Похожие
Текст
-ly
P<s^f' H IA. & MiA-L-c*
e^tpkci^ (-/гс-ра^ис-
i-tti<^ и . .
>
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и II СТУПЕНИ
Д. БЕМ, А. ВОЛКОВ, В, СТРУВЕ
СОКРАЩЕННЫЙ СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ II
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
Научно Педагоги"еской Секцией
Государственного Ученого Совете
допущено для школ ц ступени
1S1—19S тысяча
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА * 1926 * ЛЕНИНГРАД
• - - НАУЧЛлА
а>лиот®кХ
Им.
ЧИ94 A
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Выпуская „Сокращенный сборник упражнений и задач по
элементарному курсу алгебры^, составители руководились тою
же основной мыслью, что и при издании двухтомного „Сборника
упражнений и задач“, а именно, что идеи функциональной зави-
симости и графического представления функций должны быть вве-
дены в изложение алгебры с первых ступеней ее преподавания.
Выпускаемый сборник содержит разбор на задачах основных вопро-
сов алгебры, кончая теорией квадратных уравнений и учением
о логарифмах и прогрессиях. Он предназначается для тех учеб-
ных заведений, где курс алгебры ограничивается перечисленными
отделами.
Д. Бем, А. Во 'ков, Р. Струве.
Июнь 1916 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание представляет собою переработку пре-
дыдущего.
Введен ряд новых задач, часть задач изменена, а некоторые
отделы дополнены.
Для облегчения пользования первыми изданиями на-ряду
с третьим приняты следующие меры: 1) сохранена нумерация
задач предыдущих изданий; 2) в случае пропуска каких-либо задач,
бывших во втором издании, № пропущенной задачи не запол-
няется следующей задачей, а просто опускается; 3) вновь при-
бавленные задачи получают № предшествующей задачи с при-
бавкой литер: а, б и т. д., №№ задач, в которых сделаны изменения,
помечены звездочкой.
Октябрь 1921 г.
Д’. Бем, Р. Струве.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И
РАДИКАЛЫ.
§ 1. Понятие степени и действие над степенями.
533. Составить таблицу квадратов натуральных чисел от
1 до 20.
534. Составить таблицу разностей квадратов пар последова-
тельных натуральных чисел. На сколько единиц квадрат числа п
меньше квадрата следующего за ним числа?
535. Какими цифрами оканчиваются квадраты последователь-
ных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются
эти цифры?
536. Вычислить значение следующих выражений:
1) (- D1 + (-1 )2 + (-1)3 + (- D4+(-1)5 + (- П6;
2) (-!)’ + (-2)3 + (-3i3 + (-4»‘ + (-5)5 + (-6)«;
3) (- + (- +* + (- + (- *)2 + (- *);
4) (+2Г + (-3)2; 5) (+3)з + (-3)3; 6) (+ 2)< + (- 2)<;
7) За-® — 4а-5 + 5аг- + 6х3 — 1х2 а) при х = 2, б) при х = — 2;
8) х8 Уъ при х = 3, у =— 3;
9) я9-]-у9 при х = 2, у =— 2,
537. Упростить следующие выражения:
1) Ж2+(_.г)2. 2) у8+(_уУ>. 3) Я4_|_(_а)4.
4) а2 — (—а)2; 5) а3 — (—а)3; 6) х5— (—а:)5;
7) (a_fc)2_|_(fc_a)2. g) (a_fc)3_|_(fc_a)3.
9) (a-_ v)4_j_(y__.r)4. Ю) О’ — g)5_|_(g_ р)\
538. Как называются числа а, п и Ъ в равенстве ап = Ь?
При каких значениях п выражение ап не имеет смысла? Имеет
ли место для выражения ап переместительный закон? Сколько
обратных действий должно иметь возведение в степень? Всегда ли
— 6 —
можно найти такое т, что хп = 6? Всегда ли можно найти такое г,
что а'—Ь? При каких значениях а и Ъ имеет место аь = Ьа? По-
дыскать примеры, в которых аь = Ъг при а=^Ъ.
539. Подставляя вместо букв т, к, п, р, q произвольные нату-
ральные числа, проверить справедливость следующих законов
действий над степенями:
Г) am-ak = am+l1;
2) ат:ак = ат~к........
ат:ак=1 .............
ат:ак = -^~..........
3) (ко)' = к'а",
* (?)*-£
при
„ т = /г;
„ w</<:
5) (а-)* = (а-) = а"1;
6) (ат)и = (атр)9.
Почему написанные формулы должны иметь место при любых
натуральных значениях букв, входящих в показатели?
540. Упростить выражения.
1) а7-^п; 2) хп’Х5-, 3) с^'-у", 4) Ъ-Ът~\
5) рп-рп' 6) qn‘q5n] qm~n-q,'\l 8) a3.oi-4-
9) J7.J20-a:- 10) 32n-#3-n; U) rn.r5—2и- 12) а3+п.а®-з-
13) й5 "п - Л"4 я; 14) хп+2-хп-1-, 15) хп-о р71—I . zpS 3?1«
16) 5п-52а; 17) З^.зап+1.35,-3^; 18) anjm -1 . a3J-
19) 9Ь7-6з-|Ь; 20)0,6ж3.0,25^-1,6ж»-- 21) ап—ljn+l .aJ2_
22) х2у2-хп— 2уп 5; 23) ^-а2Ъг-^-аЪ2у2‘^-апЪх'"у,
24) а’п+п~7а2п‘_я+8-ап- з«; 25) р2х~зр+з.^за+зк—s.^i+e»-
26) (—а)2п-а; 27) (—а)г"-(—а); 28) (—а)2"-(—а)3;
29) (— а)2п+1-(— а); ' 30) (—а)2п-1-(4-а);
31) (—а)э«-’.(—а)2”>+’; 32) {у — х)п-(у — х)*;
. пЗп пп
33) (а - Ъ) • (Ъ а)2-3; 34)
541. Разложить следующие выражения на множители:
1) а114 а*—а51
3) а2Ъ4с3 4~ а3&*к2 4- «463с2;
5) a;2aJ-W_|_a;5O-2l. Ж2а + »;
2) а36*4-а2^4-а5г>з.
4) азп _|_ a4n+i а5"-1;
gj г5л-»____,2/-2/
31
— 7 —
542. Произвести деление:
1) ап. а*’ 2> ?’• ап’ 3) - , 7 ж" 2 «ч ж2 4) 5)
6) пх- 1 а а ’ 7) —' Ж5-П’ 8) — р J Ь"~р дП-2 9) V; 10)
11) тх~\ mx~v dx~s ,2> 13) 14) ’ кх~' fr^ + n 15)
16) а^~х . л® + 8 17> ’ 18) 19) а^’- азът 20) 2-2—г; ’ anbn~l
а13'21’
21) д.п+1Ьгц-1 атЬп ’ _т-17,п-1 22) 23) л'т + 1а -—у, 24) abn+‘ ’ (о —1)Чж —1)з (а—1)3(1-ж)«"
543. Упростить выражения:
2«3а:5 ба у3 Ъу .
3bsi/‘ 5Ьж* о2ж2’
4<РЬ« 15М 2cd.
5e*rf’ 8оМ* ЗлЬ ’
2л«Ьзс . ambner 6ж"*г£^-2 .
Зя:3;/3 ‘ ' am+ibn+2cr+3’
гв’^с* 4«2Ь»с».
Зл->у-1^ bxy*zi ’
.х 4аьжЗ)/. 8а*ху1.
41 5Ь3сг* : ЗМггз ’
„ оо^"-1^-2 . За‘-*6с"+1
°, 6xn+y+2^+s ’ 2хуп^1
544. Произвести деление:
1) (ах1 -|- Ъх3): ж5;
3) (ахт -J- Ъхп схт*"): хт ;
5) (ж3от-|- </3л): (ж™упУ
2) (аж2т-|- йж2п):жт+";
4) (xtm— y^y.fx”1— уп);
6) (жп — уп):(х — у).
545. Привести к общему знаменателю и по возможности упро-
стить:
Ж7 "^Ж6 ^Ж5’
2) — -4--------
’ х3 ж* ’
Хп х^
а®— Ь» а® -|- Ъ\
а1 ах —
1 —ж
Ж"-1’*
6)?‘+£
7 ах — 6»
ах — Ъ«
546. Упростить следующие выражения:
1) (l|)4-(6i)4; 2) (U)3-(U)3; 3) (7')5-(U)5:
4) (- аж)3-(-Ъу)3-(abxyy-1 5) (аЬУ-• (2)3-
— 8 —
547. Раскрыть скобки и, если возможно, упростить:
1) (а"/; 2)
5) (—а2)3; 6) (-—а3)5;
9) (— р.5п-1)2П; Ю) (—а3)2»-1;
13) (а*й2)5; 14) (—а5й')8;
17)
3) («"+1/;
7) (— а3)2";
И) (—. «2-—3)2;
15; (ж"у)3;
4) (—а3)2;
8) (—а2")3;
12) (—а2")2";
16) (^а“ь)о+ь;
548. Смешанные задачи (на раскрытие скобок и упрощение):
1) (—«)"•(—а)*; 2) (—а)"+я-(— а)»-»; 3) (—а"-1)2;
4) (>+^; 5) 0) 1^+^;
549. На сколько единиц число хп — 1 больше или меньше я"'1?
550. Решить показательные уравнения:
1) ая+7 = «?°; 2)
3} 3 ffl,3(ai—5) -—-
551. Разлагая правые части уравнений на множители, решить
следующие показательные уравнения и сделать проверку:
1) 5я = 25;
4) (—2)я=16;
2) 2х = 16;
5) 2я =1024;
3) 3я =27;
6) (—5)я=—125.
Степенная функция и ее графическое представление. Параболы.
552. Составить таблицу квадратов чисел 0,1, 0,2 и пр. до 2,0;
пользуясь полученными значениями, построить на миллиметровой
бумаге графику функции у = х2 в пределах от х =—2 ао х = -]~2,
соединяя последовательные построенные точки: а) ломаной
линией, б) ' округляя на глаз построенную ломаную линию;
проследить изменение функции вне промежутка л=—2
до х = + 2.
553. Построить графику функции у = с.х2 при: 1) с = 2;
2) с = 3; 3) 4) с = 0,1.
— 9 —
554. Построить графику функции у — — с .г2 при: 1) с = 1;
2) е — 2; 3) с = 3; 4) с=Д; 5) с = 0,1.
555. Построить графику функции у — х3 1.
