Похожие
Текст
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ
Д. БЕМ, А. ВОЛКОВ, Р. СТРУВЕ
СОКРАЩЕННЫЙ СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ I
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
НЛУ'\нО - ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ СЕКЦИЕЙ
государственного ученого совета
допущено для школ II СТУПЕНИ
[УЩЕНО Д.
.«—у \
/Г'.4 201—220 тысяча
'</934
- ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА ' ' ЛЕНИНГРАД
1
Гиз № 9077. Глав лит № 30936. Напеч. 20.000 экз-
1-я Образцовая типография Госиздата, Москва, Пятницкая, 71.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Выпуская «Сокращенный сборник упражнений и задач
по элементарному курсу алгебры», составители руководи¬
лись-тою же основной мыслью, что и при издании двухтом¬
ного «Сборника упражнений и задач», а именно, что идея
функциональной зависимости и графического представления
функций должны быть введены в изложение алгебры с пер¬
вых ступеней ее преподавания. Выпускаемый сборник со¬
держит разбор на задачах основных вопросов алгебры, кон¬
чая теорией квадратных уравнений и учением о логарифмах
и прогрессиях. Он предназначается для тех учебных заведе¬
ний, где курс алгебры ограничивается перечисленными от¬
делами.
Д. Бем, А. Волков, Р. Струве.
Июнь 1916 г.
1*
ГОС. НАУЧНА"*
■ ЖДАГ ^ ЧЕ' КА*
ЬИ f ТЕНА
“ЬЛ/У: ГШ.-&
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание представляет собою переработку
предыдущего.
Введен ряд новых задан, часть задач изменена, а неко¬
торые отделы дополнены.
Для облегчения пользования первыми изданиями на
ряду с третьим приняты следующие меры: 1) сохранена
нумерация задач предыдущих изданий; 2) в случае про¬
пуска каких-либо задач, бывших во втором издании,
Jsr° пропущенной задачи не заполняется следующей задачей,
а просто опускается; 3) вновь прибавленные задачи полу¬
чают предшествующей задачи с прибавкой литер: а, б и
т. д. JS? задач, в которых сделаны изменения, помечены
звездочкой.
Д. Бем. Р. Струве.
Октябрь 1921 г.
/
Q/0
1
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Употребление букв.
§ 1. Число и действия (повторение известного из курса
арифметики). Геометрическое представление чисел на
прямой (ось).
1. Начертить прямую, выбрать на ней произвольную
■точку О (начало) и в определенном направлении (вправо)
отложить на ней:
1) 1 см., 2 см., 3 см., 4 см. и т. д.
2) 1 ДМ., 2 ДМ., 3 ДМ., 4 ДМ. И т. д.
2. Назвать ряд натуральных чисел (числа, получаемые
при счете, называются натуральными или целыми числами) и
представить их точками на оси в масштабе:
1) единица=1 см.; 2) един. = 5 мм.; 3) един. = 5 линий.
3. Какое число изображается точкой, расстояние которой
■от начала равно: 1) 6 см., 2) 10 см., 3) 2 дм., 4) 1 м.,
5) 8 мм., 6) 15 мм., если принять масштаб:
а) единица =1 см.; б) единица — 2 мм.;
в) единица = 2 см.; г) единица=1 дм.
4. Приняв масштаб: единица=4 см., изобразить на пря¬
мой числа: 3; 2; 1; g; 0,25; 0,4; 0,6; 0,75.
5. Что значит сложить два натуральных числа, напр.,
2 и 3? Как называются числа, данные для сложения? Как
называется результат сложения?
6. Показать на числовой прямой (на оси), что
1) 3 + 5 = 8; 2) 2 + 7 = 9.
В каком направлении перемещаемся мы при сложении?
Всегда ли выполнимо сложение двух натуральных чисел?
7. Что значит вычесть 3 из 5? Какое действие назы¬
вается вычитанием? Как называется число, из которого вы¬
читают? Как называется число, которое вычитают? Как на¬
зывается результат вычитания?
8. Показать на числовой прямой, что
1) 5 — 3 = 2; 2) 8 —3 = 5.
9. Построить на оси разности:
1) б—з; 2) 6—4; 3) 6—5; 4) 6—б;„ 7j 6—7.
В каком направлении мы перемещаемся при вычитании?
Есть ли на оси помеченные точки слева от О?
Всегда ли выполнимо вычитание натуральных чисел?
Указать, в каком случае вычитание выполнимо и в каком
нет.
10. Что значит умножить 4 на 5? Что называется умно¬
жением на целое число? Какой знак употребляется при
умножении? Как называются числа, данные для умножения?
Как называется результат умножения?
11. Показать на оси, что 1) 2.3 = 6; 2) 3.5 = 15.
Какое число получается при умножении натурального
числа на натуральное? Всегда ли выполнимо умножение
двух натуральных чисел?
12. Что значит разделить 20 на 4? Какое действие назы¬
вается делением? Какой знак употребляется для обозначения
деления? Как называются данные и искомое в делении? Как
записать решение задачи: разделить 20 на 4?
13. Произвести на оси деление: 1) 6:2; 2) 6 : 3; 3) 3 : 2.
Всегда ли деление одного натурального числа на другое
выполняется без остатка? Каким числом может быть выра¬
— 7 —
жен результат деления, когда оно не выполняется без
остатка?
Как записать решение задачи: 1) 8:3; 2) 3:5?
14. Что значит сложит две дроби с одинаковыми зна¬
менателями? Всегда ли выполнимо сложение двух дробей?
15. Произвести умножение:
1) 2-|; 2) 3-0,4; 3) |-5-; 4) l^i-.
Что значит умножить число на g-?
16. 1) Какая связь существует между сложением и вы¬
читанием? В каком смысле вычитание называется действием,
обратным сложению?
3) В чем состоит связь между делением и умножением?,
В каком смысле деление называется действием, обратным
умножению?
Сложить два натуральных числа значит к единицам первого числа
присчитать единицы второго.
Сложить две дроби с одинаковыми знаменателями значит к долям
одной дроби присчитать доли другой дроби.
Вычесть из одного числа другое значит найти число, пвиложив ко¬
торое но второму, получим первое.
Умножить данное число на натуральное число значит взять дан¬
ное число слагаемым столько раз, сколько единиц в натуральном мно¬
жителе.
Умножить данное число на дробь значит разделить данное число
на знаменатель дроби и результат умножить, на числитель. Умноже¬
нием на дробь называется совокупность двух действий: деления
на знаменатель дроби и умножения на числитель.
Разделить одно число на другое значит иайти число, умножив
которое на второе из данных чисел, получим первое.
Слежение и умножение называются прямыми действиями, вы¬
читание и деление—обратными. Сложение и вычитание называ¬
ются действиями первой ступени, умножение и деление—дей¬
ствиями второй ступени.
§ 2. Значение скобок и их употребление.
17. Указать, в каком порядке должны быть произведены
действия в следующих примерах, и вычислить:
1) (3 + 5)+ 4; 2) 3 + (5 + 4);
3) (8 — 3) + 2; 4) 8 —(3 + 2);
5) (8 —4) —з; 0) 8—(4—3).
18. Указать в следующих примерах, где можно опустить
скобки, где нельзя, и почему?
1) (25 —10)+ 8; 2) 25 —(10 + 8);
3) (25 + 7— 11) + 8; 4) (25 + 7) —(11+8);
5) [(36 — 14) — 2] + 6; 6) [36 — (14— 2)] + 6.
19. Указать, в каком порядке должны быть произведены
действия в следующих примерах, и вычислить:
1) (4 . 3) . 5; 2) 4 . (3 . 5); 3) (8 : 4). 2; 4) 8 : (4 . 2).
20. Указать в следующих примерах, где можно опустить
скобки, где нельзя, и почему:
1) (60 : 4). 3; 2) 60 : (4 . 3); 3) (144 . 6): 2; 4) 144 . (6 : 2).
21. Указать, в каком порядке должны быть произведены
действия в следующих примерах, и вычислить:
1) (12. 4)+ (5.3); 2) (12. 4 + 5). з;
3) 12 . (4 + 5) . 3; 4) 12. [4+ (5.3)];
5) (600 . 120) —(15 . 4); 6) (600 . 120 — 15). 4.
22. Опустить скобки в следующих примерах и объяснить,
почему результат от этого не изменится.
1) (20 . 3) + (2 . 12); 2) (20 . 3) — (2 . 13);
3) (40: 2) + (30 ; 3) + (10 . 2); 4) (10 . 3) + (7 . 2) — (5 .3).
23. Указать, в каком порядке следует произвести дей¬
ствия, и вычислить:
1) 20 . 3 — 5 . 10 + 4 . 7; 2) 5.7.3 — 2.8.3+2.3 .*4;
з) зо: 6 + 40 : 5 —15 : з; 4) 60 — 40: 5 + з . 6.
~ 9 —
Если требуется произвести какое-либо действие над результатом
или результатами других действий, то для указания порядка действий
употребляются скобки.
Прежде всего производятся действия над числами, заключенными
в скобки, а затем над полученными результатами производятся дей¬
ствия, обозначенные знаками, стоящими между скобками.
Если внутри скобок стоят еще скобки, то раньше производятся
действия во внутренних скобках.
Если пропуск скобок не может еызвать недоразумений, то скобки
впускаются.
Для уменьшения числа скобок принят следующий порядок выпол¬
нения действий -в выражении, записанном без скобок:
1) действия одной и той же ступени производятся в том по¬
рядке, в котором они обозначены;
2) если приходится производить действия различных ступеней, то
сперва производятся действия высшей ступени, а потом — низшей;
3) всякое отступление от принятого порядка производства дей¬
ствий обозначается скобками.
§ 3. Употребление бунв.
24. Начертить квадрат и вычислить его площадь, если
■сторона его, измеренная в сантиметрах, выражается числом:
1) 2; 2) 3; 3) 5.
25. Определить площадь квадрата, если сторона его, из
меренная в километрах, равна:
1) 10; 2) 100; 3) а; 4) я.
26. Определить площадь прямоугольника, если стороны
его, измеренные в дециметрах, выражаются соответственно
числами:
1) 5 и ю; 2) 10 и 100; 3) 25 И 40; 4) 3 И а;
5) а и 2; 6) ft и 7; 7) а и ft; 8) я и у.
27. Записать произведения чисел:
1) 3, 5; 2) 3, а; 3) а и ft;
4) 4, 3, а; 5) 4, ft, а; 6) с, ft, а.
— 10 —
Почему можно пропускать знак умножения между мно¬
жителями, если один из них или оба обозначены буквами,
и нельзя, если оба множителя записаны цифрами?
28. Записать частное, которое получится при делении:
1) 16 на 2; 2) 16 на 5; 3) а на 6; 4) х на у.
29. Записать сумму чисел:
1) 3 и 5; 2) а и 5; 3) 3 и 6;
4) а и 6; 5) х и у\ 6> 2а и 36.
30. Что получится, если сложить числа:
31. Назвать натуральное число, следующее в числовом:
ряде за числам:
32. Одному брату а лет; другой старше его на:
1) 3 года; 2) 10 лет; 3) 6 лет.
Сколько лет второму брату?
ш
33. Стороны треугольника, измеренные в см., равны:
1) 5, 8, 10; 2) а, 6, 13; 3) а, 6, с.
Чему равен периметр (сумма сторон) треугольника?
34. Написать разность чисел:
1) 5 и 2; 2) а и 3; 3) а и 6.
Всегда ли можно вычесть число 3 из числа а?
» » » » число 6 из числа а?
35. Что получится, если вычесть:
1) X из у\ 2) 5 из а; 3) а из 106;
4) а из 7; 5) За из 66; 6) 10а из ЮОу, »
1) 3 и 5;
4) я и 2у\
2) 3 И 5а; 3) За и 5;
5) а и 26; 6) 4г и Щ
1) 5; 2) 100; 3) а;
5) а —]— 1 ^ 6) 2и; /) 2м1J
4) Зх;
8) Юж.
— 11 —
если числа, стоящие на первых местах, меньше чисел, стоя¬
щих в тех же примерах на вторых местах?
36. Какое натуральное число занимает в числовом ояду:
1) 3-ье место после числа 8;
2) перед 8;
3) 5-ое » '
> и\
4)
а;
5) 6-ое »
» Х\
6)
» Г,
7) /--ое »
э
» 1\
8)
» иг?
Всегда ли такое число существует?
37. Брату х лет; сестра на 3 года моложе. Сколько лет
сестре? Всегда ли эта задача имеет смысл?
38. В полдень термометр показывал 1°; к полуночи он
опустился на ¥>. Сколько показывал термометр в полночь?
39. 1) Записать сумму числа а и произведения чисел
х и у:
2) записать разность числа а и произведения Ъ и с;
3) записать сумму числа т и частного от деления
v на д)
4) записать сумму произведений а на х и Ъ на у.
40. 1) Какое число на 5 больше числа р?
2)
я
я
я
5
меньше
я
pi
3)
я
я
я
S
больше
я
pi
4)
я
я
я
р
меньше
я
qi
5)
я
я
я
7
меньше
я
X -f- 7?
6)
я
я
я
X
меньше
я
В каких из этих задач может и не существовать иско¬
мых чисел? При выполнении каких условий эти задача
имеют ответ?
41. 1) Насколько число 8 больше числа 3?
2) » » а -|- 5 » » а?
3) » » а -|- 5 » » 5?
4) » » а » » 6?
5) я » За » я 2а?
В каком случае задача 4) не имеет решения?
— 12 —
42. 1) Указать число, которое в 2 раза больше числа 6;
2) » » » » о » » » а;
3) » » » » к * » » 5;
4)» » » » р » » *2.
Какое число при делении: 1) на а дает в частном 6?
2) на 16 дает в частном 4? 3) на а дает в частном 6?
43. Найти натуральное число, которое
1) в 5 раз меньше числа 40;
2) » 3 » » » и;
3) » 5 » » » Юн:
4) » 1: » » » 1\
5) » т t » » 10»».
Ответы каких из написанных задач имеют смысл всегда,
каких — иногда и в каком именно случае?
44. На а копеек куплены сырые яйца по 2 коп. штука.
Сколько яиц куплено? Каким числом должно быть а, чтобы
ответ имел смысл?
45. 1) найти число, которое составляет 6-ую часть числа а\
2) найти число,которое составляет &-ую часть числа 10;
3) найти число, которое составляет g-ую часть числа р?
46. 1) найти число, которое при умножении на 4 дает
в произведении а;
2) найти число, которое при умножении на а дает 12;
3) найти число, которое при умножении на т дает р.
47. 1) Найти число, которое при делении на 2 дает в
частном и и в остатке 1;
2) найти число, которое при делении на 10 дает в
частном айв остатке I;
3) найти число, которое при делении на q дает в
частном айв остатке г.
48. 1) Сколько единиц содержит число, состоящее из
Ь десятков?
2) сколько единиц содержит число, состоящее из
с сотен?
3) сколько единиц содержит число, состоящее из
d тысяч?
— 13 —
49. Сколько всего единиц содержит число, состоящее:
1) из Ь десятков и а единиц?
2) из с сотен и Ь десятков?
3) из с сотен и а единиц?
4) из с сотен, Ь десятков и а единиц?
50. Написать число, содержащее х тысяч, у сотен, в де¬
сятков, t единиц.
Написать число, обозначенное теми же цифрами, но в
обратном порядке.
51. Сколько метров в составном именованном числе т км.
и гм. р дкм. q м.?
52. Выразить в золотниках а фунтов Ь золотников.
53. Выразить в граммах составное именованное число
а тонн Ь кг. (тонна = 1000 кг.).
В алгебре часто бывает выгодно обозначать числа буквами. Ка¬
ждая буква стоит вместо некоторого числа. Если в одной и той же
задаче одна и та же буква встречается два или несколько раз, то
она стоит вместо одного и того же числа. Когда числа, входящие в
задачу, обозначены буквами, то задача считается решенной, если
обозначены те действия, которые следует произвести над данными
числами, чтобы получить ответ.
Соединение чисел (записанных цифрами или обозначенных буквами)
при помощи знаков действий называется алгебраическим вы¬
ражением.
Выражение, в которое не входят знаки сложения и вычитания
называется одночленом. Выражение, представляющее соединение не¬
скольких одночленов при помощи знаков сложения и вычитания,
называется многочленом.
§ 4. Числовые значения буквенных выражений.
54. Какие значения принимает у=±х-1-4, если х стоит
вместо 1, 2, 3,... 10? Отметить эти значения-на числовой
прямой.
55. Какие значения принимает у= 12 — х, если х стоит
вместо 1, 2, 3,... 10? Отметить эти значения на числовой
прямой.
— 14 —
56. Какие значения принимает у = За-, если х стоит вместо
1, 2, 3, 4, 5? Отметить эти значения на числовой прямой.
57. Какие значения имеет у = \х при 1) х—1; 2; 3; 4;
• 2> *=(; §; v г
Построить эти значения на числовой прямой, выбрав под¬
ходящий масштаб (единица масштаба = 10 см.).
58. Какие значения принимает у= 10а; при:
1) х= 1; 2; 3; 5; 7; 9? 2) х = 0,1; 0,2; 0,4; 0,8?
59. Какие значения принимает у = 0,1х при:
1) х=1\ 2; з; 5; 7; 10; 20; 2) х = 0,1; 0,5; 0,8; 10,5?
60. Какие значения принимает у = 0,01а; при х= 1000;
ю; 1; o,i; o,ooi?
61. Какие значения принимает а-(-26, если 6 = 100 и а
получает значения, кратные 10-ти; если а = 130, а 6 полу¬
чает значения, кратные 10-ти. Построить а-\-2Ъ, если а и
6 даны в виде отрезков.
62. Какие значения принимает а — 6, если а получает
ряд последовательных целых значений, начиная с 6, а 6 = 4?
Построить полученные результаты на числовой прямой.
63. Чему равно при а; = 5:
1) За;; 2) 3.x -(- 2; 3) За: -\- 2 г; 4) 2а;+1;
5) 2а; -(- 2; 6) 2а; 3; 7) 2 -(- х; > 8) 2 -f- 4а;;
9) 2-(-За;; 10) х— 1; И) а; —2; 12) а; —4;
13) «с—5; 14) 2а;—1; 15) 2а- —3; 16) 2а: —5.
64. Чему равно при а;=2 и у = 3:
1) За;-(-Зу; 2) 2а; -(- Зу\ 3) 2г/ —{— Заг; 4) 3у — Зх;
5) 3 у — 2а;; 6) За; —2 у; 7) х + у-\- 5; 8) х-\-у-\- 7;
9) а; + 2/ + 9; 10) 10а- + у; 11)10у-(-а-; 12)10х-^-Юу,
13) 100x-fl02/ + 5; 14) 100а:-f 10^+ 3; 15) 100а;-f 10у -f 1.
1 3
65. Чему равно при х = ^ и У = %-
1) 2а:4-у; 2) 2х — у; 3) 2у — х\ 4) 100а; — у'
5) 10у — х; 6) 100а;— Юг/; 7) х-\-\у\ 8) х — \у\
S) \Х + \У\ 10) + П) 12) 2х — {у.
»
— 15 —
~о. Чему равно при х=10 и у = 0,2.
1) Юх+Юу; 2) Юх— Юу; з) х— Юу;
4) 2л; —(— у: 5) 2г — у; в) 0,2х— у;
7) 0,02х — у] 8) 0,5х + 2,5у; 9) 0,5х —2,5у;
10) 10х+100у; 11) 10х—ЮОу; 12) 0,1х—5у?
67. Какие числа получаются при подстановке в 10а, вме¬
сто а взех целых чисел от 1 до 9?
68. Какие числа получаются при подстановке в 10а-(-6
вместо а и 6 всех натуральных чисел от 1 до 9?
69. Какие числа могут быть записаны в виде
100а +105 +с,
если под а, 6, с разумеются натуральные числа от 1 до 9?
70. Какие числа мотут быть записаны в виде
1090а + 1006 + 10c + d?
71. Какие однозначные целые числа следует подставить
вместо а, 6, с и d в формуле предыдущей задачи, чтобы
получить: 1) 3825; 2) 4785; 3) 9215; 4) 5756; 5) 2357; 6) 7532
7) 1987; 8) 7891?
72. Какие значения принимает произведение аб, если а
имеет постоянное значение 10, а 6 получает последователь¬
ные целые значения от 1 до 9?
73. При каких значениях 6 деление а : 6 выполняется без
остатка, если а = 20?
74. Какие значения принимает частное а: 6, если:
1) 6= 10, а а принимает все целые значения от 1 до 20?
2) а= 8, » 6 » » > г >1» 16?
V
75. Чему равно при х = 2, у = 3:
1) ху; 2) ух\ 3) х -\-у\ 4) 2ху\
5) 7ух- 6) ху + ух; 7) ху + х; 8) f/x + j/?
76. Чему равно при а = 2, 6 = 3, с = 5:
1) абс; 2) бас; 3) бса; 4) абс+ас;
5) аЬс + аб; 6) аЪс + 6с; 7) Заб + 56с; 8) 7ас — ЬаШ
— 16 —
77. Чему равно при х=ю, у = 5:
1) X : у: 2) у ' х; 31 20х : 2у;
4) 10у : 5х; 5) (Зх + у) : у; 6) (х+Зу) : у;
■ 7) (Зх —у): by; 8) Qx — ]у) : у; 9) (0,2ху — 0,1у): у?
78. Чему равно при х = 2, у = 0,5:
1) 4х + 3у; 2) 4х—3у; 3) 4у — х;
4) 0,1х—0,1у; 5) 0,1 х — -?у; 6) 0,1х—0,4у;
7) ху—1; 8) 2ху + х + у; 9)х'.у — 2.
Числовым значением выражения называется то число, ноторое по¬
лучится, если буквы заменить данными числами (значениями этик
букв) и произвести над ними действия, указанные знаками.
§ 5. Знаки равенства и неравенсгва. Уравнения и тожества.
79. Записать:
1) 2 . 3 равно 6; 2) 2 . 3 больше 5; 3) 2.3 меньше 7;
4) а+ 6 равно 6 + а; 5) a-J-6 больше о; 6) 6 меньше а 4~6-
80. При каком значении х
1) х + 3 = 8; 2) 5+х=12; 3) х — 4 = 3;
4) 16—х=5; 5) 20х = 40; 6) х.3 = 33;
7) 18 : х = 6; 8) х : 5 = 6; 9) 16х— х = 15х?
81. Проверить равенства, подставляя вместо букв про¬
извольные числа:
1) a+ 6 = £> +а; 2) аЬ — Ьа;
3) а — (6 + с) = а — 6— с; 4) а—(6 — с) = а—Ь-\-с;
5) а я 4- а “ За; 6) 6 4~ а 4" 6 4~~ ^ 4~ ^ — За 4— 26.
7) а+ 6 — 6 4~ а= 2а; 8) а + 6 + с — а = 6 + с.
82. Будут ли выполняться следующие равенства при лю¬
бых значениях букв:
1) 4х = 7х■— Зх; 2) 5а —4 = 9; 3) 2х+ 1 = (1 + 4с) — 2х;
4) 7а+6 = 7б + а; 5) Зх—1=11; 6) 5х —у = 5у—х?
Указать, какие из этих равенств суть тожества и какие —
уравнения.
83. Показать, что # = 3 есть корень следующих урав¬
нений:
1) #4-5 = 8; 2) #—2=1; 3) 9# = 27; 4)^-=1.
84. Решить уравнения:
1) = 2)2/4-10=100; 3) # — 9 = 20;
4) 0 — 9 = 0; 5) 15#= 75; 6) 50s=50;
7) а:: 8 = 6; 8)| = 19; 9)2#4-3=11.
85. Какое действие определяется каждым из’ уравнений
(неизвестное #)?
Как выражается # через а и 6?
86. Какое действие определяется каждым из уравнений
(неизвестное х):
Как выражается х через а и Ы
37. Записать, обозначая через х искомое число, следу¬
ющие задачи в виде уравнений и решить уравнения.
1) Какое число следует прибавить к 7, чтобы полу¬
чить 13?
2) К какому числу следует прибавить 7, чтобы полу¬
чить 15?
3) Из какого числа следует вычесть 46, чтобы полу¬
чить 100?
4) Какое число следует вычесть из 16, чтобы полу¬
чить 8?
5) Какое число следует прибавить к а, чтобы полу¬
чить bl
6) Какое число следует вычесть из 9, чтобы полу¬
чить р?
88. Составить задачи, приводящие к следующим уравне¬
ниям:
1) х— 15 = 3; 2) #4-33 = 90; 3) 474-#=100;
4) #—5 = 95; 5) 300=2300—Х\ 6) 1000=#—50.
1) а 4-# =
2) # —J— cl = Ъш
1) а.# = й;
2) #.а = 6?
Сокращенный сборн. алгебр, упражн. Ч. I.
2
— 18 —
§ 6. Коэффициент. Приведение.
89. Написать возможно короче следующие выражения:
1) а—[— а; 2) Ъ —|— Ъ —|— Ъ;
х; 4) ах -(- ах -(- ах;
5) abc аЬс -(- abc; 6) pq -\-pq -\~pq~\~pq \vq -\~РТ>
7) am-\-am-\-am-\-am; 8) xyz -(- xyz -j- xyz xyz;
9) abedabedabed; 10) mpqs -|- mpqs -j- mpqs -j- mpqs.
90. Записать без коэффициента:
1) За; 2) 5х; 3) 7z; 4) Gap;
5) 4abc; С) 9uxy; 7) 3pqr; 8) 15uJc.
91. Показать (записывая слагаемые без коэффициентов),
ЧТО: 1) 'la -j- За = 5а; 2) 6х Зх = 9л:;
3) а 2а-|-За = 6а; 4) Зу-\-4у-\-Ьу = \2у;
5) 4аЬ -(- ЗаЬ -(- Gab — 13аЬ; 6) ху -(- Зху -(- Ьху = Gxy;
1) abc -|~ 4а6с -\-labc~l2abc; 8) pq -J- 6pq -j- llpq= 18pq
92. Написать возможно короче следующие выражения:
1) ll + I2 + l2 + 5 + fe 2> I- + T-+ .
3)y+? + ? + f 4) {аЪс + ^аЪс + ^аЪс+^аЪс;
=» в *> a + a+a + ia+ia;
8) ^ + 4/+f + f + f + f + f-
Коэффициент называется сомножитель, записанный цифрами.
— 19 —
ВТОРАЯ ГЛАВА.
Четыре основные действия,
§ 7. Сложение и вычитание одночленов.
Ь = Ь + а (переместительный закон).
а ■
93. Проверить равенство:
а + 6 = 6 + а.
при
2
5
6
4
£
в
0,5
1,4
4
0,2
0,6
0,4
94. Показать на оси, что
1) 3 + 5 = б + з;
3) CL ~j~ 6 —|— С CL —|— С —6 - С —J— b —{— fit,
вели a, b и с даны в виде отрезков.
95. Вычислить наиболее коротким путем:
I) 7 + 65; 2) 9 + 386; 3) 2 + 927; 4)
5) 795 + 873 + 5;
7) 863 + 471+29;
96. 1) 2а + 56 + 7а;
3) 7а + 6+ За + 6;
5) ба + я + а+За;;
7) 2я + 3/ + 3а:+2' + 4;г;
8) ct —26 —2а —46 -+ Set —|— 66;
9) а + 2я + 5х + 2х + 9а;
10) 9х + 2/+7л; + 4У+5л:-+-7^
II) 37-+ 5,32+ 4Д +6,18;
12) 9^ а + 6у а + 4^ а + з|- а + 5,5а;
13) 9,01 + 5^ + 6,99+ 6^;
* 14) 8^2:+0,66a; + 53^+2,34*.
а) а + 6 = 6 + а;
17 +385;
6) 8 + 583 + 92;
8) 9 + 673 + 117.
2) 5*+ 2i/+ll*;
4) ct —|— (6 —6 -J—2а;
6) а + 26 + 36+ а;
2*
— 20 —
97. Вычислить наиболее коротким путем:
1) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 104- 11-}- 12?
2) 30 + 31+32 + 33 + 34+ + 40;
3) 1+3 + 5 + 7+9 + 11 + 13 + 15+17 + 19;
4) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + --..+ 50;
5) о 4" 2а + Зя 4“ + 5я + 6о + 1а 4- 8а —]— 9й;
6) 5о + 6 + 7с + 36 + о + 8с + За+ 96;
7) 8# + 1у + 9г + у + 7# + z + Ъу + 6г -}~ х,
в) 8i+9s3+3|+7|+4i+2i + 5;
9) H+8f + 3i- + 5f +4+Зт+2т + 5т+1^;
10) a+2i6+l!a+3|6+3ia+56 + 4ia;
11) a + 36 + l|a+lja+5|6+2{a + 6}6+6fa;
12) 7,5 + 2,75 + 0,5+12,25 + 625;
13) 14,2 + 0,63 + 7,8 + 0,99 + 4,37 + 5 + 2,01;
14) 0,05o+l,46+1,la+0,256+6,66+0,95a+9,756+l 1,9a?
15) \abc — 0,566cc? + 0,06a6c + -|бсс? + 1-^абс + ^6cc?+
+ 0,94a6c + 0,446c<2.
98. Показать на числовых примерах и на оси, что
Показать справедливость этих равенств на основании:
определения вычитания.
. 99. Вычислить наиболее коротким путем или привести
к простейшему виду:
ЮО. Показать на числовых примерах и на оси, что
1) а + 6 — Ь = п;
2) а — Ь + Ь = а;
3) 6 + а — Ъ = а.
1) 753 —58+58;
3)*9о —17# + 17#;
5) 4#—у—2# — у,
7) 6а# + 2бр — За# — Ъу,
2) 927 + 354—354;
4) 6# — За + За;
6) 5я+2#— 2г— 2#;
8) аЪс + 4хуг — abc — xyz*
а — с + Ь = а + б — с; (1)
а — Ъ — с —а — с — Ь. (2)
— 21 —
101. Упростить выражения.
1) 17а+ 66 — 4 а 2) 19а — 246 +а;
3) 26 —7*+ 9; 4) 18*—5 + 23*;
5) 1793 + 829 — 93; 6) 2861+954 — 1861;
7) 13| + 4| — 2|; 8) 5|-3,2 + 2|;
>9) 2,688 + 2,699 — 0,788; 10) 4§+0,6 —2|;'
11) 45 —За—15; 12) 13*—9г/ —3*;
13) 17406 + 498 — 5406; 14) 36584 + 444 — 26584;
15) 1,444 + 0,999 — 0,444 + 0,001;
16) 3| —0,648+ 2| +2,648; 17) 15* — Зу + 4* — у;
18) 17* — 4$ + 5* +4?/; 19) 5|а—2?/ + 4уа + 2|/;
-20) 40т — 30м + 10т + 31м; 21) 16* — 12у + 16г/ —16*:
-22) 40|*+15^+40^*— 1б|у;
23) 9а — 36 + 5а + 76 — 8а — 6;
24) 10а —86 — 36 —6а + 12б;1
25) 5а — 7* + 5* — За + 2* — а;
26) х — 3^ + 5* — 4у + 8у — 6*;
27) а —6 —|"~ а +- 26 —|— а —36 —J— а -]— 46 —|— а —|— 56; V
28) а — 6 + а—26 + а — 46 + а — 8б + а — 166;
29) 4а —5б + 3с —26 —с + а + 9б + 3а;
30) 5а + 86 — 7с — 2а — 96 + 2с — 2а + 26 + 6с;
31) 1,1т + 0,3 м — 0,7* + 0,1т—0,5м—0,2*—0,1т+0,5м +
+ 0,9*;
32) 10т+ 1,1 — 5*— 1,2 — 4т — 3* + 0,1 +9* — 5т;
33) 0,9а—1.76 +3,2с + 8а+1,76 —5с—36 —9с;
34) 1,3* — 50у + 8я + 0,5* + 0,9?/ — 11г — 0,03* — 6у + г;
35) 27т — 3,1м + 9* — 3,1т — 3* + 2,1м +5т+0,9м|—7,2*;
36) 2,8а + 2.9р+ Ю,9 — 4,6р—+80 — 3.7— р—16;
37) 5^а—3^6 + 66 —З]а+7с —8|с;
38) 7?а —56 —6‘а+ 76 +За—5^6;
39) Ла_Аб + -*а-{б-а; 40) |а-2б+з|-6— |а+>.
102. В сумме а + 6 = 35
1) одно слагаемое увеличивается на 1, 2, 3 и т. д. до 10,
другое остается постоянным. Какие значения принимает
«уммд,?
2) оцно слагаемое уменьшается на 1, 2, 3 и т. д. до 10,
другое остается постоянным. Как изменяется их сумма?
103. В сумме а + 6 = с
1) одновременно увеличиваются оба слагаемых на 1,2, 3
и т. д. до 10. Как изменяется сумма?
2) Оба слагаемых одновременно уменьшаются на 1, 2, а
я т. д. до 10. Как изменяется сумма?
8) Одно слагаемое увеличивается на 1, 2, з и т. д. до 10,
в то время как другое уменьшается на такое же число-
Как изменяется сумма?
104. В разности а—6 = 20
1) 6 получает последовательно значения 1, 2, 3 и т. д
до 30. Какие значения принимает при этом а?
2) Какие значения будет принимать 6, если а будет давать
последовательно значения 21, 22 и т. д. до 35?
105. Как изменяется разность а — Ъ = с, если:
1) уменьшаемое последовательно убывает на 1, 2, 3 и
т. д. до 10, а вычитаемое остается постоянным?
2) Бели уменьшаемое остается постоянным, а вычитаемое
увеличивается на 1, 2, 3 и т. д. до 10?
8) Если уменьшаемое остается постоянным, а вычитаемое
уменьшается на 1, 2, 3 и т. д. до 10? ,
106. В разности а — 6 = с одновременно возрастают умень¬
шаемое и вычитаемое на 1, 2, 3 и т. д. до Ю. Как изменяется
разность?
107. В разности а — Ъ = с уменьшаемое и вычитаемое-
одновременно уменьшаются на одно и то же произвольное
число. Как изменяется разность?
Уравнения и задачи
108. Найти значение неизвестного # в следующих урав
нениях:
1) а-—9 = 10; 2) 8 + #=11; 3) #+5 = 8;
4) ж—17=23; 5) 27 —#=16; 6) # + £=9,6;
7)’ 2,8 = 5 — #; 8) #+7,5 = 9,3; 9) 3,7=7,3—#;
ю) #—5,7=2,8; 11) #+4=4; 12) \=\—ж;
— 23 —
13) i = | —*; 14) у — ar=4; 1 b)x—tt=b\ 16) X-{-a=B;
17) a = x — 6; 18)6-}-* = a; 19) a=b—x\ 20) a—x=b.
109. Обозначая искомое через x, составить уравнения по
следующим условиям и решить ил*
1) Какое число следует прибавить к 25, чтобы получить
52?
2) К какому числу следует прибавить 16, чтобы полу¬
чить 84?
3) Какое число следует вычесть из 847, чтобы получить
748?_
4) Из какого числа следует вычесть 46, чтобы получить
64?
5) Из какого числа следует вычесть 7,667, чтобы полу
чить 3,333?
6) На какое число следует увеличить Ь, чтобы полу¬
чить а?
7) Какое число следует вычесть из a —1, чтобы полу¬
чить 2?
8) Из какого числа следует вычесть а, чтобы получить Ы
110. Составить задачи, решение которых приводится к
решению следующих уравнений:
1) я—1,5 = 3; 2) х-f-з,з = 9;
3) 15,57 = 75,4 —-Х\ 4) 100,32 = *—19,68.
111. Треугольник ЛВС (фиг. 1), в котором один угол
прямой, называется прямоугольным
— 24 —
111. l) Проверить при помощи транспортира, что сумма
острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2) Число градусов в одном из острых углов а, в дру¬
гом Ъ. Выразить при помощи алгебраических знаков зави¬
симость между острыми углами прямоугольного треуголь¬
ника.
3) Один из острых углов прямоугольного треугольника
принимает значение 1°, 3°, 5°, 7°..., какие значения полу¬
чает другой угол?
112. 1) Проверить при помощи транспортира, что сумма
углов треугольника ABC равна 180° (фиг. 2).
2) Построить какой - нибудь треугольник и на нем сде¬
лать такую же проверку.
3) Число градусов в одном угле треугольника = а, в
другом = 6, в третьем = с. Выразить при помощи алгебраи¬
ческих знаков зависимость между углами треугольника.
113. Периметром треугольника называется сумма его сто¬
рон. Одна сторона треугольника содержит а см., другая —
Ь см., третья — с см., а периметр—р см. Выразить при по¬
мощи алгебраических знаков зависимость между сторонами
треугольника и его периметром.
114. Равнобедренным (фиг. 3) называется треугольник, у
которого две стороны равны.
1) Проверить при помощи транс¬
портира, что в равнобедренном тре¬
угольнике ABC углы А-ц С, лежа¬
щие против равных сторон, со¬
держат одинаковое число граду¬
сов и, следовательно, равны друг
другу.
2) Построить какой-нибудь рав¬
нобедренный треугольник и на нем
сделать ту же проверку.
3) Выразить при помощи ал¬
гебраических знаков зависимость
между углами равнобедренного треугольника, если каждый
— 25 —.
из углов при основании его (каждый из равных углов) со¬
держит а градусов, а угол при вершине содержит b гра¬
дусов.
114. 4) Выразить при помощи алгебраических знаков
зависимость между периметром и сторонами равнобедрен¬
ного треугольника, если основание его содержит т дм., ка¬
ждая из боковых (равных между собою) сторон содержит н
дм., а периметр—р дм.
115. Для следующих задач сперва составить уравнение и, ре¬
шив его, сделать проверку.
1) В прямоугольном треугольнике один из острых углов
■равен 40°; как велик другой угол?
2) Сумма двух внутренних углов треугольника равна
115°; как велик третий угол?
3) Сумма острых углов прямоугольного треугольника
равна 90°; сколько градусов в прямом угле?
4) Один из углов при основании равнобедренного тре¬
угольника равен 30°; как велик угол при вершине?
5) В равнобедренном треугольнике каждая из боковых
■сторон содержит 15 см., а периметр равен 40 см. Сколько
сантиметров в основании?
6) Сколько градусов содержит каждый из острых углов
равнобедренного прямоугольного треугольника?
7) Угол при вершине равнобедренного треугольника ра¬
вен 30°. Сколько градусов содержит каждый из углов при
основании?
8) Периметр равнобедренного треугольника содержит
10 дм., а основание 3 дм. Сколько дм. в каждой из боковых
сторон?
116. 1) Сумму в 720 рублей следует разделить на части
так, чтобы две части были равны, а третья часть составляла
■бы 300 рублей. Определить эти части.
2) Веревку длиной в 10 м. разрезали на 4 части так,
что одна была равна 4 метрам, а остальные части были
одинаковые. Определить размеры каждой из одинаковых
частей.
— 26 —
116. 3) В лазарете был сделан запас муки в 200 кг.
по истечении недели осталось 144 кг. Сколько муки расхо¬
довали средним числом в один день?
§ 8. Сложение и вычитание многочленов.
а + (Ь + с) = + Ъ) + с = а + 6 + с.
(Сочетательный или собирательный закон.)
117. Записать при помощи скобок следующие задачи it
вычислить результаты:
1) прибавить к 0,5 сумму 1,7 и 1,2;
2) уменьшить 17 на сумму 7 и 5;
3) сумму чисел 8,3 и 2,7 увеличить на 4;
4) 17 уменьшить на разность 7 и 5;
5) сумму 1,8 и 1,7 уменьшить на 2;
6) разность 2,8 и 1,4 увеличить на 2,2,
7) разность 20,5 и 10,7 уменьшить на 5,7.
118. Проверить справедливость равенств:
а) ш + (а + Ь) = т + *>
5) т + (а — Ь) = т -|- а — Ъ
при следующих значениях букв:
т
а
ь
1)
1
12
3
2)
1,2
214,4
172,8
3)
2i
2,-
8
2—
zie
119. Показать на оси для произвольных отрезков гл,
а, Ъ, что
1) т + (а Ъ) = т -]- а 6,
2) т-\-(а — Ь) = т-\-а — Ъ (при а > Ь).
20. Указать порядок действий и вычислить суммы наи¬
более простым путем:
1) 213-f-(395-f-187); 4) 3|_|_ 4* 2|);
2) (41,7 4-2,8)4-1,3; , т * ,
3) (7,12-}-6,3)—1,12; 5> 4»64 4-(2, 4-5,36-.
— 27 —
121. Вычислить сумму:
I) а) 289+111= 2) а) 893 + 569 =
= 289+ (11+ 100); =893+ (7+ 562);
таким же образом:
б) 277 + 143; б) 1985 + 816;
В) 856+274; в) 587+784;
Г) 1396+254. Г) 776 + 985.
122. Как всего удобнее приложить в уме: 1) к 56 число
29? 2) к 44 число 18? 3) к 164 число 97? Показать, что этот
прием вычисления представляет применение равенства
т + (а — Ъ) = т-\-а — 6...
123. Прочитать и вычислить:
1) 217+ (32—17); 2) (432 —54)+74; ■
3) (375 —99)—75; 4) 364+ (199 —64).
124. Вычислить:
1) а) 256 + 95 = 2) а) 388 + 75 =
= 256+ (100 —5); = (400 — 12) + 75;^
таким же образом
6) 325+8S; б) 497 + 86;
В) 1217 + 197; В) 985 + 123;
Г) 336 + 998. Г) 575 + 650.
125. Упростить выражения:
1) 7а+(2а+3б); 2) 7а+(2а—36); 3) 9*+(3*+5«/);
4) 3*+(9*/—5*); 5) 12а+(4+8а); 6) 5б+(3*—6);
7) (5*+7а)+4а; 8) (5*—7а)+4а; 9) (3*—Ъу)—Ъу\
10) а + (а + Ь) + (а + 26) + (а + 36) + (а + 46)=
II) * + (* — у) + (* — 2у) + (* — 3у) + (г — 4?/) + (* — 5у);
12) (о + 0+) + (о + 0,2) + (а + 0,3) + (а + 0,4) + (а + 0,5)' -J-
+ (а + 0,6);
18} (2* + i) + (2* + А) + (2*+i) + (2* + J) +
+(2*+л)+(2*+в);
— 28 —
14) ОД + (ОД — 0,25*) -h (0,1 — 0,5®) + (0,1 — 0,75*);
15) 1* + (1®-у) + (|* - 2 У) + (* - 3*) + (Ь’* - 4у);
16) 15c + 48^-f(2c—31й);
17) 24а 4* ЬЪ—19с + (8а— 56-f-15c)>-
18) (27/с — 30Z + 63т) 4 (17ft 413? — 43m);
19) 243* — 225?/ -4- 52с 4(45* -\-2by — 42-г) 4(712*4 2002/ —
— 10я);
20) 4,5р — 2,3? 4 3,7г 4 (3,9? — 2,5р 4 2,3»-) 4 (0,1р —
— 0,9? — 6 г).
126. Проверить справедливость равенств
1) т — (а-\-Ъ) = т — а — Ь,
прикладывая къ т — а — Ь вычитаемое а 4
2) т — (а — Ь) = т — а 4 Ъ,
прикладывая къ т — а-\-Ь вычитаемое а — h
127. Как всего удобнее вычесть 1) из 42 число 19? 2) из
108 ЧИСЛО 99?
128. Подставляя вместо букв произвольные числа по¬
казать, что
т — a-\-b=jt=m — (а 4 Ц,
т ■— а — Ь=^=т — (а — Ъ).
129. Показать на отрезках, что при т'>а-\-Ъ
т — (а-\-Ъ) — т — а — Ъ,
при т>а, а>Ь,
т — (а — Ъ) = т — а 4 й»
т — (а — Ь) 4 m — а — Ь,
130. Прочитать и вычислить:
1) а) 436 — (189 4 И); 2) а) 438 — (296 — 58);
б) (436—189)411; б) (438 —296) —58;
В) (436— 189) — 11. В) (438 — 296)4 58.
131. Вычислить:
1) а) 383—189= 2) а) 783 — 98 =
= 383 —(183 46); =783 —(100—2);
— 29 —
таким же образом:
б) 236 — 139; б) 176 — 97;
в) 573 — 385; в) 653 — 88;
г) 517 — 418. г) 1246 —199.
132. Упростить выражения:
1) 5а — (За 4-6); 2) 113а — (ЮОа — 36);
3) 0,7# - (5 + 0,3#); 4) 16т — (Зи — 0,5т);
133. Раскрыть в следующих примерах скобки и сделать
приведение, если это окажется возможным:
1) 7а — 964- (а + 6); 2) 15а— 76 — (7а — 56);
3) 24a + 3|6-(lf4a-2|-6);
4) 6,6# —2^ —(0,06#—3-^);
5) 5а4-(За—26)4-(а4-26);
6) (а 4-6 — с) 4-(я.— 6-|-с); 7) (а 4-й.— с) — (« — 6У}^£)*
8) (#— у + г) — (#— у — я); 9) (х-\-у -\~z) — {г — #— у);
10) (7а —36)—(5а4-36) —(а —56);
11) (8#— 5) 4- (Зх— 7) — (9#— 11);
12) 43#—19у — (15# — 34у)-{-(9х—7у);
13) 103а—156 —(25а—146) —(2a-f 176);
14) 48а — (24а — 26) — (146 — 28а) 4- (246 — 18а);
15) 65# — (25# — 49$г) 4- (12# — 4г/) — (7# — 35у);
16) 17#— (3^4-^)4-(5гг — #) — (2# — 8у);
17) 10,5с 4- 2,9*7 — (5,5d 4- Зс) — (6,1с — 0,9*7);
18) 1,9а 4- 0,46 — (1,1а — 2,66) — (0,86 — 1,5а);
19) 57а — (226 4- 4с) — (17а — Юс) — (5а — 76);
20) (6а — 364-7с) — (а — 6 4.с)-f (2а-f- 6 — 6с);
21) (3m — 7и — 5р) -f (2т 4- Ап — 3р) — (4т — Зи — вр);
22) (6# 4-5у — Зг) — (5# — Зу -f 2z) — (# -j- ly — 4г);
23) 67# — (32у -f iz — 8#)—(15#— Gy 4- 18.?)—(#— 4у — Щ
24) т 4- [(а — 6) -f (6 -f *7)]; 25) т -f [(6 -f с) — (in d)];
26) т — [(а — 6) — (с — т)]; 27) т — [(# — у) — (а — т)]; -
28) (7а —26)—[(За —с) —(26 —Зс)];
29) 84» — [ 3 \р — (р — 5,5w)J — 4- (2и — 0,5р)]
— 30 —
80) [2-4ж — (З|з/ + /)] — [(0,75ж — 0,5у) 4-
+ (^+1у—f)]‘>
31) [7,01р — (2,5г — 1,74)] — [(4[г — 0,79р) — 3,2б] — l|p;
32) 14,5а— 1696— [4,7а—(3,9а — 416) — (45Ь-[-2,6а) 336].
