-1) класс всех функций, которые опре-
определены, измеримы и интегрируемы в р-й степени на отрезке [а, Ь).
Класс L1 будем обозначать также через L. Аналогично тому, как

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ И ИНТЕГРАЛАХ 19
это было для последовательностей, важную роль будет играть
степень //, сопряженная с р, т. е. такая, что —|—т-=\. При
/7 = 2 получим р' — 2\ для р > 2 сопряженная степень р' < 2 и
обратно.
Если [1.2.7]
Это неравенство Ф. Рисса, которое аналогично неравенству
Гёльдера для сумм. При /7 = 2 из [1.2.7] получаем неравенство
Шварца *)
6 Г~Ъ 5
/ /@ gif) dt < l/ f PV)dt- f g* (о л.
ts a a
е функции f(t) и g(t) принадлежат I?, mo cnpa- f 1.2.8]
ведливо неравенство Минковского
( /
< ( / 1/@1* <«
Доказательство [1.2.7] (принадлежащее Ф. Риссу).
Для лт>-0 функция — хр-\—т—л: достигает своего минимума
при х=1. Этот минимум равен нулю; поэтому
x<x* + (*>0)
_
Если положим je=|a|-|p| v~1, то получим (после умноже-
умножения на | р \р ) неравенство
*) Мы сохраняем здесь и в дальнейшем терминологию авторов, хотя .
часто указанное неравенство называют неравенством Коши — Буняков-
ского. {Прим. перев.)
2*

20 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В этом неравенстве положим
rr—Ш. ft_
Ш ft?iu
А ' р~~ В '
где через Л и В для краткости обозначены оба множителя в пра-
правой части [1.2.7]. Интегрируя полученное соотношение по / от а
до Ь, получим неравенство
I
S\f(t)g(t)\dt<lj \№\pdX IJ
даже более сильное, нежели [1.2.7].
Доказательство [1.2.8]. Его достаточно провести для
случая /@>-0 и g(t)^0. Но в этом случае
Применяя к каждому члену справа неравенство [1.2.7], получим,
итп
f/|/('IрлГ +
ЧТО
ь i Ь \W , Ъ
J_ 1
dt\ n\g(f)\pdt\ .
Разделив обе части неравенства на общий множитель правой
части, получим [1.2.8].
Следующая теорема является в некотором смысле обратной
к теореме [1.2.7].
ъ
Если интеграл Г f{t)g(t)dt существует для каждой функ-
а
цииg(t)?Lp (p > 1)( то f{t)?l?. Содержание и доказательство
этой теоремы напоминает теорему [1.1.3].

Некоторые Сведения о функциях и интегралах 21
Действительно, пусть Г | fit) \p dt = оо. Обозначим через Еп
а
множество таких точек t, для которых |/(OI^C"I РЯД
- Л.
t—i i i |д')г dt
будет сходящимся при а > 1 и расходящимся при
Если положить теперь
_ 1/@ \Т sign fit)
1/@ \v' di
1
при t?En — En_i и ?@ = 0 при t?E0, то для —<а<1 будем
иметь
ь „ е J !/@1р'л
'<tt<oo, f(t)git)dt=y. * "-1—_—_ = оо-.
о
j'k(oip<
Полученное противоречие доказывает теорему.
Аналогично доказывается эта теорема и в предельном слу-
случае р = 1, только тогда Lp (р' = оо) будет означать класс суще-
существенно ограниченных функций *). При том же толковании спра-
справедлив и другой предельный случай этой теоремы: /? = оо, р' ¦= 1.
Имеет место также и аналог теоремы [1.1.5].
Если [1.2.9]
/а-(') = */ /(«)da (/(в)э0пРнй>*),
*) Функция fit) называется существенно ограниченной, если суще-
существуют множество А меры нуль и число М, такие, что | / (t) \ ¦< М, когда
t не принадлежит А. Число inf M называется существенной верхней гранью
функции f(t) и обозначается supvrai fit). ifJpuM. ред.)

22 Предварительные замечания
то
б
Hm f |/@—Л(О|Р<И = '
Рассмотрим сперва случай, когда функция f{t) ограничена,
t
|/(/)|<;Л1. Тогда, по известной теореме, функция С / (и) du
а
имеет почти всюду своей производной функцию f(t), следова-
следовательно последовательность {fk(t)\ почти всюду сходится к f(t).
По теореме Д. Ф. Егорова [1.2.3], lim Л@—/@ равномерно
к->оо
для t?E, где тЕ > Ь—а—г. Но на СЕ функции \f{f)\ и |/к(/)|
не превосходят М, поэтому
lim sup
к + со
а
Для рассмотрения общего случая нам придется воспользоваться
теоремой Фубини о двойных интегралах (доказательство этой
теоремы можно найти в книге И. П. Натансона [5]). Она гласит:
Если функция ср(лг, у) имеет в прямоугольнике R (О^лг-^а,
0<^_у^?>} двойной интеграл, то интеграл
а . 6 ч
/ср (х, у) dx I соответственно Г ? (х, у) dy |
о \ о /
существует для почти всех у (соответственно для почти всех х)
и является интегрируемой функцией по у (соответственно по х).
Кроме того, справедливо равенство
а Ь Ь а
j dx f\(x,y)dy= f dy f <f(x,y)dx*=f J <?(x,y)dxdy. D)
0 0 0 0 R
Теперь мы можем вернуться к доказательству теоремы [1.2.9],
считая, что рассматриваемая функция f(t) неограничена. Поло-
Положим g^u)(t) = f(t), если |/@|^Л1 и g-W(f) = 0 для остальных t.
ь
Тогда lim J* \f(t) — gW{t)\ df= 0.
Пусть задано произвольное е > 0. Выбираем М так, чтобы
&

НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ И ИНТЕГРАЛАХ 23
Опуская индекс М в некоторых формулах и полагая
i = jj g(u)du.
получим
6 Ь
а
Ь
Предпоследний интеграл при k —у со стремится к нулю, так как
g(t)— ограниченная функция. Последний интеграл после при-
применения теоремы Фубини D) дает
ъ
k
t
dt.
:ь / dt f \g(tt)—f(u)\du =
a t
b
= k f du\g(u)—/(и) | J ф (и,
a a
где ф(и, О равна 1 для t ^u ^.t-\-j- и равна 0 в противном
случае. Отсюда следует, что
6 6 и
/С С
\fk—gk\dt<Ck du\f(u) — g(u)\ dt<e.
J J
Таким образом, теорема [1.2.9] доказана при р=\. Для/?>1
доказательство аналогично.
Эта теорема показывает, что каждая функция из Lp является
пределом «в среднем» непрерывных функций. Отсюда можно
получить такую же теорему, вводя ступенчатые функции вместо
непрерывных. Ступенчатой функцией мы назовем функцию, отре-
отрезок определения которой можно разбить на конечное число таких
участков, что на каждом из них функция принимает постоянное
значение. Если участки разбиения отрезка так малы, что колеба-
колебание функции fk(t) на каждом из них не превосходит е, то, при-
приняв значение функции fk(t) в средней точке участка за величину
ступенчатой функции на этом участке, получим ступенчатую

24 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
функцию, которая отличается от fk{t) меньше чем на е на всем
отрезке [а, Ь\. Это оправдывает наше замечание.
Если разделить интервал на конечное число отрезков и на
каждом отрезке [а, |3] заменить функцию f{t) средней величиной
"я \f(t)dt, то получим ступенчатую функцию, которая при
все бэлее мелком делении стремится к функции f(t) не только
почти всюду, но даже в смысле A.2.91*).
§ 3. Абстрактные пространства
Здесь будет идти речь только о некоторых важных понятиях
и теоремах об абстрактных пространствах. Подробности можно
найти в книге С. Банаха [1].
Непустое множество Е мы называем метрическим простран-
пространством, если каждой паре элементов х и у из Е ставится в соот-
соответствие неотрицательное число {х, у), которое удовлетворяет
условиям:
1°. (х, х) — 0, (х,у)>0 для х Ф у.
2°. (х,у)*=(у,х).
3°. (x,z)^(x,y) + (y,z).
Это число называют расстоянием между х и- у. Последова-
Последовательность {хп}, состоящая из элементов множества Е, называется
сходящейся в себе, если lim (хр, xq) — 0. Она называется схо-
p,q->oa
дящейся к х.х, если lim (хр, лгл) = О. В этом случае хм назы-
р-Уоо
вают пределом последовательности {хр} и пишут lim хр = хм
р->оо
(аналогично тому, что имеет место в теории числовых последова-
последовательностей). Если каждая сходящаяся в себе последовательность
имеет предел, то пространство Е называется полным.
Примеры полных пространств
1. Множество L функций, интегрируемых на отрезке [а, Ь\,
можно метризовать, введя расстояние между функциями с помощью
*) В дальнейшем нам понадобится следующее замечание. Обозначим
через Ф множество всех кусочно-постоянных функций, имеющих разрывы
лишь в рациональных точках и принимающих рациональные значения.
Очевидно, что множество Ф счетно, Ф = {tp»j (t)}, и обладает следующим
свойством: для каждой функции /(ОбLp (/>>1) существует последова-
последовательность {?п{@}> сходящаяся к f{t) в смысле [1.2.9].

аЬйтрактные пространства 25
формулы
ь
(x,y) = f\x(t)—y(t)\dt.
а
При этом х=у равнозначно тому, что x(t)=y{t) почти всюду
на [а, Ь].
2. Множество I? функций, интегрируемых с /?-й степенью
на конечном отрезке [а, Ь\, имеет метрику
(равенство х = у определяется как и выше). Полнота этого [1.3.1]
пространства доказывается следующим образом:
Пусть
ь
lim f\xr(t)—xs(t)\pdt = 0 {p>\). E)
Определим последовательность {пк) возрастающих индексов таким
образом, чтобы
СО Ь
со Ь
В силу [1.2.7] ряд V С \Хпк+ @ — xllk(t)\dt также сходится,
поэтому ряд
J Xnk+l @ — ЛГяА @ )
сходится почти всюду (см. [1.2.4]), и его сумма xOT@ принадле-
принадлежит к L? (см. [1.2.5]). Но отсюда следует, что
lim (*„,*„_) = 0. G)
Действительно, в силу неравенства (б) можно определить г так,
чтобы при s > г имело место соотношение
м i*,w—

l}(j ПРЕДВАРИТЕЛЬННЕ ЗАМЕЧАНИЯ
После этого для фиксированного г определим tj так, чтобы при
тЕ < ?i имело место неравенство
\xr(t)\pdt
±.
Следовательно, в силу [1.2.8], для всех s > г
г
как только тЕ < 7j. Так как почти всюду Hm хп (f) = xM(t),
ft->oo к
то, положив s = «ft(rtft>r) и воспользовавшись теоремой [1.2.6],
получим равенство G). Отсюда, используя равенство E) и не-
неравенство Минковского [1.2.8], получаем
Hm (лгоо, лг,) = О,
что и требовалось доказать.
3. Множество М существенно ограниченных функций с мет-
метрикой (х, у) = sup vrai | х (t)—y(f)\.
<t<6
<
4. Пространство С непрерывных функций на отрезке [а, Ь]
с метрикой (л:, у) = max \x(t)—^(Ol- Это пространство полное,
так как предел равномерно сходящейся последовательности не-
непрерывных функций является также непрерывной функцией.
5. Пусть функция p{t) определена для t^-О, непрерывна
справа, возрастает и неограничена и /?@) = 0. Положим
и
<р(и) = J*p{t)dt для а>0, ср(—й) =
о
Если p~l{t) — обратная функция для p(t) и
при «>0, ф(— в)
о
то справедливо неравенство
uv < ср (м) }
Пусть L'tp — множество функций f(t), для которых интеграл
6
Г<?(f(t))dt конечен. Если существует такая постоянная к, что
а
ср Bи) ^ ftcp («) (для больших и),

АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27
то Z,9 будет полным метрическим пространством с метрикой
(х, у) = sup
f(x(t)-y(t))h(t)dt
а
b
где функции h{t) подчинены условию \^{h(t))dt^\.
а
Пространство Lp(p>l) входит в этот класс пространств.
Чтобы это показать, достаточно взять p{t) = ptp' l(t > 0); тогда
ср (и) = | и \р, и новое расстояние будет совпадать со старым,
с точностью до множителя, зависящего только от р.
6. Известное нам множество № всех последовательностей {?„}
оо
с 2 Hn f < °° (Р > 1) является метрическим и полным простран-
пространна
ством, если расстояние (х, у) между последовательностями х= (?п)
и y={fin} принять равным величине
(мы допускаем также случай р—\ и записываем ll = l).
Если множество Л содержится в метрическом пространстве Е,
то точка Хос называется предельной точкой множества А, если
в множестве Л имеется такая последовательность {хп}, что х„фхм
и lim х„ = лгоо. Множество всех таких точек х^ называют п/?о-
П->оо
изводным множеством от Л и обозначают А'.
Множество А называется замкнутым множеством, если А'сА; [1.3.2]
открытым, если Е — А замкнуто. Множество А называется
плотным в себе, если Л'гэЛ; всюду плотным, если А-\-А' = Е;
нигде не плотным, если А-\-А' не содержит ни одного шара.
Шар—это множество всех таких точек х, для которых
где лг0—центр шара, а р — радиус шара.
Множество, представляемое как счетная сумма нигде, не плот- [1ДЗ]
ных множеств, называется множеством первой категории; в про-
противном случае его называют множеством второй категории.
Полное метрическое пространство всегда является мно- [1.3.4]
жеством второй категории (Ф. Хаусдорф).
Непустое множество Е называется векторным пространством, [1.3.5]
если возможно сложение двух элементов и умножение элементов
на действительные числа так, что соблюдаются известные пра-

28 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
вила (однозначность, коммутативность, ассоциативность и дистри-
дистрибутивность).
[1.3.6] Если пространство метрическое, векторное н полное, и кроме
того выполняются условия:
1°. (х,у) = (х—у,Ь).
2°. Если lim р„ = 0, то для всех д: предел itm р„дг==9.
Я->-оо п->оо
3°. lim дг„ = 9 влечет lim рхп = 9 для всех р,
п->оо п >оо
то оно называется пространством типа F.
При этом 6 является нулевым элементом сложения, —у озна-
означает (—I) ' у, х—у означает х-{-(—У)> малыми греческими
буквами обозначаются действительные числа.
[1.3.7] Говорят, что векторное пространство Е нормировано, если
каждому элементу х?Е сопоставлено действительное число ||jf[|,
норма х, которое удовлетворяет следующим требованиям:
1°. ||*||>0 для хфЪ; ||9||=0.
3°. || |р ||1
В этом случае пространство Е можно метризовать, введя
['.3.8] в качестве расстояния величину (х, у) = \\х—у\\. Если про-
пространство Е, кроме того, полно, то его называют простран-
пространством типа В (банаховым пространством). Легко заметить,
что оно будет тогда также типа F.
Пространства, рассмотренные в примерах 1—6, являются
банаховыми пространствами. Чтобы в этом убедиться, следует
указать, как в каждом из этих случаев выбирать норму. Для
этого мы заметим,, что если в примерах 1,2,3,5 за нулевой
элемент взять функции, равные нулю почти всюду, в при-
примере 4 — тождественный нуль и в примере 6 — последователь-
последовательность {0}, то за норму ||л:|| можно принять величину (х, 6).
[1.3.9] Пространство называется сепарабельным, если оно содержит
счетное всюду плотное подмножество. Пространства 1? или С
являются примерами сепарабельных пространств.
§ 4. Операторы и функционалы
Пусть Е'и Ех — непустые множества и каждому элементу х?Е
поставлен в соответствие определенный элемент U(x)?Ev Тогда
[1.4.1] в Е определен оператор U. Если элементы пространства
Et — числа, то оператор называется функционалом. Если оба
множества Е и Ег являются метрическими пространствами, то опера-
[1.4.2] тор U (х) называют непрерывным в Ха>, когда из lim xn==xai (xn ? Е)
»-?¦<«
Следует lim U (хп) = U (х»).
П ->-00

ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ 29
Пусть даны последовательность операторов {?/„} и опера-
оператор Uoaix), причем как значения Un(x), так и значения Uoo(x)
принадлежат метрическому пространству Ev Последователь-
Последовательность {Un} называют сходящейся к оператору (/<» в точке лг0, [1.4.3]
если имеет место равенство lini Un(x0) = Uao(x0). Если Е
П> оо
и Е: — векторные пространства, то оператор U (х) называется
аддитивным, если
и однородным, если
U(тх) — zU(x) (x^E,z — действительное число).
Если пространства ?и?, векторные и метрические, то опе-
оператор U(x) называется линейным, когда он является аддитивным П-4 4]
и непрерывным; свойство однородности вытекает из предыдущих.
Для дальнейшего очень важна следующая теорема С. Банаха:
Если оператор U (х) аддитивен, и из равенств lim хп^=хоа, [1.4.5]
П ->оо
lim U(хп) = уао следует равенство у^ = U (хх), то U(x)
П->оо
является линейным оператором (см. [1]).
Для того чтобы аддитивный оператор U(x), определенный
в банаховом пространстве, был линейным, необходимо и доста-
достаточно существование такого действительного числа р>0, что
11^(*)|1<р|И ПРИ любом х?Е. (8)
Наименьшее из чисел р, допустимых в неравенстве (8), назы-
называется нормой оператора U(x); если оно равно (л, то пишут [1.4.6]
Линейные функционалы Ф, определенные в банаховых про-
пространствах, которые приведены в примерах 1, 2, 4 § 3, допускают
простые канонические представления: [1.4.7]
ь
в L: Ф(лг) = fx(i)h\
а
Ъ
в Lp(p>\): Ф(лг) = j*jc(x)Л|
а
ь ь
в С: Ф (х) =

30 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пространство М было определено в примере 3 § 3. Как уже
было указано, ||/г||м = sup vrai | Л(т)| на отрезке [а, Ь],
V—новое пространство, которое состоит из множества всех
функций g(x) с ограниченной вариацией на [а, Ь].
Линейный функционал, определенный в пространстве М, не
удается привести к такому простому виду.
§ 5. Теоремы резонанса
Под этим названием мы объединяем класс теорем, в которых
из неограниченности одной последовательности выводится не-
неограниченность некоторой другой последовательности. Примером
теорем этого вида является теорема [1.1.3] о рядах и аналогич-
аналогичная теорема об интегралах.
Общим источником таких теорем является следующая теорема:
[1.5.1] Пусть Fn(x) — последовательность линейных операторов,
отображающих банахово пространство Е на банахово про-
пространство Ev Пусть pn = \\Fn\\ означает норму \\Fn\\ опера-
оператора Fn(x) (см. [1.4.6]; с нормой \\Fn\\ не следует .смешивать
норму элемента^^^з/^л^в^!). Если множество FcE является
множеством второй категории (см. [1.3.3]) и
для каждого x?F, то значения {[*,„} ограничены в совокуп-
совокупности.
Эту теорему можно сформулировать также в следующем виде:
Если существует последовательность {хп\ такая, что H-xrJK! 1
и \\ms\ip\\Fn(xn)\\= со, то множество X тех х, для которых
П ->оо
последовательность {\\Fn(x)||} ограничена, является множест-
множеством первой категории в Е.
Эта формулировка позволяет отчетливо выяснить резонансный
характер теоремы, так как переменная хп так заменяется фикси-
фиксированным х, что сохраняется расходимость limsup||/='n(.. .)||=оэ;
11 -У со
при этом такие х составляют дополнительное множество Е — X,
которое в силу [1.3.4] никогда не пусто.
Доказательство теоремы [1.5.1] во второй форме. Пусть
Fj —множество тех х, для которых справедливо неравенство
(•/^„(х)!!^/ при всех п. Так как все Fn(x) непрерывны, то Ft

ТЕОРЕМЫ РЕЗОНАНСА
ЗЁмкнуто. Очевидно, что
Покажем, что множество X является множеством первой категории.
В самом деле, если бы X было второй категории в Е, то суще-
существовало хотя бы одно множество F%oi которое не было бы нигде
не плотным в Е. Пусть /%-0 плотно в некотором шаре К- Так
как F%a замкнуто, то F%a э К. Если лг0 означает центр и
р — радиус шара К, то при \\x\\ <р элемент и = х-{-х0 содер->
жится в К. Но в таком случае из равенства х~и — лг0 и условия
II''«(«Ж'о имеем ||Fn(*)ll<ll^(«)]! + [''.МКЙ,. Однако,
так как ||хп||<1, то ||р*„|Кр и, следовательно, по доказан-
доказанному имеет место неравенство
FOOIK ^ всех п.
Полученное неравенство противоречит предположению, откуда
вытекает, что X не может быть множеством второй категории.
Частными случаями теоремы резонанса [1.5.1] являются
теоремы:
Р
Г. Если \imsup i\fn(x)\pdx^= со (р>\), П-5-2!
П->оо J
то существует такая функция g(i)?.Lp, что
lim sup Г /„ («с) g(x) d-z = + со. (9)
П-> оо J
ft
2°. Если Hm sup {sup vrai |/„00 ]} = со, то существует функ- [1.5.3]
п ->• оо
ция g{^)^L, которая.удовлетворяет условию (9).
3°. Если limsup Г |/„(т)| dt = со, то существует такая [1.5.4]
П ¦>¦ оо "
Л
функция g"(")?C, для которой выполняется равенство (9).
Во всех трех случаях в качестве линейного оператора (функ-
(функционала), определенного соответственно в Lp , L или С, возьмем
Fn (х) = Г /„ (х) х (т) rft. Для случая 1° в качестве функции хп
л
примем

'?'2 предварительные замечания
для случая 2°
sU>n/nCO—w~ ПРИ т€^п и 0 в противном случае. При этом
Wn — множество тех -:, где |/га(")| превосходит половину своей
существенной грани.
Для случая 3° возьмем непрерывную функцию, которая доста-
достаточно близко аппроксимирует функцию sign/ra(t) в смысле [1.2.9].
Во всех трех случаях limsup[|/7n(jcw)|| = схэ, поэтому суще-
п->оо
ствует функция g(y), которая удовлетворяет равенству (9) и,
более того, в силу [1.5.1] такие функции образуют мно-
множество второй категории, каждый элемент которого обладает
свойством (9).
Лемма. Если функция /(х, о>) определена в квадрате
[а^т^р, а<!«)^В] и интегрируема, а функция Л(х) =
=я f |/(x, o))|rfco имеет существенную верхнюю грань w < оо,
а
то для каждого s > 0 существует такая непрерывная функ-
функция #(«>), что |g-(«>)| <1 и
svipvrai Г/(t, ш) g (о>) rfco > w — 4.
Доказательство. Пусть, вопреки утверждению, Для
некоторого е0 > 0 и для всех непрерывных функций g(co)
sup vrai
—40)max|g(<o)|.
Пусть, далее, {gk(<f>)} — последовательность всех полиномов
с рациональными коэффициентами, а Ёк— множество точек х,
для которых выполняется неравенство
>(w — eo)max|g"ft(<«)|. A0)
По предположению мера множества Ек равняется нулю для всех k,
со
а поэтому мера множества ?=2 Ек также равна нулю. Теперь,
oo>
согласно определению w, можно так выбрать точку
чтобы выполнялось неравенство
5
J|/(x0, o))|rfco>^ — -J. (И)

теоремы резонАнйа 33
Но при т!ь=^0 для полиномов справедливо неравенство, противо-
противоположное неравенству A0), а следовательно, в силу теоремы
Вейерштрасса [1.2.2] получаем, что для всех непрерывных функ-
функций g-(w) справедливо неравенство
. <•>)«¦(«>)<*«>
A2)
По теореме [1.2.9] мы можем аппроксимировать функцию
sign/(x0> ш) непрерывной функцией ?о(со) сколь угодно точно,
например так, чтобы выполнялось неравенство
(t0. ">)[sign/(t0> со) — go(u>)]dw
Используя A1), получаем окончательно
Р Р
Г Г ео
J J -^
а а
Последнее неравенство противоречит неравенству A2).
Теорема о последовательностях интегралов [1.5.5J
Если все Д(х, со) интегрируемы в [а-^х^р, а^со^^],
а функции
f\fk(x, u>)|tfco A3)
а
Не Являются в совокупности существенно ограниченными, хотя
каждая из них существенно ограничена в [а, [3], то существует
непрерывная функция ?"(<»)» для которой
limsup (supvrai Г/Й(х, co)g-(co)dco I =-|-oo. A4)
\ r « /
Доказательство. Эта теорема принадлежит к кругу идей
теоремы резонанса [1.5.1]. Операторы Fn(х) = Г/п(х, со) л: (со) око
а
определены в пространстве С непрерывных функций.
Пространство образов М является пространством существенно
ограниченных функций. Из леммы вытекает, что sup vrai
3 3;ik. 2Л-12. С Качмаж и Г. Штейнгауз

34 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
выражения A3) является нормой оператора Fn(x). Поэтому по-«
следовательность норм не ограничена, а отсюда и следует утверж-
утверждение теоремы. (Мы даже получаем, что множество функций g
из С, для которых A4) не имеет места, является множеством первой
категории.)
Теперь мы сформулируем принцип сгущения особенностей.
[ 1.5.6] Пусть Е является банаховым пространством, в котором
определена двойная последовательность линейных операторов
[Fpq(x))> причем
limsup||Fp2[|=oa (/7=1,2,...). A5)
2->оо
Тогда существует такое множество XczE, что его дополне-
дополнение Е — X является множеством первой категории и для
всех х?Х
lim sup И/="(*) ||= со (р=1, 2, ...)• A6)
9->оо
Доказательство. На основании [1.5.1] множество Нр
тех х, для которых условие A6) при данном р не имеет места,
00
является множеством первой категории. Множество ^j Нъ также
со
первой категории. Достаточно положить Х — Е — 2 Hv, и утвер-
ждение доказано.
[1.5.7] Вариант теоремы [1.5.6] получается, если условие A5) заме-
заменить предположением: для каждого номера р найдется такой
элемент хр, что последовательность
{Fpg(Xp)} A7)
расходится при q—>co.
При таком предположении справедливо следующее утверждение:
Существуют такие элементы х, не зависящие от р, для
которых любая последовательность A7) расходится, причем
множество X таких элементов является множеством второй
категории, а его дополнение Е—X есть множество первой
категории.
Доказательство. Пусть Ер — множество всех х, для
которых последовательность {Fpq(x)} {p—фиксировано) сходится.
Множество Ер будет первой категории. При выполнении усло-
условия A5) это следует из [1.5.1]. Если же предположить, что A5)
не выполнено и
||<ap<oo, A8)

ТЕОРЕМЫ РЕЗОНАНСА 35
то Ev нигде не плотно. В самом деле, если бы Ер было плотным
в некотором шаре К, то для любого х?К и е > 0 существовал бы
элемент х', обладающий свойствами: х'?К, \\х— *'II<-q—>
х'?Ер. Но тогда при достаточно большом qt для q~>qs и г > qt
мы имели бы неравенство
\\Fvq(x')~Fpr(x')К j.
Следовательно, для каждого х?К и для q>q,, r > q.
т. е. последовательность сходилась бы в шаре К", а в силу
линейности Fpq— и во всем пространстве Е, что противоречит
предположению. Итак, в обоих случаях Ер будет первой кате-
оо
гории. Но тогда и множество 2 Е*—первой категории. Теперь
со
достаточно принять ^i Ep —E— X, и утверждение доказано.
После рассмотрения этих вспомогательных результатов мы
возвратимся теперь к простым последовательностям, чтобы изло-
изложить некоторые результаты С. Сакса, которые освещают по-новому
теорему резонанса [1.5.1] для случая, когда пространство обра-
образов R является пространством измеримых функций.
Пусть ? — банахово пространство и т?[а, ф]—действительная
переменная. Пусть Fn(x) — линейный оператор, а расстояние
в пространстве образов R определено формулой
f
'V) J
Тогда пространство R векторное, метрическое и полное. Пусть
Fn(x) = и(х, т, п), причем и(х, т, п) для фиксированных х?Е
и натурального п является измеримой функцией и(х), а<х<р.
Лемма. Предположения. Пусть: [1.5.8]
1°- CbW) — последовательность введенных выше линейных
операторов.
2°. В пространстве Е найдется такое множество X второй
категории, что для любого элемента х?Х неравенство
limsup|«(x, т, п)\ <оо A9)
имеет место для множества Тх значений т, мера которого пре-
превосходит положительное число о>, не зависящее от х.
3*

36 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Утверждение. Если 0<е<<о, то на отрезке [а, |3] суще-
существует множество Т значений х, не зависящее от х, мера кото-
которого ^>со — ей такое, что для каждого х?Е почти всюду в Т
имеет место неравенство A9).
Доказательство. Пусть Z—система точечных множеств S,
причем каждое множество 5 является суммой конечного числа
отрезков [а.п, (Зга] с рациональными концами, принадлежащих [а, В].
Пусть, далее, М — совокупность всех измеримых точечных
множеств в [а, [3] и расстояние между двумя элементами из М
определено как мера их непересекающейся части
(А, В)<=т(А-{-В —
Тогда Z всюду плотно в М. Пусть {Sn}—последовательность
тех 5, мера которых не меньше со — -^- и Х1>тсЕ— множество-
тех х, для которых существует такое множество /? = /?(л;)с[а, [3],
что тEг — 5г/?Х-^- и | и (х, х, п) | < т при всех п. и -с
оо, оо
Тогда Хс: 2 Хг т. Отсюда следует, что некоторое множе-
1 = 1, т=Х '
ство Xi1>mi будет второй категории, а так как оператор Fn{x)
непрерывен, то Xilt ,„, замкнуто и поэтому содержит некоторый
шар К. Если обозначим Sit через 5A) и SitR(x) через Ril)(x),
то неравенство A9) справедливо для х?К и, в силу линейности
оператора F(x, х, п), справедливо для х ? Е и т ? /?A) (х). Заменив
отрезок [а, Щ отрезками 5A) и последовательность {Sn} после-
последовательностью {^п'}, со свойствами SjJ'cS*1' и ш5д'>и) —
— -п—-т-1 и повторяя то же самое рассуждение, получим нера-
неравенство A9) для х?Е, t^Rm(xy, при этом 5B)<=5A), /?A)cS(I),
/?B)с5B), тEA)-ДA>)<1-, тEB)-/?B))<-^ит.д.Длявсехг
СО
будет m5(i)>u) —s. Если положим 5°°=П5Ш> «°°(jc) =
i = l
= limsup/?w00. T0 неравенство A9) будет справедливо для
i->oo
jcgf, i^R°°(jc) и S00. Теперь уже очевидно, что 5°° обладает
свойствами искомого множества Г леммы [1.5.8], так как R^czS00
и m(S°° —/?°°) = 0.
пет Теорема С. Сакса. В предположениях леммы [1.5.8]
IL5.9J г •
на отрезке [а, [3] существует такое множество Т, что
1°. lim sup | « (jc, т, я) 1 < оо для всех х?Е и почти всех *?Т,

виды сходимости 37
2°. lim sup | и (x, x, ft) ] — oo почти всюду в СТ и для каждого
п-усо
х?Е, за исключением, быть может, точек х, образующих
множество первой категории в Е.
Доказательство. Пусть соо — верхняя грань чисел со, для
которых существуют множества Х^с:Е второй категории такие,
что для х?_Хш имеет место неравенство 1° на множестве Тх
меры о). По лемме [1.5.8] для каждого />(= 1, 2, . . .) существует
со]
множество Тр, с тГр>иH——, и такое, что неравенство Г удо-
удовлетворяется для каждого xf_E почти всюду на множестве Тр.
Если положим Т= 2j Tv, то Г и будет искомым множеством.
Остается доказать утверждение 2°. Предположим противное.
Пусть X—второй категории в Е, и неравенство 1° имеет место
для каждого х ? X в некоторой части СТ положительной меры.
*Тогда мы имели бы, что для х?Х справедливо неравенство 1°
о о
на множестве Тх с тТх > соо (именно, Тх-= Г-f- часть СТ), а так
как множество X—второй категории, то оно содержит часть Хо,
также имеющую вторую категорию и такую, что для х?Х0 выпол-
выполняется неравенство m7\j,!^-u>0-f-e, e > 0, что противоречит опре-
определению <о0.
§ 6. Виды сходимости
Рассмотрим последовательность измеримых функций {/Л(х)},
определенных на отрезке [а, Щ. Понятия сходимости этой после-
последовательности в точке т = т0 в обычном смысле и сходимости для
всех т ? [a, J3] достаточно ясны и не нуждаются в комментариях.
Это относится и к равномерной сходимости на отрезке [а, $] или
на другом множестве значений -с, принадлежащем отрезку [а, [3].
Мы употребляли выражение: последовательность сходится почти
всюду на [а, [3] (или на множестве Гс[а, Щ), когда множество
точек сходимости на [a, J3] (в Т) имеет меру |J3 — а| (соответ-
(соответственно тТ).
Если функции /й(х) принадлежат нормированному пространству,
то под сильной сходимостью в себе понимают выполнение соот- [1.6.1]
ношения
"т плео—/9еон=°. Bо>
k, g->oo
Если речь идет о полном пространстве (см. § 3), то последнее
соотношение эквивалентно такому

38 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
где /ооСО — соответствующая «предельная» функция, принадлежа-
принадлежащая тому же самому пространству. Вместо B1) мы будем иногда
писать
LIm/ft(x) = /0O(x). B2)
к >оо
Сильная сходимость в пространстве М (§ 3, пример 3) равно-
равнозначна равномерной сходимости почти всюду в [а, Щ. Наоборот,
понятия обычной и сильной сходимости не совпадают и все четыре
логически возможных случая их взаимоотношений действительно
могут иметь место.
Например, пусть
О при
хб[о.
2* при T?(-~i, l),
О при х= 1.
Очевидно, что в каждой точке O^x^l имеем Mm /ft(x) = i
обычном смысле. Однако равенство
к -> оо
в пространстве L не имеет места. Действительно, последователь-
последовательность {/й(х)} не является сильно сходящейся в L, ибо для каж-
каждого k(k= 1, 2, . . .)
lim
g>oo ^
что противоречит B0). С другой стороны, сильно сходящаяся
последовательность может оказаться всюду расходящейся в обыч-
обычном смысле. Тем не менее, справедлива теорема, показывающая,
что каждая сильно сходящаяся в If (р !> 1) последовательность
[1.6.2] сходится на отрезке [а, Щ по мере. Это означает, что для вся-
всякого s > 0 мера множества Ек тех значений х, для которых выпол-
выполняется неравенство |Л(х)—/соСО|^>?, удовлетворяет условию
lim m?ft = 0. При этом /^(х) является «сильным» пределом (кото-
(который одновременно служит и пределом по мере).
Каждая последовательность, сходящаяся по мере, содержит
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Отсюда следует,
что каждая сильно сходящаяся последовательность содержит под-
подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.

виды сходимости
39
Слабая сходимость. Пусть {ЛСО} сильно сходится
в Lp, тогда
lim
fc->oo
отсюда следует (с помощью [1.2.7]), что для каждой функций
g(r)?Lp' (— + Л= l) справедливо соотношение
Может, однако, случиться, что некоторая последовательность
(Л0I обладает свойством B3), без того, чтобы быть сильно
сходящейся. Этим можно воспользоваться для следующего опре-
определения: последовательность элементов пространства Е называется
слабо сходящейся к *«,, если для каждого линейного функцио- [1.6.3]
нала <о(х), определенного в Е, имеет место равенство
lim tfXxk) = tf(xoo).
Так, например, последовательность интегрируемых функций
{Л СО} в пространстве L слабо сходится, если условие B3) имеет
место для каждой функции g(t)(zM. Для доказательства доста-
достаточно указать, что каждый линейный функционал в простран-
пространстве L имеет вид
<Р(*)— f g(i)x(i)dr,
а
где g?M, и наоборот, каждое такое выражение является линей-
линейным функционалом в L (см. [1.4.7]). Доказано также (см. книгу
С. Банаха [1]), что в пространстве Lp(p>l) из сходимости
последовательности в левой части равенства B3) для всех
g(zLp {V"ZE3.M) следует существование «слабого предела» fm(z).
Последовательность {sin fe-:} F = 1,2.3, . ¦ •) на отрезке
}
<х<;2и слабо сходится к нулю в пространстве Lp(/;>1) и не
содержит никакой подпоследовательности, сходящейся почти всюду;
следовательно, связь сходимости почти всюду со слабой сходи-
сходимостью совсем другая, нежели с сильной.

40
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
[1.6.4] Для того чтобы последовательность {ЛСО} из Lp(p^ 1)
слабо сходилась к /«, (т), необходимо и достаточно, чтобы
|РЛ<Т (Л=1. 2, ...).
х т
lim Г/л(и))й?со= Г/„(ш)^ (а<т<р).
Это утверждение легко следует из заключительного замечания
§ 2 и из [1.5.2].
Понятие слабой сходимости можно определить и для последо-
последовательности функционалов; именно, последовательность {<?п(х)}
называется слабо сходящейся, если для каждого х?Е существует
lim <pn (х) = (рсо (х). Справедлива теорема:
П + оо
[1.6.5] Если нормы линейных функционалов <?п(х) ограничены
в совокупности и пространство Е сепарабельно (см. [1.3.9]),
то последовательность {<?п(х)} содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство. По предположению, в Е существует
всюду плотная последовательность {л^}. Выберем из числовой
последовательности {yn(xt)} сходящуюся подпоследовательность
(?„' (*i)J > из последовательности !<?п'(х2)\ сходящуюся под-
подпоследовательность |ср »(хг)\ и т. д. Диагональная последова-
последовательность f ep (fc)(*)l сходится уже для всехлг^. Далее, из неравенств
HlK (гДе К не зависит от ft и х) и \<?п(х) — <?П(*|)К^
Xi\\, легко следует, что lim cp (ft) (x) существует для
всех х ??. Этот «предел» является аддитивным, а в силу послед-
последнего неравенства — и непрерывным функционалом. Отсюда следует
не только утверждение теоремы [1.6.5], но и то, что <f^(x)
является линейным функционалом.
Из теоремы [1.6.5] вытекает следующее утверждение.
[1.6.6] Теорема. Если последовательность {/„(т)} удовлетворяет
условию
9
где 7 не зависит от k, то она содержит подпоследовательность
{/га (т)}, слабо сходящуюся в 1?\ в случае р = оо предположен-
предположенное условие следует заменить неравенством |//-(х)|<С? почти

виды сходимости 41
всюду. В этом случае можно утверждать только, что последо-
последовательность {/га (т)} содержит такую подпоследовательность
{/„ (т)}, которая при любой функции ?(х)€^ приводит к схо-
сходящейся числовой последовательности
Прежде всего мы напомним заключение § 2 о возможности при-
приближения любой функции ступенчатыми. Очевидно, их можно
выбирать так, чтобы интервалы постоянства функции имели рацио-
рациональные концы, а значения самой функции были рациональными
числами. Это показывает, что пространство Lp (соответственно L)
является сепарабельным. Далее, в сделанных нами в теореме
11.6.6] предположениях интеграл
для x?Lp (соответственно x?L) является в силу [1.4.7] линей-
линейным функционалом, который мы обозначим <fk(x)- Условие [1.6.6]
показывает, что нормы функционалов |]фл|| ограничены в сово-
совокупности. Поэтому мы можем применить теорему [1.6.5], из кото-
которой и вытекает утверждение [1.6.6].
оэ
Безусловная сходимость. Ряд 2 Л СО называется [ 1.6.7]
со
абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2 |/й(х)|. Такие ряды
к = 1
со
2 Л СО обладают тем свойством, что они остаются сходящимися
при любой перестановке членов и притом к той же сумме. Дело
обстоит не так просто, когда члены ряда являются элементами
банахова пространства, а ряд сильно сходится. Естественной
аналогией абсолютной сходимости является сходимость ряда норм
оо
2 11**И* Однако для этого случая сходимость ряда норм уже не
к = 1
будет необходимым (хотя по-прежнему является достаточным)
оо
условием, для того чтобы ряд 2 хк сильно сходился к той же
самой сумме при всех перестановках членов. Так, например, ряд

42 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
оо оо
при 2 Vc < °о является примером ряда 2 *& с xk?L2, кото-
к = 1 к = 1
рый (как показывают дальнейшие теоремы) сходится безусловно,
т. е. сходится в I? при всевозможных перестановках членов.
В то же время ряд норм
211**[|=2ы(/
1
r
для fft = -r- расходится.
[1.6.8] Теорема В. Орлича о безусловной сходимости.
оо
Для того чтобы ряд 2 хк< члены которого являются эле-
к = \
ментами банахова пространства, сходился по норме этого
пространства при любой перестановке членов, необходимо и
достаточно, чтобы сходилась каждая «часть» ряда:
4 = 1
(«1<»2< •¦¦ <«* <••¦)• B4)
Пусть ряд 2 %к> полученный при некоторой перестановке
к = 1
со
членов первоначального ряда 2 *к> расходится. Тогда найдутся
к = 1
число б>0 и такие две последовательности {pi}, {<Ji}, что
Pi<4i< Pi+i <Чи-i и
где sn означает и-ю частную сумму ряда 2 хк-
Рассмотрим члены ряда, входящие в отрезок sq_ — sp , и опре-
определим их старые номера, т. е. номера, которые имели эти члены
при первоначальном расположении. Мы можем теперь выбрать
последовательность индексов i-=v1, чг так, чтобы для каж-
каждого из отрезков старые номера членов превосходили старые
номера членов предыдущего отрезка. При этом каждый отрезок
состоит из членов, не входящих в другие. Составив ряд тех членов
первоначального ряда, которые входят в выделенные нами отрезки,
¦эо
мы получим расходящуюся «часть» B4) ряда 2 хп- Тем самым
достаточность условия [1.6.8) доказана.

ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
43
Докажем необходимость. Пусть некоторый ряд B4) расходится
р
и sp— 2 xnv- ^ак и выше> найдутся е>0 и последователь-
}, для которых рг < ft < рш < ft+1 и
всех /),
ности
где s№ означает частную сумму рассматриваемой части ряда,
В ряде 2 •** имеются члены, которые принадлежат выделенным
к = 1
отрезкам (s —sp) и, возможно, некоторые другие. Изменим
00
порядок членов ряда 2 хк так> чтобы первые члены были сгруп-
4 = 1
пированы таким же образом, как в отрезках (sq —sp). Остав-
Оставшиеся члены, не входящие в выделенные отрезки, будем вставлять
по одному между этими отрезками. Так как полученный ряд будет
расходящимся, то это доказывает необходимость условия B4),
чем и завершается доказательство теоремы [1.6.8].
§ 7. Проблема моментов
Числа
называютл«о.м«н/иа.мифункции/(-с) относительно последовательности
{g"w(x)}. Проблема моментов состоит в том, чтобы указать необ-
необходимые и достаточные условия, для того чтобы наперед задан-
заданная последовательность чисел {\>.п} являлась последовательностью
моментов. Пространство, в котором ищется функция /(х), играет
здесь решающую роль.
Пусть gj(x) принадлежат //(//> 1) или L(k=l, 2, . ..).
Для того чтобы в пространстве Lp(i<p < оо) или М суще- [1.7.1]
ствовала функция /(i), норма которой <! у и последователь-
последовательность моментов которой была бы {р.„}, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для всех конечных числовых систем %v \2 ?»
выполнялось неравенство
или
п
п
4 = 1
<т
с
/ р
-../г
/
rft (;
(/=1).
B5)

44
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Необходимость условия почти очевидным образом вытекает из
неравенства [1.2.7]
k=l
/СО &
ft=l "о \k=l I
Еще проще выводится необходимость условия B5) и в предельном
случае р' = \. Предположим теперь, наоборот, что неравенство
B5) выполнено для всех числовых систем ^, ;2 \п. При
фиксированном п и при дополнительном условии
п V
J
dt=i
B6)
на \v Е2, ..., \п, сумма 2 Vik^k==un имеет конечный максимум,
так как | ип I ^ 7- Этот максимум можно найти, положив
Р
равным нулю производные от |ии|р' — X Г |hn(т)\р'dx по %к
а
(ft=l, 2, .... л); через hn(x) здесь, для краткости, обозначена
и
сумма 2 bjtgk(x). Тогда мы имеем для всех к, — 1, 2, . . ., п
Р
^Kf^signa^—X J|Ara(t)jp'-1signftn(x)g-ft(x)dx = O.
а
Умножим каждое из этих равенств на %к и сложим их. Используя
равенство B6), получим \unf =\. Если (ijj, E2, ..., ?„) — точка
максимума, то, подставив эти %к в А„(х), получим
Р
An(x). B7)
Функция фп(х) дает решение проблемы моментов для
к= 1, 2, . .., «, так как из B6) следует
т- е>
tn lip-
i
предельном случае //=1 мы полагаем
lltIUll
Так как последовательность {||tn||} ограничена, то {tnW}
в случае р' ^> \ содержит слабо сходящуюся подпоследователь-

ОБРАЩЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ 45
ность, предел которой фооСО обладает свойством ||<]>оо|!<Л и
Р
l^ft = Г gjc СО фсо СО dx для всех /г;
а
следовательно, <!>ооС0€^Р как Раз и является искомой функцией
/(x)^Lp. В предельном случае, р' = \, подпоследовательность
сходится в силу [1.6.6] к пределу
и функция бсо (х) является и в этом случае искомой функцией
тем.
§ 8. Обращение функциональных операций
Множество называют выпуклым, если вместе с элементами
xY и х2 оно содержит все элементы вида nxl -f-(l—т)л;2
(O^x^l). Выпуклым телом в пространстве Z: называется
выпуклое, замкнутое множество, обладающее внутренними точ-
точками. Если нулевая точка б является внутренней точкой выпуклого
тела К, то для любого х?Е нижняя грань чисел р > 0, для
которых —х принадлежит К, будет конечна и неотрицательна.
Эта нижняя грань является функционалом в Е, называемым
функционалом Минковского х(х) Для тела К- Легко видеть,
что
Г. Для внутренних элементов х тела К функционал х(*)< 1»
а для граничных элементов х функционал jj(jc)=1.
2°. z^+J'XzW+zW
3°. х(«) = тх(*) для т>0.
4°- ХС*О^ т!1*1!» гДе Т ие зависит от х.
Теорема С. Банаха о продолжении функционалов (см. [1.8.1]
книгу С. Банаха [1]): Пусть Е является банаховым простран-
пространством, R — линейная часть Е; пусть, далее, х(х) — функция,
определенная в Е и имеющая свойства 2° и 3°, а со (х) — функ-
функция, определенная в R, аддитивная, однородная и мажори-
мажорируемая функцией х(х)- т- е-
B8)

46 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Тогда <р(х) можно продолжить на все пространство Е с со-
сохранением аддитивности, однородности и свойства B8).
Доказательство этой теоремы можно найти в цитированной
выше книге. Мы перейдем сейчас к рассмотрению основанной
на ней леммы, которая понадобится нам для дальнейшего.
[1.8.2] Лемма. Пусть Е— банахово пространство, К — выпуклое
тело в Е, 9 — нулевой элемент Е, лежащий внутри К,
а х0 — граничная точка К', существует линейный функцио-
функционал ев(х), определенный в Е и такой, что <р(х) ^ 1 для х?К
и <р(хо)=1.
Доказательство. Пусть х(х) — функционал Минковского
для тела К, a R— множество точек хх0> где х — любое действи-
действительное число (R—«прямая»). Если положим ср(х) = х для
х —тх0, то на R будет определен аддитивный и однородный
функционал. Для всех x?R выполняется неравенство ip(x)^ х(х)>
так как при х>0 со (хх0) = х = х (тхо)> а ПРИ х ^ О имеем
?W = ?W=- = -l(-«o)<!(K) = zW (в СИЛУ 2°).
На основании [1.8.1] функционал <р(х) можно продолжить на все
пространство Е так, чтобы сохранились его аддитивность, одно-
однородность и, кроме того, свойство B8) для выше определенной
функции х(х)- В СИЛУ свойства 4° имеем неравенство
•< 71|*||, поэтому ср (*)<;•]• ||л; ||; отсюда получаем, что |р(К
^fllxil и> следовательно, функционал <?(х) — линейный. Оче-
Очевидно, что <р(хо)=1. Далее, в силу соотношения <р(х)^)[(*)
для х ? К имеем ср (х) ^ 1, что и требовалось доказать.
Пусть U (х) — линейный оператор, отображающий простран-
пространство Е на пространство Ev причем Е и ?t являются банаховыми
пространствами.
Рассмотрим вопрос об условиях существования обратного
оператора, т. е. об условиях того, чтобы уравнение y — U(x)
допускало решение при любом у из пространства Ev
[1.8.3] Уравнение y = U(x) разрешимо при любом y?Et тогда
и только тогда, когда найдется такое f > 0, что каждый
линейный функционал F(y), определенный в пространстве Е1г
удовлетворяет неравенству
При этом левая часть означает норму функционала F (U (х))
в пространстве Е, получающегося при замене в функционале F(y)
элемента у через у — U (х).
Доказательство необходимости. Пусть такого -f
не существует. В этом случае найдется такая последовательность
функционалов {Fn}, что ||FJ|= I, Urn \\Fn(U(x))\\= 0.

ОБРАЩЕНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ 47
Положим
Тогда получим, что
||Oj|=«nll'7«0')ll=«». НтЦОя||=оо, B9)
Пусть Уо — U (х0); тогда получаем
< II *о II • II Gn (U (*)) ||, lim || Gn (у0) 11 = 0. C0)
Я->со
Соотношение C0) справедливо для каждого у0 из простран-
пространства Е, что, в силу теоремы резонанса [1.5.1], противоречит
свойству B9).
Доказательство достаточности. Сначала мы пока-
покажем, что образ #р шара ||л:|Кр в пространстве ?\ является
всюду плотным в некотором шаре ||.у||<с(р), т. е. Rp (замыка-
(замыкание R9) содержит шар |Ы1О(р).
Действительно, R9 является замкнутым, выпуклым множеством
с нулевой точкой N' как центром симметрии. Если бы точка N
не являлась центром никакого шара из R?, то существовала бы
такая последовательность {уп}, что
Иш ||.у„||=0, уп ^ ^р при всех п. C1)
п->оо
Расстояние Ъп между уп и Rp положительно. Образуем теперь
сумму всех шаров радиуса -~- (и — фиксировано), центры кото-
которых принадлежат R?, и обозначим это множество через Sn.
Пусть vn — наибольшее число, для которого vnyn?Sn; положим
zn — vnyn. Точка zn является граничной точкой множества Sn.
В силу леммы [1.8.2) существует такой линейный функционал <оп,
что сря(zn) = 1 и сря(у) < 1 для^ ? Sn. При ||х||< р имеем U(x)g #„;
следовательно, U(x)?Sn; отсюда получаем, что сря(U(х))< 1,
*))!<! при ИКр.

48 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Если теперь положим Фи(х) = сри(?/(х)), то получим
ll*nll<^—5 однако, по условию теоремы, ||Фи|[ >- у||<р»||i следо-
вателыю ||<ри||-^—. В частности, имеем
PY
^ 11*»11>Р7- C2)
Но так как уп? Ra (см. C1)), то vn^.\, следовательно,
lim ||г„||= lim fn||_yw|| = 0, что противоречит неравенству C2).
п ->оо И->оо
Поэтому множество R. всюду плотно в некотором шаре
|1
Пусть теперь у0— точка шара ||.у[|^сA). В этом шаре
множество Rx является всюду плотным, следовательно, существует
такое ^i€^i> чт0 II3*о—ЛII "^ ° (т) • ^° множество Ri всюду
плотно в шаре ||_у||^<з(-^-), поэтому найдется такое y2?.Rit
что \\у0— уг—Д'гИ^0!-^) и т> Д- ^° Уп€& 1 означает, что
уп— U(хп) с \\хп||^ -я_1 . Если мы положим
Хо — 2j xk>
к-1
то в силу линейности оператора U (х) получим
(o)^(k^ykyo
так как \\yo—y1—yt—...—y1l\\^a^lr)j и Hm
(в силу непрерывности оператора U(x) при х = 6). Итак, для
каждого элемента у0 шара ||,у||-^бA) существует корень х0
уравнения U{x)=yQ. Но так как оператор U (х) однороден,
то ограничение flj'oIKo^) несущественно. Этим теорема [1.8.3]
об обращении линейных операторов полностью доказана.

ГЛАВА II
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Ортогональность
В евклидовой геометрии пространства трех измерений два
вектора называются ортогональными, если их скалярное произ-
произведение равно нулю. Если xlt x2, х3— компоненты одного век-
вектора относительно трех взаимно ортогональных осей, a yv у2,
у3— компоненты другого, то скалярное произведение равно
Аналогичное определение имеет место и для пространства
п измерений. Если следовать этой аналогии и функции x(t), y{t)
рассматривать как два вектора функционального пространства,
то под скалярным произведением этих векторов в таком про-
пространстве следует понимать величину интеграла
fx(t)y(t)dt. A)
а
Если интеграл A) равен нулю, то говорят, что функции [2.1.1]
x(t) и y(t) взаимно ортогональны на [а, Ь\. Если x(t), y(t) —
комплекснозначные функции, a x(t), y{t) — сопряженные им,
то за скалярное произведение принимают обычно величину инте-
интеграла
f B)
В этом случае скалярное произведение зависит от порядка
сомножителей, но если оно равно нулю, то порядок сомножителей
безразличен, и мы снова можем говорить о взаимно ортогональ-
ортогональных функциях. В трехмерном евклидовом пространстве существуют
три взаимно ортогональных направления. Соответственно этому,
/\ Зяц. 2512. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

50 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
в нем нельзя найти более трех различных попарно ортогональ-
ортогональных векторов. В «-мерном пространстве существует п попарно
ортогональных векторов. Можно ожидать, что в пространстве
функций, т. е. в абстрактном пространстве, где роль векторов
играют функции, система различных попарно ортогональных
векторов будет бесконечной.
Чтобы обеспечить интегрируемость произведения x(t)y(t),
мы предположим, что x(t) и x2(t), так же как п y{t) и y2{t),
интегрируемы по Лебегу. Мы говорим тогда (см. гл. 1, § 3), что
x(f) и y(t) принадлежат пространству L2. Но эти предположе-
предположения отнюдь не являются необходимыми. Именно, легко указать
такую бесконечную последовательность функций {'fi@}> что пРи
i Ф k интегралы
ь
f<?i(t)<?k(t)dt
а
существуют и равны нулю, а функции <?z(t) не интегрируемы.
Рассмотрим следующий пример, который понадобится нам
в дальнейшем. Построим бесконечную матрицу ||aift||, которая
состоит только из единиц и нулей:
B.1.2) 1101001000 ...
1010100100 ...
0110010010 ... ,3)
0001110001 ...
0000001111 . . .
Чтобы получить эту матрицу, образуем сначала для каждого
и=1, 2, 3 квадратную матрицу, на главной диагонали которой
стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Присоединив
к каждой из этих матриц строку, состоящую из п единиц, полу-
получим матрицы следующего вида:
(п=1, 2, 3).
Если мы теперь соединим такие прямоугольные матрицы друг
с другом и заполним нулями продолжение каждого столбца, то
получим матрицу C). Таким образом, получаем, что в каждом
столбце стоят ровно две единицы, которые принадлежат опре-
1
1
10
01
11
100
010
001
111

ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ 51
деленным строкам. Но если мы возьмем две любые строки
(например, 2-ю и 5-ю), то существует только один стол-
столбец (8-й), который пересекает заданные две строки по еди-
единицам.
Разобьем конечный отрезок I=[a, b] на счетное множество
частей точками а = а., < а2 <^а3 < ..: <? и обозначим через 1к
интервал (ак, ак+1) (длина этого интервала также обозна-
обозначается 1к). Определим функцию <on(t) на отрезке / следующим
образом:
срп(/) = О при t?Ip, если апр = 0.
Если же апр=1 и около этой единицы в матрице C) слева и
справа стоит 0 (или я—1), то
<==—г=- при t?Ip.
В противном случае мы положим срп(?) = у=- в левой поло-
половине 1р и <ри(О = Н—т=- в правой п'оловине 1р. В точках деле-
т 'р
ния и в точке Ъ положим сви @ = 0. Так, например, функция в3@
принимает значения
на /и на /2, на /3, на Iv на /б, на /6, на /7, . . .
0 --4 4-Д= -Д= Д-— 0 0 -L 0
//я /4' /4 У/з' У/в
Теперь очевидно, что
б
I cpi @ 'Рл @ Л = 0 при i ф k, D)
а
а интеграл
при всех i равен оо (через pj мы обозначили те подынтервалы,
где щффО).
Ортогональной системой мы называем конечную или беско- [2.1.3]
печную последовательность функций {<ри(ОЬ которые попарно
взаимно ортогональны в конечном или бесконечном интервале
[а, Ь], т. е. такую Последовательность, что равенство D) имеет
место для I Ф k. Если заменим в этом определении слова «после-
«последовательность функций {<fn(t)}>> словами «множество функций»,
то получим определение ортогонального множества функций. [2.1.4]
4*

52 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Мы скоро познакомимся с примерами бесконечных ортого-
ортогональных систем. В следующей главе мы покажем, что бесконеч-
бесконечное ортогональное множество функций (в Z.2) всегда счетно.
Не существует ортогонального множества функций, содер-
содержащего две неотрицательные функции, которые были бы положи-
положительны на одном и том же множестве Z положительной Меры.
В противном случае мы имели бы
ь
О = //@ g(t) dt> / f(t) g(t)dt>0.
a Z
Тем не менее, существует нетривиальная бесконечная орто-
ортогональная система, которая состоит только из неотрицательных
функций.
Действительно, пусть функции <?n(t) определены на отрезке
[0,1] и ср„(О= 1 при*?^, 2^q[] и ср„(О = О при остальных зна-
1
чениях t. Тогда очевидно, что при т Ф п, \ <?m(t)<?n (t)dt = O, и
ПРИ всех п.
§ 2. Примеры
Одним из примеров системы функций, ортогональной на
отрезке [0, и], является последовательность
[2.2.1] {cosя^} (« = 0, 1,2, ...).
Для п Ф k имеем
Г cos nt cos ktdt — -K Г [cos (« + k) t -f- cos (« — k) t\dt =
1_ г sin (n -f k) t . sin (n — k) t у л
-4 n + k "т~ n — k Jo~
Те же вычисления показывают, что система [2.2.1] ортого-
ортогональна на отрезке [я, 2тс] или на отрезке [0, 2тг]. Аналогичные
свойства имеет система
[2.2.2] {sin«*} {n — \, 2, ...).
При п Ф k
к п
J sinntsinktdt = j f [cos(n — k)t — cos(n-\-k)t]dt = 0.
о о
И в этом случае система 12.2.2] также ортогональна на отрезке
[и, 2тс] и на отрезке [0, 2it].

ПРИМЕРЫ 53
Обе системы являются ортогональными на отрезке [атс, рте],
где а и р — любые целые числа. Если [а, Ь] — произвольный
конечный интервал, то в предыдущих примерах достаточно сде-
сделать надлежащую линейную подстановку; именно, системы
(« = 0,1,...).
являются ортогональными на [а, Ь\.
Последовательность функций
1, cos?, sin*, cos 2?, sin 2?, cosbt, $\пЫ, ... [2.2.3]
называется тригонометрической системой. Она ортогональна
на [0, 2тс] и не ортогональна на [0, тс], так как, например,
1С
f sin* cos It dt = — ~ ф 0.
В силу свойств систем [2.2.1] и [2.2.2], чтобы показать орто-
ортогональность системы [2.2.3] на отрезке 10, 2тс], достаточно
вычислить интегралы
2ic
Г 1 • sin nt dt, Г sin nt cos kt dt.
Очевидно, что первый интеграл равен нулю. Второй же интеграл
при n = k равен
1 cos2n< 2*^0
о 2 2П °
а при « Ф k равен
2п
-L Г [sin (« + &)*+sin (« — k)t]dt =
о
1 rcos(n + ftH I cos (n — ft) П2" __ 0
~~ 2L л + ft "T~ «-ft Jo"
Линейные дифференциальные уравнения вто- [2.2.4]
рого порядка. Рассмотрим линейное дифференциальное урав-
уравнение вида
= 0, E)
где X — действительный параметр и A'(t) > 0 — непрерывная
функция.

54 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Многие задачи математической физики сводятся к разысканию
значений параметра X (собственных значений), для которых урав-
уравнение E) имеет не равные тождественно нулю решения, удовле-
удовлетворяющие граничным условиям у(а)—.у(Ь) = 0. Такие решения
называются собственными функциями уравнения E) при данных
ь
граничных условиях. Отыскивая максимум интеграла Г A(t)y(t)dt
а
ь
при дополнительных условиях Г( у( ') dt= I, y(a)=y(b) — 0,
а
можно показать, что уравнение E) имеет бесконечное множество
собственных значений.
Пусть теперь \гФ\к—собственные значения уравнения E)
и yt(t), уk{t) — соответствующие им собственные функции. Тогда
имеем
Ч = 0, Л (а) = Л (ft) =0,
F)
У к if) + \A (t)yk it) *= 0, ук (а) = ук (Ь) = 0.
Если умножить первое уравнение F) на yk(t), второе урав-
уравнение на yi(t) и вычесть, то получим, что
(X,-\к) А @Л (t)yk Ц) = ± \у, it)y'k {f)—y\ (t)yk @].
Отсюда следует, что
ь
ih~h)j Л (ОЛit)Ук@dt = [yt(t)yk @ — Л(Ojvt- (/)]' = 0,
а
и так как Х4 =?ь Xft, то
ь
f A
= 0. G)
Мы показали, таким образом, что с помощью дважды непре-
непрерывно дифференцируемых решений ^i@ уравнения E), которые
обращаются в нуль на концах интервала и соответствуют раз-
различным собственным значениям X, можно образовать ортогональ-
ортогональную систему {V^4@.Vi@b
Система [2.2.2] является частным случаем таких систем, по-
получающимся при а = 0, ? = it, A(t) — l иХЛ = &2. Система [2.2.1]
также состоит из решений уравнений

примеры 55
но эти решения уже не удовлетворяют граничному условию
Система Радемахера. Интересный пример ортогональ- [2.2.5]
ной системы на отрезке [0,1] образуют так называемые функции
Радемахера. Значения k-й функции Радемахера rk(t) в точке t
получаются следующим образом: если в двоичном разложении
числа t на k-ы месте стоит цифра 0, то полагаем rk(t)—l,
если же на &-м месте стоит цифра 1, то полагаем rk(t) =— 1,
в случае же, когда ^ = 0 или число ^ допускает два разложения
с различными &-ми цифрами, то полагаем rk(f) = 0. Согласно
этому правилу, отрезок [0,1] распадается на 2к равных подын-
подынтервала, в каждом из которых функция rk(t) принимает попе-
попеременно значения -f-1 и — 1, а на концах подынтервалов rk(t) — O.
Система [2.2.5] ортогональна. В самом деле, пусть т > п.
Чтобы вычислить интеграл
1
frm(t)rn(t)dt, (8)
о
обозначим через /lt /2 /2» интервалы постоянства функции
rn(t) (их 2п). Тогда имеем
/ г„ @ гп@ dt = (— 1)И 1 J rm {t) dt (k = 1, 2 2»). (9)
h
Но каждый отрезок 1к распадается на 2т~п равных интер-
интервалов, в которых функция rm(t) попеременно принимает значе-
значения -f- L и —1. Следовательно, каждый интеграл в правой
части (9) равен нулю, а так как интеграл (8) равен сумме
то очевидно, что Г rm(t)rn{t)dt= 0.
о
Система \rk(t)) обладает свойством |0(G)|<;1
Ь , 1 о
К 1 , А, ...
Если бы мы разделили отрезок [0, 1] на 2k равные части
и положили функцию рА@ попеременно равной -)-1 и —1,
*) Можно показать, что решения уравнения E), удовлетворяющие
граничным условиям у' (а) — у' (Ь) = 0, также приводят к ортогональной
системе функций. Примером такой системы и является система [2.2.1].

56 ОСНОВНЫЕ" ПОНЯТИЯ
то не получили бы ортогональной системы. Так, например,
пусть
Pl@ = + 1 при <е@, I), Pl(i)=»-1 при ^A, l)
+ 1 при ^@. j), Р3@ = — 1 при t
и т. д.
Тогда
Если введем знак sign, где signcx=l при а > 0,-sign « = —1
при а < О, sign 0 = 0, то рк (t) = sign (sin 2kizt).
Мы называем последовательность функций {р*@} «последо-
«последовательностью знаков синуса». Система [2.2.5] совпадает с систе-
системой {p2*-i @}> следовательно она тождественна системе
{sign (sin 2*itf)}.
Система Радемахера является частным случаем бол^е общего
класса функций, который строится следующим образом: пусть
функция ср(?)?/,2 имеет период 1 и
-|—^Л = 0 для всех t. A0)
В качестве функций нашего класса возьмем ср„ (t) = ср B4).
Система {<р„@} является ортогональной системой функций.
В самом деле, при га>я мы имеем
1 • 2я • 1
f <fm(t)<fn(t)dt = ~ C<?Bm-nu)h(u)du= {<?Bm-nu)v(u)du,
0 0 0
где сделана замена переменной 2™/ = м и использована перио-
периодичность функции ср(^). Но если в последнем интеграле разбить
интервал интегрирования на два— 0>~о" и ~2 ' 4>~то получим
интеграл
2
J ср B—»а) [ср (и) -f- с? (в + y)] du-
Последний, в силу A0), равен нулю.
Если возьмем частный случай, ср (/) = sign (sin 2it?), то система
{?л@} будет совпадать с системой [2.2.5].

примеры 57
Система Хаар а. Система определяется следующим обра- [2.2.6]
зом:
*о @ = +1 при х?[0, 1].
Zo'CO^ + l при *б[0. -j).
— 1 при x^(-j,
О в остальных точках;
= 4-/2 при д;б[0, 1),
— /2 при *€(. "f].
О в остальных точках;
-/2 при ^(|. l],
О в остальных точках;
и вообще
U1} @) = + / 2^, У.(„2П)A) = - /2»
-VT" при «€
0 в остальных точках [0,1].
При этом п пробегает значения 0, 1, 2, .... a k — значения
1,2, ..., 2п. Эта система функций {yjf'COK построенная А.Хааром,
является ортогональной на [0, 1]. Действительно, если_/>&^-1,
то произведение Х^ЧОх^'СО тождественно равно нулю. Если же
т > п, то подынтервал, в котором /'^'(О^О, целиком содер-
содержится в интервале постоянства функции y}p(t) и поэтому при
всех у
J
J
2ft -2

S$ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЙ
1
Так как Г -Д°> (О /<?> (t) dt = 0 (k > 0), то нами исчерпаны все
о
возможные случаи; тем самым-показано, что система {х^'СО} орто-
ортогональна на [0, 1].
§ 3. Полнота
[2.3.1] Множество функций {<р@} называется полным в интервале
[а, Ь] относительно пространства R, если каждая функция f(t) ?R,
для которой все скалярные произведения
ff(t)<?(f)dt
равны нулю, сама является нулевым элементом в R. Другими сло-
словами: множество функций (или система функций) полно относи-
относительно пространства R, если в R не существует функции, отлич-
отличной от нулевого элемента и ортогональной ко всем функциям
множества (системы). Функции ср(О не обязательно должны при-
принадлежать к R. Например, множество {<р@} может состоять из
одной функции ср(О, которая неизмерима на каждом множестве
положительной меры, содержащемся в [а, Ь]. Такое множество
(ср(/)} полно относительно пространства L всех интегрируемых
на отрезке [а, Ь] функций, так как только почти всюду равная
нулю функция дает в произведении с ср(О интегрируемую функ-
функцию. Мы откажемся, однако, от рассмотрения неизмеримых функ-
функций; в противном случае это будет оговорено особо.
Отметим, что при определении полноты множества функций
мы не пользовались ни ортогональностью, ни счетностью этого
множества. Так, например, множество всех функций ср@??2
полно относительно пространства L2, так как из условия
0 для всех <f(f)?L2,
следует, что при <р@-/@ Должно иметь место равенство
ь
[f2(t)dt — Q, следовательно, почти всюду на [а, Ь] функция
дО-о.
[2.3.2] С другой стороны, легко построить счетную систему {?А@}>
полную, например, относительно пространства С (множество всех
функций, непрерывных на [а, Ь\). Разобьем отрезок [а, Ь\ на п
равных частей и определим непрерывную функцию, которая линейна

полнота 59
в каждом подынтервале; таким образом, это будет непрерывная
ломаная линия. Если потребовать, чтобы ординаты в (я+ 1) углах
были рациональны, то мы получим лишь счетное множество таких
функций, так как каждая функция определяется однозначно нату-
натуральным числом п и рациональными числами w^w^ wn+i>
которые являются ее ординатами в угловых точках.
Полнота этой системы {<р&@} почти непосредственно очевидна.
Действительно, пусть f(t) непрерывна и е > 0. Легко опреде-
определить функцию cpft. (t) так, чтобы имело место неравенство
1/@ — ?й(«)@ < е ПРИ t<z\a> b\. Если функция f(t) ортогональна
всем функциям <?k(t), то
1(Ь — а)М-г,
где М= max |/(/)!• Следовательно, I f2(t)dt — 0 и поэтому
O, что и утверждалось.
Еще более простым примером счетной системы, полной отно- [2.3.3]
сительно пространства С, и даже L, является система функций
{ср(«-)(О}, где ср(«0(*)=1 при *f?I°> w), cp(«')(O = O при t?(w, 1],
причем w — правильная рациональная положительная дробь. Пусть
W
= f
при всех вышеуказанных w. Интеграл Г f(t)dt определен для
о
всех та/^10, 1].и является непрерывной функцией, следовательно
F(w) — 0 для всех •о>?[0, 1]. В силу основной теоремы теории
интеграла Лебега почти всюду на [0, 1] функция f(t) = J:' ,
следовательно, /@ = 0 почти всюду.
Полнота систем [2.2.1], [2.2.2], 12.2.3]. Начнем с системы [2.3.4]
[2.2.3]. Мы покажем сначала, что эта система полна относи-
относительно пространства С. Пусть
2*
Г ,,л cos nt , , п , п „
\ f(t) dt = O (« = 0,1,2,...), A1)
J sin го
о
2r.
тогда J f(t)Tn(t)dt — O, где Tn(t) — любой тригонометрический

60 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
полином. Если f(t) непрерывна и не равна тождественно нулю,
то найдется такая точка t0, что f(to)?=Q> и, следовательно, най-
найдется такое 8, что либо f(t) > е > 0, либо f{t) < — s<0 при
всех t?[t0—о, *о + 8] =/• Функция р@ = l-f-cos(?—10) — cos5
больше или равна 1 на отрезке / и |р(*)|<1 вне /. Tn(t) =
= [/?(/)]" является тригонометрическим полиномом и поэтому
2п
f ff(t)Tn(f)dt. A2)
Подынтегральная функция во втором интеграле по абсолютной
величине меньше |/@| и стремится к нулю при п-+оо. Следо-
Следовательно (см. [1.2.3] — [1.2.4]), второй интеграл имеет предел,
равный нулю. Но первый интеграл по абсолютной величине всегда
не меньше чем 28е. Это противоречие с равенством A2) показы-
показывает, что /(^)==0, что и требовалось.
Тригонометрическая система полна также относительно про-
t
странства I. В самом деле, пусть /(/)?L и F(t)= Г /(и)da.
о
Из формулы A1) получаем, что FBiz)=0. Отсюда следует, что
J F(t)cosntdt = — j J /@8Н1л*Л = 0,
о о
г* 1 Т
F(t)sinntdt = — f (t)cosntdt = 0 (n = l,2, 3, ...),
0 0
Пусть a = -^- F(t)dt. Из предыдущих формул легко полу-
О
ЧИТЬ, ЧТО
2 я
[F(t) — a]CfS"^ = 0 (« = 0,1,2,...).
J sin nt
А так как \F(t) — a]gC, то F(t) — <x=sO. Но F@) = 0, следо-
следовательно, F(f)sO и /(^) = 0 почти всюду в [0, 2гс].
То же самое рассуждение показывает, что если f(t)?L и
2п
J f(t) dt = 0 при п = 1, 2, . . ., то /@ = coflst почти всюду,
о

ПОЛНОТА 61
Это замечание мы применим к системе [2.2,2]. Пусть
1С
J/@sinntdt = O («=1,2... .)•
о
Положим /(тс +1) = —/(тс— 0@<*^я)- Тогда получим,
что
2тс
J fit)sinntdt = O,
о
J fit) cos nt = J fit) cos nt dt-\- J /@ cos /i*f <ft =
0 0 ic
1С It
= / /@ cos ntdt — J fit) cos ntdt = 0.
о о
В силу вышеуказанного замечания почти всюду fit) = const = с,
тс
следовательно, 0 = \ fit)sintdt = 2c и почти всюду /@ = 0.
о
Следовательно, система {sin nt) («=1,2, ...) оказывается пол-
полной в [0, тс] относительно L (а также и С). То же самое спра-
справедливо для системы [2.2.1]. Доказательство аналогично (следует
положить /(тс-)-0 = /GГ — 0)-
Полнота системы Хаара относительно про- [2
странства L на отрезке [0, 1]. Пусть f(t)?L и F(t) =
= Г fiu)du. Предположим, что
' = 0 (д = 0, 1, 2, ...; ft=l, 2 2»). A3)
о
Из определения 7.^@ ([2.2.6]) следует, что
pltl—\\ — р(И—-\ — F( \-\-F(——4 = 0,
т. e.
Для «= 0 отсюда получаем, что точки кривой у= Fit)
?¦ абсциссами ^ = 0, -н-» ^ лежат на одной прямой. Применяя

62 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
равенство A4) при л = 1, k=l, получаем, что лежат на одной
прямой точки кривой с абсциссами 2 = 0, -j-, -^, применяя его
для п == 1, k = 2 — получаем аналогичное утверждение для точек с
1 3
абсциссами t = -^, —, 1. Таким образом, точки кривой y — F(t)
k
с абсциссами — (я = 0, 1, 2, . . .; ft = 0, 1 2") лежат на
одной прямой. Но F (t) непрерывна, следовательно F(t) — ct-\-d.
Далее, кроме предположений A3), справедливо еще равенство
т. е. F(l) — F@)==0. Отсюда следует, что с = 0, F(t)==d и
почти всюду на [0, 1] f(t) = O.
[2.3.6] Система [2.2.5] похожа на систему Хаара, но она не является
полной. Так, например, функция f{t)^\ ортогональна ко всем
функциям Радемахера. Но добавление функции /(О — 1 к системе
[2.2.5] не приводит к полноте новой системы, так как все функ-
функции Радемахера антисимметричны относительно точки t^=-K*) и,
следовательно, если функция f{t) симметрична относительно
t — -2**), то, умножая ее на любую функцию Радемахера, полу-
получим функцию, антисимметричную относительно точки t = -я-. следо-
следовательно, интеграл этого произведения по отрезку [0, 1] равен 0.
Чтобы функция f(t) была еще ортогональна функции y(t)=s\,
достаточно, чтобы ее интеграл по отрезку [0, 1] был равен нулю.
Функцией, которая удовлетворяет всем этим требованиям, является,
например, cos2т4, а также cos2^ (9=Ь 2, . ¦ ¦).
§ 4. Замкнутые, полные и плотные
системы. Нормирование
[2.4.1] Система функций замкнута в пространстве R, если каждую
функцию, которая принадлежит R, можно сколь угодно точно
приблизить конечной линейной комбинацией функций системы.
Более точно: система 5 замкнута относительно R, если для каждой
функции f{t) ? R и любого s > 0 существует п функций срх (t),
ср2 (t), . .., <p»@€*^ и т^кие действительные числа су, сг сп,
*) Т. е. *(Q *(
**) Т. е./(*)=/A-0-

ЗАМкНУТЫЕ, ПОЛНЫЕ И ПЛОТНЫЕ СИСТЕМЫ
Что функция
принадлежит R и обладает свойством
<г. A5)
Знак || ||л означает норму в пространстве R.
Замкнутость, так же как и полнота, является свойством
системы, которое устанавливается в зависимости от свойств функ-
функционального пространства. Неравенство A5) в пространстве С
означает, что max \f(t) — Ф(?)|<е. Следовательно, в силу тео-
*€[«• 61
ремы Вейерцгграсса [1.2.2], счетная последовательность степеней
l,t,t2, ... образует замкнутую систему относительно простран-
пространства С.
Таким же свойством обладает система, которую построил [2.4.2]
И. Шаудер. Пусть а < b и [w^ — последовательность всех рацио-
рациональных чисел отрезка [а, Ь\, причем w1^=a, w2 = b.
Построим теперь на отрезке [а, Ь] последовательность непре-
непрерывных функций следующим образом.
Пусть срх(^) — линейная функция, которая определяется усло-
условиями ср1('ПУ1)=1, <f1(rw2) = 0. Функция <р2@ — также линей-
линейная функция, для которой ср2('ОI) = 0, (ргС^г) — !- При ге>2
отрезок [а, Ь\ делится на л — 2 части точками wlt w2, . .., «»„_!
и пусть [Wj, ^J — отрезок, содержащий точку wn. Положим
<Р»@ = 0 вне отрезка [да4, wk\, <pn(w<) = <pft 00^ = 0; <pn(wj=l.
На отрезках \wiy wn], [wn, wk] функция <?n(t) определяется как
линейная. Итак, мы построили последовательность непрерывных
функций {^„@} (« = 1,2, . ..) на отрезке [а, Ь].
Пусть f(t) непрерывна на [а, Ь\. И. Шаудер показал, что
Ряд [2.4.3)
со '
A6)
г = 1
где
К) О' > 2)
ft=i
сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции f(t). Дей-
Действительно, если t — абсцисса, а у~ ордината, то_у = *п@=3
п
--= ^ ci<?i@ будет ломаной линией, звенья которой являются хор-
i l
дами кривой y = f(t) и абсциссы угловых точек суть wl wn.
Пусть дано s > 0. Выберем г, (г) > 0 так, чтобы выполнение

64 основные понятий
неравенства
1П
f—t" \<C.f\ обеспечивало выполнение НеравенйтвЁ
< s. Если ЛЛС|) так велико, что при п > N длина
наибольшего отрезка, образованного точками wv w2, ...,. wn,
меньше, чем ч\, то при п~> N (ч\(г)) имеет место неравенство
1/@ —*.@К« A7)
для всех t?[a, b\. Оно вытекает из того, что расстояние между
хордой и дугой в направлении оси у-оъ в каждом из (п — 1)
подынтервалов не превосходит колебания функции, т. е. < s, так
как длина подынтервалов < т). Но из неравенства A7) следует
равномерная сходимость ряда A6) к функции f(t), что и требо-
требовалось доказать.
[2.4.4] Система [2.4.2] обладает также тем свойством, что равенство
оо
/@— 2 ci?i@> t?[a,b\ и ск — постоянные, A8)
имеет место только тогда, когда ct имеют вид, указанный
в A6). Действительно, если в равенстве A8) положим t-=wl, то
получим f(w1) = cv так как <pj(t«I) = O при 1ф\ и cp1(t^4)=l.
Точно также получим/(щ) = с2. Если положим t = w3, то, в силу
ср3(ге;3)=1 и ср4(?03) = О (/ > 3), получим f(w3)-
2
По индукции легко доказать, что
га-1
с»=/(««)—S cm(О-
»=1
Заметим, что если мы с самого начала будем исходить от
произвольного всюду плотного на [а, Ь\ счетного множества
точек, содержащего точки а и Ь, и построим систему {^„} по
тому же принципу, что и систему {срп}, то она будет обладать
теми же свойствами, что и система {срп}. Наличие точек а и Ь
в данном множестве существенно. А именно, если, например,
функция срх(/) не принадлежит построенной системе, то эта си-
система не замкнута. Действительно, если взять f(t) s I, то для
любой конечной линейной комбинации Ф@ функций ср4 (t) полу-
получим Ф(а) = 0, ибо <р„(я) = 0 при п > 1. Поэтому при s<l
всегда справедливо неравенство
max
Это противоречит A5), следовательно, система уже не будет
замкнута.

ЗАМКНУТЫЕ, ПОЛНЫЕ И ПЛОТНЫЕ СИСТЕМЫ
65
По той же причине система [2.2.2) не замкнута на отрезке
[О, т.] относительно пространства С. В этом случае все функ-
функции sin nt при f = 0 и t = r. обращаются в нуль.
Тем не менее, та же самая система замкнута на отрезке [0, я]
относительно пространства L. Это будет установлено позже.
Интегрирование замкнутых систем. Пусть си-
стема {?„(?)} замкнута относительно L и пусть
«МО =/?»(«)<*«•
1 и
Тогда система функций, которая состоит из функции
функций (|>п(/), замкнута относительно С.
Доказательство. Пусть <р@ — функция системы [2.4.2];
тогда <р'@—ступенчатая функция и справедливо равенство
Если е > 0, то, по предположению, существует функция Ф (t),
являющаяся конечной линейной комбинацией функций {<рге@} и
такая, что Мер'(и)— <fr(u)\du < e. Тем более справедливо не-
равенство
t
а
или
где
и)-Ф(и))аи
<[ е, следовательно
? @ — 9 (а) — 1 Ф (и) du
а
< ?
f@—«КОК» (в<*О).
A9)
ДО-
ф @ =-- <р (о) + / Ф (и) с/в = т (а) • 1 + с^ @4 • • • +
Этим показано, что каждую функцию Шаудера <?(t) можно
равномерно аппроксимировать на отрезке [a, b] с помощью ко-
конечных линейных комбинаций функций {ф„(^)}, 1. Если теперь
функция f{t) непрерывна на отрезке [a, b\ и sn(t) имеет то же
значение, что и в теореме [2.4.3], то при соответствующих N
справедливо неравенство
[2.4.5]
3.1к 2512. С Кпчмяж и Г. Штойигауз

66 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Сумма sN(t) состоит из N членов вида cy{f), и каждый из них
можно приблизить конечной линейной комбинацией функций 1,
{<W»@} С точностью до -gTf. Сумма всех этих комбинаций—функ-
комбинаций—функция a(t)— есть конечная линейная комбинация функций 1, {tyn(t)},
и |/@ — а@ | < s при t?\a, b\, что и требовалось доказать.
Метод рассуждения, который мы только что проводили, очень
часто используется. Так, например, в главе I (§ 2, заключитель-
заключительное замечание) мы познакомились с системой функций, которая
замкнута относительно пространства l)\p~^-Y). Эта система со-
состоит из всех ступенчатых функций. Такие функции являются
линейными комбинациями еще более простых функций, а именно,
[2.4.6] такИх функций, каждая из которых равна 1 на некотором подын-
подынтервале и 0 — в остальных точках. Чтобы установить замкну-
замкнутость некоторой системы {/„(/)} относительно L?(р~^> \), доста-
достаточно показать, что каждая функция указанного вида может
быть с любой степенью точности аппроксимирована (в смысле
нормы L?) линейной комбинацией функций fn(t), так как свой-
свойства нормы (см. [1.3.7]) позволяют и здесь провести те же рас-
рассуждения, что и в заключительной части доказательства тео-
теоремы [2.4.5].
[2.4.7] Система функций называется плотно-замкнутой относи-
относительно R, если она остается замкнутой относительно R после вы-
выбрасывания любого числа функций, лишь бы после выбрасывания
оставалось еще бесконечное число функций. Аналогично опреде-
определение плотно-полной системы. Ни одна из систем, которые мы
до сих пор рассматривали, не является плотной в вышеуказан-
вышеуказанном смысле.
[2.4.8] Противоположностью плотности является свойство минималь-
минимальности. Замкнутая система называется минимально-замкнутой,
если она становится незамкнутой после выбрасывания хотя бы
одной функции (например, такой системой является система [2.2.3]).
Аналогично определение минимально-полной системы. (Плотные
системы были введены X. Мюнтцем (см. [3.6.1]), а понятие «мини-
«минимальности» мы находим у С. Левина, хотя в несколько ином
смысле).
[2.4.9] Если <р@ — какой-нибудь элемент нормированного простран-
пространства R и ||<р@!1д Ф 0, то можно найти постоянную с, которая
удовлетворяет условию
B0)
ным,
то имеем точно два решения. Если функцию <p(t) заменим функ-
Например, с = ±-——-. Если с должно быть действительным,

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 67
цией сер (t), где с — одно из этих решений, то говорят, что
функция нормирована.
Если мы будем нормировать, например, систему {sin гетс^},
0<!?<11, в пространстве L2, то получим
1 пт.
Г if 1
||sinrt7t*l|2= sm2nrJdt = sin2и da = ^,
" " J tlK J Z
\\s\n nnt\\ r=y -L; c = ±:
Следовательно, система {±у 2 sin tnzt] состоит из нормирован-
нормированных функций. Так как знаки dt можно брать произвольно, то
существует континуум различных нормирований бесконечной
системы.
При нормировании свойство замкнутости, полноты, ортого-
ортогональности, плотности и минимальности не может утратиться, так
же как и не может возникнуть.
Тригонометрическая система [2.2.3] в пространстве С норми-
нормирована, а в пространстве I? ее еще нужно нормировать. В про-
пространстве L? нормированной тригонометрической системой будет:
1 1 1 1 1
уг^' у^гcos ' ~yt. sin ~Y~-cos" ' Y~k sin" ' '
Система [2.2.4] определена лишь с точностью до постоянных
множителей, поэтому мы можем рассматривать ее как нормиро-
нормированную. Система [2.2.5] (мы называли ее системой Радсмахера)
нормирована одновременно в пространствах М, L и ZA Система
Хаара [2.2.6] является нормированной только в L2. Система [2.4.2]
нормирована в С. Очевидно, что она-не нормирована ни в L2,
ни в L; однако и в этих пространствах ее можно нормировать.
Систему же [2.2.5] нельзя нормировать в С, так как ее элементы
не принадлежат С. В дальнейшем иод нормированием будем по-
понимать нормирование в пространстве L2, если только явно не
сказано другое.
Отметим, что свойства ортогональности, полноты, замкнутости,
нормированности, плотности и минимальности в большинстве про-
пространств (L, L2, М) не зависят от изменения функций на мно-
множестве значений t меры нуль.
§ Б. Ортогональные ряды и ортогональные разложения
Если {<Pi@} — счетная ортогональная система, то ряд вида [2.5.1]
оо
2 ст@. B2)

68 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
где с{—любые постоянные, называется ортогональным рядом.
Впервые ортогональные, именно тригонометрические, ряды рас-
рассматривал Л. Эйлер.. Он использовал их в теории движения Юпи-
Юпитера и Сатурна (в 1748 г.). Тригонометрический ряд является
рядом типа B2), если за систему {<pt@} взять систему B1). Так
как постоянные ct в нашем распоряжении, то систему (%@)
можно предположить нормированной. Общее определение [2.5.1]
мы несколько сузим в том отношении, что потребуем, чтобы все
функции ср{(?) были отличны от нулевого элемента в R и чтобы
все ср{(^) принадлежали пространству R.
Пусть {<fi(t)} — счетная ортогональная и нормированная в L2
система функций. Пусть, ради простоты, функции <?i(t) непре-
непрерывны на отрезке [а, Ь\. Предположим, что ряд B2) сходится
равномерно к сумме f(t). В этом случае постоянные ct можно
определить непосредственно. Именно, умножим обе части равен-
равенства
со
/(9=S<VPi(*) B3)
на <Рй(Ои после этого проинтегрируем обе части по отрезку [а, Ь].
В силу равномерной сходимости ряда в правой части, его можно
интегрировать почленно, так что мы получим
Г/@<Р*(ОЛ = 2
« ^ «
так как все члены суммы, за исключением &-го, равны нулю
в силу ортогональности системы, а &-Й член равен ск в силу
ее нормированное^. Следовательно, мы имеем
ь
с* =J/@?*(')<«. h =1, 2, ... B4)
а
Для теории ортогональных рядов важно иметь возможность
находить коэффициенты ск по формулам B4) или, как их принято
называть, по формулам Фурье. Поэтому, если система {<р*@}
ортогональна и нормирована в L2, то величины ск, которые вы-
[2.5.2] числяются по формуле B4), называют коэффициентами Фурье
f{t) no системе {?i@}> при этом, от функции f(t) требуется
лишь, чтобы существовали все интегралы B4).
Если величины коэффициентов в ряде B2) определгиы п<>
[2.5.3] формулам B4), то полученный таким образом ряд называют раз-
разложением или рядом Фурье функции f(t) по системе {<?i(t)} и

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 69
пишут
со
/@~2с,<к@. B5)
t=i
Главной проблемой теории является вопрос, возможно ли, и в ка-
каких именно случаях, заменить знак — знаком равенства. Но даже
и без решения этой проблемы мы можем формулу B5) упо-
употреблять как удобное «представление» функции f(t).
Заметим, что в случае так называемой сходимости в среднем
ряда B5) к функции f(t), т. е. в случае, когда частные суммы
sn(t) удовлетворяют в пространстве Z.2 соотношению
в смысле [1.6.1] (см. гл. I, B2)), коэффициенты ск необходимо имеют
вид B4). В самом деле, если п > k, то
6 Ь
/ <Р* (О [/@ — sn @1 dt = J /(*) п @ dt ~ ск
а а
И
6
fk @ [/@ - sn @1 dt
/ Ь \Jt Ь
< / cpl @ dt) If
\\
[/@ - ^ @12 dt <
По предположению ||/—sn||->0 при n -*¦ со, следовательно, cft
имеет вид B4).
Если система {<?i(t)} не нормирована, то при тех же предпо-
предположениях и обозначениях в выражении для ск мы получим неболь-
ь
шие изменения. Именно, если Г v\(j)dt = \к > 0, то система
уже нормирована. Если dk означает &-й коэффициент f(f),
110 (МО}» т0
ь б
dk*= ;
a a
Разложение по функциям {^л@} показывает, что справедливо
равенство:
со

70 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Поэтому, если требуется разложить f(t) по функциям {<?*(/)},
то можно подсчитывать коэффициенты по формуле B4), и потом
разделить k-ю функцию на Xft. Полученный таким образом ряд
будет почленно совпадать с другим рядом, который представляет
разложение по нормированной системе {<|>j@}-
Найдем, например, разложение функции |^| на отрезке [—тг, и]
по системе [cos nt] я —0, 1, 2, ...
71 Т.
Очевидно, что \ \2dt —-2т., fcos2ntdt = к, следовательно,
— к ¦¦ г.
Хо = 2~, Х„ = т; (п=1, 2, ...).
Далее имеем
t\dt = v*. ск= ( 11.\ cos ktdt=~{{— 1)» —1]
(ft=l, 2, ...).
Следовательно, искомым разложением будет
I ' I ~ f ~ И cos 1 — W Cos ЗГ~ 257 COS 5^ ~~ • • •
(Если бы мы могли заменить здесь знак ~ знаком = , то получили
бы, после подстановки ? = 0, равенство
2 "~ я" 2j Bл + 1J ИЛИ Т ~ 2j Bл + 1J ' j
ra-0 n=0
He каждый ряд вида B2) является рядом Фурье. Например,
ряд
оо
2 cos л* B6)
не является рядом Фурье. В этом случае Х0 = к, Xj=:X2=:.. .=-5-.
Если бы существовала функция f{t)Q_L, для которой ряд B6)
был рядом Фурье, то мы имели бы
\ [/@ cos nt dt=l {n±=l, 2, ...). B7)
о
Следовательно,
= O (/t=l, 2, ...).

ПРОБЛЕМА НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ 71
1С
2 Г
Если положим <х = — f (f) sin2 tdt, то получим
о
IT
С [/(() —a] sin t sin ntdt= 0 («=1,2, . . .).
о
Но система [2.2.2] полна относительно Z, ([2.3.4]), следова-
следовательно, почти всюду на отрезке [0,7:] \f(t) — a]sin?=0, т. е.
f(t) — a. почти всюду. А это противоречит формуле B7).
Этот путь к формуле B4) является путем Эйлера — Фурье
A748—1807). Но, кроме того, возможен и другой путь, глубже
освещающий суть дела. Он был впервые предложен скандинав-
скандинавским ученым И. Грамом.
§ 6. Проблема наилучшей аппроксимации
Пусть функция f(t) определена в [а, Ь\ и f(t)?L2. Пусть,
кроме того, система {<р;@} ортогональна и нормирована в L?.
Такие системы коротко называют ортонормированными. Положим
sn@ = j|em@ B8)
и поставим задачу определить при постоянном п коэффициенты %г
так, чтобы sn(t) в пространстве I2 была возможно более "близка
к функции f(t). Иными словами: требуется подобрать величины ijp
|2. • • ., ?„ таким образом, чтобы выражение
11/@
было минимальным.
Так как система {<?i@} является ортонормированной, то
поставленная выше задача эквивалентна задаче нахождения мини-
минимума квадратичной формы переменных %v ?2, ... \п
ЯП 1
/ю-2?*?<(о
i = i J
/ю-2?*?<(о <«= [2-6л)
J
j=l

72 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
где ci означает скалярное произведение B4). Функцию F(^lt ?2, ...
. .., in) легко преобразовать к виду
a i=l i=l
Так как из трех членов правой части лишь средний зависит от ;г,
а он всегда неотрицателен и равен нулю только в случае
ti = cv S2 = c2 &п = си, B9)
12.6.2] то это показывает, что форма F(^, ?2, ..., ?„) достигает
единственного абсолютного собственного минимума в точке B9).
Величина минимума в этой точке равна
ь п
F (си с.г, . . ., сп) = f Я @ dt — % & C0)
u i = l
где с^ определены равенством B4). Но всегда
, C1)
следовательно, и F (cit c2 сп)^0, а поэтому из C0) сле-
следует неравенство
ft п
C2)
Итак, мы показали, что интегральное выражение C1) дости-
достигает своего минимума в том случае, если коэффициенты ?{ совпа-
[2.6.3] дают с коэффициентами Фурье сг из B4). Следовательно, если
функция разлагается в ортогональный ряд в смысле § 5, то
каждая частная сумма этого разложения дает наилучшую
возможную аппроксимацию, и этот благоприятный случай —
единственный.
Из неравенства C2), в случае бесконечных систем, следует
12 6 4] так называемое неравенство Бессемя
со Ь
C3)
и отсюда вытекает сходимость суммы квадратов коэффициентов.
[2.6.5] Важным следствием неравенства Бесселя C3) является то, что*
11п1С€ = 0 (/@6 ?2)- C4)

ПРОБЛЕМА НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ 73
со
Из неравенства C3) также можно заключить, что ряд 2jci?i@
не будет являться разложением функции, принадлежащей про-
просо со
странству I2, если расходится ряд 2 ci- Но если 2 с\ < °°> [2.6.6]
со .1 = 1 1 = 1
то />яд 2 cicpi (f) сильно сходится, так как при т > /г
г -wi + I
г=1
ортогональная и нормированная система {<Рг(О}
к_уота относительно пространства L2, то справедливо равенство
ь
1«т f [/(/)—*я@12Л = 0. C5)
Доказательство. При любом е>0, по предположению,
существует система чисел %х, \2, . . ., \1Х, для которой справедливо
неравенство
следовательно, /-'(?i> ?2, ...,$„)< е и тем более F(cv c2 с„)<
< s, т. е. Г [/(/)— sm(t)\2dt < e при т~^>п, что и требовалось
U
доказать.
Следствием неравенства Бссселя C3) является также сходи- [2.6.8]
со
мость почти всюду ряда 2 ci'i>i (О В предположении, что /@6 L2.
i-i
В самом деле, ряд
сходится в силу неравенства Бесселя [2.6.4], а поэтому, в силу
теоремы [1.2.4], справедливо и утверждение [2.6.8].
Пели почленно проинтегрировать разложение функции [2.6.9]
L1, то полученный ряд будет сходиться равномерно.