556. Пользуясь графическим изображением функции у~х3,
построить графики следующих функций: 1) у==-; 2) у = 2х3;
3) у = 0,1 .а;3; 4) у —— а;3; 5) у =— -.
О
557 При свободном падении тела путь s и время t связаны
следующей формулой: s=^(jt2. Если s измерено в метрах, t в се-
кундах, то г/ равно приблизительно 10. 1) Представить графически
путь как функцию времени в подходящем масштабе. 2) Какой
путь будет пройден в 1,3 секунды? 3) В 3,5 секунды (определить
по графике и путем вычисления)? 4) Во сколько секунд тело
пройдет путь в 10 л«? 5) В 50 м (определить по графике; построе-
ние сделать в подходящем масштабе)?
558. Представить площадь квадрата как функцию стороны
квадрата. Определить по кривой, при каком значении стороны
квадрата площадь приблизительно равна 2.
559. Представить графически объем куба как функцию его
ребра. Определить по кривой, при каком значении ребра объем
куба приблизительно равен 2. (Делийская задача.)
560. Построить параболу у = х3 и прямую у = Ьх— 6. Что
представляют значения абсцисс точек пересечения построенных
линий для уравнения а:2 = 5ж— 6?
561. Пользуясь графикой параболы у = х2, определить по
чертежу корни следующих уравнений, пересекая эту параболу
прямой. Проверить подстановкой правильность полученных ре-
шений:
1) ж2 —4;
4) х2=8;
7) х3 = 2,25;
2) а:2=9;
5) х2— 2,г = 0:
8) а:2 = 5а:—4;
3) х2 = 2;
6) х2 = хД- 2;
9) .т24-2 = 3т.
562. Показать, пользуясь графикой параболы, какие из сле-
дующих уравнений имеют два корня, один корень или совсем
не имеют корней:
1) а:2 + 2а:+1=0;
3) а:2+«+1=0;
5) х2 = 0;
2) х2 — 9 = 0;
4) х2 — 4а: + 3 = 0;
6) а:2+ 4 = 0.
— 10 —
§ 2. Понятие корня.
563. Определить сторону квадрата, равновеликого прямо-
угольнику, со сторонами а см и Ь см при
д 2 3 4 6
а & 5 10 0,1 2 т Р
ь 18 125 1000 1,6 2 тр
564. Определить ребро куба, равновеликого данному прямо-
угольному брусу ('параллелепипеду) с ребрами а см, Ъ см, с см, если
1 2 3 4 5
а 2 . 1 10 1 РЧ
ь 4 3 100 1
с 8 ^9 1000 2 у рг
565. Что значит извлечь квадратный (второй) корень из числа?
кубичный (третий) корень? и-ый корень?
566. Какое действие определяют следующие уравнения:
1) = 2) х3 = а; 3) х” = а?
Как называется х в этом случае? Как обозначается квадратный
корень из числа а? и-ый корень из числа а?
567. Определить значения следующих корней:
1) /9; 2) /16; 3) /36; 4) /25; 5) /10000;
6) /8; 7) /27; 8) /64; 9) /125; 10) /1000;
11) /Шб; 12) /216; 13) /32; 14) /10000000;
15) 1 4; 16) 1 11; 17) 18) /0^025.
т У I оо
568. Всегда ли выполнимо извлечение корня? Указать, какие
из следующих выражений имеют смысл (и какой) и какие смысла
не имеют:
1) /Т; 2) /1; 3) /=!; 4) /=Л; 5)/4; 6)/5; 7) /=4;
8) /27; 9) /8; 10) /8; И) /9; 12) ’/9; 13) /^27
— 11 —
569. При выполнении каких условий имеет смысл выражение:
*1) а;
з) ,я/«;
2) /-6;
при п четном?
щи я нечетном?
4) РСГГ}
§ 3. Квадратный корень. Извлечение квадрат-
ного корня.
570. Чему равен квадрат числа 2? числа — 2? числа а?
числа — а? Сколько существует чисел, квадрат которых равен 4?
равен а2?
571. Какое из значений квадратного корня из числа А (если
этот корень имеет смысл) разумеют под знаком \/~А? Как обозна-
чить второе значение квадратного корня из А?
5^2. Чему равен |/а2: 1) если а имеет положительное значе-
ние? 2) если а имеет отрицательное значение? .
573. При выполнении какого условия справедливо равенство
|Ла2 = а?
574. Проверить на числовых подстановках и возведением
в квадрат обеих частей следующие равенства:
|/ubv — y^a • с\
а у а
у/ - ат:2 (а > О),
Распределительный
закон.
если ]Аа, j/c имеет смысл, и если т есть четное число.
Извлечь п-ый корень из числа а — значит найти число, м-ая степень
которого равна а.
Число, n-ая степень которого равна данному числу а, называется 71-ым
корнем из а и обозначается »/ а
Число п, указывающее, какой корень извлекается из данного числа п.
называется показателем корня.
Число, из которого извлекают корень, называется подкоренным числом.
У4 называется знаком корня.
— 12 —
Извлечение корня есть обратное действие третьей ступени.
Вместо у а обычно пишут а.
Под \Га (если зто выражение имеет смысл) разумеют положительное
число, квадрат которого равен а.
Второе (стрицательное) значение крадратного корня из а обозначается
посредством — /а.
Извлечение квадратного корня из чисел.
575. Составить таблицу квадратов чисел:
1) 1, 2, 3... , 9:
2) 1, 10, 100, 1000... , 10*.
Сколько цифр имеет квадрат однозначного, двузначного..., Л-знач-
ного числа?
576. Извлечь квадратные корни:
1) /64; 2)/81; 3)/100; 4)/900; 5)/6400; 6)/810000;
7) /250000; 8) /16000000; 9) 10) И)
12) /0^64; 13) ’/0,00647] 14) /ОДЮ; 15) j/0,0009; 16) /6Ж
17) /6Ж; 18) /0,0004; 19) /0,000004; 20) /0,000025.
577. Представляя произведения и квадраты чисел в виде пря-
моугольников и квадратов, дать геометрическое истолкование
формуле.
+ 3/'2 = аг24-?/(2.»-! t/).
Площадью какой фигуры изображается выражение у (2гг—[—«/)3)?
578. На основании рассмотрения чертежа предыдущей задачи
определить значение у, если
1) (* + у)2 = Ш
2) (* + з/)2= 256
3) (х-Уу^= 729
4) -1-^)2 = 2401
и ж = 10;
х = 10;
х = 20;
х = 40;
*) Фзгуру вида
греческие геометры называли г и о м^ ном.
— 13 —
579. Какими разрядными единицами выражается квадрат де-
сятков? удвоенное произведение десятков на единицы? квадрат
единиц? Почему для приблизительного определения числа единиц
корня достаточно разделить на удвоенные десятки остаток, по-
лученный после вычитания квадрата десятков?
580. Извлечь квадратные корни:
1) /144; 2) /256; 3? /729; 4) /Г96; 5) /225; 6) /289;
7) /361; 8) /32400; 9) /84100; 10) /7840000; И) /4410000:
12) /4356; 13) /122э; 14) /5329; 15) /1849; 16) /792Т;
17) /2209; 18) /94U9; 19) /8464; 20) /7225; 21) /193600;
22) /67240000; 23) /2401; 24) /1681000000"; 25) |/54756;
26) /18225; 27; /64Й09; 28) /42849; 29) /94864; 30) /687241:
31) /499849; 32) /879844; 33) /826281; 34) /15129;
35) /49284; 36) /11881; 37) /138384; 38) /241081; 39) /256036;
40) /257049; 41) / 497025; 42) /1522756, 43) /5527201;
44) /18215824; 45? /571082^9; 46) /4149369; 47) /13749264;
48) /49098049; 49) /12278016; 50) /16467364; 51) /32524209;
52) /49434961; 53) /1703025; 54) /896809; 55) / 0,0484;
56) /0,0625; 57) /0,8649; 58) /0,9801; 59) /0,015129;
60) /2,7889; 61) /3906,25; 62) /48,8601; 63) / 0,000576;
64) /0,000169; 65) /19,0969; ^9) 1 / * 624Г ’8) /26£ 66) /25,8064; Г 7056. У 18225’ /. 143 V э041‘ 67) /0,450241; / 121
68) 72) /0,054756; / 576 . ]/ 6561’ 70) 74) 71) У 12321'
.’,81. Найти, пользуясь приемом извлечения квадратного корня, наибольшее число, квадрат которого меньше числа (или ему равен): 1) 6 000; 2) 100000; 3) 1000000; 4) 57 897; 5) 99 999; 6) 888888; 7) 169296; 8)1111111.
582. 1) Вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника,
если катеты равны: а) 21 дм и 28 дм; б) 36 см и 48 см.
2) Вычислить один из катетов, если другой катет равен 27 см,
а гипотенуза равна 45 см.
— 14 —
583. Определить расстояние начала координат до следующих
точек: 1) (9,12); 2) (15,20); 3) (63,84).
584. Составить формулу, выражающую расстояние d от на-
чала координат точки (ж,у). Где располагаются все точки, рассто-
яние которых от начала имеет постоянное значение df
585. Ha-днях один студент на вопрос, сколько ему лет, дал
такой ответ: „Мне исполнится п лет в году, номер которого
есть иг“. В котором году родился студент?
§ 4. Иррациональное число.
586. Приняв за единицу масштаба 10 см, представить на оси
числа: 0, 1, 2. На отрезке 01 как на стороне построить квадрат
и отложить на оси от точки 0 его диагональ (конец отложенной
диагонали обозначить буквой М). Составить уравнение, из которого
определяется значение абсциссы х точки Л7. Может ли х оыть целым
числом?Может ли х быть дробью?Существует ли рациональное
число, которое могло бы оказаться значением х абсциссы точки 217?
587. Найти наибольшее десятичное число с знаменате-
лем 10, 100, 1000..., квадрат которого меньше 2 (первая группа);
найти наименьшее десятичное число с каждым из указанных
выше знаменателей, квадрат которого больше 2 (вторая группа).
Построить точки, абсциссы которых равны этим числам. Что про-
исходит при увеличении числа десятичных знаков с точками пер-
вой группы? Что происходит с точками второй группы? Каким
способом удобнее всего находить числа, входящие в первую
группу? Может ли когда-либо закончиться определение десятич-
ных чисел (с любым десятичным знаменателем), квадраты которых
приближаются к 2 с той и другой стороны? Существует ли в пер-
вой группе последнее число? во второй группе первое число (если
эти числа располагать в порядке по величине)? Может ли
бесконечная десятичная дробь, приближенными значениями ко-
торой являются найденные десятичные числа, быть периодиче-
ской или нет? Почему?
