Д. БЕМ, А. УОЛКОВ, Р. СТРУВЕ
Г ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО .
пгяхуд ОИД
УЧЕБНИКИ
KV- УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ J
АЛЯ ___

СОКРАЩЕННЫЙ
СБОРНИК УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ III
УЧЕБНИКИ и УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ
Д. БЕМ А. ВОЛКОВ, Р. СТРУВЕ
СОКРАЩЕННЫЙ СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ II ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СТАТЬИ
НАУЧНО - ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УЧЕНОГО СОВЕТА
ДОПУЩЕНО ДЛЯ ШКОЛ II СТУПЕНИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
41—70 ть'с.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА
|4АУЧНА^Г
.ЬЛИОТЬКЛ
К. Д. Ушняендго
499 9 -А
Гиз № 5968. Главаит. Л» 18594. Москва. Напеч. 30.000 окз.
Госиздат. 1-ая Образцовая типография. Москва, Пятницкая, 71.
ПРЕ Ц4С ЛОВ ИЕ.
Выпуская «Сокращенный сборник упражнении и задач
по элементарному курсу алгебры» (дополнительные статьи),
составители имели в виду дать возможность пользоваться
«Сокращенным сборником» и в тех учебных заведениях,
программа которых выходит за пределы основной части
этого сборника При разработке материала они руководи-
лись тою же основной мыслью, что и при издании двух-
томного «Сборника упражнений и задач», а именно, что
идеи функциональной зависимости и графического предста-
вления функций должны быть введены в изложение алгебры
с первых ступеней ее преподавания. Выпускаемый сбор-
ник содержит разбор на задачах дополнительных статей
алгебры, обычно входящих в программу гимназий и реаль-
ных училищ, включая сюда и элементы анализа.
Май, 1918 г.
Д. Бем, А. Волков, Р. Струве.
IV
ПРЕДИСЛОВИЕ
ко 2-му изданию.
Выпускаемое 2-е издание «Дополнительных статей- по-
полнено значительным рядом задач, а также введен отдел
о пределах, и расширена статья о тригонометрических
функциях. В виду значительного изменения нумерацию
задач не удалось сохранить.
Москва, Апрель 1922 г.
Д Бем, Р. Струве.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Комбинаторика (теория соединений).
§ 1- Соединения.
1.	Соединением называется определенная группировка ве-
щей; вещи, образующие соединение, называются его элемен-
тами. Указать элементы, из которых составлены соединения:
1) абвг, 2) баба, 3) 1234, 4) -f-, 5) а^аЪс, 6) ар аг,... ап.
2.	В соединениях могут приниматься во внимание:
1) состав соединения, 2) порядок элементов в соединении
и 3) число элементов. Образовать различные соединения
из элементов: 1) а, Ъ, с, cZ; 2) х, у, г-, 3) 1, 0, 3; 4) Ц-, —>
5) из трех элементов Ц- 1> 0, — 1; 6) из пяти элементов
J, В, С, В, Е.
3.	Даны 3 элемента а, Ъ и с. Написать все соединения,
которые могут быть образованы из этих элементов так,
чтобы в каждое соединение входило: 1) по 3, 2) по 2 и
3) по 1 элементу. При этом следует составить и такие со-
единения, в которые один и тот же элемент входит по не-
скольку раз. Соединения, отличающиеся порядком элемен-
тов, следует считать при этом различными.
4.	Даны четыре элемента а, Ъ, с, d. 1) Составить все со-
единсния из этих элементов по 2, не обращая при этом
внимания на порядок элементов и не вводя в каждое
соединение один и тот же элемент более одного раза.
2) Составить все соединения из этих элементов по 3, обращая
при этом внимание на порядок элементов, но не вводя в
— 6 —
каждое соединение одного и того же элемента более одного
раза. 3) Образовать все соединения по 4 элемента, не
обращая внимания на порядок элементов, и допуская повто-
рение в одном и том же соединении одного и того же
элемента
S 2. Перестановки
Перестановки без повторений
5.	Под перестанов 1ами (перемещениями) разумеют такие
соединения, в состав каждого из которых входят все дан-
ные элементы, а одно соединение от другого отличается
лишь последовательностью (порядком) элементов. Составить
таблицу перестановок: 1) из двух элементов а, Ъ\ 2) пз трех
элементов а, Ь, с; з) из четырех элементов a, b, с, d, рас-
полагая эти перемещения, как слова в словаре.
6.	Сколько различных перестановок молено образовать
из двух различных элементов?
7.	1) Даны 3 различных элемента а, Ъ, с. Образуя из
них перестановки, мп поступаем следующим образом: берем
один из элементов, напр., Ъ, и принимаем его за первый
элемент перестановки (занимаем им первое место), затем
берем один пз оставшихся и занимаем им второе место;
последним оставшимся элементом занимаем третье место.
Сколькими [различными способами можно занять первое
место в перестановках, образуемых из этих элементов?
2) Сколькими различными способами можно занять второе
и третье место после того, как первое место занято опре-
деленным элементом? 3) Сколько перестановок можно соста-
вить из трех различных элементов?
8.	1) На сколько групп могут быть разделены все пере-
становки из четырех элементов а, Ъ, с, d, в зависимости от
того, какой элемент помещен на первом месте? 2) Сколько
перестановок войдет в состав каждой группы, если в нее
включить все перемещения, отличающиеся порядком осталь-
ных трех элементов?
9.	Как получить число перестановок: 1) из 5 элементов,
зная число перестановок из 4; 2) из 7 элементов, зная число
перестановок из 6 элементов?
— f
10.	1) Доказать формулу
где Гп означает число перестановок из п элементов.
2) Определить значение Рп, перемножая почленно равен-
ства
21 ,, = п • Рп _j,
— 1)‘Рп-2-
11.	Доказать формулу
Р„ = 1-2 3 4... (и — 1) п
следующим образом: 1) показать, что она справедлива при
п = 1; 2) доказать, что она имеет место при „ —й-|-1, если
она верна при п~к (Способ полной индукции)
Выражение п\
12.	1) Для обозначения произведения п первых членов
натурального ряда введен символ:
в! ==1-2-3-4... {п — 1)-п.
Вычислить: а) 2! б) 3! в) 4! г) 5! д) б! е) ?!
2) Записать в раскрытой форме
I) (и4 1)! 2) («—1)! 3) (пД-З)! 4) (2н)! 5) (2»4-1)!
3) Вычислить произведения а) 2-п! и (2в)! б) 4 и G ’и)!
в) а п\ и (ап)! г) 2а—2! и (2?г	2)!
13.	Написать значения следующих выражений			сначала
в общем виде, а		затем вычислить,	, полагая и = 4.	
1)	( 4-1)-»!,	2)	(и -4-D! Я -t-1 ’	
3)	»•(» — 1)!;	4)	«(« 4-1)-(» — 1)!;	
5)	(я + ])!_		(» + Л)!	
	Ъ’	и}	(и 4- 1). (м 4- 2) . . .	(п -г а-)’
7)	я!	я!	п. <я4 1)!	
	3! ’		9) ч! •	
Ю)	>?! (и—2)1’	И)	(n-П!’	
— 8 -
13)	1 д_	1	14)	_L_ -Л. (и — 1)!  я!’
	н! 1 (и	+ 1)!’		
15)	1	1	16)	1 1
	(м-1)!	1 (п + 1)!’		(» +1)!	п-'
17)	1	1.	18)	1 1
	(п — 1)!	я!’		(я —1)!	(» + 1)’.'
Перестановки с повторениями.
14.	Допустим, что средн шести элементов а, Ъ, с, d, е, f
два элемента е и f оказываются тождественными. 1) Какие
перестановки в этом случае придется считать за одну и ту
же перестановку (считать тождественными)? Сколько таких
различных раньше перестановок придется считать за одну?
2) Сколько и каких перестановок придется считать за одну
и ту же, если окажутся тождественными не два, а уже три
элемента d, е, fi
15.	Сколько перестановок придется считать за одну и
ту же, если в числе элементов, из которых составляются
перестановки, р элементов будут одинаковыми? 2) На какое
число следует разделить я’, чтобы получить число пере-
становок из п элементов, среди которых р элементов оди-
наковы?
16.	Показать, что число различных перестановок из п
элементов, среди которых оказываются группы Ъ, г, р и q
одинаковых элементов, выражается формулой
17.	1) Составить все перестановки из 3-х элементов
«, а, Ъ (среди которых два одинаковых).
2)	Составить все перестановки из 4 элементов:
а) а, а, а, Ъ; б) а, а, Ъ, с; в) с, п, ог Ъ.
з)	Составить все перестановки из 5 элементов:
а) а, а, а, Ъ, Ъ; б) а, а, а, Ъ, г; в) а, а, ь, Ъ, с.
4)	Составить все перестановки из 6 элементов: а) а, а,
а, а, Ь, с; б) а, а, а, Ъ, Ъ, с; в) а, а, а, Ъ, с, q\
Г) а, а, Ъ, Ъ, с, d\ д) а, а, b, с, d, с.
— 9 —
18.	Указать число возможных перестановок, которые
можно образовать из сомножителей каждого из следукгцих
проиав^дений:
а) а2 й5;
г) а3 Ъ3 с3;
ж) а3 Ь4 с5 d3\
i) db2 с3 d* с5;
М) а”1-1 Ъ;
п) а”’-4 Ъ4;
б) а2 Ъ2 с2;
д) ИЙ и* р4,
3) ab3 с5 d7;
к) а2 Ъ2 е2 d2 с2
н) а™-2 Ь2\
р) а3 Ът~3\
в) <Л3 с5;
е) Xs уъ £5;
и) а2 64 с® d3-
Л) а3 Ъ3 с3 d3 е3\
О) ат~3 i3;
С) а2 6’"- 2.
Приложения,
19.	Вычислить: 1) Р81 2) Р10, 3) Р15 (при вычислении P1S
дать приблизительное значение результата, заменяя при
вычислении числа близкие к 10, напр., 8, 9, 12, 14...,
десятками).
20.	Сколько различных чисел можно составить из
цифр: 1) 1, 4, 7, 9; 2) 1, 2, 5, 7, 9; 3) 2, 3, 4 (В ка-
ждое число должны входить все данные цифры по одно-
му разу)?
21.	Сколькими различными способами можно пересадить
в классе 1) 10, 2) 15 учеников?
22.	Английский замок содержит обыкновенно 3 или 4
сувальды. т.-е. предохранительные пласа инки, мешающие
отпереть замок отмычкой; все сувалгды имеют обычно раз-
личную форму; каждому расположению сувальд соответ-
ствует свой ключ, отпирающий замок при данном их рас-
положении Сколько различных ключей следует иметь, чтобы
отпереть замок при любом расположении сувальд, 1) если
число сувальд 3, 2) если число сувальд 4, 3) если число
сувальд 4 и две из них одинаковые, 4) если они образуют
две пары одинаковых?
Сколькими способами можно расположить в ряд пару
гривенников, пару пятиалтынных и пару двугривенных?
3 рубля и 5 полтинников?
23.	Общество состоит из 6 пар. Сколькими различными
способами можно пересадить общество: 1) .оставляя все
время каждую пару вместе, 2) разделяя пары?
V
-а ю-
§ 3. Размещения.
Размещения без повтовений.
24.	Соединение, состоящее из к элементов, взятых из
числа данных и элементов («>&), называется размещением
из п элементов по к, если, кроме состава, принимается во
внимание и порядок элементов в соединении; при этом оно
называемся размещением без повторений, если ни один
элемент не встречается более одного рада в одном и том же
соединении. Как велико число размещении из п элементов
по одному?
25.	1) Составить все размещения (без повторений) по два
из элементов а) а, Ъ; б) «, Л, с; в) a, b, с, d, г) а, Ъ, с, d, е.
2) Составить все размещения по з (без повторений) из
элементов: а) а, Ъ, с; б) а, Ъ, с, d\ в) а, Ъ, с, d, с.
26.	з) Составить все размещения по 4; а) из элементов
а, Ъ, с, d; б) первые 20 размещений из элементов а, Ъ, с, d, в
(если располагать их, как слова в словаре).
27.	1) Сколькими способами можно занять первое место
при составлении размещений без повторений из 7 элементов
по 2? 2) Сколькими способами можно занять второе место
после того, как первое место занято определенным элемен-
том? 3) Каково число всех размещений из 7 элементов по 2?
28.	Сколько размещений по 2 можно составить из:
1) 3 элементов; 2) 8 элементов и з> п элементов?
29.	При образовании размещений из 7 элементов по 3:
1) сколькими способами можно занять 3-е место (после
того, как будут заняты первое и второе места)? 2) Сколько
размещений можно образовать из 7 элементов по 3?
30.	Как велико число размещений по з; а) из 3; б) из 8;
в) из п элементов?
31.	Какое число размещений можно образовать (обобщить
результаты предыдущих задач): а) из 7 элементов по 4;
б) из 7 элементов по 6; в) из п элементов по 4?
32.	1) Доказать рекурсионную формулу
—*4-1)
где А* означает число размещений из п элементов по к.
— 11
2)	Доказать, перемножая почленно результаты подста-
новки в рекурсионную формулу А^=(п — fc-f-i) Л„-1ит. д.
вместо к чисел 1, 2, 3... к, справедливость формулы (при-
нимая Л°=1):
=	—1) (». —2)... (» — /.’+1)»
(п — А).'
33.	Доказать ту же формулу, пользуясь методом полной
индукции.
34.	Сколько размещений (без повторений) по я можно
составить из п элементов? Каким термином можно назвать
этот особый случай размещений?
Размещения с повторениями.
35.	1) Составить размещения по 2 с повторениями из
элементов: aj а, Ъ', б) а, Ъ, с; в) а, Ъ, с; d\ г) а, Ъ, с, d, с.
2)	Составить размещения по 3 с повторениями из эле-
ментов: а) а, Ъ\ б) а, Ъ, с; By а, Ъ, с, d.
3)	Составить размещения по 4 с повторениями из эле-
ментов: 1) а, Ъ', 2) а, Ь, с.
36.	При составлении размещений с повторениями из п
элементов по к (п^'к) 1) Сколькими способами может
быть занято первое место? 2) Сколькими способами может
быть занято 2-е место? 3) Сколькими 3-е? 4) Сколькими
способами р-е место
37.	Сколько размещений с повторениями получится из п
элементов по 2? по 3? по 5?
38.	1) Доказать рекурсионную формулу:
. где А А'1,, обозначает число размещений с повторениями иг
п элементов по к.
2)	Перемножая почленно результаты подстановки в фор-
мулу ЛЛ^=яЛ -1п-1 вместо к значений: к, к — \ к —2 и
т. д. до 2, доказать справедливость формулы
4Л* = н*
— 12 —
39. Вычислить:
1) А
4) А^;
7) ААё;
Приложения.
2) А?;	з)	АН;
5) A3»;	6)	AfeJ
8)	АА36;	7)	АА"
40.	Сколько различных пятизначных чисел можно
составить из цифр (если предположить, что цифры могут
повторяться):
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;	2) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;
3) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9: 4) 0, 2, 4, 6, 8?
41.	Сколько шестизначных чисел можно составить из
цифр (если каждая цифра в каждом числе встречается не
более одного раза):
1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;	2) 1, 2, 3, 5, 7, 9?
42.	1) Сколько различных группировок неодинаковых
фигур возможно при одновременном бросании а) двумя
костями: б) тремя костями0 При этом кости считаются раз-
личными (одна из них, напр., белая, другая красная, третья
синяя); кости имеют форму куба, на гранях которого
имеются фигуры в 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков.
2)	Сколько вообще может быть группировок фигур при
одновременном бросании а) двумя, б) тремя костями (при
сохранении условий предыдущей задачи)?
3)	Сколько группировок одинаковых фигур возможно
при бросании двумя костями? Как связаны между собою
это число и числа, полученные в задачах I) а и 2) а?
4)	Сколько группировок, в которых совпадает, по край-
ней мере, пара фигур, возможно при одновременном бро- ,
сании тремя костями?
43	Сколько размещений с повторениями можно обра-
зовать из знаков и — 1) по 2, 2) по 3, 3) по 4?
§ 4.	Сочетания.
Сочетания без повторений
44.	Соединение, состоящее из к элементов, взятых из
данных » элементов, называется сочетанием из п элементов по А?,
если различными считаются только те соединения, которые
— 13 —
отличаются друг от друга только составом, а не порядком
элементов в соединении (порядок элементов в соединении
не имеет значения). Сочетания называются сочетаниями без
повторений, если в данной группе один и тот же элемент
встречается не более одного раза. Пользуясь этим определе-
нием, составить сочетания без повторений- 1) по 1, 2) по 2,
3) по 3 из элементов а, Ь, с.
2)	Составить сочетания без повторений из элементов а. Ъ,
с, d\ aj по 2, б) по 3, в) по 4.
3)	Составить все сочетания без повторений из элементик
а, Ъ, с, d, е, а) по 1, б) по 2, в) по 3, г) по 4.
45.	Как велико число сочетаний без повторений из п эле-
митов: а) по 1; б) по и?
Сколько сочетаний без повторений по 2 элемента (пар)
можно составить из а) 3, б) 4, в) ь и г) 6 элементов?
3)	Сколько сочетаний без повторений по 3 элемента
(терн) можно составить из: а) 3, б) 4, в) 5 и г) 6 элементов?
4)	Сколько сочетаний без повторений по 4 элемента (ква-
терн) можно составить из: а) 4, б) 5 и г) 6 элементов?
5)	Вычислить число сочетаний из п элементов а) по 2,
зная число сочетаний по 1, б) по 3, зная число сочетаний
по 2, в) по 4, зная число сочетаний по 3.
46.	1) Доказать справедливость рекурсионной формулы.
где Сп есть число сочетаний из п элементов по Л.
2)	Перемножая по частям результаты подстановки в на-
писанную рекурсионную формулу в место к чисел: к, к — 1,
к—2,... и т. д. до 2, показать, что
х17._ п(п~ 1) (п — 2). . . . (и —А'+1)_ и!
к!	“Л7(м —А-)Г
47.	Доказать ту же формулу, пользуясь методом полной
индукции.
48.	1) Составлены сочетания из п элементов по к (без
повторений). Сколько размещений без повторений из п эле-
ментов по к можно составить из каждого из этих сочетаний?
2) Доказать равенство:
л!; = /. !c'„=J>n- с^-
— 14 —
49.	1) При составлении сочетаний из п элементов по
к из имеющихся п элементов берется для образования со-
четания к элементов; как можно назвать то соединение,
которое образуют остальные п— к элементов? Что можно
поэтому сказать относительно чисел и С",
2) Доказать, что С„=Сп~’ на основании выражения О,,,
данного в задаче 46, 2.
50.	1) Как образовать все сочетания из элементов
по к, если все сочетания из п первых элементов уже обра
зованы? Какал зависимость существует между числами С'1Г
Скп~1 и С,?1?
2) Доказать формулу (7^4-С^41, пользуясь значе-
нием Сп, данным в задаче 4G, -2.
51.	Какое определение следует дать не имеющему смысла
символу С°, чтобы равенство tfn — С’п~к имело место и в
этом случае (принцип перманентности)?
Сочетания с повторениями.
52.	1) Составить сочетания с повторениями а) по 1 эле-
менту, б) по 2, в) по 3 элемента из а, Ъ, с.
2)	Составить сочетания с повторениями а) по 2, б) по 3, в)
по 4, г) по 5 из элементов Ъ, с, d.
3)	Составить сочетания с повторениями: а) по 1, б) по 2
в) по 3 из элементов р, Ъ, с, d, е.
4)	Определить число сочетаний с повторениями из м эле-
ментов: а) по 1, б) по п.
5)	Зная число сочетаний из п элементов по одному,
определить число сочетаний с повторениями по 2, б) зная
число сочетаний с повторениями по 2, определить число
сочетаний по 3, в) найдя выражение для числа сочетаний
с повторениями по 8, определить число подобных же соче-
таний по 4.
6)	Доказать следующую рекурсионную формулу:
i/k _ W + Л — 1 Ti fe~i
>
где К',\ означает число сочыаний с повторенияйи из п эле-
ментов по к.
— 15 -
7)	Умножением результатов подстановки в данную ре-
курсионную формулу вместо к чисел к, к -1, к - 2 и т. д„
доказать формулу
т-7:__ п(п + 1) (	. - (н - к—1>
8)	Показать, что ту же формулу можно написать так:
(п + к-1)!
“	' (II —1)! к!
9-) Формул^’, дающую выражение доказать методом
полной индукции.
Приложения.
53.	Вычислить: 1) Ст,
54.	Вычис лить: 1) С„,
55.	Вычислить: 1) К,
56.	Вычислить: 1) 7С?,
2) Cio, 3) Ci®.
2) С’’’1, 3)
2) Л.'?, 3) Т&.
2) ы1, «) л-;.
57.	1) Плоский треугольник, стороны которого а, ь и е
и два угла а и р, определяется тремя из этих элементов
(при чем не всегда получается одно решение). Сколько
можно составить раз^гичных задач на построение треуголь-
ника по тем или иным из указанных элементов?
2) Сферический треугольник, элементы которого суть
а, Ъ, с, а, (3, V, где а, Ъ и с суть стороны, a, и у—углы,
определяется тремя из них. Сколько можно составить раз-
личных задач на решение такого треугольника?
3) В формулы, относящиеся к теории прогрессии с ко-
нечным числом членов, входят пять величин: аг («,), «
(un), п, г (q) и Sh; тремя из этих величин прогрессия опре-
деляется; сколько различных основных задач па прогрес-
сию можно составить?
58. В азбуке для слепых для представления букв упо-
требляются точки числом от 1 до 6, которые помещаются
в тех или других из 6 мест, указанных на прилагаемой
• • схеме. Сколько различных знаков можно составить
• • из: 1) 1, 2) 2, 3) 3, 4) 4, 5) 5, G) 6 точек? Сколько
• о различных знаков можно составить в общем итоге?
16 —
§ 5.	Смешанные задачи.
59.	Десять лиц, которые ежедневно обедают и ужинают
в одной и той же столовой, просят содержателя подождать
с получением денег до тех пор, пока они не пересядут за
столом всеми возможными способами, если каждый день
за обедом они будут сидеть по-другому. Сколько лет при-
шлось бы ждать содержателю столовой, еслибы он согла-
сился на это предложение?
60.	Сколько прямых можно провести через 1) 5, 2) 6,
3) п точек, из которых никакие три не лежат на одной
прямой?
61.	Определить наибольшее возможное число точек пере-
сечения: 1) 3, 2) 5, 3) п прямых.
62.	Сколькими способами можно разделить 7 различных
карт между двумя чипами так, чтобы одно получило з карты,
а другое—4?
63.	Сколькими способами можно разделить 9 карт между
3 лицами так, чтобы первое получило 2, второе- з, а третье
4 карты?
64.	Сколькими способами можно: 1) разделить 6 карт
между тремя лицами так, чтобы каждое получило по
2 карты ? 2) разделить 12 карт между 4 лицами так, чтобы
каждое получило пи 3 карты?
65.	Сколькими способами можно разделить 32 карты
между четырьмя игроками так, чтобы каждый получил по
8 карт?
66.	Сколькими способами можно разложить произведение
из 2„ сомножителей на п произведений, содержащих каждое
по 2 сомножителя?
67.	Сколькими способами произведение из 2и сомножи-
телей можно разложить на 2 произведения из п сомно-
жителей каждое?
68.	Сколькими способами можно произведение из Зп мно,
жителей представить в виде п произведений из трех сомно-
жителей каждое?
69.	Сколькими способами можно произведение из Зи мно-
жителей представить в виде 3-х произведений по п сомно-
жителей каждое?
— 17 —
70.	Сколько слов можно составить пз 20 соглас-
ных и 8 гласных, если в каждое слово должно вхо-
дить по 2 различных гласных и по 4 различных соглас-
ных, и если гласные должны помещаться на 2-м и 5-м
местах?
71.	Сколько односложных слов, состоящих из двух раз-
личных согласных и помещенной между ними гласной,
можно составить из 20 согласных и 8 гласных?
72.	1) Сколько различных группировок неодинаковых
фигур возможно при одновременном бросании а) двумя
костями; б) тр» мя костями? При этом кости считаются раз-
личными (одна из них, напр., белая, другая красная, третья
синяя); кости имеют форму куба, на гранях которого име-
ются фигуры в 1, 2, 3, 4, 5, G очков.
2)	Сколько группировок одинаковых фигур возможно при
фисании двумя костями?
3)	Сколько группировок, в которых совпадает, по край-
ней мере, пара фигур, возможно при одновременном бросании
тремя костями?
4)	Сколько вообще возможно группировок фигур при
одновременном бросании: а) двумя, б) тремя костями (при
сохранений условий предыдущей задачи)?
73.	В прежнее время для сохранения приоритета на
изобретение или открытие составляли фразу, в которой
сообщалось о сделанном открытии, затем переставляли в
ней буквы таким образом, чтобы трудно было восстановить
ее смысл (анаграмма). Так, например, Рейта (Антон-Мотия
Ширлеус, 1597—1660) по поводу изобретения им четырех-
линзовой трубы составил анаграмму «convexa quattor», и
придал ей формулу cqotunav-teuxoar. Сколько времени при-
дется потратить на разгадывание анаграммы, если кто-нибудь
вздумает разгадать ее, составляя всевозможные переста-
новки букв и, если в каждую минуту будет составлять
3 перестановки, а каждый день тратить на эту работу по
10 часов.
74.	«Интернациональная сигнальная книга» состоит из
26 флажков. Сколько сигналов можно дать: 1) 2 раз-
личными флажками, 2) з флажками, 3) 4 флажками:
а) если все флажки показывать одновременно, б) по-
следовательно?
11	-ч.кфиш.	.11 задач. Ч. lit.	2
• vc i-;.чндя 
— 18 -
§ 6.	Бином Ньютона для натурального показателя.
Вывод формулы бинома Ньютона.
75.	Указать, члены скольких различных типов войдут в
произведения (в разложения в виде многочленов произведе-
нии):
1)	(а-]~Ь).(а-\~Ь),	2) (а-\-Ъ)	(а~\-Ъ)
и сколько раз встречается член каждого из типов.
76.	Произведение
(а-у-Ь) (а-\-Ь)...(а i-Ъ) fo4-i)r
состоящее из п сомножителей, преобразуется в многочлен
последовательным перемножением двучленов.
Определить число членов (до приведения) вида: 1) ап~лЪ)
2) а’‘-2Ь2, 3) сГ~кЪ.
77.	1) Показать, что разложение	представляет
однородный многочлен, т.-е. •умма показателей при степе-
нях а и Ъ у всех членов одинакова. 2) Составить ряд членов,
входящих в разложение бинома Ньютона, без их коэффици-
ентов, начиная с ап, ап~уЪ и т. д.
78.	Определить коэффициент, соответствующий члену:
1) ая-зг>3, 2) а36п-3, 3) an~kU‘, 4) акЪ''~'‘ в разложении (я-фЬ)'1.
79.	Доказать справедливость следующего равенства при
натуральном значении показателя:
(«+&)'=«Л-Ф	_ф я(-~1^и~2)аи-3&34-
4-... 4" пчЪп-14“
Свойства коэффициентов разложения по биному Ньютона
(биномиальных коэффициентов).
80.	Введем следующее обозначение для коэффициентов
разложения по биному Ньютона:
j'w _» .1—1)(r —2k. Лн —/гф!)_	z
1) Записать формулу бинома Ньютона (№ 99), пользуясь
этим обозначением. 2) Показать, что (-/) =	...» 3) Ка-
— 19 —
ким условиям должны удовлетворять числа п и k в равен-
стве, определяющем биномиальный коэффициент РД чтобы
этот символ имел смысл?
81.	Вычислить:
©;	2' ©;	3)	©;	4)	
« 0;	С)	7)	&	8)	
<»	ю> (г):	П)	&	12)	
13) (?);	н)	15)	ff);	16)	
17) (;);		19)	(Ч’)!	20)	(V
82.	Из коэффициентов разложения бинома составить т. н.
треугольник Паскаля до я = 8:
1
1 1
12 1	«
13 3 1
83.	На основании осевой симметрии треугольника Па-
скаля указать необходимость существования равенства:
©=(>.“*)
и доказать его: 1) сравни! ая между собой дроби, выражаю-
щие эти коэффициенты, 2) пользуясь соотношением
АЛ	.
\к] к!(п - к)!'
3)	пользуясь тем соображением, что =
84.	Пользуясь только что выведенным свойством, (крат-
чайшим способом) вычислить значения следующих биноми-
альных коэффициентов:
о ©;	2) ©;	3)	4)	
5) (25) -	и ©;		8)	
Э) (»;		и) ©;	12)	&
13> G-i);	14)	13>	16)	с±э-
2*
— 20 —
85.	Указать основания, в силу которых, полезно ввести
определение:
86.	Вывести значение символа = 1 на основании опре-
деления Ст°.
87.	Составить выражение; 1) 7-го члена разложения
(a -f- У)10, 2) 2-го члена разложения	3) 8-го члена
разложения (/>-}- д')-°.
88.	Найти: 1) 6-й и 10-й коэффициенты разложения 14-й
степени бинома, 2) 8-й и 18-й коэффициенты 20-й степени
бинома.
89. Определить коэффициент ж-ого' члена разложений:
1) (a-W;	2) (a-j-fc)2”1;	3) (аД-Ь)2”1-1.
90.	Определить коэффициент при: 1) <я465, 2) а2Ь~ в разло-
жении (a-f-6)9.
91.	Определить коэффициент при’ 1) а10?*5, 2) asb12 в
разложении
92 Определить коэффициент при: 1) а7Ь3, аъЪ5, а2Ъ3 в раз-
ложении	2) при ж5!/6 и xgу5 в разложении (я: 4-у)11.
93.	Какие члены разложения	имеют те же ко-
эффициенты, что и 1) 5-й, 2) 7-й и 3) яг-й «лен того же
разложения? Написать соответствующие члены.
94.	Какие члены разложения 31-й степени бинома имеют
те же коэффициенты, как и 1) 7-й, 2) 12-й, 3) 27-й члены?
Указать их номера и вычислить эти коэффициенты.
95.	Как выразится через Ад 10-й биномиальный коэффи-
циент, если Ад означает 9-й биномиальный коэффициент
разложения (а-)-&)"•
96.	Определить наибольшие коэффициенты разложений:
1) (« + 0°, 2)
97.	Определить наибольшие коэффициенты разложений:
1)	2) (а-Н)11. 3) (а + 6)16.
98.	Доказать, что биномиальные коэффициенты, несмотря
на то, что они записываются в виде дробей, суть числа
целые.
99.	Вывести формулу суммы всех коэффициентов бинома
12-ой степени: 1) положив в разложении (а -фЬ)” a = i = i или
2) из свойства треугольника Паскаля,
— 2i
100.	В разложении (а — Ъ)” положить а—Ъ — 1 и опре-
делить значение суммы биномиальных коэффициентов: 1) сто-
ящих н£ местах с четными номерами, 2) с нечетными номе-
рами.
101.	Пусть А есть сумма чисел сочетаний четных поряд-
ков (с четным числом членов в сочетании), В—сумма чисел
сочетаний нечетных порядков из п элементов, включая и
«сочетания» из п элементов по о и по п. Чему тогда равно
Л4-.В и A — Bi
Примеры:
102.	Разложить по формуле бинома Ньютона:
1) (z-f-a)6;	2) (У + &Л	з) О’+о)10;
4) <+о5;	5) (я-Н)7;	6) H®)8;
7) («—я)5;	в) tf4*)7;	9) (х — а)6;
10) (1+^)6;	11) (1— ч	12) (1-08;
13)	+
15) (1 Н-ж)84- (1 — ж)8;
17) (1+zV —(l-z)6;
19) (1 -j-rr)s— (1 — ж)8;
21) (а 4 6)" (а — &)";
14) (^+1)7 + (^--1)7;
16) (* +1)8 + (*-1)8;
18)	—(* —i)9;
20) («4 I)10—fr—
22) (а 4 4” — (а — Ъ)”.
Доказательство формулы бинома методом полной
индукции.
103.	Так как	+	+ то формула бинома
7-и степени может быть выведена из формулы бинома 6-й
степени умножением всех членов последнего разложения
сперва на а, а затем на Ь и приведением подобных членов
этих произведений. 1) Как составляется при этом 3-й коэф-
фициент разложения (a-f-^)7 из Двух коэффициентов разло-
жения (а -ф- 6)6 и каких именно? Из каких двух коэффициен-
тов разложения (a-j-Ь)6 составляется: 1) 4-й коэффициент
разложения (а-|- &)7, 2) 5-й, 3) предпоследний, 4) второй;
как составляется 5) последний, 6) первый коэффициент того
же разложения ?
104.	Составить: 1) 4-й, 2) 6-й, 3) 9-й коэффициент раз-
ложения (а-|-&)12 из двух коэффициентов разложения
(а-Н)11-
— 22 —
105.	Показать, пользуясь треугольником Паскаля, закон со-
ставления любого биномиального коэффициента из двух коэф-
фициентов разложения бинома степени на единицу низшей.
106.	Доказать формулу:
G",)+(Э=1’4')>
1)	записав эти символы в виде дробен, 2) принимая во
внимание формулу задачи 50,2.
107.	Доказать формулу бинома методом полной индукции,
воспользовавшись равенством предыдущей задачи.
Задачи.
108. Разложить по формуле бинома упростить:	и, если возможно,
1) (ж —2?/)7;	2) (зл Д y)s; 4) (1-|-ж2)4;	'5)(1 — ж3)7; 7) (^+2)5;	£) (-Ь-зу)с; 10) (5 —20е;	пн|-|ж)7; 1з>4н4)’;	к) (£-£)’;	3) |2а:4-33/)5; 6) (14- ж2)5; 9).(.г2—З3),!; 12) фг-н^)4; ... (2а ЗЬ\е. 1о) J ’
16)	+	17) (1 + /х)7 — (1-/я)7.
109. Вычислить (с 3 или 4 десятичными знаками), поль-
зуясь формулой бинома Ньютона, значения следующих
выражений:			
1)	2) 1,02го;	3) 1,00 522;	4) 1.000727;
5) 0,99;	6) 0,9813;	7) 0.99724;	8) О,999530;
о) m	ю) (Г1;	П)	12) (Г;
13) (-)*;	14)	is) ®8;	15) (I)9-
110.	При введении коэффициента кубического расширения
полагают
(1	1 + 3<rf,
где а есть коэффициент линейного расширения. z
Определить допускаемую при этом ошибку при Z=10°
и среднем линейном коэффициенте расширения: 1) же-
леза, а =0,000012, 2) алюминия, а = 0,000023, 3) цинка,
а = 0,000029.
Общий член разложения бинома.
111.	Обозначая через Г,.+ 1 Л-}-1-ый член разложения
(аф-Ь)п по формуле Ньютона, написать его выражение при
1) к = 0; 2)7;=1; 3) к = 2\ 4) к = п — 1; 5) к = п.
112.	1) Составить выражение Uk+2, заменяя в формуле
предыдущей задачи к через 1ф-1. 2) Найти отношение
3)	Написать выражение Uk+2 через Г*+1.
^к + <
113.	1) В разложении (°ф-^У найти член, не содержа-
щий а.
2)	Найти рациональные члены разложения (Уз-^У2)5
(если такие существуют).
3)	Выписать рациональные члены разложения (У 2 ф-1 З)11
и найти их сумму.
4)	Найти такой член разложения	°) , который
содержит а в первой степени.
/	3	5 \п
11	4.1) Пии каком значении п «fJ0 в разложении ( а г ~Ь «г)
содержит а12?
2)	В разложении (ух—~=) найти член, не содер-
жащий х.
3)	Найти такой член разложения [у_у5)5, который со-
держит у в 9-ой степени.
4)	При каком значении п и7 в разложении (Уа ф- Уа?)п
содержит я16?
115, 1) Отношение коэффициента и. к коэффициенту и,
разложения (У а— 1 ф- У а ф- 1)п равно 2у. Найти третий член
этого разложения.
2) Коэффициент четвертого члена разложения
(У а2 ф- а ф-1 ф- У а — 1)'1 равен 4. Найти третий член раз-
ложения?
— 24 —
ВТОРАЯ ГЛАВА.
Приложения теории соединений и Фор-
мулы Ньютона.
§ 7. Вычисление сложных процентов.
116. 1) Объяснить смысл выражения: «Капитал отдан из
4%? р 5’/2%? из
2) Сколько процентных денег принесут в год а рублей,
отданные по />%?
3) До какого размера возрастет в течение года капитал
а рублей, отданный по ^°/о? На какой множитель следует
умножить капитал, чтобы в произведении получить ту
сумму, до которой он возрастет в течение года?
Множитель 1 + j5q называется коэффициентом роста
Шаращения), (наращенным рублем) и обозначается
1 + i^6 = 9-
117. 1) Чему равен коэффициент роста, если р равно:
а) 4, б) 5, В) 3,6, Г) 5,5, д) 4|, е) 5j-, Ж) 4|.
2) Чему равна такса %, если коэффициент роста равен:
а) 1,05, б) 1,04, в) 1,036, г) 1.0475, д) 1^, е, й0, Ж) ;®?