134. Записать при помощи скобок и затем упростить
сумму выражений
1) Зх-\-4у-[-5я и х-\-у-\-е\
2) 10а 4-102» — с и 90а — 10fc 4~ CJ
3) а-1~(а4'&) и (а4-26)4-(а+36);
4) (^4-2/) + % и (х-{-у) — Зу;
5) (2х — 5) —J— 15 и 5 — (2х —15).
135. Записать при помощи скобок и упростить разность
выражений:
1) 7^4- 12*/4" 32 и 4лг4~25у4'3*;
2) 41ж—\2y-\-z и ЗОж—10у — 5г;
3) 15а 4-36 — с и 15а — 6;
4) 14а-j-(а 4-6) и (6а — 26) — (а — 6);
5) (z-{-u)-\-(z — и) и (г4-и) — (я — и).
136. Раскрывая скобки, доказать справедливость следую¬
щих предложений и формул:
1) Сумма суммы и разности двух чисел дает удвоенное
первое числе.
2) Разность между суммой и разностью двух чисел равна
удвоенному второму числу.
Проверить это на числах;
1) 783 И 465; 2) 97 И 83.
137. Найти в натуральном ряде число, которое стоит:
1У на а-том месте после а4-6;
2) на а-том месте перед «4-6;
3) на а—6-том месте после 6;
4) на а—6-том месте перед 6.
— 31 —
138. Найти число, которое:
1) на ж — 5 больше 5-ти; 2) на х — 5 меньше 5-ти;
3) на ж13 больше 100; 4) на ж—13 меньше 100.
Какие значения может иметь ж в этих примерах?
139. Проверить формулы (раскрытием скобок и приве¬
дением);
1) (а 4 п) 4 № — п) — а 4
2) (а — п) 4 Ф 4 и) = а 4
3) (а 4 и) — (м — Ъ) = а-\-Ь\
4) (6 4 й) — (и — а) = а 4 6.
140. 1) Написать и проверить таким же способом по¬
добные формулы для а — 6.
2) Написать три последовательных целых числа, из ко¬
торых 2м — 1 — первое по порядку, и найти их сумму.
3) Написать четыре последовательных целых числа, из
которых ж 4 1 — последнее по порядку, и найти их сумму.
141. 1) Указать, как законы слтения применяются при
сложении многозначных чисел.
2) Указать, как законы сложения и вычитания приме¬
няются при вычитании многозначных чисел.
142. В одной масонской книге указывается следующее
«таинственное» свойство треугольника: если при вершинах
треугольника поставить произвольные
числа, напр., 3, 5, 7, затем сложить
вти числа попарно и результаты (8,12,10)
поставить на сторонах, соединяющих
вершины, при которых стояли ело- кг 1
женные пары чисел, то, складывая фиг. 4.
число при каждой вершине с числом
па противоположной стороне, мы получим один и тот же
результат (15). Объяснить, чем обусловливается «таинствен¬
ное» свойство треугольника. (Указание: заменить числа
буквами.)
— 32 —
Уравнения и задачи.
143. Решить уравнения:
1) 24 — (Ж 4-4) = 18; 2) 26 — (х — 4) = 20;
3) 55 = 25 4- (ж — 11); 4) 55 = 70 —(Ж —5);
5) ЗЖ — (2ж — 5) = 15; 6) (4ж — 4) — (Зж—3) = 1.
144. 1) Найти углы треугольника, если второй угол
больше первого на 5°, а третий больше первого на 10°.
2) Найти углы треугольника, если второй больше пер¬
вого на 20°, а третий больше второго тоже на 20°.
3) Найти углы треугольника, если второй угол меньше
первого на 7°, а третий меньше второго тоже на 7°.
4) Периметр равнобедренного треугольника = 16 дм., а.
каждая из боковых сторон больше основания на 2 дм.
Чему равно основание?
5) Четыре гири весят 40 кило, вторая гиря тяжелее пер¬
вой на 2 кило, третья тяжелее второй на 6 кило, а четвер¬
тая тяжелее третьей на 18 кило. Определить вес каждой,
гири.
6) Четыре гири весят 40 кило, вторая легче первой на
18 кило, третья легче второй на 6 кило, а четвертая легче
третьей на 2 кило. Определить вес каждой гири.
145. Составить задачи, решение которых приводится к.
уравнениям:
1) ж 4" 4~ 1) 2) = 33:
2) (ж—2) +ж + (ж-4-2) = 180; '
3) 16 — (ж4-1) = 5;
4) 16—(ж—1) = 5;
5) 12—Ж = Ж — 4:
6) ж 4- (ж 4~4- -J-1)loo.
146. Еопроси H'fcWo СуЧНТЕЛА НЕКОЕГО ГЛАГОЛА: ПОюбжДЬ
ми коли го н'мдши еучЕникиж су СЕХЕ ко $чйлнцж„ ПО-
н1жЕ ИМАМ СЫНА Ц)д4тИ КО ЙЧНАИфЕ: Й ^OljlV ОуК'ЬдАТН 1&
Числ4 CySEHHKUJK ТЬОЙу,> ОуЧНТЕЛА ЖЕ иЖ'кфАЬ ££ЧЕ tM\f: АфГ
— 33 —
П{>НД£Т Л1Н еуЧ£НН1Ш)К ТОЛНКО Ж£, §ЛНКО НЛШ», н полтелнкд,
И Я£ТК£рТДД ЧАСТЬ, §ф£ Н ТЕОН СЫН, Н ТОГДЛ Е^Д£Т Су
Л1£н£ еуч£ннкц)ь 100. (Арифметика Магницкого, 1703.)
§ 9. Умножение и деление одночленов.
Умножение.
а .Ь — Ь .а (переместительный закон);
a .(b .c) = (nb) .c = abc (собирательный или сочетательный
3C.K0H).
147. Записать короче (пользуясь знаком умножения):
1) 7 + 7 + 7 + 7 +7;
2) я —j- я -|- я —|— я -j- я —J- я -|— я;
3) (а-\-Ъ)~\-{а-\-Ъ)(а-\-1)\
4) х х-\~- i-гг
' V '
п раз.
148. Представить произведение я. Ъ площадью прямо¬
угольника со сторонами я и 6, если я и 6 имеют следую¬
щие значения (в сантиметрах):
1) 3 и 4; 2) 7 и 13; 3) 1 и 1;
4) ^-и^; 5) 0,4 и 0.3; б)6и{.
149. 1) Пользуясь значениями я и 6, данными в преды¬
дущей задаче, проверить равенство:
а . Ь = Ъ . а.
2) Объяснить, как при по- _ _
мощи фиг. 5 можно проверить В В В В В
то же равенство при целых
значениях я и 6. Ц Ц Ц Щ
Какие значения имеют я
п 6 в этом случае? В ■ ■ ■ ■
3) Составить такую же та¬
блицу для я =7, 6 = 4. фиг- 5
150. Показать, подставляя вместо я, 6, с произвольные
числа, что а.Ь.с = Ь.с.а = с.ы.Ь.
Сокращенный сборн. алгебр, улражн., ч. 1. 3
— 34 —
151. Вычислить возможно более простым способом.
1) 8.7.25; 3) 37.8.3; 5) 4.13.625; 7) 7.8.15;
2) 4.47.75; 4) 5.125.4.8; 6) 125.75.16.4; 8) 16.19.375.
152. Показать, подставляя вместо а, 6, с произвольные
числа, что
а . (Ьс) = (стЬ). с.
153. Вычислить:
1) 45.36 = 45.4.9; 3) 125.28;
таким же образом: 2) 95.48; 4) 825.24.
154. Упростить произведения:
1) 2а.56; 2) 46.3,75; 3) 15а . 36.|с 4) 6#.7у;
5) 6с. 135; 6) 2#.0,5у.З- 7) 9тЛр; 8) 5#. 18у.
9) jm. i-ю.-i-M'; 10) 0,6#.50г/.0,4,с; 11) 1,25а6.0,8с*7.2.«/.
Деление.
t
(а: б). Ъ = а (а .&):& = а.
155. Выполнить следующие деления, производя каждый
раз проверку:
1) 36а6с:9; 2) 39ат:13: 3) 44#$г:18; 4) 7^ах:3;
5) |б: 5; 6) За: а 7) 2\ху: 2; 8) 8 **/#: 4;
9) З^сг.-З; 10) 2#:|; 11) 3#:|#; 12) 66:§6;
13) 8У'.^У, 14) 7c:i|c; 15) Ы'Л\Ъ,
16) 30а#:5а; 17) Ъ0пр:2р; 18) 10bxyz:3y;
19) За:2а; 20) 3^-6:46; 21) З^ху'.Зх:
22) 39а6с:13ас; 23) 76а6#г/: 18а6у; 24) 84а.а.и.#:7а#;
25) ljab'.2^a; 26) 3\ах:2\ах; 27) з\ху\\\у,
28) 8-а^:1-|а; 29) ~аЪ:\Ъ- 30) 5>г#:15и.
156. Вычислить: 1) 18.25 = 18.(100:4); таким же образом
2) 326.50; 3) 512.5; 4) 13.25; 5) 15.75;
6) 24.125; 7) 32.625; 8) 16.375; 9) 48.250.
— 35 —
157. Вычислить:
1) 1700:25 = 17.100:25
таким же образом 2) 1200:75; 3) 1400:25;
4) 6000:125; 5) 36000:625.
158. Упростить выражения:
1) |аЪх-~су'.\Ъу, 2) 1 \аЪп.2\ху'Л\brix-,
3) \аЬс • ~ху:\~Ъсу, 4) 3,\аху. l\by: 2^az;
5) (7,5атр: 2,25ат). 30 mq; 6) 6f25pqr.Q,8xyl5px.
159. В произведении аЪ = 120 один из сомножителей по¬
лучает последовательно значения от 1 до 120.
Какие значения должен при этом принимать другой со¬
множитель?
160. ab—bi какие значения будет принимать произведе¬
ние, если один сомножитель останется постоянным, а дру¬
гой будет:
1) умножаться на 2, 3 и т. д. до 10;
2) делиться на 2, 3 и т. д. до 10.
161. В произведении аЪ=с оба сомножителя одновре¬
менно
1) умножаются на 2, 3 и т. д. до 10;
2) делятся на 2,3 и т. д. до 10
Как изменяется произведение?
162. Как изменяется произведение, если один из сомно¬
жителей умножается на 2,3 и т. д. до 10, а другой делится
на то же число?
163. В частном а:Ъ = 12 получает последовательно зна¬
чения от 1, 2 и т. д. до 12: 1) делимое; 2) делитель.
Какие значения принимает в первом случае делитель во
втором случае делимое?
164. Какие значения принимает частное а:Ь = с,
1) если делимое умножается на 2, 3 и т. д. до 10, а Ъ
постоянно?
2) если делитель умножается на 2, 3,... до 10, а дели¬
мое постоянна
з*
— 36 —
165. В частном а’.Ъ — с делитель умножается на 2, 3 п
т. д. до 10. Как изменяется:
1' частное при постоянном а?
2) делимое при постоянном с?
166. Как изменится частное а'.Ъ — с, если:
1) Делимое и делитель умножить на одно и то же число?
2) Если делимое и делитель разделить на одно и то же
число?
3) Как будет изменяться частное, если а умножать на
2, 3 и т. д. до ю, а Ь одновременно с этим делить на то
же число?
4) Как будет изменяться частное, если а делить на 2, 3
и т. д. до 10, а Ъ одновременно с этим умножать на то же
число?
Уравнения и задачи.
167. Решить следующие уравнения:
1) 5а;= 15; 2) а:: 5 = 8; 8) За; = 24
4) 7 = а::3; 5) 28а: = 7; 6) а::0.25 = 8;
7) 56а: = 8; 8) 9 = 0,ЗГа;; 9) 8а;=3;
10) а::0,8 = 86,25; 11) 9ж + 4 = 31; 12) я:0,5 = 6;
13) 8а:+1 = 17; 14) а:: 16 = 0,375; 15) 19=100—9х;
16) а::| = 6; 17) 7а:— 5 = 9; 18) 7а: + 5 = 9;
19) 5а: —16 = 9; 20) Ьх 4- 16 = 20; 21) 25 = 29 —4а-;
22) |а: = 300; 23)5 —а:Г7 = 4; 24) |а: — 5 = 1.
168. Записать условия следующих задач в виде уравне¬
ний и решить их:
1) Какое число следует умножить на 7, чтобы получить
1001?
2) Какое число следует разделить на 27, чтобы полу¬
чить 37?
3) На какое число следует умножить 30,03, чтобы полу¬
чить 111,111?
4) На какое число следует разделить 70,07, чтобы полу¬
чить 7,7?
— 37 —
• •
5) На какое тело следует умножить ч обы получить 1?
6) На какое число следует умножить чтобы полу-
5 „
чить - j ?
8 17
7) Чему равно делимое, если делитель ^, а частное -g- •
169. Если какое-либо место на земной поверхности ле¬
жит западнее другого на 15° (разность долгот равна 15°), то
часы в этом месте показывают 1 часом меньше.
1) Чему равна разность долгот Москвы и Ленинграда,
если часы показывают в Ленинграде 11 час. 31 мин., когда
в Москве полдень? Какой из этих городов лежит западнее
и на сколько?
2) Когда часы показывают в Ленинграде, полдень, в Пе¬
кине—5 час. 48 мин. дня, а в Шанхае—6 час. 4 мин. дня.
На сколько восточнее Пекина расположен Шанхай? Чему
равна разность долгот Пекина и Ленинграда?
3) Когда пароход вышел из Ленинграда, хронометр был
поставлен по ленинградскому времени. Какова долгота паро¬
хода относительно Ленинграда, если хронометр в полдень
показывает 6 часов? Сколько решений может иметь эта
задача?
170. 1) Один из углов треугольника вдвое меньше дру¬
гого и втрое меньше третьего. Определить углы.
2) Один из углов треугольника вдвое меньше другого и
втрое больше третьего. Определить углы.
3) Один из углов треугольника вдвое больше другого и
втрое меньше третьего. Определить углы.
171. 1) Четыре гири весят 40 кг. Опредилить вес каждой
из них, если каждая из них в три раза тяжелее другой,
более легкой. (Эти гири обладают тем свойством, что при
помощи их можно взвесить любой груз, содержащий целое
число килограммов от 1 до 40.)
2. Разделить 6000 рублей между четырьмя братьями
так, чтобы второй брат получил вдесе больше первого,
— 38 —
третий — вдвое больше второго, четвертый — вдвое больше
третьего.
3) 1000 человек красноармейцев размещают в трех бараках;
при этом известно, что во втором бараке можно поместить
вдвое более, а в третьем — в пять раз более людей,
чем в первом. На сколько человек рассчитан каждый
барак?
4) Было продано товара трех сортов. Второго сорта в
два раза более, чем первого, а третьего—в три раза больше,
чем второго. Килограмм 1-го стоил 5 руб., второго—3 рубля,
3-го — 1 рубль. Сколько килограммов каждого сорта было
продано, если за все выручили 85 руб.?
5) Странник при встрече с учениками спрашивает их:
«Сколько вас в школе?» Один из них отвечает: «Удвой на¬
ше число, умножь его на 3 и раздели на 4. Прибавь еще
меня, и тогда получишь всего 100». (Сколько учеников?)
(Из сборника, относящ. к VIII веку.)
172. Первая задача на «задуманное число» в старейшей
из книг по «увеселительной математике», в «Problemes plai-
sants et delectables» кавалера Клода-Гаспара Башеде-Мезири-
ака (1613), имеет следующее содержание (задача приведена
для наиболее простого случая):
«Предложи задумать число (четное); заставь его утроить,
затем взять половину полученного произведения; эту поло¬
вину предложи опять утроить. Затем спроси, сколько девя¬
ток в полученном числе. Замени каждую девятку двойкой
н тогда узнаешь задуманное число».
Составить формулу для решения задачи и показать пра¬
вильность способа, указанного Баше.
173. Составить задачи, приводящиеся к следующим урав¬
нениям:
1) 8х = 56;
4) 3 = 12:.г;
2) х:4 = 16; 3) х:\ = 2-,
5) 16—Зж = 4; 6) 0,Ь = б:х.
— 39 —
Упражнения.
174. Упростить выражения:
1) (4ах -)- 3by) — (2ха -)- 3by) -)- (7ха — 4г/6);
2) (Ьхг—2ху -f- 3yz)— (4zx -f- 2yx— 3zy);
3) (7abc — 5 бей) -j- (Збса -f- bcbd) — 10c6a;
4) -f- 3rs) — (2qp — 2sr) -J- (4sq 2pr);
5) (2,5ab — 4,05ac -)- 106c) — (0,56a -j- 5,95ac — 9c6);
6) (4xyz — 2xy -f- Zyz -J- xz) — (3ysx -]- 2xy -)- 3zy -J- 7zx);
7) abed -f- be da — a deb acbd -)- dbca — dcba-
8) (abx — aby -J- abz) — (xab — yba) -j- (zba -J- ayb).
В произведениях принято писать сомножители в алфавитном
порядке.
§10. Степени.
I
175. Записать в более короткой форме:
1) 5.5.5.5.5.5; 2) 2.2.2.2; 3) 3.3;
4) 25.25.25; 5) 7.7.7.7; 6) 4.4.4.4.4.4;
7) a.a.a.а; 8) 66666666; 9) ххххххххх;
10) РРРРРРРРРРР; 11) qqqqq; 12) zzzzzzzzzzzzzsz.
176. Записать без показателя:
1) З4; 2) 45; 3) а3; 4) х6; 5) 25; С) 3е; 7) V; 8)
177. Вычислить:
1) 25; 2) 3*; 3) 43; 4) 54; 5) 73; С) 23; 7) 3*; 8) 42!
9) 63; 10) 10®.^
178. Указать порядок действий и, где возможно, опу¬
стить скобки:
1) (а2).(63); 2) а.(63); 3) (аб)3;
4)' (25).(у4); 5) (х2).(34); 6) (х2у)\
179. Написать в более короткой форме:
1) aabbb; 2) 3.3. ааахххх;
3) 2.2.3.3.3.ррр\ 4) b.b.b.x.y.y.zzz-,
5) 2.2.3.3.5.5ааххуу;
6) 2.2.2.3.3.3.3.а.а.а.а.а.х.х.zzz.
— 40 —
180. Разложить на простые множители и записать раз¬
ложения в наиболее короткой форме:
1) 1000; 2) 64; 3) 343; 4) 144;
5) 1728; 6) 256; 7) 625; 8) 729;
9) 4096; 10) 216; 11) 1000000; 12) 512. -
181. Указать, в чем заключается различие между:
1) а26 и аб2; 2) аб2 и (аб)2;
/ 3) а2Ъ и (аб)2; 4) 2а2 и (2а)2;
5) 5х3 и (5а;)3; е) х2-\-у2 и х2у2\
7) а2 -J- б2 и (а + б)2; 8) а2 —б2 и (а —б)2;
9) а3 + б3 и (а 4-б)3; Ю) Ъх2у и Ъху2;
11) Ъху2 и Ъ(ху)2; 12) Ьху2 и (5^)2.
182. Записать:
1) Квадрат числа а. 2) Куб числа х.
3) Сумму квадрата числа а и куба числа б
4) Сумму квадратов чисел а и б.
5) 2, умноженное на квадрат числа а.
6) 5, умноженное на куб числа х.
7) Квадрат числа 2а. 8) Куб числа Ъх.
9) Число а, умноженное на куб числа б
10) Куб произведения чисел а и б.
11) Сумму квадратов чисел хну.
12) Квадрат суммы чисел х и у.
13) Разность квадратов чисел а и 6.
14) Квадрат разности чисел а и б
15) Сумму кубов чисел а и 6.
16) Разность кубов чисел а и б.
17) Куб суммы чисел а и 6.
18) Куб разности чисел х и у.
183. 1) Вычислить а) За, б) а3 при а —2, 3, 4
2) Вычислить а) Ъх, б) хъ при х = 2, 3-
3) Какая разница между х3 и зx'i
184. Проверить, что
1) 23^32; 2) 2*ФЬг; 3) З4^43; 4) 53= 5Б.
— 41 —
185. Сколько квадратных единиц в площади квадрата,
сторона которого в сангиметрах выражается числом:
1) 3; 2) 5; 3) а; 4) ж;
5) 2а; 6) Зж; 7) х -\-у, 8) 2а -f- Ъ.
188. Сколько кубических единиц в объеме куба, ребро
которого в сантиметрах равно:
1) 2; 2) 5; 3) а; 4)
187. Вычислить значение выражений:
1) у — х2 -(- 2х -f- 3 при х=1;
2) у — х3 4~ 4ж —-1 » х = 1;
3) у = 4ж2—5ж-}-7 » х = 2;
4) у — Зх2— ж 19 » ж = 3;
5) у = х3 — ж + 16 » х = 6 и при х= 2;
6) г/ = 4ж*—ж34~ж » ж=5 и при ж = 3;
7) «/ = ^24-0-— рх » Р = 5, д = 6, ж —2;
8) y = x2-\-q—px » р = ь, q = &, ж = 3;
9) г/=ж24-<2'—ДО » х = Ь \q = \b\
, ж = 3 \р = 8;
10) г/=10ж2— ж » ж = 0,1;
11) У= ЮООж3 — ж » ж= 0,1 и при ж = 0,2.
188 Упростить выражения:
1) 15са — 17с— 14с— 13с24-23с4-7с2;
2) 1 bed2 — 8сЧ — ЬсЧ — 13ей2 4- 11сЧ 9сс?2;
3) 13^2г/3 - Фгу - ь,1*2у3 4- + 2 £*** — з^2:г/3;
4) 8^г3 — 5^г3м — 4дг3м -j- 4^г3 4~ 12 ^м — 2^3;
Б) 14а2Ь 4“ Заб2 — ЪЪа2 4~ 2Ъ2а — аЪЪ 4~ 2ааЪ;
6) 25ж3г/2 — 5ж2г/3 4- 4г/ж* — 2г/3ж* — Ах4у 4~ г/2ж3;
7) ЗОажж 4~ 25ааж — 14жжа — 2Ъхаа-\-х2а — а2х;
Ь) 13,5ахь — и,46а"1 — 3,ох5а— и,УОЖ’б(-р zbxxxx;
9) Зр2 4- (7 — 3р) 4- (4р — 6р2 — 4) 4- (4р2 4- Зр — 1);
10) 5а4-(10а2—За3)4-(5а3 —16a)-f-(12a —7а24-а3); -»
11) 20ж2 — 14ж — (5 — бж2) — (7 4- 4ж) 4- (Зжа4~ 20ж 4- 19);
12) 18-г2 —11 ги—5 м2—(7 г2 — Ъги 4-вгг2) — (1 Зги—9г2—4 м2)—
— (4я2 — 20гм — 11м2);
13) 15,3а2 —7,5а64-1,9Ь2—(2,7а6—1,6а2—2,462)—(2,2мг4-
-Ь- 1,2а6 — 3.4b2) — 12.;62 — 1 .За2 4~ 0,8а6);
— 42 —
189. Упростить выражения:
1) а3. а2; 2) х4. х2; 3) а2 . а; 4) х. х3. я3;
5) Ь. б3; 6) у . у3-, 7) б. б2. б3; 8) у .у2 -у3 . у4.
190. Упростить выражения:
1) аб . аб2; 2) ху . а;2?/; 3) а% . ж3?/2; 4) 2ху . 4ж2»/3;
5) аб3. аб4; 6) аб . а2б3; 7) х2у . ят/2; 8) Заб3. 5а2б.
191. Упростить выражения:
1) а5:а2; 2) г4:^4; 3) г/2:^; 4) у2:у2;
5) б8:б3; 6) с10:с; 7) cZ,3:d3; 8) it20:it10.
19’. Упростить выражения:
1) а5бБ:а2б2; 2) аБе3:а2с; 3) х3у:х*у; 4) х7у:х3;
5) p6g6:p6g6; 6) pq2'.qs, 7) а12б6:а6б3; 8) у3г*\уз
9) 2Qx*y: 2#3«/, 10) 3,5а1064:7аБб2;
11) 100ж»г2:50Л;г; 12) 0,625ж3#Б:0,25а^5;
13) 3-|-a862:-|a662 14) 2,25аб3сБ:|абс3;
151 2,64а467:1,32бта4; 16) 0,Ьх™у3\2,Ьух™.
193. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) (а2)3; 2) (а3)3; 3) (^)2; 4) (*2)‘;
5) (2а2)2; 6) (Зб5)2; 7) (4ж3)4; 8) (5t/2)3;
9) (За2)3; 10) (2а3)3; И) (5*2)4; 12) (2а:5)4;
13) (^т)4; 14) (!ysf; 15) (0,5а)2; 16) (1,2г4)2;
17) (аб2с3)4; 18) (Заб3)2; 19) (0,2аб3)6; 20)
194. Записать и, где возможно, упростить:
1) произведение куба числа а на квадрат того же числа;
2) сумму куба числа а с квадратом того же числа;
3) частное от деления куба а на а;
4) частное от деления десятой степени х на куб числа х;
5) удвоенный квадрат числа с;
6) квадрат удвоенного числа с.
195. Как изменится квадрат числа, если число
увеличить в 1) 2, 2) 3, 3) Ю, 4) к раз?
уменьшить в 1) 2, 2) 7, 3) 100, 4) р раз?
— 43 —
196. Как изменится куб числа, если число увеличить
(или уменьшить)
В 1) 2, 2) 5, 3) 10, 4) 100, 5) к раз?
197. Упростить выражения:
1) (3аЧ — 5а62) — (6а3 + 9аЬ3) — (ЪаЧ — ЪЪ3 -(- 2аЪ2)\
2) (х3 -f- xhj + ху2 у3) — (х3 — х2у + ху2 — у3) 4~ (х2у—ху2);
3) (4а562 — 2а2Ъ5) 4- (2а*Ъ3 4~ 2а265) —(4аЧ3 4“ 2а463 — a3i4);
4) (бах2 4- бах3 — 2аж4) — (2аж2 4~ бах3 4~ 4ах4);
5) (а* 4- Ъ4) — (а* — а3Ь -f- а2Ъ2 — аЪ3-{- Ъ*)-\-(Ъа3Ъ—а2Ъ3-{-2аЬ'1).
198.1) Задача из папируса Ахмеса (1700 до нашей эры). 7 че¬
ловек имеют по 7 кошек, каждая кошка съедает по 7 мы¬
шей, каждая мышь съедает по 7 колосьев ячменя, а из
каждого колоса вырастает 7 мер. Сколько мер ячменя со¬
хранится благодаря этим кошкам?
2) На лестнице с 10-ю перекладинами сидят голуби: на
первой—1, на второй—2, на 3-й—4 и т. д., на каждой пере¬
кладине вдвое больше, чем на предыдущей. Сколько голу¬
бей сидит на последней перекладине? Какой ширины долж: а
быть лестница, если на 1 арш. ее перекладины умещается
6 голубей?
3) Из арифметики Магницкого (1703): H'fcWo имХше ве¬
ликое гбинечное Адро, б немже дТлмет^ 0СТЬ 18-ТИ Ц.ОЛЛ,
ИЗ НЕГО ЖЕ )£ОЦ1£Т Д'ЬллТН пУлЙ, Й^ЖЕ БСАКЛА Б дТЯмЕТр^
екс1м НмЬл Б \ ЦОЛН. И Б'&ДЛТЕЛНО Ъть КОЛНКО ЛгЁШ1£
Й3 ЕОЛШЛГО АДрЛ Е$Д£Т* (цоль — дюйм)-
(Указание: отношение объемов шаров равно кубу отно¬
шения их диаметров).
Умножение равных сомножителей называется возведением в
степень.
Произведение равных сомножителей называется степенью.
Число, которое возводится в степень, называется основанием
степени.
Число, которое показывает, в какую степень возводится основа¬
ние, называется показателем степени.
— 44 —
Быражениз ал иногда употребляется вместо а, так как
ап.а = an+1 = a". а1.
Возведение в степень называется действием третьей ступени.
Когда в выражение входят знаки действий: сложения, вычитания,
умножения, деления и возведение в степень, то сохраняется порядок
вычисления, указанный в § 2, т.-е. прежде всего производится возве¬
дение в степени (действия высшей — третьей ступени), затем умно¬
жение и деление (действия второй ступени) и, наконец, сложение и
вычитание (действия первой ступени).
§ 11. Умножение и деление многочленов.
(ft -f- 6) . т = т (а+ Ь) = ат -f- Ьт "4
(а — V) .111 = 111 (а — Ь) = сип — Ьт I Распределительный
199. Записать при помощи скобок и решить следующие
задачи: 1) сумму 17 и 16 умножить на 3;
3) 8 умножить на разность 16 и 5;
4) найти число, которое в 20 раз больше разности
2 и 0,2;
7
5) найти число, которое составляет ^ суммы 236 и 2,56.
200. Проверить справедливость равенства:
g
(а-\-Ъ)т = ат-\-Ът, если 1) а = 10, 6 = 3, »и=4; 2) a = ~it
201. Представить произведение (а -\-Ь)т площадью прямо¬
угольника и показать, что эта площадь равна сумме пло¬
щадей, изображающих произведение am и Ьт.
202. 1) Проверить при значениях задачи 200, что
(а — 6) ш = am — Ьт.
(а + Ь):т = а\т-\-Ъ:т
(а — Ь): т = а: т — Ь: т
закон.
Умножение многочлена на одночлен.
2) умножить сумму 151 и 149 на дробь 3;
— 45 —
2) Представить произведение (а—Ъ)т площадью прямо¬
угольника и показать, что эта площадь равна разности пло¬
щадей, изображающих произведение am и Ът.
203. Если в прямоугольнике, стороны которого содержат
а и h единиц длины, провести диагональ, то прямоугольник разо¬
бьется на два равных друг другу прямоугольных треуголь¬
ника, и площадь каждого из них поэтому равна |ай [поло¬
вине произведения а (основание) на h (высоту)]. -
Показать, что и для всякого треугольника площадь вы¬
числяется по той же формуле (разбивая треугольник на
прямоугольные треугольники).
204. Показать проверкой справедливость следующих ра
венств:
1) ‘Л — (a -f- b)m =ti — (am -|- Ьш) = п — am — Ът;
2) 7г — (а— b)in = 7% — (am— Ът) = и — ат-\-Ът.
205. Упростить следующие выражения:
1) 3(a-J-&) + 4(a — Ъ); 2) 7(2а — 36) 3(2а -}- 76);
3) 2(х—2у)-\-3(х— 3у); 4) \2(2тЗп)—6(4гв — 7и);
5) 3(а b) -f- Ъ(а — 6) — (a -f- Ъ) — (а — 76);
6) 2(х — у) — з(х-\-у)~ 1(х — у)-\-Ъ(х-\-у);
205. 7) (а —6 + с).5; 8) (За-f 56 — 7с).6;
9) 7(2а — 36 + 8); 10) 8(а — 76 + 5с);
ll) (За — 4b + 5с).2х\ 12) 3(bn — 3p — 1q).y,
13) 3(2а — 66 — 5с) — 2(а — 56 — 8с) — 4(а — 26);
14) 5а(3а -- 26 — 2с) 2б(5а — 36 -f- 5') + Юс(а — 6).
h
Фиг. 6.
Фпг. 7
— 46 —
208. Раскрыть скобки и, если возможно, упростить:
1) \(х А У)-)г\(х—У). _ 2) 2+ — 1(х—уУ,
3) За6(5а—96), 4) 15ж2(4хг/43?/2);
5) (3,4т — 6,Зи-{- 12,7/? — 3,6q).0,9mq;
6) (4,3ж2— 5,4ху — 2,4у4-}-7.8ж—2,Зу).Ъху, f
7) 3(32 — 5м) -}- 6(5it — в)— 2(4м -|~ з);
8> 3(2х — 11?/> + 1 7ж — 4(5?/ — 8ж) -4- 1 7«-
в) oy(2z -}- Зу) 3 (5у2 + 2yz) — 4x(4z—3?/);
10) (5а—7б)4а —(За —86)56 —(76 —2а) 6а 4~ (5а — 6)36;
11) (5х 4 Зу) 6^43у (2ж— 72) — Ьг(Зх-\-Ьу) + 7ж(2?/ — 3z);
12) l,3m(0,5m — 0,36) 4 4(0,4б2 — ЪтЬ) 4 0,36(86 — 3т).
206а. Проверить справедливость равенства:
(а-\-Ъ):т — а:т-\-Ъ:т, если 1) а —17, 6 = 3, т = 4;
■2) а =110, 6 = 10, т = 40; 3) а = 0,64; 6 = 0,36; и» = 0,4.
2066. Проверить при значениях предыдущей задачи, что
(а — 6): т = а: т — Ъ'.т.
206в. Выполнить деление:
1) (5а-{- 56 — 5с):5, 2) (ах — Ъх-}-сх):х;
3) (8а — 6641°с):2; 4) (ax2-j-6x — 5х):ж;
5) (баж— 9бж—15ж):3ж: 6) (8а2 — 4ac-f- 12а) :4а;
7) (49а« — 21и2 —91ир)17и; 8) (12а2ж —8а6ж4~ 20ажу):11^а;
9) (\аху - - \Ъху ^ сху) 1 ^ху, 10) (2^а6ж — з\Ъсу 4-3^6й):|б.
Умножение многочленов.
207. Записать (где необходимо, пользуясь скобками) и
вычислить результаты:
1) произведение суммы 17 и 18 на сумму 19 и 18;
2) сумму 7 и 14, умноженную на разность 28 и 16;
3) произведение суммы и разности чисел 16 и 13;
4) произведение разности 36 и 13 на разность 26 и 13.
5) а) сумму квадратов, 6) квадрат суммы, с) разность
квадратов, d) квадрат разности чисел 25 и 15.
208. В тожестве (а-\-Ъ)т = ат-\-Ьт сделать подстановку
т — х-\-у и, раскрыв скобки в правой части, показать,
ЧТО (« 4“ ь) Ф 4" У) = а г + аУ + Ьх 4" by.
I
— 47 —
209. Показать справедливость того же равенства подста¬
новкой g = а Ь в тожестве
q(x-\-y) = qx-\rqy.
210. Представить произведение (а -{-6) (х-\-у)ъ виде пло¬
щади прямоугольника и проверить на чертеже выведенную
формулу.
211. Показать, что
(а -)- 6) (ж — у) = аж + Ъж — ay — by,
делая подстановку т=х— у в тожестве
(о -f- Ъ)т = ат-\- Ът.
212. Показать, что
1) (а — 6) (ж + у) = аж + ау — Ъж — by,
2) (а — 6) (ж — у) = аж — ау — Ъж-\- by,
делая в тожестве (а— Ъ). т — ат— Ьт
подстановки: \) т — х-\-у; 2) т=х — у.
213. Раскрыть скобки и, где возможно, упростить:
1) (7х — 3) (5а: — 4); 2) (За;— 2) (а; + 3);
3) (7а — 56) (6а+ 56); 4) (8х—7у)(7х-\-6у);
5) (3,2а—56) (5а —2,86); 6) (1,6a: + 0,3у)(5а; + 0,7//);
7) (3,5а; + 0,2) (8,4а; — 0,3); 8) (7,25+4а;) (2,8 —3,6а;');
9) (Зу + 2) (4,8у —1,5); 10) (7а — 0,3) (2,8а — 5);
11) (4а; — 9у) (5а; + Зу); 12) (За —56) (7а—106);
13) (9а+ 46) (46 — 2а); 14) (15а; + 46) (4а; + 56);
15) (а + 6 + с) (d + е); 16) (а —6+c)(d— e-\-f);
17) (а + 6 + с)(а + 6 — с); 18) (а + 6 — с) (а — 6+с);
19) (15т— 4п) (4т + 15га) — (20т — и) (Зт -— 5га);
20) (21с + Ъд) (2с — 3d) + (7d + Юс) (Зс — 10d);
21) (40a; — 7у) (Ъх — 2у) — (х — 9у) (8а; — у);
22) (9р — 42) (2р + 32) — (Ър — 6q) (6q — bp);
23) (7а; — Зу)(Ъх + 4у) — (2х—7у)(х—Ьу) —(4а; + Зу)(3х—4у);
24) (3,4с — by) (be — у) — (3,5с 4- 4у) (4с — by) — (15с2 — Юг/2);
214. 1) (5а;3 — 2а;2 + а; + 3) (4а: — 1);
2) (За;2 —4а;+5) (За;2 + 2а;+ 4);
3) (Ьх3 — 1 + 2а; — За;2) (х2 — 2а);
4) (4а3 — 2а2 +1 — За) (1 + 2а);
6) (7а;3 + 9ааг — За2а + а3) (Ьх — 2а),
— 48 —
214. 6) (9а2 — 2ab -(- 362) (Зб2 -J- 2ab -f- 9а2);
7) (ж3 -{- а3 -{- ах2 -[- а2х) (а — х),
8) (m4-|-j?4— msp — тр3-\-т2р2) (р -f- т).
9) (Зж3—2жа2-{-0,5аж2 -j-ОДа3) (10а — ОДж);
10) (7ж3— 2ху2 -)- 0,2х2у -)- у3) (ж — ОДг/);
11) <х — у)(х3 + ху + у*)\ 12) (аг2 — осуу2) (рс-{■ у)-,
13) (а4—а2Ъ2-\- Ъ*) (а2 -f Ъ2);
14) (а5—а4-)-а3 — а3-\-а—1)(а-[-1).
215. 1) (2а3 За2 —|— 2« —f— 1) (2а -J- 1); 2321.21;
2) (Зж3+2ж + 1)(3ж+1); 3021.31;
3) (2ж34-ж2-{-3)(2ж-(-3); 2103.23
4) (Зж3-\-Х2\- 2х) (Зж-f 2)-, 3120.32.
Чем следует в последних четырех примерах заменить
главную букву, чтобы результат умножения многочленов
совпал с результатом умножения целых чисел в той же
строке?
Указать, как законы умножения применяются при умно¬
жении многозначных чисел.
216. 1) Раскрыть скобки и упростить
(а + 6)2 = (а + &)(а + 6),
сравнить получающийся здесь разультат с геометрическим
представлением произведения при помощи квадрата.
Вычислить значение полученной формулы при а | Ъ
2) Подобным же образом поступить
с а) (а — Ъ)2 = (а — Ъ) (а — 6),
б) (a-f-6)(a — Ъ) = а2—Ь2.
217. Пользуясь полученными формулами, вычислить:
(а + Ъ)2 = а2 + 2 аЪ + Ъ2,
(а — &)“ = а2 — 2аЪ + Ъ2,
(а + 6) (а — Ъ) = а2 — &2.
1) 20 3
2) 30 5.
1) ЗЗ2;
4) 10102;
2) 51;
5) 34:
3) 1072;
6) (а + 3)2;
— 49 —
217. 7) (7ж+5)=; 8) (3.r+2f/)=; 9) (p+m
10) (10a 4~6)2; 11) (1000a 4~6)2; 12) (100a+ 10Й)2;
13) 192; 14) 582; 15) 992;
16) 8992; 17) 452; 18) (x — 8)2;
19) (3a — 5)2; 20) (4x —6у)2; 21) (m— l)2;
22) (10a — 6)2; 23) (100a —6)2; 24) (100a—106)2;
25) 18.22; 26) 101.99;
27) 53.47; 28) 1010.990;
29) (я + 1).(я—1); 30) (*— 9).(®+9);
31) (3a —5).(3a-f-5); 32) (2a-j-6).(2a — 6);
33) {lx-\-Zy).(lx— 3y); 34) (4м — Зг>).(4м + 3i>);
35) 282 — 122; 36) 372 — 232; 37) 962 —562;
28) 8232 — 732; 89) 5292 —912; 40) 5872 —5752.
218. Раскрыть скобки и, где возможно, упростить выра¬
жения:
1)(5а + 2й)2; 2) (4.г — 9г/)2; 3) (бх—7у?; 4) (7а — З)2;
5) (5с —сГ)2; 6) (9ж + 5)2; 7) (0,2а + 0,Зй)2; 8) (2а2 —7)3;
9) (2,5*4-4s)2; 10) (0,3а — 0,8б)2; 11) (4а-\-Ъ — х)г;
12) (2а — 36 + ж)2; 13) (Зх — Ьу — 2)2;
14) (а + 6) (а-(-6); (а-\-Ь): 15) (а — 6) (а—6) (« — й);
16) (х 4-I)»; 17) (1—у)3; 18) (о-6)2;
19) (2*4-4у) (2*—5?/); 20) (0,5 — 20) (0,5 4-20);
21) (5а—66) (667 5а); 22) (4r + 2Ys) 2У«);
23) (4а —36) (4а 4-36) (16а2 —9б2);
24) (Ьх—у) (25ж2 — 02) (5* 4“ У)>
25) (^ + ^)(^2-|й2)(1й-|с];
26) (з>-34-2|) (эго— б|) (Зг2—2^);
27) (2*4-30)3;' 28) (а —5бр; 29) (4а — 7613; 30) (2а6 4-Зс)3;
31) (5а 4- 76)2 __ (5а _ Щ2 _j_ (7б 10а) (7б _ 10а).
32) (2х — 90)2 4- (3* 4- 80)2 — (4* — 60) (60 4- 4*);
33) (0,2 4- 5с)2 — (4с — 0,5)2 — (0,3 4- с) (0,3 — с);
34) (20»" — 1 Is) (20г 4- 1 Is) — (Юг — 9s)2 4~ (5s — 2*)2.
219. 1) У арабского математика Абул-Вафа (940—998) дан
прилагаемый (фиг. 8) здесь чертеж (заимствованный у ин-
Сокр&щенный сборе. алгебр. >пражн., ч. J- 4
— 50 —
дусов'). У индусов под чертежом обычно имелась подпись
«смотри».
«Усмотреть» из этого чертежа, на основании зависимости
между площадями большого (наружного) и малого (внут¬
реннего) квадрата и площадями
одинаковых прямоугольных тре¬
угольников, зависимость между
числами а, Ь, с, выражающими в
каких-либо мерах длины сторон
прямоугольного треугольника (тео¬
рема Пифагора).
2) Выяснить геометрический
смысл этой теоремы, построив квад¬
раты на гипотенузе (сторона, ле¬
жащая против прямого угла) и
на катетах (стороны, образующие
прямой угол).
220. Если построить прямоугольный треугольник, каждый
из катетов которого равнялся бы аршину, то гипотенуза
будет очень мало отличаться от метра. Сколько (приблизи¬
тельно) квадратных аршин в квадратном метре?
221. Показать, что
(а2 + 62)2 = (а2 _ 62)2 (2о6)3.
Составить таблицу пифагоровых (т.-е. таких чисел, которые
могут представлять значения сторон прямоугольных тре¬
угольников» чисел =а2 — 62, у — 2аЪ, г — аг -)- 62, придавая
а и 6 последовательные значения от 1 до 5. Проверить и
на полученных числовых значениях и на общей формуле,
что числа, получаемые по этой формуле, действительно мо¬
гут быть значениями сторон прямоугольного треугольника.
222. Чтобы получить квадрат двузначного числа, окон-
чивающегося на 5, пользуются формулою:
(a + 5)2 = a(a-l-10)-f 25;
формулировать словами даваемое этой формулой правило,
доказать его и, пользуясь им, вычислить: 1) 652; 2) 852; 3) 35*.
Фиг. 8.
— 51 —
223 Подобно тому, как и в предыдущей задаче,
(а + = а(а + 1) + — .
Формулировать словами. Данное правило, доказать его и,
пользуясь им, вычислить: (2^) ; (10т) ! (49т) •
224. 1) В произведении а.Ъ=с множитель а увеличи¬
вается на 1, 2, 3 и т д. до 5 Как изменяется произведе¬
ние?
2) Как изменяется произведение аЬ = с, если множитель
•5 уменьшается на 1, 2, 3 и т. д. до 5?
3) В произведении а-Ь = с оба сомножителя увеличива¬
ются на 1, 2, 3 и т д. до 10; как изменяйся произведе¬
ние?
4) Оба сомножителя произведения ab = c уменьшаются
11а 1, 2, 3 и т. д до 10; как изменяется произведение?
5) Множитель а произведения аЪ = с увеличивается на
1, 2, 3 и т д. до 10, и одновременно на столько же умень¬
шается множитель Ь. Как изменяется произведение?
225. 1) На сколько увеличится произведение 739.571,
«ели каждый из множителей увеличить на 1?
2) На сколько увеличится произведение 639.471, если
множитель 639 уменьшить на 1, а множитель 471 увели¬
чить на 1?
3) На сколько уменьшится произведение 549.361, если
каждый из множителей увеличить на 1?
226. 1) На сколько увеличится площадь прямоугольника
«о сторонами 793 м и 137 м, если большую сторону увели¬
чить на 5 м, а меньшую на 7 ы?
2) Как изменится площадь квадрата со стороной=
= 49 м., если одну сторону увеличить на 1 м., а другую
уменьшить-на 1 м.? Чему будет равна площадь полученного
таким образом прямоугольника?
227. На странице книги в среднем помещается 38 строк
по 47 букв на каждой. На сколько больше букв будет со-
4*
— 52 —
держать каждая страница, если на каждой странице по¬
мещать одной строкой меньше, а в каждой строке — на 2
буквы больше?
228. В Персии у курдов, в Валахии, а, согласно неко¬
торым указаниям, также и у простого народа в Италии,.