588. Указать, какие из следующих бесконечных дробей опре-
деляют иррациональные числа (если предполагать, что закон, по
которому пишутся дальнейшие десятичные знаки, ясен по напе-
чатанной части этих дрооей):
1) 0,727272..., 2) 0,727727772...; 3) 1,414141...;
4) 1,4142...; 5) 2,71828182818281828...; 6) 2,7182818281...
— 15 —
589. Показать, что: 1) 1,7 </3; 2) 1,8>/3; 3) / 7<qp
590. Вычислить с точностью: а) до 1, б) до 0,1, в) до 0,01,
г) до 0,001:
1) /235: 2) /578; 3) /240; 4) /145,-3; 5) /72Д
6) |/8,8888...; 7) /5^5; 8) /16; 9) /1000; 10) /6Д;
И) /6Ж, 12) |/ 13) /62Д 14) |/1; 15) /33,333...;
16) f/18-g-; 17; 150b 18) /44,1777...; 19) |/24в|;
20) |/ 2400 ч •
591. Вычислить:
1) /10 с
2) /5 „
1 1
точностью до до
о о/
_L J_ ± 1
’’ ” 3’ 4’ 7’ 1Г
Система чисел, в которую входят числа целые и дробные, положи-
тельные и отрицательные, называется системой рациональных чисел.
Обратное действие третьей ступени — извлечение корня из положитель-
ного рационального числа — не всегда выполнимо в рациональных числах.
Чтобы извлечение корня из положительного числа оказывалось всегда вы-
полнимым, введены иррациональные числа. Они определяются бес-
конечными непериодическими десятичными дробями. Благодаря
введению иррациональных чисел, оказывается возможным обозначить числами
ке только точки, расстояния которых от начала соизмеримы с единицей
длины, но и такие, расстояния которых от начала несоизмеримы
с единицей длины.
Каждое иррациональное число можно сравнить с любым рациональным
числом, т.-е. узнать, будет ли выбранное рациональное число бо-ьше или
меньше данного иррационального числа. Поэтому каждое иррациональное
число занимает вполне определенное место в числовом ряду.
Числовой ряд, содержащий рациональные и иррациональные числа, рас-
пространяется и на отрицательные числа, при чем отрицательным иррацио-
нальным числом называется число, противоположное некоторой непериоди-
ческой бесконечной дроби. Система чисел, в которую входят рациональ-
ные и иррациональные числа, называется системой действительных
или вещественных чисел.
Благодаря введению иррациональных чисел, каждой точке на оси соот-
ветствует число рациональное или иррациональное — ее абсцисса, и для
— 16 —
каждого произвольно заданного числа на оси имеется точка, имеющая это
число своей абсциссой.
Ряд, образованный рациональными и иррациональными числами, назы-
вается непрерывным чиа пвым рядом.
Числа в непрерывном числовом ряду располагаются в том же порядке,
как и соответствующие им точки на оси.
§ 5. Действия над квадратными корнями. Преобра-
зование радикалов.
/ а2Ь — ayfb.
592. Вынести рациона 1ьные множители из-под знака корня:
1) /8; 2) /12; 3) /27; 4) /28; 5) /320; 6) /45;
7) /18; 8) /24; 9) /32; 10) /96; 1’1) /243; 12) /175; 13) /Р;
14) /ж7; 15) /ж2"+ i; 16) /^+"3; 17) /4^; 18) /Эа^ж;
19) /7»V; 20) /^V2; 21) /5^; 22) /9a4i2c; 23) / 16а2/4;
24) /7а264ж2; 25) /ж(1-|-ж)2; 26) /жЗ(1—ж)2; 27) /л5(л-|-6)2;
28) /3,43aZ> V; 29) /0,384ж2^*; 30) |/1,25а568; 31)
321 / 0,32ж2п+3у4п —1 ; 33) j/lla3^3; 34) 2|л6»66"+1; 35) 3/8;
36) 5/80; 37) 8/5; 38) 6/150.
593. 1) /2, вычисленный с точностью до 0,601, равен 1,414.
Вычислить значение: а) /8; б) /18; в) /32; г) /50.
2) /бел 2,449. Вычислить: а) /24; б) /54; в) /96.
594. Подвести рациональные множители под знак корня:
2)5|/0Д 3) 11/д) 4) 2|ЛбД б) »/i;
в)«/?; 7)2«/|; .8)3»/g; 9) (« + 4)/^f
‘°)
Н) «»/§; ‘5)g/S-
— 17 —
595. Привести корни к нормальному виду:
1) 2) 3) ; 4) б) /1; 6) /I;
7) 8) /1; 9) /Ц; 10) /131; И)
12) j 18) /|; 14) /5; 15) s/g;
le) «6J, 17) 1 4S 18) 1 ГД1 19> /гг 2°> | %-
21> /3:22> 1 2з> /&2i> Й) ।
26> j/r/27)2»’/® 28) /2^-4^+2.
596. Пользуясь приближенным значением: 1) / 2 = 1,414, вы-
числить: а) 6) у/~7; в) j/” 4у;
2) /6 ел 2,449, вычислить: а) | -|-; б) у/ в) "j/^-|-.
эн/а + пуГа = (т + .i) у /.
597. Сделать приведение радикалов:
1) /'34-2/3; 2) 2/7—3/7; 3)9/5— /5)
4)/а4~3/а; 5) а/ж— 1 ж; 6) 3/ж— &/ж.
7) а/ж4~^/ж—1и/-ж—9/ж;
8) 8|Л«4~5/ж — 7/«4~4/а — б/ж — 3/а;
9) /«+2/7— 3/74- 5/74- 2/7— 6/^
10) / ж-/51 г2х— /Зж4-/4ж — /8ж4*/ 12ж;
11) 2/а 4^5/ Ъ —а — с/Ь 4- /(х— 1)2а -f- /72;
12) 3/74-2/7—4/7—5/74-/40 4- /96;
13) 4/‘7ж4-3/774-2/с2ж 4-/^2/— 2/(6 4- й)2ж;
14j 7/4^-4-4/9ж-|-3/45^4-5/36^4-2/80ж;
15) 2/8U—3/24^4-5/36а-/2/54^—4/10(7;
16) 4/За —7/127 —/48а 4-6/777—5/75а;
17) 3/84-4/324-5/50 — 7/724-6/98;
18) 7/12— 5/274-8/48 — 6/75 4-2/108;
Сокращен, сборник алгебр, упражн. Ч. 11. 2
— 18 —
597. 19) 1/20 4-4/45 —| 25-|--U 80-Н 5;
20) 1/18-{-1/50 — 3/24 | 200;
21) / (а + Ь)2х / (а — Ъ)2х— /а2#-}-/ (1—а)2х — / х ;
22) /44-4ж24-/94-9ж24-Г а2-|-ы2х2 — 5/П/Л
/«•/&=] аЪ.
598. Произвести умножение:
1) /3 /12;
4) /16 • /15;
7) /а • |/ а;
10) а/ х • б/ ж;
13) /2а • /8ж;
16) 2/2 • /32
2) /2 • /50;
5) /14 • /35;
8) 2/ а • /Зж;
И) 5/3 2/3;
14) /За-
/ба;
8;
17)/ъ2Ъ /1
3) /28 • /7;
6) /20 • /30;
9) 5 /2а 3 /5^;
12) 7| х -а/ х;
15) /р. //;
J а3;
18)
20)
а /“2а 1 , _ Г2а,
~ь1 Т ' IT
19) ^21 ху2 • J Г^ху. / 9x3;
/ хп+1уп~г • /xn-1«/n+1; 21) а/а”14’п& • /а3т-п&2п+1.
599. Произвести деление:
1)
6)
9)
12)
15)
Д2.
/6’
2)
/7ж.
Рт:
/5ж : /5;
/60 :/5;
3/б’:2/3;
/^:1/^;
10) j<72 : /30;
13) 4/5: 5/2,
16) -^-/^5 • /^
4) 2’
8) /32:/2;
И) 5|'7:2/’5;
14) 8/9:3/3;
17) 0,75/2а: 0,5/8&;
S; з)
1RA 1/ 1 .
) V X + у J (х + у)3 ’
«)
। / 15а®Ь
f аз2—у-
20) /а2”1-1: / а2т-3;
21)/ p'£ + 1-g'‘-11:/p'‘-1-e8~'i.
600. Выполнить умножение и по возможности упростить.
1) (3/8’4-/18-{-/50 — 2/72) • /2;
2) (4/f2—2/274-3/50-/75) • /3;
3) (7/7— 5/6—3/8’4-4/20)-3/2;
4) (2/20 —7j/"8—3/5’4-3/18)-4/10.
— 19 —
€01. +
2) |)/^;
3) (/7 - /J) (| — /7); 4) (/7 + p<7) (/7 - /7);
5) (3/7-2/7) (7 jZ’2H-5|Z"3);
6) (5 /7—2 J '7) (3 /7+10 /7);
7) (8 + 3 / 51 (2 - /7); 8) (3 - /7) (2 + 3 /7):
9) (2a + 31) (3a — 2/ж); 10) (4/7— /Зж) (/7+2/Зж);
И) (2/J+5/7—7/Т) (/6—2/7+4/7);
12) (2/30— 3/5+5/7) (/7+ /7-/7);
13) (/7+/7) (/7—/7); 14) (/За +/26) (/За —/26).
602. Возвести в степень и по возможности упростить:
1) (/7 + /7)2; 2) (а-б/7)2: 3)(/7+/7)2;
4) (/7-/7)2; 5)(1+/7)2; 6) (—1+/7)2;
7) (/7 —/7)2; 8) (3/7—2/7)2;
9) (/ж + у + /ж—у)2; 10) (/а — ж — /ж— Ъ)2;
11) (а + /1 —я®)2: 12) (/Г+7^ —/+^7^)2;
13)(/7++)’; 14) (j i+J i)!.
603. Выполнить деление и по возможности упростить:
1) (я) гж + /ж) : /ж; 2) (3/7+/а62) : /а;
3) (/а6+я/& + б/а) :/а;
(р' жЗу + /ж-’у2 — у^жуз) : /жу;
, В) 7)«+|: 8)
9) в»:.4-!; 10) 11)у+:2; 12)]/|:е;“
F Л F U г V
13) /g:10; 14)/|4; 15) /“16)/f:^;
»7) ‘И/»-! 7 20), "f+j.