74
В самом деле,
q t
i=p a
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
' i=p i-p\a
, C6)
Но так как интегралы Гср^(м)^м являются коэффициентами функ-
а
ции #(и), которая равна 1 при и ? [a, t\ и 0 в остальных точках,
то из неравенств C3) и C6) следует, что
г=р а
/ q
-aV ^с\
i=p
Последнее выражение стремится к нулю при р —> оо независимо
от t, что и требовалось доказать:

ГЛАВА III
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В L2
Первой проблемой теории ортогональных рядов является
вопрос о существовании ортогональных систем. Примеры главы II
не дают никакого общего приема построения ортогональных
систем, хотя каждый пример приводит уже к бесконечно многим
другим примерам путем перестановок членов последовательности
или изменения знаков.
Мы подчеркиваем, что все изложение этой главы посвящено
пространству L2, если явно не оговорено что-нибудь другое.
О других пространствах речь будет идти в главе VI.
§ 1. Ортогонализация
Пусть fi{t), /2(/) /п@ — система п функций, которые
определены на отрезке [а, Ь\, и /{(f)?L2. Еще в 1879 г. И. Грам
в одной из своих работ поставил вопрос о существовании матрицы
С=||с«|| (Л*=1,2 я),
которая посредством линейных преобразований
A)
<Р« @ = Cnl/i (/) + • • • + CnJn it)
приводит к нормированной ортогональной системе {(}
Заметим, что линейная независимость функций |/г@} является
необходимым условием для существования матрицы С. Действи-
Действительно, если бы функции /4(f) были линейно зависимы, т. е.
почти всюду в [а, Ь] имело бы место равенство
в котором не все df равны нулю, то по известной теореме тео-
теории линейных уравнений для тех же самых значений t, т. е.
»
почти всюду на [а, Ь], мы имели бы равенство 2
i-l

?6 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В U
где не все d^ равны нулю. Но это противоречит следующей
теореме:
[3.1.1] Между функциями ортогональной нормированной системы
не может существовать линейная зависимость с конечным
числом членов.
В самом деле, если соотношение
выполняется почти всюду, то после умножения его на функцию
Та СО и интегрирования по [а, Ь\ получим
п Ь
^ldrif<fi(?)<fk(t)dt = O, т. е. 4 = 0 (?=-1,2 п).
i=l a
И. Грам указал следующий критерий линейной независимости
функций:
[3.1.2] Для того чтобы функции /t (f), /2 (t), . .., /„(t) были линейно
независимы в вышеуказанном смысле, необходимо и достаточно,
чтобы АпФ0, где Ап — определитель матрицы \\aik\\, эле-
элементы которой определены формулами
ь
aik = / Л @ MQdt (I, k = 1, 2 «). B)
a
Доказательство опирается на тот очевидный факт, что Лп
является дискриминантом квадратичной формы л переменных
-^1 -^п»
Ь
F(xltx2 хп) = f [xj, @ + x2f2 @ + • • • + xjn @12 dt. C)
a
Эта форма, как интеграл от положительной функции, всегда
п
неотрицательна и равна нулю лишь тогда, когда 2 xifi00 — 0
i = l
почти всюду на [а, Ь]. Итак, форма Т7 (xv х2, . . ¦, хп) обра-
обращается в нуль, кроме тривиального случая xt — лг2=. . . = хп = 0,
лишь в случае, когда функции /$(?) линейно зависимы. Следо-
Следовательно, теорема Грама будет доказана, если мы покажем, что
равенство Ап = 0 является характеристикой обращения в нуль
формы F в нетривиальном случае. Если Ап — 0, то система
уравнений
п
2 ««¦** = 0 (/=1,2 п)
А1

ЬРТОГОНАЛИЗАЦИЯ ff
имеет нетривиальное решение. Если умножить /-е уравнение
на х^ и сложить все уравнения, то получим
п п
/' (*!> хг хп) = 2 **2 ««** = 0.
i A
Обратно, если ^(Xp ..., л;п) = 0 и система {xt} не тривиальна,
п
то из C) следует почти всюду равенство 2 xkfk @ = 0. Умножив
А:=1
последнее равенство па /j(/) и проинтегрировав его, получим, что
••+я»л*л=0 0=1. 2 я).
где aiA определены равенствами B). Отсюда следует, чтоЛ„ = 0.
Определитель ^1П всегда неотрицателен. В самом деле, пусть
Aj= \\аиА 0". ft =1,2, .... j), a Dj'p —алгебраическое допол-
дополнение к элементу oa? в определителе Aj. Тогда имеем
bi -11 i
L
Следовательно, Б^==^-_1Л^. Ho au^-0 и Bj^O, поэтому Аг~^ 0,
Л3 ^> 0 и т. д. (Л^ = 0 только при линейной зависимости функ-
функций; в этом случае ^jDyafa(t) = 0 почти всюду).
a = l
Э. Шмидт указал в 1905 г. следующий прием вычисления [3.1.3]
коэффициентов cik в A). Положим ciA. = 0 при ft>/ и подбе-
подберем cik при ft <; I так, чтобы функции
D)
?»(О = c«Ji @+с„2Л (О + ... -f спп/„ (О
были ортогональны и нормированы.
Очевидно, что все си должны быть отличны от нуля, так как
если бы си—~0, то функции <Pi@> . ...<Pi@ выражались бы
линейно через функции fx (t) /»-i@> следовательно, они
были бы линейно зависимы, что противоречит теореме [3.1.1].
Так как сиф0, то равенство D) можно разрешить относительно
{/i@)> так что последовательно получим
E)
/я@ = rf«l?l @ + ^2<?2 @ + • • • + ^пп?» (О-

78 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В №
Если в формуле D) для функции ср4(^) (t > 1) введем вместо
функций fx(t), /200. • ••> fii@ их выражения по формуле E),
то получим
?< (О = xi!?i @ + >-i2?2 @ + • • • + 41 - j?i- ! (О -f ¦ cufi СО-
Ортогональность функций <р/;@ и <pj(/) (ft < 0 дает
= O (ft=l,2 /—I). F)
b
Коэффициент Сц определяем из условия | <р?(/)Л=1, после
а
чего вычисляем Xift из уравнений F).
Но мы можем также вычислять систему {»;(/)} непосред-
непосредственно. Именно, равенства E) показывают, что функции ер{B)
ортогональны функциям fk{t), если ft </. Поэтому мы наложим
на функции «Pj(O требование ортогональности к функциям /j^),
/2@> ..., fi-i(t). В силу равенства D) функции {'^i(t)} будут
тогда ортогональны друг другу. Для ft=l,2, ..., /—1 имеем
6 г Ь г
О = / h @ «р» @ dt = 2 су J А @ /,• @ d/ = ^ fyfly •
a j = 1 а j = 1
Следовательно, совокупность {су} (у=1,2, ..., /) должна
являться решением {Xj\ системы (i—1) уравнений с / неизвест-
неизвестными
= 0 (* = 1.2 »—1). G)
Функции fi(t), fz(t), .... /„(О линейно независимы, поэтому
А @> /г @> • • • > /i-i @ (' > О тоже линейно независимы и по крите-
критерию Грама [3.1.2] система уравнений G) имеет ранг (i—1).
Следовательно,
Xj = "/^i (у — 1, 2, . . ., г).
где X — любое, а а^ означает коэффициент при у в разложении
определителя
(8)
по первой строке. Если мы запишем то же самое для всех
i (/== 1, 2, . . ., п), то мы должны ввести сверху индекс i и тогда

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 79
получим
При этом |х^г) =fc 0 (;= 1, 2, ..., /г) и функции {<р„@} ортого-
ортогональны между собой. С помощью выбора величин ХМ (/==1,2, ...
..., и) мы можем сделать их нормированными. Для этого доста-
достаточно (и необходимо) определять ХМ из уравнения
4wb«=i.
Интеграл от квадрата функции положителен (если бы он был
равен нулю, то I первых функций / были бы зависимы, так как
t4!> ?=0), следовательно, существуют два допустимых значения ХМ.
Поэтому способ Шмидта дает точно 2™ решений, которые отли-
отличаются друг от друга выбором знаков у функций {z±r cpf@}>
Процесс Шмидта имеет то преимущество, что формулы (9)
остаются справедливыми, если к системе ft((), /2@> •••>/«(О л°"
бавить новую функцию /n+i@- Поэтому, если функция fn+i(t)
линейно не зависит от ft(t), ..., fn(t), то процесс продолжается
на один шаг дальше, и мы получаем функцию «р№-ц СО» которая
нормирована и ортогональна к ранее уже полученным функ-
функциям <ps(O- Отсюда следует:
Если {fi(t)}—бесконечная последовательность функций, [3.1.4]
линейно независимых в L2, то можно образовать нормирован-
нормированную ортогональную систему {<р$@}> которая связана с {/$(?)}
бесконечным рядом формул D) и E). При этом диагональные
коэффициенты сн, dH в этих формулах отличны от нуля,
а все с 11( и di]e определяются однозначно, если потребовать,
чтобы коэффициенты си были положительны.
Если К — какое-нибудь пространство, то полнота системы [3.1.5]
{/i@} относительно К эквивалентна полноте системы {<pj(O}
относительно К- Действительно, так как ||gi|K==0 при g(t)^_K,
ъ
как только все интегралы Г g(t)fi(t) dt (i=l, 2, . . .) равны
нулю, то Иg"[]я- также должна равняться нулю, если g(t)

80 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В I?
ъ
f
ортогональна ко всем cpj(O, ибо из равенств
ъ
r{tLdt)dt^O (/=1,2, ...)
а
и равенств E) следует
ь
¦-^0 (/=1, 2, .. .)•
Обратное заключение следует аналогичным образом из D).
[3.1.6] Замкнутость системы {/j@} относительно пространства К
эквивалентна замкнутости системы {?j@}- Действительно,
если g(t)?K и для выбранного s > 0 существуют числа ах ап
такие, что
л -я- II
Ik
то подстановка {5) приводит к неравенству
п
>-2fti?i<
ы
т. е. система {<?j@} замкнута. Обратное заключение легко сле-
следует из D).
[3.1.7] Пример ортогонализации. Пусть
[а. *] = [—1, -И! и fi(t) = ti-1 (/=1,2,...).
Имеем
l
\ 0, если l-\-k нечетно.
Далее, ©.(?) = ——= и [4' = 0, !Хз = 2, поэтому ср2(/) =
У 2
а условие нормированности
дает, что о2(^) = |/ _ t, и т. д. Так полученная ортонормиро-
ванная система называется системой полиномов Лежандра.
Общий случай ортого нализан п и. Пусть vl (t),
<р.3(/) ..., <pn (f) — ортопормнрованная система, которая получена

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ 81
способом Шмидта из функций fx{t), ..., fn(t). Если мы запишем
МО = «u<pi @+«12*2@+ ••• +«w«Pn@. 1
• • } A1)
-»@. ]
% @ = «ni<Pl @ + еп2<?2 @ + • • • + *пп<Р;
то получим систему {^@}> которая,'в силу равенств (9), выра-
выражается также через систему {/,-@Ь
Мы покажем, что вопрос, поставленный в начале этого пара-
параграфа, может быть решен таким путем тогда и только тогда,
когда матрица \\eih\\=E ортогональна по строкам и норми-
нормирована. В этом и только в этом случае система {<]>j@} будет [3.1.8]
ортонормированнои системой.
Определение. Матрица ||eik\\ называется ортогональной
п
по строкам, если У^ eikejk — O при любых i Ф j, и она называется
п
нормированной по строкам, если 2^=1 (i=l. 2 п).
Аналогично определяются ортогональность и нормированность
по столбцам.
Доказательство [3.1.8]. Если система функция {ф*@}
ортонормирована, то из формул A1) следуют равенства:
I 0 при i ф j,
к = 1
V
A2)
что и требовалось доказать.
Наоборот, если \\eik\\ по строкам ортогональна и нормиро-
нормирована, то формулы A2) показывают, что система функций {tyk(t)}
является ортонормированнои. Мы утверждаем, что с помощью
подстановок A1) получаются все системы {tyk(t)}, которые решают
проблему ортогонализации системы {fk(t)}. При этом \\eik\\ —
произвольная ортогональная и нормированная по строкам матрица,
а для функций <?i(t) справедливы формулы Шмидта (9). В самом
деле, если {ф/с@} такая система и
М0= S А«Л@ (/=1. 2, .... «),
то в силу E) получим
п
Ы0= S *«<Р*@ (/=1, 2 п),
к = Х
где {tpft(O} — функции Шмидта. Равенства A2) показывают, что
llll построчно ортогональна и нормирована.
E Зак. 2ГИ2. С Качмаж и Г. Штсйнгауз

82 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В L2
Матрицы ||ejA|| известны из и-мерной евклидовой геометрии:
если xit х2 хп—• прямоугольная координатная система и
yv у2, .... уп—такая же система (с тем же началом), то имеем
л=2««** a=i. 2 п) A3)
й=--1
и коэффициенты матрицы Е = \\ец.\\ ортогональны и нормированы
по строкам. Легко показать, что тогда
п
*i= 2-е/м.У* (/=1, 2 я). A4)
(Это очевидно, так как в этом случае eik является косинусом угла
между Xi и ук.) Следовательно, матрица Е ~\ обратная к матрице /:,
получается простой заменой строк столбцами. Так как фор-
формулы A4) имеют тот же самый геометрический смысл, что и A3),
то матрица ?"*> как матрица подстановки A4), должна быть
точно так же ортогональна и нормирована по строкам. Вслед-
Вследствие этого, матрица Е будет ортогональна и нормирована
по столбцам.
Как известно (Кропекср, Эрмит, Кэли), все матрицы Е можно
получить, представив п2 величин eik, как подходящие рациональ-
, п(п — 1)
ные функции от —~.—- параметров и придавая параметрам все
возможные значения.
Величина определителя Е равна ± 1. В самом деле, если
подставим равенства A4) в равенства A3), то получим тождест-
тождественную подстановку. Следовательно,
Е- E"l = L,
где L означает единичную матрицу. Отсюда для величин опре-
определителей имеем | Е \ ¦ \ Е~ 11 =- 1, а так как Е получается
из Е заменой строк столбцами, т6\Е\ = \Е~1\. Следовательно,
|Е| = zt 1, что и требовалось доказать.
§ 2. Ортогонализация в более длинном интервале
Проблему ортогонализации системы линейно независимых функ-
функций {/п@}> определенных на от.резке [а, Ь\, можно понимать
иначе, нежели в § 1. Можно поставить вопрос, возможно ли
получить ортогональную систему функций, продолжая функции
{/п@} с интервала [а, Ь] па больший интервал. Этот вопрос
имеет смысл также и в том случае, когда {fn(f)} уже ортого-
ортогональны на [а, Ь\. Тривиальным продолжением тогда является

ОРТОГОПАЛИЗАЦИЯ В БОЛЕЕ ДЛИННОМ ИНТЕРВАЛЕ 83
продолжение вида «/„@ = 0 вне отрезка [а, Ь]», при котором
ортогональность сохранится. Нетривиальное продолжение на отре-
отрезок [а, с] (с < Ь < с) всегда возможно, причем только так, чтобы
{/п@} были ортогональны в \Ь, с\. Это непосредственно следует
из формул
с Ь о с
0= /Л@/*@Л= / + /= ffi(t)fkV)dt.
a abb
Очевидно, что {/„(?)} может быть любой ортогональной систе-
системой на отрезке [Ь, с].
Если {fn(t)} — какая-нибудь система функций из L2, опре- [3.2.1]
деленных на отрезке [а, Ь\, то функции fn{t) можно продол-
продолжить с отрезка [а, Ь) на отрезок [Ь, с\ так, чтобы получен-
полученная система была ортогональной на отрезке [а, с].
Вспомним матрицу (Т), построенную в [2.1.2]. Используем
строки матрицы (Т) для определения функции fn(i) следующим
образом. Разделим отрезок [Ь, с\ на части [1к) с помощью воз-
возрастающей последовательности точек, стремящейся к с. Пусть sft
означает k-ft элемент и-й строки матрицы (Г). Положим
/„(9 = 0 при t?Ik, если ек = 0 (я>1).
/!(/)=1 при t?Ik, если еА=1,
/n(9==— fn(u)fp(u)du- j-jr- при
если sk = 1 и sk является р-й единицей в га-й строке, где р < п.
Если же р~^п, то в этом случае при ??/А положим /„(/)= 1.
Рассмотрим теперь свойства построенной системы функций
ь
{/»@}- Сначала мы покажем, что интеграл Гf^(t)dt конечен.
а
с
Речь может идти только об интеграле Г/2 (t) dt. По в га-й строке
ь
матрицы (Г) имеете^ лишь конечное число единиц с р •< л, по-
поэтому интеграл по соответствующим 1к, очевидно, конечен, а в
оставшихся интервалах 1к функция /? (?)^1. Следовательно,
с
//™@^<со.
6*

84 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В I?
Докажем ортогональность этой системы. При п > 1 и р < п
имеем
fn (t)fp {t)dt,
где k{p) является индексом того столбца, к которому принад-
принадлежит р-я единица /z-й строки, a D обозначает остаток
от отрезка [Ь, с] после выбрасывания из него /&(р). Два первых
интеграла правой части взаимно уничтожаются в силу определения
функции /„(/). Так как в га-й и р-й строках единица стоит одновре-
одновременно лишь в k(p)-M столбце, то в интеграле Гfn{t)fp{t)dt
D
всегда один из сомножителей равен нулю. Следовательно,
Если нормировать систему [3.2.1], для чего придется разде-
лить функцию /„(/) на число I/ I fl(t)dt, то функция fn(t)
а
изменится также и ^а отрезке [а, Ь]. Поэтому естественно поста-
поставить вопрос о свойствах заданной на отрезке [а, Ь] системы {<р„@}>
при наличии которых возможно ее продолжение до системы,
ортонормированной в интервале, охватывающем интервал [а, Ь].
Ответ на этот вопрос был дан И. Шуром.
[3.2.2] Пусть функции {/„(/)} определены на [а, Ь], 0 < а < Ъ < 1
и fn(t)?L2. Для того чтобы на [0, 1] существовала такая
ортонормированная система {<р„09}> чт° ?»@^/п@ пРи
t? [a, b], необходимо и достаточно, чтобы максимум инте-
интеграла
при различных последовательностях {^}, удовлетворяющих
GO
условию 2^i —1> бы-* равен 1.
Продолжение ортогональных систем. Пусть си-
система {фп@} ортонормирована на отрезке [а, Ь]. Если продол-
продолжить ее на отрезок [а, с], положив ||)п(/)е=0 при t?[b, с] для
всех п, то полученная система будет неполной.

ОртогоналИзаЦия в более длинном интервал*! 85
В самом деле, функция
ГО при t?[a,b],
/(/)==( 1 при t?{b, c\
ортогональна ко всем функциям %(t) в отрезке [а, с\. Если
система функций [y_n(f)} ортонормирована в [Ь, с] и если положить
?п@=МС»@ при t?(b, с),
где X2-j~ [j,2 = 1, то система {<?n(t)} является ортонормированной
на отрезке [а, с].
Эта система неполна. Именно, если мы положим
ft»(9 —H>«i(9 при t?[a,b\,
gmif)~ — ЧтУ) при t?{t>, С),
то получим
а
Далее, для п ф т имеем
с ъ
/ ?«(9 ftn (9 dt = f Цп (о н»* (О л+
*х»(9(-
а для п=: т
с ос
I cpn (?) gm (t) dt=z С Xfi.(j)^ (/) cf^ -j- J (— Xp,) y^m (t) dt = 0.
а
с
Следовательно, всегда Гсрп (/) ^m (/) dt~O.
a
В. Костицын, которому мы обязаны сделанным выше замеча- [3.2.3]
нием, указал на то, что система
Ti(9. ft(9. ?2(9. ft(9. ¦ •.. ?n(9. ft,(9. • • •
будет уже ортогональной, нормированной и полной системой,
если системы {<|>д:(9} и {ха(9} полны.
Мы видели, что все функции gk{t) ортогональны всем функ-
функциям <fif(t). Ортогональность же функций gjt(t) между собою
очевидна.

об ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 8 №
Чтобы проверить полноту системы, предположим, что
с с
fk(t)yn(t)dt = O, J h(t)gn(t)dt = O для всех п.
а а
Отсюда следует, что
ь о
а Ь
Ь С
ц Г h (t) ij)B(t) dt — \ f h (t)in(t) dt — Q,
a b
а так как
= — 1, то
j h @ % @ dt = О, J A (/) х„ (О Л = О для всех и.
о Ь
Следовательно, в силу полноты системы {фп@} на отрезке [а, Ь]
и полноты системы {y_n{t)} на отрезке [Ь, с], Л(/) = 0 почти всюду
на [с, Ь\ и [Ь, с\. То же самое рассуждение можно провести для
трех и более интервалов и даже для бесконечной последова-
последовательности.
Пусть {Ар) — последовательность попарно не пересекающихся
интервалов. Пусть, далее, {<р*в@} (*'=1. 2, ...) является полной
ортонормированной системой на интервале Лд. Пусть также
II«иII (/>, ?=1,2, ...)
— бесконечная матрица, которая ортогональна, нормирована и
полна' по строкам. Ортогональная нормированная матрица назы-
называется полной, если к ней нельзя добавить ни одной строки так,
чтобы она осталась ортогональной и нормированной. Образуем
систему {/f)@}:
при t?At,
(Л р, 0=1, 2, 3, ...).
Система {ff\t)\{i, р = 1, 2, ...) является полной и ортонорми-
рованной на 2 = 2 Aq.
2=1

ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ В БОЛЕЕ ДЛИННОМ ИНТЕРВАЛЕ 87
Ортогональность. В силу ортогональности {yiq (t)} на Aq
== const), при i ф j имеем
S 9 = 1 Aq
При i = j, но р Ф п, в силу нормированности {cpfa @} на ^g и
ортогональности матрицы ||ам||, получаем
оо со
ffip) (t)fln) (t) d/ = 2 "WV / Tie @ ^ = 2 <W»« = °-
2 9 = 1 Ag 9 = 1
Нормированность. Так как система {<Pje(O} (<7 = const) и
матрица ||apg|| нормированы, то
со
/ Dй (оJ dt =-- ^ 4 /
I 3 = 1 Aq g = l
Полнота. Пусть функция g(f)?L2 определена в S и
2
для всех / и р. Положим
Так как матрица ||ape|| полна, то из равенств
^pqgiq (p=l, 2, ...
X 9 = 1
следует, что g"je = O (qr= 1, 2, . . .). Это справедливо для всех /.
Следовательно, при фиксированном q все g-ig = 0. Но система
l?ig@} полна на Лд, следовательно, g(t) = 0 почти всюду на Лд,
а поэтому g(t) = O почти всюду на S.
Проведенные выше рассуждения позволяют нам образовать
полную ортонормированную систему для интервала [0, оо). В са-
самом деле, если мы имеем полную ортонормированную систему на
отрезке [0, 1] и обозначим ее {<?n(t)}, то можно определить
систему {<?ig(t)} на отрезке [q—1, q] равенством

88
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В I?
Теперь достаточно обозначить отрезок \q—1, q\ через Aq и вы-
выбрать любую полную нормированную ортогональную матрицу [| apq \\.
Проведенное выше построение даст нам полную ортонормиро-
ванную систему на [0, оо).
Если, например, выберем в качестве {<?n(t)} тригонометри-
тригонометрическую систему на отрезке [0, 1] и единичную матрицу (арр=1,
аи = 0 при р ф q) в качестве ||ард||, то получим (гл. II, § 4)
систему:
V2sinicnf при р—1< *<
0 при остальных t
\Р> П--1, г, ...).
Эта система является полной ортопормированной в [0, оо). Если же
допустить, что р принимает также значения 0, — 1, — 2, — 3
то получим полную ортоиормированную систему в интервале
(— оо, оо). Это простейший известный пример такой системы.
В приложениях (гармонический анализ) иногда пользуются орто-
ортогональными разложениями в бесконечных интервалах. При этом
ортогональность часто определяют иначе, а именно: ср4(О и срА(?)
ортогональны на (— оо, -)- оо), если
т
lim ^r f <Pi@ T* @ <« = 0 G1 > О, I Ф k).
Проверим, например, что система {cosnt] ортогональна в этом
смысле. Имеем
куг I cos ntzosktdt
- "т
1
W
-', (cos(n+k) t+cos(n—k)t)dt
1 rsln(n-l-fe)^ , sin (n —ft) Лг ^ 1 / 1 . 1 \
AT L n-l-ft """ n —ft J T^-2T\\n-\-k\r\n — k\J
При этом п, k могут быть произвольными действительными
числами. Следовательно, система {cos nt} (n — действительное
число) в этом специальном смысле ортогональна в (—оо, -f- оо)
и состоит из с (= континуум) различных функций.
§ 3. О наилучшей аппроксимации
[3.3.1] Пусть. \ft(f)} (/=1,2,..., п)—произвольная система функ-
п
ций. Если 2 ci/i@ — наилучшее приближение функции g(t)
il

о Наилучшей аппроксимации 89
б смысле среднего квадратического (гл. И, § 6), то разность
i A5)
должна быть ортогональной ко всем fi(t), где i=\, 2, ...,«.
Доказательство. Пусть функции /$@ линейно незави-
независимы. Если мы образуем по методу Шмидта ([3.1.3]) ортонор-
мированную систему {?i@} и выразим {/j@} через {fi(t)}, то
равенство A5) перейдет в равенство
i-.-l
Так как норма ||Л(?)Ц должна быть минимальной, то в силу § 6
главы II
di= \ g(t)<fi(t)dt (/=1, 2 я).
а
Из равенства A6) непосредственно следует, что
ь
= 0 (/=1, 2, .... л).
Но так как функции /{(/) выражаются линейно через функ-
функции срА(t), то из последнего равенства получаем, что
ь
f h(t)fi(t)dt = O для всех /.
а
Если бы функции fi{t) были линейно зависимы, то среди них
было бы k (k < п) линейно независимых функций/^), /2@> •••
¦••> А@- Остальные п — k функций могли бы быть выражены
п
через k первых. Сумма же 2 cifi(f) была бы тогда линейной
комбинацией функций fj(t) (y'—l, 2, ..., к) и поэтому
t)dt = O G=1, 2 ft),
а
а отсюда уже следует, что и для остальных функций ft(t) спра-
справедливо равенство
ь
J а (о Л @^ = 0.

90 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В 1}
В вопросе о минимуме квадратичной формы
Ь Г п -|2
F(xv х2, .... xn) = f\g(t)~^xJiit)] dt
a L j=i J
теорема C.3.1) дает необходимое условие вида
/ gV) — jj**/* (О Д@ Л = 0 (ft = 1. 2, ..., и). A7)
а У- i=l J
Ь
Если положить Гfi(t)g(t)dt~gt, то мы придем к системе
а
уравнений
п
2^t = ft a=l. 2, .... п), A8)
А: = 1
где att определено в [3.1.2] B). Если определитель Грама
(т. е. определитель матрицы ||#^[|) Ап не равен нулю, то си-
система A8) однозначно разрешима. Заметим, что она разрешима
также и в случае Ап = 0.
Действительно, пусть имеет место нетривиальное линейное
соотношение между формами A8) с коэффициентами X, \х, v, . ..
.. ., со (такое соотношение непременно существует, есл"и Ап = 0).
Тогда
tot*+?*»,¦*+ ...+@0^ = 0 (ft«=l, 2, ..., п). A9)
Покажем, что в этом случае
почти всюду.
В самом деле, из A9) следует, что
O (ft = l,2 п).
и если мы положим в последнем равенстве ft = i, j, .... w,
помножим, соответственно, на X, р, ш и сложим, то полу-
ъ
чим, что Г L2(t)dt = 0, т. e. L(t) = O почти всюду. Отсюда сле-
а
6
дует, что J L@ ff@ ^ = ° ИЛИ ^г + ^ + • • • + ugw = 0, т. е.
а
для свободных членов справедливо то же самое линейное соот-
соотношение A9), которым связаны i-я, у-я, . . ., ад-я линейные формы

О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ 91
системы A8). Но этого достаточно (и необходимо) для разреши-
разрешимости.
Итак, установлено, что условие A8) необходимо для мини- [3.3.2]
мума формы F(xx, x2, . . ., хп). Мы покажем, что это условие
является также достаточным.
Рассмотрим отдельно случаи Ап Ф 0 и Ап= 0.
В первом случае функции fi(t), f2(t) /»(') можно орто-
гонализировать. Пусть {fi(t)}—ортонормированная система, полу-
полученная ортогонализацией системы {fi(t)}. Если в интеграле, кото-
который определяет форму F(xv x2, .. ., хп), заменим функции /,:(^)
по формулам E), то получим
Г \X^t X2t • > • » хп) ¦ ¦
где
У i = rfn-*i + ^21^2 + • ¦ ¦ + dnlxn;
y2 = d22x2 -f ... -f rfn2xn;
• • • + cnlyn;
x2 = c22^2 4- ...
B0)
Следовательно, достаточно определить минимум формы Ф (yv у2, . ..
. . ., уп). Но это уже было сделано в [2.6.1] и [2.6.2]. В этом случае
существует точно одно решение ji== I g(t)<fi(t)dt (/=1,2, ...,«),
а
из которого с помощью равенств B0) получаются искомые хг.
Так как существует только одно решение и потому система A8)
однозначно разрешима, то равенства A8) достаточны.
Перейдем к случаю Ап=0. Рассмотрим сперва тривиальный
случай: /j@==0 почти всюду (/= 1, 2, ..., и). В этом случае
все системы {jq} являются решениями уравнений A8) и для всех
ь
таких систем Г g2(t)dt является минимальным значением. Пусть
а
теперь /х(/), . . ., fp[t) линейно независимы A <; /?<«), а осталь-
остальные (и — р) функции выражаются через эти р функций. Рассмотрим

92 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z,8
форму
Ь Г р -12
о /• I ^ I
a L j^i J
, о о о
и найдем, как и выше, для формы F точку минимума xv , . ., хр.
п Р
Так как сумма 2 xifi(t) сводится к сумме 2 xifi(t) (произво-
(производится замена функций fi(t) (i = p-\-l, ..., «) линейными ком-
комбинациями от функций /j fp), то точка
xv хг хр, 0, . . ., О B1)
дает искомый минимум форме F. Нам осталось доказать, что
другие решения уравнений A8) дают форме F (х1г х2 хп)
ту же самую величину, что и решение B1). Но это легко пока-
показать: если х[ х'^, х", . . ., х"п — два решения системы A8), то
п п
2*i/i(^)= 2*i/»@ ПОЧТИ ВСЮДу. B2)
В самом деле, положим х^—х'!=%~ Тогда
п п п
2 aik^k = О Для всех 1> ОТКуда 2 S{ 2 ail?k — О-
ft=l i=l ft=l
Следовательно, в силу равенства C) из [3.1.2], имеем
bin
а 4 = 1
откуда следует равенство B2).
Теперь мы можем определять минимум формы F непосред-
непосредственно (без ортогонализации системы). В случае Ап Ф 0 си-
система A8) имеет единственное решение.
xk = j- (k=-- I, 2, . . ., я), B3)
где определитель Ап получается из определителя Ап путем
к
замены й-го столбца в Ап величинами gt, g2, ..., gn. Тогда
в силу A7) в точке B3) справедливо равенство
б
Г \X,V Х2, . . . , Хп) ¦ I
a L i=i
b Г n

О НАИЛУЧШЕЙ АППРОКСИМАЦИИ
93
Если положим Г g- (f) dt = g0, то получим
mlnF(xlt x2, . . ., xn) — g0 — -j-
ft=l
go gi •¦• gn
... a
in
gn
... an
Этот определитель является не чем иным, как определителем
Грама О (/о, Л /„) системы функций /0@, Л@. •••. /»@>
где через /0@ обозначена функция g(t). Это приводит к сле-
следующей формуле:
minF(xlt x2, ..., xn) = —
.fi.fz fn)
или
2
[3.3.3]
mm
Итак, мы нашли формулу для наилучшего приближения задан-
заданной функции в L2 линейной комбинацией п линейно независимых
функций.
Если функция /,г+1@ линейно выражается через функции
f^it) /п@> то невозможно улучшить аппроксимацию доба-
добавлением функции /п+1 @- Действительно, если бы аппроксимация
улучшалась при добавлении fn+l{t), то мы заменили бы fn+1(t)
ее линейным выражением через fi(t), ..., fn(t) и, стало быть,
минимум [3.3.3] уменьшился бы, что невозможно.
Для того чтобы присоединение функции fn+1 (t) не влияло [3.3.4]
на величину приближения, необходимо и достаточно, чтобы
функция /и+1 @ была ортогональна к разности
где {х™\ означает решение задачи аппроксимации для п функ-
функций fjc(t).
ь
Если fr(f)fn+1(t)dt = O, то
а
Ъ Ъ Ъ Ъ
¦ (о - х/„+1 @12 dt = Г г^ (о (^+ьг Г /»+1 (о ^ > Г /-2 со л,
j j •/
а а а

94
т. е.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z,2
tg(t)— 2 *?/*(')-
ll fc=i
Но если
! (О > s@ — 2 хУк @ .
I II ftl II
то
@ — Vw-i @12
(О
когда а имеет знак выражения
ь
т. е. при
2|Х|
fr(t)fn+l(t)dt
fr(t)fn+1(.t)dt
§ 4. Счетность
На примерах главы II мы видели, что нормированное орто-
ортогональное множество в Z,2 может быть счетным. Большую же
[3.4.1] мощность оно иметь не может. Другими словами: ортонормиро-
ортонормированная система функций в L? не более чем счетна.
Доказательство. В конце § 2 главы I (см. сноску) мы
указали счетную всюду плотную в I? систему функций Обозна-
Обозначим ее {Wi(f)}. Пусть, далее, {<р(t)} — ортонормированная система.
Если %,@ и <рр(О — два различных элемента из {<?(t)}, то
B4)
Пусть /(а)
наименьшее натуральное число, для которого

СЧЕТНОСТЬ
При а ф C (а, р являются символами, но не числами)
ибо в противном случае мы имели бы
что противоречит B4). Следовательно, функция /(а) отображает
множество {а} взаимно однозначно на часть натурального ряда
чисел, отсюда следует конечность или счетность множества {а}
всех индексов функций <j (t).
Очевидно, что каждая конечная ортогональная система может
быть расширена. Для этого нужно к функциям ^(О. <Рг(О
с?я@ добавить одну независимую функцию f(f) и из полу-
полученных (й+1) функций образовать ортогонализацией функ-
функцию «рп+1@-
Свойство полноты или замкнутости системы влияет на мощ-
мощность множества элементов системы.
Полная система всегда бесконечна. [3.4.2]
Если система состоит из функций fx(t), f2(t), .... fn(t), то
можно определить полином я-й степени (ф
/»@ = «о-t-MH-••¦+«»'"
так, чтобы
J p(t)ft(f)dt = O (i=l, 2, ..., я).
а
Это ведет к п однородным уравнениям с (й-f-l) неизвестными
<х0, а1; . . ., а„ и всегда можно найти нетривиальное решение.
Следовательно, p(t) не нуль, а поэтому система {fn(t)} — непол-
неполная. Теорема [3.4.2] доказана.
Из [3.4.1] и [3.4.2] следует, что полная артонормированная [3.4.3]
система всегда бесконечна, но счетна.
Замкнутая система всегда бесконечна. [3.4.4]
В самом деле, если для любого в > 0 интеграл
/
dt < s для некоторых {с4}, то, используя тео-
теорему Больцано — Вейерштрасса, можно найти такие числа ЫЛ, что
П/@ —2<Ш9 л = о.
a L i=1 J
п
Следовательно, f(t)= 2 rfi/t@ почти всюду. Если в качестве
1=1
функций /@ будем выбирать последовательно функции 1, t,

96 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z,2
Р, ..., tn, то получим линейную зависимость степеней {tk}
(& = 0, 1,2 я), что противоречит известной теореме алгебры.
[3.4.5] Замкнутая ортонормированная система всегда бесконечна,
но счетна.
Эта теорема следует из [3.4.1] и [3.4.4].
Теперь мы приведем теоремы, которые сводят полноту или
замкнутость некоторой системы .функций к аналогичному свойству
ее счетной части.
[3.4.6] Каждая замкнутая система содержит счетную замкну-
замкнутую часть.
Доказательство. Пусть {wi{f})—та же система, что
в [3.4.1] и пусть {/@}—данная система, замкнутая относи-
п
тельно /А Обозначим через h(t) линейные формы 2 Cj/i(O>
i
где /j(?) выбираются произвольно из системы {/@}. а сг—любые
постоянные. Построим схему
hn (о,
@. B5)
где hpq(t) (р, G=1, 2, ...; р > q) — одна из функций h(t), для
которой справедливо неравенство:
Так как система {/@} замкнута, то hpq(t) для каждой пары
чисел p,q{p^-q) существует. Если л натуральное число и s>0,
то для /?>я, /?> —, <7 = га имеем
Если рассмотрим теперь только те fi(t), которые были исполь-
использованы при построении функций hpg(t) схемы B5), то эти функ-
функции образуют не более чем счетную часть от {/@}> так как
система {hm(t)\ счетна и каждая функция hpq(t) составляется
из конечного числа функций fi{t). Линейные комбинации элемен-
элементов этой системы {/$@) приближают каждую функцию wi{t)
сколь угодно точно. Так как система {w^t)) всюду плотна, то
система линейных комбинаций функций fi(t) тоже всюду плотна.
Следовательно, система {/j@} замкнута и не более чем счетна,
а в силу теоремы [3.4.4] она всегда будет счетной.
[3.4.7] Каждая полная система содержит счетную полную часть.
Доказательство. Пусть система {/@} полна относи-
относительно /А Система {f(t)} является частью ZA Но пространство I?

СЧЕТНОСТЬ 97
сепарабельно (см. [1.3.9]). Покажем, что система {/@} сама
сепарабельна. Это является главной частью доказательства.
Пусть \gi(t)} — счетная, всюду плотная часть из Z.2 и 8i—рас-
8i—расстояние (git {/}), т. е. нижняя грань расстояний (git /) для всех
/@6 {/@}-
Тогда существует такая функция /*@> что
lift—/ill<8<H-T-
Мы утверждаем, что множество {/*@}> которое не более чем
счетно, всюду плотно в {/(()}. В самом деле, пусть f(t)? {/@}
и s > 0. Тогда существует функция gt(t) такая, что
Отсюда имеем, что 8<<-|-, а поэтому ||^—/ill < 8f-f-у <-|-,
следовательно, |]/—/j||<e.
Теперь мы покажем, что система функций [fi(t)} полна.
Если h(t)?L2 и
J А @ Л @^ = 0, г —любое, B6)
а
a f(t) — какая-нибудь функция из системы {/@}, то по доказан-
доказанному выше существует последовательность функций из си-
системы {fi(f)}, которая сильно сходится к f(t). Вместе с равен-
равенством B6) это показывает, что
ъ
fh(t)f(f)dt=tO
а
для всех /@6 {/@}- Следовательно, й@ = 0 почти всюду.
Поэтому система {/*@} полна и не более чем счетна, в силу же
теоремы [3.4.2] она счетная. Этим теорема [3.4.7] полностью
доказана.
Напротив, бывают неполные системы линейно независимых
функций, имеющие мощность континуума. Пусть, например,
S — множество всех функций из L? на отрезке [0, 1]. Если
положим каждую функцию равной нулю на A,2], то получим
2е функций, которые определены на [0, 2]. Это множество функ-
функций содержит такую часть Т мощности континуума, что все
элементы Т линейно независимы. Если положить h (t) = 0 при
t(z[O, 1] и h@=1 ПРИ ^€0> 2], то функция h{t) будет орто-
ортогональна ко всем функциям множества Т и не является функцией,
равной нулю почти всюду на [0, 2].
7 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейигауэ

98 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В /,а"
§ 5. Полнота и замкнутость
В этом параграфе будут указаны некоторые свойства полных
и замкнутых систем.
[3.5.1] Если система полна на [а, Ь\ и а < ft'< ft, то она полна
также на [а, Ь'\.
Это свойство очевидно, так как если существует такая функ-
функция g(t), что
Ь'
ff(t)g(f)dt=O
а
для всех функций f(t) нашей системы, и функция g(t) отлична
от нуля на множестве положительной меры, принадлежащем
отрезку [с, ft'], то можно продолжить эту функцию, положив
g(t) — O при t?{b', b]. Тогда для продолженной функции g(t)
и всех функций f(t) системы имеет место равенство
Таким образом, неполнота системы на отрезке [а, Ь'\ влечет за собой
неполноту на отрезке [а, Ь\, что и требовалось доказать.
Из доказательства также видно, что обратная теорема не-
несправедлива (например, система {sinA^} (k— 1,2,3, ...) полна
на [0, тс] и неполна на [—я, тс]). Аналогом к теореме [3.5.1]
является теорема:
[3.5.2] Если система замкнута на отрезке [a, ft], то она замкнута
также и на отрезке [а, Ь'\, где а < Ь' < Ь. В самом деле,
Ь' г п -|
/ / W ~ 2 C*f* W \
a \_ i = l J
Пополнение систем. Очевидно, что каждую неполную
систему можно пополнить. Для этого достаточно взять некоторую
полную систему и добавить ее к неполной. Но не тривиальна
теорема:
[3.5.3] Каждую ортонормированную систему можно расширить
до полной ортонормированной системы присоединением подхо-
подходящих функций.
Доказательство. Пусть {<р<@} — ортонормированная, но
не полная система. Множество {f(t)\ ¦ всех функций, которые
нормированы и ортогональны ко всем <Pi@» не пусто. Непосред-
Непосредственно видно, что система {<р<@}+{/@} полна, а поэтому
по теореме [3.4.7] она содержит счетную полную часть Т

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ 99
Т содержит не более, чем счетную часть \fi(t)} множества {/@}.
вследствие чего Т содержится в {<р<@}+ {/»(')}• Следовательно,
система {<pj(O} ~Ь {/»@} полна и счетна. Если расположить
функции системы \fi(t)} в последовательность fi(t), /2@. • • •
(конечную или бесконечную) и вычеркнуть последовательно
каждую функцию fjc(t), которая линейно зависит от предыдущих,
то получится система функций \fi(t)), которая линейно независима,
нормирована и ортогональна ко всем функциям cpj(O- Система
{cpj(/)} -f- {/1@} по-прежнему полна. Ортогонализируем систему
{/1@} и обозначим полученную систему через {ф*@}- Образуя
систему {<Pi@} +{Ф<@}. как продолжение системы {<р<@}> полу-
получим полную ортонормированную систему.
Важным свойством пространства Z.2 является эквивалентность
в нем понятий полноты и замкнутости системы функций. Это
свойство основывается на двух теоремах, первая из которых
менее глубока, чем вторая.
Каждая замкнутая система полна. [3.5.4]
Доказательство. В силу [3.4.6] замкнутая система {/@}
содержит замкнутую счетную часть {fi(t)}. Если |<р{@}—орто-
нормированная система, которая получается из {fi(t)\ ортогона-
лизацией, то в силу [3.1.6] система {ф*@} замкнута. Пусть
ь
теперь \ g{t)fi{t)dt — Q для всех I. Отсюда следует, что
а
Ь
) g(t)y
i(t)dt = O для всех I. Если sn(t) — частная сумма ряда
Фурье функции g(t) по системе {<р*@} ([2.5.3]), то в силу [2.6.7]
имеем
&
Г [*(') — *» (<)]*<« = 0.
J
Но коэффициенты разложения являются здесь нулями, сле-
следовательно, sn{t) равно нулю и поэтому g(t) = O почти всюду.
Каждая полная система замкнута. [3.5.5]
Доказательство. Согласно [3.4.7], полная система {/@}
содержит счетную полную часть {/$@}- Из последней получим
ортогонализацией ортонормированную систему {ф*@}> которая
также будет полной в силу [3.1.5]. Мы покажем, что си-
система {<pj(O} замкнута. Если это не так, то найдутся функция
(t)?L2 и число а>0 такие, что
/ —sn (OP dt > а для Чсех я,
а
7*

100 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z.8
где sn(t) определяется как и в [3.5.4]. Если положить
ь
сг— Гg(t)<fi(t)dt, то по неравенству [2.6.4]
2?
1=1
следовательно, lim \\sm — sw|| = 0, т. е. последовательность
т > п •> оо
{sn@} сильно сходится (см. [1.6.1]). Но мы знаем [1.3.1], что
L? — полное пространство, следовательно, в Z.2 существует един-
единственная функция f(t) такая, что f(t)= Lim sn(t) или lim ||У—^та|1=0.
П->со И->со
Применяя неравенство Шварца, получим при п > i
т. е.
ъ
f\f(t) —
П-> со
ь
B8)
[3.5.6]
Ь
Следовательно, Г [f(t) — g(t)]<fi(t)dt = O для всех i, а так как
а
система {<Pj(O} полна, то f(t) — g(t) почти всюду. Поэтому
в неравенстве B7) вместо функции g(t) можно написать функ-
функцию f(t) и тогда получим |j/—Snll>V^ Для всех п- ^о это
противоречит доказанному равенству lim ||/—sn|| = 0. Следо-
П>оо
вательно, система {cpi(O} замкнута, а в силу [3.1.6] замкнута
также и система {/*@}. и тем более замкнута система {/@}>
что и требовалось доказать,
Теорема [3.5.5] — более глубока, чем теорема [3.5.4], так как
1° лемма [3.4.7] более тонкая, чем [3.4.6],
2° при доказательстве [3.5.5] существенно используется одно
из важнейших свойств пространства Z.2 — его полнота, которое
рамо доказывается нетривиально,
Доказательство теоремы [3..5.S] содержит обоснование одноИ
знаменито^ теоремы, которую открыли приблизительно одновре-
одновременно Ф. Рисе и*Е. Фишер A9Q7),
Если система {<fi(t)} ортогональна и нормирована, а {с4}~-яа-
следовательность чисел со сходящейся суммой квадратов^ щд

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ 101
существует функция f(t)?L2, для которой ряд
является рядом Фурье по системе {cpi (^)).
оо
Теорема [3.5.6] утверждает, что в предположении 2 с\ < °°
можно найти функцию f(t)?L2, обладающую свойством B8).
Обоснование этого факта мы можем найти в доказательстве
теоремы [3.5.5], если с самого начала под sn(t) будем понимать
сумму 2с1Фг@ и закончим рассуждения на равенстве B8).
г=1
Применения. Система (sin kt) (k = 1, 2, 3, .. .) полна в [0, я]
относительно L2 [2.3.4], следовательно, в силу [3.5.5], она
замкнута относительно L2. Но отсюда следует замкнутость этой
системы относительно L. Действительно, в силу [1.2.9] для
любой функции f(t) из L существует такая функция g(t) из С, что
Если wn(t) — такой тригонометрический полином я-го порядка
из синусов, что
то
Г
I lg@ — ^п @1 dt < -f > следовательно, f\f(O — wn(t)\dt <г,
о о
чго и утверждалось.
Точно так же доказывается замкнутость системы {coskt),
k = 0, 1, 2. ... на отрезке [0, к] относительно I? и L,.
Теорема Вейерштрасса [1.2.2] показывает замкнутость системы
полиномов относительно пространства С, а вышеприведённый
рывод переносит это свойство на пространства L и L2. Отсюда,
по теореме [3.5.4], следует полнота системы полиномов относи-
относительно L?. Мы хотим теперь доказать полноту этой системы
относительно пространства L; этим мы усилим одну классическую
теорему Лерха. Теорема Лерха гласит;

102 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В L2
[3.5.7] Если функция f(t) непрерывна на [0, 1] и
tndt = O (я = 0, 1,2, .. )•
то /@ = 0.
В этой форме теорему мы, собственно, уже доказали, так
как, если W¦— множество всех полиномов w{t), то предположе-
предположение Лерха влечет за собой равенства
1
J f(f)w(t)dt*=0 при w(f)?W,
о
а так как система W полна относительно Z.2, то она тем более
полна относительно С, и /(^) = 0 почти всюду, т. е., так
как f(t) непрерывна, /(?)== 0.
1
[3.5.8] Пусть теперь f(t)?L и Jf(f)tndt = O (n = 0, 1,2, ...).
о
Если мы положим
то получим
т. е. )F(t)tndt = O при /г = 0, 1,2, .... В силу теоремы Лерха
о
F(t)=zO, откуда /@ = —-F(t) = O почти всюду.
Теорема*[3.5.8] справедлива для любого интервала. Действи-
Действительно, пусть Г f(t)tn dt = O (я = 0, 1,2, . . .). Положим т~^- — *
а
и /@ = ?(т); тогда если f(t)?L, то cp(x)?L и, так как
Ь 1
то Г/(^)тиЛ = 0, т. е. (ft — а) ( ср(т)т"йт = 0.
а о
Поэтому в силу [3.5.8] имеем <p(x)=iO почти всюду на [0, 1) и,

ТЕОРЕМА МЮНТЦА 103
окончательно, /@ = 0 почти всюду на [а, Ь]. Таким образом,
система W полна относительно L на отрезке [а, Ь].
Ортогонализация системы {tn\ на отрезке [—1,1] приводит
к полиномам Лежандра 13.1.7]. В силу доказанного выше и на
основании общей теоремы [3.1.5] эти полиномы образуют полную
ортонормированную систему, а теорема [3.5.5] показывает, что
они образуют также замкнутую систему (что, впрочем, можно
легко вывести и из [1.2.2]).
§ 6. Теорема Мюнтца
Эта теорема является усовершенствованием теорем Вейер-
штрасса и Лерха. Суть ее состоит в том, что существует бес-
бесконечная часть системы [tk], обладающая свойством замкнутости.
Точная формулировка проблемы такова: какой должна быть
последовательность степеней {Pi}, чтобы система функций [tpi]
была бы замкнута относительно L2 на отрезке [0, 1].
Мы можем предположить, что все pi > у. Действительно,
для того чтобы сумма ^iaitPi принадлежала Z.2, коэффициенты
при степенях i?1, где pt^.— -к-' Д°лжны равняться нулю. Сле-
Следовательно, эти степени не играют никакой роли при приближении.
Для того чтобы вычислить наилучшее приближение функции
= tq(q>—-Л посредством линейных форм, образованных
из п первых степеней tvi, мы применим формулу [3.3.3]. Поль-
Пользуясь прежними обозначениями, получим
Pi+Pk + 1 '
So =
1 1
,» „ 1
- -— q + Pi+l
о - ¦ -. ¦ о
A=1, 2, .... »).
Таким образом, если wn (t) — искомая линейная форма, то
II *
Wn@ Г о(ЛЛ.'.,А) '

104
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Л2
где
G{tp',tp\ ....
1
/>s+A+l
1
1
1
Л + ?+1
1
рп _[_ ^ _|_ 1
1
P2+PV +
1
1
1
/Л + А +
1
РпЛ~Р\Л-
1
1
1
1
1
1 ¦ ¦ ¦
Л+/>»+!
1
/'2+/'»+1
1
Рп + Рп+1
1
?+/>» + !
1
Pl + Pn+l
1
o(tq,tv-
Для оценки этих определителей мы используем теорему
К о ш и об определителях вида
1
/, ft = l, 2, .... л),
согласно которой величина D равна
П <^-/>*)(?*
п, п
р
I, ft-1, 1
B9)
Здесь произведение g знаменателе распространяется на все п2
пар (г, ft) от A, 1) до (п, п), тогда как в числителе произведе-
произведение распространено лишь на такие пары (/, к), где i > k.
Доказательство теоремы Кош и. Если разложить
определитель D и просуммировать все его члены, то мы увидим,
что D является рациональной функцией (—л)-й степени от piy qk,
так как каждая дробь -—г-^ имеет степень —1. Следовательно,
если привести определитель D к общему знаменателю
и, и
IT 0>i + <7fc) степени п2, то степень числителя будет не больше,
г, к=\, 1
чем я2 — я. Но числитель должен обращаться в нуль при
Р\ — Рк 0' ?= й) и Я1=*Як Q Ф &)> так как в этом случае у опре-
определителя D совпадают две строки (или два столбца). Следова-
Следовательно, числитель должен содержать все множители /?4 — рк,
qi—qk(i ф ft), общее число'которых есть я2 — п. Это число совпа-

ТЕОРЕМА МЮНТЦА
105
дает со степенью числителя, следовательно, числитель может
отличаться от произведения .11 (ft— Рк)(Я%—Чк) лишь постоян-
постоянным множителем.
Чтобы найти этот множитель, положим в определителе D
р.=2щ{~1 и <7i=l—/и*. Очевидно, что при т. —> со элементы
определителя D стремятся к элементам определителя
1
0
0
0
1
0
0
0
1
... 0
. . . 0
... 0
О 0 0
1
и потому D стремится к 1. Выражение B9) ведет себя точно
так же. Таким образом, постоянный множитель равен 1, и вели-
величина определителя D совпадает с выражением B9).
Мы можем применить теорему Коши к G(tp\ t*', ..., tpn),
\-~2 за- Ри а Рк~\~~2 за Як- Тогда получим
ОС*.** iPn)-~
считая
1> 1
и точно так же
П <Pi+Pk + !) П {Рг
1,1 г = 1
' + D
следовательно,
C0)
Чтобы система {tp} была замкнута относительно L2, выраже-
выражение ||/* — «>я@11 для каждого ^>0 должно быть сколь угодно
малым при соответствующем выборе числа п и функций
tp\ tp\ ..., t n из {tp). С другой стороны, этого достаточно, так
как функции *%> 0) образуют, разумеется, замкнутую систему (это
можно вывести, как и в доказательстве [2.4.5]). В силу C0) из
этого необходимого и достаточного условия следует, что система

106
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z.2
степеней {/?} должна содержать для каждого q такую последо-
последовательность {рг}, что
п
C1)
(при этом произведение, содержащее нулевой множитель, при-
принимаем за сходящееся).
Здесь возникают следующие возможности:
1°. Если система {/?} имеет конечную предельную точку р^
и рт ф „", то существует такая последовательность {/?,-}, что
lim pi = poa. Тогда справедливо равенство
г>оо
lim
Poo —Я
а так как q ;> О, /7ОТ > к~' то
Рсо — Ч
<1
и отсюда следует равенство C1).
2°. Если —у является предельной точкой системы {/?}, то
существует последовательность
что lim Pj~ — у-. Рассмотрим произведение
Pj
чисел этой системы такая,
C2)
Возможны два случая:
с»
а) ^ +
<оо,
= СО.
В случае а) произведение в числителе в выражении C2) схо-
сходится к нулю,' тогда и только тогда, когда равен нулю один
из сомножителей, т. е. если ^ = ft для некоторого и Но если q
отлично от всех pit то предел произведения в числителе поло-

ТЕОРЕМА МЮНТЦА
107
жителей. Так как
°° Pi + -
П '+^т
1 \ Я + -п
< оо,
то в этом случае критерий C1) не выполнен для таких q и для
рассматриваемой последовательности {pt}.
В случае C), ввиду соотношений lim pt = к-, Pi> — -о-,
справедливо неравенство
й+4
0 < -т— < 1 (начиная с некоторого г),
следовательно, произведение в числителе (в силу C)) сходится
к нулю, а произведение в знаменателе расходится к бесконеч-
бесконечности, поэтому критерий C1) выполнен.
3°. Пусть теперь lim /?; = -)-оо и q ф Pi (для всех г).
i
Запишем
П( Pi
, XPt +
)
Щ+Чг)
C3)
и рассмотрим случаи
(Pi Ф 0>
(ft ?= 0)
В случае а) произведения в числителе и в знаменателе пра-
правой части C3) сходятся к конечным пределам, которые отличны
от нуля. В случае fj) числитель сходится к нулю, а знаменатель
расходится к оо. Следовательно, критерий C1) не выполнен
в случае а), но выполнен в случае Р).
Все сказанное можно сформулировать в виде следующей
теоремы:
Для того чтобы система {tp\ @-^f-^l) была замкну-
той относительно L2, необходимо и достаточно, чтобы мно-
множество степеней {/?} содержало последовательность

108
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z.2
удовлетворяющую одному из следующих условий:
1°. lim Pi = Po0>— 1;
г >оо ^
2°. lim ft =—¦?-,
i>oo ^
i=l
= оо;
3°. Hm /7^ == оо, V-—= оо (ръфО).
i > оо ^™ Pi
Чтобы доказать необходимость, заметим, что в случае,
когда система {/?} не содержит ни одной последовательности {ft}
с указанными в теореме [3.6.1] свойствами, система {р} или
конечна, или состоит из последовательности {ft}, обладающей
свойством lim pi = Т-, а
< оо, или из такой
последовательности {//}, что lim// = oo, a 2j~t <. ~\~ °°
(/?! =^= 0), или, наконец, из двух таких последовательностей [Pj]
и {/^}. Соответственно этим случаям, если система {/?} беско-
бесконечна, q отлично от всех pv p\ и
.2
[ — Я
то всегда справедливо неравенство ||?* — «»„
Уа
(или
или
то справедливо соотношение
. Если же {p)=(Pl, p2, ..., рп),
1
П
Pi —Я
Следовательно, во всех этих случаях приближение имеет поло-
положительную нижнюю грань, которая эффективно определена.
Примеры. Если {/?$} — последовательность всех (положи-
тельных) простых чисел, то lim pt= оо, V — = -|-оо. Следо-
i>oo ~^ Pi
вательно, система {tpi} замкнута. Система |^"+1| (я=1, 2, ...)
замкнута, так как lim " — 1. Точно так же система \\/t}
и->со "+'

ТЕОРЕМА МЮНТЦА 109
является замкнутой. Легко видеть, что обе последние системы
являются плотно-замкнутыми системами в смысле [2.4.7]. Напро-
\t 2 n
тив, система \t 2 n I замкнута, но не плотно-замкнута, так как,
например, система \t 2 "a J уже не замкнута.
Теорема [3.5.4] вместе с [3.6.Г] дает критерий полноты
системы {^} относительно Z.2. Следовательно, теорему Лерха
можно усилить в другом направлении, нежели [3.5.8].
Если f(t)?L2 и [3.6.2]
1
для множества степеней {/?}, удовлетворяющего крите-
критерию [3.6.1], ото /(^) = 0 почти всюду (например, р может про-
пробегать все простые числа).
Эту теорему можно частично распространить и на простран-
пространство L. Именно:
Если f(t)?L и
(;=1, 2, з, .
Pi>0, lim ft==-f-oo, 5] — == + °°' C4)
i > со ^" Л
/ио /(^) = 0 почти всюду*).
l
Положим F(t)= Сf(u)du. Тогда имеем
*) Нетрудно показать, что теорему [3.6.2] можно распространить
на пространство L и в некоторых других случаях. Например, если {р}
содержит последовательность {/>,-} с lira р. = р^ > -^ или lira pt = + it ,
но ряд
с»
\ Л — ^
ii
i-Юо** '^' 2 i>oo
~ °°' то система {<р} полна относительно /.. Дока-
зательство аналогично приведевному. (Прим. перев.)

ПО ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z,2
с»
Но теперь F{t)^L2, lim (ft—1) = со, V r==+oo,
i>oo ;¦¦ Pi l
4 = 1
(где 2 означает, что ft=l пропущено); следовательно, в силу
[3.6.2] F(t) = 0, а поэтому /(^) = 0 почти всюду.
[3.6.3J Следовательно, в предположениях C4) система {tpi} является
полной относительно L. Эта система замкнута относительно L,
так как она обладает этим свойством относительно Z.2 (см. [3.5.6],
прим.). Но последовательность {^—1} имеет свойства C4),
со
т.е. рг—1 >0 (с некоторого/j), litn (pt-—1)=со, V——г =
= -|-со, поэтому система {t^1} замкнута относительно L. Если
использовать утверждение [2.4.5], то получим:
[3.6.4] Если последовательность {р,-} обладает свойствами
UO
lim рг — оо, V— = -(_со {pi > 0) *), то система {^*} вместе
с 1 образует замкнутую систему относительно С.
оо
(Если условие V — =-|-оо не выполняется, то система не
г = 1
замкнута относительно Z.2, а следовательно, не замкнута и отно-
относительно С. Наличие в системе единицы также необходимо для
замкнутости, так как без нее невозможно было бы равномерно
приблизить функциИ| которые отличны от нуля при ^ = 0, ибо
все функции tpi (Pi > 0) равны нулю при ? = 0.)
Теорема Мюнтца [3.6.4] является обобщением теоремы Вейер-
штрасса [1.2.2]: если lim pt = oo, то условия а) 0?{/?{};
4-5>-оо
Ь) ряд V — расходится, необходимы и достаточны для того,
чтобы в теореме Вейерштрасса можно было рассматривать лишь
степени {tpi}.
§ 7. Равенство Парсеваля
Во второй главе мы уже вывели ([2.6.4]) так называемое
неравенство Бесселя
оо 6
*) Здесь справедливо то же замечание, что и для теоремы [3.6.2].
(Прим. перев.)

РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ 111
При этом Ci — коэффициенты разложения }(t) по ортонормиро-
ванной системе {ср»(О}- B случае замкнутой ортонормированной
системы справедливо равенство Парсеваля. [ЪЛ.Ц
i = l a
Доказательство. Пусть sn{t) — частные суммы, sn(t) =
п
= 2 ci9i(t)- Тогда (гл. II, § 6, C0)) справедливо соотношение:
г = 1
6 Ь п
f [f(t) — sn (t)}> dt= JP it) dt — 2 c\. C6)
a a t=i
Так как {<Pi@}—-замкнутая ортонормированная система, то
в силу [2.6.7] интеграл, который стоит слева в C6), стремится
при п -> со к нулю, а отсюда уже следует C5).
Для тригонометрической системы равенство C5) было дока-
доказано в общем случае (т. е. при f(t)?L?) П. Фату, прежде чем
стала известна теорема Рисса — Фишера.
Если {cpi(O} является замкнутой ортонормированной системой,
то равенство C5) ведет к равенству
Ь со
f f(t)g(t)dt=^cndn, C7) [3.7.2]
О И = 1
где (гл. II, § 5, B5))
со со
/@~ 2 с„ср„(О. ^@~ 2 dn<?n(t).
и=1 ге=1
оо
В самом деле, так как f(t)±g(t)~ 2 (с„± dn) ср„(?), то
равенство C5) дает
6 со
п-\
а отсюда путем вычитания получаем формулу C7).
Геометрически равенство C5) дает выражение длины век-
вектора f(t) через его компоненты относительно прямоугольной
координатной системы {<?i(t)}. Векторы ср4(^) являются здесь
единичными векторами, которые определяют координатную систему.
Формула C7) является формулой скалярного произведения двух
векторов f(t) и g(t).

112 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z-3
Если положим в C7) f(t) = g(t), то получим равенство C5)
как следствие C7). С другой стороны, равенство C6) показы-
показывает, что из C5) следует
ь
Нт Г [/@ — sn(t)\*dt~O.
»>оо J
Если мы привлечем сюда еще теоремы [3.5.4] и [3.5.5], то непо-
непосредственно получим:
[3.7.3] для mOzo чтобы ортонормированная система {<?i(t)} была
полной относительно L2, необходимо и достаточно выполне-
выполнение любого из трех условий:
1°. Система {<р»@} замкнута относительно L2.
со Ъ
2°. 2 с2== J P(t)dt для всех f(t)?L2.
г=1 а
со Ь -
3°. 2С^= S f(t)g{t)dt для всех /@, g(t)eL*.
1 = 1 О
Условие 2° может быть ослаблено. Именно, достаточно пред-
предположить выполнение равенства Парсеваля для всех функций f(t)
некоторой полной системы {fit)}. Необходимость очевидна.
Предположим теперь, что 2° справедливо в новой формулировке;
система {/@}€ ^2 полна, следовательно она замкнута. Если
п
g{t)?L2 и е > 0, то существует такая линейная форма 2 Т*/г@>
г=1
ЧТО
п II
—2 Ti/i (<)<¦?•
i-l U
Но, в силу 2°, lim \\f(t) — sn(t)\\ = O для всех /@€{/@Ь еле-
ге->оо
довательно, также
II T*/i @ — V?> @ IK is при щ > Nt (/ = 1,2 я).
Отсюда имеем в итоге, что
<г- C8)
При этом sJ*'(O являются частными суммами ряда Фурье функции
п
/|@ (/ = Ь2 п) по системе {cpftСО}» поэтому 2
2

ТЕОРЕМА РИССА ФИШЕРА 113
линейная форма от конечного числа функций <fk(t). НеравенствоC8)
показывает, что система {<Ps(O} замкнута, а следовательно, и
полна, что и требовалось доказать.
Одним из следствий предыдущего является теорема:
Для того чтобы ортонормированная система {<р&@}
была полной, достаточно (и необходимо), чтобы для всех
п(п— 1, 2, ...) выполнялось соотношение
\ 2
\а I
Таким же условием является выполнение соотношения
оо / Р \2
—«=2Ц/<Р*(')Л) [3.7.5]
для всех а, [3 таких, что а^а^[3^6. Здесь в первом случае
в качестве системы {/(/)} выбираем систему \tn), а во втором
случае выбираем множество функций fit), которые равны 1 при
t?[a,$] и равны 0 в противном случае.
§ 8. Теорема Рисса — Фишера
Мы уже высказали и доказали эту теорему, в § 5. Здесь же [3.8.1]
мы хотим привести другое доказательство.
со
Пусть {<р»@} — ортонормированная система и 2 с? < °°-
Положим
/ «Pi («) du, F (t) = 2 «vfc (t)
и заметим, что последний ряд сходится равномерно. Это непо-
непосредственно вытекает из доказательства [2.6.9]. Следовательно,
функция F(t) существует и непрерывна. Мы покажем, что F (t)
абсолютно непрерывная функция. В самом деле, если положить
п
2
»@ = 2cm(<), C9)
il
то Sn(t) — sn(t) почти всюду и lini Sn(t) — F(t) равномерно,
П -> оо
« Зак. 2542. С, Качмаж в Г. Штсйнгауи

114 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В I?
Если Е— некоторое множество значений t и y(t) — его харак-
характеристическая функция, то
ь
f \S'n @| Л = /1 sn (t) \dt = / т (/) I sn(t) \dt <
- l/
Следовательно, колебание функции Sn(t) на множестве Е,
независимо от п, может быть сделано малым одновременно
с тЕ. Но это доказывает абсолютную непрерывность функ-
функции F(t). Следовательно, F(t) почти всюду имеет производ-
производную f(t) и
t
t
= ff(u)du, D0)
ибо F(a) = 0 (ввиду того, что 5„(а) = 0).
Теперь мы покажем, что {sn(t)} слабо сходится к f(t).
В силу [1.6.4] (/? = 2) для этого необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись соотношения
ь
ГI sk @12 dt <; X (X не зависит от К)
a
t t
lim Г sk(u)du =. Г f(u)du
ft->co J J
a a
Первое условие выполняется для Х = 2с^, а второе условие
i=i
равносильно C9) и D0). Формула B3) § 6 гл. I, определяющая
слабую сходимость последовательности (при /? = // = 2), и ра-
равенство
ь
Ci= f sn(t)<?dt)dt (n>i) D1)
дают
lim
n
im f sn(t)<?i(t)dt= Г
-> со J J
a
Так как слабый предел последовательности в I? также при-
принадлежит L2, то равенство D1) показывает, что мы нашли функ-

ТЕОРЕМА РИССА ФИШЕРА
115
цию f(t)?L2, разложение которой имеет наперед заданные
коэффициенты [сг). Но это и есть содержание теоремы Рисса —
Фишера.
Это доказательство позволяет эффективно определить функ-
функцию f(t) при помощи равномерно сходящегося ряда для функ-
функции F (t). Но и первое доказательство этой теоремы не лишено
этого преимущества. Оно основывается на сильной сходимости
последовательности \sn(t)}' и на постулате Коши, т. е. на
свойстве пространства L2, которое было высказано и доказано
в [1.3.1]. Исходя из равенства
/ т \Т
II*™ —*п11= 2 4 («>«)
\i=n+l J
оо
и из сходимости ряда 2 ci мы построим последовательность
индексов {пк) (в [1.3.1] доказывалось их существование), для
которых последовательность [snAt)) сходится почти всюду в обыч-
обычном смысле.
оо
В самом деле, если 2 si—сходящийся ряд с положительными [3.8.2]
г = 1
членами и
00
2 2
Ci,
2 2
то определяем пи п2, ... из неравенств гП1 < еи гщ < е2, ...
имеем 115П— 5геИ<е1' И5И~5и11 < s2. • • •
По [1.3.1] (при р = 2 и sn вместо хп) lim sn (t) — f(t) почти-
к-*са к
всюду, и обычный предел подпоследовательности совпадает с силь-
сильным пределом всей последовательности.
Функция f(t), существование которой гарантируется теоремой
Рисса — Фишера, однозначно вычисляется в [3.8.1] и [3.8.2], причем
оба способа приводят к одному результату. Эта функция является,
очевидно, единственным решением проблемы, если система {<Pi(O}
полная. Если же система неполная, то существуют отличные от
нуля функции g(t), разложения которых по системе {<Pi(O} имеют
коэффициентами только нули. Но тогда функция f(t)-\~g(i) имеет
то же самое разложение, что и функция f(t), а сумма f(f)-\- g(t),
где g(t) пробегает все вышеупомянутые функции, представляет
все функции с данным разложением. Найденная в [3.8.1] и [3.8.2]
функция f{f) отличается от остальных наименьшим значением
нормы. В самом деле, если g{t) ортогональна ко всем cpi(O и
8*

116 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В Z,2
не является нулем почти всюду, то
ь
Г 5ге@#@^ = в Для Всех п
а
и, так как f(t)—слабый предел sn(f), то
ь
поэтому
6 Ь Ь Ь
f lf(t)+g№dt= J P(t)dt+ f g4t)dt> f P(t)dt.
a a a a
Единственность решения проблемы Рисса—'Фишера эквива-
эквивалентна полноте системы, а следовательно, эквивалентна любому
из трех условий в [3.7.3].
Пример. В ряде
i = l
коэффициенты с{ = —. Если положим щ=^^, то nlt n2, ...
.1 ^ 1 . 1
нужно определять из неравенств rWi< rj, гщ < =j- /*)tft < tj ,
со
где гп == V -з-< — ¦ Следовательно, достаточно потребовать,
1 1
чтобы —^.3. т- е- Пн^-к*. Поэтому, например, частные суммы
sk<(t) ряда D2) почти всюду сходятся к той функции f{t), раз-
разложением которой является этот ряд.
[3.8.3] Теорема Рисса — Фишера устанавливает с помощью лю-
любой полной ортонормированной системы взаимнооднознач-
взаимнооднозначное соответствие между всеми функциями из L? и всеми
числовыми последовательностями, которые имеют сходящуюся
сумму квадратов.
Пусть {<р* @}» {4** СО} — Две полные ортонормированные си-
системы. Если мы положим

ТЕОРЕМА РИССА ФИШЕРА
то формулы Парсеваля [3.7.1], [3.7.2] дают
117
2
а это означает, что матрица
нормирована и ортогональна по строкам. Но она также полна
по строкам: если бы она не была полной (см. опред. [3.2.4]), то
00
существовала бы такая последовательность {еок}, что 2 еол—*>
л—i
00
2 eoke»ft = 0 (/ = 1,2, ...). По теореме Рисса — Фишера суще-
й = 1
ствовала бы тогда функция <ро(О> разложение которой по системе
(фл(/)} имело бы коэффициентами {eoj!}. Применяя формулы Пар-
Парсеваля к <ро(О и <?i(t), получим
D4)
Но это противоречит полноте системы {<$i(t)). Те же самые
соображения показывают, что матрица Е является также полной,
нормированной и ортогональной по столбцам.
Предположим теперь, что задана некоторая матрица Е. Если
она нормирована и ортогональна по строкам, а {фА@} является
полной ортонормированной системой, то каждую строку можно
рассматривать как последовательность коэффициентов (однозначно
определенной) функции cpi(O по системе {^@}- Формулы D3)
доказывают ортогональность и нормированность функций <р»@-
Точно так же формулы D4) показывают, что система {<Pi(O} полна,
если матрица Е построчно полна. Отсюда следует:
Для того чтобы матрицу ||eift|| можно было рассмат-
ривать как матрицу коэффициентов некоторой ортонорми-
ортонормированной хистемы {<р»(*)} по некоторой полной ортонормиро-
ортонормированной системе {^@}> необходимо и достаточно, чтобы
матрица ||е^|| была нормирована и ортогональна по строкам.
Чтобы, кроме того, система {<р»@[ была полной, необходимо
и достаточно, чтобы матрица была полна по строкам.
[3.8.4J

118 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В L?
[3 8.5] В связи с теоремой Рисса — Фишера возникает вопрос, является
ли порядок функций существенным в полной ортонормированной
системе. Другими словами, если \yn(t)} — полная ортонормирован-
ная система, {<pnfe@}—переставленная система {<рге@}> и если
со
2 с2п < со, будут ли тогда оба ряда
2Л ЧЧ
являться разложением одной и той же функции?
Утвердительный ответ легко получить из вывода [3.5.6].
В самом деле, нужно доказать, что
т т
Lim 2 ci?iW= Lim 2 сп.<?„ W.
т -» оо i = 1 i»->m i = l * i
ибо оба сильных предела дают искомые функции. Но для доста-
достаточно больших т справедливо неравенство
1/ 2
так как г (/и)—>¦ схэ при неограниченном возрастании /и (i(m) озна-
означает наименьший индекс, для которого с^(^) не уничтожаются
в разности).
[3.8.6] мы получили также метод определения некоторых нетривиаль-
нетривиальных операторов. Пусть {\}—какая-нибудь ограниченная числовая
( 1 1
последовательность и пусть последовательность {-.—> также огра-
ограничена. Если {<Pi(x)} и {^(х)}—две полные ортонормированные
системы и если мы положим
со со
*(т)~ 2 WiW. .ус*)- 2 V^W.
il il
то тем самым будет определен оператор у — U (х). Действие
оператора U заключается в том, что функцию x(z) разлагают
по системе {<Рг(т)}< потом формально образуют ряд по системе
{Фг(т)}> который в силу теоремы Рисса — Фишера определяет
некоторую функцию y(t). Аддитивность оператора очевидна.
Равенство Парсеваля для у1 = U(х{), уг = U(х2), |Х^|<Х пока-
показывает, что \\у2—у11| <; ~к || х2 — Xjll, т. е. непрерывность опе-
оператора. Таким образом, оператор y = U(x)—линейный. Предпо-
Предположение |Xi | < \ было использовано для того, чтобы из сходимости
со со
ряда 2 с\ вывести сходимость ряда 2 Ц,с\ • Предположение же
г=1 %=1

БЕСКОНЕЧНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ 119
г— <С [л достаточно для обращения этого заключения. Поэтому
однозначный оператор х = t/(_y) удовлетворяет неравенству
11*2—ХЛ ¦^Р'Н.Уг—^lll- Следовательно, обратный оператор U~1(y)
является линейным оператором, определенным во всем простран-
пространстве L2.
Важнейшим в теореме Рисса—-Фишера является взаимноодно-
взаимнооднозначное, непрерывное, линейное соответствие между L2 и I2.
Это соответствие позволяет проблемы, которые формулируются
на языке функций, переводить в проблемы анализа бесконечного
числа переменных. Если такая проблема разрешена в этом новом
виде, то та же теорема Рисса — Фишера позволяет снова выра-
выразить ответ на языке функций.
§ 9. Бесконечные интервалы
Все сказанное до сих пор, за исключением теоремы Кости-
цына, относилось к конечным интервалам. Бесконечные интервалы
(а, со), (—со, Ь) или (—со, со) точно так же могут рассматри-
рассматриваться при построении ортонормированных систем. Ради краткости
мы рассмотрим только интервал (—со, со). В этом случае условие
п
f(t)?Lp (р > 1) означает, что существует Sim Г | f(t) \p dt < со.
-п
Вследствие этого, мы не можем теперь заключить, что Lp cz Lq
при р^д. Действительно, если, например, f(t) = при
t? [я, я-f 1] (я==_0, 1, ...) и/(— f) = f(t), то/@6/Л а с дру-
другой стороны f(t)?L. Существуют также функции, которые при-
принадлежат L2 и не принадлежат ни одному I? (рф2). В самом
деле, пусть
ак > 0, Ьк > 0 для всех k,
к=\
ft=i fe = i
для всех s > 0. Если положить
fit)-
ап при tkz\n, я+1— p-j
Ь„ при *е(я+1— 1 я+1| («=1,2,...)

120 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В I?
и f(t) = O в остальных точках (—со, сю), то функция
и f(t)?Lp при рф2.
[3.9.1] ПУСТЬ /@€^Р и
f m_|/@ При {t]<tlt
/nW — I о при |/| >л;
тогда без труда можно показать, что
Г |/@—/п
как и в конечном интервале. Неравенства Гёльдера и Минков-
ского справедливы также и в бесконечном интервале и вслед-
вследствие этого определения ортогональности, полноты и замкнутости
переносятся без изменения. То же самое относится к процессу
ортогоналязации Шмидта. Соответственно этому, остаются спра-
справедливыми теоремы II и III глав, в частности, неравенство Бес-
Бесселя, равенство Парсеваля, теорема Рисса — Фишера и эквивалент-
эквивалентность полноты и замкнутости в пространстве ZA
По-другому обстоит дело с теоремами Вейерштрасса, Лерха
Л Мюнтца ([1.2.2], [3.5.7], [3.5.8], [3.6.1], [3.6.2]); мы покажем, что
для бесконечного интервала они несправедливы. Для этого доста-
[3.9.2] точно указать функцию f(t), которая принадлежит всем Lp (p > 0),
обладает свойством
и не равна нулю почти всюду. Функция
t~l°st sin Bтс log/) при
О при
является такой функцией. В самом деле,
со,
так как степень —plogt стремится к -f- оо при ?->--|-0 и
стремится к —оо при t—>-f-oo. Теперь мы вычислим интеграл
со
4= f flast sin Bя log 0 ^ dt.

БЕСКОНЕЧНЫЕ ИНТЕРПАЛЫ 121
Сделаем подстановку и = i bl°g^ тогда получим
sin 2*(« + :1+!)е("+) V+ du =
(так как sin 2я и — нечетная функция).
Тем не менее, существует счетная система в (—оо, оо), [3.9.3]
каторая полна относительно I? (р^-l). Если {1п) — последо-
последовательность всех интервалов с рациональными концами и fn(t) —
характеристическая, функция 1п и если
со
/ g(t)fn(t)dt=O для всех п,
— ОО
где g{t)?L? (/>!> 1), то g*(?)=0 почти всюду. В самом деле,
Следовательно, Г g(t)dt = O для любого конечного интервала /.
Вследствие этого
т. е. g(t) = O почти всюду. Поэтому система \fn(t)} полна
в (—оо, оо) относительно Lp для всех

ГЛАВА IV
ПРИМЕРЫ
§ 1. Полиномы Лежандра
Запишем дифференциальное уравнение Лапласа, т. е. уравне-
уравнение ньютоновского потенциала, в полярных координатах г, 8, ср.
Если искать решение в виде R (г) в (ft) Ф (ср), то для в (ft) по-
получится обыкновенное дифференциальное уравнение, которое
после подстановки cos 8 = t принимает вид
Здесь т2 является постоянной величиной, равной =-. Послед-
Последнее выражение должно быть постоянным, так как функция
и = R (г) в (8) Ф (ср) удовлетворяет уравнению Дм —0. При »г = 0
получаем уравнение
-|г(A-г2M) + л(я+1)9@ = 0.
Это дифференциальное уравнение называется уравнением
Лежандра. При п = 0, 1, 2, ... легко можно найти два частных
решения. Одно решение, полином га-й степени
р /л _ 1 -3'5- • • B" - 1) и я (я - 1) , .
ГпКЧ— 1.2-3... п ¦ V 2B«—1)Г ^
, я(я-1)(я-2)(я —3) i I rn
~г" 2-4-Bп—1)"Bп —3) ""Г К)
называют полиномом Лежандра га-й степени. Имеем
= ¦!.B31*6 — 315^+Ю5^2 — 5) и т. д

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 123
Полином Pn(t) является также решением дифференциального
уравнения при комплексных значениях t.
Теорема Род риг а. Полином Pn(f) равен
Эта формула устанавливается с помощью дифференцирования и
сопоставления с A).
Если л натуральное и k = 0, 1 п—1, то
C)
Доказательство. Равенство B) и интегрирование по
частям показывают, что
-1 -.1
1 1
)_1)я
k
—*- Г.
2»л! J
-1.
-1 -1
Но функция (?2—1)" имеет в точках t-=±\ нули кратности п,
следовательно, ее производные до (и—1) порядка включительно
имеют нули в точках ^ = =±г 1. Поэтому, интегрируя k раз по
частям, получаем, что интеграл C) равен
= 0,
сле-
слетак как л — &—1 > 0 (при и — k—1=0 символ—^^
дует опустить). Непосредственно из формулы C) следует, что
тфп О,л = 0, 1, 2, ...), D)
так как при т. < л интеграл D) распадается на интегралы вида
C) с постоянными множителями.
Этим мы доказали ортогональность полиномов {Pn(t)} на
отрезке [— 1, 1]. При т — п интеграл D) вычисляется следующим

примеры
«-«N«^. E)
При этом мы сначала п раз проинтегрировали по частям, потом
сделали замену 2а = 1 — t, после чего к полученному интегралу
снова применили интегрирование по частям.
[4.1.2] Следовательно, система
является ортонормированной на отрезке [—1, 1], что было обна-
обнаружено еще Лежандром.
Полиномы Лежандра являются попеременно четными и нечет-
нечетными функциями, что вытекает из выражения A). Так как их
степени равны их индексам, то они линейно независимы. Если
мы запишем
F)
0 @ + citPt (t) + ciiPi @ =-
то можно определить коэффициенты c2j, гк ф ^С 0 так> чтобы ра-
равенства F) выполнялись тождественно. Для этого достаточно
приравнять коэффициенты при одинаковых степенях t слева и
справа. При этом прежде всего вычисляем тот коэффициент с,
который соответствует наивысшей степени. Аналогично поступаем
и с нечетными степенями t.
Вычисление коэффициентов с может быть легко проведено,
и оно дает следующую формулу

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 125
которая также была известна уже Лежандру и вывод которой
можно найти в книге Е. Гобсона [2]. В частности, имеем
1 = р0 @; t=px @; /2=4 р2 (t)+4 ро @;
и т. д.
Полнота и замкнутость. В силу [3.1.6] и G) замкну- [4.1.3]
тость системы {tk} в Z,2 влечет за собой замкнутость системы {Pn(t)}.
Отсюда следует их полнота относительно 1У- ([3.5.4]) и относи-
относительно L ([3.5.8]).
Способ наименьших квадратов. В применениях ма-
математики очень часто встречается необходимость возможно более
точно аппроксимировать функцию f(f) на отрезке [а, Ь\ полино-
полиномом wn(f) данной степени п. Линейная подстановка позволяет
рассматривать вместо [а, Ь\ отрезок [—1, 1]. О точности
аппроксимации судят по величине интеграла
1
flf(t) — Wn(t)]2dt.
Принимая во внимание, что полином wn(f) можно представить
п
в виде 2с)Л@> мы приходим к задаче Грама (см. гл. III):
выбрать коэффициенты ск так, чтобы интеграл
1 Г п 2
пт—Ускр^)\(И
J I ^^
-1 L &=o J
был минимальным. В силу [4.1.2], эта задача разрешима одно-
однозначно, Если запишем
ТО ([2.6.2])

126 ПРИМЕРЫ
Следовательно,
ск = Щ± jf(t)Pk(t)dt F = 0,1,2,...). (8)
(Формулы A) и (8) позволяют также вычислять коэффициенты ск,
Г \
• основываясь на вычислении моментов I f(f)tkdt\. Формула (8)
определяет коэффициенты в ортогональном разложении
2Л(о
/с=о
т. е. в разложении в ряд Фурье по полиномам Лежандра.
_\_
Пример. Если разложить функцию A — 2th-\-h2) 2 по сте-
степеням Bt—ft) я
= 1 + ^B^— h)
при условии
|Ц|| (9)
то ряд, получающийся после возведения в степень и раскрытия
скобок, при любом расположении членов сходится к первона-
первоначальной функции. Коэффициент при hn равен
ЬЗ-5- ...
! Bп-1)
п (л —1)(л —2)(л —
^•5- ¦¦¦ B/1-1) f л(л-1) ,
1-2-3- ... л Г 2Bп—\У ^
~ 2-4Bл— 1)Bл — 3)
т. е. он совпадает с Pn(t) (см. A)). Если теперь —1<^-^1
и |ft|<-T, то условие (9) выполняется. Поэтому справедливо
равенство
*) Функция A—2th~\-h2) г называется, вследствие этого равенства
производящей функцией для полиномов Лежандра. (Прим. перев.)

ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 127
причем сходимость равномерна относительно t и h. Но из рав-
равномерной сходимости легко заключить (см. [2.5.1], [2.5.2]),
что ряд,' который стоит в правой части равенства A0), является
рядом Фурье исходной функции A—2th-\-h2) 2. Отсюда и из
(8) следует, что
(я —0, 1, ...)•
Но разложение A0) справедливо при |й|<1 для всех
1
t?[—1, 1]. В самом деле, так как функция A—2th-\-h2) 2 ,
рассматриваемая как функция комплексного переменного h, имеет
особыми точками лишь точки t±Yt2—1, которые при
t?[—1, 1] лежат на окружности |ft| = l, и так как для
малых h (см. условие (9)) справедливо разложение A0), то оно
является разложением Тейлора и, как таковое, имеет место
ДЛЯ |А|< 1.
Теперь мы легко получим рекуррентное соотношение [4.1.4]
для полиномов Лежандра. Если положить u(h, t)=(\—2th-\-h2) 2 ,
то
A_2A* + A^+(A —Qa = 0. (П)
Если подставим сюда вместо u(h, t) ряд A0), то коэффициент
при hn~x в левой части равенства A1) будет равен
nPn(t)-2t(n— i)Pn_l@ + (« — 2)Рп_2@ + Р„_2@ — tPn_x{t)
(я>2).
Он должен равняться нулю, а поэтому
яР„@—Bл— 1)*Я„_1@ + (я— 1)Я«_2@ = 0 (п>2). A2)
Если известны полиномы P0(t) и Pi(t), то с помощью соотно-
соотношения A2) можно легко вычислить все Pn(t). Равенство A2)
также показывает, что нули полинома Я„_1(<) при п^-2 разде-
разделены нулями полинома Pn(t).
Все нули полинома Pn{t) действительны. В самом деле, функ-
функция (t2—1)" имеет в точках t=±l n-кратный нуль. Отсюда
с помощью формулы B) получаем, что все нули Pn(t) действи-
действительны и лежат в открытом интервале (— 1, 1). Мы покажем,
что они все различны,

128 примеры
[4.1.5] Дифференцируя к раз по t дифференциальное урав-
уравнение Лежандра
A—**)Я„@ —2*Р„(9+п(п+1)Рп@ = 0 A3)
получим, что
+ (» — *)(» + *+l)*g|ffi_0. A4)
Если бы а было кратным нулем полинома Pn(t), то мы имели бы
Р„(«) = Р^(а) = 0. A5)
Равенство A3) показывает, что тогда и Ри(а) = 0, так как
1—а2 Ф О (ибо корни полинома Pn(t) находятся внутри отрезка
[—1, 1]). Если положим в равенстве A4) &=1,2 п — 2,
то получим
Я«(а) = 0 Kn)(a)=0, A6)
но это противоречит тому, что — "v является постоянной, ко-
которая отлична от нуля.
Гаусс применял корни полиномов Лежандра к интегрированию
эмпирически заданных функций. Рассмотрим, к примеру, изме-
изменение температуры в течение одного дня. Как нужно выбрать
моменты наблюдения, чтобы из измерений наиболее целесообраз-
целесообразным образом можно было бы определить среднюю температуру
дня и какой формулой связана средняя температура с наблюдае-
наблюдаемыми данными? Существуют формулы для вычисления интеграла
Г f(t)dt по га значениям уи у2, .. ., уп функции f(t), которые
-1
соответствуют п определенным точкам на отрезке •[—1, 1],
в предположении, что f(t) является полиномом степени, не пре-
превосходящей га-—1; эти формулы являются линейными относительно
ух уп с постоянными коэффициентами Alt A2 Ап. Но
Гаусс обнаружил, что нули av a2 ап полинома Pn(t) обла-
обладают тем свойством, что существует п постоянных Аг (одних и
тех же для всех f(t)), i— I, 2, . .., п, которые позволяют вычис-
вычислять интеграл с помощью формулы
A7)

ПОЛИПОМЫ ЛЕЖАНДРА 129
при условии, что степень полинома f(t) не превосходит 2и—1.
Поэтому можно будет среднюю температуру д«я вычислять по
трем наблюдениям, сделанным в подходящие моменты времени,
если температура, как функция времени, может быть достаточно
точно представлена полиномом пятой степени (знание этого поли-
полинома излишне).
Пусть теперь ах, а2 ап — нули Pn(t) и
/(at) |
_ й1) П/ (й1) "Г (/ _ «j IF (в,) "Г • • ¦ "Г (^_йп) П' (йи)
Функция ср0 является известным интерполяционным полиномом
Лагранжа (п—1)-й степени, который совпадает с функцией f(t)
при t = av аг, ..., ап. Если мы положим ^ = /(я<) и будем
интегрировать ср (/), то получим равенство
A8)
где Ai не зависят от функции f(t). Но если f(t) — нолином сте-
степени ^ 2«— 1, то справедливо равенство
1 1
ff(t)dt= ff(t)dt. A9)
В самом деле, функция f(t)-~<f (t) делится на П(^), следовательно,
л
Для того чтобы равенство A9) было справедливо при любых ск,
необходимо и достаточно выполнение условия
•|>П@<Н = 0 (k = 0,1 «—1). B0)
Этим доказана справедливость равенства A7), так как Il(t)
с точностью до постоянного множителя совпадает с Pn(f) и
равенства B0) и C) равносильны.
9 Зак 2542, С. Качмаж я Г. Штейнгау»

ISO ПРИМЕРЫ
Формула A8) для у (t) дает величину коэффициентов А{
1 1
< - J if к)« --S5"Л - J
¦ — I f Pn(t)dt (/=1,2, . .,, n).
— 1 — 1 ""
Числа «j, i4j вычисляются для каждого п отдельно
га = 2: at = — a.z == 0,57735 ...; Л1 = Л2==1;
и = 4: a! = —c4 = 0,861l4 .... Лх = Л4^= 0,34785;
«2 = "«3 = 0,33998 ...; Л2 = А3 ==0,65215.
В задаче определения температуры надо отсчитывать темпе-
температуру около 2 ч. 42 м., около 12 ч. и около 21 ч. 18 м. Сред-
Средняя температура тогда задается выражением
7=1гу + -Г, -\--Тв
Ту, 7д, 7в являются утренней, дневной и вечерней температурами;
0.7746Х 12 ч. = 9 ч. 18 м., 12 ч. + 9 ч. 18 м. = 21 ч. 18 м.,
12 ч. — 9 ч. 18 м. = 2 ч. 42 м;
Г, I f (f \ rjf i ____ Г Л f (ft \ I Л f (/f \ I |. Л -f (ft 41
¦" л \ J v / ** * О I \J \ A/ I ^^2.J \ 2/ ] ЗУ \ 3/i*'
§ 2. Полиномы Чебышева
П. Л. Чебышев первый (в 1854 г.) поставил вопрос об оты-
отыскании среди всех полиномов га-й степени с коэффициентом при
старшей степени равным 1, такого, максимум абсолютной вели-
величины которого на отрезке [—1, 1] будет наименьшим. Иными
словами, коэффициенты ах, а2, ..., ап определяются из условия
max \tn-\-a1tn~1-\- :.. +an| = min.
-к t< i
Чебышев показал, что решение поставленной задачи дается на-
названными его именем полиномами Tn(t),
[4.2.1] T0(t)—l, Tn(t)=-^ cos n(arccost) («-=1,2,...).
Но
cos пЬ = cos» 0 — ^2 Vos«-2 ft sin2 8 + ( " \ cos"-* & sin4 b^z ....
B1)

ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 131
следовательно, при t = cos ft
Как и должно быть, коэффициент при tn в полиноме Tn(t) равен
(-J)+••.) = !• Максимум \Tn(f)\ достигается
в точках, где cos п (arccos t) = zt. 1, т. е. в точках
/! = cosO, cos — , cos 2~ cost:.
На отрезке [—1, 1] всегда | Тп (t) j< ——^; в точках tk — cos k ~
(^ = 0, 1, . . ., п) имеем
Tn(h)^(j=^- (* = 0, 1 я),. B3)
а в остальных точках отрезка [—1, 1] справедливо неравен-
ство \rn(t)\<^{.
Так, например, Ts(t) — t3 — -jt, поэтому среди всех прямых
и парабол второй степени прямая линия y = ~rt имеет наимень-
наименьшее отклонение в отрезке [—1, 1] от функции y = tz. (Это
отклонение равно 1/i и достигается в 4 точках.)
Полиномы B2) являются единственным решением проблемы [4.2.2]
П. Л. Чебышева. Пусть имеем полином
с какими-то коэффициентами at. Если на отрезке [—1, 1]
выполняется неравенство |РИ(^)[^ то из B3) следует
P»<tJ<Tn(tJ, Pn{tl)>Tn{tx),...
и разность /?п@=7^@ — Pn(f) попеременно принимает в точ-
точках t0, tv . . ., tn неотрицательные и неположительные значения.
Степень полинома Rn(t) не превосходит п—1. Если бы было
Rn (/0) > 0, Rn <tt) < 0, /?„. (/,) > 0, .. ., B4)
9*

132 ПРИМЕРЫ
то полином Rn(t) имел бы п нулей, что невозможно. Если бы,
например, было Rn(to) = 0, а все остальное, как В B4), то мы
имели бы между ^ и t^+1 (/=1, 2 п — 1) по одному нулю
и еще один нуль в точке @, а всего опять п нулей. Если бы
имели место соотношения /?п(^) = 0 и
0 (А—нечетное),
Rn(fk-i) < О. Rn (Wi) < 0 (k — четное),
то либо tk было бы двукратным нулем, либо многочлен Rn(t)
имел бы в промежутке (tk_v t^,) еще один нуль, кроме tk.
Число всех нулей опять остается, по меньшей мере, равным и.
Точно так же покажем, что в случае
1, к-\-р<; п) число нулей, содержащихся в отрезке [tk_1, tk+p]
не меньше /? —}— 1. В- самом деле, если р четно, то #raD-i) и
Rn(tk+p) имеют разные знаки, следовательно, в промежутке
(h-vh+p) кроме р нулей tk, tk+1 h+p-i должен существо-
существовать еще один нуль или же хотя бы один из р нулей является
кратным. Если р нечетно, то Rn(tk_l) и Rn(tk+p) имеют один
и тот же знак и Справедливо то же самое заключение. В обоих
случаях в (tk_v tk+p) лежит, по меньшей мере, jt? —f— 1 нуль, как
и в случае B4). Последняя возможность
Rn ('*_i) Ф 0. Ra ((к) = Rn C*fi) =...=/?„ (tn) - 0
дает опять в (tk_1,tn), по меньшей мере, (п — &-|-1) нулей,
следовательно, столько же, как и в случае B4) на этом же
интервале. Следовательно, многочлен Rn(t) тождественно равен
нулю. Отсюда следует, что неравенство
всегда влечет за собой тождество Pn(f)s=Tn(t). Но, так как
| 7 (Л| ^ n_i. то мы имеем, что полином Pn(f)> который соот-
соответствует условиям Чебышева, не должен превосходить по абсо-
абсолютной величине ^_i • Таким образом, утверждение [4.2.2] дока-
доказано, а именно, мы показали, что полином B2) действительно
является единственным решением поставленной задачи.

ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА 133
Полиномы Чебышева не образуют ортогональной системы.
Однако, справедливы равенства
f
dt
— 1
= !_ cos m (arccos f) cos n (arccos f) —?=== =
ntn-hn — й J у 1 — J«
-1
« f 0 при тф п
= -? cos /re& cos «0 dO = < и
2W> Я 5 1 2^
l
Tn@
— 1
Следовательно, система [4.2.3]
L-т.. ... .
B5)
является ортонормированной. Если к ней присоединить еще
функцию г , то система будет полной.
В самом деле, степень полинома Tn(t) равна п. Вследствие
этого, можно последовательно линейно выразить 1 через T0(t);
t через Tt(f) и 1; t2 через T2(t), T^t), 1 и т. д. Таким образом,
/«линейно выражается через Tn{f), Tn_1(t), ..., T0(f). Отсюда
получаем, что система \Tn(t)} полна. Система {Tn(t)} полна даже
относительно L, так как таковой является система {tn}. Если бы
система B5) /вместе с j \ не была полной относи-
\ У^ /T^
тельно L2, то существовала бы функция <р@€^2> ие равная нулю
на множестве положительной меры и такая, что
?=о (Яв0. 1,2,...).
Л yi-fl

134 ПРИМЕРЫ
Но функция -j принадлежит I? (—1, 1), следовательно,
функция ^ (t) = 4 ^ — принадлежит Z, и ф@ не равна нулю
на множестве положительной меры, хотя f Tn (t) ф ({) dt ¦= О
-1
(л = 0, 1, ...). Но это противоречит доказанной полноте системы
{Tn(t)} относительно L.
Разложение по полиномам Чебышева
Если мы запишем формально
? @-^0@4-^1@+.... B6)
то, в силу [2.5.5] и [4.2.3], получим
2^ > о
Вышесказанное следует понимать так, что формальное раз-
4 _______
ложение после деления обеих частей B6) на "j/l—t2 переходит
в ортогональное разложение по системе | - к^ \. Действи-
тельно, если положим <} (t) = ~-^—, то получим (формально)
следовательно,
1
-1 1/1 — ta -1
1
что и требовалось доказать.

ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА
Разложим, например, arccos/ в ряд Фурье по полиномам
Чебышева. Имеем (/=cos&)
1 я
1 Г arccos t ,. 1 |' л ,q я
с0 = — dt= — I ft dft = —,
0 J / 2
-•1 '
A
^ Г
1
Поэтому
Вообще: коэффициенты разложения функции у (t)=f (arccos t)
no полиномам {Tk(t)} совпадают с точностью до множителя
2k~1 с коэффициентами Фурье функции /(ft) no системе {cos Л^}.
В самом деле, если B6) — разложение по полиномам Чебышева
и в формулах для коэффициентов ск сделаем подстановку ? = cosft,
то получим (&!> 1)
тс
= 2*|- f/(ft)cosft»df». B7)
о
Если подставить теперь в ряде B6) ^ = cos?) и использовать
B7) и [4.2.1], то получим ряд
* со %
1 • i j /(ft) й» + 21 cos Af) • |- j /(Я) cos ft» dft,
0 ft l 0
ft = l
т. е. разложение по косинусам функции /(ft) на отрезке [0, я].
Следовательно, разложение функции y(t) no полиномам [4.2.4]
Чебышева {Tk(t)} почленно тождественно с разложением функ-
функции /(Я) в /7ЯC по косинусам, если t заменено через cos ft, а
f(t) и <р(?) связаны соотношением /(ft)— ср (cos ft).
Поэтому теория рядов по полиномам Чебышева в существен-
существенном сводится к теории тригонометрических рядов Фурье.

1S6 ПРИМЕРЫ
Рекуррентная формула для полиномов Чебышева. При
|г|<1 справедливо равенство
1 — 2rcos»-f-/*
Полагая / = cos&, получим
со
1—Г2
1 _ 2rt+г*= J+2 21r"cos я (arccos f) e 21rn2nr» w«
со
Приравнивая коэффициенты, получим (при и > 2), что
^+i@ — ^.(O + ^^.^OsO. B8)
Далее, 70@=1» Tt(t)=t, T2(t)—t2—-=- и отсюда, с помощью
B8), можно вычислить все функции Tn(t).
Дифференциальное уравнение для Tn(t) вытекает из дифферен-
дифференциального уравнения для у = cos «fh Последнее имеет вид
rf2y
Но ^(ft) = cosnO = 2rarn@, где * = cos!> и
d*Tn {t) __ d dTn (t) _ d?Tn (Q Idt \» , rfrra (Q
d№ ~rf8 d» ~~ dP \d») "•" Л
Поэтому справедливо равенство
A— /2O^@ — ^;@ + п2Гй@^0 (« = 0, 1, 2, ...),
где штрих означает дифференцирование по t.
§ 3. Тригонометрическая система
Эта система нам уже известна. На отрезке [—тс, к] функции
1 cos t sin t cos kt sin kt
образуют ортонормированную систему. Эта система возникла из
исследований по акустике. Физическое положение, что каждое

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 137
колебание представляет сумму гармонических колебаний, означало
бы математически, что любая функция разложима в тригономе-
тригонометрический ряд Фурье. Тригонометрическим рядом Фурье называют
разложение
f(t)~a0-{-(alcost-\-bisint)-{-(a2co$2t~\-b2sin2t)-+- ...,
где
1С К
—-^ jf(f)cotbtdt, bkr=L jf(t)dnktdt (k>l)
(т. е. ортогональное разложение в смысле [2.5.5.]).
Положим
га
sn @ = 2 (Ч cos kt -f 6ft sin fcO-
ft = 0
Тогда
sn(t)=— /(a)[4-+cos(a—0+cos2(a—0+.-.+cos«(a—/)]da=
+ 4-W-0
da.
2sin
Последняя формула является исходным пунктом теории тригоно-
тригонометрических рядов Фурье. Из нее, в частности, следует: Если [4.3.1]
|/(м)| интегрируема на отрезке [и0 — те, ио-\-т:], а функция
/(а)-/(ар)
и —«о
также интегрируема на этом отрезке, и если измеримая функ-
функция /(а) первоначально определена на [—те, я] а далее продолжена
периодически, то ряд Фурье функции /(а) сходится в точке
и — и0 к значению /(а0).
Теорема Фейера. Мы используем формулу
1 sin (л
—i
i г
2 sin j

138
ПРИМЕРЫ
Если суммировать вторично, то получим, что
J8 —1 у cos(^+l)»— cos?»__
2
\
Отсюда для рядов Фурье вытекает, что
*» (О-
s:
или
5p @
-?//<¦»
Sn (Q _
sln
2 sin
t — и
—к)
1
¦2(Л+1)г.
При /(и) = const = /@ имеем s0 (t) = st (/) = . . . = sra @=(
следовательно, °,b(t) — f(t), а поэтому всегда справедливо равенство
Л 4- 1
(f(t) была предположена периодической). Если обозначим подын-
подынтегральную функцию через Ф (t, и), то при 0 < е < я
*+«
lim
I ,, ( Ф(t, u)du = Q *).
4- 1 ) ТС .1
C0)
*) Величина f(t) предполагается конечной. (Прим. ред.)