Испании и Южной Франции распространен следующий спо¬
соб заменять при вычислении на
пальцах умножение чисел между 5
и 10 умножением чисел меньших
пяти:
Если требуется умножить 6 на 8,
то следует на каждой руке поднять
но стольку пальцев, на сколько ка¬
ждый множитель превышает 5; в дан¬
ном случае, следовательно, на одной
руке—1, а на другой—3, а остальные пальцы—согнуть. Сум
ма чисел, представляемых поднятыми пальцами (здесь,
следовательно, 3 —j— 1 = 4) даст десятки, а произведение чи¬
сел, указываемых согнутыми (здесь, следовательно, 4.2 = 8),
дает единицы искомого произведения.
Доказать справедливость этого приема для произволь¬
ных чисел а и Ъ.
229. Один мальчик говорит другому: «Задумай, какое
хочешь, целое число; прибавь к нему 11. Полученный
результат умножь на 2. Теперь вычти 20. Полученную
разность умножь на 5 и вычти из удесятеренного задуман¬
ного числа. Тогда ты получишь 10». Почему это известно-
мальчику?
Подстановки.
230. Заменить в выражениях:
1) X— 5; 2) х2 — 6; 3) 10 — х;
4) 19 — 2х\ 5) х2-\- 2х — 4; 6) х2— Зх -\-2
а, посредством:
1) 2У\ 2) у — 3; 3) у-\-г; 4) у — z.
— 53 —
231. В следующих выражениях положить: а) х — а-\-Ь-,
<5) у = а— Ь.
1) Ъх — ху-\-у, 2) Ъх — у(2+1);
3) 22(3 —у) — 2 у\ 4) \х{х —у)—\ у(х -f у).
232. Положить в:
1) хг-\-2х — 4; ж — у—1;
2) я?-\-Ъх—16; х = у — 3;
3) х*-\-х —12; х = у — \-
4) 23 + ах 4~ 2 у — .7Я;
5) Ж3-^-Зл:2 — 4; Z = y — 1.
Уравнения и задачи.
"233. Решить следующие уравнения:
I) 7(2— 1) = 35; 2) 9 = (28 — х). 0,5;
3) 15 = 0,3.(27 4-2); А) а{х-\-Ъ) = 2аЪ\
5) 3(2—1) —2(^4- 1); 6) 5(5 — а;) = 3(2 3);
7) 2(2 — Ъ) — Х — 3; 8) 12(2*4- 3) = 11(5* — 8);
9) 9(2ж4~3) = 5(5.г —10); 10) 6(224-7) = 15(а?4-2);
II) 32 +5(42-|-3) = 102 4-2(72 — 2);
12) 12* — 7(* +4) = 26 — 4*; 13) 7(42 —3)+3(7—82) = 1
14) 8(32 — 2) — 7х — 5(12 — Ъх) = 13л:;
15) 62 — 7(11— 2)+11 = 42 — 3(20 — х);
16) (Ъх 4- 8) (х — 2) = (х + 4) (За; — 7);
17) (27 — х) (6а;—5) = (22+li)(5— За;);
18) (7х — 5) (7 — Ъх) — (6 — Ьх) (Ъх — 7) = (Ъх — 7) ■ (7 — 2х);
1.9) ix — 6)2 + (2 — 4)2 + 9 = (62 — 2) (112 — 1) — (82 — З)2;
20) (22 +1)2 4- (Зх 4- I;2 4- (82 — З)2 = (72 — 2) (112 — 1);
21) (8 _ 3x12 4- (5 — 42)2 — 6 = (9 — 5а;)2 + 202 — 4.
234. 1) Если от искомого числа отнять 5, остаток умно¬
жить на 7, к тому, чго получится, прибавить 2, то в ре¬
зультате получится 16. Найти это число.
2) Если к неизвестному числу прибавить з, полученную
сумму умножить на 2, из произведения вычесть 8, то полу-
— 54 —
чится столько же, сколько получилось бы, если от этого
же неизвестного числа отнять 4. утроить разность и от
произведения отнять 1. Найти это число.
234. 3) Если отнять 7 от неизвестного числа, получен¬
ную разность умножить на 3 и к произведению прибавить
2, то получится столько же, сколько получилось бы, если
это же неизвестное число умножить на 8, от произведения
отнять 3 и остаток разделить на 7. Найти число.
4) Какое число следует прибавить к 820, чтобы полу¬
ченная сумма оказалась в 10 раз больше суммы искомого
числа и 37?
5) Какое число следует отнять от 1728, чтобы получен¬
ная разность была в 4 раза больше разности между 519 и
искомым числом?
6) На сколько следует уменьшить каждый из сомножи¬
телей произведений 25.51 и 31.40, чтобы эти произведения
оказались равными?
7) На сколько следует уменьшить каждый из сомно¬
жителей произведения 30.147 и увеличить каждый из со¬
множителей произведения 14.62, чтобы эти произведения
оказались равными?
8) Куплено по одинаковому количеству березовых и оси¬
новых дров; в продолжение месяца было сожжено 18 сажен
березовых и 58 сажен осиновых дров. Сколько было ку¬
плено дров каждого сорта, если по прошествии месяца бере¬
зовых дров осталось втрое более, нежели осиновых?
9) Сестра старше брата в 15 раз, а чрез 13 лет она бу¬
дет только вдвое старше этого брата. Сколько лет каждому
из них теперь?
10) Сыну 10 лет, а отец вчетверо старше его. Чрез сколь¬
ко лет отец будет втрое старше сына?
11) Сколько воды нужно прилить к 40 ведрам вина 75
градусов (т.-е. к смеси, содержащей 75 частей спирта п.
25 частей воды), чтобы получить смесь в 48 градусов?
12) Сколько золотников меди должно прибавить к 64 зо¬
— 55 —
лотникам серебра 90 пробы, чтобы получилось серебро
72 пробы?
234. 13) В январе 1914 года было куплено черного и белого
хлеба всего 27 фунтов на 1 руб. 80 коп. Сколько было куп¬
лено хлеба того и другого сорта, если фунт черного хлеба
стоил 4 коп., а фунт белого—10 коп.
14) Торговец смешивает два сорта вина; бутылка
первого сорта стоит 1 р. 35 к., а второго 60 к. Он желает
получить 150 бутылок по I рублю. Сколько бутылок 011
должен взять того и другого сорта? (По ценам 1914 г.).
15) В конце 1917 года было куплено 30 аршлн материи:
ситцу и сукна всего на 816 руб. Аршин ситцу стоил 12 руб.,
а аршин сукна—18 руб. Сколько аршин было куплено сигцу,
если всего было 30 арш.
16) Перевозкой транспорта заняты 24 подводы. Часть из
них может нагрузить на каждую подводу по 320 кг, а
другая по 480 кг. Сколько было подвод с нагрузкой по
480 кг, если всего они должны были перевезти 9120 кг.?
17) В январе 1921 года из закрытого распределителя М.И.О.
было выдано 4 пуда хлеба по сериям А и Б. На серию А
выдавали по Vj2 ф., а на Б—по 1 фунту. Сколько было кар¬
точек той и другой категории, если выдано хлеба по 140
карточкам?
235. В старинной китайской арифметике Цин-Чанг, соста¬
вленной около 2600 г. до нашей эры и изданной около 1250 г
до нашей эры математиком Цзин-Кин-Чау, помещены следующие
задачи:
1) В клетку посажены кролики и фазаны. У животных
вместе 35 голов и 94 ноги. Сколько кроликов и сколько
фазанов в клетке?
2) В середине квадратного пруда со стороной в 10 фу¬
тов растет тростник, который выступает из воды на 1 фут.
Если его притянуть к берегу, то он весь погрузится в воду.
Как глубока вода? (Примен. теор. Пифагора.)
3) Бамбук, высотой в 10 футов, переломлен на некото¬
рой высоте; конец его касается земли на расстоянии 3 фу¬
\
— 56 —-
тов от основания бамбука. На какой высоте от земли пере¬
ломлен бамбук? (Теор. Пифагора.)
236. 1) Мкоже ffijiH еаше дел еТнл, едино лучшее, iyfc-
НОЮ ПО 10 КОПЕЕК ГДЛЕНОК, Др^ГОЕ ЖЕ ПО 6 КОПЕЕК, НО ЖЕ-
ЛАТЕЛНО МИ Ъть ИЗ Т^* ДЕ$ EIHX СРЕДНЕЕ ЗАПЛАТИ, ЧТОБЫ
гдленок* ЕЫЛХ цфною, ЕЖ 7 КОПЕЕК*. (Арифметика Магниц¬
кого, 1703.)
236. 2) HiKTO им-бетъ двухъ добротъ серебро, изъ
коихъ одного фунтъ 12 рублей, а другого 25 рублей,
и желаетъ смешать одинъ фунтъ такъ, чтобы см'Ьшан-
наго фунтъ былъ ц1>ною 20 рублей; спрашивается,
сколько котораго серебра въ смешении взять должно?
(Войтяховский) *).
*) Из „Курса чистой математики®, сочиненного артиллерии штык-
юнкером и математики партикулярным учителем Ефимом Войтяховским
в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике
Москва, 1811 года, издание 5-е.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Относительные числа.
§ 1. Нуль.
237. Чему = ж = я — 6, 1) если а = 5, 6 = 5? 2) если
« = 0,7, 6 = 0,7? 3) а = 6?
238. Чему должно равняться а -{- 0 и 0 а, если а — а = о?
239. Проверить равенство:
а-\- 6 — с = а -|- <6 — с)
1) при а = 5, 6=3, с = 3; 2) при 6 = с.
240. Проверить равенство
а — (6 — с) —(а — 6) -f-c.
1) при а = 8; 6 = 8, с — 3; 2) Ъ = а.
241. Показать проверкой, что о — 0 = о.
242. Какое значение принимает
у = 100а -J- Ю6 -{- е
при
а
Ъ
е
1)
5
3
0
2)
4
2
0
з>
3
5
0
243. Как короче записать левую часть равенства
0 -{- 0 —(— 0 -(- -f- о = о
tn раз
244 Проверить равенства.
(а — Ъ) с = ас — Ъс; с(а — Ь) — са — сЪ;
при 1) а = 3, Ь = 3, с = 5; 2) « = ь = с = 0,2;
3) при Ь = а.
245. Как короче записать равенства:
(а —о) с = 0; с (а — а) = 0.
246. 1) При каких значениях а и Ъ имеет смысл умно¬
жение а на Ъ?
2) При каких значениях а имеет смысл деление а на Ь?
3) При каком значении Ъ не имеет смысла деление
а на 6?
4) При каких значениях Ъ имеет смысл деление а на Ъ?
247 Чему равно
и— ЮОж — 10y-\-z
при
1
2
3
4
в
6
—
—
X
2
2
0
0
0
0
У
0
0
5
4
0
0
Z
3
0
3
0
7
0
248. Какие целые значевия следует дать а, Ъ, с, d в
выражении:
у = 1000а—1006 -J- Юс -f- d, чтобы
2/= 4870, 4807, 4087, 487
у = 2001, 2010, 2100, 210, 201, 21.
249. Какие значения нужно дать л, чтобы у обратилось
в 0, если
1) у = (х — 3)(Х— 7); 2) у = х(х —13);
3) у = х(х — 1)(г — 2)(ж—3); 4) у=5ж(2л— 6)(3ж — 12).
250. При каких значениях х не имеет смысла выраже¬
ние: 1) у=ь:х-, 2) у = (х — з):(ж —2);
3) у = (4ж —J— 9):(ж — 1); 4) ?/= 1001 :(х — 11).
— 59 —
Нуль есть число, предшествующее 1 в ряде целых чисел. (Си.
дальше, стр. 61.) Если в числовом ряде от числа т произвести
обратный счет т единиц, то получим О.
Действия с нулем определяются следующими равенствами:
а-\-0 = 0-\-а = а
а•0 = 0■п=0
Произведение двух (или более) сомножителей равно нулю тогда,
и только тогда, когда один из сомножителей равен нулю. Деление
какого-либо числа (отличного от нуля) на О не имеет смысла, так
нак всякое число при умножении на О дает в произведении О.
§ 2. Введение отрицательных чисел.
251. Тверь находится на расстоянии 167 км от Москвы.
Станция Лихославль той же дороги находится в 44 км
от Твери. На каком расстоянии от Москвы лежит Лихо¬
славль? Сколько решений может иметь такая задача? По¬
чему?
252. Термометр в полдень показывал 18°. К шести часам
вечера температура изменилась на 4°. Какую температуру
указывал термометр в 6 часов вечера? Сколько решений
может иметь эта задача? Почему? Какими действиями нахо¬
дится то и другое решение?
253. Нарисовать шкалу ’термометра; каким числом харак¬
теризуется температура таяния льда (точка замерзания)?
Какими знаками обычно различают 5° тепла и 5° мороза?
254. Отметить, приняв за единицу один см, на оси,
числа:
-4“ 4“ + + — — — —“
1, 2, 3, 4, 5 ; 0, 1, 2, 3, 4
Какое расположение примет при этом числовой ряд?'
Продолжается ли он теперь только вправо?
255. Указать на оси точки, соответствующие числам:
4- — 4* — 4- —
1) 3 И 3; 2) 5 И 1; 3) 0,6 и 0,2;
+ —
4) а и а (если а даыо, как отрезок).
— 60 —
256. Указать точку, соответствующую числу, противо¬
положному
+ - + —
1) 3; 2) 4; 3) 0,5; 4) 0,7.
257. Написать числа, противоположные числам:
4- — — -Ь 4-
1) 4; 2) 6; 3) 2; 4) 3; 5) 0,8; 6) 0,3.
+ + + 4—I- 4-
258. Продолжить числовой ряд 1,2, 3,4, 5.... влево от 1
, Назвать число, предшествующее
+ ++ — + — + — + —
1) 3, 2, 1, 0, 1, 2 и Т. д.; 2) 8, 8, 3, 3, 10, 10.
259. Какое число стоит в числовом ряде на пятом месте:
+ +
1) справа от 2; 2) слева от 2;
3) » 0; 4) » > 0;
5) » » з; 6) » » з?
260. Какое число больше:
+ + + + — + —
1) 5 или 8; 2) 5 или 0; 3) 5 или 5; 4j 5 или 8;
5) О > з; 6) О ■» з; 7) 2 » ю; 8) 1 » юоооо?
261. Сколько единиц содержит отрезок оси между:
4-4- ~ + + — — —
1) 5 и 13; 2) 5 и 13; 3) 5 и 13; 4) 5 и 13;
4-4- + 4- — — —
5) 1 и 7; 6) 1 и 7; 7) 1 и 7; 8) 1 и 7?
262. На каком (по счету) месте и в каком направлении
■стоит:
4-4-4- — — + — —
1) 7 от з; 2) 7 от 3; 3) 7 от 3; 4) 7 от 3?
*
“Г
263. 1) Термометр показывает в комнате 15°, а на улице
4°. На сколько градусов температура в комнате выше на¬
ружной?
2) Термометр показывал в 6 часов утра 5°, в 9 часов
— + +
утра—2°, в полдень—8°, в 3 часа дня—6°, а в 6 часов ве¬
— (51 —
чера 0°. Найти абсолютную и относительную разницы тем¬
ператур для любых двух наблюдений.
263. 3) Август правил государством с 30 г. до нашей эры
по 14 г. нашей эры. 1) Сколько лет он правил? Он умер
75 лет; 2) в котором году он родился? 3) скольких лет о»
начал править?
4) Москва. находится под 55°45' северной широты, а
Капштадт под 33°56' южной широты. Как велика разность
между широтами обоих городов? Установить разность между
широтами следующих городов: 1) между Архангельском
(-f-64°33') и Буенос-Айресом (—34°36'); 2) Парижем (-f-48°51' >
и островом св. Елены (—45°54'); 3) Ленинградом (-|-59057)
и Сиднеем (—33°52’).
5) Среднее арифметическое чисел 74, 81, 72, 79, 80 и 70
равно 77. На сколько разнятся отдельные числа от их сред¬
него арифметического?
6) А имеет 585 руб. капитала и не имеет долгов, В
имеет 395 руб. долга и не имеет капитала. Как велик ка¬
питал А и В вместе? На сколько капитал А больше капи¬
тала В?
264. На линии Москва Ленинград лежат станции:
Клин на расстоянии 90 км от Москвы
Тверь j> 167 » » »
Бологое » 331 ■>
Чудово » 533 » »
Ленинград * »
На линии Москва Курск лежат станции:
Серпухов на расстоянии 100 км от Москвы
Тула » » 195 ■>
Орел » » 3S3 » »
Курск » 538 » *
Изобразить на чертеже линию (в масштабе 1 мм — 10 км)
Курск — Ленинград и указать на ней расстояние станций
от Москвы, считая за положительное: 1) направление от
Москвы к Ленинграду; 2) направление от Москвы к Курску
— 62 —
S) пользуясь первым решением, а) узнать расстояние между
Тулой и Клином, б) узнать, на какую станцию приходит
+
поезд, прошедший от Орла 550 км, прошедший от станции
Бологое 526 км?
Ряд натуральных чисел может быть неограниченно продолжен
«право, так как к каждому целому числу можно прибавить единицу.
Слева ряд натуральных чисел ограничен числом 1. Сложение двух
чисел, принадлежащих н натуральному ряду, всегда выполнимо, так
как при сложении двух чисел мы перемещаемся по этому ряду вправо.
Вычитание одного натурального числа из другого не всегда выпол¬
нимо. так как при вычитании мы перемещаемся по ряду влево.
Чтобы вычитание о'-азывалось всегда выполнимым, необходимо
продолжить ряд целых чисел влево. Число, предшествующее 1 (еди¬
нице), обозначают знаком 0, число, предшествующее 0, знаком 1
(или — 1), число, предшествующее 1, — знаком 2 (или — 2) и т. д.
Самые числа 1,2,3, в отличие от вновь введенных отрицатель¬
ных (отмеченных знаком—), называют положигпелъпыми и
4*
•отмечают знаком +. напР- 2 (или -f- 2).
Знаки + и — не суть знаки сложени! и вычитания. Всякое
число, предшествующее в числовом ряду другому числу, считается
меньшим этого числа, а число, следующее за данным числом,—боль¬
шим его.
Дробные отрицательные числа также имеют свое место в число¬
вом ряду. Дробное отрицательное число располагается в числовом
ряду тем левее, чем больше в нем содержится отрицательных еди¬
ниц и долей отрицательной единицы (чем больше его абсолютное
значение). Система чисел, в ноторую входят положительные и
отрицательные числа, называется системой относительных
чисел.
Благодаря введению отрицательных чисел, оказывается возмож¬
ным обозначить числами не только точки, лежащие вправо от начала,
но и влево.
Относительные числа употребляются, когда для определения зна¬
чения накой-либо величины нужно указать не только ее числовое зна¬
чение, но и направление, ноторое эта величина имеет.
§ 3. Сложение и вычитание относительных чисел.
265. Решить при помощи числовой прямой задачу- тер¬
мометр показывал в С часов утра 7°, к девяти часам утра
температура повысилась на 6°; с 9 часов утра до полудня
она повысилась еще на 5°, с полудня до 3 часов дня по¬
низилась на 3° и с 3 часов дня до 6 часов вечера понизи¬
лась на 8°. Сколько градусов показывал термометр в 6 ча¬
сов вечера? Как записать решение данной задачи?
266. Решить на числовой прямой задачу: Линия желез¬
ной дороги идет с севера на юг. Паровоз при маневрах
проехал от станции 100 м к северу, затем 300 м к югу
затем 240 м к северу, затем S0 м к югу; далее после
некоторой остановки еще 100 м к югу и, наконец, 50 м
к северу. 1) Указать конечное положение паровоза относи¬
тельно станции. 2) Определить, сколько метров прошел паро¬
воз при маневрах.
267. Построить на оси суммы:
1)7 + 2; 2)7+2; 3)7+2; 4)7+2.
Составить задачи, решения которых записаны в этой
таблице.
268. Что значит приложить к числу:
4- 4- — —
1) 5 число 3; 2) 5 число 3;
4* — — 4*
3) 5 число 3; 4) 5 ЧИСЛО 3?
Что значит сложить два относительных числа?
269. Найти и построить на оси суммы:
4*4- 4* — + — —
1) а) 2 + 3; б) 2 + 3; В) 2 + 3; г) 2 + 3;
+ 4- + + — —
2) а) 8 + 2; б) 2 + 8; в) 8+2; г) 2 + 8;
4*— — 4- — 4- 4" —
3) а) 8 + 2; б) 2 + 8; в) 8 + 2; г) 2 + 8.
270. Проверить равенство:
а + 6=6 + а
— G4 —
при
а,)
Ь)
271. Найти суммы:
+ + +
1) 2-f 3 + 6
4) 2 + 3 + 6
7) 2 + 3 + 6
2
3
4
5
+
—
+
_
+
3
3
3
3
0.6
+
_
+
7
7
7
7
0,3
+ -
+
2) 2 + 3 + 6;
5) 2 + 3 + 6;
3) 2 + 3+6;
6) 2 + 3 + 6;
В) 2 + 3 + 6.
272. Проверить справедливость равенств:
а+6+с=«+с+ Ь= 6 + с + а = 6 + а + с = с + а+6=
= с + Ъ + iif
подставляя вместо букв произвольные относительные числа.
273. Указать, в каком порядке следует произвести дей¬
ствие, и вычислить:
+ 4“ +
1) ;5 + з) + 4;
4) 5 + (3 + 4);
4“ 4“ +
2) 5 + (3 + 4);
3) (5+3) + 4;
5) (5 + 3) + 4; 6) 5 + (3 + 4).
274. Подставляя вместо букв произвольные относитель¬
ные числа, проверить, что:
а + (6 + с) = (« + 6) + с = а + Ь + с.
275. Показать поверкой (сложением), что:
+ + +
1) 7 — 3 = 4;
- + —
4) 7 — 3=10;
7) 5 — 6 = f;
4* — -I-
Ю) 7 — 7=14;
276. Вычислить:
4- 4-
1) 3 — 7;
+ — +
2) 7 — 3=10;
+ 4- —
5) 5 — 6=1;
— + —
8) 5 — 6=11;
11) 7_7 = о;
3) 7 — 3 = 4;
4- — 4-
6) 5 — 6 = 11;
4- 4-
9) 7 — 7 =0;
— -и —
12) 7 — 7 — 14.
2) 3 + 7;
4“
3) 3-
5) 3 — 7; 6) 3 + 7; 7) 3 — 7;
4“ 4-
4) 3+7;
8) 3 + 7;
— 65 —
+ 4* 4 — 4-_ 4- -Ц
276.9)10—2; 10) 10-f-2; 11)10—2; 12) 10 f 2;
13)10—2; 14)10+2; 15)10—2; 16)10+2;
+ + + — -f- — 4 4*
17)0,9—0,9; 18)0,9 + 0,9; 19)0,9—0,9' 20)0,9 + 0,9;
~ 4- — — — — — +
21)0,9 — 0,9; 22)0,9 + 0,9; 23) 0,9- 0,9; 24) 0,9 -f 0,9.
277. Назвать число, противоположное.
4- - 4- + - -
2; 6; 9; 7; 11; 12; 0.
278. Какое число следует приложить к числу а вместо
_1_ _ _ 4.
того, чтобы вычесть из него число: 5; 6; 3; 2; 9; О?
279. Каким действием и каким числом может быть за-
+ ~ ~ — +_
менено вычитание числа: 5; 7; 0; б; 0,4; 0,1?
280. Назвать число, обратное числу:
ч*«* 1 ■ 1 5 3 8 9
’^4 ’ 9' 6 ’ 4 ’ 7 5 F
Каким действием и каким числом можно заменить де-
1 1 3 5 9 120
Ленив На: 3, 8, g ; ^ ^ ; gj
281. Чему равна сумма чисел:
2) ~ + 3)+__ ~ 4
1) 5 и 5: 3 и 3; и и «; 4) т и т.
Чему равна сумма двух противоположных чисел?
282. Написать число, противоположное данному числу х,
и проверить результат сложением с данным числом, если
4-4- — -f- — — 4~ —
1) аз = 2 + 3 + 2 — 5; 2) аз = 2 + 3 + 2 —5;
4-4- — — 4- — 4~“
3)33 = 6 + 9 — 7 + 3; 4)33 = 13—7+4 — 2.
283. Раскрыть скобки и проверить сложением получен¬
ный результат в следующих примерах:
1) (3 + 2) — (5 + 2); 2) (3 + 2) — (5 + 2);
3) (3 + 2) —(5 —2); 4) (3 + 2) — (5-2);
Сокращенный сборе. алгебр, упражя., ч. 1. 5
— 66 —
*+ 4- 4* — -f-—— *4*
283. 5) (3—2) —(5 —2); С) (3 — 2) — (5 — 2);
7) (3—2) —(5 —2); 8) (3 — 2) —(5 —2).
Сложить два относительных числа значит: 1) если относительные
числа имеют один и тот же знак, сложить их абсолютные значения
и при полученном числе поставить знак, который имеют слагаемые;
2) если относительные числа имеют разные знаки, вычесть из боль¬
шего абсолютного значения меньшее и при полученной разности по¬
ставить знак числа, имеющего большее абсолютное значение.
Для сложения двух относительных чисел оказываются справед¬
ливыми законы сложения переместительный и собирательный.
Число увеличивается, если к нему приложить положительное число-
Число уменьшается, если к нему приложить отрицательное число.
Введение отрицательных чисел позволяет всякое вычитанъ1е
заменить сложением: прикладыванием к уменьшаемому числа,
противоположного вычитаемому, подобно тому, как введение дробей
позволяет всякое деление заменить умножением делимого
на число, обратное делителю.
§ 4. Знак числа и знак действия.
284. Вычислить:
+ + + —
1) 3 — 2; 2) 3 + 2;
+ + + -j-
5) 5 —2 —3 + 2;
7) 7 —3 + 6 —8;
+ + + +
9) 9 —2 + 4 —6;
235. Проверить равенства-
-г- 4- -т-
1) 7 —3 = 7+3;
4- 4- — 4-
3) 3 — 2; 4) 3 + 2;
6) 5 + 2 + 3 +2;
8) 7 + 3-f 6+3;
JO) 9 + 2+4 + 6.
2) 7 — 9 = 7 + 9;
+ + - -
3) 7 — 2 + 3 = 7 + 2 — 3 = 7 + 2 +3;
4) 9 — 2 + G = 9 + 2 + 6 = 6 — 2— 9;
51 15 — 3 + 6=15 + 3 + 6—6—15—3.
— 67 —
286. Проверить справедливость равенств:
+ + —
1) 5 —7 + 2 = 5 —7 —2;
+ — +
2) 9 + 3 —6 = 9 —3 — 6;
+ — т
3) 15 + 8 — 8 = 15 — 8 — 8;
4- 4- —
4) 16 — 7+4=16 — 7 — 4.
— —
5) 14 — 8+2=14 + 8—2.
287. Написать следующие выражения таким образом,
•чтобы при каждом числе стоял только один знак, и вычис¬
лить значение этих выражений;
+ — + -+ -L —
1) 5 + 6 — 8; 2) 5 — 6 + 8;
3) 9 + 4 —"8; 4) 9— 4 + 8;
4" — ,4-
5) 16 — 9 + 6 + 4; 6) 16 + 9 — 6 + 4;
7) 9 — 7 + 6 — 5; 8) 9 + 7 — 6 + 5;
9) 17 — 9 + 11—8; 10) 17 + 9 — П +8;
+
11) 27 + 40 — 7 + 8/ 12) 27 — 40 + 7 — G.
288. Записать и вычислить;
1) сумму числа 5 и числа 4;
2) сумму числа 5 и числа, противоположного числу 4;
3) сумму числа, противоположного 5, и числа—4;
4) сумму числа, противоположного 5, и числа, противо¬
положного—4;
5) разность числа 5 и числа—4;
6) разность числа 5 и числа, противоположного
числу — 4;
7) разность числа, противоположного 5, и числа—4;
8) разность числа, противоположного 5, и числа, про¬
тивоположного—4;
9) сумму числа—8 и числа—7;
10) сумму числа—8 и числа, противоположного—7;
11) сумму числа, противоположного—8, и числа—7',
5*
— 68 —
288. 12) сумму чисел, противоположных—8 и—7;
13) разность чисел—9 и—11;
14) разность числа—9 и числа, противоположного—11;
15) разность числа, противоположного—9, и числа—11;
16) разность чисел, противоположных—9 и—11.
289. Назвать число, противоположное:
1) а; 2) —Ъ; 3) З.г; 4) — у;
5) J — Ъ; 6) а 7) Зх— 2у; 8) bz-{-6v;
9) а-}-5— с; 10) а — 6-j— с; 11) Ь-\-с — а; 12) ас.
290. Чему равно —а, если: ,
1)о = 5; 2) 11; 3) — 7; 4) — 13; 5) —9; 6) О?
291. Чему равно 6, если:
1) —5 = 9; 2)13; 3) — 5; 4)—11; 5)_ 14; 6)—8: 7)0?
292. Какое число больше:
1) а или —а; 2) За; или —За;;
3) —ху или ху; 4) а — 5 или Ъ — о?
293. Чему равно: 1) х — y-\-z,
если
X
У
г
а)
+ з
+ 5
4с
б)
— 2
+ 7
— 9
в)
— 5
— 11
— 13
Г)
а-\-Ъ
а — Ъ
Ъ — а
д)
а2 -f- 2ab 4 Ь-
а 2— 2аЬ -{- Ь2
а*—Ы
Чему равны 2) x—y—z\ 3) х — (?/ — л); 4) х — (y-\-z>.
при тех же значениях букв?
Числовое значение выражения не изменяется, если два знака, ко¬
торые стоят один перед числом, а другой над числом: знак дей¬
ствия и знан числа поменять местами. Поэтому во всяком вы.
ражеиии можно (предварительно произведя вычитание всех отри¬
цательных чисел, т.-е. заменив пару знаков — парой знаков +) про¬
пустить все знаки -j- везде, где зто не нарушает смысла выражения,
— 69 —
а удержанные знаки писать перед числами, к который они отно*
сятся. Всякий такой знак можно рассматривать, и нан знак числа, и
как знак действия. Поэтому знак -{- называют плюсом, а знак —
минусом, независимо оттого, применяется ли этот знак за знак
числа или за знак действия.
Обычно все знаки минус, стоящие перед ч'/слами, считаются за
знаки числа и выражение — а принимается за обозначение числа,
противоположного а. Ввиду этого все члены многочлена называют
■слагаемыми, а самый многочлен суммой (алгебраической).
§ 5. Упражнения.
294. В следующих примерах сложить выражения, стоя¬
щие друг под другом. Сложение производить, записывая
данные выражения в строку и обозначая, где нужно, по¬
средством скобок последовательность действий:
1)
1 —m
2) 3 —m
3)
7 + 2i».
4)
3»»—5
+ 2’
— 2’
— 2m’
— r,i’
6)
a — 5
6) a— 5
7)
m
8)
n
5
— 5’
m — 7i
m — 71’
Э)
X
4
1
О
11)
X
12)
x у
У —x’
*+s/’
X y'
+»’
13)
a—35
14) —2a
15)
— 55
16)
За—56.
4-45
a —25’
«4-45’
+ 36’
17)
lfx—3 ly
+ 2л*+1-|»;
— Цр-
—2\x-{-1^2/
-Ф+Ф
+ <v'
1S) Jb+le—?tf+|c + ^
10) 5а — 35 + 3с — d 20) 1х — y-f и— v
— За-{- 6— 2с + 7с2_ —5# — 4y-)-SM-|~4o
4_2а —55 —8с + cV — 2х -f by + За + lv'
— За -f- 45 + 7c — 9cl -j- x— S//-]-4m— 4»
21) 1,34»»—7,6» — 9,37p + 1,382
— 9,4»» — 8,7» — 81, Ip — OjSOg1;
9,76»» 9,3» + 4.33j> + 7,02?
295. В следующих примерах произвести вычитание,
принимал число, стоящее в первой строке, за уменьшае¬
мое, стоящее во второй—за вычитаемое. Вычитание произ¬
водить, записывая данные выражения в строку и обозна
чая, где нужно, посредством скобок последовательном:!
действий:
1) —(— 8а
2) -f - 9Х'
3) —116
4) — 8 т
+ 5 а’
— Зх’
— 85’
+ т”
6) п — 1
6) » +1
7)5 .
8) a? -{— 3
1
1 '
* + 2’
7 1
9) х — 1
10) х — 2.
11) 3
12) —5
+ 5’
— 2’
х — 2‘
3 — х’
1S) 1—о
14) —1.
15) —1
16) —1
— 1’
0—1’
1 —о’
1+о’
17) т — п
18) пг —
19) п
20) т
и
т
т — п
т — и’
21) —хт
22) —у.
23) х — У'
24) я + «/_
х — у’
х — у’
X*
—у’
25) — Зх
26) —2 >/.
27) — 4у_
2S) — Ъу
х—2 у’
® — 3?/
У— ж’
2 у — Зх’
29) ’’п
30) — 3 п
31) 8и — 1
32) 1—8и
1 — 5 п'
4м— 1 ’
— 2 га’
— 5 ’
33) х~ 1
34) а — х
35) аг + «/
36) х + 5
*+1'
х — а’
•т — у
х—Т
37) »и—1_
SS) »»+1
39) иг + 1
40) г?*+1.
и — 1’
»+ 1’
»—1’
1 —п’
41) п-\-х
42) п — х
43) а —
44) а; + г/
— я:+1’
— 1—х’
— 0—1’
— у —а
45) 1а—ЪЪ
46) 70 + 36
47) 5а — 6
48) За —55^
2 6 — о’
75 + За’
8о-|-6’
6 —2а
49) 9а — 85 +
1с — 3d
50) 0 — 26+3
:с — 4<Z
5а — 65 —
Зс + 2<Г
7а + 36 — 5с + 8сГ
61) 4х — Зу + Эи—
52) т—:3м+р
— 7
5а; + 4у—
Зм — 8v’
* т — 4 и—Р + 8’
71 —
296. Раскрыть скобки и упростить выражения:
1) (Зяб — 2ас) — (5ab — lac) (2ас — ЗаЪ) — (7ас — 5ab);
2) (4т — 2р -J- 3q) — (4р — 2q 4 3т) 4 (4q — 2т 4 3р);
3) 5# — 3?/— (3#4бг/)4(7# — у) — (8ж — \Ьу);
4) 20а — (46 — 5с) 4 (— 17а 4 36 — с) — (2а — 86 — 16с);
5) 1 Оу + (110 — 9v) 4 (1у + 9е — 18с) — (Зу 4 2г4 5с);
6) 123# 4 53г/—922—(28#43г/—ЮОг)—(75#445г/—72)
7) 72а—(146 — 4а) 4 (136 — 4с) — (26с— 15а) — (5а — 39с)
8) 41# — (32# + 6г/)4(Ю# 4 Юг/ 4 104—(— * — 3г/ 4 4*)-
— (4^4# —2г/);
9) 15s — 12с + (5s 14с 4- It)—(— 31 — 15r -!- 10s) -A- 10£—
— lo»-—(s 4 r 4 0;
10) 86a — 426 —(— 27c4 23a — 336)—(— 47a — 49c -4- 126)—
— (326 — 19c 4 7a) — (— 4c 4 5» — 756)*
11) 120# — [35# — (20# 4 13г/) 4 3*] 4 №>y — (13г — 20#)] —
— [3# 4 42/—52 (702 — 33#)]*,
12) 5m2— [35 — (15m 24 3mP + S'2)] ~b t45 + (lOtwp-4- 7g5)4
4- 20 m7) — [ — 32 — ( — m2 — mp 4 q2)]i
13) 5xy2 — (7#3 — 4,7г/3) — [5#3 — (2,2у3 — 5#2г/ — 4.2#3) 4
-4-(2,7г/3—7,2#3)];
14) 4|m2n2— (5,6m* — ,7,4ги2гг2 2‘и4)- — 4,8w4 —
— ( 5 2 2»w2nB — 5,6 m4 j J -
Уравнения и задачи.
297. Решить следующие уравнения:
t>4-3-=K 2) 13 = 9—#: 18 = 7—#;
4) # —11=—5; 5) У—# = — 5; 6) 19,8=18,9—#;
7) #47,5=5,7 8) §= * — #; 9) # — 6 = 0,
10) г + а = 0; 11) # —a = — a; 12) a — x — --a.
298. 1) Найти число, которое на 12 больше числа, evy
противоположного.
2) Найти число, которое на 100 мепыне чпсла, ему про¬
тивоположного.
3) Найти число, равное числу, ему противоположному.
298. 4) Найти число, которое при сложении с удвоенным
противоположным дает V.
5) Найти число, которое больше утроенного противош>
ложного на число а.
299. 1) В постоянной сумме а-\-Ъ~ 10 а получает зна¬
чения от —Ю до +20. Какие значения принимает Ш
Построить соответствующие значения а и 6 на оси.
2) В постоянной разности а — 6=5 а получает значения
от —10 до 20. Какие значения принимает 6? Построить
соответствующие значения а и 6 на оси.
3) В постоянной разности а — 6 = 5 6 получает значения
от —10 до 4“ 20. Какие значения принимает а? Построить
соответствующие значения а и 6 на оси.
§ 6. Умножение и деление относительных чисел.
300. Проверить равенство
(а, — Ь)(х — {/) — ах — Ьх, — ay-f- by
прп
_i_
2
3
5
в
7
8
9
10
и
а
4
4
4
4
4
4
4
6
6
1
0
6
2
3
4
3
6
6
4
3
3
5
9
X
5
5
5
5
5
5
6
5
3
2
7
У
4
4
4
5
2
5
8
3
5
8
9
301. Какой вид примет равенство
(а — Ь) (х — у) = ах — Ъх — ay 4~ by,
если:
1) 6=0 и у = 0;
2) й = о и у*= о;
3) 6=0 и я- = 0;
4) а = О И х = 0.
302. Какой знак должно иметь произведение при умноже¬
нии на отрицательное число, чтобы равенство (а — 6) (л- — »/) =
= ах — Ьх — ау-\-Ъу оставалось справедливым и прп а <С 6, и
— 73 —
при х<^у (в отдельности или одновременно), и при обра¬
щении одной или нескольких из букв: а, Ъ, х, у в нуль?
303. Что значит умножить число 15 не
1)3; 2)4; 3) — з; 4) —J ?
В чем состоит действие, называемое умножением на отрица¬
тельное число?
К чему сводится умножение числа на — 1?
304. Вычислить:
+ +
+ +
h
+ -
1) 5.2;
2) 2.5;
3) 3.5; 4)
5.3;
5) 7.2;
6) 2.7;
7) 4.7; 8)
7.4.
305. Указать порядок действий и вычислить:
+ + +
ч- + +
— + +
— + +
1) (5.3)-2;
2) 5.(3.2);
3) (5.3).2;
4) 5.(3.2);
+ — +
+ - +
—■ —
— — +
5) (5.3).2;
6) 5.(3.2);
7) (5.3).2;
8) 5.(3.2)
+ -1
4~ + —
— 4_ —
— + —
9) (5.3).2;
10) 5.(3.2);
11) (5.3).2;
12) 5.(3.2);
13) (5.3).2;
14) 5.(3.2);
15) (5.3).2;
16) 5.(3.2).
306. Проверить равенства
аЪ = Ъа (переместительный закон),
а(Ъ.с) = ( аЬ). с (собирательный закон),
подставляя вместо букв произвольные относительные числа.
307. Написать без скобок:
1) ( — 5)2;
5)
9) (— 4)3;
2) ( —I)2;
6) ( — X)2;
Ю) ( —5)3;
3) (-7'Д
7) (-3)3;
11) (X)3;
308. Написать без скобок:
1) ж2,
при: а) х=2,
4) а2,
при: а) а = 4;
8) (а — ЪУ-,
2) Xs
б) х = — 2, в) х — 3,
5) а3, 6) а4
б) а = — 4; в) а=1;
9) (Ъ~ а)=, 10) (а — Ъу,
при а = 5, 5 = 3.
4) ( — ау;
8) ( —I)3;
12) ( — ж)3.
3) ж*
г) х ■= — 4,
7) а5
г) а = — 1;
11) (Ъ — а)3;
— 74 —
309. Вычислить выражения:
1) у — Х2—1
2) у=,х* — х — 2
3) у = я? — х—12
4) y = x*-\-bx + Q
5) у = х3 -j- Зх2 -J- 2л
при х = 1, х = -
* х = 2, х = -
» а; = 4, х = -
» а: = — 3, х-
» а: = 0, х = -
6) у = х2-\-рх-\-q
7) г/ = а;2 4-^а:-{-д
8) «/ = я2 -ррж -f- q
9) y = x2-\-px-\-q
» р = —7, q
» i»=7, 2
» p = 6, 2 =
» J» = —6, 2
■1
•1
3
— 2;
1, x — — 2;
I x = 3
\ ж = 4’
| ж = — 3
12< Л
\ x = — 4
| x = — 9
27{*=з ;
= 12
\ a: =9
= —27< о
| x ——3-
310. Упростить выражения:
1) 2) ж.(—Jrt•(—*);
4) (—5)(—а)(—а2);'
7) (—2)3.(—з)2;
10) С— I)7;
13) 1 —(—I)3;
16) 2+ (— 2)2;
5) (—5).о.(—а2);
8) (—2)2.(—З)3;
11) (-1)°:
14) 1 —(—I)3;
17) 2 — (— 2)2;
19) 1.2.3.4.5; 20) 1.2.3.4.5;
311. Какая разница между:
3) (—х).у.{—су,
6) (—5)(—а).о?;
9) (—2)3(—З3);
12) (— I)8;
15) 1 —(—1)*;
18) — 2-И— 2)2;
21) 1.2.3.4.5.
1)
— Iя
И
(— I)2;
2)
— 52
и
(—5)2;
3)
■—а2
И
(-Я)2;
4)
— 2а2,
(— 2а)2
5)
Xs
И
(— я)3;
6)
— 2х3
и
(— 2x)s?
И (—2)2о;
312. Найти значения выражений:
1) 2а252; 2) а252с;
4) а53с; 5) asb2c;
7) _ ба252с2; 8) — 6а353с3:
10) ab-\-bc-\-ac, 11) ab — 5«-|-ас;
3) а-Ь5с;
6). а2Ъс2;
9) — 6й35с;
12) аЪ-^-Ъп —
при: а) о = 1, Ъ — — 2, с — з;
» б) а — —1, Ь — — 2, с — 3;
» в) о = —1, Ъ = — 2, с — — 3.
313. Проверить умножением, что
Ц- — — — + — + — —
1) 14:2 = 7; 2) 14:2 = 7; 3) 14:2 = 7; 4) 14:2=7.
314. Проверить умножением равенства:
4) (— ас):с = — а; 5) ас:(—<) =—а; 6) (—ос):(—с)=а.
315. Вычислить значения:
при а = — 2, Ъ — — 1, с = — 5, d = — 4.
316. Упростить выражения: *
1) (+ай):(+й); 21 (— 12):(— 3); 3) (+6ай):(— зй);
4) (+3|):10; 5) (—а6):(—Ъ); 6) (—20): (+5);
7) (—12ху):(—4г/); 8) (—2-*): (—2*) 9) (—ху) :(+*/);
Ю) (+3): (—15); 11) (—24ир):(+4и); 121 (+ : (— ™);
13) (+**,):(-у); 14) (—8): (+12); 15) (+|):(-6);
16) (+7а). (—95): (—21а); 17) (+um). (+М: (—ап);
18) (—7ж).(— 16?/):(+14у); 19) (+10ж2).(—6у2):(—ixy);
20) (—8т).(+9и):(—12м); 21) (—12аЬс).{—1Ьху):(20сх)^
317. Указать ошибку в рассуждении:
1) 4—10 = 9 — 15 или
но 4 —10 + 5=(2—{|)2; 9-15+2^=(3-!)2,
1) (-а);6 = -^; 2) а:(-6)=-^; 3) (-а):(-Ь)=^
^ 2 а ’ а'Ь*
2а — й еЗД*
• 91
а3—й3. F\ «3—За*й+3ай*—Ь®
а—6’ а2—2аЬ+ба
следовательно, (2 — \) 2= (з — -|)2 > а
— 76 —
поэтому И 2 — f = 3 —
■откуда 2 = 3 (!?).
Умножением на положительное число называется умножение на
его абсолютное значение.
Умножением на отрицательное число называется действие, состоя¬
щее из умножения множимого на абсолютное значение множителя и
перемены знака на обратный у полученного произведения.
Поэтому произведение двух относительных чисел равно произве¬
дению их абсолютных значэний и имеет при себе знак 4-, если оба
сомножителя имеют одинаковые знаки, и знак —, если знаки сомно
жителей различны.
Умножение данного числа на — 1 сводится, следовательно, лишь
н перемене знака этого числа на обратный.
Умножение многочленов.
318. Проверить справедливость равенств:
(а -}- Ь — с) . т = am -j- Ът —cm;
т (ci -J- 6 — с) = та -j- m b — шс.