— 20 —
604. Освободить следующие дроби от иррациональности в зна-
менателе:
*> 7Г 2) 3 3) _! • /3’ } /а’ а 4) ~у=- v а
в> 7? 7) -Т=; 8) — /Т 2 J' 3 9) ’ 5 /32’ 10’
11) С; V а 12) ЖУ 4 0'1 1 V ху ' / 'jfly ’ U) Ъ V а 15) —Ц-г 2+ /3
16) 7 3+ /7 *” 18) 2 19) — Ч-; 1 + /7’
» 2 — » ’2 ’
20) 1 Г2 + ( 21> ,/т; 22> 2- »<3’ } /З-- /Т’
^Г’
24) ^Е+- /Г — /7’ 25) 26) - 7 — 3 г б 27) — а — Г а
32)
а + b V~x.
с -р d i'~x
605. Проверить справедливость равенств:
1 а +)' Ь = и) а——j/jj.
а -р /а2— b а — га2 — Ь
где т = —!—, п=-------Hj--,
Z Z
возведя обе части их в квадрат и заменяя т и п их выраже-
ниями через а и Ь.
Показать, что выражения т и п можно получить, как значел
ния х и у, если положить
и, возведя обе части равенства в квадрат, отдельно приравнять
рациональные и иррациональные члены обеих частей получен-
ного равенства.
При какой зависимости между а и Ъ преобразование по ука-
занной формуле ведет к упрощению вида выражения
— 21 —
606. Преобразовать по формуле, данной в предыдущей задаче,
следующие выражения:
1) ) 8+/28; 2) /9 — /Г7; 3) /15+/2%
4) } 7+2/Т; 5) / И—2/10; 6) J '12+3/7;
7) ] 16+/156; Я) /8 +J 39; 9) 1 'а + & —2/аГ
§ 6. Приближенные вычисления с квадратными
корнями.
ъ
607. Вычислить с точностью до а) 0,01; б) 0,001:
1) 3/7; 2) 4/7; 3) 5/11; 4) 7/13;
5) 5/ОД; 6) 4/0Д25; 7) ?/!; 8) 5j/|;
____• _ __________________________
9) 1/ 0,35; 10)0,8/56, И) 12) 2^/ 2-1;
13) ) 14) /15) /I; 16) j/f
Почему при приближенном вычислении корней следует коэф-
фициенты при корнях подводить под знаки корня?
608. На основании формулы ^+ly2 1=|7 + ,f+-L выяснить,
какое из двух приближенных значений с точностью до 1 (по
избытку или по недостатку) является более точным для следую-
щих корней:
1) /20;
6) /56;
9) р'306;
2) /21;
6) /57;
10) /210;
3) /42;
7) /133’;
И) /240;
4) /44;
8) /156;
12) /1260.
609. Составить, пользуясь формулами ос — -|j2=.x;2— X_|__L и
*+ + yj2 = гс2 + гс + -^, таблицу квадратных радикалов из целых
чисел, если наиболее точные значения этих радикалов (с точностью
ДО 1) представляют числа:
1) 7; 2) И; 3) 13; 4) 17; 5) 33; 6) 35; 7) 48; 8) 85.
— 22 —
611 Подыскать в неравенствах:
а<х<^Ъ
такие целые значения для а и Ъ, чтобы под х можно было разуметь
любое целое число, наиболее точным значением (с точностью*
до 1) квадратного корня из которого служило бы число:
I) 8; 2) 16; 3) 145; 4) 160; 5) 220; 6) 10000.
611. На основании формул (а- ~| -1)1 2 —-2.г -| -1 и
Ж+10‘) — ^+10^+10“
указать наибольшее и наименьшее из целых чисел, приближен-
ными значениями квадратного корня из которых служат числа:
1) а) 4000 и 4001; б) 400,0 и 400,1; в) 40,00 и 40,01;
2) а) 1002 и 1003; б) 100,2 и 100,3; в) 10,02 и 10,03;
3) а) 998 и 999; б) 99,8 и 99,9; в) 9,98 и 9,99;
4) а) 9998 и 9999; б) 999,8 и 999,9; в) 99,98 и 99,99.
612. Сколько значащих цифр достаточно сохранить в подко-
ренном числе, чтобы квадратный корень имел четыре точных,
значащих цифры? три? пять? две?
613. Вычислить, применяя при вычислении все допустимые-
сокращения:
1) /164,888888...;
3) /3,14159...;
5) /7,8787...;
2) /0,657796666...;
4) /28,754444...;
6) /377182818284...
с точностью до 0,01; до 0,001.
614. Вычислить с точностью до 0,01 следующие выражения
(приводя все выражения к наиболее удобному для вычисления)
виду и производя все допустимые сокращения вычислений):
1) /3 +/2;
04 6~- .
' /-6+ / У ’
5) ] ^Т/2 + 7¥;
2)/5-/2;
4) (З-Ь/5)2;
6) V 2— /2-|-
/3.
— 23 —
Задачи из геометрии 1).
615. В прямоугольном треугольнике даны катеты:
а) 5 см и 12 см; б) 12 см и 35 см;
в) И „ „ 15 „ г) 28 „ „ 195 „
Определить гипотенузу.
616. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза и катет:
а) 65 см и 16 см; б) 1898 см и 1702 см;
в) 365 „ „ 27 „ ; г) 514 „ „ 64 „ ;
д) 485 „ „ 44 „ ; е) 15 „ 9 „ .
Определить другой катет.
617. Площадь квадрата: а) 10, б) 40, в) 90 кв. см. Определить
сторону.
618. Преобразовать прямоугольник со сторонами: а) 9 см
и 16 см, б) 10 см и 40 см, в) 0,1 м и 0,3 м в равновеликий
квадрат. Определить сторону искомого квадрата.
619. Вычислить высоту равностороннего треугольника со сто-
роной: а) 5 см, б) 13 см, в) Герберт (ставший позднее папой
Сильвестром f 1003) определяет высоту равностороннего тре-
6
угольника, умножая сторону на у» Герон (| 100 л. до нашей эры)
х 13
берет с тою же целью множитель jg, в элементарных учебниках
7
настоящего времени взят множитель Какая из этих дробей
дает лучшее приближение? Вычислить приближенно этот множи-
тель и определить погрешность каждой из дробей (4 цифры).
620. Определить диагональ прямоугольника, стороны которого
равны: а) 12 см и 3 см; б) 2,5 см и 17,2 см; в) 18,4 см и 34,5 см,
г) 2,08 м и 8,19 м.
§ 7. Общее понятие корня.
621. Что называется n-ым корнем из а? Как он обозначается?
Каким числом должно быть п? Имеет ли смысл а, если п чет-
ное число, а число а имеет отрицательное значение? Что разумеют
J) При приближенных вычислениях вести их так, чтобы в результате ока-
зались верными три значащих цифры.
24 —
под \/'~а при а положительном? Что разумеют под п/—а (а>0)
при п нечетном? В каком случае \Са есть целое число? рацио-
нальное число? иррациональное число?
622. Вычислить значения выражений:
1) 7Т 2) 78; 3) 727: 4)7125; 5)716;
6) 7625: 7) 764; 8) 781; 9)(7j)3; Ю)(Т27):
И) (7W 12) (7^)8; 13) 7«5; 14) 7 ж®; 15) 7«15;
16) 7714; 17) 75“; 18)7255 19) 732; 20) 7^
21) 7«^; 22) 7^; 23) ’7Й^; 24) 7^; 25) 3727;
26) |727; 27) -J 7125; 28)4 3 / q“ 4 /~сЛ 29)30)|/g-
623. Построив параболу # = ^3, найти графически приближен-
ные значения корней-
1)3/2;
2)74:
3)77;
4)
79;
5) 70,5; 6) 70,8.
Под н^ым корнем из числа а при а положительном разумеют поло-
жителъно' число, и-ая степень которого равна а.
Корень 7« при п четном и а отрицательном не имеет смысла
в области действительных чисел, так как четная степень всякого действи-
тельного числа есть число положительное.
Если п число нечетное, а подкоренное число отрицательное, то минус
может быть вынесен из-под знака корня:
М / V»/
— а = — у а .
Если 7 а при а целом и положительном не есть целое число, то он
представляет иррациональное число.
§ 8. Действия над корнями < любым натуральным
показателем. *
п Z „ ; nf
/ а"Ъ = а рЬ.
624. Вывести рациональные
множители из-под знака корня
1) 716;
5) 780;
S) 7«’Ь,
2) V21-.
6) 7 — 81;
10) 716сМ6;
3) 754;
7) V250;
И) 75^;
4) 772,
8) 7 — 648;
12) 7W
— 25 —
13) /*n+1; 14) / с»+3;
17) 2 /48; 18) 7 /108:
15) 5#2n + 1; 16) У ax2n~
19) 5/~320; 20) 8» —375.
625. Подвести рациональные множители под знак корня:
1 4 /~ 1 3 / 1 5 1
D3/ 4; 2) 2 J 1; 3) а | 1; 4) Ь 1;
3 / 3 / чГ 3 / 8" 3 /~т2
6)Н f’ 9)Ч е-
Г9\ IQ-i _£.1Ло‘’П+1-Ь.
д7 ’ 1Z) у I — Ж> 1б’ д'" |
3 Г к
5)2?
10) “-1 Л^’-
и' Ъ J а*ц>
14) а /а3-п.
626. Следующие корни привести к нормальному виду:
I
5> 1;
3) 21 Ч’
5/^Г
/) х2 1 — •
7 ’ 2жЗ ’
4) 8р'Ч =
8)
(о-Ь'*'
WJ
2) Г 4
6) й/ ±;
’ а1’
Ж
627. Сократить кирни (если это возможно):
1) /«г;
6) /27;
11) /<772;
16) /б4;
21) /7^;
2) /^; 3) УаЧ2;
7) /16; 8) /25;
12) /77з; 13) V^>
17) /16; 18)/Р;
22)8/16^2; 23)/87?
4) Va^b2',
9) /49;
14) /64;
19) /с3;
24) /Эй^Г2;
5) 1 З2;
10) /а3;
15) /81;
20)
25) /25аа*+2.
628. Преобразовать: 1) /а; 2) /а в корень 6 й, 12-й и 18-й
степени.