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
139
В самом деле,
Точно так же доказывается, что
lim
2(л+1)т
Остается еще вычислить предельное значение интеграла
1
C1)
2 (я
t, и) du
j
при я-^-оо. Если /(м) непрерывна при u = t и е так мало, что
справедливо неравенство
при |f-^-a|<s, с конечными «j.x и [л2, то рассматриваемое выраже-
выражение заключено между границами
da,
n4-l
Ho
lim
n>co
2(n+I)« J (¦ sinl(^_tt) Г
_i 'Г _ ; i
du.
i+тс
J
С — ТС
= 0;
таким образом,
lim ¦
»>oo
_^ r/sin (t. «A g=a
\,

140 ПРИМЕРЫ
следовательно,
t+t
1 Г
fJ4<I liminf тгг~т— 4}(t,u)du<
t+ш
ф(tt a)da<^ C2)
Следовательно, если ^ — нижняя, a [i2 — верхняя грань функ-
функции f(t)—/(и) на отрезке [t — e, t-{-e], то в силу B9), C0), C1)
и C2) нижний и верхний пределы функций f(t) — <зга(/) при
й->оо находятся между этими гранями. Так как f(t) — on(t) не
зависит от е, a j*i(e) и (а2 (е) становятся произвольно малыми вместе
с е, то для каждой интегрируемой функции f{t) в каждой точке
непрерывности t0 справедливо соотношение
Нт а„(У = /(д. C3)
П>00
[4.3.2] Теорему C3) можно усилить: Соотношение lim an(f) — f(t)
п >оо
справедливо равномерно на всем отрезке [— it, я], если f(t)
непрерывна на этом отрезке и /(я) = /(—it). В самом деле,
оценку C0) можно сделать равномерной, заменяя |/@| через
max |/@|- В силу периодичности, функция f(f) равномерно
1«а-*.*1
непрерывна на (—оо, оо), а поэтому обе грани i*lt р2 функции
/(О—/(м) при t — е^и ^.1-\-е в C2) можно, за счет выбора е,
сделать сколь угодно малыми для всех значений t. Это усиление
теоремы C3) и называют теоремой Фейера.
[4.3.3] Полнота и замкнутость тригонометрической системы.
Следствием теоремы Фейера является замкнутость тригоно-
тригонометрической системы относительно пространства СР, т. е. про-
пространства непрерывных функций на отрезке [— я, it], для которых
/(—я) = /(«). Но множество этих функций всюду плотно в L2.
Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что оно всюду
плотно в С в смысле нормы L2. Если функция f(f) непрерывна,
то мы введем новую функцию/,(?), которая принимает в точке —я
значение /(it), в точке —tz-\-s. значение /(—п-\-е), в интервале
(—it, —тс-f-e) линейна, а в остальных точках совпадает с f(t);
тогда
я
/(/@—Л
—ж+е
где Л1 = шах|/@|. Следовательно, ||/—/,|| произвольно мало
вместе сей ft(t)?CP, что и требовалось доказать.

Система Хаара
141
Но вместе с этим доказана также полнота тригонометрической
системы ^относительно L2. В 12.3.4] мы видели, что тригонометри-
тригонометрическая система полна также относительно L. (Отсюда может быть
вновь выведена полнота относительно Z,2 и замкнутость относи-
относительно L? к L в силу теорем главы III (§§ 5 и 7).)
Подробности о тригонометрической системе можно найти
в книге А. Зигмунда [3].
§ 4. Система Хаара
В своей докторской диссертации A910 г.) А. Хаар поставил
задачу: построить ортогональную систему, которая для любой
непрерывной функции дает сходящееся разложение. Уже Дю Буа-
Реймону было известно A876 г.), что тригонометрическая система
этим свойством не обладает; это свойство отсутствует также
у систем, которые известны из математической физики. Система
Хаара, описанная в [2.2.6], является полной ортонормированной
системой. Мы покажем, что разложение непрерывной функции по
системе [2.2.6] равномерно сходится к этой функции.
Пусть dv d2, d?, dv d6, d6, d7, d8—восемь произвольных
чисел и xfi y$\ x\1]> X(i2)> Хг4» ХB2)> Хр> У.-.4' — восемь первых функ-
функций Хаара. Покажем, что всегда можно найти восемь таких
чисел Cj(t=l, 2, ..., 8), чтобы сумма
C4)
i= 1
(где у;@ пробегает восемь первых функций Хаара) была постоян-
(' fi 1 ^ \
—g—, -g-J (&= 1, 2 8) и равнялась dk(k=l, 2, . .., 8).
Эта задача приводит к системе уравнений (точки обозначают нули):
V I
1 И
1- . —
1 1
Если вычесть второе уравнение из первого, четвертое из третьего,
шестое из пятого и восьмое из седьмого, то получим значе-
C5)

142
ния сБ, с6, с/, с8. Подставив найденные величины и вычитая третье
уравнение из второго, а седьмое из шестого, получим* с3 и с4.
Теперь из четвертого и пятого уравнений находим сх и с?. Если бы
мы имели, вместо восьми, 2Р чисел dit то можно была бы точно
так же определить 2Р коэффициентов сг таким образом, чтобы
сумма 2 сгХ@ принимала в каждом из 2Р равных подынтервалов
г = 1
постоянное значение d^. Если же k не является числом вида 2Р,
то соответствующие уравнения также можно разрешить, но интер-
интервалы постоянства в этом случае уже не равны. Если добавим,
например, к сумме C4) новый член c9Z@> то интервал @, -з-l
разобьется на два интервала, на одном из которых функция ~/{t)
является положительной, а на другом — отрицательной. Первое
уравнение системы C5) должно быть заменено двумя, с d1 и </0
как правыми частями и с новой неизвестной с9, которую можно
будет вычислить с помощью вычитания двух уравнений. Если
заменить теперь с9 вычисленной величиной и перенести в правую
часть, то оба уравнения превратятся в уравнение, аналогичное
первому уравнению системы C5), с d[ как правой частью. Следо-
Следовательно, мы снова получаем систему из 8 уравнений, решаемую
так же, как и система C5).
п
Отсюда следует, что множество функций вида 2 сгУ.(О совпа-
дает со множеством всех ступенчатых функций, постоянных на
интервалах постоянства функций у@> входящих в эту сумму.
Пусть теперь функция/^) непрерывна на отрезке [0, 1], sn(t)
означает частную сумму ее разложения по системе Хаара,
а ск — последовательность коэффициентов в разложении функ-
функции f(t) по системе Хаара. Функция sn{t) постоянна на п интер-
1
валах Tj и такова, что интеграл Г \f(t) — sn(t)\2dt не превосходит
о
1
любого интеграла вида Г
f(t)—
dt или, что то же
самое, любого интеграла вида Г|/@ — <f(t)\2dt, где ср(^) — сту-
о
пенчатая функция, постоянная на интервалах Tj. Но для таких
1
ступенчатых функций интеграл \ \f{t) — (p(t)\2dt принимает наи-

система хаара 143
меньшее значение, если ср(/) = — f(t)dt при t? Та, т. е.
если
TJ
при t? Та равна среднему значению функции f{t) на .интервале Tj.
Итак, при/i^ Г^имеем5„@=!-уг f{t)dt. Но тогда максимум функ-
j т.
ции \f(t) — 5И\(?)| на 10> 1] не превосходит колебания функции f(t)
на интервалах Tj. Мы не принимали во внимание точки разрыва
функции sn(t), но так как значение sn(t) в таких точках нахо-
находится между двумя крайними значениями, то при добавлении этих
точек максимум "функции \f(t) — sn(t)\ не увеличится. Этим дока-
доказано, что частные суммы sn(t) разложения Хаара непрерывной [4.4.1]
функции f{t) сходятся равномерно на [0, 1J к f(t), т. е.
Hm sa(t)*=f(t). C6)
п->со
Пусть теперь f(t)?L. Частные суммы sn(t), как и прежде,
являются ступенчатыми функциями, т. е. являются постоянными на
1
определенных интервалах {Т}. Коэффициенты с= Г/(Ох(О^
о
зависят только от средних значений функции f(t) в обоих ин-
интервалах, где функция у (t) отлична от нуля. Следовательно,
если заменить функцию f(t) ступенчатой функцией f*(t),
которая в каждом интервале Т, используемом при определении п
первых функций Хаара, равна среднему значению f{t) на этом
интервале, то функция f*(t) будет иметь ту же самую частную
сумму sn(t), что и f(t). Так как функция f(t) принадлежит про-
пространству Z.2, то к ней применимы проведенные выше рассуждения.
В силу того, что функция /* (f) сама является ступенчатой функ-
функцией, из этих рассуждений вытекает, что sn(t) — f*(t). Поэтому
внутри каждого интервала 7" функция sn(t) равна среднему зна-
значению f(t). Следовательно, равенство C6) справедливо в каждой
точке ^ = ^о (кроме, быть, может, двоично-рациональных ^0), где
неопределенный интеграл от f{t) имеет f(t0) своей производной,
т. е. почти всюду на [0, 1]. Этим мы показали, что ряд Фурье [4.4.2]
интегрируемой функции по системе Хаара почти всюду схо-
сходится к этой функции.
Это свойство обеспечивает полноту системы Хаара относи-
относительно L. Действительно, если функция f(t) ортогональна ко всем
функциям x(t)> то sn@ = 0 и отсюда следует, что f(t) — O почти
всюду.
Если разделим интервал [0, 1] по другому (однако двоичному)
принципу, без требования равенства интервалов разбиения, причем
так, чтобы точки деления были всюду плотны на [0, !),_ то получим

144 примеры
аналогичную систему, которая обладает свойствам* сходи-
сходимости и полноты системы Хаара.
[4.4.3J Система Франклина. Функция Хаара являются разрыв-
разрывными. Вопрос о том, существует ли ортогональная система, которая
состоит только из непрерывных функций и такова, что каждая
непрерывная функция Имеет по этой системе равномерно сходя-
сходящееся разложение, был решен в положительном смысле Ф. Франк-
Франклином. Мы получим его результат путем, несколько отличающимся
от пути автора.
Пусть множество точек {«*} определено следующим образом:
икп = а+--^(Ь —а), я=1, 2, 3, ...; Л=»1, ? 2П—1.
Обозначим через {wn} последовательность точек
{•„} = {* Ь, и\, и\, в», a», aj, u\, ...}.
Построим для системы точек {да„} последовательность функций
{?»@} по тому же принципу, по которому строилась система
Шаудера. Система {<р„@} состоит из непрерывных функций,
определенных на отрезке [а, Ь\, и на основании замечания после
теоремы [2.4.4] замкнута относительно С. Пусть {<|>„@} — система,
которая получена из системы {yn(t}} ортогонализацией по методу
Шмидта. Мы покажем, что система {фп@} обладает требуемым
свойством.
Пусть g(t)— произвольная линейная комбинация п первых
функций tyk(t); g(f) одновременно является также линейной комби-
комбинацией п первых функций уьФ> поэтому функция g(t) непрерывна,
а графиком ее является ломаная линия с п вершинами в точках
tz=wl^=^a, w2^=b, w3, .... wn. С помощью подходящего выбора
коэффициентов можно представить в таком виде каждую ломаную,
с вершинами в этих точках, т. е. ординаты могут быть выбраны
п
в п точках [wi] произвольно (см. [2.4.3]). Если 2 di<Pt(O — Иско-
Искомая комбинация, то формулы ортогонализации приводят к равен-
равенству 2 с${ (о
1 = 1
Пусть функция f(t) непрерывна и
—/&I<*- при |/а —/х|<8(в). C7)
U
Оценим интеграл /12=» Г(/@ — g(t))%dt для случая, когда tx
и t2 лежат в одном и том же интервале линейности функции g(t)
и 11% — tx | ^ d < Ь 0). Если / (t)— линейная функция и / (tx) =s /(^),

СИСТЕМА ХААРА 145
= /(^2), то справедливо неравенство
H ~g(.t)\ — z при teVt.tt]. C8)
так как из\/37) следует, что \f(t) — /(*)|<е при t? [tv t2], Гра-
График функции l(t) — g(t) является на [tv t2] прямой, абсолютные
величины ординат которой принимают в точках tv t2 значения
*i = l/(*i) — k(*i)|. h2 = \f(t2)—g(t2)\. Смотря по тому, пере-
пересекает эта прямая ось t или нет, справедливо равенство
dt = щ~^ 1(АХ-sK+ (A2-в)»1 C9)
соответственно с нижним или верхним знаком. Если разность
\l(t)— g(t)\ — s отрицательна, то ее абсолютная величина меньше,
чем s. Поэтому из C8) следует, что
Ц t,
/12= J (f(t) — g(t)ydt> f {\l(t) — g(t)\ — eJdt—s4. D0)
Предположим теперь, что max(Aj, h2) > 5s и подставим в D0)
формулу C9). Заметим, что при а>-Р>-0, а > 4s имеем
5(<x3-f-p3)>(a+P + 2s)(a24-p2). Если a^h. — e, p = A2 — в и
h1 ^> кг, то справедливо неравенство
следовательно,
А2 > ^((Ах —e^ + CAj —e)»)-8«d>^(max(A1, к^-ф-гЧ. D1)
Это неравенство имеет место также при h1^.h2 и при верхнем
знаке в C9).
Пусть теперь п > 2 и srt'(^) есть n-я частная сумма разложения
функции f{t) по системе {фп@}. а Ж — наибольшее число среди
чисел hi = \f(w^ — sn(w$\ (/=1, 2, .... га). Пусть hj = M и
Ж > 7е. Пусть среди точек «^(/ = 1, 2 п), лежащих слева
от Wj, для которых А4^7е, точка и;р является самой близкой
к tiOj\ если таких w^ нет, то пусть wp=-wl = a; аналогично опре-
определяем •wq(^wf, иногда wq — w2 — b). Через vp, vp+i, ..., vq>
обозначим в возрастающем порядке те w^ (I = 1, 2 л),
которые лежат в отрезке [wp, wq] (vp = wp< vp+i <... < vq<-t <
<^Vq- -=wq). Пусть, далее, an(t)—вспомогательная функция, кото-
которая вне [wp, wq] равна sn(t), а в [wp, wq] является ломаной,
JO За к 254? С Качмаж и Г.

146 ПРИМЕРЫ
определенной условиями
an(^i):=f(wi) ПРИ 'ffi'p<'ffi'j<Wg (i=l, 2, ,. ., П).
Если в D1) заменим функцию g(t) функцией sn(t), а отре-
отрезок \tv t2] — отрезками [vk, vk+i] (k = p, ..., q'—f), то получим
n)=J (/@—s»@J^= S J (/(9
D2)
где dt и d2 означают длины интервалов, которые прилегают к wj.
С другой стороны, имеем неравенство
/(Рп) = / (/(О — о» (ОJ dt < (да, — «у> S2+ (d, + dj (8sJ, D3)
где rf3 и <i4 обозначают длины первого и последнего интервалов,
о которых уже шла речь. Но an(f) является линейной комбинацией
функций <Pi СО» 92@ ?»@ (см> доказательство [2.4,3]), по-
поэтому, в силу [3.1.3], также и функций ^i @. фг(О Ф«@-
Следовательно, на основании [2.6.3] мы имеем
'(*.) —'Ю = / (/@ — «Л @ J dt — f(f(t) - о„ (ОJ Л < 0,
а а
что совместно с D2) и D3) приводит к неравенству
т. е.
{М — еJ ^ 36
¦ 15 ^15 '
где р—не зависящее от п число, которое превосходит все отно-
отношения длин интервалов, определенных с помощью точек
(wv wv . . ., wn). В силу выбора последовательности \wk) p = 2.

СИСТЕМА РАДЁМАХЕРА 147
В итоге получаем неравенство
что и завершает доказательство.
§ 5. Система Радемахера
Эта система^ рассмотренная еще в [2.2.5), является неполной
(см. [2.3.61). Онр принадлежит к важному классу так называемых
лакунарных систем, о которых речь будет идти в главе VII. Эта
система обладает интересным свойством:
Если ./<&</</»< ... </><<?— натуральные числа и [4.5.1]
гi(t) — функции Радемахера, то
1
/г,(Qг*(') ... rp(t)rq(t)dt =
за исключением случая, когда подынтегральное выражение
является произведением нескольких пар одинаковых сомножи-
сомножителей. В этом случае интеграл равен 1.
Исключительный случай легко проверить, так как тогда все
функции r2Jt), г2гу), ..., гl(t) равны почти всюду 1. В против-
противном случае можно все пары с равными индексами вычеркнуть,
так как они дают сомножитель, равный 1 почти всюду, и под
знаком интеграла останутся функции с различными индексами
/ < k' <...<//< q'.
Произведение 'V'CO'V (t) ... /у (t) имеет 2Р> интервалов
постоянства (длины —^-j > нэ которые распадается отрезок [0, 1].
Каждый такой интервал постоянства / распадается на 2ч'~р'
равных частей, внутри которых функция /у (t) попеременно равна
-(-1 и — 1. Вследствие этого интеграл
распадается на 2?' суммы вида const- Г rq>{t)dt и каждая сумма
равна нулю, ибо Г rq-(t)dt=O.
10*

148 примеры
оо
[4.5.2] Если 2 ап < °° . т0 ряд
Sv.W D4>
п-1
сходится почти всюду на отрезке [0,1] (Г. Радем^хер).
оо
[4.5.3.] Если S^^300- mo Ряд С44) расходится поч/пи всюду на
»=i
[0,11 (А. Н. Колмогоров).
Доказательство [4.5.2]. Если sn (f)—частнйя сумма ряда D4)
1
и /@ 6 ^2 — функция, для которой lim Г (f(t) — sn(t)Jdt = O
n>oo J
(существование такой функции обеспечивается теоремой Рисса —
Фишера), то справедливо равенство
Нт Г (/@ — sn @ J dt = 0 при [a, pi с [0, 1 ],
п >оо J
к
а следовательно, и
Р
Иш f(/@ —s» @)^ = 0. D5)
п ->со J
ct
Если (afc, pft) — интервал постоянства функции rk(t), а следо-
h
вательно, также и функции sk(t), то Г (sn@ —
при п > &. Следовательно, в силу равенства D5)
Если f0 =?fe ~y" (P, q—целые числа) и в точке t0 существует
производная — f(u)du, a.k < t0 < рй> то имеем
о
1 Г ! Г
Hm5,@=(-^ f

СИСТЕМА РАДЕМАХЁРА 149
следовательно, последний предел существует почти всюду на
отрезке [0, 1], что и требовалось доказать.
Другое Доказательство опирается на тождество
где {у.} — система Хаара, определенная в [2.2.6]. Полагая
W ^ (г = 1, 2 2П). мы получим
У 2n~l
= 2 а» < °°i следовательно,
и согласно [3.5.6] справа стоит разложение функции из L2 по
системе {у}, если не обращать внимания на скобки. Так как
последние не нарушают сходимости ряда, которая имеет место
почти всюду в силу [4.4.2], то, следовательно, ряд D4) также
почти всюду сходится.
Доказательство [4.5.3]. Проведем доказательство от
противного. Предположим, что ряд D4) сходится на множестве
значений t положительной меры. Тогда этот ряд равномерно
сходится на некотором множестве Е, тЕ > 0. Следовательно,
существует такая постоянная М, что
\sn+p(t)-sn(t)\<M
при всех натуральных пир. Отсюда следует, что
/(WO" sn{t)fdt<M*mE,
в
или
(п+р
i=n+i /
п+р
Л D6)
Но система функций {гк(Щ мультипликативна, т. е. обла- [4.5.4]
дает свойством [4.5.1]. Вследствие этого система функций
{ri@ru@} При всех /<& ортогональна и нормирована. В силу

150 ПРИМЕРЫ
неравенства Бесселя [2.6.4] имеем тогда при «> N (Е) неравенство
2
(так как слева стоит сумма квадратов коэффициентов характе-
характеристической функции множества Е). Поэтому удвоенную сумму
в D6) можно мажорировать следующей величиной:
» i, ft i = «+l
Отсюда следует, что
i=n+l i=n+l
и так как mf Ф О, то
i=n+l
при n>yV(f) и как угодно большом р. Это равносильно схо-
со
димости ряда 2 аг . Полученное противоречие показывает, что
теорема [4.5.3] справедлива.
[4.5 5] Вероятностное истолкование. Функция Радемахера
rt(t) равна 1 при t? @, -g-J и равна—1 при ^(у. П- Если
выбрать наудачу произвольное значение t из интервала @, 1),
считая при этом попадание в подынтервалы равной длины равно-
возможным, то вероятность для t давать значение r1(t)=-\-\
будет такой же, как вероятность давать r1(t)= —1. Обе вероят-
вероятности равны-=-. Более общо (и более точно), положим, что
вероятность выбора точки из множества Е равна тЕ. Мы рас-
рассматриваем п первых функций Радемахера rt(t), r2(t), ...,rn(t);
они являются независимыми друг от друга в теоретико-вероят-
теоретико-вероятностном смысле; иными словами: если известно, что r^(t) имеет
величину 1, то вероятность значения 1 для rk(t) (k Ф i) по-преж-
1
нему равна-=-. т. е. такова, как если бы о значении /•$(/) ничего
не было известно. Можно легко установить, что из 2п комбина-
комбинаций г1@ = ±1> r2(t) = dzl, .... rn(t) = ±l знаков ± каждая
реализуется на множестве значений t меры -^ . Это позволяет

СИСТЕМА РАДЕМАХЕРА 151
все задачи игры «в орла и решетку» со ставкой 1, когда речь
идет о п бросаниях, формулировать в терминах функций Раде-
махера. Так, например, задача определения вероятности для
одного игрока достигнуть общего выигрыша, по меньшей мере
равного а, в п первых бросаниях эквивалентна нахождению меры
множества значений t, которое определяется неравенством
Если рассматривать случай бесконечно многих партий, то
достаточно постулат о сложении вероятностей распространить
на бесконечную сумму и добавить надлежащий «постулат пол-
полноты». Так как в лебеговской теории меры аналогичный постулат
выполняется, то параллелизм между функциями Радемахера и
игрой «в орла и решетку» будет сохранен. Так, например,
теорема Кантелли о том, что средний выигрыш (ставка = 1)
с вероятностью 1 стремится к нулю, равнозначна утверждению,
что
п
lim — У г* @ = 0 почти всюду на @, 1]. D7)
С другой стороны, теоремы [4.5.2) и [4.5.3] в вышеупомянутом
толковании принимают следующий вид:
оо
Если в ряде V — сп заданы коэффициенты сп, и знаки zt
выбираются последовательно с равной вероятностью для -f- и — ,
оэ
то вероятность сходимости ряда равна 1 в случае 2 °2 < °° и
п-1 П
0 в противном случае.
Наше толкование теоремы Кантелли является не чем иным,
как теоремой Борел'я о распределении нулей и единиц в двоич-
двоичном разложении действительных чисел. Эта теорема показывает,
что, за исключением множества значений t меры нуль, все числа
t(Q^.t^.l) имеют одинаковую частоту нулей и единиц, т. е.
что отношение числа нулей к числу единиц на п первых местах
стремится к 1 при я-> со, что совпадает с D7). Все три теоремы:
Бореля, Кантелли и D7) эквивалентны друг другу, так что вни-
внимательный читатель может из теоремы Бореля получить теорему
Кантелли, доказанную много позже. Напротив, теорема Бернулли
из теории вероятностей слабее, чем D7). Если интерпретировать
ее как свойство системы {rk(t)}, то получим не D7), а только

152 примеры
где lim as означает предел по мере, который был определен
в [1.6.2].
Дальнейшие уточнения теоремы D7) (А. Я. Хинчин, 1924 г.)
можно точно так же истолковать с точки зрения теории вероят-
вероятностей как продолжение линии Бернулли—-Кантелли.
Вероятностное истолкование системы {rk(t)} позволяет пред-
предвидеть некоторые свойства этой системы. Так как в игре «в орла
и решетку» можно с тем же успехом рассматривать на п первых
местах какие угодно функции rpi (t), ..., rpn (/), то результат
Радемахера—Колмогорова [4.5.2], [4.5.3] распространяется на ряд
D8>
Именно: этот ряд также почти всюду сходится или расходится,
оо
сообразно тому, справедливо ли соотношение 2С^<°° или
i = l
Мы получаем также, что интеграл
/1/@1* л
о
1
(или даже Г<р(|/(О|)<# с произвольной функцией ср) не зависит
о
от выбора индексов {рг\ в равенстве
а зависит только от {cf}.
Те же соображения позволяют утверждать, что сходимость
почти всюду ряда D4), а также ряда D8) сохраняется при любой
оо
перестановке членов, если 2 с\ < °°> то же самое справедливо
г=1
для расходимости, если 2С$ —°°- Так, например, ряд

СИСТЕМА РАДЕМАХЕРА 163
абсолютно расходится почти всюду, однако сходится почти всюду
при любой перестановке членов.
Неравенство Хинчина. Для дальнейших исследований
нам потребуется одно неравенство, которому подчиняется система
Радемахера.
п
Если snit) = 2 «Л@. >по при /? > 0 [4.5.6]
Доказательство. Пусть сначала p = 2i, i натуральное.
Тогда имеем
при этом сумма распространяется на все целые положительные числа
пх, га2, ..., щ, <xv а2, ..., a.j с и&<«, ai + a24~ . ..+^ = 2^.
В силу [4.5.1] эта сумма равна
2pj ^
<Ч ап% ... ап. >
где рх, р2 р^ означают целые положительные числа с суммой,
равной i. Но справедливо равенство
следовательно,
Постоянная С равна максимуму выражения
(Р1 + Р2+ ••• +Р;
BQI ptl ¦.. Pjl BQI
1^
Пусть теперь 2i — 2<р^2г. Так как интеграл I

154 примеры
возрастает с возрастанием р, как это очевидно из [1.2.7], to
имеем
H\sn(t)\PdtJ <[fj
что и утверждалось.
Если мы подставим в [4.5.6] вместо sn(t) функцию sm(t) — sn(t)
п п
и вместо 2°!'—'Сумму 2 а|> т° видно, что при любом/?>0
к = 1 к=т+\
со
из условия 2 й| < °° вытекает сильная сходимость ряда
оо
2 °Л@ со степенью р>0 к функции f(t)?Lp. Эта функция
почти всюду равна обычной сумме ряда.
[4.5.7] При /?=1 справедливо неравенство
1
п_ \ Y 1
/ О
Это следует из неравенства Гёльдера (рг=="9"> // = 31
J
к=1 0 \0 ' \0 /
и из неравенства [4.5.6], доказанного для целого числа ? (г = 2)
1
f |sn
п \
ибо из обоих неравенств вытекает, что
1 2
Т / ! \Т
i / \о
а это эквивалентно утверждению [4.5.7].

СИСТЕМА УОЛША 155
§ 6. Система Уолша
Функции Радемахера связаны, как это было уже отмечено,
с функциями Хаара посредством соотношения
Другая система функций получается из системы {yj, если [4.6.1]
положим
Мы имеем схему знаков
Записав каждую строку схемы знаков дважды, получим
4 строки. Если дополнить каждую такую строку до четырех
элементов, добавляя один раз те же самые, а другой раз про-
противоположные знаки, то возникнет схема
Ч 1
ч— - +
Эта новая схема служит схемой знаков в формулах
/4 ф(,<> = + -/?>@±$)@ ±х(в)@±$>@ (/=1,2,3, 4)
для определения четырех функций ty$(t).
Аналогично выражаются все {ф^КО} через {xALi(O}- Схема
коэффициентов является симметричной, ортогональной и норми-
нормированной матрицей. Но система [у]—ортогональная, нормирован- [4.6.2]
ная и полная (относительно Z.2 и L), следовательно, система {ф}
имеет то же самое свойство.
Пусть f(t)?L и пусть pn{t) и hn{t) — частные суммы раз- [4.6.3]
ложения функции f(t) no системе {ф} и системе {^}; тогда
справедливр равенство
р2П (t) == h.zn(t) (« = 0,1,2,...). D9)

156 ПРИМЕРЫ
Доказательство. Пусть ||cik|| (i, k = 1, 2 29; ?>2)
матрица, определенная в [4.6.1], с помощью которой функции
<$\(t) (/=1, 2, .... 2q~l) можно выразить через X9-i@
(ft=l,2 22). Пусть, далее,
о о
тогда мы получаем
2q-t zq-l
ргч@—Р2«-1 (') = 2^>@; л2?@—л2?-1 @ = 2ъ$ых (t).
\-л 1 ft — 1
Если выразить в первой сумме {ф} через {у}, то получим
Но матрица \\cilc\\ совпадает с обратной ей матрицей, следова-
следовательно,
A2e-i@ (9>2). E0)
Так как (|»f> (/) = xg4 @> tI»(i1)@ = X?)@. то равенство D9)
выполнено для га = 0, га = 1, что совместно с E0) показывает
справедливость равенства D9) для всех п.
Интересен тот факт, что система {ф} является естественным
пополнением системы Радемахера, так как часть системы {ф},
а именно, {<|»JJKO} совпадает с системой {rn(t)\ (ra^l), как это
показывает формула в начале настоящего параграфа.
§ 7. Система {bn(t)\
Вероятностные задачи, упомянутые в [4 5.5], делают есте-
естественным рассмотрение следующего вопроса.
Пусть даны неотрицательные числа \сп), которые являются
длинами векторов

СИСТЕМА {6n(f)}
157
причем аргументы ч\п выбраны из [0, 2гс]. Какова вероятность
оо
сходимости ряда ^wn?
П=1
Если все части отрезка [0,2п] равновероятны и если мы
положим bn{t) = {2-K)~1 t\n(t), то можно, в смысле [4.5.5], вопрос
свести к следующему: определить меру множества точек схо-
сходимости ряда
оо
Ъспе>*»««\ E1)
п = 1
где функции §n(t) должны удовлетворять следующим свойствам:
1°. Каждая функция &п(/) определена на отрезке [0, 1] и прини-
принимает значения из [0, 1], причем каждому измеримому множеству
значений & на [0, 1] соответствует множество значений t интер-
интервала 0 -^ t ^ 1 той же меры.
2°. Функции bn(t) попарно независимы в вероятностном смысле,
т. е. если Ох—'множество значений ^, определенное соотношением
Л(&«,(*)> *Ы@> •••• ^A,@N^, и Ог — другое множество, опре-
определенное соотношением F2 ($*, @> 1\ @ &ч,(О)?Г2| где Fv
F2 — произвольные измеримые функции, а 1\, Г2 — произвольные
измеримые множества, и все индексы av pt, . . ., jij отличны
от индексов а2, %, .... v2, то
m (Ot • О2) = mOt • mO2.
Чтобы получить такие функции, разобьем последовательность
натуральных чисел на.бесконечное число подпоследовательностей,
например,
1
2
4
7
3
5
8
12
6
9
13
18
10
14
19
25
15 ...
20
26 ...
33 ...
Пусть теперь 0,
числа t. Положим
..—бесконечное двоич-ное разложение
Двоичное разложение ftn(t) состоит из элементов разложения t
с индексами, взятыми из га-й строки схемы. Таким образом, мы

158 примеры
определили отображение отрезка 0 <; t ^ 1 на бесконечномерный
куб {0-<ftn< 1} («=1,2, ...). Если пренебречь двоично-рацио-
двоично-рациональными t и &п, то это отображение взаимно-однозначно.
Докажем, что функция ^@ обладает свойством 1°. Пусть
01^|_?_> Р ' V вместе с этим первые q цифр е1( е2 zq
фиксированы (и обратно, эти цифры соответствуют внутренним
или конечным точкам этого интервала). Следовательно, соответ-
соответствующее t является двоичной дробью вида
где пустые места заняты произвольно цифрами 0 или 1 (но не
все нулями). Множество значений t, полученное таким способом,
(D
состоит из 2 2 равных интервалов с общей длиной ——.
Но интервал для &t имеет ту же самую длину. Следовательно,
свойство 1° доказано для 0, (t) в случае множества, состоящего
из одного интервала или нуль-множества. Отсюда вытекает
свойство 1° для всех измеримых множеств значений b1(t) и ана-
аналогично для функции ^п@- Свойство 2° легко проверить
в простейшем случае, когда Gt задано с помощью выражения
^1 ?±!).Свой-
ство 1° показывает, что в этом случае mGt — —, mG2 = —,
a Q^Oz — множество тех t, которые удовлетворяют двум условиям
т. е. это множество двоичных дробей t, у которых зафиксиро-
зафиксированы элементы на определенных q~\-s местах. Но мы видели,
что мера таких множеств составляет величину —— , т. е. она
равна mGj • mG2. Общий случай можно свести к приведенному
частному, замечая сначала, что параллелоэдр пространства
(&«,! &р,, ••¦, 8-ц,) отображается на множество значений t, мера
которого равна произведению длин ребер. Произведение двух
параллелоэдров из (8-ai, ..., %v.) и из (Я„,а, &р2 &щ) является
параллелоэдром в (9^, .... 0^, &„а, &ь) и ребра нового
параллелоэдра состоят из ребер обоих параллелоэдров. Этим
доказано свойство 2° для параллелоэдров. Если теперь функция Fx
и множество Г\ измеримы, то выражение Fl?Ti определяет
в пространстве (8Я1, ?р1 х)^) множество, которое измеряется
параллелоэдрами по способу Лебега. Отсюда получаем, что свой-
свойство 2° справедливо в общем случае.

Система {bn{t)} 159
Введем теперь (см. E1)) комплекснозначные функции дей-
действительного переменного t
впф = е2Шп{1) для всех га.
Эта система ортогональна, нормирована и мультипликативна. [4.7.1]
(Содержание последнего утверждения будет выяснено в [4.7.4]).
Для нашего доказательства требуется следующая лемма:
Если &, (t), &2@ 1\@ — координаты движущейся [4.7.2]
точки п-мерного евклидова пространства ($lt 92, •••> ®п)>
at —• время, то движение происходит по «принципу Максвелла»
(выражение Гильберта), т. е. точка остается в каждых двух
частях куба {(K<&fc<l} F—1, 2, ..., га), имеющих равные
объемы, одно и то же время. Другими словами: движение,
определяемое с помощью системы- {&„(?)}> является «квазиэр-
годическим».
Но эту лемму мы уже доказали при доказательстве 2° в E1);
при этом за «часть» куба принимают любое измеримое множе-
множество и под «объемом» понимают лебегову меру в га-мерном про-
пространстве.
Непосредственным следствием [4.7.2] является «равенство [4.7.3]
среднего по объему и среднего по времени» для произвольной
интегрируемой функции F(PV ft2 ^n):
... f F (!>!, »2
о о
J> E2)
В самом деле, в случае, когда F — характеристическая функ-
функция множества Мс{0 ^ 0й <С 1}, га-кратный интеграл равен гаЖ,
а однократный равен мере ^-образа множества М, следова-
следовательно, по [4.7.2], также равен тМ. Распространение же на
произвольные функции F не представляет трудностей. (Гильберт
использовал формулу E2) как постулат фазового пути, чтобы
обосновать кинетическую теорию материи без теории вероят-
вероятностей.)
Эти вспомогательные рассуждения, интересные сами по себе,
отвлекли нас от доказательства [4.7.1]. Покажем, что интеграл
/ б,», (t)\ (t) 0Ht, (/)?„,(О ... Kq V)\ @ dt E3) [4.7.4]
о
при mj<;m2< . .. ^.mg, «! <ra2 < . . . <ге? в случае mi = rai
(i=l, 2, ..., q) равен 1, в противном случае равен 0.

160 ПРИМЕРЫ
Подынтегральное выражение в E3), по определению 6П(/),
равно величине
следовательно, в силу E2), интеграл E3) равен
г
J
т. е. равен 1, если сокращаются все переменные в показателе
степени, в противном же случае он равен 0.
оо со
[4.7.5] Если 2|сп|2<°°> т0 Ряд ~2j ctfin@ почти всюду схо-
п-1 п-1
дится, в противном случае этот ряд почти всюду расхо-
расходится.
Эта теорема разрешает вопрос, который был поставлен
в начале этого параграфа. Ее вторую часть можно доказывать
точно так же, как [4.5.3], так как свойство системы Радемахера,
сформулированное в [4.5.1], выполняется и для системы {Qn(t}}
в силу E3). Докажем первую часть теоремы. Пусть функция
оо
f(t) — сильный предел частных сумм sn(t) ряда 2 сА@- Этот
Л = 1
предел существует по теореме Рисса — Фишера. Тогда мы имеем
O @<а<р<1). E4)
п Р о Р+1 «(«+1)
Пусть а= —, р — 1-^—, q = ———— — целое и
Тогда мы утверждаем, что интеграл \bm{t)dt равен нулю при
а
m > п. В самом деле, интервал — < t < t отображается
посредством функций ft\(t) ^п@ на определенные мно-
множества {&!}, {&2}, ..., {&„}. Но образ, полученный посредством
функции &m(t) (/»>«) заполняет отрезок @, 1), так как пер-
первые q цифр числа t не участвуют при определении функции frm(/)
(m > n). В силу [4.7.3]
f Ьт@ Л = fdbt J rf»,... / dbn f dbn+l ,.¦. f е™ш dbm = 0.

СИСТЕМА {0„(О}
161
Теперь, Из E4) имеем
Р Р
ffQ)dt=*fsn(l)dt.
Если to?(a, p), f €(«. Р). то |»*СО — «•*С*а> 1 <
следовательно,
= L 2 »)•
и поэтому
р
Отсюда мы получаем неравенство
где, очевидно, lim bn=-Q. В силу того, что а<^0<а-|—-,
Р
выражение 2q jf(t)dt при w-»oo для почти всех /0 стремится
к f{t,).
Изменение порядка функций в системе {9п@} не нарушает
справедливости теоремы [4.7.5]. Можно также опустить часть
функций 6п@> лишь бы при этом их осталось бесконечное число.
Перестановка ряда E1) изменяет его сходимость только на мно-
со
жестве меры нуль. Если 2 1си12<С°°> Т(> вышеуказанное изме*
1
нение не влияет на величину \\f(t)\pdt (p > 0). Все эти резулЬ-
о
таты справедливы также для комплексных значений сп.
Система {бп@} является неполной; например, функция e4it»ai@
ортогональна ко всем функциям системы, как это следует из [4.7.4],
Естественное пополнение системы {9„@}. аналогичное пополне-
пополнению системы Радемахера, было указано Б. Иессеном.
11 Зак. 2542, С. Качмаж и Г, Штейнгауэ

162 примеры
§ 8. Бесконечный интервал
Многие свойства ортогональных систем без труда переносятся
на бесконечный интервал. Так, например, система {е~й<} полна
относительно L в [0, оо). В' самом деле, пусть
оо
J f(t)e-ntdt = O (J(t)?L) и « — любое,
о
Отсюда выводим, что
1
Г/(— loga)a'1-1da = 0 всех п,
о
и следовательно, в силу [3.5.8] почти всюду /(—Iog#) = 0,
т. е. функция f(t) — 0 почти всюду в [0, оо). Эти рассуждения
/(—log и) ,
справедливы, если функция — =-^- принадлежит L на отрезке
оо
[О, 1]. Но если предположить существование интеграла Г \f{f)\dt
о
(а мы это делаем), то
1
du < оо,
Я
так как справедливо равенство j \f(t)\dt = — |/(—logH)| —
о 1
и отсюда при N -*¦ оо вытекает наше утверждение.
Существуют также системы, которые полны в (— оо, оо).
Ортогонализация не представляет трудностей, если функции
принадлежат в [0, оо) пространству L2.
14 8 1] Классическим примером такой системы является система поли-
полиномов Лагерра. Они появляются при отыскании полинома га-й сте-
степени, который обладает свойством
с»
J Pn (t) е-Ч* dt = Q (k = 0, 1, . . ., п — 1).
и
tu
е 1~и
Их также можно получать, разлагая функцию ф(/, u) — -j——
в ряд по степеням и. Очевидно, что для всех t и всех и ф 1 имеет

БЕСКОНЕЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 163
место равенство
л=о
При | и | < 1 и любых t второй сомножитель можно заменить сте-
степенным рядом,
m\
при этом абсолютная сходимость обеспечивает возможность пере
мены порядка суммирования. Наконец, получаем
#B* E5)
п = 0
где
Jc=O
(в силу правила Лейбница).
Последнее выражение можно принять за определение поли-
полинома Ln(t). Имеем также
• • • (я—
Например:
, L4@ = ^—16^ + 72^-96^+24
и т. д. Функции
Уп@= ^'-l^0 (я=1, 2, ...) [4.8.2]
11*

164 ПРИМЕРЫ
образуют ортонормированную систему в [0, оо). В самом деле,
при т < п
J 4W (О <Р„+1 @ dt = -^\e-tLn (f) Ln @ <« =
о о
Покажем сначала, что при k < n интеграл
оо
fe-H4n(t)dt (n>0)
о
равен нулю. Действительно,
ОО
Вычислим теперь интеграл t <fn(t)dt. Он равен
о
1 У ?e-tL2 (A dt _ J f.* rtf"-4<"-^-«I2
о о
Полиномами Лагерра называют полиномы Ln(t), а не срй(^).
Функция ф(^, и) удовлетворяет дифференциальному уравнению
в частных производных
ди

БЕСКОНЕЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 165
следовательно (см. E5)),
о—J
й=О
Отсюда, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и
слева и справа, получим
Система {Ln(tf)} (я —О, 1, ...) в каждом конечном интервале
является замкнутой и полной относительно L? (и ?,), так как
полином Ln (f) имеет точно степень п и функции t°, t1, t2, ..., tn
можно линейно выразить через L0(f), Li(t), .... Ln(t).
Функции Лагерра {<fn(t)} образуют в интервале [0, оо) пол- [4.8.3J
ную систему относительно I?.
Доказательство. Пусть f(i)?L2 и
//(')?„(')Л =»0 (и = 1, 2, ...),
т. е.
или
оо
f O (Л = 0, 1, ...). Eб>
где g(t) = f(t)e г. Но функция |g@| интегрируема в [0, оо)>
t
так как f(t) ?L2, e 2 ? L2 в этом же интервале. Мы хотим вывести
из условия g(t)?L и E6), что g-(/f) = O почти всюду в [0, оо).
Этим доказательство [4.8.3] будет завершено.
оо
Для этой цели положим F (s)= Г e~stg{f)dt. Функция F (s)
о
существует при s]>0. Если, кроме того, положить
00 _*.
с = Г р 2tn dt
о
то

166 ПРИМЕРЫ
Воспользуемся этим соотношением для обоснования формулы
E7)
В самом деле, произведенная здесь перестановка действий интегри-
рования и суммирования возможна, так как ряд ^j-^r \g(t)\tndt
и = 0 О
сходится абсолютно, ибо по неравенству Шварца
СО
/ I г(91**<«< const у^Гп
о
и радиус сходимости ряда не меньше, чем
1 1
п Г if— 4 '
lim I / " C2n
Из E6) и E7) вытекает, что F (s) =sO при 0^s<-j, но тогда
O и при всех неотрицательных значениях s, так как функ-
функция F (s) является аналитической при s > 0. Но равенство
1
F(s) = J«8-1§-(— log и) da == 0 (s>0)
о
и теорема [3.5.8] влекут за собой соотношение g-(—loga) = 0
почти всюду в @,1), т. е. g(?) = 0 почти всюду в [0, оо).
Полиномы Эрмита. Если продифференцируем последова-
последовательно'я раз функцию
и обозначим га-ю производную от функции ср(°) (t) через ср(") (t),
то получим соотношения:
<p(i) (t) = — 2гу°) (t), cpB) (t) = D/2 — 2) <р@) (/f),
<рC>(*) = —(8*8—120ср<°)@. ... и т. д.
Полиномы
H0(t)=l, Hl(t) = 2t,XH^ff)=:iP — 2t //8@ = 8/«—12/
вообще
Яя@=(-1Г^^Д (.-0.1.2,...)

БЕСКОНЕЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 167
называют полиномами Эрмита. Они удовлетворяют дифферен-
дифференциальному уравнению типа Штурма — Лиувилля
Если положим
Ф»@ = "»(')«~Т. F8)
то система {Фп09} является ортогональной в интервале (—оо, оо).
В самом деле (га > т),
оо
= <-l)»+1 f H'M(t)<?
— СО
со
J я
со
так как Я(^+1)@^0. Далее, имеем J Ф^ @ ^ = 2"га! l/it!
-со
Вследствие этого (см. [2.5.5]) ряд
/ @ ~М>0 @-МЛ @-{-.¦•. E9;
со
==2^iVT J f®**®dt (Л = 0, 1, 2, ...),
где
является формальным разложением функции f(t) по системе {Фй(О}>
если интегралы существуют. В гл. VIII будет доказана полнота
системы {Фй(О}-
Полиномы Эрмита находят широкие применения в статистике,
чему способствуют следующие факты:
1°. В тех задачах, где a priori возможны все значения, интер-
интервал (— оо, оо) является естественной областью изменения.
-?.
2°. Функция Фо(t) = е 2 идентична с функцией распределения
Гаусса; следовательно, уже первый член ряда E9) дает хорошее

1Ь8 примеры
приближение в многочисленных случаях распределений, близких
к нормальным.
3°. Вычисление коэффициентов сд сводится к определению
СО ?3
моментов Г g(t)thdt функции g{t) = e 2f(t), для этого давно
— 00
имеются необходимые схемы расчета и таблицы.
4°. Неизвестна более простая ортогональная система для беско-
бесконечного интервала.
Насколько мы знаем, чисто теоретического обоснования при-
применений полиномов Эрмита в статистике не имеется.
Выгода разложения основывается на том, что длинные число-
числовые ряды {fit)) заменяются по существу некоторыми характери-
характеристическими числами (скажем, cv c2, . .., св); вместо неясных
функциональных таблиц получаем компактное выражение (полином
с множителем е 2 /, что облегчает решение всех соответствую-
соответствующих задач.
§ 9. Полные системы
Для того чтобы построить полную ортогональную систему,
достаточно найти полную систему и затем ее ортогонализировать.
Обобщая одну идею О. Сасса, можно показать, что полные системы
можно строить при помощи аналитических функций.
Пусть F (z) — аналитическая функция комплексного перемен-
переменного z, регулярная в области, содержащей отрезок [0, г] (г > 0)
действительной оси. Предположим, что F{z) принимает на. этом
отрезке действительные значения, и степенной ряд
f ... F0)
имеет столь частую последовательность отличных от нуля коэф-
00
V3 1
фициентов ап. (я^^-1), что ряд V— расходится.
[4.9.1] Пусть {sv}—последовательность неотрицательных дей-
действительных чисел и lim sv = «„. Если s^ конечно и отлично
V •> 00
дт всех sv, а Ь — такое положительное число, что b-s^^r,
то система
{при соответствующем N) определена в интервале 0 -^.t ^.b
и полна в нем относительно L.
Доказательство. Пусть р>0 — радиус сходимости ряда
F0) и | sb | < р. Разложение
F {sf) = а0 + a^t -+ a2s42 -f ...

ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ 169
справедливо при фиксированном s в отрезке O^.t^.b. Если
функция f(f) интегрируема на отрезке [О, Ь], то разложение
6
G (s) = / F (st)f(t) dt = f; akbks\ F1)
о ft=o
где
ь
f F2)
справедливо, во всяком случае, в круге | sb | < р. Но функция G (s),
как легко видеть из интегрального представления F1), регулярна
для действительных значений s от 0 до 5ет включительно в силу
Ьвоо -^ г. Вследствие этого можно выбрать число N так, чтобы
при v > Л/ точки sv принадлежали области регулярности функ-
функции G(s), которая содержит отрезок [0, s^]. Пусть, кроме того, N
определено так, что bs4 при v > N является регулярной точкой
функции F (z); тогда функция cps (t) при v > N определена
в [О, Ь] (и регулярна). Пусть теперь
В силу того, что sv->Sco, sv=/=Soo, функция G(s) тождественно
равна нулю на отрезке [0, Sco], следовательно, так как ап.=/=0,
то Ьп. = 0 для всех у". Из F2) и теоремы Мюнтца—Лерха [3.6.3]
* оо
следует (при выполнении предположения V — = сх>), что /(^)=0
почти всюду на [0, Ь\. Но формула G(sv) = 0 равносильна фор-
ь
муле Гf(t)(fv(t)dt — O. Таким образом, выполнение равенства
о
ь
I f(t)(f^(t)dt — O (для всех v > N) влечет за собой равенство
= 0 почти всюду, что и требовалось доказать.
со
Условие 2j — = оо является существенным, так как иначе,
в силу [3.6.1], существует функция f(t) из L2 (даже из С), кото-
которая не равна нулю почти всюду и для которой все коэффициенты Ьп.
ь *
в F2) равны нулю. Тогда G(s) = 0, следовательно, Г ^(t)f(t)dt=O
о
для всех v > N, т. е. f(t) ортогональна ко всем функциям <pv (t).
Легко проверить, что произвольная бесконечная подсистема ид

170 ПРИМЕРЫ
системы {cpv@} удовлетворяет всем требованиям [4.9.1]. Вследствие
этого она является полной. Другими словами: система {ср»(О}
является плотно-полной системой в смысле определения [2.4.7].
(Следовательно, также плотно-замкнутой относительно L2.)
О, Сасс рассматривал систему
e}. F3)
rfleO<sv<l, lim
» -> OO
Если о действительно и отлично от 0, 1,2, .. ., то система F3)
полна на отрезке 0 < t < 1. В самом деле, функция F {z) = {\-\- z)°
регулярна при |.г|<1- Отрезок [0, а] лежит в круге регуляр-
регулярности, и все коэффициенты разложения функции F (z) отличны от
нуля. (Одновременно видим причину исключения случая о =
= 0, 1, . . .), Пусть, например, о = —1, sv = —, a = 0; теорема
Сасса доказывает полноту системы I-j^/i на 0ТРезке [0, 1].
ствие этого (s, ¦=—) системы
Функции sin z, sin2 z, log(l+?) удовлетворяют условиям для
функции F(z) теоремы [4.9.1], а г можно выбирать любым. Вслед-
Вслед(s, ¦=—)
*т|. l-тЬМ'+т))
являются полными в каждом интервале [0, Ь] (р > 0), следова-
следовательно, также в каждом интервале а<^^^ при а!>0. Но
logfl -\—) = log(/ + v) — log^1» следовательно, система
1. Iog(< + 1). log(<H-2), ...
полна в [а, |3].
[4.9.2] Построечные в [4.9.1] системы замкнуты относительное,
если присоединить к ним функцию, тождественно равную еди-
единице.
Доказательство. Функция F' (z) имеет все свойства функ-
функции F(z), которые были использованы в [4.9.1]. Поэтому система
[<f[(t)\ полна относительно L? (и L). Соответственно этому она
замкнута относительно L2, следовательно, также замкнута отно-
относительно L. Зададим целое неотрицательное число k и е > 0.
Тогда можно выбрать числа п, cv сг, .... сп так, чтобы выпол-
выполнялось неравенство
6

полные Системы 171
Тогда для 0 ^ и ^ b выполняется также неравенство
dt
или
ик+1
k+l
< в @ < в <
Следовательно, можно равномерно аппроксимировать функцию uk+i
линейной комбинацией функций 1, срх (и), ср2 (и) ?«(«)- Так
как система функций {мй+1} (ft = 0, 1,2,...) содержит все целые
положительные степени и, а функция и°==1 содержится в нашей
системе, то в силу [1.2.2] все непрерывные функции равномерно
аппроксимируемы, что и требовалось доказать.
Случай sv —»• оо. До сих пор мы не могли ответить на вопрос,
будет ли, например, система {cosV^} полной в [0, 2тс]. Реше-
Решение (положительное) содержится в следующей теореме:
со
Пусть F (z) = 2 а%^—целая регулярная функция порядка р; [4.9.3]
1 = 0
пусть ап —отличные от нуля коэффициенты (за исключе-
со
нием а0), 2j-^T = °°> причем все а0, ап. действительны. Если
, \s
v = l '
mo система {<pv@} = {F (SJ)} полна относительно L на любом
конечном отрезке [а, C].
Доказательство. Пусть fit) ^ L (а < t < Р) и
Р оо
O(s) = fF (st) f(t) dt = >Г a
(аналогично тому, как в F0), F1) и F2), е отрезком [а, р] вме-
вместо [0, Ь]). Функция О (s) является целой и для каждого в > 0
справедливо неравенство
в
р+е
|O(s)|< f 1/@1 max et]l>tl?+'dt^Ce

172 примеры
где С, 8, y — постоянные величины. Если теперь
J f(f)9i
для всех
то G(sv) = 0 (v= I, 2, ...). Последовательность {sv} является
частью последовательности всех нулей О (s). Но в силу F5) функ-
функция Q(s) имеет порядок не выше р, следовательно, по известной
теореме, если G(s)^0, то при любом е>0 сходится ряд, соста-
составленный из обратных величин нулей функции G(s), взятых в сте-
степени р + е. Но это противоречит F1). Отсюда G(s) = 0, и дока-
доказательство заканчивается точно так же, как в [4.9.1]. (В случае
{^} имеем р=1, я^ = 2у, s<;i.)

ГЛАВА V
СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
Исследования этой главы ведутся для пространства Z,2, кроме
тех случаев, где явно указаны другие пространства.
§ 1. Сходимость ортогональных рядов
Легко привести примеры расходящихся ортогональных рядов;
со оо
так, например, ряд 2 cosk^ расходится для всех t, ряд 2 sin я/
и=1 п=1
расходится для всех t, несоизмеримых с я, т. е. почти всюду.
Эти примеры не представляют исключения, ибо справедлива сле-
следующая теорема:
Если [уп(Щ — ограниченная (т. ?. I сри (/) | < а почти всюду, {5.1.)]
где а не зависит от t и п) ортонормированная система, то
оо
для сходимости почти всюду ряда 2 ап9п @ необходимо выпол-
нение условия lim аи = 0*).
П-УОО
Доказательство. Пусть 0 < х < 1; выберем такое s > О,
что а.4 < х. В силу теоремы Д. Ф.Егорова [1.2.3] существует мно-
оо
жество Е, на котором ряд 2 а«Т«@ равномерно сходится, при-
71=1
чем тС?<8, Следовательно, на Е последовательность функций
{ равномерно сходится к нулю. Из этого следует, что
lim
a* f <р«(*)Л = 0;
1 "
Е
но так как
f <?@ dt = f fn @ dt— f<fl (t) dt>\
E a CE
то lim an = 0, что и требовалось доказать.
п •>• оо
*) Заметим, что в доказательстве предположение об ортогональности
системы не используется, так что эта теорема верна для любых ограни-
ограниченных нормированных систем. (Прим. ред.)

174 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
Исследуем теперь, для каждой ли ортонормированной системы
существует расходящийся ряд с lim а„ = 0. Для этой цели мы
П-Усо
оо
[5.1.2] заметим, что в предположениях [5.1.1] ряд V ^n(t) расхо-
и = 1
дится на множестве положительной меры. Действительно,
в противном случае мы имели бы lim cp2 (?) = () .почти всюду,
П ->со
6
так что и lim f y^(t)dt = O, что противоречит нормированности
системы.
Точно так же
[5.1.3] Если {<ри@} — полная ортонормированная система, то
оо
2 ср2 @ = оо почти всюду.
Действительно, пусть Е— множество сходимости ряда
оо оо
2 <рШ, m?>0, FczE, mF>0 и 2<Р?@<* на F.
и=1 и=1
Пусть, далее, GcF, 0<mG<-j-, и §¦(/) — характеристическая
функция множества G. Для ряда Фурье функции g(t),
неравенство Бесселя [2.6.4] дает
и=1 а
и для t?F, в силу неравенства Шварца, получаем
оо оо
п-\ и=1
Аналогичная оценка для суммы 2 а«Ти@ показывает, что ряд
оо
2 #»?»@ сходится почти всюду на множестве О. Вследствие же
полноты системы имеем lim \\g(t) — sn(t)\2 dt — O, где sn(t) =
п. -V m *J

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 175
==2fli?i@' следовательно, также lim sn(t) = g{t) почти всюду
» = 1 п ->оо
на множестве О. Поэтому sn(t)>-j ПРИ «>«@ Для t?G*,
где О* — часть О, mG* = mG, но это противоречит A).
Если {сри(О} — полная (или соответственно ограниченная) [5.1.4]
ортонормированная система, то существует последователь-
последовательность {ап} такая, что lim ой = 0 и
П-Усо
оо
S о^@ = оо B)
п=1
почти всюду (соотв., на множестве положительной меры).
Мы сошлемся здесь на [5.1.3] (соответственно [5.1.2]). В пер-
со
вом случае 2 <?2п@ — °° почти всюду, следовательно, по теореме
и=1
Д. Ф. Егорова [1.2.3], этот ряд равномерно расходится на [а, Ь],
за исключением множества М сколь угодно малой меры, т. е.
im inf vrai 2 ф|@ = оо.
lim
o|_ t?CM ft = l '"• " ' J
Поэтому существуют множества Ekcz[a, b], для которых тСЕк—-г-
и lim [inf vraisn(tf\ ~ со, где sn(t) означает частную сумму ряда
00 1
SxT* @- Если положить <?„^ lnf mi Д||@ ¦ ToJim^a^^O и ряд
t?E
2 а1п<?п@ расходится на Ек, так как он мажорирует расходя-
7Ъ~ 1
щийся
и1
Возьмем /г = 2 и выберем я2 так> чтобы ]о2и|<^ прии>я2.
Определим далее число п2 > пг таким образом, чтобы имело место
неравенство 2 aLcPn(O>l на F2c:E2, причем
И = Яа+1
> т?2 р-. Положим ап-=0 для и<!я2 и аи = с2и для и2 <
<и^и2- Для ^>2 определяем последовательно числа пк и пк
таким образом, чтобы |aftn| < -г- при п > и7{ и 2 aLcPn(O> '
л ии+1

176 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
на FkcEk, mFk>mEk— -rj- и пк^>пк_1, после чего полагаем
си = 0 для Kfc_i<«^Kft и ап — акп для пк<С.п ^пк. Легко ви-
оо
деть, что ряд 2 ап*?п№ расходится почти всюду на [а, Ь\.
Во втором случае достаточно выбрать последовательность [ап]
со
так, чтобы lim си = 0 и 2ап==0°- В самом деле, если бы те-
п-Усо и = 1
перь ряд B) сходился почти всюду, то он имел бы на некотором
множестве М положительной меры ограниченную сумму и мы
получили бы (см. [1.2.3])
и=1. М
Однако можно показать, как и при выводе [5.1.1], что
Г ?«@^> 1—х>0 (где х не зависит от и). Отсюда следует,
м
00
что 2 fl2 < °°» вопреки нашему выбору.
п=1
Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, поставленный пе-
перед теоремой [5.1.2]:
[5.1.5] В предположениях [5.1.4] найдется такая последователь'
ноешь \bn), что lim#n = O, но
И->00
lim sup
2 t>k<?k (О
C)
почти всюду (соответственно на множестве положительной
меры).
Доказательство. Пусть {с„} — последовательность, фигу-
фигурировавшая в первом варианте B); пусть, далее, Ьп = гпап, при-
причем е? = 1. Если бы левая часть выражения C) при любом выборе
{е„} была конечной на множестве М значений t положительной
меры, то мы имели бы
lim sup
<оо D)
для почти всех и и t?M(u)\ здесь rk{ti) — ft-я функция Раде-
махера. Так как тМ(и)>0, то плоское множество таких точек
(t, и) прямоугольника \а,Ь\, [О, 1], в которых имеет место нера-
неравенство D), имеет положительную плоскую меру. Если приме-

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 177
нить к характеристической функции этого множества теорему
Фубини [гл. I, § 2, заключение], то мы получим множество Г зна-
значений, t, имеющее положительную меру и такое, что для любого
^о? Т прямая t = t0 пересекает наше плоское множество по линей-
линейному множеству U(t0), имеющему положительную меру по и.
Поэтому при t = t0 условие D) справедливо для u?U(t0), где
mU(to)>O; [4.5.31 дает
что, вследствие тГ>0, не совместимо с первым вариантом B).
Таким образом, должна существовать такая последовательность {гп},
для которой осуществляется почти всюду условие C); из соот-
соотношения lim а„ = 0 следует, что lim bn — 0, и тем самым первый
п -> оо п •> оо
вариант [5.1.5] полностью доказан; доказательство второго про-
проводится совершенно аналогично.
Пусть опять {<?n(t)} — полная ортонормированная система.
00
Тогда, по [5.1.3], почти всюду 2 ?^@ = оо, откуда (вслед-
и=1
ствие соотношения 1а1г) почти всюду
со
2J?» @| = ОО.
Итак, если ряд
2 ад» (о E)
71 = 1
абсолютно сходится на множестве положительной меры, то должно
выполняться равенство
liminf \ап\ = 0.
Для получения более сильных результатов необходимы допол-
дополнительные предположения о системе. Если из сходимости ряда E)
на множестве положительной меры вытекает, что lim си = 0, то [5.1.6]
П->оо
мы говорим, что система {<р„@} обладает свойством С. Если нужно
предположить сходимость ряда E) почти всюду, для того, чтобы
отсюда следовало равенство lim аи —0, то это называют свой-
свойством с. Если из абсолютной сходимости ряда E) на множестве
положительной (соответственно полной) меры вытекает, что
со
2|Ой|<оо, то говорят, что система {'-рп@} обладает свой-
п=1
ством D (соответственно d).
J2 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейигауэ

178 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
[5.1.7] ддя того чтобы система {<ри@} обладала свойством С,
необходимо и достаточно, чтобы
liminf Г|«рп(О|Л>О F)
для любого множества Е положительной меры; то же самое
имеет место для свойства D.
Достаточность. Пусть тЕ>0 и ряд E) сходится для
E. По теореме Егорова [1.2.3] множество Е содержит такую
часть Elt что m?t > тЕ — е>0 и anyn(t) стремится к нулю
равномерно на Ev Из этого следует, что
так что на основании F) получаем lim cn = 0. Итак, условие F)
п-уоо
достаточно для свойства С. Для свойства D доказательство про-
оо
водится аналогично. Именно, так как ряд 2 |°иТи@| равномерно
и=1
00
сходится на Ev то ряд V \ап\ j\<pn(t)\dt также сходится; но
» = 1 Е,
из неравенства Г| <fn(f)\dt > а > 0 (причем а не зависит от п)
К
заключаем, что
Si^KtS Iй»! j\fn(t)\dt<oo.
Необходимость. Если условие F) не выполнено, т. е. если
существует множество Е, для которого liminf Г \ уп (t) \ dt = О'
Е
и т?>0, то можно построить последовательность {пк}, для
которой
1
Положим теперь с» —/г, ап = 0 для пфпк. Тогда ряд
со оо.
I — 2 | апк9пк (t) | сходится почти всюду на Е,

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ 1 ?9
потому что
ft = 1 E ft = 1 ft~l
Тем не менее, здесь limsupan = -j-oo, так что ни свойство С,
П-УОО
ни свойство D не имеют места. Тем самым утверждение [5.1.7]
доказано.
Следствие. Свойства С и D эквивалентны. Для тригоно- [5.1.8]
метрической системы свойство С было известно уже Г. Кантору;
свойство D было впервые доказано А. Данжуа и Н. Н. Лузиным.
Аналогично доказывается теорема: Для того чтобы система [5.1.9]
""' обладала свойством с (или d), необходимо и доста-
достаточно существование такого е > 0, что
lim inf
и->со
для всех Е, для которых тСЕ < е.
Замечание. В силу [5.1.1] ограниченная ортонормированная
система обладает свойством с. Следовательно, по [5.1.9] такая
система обладает также свойством d. Поэтому для абсолютной
сходимости почти всюду соответствующего ортогонального ряда E)
со
необходима абсолютная сходимость ряда 2 ап (очевидно—вслед-
(очевидно—вследствие неравенства |<р„@| < а —это условие также и достаточно).
§ 2. Сходимость ортогональных разложений
Теоремы § 1 относятся к ортогональным рядам; предположе-
предположение, что эти ряды суть ряды Фурье, там не использовалось. Теперь
мы сделаем это предположение. Прежде всего исследуем сходи-
сходимость ряда в отдельной точке. Эта сходимость зависит не только
от разлагаемой функции, но также и от системы.
Здесь мы будем использовать введенные нами ранее понятия
и обозначения. Пусть
со
/(9-^2 «*?*('). G)
Частные суммы стоящего справа разложения мы будем обозна-
обозначать sn(f\ t), или, коротко, sn(t). Так как в выражении G)
12*

180 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
ь
коэффициенты ак= j f(u)<fk(u) du, то
а
Ь
*«(')= $Kn(t,u)f(u)du, (8)
?» (О ?*(«)• (9)
а
где
й 1
Функции
6
[5.2.1] М*)= f\K»(t,u)\du (Ю)
а
называют лебеговскими функциями системы {<р»(ОЬ Knif, и)
называют га-м ядром системы {<р„@}- Функции (9) и A0) играют
важную роль в теории сходимости.
[5.2.2] Если
то найдется непрерывная функция f(t), для которой
lim sup sn (/; t0) = -f- оо.
П>00
Ь
Действительно, sn(f; t0)— \ Kn(t0, u) /(«) du и утверждение
a
[1.5.4] обеспечивает существование искомой функции /(/). (В слу-
случае тригонометрической системы Ln(t)~ О (logn) для любых t,
откуда следует существование непрерывной функции, ряд Фурье
которой расходится в заданной точке t0.) Таким образом, условие
^п(^о) = 0A) является необходимым и достаточным для того,
чтобы для любой непрерывной функции sn(f; г!0) = ОA); это
вытекает непосредственно из (8), A0) и [5.2.2].
Для всего пространства L2 этого условия уже не достаточно,
как это видно из следующей теоремы (в которой не делается
никаких предположений о лебеговской функции системы).
[5.2.3] Если {сри(О} — полная ортонормированная система, то для
почти всех t0 существует функция f(t)?L2, ряд Фурье кото-
которой расходится в точке t0.
00
Доказательство. По теореме [5.1.3] ряд 2 Т»@ почти
П=1
оо
всюду расходится; пусть 2 Тп(^о) ==~Г" с°! по [1.1.3] существует

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
последовательность {ап}, для которой
ОО 00
24 2 anfn (to) — + °°>
181
п=1
2
и=1
следовательно, мы доказали даже более сильное утверждение, чем
[5.2.3].
Аналогичная теорема для ограниченных ортонормированных
систем легко вытекает из [5.1.4]. Мы можем обобщить этот резуль-
результат, заменив пространство Z.2 пространством М. Для этого нам
понадобится следующая теорема Мерсера для'ортонор-
для'ортонормированных систем.
Если функции |<ри@| ограничены на [а, Ь\ равномерно отно- [5-2.4]
сительно п, то для всех f(?L
lim
Доказательство. Положим для s>0
причем,/@ ограничена, а
8- Тогда
6
.(От» @ л-
Первый интеграл справа стремится к нулю по [2.6.4]; если
а—верхняя грань [<р»@|> л = 1» 2, 3 то абсолютная вели-
величина второго интеграла не превосходит as, следовательно,
ь
lim sup
n->co
as.
Таким образом, интеграл Г/@ <ри (t) dt для достаточно больших и
а
может быть сделан сколь угодно малым.
В предположениях [5.2.4] существует такое множество Е
положительной меры, что для любого to?E найдется ограни-
ограниченная функция, ряд Фурье которой расходится в точке t0.
Доказательство. Пусть ? — множество всех t, для кото-
которых срп(О не стремится к нулю. Из доказательства [5.1.2] сле-
следует, что тЕ > 0. Возьмем любое to?E. Если бы ряд Фурье
[5.2.5]

182 Сходимость и суммируемость
любой ограниченной функции f(t) сходился^ точке t0, то суще-
существовал бы конечный предел
b
m [Kn(t0, u)f(u)du
для всех ограниченных функций /(и). Тогда, в силу [1.6.3], суще-
существовала бы такая функция g(u)?L, для которой
ь
ь
lim (Kn(to, u)f(u)du = fg(u)f(u)du;
n>OTa a
при этом g(u) есть не что иное, как слабый предел последова-
последовательности {Kn(t0> «)}• Положим f(t) = <fp(t). Тогда
ь
Однако при р-*оо этот интеграл в силу [5.2.4] должен стремиться
к нулю, но срр(?0) к нулю не стремится.
Замечание. Если отказаться от предположений [5.2.3] и
[5.2.4], то можно построить систему, которая каждой функции
f(t)?L ставит в соответствие сходящееся разложение.
Такой системой будет, например, система {<Pn@}i где
ср„ (t) = \/r2n+1 на интервале (gn+l' 9») > а в остальных точках
ср„(/) = О; она ортонормирована, но не полна. Здесь мы всегда
имеем при р>« и t
следовательно, последовательность {sp(t)} сходится для ^?@, 1)
(но также и при ^ = 0 и ^=1). Напротив, утверждение [5.2.5]
остается справедливым, если предположить полноту системы отно-
относительно L2. Наш пример показывает, что без этого пред-
предположения теорема [5.1.3| тоже не имеет места.
Равномерная сходимость. Мы хотим теперь исследовать
условия равномерной сходимости ряда Фурье по ортогональной
системе на всем интервале.
[5.2.6] Пусть {cpn (t)}—ортонормированием система. Для того чтобы
каждая непрерывная функция имела разложение, равномерно
сходящееся к этой функции на всем интервале определения
[а, Ь], необходимо и достаточно выполнение следующих двух
условий:

СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
183
1°. Каждая непрерывная функция может быть равномерно
аппроксимирована на [а, Ь\ линейной комбинацией функций
2°. Лебеговские функции системы на отрезке [а, Ь\ ограничены
в совокупности.
Условие 1° необходимо потому, что sn(f; t) представляют
собой аппроксимирующие линейные комбинации для f{f). Если бы
условие 2° не было выполнено, то нашлись бы последовательность
индексов {щ} и последовательность точек {^} такие, что
lim Ln (^) = + co; но тогда по [1.5.4] существует непрерывная
г>оо
функция /@, для которой
ь
lim sup Г Кп, (t{, и)/(и) da = + оо,
т. е. lim sup $„.(/; ^) = -f-oo, что противоречит равномерной
i>oo *
сходимости.
Пусть теперь условия 1° и 2° выполнены. Положим, |Ln@| < X.
Для любого е > 0 существует линейная форма о>А (t) = a.1<f1 \t) -j- ...
.. . -\- aAcpft (/), для которой |/@ —<»й@ I < ^ »a I«. *]•
Для m > ft и и > ft
далее,
(мы опустили здесь ^ в выражении s...(...; t)), следовательно,
в силу (8),
б
a.
что, благодаря неравенству | Ln (t) | < I, дает
Равномерная сходимость последовательности {sn(t)} доказана. Но
по [2.4.6] и [3.7.3] условие 1° означает полноту системы {<fk(f)}
относительно L2; следовательно, должно выполняться соотношение

184 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
Замечание. [5.2.6] показывает, что лебеговские функции
систем Хаара и Франклина ограничены в совокупности.
Если предположить непрерывность функций системы {<р„@}
и, сохранив 1°, заменить условие 2° условием
3°. sn(f; t) — O(l) для всех непрерывных f(t),
то найдется часть отрезка [а, Ь], на которой ряд Фурье лю-
любой непрерывной функции равномерно сходится к ней. Именно, до-
достаточно найти отрезок [alt bj] из [а, Ь], на котором {Ln(t)\ ограни-
ограничены в совокупности, и доказательство [5.2.6] повторяется почти
дословно. Пусть такого отрезка [аи Ьг\ не существует. Выберем
точку ^ на [а, Ь\ и индекс я, так, чтобы ?П,(М > 1; тогда Lni(t) > 1
в окрестности Д точки tv Выберем в окрестности /t точку t2, в ко-
которой /,„а(^2)>2, и т. д. Если точка t0 принадлежит пересечению
всех 1к, то
Uk(t0)>k,
что, в силу [5.2.2], противоречит условию 3°.
Искомые частичные интервалы равномерной сходимости рас-
расположены всюду плотно на отрезке [а, Ь].
Существенно-равномерная сходимость. Если
функция только ограничена, то мы не можем требовать, чтобы ее
разложение было равномерно сходящимся, потому что для не-
непрерывной ортонормированной системы сумма равномерно сходя-
сходящегося ряда должна быть непрерывна. Здесь целесообразнее
использовать понятие существенно-равномерной сходимости. Перво-
Первоначально понятие существенно-равномерной сходимости было
неудачно определено. После того как была доказана теорема
Д. Ф. Егорова [1.2.3], оказалось, что так определяемая суще-
существенно-равномерная сходимость равносильна сходимости почти
всюду. Правильное определение этого понятия гласит:
[5.2.7] Функциональная последовательность называется суще-
ственнно-равномерно сходящейся на [а, Ь\, если она равно'
мерно сходится после исключения из [а, Ь\ множества мери
нуль.
Будет ли теперь ряд Фурье любой ограниченной функции
существенно-равномерно сходящимся?
[5.2.8] Ответ на этот вопрос для любой полной ортогональной
системы отрицателен. По [1.2.1] все функции <?n(t) непрерывны
на совершенном множестве Р положительной меры. Пусть t0
(двухсторонняя) точка плотности Р. Положим f{t)=\ для t^.t0
и /@ — 0 Для t>h' Если разложение функции/^) существенно-
равномерно сходится и, следовательно, равномерно сходится на
Р—Q, где mQ = 0, то сумма ряда непрерывна на Р — Q. Эта
сумма почти всюду равна f(t) (в силу [3.8.2]); но f(t) не может
быть сделана непрерывной на Р— Q путем удаления какого бы
ТО ни было множества меры нуль.

СкоДймость почти вйюду 185
Если функции Ln(t) не являются существенно-ограниченными
в совокупности, то [1.5.5] дает пример непрерывной функции,
ряд Фурье которой не является существенно-равномерно сходя-
сходящимся.
§ 3. Сходимость почти всюду
До сих пор мы не могли утверждать, что существует ряд
Фурье, расходящийся на множестве положительной меры; теоремы
предыдущих параграфов давали, самое большее, всюду плотное
множество точек расходимости. Поэтому, для того чтобы пока-
показать, что сходимость почти всюду не является само собой разу-
разумеющимся свойством, необходимы дальнейшие примеры.
Существует полная ортонормированная система и функция [5.3.1]
f(t)?L, разложение которой по данной системе почти всюду
расходится.
Пусть <р,(^)=з1 на [0, 1]; <р2 @) — <р2 (-Л = 2; пусть, далее,
функция <р2@ симметрична относительно прямой / = j в интер-
интервале Г0, -J и, кроме того, 2 ]> <р2 (t) >- -к-, а
2
J
Очевидно, что можно выбрать функцию <р2С0> удовлетворяющую
всем поставленным выше условиям и непрерывную; на участке
р
(¦?;> М ПОЛОЖИМ <р2@ — — Ъу 2Г Т°ГДа
Вообще: разделим отрезок [0, 1] на 2" равных частей; пусть
функция <fn(t) непрерывна в [0, 21-"], симметрична относительно
прямой t~2~n, (pn(O)s=<pnB1~") = n, я>сри(О>4- и
21 -И
На следующем интервале определим функцию <fn(t) так, чтобы
график ее- представлял зеркальное отображение относительно
оси ОХ графика функции на предыдущем участке; на следующем
далее интервале — так же, как и на [0, 21""] и" т. д. (так что

186 Сходимость и Суммируемость
«рп A) = — п). Следовательно,
1 1
о
Ортогональность вытекает при этом из того факта, что график
функции на каждой паре соседних участков представляет раз-
различные по знаку, но конгруэнтные образы. По построению
max |cpn(O! = rt; B СИЛУ [1.5.3], существует f(t)?L, для которой
1
С
A1)
Систему {срп(О} можно, на основании [3.5.3], дополнить до
полной ортонормированной системы {<|>„@}; если теперь положить
1
о
то равенство A1) дает limsupa^^-l-00- Но, кроме того,
п>оо
>
I <?п (О I ^ ~о • следовательно для каждого t
lim sup \aj/n @| = oo,
П-Усо
чем доказано большее, нежели утверждение [5.3 1]. (Построенная
система полна относительно М; для доказательства полноты отно-
относительно L теоремы [3.5.3] не достаточно.) Этот пример ограни-
ограничивает дальнейшие возможности обобщения теоремы Мер-
сера [5.2.4].
Проблема сходимости всюду для произвольной ортогональной
Системы не имеет никакого смысла, потому что значения функций
всегда можно изменить на множестве меры нуль таким образом,
чтобы получить расходимость на этом множестве; для этого доста-
достаточно только иметь бесконечное множество отличных от нуля
Коэффициентов. Естественным является только вопрос о сходи-
сходимости почти всюду. Мы ограничимся здесь пространством L2 и
поставим, прежде всего, вопрос о том, существует ли почти всюду
сходящаяся подпоследовательность sn(f, t). Теорема Рисса — Фи-
Фишера [3.5.6] и конструкция [3.8.2] дают положительный ответ на
этот вопрос с той оговоркой, что последовательность индексов {в,-}
не должна быть раз навсегда определенной (т. е. одной и той же
для всех функций/^))*). Однако плотность такой последователь-
последовательности можно усилить:
*) См. обзорную статью, теорему [9.2.1]. {Прим. перев.)

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ 187
Пусть числа v{n) неограниченно возрастают вместе спи [5.3.2]
n) < оо. Пусть далее, {пк) —такая неубывающая после-
n=l
довательность индексов, что
k^v(nk). A2)
Тогда последовательность {snk(t)}, т. е. последовательность
I 2j аг?г(О ( сходится почти всюду.
Доказательство. Пусть f(t) — функция, для которой
/^1 2
j=W 1-1
а
следовательно,
Вследствие [1.1.1] и неравенства A2) ряд 2 гпк сходится. Дей-
Действительно,
оо со со
2 гпк== 2 (гпк — гпк+1)k-\~ lim krn)c+ j -^ 2 Щ^@-
со
Следовательно, в силу [1.2.4], 2 1/@ — *пй@12<°° почти
всюду, что дает lim sn (t)=f(f) почти всюду.
fc->oo *
Конструкция [3.8.2] дает только А2<!f («&)<!(А + IJ. Даль-
Дальнейшие уточнения могут быть получены как следствия из [5.3.5].
Дополнительные условия позволяют определить. общую для
всех функций последовательность индексов; таким условием
является, например, предположение о (С, 1)-суммируемости:
Если ряд Фурье функции /@€^-2 по ортонормированной [5.3.31
системе {сря(О} суммируется методом Чезаро первого порядка
почти всюду, то последовательность {s2ic(f; 0} почти всюду
сходится. Здесь {«^. = 2*}—общая последовательность индексов.
Действительно, пусть о„ (*)==— [^(О + ^г @+ • • • ""Мя @1'>
по предположению, последовательность {on(t)} сходится почти

188 сходимость и суммируемость
всюду; последовательно получаем
п
J [ V @ — V @12 dt = ~ j о* (А — IJ.
n=[log, ft]
последнее, вместе с [1.2.4], доказывает сходимость почти всюду
ряда
следовательно, почти всюду lim (sn(t) — °2»@) = 0> откуда не-
и-»со
посредственно вытекает утверждение [5.3.3].
Аналогичная теорема для других методов суммирования будет
дана позже ([5.7.4]).
Теперь мы хотим перейти к рассмотрению всей последова-
последовательности {sn(t)}. Для того, чтобы эта последовательность почти
оо
всюду сходилась, в силу [5.3.2], достаточно условия 2 &afc < °°> ибо
ft — 1
в этом случае можно принять v(ri) = n, и вследствие этого в A2)
можно положить ti}c = n. Эти условия были далее ослаблены
А. Вейлем, Е. Гобсоном и М. Планшерелем; Д. Е. Меньшов и
Г. Радемахер, независимо друг от друга, нашли достаточное условие,
не допускающее дальнейшего улучшения. Оно состоит в сходимости
00
ряда 2 al log2 *¦
[5.3.4] Лемма. Пусть {cpft(O} (ft=l, 2 п) — ортонормиро-
ванная система; существуют функция 8@^>0 и постоянная,-*,
такие, что
1°.
2°.
для

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ
189
при этом Ь(t) зависит от функций {<fk(t)} и от {ак}; ¦*., напротив,
абсолютная константа, не зависящая также и от числа п
(например, допустимым значением является х==F log2eJ).
Доказательство. Пусть сперва п — 2г, где г — целое.
Если обозначить -^ 8 (t) через y@> to достаточно показать, что
(О
< т @.
чтобы удовлетворить условию 1°. Разобьем интервал @, «) на
две равные части (О^), BГ'1, 2Г); если каждую полученную
часть снова разбить на две равные, то мы определим второе
разбиение интервала @, п) (на четыре части); если мы продолжим
это разбиение до r-го, то длина каждой отдельной части будет
равна 1. Если 0<у<«, то @, J) объединяет не более чем г
различных частей, принадлежащих разным разбиениям, что выте-
вытекает из двоичного представления числа j; если j = n, то @, j)
само следует рассматривать как разбиение («нулевое»).
j
Пусть интервал (/, j) служит символом для суммы 2 ак9к @-
ft = i+l
г
Частная сумма Sj(t) равна 2/*«@; здесь Pic(t) суть суммы, сим-
3=0
волы которых получаются из описанного выше представления
числа j(Sj(t) = (Q, j)), pq(t) соответствует #-му разбиению; при
этом некоторым q в качестве pq(t) соответствует 0. .Неравенство
Шварца приводит к соотношению
2
2=0
и тем более sj (t) 4^ r2 Aq @> гДе
д=о
означает сумму квадра-
п
тов всех Рк{(), которые получаются из 2 ak4k(t) при фиксиро-
ванном q. Если обозначить
2
а=о

190 сходимость и суммируемость
то s2 (f) -^ y @ й
Ь г Ь г
g=0 a g=0
4-
2
Это неравенство справедливо в случае « = 2Г. Но если 2Г <
< в < 2r+1, то мы дополним систему {срл @} Функциями <рп+, @> • • •
..., cp2r+i (/) и положим ап+1 = ап+2 = .. . = a2r+i = 0. Если
требовать лишь выполнения условия 1°, то функция f(t), построен-
построенная для новой системы функций {fk(t)} и коэффициентов {ак}
подходит также и для первоначальной системы. Но, по доказан-
доказанному выше,
? п _ п
\ Т2 @ dt < (г + 2J 24 = (У^J log* я • ^ 4;
далее,
следовательно, в обоих случаях
Г 82 @ dt = 4 Г Т2 @ л < 36 (log2 вJ iOg2 «24-
в в *=1
и достаточно положить ¦/= F log2eJ, чтобы убедиться в выпол-
выполнении условия 2°.
Мы также видим, что выбор последовательностей {cpfc(O}
и \ак) влияет на выбор функции b(t), но не может влиять на
выбор константы у.
Лемма [5.3 4] позволяет теперь провести доказательство сле-
следующего утверждения:
оо оо
[5.3.5] Если 2 апlog2п < оо, то ряд ^ anfn(t) сходится почти
п=1 п=\
всюду.
Именно, применим утверждение [5.3.2] с o(«) = log2«; мы
получим сходимость почти всюду подпоследовательности {s jc(t)}
и остается только показать, что
"т>„ (t) — sk(t)} = 0
к->со i

Сходимость почти всюду 191
почти всюду для 2й < п < 2*+1. Но из [5.3.4] получаем, что
причем
Из этого
ь
а
следует,
Ч
что
,@—VWI
2UH
• i=2*+l
оо 6
о г
=l L
и, тем самым, lim 8ft(f)=0 почти всюду; из неравенства A3)
ft>oo
следует теперь искомое утверждение.
оо
Следствия. 1°. Ряд 2j a"^ln(' сходится почти всюду, если
и=2
оо
2 й« < оо. Следовательно, по теореме Кронекера, почти всюду
имеем
Т. е. Sn @ = 0 (l°g") почти всюду.
2°. Теорема [5.3.2] допускает теперь следующее уточнение:
подпоследовательность {sn/((t)} сходится почти всюду, если схо-
41 rnJ°%k
дится ряд V — (см. доказательство [5.3.2]). Действительно,
последнее условие эквивалентно условию
с»
S (e»ft+i + <4+2 Н- • • • + а\к+1) log2 A < 00.
Построим нормированную ортогональную систему {Фл@}. полагая
пк+1 Г пк+1 пк+1
/
Г пк+1 пк+1
l/ 2 а^^ 2
(делитель iA полагаем равным единице, если подкоренное выраже-
выражение обращается в нуль). Если применить теперь к ряду
оо
2 **Ф)к(О теорему [5.3.5], то получим требуемое уточнение.
к=1

192 Сходимость и суммируемость
3°. Условие [5.3.5] позволяет оценить сверху порядок частных
сумм ортогонального ряда, даже без предположения о том, что
этот ряд является рядом Фурье, как это сделано в следствии 1°.
Именно, всегда имеет место неравенство
(c = l
и если положить
log л
то к ряду 2 сп?»@ можно применить утверждение [5.3.5].
п=1
Последний ряд сходится почти всюду, следовательно, в силу
теоремы Кронекера, почти всюду
Если все коэффициенты ап равны единице, то те же сообра-
соображения приводят к более точному результату, если выбрать
сп = п 2(log«) 2 , (s > 0, п > 1); в этом случае получаем
(Можно продвинуться еще несколько далее, если выбрать под-
подходящие {с„}.)
Предположения, сделанные в [5.3.5], являются наиболее сла-
слабыми из всех предположений такого рода. Это можно показать
построением противоречащего примера. Его построение мы начнем
со следующей леммы:
[5.3.6] Лемма. Для любого натурального числа р{р=\, 2, ...)
существует система функций {fPl m(t)) (m = l, 2, .... 2р),
ортогональных на отрезке [0, 5] и таких, что
1°.
2°. |/А«@+/*. тм@+ • ¦ • +и.гр-1®\> «8

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ЙСЮДУ 193
причем условие 2° справедливо для всех t?[l, 2], число т
в этом условии зависит от t , числа же v.v *2> напротив,
являются абсолютными константами.
Положим на участке [0, 4)
Jp, ш if) === j" >
k т
j
k —р— т —
где t?\—
вательно,
, -\, Л=1, 2, ..., 4/>; т=\, 2, ..., 2р; следо-
следо1 V 1 ^ о 4 у
С о
fp,m(t)d
J ' i ,1 b n m -
о /c = llK P m ,-)
Для от > л имеем
_ Г _ly
Л/*, ?t — I j-p, ш if) Jp, п \f) и* — "Г /j
— , 1 , !
s. = 1/fe — р — т —rj к — р — п j
1 1
Ь 1 Z- 1
i=l-p-mJ — ~2 j=l-p-nJ — y
р(т—\
Таким образом,
V —L_ 'У '
j=i-ji-mJ—2 j = sp-m+iJ Y
m~n
Теперь мы должны определить функции {/} на участке 14, 51
таким образом, чтобы получить ортогональность на отрезке [0, &]•
Разделим отрезок [4,5] на s—pBp—1) равных частей и по-
поставим в соответствие каждой части пару чисел [от, л], где
13 Зак. 2512. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

194
т
СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
\. Положим
0 при *€/[*, ц, где кфт, 1фт,
^Ql при/€/,„. л,;=1. 2,....m-l,
^ [
- Vs I %уI sign amJ при * е/W| ш], ;=m+l, m+2 2/г, J
A6)
4
где amj= Г/p, m(t)fp, j{t)dt и /[7> r] означает интервал, соответ-
o
ствующий паре [q, r] (q > г). Построенная система функций ортого-
ортогональна на [0, 5]. В самом деле, при т > п
fp,m(t)fp,n(t)clt = <Xmn-
Jp, ш
р, „
у Vs I аш» I (— Vs I «m» | s'g» «ив) = О.
Далее, условие 1° выполняется, потому что соотношения A4),
A5) и A6) дают
j=»s+l
0 0 4 J=l
4 P P2 P'
справедливость же условия 2° необходимо еще проверить. Пусть
I, 2], например, /g [1 ~\-т~~ , 1 + —) (т<р),
rp,2P-i(t) =
1
"~ 1 Т
1 ' ,_ 1
2 2
так что
U:
В случае р—1 оцениваемая величина, по меньшей мере, равна 1,
так что условие 2° всегда справедливо с у.2=\.
Исходя из этой' леммы, мы можем теперь построить пример,
показывающий невозможность замены множителя log2 я в [5.3.5]
функцией w (я) с более слабым порядком роста.

сходимость почти всюду 195
Если 0 <; w (п) — о (log2 n), w («)<] w (п -\- 1), то существуют [5.3.7]
нормированная ортогональная система {<рп@} и числовая
последовательность {ап} такие, что
и -1
2°. Ряд 2 ал?»@ 8сю<?з; расходится.
Это утверждение впервые было доказано Д. Е. Меньшовым.
Построим, прежде всего, последовательность чисел {рк}, для
которой
2) I _)_ 2 fo + ft+...-+-/>*_,)< А (Л = 2, 3, ...),
3) -jj^<± Для п>Рк.
Члены искомого ряда 2° мы будем располагать-группами Ок,
причем таким образом, что член с индексом п принадлежит
группе Ок, если Nk_ t < n ^Nk, где новая последовательность {Nk}
определена равенствами Л/о = 0 и Nk = 1 + 2(pt-}-р2-\-. . .-\-рк).
Очевидно, 7V1=1, Nk — Nk__l = 2pk для &1>2 и, вследствие 2),
W&-1 < Рл-> так '1Т0 Для ^^-2 имеем Nk<Zpk. Теперь будем
последовательно строить члены $%{$)¦= akyk(t). Положим ф1(/)= 1
в [0, 1]. Следующие функции ф(?) мы строим с помощью функ-
функций [fp m{t)) из леммы [5.3.6], подвергая t линейным преобра-
преобразованиям и приравнивая ф на интервалах разбиения отрезка [0, 1]
различным /. Пусть это построение проведено для всех членов
групп 0j (i <C k). Так как все функции ф из этих групп кусочно
постоянны, то существует конечное разбиение отрезка [0, 1] на
такие участки Др Д2, . . ., что все эти функции ф постоянны на
каждом из них.
Пусть Дг и Д;—две половины участка Дг. Функция ф„@ из
группы ОА+, определяется следующим образом: обозначаем раз-
разность n — Nk через т\ имеем 0 < т ^ 2рА.+1; обозначим через
hp,m(t, P) функцию, которая определена на участке [а, [3]==Р и
которая получается из функции /2,1?и(и) {р = Рк+д> если отрезок
О <! и <; 5 преобразовать в отрезок а<С?^C с помощью линей-
9 5
Г 2 В —О Г 2
ного преобразования. Очевидно, hp,m(t,P)dt = '—=— /« m(t)dt.
к О
Положим теперь
А«, и» (АД) ( Д = Д; (верхний знак),
ф„(/)=±—^ —- в { „ A9)
]0SPk+i [ Д = Дг (нижний знак).
13*

196 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
Система функций {ф„@} ортогональна. Действительно, если
фг@ принадлежит к другой группе, нежели tys(t) и г > s, то
во всех Д, в которых определены функции группы фг@> функ-
функция tys(t) постоянна. Как показывает равенство A9), интеграл
от tyr(t) равен нулю. Если же tyr(t)?Qk и ФзСОб^, то
1
/ фг @ ф, (О Л
2 f J Фг @ ф. (О <« + / Фг (О Ф. (О
4 U а;
Однако
вследствие ортогональности функций fPim(t) в лемме [5.3.6].
То же самое имеет место и для интервала Д<.
Теперь можно приступить к доказательству свойства 1°
со со
теоремы [5.3.7] для ряда 2 ап?»@ — 2 Фн@- Мы имеем
п=1 и=1
и для всех п > 1
1
Г 2
I И
! * к'
(последняя оценка основана на свойстве 1° из [5.3.6]). Функции fn(t)
нормированы, так что, вследствие равенства ф„@ —в»?»@>
имеем
о
и далее, так как pk__t < Nk_l < я <С Nk, то
оо оо
-2/
^ lOg2/>fc
и=2 fc=2
— IJ Iogapfc •

СХОДИМОСТЬ ПОЧТИ ВСЮДУ 197
При этом мы использовали условие A8) и вытекающие из него
неравенства. Но мы имели также, что Nk<.Zpk (&!>2), следо-
следовательно, при соответствующем выборе /3
что и требовалось доказать.
Остается доказать свойство 2°. Группа Ок членов ряда
со
2 Фи (О происходит из функции fp m(t) при фиксированном р;
именно, в
Tnw— {ogp
причем m=^n — Nk_1, p = pk. На основании свойства 2° леммы
[5.3.6], существует часть интервала Д* длины -^-|Д$|, в которой
можно определить функции m(t) и n(t) = m{t)-\-Nk_1 так,
чтобы выполнялось неравенство
IФ» @ + Ф.н.1 @ + • ¦ • + "rW (О I > *а- B0)
Равенство n-{-r = Nk_l-{- 2р—1 определяет значение г. Таким
же образом поступаем и для интервала Д». Вследствие этого,
неравенство B0) имеет место на множестве Ек меры -^. Пусть
со
? = lim sup?ifc) т. е. f = |J(?'fc + ?'t4,+ ...). Мы утверждаем,
к -> со к = 1
со
что ряд 2ф»@ расходится на множестве Е. Действительно,
П=1 *
каждое if?? принадлежит бесконечно многим Ек, так что нера-
неравенство B0) выполняется для бесконечно многих и. Мера мно-
множества Е равна единице. В самом деле,
тЕ= lim m^-f-f^!-)- . . .);
к ->¦ со
/ 1 \2
с другой стороны, тС (Ек + ?ft4 i) = m (CfA • C?ft41) = ( 1 r) ,
потому что СЕ7. состоит из конечного числа интервалов и в каж-
каждом из этих интервалов множеству CEkJil принадлежит часть,
А
равная -г- интервала. Следовательно,
о

198 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
так что
= limfWiYWl.
На множестве СЕ, мера которого равна нулю, мы можем теперь
так изменить функции ср„(У), чтобы ф„(?) = 1 на СЕ. При этом
не нарушится ни нормированность, ни ортогональность системы
функций, и ряд станет расходящимся всюду на [0, 1]. Отрезок
10, 1] легко теперь можно преобразовать в любой другой отре-
отрезок [а, Ь\\ равным образом дополнение системы {<р„@} Д° полной
не представляет никаких трудностей.
Существует ограниченная ортонормированная система [fn(t)}
и соответствующие \ап) и w(n), такие, что
со
2 a*-® (/г)< оо, 0 < w (/г) = о (log n)
П = 1
со
и ряд Sfln?n@ всюду расходится. Однако неизвестно *), можно ли
п = 1
для ограниченной ортонормированной системы из сходимости
DO
ряда 2fl2l°g" заключить о сходимости почти всюду ортогональ-
и = 1 п
со
ного ряда 2аЛ@-
§ 4. Безусловная сходимость
Теорема [5.3.5] гарантирует сходимость ортогонального ряда.
Однако она ничего не говорит о том, как будет вести себя ряд
в результате перестановки членов. В каком же случае ряд будет
сходиться при любом порядке членов всюду, кроме множества
меры нуль (которое может меняться при перестановке членов)?
Здесь достаточно несколько более сильное условие:
[5.4.1] Пусть w(ri) — некоторая функция, {пк} — последователь-
последовательность индексов и у.' — константа, такие, что>
lim w (я) = -)-оо, w (я) ^ w{n-\-1),
П > со
Sto)log Пк+1 <у'log п"-
к=1
*) См. обзорную статью, теорема [9.2.8]. (Прим. перев.)

Безусловная сходимость 199
Тогда из сходимости ряда
со
2 tfw (я) log2 n
со
вытекает сходимость почти всюду ряда 2 ап^п @ пРи любом
п=1
порядке членов.
со
Доказательство. Пусть 2*A@ — новое расположение
ряда E), так что bn~aa(n) и tyn{t) = ?8(») @- Разобьем члены
этого нового ряда на группы, объединив в группу Нк такие
члены bntyn(t), для которых пк_1 < s(n)^.nk. Для членов, входящих
в группу Нк, положим n = gik, где /— 1, 2 пк — nk_i = rk
и gik возрастают по / при фиксированном к. Тогда лемма [5.3.4)
для 1 <^ п <; т < гк дает
bgjgik @
< 8* @. причем Г 81 @ dt < у. log* гк 2 «!
^ i = nJ._1+l
Следовательно, по предположению,
«^ @
Для 1 = /г = т = гй имеем
ь
@ dt < х4а^йда (/гА) log2 nk.
Просуммировав эти неравенства по k, получаем
со 6 со
Уа w (Ч ¦ i) Г 4 @ dt < х4 У а2да (/г) log2 re,
что влечет за собой сходимость ряда
со

200
СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
почти всюду. Пусть t0 — точка сходимости последнего ряда. Для
отрезка переставленного ряда имеем при т^-п
2 W
р-п
2 2*,
('о)
N
к=к(п, т)
где
Далее,
O j UO
1 M'o)<l/ 2
п т) * к-=к(п
(п, ш) " 4 = ft (и, )»)
СО
Если s > 0, число j выбрано так, что V
столько велико, что k (л, т)>/, то
k~1
<s2, а /г на-
р=п
<sPj-i
где р^ означает v-й остаток ряда B1). Тем самым сходимость
почти всюду переставленного ряда доказана.
В качестве приложения доказанного факта приведем теорему:
оо
[5.4.2J Если для некоторого числа г, 0 < г < 2, ряд 21 #n f е < с°.
оо
то ряд 2а«?п@ сходится почти всюду и даже при любом
порядке его членов.
Расположим {|о„|} в невозрастаюшую последовательность
, оо
{!а»(вI}- Из сходимости ряда 2lan(s)| выводим, что
lims|aM(s)|2 * = 0, из чего, в свою очередь, заключаем, что
S >со
для больших s
n(s)
следовательно,
2
8=1
с» „) (log sf (log log sf+t < оо;

БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ 201
здесь ге>(/г) = (log log яI'8 подчиняется условиям теоремы [5.4.1)
(например, с /гА = 22Й), что завершает доказательство нашего
утверждения.
Можно отметить еще одну теорему о безусловной сходимости:
Если w(t) неограниченно возрастает вместе с t, ряд [5.4.3]
со
V—т-т сходится и
п-\ и > оо
оо
то ряд 2°п?»@ почти всюду (безусловно) сходится.
Условие B2) сохраняется при любом порядке членов ряда. Мы
можем, следовательно, предположить последовательность {\ап\)
певозрастающей. Не ограничизая общности, можно также допу-
со
2
стить, что 2и ап = 1 и что бесконечное число ип отлично от пуля-
пуляла 1
Пусть Оп—совокупность таких ат, что — > | ат р > ]j~ir\
и
А (т) = w (log log y'm).
Тогда, в силу B2),
а2тА (от) log2 от < оо ,
так как
w (log | log | alh 11) > w (log log Yn) > «• (log log ]/^) = A (m)
и
log2 m <! 4 log2 /г ^ 16 log21 am |,
ибо в Он имеется не более п элементов, что вытекает из
со
равенства 2a«=b и> стало быть, от<;1-[-2+...+/*</г2.
Таким образом, необходимые для применения теоремы [5.4.1] усло-
условия выполняются: Л (от) неограниченно возрастает, log2 log2Vft* == *
со со
дает /, тт—г < °° (вследствие соотношения >.—r-v<co) и
ft=i «=i
log2 nk+l~ 2\og2nk. Поэтому любой переставленный ряд сходится
почти всюду, или, что то же самое, первоначальный ряд без-
безусловно сходится почти всюду.