118.	Доказать, что капитал, отданный по р°/о°/о (.сложных
процентов) в течение п лет возрастет до
6 =	=	1), где q = 1 +^'о,
119.	Составить таблицу множителей наращения при р — 4
для значений п от 1 до 10 с точностью до 0,0001 (пользуясь
приемами сокращенного умножения).
120	Составить выражения множителей наращения с точ-
ностью до 0,00001, разлагая (1 по формуле Ньютона
и отбрасывая в разложении члены, которые меньше 0,000001.
9 о» называется множителем наращения.
— 25 —
1) 1,044;	2) 1,035;	3) 1,054;	4) 1,038;
5) 1,035е;	6) 1,03333.. .5; 7) 1,0(45)7; 8) 1,О4666...10;
9)	1,0415;	10) 1,0520.
121.	Вычислить те же множители наращения, пользуясь
таблицами логарифмов (для большей точности вычисления
воспользоваться семизначными таблицами (стр. 134).
122.	На основании формулы задачи 98 1) выразить а
через ап п и д, 2) j через ап, а и п, 3) п через а„, а и q.
123.	В какую сумму обратится капитал в 100 руб.,
отданный на сложные %% через 1, 2, 3, 4... 10 лет, если
процентная такса равна: 1) 3%, 2) З^/о» 3) 4%?
124.	Вычертить графику возрастания наращенного капи-
тала для значений предыдущей задачи, выбирая соответ-
ственный масштаб и целесообразно выбранную систему
координат, напр., перемещая ось абсцисс на 100 единиц
кверху.
Примеры.
125	Капитал в 1500 руб. отдан по 4%. В какую сумму
он обратится через 30 лет, если считать проценты на про-
центы?
126.	В какую сумму обращается капитал в 3750 р.,
отданный на 20 лет по 5%?
127.	Вычислить наращенный капитал в следующих
задачах:
	а	Р		1		Р	п
1)	2500	31	20	2)	100	4,2	18
3)	10000	4}	15	4)	350	3,6	25
5)	6450	4	12	6)	20000	4,5	19
7)	95624		11	8)	785 р. 96 К.	4	20
128.	В каком случае наращенный капитал окажется
больше,—если отдать его на 10 лет из 4% сложных, или
на 4 года из 10% сложных?
129.	В какую сумму обратится капитал в 25300 руб.
через ю лет. по сложным процентам если проценты будут
26 —
присчитываться к капиталу по полугодиям, и если такса
равна 21/2°/0 в полугодие?
130.	Как велик прирост капитала в 1000 рублей, от-
данного в рост на 10 лет 1) по 6% годовых, 2) по 30/0 полу-
годовых, 3) по 1'1/20/0 в четверть года; 4) по 3/2°/о в месяц,
если °/о присчитываются к капиталу:!) через год, 2) че-
рез полгода, 3) по четвертям, 4) ежемесячно?
131.	Какой вид примет формула наращенного капитала,
если предположить, что капитал отдан по ц сложных %°/о
на п лет и к месяцев, 1) если проценты присчитываются по
истечении каждого года, а в последний раз по истечении
к месяцев, 2) если проценты присчитываются по истечении
каждого месяца?
132.	Какой вид примет формула наращенного капитала,
отданного на п лет и t дней, если предположить, что про-
центы присчитываются по истечении каждого дня, и если
в году считать 360 дней?
133.	Какой вид примет формула наращенного капитала,
если положить, что капитал лежит в банк° 1 год, а
проценты присчитываются через каждую долю года?
Преобразовать полученную формулу, принимая	и
—. К какому пределу стремится при неограниченном
возрастании п (непрерывном росте) выражение наращенного
(. 1 \п
1-}- —) при п неограниченно воз-
растающем равен числу е — 2,718281828459045... (е есть так
наз. основание Неперовых логарифмов — число ирраци-
ональное)?
134.	По обязательству следует уплатить через 5 лет сумму
в 1000 рублей. Сколько должно заплатить, если сейчас
же ликвидировать это обязательство и если заем сделан из
43'0'9
^.4.0-
135.	Придать иную форму предшествующей задаче, поль-
зуясь понятием о дисконте (учете"). Обобщить результат,
называя дробь у коэффициентом учета.	х
136.	Учесть на настоящий момент сумму в 15000 руб-
лей, которая должна быть уплачена через 10 лет с учетом
по 5%.
— 27 —
137.	Решить следующие задачи на дисконт (£—дискон-
тируемый капитал):
	b	р		1 ъ		Р	п
1)	10000	- 5,5	12	2)	25000	4,75	5
3)	18750	5,25	4	4)	6200	3,6	18
5)	5600	6	2	6)	7500	5,2	9
138.	Какой капитал, будучи отдан по 4°/0, через 22 года
обратится в 17000 руб.?
139.	Какой капитал, будучи отдан по 4’/2%, обратится
через зо лет в зоооо руб.?
140.	Какой капитан, будучи отдан по 41/2о/о> в 10 лет
обратится в ту же сумму, в какую обращаются 8549 руб
через 7 лет при процентной таксе в 5%?
141.	Вычислить основной капитал в следующих задачах:
	а„	Р	п-		ап	Р	и
1)	10727 р.	п	10	3)	803 р. 24 К.	5	19
2)	16265 р.	31	18	4)	29038 р.	5 =	10
142.	По скольку °/0 следует отдать капитал, чтобы он
утроился через 20 лет?
143.	По скольку °/0 следует отдать капитал, чтобы он
через 30 лет увеличился в 5 раз?
144.	Вычислить р в следующих задачах:
	а„	а	п		Яд	а	п
1)	60443 р.	10000	12	3)	38783.5 р.	25000 р.	9
2)	18381 р.	36000	10	4)	5926,7 р.	5368 р.	5
145.	В какой срок 8007 рублей при 4’°/0 обратятся в
21217,6 рублей?
146.	В какое время удваивается капитал при трех-
процентнпй таксе?
— 26 —
147. Найти п, если
	а	Ъ = ап	Р	1 °		Ъ=ап	Р .
1)	16400	30665	3’	2)	9560	31000	4
3)	25000	58914	3	4)	22500	59699	5
5)	9600	33607	4>	6)	6000	24623,5	4
143. Во сколько времени капитал, отданный: 1) по 3%
удвоится, 2) по 2'iiz0,i0 утроится, 3) по S’/gVo увеличится в
3’/2 раза.
Смешанные задачи.
149. 1) Во сколько раз увеличится капитал, отданный
а) на 100 лет по 2%, б) на 24 года по 3J%, в) на 25 лет
по 4%?
2)	В уставе сберегательной кассы, платящей 3,6°/о, имеется
параграф, что сумма, записанная на книжку, может быть
переписана до истечения года в другую книжку вместе с
процентными деньгами за время обращения этой суммы
(без потери процентных денег). Человек, положивший в
сберегательную кассу 900 рублей, чтобы увеличить свой
доход, придумал такой маневр.- по истечении полугода он
переменил книжку. Насколько больше он получит % денег
в этом случае по сравнению с тою прибылью, которую он
получил бы, если бы не менял книжки? Сколько бы оп
нажил лишнего, если бы проделывал этот маневр по исте-
чении каждого месяца?
3)	Сколько % прибыли принесет в год капитал, если в
конце каждого -месяца к нему присчитывается '%?
4)	А дает Б 25 марок на 2 года с процентами и про-
центами на проценты. Через 2 года В возвращает, кроме,
долга, еще 24 марки. По скольку % был сделан заем? (Из
задачника Видмана 1489 года).
5)	Кредитное учреждение А предлагает принять во вклад
300000 руб. наличными. У чрежд°ние В предлагает 34800^ р.
с уплатой через три года. С предлагает 364500 р. с уплатой
через 4 года. Какое из них предлагало более выгодные усло-
. вия, если произвести расчет из 5% сложных, и на сколько
— 29 —
А предлагало больше других? (Для решения вопроса учесть
платежи В и С ко дню покупки.)
б)	В Госбанк внесен стипендиальный капитал в 7500 р.
с условием, чтобы выдача стипендий из °/0% на капитал
начата была с того времени, когда завешанная сумма воз-
растет до 10000 рублей при 4 сложных е/0. Когда окажется
возможным начать выдачу стипендий?
7)	В городе 20000 жителей; сколько человек будет в этом
городе через 30 лет, если народонаселение этого города
возрастает ежегодно на 21/4%?
8)	Народонаселение некоторого города, увеличиваясь
ежегодно на 3%, возросло в настоящее время до 155о93
человек. Сколько жителей было в этом городе 25 лет тому
назад?
9)	В кредитное учреждение следует внести 62500 руб. на
приращение сложными процентами по 5°/0 до тех пор, пока
образуется сумма, дающая ежегодно при 5% не менее 7525 р.
процентных денег. Сколько лет должен оставаться непри-
косновенным внесенный капитал?
150. 1) Во что обратится капитал « рублей, отданный в
рост по р сложных % в п лет, если в конце каждого года
прибавлять к капиталу или брать из него одну и ту же
сумму в г рублей. Накопленный капитал выражается сле-
дующей формулой!
Ан==Щ1п ±
t
где 5 = 1 + jqq- Вывести эту формуj у
2)	а)	Выразить	а,	как	функцию	Ап, п,	q,	г,
б)	»	п	>	»	«, Ап,	д,	г,
в)	»	г	»	»	а, Ап,	п,	q.
г)	Почему, вообще говоря, является невозможным
определить q (и у>)?
3)	Во что обратится капитал в 100 рублей через 1, 2, 3,
4 года, отданный по 1) 3%» 2) З^/о, 3) 4%, если в конце
каждого года прибавлять по 1) 8 р., 2) 10 р., 3) 9 р.?Дать
графику роста капитала в подходящем масштабе.
— 30 —
4)	К капиталу в 1000 руб., отданному в рост по 5%, в
конце каждого гида прибавляют по 100 рублей. Какая сумма
получится через 10 лет?
5)	В<> что обратится через 20 лет капитал в4500 руб.,если
его в конце каждого года увеличивать па 150 р.', при 4|%?
6)	Во что обратится капитал в 10000 руб., отданный в
рост по 5‘% через 8 лет, если его в конце каждого года
увеличивать на зоо руб?
7)	Какой долг от займа в 40000 руб., сделанного по 5%
останется через 10 лет, если ежегодно вносится на уплату
%% и погашение 5000 руб.?
8)	Заем в 4000 руб. сделан по 4|%. Как велик будет
остаток этого долга через 8 лет, если ежегодно уплачивать
по 500 руб.?
9)	Капитал в 8000 руб. внесен по 5|%. Через сколько'
лет получится капитал не менее 50000 руб., если в конце
каждого года вносить еще по 400 руб.?
10)	Арендатор ежегодно не доплачивает 300 руб Как
велик будет его долг через 7 лет, если на недоплаченные
суммы насчитывается 4|%?
11)	Из капитала в 500и0 руб., помещенного по 4%, в те-
чение 6 лет выдавалось ежегодно по 3000 руб. пяти учре-
ждениям, после чего оставшаяся сумма была разделена
поровну между всеми .учреждениями. Сколько получило
каждое?
12.	Отец при рождении сына положил в сберегательную
кассу, платящую 3,0%, 200 р. и намерен в конце каждого
года вносить определенную сумму, чтобы накопить для
сына, когда последнему исполнится 21 год, 3000 руб.
а)	Сколько должен отец вносить ежегодно?
б)	Ня сколько меньше пришлось бы ему платить, если
бы касса давала 4%?
13) Заем в 3000 р , сделанный из 5%, уплачивается
ежегодными взносами по 100 руб. 1) Сколько долга оста-
нется через 10 лет? 2) Как изменится результат, если заем
будет сделан из 3%?
151. 1) Чему следует принять равным Ап в формуле
A., = aq“^i‘
— 31 —'
если предположить, что ежегодные выдачи по г рублей в
конце каждого года исчерпают весь капитал в течение
п лет?
2)	Выразить при указанном предположении г, а и п как
функции остальных величин.
3)	Какую сумму можно проживать ежегодно, чтобы капи-
тала в 30000 руб. хватило на 20 лет (р = 4)?
4)	Капитал в 5и000 руб. положен в банк по 4|°/0. На
сколько времени хватит этого капитала, если ежегодно рас-
ходовать по 4000 руб.?
5)	Через сколько лет будет израсходован капитал в
16000 руб., приносящий 4%, если в конце каждого года
брать по 1000 руб.?
6)	Нужно уплатить долг в 50000 руб., сделанный по 4%.
Ежегодно уплачивается вместе с процентными деньгами по
10000 руб. в год. Через сколько лет долг будет уплачен и
сколько придется уплатить в последний год?
7)	В течение 8 лет следует уплатить долг в 20000 руб.,
взятый по 43/г°/0. По скольку рублей надо уплачивать еже-
годно?
8)	Сколько следует уплачивать ежегодно, чтобы в течение
6 лет покрыть долг в 10000 руб. вместе с процентными
деньгами из 5%?
9)	Заем в 250000 руб., сделанный из з;%, должен быть
исчерпан в 25 лет. а) Как велика ежегодная уплата?
б) Сколько долга останется через 12 лет? в) В какое время
заем уменьшится вдвое? г) Когда останется уплатить лишь
пятую долю займа?
10)	а) Как велика ежегодная уплата займа в 1000000 р.,
заключенного по 3%, если долг должен быть погашен в 40
лет? б) Как должна быть изменена ежегодная уплата, если
в 20 лет должна быть уплачена половина всего займа?
в) Как изменится уплата, если в 40 лет должны быть
уплачены три четверти такого- же займа, заключенного
по 4°/0?
152.	1) Во что обратится капитал а, отданный в рист по
рь/0 через п лет, если в конце каждого года процентные
деньги причисляются к капиталу и, кроме того, в начала-
каждого года (начиная со второго) вносится или берется
— 32 —
некоторая постоянная сумма »•. Вывести формулу для этого
случая:
—aq	V—Т'
а) из формулы Л» = адп -+- г	, б) независимо от этой
формулы.
2)	Если вносить некоторую сумму »• в начале каждого
года (считая и первый), то накопленный капитал выразится
формулой (сберегательных касс)
q;i-1
Вывести эту формулу из предыдущей.
3)	а) А вносит в начале каждого года, В — в конце года
по г рублей, оба в течение п лет по одинаковым процен-
там. На сколько А накопил больше В в течение п лет?
б) Пример: а = 100, p = i, и = 20. в) В каком отношении
угеличится разница в сбережениях, если взносы увеличить
в два раза (вообще в Л- раз). (Последний вопрос решить, не
вычисляя).
4)	Сколько следует вносить а) в начале каждого года,
б) в конце каждого года, чтобы через 25 лет накопить
капитал в 25000 рублей (/>=’4)?
5)	Гражданин застраховал свою жизнь в возрасте 30 лет
в 40000 р. и с этой целью вносил в банк в начале каждого
года по 900 руб.; 56 лет он умер. Сколько прибыли или
сколько убытку получит банк, если расчет ведется из 4%?
6)	Решить предыдущую задачу при следующих данных:
страхователь в возрасте 32 лет застраховал свою жизнь в
10000 руб.; ежегодная премия равна 400 руб.; страхователь
умер 49 лет, банк платит 410 0.
7)	Внесено в банк, платящий 4°/0, 5000 руб.; в начале
каждого года (начиная со 2-го) вносилось еще по 500 руб.
Сколько накопится по истечении 15 лет?
8)	Решить ту же задачу при следующих условиях:
а) 10000 руб., 31%, 300 руб., 12 лет; б) 3000 руб., 3’-°/0,
400 руб., 20 лет.
9)	Чем следует заменить q и п в задачах 150 1), 151
1), 152 1) и 2), если начисление процентов и взносы про-
— 33 —
изводятся не ежегодно, а а) по полугодиям, б) каждые з
месяца, в) каждый месяц?
10)	Если проценты начисляются ежегодно, а взносы
производятся: а) по полугодиям, б) по четвертям, в) по-
месячно, то q приходится заменить через a) g*, б)д;, в)дтзг
и п через а) 2и, б) 4и, в) 12и. Объяснить, почему это так?
11)	Указать, как изменятся выведенные формулы, если
проценты Пачисляются ежегодно, а взносы производятся
через каждые 2, З..А лет.
12)	В банк положено 200000 руб. из 4%> при чем °/«°'о
начисляются по полугодиям. Каждое полугодие тратится
из внесенной суммы по 5000 руб. (при чем в первый раз взяты
деньги через шесть месяцев после того, как капитал был
внесен в банк). Сколько денег останется через 20 лет?
§ 8. Элементы теории вероятностей.
Определение вероятности.
153.	Математическая вероятность осуществления некото-
рого события определяется равенством:
где mi есть число благоприятных статочностей, а п—число
всех возможных статочностей Выразить определение ве-
роятности словами: 1) Какие значение принимает w, если
событие достоверно? 2) Какое значение получает w, если
событие невозможно? 3) Как велико ?г, если осуществление
события столь же вероятно, как и его неосуществление?
154.	Показать, что в силу произвольного, хотя и весьма
целесообразного, определения математической вероятности
значения ее заключены между 0 и 1.
Волн бы определение вероятности было дано в иной
форме, напр., « = —, где ш есть число благоприятных,
а т< — число неблагоприятных статочностей, то какое зна-
чение имела бы вероятность. 1) в случае достоверности
события, 2) невозможности события, 3) в случае, если осу-
ществление события столь же вероятно, как и его неосу-
ществление?
Сокращен сборник упражн. и задлч. Ч. ILL
3
— 34 —
155.	1) Как валика математическая вероятность го' того,
что событие не осуществится, если w есть число статочностей,
благоприятствующих осуществлению события, а п—число
всех возможных статочностей? 2) Доказать справедливость
равенства w +<»' = 1.
156.	Как изменяется значение вероятности: 1) с увели-
чением числа благоприятных статочностей, 2) с уменьше-
нием числа возможных статочностей (при сохранении числя
благоприятных статочностей), 3) с увеличением числа воз-
можных статочностей, 4) с увеличением числа неблаго-
приятных статочностей, 5) с уменьшением числа неблаго-
приятных статочностей?
Простейшие примеры.
157.	Как велика вероятность того, что при бросании мо-
неты выпадает орел?
158.	Как велика вероятность того, что при бросании одной
кости (в виде куба с №№ на гранях 1, 2, 3, 4, 5, 6) выпа-
дает: 1) 6, 2) з или 4, 3) ни 3, ни 4?
159.	В ящике лежит 4 красных, 8 черных и 12 белых
шаров. Ка.к велика вероятность вынуть по первому разу:
1) красный шар, 2) белый шар. 3) или белый, или черный,
4) не черный?
16J. Как велика вероятность при одновременном бросания
двух костей выкинуть: 1) две четверки, 2) одну из пар: 1, 1;
ИЛИ 2, 2; ИЛИ 3, 3, И Т. Д. 3) 4 И 5, 4) 1 П 6.
161.	1) Исследовать, как велика вероятность, при броса-
нии двумя костями, выбросить сразу сумму очков в 2, з, 4,...
и т. д. до 12. 2) Представить значение графически, прини-
мая значение суммы очков за абсциссу, а значение вероят-
ности за ординату (масштаб ординаты взять крупнее мас-
штаба абсциссы). 3) Выяснить симметричность полученной
I рафики.
162.	1) Исследовать вероятность того, что при одном
бросании трех костей, сумма очков окажется равной 3, 4,...
и т. д. до 18; воспользоваться при этом симметричностью
результатов. 2) Вычертить графику значений.
163.	Монету бросают два раза под ряд. Как велика веро-
ятность, что 1) один и только один раз выпадет орел, 2) по
35 —
крайней мере, один раз выпадет орел, 3) два раза выпа-
дет ирел?
164.	Кость бросают два раза под ряд. Как велика веро-
ятность того, что выпадет: 1) один раз и только один,
2) по крайней мере, один раз, 3) оба раза по 6.
Опытная проверка результатов, даваемых теорией
вероятностей.
165.	Следующая таблица дает результаты, полученные
Р. Вольфом при 2000и-крагном бросании пары игральных
костей, красной и белой.
	1	2	3	4	5	6
1	54 <	587	500	462	621	690
2	609	655	497	535	651	684
3	514	540	468	438	587	629
4	462	507	414	413	509	611
5	551	562	499	506	658	672
6	563	598	519	487	609	646
1) Составить подобную таблицу на основании теоретического
расчета. 2) Составить таблицу отклонений. 3) Отметить тс
комбинации, которые отклоняются в ту или другую сторону
от ожидаемого числа; выделить те случаи, в которых откло-
нение больше 50, а среди них выделить те, в которых
отклонение более 100. 4) Какая комбинация очков встре-
чается всего чаще и какая всего реже при этих «плохих. ’)
костях?
1) Плохими костями называются те, у которых центр тяжести рас-
положен не в точке пересечения ее диагоналей, т.-е. в том случае, если
кости не однородны.
3
— 3G —
166.	О. Мейснер сделал 1800 бросаний с костями из рога
и получил следующие результаты:
1	2	3	4	5	6
299	295	303	307	289	307.
Составить таблицу отклонений, получаемых сравнительно
с числами, даваемыми теорией вероятности.
167.	При только что указанных 1800 бросаниях поле-
чено: 293 случая появления одного и того же числа два
раза под ряд, 50 случаев появления одного и того же числа
три раза под ряд, о случаев появления одного и того же
числа 4 раза под ряд. Как велики отклонения от вычи-
сленных вероятностей?
Сложение и умножение вероятностей.
168.	Показать, что если при наличности определенных
условий вероятность осуществления некоторого события есть
wlt вероятность осуществления некоторого другого—н'2, то
вероятность осуществления либо того, либо другого собы-
тия tv выражается суммрй:
гс = ti\ -J- W.,.
Доказательство основывается на установленном выше опре-
делении вероятности
169.	Как велика вероятность бросить одной костью;
1) 1 или 3 очка, 2) 1, или 3, или 6 очков?
(70. Как велика вероятность вынуть из урны с 7 белыми,
3 красными и 5 черными шарами 1) один белый или один
красный, 2) один белый или один черный, з) один красный
пли один черный?
171.	Выразить словами закон, записанный равенством
«’ = »'1 + + • • • + «’„•
172-	Показать, что при сложении отдельных вероятно-
стей сумма всегда 1. В каком случае сумма —1?
173	Пу сть вероятность осуществления одного события,
есть и’р вероятность осуществления другого события, неза-
висящего от первого, есть чсг. Доказать на основании опре-
деления вероятности, что
Ы‘ =-	, н'2,
— .37 —
где и' есть вероятность осуществления как первого, так
и второго события.
174.	Выразить словами законы, записанные в виде сле-
дующих равенств:
1)	и' = и’1 tv2.. .тп, 2)
175.	Как велика вероятность бросить одной костью под
ряд: 1) сперва 1, а затем 5; 2) сперва 5, и затем опять 5;
.3) сперва четное, а затем нечетное число?
176.	Как велика вероятность вынуть из урны с 7 белыми,
3 красными и 5 черными шарами: 1) сперва красный, затем
черный; 2) сперва черный, затем красный; 3) сперва белый,
затем черный; 4) сперва белый и затем опять белый? В
каждом случае вынутый шар кладется обратно в урну.
177.	Как велика вероятность вынуть из урны с 10 белыми,
6 красными и 4 черными шарами: 1) сперва один красный
затем один черный, 2) сперва один черный, затем один
красный, з) сперва один белый, затем один черный, 4) сперва
белый, а затем опять один белый? Во всех случаях шары
обратно в урну не кладутся.
178.	Стрелок попадает в цель из 10 выстрелов 9 раз. Как
велика вероятность, что он попадает 10 раз под ряд?
179	Чтобы отличить те случаи, в которых вероятности
следует сложить, от тех, в которых вероятности следует умно-
жить, можно руководствоваться следующим правилом: если
события осуществляются «как• (одно), «так и» (другое), то
следует вероятности умножить; если же события осуще-
ствляются «либо» (одно), «либо» (другое), то вероятности
следует сложить. Пояснить это правило примерами из за-
дач 149 — 158.
Смешанные задачи.
180.	Как велика вероятность, при одновременном бро-
сании тремя костями- 1) выбросить три различных фигуры,
2) выбросить три последовательные фигуры?
181.	Монету бросают три раза. Как велика вероятность,
что вскроется орел: 1) один и только один раз, 2) по край-
ней мере, один раз, 3) три раза, 4) по крайней мере, два
раза?
— 38 —
182.	По расчету д’Аламбера, вероятность того, что при
двукратном бросании монеты, по крайней мере, два раза
появится орел, равна при этом он различает три следую-
щих возможных случая: 1) при первом бросании орел, 2) при
первом бросании решка, при втором орел, з) при первом и
при втором бросании решка. Найти ошибку в заключении
и сравнить верное значение вероятности с значением, полу-
ченным д’Аламбером (см. зад. 163).
183.	Монету бросают п раз. Как велика вероятность того,
что 1) каждый раз будет вскрываться орел, 2) орел вскроется
только один раз, 3) орел вскроется, по крайней мере, только
один раз?
184.	В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров;
какова вероятность того, что при одновременном вынима-
нии двух шаров вынутся: 1) один белый и один черный,
2) два белых, 3) два черных? 4) Как велика вероятность
при одновременном вынимании 5 шаров, вынуть 3 белых
и 2 черных?
185	В урне находится 18 белых, 12 черных и 6 красных
шаров. Как велика вероятность при одновременном выну-
тин 3 шаров вынуты 1) только белые, 2) только черные,
3) три шара различной окраски
186.	А спорит с В на 10 копеек, что при бросании один
раз двумя костями выпадет или 5, или 6, или 7 очков.
Как велик риск В?
187.	А спорит с В, что при одновременном бросании
двух кубиков не выпадет ни 2, ни 3, ни 4, ни 10, ни 11»
ни 12. У кого есть надежда выиграть пари?
ОТДЕЛ второй.
	ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Тригонометрические Функции.
§ 1, Синус и косинус дуги и угла.
188.	Угол в а0 получается вращением луча, выходящего
из данной точки (вершины угла). Какой путь описывает
точка этого луча, находящаяся от вершины на расстоянии 2??
на расстоянии 1?
189.	1) Выразить в радиальной мере (т.-е. найти Отношение
соответствующей дуги к радиусу круга'» следующие дуги
(углы):
а) 360°; д) 45°;	б) 180°;	в) 270°;	Г) 90°; е) 60°:	ж) 30;	3) 10°;
И) —45°;	i) 1°;	к> 22°ЗО’;	л) 54Оо.
Ы) а°;	и) «.360°;	0)	п) и.9и°.
2) Выразить в градусах дугу по ее выражению в радиаль-
ной мере: al п; д) -4; И) 1;	6Й2;	в>-2";	г)-|; . Зп	п	5г е) -д ;	ж) g-;	з) -g; 0 2;	к) 0,1;	л) 10;
М) s;	н) яз;	о) Ц;	п) 2шт.
190.	Написать уравнение окружности с центром вначале
координат и радиусом=1. Приняв за начало счета дуг
— 40 —
точку пересечения окружности с положительным направле-
нием оси х и выбрав за положительное направление дуг
направление против часовой стрелки, найти абциссу и
ординату точки окружности, соответствующей дуге в:
1) 30°;	2)	60°;	3)	45°;	4)	0°;	5)	90°,
6) 150°;	• 7)	120°;	8)	135°;	9)	180°;	10)	215°;
И) 270°;	12)	—60°;	13)	360°;	14)	390°;	15)	480°;
В каждом случае выразить дугу в радиальной мере.
191 Ордината и абсцисса точки окружности радиуса
если их рассматривать, как Функции дуги s этой окружности,
называются тригонометрическими функциями, при чем орди-
ната точки окружности называется синусом s, и обозначается
sin s, а абсцисса называется косинусом s и обозначается
cos я. Каким соотношением связаны синус и косинус одной
и той же дуги (на оснозании уравнения окружности)?
Примечание. Так как центральный угол содержит всегда столько угло-
вых единиц, сколько его дуга соответствующих дуговых единиц, то .<? (отно-
шение дуги к радиусу, равное прн окружности радиуса 1 ч.:сдитому
значению дливы дуги) можно принять и за число угловых единиц в
центральном) угле, соответствующем этой дуге (в этом случае за угловую
единицу привпмается центральный угол, дуга которого равна радиусу).
В дальнейшем мы будем обозначать дугу через я, когда она должва быть
выражена в радиальной мере, и через <р, когда за единицу измерения при-
нят градус гли же когда будет безразлично, в каких единицах измерена
дуга или соответствующий ей угол.
192.	Как располагаются на окружности точки, соответ-
ствующие дугам, к. s-f-2rr, s—[—4тг,... s—2~, s — 4п,.., s-J-2for
[а>, <р-|-Зб0о, и -f- 720°...и Z.-3600] (при любом целом отно-
сительном значении А-)? Что можно поэтому сказать про
значение синуса и косинуса для указанных значений дуги'
Почему синус и косинус называются периодическими функ-
циями дуги? Чему равен период sin s и cos s?
193.	1) На основании зависимости между координатами
точек окружности, симметричных относительно оси у, найти
выражение sin (тг— s) и cos (п — я) через sin s и cos s [sin
(180°—<р) и cos (180° — а) через sin <p и cos <pj.
194.	На основании зависимости между координатами то-
чек окружности, симметричных относительно оси х, найти
— 41 —
выражение sin (—s) и cos (— s) через sin s и cos s [sin (—a)
и cos (— ©) через sin <p и cos <oj.
195	На основании зависимости между координатами то-
чек окружности, симметричных относительно начала, выра-
зить sin (тг-f-s) и cos (n-)-s) через sins и cos s [sin (180°-фа)
и cos (180° + и) через sin © и cos ©].
196.	На основании зависимости между координатами то-
чек окружности, симметричных относительно биссектрисы
нормального угла, выразить sin — s) и cos — sj через
sin я и cos s, [sin (90° — а) и cos (90°—а) через sin а и cos <p],
197.	В каких пределах достаточно (на основании резуль-
татов задач 172 —176) знать значение sin s и cos s, чтобы
иметь возможность вычистить sin я и cos я для любого зна-
чения я?
198.	Взять окружность произвольного радиуса JR. в какой-
либо точке провести касательную к ней. Через точку каса-
ния провести диаметр. Из центра окружности провести луч
под углом в 30° к диаметру, от точки пересечения луча
с касательной отложить по ней в направлении к точке
касания отрезок, равный 3 К. Конец полученного отрезка
соединить с другим концом диаметра а) Вычислить, как
функцию радиуса, длину полученного отрезка, придав окон-
чательному результату вид KR, где к есть некоторый коэф
фициент. б) Вычислить значение этого коэффициента с
точностью до, 0,1; до 0,01; и до 0,001. Сравнить значения,
полученные для коэффициента с приближенными значе-
ниями и числа п. Каков геометрический смысл найденного
'"’резка, в) Какова будет величина погрешности, если выпол-
нить вышеуказанное построение для окружности ради-
уса =1 метру, и полученный тем построением отрезок
принять за длину полуокружности.
2) Принимая за единицу масштаба для числовой оси
радиусы: а) 5 см., б) 7 см. в) 10 см., построить на осп
отрезки, соответствующее числам 2тг, тт, у
199.	Принимая значение дуги (выраженной в радиаль-
ной мере) за абсциссу точки, а значение функции за орди-
нату, построить графику функции у = sin х (для упрощения
построение принять тгслЗ,2) (значение функции взять из
приложенной на стр. 144 таблицы). Указать точки, сиответ-
— 42 —
ствующие 1) корням, 2) наибольшим и наименьшим значе-
ниям функции. Чему равен отрезок оси х между двумя
последовательными корнями?
200.	Сделать такое же построение и решить те же во-
просы для функции у=С08 х.
201.	Представить функцию
у = а. siu Ьх
графически и определить: 1) точки, соответствующие кор-
ням функции, 2) период, 3) точки, соответствующие наи-
большим, 4) наименьшим значениям функции, если
1) а=1,
2) а = 1,
Ь = 2, 3, 4; 3) 6=1,
L’ h 4)
а = 2, 3, 4;
202.	Представить функцию у = а cos (Ьх -|- с) графически
и определить: 1) точки, соог вегствующие корням функции,
2 период, 3) точки, соответствующие наибольшим, 4) на-
именьшим значениям функции, если
1)	а=2,	с = о:
2)	а = 2,	Ъ = 2,	c = J;
3)	а=‘->	Ь^,
4)	а==^>	Ъ—2,	с—it.
203 Найти оси симметрии график: 1) функции ?/ = sin х
2) функции y = cos х.
204.	Найти центры симметрии график функции:
1)	у = sin аг,	2) у = a.cusx.
205.	Кривая синусов может быть преобразована в кривую
косинусов путем зеркального отражения относительно неко-
торой прямой. Написать уравнение этой прямой.
206.	При простом колебании по закону синуса, отклоне-
ние точки в данный момент от среднего положения опре-
деляется значением функции
s = asin Ы,
где а есть амплитуда колебания, а Ь,—частное от деления
2тг на период колебания Т; t означает время и является
— 43 —
независимой переменной. Представить графически закон
колебания при 1) а=1, 6=1 и 2) а=^-> 6=2 и построить
новую кривую, складывая ординаты точек, соответствую-
щих одному и тому же значению t.
207.	Колебание s=*=asinJ( при а=1, Ь=1, сложить гра-
фически с колебанием, полученным из первого, сдвигом
на: 1) р 2) Ц 3) периода.
208.	Показать на графике, что наложением друг на друга
1) трех колебаний, смещенных последовательно друг отно-
сительно друга на периода, 2) четырех колебаний, сме*
щенных последовательно на ’ периода, колебания уничто-
жаются, т. е. что:
1) a sin a-J-asin -J-asin (a4“j==0;
2) a sin a -f- a sin (a -f-	 {- a sin (a -J - тг)	a sin (а 4- ^-]= 0.
§ 2.	Проекции. Синус и косинус суммы двух дуг
(углов).
209.	Как выразятся координаты точки окружности ра-
диуса В через радиус и тригонометрические функции угла
(дуги), образуемого радиусом с осью xl
210.	Как выразятся координаты х и у точки Q через
расстояние этой точки от начала координат г (радиус-вектор)
и угол о (амплитуда, аргумент), который образует «тот отре-
зок Г с ОСЬЮ х?
211.	Показать, что проек-
ция отрезка 0М=х, лежа-
щего на одной оси, на дру-
гую ось, образующую с этой
осью угол и, выражается
формулой р = х cos (р (х и
Р в зависимости от напра-
вления соответствующих от-
резков могут иметь и поло-
жительные и отрицательные
значения) при любом поло-
Фг! 1
— 14 —
жении точки М относительна начала О и при любом угле
между осями.
212.	Точки А и В соединены прямою АВ и ломаной
A1\INPB. Доказать, что проекция ломаной AMNPB(опре-
деляя проекции не только по величине, но и по знаку)
равна проекции замыкающей АВ (фиг. 1).
213.	Показать, пользуясь чертежом, что проекция
замкнутой ломаной линии на ось равна о (нулю)-
^Чертеж 1 а).
214. Рассматривая на чертеже (фиг. 2) РМи ОР, как sin -р
(sin s) и cos <р (cos s), a P M' и
OP', как sin p' и cos d (s’), по-
казать, что P"№ = sin (<p p) =
sin (s -|- s') и OP" — cos (p -|- «') =
cos (s как проекции на оси
1 и .X радиуса O.V или ломаной
О'ЕЛИ', для которой OJP служит
замыкающей, выражаются через
функции р и w следующим обра-
зом:
Sin (’.р-)-</) = sin <р cos a'-J-cos р sin <р'
cos (a-J--р') = cos <р cos р'— sin р sin р'.
Примечание Обратить внимание на то, какие углы
образуют оси х' и у' (и параллельные им отрезки)
1) с осью х, 2) с осью у.
215.	Полагая р' =— ср показать справедливость формул:
sin (р— 'i) = sin р cos ф— cos р sin ф;
cos (р — ф) = cos р cos ф + sin ср sin ф.
216.	Пусть дана точка Q с координатами х, у. Построить
новую систему координат так, чтобы начало новой системы
совпадало с началом старой системы, а ось х' (новой системы;
образовала с осью х (старой системы) угол а (новая система
получается из старой поворотом на угол <р около начала).
Обозначая расстояние точки Q от начала через г, а угол,
который образует это расстояние г (радиус — вектор) с осью х
через р’ и пользуясь выведенными формулами
sin (p-f-p') и cos Cp-j-tp') и соотношениями я —г cos (р4~р')
и у = г sin (p-J-p',) d = r cos tp' и «/ = >• sin tp’, показать,
— 45 —
что при указанном
повороте осей коор-
динат около начала
на угол и старые ко-
ординаты точки 11
(х, у) (т.-е. координа-
ты точки по отноше-
нию к прежней си-
стеме) выражаются
через новые коорди-
наты х’, у'той же точ-
ки (т.-е. относитель-
но нового положения
осей') формулами
х=х cos и—у' sin щ
у — J sin ф -f- у' cos и».
217.	Полагая а—
cosa, sin$, cosf и определяя выражение х и у через а и
показать справедливость формул преобразования суми тригоно- .
метрических функций в произведения:
1)	sin аsin р= 2sin ~^ cos
2)	sin а — sin [i = 2 cos — - sin ;
3)	cos a -j- cos p = 2 cos cos
..	. a4-₽ . о—3	„  2-f-B  о—3
4)	COS Я — cosp = —-SHI-7“' Sin -x-»=2Sin -„—Sin—2-.