(Распределительный закон)
а
5
с
т
1)
—5
—3
—2
—4
2)
X
—у
У
—V
3)
х2
— 2х2
— х2
X2
319. Раскрыть скобки и, где возможно, упростить выра¬
жения:
1) (5а—75 —Зс)-(— 2а6с);
2) (— ЬаЪ 7ас — Ъс) • (— 2abc)\
3) (2а — ЗЬ)-(Зх — 2у); 4) (5а—7&)•( — 8 у-\- 2х);
5) (5а—5)( —2а —35); 6) (—За — 55) ■ (7а — 6) j
7) (а + 2)(а— 1) — (а+1)(а — 2);
8) (ж + 4)(а; —2) —(ж4-2)(ж—1);
9) (а -}- 2) (а — 1) — (° 4* з) (а — 2);
10) (и -j- 7) (я — 5) — (и -f- 9) (п — 7);
— 77 —
319. IT) (5ab— 1 bac-\-bd—3cd) (ЪаЪ -f- 15ac— Ъй — 3ей);
12) (9ас -f- 3ad — 2bd — 6be) (9ас — Sad — 2bd -f- 6be); 1
13) (3a2 — bob 4" 2b2) (a2 — 7ab);
14) (ж24~5 — 2ж)(ж2 — 3 4-ж);
15) (ж2 —Заг + 7)(—3 + 5ж + 2ж2);
16) (ж2 — Ixy 8г/2) (— Зж2 — 2у2 + ^ХУ)\\
17) (3 + 2ж2 — Ъх) (— 8 + 7а;2 + х);
18) (гг* —}-а4 — ах3— а3х)(а;2 — а2);
19) (аь-\-аАЪ — ab*—b5)(ab2— а2Ь);
20) (xs -j- 6 — 7х) (х2 — Ъх — 2);
21) (Ъх3 — ху2 — 7у3) (— 4ху -j- 3у2 ж2);
22) (Зх3 — 4ж 4- 8) (— 1 4- 2х 4- х2);
23) (За — 2b)3; 24) (2а —ЪЬ)3: 25) (2а —З)3; 26) (14-2а)3;
27) (х— 1) (х — 2) (х 4-3); 28) (х — 1) (х -{- 2) (х — 3);
29) (2х — 1) (Зх 4~ *>) (ж -|- 1); 30) (За: -J- 5) (2ж — 3) (а;— 1);
31) (2х-\-1)(Зх—2)(4х-\-3)(Ъх — 4);
32) (х*-{-2х3— Зх— 16) (я2 — 2*4-4);
33) (2х— 3)2(3х— I)2;
34) (2 -J- 4* 4- Зя3 4- 6ж2) (1 — ж)3,
320. Н примерах 7, 9, 25 заменить а через —Ъ и упро¬
стить полученные выражения.
321. В примерах 8, 27, 28, 29, 30, 31, 33 заменить х через
— ж и упростить полученные выражения.
322. В примерах 11, 12, 13, 23, 24 заменить а через —Ъ,
а Ь через —а.
323. Найти коэффициент при ж® в произведении:
(1 — 2х 4- 4х2 — Зх3 4- 16ж4) (1 -)- 2х 4- 4ж2 4- 8ж3-{- 16ж4).
324. Найти коэффициенты при х3 в произведениях:
1) (2 — Зж)2 (14- 5ж)2; 2) (1 4- ос)2 (1 — ж)2;
3) (1 4- ж 4- ж2)3; 4) (1 — ж 4- ж2)2.
Разложение на множители.
325. Разложить на простые множители:
1) 18; 2) ic; 3) 35; 4) 256: 5) 144:
6) 72; 7) 48; 8) 210; 9) 1024; 10) 8575;
И) 216; 12) 384; 13) 343; 14) 1728; 15) 1001.
— 78 —
326. Составить таблицу простых чисел (при помощи
■«Решета» Эратосфена, т.-е. вычеркиванием чисел: через одно
после двух, через два после трех и т. д.).
327. Представить в виде произведения возможно боль¬
шего числа сомножителей:
1) 40ab2; 2) 25ах2; S) 20а2; 4) 18а6;
5) 72abx"\ 6) 121 а-Ъху\ 7) 24ab-xy\ 8) 180р2г2.
328. Разложить на множители:
am -[- Ьт, = т (а + Л).
I) 8а -{- 8S; 2) Зх — 3; 3) ах — Ъх-
4) —7х — 7у; 5) ах — х; 6) 12а—18&‘
7) ах-\-ау, 8) ж2 — х; 9) ab — b;
10) 4ax—2bx-, 11) bx—by, 12) аж + а;
13) За — 3b; 14) 3b — 3a; 15) а2 + а;
16) 48х2у — 38ху\ 17) tibab—170а;
18) &ЬссР-\-Ь2сс1-, 19) 111р1уэ — ЬЬЬр2у5\
20) тх — пх-(-рж; 21) 8аЪх—6асу—10ал;
22) 14апх— 2\Ъпу — 7и; 23) 63ху — 84j/2-|-98ys\
24) Ibdbx — Qb2y-\-l2bt-, 25) 20их — ЗЪЬх — 40ж2;
26) ах-\-Ъх-\-сх—&х\ 27) 15а2»/4-|-9а//2-)-27ау;
28) 0,77/?(Z —0,99рг + 0,33р, 29) 0,3^5г/3-Ь0,7^;//J
329. am + Ьт-\-ар -f- Ьр = т(а -f- р(а -{- Ь) =
= (а -f Ь)(ш + V)
1) а(х —}— J/) —Ь(х -|- у); 2) а(х -f- у) — b(x -f- у)-
3) а(ж— у) — Ь(х — у)\ 4) t(2x — 3у) — 5(2ж— Зу)',
5) 2x(3p — q) — (3p — q); 6) т(х + у) — х — у;
7) п(х — у) — х-\-у, 8) ax-\-ay-\-bx-\-by;
9) ас-[-ad — be—bd; 10) ас — сх-\-а — х;
II) ах — а + ж—1; 12) ab — be — a-j-c;
13) ab — a — b-\- 1; 14) 2ах — 3bx — 2ау-f-зЬу;
15) Заж—5by — 5ay-J-ЗЬх; 16) 40ж2 — 2 р-\- Ьх—1Ьу;ж;
17) 10n2-j-21xj/— 14иж—15 пу;
18) ЗОаж — 34&ж—15а4-17&;
19) 91ж2 — 112»пж -j- 65иж — 80тп;
20) ах — Ъх-[-сх-[-ау — Ьу-\-су;
21) 2аж—bay-[-а — 2bx-[-bby — Ь;
22) 120аж— lbOay -f- 80бж —100%;
— 79 —
329. 23) adx— бса— acx -J- bdx;
24) бас— dc2— bcd-\-ac2z*
25) x -j- x2 — x3 — x*;
26) 3x(x — y) -f 3y{y — x);
27) 6a(2a— 5) —2л)|
28) 6x(a — 6)-J- 2a(6 — a) -[- 4(6 — a);
29) 4a(a — 6) -|- 66(6 — a) — 2c(6 — a);
30) (4a — 56)(3jw — 2p) -j- (a -f- 46)(3w — 2p);
31) (7a — 3a)(5c — 2d) — (6a — 2a)(5c — 2d).
330. I. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;
II. a2 — 62 = (a + &)(a— ft);
III. a3 + fo3 = (« + &)(«2— aft-|-ft2);
IV. a3— &3 = (a — &)(re2 + «&-j-&2)»‘
V. a3 + 3a2b-f3a&2 + &3 = (a + 6)3.
1) a2 -f- 2«6 -f- 62; 2) a2 —2xy-\-y2\ 3) a2 —6a+9;
4) x2\-2x-\-V, 5) a2 —4a-f 4; 5a) 9a2a2-f &xs2-\-s2]
6) a:3 -f- 4a2 -f- 4a:;
7) 64a262 -f48a6c+9c2;
8) 49a:2— 14a: -f 1;
9) 121a*-f 44a2-f-4;
10) 25,6fc2—9,6A:s-i-0,9s2;
11) m2—n2; 12) a2—62;
15) 1 —a2; 16) a2—1;
19) 100a2 —25 y2;
21) 9a262—16c2;
6a) 100 x2s2 — 20аг2 -j- z2\
7 a) 11(,a465 a265 -f- 465;
8а) 12Ls%3 — 22^5-f y4\
9a) 9a2 -f- 25 — 30a;
10a) 100x2y42 -f t2 -f- 20 xyst.
13) 9a262—y2; 14) 36а2—25г/2',
17) 64а2—1; 18) 121—9a4;
20) 169a2 — 4962;
22) 81a4—646*;
23) 25а2 —1; 24) 1 —16a*; 25) 0,25a2 —62;
26) {x2 — -‘у2; 27) l,44a262 — 0,64; 28) 0,816*— l,21a2c2;
29) 772— 132; 30) 1252 —252;
31) (a + 6)2 —(a —6)2; 32) a2 — 62 — c2 -f 26c;
33) m2
'-—P*
- 2np\
34) a2 -J- 2xy -\-y2 — a2;
35) (a2 -f xy -f у 2f — (a2 — xy -j- ^2)2;
36) (x2-\-xy-\-y2f — (a2 — xy — yrf;
37) a3-f-63; 38) a3 — 63; 39)a3+l; 40) a3—1;
41) a* —6*; 42) a6—66; 43) a64-66* 44) a2—68;
— 80 —
330. 45) 64a3+125b3; 46)27ж3—8у5; 47)27ж3—1; 48) 729+ж3^3*
49) ж3 + Зх2у Зж^2 -f- у3; 50) а3 — За2ЪЗаЬ2 — Ь3;
51) 27а3 — 27а2Ь -}- 9аЪ2 — Ь3; 52) 8х312х2убху2у3;
53) a3b3 — 3a2b2-4-3ab—1; 54) 123/;34“ 75/;2-р 15/; ~г 1 -
331. I. х2-\-(а-\-Ь')х-\-аЪ = х2-\-ах-\-Ъх-\-аЪ=^
= (х 4~ а)(х 4~ &)•
JS' 1} ах • hoc = ос2 • аЬ.
П. аЪх2-\-(am -|- Ьп)х4~ тп = аЪх24- атх ф- Ъпх -У
4~ тп = (ах 4~ п)(Ьх 4- т).
NB amx-bnx = abx2-mnt
I) ж24-5ж4-6; 2) ж24~Зж4~2; 3) а2 —а — 6;
4) ж*-j- х2 — 2; 5) a2-j-12а 4-35; 6) с2 4- 9с 4- 18;
7) а2 — аЪ — 2Ъ2; 8) 34~2ж —ж2; 9) у3 — 1уЧ — 8у,
10) ж34-2ж2—15ж; 11) b3 — b2 — 2b; 12) а2— 16а4-60;
13) За2—10а64~3£2; 14) т2 4- 8т — 20; 15) 6ж24~5жг/—6у2г.
16) а24-7я54-12/>2; 17) ЗОж2— 11ху-\-у2',
18) р2 — 8рб?4-7б?2; 19) Юг2—llrs4-s2;
20) а2 4- 15м/>4-26&2; 21) х2— 14ху-\-33y2.
332. 1) а2 — Ъ2 — а4-&; 2) ж2 — у2 — 2х2у—'2ху2;
3) а4 — Ъ* 4* 2a3b — 2аЬ3; 4) ж4 4- 2аж3 — а4 — 2а3ж;
5) а34*а2Ь — аЪ2 — Ь3; 6) ж3 — ху2 — х2у-\-у3-,
7) яг6 — лг%2— т2п^-\-пъ\ 8) ж4 4-ж2 — 2;
9) (ж24-Зж4-1)2—1; 10) т2 — п2-\-т-\-п;
II) ^ 3с)2 — (а — 2Ъ — 3с)2;
12) (За 4- ^ — -с)< — Ф - Г 3с)2:
13) 1—Зж — Зху — у2; 14) (ж 4-у)* — (х — у)1;
15) (ж 4-yY — (x2 — y2f- 16) фх — ay)2 — (ах — by)2;
17) Показать, что (—а — 6)2 = (а4-6)2;
18) (а — Ъ)2 — (Ь — а)2;
19) (а — Ь)3 = — (Ь — а)3.
Деление многочленов.
333. Показать справедливость формул:
(а 4~ Ь): т = а: т 4-Ъ:т
и (гг — Ь): т = а: т— Ъ: т
поверкой умножением на т.
— 81 —
334. Произвести деления:
1) (5а -f- 56 — 5с): 5; 2) (ал: — Ъх сх) : х\
3) (8а — 65 -f- 10с) : 2; 4) {ах2 -\-Ъх — 5л;) : х;
5) (бал:— 96л:— 15л;) : Зл"; 6) (тх— ту): (т);
7) (49аи — 21и2 — 91пр):7п; 8) (24а6—216s—Зб):(—36);
9) (— х2 -j- 20л:у — 6л-'у)(—4л1);
10) (|ал:у — \bxy -j- -cxyj: ~ху;
П) (— —\ХУ)' (—\х)>
12) ( 2\аЪх — з\Ъсу -j- 3*-6d): \Ъ■
13) (56ал:—63бл;-}-42ся;):7л;;
14) (169а6 —156ас -f-117ad—91ас)Г13а;
15) (95ал: -f 133ал;2 — 76а2л; — 209а2л;2): 19ал;;
16) (92r5s5 — 115r*s*— 161r2sG-f 69r6s3):23rs;
17) (0,68аЬ— 0,85ac — 0,51a<? -J- 0,34ac — 1,02a/) : (— 1,7a);
18) (0,1л;3 -f.0,01л;2 -f 0,001л:): 0,01л:;
19) (10a* -f a3 -j- 0, la2 4~ 0,01a + 0,001) : (— 0,1);
20) (64a6 4- 3.2a5 + 0,16a* -f 0,008a3 -J- 0,0004a2); 0,02a.
335. Упростить следующие выражения либо разложением
делимого на множители, либо делением:
1) (ат — Ът):(а — Ь); 2) (тх — х): (т — 1);
3) (1Ьпх-\-бпу-{-21пгУ.(Ъх-\-2у -\-1г)\
4) (ас — ad-\-bc — 6d): (с — d);
5) (т2 — тх — т-\-х):(т—1);
6) (бат — 9ап — 46т -}- 66и): (За — 26);
7) (бас — 2ad -|- 4а/ — 9бс -J- 3bd — 65/); (2а — Я 6);
8) (2ал; — бб.г 8ся; — ау ЗЪу — 4су); (2«г — у}*
9) (а2-\-аЪ—2б2):(а — 6);
10) (За2 -J- аб — 2б2); (За — 26)
11) (9х2-\-Ъху — Ву2):(Зх — 2у)',
12) (л;2—8л: + 7):(л: —7); 13) (л:2 —2л:—15):(л;—5):
14) (1х2-\у2у.(1х-Ьу) 15) (|а2- |б2) ;(-‘а- *6);'
16) (0,4л:21,47л;— 8,5)Г(0,8л;— 2,5);
17) (2,21и2 — 1г8пр — 1,61^>2); (0,7/э +1.8»):
lb) (а* — a~b 2Ьл) : (а о);
0
Сокращеввый сборв., алгебр упражв., ч. 1
t
— 82 —
(6ж3 + *2— 29л*+ 21):(2- — 3);
20) (2л;3 - 2*3 - 6 j* + 7j): (2* - 3);
21) (12^4-8^4-92*+6^/):(4p-f 3£);
22) (36a*— 21 au - j- боб* — ЪЪЪи)’.(Х2г — 7гг);
23) (9*3 + 15*4/ — б*//5 — Юг/3): (3* + 5:г/);
24) (9ж3 — 6*+ + 15*+ — Юг/3) Г (З*2 — 2у-);
25) (2а3 + 2а2Ь + 2аЬ2 + 2&3): (2а2 + 2&3);
26) фах — 1Ъх + lay — §fiy): (-‘ж + |г/);
27) ({*• - +1 ?*2г'5 -г^8): (>4+И;
28) (а3 — 63):(а — Ь); 29) (а3 + 63):(а+6);
30) (81а4 — 1б£4): (За 4- 26). 31) (а5 4~ 65): (а + 6):
32) (гъ — уъ)'.(г — у): 33) (ае — 6е):(а3 — at f 62);
34) (а2 — £2 + 2Ъс — с2); (а + Ъ — с); , Ь
35) (49а2 — 42а6 + 9б2 — 16с2): (7а — ЗЪ + 4с);
36) (81*5 +111*4 — 69*3 + 9*г — 63* +102): (3* + 6);
37) (102 — 69*3 + 9*2 — 63* + 111*4 + 81*5):(11*2 — 19* 4
+ 27*4 — 17*3 + 17);
38) (12*6 4 32*4 + 51ж2 + 35): (2ж4 + 5 + З*2);
39) (45ж5 + 28*5 + 60ж2*3 + 21ж3*2): (4*3 + З*3);
40) (0,861ж+5 + 1,89*++* — 1 3.23*5 — 6,027ж+2*3);
: (1,23ж2«/2 + 2,7*2).
336. Произвести деления:
1) (а4 4—lef3 + иа2 4—let 4“ 1) ■ (^ 4" ^);
2) (а3 + 4а2 + 7а+ 6): (а+ 2);
3) (За3 + 4а2 + 7а + 2): (За + 1).
Какой вид примут получаемые при этом вычисления,
соли вместо а подставить 10?
Уравнения и задачи;
337. Решить следующие уравнения:
1) —2* = 5: 2) — з* = — 6;
3) 4* — —12; 4) 36 = —9*;
5) 33* = —11; 6) 7ж = 0;
7) 7* = —4,2; 8) 0,72 = —5*;
— S3 —
9) 0,3= — б*;
11) 13*=— 10-L;
13) 8,5 — 14. _e= — 1,3;
15) 5,2 = 9—19*;
17) 19 —3*= 14 —8*;
Ю) 8* = — 5**,
12) 29* — 97 = — 10;
14) 7*+19 = 14,8;
16) 1 = 0;
8 — u,
18) 51* +35=15*—73;
19) 50* — 40 + 72 — 9* = 145 + 19 — 47*;
20) 25 — * —97 + 39* = 73* — 26 — 81* + 41 + 17*;
21) x = 91 — 76* — 35 + 27* + 47 + 9* + 33 + 7*.
338. 1) Кооператив приобрел 1320 кг чаю по 70 руб.
за 16 кг, а продавал по 2 руб. каждые 2,5 кг. Сколько
прибыли за кг получено при продаже, если 64 кг пришлось
выбросить, как испорченные, а развеска и упаковка осталь¬
ного чаю обошлись в 40 рублей (по ценам 1914 года)?
2) В бассейн проведены три трубы: первая подает в ми¬
нуту 10 вед., вторая —15 вед. Сколько подает третья, если
при совместном действии трех труб пустой бассейн напол¬
няется в 50 минут, а емкость его равна 1000 вед.?
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.
Дроби.
§ 1. Понятие дроби.
339. Вычислить:
у = а:Ь прп
£
£
4
в
7
8
а
16
—12
—18
—14
5
12
—И
7
ь
8
4
— 6
+ 2
—7
5
к
4
—3
340. Упростить выражения:
1) а3Ъ2\аЪ-, 2) хъуъ:ту2\ 3) а3Ъ2:а2Ъ; 4) хъуъ’.з?у2;
5) а3Ь2:а3Ь3; 6) хьуъ'.хьуъ; 7) а3Ь2:а*Ь; 8) хъу3:х7у2.
341. Как можно записать результаты делений:
I) а:Ъ; 2) 3а2:Ъ2\ 3) 4ху:ЪаЪс; 4) 12хуг’ЛЗаЪ2с3;
5) 1х2у2\Ьаг* 6) 15ж3:66a2z*; 7) За3х2:Ь№у3; 8) 1Ь'ЛаЪ2сЧ
342. Что называется алгебраической дробью?
343. При каком значении Ъ выражение ~ не имеет смысла?
344. Изобразить на числовой прямой в подходящем мас¬
штабе дроби:
121334. 1 3 23 4
4’ 5* 3* 7* 8’ 9’ 4’ 10* 7’ 1 * И*
и, руководствуясь этим изображением, расположить их по
величине.
Выражение, в нотором (после всех возможных упрощений) входит
действие деления на накую-либо бунву или на выражение, содержа¬
щее буквы, называется дробным.
Выражение, в котором последнее действие есть деление (на
каную-нибудь букву), называется алгебраическою дробью. Знак
деления в этом случае изображается в виде горизонтальной черты,
которая ставится под делимым и над делителем-
Гак как деление на 0 не имеет смысла, то дробь не имеет смысла,
когда ее знаменатель обращается в О»
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаме¬
нателями.
345. Что значит сложить две дроби о одинаковыми знаме¬
нателями?
346. Упростить выражения:
347. ГТмеют ли место при дробных значениях букв ра¬
венства:
а-у- 6 = b-f-л:
а4-(&+с) = (а + Ь)4-с = а + 6 + с и почему?
Сложить две алгебреические дроби с одинаковыми знаменателями
значит составить дробь, числитель ноторой равен сумме числителей
данных дробей, а знаменатель равен знаменателю этих дробей.
(а + Ь — с): т = а: т -J- 6: т — с:та;
о | Ь с а+ *> — о
т 1 т т ш
— 86 —
I
§ 2. Преобразование дробей.
а, я
6Z
am
btn
i)|;
3a*6c .
V} 3ab*c*>
дроби:
3)
6>S>
7)
10> I5aw>
11)
С
—8’
ЪаЧА
—10a262'
0,6 4п3Ь
0,32 об3’
4) —*
12 *
R) ~3аЬа»
2аб* '
2,5®уг
' 0,5а;?/2;3 "
34-9. Сократить следующие дроби, освободив их знамена¬
тели от знака — (где он имеется):
3 аб*с*
1)
ху
—ух’
2)
~х*'
3)
тЗ 1
4)
—а-Ьс’
5)
-Заб*
— баб ’
6)
— -fl&x'by
— -^аху}
350. Сократить дроби:
аЪс
7. M4nVL
} — 64а63 ’
о\ — 9,6 Хфг
' Q,4Sx3yW ‘
11 — •
6)
abd
4аУЬ
2) 6 ,
27аб*с*
8а663 ’
p. 625w9w7 _
' 125»>n ’
13)
ху
ху — у'3-
171 °Р + ЪР.
’ Ьр +ар*
21)
25)
аЪ— Ъ
аб-р 6’
а —1
■7®*
6)
Ю)
14)
18)
22)
26)
9аб2е* ’
100tw5«*
5а — об
96 — 9а’
пг> — Ъу
ор — ар’
2 а*ж — За,г*
в*6с3.
аЬФ *
121p*g«r
' 99pSg*r ’
.1. bcfihc1
, а2 — lib
15) S*+^;
19> srEv-
.. П3б*{
^ аад
8)
ЗЬзсР;
ар
3 аЪс — 2 аа-2 ’
tn.r — «I
я — и®
291
33)
а+1’
5(2®* + 3)
И» F=V
0о\ 5а*ь—4яб*
' Ьаа6+ 4аб* ’
0 За-66 .
' 86 —4а *
°0)
24)
2х— 1
34)
®* — а*
а*а-— аз*’
31)
35)
кх yis
ж* -+- 2/* ’
ж* —у2,
ж* +1,2'
— 87 —
. аЧ-2вЬ + Ь*. , а2-2аЬ+Ь2. ''Ло-Ь*
60 а2—- Ь2 J 3ti> -&=&-> 3 J) (6=^)2-
чж^2ж±1. . ,1—8^4-16^. ж2—10000.
J ж2-1 ' my2xi—i > (loj-— tty’
43) a3 + j3- 44) n3~ b3- 45) °3 + ьз. 46) «4 - *>*.
' о2— b2’ 44'a2 —62' *b) <р + Ъ*' -> a2 + 6*'
17) at-b*- 18) flt +bt- 4tna6-b6-
J a2 — b2’ 4bJ a2 -+- b2' 4 •* a2 + &з’ б0) а? — Ъ*'
„,ч . а» —Ь». , а» -Ы. Пс + Ьб
^аз + 7)3’ 52)аз—Ьз’ 53)а> — Ь*’ ) а2 + Ь2’
. ах + ау — аг, , 5дз& _р 5П2&2 _ 5fl2fre_
^ bx-fby — bz’ ' 46сЗ — 462о2 — 4аЪс2'
, xy + xz. _ . 24ор — Збад, 25аЬ — 35*с
; яу * 49ar + 60a,s’ bd) Щъ^Ърс'
. 65а2ж2 + 91ажЗ. . ж2+ 2ху + у*, ^ а2 —Ь2
^ 85о2ж+119аж2’ 4 ж2 — #2 ’ ' а2 —2аЬ + 62’
«ох —5а^ • .-14 8аж + 20ж
' 16а2 — 40аЬ + 2о62’ ^ 4а2 + 20а г 35’
есЛ 98жз - 72ж#2 . ссл баз —12а2Ь
' 49ж2 — Ыху + Зйу»’ а'ЧР — 4аЬз + 46»’
. а2 — 5аЬ + 6Ь2 . с оЛ 3г2 — 2»-s — s2.
D ^ а2 - 9аЬ + 14Л>2’ D0' 3r2 — 4»-s+T2’
ел, а2 + 4аЬ — 21Ь2. ггЛ 10а2 — 101ж# + 10г/2
0 ■' а2+12аЬ+35Ь2’ и) 10ху — у* *
. ж2-}-#2 . 4ж2+20ж# + 25#2.
' 5ж2 — 2ху — 7г/2’ ' 6г2 + 26жг/+ 20г/2’
■. ах + ау — Ьж — by. ав — Ьс + od—bd . ж2— 3r)-
( ' ах — ay — Ьх-\-Ъу' к ' ас + Ье + ad + W ^
70 а2 ~ 4-t -+■ 3. 7 . ж2-ж-20. ж2-^7ж+12.
1Х}> ж2 — 5ж+6’ иж2 + ж-30' J ж^=8^+25*
14а2ж2 — 55а2жг/ — Збаг/2 _. ОАЧ 15а2 —21Ьс —35аЬ + 9ас
‘ ‘ Юаж — 45а# — 2а2ж2 + 9а2х#’ ' 9а6 — 15ас — 2162 + 356с‘
351. Задачи шутки: 1) Имеем Ц = Ц=!' Нет ли еще
других дробей, которые можно сократить простым зачер¬
киванием одинаковых цифр?
а2_Ь* и2_ Ь3
2) —пг = —г-г- = а — о.
сI Ъ к -}- &
Нет” ли еще других дробей, которые можно сократить про¬
стым зачеркиванием одинаковых букв?
1)
1
2
X
6’
2)
2
3
5)
3
4
6
6)
2
3
0)
1
2
X
2а'
10)
1
5
351. 3) Можно ли сокращать дроби следующим образом:
.о — Ь а — Ь 1—1 _ а—6 ,
а) -77Г=-*ЪГ = —- = 0' б)а =1-й-
352. Определить х в следующих уравнениях (пропорциях),
выполнив предварительно сокращение:
J 19. о л !Е_ —19. ц) — 75 .
4 Х~ 30* 8 — 64* } Ь~~ 125»
17 3* 75 3 35 х
4> , = Т 275 = ^? G> 9Т = 135
353. Определить х в следующих уравнениях (пропорциях),
приводя обе их части к общему знаменателю:
£. о\ 3 х
60’ 5~'70’ *7 8~96г
111. 7)1-15?. о) 3_ 303.
® ' 5~ » ’ 8> 4 ~х~ ’
JE-. J1) ?—in-, 5 *
106’ 1А> 7 35о6* А^
1 5
354. В дробях:' 1) - и 2) - задать знаменателю ряд
зс зс
последовательных значений 1, 2, 3 и т. д. и изобразить
полученные результаты, насколько это возмоя. но, на число¬
вой прямой. К какому значению приближается дробь с
возрастанием х?
355. В дробях: 1) 2) 3) задать ж по¬
следовательные значения 1, 2, 3 и т. д. К какому значению
приближается дробь с возрастанием х?
356. Какие значения имеет дробь:
з>& 4>i?=r
если т, а и Ъ числа, отличные от нуля (а ф 6)?
357. Какие значения принимают дробп:
1) IzzE- 21 3) 3 + 2а?- 41 5-±~.
АМ + *’ ZM+®’ } 3 — 2л» q) 5 — х
когда * проходит все целые значения от—6 до-(-6?
Указать значения х, при которых первая (вторая, третья,
четвертая) дробь не имеет смысла.
— 89 —
358. Найти значения следующих дробей и указать те из
дробей, которые при указанных подстановках не имеют
смысла (указать при этом и соответствующие подстановки):
sc | 2
1) Г2 ПРН Х — 2 И Х — ~ 2;
2) У=^Г£\ при х=1 и х = — 1;
д» 2 —| ~ jp | J
S) tJ=x.l_x_2 ПРН x=z 1. х = — 1, х — 2, ж = — 2;
при яг 2. * = +2, *=-3, * = + 3.
При сокращении алгебраических дробей мы делим числитель и
знаменатель на одно и то же выражение и считаем новую дробь,
полученную таким способом, равной первоначальной дроби. Но следует
заметить, что это равенство не имеет места, когда множитель, на
кгторый произведено сокращение, принимает значение О, так как
в этом случае сокращаемая дробь принимает вид
§ 3. Сложение и вычитание дробей.
359. Произвести сложение (и вычитание) дробей:
Зх — 2 Зх — 3 2а + 36 , За —36;
1J —5 g—'t 7 "Г 7
Я) 3з!~10У —Ю.У. . 20р—7q . 2p—4q
5 5 • ' 11 “Г л ;
6)£+1; ,)>+», ,а.Г.
4 l+I-l: к» S+и-Й!
11)
3d ~ 3d 3d
7то —6и _ 3?n 4- 5n , 1 b? — 3»n tn — 20w
17 17 “* 17 17 '
11x4-7у ■ 2?/— 5x x— у Ьх 4- 8?/
1^ + -U -£Г -
141 Да 4- 4сЬ 4- 6* ЗаЬ — 2аЗ — 4Ы 56* — За* + аб.
а — 6 а — 6 а — 6 *
14) 2x2 + 3хУ Зт8 + 2х;/ ж* 4-3^* ■ 5л»4-хг/4-2у».
® + У 34-у х + у a. + 3# I
осп («-W. ■ Tfi) (g+y^^-y)2-
359‘ 157 2аЪ 2аЪ ’ ®» + р2 ^ ®* + р* ’
njf + S; 18) у а> 19) 1+?; 20)?+2;
21)~^+2; 2?,) е-|+з*; 23)4-5 + 2!,;
оп5с 2с, „_4а ЗЪх.ЪЪу 3 Ъу
Ы)аЬ db~T~S Sb> 2Ъ] -&+-&—2-&-
осп -I \ 36 а . Ъ . 6® 3у I 13а 7у.
ЗЬ0 1 3 5' 6+10’ 7 Т 5 + 42 30’
„•>а Ъ а, 56. д|° ^ а i 6 .
7 2 3 —3+¥’ 7 5—Т 30 + 20’
5) - + i; 6) — — -; 7)° + -; 8) t;
' а 1 Ь 1 х у 1 х у 3 х
л\ 1 t 1 . ! л\ 1 1 1 ч \ ® в , | п\ 2а За
) а + 2а’ 10) 3®~ 6х ’ 7 26 ~ 36’ 127 5®_8®’
^l-Гп’ 14)^ + ^’ 15)| + 5 + f’
16)«+*+f; 17) 6.-J-J; 18)f+l-5.-
19) 4r+- + J-; 20) - + — + — ;
7 ab ' ас ' be' ' yz 1 xz 1 xy 9
9<\ 99ч 4a2 116».
zl7 56* T" 156»’ J 56® 206®’
2a 5a a , 7a, 24) % fli®
36 66 26 + 96' 7 4p 9y~3y"T-l^;;
2аб Заб | 5a6. 5a® 3a® 7ax .
Zo) 3^—4xg + 6^’ 7 66p _ W— 166y’
, 15ac 36c 1 lla6 . 76c , 4ac 9a6 .
Z1> 8by Toy+ 9сг/ * 7 За + 46 2c ’
л_. 9® -f- 2 7x-j-5 8 — 7® .5 — 3® 3 — 7®.
2У) 3 ^ 6 + 8 12 ’
7a — 26 . 4a — 56 3a — 86 , 5a — 6® 36 — 8®
30)
5(2г — 3) 2(7® —5) . 4(3®+ 1).
31 ) 4 з 1 g ’
OON 3(.2a — 36) 2(3a —56) , 5(a —6).
6 } 8 2
33) Ux~4-V 14® + ЗУ .
7 7® Up ’
18 24
— 91 —
360. 35)
SI
361.1)
4)
- 36 , 4a — 6 , 5a -f- 3x a* — 6x
6a 1 5h 1 9x-
3a— 5b a—ic 5b — 4c
206c ~ '
_J I
a+b'
a + b
2 ax
2a
6’
11)
13)
16)
19)
21)
23)
24)
25)
26)
27)
’ 15a6
1
, 12ac
1
a— b
a+b’
X
У .
х + У
x — y’
X
г У
2x — 2 у
H
N
1
&
3a 4-56
3a— 56
3a—56
3a 4- 56
a*+6* . a*— 6*_
a* — 6* 1 a*+ 6*’
7
a +6
§; 14)
2x
•7X
a — 1
0* —1 ’
5
l
2(x-l)
3iX— 1)
5
8
3 4- — 4- — *
r 5b ^ 3c ’
4a
1
a— 6 ’
a— Ъ
a— b
8)
10)
12)
a + b ’
a2 + 6* a
3)
6)
a
a— b
x
a+ b'
x-\-y
x—v
a*—6*
a 4~ 6'
z
a
a + 2
a — z’
a*+ 6*
a*—6*
a?—b* 0*4-6*’
. x x
a-
17)
x4-3
20)
18)
15(x — x.) 10(x 4-1)
5 7
4x—4 6x4-6'
x— 2
9
3x
3x— 9 5x—15’
x — 1 3x - 4 2x — 1
22)
2x + 2
3x-j-3
6x4-6
2x— 3
3x—1
x + 4
Зх-0-З
4x+4
x*—1
1 +x
1 —x .
l + x*
1 X
1+x '
1—X*’
a + 6
a —6 ,
«2 + 6* _
a — b a-\-b ‘ a* — 6* ’
3p-\-4g 3p—4q 48 pq
3p—4q 3p+4q ’dp2—162*’
o«\ 5x—2?/-■ 5x4-2у ■ 15x*—12?/*_
^ 5x 4-2f/ ' 5x—2y' 25x*— 4y* ’
5(2x-3 y)
29)
4x — by
4(2x + 3y) , 4x- — 15xy
4 x-j- 5y ‘ 16x2 — 23y* '
0 2(4a — 1) ЗМаЦ-l) -. 32a2+32a + 2
^ 4a + 1 4a—1 16a* —1
3i)i-^:. 32) *
V
x—y 1 y — x'
— 92 —
OR1 соч я + ь . Ь + ". 34) *1±Л±£ +
361 33) + ~ъ, d4! 0 _ yi -Г ft* _ ас*
5 I 3 5 "»■> Х + У v ' Х—‘
Ъа) Ъ^2Ъ~Т~1Ь^Та~~(Г^Т>' йи; х-у у-х^х-и'
4wi 5». 3 от
3 0 jj;
38)
41)
42)
43)
44)
45)
2т —Зя
Зя— -т 4т —tin ’
Б>
I Зр
2j>—3 q
6р—9д ' 6д—р ’
а + Ъ
а — Ъ
u- + ab + 63 а* — аЪ + Ь3 ’
а.
1 л
ж34-а; —
6 1 ж3 — 5а; + р ’
1
1 5 . За; + 7 _
®— 1
1 — х 1+* ' а;3 — 1*
8 1
3 Заг + 8 .
2а;—3 *
3 — 2а: 2а;3 — х — 3 ’
а ,
5* аЫа +26)
а— b 1
а3 4“ аЬ 4- 63 л3 — 63
1 . 1
х — у х(х — у) _
х+у 1
*3 — xy + у1 х* + уз ’
а
о6(4я — 6) , 63
а— Ь а3 — 63 ' о3 + ab + 6* ’
46) а+Ъ I Ь + с а + с .
(Ь —с)(с— а) ~(а—е)(6— а) (а—ЬУс—Ьу
47) 1 1 ■ I
(т — и)( я—р) ”Г (р — «X» — й) (й—ЯХЯ — *»)к
48) 1 ! . *
(х —y){y—z) (г—у)(г — х)‘\у — х)(х —г\*
49) +
х — у ® + j/ 1 ’
60) !?-"*+ ”г8+-Г!_о.
»UJ + Я3 «I3— Я3 *
Исключение целого выражения из алгебраической дроби.
:ества: ” =
а а + Ъс
ь~ ь
1) яг5 на ж2 — яг+1: 1) а;84-1 на °—1
362. Проверить тожества: ^ =
Ь = ~~Ъ е;
363. Разделить:
— 93 —
гН* йг* -+ 1
и представить ^^Г+V T~i
в виде суммы целого выражения и дроби с числителем, в
котором степень х ниже высшей степени этой буквы в зна¬
менателе.
364. Исключить целые выражения из дробей:
.. а* 4-а? + аЗс-Ц ®« + 2x*+3a;-f 4
} х*_1 ' 2> ^2
X 1 ) х —
а* — х» + ж« + ж» + а! х«—а* + ®*-4-*» + 1
' **-1 «
Уравнения.
365. Решить следующие уравнения:
D {* + = 14, 2) \х — ** = 3;
8) {*-{*=21; 4) 9 = 1*.
б) 3 ’ х — 2jX = Ц; 6) 2|х + 11 = 5 jx;
7\ ? о. с\ Зх Лш
а За ' ' 7т Ьт ’
8>I + S=I + «= Ю)1 + ^-2=г=1;
II) з(|-з) = б(|-5); 12) „(|-б)-б(|_2)=0
13> 7(й—jj — K1—г); 14>—ъ=1~ъ
151 T^+^ir-2; ie)4S-‘)=»6-«)r
17> ** +}х — |х+{х —1^4-2 = ^;
18) Jx - 19 + f х +181 = 27|х - 3? — 26 \х - ’3°;
19>l-7i=i-2-£ri+4-£f1^
20) 5=3i-^-2i.
— 94 —
§ 4. Умножение и деление дробей.
т
агп
а.
— ~ "*•
■ - »
п
п
а
771
am
ь 1
п
bn
366. В чем состоит действие, называемое умножением на
дробь?
367. Упростить выражения:
1) |-3; 2) 3■?; 3)
а
Ъ'
т:
4)
т
а
ь;
а
X
X
т
т
V
О)
У
а
368. Сохраняют ли свою силу равенства:
пЬ = Ьа,
п. (Ьг) ==. (ab)c = аЪс,
при дробных значениях букв и почему?
369. Доказать проверкой умножением справедливость
следующих равенств:
•ь а: т а
—: т = —у— = ,—.
О Ь Ь.п
ап
р — -
ш
пг [ а \
а: — == —
V \1п1
й t * ау
ь'~й ь м'
370. Назвать числа обратные:
2
3’
а
V
371. Каким действием может быть заменено деление?
372. Какое число больше:
134 1 1»
б или б’ т или 5» а или -» —х или г
5 4 6 а я
5
8,
1
5
9
V
11*
б’
8
ь
—у
а
а,
1
5’
X
— - *
У
1
а
— 95 —
Перемножить две дроби значит составить дробь, числитель кото¬
рой есть произведение числителей данных дробей, а знаменатель
есть произведение их знаменателей.
Деление на дробь может быть заменено умножением делимого на
выражение, обратное делителю.
Умножение и деление.
373. Выполнить умножения:
f-З; 2 )f-a; 3)4а.|;
5) 6) 7) a -L; 8) ~ ■ ам
сп ^ах §?- in'! — . 'ах • 1 10\ 8аж За■».
} ЬЬу' Ъу’ ' а ‘ Шу' l} led, ' Щ’ ' Щ '4hi’
13) Тй' 1 4: 14) 2-^ .life; 15) i^-21^; 16)|.3},</.
374. Произвести указанные действия:
1) 2а:
1
5)9:|-;
9)
17)
2а6.
76j/’
ж’
6) а:
. м q . 20аб
10) 8 а:-„—
14)
18)
21)^:4«,;
24> 6ia:£
27) —• —: —;
’ X у х’
2Ьху 246* .
З аб 35л;*»/ ’
28а*ж//* 963ж
7а2//3
Зж
а . а.
F" ж~:
аж. Зсб.
6# ‘ Ьху’
22) 6ир •
3) 5ж: 1
7) об:
11) 15и:
4)
1 «6 : 1
8) а!
а.
¥’
5иж
’
15) з4^:1|;
76ж
12) 18p:g:
16) 8— а$/: 1^-а;
19>|;
9а»/’
20)
BF- 12^:
25) 4а*и: 8|^;
За 4а\ 20
^)(Й4“Ь
8а. 5аж.
96 ’ ЬЬу’
23) : 18дж;
26) 20aj,:^p;
9а6 70аж а*
21*
29)
30)
' 36z‘ 7 а2//3 12ж2//62'
„■ ч /16а*а3с* 5х-у.г\ _ 2ас*
1 \35ж3(/*г3 8а6- ) ' 7Ь'гху3’
„ ч Г базж* . 4а3ж3 \ 5.
1 \2562//* ’ 1562.Н>/ ' 9 ’
1
33)
28ж(/' 21 by ' г/2'
1 а-Ь-с3 . абс
а//г * хуг
ч 1100а36* . 10а26*. _ Зж
1 \ 9ж3// ' 27ху3) 5а3’
аЪс
9в —
375- Произвести умножения:
1) (Зж3 —7жг + 5ж)-|;
8> (S + 7 + ^]*3a;3'
5>(¥+?+iH-
2) (ах*-\-Ъх-f с)~;
4> (^-¥+3)‘5*2:
.. [я , Ь , с\ аЪ
6> (ь + ^+«)*Т;-
7)(4« + ^-|с).[-2|,); 8) (1а-|б + |С).(+Я;
0) (o-i)-(i + ^), Ю) (“ — l)-(l + ||;
П) (f-|)-(i+7>
13) ^2а—{ij2;
15) (4*— fy)2;
п) (|^+1«) - —4
~7Р n /28^д 49j33ga
376> 4> \W
12) S- 1)-(з*-|-2^
14) (а+|ь)“;
16) (ja-i)2;
18) (а + т)-(а— l)l
2)
36 a2y‘
44a°Z/3ca
7pq2 \ Рж2/{3 _
18^3)* 14р2й2’
Ь3с3
/33а' Ь2с
U3x2/*^» “бб^г/Г “Г 25ж0>з
■)
ббж2#3^.
66o»/A2’
г»—s2 jp» + 2pg + <?2 _
р2—ф‘ г2 — 2rs + sS ’
ж2 — жу + f/1 ж3 — «/3.
а2 + ху + ж3 + у3 ’
а2 + Ба'+6 и—2.
а2 — 4 .’а + 3’
ж2+2ж —3 ж2—25
5)
7)
0)
ж — 5
ж +1
4)
6)
8)
Ю)
а2— а + I я* — 1 _
а2 + в + 1 ‘ аз + 1’
Ф— 8 а2—2а + 4_
а3 + 8*а2+2а-|-4’
ж2— 11ж+30 ж2 — ЗС
ж + 6 ж2 — 25 '
о® — а — 20 а + 5
Ф — W '(а + 4;2'
. 7ж2—35ж -j- 42 5ж — 20
117 ж*—16 “'Зж*— 15ж+ 18*
. а*— 10а-}- 25 о2 —4
1"1 За2 — 36а + 105" Ба2 — 35о + 50 ’
377. 1) + —ь) + (“+6)*(|- —
377. 3)
х
— 97 —
**+»*.
Ж2 — xy X3 — у3 ’
а; а;
5) -
n* — ab* а —с
о2 — 2ас 4- с* а* |- а6-! ’
а* —■ a + 1 11
х3 — 1 х- — х -j- 1
378. Произвести деление:
1) (И^ + 4^_8в*?);8о6
’ \ 5ж 1 Ъ,у 7г I
, /70.++ 21JV , 28.Г//П .
' \ За 46 5с /'
8) |if’):7*да.
4)
5)SL^,:-(P! + 0p + 9);
П* 6* .
ю)
-:(й* + г* j;
12) fL+l'v-O^-J-A*);
1 л > 104O + 6). 641 а + 7j)
' ~8(o — 6) " 45ю — 6) ’
10)
аз — 63. а — 6 _
а* 6* ’ о -j- 6 ’
7) —ху-}-!,*)■
9) 8^-^.;(4яа_16#1).
п> ^Г:2(х3~п,
18) £^и:_1(а,_йЧ
15) 1д~Ь)г- аг~ь> -
; 25(о + 6)*5(о + 6)2’
17)
2о(о —6).8я(сЗ—63).
36(о + 6)’ 96(0 + 6]*'’
ini ^ Н 5У + 4 ■ У + 4 .
(г —1)* 'г*—1’
1 1
19) 2хУ + 4У^Г ж+ 2
' 2ху — 4у + Зл — 6 ’ 4г/ + О
г«* — 8м + 15' и3 — и — 8
4«* + 12«6 + 9/у- . 4а- — 12мб + 96*
21) 2о — 3
22) “~Ь
8«з - -27
о* — 2аЬ — 36*
а*—2а6 —36*' о + 6
Оо (5ж + 7// 5ж — 7гЛ. 25.»* — 49+
> \1х — 4у 1х + 4у) ’ 49ж‘- — 16+
379. 1) 2) (да~г)!(я+*)>'
3) ^4з;а— §р):(2я —щ) ; 4) (и* — у^): (йа —^:
Сокр&щевный сборв. алгебр, уйражн., ч. 1.
— OR —
379. 5) C! (f-f) :(£_»);
r-\ 3:3 64 . x 4 _ a\ (i 1 ^ \ • (i | 1 '4
') *.3_i_/u b) [l i-paij'V 1" l-psj
9)
ж34- 64 ‘ж+ 4’
a3+ аП> + a6*+ б3. а« — 6*
а3 4- 2аб + б2 '(а + бр’
10ч ( и а ) . ах
' \а—ж а-ржу‘а* — ж3
380. Вычислить значения дробей:
а + Ъ
1) -•
4 6>
2)
а —б’
°) а* —б3’
При
Ь =
а
6
В
Г
д
Г
Г
1
Г
1
2
2
2
2
1
о
1
1
1
2
&
г
3
3
в
Г
'2
1
'3
381. Упростить следующие выражения:
0.3,4
1)
4)
V)
Ю)
12)
4+?+-’
4ТйТ 9fi
— -(-2
у 1
3Jf_2’
v
W-
X ' у _
ХИТ’
г/2 ®*
Х + А + Х
Ж* 1 жу 1 у*.
i + i ’
ОС * 9J
а+\
2)
2,3 4
+ 4 5
3
5)
8)
17 5 . 4’
R л"! 3
a ■ 6
5 •“a.
2’
a
1
У
а
2'
1
ж
а*'
3) НЛХХХ
1 . I—1’
5 ■+■ и £
13> •-£
6)
4
6
a ,6*
б • a
9)
ж*
У1'
*
ж3
* У
У X
11)
Х_А+±
ж* жу 1 у3
1_
>
• +*
14) с-
с’
® *
— 99 —
16) х~у х + у
' O' Пк л* Чк'
х-гу ■ ас — у
х — у~*~х + у
х±У х—У
а — 1 а +-1
§ 5. Приближенные вычисления1).