202 сходимость и суммируемость
§ 5. Значение лебеговских функций для сходимости
Выводы §§ 3 и 4 о сходимости ортогональных рядов отно-
относятся к любым ортонормированным системам. Если нужны более
точные результаты, то необходимо рассматривать более узкие
классы ортогональных систем. Свойством, позволяющим получить
более или менее точные теоремы о сходимости, является порядок
роста лебеговских функций Ln(t). Но прежде чем это установить,
мы приведем одну оценку лебеговских функций, справедливую
в общем случае.
[5.5.1] Какова бы ни была нормированная ортогональная система,
для всякого е > 0
почти всюду.
Это получается на основании сходимости ряда
Действительно, тогда (в силу [1.2.4]) почти всюду сходится
оо о , .
также ряд / ¦ ——, следовательно, на основании теоремы
п^ л (log «)
Кронекера, почти всюду
-n). B3)
Но неравенство Шварца дает Lzn(t)^.(b— a) f Knit, u)du =
а
п
= (Ь — йJ<р|(О> чт0 вместе с B3) приводит к [5.5.1].
[5.5.2] Если ортонормированная система ограничена, то Ln(t) =
— O(Yn), потому что почти всюду
п
iX it) <(* — «) 2 Tft it) < A2 (b — a) n,
так как |<рп@|^-<4 почти всюду. Эта оценка является наилуч-
наилучшей, так как лебеговская функция для системы Радемахера имеет
точно такой порядок роста. Утверждение [5.5.2] остается спра-
справедливым, если заменить ограниченность нормированной орто-

ЗНАЧЕНИЕ ЛЕБЕГОВСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ СХОДИМОСТИ
тональной системы условием Ln(t)=-const. Действительно, тогда
6 6 й
\Kn(t. u)\dudt,
следовательно,
ь ь
?@< J \Kl(t, u)dtdu = n.
Для того чтобы получить другие критерии сходимости, нам по-
понадобится следующая лемма.
Лемма. Пусть F(?, t\, t)— симметричная функция пере- [5.5.3]
менных ?, т], такая, что если f = X(?, tj)— любая функция,
интегрируемая в квадрате а <1 ? ^ ?, а <! tj ^ ?, то функция
F (z, т], Х(?, т])) интегрируема в том же квадрате. Пусть, далее
), (f, tj) = min [X (|), Х(т))]. В таком случае
ь ь
f j F(i. r,, 1A
ь ь
<2fdrif\F(l, т), l(r)))\dl
Доказательство. Разложим квадрат а<!S, tj
множества М^ и Ж2, где
на два
Очевидно, Х(?,
этого
ь ь
i = Е \\ ® < X G,)], Ж2 = ? [X (?) > X (т))].
на Л^! и Х(?, 7)) = ХG)) на Ж2. После
ж,
б 6
'1.
'I-
В последнем интеграле можно заменить Z7^, т„ Х(^)) на F (т\, 5. Х@)-
Если теперь переменить местами ? и т), то получим
6 6
<2
w (п) — положительная и неубывающая последователь- [5.5.4]
ность, Ln (t) < над2 (п) на некотором множестве Е значений t,
функция f(t)?L2 и sn(t) — частные суммы ряда Фурье

?04 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУ&ЙОСТЬ
функции f{t), то
почти всюду на Е.
Доказательство. Как мы видели в §2, sn(^) =
ь
= Гf(u)Kn(t, u)du\ положим
а
va(t)— max .?*-!§-== ifi^ p = p(t,n),
W i<*<nw(*) »(P)
Последовательность {¦у„(^)} не убывает; мы покажем, что инте-
интеграл /„= Г vn{ftdt стремится к пределу, из чего на основа-
Е
нии [1.2.4] будет вытекать существование почти всюду предела
lim vn{t).
п J J
E
w(p)
J J (p) J *
E a a E
и, вследствие [1.2.7],
w(p)
Второй множитель справа, если положить q — p(tv n), равен
J
J (p) J W (q)
-Е E
a
b
JJJ ^
E E a
Ортогональность дает
b
I Kp(t> u)Kq(tv u)du — Kr(t, tt) при r = min(jt?, q).
a
Вследствие этого, интеграл B4) не больше, чем
('J '^'ff1 dtdtv

ЗНАЧЕНИЕ ЛЕБЕГОВСКИХ ФУНКЦИЙ Для СХОДИМОСТИ 205
Но этот интеграл не превосходит (по [5.5.3]) величины
2 [dt, { '*«<<¦ <i)l dt < 2шЕ.
J l J w*(q) ^*-
? В
Е В
Итак, мы получили, что sn (t) ^ a (t) w (га), где а (t) — почти
всюду конечная неотрицательная функция. Проводя аналогичные
рассуждения для
vn @ — SUP fpr >
получим, что
т. е., окончательно,
для почти всех t.
Этим доказательство завершено. Если функции Ln(t) ограни-
ограничены в совокупности ла Е, то очевидно, что частные суммы sn (t)
также ограничены в совокупности почти всюду на Е.
Если функция w(n) положительна и неограниченно возра- [5.5.5]
оо
стает, Ln (t) ^ r.w2 (га) на Е и ^j anw2 (п) < оо, ото /?я^
о
!j йя?п@ сходится почти всюду на Е.
п-1
Доказательство. Рассмотрим те индексы ft, для которых
существуют такие га, что ft ^ w2 (я) < ft -j- I. Пусть это будет
последовательность {ft^}, ftt < ft2 < ... < ftj < ... Обозначим
raf = min {ftf ^ w2 (ra)< ft^ -(- 1},
n
Ni = max {ftj ^ ¦a»2 (ra) < ftj -f-1}.
со
n
Так как N^i, n(^l, то по теореме [5 3.2] последовательности
sn.(t) и SN.(t) сходятся почти всюду. Выберем такую последова-
последовательность {сп}, 0<cn<Ccn+1, lim cn — co, для которой
^j anw2 (га) с„ < оо.
Положим bn= anw (га) с„. Пусть при некотором / имеем Л4+1=Л4-|-1 ¦
Оценим разность sn(t)—sn{(t) при р.г < л < rai+1. По [1.1.1]

сходимость Й суммируемость
получаем
(к)
п г- к
2
В силу [5.5.4] почти всюду на Е имеем
к
следовательно, для почти всех t?E имеет место оценка:
1 1
а (() w (л.;) , а (t) w (л) . Aa(t)
CnW (Л) ^ с,н '
(Л.)
так как '
Аналогично можно доказать, что та же самая оценка справед-
справедлива при любом / для всех га, raj^/i^A^. (Напомним, что
w^JVjXAj-j-l, a w2{n^)'^ki.) Пусть теперь ki+l > А4-(-1.
Тогда wz(Ni-{-l)'^ki-\-2, в то время как та»2 (N{) < kt-{- 1,
т. е., очевидно, Ni-\- I =ni+l. Поэтому интервал (nit rai+]) сов-
совпадает с интервалом {щ, А^-|- 1) и на основании только что сде-
сделанного замечания справедлива та же оценка для разности sn(t) —
— sn.(t). Итак, мы доказали, что при, любом / и ni < п < ni+l
sn @ — s»i (О I < -^т~
почти всюду на ?.
Поэтому |sM(^) — sH.(^)|^0 почти всюду на Е, когда га—>оо,
га4 < л < ni+l, что и завершает доказательство теоремы.
Замечание. В предположениях E.5.4] с дополнительным
условием lim та»(п) = -|-оо, в силу [5.5.5], ряд
'(л)
схо-
дится почти всюду на ?; из этого следует (по теореме Кроне-

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О СХОДИМОСТИ 207
N
кера), что 2 я«<рп@ — ° (w (АО) почти всюду на Е, т. е. более
точный результат, нежели [5.5.4] (неверный, однако, без пред-
предположения Iim та» (re) = +do) Еще4 более простым рассуждением
п -> со
получается
со
Теорема. Если L n{t) < % на Е и 2 й»< со, то ряд [5.5 6]
п=1
со
2 ап ?п @ сходится на Е почти всюду.
В самом деле, тогда можно определить последовательность
{w(n)), удовлетворяющую условиям теоремы [5.5.5], и можно
применить эту теорему.
Для тригонометрической системы из теоремы [5.5.5] следует,
что неравенство
2 (<**¦
достаточно для сходимости ряда 2 (ал cos kt -f- bk sinkt) почти
всюду, потому что лебеговские константы имеют здесь порядок
log re, следовательно, можно принять та» (re) = \^\og(n~\-l).
§ 6. Общие замечания о сходимости
В этом параграфе мы рассмотрим произвольные системы и
исследуем сходимость разложений функций заданных классов.
Равенство sn(f;t)— ГKn(t, и)f(u)du определяет линейный опе-
а
ратор в пространстве X, которое совпадает с рассматриваемым
классом функций (например, X^=L, X= L? и т. д.). Если положить
sn(J; t) = Fn(f) и применить [1.5.9], то мы видим, что каждой [5.6.1]
рртонормироеанной системе {<рп@} и каждому пространству
X соответствует множество Тс\а, Ь\ такое, что
Г. limsup|sn(/; t) \ < со
п -> со
почти всюду на Т для каждой f(t)?X,
2°. limsup|sn(/; t) \ = со
п-> со

208 сходимость и суммируемость
почти всюду на СТ для каждой /(fy^X, за исключением (быть
может, пустой) части X первой категории.
Может оказаться, что множество Т имеет меру нуль, как эго
имеет место в случае тригонометрической системы для Х= L.
Именно, существует пример Д- Н. Колмогорова интегрируемой
функции, тригонометрический ряд Фурье которой всюду неограни-
неограниченно расходится, так чт0 для этой особой функции /? L свой-
свойство 2Эимеет место пр^'Т= [0,2тг], В этом случае [5.6.1] пока-
показывает, что «большинство» интегрируемых функций разделяют
свойства примера А. Н. Колмогорова. Напротив, множество Т
имеет меру 1, если {<р„ @}— система Хаара и X=L.
Множество Т может иметь произвольную меру: выберем,
например, систему функций {срп(О}> гДе ?»@ на половине интер-
интервала совпадает с соответствующей функцией Хаара (редуцирован-
(редуцированной на эту половину), а на второй половине — с соответствую-
соответствующей (редуцированной) тригонометрической функцией. В этом случае
для Jfr^Z. мера множества Т равна половине длины интервала.
Если X— L?, то разложение произвольной функции из L?
на Т почти всюду сходится. Это следует из 1°, если провести
доказательство подобно тому, как мы это сделали в [5.5.6].
[5.6.2] Если система {<р„@| замкнута относительно X и Т—мно-
Т—множество, о котором шла речь в [5.6.1], то разложение каж-
каждой функции f(t)?X no системе {<р„@} сходится к f(t) почти
всюду на Т.
Доказательство. Линейный оператор sn(f; t) по теореме
[5.6.1] обладает описанным там свойством 1°, следовательно, он
удовлетворяет условиям леммы [1.5.8], если опустить условие о)>0.
Встречающиеся там Тх, х(х), и(..., п) назовем теперь Т, f(t),
sn(.. .). Мы воспользуемся здесь не утверждением леммы, а идеей
доказательства. Выберем числовую последовательность • {тр},
последовательность {Кр) шаров в X и последовательность R№ (})
множеств значений t такие, что для f(?Kp, t?R(p4f)
для всех п. Множества RW(f) лежат в Г и m G1 — /?№) (/)) < 3,,.
причем HmSp^O. Если рр означает радиус шара Кр, fo^.X,
p
li/oll ^ —^- и zp— центр шара Кр, то точка Ур = zp-{- pmpf0 лежит
в Кр, следовательно,
I sn (pmpf0; 0К|*„ {Zp, t) | + | sn (yp; t) | < 2mp
(/о! 0K-§- для t^^HZp)-Rip)(yP)=Rip)- По предполо-

ОБЩИЕ, ЗАМЕЧАНИЯ О СХОДИМОСТИ 209
жению, если задана функция f(t), существует линейная форма li(t)
из {фп@}> ДЛЯ которой lim \f—Ц\=0.
г -> сю
Если выбрать 1{р) так, что ||)Е—^ill^ ~— > то
ptrip
для t?R(P) и всех п, следовательно, для больших л и при t
I *„(/;')—W0!<|-
Последовательность {/{@} содержит подпоследовательность
{/Д0}> сходящуюся к /(?) почти всюду на [а, Ь\. Рассмотрим эту
последнюю вместо {^@}- Если обозначить lim sup R(p) = /?°°,
р -> оо
то m (Г—RM)—0 и последнее неравенство имеет место в RM,
т. е почти всюду на Т
Пт К(/; 01 =/@-
Случайная последовательность знаков. Если
{гп@} —система Радемахера [2.2.5] и в ряде
со
2 «„?„(')'»(«) B5)
рассматривать anfn(t) как коэффициенты, tj ряд B5) сходится по
[4.5.2] для почти всех и на отрезке [0,1], если только сходится
ОО
ряд 2ап<ри@- Но этот последний сходится в силу [1.2.4] для
» = i
со
почти всех t на [а, Ь) в случае, если 2 fl« < °° > потому что
i
Пусть ? — лежащее в прямоугольнике 0<^и<^1, a <^t^.b пло-
плоское множество точек (t, и), на котором сходится ряд B5). Если
применить к F (и, t) — характеристической функции множества
Е — теорему Фубини, то получим
si 16
J* <tt{JV(a, t)du\ = jdu^j" F(u, t)
а о 0 a
14 Зак. 2512. С. Ка'шаж и Г. Штейнгауа

210 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
Но теперь, F (и, t)= 1 Для почти все* и, и это имеет место для
почти всех t, следовательно, двойной интеграл слева имеет зна-
значение Ъ — а. Так как функция F(и, t) принимает только значе-
значения 0 и 1, то F(u, t) долж/fa для почти всех t быть равной
единице при почти всех и, ии&че интеграл, стоящий справа, был
бы меньше, нежели b — а.. Это показывает, что ряд B5) при
почти всех и сходится почти всюду в aj^it^Ь.
Если вспомнить теперь вероятностное истолкование системы
{rn(f)) в [4.5.5], то можно сказать:
00
[5.6.3] Если {fn(t)} — ортонормированная система и 2 ^ < со,
то ряд
сю
2 =toncpn@ B6)
с вероятностью 1 сходится почти всюду в [а, Ь], если знаки
zt расположены случайно и любое их расположение равно-
равновероятно.
Имеет место также
[5.6.4] Теорема. Если {cpn(t)} — ортонормированная система и
liminf I cpn (t) dt > 0 для всякого множества Нс[а, Ь] поло-
полоса
жительной меры, то в случае^, а^ = со ряд B6) с вероят-
п — \
нос/пью 1 расходится почти всюду в [а, Ь].
со
Доказательство. Если тН > 0 и 2 <Р2 (t)<l °o на Н,
то по [1.2.3] можно было бы найти подмножество Н*сН положи-
положительной меры такое, что
f <
H*
Из первого условия теоремы следует, что тогда ^ а2 <С со.
ni п
n=i
Следовательно, в нашем случае 2 afy\@ = °° почти всюду в
[а, Ь]. Если применить теперь [4.5.3] и определить Е как (плоское)
множество расходимости ряда B5), то можно почти дословно
повторить начало второй части доказательства [5.6.3].
Расходимость. Здесь важна вторая часть [5.6.1], которая
обеспечивает существование разложения, расходящегося почти

6ёш.иечзамечания о бходймостй 2Й
йсюду на СТ. Принцип Ьгущения особенностей дает новый
результат:
Если {<р„@} — ортонормиро$анная система и {tp}— после- [5.6.5]
довательность точек (tp?\a, b]), такая, что каждой точке tp
соответствует функция fp(t)?R, ряд Фурье которой по дан-
данной системе расходится в tp, то существует функция f(t)?R,
разложение которой расходится во всех точках tp.
Действительно, если мы положим Fpq(f) — sq(f; tp) и приме-
применим [1.5.7] или [1.5.6], смотря по тому, хотим ли мы показать
только расходимость, или же неограниченную расходимость, то
мы получим доказательство утверждения [5.6.5], даже с уточне-
уточнением характера расходимости. Из теоремы [1.5.7] вытекает также
Теорема. Если существуют последовательность отрезков [5.6.6]
{[ар, Cp]j и соответствующая функциональная последователь-
последовательность {fp(t)} (/p@€^-) такие, что для всех р
limsup \sn(fp; 0| Л=оо, B7)
П -> oo J
mo в равенстве B7) see функции fp{t) можно заменить опре-
определенной функцией f(t)?L, не зависящей от р.
Для доказательства достаточно воспользоваться теоремой [ 1.5.7],
определив функционал Fpq(f) как I sq(f; t)dt. Теорему [5.6.6]
"я
можно, в частности, применить к тригонометрическим рядам Фурье;
можно даже достигнуть в B7) общего участка [а, Щ.
Принцип сгущения особенностей позволяет получить только
счетное множество точек расходимости. В некоторых случаях
можно доказать, что оно будет иметь мощность континуума:
Если для каждой точки t0 ? [а, Ь] существует непрерывная [5-6.7]
функция, ряд Фурье которой расходится в t0, то существует
непрерывная функция, для которой множество точек рас-
расходимости ряда Фурье имеет вторую категорию, и, стало быть,
обладает мощностью континуума.
Доказательство. По [1.2.1] все функции <рп@ одновре-
одновременно непрерывны на совершенном множестве D положительной
меры. Пусть А — множество таких точек t?D, для которых
существует непрерывная функция с limsup|sn(/; t)\ — co. Если А
П У со
всюду плотно в D, то мы можем, по [5.6.5], определить непре-
непрерывную функцию, для которой lim sup [sn(/; t)\ = co на множе-
п > оо
стве Z, причем ZaA и всюду плотно в D. Но это соотношение
14*

212 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
справедливо также на множестве ^*dZ второй категории и,
стало быть, мощности с.
Действительно, пусть F^n = F. [ | sn (/; t) \ < т] • D и
Fm — И Fm „. Множества Рт> „ замкнуты, потому что функ-
п = 1 ' /
ции tpn(/) непрерывны на 0, а значит, замкнуты и множества Fm.
СО /
Сумма 2 Fm — первой категории на D. В противном случае
от = 1
хотя бы одно множество Гт было бы второй категории, следова-
следовательно оно было бы всюду плотно на [а, C] • D ([а, C]сг[а, Ь\) и
поэтому (вследствие замкнутости) совпадало бы с частью множе-
множества [а, C] • D. В этом случае на [а, $] • D выполнялось бы нера-
неравенство | sn (/; ОI-^ "* для всех п> чт0 противоречит тому, что
со
множество Z всюду плотно на D. Итак, 2 Fm — первой кате-
¦»»-.-1
СО
гории, поэтому дополнение Z* — D— 2 Fт—второй категории.
ш = 1
Но на множестве '/*, очевидно, имеет место соотношение
lim sup | s,, (/; t) | = oo.
П->со
Если же множество А не будет всюду плотным на D, то
существует часть [а, Щ ¦ D, в которой частные суммы разложений
всех непрерывных функций образуют ограниченную последова-
последовательность. Пусть совокупность {gn(t)\ всюду плотна в простран-
пространстве С (непрерывных функций). Если бы для каждой функции gn(t)
множество точек расходимости было первой категории на D,
то существовала бы точка<0?[а, р] • D, которая служила бы точ-
точкой сходимости для всех gn(t). Но тогда t0 была бы точкой схо-
сходимости для всех непрерывных функций. В самом деле, частные
суммы sn(f;t0) (f(t)?C) ограничены, следовательно, можно при-
применить [1.5.1] с Fn(f) = sn(J;t0) и К(/Л)|<М||/||- Отсюда
следует, при соответствующем выборе gk(f), неравенство
I sn (/; t0) — sn (gk; t0) |< M || f—gk || < s,
что доказывает, что t0 является точкой сходимости для функ-
функции /(/). Но это противоречит предположению теоремы. Следо-
Следовательно, существует функция gn(t) с множеством точек рас-
расходимости второй категории на D.
§ 7. Общие методы суммирования
Как мы видели в E.3.7], существуют ряды Фурье, расходя-
расходящиеся почти всюду. Этот факт показывает желательность исполь-
использования линейных методов суммирования. Их можно с успехом

0Й1ДЙЙ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 2lS
применять во многих случаях. Только в случае, когда ряд расхо-
расходится к -\- оо или —оо эти методы бесполезны; однако этот
последний случай для функций из I? может встретиться только
на множестве меры нуль, так как последовательность sn{t) сильно
сходится к разлагаемой функции f(t), а, следовательно, также
сходится по мере (см. [1.6.2]). Отсутствие методов, суммирующих
разложение любой функции из L?, не является очевидным. Мы
покажем, что таких методов действительно не существует.
Большинство предшествующих теорем этой главы справедливо
также для суммируемости. Доказательства часто остаются почти
неизменными; мы будем в таких случаях только формулировать
теоремы. Так, теорема [5.1.5] принимает вид: Каждой нормиро- [5.7.1]
ванной ортогональной системе {<рп@}> которая ограничена или
полна относительно L2, соответствует последовательность
{Ьп} такая, что lim bn = 0, но
И ->¦ оо
lim sup \an(t)\ = oo
П
на множестве положительной меры {соответственно почти
всюду), причем on{t) означает результат применения к последо-
последовательности {sn{t)\ л-й строки конечнострочного линейного метода
суммирования Т.
Можно добавить, что {|?>„|} не зависит от Т. Если
Рп Р„
sn @ = «»(/; 0. °„ @ = 2 anksk (t), Тп (Л н) = 2 anllKk (t, и),
то можно написать
Тогда, аналогично [5.2.2], условие [5.7.2]
lim sup Г | Тп (t0, «) | du*=co
а
влечет существование непрерывной функции f(t) с
lim sup on (/; ^0) = -\- оо.
п ->• оо
Для каждого метода суммирования Т имеет место аналог тео-
теоремы [5.2.3], а для конечнострочного метода Т—аналог тео-
теоремы [5.2.5]. Далее:
Для того чтобы разложение каждой непрерывной функции [5.7.3]
по ортонормированной системе {yn{t)} равномерно суммиро-

сходим1 оСть Й ЬуммИруёмоСтЬ
валось методом Т к этой функции, необходимо и достаточно,
чтобы система {<рп@) была замкнута относительно С и имело
место неравенство j\Tn(t, u)\du^.x, где х не зависит от п
а
и от t.
Для суммируемости почти всюду справедливо обобщение [5.3.3].
оо оо
2 а
[5.7.4] Если 2 ап < °° и Ря& ^an^n(t)почти всюду суммируется
П=1 П=1
методом Т, то найдется последовательность {«,}, зависящая
только от Ти такая, что {sn(t)} сходится почти всюду.
f °° \
Доказательство*). Последовательность {ап(
U=i
сходится почти всюду (через Ь^ мы обозначаем элементы
матрицы Т). Пусть, далее, выполнены условия 1°, 2°, 3° из [1.1.9].
6
Если обозначить /n= \ [sn{t) — an(t)]2 dt, то достаточно опре-
а
оо
делить последовательность {п^ так, чтобы ряд 2 Л*, сходился.
Но
п
*п@—ап@=2 алТл(О[1 — К н—ьп н+1— ...] —
2
ОО
так что, если обозначить 2 bn j через В„ к, то
П оо
^=2 4(i-sMJ+ 2 я2Х*.
Л=1 к=п+1
к-1
Положим 2*п 9 = ^и л и 1—^п к — Ва k = Rn. По свойству
1° из [1.1.9] имеем lim /?га = 0. Определим теперь последова-
П->оо
тельность {«i} реккуррентным образом так, чтобы
«)|Д|<
*) Приведенное доказательство справедливо для конечнострочных
методов. Для любых методов суммирования необходимы некоторые изме-
изменения в доказательстве. (Прим. перее.)

ОБЩИЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 215
Z<»i_i («о — О) (см. [1.1.9], 2°),
-rh для 1>п* ai-i.9], п.
Тогда
|Ч-2
2 { ±
2 [(
4- 2 4Ki+<s+... + ^J, B8)
где л^- и «г зависят от ft, а у и / определяются неравенствами
Из двух сумм в правой части B8) первая по свойству 3° из [1.1.9]
и Р) не больше чем
а вторая по а) и у) не больше чем
, 2 'я
г = 1 '
со
fl»Tn@> г^е 2 аи < °°> при любой переста- [5.7.5]
1
следовательно, 2 'я < °°-
со
П=1
новке членов почти всюду суммируется методом Т, то он
сходится почти всюду.
Доказательство. Выберем последовательность {рг) так,
со оо
чтобы 2lap-l<°°- По [5.4.2] ряд 2 ал,?г>.@ почти всюду
сходится. По [5.7.4] существует последовательность {sn (t)},
которая сходится почти всюду. Переставим теперь члены ряда
оо
2 an?n(t) так> чт0 места ni замещаются последовательно членами
п=1
этого ряда; при этом члены ар.^р (f) сначала убираются с преж-

216 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
них мест, а затем помещаются на места, оставшиеся свободными.
Ясно, что частные суммы нового ряда с индексами щ почти
всюду сходятся (в силу [5.7.4.]). Если обозначим их через s,H{t),
а через snf(f) — частные суммы ряда, который получается из
последнего путем замены членов с индексами пг нулями, то после-
последовательность \sn.{t)} также почти всюду сходится, ибо сходится
оо
почти всюду ряд 2 ар Уд- (О- Это влечет сходимость почти всюду
последовательности {sn.(t) — sa.(t)}, т. е. первоначальный ряд
также сходится почти всюду.
Теорему [5.7.5] можно коротко сформулировать так. почти
всюду безусловно суммируемый ортогональный ряд безусловно
сходится почти всюду. Из этого следует, что не каждое орто-
ортогональное множество функций обладает методом суммирования,
суммирующим почти всюду разложение любой функции из L1.
Именно, если бы ортогональное множество функций, приведен-
приведенное в примере [5.3.7], обладало таким методом суммирования,
то ряд этого примера был бы почти всюду безусловно сум-
суммируем, а значит, почти всюду сходился бы, что не имеет
места. Тем более не существует универсальных методов суммиро-
суммирования. Не существует метода, который дает одно и то же мно-
множество сходимости положительной меры с точностью до фикси-
фиксированного множества меры нуль. Можно даже для каждого метода
суммирования найти ортогональное разложение, не суммируемое
этим методом. Напротив, для каждой последовательности {ап}
со
с 2 а'п < °° можно найти действенный метод суммирования, не
зависящий от нормированной ортогональной системы *). Действи-
Действительно, на основании [5.3.2] существует последовательность {rij)
такая, что \sn.(t)} почти всюду сходится. Таким образом, мы
можем получить и искомый метод: Г определяется матрицей \\bik\\,
где bjn.= \, а все другие bik — нули.
[5.7.6] Если мы ограничимся сильной сходимостью, то любой ме-
метод суммирования дает положительный результат. В самом
деле, мы имели
Ь П "О
In = /(*» @ - а» (ОJ = 2 4A - Вп, kf +
*) См. также обзорную статью, теорему [9.5.2]. (Прим. перев.)

ЧЁЗАРОВСКИЁ СРЕДНИЕ 217
следовательно, в силу условий Теплица,
п со
4 < 2 4 E„, * + /?„J +
Очевидно, предел второй суммы равен нулю. Разложим первую
сумму на 2 и 2 A С-^") и выберем сначала т так, что
к = 1 l = t»H
со
2 а| < е> а затем л (я > /и) так, что | 5n> fc -f- Rn\ < е для
fe= 1, 2, . . ., /и. При этом 1п имеет своим пределом нуль, а сле-
следовательно, {on(t)\ сильно сходится.
Общие соображения § 6 о сходимости можно перенести на
теплицевские методы суммирования. Так, например, справедлива
теорема, аналогичная [5.6.4J, именно, «почти все» ряды вида
оо
2 ± (ап cos nt-f- bn sin nt)
при расходящемся ряде 2(a»~f~*n) не являются рядами Фурье
и = 1
функций из L, потому что они с вероятностью 1 не суммируются
методом Чезаро первого порядка.
Принцип сгущения особенностей дает новую теорему:
Если для каждого метода Тр(р— 1, 2, . ..) в простран- [5.7.7]
стве R существует функция fp{t), ряд Фурье которой не
суммируем методом Тр в точке t = t0, то в R существует
не зависящая от р функция, разложение которой не сумми-
суммируемо в точке /0 никаким методом Тр.
§ 8. Чезаровские средние
Если мы хотим достигнуть дальнейших результатов в пере-
переносе теорем о сходимости на методы суммирования, то класс
последних необходимо сузить. Мы ограничимся здесь методами
чезаровских средних, хотя аналогия охватывает также и другие
методы, например типа средних Рисса.
Из [1.1.7] при ао = 0 следует
). ПРичем Л" =

218 СХОДИМОСТЬ И СУММИРУЕМОСТЬ
где а(п (t) означает чезаровское среднее r-го порядка (г Ф —1,
— 2, —3, .. .) с номером п для ряда E). Положим
[5.8.11 Тогда, для г > -_•, почти всюду
lim jW(f) = 0
Доказательство. Имеем:
к
к
следовательно,
й
@—Г> (ОJ л = -т^г S / «I №)
а
И
2" к
J ««—я^то S т
о ft=l V
2" 2П , ,г_! \2
Но Л^—'., 114' следовательно, внутренняя сумма не превышает
что в свою очередь, так как г > 1/2, не больше чем
*) Предполагается, что 2 Л1 < °°- (Прим. перев.)

ЧЕЗАРОВСКИЕ СРЕДНИЕ 219
Таким образом,
Итак, lim S(,#(f) = O почти всюду; но для 2"<fe<2n+l имеем
П-Ух>
О < S(ftr) @ < 28B»+1 @> следовательно, почти всюду lim 8^@ = 0,
ft->-oo
что и требовалось доказать.
Отсюда следует вывод:
со
Если ортогональный ряд с 2 ал < °° суммируется на [5.8.2J
п=1
множестве Е к функции s{t) методом (С, г) при г > г/г> ^о
почти всюду на Е
Is@_0(r-i)@1 +1s@__„<»¦-»)(о| +..¦+js(o-o<;-1)(Oi_ Л
B9)
Ит Is w - °i-1' w I2+1 s а) - 4 -" «) I2 + • ¦ ¦ +1 s (о - «<r-0 (Of _0
C0)
Достаточно доказать равенство* C0), потому что тогда из C0) и
неравенства Шварца вытекает B9). Но мы имеем
2 М—(г -
и предпоследняя сумма имеет порядок о(«) в силу [5.8.1], по-
последняя же, по предположению, также является о (я), что и тре-
требовалось.
Лемма [5.8.1J приводит также к следующему результату: для [5.83]
ортогональных рядов из L2 все методы. (С, г) (г > 0) равносиль-
равносильны между собой и равносильны методу Абеля — Пуассона [1.1.8].

220 сходимость и суммируемость
Покажем прежде всего сходимость црчти всюду ряда
СО
2« К (9 —°„_1 (ОJ- C1)
п= 1
где а„@ означает A -f- —) 4J' (f). Достаточно доказать, что
В самом деле, при ге >• 1
б
П 1
a2
9 9 tf"n
П -1
»=2 а »=2 /с=1 п=2
Последний ряд сходится; предпоследний равен
ft=i
Теперь мы используем теорему о числовых рядах, по которой
суммируемость последовательности методом Пуассона влечет
суммируемость методом Пуассона ее средних арифметических.
Следовательно, если ортогональный ряд из I? суммируем на Е
со
методом Пуассона, то ряд 2 (вн@:—a»-i@) суммируем на Е
П=1
тем же методом. Но это в сочетании со сходимостью ряда C1)
дает (по соответствующей теореме из теории числовых рядов)
со
сходимость ряда 2 (°н@ — °»-i@)- Следовательно, этот ряд
i

ЧЕЗАРОВСКИЕ СРЕДНИЕ 221
сходится почти всюду на Е, а потому ортогональный ряд сум-
суммируется на Е почти всюду методом (С, 1). Обратное утвержде-
утверждение было известно уже Фробениусу. Таким образом, равносиль-
равносильность методов Пуассона и (С, 1) доказана и для завершения
доказательства [5.8.3] остается доказать только еще одну теорему.
Теорема. Если ортогональный ряд суммируется мето- [5.8.4]
дом Пуассона на множестве Е и а > О, то он почти всюду
на Е суммируем методом (С, а).
Доказательство. Сначала мы установим, что равенство
для е > О влечет за собой соотношение
lim „H+i)e
В самом деле, если положить а?'=—^-, то
/ 1 \ п 1 п
и поэтому
(г +1 + Л
2
к= l x ' г /с =i
''|I) = oUr4i / -
как и утверждалось.
Но в предположениях [5.8.4] ряд суммируется метолом (С, 1)
почти всюду на Е, так что имеет место [5.8.2] с г=1 в C0),
т. е. почти всюду на Е
с40)
Разность а{?' (t) — s(t) мы можем рассматривать как частную
сумму ряда [a1(fl(t) — s(t)]-\-a2y2(t)¦+¦••¦ и применить замеча-
замечания, сделанные в начале нашего доказательства, положив г. = 0.
Мы получим, что
lim |<Л2 ">(t) — s @1 = 0

222 сходимость и суммируемость
почти всюду на Е. Используя еще раз теорему [5.8.2] с г = 1/г'-\- г>
мы приходим к результату
lim —
П>сО _
С помощью упомянутых рассуждений отсюда можно заключить,
что
почти всюду на Е, чем окончательно доказано [5.8.4], а тем
самым и [5.8.3]. При этом предполагается известным результат
Гёльдера о том, что метод Пуассона сильнее, нежели любой
метод (С, г) при г > 0.
Исследования о суммируемости ортогональных рядов чезаров-
скими средними можно отныне ограничить методом (С, 1). Здесь
можно дать следующий простой критерий:
[5.8.5] Для того чтобы ортогональный ряд из L2 суммировался
почти всюду методом (С, 1), необходимо и достаточно, чтобы
последовательность {s2n(t)} почти всюду сходилась.
Доказательство. Новым является здесь только доста-
достаточность, потому что необходимость условия составляет содержа-
содержание теоремы [5.3.3]. Итак, предположим, что последовательность
\s2n(t)} почти всюду сходится. Заключение доказательства [5.3.3]
(в котором сделанные в этой теореме предположения не исполь-
использовались) дает теперь сходимость почти всюду последователь-
последовательности {о2«@}- Рассмотрим разность ok(t)—o.zH(t) для 2№<&<2"+1.
Мы имеем
°*@ —<у@= 2 (°i+i@ —°i@).
г = 2»
следовательно,
2"т1 2П+1
(°* @ — V* (ОJ < 2 i Ыг @ — ot (ОJ ? у <
Но ряд C1) был сходящимся почти всюду, следовательно, послед-
последнее выражение почти всюду стремится к нулю и поэтому после-
последовательность {ok(t)} является почти всюду сходящейся.

ЧЕЗАРОВСКИЕ СРЕДНИЙ 223
СО
Сходимость ряда 2 fln (log log яJ для соответствующего [5.8.6]
п = 2
ортогонального ряда влечет суммируемость последнего мето-
методом (С, 1) почти всюду.
Согласно [5.8.5] достаточно доказать сходимость почти всюду
последовательности {s2n(t)}. В соответствии с предположением,
со
2 (а\п -f . . . -f а2п.ц) log2 re < со,
»= i
так как принятие числа 2 за основание логарифмов не изменяет
дела. Таким образом, мы можем здесь применить следствие 2° из
[5.3.5] с пк=2к, что и дает требуемую сходимость почти всюду
последовательности [s2ic(t)}.
Полученный результат, в том же смысле, как и при обыкно-
обыкновенной сходимости, является окончательным. Именно, если
О *Cv(n) = о [(log log/гJ], lim v(n) = -\-oo, v(n)
n yoa
со
не убывает и 2 b2n v (n) <i oo, то существует ортогональный
n=l
ряд
со
J>»W). C2)
не суммируемый методом (С, 1) ни в какой точке отрезка
[О, 11.
СО
Пусть 2 ап?»@—РЯД> приведенный в примере [5.3.7],
П=1
с w(n) = vBn). Как мы установили, этот ряд обладает следую-
следующими свойствами:
оо
ч^ 2
Я= 1
J5) существует такая последовательность [пк] с пк_1 < пк
(/г —0, 1, 2, . . .), что для каждого t?[Q, 1] при заданном к
можно определить т (t) так, чтобы
> *> nk-i < m{t)<L tlk\
при этом V. не зависит от k и ?. Требуемое там условие
w(n) = о (log2 я) удовлетворяется вследствие того, что мы при-
приняли w (и) = v B"). Если положить теперь <P2W(O —?n@« b2n=tan
для пк_1<С.п^пк—1 и определить другие функции ф(?) как

224 сходимость и суммируемость
(последовательно) равные оставшимся функциям <pn* @> a другие
коэффициенты b положить равными нулю, то вследствие а) получим
со
2 $iV (я) < оо, и последовательность {s2w{t)) для ряда C2)
П=1
всюду расходится. Критерий [5.8.5] дает теперь утверждение
[5.8.7].
Критерии безусловной сходимости не допускают переноса на
этот случай, поскольку безусловная суммируемость эквивалентна
безусловной сходимости (см. [5.7.5]), так что такие теоремы не
могли бы дать ничего нового. Напротив, последний пример расходи-
расходимости допускает аналогию. Именно, для каждого метода сумми-
суммирования существует ортогональный ряд, не суммируемый нигде.
Достаточно рассмотреть последовательность {sni{f)\, которая для
данного метода суммирования играет ту же роль, что последо-
последовательность {s2n(t)\ для метода (С, 1) (см. [5.7.4]).
§ 9. Лебеговы функции и суммируемость
Для суммируемости методом (С, 1) имеет большое значение
функция, определяемая выражением, аналогичным рассмотренному
нами в [5.2.1]. Если написать
ъ
~-~1)' ^@= J №(*, ")\du,
k = l
Ъ
то an(t)= i f(u)K^(t, u)du— первые средние порядка п для
а
разложения функции f(t) по системе {yk(t)}. Аналогично [5.5.4]
имеем:
[5.9.1] Если w(n)yO не убывает и 1$ (f)< *w2 (n) на множе-
множестве Е, причем х не зависит от t и п, то предел limsup ' g"y '
П -> а> W \П)
существует почти всюду на Е *).
Доказательство является модификацией доказательства [5.5.4].
Положим
^W~du'
*) Если w (n) -*¦ оо, то можно утверждать, что оп — o(w(n)) почти
всюду на Е. Это следует из утверждения [5.9.1], если к нему применить
рассуждения, проведенные в [9.5.3]. (Прим. перев.)

ЛЕБЕГОВЫ ФУНКЦИИ И СУММИРУЕМОСТЬ 225
что сразу дает
к = 1
Сумму, стоящую справа, подвергнем дважды преобразованию
Абеля [1.1.1]. Мы получим
ft я 1
следовательно,
и дальше продолжим доказательство, как в [5.5.4].
На основании предыдущего может быть доказана
Теорема. Если lim w (n) — -\- со, функция w(n) не убы- [5.9.2]
П->чх>
вает, L(n] (t)< w2 (я) а 2 о» да2 (ге)< °°. «о Ряд 2 ап4п (О
П=1 »=1
суммируется методом (С, 1) почта всюду.
Как вытекает из [5.3.2], последовательность {5»й@} почти
всюду сходится, если k < -ш2 (яй)< k -\- 1 *). Рассмотрим разность
Г—1
*) Далее в рассуждениях предполагается, что и^ и ль+1 существуют
противном случае следует доказывать, как в [5.5.5]. {Прим. перев.)
15 Зак. 2542. С. Качмаж и Г, Штейнгауз

226 СХОДИМОСТЬ Й СУММИРУЕМОСТЬ
где пк^.р <ил+1. В силу [1.1.1] вторая сумма равна
H , C4)
где {^(О) означает последовательность частных сумм ряда
2j ту («<) Щ ?{@ с пж -^ / < tij+1. Сходимость последовательности
i = l _
lsn (t)\ влечет за собой соотношение lim —-,—— = 0. Так как
то' вследствие C4) вторая сумма в равенстве C3) не превосходит
а это выражение, по высказанному выше замечанию, стремится
к нулю.
Подвергнув таким же образом первую сумму в равенстве C3)
преобразованию Абеля [1.1.1], получим
Г ft
. C5)
Так как, по предположению, Vi^-W(ni)> w («j+i) < V i + 2,
то C5) не превосходит
^

ЛЕБЕГОВЫ ФУНКЦИИ И СУММИРУЕМОСТЬ 227
Таким образом при пк^.р < пк+1 имеет место неравенство
W(nJc)
Как уже было отмечено, отношение -^——^— стремится к нулю.
w(nk)
Поэтому, чтобы доказать сходимость последовательности [sn(f)]t
достаточно показать, что правая часть стремится к нулю неза-
независимо от р. Для первых двух членов это известно. Неравенство
— \ (О I dt < Г ? у 2 й
(У) • УЬ=а
доказывает сходимость почти всюду ряда
00 I — — 1.
2! Sn%^)—°»(@ ( 2,
г" 1
следовательно, по теореме Кронекера, последний член также
стремится к нулю почти всюду.
При L(n (t) — О A) каждая функция из L? имеет разложение, [5.9.3]
почти всюду суммируемое методом (С, 1), а следовательно,
и любым методом (С, s)np«s>0. Доказательство этого прово-
проводится уже достаточно хорошо известным способом.
Аналогичные теоремы справедливы также для Z,^ (t) = О (w2 (и))
(или 0A)), где Ln (t) означает лебеговскую функцию для ме-
метода (С, г) (г = 2, 3, ...).
15*

ГЛАВА VI
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
В третьей главе рассматривались ортогональные разложения
функций из Z,2; теперь мы хотим исследовать другие простран-
пространства, в частности, пространства Lp (p~^-\), M и С (см. опреде-
определения в § 3 первой главы). Буквы Q, R и т. д. будут постоянно
означать здесь одно из этих пространств. Многие теоремы этой
главы справедливы также для пространства Lf, описанного в при-
примере 5, § 3 первой главы, однако детально заниматься этим
вопросом мы не будем. Для того чтобы коэффициенты
б
яп = I f(t)yn(t)dt существовали, относительно ортонормирован-
а
ной системы {срп} необходимо предположить, что сами функции уп
принадлежат сопряженному пространству. Но, как известно, для
пространства Lp (/?>1) сопряженным является пространство Lp'
(-7-)— =slj, для пространства L — пространство М. Если функ-
функция / принадлежит к М, С или Lp с р > 2, то достаточно пред-
предположить, что <pn(;ZA Последнее допущение будет молчаливо
приниматься в дальнейшем, когда речь будет идти об ортонор-
мированных системах.
§ 1. Полнота
Мы уже знаем (см. [3.1.5]), что из системы {/„}, полной относи-
относительно R, можно образовать ортогональную систему, которая
также будет полной относительно R.
[6.1.1] Если множество {/) полно относительно R, то оно содер-
содержит счетное подмножество, также полное относительно R.
Доказательства [3.4.7J здесь уже недостаточно, потому что
в случае R = L множество {/} принадлежит пространству М,
а это последнее пространство не сепарабельно. Мы даем здесь
другое доказательство, справедливое для любого сепарабельного
пространства R. В случае же R = M остается в силе доказа-
доказательство [3.4.7].

полнота 229
Пусть {§•„} всюду плотно в R, zk — точка ^-мерного евкли-
евклидова пространства с координатами
ь ъ ь
//(Оg-i@dt, ff{t)g2(t)dt, ..., ff(t)gk@dt, (l)
a a a
и Zk— множество всех точек zk для /6 {/}• Тогда существует
такое счетное подмножество Sft?{/}, что образы A)" для всех
/? Qk образуют всюду плотное подмножество Zk, потому что Zk,
как подмножество /г-мерного евклидова пространства, сепарабельно.
оо
Множество Q = S 2fc счетно. Но теперь для всякой функции
/€ {/} существует последовательность {/ft>}, для которой
<!(/=!, 2,...ft).
( fm{t)gi{t)dt- (/(*)&(*) Л
i a
Следовательно, если принять ||/|| < x (что не ограничивает
общности), то последовательность {fk)} слабо сходится к /. Итак,
если для всех /w? Q
ь
f9(f)f(t)dt=*0,
то это же самое имеет место для всех /(;{/}> что означает пол-
полноту Q относительно R.
Мы можем поэтому всегда предполагать, что заданная нам
система функций, полная относительно данного пространства,
счетна.
Встает вопрос, влечет ли полнота системы относительно одного
пространства полноту относительно какого-либо другого. Легко
показать, что
Если система {<?„} полна относительно R и QcR,.mo {tpn} [6.1.2]
полна относительно Q.
Действительно, из /?Q вытекает /?/?. Таким образом, если
/? Q отлична от нуля и ортогональна всем уп, то существование
такой функции в R противоречит предположенной полноте системы
относительно R. Напротив, для всех R ф L имеет место теорема:
Существует ортонормированная система, полная относи- [6.1.3J
тельно R, которая не будет полной относительно любого
пространства QzzR (Q Ф R).
Мы докажем [6.1.3] для случая /? — С. Пусть {<!>„(?)} — норми-
нормированная ортогональная система, полная относительно L; этим
свойством, например, обладает тригонометрическая система.

230 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Пусть 0^/@? М, но f(t) ?C. Таким образом, f(t) принад-
принадлежит каждому Q, содержащему С, но не совпадающему с ним
(см. гл. I, § 3). Так как система ><J>n@} полна относительно L, то
ь
хотя бы один коэффициент Г f(f)tyi(t)dt (/=1,2, . . .) должен
а
быть отличен от нуля.
Мы можем переставить функции {<1>»@} так. чтобы отличным
от нуля коэффициентом оказался первый. Если {ап} суть эти коэф-
коэффициенты и мы положим
gn @ = «Vh @ — «i*n @ (« = 2,3,...), B)
то система {gn(t)} не полна относительно Q, если QzdC и Q Ф С,
потому что
ь
/ gn @/@ dt = аЛ — в1вя «= 0.
а
Но {^„(О) полна относительно С. В самом деле, пусть
и
ь
fh(t)gn(t)dt = O (я = 2, 3, ...). C)
а
Тогда, если Гft@"h{t)dt=.Q, то из at ^= 0 и равенств B) и C)
а
Ь
следует Гh (t)фп(t)dt=s0 для я = 1, 2 следовательно, в силу
a
полноты системы {%(t)}, h(t)s=Q. Если же
6
a
то в силу B) и C)
6
g
для w]>2, а стало быть и для я>1, и поэтому h(f) — —f(t),
что противоречит предположению, ибо *-1 ф О, h(f)?C, но f(t)?C.
Следовательно, C) влечет й(^)==0. Если ортогонализировать
систему (g"n@}> то мы получим для случая R — C систему, суще-

Замкнутость 231
ствованйе которой утверждалось теоремой [6.1.3]. Аналогичное
доказательство можно провести и для других R. Одновременно
мы видим, что полученная система после дополнения функцией fit)
становится полной относительно L, потому что функции ?/@
(f постоянно) являются единственными функциями в L, ортого-
ортогональными всем gnif)-
Заметим, что если мы рассмотрим ортонормированную систему,
полную относительно С, но не полную относительно U- и выбе-
выберем определенные коэффициенты, то может существовать только
одна непрерывная функция, имеющая заданное разложение. Не
исключена, тем не менее, возможность, что существует и другая
(разрывная) функция из L2, которая имеет то же разложение.
Этим объясняется парадоксальное явление, когда оказывается воз-
возможным, что ряд Фурье непрерывной функции сходится, но имеет
своей суммой другую (разрывную) функцию. В рассматриваемом
случае мы имеем систему, которая лишь после присоединения,
по крайней мере, одной подходящей функции у^ф становится
полной относительно ZA «Правильными» разложениями обладают
только те непрерывные функцяи, которые ортогональны присо-
присоединенной функции. Но если система \fn)cC и полна относи-
относительно L2, то в силу [3.7.3J по меньшей мере одна функция fn(t)
не ортогональна kj((?). Ей может соответствовать (в случае схо-
сходимости) только «неправильная» сумма.
Аналогично [3.5.3] имеем также:
Ортонормированную систему функций из пространства R [6.1.4]
можно пополнить в R до полной относительно R, Само собою
разумеется, что мы предполагаем, что RczL2. С другой стороны,
нормированную ортогональную систему из пространства RcQ [6.1.5]
не всегда можно пополнить в R так, чтобы она стала пол-
полной также и относительно Q.
Например, систему, приведенную в доказательстве теоремы
16.1.3], нельзя пополнить непрерывными функциями до полной
относительно М.
§ 2. Замкнутость
Предположение замкнутости {/„} относительно R мы будем
понимать так, что при этом fn?R- Только для /? = С достаточно
предположения [<?n(t)[^.Mn почти всюду, чтобы предположение
замкнутости имело нетривиальный смысл.
Какими свойствами обладают ортонормированные системы,
замкнутые относительно R7 Очевидно, что теорема [3.1.6] по-
прежнему остается справедливой. Теорема [3.4.6] имеет аналог
(и по содержанию, и по доказательству):
Каждая система, замкнутая относительно R (R=iLpt [6.2.1]
>1, Я— С), содержит счетную часть, обладающую тем же
свойством. Этому факту противостоит следующая теорема.

232 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
[6.2.2] Теорема. Никакая счетная система не замкнута отно*
сительно М.
Доказательство. Пусть система {<р„(/)} замкнута отно-
относительно М. Тогда для каждой функции f(t)?M существует
п
форма wn (t) = 2 ci<?i @ такая, что
8upvrai|/(Q —«»(/)!< i-
Пусть теперь /5 (/) = 1 для а <! t ^ \ и Д (/) = 0 для \<.t ^.b
(а <?<&). Тогда существует форма «>„(?, $) такая, что почти
всюду на [а, Ь]
Мы можем, следовательно, сказать, что wn{t, Ч) имеет в точке
t — Ч скачок, высота которого не меньше чем -н-, Итак, для
каждой точки ? существуют число а и система функций срх (^),
ТгСО» • • •> ТиСО (с соответствующими коэффициентами cv c?
п
..., си), такие, что wn = 2ЗДг@ имеет скачок в точке ^ = 5,
г = Х
высотой >--. Так как системы (срх, ..., <pj образуют счетное
множество, то существует по меньшей мере одна система, кото-
которая соответствует всем точкам ? множества S положительной
внешней меры. Функция
с коэффициентами с^, зависящими от |, имеет для всех ??Е ска-
t
1 г
, высотой ^--к-. Следовательно, I «;(^, $)Л не может иметь
чок, ^к ,
а
производной в точке t-=%, так что и хотя бы одна из функций
t
fitydt (i= 1, 2, ..,, р) в точке t—^l не дифференцируема,
а
Но эти последние имеют производную почти всюду, что проти-
противоречит предположению о положительности внешней меры мно-
множества Е.
Заметим, что из [6.2.2] следует, что пространство М не сепа-
рабельно.

ЗАМКНУТОСТЬ 233
Взаимоотношения различных пространств по отношению
к свойству замкнутости иные, нежели по отношению к свойству
полноты.
Если система {<рп} замкнута относительно R и RczQ ф М, [6.2.3]
то {<?п} замкнута также относительно Q.
Доказательство. Пусть Q=-L?(q^- I) и/(?N<2- По тео-
теореме [1.2.9] для любого s>0 существует такая непрерывная
функция g (t), что ||/—g\\q<Cs- Далее, по предположению, су-
п
ществует функция wn(t) — 2ci<Pi@> для которой \\g—«;п||а < е,
i = l
а значит, также \\g—wn\\q<e, что дает ||/—wn\\q<.2s.
Прежде чем искать аналоги теоремы [6.1.3], мы должны выяс-
выяснить взаимоотношение между свойствами замкнутости и полноты.
Полнота и замкнутость. В пространстве L? оба эти
свойства эквивалентны, как это следует из формулы Парсеваля
[3.7.1]. Эта эквивалентность не распространяется на более широ-
широкие пространства.'В силу [6.1.3] существуют ортогональные си-
системы, полные относительно L2, но не полные относительно
любого другого пространства, содержащего L?. В то же время
такие системы замкнуты относительно L2, а значит, относительно
всех более широких пространств, вследствие [6.2.3]. Тем не ме-
менее имеет место
Теорема. Каждая система {<рп}, замкнутая относительно [6.2.4]
R = D>(\ ^Ср < оо) или /? = С, полна относительно сопряжен-
ного пространства R'= LP'(LCO= M), или соответственно
/?' = L.
Действительно, пусть g(t)(?LP' (или соответственно g(t)?L)
ь
и I gifyfnifydt — Q- Если f(t) — функция из тригонометрической
а
системы, a {wn(t))—последовательность сри-полиномов, сильно
сходящаяся в R к функции /(/), то
a
следовательно,
a a
b b
Далее, так как Jg(t)wn(t)dt = 0, то Jg(t)f(f)dt = O, так что
a a
в силу [2.3.4] почти всюду g(t) = O, что и требовалось доказать,

234
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказанная выше теорема является обобщением [3.5.4]. Ана-
Аналогичным обобщением [3.5.5] является
[6.2.5] Теорема. Каждая система функций, полная относи-
относительно Lp A < р ^ оо), замкнута относительно сопряженного
пространства I?.
В самом деле, если бы система {<ри} не была замкнута отно-
относительно I? (p'^l)i то можно было бы найти такую функ-
функцию f(t)?Lp> и такое в > 0, что
dt>e
D)
для всех п и {dk}. Образуем теперь систему {fk} (As = O, 1,2....),
/о = /. fi — <?v /2 = 4*2. •••
и применим к этой системе теорему [1.7.1]: если дана функция
ь
g(t)?Lp и ffk(t)g(t)dt = ck (Л = 0, 1, 2, ...), то существует
а
константа f такая, что для всех конечных совокупностей
{|а0, [i.x \in] справедливо неравенство
й=0
г ь
k=0
Р' "W
Г-
E)
При этом условие E) является также достаточным для предста-
представимости чисел ск, &=1, 2, ..., в виде
1), то условие E)
где g(t)?lf. Если выбрать со= 1, ск-
принимает вид
6 п
f
р'
к=0
dt.
т. е.

Замкнутость 235
Но это последнее соотношение выполняется при ^ = 1—V, бла-
благодаря неравенству D), следовательно, условие E) удовлетво-
удовлетворяется для ji0 Ф 0. Очевидно, что оно выполняется и для уо = 0.
Таким образом, существует отличная от нуля и ортогональная
ко всем <?n(t) функция g(t)?Lp'.
Тригонометрическая система полна относительно L и не
замкнута относительно С, потому что все функции этой системы
имеют период 2тг и, таким образом, никакую непрерывную функ-
функцию, имеющую в точках 0 и 2тг различные значения, нельзя
равномерно приблизить тригонометрическим многочленом.
Утверждение, что каждая система, полная относительно С,
замкнута относительно L, является неверным. Именно, достаточно
рассмотреть ортонормированную систему, полную относительно С
и не полную относительно М. Такая система существует в силу
[6.1.3] и, на основании [6.2.4], представляет противоречащий
пример высказанному предположению.
Теперь мы в состоянии доказать, что для каждого простран- [6.2.6]
ства R(= IP, I 4^p < оо) существует ортогональная система,
которая замкнута относительно R, но не замкнута относи-
относительно любого QcR.
Действительно, пусть система полна относительно простран-
пространства R' (сопряженного к R) и не полна относительно любого
другого пространства, охватывающего R'. Такая система суще-
существует в силу теоремы [6.1.3]. Вследствие [6.2.5] эта система
замкнута относительно R, однако не может быть замкнута отно-
относительно Q, потому что по [6.2.4] она была бы тогда полна
относительно Q'id/?'.
Все полученные здесь результаты могут быть сведены в сле-
следующую логическую схему:
Е [ALP, ~ VLP, Мп\ A < v < 2),
ALP^VLP'=>VLP=>ALP' (p > 2),
VLP^ALP'=>ALP A<р<2),
Е [VI/, ~ ALP]: ALP' ~ ALP^VLP (p > 2).
Здесь А означает замкнутость, V — полноту, Е следует читать
как «существует», ^э — «влечет», — — «не». Таким образом,
первая строка этой схемы, например, означает, что для 1 ^/>< 2
существует система, замкнутая, но не полная относительно Lp,
которая состоит из ограниченных функций.
Можно сделать такие дополнительные предположения об орто-
ортогональной системе, чтобы замкнутость относительно L? влекла

236 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
за собой полноту относительно того же пространства. Доста-
Достаточно, например, принять, что каждую функцию из Lp можно
аппроксимировать в Lp частными суммами ее ряда Фурье. В самом
деле, в этом случае имеет место соотношение
Ь п
где g(t)?Lp, «„(*) — J ?(«)]!>] ?*(*)?*(и)rf«- Следовательно,
a
Ь
если Jg(f)<?k(f)dt = O, то f\g(t)\pdt = Q, так что g(t) = O
а а
почти всюду. Эту теорему можно рассматривать как обобщение
соотношений между полнотой и замкнутостью, существующих
в пространстве L2, которые кратко выражаются равенством Пар-
севаля [3.7.1].
Заметим, что замкнутость системы эквивалентна аппроксими-
аппроксимируемости всех многочленов, и далее, для ортогональной систе-
[6.2.7] мы  равенства
И/—«Л д = О,
где wn(t)= ~?iCnik<pk(t), вытекает, что liin cn> k = \ f(t)yk(t)dt.
kl ' П + со ' "
k-l
§ 3. Обобщение теоремы Рисса — Фишера
В § 2 мы видели ([6.2.4], [6.2.5]), что эквивалентность пол-
полноты и замкнутости сохраняется и в общих пространствах, если
рассматривать пару взаимно сопряженных пространств (для I?
оба эти пространства совпадают).
Другой основной теоремой является теорема Рисса — Фишера.
Чисто внешняя аналогия этой теоремы, которая звучала бы при-
со
мерно так: из сходимости ряда 2 I an f вытекает существование
функции f(t)?Lp, для которой \ап) является последовательностью
коэффициентов, — сразу опровергается, потому что для р>2
оо
отсюда вытекало бы f(t)?LpaL2, следовательно, 2|яп|2<со;
п = 1
последнее же никоим образом не может являться следствием схо-

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РЙССА ФИШЕРА 23?
оо
димости ряда 2л \<*nf- Однако теореме Рисса — Фишера можно
сопоставить Два утверждения, относящиеся к различным про-
пространствам. Для тригонометрических систем это было сделано
В. Юнгом и\Ф. Хаусдорфом, а для общих ортогональных
систем — Ф. Риссом.
Если |срп(п|-^Л1 (я—1, 2, . . .) почти всюду, причем М [6.3.1]
не зависит от п, и 1—г=1> то
1°. Из f(t)$Lp A
2°. Из {ah}?lp (I <p<2) вытекает
1 1
> а
Ь \р 2-р/°° \р
\f(t)fdt) <Af*
При этом {ср„(О} означает нормированную ортогональную
систему, и {ак} в 1° представляет последовательность коэффи-
коэффициентов Фурье f(t) по системе {<?&(?)}> а в 2°/(^) — соответ-
соответствующая функция, для которой {ак} — коэффициенты Фурье.
Итак, смысл утверждения 1° состоит в том, что конечность ||/||р
влечет конечность ||{сй}||р-. Свойство 2°, наоборот, означает, что
конечность ||{сй}||р влечет конечность Ц/Ну, причем доказывается
существование f(t)?Lp' с коэффициентами Фурье {ак}. Заметим,
что встречающаяся первой степень р не превосходит сопряжен-
сопряженной степени р'. Обе части теоремы [6.3.1] остаются справедли-
справедливыми и в предельном случае р-=\, т. е. р' — оо, если под \\/\\ю
понимать существенную верхнюю грань |/@1. а под ||{ой}|| —
наибольшую величину |сй|.
Доказательство 1°. Рассмотрим сначала фиксированное
натуральное число г и все функции f(t) g Lp, коэффициенты
которых удовлетворяют условию
Мы ищем минимум интеграла
ь
f\f(t)\Pdt G)

238 ортогональные РяДы в Других пространствах
при условии F). Пусть X— нижняя грань интеграла G/при этом
условии и
lim
т. e. {fn}—минимизирующая последовательность, а {«(ft"*} — по-
последовательность коэффициентов Фурье функции fn. Ради про-
простоты мы обозначим снова через {/„} подпоследовательность
первоначальной последовательности {/„}, слабо схрдящуюся в Lp.
По [1.6.6] такая подпоследовательность существует. Пусть /—
слабый предел {fn} и {ah} — последовательность коэффициен-
коэффициентов f(t). Мы имеем тогда (на основании рассуждения, применяв-
применявшегося еще в гл. I, § 7)
lim
(Последнее соотношение входит в определение слабой сходи-
сходимости для произвольной функции фл@ из 1?. Если написать
вместо tyk(t), то получим приведенное выше
неравенство.)
__ г _
Положив фд. = cpft, имеем lim c(ft™' = aft, поэтому 2 I ak \V — 1
и, стало быть,
ь
f l. (8)
Этим доказано также, что X > 0. Но мы хотим, кроме того,
показать, что Х = Х(г) стремится к положительному пределу
при г-*оо. Для этой цели мы заметим, что неравенство
ь
J 1/@1* Л ь
которое мы только что доказали при дополнительном условии F),
остается справедливым и без него, потому что для f(t)?Lp

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИССА —i ФИШЕРА 239
функция
удовлетворяет ^дополнительному условию F). Если мы напишем ф
вместо / в интеграле G), то неравенство, которое связывает
интегралы G) и (8), будет равносильно (9). Заметим теперь, что
член неравенства (9), стоящий слева, достигает при f(t) = f(t)
своего минимума, так как тогда знаменатель принимает значение 1
и неравенство переходит в равенство. Следовательно, если
положить
/ (/) = f(t) -f- т|Л (t) (h (t) ? LP),
то 7j = 0 соответствует точке минимума, следовательно, производ-
производная по 7] должна при 7] = 0 обращаться в нуль. Если {hk} — по-
последовательность коэффициентов функции h(t), то ak = ak-\-t\hk,
и производная при tj —О равна
ь ь
/17@ Г1 sign? со h(t)dt-f\ J{t) \p dt x
a a
r _ _
Если мы обозначим \f(t)\p~1slgnf(t) через F(t) и положим h{t)
последовательно равным «pi СО» ?2@ ?г@> т0 получим
ь ь
ck = f F(t)<?k(t)dt= f\f(t)\p dt.\~akf'1 sign ~ak A0)
a a
(b 1 О «Л
Но если положить h(t) равным <рА@ с k > г, то
Если полагать функцию h(t) равной всем возможным орто-
ортогональным к {сри} функциям, то это приведет к равенству

240 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
со значениями A0) для ск. Равенство Парсеваля дает
ь ь г
a
так что
ь
(П)
Возьмем теперь степень р, = ¦= и о =* ^ .- = г;
Г1 3 —р ^i л—1 р—1
тогда
.—т)Bр —2) для х =
Неравенство Гёльдера дает
/|/@Г^=/|7@Г-|7@1A-т)B^2)'
и, учитывая (8) и A1), получаем
)
a
следовательно,
Но теперь 2р' — 2 = р', т = ~ ^-, так что мы приходим
1 о — р
к неравенству
A2)

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИССА ФИШЕРА 241
Если мы обозначим, вообще, через А(р) минимум отношения
л?
для f(t)?Lp, то из A2) непосредственно следует, что
j_
A(P!)<[A(p)]ft или [А(р1)]й<А(р).
Следовательно, если определить {pj} равенствами ро — р
2
:=s fZT~~ > T0
последовательно
[A (p^Jft < A (Pl), [A (pj)]»» < А (р), . ..
1
A-"^ (; = 1, 2, ...)¦
A3)
Оценим теперь А(р). Здесь
так что
ф — а)У = уИ [А (р)]* ф — a)v>,
но, так как
то, следовательно,
(Н)
Зак 2542. С Качмаж и Г Штейнгауз

242
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
2—p,- 1
С другой стороны, -к — = ——, так что
* Pj+i
и это, вместе с A3) и A4), дает
А(р)>-75г
1
PiPi ¦ ¦ • Pj
2-
Pi
г 2~р: М
{Ь-а)
2-J
Найдем теперь предел Нт р.. Как мы знаем, р'==- - =
^ } 1 + 1 Pj~l
2{р'— 1), откуда р'. =2^(р'— 1); следовательно, Нт р[ = со,
т/^=1, так что окончательно получаем
Но последняя нижняя грань не зависит от г, следовательно, для
всех г имеет место неравенство
\Р'
чем доказательство 1° закончено.
Доказательство 2°. Пусть теперь задана последователь-
оо
ность \ак), причем ~Jj \ak\p<Соо- Рассмотрим
и произвольную функцию g(f)^Lv с последовательностью коэф-
коэффициентов [Ьк]. Тогда
g(t)U{t)dt
<
\р'
причем мы воспользовались свойством 1°. Если мы выберем
в качестве g(t) функцию |/n@|P'~lsi?n/n@> то получим
A5)

ОЁОЁЩЁНИЕ ТЕОРЕМЫ РИССА ФИШЕРА 243
После этого мы можем из последовательности {fn(t)} выбрать
слабо сходящуюся в I/ к функции f(t)?Lp подпоследователь-
подпоследовательность, для которой имеют место неравенство
как следствие A5), и соотношения
6 ъ
fn (9 <?к (9 dt = пъ, k = 1, 2, ...,
вытекающие из слабой сходимости.
Следовательно, существование функции f(t) ? I/ , утверждав-
утверждавшееся в 2°, доказано. Если система {срга} не полна относительно Lv ,
то существуют и другие функции, имеющие {а^} в качестве
последовательности коэффициентов, однако эти функции могут
и не удовлетворять неравенству 2°.
Перестановка р и р' в утверждениях 1° и 2° привела бы
к неверному утверждению. К этому вопросу мы еще вернемся
в § 6, где будет построен соответствующий противоречащий
пример. Здесь уместен вопрос о роли предположения |<р„(9К<М
в [6.3.1]. Можно показать, что в теореме Хаусдорфа—Рисса недо-
недостаточно предполагать функции yn{t) ограниченными каждую
в отдельности. Противоречащим примером здесь может служить
система Хаара [2.2.6]. Действительно, рассмотрим группу (^@}
(/=1,2,... ,2"), состоящую из 2"функций, и положим ак=(^Лг р
для & = 2ге+1 — 1, а все остальные ак — 0. Тогда для р < 2
Л=1
in
С Другой СТОРОНЫ, ПуСТЬ S«,(9= 2a*?*(9> fft (9 = X»J (9
k = 2n-\-l. Если N означает номер группы, к которой принад
лежит срт(9. и 1п—предпоследний интервал длины ^, то
16*

244 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
N
Сумма составляет V -к» • 2П = Л/ и поэтому
1
limsup f|5m@|p' dt = 00.
vft -^ m **
Наш ряд поэтому не является рядом Фурье функции из I? , как
мы покажем далее в теореме [6.4.1]. При этом условие 2°
(с конечным М) не удовлетворяется. Но если мы рассмотрим
доказательство 2°, то убедимся, что мы пользовались только
свойством 1° и тем, что функции <р„ (t) ? I?'. Следовательно,
в нашем примере и свойство 1° не имеет места.
Легко также установить, что свойство 2° для полных систем
с lim sup {sup vrai | fn(t)\} = сони для каких конечных М не может
П -У со
иметь места, для всех р A < /»^ 2). Именно, если положить ак = 0
для кфщ, flno= 1, то <р«0@ — одна из функций f(t)?Lp с этими
коэффициентами {afc}. Теперь, при/»-*1 имеем //-*со, следо-.
вательно, предельное значение интеграла I I \J{t)\ at] равно
2-?
sup vrai J ср„0(/) |. Но справа в 2° стоит величина М v , имеющая М
своим предельным значением. Если мы напишем п вместо п0 и
будем его увеличивать (я= 1, 2, .. .), то получим, что для всех п
имеет место неравенство sup vrai | <?n(t) | ^! M, которое противо-
противоречит первоначальному предположению.
Теорема Пэли. Мы уже упоминали, что заключение, ана-
аналогичное [6.3.1], но «от больших показателей степени (^>2)
к меньшим показателям iq'; —-) = 1)» неверно. Иными сло-
ОО
вами, сходимость ряда 2lanf не гарантирует существование
функции f(t)?Lq', для которой последовательность {ап\ служит
последовательностью коэффициентов Фурье. Это становится воз-
возможным при более сильных условиях, например условиях вида
со
Если <7 > 2 и а>9 — 2, то A6) влечет сходимость ряда
00
2la»|3> следовательно, по [6.3.1] существует функция

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИССА — ФИШЕРА 245
f(t)?L9cLq, для которой [ап] является последовательностью
коэффициентов. (Для некоторых значений а < <7 — 2 условие A6)
со \
может быть удовлетворено с f(t)— 2«псРга(О. /@€^9- ) Иссле-
п=1 /
дуем теперь случай а = д — 2. Оказывается, что тогда f(t) при-
принадлежит даже Lq.
Как известно, сумма 2а„C„ с а„>0 и C„>0 будет наиболь-
п
шей, если обе последовательности {ап} и \§п) расположены как
неубывающие или невозрастающие; она будет наименьшей, если
одна из последовательностей не убывает, а другая не возрастает.
Если lim |an| = 0, то можно последовательность {|а„|} распо-
ложить как невозрастаюшую; последовательность {па} всегда
монотонна.
Это замечание облегчит понимание теоремы: [6.3.2]
Пусть {срга (t)}'— ортонормированная система и \ ср„ (t) \ ^ М
почти всюду.
Г. Если f(t)?Lp (I </»<2), то
"" а
где А*, не зависит от f(t) и {\ак\}—коэффициенты функ-
функции j{t), расположенные так, что они образуют невозрастаю-
щую по абсолютной величине последовательность.
оо
2°. Если ^i\ak\qkq~2 < со (<7>- 2), то существует функция
ft=i
f(f)?Lq, для которой [ак] служит последовательностью коэф-
коэффициентов и
где А„ не зависит от {ак} и члены последовательности [ак]
в предположении и в утверждении теоремы не возрастают
по абсолютной величине.
Неравенство 1° тем более выполняется, если {\ак\} сохраняются
в их первоначальном расположении; точно так же можно в 2°
в предположении и в утверждении не предполагать монотонного
убывания, как это следует из замечания, предшествующего
теореме 16.3.2].

246
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Доказательство. Мы начнем с утверждения 2° для
q = 4, 5, 6, ... Для q > 2
2 _^
И '. 07)
так что 2 «I < со, что влечет существование функции f(t)?L2 с
!=1, 2, 3, ...).
Чтобы показать, что f(t)?Lq, достаточно (в силу [1.2.5]) дока-
доказать, например, для /я„ = 2ч—1, что
i
l
Для этой цели положим
ф,@= 2
Тогда
6 n
a v = l
п п п Ь
Теперь установим неравенство
6 q
111
A8)
для <7^4. В самом деле, слева здесь стоит величина, не пре-
превышающая
max
q \ Ь
. | Ф, @1j J
2V-1
о
21
24

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РИССА ФИШЕРА 247
Из неравенства A7) следует, что
2ч-1 B) q
и неравенство Гёльдера [1.1.4] дает
Si
Но, так как
%1 1 г'-1 Ь1
2 "ТГ < -ТП = 2" <Х> ° целое)-
то левая часть A8) не превосходит
112 ц-1 , „/1 2\ 2
что для v>-[x совпадает с правой частью неравенства A8).
(Неравенство A8) остается справедливым и для 2 < q < 4,
если г/21 v — р. | в показателе степени заменить на -^ | v—[х|- —-—1
мы не станем рассматривать этого обобщения.) Применим нера-
неравенство A8) к оценке интеграла /п. Получаем
где справа стоят Q = -h-<7(<7~1) произведений Ф„Фр. Неравенство
Гёльдера допускает обобщение
H \h{t)t dt
I Ъ V~
...n\fr{t)\\dt\ \
где —+ X7+ • • • +Y = ^ чт0> с Учетом A9)> ПРИ hz=
(i = 1, 2 Q) приводит к неравенству

248 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Далее, вследствие A8) получаем
/ IФ* @ • • • Ф*9 (О I Л < №~%J^C*C* •
2
Если мы подставим это неравенство в неравенство для 1п и при-
применим обобщение неравенства Гёльдера для сумм, с Х1 = Х2 =
= . . . =\q = q, то получим
Й[ П п
Jl [v l l
' V<"V
Стоящая в фигурлых скобках ^-кратная сумма не превосходит
п / +оо | ч !
i = l \»=-oo
следовательно,
v=l
Итак, мы доказали теорему для q = b, 5, ...; для q=^2 она
очевидна. Пусть теперь {>2 и в остальном совершенно произ-
произвольно. Пусть, далее,
т » 2гТг
1=1 i=l
Г (/„> = i i aft г ^2, ir (/„) = г i /.
Л = 1 ^
а
Такое же рассужде'ние, как и применявшееся в [6.3.1] при дока-
доказательстве A0), дает следующее: если fn(t) — функция, опреде-
определяющая №(п), то при k=l, 2, .... п.
= |«|(и) | cft Г1
|«|(и) | cft Г1 sign ал •

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ РШЗСА ФИШЕРА 249
Пусть
*@ Н/»(О Г1 sign fn@. ** = I»?(я) I «ft Г1 sign ak ¦ k*~\
По определению \{п) мы имеем
ИЛИ
pf («) 2 к.Г
a
Если теперь /»(^—1)^>2, то мы получаем
p«(«)<xg(»)ii![!:i}(/0.
Но легко установить, что Хр(»)^ jj,y(n), потому что для функции
р
S «ft?ft @. А»@ = 2 IЧ Г'к1 sign акЪ (t),
ftl Л1
имеем
6 I Ь Л , Ь
lf\f(t)\PdtY.(f\hn(t)fdt}
2
a
Следовательно,
что влечет требуемое неравенство. Мы можем, поэтому, написать
Пусть теперь a > р ^ 2. Если мы положим // «= а, р (^— 1) =' р,
то g==i+P(a~1} ,такчто^<д<а. Если ря(п)< К, ty(n)<K,
то существует q, для которого [ig (я) < /С. С другой стороны,

250 ортогональные ряды в других пространствах
для 9i^-2, 9i->9 имеем |х?(я)<; lim inf y-qi(ri), потому что
lq (fn) .. 'q
llm
Отсюда следует, что совокупность таких q между си с-\-2, для
которых имеет место соотношение pQ (я) <^ max (Ас, Ао+2), всюду
плотна и замкнута, следовательно, она содержит все q. Этим утвер-
утверждение 2° доказано. Но неравенство Хр (я) ^ [Ау (л) равносильно 1°,
так что утверждение [6.3.2] полностью доказано.
Замечания. 1°. Если последовательность {ап} удовлетворяет
ОО 00
Обоим УСЛОВИЯМ 2lara|P < °° и 2 ! ап \Р ^~% < °° (Р < 2), ТО
отсюда еще не следует, что {ак\ является последовательностью
коэффициентов разложения функции из Lp. Так, например, лаку-
оо
\П COS 1nt
нарный тригонометрический ряд V —т=~ не является разложе-
нием никакой функции (см. гл. VII, § 4).
2°. Пример, который показывал, что утверждение [6.3.1] не
имеет места для системы Хаара, является противоречащим при-
примером и для [6.3.2] для той же системы. Именно, более слабое
видоизменение теоремы [6.3.1] следует из [6.3.2] (см. книгу
А. Зигмунда [3]).
3°. В [6.3.2] показатель р — 2 нельзя заменить никаким меньшим
по абсолютной величине показателем степени.. Действительно,
-_L_. 2
пусть f(t) имеет коэффициентами числа ак = k $ и 2а > 1 ;.
00
Функция f(t)— 2 ft"p cosnt принадлежит к Lp для всех
га = 1
-р- < р < -я-, однако здесь имеет место соотношение
для е= 1 —р(\ — C).
Числа ак~——- (ft=l, 2, ...) также не могут быть коэф-
У k
фициентами функции f(t)?Lq с ?>-2, хотя они удовлетворяют
неравенству
24й«~2-<оо для е>4—1.

УСЛОВИЯ, КОГДА ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД ЕСТЬ РЯД ФУРЬЕ 251
оо
Тем не менее, в силу [1.1.4] и [6.3.1], ряд 2а&?л@ является
разложением функции, принадлежащей ко всем Lp, I <^p <^_ со,
оо
если ряд Sl^r^" сходится для некоторого а^> 1.
§ 4. Условия для того, чтобы ортогональный ряд
был рядом Фурье
Мы перейдем теперь к установлению условий, необходимых
и достаточных для того, чтобы ортогональный ряд являлся рядом
Фурье. .Ранее были указаны необходимые условия для простран-
пространства Lp (p < 2) и достаточные условия для пространства L? (д > 2).
Теперь мы хотим рассмотреть не только коэффициенты, но и сам
ряд при некоторых дополнительных предположениях.
Обозначим через Г некоторый конечнострочный метод сумми-
суммирования с матрицей
#11 #12 • • • #1«, 0 • • •
#21 #22 • • • #2иа 0 . . .
hi
ЬкПк
0 ...
Мы рассмотрим Г-преобразование ядра системы
, t) =
2
oo
Г-преобразование частных сумм ряда 2ал?&@ будет иметь вид
4 1
Сделаем дополнительные предположения:
1°- I ?ra@l < Мп почти всюду,
ь
2°. Г | Ki (s, t) | ds < А почти всюду.
a
со
Для того чтобы ряд 2ага?га@ являлся рядом Фурье функ- [6.4.1]
ции f{t)?Lv{\<ip<ico), необходимо и достаточно — при
сделанных выше дополнительных предположениях,—чтобы

252 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
существовала такая константа х, что
р<*- B0)
Достаточность. По [1.6.5] из условия B0) вытекает
существование подпоследовательности {anv(/)}, слабо сходящейся
к f(t)?Lp, т. е.
а ь
"m f в„, (/)?*(*) <« = |7@?*@<« (* = *> 2, ...)•
Если принять во внимание условия Теплица
lim (ftfti-bftfta-f- • • • ~\-bknk)= 1, lim ?ift = 0,
& ->co i-» oo
6
то отсюда следует afc= ff(t)<pk(t) dt, что и требовалось доказать.
a
oo
Необходимость. Пусть f(t)—2 a»'f« W и
»=i
Тогда
a
Неравенство Гёльдера дает
17 ¦ pdf 17 dsY
6 Ъ Г b "I р
/lon@l;irf/</« /|/fn(«. 0| •!/(*) |*ds -^Т,
a a La J
и, меняя порядок интегрирования, получаем
ь р ь
j\an(t)\pdt-^A1+Tj\f(t)fdt, т. е. |К(*)||<х.
а а
Аналогичная теорема имеет место в пространстве М.
[6.4.2] При тех же предположениях, условие sup vrai {|on(/)|} < *
{т. е. ||а„@|1лг<*) необходимо и достаточно для того, чтобы
оо
ряд 2ап?п@ являлся рядом Фурье ограниченной функции.

УСЛОВИЯ, КОГДА ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД ЕСТЬ РЯД ФУРЬЕ 253
Достаточность может быть доказана так же, как и
в предыдущей теореме. Необходимость же доказывается
следующим образом: пусть |/(О|^Ср! тогда
ь
Jf(»)Kn(t, и)da
а
что и требовалось доказать.
Заметим, что предположение 2° необходимо, если неравенство
lia»lljif "^ * Д°лжн0 удовлетворяться для всех ограниченных функ-
функций. Действительно, отрицание 2° приводит с помощью [1.5.5]
к существованию непрерывной функции g(t), для которой
( г )
Hm sup i sup vrai I Kn (t, u) g(u)du > = -\- oo,
»->oo | a j
что несовместимо с
Остается еще рассмотреть пространства непрерывных функций
и интегрируемых функций (С и L). Ни в каком из них условие
IIа» (О II < * не будет достаточным. Это легко видеть на тригоно-
тригонометрической системе, где метод первых средних арифметических
представляет пример метода суммирования Т, удовлетворяющего
со
предположению 2° и где, например, ряд -^ -J- 2j cos n^ удовле-
»=i
творяет условию ||а„(/)||? < ¦/, но не является рядом Фурье (см.
гл. И, B6)). Для пространства С обоснование еще более просто,
потому что условие |]an|] <x здесь для М и для С означает одно
и то же. Так как это условие для М необходимо, то оно не
может быть достаточным для более узкого класса С.
Замечания. Для систем Хаара и Франклина ([2.2.6] и [4.4.3])
предположения 1° и 2°, предшествующие теореме [6.4.1], выпол-
выполняются для метода Т с единичной матрицей. Действительно
п
?*(*)?* (9
dt < у, как мы получаем из [5.2.6].
Для тригонометрической системы, как уже упоминалось, можно
взять on{f) = — (sx@+ • . • -\-sn(t)). Если ограничиться про-
пространством Lp, то предположение 1° можно заменить предполо-
предположением <?n?Lp . Предположение, что матрица метода имеет конеч-
конечные строки, можно заменить требованием, что Kn(s, t) как функ-
функция t принадлежит к I? •

254 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теперь мы укажем условие, которое относится ко всем I?
(включая р=1, но исключая М, потому что в этом простран-
пространстве не существует никаких замкнутых систем).
[6.4.3] fjpU выполнении предположений 1° и 2° условие
= О B1)
необходимо и достаточно для того, чтобы ортогональный ряд
являлся разложением функции из Lp(l O< со).
Достаточность следует из существования сильного пре-
предела /, т. е. такой функции из I/, для которой lim [|сз„(О—
—/(ОНр —О, из чег0 непосредственно вытекают равенства
6
ак= Гf(t)<ok(t)dt, как и в предыдущей теореме ([6.4.1]).
а
Чтобы доказать необходимость, мы, прежде всего, заме-
заметим, что доказательство [6.4.1] включает неравенство |[з„[/]|| <
< f ||/(| (также и для />=1), следовательно,
1К1Я- °»[?1||<Л11/ — Si B2)
Пусть теперь {g&@} — последовательность ограниченных
функций, сильно сходящаяся к функции f(t), например, построен-
построенная как в [1.2.9]. Если для этих gk(t) удастся показать, что
lim H^Ig-] — з„[?-]||=0, то отсюда будет следовать равен-
то > В -> со
ство B1) для f(t), потому что
!1 °т IЛ — в» [Л К Ьт 1Л — о« ШII +
-г-1! о« Ш — °п ШI! Н- II в» 1Ы — в» IЛII
и неравенство B2) позволяет оценить первый и третий члены
справа. Пусть gh(t)~h(t)- Функция h(t) ограничена, следова-
следовательно, А @ 6 № и
&
lim f|om[ft] —оя
»-> оо "^
т > »-> оо
что сразу следует из неравенства Бесселя и характеристических
свойств метода Г.
Для любого 8 > 0 получаем

УСЛОВИЯ, КОГДА ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД ЕСТЬ РЯД ФУРЬЕ 255
при достаточно больших т и я, следовательно, \am(t) — <зп@1 > 8
только на множестве Е значений t меры -^ Ьр. Отсюда следует,
что
. ь .1 1
СЕ/
< BpfApmE + 8* (ft — a) )?,
если |А(^)|<^р. Окончательно получаем
что и требовалось доказать.
Таким же образом, как ранее для М, мы можем показать,
что предположение 2° для L существенно. Именно, если бы оно
не удовлетворялось, то существовала бы (см. [1.5.5]) ограничен-
ограниченная функция h(t), для которой limsup {supvrai|an(/)|} = oo.
w->co a -^ t ^ Ь
Но тогда ([1.5.3]) для некоторой функции f(t)?L выполнялось
ь
бы равенство lim sup j on[h]f(t) dt — -\-oo.
Так как
ь ь
fon[h]f(t)dt^fan[f]h(t)dt, B3)
a a
b
то мы имели бы limsup Г <зп[/] h(t)dt==-\-oo. Последнее дает
(см. [1.2.7])
ь
lim sup Г j an [f] \ dt = оо,
а
что противоречит предположению
limsup ||ам[/] —an[/]|| =0.
Напротив, для пространства I? С р > 1 предположение 2° не
является необходимым, потому что, например, тригонометриче-
тригонометрическая система обладает свойством
т > п -> оо Q

256
ортогональные гады в других пространствам
хотя имеет место неравенство
2ic
?»(о?*
к=1
du > X log я
с положительным X, не зависящим от t и от га.
Отказавшись от предположения 2°, но сохраняя 1°, мы можем
показать:
[6.4.4] Свойства
lim ||ож[/1~ая[/]||р = 0 для всех f?Lp B4)
т > п -> оо
[/] —
= 0 для всех f?Lp' B5)
эквивалентны A < р < со).
Доказательство. Свойство B4) влечет сходимость после-
( 6
довательности интегралов < Г <зта
la
для
, g?Lp>,
а значит, вследствие B3) — сходимость последовательности
(г 1
\ I an[g] f (t) dt}. Поэтому последовательность {an[g"]} слабо схо-
\а )
дится в пространстве Lp , так что по [1.5.2] ||ов[?]||р' < у-' (где у/
не зависит от я) и (по [1.5.1]) ||an[g-]||p» <x||g||p'. Чтобы полу-
получить B5), с последним неравенством мы поступаем так же, как
при доказательстве [6.4.3]. Таким же образом и B4) следует
из B5).
В случае пространства С условие равномерной сходимости
последовательности {сзп@}> Как легко видеть, достаточно, но не
необходимо. Так, например, {on(t)\ для тригонометрической
системы [2.2.3] не будет равномерно сходиться, если разлагаемая
непрерывная функция принимает в точках 0 и 2тг различные зна-
значения.
Общая проблема Рисса — Фишера. Условия для того,
чтобы последовательность [ап\ являлась последовательностью
коэффициентов, в случае общей ортогональной системы имеет
совсем другой вид. Этот вопрос можно поставить в такой общей
форме.
Пусть заданы последовательность функций [fn(t)} и числовая
последовательность {ап}. Каково необходимое и достаточное
условие для существования решения f(t) бесконечной системы

УСЛОВИЯ, КОГДА ОРТОГОНАЛЬНЫЙ РЯД ЕСТЬ РЯД ФУРЬЕ 257
уравнений
J7(9/i (')<« = <Ч (/=1.2,...)?
ВАтакой постановке мы снова возвращаемся к рассматривав-
рассматривавшейся в § 7 главы I проблеме моментов. Доказанная там тео-
теорема [1.7.1] дает:
Для того чтобы {ап} была последовательностью коэффи- [6.4.5]
циентов функции f(t)?Lp (p> 1) или f(t)?M, необходимо и
достаточно существование такого числа f. чтобы для всех
конечных систем чисел (?х, ?2> • • •. ?») выполнялось неравенство
<Т
соответственно,
dt.
Допуская, что <?k(t)?Lp' (соответственно, <р^@€ ^0> мы гаранти-
руем существование интегралов \ f(t)yk(f)dt.
а
Возвратимся теперь к предположениям, которые мы детали
в начале этого параграфа, т. е. к неравенствам 1° и 2°, пред-
предшествовавшим теореме [6.4.11. Мы можем тогда, как мы видели,
получить необходимые и достаточные условия для того, чтобы
ортогональный ряд являлся рядом Фурье для функции из данного
пространства. Это условие относится к on(t), т. е. к Г-преобра-
зованию частных сумм. Теорема [6.4.5] дает другой тип условий.
Наконец, третий тип условий ¦ представляет следующая теорела:
В предположениях 1° и 2°, для того чтобы ортогональ-
оо
ный ряд У]а„сри(^) был рядом Фурье функции из L
n-l
L или М, необходимо и достаточно, чтобы для любой функ-
функции g{t) из сопряженного пространства 1? , М или L, с после-
последовательностью коэффициентов {gn}, ряд
2 Ongn
n=l
B6)
суммировался некоторым методом Теплица *).
*) Здесь-рассматриваются, как и раньше, конеадострочяые методы Т,
{Прим. ред.)
17 Зак 2S12. С Клчмзж и Г. Штейпгауя
[6.4.G]

258 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
ОО
Необходимость. Пусть 2 a»T»@ — разложение функ-
п = 1
и,ш f(t)?Lp (p>-1). Для g(t)?Lp' (соответственно, g(t)?M)
ni к Ь
ajgj = /*,[/;']? (t) dt
a
Тг — Tj = J (o, [/; f] — a, [/, /]) ff @ dt.
a
Теорема [1.2.7] для р> 1 дает
Y[ dtY , B7)
и сильная сходимость последовательности {an[f; Щ обусловливает
стремление правой части к нулю. Поэтому [Т{] сходится, т. е.
ряд B6) суммируется методом Т. Для р — 1 вместо B7) получим
неравенство
ь
I Ti— 7>|<sup vrai \g(f)\ • f I °i — ai\dt,
a
после чего все дальнейшие заключения проводятся аналогично.
В случае f(f)?M мы пользуемся тождеством
ь
; n g(f) л=/ <>i \g\ t]f(t) dt
и повторяем приведенные выше рассуждения, принимая во вни-
внимание, что g(t)^L.
Достаточность. Суммируемость ряда B6) методом Т, т. е.
сходимость последовательности {7^}, где
ь ni к
7< = 14 @ g@ dt, б| @ = 2 *« 2 ^Ti @. B8)
влечет слабую сходимость {oi(t)\ в Lp(р~^> 1). Слабый предел
этой последовательности f(t)?l? обладает свойством
ь ь
lim
i>co

мультипликаторы 259
для всех g?Lp (соответственно, g?M). Для g(t) = <?j(t) отсюда
следует
ь ь ni
Г/@ <р, (/) dt = lim Г о, (О т • (О <tt = lim 2 aifta, = а,-
о о
Остается еще случай р = оо, т. е. 1Р = 7И. В этом случае
последовательность {7^} в B8) сходится для всех g?L, следова-
следовательно, по [1.5.3], |аг(О|<т, что уже гарантирует существо-
оо
вание ограниченной функции с разложением 2 anfn@-
n=l
Доказательство достаточности проходит, следовательно, без
предположений 1° и 2°. Из этого доказательства 'мы усматри-
усматриваем соотношение
ь
^ ff(t)g(t)dt.
Однако, нельзя сказать, что функция f(t) в этой формуле совпа-
оо
дает с функцией / (t), которая задает нам разложение 2 ап?п@-
_ »=i
Вполне возможно, что / @=?/@> если система (ср„} не полна отно-
относительно того пространства, из которого берутся функции /.
§ б. Мультипликаторы
Пусть А и В — два функциональных пространства и {ср„} —
нормированная ортогональная система. Если числовая последова-
последовательность [кп] обладает тем свойством, что каждая последова-
последовательность коэффициентов {а)(} разложения функции f{t)^A по
системе {срп} после умножения на \п превращается в последова-
последовательность коэффициентов {рп = ^па»} функции g(t)?B, то {кп}
называется мультипликатором класса (А, В). Мы обозначаем [6.5.1]
Это понятие появилось впервые при изучении тригонометриче-
тригонометрических систем. Для произвольных систем (ср„) вопрос о мультипли-
мультипликаторах впервые был поставлен М. Риссом. Здесь следует раз-
различать два комплекса вопросов. Первый состоит в отыскании необхо-
необходимых и достаточных условий для того, чтобы последовательность
{Хп} принадлежала (А, В); эта проблема значительно упрощается,
если рассматривать некоторые специальные системы {<?»}• Второй
также касается характеристики классов (А, В), но через соотно-
соотношения между различными классами. Некоторые из этих соотно-
17f

260 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
шенйй, как (L, L?)c(M, L2) или (L, C)c(L, M), тривиальны. Точно
так же в первом случае ограниченность последовательности
{|Х„|}, как необходимое и достаточное условие для {Xn}?(Z.2, L?),
непосредственно вытекает из теоремы Рисса — Фишера.
Мы начнем со второго комплекса вопросов.
[6.5.2] Лемма. Пусть \°. {\п}?(А,В), 2°. {ср„} — ортонормиро-
ванШя система, полная относительно В, <рп?В, 3°. f?A,
оо Со
f~ 2 апУп> g~ 2 ^nanfn' Тогда g=(J(f) есть линейный
»=1 n=l
оператор.
Доказательство. По [1.4.4] нужно доказать лишь непре-
непрерывность оператора ?/(/), а в силу [1.4.5] для этого достаточно
установить, что из соотношений
"ш ИЛ—/Ид = 0, lim \\U(fk) — АИВ = О B9)
к -> оо к -> со
следует равенство A = f/(/). Но мы имеем
со оо
и (Л) ~ 2 Ы*V».если л ~ 2«(»\п.
п=1 п=1
Второе условие B9) дает
ь ь
следовательно, по C0),
ь
lim Х„с4й) = Г А @ т„ @ Л (я = 1, 2, 3, . . .),
к -> оо -'
а
откуда, в силу первого условия B9),
ь
Разложение U(J) тождественно поэтому с разложением h, и
предположение полноты системы {срп} позволяет заключить, что
h = {/(/), что и требовалось доказать.
[6.5.3] Если {кп} ? (А, В) а {<р„} —- ортонормиробанная система, пол-
полная относительно В, то последовательность {Х„}—мульти-
{Х„}—мультипликатор (В', А'), где А' и В' означают, пространства ли-
линейных функционалов, определенных, соответственно, на
А и В.

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ 261
Определение. Пусть F (х) — некото рый функционал.
со
Ряд 2 xn,F(?n) называют разложением этого функционала по
системе {<pn}, a {F (уа)}— последовательностью коэффициентов
этого разложения. Эти коэффициенты суть числа. Если подста-
ь
вить для хп значения \x(f)yn(t)dt, то формально сумма
а
ряда дает значение F (х), что легко проверить применением
оператора F к равенству
n=l
Доказательство [6.5.3]. Пусть F(x) — линейный функ-
функционал в В, т. е. FG^B'. Оператор g~U(f) в силу [6.5.2}
является линейным и при /?Л дает gG^B, так что F(U(/))=Ф(/)
есть линейный функционал, определенный в А. Коэффициенты
функционала F (х) по {срп} суть Fn — F (уп) и, по определению
оператора U(f), мы имеем U (ср„) = Х„ср„, так что Ф(ср„) =
= F (?/(ср„)) = ^ЧХ„<рп) = Хд/7 (<pn) = XnFn. Если мы обозначим
коэффициенты функционала Ф(/) по {срп} через Фп, то получим
Фп = Ф(ср„) = XBFn, чем утверждение {Х„} ?(??', Л') доказано.
Заметим, что для А = Lp(l <^.p < со) сопряженное простран-
пространство Л' = if (для // = оо под Z,p', как обычно, мы понимаем М).
Это следует понимать так, что линейный функционал H(J) в Л
по [1.4.7] можно записать как интеграл Гh{t)f(t)dt с A(^)^Z,P'
а
6
и коэффициенты Я„ = #(срп) равны Г h(t)<pn(t) dt, т. е. равны
а
коэффициентам функции h{f) по системе {сря}. Напротив, для
Л = М (или А = С) имеем A'zdL. Это замечание и теорема
[6.5.3] позволяют устанавливать тождественность некоторых
классов (Л, В).
Пусть {<рп} — ортонормированная система, полная отно- [6.5.4]
сительно If, г = min (//, 9), 1 <! р < оо, 1 < <7 < оо, ср„ ? Ж.
Тогда
/-/Р /?\ //9' /Р'\
Здесь нужно доказать, что {Xn} ? (Lp, Lq) влечет соотношение
(\») €(?''• ^) и наоборот. Первое является следствием [6.5.3J;

262
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
второе также, потому что полнота {сри} относительно Lr гаран-
гарантирует полноту относительно I? и L*.
Следствие. (Lp, Lp) = (Lp\ L?) (\<р< со).
Следующий предельный случай не содержится в F.5.4):
[6.5.5] Если {сри} — ортонормированная система, полная относи-
относительно L и ограниченная, то (Lp, L)—(M, Lp), для 1^/?<оо.
Доказательство. Из [6.5.3] вытекает, что {kn}?(Lp, L)
влечет {кп} ? (Ж, Lp). Но теорема [6.5.3] недостаточна для обрат-
обратного заключения, потому что здесь мы имеем случай А = М и
хотим заключить, что {K}(z(Lp, ^), тогда как предыдущие рас-
рассуждения дают только {\п} ? (В', А') с A'=>L.
Пусть {Х^бОМ. ?*') и f(t)(:Lp(p>\). По [6.5.2] оператор
= {/[А(*)Ь А^М, ^€iP'. линеен, так что (см. [1.4.6])
|„,^C*\\h\\M. Следовательно, в силу неравенства Гёльдера,
fg(t)f(t)dt
В частности, для полинома wk(t)-.
т(к)
¦- 2
i = l
имеем
jv(h)wk(t)dt
Система {сри} полна относительно L, а следовательно, также
и относительно Lp , и существует последовательность {wk(t)\, для
которой Hm \\wk—/|L = 0 (см. [6.2.5]). Этот факт, вместе
к > с»
с неравенством C1), дает сходимость последовательности
I г I
! I U (wk)h(t)dt У для всех /г(?)?Л1. По [1.6,3] мы получаем
(
•! I
1о
функцию f{f) ? L, для которой
ь
Hm
m f {/(wj) А @dt= {J(t)h (ОЛ.
Если положить здесь
= сри
= Hm С
k->mJ
то получим
n(f)dt =
= lim Г Хиср„ @ гг;Л @ dt^lnff (t) cpn (/) Л,
ft -> on •* •»

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ 263
а это означает, что {^n}(z(Lp> Ц- Аналогично получаем содер-
содержащийся в F.5.5] предельный случай (Ly L) = (М, М).
Теперь мы переходим к таким классам (Л, В), где одно из
пространств совпадает с пространством С.
Пусть cpn?Lp и {срп} — ортонормированная система, пол- [6.5.6]
ная относительно Lp; тогда
(С, L*) = (A1, L1) (р>1).
Включение (М, Lp)cz(C, Lp) очевидно. Остается показать, что
(С, Lp) с (Ж, Lp). Пусть {Х„} ? (С, Lp), f(t)?C,U<J)?LP и h(f)?M.
Рассмотрим последовательность непрерывных функций {/„},
сходящуюся к h (t) почти всюду, так, чтобы для всех п выпол-
выполнялось неравенство ||/п||е-< IIАIIда (см- [1.2.9]). Так как опера-
оператор U(f) линейный, то \\0С/п)||р-<х||А||дг. В силу теоремы
[1.6.5] последовательность {U (/„)} содержит слабо сходящуюся
подпоследовательность, которую мы снова обозначим через
{?/(/„)} и слабый предел которой g(t)?Lp. Тогда для каждой
функции ср(/) из пространства I? , в частности для ср (t) = срй (t),
имеет место соотношение
ъ ъ
lim Г U(/и) <p(f)dt=[g(t) cp@dt.
С другой стороны, в силу сходимости fn(t) к h(t) почти
всюду,
lim Г U (fj п @ dt = \kfh @ ср* @ dt,
ь ъ
следовательно, \к Г h (t) cpft (t) dt= j g(t) cpft (t) dt, что доказывает
a a
соотношение {ln} ? (Af, LF).
Замечание. Равенство (С, М) = (М, С) неверно, ибо по-
последовательность {1} принадлежит к (С, М), но не принадлежит
к (М, С). Нельзя также написать (С, L) = (М, L), потому что
тригонометрическая система дает нам противоречащий пример.
Однако, если {сри} — ортонормированная система, замкну- [6.5.7]
тая относительно С, и все ср„?С, то (С, С) — (М, М).
Доказательство включения (С, С)с(Ж, М) вполне аналогично
Доказательству [6.5.6]; нужно только принять во внимание, что
слабый предел последовательности [U (/„)} есть теперь функция
g(t)?M. Обратное включение {М, М)а(С, С) доказывается

264 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
следующим образом: если/(t)?M, то оператор ?/(/) по лемме
[6.5.2] будет линейным. Замкнутость относительно С позволяет
подобрать для h(t)?C последовательность полиномов {wn}
с lim ||wn — h||о — 0, что влечет равенство lim \\U(wn) —
п ->¦ со п -»¦ оо
— U(К)\\м = 0, следовательно, функция U(h), как предел равно-
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций,
сама непрерывна, что и требовалось доказать.
[6.5.8] Пусть ортонормированная система {сри} замкнута отно-
относительно L? и все сри?С. Тогда (Lp, M) = (LP, С) (р^ 1).
Доказательство. Достаточно показать, что (Lp, M)a
cz(Lp, С). Пусть {Xn}?(L*, M), f(t)?Lv и U(J) — определенный
в [6.5.2] оператор, который преобразует функцию f(t) в огра-
ограниченную функцию g(t) = U (j). Замкнутость системы позволяет
найти последовательность полиномов {wn}, сильный предел кото-
которой равен /. Непрерывность оператора U (/) дает
lim
т > п -> оо
следовательно, последовательность непрерывных функций {gn(f)—
— U(wn)} равномерно сходится и поэтому U (J) является непре-
непрерывной функцией от t. Но, по [6.2.4], система {ср„} полна отно-
относительно М, следовательно U (J) однозначно определено.
Замечание. В теоремах этого параграфа условие полноты
может быть заменено предположением, что лебегова функция,
соответствующая некоторому методу Теплица, есть 0A) почти
всюду.
§ 6. Дальнейшие свойства мультипликаторов
Мы переходим к новому комплексу вопросов, намеченному
в § 5, имея в виду рассмотреть свойства отдельных классов.
Прежде всего мы несколько расширим понятие мультиплика-
мультипликаторов.
[6.6.1] Пусть {срп} и {ф„}—две ортонормированные системы. Пред-
ъ
положим, что для любых х?А, у^В интегралы j x(t)<$n(t)dt,
Ь
Г
а
y(t)tyn(t)dt всегда существуют. Если числовая последователь-
ность {Хп} превращает разложение каждой функции x(t)?A по
системе {срге} в разложение некоторой функции у(?)?В по
системе (фп), то мы скажем, что {\п} принадлежит классу
(Ау, Вф). Имеет место следующая теорема.