218.	При каких условиях формулы задачи 212 обратятся
в формулы для выражения тригонометрических функций
двойного угла. Вывести эти формулы.
219.	Пользуясь формулой
cos 2 = cos2 о — sin2 у
получить формулы sinus’ и cosinus'a половинного угла?
§ 3.	Функции тангенс и котангенс
220.	Построить окружность xs-j-ys — l. Провести к этой
окружности касательные в точках пересечения ее с поло-
жительными направлениями осей х и у. Ордината точки,
в которой продолженный радиус встречает первую касатель-
— 46 —
ную, если эту ординату рассматривать, как функцию дуги s,
определяемой концом радиуса, называется тангенсом дуги
tg s, или tg tf (тангенсом угла ф, соответствующего этой
Дуге); абсцисса той точки, в которой продолженный радиус
встречает вторую касательную, если эту абсциссу рассматри-
вать как функцию дуги s, называется котангенсом s (ctg s),
или котангенсом угла <р (ctg <р). Показать, на основании
определения тангенса и котангенса, что при любом значении s
sin в		sin <p
cos в’	ig r1 —	COS
cos s		COS <P
S sin s’	ctg —	'sin
tg 8 ctg 8 = 1.	tga .ctg	Ф =.
221.	На основании соотношений между tg s, ctg s, sin s и
cos s показать, что:
tg '4 — s) = ctg s; 'tg * = t{/
ct (—=— tg s; ctg (— .*) = — с-t// .s;
tg (n—s) = — tg л; ctg (e—«) = — cty «;
tg (7i + .s) = tg s; ctg (n4-s) = ct<7 s.
Чему равен период тангенса?
222.	Деля выражение sin (а Р) на выражение cos (а -|- р)
[соответственно sin (а — р) на cos (а — р] на основании соот-
ношений между тангенсом, синусом и косинусом одной
д той же дуги (одного и того же угла) показать, что:
.	,	.	„ tg у -J- tee’ ,	.	tg e — tge'
tg ('? +	A _ tg f tg	tg (a	ф ) — i+tg ¥ tg»"
223.	При каких значениях аргумента формулы предыду-
щей задачи обратятся в формулы для выражения +angen^\.
двойного угла.
Пользуясь формулами, полученными в задаче 219, соста-
вить формулы tangens’a половинного угла.
224.	1) Представить функцию y=tgx графически; указать
2) точки, соответствующие корням функции, 3) точки, со-
ответствующие бесконечным значениям функции, 4) период
функции.
225.	1) Представить функцию y = cotg х графически;
2) определить точки, соответствующие корням функци и,
3) точки, соответствующие бесконечным значениям функ-
ции, 4) период функции.
— 47 —
226.	Кривая тангенсов преооразуется в кривую котан-
генсов путем зеркального отражения относительно некото-
рой прямой. Написать уравнение такой прямой.
227	Выражая tg а и tg ₽ через синусы и косинусы
соответствующих дуг и применяя теорему сложения, дока-
зать справедливость равенств:
t(j	" < tg
cw a + ctg^cuj z-ct<j$
sin (a —(!).
cos a cos ₽’
Sln(₽ — a)
'sin a sin p*
Графическое решение тригонометрических уравнений.
228.	Решить графически следующие уравнения (пользуясь
графиками y = sin х, у —cos х, y = tgx, y = ctg ж):
1) sin х = ^',
3) sina; =—0,4;
5) tga; = 2;
7) tga; = —1;
9) tgrr=b«;
11) ctga; = rr;
2) cos x = 0,6;
4) С08ж = — 0,5;
6) ctgz = 4;
8) ctga; =— 0,75,
10) sin x = x;
12) cos ж = ж.
229.	Решить графически и вычислением следующие ура-
внения (Указание: положить cos a = ar, sin а^=у и принять
во внимание, что х2-]-у2 — 1.
1) 4 cos а = 3 sin а;
3) 4 sin Я = 6 + 7 COS а;
5) cos a — 2 sin a = 0;
7) 2 cos я3 sin a = 3;
9) sin a.cosa = i-j/’3;
2) 6 cos a-}-4 sin a = 3;
4) sina4~cosa = ] 2:
6) 3 cos a — 2 sin a = 1;
8) sin a.cos a =|-;
10) 2sina = cos2a.
Дуги круга измеряются двумя способами: 1) в первом из них за
единицу принимается градус, т.-е окружности; градус, в свою
очередь, разделяется на 60 минут, а минута на 60 сякунд; 2) во
втором — за единицу принимается дуга, длина которой равна радиусу.
Координаты точки окружности эс2-]-уг = 1, если их рассматри-
вать, как функции дуги s, называются тригонометрическими функциями
и обозначаются: абсцисса через cos», а ордината через sins. За
начало дуги в этом случае принимается точка пересечения окружно-
— 48 —
сти oci-\-y ' = '\ с положительным направлением оси х, а за поло-
жительное направление дуг — направление движения по окружности
против ча'ивой стрелки.
Если вместо окружности ж2-}-у2 = 1 взять окоужность
аз2 + у* = К2, то синус и косинус дуги будут связаны с коорди-
натами точки окружности следующими соотношениями:
Sin Я = р у -=11 Sin 8.
COS Я = yr	It COS 8.
Ji
При движении точки по окружности радиус круга, проходящий
через эту точку, опишет некоторый угол. Если принять за единицу
измерения углов центральный угол, опирающийся на дугу, равную
единице, и ввести такие же условия относительно начала счета и
положительного направления углов, то дуга и соответствующий ей цен-
тральный угол будут всегда иметь одинаковые числовые значения.
Поэтому значение я, представляющее значение независимой перемен-
ной для функций sins и cos я, можно принимать не только за зна-
чение дуги, но за значение некоторого централ ьного угла.
Углы измеряются либо в градусах, либ; з радиа гьной мере:
1) угловым градусом называется центральный угол, опирающийся на
дугу, равную дуговому градусу; угловой градус делится на 60 угловых
минут, минута—на 60 секунд; 2) в случае измерения углов в ради-
альной мере за углгвую единицу принимается угол, опирающийся на
дугу, оавную радиусу.
Если выбрано начале счета дуг, дано положительное направление
дуг, и установлена единица измерения, ±о каждому числу, если его
принять за значение я, соответствует вполне определеннаь точка
окружности и вполне определенный радиус круга, другими словами,
каждому числу соответствует единственная, вполне определенная дуга
и единственный вполне определенный центральный угол.
Но каждой точке на кружности соответствует бесчисленное
множество дуг, оканчивающихся в этой точке; общее выражение таких
дуг имеет вид:
в радиальной мере я-|-2£тг
в градусах	з + Х-.360°,
где под X разумеется любое целое относительное число, а я из
могут быть выбраны так. чтобы выполнялись неравенства
о<я<2тт,	0°^- <360°.
— 49 —
Каждой точке окружности х2 -]-?/г = 1 соответствуют вполне опре-
деленные значения ж и 4/; следовательно, каждому значению з [у] соот-
ветствуют вполне определенные значения sins и созз [sin ср и cos <j];
но заданным значениям sin s и cos s (удовлетворяющим условию
sinzs + cos2s = 1) соответствует бесчисленное множества дуг (углов),
для которых 31 и функции имеют заданное значение; эти дуги отли-
чаются друг от друга на любое целое число окружностей.
Поэтому, если к дуге, которой соответствуют данные значения
sin s и cos з, прибавить (или от нее отнять) произвольное целое
число окружностей, то значения sin з и cos 8 останутся без пере-
мены.
В силу сказанного, sin 8 и cos 8 называются периодическими
функциями дуги, а длина окружности называется триодом этих
функций; выражение периода, в зависимости отъ того, в каких еди-
ницах измерялись дуги, будет или 2п или 360°.
Числовое значение отрезка, отсекаемого продолженным радиусом
окружности as2 + j/2 = 1 на касательной ж=1, проведенной в точке
пересечения окружности с положительным направлением оси ж, назы-
вается, если его рассматривать, как функцию дуги з, тангенсом
дуги 8 (значение этого отрезка гредставляет ординату точки пересе-
чения продолженного радиуса и касательной); если взять окружность
не радиуса = 1, а окружность ж2 -j- у2 = R2, тс тангенс будет пред-
ставлять отношение отрезка касательной ж = Л к радиусу.
Числовое значение гтрезка, отсекаемого продолженным радиусом
окружности а?2+?/2 = 1 на касательной у=1 (абсцисса точки пере-
сечения этих линий), если его рассматривать, как функцию дуги 8,
называется котангенсом дуги s (угла у). В случае окружности
жг-^-у2=Л, ctg 8 равен отношению соответствующего отрезка
касательной к R.
Период тангенса и котангенса равен половине окружности.
Основные свойства тригонометрических функций выражается сле-
дующими равенствами:
sin2s + cos2s = 1
sins
tg 8 = —
э COSS
tgs.ctgs = 1
sin(s j- 2£тг) sin 8
cos (s -J- 2кп) = cos s
sin — s) = coss
tg (sftn) = tg s.
ctg (s + fat) = ctg 3
COS --3 ) = Sin 8
II
Сокращен, сббрвпк упраэкп. и задач. Ч Ш.
4
— GO —
cos ( — >•) = cos s
sin ( — .s') = — sin >‘
sin (n + s) = — sin s
sin (tt — *) = sin s
cos (f s) = — cosЯ Ill
cos (n —*.s) = — cos .4
(Дли tg s и ctg s соответствующие соотношения даны в задаче
221.)
sin (а ± jO = sin а cos ? Чг sin £ cos а'
cos(a4zr') = cosacos £ sin a sin В IV
Ig (2	r>) — £ - /f/ at(/ j
э	n  я ± ₽	5 + ?
Sin 2	r	Sin	2 sin —-- - cos —~
•s	n “ + ₽ a— ?	-tc
COS 2 4	COS 3 = 2 cos ^ cos ^,	V
cos а — cos p = — 2 sin —sir, 2 1 = 2 sin —sin - ,z—
Функции, показательная, логарифмическая и тригонометрические
называются трансцендентными функциями.
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА
Комплексные числа.
§ 4. Мнимая единица. Комплексное число.
При решении квадратных уравнений нередко приходится
встречаться с задачей извлечения квадратного корня из
отрицательного числа; задача эта не может быть разрешена
в действительных числах, так каь квадрат всякого действи-
тельного числа есть число положительное. Чтобы сделать
извлечение квадратного корня из отрицательного числа воз-
можным, область изучаемых чисел расширяется введением
мнимых чисел, образуемых из ново'! единицы, называемой
мнимой единицей (в отличие от действительной единицы, из
которой образованы действительные числа) и обозначаемой
буквой г; связь между мнимой единицей и действи-
тельной единицей, из которой образованы все действитель-
ные числа, определяется равенством г2 =— 1.
Число, содержащее п мнимых единиц, обозначается че-
рез nt:
п раз
? + г + + + ₽. r + i = nt.
— 51 —
230. Записать в более короткой форме:
1) г-фг4-г-фг-|-*
4) 5г — Зг;
7) 9г — Зг. -I—4г;
10) ai — fti;
2) 2г’4-3г;
5) 6г' — 6г;
8) 11 — 9г 4- 2г;
11) ai-\-bi— ai;
3) 5г —2г;
6) Зг-ф2г —4г;
9) ai-]-bi;
12) ai— ai.
Комплексные числа..
Число, образованное соединением а действительных еди-
ниц с Ъ мнимыми, называется комплексным числом и обозна-
чается:
или короче: а-^Ы,
231а, Построить точку М, координаты которой суть:
1)	(5, 3);	2) (—1, 2)	3) (а, Ь);	4) (а, 0);	5) (0,6).
Точка М, координатами которой служат коэффициенты
а и Ъ при действительной и мнимой единицах в выраже-
нии а + Ы, принимается за геометрическое изображение
числа а + &г,
2316. Построить точку, служащую изображением числа:
1) а-фЗг;
5) 3;
2) 7-2г;
6) 4г;
3) — 5-ф4г;	4)—2 —2г;
7)	0,5 + 04г;	8) — 0,3-|-07г.
232.	Написать комплексные числа, изображениями кото-
рых являются точки А, В, С, D, Е. О, на фиг. 3.
233.	Исследовать, устанавливается ли при введенном пред-
ставлении комплексных чисел посредством точек однозначное
соответствие между комплексными числами и точками «число-
вой плоскости-' и обратно.
234.	Что можно ска- *
зать про числа а~\-Ы
и d -\-Ъ'г, если a—d и
6=6'?
235.	При выполне-
нии каких условий
т -}- иг=о, если ввести
определение, что
а 4- bi = d -|- 6'г тогда и
только тогда, когда от-
дельно a — d и 6 = 6"?
4*
Д- 62 —
§ 5. Действия над комплексными числами.
236.	Какое определение следует дать сумме двух
комплексных чисел а-\-Ъг и а' Ъ'1, чтобы законы сложения,
имеющие место при сложении действительных чисел, сохра-
няли свою силу и в случае сложения комплексных чисел.
237. Построить
числа: 1) 3 5г и 5 —р- 3*,
2) 3 2г и 3 — 2г;
3) 4 —J— Зг И — 4 + Зг;
4) 2 Зг И — 2 — Зг;
б) —2-|-4г И 2 — 4г;
б) 5 “J- Зг* и 2 —|— 4г;
7) а Ы и о —]— Ь г
и их сумму.
Соединить прямыми точки,
изображающие слагаемые и
сумму, с началом координат
и междз собою.
Какая фигура образуется
этими прямыми в случаях
1, 2, 3? 4 и 5? 6? В общем
случае (7-м)?
238. Построить и вычислить разности чисел:
1) З-J- 4г и 2 +г;
3) 4+5г и 4ф-3г;
5) — 7 4- 2г и 7 + 2г;
2) 7 — Зг И 7-|-Зг;
4) 2 4г И — 2 — 4г;
6) а± Ы и гг -J- Ъ г.
239. Вычислить:
1) (3-|-4г) + (2+Зг);
3) (-3+2г) + (2 — г);
5) (1 +-9—(5 + зо;
7) (1—*)—с + 0;
2) (2-зо+а+о;
4) (3,5—О,5г’)4-(1,5—2,5г);
6) ( — 2-|-Зг) — (2 — г);
8) ( — 4— 2г)-(J — ii).
240.	Даны комплексные числа: 1) 7—Зг, 2) 5—г, з) 2-|-5гг
4) —14- 4г, 5) а -ф Ы. Ответить на следующие вопросы отно-
сительно каждого из этих чисел: а) Какое число следует к
нему прибавить (из него вычесть;, чтобы получить действи-
тельное число? б) Какое число следует к нему приложить
(из него вычесть), чтобы получить мнимое число (т.-е. число,
состоящее только лз мнимых единиц)?
241.	В каком случае сумма двух комплексных чисел
1) есть действительное число? 2) мнимое? 3) К какой число-
53 —
вой области принадлежит сумма двух комплексных чисел
вообще?
242.	В задаче 235 было дано определение равенства
двух комплексных чисел, заключающееся в том, что два
комплексных числа равны, если отдельно равны их дей-
ствительные и отдельно равны их мнимые части, т,-е.
a^.bi = c-\-diy если а = с и b=d. Показать, что это опре-
деление совпадает с требованием (выполняющимся при ра-
венстве двух действительных чисел), чтобы вазность их
была равна нулю.
243.	Два комплексных числа, отличающиеся лишь зна-
ками при мнимой части, называются сопряженными комплексными
числами. Написать числа, сопряженные числам:
1) 24-Зг; 2)2 —Зг; 3) 2-|-5г; 4) — 2+б0 5)—7 —9г.
244.	Написать числа, сопряженные числам:
1)	т — ni\ 2)^ + дг; 3) — а 4* bi; 4) J—Зг; 5) —0,4+1,2г.
245.	1) Указать, как располагаются на числовой плоско-
сти изображения двух сопряженных комплексных чисел
2)	Сложить каждое из данных в задачах 243 и 244
коплексных чисел с числом, ему сопряженным.
3)	К какой числовой области принадлежит сумма, двух со -
пряженных комплексных чисел?
246.	Вычесть из каждого числа задач №№ 243 и 244
число, ему сопряженное. К какой числовой области принад-
лежит разность двух сопряженных комплексных чисел?
247.	Какое определение следует дать произведе-
нию двух комплексных чисел а + bi и а' + Ь’г, чтобы за-
коны умножения, имеющие место прп умножении действи-
тельных чисел, сохраняли свою силу и для комплексных
чисел, и чтобы, согласно введенному ранее определению,
# = —1?
248.	Вычислить:
1) 3(2 + 0; ‘
3) г(3 + 2г);
5) (2 + Зг)(3 + 5г).
7) (3+40(1—г);
2) —2(1+ 0,3г);
4) - ±(1+20;
6) (1 +0(2+0;
8) (0,2 + 0,5г)(5 + 2 г);
— 54 —
9) (0,6-f-0,5г ЦО,7 —0,6г);
11) (5 —2г/7) (6 — 2г /7);
13) (а -f- 6?)(с 4 йг):
15) О — 2дг)(2р 4- qi);
10) (3 4- г j/2) (5 4- 7г /2);
12) (/зЦ-г /2)(/24-г/3)5
14) (ж4-гу)(2а;4-^);
16) (а — г\fb) (— а — 2г Ь).
Какой числовой области принадлежит обыкновенно про-
изведение двух комплексных чисел?
249. Вычислить:
' 1) 2-Зг;
4) 5г-7г;
7) пгг-иг
2) 4? 2;
5) — 2г-4г.
8) — pi-qi]
3) -5г-4;
6) - Зг—4г:
9) —Pi---9*
Какой числовой области принадлежит произведение
двух чисто мнимых (без действительной части) чисел?
Почему?
250. Вычислить
1) (3 4-2г) (3 —2г):
3) (I — г) (14-г);
5) (2 4-г/з)(2 —г/3);
7) (я	г VЬ) («— Ь)',
2) (74-г)(7-г);
4) (а-)-6г) (а— 6г)1
6) (3 4-2г/2) (3 — 2г/2).
8) (р4а 4- г|Лб) (J га — г|/Ъ).
Какой числовой области принадлежит произведение двух
сопряженных комплексных чисел? Почему?
251. Разложить на пары комплексных сомножителей:
1) я2-)-?/®;
4) «®4-?;
7) <г2 + 1;
10) 5;
2) г5г24-4и®;
5)
8) 16 4-1;
11) 37;
3) 9аг-|-1662 *;
6) jj-H;
9) 25 4-4;
12) 65.
252. Найти, пользуясь определением умножения и опре-
делением равенства комплексных чисел, такое число
чтобы (гг 4-г2/) («4"&0 — Показать, что то же
о! 4- ЪЧ
выражение частного получится, если числитель и
, а’ 4- b’i _
знаменатель дроби умножить на а — Ы.
253. Вычислить частные:
1) 15г :3;
4)
3) 6г:(— Зг);
6;
2) 4г :2г;
5) -Ч-
254.7)^;	8)^L;
n)	12) L+_L2t.
J 3 —4i’	3 + 2»’
15) --; 16) -------
1 + i »/3	l+3i /7
19) l-20i/S,	5-29i|/5.
7 — 21 v'b ’	1 7 — 3i »/5 ’
63 4-16*
4-f-3* ’
10)
4 — 3:
2 + * :
13)
14)
56 + 33*.
12 —5» ’
17)
21)
5г
*/2—i /3 ’
18)
3*
1 + * /3.
1 — * ✓§ ’
/3+* /2
/3—* /2’
»)	2« (ГЧ5-	2;') <’+>
2в>тЬ + тЬ: 27)|++1^:: 28)^-^;
x + i \f 1 — x^
x — i V1 — жа ’
29;
30)
a + Ы . a — Ы
c-j-di‘e—di’
C®< I);
зп £+_Si_ dl} c + di 33)	а — Ы. с — р„' /1 + а + */Г— а /1 {-а — г/1 —<1	32) »- x—f у'у *Z1 — а + i »/1 + /1 — а — i /1 +	/ У— а а
255. Вычислить: 1) г2;	2) г3;		3) гЪ	4) р;
5) гв;	6) i1,	7) i8;	8) г9;
9) г4п;	10) *4М’;	11) г4п+25	12) г*п+з;
13) (2Й)2;	14) (5г)3,	15) (Зг)4’,	16) (г/З)2;
17) (--О10;	18) — г32;	19) (—г)10;	20) —г!9.
256. Вычислить (найти оба значения):
1) /—4;
5) /-и»;
9) /—а;
2) /—27*;
6) /^s;
10) J- — -abc:
з) /—3;
7) / — 16;
ii) /—m2;
4) /—5;
8) /— 8i;
12) /—4a262.
К какой числовой области принадлежит квадратный
корень из п’грицательного числа?
257. Упростить выражение (под какой буквой разумеется
положительное число):
1) /—^./—3/2'’
3) /—а- /—а>
2) /-4- /-1;
4) /а • /—а,
— 5G —
5) /3 • /—12; 7) У-15- /=р 9) l^ab2 • ]/~ —ab*> 11)	—аЪ3  asbi	6) /18- /=^; 8) /27 • /—t; 10) /—ab л У —ab’, 12) г/а • /— 6’-
258. Упростить выражения.
1)	/а— Ъ  Ъ — а> |
2)	]/ а — Ъ - \Г(Ь— a)s> ) при условии а>>£.
3)	/(а—6/ •	)
Выяснить в каких случаях наложенное условие влияет
и в каких не влияет на окончательное выражение резуль-
тата.
259. К какой числовой области принадлежат степени
комплексного числа?
260. Вычислить:
1) (14-0’;	, 3) (а-|-6г)2; 5) (2-н/з)2; 7) (2 — г/2р! 9) (а Ц- Ъг)2 + [а — Ы)2; 11) а) (14- г)3, б) (1—г)3; 13) Н-W’ 15> (—1+УзГ; 17) (1±^+^у	2) (1— г)2; 4) (4 4-Зг)3; 6) (5-|-Зг/2)2; 8) (/а —г/6)7, Ю) (а 4- bi)2 — (а — Ъг)2; 12) а) (14-OS б) (1-г)<; 14> (“1+У3)3; 16) 18) (14-г/2)64-(1—г/г)®
261. Раскрыть по формуле бинома Ньютона:
1) (14-0я;	2) (1 — г)10; 262. Вычистить-	з) (/3 4-г)9.
1) (а4-^)54_(а — 3) (14-084-(1-06; 5) (1 4-г)10 —(1 — г)10, 7) (3 4-i/|)’4-(3 — г/5)7; 9) (14-3У 3)®4-(1— ц/ З)9;	2) (а 4~ ('О® — (а— 4) (14-09 + (1-09 6) (i-Pr-d-O”; 8) (3 4-г/ 5)7 — (3 — г/б)*; 10) (1 4-	3)9- (1 — ц/з)9.
263. Найти, пользуясь формулой возведения в квадрат
комплексного числа и определением равенства комплексных
чисел, такое число х-\-гу, чтобы {х -^гу^—а ]-Ы; другими
словами, найти значение j/a-j-bi. Показать на основании
теоремы Виета о выражении коэффициентов квадратного
уравнения через корни, что xz и —у® являются корнями
уравнения в* — az — &=о. Почему это уравнение всегда имеет
действительные корни?
264. Вычислить указанным выше способом:
1) /аг’,
3)	5 —J— 12г,
5) /21 /20?,
7) /15 ф- 8г,
9) /^ЧзЯ 84г*,
11) /-^ТГф Зб1;
13) /3,75 + 2г;
15) /Зф-Угф-} 3^'4г.
2) /—Г,
4) |/35— 12г;
6) /бЗ — 16г;
8) /9-ф40г,
10) /8ф б«;
12) /—33—56?
14) /—OJS-f-i',
265. Доказать возведением в квадрат справедливости
формул:
1)	/У+&*-ф/^Уг•= | 2 (/аЦ^Й-а)
2)	/а ± bi — /а — Ы — г / 2 (/а2	— а)
266.	Складывая (и вычитая) почленно написанные фор-
мулы, показать, что:
/а+У = 1//" /g2 + 52±a ±г -» f /а2 + &8 °
У 2 у 2
267.	Преобразовать по формулам: 1) и 2) задачи № 265а
выражения:
1) /У±б1±/8^УГг’,	2) /40 4-9г±/40 —95
3)	/15±8i±l 15 —8г’,	4) /35 ± 12г± /35 — 12г',
?68 Пр( образовать по формуле задачи 2665:
1) /У±2?/з;	2) /7-4-30i/2y
3) /1 —6г/1о;	4) У—а.
•*— 58
| 6. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Полярные координаты.
Положение точки на плоскости мпжет быть определено
не только при помощи прямоугольных (т. н. декартовых)
координат, но и дру] им способом: при помощи полярных
координат. Назовем некоторую точку плоскости О полюсом
и некоторую прямую ОР, выходящую из точки О, полярной
осью. Тогда положение точки М может быть определено зада-
нием числовых значений отрезка ОМ (оно всегда считается
положительным) и угла, образуемого прямою ОМ с ОР
(или дугой, соответствующей этому углу); угол этот счи-
тается положительным, если получается вращением луча
против часовой стрелки, и отрицательным, если он полу
чается вращением луча по часовой стрелке. Значение ОМ
обозначается посредством г и называется радиусом-
вектором, а угол обозначается посредством а и назы-
вается амплитудой или аргументом (ср. § 2 гл. III).
269.	Построить точки по их полярным координатам:
и 1, *; Li	2) 1, it;	3) 1, |тт;	4) 1,	2тт;
5) 1, 0;	6) 2,	•	7) 2,	8) 2,	2 з*;
9) 3, *5	Ю) 2,-|;	И) 3,-|;	12) 3,	7 Зп.
270.	Показать, что при определении положения точки
при помощи ее полярных координат, всякое комплексное
число может быть представлено в т. и. тригономзтрической
форме (принимая полюс лежащим в начале декартовой сис-
темы координат и ось х совпадающей с полярной осью):
а + Ы = г (cos а + > sin а),
г = а- + &2,
а	. Ъ
cns а = -» sin а = ->
т	т
где г называю’" модулем, а— аргументом комплексного числа.
271.	Как велики аргумент и модуль чисел:
1) 1-Н;	2)—1-}-г;	3) г — 1;
5) i-/3;	6) —	7)—2»;
4) /з 4- г;
8) 3 4-Зг
— t>9 —
272.	Представить в тригонометрической форме следую-
щие комплексные числа:
1) 8-J-15;	2)12 —5г;	3) 6 —5г;	4)—11 —3i.
273 Вместо того, чтобы принимать за изображение ком-
плексного числа а -\-Ы точку М (а.Ь), оказывается выгодным
рассматривать как изображение этого числа вектор ОМ
(направленный отрезок), т.-е. отрезок, определяемый по в е л и-
чинеи по направлению; для определения величины
вектора может служить его значение г, а для определения
направления—аргумент а. Два вектора считаются равными,
если они имеют одинаковую величину и одинаковое направле-
ние, другими словами, если один из них может быть получен
параллельным перенесением другого. Показать, что
сумма двух комплексных чисел определяется графически
таким перенесением вектора, представляющего одно из
слагаемых, чтобы его начало совместилось с концом вектора,
представляющего другое слагаемое. Построить вектор, пред-
ставляющий сумму.
Сравнить сложение векторов с теоремой о параллелограмс
сил. Что в этом случае соответствует: 1) компонентам,
2) равнодействующей?
274.	Выполнить вычитание двух комплексных чисел,
пользуясь параллельным перенесением векторов и сравнить
эту операцию с разложением силы на компоненты.
275.	Построить йо правилу сложения векторов: а) суммы
1) 3 —|- 2г и 3 — 2г, 2)	4 2г и 4 -| 2г. 3) tt -|— Ы и сг — Ьг,
б) разности тех же чисел.
276.	На основании симметричности относительно оси х
изображений сопряженных комплексных чисел показать, что
сумма их — действительное число, а разность — числ мнимое-
277.	В каких случаях модуль суммы двух чисел равен
1) сумме модулей слагаемых, 2) их разности? Каким нера-
венствам удовлетворяет модуль суммы в остальных случаях?
278.	Построить сомножители и произведение:
1) 3 (2Д-г);	2) (2 — Зг) - 2;
3)	(а-{-Ы)-к;	4) 2(cos 30°Д- г sin 30°);
5)	3(cos 30°—г sin 30°Д	6) ги-[г(сО8 ср —г sin <р)].
— 60 —
Какая из величин, определяющих комплексное число
в тригонометрической форме, не меняется при умножении
комплексного числа на действительное число? Что изме-
няется в векторе, представляющем комплексное число, при
таком умножении? Что сохраняется без перемены?
279.	Построить сомножители и произведение:
1) 2 г;	2) i-i;
5) 2 (cos 0Р4-г sin О0)-г;
7) 3(cos 60° — г sin 60°);
3) 2: i; 4) (14-г)-г;
6) 3 (cos 30° -{-г sin 30°) ?;
8) 3(cos^4-i sin^J-i.
Что сохраняется неизменным в векторе при умножении
его на г? Что изменяется в определении вектора? Насколько
отличается аргумент произведения от аргумента множимого
при умножении его на г? Какой аргумент больше?
Каким движением может быть получено в этом слу-
чае произведение из множимого?
[Принять во внимание формулы cos (а + ^)=—sin
sin 4“ = cos aj-
280.	Представить при помощи векторов сомножители и
произведения:
1) (3-i-4iH4 + 3i); 2) (3 4-4i)-(24-3z); 3) (3 4-40(3 — 4#).
Измерить на чертеже аргументы сомножителей и про-
изведения. Какой вывод можно сделать относительно аргу-
ментов сомножителей и произведения?
281.	Показать, выполнив умножение (и применяя теорему
сложения для sin и cos), что вообще:
г, (cos at 4- i sin aj  r2 (cos a2 4-1 sin a2) =
= гг ra [cos (a; 4- a2) 4- i sin (a14~ a2)].
Формулировать эту теорему словами Чему равен 1) мо-
дуль, 2) аргумент произведения?
282.	Рассматривая каждое из трех чисел (т.-е. сомножи-
тели и произведение) как вектор, воспользоваться при выра-
жении предыдущей теоремы понятиями вращения и растя-
Ж( ния.
— 61 —
283.	Составить произведения:
1; 2 (cos 30° -фi sin 30°)-3(eos 45° -*f- i sin 45е);
2)	(cos 60°-*] -; sin 60°)-2 (cos 135° -ф i sin 135t).
а) вычислением, с) построением.
284.	Пусть некоторое комплексное число представляет
произведение двух других чисел. Показать что вектор, пред-
ставляющий произведение, и вектор, представляющий один
пз сомножителей, определяют треугольник, подобный треу-
гольнику, построенному на другом векторе и векторе 1.
285.	Решить графически задачи, данные в №№ 223 (5—16),
225, 250, пользуясь построением подобных треугольников.
286.	Из теоремы, устанавливающей зависимость между
1) модулями, 2) аргументами сомножителей и произведения,
вывести правило деления одного комплексного числа на
другое.
287.	Пользуясь выведенным правилом, выполнить гра-
фически следующие деления
Проверить вычислением точность построения
288.	Возвести г (cos a-|-isin а) в квадрат (по форм, за-
дачи 251); как велик 1) модуль, 2) аргумент полученного
результата?
2?9 Определить графически:
1) (4,5-фг)2,	2)
290.	Число а-\-Ъ1 представлено в виде вектора; предста-
вить графически а 4 bi (оба значения).
Пояснение. Модуль a-j-bi представляет среднее гео-
метрическое между 1 и модулем а-{-Ьг; как велик аргумент
одного из значений (меньший) j/ а -ф Ы сравнительно с aprj 
ментом a-j-bi?
291.	Найти построением значение выражений:
1)	ф5 -ф 12г;	2) /З+^Ъ	3)	-ф2г.
Проверить вычислением точность результата, получен-
ного построением.
— 62 —
292.	Вычислить:
(cos а 4 г sin a) (cos f 4 sin Р) (cos Y 4г sin Y)»
сперва вычислив произведение двух сомножителей и умно-
жая затем полученный результат на третий сомножитель.
293. 1) Пользуясь методом полной индукции, показать
что вообще
(cos + i sin aj (cos а2 + i sin a.J .... (cos an 4 I sin an) =s
= 008(3! + ^+ .... +a„) + -i sin(aj + ^-f- .... aj-
2) Составить словесное выражение этой теоремы.
294. Вычислить возможно проще:
1)	(cos	72° 4 i	sin	72°) (cos 18° 4г' sin 18°);
2)	(cos	15° 4 г	sin	15°) (cos 30°-|-i sin 30°);
3)	(cos	20° 4*	sin	20°) (cos 40°4i sin 40°);
4)	(cos	15° 4»	sin	15°)2;
5)	(cos	15° 1	sin	15°) (cos 3U° 4'» sin 30°) (cos 45° 4'*sin	45°);
6)	(cos	30° -j- 1	sin	30°) (cos 45° 4- * sin 45°) (cos 60° -j-	i sin	60°).
295. Доказать на основании формулы задачи 293, что
теорема Муавра (cos а 4 I sin a)“ = cos па 41 sin /га спра-
ведлива для целых значений п.
296. ПОЛЬЗУЯСЬ ЭТОЙ формулой, ВЫЧИСЛИТ! 
1) (cos 25° 4г sin 25°)®;	2) (cos 30° 4г sin ЗО0)10;
3) (cos 45° 4г" sin 45°)7;	4) (cos 40° 4l" sin 40°)6.
297.	Доказать теорему: если два сопряженных комплекс-
ных числа возвести в одну и ту же степень, то снова
получатся два сопряженных комплексных числа.
Пояснение. 1) Принять во внимание, что cosa—i sina
можно записать также в виде
cos(— a) 4» sin ( — я)!
2) применить теорему Муавра.
298.	Вычислить:
1) (cos 36° — t sin 36°)5;	2) (cos 60° — г sin 60°)4;
3)	(cos 15° — i sin 15°)9.
299.	1) Найти выражение [r (cos a-^-i sin a)]n. 2) Получен-
ий результат сформулировать в виде теоремы.
63 —
300.	Вычислить:
1) (1 + ‘)8;	2) (1 —о10; з) (/з-Н)9
(сравнить задачу 235).
301.	На основании теоремы Муавра найти выражение
(принимая формулу бинома Ньютона):
1) sin 2а и cos 2а, 2) sin За и cos За, 3) sin 4а и сое 4а,
4) sin 5а и cos 5а, 5) sin 7а и cos 7а, 6) sin 10а и cos 10а.
302.	При действительном значении основания х под выра-
жением а- разумеется число, обратное а?’1; приняв это ра-
венство за определение а—п *и при комплексных значениях
основания а, преобразовать выражение
. (cos а + i ay = sm
умножением числителя и знаменателя правой части на
(cos а—i sin а)” и показать таким образом, что теорема Муавра
справедлива и для целых отрицательных значений н.
303.	Вычислить:
1)	(cos 30° + г sin 30°)-’;
2)	(cos 45° + г sin З5°')~3;
3)	(cos Зи° + г sin 30°)-5.
304.	1) Пользуясь формулой Муавра, найти такое число
(с модулем 1) cos -Ir i sin ср, чтобы
(cos щ sin <p)n = cos a -f— г sin а.
2)	Показать на основании периодичности функций sin а и
cos а, что общее выражение имеет вид
л •4- fc. 36G®
Ф = —1  —
И ЧТО	‘	п	. 1 У
^cos а-|-г sin a = (cos а-|-г sin а)” =
= СО8_ГГ_-----sln_2T_--------,
где к может иметь любое целое значение (положительное,
отрицательное или равное нулю).
3)	а) Какое значение принимает правая часть равенства
7г—я, «4-1, w-f’S,...? б) Сравнить эти значения с теми.
— 64 —
которые получаются при £ = 0, 1, 2... в) Показать таким
образом, что
i
(cos a-f-i sin а)л
имеет не более и не менее, как п различных значений.
4)	а) Какую фигуру определяют геометрические предста-
вления этих к значений? б) Выяснить свойства этой фигуры.
305.	1) Вычислить все значения:
а)	j/cos 60° -|- i sin 60°,
в) У cos 30° — г sin 30°,
д) cos 22° 30' + i sin 22° 30',
б)	j/cos 135° + i sin 135°,
г) ^cos 72° — i sin 72°,
e) ^cos 69° — г sin 69°.
2)	Проверить результаты решения этих бадач построе-
нием (выбирая для изображения единицы подходящий мас-
штаб).
306.	Решить двучленное уравнение я3—1 = 0 или х 3= 1,
принимая во внимание, что 1 — cos 0° -{- г sin 0° и применяя
формулу Муавра. Получить тот же результат, разлагая на
множители выражение х3—1. Поставить корни этого ура-
внения.
307.	Показать, что если корень двучленного уравнения
хп —1 = 0 равен а, то любая целая степень этого корня cfi
является также корнем этого уравнения,
308.	Решить уравнения
2) г4—1 = 0, 2) а:5=1, 3) я®=1, 4) а;12 = 1, 5) а:10=1.
Возводя корни данных уравнений в последовательные
целые степени, выяснить, какие корни их являются перво-
образными, какие нет (степени первообразного корня дают
певшую систему решений уравнения).
309.	Решить уравнения:
1)	*3=27,	2) ж4 =16,	3) а;5 = 3125,	4) «6=64,
5)	а;3 = 2,	6) а;3=—1,	7) ж5 = 5, Ь) х* = — 1.