629. Упростить следующие выражения:
1) 5/ 1о + 3/^54 — 63 z—128 + 7 /^250 + 2/432;
2) 7 /24 + 5 /81 + 4 /— 192 2 /— 375 — /1029";
3) Ъ /а36 -j- а /б4 + 2 /а3Л4;
4) 1/^ + 21/1627-/2^;
5) ) rJ + ] Л|-/2-/27;
6) 7 /я — 4 /7+ 5 3 г~х — 6 /7— в/х2 + /ж3;
7) а + 2 /7+3 /7+ 4 /а — /а2 — 3 /^ — /73.
— 26 —
630. Перемножить корни:
1)3/2-/4; 2)3/3-718; 3)5/2а 3/5Ь; 4) /7- *У&\
5) /2d2 - 3/4d; 6) /97 • /ЭТ2; 7) 7W2 Т W2;
8) ?/a- ,l/b. /с; 9) У a - s/a^ - /7; 10) /7- /7L 7^;
/0,8a2&2c- /0,01a& 14) /a"-]6"+] •/ai2.
631. Произвести деление:
1) /28: 714; 2) У 0,27
r
4) /4а:/щ бр/^-’/ОЖ
7) 7a5"’: /a2™; 8) *‘+/—.62"+2 : 2n+/i;
3) 70Д : /100;
6)730^ |
_________ 3 Z"T--
9) 72a4m&2 : 1/ y«m&
632. Выполнить действия и по возможности упростить:
1) (/3 + 72) -/9; 2) (/Т2 — /а)-/а;
3) (а/b + b Уа) .Va^bi- 4) (3/^_ /б) (/а Д-/Г).
633. Произвести деление и по возможности упростить:
1) (79 + 3/4): /3; 2) (/30 — /15 Д- /5): /5;
3) (/^62+ г ай2”— /Тб):
4) (2 7^з _|_ /^ _ 16/^i) - 2 .
634. Привести к общему показателю и выполнить действия.
1) а/—- 5 г~ у а- / а; 2) Vb /&; 3) Ус- Vd- ^Ур-УЪ
5) 6) Vc-y~c-, 7) У а-У a; 8)/rf-/<;
9) 9^Гу, Ю) /х- | / f, it) v^-У
12) /I- 13) /it 14> /п-1 Й=
15) 16) )Н 'у р | rf, 17) /6-7:7;
18) n/~Z nXf i”. ya- у 6, 19) тУ^.пУЪ-, з/25 /166 20>/: 21’>/и;
22) /-Ч ’ Vа 23) й; 24) JyX ; 25) XZ . J \/ъ ! у с
— 27 —
635. Освободить следующие дроби от иррациональности в зна-
менателе:
1)з7=; 2)^=; 31/L; 4)—; 5)=^;
' 3/2 ’ /9 ' У а ’ У а У&'
6) 7)-7^=;8)j^; 9) 10)/L.
8/а3 yan~i У а» У а? '}/а
636. Возвести в степень и привести к нормальному виду:
1) (а 2) (/73У; 3) (/9)4; 4) (/100)2;
5) (а /а26)3;
637. Извлечь корень:
1) 3Л з/— 1/ /а; 2) ]3/ К ь- 3) {/ У~с- . 4» //? а-
5) Ь/ / / я10; 6) Г /7°; 7) )3/ /8; 8) У /36;
9) р' /256; 10) J а/а; И) у/ х/гг;
12) / У У У', 13) у х Ух; 14) aV а/а;
15) х уУX У х: 16) у/ а уУ Ь Ус; 17) у/ х j у У
18) п/ п/~ ] а у/ 19) | 7 52/б; 20) у с У1.
§ 9. Уравнения, содержащие радикалы
(приводимые к уравнениям первой степени).
Решить следующие уравнения. При решении этих уравнение
следует проверить, удовлетворяет ли найденный корень данному
радикальному уравнению. Почему это необходимо сделать?
638. 1) >/я;-1-4=3;
3) /ж-|-5 = 2;
5) )/ х — а = Ъ-,
7) 2 /7= 3,
9) У Зх = 6.
И) у 2a: —3 = 7:
13) 21/Зя — 2 =
2) /5 — х = 2;
4) /Тр79=3:
6) У а— х=Ъ-}
8) |/7=5;
10) /57=10;
12) /17 —2я = 3;
14) 7/8»4-9 = 91;
— 28 —
«38. 15) у/« + 17 = 3;
17) /Зж = /2а:;
19) 2/x — 7 = 3|/я-~Т7;
21) 7 /rr — 3 = 5 \^2x — 7;
23) 9/rr— 7 — 4/5.r-—31;
25) а/я— 1 = &/1— я;
27) 3 x = 5;
29) 7 — ]rx=k
31) 5/7—8 = 6;
13) 8-|-3 | x — 7 = 23;
35) 13 — /Зж —5 = 8:
37) 1+-*%= 3.
7 1— /ж
16)4/99 —x = 6;
О
18 -J 5x=3/7«;
20) 3 /7 + 3 = 2 /7+8;
22) 4 /7+7 = 3 /ж + 14;
24) 2/Т+4 = 3/Т^1;
26) 5/х — a = 8/a — х\
28) /Г— 4 = 3;
30) 7 — 3/7=1;
32) 19 — 2/7=7;
34) 7 + 5/77+3 = 17;
>36) 7 + Г19 + Зс= 17;
38) Z7+l= “ .
I х — 2 &
39) (7 —/7)-(8 —/*) = х + 11;
41) (3/7-45)-(5 /7— 3) = 5(3х — 31),
41) (3/7— 1)2 + (4 /7- 7)г = (5 /7— 6)2-.
42) а(|/х — а) — 6 (| х — &) + a + i = 1 я;
43) /л — 3 = 3 — /я; 44) J 4х—3 = 2/7—1;
45) Уx-j-a = a — |/ х- 46) j/x + 6 — ]^х — 1=1;
47) /а2 — х + । ГЬ2 — х = а + Ь:
48) /а — х —) Ъ — rr = /a — &;
49) ] а — х +j- 6 — х = j/ а + Z>.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ,
§ 1. Решение уравнений разложением левой части
иа множители.
639. Пользуясь тем свойством, что произведение двух или не-
скольких чисел может обратиться в 0 лишь в том случае, когда
один из сомножителей обращается в нуль, найти корни ура-
внений:
1) 50 — 2) = 0; 2) 0—1)0 —2) = 0;
3) 60— 1)0 — 3) = 0; 4) жО—1)0 —2)0 —3)^0;
5) (4х — 3) (2х - 5) (Зж — 7) =0; 6) 90-|- 1) О — 2) = 0;
7) (5х—1)(3х—1)(4х4-1) = 0; 8) 0+ 1)(2®+ 1)(Зх-|- 1) = 0.
640. Написать уравнение, корнями которого служили бы
1) 1 и 2; 2) 1, 2, 3; 3) 1, 2, 3, 4;
4)1, —1; 5)1,—1,2, —2; 6) у, 2
641. Разлагая левую часть
Уравнения:
1) х2— 5х = 0;
3) 4х2 _|_ х = 0;
5) х2 —9 = 0;
7) 4х2 —25 = 0;
9) 0,01x2—1=0;
И) я2 + Зя 4-2 = 0;
13) х2 — 2х — 3 = 0;
15) х2 — я —56 = 0;
17) х2— О + &) х 4"а^=0;
уравнения на множители, решить.
2) х2-]-5х = 0;
4) х2 — 4 = 0;
6) 4x2—1=0;
8) 100x2—1 = 0;
10) х2 — 5х 4“ 6 = 0:
12) х2 — 9x4-18 = 0:
14) Х2 — 16x4-60 = 0:
16) 5x2 — 93-4-4 = 0;
18) х2— 2аж-]-а2 = 0.
— 30 —
§ 2. Неполные и двучленные квадратные уравнения.
Понятие о мнимом числе.
642. Решить уравнения:
1) х2 —Зх = 0; 2) 5х2—х = 0; 3) 7х2 + 2х = б
4) х2— nix = Q-, 5) бс2+^л: = О; 6) ах2-^Ъх = 0\
7) (х —7)(х + 3) + (х- 1)(х + 5) + 26 = 0;
8) (Зх — в)2 — (4х — 6)2 + (5х - 2) (х + 2) = 24;
9) (х-1)2 + (х+1)2 = 2;
10) (2х — 5)(Зх — 4) — (Зх + 4) (х— 2) — 10х — 28 = 0;
11) (х4-2)(х — 3)(х — 1) — х(х-|-1)(х-]-6) = 6;
12) (х а) (х — Ъ) (х 6) (х — «) 2аЬ = 0;
13) (х4-Ю)(х— 0,1) + (х — 10)(х4-0,1)4-2 = 0;
14) (х —wi) (х —п) (х -]-р) — (х — ш) (х — п)(х — р) = 2тпр.
643. Решить уравнения:
1) х2 — 4 = 0;
4) х2 = 625;
7) х2 — и = 0;
2) х2 = 25;
5) х2—«2 = 0;
8) x2 = Z;
3) х2—100 = 0;
6) х2 = пг2;
9) ac2-j-f> = 0.
644. При каких значениях р существуют числа, удовлетворя-
ющие уравнению х2-\-р = 0?
645. Решить уравнения:
1) 16х2—1=0;
4) т2х2 — п2 = 0;
7) 5х2 —0,2 = 0;
10) ах2 — ^=0;
2) 16x2 = 25;
5) иг2х2 = 1;
8) 6х2—1 = 0;
11) ах2 — иг=О;
3) 81x2 — 4 = 0;
6) а2х2 — а62 = 0;
9) «х2 —1 = 0;
' а ’
12) ах2-\-с=.О.
646. Какими свойствами должны обладать числа а и с в ура-
внении аж,2 -|- с = О, чтобы это уравнение имело корни: 1) целые,
’2) пробные, 3) иррациональные? Какие знаки должны быть у «
и с во всех этих случаях?