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ 265
Теорема. Предположим, что: [6.6.2]
1°. Система {фп} полна относительно В;
2°. фи?В (й=1, 2,...);
3°. <?пеА («=1,2, ...);
4°. [К)€(АЬЩУ,
5°. Заданы произвольные действительные числа апк.
{кп \
Хп = 2 апк9к @ | п0
норме пространства А влечет сходимость последовательности
{.Уп —21 **вп*Ф*(Ог п° «°Рле В.
I
Как и в [6.5.2], доказательство основывается на том, что
оператор y — U(x) (однозначно определенный в силу 1°)
является непрерывным. Следовательно, если хт — сильный предел
последовательности [хп] и ^00=^(^00), то lim ||_у„—^оо||в=0.
п ¦> со
п
Формулировку для частного случая лгге = 2 akyk(t) мы предоста-
предоставляем читателю. ft=1
Если предположить, как и в [6.6.2], что система (фп) [6-6.3]
полна относительно В, и если, кроме того, система {cpnj
замкнута относительно А, то из утверждения [6.6.2] сле-
следует, что
Доказательство. Пусть xm?A. Определим матрицу
II«йИ так, чтобы последовательность 1#п@ —2! anitfk(t)\
( й = 1 J
сильно сходилась к хт({уп} замкнута). Если положитьyn~U(х,^,
y<x>=U(xm), то последовательность [уп] сильно сходится (по
норме пространства В) к ут. Покажем, что разложение функ-
00
ции yM(t) по системе {Ли} есть 23^С*Ф*@« где ск означает
Г хю(f) cpfc(t)dt. Но, действительно, ск= lim Г xn{t)yh(t) dt,
J n + coJ
так что
6
= lim
что и требовалось доказать.

266
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
[6.6.4] Пусть {срп} — ортонормированная система, замкнутая
относительно А, и {'}„} — ортонормированная система, пол-
полная относительно В. Для того чтобы {1п} ?(Лср, Вф), необ-
необходимо и достаточно существование такого f, не зависящего
от п и от [\к], что выполняется неравенство
[6.6.5]
2
*
U=i
C2)
для всех конечных числовых систем \v $2, . . ., \п.
Доказательство. Необходимость следует из [6.6.2],
потому что оператор y=U (x) непрерывен. Предположим теперь
условие C2) выполненным и пусть для хт?А имеем J?oo@~
со кп
~2 ck9k(t)- Пусть, далее, *» @ = 2 «»л<Р* (О и Lim хп — хт.
к = Х к = 1 и->-эо
Если мы примем в C2) для \к значения апк — атк, то при
я, т —> оо правая часть стремится к нулю, а значит, так же
ведет себя и левая. Из этого, на основании [6.5.3], следует, что
Теорема [6.6.4]. дает необходимое и достаточное условие
того, что [кп}?(А, В), если мы примем срге = фи. Другое условие
содержится в следующей теореме:
Если {сри} — ортонормированная система и все функции
ср„(?) ограничены, то неравенство
C3)
при всех п, где х не зависит от п и от t, необходимо и
достаточно для соотношения {}-i}(;(?, L2).
со
Доказательство. Пусть [kk] ? (L, L2), /(O'^S ck(?k(i)
и f(t)?L. Если последовательность [kkck] является последова-
последовательностью коэффициентов функции из L2, то по [1.7.1] для
всех (?i, %г \п) должно иметь место неравенство
то
2
const
Здесь левая часть равна
ь
C4)
C5)

Дальнейшие свойства мультипликаторов 267
сю
Рассмотрим последовательность {%к) с 2 5* < °°> тогда
к = х
ь п
211^к (°dt C6)
является общим членом последовательности функционалов в I2,
нормы которых (см. [1.5.1]) ограничены в сопокупности, как это
следует из C4) и C5). Следовательно, в силу [1.4.7], мы должны
п
иметь sup vrai 2 Ms?* @ <С Р1» гДе 1* не зависит от п. С дру-
другой стороны,
\и <х)-У
\un(xJ— Zj
является последовательностью линейных операторов, где х = {^}
принадлежит к пространству I2, а пространством образов
является М. По [1.5.1] нормы ||?/и|| ограничены величиной, не
зависящей от п. Следовательно, если мы докажем неравенство
||*/„||>шя= sup vrai
l/ 2Х
то необходимость C3) будет тем самым показана. Существует
множество Е, т?'>0) значений t, на котором
По [1.2.1] можно найти множество ЕоаЕ положительной меры,
на котором все ср^(^) (/=1, 2, ..., п) непрерывны. Пусть
— точка плотности для Ео. Тогда для
сумма 2 fi равна 1 и
l/ 2
так что (Un (лг) 1 .]> (ort—2е на множестве точек ^ положительной
меры (так как t0 есть точка непрерывности и точка плотности).

268 ортогональные ряды в Других пространствах
Следовательно, ||Un (х) || > шп — 2е, и потому || ?/„|| >¦ ш„, что и
требовалось доказать. Необходимость [6.6.5] доказана.
Предположим теперь, что условие C3) выполнено. Тогда
следовательно,
Поэтому (вследствие C6) и C5)) удовлетворяется неравенство
C4) с константой, не зависящей от {?„} и от я, и из условия
[1.7.1] следует существование функции g(t), для которой
ь
J 8<fi<?n(t)dt*=*\ucn («=1,2,3...),
т. е. достаточность условия C3) доказана.
Если функции <рп@ ограничены в совокупности, то из [6.6.5\
оо
непосредственно следует 2^<°°> как необходимое и доста-
i = l
точное условие того, что {Х4} ^(L, L?) (необходимость получается
путем интегрирования C3)). Это же предположение приводит
для 1<р<2 к неравенству 2^\^ч\р <i оо, как необходимому
(но не достаточному) условию для {^} ? (L, L?).
[6.6.6] Пусть система {ср„} обладает предполагаемыми в [6.6.5]
свойствами и, кроме того, полна относительно М. Если Ln(t) —
лебеговские функции системы (см. [5.2.1]), а [Кп] — моно-
монотонная сходящаяся последовательность, то для {\п}?(М, М)
необходимо и достаточно выполнения неравенства Ln (t) ^ a
почти всюду.
со
Доказательство. Пусть h (t) ?M, h (t) ~ 2 hfti @ и
оо
2 ^А?»@ — g(f)?.M. Если h(t) фиксирована, то можно рас-
рассматривать g(t) = U (х) (где л=={^}) как линейный оператор,
который каждому х ставит в соответствие ограниченную функ-
функцию. Это соответствие однозначно, потому что система {сри}
полна. Множество всех л: можно рассматривать как банахово

ОСОБЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ФУНКЦИИ
пространство, если ввести норму с помощью равенства
269
1*11 =
При этом предполагается, что х означает последовательность
с ограниченным изменением, т. е. такую, для которой приведен-
приведенное выше выражение ||л;|[ остается конечным. На основании [1.4.6]
мы имеем ||?/(#)||-^|*||*!1* Если выбрать последовательность
x=[ki} так, что Xi=l для г-^я и ^ = 0 для i > я, то
И|=2, ||?/(*)||=supvrai
<2ц для h(t)?M,
и |i зависит только от h(t) (но не от п). Так как
ъ п
U (х) = \ h(i
а
то по [1.5.5]
I
что означает необходимость условия. Достаточность
получается непосредственно, ибо
= 2 sh @ (**—
где sft (^) =
» @ x»+i.
> следовательно, по [6.4.2]
sup vrai
§ 7. Особые разложения и особые функции
При рассмотрении теорем [6.3.1] и [6.3.2], которые в двух
различных направлениях обобщают теорему Рисса — Фишера, мы
заметили, что обращения этих теорем не имеют места, т. е. что
существуют ортогональные системы, для которых эти обращения
несправедливы. Мы говорим тогда об особенностях системы,
причем мы отбрасываем сделанное в упомянутых теоремах пред-
предположение об ограниченности в совокупности функций системы.
Определение. Ортонормированная система обладает ела-
бой особенностью hp типа Харди — Литтмвуда (рф2), если
[6.7.1]

270 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
сю
существует последовательность {сп}, для которой 2l/nf < °°>
оэ
но ряд 2 с»?»@ не является разложением никакой функции
оо
из /Л При этом 1 < р < оо. В случае р = 1 условие 21 сп \Р' < °°
заменяется условием limcn=0; в случае р = со, как обычно,
» > со
под // мы понимаем 1, а под Lp мы понимаем М.
Система {сри} обладает сильной особенностью Нр типа Харди —
Литтльвуда, если найдется такая последовательность \сп), что
со оо
21 cni9 < °° Для всех 9 > min B. Р')> но ряд 2 сп'?п @ не является
и=1 п=1
разложением никакой функции из I?. Как и выше, здесь 1 <р<оо;
для р= 1 полагаем р' = оо; для /?= оо L? = L и под Lp мы по-
понимаем Ж.
С помощью лакунарных рядов (см гл. VII) можно показать,
что тригонометрическая система обладает особенностью hp для
1-^р<2. Особенность h2, очевидно, никогда не встречается,
и особенность hp при р > 2 для ограниченных систем невоз-
невозможна. Система Хаара, как мы.уже видели, обладает особенностью
АрДля 2<jo<[oo. Особенность Нр может встречаться у ограничен-
ограниченных систем даже при /? = 2. Приведенные выше особенности свя-
связаны с первой частью теоремы [6.3.1] и относятся к существо-
существованию ряда с определенными свойствами сходимости. Вторая
группа особенностей связана со второй частью упомянутой тео-
теоремы и касается функций с определенными свойствами.
[6.7.2] Ортонормированная система {ср„} имеет слабую особенность
типа Карлемана ср (рф2), если существует функция f(t)^Lp,
со
коэффициенты которой {/„} имеют свойство 2[/я|Р' —°°-
»=i
Для р=оо вместо I? мы берем М и //—1; для р=1 тре-
требуемым свойством коэффициентов является limsup \fn\ = оо.
П -> со
Система {сри} имеет сильную особенность типа Карлемана Ср,
СО
если для некоторой функции f(t)?Lp ряд 2|/п|2 Для всех q,
О < q < max B, //), расходится.
Прежде чем перейти к более подробному рассмотрению осо-
особенностей обоего рода, мы хотим осветить взаимосвязь между
ними. Для этого нам понадобится следующая лемма.
[6.7 3] Лемма. Предположения; {ср„}—ортонормированная си-
система, полная относительно Q, cpre^Q. Пространство Р

ОСОБЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ФУНКЦИИ 271
последовательностей коэффициентов х = {си} является про-
пространством типа F (см. [1.3.6]) и имеет, свойства:
Г. Mm (*(»), л) = 0 влечет Urn c^ — ck для всех k {здесь
2°. Всякая последовательность, (с,, с2, ..., с,., 0, 0, ...)
принадлежит к Р.
3°. Mm (Cl, с2, ..., сг, 0, 0, . ..)=Ы-
Г-»-со
Утверждение: Если каждый элемент х из Р является
последовательностью коэффициентов некоторой функции /?Q
по системе {уп}> т0
Ит 11/@ —2c*<MQ||e=0. C7)
и ¦> со ?с = 1
Доказательство. Если положить f(f) = U(x), то, как
легко видеть, оператор U аддитивен. Этот оператор также непре-
непрерывен. Действительно, пусть *("> = {скн1} сходится к х(°) = [У (д;(°)).
В силу 1° из Lim U (х(п%>) = _yW следует, что коэффициенты _y(ft)
и-> с»
суть числа с^°>. Полнота дает, что у(°~> = U (х(°)), следовательно (
по [1.4.5] оператор U(х) непрерывен. Пусть теперь
x(«) = (cv сг, ..., сп, 0, 0, ...).
По свойству 3° Lim х<") = {ск} = х, так что Lim U (xW) — U(x),
IX ->¦ со W ->¦ ээ
что и означает C7).
Эта лемма позволяет доказать следующую теорему:
Если система {<рп} полна относительноLp, <sn?Lp и l^p^oo, [6.7.4]
то особенности hp и cp* эквивалентны.
Пусть сначала 1 < р < оо и {сри} имеет особенность 1гр. Тогда
со
существует последовательность [сп] с ^ | с„ \р < оо, не являю-
щаяся последовательностью коэффициентов функции f(t)?Lp.
оо
Следовательно, по [6.4.6] найдется функция g(t)~ ^Eigrflnifytz Lp
со
с расходящимся рядом 2 ск?к- Таким образом, должно быть
к = 1
со
2 |gnf =оо> чем существование особенности clt< доказано. До-
казательство использует лишь то, что в ортонормированной
системе ср„?/Л <pw6L*'.
Пусть теперь {ср„} имеет особенность с^/, но не обладает
особенностью hp. Тогда каждая последовательность {сп}, для

272 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
со
которой 2lcwF' < °°> является последовательностью ковффициен-
И = 1
тов для некоторой функции f(t)?Lp. Следовательно, по лемме
[6.7.3], с Q=LP, имеет место C7). Если выбрать g(f)?.Lv' и обо-
значить через sn{t) частные суммы ряда 2с/гР/с(О> а через gk—
коэффициенты функции g(f), то
и Ь
следовательно,
п
к-1 а
оо
что дает сходимость ряда ~^jCkgk для всех {сп) ?/р. В силу [1.1.3]
последнее влечет {gn}?f, что исключает особенность cv>. Тем
самым обе части теоремы [6.7.4] для 1 < р < оо доказаны. Пре-
Предельные случаи р=\ и р==со доказываются аналогично. Здесь
используется то обстоятельство, что сходящиеся к нулю последо-
последовательности образуют пространство типа F с ([ап], {Ьп}) —
= max \dk-—bk\.
1<к<со
[6.7.5] При тех же предположениях, что и в [6.7.4], особенности
Нр и СР' эквивалентны.
Доказательство. Пусть опять 1 </>< со и система {<?„}
too
обладает особенностью Ир, т. е. 2 | с„ I* < оо для всех q > min B, р')
и {сп) не является последовательностью коэффициентов для функ-
функции из Lp. Пусть, далее, особенность СР' не имеет места, т. е.
для каждой функции g(t) ? if существует такое число а < max B, р),
что 2|5и|а < °°. Тогда в силу [1.1.4] ряд ^cngn сходится для
со
всех g(t)?Lp'> ибо а' > min B,//). Итак, рт^сгу$), в силу
[6.4.6], является разложением некоторой функции f(t)?L ,
вопреки предположению. Обратно, пусть система {»«} не
имеет особенности Ир; тогда для каждой последователь-
последовательно
ности {Cj}> для которой 2icil* < °° при всех ^>tninB, pr),
имеем 2ci?»@'~/@€ ^Р< ^ этом случае применима формула C7),
потому что множество всех последовательностей {с^} есть про-

ОСОБЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ФУНКЦИИ 273
странство \гипа F, если- определить расстояние между двумя по-
последовательностями х— \ск), у = {dk) формулой
со
1 г*-у]»
»1+[*-у]
и=1
где
L
(оо \_L
Sic* —d*|rnГ*. rB = minB, /)-г4-
Действительно, тогда (я, _у) = (х—_у, G), lim (х„лг, 0) = 0 для
и-> со
Птт„ = 0 (вследствие того, что (х„лг, 6) <; |¦:„| • (х, 6) для
м-»-оо
. | ^п i <1 1) и Нттлгй = 6 при lim xft = 0, потому что для |т|<;1
/(->- оо ' к -> оо
(xxft, е)<|т|(*к, 6),
а для |т| > 1
Кроме того, это пространство является полным, следовательно,
оно будет пространством типа F.
со
Условие C7) с Q—Lp дает сходимость ряда 2c»?i Для п0*
следовательности коэффициентов {gt} произвольно выбранной
функции g(t) из Lp'. Эта .сходимость имеет место для всех {q} ? Р
(при ^ > minB, p')), следовательно, в силу [1.1.5], для некото-
оо
рого а = a (g)< max B, р) ряд 21S"» Г < °°- т- е- особенность Ср>
отсутствует. Случаи р=1 и р = оо допускают аналогичное рас-
смотрение.
До сих пор в~этом параграфе мы предполагали полноту нор-
нормированной ортогональной системы относительно if. Если мы
вместо этого примем, что функции <оп, каждая в отдельности,
ограничены и выберем метод суммирования {bik} (fe= 1, 2 и{)
со свойством
6 пг к
f | Ki(t, и) \du<% (Kt(t, и) = 2*ift ^ ?rf@ ?i(и)),
то утверждения остаются справедливыми, а доказательства
упрощаются, потому что мы можем опереться на теорему [6.4.6].
18 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. ВДтейнгауз

274
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Прежде чем переходить к вопросу о существований особен-
особенностей, мы докажем следующую лемму.
[6.7.6] Пусть (fn(t)}—последовательность измеримых функций
и {пг) — некоторая последовательность индексов. Если нера-
неравенство
ь
j I/», (*)+/*. (О + • • • +/«_, (О IЛ О C8)
а
выполняется для некоторого \х, не зависящего от {п^ и от j,
оо
т0 2/и @ < °° почти всюду.
Если (г„(«)} означает систему Радемахера, то из C8) сле-
следует
/*(')/*(и)
dt < 2A..
C9)
Для системы {гп(и)) справедливо первое неравенство [4.5.7]
V* («)
Положив здесь ck = fk(t) и проинтегрировав обе части по г1,
а затем используя C9), получаем
Г п I Ь
V 2/1@ <« < 8 fdu f
' й = 1 0 о
Л (О Г* («)
Применение теоремы [1.2.4] ведет теперь непосредственно
к нашему утверждению.
[6.7.7] Ограниченная или полная относительно L2 ортонормиро-
ванная система всегда обладает особенностью с«>.
Действительно, пусть |<pn(Ol<T> a последовательность {ch)
ограничена и расходится. Тогда по теореме Мерсера [5.2.4] по-
последовательность [ск\ не является последовательностью коэффи-
коэффициентов функции f(t)?L. Следовательно, в силу [6.4.6], суще-
оо
ствует функция g(t) — 2 g*?*:(О G-М с расходящимся рядом
со оо
2 chgk. Таким образом, ряд 2lS)tl должен расходиться, в чем,
fc=l к=1
Собственно, и состоит особенность с^.

ОСОБЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ФУНКЦИИ
275 .
В случце, когда последовательность {<р„} полна относительно L2,
необходимо воспользоваться леммой [6.7.6]. Тогда по теореме
[5.1.3]
—°° почти всюду, так что утверждение [6.7.6]
не имеет места. Следовательно, условие C8) также не выпол-
выполняется. Отсюда следует существование последовательности {пг},
для которой
limsup I
= со,
и, тем самым, — на основании [1.5.4] — найдется непрерывная
функция (с последовательностью коэффициентов [hn]) со свой-
свойством
к
iim sup 2 f>n. = -f- oo,
k+oo »=1 *
со
что влечет 2l^ml===OQ- Стало быть, система {»га} обладает осо-
п-1
бенностью Соо.
Ограниченная ортонормированная система всегда обладает [6.7 8]
особенностью ср для всех р > 2.
со
Действительно, если бы для каждой функции f{t)~ 2 ck<uk(t) ? Ip
со
ряд 2lc/cf сходился, то можно было бы выбрать ряд, для ко-
косо оэ
торого 2|^&|Р<°° и 2^ft = 0O> В этом случае
для всех f?Lp. Следовательно, опять-таки по [1.5.4],
(о
< [I,
откуда по лемме [6.7.6] следует, что
2
я=1
°° почти всюду.
Последний ряд равномерно сходится на некотором множестве Е,
причем по [1.2.3] можно принять, что мера дополнительного
множества СЕ меньше любого е. Если выберем е так, чтобы
(я=1, 2, 3, ...).
18*

276 ортогональные ряды в Других пространствах
(см. [6.1.1]), то получим
k=l
т. е. придем к противоречию.
В приведенном выше доказательстве мы можем принять, что
/(О 6 С вместо f{t) ?LP. Следовательно, по [6.7.8], для каждого
оо
д<2 существует функция fq@6с> /? @ ~ 2 <Ж9)?ь @. такая>
/С — 1
что
Если мы применим теорему [1.5.6] с х?С, .х@
и /7<хр(лг) = (с1) с2 с0, то придем к теореме:
[6.7.9] Для ограниченной ортонормированнои системы можно
найти непрерывную функцию g(t) — 2gW*@ такую, что
/ 1
оо
каждого а < 2.
Тем более, такая система будет обладать особенностью Ср
для р> 2.
§ 8. Особенности /fj, и L,,
Особенности § 7 служат противоречащими примерами .для
обращения теорем типа теоремы [6.3.1]. Обращение теоремы
[6.3.2] также не имеет места. Этот факт оправдывает сле-
следующие
[6.8.1] Определения. Ортонормированная система обладает осо-
особенностью /рA <^/j < оо), если существует такой сходящийся
оо
ряд ^jnp~2\cnf, что {сп\ не является последовательностью коэф-
фициентов функции из I?. Если в этом условии стоящий в ряде
показатель степени р можно заменить на любой показатель
#<тахB, р),д>0, то говорят, что система имеет особенность
ЬрО- ¦^¦Р^.оо). Как показывает теорема Рисса — Фишера, осо-
особенность /2 невозможна. Наоборот, каждая ортонормированная
система обладает особенностью L2: достаточно положить сп =
1_
~Yn'

ОСОБЕННОСТИ Кр 'И Lp 2?7
Ортонормированная система обладает особенностью &рA^/;< [6.8.2]
< оо), если существует функция f(t) ? Lp, коэффициенты с„ ко-
оо
торой таковы, что 2 пР~21 cn |? = oo. Она обладает особенностью
П = 1
Кр(,1 ^.р-^.со), если в этом ряде показатель степени р можно
заменить любым q > minB,/j). Невозможность &2 очевидна.
Особенностью же К2 обладает каждая нормированная ортогональ-
чая система, как показывает пример сп = п 2 log (га-f- 1). (Осо-
(Особенность Коо также имеет определенный смысл, потому что
9>minB, оо) означает здесь <7>2, a L03, как всегда, означает
пространство М.)
Новые особенности, как и рассмотренные в § 7, связаны между
собой. Имеет место следующая эквивалентность:
Если {<р„} — ортонормированная система, полная относи- [6.8.3]
тельно Lp, и <р„(;/<р> то особенности L и kp> эквивалентны
(Р > 1).
В самом деле, пусть особенности k$ нет, так что для каж-
дой функции /@€^Р'> /(*)¦—2 с«?п @> справедливо соотношение
п=1
оо
2|сп|Р'пр'-2<оо. D0)
П=1
Если теперь {dn}—произвольная последовательность и
оо
2KfV-2<oo, D1)
СО
то ряд 2 Cn,dn абсолютно сходится, так как
n-1
Следовательно, из D1) следует сходимость ряда ^cndn для всех
П = 1
f(t)?Lp. Поэтому, в силу [6.4.6], последовательность {dn}
является последовательностью коэффициентов функции g{t)^Lp,
и особенность 1р исключается. Таким образом, 1р включает kp>.
Пусть теперь имеет место особенность Ду, т. е. существует
оо
функция f(t)?Lp>, для которой 2 |с„|р'пр' = оо. Рассмотрим
1

278 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
совокупность последовательностей {dn}=*=x, которые удовлетворяют
1
/ ™ Хр
соотношению D1). Если определить Цлг|| как! 2i\dn\ пр 1 ,
\и=1 /
то эта совокупность будет банаховым пространством X. Если
?"@6 Lp— функция, имеющая последовательность коэффициентов
{dn\, то в случае отсутствия особенности 1„ имеем по лемме
[6.7.3]
П > оо
а
Отсюда вытекает сходимость ряда 2 сгАп Для всех х?Х. Но
если мы выберем
• I 11/ -— 1 Т)' — 1 •
п — \сп\ п Ь1йи сп,
то условие D1) выполнено, а ряд 2 cndn расходится. Тем самым
п=1
мы показали, что эта последовательность \dn) не может соот-
соответствовать функции g{t)?Lp, так что особенность 1р необхо-
необходимо должна иметь место.
[6.8.4] В предположениях [6.8.3] особенности Lp и КР> эквива-
эквивалентны.
Доказательство этого факта почти дословно повторяет дока-
доказательство [6.7.5] с тем только изменением, что теперь расстоя-
расстояние между элементами х={а%} и yz={bii) нужно определить
формулой
оо
1 С*. у)п
т = 3
где
с> У)п = { 2 \ak — bk\nkn'
1
[6 8.5] Теоремы [6.8.3] и [6.8.4] остаются справедливыми в пред-
предположении ограниченности лебеговских функций для опреде-
определенного метода суммирования и без требования полноты
системы.
Перейдем теперь к вопросу о существовании особенностей
kp и Къ.
[6.8.6] Ограниченная ортонормированная система всегда обладает,
особенностью kp для любого р > 2.

МАЖОРАНТЫ И МНОЖИТЕЛИ РАСХОДИМОСТИ 279
Действительно, если для двух последовательностей {сп\ и {dn}
оо
выполнены условия D0^ и D1), то ряд 2 сг$п абсолютно схо-
оо
дится. Но если 2 е» —°° (что для р> 1 совместимо с D0)), то
со
Zj Cnyn(f) = СО
на множестве значений t положительной меры. Следовательно,
по лемме [6.7.6], для некоторой последовательности {пг} должно
быть
ь
к
I'm sup Г У,спфп (t)
Те -±. т J *^ * *
i=i
Тогда по [1.5.4] существует непрерывная функция g(t), для
которой {gn} является последовательностью коэффициентов и
6 к
lim sup j g (t) 2] cni yni (t)dt = -\-oo,
CO CO
T- e- 2 gn c». = + со и 2 \gncn\== °° • Но этим показано,
i=l * * n=l
что последовательность {gn} не может играть роль [dn] в D1),
что и требовалось доказать.
Принцип сгущения особенностей [1.5.6], вместе с теоремой
[6.8.6], приводит, как и в [6.7.9], к результату:
Ограниченная ортонормированная система всегда обладает [6.8.7]
особенностью /Соо» а следовательно, также и Кр для р > 2.
§ 9. Мажоранты и множители расходимости
Теоремы этой главы не всегда позволяют решить, может ли
данная последовательность \ап) служить последовательностью
коэффициентов функции из некоторого пространства. Мы рас-
рассмотрим достаточные условия следующего рода:
Если при \an\^dn (л=1, 2 ...) последовательность \ап) [6.9.1]
всегда является последовательностью коэффициентов для L9, то
последовательность {dn} называют мажорантой для L9. Она,
очевидно, зависит не только от q, но также и от ортогональной
системы. Мы потребуем, чтобы й„^-0.
Для того чтобы последовательность \dn\ были мажо- [6.9.2]
рантой для Lq (I-^q^.оо) при некоторой ортонормированной

280 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ В ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
системе {<р„}, полной относительно Lq, ср„(;/Л необходимо
и достаточно, чтобы для любой функции f?L9 с последо-
последовательностью коэффициентов \сп) сходился ряд
оо
2 I cn I dn-
со
Достаточность. Сходимость ряда 2 \сп\ dn влечет схо-
п=1
оо
димость ряда 2 ^псп^п ПРИ |^«|<а- Это сходимость имеет
п = 1
место для всех /@€ Lq (/@~ 2 сп?«@ )> следовательно,
\ и=1 /
[Xndn] по [6.4.6} является последовательностью коэффициентов
для V, что и утверждалось.
Необходимость. Если [dn]—мажоранта, то при |>.„|<а
последовательность {Xndn} является последовательностью коэф-
коэффициентов для функции g(t)?Lq. Но этим однозначно опреде-
определен аддитивный оператор g{t)~U(x) в пространстве 1°° всех
ограниченных последовательностей {Хп} = х. Это пространство
является банаховым, если определить ||л;[| как верхнюю грань
|Х„|, но при определении верхней грани отбрасывать такие Xj,
для которых dj обращается в нуль. По [6.7.3] оператор U (х)
непрерывен. Поэтому
ь
г
и отсюда следует сходимость ряда ^]cnXrarfn для всех f(t)?Lq .
n=l
со
Если положить Xn-=signc(l, то получится- 2|сп|^п<°°> что
П = 1
и требовалось доказать.
[6.9.3] Оказывается, что проблема мажорант тесно связана с про-
проблемой множителей расходимости. Так мы называем члены
последовательности [dn\ (dn^>0), если в пространстве R суще-
существует функция f(t), коэффициенты которой \сп) обладают свой-
. со
ством ^j \cn\dn = oo. Это условие представляет обобщение
особенности cco(R = M, dn= 1).
Теорему [6.9.2] можно сформулировать таким образом: для
того чтобы последовательность [dn] была мажорантой для Р,
необходимо и достаточно, чтобы \dn) не была последовательно-

Мажоранты и множители расходимости
281
стью множителей расходимости для пространства Рг, сопряжен-
сопряженного Р. Это замечание приводит к новому необходимому и
достаточному условию для мажорант.
Пусть 1 <!/;<; со , yn?Lp и {»„}—ортонормированная си- [6.9.4]
стема, полная относительно Lp. Для того чтобы {dn} была
мажорантой для Lp, необходимо и достаточно, чтобы для
всех последовательностей индексов {п^ выполнялось нера-
неравенство
i
dt<%,
D2)
причем х не зависит от т и последовательности {пг}. Для
р— оо слева вместо интеграла следует писать существенную
верхнюю грань подынтегрального выражения.
Доказательство. Мы уже знаем, что сходимость ряда
оо со
2 |сп|^« Для всех /€^Р> гДе /@~ 2 с«?п@> является не-
И=1 П=1
обходимым и достаточным условием для того, чтобы [dn] была
мажорантой для Lp. Отсюда следует, что
ь п
а »=1
следовательно, по [1.5.2] (соответственно, по [1.5.4]),
limsup Г y.dm(t)
ЪП -> DO * Т^
(с соответствующим изменением для р = оо). Это имеет место
для любой подпоследовательности {dn\, чем необходимость D2)
доказана. Достаточность очевидна, потому что из D2) вытекает
неравенство
Как показывает теорема [1.6.8], в пространстве I? условие
со
D2) эквивалентно безусловной сильной сходимости ряда 2 dn<pn(f).
n-l
В пространстве М это условие равносильно условию 2 dn \ cpn(O | <СХ
п=1
почти всюду. Если все функции срга(О ограничены в совокуп-
ности, то характеристическое свойство мажоранты для
[6.9.5]

282 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Й ДРУГИХ ПРОСТРАНСТВАХ
пространства М имеет вид 2 dn < оо , а для пространства
оо
Достаточность этого свойства следует из теоремы Рисса—
Фишера {3.5.6], необходимость же из того, что [6.9.4] и [6.7.6]
влекут сходимость ряда 2 ^п?»@ почти всюду и, для ограни-
и=1
оо
ченных в совокупности функций <fn(t), сходимость ряда 2 d\ ¦
п = \
[6.9.6] Как приложение, мы покажем, что для каждой ортонорми-
рованной системы, состоящей из ограниченных функций и
полной относительно L, существует последовательность \ап),
стремящаяся к нулю, но не являющаяся последовательностью
коэффициентов для функции из L. Действительно, по [5.1.3]
существует последовательность \dn), для которой dn!>0,
оо
lim dn = 0 и 2 d\y2n (f) = оо . По [6 7.6] такая последователь-
последовательна оо га = 1
ность не может удовлетворять условиям [6.9.4] и поэтому не
является мажорантой. Следовательно, найдется такая последова-
со
тельность {ап} с | ап \ <! dn, что ряд 2 ап4п @ не соответствует
никакой функции f(t) из L.

ГЛАВА VII
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Лакунарные системы
Система Радемахера \rn(t)) обладает, кроме других замеча-
замечательных свойств, также следующим:
00 » ОО
Если 2 ап < °° и если f(t) означает сумму ряда ^anrn(t) [7.1.1]
(который, очевидно, почти всюду сходится), то f(t)?Lp для
всех р A </?<оо).
Это получается из неравенства {4.5.6]
1
с помощью [1.2.5]. Система Радемахера обязана таким свойством
своей неполноте, но, разумеется, в общем случае из неполноты
не вытекает утверждение вида [7.1.1]. В этой главе мы хотим
рассмотреть ортонормированные системы, которые обладают
свойством, аналогичным свойству [7.1.1].
Введем следующее определение:
Ортонормированная система {срп} называется лакунарной си- [7.1.2]
стелой порядка р (р > 2) и обозначается Sp, если <sn?Lp и
со
если для {ап}?12 ряд 2 ап?»@ (который мы будем обозначать
через Rp) всегда представляет функцию f(t)?Lp в смысле силь-
сильной сходимости в ZA Ряд Rp называется тогда лакунарным
рядом порядка р. Через Sx и /?„, мы обозначаем, соответст-
соответственно, систему и ряд, которые суть Sp и Rp для всех р,
2</;<оо.
Для того чтобы {<р„} была лакунарной системой порядка р, [7.1.3]
необходимо и достаточно, чтобы существовала константа tv

284 ЛАКУН АРНЫЕ РЯДЫ
не зависящая от п и от {ак), и такая, что
я*9*@ dt] Op I/ 2la*-
Достаточность очевидна, потому что из A) следует
Г п
l/ 2°*
О» Р \f Г п
' с ГЛ 9 ГЛ Л1 <"и 1/ V
_ I k = m +1
а\.
со
так что для 2 а» < °° последовательность (sn(^)} сильно схо-
сходится в I? к функции f(t)?Lv,
Для доказательства необходимости заметим, что если
мы обозначим последовательность \ап) через х, х?Р, а функ-
функцию /(/) через у (y(zLp), то каждая лакунарная система опреде-
определяет аддитивный оператор y — U (x). В самом деле, обозначим
через {>!)„} систему функций, дополняющую систему {срп} до пол-
полной ортонормированной системы. Такая система {$„} существует
по [3.5.3]. Тогда через у мы обозначаем функцию f(t), соот-
соответствующую последовательности {ап} в силу [7.1.2], и ортого-
ортогональную всем функциям системы {ф„}.
Чтобы доказать непрерывность оператора U (х), рассмотрим
последовательность [хк] с хк — {а1'®} и Lim xk = xoo. Пусть
U (хк) — ук и Lim yk = yco. По [1.4.5] нам нужно доказать, что
.Ув = */(*„). Но
Jirn^ fyk (t) фи @ dt = f уоо @ 9» @ <« (« = ! • 2. 3. • • • )>
т. е. lim aW = a*n, где {я*} означает последовательность коэф-
к ->-со
фициентов функции _Уоо@ по системе {«>„}. С другой стороны,
так как Lim xk-=Xco, то
к ->-оо
») = eM (я=1, 2, 3, ...),
к >со
где ^2= {a<J°>}, Следовательно, а*=аМ, т. е. коэффициенты
элементов y^, и ^(л;^) по системе {срп} совпадают: Если обо-
обозначить через b (с соответствующими индексами) коэффициенты
по системе {<j>nj, то Ь%) = 0 (для всех конечных п, к), так

ЛАКУНАРНЫЕ СИСТЕМЫ
285
что Ьп = 0. Но, по определению, нулю равны и коэффициенты по
системе [Ъп] для U (х^. Таким образом, коэффициенты у^ и
U (Хоо) по полной ортонормированной системе совпадают, поэтому
у^о = U (лГсо). Итак, оператор U (х) линейный, следовательно,
что для x — (av a2, ..., ап, 0, ..., О, ...) можно записать,
как A).
Следствие. Лакунарный ряд всегда сильно сходится в Lp.
Пусть {«„}—ортонормированная система Sp. Тогда
dt,
к=1
где \ьр означает ту же константу, что и в [7.1.3].
Действительно, пусть q = p—1 > 1. Мы имеем
n bin
:=1 a Vfc=l
= /1 s
следовательно, по [1.2.7] и [7.1.3]
[7.1.4]
т. е.
е*
откуда непосредственно вытекает утверждение теоремы, потому
1— ?- = —
Так как
k=l

286 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
то
6 \
sn(t)\pdt)P
и условие A) показывает, что справедлива
[7.1.5] Теорема. Пусть {срп} — лакунарная Sp ортонормирован-
ная система. Тогда для каждой функции fit) ? Lp
k=l
(Здесь f(t) — произвольная функция с f(f)~ 2j ak's>k(t) и \хр —
константа из [7.1.3]).
Отсюда следует, что разложению произвольной функции
f(t)?Lp {p' < 2), соответствует функция f(t)?L2, которая по
|[7.1.6] [7.1.2] принадлежит к Lp. Из этого вытекает неполнота си-
системы Sp относительно пространства Lp.
В самом деле, полнота относительно Lp повлекла бы замкну-
замкнутость относительно I? (см. [6.2.5]). Тогда можно было бы найти
последовательность {wn(t)} линейных форм от vk(t) (k—\, 2, ..., я),
сильно сходящуюся к f(t). По [7.1.5]
/ \f(t)-wn(t)f dt < ^ f]f(t) — Wn (t) f dt Y ,
следовательно, Lim wn(t)=f (t) в /А Это противоречит тому,
П -> со
что Lim wn(t)=f(t) в Lp, если f(t) выбрана вне L2.
п -> со
Теорема [7.1.5] допускает следующее обращение:
[7.1.7] Если ортонормированная система {ср„} для определенного
со
q A < q < 2) и всех f(t)?l3 обладает свойством 2 йп < °° ¦
где {ап} означает последовательность коэффициентов функ-
функции f(t), то она лакунарна порядка q'.
со
Покажем, что ряду 2 by, <C оо всегда соответствует функция
fe=i
со
g(t)?L*' с *@~ 2 &*?*(/)•

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛАКУНАРНЫХ СИСТЕМ 287
На основании [6.4.6] достаточно доказать сходимость ряда
со
2 о-Фк Для всех последовательностей {ак}? Lq (т. е. для после-
к = 1
довательностей коэффициентов всех функций из Lq). Но это
со
действительно справедливо, потому что ряд 2 ап по предпо-
ложению сходится.
§ 2. Существование лакунарных систем
Мы рассмотрели простейшие свойства лакунарных систем,
представителем которых является система [2.2.5], которая ока-
оказывается даже S^. Но существуют ли другие лакунарные си-
системы?
Здесь важен следующий результат.
Пусть {<рп@}—ортонормированная система с ограничен- [7.2.1]
ной последовательностью норм {Ц<Рп11р}> г&е 2<</;<оо.
Тогда существует такая последовательность индексов {пк\,
что система {<ри, @1 является лакунарной системой по-
п
рядка р.
Доказательству мы предпошлем следующую лемму. [7.2.2]
Существуют константы о.(р) и ф(р) такие, что для всех
функций f(t)?Lp и g{t)?_Lp при р > 2 имеет место нера-
неравенство
ь ь ь
dt< f \f(t)\Pdt + p /|/@ f-*f(t)g{t)dt+
a a
b [p\ Ь
f
a ,2=2 a
Это неравенство является непосредственным следствием арифме-
арифметического неравенства
Ш
г=2
которое может быть получено следующим образом: положим
•«- Чж^—I-
Функция ш(г) остается ограниченной при |г|->оо. При |г|->0
функция о (z) стремится к нулю, что видно из биномиального

288 лакунаРНые ряды
разложения |1-|-2:|р. Поэтому существует такая константа а, что
|w(z)|<;a для всех Z, и, тем более,
W
Если подставить — вместо z, то получим требуемое неравенство.
Теперь мы можем перейти к доказательству [7.2.1]. Пусть
г
ух, 72 fr—действительные числа. Примем, что 2j f<\^L 1
i = l
и положим
Ь
i- Т2 Т.) = /
i @
г г
< 2
J
< 2 ТЛ @ ?„ (О Л- B)
J
Тогда /„ вместе с — стремится к нулю и даже равномерно для
всех систем (•j-1 ^г), которые удовлетворяют сделанному выше
предположению. В самом деле, пусть для некоторого е > 0 и
последовательности индексов {пк} нашлась бы последовательность
систем J^]*'» fW, .... i^ft)}. для которой/n (^W, ^ft), .... fW)>s.
Так как I fW 1^1, то можно было бы выбрать сходящуюся под-
подпоследовательность, которую мы, по-прежнему, обозначим
{(T(ift)> 7Bк)' •••• Trk))}' с пРеДельН0Й точкой (j™, if, ..., y™).
В этой точке должно было бы выполняться соотношение
lim /n = 0, следовательно, lim /„ _0, что противоречит пред-
п ->¦ оо fc -> со
положению.
Итак, |/п|<у для /i>s(r). Пусть, далее, r1=l)rn+1 =
= max (I -f- rn, s (rn)), так что rn >¦ /г. Мы утверждаем, что система
| j является лакунарной системой порядка р. Обозначим сумму
п
(t) через sn(t) и примем, чтэ'}2и я?<.1. По_^[7.2.2]
ь ь
а
Ь
/ I Sn (О Г"' *п @"?гя+1 (О Л + « I вЯ+1 f f \ <?r,l+1 @ \P dt
a a
\P\ b
fn®ri\4rn+l®\'dt. C)
j -2 a

СУЩЕСТВОВАНИЕ ЛАКУНАРНЫХ СИСТЕМ 289
Мы имеем, далее, что г„>л, Г | cpn (t) \pdt < у? и |я„
<jan+1|2 для 2<у<р, так что, применив [1.2.7] к последнему
члену неравенства C), получаем
(Различение случаев /„]> 1, /„ < 1 дает два члена с [3). Следо-
Следовательно,
2
*=1
Так как ряды 2 1 а» I > 2 I Рп I сходятся, то существует такое
число у., не зависящее от я и от {а,,}, что /п+1<!х.
Но этим для всех {ап} доказано выполнение условия A)
теоремы [7.1.3], так что 1срг (()) есть система Sp, как и утвер-
утверждалось.
Следствием [7.2.1] является
Теорема. Из ограниченной ортонормарованнои системы [7.2.3]
всегда можно выбрать систему S^.
Доказательство. Пусть 1<в1 — рассматриваемая ортонор-
мированная система и (со ]—лакунарная система порядка 3,
выбранная из {ф 1 на основании [7.2.1]. Обозначим функции ф
через tpW и пусть \<?Щ ^содержащаяся в {cp(JH система S4. Про-
Продолжая выбор таким же образом, получаем для каждого k орто-
нормированную систему {ф^М, которая будет лакунарной систе-
системой k-\-2-vo порядка. Диагональная последовательность (ф^Н
(кроме конечного числа членов) содержится в каждой такой после-
последовательности. Если обозначить ©(») = фл, то последовательность
{Ф„! будет искомой.
Теорема [7.2.3] справедлива также и для таких ортогональных
систем, которые не являются ограниченными, но удовлетворяют
условиям ||фп@11р-^ Рр (/*— 1> 2, 3, .. .) (с рр не зависящим от п)
для всех п или только для некоторой бесконечной последова-
последовательности [пк\.
19 Зак. 2542. С Качмаж и Г. Штейнгауз

290 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
§ 3. Дальнейшие свойства лакунарных систем
В § 1 и § 2 этой главы мы занимались существованием и
характеристическими свойствами лакунарных систем. Перейдем
теперь к вопросу о том, каковы коэффициенты Фурье функции
по лакунарнои системе. На основании [7.1.5] мы уже знаем, что
для функции из I? ряд из квадратов коэффициентов Фурье по
ортонормированной системе, лакунарнои Sp, сходится. Отсюда
следует:
[7.3.1] Если {<fn(t)} есть система S^, функция
СО СО
f(f)?Lq(q>l) и /@ — 2 <УР*@> «о 2<<оо.
k -1 и = 1
Как мы увидим позже ([7.4.3]), эту теорему нельзя перенести
[7.3.2] на случай q=\. Из [7.1.2] и [7.3.1] следует, что для ортонор-
ортонормированной системы Sm, каждая функция f(t)?Lq (<7>1),
которая «лежит в плоскости системы», т. е. ортогональна
всем функциям, ортогональным данной системе, интегрируема
при любом р > 0.
Теорему [7.3.1] можно сформулировать и так:
Если из ортонормированной системы {ср„) выбрать лаку-
нарную подсистему ta } типа S^, то для функции f(t)?Lq
К
СО
(<7 > 1) всегда 2 а1к < °°-
Для лакунарных систем порядок членов не играет никакой
[7.3.3] роли. Лакунарная система остается лакунарнои, если порядок
ее членов изменить произвольным образом.
со
Доказательство. Пусть 2 апУп(*) есть РЯД Rp- По [7.1.3]
оо
подпоследовательность Sp есть также Sp, так что ряд 2 ап <?п @
к = 1 к к
также Rp и, в силу следствия из [7.1.3], сильно сходится в if.
Этим доказано, что все выбираемые ряды сильно сходятся, следо-
следовательно, по [1.6-8], первоначальный ряд должен сходиться без-
со
условно. Следовательно, переставленный ряд 2 а*п-?*п(^ сильно
ОО СО
сходится в Lp, если 2 а\ < оо> Поэтому ряд 2 ^„?п@ ПРИ
И = 1 /1=1
СО
2 Ьп < оо также всегда сильно сходится (потому что для {Ьп}

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛАКУНАРНЫХ СИСТЕМ 291
со
существует последовательность {ап} с s, = J, и 2 ап < оо). Это
п-1
показывает, что !ср*| есть лакунарная система Sp.
Банаховы эквивалентности. Лакунарные системы обла-
обладают, между прочим, целым рядом свойств, эквивалентных между
собой. Мы можем даже указать две группы таких эквивалентных
свойств. Они показывают относящиеся сюда проблемы в новом
свете и открывают путь к изучению особенностей этих систем.
I группа. Пусть {ср,г(О} —ортонормированная система со сле-
следующими свойствами:
1°. Все функции о>„@ ограничены.
2°. Система замкнута относительно L
3°. Существующие в силу 2° линейные формы wm(t), которые
аппроксимируют заданную функцию f(t) по метрике L, могут
быть выбраны так, чтобы те <?n(t), которые ортогональны к f(t),
в этих формах не содержались (свойства 2° и 3° уже гарантируют
полноту системы относительно L). Пусть {ф/ДО}—подпоследова-
{ф/ДО}—подпоследовательность системы {»„(*)}> т- е' Ф* @ = cP»ft СО-
Л/ж этих предположениях попарно эквивалентны следую- [7.3.4]
щих три утверждения:
а) Коэффициенты каждой интегрируемой функции по системе {фл}
имеют конечную сумму квадратов, если функция «лежит в ф-пло-
скости» (см. [7.3.2]).
оо
8) Для каждой последовательности \ак) с 2 ак < °° суще-
4 = 1
ствует непрерывная функция, коэффициенты которой по {<]>/,.}
суть а,,.
•f) Существует такое число ц, не зависящее от т, что для
всех т и всех clt c2 ст имеет место неравенство
in
V
п-=1
dt. D)
Доказательство. Пусть выполнено D). Пусть, далее,
функция f{t) интегрируема и лежит в ф-плоскости, т. е. разло-
со
жение f{t) по системе {tpn} имеет вид 2 aktyk(t)- По предполо-
fe=i
жениям 2° и 3° существуют линейные формы
Sc(rV) E)
11 = 1
19*

292
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
такие, что lim С\f(t) — wm(t)\dt = O. По D) и E)
«1 -iw m •*
г
a
Так как lim с^ = ап, вследствие [6.2.7], то
/Г*
Следовательно а) вытекает из f).
Пусть теперь выполнено а). Пусть wit) — некоторая линейная
форма с дополнительным условием
J\w(t)\dt= 1.
F)
Мы хотим вывести отсюда f) или эквивалентное ему неравенство
ь
Если бы оно было неверным, то можно было из совокупности
выбрать такую последовательность {??>,}, что
и ®»i+1=
— k с
^У с2
У А*
противном случае существовало бы
для р > от > /иА.
Но так как |фп|<!а (я = 1, 2, ..., mft) в силу 1°, то для каждой
р
функции w(t)— 2 спФ„@. ll'a'||i=l. имеем

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛАКУНАРНЫХ СИСТЕМ 293
так что высказывание f) было бы справедливым.) Вследствие F)
СО
ортогональный ряд ^ir^tW сильно сходится в L к g(t)?L.
»=i
Но тогда мы имели бы
оо
п = 1
где
ь
а
для тг_% < п < /га*, так что, ввиду G),
И=1 1 = 1 1=1
что противоречит а). Тем самым эквивалентность а) и f) доказана.
Чтобы доказать эквивалентность Р) и f). определим оператор
y = U(x), где х?С (пространство непрерывных функций),
а у?12, равенством
(8)
Этот оператор линейный. По [1.8.3] для разрешимости уравнения
y = U(x) для каждого у?12 необходимо и достаточно суще-
существование константы \х, для которой
II Г (ЬЧ*)) II >№• . (9)
При этом Y означает произвольный линейный функционал в I2,
слева стоит норма функционала YU, справа—норма функционала Y.
Так как линейный функционал в I2 имеет вид
со СО
2с«Л=К(.у). с 2 с1<оэ,
то
Далее, вследствие
со
i=i
(8),
\Уг~
имеем
со 6
^^ г
i = l a
Ь
[t)dt = f:
а
со
»=1

,294
ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
[7.3.5]
Следовательно, по [1.4.7]
t=l
dt.
Таким образом, неравенство (9) можно записать как
Ъ т
a i=l
A0)
для всех последовательностей [Cj] с конечным числом отличных
от нуля членов. Тем самым у) следует из Р). Наоборот, [3) сле-
следует из •{•)¦ потому что A0) включает и случай от = оо, т. е.
(9), а значит и разрешимость уравнения у = и(х).
По [7.1.4] свойство f) имеет место для каждой ортонорми-
рованной Sp системы {ф№}. Следовательно, если {«р»} удовлетво-
удовлетворяет предположениям 1°, 2°, 3° теоремы [7.3.4] и {фп} — под-
подпоследовательность {«„}, то для системы {tyn} справедливы также
и 'Свойства а) и Р). Отсюда мы можем заключить, что каждая
ортонормированная система, которая содержит лакунарную,
обладает особенностью Ср, более того:
Существуют положительные числа е„-»-0 и такая непре-
рывная функция
а»сРп'@>
' = CO.
Доказательство. Выберем положительные числа
• оо
оо
2
расходился для всех
@,1). Если по-
так, чтобы ряд
дожить f]k = i ' ¦, то lim t]k = 0 и существует последователь-
РА- "I" ' ft -> to
ность {cft}, для которой
|СО
2
Если теперь {cp^ft} = {<jjfe}—лакунарная подсистема {в„}, то по
[7.3.4] существует непрерывная •функция f(t) с коэффициентами

ДАЛЬНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ЛАКУНАРНЫХ СИСТЕМ
295
Следовательно, если /@~2 fl»?»@> т0 для Л1°бой после-
довательности {е„} с ьПк = ч\к, е„>0, е„->0 имеем:
Очевидно, что доказательство для особенности Ср и
что здесь достаточно взять
С&, еще
некоторое е > О
проще, потому
вместо гп.
II группа. Пусть {<рп@} — ортонормированная система и
1°. Все функции <fn(t) ограничены в совокупности.
2°. Каждая ограниченная функция может быть представлена
как обыкновенный предел почти всюду сходящейся последова-
последовательности линейных форм от <р.
3°. Существующие по 2° линейные формы wn(t), которые
сходятся почти всюду к заданной функции f(t)?M, можно опре-
определить так, чтобы они были ограничены в совокупности и не
содержали функций <on{t), ортогональных к f(f).
Пусть, далее, {<[»*(?)} — подпоследовательность {®»@}-
В этих предположениях три следующих утверждения по- [7.3.6]
парно эквивалентны:
а) Коэффициенты каждой ограниченной функции, лежащей
в ф-плоскости, по системе {фй} образуют абсолютно сходящийся
ряд.
Р) Каждой последовательности {ак} с ак ->• 0 соответствует
интегрируемая функция, имеющая \ак] своими коэффициентами
по системе {tyk}.
7) Существует такая константа
неравенство
т
2
< [х • sup vrai
m
2
не зависящая от т, что
(«=1, 2, 3, ...) A1)
имеет место для всех ct, c2, ... сот.
Доказательство. Пусть условие A1) выполнено и функ-
функция f(f) лежит в ф-плоскости, т. е. ее разложение по системе
{<fn} имеет вид^| ak<tyk(t). По предположению существует после-
последовательность {wm(t)} со свойствами 2° и 3°. Если
т
«'¦@=2 с»ж)ф»(о.

296 ЛАКУИАРНЫЁ РЯДЫ
то, вследствие A1) и 3°, мы получаем
2 |4m)|
p
а< t < Ъ
Так как, в силу [6.2.7], lim cW = an, то
то -> оо
оо
2 |a»
Мы показали, что а) следует из f)- Обратное доказывается таким
же образом, как и в [7.3.4], при естественном изменений нормы.
Мы должны еще доказать эквивалентность C) и •]¦)• Выбрав
пространство L за пространство независимого переменного х и
/°° (пространство всех последовательностей {у{} с уг-+0) — за
пространство образов, определим оператор y^=U{x) равенством
\dt
(/=1, 2, 3, ...).
Для того чтобы этот линейный оператор y=U(x) для каж-
каждого у?1°° допускал решение x?L, в силу [1.8.3] необходимо
и достаточно условие вида (9) . Но его смысл здесь уже другой:
линейный функционал в f° имеет вид
гСу) = 2<чу*,
t=i
4 = 1
Ы<ОО
следовательно ЦУ||=2|С*1- При этом
но по [1.4.7]
,K(t/(jt))||=supvrai
a < ( < Ь
% (о
потому что Y(U(x)) теперь линейный функционал, определенный
в L. Неравенство (9) дает, стало быть, аналогично A0),
sup vrai
ь
и доказательство завершается так же, как и в [7.3.4].

приложения 297
Мы можем здесь сделать те же замечания, что и в предыду-
предыдущем случае, но относительно свойства f) B данном случае неиз-
неизвестно, обладает ли им любая лакунарная ортонормированная
система. Эквивалентность Р) и f) показывает, что в этом случае
распространение утверждения [7.3.1] на случай q—\ невозможно.
Для каждой системы {?„}, которая удовлетворяет предположе-
предположениям второй группы, и подсистемы {фй}, обладающей свойством f),
имеет место следующая особенность:
Существует последовательность {Х„} с lim Хи = -|-оо а [7.3 7]
»-> со
со
интегрируемая функция /@~2 °»?»@> для которой
Доказательство. Выберем положительные числа [xft-*¦ 00
со
так, чтобы ряд 2 ^к расходился для всех &?@, 1). Тогда
существует последовательность {ск), для которой
со
Hm cft = 0, 2i Cji |" ft == 00.
к -> со к = 1
Если f(t) — такая интегрируемая функция, что
6 со
ск = / / (О Ф* (О Л. /@ ~ S о»?» @. ск = ат,
а » = 1
(она существует вследствие эквивалентности Р) и 7) из [7.3.6]),
то для последовательности {Хп} с Хи>0, lim Xn = оо и 1п]с = \хк
П -> со
имеет место соотношение
со со
В качестве {;jjj можно выбрать последовательность
{loglog(& + 2)}. Последовательность {ск} тогда можно выбирать
как {-.—.. . ,J . Этот выбор достаточен также для слабой осо-
l log (я -f- 1)J r
бенности с Хн = Х^>0.
§ 4. Приложения
Система Радемахера {rn(t)} лакунарла. Она даже является
системой типа 5Л, как мы видели в начале этой главы. Следо-
Следовательно, эта система удовлетворяет неравенству теоремы [7.1.4),

298 ЛАКУНАРНЫЕ РЯДЫ
что мы уже видели в [4.5.7]. Но система Радемахера есть под-
подсистема определенной в [4:6.1] системы функций Уолша. По [4.6.3]
определенные там частные суммы p2n(tI которые мы можем обо-
обозначить через wn(t), имеют те самые свойства, которые были
сформулированы в предположениях, предпосланных теореме [7.3.4],
Следовательно, эта теорема применима и для каждой интегри-
оо
руемой функции, лежащей в r-плоскости, /@~2 anrn(f)>
сю
ряд 2 ап сходится. Точно так же удовлетворяются предположения
»=i
второй группы, достаточные для эквивалентности [7.3.6] (с теми
же wn(t)), следовательно, коэффициенты разложения функции
f(t)?M, лежащей в r-плоскости, образуют абсолютно сходя-
сходящийся ряд.
Тригонометрический ряд
оо
2 (akcosnkt-j~bksmnkt)
для достаточно быстро растущей последовательности {пк} (на-
(например, для к+х > X > 1) тоже является лакунарным, что более
подробно рассмотрено в книге А. Зигмунда [3]. Интересная система
[4.7.1] также обладает этим свойством. Система \rn(f)) ([2.2.5])
может служить нам для получения результатов, более сильных
нежели [5.6.3.]. Именно:
[7.4.1J Пусть ГI gn (и) \р da < f для всех п, jo>2 и 2а»<°°-
а
Тогда для почта всех t ряд
со
2 angn{u)rn{t) A3)
сходится почти всюду на [а, Ь\ к функции Gt (и) ? /Л
Доказательство. По предположению последовательность
\ • \
{ I \gn{u)\pdu) ограничена. Тем более ограничена последователь-
la J
f » 1
ность { Гgl{u)du\. Поэтому ряды 2 algl(u) и 2 al\gn (и)\Р
\j I n=X n=l

приложения 299
сходятся для почти всех и на отрезке [а, Ь] в силу [1.2. ]. Таким
образом, если и0 — такое значение и, то ряд
оо
2^» («о) г» @ A4)
сходится почти всюду на [0,1] на основании [4.5.2]. Еслп sn(u, f)
означает я-ю частную сумму ряда A3), то неравенство Хинчина
[4.5.6] дает
f\sn(u, 0|р^<2 algl(u)) ,
где -/. зависит только от р. Но неравенство Гёльдера [1.1.4] дает
4
следовательно,
' ,'со \Т"*со
2
A5)
Если sM(u0, t) означает сумму ряда A4), то по [1.2.5] и A5)
оо \ 2 оо
Р
| Soo (Цо> 0 I dt j<^ У. ( ^j uji I ^j flj g"^ (^o)
о 4ft~1 y ft-x
Написав здесь и вместо и0 и проинтегрировав обе части по и,
получаем
2
61 /оо \ 2
в о Vft=1 У
Отсюда, изменив порядок интегрирования, имеем
1 Ь
\ dt Г | Soo (и, t) f du < оо.
О а
6
Поэтому интеграл f|Soo("> t)\pdu конечен для почти всех t, что
а
мы и утверждали.

500 ЛАКУНАРНЫЁ РЯДЫ
Этому результату можно придать следующий вероятностный
со
смысл (ср. [4.5.5]): в предположениях [7.4.1] ряд 2 — angn (и)
п=1
с вероятностью 1 имеет сумму, принадлежащую к /Л
Теорема [7.4.1.] остается справедливой, если числа ап и функ-
[7.4.2] ции gn(u) принимают комплексные значения. Так, например, если
то для почти всех t
2*
J \Gt(e™)\pdu<<x> (p>2, i = -|^TT).
о
со
В этой теореме сходимость ряда 2 anz'lrn(f) почти всюду на
п = 1
[0,1] имеет место для всех г таких, что |г|=1.
Мы предоставляем читателю теоретико-вероятностное истол-
истолкование этой теоремы, так же как и аналогично формулируемой
теоремы с функциями [4.7.1] вместо rn(t). Дальнейшие приложе-
приложения к аналитическим функциям можно найти в совместной работе
Р. Пэли и А. Зигмунда;
Функции rn(t) могут служить, между прочим, для того, чтобы
определить вероятность сходимости (или расходимости) ряда, члены
которого рассматриваются со случайными знаками rt. Если же
мы имеем ряд и случайным образом оставляем или отбрасываем
его члены (с равной вероятностью для обоих случаев), то вместо
функций rn(t) нужно использовать функции
0n(O = y + -5-r»W (n=l, 2, ...)•
[7.4 3] Для того чтобы ряд
со
2 anvn{t) A6)
был суммируем методом Чезаро первого порядка на множестве
значений t положительной меры, необходимо и достаточно,
со со
чтобы ряд 2 fl2 сходился, а ряд 2 ап суммировался методом
Я=1 И=1
Я1
Чезаро (С, 1).
2
И=1

ПРИЛОЖЕНИЯ 301
Достаточность получается из представления
со
anvn (t) = I 2 ап -f 4
»=i »=i »=i
и теоремы [4.5.2]. Это представление показывает также, что
00
необходимость сходимости ряда 2 °» Уже влечет необхо-
п = 1
со
димость всего условия. Пусть, поэтому, 2 ап = оо.
п=1
Обозначим через {ап} и {т„} последовательности средних арифме-
со со
тических, соответственно, рядов 2 ап и Sa»rn@- Пусть, далее,
п=1 »=1
{«ь1 и Wk)—Две последовательности индексов, определенные,
соответственно, неравенствами а > 0 и a - <0. Так как беско-
бесконечно много чисел ап отлично от нуля, то по меньшей мере одна
из этих последовательностей бесконечна. Пусть, например, бес-
бесконечна последовательность {%}. Из [5.6.4] (см. также замечание
после [5.7.6]) следует, что
limsupk, (9| = оо
на множестве Е значений t с ш?=1. Положим Б = Е1-\-Е2,
причем
li (t) = -\-oo для
HminfTn (t) = •—оо для
Если теперь Т—множество, на котором ряд A6) (С, ^-сум-
^-суммируем, то хотя бы одно из множеств TEV TE2 имеет положитель-
положительную меру. Обозначим это множество через F. Существует интер-
(Р Р±±\
вал I "г^, —оч~~1» накотором относительная плотность множества г
больше, чем -»-. Если F — зеркальное отображение множества F
относительно центра выбранного интервала, то множество FF
имеет положительную меру. Для каждого t?FF имеем
lim supхп (f) = -\- оо, lim infт„ @ = — оо.
потому что функция rn(t) при данном п нечетна относительно упо-
упомянутого центра. Следовательно, на некоторой части множества Т,

302 лакунарныё ряды
имеющей положительную меру,
lim sup (т„ -f о».) = + со,
что противоречит предположению.
Замечание. Эта теорема и доказательство остаются спра-
справедливыми для всех теплицевских методов суммирования.
[7.4.4] Теорема. Пусть 2 (й« + ^») = °°- ?слм мз тригономет-
Те о р
рического
е м а.
ряда
п
Пусть 2 1
CJO
2j (an cos nb
= i
г 2
+
Ьп
Ьп,
sin
) =
оо.
1
случайным образом *) выбрасывать члены, то остающийся ряд
с вероятностью 1 не будет рядом Фурье.
со
Доказательство. Для почти всех 0 имеем ZjA,,.(&) = оо.
Следовательно, как показывает [7.4.3], для таких & ряд
со
S
к = 1
почти всюду на 0<^^1 не суммируем (С, 1). Но тогда почти
для всех t ряд A7) не суммируем почти всюду в 0<[&<;27г,
так что — для почти всех t — он не будет рядом Фурье отно-
относительно &, что и требовалось доказать.
*) Предполагается, что для каждого члена ряда равновероятны его
выбрасывание и оставление.

ГЛАВА VIII
БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
ПОЛИНОМЫ
Предметом этой главы являются некоторые часто встречающиеся
обобщения понятия ортогональных систем.
§ I. Биортогональные системы
Понятие ортогональности связано с пространством L2: если
мы хотим образовать интеграл от произведения функций, то есте-
естественно предполагать функции сри(О принадлежащими к L2.
Напрашивается следующее обобщение на другие пространства.
Рассмотрим пространство R, систему {хл} элементов этого
пространства и равномощную ей систему {Ua} линейных функ-
функционалов, определенных в R. Мы называем систему {хл, Ua}
биортогональной и нормированной (коротко, биортонормиро- [8.1.1]
ванной), если
(Заметим, что приведенное определение нормированное™ ничего
не говорит о нормах Ua и хл.)
Разложением элемента x?R по биортонормированной системе
{дгя, (/„} называется ряд
а=1
При этом мы неявно предполагаем, что индексы а суть нату-
натуральные числа, т. е. что система {лга} счетна или даже конечна.
Мы покажем теперь:
Если пространство R сепарабельно, то всякая биорто- [8.1.2]
нормированная система не более чем счетна.
Пусть {ха, Ua] биортонормированная система. Допустим, что
||Gа|| = 1, что не ограничивает общности. Но тогда
И доказательство завершается так же, как и в [3.4.1].

304 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
[8.1.3] Легко показать также линейную независимость систем {хп
и ((/„}. Именно, если бы имело место равенство ^L7i-?j=6, то
Uk(b) = икЫ Ьх,) = Т, (k =t 1, 2 /г),
так что ¦уд. == 0 для всех k^n. Так,- же доказывается и вторая
часть.
[8.1.4] Биортонормированная система называется полной, если система
{(/„} полна, иными словами, если в R не существует элемента,
для которого ||jc||>0, но Un(x) = 0 при всех п.
[8.1.5] Если разложение элемента х по полной биортонормирован-
ной системе сильно сходится в R, то его сильная сумма
равна х. Действительно, тогда
1 = 0 (/г = 1,2,3,...),
следовательно,
[8.1.6] Полнота биортонормированной системы не обусловливает
полноты {хп)\ также и наоборот. Пусть, например, {ср„} —
ортонормированная система, полная относительно Z.2; положим
Тогда
г ( 0 для п Ф т,
J п "т I 1 для п = т.
a v
Система {фп@} полна, потому что для /(Оё^-2 из равенств
ь
Г f(t)tyn(t)dt = O («=1,2,3,...)
а
следует
& б
//@ «р! (о л = - / /(о <рп+1 @ л.
а а
Ь
что вместе с равенством lim Г f(t)fn(t)dt=^Q дает
^ = 0 (и—1, 2, 3, ...),

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 305
следовательно, f(t) = Q почти всюду. С другой стороны, система
{/«(О) не полна потому что функция cpt(O ортогональна ко всем
функциям */n(t). Е<;ли выбрать сперва %{t) в качестве хп и принять
ъ
Г уп (t) х (t) dt за и„{х), а затем, наоборот, за хп принять •/„(<).
а
Ь
а за Un(x) — интеграл Гtyn(t)x (t) dt, то биортогональная система
а
[хп, Un) в первом случае будет неполной, а во втором — полной,
тогда как система {хп}, наоборот, полна в первом случае и не полна
во втором.
Минимальные системы. Пусть \хп) — последователь-
последовательность элементов пространства R и X?R— множество таких эле-
элементов х, которые могут быть аппроксимированы линейными
формами от хп; иначе говоря, хо?Х тогда и только тогда, когда
для всякого s > 0 найдутся такой номер п и такие коэффициенты
Ti> 7з 1п> что
72*2— • • • — 7А|1д < s-
Мы говорим тогда, что элемент х0 является достижимым для \хп).
Система \хп} называется минимальной, если отбрасывание [8.1-7]
хотя бы одного элемента х1с вызывает уменьшение множества X.
Это определение является обобщением [2.4.8]. Каждая ортонор-
мированная система минимальна; напротив, система \tn), например,
не является минимальной, как показывает теорема Мюнтца. Конеч-
Конечная система линейно независимых функций всегда минимальна.
Для того чтобы система \хп) была минимальной, необхо- (8'-8]
димо и достаточно, чтобы элемент хк не входил в множе-
множество Хк; при этом Хк означает множество X, соответствующее
системе [хп\ при п Ф k, и это условие должно выполняться для
всех k. Иными словами, никакой элемент хк не должен быть
достижимым для остальных хп.
Необходимость этого условия очевидна, потому что из соот-
соотношения хк?Хк следует достижимость элемента хк для \хпфк\,
следовательно, все элементы х?Х достижимы для [хПфк], так
что Хк = Х. Достаточность также ясна, так какл;;с?Л', но хк?Хк,
а потому множество X уменьшается при отбрасывании элемента хк.
Возвратимся теперь к биортогональным системам. В дальней-
дальнейшем мы будем предполагать, что члены последовательности \хп}
принадлежат пространству Lp (\ ^.р < оо). Тогда последователь-
последовательность линейных функционалов [Un] имеет вид
б
20 Зак. 2542. С. Качмаж и Г Штейнгауэ

306 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
с Уп?^р (соответственно, уп?М). Ясно, каким об/азом можно
обменять местами хп и уп.
Для краткости мы будем такие биортогональкые системы обо-
обозначать через \хп, уп). Таким образом, опреде/ение [8.1.1] озна-
означает не что иное, как
/I 0 для, I ф k,
и разложение A) принимает вид
г
). где сА= U(t)yAt)dt (A=l,2,...).
[8.1.9] Минимальность системы {хп\ необходима и достаточна
для того, чтобы в сопряженном пространстве можно было
найти элементы уп, образующие с заданными хп биортонор-
мированную систему {хп, уп).
Приведенная выше теорема справедлива в общем случае, т. е.
для систем [8.1.1]. Мы ограничимся случаем R=LP A^/7<оо),
т. е. формулировкой, приведенной в [8.1.9]. Доказательство про-
проводится только для случая /?=1, ибо случай р > 1 не требует
никаких существенных изменений.
Необходимость. Если бы, например, элемент х1 был
достижимым для остальных, то мы имели бы
п
Lim zn-= xv где zn = 2jlk xk- C)
n -> со ft = 2
при некоторых коэффициентах ffi. Но тогда в силу B)
Ига Г У, @ zn @ dt = Г х, @ у, @ dt = 1;
П -V СО
а а
с другой стороны, для всех и
Г Ух @ 2га @ dt = 2 Т in) Г Л W** @ ^ = 0.
fr — 2
а ~ а
Достаточность. Докажем существование последователь-
последовательности {.У/ДО} со свойством B). Пусть сначала ft = l. Мы должны
тогда решать проблему моментов
ь
f) dt = u,j D)

ёиортогонализаЦИЯ
30?
с |х1 = 1, |^ = 0 (j = 2, 3, ...). По [1.7.1] для разрешимости
этой задачи достаточно доказать справедливость неравенства
x,(t) dt
для всех конечных числовых систем %v ?2, . . ., |„, где число j
п
не зависит от п. Если мы положим ^^Л — — zn> T0 требуемое
i = 2
неравенство может быть записано так:
Но так как система \хп) минимальна, то найдется число st ;> 0,
которое служит нижней гранью возможных приближений эле-
элемента х1 линейными формами остальных элементов (см. [8.1.8]).
Поэтому равенство D) выполняется при у = —. Таким образом,
существование yx{t) и (тем же путем) всех остальных yk(t)
доказано.
Если функции xn(t) принадлежат к L2, то в силу [3.3.3] для
соотношения х?Х необходимо и достаточно условие
lim
Это приводит к результату:
Если Ап означает определитель Грама (см. [3.1.2]) системы
{хг, х2, . . ., хп), т. е. определитель с элементами
aik = / Xi(t)xk(t)dt
и А(п —алгебраическое дополнение элемента аи в Ап, то харак-
характеристическим свойством минимальности системы {хп} является
существование констант •;¦(*>, не зависящих от п, /=1, 2, ...,
для которых
E)
А
^<7(<) («=1,2,3, ...).
§ 2. Биортогонализация
Если {сри(О}—система из Lp(p~^>\) и функции ср„(О линейно [8.2.1]
независимы между собой, то ее можно путем линейного пре-
преобразования превратить в минимальную систему, так что по [8.1.7]
мы сможем образовать биортонормированную систему. Это
20*

308 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
преобразование может быть проведено подобно процессу Шмидта.
Для этого служит следующая.
[8.2.2] Лемма. Пусть {cpfc} (ft=l, 2 п) — конечная система
линейно независимых функций. Тогда существует такая функ-
функция y(t), что
0 для fc=l, 2, .... /1—1,
1 для k = п.
а. V
Эту лемму можно вывести из [1.7.1], если удастся показать не-
недостижимость функции <рп@ для остальных ср. Но противополож-
противоположное предположение приводит к равенству
"щ Г | ср„ (о — /У (о — -#><ра (о — ... — т^кр^х @1
о
с подходящими $\ Если разделить это выражение на наиболь-
наибольший по абсолютной величине коэффициент ~[Р и обозначить вновь
получающиеся коэффициенты снова через ffi(k=l, 2, ..., п),
то все | -у | будут ограничены (<^ 1). Некоторая последователь-
последовательность {-(ко) содержит бесконечно много единиц. Принцип пре-
предельных точек дает
ь
f I т(Л»@- Л @- • • • -т-^кр»-!@ Ut = о
и
с ¦[¦^''=1, что противоречит линейной независимости; если \^Р\
с самого начала ограничены, то деление излишне.
Проведем теперь построение биортонормированной системы.
Положим -f 1 @== ?i @ и выберем функцию ^i@ сообразно
с условием
ь
а
а в остальном произвольной. Положим, далее,
ъ
*2 @ = *i«Pi @ + «2«Ра @. причем в1 + «!
и определим y2(t) из условий

ЁИОРТОГОНАЛЬНЫБ РАЗЛОЖЕНИЯ
воспользовавшись леммой [8.2.2]. Вообще, положим
хп @ = ?
где
п 6
.1,2,..., «—1), F)
и определим функцию уп (t) из условий
6
t = O (ft=l, 2 /г—
и
J.
G)
(Здесь принято $пФ0, что возможно, ибо для разыскания коэф-
коэффициентов f3ft мы имеем п—1 уравнений с п неизвестными,
однородных относительно {,3ft}.)
Естественно поставить вопрос, можно ли для минимальной
системы {xn(t)} найти более чем одну систему {yn(t)}, образую-
образующую вместе с нею биортонормированную систему.
Ясно, что система {хп} может быть минимальной без того,
чтобы быть полной (каждая неполная ортонормированная система
представляет пример этого). Но в этом случае существует функ-
функция g(t)^0, ортогональная ко всем функциям xn{t). Тогда
вместе с системой {хп, уп) система {хп, yn-\-g) также будет
биортонормированной.
С другой стороны, при полной системе \хп) это явление
невозможно, так как если {хп, уп) и [хп, zn) — две биортонор-
мированные системы, то разность у^ — г^ ортогональна ко всем хп
и, следовательно, равна нулю. Тем не менее, сама биортонорми-
рованная система может оказаться неполной, как явствует из § 1.
Существование полных биортонормированных систем также
очевидно: такой является, например, система [хп, хп), если {хп\—
полная ортонормированная система.
§ 3. Биортогональные разложения
Пусть [хп, уп) — биортонормированная система, xn?Lp,
Уп? Lp A<;/?<оо, /.ОО = Ж). Функции f(t)(zLp соответствует
разложение
b
kxi(t).TaeU = jf(t)yi(t)dt 0=1.2,-...). (8)
i= 1 а

310 БИОРТОГОНАЛЬНЫЁ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Аналогично, функции g(t)?Lp (соответственно, g(t)^M) соот-
соответствует разложение
оо Ь
ffCO—S^iW. где 7}, = Jg(t)Xi{t)dt (i=l, 2, ...)• (9)
Разложение (8) и разложение (9) — в силу [8.1.1], A) и B)—
являются биортогональными разложениями, только в первом
случае разложения производятся по системе {хп, уп], а во вто-
втором— по системе {уп, хп). Если функция f(t) принадлежит одно-
одновременно к W и L.P', то она имеет два разложения. Разложения
(8) и (9) называются взаимно сопряженными Мы называем си-
системы {хп, уп) и \уп, хп) также взаимно сопряженными.
[8 3 1] Если разложение функции f(t)?Lp по биортонормирован-
ной системе [хп, уп) слабо сходится, то ряд
2
il
сходится для каждой функции g(t)(~Lp (соответственно,
p
Действительно, пусть f(t) — слабая сумма ряда (8). Для функции
g(t)(zLp (соответственно, g(t)?M) имеем
b
Г
i
Ъ
Ц *i@ dt=f g(t)J(t) dt,
откуда в силу (8) и (9) следует равенство
со &
[8.3.2] Если разложение каждой функции f(t)?L.P (p > 1) слабо
сходится, то сопряженное разложение для каждой функции
g(t)?Lp будет сильно сходящимся.
Доказательство. Положим
п
—S
1=1
По [8.3.1] и на основании предположений теоремы последова-
последовательность {sn(g}} слабо сходится, так как
6 п
j=l

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 311
Следовательно, в силу [1.6.4] нормы ||s»(g)|Lr имеют не завися-
зависящую от п верхнюю грань. Так как это имеет место для всех
g(t)(zLp , то к последовательности линейных операторов {sn(g)}
можно применить теорему [1.5.1], которая приводит нас к вы-
выводу, что нормы операторов образуют ограниченную последо-
последовательность {^п}- Если число (х больше, чем все \in, то
(»=1. 2. ¦••)• A0)
Если мы обозначим через g(t) слабый предел последовательности
{sn(g)}> то sn(g) = sn(g), ибо
ъ ъ
Ъ = / ?@*i @ dt = lim Гsn@Xi@ dt = чц.
a n^l
Теперь, если бы было известно, что g достижимо для sn(g)
и {сга] была бы соответствующей последовательностью линейных
форм,
п _
°п= 2 ТГ»Л> lim ||^— ап\\ =0,
то можно было бы в A0) заменить g разностью g—ап. Мы имели
бы тогда
\\sn(g—O г
следовательно,
и окончательно
о„||=0, lim||sn(g) — g||=0,
П->оо
что равносильно нашему утверждению.
Но достижимость g(t) можно получить из следующего рассуж-
рассуждения: слабая сходимость влечет предельное соотношение
& ь
lim [sk(f)<f(f)dt=fg<f)<f(f)dt
a a
для всех ср (Q, откуда следует неразрешимость проблемы момен-
моментов
ь ь
9 ff

312
БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
(с ср(^) как неизвестной функцией). Поэтому критерий B5) § 7
гл. I не может удовлетворяться для всех систем {^); следова-
следовательно, для сколь угодно больших чисел -у неравенство
0+ ...
для определенных систем \v \z ?„ должно быть заменено
противоположным
п
1
что, после деления на \%i\, дает нам требуемую достижимость g.
Из [8.3.2] непосредственно следует, что при тех же предпо-
предположениях разложение каждой функции f (t) ? LP(р ~> I) сильно
сходится: следует только заметить, что сопряженное разложение
заведомо слабо сходится, и применить [8.3.2] к сопряженной
биортонормированной системе.
Предельный случай [8.3.2] при р=1 гласит:
[8.3.3] Если разложение (8) для каждой функции f(t)^L слабо
сходится, то сопряженное разложение (9) для каждой функ-
функции g(t)?M почти всюду равномерно ограничено.
Действительно, последовательность {sn(g)) слабо сходится,
следовательно, ||sn||Jir-^a(a не зависит от п) и sup vrai |sn@l <^a-
Наоборот,
[8.3.4] Если разложение (9) для каждой функции g(t)^M почти
всюду равномерно ограничено и система {xn(t)\ полна относи-
относительно М, то разложение (8) функции f(t)^L всегда сильно
сходится к f(t).
Доказательство. Очевидно, что
dt\
г=1
следовательно, по предположению, стоящее слева выражение
ограничено равномерно по п. Но
где rn(f) означает частную сумму ряда (8). Следовательно, по
[1.5.4], нормы ||/"„(/)|] также ограничены константой [*(/) равно-
равномерно по п. Последовательность {/¦„(/)} представляет собой'по-
следовательность линейных операторов. Мы можем применить

ЁЙ0РТ0Г0НАЛЫ1ЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В Z,2
Здесь теорему [1.5.1] (с F = ?¦ = /.), которая дает нам ограни-
ограниченность норм операторов, ||/"п||<|х, причем [х не зависит от п
и /. Поэтому для всех ли/ имеет место неравенство
IM/)lli< Ml/Hi-
Полнота системы {xnj относительно М обусловливает ее замк-
замкнутость относительно L. Таким образом,
п
/ = Lim р„, где р„= 2 $пкхк, A1)
1l*ia к— 1
т. е. Иш ||/—р„||л = 0. Так как ||/•„(/— р„)||л < р\\ /— pjif то
и->оо
lim !|/-w(/) — г„(Рп)|| =0
И>со
и, ввиду равенства /-n(pn) = pn,
что вместе с A1) лает Lim/•„(/) = /.
Из обеих последних теорем следует, что для биортонорми-
рованной системы {хп, уп) с полной относительно М системой [хп]
слабая сходимость разложения (8) для всех функций f(t)?L уже
обеспечивает сильную сходимость для этого класса функций.
Отметим, что некоторые теоремы VI главы о мультиплика-
мультипликаторах соответствующим образом переносятся на биортогональ-
ные системы.
§ 4. Биортогональные разложения в L2
Пусть ^@??2 и yi(t)?L2 для всех i и {xt, уг}—биорто-
нормированная система. Тогда каждая функция f(t)?L2 имеет два
разложения, (8) и (9), потому что можно выбрать g(t)—f(f). Но
со / со \
будет ошибкой предположить, что ряд 2 "$ (или 2 'й) всегда
i=i \ i=l /
сходится. Это не необходимо даже в том случае, когда интеграл
от квадрата функции Xi{t) обладает не зависящей от i верхней
гранью. Именно, мы можем показать, что пример [8.1.6] пред- [8.4.1]
ставляет такую биортонормированную систему, что для не-
некоторой функции /??2 все т){ имеют значения 1.
В самом деле, пусть {ср^} — ортонормированная система, пол-
полная относительно L2, х, = <pt + tpj+1. По [1.7.1] достаточно для

314 БИ0РТ01 ОПАЛЬНЫЙ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
всех п, Ср С2, ¦ • ., ?л установить неравенство
Но
/
@
_ г
<!
<?Л*)У\^+У\^Пн
2 \Т
4=1
а интеграл от квадрата функции лг{@ при всех I равен двум.
Из [8.3.2] видно, что слабая (а тем более сильная) сходимость
всех разложений (8) влечет сильную сходимость сопряженных
разложений, следовательно, обоих разложений.
Если в этом случае обозначить опять через rn (t) и sn (t) част-
частные суммы разложений (8) и (9), а через /(О и g(t), соответ-
соответственно, их сильные суммы, то мы получим
ь
lim Г G@ - гп @) (?@ - sn @) dt = 0,
следовательно,
A2)
Если биортонормированная система и сопряженная с ней система
полны, то можно применить теорему [8.1.5], которая дает
нам усиление A2):
f(t)g(t)dt= 2tai-
В случае f(t) = g(t) получаем аналог соотношения Парсеваля
Г f{t)dt= 2
1 == 1
Системы, удовлетворяющие сделанным выше предположениям,
мы будем называть дважды полными и рассмотрим для таких
систем три предельных соотношения:

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В Z,2 315
6
Г. lim f (f(t)~rn(t)Jdt^0;
п > со J
а
Ь
2°. lim f (g(t) — Sn
n > со
a
3°. lim f
>OO
a
Заметим прежде всего, что каждое из условий 1° и 2° уже
влечет 3°, потому что
ь
f (f(t) — rn
ь ь
= / (/@—/¦» @) ? @ л — / (/@ — /•„ (о) Sn (о л.
а а
Первый интеграл справа стремится к нулю в силу 1°, тогда как
второй равен
п п
Г / @ sn @ dt— Г /¦„ (о sn (о л = S ^i — S ton
т. е. равен нулю. Точно так же соотношение 3° вытекает из 2°.
Напомним, далее, теорему [8.3.2], вследствие которой выпол-
выполнение 1° (соответственно 2°) для всех / (соответственно g)
влечет справедливость 2° (соответственно 1^ для всех g (соот-
(соответственно /).
Но мы можем также из 3° вывести 1° (так же, как и 2°).
Точнее: если 3° удовлетворяется при всех / и всех g, то для
всех / имеет место 1° и для всех g имеет место 2°. В самом
со
деле, наше предположение включает сходимость ряда 2 ^тL и,
тем самым, ограниченность частных сумм этого ряда. Последние
можно записать как
ь
J rn(f; t)g{t)dt.
а
Этот способ записи указывает на зависимость /¦„ от /. Приме-
Применение [1.5.2] показывает, что нормы [| /¦„(/; ОН^а ограничены

316 ВИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
равномерно относительно п, откуда, так же, как и при доказа-
доказательстве [8.3.4], следует неравенство
II/¦»(/; Oilv<pll/llv
только здесь рассматриваемым пространством является /А
В дальнейшем доказательство проводится как прежде и дает 1°.
Из сказанного непосредственно следует:
[8.4.2] Если
п
2 itfi
ограничены для всех fug равномерно отно-
отно1*^1
сительно п, то соответствующая дважды полная биортонор-
мированная система обладает свойствами 1°, 2°, 3 .
Построим теперь следующую дважды полную биортонорми-
рованную систему. Пусть {«р» @)—полная ортонормированная
система. Положим
Xi @ = <Рг @ ~ 9Ш @, Уг @ = 2 <Р* (9 (^ = 1. 2, 3, . . . ).
Л = 1
Легко доказать, что эта система дважды полная. Действительно,
равенства
б
f f(t)Xi(t)dt = O (/=1, 2, 3, ...)
а
приводят к
6 Ь
f f(t) Cp; @ dt = J /@ Cpi+1 © <tf (/=1,2,3,...).
a a
Следовательно, в силу B.6.5]
&
(j=l, 2, 3, ...)¦ О4)
т. е. /@ = 0 почти всюду. С другой стороны, если
ь
f f(t)yi(t)dt — O для всех /, то
так что мы снова приходим к A4) и f(t) = O почти всюду.

БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ia 3l7
Для этой дважды полной биортонормированнои системы [8.4.3]
существуют четыре функции Л@, /2 (t), /3@> Л@> для ко-
которых
а) Г справедливо, 2° справедливо (Д),
Р) Г справедливо, 2° не справедливо (/2),
7) 1° не справедливо, 2° справедливо (/3),
5) 1° не справедливо, 2° не справедливо (/4).
Действительно, пусть /(?)?/Я Коэффициенты ?,-, тL можно
выразить через коэффициенты
как ^ = сх-{-с2 —[- ... +с{, %==с4 — с4_!. Условия 1° и 2°
примут теперь вид:
6 г п п р
A°) ит Г /@— Уед^о+^+хСОУ ^ л = о,
6 p П П -i2
B°) lim Г /@ —yci?i@ + c»+,y?i@ Л=-0.
»>0Oa L w 4tt J
На основании теоремы [3.7.3] отсюда получаются характеристи-
характеристические условия, соответственно, для 1° и 2°:
со
10. 2^ = 0; 20. lim nc) =0.
г = 1 п > со
Теперь мы можем предписать (с;) произвольные значения,
со
учитывая только сходимость ряда 2 с\ ¦ Выберем последователь-
последовательность {с,-} четырьмя различными способами:
со
(<*) I с»+1 К | с„ |, 2 сп = 0.
Здесь условия 10 и 20 выполнены
(р) с, = Ц^ для /^=10*-fl, '^=2 (/г — целое),
2

318 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Здесь условие 10 выполнено, условие же 20—нет, потому что
^ °i=i / log(/ + 1) '
Условие 10 не имеет места, условие 20 выполнено.
(8) с{ = -^ для f=?M0*-|- 1,
ci — j для ё == 10fc —}— 1 .
Здесь не имеет места ни условие 10, ни условие 20.
Во всех четырех примерах {^}(;/2, так что указанные
в [8.4.3] функции действительно существуют.
В случае 8) (и только в этом) можно различать еще два
«подслучая»
\)f(f—rn)(f—sn)dt-+O; 32) «условие Sj) не имеет места».
а
Наш пример C) относится как раз к случаю 32), потому что
ь ь п
f (/ (t) — rn (t)) (/ (t) — sn @) dt = J p @ dt — 2 ЬЪ ==
a a г = 1
следовательно, для нашей последовательности (о) выражение A5)
не может сходиться к нулю, ввиду того, что
Чтобы получить случай \), достаточно в (о) для / = 10^ —j— 1
положить ci = -jg I вместо -Н.
Как уже было замечено, сходимость ряда ^j^j необходима
как для 1°, так и для 2°. Мы приведем здесь и другое условие:
[8.4.4J Для сильной сходимости разложений (8), соответственно (9),
по биортонормированной системе {хп, уп) необходима сходи-

Системы, ортогональные с весом 319
мость, соответственно, последовательностей
п п
i=l4=1 Ъ
п п
г=1Л=1
Именно, мы имеем
п п п Ь
откуда следует одна часть теоремы. Вторая часть доказывается
аналогично.
§ 5. Системы, ортогональные с весом
Система функций {сви (t)), которая при некоторой функции w(t)
обладает свойством
^' Об)
^ для п = т,
дает нам пример биортонормированной системы. Именно, такой
системой является \yn{t), w(f)yn{f)). Можно также положить
фи (t) = У^ (^) з>„ @ и рассматривать (ф„@) как ортонормиро-
ванную систему. Системы функций {<ри@} образуют некоторый
класс, для которого можно подходящим образом определить
замкнутость и полноту (см. [8.7.1], [8.7.2]). Такие системы функ-
функций мы будем называть ортогональными с -весом w(t). (Если [8.5.1]
ввести переменную s равенством
t
w(t)dt = v (t),
то функции ^n(s) = 'on[v-1(s)] образуют обыкновенную ортонор-
мированную систему на отрезке [0, v (/?)}.)

320 ЕИОРТОГОИАЛЫ1ЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Среди систем, ортогональных с весом, особенного внимания
[8.5.2] заслуживают системы полиномов, ортогональных с весом. Так
называют систему полиномов '-fn(t), степень которых всегда
равна индексу п и которые ортогональны с весом w(t) на конеч-
конечном или бесконечном интервале. Число п принимает значения
п = 0, 1, 2, ...
[8.5.3] Для каждой, функции w(t)^>0, интегрируемой на [а, Ь],
существует система полиномов, ортогональных с весом w{t)
на [а, Ь], определенная однозначно с точностью до множите-
множителей ztl.
Доказательство. Равенство A6) с тфп равносильно
теперь условиям
dt = O (k<n; n=l, 2, ...). A7)
Если положить српСО^^^ + я^-'-Ь ••• +а»)> то A7) дает
0> 08)
6
где Xi= Г w^t^dt. Мы имеем систему п уравнений для опре-
а
деления коэффициентов ак (k = 1, 2, ...,«). (В случае бесконеч-
бесконечного интервала существование интегралов Х4 необходимо пред-
предполагать заранее.) Определитель системы A8) есть дискриминант
квадратичной формы относительно {А4},
Ь Гп-1 Т
а М=о -I
i=o j=o
и в силу положительной определенности формы заведомо поло-
положителен. Тем самым система A8) оказывается однозначно разре-
разрешимой относительно ah(k=l, 2, ..., п). Условие нормирован-
ности дает нам- коэффициент а0.
Примеры.
1. Если •да(^)=1, [а, Ь] = [—1, 1], то мы получаем систему
полиномов Лежандра [4.1.1].
1
2. Полагая w(t) — ([—tz)~~* и [а, &] = [—1, 1], приходим
к системе полиномов Чебышева [4.2.1].
3. Вообще, •а>(*) = A+0"~1A—О*' а>0, р > 0,

СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ, ОРТОГОНАЛЬНЫХ С ВЕСОМ 321
[а, Ь] = [—1, 1] дает систему полиномов Якоба
содержащую 1 и 2 как частный случай.
4. Функция w(t)~f-1e-ht, a>0, h > О, [а, *] = [0, оо),
дает полиномы Лагерра [4.8.1].
5. При w(t) = e-M\ /z>0, (а, #) = (— оо, оо) получаем по-
полиномы Эрмита [4.8.4].
6. Для заданной функции w(t) можно получать систему,
ортогональную с весом w(f), другими путями:
а) ортогонализируя процессом Шмидта [3.1.3] систему*
{Yw(t)tk+n} (Л>0 фиксировано, л = 0, 1, ...).
причем получается система
где ф„@ — многочлен степени п (если k — не целое число, то
соответствующая система, ортогональная с весом, не будет систе-
системой полиномов);
Ь) ортогонализируя систему tyw (t) tkn] с kn > 0 и
со
2 -г" == °°' пРичем последнее условие обеспечивает полноту
системы.
§ 6. Свойства полиномов, ортогональных с весом
Рассмотрим выражение
@ = (<+Рп+2) ?»+1 @ + /»W. A9)
где P(t) — полином степени не выше п. Так как в силу A7)
для каждого полинома G (t) степени, меньшей чем k,
(f)dt = 0, B0)
а
то из A9) следует, что
ь
J P(f)Q(t)w(f)dt = O
а
для всех полиномов Q(t), степень которых не превышает п—1.
В силу равенства A7) мы однозначно определяем Р (t) = щп (t).
21 Зак 2542. С. Качмаж и Г. Штевигауэ

322 БИОРТОГОНАЛЬНЫВ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Умножая A9) на w(t)yn(t) и интегрируя, получаем
а
следовательно,
У. :
С другой стороны, умножение на да @ Т/ц 2 (О И интегрирование
дает
ъ
°-п+х = / да @ *?п+2 @ ?»+i @ <#.
а
т. е. х = — а„. Тем самым, мы получаем рекуррентное соотношение
[8.6.1 J «п+1срп+2 @ = {f + Р«+2) ?«+i @ — «Л @ (« = —1,0,1,...)
(где <p-i@ означает тождественный нуль). Справедливо также
тождество Кристоффеля — Дарбу
[8.6.2] Km (t, U) =
i=0
где рт означает коэффициент при tm в полиноме ym(t){pm>Q).
Доказательство. Умножим соотношение [8.6.1] на tnw(t)
и проинтегрируем по [а, Ь). Тогда
б ъ
О = J w (t) cpn+1 (t) /n+1 dt — anfw (t) cpn (t) tn dt.
a a
Так как
то
следовательно,
Cw(t)?n(t)tndt = -}-
J Рп
Pn + i'

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ 323
Таким образом, если умножить [8.6.1] на <?n+i(u)> T0 получим
и, поменяв местами t и и, получим аналогичное соотношение,
вычитание которого из B1) дает
9т 1 С) С — «) = fjf-J (?n+2 (') <P»+i («) — ?«+а («) <Ря+1 @) —
»+1 @ <Р» («) — ?n+i («) 9п ('))¦ B2)
Чтобы доказать [8.6.2], остается теперь только просуммировать
равенства B2) для п = —1, 0, 1, ..., т — 1.
Все нули полиномов yn(t) действительные, простые и ле- [8.6.3]
жат в (а, Ь).
В самом деле, пусть т — число перемен знака функции <р„@
в интервале (а, Ь) и tv t2 tm — соответствующие нули.
Положим
t — tx)(t — t2)...(t — tm) длят>0,
1 для т = 0.
Тогда
ь
' @ ?n (t) G(t)dt ФО, B3)
потому что подынтегральное выражение не меняет знака. Равен-
Равенства B0) и B3) показывают, что степень т полинома G(t)
по меньшей мере равна я, что и требовалось доказать.
§ 7. Полнота и замкнутость
Система полиномов {<?@} называется полной относительно [8.7.1]
1), если из равенств
ь
f w@/@ ?(t)dt^Q (для всех ?(/) 6 {'¦?})
а
и интегрируемости функции \f(t)f w(t) вытекает равенство/@ = 0
почти всюду. Система называется замкнутой (относительно if), [8.7.2]
если для каждой функции f(t) с интегрируемым произведением
\f(t)\pw{t) существует пэследовательность линейных форм
1п @ == ат ср0 @ +¦ a,a'-?i V) + • • • + апп 9п @>
21*

324 БИОРТОГОИАЛЬНЫВ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
для которой
ь
lim fw(t)\f(t)—ln(t)\pdt = O.
„>со^
Неоднократно использованный способ рассуждений позволяет
переходить от полноты относительно I? к замкнутости отно-
относительно Lp/ (—|—;¦— 1). Поэтому достаточно установить
критерий для полноты. Заметим прежде всего, что для полноты
необходимо условие w(t)=^0 почти всюду, потому что в против-
противном случае характеристическая функция множества, определяемого
равенством w(t) = 0, отлична от нуля и ортогональна всем функ-
функциям <рд;(О с весом w{t).
[8.7.3] Пусть (а, Ь) — конечный интервал и w(t)^>0 почти всюду
в (а, Ь). Тогда система {?п@} полиномов, ортогональных на
(а, Ь) с весом w(t), полна относительно L.
ъ
Достаточно из равенств ] w{t)f(f)tkdt — O (k = 0, I, 2, ...)
а
вывести, что f(t) = O почти всюду. Но f(t)w(t)?L и, следова-
следовательно, в силу [3.5.8] w(t)f(t) — Q почти всюду, откуда nf(t) = O
почти всюду, что и требовалось доказать.
Отсюда следует замкнутость системы полиномов, ортогональ-
ортогональной свесом, относительно Lp (р~^ 1). Бесконечный интервал пред-
представляет трудности, поскольку здесь теорема Мюнтца не имеет
места. Мы можем здесь дать только достаточные условия, кото-
которым удовлетворяют, например, полиномы Лагерра и Эрмита.
со
[8.7.4] Пусть v$)= jw(t)\tfdt и \-\~ — =1. Для полноты
— оо
системы {<Рп@} относительно L? (/?> 1) достаточно выпол-
выполнения условий
1 — Г
lim ~ [v (пр1) ]пР' = 0 и \ w (t) dt < оо
П >оо .П J
— оо
Доказательство. Пусть

if)f(t) i* dt
ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ 325
Тогда
< f w(t)\f(t)f dt\ X
' -со '
X ( fw @ | * fk dt] = a [v ip'k)]T'. B4)
* -со '
Предположим, что
со
f w(t)f(t)fidtr=O (k = 0, 1, ...)¦ B5)
— СО
оо
Функция F(u)= j eituw(t) f(t) dt (i = Y^l) существует, так
как
¦(
Покажем, что функция F(и) представляется рядом
со оо
FW^^^W- Г w@^"/@^ B6)
Для этого достаточно доказать, что
t < оо. B7)
»=о L
Но коэффициенты сп при |«|и в ряде B7), в силу B4), обла-
обладают свойством
следовательно, по предположению [8.7.4] lim У | с„| =0, что обес-
И>со
печивает сходимость ряда B6) для всех и. Равенства B5) и B6)
дают теперь тождество F(«) = 0. Если удастся отсюда вывести,
что w(t)f(t) = Q почти всюду, то доказательство будет-
завершено.

326 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Итак, пусть y(t)?L в (—оо, оо). Как мы видели выше,
функция
оо
^^^v{t)dt B8)
существует для всех и. Мы называем эту функцию преобразо-
[8.7.5] ванием Фурье функции <р(*). Мы хотим показать, что из тож-
тождества F(u)==Q вытекает обращение функции y(t) в нуль
почти всюду.
Доказательство [8.7.5]. 1°. Пусть
( 1а—-\t — b\ для |* — &К2а,
ftj,ft@ = | О для \t—b\>2a.
Пусть, далее, функция f(t) интегрируема в каждом конечном
интервале и
ОО
— оо
для всех а, Ь. Тогда /(*) —О почти всюду. Действительно, если
1 для 11\ < a,
О для 11\ >¦ а,
то
— [ h (t—L
du
и равенство B9) переходит в равенство
ь
Т+а
0= \т \ Ha(t*u
ь__
Ь Ь Ь Ь
-тг+а —)-«+« —\-а ¦—ha
2 2 22
J du I* f(t)dt= J J f(u-+-t)dudt. C0)
A_a
Если /(^o) ?= 0, то f(t-\-u) фО на прямой t-\-u — t0. Следова-
Следовательно, если бы f(t) Ф 0 на множестве значений t положительной

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ
327
меры, то f(t-\-u)=f=(\ на плоском множестве положительной пло-
плоской меры. Последнее противоречит тому факту, что двойной
интеграл C0) по любому квадрату плоскости (t, и) равен нулю.
2°. Рассмотрим теперь интегрируемую на (—оо, оо) функцию
Покажем, что ga,b(f) есть преобразование Фурье функции О (и).
В самом деле,
оо
J
л J
_
«2
оо
,2L Г
s|" (^—6) ц
Второй интеграл справа обращается в нуль вследствие того,
что sin(—z) = —'Sinz. Применение формулы
—и
дает
00
ж J
i t — b
~т~ 2
3°. Чтобы доказать [8.7.5], достаточно теперь, по 1°, пока-
показать, что
(см. B8)). Но
J
—оо —оо
оо оо
= I G(u)F(u)du.