310.	Дать в общей форме решения уравнения яя = 1
(т.-е. дать все значения »-ого корня из единицы;.
311.	Решить уравнение хп—а=0 на основании того, что.
1 1
при а ;> О х=^а-1=Уа^1=^ (cos 0°-f-i sin 0°)'*
— 65 —
________ 1
при а СО x=\f— а—1 = 1^—a (cos ISO0-{-г ISO0)”,
при а комплексном а; = | а | • (cos a-j-г sin а) =
= У \ a] cos а 4-i sin а,
где |а| означает модуль а.
312.	Сколько w-ых корней из единицы (ср. задачу 278)
оказываются действительными числами, если 1) п четное
число, 2) п — нечетное?
313.	Почему комплексные значения корней из единицы
оказываются действительными числами, если 1) п четное
число, 2) я — нечетное.
314.	Выяснить на основании решения задачи 312, почему
корень четкой степени из отрицательного числа не может
иметь действительного значения.
315.	Выяснить, указав соответствующее построение, по-
чему задача о решении двучленного уравнения сводится
к делению окружности на равные части.
315а. С какой геометрической задачей связано последова-
тельное построение корней уравнений:
1) ж«=1; 2)а’==1; 3) а’*=1; 4) а48=1 и т. д.
316 Найти графически все значения
1) ^Т;	2) /'^г,	3) У~г
4)	5)	— 625',	и) z — 243’,
317.	Вычислить: р —11 — 2i (представляя подкоренное
число в тригонометрической форме и применяя таблицы
значений тригоном, функций (стр. 131).
318.	Вычислить все значения
1)
4)	9 — 8/’;
2) У Т;
5)	^ — з — 5«;
/2 + 3/;
6)	— 3 4- 1^2.
319.	Найти все корпи следующих двухчленных уравнений:
1) х3 = 7;
4) ж® =10;
7) ж3=«;
10) жЗ=1 + 7;
Сокращ. сборник упражн.
2) я3-|-10= О’
5) х3 = 2;
8) х*—Т,
11) х* =i4-i;
и вадач. Ч. III.
з) х3 = 5;
6) ж10 =10;
— 1 -4- г ,
9) г '
12) х3 = 1 — г.
5
66
Область чисел, изучаемых о алгебре, может быть расширена введе-
нием комплексных чисел.
Комплексное число представляет соединение двух чисел, образо-
ванных при помощи двух различных единиц.
Одна из этих единиц отождествляется с действительной единицей,
из которой образованы все действительные числа. Другая единица
^означается посредством буквы I и называется „мнимой'( еди-
ницей.
1)	Чис; о, .оразованное соединением п мнимых единиц, обозна-
чается посредством al:
п раз
I + I + i! {- •  • + *’ = UL
2)	al + bl = (а -|~
3)	Связь мнимой единицы с действительной: ъ2 =—1.
4)	Соединение а действительных единиц с Ъ мнимыми единицами
обозначается посредством а • 1 + Ы или короче а + Ы и назы-
вается комплексным числом;
5)	Определение равенства двух комплексных чисел:
аЦ- Ъ1 = а' + ЬЧ лишь при а = а' и Ъ = &.
а-}-Ъ1 = 0 лишь при о = 0, Ь = 0.
6)	Определение суммы двух комплексных чисел:
(а + Ы) + (аг + ЪЧ) = (а Ц- а’) + (Ъ -|- Ъ')1.
7)	Определение произведения двух комплексных чисел
(а Ц- Ы) (а' Ц- Ъ1) = (аи' — ЪЪ')-\- i (аЪ' -{-ст Ь).
Определения суммы и произведения двух комплексных чисел даются
в указанных выше формах в виду того, что при наличности первого
из зтих определений сумма двух комплексных чисел получается по
правилам раскрытия скобок и приведения подобных членов для дей-
ствительных чисел, эсли принимать i не за мнимую единицу, а за
некоторый числовой коэффициент, при наличности же второго опреде-
ления произведение двух комплексных чисел получается по правилу
перемножения двучленов, образованных из действительных чисел
(как если бы i было некоторым числовым коэффициентом). при чем I2
заменяется через — 1.
Принцип, положенный в основу определения действий над комплек-
сными числами (нетрудно видеть, что он применялся и раньше при
— 67
определении действий с нулем, отрицательными, дробныки и ирраци-
ональными числами) и заключающийся в том, что при определении
действий для новых чисел зти определения даются в такой форме,
что формулы преобразований алгебраических выражений, справедливые
при натуральных значениях входящих в них букв (выражающие так
наз законы действий), остаются справедливыми и при значениях
букв, равных новым числам, называется принципом перманен-
тности.
Область чисел, включающая числа действительные, мнимые и ком-
плексные, называется замкнутой потому, что в ней все прямые и
обратные действия (за исключением не имеющих смысла деления
на О и извлечения О-го корня) приводят к числам той же числовой
области.
5»
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Рациональные целые и дробные
Функции.
§ 1.	Пределы.
320.	Дан ряд чисел 1,	и т. д.
а)	образовать суммы, пользуясь следующим обозначением:
8Х = 1; s,= 14--i;	+	s4 = Vb + 4 +
и т. д.
Вычислить значение этих сумм
б)	Вычислить разности 2 — Sp 2 — s2; 2 — s3 п т. д.
Дать общий вид выражения разности.
321.	В выражении:
&к~ 2	2*-»
указать постоянное число и переменные числа.
Какая существенная разница между этими переменными?
322.	Возможно указать число, меньше которого не может
быть 2^-, при условии безграничного возрастания числа ~к
323. Может ли то же выражение при каком-либо из зна-
чений к обратится в нуль?
324 Каким условиям должна удовлетворять велнчина-
чтобы ее можно было назвать бесконечно-матой.
— 69 —
325.	Дано выражение где х принимает значе-
ния	и т. д. Можно ли- указать число, больше
которого не может сделаться это выражение?
Какая величина называется бесконечно-большой?
326.	Может ли выражение 8к в задаче 2 при каких-либо
условиях достичь значения 2.
Что называется пределом?
327.	Показать, что число, выражающее длину окружности,
можно рассматривать, как предел чисел, выражающих длины
переметроь многоульников с одинаковым числом сторон—
одного вписанного, — другого описанного около данной окру-
жности.
328 а) При каком значении х может иметь место нера-
венство
У
если у есть величина безконечно малая, а п некоторая
конечная величина.
б) Каким числом изобразится предел бесконечно малой
величины1-'
329.	Показать, что сумма и бесконечно малых величин,
при конечном значении п, есть величина бесконечно малая,
330.	Доказать, что разность бесконечно малых величин
есть величина бесконечно малая)-
331.	Полагая в задаче 12 Е= Е, = Е2= • • • =ЕЛ_„ пока-
зать, что произведение бесконечно малой величины на
конечную есть величина бесконечно малая.
На основании каких соображений произведение конечной
величины на бесконечно малую должно оказаться величи-
ной бесконечно малой?
332 Основываясь на результате предшествующей задачи
и на основным соотношении между элементами деления
показать, что -g= бесконечно малой величине.
333.	Что делается с частным, если при постоянном зна-
чении делимого делитель убывает?
Что будет с частным, если при тех же условиях дели-
тель безгранично убывает^
— 70 —
Какой величиной изобразится частное от деления конеч-
ной величины на бесконечно малую?
К
Ч°му равно частное > где 1: есть величина постоянная?
334.	1) Если х = А 4-Е, где х переменная, А постоянная
и Е бесконечно малая величина, « з/ = 2?4-Ер то показать,
что я 4" У—+ + тде есть т0 же некоторая беско-
нечно малая величина.
2)	Доказать, что х — у = (А — В) 4" Е-
3)	а) Доказать, что ху = АВ-]-^.
б)	Распространить задачу а, на любое конечное число
сомножителей.
в)	Полагая х = у = г — и т. д. установить теорему о пре-
деле степени.
4)	Пользуясь равенством
х__Л.А + Е А
у В ' Д + Е,-5
установить теорему о пределе частного.
§	2. Функции первой и второй степени. Произв'дная.
335.	Построить графику функции ?/ — 1;х-\-Ъ (напр., при
7с —2. & = 1); вычислить значение функции при х= 1, xi — 2.
х2 = 3, х3 = 4. Вычислить приращения функции у: уг — у, у2 — у,
Уз — У> соответствующие приращениям независим переменной
хг — х=1, х2 — х — 2, т3 — х = 3, если под у разуметь зна-
чение, соответствующее значению независимой переменной
х— 1. Чему равны значения отношений:	У2~у. ?
На основании графики функции объяснить тот факт, что
значения этих отношений одинаковы Вычислить значение
этого отношения для произвольных значений хг и х =£х).
Какой геометрический смысл имеет найденное отношение
приращений?
336.	Построить графику функции у=х"~. Полагая а?=1,
хг = 2, х2 — 3, ж3 = 4, вычислить значения отношений прира-
щений: Уз ~у, У2	; построить на чертеже точки с
#3 — X 1 Х<2 — X Xi — X ’	r
координатами (.г, у), (xlt уг), (х2, у2), (х3 у3); соединить
точку (х, у) с остальными построенными точками прямыми
— 71
и указать геометрический смысл отношения приращений;
почему значение ©тих отношений оказываются различными?
Найти общее выражение отношен,1Я приращения функ-
ции у=х2 к приращению независимой переменной, сокращая
выражение на разность хг — х.
337.	Подобным же образом найти выражение отношения
приращения функции к приращению независимой перемен-
ной = для Фикций;
/ \ «Л/	«Л.
1) у=х;	2) у = 2х;	3) «/ = 2.г4-3;	4) у = 2х— 3;
5) у = 2лх; 6) у = 2х'г;	7) у = |-.г’2;	8) у ==^х--\-2.
338.	Определить отношение приращений функции
у=х2 для точки, абсцисса которой х=з. Абсцисса другой
точки получает последовательно значения з-1 = 0; 1; 2;
2, 9; 2, 99;... Вычислением и, насколько окажется возмож-
ным, на чертеже выяснить, к какому ^пределу стремится
отношение , если расстояние подвижной точки от непо-
движной неограниченно уменьшается. Вычислить отноше-
ние приращений, принимая х = 3, a Oj = 5; 4; 3,5; 3,1; 3,01.
Показать, что и в этом случае отношение приращений
стремится к тому же пределу.
339.	Вычислить предел отношения приращений lim =
= lim ?/| (производную) для следующих функций [произ-
водная функции у обозначается посредством у; производная
функшы f(x) обозначается посредством f(x)]:
1) у =
3) у — ах:
5) y = x-j-4;
V У = |+ /2;
9) у = 2х2;
11) у—ах2-,
13) у = х2 + 2;
2) у — 2х’,
4) «/ = 2пж;
6) У~— 3a:-f-2;
8) у = ах 4-
ю)
12) у = 4т:яг;
U) з/ = --4;
— 72 —
339. 15) у= д-4-й;
17) у=х~— 2ж-}-3;
19) у = ах2 -J- Ьх\
21) у = ах2-\-Ъх-\-с;
16) у = х2-\-х',
юч	X2 \ х 1
18) у = — у + з~ 2
20) у — х2рхq\
22) У — „2 + ь +с.
340.	Вычисляя значение производной, определить углы,
образованные при графическом изображении функций:
1) y — f>, 2) з/=уо касательными, проведенными в точ-
ках 0, ±1, +2, ±3, ±4, ±5, ±6 с осью х, если за
положительное направление касательной принять 1) напра-
вление, в котором возрастают ординаты; 2) направление,
в котором возрастают абсциссы. Воспользоваться si ими дан-
ными для более точного построения график функций
341.	Определить для функций, данных в задаче 339,
тангенс угла, образованного при графическом изображении
функций касательными в точках: 1) х = о, 2) ж = -|-1,
3) х~—з с осью xf если за положительное направление
на касательной и на оси х принять то, в котором возра-
стают абсциссы.
Minimum и maximum целой функции второй степени
342.	Начертить графики следующих функций и их произ-
водных:
1) у=х2-,
3) у=х2 — 1-
5) у — х2— 5х -}- 6;
7) =	— х — 6;
9) у = х2— 2х 1.
2) у = х2-\- 1;
4) у = ж2-р 2х-ф-1;
6) 3/ = ж24-5ж-}-6;
8) у = х2-\-х — 6;
Как располагается графика производной в той обла-
сти значений х, в которой с возростанием х функция у
а) убывает, б) возрастает? Какой знак имеет значение пр< из-
вод ной в той области изменения х, в которой функция
а) убывает, б) возрастает? Почему? Где лежит точка графики
производной, соответствующая наименьшему значе-
нию у? Как располагается касательная к кривой y=f(x) в
— 73 —
этой точке? Почему значение производной должно в этой
точке равняться О?
343.	Проследить, как меняется с изменением (возраста-
нием) х тангенс угла, который образует с осью абсцисс
касательная, проведенная к данной кривой у — х2— 2 в
точке с абсциссой х. 1) Указать наименьшее абсолютное
значение, которое получает при этом тангенс, а вместе с
ним и угол, и определить, при каком значении х получается
это наименьшее абсолютное значение. 2) Какое значение
принимает при этом сответствующее у? 3) К какому значе-
нию стремится тангенс и к какому значению стремится
угол, если х стремится к а) -J-оо, б) — со? Все во-
просы решить, как вычислением, так и из рассмотре-
ния чертежа.
344.	Определить minimum (значение переменного неаа
висимого, которое соответствует наименьшему значению функ-
ции и значение самой функции) следующих функций:
1) 2/==<2_|_2;	2) 3/=—гг2— 3;
3) у = 3х2—1;	4) у — х2 Ваг;
5) y = ^-j-2x;	6) у = 3ж2 — х;
7) y = x2-j- Зх-}- 4;	8)	у = х2—4а; -]- 2;
9) у = 2х2— ^-}-4;	10)	у-\-2х2— 8х-}- 1;
11) т/ = ^-|-а; — 17;	12)	10а;2+10*+7;
13) у = (а — х2) + (6 + *2);	14)	у = (9— За;)2 — (1—2а;)2;
15) У = (« —*) (6 — *);	16)	у = (а;4-а) (а; + &).
345. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
y = x2-j-px-j-q
п значениями т и п координат точки, в которой функция
достигает своего minimum’a (вершина параболы)?
34-6. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
у = ах2 + Ъх + с
— 74 —
нри а>0 и значениями тип координат точки, в которой
функция достигает своего наименьшего значения?
' 347. 1) В функции
У = я2-|-+ 2
заменить независимую переменную х посредством х', гдр>
х—х'-}-т. Какое значение следует придать т, чтобы полу-
ченная функция переменной х не содержала члена с пер-
вой степенью независимой переменной? 2) Какой геометри-
ческий смысл имет такое параллельное перемещение си-
стемы координат, соответствующее подстановке я=а/Д-т,
где т имеет найденное выше значение? Где лежит вершина
параболы в преобразованной системе координат? Как распо-
лагаются относительно начала в этом случае точки пересе-
чения кривой осью х"?
348. Какие значение должен иметь коэффициент р функ-
ции второй степени y=x2~\-px-^-q, если minimurn ее соот-
ветствует значению х: 1) жт = 2, 2) хт = — 3, 3)жт=о,
4) хт=а. Написать для каждого случая общее выражение
функции.
349. Какой вид (т.-е. каковы значения коэффициентов
р и q) имеет функция второй степени
y = x2-\-px-\-q,
minimum которой имеет место при
1) *m=1 и Ут = — 3;	2) жт=0 и уп = — 2,5;
3)	*т=+Ь5 И ?/т = + 2;	4) хт=р и ym = q?
350.	Исследовать, какое соотношение имеет место между
дискриминантом уравнения х2	+ q = 0 и минимальным
значением функции
г/==а;2_|_Гд;_|_д,.
351.	Чтобы определить minimum функции второй степени
y = x-]px-\-q,
поступают следующим образом: решают уравнение х2-]-рх-]-
—у=0 относительно х и приравнивают дискриминант
этого уравнения нулю. Обосновать правильность такого при-
ема и показать на графике, какой геометрический смысл
имеет такое обращение дискриминанта в о.
— 75 —
352.	Уравнение ж2 -f-jpa;-J- <?=О можно регги гь графически,
пересекая параболу у=х2 прямой у -\-px-\-q-Q. Какоэ не-
равенство или равенство должнп существовать между р и q,
чтобы парабола и прямая имели: 1) две общих точки.
2) одну, 3) не имели ни одной общей точки? Показать, что
в случае одной общей точки прямая является касательной
к данной парабол*1.
353.	По графикам определить точки, в которых произ-
водные следующих функций получают значение 0:
1)	2) 3/ = -2х2-|-3;
3) у = — х2 -j- 2х — 1;	4) у ——ах2 -}- Ъх -ф- с при t£>0;
5)	у = (8— 2х)2— (1—з-г)2; 6) у = (х — а) (Ъ— ж).
Как следует назвать в этом случае то значение функции,
которое соответствует обращению производной в о?
354.	Во скольких точках ось х пересекает графику функ-
ции
у = — ах2 -J- Ъх ф- с,
если а есть положительное число, и если значение maxi-
mum’» ее: 1) положительно, 2) равно нулю, 3) отрицательно?
355.	Какой вид имеет функция второй степени
У^~ x2-\-px-Yq,
если она достигает своего maximum'a при значении.
1. 2)ят = -3?
356.	При каких значениях и какого из коэффициентов
целая функция второй степени
у = ах2 -ф- Ъх -ф- с
1) имеет minimum, 2) имеет maximum?
357.	Имеет ли линейная функция maximum или minimum
или нет? Почему?
358.	В следующих задачах воспользоваться тем, что
производная пройденного пути по времени равна скорости.
При этом, конечно, путь рассматривается как функция вре-
мени.
— 76 —
t)	Путь, пройденный свободно падающим телом, опреде-
ляется формулой
Определить скорость падения: 1) по истечении 1, 2) 2,
3) 3,2 секунды после начала падения (</ = 9,81, если s дано
в метрах, I — в секундах).
2) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вниз
с начальной скоростью с, определяется формулой
s = ct-\-^qt2.
Определить скорость, если с = 12,5 мр. в секунду: 1) че-
рез 1, 2) через 3) через 2,5 секунды.
3) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально
вверх с начальной скоростью с, определяется формулой
S = d —
Определить скорость тела: 1) через 3 секунды, 2) че-
рез^-сек. 3) Сравнить скорости в момент^- — t и^-4-t
Задачи на maxima и minima.
359. 1) Какой высоты достигает тело, брошенное вер-
тикально вверх с начальной скоростью с, т.-е. при каком
значении t выражение пути s—ct—112, пройденного телом,
достигнет своего maximum’a? Определить значение этого
maximum’a.
2) Отрезок в 100 мр. длиною разделить на два таких
отрезка, чтобы площадь прямоугольника, построенного на
этих отрезка-*, была наибольшая.
в) Разделит!- отрезок, длиною в 24 мр. на такие две
части, чтобы сумма плошацей квадратов, построенных на
этих отрезках, была бы наименьшей.
4)	На какие слагаемые следует разбить число а, чтобы
произведение их было наибольшее?
— 77 —
5)	Какой из прямоугольников с одним и тем же пери,
метром имеет наибольшую площадь?
6)	Какой из всех треугольников, сумма основания и
высоты которых равна а, имеет наибольшую площадь? Как
велико это значение площади?
7)	Насколько следует уменьшить большую сторону а пря-
моугольника и увеличить мёныпую сторону Ь, не изменяя
при этом периметра, чтобы площадь прямоугольника дости-
гла своего maximum’a? Определить площадь нового прямо-
угольника, и узна гь, насколько она больше площади перво-
начального прямоугольника.
8)	Узнать для какого треугольника АВС с основанием а
и с соответствующей высотой Л выражение ABz-j-ACt дости-
гает своего niinimuiii’a (за независимое переменное принять
один из отрезков основания).
9)	Сумма двух сторон треугольника, образующих постоян-
ный угол а, равна s. Какие значения должны иметь эти
стороны, чтобы площадь треугольника достигла своего
mixiiMum’a?
10)	Квадрат стороны треугольника, лежащей против угла
а, имеет следующее выражение
«2 = 62-|-с2 — 2Ъс cos а
где Ъ и с пве другие стороны. Исследовать, при каком значе-
нии Ъ г получает предельное (наибольшее или наименьшее)
значение, если а и с постоянны, а Ъ рассматривается- как
переменное.
Решить, будет ли это предельное значение maximum’oM
или miuimum’OM, и указать геометрический смысл найден-
ного решения.
11)	Вписать в данный круг прямо-
угольник с наибольшей площадью.
12)	В данный круг вписать прямо-
угольник с наибольшим периметром.
13)	В данный треугольник вписать
прямоугольник с наибольшей площадью.
См. фиг. 4.
14) На сторонах прямоугольника, периметр которого
равен 2^, построены: а) квадраты, б) равносторонние треу-
— 78 —
гольники. Определить, при каких значениях сторон прямо-
угольника площадь всей фигуры достигнет своего maximum’a.
15. Дан центр круга с переменным радиусом. Вре круга
дана точка А. из которой проведены две касательные АЪ
и АС. При каком значении радиуса хирда ВС будет иметь
наибольшее значение?
§ 3. Целая рациональная функция третьей степени.
360. Построить графики следуюших функций 3-ей сте-
пени, построив предварительно возможно больше отдельных
точек кривой.
1) yz=a;3 — 4,
3) у = х3-\-2х1 2— а? —2;
5) у = х3-\-2х3 — 5® —6;
7) у — х3— ж2-}-1;
2) у = (х — 2)3;
4) у = а;34-За-24-За;-}-1;
6) у = х3 — 2х2 — х -J- 2;
8) у — x3~l-2x2-j-x-j-2.
361 Указать целые значения х, между которыми распо-
ложены корни (нули) следуюших функций:
1) у = х3— 2Х3 — 10;
3) у — х3 — 17ж-|-100;
5) у = 2х3 — Зх2—7ж-}-5;
2) у — х3— Зж-}-7:
4) у = х3—9х -}- 5;
С) у = Ьх3 — 7я3-}-3.г-}-().
362. 1) Вычислить отношение приращения А у функции
к приращению независимой переменной Д х для функции
у — х3, пользуясь формулой:
_ ?/< — у
/\Ж iC, —X
и освобождаясь от знаменателя сокращением дроби на
х^ — х.
2. Составить выражение производной функции у=х3,
полагая
у = lim z .
Ах-
363. Определить значение производной: 1) функции у—х3,
2) функции У = ^ при: а) ж = 0, б) ж = ±1, в) ж = ±2,
г) а-=Ч=з и указать расположение касательной, приведен-
ной к кривой в каждой пз этих точек.
— 79 —
364. Найти производные следующих функций:
1) у = 2х3;	2) = ;
3) у = 3 ПХ3;	4) у — \^ 2.x3;
5) у = цх3; 7) у = х3+х3; 9) у=х3—12ж-}-5; 11) у = х3— х2—16ж	10; 13) у = х3—lite2—16ж—98; 15) у = х3 — х2— 4х -J-- 4; 17) у — х3 -|- ах2	Ьх -|- с;	6) У = а-Х^ 8) у — ах3 -J- Ъх; 10) у=2х3— 9ж2-[- 12х— 2; 12) у = х3 — 13а;2 — 64ж-|-32; 14) у — х3 — 12гг2-]-45ж— 10; 16) у = 2х3-\-Зх2 — Зх — 2; 18) у = ах3 Ъх3 -J- сх -J- d.
365 Най 'и производные следующих функций:
1)	у = а:3 [-зг
2)	»/ = ж34 3
3)	у = 2ж3
4)	у = 5ж3
5)	2/ = (ж-}- I)3
6)	2/ = (-с+ I)3
7)	у — х3
и	у - х3 — х;
и	у — х3 — 3;
и	у = — 2х3; 2?3
и	У=т-
и	у = (х—Л)3;
и	у = (ж 4-2/;
и	у = (2ж)3.
Maxima и minima функций.
366 1) Как располагается касательная к кривой, пред-
ставляющей функцию в той точке, в которой функции
(ордината кривой) имеет maximum или minimum? 2) Какое
уравнение придется составить, если воспользоваться выра-
жением производной для отыскания тех значений независи-
мой переменной, при которых функция третьей степени
достигает maximum’a или minimum’a? Какой степени это
уравнение? Сколько суще ствует значении независимой пере
менной, при которых может быть maximum или minimum
функции 3-ей степени? Всегда ли обращение в 0 первой
производной соответствует наибольшему или наименьшему
значению функции?
Чтобы ответить на поставленные вопросы, рассмотреть,
а) кривую у = х3, б) кривую у — гс3-|-3^ в) у=х3— З.г;
2) имеет ли функция maximum или minimum, когда корни
— 80 —
уравнения, получаемого при обращении в 0 производной:
а) действительные и различные, б) действительные и рав-
ные, в) мнимые?
367, Исследовать, имеют ли следующие функции maxi-
mum или minimum; если имеют, то определить соответствую-
щие значения независимой переменной и вычислить значения
функций. Выяснить, в каком промежутке при исыенении
независимой переменной от — со до со производная положи-
тельна? отрицательна? Как изменяется в каждом из этих
промежутков самая функция - В каких промежутках она
возрастает? убывает?
1) у = 2х3-]-х2;	2) у = х3 ф- х;
3) у — х3;	4) у = х3 ф- За-- ф- За- — 7;
5)	1) (а—2) (х—3); 6) у = (х — 1) (хф-3);
7) у — х (х2ф-а; ф-1);	8)	у=(х— 1) (х2ф-1);
9) У = (* - 1) (а* -1);	10)	у = (х ф-1) (а- ф-1);
11) у == а;3ф-9а:2ф-21х— 5, 12) у = х3— 6а:2ф-12а:-]-3;
13)	у = х3 ф- ах ф- Ъ,	14)	у = х3 ф- ах2 ф- Ъх;
15)	у = (х — а) (а; — 6)г;	16)	— а) (х — Ъ) (х — с);
17)	у = (х—а)3ф-(а;— Ъ)3;
18)	у = (х — а)3 ф- (х — Ъ)3 ф- (х — с)3.
368.	Каким условиям должны удовлетворять коэффи-
циенты р и q функции 3-й степени	,
^^а^ф-ратф-д,
если функция имеет один minimum п один maximum при:
1) *m = ±3,	2)a;w = ±l	3)xm = ±L
(Почему положительные значения х соответствуют mini-
nium'y, а отрицательные — maximum’y?)
369.	Каким условьям должны удовлетворять коэффи-
циенты функции з-й степени
у — х3 ф- ах2 -}- Ъх ф- с,
1) если она имеет один minimum и один maximum соответ-
ственно при х = 2 и при х — — 3; 2) один minimum при
# = ф-1 и один maximum при х —— 1: 3) один maximum
— 81 —
при a-m=n и один minimum при rrm=wz. Какому соотноше-
нию должны удовлетворять т и п, чтобы выполнилось
условие 3?
370.	Какой вид должно иметь выражение функции
у = х3 J- а.г2 -ф Ъх-\-с,
если 1) функция удовлетворяет условию 1 предыдущей
задачи и, кроме того, кривая, соответствующая функции,
проходит через начало? 2) выполнено условие 2 преды-
дущей задачи и функции при ж=1 принимает значение
у=1; 3) выполнено условие 1 и при этом значение mini-
mum’a=3; 4) выполнено условие 3 и при этом maximum
имеет значение Л?
а»
Вторая производная.
371.	Представить графически функцию
у = х3 — За? —|— 2
и ее производную относительно той же самой системы
координат. Ту часть график, где функции убывают с воз-
растанием независимой переменной, вычертить черной крас-
кой, а ту, где функции возрастают — красной. Исследовать,
возрастает ли или убывает производная функция при том
значении независимой переменной, при котором ее началь-
ная функция имеет minimum. Исследовать то же самое
относительно niaximuiu’a.
372.	1) Исследованием направления касательной по-
казать, что при том значении независимой переменной,
при котором функция третьей степени имеет minimum,
производная возрастает с возрастанием независимой пере-
менной. 2) Исследованием направления касательной пока-
зать, что при том значении независимой переменной, при
котором функция третьей степени имеет maximum, про-
изводная функция убывает при возрастании независимой
переменной.
373.	1) Составить для функции
у X3----З.Г т- 2
Сокращен, хборннк уора.ка. и задач. Ч. НЕ.	6
— 82 —
вторую производную (т.-е. производную от производной).
2) Вычертить также графику второй производной так, как
это указано в задаче 372. Какие части графики будут
изображены черным цветом и какие — красным?
374.	Показать, что при том значении независимой пере-
менной, при котором функция имеет minimum, вторая произ-
водная—положительна, а при том значении х, при кото-
ром функция имеет maximum, вторая производная — отрица-
тельна.
375.	Какими особенностями обладают графики функции
и ее первой производной в той точке, где вторая произ-
водная обращается в нуль? Составить уравнение касатель-
ной к кривой в этой точке и построить эту касательную.
Как располагается кривая в этой точке относительно каса-
тельной? Почему эта точка называется точкой пере-
гиба?
376.	Для следующих функций вычертить их графики
и графики 1-й и 2-й производных и показать в каждом
случае, что по знаку второй производной можно решить,
будет ли кривая обращена своей выпуклостью вверх или
вниз (в направлении возрастания ординат и в направлении
их убывания). Что происходит с изгибом кривой в той
точке, для которой вторая производная обращается в нуль?
1) у = 3.г3;
...	Х‘2 । Зх
3) у-=-4 ---4 - 1;
5) у-=х”;
х'3
—6 ’’
9) у = х3- Зл-2 + .г— 1;
11) у = х3 -ф- З.г2 -ф- Зх— 2;
13) у = х3 + Зх2 -|-9х4- 2;
15.) у=(х — 2Я (г 4-2);
2) у = -2х1 2 3;
4) У = —у4 2х —2;
6) ?/ = — г3;
8) у = -
jO) у=^х3— х2 — 4./’4- 4;
12) у- г3 — Зг 2;
14) У - (х-1)3;
16)	—1)(г4-2)(г —3).
377. Для следующих функций, не пользуясь их гра-
фиками, а исключительно с помощью исследования первой
и второй производной, найти их maxima и minima и
выяснить, при каком значении х функция имеет maximum
и при каком — minimum. Коэффициенты а, Ь, с считаются
 положительными.
— S3 —
1) у = ах2-\ Ъх;
3) у = ах2— Ъх;
5) у = ах3-\-Ъ;
7) у = ах3 j-Ъх2;
2) У —— ax24~Lr;-
4) у —ах2— Ъх с;
6) у = — аг3 -]- Ъх;
8) у = ах3 — Ъх.
Точки перегиба и касательные в точках перегиба.
378. Определить: 1) координаты точки перегиба и 2) по-
ложение касательной в точке перегиба (указать угловой
коэффициент) для следующих
1)2/ = .г3 — х2 -] - 2х	1;
3) у = 2х! — 3x4-25;
5) У -(г — 1)(г — 7)(.г4-5):
7) У = (<-— 3)2(х— 10);
9) 2/ = (х |-1)34-и—1)3:
кривых:
2) У = g — *2 4- 4~ 16;
4) 2/==Ю<-3—15х—11;
6) у = {х — 6)(х4-7).г;
8) г/ = (х4-2)2г; '
10) у - (2х	I)3 —(s> — 2)3.
379. Для следующих кривых (кубических парабол) опре-
делить: 1) положение точки перегиба, 2} угловой коэф-
фициент касательной в точке перегиба:
1) 2/ = .г3 ’ ах2 4-6x4- с;
2) у «.с3 1 Ъх2 -}- сх (I,
3) 2/=^ж3-' рл -]-5.
380.	Функции третьей степени могут быть разделены
на 2 типа, при чем функции одного типа не имеют maxi-
niuni'a и minimum а. а другие имеют один maximum н один
minimum. Каким неравенствам удовлетворяют коэффициенть
функции
2/=x3-lf-«x3 -Ъх- -j-c
в том и другом случае?
Какими свойствами будет обладать функция, если нера-
венства. характеризующие каждый тип, перейдут в равенство?
381.	Каким условиям должны удовлетворять коэффици-
енты функции 3-й степени
у=а13 4 ах2 4 Ъх -J с,
О’
— »4 —
если эта функция должна иметь точку перегиба при 1).г = 1,
2)	3) ж = —	4) x=w.
382.	Каким условиям должны удовлетворять коэффи-
циенты функции 3-й степени
у=я-3	«я2 -J- Ъх с,
если эта функция
1) имеет точку перегиба при х ——1, а касательная в
точке перегиба параллельна оси в?
2) если функция имеет точку перегиба при х= — а
касательная в этой точке образует с осью х угол в 45°?
383.	Каким условиям должны удовлетворять коэффи-
циенты функции третьей степени
у = ,г3 ax'2 - Ъх с,
если 1) точка перегиба и касательная в этой точке удовле-
творяют первому условию предыдущем задачи, и при этом
функция в точке перегиба получает значение 2; 2) точка
перегиба и касательная в этой точке удовлетворяют второму
условию той же задачи, и при этом кривая проходит
через начало?
Геометрические приложения.
384.	1) Из всех конусов, для которых сумма радиуса
основания и высоты есть величина постоянная, какой будет
иметь наибольший объем.
2)	В данный шар вписать прямой цилиндр с возможно
большим объемом
3)	В данный шар вписать конус с возможно большим
объемом.
4)	В полусферу данного радиуса вписать конус так,
чтобы объем его был наибольший, а вершина располага-
лась в центре основания.
5)	Вписать в шар конус с наибольшим объемом и с
вершиной, лежащей внутри шара в точке Р. (Положение
точки Р определяется расстоянием а ее от центра шара).
Изменяя в окончательном результате расстояние а от 0 до г,
рассмотреть связь полученного решения с решениями
задач з) и 4).
— 85 —
6)	Имеется прямоугольный кусок картона длиною в 2а
см. и шириною в Ь см. Из его углов следует вырезать квад-
раты так, чтобы из оставшейся части картона можно было
сделать открытый ящик наибольшей вместимости. «Для
вычислений а =25, 6 = 17). Определить размер этих квад-
ратов.
Если от значения независимой переменной х мы переходим к зна-
чению xv то разность хг—х называется приращением независимой
переменной и обозначается либо
х7 — х = Д х, либо х, — ос = h.
Если при значении независимой переменной х значение функции
было y=f(x), а при значении незагисимой переменной х, значение
функции было у1 —f (х,), то разность
У1— V-fib) —/(*) =/(« + Л х) —/ (х) =/(х 4- Л) — Дх)
называется приращением функции и обозначается:
У г — У = Л У;	+ Л «О —/И = Л /(«) 
Для линейной функции у = кх -}- Ъ отношение приращения
функции к приращению независимой переменной имеет постоянное
значение (не зависящее ни от того, при каком значении х мы вычи-
сляем это -тношение, ни от того, какое значение имеет Дх) и
равно угловому коэффициенту прямой, представляющей функцию
у = кх + Ь.
fl,i я функции второй степени у = ах? + Ьх с отношение
представляет величину переменную, зависящую 1) от того, каково
то начальное значение х, которому дается приращение Дх и 2) от
того, какое значение мы даем приращению Дх.
Если значение Дх неограниченно уменьшать, то для функции
у = ах2 + Ьх с приближается н некоторому пределу, равному
2ax-j-b, называемому производной этой функции. Производная
квадратного трехчлена ?/=ах3 + &х-}-с сама представляет неко-
торую функцию х: она зависит от х, но уже не зависит от значе-
ния приращения.
Производной (первой ироизводной) данной функции при заданном
значении х называется предел, к которому приближается отношение
86 —
приращоний, которые получают функция и независимая перемечная
*	/\У
при переходе последней от аг к х-, ^-- = —— при неограничен-
/\Ж	Ж। —“Ж
ном уненыпении Дос.
И
У = !im
Дх о
= !im
f (,r) = lim
Дх -> о
ДЛЯ»]
. л» J
= lim
-> X
/г-с> —/'•» 'I
— a? J
— lim
Д® -> о
Дж
= lim
Л-» о
Цх +'Л) — /(.г)
л
-» х
Значение производной при заданном значении ос является в то
же время значением тангенса угла, образуемого с осью оа касатель-
ной, проведенной в соответственной точке кривой, представляющей
функцию.
При тех значениях гг. при которых производная положительна
(касательная к кривой образует положительный острый угол с осью х),
функция возрастает с возрастанием ж; при тех знаие-
ниях х, при которых производная отрицательна, функция убывает
с возрастанием х.
Если при некотором значении х производная обращается в 0. то
касательная к кривой оказывается параллельной оси х. В этом случае
функция второй степени у = ах2-}-Ьх-}-с достигает своего mini-
mum’a (при «>О) или maximum’a (при «<0).
Производная первой производной данной функции называется
второй производною этой функции.
В области тех значений х, при которых вторая производная
положительна, кривая, представляющая функцию, обращена выпук-
лостью вниз (в сторону убывания ординат); в области тех
значений, при которых вторая производная отрицательна, кривая об-
ращена выпуклостью вверх (в сторону возргстания ординат)*
В той точке (при том значении х), где кривая у=/(э) имчет
точку перегиба вторая производная функции у равна 0.