647. Решить уравнения:
.ч 15х_810 ох 2»_1050 ох 5х_ 800
~S~
4) (*+4)(*~|)=4; 5) (Зх-|-1,5)(3х —1,5) =54;
6) (а -]- х) (Ъ — х) (а — х) (Ъ -]- х) = 0;
— 31 —
тч\ | ® ___ 9 £ ' 04 ® I X г 5
1} •ж-4-2-' х — 2~ 3 ’ °' х — 2~t~^+2 ~ Т’
q\ л? + 3 . а? — 3_~ 1 . .0. З-т + 4 2л--|-4 „
' х — 3"Га: + 3— Z7 > 1U) Ь.г — 1 ьГ^7 —
11) (а + Ьх)г + (ах — 6)2 = 2(а2х2 4- 62);
12) (7 + х) (9—х) + (7 - х) (9 + х) = 76;
13) (2х + 7) (5ж — 9) + (2х — 7) (5« + 9) = 1874;
141 ® ® 4-6 . 151 ____
- а —х х — Ь ’ ' а + ba с~+ dx ’
1 РЛ а~х ___1 — Ъх . . 25 + a;__13 + х
' 1 — ах Ь — х ’ ' 9 -|- ® 47 — х '
648. 1) Ученик решал уравнение (х— 3)2 = (ж— 5)2 следующим
образом: „Если (х — 3)2 = (ж— 5)2, то х — 3 = ж — 5, откуда сле-
дует, что 3 —5“. В чем заключалась ошибка в его рассуждении?
Чему равняется на самом деле корень написанного уравнения?
Как доказать таким же способом, что любые два числа равны?
2) Ученик на основании формул:
(а —6)2 = а2 —2а6-]-62;
(Ь — а)2 = 62 — 2аЪ -|- а2,
нашел, что а — b^~b— а или, что 2а — 2Ь, откуда а = Ъ- получив
нелепый результат, он решил, что его ошибка в том, что не всегда
«.2—2аЬ-\-Ъ2=Ъ2—2аЬ-(-а2. Правильно ли он открыл свою ошибку?
Каким путем он заключил, что а — Ъ—Ъ — а? В чем его ошибка?
Уравнение х-\-р = О при р положительном и уравнение ах‘‘-\-с=.О
при одинаковых знаках у а и с не имеют корней среди действительных
чисел, так как квадраты и положительных и отрицательных чисел положи-
тельны, а число х при указанных условиях должно иметь своим квадратом
отрицательное число.
Чтобы выразить корни двучленного уравнения и в этом случае, в алгебре
введены особые числа, носящие название мнимых чисел.
Мнимые числа образуются при помощи мнимой единицы г.
Условия, которыми определяются свойства мнимых чисел, следующие:
1. Г- = — 1.
п раз
-j- I -j- i -j- i -|- г ... -j- I tit.
3. a i -j- Ы = (a -j- V)i.
4. Выражение a -j- Ы, определяющее соединение а действительных
единиц с Ъ мнимыми, называется комплексным числом
— 32 —
5. а-\-Ы = О лишь в том случае, когда а=О и Ь = О.
6. Сложение двух комплексных чисел определяется равенством
(a -j- Ы) + (<»' + &Ч) = « + «' + (Ь +
7. Умножение комплексных чисел определяется равенством:
(п + Ы) («' + Ь'€) = cut' я ?>/ + аЬ'1 + 12ЬЬ' =
= аа' — ЪЬ' -\~аЧ>Ч.
§ 3. Полные квадратные уравнения.
649. Решить уравнения:
1) (ЖЦ-З)2 —42 = 0: 3) (2ж4-3)2 — 169 = 0; 5) (Зж4~7)2 = 4ж2; 7) (30- 12?/)2- 36г/2 = 0; 9) (Ж + 3)2 = (5ж-]-21)2; 11) (иг-|-ж)2 = (и — ж)2; 13) (ж: — о)2 — 62 = О; 15) ж24-2ж4-1=9; 17) я2 —8*4-16=1; 19) acj 2тх + nt2— 1г = Ог 21) z2 баг -]“ 9«2 — »»2 = 0; 23) ^+« + 1 = 4; . 25) г«+38+(4)!=15; 27) гс2 + рл 4* = т2; 29) ж24~2ж = 8; 31) у2-j-32?/= 144. 2) (ж-5)2 = 25; 4) (8ж4-3)2 = 361; 6) (5г —3)2 = 16г2; 8) (2«/4-3)2-?/2 = 0; 10) (19г —6)2 —(Иг—10)2 = 0; 12) (2а-]-Зг)2=(26 —г)2; 14) г2 — 2аг-]-а2 — с2 = 0; 16) ж2 — 6ж 4~ 9 = 16: 18) у2144 = 169 — 24//; 20) у/2 — 'lay 4~ а2 = Ь2\ 22) ж2 — 8аж 4- 16а2 — Ь2 = 0; 24) ж2 —ж4--*- = 4; 26) ?/2-7у4-(з4)2=64: 28) г2 —отг4-(^)2 = «2; 30) г2 —8г = 48: 32) ж24Г10ж —24 = 0:
33) ж2 4- 14ж = 15; 35) ж2 — 12ж4-11 = 0; 37) ж2-]-ж = 2; 34) ж2— 18ж = 19; 36) ж2 4- 18ж4-17 =0; 38) ж2—ж = 12;
39) ж2 — ж4-^ = 0; 41) ж2 — Зж-]-2 = 0; 43) ж2 —9ж 4-20 = 0: 45) jr24-p.r= 4-р2; 401 ж2 4-ж 4-0,24 = 0; 42) ж24-Зж 4-2=0; 44) ж2—]— 11ж4-30=0; 46) аг2 4“ рх — 2р2 = 0; 4
— 33
649. 47) х2— тх т = 0;
49) х3 тх = Z2 ml\
51) ж2 + 2т 4-1 = 7;
53) ж2-)-4т—14 = 0;
55) т2 -}-т = 3;
57) т2— 2тх-\-т2 = п',
59) т2— 1х — п—~
61) гс2 + рж — 2>2 = О;
48) т24-_рт4-0,21р2 = 0;
50) у2 — пу — q2 — nq = 0;
52) х'-— 2х — 5 = 0;
54) т2 6т —|— 7 = 0;
56) х2 — х — 1 = 0,
58) т2-f-2пгт-|-»п2 = я;
72
60) Х2-\-1х=П —
62) х2 + рх -j- q = О.
650. Вычислить значения выражений:
«1=—^+у/г% —
р i>2
ЯС2= 2 " 4
если 2 3 4 5 £ 8 9 10 11 12
2
v~ 12 — 10 7 — 7 9 6 -8 7 1,6 ci —Ъ а — Ь — (а + Ъ) *
27 21 12 12 14 0 16 121 0,05 аЪ — аЪ ab
Написать в каждом из этих случаев уравнение, в которое
при соответственной подстановке обращается
ч
ж2 + рх -f- q = О.
651. Решить, пользуясь Г уравнения: выведенной формулой, квадратные
1) х2 -|- 2х =63: 2) х2 — 8^4-15=0;
3) ж2-}-6т = 91; 4) ж2 —40т 4-111 = 0:
5) х2 4- 2х = 1; 7) я2 —2т 4-2 = 0; 9) т24~т —56 = 0; И) ж2 — 7т = 30; 13) т2-|-ж = 1, I 15) ж2-1т = Х; ' 17) х2-| = 8; I 19) х2~ 21^4-1 = 0: 6) т2 —6т4-4 = 0; 8) т2 4- 2,4т 4- 0,8 = 1: 10) ж2 —11ж4- 10 = 0; 12) ж2 —17ж-|-60 = 0; ' 14) ж2—7ж4-и 4=°; 16) х2— 18) т«4-^- = 50; 20) ж2 — 5-|-т4-1 = 0;
Сокращен, сборник алгебр, упряжи. Ч. II.
3
34 —
651. 21) -a; 4-^ = 0;
23) ^4-1-^-1=0:
25) х2 — 0,9л- 4- 0,2 = 0;
27) а;2 4- х — 4,59 = 0:
22) т2 — 3^z4-2 = 0:
24) а?—1Ж_2-| = 0,
2G) т2 —0,4а; —0,21 = 0:
28) а;2 — 0,8х — 0.0704 = 0;
29) (а-— 1)24-(а: — 2)2 — 1 = 0;
30) (х — 1)(а; — 2)-]~2а;— 3 = 0;
31) (.г + 3) (х — 2) + (х + 2)2 = За; 4- 10;
32) (х — 2)24-(ж— 1)2_(Х_ 2)(х — 1)- 1=0;
33) (х — 5)2 + (х — З)2 4- 4 (х + 5) (х — 3)=(х 4-1)2 4- 48;
34) (а: —3)(а; —5) —(а:—3)24-(а; —5)24-2(а- —4) = 0;
35) (а; 4-а)2 4-(а:— 6)24-(а; — а) (а; 4~ 6) = а2 4~ 622*2;
36) (a;-j-а)2 4~ (л; 4" а) (х + &) + (х 4~ ^)2 = (а— &)"'<
37) .т24-2э»йг -|-q = 0.
652. Решить уравнения:
1) 2т2 — 16а-4~ 30 = 0;
3) 5^ = 165*4-740;
5) 2а;2 — Их 4- 14 = 0;
7) З*2 4- 23* — 70 = 0:
9) За-2 — 22а;35 = 0;
И) 14т2 — 33 = 71а;;
13) 25а;2 4- 2 = 30а-;
15) 7а;24-25г—12 = 0;
17) 7а;2 4-9а;=10;
19) За-2 —10а; 4- 3 = 0;
21) азе2 4" - пзе 4- Ь = О;
2) За;2 4~ 9а-= 84;
4) 4у2 — 532 = 48?/;
6) 2а-2 4-6 = 7а;;
8) 49г/2 ф- 147?/= 540;
10) 15т2 -j- 21= 44т;
12) 15а-2 4- 527 = 178т;
14) 6а;2—13а;4-6 = 0;
16) 6т2 4-5а;—56 = 0:
18) 6хг5тхт2 = 0;
20) Ют2 4-13а; — 3 = 0:
22) азе" 4- Ьзе 4- е = О.
653. Вычислить значения:
зс,— • при -f>+ а | Ь2 — 4с/с . 2г J S 3| 10 а"2 3» 10 _ — ь 4^ 21 2п 15 — 4at •» 1 3
ъ — 10 13 -13 — 13 80 - 7 8
г з' — 3 — 3 — 20 -60 12 5
Какое упрощение получается в применении написанной фор
мулы при Ъ четном (задача 652,21)?
— 35 —
654. Как преобразовать уравнение
ах2 + Ъэ + с = О к виду зс~ 4- рои + q = О?