Приближенное значение числа.
382. Относительно некоторого числа известно, что оно
больше 1,4, но меньше 1,5. Какой величины не превышает
ошибка, если данное число принять равным 1,4 или рав¬
ным 1,5
383. Предыдущую задачу решить для чисел, относительно
которых известно:
384. Определить, с какой ошибкой числа 3,5 и 3,6 дают
приближенное значение числа 1) 3,57 и какое из эти\ при¬
ближенных значений ближе к данному числу? 2) 3,54.
385. Решить предыдущую задачу для чисел:
1) 1,2 и 1,3 для числа 1,21; 1
2) 2,92 „ 2,93 „ „ 2,927;
3) 5,46 . 5,47 „ „ 5,465;
386. У казать приближенные значения следующих дробен
сточностью до 0,01 и выбрать из них более точные:
Какое из приближенных значений получится, если деся¬
тичную дробь оборвать на первом, на втором и т. д. деся-
Чисдо больше. |Чисдо меньше.
1) 1,7
2) 3,14
3) 2,718
1,8
3,15
2,719
4) 0,037 „ 0,038
0,0377.
1)64,87456; 2) 2,353535; 3) 0,60187187187;
4) 52,0088787; 5) 1,66666; 6) 0,571428571428;
7) 0,454S45; 8) 0,545454.
0 Этот § значительно переработан и нумерация не совпадает с пре-
дьпущими изданиями.
7*
— 100 —
тичном знаке? Как по приближенному значению по недо¬
статку получить приближенное значение с тою же точ¬
ностью по избытку? Каким неравенствам удовлетворяют
число и его приближенные значения по недостатку и по
избытку?
387. Составить таблицу приближенных значений по не¬
достатку и по избытку с точностью до 0,1, до 0,01 и т. д.
для дробей:
..2 оЛ 5 _. 6 АЛ 22 223 336 355
1) 3, 2) е> 3) 4) 7, 5) ?1, 6) 106, /) ш.
При практических вычислениях приходится в большинстве случаев
пользоваться приближенными значениями чисел, а не точными. При¬
нято приближенные значения записывать в виде десятичных дробей.
Приближенным значением числа по недостатку (напр., дробного
числа) с точностью до единицы (до 0,1, до 0,01 и т. д.) назы¬
вается наибольшее число единиц (десятых долей единицы, сотых и
т. д.), которое содержится в данном числе; приближенным значением
числа по избыть-у с точностью до единицы (до 0,1, до 0,01 и
т. д.) называется число, превышающее приближенное значение по
недостатку на единицу (соот. на 0,1, на 0,01 и т. д.). Приближен¬
ное значение числа по недостатку меньше этого числа, прибли¬
женное значение по избытку больше этого числа.
Абсолютное значение разности между числом и приближенным зна¬
чением, которым заменяется число при вычислении, называется по¬
грешностью приближенного значения (числа, входящего в вычис¬
ление).
Сложение и вычитание.
388. Определить предел ошибки, которая получится,,
если при сложении чисел:
1) 64,857 894 2) 2,689 7
2,574 39764 4,666 54
0,068 754323 0,268 9543
0,333 33 0,006 777
6,262 626 0,528 7
0,006 835 0,002 2828
0,000 235
— 101 —
заменить каждое из слагаемых более близким из его при.
ближенных значений с точностью до 0,001 и произвести
сложение.
389. С какой степенью точности получится сумма, если
юна содержит более Ю-ти слагаемых и каждое из них вы¬
числено с точностью до 0,01, 0,001?
390. Определить предел ошибки в следующих вычитаниях,
•если и уменьшаемое и вычитаемое заменить их прибли¬
женными значениями (более близкими) с точностью до 0,01:
1) 2,087547 — 1,63285; 4) 2,6543585—0,0626262...;
2) 16,42895—0,33333...; 5) 5,252525.... — 1,004856;
3) 4,56534 — 2,324949...; 6) 2 — 0,03333....
391. Как велнка ошибка, если вместо того, чтобы 1) скла¬
дывать числа а-\-а и Ь -f- Р, сложить их приближенные зна¬
чения а и 6? 2) вычитать Ъ-\-§ из а-\-а, вычесть Ъ из а?
Как велико наибольшее возможное абсолютное
значение такой ошибки? Распространить полученный ре¬
зультат на выражение, содержащее более двух членов (сла¬
гаемых и вычитаемых).
392. С какой точностью следует взять слагаемые и вычи¬
таемые, чтобы результат вычисления:
1) 2,75894 — 0,66666 — 1,373737 + 0,006485;
2) 1,6565 — 0,77777 + 2,57896 -f 3,428957
•содержал ошибку, не превышающую:
1) 0,01, 2) 0,001, 3) 0,0001?
Вычислить 1) с точностью до 0,001; с точностью до 0,01.
393. В следующих задачах удержать в наибольшем из
данных чисел: 1) четыре, 2) три, 3) пять значащих цыфр»
сохраняя в остальных числах лишь те цыфры, которые со¬
ответствуют удержанным цыфрам в наибольшем из чисел,
и заменяя каждое из чисел его более близким приближен-
— 102 —
ныл значением. В каждом случае указать точность резуль¬
тата:
1) 17,1718 2) 565,712 3) 56770,6 4) 713704
+ 14,030 + 5,8813 + 717,66 + 215,58
+ 8,7140 + 3,794 + 3465,134 + 43140
+ 0,14375 + 0,1415 + 0,143 + 5480,5
5) 957,713 6) 1714,58 7) 0,785683 8) 577,7778
— 12,5994 — 18,74 - 0.5372853 — 0,544
Погрешность суммы или разности двух чисел не превышает суммы
погрешностей данных чисел.
Умножение.
394. Сколько десятичных знаков следует удержать во-
множимом 0,33333333, чтобы получить произведения:
1) 0,33333333.7; 2) 0,33333333.29; 3)0,33333333.525 с точно¬
стью до 0,01?
394а). Умножить 0,62 на 0,4; 0,628 на 0,4 И 0,6285 на
0,4. Сравнить полученные произведения и выяснить, с какой
степенью точности каждое из них дает приближенное зна¬
чение произведения 0,62854326. 0,4.
3946). Те же вопросы решить относительно произведений:
1) 0,62 на 0,07; 0,628 на 0,07; 0,6285 на 0,07 и 0,62854326
на 0,07. 2) 0,62 на 0,006; 0,625 на 0,006; 0,6258 на 0,006 И
0,62854326 на 0,006.
395. Сколько десятичных знаков следует удержать во
множимом, чтобы произведения:
В) 1) 0,82643.5
2) 0,82643.0,2
3) 0,82643.0,04'
4) -0,82643.0,007.
б) 1) 2,8579643.7;
2) 2,8579643.0,6;
3) 2,8579643.0,03;
4) 2,8579643.0,009;
Ь) 2,8579643.0,0005
содержали бы ошибку, не превышающую 0,001?
— 103 —
Произвести эти умножения.
396. Указать наименьшую десятичную дробь с числите¬
лем 1, превышающую ошибку результата умножения:
а) 0,82043.5,247; б) 2,8579643.7,6395,
если произведения (вычисленные выше с точностью до 0,001)
принять за частные произведения и сложить для получения
окончательного результата.
397. С какой точностью должны быть вычислены част¬
ные произведения в умножении:
1) 64,8256803.2,68957964; 2) 2,6806459.3,2685264;
3) 3,6432654.0,666666 4) 0,266666 1,0625,
чтобы произведение содержало ошибку, не превышающую
0,01?
С какой точностью должно быть взято множимое при
умножении на каждый знак множителя? На какие знаки
множителя не имеет смысла умножать? Произвести умно¬
жение, заменяя сомножители их более близкими прибли¬
женными значениями.
393. Вычислить наибольшее возможное абсолютное зна¬
чение ошибки, которая получится, если заменить умножение
чисел а -f- а и Ь + Р умножением их приближенных значе¬
ний а и Ъ. Как упростится полученное выражение предела
ошибки, если пренебречь произведением ар по его малости?
Вычислить по составленной формуле, как велик наивысший
предел ошибки при сокращенном умножении, если пере¬
множаемые числа суть: 1) 356,8935 и 60,6459 и сомножи¬
тели берутся С точностью до 0,01; 2) 8935,4478 и 69,886 Ч
Н в них удерживается по 5 значащих цыфр (с соответствен¬
ным округлением- последнего десятичного знака).
399. Вычислить с точностью до 0,01 произведения:
1) 0,87666666 .2,7333333;
2) 4,277777777.4,285714285714;
3) 6,44444444.0,1285714285;
4) 3,1415929.2,7182818284;
5) 75,896.4,5389.
— 104 —
400. Возвести в квадрат (с точностью до 0,01):
1) 0,888886425; 2) 3,1415929; 3) 1,4142135.
Погрешность произведения двух (положительных) чисел не больше
суммы погрешностей каждого из этих сомножителей, умноженных
соответственно на другой сомножитель.
Деление.
401. Доказав справедливость равенства
■> а -(- a a ah — 0а
гГ+ji Ъ ~
определить на основании его наибольшее возможное
абсолютное значение ошибки, которую мы допускаем, за¬
меняя частное от деления а-{-а на 6 + Р частным от деле¬
ния а на Ъ (если при том пренебречь произведением Ь? по
его малости сравнительно с б2).
402. Определить ошибку, которую мы сделаем, если за
значение частного:
6 в
lj 2 52 примем дробь -^-g-
М--1
3,62 ” ” 3,6 ’
2,57 ” ” 2,6 •
403. Показать, что если при делении 3:6,666.... делитель
заменить его приближенным значением
6,67, то ошибка результата будет < 0,001,
6,667 „ „ „ < 0,0001
Произвести деление 3:0,666....
1) Заменяя делитель числом Cj (простой дробью, ко¬
торая обращается в
6,666..,.)
2) ,. „ „ 6,67
3) „ „ „ 6,667
4) „ „ 6,667 И .6,666,
п сравнить полученные результаты.
— 105 —
404. С какой точностью следует взять делитель, чтобы
ошибка частного не превышала 0,01:
а) 1) 3:66,666; б) 1) 3:6,6666; в) 1) 23:5,65656;
2) 3:6,6666; 2) 30:6,6666; 2) 173:0,68686S;
3) 3:0,6666; з) 300:6,6666; 3) 6,45:88,888;
4) 3:0,06666; 4) 3000:6,6666; 4) 0,327:0,757575;
5) з:0,00666; 5) 30000:6,666; 5) 0,026:0,S58585.
404 а. Произвести деления, указанные в предыдущей за¬
даче, так, чтобы ошибка результата не превышала:
1) 0,01; 2) 0,001.
С одинаковой ли точностью следует брать делитель при
вычислении отдельных знаков частного? Сделать вычисле¬
ние наиболее сокращенным способом. Сравнить результаты
при вычислении последовательных знаков частного без со
крашения делителя и при его сокращении.
405. Произвести деления:
1) 6,25:3,262626; 2) 4:0,33333; 3) 0,696919:0,55555;
4) 4,32:0,858585; 5) 25:1,4142135; 6) 2,85363:3,14139;
с точностью ДО 0,01.
406. В следующих делениях удержать в делимом и де¬
лителе по 4 значащих цифры, произвести действия, поль¬
зуясь всеми допустимыми сокращениями, и оценить
ошибку результата.
1) 189,35:19,455076; 2) 39,6666...: 10,90871212;
3) 7,0128:16,7484925; 4) 21,4285714:1,732050807;
5) 8,3333...:22,3606798; 6) 0,4616161...:2,4494898;
7) 99:4,9749372; 8) 18,125:12,04159495;
9) 11:4,69041576; 10) (0,2784:0,452740):0,452740.
Погрешность частного двух (положительных) чисел не больше
частного от деления на квадрат делителя суммы погрешностей дели¬
мого и делителя, умноженных соответственно на делитель и делимое-
— 106 —
Приложения.
407. Найти решения следующих задач с тремя значащими циф¬
рами.
1) Вычислить: а) площадь круга, б) длину окружности ра¬
диуса 5,13 см. (п=3,14159), если окружность круга ра¬
диуса г равна 2ттг, а площадь = лт2.
2) Зная, что объем шара радиуса г выражается форму.
лой « = а поверхность — формулой s = 4га-2, вычис¬
лить а) вес шара из пробки, радиус которого равен 2,15 м.
Удельный вес пробки со 0,25. Имеет ли смысл в последнем
случае удерживать третью значащую цифру?
б) Вычислить поверхность земного шара, полагая его
радиуссо 6370 км.
3) Вычислить радиус колеса, если длина его обода равна
4,27 м.
4) Какой путь описывает точка экватора в одну секунду
при вращении земли вокруг оси? Радиус земли со 6370 км.
408. Плотность воды при различных температурах дана
в следующей таблице?
0°С. 0.99988 4° 1.00000 8° 0,99988 14° 0,99915
1° 0,99993 5« 0,99999 9о 0,93982 20° 0,99827
2° 0,99997 6° 0,99997 10° 0,99974 25° 0,99713
3° 0,99999 7° 0,99993 30° 0,99577
Вычислить в кгр., с возможно высокой точностью, вес
ведра воды при различных температурах, если 1 ведро =
= 12,299 литра.
409. Скольким пудам равна метрическая тонна, если
1) 1 пуд =16,3805 кг., 2) 1кг. = 2,44193 фунта (с возможно
более высокой точностью)? Сравнить результаты, получен¬
ные на основании тех и других данных.
410. Плотность воздуха при 0° и 760 mm. давления равна
0,001293. Вычислить с тремя значащими цифрами, чему
равен вес кубической сажени воздуха, если принять за
фунт веса 25 куб. дюйма воды при 4°С.
— 107 —
§ 6. Пропорции.
Пропорция и основное свойство ее членов.
411. Написать равенство, которое получится, если обе
части равенства ~ = Х умножить на Id.
412. Заменить пропорции равенствами произведений:
-П 1 — А о4 X — лл а + Ь_а* — б3
■Ч 4—12’ б »/’ 36 g’ а-Ь"(о-б/
413. Проверить, пользуясь свойством произведений чле¬
нов пропорции, какие из следующих равенств верны и ка¬
кие нет:
\ 17 .323. 13 231 Q. 41 697 , 8 184
7 23 437’ 2) 19 323’ 3) 31— 527; 4) 1м = 1бб7;
54 °3 ~bs .Q—ь. гч а* — 6* а* + 63
а3 -}- 2а2б + об2 -J- б3 а+ 6’ ' *4 — 2a*62-t-6* а* — б»'
414. В следующих пропорциях определить неизвестное
пользуясь свойством произведений ее членов:
1) 51:15 = 68:а-; 2) 20:95 = a;:57; •
3) ж: 10,4= 115:1в|; 4) 4,125:* = з}: 26+
54 д.-®—£•?. *4 с.6
— d‘6* 6) Vх--d-d'
п\ А. 2_£- оЧ«+Ь.а2—5* .(а —64»
146* 76 * а ’ ~сГ-Ь'
415. Найти четвертое пропорциональное к
1) 3, 4, 6; 2) 6, 21, 22; 3) 2, ф 9J-;
4) 3]> 3|. бХ; 5) а, Ь, с; 6) ^-6, —1328.
416. Можно ли составить пропорции из следующих групп
чисел? Если возможно, то составить:
1) 6, 8, 300, 400, 2) 16, 12,
3) —о, +17, +20, —64; 4) —0,9, 0,02, -i. —5;
— 108 —
1
1 1
6) *, у,
5) а-, а2,
7) х-\-у, х — у, х2 — у2, 1.
417. Какая пропорция получится делением обеих частей
^равенства x.y = z.v на y.zl
418. По данным равным произведениям составить про¬
порции:
1) 4.12 = 6.8; 2) 9.8 = 3.24;
.. а Ъ ар
ос р с
3) аг. а2 — а3. а4;
419. Составить всевозможные пропорции из чисел, вхо¬
дящих в следующие равенства:
1) 18.10 = 20.9; 2) x.y — z.v.
420. Какие другие пропорции можно получить из:
1) 3:4=15:20; 2) a:b = c:d.
Во всех случаях сделать проверку, пользуясь произве¬
дениями крайних и средних членов.
421. Дана пропорция — =
Показать, что в этом случае будут также справедливы
пропорции:
о — Ъ с — d
. а + Ъ e + <Z
ц ~т~~
d '
c + d.
2)
4)
b d
та + nc a
a — be — tf ’ ' mb + wd b d
В каких иных видах можно записать пропорции: 1), 2), з), 4)?
422. Если—=—=—, то Ax + By+S'* = __jL_.£_.
т п р' тх + пу + рг т п р
Проверить справедливость этих равенств при
Р
15
_1_
20
А
В
С
т
п
1)
8
12
30
4
6
2)
100
10
1
5
1
2
— 109 —
Проверить справедливость написанной производной про¬
порции при помощи свойства произведений ее членов.
423. Пользуясь составлением производных пропорций,
определить неизвестный член х в следующих пропорциях^
1) (9 —J— гс):гс = 4:1, 2) (10 — #):# = 4:1,
3) (15 —гг):гс == 4:1, 4) (а + #):# = (« + 1):1,
5) (Ъ-\-х)'.х = а'.Ъ, 6) (а — х)".х = а'.Ъ.
Знаменатель пропорции и коэффициент про¬
порциональности.
424. Если a:b — c:d, то число t, определяемое из урав¬
нений а = 1с и b — td, называется коэффициентом пропорцио¬
нальности.
Определить коэффициент пропорциональности в следую¬
щих пропорциях;
1) 10:12 = 5:6, 2) 12:1б = з:4, 3) 2:з — 2а:з«.
425. В следующих пропорциях определить коэффициент
пропорциональности, а затем и х:
1) 2:5 = 4:#; 2) а:Ъ = а2:х; 3) а’.Ь = Цх; 41 т:п = х:п2;
5) т’.2п=х:п2-, 6) 5:ю» = #:5ги; 7) а2:Ь2 = Их; 8) а2\Ъ2=х'Л.
426. Доказать справедливость производных пропорций,
данных в задаче 421, вводя в вычисление коэффициент
пропорциональности.
427. Число q, определяемое из уравнений а = qb и с = qd,
называется знаменателем пропорции. Вводя в вычисление
знаменатель пропорции, доказать справедливость произведу
ственных пропорций задач 421 и 422.
428. Если a:b — C.d, то можно положить а='|- Тогда и
b—s- Доказать это. Какое значение имеет s в следующих
пропорциях;
1) ю:12 = 5:б; 2) 12:16 = 3:4; 3) 2:з = 2«:зо.
— 110 —
Среднее арифметическое и среднее геометрическое.
429. Составить всевозможные пропорции из чисел:
1) 6, 6, 4, 9: 2) 10, 10, 25, 4.
430. Составить всевозможные пропорции из а, Ъ, с, если:
1) as = bc\
431. Решить пропорции:
2) Ъ2 = ас.
11 - — —1
7 98г
_ч 25 х
о) -^=1’
.. о* -х
9) ь*>
2) А = »
} 95 х
61 *- = -■
16 у'
я\ Х—Р.
4) *=J
1 У
г-\ 0,25 Хш
х ~~Г
121
ю) а^=у-,
’ У о
о2 2о6 + Ь2
11)
„ч 0,125 х_ш
} х '“О.б’
1
"ж*
Р1+ 2pq + q*'
у а1—2 аЬ + Ь*
432. Подыскать целое число, ближе всего удовлетворяю¬
щее следующим непрерывным пропорциям:
1) - = *
2) ™ = Х-
^ х 3’
3)
' ж
40’
.80 г
4) Т~зо’
433. Составить среднее арифметическое и среднее геоме¬
трическое чисел а2 и Ь2.
Проверить, что среднее арифметическое этих *шеел больше
их среднего геометрического при
г
2
3
а
5
10
1
Ъ
7
3
9
434. Проверить тожество
Д2 + Ь9 пЪ._ (а-Ь)».
2 2 '
показать на основании .’его, что среднее арифметическое
чисел а2 и Ъ2 больше их среднего геометрического.
В каком случае среднее арифметическое двух чисел мо¬
жет оказаться равным их среднему геометрическому?
— Ill —
435. Проверить измерением на чертеже, что перпендику¬
ляр CD есть среднее геометрическое между отрезками диа¬
метра AD и BD.
На том же чертеже по¬
казать, что среднее арифме¬
тическое больше среднего
геометрического.
436. Среднее арифметиче¬
ское двух чисел, находя¬
щихся в отношении 9:25,
равно 170. Найти среднее
геометрическое между ними. фпг. ю.
437. Найти среднее арифметическое и сроднее геометри¬
ческое между (а + б)2 и (а — 6)2.
438. В 1910 году число жителей в городах Вятской гу¬
бернии (губернском и уездных) было:
В Вятке 28700
„ Глазове 3800
„ Елабуге 10200
„ Кательниче. . 4400
„ Малмыже 3500
я Ноланске . . = 5000
в Орлове 3500
„ Сарапуле 21800
„ Слободском 10800
» Уржуме • • 4800
„ Яранске 5190
Определить среднюю населенность уездных городов Вят¬
ской губернии, 1) включая в их число и губернский город;
2) исключив губернский город.
На сколько населенность каждого города отклоняется
от средней населенности в первом случае и во втором слу¬
чае? Составить таблицу этих отклонений.
Почему средняя населенность, вычисленная в первом
случае, выше вычисленной во втором?
— 112 —
Применения теории пропорций.
439. 1) Серебряный рубль содержит 18 граммов или 4 золот¬
ника 21 долю чистого металла. Количество металла в сплаве,
из которого чеканится полноценная серебряная монета, отно¬
сится к количеству лигатуры, как 9:1. Определить вес рубля.
2) Полтинник весит 10 граммов или 225 долей; австрийская
монета «крона» (39 коп.) вдвое легче. Русская полноценная
серебряная монета чеканится из серебра 900 пробы (900 на
1000), а австрийская из серебра 835 пробы. Определить ко¬
личество чистого металла в полтиннике и кроне и сравнить
отношение количеств чистого металла в этих монетах
с отношением их ценностей.
3) Три купца сложились торговать, первый поло¬
жил 1400 руб., другой 1500 руб., третий 1600 руб.,
коими приторговали они 3600 руб.; спрашивается,
сколько которому из приторгу достанется?
(Из «Курса чистой математики» Ефима Войтяховского
1811 г.)
440. 1) Как изменяется произведение двух чисел, если
один из сомножителей сохраняет постоянное значение»
а другой а) увеличивается, б) уменьшается в 2, 3, 4... и д. т.
раз?
2) Как изменяется один из сомножителей, если про¬
изведение сохраняет свое значение, а другой сомножитель
а) увеличивается, б) уменьшается в 2, 3, 4, 5... и т.д. раз?
3) Как могут изменяться произведение и каждый из
сомножителей при неизменном значении другого сомножи¬
теля? Как могут изменяться сомножители, произведение ко¬
торых остается постоянным?
441. 1) Как изменяется частное, если делитель сохра¬
няет постоянное значение, а делимое а) увеличивается,
б) уменьшается в 2, з, 4, 5... и т. д. раз? Как изменяется
частное, если делимое сохраняет постоянное значение»
а делитель а) увеличивается, б) уменьшается в 2, 3, 4, 5...
и т. д. раз? Как должно изменяться делимое, чтобы част-
— из —
ное оставалось неизменным при а) увеличении, б) умень¬
шении делителя в 2, 3, 4, 5... и т. д. раз?
441. 2) Указать, какому из данных в делении частное
оказывается прямо и какому обратно пропорциональным (при не¬
изменном значении другого данного); какими величинами
оказываются делимое и делитель (при своем изменении),
если частное остается неизменным?
3) Указать в каких из следующих формул и какая пара
входящих букв представляет значение а) пропорциональных
величин, б) обратно пропорциональных величин, в) не представляет
значений ни прямо пропорциональных, ни обратно про¬
порциональных величин (при неизменных значениях осталь¬
ных букв):
' 1) г = ху\ 2) z = x + y\ 3) е — х-\-iy\
4) z = к (1 ф-<); 5) *=j~; е>) z=x — y.
442. 1) С капитала в а рублей при определенной про¬
центной таксе получается Ъ рублей процентных денег за
некоторый промежуток времени. Сколько процентных де¬
нег при тех же условиях даст капитал в с рублей? Решить
задачу в общем виде и вычислить результат, полагая
а
Ъ
с
1)
500
25
3750
2)
2375
23,75
6000
3)
325
13
1625
2) Число рублей процентных денег, с капитала в к ру¬
блей, отданного в рост по р°/0 (простых) на п лет, выра¬
жается формулой
к.р.п.
z = — — •
100
Пользуясь этой формулой, составить выражение каждой
из величин к, р и п, считая остальные данными, и ука¬
зать в каждой из формул, каким величинам к, р и п прямо
пропорциональны и каким обратно пропорциональны.
Сокращенный сбор» ал.обр. viip:«<Mi н I. 8
— 114 —
442. 3) Два капитала, один из которых помещен на 1%
года по 5%%, а другой на Гг. 10 мес. по 51./4°/0. Оба при¬
несли в указанное время одинаковую прибыль. В каком
отношении находятся капиталы?
4) Некоторый капитал будучи отдан по 4,0% в неко¬
торый промежуток времени принес 414 р. прибыли; рав¬
ный ему капитал, будучи отдан по 5Y2°/0, в другой проме¬
жуток времени принес 396 р. процентных денег. В каком
отношении находятся времена обращения капиталов?
4а) В двух паровозных депо находится одинаковое число
испорченных паровозов. Первое депо за некоторый проме¬
жуток времени выпустило 23 исправленных паровоза, что
составило 4,6% имевшихся в этом депо паровозов. Из вто¬
рого депо в другой промежуток времени было выпущено
18 паровозов, что составило 51/2%- В каком отношении на¬
ходятся сроки исполнения работы при одинаковой про¬
изводительности обоих депо?
5) Когда пуд муки продается по 85 коп., тогда
пятикопеечные хлебы бывают весом в 1 фунт 44 зол.,
а если пуд муки продаваться будет по 1 руб. 20 коп.,
то какого веса должны быть те хлебы? (Войтяховский.)
Сколько должен весить пятикопеечный хлеб (по расчету
Во.ттяховского), если пуд муки стоит 2 руб. 55 коп.;
4 руб. 20 коп.
443. 1) Большие стороны двух равновеликих прямо¬
угольников относятся, как 57 : 76. Как относятся меньшие
стороны?
2) Отрезок длиною в. 80 сантим, внутренним образом
разделен в отношении: а) 11:5; Ь) 12:13; с) 5:7; d) 7:8;
с) т: п. Как велика каждая из частей?
Разделить в том же отношении отрезок а.
3) Отрезок длиною в 1 метр разделить пропорционально
числам: а) 3:8:9, Ь) 5:6 :13, с) u:v.w.
4) Длина тени, отбрасываемой вертикальным шестом вы¬
сотою в h метров, равна а метр.; длина тенн, отбрасываемой
деревом, равна Ъ метр. Определить высоту дерева, если
— 113 —
длина тени прямо пропорциональна высоте предмета, бро¬
сающего тень.
443. 5) Парижская башня Эйфеля, имеющая высоту
h = 300 метр., на рисунке изображена высотой в 30 сан¬
тиметров; на том же рисунке пирамида Хеопса (в Египте)
имеет высоту 4,5 сантиметра. Вычислить по этим данным
действительную высоту пирамиды Хеопса и указать, в ка¬
пом масштабе выполнен рисунок.
6) Какой высоты на рисунке предыдущей -задачи дол¬
жен оказаться Казбек, если его действительная высота
равна 5000 метр.?
7) При съемке плана расстояние от точки А до точки Б,
I авное 15 километрам, изображено отрезком в 3 сантиметра
длины. Отрезком какой длины следует изобразить на плане
расстояние между то ч гам и С и Б, равное 12 километрам?
8) Прямоугольный участок земли изображен на плане
в масштабе 1:500. Чему равна площадь участка, если боль¬
шая сторона прямоугольника на плане = 25 см., а отноше-
■ - ' з„
ние сторон равно ^ ?
9) Прямоугольный участок земли изображен на плане
в масштабе 1:2500. Чему равна площадь участка, если диа
гональ прямоугольника на плане равна 2 см, а сторона—1,6 см
8*
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Уравнения первой степени.
§ 1. Уравнения первой степени с одним неизвестным.
23) 9гс —22 — 2а; = 100 — 11# — 42;
24) 30а: —)— 39 — 3Ъх =47 — 20а: — 8;
25) 0 — 14 +а:— 8а:— За: —ба: + л;;
26) 9а:=7л;+15 + 15а;+8 — 10;
27) За;+ 42 +7а:+ 63 = 15а;+10;
28) 25 + 5а; — 17 + 7а: = 200 — 125а: — 50 — 5.г;
29) 4у + 100 — 2у+ 50 + у — 225 = 0;
30) 9л; —27 —8 —Зл; + 21 = 0;
31) За:+12 — 8а;— 16 — 9л: — 24 = 0;
82) 7х — 6 +5а: — 4 +За: — 2 + а: = — 4;
33) 12л;— 10 + 8а: — 6 + 4аг — 2 = 0;
84) 7 — 5а: + 10 + 8л;— 7 + Зл; = а;+ 10
444. 1) а; + 3 = 7;
3) 4 = 9 — х\
5) 2а: + 7= 13;
7) 9а: = 27;
2) х — 3 = 8;
4) 5а: —3=17;
6) 20 —у =13;
8) 5а: + 7а; = 36;
10) 18а;—3 — 15a; + 2 = 2f
12) 2-г +11 =# + 18;
14) 10а; —73 = 2а; —3;
16) 12л; —74=115 —15а*
18) 19 — х = 100 — 10а:;
20) 7а;—7=17 — х;
22) 31 = 111— х — 7х;
9) 5а; + 36— 20а; = 16;
11) 4* —5 —8* = —1;
13) 14м+12 =100 — 30м:
15) 15^ + 5 = 30^ — 40;
17) 70 — 38 = 2г+12;
19) 31 —7а: = 41 —8а:;
21) Ъх—16 = 19 —2х;
117 —
444. 35) 100 -f 2x — 9a; + 15 = 10 — 7x -f 5 — 1 lx -{- Ю0;
S6) Ьх 4 -— 4a; —|— «> —J— x —; 1 —j— x —j— 3 'j— x —j— 5;
37) 20a;— 1 —10a-— 3—Ьх—b—x— З-4-За;—3-j-a;—3.'
15) 0,92/ — 1,5+1,2= I-'»— 0,1//; 16) 0,3^+ 8 = 9 — 0,7^;
17) 0,8a;-j-3 1,7a; = 9 -f- 1,5a-; 18) 30 —0,6*= 14-{-0,4a-;
19) 73,4 —25,7a: =15,3a; —8,6;
26) x — 14~? x -J- -Ja:4- Vе4“ h>x4~ hx>
•27) 44a; —32 = 84 4-31,5a: 4-4,2a; 4-16,8;
281 0 = 0,75a; — 2a; — 0,6a;-j-0,5a; — 9;
29) 0,617a; — 0,617 = 12,34 — 1,234a-;
30) 44,44a- = 2222 4- 222,2 4- 22,22 -f 2,222;
3.) 2,5a:4-12,5a; = 1,5a-4-64,64 —6,7a-;
32) 19,1—2,4.T—10,4 = 2,4a;4-3,9;
446. 1) x — (5 — a;) = 3; 2) 5(9a;—10) = 40*
8) 6(5у — 30) = 5(2/ — 1); 4) 17(5*/ -f 8) = 3(4 —13?/);
6) (x— 3)(8 — a) = (a; — 6)(2 — x).
445. l)f = 4;
«) 14-8 = 13;
5) x:\\ = l\;
4) o — 5 = lG;
•J
7) x: 0,625 = 120;
9)
10) \x-\-\ = ^x;
12) 1^4- x = 2*;
i4) 3^ = 2/ 4~ In*
8) a::0,175 = 4,44;
11) 28,3 —8a; = 2,7;
13) 32/ —2,8 = 1,7;
■20) £r 4- 2] 4- ±x = 74 - 4a;;
•25) 5a; —2 = |a;4-|a;4-ia;4-1®a;4-^a;4-^a;;
— 118 —
446. 6) (у — Ъ)(у + 1) — 0/ — 2)(г/ — 3) = 0;
7) 3(2/ + 2)2 + 2(2/ + З)2 = 5(2/ — I)2 + 7(6у — 1);
8) (л; + 5,)г — (■* — 6)2 = 2(л; + 7)2 — 2л;2 -f- 2(3л; — 72,5);
9) (* + 8)г + (* — 5)2 = (х — 4)2 + (х — 6)2 + 93;
10) ^ -f- 5)2— — 9)2 = i40;
11) (ж~3)3+101 = (а:—4)3 + 3(a;-f I)2;
12) (2/ — 2)3+(2/ — 3)3+(2/ — 4)3-— 3(2/ — 2)(у — 3)(р — 4) +18.
447. 1) (^+-‘)2+(^-|)=2(х+|)(л;-|);
2) (a:+l)S!+ (х i)2+l—2^а; + За;;
3) (лт-f 0,1)г + (аг — 0,1)2 — х2 — (« —0,1К*+0.1И-*;
4) 5^3л;+|(л;+3) — ±Ц11я — 37);
5) |(3л; — 5) — 1 = |(11 — 2л;) + х;
О 3_izi!f4-£±i = 4_Izz3?.
«/ о Ю т 2 5 ’
5л;—6 9 — 10* 3*—4 3—4х
"ТО 14 — 5 7 ’
оч х—3 х—25 п 2 + ж
8) 7 5 4 '
9) - g(* + 3) -j- 6 = ИД-
Ю) ^-у— — 2= —j—J
12) (|* + 10)|-4 = О; 13)
15) * = -^ + ?*=5_-=+« + 7;
, „ч х—2 , я: — 3 х—4 х4-4
1G> 2 * 3 ~1Г 6—;
.„-,5*—14 3* — 5 I „з _
17) —25 20 ^+9j^0.
«8. 1»! —в; 8) £+7.»-15:.
4>15:(-*)«3; 5)^ = !; <5)^=2;
е»1 3
— 119 —
0)
1
2jс -f- 5 8х -f- 3’
8)
10)
12.
ж— 1 ж + 1’
_J 1__
ж -f- 1
11) =
' х — 5 ж— 6’
5
2’
13>йг
12»Ш=
х-\- 3
7(ж + 1) ж+ 9’
х — 5
15)
17)
18)
19)
3
: 5’
Ту* — Зу — 15
%2 + У — 25 :
7л“ + 2б 17-^43? 10 — х
ж-f- 21
1 —ж . 3-
14)
16^ 2жа+10ж —4‘
13 -f-ж
Зж—1 V
5а.2 —'Зж + 46
3
1
20) 3
21) 1
23)
24)
2(ж + ЗГ
1
21 3*7
-ж бж -f- 5 1 + 8ж.
—8^^15 15 ’
_ 5 , 2
ж -f- 3 2(ж + 3) ’
1 . 7
6(2ж — 5) 2(2х — 5) 1 3(2ж - - Ь)'
2ж+ 1
х—11
09)
5ж-
Зж—15 2ж—1U’
Зж —5 2ж — 7 19ж —3
3(ж^П) 2(ж — 1) — С(х2 — 1)’
5(2ж2— 1)
■ 7 Ж+З
4ж + 4 1 Зж -f- 3'
1;
25)
2ж-(- 3
5(2ж2 4- 31
2ж— 1
.^£±_2_5ж_.] .
2ж— 3 11 ;
7ж—12
2а?-
1 — х
5
27) Г=^-
29)
311
21
■ 7 —
33
: 5Ж-
1 -(- X 1 Ж2"
17ж—26
1;
28) j
26J^r + i~=
ж 1
Й —2х 2ж —14
20
4х— V
20
10
ж—3 ‘ ж2— 8х-|-15 ж—5’
7ж + 25 2ж+45
35);
Зж-f- 5
Сж— 5
ж— 3
„ Зж— 1
ж+З
Зж-f 1
2с — 9
■ Зж
2ж— 5
‘ Зж— 2
6« + 5
Зж —7
‘г + 3
4«—3
30) 7
32)
10
ж -f- 1
5
г + 4 ж—6
z— 10 * «4-3
-7 1 « —3‘
о <\ Зж— 5 ■ ?ж+7
' 2ж -|- 5 ‘ Зж -f- 2
ж- — 1 *
4«+2
г2—2г—24’
:2;
= 5;
2; 3G)
Зж+| , 7ж+3 (10ж —21(эж + 6)
?5ж2 _ 9 :
J I *а- Т
5ж + 3 ' 5гс— 3
12«2 + 30.- — 21
1С«2 — 9
— 120 —
449. 1) у-\-а = Ь\ 2) х— о = 7;
3) х-\-а — Ъ — т; 4) а — х = Ь—8;
5) а — Ъх — с; 6) ах -|- 6 = с;
7) Ьх — а = 3-г-]-6; 8) а — тх-\-Ь= — с;
9) Ьтх-\-2а = 1тх— 26; 10) Za-\-2x — 46 = Ьх
11) 3тх — 7а— 5Ъ — тх -(- 26 -j- 7с — Ътх;
12) 5а — 76 -|~ бпх — За—56 — 2с-\-Ъпх\
13) а(х — 6) = с; 14) 4(г — а) — Зх -f- 56;
15) 7(a — х) = 6(6 — я); 16) 3(4а — Зх) = 5(46 — х);
17) (а — 1).г = 6 — х;
18) ab-\-{b-{- 1)х ={ах)Ъа',
19) тх-\-пх — а; 20) ах — Ь — сх— <7;
"21) а — Ьх = сх — (I; 22) ах -J- сх — ab Ьс;
•23) ах-\- х — т-, 24) ах-{-Ъх — т-\-х\
i>5) (а — Ъ)х — с = <7 — (6 — с)х;
.26) аб — (х—c)d = c{dх)-,
•27) {а-{-Ъ)х(а — Ъ)х — ах = Ъ-\-с\
28) (а Ъ)х — (а — Ъ)х — Ъх = а-\-с\
29) (а — х)(Ь — х) = х2; 30) (а — #)(1—= —
31) (а — х){Ъх) — а2 — х2;. 32) (х — а)г — (х — 6)3;
35)?-6=С;
36) а — %—с-, 37)- — Ь — с; 38) а —' —с;
О SC Q0
х т .а Ъ
59) х — -=Ъ; 40) = с;
'а ' х х *
+ 4й)?-1 = |-в;
43) ^ + 44) ^ + 6 =
«>Б+| = « 4в)?-5=т;
. а-Ъх _ах—6, а—х_х—Ь.
b а ' *°'Ь
лгЛ„ 6 + т , л + ® 2- — О
■49) а х—=6 —; 50)
а
it! —г~ 14
■■О 1 ) i = 7 I» ‘-‘J Г
а Ь о
а
1
•г
Ь
■т =
п;
6
- и
I u
а
а
1 Ь
— 121 -
m 53) bi)V«-* = «-t2__lr
h a ' a-p* a—x ’
ггл1+ат a 1 +* I r_4a?+l „„.«*4-6 m
Ь5)га=ь: 56)i^=«: 5'>£ЗГТ=™; 58>iSPi;=v
r f\\ Д & g + a; я + ь
_ о— ж 6 — *’ ° о —ж ft — 6’
-Cl) ?±1 £±|; fi2) «±»=£z^;
'*—1 a—6 ’ c-j-x с — x
гоч а + ьх с 4- (far „..«4-6* c4-<7*
«4-6 ~ d + c’ 64> 0_b — 7=d"’
лр\ ft „ R С
G5> F+i“““"J G,J> bT^-m==b+^~n>
C7 )TL_hi==c; 68)£=^_£цЬ? = 1.
иг* 1 и* ' иг* и* *
от °-r fc—‘r | я(Ь—аЛ „пч ft — ar , Ъ — х , с —ж „
С0)У 2ё • Ы~ = а’ '°> "IT+ ~ + — =3
5^ + 2=^; 72)^+^ = ,:
’3) г^ + 1^-„ = г4г.т И) ; + 2 + £=»+• + »
„-.*4-46 . 3(* — 2о) „ f.s*
а~ТГ = 1; /С)^—^ —ей = 6* 4-ас;
77. 1 . ! __1 I 1
' лЬ Я.Г I //Л Я7! 7i/» Л >! *
70)
об — ах ■ ас — о* 6с — 6* * 6s — 6* ’
х х а — 6
6(о 4-6) (о 4- Ы* об
Смешанные задачи.
450. 1) Решить следующие уравнения, а затем в урав-
■нения и в выражения корней подставить вместо я и 6 числа
от 1 до 3:
а) ах — 6 = о — 6;
б) я2 -f- б* = 62 — б.г;
в) я* -J- 62 = bx -J- я2.
2) Из следующих уравнений определить у:
а) я -f у = лг, б) »г -|- иу =
в,«±"л=«.
г с 4“ «у
— 122 —
4-50. 3) Определить коэффициенты при х, на месте которых
поставлены точки,-
а) 5х—5=...х— если х = 2,
ч б) \ х -}- з=... х -]— 2, если х=6,
в) ... а; + 3 = 2х5, если х = 1.
4) Чему равен коэффициент а в уравнении:
а) ах — 5 = 4ж —3 б)-—-= — —
1 а 5 16 20'
если х — \1 если х=“Л
о
c)|+5 = a;— I Г) ах — 5 = 4 — 9лг#
з
если х=—g если ж=1?
5) Среднее гармоническое т двух чисел о и Ь выражается
формулой: m = Выразить а через Ь и т. '
6) Если д есть значение стороны треугольника, а Л соот¬
ветствующей ей высоты, выраженных в каких-либо едини¬
цах длины, то площадь f, выраженная в соответственных
квадратных единицах, определяется по формуле: f =
Выразить: 1) д, 2) А через остальные величины.
7) Если г означаем сумму (в рублях), которую следует
уплатить по счету, и со счета делается скидка в р°/0, то
подлежащая уплате сумма выражается формулой: Ъ = г — ~ .
Выразить: 1) г, 2) р через остальные величины.
8) Капитал к рублей, отданный в рост по р%, обращается
через год в К = к (l+щ) рублей. Выразить: 1) к; 2) р
через остальные величины.
§ 2. Задачи на составление уравнений первой степени с
одним неизвестным.
451. В следующих задачах следует: 1) составить уравне¬
ние, 2) решить его, 3) проверить справедливость получен¬
ного результата.
— 123 —
451. 1) Сколько следует прибавить к 0,738, чтобы полу¬
чить 0,96?
2) Из какого числа следует вичасть 5*-, чтобы получить
5,5?
3) На какое число следует умножить 3*-, чтобы полу¬
чить 7—?
4) На какоз число следует умножить 3^-, чтобы полу¬
чить 2^- ?
5) К какому числу следует прибавить Ъ, чтобы полу¬
чить а?
6) Какое число следует увеличить на т, чтобы в резуль-
тете получить О?
7) На сколько следует уменьшить а, чтобы получить ]?
8) Во сколько раз следует уменьшить т, чтобы полу¬
чить и?
9) Какое число следует вычесть из а, чтобы получить в.
остатке d?
Ю) м-й долей какого числа является число а?
11) Найти число, которое при умножении на разность-
чисел р и д дает в произведении а.
12) На какое число следует разделить а, чтобы полу¬
чить ml
13) Если неизвестное члсло умножить на 9 и прибавить
к результату:
а) 2, то получится 11;
б) 3, » » 111;
в) 4, » » 1111;
* •'
И) 9, » » 111111111.
Найти в каждом случае соответствующее число и соста¬
вить таблицу решений.
— 124 —
451. 14) Если неизвестное число умножить на 8 и при¬
бавить:
а) 2, то получится 98;
б) 3, » » 987;
в) 4, » » 9876;
3) 8, » » 987654321.
Найти в каждом случае соответствующее число и соста¬
вить таблицу решений.
15) На сколько нужно уменьшить 785 и увеличить 587,
чтобы получить одинаковые числа?
16) На сколько нужно уменьшить число 8642, чтобы
получить чизло, записанное теми же цифрами, но в обрат¬
ном порядке?
17) Найти число, если среднее арифметическое между
ним и 916 равно 619.
18) Какое число больше своей четверти на 81?
19) Утроенное неизвестное число на больше удвоен¬
ного того же числа. Найти это число.
20) Найти число, которое при увеличении на 6^-дает тот
же результат, что и при умножении на 7^-.
21) Найти число, восьмая доля которого на 3 меньше
его шестой доли.
22) Если от утроенного искомого числа отнять 13, то
получится столько же, сколько от прибавления 57 к его
пятой доле. Найти число.
23) Найти сисло, сумма m-ii и га-й долей которого
равна р.
24) Если к неизвестному числу прибавить число, кото¬
рое в т раз его больше, то получится а. Определить число.
25) Если к неизвестному числу прибавить его-^ долю, то
получится т. Найти число.
26) Найти число, которое на 48 больше себе противопо¬
ложного?
— 125
451. 27) Найти число, которое меньше на 100 себе про¬
тивоположного.
28) Найти число, которое равно себе противоположному.
29) Если от искомого числа отнять 5, остаток умножить-
на 7, к тому, что получится, прибавить 2, результат раз¬
делить на 6, к частному прибавить 4, то снова получим
искомое число. Найти это число.
30) Какое число нужно прибавить к числителю и знаме¬
нателю дроби чтобы она обратилась в
452. Составить задачи, решение которых приводится к:
решению следующих уравнений:
1) 9 —лт = 5; 2) 7 — х = 3;
453. 1) Какое число нужно прибавить к каждому члену"
пропорции 3:6 = 4: 8, чтобы снова получить пропорцию?
2) По скольчу следует прибавить к 3 и 5, чтобы полу¬
ченные числа относились между собой, как 8:11?
3) Какое число следует прибавить к числителю дроби’
чтобы она обратилась в
4) По скольку нужно прибавить к а и Ъ, чтобы полу¬
ченные суммы относились, как с:«7?