Функция y=f(x) достигает maximum’a при том значении х,
для которого f (sr) = O, a f (ж) <0. Функция »/=/(») достигает
minimum’a при том значении х, для которого / (г) = 0, а /"(х)>0.
Функция может и не иметь ни maximum’a ни mirjmu'n'a при
Г(О = 0.
— 87 —
§ 4.	Некоторые общие свойства целой рациональной функции
(многочлена) л-ой степени. Теорема Безу и ее приложения.
Корни уравнения п ой степени.
385.	Разделив многочлен .rs — 5 г4 4 Зг3 -|- э.г — 8 на .г — з,
выразить делимое, т.-е. данный многочлен, через делитель,
полученное частное и остаток. Какое значение должна
принять правая чагть написанного тождества при замене
х значением 3? Как, по производя деления, можно узнать
значение остатка от деления данного многочлена на х—|
(принять во внимание то выражение, в которое обратится
левая часть написанного тождества)? Не производя деления,
узнать остаток от деления данного многочлена на: 1) х—2,
2) х — 1. Чему равен остаток в последнем случае? Что можно
сказать про делимость данного многочлена на с— 1?,
386.	Обозначая частное от деления многочлена
/*„ О') = «о*'1 4- «г’”1-1 4	+ •  • + «л-т^-г «п («О ¥= 0) на
двучлен х—я через	(х) — o0.r" -1 -|~ 6rzn-2 4- &2.г«-3 4- — +
-|-6п чг+йл-1> и остаток через II, выразить многочлен fn (,<•)
через х — я, fn-y (г) и 1?. Почему частное от деления fn (х)
на х—а, должно быть п — 1 степени? Почему старший
член этого частного имеет при себе коэффициент, равный
«о? Содержит ли Ji в своем выражении х или нет? Почему2
Какой вид принимает написанное тождество при .г=я?
Как выражается И через коэффициенты многочлена fn (г)
и через значение а? Что можно сказать о делимости много-
члена на .г — а, если результат подстановки а вместо х в
выражение f„ (х) обращается в О?
387.	Не производя деления, исследовать делимость выра-
жений хт— ат и хт-[-ат на х—а и к-j-a. Какой вид имеет
частное при делении на х—а? на .гЦ-а?
ЗР8. Показать, что если а есть корень функции
У =	+ ai гп~г 4 «2ГП-2 + •• + «« 1 г 4 °п,
т.-е. если
У„=спа" 4-	4 а ,я” -г -4-... 4-	4 ап -= - О,
то у делится без остатка на х— а. (Рассмотреть для этого
выражение У—у — аг).
— 8? —
389.	Показать, что если а, есть корень функции
У = fn (•’•)> где f„ (г) =• аог" +	1 4- а2гп 2	• • .+
то !/=fn(>)=(г— о,)fn j(z), где fn j(z) есть некоторая
функция п— 1 степени
390.	В высшей алгебре доказывается теорема, что веяное
уравнение н-ой степени имеет, по крайней мере, од< н действительный
или комплексный корень. На основании этой теоремы показать,
что целая функция м-ой степени (многочлен) 1) имеет п
корней 2) может быть представлена в виде:
Л. (*) =- V + а1жП ? + «2ГП 24-•  • + «п — ir 4- =
= а0 (.г —	(.г — аг) (г — а3)... (г — ап), где ап а2, а3,... ав
корни функции; 3) что между коэффициентами уравнения
и корнями существуют соотношение (теорема Виета):
а.+а2 + “з + --- + а" = —
aja2 + ага3 + а2а4 + a2as +... + ап-гап = %,
W + а2а3а4 +... + а^а^а = — g,
<WV--	=
391.	1) Какой вид примут написанные соотношения для
функции:
ул=*"4-H-tv"-2 4- • • • 4-Л-гг 4-
2) Какой вид должно иметь уравнение n-ой степени
если один корень его равен 0? два корня — О?
392.	1) Показать, что если p-\-iq есть комплексный ко-
рень уравнения с действительными коэффициентами:
«о®„ 4-	4- а2г" 2 4- • •  + «п-i*4- ап=о.
то и p — iq должно быть также корнем этого уравнения.
2) Может,, ли быть нечетным число комплексных корней
уравнения п ой степени с действительными коэффициента ми
или нет? Почему? 3) При каком значении п уравнение
«г-ой степени наверное имеет, по крайней мере, один дей»
ствительный корень?
— 89 —
393.	Составить многочлен порой степени, на который
делится без остатка функция я-ой степени, если одним
корнем этой функции оказывается:
1) К
5) 2-]-г;
2J 1 -|-г;
6) 3—г;
3) 1 — г;	4) 1	2г;
7)	зг;	8)р+<?г.
394.	Составить уравнение второй степени с действитель-
ными коэффициентами, корнями которого служат:
1) й
3) 2 —г;
4) a -j- 6ч.
395.	Составить уравнение третьей степени с действитель-
ными коэффициентами, корнями которого служат:
1) Зиг;	2) — 1 и г 4-1;	3) 1 и 2 — г;
4) О И 1 4~ Й	5) — 2 И 1 -j- г;	6) — 2а и а 4- bi.
396.	Составить уравнение четвертой степени с действи-
тельными коэффициентами, когнями которого служат:
1)	i И 1 4- г;
4) Зг И 2г;
2)	1+г И 1—2г;
5) аг и 6г;
3)	2 4 г и 1 4" 2г;
6) а bi и р ф- qi.
многочлен пятой
степени с действи-
которого служат: 1,
397. Составить
тельными коэффициентами, корнями
1 + i
1, —/Т и КОТОРЫЙ обращается в 1 при х=о.
Рациональные (целые) корни уравнения ??-ой степени.
398. Па основании теоремы Безу и последней
мул Виета решить следующие уравнения:
из фор-
1) ж5 - .г* — 12а3 — 53а3 4- 65а = 0;
2) х5 — а1 2 3 4 5 6 7 8 = 0;
3) а3 — 7а 4~ 6 = 0;
4) а;3—7лг4-16х—12 = 0;
5) а4 — 2.г3 -j- 2 а2 2а 4- 1 = 0;
6) а-5 — а4 — 5а3 4~ 5а2 4" 4 а — 4 = 0;
7) -а5 4~ а:4 — 2а3 — 2 а2 4- х 4~ 1 = 0;
8) а5 — 5.г4 — 13а3 4~ 16а2 4- 36а —180 = 0.
399. Составить уравнение с действительными коэффи-
циентами (возможно низкой степени), корнями которого
служат числа
90 —
1) 1, 2, 3;	2)	1, 2, 1-4-t;
3) 1,-1, 0,	2,-2;	4)	i, 4,-4;
5) 2, I 1, ?;	6)	5, i, 1-f-i;
7) двухкратный корень = 1	и трехкратный - —1;
8) 3 и —3 являются трехкратным корнем каждый.
400.	Показать, что если уравнение
4. Р1 1 4 2,2.cn-2 _j-... Рп_гг +	= о
не имеет целых корней, то оно не имеет и рациональ-
ных корней [положить .г $ (где q и з целые числа) и,
умножив члены уравнения на s’1"1, свести к равенству нулю
суммы дроби и целого числа].
§ 5.	Уравнение третьей и четвертой степени.
401.	Сколько корней имеет уравнение третьей степени?
Может ли существовать уравнение третьей степени с
действительными коэффициентами, все корни которого
были бы мнимы? Сколько мнимых корней может иметь
уравнение третьей степени с действительными коэффи-
циентами?
402.	Написать уравнение третьей степени, которые имеют
следующие корни: 2
1) 1, 2, 4;
3) 2, 3, —5;
5) 7, -ф [ 5, — /5;
7) —8, 0,36;0,75;
9) 7, — 3|, — 4^;
11) 3, l-]-i;
13) 3,
2) 1, 1, —2;
4) 3, — 4, -7:
6) 2, -j-/—3, —3;
8) 4 ; 4; -°>75’
10) 3|, — 4 —1,5;
12) —5, 2-|- J ' 5^ 2-|
14) -1,
403. Составить уравнение третьей степени, все три корня
которого павн!” 1) -J-5, 2) —4, 3) гс.
404. Составить уравнение третьей степени, корни кото-
рого суть: 1) л’,—г2 = 10, ,‘3 = —10; 2) х2 = а, .т3—Ъ.
— 91 —
405. Составить соотношение между корнями и коэффи-
циентами уравнения третьей степени (теорема Виета):
1)	*34 -рх-Ь^-о;
2)	х3- рггг-’ р2т р3 —О;
3)	^(Лг.+ а1*л4-«2» + «з4|^,
406. На основании теоремы Виета составить уравнение
третьей степени, корнями которого служили бы:
1) 2, —3, 4;
3) 4- 4>
5) 1, 14-24 1 — 2г;
2) — 2, 4~3, —4;
4) 2, 1|, |,
6) — 2, 1 4-i, 1 —г.
407. Угадывая один из корней уравнения, на основании
теорем Безу и Виета, решить уравнения:
1)	т3 — 5л = 12;
2)	х3 — 7.г24-50 = 0;
3)	г3 —8г24-13-г —6 = 0;
4)	х3 — 4.<’2 .г 4-6 = 0;
5)	х3 — 6 г24-11»- -6=0;
6)	х3 4- 2 т? — 23т 4- 6	0.
408. Следующие целые функции представить в виде
произведения линейных множителей:
1)	у = х3 4- 4.т2 4- х — 6;
2)	у = т3—19 т |-30;
3)	у = х3 4- 4т2 4~ 4т,
4)	0 = 1бт3— 16т2 — а-4- 1.
409. Составить уравнение четвеотой степени, корнями
которого служили бы числа:
1) 1, 2, 3, 4;	2) 1, —1, 2, — 2, 3) 1, 1, ’ 2;
4) 1, —1, г;	5) i, Ц 5	6) 2, 3,	4-
7) ±2, -Н 8) 1 ±| Г2Т1Цг4; 9)
&	X	А
410.	Написать биквадратное уравнение, если корнями
его служат:
1) i и — 2>;	2) —2 и 3; 3) 1 и — 4; 4) 1 4~ г; 5)1—г.
— 92 —
411.	Написать возвратное уравнение четвертой степени
с действительными коэффициентами, корнями которого
служат:
1) 5 и 3;	2) 1 и —1;	3) 2 и i; 4) 1 -j i; 5) 1 — г.
412.	Определить р и q (р и q числа действительные) так
чтобы многочлен я4+4х2 3 + бх3+рг + { 1) делился бы без
остатка на я3+Зя-(-2; 2) делился г>ы без остатка на я-J-i.
413.	Решить уравнения;
1)	я* —Зя:3=6я—18;
2)	я* — &я3 + 2я2 + 20г — 24 = 0;
3)	я4- —2я3 + 5я2 — 8./ +4 = 0;
4)	я4 — 1 Зя2 + 48я — 60 = 0;
5)	я4 — 6я3 + 24я — 16 = 0;
6)	ir*—Зх3 —я+2 = 0;
7)	ж4 — 12 т" + 47я2 — 72я +36 = 0.
Уравнение третьей и четвертой степени приведенного вида
и графическое их решение.
414. В функцию:
2/=x3 + i>+3+?)aA+)i3.
подставить новую переменную я', связанную с х следу-
ющим равенством
х = х' -j- т.
2) Определить т так, чтобы коэффициент при я’2 в
полученном выражении функции был равен 0.
415. Пусть уравнение:
ж3 + Р1я2 +р2я +^3 = О,
после преобразования принимает вид
я’3 + рх' + q — о.
Какими равенствами связаны между собой коэффициенты
Pi, р2, р3 и коэффициенты р, q?
416. Следующие уравнения третьей степени преобразовать
в уравнение приведенного вида:
1) я3 — Зя2 + 5Я — 7 = 0; 2) 2ж» — 12я2 + 8х — 19 = 0;
3) я3+5я2 — ЗЯ —16 = 0;	4) 5я3—7я2 4-Зя —8 = 0.
— S3 —
417.	Показать, что подстановка, приводящая к уравнению .
приведенного вида, соответствует такому смещению соответ-
ствующей кривой, что точка перегиба оказывается-на оси у,
418.	Доказать, что кривая, представляющая функцию
3-й степени, имеет центр симметрии в точке перегиба.
419.	1) Как выражается каждый из трех действительных
корней г4, z2, z3 приведенного уравнения ft*4-psr-|-9=0«
через два других?
2) Каким равенством связаны между собой действитель-
ный корень л\ и мнимые корни г2 = а2 -|- l.,i, аг3 = а34-63г
приведенного уравнения г3-}-^-[-9=о.
420.	В функции y = .r3-{-«z‘1 2 3 4 5 Ъ сделать замену незави-
симой переменной посредством подстановки :Г = ~г- Как-. й
вид принимает функция после такой подстановки?
421.	1) ПолБзуясь подстановкой предыдущей задачи,
преобразовать уравнение я3 {-а.г24~Л=о в уравнение при-
веденного .вида. 2) Исследовать, приводит ли эта подста-
новка быстрее к цели, чем подстановка, указанная в
№ 415? 3) В каких уравнениях 3-й степени замена, ука
данная в предыдущей задаче, приводит к цели?
422 Следующие .уравнения преобразовать в уравнение
приведенного вида?
1J я34-5гг —4 = 0;	2) г34-2^24-5 = 0;
3) я3—^4-6 = 0;	4) 2х34-а2-|-1=0.
423.	В функции у = а^-\-р1х3-\-р2л2-[-р3л--{-р4г сделав
замену независимей переменной при помощи подстановки
х=х -\-т, подобрать такое значение длят, чтобы коэффи-
циент при .г’3 обратился в 0.
424.	Преобразовать следующие уравнения так, чтобы в
преобразованном уравнении отсутствовал член с третьей
степенью неизвестного:
1) г* 4- 4-6л’-' 4-+1=°;
2) г4 4г3	6.г» — 4х 4-1 = 0;
3) г4 4~ 8т3я; — 1 = 0;
4) .г4 — 6г3	5 г2 — 2.г 4- 2 — 0;
5) а:4 4" 4iw3 -j- 6а2х2 4- 4а3х а4 = О;
94
425.	Решить графически следующие уравнения при по-
мощи определения точек пересечения раз навсегда построен-
ной параболы у = х3 и прямой у—кс-\-б (для решения
можно воспользоваться параболой фиг. 6, ст. 52. Обратить
внимание на различие масштабов!)
1) х3 {-«=10;
3) х3 — i зс —|- 6 = 0;
5) х3-]-ж= 1;
7) 4х3 —27x4-27 = 0;
9) х3-{-87	24 = 0;
2) х3 — а-4- 10 = 0;
4) х3 — Зх = 2;
6) х3 — х= 1;
8) .г3 4- 14х—36=0;
10) х3-{-10х—50= 0;
426.	Показать, что уравнение
х3 4- г2+д2х 4- р.л = о
может быть разрешено графически пересечением параболы
у = х2(4-р1х-{-р,
с гиперболой ух4~р3=0.
427.	Написать уравнение параболы и гиперболы (по
аналогии с предыдущей задачей), пересечением которых,
определяются корни уравнения
х3 4 рх -4- q - - 0.
428.	Решить графически приемами, указанными в двух
предыдущих задачах, уравнения:
1) х3—х = б;	2) х3-{ х4-7 = 0;
3)	X3—4х«4-4а:=1;	4) х3 4 - 2-[- 7г — 6 = 0.
429.	Показать, что корни (действительные) приведенного
уравнения четвертой степени
х44 Р-Т2-{ qx-^-з -О
могут быть найдены, как абсциссы точек пересечения
парабол ?/ = х- и
х =----у-.—« —• —.
д'*	7 J ft
430.	Показать, что действительные корни приведенного
уравнения четвертой степени
х* 4- рх2 4 ?х ф- z = о
- 95 —
могут быть получены, как абсциссы точек пересечения
неподвижной параболы у—х2 с окружностью

при чем постоянные а, Ъ, р могут быть выражены через коэф-
фициенты уравнения р, q, г. Найти эти
выражения (фиг. 22 изображает ре-
шение указанным методом уравнения
г4 —3,,-s_j 4z-]-3 = o, а — 2, Ъ = —
— 2» ?—] 5). Почему в этом случае
нельзя брать вертикальный и горизон-
тальный масштаб различными?).
431.	Решить указанным приемом
уравнения:
1) .г4 — 4.r2-j-5J—4=0;
2) д’4 — j. &	2.г — 2 = 0;
8) г4 —	3*4-2 = 0;
4 ) -Г*-5ft’ — 2х 4- 1 - 0.
Фиг. 22.
432.	Показать, что корни уравнения:
т4	р2.т2 4- р.у 4-1 = 0
могут быть найдены, как абсциссы точек пересечения не-
подвижной гиперболы ху — 1с окружностью
а’24-ргг-|-р24-/>3?/ у2=о или
(фиг. 23 показывает применение ука-
занного метода к решению уравнения
х*— -**.	— 4 \ х2 За- J- 1 = 0). Ре-
4	4	1
шить указанным приемом у равнение
№ 4 задача 431.
433.	Показать, что если умно-
жить на х все члены уравнения
х3 4~ рх 4“ Ч = о,
то, введя новый корень х — о, м« >жно
полученное таким образом урав-
— 96
нение решить графически, находя точки пересечения не-
подвижной параболы у — х2 с окружностью
434.	Решить последним приемом уравнения:
1)	х3 4-я—2 = 0;	2) гг35д--J- 3 — 0;
3)	я-3 —5z-J-3 = 0;	4) *3— 1х-1-6 = 0.
435.	Показать, что решение уравнения:
ж3 4~ Pi л2 4~ р2х 4- р3 = о
умножением этого уравнения на хV может быть сведено
к отысканию общих точек пересечения гиперболы х.у =1
с окружностью, центр которой лежит в точке
[—'2	+	~	+ и К0Т°Рая проходит через
точку (—	— р3 (сравнить с задачей 432).
436 Решить указанным приемом уравнение:
ж3 —Xs —4г 4-4 = 0.
Исторические задачи
437.	1) Делийская задача об удвоении куба. Найти ребро
куба, объем которого в два раза больше объема данного
куба с ребром а.
2)	Задача Менэхма (370 до Р. X.) к двум данным отрез-
кам а и Ъ найти пару средних пропорциональных, т.-е.
найти такие два отрезка х и у, чтобы:
а : х = х : у = у: Ь.
а) Найти х. б) Показать связь между этой задачей и задачей
удвоения куба. (Скольким а должно равняться Ъ, чтобы »
представляло ребро этого куба?) в) Решить пропорцию гра-
фически, пользуясь пересечением двух конических сечений.
3)	а) Дан угол а; полагая Sin а — т [Sin а может быть
построен, раз дан угол а: он представляет значение поло-
вины хорды дуги 2а радиуса, 1) составить уравнение, кото-
рому удовлетворяет x~Sin Для составления уравнения
составить выражение Sin а через Sin пользуясь, напри-
97 —
мер, теоремой—Муавра). Какой степени оказывается соста-
вленное уравнение? Почему произвольный угол не может быть
разделен на три части при помощи циркуля и линейки?
б) Решение Декарта (1596—1650). Параболу у2=х пере-
сечь кругом-
ь) Показать связь между координатами точек пересечения
и корнями уравнения
j/3 = 3y — q
। уравнение у3=3у— q получится, если положить 2 sin?=y
И 2 sin a = q).
4)	Задача Архимеда (287—212 до Р. X.). Шар рассечь
плоскостью так, чтобы объемы полученных при сечении
частей находились в определенном отношении.
а)	Показать связь этой задачи с пропорцией
(а — х):Ъ = с2: х2
п определить а-. [Для получения написанной пропорции
положить, что одна из частей, на которые рассечен шар,
(например большая) составляет часть его объема X, т.-е.
обладает объемом Ху »7?s; XT? обозначить через Ь, 2R через
с и 3R через а, высоту этой части (или принять круг сече-
ния за основание) через я].
б)	Решить пропорцию графически пресечением параболы
Са
х=- у
а 9
с гиперболой
у (а — .г) — Ъа
показать правильность такого решения приписываемого
Архимеду.
в)	Решить пропорцию графически пересечением пара-
болы
х2 = су
с гиперболой
у (а—х) — Ъс.
Показать правильность этого решения, принадлежащего
арабам.
Сокращен. сСчрвнв рвриш и еадач- Ч. III.	'	7
— 98 —
Если в многочлене ;/=/„(аг) =аол?"4-«1-с“ 1 + а.,хп-- -f- ...
+	вместо х подставить а, то результат такой под-
становки равен остатку, который получится при делении многочлена
на х = а (теорема Безу).
Если результат подстановки а вместо х в многочлен y=fn(x)
равен О (а служит норнем многочлена z/=/(<cjU то многочлен де-
лится без остатка на х — а.
Многочлен и-ой степени может быть представлен в виде:
1 + "г-7”1 2 + - + «„-т» +	=
= а^х — а,) (х — а,) (х — а„) ... (х — о„), где а2 ая... ап
представляют п норней этого многочлена. Всякое уравнение н-ой
степени имеет п действительных или комплексных корней.
Между коэффициентами и корнями уравнения и-ой степени су-
ществуют соотношения (теорема Виета):
+ ^2 + а3 + - +	1 + <= —
^2 + а1аз + аА4-..-4-ая	=
я1а2я3 + а,М'+я>а3а44-...4-ап-2ап А, = —
а1а2а3...ап_1а„=( — 1)"
Если уравнение с действительными коэффициентами имеет ком-
пкксный корень вида p-^-iq, то оно имеет и корень р— iq.
Всякое уравнение нечетной степени (напр., третьей) с действи-
тельными коэффициентами имеет, по крайней мере, один действитель-
ный корень.
Если уравнение
+ ?м,п 1 +	4- ••• 4- р„-1ж 4- рп=°
не имеет целых корней, то оно и не имеет рациональных корней.
Целые корни уравнения (если они существуют)
а»" + VjSK" 1 -f- р2хп~2 -}- р3а?п ~3 -f-... -f- Рп-1Ж 4" Pn — О-
являются делителями свободного члена рп этого уравнения и могут
быть найдены конечным числом проб (подстановок целых чисел вместо х),
так как число делителей всякого числа конечно.
09 —
Задачи об удвоении куиа и делении произвольного угла на три
части (а также задачи Менэхма и Архимеда) представляют из
себя задачи третьего порядка, так как их алгебраическое решение
сводится к неприводимому (не имеющему корней, рационально вы-
раженных через его коэффециенты) уравнению третьей стапени.
Эти задачи не могут быть решены построением при помощи
проведения прямых линий и окружностей «при помощи циркуля и
линейки), так как при помощи циркуля и линейки разрешаются за-
дачи, приводящие к квадратному уравнению или к уравнению высшей
степе .и, сводимому к решению квадратных уравнений.
Последнее следует из того, что решение систем уравнений
f (х — а)2ч-(// — &/= >-2 I (х—а)- + ({; ——
I Ах Ч Ву Ч С = О; И1 (х — а')- \ (у — Ь)- = г;
определяющих пересечение окружности с прямой, или двух окружно-
стей исключением одной координаты, сводится к решению одного
квадратного уравнения с одной неизвестной.
§ 6.	Дифференцирование целых рациональных Функций.
определение непрерывной функции.
438.	Если за значение независимой переменной х мы можем
принять любое число в некотором промежутке от а др Ъ
то такое изменение переменной х называется непрерывным.
Будет ли изменение переменной х непрерывным, если
х принимает 1) только целые значения.- 2) если х принимает
только рациональные значения?
439.	Будет ли изменение г в интервале от 0 до 1 непре-
рывным, 1) если значением х может быть любая конечная
десятичная дробь или любая периодическая дробь, целая
часть которой равна 0? 2) ес тн значением а- может быть
любая конечная или бесконечная дробь, целая часть кото-
рой равна О?
В дальнейшем мы, говоря о характере изменения функции в ка-
ком-либо интервале, будем считать независимую переменную всегда
изменяющейся непрерывно
7*
— 100 —
440.	Пусть функция y=f(x} изображается в некотором
промежутке от а до Ъ некоторой сплошной кривой. Показать
на чертеже, что при любом значении х в этом промежутке
всегда можно подобрать такое число е, что при всяком
приращении независимой переменной меньшем по абсолют-
ному значению, чем г, приращение функции по абсолютному
значению будет меньше произвольно заданного числа if.
441.	Формулировать словами определение непрерывной
функции в интервале	заключающееся в том, что
для всякого значения х в этом интервале:
I /РУ I <4
при	или
|	— х | < г,
<4
при
I Л I <е.
442.	Показать, что следующие функции являются непре-
рывными функциями в интервале — от<я<сс, т.-е. при
любом значении х
1) у = Ь
3) у = х2
5) у — О№2 -|- Ъх -j- с
7) у = ах"'.
2) у = кх-\-Ь
4) y — x2-Ypx-Yq
6) у = хп
443.	Доказать теорему, что сумма двух (или несколь-
ких) непрерывных функций есть функция непрерывная,
(указание: чтобы сумма п слагаемых имела значение меньше
т(, достаточно принять меры к тому, чтобы значение каждого
слагаемого быле меньше—).
« I
444.	Доказать на основании предыдущей теоремы, что
целый многочлен у — a0-r" + «r1'n-14-«2j;n_2 + ...-T-a„-i^-|-all
есть непрерывная функция х (а0 о) в интервале:
— от < х < со.
445.	Доказать, что произведение двух непрерывных
функций есть также непрерывная функция х.
Функция называется непрерывной в интервале от а до Ъ, если
при всяком х, удовлетворяющем неравенствам
а^х^Ъ.
— 101 —
можно найти такое налое число г, что при любом приращении неза-
висимой переменной, по абсолютному значению меньшем е, приращение
функции оказывается меньше (по абсолютному значению) любого
наперед заданного числа тг
Функция у = ахп есть непрерывная функция х при любом ко-
нечном значении х (при изменении х от — со до -f- ос).
Сумма двух (или нескольких) непрерывных функций есть функция
непрерывная.
Целый многочлен есть непрерывная функция в интервале
— СО -< X < со.
Произведение двух непрерывных функций переменной х есть
непрерывная функция' той же переменной с
Производная степени и постоянной.
446.	Показать что следующие две (различный по внеш-
нему виду) формулы выражают одно и то же определение
производной (предполагая, что функция непрерывна и
имеет производную) для y=f(x):
1) «/' = №) —I  m-^ = l ' m % Л
Дг -» о	-> ®	{ ж
и И) y'=f{x) = \ i	rw= limA.r + /o-/w.
Дт -> о Д Л"	Л -» о
447.	Вывести выражение производной степенной функции
у = хп:
у' = ИХ
где под п разумеется натуральное число, пользуясь фор-
мулой I (выражающей определение производной) и сокра-
щая дробь г1==.г до перехода к пределу.
448.	Показать, что если у=a fix'), где а есть постоян-
ная, то у =af'(x).
449.	Написать производные следующих функций (а и Ъ
обозначают постоянные, п— натуральное число).
1)
4) у =
7) у = (2.т>;
3) y = ^ls;
6) У = у*8’
9) y = (ax}'s-,
102 —
10)	У~ 7.г7;	И) у = 54	12) у = 3 7’-а-1 я;
13)	у—а-";	14) у =	15) у = а'5я_1;
16)	y~rj.r";	,	.г" + * I7) У = j(. Lp	«т"“* 18) у = < J п — 1
19)	У = 1 ’ 3 . .г7’;	20) у = sin " . а-";	21) у = (тт-а-3)3.
450. Написать первую, вторую и третью производные:
1) У~-		2)	У= е	3)	у=-	.т5. 3’
4) У =	а-4-1;	5)	у=- п.гп+1,	'>)	У =	Я'п. п г
7) У=^	п!’	8)	— (п + Р-*'111 1. У'~ (я + 1>!	’	9)		1 2
Производная суммы и разности.
451.	Определить производные для
1)	=	2) у—.r5	.г4;
4) у	.г5 4~ 1;	5) у = .т5-[ 7;
3) у =.г"4-'.г;
6) у ** + ЮО.
452.	1) Доказать, что если	то
у' —	}-?'(*>•
2)	Обобщить правило нахождения производной суммы
функций на случай; а) разности двух функций, б) суммы
трех функций, в) n-членной суммы (м есть целое конечное
число).
453.	Сравнивая выражения производных.
1)	у = .г' ' 3 и у , -г3;	2) у = хп и у—гп4~«.
где а постоянная величина, найти, чему равна производная
постоянной.
Выяснить, почему производная постоянной равна 0. (Какое
только значение может иметь приращение величины, сохра-
няющей одно и то же значение при любых изменениях а?)
454.	Написать производные:
1)	*;
2)	у ~ агп 2 4 с,п
3)	у = .г”4-йг<"‘"14-«2г’,-2п г"л-гг
4)	У =	+ аггя-г -|- «2.ГЯ" - 4- ... -, - ап_! г а„;
— 103 —
r,	-»”-1 I x t I ж2 I x
5)	У - n r iT-'l + « Г2+ • • • + 2 1" 1 ’
6)	,/ = ‘r"	] ,;"a '	_J_ /’ ' 5.
ti! ‘ (в — 1)!^(h— 2)!^"“ ' 2! ГЕ
455.	Для функций, указанных в задаче 449, вычислить
вторую и третью производные.
456.	Вычислить: 1) w-ую, 2) и — 1-ую, 3) в + 1-ую про-
изводные функции н-ой степени

Производные произведения.
457.	Доказать, что если y=f(x)^(x), то
?(«) •/(«).
Проверить справедливость этого правила, вычисляя
сперва непосредственно производные следующих функций,
а затем, рассматривая эти функции, как произведения:
1) у = х2 = х  х-	2) у =	4.г Jr4 = (r-p2)2;
3)	у — ахп = а хп-,
4)	= .г ; 1)(ж2 l-.r-1-l);
5)	у = зп- х-Ж»'1;	6) у = Х2—1=(.гф- 1)(,г—1);
7) у = af(x) — а-[(х).
458. Найти производные следующих функций:
1) у — (,с5 J_.r3.J-3-)2;	2) у = ('.г"— хп 2-]-1)2;
3)	у = (.г'1 -(-.г"-1 -фхп~2	. .. -|-.гЗ-|-.г2
4)	у — (з2	e'lf.r5-) Л);
5)	у —(г2—1)СгЗ з-Д-1)(.г2 , I)2;
6)	y = x-f(r};	7) у =х.г"./'(з-);
8) У	9) у- [Д-т)]2;
Ю) y = (l-|-z)4; 11J (1 —гГ; 12) (.1+^)"; 13) (a Lx)n.
Смешанные задачи.
459. 1) Построить кривые, разыскав maxima и minima
функций, точки перегиба, а также последовательные целые
числа, между которыми лежат корни (или целые значения
корней, если такие существуют):
— 104 —
a) y = x^— 2;	6) j/ = ^4-—г; в) у=ф*-\-х2
r) y = xi— 3rr2-}-4;	д) у — x*— 4x2-\-4x— 1;
. ч‘ , 2k8", д’9
2)	Найти такие значения коэффициентов а, Ъ, с, d, при
которых графика функции
у = х* -]- сг<г3 —Ъх2 сх-]~ d
а)	проходит через начало координат и имеет точки
поворота (maxima или minima) при л=1, х = 2, х — 3;
б)	проходит через начало и имеет точки поворота при
х=—1, х — — 3, х = — 5;
в)	проходит через начало и имеет точки поворота при
х — т}. х = тг, х=тя.
г)	Какой вид примет функция, если предположить, что
пг1^=т2 = т^
д)	Если кривая имеет точки перегиба а) при х=3 и х——4,
б) X — Wj и з- = м’2, в) x = iv и х — — W.
3)	Исследовать кривую у = (х2—1)2 по отношению к пе-
ресечению с осью х, maxima и minima и точкам перегиба и
найти касательную в точке перегиба.
4)	Исследовать кривые'
al у — (г2— I)3;	б) у = (х?—I)2;
в) У = (*— 5)5— 8О.г,	г) У = [х — 4)* — 32#.
§ 7. Понятие об интеграле.
4^0. Сравнить площадь S (фиг. 5), ограниченную осью
х ординатами точек Ао и Ап и кривою Ао Л„, с площадью ап,
образованною прямоугольниками

и т. д., вписанными в эту фигуру, и с площадью Sn, обрт,-
зованною прямоугольниками
"^1^2^2"^2’ -^2^2^3*^3> й Т. Д-,
— 105 —
описанными около соответственных частей площади S'.
Какая из этих трех площадей наименьшая? наибольшая?
Почему Sn— sn меньше площади прямоугольника LNPQ?
Что служит основанием этого прямоугольника? Высотой?
Что будет происходить с площадями вписанной и описан-
ной около кривой фигур, если ыы будем увеличивать число
точек деления a-lf х2, х3...? Что будет происходить при этом
с высотой прямоугольника LNPQ? Его основанием? Как
будет изменяться при этом площадь прямоугольника LNPQ?
Почему? К какому
пределу будут при-
ближаться площади
вписанной и описан-
ной фигур? К ка-
кому пределу будет
приближаться пло-
щадь фигуры, огра-
ниченной осью х, ор-
динатами точек Ло
и Ап1 и ломаной,
которую образуют
хорды, соединяющие
точки Ао и Аг, Л,
и Аг, Аг и Л3 и т. д.?
Почему?
461. Вычислить гЬющадь S треугольника, ограниченную
осью х, ординатой точки, абсцисса которой равна х, и пря-
мою у = кх? Что будет происходить с площадью треуголь-
ника при изменении х? Написать выражение S, как функ'
ции х. Найти производную S по х. Сравнить выражение
этой производной с функцией у=кх, геометрическое изо-
бражение которой ограничивает треугольник.
462. 1) Выразить площадь S трапеции, ограниченной
осью х, прямою y = и ординатами точек, абсциссы
которых суть 1 и я, как функцию х. Найти производную
S по х.
2) Выразить площадь S трапеции, ограниченной
осью х, прямою = и ординатами точек, абсциссы
которых суть анх, как функцию х. Найти производную
5 по х.
— 106 —
463.	Дана парабола у = х*
(фиг. 6). Найти выражения
площадей трапеций РРМ'М
и	через абсциссы х
и г, точек М и М'. Чему
равно отношение этих пло-
щадей? К какому пределу
приближается это отноше-
ние при неограниченном
у меш шении разности хг—х'
464.	Вычислить площадь
прямоугольника OGKL
(фиг. 6) как функцию абс-
циссы х точки К параболы.
Рассматривая площади 0GKMM0 и 0LKMM0, на которые
делится прямоугольник 0GKZ параболой, как пределы
площадей многоугольников, ограниченных осями координат,
параллелями к осям, проходящими через точку К и лома-
ной С...7ОГ7Г, вписанной в параболу, найти отношение
площадей этих фигур, на которые парабола делит прямо-
угольник 0GKL. (Воспользоваться результатом, полученным
при решении предыдущей задачи). Выразить площадь,
ограниченную параболой, осью х и ординатой, соответ-
ствующей абсциссе х, как функцию х. Найти выражение
производной площади этой фигуры. Сравнить выражение
этой производной с функцией (уравнением параболы).
465.	Дана парабола третьего по-
рядка у = х3 (фиг. 7). Найти выраже-
ние площадей трапеций РР'ММ’ и
QM'M через абсциссы х и Л точек
ZII и ЛГ. Чему равен предел отноше-
ния этих площадей? Найти отноше-
ние, в котором парабола у = х3 делит
площадь прямоугольника ОЦМ'Р'О.
Найти выражение площади прямо-
угольника OQMPO, как функции .г-
Найти выражение площади фигуры,
ограниченной параболой у=х3, осью х
и ординатой, соответствующей аб-
сциссе х, как функции х. Найти вы-
— J 07 —
раженис производной этой функции. Сравнить это выра-
жение с уравнением параболы 2/ = .г3.
466.	На основании рассмотрения фиг. 8 показать, что
функция y=f(x) является производной для функции S,
выражающей площадь фигуры, ограниченной осью х, кри-
вой y = f(x> и ординатами, соответствующими абсциссам а
и х (а постоянная). Изменится ли выражение производной,
если начальную ординату, кото-
рой ограничена площадь, слева
заменить другой ординатой, со-
ответствующей какой-нибудь
другой абсциссе 1> {Ъ вместо
а/О)? На какую площадь бу-
дут различаться друг от друга
функции S' и 5, (площадь огра-
ниченная осью х, кривой и ор-
динатами в точках Ъ и х)? Пред-
ставляет ли эта разность по-
стоянную или переменную величину при неизменных а и
Почему в таком случае производные функции S' и S', долж-
ны быть равны?
467.	Функция, имеющая данную функцию у /(.г) своей
производной, называется по отношению к этой функции—
начальной функцией и обозначается посредством

в том случае, когда является безразличным, какую ордина-
ту принять за начальную при вычислении S, т.-е. когда
требуется найти лишь выражение начальной функции. Сим-
вол J f(x}dx называется неопределенный интегралом. (В чем
заключается его неопределенность?)
Если же имеется в виду вычисление площади, ограни-
ченной ординатами, соответствующими определенным абсцис-
сам а и X, то выражению S дают вид
S =
Это выражение называется определенным интегралом. Если
изменять Л (конечную абсциссу), сохраняя а неизменной,
108 —
то S окажется функцией X; поэтому вторую формулу пол-
нее можно записать в виде
5(X) = j /(ofydjc.