Указать, какие значения зовании. 655. Решить уравнения: получат р и q при этом преобра-
1) 7«2 —16ж4-9 = 0; 3) 12ж24-31ж4-9 = 0; 5) 14ж2 — 9ж — 8 = 0; 7) 8ж2 — 9ж —‘14 = 0; 9) 5ж2—16ж 4*3=0; И) 10ж24*ж = 3; 13) Зг/2 4-2//—1=0; 15/ Юж2=3ж4*1; 2) 4ж2 — 20ж4-9=0; 4) 9ж2 —31ж-|-12 = 0; 6) 14*<4-9ж —8 = 0; 8) 8ж24-9ж — 14 = 0; 10) 3*2=10г — 3; 12) 6ж24*2 — 7ж = 0; 14) 7w24-7w —2 = 0; 16) Юя»2 4- 49m = 5;
17) С4Н)О + 2) = (2* — 1)(2г —10);
К (.у— 3)0/+ 4)4-(г/4-5)(у — 7) = 1У;
19) 2ж2 — (6— 2с)ж = 7)г; 21) mnz2— mz — nz—1; 20) 4ж2 —4аж4-а2 = 62; 22) (az-j-c)(cz — d) = 0;
23) (х — 6)2 4- (х 4- 4)-4- (* — 5)2 — (х 4- 6)2 4- 4х 4- 7 = 0;
24) (2ж — 1)2 4- (Зх — 2)2 — (х—2) (2,г 4- 3) — (2ж 4- 1)2 = 0.
656. Решить уравнения:
1) ж2 — 12^4-36 = 0;
3) ж2 —0,2ж-р 0,01 = 0;
5) ж2 —2л'4*1=0;
7) ж2-|-8ж-)-71 =0;
9) 4г24-6ж-{-9 = 0;
И] Зх4- 8з-4-15 = 0;
2) х2 — Юж 4- 25 = 0;
4) ж2 4- 1.6ж +0,64 = 0;
6) ж2 — 6ж 45 = 0;
8) ж24-12ж4-40 = 0;
10) 4ж2 — 12ж4-9 = 0;
12) 9ж2 —6ж4-4 = 0.
657. 1) Сколько корней имеет квадратное уравнение
Jc "Ь1>г 4- <7 = если ^ = q? Как в таком случае может быть
представлена левая часть квадратного уравнения?
2) Какому неравенству должны удовлетворять коэффициенты
пвадратного уравнения, чтобы оно имело два различных между
собой действительных корня?
3) При какой зависимости между коэффициентами р и q ква-
дратное уравнение не имеет действительных корней (имеет мни-
"ые корни)?
3*
— 36 —
658. Каким числом должен быть дискриминант Ъ2 — 4>ас уравне-
ния ах2 -J- Ъх-|- с=0, чтобы уравнение «имело: а) два различных
действительных корня? б) два равных корня? в) не имело дей-
ствительных корней?
§ 4. Свойства корней квадратного уравнения. Иссле-
дование квадратного уравнения.
659. Представить левые части следующих уравнений в виде
произведений двух множителей, из которых каждый содержит х,
найти корни и составить их сумму и произведение:
1) х2— 6х 4—8 = 0;
3) х2~ 11x4-30 = 0;
5) х2 —8x4-3 = 0;
7) ж2—(а4~₽)Я54"аЕ$ = О;
2) х24-12х —64 = 0;
4) х2— Зх — 4 = 0;
6) х2 — 9x4-11=0;
8) гс2 4- рж 4- ч = о.
660. 1) Показать, что коэффициенты уравнения ас2 4“px-\-q=0
р и q выражаются через корни уравнения хг и х2 следующим
образом (теорема Виета):
SCj 4“ ^2 = — Р-> SCjSCg = q.
2) Как выразятся сумма и произведение корней уравнения
ах2 -ь Ъж 4- с = О через его коэффициенты?
661. Не решая следующих уравнений, указать их корни:
1) ж2 — 24-х 4-1 = 0; 2j x24-3-ix4-l = 0;
3) х2 — ^т4~ 4 =0; 4) х2— («г — — 1 = 0;
5) _ 3 2-х-|--| = 0; 6) х24-4-|-х4--|=0.
662. Не решая следующих уравнений, указать: 1) какие из
уравнений не имеют действительных корней; 2) какие из уравне-
ний имеют равные корни; 3) какие из уравнений имеют оба
корня положительные; 4) какие из уравнений имеют оба корня
отрицательные; 5) какие из уравнений имеют корни: один поло-
жительный, другой отрицательный:
1) ж2 —4х4-4 = 0; 2) х2 —8x4-20 = 0;
3) х24- 16x 4-48 = 0; 4) х2 —9х—22=0;
5) 4х24-6х-j-9 = 0; 6) 4х2-{- 12х-|-9 = 0;
— 37 —
662. 7) 1Ьж24-21ж— 22 = 0;
9) 4ж24-ж-]-1 = 0;
11) 7ж2— х— 1 = 0;
8) 18л-2 —*—1 = 0;
10) 1ф*+1|г4-5 = 0;
12) 14х2-}-Иж —3 = 0.
663 . Составить квадратное уравнение, если его корни равны:
1) 5 и 7; 2) — 3 и — 5; 3) — 4 и — 8;
4) 5 и — 5; 5) 8 и —8; 6) —9 и-]-9;
7) 2 и 0; 8) 0 и 6; 9) о и 4-^;
10) 0 и — р. П) п Ь 0 и - ; а 12) 0 и-
13) 5 и 5; 14) 1 £. 2И 2’ 15) — у и —у;
16) 11 и П; 17) к 1 5 и— О 18)—1и-6;
19) 3 4 -г и о-; 4 3 ’ 20) 1 S сл| os Q4 Л 8 . * 21) - 8"ИТ’
22) а -]-* и а—Ъ \ ; 23) т 4- п т— п 2 И 2 ’ 2п 2п—т. 7 -п m
25) 1 -J- 1 3 1 — 2 - /з~. 2 ’ 26) «+/Г и а— \^Ъ.
664. Зная, что корнями уравнения ж4-|-рж 4-^ = 0 служат
Jt-j и ж2, составить уравнение, корнями которого служили бы:
1) 14- хг и 1 4-ж2; 2) ж,2 и ж22; 3) х, — и х„ — • 1 1 1 ж2 2 1 «,
665. Разложить на множители:
1) хЪ— 40а: 4-391; 2) х2 — 18ж — 819;
3) ж2 - 23.r-i-112; 4) ж2 —31ж — 180;
• 5) ж2 4- 42ж 437; 6) ж2 —19ж—120;
7) ж2- 17жД-72; 8) ж2 —54ж4-665;
9) ж2 — Их — 1452; Ю) ж2 —34ж-|-285:
И) т2 -у- 21»г — 442; 12) &2 4-30*4-209;
13) а2 4-55а 4-736; 14) Ъ2- 80*4-1431,
15) 2,2-377/4-342; 16) ж2 — 2ах-\-а2 — Ь2\
17) Юг/2 4- 23г/ — 21; 18) Зж2 —7ж4-2;
19) 2/2-21^4-10; 20) бж2 _ 35ж 4- 49;
21) г2 - (2а*4-с)z4-2а*с; 22) 9«24-21^—170.
666. Найти два числа, если среднее арифметическое и среднее
геометрическое между ними равны соответственно:
1) 13 и 12; 2) 5 и 4; 3) 65 и 16;
4) 2(я2-|-62) и 2аЪ; 5) р” -|- '1г и Р1, 6)т п и < тп.
— 38 —
667. При каких значениях а следующие уравнения имеют по
два равных корня:
1) 4ж24-аж4-9 = 0; 2) 9®2 -ф 6х -ф а = 0;
аж2 + 4х-|-1=0; 4) х2 -ф ах -ф Ъ = 0.
668. Квадратные уравнения были записаны вместе с их кор-
нями; часть записей стерлась (обозначено точками); восстано-
вить уравнения и найти вторые корни:
1) а:2 — 4ж —...; если х1 — 1, х2=...
2) .г2_ф...jr— 15; „ aj = 3, .г„ = ...
669. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты
а. Ь, с, чтобы уравнение ах2 -ф Ъх -|- с — 0 имело: 1) корни положи-
тельные, 2) корни отрицательные. 3) один корень положительный,
другой отрицательный?
670. Может ли квадратное уравнение с действительными
коэффициентами иметь один корень действительный, другой
мнимый?
671. Какое значение должен иметь параметр яг, если урав-
нение:
1) z2-\-mz -15 = 0 имеет одним корнем 3;
2) z2 -|- mz — 18 = 0 „ 3) z2-\-mz— 35=0 ., 4) z2 -ф mz — 24 = 0 ., 5) mz2 1-лг? — 7=0 .. „ ” ' I*; » + » 4-7.
672. Корни уравнения x2 -J- Их -ф It = 0 суть Тд и х2; какие
значения следует придать параметру It. чтобы
1) Гд х2 = В; 2) З-Тд - х2 = 4; 3) J* L4 II 1
4) уравнение это имело равные корни?
673. При каком соотношении между коэффициентами урав-
нения ах2-\-Ъх-\-с = 0 в нем один корень: 1) в 2 раза больше
другого, 2) в 3 раза меньше другого?
674. Б следующих уравнениях представить: 1) х. 2) у как
функцию остальных встречающихся величин.
1) У2аг = U2b2. 2) g g= 1;
3) т2 ху -ф у? = a; 4i (у — 6)2 = 2р(х->- а);
— 39 —
674. 5) (ж да)2 (у — и)2 = г2;
' 6) ах2 Ьху су2 dx - - еу -\-f = 0;
= 8)^ = 6.
' 2ху ’ ' 1лц
675. Длина пути, пройденного за время t телом, движущимся
з начальной скоростью с, выражается формулой:
, I 0^
Выразить t как функцию s.
§ >. 3 а д а ч и.
676. Решить уравнения:
1) (ж-|-8)(ж —9) = — 52;
2)(ж4-1)(жф-2) = (2ж — 1)(2ж 10);
3) (ж-3)(ж + 4) + (ж + 5)^-7)=19;
4)(Зж4-19)2 = (7ж--9)2;
5) х - 6 4- (2х +10)2 = (Зх н-4)2;
5.в2 — 72» + 418 °' За;2 + 56г — 320 _ 3. 5’ З.В2 — 8»+ 15 7.с2 —15»+27 _ 2. 5’
w 2-г3 —3»+ 10 З.г-1 + 5,е2 — 14 2. q. Эю» - 7«2 — 6 3.
3’ 4»з — 31»+ 1 4’
З.,.з^5.,;2_8 = 1 jca-p-lc — 1 = 3.г -7; . . 2’ 3 - 9л® + 12 дЛ —5д;+3 - = 2» —
< оч ж® — Зл’ + 7 »4-3. ГН 2t'2 ~7а;+5 1 3^ — 7» +8 2л + 7.