5) Найти число, сумма цыфр которого равна 15; если
же цыфры переставить, то получится число, которое на
27 больше искомого.
6) Трехзначное число, изображенное тремя последователь¬
ными цыфрами, при делении на сумму его цыфр дает в
частном 26. Найти это число.
4) 9а: = 11 у;
6) рх —р —р\
8) ах = а — х;
5) |и — п — ига:;
7) ах —а;
л лч m I
13) и = иг -f- гг,
JC
14) pqx=p-}- q.
453. 7) Сколько следует вычесть из т и п, чтобы полу¬
ченные числа находились в отношении р:д?
8) Сумма двух чисел равна 100; если большее число раз¬
делить на меньшее, то в частном будет 4 и в остатке 5.
Найти оба числа.
9) Число а разделить на две части таким образом, чтобы
частное от деления одной части на другую равнялось бы
также а.
10) Разность между делимым и делителем равна 1404,
а частное равно 40. Найти делимое и делитель.
11) Сумма делимого и частного равна 1000, а делитель
равен 49. Найти делимое и частное.
12) НскДтслно бсть число, ёмУжс лцн приложитсд ёдн-
Ш Tj^Tb, Й «) СЛОЖ^ННЛГО КЫЧТРГГА вдинл ШССТДА ЧАСТЬ,
ОСТАНСТСА 100 (Магницкий, 1703 г.)
13) В папирусе Ахмеса (иначе папирусе Ринда), старейшем
уцелевшем математическом памятнике (1700 г. до нашей эры)
имеются следующие задачи:
а) Хау (куча); ее седьмая и ее целое дают 19. (Опреде¬
лить хау.)
9 11
б) Хау; ее ее 2, ее j, целое датот 33. (Определить
хау.)
454. 1) Троим братьям вместе 96 лет; средний вдвое стар¬
ше младшего, а старшему столько лет, сколько среднему и
младшему вместе. Найти лета каждого.
2) В трех кусках полотна 180 метров, притом известно,
что во втором куске вдвое больше метров, чем в первом, а
в третьем втрое больше, чем во втором. Сколько метров в
каждом куске?
3) А, В и С должны поделить между собой некоторую
■сумму денег. А получает этой суммы и 190 руб., В—
суммы и 170 р., С—*- суммы и 160 рублей. Как велика
сумма, подлежащая разделу и сколько получит каждый?
4) Запас крупы в 7350 пудов должен быть поделен в 1919 г.
между четырьмя распределителями. Второй должен получить
в 2 раза больше первого, за вычетом 1590 п, третий
в 2 раза больше второго, за вычетом 2000 п., четвертый
в 2 раза больше третьего за вычетом 2500 п. Сколько полу¬
чит каждый?
454. 5) Между четырьмя сельскими обществами А, В,
С и I) распределили 4500 гектаров леса следующим образом:
А дали 500 гектаров, В—столько, сколько А и С вместе, а
D третью часть того, что досталось В и С. Сколько гектаров
леса получили В, С и I)?
6) Число 12000 нужно разделить на 3 части в отношении,
обратном числам 30, 24 и 20. Как велика каждая часть?
7) Смешано 6 ведер вина, ценою по 5 рублей ведро,
с вином в .З’ рубля ведро. Одно ведро полученной смеси
пролилось, остальное количество было продано по 4| рубля
ведро, при чем на всю смесь получено было 37 рублей
прибыли. Сколько взято было при составлении смеси вина
низшего сорта?
8) Сколько нужно добавить воды к 3000 бутылок 70-гра¬
дусного спирта, чтобы получить спирт в 60 градусов?
9) Имеется 600 литров спирта в 60 градусов. Сколько
спирта в 95° нужно добавить, чтобы получить спирт в 80°?
10) Требуется получить 1000 литров 80-градусного спирта.
Для этого смешивается спирт в 77° и 87°. Сколько нужно
взять спирта каждого сорта?
11) Сколько лигатуры следует добавить к 200 золотни¬
кам серебра 84-й пробы, чтобы получить серебро 56-й
пробы?
12) Золотых дел мастер желает сделать сплав серебра
84-й пробы. Сколько он должен для этого взять серебра
85 й пробы и 80-й, чтобы получить слиток в 1 пуд?
— 128 —
454. 13) 20 человек нечто работали 8 дней, потом,,
припав к себе в товарищи еще 5 чел., вообще то
дело довершили в 13 дн., за которую работу получили
381^- руб.; снраш., сколько из сих денег достанется
первым и сколько последним работникам? (Вонтяхов-
скпй.)
14) Четыре объединенных государственных предприятия
разделили между собою прибыль: первому досталось ^ всей
прибыли; второму ^ часть, третьему § всей прибыли, че¬
твертому же 342 рубля; спрашивается, сколько каждому
досталось и сколько всего было прибыли?
15) Число слрок на странице на 15 больше, чем число-
букв в кажд й строке. Если уменьшить число букв в строке
на 3 буквы, и йотом отнять 5 целых шрок, то число всех
букв уменьшится на 270. Сколько строк в странице и
сколько букв в строке?
4551)- 1) Издатель имеет валового дохода 375282 рубля.
На какую сумму он сдал книг книгопродавцам, если с но¬
минальной цены книги он делал им 38“°/0 скидки?
2) Неизвестный капитал, отданный в рост по 4°/0,
через 3 месяца обратился в 86961 рубль. Найти этот
капитал.
3) По скольку процентов должно отдать в банк капитал
чтобы он чрез год обратился в сумму, относящуюся к нему, ”
как 13:12?
4) На сколько времени нужно отдать в рост по 10°/а
капитал, чтобы он увеличился в 1® раза?
*) Примечание. Задачи №455. с 1 по 17, относятся ко времени до октябрь¬
ского переворота 1917 года.
— 129 —
455. 5) Капитал разделен на 3 части: часть капитала
помещена по 8%, четверть — по 10%. а остальная часть
по 4%. Через 5 лет капитал обратился в 6280 р. Найти
первоначальный капитал.
6) Капитал разделен на две части в отношении 2:3,
первая часть приносит 5% дохода, а вторая 8%. Через 4-| года
капитал обратился в 3265 рублей. Найти первоначальный
капитал и каждую его часть.
7) В кооперативе было 10 цыбиков чаю и остаток от
початого цыбика в 20 кг. стоимостью всего 3675 рублей.
Продавая затем чай по 480 рублей цыбик, получили на
товаре 33-|% прибыли. Сколько килограммов чаю было в
каждом цыбике?
8) Капитал был помещен в банк по 4-|% и через Згода
- обратился в 13620 рублей. Каков был основной капитал?
9) А хотел купить у В мануфактуры. В потребовал опре¬
деленную сумму, которую А должен был уплатить через
8 месяцев. Вместо этого А уплатил немедленно 81750 руб.
Сколько запросил В, если он соглашался на отсрочку из
4 \ процентов годовых?
10) Капитал был отдан в банк по 4%- Вследствие умень¬
шения процентной таксы до 3~%, он потерял в течение
года 75 рублей. Как велик был помещенный капитал?
11) Капитал а рублей через п лет обратился в Ъ рублей.
По скольку % он был отдан?
12) Капитал о рублей, отданный в рост по р%, обра¬
тился в Ъ рублей. На сколько времени был отдан капитал?
13) Некто должен через т месяцев уплатить о рублей.
Как велик будет наличный расчет, если сделать с суммы,
подлежащей уплате, скидку в p°j0 за месяц?
14) Кооператив приобретает на товаре 32%, продавая
1 кг этого товара за 1 р. 98 к. Сколько %% приобретет или
потеряет кооператив, если он будет продавать товар по
1 р. 20 к. килограмм?
Сокращевный сборн. алгебр, уврагкв. ч/1. 9
— 130 —
455. 15) При продаже 1 кг товара порублю, получается
прибыли 25%- По какой цене нужно продавать 1 кг, чтобы
получить прибыли 30%?
16) При продаже 1 кг товару по о рублей, получается
прибыли р°/0. Сколько % прибыли будет получено, если
продавать кг товару по Ъ рублей?
17) Книгопродавец покупает книгу со скидкой 40%
с обложки. Какую скидку с обложки он должен делать,
чтобы иметь 50% прибыли?
18) Отделом снабжения Наркомпроса отправлена в школу
2-ой ступени партия книг. Школа, оставив у себя 75%, вер¬
нула в отдел снабжения остальные 60 книг. Сколько книг
было послано отделом снабжения?
19) Столовая в течение года может увеличить число вы¬
даваемых обедов на 20%. Определить, сколько она могла вы¬
дать обедов при открытии, если через четыре месяца она
уже выдавала 400 обедов?
20) На сколько % следует увеличить длину балки, чтобы
новая ее длина относилась к прежней, как 5: Э.
21) Население города в течение года увеличивается на
7%. За какой промежуток времени оно возрастет в 2%
раза?
22) Производительность завода № 1, вырабатывающего
% часть продукта, потребного для выдачи населению, воз¬
растает на 4% в вод; производительность завода № 2,
дающего четвертую часть продукта,—на 5%, а завода № 3,
дающего остальную часть,—на 2%. По истечении 5 лет ра¬
боты в кладовых завода оказался запас в 354/24 тонн. Как
велик был запас при начале работы?
' 23) На рабочий факультет принята группа слушателей,
разбитых на два отделения—А и В, при чем число слуша-.
телей в А относится к числу слушателей в В, как 3:2.
Ежегодно из первой группы выбывает б74%. а из второй—
8%%- Как велика была поступившая группа, если через
2 года окончило 48 человек?
24) Разделить 56000 на пять частей так,, чтобы II была
больше I вдвое и еще ва 200, П1 втрое больше I за вы-
— 131 —
•четом 400, IV равна полусумме II и III части и еще 150 и,
-наконец, V часть равна четверти суммы остальных четы¬
рех и еще 475.
455. 25) В трехзначном числе цифра десятков вдвое больше
щифры сотен, цифра единиц в свою очередь вдвое больше
цифры сотен; если к искомому числу прибавить 297, то
получится число, записанное теми же цифрами в обратном
порядке. Определить неизвестное число.
26) Для освещения детского дома имеется некоторое ко¬
личество электрических лампочек. Если в каждую комнату
поместить по 7 лампочек, то в запасе останется 5 лампочек ‘
•если же в каждую комнату провести по 8 лампочек, то не-
хватит 5. Сколько было выдано лампочек?
27) В цейхгаузе остались две катушки с телефонным
жабелем: на 4-й—3 километра, на 2-й—два. Если от первой ка¬
тушки отнять вдвое меньше, чем от второй, то на первой
останется в три раза больше, чем на второй. Сколько ка¬
беля осталось на той и другой катушке?
Задачи геометрического содержания.
— 456. 1) Отрезок длиною в 4,8 см разделить: 1) внутрен¬
ним и 2) внешним образом в отношении 3:5.
2) Какой угол: 1) вдвое больше своего смежного; 2) в п
раз больше; 3) составляет \ своего смежного?
3) В равнобедренном треугольнике угол при вершине:
1) вдвое больше; 2) в п раз больше каждого из углов при
основании. Определить углы треугольника.
4) В равнобедренном треугольнике: 1) боковая сторона
вдвое больше основания. Определить стороны, если пери¬
метр равен 25 дм.
5) В равнобедренном треугольнике отношение боковой
стороны к основанию равно у. Периметр равен 45 см. Опре¬
делить стороны.
6) Какой многоугольник имеет диагоналей: 1) вдвое
больше, 2) вдвое меньше, чем сторон?
9*
— 132
456. 7) В каком выпуклом многоугольнике сумма углов
равна Юй?
8) Площадь прямоугольника равна 36 кв. см. Одна из
сторон его равна 1, 2, 3... до 12 см. Каковы соответствен¬
ные значения другой стороны?
9) В трапеции разность верхнего и нижнего оснований
равна 3 см. Вычислить основания, если высота трапеции
равна 6 см, а площадь—96 кв. см.
10) В трапеции отношение оснований равно -f- Вычислить
основание, если высота трапеции 6 см, а площадь 192
кв. см.
11) Один катет в треугольнике равен 18 м, а ^другой
на 6 м меньше гипотенузы. Вычислить стороны треуголь¬
ника. (Теорема Пифагора.)
Задачи на движение.
457. 1) Скорости, выраженные в сантиметрах в секунду,
выразить в километрах в час (и в верстах в час с двумя
значащими цифрами; 1 клм = ~ версты.
2) Скорости, выраженные в следующей таблице в кило¬
метрах в час, выразить в сантиметрах в секунду:
а) Пешеход
б) Лошадь рысью. . .
в) Легкий ветер . . .
г) Лошадь галопом . -
д) Океанский пароход
е) Скаковая лошадь .
. 100
. 350
, 400
450
1.000
1.700
. Пассажирский п<
Почтовый голубь
з) Аороилан Райта
и) Автомобиль . . .
к) Звук
л) Ружейная пуля .
}
1.330
4.700
33.000
43.000
1.800
а) Пешеход
б) Пассажирски^ поезд
в) Скорый поезд
г) Паровоз прп пробе
от 4 до 5 клм в чао.
я 30 „ 40 т «, „
я 60 „ чп
д) Наибольшая скорость автомобиля 220 „ „ „
/
— 133 —
457. 3) Зазор на стыках рельсов служит причиной стука
колеса в такт ходу поезда. Пассажир в одну минуту насчи¬
тывает 92 удара;' какова скорость поезда, выраженная в
километрах в час, если длина рельса равна 8 м?
4) Двое знакомых живут на расстоянии 25 километров
и идут друг к другу навстречу; первый проходит в 1 час
-3— км, а второй — 4 км. Через сколько часов они встре¬
тятся, если они вышли одновременно?
Ь) А п В находятся на расстоянии 12 километров один
от другого и идут в одном и том же направлении. А про¬
ходит в час 5 километров, В—3j клм. Через сколько вре¬
мени А догонит В?
б) А и В находятся на расстоянии 36 километров друг от
друга и едут на велосипедах навстречу один другому.
Сколько должен проехать каждый из них до встречи, если
они выезжают в одно время и скорости их относятся,
как 5:7?
71 Верховой отправляется из некоторого пункта и при¬
езжает в каждые 3 часа 28 км. Час спустя, ему вслед
отправляется другой и делает в 2 часа 20 клм. Когда и где
догонит второй первого?
8) Определить расстояние между двумя городами,
■если замечено, что переднее колесо повозки, имеющее в
окружности 2,4 метра, сделало на этом расстоянии
2900 оборотами более заднего, имеющего в окружности
■3,2 метра.
9) По наклонной плоскости катятся два шара: один из
них имеет а футов, а другой—Ъ футов в окружности. Опре¬
делить длину наклонной плоскости, если первый шар сде¬
лал на ней с оборотами больше второго?
10) Из Москвы отправился в Смоленск товарный поезд,
проезжающий средним числом по 16 километров в час; спустя
в часов, из Смоленска в Москву отправился пассажирский
поезд, проезжающий по 28 км в час. На каком расстоянии
ют Москвы оба поезда встретятся, если известно, что от Мо¬
сквы до Смоленска 42о км?
— 134 —
457. 11) Пассажирский поезд идет со сиростью 40 км
в час, а товарный со скоростью 14 км в час. Какой длины
товарный поезд, если пассажир, смотревший в окно, заме¬
тил, что встречный товарный поезд шел мимо него 10 сек.?
12) Пассажирский поезд шел со скоростью 36 км в час.
Пассажир, смотревший в окно, заметил, что встречный
товарный поезд, длина которого 100 м, шел мимо него.
15 сек. С какой скоростью шел товарный поезд?
13) Когда бьет 6 часов, то минутная и часовая стрелки
составляют прямую линию. Чрез сколько времени они бу¬
дут находиться в таком же положении?
14) Когда в первом часу минутная стрелка составляет
с часовою прямую линию?
15) Когда и как совпадают минутная и часовая стрелки?'
16) По окружности круга навстречу двигаются две точки:
одна со скоростью 10 см в секунду, другая—8 см; через
какие промежутки происходят их встречи, если длина
окружности равна 378 см.? Через какие промежутки будут
происходить их встречи, если одна из точек переменит на¬
правление движения?
458. 1) Фабрика обслуживается 36 машинами одинаков не¬
мощности при 10-часовом рабочем дне. Сколько машин
нужно добавить, чтобы выполнить ту же работу при 9-ча¬
совом рабочем дне?
2) На фабрике, имеющей а рабочих, рабочий день умень¬
шается с часов до t2 часов. Сколько следует добавить
рабочих, чтобы сохранить неизменной производительность
фабрики, если считать, что работоспособность рабочих в.
том и другом случае одинакова?
3) Вышла в поле артель косцов. Ей предстояло скосить
два луга, из которых один был вдвое больше другого.
Полдня вся артель косила большой луг, а на вторую по¬
ловину дня артель разделилась пополам, и одна половина
осталась доканчивать большой луг, а другая стала косить,
малый луг. К вечеру большой луг был скошен, а от малого*
— 135 —
остался участок, который был скошен на другой день одним
косцом, работавшим весь день. Сколько косцов было в
артели/
Задачи, заимствованные из греческих эпиграмм, собранных Максимом
Планудом (ок. 1300 г.).
459. 1) Четыре фонтана дано. Обширный дан водбем.
За сутки первый фонтан до краев его наполняет.
Два дня и две ночи второй над этим должен работать.
Третий втрое, чем первый слабей.
В четверо суток последний за ними едва поспевает.
Ответь мне, скоро ли будет он полон,
Если сразу все их открыть?
2) Надпись, которая будто бы была помещена над мо-
тлой Диофанта (греческий математик, который, главным
образом, занимался арифметикой и теорией чисел):
«Путник, здесь прах ногребен Диофанта. И числа поведать
Могут, о, чудо, тебе, сколь долог был век его жизни:
Часть шестую ее составляло прекрасное детство;
Дванадесятая часть протекла еще жизни, покрылся
Пухом тогда его подбородок, а седьмой к окончанью
Браком себя сочетал Диофант. Жизни брачной год пятый
Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына,
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой
Дал на земле по сравненью с отцом, и в печали глубокой
Старец земного удела конец восприял, переживши
Года четыре с тех нор, как сына лишился; скажи мне,
Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант>.
Из Лилавати Бхаскары (из индусской арифметики; 1150 нашей эры).
3) Из множества чистых цветков лотоса были принесены
в жертву: Шиве третья доля этого множества, Вишну —
пятая и Солнцу — шестая; четвертую долю получил Бха-
вани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учи¬
тель, Сколько было цветков?
Из русских рукописных сочинений по арифметике, относящихся к
XVII вену (сборник Горячева-Воронца).
4) Лев съел овцу одним часом, а волк съел овцу в два
часа, а пес съел овцу в три часа. Ино, хощеши ведати,
сколько бы они все три—лев и волк и пес—овцу съели
— 136 —
вместе вдруг и сколько бы они скоро ту овцу съели—
сочти ми.
Из Носса (старинное название алгебры) Кристофа Рудольфа (1553 г.).
459. 5) Пастух травит лисицу; лисица находится впереди
на 60 прыжков, и в то время, как лисица делает 9 прыжков,
собака делает 6 прыжков. Но 3 прыжка собаки равны 7
прыжкам лисицы. Вопрос, сколько прыжков должна сде¬
лать собака, чтобы схватить лисицу?
Из „Арифметики" Магницкого (1703).
6) H'fcVi'rt челое^к* нХнал* рлкотникл нд год*„ wek-
фЛЛ* 0AAS ДЛТИ 12 ($ЕЛ£Н И КЛфтХн*„ НО ТОЙ ПО СЛИЧАЮ
ОДЕОТДЕ* 7 AA'fccAHEEX КОСГОТ^ WHTH„ и прошХшЕ достон-
/ f , » Л т \ V О /
НЫА ПЛАТЫ С кдфтдноли, ОН* ЖЕ ДАДЕ 0ЛА5 ПО ДОСТОНН-
СТЕ^ рЛЗСЧЕТХ 5 р^БЛЕН Н КЛфтХнЪ, Н Е'ЕдЛТЕЛНШ §£ТЛ: КО-
ЛНК1А Ц'ЬнЫ ОНЫЙ КДфтХн* КАШЕ.
7) 6ДННХ ЧЕЛОК^КХ ЕЫПЬЕТХ КАДЬ ПНТ1А Б 14 ДН£Н0 СО
ЖЕНОЮ ЕЫПЬЕТХ То£ ЖЕ КАДЬ К 10 ДНЕЙ, И К'ЬдАТЕЛНО §СТЬ0
Е КОЛИКИ» ДНЕЙ ЖЕНА 0Г1О ОСОЕНО ЕЫПЬЕТХ ТОЕ ЖЕ КАДЬ.
8) H'tWo ЛА^ЖХ ЕЛЛГОГОЕ'&ИНХ ЕННДЕ Е СИрОТОПНТЛ-
ТЕЛЬНИЦ^ ЛАНЛОСТЫНЮ ДАТН оуЕОГИЛАХ,, ДЛКХ ЖЕ КОЖДОЛ$ НуХ
по три П^НАЗА, Й СусЛАОТр^ HKIW НЕДОСТАНЕТ* ДЕНЕГ* НД
три HEAOE'fi'KA. lIlJJE ЖЕ ЕЫ ДАЛ* ИЛАХ ПО ДЕД П^НАЗА* И
ТОГДА ЕЫ IU СТАЛОСЬ ДЕНЕГ* НД ЧЕТЫрЕ ЧЕЛОВЕКА: Н Е'ЙдАТЕЛНО
Ш / / л/ ♦ / I ™ %*
есть КОЛИКИ» ЕАШЕ СуЕОГНД'Х Е СНрОТОПИТАТЕЛЬННЦ'Е ОНО И,
ТЛКОЖДЕ Н ДЕНЕГ* КОЛИКИ.' су ТОГШ ЛА^/жД ЕЫЛ0о Н ПО ЧЕЛА5
КОЖДОЛА^ W ННуХ ДОСТАЛОСЬ*
Из „Курса чистой математики" Ефима Войтяховсного (1811).
9) Одному курьеру приказано прибыть к назна¬
ченному месту в 12 дней, к которому он, прежде
ехав всякие сутки по 22В верст, прибыл в 15 дней;
— 137 -
спрашивается, по скольку верст должен он проезжать
в сутки, дабы поспеть к тому месту в назначенное
время?
459- 10) Капитан на вопрос, сколько имеет в команде
2
своей лодей, ответствовал, что g- его команды в карау-
2 1
ле, j в работе, ^ в лазарете да 27 человек налицо;
спрашивается число людей его команды.
11) Собака усмотрела в 150 саженях зайца, кото¬
рый перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а со¬
бака в 5 минут 1300 саж.; спрашивается, в какое время
собака догонит зайца?
12) Некто, пришед в ряд, купил игрушек для ма¬
лых ребят: за первую игрушку заплатил часть всех
з
своих денег, за другую j остатка от первой покупки,
з
за третью игрушку заплатил g- остатка от второй по¬
купки; а по приезде в дом нашел остальных в кошель¬
ке денег 1 руб. 92 коп.; спрашивается, сколько в
кошельке денег было и сколько за которую игрушку
денег заплачено?
Задачи из физики.
460. 1) Размеры кирпича в сантиметрах выражаются при¬
близительно следующими числами: 25 см, 12,5 см и 6,25 см.
Вес его приблизительно 4 кг. Определить удельный вес, т-е.
узнать, во сколько раз кирпич тяжелее воды (в том же объеме).
Килограмм воды имеет объем 1 кб. дм.
2) Ледяная глыба плавает в морской воде, при чем
объем ее надводной части равен 2000 кб. метр. Как при¬
близительно велик объем всей глыбы и ее вес, если удель¬
ный вес морской воды считать равным 1,03, а удельный
вес льда 0,9?
— 13S —
Ьи. НИШ тм Пелш».
Реошюръ.
3100"
--80"
-21Г
—-
-ь
п. imii 1ы& 0°
0"
32"
—
—
да
Фиг. 11.
4-60. з) Сплав серебра и олова весит 10 клг., а удельный
вес этого сплава равен 9. Сколько серебра и олова содер¬
жит сплав, если удельный вес серебра равен 10,2, а оло¬
ва 7,3?
4) Сравнение шкал Цельсия, Реомюра и Фаренгейта,
дано на приложенном чертеже. Сколько градусов показы¬
вают термометры Рео¬
мюра и Цельсия, если
Фаренгейт показывает”
95°?
5) Фаренгейт счи¬
тал нормальную тем¬
пературу человеческо¬
го тела равной Ю00,
по своему термометру.
Сколько градусов по
Цельсию составляет эта
температура?
6) Какую температуру показывает термометр Фаренгейта,
если сумма отсчетов по Реомюру и по Цельсию равна 27°?
7) Для какой температуры показания Фаренгейта и Рео¬
мюра отличаются лишь знаками?
8) Для какой температуры число градусов по Реомюру
в четыре раза больше, чем у Фаренгейта?
9) При какой температуре число градусов Цельсия, не¬
зависимо от знака, в 3 раза больше, чем показание Фарен¬
гейта?
10) Два смежных рельса, имеющих при 0° длину »
10 метр., при 30° Цельсия сдвигаются вплотную. Как велик
зазор между ними при 10°, если коэффициент линейного
расширения железа равен 0,000012?
11) При прокладке железнодорожных рельсов в С.С.С.Р.
между концами рельсов, длиною в 28 футов, полагается
оставлять такой зазор, ширина которого при 0° равнялась
бы j- дюйма. Коэффициент линейного расширения рельсо-
— 139
вой стали равен 0,0000108. На сколько должна подняться
температура рельсов, чтобы зазор закрылся?
До каких размеров доходит ширина зазора при очень
сильном морозе (40° Ц.)?
Задачи-шутки и загадки.
461. 1) Указать ошибку, допущенную при выводах заклю¬
чений на основании следующих равенств:
а) Имеем:
#2 — х- — х2 — х2:
в левой части возьмем х за скобку/а правую разложим по-
формуле
(a -J- Ь). (а — Ь)=а2 — Ъ2,
получаем:
х(х—а) = (# -f- х)(х — х),
деля обе части равенства на х—х, получаем неожиданный:
результат:
х—Чх.
б) Уравнение
6# -j- 25 = Юх -j-15
можно привести к виду ^
3(2# — 5) = 5(2# — 5);
следовательно,
3 = 5.
Как получается правильное решение непосредственно из*
второго уравнения?
в) Уравнение
х + 5 е 4а — 40
а—7 5 ~ 13 —а
преобразуется следующим образом:
х + 5 — 5(# — 7) 4а — 40
а — 7 13 — а *
— 4# + 40 4# — 40
а —7 ~Т3^5"’
4а — 40 4а — 40
7 —а- ~ ТЗ^ аГ ’
отсюда следует, что
7 = 13.
— МО —
461. 2) Бутылка с пробкой стоит и коп.; бутылка стоит
яа 10 коп. дороже, чем пробка. Что стоит пробка и что
бутылка? (Сказать решение быстро, не прибегая к вычис¬
лению.)
3) Мальчика спросили, сколько у него братьев и сестер.
Он ответил: столько же братьев, сколько и сестер. Тогда
-спросили сестру: сколько у нее братьев и сестер. Она отве¬
чала: у меня сестер вдвое меньше, чем братьев. Как это
могло быть?
1 4) Женщина несла на продажу в город яйца. Первому
■своему покупателю она продала половину всего запаса и
одно яйцо. Второму продала половину остатка и еще одно
яйцо. Затем третьему—половину нового остатка и еще одно1
яйцо. У нее осталось 10 яиц. Сколько яиц несла она в
город?
5) Учитель на вопрос, сколько у него школьников, отве¬
чал: если из моей школы уведут половину да еще -^'уче¬
ника, из оставшихся уведут половину да еще \ ученика, а
из тех, кто останется, еще половину да -§ ученика, то оста¬
нется всего один ученик. Сколько учеников было в школе?
§ 3. Системы уравнений первой степени с двумя и
многими неизвестными.
Уравнения с двумя неизвестными.
462. 1) # + у = 13 2) 3#-f 4у = 253 3) 9# — 4г/ = 98
у = х — 4; У = Ъх; х=сГ>
8а) 3у — 8# = 15 4) 0,2#+ 4# = 44 4а) 0,5# = 0,9у
7# = 2у; ж = 0,5 у; 18у— 3#=28;
6) 7#—5у = 25 6) ЬхЗу = 36 7) 13#— 14у = 27
7# = 14(/-f- 15; Зу — 10# — 9; 13# = 2y-J-15;
6) 8х — 9у=1 9) 50# — Зу = 11 10) |-# — 2у — 17
Зу = 4х-}-1; 10# = 7 у—17; L# = 22-j-3 у;
11) 7# + 9(/ = 31 12) 5# —* 4у = О
18у = 13# -j- 116; Ю# = 3у — 25;
— 141 —
462. 13) by = 47 —4# 14) 1-’#— = 11
10# —2y=16; 2|# = 3y-j-3;
16)f + f=U 17)4*+!=21
?=17 — 3#;
12 35 г
19) 7#— 3y= 27 20) 19#-j-6y=12
5#—6y = 0; ll#-l-3y = 6;
15) 0,7#—0,6y=l,l
0,3y = 2#—8,8;
18) 5# — 4y = 6
8# =7 y;
21) 15#—16y=24
3# = 4y,
22) x'.y — 3:4
(#—l):(y + 2) = l:2;
23) (#+y):(y-fi) = 2:i
(# + 2): (y — 1) = 3:1;
24) mx-\-ny = c
x a
s~T>;
25>
26>
-у=(а — ЪУ\ x — y = a2—l\
463. 1) #=4y-f 2 2) 2* = 3y-f 2
x— I5y — 20; 2z = y-}-10;
4) iX = by—1
\x—ly — 5;
7) 9* = 2«/+10
3^=y—i;
Б) 0,2# = 4у — 3
0,2#= 3- 8у,
8) 3# = 5y-f-17
|#=3y— 8;
10) 15#=13y + 128 11) |y = 2-‘#—1
8y = 66-J-3#;
\x = Zy — 2;
16) 12#= 16 — 9y
18#= 15y —5;
19> ЛЬ1
* —Ж_о-
3 2
14) 5#=9y—1
3# = 4y-f5;
17) 0,1# = у — 1
2#= 13y -f-1;
3) 8y = 3# + 25
8y = #-fl9;
6) 5y = 2# + 43
10y = #-f-74;
9) |y = 3#—9
8y = ll#-J-67;
12) \u = l — v
lit = 8 — 4{b;
15) 10# = 7y+30;
12# = 36 — 5y;
18) 0,3«/ = 2# — 0,5
0,5y = 3#— 0,5
20) 2,5y=0,l#+ll,6 21) y = fc#-f 6
l,9y=4,4—0,2#; y = kx-\-V.
22) ж = my -f- м
# = m'y -j- n'.
— 142 --
464. 1) ж-|~2/— 17
2) ж-{-у = 347
3) ж —|— Зг/ —- 20
Я
II
Н-»
СО
ж—у = 153;
ж — Ьу = 12;
4) 3ж4-у = 7,3
5) 2ж — Зу = 1
6) 5ж-|-72/ = 1,76;
2ж— «/ = 3,2;
2ж -j~у = 1,56;
5ж — 32/= 0,46;
7) ж-|~2/ = а
8) \х-\-^! = а
9) г/ + = я
1
<е
II
11т
&—& = Ъ;
у -f- иж = 6.
465. 1) а?4-4«/=37
2) 7ж -J- 3«/ = 100
3) ж + 2«/ = 7
2х-\-Ьу—53;
Зж — у = 20;
ж 4-4у = 11;
4) 2ж + 5{/=1
5) 5ж-|~6«/ = 529
6) 24ж _|_ ?2/ = 27
6ж 7у = 3;
Зж-{-22/= 431;
8ж —332/=115;
7) 5ж -f- 7«/= 17
8) 2ж4-3«/ = 41
9) 11ж 12г/ = 100
7а: — Ьу= 9;
Зге —2«/ = 39;
9ж -j- 8у = 80;
10) 18ж—ЗЬу= —13
11) Зж + 16«/ = 5
12) 17ге —J— 4g/ = 51
15#-f-28«/=275;
28у — 5ж=19;
11ж 4-16^ = 33;
13) 5ж -}- 32/ -j- 2 = 0
14) 21ж— By—66=0
15) х=3у—19
Зж -|— 2?/ -|— 1 0;
23у—28ж—13=0;
у = 3х — 23;
16) х=7у — 7
17) 23ж+152/ = 4|
18) 5ж+'1у==6
у — Ьх-\-Ь',
48ж -]- 45«/= 18;
Зж — 42/ = 4;
19) ^+> = 3
20) 1ж=|т/ + 1
21) 5ж — 4,92/= 1
^—^ = 0;
1 * ч Л
1х=яУ 10;
Зж— 2,9 у — 1;
22) 1,5ж —2^=1
2,5ж — Зу~б.
«
466. i) i+i=|
1 J. 1.
5 у' б’
4) 17ж-^ = 3
04
lte—^г=1,7;
2) --f- = 3
' X 1 у
15 4 4_
аз у ’
5) l + | = 4i
1+V=2I'
3) =
7 X у
0?8 I 3,6
1Г+у=5:
д\ 5аз . 0,3 „
6> 07 + у-°
^+»=81.
7 I «
— 143 —
467. 1) 3*— 2у — 6* —J— 21 = 12г — 24?/ —10
35*— 80 — 60.J/ + 9*—6у = 8х—16у;
2) 15*+ 25у —14 = 12*-f- 20у 13
40*+ 32// — 57 = 30* + 17у + 28;
31 3* + 9у -(-210=102/ + 270
20у — (24 у + 60) = 7* — (у — 24) — 9* — 72;
-4) Ь.т — 17 —32/ = 48 — (4* — 5) — (Ъу — 22)
7* + 19 — Ъу = 1у — (17 + 8*) + 3(/ — 9;
Ъ) 10(3* —5у) — 9(* +«/1 = 644;
5(7* —2г/) = 8(* —?/ + 5) + 271;
■6) 3(3* — у) — 5(*H-4v) = iaj—400
±[х— |)+7(у — 2*) = 18;
7) 10(5* — «/) = 44+(8 (6* + 7)
2*—Ъу—150 = 0;
S) 17(2* — 78«/) — 50 = 8* — (13j/ — 24*)
2(5 у — 3 х) — у — 6*;
■9) | + |=12 10) ^ + ^ = 30 f 1) ■?-* + *У = 14
—11 ‘+—^* = 1;
7 25i 14 5 ’
JO) 1 + 1-8
х 1 у 15
• 13> Ji+ep—4
1+!=2
J_ J __2.
г: ^ 15'
4-г=--г
!-!=»=
«> ?+!=4 .
!б) + + | = 5
17' * 2
3*+i—5^ + 4
“Ч?"*
5 у 1.
1 2
* 3 3’
4* — 3 7а — 6
18>?+ = 3
7ж— 13
„ч 7 2* 3
1 J 5 — 3(/ 2
у—* = 4;
2°>
х + 1 3
У — 2 2
— 144 —
«7- 21> to++X-'&=8
8а: + у 4- 6
Ьх + Зу — 23 ’
;5;
23)
ж + 1 У 4-2 _ 2fg—у)
3 4 5
а; — 3
22)
24)
25)
2а;+ 5 у
= 2у —а;
I ^ За;—25у
f 12 + 2/ =
Д+2.у + 1
2а:—у 4-1
За:— у 4-1
а;—г/4-3
а;—1 у—6
х 4” 15 у 4"2
а; — 3 у — 4_
а; —у^Т'
5 ' ‘ * 3
4а + 7у = 41;
26) (а + у —4):(2а + у + 1)=1:2
(2а + у— 9): (а + 2у + 7) = 3 С 4;
27) (2а + у — 1): (За? + 2у +11) = 1:2
(Ьх — Зу + 4): (6х — Зу + 3) = 3:4;
28) (я + 3)(у + 5) = (а+1)(у + 8)
(2х — 3)(5у + 7) = 2(5у — 6)(у -j-1);
29) (х — 4)(у + 7) = (х — 3)(у + 4)
(ж 4- 5)(у — 2) = (х + 2)(у - 1).
46В. 1) 2х — Зу — ЬЪ — а
Зх — 2у = а + 56;
8) 5а + 3у = 4а+6
За + 5у = 4а—Ъ\
Г5) За + 2у — 5а2+ аЪ + 5б2
Зу + 2а = 5а2—аЪ + 5б2;
J) За — 2у = а2 + bab + Vs
Зу — 2а = а2 — bah + 62;
9) аа + 6у = 2а
а2а — Ь2у = а2 + 62;
2(оз 4- Ы)
(11) *+!/—-0a_6a"
4аЬ
2) 2а — 3у~ — 5а
8а—2 у = —56;
4) 7а — 5у = 24а
Ьх—7у = 24б;
6) а + 2у = а
а — 2у = Ь;
8) аа + 6у = а2 — Ъ2
ах — by = а2 + 62;
10) аа + 6у = а3 + 2а25 + 6э
Ьх + ау = о3 + 2ab2 + 6я;
12) аа+6у = 2а
а24-Ьа
о2— №’
13) ау + 6а — а2 = а6 + 6у
ах — by — Ьг = аЬ — ау;
а + у = -
ab
— 145 —
468. 14) рх— qy~p*— q1
qx—py — 0;
15) a(x—y) -j- b(x -)-{/) = a2 -J- b2; bx=ay;
16) ax — by = a2-\-b2
bx-\-ay = a2-j- b2;
17) (2a-\-b)x — (2a — Ъ)у — ваЬ
(2a -j- b)x (2a—b)y = 8a“ -j- 2&2;
18' a ■ b~~ b'
, <z*4- Ы
*+v=-itr->
19) —— 1 У 2a!l + on\ « i У 1
} o+6Te-ft «а — fts 'a+ft I a—ft a — ft
e — ft^c-f- ft o-j-6 a—ft a-(-ft’
2V*+I = C ИОН-!*-,
2+|=«
469. Выяснить, какие из следующих систем уравнений
имеют определенные решения, какие их не имеют.
1) х — Зу = Ь 2) 1х— 5 = 6y-f- 3
Зх 9у =15; у _|_ 8д;—q] .г Чу -}- 5;
3) 3(x-f-y) = 7 4) у —зж_|^5
* I У 1.
З+З-1» Зу — 9х 7;
рЛ У— 16
х— з 6) у — х — о
у -J- 3
х 3 ' 2y = 2x-Y -b.
470. даны уравнения:
у-\-х = 0 и |=18—-J.
Ученик рассуждает так: из второго уравнения имеем
sc=26—у.
Сокращенные сборн. алгебр, упражн., ч. I. 10
X у I
— 146 —
S'
Если подставить это выражение в перцое уравнение, то по¬
лучим:
26 — 0.
Следовательно, доказано, что 26=0. Какая ошибка допу¬
щена при этом выводе?
471. Составить уравнения, противоречивые следующим:
1) х = 3; 2) 3/ = 5; 3) х-\-у = Ь\
4) Зя + 4у=7; 5) 12# — у = 8; 6) х: у = 2 :3.
472. К следующим уравнениям добавить вторые так,
чтобы получаемые при этом системы оказывались неопре¬
деленными:
1) х — у — 3: 2) ж + у = 0;
3)| + f=6; 4) 3# + 2f/=15.
473. Дана система:
1) Ъх -j- Ъу = 8 2) 2х -\-Ъу~ 18
ах-\-у = 3\ Зх-\-ау — 12\
при каком значении а система несовместна?
474. Дана система:
1) 2х— у — 3 2) Ъх — 3«/ = 1
оЬ -J- у = Ъ\ \ пх -{- у = Ь)
при каких значениях а и Ъ система несовместна и при ка¬
ких неопределенна?
Система уравнений с тремя и более неизвестными.
475. 1) ж+ «/ = 37 2) у-\-г = а 3) 2х+ 3у = 12
# + * = 25 г-\-х = Ь Зх-\-2г=11
У+* =22; х-\-у = с\ + 4* = 10;
4) Ъх -\-Зу — 13 5) 1,3а:—1,9у—1 6) я + у+ * = ЮО
7# — 3* = 8 1,7у— 1,1* = 2 Зх — 2я = 4
Зу-\-Ъг—П; 2,9* — 2,1ж — 3; 5у = 4*;
— 147 —
475. 7) а + у+ 5 = 36 8) а + 5у— 2е=5 9) 5a+Gy—2-?=50
4х~3у 7а—3 у—4г=—9 2а—Зу+5=20
2а = 35; 5а — у -+ 2г = 31; 4а—7 у+45=45;
10) 3а+у—2г——6 11) 9а+20у+8г=7 12) За—2у+45=3
4а+2у+5г=33 45а—30у+2а=3 7а+4у—85=7
5а+3у—-25=2; 27а+10у—4г=2; 5а—6у—12г=—I;
13) За—4у+45=2 14) а+7у—35= 5 15) 3a-j-8y+10a=22
9а—10у—85=2 За+2у—55=0 6а+20у+35=30
12а+5у—65=13; 2а—Зу—85=—9; 2а—4у—55=—4;
16) ВгА-Зу—55=—1 17) Зу+2а—а=9 18) 7а—у—35 «=10
2а—5у+9а=19 За+5у—115=5 5а—Зу—75=0
5а+2у+35=18; 10а—2у—75=20; 4а+2у+б5=15;
19) 7а —4у —35 = 31 20) 2а + Зу + 45 = 4£
6а— 10у+ 55 = 25 4а + 9у —35 = 36
2а — 5у + 25 = 0; 6а — 5у + 65 = 35;
21) 6а + 7у + 35 = 5 22) 5а + 7у—105=57
18а + 14у — 55 = 0 4а — Зу+125 = 4
12а — 21у — 45 = — 5; 10а — 5у — 85 = 6;
23) 0,4а + 0,Зу —0,25 = 4 24) 0,3а 4~ 0,4у + 0,55 = 43
0,6а — 0,5у + 0,35= 5 0,6а — 0,8 у — 0,15 = — 33
0,3а + 0,2у + 0,55= 22; 0,9а + у —1,15 = 15.
476. 1) а+у — 5=17 2) у + 5 — х — а 3) а + у+5 = 20
а + 5 — у=13 5+ а — у = Ъ al5=ll:7
у+5 — а=7; я + У— 5 = с; уГ5=14:,9;
4) ах-\-Ъу-\-сг = г 5) а + у + 5=9 6) а+у + 5=3
х: у = ш; п а+2у+45=15 2а+4у+85=13
yl5=ylj; a-J—Зу-)-95 =23; 3а-+9у+-275=34‘
7) а + у + 5 = 9 8) 2а+Зу+45=14 9) 5а—у+35=д
а+2у+35=14 За—2 у—5=12 Бу—5+За=6
a+3y+6s=20; ба-[-4у+35=14; 5s—а+3у=с;
10*
— 148 —
476. 10)1+ 2y-* = 4,6 ll)i±i=2 12)J±|-=*
„ + 24—10Д J±|=4 !±f = l
z-j-2x— у = 5,7;
z -j- 3 i _ s -j- 3 1
x+l~ 2' x+jj~b
477. 1) *+1 + 1=15 2) ^I+^IS
л v ' z * x ' у ' z
1 —1 + 1 = 7 1_1 + 1=7
у v ' z v x 1 z
^ + i —- = 3-, i + -—1 = 6;
X ' у Z X 1 у z
3) ?_f-i_[_5=6! 4) - + 4 + | = 4
’ X 1 y'Z 8 ’ X ' у 1 z
5 3.6,i 3 . 8,5
-x—y-Tz=b* x + y + z-4
4+5_l=4i.
X ' у z *' у s
♦78. 1) 1 + 1 = 2 2) ^ + - = 5 3) - + y = i2
I . 1 = 3 1—1=1 l + !=®
у"Г g X у y^z 18
1.1-4. 1-1-2- 1 + 1 = 1®
i^Tx~ * * y~ ’ z'x 36
.4 1 i 1 7 ГЧ 1 , i_7 fii ду _.t2
^aj^j/lC 1 * у ^ x + y 7
1 I 1J 1,1 , * xz _ 15
0 ■ s — 5 y~^z~ ’ Л- + » »
1 , 1_3. 1 1_„ .. У* =20.
* + x 10’ as'!' г ’ ’ y + * 9'
7)
2x —
-3»
' 1
s
1
4?
1 «
00
2
3
j. 1
2 г —
3y
Юг —30
1
(Й
1
CO
к
5
9o.
4
Ifl. 9».
f^V = 8:
8) ax-\-by — cz=2/b 9) (a + b)x (a — b)z—2b<r
by + cz — ax —--26c (6 + c)y + (6 — c)x = 2ac
cs + ax — by= 2ac; (c + a)z + (c — d)y - 2ab.
— 149 —
479. Выяснить, какие из следующих систем уравнений
.имеют определенные решения, какие их не имхют.
1) х^у — 28 2) х-\-у — 33 3) 2х~Ьг
а; -j- г = 30 у —2 = 10 3y — 4z
2ж-fy-M = 58; v-\-i? —23; Ъх=\Ьу;
х = 2у 5) х'.у — 2’.Ъ б)2-с + У=7
4у — Ь& у'0 = 5:6 2У Н“2 =®
2x=7z; ж:е = 5:9; ~ ’
480. Ре'пить системы:
4ж —г= 1.