Проверить дифференцированием следующие равенства,
принимая во внимание, что, согласно определению, произ-
водная функции f f{x}dx есть /'(г):
1)	f 3.r2r7.r=.rs-|- С. (Почему прибавлено постоянное сла-
гаемое С?)
2)	J z’rf.r=X_|_(7;	3) j xdx = X 4- С;
4)	J 4-1)^ = 2 4- * 4- С; 5) I x-dx = 4- С;
6) J (8з^Н-ЗЛ=^гД^4-^34-С';
7) J (^-.г+1)<7./- = |-|24-.г+С;
468. Показать, что выражение площади S, ограниченной
кривою, осью х и ординатами, соответствующими абсциссам
а и Ъ, имеет вид:
S = \ f('c)dx = F(b) — F(a),
где под F(.) разумеется какая-нибудь из начальных
функций для функции f(x). (Чем разнятся друг от друга
различные начальные для функции
469. Вычислить площадь, ограниченную осью х, линией
1)	у—lx и ординатами, соответствующими абсциссам
4 и 7;
2)	у 1;х и ординатами, соответствующими абсциссам
5 и 5;
з)	у—1сх и ординатами, соответствующими абсциссам
5И-51);
4)	у = х2 и ординатами, соответствующими абсциссам
О и 4;
*) Объяснить почему в этом случае получается странный, на первый
взгляд, результат.
— 109 —
5)	у—а-2 и ординатами, соответствующими абсциссам
1 и 9;
6)	у = х2 и ординатами, соответствующими абсциссам
— 3 и 3;
7)	у — х3 и ординатами, соответствующими абсциссам
О и 4;
8)	у~х3 и ординатами, соответствующими абсциссам
3 и б;
' л
9)	у = х3 и ординатами, соответствующими абсциссам
— 4 и 4;
1°) у==а-4+1 и ординатами, соответствующими
абсциссам 0 и 5.
§ 8. Дробные рациональные функции.
Нули и бесконечности функций.
470 Определить нули (т.-е. значение х, при которых
функция у обращается в 0) следующих дробных рацио-
нальных функций:
х— 1. D У	®2+f’ 3) У + х +1 ’ аз2 —1 - 5-) У ®2+®4-2’ г?1—2 7) У лЛ — 1’	а?2 — 4а 2) У - 0,-,+v .,	а?2 -4- 2а; — 8 5-1	• ^2	3 8)
471. В каких случаях дробная рациональная функция не имеет нулей? (Дать примеры.) Найти нули следующих		
дробных рациональных их нет):	функций	(или указать, почему
	2)	
3) 7- 3:4-1 	4)			X— 1 У г?2-|-2а — 3’
J а’2 + ® — 2’		
гл _ a-+l .	6)		a;2 — 4a: -f- 3 f л2 + 5a' - - 6‘
'У a-® — 5a? — 6’		
— 110 —
472. Определить бесконечности (точки разрыва, т.-е.
значения х, при которых выражение функции у не имеет
к	,
смысла, так как принимает вид -, или, как говорят, обра-
щается в бесконечность) следующих рациональных дробных
функций:
.4	3. з) у=£Е% —	Я-3 — 1	2) У = '^ V У - Л V У =	—2X^3— 3f 8)
В каком случае дробная рациональная функция не имеет
точек разрыва? (Дать примеры.)
473. Исследовать, получают ли следующие функции бес-
конечное значение, и если ниях аргумента:	получают, то при каких значе-
У .г2+4» 3)	./5 — 2.г — 3 а-2-1-3.-- -10 У	ий+ 10 '
474. Для следующих дробных рациональных функций
сперва определить их нулевые значения и бесконечные
значения, а затем построить графики этих функций:
0 У = .,Лг •8> у За- 5)	; ’ х— 4	. 2j+5. 7) У = л r-i ' 3	3u?+l’ 9) =	2) »\	a* 4-1 w c> y=y?3: 8) ^3rf 10)	3-
u) у-Лг	12) У j -h ix ; 1
11 —
475. 1) Какое значение принимает при ж=2 функция
_ д-2 _ 5,г _|. 6
У — ir* 7а + 10'
2) Какой смысл имеет символ Найти предел выра-
а-2 — 5а? 4- 6	(а?—2) (о1—3)	_
жения	, ,П = , “«Г -кХ» при .г 2.
а2 —7а? 4-10	(а?—2) (®—5)’ 1
3) Почему можно утверждать, что числитель и знамена
тель в выражении дробной функции делится на г—т, если
„ °,
при х — т дробная функция принимает вид .-
476.	Найти пределы следующих выражений:
1)	lim	a2 —1. x— 1’	2)	lim r-1	X3 - 1. $‘.l'
3)	lim .i—i	a* 1	4)	lim SC=l	/-1,
		x — Г			x‘“- 1’
5)	lim		6)	lim	xn—an
	a	x — a’		r—«	
7)	lim я—-2	a?2 4- 2a? — 8 . x* — 3.r -f- 2 ’	S)	lim	x'1 — 2a; — 8 — 64 ’
9)	lim J- 8	;Г2 4- a; _ 12 2a‘- — x — 15'	10)	lim	a?2 4- x i л'3 4-x + 2 ’
Н)	lim	2a:2 x — 1 . 4.r2 — 1 ’	12)	lim	3a?8 4~ 2a? —1 3a-’ —x ’
Производные. Maxima и minima.
477.	Для функции у = х 1 1) составить отношение при-
ращений (устраняя сокращением встречающийся в
знаменателе множитель a-j—a i). 2) Найти выражение произ-
водной.
478.	Какое направление имеет касательная к равно-
сторонней гиперболе у — « в точках, абсциссы которых
суть: 1) .т=1, 2) j-- = 2, 3) » = — 1, 4) К какому
предельному положению стремится касательная, если значе-
ние абсциссы 1) неограниченно убывает но абсолютном)
значению? 2) неограниченно возрастает по абсолютному зна-
— 112 —
чению, принимая а) положительные значения, б) отрица-
тельные?
479.	Вычислить производные следующих функций:
1) у=Ъ 2>	3)
4) У = ^,	5) У = ^п.
480.	Показать, что формула производной функции ?/=а:"
у'=- пх" -1
имеет место и в том случае, если п есть целое отрицатель-
ное число.
481.	Для следующих функций написать 1-ю и 2-ю про-
изводные:
1) у =	1 ма'1 ’		2) У	(И—1)а-'-1’
3)	° । —г а'; X 1	’		4)	+ Л
5) У =	а* + Ьх+^		G) у^х3 -1;
7) У —		дз । £* а-3	а-*	4-	4 ।	‘ а”’
8) У =	1 1 х + 2!а«	1 ।	- 1 4-	4- 1
		З.'аз	4!-с* *	*
482.	Определить maxima и minima следующих функций:
1) й =.94
3) y =
2) у =	2, ;
4)	+
а* - 9
G) у = —г.—•.
' J га-
483. Показать, что если у=‘ф-,, то у' =
ч('-в) а
484. Убедиться в справедливости этой формулы, находя
производные следующих функций 1) непосредственно,
2) как для частных:
1) у = ах~п
п\	| . . X3--1
2) з/=а:-|-1 = -—-
113 —
IBS —1
ж"— 1
485. Найти производную функции
х + х3 ж®
как производную дроби и пояснить полученный результат.
486. Определить maxima и minima следующих фуякций:
1) У =	_а.* + 3. х f- Г	~ 5- 2) У- ж —3’
3) у=	_ х — 4. а» —7’	ч	х — 2 4) У=^
5) 3/ =	_ х1 2 + 6ж + 9 . За. + 4	’	Мх_Ь9 J	а- — 5	’
7) У =	9	1	81 «- 9	4
	х—3 х—5’	' У х— 1 X — 1
	4	16	Ю) у- 25	9
9	х— 3 х — Т	У 1—х	3-
X
Смешанны* задачи.
Исследс .ание кривых.
487. 1) Под какими углами кривая
Я® _ 1
пересекает оси координат? •
2)	Исследовать кривую
_ а-2 —2«4-3
У х‘- 2s -3'
3)	Найти касательные к кривой
У
1) параллельную оси х,
углом 45°.
наклоненную к
оси х под
Сокращен. еОпрпнк .гаража. и ааддч Ч ПТ
8
— 114 —
4)	Сравнить кривые
У
^ + 1
•г2 —Г
(.Построить графики этих кривых, основываясь на ис-
следовании.)
5)	Найти максимальные и минимальные ординаты
кривой
_ я-3	«2
U \м-	2.к‘
6)	Из точки -=Hlj провести касательную к равно-
сторонней гиперболе
ху = тг.
7)	Какой из прямоугольников, имеющих одну и ту же
площадь, имеет наибольший (наименьший) периметр’’
8)	Прямоугольный параллелепипед имеет объем Г, а
одно из его измерений=а. Как велики должны быть его
два другие измерения, если его поверхность должна иметь
минимальное значение?
9)	Для изготовления цилиндрического открытого сверху
литра следует затратить возможно меньше жести. Каковы
должны быть высота и диаметр основания этого литра'-?
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Простейшие иррациональные и транс-
цендентные Функции.
§ 9 Прь,.зводные простейших иррациональных функций.
488. Составить выражение отношения приращений ——~
а также найти выражение производной для следующих
иррациональных функций:
3	~	м
2) у = j	3) ?/ — j х
1) у = 1 Ъ
— 115 —
(разлахая знаменатель на множители по формуле разности
одинаковых степеней двух количеств и сокращая на
489. Составить выражение производной функции.
1) «/ = )
2)	+
3) у = ) а2 —.г3.
490. Найти производные функций:
1) у=УК	2) у = а]	3) у =1
4) У= V Л	г х	3/— 5) у=у	6) У=ау .г;
7) У=\Г^	8)	Л	9)2/ = ] 1—г3;
ю) у — \ д2 + 1;	; Шу-)	12)2/=] х(.г-1)
Приложения.
491.	1) В окружность вписан прямоугольник, а) Ка-
кую форму должен иметь этот прямоугольник, чтобы
он имел наибольший периметр ’ б) Какую форму должен
иметь прямоугольник, чтобы он пмел наибольшую
площадь?
2)	В данный полукруг вписать прямоугольник с наиболь-
шей площадью.
3)	В данный полукруг вписать прямоугольник с наиболь-
шим периметром.
4)	Доказать, что из всех треугольников с одним и тем
же основанием и одной и той же высотой равнобедренный
треугольник имеет наименьший периметр.
5)	Найти прямоугольный треугольник, имеющий данную
площадь при наименьшем периметре.
6)	В какой из прямых круговых конусов с данной обра-
зующей можно вписать наибольший шар? К какой плани-
метрической задаче сводится эта задача?
8»
— 116 —
§ 10 Тригонометрические функции.
Производные функций sinus и cosinus.
492. Вычислить
— пои: 1) Л— 0,1; 2) *=0,01; 3) *=0,001.
SC
493. На фиг. 9 площадь сектора ОТМ больше площади
треугольника ОТМ и меньше площади треугольника OTS.
Записать эти неравенства в иной форме, выражая площади
через радиус МС— г и через дугу х
(выраженную в абсолютной мере). Вы-
вести отсюда высшую и низшую границы
X
значения -.
Sin *
4°4. На основании соображений, приве-
денных в предыдущей задаче, найти:
,. X	sin X
1) Iim —2) lim — .
л=-0 s,n х	J?—и	Х
495.	Указать на основании таблицы тригонометрических
функций, до какого угла, выраженного в градусах sin а
и tg а совпадают по величине: 1) включительно до 2 де-
сятичных знаков, 2) до з десятичных знаков:
496.	Пользуясь соотношениями, выведенными в задаче
417, найти следующие пределы:
Sin ах
3 Inn ---------;
*
5) lim —
7) Шн
J>	а —
Sln
9) liin ------------------;
а-=.г. x —
sin x .
~2x~'
« sin r.
x ’
a sinfix.
ел 9
sin 2(cC — .тд
л- — a- *
t
10) Inn
гл-, x J;i
a,=O
4) lim
6) lim
a?=0
S) lim
117 —
497.	1) Составить отношение приращений для функ-
ции «/=sin .г (разность sin .rj — sin х заменить произве-
дением по формуле преобразования sin а — sin ^), а затем»
перейдя к пределу (см. зад. 494), найти выражение про-
изводной той же функции. 2) Определить производную
функции «/ sin ат, исходя из рассмотрения отношения
приращений.
498.	Составить отношение приращений для функции
v = cos .т, а затем, перейдя к пределу (см. зад. 417), найти
выражение производной той же функции. 2) Определить
производную функции у ~ cose г, исходя из рассмотрения
отношения приращений.
499.	Найти: 1) первые. 2) вторые, производные следую-
щих функций (при этом следует применить правила диф-
ференцирования произведения, частного). Дать объяснение
в тех случаях, когда решения этих задач представляют
некоторые особенности:
1) у = а sin .ц
3) t/ = sin21-;
5) y=sin4.r;
7) у — sin2 г— 1;
sin х
9) у =
11) у = г-sin 2тг;
1
у = — о ;
J sm2.c
у ^=sin г-cos
1
у —-------,
cos а-
1 — ros!,r_
" sin’<r ’
13)
15)
19)
2) 1/=Sin (-r+y);
4) j/ = sins.r;
6) у = sin" г;
8) y = x sin .r;
10) 3/ = .sin
12)
' J sin r’
14) 7/ = COS2'-,
16) у = sin2r -|- C0s2z;
18) w =
’ J cost
20) «/ = .r-cos x.
500.	Как располагается касательная синусоиды «/=sin.r, •
1) в точке, соответствующей j-=0, 2) х=п. 3) =
501.	Найти производную функции у = cos г, пользуясь
соотношением: 1) cos .r = sin	—х )» 2> cosr = i "i —sin2^.
— 118 —
502. Найти графически или путем вычисления maxima и
minima следующих функций:
1) у -sin 3.r: з) у=sin («4» J J; 5) У= -% sin (f + 2‘); sin x ') y=	2) y = Sin^-; 4) g/ = sin (2* —4); 6) y — a sin (fcr - j-c), 8) j[t=«i{-sin x.
Производные остальных тригонометрических функций.
Смешанные примеры.
503. Найти производную функцию y = tg.r, а) исходя из
соотношения tg.E = slH^, б) пользуясь формулой преобразо-
COS^E
вания в произведение 1дхг— tgr.
2) Найти производную функции «/== cotgis, исходя из
соотношения: 1) cotgr = |^|, 2) cotgir = —3) cotga: =
U TJ’)'
504. Найти первую и функций (если решения ногти, ТО объяснить их)	вторую производные следующих представляют некоторые особен-
1) y = Т;	2) ;i/ = COtg X;
3) y=tg2r;	4) y = tg
Iх 5) У=Ъ„;	6) y=cotg пх-
. X	X sin-^cos 7) У— Sin л ;	8) у—2 cos2 4 — 1; *•
9) у a tg (^ + 4; ,,.	1 — сож 11) 7 — -			 ' а	sin X . ’	10) у a cotg 4 с); 12) у==1+Ж > v	sin х ’
13) у = sill X — X COS .Г;	14) У=П2 sin X-sin (1—X);
15) у = tg zcotg х-	16j V = 1±SOS'\ 7 -	1 — cosa;
— 119 —
505. Указать, какие из следующих функций удовле-
творяют дифференциальному уравнению
<72?/
lie’1
= — а2У-
В каждом случае найти значение постоянной а:
1) у — SJB.r-
3) y=- tg.r;
5) 2/ = m 8Ы1.Гг|-Л COS»’;
7) y = COSp.r;
2) У = COS r;
4) y = GOtg.r;
6) ;i/= SinpT;
8) y = m sin/zr-p’71 cos^r.
Приложение к исследованию кривых.
506 Определить точки перегиба и касательные в этих
точках для следующих кривых:
1) ?/ = sin.r,	2) у=cost,-
3) y=tg.r;	4) у — cotgr;
5) y = nsiiys,-	6) у = соь«.г;
7) y = asm^	8) y = a cosbx.
507, 1) Определить угол между касательными, проведен-
ными к кривым y = sin .г и у- cos х в точках а) .г = О,
б) в) х= ^, г) ж = п, д) .г = 3^.
2) Найти площадь, ограниченную осью х и одной ветвью
синусоиды, лежащей над осью х.
508. 1) Определить, под каким углом пересекаются кри-
вые тангенсов и котангенсов.
2) Определить нули, бесконечности (если они существуют),
maxima и minima, точки перегиба и построить графики
следующих функций:
1) у = SinZ-)- COST;
3) y = sin2.r;
2) y = sicx------У81п2а-;
4) у = sin r • sin I x -|-
. 509. Исследовать первую производную и дать ее графику
для функции 1) y = tgx; 2) «/=COtgrr.
510. Как велик должен быть угол между двумя данными
сторонами а и Ъ треугольника, чтобы площадь треугольни-
ка была наибольшей?
120 —
Задачи из физики.
511. 1) Над серединой круглого стола (радиус его = >)
висит лампа. Как высоко над столом следует поместить
лампу, чтобы книга, лежащая на краю стола, была освеще-
на наилучшим образом?
2)	Как высоко должны быть помещены две дуговые
лампы, находящиеся одна от другой на расстоянии 50 мр.,
если лежащее на одинаковом расстоянии между ними ме-
сто улицы должно быть освещено наилучшим образом?
3)	По одн5 и ту же сторону от прямой линии даны
две точки Р, и Ps. На этой прямой найти такую точку Q,
чтобы l\Q-{-PoQ были minimum (Закон отражения). Обра-
тить особое внимание на то, какие углы образуют с данной
прямой лучи PjQ и P2Q.
4)	(Закон преломления). Световой луч по одну сторону
прямой распространяется со скоростью т1г а по другую со
скоростью i2. Луч должен пройти из точки Рр пересечь
прямую в точке Q, и по другую сторону прямой попасть
в точку Р2; где Должна лежать точка Q, чтобы путь
Q + QPt был пройден в наиболее короткий срок? Обратить
внимание на углы, образуемые лучами Ря Q и Р2 Q с прямой.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
СЕДЬМ ХЯ ГЛАВА.
Неравенства.
§ 1.	Свойства неравенств.
512.	Даны неравенства:
а) 5>3, б) 11 >7, в) — 10> — 15, г) —30>— 100;
.5.1	. 19. 2
17>17: е) 20 > 3
Ж) .л5
/3.
Составить для каждого из неравенств разности между
числами, стоящими в его левой и правой части. К области
каких чисел относятся эти разности?
513.	Даны неравенства:
а) 3 < 5; б) 7 < 11; в)	г) <g: д) — 15 <— 10;
е)—100 < — 30; Ж'' |Л3<;р/'5.
Составить для каждого из неравенств разность между
числами, стоящими в левой и правой части и указать, к
какой числовой области теперь относятся полученные
разности.
514.	Формулировать определение неравенства или равен-
ства действительных чисел « и Ъ в зависимости от того,
какое число: положительное, отрицательное или нуль, пред-
ставляет разность а — Ъ.
515.	Какому неравенству удовлетворяет любое положи-
тельное число?
— 122 —
516.	Какому неравенству удовлетворяет любое отрица-
тельное число?
517.	Пользуясь результатами, полученными при решении
задач 435 — 437 указать, каким неравенствам будут удовле-
творять разности между левой и правой частями каждого
из неравенств: «>J и c</Z.
518.	Установлены ли соотношения неравенства для ком-
плексных чисел, подобно соотношению между знаком не-
равенства между двумя действительными числами и знаком
их разности? Почему?
519.	Каким знаком неравенства, не изменяя порядка
букв, можно соединить:
V + Ч — +
р2 — q2 = — т,
1)	х и у, если известно, что г—2/= + °;
2)	т и п, »	»	 т— п = — &;
3)	р и q, >	если
где под буквами а, Ь, к, т разумеются абсолютные значения
чисел.
520.	Из рассмотрения тождества
(А-2?) + (В— Q + (C — D)^A — В
вывести справедливость теоремы:
если Л>Б, Б> С, С>В, то А^>Б.
521.	Из рассмотрения тождества
U±O — (Б±С) = Л — В,
вывести справедливость теоремы:
если А > Б, то А ± С > Б I- С.
Какой закон сложения действительных чисел (и вычита-
ния) выражается этой теоремой?
522.	Показать, что на основании предыдущей теоремы
каждое неравенство может быть приведено к одному из
двух видов:	О или А<^0.
123 —
523.	Показать на основании тождества
Mi + А + А + ••• + А„) — (В1 + Б2 + Д + ••• + -Д,) —
кА -А) + (А - А) + (Л •- А) + - + (Л - А).
что, если	Л2>Б2, Л3>Б3,...., ЛП>Б„,
то 47 + Л2 4- As -j- Л„ >	+ В2 + Б3 -}-... + Б„.
524.	Будет ли справедлива аналогичная теорема для
вычитания неравенств одинакового смысла? Проверить это
на рассмотрении неравенств;
48 >35; 35 >11; 18 >17
Как должна видоизмениться доказанная выше теорема
в случае вычитания неравенств?
525.	Даны неравенства:
15 >3, 2> —7, 6 <9, — 15 < — 10.
Каким знаком неравенства связаны пары чисел
1) 45 И 9, 2) 6 И —21, 3) 18 и 27, 4) —45 И —30,
т.-е. числа, полученные от умножения членов данных не-
равенств на одно и то же положительное число?
526.	Даны неравенства: 3 < 5, 16 > 11, — 7 > —10, 3 > 1.
1) Каким знаком неравенства должны быть связаны
пары чисел
— 9 И —15, —32 И —22,+ 28 И +40,+ 15 И —5,
т.-е. пары чисел, полученных от умножения членов каждого
из данных неравенств на одно и то же отрицательное число?
е) Что делается со знаком неравенства при умножении
его членов на одно и то же отрицательное число?
527.	Записать в виде неравенства результаты, получен-
ные от умножения каждого из членов неравенства
а) 0,001 > — 500, б) 25<31, В) — 2> —17
на 1) —4-, 2) —100, 3) —0,15, 4) —0,02.
528. Доказать, что если
тем С> О, то АС~>ВС.
дано неравенство Л>,Б и за-
Как изменится фопму^шровка доказанной теоремы в
случае, если (7<О*
— 124 —
529.	Формулировать теорему для деления неравен-
ства на.одно и то же 1) положительное, 2) отрицательное
число.
530.	Показать, что при перемножении неравенств оди-
накового смысла с положительными первой и второй ча-
стью получается неравенство того же смысла.
Дать пример, из которого было бы видно, что доказан-
ная теорема не имеет места, если предположить, что левые
и правые части неравенств (все или частью) представляют
отрицательные числа.
531.	Показать, что при b, a2-f-62>2n6.
На основании последнего неравенства доказать, что сред-
нее арифметическое двух неравных положительных чисел
больше их среднего геометрического.
532.	При каких значениях а и b имеет место неравен-
ство а2 — ab >ab — 62?
533.	Показать, что если
вг-в-2- в3>в3 " — вп
все В представляют числа одного и того же знака, то
-41 ~Ь 2 + -4ч	— -
Bl -Г -®2 + В3 -р — -р Вп
заключено между наибольшим и наименьшим из написан-
ных отношений.
534.	Показать, что та же теорема справедлива и для вы-
ражения
Ц +1»з А + •. ап	•
В, -р т3 В3 -р т3 В3 г .. -р и/п Вп ’
если все т суть положительные числа, а все В суть числа
одного и того же знака.
535.	Показать, что при положительных значениях букв
1) («4-6) (|-+у)>4, 2) a34-63>a26-f-a62, 3) .г-]- ^>2.
При каких значениях букв неравенства переходят в
равенства?
— 125 —
§ 2. Решение неравенств.
536.	Даны неравенств#
1) J"+5>z; 2) (у—2)2+ <'>(«/ —2/;
з)	к + у — г)3-[-(•*• +У— г)2~Г 1 >(*4 У —г)3.
Можно ли в этих неравенствах переменным х, у и z
давать любые значения, не изменяя смысла этих не-
равенств?
537.	Даны неравенства:
1)	*+5>12; 2) х + 1 < 6; 3) z-\ а> 2а.
Можно ли в этих неравенствах лиг давать лю-
бые значения? На основании результатов, полученных
в этой и предыдущей задачах, составить определения:
какое неравенство называется условным и какое безу-
словным?
Подметить аналогию с подразделением равенств на
уравнения и тождества.
538.	Найти, при каких значениях неизвестных выпол-
няются следующие неравенства (решить неравенства):
1) 3.г+15>51; 2) 4т— 5>ur-J- 7, 3) З.г |-6«>15i;
4) 3a2x —3i2x>a< —5) —	>р;
6)
отя-’ + яаг- ,	а2 — 8.>’-+-15  
-,7+,Г <’О< ’)а.=Т5-т21<20-
539.	Из числа написанных неравенств одинакового смысла
указать неравенство, исключающее все остальные, т.-е. та-
кое неравенство, удовлетворив которому, мы подавно удо-
влетворим остальным.
4) z <0,01, г <0,32,	г<0,ои01;
— 126 —
5) <>2,	<>—1,	<> —2;
oj <>о, />-|,	<>-|;
7) <<200,	<<32,	<<0.000475.
I
540.	Указать целые значения, которые можно придать
переменной, если переменная удовлетворяет таким сово-
купным неравенствам:
1)	>0;	2)	>0;	3) z	>0;	4) <>	>0
X <	С 5;	х <	' 7;	2 <	С 5;	<<	;i;
6) <>	>1;	6) уУ	>2);	7)	>0,75;	s' yZ	>10|;
	>— 1;		> 15’	С	>3,75;	yZ	>i^;
9) z<		i. --	2 1	10;	>12;	и) <:	>5;	12) Г	> — 5;
г z	>-5|;	х<	С —12;		С 9; •		> —9.
541.	Указать 1) целые и положительные, 2) целые и
отрицательные значения которые могут принимать пере-
менные величины, удовлетворяющие следующим совокуп-
ным неравенствам:
1) X<15; 2; г/>3; у>Ь;			yZ	>7,5; 3) С	>5|;	>	'>2,5;
«> —3; у<	СЮ; yZ	>25;	У<	С1000;	1<	С 1,75;	<>3;
4.) <>0;	<>	> —3;					
<<20;	<<	С —20;			С 2,75,		
5) <>3;	<<	С 5;			> — 3,9;		
<<17;	t<	С 12,3.		с	>0;		
542.	Одна сторона треугольника равна 3 футам, и раз-
ность двух других сторон равна 1 футу. Найти стороны
этого треугольника, если они выражаются в целых числах.
543.	В двухзначном числе цифра десятков на 2 меньше
цифры единицы; самое число должно быть больше 20 и
меньше 37. Найти число.
544.	Числитель дроби меньше ее знаменателя на единицу;
если к числителю и знаменателю дроби прибавить по еди-
нице, то значение дроби будет > С; если от числителя и
знаменателя отнять по единице, то значение дроби будет
меньше ®- Найти дробь.
127 --
545.	Если к некоторому двухзначному числу пробавить
его половину, то в результате получается число большее
149, но меньшее 153. Найти это число,
546.	Радиус одной окружности на*2 фута больше другой;
какие значения могут иметь радиусы этих окружностей,
если окружности должны: 1) пересекаться, 2) соприкасаться,
3) не пересекаться, если, кроме того, известно, что линия
центров этих окружностей равна 20 дюймам, а длина мень-
шего радиуса должна выражаться целым числом сантимет-
ров и не превышать 15 сантиметров?
547.	Доказать, что сумма гипотенузы и высоты (опу-
щенной на гипотенузу из вершины прямого угла) больше
полупериметра. ’
548.	Решить следующие неравенства:
1) 3(/-}-5У>7ж —М	2) 3(ж4-а)>9ж~|--26-
3)	4(*4-2)— <17 — s)O2:	4) (<4-l)2<U— I)2;
5j 5(ж-| 0,75) Сж04-2,75; 6) 0,15(/4 2) — = >1 — 2
7н/г+ц>7 (i*—«) ^4	>я-
9) 1	4<+ 1 <	10| y + a I	Ь .
J} 1 (OZO’	’ Ъ а аЪ а’
_	, ЯП 1 — «1 - п ,	. .
и) 2г/ + -4—-<- (у + 1).
н	IV
ВОСЬМАЯ ГЛАВА.
Неопределенные уравнения.
§ 3. Нахождение целых решений неопределенного уравне-
ния с двумя неизвестными.
549.	Построить на клетчатой бумаге
ляемые уравнениями:
1) Зж4у == 24;	2) Зж + 4?/ = 26;
41 2ж— Ьу = 10;	5) 2ж—5?/=7;
7) 4ж4-б2/=12;	8) 4ж4-6«/ = 8;
прямые, опреде-
3) Зж — 4у=11;
6) 2ж—оу =— 1;
9) 4ж4-6у = 11.
Сколько систем решений имеет каждое из уравнений?
128 —
Отметить на построении < прямых точки, обе коорди-
наты которых выражаются целыми числами (если такие
точки имеются); те точки, обе координаты которых, кроме
того, положительны, отметить красной краской, остальные
из этих точек—черной. Найти в каждом случае: 1) раз-
ности абсцисс двух последов цельных точек с целыми зна-
чениями координат; 2) разности ординат; 3) расстояния
между каждой парой таких последовательных точек. Какой
ряд образуют абсциссы таких точек с целыми значениями
координат (если такие точки имеются), если эти абсциссы
записать в том порядке, в каком соответствующие точки
расположены па прямой? Ординаты?
550.	Какие значения будет принимать в уравнении
8х— Зу = 10, 1) неизвестное у, если х давать значения 0,1, 2;
2) я в том же уравнении, если у давать значения о, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7? В каждом случае составить таблицу решений
в таком виде:
х ] о | 1 | 2
551.	Какие значения будет принимать в уравнении
2я — Зу = 7 1) х, если у дают значения 0, 1, 2, 3; 2) у,
если х давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5? Выбрать из этих
решений систему, в которой оба решения выражаются
целыми числами.
552.	Какие значения получает в уравнении 2ж-]-3;/ —9
1) х, если у давать значения 0, 1, 2, з, 4, 5; 2) у, если х
давать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ", 8? Выбрать системы
целых решений.
553.	Какие значения будет принимать в уравнении
6^ = 8 1) х, если у давать значения 0, 1, 2; 2) у, если х
давать значения о, 1, 2, 3, 4, 5?
554.	Какие значения получает в уравнении 2a"-f-4y = 5
1) х, если у давать значения 0, 1, 2, з, 4, 5; 2) у, если х
давать значения о, 1, 2, з, 4, 5, 6, 7?
555.	Решить уравнение 6х — 9у - 17. Составить таблицу
решений. Имеет ли это уравнение хоть одну пару целых
решений?
— 12!) —
557.	Деля все члены следующих уравнений на общий
наибольший делитель коэффициентов при х и у, выяснить,
какие из следующих уравнений не могут иметь ни одной
системы целых решений:
11 16х	= 96; 2) 16x4-56?/= 84; 3) 16x4-56г/= 49;
4) 77х—ЗЗу =99; 5) 77х — ЗЗг/=17; 6/ 45?/ — 24х = 8.
558.	Показать, что если коэффициенты а и Ъ в уравнении
ах-\-Ьу = с суть числа взаимносоставные и с не делится
без остатка на их общий наибольший делитель, то урав-
нение не имеет ни одной системы целых решений.
559.	Составить таблицу решений уравнения 5^4- "у = 69
1) задавая у значения 0, 1, 2, 3, 4; 2) задавая х значения
О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Сколько раз в том и другом случае
другое неизвестное принимает целое значение.-' Что можно
сказать про дробные части остальных значений этого
неизвестного? Имеют ли эти дробные части одинаковые
числители?
560.	Составить таблицу решений уравнения 7х— 3?/ = 5
1) задавая х значения 0, 1, 2; 2) задавая у значения 0,1,2,
3, 4, 5, 6.
Каждое дробное решение представить в виде суммы
целого числа (положительного или отрицательного) и
положительной правильной дроби. Встретится ли одна
и та же дробь в выражении двух различных корней и
в этом случае?
561.	Показать, что если в уравнении ах-\-Ъу—с (полагая,
что а и Ъ числа целые и взаимнопростые} неизвестному у
давать последовательные целые значения, начиная с 0 и
кончая а — 1, и представлять в каждом случае выражение
х в виде целого числа и положительной правильной дроби,
то числители всех дробей должны быть различны. (Восполь-
зоваться методом доказательства от противного, предполо-
жив, что при двух подстановках ?/] и у2 соответственные
значения хг и х2:
^=4®=*+^
таковы, что г1 = г2}.
Coitpanw. сворвяк упритя. и задач Ч III.
9
— 130 —
562.	Пользуясь результатом, полученным в предыду-
щей задаче, показать, что (в случае взаимно-простых
а и Ь) при подстановке вместо у чисел 0, 1, 2... а — 1
один (и только один) остаток t\ должен оказаться равным
О, т.-е., что одному из написанных целых значений у всегда
соответствует одно (и только одно) целое значение х.
563.	1) Указать условие необходимое и достаточ-
ное для того, чтобы неопределенное уравнение ах-\-Ъу=с
имело целые решения.
2) Указать возможно меньшее число подстановок по-
следовательных целых значений (вместо одного из неизвест-
ных), при котором непременно будет получена одна си-
стема целых решений 1) при а >6, 2) при а <6.
564.	Найти пару целых решений уравнения 8х -|- оу = 15.
565.	Найти ряд систем целых решений этого уравнения.
Составить таблицу этих решений. Можно ли по двум
первым парам решений написать остальные? Сколько си-
стем целых решений имеет данное уравнение? Представить
графически все решения данного уравнения. Указать целые
решения и соответствующие приращения значений х и у
при переходе от одной системы к наименее от нее отли-
чающейся другой.
566.	Решить предыдущую задачу применительно к урав-
нениям:
1) 5.г-|-6у4-13; 2) 9т—«/ = 17;	3) Зх-f- 1у = 10.
567.	Показать, что если т и п найденная пара целых
решений неопределенного уравнения ах-}-Ьу=с, то
х = »»Ы
у = ч—at
или
х — т — bt
у= n + at,
где t произвольное число, также удовлетворяют этому урав-
нению. При каких значениях I, х и у имеют в этом случае
целые значения?
568.	Пусть т и н найденная пара решений неопреде-
ленного уравнения ах— Ьу=с; показать, что
х = -f- м
// = n-J-at,
— 131 —
где t произвол ьщг целое относительное число, также пред-
ставляют пару целых решений этого уравнения.
569.	Решить в целых числах, если это окажется воз-
можным, способом подстановки 'проб) следующие урав-
нения:
1) 4.r-J- 1у = 100;
3) 0»4-35г/=;287;
5) 5.г14«/= 17;
7) 14аг —21у = 23;
2) 15jt J-10г/=211;
4) Ух-^7у=0;
6) оу — 25 = 7,
8) 25г/—3.з=20.
Найти в каждом случае те из целых решений, которые
удовлетворяют еще следующим дополнительным условиям:
1) чтобы х было>7, а «/<13; 2) х<7 И «/<7; 3) х и у
были положительны; 4) х имело положительное значение,
а у отрицательное; 5) чтобы и х и у имели отрицательные
значения.
§ ♦. Решение неопределенного уравнения способом после-
довательного деления.
570.	Решить уравнения: 1) х — Зг/ = 0, 2) х -J- 4г/ = 5 отно-
сительно х. При каких значениях у неизвестное х полу-
чает целые значения?
571.	Решить уравнения: 1) Ьх—7у, 2) Зт=5«/ относи-
тельно х. Кратным какого числа должно быть у, чтобы х
было целым числом? В какой форме поэтому может быть
представлено у! Как выразится в таком случае х через
вспомогательное неизвестное?
572.	Решить уравнения: 1) Ьх—7у-\-~, 2) Зт—5=^«/ от-
носительно х. Кратным какого числа должно быть у -J-1,
чтобы х было целым числом?
573.	Решить уравнения: 1) 7«/ = 10«/—10, 9г/4-13 = 13т
относительно у. Кратным какого числа должно быть х—1,
чтобы у было целым числом?
574.	Решить уравнения: 1) 5г=7у-}-2» 2)	= — 2 от-
носительно х и исключить целое число из полученных
дробей. Кратным какого числа должно быть: 1) у -4-1,
2) у — 1. чтобы х было целым числом?
575.	Решить уравнение 5y = 7x-J-3 относительно у и
исключить целое число из полученной- дроби. Кратным
,	9*
— 132 —
какого числа должен быть числитель полученной дроби,
чтобы у было целым числом? Вновь полученное уравне-
ние решить относительно х и исключить целое число из
полученной дроби. Кратным какого числа должен быть
числитель новой дроби, чтобы х было целым числом? Вы-
разить у и х через вспомогательное неизвестное, кратным
которого является последний числитель. Составит ь таблицу
целых решений для у и х и дать графику этих решений.
576.	Решить предыдущую задачу для уравнений:
1) 7z = 40 —5,	2) Их—130=16.
577.	Решить способом последователвного деления сле-
дующие уравнения:
1) 7х -[-190=106;	2) Юх—17«/ = 5;
3) 43х — 170 = 27;	4) 15z-f-110 = 137.
578.	До каких пор приходится продолжать поием после-
довательного деления?
579.
I = !£iW=8 + 8!,42±S;
Пользуясь приемом, указанным во втором из данных ра-
венств, ускорить решение следующих уравнений:
1) 4х —150 = 14;
2) 50=13 — 24х.