328 БИОРТОГОНАЛЬНЫЁ СИСТЕМЫ Й ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
Таким образом, доказательство [8.7.5], а вместе с тем и [8.7.4]
завершено.
Полнота ортогональной системы полиномов на @, оо) дока-
доказывается так же, как в только что доказанной теореме; нужно
только положить w @ = 0 для ?<0. Однако в этом случае воз-
возможно более простое доказательство. Именно, пусть
СО
fw(t)f(t)t*dt = O (ft = 0, 1, ...; w(t)\f(t)\p?L; p>\), C1)
-utw(t)f(t)dt. C2)
о
Интеграл C2) существует: так как для и^О имеем е~ы*С\, то
О00 \Т I °° \У
~w(t)\f(t)\pdt\ Hw(t)dt\ .
Если положить
оо
сп= f w(t)tndt C3)
о
и если
1
— (cnp')npt = о (I), C4)
то
< оо,
п=0
следовательно,
га=О
Предположение C1) дает /7(«) = 0 для всех й>0. С другой
стороны, подстановка е~'==х в C2) дает
1
(О =) F (и) = j t»w (log I)/ (log I) ^.,
0
следовательно, в силу [3.5.8] '«'(logYJ/flog—) — 0 почти всюду,
т. е. /(О —0 почти всюду. Тем самым мы показали:
[8.7.6] Если функция w(t) интегрируема в @, оо) и определенные
равенствами C3) числа сп обладают свойством C4), то си-

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ С ВЕСОМ 329
стема полиномов, ортогональная с весом w(t), будет полной
относительно
Сделанные выше относительно w (t) предположения ни в коем
случае не являются необходимыми. С другой стороны, далеко
не каждой функции w(t), интегрируемой в @, оо), соответствует
полная система полиномов, ортогональных с весом w(t).
§ 8. Разложение по полиномам, ортогональным с весом
Разложением функции f(f) по системе полиномов {<ри@}> I8-8-1!
ортогональной с весом, называется ряд
со b
»=0 а
Ъ
Условие Г w(f)P{f)dt < оо влечет сходимость ряда V "I [8.8.2]
о n=1
Действительно, по определению {<рга@}> как системы полино-
полиномов, ортогональной с весом,
гГ Ь Т
i L *=о J
п
Среди всех полиномов Оп (t) степени п полином 2 ai9i @ дает
1 = 0
f[f(t) — Gn(t)Fw(t)dt
наименьшее значение.
п
Действительно, пусть Ои@==2 Ti?i(9 (Для каждого п) —
»=0
полином, дающий минимум интегралу
/ /@ — 2t*?i@
a L <=0 J
Так же, как и в [2.6.2], можно получить, что у» = а< для всех/.
На основании рассуждений о полноте и замкнутости, приве-
приведенных в § 7, из [8.8.3] для полной системы полиномов, ортого-

330 БИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ
нальной с весом w (t), вытекает, что в предположениях [8.8.2]
Ь г- П -i2
[8.8.4] Hm Г /(9 — У ам (t) w(t)dt = 0.
П->оо " I T^ I
о L »=i J
В тех же предположениях, что и в [8.8.4], справедливо
равенство
ь
[8.8.5] С w (Q/2 (t)dt= J «*•
Сходимость. Частные суммы разложения [8.8.1] можно
представить в виде
П ft П
It \ / ^^\ К \ К \ / I \ A J \ / ^^\ t/t\/ ift\/
Ь
= fw(u)f(u)Kn(t, u)du.
а
Заметим, что для всех t?[a, b]
ь
fw(u)Kn(t, «)d«=l.
а
В самом деле, для /(9=1 имеем а„ = 0 (« > 0) и
ао= f w(u)<fo(u)du.
а
Следовательно,
ь
«о?о (9 == J w («) <Ро («) d« = 1,
а
потому что <р0 (9 = const.
В соответствии с этим
/(9= fw(u)f(t)K»(t. u)du,
а
ь
sn (9 —/(9 = / да (и) [/(в) —/(9] К* С «)
а
следовательно,

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПОЛИНОМАМ, ОРТОГОНАЛЬНЫМ С ВЕСОМ 331
Формула [8.6.2] для ядра Kn(t, и) приводит равенство C5) к виду
sn @-/@ =
= Лп. Г „ (в) [/(в) -/ (Q] *«+i W У <"> ~ *» W
Pn+lJ 1 и
а
а
Если /?га = О (pn+i), то можно установить критерии сходимости,
подобные соответствующим критериям в теории тригонометри-
тригонометрических рядов Фурье. Например:
Неравенства [8.8.6]
с а, не зависящим от п, влекут равенство
lim sn('o)=/('o).
п->-оо
Действительно, выражение
стремится к нулю при п —>• оо, как «-й коэффициент разложения
функции )~/ о) п0 системе {упШ. Эта теорема применима,
скажем, к системе полиномов Лежандра в каждой внутренней
точке интервала (—1, 1).

Р. С. ГУТЕР и П. Л. УЛЬЯНОВ
О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ
В ТЕОРИИ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
(ОБЗОРНАЯ СТАТЬЯ)

§ 1. Полнота и замкнутость ортогональных систем
Дальнейшие работы в этой области велись как в направлении
изучения критериев полноты и замкнутости, так и в направлении
изучения свойств полных или неполных ортогональных систем.
Иная форма критерия [3.7.5] указана индийским математиком
К. Иенгаром. Его доказательство основано на двух леммах,
справедливых для произвольных ортонормированных систем, не-
независимо от их полноты.
1°. Если {<оп} — ортонормированная система функций, опре-
определенных на отрезке [О, 1], и/?12, а последовательность {/„}
сильно сходится к f no метрике L?, то
оо со
lim 2 fl»j» = 2 4>
Я->оор=1 р = 1
где
Доказательство. Рассмотрим разность
о со \2 Г оо -12
,fl»*—Д1 4] == [ Д (апр — ар) {апр+ ар)\
Д
< 21 («»*- V2 p2 (v+V2-
В силу неравенства Бесселя
1
2(«„Р—sJ </V—/„J^,
/•=1 О
1

336 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Далее,
i_ 1
(/ if+fnf dt\2 = If Bf+fn-f)* dt\2 <
\ Г X* f г ^
<{ \{2ffdt\ +< nf—ffdt\ .
I о J lo J
Используя эти оценки, получаем
i
(со co>21 rf1
VI 2 V 2) ^ Г . г .-„.,!!/•
Правая часть неравенства стремится к нулю при п -*¦ оо, откуда
и следует утверждение леммы.
Пусть теперь система {<р„} обладает теми же свойствами, что
и выше.
2°. Если функции /j и /2 таковы, что их ряды по системе {ср,г}
удовлетворяют равенству Парсеваля, то равенство Парсеваля
справедливо также и для функций ft±f2.
п
Действительно, обозначим через sn сумму 2 (Л> ?г) ?г- ^°
1
предположению f (ft — snJdt-+0, и так как
1/'
1
то и fftift —
и
0
Очевидно, что
о
<f-sj<
sn)dt стремится
i
lt-= lim Гf2snd
0
к нулю
оо
1
fifl-
0
при n
[fv ®n)
stfdt,
-*¦ оо. Отсюда
2(л±/2, ?пJ'- 2 (л, ?пJ+2 (Л. ?„J±2 2 (Л. ?») (Л. ?«)•
ji = j я=1 га=1 Ц=\

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 337
Но, с двугой стороны, в силу равенства Парсеваля для fx и /2,
а также щ основании A) эта сумма равна
что и утверждалось. Из доказанного легко получить, что если
равенство Парсеваля имеет место для функций fv /2, . .., /„, то
оно справедливо также для любой их линейной комбинации
a1fl-\-«2/2~Ь • • • ~\~anfn- Приведенные леммы позволяют придать
критерию полноты системы следующий вид:
Для того чтобы ортонормированная система {<?„}, опре- [9.1.1]
деленная на О •< t ^ 1, была полной относительно L2, необ-
необходимо и достаточно, чтобы для всех а?[0, 1] выполнялось
равенство
(
и = 1 \0
Необходимость. Пусть система {срга} полна относительно
пространства L2 и а — произвольная точка отрезка [0, 1]. Для
функции f(x), определенной соотношением
I 1 при 0 <;* <!а,
10 при а<дг<1,
из равенства Парсеваля следует, что
п=1
<P» @ dt
Этим доказана необходимость условия [9.1.1].
Достаточность. Пусть f(x) ? L2 и условие [9.1.1] выпол-
выполнено. Пусть дано число е>0. Выберем такое разбиение отрезка
[О, 1] на взаимно не пересекающиеся интервалы точками О = хо<
< xt < х, < . . . < хп_1 < хп-= 1 и такую ступенчатую функ-
1
цию ft(x), что J (/—/J2 dx<s; при этом ft(x)—Mr для
о
xr-i < х <[xr, где Мг — подходящим образом подобранные по-
постоянные. Далее, определим функцию Fr{x) условием
F (x\J>
rW \0 при jrr<x<l (r = 0, 1, 2, ...)•
22 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейвгауэ

338 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ,
Тогда для функции /6(х) имеем представление
я
/.(*) = 2 Mr{Fr{x) — Fr.l{x)).
Условие [9.1.1] означает справедливость равенства Дарсеваля для
всех функций Fr{x). По лемме 2° равенство Пйрсеваля имеет
место также и для функции ft(x), так что
1 1
>строению функции /е (х) при е->0 имеем Гf\dx-> Г /2 dx,
о о
1
ибо Г (/—/sJ dx ^ s. Пользуясь леммой 1°, отсюда заключаем, что
о
2 (А ?*)* =
К критерию [9.1.1] весьма близок критерий полноты в l.-,
указанный Д. Далцеллом.
[9.1.2] Для того чтобы ортонормированная система {г-в„(х)} была
полной относительно L2 на отрезке [а, Ь], необходимо а
достаточно, чтобы сумма «критического ряда», члены кото-
которого определяются равенствами
ь г- I -.2
An-^-fl \\ 4n{x)dx\ dl A<«<оо),
a L о J
равнялась единице,
00
2^=1-
я=1
Для доказательства [9.1.2] рассмотрим функцию
1 при а<!
О при \ <

Полнота и замкнутость ортогональных Систем 339
Как и пр,и выводе необходимости условия [9.1.1], из критерия
[3.7.5] для полной системы {«>„} получаем равенство
а
сог-6 -.2 со р ? -i2
= 2 /*(*. Z)<?n(x)dx\ =^] /?n(*)dx .
я=1 La J я=1 1_ a J
Так как члены полученного ряда положительны, то возможно
почленное интегрирование по ?, которое дает
ет 6 г Е -.2
= 2 j j <pn(*)rf* rfS,
и=1 a L о -J
так что сумма критического ряда, в случае полноты системы,
равна 1, и необходимость критерия [9.1.2] доказана. Для того
чтобы показать его достаточность, рассмотрим функцию
B)
Из неравенства Бесселя вытекает, что ф(?)^>0. Ряд, стоящий
в правой части равенства B), вследствие положительности его
членов, можно интегрировать почленно по отрезку [а, Ь], что
дает нам
а м=1 а
b
так что, если сумма критического ряда равна 1, то
a
т. е. ф(!) = 0 почти всюду. Последнее доказывает достаточность
критерия [9.1.2].
Для некоторых хорошо известных ортогональных систем под-
подсчет членов критического ряда не представляет никаких затруд-
затруднений. Так, например, для нормированной тригонометрической
системы
_1 cosnx slnnx ,„ , п . . ^ .. ^ v
>
22*

340 о новых результатах в теории ортогональных
критический ряд имеет вид
2 . у (Л
|__!_\_2_|_2 Vi-r
1
я=1
Для тех систем, для которых приведенное определение критиче-
критического ряда дает интегралы, которые трудно оценивать, опре-
определение критического ряда допускает следующую модификацию.
Рассмотрим функцию f(x), непрерывную и отличную от нуля
ь
в а < х < Ъ, причем Г /2 (л:) dx = 1.
а
Определим семейство функций ул (х, ?) равенством
f(x) при (а<д;<?),
7л (*- 5)-\_/(х) при
Тогда члены модифицированного ряда можно определить следую-
следующей формулой:
/(*)?»(*) rf*—
Нетрудно видеть, что проведенные выше рассуждения остаются
в силе и для этого случая, так что для полноты системы {<?„(*)}
относительно L2 необходимо и достаточно, чтобы сумма модифи-
модифицированного критического ряда равнялась 1.
Критерий (9.1.2] был обобщен Р. Грэйвсом, сформулировавшим
более общую теорему.
Пусть p{t) — измеримая функция, для которой множество нулей
и множество точек разрыва имеет жорданову меру нуль. Пусть,
далее, функция p{t) суммируема с квадратом на любом подынтер-
подынтервале (с, х) интервала (а, Ь), причем последний может быть бес-
бесконечным. Если {cpn (jc)} — ортонормированная система на [а, Ь)
и измеримая функция w(x) положительна, конечна почти
х
всюду и для всех с удовлетворяет условию w(x) f \p(f)\2dt?

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 341
a, b), то имеет место неравенство
~ la
f\p(t)\*dt
w (x) dx.
Для того чтобы система {<р„(лг)} была полна относи-
относительно L2, необходимо и достаточно, чтобы в этом соотно-
соотношении имело место равенство.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых свойств полных
систем. Как было показано в [5.1.3], для полной ортонормиро-
оо
ванной системы ряд 2<Рп(*) почти всюду расходится. Однако
рассмотренные необходимые условия полноты не давали возмож-
возможности оценить распределение положительных и отрицательных
значений для функций, образующих ортонормированную систему.
Этот вопрос был решен В. Я. Козловым.
Пусть {<fnix)} — ортонормированная на [0, 1] система функ-
функций из L2. Положим
ср„(х), если ср„(л:)>0,
О, если <р„(х)<0;
Теорема В. Я. Козлова гласит:
оо
Если система функций {tpn(x)} полна, то ряды 2 [?^ (х)]2 [9.1.3]
И = 1
оо
и 2 1?й (хI2 рмходятся почти всюду.
и = 1
Предварительно рассмотрим ряд определений и лемм. Пусть
Р—приведенное совершенное множество на отрезке [0, 1] (т.е.
такое, что всякая его порция имеет положительную меру) и функ-
функция f(x) измерима на Р. Мы говорим, что f(x) имеет Ж-коле-
бание больше е в точке хо?Р, если для всякого г\ > 0 в ?)-окрест-
ности х0 относительно Р *) можно указать множества Р1 и Р%
такие, что
inf f{x)— sup/(.v)>e,
P P
причем mPj > 0 и mP2 > 0. Нетрудно видеть, что множество
таких х0, в которых М-колебание fix) больше или равно е,
будет замкнуто, а множество таких точек х0, в которых Ж-коле-
бание fix) положительно, имеет тип Fa.
*) iQ-окрестностью точки х0 относительно множества мы называем
пересечение этого множества с интервалом \х — \^

342 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Функции, суммируемые с квадратом на Р, можно разбить на
два класса. К первому из них, который мы обозначим М1[Р],
отнесем те функции, для которых множество точек, где Ж-коле-
бание положительно, имеет первую категорию. Те функции, для
которых множество точек с положительным Ж-колебанием будет
второй категории, отнесем к классу Мг[Р\. Множество ограни-
ограниченных функций из Ж2 [Р] обозначим через Мг [Р].
Лемма. Если последовательность {/п(х)} непрерывных на Р
функций сильно сходится на Р (по норме Z.2) кf(x)?M2[P],
то эта последовательность расходится на множестве второй
категории на Р.
Доказательство леммы. Проведем доказательство от
противного. Предположим, что
Lim /„ (*)=/(*) 6 М2 [Р], \f(x) | < N,
>
И->оо
и что точки расходимости последовательности образуют множе-
множество первой категории на Р. Установим следующие свойства
функции f(x) и последовательности {fn(x)}.
1°. Найдутся интервал Ь и число е >• 0 такие, что в каждой
точке порции ЬР функция f(x) имеет Ж-колебание больше е.
Действительно, если бы для любого натурального s множество
точек, где Ж-колебание f(x) не меньше, чем — , было нигде не
плотным, то для функции f(x) множество точек с поло-
положительным Ж-колебанием имело бы первую категорию, т. е.
f(x) относилась бы к классу МХ[Р]. Следовательно, найдется
такое s, что множество точек, где Ж-колебание функции f(x)
не меньше е = —, плотно на некоторой порции Р; но такое
о
множество замкнуто, поэтому оно будет совпадать с этой
порцией.
2°. Для определенного в 1° числа е на интервале § найдется
порция ЬгР, на которой
где п фиксировано, р~^>0 произвольно. В самом деле, все
функции /п (л:) непрерывны на ЬР, и последовательность расходится
только на множестве первой категории. Рассмотрим множества

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 343
Все множества Епр и $пр замкнуты, так что замкнуты и их пере-
пересечения
оо
Множество U — 2 Ьп должно быть первой категории на ЬР.
В противном случае найдется порция Ь'РаЬР, принадлежащая
одному $„. Но на такой порции \fn+p(x) | ^> 2N при любом р > О,
так что функции fn(x) не могут иметь сильного предела f(x),
для которого |/(л;)| < Л/. Таким образом, множество U действи-
действительно имеет первую категорию. Тогда множество R точек,
в которых последовательность {/„(*)} стремится к -f-оо или
к —оо, также будет первой категории, ибо RczU.
Множество Rx точек сходимости {/»(*)} получается из ЬР
удалением точек расходимости и множества R. Так как оба эти
множества имеют первую категорию, то множество Rt — второй
со
категории на ЬР. Далее, из включения Рхс^ Еп-=Е следует,
что и Е — второй категории на ЬР. Поэтому найдется число п
и такая порция ЪХР, целиком принадлежащая множеству Еп, что
для всех х?Ъ{Р при любом р > 0 справедливо неравенство
3°. Порцию 8tP можно выбрать настолько малой, чтобы для
выбранного выше в 2° числа п и любых точек xlt х2^ЬгР
имело место неравенство
о
Для этого достаточно отметить, что на порции ЬгР, определенной
в свойстве 2°, функция fn(x) непрерывна.
4°. На порции 8tP найдутся множества Pt и Р2 такие, что
inf f{x)— sup/(x)>s.
агеЛ х?Р,
Это вытекает из свойства 1°.
Выберем теперь для фиксированного ранее п число р настолько
большим, чтобы
<p mPt и J [/(*)-
j J ± mP2,
Г,

344 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
что возможно, ибо сильная сходимость на Р влечет сильную
сходимость на любой его части. Существуют точки х1?Р1 и
?Pz, в которых
Действительно, если бы таких точек не существовало, то для
всех х из Pi и Р2 мы имели бы \/(х)—/п+р (х)\ >4-, что
противоречило бы неравенствам C).
Перечисленные свойства 1° —-4° ведут к противоречию.
С одной стороны, для выбранных выше точек xv x2 свойство 4°
дает
С другой стороны,
I f(v \ f(v\\<^\f<v\ f (v\\-X-\f (y\ f (y
\J \Л2/ У\Л1/1**-|У \Л2.) Jn + p \лг) | г" \Jn+p \ Л2/ JnV^i
при этом первое и последнее слагаемые не превосходят -? по
неравенству D), второе и четвертое не больше -=- по свойству 2°,
а третье не больше -=¦ по свойству 3°, так что
Полученное противоречие доказывает лемму.
Перейдем теперь'к доказательству теоремы [9.1.3]. Пред-
СО
положим, что ряд 2 [?д С*)]2 сходится на множестве Р положи-
тельной меры. Выберем множество Р±сР такое, что тР1>0,
оо
2 [<р* (я)]2 < Л! для x?Pt и все функции <pn(Jf) непрерывны
на Pv Рассмотрим функцию ф(л;), неотрицательную и нормиро-
нормированную на [0, 1], принадлежащую к L2 на Pt и равную нулю
вне Рх. Оценим коэффициенты Фурье такой функции по системе
). Имеем
1
= / ф w т j (*) ^ + /1 w ?; и ^=к

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 345
Для величины я+ можно получить оценку
= ( f
2
/О Р,
где положено )?п= Г[<р„ (л:)]2dx. Числа \п не зависят от функ-
р,
ции ty(x) и удовлетворяют очевидному условию
оэ
2 X» < MmP] ^ М.
оо
Ряд 2 Х„срп(л;) будет поэтому сходиться в среднем. Но тогда и
оо
ряд 2 Хп®~(л) также сходится в среднем на Рг В самом деле,
>
dx~<C
ill
P, \_k=n
-|Z r»+p -lZ
A p, Lft=n J
p гп+р
n P, L/c=»
»+р п+р гп+р -| п+р /П+р
<2
Отсюда вытекает утверждавшаяся сходимость. Так как ряд
со
2 X (—^р~(^)) знакоположителен, то он сходится почти всюду
п = 1
на Pt. Выберем теперь приведенное совершенное множество Р2с:Р1
положительной меры, на котором
Можно выбрать функцию ф(х) так, чтобы она обладала всеми
перечисленными выше свойствами и, кроме того, принадлежала
еще классу Л!2[Р2]. Теперь мы приходим к противоречию.

346 о новых результатах в теории ортогональных рядов
1
Действительно, ап = Г ф (л:) cpn (x) dx — а^-\- а~, и потому
о
оо оо оо
2 «„?„(*)= 2 WW+ 2 №(*)-+-
П1 П1 »=1
2 «;?+(*)+2 «;?;(*)•
П=1 П1
П=1 П=1
+ ;?
П=1 П=1
Рассмотрим поведение рядов в правой части равенства E). Для
первого из них
оо со со со
2 «я?» (*ху2 («»J+^ 2 [с?» (*I2<4- S х»+тж>
так что этот ряд сходится в каждой точке х ? Р2. Далее,
со со
2 e+(-?;wx 2 ^„(-?;
П = 1 И = 1
(?;w 2
П = 1 И = 1
в силу выбора множества Р2> так что и этот РЯД сходится всюду
на Рг, Для следующего ряда имеем
[оо 2 со оо
2vp+(*) <2(«;J-2[<p+
»=1 J »=1 П=1
Однако
00 со _
•V , -ч, VI Г Г . . _ ... 12
2j \ап ) =
»=1 И=1|^ I »=1
СО
2 Г f
И = 1 I ^
со
так что ряд 2 (айJ сходится, а значит, сходится на Р2 и тре-
ее
тий ряд 2 ай?и (*)¦ Таким образом, из рассматриваемых нами
четырех рядов E) три сходятся в каждой точке х?Р2 к ограни-
со
ченным суммам. Но ряд 2 ап9п(.х) сходится в среднем. Поэтому
и = 1
со
четвертый ряд 2 anfn(x^ сходится в среднем, а так как члены
п = 1
его неотрицательны, то он сходится и почти всюду на Рг.
Так как функция ty(je) ограничена, то, как мы видели выше (см. 2°),
частные суммы последнего ряда не могут стремиться к rt оо на

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 347
со
множестве второй категории, так что ряд 2 anfn(.x) сходится
П = 1
всюду, кроме множества первой категории на Р2.
со
С другой стороны, частные суммы ряда i2jCtn<?n(x) образуют
»=i
последовательность функций, непрерывных на Р2 и сходящихся
в среднем к функции ^{х)^М2\Р2], поэтому в силу доказанной
выше леммы этот ряд должен расходиться на множестве второй
категории на Р2. Таким образом, предположение о сходимости
оо
ряда 2[<Р+(л012 привело нас к противоречию.
Доказанная в [9.1.3] лемма была также использована В. Я. Коз-
Козловым для установления следующего факта (ср. с теоремой [5.6.7]).
Пусть {<?„(#)}—ортонормированная система на [0, 1], [9.1.4]
полная относительно ZA Существует функция f{x) ? L2, для
которой ряд Фурье по системе {уп(х)} расходится на множе-
множестве мощности континуума.
Доказательство. Пусть е > 0 — произвольное число
и последовательность {гп} такова, что з„>0 и
Выберем для каждого я совершенное множество Рпс[0, 1] так,
чтобы функция »п(лг) была непрерывна на Рп и тРи > 1 — е„.
оо
Тогда для множества P=IJPM мера тР > 1—е. Мы
i
можем
считать множество Р приведенным. Это достигается удалением
из Р точек, лежащих на счетном числе интервалов с рациональными
концами, содержащих порции Р меры нуль. На множестве Р все
функции <эп(х) непрерывны. Построим теперь функцию f(x) таким
образом, что f(x)?M2[P] на Р и /(jc) = 0 на СР. Тогда ряд
Фурье f(x) (при /? U) сходится в среднем на Р и, в силу леммы
из [9.1.3], будет расходиться на множестве второй категории на Р,
которое имеет мощность континуума.
Перейдем теперь к рассмотрению неполных систем. В [3.5.3]
показано, что всякая ортонормированная система может быть
расширена до полной путем присоединения надлежаще подобран-
подобранных функций. Оказывается, что ортонормированные системы можно
превращать в полные также путем умножения на определенные
функции. Некоторые достаточные условия, при которых это воз-
возможно, указали Р. Боас и Г. Поллард.
Если {сри(д:)} — ортонормированная система, которая может [9.1.5]
быть сделана полной путем присоединения конечного числа

348 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
функций, то существует измеримая ограниченная функция т{х)
такая, что система {т(х)<эп(х)) является полной относи-
относительно L2.
Доказательство. Предположим сначала, что система {сри (х)}
(я = 1, 2, . ..) может быть пополнена присоединением единст-
единственной функции сроС*)- Не ограничивая общности, можно принять,
что функция фо(х) ортогональна всем функциям системы уп(х)
(«== 1, 2, . . .). В противном случае вместо <?0(jc) можно было бы
рассматривать функцию
Ь
f ?°
(м) du'
где последний ряд сильно сходится в L?. Пусть теперь функция
т (х) измерима, ограничена, не обращается в нуль на [а, Ь\
и обладает тем свойством, что ^Ц-^Z.2. Тогда система {т(х)'фп(х)}
ТП (X)
ТП
(га=1, 2, . . .) оказывается уже полной. Действительно, пусть
для g(x)?L2 и всех я=1, 2, ... имеет место равенство
ь
f
Так как система {^р,г(^)} (п = 0, 1, 2, ...) полна, то из послед-
последнего условия вытекает, что tn(x)g(x) — cyo(x) почти всюду,
где с — некоторая константа. Но если с ф 0, то g{x) = с ?а х' ^ L2,
тп ух)
что противоречит выбору функции т(х). Таким образом, ?•(#) = О
почти всюду. Остается показать, что рассмотренные здесь свой-
свойства функции т(х) не противоречивы, для чего мы построим
функцию т(х) следующим образом. Пусть Е а [а, Ь] — множество
положительной меры, на котором | tto(x)|>> e > 0. Выберем функ-
функцию т(х) так, чтобы она была ограничена и измерима на Е, не
обращалась для х?Е в нуль и чтобы —j-^?L? на Е. Тогда
т. (X)
остается положить т(х)—\ для х?[а, Ь\ — Е, и функция т(х)
с требуемыми свойствами построена.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Пусть {<оп(х)}
(я=1, 2, ...) — ортогональная система и существуют k таких
функций сри(дг) (я = 0, —^ —k-\- 1), что система {<?„(*)}
(п = — k-\~ 1, . . ., —1, 0, 1, 2, .. .) является полной. Как и в пре-
предыдущем случае, можно предположить, что присоединяемые функ-
функции ортогональны первоначальным и ортогональны между собою.
В таком случае достаточно построить функцию т (х) так, чтобы
она была ограничена, измерима и не обращалась в нуль на [а, Ь]

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 349
и чтобы включение
о
(«(*))""'. 2 aj?j(x)?L2
могло иметь место только при а_к+1 — а_ь+2 = ... = a_t = а0 = 0.
В самом деле, если g(x)?L2 и
I сри(д;) rfjc = 0 (и=1, 2, . . .),
о
то почти всюду m(x)g(x)— 2 af?j(x)> так чт0 необходимо
#/ —0 (у' = — к-\~\, ..., 0), откуда следует утверждение [9.1.5].
Для завершения доказательства остается построить функцию т {х).
Воспользуемся методом математической индукции. Пусть ?0 =
~Е \%(х) Ф 0}, ш?'0>0. Построим функцию то(х) так, чтобы
она была ограничена, измерима и не обращалась в нуль на Ео
и^.чтобы ?0 ?\ ^Z.2 на Ео. Вне Ео положим то(х)=1. Пусть
теперь для некоторого числа п, 0 <С п <С k—1, уже определены
множества Еп положительной меры и функции тп(х) такие, что
о
функция (/^(л;))^1 2 й^Лх) принадлежит D- на Еп только
3=-п
в том случае, если все uj равны нулю. Рассмотрим линейную
комбинацию
Из функций — при любых коэффициентах aj к L2 может при-
принадлежать не более чем одна. В противном случае, если —-?Z.2
и —-? L2, их разность не содержит <p_rt_i и тогда принадлеж-
иость этой разности к L2 противоречит индуктивному предпо-
предположению. Если ни одна из функций — не принадлежит Z.2, то
тп
мы полагаем Еп+1 — Еп и mn+l(x) = тп(х). Если же существует
—- ?_ L?, то дальнейшее построение проводится так: рассматри-
рассматриваем Е* = Е {| Ft(x) | > 0}, шБ*>0; уменьшив, в случае надоб-
надобности, множество Е*, лишь бы оно сохраняло положительную
меру, можно предполагать, что либо а) ?*•?„== 0, либо Ь) Е*сЕп.
В случае а) полагаем Еп+1 = Еп-\-Е*; в случае Ь) Еп+1 = Е*.
Определим теперь ограниченную измеримую функцию тп+1(х) 4^.
у? (х\ —
<^тп(х) так, чтобы ^p-f_L2 на Еп+Х, Тогда тп+1(х)

350 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
обладает теми же свойствами, что и тп(х), и включение
(тп+1(х)у1 2 <?&(*)€*."
;)=-»+1
может иметь место только в том случае, если все коэффициенты uj
суть нули. Остается положить m(x)^=mI[_1(x), и доказательство
[9.1.5] будет завершено.
Приведем еще принадлежащие тем же авторам некоторые
результаты отрицательного характера, касающиеся частных систем.
[9.1.6] Система {ezinr} не может быть сделана полной в L{—я, тс)
путем умножения на интегрируемую функцию.
оэ
Система {х п} с Х„ > 0 и Zj=r<C°° не может быть сде-
П = 1
лапа полной ни в каком интервале путем умножения на не-
непрерывную функцию. (Полнота рассматривается относительно L2.)
Рассмотренные в настоящем параграфе результаты относились
до сих пор к ортогональным системам в пространстве L2. Вопро-
Вопросам полноты в пространстве С посвящена одна работа Г. Е. Ши-
Шилова. Установленные им теоремы имеют следующий вид*).
Рассматривается ортонормированная система непрерывных
функций {сри} на отрезке (а, Ь).
[9-1-7] Если для каждой точки to(a < ^0 < Ь) и для каждого 8>0
такого, что а < г'о — 28 </0-j-2o < b, среди линейных комбина-
комбинаций системы {срп} можно выбрать последовательность {4П}, обла-
обладающую свойствами:
1) ф„@>1 на (;„ —5, *0-f-8),
2) ф„@>0 на ft, — 2S, /0+23),
3) tyn(t)->0 равномерно вне (to — 25, fo-f-28),
то система {<?n(f)} полна. Если, кроме того, последовательность
{|Pn@ = tl'n,5(^ ^o)} удовлетворяет еще условиям
4) %,Л*> Го) = К,П"; ' ~
N(n)
5) Ь,ъ«; /o) = 2«*,»
причем N (п) не зависит от 8 и от t0, a ak b(t0) — непрерывная
функция от t0, то система {ср„} замкнута в классе непрерывных функ-
функций, принимающих одинаковое значение на концах отрезка. Для
того чтобы получить замкнутость системы {ср„} относительно всего
пространства С, необходимо еще потребовать, чтобы при неко-
некотором п уп(а) Ф <?п(Ь).
*) Теоремы формулируются в терминах, принятых в настоящей книге.

ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 351
Некоторые свойства неполных систем связаны с лакунарностью.
Рассмотрим ортонормированную на (а, Ь) систему ограничен- [9.1.8]
ных функций (epn(jt)}, обладающую следующими двумя свойст-
свойствами:
п
Г. Для любой функции Sn(x)==^ckfk(x), где ск означают
произвольные действительные числа, и некоторого фиксирован-
фиксированного р > 2 имеет место неравенство
\fc=l
с константой С, не зависящей от Sn (x).
2°. Для любого ?>0 найдется такая последовательность {с*},
что для функций Sn(x) имеет место соотношение
Hmsup- ___ = оо. G)
В этом случае число р называется характеристическим пока-
показателем степени системы {уп(х)}. Если неравенство F) имеет
место для любого р, то мы говорим, что система {сри(^)} имеет
характеристический показатель степени оо.
Введя понятие характеристического показателя степени,
С. Сидон показал, что ортонормированная система {<?п(х)} с ха-
характеристическим показателем степени р обладает следующими
свойствами:
1°. Каждая функция f(x)?L, лежащая в ер-плоскости
(см. [7.3.2]), принадлежит Lp.
оо
A + 1= l), то ]? с\ < оо, где сп =
2°. Если f(x)\
ь
= f f(x)yn(x)dx суть коэффициенты Фурье f{x) no системе
{?„%)}•
3°. Для любых действительных \ck) имеет место неравен-
неравенство
1
Ь п / п \~2
(8)

352 о новых Результатах в теории Ортогональных рядов
Из (8) вытекает, что если 2С|<°°> т0 существует непрерывная
на (а, Ь) функция f(x), для которой {ск} суть коэффициенты
Фурье по {<?„(х)} (см. теорему [7.3.4]).
Для всякой полной ортонормированной системы характеристи-
характеристический показатель степени равен 2. Как показал С. Сидон, из
всякой ортонормированной системы можно выбрать подсистему
с любым характеристическим показателем степени р > 2.
Целый ряд работ посвящен вопросам полноты специальных
[9.1.9] систем. Так, например, изучались арифметически-совершенные
системы, т. е. такие системы, которые вместе с функцией ср (х)
содержат также все функции ср (пх) (л=1, 2, . ..).
§ 2. О сходимости ортогональных рядов
Вопросам сходимости ортогональных рядов за последние годы
посвящено много работ. Мы изложим здесь некоторые результаты
из этой области.
Пусть {<?п(х)} (»=1, 2, .. .) — ортонормированная система
функций на отрезке [а, Ь]. Справедливо следующее утверждение:
[9.2.1] Для всякой ортонормированной системы {cpn(x)} суще-
существует последовательность {%}, зависящая только от си-
системы {ср„(х)} и такая, что частные суммы Sm.(x) ряда
оо
21 **?*(*) A)
ft=l
почти всюду сходятся на [а, Ь\ при т4->-оо, как только
оо
2 Ь\ < оо. B)
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
предположить, что [а, Ь\ = [0, я] (в противном случае доста-
достаточно сделать линейное преобразование отрезка [а, Ь\ в отрезок
[О, я)). Так как чц{х)$_ L2[0, к], то,
СО
ср»- (х) ~ ^ a; cos чх,
где
it те
ао°~Т J ?*Wdx> flvi) = T ) fi(x)cos4xdx (v —1,2, ...),
о о
и при этом
оо
2 И2 < со, C)

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 353
а ряд
2
a<j> cos чх D)
сходится в среднем к функции ср» (•*)*)• Поэтому мы можем для
каждого i найти такое целое число v(i), чтобы выполнялись не-
неравенства
и (г) 12
?* (*) — S 4° cos ** <** <^- (/«=1,2,...) E)
б L Й = 0 J
И
t— \<v(i— l)<v(i) (i*=2, 3,...). F)
По определению,
It К
с?> == i- j cpi (x) djc, eg) «= ? [ cpi (x) cos fcx dx (t, A = 1, 2, ...).
о о G)
Если мы зафиксируем k и будем менять I, то, с точностью до
постоянного множителя, равенства G) дают коэффициенты Фурье
функции cosfex по системе {cpi (л:)}. Поэтому, на основании не-
неравенства Бесселя, получаем
*=i
«1, 2, ...).
В силу (8), мы можем построить возрастающую последователь-
последовательность {пк} (fe = 0, 1, ...) такую, чтобы выполнялось условие
с яо=1. Покажем, что из последовательности {пк} можно вы-
выбрать нужную нам подпоследовательность {т^. Определим по-
последовательность чисел и (г) (/=1, 2, . ..) так, чтобы
и@ = А при «ft<t<«ft+l (Л = 0, 1, ...) A0)
*) Мы говорим, что функциональный ряд сходится в среднем, если
его частные суммы сходятся по метрике L? к некоторой функции из
пространства L2.
23 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейигауз

354 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В fEOPHH ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДоЙ
и и@) = 0. Очевидно, что в силу F) и A0) справедливо нера-
неравенство
v(i)>i>u(i) G=1,2,...). A1)
Далее, выберем из {пк} подпоследовательность {т{} таким обра-
образом, чтобы выполнялось неравенство
«(«i+i)>M«i) (i=*0, 1, ...). mo=l. A2)
Убедимся, что {mf} и есть искомая последовательность. Действи-
Действительно, в силу A1) справедливо тождество
и (г) e(i)
(j>j (X) — 2 а<к' cos А* -)- 2 а^'cos ** +
fc0 fc (i) l
ср. (д) _ 2 ч4cosfex = fi
м- (i3)
Поэтому мы имеем
oo аэ оо оэ
Л *»Ti (*) = ДЗ **?i (*) +• 21 bm (x)+2 *i«pi" W > (i4)
il l il il
где bi — произвольные числа, удовлетворяющие условию B).
Рассмотрим ряд
ПО 4L (% \
^ а?»> cos k
Меняя порядок суммирования и используя неравенство Шварца
и соотношение (9), мы получаем
оо оо и (i) oo оэ
SiMSlePl-s s r^ii^k
i=l ft=0 ft=0 (i)
«(i) > ft
1 1 1 L
со ^ 2 f oo ¦) 2 со f oo ^ 2
I I
)п (СО ^ о СО f CO Л "с
l»=l I ft=oli=n& J
fv ?Fv-L = 2/v 2F
-С | 2u bi ) 2a ф \ 2л bi} i
f. e.
U<» A5)

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 355
и поэтому ряд
1=1
всюду сходится на [0, тс] и в то же время сходится в среднем
на том же сегменте. Это справедливо для любых bit удовлетво-
удовлетворяющих условию B).
оо
Рассмотрим ряд "? b .<?'!'(х). В силу неравенства Шварца
и E), A3)
|2 оо
¦dx.
Ё \bi< (*> 11dx < Ёь* - Ё f wi'
oo oo
т. е. на основании теоремы Лебега ряд
оо
2*i*i"(*) A7)
i = l
абсолютно сходится почти всюду на [0, п]. Ряд A7), очевидно,
также сходится в среднем на [0, тс], если только выполнено нера-
неравенство B).
Теперь рассмотрим ряд
Положим
Ь' —
и
Г 0 при т21
[ bt при т
fbi при ffi2ft.
(О при т
t+i < t <
t2ft < i .
< Щк+2>
^ m2k+l (* =
-" u'
>m2k + V Ol =
A9)
В силу A9) ряд A8) можно представить в виде
Рассмотрим подробнее ряд
00
«—. ¦ f ft
(x). B0)
i=t
23*

356 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Очевидно, что
со со со со
?,bW"{x). B1)
г=1 г=1 г=1 г=:
Так как
4=1 4=1
то ряд
сходится в среднем. В силу ранее сделанных замечаний, также
сходятся в среднем ряды
со со
г=1 * i=l
Отсюда и из B1) следует, что ряд B0) сходится в среднем
к некоторой функции f{x). Пусть ряд
B2)
к =0
является рядом Фурье функции f(x) по системе {cosАд;}. Обо-
Обозначим через Sn(f; x) частную сумму ряда B2). Принимая во вни-
внимание выражение для <f"(x) [см. A3)] и наши предположения
относительно т^ [см. A2)], мы видим, что ряд Фурье B2) полу-
получается из ряда B0) простой перегруппировкой членов. В таком
случае, используя также соотношение A9), легко получаем
от2« + 1 . „ "!2« + 2
2 к1 2 Kl B3)
ft=l k=l
Но из F) и 02) имеем
B4)
В силу известной теоремы Колмогорова (см. книгу А. Зиг-
Зигмунда [3], стр. 250), из неравенств B4) следует, что последова-
последовательность Svrm >х ) (/; х) почти всюду сходится на [0, ir]. Из
равенств же B3) следует, что суммы
2
к=\ ft=l
сходятся почти всюду на [0, ir].

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 357
Аналогичные рассуждения убеждают нас, что суммы
B6)
также почти всюду сходятся на [0, ir]. Из полученных результатов
для сумм B5) и B6) следует, что почти всюду сходится после-
последовательность
2 «М-
k
Обьединяя полученные для рядов A6), A7) и A8) результаты,
на основании равенства A4) заключаем, что {mf} является искомой
последовательностью. Теорема [9.2.1] полностью доказана.
Определение. Система функций {/„(#)} (ге=1> 2,...) [9.2.2]
на отрезке [а, Ь\ называется системой сходимости, если ряд
со
2 ск/к (X)
к=х
сходится почти всюду на [а, Ь], как только
Пользуясь определением [9.2.2], из теоремы [9.2.1] можно полу-
получить следствие:
Из любой ортонормированной на [а, Ь] системы функций [9.2.3]
{?»(#)} можно выбрать бесконечную подсистему сходимости
В самом деле, по теореме [9.2.1] для системы (срп(лг)} можно
найти последовательность {т$} такую, что суммы
сходятся почти всюду на [а, Ь] при i —> оо, как только
№=1
Покажем, что последовательность [уш. (х)\ удовлетворяет требо-
требованиям следствия [9.2.3]. Пусть
*) Утверждение [9.2.3] впервые было доказано Д. Е Меньшовым
без использования теоремы [9.2.1].

358 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Положим
йт. =С4 (/=1, 2, ...),
а„ = 0 при п ф т% (t=l, 2, ...).
со
Очевидно, что "V я^ < оо.
п = 1
со
Теперь применяем к- ряду ^ап4п{х) теорему [9.2.11 и
п = \
получаем, что ряд
почти всюду сходится, т. е. система icp», (х)\ является системой
сходимости, что и требовалось доказать.
Следующая теорема имеет характер, прямо противоположный
теореме [9.2.1].
[9.2.4] Теорема. На отрезке [О, тг] существуют такая орто~
нормированная система функций {уп(х)}, полная в L и огра-
ограниченная в совокупности, и такая функция f(x), принадле-
принадлежащая всем классам Lp@, тс) при 1 ^ р <-г; что суммы
;
, где cft= I f{x)yk{x)dx {k— 1, 2, 3, .. .)
расходятся почти всюду на [0, «), какова бы ни была после-
последовательность ^->-оо.
Доказательство. Положим
/<*)= 2??1Г? для *€Ю, «]. B7)
Мы покажем, что f{x) ?1?(О, тг) для любого р, удовлетворяющего
условию 1<]р<-с-, и что члены ряда B7) можно переставить
местами так, чтобы вновь полученный ряд
4*. B8)
являющийся разложением f(x) по системе {cosfevx} (v= 1, 2, .. .),
имел частные суммы, которые удовлетворяют всем требованиям тео-
теоремы [9.2.4]. Таким образем, системой {<?п(х)} будет система, полу.-

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
ценная путем перестановки системы {cosnx} (я = 0, 1, ...),
т. е. {cos Л,*}, а функция f(x) определяется из равенства B7).
Применяя к ряду B7) преобразование Абеля, мы получаем
п «
1
«cos»*=
о.
B9)
причем последний ряд сходится для всех х?@, и). Так как
„ б| где с = const, C0)
2 ^Г/чЛ] i.i^Li ,
> — ф при ср (Ч 0, -к- и | sin <р | <. | ср | при любом <р, то для
, и) из B9) и C0) следует
г 1
+ 1
п = 1
. C1)
Из C1) непосредственно имеем, что/(;с)? Lp@, тс), где 1^!р<-г.
Теперь найдем нужную нам последовательность номеров
{fev} (v=l, 2,...). Построим сначала последовательность раз-
различных целых положительных чисел п^ таких, чтобы выполнялось
неравенство
л.<8;3 A=1, 2, . . .) C2)
и уравнение
п = ± «i zt и,-
C3)
имело не более одного решения для каждого целого п Ф 0.
Пусть я4 = 1 и я2, «з и& определены и удовлетворяют
нашим требованиям C2) и C3). Определим пк+1 так, чтобы числа
пх, пг, ..., пк, пк+1 удовлетворяли также условиям C2) и C3).
Очевидно, что всех целых положительных чисел {N} и {р} вида
(Л У. т = \, 2, ...,
C4)
ИЛИ
О',У=1, 2 ft) C5)

360 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ П ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОЙ
меньше, чем 4k3-\-2k2-\~k, и тем более меньше, чем 8k3. Поэтому
существует целое положительное число М, отличное от всех
чисел вида C4) и C5), которое меньше S(k-\~\y. Покажем, что
число М можно принять за пк+1. В самом деле, по выбору М,
М < 8 (к + 1)».
С другой стороны, если бы число п Ф 0 допускало два различ-
различных представления с помощью чисел nv п2, . . ., пк, М, то:
или
а) п = rt nt rt ni — ± M ± nif (i, j, /'=1, 2, ..., k),
или
б) п = + М-±:п. = ±М±пи (i, /'=1, . ... &),
Случай а) невозможен, ибо М не есть число вида C4). Анало-
Аналогично, случай б) невозможен, ибо М не есть число вида C5).
Так как {п^ (t= 1,2 k) суть числа вида р [см. C5)], то
в силу выбора число М отлично от всех пх, п2 пк. Таким
образом, мы можем положить яй+1 = М. Последовательность {я4}
определена полностью по индукции. Все остальные положитель-
положительные числа пфпц (/=1, 2, ...) занумеруем в порядке возраста-
возрастания через т,ц (?= 1, 2, . . .).
Из неравенства C2) имеем
--V
i=i i-i
т. е. ряд
со / i\2
г = 1
расходится. Поэтому мы можем найти последовательность
такую, что
2 Uv V > li ('= L 2' • • •). C6)
(/=1, 2, ...). C7)
В самом деле, для этого достаточно в качестве рг взять наи-
наименьшее целое число, для которого
i\2

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 361
Очевидно, что тогда будут выполняться и неравенства C7), ибо
из неравенства
следует неравенство
которое возможно лишь при
Таким образом, последовательность {/>,} определена.
Положим теперь
<р1 (х) = cos re,*, <р2 (х) — cos
== cos
cos Vri*' • • • > ?a+i W = cos пр.
Вообще:
***+*w = cos ****¦ Ьк+к м W =cos
4+*- (**+|-'*)(x) ecos 4+1X) 4+ih-(*^) (x)=cos m^lXt C8)
т. е. последовательность {fev} определяется так:
от3 от*, «рд.4-1. ¦ • • > «i»ft+1. «ft+i. ¦ • • C9)
Покажем, что так построенная система {<?i(x)} удовлетворяет
требованиям теоремы [9.2.4]. Обозначим через
S «m W D0)
1
4=1
ряд Фурье функции f(x) по системе (cpiW}- Очевидно, что он
получается из ряда B7) простой перестановкой членов.
Предположим теперь, что утверждение теоремы [9.2.4] не
верно, т. е. что найдется такая последовательность qi-yco, для
которой частные суммы ряда D0) с номерами qi сходятся на

362 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
множестве А положительной меры. По теореме Егорова мы можем
найти такое множество Ее А, гпЕ>0, что все функции ук(х)
непрерывны на Е, а суммы
2
сходятся равномерно на Е. Поэтому при фиксированном к
!=1, 2, ...) D1)
для любых Яп^-Рк~\-к, где С не зависит от п. С другой сто-
стороны, так как
i=pk+k
= - У и cosxcos.y — ¦2-
то мы можем выбрать к настолько большим, чтобы
cos2щхdx^-j тпЕ при / > рк,
Ё
и, кроме того, на основании C3), чтобы
V cos «jjc cos ttjX dx
i,l=Pj.\-E -I
Пусть теперь.
На основании D4) и C8) для /•>-& имеем
2 (x) = S
i
x—У)},
D2)
D3)
D4)
2
i=pk+k
Поэтому
cos
2
i=k
COSffljX.
(qn~r i \2 I г \2
2 »j 6 cos «i* I dx — J I ^ «4 ?cos ffijX I
dx —
COS
Г- _1
s. 6 cos
dx. D5)

о сходимости Ортогональных рядов
363
Но в силу D2), D3) и неравенства Шварца для двойных рядов
| 2j ni e cos nix \ dx= ^ «i 3 ,| cos.2«jX
1 1
1 "v Г f
H jL J cos"
1 i> j^Pfc+1 Lffi
А так как
e cos tiiX cos
в
I2
jj<r cos ttjX dx
1
2 «n-r
у i ttt. COS j
_i j ^r
>
—
i
D6)
D7)
то легко получаем, что
7»
cos щх
.=^+1
г4 ь cos ffijj
Л^ 6 COS Л|ЛГ
<
<2r
««-»¦
V л4 e cos и4л
2 1^ f \
J
dx\ <4r{ 2j rei3[ • D8)
Ho k фиксировано, а потому, в силу C6), C7) и D4),
D9)
2
г=1
где С — величина, зависящая от k и не зависящая от г. Объеди-
Объединяя D5) — D9) и используя C6), мы получаем, что
>jm?(r'-C)-w2-8(r + lK = jm?.r4-O(r3). E0)

364 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Пусть qn^yco; тогда г->оо и, следовательно,
lim
П?V atfi(x)\ dx = oo. E1)
Равенство E1) противоречит неравенству D1). Поэтому частные
суммы
расходятся почти всюду на @, л) при qi^oo. Но это противо-
противоречит нашему допущению о свойствах последовательности {^} и
множества А. Теорема [9.2.4] доказана.
Таким образом, оказывается (см. [9.2.4]), что, вообще говоря,
не только не существует фиксированной последовательности {щ\
у системы функций {<?»(.*)}, для которой частные суммы Sn (х)
ряда Фурье
сходятся почти всюду при щ -> оо, но возможен случай, когда
нет никакой последовательности {nt}, для которой \Sn (x)\ схо-
сходилась бы на множестве положительной меры *).
Сформулируем еще без доказательства один интересный
результат В. Орлича, который дополняет теоремы [9.2.1] и [9.2.4].
[9.2.5] Существует ортонормированная на отрезке [а, Ь\ система
функций {<?i(x)} такая, что, каков бы ни был конечностроч-
ный метод суммирования Теплица Т, найдется функция f(x)
(зависящая, вообще говоря, от метода), интегрируемая в лю-
любой степени 1^/?<2, ряд Фурье ко:порой
ь
tfi(х), где ci== j f(x)фг(х)dx,
не суммируем методом Т почти всюду на [а, Ь].
Очевидно, что теорема [9.2.5] говорит о невозможности рас-
распространения теоремы [9.2.1] на случай, когда от ряда A)
требуется лишь, чтобы он являлся рядом Фурье функции
f(x)?l/(a, b), где 1</?<2.
Введем теперь несколько определений, которые понадобятся
ниже.
*) Из этого вытекает, что существуют ряды Фурье, которые не
дятся в среднем в V при любом />>0.

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 365
Пусть на отрезке [а, Ь] задана ортонормированная система
функций {уп(х)} (я=1, 2, . . .). Положительную последователь-
последовательность чисел {w(ri)} (л = 1, 2, . . .) мы будем называть множи-
множителем сходимости Вейля системы функций {<?п(х)}, если ряд
со
2 С„Ср„ (X)
сходится почти всюду на [а, Ь], как только
со
2 4да(я)< со.
п = 1
Если же, кроме того, для всякой положительной последова-
последовательности w' (п) со свойством
w' (п) = о (w (я)) при п -*¦ со
найдется такая последовательность чисел [dn], что ряд
расходится почти всюду на [а, Ь], хотя
оо
2 ^w'(п)< оо,
п = Х
то в этом случае последовательность {да (и)} называется точным
множителем сходимости Вейля системы {грп(я)}.
Приведем теперь теорему Д. Е. Меньшова, которая в некотором
смысле дополняет теорему [5.3.5] о множителях сходимости Вейля.
Пусть w{n) — функция целочисленного аргумента п, »[9.2.6]
я = 1, 2, . . ., и w (п) -*¦ со при п -> со. Пусть, кроме того, {<рп (х)}
(/1=1, 2, . . .) — ортонормированная система на отрезке [а, Ь].
Тогда в системе {cp^x), ш2(-*0, • • ¦} можно так изменить поря-
порядок функций, что вновь образованная система {<pVl(-*0. ЧЧ(я), . . .}
будет иметь множителем Вейля w(n), т. е. из соотношения
со
2 c\w (л) < со E2)
1
71 = 1
следует сходимость почти всюду на [а, Ь\ ряда
2 с„<р»Ах). E3)
п = \ п
Доказательство. На основании [9.2.3] у системы {<рп(х)}
существует бесконечная подсистема сходимости ftp,,, (x)\ {тх<С_

366 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИЙ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
< т2 < ...). Пусть t*i> ^2 Н> ••• — возрастающая после-
последовательность всех целых положительных чисел, отличных
от mk(k=\,2, . . .). Так как w(ri) —>оо при п-> оо, то мы можем
определить последовательность целых положительных чисел рх,
р2, ... так, чтобы выполнялись неравенства
2» (я>1). E4)
Определим теперь еще последовательность целых положительных
чисел {v^} равенствами
( тк при Pj<«<Pj+i, где k = n — /,
при n = Pl A=1, 2, ...). E5)
В силу E4) и E5) последовательность {vre} определена для любого
я=1, 2, ...; vn ф vfe при k Ф п и {vn} исчерпывает всю после-
последовательность 1, 2,..., к, ... Покажем, что система {^(х),
<?ta(x), ...} как раз и является искомой.
Пусть выполнено условие E2). Покажем, что ряд E3) схо-
сходится почти всюду на [а, Ь\. Очевидно, что
2 С„<р,п (*) = 2' C«<Pvn (X) + 2" СпЬп (Х)> E6)
где первая сумма берется по всем п, которые отличны
от рк (&= 1, 2, ...), а вторая—по всем n — ph (k—l, 2, . . .),
и обе суммы берутся по возрастающим индексам и.
В силу E5) мы имеем
оо
2' с»ъп(х) = Д 4<f>mft (х), E7)
где Cft = cft+j-, причем j удовлетворяет неравенству р^ < k < р^+1.
Но так как w(n)^-oo при га^-сю, то из E2) следует, что
2 cl < оо. E8)
Неравенство E8) влечет за собой неравенство
оо 2
2 (<*) < оо, E9)
а так как система |«pmft(j<r)} является системой сходимости, то
из E9) получаем, что ряд
со
2 СкЧтк (X)

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 367
сходится почти всюду на [а, Ь]. Таким образом, ряд
почти всюду на [а, Ь\ сходится. Рассмотрим теперь ряд
" п=\ п п
Пусть
оо
2 czlw(n) = A;
тогда
т. е. на основании E4)
с2 <— («= 1, 2, )
Поэтому ряд
n=l
сходится, а так как система {«Р^С*)} ортонормальна, то по тео-
теореме [5.3.5] ряд
сходится почти всюду, т. е. ряд
почти всюду на [а, Ь\ сходится, В силу равенства E6) получаем
окончательно, что ряд
оо
2 СпЬ (X)
сходится почти всюду на [а, Ь]. Теорема [9.2.6] доказана.
В доказанной нами теореме. [9.2.1] последовательность {т^}
может при ?->оо возрастать очень быстро. Возникает вопрос,
можно ли каким-либо способом сделать рост функции тг при
?—»оо как угодно медленным? Ответ на этот вопрос дает сле-
следующая
Теорема. Пусть на отрезке \а, Ь\ задана ортонормиро- [9.2.7]
ванная система функций {<?п(х)} и пусть {рт} (от= 1, 2, ...) —
возрастающая последовательность положительных целых чисел,

368 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
удовлетворяющих условию
-\-co. F0)
Тогда в системе {уп{х)\ можно изменить порядок функций
так, чтобы для вновь полученной системы
{?*(*). ?»,(•*) Ък(х), ...} F1)
суммы
2 спъ (х)
сходились почти всюду на [а, Ь] к конечному пределу при /те —>¦ со,
при условии, что
со
2 с» < со. F2)
п=1
Доказательство. По теореме [9.2.3] мы можем из системы
функций {<рЛ(л;)} выбрать бесконечную подсистему сходимости
{<?тк(х)} (?=1, 2, . . .)c/refc< mk+v Пусть рх, р2, . . ., рк, . . . —
возрастающая последовательность всех целых положительных
чисел, отличных от тк. Можно предположить, что последова-
последовательность {рк} бесконечна, ибо в противном случае система {<?п(х)}
есть система сходимости и теорема [9.2.7] тривиальна. По по-
построению, выбор чисел {тк} и {рк} зависит лишь от системы
{<оп{х)}. Рассмотрим систему функций {<рр (*)} (&=1, 2, ...).
В силу теоремы [9.2.1], мы можем найти такую возрастающую
последовательность целых чисел lk (k=\, 2, ...), что суммы
h
2
й = 1
сходятся почти всюду на [а, Ь] к конечному пределу при /->со
для любых чисел ак, удовлетворяющих условию
оо
2j аЛ < со.
Здесь также последовательность {1к} зависит от системы {срр& (х)},
т. е. в итоге от системы (срп(д;)}. Положим еще /0 = 0. Тогда
очевидно, что
к
'й=2('в—A-i) (ft—1,2,...). F3)
8 = 1

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 369
На основании условия F0) мы можем найти такую возрастающую
последовательность положительных чисел {пк}, что
Очевидно, что тогда
ft 1 Л ft *¦ /
Положим теперь
р'0=*Ъ, р'к=рп _х-\-1к — 1к_х (fc=l, 2, ...). F6)
Из F4), F5) и F6) следует, что
/>*_,</>„ <А, _1 </>*</>„ (* —2, 3, ...) F7)
К -I ft j, j It It,
и
По построению мы видим, что полуинтервалы *) (рп _v p'k\ имеют
длину 1к—1к л и не содержат внутри себя чисел из последова-
последовательности {рт} (т=\, 2, . . .).
Каким же образом надо переставить функции {уп(х)}> чтобы
получить нужную нам систему F1)? Из сказанного выше нетрудно
заключить, что для этого нужно функции <ри(я) с номерами рк
помещать последовательно на места функций <ок(х) с номерами
из полуинтервалов (рп _v p'k\, а остальные функции {<?юк(х)\
в порядке возрастания их номеров разместить на местах с номе-
номерами, отличными от номеров, расположенных в полуинтервалах
(Рп _г Рк\- Докажем, что так образованная система {<pv (x)} будет
гС
удовлетворять требованиям теоремы [9.2:7].
Пусть выполнено условие F2). Покажем, что частные суммы
г=1 *
ряда
S W F9)
(=1
сходятся почти всюду на [а, Ь] к конечному пределу при яг—>оо.
В самом деле, для каждого т однозначно определяется k из
неравенства
«*_i < т < Ч- G0)
*) Мы называем полуинтервалом и обозначаем через (а, р] (или
[а. E)) множество тех л:, для которых а<^х*С$ (или ои^^$)
4 Ззк. 2542. С. Качмаж и Г. ЩтеДнгауз

370 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
В силу F3), F7), G0) и определения последовательности {vre}
легко получаем, что
Рт lk-l Pm-h-1
2 Cfl.t (X) = ^ фр (д) + Д <?m4 (*), G1)
где {с\) и {Cj} — две подпоследовательности из последователь-
последовательности {Cj) и при этом каждое Cj входит только один раз в одну
из последовательностей {crt} или {с"г)\ поэтому
ОО 00 ОО 00
2 (с-J< 2 с) < оо, 2 «J< 2 «5 <
В силу G0) и F4) имеем
к-1
Рт—k-i>h
_1 hi S
т. е.
Рт — 'fc-i—>о0 при т-*оо. G3)
Из G0) следует также, что
k -> оо при т -*¦ оо. G4)
На основании выбора чисел 1к и соотношений G2), G4) получаем,
что суммы
2* «&,(*) G5)
почти всюду сходятся на отрезке [а, Ь\ к конечному пределу при
т->оо. А так как система {ут(х)} есть система сходимости, то
суммы вида
2 <<рм. (х) G6)
также почти всюду сходятся к конечному пределу на отрезке
[а, Ь\ при т -> оо, в силу условий G2) и G3). Из полученных
для сумм G5) и G6) результатов на основании формулы G1)
следует, что частные суммы F8) сходятся почти всюду на отрезке
[а, Ь\ к конечному пределу, что и требовалось доказать.
В § 3 гл. V был поставлен вопрос о том, не будет ли последо-
последовательность {logra} (« = 1, 2, . . .) являться множителем сходи-
сходимости Вейля для любой ограниченной в совокупности ортонорми-

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 371
рованной системы функций {<?к(х)). Исчерпывающий ответ на этот
вопрос дает следующая
Теорема Д. Е. Меньшова. Существует ортонормиро- [9.2.8]
ванная система полиномов {Рп(х)), заданная на некотором
отрезке [а, Ь\, которая ограничена в совокупности на этом
отрезке и обладает следующим свойством'.
Для всякой положительной функции w(n), удовлетворяю-
удовлетворяющей условию
можно определить такие действительные постоянные числа
сп, п = 1, 2, . . ., что ряд
оо
2 СПРП(Х)
п = 1
расходится всюду на [а, Ь\, в то время как ряд
оо
2 clw (га)
сходится *).
Сформулированная нами теорема Меньшова говорит о невоз-
невозможности усиления теоремы [5.3.5] даже для ограниченной в со-
совокупности системы полиномов и о существовании ограниченной
в совокупности системы полиномов {Рп(х)}, которая имеет log2 га
точным множителем Вейля.
Отметим еще, что в теореме Меньшова степени многочленов
Рп(х), вообще говоря, больше п и с возрастанием га очень
быстро растут.
Исходя из теоремы [9.2.8], А. А. Талалян доказал, что спра-
справедлива
Теорема. Если функция w(x) определена при х~^\ и [9.2.9]
1) 0 < W (Xj) <[ W (Хг) для JCj <ЛГ2.
2) lim w(х) = -\~оо, w(х)< log2x при х~^>\,
3) ¦oy(jc) = o(log2J<r) при х^>-\~оо,
4) w(x-\-a) — w(x)^log2(x-\-a) — log2* для всех а>0 и
, то на отрезке [0,1] существует ортонормированная
система функций {срп (лг)} такая, что w(x) будет ее точным
множителем сходимости Вейля.
Доказательство этой теоремы можно найти в цитированной
работе.
Заметим, что до сих пор неизвестно, всякая ли ортонормирован-
ортонормированная система функций имеет точный множитель сходимости Вейля.
*) Доказательство см. в цитированных работах.
24*

372 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Для дальнейшего нам понадобится
Определение. Пусть (<ря0*0} — система измеримых функ-
функций на отрезке [а, Ь\. Тогда ряд
ОО
21 ск<рк(х) (ск— действительные числа)
к = \
называется универсальным, если для всякой измеримой функ-
функции f{x), имеющей в каждой точке отрезка [а, Ь] определенное
значение, конечное или бесконечное, можно найти такую после-
последовательность целых чисел nit что
п.
г
lim 2 cft<pft (*) = /(•*;)
для почти всех х?[а, Ь\.
[9.2.10] Отметим, что Д. Е. Меньшовым получены фундаментальные
результаты об универсальных тригонометрических рядах.
Приведем теперь интересный результат А. А. Талаляна
об универсальных ортогональных рядах. Именно, справедлива
[9.2.11] Теорема*). Пусть {<?п(х)\ (я = 1, 2, . . .) — ортонорми-
рованная полная в L2 система функций на отрезке [а, Ь].
Тогда существует ряд
ОО
S <*?*(*). G7)
который обладает свойствами:
a) lim cft = 0,
k>co
b) для всякой измеримой функции ©(*), имеющей в каждой
точке отрезка [а, Ь] определенное значение, конечное или
бесконечное, можно найти возрастающую последовательность
{пк} такую, что для почти всех х?[а, Ь]
lim Snj.(x) — f(x), где Sn (x) = ^с^(х).
Заметим, что функция f(x) может быть равна -j-oo или
— сю на множестве положительной меры.
Предварительно докажем ряд лемм.
Л е м м а 1. Пусть fn(x) (ft = 1, 2, . . .) — измеримые функ-
функции, конечные почти всюду на отрезке [а, Ь] и такие, что
для всех п
/и
I/и
*) В указанной работе А. А. Талаляна имеются также обобщения
теоремы [9.2.11] для более-общих систем функций {?()}

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 373
где е„ — постоянные и 2 е« < °°- Тогда
га=1
lim /„(*) = О G8)
для почти всех х?[а, Ь\.
Доказательство. Пусть
х)\^вп] и Ео— limsupfn.
«>оо
Известно, что
со оо
ео=П 2е»-
Очевидно, что для любого т.
со
Еос 2 Еп.
п = т
Следовательно,
со со
т^о^С 2 т^п^ 2 еп~*р0 ПРИ т~+оо,
п = »» п-т
т. е. тЕо = 0. Положим Ж = [а, 6] — Е0. Очевидно, что
Ж= lim inf {[а, 6]— Еп} и тУИ = й — а.
п>со
Пусть д:0 ^ Ж, т. е. х0 ^ [а, Ь]—Еп при всех «> мо = гао(д:о).
Тогда i/«(^)i<?n ПРИ всех п~^п0. А это и означает, что ра-
равенство G8) справедливо в точке л:0. А так как тМ = Ь-*-а,
то лемма 1 доказана.
Лемма 2. Для любой измеримой функции f(x), прини- [9.2.12]
мающей в каждой точке отрезка [а, Ь\ определенное значение,
конечное или бесконечное, можно найти последовательность-
различных алгебраических полиномов
tzx{x), ъг(х), . . ., ък{х), . . .,
имеющих рациональные коэффициенты и таких, что
lim ufci
k >oo
для почти всех х?[а, Ь]*).
lim **(*) — /(*) G9)
') Лемма 2 была сформулирована и доказана в одной работе Д- Е Мень-
Меньшова

3?4 о новых Результатах в теории ортогональных рядов
Доказательство. Пусть
( /(*) при |/(*)|<я,
/п(*)=И п ПРИ f(x)>n<
\ —п при /(л;)< — п.
Очевидно, что fn(x) измерима, ограничена и
lim /n(x) = /(*) при х?[а, Ь\. (80)
П-Уоо
В силу С-свойства Лузина (см. [1.2.1]), для каждой функции
fn(x) можно найти функцию tn(x), непрерывную на [а, Ь] и
такую, что
т?{|/п(х)-т„(х)|ф0}<1. (81)
Пусть, далее, ¦к1(х)^0. Предположим, что полиномы irt (л),
¦к2(х), . . ., т:п^1(х) определены. Для функции т„(х) в силу тео-
теоремы Вейерштрасса (см. [1.2.2]) мы можем найти полином %(*)
такой, что
a) коэффициенты пп (х) рациональны,
b) ura(x) отличен от всех тс4(х) (г = 1, 2, .. ., п — 1), (82)
р Для всех х?[а, Ь].
Таким образом, последовательность полиномов полностью опре-
определяется по индукции. Покажем, что это и есть искомая после-
последовательность полиномов.
В самом деле, из (81) и (82) вытекает
СО
А так как ряд V — сходится, то на основании леммы 1 для
п = 1
почти всех х?[а, Ь\ справедливо равенство
lim \fn(x) — те„
т. е. lim теп(л:)= lim fn(x) = f(x) для почти всех х?[а, Ь]
п ¦> оо и ->¦ оо
(см. (80)). Что и требовалось доказать.
[9.2.13.] Лемма 3. Пусть на отрезке Д = [а, Ь] заданы функции
%(х), <|>i(*)> .... <1>»(х), которые принадлежат простран-

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 375
ству L2 (а, Ь). Тогда для любых положительных т\ и Ь < 1
можно найти функцию f(x)?L2(a, b) такую, что
-a), (83)
f/2(*)<**<4- \$(x)dx, (84)
А Д
I/ % (x) ф* (*) rfx — J /(x) фк (л) dx
I д д
<tj (Л=,1, 2, ..., я). (85)
Доказательство, а) Если фо(я) = О-для почти всех
*?[а> AJ, то можно взять /(х)==0.
b) Пусть теперь фо(х)=/=О на множестве положительной меры.
Разделим интервал Д на s равных интервалов Др Д2 Д8 и
положим
1>i8) М = ¦— J «W @ rff для х 6 Д*. (86)
где й=1, 2, ..., s; j = 0, I, 2, ..., и, а |ДЙ| — мера (длина)
интервала Дй. Известно, что
Нш /[ф^С*) —4>iW]2d* = O (/ = 0,1 п) (87)
д
(см. конец § 2 гл. I). А так как
<W — toti = Фо8) [ф|8) — Ф*1 + Ь 1фо8> — фо1 (/=1,2 и),
то из (87) и неравенства Шварца следует, что
lim Г$>(х)ф?»(х)dx= {%(х)*ti(x)dx (i = 1, 2, ..., и). (88)
Равенства (87) и (88) показывают, что s можно выбрать настолько
большим, что
f \№ (х) — Ь (*)]* dx < "X" , ! (/ = 1, 2, . . ., я). (89)
д J ¦?(*)<**
J ф?' (^) ф!10 W ^ — J
f (/=1, 2 и).

376 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Пусть, далее, Ьк — интервал длины 8|Д4|, центр которого совпа-
совпадает с центром интервала Aft. Положим
/(*) =
dx при х ? 3ft (/г=1,2 s),
(91)
о
при
ft=i
Покажем, что функция /(л;) удовлетворяет требованиям (83)—(85).
В самом деле, в силу (91) имеем
|=»а|Д| = 80 — a),
т. е. функция f(x) удовлетворяет неравенству (83).
Далее, в силу (91) и неравенства Шварца
| Я (*) dx - 21 [ (тгЬ" J Фо (ДГ) dX)Z dX ^
ft = l Д,,
т. е. функция f(x) удовлетворяет неравенству (84).
Проверим теперь справедливость неравенства (85). Очевидно,
что из определения функций $\х) и f(x) вытекает соотношение
f f (x) ^S)
dx =
*=i дл д\

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
377
т. е.
№ (х) dx=f $> (х) $> (x)dx (i = 1, 2, . . ., «).
Поэтому в силу (90)
J / (*) ф? > (х) dx -i. J % (х) ф, (д) dx
<4 (/=1, 2, .... я). (92)
С .другой стороны, на основании (89), неравенства Шварца и до-
доказанного свойства (84), получаем
J / (*) ф?> (х) dx — jf (x) ф, (х) rfx
P (x) dx
д / \д
-1
2 '
т. е.
;| (/=1, 2, ..., n). (93)
Поэтому для l=\, 2, ..., n имеем (см. (92) и (93))
f ф0 (л) ф1 (*) dx — ff (х) ф, (дг) tf x <
А А
/ фо (*) Ь (х) dx — ff (х) ф?» (х) rfx
Л А
/ (*) ф?> (х) dx — f f{x) ф, (*) rfx
Стало быть, неравенство (85) для функции f(x) выполняется.
Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Пусть {<?п(х)} — ортонормированная система
функций на отрезке [а, Ь\ и пусть F(x)?L2(a, b). Тогда для

О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
любого в > О можно найти функцию f(x) ? L2(a, b) такую, что
Ь — а), (94)
е для всех k— 1, 2, ...
(95)
v v
f F (х) 9k (x) dx — ff (x) <?k (x) dx
Доказательство. Не ограничивая общности, можно пред-
предположить, что е< 1. Разобьем интервал (а, Ь) на т интервалов
Др Д2, .. ., Дот так, чтобы выполнялись неравенства
J/«(x)rfx<-g- (i=l, 2, .... т). (96)
Функцию f(x) будем строить на интервалах А,- последовательно,
т. е. сначала на Д1( потом на Д2 и т. д.
Положим п1=1, 7) = -^-, 8 = е. На основании леммы 3 мы
можем на отрезке Дх определить функцию /х (х) ? Z.2 (Дх) так, чтобы
a) тЯ {/х (х)фО) -^s| Дх |,
b) /? (x) dx < - F2 (x) dx,
С)
•(*)?*(*)</*—J/i I
^- для
Возьмем теперь пг > rtt настолько большим, что
' -щ при всех k^-n2. Далее,
Положим /х(х) = 0 при х^Дх. Пусть у нас уже определены
функции Д (х), /2 (х) /{-1 (х) и числа ftt < rt2 < ... < «j_i. где
2-^.i ^.m, fj(x)? L2(Др и fj(x) = 0 при х? Д^ (у = 1, 2, ..., i— 1).
Так как функции F(х), Л(х), ..., /j_t(x) принадлежат про-
пространству L2(at b), то найдется такой номер щ~> ni_v что
J'
при /г>- rt4. (97)

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
В силу леммы 3 мы можем определить на отрезке
функцию fi(x), что
е|/Ц|.
379
такую
(98)
(99)
JF(x)<?k(x)dx—jfi
~
при Л<я,. A00)
Далее, положим /4(jc) = O при Л/^Д». Таким образом мы после-
последовательно определим функции fi(x), f2(x) fm(x)- Положим
и покажем, что функция f(x) удовлетворяет неравенствам (94)
и (95).
Очевидно, что
т
тЕ {f(x)ф0} < 2
<i
т
< 2 «I ^ I = е (й — а),
i
т. е. функция /(л;) удовлетворяет неравенству (94).
Далее, на основании (96), (99) и A01), имеем
±- J
?. A02)
"i at ai
Поэтому, используя неравенство Шварца, получаем
F(x)yk(x)dx —

i=c
iZ
иэвьХь-ou '(€0l) И (OOl) '(Z6) иинбяоюо вн '(SOl) вяюнэавс! ей
•эоизвлвю зояс!зи хэХахэ
-хХэхо (SOT) ввлэнэавс! ихэвь {joaBdu а з = ? ис^и Olh '
(goi)
охь '
(eoi)
x) 4 (x) / J — xp (x) «4 (*) j J
'(и/ ''"" 'fi *3 = ?) Jw
>
ояхэнэав«3
¦э -x
l-ш , .. ._
>
(af) «4
Q 9
oih 'хэвиэияа (goi) и (Z6) axoH3aBd9H ей он
•w ••• 'z Ч—i У- 'z '\=У
f>
xp (x) 4 (x) f\—xp (x) «*> (x) J |*
•3 -X
XNH4ifVHOjoxdo ииаоах я xvxvxqifxead хнаон о Q8S

О СХОДИМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
381
т. е.
— ff (х) 9к (х) dx
< s при k < nm. A06)
Объединяя A04) и A06), получим (95). Что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть {cpn(x)j — полная ортонормированная
система функций на отрезке [а, Ь]. Тогда для всякой функции
F (x)? L2(a, b) и любых ч\ > 0 и п можно найти такую функцию
N
(l'n, n(x) = 2 акУк(х) (г^е ак—постоянные и 0 < п < N < сю),
к=п+1
что
для k = n-\-l, n~{-2, ..., N,
b) mE{\F(x) — Фп^(х)\>У1}<г1,
Доказательство. Так как <pk(x)?L2(a, b) и п—-фикси-
п—-фиксированное число, то найдется б > 0 (s < i\) такое, что
m,
A07)
В силу леммы 4 мы можем найти такую функцию f(x)? I? (a, b),
что
тЕ{/(х)фО) <
ь ь
/ F (х) ик(х) dx— ff(x)n(x)dx
t-g, A08)
<e (ft=l, 2, ...). A09)
Пусть ф (x) = F (x)—f(x). Очевидно, что ф (x) g Z.2 (a, b). Если
au= Г())(д:)срЛ(л:)йл:, то в силу A09) имеем
|аЛ|<г при 4=1, 2, ... (ПО)
Так как система функций {уъ(х)} полна на [а, Ь], то ряд
оо
]?«*?*(*) (in)
сходится в среднем (L2) к функции ty(x). Но тогда ряд A11)
сходится и по мере к функции ty(x), т. е. мы можем найти такое
N > п, что
тЕ\ ф(*)— У,аь<?к(х) >^-><4. (П2)

382 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Покажем, что функция
) = Фп, n(x)
N
удовлетворяет неравенствам а) и Ь).
В самом деле, в силу A12), A08), A10) и A07), получаем
N
F(x)—
> 1 =
\ (
}<m?(
mE{\
ф(*)-
w
ft = l
ft=l
I ft=l J
т. е. неравенство b) справедливо.
Справедливость же неравенства а) непосредственно вытекает
из A10), если учесть, что е < i\. Что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы [9.2.11]. Пусть Р1(х),
Р2{х) Pk(x)> • • • —последовательность всех различных поли-
полиномов с рациональными коэффициентами, а {ек}—последователь-
{ек}—последовательность действительных чисел таких, что
00
Si>e2> • •• >0 и 2е*<°о. A13)
В силу следствия к лемме 4 для системы {ук(х)}, функции
Pi(x) и чисел 11 = 6!, и = 0 мы можем найти функцию
±
такую, что
I 4°| < ei
тЕ {| Рг (х) — Фо, п, (х) |
Пусть у нас уже определены функции
et}

О схоДиМойти ортогональный рядов
ЗбЗ
где
В силу следствия к лемме 4 мы можем определить функцию
= 2 ag
k
так, что
A15)
«+l •(*)- 2
- 2 *?»?*(*
2 «jft.w - 2 ag
Таким образом мы определим последовательность функций A14)
для всех / = 0, 1, ...
Покажем теперь, что ряд
2
А ^^ 1
где
при
A17)
является искомым универсальным рядом.
В самом деле, из A15) и A17) вытекает, что
inn ск--
к > с»
= 0.
Пусть теперь/(х) — произвольная измеримая функция, принимаю-
принимающая в каждой точке отрезка [a, b\ определенное значение, конеч*
ное или бесконечное. По. лемме 2 существует подпоследователь-
подпоследовательность полиномов Pi (x) такая, что для почти всех х?[а, Ь\
lim P< (*)=/(*).
ОТ •> с»
Но из A16) и A17) вытекает, что
A18)
оо
Так как (ем. (ИЗ)) 2 е»т< °°< "?° в СИЛУ леммы 1
"* fc = l
lim
т •> оо
= 0

384 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
для почти всех х?[а, Ь\. Следовательно (см. A18)),
1т
т •> оо к ь 1
для почти всех х?\а, Ь]. Теорема [9.2.11] доказана.
[9.2.14] Следствие. Пусть {?„(#)} (я —1, 2, ...) — полная орто-
нормированная система функций на отрезке [а, Ь\. Тогда
существует ряд
2№() A19)
/(=1
такой, что
a) Iim cft = 0,
к >оо
b) «е все cft равны нулю,
c) существует бесконечная последовательность целых чисел
[щ], для которой
для почти всех х?[а, Ь].
Это утверждение непосредственно вытекает из теоремы [9.2.11],
Только что сформулированное следствие было доказано Ж. Мар-
цинкевичем без требования а). Он же доказал существование
ряда A19), удовлетворяющего требованиям а), Ь) и с), при усло-
условии, что [cpfc(х)К М < оо при k= 1, 2, . . . и всех х? [а, Ь\,'
где М — постоянная.
Теперь мы перейдем к следующему вопросу:
Если функция f(x)?L2(a, b) обладает достаточно хорошими
дифференциальными свойствами на отрезке [a, b\, a {yn{x)} — неко-
некоторая ортонормированная полная в L2 система функций на отрезке
[а, Ь], то обязан ли ряд Фурье
Гf(x)yk(x)dx, A20)
J
сходиться почти всюду на отрезке [а, Ь] или на множестве Е с: [а, Ь\
положительной меры к функции /(х)?
Ответ на это дает следующая
[9.2 15] Теорема. Какова бы ни была не эквивалентная нулю
функция f(x)?L2(a,b), можно найти такую полную op.no-
нормированную систему функций [уп(х)}, Определенных на [а, Ь\,
что ряд A20) расходится почти всюду на [а, Ь\>
Впервые эта теорема в более общей форме была доказана
С. Банахом. Позднее она была также передоказана А. А. Тала-
ляном.

БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 385
Поэтому еще более интересным становится следующее утвер-
утверждение.
Теорема А. А. Талаляна. Если {<?п(х)}— ортонорми- [9.2.16]
рованная полная в I? система функций на отрезке [a, b\, a
f(x)— произвольная измеримая функция, принимающая в каж-
каждой точке отрезка [а, Ь\ определенное значение, конечное ила
бесконечное, то можно найти ряд
^j ckyk(x) (ck — действительные постоянные),
который сходится по мере к функции f(x) и при этом
lim cfc = 0.
k •> оо
Это утверждение для тригонометрической системы функций
было впервые доказано Д. Е. Меньшовым.
Заметим, что в сформулированной теореме функция f(x) может
равняться -\- оо или —оо на множестве положительной меры.
§ 3. Безусловная сходимость рядов по ортогональным
многочленам
Пусть интегрируемая функция т(х)>0 определена на конеч-
конечном отрезке [а, Ь\. По теореме [8.5.3] существует система поли-
полиномов {Рп(х)} (я = 0, 1, ....), определенная на [а, Ь], ортонорми-
рованная с весом х(х), полная относительно L (см. [8.7.3]) и
замкнутая, например, относительно L2 (см. [8.8.4] — [8.8.5]). При
этом степень полинома Рп(х) равна п. Для таких систем поли-
полиномов справедлива следующая
Теорема. Если функция f(x) такова, что для любых [9.3.1]
точек xt и х2 из опрезка [а, Ь\ справедливо неравенство
/(*!)!<.,, ^,.1+. *> О)
1 log I х2 — хх \ |
для некоторого е>0, то ряд Фурье функции f(x),
GO Ь
V CjcPk (x), где ck= f f{x) т (x) Pk (x) dx (k = 0, 1, 2, . . .), B)
fc = l a
почти всюду сходится на [а, Ь] при любом порядке членов.
*) Через Аь А%, ... в настоящем параграфе мы будем обозначать
положительные постоянные, а логарифм будем брать по основанию 2
25 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

386 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Доказательство. Покажем, что справедливо неравенство
со
2 cl Iog2+S? < оо. C)
В самом деле, легко проверить, что
к
,,., ^ . V4 log +'п ,, . п . .
log й -% лг ? ^ (« = 1, ^, . . .). D)
п = 1
На основании D) имеем
со со к
V1 r2 lfjp-2+s h <-¦ А V f2 V lOg1+8/Z /c\
k=l ft=l n=i П
Изменяя порядок суммирования и используя замкнутость си-
системы {Pic(x)}, из D) и E) мы получаем, что
П=1
т (*) /(*)- S с,Р, (х) dx. F)
L J
j
n=l a L ft=o
"|2
dx.
J
Пусть Qre(x) —полином наилучшего приближения функции f{x)
на отрезке [a, b\. Тогда в силу известной теоремы Джексона
(см., например, книгу И. П. Натансона [98], стр. 161) и усло-
условия A) справедливо неравенство
max [f(x)~Qn(x)\<n A' (« = 2,3,...). G)
ею 6| (iogn)lTS
Но так как интеграл
6
Г х-УсР *I
L А-=о J
является наименьшим среди всех интегралов вида
ь
Iх1
а

БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЛДОЗ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 387
где Тп_х(х) — произвольный полином степени не выше га— 1
(см. [8.8.3]), то из неравенств F) и G) получаем
со ей * Г П-1 "I2
•"* < А2 2" l°gn '" J *(*) f(x)- ]>] скРк(х) dx <
L ft = O -I
a
» = 2
из
x (x) dx =
5 a
a
= A4J х(дс)^^ д|08х+.я <со. (8)
n = 2
Неравенство (З) доказано.
Выберем теперь число р так, чтобы выполнялось неравенство
N>1- (9)
Положим далее
w(n) = (\ogny (га=1,2,...) и «ft = 2ftP (&=1, 2, ...)• (Ю)
Убедимся, что последовательности {«((л)} и {«fc} удовлетворяют
требованию теоремы [5.4.1]. Очевидно, что
lim да (п) = со и да (га) < да(я-}- 1). A1)
И •> QO
Замечая, что w(nk) — №, в силу (9) имеем
А так как \ognk= k9, то
3 A3)
Объединяя соотношения C), A0) — A3), получаем, что все усло-
условия теоремы [5.4.1] для ряда
Цск[Рк(х)УТ(Г)] A4)
fc=0
выполнены, ибо система функций {Pjc(x)Yx(x)} ортонормиро-
вана на отрезке [a, b\. Поэтому ряд A4) сходится почти всюду
25*

388 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
на [а, Ь\ при любом порядке членов, так как т(х)>0 для всех
х?[а, Ь], то из сходимости в некоторой точке ряда A4) следует
сходимость в той же точке ряда B), что и требовалось доказать.
[9.3.2] Следствие. Если функция f(x) удовлетворяет на отрезке
[а, Ь\ условию Липшица порядка а>0, то ряд Фурье B) функ-
функции f(x) сходится почти всюду на [а, Ь] при любом порядке
членов.
Утверждение непосредственно следует из теоремы [9.3.1].
[9,3.3] Теорема. Если функция f(x) имеет ограниченное изме-
изменение на отрезке [а, Ь\ и
А при x?la,b], A5)
<()<7 \
У (Ь — х) (х — а)
то для любого е > О
со со
2 |СА.|1 + !<ОО, 24ft1"8 < СО, A6)
где ск определяются по формулам из B).
Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем
предположить, что [а, ?] = [—1, 1] (если это не так, то сле-
следует лишь сделать линейное преобразование отрезка [а, Ь\ в отре-
отрезок [— 1, 1]). В этом случае условие A5) принимает следующий вид:
0<т(х)<^^=1- при *?[_1. П. A7)
Предположим далее, что функция f{x) возрастает на отрезке
I—1, 1]. (Очевидно, что это также не ограничивает общности
нашей теоремы, ибо любая функция с ограниченным изменением
представляется в виде разности двух возрастающих функций,
а для произвольных чисел а и р справедливо неравенство
1а + Р|1+1<2'(|а|1+'4-|РГ') при е > 0).
Докажем первое неравенство A6). Рассмотрим случай 0<е<1.
Так как оо оо fc
k=l ft=l n=l
то, изменяя порядок суммирования и применяя неравенство Гёль-
2
дера для р = г—— , мы получаем
n=lk=n
1+1 1-8
<Лв2«" 2 V ' (!9)
1-е i
J n = l

БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ПО ОРТОГОНАЛЬНЫМ МНОГОЧЛЕНАМ 389
где
со. 1
Kn=^cl = fz(x) [f{x) — 5Я _! (х) ]* dx
ft-n -1
и
п- 1
s»-i(*) = ХсЛ(х)
ft-о
(см. § 8 гл. VIII). Покажем, что
Я«<47 («=1,2,...). B0)
Пусть
со 1
$^Tk(x)dx, Л-1, 2. 3....
). где bk~
есть рят, Фурье функции f(x) по полиномам Чебышева
Тк(х)—у —cos /г (arc cos x)
(см. гл. IV). Так же, как и в теореме [9.3.1],
1 1
/ [ ;]2 dx,
B1)
где
В силу A7), B1) и замкнутости системы полиномов Чебышева,
получаем
1 со
f I V< 1.9
г) у" л I [f /v\ с* f\*\12 /jу ...... А 7 0 /90\
Г\ ft ч^. /П* I ^- ., . ," \j I Л J О _* ^Л/ I t**V ¦—— ,Л1е ^^ ft" \ ^/
— 1 к = п
Докажем теперь, что
1**1<Т (Л=1,2, ...). B3)

390 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
В самом деле, так как функция f(x) монотонна, то по второй
теореме о среднем
B4)
где ??[—1, 1]. Производя в последних интегралах подстановку
= ?, получаем
f arc cos g 0 |
{/(_ 1) J со8«Л4-/0) | cosiWdn.
I л arc cos s J
Интегрируя, убеждаемся, что неравенства B3) справедливы.
Но из B2) и B3) следует, что
т. е. неравенства B0) верны. Объединяя теперь A9) и B0), полу-
получаем
fc=l n=l
т. е. ряд
2 1. |l+«
I ck I
I
1
сходится при любом е, 0 < e < 1. Тем более ряд B5) сходится
и при е^ 1.
Аналогично доказывается справедливость второго неравен-
неравенства A6). Теорема [9.3.3] полностью доказана.
Следствия. 1°. Если функции f(x) и х(х) удовлетворяют
условиям теоремы [9.3.3. ], то ряд Фурье B) функции f(x) схо-
сходится почти всюду на [а, Ь\ при любом порядке членов.
На основании рассуждений, аналогичных проведенному в конце
доказательства теоремы [9.3.1], мы видим, что справедливость
следствия 1° вытекает из теоремы [9.3.3] и теоремы Д. Е. Мень-
Меньшова [5.4.2].
2°. Если вес х(х) является ограниченной функцией на [а, Ь\
и f(x) имеет ограниченное изменение на том же отрезке, то
ряд Фурье B) функции f(x) сходится почти всюду на [а, Ь\
при любом порядке членов.
Утверждение непосредственно вытекает из следствия 1°.

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 391
§ 4. Абсолютная сходимость ортогональных рядов
Пусть {уп(х)} (ге=1, 2, ...) — ортонормированная система
на отрезке [а, Ь\. При каких условиях на функцию f(x)?L2 [a, b\
с рядом Фурье
ио Ь
2 <*?*(*), где ck = ff(x)yk(x)dx, A)
*=1 a
оо
мы можем гарантировать сходимость ряда 2lcfc|'> Если система [9.4.1]
{'¦Dn(x)} является тригонометрической, то, как показал С. Н. Берн-
со
штейн, таким условием может быть сходимость ряда V—==?„(/),
. V п
п = 1
где En(f) — наилучшее приближение функции /(х) посредством
тригонометрических полиномов порядка не выше п—1 в мет-
метрике С. Оказывается, что аналогичного типа теорема имеет место
и для любой ортонормированной системы. Именно, справедлива
следующая теорема С. Б. Стечкина.
Если ряд A) есть ряд Фурье функции f(x) из L2(a, b) и [9.4.2]
\nk) — некоторая возрастающая последовательность целых
чисел, то
где
Доказательство. Так как- f(x)?L2 [a, b\, то в силу не-
неравенства Бесселя
ос
2 с\ < оо. C)
Обозначим через гй, остаток ряда
К
СО
Ъ^, D)

392 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
т. е.
Рассмотрим ряд
E)
ft=l
Переставляя в E) порядок суммирования и используя неравенство
Шварца, мы получаем
Яе = 1 i =
ч
ft=i
J
ft=i
-?) ¦ да
Но в силу неравенства Бесселя
i=ft i=n,
пк
т. е.
G)
Объединяя F) и G), мы получаем B), что и требовалось доказать.
Следствия. 1°. Если nk = k, то из теоремы [9.4.2] мы по-
получаем, что
(8)
к=1 k = l
[9.4.3] Следовательно, сходимость ряда
обеспечивает абсолютную сходимость ряда
2
fc= I

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 393
Напомним, что Е^ (/) — это наилучшее приближение функции f(x)
k-i
в метрике L2 с помощью сумм вида 2 fli?i (-*•)•
i = l
2°. Если система функций \уп{х)) ограничена в совокуп- [9.4.4]
ности в точке х0, то из сходимости ряда
ft-. 1 '
следует абсолютная сходимость рядов
2** «
7с= 1
где ?л(/)— наилучшее приближение на отрезке [а, Ь\ функ-
функции f(x) в метрике С посредством сумм вида
к-1
В самом деле, так как
1
(x)-Sn_1(x)^dx\ <Vb — aEn(J), A1)
J
то наше утверждение непосредственно следует из неравенств A1),
B) и сходимости ряда (9).
Теперь легко заметить, что теорема Бернштейна [9.4.1] является
частным случаем теоремы [9.4.4] (нужно в качестве системы
{'¦?п(х)} взять тригонометрическую систему).
3°. Пусть функция f(x)?L2[a, b\ такова, что [9.4.5]
Тогда из сходимости ряда
со
следует абсолютная сходимость ряда
Это непосредственно следует из A2) и теоремы [9.4.2].

394 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
[9.4.6] 4°. Если сходится ряд
то ряд Фурье
со
почти всюду на [а, Ь] сходится абсолютно.
GO
В самом деле, в силу B), абсолютно сходится ряд 2сл-
к = 1
Рассмотрим ряд
Очевидно, что в силу неравенства Шварца
Ь со со Ъ
а 4=1 й=1 а й=1
A6)
На основании теоремы Лебега из A6) следует, что ряд A5) схо-
сходится почти всюду на [а, Ь]. Утверждение [9.4.6] доказано.
Отметим, что в теореме [9.4.6] мы не предполагали ограни-
ограниченности функций cpn(x).
Теоремы [9.4.2]—[9.4.5] относились к вопросу абсолютной
со
сходимости ряда 2 сь- Сейчас мы рассмотрим вопрос об абсо-
fci
лютной сходимости ряда 2сй?йС*0 в фиксированной точке х = х0.
к=1
При этом мы будем предполагать, что система функций (®и(л:)}
ортонормирована на отрезке [а, Ь\ относительно некоторого веса
т(х)>0. Кроме того, пусть система {<рп(х)} полна в L2. Тогда
справедлива следующая
[9.4.7] Теорема. Пусть функция /2 (х) i(x)?L (a, b).
Если в точке х0
(«=1, 2, ...),' A7)
где М — постоянная, то из условия
со
Y-UZ:?'(/)< со A8)

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 395
следует, что
оо
где
U
1 1_
< 6 Г п-1 2 ]7 ( °° ] 2
?«2)(/)= / /(*)-?'*?*(*)ЬюМ =<2я • B0)
(о L ft=i J J \k=n J
Доказательство. Так как числа —^^(J) стремятся
\п
к нулю монотонно при п—>-оо, то
?B) 2" B)
2^<2 2 (v 23 )
На основании неравенств B1) и A8) имеем
7B)
f^<co, B2)
v = 2 v = 2 „ = i»-l+i ' П = Ъ '
т. е. ряд
ОО V
B3)
OO V
v = 0
сходится. Оценим теперь сумму
В силу неравенства Шварца и неравенства A7) имеем
+1 +1 » Т f 2V+1-1
1 S
S ci

396 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Окончательно из B5) и B2) получаем, что
со оо 24-! со -i_
21 *„?» (*о) 1=2 21 ст (х0) | < ум 2 2^> (/х
т. е. неравенство A9) справедливо, что и требовалось доказать.
§ 5. О суммируемости ортогональных рядов
Пусть на отрезке [а, Ь\ задана ортонормированная система
функций {vn(x)} (я=1, 2, ...). Справедлива следующая
[9.5.1] Теорема Д. Е. Меньшова. Во всякой ортонормиро-
ванной на [а, Ь\ системе функций {гоп(х)} можно так изме-
изменить порядок функций, чтобы для полученной новой системы
= {cpVi (x), о,,, (x), . . ., } A)
ряд
CO
cn?vn (x) B)
суммировался почти всюду на [а, Ь\ методом Чезаро любого
положительного порядка при условии, что
оо
7iС^ <С ОО. C)
Доказательство. Возьмем последовательность рт — 2т
(jn=\t 2, ...). Очевидно, что
Применим к системе {©„(л;)} и последовательности \рт) теорему
[9.2.7]. Мы получим новую систему {»„ (х)}, для которой част-
частные суммы
Рт
ряда
со
2 w (х) E)
сходятся почти всюду на [а, Ь\ при рт -+ со, если
со
2 С1 < ОО- F)

О СУММИРУЕМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОЗ 397
Следовательно, по теореме [5.8.5] ряд E) суммируем (С, 1) почти
всюду на [а, Ь] при условии F). Используя теперь теорему [5.8.4],
мы получаем, что ряд E) суммируем (С, а) почти всюду на [а, Ь]
для любого а > 0.
Таким образом, полученная нами система {cpv (x), cpv (x), ...}
удовлетворяет требованиям теоремы [9.5.1].
Теорема. Для каждой ортонормированной на [а, Ь] си- [9.5.2]
стемы {уп(х)} всегда можно найти регулярный метод Те-
Теплица Т такой, что ряд
оо
2 с»?п (х) G)
п=1
суммируется методом Т почти всюду на \а, Ь\, как только
выполнено неравенство F).
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы [9.2.1].
В самом деле, по теореме [9.2.1] для системы \<йп(х)} мы можем
найти такую последовательность {т^ B=1, 2, . . .), что част-
частные суммы
m. (X) = 2 Ckyk (X)
* ft = i
ряда G) сходятся почти всюду на [а, Ь] при mt -> оо, если вы-
выполнено неравенство F). Теперь уже очевидно, что за нужный
нам метод суммирования можно взять метод Т с такой матрицей,
у которой 1-я строка состоит из одних нулей, кроме 1 на месте %.
Теорема доказана.
Для дальнейшего нам понадобится следующая
Лемма. Пусть дан ряд [9.5.3]
ге=0
и выпуклая*) нуль-последовательность {Х„}. Тогда, если
(8)
^,)fe=O(l) при п-^со, (9)
то последовательность
сходится при я—>-оо.
*) Последовательность {Х„} (я = 0, 1, ...) называется выпуклой, если
Д^ХП= ДХП —ДХп+1>0 для всех п, где ДХ,} = Х„— Хп+1.

398 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Доказательство. Предварительно сделаем несколько
замечаний. Так как последовательность {Хп} выпукла и сходится
к нулю, то
со
2>Х„<0О A1)
<со. A2)
2
ГО = 0
Так как члены ряда A1) монотонно убывают, то
ДХп = о(—) при га->-со. A3)
Из соотношения A2) следует, что последовательность
П = 0
со
сходится при от—>-оо к сумме 21 («—|— 1)Д2^-»- Поэтому
^тт=оA) при
п=0
Положив теперь 8fc = U—¦ , i W. sh = ао~\-ах-\-...-\-ак
и применив к сумме A0) два раза преобразование Абеля, мы
получим
п-1
= 2
Но так как
к=0 к=0 к = 0
п-1
= "V. (Ъ -Х- П п^>\^ -J- (п -L- П л'.^ЛЙ A5)
то на основании A5) имеем
п-1
п-1
7ГТТ

О СУММИРУЕМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 399
Оценим разность o^(X) — о^'(л). Очевидно, что в силу A7) при
я > т справедливо неравенство
Л + 1
Т 1Я+1
На основании (9) получаем
Хпа„ = оA) при га—*¦ оо и XmoMv = o(l) при от —> со, A9)
ибо ХЛ->0 при k—KX>. В силу же (9) и A3) имеем
П-1
V(&-|- l)c)cl>AXft+1 =o(l) при п->-оо. B0)
к=0
Аналогичное утверждение справедливо для суммы с номером т.
С другой стороны, в силу (9), A2) и A4)
п-1
«1-1
m-l
п-1
(ш—1
Л=0
п-1
B1)
Объединяя A8) — B1), получим, что <$(к) — а^(Х) = оA) при
п > от -*¦ со, что и требовалось доказать.
Замечание. Нетрудно видеть, что проведенные рассуждения
дают несколько больше. Именно, пусть ап(п = 0, 1, 2, ...)— [9.5.4]

400 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДО^
какие-то функции из некоторого функционального простран-
пространства F, на котором определен линейный оператор U (F)
со значениями из пространства Банаха, имеющий норму
\\U(F)\\. Тогда, если
ft/(о^)! =0A) при п-юо,
то
IH"»1^) —° М]Ц = о
при п>т^ оо,
где <4J' и а„\1) определяются по формулам (9) н A0), а {\п} —
выпуклая нуль-последовательность.
Докажем теперь следующую теорему Г. Алексича:
[9.5.5J Пусть {<?п(х)}— ортонормированная система функций на
отрезке [а, Ь], для которой функции Лебега удовлетворяют
условию
для всех х?Е {п= 1, 2, . ..), B2)
где С — фиксированная постоянная. Тогда ряд
со
2'»?»(*) B3)
и = 1
суммируем методом (С, а) почти всюду на Е для любого а > О,
если
со
2 4 < схэ. B4)
ге = 1
Доказательство. На основании B4) можно найти такую
выпуклую нуль-последовательность !-;—} (» = 1, 2, ...), чтобы
2с^ = Л1<оо. B5)
п = 1
Обозначим через
частные суммы ряда
со
V /.}_,* /v\ B6)
52Иа;(х)= max S,(x), B7)
О < v < ft 2
где пх, О^Пд.^п, означает тот номер v, при котором дости-
достигается этот максимум.

О СУММИРУЕМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
401
Очевидно, что последовательность {S2"a; (•*•)) не убывает при
оо и поэтому существует предел
S(x)= lim S2nx(x).
»->со
Из B7) и B8) следует, что
B8)
B9)
С другой стороны, имеем
f f~S2n(t)K2nx(t, x)dtdx
E a
f
dt
J[S2n(t)fdt\ • </ fK2nx(t,x)dx\
a J U IE J
l
{ f fK2nx(t, x)dx\ dt\ ,
[He J J
C0)
где
Km(x, t)=
Очевидно, что
t, x)dx\"dt=
ШКгПхЦ, x)dxVdt= f f <f K2nx(t, x)K2ny{t, y)dt\dxdy-
J E E [a J
•L
, y)dxdy,
C1)
E E
гда nxy = min {nx, ny). Так как | K2nxy (x, j) | < [ Кгпх (х, у) | +
+-\K2ny(x, y)\, то из B2) и C1) следует, что
ШК2Пх (t, x) dx? dt < J J {I
J ЕЕ
2"»(*> У)\} dxdy< f{ J
(
K2nx (x, y) I
(x, y)\dy \dx-\-
E (a J
+ / \f\K2ny(x,y)\dx \dy =
E [a )
= J 12„ж (x) dx+ f L2ny (y) dy < 2C m?. C2)
26 Зак. 2542. С, Качмаж и Г. Штейигауз

402 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Объединяя C0) и C2), имеем
) dX
Отсюда в силу леммы Фату и равенств B7), B8) следует, что
J 5 (x) dx
< У 2МС тЕ.
C3)
Неравенства B9) и C3) показывают, что S2n(x) для почти всех
х?Е ограничены по и сверху. Аналогичные рассуждения пока-
показывают, что и—Szn(x) для почти всех х?Е ограничены по п
сверху. Итак, для почти всех х?Е частные суммы S2«(x) огра-
ограничены по п сверху и снизу.
На основании B5) и теорем [5.3.3] и [5.8.5] имеем
ОО
2 [S2n (x) — 5$ (x)f dx<oo
и1
C4)
[9.5.6]
при
C5)
для почти всех точек х?[а, Ь], где о',1,' (х) есть (С, 1)-среднее
порядка т ряда B6). А так как S2«(x) ограничены для почти
всех х?Е, то из C4) и C5) вытекает, что и средние с4 (jc)
ряда B6) ограничены для х?В (ВсЕ и mB = m?).
Применяя теперь лемму [9.5.3] к ряду B6) при х?В и
к последовательности (-т—}, мы получаем, что последовательность
х ? В (?0 (х) = 0)
сходится при я->оо, т. е. ряд B3) суммируем (С, 1) почти всюду
на Е. Суммируемость же ряда B3) методом (С, а) почти всюду
на Е для любого а>0 непосредственно вытекает из теоремы [5.8.4],
что и требовалось доказать.
Докажем теперь утверждение, касающееся равномерной сум-
суммируемости ортогональных рядов.
Теорема. Пусть {<р„(->с)} (п = 0, 1, 2,..-.) — такая орто-
нормированная система непрерывных функций на отрезке [а, Ь\,
что для функций Лебега выполняется неравенство
L{?(x)<C (n = 0, 1,...)
при
b].
C6)

О СУММИРУЕМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 403
Пусть, кроме того, [кп] — любая выпуклая нуль-последователь-
нуль-последовательность. Тогда, если у ряда
оо
2 «*?*(*) C7)
чезаровские средние ограничены
\о\1\х)\<С1 (« = 0, 1, ...) при х?\а,Ь\, C8)
то ряд
оо
fc2 «***?*(*) C9)
равномерно суммируем методом (С, 1) к непрерывной функции
на отрезке [а, Ь\. Здесь С и С1 — некоторые постоянные.
Утверждение нашей теоремы непосредственно вытекает из
теоремы [9.5.4], если только положить
|| 1/(о?>) || = max | о<!>(*)| D0)
т?\а, Ь\
и заметить, что
= max
¦¦б]'" ' х?[а, Ь)
В теореме [5.3.3] было показано, что log2 я является множите-
множителем сходимости Вейля для любой ортонормированной системы
функций {<?«(#)). Возникает вопрос: при каких предположениях
можно гарантировать суммируемость ортогонального ряда чеза-
ровскими средними отрицательного порядка? Оказывается, что
справедлива, например, следующая теорема: Если {<?п(х)}— (9.5.7]
такая ортонормированная система функций на отрезке [а, Ь],
что
ь
I Тп (*) К С2> f'-?n(x)dx = 0 (л=1,2, ...)• D1)
а
то для любого а, 1 < а < 2, ряд
со
2 e»?n W D2)
суммируем 1С, —-к-) почти всюду на [а, Ь], как только
оо
5»а = С3<оо, D3)
где С2 и С3 — фиксированные постоянные.
26*

404 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Доказательство. Положим
п
ао = 0, р = |, *,,@=2в**?<Р*(')' (?о@ = 0), D4)
й = 0
чезаровские средние порядка — J3 ряда D2) равны
п
<tn ?) (х) = -L- 2 А'г-W* (х). D5)
Далее, положим
Кп? (х, t) = ' 2 ЛЛ*~Р9* (*) ср. @ D6)
л
(см. [1.1.7]). При А<л из D5) и D6) вытекает, что
ь
oi*(x)r=fsn(t)Ki\x,t)dt. D7)
а
По одной теореме Банаха *) нам достаточно показать, что почти
всюду на \а, Ь] сходится последовательность
vn(x)= max a( Р)(д;) = а(,-3)(х), D8)
»о < г < п
где целое число k = k{x, n) удовлетворяет неравенству no
При этом п0 — произвольное фиксированное целое число. Так как
для каждого фиксированного х последовательность {vn(x)\ не
убывает по п, то достаточно показать, что
ь
In=*fvn(x)dx<Ct, D9)
а
где С4 — постоянная, не зависящая от п. В силу D8), неравен-
неравенства Шварца и D3)
ь г ь
/»= I I I sn(t)Ki?(x, t)dt
1 I
Й?Х} =
a La J J
(к ... с „-*.x t dx\d§< h t dt r\L-* x t dx]2dt <
x, Orfxj^j ^ J sn(t)dt) у Kk (x, t dx^ dt^
Ь г Ь -|2
dt. E0)
*) См. работу [5] из списка литературы к основному тексту.

О СУММИРУЕМОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Очевидно, что
405
br b -i2 br- b -i i- 6 -i
ь' (x,t)dx\dt—l\ Kk, (x, t)dx\\ Kic3 (y> t)dy\dt =
I I II I
a La J a La J La J
Ь b i- 6
о о г- о -i
= / / / Kif (x, t) Kk? (y, t) dt \dx dy =
a a La J
? ? iV
= \ [jr^rp^ Ah?i-)liAkalm>n~299m(x)<?m(y)dxdy, E1)
где
k1 = k1(x,n), k2 = k2(y,n) и Л/ = min {kly k2}. E2)
Так как при фиксированном р последовательность
j-p
/г!
монотонно убывает относительно п, то из D1) и E2) следует,
что
N
N\
/й~ р. E3)
Но так как Ап убывает и
г A—
при

406 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
то
N
1 hi
я»=1
<С5 ? «-»4-C, 2 (Л-?J<С7 I] W-2P< С8 < оо. E4)
»п=0 т-\
ибо в силу D4) 2[3 = а> 1. При этом у нас С5, Св, С„ С8 —
фиксированные постоянные, не зависящие от х, у и «. Объеди-
Объединяя теперь E0), E1), E3) и E4), получаем
ь ь
f fdxdy,
т. е. неравенства D9) справедливы, что и доказывает теорему.
§ 6. Свойства коэффициентов
Настоящий параграф посвящен исследованию поведения коэф-
коэффициентов ортогонального ряда
оо
2<v?»(*). (О
если ортонормированная система {«>„(*)) и ряд A) обладают
известными свойствами. Чаще всего предполагается, что ряд A)
представляет в том или ином смысле функцию некоторого функцио-
функционального пространства. Таким образом, задачу, поставленную
в этом параграфе, можно считать, в некотором смысле, обратной
задаче, рассматривавшейся в §§ 2—5.
[9.6.1] Пусть {<?п(х)} — некоторая ортонормированная система и-
А — функциональное пространство. Обозначим через Q (А) мно-
множество числовых последовательностей, которые являются коэф-
коэффициентами Фурье функций из А по данной ортонормированной
системе. Отыскание условий, характеризующих принадлежность
последовательности к Q (А), кроме исключительного случая A = L2,
наталкивается на серьезные трудности. Эти трудности обуслов-

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ 407
лены существованием различного рода особенностей, изучению
которых были посвящены §§ 7—8 гл. VI.
Кроме рассматривавшихся ранее пространств Lp, M, С, рас-
рассмотрим также пространство V* функций, эквивалентных функциям
ограниченной вариации. Именно, мы скажем, что f(x)?V*, если
существует функция f*(x), обладающая следующими свойствами:
a) f(x)—f*(x) для почти всех дг?[О, 1],
b) /*@) = 0,
c) /* (х) непрерывна слева для всех 0 < х <[ 1 и обладает
на [0, 1] ограниченной вариацией в обычном смысле слова. Функ-
Функцию /* (х) мы назовем приведенной, а пару функций /* и /—
взаимно эквивалентными. Функции f(x), для которых существуют
эквивалентные приведенные, мы также будем называть функциями
ограниченной вариации. Легко видеть, что V* является линейным
пространством, если только определить сложение функций из V*
и их умножение на действительные числа обычным образом.
Очевидны следующие свойства:
1) Если функции f(x) и g(x) принадлежат V*, то они эквива-
эквивалентны тогда и только тогда, когда/* (x) = g* (x) всюду на [0, 1].
2) Если f(x) и g(x)— две функции из V* и h(x)=f(x)-\-g{x),
то для всех д;? [0,1]
3) Если последовательность {fi(x)} равномерно сходится на
[0, 1] — Е, где т? = 0, причем все функции /4(х) и предельная
функция f(x) принадлежат V*, то
Hm /t(x) =
i -> оо
равномерно на отрезке [0, 1].
Под полной вариацией функции f(x)?V* мы будем понимать
полную вариацию (в обычном смысле) ее приведенной функ-
функции /* (дг). Функции f(x) и g(x) из V* мы условимся считать
равными тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Про-
Пространство V* можно метризовать, введя расстояние между функ-
функциями fx{x) и /2(х) из V* следующим образом:
Р (Л. Л) = Variation(/? (*) -/* (*)).
Норму для /? V*. как обычно, определяем равенством
И/11Г. = (О,Л= Var f*(x).
Нетрудно видеть, что теперь V* является пространством типа В.

408 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Норму для f(x) ? V* можно определить и непосредственно.
Разобьем отрезок [0, 1] точками 0 = д;0 < хг < ... <яр+1—1
и рассмотрим отрезок [х^, Xi+1]. Пусть числа М^ и mt соответ-
соответственно— наименьшее и наибольшее из таких чисел, что неравен-
неравенства f(x) > Mi (соответственно f(x) <L т$ выполняются на этом
отрезке только на множествах меры нуль. Образуем для этого
разбиения сумму
Если теперь положить
i — Щ
для всех возможных разбиений отрезка [0, 1], то эквивалентность
двух определений нормы не вызывает никаких сомнений.
[9.6.2] Теорема. Пусть А — функциональное пространство
(= I?(р > 1), М, V*) и {<?п(х)} — ортонормированная система,
полная относительно А и состоящая из ограниченных функ-
функций, принадлежащих А. Если ряд
оо
при любой расстановке знаков является рядом Фурье функции
из А, то последовательность {\ап\} является мажорантой
(см. [6.9.2]), т. е. для любых \dn), \dn\ <[ 1 (n.= 1, 2, 3, . . .), ряд
оо
2 dnan<in (x) C)
также является рядом Фурье функции из А.
Мы приведем здесь доказательство этой теоремы, принадле-
принадлежащей В. Орличу, для пространства V*. Для этого нам понадо-
понадобится ряд лемм.
Лемма 1. Пусть fn(x) ? V*, ||/n(*)|j< М (ft=l,2, ...)•
Тогда найдутся последовательность индексов [п^ и функция
f{x)?V* такие, что
a) lim /„ (х) = /(х) почти всюду на [0, 1],
г ->-ио *
b) lim inf ||/«. (*)!!> ||/МП,
i > ио l
причем все нормы берутся в V*.
Доказательство. Рассмотрим последовательность {fn(x))
соответствующих приведенных функций. Так как вариации этих
функций ограничены и /*@)=0, то в силу известной теоремы

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ 409
Хелли мы можем выбрать из этой последовательности почти всюду
сходящуюся подпоследовательность [f*n (x)}. Если обозначить
lira f*n(x) = f(x),
i ->- оо
то ясно, что f(x)?V* и, кроме того,
lim /n. (x) = f{x) почти всюду.
% ->оо *
Чтобы показать, что выбранная последовательность [пг] является
искомой, остается установить Ь). Для этого при заданном s > 0
разобьем отрезок [0, 1] точками 0 = а;0<а;1< ... <д;р=1 на
части так, чтобы
||-e<*2 \f*(xk+l)~f*(xk)\.
к 0
Для х = 0 мы имеем
lim/* @) = /@) = /*@) = 0.
'V
г ->- оо
Функция f*(x) на [0, 1] непрерывна слева и f{x)=fcf*{x)
только, может быть, в точках скачков. Поэтому можно выбрать
точки разбиения \хк) таким образом, чтобы f(xk) = f*(
(ft = O, 1,2, ..., р).
Следовательно, для достаточно больших i
р-1 Р-1 * *
Отсюда следует, что Ц/(*I1—2s<lim inf |]/M.(*)[| или, ввиду
произвольности s, что
чем доказательство леммы 1 завершено.
Лемма 2. Если {<?„(*)} — ортонормированная система,
состоящая из функций ограниченной вариации, и частные
суммы ряда A) удовлетворяют условию
то ря<? A) ес/иь ряй Фурье функции ограниченной вариации.

410 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Доказательство. В силу леммы 1 существует такая по-
последовательность {riji}, для которой
lim S,, (x)= lim
к -*• оо
почти всюду.
Далее, благодаря предположенной ограниченности частных сумм
возможен переход к пределу, так что
*= Hm
=aJ (/=1,2, .. .).
ifl
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Пусть Е— банахово пространство и хг?Е
0=1,2,...).
Если для всех последовательностей {ц}, в которых е4= z±: 1,
имеет место неравенство
(«=1,2, ...),
где М — фиксированная константа, то для любой последова-
последовательности {di}, \di\^.\ (/= 1, 2, 3, ...) справедливо неравен-
неравенство
Доказательство. Пусть f(x) — произвольный линейный
функционал, определенный в Е, и ||/||<[1. Тогда из предположе-
предположений леммы вытекает, что
2 «!
и поэтому
Далее,
откуда заключаем, что
что и требовалось.
i=l

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ 411
Теперь мы можем приступить к доказательству теоремы [9.6.2].
Рассмотрим множество {s} всех бесконечных последовательно-
последовательностей е=={е4}, ei==tl. В {s} можно ввести метрику, положив
для s1, е2? {е}
Тогда {s} превращается в полное метрическое пространство.
В самом деле, для того чтобы выполнялось соотношение
lim (s&, s) = 0,
к ->-оо
необходимо и достаточно, чтобы для всякого i
lim e* = s{,
к ->-со
откуда и следует полнота.
Пусть ssfe^^Js}. По условию, можно поставить в соответ-
соответствие этой последовательности такую функцию f(x) ограничен-
ограниченной вариации, для которой
(? = siai (i=l, 2, ...).
о
Тем самым будет определен оператор U в пространстве {s},
?/(з) = /(*),
значения которого принадлежат V*, причем вследствие полноты
системы {?„(*)} этот оператор определен однозначно. Пусть Ег —
множество тех элементов из {г}, для которых
IIU (г) || F,<r. D)
Докажем, что Ег замкнуто. Действительно, пусть
e*6Er (Л= 1, 2, .. .), Нт (в*, в) = 0, U(e*)=fk(x), t/(в) =/(*).
к ->• со
Вследствие неравенства D), мы можем воспользоваться леммой 1.
Существуют, таким образом, последовательность {/^.(х)] и функ-
функция / (я) такие, что для почти всех х в [0, 1]
Нт Л (Х)

412 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Отсюда следует, что
1 1
Но, с другой стороны,
1
lim e%j = zMj= Г f(x)<fj(x)dx (/= Ь2, .. .)•
В силу полноты системы {сри(х)| мы должны иметь/(х)=/(х)
почти всюду в [0, 1]. Наконец, свойство Ь) леммы 1 дает нам
lim inf n/ft,(Jc)||v.>||/(*)||F»,
» ->oo ¦
откуда вытекает, что
<
Это и означает замкнутость множества ?,.. Так как {г} = 2 Ег,
r=l
то существует такое г0, что ЕГо — второй категории и, стало
быть, содержит некоторый шар Ко. Обозначим центр этого
шара через ео={г°} и его радиус через р, так что если г^{3}
и (з, е°) < р, то
Н^(«)||т»<г0. E)
оо
Выберем число т так, что 2 2~г < р. Пусть е=={?г) — про-
извольный элемент из {г}. Определим последовательность г={з^}
следующим образом:
ei = si при l^ii^m,
ег = ег при г^/и+1.
В силу выбора т- последовательность s принадлежит Ко- Но
числа гга{ являются коэффициентами Фурье функции
т т
U& — 2 ВЛТгМ+2 ЧЩ?г{х).
г=1 г=1
Учитывая неравенство E), получаем
(X) I!
0,

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ 413
так что
111
IIU (s)ll у* <ro + 2g КIII ?г (•*) II у, = М; для любых е ? {г}. F)
Рассмотрим произвольную конечную последовательность знаков
st, е2, ..., sn. Используя определение оператора ?/(г), из F)
получаем, что
|| п ||
Теперь мы имеем возможность воспользоваться леммой 3, из
которой следует, что при любых {rfjj, |dj|<^l (?=1,2,3, ...),
<2Ж (я=1, 2,3, ...). G)
Из неравенства G) по лемме 2 вытекает, что числа {d^} суть
коэффициенты Фурье функции ограниченной вариации. Тем самым
теорема [9.6.2] для пространства A — V* доказана.
Доказательство этой теоремы для других случаев проводится
совершенно аналогично. Необходимо только заменить приведенные
нами леммы аналогичными леммами для пространств Lp(j> > 1) и М.
Аналогичная теорема имеет место для пространства L, однако
здесь существенна не полнота системы, а ее замкнутость.
Пусть в С задана замкнутая ортонормированная система [9.6.3]
{fn(x)}> состоящая из ограниченных функций. Если ряд B)
при любом выборе знаков представляет собой" ряд Фурье функ-
функции из L, то ряд C), где |rfj|<! 1 (/= 1, 2, . . .), также есть
ряд Фурье функции из L.
Доказательство. Как и в [9.6.2J, поставим в соответствие
последовательности s?{s} функцию ?/(з)=/(лг), для которой
1
Гf(x)yi(x)dx=ziai. Тогда U(г) — однозначно определенный в {г}
о
оператор, значения которого принадлежат L. Докажем, что мно-
множество Ег элементов s?{e}, для которых ||(/(з)||7у<>, замкнуто.
Действительно, пусть
() ?r
k ->oo
Для последовательности {fk(x)} при любом j(j = 1, 2, ...) имеем:
i i
lim Г/fc(x)cp-(x)rfx= lim е*я, = е-я,= Гf(x)fy(x)dx. (8)

414 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
р
Если w(jt)=2 fjfiWi гДе ci — фиксированные действительные
числа, то из (8) выводим
1 1
lim \ fh(x)w(x)dx= \ f{x)w (x) dx.
О О
Далее, так как \\fjc(x)\\L<^.r и ортогональная система {<?п(х)}
замкнута в С, то
i 1
/ h (*) g(x)dx= ff (x) g (x) dx (9)
*>0°o о
для любой непрерывной функции g(x). Но из (9) следует неравг нство
HminfH/Jk(jf)||i>H/(jc)||J.,
i -> с»
откуда, наконец, заключаем, что \\f(x)\\L^. r и
После установления замкнутости множества Ег мы можем до-
дословно повторить рассуждения доказательства [9.6.2] вплоть до
заключения: для любых {</$}, |dj|<4,
n
2 dpt<ft (x)
L
A1=1,2,3, ...), A0)
из которого, воспользовавшись теоремой [6.9.4], получаем, что
[) суть коэффициенты Фурье интегрируемой функции.
Как мы видим, решающую роль в доказательствах теорем
[9.6.2] и [9.6.3] играли неравенства G) и A0). Следует заме-
заметить, что в силу [1.6.8] эти неравенства эквивалентны безуслов-
безусловной сходимости ряда A) в соответствующем функциональном
пространстве *). Таким образом, при тех же предположениях
относительно системы функций, что и в теоремах [9.6.2] и [9.6.3],
справедливо следующее утверждение.
Г9 6.41 Лля того чтобы ряд B) был при любом выборе знаков рядом
Фурье функции из У A <^р<со) или V*, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ряд
со
безусловно сходился в соответствующем функциональном
пространстве.
*) См. также доказательство теоремы [6.9.4].

СЗОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ 415
До сих пор мы рассматривали ряд B), предполагая, что он
представляет ряд Фурье функции некоторого класса при любом
выборе знаков. Более тонкие теоремы можно получить, если
несколько ослабить это требование.
Пусть {е$@} (t=l, 2, ...) означает последовательность
функций Радемахера, определенную в [2.2.5]. Для каждого
'610.1] (за исключением двоично-рациональных точек, в кото-
которых е4(^)=:0) последовательность {е{@} представляет собою
некоторую последовательность знаков, зависящую от параметра t.
Если двоичное разложение числа t имеет вид 0, О^О^гС) ••••
то члены двоичного разложения связаны с последовательностью
знаков [цЩ соотношениями
»«(') = JO— Ч(()) (/ = 1,2,...).
При tk, to?Z, где Z означает отрезок [0,1] без множества дво-
двоично-рациональных точек, е(^)*={е,D)}, е (*0) = {s{ (*0)}, пре-
предельные соотношения
lim (s(^),e(^0)) = 0,
S->oo
lim *><('*) = M'o) (/=1, 2. ...)
ft->oo
эквивалентны между собою.
Мы будем говорить, что некоторое свойство Р имеет место
для почти каждого расположения знаков, если множество таких
значений t, для которых последовательность знаков не обладает
свойством Р, имеет меру нуль. Пользуясь этой терминологией,
можно высказать следующее утверждение:
Пусть А — функциональное пространство (= Lp, />>'l, [9.6.5]
М, V*) и {cpftW} — полная ортонормированная система, со-
состоящая из ограниченных функций, принадлежащих А. Тогда
ряд B) либо для почти каждого расположения знаков является
рядом Фурье функции из пространства А, либо для почти
каждого расположения знаков имеет место обратное.
Доказательство. Пусть TcZ — множество таких значе-
значений t, для которых ряд B) со знаками ei=si(t) есть ряд Фурье
Функции из пространства А. Каждому t?T или, что то же са-
самое, каждой последовательности {е*@} сопоставим функцию
t/(e (Q ) = /(*),
для которой
1
(*)%(х)dx = е,фа, (/= 1, 2, ...).

416 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Пусть теперь fcZ — некоторое замкнутое множество. Рассмо-
Рассмотрим пересечение TF и обозначим через Ег множество таких
t?TF, для которых ||t/(e@)IUO. Как и в теореме [9.6.2],
можно доказать, что множество Ег замкнуто. Поэтому TF =
со
= 2 Ег измеримо, откуда, в силу произвольности множества F,
вытекает измеримость Т. Далее, пусть t?T и O.ft^ ...—его
двоичное разложение. Если для числа f .двоичное разложение
отличается от разложения t не более чем на конечное число чле-
членов, то t'?T, Однако, очевидно, что измеримое множество, обла-
обладающее этим свойством, имеет меру либо 0, либо 1, чем наша
теорема доказана.
Приведем теперь без доказательства некоторые теоремы,
относящиеся к поведению ряда B) при почти каждом расположе-
расположении знаков.
[96.6] !• Пусть {<рп(х)} — ортонормированная система, состоящая
из ограниченных функций. Предположим, что эта система
полна относительно !*(/>> 1) или замкнута относительно С
(для случая р— 1). Для того чтобы ряд B) для почти каж-
каждого расположения знаков был рядом Фурье функции из
1), необходимо и достаточно выполнение условия
?
у^ (n=l, 2,....). A1)
о 4=1 /
2. Если система (сри(л;)} равномерно ограничена, то нера-
неравенство A1) эквивалентно условию
оо
2 а2. <
со.
3. Если в предположениях теоремы 1 о системе функций
ряд B) для почти каждого расположения знаков является
ортогональным разложением функции из Lp, то этот ряд
для почти каждого расположения знаков
a) сходится в среднем степени р,
b) сходится почти всюду.
4. Пусть {<оп{х)\ — ортонормированная система функций
из V*, полная относительно V. Если для почти каждого
расположения знаков ряд B) есть ряд Фурье функции огра-
ограниченной вариации, то ряд
2
1 = 1
сходится.

Свойства коэффициентов 417
К этому кругу вопросов относится ряд работ Ж. Марцинке-
вича, С. Сидона и других авторов; в этих работах изучается
возможность выделения из ортогональной системы функций под-
подсистемы, обладающей определенными свойствами.
Мы будем говорить, что ортогональный ряд A) принадлежит
классу тр(\ <^р<со), если существует функция f(t)?Lp, для
которой
Urn
Г |/@ — Уед>Н0Г^ = 0. A2)
«>со ^
О 1 = 1
Ряд A) отнесем к классу mq(q'^>2) (соответственно, те), если су-
существует такая функция f(t)?Li (соответственно, f(t)?C), для
которой
1
1 oo
2 ГА /It = V л2
(/=1, 2, ...),
A3)
J7
<=i
Справедливы следующие теоремы:
5. Если функции {<р»@} ограничены, то существует под- [9.6.7]
последовательность фа(*) = ?»»к@ такая, что каждый ряд
принадлежащий к классу mq, принадлежит также к классу mq
и сходится почти всюду. Если s*(t) означает максимум част-
частных сумм ряда A4), то
6. Если ряд A4) принадлежит к классу mq (q^>2) (функ-
(функции <J«jfc @ = ?nfc @ выбраны надлежащим образом), то ряд
принадлежит к тому же классу при любом выборе знаков. •
7. Пусть {<?и@} — ортонормированная система функций
на [0, 1], удовлетворяющая условию
1
llmsup/|<рп@|Л>0.
П ->¦ оо "
О
27 За». 2542, С. Качмаж и Г. Штевнму»

4l8 о новых Результатах в теории ортогональных Рядов
Тогда существует подпоследовательность фл (t) = yn (t), обла-
обладающая следующим свойством: если для ряда A4) выполняется
соотношение
п
litn inf sn @ > — со, где sn (t) = 2
то
оо
2 а1 <
8. Пусть {ср»(О} — ортонормированная система, состоя-
состоящая из кусочно-непрерывных функций на интервале 0 < t < 2л,
и 0 < от < |«и@| < М, где т и М не зависят от t и от п.
Тогда существует такая последовательность {%}, что для
любой последовательности {ak), afc = o(l), найдется функция
f (t) ? L, для которой
2ic
о
На доказательстве этих теорем мы останавливаться не будем.
§ 7. Лакунарные ортогональные ряды
Пусть j<pB(j;)J—система ортонормированных функций на
отрезке [а, Ь\ и {Кп}—неубывающая последовательность поло-
положительных чисел. Ряд
оо
2 Сп<?п(.Х) A)
та=0
[9.7.1] называется \п-лаку парным, если число индексов k, для которых
скф0 а 2й</г<2и+1 равно О(Х2«).
[9.7.2] Теорема. Если ряд A) — \п-лаку парный, суммируем (С, 1)
оо
всюду «а [а, 6] и 2 е! Aо? ^*J < °° *)> то он сходится
fci
fci
почти всюду на [а, Ь\.
Доказательство. Пусть sn(x) — частная сумма ряда A).
В силу теоремы [5.3.3], последовательность {s2n(x)\ сходится
почти всюду на [а, Ь\, ибо ряд A) суммируем (С, 1) по условию.
Обозначим через mv те индексы k, для которых ск Ф 0. Очевидно,
что для доказательства теоремы достаточно показать справедли-
)
число 2.
) Не ограничивая общности, можно считать, что основанием является
1 О

ЛАКУНАРНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 419
вость равенства
sm (х) — s2n (х) = о A) при п ->• со B)
для почти всех х?\а, Ь], где 2П < ms < 2И+1.
В силу леммы [5.3.4], для системы функций {ут (х)} при
2п < mv < 2n+l существует функция Ьп(х) такая, что
2 2п <т~,< к < 2«+1 '"¦''т''
для всех х?[а,Ь] и 2rt<fe<2wtl и, кроме того, в силу Яи-лаку-
нарности ряда A) и [5.3.4]
2»+1
где С — абсолютная постоянная. Поэтому
оо Ь оо
2] / 8*(*) ^ < С ^ 4
И=1 О И=1
и, стало быть, в силу теоремы Лебега ряд
сходится почти всюду на [а, Ь\. Но тогда 5^(д;)=оA) при «->со
для почти всех х?[а, Ь\. Равенство B), а вместе с ним и тео-
теорема доказаны.
Следствие. Если а > 0, ряд A) является 1о^п-лакунар-
ным и
со
2 4(loglog«J<cx3, C)
то ряд A) сходится почти всюду.
В самом деле, на основании C) и теоремы [5.8.6], ряд A)
суммируем (С, 1) почти всюду на [а, Ь\. Поэтому наше утвержде-
утверждение непосредственно следует из теоремы [9.7.2].
Теперь покажем, что теорему [9.7.2], в некотором смысле,
усилить нельзя.
Теорема. Пусть w(n) — любая неубывающая последова- [9.7.3]
телъность положительных чисел, удовлетворяющая неравенству
(log log nJ <; w (n) — о (log2 n).
27*

420 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Тогда существует такая ортонормированная система функ-
функций {<?п(х)) («=1, 2, 3, ...) на [а, Ь\ и последовательность
чисел {сп}, что ряд
со
2 сп<?п (х) D)
п=1
обладает следующими свойствами:
1°. Ряд D) почти всюду на [а, Ь] суммируем (С, 1).
2". Ряд D) является \п- лаку парным.
3°. 2 <&»(*„)< оо.
П = 1
4е. Ряд D) всюду на [а, Ь] расходится.
Доказательство. На основании конструкции Д. Е. Мень-
Меньшова (см. [5.3.6] и [5.3.7]) для последовательности w(n) суще-
существует ортогональный ряд на [а, Ь]
оо
2 «*(*) E)
И = 1
такой, что
оо
2°o. F)
и, кроме того, существует а > 0 и последовательность чисел
vi < V2 < • • • такая, что для каждой точки х?(а, Ь) найдется
номер т (х) со свойством
Vt-i-1
2 aih (x) >« > ° G)
и при этом vn < m (x) < ч„+1. Пусть {\ik} — последовательность
положительных натуральных чисел, отличных от чисел vn, зану-
занумерованных в порядке возрастания. Очевидно, что у-ъ^к для
всех k. Пусть, кроме того, /7( = [&'°sft]. Приступим к построению
ряда D). Положим
Мы определили коэффициенты сп и функции <?п(х) для очень
редкой последовательности номеров 1к и в то же время из ряда
E) уже взяли «большую» его часть. Определим теперь функ-
функции <?п(х) и коэффициенты сп для номеров п Ф ik. Положим си=0
при п Ф ik, а функции уп(х) при п Ф ik будем последовательно
полагать равными ф„ (х) (k=l, 2, . ..). Докажем, что так
построенный ряд D) удовлетворяет всем требованиям 1°—4°.

ЛАКУНАРНЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 421
Покажем, что ряд D) суммируем (С, 1) почти всюду. В силу
теоремы-[5.8.6], для этого достаточно показать, что
GO
2 4(bglognJ<co.
П=3
Но, в силу свойств последовательности w(n), выбора коэффициен-
коэффициентов ск и неравенства F), мы имеем
оо оо оо
2 С» (lOg lOg tif = 2 4 (loglOgljf^ 2 4 (lOg log ikf <
п=з й=з ft=3 ff
oo oo oo
< 4 2 o* (log log ftJ < 4 2 flje (ft) < 4 2 a\w fa) <
ь=з А :й=з й ь=з *
oo
2 atw(«)< oo,
1
т. е. ряд 2 си Oog l°gnJ сходится. Следовательно, ряд D) обла-
п-з
дает свойством Г.
nVn
Положим кк = —— для всех к, удовлетворяющих неравенству
У и
У
< 2n+1. Очевидно, что последовательность {кк} опре-
определена для всех k и всегда Хй < 2 log ft. Докажем, что ряд D)
является Хй-лакунарным. В самом деле, число всех ft, для которых
будет не больше чем
^ l)
Так как с„ = 0 при пф1к, то очевидно, что ряд D) Хи-лакунар-
ный и тем самым свойство 2° доказано.
Проверим выполнение свойства 3°. В силу неравенств
log in < log n!°s n = log2 n, w BVlog *») < w (n)
мы имеем, на основании F), что
2 clw(in)= 24nw(\)= 2 4„™Ю< S 4n«(»
п=1 п = 1 п \ п/ п=1 п \ п/ w=1 п
оо оо
< 2 4.™ W < 2 alw (n) <
п=1 п п=1
т. е. неравенство 3° справедливо.

Tii U НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Остается проверить выполнение свойства 4°. В самом деле,
неравенства G) не зависят от функций ^(х) (&= 1, 2, ...).
а в ряде D) отсутствуют лишь эти функции, 'так как сп = 0
при п Ф 1к. Стало быть, ряд D) обладает тем же свойством, что
и ряд E), т. е. для всякой точки х ? (а, Ь) и всякого N суще-
существуют индекс p(x)>N и индекс L такие, что
ъ
s
>а>0.
Следовательно, ряд D) всюду расходится. Теорема полностью
доказана.
§ 8. Устойчивость свойств ортогональных систем
При изучении свойств ортогональных систем большой инте-
интерес представляет вопрос об их устойчивости, т. е. о сохранении
свойств при переходе от одной системы к другой, близкой к ней
в том или ином смысле. Мы изложим здесь ряд результатов
Н. К. Бари, относящихся к этой области.
Пусть {срп} и {ф„} —две системы функций, принадлежащих L2,
Р» = Р(<Р». « = у }[<?п(х)—
\*-dx (я=1, 2, ...). A)
Эти системы функций мы будем называть близкими, если рп — оA),
со
близкими в узком смысле, если ряд 2 Р» сходится. Пусть, далее,
П=1
{ег} означает числовую последовательность е1; е2, ..., ей, ...
с е»>0. Мы скажем, что система {<Ьп} находится в {sn} -
окрестности системы [<?п], если рйОп для всех п— 1, 2, ....
Наконец, системы {<%,} и {'}„} назовем почти тождественными,
если фге (д:) == фп (х) почти всюду на (а, Ь) при любом п.
Пусть система функций {срге} обладает некоторым свойством Р.
[9.8.1] Следуя Н. К. Бари, будем называть это свойство а) слабо устой-
устойчивым, Ь) устойчивым, с) сверхустойчивым, если, соответственно,
а) для всякой системы {tyn} в некоторой {еп}-окрестности
системы {<?п)> Ь) для всякой системы {%}, близкой в узком смы-
смысле к {<?»}, или, наконец, с) для всякой близкой к {<sn) системы
{tyn} существует почти тождественная последней система {tyn},
обладающая тем же свойством Р.
Прежде чем перейти к рассмотрению устойчивости отдель»
ных свойств, докажем простую лемму.

УСТОЙЧИВОСТЬ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 423
Лемма 1. Пусть {<ри} и {tyn}—две ортонормированные на
[а, Ь\ системы функций, принадлежащих L2, и пусть
ь
"пи = (ф«. ?*) = / Ф» (*) <?h (*) dx. B)
а
Тогда для п Ф k
I ank К Р» и I апй К Pfc-
Доказательство. Прежде всего заметим, что
Р* =
Таким образом
апи) C)
или, иначе, 1—апп = -<>?гп- Числа anft(n = const, k=l, 2, ...)
можно рассматривать как коэффициенты Фурье функции %)
по ортонормированной системе {срй}. Неравенство Бесселя дает
«=1 a
Отсюда видно, что для любого кф п
а так как Iann I ¦< 1, то
откуда вытекает требуемое неравенство | аий | ^ рп. С другой
стороны, при k = const и п=1, 2, ... числа ап1с являются коэф-
коэффициентами функции срй(х) по системе {tyn}, откуда тем же путем
получаем второе неравенство | апк \ -^ рк.
Если ортонормированная система {ср„} такова, что из сходи- [9.8.2]
мости ряда Фурье функции /? L2 на множестве положительной
меры (соответственно, почти всюду) вытекает стремление к нулю
коэффициентов Фурье, то мы будем говорить, что система {срп}
обладает свойством Кантора (соответственно, свойством Кантора
в узком смысле). Эти два свойства ортонормированных систем

4Й4 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
рассматривались в [5.1.6] под названием свойств С к с. Анало-
Аналогично, система {сри} обладает свойством Данжуа—Лузина (соот-
(соответственно, свойством Данжуа — Лузина в узком смысле), если
оо
из абсолютной сходимости ряда 2 anfn(.x) на множестве поло-
иг:!
жительной (соответственно, полной) меры вытекает сходимость
оо
ряда 2 \ап\ (см> [5.1.6], свойства D и d).
Теорема. Свойства Кантора и Данжуа — Лузина сверх-
сверхустойчивы; то же справедливо и для этих свойств в узком
смысле.
Доказательство для свойства Кантора. В силу кри-
критерия [5.1.7], свойство Кантора для системы {сри} эквивалентно
неравенству
lim inf Г | сри (л:) | dx > О
Е
для любого множества Е положительной меры. В таком случае
для любого Е, тЕ > 0, найдется такое а > 0 и натуральное N,
что для всех я > N имеет место неравенство
/1 <Рп (х) | dx > a,
Е
причем а а N зависят от множества Е. Пусть теперь {<]>„}—орто-
нормированная система, близкая к {«„}. Для любого множества Е
/|/| D)
Е
Неравенство Шварца дает
/I ?»(*) —
Е
Е Е
Таким образом, для достаточно больших « имеем
и неравенство D) дает
Ji

УСТОЙЧИВОСТЬ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 425
Поэтому
liminf Г|«|>„(*)|<*х>0,
откуда вытекает, что система {<|)„} также обладает свойством
Кантора.
Доказанная сверхустойчивость свойства Кантора влечет за
собой сверхустойчивость свойства Данжуа — Лузина в силу их
эквивалентности, установленной в [5.1.8]. Сверхустойчивость
свойств cad доказывается аналогично, с заменой критерия [5.1.6]
на теорему [5.1.9].
Теперь нам понадобится
Лемма 2. Если {<р„} и {tyn} — две ортонормированные си-
системы из L?, близкие в узком смысле, то для всякой функ-
функции f?L2 разность рядов Фурье по этим двум системам схо-
сходится почти всюду на [а, Ь].
В самом деле, пусть /? Z.2,
Рассмотрим разность
««?» (*) — Ып (х) = а „[ ?я (*) — % (х)] + (а„ — р„) tyn (х). E)
Оценим разность коэффициентов Фурье
К
/
6 6
/(^)I2^ • /1 ?» W—Ф»(*)I2dx
а о
Интегрируя неравенство E) и используя эту оценку, получаем
ъ
<К1 /| ?»(*)—«!»»(*) 1<**
+K9n
w
а
а
f I фи (х) |2 dx ¦ f
rt n

426 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
оо
Так как S Р« < °° по предположению, то
оо Ъ
) — РЖ(
n=l a
откуда, в силу теоремы [1.2.4], вытекает сходимость почти всюду
ряда
что и требовалось доказать.
[9.8.3] Пользуясь леммой 2, получаем, что свойство ортонормиро-
ванной системы быть системой сходимости *) устойчиво.
Назовем две ортонормированные системы {«„} и {tyn} экви-
эквивалентными, если существует система {tyn}> почти тождествен-
тождественная {<]>„} и такая, что для всякой /? Z.2 разность рядов Фурье
по системам {<рп} и {^„} сходится на [а, Ь\ абсолютно и равно-
равномерно. Тогда справедлива
[9.8.4] Теорема. Для всякой полной ортонормированной си-
системы {сри}, состоящей из ограниченных функций, можно ука-
указать такую {еп}-окрестность, что все ортонормированные си-
системы {фп} в этой окрестности эквивалентны {<?п}. Если
все <ри ограничены в совокупности, то можно принять еп = — .
Докажем предварительно следующую лемму:
Лемма 3. Пусть {«„} — полная ортонормированная си-
система, состоящая из ограниченных функций. Для любой после-
последовательности положительных чисел {i\n) можно найти
последовательность {еп} со следующим свойством: если {tyn} —
ортонормированная система и
Р« = Р(Фя. ?я)<81. (Я=»1, 2,. ...),
то можно найти почти тождественную ей систему {фи}, для
которой |фп—?n|<^Ci?n (л=1> 2> ¦••)> г&е К означает кон-
константу, не зависящую от п и от х.
Доказательство. Пусть | <fn(x) \ < Мп (п = 1,2, . ..). Вы-
Выберем числа еп таким образом, что
оо
2°. Ряд 2 МпУ~ъп сходится.
1
*) См. определение [9.2,2].

УСТОЙЧИВОСТЬ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЙМ
427
Пусть теперь {ф„} — ортонормированная система, для которой
р (ф„, «>»») < ^п- Как и раньше, обозначим через апк коэффициенты
Фурье функции tyn(x) по системе {<fk}. Ряд Фурье для разности
tyn(x) — ?»(•*) п0 системе {<р&} имеет вид
) — ?„
Из леммы 1 вытекает, что | апк |
1 I
кфп
F)
дает
иб°
р„рй (k ф п). Далее, C)
2- Действительно, р2 =
ь / б \
/ (Ф« — ?«J ^ = 2 I 1 — J фп9и йд; 1. С другой стороны,
а V а /
= l, так что
и р^ ^ 4. Тогда ряд F) мажорируется рядом
кфп
Последний ряд сходится в силу условия 2°. Кроме того, по усло-
условию 1°, сумма этого ряда <.Кч\п, где К — некоторая постоян-
постоянная. Итак, ряд F) абсолютно и равномерно сходится. Обозначив
его сумму через gn(x), имеем | gn(x) | < Ki\n. Но, так как си-
система {<ри} полна, а коэффициенты Фурье функции gn(x) совпа-
совпадают с коэффициентами Фурье разности tyn(x) — уп(х)> то
fti (*) = Ф»"(*) — ?»(*) почти всюду.
Теперь достаточно положить %(x) = <fn(x)-\-gn(x), и мы получим:
«!>„(*) = Ы*) П0ЧТИ ВСЮДУ' |Фп(*) —?п(*)| = 1вп(*)|<^п.
что и требовалось. Таким образом, лемма 3 доказана.
Мы можем теперь перейти к доказательству теоремы [9.8.4].
Пусть опять | <оп(х) | <; Мп. Выберем такую последовательность {i7n},
00
что 2 rf < °°> и последовательность {еп} в соответствии с усло-
виями Г, 2° леммы 3. В силу этой леммы, если для ортонорми-
рованной системы {ф„} удовлетворяется неравенство р„ < sn,
то найдется почти тождественная ей система {фп}, для которой

428 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯД08
1?»• Пусть /?L2 и
сю с»
и=1 я=1
где
6 ь
«» = //(*) <Р* (х) dx, pn = ]"/(*) ф„(х) d* (я = 1, 2, 3,
а а
Тогда мы имеем
К
J7c*)i<Pn (*)—+» <
/b b
fp (x) dx • f | «pn (*) — ф„ (л) p dx < CPn,
где константа С не зависит от п. Далее,
К<р»(*) — РЖМ1 = К«п—
G)
00
Так как в силу свойства 2° ряд 2 ^nV^Pn сходится, а рп->0,
n=i
оо
то ряд 2 Л^»Ри также сходится. Кроме того,
СО 00
причем ряд 2 rfn сходится в силу выбора {i\n}, а ряд 2 $п схо"
дится, ибо рп суть коэффициенты Фурье функции /? L2. Но тогда
неравенство G) показывает, что ряд
сходится абсолютно и равномерно, чем теорема [9.8.4] доказана.
Не останавливаясь на выборе чисел е„ в случае равномерной
ограниченности функций <?п(х), укажем без доказательства ряд
интересных следствий, вытекающих из теоремы [9.8.4].
[9.8.5] Назовем системой равномерной сходимости такую ортонор-
мированную систему, для которой ряд Фурье любой непре-

Устойчивость свойств ортогональных Систем 429
рывной функции будет равномерно сходящимся. Системой равно-
равномерной сводимости является, например, система Хаара [4.4.1].
'Свойство полной ортонбрмированной системы быть систе-
системой равномерной сходимости слабо устойчиво.
Пусть {ф!} — полная ортонормированная система, состоящая
из ограниченных функций, и 5сL2 — множество функций, имею-
имеющих абсолютно, сходящийся ряд Фурье по этой системе. Свойство
«для всех. /? Б)?яд Фурье абсолютно сходится» слабо устойчиво.
Будем называть множество Е базисом абсолютной сходи-
сходимости для системы {сри}, если из абсолютной сходимости ряда
оо со
2 сиср„ (х) на Е вытекает сходимость ряда 2 Ы- Через В =з [Е]
обозначим множество всех базисов абсолютной сходимости для
данной системы. Если {сри}—полная ортонормированная систе-
система, то свойство «всякое множество Е?В есть базис абсо-
абсолютной сходимости» слабо устойчиво.
Приведем без доказательства еще некоторые устойчивые
свойства ортогональных систем.
Для полной ортонормированной системы свойства [9.8.6]
a) состоять из функций, ограниченных в совокупности,
b) состоять из функций, непрерывных и ограниченных в
совокупности,
являются устойчивыми. Свойства
c) состоять из ограниченных функций,
d) состоять из непрерывных функций
слабо устойчивы. Из Ь), между прочим, вытекает, что не сущест-
существует ортонормированной полной системы, близкой в узком смыс-
смысле к тригонометрической и состоящей из ступенчатых функций.
Наиболее сложным и интересным является вопрос об устойчи-
устойчивости свойства полноты систем функций. Введенные ранее поня-
понятия близости систем являются уже недостаточными. В дальнейшем
мы будем пользоваться следующим определением:
Две системы функций {сри} и {tyn} называются квадратично
оо
близкими, если 2р».< °°- ^ри этом, как и раньше,
1
у J>»(*)—ф»
A)
К вопросу об устойчивости свойства полноты систем функций
относится следующая теорема Н. К. Бари, в которой мы огра-
ограничимся пока рассмотрением ортонормированных систем:
Если {<р»@} и {Ф»@} — две квадратично близкие ортонор- [[9.8.7]
мированные системы, то они либо обе полные, либо обе неполные.

430 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Предположение об ортогональности системы {фи} не/ является
необходимым. Имеет место и следующая более общая теорема,
также принадлежащая Н. К. Бари:
[9.8.8J Пусть {сри}—полная ортонормированная система. Среди
всех нормированных систем, квадратично близких к ней, бу-
будут полными все минимальные системы *) и только они.
Теорема [9.8.8] использовалась некоторыми автррами при изу-
изучении полноты конкретных систем функций, возникающих, напри-
например, при исследовании некоторых вопросов математической физики.
' Естественно поставить вопрос о дальнейшем обобщении тео-
теоремы [9.8.8], заменив, скажем, требование ортонормированности
системы {ср„} требованием минимальности. Такая замена оказы-
[9.8.9] вается невозможной. А именно, возможно построить две квад-
квадратично близкие минимальные системы, одна из которых полная,
а другая неполная. Тем не менее, теорема [9.8.8] допускает
обобщение, если заменить требование ортогональности одной из
рассматриваемых систем предположением о том, что одна из систем
является базисом Рисса (см. [9.9.8]).
Доказательства теорем [9.8.7] и [9.8.8] мы здесь не приводим,
ибо эти теоремы являются частными случаями теоремы [9.9.8].
§ 9. Базисы в гильбертовом пространстве как обобщение
ортогональных систем
Как известно, последовательность {хп} элементов некоторого
{9.9.1] банахова пространства называется базисом, если каждому эле-
элементу 'х этого пространства1 можно поставить в соответствие
единственный ряд
со
х ~ 2^ Хп(х)хп,
и = 1
сильно сходящийся к л; по метрике данного пространства. Оче-
Очевидно, что всякая полная ортогональная система является базисом
в Z.2, и соответствующий ряд из [9.9.1] будет рядом Фурье.
Обратное, разумеется, неверно. Тем не менее, С. Банах показал,
что всякий базис в банаховом пространстве является В-системой,
т. е. если \хп) — базис, то существует система \Хп) линейных
функционалов, такая, что \хп), \Хп) является биортогональной
системой (см. [8.1.1]). (Подробнее об этих вопросах см. книгу
С. Банаха [1].) Таким образом, базис является естественным и не-
непосредственным обобщением понятия ортогональной системы.
Представляет интерес вопрос о том, в какой мере свойства орто-
ортогональных систем могут быть перенесены на базисы. Мы приведем
здесь ряд результатов, касающихся базисов в пространстве L2.
*) О минимальности системы см. [8.1.7].

БАЗИСЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 431
Пу«гь {фи} и [gn} — две полные системы функций из L2,
образующие биортогональную систему, т. е. удовлетворяющие
соотношению
ь
Фп. 60 = / % (х) gk (x) dx = Ьп1с =
а *¦
0 при п Ф k,
1 при n = k.
Назовем В-сицтему {tyn} бесселевой, если для любой функции
со
/? L2 ряд ,2 с« (си —(/• §п) — коэффициенты Фурье биортого-
нального разложения функции / по системе {ф„}) сходится.
Н. К. Бари указала следующий критерий для бесселевых систем:
Для того чтокы В-система {фи} была бесселевой, необхо-
димо и достаточно, чтобы в пространстве L2 можно было
определить такой ограниченный линейный оператор А*), что
система функций {срй}, определенная равенством А% = <рп
(и=Г,2, ...), является полной ортонормированной системой.
Для доказательства этой теоремы нам необходимо будет вос-
воспользоваться следствием из одной теоремы И. М. Гельфанда,
относящейся к теории линейных пространств.
Пусть. ?—банахово пространство, в котором определен функ-
функционал р(х). Функционал р(х) будем называть выпуклым, если
он обладает свойствами:
1°. р(х)>0,
Р(+у)<()
3°. р(ах)==\а\.р(х).
Функционал р(х) называется полунепрерывным снизу в точке
хо?Е, если для всякого е>0 существует такое 8>0, что при
всех х?Е, для которых |]д: — лго||<8, имеем р(х0) — р(лг)<е.
Лемма. Если р (х)— выпуклый функционал, полунепрерывный
снизу в каждой точке Е, то существует такое М > 0, что
для всех х?Е
р(х)<СМ\\х\\. A)
Достаточно показать, что функционал р{х) ограничен хотя бы
в одной сфере Цд: — д:0|| <§, которую мы обозначим К (х0; 8).
Действительно, если для х?К имеем р(х)<.С, то, пользуясь
свойствами 2° и 3°, получаем
р (х — лго)< р (х) + р (— а-0) = р (х) + р (хо)< 2С,
*) В настоящем параграфе под линейным оператором понимается
такой оператор А, что А (Кх + |*у) == ЪА (х) -\- цЛ (у). Поэтому требова-
требование ограниченности оговаривается особо. :

432 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Для любой точки сферы К@; 1), т. е. для любого у с О||< 1.
положим у = — (х — х0). Тогда
ч ^ 1С
Xo)< — .,
т. е. функционал р(х) ограничен в любой точке сферы
а значит, вследствие свойства 3°, и в любой точке Пространства Е.
Пусть теперь функционал р(х) не ограничен в/сфере Ki@; 1),
а также в любой сфере внутри нее. Выберем тойку хх так, чтобы
p(xt)>l. Так как р{х) полунепрерывен в хг,снизу, то, выбрав
е>0 так, чтобы />(*,)— е> 1, мы сможем Подобрать \ таким
образом, чтобы р(хг) — р(х)<е при \\х — xt||< 8. Итак, р(х)>
>Р(хд— ei> 1 Для всех х € Кг (xv h)- Так как функционал р (л)
не ограничен и в сфере К2, то, как и выше, можно найти точку
х2^.К2 с /?(х2)>2 и число 82 так, чтобы /?(*)> 2 для всех
х€^з(Х2' %г)' Далее можно выбрать х3?К3 с р(х3)> 3 и т. д.
Предположив дополнительно, что S^-^О, мы легко получаем,
что существует точка хо?Кп(п~ 1.2, ...)» в которой при всех
п должно выполняться неравенство р(хо)>п. Полученное проти-
противоречие доказывает лемму.
Из этой леммы вытекает, что выпуклый полунепрерывный
функционал непрерывен. В самом деле, пусть хо?Е. Так как
\)<)()> то
Р (х)—Р Ы< Р (х — хо)< М \\х — х01|,
так что для любого е>0 при \\х—ло||<8 мы имеем
С другой стороны, р(х0)—р(хХ& в силу полунепрерывности
функционала р(х), так что
при ||jc — хо[|<8, что и доказывает непрерывность.
Теорема И. М. Гельфанда. Пусть рг(дс), р2(х), ....
рп(х), ...—последовательность выпуклых непрерывных функ~
ционалов в Е. Если эта последовательность ограничена в каждой
точке Е, то функционал
p(x) = s\xppn(x)
п
также выпуклый и непрерывный в Е.
Доказательство. Выпуклость функционала р{х) очевидна.
Пользуясь замечанием, сделанным после приведенной выше леммы,

БАЗИСЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 433
достаточна показать, что функционал р(х) является полунепре-
полунепрерывным сн\зу. Пусть хо?Е. Выберем число N так, чтобы
после чего зафиксируем число N. Выберем, далее, число 8 > О
таким образом, чтобы
\PN(xo)—pN(x)\<~ для ||* — *о11<8.
что возможно в силу непрерывности pN (х). Тогда для \\х — лсо|| < 5
имеем
Р (хо)—р (х) <pN (х0) -j- j—sup рп (х) </>^ (х0) + -J — PN (*)< е-
чем полунепрерывность, а значит, и непрерывность функционала
р{х) доказана.
Следствие. Пусть ft(х), /2(х), ..., fn(х), ... — последо- [9.9.3]
вательность линейных функционалов в Е. Если для всех х?Е
оо
ряд ^\/п(х)\Р(р~^-\) сходится, то существует такое М > О,
п = 1
что
оо
2|/»(*)г°<М"№- B)
В самом деле, положим
г.(д)|р (я=1,2, ...)
и р(х)= Hm pn(x) = s\xppn(x). По теореме Гельфанда функцио-
П->оо П
нал /?(дг) является выпуклым и непрерывным, так что к нему
можно применить лемму. Неравенство A) дает
р /~~^>
где />(х) = 1/ 2 1/п(*Iр> откуда и вытекает требуемое нера-
неравенство B).
Перейдем теперь к доказательству теоремы [9.9.2].
Необходимость условия. Пусть {<р„} — некоторая полная
ортонормированная система и f^L2: По определению бесселевой
СО
системы 2 с\~ 2 (/> §'пJ<'00- По теореме Рисса — Фишера
п 1 h = 1
2 \
п = 1 h = 1
2S Зах. 2542. С. Качмаж и Г. Щтейигауз

434 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
заключаем, что существует единственная функция F?Lf, имеющая
{сп) своими коэффициентами Фурье по системе {<р„}/ Положим
Af=F. C)
Покажем, что оператор А, определенный равенство^ C), является
искомым оператором. Очевидно, что оператор А определен всюду
в L2 и является линейным. Далее, так как (фи, gk)f=bnlc, то Лфи =
== сри(га =1.2, .. .).' Остается показать, что оператор А ограничен.
Но каждое из чисел сп можно рассматривать как линейный
функционал в L2, и применение [9.9.3] с р — У дает
где М не зависит от /, так что
1И/1! -
что и требовалось доказать.
Достаточность условия. Пусть для линейного ограничен-
ограниченного оператора А
А% = 9п (я =1,2,...)-
где {<рп} — полная ортонормированная система. Рассмотрим сопря-
сопряженный оператор А*. Так как
то (фп, Л*<р,—ft) = 0 (n= 1,2, . ..),
так что A*(fk—gk ортогональна всем <]>„, откуда, в силу предпо-
предположенной в самом начале полноты системы {<1>п}. следует, что
А*<вк —gk (/г=1,2, . . .). Пусть теперь f?L2 и Af^=F, причем
F?L2, ибо А — ограниченный оператор. Для полной ортонорми-
рованной системы {<рп}
2(F, ?J2<oo. E)
n=l
Но мы имеем
(F, ?„) = (Л/, <?„) = (/, ^?») = (/. ЙГя).
так что неравенство E) означает, что
т, е. система {^WJ является бесселевой. Теорема [9.9-2] доказана.

ЁазиСы в гильбертовом пространстве 435
Как мь\ видели (неравенство D)), если система {<]*„} бессе-
лева, то Существует константа М такая, что для любой
f?L* ¦
Введем теперь понятие гильбертовой системы. В-систему
функций {gn} мыубудем называть гильбертовой, если для любой
последовательности {сп} ? I2 существует единственная функция /,
для которой {сп} хявляются коэффициентами биортогонального
разложения по системе {gn}, т. е.
'„ = {/. <Ы (я=1, 2, ...)•
Для того чтобы [gn] била гильбертовой системой, необ- [9.9.4]
ходило и достаточно, чтобы в L2 бил определен такой ли-
линейный ограниченний оператор С, что
gn = Cvn (« = 1, 2, ...),
где {»„} — некоторая полная ортонормированная система.
Достаточность. Пусть {»„} — полная ортонормирован-
ортонормированная система и. gn = Cron, где С — ограниченный линейный опера-
тор. Пусть, далее, {Ап}—числовая последовательность
Существует функция f?L2, для которой (/, <рга)=Лп(л=1, 2,...) и
п=1
Положим C/=F. В силу линейности и ограниченности С, имеем
Таким образом, функция F разлагается в ряд по функциям {gn},
так что An = (F, tyn), и так как функция F единственна, в силу
полноты {<}»„}, то система {gn} — гильбертова.
Необходимость. Пусть {gn} — гильбертова В-система и
система {%} — ее сопряженная. Ортогонализируем систему {<}>„}
по методу Шмидта (см. [3.1.3]) и обозначим полученную ортого-
ортогональную систему через {<рп}. Можно считать, что система {»„}.
является нормированной. Для любой функции f?L2 имеем
оо
/~2 Al?Jl' ГДе An — (f> ?!»)• (J)
28*

436 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РяДО#
Так как ряд 2 An сходится, а система {gn} гильбертова, то
П=1 со
существует функция F, для которой F ~ 2 Ап ё#> причем
An = (f> <?n) = (F, фп) («=1,2,...). Положив
F = Cf, (8)
мы определим оператор С для всех функций в/ L2. Очевидно, что
этот^оператор является линейным и что Cyn — gn. Остается
доказать ограниченность оператора С. Рассмотрим теперь линей-
ный_оператор А, положив его для функций системы {фи} равным
Atyn = <ри. (9)
Тогда оператор А будет определен на всех линейных комбина-
комбинациях функций фи (в частности, на всех <рп), т. е. на всюду
плотном множестве в L2, поскольку система {<})„} предполагается
полной, а значит, и замкнутой. Для этих же функций будет
определен сопряженный оператор А*. Однако
(А*<рп, ф^) = (срп, Лфд) = (срп, ?й) = 8ий. A0)
Так как система {tyn} полная, то из A0) следует, что A*yn = gn,
т. е. для всех <вп имеем А* = С. Таким образом, оказывается,
что введенный в (9) оператор А совпадает с С*. Покажем теперь,
что если для определенного в L2 оператора С сопряженный опе-
ратор^С* -определен на всюду плотном множестве в U- и его
значения также принадлежат L2, то оператор С ограничен.
Итак, пусть оператор Л = С* определен для всех линейных
комбинаций функций системы {<]>„}, и {»„}, как и выше, — орто-
нормированная система, полученная ортогонализацией системы
{(!)„} методом Шмидта. Пусть теперь f?L? и
Положим F — Cf. По условию, F?L2, так что
со
причем Bn = (F, <ри) и
со
Для чисел Вп имеем

ЙАЗИЙы в гИЛЬЬВРтойОм пространстве 437
Очевидно, что каждое Вп можно рассматривать как линейный
функционал от /. Неравенство A1) позволяет воспользоваться
теоремой Ю.9.3] с р = 2, откуда следует существование такого
числа М, we зависящего от /, что
Последнее неравенство означает
\\Cf\\ = \\F\\
1 / "V о2
У п = 1
т. е. ограниченность оператора С, чем теорема [9.9.4] полно-
полностью доказана.
Пусть теперь {gn) — гильбертова система и [Ап] — числовая
со
последовательность с 2 ^» <С °° • Как мы видели [см. G), (8)],
существуют функция f?L2, для которой Ап=(/, «р„), и ?
с (F, <1»И) = ЛИ, причем F=Cf, где С — ограниченный оператор.
Но тогда
\\П\<к\\й,
где К — постоянная. Отсюда имеем
f n=l
II/К*!/ ZiAn = Ky Z(F,tynJ. A2)
f n=l f n=l
Полагая K~— и возводя A2) в квадрат, получаем, что если
оо
система {gn\ гильбертова и если 2^»<°°. т0 существует
п=1
такая постоянная т > 0, что
оо
2 е7. W2^2 \\f||2. A3)
где {|{)„} — сопряженная система, a An = (F, tyn) (ra= 1, 2, ...).
Теоремы [9.9.2] и [9.9.4] могут быть легко переформули-
переформулированы в терминах матриц, для чего необходимо ввести следую-
следующее определение:
Бесконечная матрица ||anfe|| называется ограниченной в смысле
Гильберта, если для любых двух последовательностей {хп},
\Уп) € 1г и любых натуральных тар
т р
=1 к = 1
< АГ

438 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
где М — фиксированная постоянная, зависящая только/ от ма-
матрицы. Пользуясь этим определением, критерии для бёсселевой
и гильбертовой систем можно формулировать следующим образом:
[9.9.5J 1. для того чтобы система {tyn} была бесселевой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы матрица коэффициентов разло-
разложения сопряженной системы {gn) no некоторой полной
ортонормированной системе {ч>п) была ограничена в смысле
Гильберта.
2. Для того чтобы система {gn} была гильбертовой, не-
необходимо и достаточно, чтобы матрица коэффициентов раз-
разложения функций системы {gn} no некоторой полной орто-
ортонормированной системе была ограничена в смысле Гильберта.
Из этих формулировок, между прочим, вытекает, что если
одна из В-систем бесселева, то сопряженная ей система —
гильбертова, и наоборот.
Формулировки теорем [9.9.5] требуют привлечения некоторой
полной ортонормированной системы, не связанной с данными
системами. Как показано Н. К. Бари, критерии для бесселевых
и гильбертовых систем могут быть сформулированы в терминах
самих этих систем. Наиболее удобная формулировка получается,
если воспользоваться понятием матрицы Грама системы функций.
При этом под матрицей Грама бесконечной системы функций,
аналогично случаю конечной системы, мы понимаем матрицу
ОК. № (Фг. Ь) ¦¦¦ Oh. %) • • •
(Ф». -W (Ф»> <Ы ••• (ф„, W ¦•'¦
3. Для того чтобы система {фи} была гильбертовой (соот-
(соответственно, бесселевой), необходимо и достаточно, чтобы
матрица Грама этой системы (соответственно, сопряженной
ей системы) была ограничена в смысле Гильберта.
Как показали М. Кац, Р. Салем и А. Зигмунд, для гильбер-
гильбертовых систем*) справедлива теорема Меньшова — Радемахера
[5.3.5] —[5.3.71.
Подобно тому как теорему [9.9.2] можно было формулиро-
формулировать в терминах матриц, приведенное выше условие 3 для гиль-
гильбертовой и бесселевой систем можно формулировать и в терми-
терминах операторов без привлечения ортонормированной системы.
Имеет место следующее условие:
4. Для того чтобы система {tyn} была бесселевой, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы существовал ограниченный поло-
*) Авторы называют такие системы квазиортогональными.

БАЗИСЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 439
жительный эрмитов оператор В, определенный в L2 и ото-
отображающий систему {<]>„} на сопряженную ей систему {gn},
т. е.
B% = gn (я=1. 2, ...)•
Необходимость. Пусть {tyn}-—бесселева система. По
теореме [9.9.2] существует полная ортонормированная система
{<ри} и ограниченный линейный оператор А такие, что Л(]>п=<рп
(л = 1, 2, . ..). Как было показано в [9.9.2], при этом для всех п
имеет место равенство A*<sn — gn, где А* — сопряженный опера-
оператор, a {gn}—сопряженная {^„} система. Отсюда мы получаем
или, если обозначить А*А = В,
Известно, что полученный оператор В является положительным
эрмитовым оператором, ограниченным вследствие ограничен-
ограниченности А, чем доказана необходимость условия 4.
Достаточность. Пусть условие 4 выполнено, т. е. суще-
существует ограниченный положительный эрмитов оператор В, для
которого Btyn = gn (л = 1, 2, ...). Как известно, для такого
оператора В должен существовать также самосопряженный опе-
_i_
ратор А —В2 , т. е. такой оператор А, для которого А2 —В.
Положим, для всех л=1, 2, ...
Покажем, что полученная система {<ьп\ будет полной ортонор-
ортонормированной системой. Действительно,
что показывает ортонормированность системы {<?„}¦ Остается
доказать полноту этой системы. Пусть при л=1, 2, ... имеем
(/. ?я) = 0- Тогда (/- ^Фи) = 0, г. e. {Af, ф„) = 0. Так как си-
система {%} полна, то Af=0, откуда вытекает, что /==0. Итак,
система {?„} является полной ортонормированной системой и суще-
существует такой оператор А, что Лф„=<ри (л—1, 2, ...). В силу
теоремы [9.9.2] система {<}>„} является бесселевой, что и доказы-
доказывает достаточность условия 4.
Отсюда легко вытекает аналогичное условие для гильберто-
гильбертовых систем:
5. Для того- чтобы система {gn} была гильбертовой, не-
необходимо и достаточно, чтобы существовал определенный
всюду ограниченный эрмитов оператор В, для которого
Btyn — gn (я—1, 2, ..,), где {tyn} — сопряженная система,

440 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Нетрудно видеть, что условия 4 и 5 эквивалентны условию 3.
Системы функций, которые являются одновременно бесселе-
i 1 выми и гильбертовыми, мы назовем системами Рисса — Фи-
Фишера. Очевидны следующие свойства этих систем:
a) Если одна из двух сопряженных В-систем является
системой Рисса — Фишера, то и другая также.
b) Для того чтобы система {ф„} била системой Рисса —
Фишера, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой
обратимый линейный ограниченный оператор D, 4moDtyn = <on,
где {сри}—некоторая ортонормированная система.
c) Если {фп)—система Рисса — Фишера и /??2, то суще-
существуют четыре константы М, т, К и k такие, что
оо
т2 «/И 2< 2 (А gnJ<M* 11/112. A4)
п=1
?211/112<2(Л -КJ < к2 И/И2. A5)
и = 1
где {gn}—сопряженная система.
Неравенства A4) и A5), представляющие важное обобщение
равенства Парсеваля на случай биортогональных систем Рисса—
Фишера, получаются простым применением неравенств- F) и A3).
Можно показать, что всякая система Рисса—Фишера является
базисом. Такие базисы мы будем называть, следуя Н. К. Бари,
[9.9.7] базисами Рисса. Имеются, однако, примеры базисов, не являю-
являющихся базисами Рисса *).
Первый из таких примеров был построен К. И. Бабенко.
И. М. Гельфанд показал, что для того чтобы нормированный
базис являлся базисом Рисса, необходимо и достаточно,
чтобы любая его перестановка также была базисом **).
Свойство системы быть базисом Рисса является квадрати-
чески устойчивым. Именно, имеет место следующая
[9.9.8] Теорема. Всякая минимальная система***), квадрати-
чески близкая к базису Рисса, также есть базис Рисса.
Доказательство. Пусть {<?„} — базис Рисса и {tyn} —
минимальная система, квадратически близкая к {уп}- Для произ-
оо
вольной функции f(x)?L2 имеем /(*)= 2сп?п(д0> причем
1
*) Здесь речь идет о нормированных базисах, не являющихся бази-
базисами Рисса, так как примеры не нормированных базисов, обладающих
этим свойством, строятся тривиально.
**) Такие базисы И. М. Гельфанд называет эквивалентными орто-
ортогональным.
***) Определение минимальной системы см. [8 1.7].

ЁАЗИбЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 441
со
2 с« < + °° • Рассмотрим ряд
00
2 сп[*вп(х)'—Ф« (¦?)!•
п=1
Так как
!т+р 112 т+р
^гг Г > ^1 2
и правая часть последнего неравенства стремится к нулю при
т ->¦ оо, то наш ряд сходится. Поэтому мы можем положить
со
причем, очевидно, F(x)?L2, и определить оператор U равен-
равенством
Uf=F.
Покажем, что определенный всюду в L2 оператор U является
вполне непрерывным.
Пусть К — фиксированное число и задано е>0. Выберем
со
число N настолько большим, чтобы 2 II?и — Ф»112 < е- Тогда
для любой функции / сферы ||/|| </( в L2 будем иметь
оо ||2
= N+1 О
со оо
Si I и . „ I . y о v^ и . и, - v 1
n-N+l ) n=N+l n=N+l n = l
Далее, так как {сри} — базис Рисса, т. е., в частности, бесселева
система, то мы можем воспользоваться неравенством F), что дает
U— 2 *»(?»-№
Таким образом, все функции F, принадлежащие семейству образов
сферы H/II ^К> можно одновременно с какой угодно точностью при-
N
близить функциями семейства 2 си(?и—фп)> А^=Л^(е). В силу компакт-
компактности последнего, компактно также и семейство образов F = Uf
для ||/|| ^.К, что доказывает полную непрерывность введенного
нами оператора U. Положим теперь
Ф (*)=/(*) — F(x),

442 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОЙ
так что
со
ф (*) = Se^fiW-
Введем новый оператор А, определенный равенством Af= Ф.
Тогда, очевидно, оператор А будет всюду определенным линей-
линейным ограниченным оператором, причем Л = ?? — U, где Е — еди-
единичный оператор. Нетрудно видеть, что Лср„ = ф„ («=1,2,...).
Пусть теперь для некоторой функции/ ?I2, f(x)~
я=1
со
имеем Л/ —0. Тогда 2 cntyn(#) == 0, откуда, в силу минималь-
п = 1
ности системы {фп}, вытекает, что с„ = 0 (я=1, 2, . . .), т. е.
/(jc)==O почти всюду. Иначе говоря, уравнение .4/=0 не может
иметь иного решения, кроме тривиального. Но в таком случае,
в силу известной теоремы, оператор Л = ? — U будет обратимым
и мы можем воспользоваться свойством Ь) систем Рисса— Фишера
(см. [9.9.6]). В самом деле, так как система {ер„} есть базис Рисса,
то существует обратимый оператор Dv отображающий систему {«„}
на некоторую ортонормированную систему {ум}
Di9n = Xn (я = 1, 2, ...)•
Равенство A<on = tyn дает нам ср„= Л~хфп, так что существует
обратимый оператор D2, для которого
ибо достаточно положить D2 = DXA . Отсюда следует, что
система {tyn} также является системой Рисса—Фишера, т. е. базисом
Рисса, чем теорема 19.9.8] доказана.
Приведем еще одну теорему, касающуюся свойств систем
в окрестности базиса, принадлежащую М. Г. Крейну, Д. П. Миль-
ману и М. А. Рутману.
[9.9.9] Пусть {я*} — базис в пространстве Е. Существует такая
последовательность положительных чисел {8^}, что любая
последовательность элементов {у^, у&Е, для которой
И*»—Jill < 8»> является базисом в Е.
Пользуясь определением [9.8.1], в котором р„* определяется
в метрике пространства Е, можно сказать, что теорема 19.9.9]
означает слабую устойчивость свойства быть базисом.
Доказательство. Как известно, коэффициенты с^ в раз-
оо
ложении jc = 2ci-*;i являются линейными функционалами от эле-

БАЗИСЫ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 443
мента х,
Положим
и докажем, что последовательность {84} "является искомой, т. е. что
всякая последовательность {уг} в {8{} -окрестности (по норме Е)
базиса {хг} также является базисом. Рассмотрим оператор
оо
S(*) = 2/»(*)(**—Уд' гДе \\xi—УЛ<К и оценим норму
этого оператора,
W1- Aб>
Для элемента S (х) имеем
2 или •
так что ||51|-^-я-» Определим теперь оператор U равенством
со
A7)
так как ||5||^-2->т0 существует обратный оператор
U =A— 5)
оо
Пусть .У = 2/»ОО ¦*•»¦ Положим y — U'1 (x). Тогда
i=i
U-\x) = ^lfi(U-\x))xi. A8)
i=l
Применив к обеим частям равенства A8) оператор U, мы получим
Таким образом, мы получили разложение элемента х по системе {уг}.
Остается показать, что разложение A9) единственное, т. е. что

О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
если
со
^?iy». B0)
то di-=fi(u~1(x)). Для того чтобы это показать, применим
~l\
к равенству B0) оператор U~l\ это дает нам
DO
откуда следует di = fi(ll ' (x)), что и требовалось. Тем самым
теорема [9.9.9] полностью доказана.
[9.9.10] Понятие базиса, в свою очередь, подвергалось различным
обобщениям. Одно из интересных обобщений, принадлежащее
В. Я. Козлову, основано на применении методов суммирования
числовых рядов.
Пусть 7^=11^11—матрица, определяющая метод суммиро-
суммирования и удовлетворяющая обычным условиям Теплица 11.1.9].
Систему элементов {х^(хг?Е, ||л^|| = 1, /=1, 2, ...) мы
будем называть Т-базисом пространства Е, если каждому
элементу х?Е соответствует единственный ряд вида [9.9.1],
суммирующийся к х методом Т.
Нетрудно привести примеры Г-базисов, не являющихся базисами
в обычном смысле. Например, теорема Фейера [4.3.2] показывает,
что тригонометрическая система служит в пространстве С базисом
Чезаро, т. е. (С, 1)-базисом, тогда как базисом в обычном
смысле тригонометрическая система для пространства С не является.
§ 10. О почти ортогональных системах
Пусть {Фп(х)} («==1, 2, . . .) — бесконечная система действи-
действительных функций, определенных на отрезке [а, Ь], и, кроме того,
пусть все функции Фп(х) принадлежат L?(a, b) и
ь
!>l(x)dx=l (n=l, 2, ...).
*т, п ¦
Обозначим
&
?фт(х)Фп(х)а'х при тфп,
a
О при т = п.
J9.10.1J Система функций {$re(*)} называется почти ортогональной
на отрезке la, b], если
где сумма берется по всем парам (т, п) при /и^-1, и^-1.

О ПОЧТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ 445
Заметим, что существуют еще и другие понятия ортогональ- [9,10.2]
ных и почти ортогональных систем функций (см., например,
литературу, указанную под номером [9.10.2]).
Мы же займемся рассмотрением почти ортогональных систем
функций в указанном выше смысле. Оказывается, что относительно
таких систем справедливы теоремы, аналогичные неравенству
Бесселя, теореме Рисса—Фишера и др., доказанные Р. Беллмаиом.
Теорема. Если [Фп(х)} — почти ортогональная система [9.10.3]
функций на отрезке [а, Ъ\ и действительная функция
f(x)?L*(a, b), то
A Ь
fc=l
где
а
Доказательство. Очевидно, что справедливо равенство
п п Ь Ь
Ь г- п -I
=/tw 2**ф*м\dx-
Применяя неравенство Шварца к правой части, получаем
1 \_
п I Ъ yj [ ь Г п "I2 | 2
J
[ ь Г п "I
la Yk = l J
Так как ai>;)- = 0 при l=j, то, применяя еще раз неравенство
Шварца уже для сумм, мы получим
6 г n 12 n (n,n)
a [.k=l J
Л=1 A, 1)
кф\
. C)

446 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Из неравенств B) и C) следует, что
I /(со, оо) \Т!'/Я \Т~ ( b
1_
2" _ 1_
2
п I /(со, оо) \Т!'/Я \
2«< i+ 2*. 2*
=1 I \ A,1) / J U=i /
fc = l У \ A, 1) / J U = l / la J
т. е. для любого п
n I /(со, со) % I "
k=l I \ A, 1)
и, стало быть,
1 \
/(со, 00) i~| 6
\ A.1) /
Неравенство A) доказано.
Очевидно, что если система функций {Фп(х)} ортогональна
на отрезке [а, Ь\, то неравенство A) превращается в неравенство
Бесселя.
Г9.10.4] Теорема. Пусть {Фп{х)\ — почти ортогональная система
функций. Если последовательность чисел {bk} такова, что
то существует функция f(x)?L2(a, b), для которой
со 1 Ь ,2 / со .
k = l\ a j \k,l /U = l /
и, тем более,
(
lim Ь„ —
п
Доказательство. Положим sn {x) ¦=. 2 ЬкФк (х). Очевидно,
К — 1
что при т > п
Ь b г- т -i2
(sm (х) — sn (x) fdx = /
a a L
-i2
dx =
J

О ПОЧТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
44?
т
= 21 .**+ 21
к=п+1
2
¦-n+
2
п-Ц<Л, Km
<
((oo, oo) . 2
24.
A. 1) /
E)
Так как ряд 2 b\ сходится, то из неравенства E) вытекает, что
последовательность sn(x) сходится в среднем в некоторой функ-
функции Г(х)?1*(а, Ь), т. е.
im f [/(*)—sn(x)]2dx^
lim
(см. теорему [1.3.1]). Покажем, что функция f(x) удовлетворяет
требованиям теоремы. Рассмотрим разность
= bk—§ sn{x)<&k{x)dx +
-t-'flsn(x)—f(x)]<!>k(x)dx. F)
а
Пусть п > k. Тогда, в силу неравенства Шварца,
ь
jlsn(x)-f(x)]$>k(x)dx
а
<ff\f(x)sn(x)\*dx) /j®!(x)rf*j =
\ь
G)

448 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Кроме того,
6 п
bk — fsn (х) Фл (х) их == 2 bfii% k,
a j = l
так как ак j —0. Поэтому мы имеем
1
6
ч— Гsn(x)®k(x)dx
Объединяя F), G) и (8), получим
ь
bk—ff(x)®k(x)dx
i=l
=i
Если возьмем /i->oo, то получим неравенство
ь
(9)
Возведем обе части неравенства (9) в квадрат и после этого
просуммируем по к; тогда
т. е. неравенство D) справедливо, что и требовалось доказать.
Очевидно, что если система функций (Фп(д;)} ортогональна,
то из неравенства D) следует теорема Рисса — Фишера.
Заметим, что аналогичного типа теоремы имеют место и для
комплекснозначных функций Фге(д:). Доказательства для этого
случая аналогичны доказательствам теорем [9.10.3] и [9.10.4].
Пример. Пусть Фп(д;) =
где все Х„ действительны и различны. Так как
<п

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 449
то в случае сходимости ряда
|
пфк
система {Фп(х)} почти ортогональна на отрезке [а, Ь]. Следо-
Следовательно, по теореме 2 (точнее, но замечанию к ней), если
2
Л=1
62<оо, то существует функция f(x)?L2(a, b) такая, что
k=X
<оо.
§ 11. Некоторые свойства конкретных ортогональных систем
Кроме тригонометрической системы, детальному изучению кото-
которой посвящена обширная литература, и систем ортогональных
полиномов, теория которых представляет самостоятельную ветвь
математического анализа, в общей теории ортогональных систем
большое внимание уделяется ортогональным системам Хаара,
Радемахера и Уолша (см., соответственно, §§ 4, 5, 6 гл. IV).
Ввиду недостатка места, мы затронем только некоторые из полу-
полученных результатов, по большей части опуская доказательства.
Для системы Хаара Ж. Марцинкевичем были получены резуль-
результаты, аналогичные результатам Р. Пэли для функций Уолша *).
Определим функции Хаара на отрезке [О, 1], как и в [2.2.6],
равенствами
/^ на p^pii, ^1) („ = 1, 2, 3, ...).
и Ул, 1»(ж) = 0 вне этих двух полуинтервалов. Теоремы Ж. Мар-
цинкевича гласят:
1. Пусть {Хп,т(х)} — функции Хаара, f(x)?Lp(p>l) и [i).ll.ij
A)
Тогда существуют положительные константы Ар и Вр,
не зависящие от f(x) и такие, что
1
(
п, т
п, т
dx.
*) См. [69] из списка литературы к основному тексту книги.
29 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Шгейнгауз

450 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
2. Если ряд
со 2м-1
представляет функцию из 1? (р > 1) и последовательность
\кп,г,ь) ограничена, то ряд
со 2й-1
^¦0а0 Н~ ^Zj 2^ ^п, т ап, т '/.п, in (x)
п=1 т=1
также представляет функцию из Lp.
3. Ряд A), записанный в форме
сильно сходится в I?.
Как показал И. Шаудер, функции Хаара образуют базис *
в пространстве tp(p>-1). Укажем одно характеристическое свой-)
ство функций Хаара. Справедлива следующая теорема:
[9 11.2] Пусть {fn(x)} (ге = 0, 1, 2, ...) — замкнутая ортонорми-
рованная система функций из L на отрезке [0, 1], обладаю-
обладающая следующими свойствами:
1°. /„(*)= 1.
2°. Операторы Sn(f), определяемые равенством
fe=i Lo
имеют норму 1.
3°. Операторы Р,Д/)= [//(*)/„ (*) d* )/„(*) (п=1, 2, . . .)
имеют норму 1.
Тогда существует измеримое взаимно однозначное отобра-
отображение ср (х) отрезка [0, 1 ] на себя, определенное почти всюду
а такое, что Л (?(*)) суть функции Хаара от х, располо-
расположенные в некотором порядке.
Большое число работ посвящено изучению системы Уолша,
являющейся естественным пополнением системы Радемахера. При-
Приведем теорему Н. Я. Виленкина о множителях Вейля для рядов
по системе Уолша.
) См. раиоту И. Шаудера [88] из литературы к основному тексту.
Определение базиса см. [9.9.1].

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 451
Если [wn(x)} — сиете иа функций Уолша и [9.11J3]
оо
2 al]ogn<co,
оо
то ряд 2 anwn(x) сходится почти всюду.
»=i
Для удобства доказательства определим функцию Уолша wn(x)
на отрезке [О, 1] для любого п следующим образом. Пусть
число п представляется в форме
2
k=0
где ak принимают значения 0 и 1. Тогда мы положим wo(x)
sr0Msl и
где гг(х) — функции Радемахера. Легко показать, что так опре-
определенная система функций совпадает с системой [4.6.2], если
расположить ее в виде последовательности с одним индексом.
Таким образом,
w0 (х) = г0 (*).= 1,
w3 (х) = rt (х) г2 (х),
Рассмотрим теперь некоторые суммы для . функций Уолша.
Прежде всего покажем, что
2 «п (х) = [г0 (*) -1- rt (*)] [г0 (*) + г8 (*)]... [г0 (*) + гк (*)]. B)
Действительно, для случая k — 2 имеем
з
2 ¦Wn (*) = /"О (*) + Г1 00 + Г2 (X) 4- rt (JC) Г2 (Л) = Г о (X) + ГХ (x) +
П=0
+ ^ (*) [ 1 4" Г1 (ЛI = Г0 (*) 4" »-1 (*) 4" '2 (Л) ('"О (*) + ГХ (X)] -=
= [/-0 (лс)-+- гА С-*)! ^~hr2(x)] = [ro(x)-{-r1(x)] [го(*L-г2 (*)].
29*

452 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
Теперь мы можем доказать формулу B), пользуясь методом
индукции по k. Пусть доказано, что
2 wn (х) = [г0 (х) + гх (х)] [г0 (х)+г2 (х)\ ...\гй
П=0
Покажем, что аналогичная формула имеет место и для k. В самом
деле,
2 М)+ 2 «() C)
Так как в разложение числа п во второй сумме формулы C) по
степеням двойки непременно входит 2к~1, то все выражения для
wn(x) в этой второй сумме содержат множитель гк(х), который
может быть вынесен. Оставшаяся сумма совпадает с первым чле-
членом C), ибо
¦ffi>2fe-i +2 (x) = /"fc (X) Г2 (x),
Таким образом,
П=0 П=0
что, в силу индуктивного предположения, приводит нас к фор-
формуле B).
Пользуясь формулой B), нетрудно показать, что
У\ wn (х) = I ' D)
га=о 10 для всех х вне этого отрезка.
Действительно,
~ .,.[/¦„(*)+ /•*(*)]. A)
На отрезке Г-j. 1| функция ro(je)=l, а Г!(л;) = —1, так что
первый множитель обращается здесь в нуль. Далее, для
л; ?(*-?•, у] имеем го(л)=1, /-2(л:) = —1, так что в нуль обра-
обращается второй множитель в правой части формулы B). Продолжая

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 453
Г1 ' 1
таким же ооразом, замечаем, что на отрезке |р, ~и ij для по-
последнего множителя г0(х) = 1, гк(х)= —1, так что этот множи-
множитель равен нулю. Для отрезка же 0, -j все встречающиеся в B)
функции Радемахера равны 1, откуда и вытекает равенство D).
Рассмотрим теперь произведение wm (х) wm (у), тде х к у — фик-
фиксированные точки, и покажем, что на отрезке [0, 1] существует
такая точка z, что при любом /я = 0, 1, 2, ...
Ясно, что вместо E) достаточно показать, что при любом т
rm(x)rm{y)~ rm{z). F)
Последнее, однако, легко выводится из следующего замечания.
Каждой точке х? [О, 1], кроме двоично-рациональных, ставится
и соответствие последовательность {zt) значений функций Раде-
Радемахера в этой точке, где ei = :±:l. В двоично-рациональных
точках функции Радемахера принято полагать равными нулю, но
мы здесь поступим иначе. Все двоично-рациональные точки мы
будем рассматривать дважды, в соответствии с двумя возможными
разложениями, и каждому такому разложению будем ставить
в соответствие последовательность [г,-}, для которой, начиная
с некоторого места, все si=l, если разложение состоит из
нулей, или все 54 =—1, .если разложение состоит из единиц.
В таком случае любая наперед заданная последовательность {в,-)
непременно соответствует какой-либо точке отрезка. Если
точке х соответствует последовательность {е^}, а точке у—после-
у—последовательность {s^'J, то за точку z принимаем такую, которой
соответствует последовательность {st), где е\ = г^в". Очевидно,
что такая точка z — z(x, у) единственна.
Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы [9.11.3],
для ч:его оценим функции Лебега системы {wn(x)) (см. [5.2.1]),
Kn(t, u)\du,
о
где
Докажем прежде всего, что для системы Уолша функции Лебега
рвляются постоянными, не зависящими от t. Для этого разобьем
30 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

454 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
интеграл
1 П
О «1-0
на 2" частей
г-1 2П
" du.
m=0
G)
2»
Фиксируем произвольное значение /?10, 1] и рассмотрим интеграл
2"
/
2п
На участке —, ^ I все функции wm(u), входящие в сумму,
постоянны и сохраняют постоянные знаки. В силу равенства E)
мы можем заменить произведение wm(f)wm(u) на wm(z). При этом
переменная г будет пробегать отрезок такой же длины —, хотя,
быть может, в другой части отрезка [0, 1].
-Действительно, пусть фиксированной точке t соответствует
последовательность {е^} значений функций Радемахера [ri(f)}.
Если точка и пробегает отрезок яд, -щ-1, то первые п членов
аналогичной последовательности {s^'J, соответствующей точке и,
остаются фиксированными. Из определения функции z = z(t, и)
вытекает, что первые п членов соответствующей точке г последо-
последовательности {si} также остаются неизменными, так что точка z
пробегает некоторое множество, лежащее на отрезке длины щ.
п rk k-\-\i
Далее, при значениях и, не принадлежащих отрезку \щ, ' ,
значения z = z{t, и) не могут попасть в тот же отрезок, ибо
хотя бы одно из значений е? для t^.n изменится, что вызовет
изменение соответствующего е^. Отсюда вытекает, что точка г
должна пробегать весь отрезок длины да, так как при фиксиро-
фиксированном t отображение z = z(t, и) не только однозначно, но и
взаимно однозначно. Таким образом, замена произведения
wm(t)wm(u) на, wm(z) вызовет только перестановку от-

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КОНКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 455
дельных слагаемых в сумме G), так что мы можем написать
dz,
(8)
откуда следует, что лебеговы функции системы Уолша фактически
не зависят от t, Ln{f)==Ln. Остается оценить интеграл (8). Для
этого разобьем этот интеграл на слагаемые, к каждому из кото-
которых мы сможем применить равенство D). Пусть число п пред-
представлено в виде суммы
где sx > s2 > ... > sp> 0. Тогда
n
«1=0
dz
i
</
0
dz-j-
+S
Из равенства D) следует, что первое слагаемое равно 1. Что
касается остальных слагаемых, то их легко оценить таким же
образом, как мы оценивали второе слагаемое в равенстве C).
В самом деле, так как
Г1 W =
i 4-28а-1
2я>-1
то
), а так как
то и ко второму слагаемому можно применить равен :тво D).
Аналогично заключаем, что все слагаемые правой части равен-
равенства (9) равны 1. Подсчет числа слагаемых показывает, что
где [а], как обычно, означает целую часть числа а.
Таким образом, Ln= О (logre). Остается воспользоваться тео-
теоремой {6.5.5], и теорема [9.11.3] полностью доказана.
Теорема [9.11.3], рассмотренная нами для системы функций [9.11.4]
Уолша, была доказана Н. Я. Виленкиным для обширного класса
30*

456 О НОВЫХ РЕЗУЛЬТАТАХ В ТЕОРИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ РЯДОВ
ортонормированных систем, получающихся как системы характе-
характеров некоторых топологических групп.
Эта общая точка зрения позволила получить целый ряд инте-
интересных результатов об ортонормированных системах и о рядах
Фурье *).
[9.11.5] Система Уолша подробно изучалась также в работах А. А. Шней-
дера и Н. Файна. Н. Я. Вилеикиным и Н. Файном были, кроме
того, рассмотрены континуальные аналоги функций Уолша.
[9.11.6] Для функций Радемахера оценки, аналогичные теореме Пэли
и теореме [9.11.1], были даны А. Зигмундом. Как указывалось
выше (см. [4.5.5]), функции Радемахера имеют важное вероятно-
вероятностное толкование. В связи с теорией вероятностей находится также
[9.11.7] рЯд работ по теории независимых функций, принадлежащих
Г. Штейнгаузу, Ж. Марцинкевичу, М. Кацу и другим айторам.
*) См. Дополнения, § 1,
Октябрь 1955 г.

Н. Я. ВИЛЕНКИН
ДОПОЛНЕНИЯ

§ 1. Теория мультипликативных .систем
1. Мультипликативные системы функций. Многие из кон-
конкретных ортогональных систем функций, рассмотренных в этой
книге, обладают следующим свойством мультипликативности:
1) Вместе с двумя функциями срЛ(л;) и ур(х) система
{<р«(*)} содержит и их произведение срг(л;) = cpfc(л;)срр(х).
2) Вместе с каждой функцией ук(х) система содержит
и функцию <ss(x)= \/yk(x). ¦
Примером мультипликативной системы функций может слу-
служить классическая система функций {e2ninx] (п = О, rt I, dz 2, ...)>
заданная на отрезке [0, 1]. Равенства
—e-2nika: (<У\
доказывают мультипликативность этой системы.
Другим примером мультипликативной системы является си-
система функций Уолша {wn(x)}*) (см. [4.6.1]). В самом деле,
каждую функцию Уолша wn(x) можно рассматривать как произ-
произведение нескольких функций Радемахера
m=0
П Г*тЫ П = 2 2fcm, C)
l 0
причем любое произведение функций Радемахера является функ-
функцией Уолша. Отсюда сразу следует, что произведение двух функ-
функций Уолша является функцией Уолша. Кроме того, равенство
w2n{x)=s\ показывает, что и функция \/wn(x) также является
функцией Уолша.
В [4.7.1] была рассмотрена система функций Qn(x). Там было
отмечено, что Б. Иессен указал естественное пополнение этой
*) Мы предпочитаем обозначать функции Уолша через wn (x), а ие
через $ЧХ)> как в книге.
31 Зак. 2542. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

460 ДОПОЛНЕНИЯ
системы функций. Система Иессена состоит из произведений вида
ПФЧ*). D)
где k-L kr — любые целые числа, как положительные, так и
отрицательные. Очевидно, что произведение двух функций Иес-
Иессена является снова функцией Иессена и функция
. г
—^ =11&л п(х) E)
Д'*•<*> "
также является функцией Иессена (ортогональность и нормиро-
ванность системы Иессена вытекает из свэйств системы {Ьп(х)}).
Другие примеры мультипликативных ортонормированных си-
систем функций будут указаны ниже.
Отметим некоторые общие свойства мультипликативных орто-
ортонормированных систем функций.
1) Почти для всех х имеет место равенство | «р* (#) | = 1
при всех k.
В самом деле, предположим, что на множестве Е положи-
положительной меры выполняется неравенство | <?к(х)\ > а >1, где
?*(¦*) — одна из функций нашей системы. По определению муль-
мультипликативности в систему {<рп(х)} входят и функции
[?*(*)]г. *-=1, 2, ... F)
Но
г>оо * г + оа
а
lima2»-. m? = oo, G)
что противоречит нормированности системы {<?ft(jc)j. Если на
множестве положительной меры выполняется неравенство [ ^к(.х)\ *С
<а<1, то мы рассматриваем последовательность функций
[?*(*)]"г. ^ =1,2 (8)
и приходим к заключению, что
6
lim f\yk(x)\-2rdx = oo, (9)
00 а
которое также противоречит условию нормированности.
2) Вместе с функцией cpfc(л:) в систему {у„(х)} входит и
функция <fk(x)- ^ самом деле, по условию, функция l/«ft(x)
входит в нашу систему. Но так как | cpft (jc) | == 1, то l/<pft(x) =

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 461
— Чк(х) (мы проводим все рассмотрения с точностью до множества
меры нуль).
2. Теоремы Хаара. С точки зрения теории групп мультипли-
мультипликативную систему функций {<?п(х)} можно определить как си-
систему функций, образующую группу относительно операции
умножения функций. При этом, например, система функций {е2к1пх}
абстрактно изоморфна бесконечной циклической группе (или, что
то же самое, аддитивной группе целых чисел). Естественно воз-
возникает следующий вопрос.
Дана счетная коммутативная группа X, состоящая из элементов
Xi» • • • > Хп> ¦ • • Существует ли изоморфная с ней мультиплика-
мультипликативная ортонормированная система функций {<рга (¦*)}? Иными сло-
словами, существует ли такая ортонормированная система функций
{ср„(л;)}, что из XftXr = Xs вытекает равенство cpft(x)срг(х) = <р8(*)?
Этот вопрос был исследован в 1930 г. венгерским математи-
математиком А. Хааром, исходившим из аналогии с теорией характеров
конечных коммутативных групп. Как известно, если X—конеч-
X—конечная коммутативная группа, состоящая из элементов ^к • • •
• ¦ ¦, Хп> то существует п систем комплексных чисел {cpfrg},
1 <; k, s <; п, обладающих следующими свойствами:
a) все числа cpftg являются корнями и-й степени из единицы;
b) если XftXr = Xs. то «pftpcprp = cpgp, 1</?</i; A0)
c) матрица, состоящая из чисел —=. <pftg, унитарна, то есть
У п
имеют место равенства
f ° если
[lt если k=L
Системы чисел {<?кг) при фиксированном k называются характе-
характерами группы X*). Их можно рассматривать как функции <?к(г)
от аргумента, принимающего конечное число значений.
Результаты А. Хаара аналогичны приведенным сейчас резуль-
результатам о характерах конечных коммутативных групп. Именно,
он доказал следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть Xi> •••> Хп> •••—элементы счетной
коммутативной группы X. Тогда существуют заданная на
отрезке [0, 1] система функций
A2)
и вещественная неубывающая функция а (х) такие, что
*) Точнее, они являются характерами группы, в некотором смысле
двойственной группе X. Но для конечных групп двойственные группы
изоморфны между собой.

462 дополнения
1) множество точек разрыва функций <?п(х) не более чем
сче пно, причем все точки разрыва являются тачками раз-
разрыва первого рода;
2) если ХйХг = Х*> т0 &ля 8Сех х выполняется равенство
?*(*)?г (*) = ?*(*): A3)
3) функции {уп(х)\ образуют ортонормированную систему
относительно веса da{x), то есть
1, если k = r,
A4)
О, если k Ф г,
4), выполняется условие полно пы
1 со . 1 1
J u(x)v (х) do (х) = ^ J и (х) <ok (x) da(x) j v (x) <?h (x) da (x) A5)
6 ft=10 О
для любой пары и (х), v.(x) непрерывных функций.
Группа X называется периодической, если для любого ее
элемента х можно найти такое целое число п, что у? — е,
где е — единичный элемент группы. А. Хаар показал, что для
непериодических счетных коммутативных групп можно заме-
заменить систему функций {<fn(x)} системой {in(x)\ функций
с аналогичными свойствами, но для ко порой ортонормиро-
ванность и полнота понимаются в обычном смысле, а не отно-
относительно веса da(x).
Таким образом, для непериодических коммутативных счетных
групп вопрос о существовании изоморфной им ортонормирован-
ной полной мультипликативной системы функций был решен в по-
положительном смысле. А. Хаар назвал систему функций (хиС*)}
системой характеров счетной группы X*). ¦
Отметим, что .требование непериодичности группы X, нало-
наложенное А. Хааром, связано с применявшимся им методом иссле-
исследования— теорией квадратичных форм от бесконечного числа пе-
переменных. На самом же деле его теоремы верны и для периоди-
периодических групп.
Как известно, функции возобладают общей для всех этих
функций теоремой умножения:
_ giidnxgliiiny^ A6)
*) Это название несколько неудачно; с точки зрения теории Л. С. Пон-
трягина функции хп(х) образуют систему характеров некоторой ком-
компактной топологической группы О, являющейся группой характеров для
группы X.