1) ж:у:г:и=2:3:4:5
2) x~\-2,y = b
3) x -\-y = m
ж4-у + я + м = 7;
y-j-2s = 8
У-f-z = a
г4-2м = И
■0-}~U = n
м4-2ж —6;
и — x — b
-4) y-\-z-\-u — a
t>) x-\-y — 2 = a
6) x -j- 3y — z --1
г х — Ь
bQ
,11
s
1
**
+
s>
У -f- 3z — u — 4
м -j- а; -}- у = с
0 -}— U X — C
z~\-3u — x = 11
ж4-у -j-* = d;
«4- x — y — d;
m4-3x — y = 2;
7) Зх -}- у -f- г — 20
8) a; + 3y=19
У) x~\-y = a
х -j- 4у -f-Зм = 30
y + 3.s = 8
y-\-2 = b
6а; -J- z - j- Зм = 40
я Зм = 7
2~\-H = c
8у + Зя -f-5м = 50
и -j- 3t> = 11
u =
у -f-3a;= 15
v4-x = e;
10) 2х-\-у ~\-в = Ь 11) -c-j-2у—г^=12
12) x-\-y -\-2 = a
2y-\-z-\-u = 6
y-|-2?—ц rio
У ~f" я -J- к = b
2г-|“м4*р = 7
z~j—2m—v=8
0~\~U -J- l!z=C
2u-\-v-\-x= 12
u-\-2v—a;=l
M + t, + 5;==^
2*7-j-a; -f- у = llj
v+2x—y=9;
v-\-x-\-y = e-,
13) x — y-\-z=a
14) у -J- z -j- tt -J- v = a
<ег
1
+
е
II
Z + U-f
v-\-x = b
г — u-\-v=c
H V ~-|—
я+y = c
и— t» —f- л; = cZ
v -j- x~\-y~^-2 = d
v—a;-4-y = e\
z ~l~ и —e;
— 150 _
480. я-\-у [-в—и = а \b) х-\-у -\-s-\-u-\-v=lb
у-гг^\-и — v = b x-\-2y-\-te-\-Qu-\-l&v = bl
s-\-u-\-v — x — c a-j-3y-J-9^-j-27tt-j-81u=179
M-f-v-f-a: — y==d a? —J— 4y —16^ —(— 64w -}-256v = 45&
-j-j; -j- 2/ — s = e; x-\-by-\-2bs~\-12bu-L- 625»= 975,
§ 4. Составление систем уравнений.
481. 1) Найти два числа, сумма которых равна 175, а
разность 125.
2) Полуразность двух чисел а полусумма 3j. Найти
эти числа.
3) Одно из двух чисел больше другого на 9,1. Сумма
этих чисел 10,1. Найти эти числа.
4) Найти два числа, если их сумма а, а разность Ь.
Вычислить решения при:
1
2
3
4
6
£
а
13
+ 13
8
3
5
p + q.
та4и*
Ъ
5
— 13
0
5
3
p — q
т2—и2
5) Найти два числа, если их сумма равна а, а отноше¬
ние равно к. Вычислить решения при:
2
3
а
25
10
Ь
1,5
3
5
10,
6) Найти два числа, если второе число в к раз и на к
единиц меньше первого.
7) Найти два числа по следующим условиям: если пер¬
вое число умножить на т и к произведению приложить
второе, то получится а; если второе умножить на и и к про¬
изведению приложить первое, то получится Ь.
8) Определить два числа по следующим данным: если
первое число умножить на 5, а второе на 7, то сумма этих
>— 131 —
произведений будет равна 100; если же первое умножить
на 7, а второе на 5, то сумма полученных таким' образом
произведений будет 116.
481. 9) Если первое из двух искомых чисел умножить
на 8, а второго на 3 и произведения сложить, то сумма будет
равна 310; если же первое разделить на 8, а второе на з, то
сумма частных будет равна 10. Найти эти числа.
10) Сумма двух чисел равна 350. Если первое разделить
на второе, то в частном получится 8 и в остатке тоже 8:
Найти эти числа. '
11) Найти два числа, если их разность, сумма и произ¬
ведение относятся, как 1:2:3.
12) Найти два числа, сумма которых относится к их раз¬
ности, как 3:2, а к произведению, как 2:5.
13) Найти два числа, если половина первого при сложе¬
нии с третью второго дает 8, а треть первого при сложе¬
нии с половиной второго дает 6.
14) Если первое из двух неизвестных чисел разделить на
5, а второе на 3 и результаты сложить, то получим 5; если
первое разделить на 3, а второе на 5 и результаты сложить,
то получим 3. Найти числа.
15) Найти двузначное число по следующим условиям:
если цыфры числа переставить и полученное таким обра¬
зом число сложить с искомым, то получится 77. Если иско
мое число разделить на число, полученное перестановкой
дыфр, то и в частном и в остатке получится 2.
' 16) Двузначное число на 9 меньше числа, написанного
теми же цифрами, но в обратном порядке. Если это число
разделить на сумму его цыфр, то в частном получим 4 и
в остатке 3. Найти это число.
17) Если двузначное число разделить на сумму его цыфр,
то получится в частном 8 и в остатке 2. Если искомое
число написать теми же цыфрами, но в обратном порядке
и разделить его на сумму цыфр, увеличенную на 1, то по¬
лучится в частном 2 и в остатке 6. Найти это число.
18) Если в искомом двузначном числе переставить цыфры,
то полученное таким образом число будет на 18 6_>лыне
i
искомого. Если же разделить искомое число на сумму его
цифр, то в .частном получим 4 и в остатке 9. Найти число.
481. 19) От деления одного числа на другое получается в
частном о + 1; если же делитель увеличим на 2, то в част¬
ном будет а — 1. Найти делимое и делитель.
20) Если к делимому прибавим 8, а от делителя отни¬
мем 8, то в частном получим 8; если же от делимого отни¬
мем 8, а к делителю придадим 8, то получим в частном 7
и в остатке 88. Найти делимое и делитель.
21) Дробь обращается в у, если ее числитель уменьшить
ла 3, а знаменатель увеличить на 2. Эта же дробь прини¬
мает значение у, если ее числитель увеличить на 1, а зна¬
менатель уменьшить на 1. Найти эту дробь.
22) Если к числителю искомой дроби прибавить ее зна¬
менатель, а от знаменателя отнять числитель, то искомая
дробь принимает значение 14. Если же к числителю той же
дроби прибавить знаменатель, уменьшенный на 8, а от зна¬
менателя отнять числитель, уменьшенный на 8, то значе¬
ние новой дроби будет равно 2. Найти эту дробь.
23) Дробь обладает следующими свойствами: если умень¬
шить числитель на 4, а знаменатель увеличить на 1, то
дробь примет значение если же к числителю прибавить
знаменатель, а из знаменателя вычесть 5, то дробь примет
значение, равное 3. Определить эту дробь.
24) Какая дробь обращается в у, если числитель и зна¬
менатель ее уменьшить на 11, и в 4» если числитель и зна¬
менатель уменьшить на 12?
25) Дробь, обращающаяся по сокращении в у, получит
после сокращения значение у, если ее числитель и знаме¬
натель уменьшить на 6. Определить числитель и знамена¬
тель этой дроби.
26) Если к числителю и знаменателю дроби прибавить
по 3, то дробь примет значение если же из числителя
— 153 —
и знаменателя дроби вычесть по 5, то дробь примет зна¬
чение Найти эту дробь.
481. 27) Если делимое увеличить в 4 раза, а делитель
оставить без перемены, то частное увеличится на 9 единиц;
если же делимое увеличить на 4 единицы, а делитель оста¬
вить без перемены, то частное будет равно 9. Найти дели¬
мое и делитель.
28) Определить два двузначных числа по следующим
условиям: если первое из них написать перед вторым, то
получившееся таким образом четырехзначное число будет
на 9 единиц больше второго числа, увеличенного в 58 раз.
Если же второе число поместить перед^ первым, то полу¬
чается число, в 176 раз большее первого.
29) Сумма двух трехзначных чисел равна 999. Если вто¬
рое из этих чисел поместить перед первым, то полученное
таким образом шестизначное число будет в 6 раз больше
числа, получающегося в том случае, если первое поставить
перед вторым. Найти эти числа.
30) Сумма двух трехзначных чисел равна 999. Если вто¬
рое из этих чисел поместить перед первым, то отношение
полученного таким образом шестизначного числа к числу,
получающемуся в том случае, если первое поставить перед
вторым, равно 2:5. Найти эти числа.
31) Выражение у = х*-{-рх-\-% принимает значения:
Определить а и Ь.
482. Составить задачи, решение которых сводилось бы
к решению следующих систем уравнений:
2 при зс = 1; О при х——1.
Определить коэффициенты р и q.
32) Выражение у = ах*-\-Ъ принимает значения:
—3 при х — 3; -J- 5 при х=1.
2) у-{-х = 40
у-]-За: = 27;
— 154 —
482- 3) х = 3у— 2
х—Ъу—12;
4) ах-\-1у = с
тх — пу = 0;
6) Зх — 20 = 11
а: + 1 5
Г-П~7;
2х-\- Зу = 16.
483. 1) Найти три числа по следующим условиям: сумма
второго и удвоенного первого дает 75, сумма третьего и
удвоенного второго дает 65, и сумма первого и удвоенного
третьего—55.
2) Сумма трех чисел равна 100. Если второе из них раз¬
делить на первое, то в частном получится бив остатке 1.
При делении третьего на второе получается тот же самый
результат. Найти эти числа.
3) Сумма трех чисел равна 200. От деления первого
числа на второе получается в частном 1 и в остатке 2; от
деления первого же числа на третье в частном получается
2 и в остатке 1. Определить эти три числа.
4) Разложить 300 на три слагаемых так, чтобы частные
от деления первого слагаемого на 3, второго на 5 и треть¬
его на 7 были равны между собою.
5) Определить три числа по следующим условиям. Если
уменьшить первое и второе на 3, то полученные числа бу¬
дут относиться, как 1:2; если же первое и третье умень¬
шить на 4, то полученные числа будут находиться в отно¬
шении 1:3; наконец, если второе и третье увеличить на 5,
то результаты будут относиться, как 3:4.
6) Найти три таких числа, что если к сумме любых
двух из них прибавить удвоенное третье, то получатся со¬
ответственно числа 60, 54 и 50.
7) Найти три числа, если известно, что они относятся
между собой, как 2:3:4, а сумма их равна 999.
8) Разделить число а на три части так, чтобы первая
относилась ко второй, как т: п, а вторая к третьей, как р: q.
— 155 —
483. 9) Найти три дроби, имеющие числителями 1, если
известно, что сумма первых двух дробей равна , сумма
а.ы
первой и третьей равна ^, а сумма второй и третьей равна
первой дроби.
10) Трехзначное число, сумма цыфр которого равна 15.
на 99 больше числа, написанного теми же цифрами, но в
обратном порядке. Если число, обозначенное средней циф¬
рой, разделить на сумму двух остальных, то получится
1 в частном и 1 в остатке. Определить трехзначное число.
11) Сумма цыфр трехзначного числа равна 9; числа
десятков менее числа сотен и более числа единиц на одно
и то же число. Если написать цыфры в обратном порядке,
то новое число будет менее искомого на 396 единиц. Опре¬
делить это число.
12) Найти значение коэффициентов а, Ъ, с в выражении
у = ах2-\-Ьх-\-с, если у принимает значения:
О при х—1; 14 при х=3; 52 при х=Ь.
13) Найти значения коэффициентов а, Ь, с в выражении
у=ах2 -\-Ъх-\-с, если у обращается в
О при х=1; 0 при х = 2; 0 при х = 3.
484. 1) Куплено 45 метров ковра и 13 метров клеенки за
39 рублей; в другой раз, покупая по той же цене, заплатили за
40 метров ковра рублем дешевле, нежели за 36 метров клеенки.
Что стоит метр ковра и метр клеенки? (по ценам 1914 г.)
2) Отцу и сыну вместе 80 лет. Четыре года тому назад
отец был в 8 раз старше сына. Сколько лет каждому?
3) Отец старше сына на 36 лет. Через 5 лет отец будет
в 3*- раза старше сына. Сколько лет каждому?
4) Четыре года тому назад отец был в 5^- раз старше сво¬
его сына; через 4 года отец будет в з^~ раза старше его.
Сколько лет каждому?
484. 5) 5 лет тому назад лета двух братьев относились,
как з:2, а чрез 5 лет будут относиться, как 11:8. Сколько
лет каждому из них в настоящее время?
— 156 —
484. 6) 7 лет тому назад сестра была вдвое старше брата,
а через год она будет в полтора раза старше его. Сколько
лет каждому из них теперь?
7) Одно лицо говорит другому: «Мне вдвое больше лет,
чем было вам тогда, когда мне было столько лет, сколько
вам теперь; когда же вам будет столько лет, сколько мне
теперь, то мне недостанет 7 лет, чтобы быть вдвое старше,
чем вы в настоящее время». Сколько лет каждому?
8) Кооператив, смешав 2 кг чая низшего сорта с 4,4 кг
высшего сорта, получил смесь, ценою по 1 р. 75 к. кило¬
грамм; в другой раз, взяв низшего сорта 4,4 кг, а высшего
2 кг, получил смесь, ценою в 1 р. 45 к. килограмм. Опре¬
делить цену килограмма каждого сорта.
9) Мать послала свою дочь купить 2^ десятка груш
и lj- десятка яблок и дала на покупку 3 рубля с тем рас¬
четом, чтобы она истратила на покупку все деньги. Но в
магазине по ошибке положили l\- десятка груш и 2*- де¬
сятка яблок и дали сдачи 40 коп. Что стоил десяток груш
и что десяток яблок?
10) Для оклейки квартиры куплены обои двух сортов:
за 17 кусков лучшего сорта заплачено на 2 р. 50 к. доро¬
же, чем за 20 кусков худшего сорта, притом известно, что
3 куска первого сорта стоят столько же, сколько 5 кусков
второго. Что стоит кусок обоев каждого сорта?
11) На странице небольшого формата помещается сред¬
ним числом 1300 букв при крупном шрифте и 1850 букв
при мелком шрифте. Статья в 37240 букв занимает ровно
24 страницы. Сколько страниц напечатано крупным шриф¬
том и сколько мелким?
12) Разносчик, купив сотню яблок и сотню груш, про¬
дал из них в первый день 84 яблока и 25 груш за
2 р. 43 к., при чем получил прибыли по lj- копейки на ка¬
ждое яблоко и по копейке на каждую грушу. На другой
день он продал остальной свой товар за 83 коп., при чем
получил убытку по ~ коп. на каждое яблоко и по копейке
— 157 —
ка каждую грушу. Сколько он сам платил за яблоко и за
грушу?
484. 13) Магазин продав за 9 руб. 76 коп. 40 метров ко¬
ленкора и 20 метров миткаля, получил при продаже всего
этого товара 1 р. 76 к. прибыли. Сколько ему самому стоил
метр коленкора и метр миткаля, если на коленкоре он
получил 30°/о прибыли, а на миткале 2% убытку?
14) Кооперативная лавка приобрела на 600 руб. 10 кус¬
ков полотна и 33 куска мадеполама, но заплатила за товар
только 496 руб. 50 коп. так как с полотна ей сделали 20%
скидки с продажной цены, а с мадеполама 15%. Определить
проданую цену куска полотна и куска мадеполама.
15) Вкладчик получает со своего капитала ежегодно
2160 р. процентных денег. Если бы процентную таксу по¬
высили на -*%, то он получал бы в год дохода на 240 руб.
больше. Как велик капитал и по скольку % он отдан в
оборот? ),
16) Капитал приносит ежегодно а рублей прибыли. Если
процентную таксу повысить на р%, то капитал ежегодно
будет давать процентных денег на d рублей больше. Как
велик капитал и какова процентная такса?
17) Золотые часы с цепочкою стоят 190 р., серебряные
часы с тою же цепочкою стоят — 70 руб., а те и другие
часы без цепочки стоят—180 руб. Что стоит каждая
вещь?
18) Сумма лет трех братьев равна 60; лета среднего
брата составляют среднее арифметическое между летами
старшего и младшего; известно также, что 12 лет тому на¬
зад лета старшего брата равнялись сумме лет остальных
двух братьев. Сколько лет каждому из них в настоящее
время?
19) Москва, Вязьма и Ржев соединены друг с дру¬
гом железнодорожными путями, образующими треуголь¬
ник, в вершинах которого находятся эти города. Опреде¬
лить длины железнодорожных путей, соединяющих города
друг с другом, если путь из Москвы в Вязьму через Ржев
— 158 —
равняется 360 км., из Москвы в Ржев через Вязьму — 370
и из Ржева в Вязьму через Москву — 480 км.
484. 20) Из Коврова можно проехать в Арзамас либо через
Нижний-Новгород (214 км. железнодорожного пути), либо
через Муром (340 км. железнодожного пути). Определить
расстояния от Коврова до Нижнего-Новгорода и до Мурома,
если от Нижнего до Мурома через КовровJ 306 км и если
железнодорожные пути Арзамас — Нижний и Арзамас — Му¬
ром имеют одинаковую длину.
21) На три поезда, отправлявшихся один после другого,
было продано билетов от Ленинграда до Ораниенбаума: на
первый поезд 140 третьего класса, 70 второго и 28 первого,
всего на сумму 130 руб. 90 коп.; на второй 121 третьего
класса, 44 второго класса и 22 первого класса, на общую
сумму 100 руб. 10 коп.; на третий 120 третьего класса,
36 второго и 12 первого на общую сумму 84 руб. Опреде¬
лить стоимость билета каждого класса от Ленинграда до
Ораниенбаума.
22) На поезд, шедший из Москвы в Ленинград, было
продано до Ленинграда 140 билетов третьяго класса, 45 вто¬
рого и 15 первого на сумму 1568 рублей. Что стоит билет
каждого класса от Москвы до Ленинграда, если стоимости
билетов третьего, второго и первого классов находятся в
отношении 2:3:5?
23) Торговец продал трем покупателям партию чаю, со¬
державшую -г 6 кг высшего сорта, 72 среднего и 80 низшего.
Первый покупатель взял 4- первого сорта, у второго и
4 третьего и заплатил 378 р.; второй покупатель первого
сорта, Т второго и половину третьего и заплатил 382 руб.
Третий взял остальное и заплатил 306 руб. Что стоит кило¬
грамм каждого сорта?
Задачи с геометрическим содержанием.
485. 1) Разделить данный отрезок а на такие три части,
чтобы они относились между собой, как 1:2:3.
2) Определить стороны треугольника, если суммы их по
две соответственно равны 38 см., 46 см. и 42 см.
— 159 —
485. 3) В треугольнике наибольший угол больше сред¬
него по величине на 23°, а средний больше меньшого на 29°.
Определить углы треугольника.
4) Углы треугольника относятся между собой, как а:Ъ:с.
Определить величину каждого из них.
5) В треугольнике один из углов равен а, разность двух
других равна d. Определить эти углы.
6) Сумма внешнего угла и одного из внутренних, с ним
не смежных, равна 115°; сумма того же внешнего и другого
внутреннего, с ним не смежного, равна 125°. Определить
эти внутренние углы и данный внешний.
7) Суммы сторон четыреугольника, взятых последова¬
тельно по три, равны соответственно 130 мтр., 135 мтр.,
147 мтр. и 152 мтр. Определить длину каждой из сторон.
8) Периметр трапеции равен 32 дм. Определить стороны,
если разность между параллельными сторонами равна раз¬
ности между непараллельными сторонами; большая из па¬
раллельных сторон на 1 дм. меньше суммы непараллельных
сторон; если сумму трех больших сторон увеличить на Здм.,
то она окажется в 6 раз больше меньшей стороны.
Задачи на движение.
485. 1. Лодка с гребцом проходит против течения 3,5 км
в час, а по течению — 7 км в час. Определить скорость
лодки в стоячей воде и скорость течения.
2) Пароход проходит расстояние между Рыбинском и
Ярославлем, равное 80 км, в 4 часа 30 мин. по тече¬
нию и в 5 часов против течения. Определить скорость паро¬
хода в стоячей воде и скорость течения Волги на участке
Рыбинск—Ярославль.
8) Звук выстрела из пушки имеет скорость по ветру в
344 мтр. в секунду и против ветра 320 мтр. в секунду.
Как велика скорость звука и какова скорость ветра?
4) Дирижабль развивает по ветру скорость в 97200 мтр.
в час, против ветра—43200 мтр. Какова скорость ветра и
какова скорость самого дирижабля? (То и другое выразить
в метрах в секундуЛ
— 160 —
486. 5) Наименьшее расстояние между Землей и Венерой
при их движении вокруг Солнца 41400000 клм., а наибольшее
равно 257600000 клм. Как велико расстояние Земли и Ве¬
неры от Солнца, если принять, что обе планеты движутся
вокруг солнца по окружностям?
6) По окружности, длина которой равна 100 мтр., дви¬
жутся два тела. Они встречаются каждые 20 сек., двигаясь
по одному и тому же направлению, и каждые 4 сек., дви¬
гаясь в противоположных направлениях. Какова скорость
каждого тела в секунду?
7) По окружности, длина которой 999 мтр., движутся два
тела по одному и тому же направлению и встречаются ка¬
ждые 37 сек. Как’велика скорость каждого, если скорость
первого в 4 раза больше скорости второго?
8) Два путешественника идут друг другу навстречу из
двух городов, находящихся на расстоянии 30 километров один
т другого. Если А выйдет 2 часами раньше В, то они
встретятся через 24 часа после выхода В. Если же В
выйдет раньше на 2 часа, то они встретятся лишь через
3 часа после выхода А. Сколько километров проходит в час
каждый из них?
9) Два тела движутся друг другу навстречу. Расстояние
между ними р метров. Если первое начнет движение на
d часов раньше, чем второе, то они встретятся спустя а
часов после выхода второго. Если же второе начнет движе¬
ние dj часами раньше первого, то они встретятся через аг
часов после выхода первого. Сколько метров в час проходит
каждое из этих тел?
Задачи на работу.
487. 1) Трое рабочих А, В и С выполнили некоторую
работу. А и Б могли бы кончить всю работу в 12 дней,
Б и С в 20 дней, А и С в 15 дней. Во сколько времени
может окончить эту работу каждый из них, работая от¬
дельно, и во сколько времени при совместной работе всех
трех рабочих?
— 161 —
487. 2) В бассейн проведены три трубы: первая и вторая,
действуя одновременно, могут его наполнить в ю| минуты,
первая и третья в 12 минут, вторая и третья в 14 | минуты.
Во сколько времени каждая из них в отдельности может
наполнить бассейн?
3) Во сколько времени три фабрики, работая одновре¬
менно, могут исполнить заказ, если первая и вторая могут
исполнить его вместе в 4 месяца, первая и третья в 3 ме¬
сяца. вторая и третья в 2 месяца и 12 дней?
4) Два работника, работая вместе, могут окончить из¬
вестную работу в 80 дней; но они сделали только работы,
потому что первый работал 10 дней, а второй 12 дней. Во
сколько дней каждый из них один мог бы сделать всю работу?
5) Некоторую работу три работника выполнят, если пер¬
вый будет работать 2 дня, второй 3 дня, третий 12 дней.
Если нервый будет работать 3 дня, второй 2 дня, третий
2 дня, то они исполнят лишь всей работы. Если яте пер¬
вый будет работать 1 день, второй 5 дней, третий 2 дня,
то они исполнят ^ всей работы. Во сколько времени может
окончить всю работу каждый из работников в отдельности?
6) Несколько рабочих должны выполнить некоторую
работу. Если бы их было одним меньше, то они кончили бы
работу 3-мя днями позднее. Если же их было бы 4-мя больше,
то они кончили бы работу 2-мя днями раньше. Сколько ра¬
бочих и во сколько дней они кончат работу?
7) Несколько труб одинакового диаметра наполняют бас¬
сейн водою. Если бы таких же труб было на 9 больше, то бас¬
сейн можно было бы наполнить 3-мя час. скорее. Если же
их было бы 4-мя меньше, то бассейн наполнился бы 10-тыу
час. позднее.
Задачи, заимствованные из старых сочинений по матема¬
тике, и задачи-шутки.
Из Магницкого.
488. 1) Дка чслоб'Ь'кд ^отлцл dipt н'ЬжУю к$пнтн0 из
чн^-ж! пгршн глдголпга дрУгомУ,, длждь «и ~ ткон^а Д£-
Сокращскный сборы, алгебр. >ыражн., ч. I. ’ ^
Н£ГХ Н^ж! ЙМДШН,, И ЛЗX £ДННХ 3d ОН^ Е^фЬ ЗЛПЛЛЧМ фЬн^.
& дрогни П^КОмУ ГЛЛГОЛИГХ,, Д^ЖДЬ ТЫ «Н^ дЙЦГХ ткон^х
■у Н^Ж£ су Г£к2 НЫН'Ь НМДШН,, И А3Х §ДННХ ЗД т£ Е£ф&
Ц'^Нй ЗДПЛДчК, фЬ|<( Ж£ Е^фН ТОА 0СТЬ 38 р^ЕЛ^КХ, Н E'fc-
ДЛТ£ЛНШ £СТЬ* колики; су котордго Е ТО ЕрЫд БЫЛО дЙнгх.
488. 2) Дед челое'&кл поидошд с §дйнлго л^гтд окритх
ГрХдд^ fi 0ДННХ Ш НН^'Х НДАф£ ПО 4 EffCTbi ид ч^сх,, л дрУ-
ПН ПО Зу EfjSCTEI 0 ОКЦ£СТХ Ж£ ТОГО Г^ДДД 15 EffCTX„ Н
Б'&ДДТМНШ 0CTE Е КОЛИ КО ЧДСЦЖХ ПДКН (ОШЛНГА^ и колнкожды
К1Нждо ижийлх тон г^ддх.
3) Из теоретической и практической арифметики, собранной Дмит¬
рием Аничковым (Москва, 1793).
Молодой осел и ослица несли наполненные вином
мехи: ослица, несучи мех для престарелых своих лет,
столько устала, что более уже итти не могла; видя
сие, молодой осел сказал ей: что ты так скоро устала,
несучи меныний мех против моего; ибо есть ли я из
своего меха одно ведро перелью в твой мех, то у нас
будет поровну, но я сделать того не хочу; ты из сво¬
его меха перелей одно ведро в мой, то у меня будет
вдвое больше твоего. Сир., по скольку ведер вина несли
в своих мехах осел и ослица?
Из Войтяховского.
4) Некто продает двух коней с седлами, из коих
цена одному седлу 120 руб., а другому 25 руб.
Первый конь с хорошим седлом втрое дороже другого
с дешевым седлом, а другой конь с хорошим седлом
вдвое дешевле первого коня с дешевым седлом; спра¬
шивается цена каждого коня.
5) Две торговки разговаривали о числе своих яиц;
первая сказала другой: есть ли ты мне дашь 13 сво-
— 163 —
их яиц, то у меня будет вдвое больше твоего, а дру¬
гая сказала первой: когда ты мне дашь 12 своих яиц,
то у меня будет втрое больше твоего; спрашив., сколько
у которой яиц было.
488. 6) Некто имеет 3 бочки А, В и D, такой мере,
что ежели бочку А вылить в бочку D, то в бочке А
останется еще есть ли же бочку В вылить в бочку D,
то в В остается у, когда же бочкою D наполнять бу¬
дешь обе бочки А и В, то войдет в них две бочки D
и еще недостанет 9 ведер, спрашивается число ве¬
дер каждой бочки.
Задачи из физики.
489. 1) Латунь состоит из меди и цинка. Сколько содер¬
жится меди и сколько цинка в сплаве в 124 клг., если
.89 клг. меди теряют в воде 10 клг., 7 клг. цинка теряют
1 клг., а 124 клг. латуни 15 клг.?
4 2) Сплав из свинца и цинка, весом в 149 клг., теряет в
воде в своем весе 18 клг. Сколько килограммов каждого из
металлов содержится в сплаве, если li-i клг. свинца те¬
ряют в воде 1 клг. так же, как и б| клг. цинка?
3) Сплав из двух металлов теряет в воде в своем весе
р клг. Сколько клг. каждого из металлов содержится в
сплаве, если q клг. первого металла теряют в воде а клг.,
второго — Ь клг. и если весь сплав весит q клг.? ,
4) Требуется составить сплав из двух металлов. Если
взять 36 гр. первого металла и второго 35,2 гр., то удель¬
ный вес сплава будет 7,91. Если взять первого металла
86,4 гр., а второго 220 гр., то удельный вес сплава ока¬
жется t,28. Определить удельный вес каждого из металлов.
5) В двух сосудах имеется две различных жидкости.
Если взять первой жидкости 10,8 гр., а второй 4,8 гр., то
11*
— 164 —
удельный вес смеси будет 1,56. Если же взять жидкостей
поровну, то удельный вес будет 1,44. Определить удельный
вес каждой жидкости.
489. 6) Если для составления смеси взять по 50 куб. см.
трех различных жидкостей, то вес смеси будет равен 175 гр.
Если первой жидкости взять 20 куб. см., второй 60 куб. см.,
третьей 80 куб. см., то вес смеси будет равен 212 гр.
Если же взять 60 куб. см. первой жидкости, 80 куб. см.
второй и 20 куб. см. третьей, то вес смеси окажется в 162 гр.
Определить удельный вес каждой жидкости.
7) Для сиракузского царя Герона сделана была
золотая корона в 12 фунтов: государь, подозревая
мастера, приказал исследовать Архимеду, не поло¬
жено ли в ту корону серебра; спрашивается, сколько
в той короне было серебра и золота]) (Войтяховскнй).
*)'Если 12 фунтов золота теряют в воде 19 лотов, 12 фунтов серебра
28- лотов, а корона потеряла 21 ^ лота.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Таблицы и граоики.
§ 1. Определение средних значений.
490. 1) При четырехкратном измерении некоторого отрез¬
ка получились следующие результаты: 65,13 мтр., 63,08 мгр..
65,21 мтр., 65,16 мтр. Как велико среднее значение резуль¬
тата? Как велики отклонения отдельных значений от сред¬
него?
2) Пять лиц измеряли один и тот же отрезок при по¬
мощи линейки с делениями, при чем получили следующие
результаты: 131,7 см.; 133,6 см.; 133,9 см.; 133,8 см.; 133,3 см.
Как велико среднее значение? Кар; велики отклонения ре¬
зультатов отдельных измерений от среднего?
3) В пятой группе одной трудовой школы ученики рас¬
пределялись по возрасту следующим образом:
11 лет 6 мес. 1 учен.; 12 лег 7 мес. 0 учен.; 13 дет 8 мес. 1 учен.
И
7
„
0
71
к
99
5
91
п
9
91
0
91
91
8
99
0
19
*9
9
71
0
99
91
10
99
2
95
п
9
Ч
2
99
10
91
0
I»
77
1
19
1
91
99
10
99
0
99
11
11
11
0
11
1» „
0
»
0
п
п
11
11
0
91
0
4
11
59
1
51
1
99
п
0
99
1
•9
11
1
»
3
31
„
2
91
0
91
1
0
■)
2
3
1
99
11
91
11
99
7»
99
11
99
19
2
11
0
п
11
3
?>
0
19
99
4
11
0
11
91
3
11
2
п
11
4
99
1
19
99
5
11
0
91
п
4
91
и
91
п
5
71
ъ
п
99
6
99
1
ш
99
5
39
4
19
19
6
11
2
11
99
7
9»
0
99
99
6
91
1
99
77
7
31
0
11
99
00
91
0
*
— 166 —
15 лет 3 мес. О учен.;
» 4 „ О „
я я О я
я 6 „ 1 „
Вычислить: 1) средний возраст группы; 2) изобразить
распределение числа учеников по возрасту, откладывая по
горизонтальной прямой возраст учеников (1 месяц = 2 мм.),
начиная с возраста в 11 лет 6 мес., а по вертикальным
прямым число учеников, соответствующее данному возрасту;
3) пополнить это изображение: а) средним возрастом; б) воз¬
растом, наиболее встречающимся и в) средним между край¬
ними возрастами. 4) Как изменятся результаты 1 и 3 пунк¬
тов, если 15-летний ученик выбудет из группы?
490. 4) В школе была составлена таблица среднего
возраста учащихся для каждой группы на 1 января каждого
года с L января 1900 г. по 1 января 1909 г. включительно.
Год.
I
II
III
IV
V
VI
VII
1900
10,4
11,4
12,9
14,0
15,1
16,3
17,5
1901
10,3
11,5
12,8
14,0
15,2
16,4
17,4
1902
10,2
11,4
12,7
13,9
15,2
16,3
17,5
1903
10,3
11,3
12,6
13,8
15,0
16,4
17,4
1904
10,4
11,5
12,5
13,9
14,9
16,2
17,5
1905
10,2
11,6
12,6
13,7
15,1
16,1
17,2
1906
10,3
11,4
12,7
13,8
14,9
16,3
17,2
1907
10,5
11,6
12,6
13,9
15,0
16.1
17,4
1908
10,1
11,7
12,8
13,7
14,7
16,2
17,O'
1909
10,2
11.3
12,9
13,8
14,9
16,0
17,1
Определить с одним десятичным знаком после запятой
средний возраст за 10 лет для каждой группы. Изобразить
данные в таблице средние возрасты отдельных групп для
каждого года при помощи отрезков.
14 лет 9 мес. О учен.;
„ 10 „ О „
„ И „ 1 „
15 лет 0 мес. О учен.;
„ 1 и 0 „
Я ^ И О и
— 167 —
2. Построения, употребляемые обычно для наглядного
представления данных статистического характера.
Изображение сравнительных размеров величин (при
помощи отрезков.
491. 1) Изобразить следующую таблицу высот гор (в
метрах) при помощи вертикальных отрезков:
Валдайские горы (Рвеницы) . 320 Олимп 2990
* Рудные горы (Кейльберг) . . 1240 Казбек -5010
Везувий 1300 Эльбрус 5630
Яйла (Роман-Хош) 1540 Монблан 4810
Урал (Теплос-Из) 1690 Килиманджаро 6010
Афон 1940 Эверест 8840
а) Масштаб выбрать: 100 мтр. натуры ^1 мм.; б) 100 мтр.
натуры = 2 мм.; в) изобразить высоту Эвереста отрезком в
10 см.; какой длины будут отрезки, изображающие высоты
остальных гор; г) изобразить высоту Валдайских гор леса
отрезком в 1 см.; какой длины должны быть при этом
остальные отрезки?
2) Глубина Великого океана достигает—9788 мтр., Атлан¬
тического океана—8431 мтр., Индийского океана—6205 мтр.,
Средиземного моря—4000 мтр., Южного Ледовитого океана—
3000 мтр., Северного Ледовитого океана—3390 мтр., Северного
моря—200 мтр., Балтийского моря—400 мтр.. Черного моря—
1870 мтр. Данные числа представить в виде вертикальных
отрезков в подходящем масштабе.
4) Следующая таблица дает наибольшие подъемы горных
дорог. Изобразить величины подъемов при помощи верти¬
кальных отрезков в подходящем масштабе:
Сен-Готтард (тоннель) 1154 м.
Гэреннер 1367 „
Цермат-Горнерграт 3018 „
Юнгфрау (тоннель) 4075 „
Перуанская южная ж. д. (тоннель) 4580 „
Перуанская центральная ж. д. (тоннель) 4770 „
Как при этом придется округлить числовые данные?
— 168 —
491. 4) Длина телеграфных линий (в километрах) в раз¬
личных государствах выражается в следующих числах.
Болгария 5561)
Бельгия 8 310
Великобритания 86 500
Греция 6 300
Германия 143 790
Дания • 3 770
Испания 32 270
Италия 47 730
Норвегия 14 770
Ни церланды G 990
Португалия 8 640
Румыния . 7 010
С.С.С.Р 180640
Юго-Славия 18 400
Турция 42 630
Франция 157 620
Швейцария . ... 9 040
Швеция 25000
Представить эти числа при помощи отрезков.
Сравнительное представление величин при помощи
площадей.
492. 1) Фигура 12 представляет диаграмму, указывающую
число квадратных верст на одно почтовое учреждение и число
почтовых отправлений в год на одного жителя в различных
государствах, приходившиеся в 1913 году.
а) Вычертить ту же диаграмму, расположив государства
в порядке, соответствующем возрастанию (убыванию) числа
почтовых отправлений, приходящихся на каждого жителя.
б) Определить, в каком масштабе дана диаграмма.
2) Площади, занимаемые различными частями света, выра¬
жаются в квадратных километрах следующими числами:
Южный полярный материк
Австралия
Европа *
Южная Америка
Северная Америка ....
Африка
Азия
8 мила. кв. км.
9
. 10.
. 1*
. 24
. 29
. 44
— 109 —
Число квадратных километров, приходящееся
ва одно почтовое учреждение.
BE ПИК ОБРИТАНИЯ
ГЕРМАНИЯ
Франция
АВСТРО-ВЕНГРИЯ
СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ
СССР
2200
Фиг. 12.
Фиг. 1а.
Чиг.то ПОЧТОВЫХ (VI прявлошш В ГОД
на одного жителя.
— 170 —
Изобразить эти числа при помощи прямоугольников оди¬
наковой высоты, а) Начертить эти прямоугольники один вне
другого; б) один внутри другого.
492. 3) Фигура 13 дает сравнительную таблицу угодий
Европейской России, в 1912 г. Вся площадь угодий Евро¬
пейской России равна 393 миллионам десятин. Определить,,
измерив диаграмму транспортиром, сколько десятин нахо¬
дится под лесом, пашней, лугами и неудобными землями,
и вычислить в процентах, какую часть всей площади состав¬
ляют земли каждой категории.
4) Площадь океанов относится к площади суши, как 23; 9.
а) Представить это отношение делением круга на два сектора
* (воспользоваться транспортиром), б) Поверхность океанов
содержит 322 миллиона кв. верст; из них 13 милл. прихо¬
дится на Северный Ледовитый океан, 27 милл. — на Южный
Ледовитый океан, 64 милл. — на Индийский океан, 72 милл.—
на Атлантический океан и 146 милл. на Великий океан;
разделить часть круга, изображающую водную поверх¬
ность, на секторы, изображающие поверхности отдельных
океанов.
Фиг. 14.
— 171 —
5) Диаграмма 14 дает сравнительную величину населения
некоторых государств Европы. Вычертить ту же диаграмму
при помощи прямоугольников с одинаковыми основаниями,
расположенных один вне другого (пользуясь числами, дан¬
ными на соответственных кругах). ч
6) Диаграммы 15 и 16 показывают отношение числа (15)
грамотных мужчин к числу неграмотных и (16) грамотных
женщин к числу неграмотных в России по данным пере¬
писи 1897 года. Определить измерением процент грамот*
ности среди мужского и среди женского населения России;
найти в круглых числах общее число грамотных и число
неграмотных, если, по данным переписи, в России было
62 480 ООО мужчин и 63 160 000 женщин. Построить диа¬
грамму, которая бы указывала отношение числа грамотного
населения России к числу неграмотного.
- 172 —
§ 3. Координатная бумага.
Применение координатной (клетчатой) бумаги для графи¬
ческого представления опытных данных.
493. 1) На координатной бумаге построить две взаимно¬
перпендикулярные прямые (по жирпым линейкам клетча¬
той бумаги), на каждой прямой.установить положительное
направление. Ту ось, которая на чертеже располагается
горизонтально, обычно называют осью х, а ту, которая рас¬
полагается вертикально, осью у. Тогда, выбрав подходя¬
щий масштаб, для каждого числового значения х можно
построить соответствующую точку на оси х и для каждого
числового значения у построить соответствующую точку
на оси у. Если через построенные точки провести прямые,
параллельные осям, то они пересекутся в некоторой точке
М. Эту точку можно построить также следующим образом:
через точку, соответствующую дачному значению х провести
прямую, параллельную оси у (перпендикуляр к оси х), ц
на ней построить точку, соответствующую данному зна¬
чению у. (Построение этих прямых облегчается, благодаря
нанесенной на бумагу сетке ) Значения х и у называются
координатами точки М.
Построить точки по координатам (масштаб 1 = 1 см. илп
1 = 1 сотке):
1) х = 2, У = 3; 2) лг = 5, у = С;
3) х = С, у = 5; 4) х = 5, у = 5.
2) Сосуд с водой подогревался на газовой горелке. Ка¬
ждую минуту отмечались показания термометра. Получи-
\ лась таблица- 18°, 23°, 29°, 36°, 48°, 53°, 59°, 65°, 70°. Изо¬
бразить графически изменение температуры. (Па оси х-ов
изобразить 1 мин. = 1 см., на оси ?/-ов и на прямых ей
параллельных 1° = 1 мм.) Соединить каждые две соседние
построенные точки прямыми. Какие выгоды приобретает
диаграмма, благодаря проведению ломаной через построен¬
ные точки?
— 173 —
Из различных наблюдений над понижением температуры
с возрастанием глубины в экваториале ной части Тихого
океана получены следующие температуры:
Глубина
в м.
Температура, Глубина [Температура
по Цельсию.| в м. |по Цельсию.
0
28,0»
1440
3,0
180
21,7
1620
2,5
360
10,0
1800
9 9
W)-J
540
7,5
1980
2,0
720
6,2
2160
1,9
900
5,0
236)
1,8
1080
4,2
2520
1,7
1260
3,5
2700
1,6
Изобразить в подходящем масштабе изменение темпера¬
туры с глубиною.
4) Следующая таблица дает температуры, отмеченные
термометром с 12 час. дня 15 марта по 12 часов дня
16 марта.
'Время.
|Темпера-
1 тура.
Вр
е м я
Темпера¬
тура.
15 марта 12 ч.
дня.
00
16 марта
1ч.
ночи.
— 10
•
1 „
99
+1,50
о
" 99
99
-1,5°
>5
2 „
99
+ 2°
99
з„
99
2°
п
3 „
99
+ 1,250
Я
4 »
99
— 30
п
4
99
+ 10
я
5„
— 30
т
5 „
99.
+ 0,50
99
6 ,,
JTpil.
— Зо
п
6 „
99
00
99
7 „
99
— 2,50
99
7 .,
*9
— 0,25
п
8„
99
О
ю
■N
1
99
ь „
99
— 0,50
99
9 „
99
— 1,5о
И
9 „
99
— 0,50
99
ю „
..
— 10
99
ю „
99
— 0,50
99
и „
99
— 0,50
*9
и „
99
— 10
12,
ДНЯ.
— 00
99
12 „
ЫОЧ11.
— 10
1
— 174 —
Составить графику изменения температуры в течение
суток: 1) отмечая температуры через каждые 2 часа;
2) через каждый 1 час; 3) определить среднюю суточную тем¬
пературу и построить соответствующую ей прямую, парал¬
лельную оси х-ов.
493. 5) На фиг. 17 даны температурные кривые, характери¬
зующие изменения температуры при кори и воспалении
легких. Измирения температуры производились два раза в
4Р,0
41.0
40.0
39.0
38.0
37.0
36.0
35.0
т
34.0
11
3 4
Корь.
ft
но
Воталете легких
' Фиг. 17.
день: утром и в 5 часов дня. Сверху обозначены дни; ка¬
ждое деление ординаты соответствует 0,2 градуса. Два по¬
следовательных измерения соединены между собою пря¬
мыми линиями.
а) Определить по кривой больного корью: 1) на сколько
падала температура в 1-ю, 2-ю и т. д. до 7-й ночи; 2) когда
была самая высокая температура, и как она была высока?
б) Определить по кривой больного воспалением легких:
1) время и размер самой высокой и самой низкой темпе¬
ратуры; 2) записать разности температур утром и в 5 часов
за каждый день (характеризуя повышения и понижения
знаком).
— 175 —
Записать по кривой больного воспалением легких еже¬
дневные повышения температуры за все 10 дней и изобра¬
зить их графически при помощи отрезков. По той же кри¬
вой определить среднюю температуру за каждый день и
представить ее графически.
493. 6) На фиг.
18 изображен са¬
мопишущий тер¬
мометр, а на фиг.
19 дана кривая са¬
мопишущего тер¬
мометра с 7 по
13 мая. Опреде¬
лить время и раз-
Фиг. 18, „
меры наивысшей
и наинизшей температур по отдельным дням, указать время
резких изменений температуры, составить таблицу измене¬
ний температуры за какой-либо день через каждые два часа
и дать графическое изображение-этих изменений.
7) По барограмме, данной на фиг. 20, с 18 по 25 мая
1908 г. указать наибольшую и наименьшую высоту баро¬
метра (и время) и описать колебания барометра с полудня
"21 мая по полдень 22 мая.
Графическое изображение законов явлений на основании
ряда наблюдений (измерений).
494. 1) Температура кипения воды повышается с увели¬
чением давления, а именно:
при давле¬
температура
при давле¬
температура
нии в
кипения
нии в
кипения
1 атмосферу
100*
8 атмосфер
170,8*
2
120.6*
9
175,6*
3
133,9*
10
180,3*
4
144.0*
20
213,0*
5
152,2*
30
236,2*
6
159,2®
40
252,5*
7
165,3*
50
265,9*
— 177 —
Представить графически температуру кипения воды, как
функцию давления. При построении этой графики за начало
координат удобно взять не 0°, а 100°. Построенные точки
соединить от руки сплошной кривой.
494. 2) Объем одного грамма воды содержит кубических
сантиметров при температуре в
0®
1,00013
35®
1,00598
70®
1,02260
4»
1,00000
40®
1,00782
75®
1,02569
10®
1,00027
45®
1,00974
80®
1,02890
15°
1,00087
50®
1,01201
85®
1,03224
20®
1,00177
55®
1,01442
90®
1,03574
25®
1,00294
60®
1,01697
95®
1,03938
30®
1,00435
65®
1,01971
100®
1,04327
Представить объем ввиде функции температуры, при
чем начало координат и масштаб выбрать так, чтобы изме¬
нение объема было представлено возможно яснее. Построен¬
ные точки соединить от руки сплошной кривой.
Железнодорожные графики.
495. 1) На фиг. 21 (стр. 184, 185) дана графика движе¬
ния пассажирских поездов одноколейной дороги. На оси
а>ов отложено время; по оси у-ов отложены расстояния от
Москвы. Разрывными линиями обозначены дальние поезда:
почтовый и скорые, а) По внешнему виду диаграммы опре¬
делить периоды наиболее частых отправлений поездов,
б) Пользуясь графикой, составить расписание поездов и
отметить поезда почтовый и скорый, в) В промежуток вре¬
мени от 8 ч. веч. до 9 ч. веч. требуется отправить из Москвы
экстренный поезд со скоростью от 40 до 50 верст в час.
Построить графику движения этого поезда.
2) По прилагаемому расписанию (см. след. стр. 178) по¬
строить его графику (путь одноколейный), делая остановки
на платформах 1—2 минуты, на станциях 3—5 минут.
Если каждому значению, которое может принимать какая-нибудь
данная величина, соответствует вполне определенное значение неко-
Сокращенный сбора, алгебр, упражп., ч. I. 12
— 178 —
Tinoii другой величины, то эта вторая величина называется функ¬
цией первой, а первая величина называется -независимой пере¬
менной.