580.	Решить следующие уравнения в целых и 1) поло-
жительных, 2) целых и отрицательных числах способом
последовательного деления или способом подстановки (проб):
1) 13-г-[-1000 = 2711;
3) 17х 4- 50 = 90;
5) 5х=110— 77;
7) 4z-[-0 = 100;
9) Зх 4" 250 = 28;
11) 31 х -)- 110 = 1000;
13) 150—19^=100;
15) 15.г-[-410 = 3003;
17) 4.x — 30 = 5;
2) 17^4-2870 = 1000;
4) 5х-|-80 = 71;
6) За:—200=14;
8) 5а: —120 = 0;
10) 13^ 4-20 = 80;
12) 8х-[-330	770;
14) х— 70= 15;
16) 45х—320 = 60;
18) 9x4-0=11;
— 133 —
19) Из- — ly =10;	20) Юг—17^/ = 5;
21) y = 17+ ^(17-^);
2-z) 19z 4- 51 у — 127 = 437 — 17r -j- 13y.
581.	Решить неопределенные системы в целых и поло-
жительных числах:
1) 17-г —8г/4-5г = 47,
4«4~ 10«/— 25^ = 51;
3) х—Зу— z =—10,
3-г-|-у —г = 16;
2) 9хЦ-23/4-7^ = 27.
4-г4"Зг/4-^ = 12;
4) 5*— 4у4-7г = 8,
1О.г 4- 1у— з — 10.
582.	Выяснить, почему уравнение ах — Ьу—с имеет бес-
численное множество систем целых и положительных ре-
шений, а уравнение ах-\-Ъу = с (а и Ъ суть взаимнопро-
стые натуральные числа, с—любое целое относительное
число), имеет лишь ограниченное число таких систем или
их совсем не имеет (Геометрическая интерпретация!)
§ 5. Задачи, приводящие к решению неопределенных
уравнений.
583 1) Имеется 1000 рублей десятирублевыми и трех-
руолсвыми дензнаками. Сколько тех и других?
2) Покупатель, сделав в магазине покупку на 713 ру-
блей расплатился 50-и з-рублевыми кредитными билетами.
Сколько он дал тех и других?
3) Некто, сделав покупку па 3 руб. 50 коп., отдал в
уплату несколько двугривенных, а сдачу получил трех-
копеечными монетами. Найти число двугривенных и трех-
копеечных монет.
4> Пз 25 листов сшиты тетради различного объема по 3
п по 5 листов. Сколько тетрадей вышло того и другого
объема?
5)	Какое количество почтовых марок 5 и 7 копеечных
можно купить на 1 рубль?
6)	При решении уравнения ах 4- Ъу=71 нашли, что х=8
П!/=3. Определить коэффициенты а и Ъ (а и Ь целые
числа).
— 134 —
7)	Разность двух дробей, имеющих знаменателями 24
и 60 рачна Найти числители этих дробей.
8)	Найти дробь, от прибавления к числителю и знаме-
нателю которой по 7 получается |.
9)	Через 5 лет лета двух братьев будут относиться как
5:3. Сколько лет каждому из них в настоящее время, если
сумма их лет более 30-ти и менее 40?
10)	Два работника начали одновременно общую работу,
но через несколько дней один из них ^захворал, вследствие
чего пришлось оканчивать работу другому без помощи
первого. Сколько дней каждый из них работал, если пер-
вый один мог бы окончить всю работу в 10 дней, а второй,
также один, в 18 дней?
11)	Найти два капитала, из которых первый, будучи
отдан по 8-*%, приносит ежегодно процентных денег па
86 рублей более, нежели второй, отданный по б%-
12)	В двузначном числе по ошибке цифра единиц была
поставлена на месте десятков, а цифра десятков на месте
единиц; вследствие этого получилось число на 36 единиц
менее требуемого. Найти число, которое следовало написать.
13)	Если к числу, записанному тремя цифрами, изобра-
жающими три последовательных натуральных числа, при-
бавить число, изображенное теми же цифрами, но в обрат-
ном порядке, то получится сумма, изображенная тремя
одинаковыми цифрами. Найти это число.
14)	В числе 8053 заменить 0 такою цыфрою, чтобы по-
лучилось число, делящееся на 17 без остатка.
15)	Найти две дроби с знаменателями 45 и 36, дающие
в сумме
16)	Прибавив к делимому и делителю по 3. получим
в частном 16; отняв от тех же чисел по 3, получим в част-
ном 16 и в остатке 90. Найти делимое и делитель.
17)	Представить дробь в виде суммы двух дробей со
знаменателями 5 и 7.
18)	Представить дробь в виде суммы двух дробей со
знаменателями 9 и 13.
19)	Представить дробь в виде разности двух дробей
со знаменателями 14 и 9
- 135 —
20)	Представить дробь 6® в виде разности двух дробей
со знаменателями 17 и 4.
21)	Найти для х значение, при котором дробь -3'~ ?
обращается в целое положительжое число.
22)	Найти значение х, при котором дробь обра-
щается в целое положительное число.
23)	Как разменять 100 рублей кредитными билетами в
5 и 3 рубля?
24)	а) Найти наименьшее целое положительное число,
которое при делении на 7 дает в остатке 6. б) Найти наи-
меньшее целое положительное число, которое цри делении
на 13 дает в остатке 4.
25)	Найти наибольшее двузначное число, которое при
делении на 7 и на 49 дает в остатке 1.
26)	Найти наименьшее трехзначное число, которое при
делении на 9 и на 11 дает в остатке 2.
27)	Каждый рабочий одной партии получал по 3,5 руб.
за день, другой партии—по 2,4 руб.; сколько было рабочих
той и другой партии, если первая партия зарабатывала в
день на 23 рубля больше второй партии, и если известно,
что число рабочих обеих партий было менее 20?
28)	На какие две дуги, содержащие целое число граду-
сов, можно разделить окружность, если известно, что число
градусов одной дуги делится без остатка на 5, а число
градусов другой без остатка на 4?
ДЕСЯТАЯ ГЛАВА.
Непрерывные дроби.
§ 6. Конечные и бесконечные непрерывные дроби.
584.	Проверить справедливость следующих равенств:
1) и = 3 4-1-^- = (3,2,2); 2+т 3>n=8+:+i__> !+5	Н ё 4) — = ——	• 35	3 + ^	j-’
— 136 —
5> й=
10,8,1,1,5).
585.	Путем последовательного деления показать, что
1) 17 И 5,	2) 94 И 11,	3) 9 И 35
суть числа взаимнопростые, т.-е. что их общий наибольший
делитель равен 1. Сравнить в каждом отдельном случае все
получаемые частные с «частными знаменателями» отдельных
звеньев соответствующих непрерывных дробей предыдущей
задачи.
586.	Представить в виде непрерывных дробей:
П К’’	$ й’		4).J;
5)	6)	7 100	8>S’
	10) 0,2475;	11) 3,14;	12) 0,3125;
13) 3,14159.
Следующие непрерывные ^троби обратить в простые:
1) (О,	1,	2,	3),	2)	(0,	2.	5,	7,	2),
3) (3,	5,	1,	1, 2),	4)	(2,	2,	2,	2,	3),
5) (0,	1,	1,	2, 5,	5),	6)	(0,	1,	2,	3,	4,	5).
587.	Дана непрерывная дробь:
(3, 7. 15, 1, 288).
Вычислить простые дроби, в которые обращаются дроби,
получаемые из непрерывной, если в ней удержать одно,
два, три и т. д. звеньев (т. и. подходящие дроби).
588.	Решить предыдущую задачу для дробей:
1) (7, 1, 2, 5),
3) (2, 7, 1, 2, 1, 3),
2) (О, 5, 1, 1, 2),
4) (0, 2, 1, 1, 1, 5).
589.	1) Найти для каждого отдельного случая предыду-
щей задачи разность между непрерывной дробью и каждой
из ее подходящих дробей. 2) Указать, какие из подходящих
— 137 —
дробей больше непрерывной и какие меньше? 3) Указать,
какие из любых двух последовательных подходящих дробей
ближе подходят по величине к непрерывной дроби?
590.	Доказать, что всякое рациональное число может
быть представлено в виде конечной непрерывной дроби.
591.	Представляя j 5 в виде 2-]--^-, найти, между ка-
кими целыми числами заключено число х- представляя х
в виде a -f- . где под а разумеется приближенное значение
ri
х по недостатку с точностью до 1, нг>йти, между какими
целыми числами включено число а-п; представляя Zj в
виде «i-f-—. продолжить указанный процесс возможно даль-
ше. Может ли процесс обращения / 5 в непрерывную дробь
закончиться, т.-е. может ли |/ 5 быть обращен в к о н е ч-
ную непрерывную дробь или нет? Почему? Какое число
определяется бесконечной непрерывной дробью?
§ 7. Свойства подходящих дробей и их числителей и
знаменателей.
592.	Обозначая подходящие дроби: первую через вто-
рую через третью через ~ и т. д.,
1)	найти выражение и т. д., если непрерывная
дробь имеет вид
^=«в.твэА 1	/
2)	указать, чем разнятся друг от друга выражения
ив виде непрерывных дробей?
7s 7s
3)	показать, что ~ может быть получено из у, если в
выражении этой дроби заменить аг через Oj-J-J-.
4)	Выразить: 1) р3 и q3 через р.,, q2 и а2; 2) pt и q4 че-
рез р3, q3 и а3.
— 138 —
59- Дана непрерывная дробь х=(аи, аи с»2, а3... ак, ак+г,... ап1.
Составить выражения членов подходящей дроби |2 через
и а,,... |-5 через р3, qa, р4, qit а4. Составить по аналогии
общие формулы для выражения рк и qk через р(._2, q,.-2 pfc_ls
д',.-, и afc-i и доказать справедливость этой формулы, поль-
зуясь методом полной индукции. (Обратить внимание на то,
чем отличаются друг от друга выражения и если они
представлены в виде непрерывных дробей.)
594. Найти подходящие дроби следующих непрерывных
дробей:
1) (0, 2, 1, 1, 3, 4),	2) (2, 7, 3, 1, 2, 8),
8) (О, 7, 1, 1, 3),	4) (3, 1 1, 2, 2. 3),
5) (3, 7, 15, 1, 288).
В каждом случае составить разности пар последователь-
ных подходящих дробей, вычитая из последующей предъ-
идущуъ\ Чему равны числители в^ выражениях полученных
разностей? Как выражаются знаменатели этих разностей
через знаменатели сравниваемых подходящих дробей?
595 Дана непрерывная дробь: х — (р0, аг, а2,... ак. а,;+1,...ая).
1J Составить выражения ~	2) способом полной
индукции доказать, что — — — — =	-. На основании по-
Йп йп-1 Йпй«-1
лученного результата установить соотношение, которым
связаны члены двух последовательных подходящих дробей.
3) Доказать на основании установленного соотношения, что
получаемые при вычислении по установленным формулам
подходящие дроби несократимы.
596. Составить разность между	На основании
йп йп—9
рассмотрения составленной разности показать, что подходя-
щие дроби нечетного порядка представляют ряд возра-
стающих чисел, а подходящие дроби четного порядка—
ряд убывающих чисел.
5)7. Обратить 3.141G (елп) в непрерывную дробь и соста-
вить разности между данной дробью и ее подходящими.
Какие из этих разностей положительны, какие отрицатель-
ньС Какими неравенствами связана данная дробь с двумя
— 139 - -
последовательными подходящими дробями? В каком случае
знак неравенства переходит в знак равенства?
598. Вычислить подходящие дроби и составить разность
между двумя любыми смежными подходящими дробями
следующих непрерывных дробей:
1) (1, 2, 3, 4, 5),	’	2) (5, 4, 3, 2, 2),
3) (0, 2, 4, 6, 8),	4) (0, 1, 3, 5, 7),
599. 1) Представляя непрерывную дробь (%, аР аг,... ак
о,.,...) в виде	где а-к=(ак, показать,
2) Принимая во внимание, что значение непрерывной дроби
заключено между значениями двух последовательных под-
ходящих дробей, найти ошибку приближения при замене
непрерывной дроби подходящей дробью. 3) Как изменится
дробь, выражающая ошибку, если заменить произведение
знаменателей квадратом знаменателя дроби с меньшим
указателем.
600. Определить ошибку приближения: 1) 2-й и 4-й под-
ходящих дробей непрерывной дроби:
(3, 7, 15, 1. 292, 1, 1, 1, 2...);
2) 4й и 6«й подходящих дробей:
(О, 12, 1, 1, 1, 2, 3, 7;...);
3) 3-й и 5-й подходящих дробей:
(1, 2, 1, 4, 5, 1, 2...).
601. Вычислить приближенные значения следующих дро-
бей с ошибкой, не превышающей: а) 0,001, б) 0,00001,
в) 0,000001:
1)	(О,	6,	6.	6,	6...),	2)	(2	4,	4,	1.-.),
3)	(0,	2,	1,	2,	1, 2,	1,	2...),	4)	(4,	2,	1,	4, 2,	1 ...),
5)	(0,	3.	1,	4,	1, о,	7,	6...),	6)	(0,	1,	1,	1, 1
— 149
602. Предполагая, что дробь ближе подходит к данной
непрерывной, чем подходящая —, показать на основании
9к
рассмотрения разностей:”—1,/! и	что т.-е.
что не существует дроби, ближе подходящей к непрерывной
дроби и имеющей меныпий знаменатель, чем —.
603. Пользуясь приемом, указанным в задаче 512, вы-
разить в виде непрерывной дроби следующие корни:
1) I 5;	2) ~6;	3) /10,	4) | И;
5) /бб;	6) /б5;	7,' | 82;	8) «/101.
(Вычислить эти корни с ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,01, 0,001, 0,0001).
604.	Найти значения следующих периодических непре-
рывных дробей:
1) (1, 2, 2, 2...),
3) (4, 8, 8 8...),
5)	(5, 3, 2, 3, 10, 3, 2,
6)	(6, 2, 12, 2, 12...),
7)	4, 2, 8, 2, 8...).
2)	(1, 1, 2, 1, 2...),
4) (4, 4, 8, 4, 8...),
3, 10,..),
§ 8. Решение неопределенных уравнений при помощи
непверывных дробей.
605.	Пусть дробь у при обращении в непрерывную дробь
имеет предпоследней подходящею дробью (последней
подходящей является сама дробь найти разность межд}
непрерывной дробью и предпоследней подходящей дробью.
В полученном равенстве освободиться от дробей и написать
неопределенное уравнение, систему решений которого пред-
ставляют числа с и d, если дробь -д-: 1) четная по порядку,
2) нечетная по порядку.
141 —
606.	Найти пару целых решений следующих уравнений;
1) 5х — 6г/= 1;	2) 10*—7у=1;
3) 13*4*5^= 1;	4) 8»4-3«/=1.
607. Найти пару целых решений следующих уравнений
1) 5*—63/ —17;	2) 10а — 7g/= 5;
3) 13*4-5^ = 150;	4) 8*4-3»/= 90.
608. Решить способом непрерывных дробей в целых и
положительных числах следующие уравнения:
1) 14*— 37</ = 71;	2) 29* 2у = 303;
3) 37* —28«/ = 203;	4) 7* — 2у = 203;
5) 77*4 9у=1294;	6) 25* 4-301у = 376.
Четыцехзначвые таблицы логариф
N-I	L.0		2	з	4	5	6		8	9 l!			р. р.			
10 п	0000 414	043 453	086 492	128	170	212	253	294	334	374		43	42	41	39
				531	569	607	645	682	719	755	1	4.3	4.2	4.1	3 9
12	792	828	864	899	934	969	104	038	072	106	2	8.6 12.9 17.2	8.4 12.6 16.8	8.2 12.3 16.4	7 8 11.7 15.6
13	1139	173	206	239	271	303	335	367	399	430	4				
14	461	492	523	553	584	614	644	673	703	732	5	21.5	21.0	20 5	19.5
											6	25.8	25.2	24.6	23.4
									987		7	30.1	29.4	28.7	27.3
15	1761	790	81ь	847	875	903	931	959		014	8	34 4	33.6	32.8	31.2
16	2 041	068	095	122	148	175	201	227	253	279	9	38.7	37.8	36.9	35.1
17	304	330	355	380	405	430	455	480	504	529					35
18	553	577	601	625	648	672	695	718	742	765		38	W	36	
19	788	810	833	856	878	900	923	945	967	989	1	3.8	3.7	3.6	3.5
											2	7 6	7.4	7 °	7.0
20	ЗОЮ	032	054	075	096	118	139	160	181	201	3 4	1» 4 1Р 2	11-1 14.8	10.8 14.4	10.5 14.0
21	222	243	263	284	304	324	345	365	385	404		19.0	18.5	18.0	17.5
22	424	444	464	483	502	522	541	560	579	598	6	22.8	22.2	21.6	21.0
23	617	636	655	674	692	711	729	747	766	784	8	26.6 30.4	2и.9 29.6	28.8	28.0
24	802	820	838	856	874	892	909	927	945	962	9	34.2	33.3	32.4	31.5
25	3 979	997	014	531	048	065	082	099	Т16	133		34	33	32	31
26	4150	166	183	2СК<	216	232	249	265	281	298	1	3.4	3.3	3.2	3.1
27	314	330	346	362	378	393	409	425	440	456	2	6.8	6.6	6.4	6.2
28	472	487	502	518	533	548	564	579	594	609	3	10.2	9.9	9.6	9.3
29	624	639	654	669	683	698	713	728	742	757	4 5	13.2 17.0	13.2 16.5	12.8 16.0	12.4 15.5
											6	20.4 23.8 27.2	19.8 23.1 2G.4	19.2 22.4 25.G	18.6 21.7 24 8
30	4 771	786	800	814	829	843	857	871	886	900	7 8				
31	914	928	942	955	969	983	997	011	024	038	9	30.6	29.7	28.8	27.9
32	5 051	065	079	092	105	119	132	14э	159	172					
33	185	198	211	224	237	250	263	276	289	302		29	28	27	26
34	315	328	340	353	366	378	391	403	416	428	1	2.9	2.8	2.7	2.6 5.2
1											2	5.8	5.6	5.4	
35	5 441	453	465	478	490	502	514	527	539	551	3	8.7	8.4	8.1	7.8
36	563	575	587	599	611	623	635	647	658	670	4 5	11.6 14 5	11.2 14 0	10.8	10.4 13 0
37	682	694	705	717	729	740	752	763	775	786	6	17.4	16.8	16.2	15.6
38	798	809	821	832	843	855	866	877	888	899		2<>.3 23.2 26.1	19.6 22.4 25.2	18.9 21.6 24 3	18.2 20.8 23.4
39	911	922	933	944	955	966	977	988	999	610	9				
40	6 021 128	031 138	042 149	053 160	064 170	075 180	085 191	096 201	107 212	117		25	24	23	22
41										222			2.4 4.8 7.2	2.3 4.6 6.9	2.2 4.4 6.6
42	232	243	253	263	274	284	294	304	314	325	1 о	2.5 5.0 7.5			
43	335	345	355	365	375	385	395	405	415	425	3				
44	435	444	451	464	474	484	493	503	513	522	4	10.0	9.6	9.2	8.8
											5	12.5	12.0	11.5	11.0
											6	15.0	14.4	13.8	13.2
45	6 532	542	551	561	571	580	590	599	609	618	4	17.5	16.8	16.1	15.4
46	628	637	646	656	665	675	684	693	702	712	8	20.0 22.5	19.2 21.6	17.4 20.7	17.6 19.8
47	721	730	739	749	758	767	776	785	794	803					
48	812	821	830	839	848	857	866	875	884	893					
49	902	911	920	928	937	946	955	964	972	981		Z1			
											1	2.1	1.9	1.8	1.7
															
50	6 990	998	U07	016	024	033	042	050	059	067	2 3	4.2 6.3	3.8 5.7	3.6 5.4	3.4 5.1
51	7 076	084	093	101	ПО	118	126	135	143	152	4	8.4	7.6	7.2	6.8
	160	168	177	185	193	202	210	218	226	235	6	10.5 12.6 14.7	9.5	9.0	8.5
53	243	251	259	267	275	284	292	300	308	316	7		13.3	12.6	11.9
54	' 324	332	340	348	356	364	372	380	388	396	8	16.8	15.2	14.4	13,6
												18.9	17.1	16.2	15.3
	|7 404	412	419	427	435	443	| 451	459	| 466	[474					
MOB ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 10090.
N.	L.0	1 ‘	1 2	3	4	5	6	7	8	9	1	р. р	
55	7 404	412	419	427	435	443	451	459	466	474		16	Г 15
56	482	49J	497	505	513	520	528	536	543	551	1	1.6	1 5
57	559	566	574	582	589	597	604	612	619	627	2	3.2	3.0
58	624	642	649	657	664	672	679	686	694	701	Р	4.8	4.5
59	709	716	723	731	738	745	752	760	767	774	4 5	6.4 8.0	6.0 7.5
											6	9 6	9.0
60	7 782	789	796	803	810	818	825	832	839	846	8	11.2 12.8	10.5 12.0
61	853	860	868	875	882	889	896	903	910	917	9	14.4	13.5
62	924	931	938	945	952	959	966	973	980	987			
63	993	ООО	007	б!4	021	028	035	041	048	055		14	13
64	8 062	069	075	082	089	096	102	109	116	122	1	1.4 2.8 4.2 5.6 7 0	1.3 2.6 3.9
65	8 129	136	142	149	156	162	169	176	182	189	3		
66	195	202	209	215	222	228	235	241	248	254	5		6.5
67	261	267	274	280	287	293	299	306	312	319	6	8.4	7.8
68	325	331	338	344	351	357	363	370	376	382	7	9.8 11.2 12.6	9.1 10.4 11.7
69	388	395	401	407	414	420	426	432	439	445	9		
70	8 451	457	463	470	476	482	488	494	500	506		12	1
71	513	519	525	531	537	543	549	555	561	567			1
72	573	579	585	591	597	603	609	615	621	627	2	2.4	2.2
73	633	639	645	651	657	663	669	675	681	686	3	3.6	?.з
74	692	698	704	710	716	722	727	733	739	745	4	4.8 6.0	4.4 5.5
													6 6
75	8 751	756	762	768	774	779	785	791	797	802	7	8Л 9.6 10.8	
76	808	814	820	825	831	837	842	848	854	859	9		9 А
77	865	871	876	882	887	893	899	904	910	915			
78	921	927	932	938	943	949	954	960	965	971		9	8
79	976	982	987	993	998	004	009	015	020	025	I	0.9	0.8
											2	1.8	1.6
ИО	9 031	036	042	047	053	058	063	069	074	079	3	2.7	2.4
81	085	090	096	101	106	112	117	122	128	133	4	3.6 4.5 5.4	3.2
82	138	143	149	154	159	165	170	175	180	186	6		4.8
83	191	196	201	206	212	217	222	227	232	238		6.3	5.6
84	243	248	253	258	263	269	274	279	284	289	8 9	7.2 8.1	6.4 7 2
85 86	9 294 345	299	304 355	309 360	315 365	320 370	325 375	330	335	340		7	6
		350						3'0	385	390			
87	395	400	405	410	415	420	425	430	435	440	1	0.7 1.4 2.1	0.6
88	445	450	455	460	465	469	474	479	484	489	2		1.8
89	494	499	504	509	513	518	523	528	533	538	4	2.8	
											5	3.5	3.6
	9 542										6	4.2	3.6
90		547	552	557	562	566	571	576	581	586	7	4.9	4-2
91	590	595	600	605	699	614	619	624	628	633	8	5.6 6.3	4.8 5.4
92	638	643	647	652	657	661	666	671	675	680			
93	685	689	694	699	703	703	713	717	722	727			
94	731	736	741	745	750	754	759	763	768	773			
													
											1		0.4
95	9 777	782	786	791	795	800	805	809	814	818	о 3	1.0 1.5	0.8 1.2
96	823	827	832	836	841	845	850	854	859	863	4	2.0	1.6
97	868	872	877	881	886	890	894	899	903	908	5. 6	3.0 3.5	2.0
98	9Г2	917	921	926	930 .	934	939	943	948	952			2.8
99	956	961	965	969	974	978	983	987	991	996	8	4.0	3.2
											9	1.5	3.6
100	0 000	004	009	013	017 ।	022	026	020	035	039 I			
Значении тригониыетрических функций для целых грацусев.
NO	Sin.	Tang.	Cot.	Cos.	|	NO
0	0.000	0.000	CD	1.000	90
1	0.017	0.017	57.290	1.000	89
2	0.035	0.035	28.636	0.999	88
3	0.052	0.052	19.081	0.999	5?
4	0.070	0.070	14.301	0998	86
5	0.087	0.087	11 430	0.996	85
6	0.105	0105	9.514	0.995	84
7	0.122	0.123	8.144	0.993	83
8	0.139	0.141	7.115	0.990	82
9	0.156	0.158	6.314	0.988	81
10	0.174	0.176	5.671	0.985	80
11	0.191	0.194	5.145	0.982	79
12	0.208	0.213	4.705	0.978	78
13	0.225	0.231	4.331	0 974	77
14	0.242	0.249	4.011	0.970	76
15	0.259	0.268	3.732	0.966	75
16	0.272	0.287	3.487	0.961	74
17	0.292	0.306	3 271	0956	73
18	0309	0.325	3.078	0.951	72
19	0.326	0.344	2.904	0.946	71
20	0.342	0.364	2.747	0.940	70
21	0.358	0.384	2 605	0.934	69
22	0.375	0.404	2.475	0.927	68
23	0.391	0.424	2.356	0.921	67
24	0.407	0.445	2 246	0.914	66
25	0.423	0.466	2.145	0.906	65
26	0.438	0.488	2.050	0.899	64
27	0.454	0.510	1.963	0.891	63
28	0 469	0.532	1.881	0.883	62
29	0.485	0.554	1.804	0.875	61
30	0.500	0.577	1.732	0.866	60
31	0.515	0.601	1.664	0.857	59
32	0.530	0.625	1.600	0.848	58
S3	0.545	0.649	1.540	0.839	57
34	0.559	0.675	1.483	0.829	56
35	0.574	0.700	1.428	0.819	55
36	0.588	0.727	1.376	0.809	54
37	0.602	0.754	1.327	0.799	53
38	0.616	0.781	1.280	0.788	52
39	0.629	0.810	1.235	0.777	51
40	0.643	0.839	1.192	0.766	50
41	0.656	0.869	1.15J	0 755	49
42	0.669	0.9«,	1.111	0.743	48
43	0.682	0.933	1.072	0.731	47
44	0.695	0.966	1.036	0.719	46
45	0.707	l-'ХЮ	1.000	0.707	45
. N» .	Cos.	Cot.	Tang.	Sin.	NO
— 145 —
Семизначные таблицы логарифмов некоторых чисел (для вычислений
сложных %°/0, рент и проч.)-
N	L	Н	L
1,00010	0000434	1,03500	0149403
1,00100	0004341	1,03600	0153598
1,00167	0007247	1,03750	0159881
1,00250	0010844	1,04000	0170333
1,00300	0013009	1,04200	0178677
1,00400	0017337	1,04250	0180761
1,00500	0021661	1,04500	0191163
1,00600	. 0025980	1,04750	0201540
1,00750	0032451	1,04800	0203613
1,00825	0035682	1,05000	0211893
1,00900	0038912	1,05250	0222221
1,01000	0043214	1,05400	0228406
1,01200	0051805	1,05500	0232525
1,01500	00R466O	1,05750	0242804
1,01800	0077478	1,06000	0253059
1,02000	0086002	1,06250	0263289
1,02250	0096633	1,06500	0273496
1,02400	0103000	1,07000	0293838
1,02500	0107239	1,07500	0314085
1,02700	0115704	1,08000	0334238
1,02750	0117818	1,09000	0374265
1,03000	0128372	1,10006	0413927
1,02250	0138901	1,12000	0492186
Сократи- сборник упряжн. п задач» Ч. III.
10
ОТВЕТЫ,
20.
41.
1) 60; 3) 50.
1) 60480
23. 1) 6!2!; 2)
53. 1) 21; 3) 66.
12!
57.
1,3) 10.
59. около 4971 л.
71.
1) а) 30; б) 120.	74.
40. 1) 9s; 3) 9.10*.
5^	—1). g) «(«—1).
И. 1)3; З/fc» И.*»
1) 650; 3) 14950. 109. 1) 2,591;
11) 1,268; 13) 1,125; 15) 1,029.
1) «=14; 2) такого члена нет.
117. 1) а) 1,04, в) 1.036, д) 1,0475, ж) 1JA
600 л
3) 148,02 р.
10326,7 руб.
3) 1814,7 р.
5) 4984 р.
144. 1) 3,5%.
123. 1) 134,39 р.;
3) 19352,6 р.;	5)
130. 1) 1791 р.:
3) 152/,96 р.;
143. 5,512%.
127. 1) 14974,5 р.;
129. 41457 руб.
137. 1) 5259,8 р.;
141. 1) 8800 р.; 3) 120 р.;
1) 17 л.; 3) 28 л.; 5) 27 л. 148. 1) 23,44 г.; 3) 36 л. 5 мес.
3040.	72.
3) 1,116; 5) 0,3882; 7) 0,9304; 9) 1,117;
113. 1) 252; 3) сумма = 29150; 114.
115. 1) 28(а— 1)»(а + 1).
2) а) 5»/., в) 3,6%, д) 5*/., ж) 4%.
125. 4865,1 р.
7) 143363 руб.
134. 792,9? р.
139 8010 р.
145. 21 г. 147.
149 1) а) в 7,2446 раза; в) в 2,6658 раза; 3) 6,168°,'о; 5) при учете
суммы на день покупки оказывается, что В предлагает на 614 р. больше
Л, С на 127 р. меньше Л.; 7) 389881 р.; 9) ок. 18 л. 150. 3) для 1 года: 111 р.;
для 2-х лет: 122,31 р.; для 3-х лет: 134 р.; 5) 14558,5 р.; 8) 2267 р.;
9) 2 7 л.; 12) 84,30 р.;
9) а) 15169,3 р. г)
на 28,77
159.
162
170.
180.
184
13) 3628,9 р. 151. 3) 2207,5 р. 7) 3032,2.
на 16-м году. 152.	1) А вносит
158. 1) 1; 3)|.
О о
8
6
5
36
15169,3 р.
р. больше В; 5) 1474 р. приб. 7) 18516. 157. 1)1.
10
4
1)
в1
3)1.
tea 1)1;	3) 1
736	' 36
12
161. 2
11
3
9
5
7
10
216’
36*
175. 1)
£
72’
21
36’
181. 1)
3)”
' 95
7	25
72’ 216’ 216’
3) 1.	1
4
3) 1
г 8
185. 1) А.
176.
18
216’ 72’
1)
3
1)
1 9
1)
95*
9) i; 1П 3+2i; 13) 12—бг, 15) 1—i/ЗГ
21) У-i	23)
2	'	2	WJ2 + И» Т «
зв
163.1, А
« Г₽ Г5-
183- 1) ±;
187. Л—А.
3
17) |/2^ — /з:
25)-‘-i-l
»* -J- n2	2	2
в
12
1. 164. 1) А; 3) 1б.
Di; 3)*L.
3) 1- -1 .
2
253. 7) 1— 2i;
19) 3 —2i /5;
27) 0;
9
— 147
29) 2®2—1+2®» /Г=®2; 31)	i, 33)2а. 257.	1) — ху, 3) — а; 5)6»;
7) — ,/5; 9) аЬ3 *»; Ц) &№i\	258.	1) (а—Ь)г;	3) (а—&)’. 260. 1) 2»;
3) а2—Ь2+2а6»; 5) 1+4»	7) 2—4» /2; 9) 2(а2—62); 11) а) 2(» -1);
13) ~1+l->/L 15j—£------17) 1.262.	1)	2<as + 10а3Ь2 + БаЬ1);
3) 32; 5) 64». 7)—56280. 9)—1024.	264. 1) |/	3) 3 + 2»;
5) 5+2»; 7) 4+»; 9) 6+7»; 11) 2+9». 13) 2+0,5», 15) 4,- 4,2»,—2».
319. i Ъ (~—g ^); 3) /(0,309+0,951») и т. д.
5)	и ь Д-; 7)	^-i;	9)^.
*	У L	L	&	L.
339. ') 11; 3) а; 5) 1;	7) у! 9) 4®; 11) 2а®; 13) 2®; 51) а-
17) 2(®—1); 19) 2а®+6;	21) 2а®+&.	34.. l)tgu=j;
9) tga0=O, tga1==4, tg а—3——12; 11) tg а0=0, tg а= 2a. tg a 3= — 6a
2	6
15) tga,=C, tga!=—, tga—3=——• 344.	1) ®=0,	^=2;	3)	®=0
iX	U
2/=—1; 5) x=—4; y=— 4; 7) x——=->’ y~^ 9) ®={-. 2/=зЦ;
a—b	(a+6)2	.	a+6
11)®=—1, y=—17.5;	13) x—~y,	y=—у '	x==~2~>
348 jj p=_i;	3) /J=0.	349. 1) p=—2;	q=—2;
3) p=—3,	g=4,25.	355. 1) y——xa+2®+9;	2) y=- ®2 -6®+?.
358. a) 9,81 мр. в сек.; 6)19,62; в) 31.39;	3) a) с—29,43:
с®
в) gt и — at. 359. 1) t=y s=29’	3) 12 ы₽’; квадрат,
„	(а+Ъ)\	[а+Ъ^,
7) а) на полуразность сторон; 61 s=—j—»	в)—, 9) z пип.
в прямоугольном треугольнике с гипотенузой с н катетом Ь, приле-
h
жащим углу а; Г2) квадрат; 14) прямоугольник с высотою -^“И
основанием 15)^	364. 1)6®2; 3) 4га2; 5) За®2; 7) 3®-+2®;
9) З®2—12	11) З®2—2®—16;	13) З®2—22®—16;	15) З®2—2®—4;
17) 3®2+2а®+6.	365. 1) 3®2+1-	3) +6®2;	5) 3(®±1/;
7) З®2,	24®2.	367. Ymax при ®=—«/„,1п-прн ® = О,
,	6+/Т
3) не им. ни max, ни min.;	5) )mQ1- при ®=—у
н ymtn- при х=б 7 * 9 * *~^ -;	7) не имеет; 9)	хтт=— з;
О
— 148 —
11) ни max., ни min. 13) При а?* О не имеет ни maximum'a, ни
minimum'a. 15) Если Ъ—а[> О, то minimum при х—Ъ и max. х=—^^
b
17) не имеет ни max. ин min.	377. 1) min. при х=2а'
2Ь
5) не имеет;	7, minimum при х=О, maximum при х=—
378. 1)<с=4;	У=1^;	<р«=1|;	3) ®=0. у=25, tya=-3;
5) ®=1;	7) а;=5=	9) ар -О,	у—0,	tg п=6;
„ .. а 2л3 аЪ .	, а*	_	.
379 1)®=—	у—=—= + с; tga=Ъ—3) ®=О, y=q, tg а=р,
О	4/ о	О
384. 1) при г=27г;	3)	5) гри h =2(r~o)+ /З^г-о)2.
393. 1) ®»+1;	3) ®2-2®+2;	5)®2—4®-|-5;	7)®»+?®-
394. 1) ®2+1=0;	3) х*-4х+5= 0;	395. 1) ®’—За>+®-3= =0;
3) ®’—5®2=9®—5=0;	5) (®+2)(®2— 2®+2)=0.
396. 1) ®*—2®»+За;2—2®+2=0;	3) (®8—4®+5Х®2—2®+5)=0;
5) ®*-|-(aa-)-b21®2-f-fl262=0. 398. 1) xt=O, ®а=1, ®3=-f-5, xt и ®3—мнимые.
3) 1,—3,+2; 5) ®(=®2=1, ®3=+i, ®4=—г; 7) xt=—1, ®а=а^=1;
Xi=xs=—1.	399. 1) а;3—6а;2-|-11®—6=0;	3) а-8—5®3-|-4®=0,
5) 2®’—7®*—9®3—9®2—1х—2=0;	7) ж5-]-®*—2®3—2®24-®+l=0.
402. 1) ®3—6®а+11®—6=0;	3) ®»—19®+30=0;	5) ®3—7®2—5®+35=0.
7) (®-t-8)(®—0,36)(®+0,75)=0;	9) 8®3+6®a—553®-833=0;
11) ®3—5®а+8®—6=0;	13) ®3—8л:-|-3=0.	403. 1) (®—5)»=0;
3) (х—ге)3=О. 404. 1) ж3--Юж2—100®-|-1000=0; 2) (®—а)2(®—Ь)=0.
406. 1) х>—3®а—10®-|-24=0; 4) 24®3- -26®’ )-9®+1=0; 5) ®8—3®2-|-7®—5=0.
— »/~1~
407. 1) ®(=3, ®а>3=---— ;	3) ®,=6,	®,=®s=l;	5) ®=1, 2, 3
408. 1) 1/=(®-1)(®+2)(®+3);	3) ^=®(®+2)2.
109. 1) ®*—10®»-|-35®2—50®+24=0;	3) 2®»—9®Ч 14®2- -9®+2=0;
5) 2®*—2®»+3®2- -2®4-1=0;	7) ®«—7а*4-12=0;	9) ®«—®2-р1=0.