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 463
Аналогичный результат был получен А. Хааром для системы
характеров \хп(.х)} коммутативной счетной группы.
Т.е о р е м а 2. Пусть Xi (¦*)> • • • • Хп (*)> • • • — система ха-
характеров коммутативной счетной группы. Тогда существуют
две функции и(х, у) и v(x, у), определенные в квадрате
О <! х, у <[ 1 и зависящие лишь от заданной группы X, такие,
что для всех функций Хп(х) выполняются почти всюду ра-
равенства
у) = Хп(и(х, у)),. A7)
A8)
Если назвать значение функции и (х, у) обобщенным произведе-
произведением чисел х и у, и{х, у) —х*у, то результат А. Хаара озна-
означает, что обобщенному умножению чисел х и у соответ-
соответствуем умножение их характеров *). Символически это можно
записать в виде
A9)
Функции и(х, у) и v(x, у) удовлетворяют функциональным
соотношениям
и (х, у) = в (у, х),
v(x, л;) = const = С,
и(х, C) = v(x, C) = x,
и (в (х, у), z) — u (х, в (у, z)),
tt(v(x, z), y) = v{u{x, у), z).
B0)
Если обозначить v(x, у) через х: у и назвать обобщенным част-
частным чисел х и у, то равенства B0) можно представить в виде
х:х = С, х*С = х\С = х, \
>
:z.\
* z = х * (у * z), (x
Таким образом, функции и(х, у) и v(x, у) позволяют ввести
в совокупность чисел отрезка [о, Ь] операции обобщенного умно-
умножения и деления. Равенства B1) показывают, что при этом,
с точностью до множества меры нуль, выполняются аксиомы
умножения в группе, причем С играет роль единичного элемента
группы. Иными словами, с точностью до множества меры нуль,
отрезок [о, Ь\ превращается в группу.
3. Компактные коммутативные группы. Недостатком теории
Хаара является то, что все рассмотрения ведутся в ней с точностью
*) В работе А. Хаара [127а] здесь наложено излишнее требование
непериодичности группы X

464
ДОПОЛНЕНИЯ
до множества меры нуль (не для всех троек чисел х, у, z
выполняются равенства B1), лишь почти всюду непрерывны
функции Хп (х) и т. д.). Это объясняется тем, что отрезок [а, Ь\
не является естественной областью определения для характеров
счетной коммутативной группы.
Естественную область определения характеров группы позво-
позволяет найти построенная Л. С. Понтрягиным теория характеров
коммутативных топологических групп. Пусть группа X состоит
из элементов Xi> • • • > Z»> • • • Характером группы X в смысле
Л. С. Понтрягина называется последовательность
?={#Ы} (я=1, 2, 3, ...) B2)
комплексных чисел, равных по модулю единице и удовлетворяю-
удовлетворяющих функциональному соотношению
gОС* Хв) — g (/.*) g(is) (A. s — любые). B3)
В множество таких последовательностей вводится операция умно-
умножения. Мы считаем, что g3 = gig2> если
ere(z)==eri(z)ft(z) Для всех Х€х> B4)
Можно показать, что таким образом получается группа О, состоя-
состоящая из последовательностей B2). В эту группу можно ввести
понятие сходимости последовательности характеров, считая, что
lim gk = g, если для любых чисел е>0 и R можно найти
к
такое N, что при r^.R, k~^-N выполняется неравенство
) —*(Xr)|<e. B5)
Группа G с введенной в нее таким образом топологией оказы-
оказывается компактной группой; это означает, что из любой после-
последовательности элементов этой группы можно выделить подпо-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу этой
группы. Таким образом, каждой счетной коммутативной группе X
соответствует компактная коммутативная группа G. Мы можем
считать, что элементами группы X являются функции уп(х)
мультипликативной ортонормированной системы. Тогда из ска-
сказанного выше вытекает связь между такими системами и ком-
компактными коммутативными группами.
Как показал Л. С. Понтрягин, имеет место и обратное утвер-
утверждение: каждой компактной коммутативной группе G соот-
соответствует полная мультипликативная ортонормированная
система функций {хп (•*)}• Эта система определяется следующим
образом. Рассмотрим все непрерывные функции, заданные на
группе О (т. е. такие, что lim tp(gn) = <в (g), если lim gn = g),

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 465
удовлетворяющие функциональному уравнению
<Р (gift) = ?(&)?(&)• B6)
Такие функции называются характерами, группы. Эти функции
образуют мультипликативную систему функций на группе G,
то есть произведение двух характеров является снова характером.
Как показал А. Хаар, на группе G можно ввести меру d(i(g),
обладающую обычными свойствами меры и инвариантную в том
смысле, что мера любого измеримого множества А равна мере
его сдвига gA (через gA обозначается множество элементов
группы G, представимых в виде ga, где а?А). Относительно
меры Хаара характеры группы G образуют полную ортонорми-
рованную систему функций.
Существуетопределенное с точностью до множеств меры нуль ото-
отображение ф отрезка [0, 1]на компактную коммутативную группу G,
причем отображение ф переводит измеримые множества А от-
отрезка [0, 1] в множества ф(Л) группы G, имеющие ту же меру.
Полагая
*»(*) = ?»(*(*))• я=1, 2 B7)
мы получаем систему функций, определенных почти всюду на
отрезке [0, 1], причем эта система функций будет полной, орто-
нормированной и мультипликативной.
Из результатов Л. С. Понтрягина следует далее, что полу-
полученная таким образом система функций (ХпС*)} алгебраически
изоморфна исходной группе X. Обратно, если мы построим,
исходя из мультипликативной системы функций {у^п(х)},
группу G', то группа G' изоморфна группе G.
Из результатов Л. С. Понтрягина снова вытекает существо-
существование для любой счетной коммутативной группы алгебраически
изоморфной ей полной ортонормированной мультипликативной
системы функций. Эта система функций строится следующим
образом. Исходя из группы X, строят ее группу характеров G.
Тогда совокупность <pn(g") характеров группы G и опреде-
определяет искомую мультипликативную ортонормированную систему
функций.
В работе [127а] А. Хаар поставил задачу об изучении общих
свойств мультипликативных ортонормированных систем, аналогич-
аналогичных свойствам системы \e2*inx).
Автором этих добавлений соответствующие исследования были
проведены для случая, когда группа X периодична. Эти резуль-
результаты, основанные на теории характеров компактных коммутатив-
коммутативных топологических групп, будут изложены в п. 5.
4. Таблица умножения, для ортонормированных систем.
Матрица Хаара. А. Хаар обобщил, далее, свои результаты,
рассмотрев кубические матрицы ||cpj.e||, называемые таблицами

466 ДОПОЛНЕНИЯ
умножения ортонормированных систем (см. работу [30] из
списка литературы к основному тексту). Переход от рассмот-
рассмотрения мультипликативных ортонормированных систем к рас-
рассмотрению таблиц, умножения для ортонормированных систем
аналогичен переходу в алгебре от рассмотрения групп к
рассмотрению гиперкомплексных систем. Как известно, гипер-
гиперкомплексной системой называется совокупность выражений-вида
2 «»««.
где ар — некоторые числа, а ер (р = 1, 2, . . ., п) — главные единицы
гиперкомплексной системы. Для выражений вида B8) естествен-
естественным образом определяется сложение и умножение на числа. Кроме
того, определено умножение выражений вида B8), обладающее
свойствами распределительности и сочетательности. Для задания
умножения в гиперкомплексной системе достаточно задать значе-
значения произведений главных единиц
п
ерег = 2 ~iVrsea> р,Г=1,2, .... п. B9)
Числа ifprs полностью определяют гиперкомплексную систему.
Они должны удовлетворять некоторым соотношениям, связанным
с выполнением условия ассоциативности умножения.
По аналогии с этим можно рассматривать функции {<рР(-*0}
полной ортонормированной системы как главные единицы некото-
некоторой бесконечномерной гиперкомплексной системы, состоящей из
выражений вида
2
«„?,(*)• C0>
где 2а1><^оо> Мы будем рассматривать лишь ортонормирован-
p=i
ные системы, состоящие из ограниченных вещественных функций,
заданных на отрезке [о, Ь\. Тогда можно разложить произведе-
произведение срр(х) срг(х) в ряд по функциям (срЛ*)}:
где
б
fx)dx. C2)
Очевидна аналогия между коэффициентами cprs и коэффициен-

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ
467
тами fprs, определяющими умножение в гиперкомплексных систе-
системах. Совокупность чисел cprs, l-^p,r,s < со называется куби-
кубической матрицей Хаара или же таблицей умножения для за-
заданной ортонормированной системы функций. А. Хааром была
решена следующая проблема:
Какими свойствами должны обладать числа cprs, чтобы
существовала ортонормированная система функций {<рп(х)},
для которой матрица \\cprs\\ является таблицей умножения?
(Эта проблема была поставлена перед ним Э. Фишером.)
Введем сначала следующее
Определение 1. Ортонормированная система {сри (х)} назы-
называется замкнутой в себе, если как произведение любых двух
функций этой системы, так и функция у == 1 могут быть с лю-
любой степенью точности приближены в среднем квадратическом
линейными комбинациями функций этой системы.
Имеют место следующие теоремы:
Теорема 3. Таблица умножения || cprs\\ ограниченной зам-
замкнутой в себе системы функций, ¦ортонормированной по лю-
любому неубывающему весу do(x), обладает следующими свойств
вами:
1) имеют место условия симметрии
срг& == cpar == crpa == crsp == сзрг == csrp>
2) квадратичные формы
со
Ср(х)= 2 Cp.pjc.jcp C4)
а, р = 1
от бесконечного числа переменных xlt .... jcn, ... ограничены
и перестановочны между собой *);
*) Квадратичная форма Ср(х) от бесконечного числа переменных назы-
называется ограниченной, если существует такое число Мр, что для любых
чисел Xi, ..., хп выполнено неравенство
Две формы Ср(х) и Cq(x) называются перестановочными, если пере-
перестановочны соответствующие им матрицы \\ср^\\ и ||с?ор||, т. е если
p?q$1 2j
Р=1 Р-1

468 ДОПОЛНЕНИЯ
3) существует система чисел ev ..., ек, ... со сходящейся
суммой квадратов такая, что
У -I0'
fc=i I '»
если р Ф q,
— » *«" ^ i, если р = q.
Теорема 4. Пусть система чисел cpqr удовлетворяет усло-
условиям 1) — 3) из теоремы 3. Тогда существуют определенная
на отрезке [а, Ь,] система {wp (x)} непрерывных функций и не-
неубывающая функция а(х) такие, что система \и>р (х)\ орто-
нормирована и полна относительно веса da(x) и
ь
f «Р С*) ">« (*) «V (.х) di (jc) = cpqr. C6)
а
Теорема 5. Если числа cvqr удовлетворяют условиям
1) — 3) из теоремы 3, то существует определенная на отрезке
[а, Ь] ограниченная замкнутая в себе ортонормированная си-
система функций {<ор{х)} такая, что матрица ||сра,[| является
таблицей умножения для этой системы функций; иными
словами, выполнены равенства
С
/ 0>
1, если р = а;
*) dx — Cpqr- C8)
Доказательства этих теорем также основаны на гильбертовой
теории бесконечных квадратичных форм.
Теорема 6. Таблица умножения определяет ортонорми-
рованную систему {<?п(х)), состоящую из ограниченных функ-
функций, с точностью до преобразования отрезка [а, Ь\ в себя,
сохраняющего меру всех измеримых множеств (и определенного
с точностью до множества меры нуль).
Результаты А. Хаара по кубическим матрицам были позже
обобщены и развиты Б. М. Левитаном в цикле работ по обобщен-
обобщенному сдвигу [74], [74а].
5. Периодические мультипликативные ортонормированные
системы функций. Перейдем теперь к изложению результатов,
касающихся периодических мультипликативных ортонормирован-
ных систем функций, т. е. таких мультипликативных ортонорми-
рованных систем {^и {х)\, что [ХпС*)!*" = 1 ПРИ некотором целом kn.
Теория таких систем была построена автором этих дополнений

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 469
в работах [27], [28]. Она основывалась на теории характеров нуль-
нульмерных компактных коммутативных групп. Мы хотим изложить
здесь эту теорию в терминах теории функций вещественного пе-
переменного, не прибегая к понятиям теории компактных групп.
Иными словами, мы будем рассматривать не систему {tpn (§")},
а систему {уп (х)\ (разумеется, теория характеров будет неявно
использоваться в нашем изложении). •
Пусть полная ортонормированная периодическая мультипли-
мультипликативная система X функций состоит из функций {%п 00}- Из
периодичности следует, что функции системы X можно объединить
в совокупности Хп со следующими свойствами:
a) Хп с Хп + \, Хо состоит лишь из функции у^\;
b) вся совокупность X является объединением совокуп'
костей Хп, Х=%Хп;
п
c) совокупность Хп образует подгруппу в группе X.
Иными словами, произведение двух функций из совокупности Хп
принадлежит той же совокупности, равно как и функция 1/у (х)
принадлежит Хп, если х 00 (Е Хп;
d) отношение рп = m"+t , где через тп обозначено число
тп
функций в совокупности Хп, является простым числом (ото= 1).
При этом следует отметить, что выбор совокупностей Хп
не единственен. Однако мы будем предполагать, что этот выбэр
сделан каким-либо определенным образом. Занумеруем теперь
систему X следующим способом. Выберем в каждой совокупности
Хп+1 функцию, не принадлежащую совокупности Хп, и дадим ей
номер тп; п = 0, 1, ... Пусть теперь
t
& = 2 armr, 0<X<jDr C9)
Определим функцию системы X, имеющую номер k, как
Р а. D0)
Положим, кроме того, %0(х)=Хт_1 00=1. Очевидно, что функ-
функции 1п(х) принадлежат системе X (в силу мультипликативности
этой системы) и что любая функция системы X получает при
этом определенный номер. При этом функции совокупности Хп
получают номера, не превосходящие тп — 1.
Сделав, если это окажется необходимым, сохраняющее меру
преобразование отрезка [0, 1] на себя, можно добиться выполне-
выполнения следующих условий:
а) Функции, принадлежащие системе Хп, постоянны на
/ k k+l \
промежутках вида —, —'—], причем значения, принимаемые
тп

470 дополнения
функциями системы Хп, являются корнями от„-й степени из
единицы.
Ь)На промежутке @, —¦ ) все функции с номерами, не превос-
ходящими тп— 1 (т. е. функции из совокупности Хп), равны
единице. Для любой точки х0, не лежащей в указанном про-
промежутке, найдется хотя бы одна функция у_к(х) (&<т„) такая,
что хк(х0)Ф 1.
c) Пусть т-п <; k < mn+l. Тогда на промежутке вида
—, —J— функция ук(х) принимает /?„ =—— различных
значений. Эти значения можно представить в виде
7л(х) = аерп, /- = 0, 1, .... рп—\,
где а — некоторый корень тл+1-й степени из 1, один и тот же
на всем отрезке.
В самом деле, из теории групп следует, что функция \-/jt{x)\p*
принадлежит совокупности Хп. Поэтому по условию а) функция
Г/С*С*)] " постоянна на промежутке —•, и является кор-
I * \-тп тп J
нем тп-Л степени из единицы. Но тогда у^(х) имеет указанный
выше вид.
d) Имеет место равенство
D1)
где тп <! k < mn+1. Это равенство вытекает из того, что по
свойству с) интеграл D1) можно представить в виде
а сумма всех корней pn-Vi степени из единицы равна нулю.
Функции Хк(х), принадлежащие совокупности^, могут иметь
к
разрывы в точках вида —. Чтобы избежать этого, мы заменим
тп
отрезок [0, 1] «модифицированным отрезком», считая каждую точ-
k \k—\ k I
ку вида — дважды — как правый конец промежутка , —

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 471
и как левый конец промежутка —, —!— . (Фактически сде-
данная нами модификация отрезка означает, что мы переходим
от отрезка к соответствующей коммутативной группе; ср.
А. А. Шнейдер [135], [138].)
Выгода перехода к модифицированному отрезку заключается,
в частности, в том, что модифицированный отрезок образует
группу относительно обобщенного умножения х*у, связанного
с системой функций {1ч(х))- При этом указанное обобщенное
умножение обладает следующими свойствами.
1) Пусть х — некоторая точка отрезка [0, 1 ]. Тогда отображение
у -> х #у отрезка [0, 1 ] на себя сохраняет меру измеримых множеств.
2) Если х.? Г—-, ¦ ¦[, то отрезки вида Г——, ——| пе-
реходят при отображении у-*х*у в отрезки вида , ,
где t зависит только от ft и s. В частности, если х?_ О, ,
то t = s. Иными словами, при обобщенном умножении на числа,
принадлежащие отрезку 0, , числа отрезка -^-,
L mn -I L mn mn J
переходят в числа того же отрезка.
3) Можно рассматривать поэтому группу, элементами которой
Г k ft + П п
являются отрезки , —!— . Под произведением отрезков
, —!— и , —!— мы понимаем отрезок , —!— ,
L mn ' mn J L mn mn J ^ lmn' mn }'
которому принадлежат обобщенные произведения х*у, где
г Г k А + П /- Г « s +
Ъп ъ1 Ъгп ^rj Эта группа °»изом°рфна
группе Хп.
4) Имеет место равенство 0*х = х. Для каждого числа х
отрезка [0, 1] есть такое число х~1, что х^х~1 =0. Таким обра-
образом, нуль является единичным элементом относительно обобщен-
обобщенного умножения.
Как было показано в [5.5.5], в изучении вопроса о схо-
сходимости почти всюду рядов по ортонормированным системам
функций решающую роль играют функции Лебега системы {%п (х)},
т. е. функции
к=0
dx. D2)
Покажем, что функции Лебега периодической ортонорми-
рованной мультипликативной системы не зависят от у, т. е.
являются постоянными /.„(это справедливо и для непериодических

472
ДОПОЛНЕНИЯ
мультипликативных систем) В самом деле, обобщенное умножение
связано с функциями у.„(х) нашей системы формулой ХпС*)ХпСу)=
==уп(х*У~1) (см. A9)). Поэтому
ft=0
dx.
D3)
Разобьем интеграл D3) на сумму интегралов, взятых по отрез-
отрезкам —, —^- , где т^п. На каждом из этих отрезков функ-
L tns ma j
ции Хй(дг) принимают постоянные значения (см. а)). Отображение
х# у-1 -+ х переставляет, в силу 2), эти интегралы, не меняя
их величины (так как это отображение не меняет меры). Поэтому
интеграл D2) равен интегралу
A
/
dx,
не зависящему от у.
Отметим также следующее утверждение:
Сумма значений функций ук(х), принадлежащих сово-
совокупности Хп, равна тп, если х принадлежит отрезку]®, — ,
L тп\
и равна нулю в противном случае.
Доказательство. Если х? О, — , то, согласно Ь), все
yk (x) = 1 и потому сумма всех ук (х) равна тп. Пусть теперь
хо€ 0> — • Тогда среди функций Хк(х) найдется хотя бы одна
L тп1
(например, уг(х)) такая, что уг(х0)ф\. Так как Хп является
подгруппой, то функции уг (х) у0 (х), ..., Xr(x)y.mn-i(x) пред-
представляют собой те же функции системы Хп, но взятые в ином
порядке. Отсюда следует, что
2 2
ft 0
D4)
Так как уг(х0)ф1, то это равенство может иметь место лишь
при условии, что 2 Zfc(-*ro)==0-
Отсюда вытекает, что
Lm =
7.к(х)
*=о
dx = -— т„
1.
D5)

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 473
В общем случае имеет место равенство
Dm (*) = J.m (X) У ---i f— , D6)
m (*) = J.m (X) У ---i
где
Из этого равенства следует, что Lm~O(\ogm). При этом можно
показать, что указанная оценка для Lm не может быть улучшена.
Отсюда следуют такие результаты:
Теорема 7. Если ряд ~?a2logn сходится, то ряд
П-2 "
2ап'/п(*) сходится почти всюду.
Теорема 8. Существует непрерывная функция f(x) на
отрезке [О, 1], ряд Фурье которой по системе (/,, (*)] расхо-
расходится хотя бы в одной точке {модифицированного отрезка).
Пусть f(x) — функция, заданная на отрезке [0, 1], и пусть
пк'', "v ¦ (я= 1, 2, 3, ...)•
тп тп j
Положим
= liin mn [ f(x) dx. D7)
П > Си , •', ,
Теорема 9. Если в точке х существует f(x), то
lim sm (x)==f(x), где через sn(x) обозначена п-я частичная
»>оо w
сумма ряда Фурье функции /(х)' по системе \'/Л{х)).
В самом деле, sm (x) имеет вид
D8)
Так как 21 /лС*) Zfc О') = *„, если _у принадлежит отрезку
21
.f*ulf)., i»M±l]( „ 2 х*(х)^О0«0 в противном случае,

474 дополнения
то
*„(») + !
п
= mn f f(x)dx. D9)
Поэтому lim sm (x)=f(x).
n>oo n
Некоторые более тонкие результаты о сходимости рядов
Фурье по системе {хп(х)\ приведены в работе [27]. В той же
работе показано, что если все числа рп = w+1 ограничены
тп
в совокупности, то ряд Фурье функции f(x) суммируется
методом (С, 1) к f(x) во всех точках непрерывности функ-
функции f(x).
Отметим еще следующую теорему единственности:
оо
Теорема 10. Если ряд 2fl*Xfc(*) сходится к нулю в каж-
каждой точке х, то все его коэффициенты ак равны нулю.
6. Лакунарные системы и системы сходимости,' связанные
с периодическими мультипликативными системами. Мы рассма-
рассматривали полные ортонормированные периодические мультипли-
мультипликативные системы функций. Покажем теперь, что функции
фп (х) == Хтп (х) образуют лакунарную систему ортонормирован-
ных функций. Это следует из теорем, доказанных нами в ра-
работе [28].
оо
Теорема 11. Ряд 2cfc"M*) сходится почти всюду, если
ОО 00
сходится ряд 21 сч I2- Если же ряд 21 ск I2 расходится, то
к=0 к=0
оо
ряд 2 cktyk (x) почти всюду не суммируем ни одним методом Т.
/с=0
оо
При этом, если ряд 2|сь12 сходится, то сумма f(x) ряда
к=0
оо
2 cktyk (х) принадлежит I? при всех q > 0.
оо
Теорема 12. Если ряд 2|с&|2 сходится, то функция
к=0
оо
e*P(x)t где /(*) = 2 СА(*)> интегрируема при всех \х > 0.
к=0

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 475
Теорема 13. Если
и 2
то при почти всех t ряды 2 ckfk (х) % (*) сходятся для почти
fc = O
всех х и их суммы принадлежат классу L2.
Теорема 14. Если
<oo и f\fk(x)\<tdx<?A,
то при почти всех t сумма 2 сьЛ С*) % W принадлежит
классу Lq.
Теорема 15. ?сли n(t) — любая функция, принимающая
оо
целые неотрицательные значения, 21 сп\2 < °°> то
п=0
г оо \9/2
<вд 2к„!2 . E0)
О U=° '
где
n(t)
5»@@=2сйФй@ E1)
ц 5? зависит только от q.
Мы видим, что свойства системы {Ф.я(#)} весьма напоминают
свойства системы функций Радемахера и свойства лакунарных
систем тригонометрических функций. Следующее свойство напо-
напоминает известную теорему о лакунарных тригонометрических
рядах.
00
Теорема 16. Если ряд 2 С*Ф*(*) является рядом Фурье
fc=0
ограниченной функции f(x), то он, абсолютно сходится.
Ниже мы покажем, что система Радемахера является частным
случаем систем {Фй(дг)}.
Перейдем теперь к построению систем сходимости, связанных
с мультипликативными системами функций. Пусть все числа
ограничены в совокупности.
тп

476 ДОПОЛНЕНИЯ
Обозначим через 0пг(х) функцию, равную фи(дг)^<рш (х)
[г г+11 "
на отрезке —, —!— и равную нулю вне этого отрезка
\-тп тп J
(я = 0, 1, 2, ...; г —О, 1, ..., тп—1). Покажем, что система
функций
0<л<оо, j
1 < * < Рп> -I
образует полную ортонормированную систему сходимости, если
ее упорядочить следующим образом:
Функция р*>г (х) предшествует функции р**г, если либо пх < п2,
либо п1 = «2, но /-j < г2, либо «1 = я2, г1==г2> но st < s2.
Ортонормированность системы р»,-(дг) доказывается следующим
образом. Очевидно, что
E3)
Рассмотрим теперь две функции р*'г (х) и р*г (х). Если
/?х == /г2 = /г, г1 = /'2 = г, но Sj =? s2, то
E4)
Но последний интеграл равен нулю, так как функция ф„(д?) =
= ?«г (•*) не принадлежит системе АГ,„ а тогда и все функции
(Ф»(*)]" ПРИ ^ФО, рп, 2рп, ... не принадлежат этой системе
(см. п. 5, d)).
Пусть теперь п1=щ — п, но г1Ф г2. Тогда интеграл
J,f,WP^Wdjc E5)
равен нулю, так как отрезки, на которых функции р%г (х) и
Рад- (х) отличны от нуля, не пересекаются.
Наконец, рассмотрим случай, когда п1 < я2. Функция р*'г (х)
принимает на отрезке 1-^-, ——1 постоянное значение. Инте-

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 477
гралы же функций р*г (х) по этому отрезку равны нулю (см. п. 5,d).
Поэтому
"n,
Таким образом, мы доказали, что и в этом случае интеграл
1
равен нулю. Ортонормированность системы {р*г(х)} доказана.
Покажем теперь, что система {р^г(-*0} полна. Так как система
всех функций Хк(х) полна, то нам достаточно показать, что
каждая функция Хк(х) является линейной комбинацией функций
р^.(х). Каждая функция Хь(х) может быть, согласно D0), пред-
представлена в виде
Z* (*) = 1Фо (*)Г • ¦ • 1Ф»-1 Ml"-11фп (*)]"»• E3)
На отрезке —, функции Фо(#). •••> ^n-iW принимают
постоянное значение (см. п. 5,а)). Поэтому и произведение
[фоМ!**0 • • • 1Ф»-1 (¦*Iа*~1 принимает на этом отрезке постоянное
значение, которое мы обозначим через с^пг. С другой стороны,
на этом же отрезке выполняется равенство
= paj(x). E9)
Поэтому
Sctarp"?W- F0)
Полнота системы функций {р^.(*)} доказана.
Докажем теперь, что если числа {/>и+1} (« = 0, 1, 2, ...)
ограничены в совокупности, то система {р^г(х)} является
системой сходимости, т. е. любая непрерывная функция f(x)
разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье по системе
{Р'МЬ
32 Зак. 2512. С. Качмаж и Г. Штейнгауз

478 дополнения
Рассмотрим сначала совокупность всех сумм вида
2Г2 *2 О», (*)+<•
и=0 r=0 s=0
Все функции р'1Г{х)> входящие в эту сумму, постоянны на от-
[ t t -4- 11
резках вида ¦—, —— , число слагаемых в сумме равно тк и
все функции р*г(*)> входящие в сумму F1), линейно независимы
между собой. Поэтому путем подбора коэффициентов сапг можно
получить сумму, принимающую на каждом отрезке вида
—, заранее указанное значение at. Пусть теперь /(х) —
непрерывная на отрезке [0, 1] функция. Частичная сумма вида F1)
ряда Фурье функции f(x) характеризуется тем, что ее среднее
квадратичное отклонение от функции /(х) меньше, чем у любой
другой суммы вида F1). Но это означает, что значение частич-
частичной суммы ряда Фурье функции f(x) в каждой точке х равно
среднему значению функции f(x) на отрезке —, , кото-
\_тл тк j
рому принадлежит точка х. Иными словами, коэффициенты Ьапг
ряда Фурье таковы, что
«¦и
и=0 r=Q
»»-1 fc
2 КЛЛх) = ти Г /«)«ъ F2>
если
Но тогда отклонение частичной суммы ряда Фурье вида F2) от
функции f(x) не превышает колебания функции /(х) на отрезке
г t t-\-\ I .
— .—!—I а потому стремится к нулю, когда k —> с».
Аналогично доказывается, что разность
/(*)— 2 2 2 Ср^(х)— 2 2 й'и>*г(*)—& F3)
и = 0 г=0 « = 1 »- = 0 8 = 1
также стремится к нулю, когда k -> oo, a m]e_1^.t <.mk.
Нам осталось оценить разность между /(л;) и суммой вида
2 2 HWrW+Sl
n=0 r=0 8=1 r=0 s=l
f < mk, pk^ < г» < j

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ
479
Пусть на отрезке
Г———
тк J
выполняется неравенство
ft-1
ft1 n n
fix)— 2 2 S Cp,»rW-
n = 0 r = 0 8 = 1
-2 2
г=0 3=1
Тогда, как легко видеть, имеет место неравенство
t и
< е.
F5)
t+i
чк
rfx
К
Г
I (\
I \) 7.*
1 пТ
¦y«*
= F6)
и потому (см. E2))
F7)
Но тогда разность между /(х) и суммой F4) не превосходит
по абсолютной величине значения (/?л —[— 1) е. Так как совокуп-
совокупность всех чисел [рп] ограничена, а по доказанному выше s->0
при /5->оэ, то эта разность стремится к нулю. Равномерная
сходимость ряда Фурье непрерывной функции fix) к этой функ-
функции доказана.
Другое доказательство того, что система {р^ (х)} является,
при ограниченности совокупности {рп}> системой сходимости,
основано на оценке постоянных Лебега для этой системы. При
этом оказывается, что и в случае, когда совокупность чисел {рп}
не ограничена, рост постоянных Лебега для системы {р^г(*)} зна-
значительно медленнее, чем для системы (х* (•*)}•
7. Примеры. Мы указали ряд свойств мультипликативных
периодических ортонормированных систем функций, а также
некоторых лакунарных систем и систем сходимости, которые
могут быть получены из таких систем. Первым примером мульти-
мультипликативной периодической ортонормированной системы была
рассмотренная в [4.6.1] система функций Уолша. Для этой си-
системы рп==2. Лакунарной системой функций, соответствующей
системе Уолша, является система функций Радемахера, а соот-
соответствующей системой сходимости — система функций Хаара.
В литературе описаны некоторые другие системы функций,
аналогичные системе функций Уолша ([124], [70а]). Авторам
этих работ, по-видимому, осталась неизвестной наша работа [27],
в которой изучаемые ими вопросы были рассмотрены для
32*

480 дополнения
произвольных мультипликативных периодических ортонормиро-
ванных систем.
Так, например, Г. Крестенсон в работе [70а] и П. Леви в ра-
работе [736] изучают систему функций, получающуюся следующим
образом.
Пусть число дг^[О, 1] может быть представлено в виде
оо
¦ _ Yf^
Zu pn
где 0 <: ап < р, и пусть
х = ^ —¦ (р— простое число), F8)
k=iibnp"-\ 0 <?„</>. F9)
п-1
Положим тогда
8
-J- 2l апЬп
ул(х) = е »=! G0)
(система Уолша получается аналогичным образом при р = 2).
Нетрудно проверить, что система {хи(х)} мультипликативна и
периодична. Обобщенное умножение, соответствующее этой си-
системе, задается формулой
Р р р
где
cn = an~{-bn (modp).
Весьма интересная система получается следующим образом.
Пусть л:?[0, 1],
оо
х=2л~п (Р — простое число), G2)
где 0<аи</>, и
где 0 ^ Ьп < р. Положим
к
i v-1 is к
p
к
дк(х) = е p . G4)
Эта система функций также мультипликативна, периодична и
ортонормирована. Она обладает следующим замечательным свой-
свойством: для любой функции 9А(х) этой системы и любого г най-
найдется функция 0g(x) той же системы такая, что I6s(x)]r = 6k(x).
Можно доказать, чго любую мультипликативную периэаическую

ТЕОРИЯ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫХ СИСТЕМ 481
ортонормированную систему, обладающую тем же свойством,
можно рассматривать как систему, состоящую из функций конеч-
конечного или счетного множества переменных вида
№. G5)
8 = 1
где т — целое число, которое может принимать различные зна-
значения для разных функций системы, а разным s могут соответ-
соответствовать разные р. Доказательство этого утверждения основано
на теореме абстрактной теории групп, согласно которой каждая
периодическая группа, в которой при любых g и п разрешимо
уравнение nx — g, является прямой суммой групп типа />°° (см.
А. Г. Курош [73а]). Обобщенное умножение, соответствующее
системе G4), задается формулой
П=1 И=1 П=\
где сп — ап~\-Ьп, если ап-{-Ьп<.р, и сп = ап-\-Ьп — р, если
ап~+-Ьп^Р- В последнем случае cn+1 = an+1 -f-bn+1 -4- 1.
Система G0) возникает при рассмотрении характеров ком-
компактной группы, являющейся прямой суммой циклических групп
порядка р, система G4) —при рассмотрении характеров группы Jp
целых />-адических чисел (см. А. Г. Курош [73а]).
Любопытный пример мультипликативной ортонормированной
системы функций представляет упоминавшаяся выше система
Иессена. Эта система может быть описана следующим образом.
Рассмотрим функции от счетного числа переменных.
/O^ii ..., хп, ...),
где 0 <; хк ^_ 1 (функции на бесконечномерном торе /?°°). Зада-
Зададим измеримые множества Ev ..., Еп. Пусть множество А со-
.стоит из точек (х1 хп, . . .) таких, что хк?Ек, 1 ^А^«.
Назовем тогда мерой этого множества число
п
;j.(A)=]JmEfc, где тЕк—лебегова мера множества Ек.
ft=i
Эту меру можно распространить до лебеговой меры на торе /?°°
и ввести интегрирование относительно этой меры. Тогда функ-
функции вида
Д^Л-8^...,,^ jc.,...) G7)

482 дополнения
образуют полную ортонормированную мультипликативную систему
функций на торе #°°. Существует определенное с точностью до
множеств меры нуль отображение а отрезка [0, 1] на тор Я00,
при котором сохраняется мера множеств (см. гл. IV § 7).
Пусть a(jc) = (jc1, ..., хп, . ..). Положим
K...ks{x)^K...ut{xv ..., хп, ...)• G8)
Система функций б^...^ (х) и является системой Иессена. В част-
частности, функции
%(х), 1<&<сю, G9)
были описаны в [4.7.1].
§ 2. Ортогональные ядра
1. Ортогональные ядра и их свойства. В этом параграфе
мы изучим континуальные аналоги ортонормированных систем
функций. Для того чтобы ввести соответствующие определения,
рассмотрим сначала полную ортонормированную систему функ-
функций [<?п(х)}. Запишем эту систему функций в виде уп(х) =
= cp(jc, n). Таким образом, мы можем рассматривать систему
функций {ср„(л:)} как функцию от двух переменных — перемен-
переменного х и переменного п, пробегающего дискретное множество
натуральных чисел 1, 2, .... п, ... Введем в множество нату-
натуральных чисел меру, положив меру v(A) конечного множества
чисел {кх kr\ — Д равной г. Свойство ортонормирован-
ности системы функций может быть сформулировано следующим
образом:
Для любых двух конечных множеств натуральных чисел ^ и Д2
имеет место равенство
. к) 2^Г7I <** = ?. О)
J
где через q обозначено число элементов в пересечении множеств
&! и Д2. Это равенство может быть записано в виде
ь
Шср (х, k) rfv (k) f <p(jc, r) dt (r) j dx = v (ДА). B)
Из свойства полноты системы {срй (jc)} вытекает следующее свой-
свойство функции ср(л:, k)\

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЯДРА
483
Каковы бы ни были множества Дх и Д2 отрезка [0, 1], имеет
место равенство
со
2 / п (х) dx f ~^&)dx = m (ДХД2). C)
k-l Д, Д3
Это равенство можно представить в виде
J Г J ср (л, ft) rfjc J <р(х, ft) rfxl rfv (ft) = m (ДХД2)- D)
Таким образом, свойство полноты и свойство ортогональности
записываются совершенно аналогичными равенствами.
Введем теперь понятие ортогонального ядра, являющееся кон-
континуальным аналогом понятия ортонормированной системы функ-
функций (см. [30]).
Определение 1. Пусть р(х) и ч(у) — неубывающие не-
непрерывные слева функции, заданные на отрезках [а, Ь] и [А, В] *)
соответственно. Функция ср(л:, у) называется ортонормированным
ядрол относительно мер d\i.(x) и dv(y) (с параметром у и пере-
переменной х), если
1) для любого множества Д конечной v-меры функция ш(х, Д) =
/2 '
ср (х, у) d-) (у) принадлежит пространству L^, а функция
д
I I 9 (•*-> У) I2 ^v Су) суммируема на всех множествах конечной
[А-меры;
2) для любых двух множеств Дх и Д2 конечной v-меры выпол-
выполняется равенство
ь
(х, Дх) ш(х, Д2) rfj* (je) = v (ДХД2). E)
а
Ортонормированные системы функций могут, в си-лу изложенного
выше, рассматриваться как частные случаи ортонормированных
ядер — относительно функций [х(х) = л: и v(_y) = [у] **). Ортонор-
мированное ядро ср(лг, у) называется полным, если для любых
множеств Д: и Д2 конечной [А-меры выполняется соотношение
в
^ (Д„ у) 1(Ь,у) dv (у) = ц (Д^г), F)
*) Отрезки могут быть бесконечными.
**) [У]—целая часть у.

484 дополнения
где
G)
д
Примером ортонормированного ядра может служить ядро
ф (х, у) = eiocy.
Ортонормированность этого ядра относительно мер dp (x) = -~=
У 2я
= —~=L вытекает из известного равенства Планшереля
y, (8)
связывающего функции <pt(x) и <в2(х) с интегрируемыми квадра-
квадратами модулей и их преобразования Фурье
A=l,2. (9)
Fk{y) =
-00
Применяя формулу Планшереля к характеристическим функ-
функциям срх (х) и ср2 (х) множеств Aj и Д2> мы убеждаемся, что ядро
eixv действительно ортонормировано.
Другим примером ортонормированного ядра является ядро
Ганкеля
Ч(х,у)=УТуМху), (Ю)
где 7,(л:)—функция Бесселя со значком v. Как доказывается
в теории бесселевых функций, отображение
x (И)
о
является изометричным инволютивным отображением, т. е.
A2)
J\f(x)\*dx= f\F(y)rdy. A3)
о о
2. Свойства ортонормированных ядер. Существует ряд тео-
теорем об ортонормированных ядрах, обобщающих соответствующие

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЯДРА 485
теоремы, касающиеся ортонормированных систем функций. Напри-
Например, теореме о минимальных свойствах отрезков ряда Фурье
соответствует следующая
Теорема 1. Пусть f(x)?L\ и А — некоторое множество
конечной ч-меры. Пусть ®(х, у) — ортонормированное ядро
относительно мер d]x{x) и di(y). Тогда среди функций вида
A4)
где ф(_у) обращается в нуль вне множества Д, наилучшее ква-
дратическое приближение к fix) дает функция, для которой
= О при y?h и
ь
Ф (У) = F (у) = // (х) ^77) dp (х) A5)
при
Обозначим эту функцию через Wд (у).
Теорема 1 сразу вытекает из тождества
ь
f /<*>¦
а
Ь
A6)
являющегося следствием ортонормированности ядра ®(jc, у). Если
ядро <в(х, у) не только ортонормировано, но и полно, то имеет
место равенство
в
(x,y)d<*(y). A7)
В случае, когда v-мера отрезка [А, В] бесконечна, возникает
вопрос о сходимости интегралов вида
(y). A8)
Мы рассмотрим случай, когда Л = 0, В = оо, причем будем
считать, что мера любого конечного отрезка конечна.

486 ДОПОЛНЕНИЯ
Как правило, мы будем доказывать лишь сходимость почти
'сюду некоторых последовательностей «частных интегралов»
Уп
s (х, уп) = / ф (у) «р (л, у) rfv (у). A9)
о
Из сходимости таких последовательностей вытекает сходимость
почти всюду интегралов
У
s(х, у)= fb(у) <р(х, у)dv (у) B0)
о
при у -*¦ оо, если почти для всех л: существует такое Сх, что
У
f \^(х,у)\Ы^(у)<Са. B1)
В самом деле, из B1) вытекает, в силу неравенства Шварца,
что для любой функции Ф(у)??» имеем почти всюду, при уп-^.
неравенство
litn | ф (у) ср (х, у) dv (у) = 0. B2)
»->оо
В общем случае из сходимости последовательности s(x,yn)
можно вывести сходимость любой последовательности s(x, zn),
где уп <; zn < yn+v Это вытекает из следующей леммы.
Лемма. Если <в(х, у)-— ортонормированное ядро и ty(y)(zL->,
то при уп-+оо почти всюду Fn(x)-+0, где упКгп<Уп+у и
Рп (х)= U (у) ш (*,. jr) rfv (у). B3)
Для доказательства обозначим через Еп % множество тех то-
точек, где \Fn(x)\>-?. Так как
ь гп
/1 Fn (х) |2 dp (x) = / | ф (у) р rfv О), B4)
г/,
п
то
B5)

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЯДРА
487
Так как ^O)??v, T0 SK^'n s)< °°- Обозначим lim sup Еп k
и = 0 ' п->со '
через Ек. Если бы множество Ек имело положительную (л-меру,
то мы имели бы Zj\>-(En Jt) = oo, вопреки доказанному. Поэтому
п=о '
= 0. Тогда и [х(Е) = 0, где Е=^Ек. Но для любой
_ fc=i
точки jc^E имеем lim Fn(x) = 0.
п + оо
Теорема 2. Пусть <в(х, у) — ортонормированное ядро
относительно мер d]x(x) и dv (у) и функция g(y) монотонно
стремится к бесконечности при у -»¦ оо. Тогда для любой
функции fy (у), такой, что интеграл
B6)
о
сходится, существует почти всюду lim s (х, уп), где п
<+
Эта теорема аналогична теореме [5.3.2] и доказывается со-
совершенно аналогично.
В дальнейшем мы будем обозначать через уп такое чис-
ло, что ч(уп — 0)<;п <!v(уп). Под интегралом Г f(y)av(y)
о
будем понимать интеграл Стильтьеса, в котором точке уп
приписана мера п — v(yn—0). (Если функция м(у) непрерывна,
то « = v(yn)-)
Теорема 3. Из существования предела
B7)
где <?(х, у) — ортонормированное ядро, вытекает существова-
существование почти всюду предела lim s (x, у2„) и обратно, из существо-
П->00
вания почти всюду предела lim s(x, у „) вытекает существо-
П->00
вание почти всюду предела B7).
Эта теорема доказывается аналогично теоремам [5.3.3] и
[5.8.5].

488 дополнений
Теорема 4. При тех же обозначениях и предположениях,
что и в теореме 3, из сходимости интеграла
V) B8)
вытекает сходимость последовательности s (х, уп) почти всюду.
Эта теорема аналогична теореме [5.3.5).
оо
Определение 2. Интеграл Г Q (х, у) rfv (у) называется
о
безусловно сходящимся, если для любого сохраняющего меру
отображения у->$(у) интеграл
оо
/<?[*, Р (У)] ЛОО B9)
сходится почти всюду.
Теорема 5. Пусть w(y) — монотонно стремящаяся к бес-
бесконечности функция, для которой существует такая после-
оо
довательность индексов nlt ..., nk что },—-—г < оо и
fci
l < Alognk, где А — некоторая постоянная. Пусть, да-
далее, ортонормированное ядро <о(х, у) удовлетворяет требо-
требованию B1). Тогда из сходимости интеграла
вытекает безусловная сходимость интеграла
оо
/¦(УЖ*. У)*(У). C1)
о
Эта теорема аналогична теореме [5.4.1].
Назовем ядром Дирихле ортонормированного ядра ср (х, у)
функцию
D (х, z,t) = f<p (х, у) 9 (z, у) rfv (у), C2)
о
а функцией Лебега — функцию
L(x,t)= j \D(x, z,t)\dp(z). C3)
««-»

Ортогональный ядра 489
Как и прежде, yt—такое число, что v(yt— 0) <;t <! v(yt);
xt— такое число, что p(xt— 0) <; t <[ р (xt).
Значение функции Лебега для исследования сходимости инте-
интегралов A8) выясняется следующей теоремой.
Теорема 6. Если на некотором множестве Q положи-
положительной меры имеем L (х, t) < Aw2 (t), то почти всюду на этом
множестве выполняется соотношение s(x, t) — O(w(t)) и из
сходимости интеграла
C4)
вытекает сходимость почти всюду последовательности s (x, уп).
Эта теорема аналогична теореме Колмогорова — Селиверстова —
Плеснера из теории тригонометрических, рядов и доказывается
аналогично теоремам [5.5.4] и [5.5.5J.
Мы ограничиваемся этими примерами, хотя их число можно
было бы значительно увеличить.
3. Мультипликативные ортонормированные ядра. Опреде-
Определение 3. Ортонормированное ядро ср (х, у) называется муль-
мультипликативным, если для любых у^ и у2 можно найти такое у3,
что у(х, у1)(о(х, _у2) = (р(х, у3), и если для любого у найдется
такое z, что <о(х, у)——, г.
Если принять у3 за «обобщенное произведение» ух и у2, то
операция обобщенного умножения превращает множество всех у
в группу.
Примером мультипликативного ортонормированного ядра мо-
может служить ядро <о(х, у) = ег%1хУ.
Теория мультипликативных ортонормированных ядер во мно-
многом аналогична теории мультипликативных ортонормированных
систем функций. Различие состо'ит в том, что в то время как
мультипликативные ортонормированные системы функций связаны
с компактными коммутативными группами, мультипликативные
ортонормированные ядра связаны с локально компактными ком-
коммутативными группами.
Мы не будем излагать здесь теорию характеров локально
компактных коммутативных групп, а ограничимся рассмотрением
случая, наиболее близкого к изученному выше случаю периоди-
периодических мультипликативных систем функций (см. нашу работу [29]).
Мы будем рассматривать ортонормированные ядра cp(jc, у)
следующей структуры. С ядром <р (х, у) связывается последова-
последовательность чисел {тк}, —оо < k < oo, то=1, таких, что отно-
отношения w&+1 = рк являются простыми числами. Ядро ср (х, у)

490 дбполненйя
рассматривается в квадранте 0<;лг, у < оо. При этом как х, 'гак"
и у пробегают «модифицированный» луч [0, оо). Это означает, что
каждая точка вида -— рассматривается дважды — как левый конец
тк
отрезка —, ¦—!— и как правый конец отрезка ——, — .
\_тк тк J г L тк тк\
Наряду с введенным выше обобщенным умножением чисел
у1*у2 существует обобщенное умножение чисел х1ох2, причем
выполняется равенство
<р (хх О х2, у) = «р'(*1. У) <Р (Х2> У)-
Числа х относительно умножения х1ох2 также образуют
группу.
При этом, если х. пробегает отрезок вида —, -^-i—
L mk mk J
, ГS s+11
a jc2 пробегает отрезок вида —, —!— , то произведение
принадлежит отрезку —•, —:— , где t зависит лишь
L mk mk J
от г и s. Аналогичное утверждение имеет место и для обобщен-
обобщенного умножения параметров у1*у2'- если yt^ [гтк, (г-\-\)тк\,
а у2 ^ [smk, (s-\-l)mk], то Уз—У1*Уг пробегает отрезок вида
к> (Q-\-l)mkh где Ч зависит только от г и s.
Если 0 -^.у -^ тк, то <в(х, у) принимает постоянные значения
на отрезках вида —, —^—I. Если yt и у2 принадлежат одному
и тому же отрезку вида [smk, (s-\-l)mk], то на отрезке
-2— , выполняется равенство ф (х, у,) = w (л:, у2)- Отсюда
следует, что отрезку вида [smk, (s-j—l)/»ft] соответствует
некоторая функция Ф8(лг), заданная на отрезке О, -— .
L ' тк J
Эти функции образуют мультипликативную периодическую
¦— ;
тк J
фу ру уу р
ортонормированную систему функций на отрезке 0,
L
нормированность понимается в том смысле, что
(*)I2<**=!• C5)
Из теорем, доказываемых в теории характеров топологиче-
топологических групп, вытекают следующие результаты.
Теорема 7. Для каждой функции f(x), имеющей интег-

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЯДРА 491
рируемый квадрат модуля, интеграл
оо
//(*)«(*. y)dx C6)
о
сходится в среднем к некоторой функции F (у). При этом
имеют место формула обращения
, y)dy C7)
о
и равенство Планшереля
со
f\y. C8)
о о
Функция F(y) называется преобразованием Фурье функ-
функции f(x) (см. [26а]).
у
Обозначим Г ср (л:, t)dt через D(x, у). Тогда при некоторых
о
условиях, наложенных на функцию f(x), имеет место равенство
/(*)=lim Cf(x*-t-1)D(t,y)dt, C9)
»>оо J
аналогичное формуле простого интеграла Фурье. Эти условия
могут быть сформулированы следующим образом. Обозначим
через а (х) функцию, принимающую на отрезках [mlv mn+l] зна-
значения \\тп. Тогда имеет место
Теорема 8. Если функция f(x) суммируема на любом
отрезке вида [0, l/m^], а функция a.(x)f(x) суммируема на
полупрямой [1, оо), причем функции Ft{x) — f(x*t), O^x^l,
разлагаются на отрчзке [О, 1] в сходящийся ряд Фурье по
функциям ср (х, п), то имеет место равенство C9).
Другие, более тонкие признаки сходимости приведены в на-
нашей работе [29]. Отметим следующую теорему.
Теорема 9. Если функция f(x) такова, что интеграл
оо
f\f(x)\dx D0)
о
сходится, то почти всюду существует предел
тп
lim { f(x*r1)D(t,y)dy. D1)

492 дополнения
Имеет место также следующая теорема единственности:
Теорема 10. Пусть для любого х выполняется ра-
равенство
со
lim U(y)<?(x,y)dy = 0, D2)
где ф(_у) — некоторая функция, суммируемая на любом конеч-
конечном отрезке. Тогда функция ф(_у) почти всюду равна нулю.
Частным случаем рассмотренных нами мультипликативных
ядер ср(дг, у) являются ядра следующей структуры. Рассмотрим
две ортонормированные периодические мультипликативные си-
системы функций <рй($) и фп(?), заданные на отрезке [0, 1]. Пусть
x-=k-\-Z, где 0<5<;1, a. y = m-\~r\, где 0-<i)<;i. Положим
тогда
<?(Х.У) = 9т®Ы^' D3)
Можно показать, что ср (jc, у) является мультипликативным орто-
нормированным ядром рассмотренного выше типа. Имеет место
следующая
Теорема 11. Пусть функция /(jc) и ее преобразование
Фурье F(y) no ядру D3) ограничены и суммируемы. Тогда
имеет место равенство
B(). D4)
«=0 и=0
Эта теорема была в более общем виде доказана нами (см. [26а],
стр. 210). Частный случай этой теоремы позже опубликовал
Н. Файн [125]. Формула D4) аналогична формуле Пуассона для
интегралов Фурье.
Приведем в заключение некоторые примеры мультипликатив-
мультипликативных ортонормированных ядер.
Пусть р — простое число и
где 0 <] ап < р и о„ = 0 при n^N(x), a
.У= 2 ЬпР"-К D6)
П=-оо
где 0<?n<jo и ?и = 0 при
Положим
оо
2*1 -у
еР^-°°пп- D7)
*) N [х) и М (у) — числа, зависящие от л: и у.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЯДРА 493
Тогда <?(х, у) является мультипликативным ортонормированным
ядром. При р = 2 это ядро переходит в континуальный аналог
функций Уолша, рассмотренный Н. Файном в [125]. При любом р
эту систему рассматривал Р. Селфридж [108а]<
Пусть теперь jc и у задаются равенствами D5) и D6).
Положим
?<*.»= П .ft e^V*-'-1 • D8)
—со J— —оа
Тогда « (jc, у) также является мультипликативным ортонормиро-
ортонормированным ядром. Это ядро замечательно тем, что при любых jc
и )| и любом целом k найдутся единственным образом опреде-
определенные хх и ух такие, что
[<Р C*i. У)\" = 1<Р (х, Уд\* = «Р (х, У).
Ортонормированное ядро D8) связано с группой дробных р-ади-
ческих чисел (см. А. Г. Курош [73а]). Ортонормированное ядро [47]
связано с группой более простого строения. Она получается сле-
следующим образом. Рассмотрим счетное множество циклических
групп порядка р. Образуем их алгебраическую прямую сумму Gt
и их топологическую прямую сумму G2 (см. Л. С. Понтрягин
[103а]). Ортонормированное ядро D7) задает совокупность харак-
характеров прямой суммы групп Gt и G2.
33 Зак 2542. С Кзчцгаж н Г. Штейнгауэ

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ
КНИГИ
Трехзначные числа в квадратных скобках означают соответствующие
места книги. Числа справа — номера цитированных работ по списку
литературы. Если цитируется книга, то ее номер (однозначный) также
заключен в квадратные скобки.
1.1.3]
1.1.4
1.1.5
1.1.9
1.2.1
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.7
1.2.8
1.3.4
1.4.4
1.4.5
1.4.6
1.4.7
1.5.1
1.5.5
1.5.6
1.5.7
1.5.8
1.5.9
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.8
1.7.1
1.8.1
1.8.2
1.8.3
2.2.5
2.2.6
2.3.3
2.3.4
2.3.5
2.3.6
2.4.2
2.6.1
2.6.4
2.6.6
2.6.7
[
8
[8
96
108, [9], \4]
6]
6
6
6
8
8
1
1
1
1'
1
1
. 5
,[5]
, 9
84
[1]. 9
[1], 9
83
83
1
1
1
1
1
1
57
[1], 58
28
27
I
77
— [2.4.4] 87
— [2.6.3 27, 89
89
78, 79
35
2.6.9
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.2.2
3.2.3
3.3.1
3.3.2
3.4.1
3.5.3
3.5.4
3.5.6
3.5.7
3.6.1
3.7.1
3.7.3
3.8.1
3.8.3
3.9.2
4.1.1
4.1.4
4.2.1
4.3.1
4.3.2
4.4.1
4.4.3
4.5.1
4.5.2
4.5.3
4.5.6
4.5.7
4.6.1
4.6.3
4.7.1
4.7.3
4.7.4
4.8.1
4.8.4
4.9.1
4.9.2
90
89
26
— [3.1.4] 89
77
— [3.2.4] 49
89
— [3.3.31 27
80
51, 89, 90, 91
— [3.5.5] 22, 52, 90
22, 78, 79
54
— [3.6.4] 61, 105
— 3.7.2] 32
— 3.7.5] 18, 51, 90
79
22, 79
102
— [4.1.2] 53
— [4.1.5] 53
— [4.2.3] 109
[3]
- [4.3.3] [3]
— 4.4.2] 28
23
72
45, 77
45
45, 72
110
— [4.6.2] 40, 43, 71, 112
40, 43, 71
72, 99
72
— [4.7.5] 72, 99
50
31
100, 106
100

Ыаза'Шъ литературы к Основному тйкйту Книги
495
5.1.1
5.1.2
5.1.4
5.1.7
5.2.2
5.2.3
5.2.5
5.2.6
5.2.8
5.3.1
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.3.6
5.4.1
5.4.2
5.4.3
5.5.1
5.5.2
5.5.3
5.5.4
5.6.1
5.6.2
5.6.3
5.6.5
5.6.7
5.7.1
5.7.3
5.7.4
5.7.
5.7.7
5.8.1;
5.8.2
5.8.3
5.8.5
5.8.6
5.8.7
5.9.1
-[5
[5.1.5]
-.1.9]
74
— [5.1.3] 63
i 68
63, 104
28
63
65
28, 96, 107
66
95
39, 77
46
77
34, 35, 59, 75, 77,
— [5.3.7] 42, 59
63
59, 63
59, 63
17, 39, 77
39, 77
39, 76
— [5.5.6] 39
83
5
72
9
65
68
96
42
39
9
118
14, 118, 120
— [5.8.4] 36, 116, 117, 118
37
14, 38, 59, 60
38, 59
39
114
¦ [5.6.4]
¦ [5.6.6]
5.9.2
6.1.1'
6.1.3
6.2.4
6.3.1
6.3.2
6.4.1}
6.4.4
6.4.6
6.5.2
6.5.7
6.5.8
6.6.2
6.6.6
6.7.3
6.7.6!
6.9.2
6.9.4
7.1.1
7.2.1
7.2.2
7.2.3
7.3.2
7.3.4
7.4.1
8.1.5
8.1.6
8.1.8
8.3.1
8.4.3
8.4.4
8.5.;
8.6.1
8.6.2'
8.6.3
8.7.4
8.7.5
8.7.6
8.8.3
- [5.9.3]
- [6.2.5]
- [6.4.3]
- [6.5.6]
- [6.6.4]
6.7.5]
6.7.9]
- [6.9.6]
- [7.3.7]
¦ [7.4.3]
¦ [8.1.9]
¦ [8.3.4]
42
3, 21, 64
[1J
81
69 [3]
64
33
64, 96
41
64
41
98
64
64
64
64
64
43, 72
7
7, 8
7
7
6
72
Ш
101
55
55
7
7
7
7
15
11
15
27
33*

ЛИТЕРАТУРА К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ КНИГИ
[1] Банах С. С, Курс функщонального анал1зу, Радянська школа, Кшв
1948.
[2] Г о б с о н Е., Теория сферических и эллипсоидальных функций, ИЛ
1952.
[3 Зигмунд А., Тригонометрические ряды, ГОНТИ, 1939.
[4 К п о р р К., Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Berlin, 1922.
[5 H а т а н с о н И. П., Теория функций вещественной переменной, Гостех-
издат, 1950.
[6] Сакс С., Теория интеграла, ИЛ, 1948.
[71 Shoe hat I., Theorie generate des polynomes orthogonaux de Tche-
bichef, Paris, 1934.
[81 Харди Г. Г., Литтльвуд Дж. Е. и Полна Г., Неравенства,
ИЛ, 1948.
[9] Харди Г. Г., Расходящиеся ряды, ИЛ, 1951.
1. A b r a m e s с о N., Les polynomes orthogonaux, Ann. Fac. Sc. Un. Tou-
Toulouse 24 A932), 67—87.
2. A g n e w S., On doubly orthogonal series, Proc. London Math. Soc. 2,
33 A932), 420—434.
3. Banach S., An example of an orthogonal development, Proc. London
Math. Soc. 2, 21 A922), 95—%.
4. В а п а с h S., Sur unepropriete caracteristique des fonctions orthogonales,
Compt. Rend. Acad. Sci. 180 A925), 1637—1640.
5. Banach S., Sur la convergence presque partout de fonctionelles lineai-
res, Bull. Sci. Math. 2, 50 A926), 1—12.
6. Banach S., Ober einige Eigenschaften der lacunaren trigonoinetrischen
Reihen, Studia Math. 2 A930), 207—220.
7. Banach S., Sur les series lacunaires, Bull. Acad. Polonaise A933),
149—154.
8. Banach S., S a k s S., Sur la convergence forte dans les champs Lp,
Studia Math. 2 A930), 51—57.
9. Banach S., S t e i n h a u s H., Sur le principe de la condensation de
singularites, Fund. Math. 9 A927), 50—61.
10. Ber.gmann St., Ober die Entwicklungen der harmonischen Funktio-
nen nach Orthogonalfunktionen, Math. Ann. 86 A922), 238—271.
11. Berry A. C. The Fourier transform identity theorem, Ann. of Math.
2, 32 A931), 227—232.
12. Birnbaum Z. W., Orlicz W., Verallgemeinerung konjugierter Po-
tenzen, Studia Math. 3 A931), 1—67.
13. В о с h n e r S., Ober orthogonale Systeme analytischer Funktionen, Math.
Zeit. 14 A922), 180—207.
14. В or gen S., Ober (C, 1)-Summierbarkeit von Reihen orthogonaler
Funktionen, Math. Ann. 98 A928), 125—150.
15. С а с с i о р о 1 i R., SulF approsimazione per polinomi delle funzioni definite
in campl illimitati, Oiorn. Ital. d. Attuari 3 A932), 364—375.

ЛйтеРатуРа к основному тексту книги 497
16. Chen Kien Kwong, On the system of normalized orthogonal
functions, Tohoku Math. J. 30 A928), 1—9.
17. Chen Kien Kwong, On the series of orthogonal functions, Proc.
Imp. Acad. Japan 4 A928), 36—37.
18. Chen Kien Kwong, On the conditions for the completeness of the
systems of orthogonal functions, Jap. Journ. of Math. 6 A929), 81—87.
19. Chen Kien Kwong, On the theorem of Zygmund in the theory
of the series of orthogonal functions, Toholcu Math. J. 30 A929), 472—475.
20. С h о к h a t I, Sur la sommation de certaines series de fonctions orthogo-
nales, Compt. Rend. Acad. Sci. 188 A924), 1475—1478.
21. Фихтенго л ьц Г. М., Sur la notion de la fermeture des systemes de
fonctions, Rend. circ. mat. Palermo 50 A926), 385—398.
22. Fischer F., Sur la convergence en moyenne, Compt. Rend. Acad.
Sci. 144 A907), 1022—1024, 1148—1150.
23. Franklin Ph., A set of continuous orthogonal functions, Math.
Ann. 100 A928), 522—529.
24. Г а г а е в Б., Sur l'unicite de systeme de fonctions orthogonales invariant
relativement a la derivation, Compt. Rend. Acad. Sci. 188 A929), 222—225.
25. Г а г а е в Б., Ober Sturm — Liouvillische Reihen mit Ltlcken, J. of Math.
166 A932), 204—207.
26. Gram I. P., On Raekkendviklinger bestemte ved Hjaelp of de mindste
Kvadraters Methode, Kopenhagen, 1879.
27. Gram 1. P., Ober die Entwicklung reeler Functionen in Reihen mittels
der Methode der kleinsten Quadrate, J. of Math. 94 A883), 41—73.
28. H а а г A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math.
Ann. 69 A910), 331—371 и 71 A912), 38—53.
29. H а а г A., Ober einlge Eigenschaften der orthogonalen Funktionensysteme,
Math. Zeit. 31 A929), 128—137.
30. H a a r A., Ober die Multiplikationstabelle der orthogonalen Funktionen-
Funktionensysteme, Math. Zeit. 31 A930), 769—798.
31. Hermite Ch., Sur un nouveau developpement en serie de fonctions,
Compt. Rend. Acad. Sci. 58 A864), 93 — 100, 266—273.
32. H i 1 b e r t D., Grundzflge einer allgemeinen Theorie der linearen Integ-
ralgleichungen, 5, Mitt. Nachr. Ges. Wissen. Gottingen A906), 439—480.
33. Hill E., Tamarkin J. D., On the summability of Fourier series II,
Ann. of Math. 2, 34 A931), 329—348.
34. Hob son E. W., On the convergence of series of orthogonal functions,
Proc. London Math. Soc. 2, 12 A913), 297—308.
35. Jerosch F., We у I H., Ober die Konvergenz von Reihen, die nach
periodischen Funktionen fortschreiten, Math. Ann. 66 A909), 67—80.
36. Kaczmarz S., Ober die Konvergenz der Reihen von Orthogonal-
funktionen, Math. Zeit. 23 A925), 263—270.
37. Kaczmarz S., Ober die Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen,
Math. Ann. 96 A925), 148—151.
38. Kaczmarz S., Ober die Summierbarkeit der Orthogonalreihen, Math.
Zeit. 26 A927), 99—105.
39. К а с z m a r z S., Sur la convergence et la sommabilite des developpements
orthogonaux, Studia Math. 1 A929), 87—121.
40. Kaczmarz S., Ober ein Orthogonalsystem, Compt. Rend, du I Congr.
d. math, des pays slaves, Warszawa A929), 189—192.
41. Kaczmarz S., Sur les multiplicateurs des series orthogonales, Studia
Math. 4 A933), 21—26.
42 Kaczmarz S., Notes on orthogonal series, I, II, Studia Math. 5 A935),
24—28, 103—106.
43 К а с z m a r z S., S t e I n h a u s H., Le systeme orthogonal de M. Rade-
macher, Studia Math. 2 A930), 231—247.
44. Хинчин А. Я., Ober dyadische Briiche, Math. Zeit. 18 A923), 109—116.

ЛИТЕРАТУРА К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ КНИГИ
45. X и н ч и н А. Я., К о л м о г о р о в А. Н., Ober die Konvergenz der Reihert
deren Qlieder durch den Zufall bestimmt wurden, Мат. сборник 32A925),
668—677.
46. Колмогоров А. Н., Une contribution a I'etude de la convergence
des series de Fourier, Fund. Math. 5 A924), 96—97.
47. Колмогоров А. Н., О сходимости рядов по ортогональным поли-
полиномам, ДАН 1 A934), 291—294.
48. Колмогоров А. Н., МеиьшовД. Е., Sur la convergence des series
de fonctions orthogonales, Math. Zeit. 26 A927), 432—441.
49. Kostitzin V., Quelques remarques sur les systemes complete
de fonctions orthogonales, Compt. Rend. Acad. Sci. 156 A913), 292—295.
CO
Г ' e~x
50. Laguerre E., Sur l'integrale -—— dx, Bull. Soc. Math. France 7
A879), 72—81.
51. Lauricella O., Sulla chiusura dei systemi di funzioni ortogonali,
Rend. Acad. dei Lincei 5, 21 A912), 675—685.
52. Lauricella O., Sopra gli sviluppi in serie di funzioni ortogonali,
Rend. circ. mat. Palermo 29 A910), 155—163.
53. L e g en d r e A. M., Recherches sur l'attraction des spheroides homogenes,
Mem. math. phys. pres. a l'Ac. Sci. 10 A785), 411—434.
54. L e г с h, О hlavni vete theorie funkci vytvorujicich, Rozpravy Ceske
Acad. v Praze 1 A892), 1—7.
55. Левин С. С, Ober einige mit der Konvergenz im Mittel verbundene
Eigenschaften von Funktionenfolgen, Math. Zeit. 32 A930), 491—511.
56. Me Coy M. H., Note on the existence of a positive function orthogonal
to a given set of functions, Bull. Amer. Math. Soc. 36 A930).
57. Mazur S., Ober konvexe Mengen in linearen metrischen Raume, Studia
Math. 4 A933), 70—84.
58. Mazur S., Orlicz W., Zur Theorie der linearen metrischen Raume,
Studia Math. 6 A936).
59. МеньшовД.Е,, Sur les serie de fonctions orthogonales, 1, Fund. Math. 4
A923), 82—105; 11 ibid. 8 A926), 56—108; 111 ibid. 10 A927), 375—420.
60. МеньшовД.Е, Sur la sommation des series de fonctions orthogonales,
Compt. Rend. Acad. Sci. 180 A925), 2011—2013.
61. M 0 n t z С h., Ober den Approximationssatz von Weierstrass, «Schwarz
Festschrift» A914), 303—312.
62. M ii n t z С h., Umkehrung bestimmter Integrate und absolute Approxi-
Approximation, Math. Zeit. 21 A924), 96—110.
63. Orlicz W., Zur Theorie der Orthogonalreihen, Bull. Acad. Polonaise
A927), 81—115.
64. Orlicz W., Beitrage zur Theorie derOrthogonalentwicklungen, I Studia
Math. 1 A929), 1—39; 11 ibid. 241—255; 111 Bull. Acad. Polonaise A932),
229—238.
65. Orlicz W., Einige Bemerkungen fiber die Divergenzpunktmengen von
Orthogonalentwicklungen, Studia Math. 2 A930), 72—86.
66. Orlicz W., Einige Bemerkungen iiber Divergenzphanomene von
Orthogonalentwicklungen, Studia Math. 2 A930), 87—90.
67. Orlicz W., Konjugierte Exponentenfolgen, Studia Math. 3 A931),
200—211.
68. Orlicz W., Ober die Divergenz von allgemeinen Orthogonalreihen,
Studia Math. 4 A933), 27—32.
69. P a 1 e у R. E. A. C, Some theorems on orthogonal functions, Studia
Math. 3 A931), 226—238.
70. P a 1 e у R. E. A. C, Note on a theorem of Kolmogoroff and Menchoff,
Math. Zeit. 37 A933), 669—673.

ЛИТЕРАТУРА К ОСНОВНОМУ ТЕКСТУ КНИГИ 499
71. Pa ley R. Е. А. С, A remarkable system of orthogonal functions.
Proc. London Math. Soc. 34 A932), 241—279.
72. P a 1 e у R. E. A. C, Zygmund A., On some series of functions,
A) Proc. Cambr. Ph. Soc. 26 A930), 337—357; B) ibid. 458—474.
73. Pell A., Biorthogonal systems of functions. Trans. Amer. Math
Soc. 12 A911), 135—164.
74. P I a n с h e r e 1 M., Satze iiber Systeme beschrankter Orthogonalfunktionen,
Math. Ann. 68 A910), 270—278.
75. P 1 a n с h e r e 1 M., Sur la convergence des series de fonctions orthogonales,
Compt. Rend. Acad. Sci. 157 A913), 15—25.
76. Плесснер А. И., Uber Konvergenz von trigonometrischen Reihen,
J. fur Math. 155 A925), 15—25.
77. R a d e m а с h e r H., Einige Satze iiber Reihen von allgemeinen Orthogonal-
Orthogonalfunktionen, Math. Ann. 87 A922), 112—138.
78. R i e s z F., Sur les systemes orthogonaux de fonctions, Compt. Rend.
Acad. Sci. 144 A907), 615—619.
79. Riesz F., Uber orthogonale Funktionensysteme, Nachr. Oes. Wiss.
Gottingen A907), 116—122.
8O.; Riesz F., Sur les ensembles de fonctions, Compt. Rend. Acad.
Sci. 143 A906), 738—741.
81. Riesz F., Ober eine Verallgemeinerung der Parsevalschen Formel,
Math. Zeit. 18 A923), 117—124.
82. Riesz M., Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonctionnelles
lineaires, Acta Math. 49 A926), 465—497.
83. Saks S., On some functionals, Trans. Amer. Math. Soc. 35 A933),
549—556.
84. Saks S., Tamarkin J. D., On a theorem of Hahn —Steinhaus,
Ann. of Math. 2, 34 A933), 595—601.
85. Sansone G., Sulla convergenza parziale degli sviluppi in serie di
funzioni ortogonali, Rend. Acad. dei Lincei 6, 13 A931), 842—847.
86. Sansone O., Sulla serie lacunari di polinomi di Legendre, Ann. Sc.
norm. sup. Pisa 2, 2 A933), 289—296.
87. Schauder J., Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktional-
raumen, Math. Zeit. 26 A927), 47—65.
88. Schauder J., Einige Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems,
Math. Zeit. 28 A928), 317—320.
89. Schmidt E., Entwicklung willkOrlichen Funktionen nach Systemen
vorgeschriebener, Diss. Gottingen, 1905; Math. Ann. 63 A907), 433—476.
90. Se verini C, Sulla teoria di chiusura dei systemi di funzioni ortogonali,
Rend. circ. mat. Palermo 36 A913), 177—202.
91. Se verini C, Sopra i systemi complemented dei systemi non chiusi
di funzioni ortogonali, 1 Rend. Acad. dei Lincei 30 A921), 92—95;
II ibid. 129—132.
92. Se verini C, Sulla convergenza delle serie dei funzioni ortogonali,
Rend. Acad. dei Lincei 6, 2 A925), 470—475, 542—548; ibid. 3 A926),
13—18.
93. Sestini G., Un teorema sugli sviluppi in serie lacunari di funzioni
di Sturm —Liouville, 1st. Lomb. Rend. 2, 66 A933), 481—490.
94. Sestini O., Sulle serie lacunari di polinomi di Legendre, 1st. Lomb.
Rend. 2, 66 A933), 689—696.
95. Steinhaus H., An example of a thoroughly divergent orthogonal
development, Proc. London Math. Soc. 2, 20 A920), 123—126.
96 Steinhaus H., Sur les developpements ortogonaux, Bull. Acad.
Polonaise A926), 11—39,
97. Steinhaus H., Zur Konvergenzfrage bei dem Rademacherschen
Orthogonalsystem, Мат. сборник 35 A928), 39—42,

500 литература к основному тексту книги
98. Stein ha us H., Sur quelques applications du calcul fonctionel a la
theorie de series orthogonales, Studia Math. 1 A929), 191—200.
99. S t e i n h a u s H., Sur la probabilite de la convergence de series,
Studia Math. 2 A930), 21—39.
100. Steinhaus H., Sur les suites completes, Studia Math. 4 A933),
142—145. '
101. Steinhaus H., Przyklady rozwiniec biortogonalnych, Mathesis
Polska 9 A934), 33—40.
102. S t i e 11 j e s T h. J., Recherches sur les fractions continues, Ann. Fac. Sci.
Toulouse 8 A894), 1—122.
103. Stone M. H., Three theorems on normal orthogonal sets, Bull Amer
Math. Soc. 31 A925), 17—21.
104. Stone M. H., A note on the theory of infinite series, Ann. of Math. 2,
32 A931), 233—238.
105. Szasz O., Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare
Aggregate von Potenzen, Math. Ann. 77 A916), 482—496.
106. Szasz O., Uber die Approximation stetiger Funktionen durch gegebene
Funktionenfolgen, Math. Ann. 104 A931), 155—160.
107. Takahashi Tatslo, Note on the system of the orthogonal functions,
Proc. Imp. Acad. Japan 10 A934), 541—543.
108. Toeplitz O., Uber lineare Mittelbildungen, Prace mat.-fiz. 22 A911),
113—119.
109. Чебышев П. Л., Теория механизмов, Труды С.-П. Академии
наук 7 A854), 539—568.
ПО. Verblunsky S., Some theorems on generalised Fourier constants,
Proc. London Math. Soc. 2, 37 A934), 33—62.
111. Vital! G., Sulla condizione di chiusura di un systema di funzioni
ortogonali, Rend. Acad. del Lincei 5, 30 A921), 498—501.
112. Walsh J. L., A closed set of normal orthogonal functions, Amer.
Journ. Math. 55 A923), 5—24.
113. Walsh J. L., A property of Haar's system of orthogonal functions,
Math. Ann. 90 A923), 38—45.
114. Weyl H., Ober die Konvergenz von Reihen, die nach Orthogonal-
funktionen vortschreiten, Math. Ann. 67 A909), 225—245.
115. Zarankiewicz K.. Uber ein numerisches Verfahren zur konformen
Abbildung zweifach zusammenhangender Oebiete, Zeit. ang. Math.
Mech. 14 A934), 97—104.
116. Zygmund A., Une remarque sur un theoreme de M. Kaczmarz,
Math. Zeit. 25 A926), 297—298.
117. Zygmund A., Remarque sur la sommabilite des series de fonctions
orthogonales, Bull. Acad. Polonaise A926), 185—191.
118. Zygmund A., Sur l'application de la premiere moyenne arlthmetique
dans la theorie des series de fonctions orthogonales, Fund. Math. 10A927),
356—362.
119. Zygmund A., Sur la sommation des series de fonctions orthogonales,
Bull. Acad. Polonaise A917), 295—308.
120. Zygmund A., Un theoreme sur les series orthogonales, Studia
• Math. 2 A930), 181—182.
121. Zygmund А., О zachovaniu si? pewnych szeregow funkcyjnych,
Mathesis Polska 8 A933), 76—87.

УКАЗАТЕЛЬ ЛИТЕРАТУРЫ К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ
ПЕРЕВОДЧИКОВ
9.1.1.
9.1.2.'
9.1.3.'
9.1.4.
9.1.5.
9.1.6.
9.1.7.
9.1.8.
9.1.9.
9.2.1.
9.2.2.
9.2.3.
9.2.4.
9.2.5.
9.2.6.
9.2.7.
9.2.8.
9.2.9.
9.2.10.
9.2.11.'
9.2.12.
9.2.13.
9.2.14.
9.2.15.
9.2.16.
9.3.1.J
9.3.2.'
9.3.3/
9.3.4.'
9.3.5.'
9.4.1.
9.4.2.'
9.4.3.'
9.4.4.'
9.4.5.'
9.4.6.
9.4.7.
9.5.1.
9.5.2.'
9.5.3.
9.5.4.
9.5.5.
57
54, 46
64
64
21
21
134
ПО, 111, 112
65, 66, 23, 24, 105, 72, 73
76, 86
87, 88
79, 85, 86
76
100
85
92
87, 88, 89
117, 118
91
118
91
118
118, 77
12, 117, 118
117, 93
47* 96, 123
123
97, 123
123
123
20
115, 116
116
116
116
116
126
85, 86, 90, 92
90, 92
6
6
8, 122
9.5.6.] 6
9.5.7.1 133, 2
9.6.1. 101
9.6.2. 101
9.6.3. 101
9.6.4. 101
9.6.5. 101
9.6.6. 101
9.6.7. 81, 61
9.7.1. 3
9.7.2. 3, 4, 33, 104
9.7.3. 4
9.8.1. 13, 15
9.8.2. 13, 15
9.8.3. 13, 15
9.8.4. 13, 15
9.8.5. 13, 15
9.8.6. 13, 15
9.8.7. 14, 16, 32*
9.8.8. 14, 16, 72, 73
9.8.9. 14, 16
9.9.2. 17, 18, 36
9.9.3. 36
9.9.4. 17, 18
9.9.5. 17, 18, 59
9.9.6. 17, 18
9.9.7 11, 9, 37
9.9.8 17, 18
9.9.9 71
9!9.10.] 69, 130, 35
9.10.1.1 19
9.10.2.1 25, 45, 31, 38, 39, 40, 41, 52,
107
9.10.3.1 19
9.10.4.J 19
9.11.1.J 77
9.11.2. 34
9.11.3. 27
9.11.4 27 28 29
9.U.5.) 135, 136, 137, 138, 124,30,125
9.11.6. 56
9.11.7.1 58, 60, 83, 84, 62
Примечание. Звездочкой отмечены статьи из списка литературы к
основному тексту книги.

ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
И К ДОПОЛНЕНИЯМ РЕДАКТОРА
1. A lexi ts Q., Sur la convergence des series de polynomes orthogonaux,
Comment. Math. Helvetici 16 A943), 200—208.
2. Alexits G., Sur la sommation forte des series orthogonales, Comment.
Math. Helvetici 18 A946), 122—128.
3. Alexits Q., Sur la convergence des series lacunaires, Acta Univers.
Szeged XI, 4 A948), 251—253.
4. Alexits G., Sur la convergence des series orthogonales lacunaires,
Acta Univers. Szeged XIII, 1—2 A949), 14—17.
5. Alexits G., Sur la convergence et la sommabilite presque partout
des series de polynomes orthogonaux. Acta Univers. Szeged XII A950),
223-225. . • .
6. Alexits G., Ober die Transformierten der arithmetischen Mittel
von Orthogonalreihen, Acta math. Acad. Sci. Hungaricae II, 1—2 A951),
7. Alexits G., Sur les sommes de fonctions orthogonales, Ann. Soc.
Polon. Math. 25 A952), 183—187.
8. Alexits G., Sur la sommabilite des series orthogonales, Acta math.
Acad. Sci. Hungaricae IV, 3—4 A953), 181—189.
9. Альтман М. Ш., О базисах в пространстве Гильберта, ДАН 69 A949),
483—485.
10. Amemiya I., A generalisation of Riesz — Fischer's theorem, J. Math.
Soc. Japan 5 A953), 353—354.
11. Б а б е н к о К. И., О сопряженных функциях, ДАН 62 A948), 157—160.
12. Банах С. С, Sur la divergence des series orthogonales, Stadia
Math. 9 A940), 139—155.
13. Бари Н. К., Об устойчивости некоторых свойств ортогональных
систем, ДАН 33 A941), 342—345.
14. Бари Н. К., Об устойчивости свойства полноты системы функций,
ДАН 37 A942), 99—103.
15. Бари Н. К., Sur la stabilite de certaines proprietes des systemes
orthogonaux, Мат. сб. 12 A943), 3—27!
16. Бари Н. К., Sur les systemes complete de fonctions orthogonales,
Мат, сб. 14 A944), 51—108.
17. Бари Н. К., О базисах в гильбертовом пространстве, ДАН 54 A946),
383—386.
18. Бари Н. К., Биортогональные системы и базисы в гильбертовом
пространстве, Уч. зап. МГУ, вып. 148, т. IV A951), 69—107.
19. В е 11 га a n R., Almost orthogonal series, Bull. Amer. Math. Soc. 50 A944),
517—519.
20. Б е р н ш т е й н С. Н., Sur la convergence absolute des series trigono-
metrique, Compt. Rend. Acad. Sci. 199 A934), 397—400.
21. Boas R. P. and Pollard H., The multiplicative completion of sets
of functions, Bull. Amer. Math. Soc. 54 A948), 518—522.
22. Borg G., On the completeness of some sets of functions, Acta Math
81 A949), 265—283.

ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ 503
23. Bourgin В. and Mendel С, Orthonormal sets of periodic functions
of the type {/(rue)}. Trans. Amer. Math. Soc. 57 A945), 332—363.
24. Bourgin В., A class of sequences of functions, Trans. Amer. Math.
Soc. 60 A946), 475—518.
25. Б р ж е ч к а В. Ф., Об одном классе полиномов, ортогональных иа
двух конечных интервалах, Харьков, Зап. мат. т-ва D) 17 A940),
26. Вальфнш А. 3., О некоторых ортогональных рядах, Сообщ. Груз-
Акад. наук 1 A940), 411—412.
26а. В е й л ь А., Интегрирование в топологических группах и его при-
применения, ИЛ, 1950.
27. В и л е и к и н Н. Я., Об одном классе полных ортогональных систем,
ИАН 11 A947), 363—400.
28. В и л е н к и н Н. Я., К теории лакунарных ортогональных систем,
ИАН 13 A949), 245—252.
29. Виленкин Н. Я., К теории интегралов Фурье на топологических
группах, Мат. сб. 30 A952), 233—244.
30. Виленкин Н. Я., К теории ортогональных ядер, УМН VII, № 3
A952), 63—82.
31. Вилеикин Н. Я., О некоторых почти ортогональных системах
функций, Прикл. мат. мех. 16 A952), 382—384.
32. Gal I. S., Sur les mo^ennes arithmetiques des suites de functions
orthogonales, Ann. Inst. Fourier Grenoble 1 A949), 53—59.
33. Gal M., Sur les series orthogonales (C, l)-sommable and X (n)-
lacunaires. Compt. Rend. Acad. Sci. 227 A948), 1140—1142.
34. Gelbaum B. R., On the functions of Haar, Ann. of Math. 51 A950),
26—36.
35. Gelbaum B. R., A nonabsolute basis for Hilbert space, Proc. Amer.
Math. Soc. 2 A951), 720—721.
36. Гельфанд И. M., Sur un lemma de la theorie des espaces lineaires,
Харьков, Зап. мат. т-ва D) 13 A936), 35—40.
37. Гельфанд И. М., Замечание к работе Н. К. Бари «Биортогональ-
ные системы и базисы в гильбертовом пространстве», Уч. зап. МГУ,
вып. 148, т. IV A951), 224—225.
38. Г е р о и и м у с Я. Л., Обобщенные ортогональные полиномы и формула
Кристоффеля—Дарбу, ДАН 26 A940), 843—846.
39. Г е р о н и м у с Я. Л., О полиномах, ортогональных относительно
дайной числовой последовательности, Харьков, Зап. мат. т-ва D)
17 A940), 3—18.
40. Геронимус Я. Л., О полиномах, ортогональных относительно
данной числовой последовательности и о теореме W. Hahn'a, ИАН 4
A940), 214—228.
41. Геронимус Я. Л., О некоторых свойствах обобщенных ортого-
ортогональных полиномов, Мат. сб. 9 A941), 121—135.
42. Геронимус Я. Л., Теория ортогональных многочленов, Гостехиз-
дат, 1950.
43. Г и е д е н к о Б. В., О единственности системы ортогональных функций,
инвариантной относительно дифференцирования, ДАН 14 A937),
159-162.
44. Гаг а ев Б. М., О некоторых классах ортогональных функций,
ИАН 10 A946), 197—205.
45. Gottlieb М., Concerning some polynomials orthonormal on a
finite or enumerable set of points, Amer. Journ. of Math. 60 A938),
453—458.
46 Graves R. E., A closure criterion for orthogonal functions, Canad.
J. Math. 4 A952), 198-203.

504 ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
47. Г р и н б л ю м М. М., Некоторые теоремы о базисе в пространстве
типа В, ДАН 31 A941), 428—432.
48. Г р и и б л ю м М. М., Биортогональные системы в пространстве
Банаха, ДАН 47 A945), 79—82.
49. Г р и н б л ю м М. М., К теории биортогональных систем, ДАН 55
A947), 291—294.
50. Г у р е в и ч Л. А., О сходимости в среднем биортогональиых рядов,
Мат. сб. 2 A937), 327—338.
51. Гуревич Л. А., О сходимости в среднем биортогональных рядов,
Воронеж, Труды университета 9:4 A937), 38—50.
52. Гуревич Л. А., О сходимости рядов по иеортогональиой системе
функций, Воронеж, Научн. сообщ. университета 1 A941), 5—12.
53. Гуревич Л. А., О базисе в пространстве непрерывных функций,
определенном на замкнутом ограниченном множестве л-мерного
, пространства, Воронеж, Труды университета 27 A954), 84—87.
54. Dalzell D., On the completeness of a series of normal orthogonal
functions, J. London Math. Soc. 20 A945), 87—93.
55. Z а а п е п А. С., On some orthogonal systems of functions, Compositio
Math. 7 A939), 253—282.
56. Z у g m u n d A., Note on trigonometrical and Rademacher's series,
Prace mat.-fiz. 44 A937), 91—107.
56a. lessen В., The theory of integration in a space of an infinite number
of dimensions, Acta Math. 63 A934), 249—323.
57. I у en gar K. S. K., On a test for the completeness L? of a normal
orthogonal set and its applications, J. Indian Math. Soc. 4 A940), 46—58.
58. Kac M., Sur les fonctions independantes, 1, Studia Math. 6 A936),
46—58; V ibid. 7 A938), 96—100.
59. Kac M., Salem R., Zygmund A., A gap theorem, Trans. Amer.
Math. Soc. 63 A948), 235—243.
60. Kac M., Stein ha us H., Sur les fonctions independantes, II, Studia
Math. 6 A936), 59—66; III ibid. 89—97; IV ibid. 7 A938), 1—15.
61. Kaczmarz S., M a r с i n k i e w i с z J., Sur les multiplicateurs des series
orthogonales, Studia Math. 7 A938), 73—81.
62. К a r 1 i n S., Orthogonal properties of independent functions, Trans. Amer.
Math. Soc. 66 A949), 44—64.
63. Козлов В. Я., О локальной характеристике полной ортогональной
нормированной системы функций, Мат. сб. 23 A948), 441—474.
64. Козлов В. Я-, О распределении положительных и отрицательных
значений ортогональных и нормированных функций, образующих
полную систему, Мат. сб. 23 A948), 475—480.
65. Козлов В. Я., О полноте системы функций {<р (пх)} в пространстае
Ц [0, 2я], ДАН 61 A948), 977—980. ,
66. Козлов В. Я., О полноте системы функций {<р (пх)} в пространстве
нечетных функций 12 [0, 2я], ДАН 62 A948), 13—16.
67. Козлов В. Я., О базисах в пространстве 12 [0, 1], Мат. сб. 26 A950),
85-102.
68. К о з л о в В. Я., К вопросу о полноте системы функций типа {<р {пх)}
в пространстве ?2, ДАН 73 A950), 441—444.
69. КозловВ. Я., Об одном обобщении понятия базиса, ДАН 73A950),
643—646.
70. КостюченкоА. и Скороход А., Об одной теореме Н. К. Бари,
УМН V1H, № 5 A953), 165—166.
70а. Chrestenson H. E., A class of generalized Walsch functions,
Pacific Journ. of Math. 5 A955), 17—32.
71. К р е й н М., М и л ь м а н Д., Р у т м а н М., Об одном свойстве базиса
в пространстве Банаха, Харьков, Зап. мат. т-ва D) 16 A940), 106—108.

ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ 505
72. К у з м а к Г. Е., Об одном представлении решения основного иитегро-диф-
иитегро-дифференциального уравнения крыла, Прикл. мат. мех. 16 A952), 715—718.
73. Кузмак Г. Е., Об одной системе функций, Мат. сб. 35 A954),
461-468.
73а. К у р о ш А. Г., Теория групп, Гостехиздат. 1953.
736. L6vy P., Sur une generalisation des functions orthogonales de M. Rade-
macher, Comm. Math. Helv. 16 A944), 146—152.
74. Левитан Б. М., Обобщение операции сдвига и бесконечные гипер-
гиперкомплексные системы, Мат. сб. 16 A945), 259—280; 17 A945), 9—44;
17 A945), 163-192.
74а. Левитан Б. М., Применение операторов обобщенного сдвига
к линейным дифференциальным уравнениям второго порядка, УМН IV,
№ 5 A949), 3-112. •
746. Lewis D. С, Orthogonal functions whose derivatives are also ortho-
orthogonal, Rend. circ. math. Palermo 2 A953), 159—168.
75. L о г е n t z О. О., Ober die Mlttelwerte der Funktionen eines Orthogonal-
systems, Math. Zeit. 49 A944), 724—733.
76. Marcinkiewicz J., Sur la convergence des series orthogonales,
Studia Math. 6 A936), 39—45.
77. M a r с i n k i e w i с z J., Quelques theoremes sur les series orthogonales,
Ann. Soc. Polon. Math. 16 A937), 85—96.
78. M ar с i nk i e wlcz J., О suraowalnoszi szeregow ortogonalnych,
Wiadomoszi Matematyczne 44 A938), 4—16.
79. M а г с i n k i e w i с z J., Quelques theoremes sur les series orthogonales
lacunaires, Ann. Soc. Polon. Math. 17 A938), 51—56.
80. M ar cink i e w ic z J., Sur les fonctions independantes, I Fund.
Math. 30 A938), 202—214; 11 ibid. 349—364; III ibid. 31 A938), 86—102.
81. M a r с i n k i e w i с z J., Sur les series orthogonales, Studia Math. 8 A939),
1—27.
82. Marcinkiewicz J.,Zygmund A., Some theorems on orthogonal
systems, Fund. Math. 28 A936), 309—335.
83. Marcinkiewicz J., Zygmund A., Sur les fonctions independantes,
Fund. Math. 29 A937), 60—90.
84. Marcinkiewicz J., Z у g m u n d A., Quelques theoremes sur les
fonctions independantes, Studia Math. 7 A938), 104—120.
85. Меньшов Д. Е., Sur la convergence et la sommation des series
de fonctions orthogonales, Bull. Soc. Math. France 64 A936), 147—170.
86. Меньшов Д. Е., Суммирование рядов по ортогональным функциям
линейными методами, ИАН, сер. математич. A937), 203—230.
87. Меньшов Д. Е., Ряды по ортогональным функциям, ограниченным
в совокупности, ДАН 15 A937), 295—300.
88. Меньшов Д. Е„ Sur les series de fonctions orthogonales bornees
dans Ieur ensemble, Мат. сб. З A938), 103—120.
89. Меньшов Д. Е., Sur les multiplicateurs de convergence pour les
series de polynomes orthogonaux, Мат. сб. 6 A939), 27—52.
90. Меньшов Д. Е., Sur la sommation des series de fonctions orthogonales
par des methodes de Cesaro, Мат. сб. 8 A940), 121—136.
91. Меньшов Д. Е., О частных суммах тригонометрических рядов,
Мат. сб. 20 F0) A947), 197—238.
92. Меньшов Д. Е., О частных суммах рядов по ортогональным
функциям, Уч. зап. МГУ, вып. 135, 2 A949), 3—9.
93. Меньшов Д. Е., О сходимости по мере тригонометрических рядов,
Труды Мат. ин-та им. В. Л. Стеклова 32 A950).
94. Nagy-Sz. В., Ober eine Frage aus der Theorie der orthogonalen
Funktionensysteme, Math. Zeit. 41 A936), 541—544.
95. Nagy-Sz. В., Ober die Konvergenz von Reihen orthogonalerPolynome»
Math. Nachrichten 4 A951), 50—55.

506 ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ
96. Н а т а н с о н И. П., К вопросу о разложении функций по ортогональ-
ортогональным полиномам, ИАН, сер. физ-мат. A933), 85—88.
97. Н а т а н с о н И. П., О сходимости рядов по ортогональным полиномам,
ДАН 2 A934), 209—211.
98. Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостехиздат,
1У4
99. Ohkuma Т., On a certain system of orthogonal step functions,
Tohoku Math. J. 5 A953), 1.66—177.
100. Orlicz W., Einigen Gegenbeispiele zur Konvergenztheorie der allge-
meinen Orthogonalentwicklungen, Studia Math. 6 A936), 98—103.
101. Orlicz W., Beitrage zur Theorie der Orthogonalentwicklungen,
V, Studia Math. 6 A936),.2O—38; VI ibid. 8 A939), 141—147.
102. Orlicz W., Une generalisation d'un theoreme Cantor — Lebesgue.
Ann. Soc. Polon. Math. 21 A948), 38—45.
103. Orlicz W., Sur la convergence uniforme des developpements
orthogonaux de fonctions bornees, Colloquium Mathematicum, 1: 3 A948),
218-224.
103a. Понт р ягин Л. С, Непрерывные группы, Гостехиздат, 1954.
104. Renyi A., Remarque & la note precedente, Acta Univers. Szeged. XI,
4 A948), 253.
105. Романов Н. П., Об ортонормированных системах, ДАН 46 A945),
239—242.
106. Ром а но в Н. П., Об одной специальной ортонормированной системе
и ее связи с теорией чисел, Мат. сб. 16 A946), 353—364.
107. Sakurai Т., On sets of some non-orthogonal functions, Tohoku
Math. J. 44 A937), 94—114.
108. Salem R., A new proof of a theorem of Menchoff, Duke Math. J. 8
A941), 269—272.
108a. Se If r i d ge R. G., Generalized Walsch transform, Pacific Journ.
of Math. 5 A955), 451—480.
109. Сенчищев Н. А., К теории ортогональных рядов, ДАН 62 A948),
31—33.
НО. Si don S., Ober Fourier Reihen mit Lucken, Compositio Math. 4 A937),
78-81.
111. Sidon S., Ober unvollstandige Orthogonalsysteme, Compositio
Math. 4 A937), 373—379.
112. Si don S., Nachtrag zu meiner Arbeit «Ober unvollstandige Orthogonal-
Orthogonalsysteme», Compositio Math. 5 A938), 433—434.
113. Sidon S., Ober Orthogonalsysteme, Compositio Math. 7 A940),
372—375.
114. Sidon S., Ober Orthogonalentwicklungen, Acta Univers. Szeged 10
A943), 206—253.
115. Стечкин С. Б., Об абсолютной сходимости ортогональных рядов,
УМН II, № 3 A947), 177—178.
116. Стечкин С. Б., Об абсолютной сходимости ортогональных рядов,
1, Мат. сб. 29 A951), 225—232; II, ДАН 102 A955), 37—40.
117. Т а л а л я н А. А., О сходимости ортогональных рядов, ДАН 110 A956),
515—516.
118. Тала л ян А. А., Сходимость почти всюду ортогональных рядов,
Диссерт., Матем. ин-т им. В. А. Стеклова, АН СССР A956).
119. Талдыкии А. Т., Равномерно минимальные системы функций,
ДАН 26 A940), 540—542.
120. Талдыкин А. Т., Нормальные системы функций, ДАН 26 A940),
543—547.
121. Талдыкин А. Т., О замкнутости биортогональной системы
функций, ДАН 26 A940), 554—557.

ЛИТЕРАТУРА К ОБЗОРНОЙ СТАТЬЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ 507
122. Т a n d or i К., Ober die Cesarosche Summierbarkeit der Orthogonalen
Reihen, Acta Univers. Szeged 14 A951), 85—95.
123. Ульянов П. Л., О безусловной сходимости почти всюду, Мат. сб.
40 A956), 95—100.
124. Fine N. I., On the Walsh functions, Trans. Amer. Math. Soc. 65 A949),
372—414.
125. Fine N. I., The generalized Walsh functions, Trans. Amer. Math.
Soc. 69 A950), 67—77.
126. Freud G., Ober die absolute Konvergenz von orthogonalen Polynom-
reihen, Acta math. Acad. Sci. Hungaricae 4, № 1—2 A953), 127—135.
127. Freudenthal H., Die Haarschen Orthogonalsysteme von Gruppen-
charakteren in Lichte der Pontrjaginschen Dualitatstheorie, Compositio
Math. 5 A938), 354-357.
127a. H a ar A., Ober unendliche kominutative Gruppen, Math. Zeit. 33 A931),
129-159.
128. Хаглеев П. LLL, Об одной ортонормироваиной последовательности,
И АН 10 A946), 271—276.
129. Hardy G., Notes on special Systems of orthogonal functions: I. The
boundedness of the generalized Laquerre system, J. London Math.
Soc. 14 A939), 34—36; 11. On functions orthogonal with respect to their
own zeros, ibid. 37—44.
130. Hartman Ph. and Wintner A., T6plerian ^Abases, Trans.
Amer. Math. Soc. 63 A948), 207—225.
131. Hewitt E., Remark on orthonormal sets in L«(a,b), Amer. Math.
Monthly 61 A954), 249—250.
132. Chen Kien Kwong, An extension of Parseval's formula in the
theory of orthogonal functions, Ann. of Math. 49 A948), 511—514.
133. Cheng Min Ten, Cesaro summability of orthogonal series, Duke
Math. J. 14 A947), 401—404.
134. Шилов Г. Е., О некоторых признаках замкнутости и полноты
системы функций, HayKoei Зап. КиКвського Держ. Ушв. 12, № 6
A953), 37—48.
135. Ш ней дер А. А., О единственности разложений по системе функ-
функций Уолша, Мат. сб. 24 A949), 279—300.
136. Шнейдер А. А., О сходимости последовательности частных сумм
рядов Фурье по функциям Уолша, ДАН 70 A950), 969—971.
137. Шнейдер А. А., О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша,
Мат. сб. 34 A954), 441—450.
138. Шнейдер А. А., О рядах по функциям Уолша с монотонными
коэффициентами, ИАН 12 A948), 179—192.
139 Е г d е 1 у i, On some biorthogonal sets of functions, Quart. J. Math.
Oxford ser. 11 A940), 111—123.

Качмаж С. и Штейнгауз Г.
Теория ортогональных рядов.
Редактор В. Ф. Гапошкин.
Техн. редактор А. П. Колесникова.
Корректор А. Н. Нарежяая.
•Х-
Сдано в набор 29/Х 1957 г. Подписано
в печать 27/1 1958 г. Бумага 60х92'/16.
Физ. печ. л. 31,75. Условн. печ. л. 31,75.
Уч.-изд. л. 30,99 Тираж 5000 экз. Т-00742.
Цена 17 р. 50 к. Заказ № 2542..
•Х-
Государственное издательство
физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
¦Х-
Типография № 2 нм. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стр.
84
160
188
288
296
344
446
449
478
479
Строка
5 СН.
7 ptj
2 сн.
8 св.
2 св.
1 сн.
4 св.
5 св.
2 сн.
3 св.
Напечатано
равен
Р ^-4^ /7+1
2в ^ ^ 2е
2.
n Tfl. Tf2. .... ТУ)
то
2 Iе»"*
=i
р,
1
f /@0,00) \ Ч 2
{*+( 2 4,i)J
00
2**2
Г=0 8=1
2o 2
Следует читать
не больше
Р ^jj^P+1
2е 2е
/n (Tl> Tf2> • • • > Tfr)
то
2
4т>
n=l
1
г /(oo, oo) \ 2 Л
ji+f 2 4,i) }
00
2/1
2 2
г=0
«-1
По чьей
вине
авт.
Я тэт
а о 1*
тип.
тип.
тип.
авт.
тип.
тип.
авт.
авт.
Зак. 2542.