МОСН.-КИЕВО-ВОРОН. Ж. Д. ЛеТО 1915 Г.
Москва Нава. т1рРта ( —) означает, что поезд не останавливается.
“ Рамкой (Г) очерчено время от 6 ч. вечера до а ч. 50 м. утра.
Рассто¬
яния.
П ‘именование
остановочных
iij ш:тов.
1 CU—i
К ю
о
*5 ев
1 ё t■'
CU .
гН
с. л
Р п
с. .
ef
о°
£
£ rt
л к
§■*
к?
к .
о —
со
41 .1
■S6
С сз
№ £
и .
оео
со
3^
Москва.. . . . .
|
Ю 11
1.15
3.26
4.45
6.35
7.3U
8.3а
}
V.3U
1
12.40
4
Пост Москва II . « .
10.20
1.21
.
_
7.40
—
9.39
12.49
10
Очаково .
10.35
1.3*
3.48
5.06
С.57
7.52
9.58
1.05
12
Востря.гова пл. . «
10.41
1.13
3.51
5.12
7.03
7.57
_
10.03
17
Переделки
10.50
1.53
4.04
5.22
7.12
8.06
—
10 13
.—
12
Внуково
11.01
2.0Э
4.19
5.34
7.24
6.t7
—
10.27
1.40
26
Каrvара Белов. . « .
It.U»
2.17
4.27
5.42
7.32
8.25
—
10.36
—
20
Разъезд Л7 12
11.16
2.24
4.31
5.49
7.3»
8.31
10.44
1.56
31
Кокошкпнская . .
11.21
2.29
4.39
5.54
7.44
8.3С
—
10.49
—
35
Крекшшю
11.31
2.38
4.19
6.04
7.54
8.46
10 59
—
31
Апрелев'я
и.:;о
2.49
6.01
6.14
8.0J
6.55
—
11.09
2-29
41
Кетпица пл
11.45
2.54
5.07
€.20
8.09
9.00
__
.
45
Алп/тно
11.53
3/ 0
5. о
1.28
8.17
9.08
11.24
—
51
Раз. Js? 13 (пл. 51 в.) .
12.05
3 И
5.30
С.40
6.31
9.21
11.37
2.48
60
Зосимовск, пуст. • .
12.20
3.25
5.45
(.55
8.46
9.36
—
И 52*
—
66
Нара
1*
о.38
5.54
7.05
Р.О!
9.45
Ю.Ю
12.о7
3.12
Нара — Москва»
о з;
Си «
Наименование
остановочных
пунктов.
й
с
со
& 6
о©
е
* .
сиу
р С
£■"
*Й
& ё-
ёсд
со .
2 К
«5 5У
о
5 5
ё й-
geo
си .
>»е>
К о
К о
о
5 *
. ч .
li2
* Й
-5
sc §
—
Нара
3.55
5/29
6.40
8.13
8.43
1 55
5.05
ьии
10.15
С
Зоси'-оск. пуст.. . .
4-07
5.41
6.51
—
8.53
2 07
5.16
8.11
-0.26
15
Раз. JS113 (пл. 51 в.).
4.22
5.55
7.05
—
9.07
2.20
5.34
8.29
10.40
22
Алабиио
4 33
6.08
7.16
9 18
2.31
5.47
8.40
10.51
25
Кетрица пл
—
—
7.24
—
9.26
—
Б.56
8.18
10.59
27
Апррлевка.
4.55
6.25
7.32
_
9.31
2.45
6.12
8.54
11.08
31
Крекшнно
5.03
.—
7.40
9.39
_
6.23
9.02
35
Кокошкннекал ....
5.14
6.42
7.49
9.48
6.36
9.11
_
37
Ра:» 1 езд № 12 ... .
5.24
6.40
7 54
—
9.53
3.05
6.44
9.13
1123
40
Катуара Белов. . . .
5.31
G.56
8.01
Ю.(Ю
3.11
6.55
9.24
11 35
44
Внуково
5.45
7.10
8.14
10.09
3.22
7.23
9.:*2
11.45
49
Переделки
Б.58
7.20
8 24
10.19
—
7.34
9.42
11.55
54
Вострякова пл. . . .
6.10
7.31
8.35
10.30
3.40
7.45
9.53
12.06
5Ь
Очаково
6.20
7.41
8.40
_
10.36
3.47
7.54
10.02
12.12
€2
Пост Москва II . . .
6.33
7.51
8.52
3.58
8.06
66
Москва*• . • • .
6.40
8.00
9.00
;д9.40
10.55
4.05
8.15
10.20
12 30
1 I
СЕДЬМАЯ ГЛАВА.
Графическое представление Функции.
§ 4. Координаты точки.
493. На клетчатой (координатной) бумаге построить ко-
ординатные оси. Принимая масштаб 1^1 см., построить
точки, имеющие координаты:
2) —1;3;
5) 7;4;
8) — 7; — 4:
11) 1,5; — 2,4;
14) 0;5;
17) 2; —1;
3) 1; —3;
6) — 7;4;
9) 1,5; 2,4;
12) —1,5; —2,4;
15) 4;3,
18) 1.
1) 1;3;
4) — 1; —3
7) 7;-4;
10) —1,5; 2,4;
13) 5;6;
16) — 4;—3;
497. Пользуясь при¬
лагаемым чертежом
{фиг. 21), определить
координаты точек: J,
В, С, В, Е (сторону
клетки принять за еди¬
ницу).
498. Построив дан¬
ные точки, опреде¬
лить (на основании
чертежа) расстояние
между ними, если их координаты равны:
1) (2,7) и (2,3), 3) (2,15) И (2,0),
2) (5,2) И (5,8). 4) (0,5) И (0,0).
12*
— 180 —
499. Какой формулой выражается расстояние между точ¬
ками А и В, имеющими координаты: 1) (х, у,) и (х, у2У
2) (#j, у) и {х2, у)? Проверить справедливовть составленных
формул при значениях координат, данных в предыдущей
задаче. Какой смысл имеет знак при числовом значении
результата?
500. Вершины прямоугольника расположены в точках
(3, 5), (3, — 5) ( — 3, -j- 5), ( — 3, — 5); вычислить периметр и
площадь этого прямоугольника.
501. Построить точку и определить ее координаты, если
она делит пополам расстояние между точками:
1) (5,0) и (9,0); 2) (0,7) и (0,3);
3) (3,2) И (3,8); 4) (2,10) И (12,10);
5) (7,6) И ( — 7,6); 6) ( — 6,4) И (—12,4);
7) ( — 9,5) И (—9, —3); 8) (—7,-1) И (-7,-5).
502. Пользуясь свойством средней линии трапеции, вы¬
числить координаты точки Ж—середины отрезка АВ — и.
построить Ш, если координаты А и В суть:
1) (0,6) И (4,8); 2) (4,0) и (2,8);
3) (5,5) и (9,9); 4) (4,10) и (10,4);
5) ( — 3,6) и (3,-6); 6) (—6,4) и (6,2).
503. Построить на миллиметровой бумаге точки (1,7),.
(1,2), (5,7). Пользуясь тем, что бумага разбита на квадрат¬
ные миллиметры, вычислить площадь треугольника, вер¬
шины которого лежат в данных точках.
504. Построить треугольник ABC и вычислить его пло¬
щадь, если координаты вершин А, В, С суть:
1) (2,3), (5,6), (7,1); 2) (5,5), (2,8), (9,13);
3) (- 1,2), (—2,1), (5,5); 4) (3,1), (5,4), (7,7).
505. Построить точки (0,0), (2,6), (4,1), (3,-2). Опреде¬
лить площадь четыреугольнина, вершины которого лежат-
в данных точках.
— 181 —
Координатами точки называются два числа, выражающие в опре¬
деленных единицах расстояния этой точки от двух взаимно перпен¬
дикулярных прямых—осей координат (ось sc—ось абсцисс, ось у—■
ось ординат). Значение абсциссы обыкновенно обозначается буквой х,
а значение ординаты буквой у. Если задать sc и у произвольные
числовые значения, то можно по ним построить точку, имеющую эти
значения своими координатами.
Каждой паре чисел, заданных в определенном порядке, соответ¬
ствует некоторая точка плоскости
Положительные направления на осях координат обычно выбирают
так, что а'б с ц и с с ы точек, расположенных вправо от оси у, оказы¬
ваются положительными, влево—отрицательными; ординаты точек,
расположенных кверху от оси sc,—положительными, а точек, располо¬
женных книзу от этой оси—отрицательными.
Точки, обе координаты которых положительны, располагаются в
нормальном координатном углу.
§ 2. Уравнение прямой.
506. Указать геометрическое место точек, для которых
координата у (ордината) имеет значение:
i) 2: 2) 1,2; ' 3) 3; 4) 0.
507. Указать геометрическое место точек, для которых
координата х (абсцисса) имеет значение:
1)3; 2)2,5; 3) —1,5: 4)0.
508. 1) Указать геометрическое место точек, у кото¬
рых равны друг другу координаты х и у (абсцисса и орди¬
ната).
2) Найти геометрическое место точек, имеющих коорди¬
наты, равные по абсолютному значению, но противополож¬
ные по знаку.
509. Построить геометрическое место точек, координаты
любой из которых удовлетворяют уравнению:
1) у=х\ 2) у = 2х, 3) У=\х;
4) у~— э. 5) у = — 2х; 6)у — —1-х.
— 182 —
Проверить, прикладывая линейку, что точки, коорди¬
наты которых удовлетворяют одному и тому же уравнению,,
располагаются на прямой.
510. Построить геометрическое место точек (на одном и
том же чертеже), координаты которых удовлетворяют урав¬
нению у = кх, задавая Те значения;
1) 1, 2, 3, 4. 5... 2) 0, — 1, —2,—3...
31 *- - 41 L L 1
2 > 3 > 4 9 5 *•" 2 1 3 * 4
511. В каких четвертях располагается построенное гео¬
метрическое мести при 1) положительных значениях к,
2) отрицательных значениях Ш К совпадению, с какой осью
приближается это геометрическое место 1) при возрастании
абсолютного значения к, 2) при убывании абсолютного зна¬
чения Ш Что характеризует в уравнении у — кх параметр к
(каков геометрический смысл параметра Л)?
512. Построить геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению у — х-\-Ъ, полагая
= -J- 1, —|— 2, —|— 3 и —1,-2, — 3. Из рассмотрения чертежа
установить геометрический смысл параметра Ъ. Под каким
углом наклонена к оси х прямая у — х-\-Ш
Как меняется положение прямой линии у = х-\-Ъ в
зависимости от & = 0?
513. Построить прямые:
1) у = ж_|-з; 2) у = х — 2;
3) у = -—х~\- 3; 4) у = — х — 2.
514. Найти геометрические места точек, координаты ко¬
торых удовлетворяют уравнениям:
1) у — Чх-\- \\ 3) у = 3-с — 1; 5) у = — 2.г— 3
2) у = 2х\-Ъ] 4) у - — 2х-\-1; 6) у = \-х-\-1.
От значепия какого параметра в уравнении у = кх + Ъ
зависит подъем прямой? Какой отрезок, считая от начала,
отсекает эта прямая на оси у? Каков геометрический смысл
параметров к и Ь в уравнении y — kx-i-b?
— 1S3 —
515. Как располагается графика линейной функции
y=Lhx-\-b, 1) если £ —0; 2) если 6 = 0; 3) если h и Ъ оба
имеют значение нул^?
516. Какому уравнению удовлетворяют координаты точек
прямой: 1) параллельной оси х, 2) параллельной оси у,
3) самой оси х, 4) самой оси у!
517. Построить прямые (на одном и тон же чертеже;.
1) у = аг-|- 5; 2) у = х — 7; S) у = Зж + 5;
4) у — Зх—7; 5) у — —0,Ъх -\-Ь; S) у = — 0,5х—7.
518. Указать, когда прямые у = а1#+&1 и у = а2х-\-Ъг
будут: 1) параллельны, 2) пересекаться в какой-нибудь
точке оси у?
519. При печатании книг за набор платят по 25 коп. с
тысячи букв. Выразить формулой зависимость между стои¬
мостью набора и числом букв набора. Построить графику
изменения стоимости набора в зависимости от числа букв
набора. При построении графики принять 100 букв за 1.
520. Зависимое гь между показаниями термометров со
шкалами Цельсия, Реомюра и Фаренгейта указана на фиг. 11,
стр. 138.
Составить формулы для вычисления температуры для
шкал Реомюра и Фаренгейта, если температура отсчиты¬
вается по шкале Цельсия. Составить формулы обратного
перехода. Построить графики полученных функций так,
чтобы на одном и том же чертеже были построены гра¬
фики, изображающие переход: 1) от шкалы Цельсия к шкале
Реомюра и обратно, 2) от шкалы Цельсия к шкале Фарен¬
гейта и обратно. Как располагаются построенные графики
относительно биссектрисы нормального угла?
521. Следующие уравнения привести к вцду у = Тгх-\-Ъ,
т.-е. представить у виде функции х:
1) 2х + Зу = 43; 2) Ьх-\-ау = с-, 3) 1+1=7;
4) З‘аг=8у; 5) 6) ar + iy=0;
Графика движения поездов Московско-Виндаво-Рыбиодй ж- А- между станциями Москва-Новоиерусалимская.
Лето 1g;j года.
ДНИ ' ‘ .
10 20 90 40 $0 12 '0 20 31) to Щ \ • 2 Ю И 30 40 50 3 10 30 50 СО 50 4 10 20 30 40 50 5 10 30 30 СО 50 6 Ю 30 30 «О 50 7 10 20 50 СО $0 в 10 30 30 СО 50 9 10 30 30 « 50 Ю »в
Новоиерусалим 57j.
Истра 55*
6 10 20 30 СО 50 7 10 30 30 «О 59 8 ю 20 30 СО 50 !
30 30 40 50 j
Локр.-Стрешнево н
10
Подмосковная 9
Москва о
6 Ю 30 30 СО 50 7 ЮЗ)ЗаШ5о8 10 2ЙЗЙ4ЛН^и13Ф111<ОН Юи?ОШ405о1| 10 30 30 СО 5012 Ю 30 30 *0 ^ ^ 2 10 1030 СО 50 3 10 30 30 CD5o4 10 20 30 40 50 5 ШЗОЗОСОИ 6 Ю Ю 30 40 50 7 |02вЭ0405о8|0 2вЭ0 40 5о9>02в 30 4а50|Ои
Дня
— 186 —
522. Построить прямые:
1) ^х-\-Зу—\2\ 2) Ъх—2у = 10; 3) Зх —|-43/ + 12 = 0;
4) 6х —2/4-12 = 0; 5) 4.//4-1=0; 6) За: — 1=0.
X 4/
523. 1) Вычертить графику - 4~ ^ = 1, если а) а = з, &=4;
б) а = — 1, Ъ = -j-2; в) а = — 2, Ъ = — з. Указать геометри¬
ческий смысл параметров а и Ь.
2) Уравнения, данные в задаче 521, привести по воз-
можности к виду - 4~ ^ = 1 и построить соответственные
прямые." В каком случае оказывается невозможным при¬
вести уравнение к такому виду?
524. Определить площади трапеций, ограниченных осью
х, прямою
О 2х 4-3; 2) у = 9,8#; 3) у — 9,8х-{-1
I
и ординатами точек
1) (0,3), (3,9); 2) (0,0), (5,49); , 3) (0,1), (5,50).
525. Найти точки пересечения следующих пар прямых»
или, иначе говоря, пользуясь графическим изображением
соответствующих функций, найти корни следующих систем
линейных уравнений с двумя неизвестными
1)
х-\-у = А
2)
я + 3/ =
= 8
3) х = у
у = х;
у = 3г;
у — — х\
4)
х 4~ у = з
5)
х — 2 у
6) X — у = Ъ
х—г/ = з;
2/ = 2J-;
х-\-у = 7;
7)
X — у = 2
8)
у — х =
3
9) у — х= 8
X
У =2*
г + !/ =
9;
СО
н
II
10)
х = 3 у — 2
П)
1х— Ьу
=
15
12) Зх — 2^=11
х=Ьу — 12;
7 у — Ъх
3:
2х-\-Зу = 16;
13)
х = 6— v
14)
4х Gy
5
15) ^ — 1
} 2* + 1
х — Зу— 4;
6x4-4?/:
5;
-*• + »/= 15-
— 1ST —
526. Пользуясь графическим представлением функций,
пояснить, почему следующие пары уравнений не имеют
общих решений.
1) у— х = 5 2) у -\-х = 1 3) х — у = 6
3у — 3# = б; 10у— 5—10х; Х — У\
4) л: —j— ?/ = 3 5) Х = 3у -\-Ь 6) 2x-\-5 = G у — 9
у=—х; 2аг=Ю-|-6^; Зх-[-1=9у — 20.
527. В функции х = кх-\-Ь определить к и Ъ так, чтобы
1) у—3 при х = 2 2) у= 1 при х — —1
у = 7 » x = i\ у = 3, » х—-\-\
3) у = 0 » х = 0 4) г/ = 0 » х — — 3
у = 3 » х=3', у = 9 »х = 0;
В каждом случае дать графическое представление
функции.
528. Решить систему уравнений.
* + » = !
х ку — 1 — к.
При каких значениях к: 1) оба корня положительны?
2) система не имеет общих решений? Каков геометрический
смысл последнего случая? Могут ли прямые, соответствую¬
щие данным уравнениям, совпасть?
I
Точки, координатами которых служат значения независимой пере¬
менной и соответствующие им значения функции у = кх 6, рас¬
полагаются на некоторой прямой линии. Число к называется угловым
коэффициентом прямой; угловой коэффициент характеризует подъем
прямой по отношению к оси х; число Ъ представляет значение от¬
резка, отсекаемого прямою ка оси у.
Функция у = кх + Ь называется линейной (первой степени).
Если 6 = 0, то линейная функция характеризует так называемую
пропорциональность: у = кх. В этом случае прямая, изображающая
зависимость между у и х, проходит через начало координат, а угло¬
вой коэффициент представляет в то же время коэффициент пропор¬
циональности.
- 18S —
Так как всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными
лс и у может быть решено относительно у, т.-е. приведено к виду
у=.кж-\-Ь. то уравнение первой степени с двумя неизвестными
называют также уравнением прямой. На этой прямой располага¬
ются те точки, координатами которых служат любые пары корней
этого уравнения. Таким образом прямую можно назвать геометры
ческигл изобралсепнем уравнения первой степени с
двумя неизвестными.
Точки, располагающиеся на одной и той же прямой, параллельной
оси ж, имеют одну и ту же ординату. Поэтому соотношение у = и
называют уравнением прямой, параллельной оси ж, как геометриче¬
ского места точек, ординаты которых равны &.
Точно так же соотношение ж = а называют уравнением прямой,
параллельной оси у.
Уравнение осей координат суть:
у —О для оси ж.
ж = 0 для оси у.
Общие корни двух уравнений (системы) с двумя неизвестными
представляют координаты общей точки тех прямых, которыми изо¬
бражаются данные уравнения, т.-е. координаты точки пересечения
этих прямых.
Обратная пропорциональность. Ее графическое представле¬
ние. Бесконечность. Гипербола.
529. 1) Стороны прямоугольника равны х и у\ площадь
равна s; как выразится зависимость стороны у от # и s?
Если s будет сохранять постоянное значение, какие вели¬
чины будут представлять у и х?
2) Общая формула зависимости между двумя обратно
к
пропорциональными величинами такова: у — - , где Тс есть
некоторое число.
Построить точки, координаты которых удовлетворяют
к
уравнению у = -, при /;—1, задавая х значение:
а) 1, 2, 3, 4, 5...
б) — 1, —2, —3. —4. —5...
— 189 —
В) 2’ 3’ 4’ 5’ 10'"
Какие значения принимает ордината при убывающем по
абсолютному значению положительном х? отрицательном?
Почему, не имеющему смысла по определению деления
выражению можно приписать значение бесконечность (оо)?
Какая мысль выражается равенством — — со?
529. 3) Соединить сплошной кривой точки, построенные
в предыдущей задаче, округляя линию на глаз. (Кривая эта
называется гиперболой.) Где расположена часть кривой, со¬
ответствующая положительным значением абсциссы? Где
расположена часть кривой, соответствующая отрицатель¬
ным значениям абсциссы? Что происходит с «ветвями» кри¬
вой в точках, абсциссы которых мало отличаются от 0?
Связаны ли между собою отдельные ветви гиперболы?
530. Пользуясь графикой функции У — ~х> построить гра¬
фику: 1) функции у =— 2) функции у = ~ при а=4; а=2;
1 1
а - , а=— •
4 2
531. Какой вид принимает зависимость между у их
у—-, если уравнение, ее определяющее, освободить отдро-
00
бей? Решить это уравнение относительно х.
532. По закону Бойля-Мариотта между объемом v неко¬
торой массы газа и давлением р, под которым находится
газ, существует (при неизменной температуре) такая зави¬
симость, что р . v имеет постоянное значение. Представить
в виде формулы и графически зависимость между значе¬
ниями р я v для массы воздуха, которая, находясь под
давлением 1 атмосферы, имеет объем -i литра.
Ct
— IPO —
Функция !/ = * характеризует зави:имссть между величинами,
называемую обратной пропорциональностью.
к
Кривая, которая изображает изменение функции У = сс. (кфо),
называется гипербол:й. Она состоит из двух ветвей, одна из ко¬
торых лежит в нормальном углу, а другая в углу, ему вертикальном.
Ветви гиперболы неограниченно приближаются к координатным осям
пэ мере удаления точек ее от начала координат.
к
Прямые, являющиеся осями координат для гиперболы у — ,ка-
00
зываются ее асгшптотамыш
Выражением “ (при афО), яоторые сами по себе не имеют
смысла, приписывают значение со (бесконечность), потому что функ¬
ция У = ~ при убывании х гтогуапгтенно возрастает, т.-е. ж
можно дать такое малое по абсолютной величине значение, чтобы
абсолютное значение у было больше любого заданного числа, напр.,
чтобы у получило значение, больше 1000000, следует ж дать лю¬
бое значение, меньшее 0,000001.
Так как кривая, изображающая функцию г/ = ^, как бы разры¬
вается при сс = 0, то говорят, что функция У — \. при а? = 0 испы¬
тывает разрыв.
Выражение „у при а?=0 обращается в оо“ есть сокращенное
выражение мысли: „при неограниченно убывающем по абсолютной ве¬
личине х, абсолютное значение у неограниченно возрастает".
ОТВЕТЫ.
lOl. 11) 30 —За; 13) 12408; 15) 2; 17) 19® — 4у; 19) 9а; 21) Ау;
23) 6а+ 35; 25) а; 27) 5а+155; 29) 8а + 26-f 2с; 31) 1,1т + 0,Зв;
33) 8,9а — 36 — 10,8с; 25) 28,9»» — 0,1и — 1,2а;;" 37) 1®а + 2^-6 + \\-c-
39) ~ — ~Ь. 125. 1) 9а —36; 3) 12а:+ 5#; 5) 20а+ 4; 7) 5а; + 11а;
9) За: —8^; 11) 6* —15,у; 13) 12с + 2^; 15) 4а-—10?;; 17) 32а-4с; 19) IOOOjc.
132. 1) 2а + 6; 3) 0,4с —5. 133. 11) 2л: —1; 13) 76а —186; 15) 45с + 80;;.
17) 1,4с—1,76; 19) 35а —156 +6с; 21) т — 2р; 23) 59с — 22у — 17-г;
25) 5 + с—6; 27) // + а — ay 29) п — 8р; 31) 6,6р — 7г + 5
174. 1) 9ас— АЬу; 3) 0; 5) 2а6 — 10ас + 196с; 7) 2abed- 187. 1) у = 6;
2) у—13; 5) у =■ 40; 7) ?/ = 0: 9) ?у=0; 11) у — 0,9.
188. 3) 5) 9а26 + 4а62; 7) 17ас2 —а2с; 9) у>2 + 4/> + 2;
11) 19с* + 2л: + 7; 197. 1) 363 —2а2Ь —16а&2 —6а3; . 3) иЩ
51 За36 — 2а2б2 + 3+Л 205. 5) 6а + 46; 7) 5а — 56 + 5с; 9) 14а — 216—56;
11) бас— 86с+ Юсе; 13) с. 206. 5) 3,C6m2g—5,67m??§+ll,43wy?g—3,24w?g‘;
7) z + 7и; 9) 16?/г + 30г/2 — lGxz + 12жг/; 11) 20жг/ — 2туг — бхг.
213. 1) 35а2 —43с+ 12; 3) 42а2 + 5а6 — 25б2; 5) 16а2 —33,93а6 + 14б2;
7) 29,4а2 +0,63с —006; 9) 14,4(/2 + Ъ,1у — 3; 11) 20с2 — 3 \ху — 27?/2;
13) 1662 + 28а6 — 18а2; 15) ad+ae+6tZ+6e+Cf7+cc; 17) а2+2а6+62—с2;
19) 312 тн — 65??2; 21) 192а:2 — 42ху + 5г/2; 23) 21а2 — 35г/2 + 37 + с«/.
218. 1) 25a2 + 20а6 + 452; 3) 36с2 — 84а;у + 49/у2; 5) 25с2 - 10cd + rf2;
7) 0,04а2 + 0,12а6 + 0,0962; 9) 6,25r2 + 20?-s + 16*2;
11) 9а2 + 62 + а3 + баб — бас—26с; 13) 9с2+25г/2 + 4—30ху — 12с + 20/у;
15) а3 — За26 + Заб2 — 63; 17) 1 — 3// + Зг/2 — »/3; 19) 4с2 —25г/2;
21) 25а2 — 366'-; 23) 256а« — 288а262 + 816»; 25) ДеЗД2—^с*;
27) 8сЗ + 36а 2?/ + 54жг/2 + 27//3; 29) 64а3 — 336а26 + 588а62 — 34352;
3 0 36^2 — 16с2 + 140а6; 33) Юс2 + 6с —0,3. 233. 5) 5, 7) 3; 9) 11; 11) 19;
13) -4; 15) 1; 17) 1; 19) 1,7; 21) *. 234. 1) 7; 3) 10; 5) 116; 7) 14;
9) брату 1 год; 11) 22,5; 13) 9; 15) 40 и 100. 294. 17) - \х—^у+^+Зо—1р;
19) —а+36— 2d; 21) 1,7jm—7w—Б6,74р+7,61д. 295. 49) 4а—2Ь+10с—5о;
51) — х— 7г/+12и- 296. 1)0; 3) с + 5//; Б) 14// + 18г — 32г;
7) 86а — 6 + 9с; 9) 9s + 6г + 197; 11) 89с + 29у — 59г;
— 192 —
13) Ьхуг — 5ж2.у — 9л3 4- 4,2у3. ЗОЭ. 0. 316. 1) 0; 3> -25; 5) -7; 7)-9.
318. 1) — 10а26с 4- 14аЬ*с 4 бабе2; 3) 6ах — 9бж — 4ау + 66;/;
5> — Юа5 — 13а6 4 36-’; 7) 2а; 9) 4; 11) 25а562 — 225а2с2 — ЪЧР 4 9сЗД2;
13) За» — 26а3б + 37а262 — 14аб3; 15) 2х» — ж3 — 4ж2 4 44ж — 21;
17) — 24 4 43х — ЗЗж3 4 14ж»; 19) а563 — об2 — а?6 + а363;
21) 5ж3 — 20x4/ + 14ж3г/2 — Зж2?/3 + 25жг/1 — 21г/3; 27) ж3 — 7ж + 6;
29) 6ж3 + 13х2 4 2ж — 5; 31) 120ж» — 26k3 — 111ж2 4 14ж 4- 24;
33) 36ж» — 132х3 + 157х5 - 66ж 4 9. 323. 64. 324. 1) — 210; 3) 7.
329. 3) (ж—г/) (а—6); 5) (3p—q) (2л—1); 7) (ж—у) (и—1); 9) (c4d) (а—6);
11) (ж— 1) (а + 1); 13) (6—1) (а —lj; 15) (а -4 6) (Зж — 5?/);
17( (2я— Зу) фп— 7ж); 19) С13ж — 16»г) (7ж + 5п); 21) (2ж — 5 г/41) (а—б),
23) ж(а + б) (d — с); 25) ж(1 — ж) (1 + Ж)5; 27) 3,2а - б)5; 29) 6(а — б]5;
31) (5с — 2d) (а — ж). 330. 7) (8а6 + Зс)2; 9) (11ж2 4 2)2,
27) (1,2аб + 0,8) (1,2аб — 0,8); 31) 4а6; 33) (т + п+р) (т — п — р);
35) 4жу(х3+у*1; 43) (а24б2) («*—а2б24-6‘); 45) (4а456) (16а2—20аб42562);
47) гЗж— 1) (9ж2 4 Зж 4 1); 49) (х + у)3; 51) (За — б); 33)-. 1) (ж42) №43',
3) (а — 3) (а 4 2); 5) (а 4 7) (а 4 5); 7) (а — 26) (а 4 б); 9) у{у—8) (г/41);
11) 6(6 — 2) (б 4 1); 13) (а — 36) (За — 6); 15) (2ж 4 Згу) (Зж—2у);
17) (6х — у) (5ж — г/); 19) (г — s) (10г* — s); 21) (ж —11 у) (ж — Зу).
332. 1) (а — 6) (а 4 Ь — 1)) 3) (а 4 б)3 (а — 6); 5) (а 4 б)2 (а — б);
7) {т 4 »02 (то — п)2 (то2 + к2); 9) х (ж 4 1) {.х -1-2) (ж 4 3);
10) (то 4 п) (то 4 »г - 1); 11) 12с (а - 26); 13) (14 у) (1 — ^ — Зж);
15) {4ху)(х 4 У 2- 335. 7) Зс—d-\-2f\ 9) 0 426; 11) Зл’ 4;/; 13) Ж4З;
15) 2а 4 36; 17) 1,7и— 2,3р; 19) Зж2 —5ж —7; 21) Зж 4 2г/; 23) Зж5 — 2у‘-\
25) 046; 27) |ж2— "г3. 337. 13) 0,7; 15) 0,2; 17) —1; 19) —1,5; 21) 4.
360. 39) 1. 41) 43) а Ь > 45) несократ.; 47) а2 4 б2;
/|0) лЗ 7,з-r;i) (д2 + 62)(а 6) а» 4 а2 б2 4 б1 ^ а . 5а а
’ o,Oi) _ аЬ + Ь4 , 03) а2 + . »о) ь, 09) 63)
65) 247^). 6?) а-М а-36 汄 75 g_+5y_.
' /ir — Ьу а — 76 ’ а + 56 я; — у 9 5 2^ 7
77) —7-7; 79) 359. 21) — ~ 23) 46- о 4 2б2
ж 4 6 о — ах п
6
25) Збж426j/ 2а2^ зео 1} а_-Ъ; 3) а + Зб. 5) а±_Ь ?) ^4_6ж
9) - : 11) тп: 13) ^5<7; 15) За±^+^; 17)
7 2а 66 ' аби ’ 36 6//
iQ) a +Ь +с- 21) ?^4_аж а. Заб
} обе * ’ 1562 ’ ' 96’ > 4ху’
945а2е2 —21662с24 616а262. OQ. 63ж —37 14ж4 23
™ ШиЬсу ’ ’ 24 ’ 1 60 ’
0<п ЮОжг/ — 44ж2 — 98ж2_ , а а2 4 б2. 4аб _ 1
66) ТЩ) ‘ 18ж’ dbl‘ ^ а2-б2’ 0 2’
— J 93 —
15)ra’
1TlS¥=V ™тФ>,’ ^'V^'- 271 ft
20) ^±J^_ 31) _9 3 13— 37 5m+jnn
4® + 5у a —O' ’ ’ 4,6 —a/ 4w — 6a’
„n, 2&f . ,,, ® . .о, ,. ,*» (а— ft)2
' ) ,„•> I I Ыч„'2 "I. I /,‘Л, » ^ _Д 1 ! ' J ^
(a2 + a6 + ft'^a2 — aft -|- ft2)’ a:2—1’ ’ a2 -f- a6 + 62’
ai\ 3n—p—q — m . 4®2-f- Axy — Ay2
(m — «Xй—PkH — q)’ * x2 — y2
364. 1) a3 -)- -r2 + 2® + 2 + -^-r; 3) x«~x*+x'-x2—x2-x+\- 2
x_u ~ £+r
5) & + x2 + -~. 365. 1) 24; 3) 472^; 5)5; 7) За; 9) 1; 11) 15; 13) а.
15) a + 6; 17) 60; 19)^. 376. 1) |^ + ]г —-Д 5 3) (?~ + ^(>+_g)
'4 Зг/2з 8(/ 4p® — Qj(»' — s>’
5) 4 •; 9, <£=4gi^j>; U) _£_ 377. ц „
3) ^+rtt. + .>4 гф- 378. 1) 3) g^ghf,:
®2 + ХУ + I/2. Ж + У . 2(.T2 + 2®?/+4j/2). 114^!+»*
J 2(® + г/)2 ’ J 4(.е-гу)’ J т-ад, + 2y) ’ 4®^ *
,оч (a^ + 2/2)(^+?/s). 1Р.л а — 6. ,04 3(a + ft) . ins 2(2// — 3).
} 2 * 1й) 5 * 0 4(a2 + ab + 62) ’ } ~x=T~ *
о, ч l2a + 36)®(4a2 + 6a -)- 9). ,,.п 138.r*/ ovri ,, aft + 1 _
(2a^-3ft)2 ' * 25®2 —49^' ft '
Q4 6ft® 4-1. a2ft2 + aft + l ®2+4® + 16. m a + 6 OCM C4 a2+36
3) ~Г’ ] ft2 5 7) ®2-4®+i6> 9) Z=bm 38T- 5) 3^7
7) _3L- Q) ,n ®2-®y + y2. .„4 erf . 4
yJ а.,у , H) yi-a? ’ btl — c’
388. 1) 64,87 и 64,88; 31 0,60 n 0.61; 5) 1,66 и 1,67; 7) 0,45 и 0,46.
ft 1
407. 1)82.7; 26) 510 милл. кв. к л м.; 4) 255.106 клм. 414. 5) х —^ 7) х = ф
439. 1) 4 зол. 66 д.; 3) 1120; 1200; 1280. 442. 5) 1 ф. 3i- зол.; 46-| зол.
443. 1) lj; 3) 15 сы.; 40 сы.; 45 см.^ мтр.; | мтр.; ?? мтр.; 5) 45 итр.;
масш. 1:1000; 500. 7) 2,4 дм.; 9) 9375 кв. мтр. 444. 9) l|; 11) — L; 13) 2;
15) 3; 17) 12; 19) 10, 21) 5; 23) 2; 25) 27) 19; 29) 25; 31) - 2; 33) ?;35)0;
37) тожество. 445. 1) 28; 3) 25; 5) 2,25; 7) 75; 9) 6; 11) 3.2; 13) 1,5;
15) 2,2; 17) 6;^ 19)2; 21)2^; 23) 36; 25) СО; 27)16; 29)7; 31)3,2.
446. 1) 0,25; 3) 7; 5) 4; 7) 4; 9) 2.|; 11) 5. 447. 1) 7,5; 3) 0,03; 5) 5; 7)
9) 2; 11) 5; 13) 8; 15) 10; 17) 9|. 448. 5) 1; 7) 5; 9) 1; 11) 10; 13) 7;
1 ч
Сокращенный сборв. алгебр, упраже., ч. 1» А
— 191 —
15) 0; 2,25; 17) 100; 19) 16; 21) 13; 23) 1,75; 25) 11; 27) 2; 29) 1,75; 31) 5;
33) — | 35) — i; 37) 3. 449. 11) 13) 15) 7a —66;
17) b 10) 21> Ж 23) 25) c-t$ 27) b-~\ 29) й6 -
a’ ' m + w’ ■ c + O ' a + 1’ J a—c’ ' a ’ ' a+ 6’
31) a; 33) ab- 35) a(6 + c); 37) —j 39) 41) 43)
.r. abc a2 + 62 ... , a—6 K »»+1
45) a+T,; 4?) -Щ-\ 49> ah’ 51) ab’ 53) a-6, 55) —fc; 57)
59) 0; 61) f, 63) 1; 65) ”5 —bw an + 6m 60 b—a
y 9 ' 69 7 7 w + n ; cmn 9 ' 2 9
73) “■ 75) 7а2 + 2«Ь + 362. 6+_c • np-mq_ a2 .
1 2’ J 2(2a — 6) ’ J 2 ' 45d* 7) p — q ’ a +15
11) 90. 464. 1) 16; 32; 4S; 3) 2400; 5) 1250; 1750; 1000; 7) 40; 9) 800;
11) 100. 455. lj 562923; 3) 8*; 5) 4800; 7) 96; 9) 84202,5;
И) ~ 13) а(1-шЭ’15) 1>04 py6-; 1?) 10°/o-19) 375;21) 21 r*
25)366. 456. 9) 14,5 n 17,5; 11) Гипотенуза 30 ытр. 457. 3) 44 (прибл.);
5) 8; 7) 14; 11) 12; 13) 1ч. 5 £ м. 458. 1) 4; 3j 8. 460. l)ool,74;
5) 37 -дО; 7) 9Уод9)_291®оС; 11) 64,4°С. 462.1) х = 8; у = 4; 3)42, 70;
5) 5, 2; 7) 1, —1; 9) 0, 4, 3; 11) —2, 5; 13)3,7; 15) 5, 4; 17) 5, 9; 19) 6, 5;
21) 8, 6; 23) 5,5, 3,5; 25) и(а — Ъ), 6(а—6). 463. 1) 10, 2; 3) —3, 2;
5) —5, 0, 5; 7) 4, 13; 9) 7, 18; 11) 2,9; 13) 27; 15) 3,0; 17) 20,3; 19) 9, 10;
21) к\~-н •464- 15>2:3> 17> 1> 5> °’71; °’14» ?j “у6; “7Ь;
9) б9”.~ап. 465. 1) 9, 7; 3) 3, 2; 5) 191, — 71; 7) 2, 1; 9) 8, 1;
т — п9 т — п
11) —1; *; 13) —1, 1; 15) И. 10; 17) — -i; 19) 7, 4; 21) 10, 10.
466. 1) 2, 3; 3) ОД 0,9; 5) 12, 15. 467. 1) 5, 2; 3) 24, 12; 5) 11,-7;
7) 100, 10, 9) 21, 25; 11) 14, 10; 13) -J; 15) 6, 3; 17) 7, 8; 19) — 7;—3;
21) 4, 4; 3, 3; 23) 11, 6; 25) 5, 3; 27) 13, 11; 29) 7, 5. 468. 1) а+6, а—6;
3) - 2 а2 + а6 + 62, а — аб + 62; 7) а2-(-а6+62, а2—а&+62;
а + 6 6 . а + 6 а —6 ^ (а + Ъ)\ 1СЧ _ t.
9) ^ * 5^6’ и) ^=6’ аГ+b’ 13)—(а + Ь), —-у. 15) а, 6,
17) га + 6; 2а — 6; 19) а + 6, а — 6; 21) a“'Jb'r' ~ Ьс),
у ‘ 9 9 аЪ^ — аЬ4 — а46
475. 1) 20, 17, 5; 3; 3, 2, 1; 9) 10, 1, 3; 11) ^ i;
13) 1, -3, 15) 2, 1; 17) 4, 3, 2; 19) 10, 6, 5;
— 195 —
21) \, 1; 23) 10, 20, 30. 476.1) 15,12,10; 3) 9,9, Р, 8; 6, 3; 5) 5,3,1; 7) 5,3,1
9; Х=2Л±1^. 11) 5,2,0. 477 l)i, I, 3) 1, 2, 3.
478. 1) I 2, |; 3) 4, 6, 9; 6> 0,5, 0,2, 10; 7) 5, 3, 1.
л on „ , , - „ ос о, то + я + Ь — а с — а + 35 + 2d
480. 1) 1, 1,о; 2, 2,5; 3) и— >- ; б) г= : —;
а—Ъ + с — d + e_ 6-j_c-)-e — а—d
2 * 2
7) 5, 4, 1. 3; 9) х =
481. 5) ^r , J±~ - 7) 9) 32, 18; 11) 6, 2;
'fc + l 7c + Г mi7—1 шг-l ' ’ / э »
13) 14,4; 2,4; 15) 52,- 17) 82; 19)e*-l, a-1; 21) 23) ^ 25)
27) 2, |; 29) 142, 857; 31) 1, 0. 483. 1) 25, 25, 15; 3) 81, 79, 40;
5) 17, 31, 43; 7) 222, 333, 444; 9) ,-Q, ^ ^ 11) 531; 13) 0, 0, 0.
484. 1) 65 к. и 75 к. 3) 11, 47; 5) 50, 35; 7) 21, 28; 9) 90, 50; 11) 13, 11;
13) 15, 10; 15) 4800, 4,5%; 17) 150, 30, 40; 19) 22221, 117;
21) 40, 6E, 1 p. 05 к.; 23) 2,4, 2, 1,8. 485. 1) % % Ъ 3) 33®, 62®, 85®;
2 о О
5) 90® + ^=^, 900 ——1^; 7) 53, 41, 36, 58. 486. 1) 5^, 1-J
3) 334,5 9,5; 5) 1495.10», 10S1.10»; 0 9, 36;
9 _P(a_t — a — dj^ 487. 1) 20, 30, 60; 3) 60;
a4d + adt + dd4 a4d -f- adt + dd4 ' ’
5) 4, 12. 48; 7) 3 труб. 5 часов. 489. 1) 89, 35; 3) d
О — о
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие • 3
Отдел первый.
ПЕРВАЯ ГЛАВА.
Употребление букв.
§ 1. Число п действия (повторения известного из курса арифметики)
Геометрическое представление чисел на прямой /ось) (1—16) - 5
§ 2. Значение скобок и их упод ебление (17-23) 8
§ 3. Употребление букв (24—53) 9
§ 4.. Числовые значения буквенных выражений (51—78) 13
§ 5. Знаки равенства п неравенства. Уря • пения п тожества
(79-88) 16
§ 6. Коэффициент. Приведение (89—92) 18
ВТОРАЯ ГЛАВА.
Четыре основные действия.
§ 7. Сложение и вычитание одпочленов (93—107). Уравнение и за¬
дачи (108—116) 19
§ 8. Сложение и вычитание многочленов (117—142). Уравнения п за¬
дачи (141—146) 28
5 S. Умножение и деление одночленов. Умножен- е (147—154). Деле¬
ние (155—166). Уравнениепзадачи (167—173). Упражнения (174). 33
§ 10. Степени (175—198) ■ . . . 39
— 198 —
Стр.
§ 11. Умножение и деление многочленов. Умножение многочлена на
одночлен (199—206). Умножение многочленов (207—229). Подста¬
новки (230—232). Уравнение и задачи (233—236) 44
Отдел второй.
ТРЕТЬЯ ГЛАВА.
Относительные числа.
§ 1. Нуль (137—150) . . 57
§ 2. Введение отрицательных чисел (251—264) 59
§ 3. Сложение и вычитание относительных чисел (265—283) ... 63
§ 4. Знак числа и знак действия (284—293) 66
§ 5. Упражнения (294—296). Уравнения и задачи (297—299) ... 69
§ 6. Умножение и деление относительных чисел (300—317). Умноже¬
ние многочленов (318—324). Разложение на множители (325 - 332).
Деление многочленов (333—ЗЗи)._Уравнение и задачи (337—338). 72
Отдел третий.
ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА.
Дроби.
§ 1. Понятие дроби (339—344). Сложение и вычитание дробей с оди¬
наковыми знаменателями (345—347) 84
§ 2. Преобразование дробей. Сокращение дробей (348—358) .... 86
§ 3. Сложение и вычитание дробей (359—361). Исключение целого
выражения из алгебраической дроби (362—364). Уравнение (365). 89
§ 4. Умножение в деление дробей (366—372). Умножение и деление
(373—381) 94
§ 5. Приближенные вычисления. Периодические дроби. Приближен¬
ное значение числа (382—391). Сложение и вычитание (392—396).
Умножение (397—403). Деление (404—406). Приложение (407—410). 99
§ 6. Пронорции. Пропорция и основное свойство ее членов (411—423).
Знаменатель пропорции и ^коэффициент пропорциональности
(424—428). Среднее арифметическое и среднее геометрическое
(429— 438'. Применение теории пропорций (439—443) 107
— 199 —
Отдел четвертый.
ПЯТАЯ ГЛАВА.
Уравнение первой степени.
Стр.
§ 1. Уравнение первой степени с одним неизвестным (444—449).
Смешанные задачи (450) 116
§ 2. Задачи на составление уравнений первой степени с одним не¬
известным (451—455). Задачи геометрического содержания (456).
Задачи на движение (457). Задачи на работу (453). Задачи, за
иыствованные из старинных книг по математике и старых учеб¬
ников (459). Задачи из физики (460). Задачи-шутки и загадки
(461) 122
§ 3. Системы уравнении первой степени с двумя и многими неиз¬
вестными. Уравнение с двумя неизвестными (462—474). Системы
уравнений с тремя и более неизвестными (475—480) 140
§ 4. Составление систем уравнений (481—484). Задачи из геометрии
(4S5). Задачи на движение (486). Задачи на работу (487). Задачи,
заимствованные из старых сочинений по математике, и задача-
тшггки (488). Задачи из физики (489) 150
Отдел пятый.
ШЕСТАЯ ГЛАВА.
Таблицы и графини.'
§ 1. Определение средних значений (490) 165
§ 2. Построения, употребляемые обычно для наглядного представле¬
ния данных статистического характера. Изображение сравни¬
тельных размеров Еедичин при помощи отрезков (491). Сравни¬
тельное представление величин при помощи площадей (492). . 167
§ 3. Координатная бумага. Применение координатной (клетчатой) бу¬
маги для графического представления опытных данных (493).
Графическое изображение законов явлений на основании ряда
наблюдений (измерений) (494). Железнодорожные графики (495). 172
СЕДЬМАЯ ГЛАВа.
Графическое представление функций.
§ 1. Координаты точки (496—505) 179
§ 2. Уравнение прямой (506—528). Обратная пропорциональность
(529-532) .... - 181