410. 1) ®*-|-Б®2+4=0;	3) ®‘—17®2-|-16=0;	5) ®‘+4=0;
411. 1) 15®*—128®3-|-290®2—128®-|-15=0.	3) х>— 2,5®3-|-2®а—2,5®41=0;
5) ®*—3®3+4,5®2—3®-|-1=0.	412. 1) р=5, 8=2; 2) р=4, д=5.
413. 1) 3,^6,	6. —3) ®„2=i,	®s=2i, ®4=—2г;
5) *2;	3+ ^5;	7) 1,	2, 3, 6.	416. 1) 27г3-54г-80=0;
3) подстановка ®=®'4-1а;	424.	1) подстановкой	®=®'—1;
3) ®=®'—2; 5)	а=®'—а.	449. 1) 4®3;	3) 15®<*; 5) ®«; 7) 64®3;
9) 5г?8®*; 11) 25; 13) и®"-*; 15) (2гг—I)®2"-’; 17) ®"; 19) 5 /5аЛ
21) 6к2®8.	450. 1) «/'=5®*,	у"=4.5.®3,	у’"=3.4.5®2;	3) 2®8,
5.2®*, 4.5.2.®3; 5) (гг4-1)а®п, «(n-f-lja®""1, (w—l)n(n+l)a®n“а,
- ®“-‘ ®п_а ®п“’ а(я—1)®п-а	а[п— 1)(п—2)®"“’
’ (я—1)!’	(я—2)!’	(®—3)!’	У) ~ ~ Ь ’	Ь ’
— 149 —
471. 1) Нет;
ч-4-
д(н—1)<н—2)(п—3)д" 1	454 j) ^_иа!п-1_|_(Я_1)ал-».
3) y=M^-‘+(«-l)oi®’‘-2+<«-2^’,-3-|---.4-(n-«f+’X»/'‘+...+e.-h
5) y==a;«-,4-.-En-s+a:’,-s+... яЧ-1.	458. 1) 2(aJ5+®3+®) • (5x* f3x2 |-1);
3) 2(.т’Ч-.т’'-1+. • - +»» j-®»+l)[wa^_*4-(n—l)a?*“’+ • • • +2®+l];
5) &г’4-3л»-4д:»-2я;5—1;	7) a*f'(x)±nx’'-,f(x);	9) 2Да:ЧГ(х);
11) y’=—5(1— a:)*;	13) y=im(a-bMn_*. 469 !)	3) s=0;
5) Z|?;	7) 64;	9) 0.	470. 1) 1;	3) 5;	5) ±1;	7) ± ‘/2?
3) при x—— 1;	5) нет. 472. 1) ±1;.	3) ^3;
473. 1) При действительных значениях х не получает;
3) при а>=—2.	476. 1) 2;	3) п; 5) пап~1; 7) 6;
9)2.;	11) 4-	479. 1) У—Д; 3)У’=-£; 5) -£^_иа;--*.
1	FF	Оч ° 1 1	К\ п Ь 2с
481. 1) ?/ —— ~пТГ» У=^Гх 3)-^+1’	а;з’
25 ос at 2а2	_ ^<4	_ 2го" 482 1) У ——fi
хз+ж*’-	7)~а;2~а:2	•"	яп+'	?	Ь’
Ут|п.=+6; 3) ^иНп—8» г=—21 5) Minimum при а:=±2, max. прн	—2.
485. 1.	486. 1) Yina»-=—®>	linin’—^то« ~2> -fp .
Ь) У_„-0.	Ъ	Гл=в, 9) Г.„ =1, У.,,=9.
487. 1) tg.a=O;
3)	/а2—X2
9> ~7гЬ
5) катеты = /2s?
20	10
9) ширина'^— см.; высота 3/— см; 489.
490. 1)	3) Л/L; 0> 5^,- 7)
♦ з/-
11) #'=За:/жя-|-1.	491. 1) Квадрат; 3) 7г=2У1.
5 г
496. 1) 2;	3) а; 5)	7) 1;	9)
499. 1)а cos х, —a sin х; 3) sin 2х;	2 cos 2х;
5) 4 sin’z.cos ж,
4(3 sin2a:.cossa;—ein*.i)	7) sin 2х,	2 cos 2л:;
9)
х cos х—sin x
x2 ’
—a;*sin ат—2a? cos a:+2 sin x.
x3	’
15 cos 2a:,	—2 sin 2as;
11) 0,0;
17)
J cosV
14ч 2cosa:
ld) sin’o: ’
l-|-sin2a:_
~cos2a: ’
4^-2 cos’.r_
sin*x ’
19) У =0.
1) з/’=1;
502. 1) Maxim, прн a:=^(27c+l),*
л	5
3) max. при я^^-|-2Ап, min. прн^к-|-2Ля;
min. при a^=it(4Zc—1)—1.	504. 1 c~gaj>
min. при a?=-^(3-|-27;);
5) max. при ®=г.(1-|-4Л)—1,
2 sin x_ _	2
cos’x ’	' cos22a;’
— 150 —
8 sin 2x	--------!
----o^>	5) .ж
cos 2a	’ и cos*—
и
„___ 2o7)isin(ba;4-c)
V ~ ' cos3'.ba;-|-c) ’
2 sin-
м.
sc’
??2cos3-
n
П> 2^’
z
,	•	IK -	1	1
x cos »4-sin ж:	15 у ~	;------—s—,
'	’ a cos2r sin<t:
508. 2) 1) Имеет hj ди при a=2fct±'J;
беек знач. нет; 3) нули при ж=2Лп,
* л j- Л
нет. 510. -н.
Z
’ °-- 9>-г«тгг
. X
sm -2
-----;	13) a sin ж;
COsS2
„__sin*a;+cos,a?
' cos3a+sin3.t
maxim, при a=fai-|-(—1>^',
maxim, при х—kr., беек. знач.
538. 1) х > 12;
3) х > 56—2а;
с.	тр—а
5) при »г > 0 z > —тг—,
1D
при т < 0,3 <;	7) х > 7-| или х < 7.	542. 3 ф. и 4 ф.; 4 ф и
1Э	®
5 ф. и т. д. 544. А А 1, А, А и |. 548. 1)а<10; 3) z > ®;
5)ж>^; 7) к >—93|;	9) при 6>4, t>6—4; при Ъ < 4, t < Ъ—4;
... г ih+n ,	,	»гЧ-и
11) у	(ПРИ одинаковых знаках у, т и п (т^=п) и у <
(при разных знаках у т и п)..	583.	1) 1 и 330,	4	н 320 и т. д.
3) 19 и 10, 22 и 30 и т. д.;	5) 13 и 5, 6 и 10;	7) 1 и 1, 3 и 6 и т. д.
или 1 и 4, 3 и 9 и т. д.; 9) 25 н 13; 11) 104 и 4, 116 н 21 и т. Д.
13) 123, 234, 345;	15) | и °-, Ц и 1 и т. д. 17)
21) х— 13#—6 при t>0; 23j 2 и 30, 5 И 25 и т. д.; 25) 99; 27) 10 и 5.
604. 1) /2; 3) /л]
3) 7 и 2 и т. д.;
5) /28; 7)
5) 5 и 1U1.
к'М 608. 1) 13 и 3, 50 и 17 и т. д.
14 и 24.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие.........................................    .	3
Отдел первый.
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Комбинаторика (теория соединений).
§ 1.	Соединения..........................  ........	. .	5
§ 2.	Перестановки ....	........... .6
§ 3.	Размещения ...	. .	.10
§ 4.	Се тетания......................................   .12
§ 5.	Смешанные задачи................................- - 16
§ 6.	Бином Ньютона для натурального показателя. Вывод формулы
бинома Ньютона. Свойства коэффициентов разложения по би-
ному Ньютона (биномиальных коэффициентов). Примеры. До-
казательство формулы бинома методом полной индукции. Задачи.
Общин член разложения бинома............................. 18
ВТОРАЯ ГЛАВА
Приложение теории соединений и формулы Ньютона.
§ 7.	Вычисление сложных процентов. Примеры. Смешанные задачи. 24
§ 8	Элементы теории вероятностей. Определение вероятноств. Про-
стейшие примеры. Опытная проверка результатов, дазаэмых
теорией вероятностей. Сложение и умножение вероятностей.
(Смешанные задачи)....................................... 33
— 152 —
Отдел второй.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Тригонометрические функции.
Стр.
§ 1.	Синус и косинус дуги и угла..................... За
§ 2.	Проекции. Синус и косинус супимы двух дуг (углов).43
§ 3.	Функции тангенс и котангенс. Графическое решение триго-
нометрических уравнений.............................. 45
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.
Комплексные числа.
§ 4.	Мнимая единица. Комплексное число............... 50
§ 5.	Действие над комплексными числами............... 52
§ 6.	Тригонометрическая форма комплексного числа. Полярные ко
ординаты...........................................   58
Отдел третий.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Рациональные целые и дробные функции.
§ 1.	Пределы.............................................. 68
§ 2.	Функции первой и второй степени. Производная. Mvnvmum и
»иыя»ияп целой функции второй степени....................... 70
§ 3.	Целая рациональная функция третьей степени. Maxima и mi-
nima функций. Вторая производная. Точки перегиба в каса-
тельная в точках перегиба. Геометрическне приложения ... 78
§ 4.	Некотор! ie общие свойства целой рациональной функции
(многочлена) n-ой степени. Теорема Безу и ее приложение.
Корни уравнения n-ой степени. Рациональные (целые) корни
уравнения и-ой степени...................................... 87
§ 5.	Уравнения третьей н четвертой степени................ 90
§ 6.	Дифференцирование целых рациональных функций. Определе-
ние непрерывной функции. Производная степени и постоян-
ной. Производная суммы и разности. Производная произведе-
ния. Смешанные задачи....................................... 99
§ 7.	Понятие об интеграле................................ 104
§ 8.	Дробные рациональные фунцин. Нули и бесконечности функ-
ций. Производные. Maxima и minima. Смешанные задачи.
Исследование кривых.........................................109
— 153 —
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Простейшие иррациональные н трансцендентные функции.
С>пр.
? 9. Производные простейших иррациональных функций......114
§ 10. Тригоном< трические функции. Производные функций sinus и
cosinus. Производные остальных тригонометрических функций.
Смешанные примеры. Задачи из физики................116
Отдел четвертый.
СЕДЬМАЯ ГЛАВА.
Неравенства.
§ 1. Свойства неравенств............................... 121
§ 2. Решение неравенств ................................12j
ВОСЬМАЯ ГЛАВА.
- Неопределенные уравнения.
§ 3.	Нахождение целых решений неопределенного уравнения с
двумя -неизвестными.....................................127
§ 4.	Решение неопределенного уравнения способом последователь-
ного деления............................................131
§ 5.	Задачи, приводящие к решению неопределенных уравнений . 133
ДЕВЯТАЯ ГЛАВА.
Непрерывные дроби.
§ 6.	Конечные и бесконечные непрерывные дроби...........135
§ 7.	Свойства подходящих дробей и их числителей и знаменателей. 137
£ 8. Решение неопределенных у[авненпй при помощи непрерыв-
ных дробей.........................................110
Таблицы:
Четырехзначные таблицы логарифмов..................142
Значения тригонометрических функций для	целых	градусов . 141
Семизначные таблицы логарифмов некоторых	чисел.....115
Ответы...........................................  116
Сокращен. сборник упражн, й задач. Ч. III,
11

ГОСУДДРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО носквд
ВЧЕЕНИКИ И ВЧЕВНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I в 11 ОТПЕКИ.
Русский язык.
Азбука разрезная на 2-х листах. II. 10 к.
Аль¥.едингсн,Н. Семилетка. Книга для чтения
в дошкольном классе и  классе А. Ц. 1 р.
Его же. Грамотное письмо. Материал для со-
знательного списывания в классе. Ц. 70 к.
Его же. Читай выразительно. Материал ио
толковому чтению в клзссе А. Ц. 55 к.
Ананьин, В. Утренние всри. Первая книга
для чтения в шп зле и дома. Пзд. 3-е. Ц. 00 к.
Ананьин, В. н Флгроз, В. Утренние вори.
В те рая книга для чтения- Ц. 1 р. 50 к.
Ананьин, В.,Селезнев, И., Гусаков. В и др.
Практическая грамматика. Ч. L Изд. 21-е.
И 25 к.
Их же- To-же. Ч. II. Краткие сведения ив эти-
мологии и синтаксиса для школ I ступени.
Ц. 50 к. Ч. Ш. Ц. 70 к.
БЛОНСКИЙ, П. П- Красят я зорька. Первая книга
для чтения в сельской школе, Ц. 1 р.
Борзова, П А. Первый вылет. Букварь для
детей. П. 50 к.
Бродский, Н. Л., Меппельсон, Н. М. Сидо-
ров, Н. П. и др. Наш мир. Книга для за-
нятия родным язиком. Ч. II. Изд. 2-е-
II. 2 р. Ч. Ш. Пэт. 10-е. Ц. 2 р.
БродскнЙ, Н. Л., Мендельсон, Н. М., Си-
доров, Н- П. Историко-литературная хре-
стоматия Ч. Г. Изд. 4-е. Ц. 2 р. Ч. П. Изд.
2-е. Ц 2 р. Ч. Ill. Ц. 2 р. 50 к.
Вахтеров, В. П. Новый русский букварь для
обучения письму и чтению. Ц. 35 к.
Его же. Первый шаг. Букварь для чтения н
письма. Ц. 20 к.
Вахгеровы, В. и Э. Мир в расскавах для де-
тей. Первая после букваря квига. И- 70 к.
Их же. Мир в расскавах для детей. Вторая
после букваря книга. Ц. 1 р. 10 к.
Их же. Мир в рассказах для детей. Третьи
книга дтя чтения. Коваленскнй. М. Н.
Рассказы из русской истории (Вчера и
завтра,'. Д. 2 р.
Гиппиус, В. Синтакоио современного рус-
ского язика. Изд. 4 е. Ц. 30 к.
Горобец, А. Ив деревни. Авбука. U. 25 к ,
в папке 50 к.
Горбуновы-Посадовы, И. и Е. Ясная ввез
дочка. Вторая книга для чтения. С рисун-
ками. Ивд. 21-е. Ц. 1 р. 50 к,
Их же. Красное солнышко. Первая книга для
чтения. Ц. 70 к.
Горовой, С. Перьоначальяый учебник повой
русской грамматики. Морфология и син-
таксис. Ц- 16 к.
Его же [.рактическнйкугс правопнсан. Ц.12к.
Гусев, Н-, Сидоров, н. Снатвкоис русского
яньпса. Ц. 60 к.
Державин, Н.Маленькая грамматика Ивд. 3-е.
Ц. во к.
Его же. Учебник русской грамматики. Опыт
научно-элементарного курса. I. Основы
Фонетики и морфологии. Изд. 5-е. И- 75 к.
Нэвое праг описание. Стенная таблица.
Ц. 10 К.
Петров, К Ф Русский язык- Спит практи-
ческого учебника русской грамматики. Этн-
м элегия в образцах. Пзд. 33, Ц, 70 к
Его же. Русский язык. Опыт практического
уч бняка русской грамматики. Синтаксис
в г бравцах. Изд. 5-е. П. SO к.
Пешковскнй, А М. Наш язык. Учебная книга
по грамматике для школ I сутпенн. Вий. I.
Интонация, Ритм. Звуки. Ц 1 р.
Его же. Вып. П. Элементы морфологии к
синтаксиса. Ц. 1 р- 50 к.
Поляков, В. Г. Живая речь. Учебная книга
по родному явыку. Пзд. 2-е- Кл- I. Ц. 40 к.
Кн. 11. Ц. 50 &•
Поляков, В=Г. Родной язык. Сборник у синих я
письменных упражнений по развитию речи.
Вып. I. Ц. 75 к Вып. И. Ц. 75 к.
Саводннк, В. Очерки по истории русской лс«
lejaiypu XIX века. Изд. 0-е. Ц. 1 р. 30 к.
Соловьева, Е. н Тнхеевы, Е. и Л. Русская гра-
мота. Чтение после авбукп. С рис. Ц. 1 р.
Стеблев, А Новый наглядный букварь „Дет-
ский мир*. Ц. 60 к.
ЕГо же. Детский мир в расскавах и картинах.
Первая после букваря книга. Ц. 75 к.
Вторая после букваря книга. Ц. 1 р. 50 к.
Толстой, Л. Н. Книга для чтения. Ц. 40 к.
Тулупов, Н. В- Кпижки-первинки для малых
ребят. от 2—13 по 3 к.
Умковская, С. А. Букварь. .Первая вякка“.
Ивд. 2 е. Ц. 12 к.
Флеров, В. Новый русский букварь. Ц. 35 к.
Его же. Наглядные уроки письма. Прописи,
картинки, в 1да ш, правила. Поосбне дтя
учащихся, составленное согласно давным
современной психологии.Кн.1. Первые шаги.
Изд? 18-е. Ц. 40 к. Кя. П. для 1 и 2 года
обуч пня. Ц. 50 к. К f. Ill, для 3 н 4 года
обучения. Ивд. 11-е. Ц. 65 к.
Его же. Ясное утро. Первая книга для чтеяня
Ц. 75 к.
Его же. Мой словарик. Краткий справочник
для учащихся, по новому правописанию.
Пзд. З е. Ц. 8 к.
Шапошников, И. Н. Задачи по правописа-
нию па основе активности п с^одеятель-
иости учащихся. Изд. 5-е. И- 1 р.
Его же. Орфографический с то в ар нк с прило-
жением задании для письмен, упражнении.
Ц. 15 к.
Его же. Первые ступени правописания в связи
с работами по развитию речи. Вып. Г. Ц. 40 к.
Его же. Картинки для сочинений Пособие к
развитию письменной и устной речи.
Изд. 3-е. II. 80 к.
Щепетона, Н. Н. и Флеров, В. А. Саыодик-
танты и свободные диктанты. Материалы
для орфографических упражнений в связи
с развитием речи. Ц. 1 р.
Математика.
Астряб, А- М. Курс опытной геометрии (ин-
дуктивно-лабораторный метод изложения).
II- 2 р.
ЕГО Же- Начальный курс геометрии. Первая
ступень. Изд- 6-е. Ц. 1 р. 20 к,
АрженйКОВэ К- П, Сборннкзадач по математике
для старших классов школ I ступ* Ц. 40 к.
Его же. Сборник задач по математике для
школ I ступени. Год обучения I. Ц. 40 к.
Его же. То же- Год обучения 2. Пзд.2-е. Ц.ЧОк.
Его же. „ „ «	•	3. Ц. 40 к. *
Его же. „ • „	„	4. Изд. 2-е. Ц.40к,
Бем, Д- А., ВОЛКОВ, А. А. и Струве, Р. Э. Со-
кращенный сборник упражнений и яадач по
элементарному курсу алгебры. Ч. I. Ц. 1 р.
Ч. И. U. 1 р. Ч. Ш. Ц. 1 р.
Бог пеон, ф» и Сатаров, В. Сбори. арнфмет.
задач для школ I ступени. Ч. I. Ц. 60 я.
Их же. Сборн. надач и примеров для усвоения
метрических мер и весов, Ц. 30 к.
Их же. Наглядный сборник арифметнч. задач
и примеров. Ц. 60 к.
Борель, Э. Арнфметика. Первый шаг. Перев.
А. Долгова, жод реД- Д. Л. Волковского
Изд. 2-е. Ц. 1 р. 25 к.
Волковский, Д. Л. Детский мир н числах.
Первый год обучения. С рис. Изд. 9-е. Ц. 50к.
Его же. Детский ынр в числах. Второй год
обучения. Изд. 8-е. Ц- 50 к,
Его же Детский ынр в числах. Третий го>
обучения Изд. 4-е. Ц. 50 к.
ВОЛКОВСКИЙ, Д Л. Числа первого десятка. Дли
дегей дошкольного возраста. Изд. 2-е. Ц. 2> к.
Вольф, Фр- Хр. Практическая геометрия. Вып.I.
Пособив для учеников. Ц. 25 к.
Воронен, Л. Справочник по математике для
учащихся и школах II ступени. Изд. 2-е.
Ц. 1 р. 50 к.
Его же. Конспект школьного курса матема-
тики. Ц. 40 К.
ГлаЗинап, С. П Народный вадачник для школ
1 ступени. Ч. I. Ц. 50 к. Ч. II. Ц. 50 к.
Ч. III. Ц. 70 к.
Его же. Тригонометрия. Ч. I. Решение прямо-
угольных треугольников. Ц. I р. Ч. И. Го-
ниометрия Ц. 1 р. Ч. III. Решение сфери-
ческих треугольников. Ц. 50 к.
Гольденберг. А. И. Беседы по счислению.
Под ред. Д. Л. Волконского Ц. 1 г. 60 к.
Герхер, Б. Учебник злементарной геометрии.
Вып. I. И. 50 к. Бып. II. Ц. 50 к.
Горбунова - Посадова, Е. и Цунзер, И.
Жявые числа, экнвые мысли, руки за ра-
ботой. Кп. I. Пвд. 2-е. II. 75 к.
Горячев, Д Н. Основания анализа бесконечно-
малых. Изд. 8-е. Ц. 60 к.
Гюнтер, Н. М. Краткий курс тригонометрии.
Ц. 1 р. 10 к.
Давидов, А. Натальи, алгебра. Изд. 24-е. П. 2 р.
Его же. Элементарная геометрия. Изд. 39 е.
Ц. 2 р.
Егоров. В. В., Жуков, Н. И., Карасев, П. А.
Фроловский, А. А. Сборник арнфметич.
задач с правилами и определениями ариф-
метики Изд. G-e. И. 85 к.
Звер jB, Н- К- Улрмевтарная геометрия. Изд.2-е.
Ч. I. Планиметрия. Вып.’Т. Ц. 80 к. Вып II,
Ц. 75 к. Ч. II. Вып. II. Стереометрия. Ц. 40 к.
Звягинцев, Е. и Бернашевскнй, А. Живой
счет в городской школе. Пллюстриров.
сборя. арифмет. задач и упражн. Вып. I.
Изд. 4-р. II. 5J к. Вып. II Изд. 4-е. Ц. 70 к.
Вып. Ш. Изд 3-е. Ц. 50 к.
Зепченко, С. В. и Эменов, В. Л. Жизнь и вна-
ние в числах. Сборы, арифмет. задач для
деревевск й школы I ступени. 2-й год об-
. учения. Изд. 3-е. И. 50 к. 3-й год обучения.
Изд. 3-е. Ц. 50 к. 4-й год обучения. Изд, 4-е-
Ц. 60 к.
Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки или
арифметика для всех. Кн. I. Изд. 6-е.
Ц. 1 р. 25 к. Кя. II. Изд. 4-е. Ц. 1 р. 50 к.
Кн. Ш. Ц. 2 р. 25 к.
Извольский, Н. Геометрия в пространстве
(стереометрия). Изд. 3-е. П. 1 р. 30 к.
Его же. Геометрия на плоскости (плани-
метрия). Изд. 3-е. Ц. 2 р.
Кавун, И. Начальный курс геометрии для школ
I ступени. Ч. I. Ц. 70 к. 'I. II. Ц. 70 к.
Его же. Приближенные вычисления. Кура
элементарный. Ц. 1 р.
Назаров, А. Сбора, задач по аналитической
геометрии на плоскости. Ц. L0 к.
Карасев, П. А. Геометрия на подвижных мо-
делях. Ц. 60 к.
Его же. Элементы геометрии, изучаемые на
перегибании листка бумаги. Ц. 5о к.
Камсньщнков, Н. Самодельная логарифми-
ческая линейка. Ц. 2 к.
Его же. Трехзиачные логарифмы. Ц. 6 к.
Его же. Четырехзначные логарифмы чпеел и
тригонометрических функций. Ц. 10 к.
Киселев, А. Графическое изображение неко-
торых функций, расматрнваеыых в элемен-
тарной алгебре. Изд. 5-е. Ц. 50 к.
Его же. Элементарная алгебра. Изд. 33-е.
Ц. 2 р. 50 к.
Его же. Элементарная геометрия. Изд. 27-е.
Ц 2 р. 50 к.
Клазен и Бах. Сборник геометрических задач
к учеб и. елеыеитарной геометрии Герхера.
Ч. I- Планиметрия. Изд. 3-е- Ц. 25 к.
Комаров, А. Ф. Арифметический задачник для
школ I ступени. Вып. I. Ц. 20 к. Вып. Н.
П. 30 к. Вып. ИГ. И. 25 к.
Крогнус, В. А. Прямолинейная тригонометрия.
Кобелева, Е. II. Сборипк задач по геометрии
Кулишер, А. Р. Учебник геометрии. Первая
ступень. Ц. 1 р
Лебетинцев, К. Ф. Руководство алгебры.
Изд. 4-е. Ц. 2 р.
Его же. Счет н мера. Ч. I. Ц. 1 р. 20 к. Ч. II.
Ц. 1 р. 30 к.
Лайков, А. В= Арифметический задачник на
основе обшестповедепия. Ц. 1 р. 25 к.
Мартэль, Ф. Быстрый счет. Правя ;а и упраж-
нении для учащ пел. Изд. 2-е Ц 65 к.
Михайлов, А. Таблицы логарифмов с четырьмя
десятичными знаками. Ц. 20 к.
Марти и, П. и Шмидт, О. Геометрия дома,
поля и мастерских. Ц. 1 р.
Никитин, А. И. Первая ступень из геометрии.
Изд. G-е. Ц. 20 к.
Его же. Вторая ступень ив геометрии. Пвд. 5-е.
Ц. 50 к.
Норрис, Э. и Крэго, Р. Практическая мате-
матика для техникjb. Ч. II. основы ал-
гебры, геометрии и тригонометрии. Из ь£-е.
Ц. 1 р. 50 к.
Норрис, Э. и Смит, К. Практическая ариф-
метика. С приме! ами из физики и механики
Изд. 2в. Ц. 1 р. 50 к.
Перельман, Я. И. Новые и старые меры.
Изд. 3-е. Ц. 15 к.
Его же. Практические занятия ио геометрии.
Ц. 80 к.
Его же. Новый задачник ио геометрии.
Изд- 2-е. Ц. 1 р. 50 к.
Пениоижкевич, К. Б. Основания аналитиче-
ской геометрии. Изд. 4-е. Ц. 75 к.
, Пржвальскнй, Е- Прямолипейгая тригоно-
метрия и собрание тригонометрических за-
дач. Изд. 10-е. Ц. 2 р. 50 к.
Его же. Пятизначные таблицы логарифмов и
тригонометрических величии. Изд. 2-е.
Ц. 90 к.
Рашевский, К- Краткий курс арифметики.
Ц. 50 к.
Рыбкин, Н. Сборник геометрических задтч
на вычисление. Ч. I. Планиметрия. Ц. 75 к.
Ч. II. Стереометрия. Ц. 75 к.
Его же. Собрание стереометрических ватач,
требующих применения тригонометрии.
Изд. 9-е. Ц. 60 к.
Его же- Учебник прямолинейной тригономе-
трии и собрание задач. Ц. 1 р. 10 к.
Се i ванов, Д. Основания арифметики. Ц 60 к
Сигов, И. А- Начальная ма емагика. Ц I р. 80к.
Его же. Проекционное черчение в курсе гео-
метрия. Ц. 60 к.
Его же. Практические занятия по геометрии.
Ц. 12 к.
Соколов, Ф Ф. Метрическая система мер и
весов. Изд. 2-е. Ц. 20 к.
Тер-Степанов, И. С. Сборник задач по арифме-
тике. Вы». I. Первый год обучения. IL 1 р.
Уэнтуорт, Г. А , Рид, Е. М. Первоначальная
арифметика. Перепод и ред. Д. Л. Волкоз-
| скоро. Ц. 1 р. 50 к.
। Фридман, В. Г. Концентрический сборник
алгебраических задач. Ц. 2 р.
Его же. Сокращенный концентрический учеб-
ник алгебры для школ II с тупев.!. Ц. 2 р.
Его же. Учебник теоретической арифметики.
Изд. 3-е. Ц. 85 к.
Шапошников, Н. А. Курс прямолинейной
тригонометрии и собрание тригонометриче-
ских вадач. Изд. 25-е. Ц. 1 р.
Шапошников, Н. А. и Вальцев, Н. К. Сбор-
ник алгебраических вадач. Ч. I. Изд. 25-е.
Ц. 80 к. Ч. II. Изд. 2-е. Ц. 1 р. 25 к.
Шохор-Троцкий, С. И. Учебник начальной
арифметики. Ц. 50 к.
История и обществопаденив.
Богданов, А. Начальный курс политической
вкоиомни в вопросах и ответах. Изд. 10-е.
Ц. 75 к.
Виппер, Р. Древняя Европа и Восток. Ц. 90 к.
Его же. Учебник древней исгорин. Ц. 1 р. 20 к.,
в цапке 1 р 45 а.
Виппер. Р Краткий учебник истории средних
веков, 11зд. 7-е. Ц. 80 к., в папке 9о к.
Его же. Учебник новой истории. Изд. 4-е.
Ц. 1 р. 30 к., в папке 1 р. 30 к.
Вольфсон, М. Б. Очерки обществоведения.
Изд. 4-е. Ц. 2 р. 25 к.
ЕГО же. ЭЛ’-мрпгарный курс политической
экономии. Ц. 1 р.
Замысловская, Е. Учебник истории. Изд. 3-е.
II. 80 К.
Ее же. За пъследняе сто лет. Книга для чте-
ния пл истории. Ц. 1 р.
Звягинцев, Е. и Бернашевский, А. Бека и
труд людей. Кн. для школ 1 ступени Ц. 40 к.
Кова ленский. М. Н. Вчера и завтра. Как и
откуда взялась новая Красная Россия
Ц. 1 р.
Его же. Русская история Ч. I. Изд. Э-е.
Ц. 1 р. 30 к. 4.IL Ц- 1 р. 50 к.
Его же. Хрестоматия по русской истории.
Т. I. Ивд. 3-е. Ц. 1 р. 10 к. Т. П. Изд 2-о.
Ц. 1 р- 50 к. Т. HI Изт. 2-е. II. 2 р. Т IV.
Изд. 3-е. Ц. 2 р. 75 к. Т. V. Изд. 3-е.
Ц. 2 р. 25 к.
Любимой, Л. Азбука политической экономии.
Ц. 1 р. 25 к.
Мартынов, А. С. Очерки русск. истор. Ц. 30 к.
Покровский, М. Русская истории в самом
сжатом виде. Изд. 3-е. Ц. 1 р
Естествознание.
Аркин, Е. А. Физиология человека. Изд.- 5-е.
Ц. 2 р.
Беляев, М. М. Ив класса в природу. Хрестома-
тии по природоведению. Изд. 2-е. Ц. 1 р. 50 к
Герд, А. Я., Герд, В. А. Учебник минералогии.
Ц. 60 к.
Герд, В. А. Строение и жнвиь человеческого
тела. Изд. 3-е. Ц. 65 к.
Виитергальтер, А. Ф. Практический курс
природоведения. Неживая природа. Изд. 2-е.
Ц. 85 к.
Игнатьев, Б. В. и Жаров, Ф. О. Растение,
его жнввь и польза, им приносимая. Изд.2-е.
Ц. 1р. БОК.
Игнатьев, Б. В. н Соколов, С. Наблюдай
природу. Тетрадь дли летних самостоятель-
ных работ и наблюдений. Вы и. приготови-
тельный. Ц.35 к. Bun. I. Ц. 40 к. Вып. II.
Ц. 40 к. Выл. Ш. Ц. 50 к.
Капелъкнн, В. Ф. Ботанические таблицы в
красках. Ц. 3 р. 50 к.
Капелькнн, В. и Цннгер, А. Природоведение.
Ч. I- Неживая природа- Изд. 6-е. Ц. 90 к.
Ч. П. Ботаника. Изд. 5-е. Ц. 75 к. Ч. III.
Зоологин. Ц. 90 н.
Никитинский, И. И Родная природа. Первая
книга по природоведению. Изд. 2-е. II. 50 к.
Никонов, Л. Н. Ботапнка. Учебник для сред-
него возраста. Изд. 3-е. Ц. 1 р. 50 к.
Огнев, С. И. Учебник воологни. Изд. 2-е. Ц. 2 р.
Полянский, И. И. О трех царствах припоты
П-< I. 14-я. Ц. 2 р. 50 к.	1 Р ы*
Его же. Сезонные явления в природе. Пзд 3-р
И. 1 ]». 50 К.
Райков, Б. Е- Человек и животные. Краткий
учебник анатомии и физиология человека
и зоологии для школ I п И ступ. Изд. 4-е.
Ц. 1 р. 30 к.
Трояновский, И. И. Курс природоведения.
Ч. I. Ц. 1 р. 25 к., в папке 1 р. 50 к. Ч. П
Ц. I р. 50 к. Ч. III. Ц. 1 р. 50 К.
Ульями некий, В. Неживая прнродз. Учебник
природоведения. Изд. 4-е. Ц- 75 к.
Усков, М. В. Первые у роки естествоведения.
Ч. I. Изд. 15-е. Ц. 60 к.
Шеффер, К. Опыты над живой природой.
Руководство для начинающих любителей
естествознания. Ц. 1 р. 80 к.
Шмейль, О. Человек, животные н растения.
Начальное природоведение.Кя. 1.Ц.1 р.50к.
Ягодовский, К. П Работы по естествовнапию.
Ч. П. Растения. Кинга для ученика. Ц-35 К.
Его же. Тело человека. Элементарный очерк
для предварительного ознакомления со
строением в жизнью животного организма.
Пзд. 4-е. Ц. 80 к.
Физика и химия.
Баранов, П. Начальная физика. Изд. 7-е.
Ц. 1 р. 50 к. в нереид.
Бачинский, А- Сборник вопросов я задач по
элементарной физике. Пзд. 2-е. Ц. 1 р. 25 к.
Его же Сокращенная физика. Для школ И сту-
пени. Ц. 1 р. 50 к.
Его же. Электричество и магпетивм. Ивд. 2-е.
Ц. 1 р. 20 к.
Григорьев, Г. Краткий курс химии. Мед. 12-е.
Ц. 1 о.
Его же. Курс физики. 4.1. Ивд. 5-е.Ц. 1 р. 60к.
Ч' П. Изд. з-e. Ц. 1 р- 60 к.
Григорьев, Г., Знаменский, П. и Кавун,И.
Практические занятия по физике. Изд. 3-е.
Ц. 1 р. 25 к.
Кашин, Н. В. Физика. I ступень. Курс по-
строен на основе лабораторных занятий.
Ч. I. Пзд. 2-е. Ц. 1 р. 30 к.
Его же. То же. Ч. II. Ивд. 2-е. Ц. 1 р. БО к.
Лебедев, П. П. Химия. Ц. 2 р.
Мэйн н Твнсс. Элементарный очерк физики и
ее практкч. приложений. Ч. I. Ц. 80 к.
Перельман, Я. И. Физическая хрестоматия
Ч. II. II. Ц. 1 р. 50 к.
Созонов,С. и Верховский, В- Первые работы
по химии. Изд. 5-е. Ц. 1 р.
Их же. Учебник химии. Пзд. 3-е. II. 1 р.
Смирнов, А. М Начальные сведения по физике.
Для школ I ступени. Ц. 1 р-
Цнмгер, А- В- Задачи и вопроси по физике.
Пзд. 2-е Ц. 2 р.
Его же. Начальная физика. I ступень Изд. 10-е.
Ц. 3 р. 25 к.
Цены обозначены в червонцах.
Торговый Сектор Государственного Издательства;
МОСКВА, Ильинка, Биржевая пл., Богоявленский пер., 4. Тел. 47-35.
ЛЕНИНГРАД, Проспект 25 Октября (Невский), 28. Тел. 5-49-32.
ОТДЕЛЕНИЯ: Вологда, Площадь Свободы; Воронеж, Проспект Революции, 1-й Дом Сонета;Ка-
зань. Гостинодворская, Гостиный двор,- Киев, Крещатяк, 38,- Кострома, Советская, 11; Крас-
нодар, Красная, 35; Нмжмнй-Новгород, Б. Покровка, 12; Одесса, Ул. Лассаля, 12, Пенза,
Интернациональная, 39/43; Пятигорск, Советский пр.. 48; Ростов-на-Дону, Ул. Фридриха
Энгельса, 106; Саратов, Ул. Республики, 42; Тамбов, Коммунальная, 14; Тиф л нс. Проспект
Руставели, 16; Харьков, Московская, 20.
МАГАЗИНЫ: Москва: 1. Советская пл., под гост. б. ,.ДрезтеИ“, тел. 1-28-94 2. Моховая ул., 17.
тел. 1-31-50. 3. Ул. Герцена (Б. Никитская), 13, ад. консерватории, тел. 2-64-95. 4. Никольская ул.,
д. 3. тел 49-51. 5. Серпуховская пл., 1/43. тел. 3-79-65. 6. Кувнецкий Мост, 12, тел. 1 01-35.
7. Покровка, Лялин пер.. И, тел. 81-94. 8. М. Харитоньевский, 4. тел. 1-81-84.9. Оптово-розничный
магазин при складе „Теплые ряды". Ильинка, Богоявленский пер., 4, тел. 1-91-49.
Ленинград; 1. проспект 25 Октября (Невский), 28. 2. Ул- Володарского (Литейный пр.), 21.
3. Проспект 25 Октябри (Невский), 13.