' 2»® —5» + 3 14) 2ж + 1 = 3; U.- 2г—3’ Зл? + 8’ 1-
.... х 21— х I-ч Ь— -л — ' 4 4 — х
16) ж v 8 — 3- 17 х 12—а : 26
lb,.r-3 1 с х—12 х 5’
4 ОД “1 1 ЗсС 1 2 » .л. I 14 4
20) ^±4
15—2» _ 7(t — 1) .
л— 3 5 ’
211 "Г~Ь^ । 12 х—-1 I х— 2_
1 18 "Г а;-|-4 “ 4 ' 6 ’
22) - 7—н-|----— = 12;
'2.x — 3^ ж —1
7 —X ,
11—2» "Г
4 л—5
+—1
23)
— 40 —
С-7С <5 4 4 а*—10л»-М „
676.24) а,2_б7. + 9=*- 3;
пр бЦ-гг 8—За?______ 2а"
3~х х~ rc--2’
«кд 12 10 , 11 _ 120 .
»4-1 X—’ ' X X2 — 1’
х — 2 х — 3
29)*+7=“+|;
n j \ 1 а Ъ
31) х--= -Е---:
' х о а
ооч (о- а")2 4- (а;— Ъ)2_а2 4- Ъ2_
’ (а — X)2 — (х^Ъ}2 а» — Ь2’
35) (а + ^2_ 1(?±^_1-3 = 0;
' \а — х/ 2 \а — х) 1
„„ч 2а? — 6 За?— 4 17.
* ' Зх — 4‘2х^6 4?
DQ\ ® t 4”
6+ж f J+^=2;
41) | га?-}-4 — х— 4 = -7^7;
/а?+ 4
42) /ТТ! — /5^25=--Л=_;
/а: 4-3
43) Г-'Т^ -I--Л==1/2^+9;
/а? —7
44) /2^+7—/^5 =-J=;
/а? — 5
45) а —|— х —|— ]/га — х = / 2ctz
46) a -j-x 4-j/^a — х= 2/а;
47) /а — я? + /х — Ъ — }fa — Ь;
48) /7 — х + ] х — 5 = /2.
9рл а?2 —а: 4-3 _а: 4-3 .
7 а?2 — 4х + 5 х — 1 ’
27)21--^_________— =0-
''я? ~ 9 /у — Q V’
30) а-1-х = - + ^,
71 а * за
32) а;4-- = ^-& 4-"—6:
' • х а-^Ь'а—Ь'
34) ^±Ь=Ъх-а
1 bx-j- а ах—-о
ог., 17 а-}-х ia + x{2 <
3b^ 6”o + S U + J
4R1 Зж —16 I 2а?—12_ 5.
Чх -"12Зх^- 16 — 2’
40) +
7 х— Ъ 1 х •— а Ъ 1 а
6. Исследование функции второй степени
(квадратного трехчлена).
677. Построить кривую, ординаты всех точек которой больше
ординат кривой у = х2 на:
1)2; 2)4; 3)6; 4)—1; 5) —4: 6) —5.
678. Каким перемещением параболы у — х2 в плоскости чер-
тежа могут быть получены построенные кривые (см. пред, задачу)?
— 41 —
В каждом из случаев составить выражения функций, имеющих
своей графикой построенную кривую.
679. Построить графики функций:
1) у=х2— 1: 2) г/=х24-1;
3) у — х2— 2: 4) у — х2-\-Ь.
Найти точки пересечения каждой кривой с осью х и срав-
нить получаемые при этом результаты с результатами решения
уравнений:
1) х2 — 1 = 0; 2)*24-1=0;
3) ж’ —2 = 0; 4) ж24-2 = 0.
6Г0 При каких значениях х функции
1) у = х2— 1; 2) y = x2-j-l;
3) у = х2 — 2\ 4)г/ = ж24-2
имеют наименьшее значение (minimum)? Найти это наименьшее
значение. Указать точки, координатами которых являются най-
денные значения хну. Пояснить на чертеже смысл полученного
результата. На основании чертежа и на основании выражения
функции выяснить в каждом случае, имеет ли функция наиболь-
шее значение.
681. Найти вершину параболы:
1) у = х2 — 4; 2) у = х2 -|- 9;
3) у = х2\ 4) у = х2— 0,01.
682. Как располагается вершина параболы у = х2 ф- q: 1) отно-
сительно оси ординат; 2) оси абсцисс, и какое значение при
этом имеет q, если: а) парабола пересекает ось х; б) не пере-
секает оси х\ в) касается оси х?
683. Построить кривую, все точки которой имеют те же орди-
наты, что и кривая у = х2, а абсциссы больше ее абсцисс на:
, 1) 1; 2) —1; 3) 4: 4) —4; 5) 0,5; 6) —0,5.
Каким перемещением в плоскости параболы у = х2 может быть
получена в каждом случае построенная кривая? Составить в ка-
ждом случае выражение функции, имеющей своей графикой по-
строенную кривую.
— 42 —
684. Построить графики функций:
1) 3/ = (*-3)2;
3) У = (х—0,3)2;
5) <г/ = гс2—|— 10 г-ф 25:
2) у = (*-ф1)2:
4J у = х2— 4х-}-4
6) у = х2 —
Указать для каждой из этих функций: 1) ее нулевые значе-
ния, если они существуют; 2) значение х, при котором функция
имеет наименьшее значение; указать координаты вершины пара-
болы, представляющей графику функции. Имеют ли заданные
функции наибольшее значение (maximum) или нет? Почему?
685. При каком значении q функция у = ж2 -ф рх -ф q предста-
вляет квадрат двучлена (полный квадрат)? Как располагается
в этом случае вершина параболы: 1) относительно оси х; 2) отно-
сительно оси у: а) при р > 0; б) р < 0; в) р — 0?
686. Указать, каким перемещением параболы у — х2 полу-
чается каждая из кривых:
1) з/ = (^-2)2-фЗ;
3) у=х2— 8ж-ф7;
5) у=х2-[~4к—12;
2) у = (х-]-4)2 — 8;
4) у — х2 -ф8ж-ф7:
6) у = х2 — 4» 12:
7) ?/ = л;2-ф/лг-ф</.
Найти в каждом случае наименьшее значение функции,
а также координаты вершины параболы.
687. Найти значение коэффициентов р и q функции
//.-=.;г2 -фрх -ф q:
1) если функция обращается в нуль лишь при х = ‘3:
2) если графика функции касается оси х в точке (5,0);
3) если наименьшее значение функции равно 0 и она при-
нимает его при х = — 1;
4) если функция принимает наименьшее свое значение 4 при
я = 0; при каких значениях х функция принимает зна-
чение 0?
5) если функция принимает свое наименьшее значение — 9
при ж = 0; при каких значениях х функция принимает
значение 0?
6) если функция принимает свое наименьшее значение -ф 4
при х = 3; при каких значениях х она обращается в 0?
7) если функция принимает свое наименьшее значение —
— 4 при х — 2; в каких точках ее графика пересекает
ось х?
— 43
688. Целая функция второй степени у = а?2 -ф рес -ф q обра-
щается в нуль при х =
1) —1 и 4-1; 2) —5 и 4-5; 3) -|-2 и ф4; 4) —2и —4;
5) —2 и 4*3; 6) 4 и —1; 7) —1~ w и —иг; 8) т и п.
Определить в каждом случае положение вершины соответ-
ствующей параболы и найти выражение функции.
689. Наити выражение функции у = х2 4-ДО 4” 5> если
1) при х=1 она принимает значение 3; а при х ——1
значение — 3:
2) при х = — 2 она принимает значение — 2, а при х = 2
значение 2;
3) при х = 1 она принимает значение 0, а при х = 3 зна-
чение 3.
В каждом случае найти минимальное значение функции.
690. Указать относительно функции у = х2 -j-px-j- q =
= ^4*-^)2—1) чему равно ее наименьшее значение и
при каком значении х она его принимает? 2) при каком значе-
нии дискриминанта^—q функция имеет: а) одно нулевое
значение; б) два; в) ни одного? 3) есть ли среди значений функ-
ции наибольшее значение, или всегда можно найти такие значе-
ния х, при которых она оказывается больше любого заданного
числа?
691. Построить графику функции у =— х2. Чем отличается
графика этой функции от параболы у — х2? Существует ли такое
значение х, при котором функция у = — х2 принимает минималь-
ное значение, или нет? Существует ли такое значение х (и если
существует, то какое), при котором функция «/ =— х2 принимает
максимальное значение?
692. Какие значения должны иметь корни уравнения:
1) х2 — бгг 4- q = 0; 2) х2-j-1х q = 0:
3) х2 -{-рх 4- q — 0,
чтобы q приняло наибольшее возможное для него значение? Чему
равно это значение д?
693. Какие значения должны иметь два числа, чтобы при
заданной их сумме произведение их имело наибольшее из воз-
можных для него значений?
— 44 —
694. Какие значения должны иметь два. числа, чтобы при
заданном их произведении их сумма приняла наименьшее из воз-
можных для нее значений?
Графическим представлением функции у=ж1 служит кривая, носящая
название параболы. Ось у служит осью симметрии параболы, так как
противоположным значениям ж соответствует одно и то же значение у
{у не меняет своего значения при перемене ж на —ж). Ось симметрии
параболы называется ее осью. Точка пересечения параболы с ее осью на-
зывается вершиаои параболы. Функция у = ж2 достигает своего наи-
меньшего значения (minimum’a) в вершине параболы при ж = О\ это
наименьшее значение функции у = ж2 равно нулю; при всех других зна-
чениях ж как положительных, так и отрицательных, функция имеет значе-
ния, большие нуля. В точке (0,0) парабола у = ж2 касается оси ж.
(п \2 /\
+2) —(4—в) имеет своим
графическим представлением ту же параболу, но смещенную в плоскости
[у (у2 \ 1
— 2’ —--------о ’
а ось параллельна оси у. Функция достигает своего minimum’a при
р (У2 \ т
ж =—g-; minimum этот равен — I -^- — 7 • Таким образом координаты
вершины параболы представляют значения независимой переменной и функ-
ции, соответствующие ее minimum’y.
Функция у = — ж2 имеет своим геометрическим представлением пара-
болу, симметричную параболе у = ж2 относительно о:и ж. Все значения
этой функции отрицательны за исключением значения О, которое функция
принимает в вершине параболы при ж = О. Это значение функции является
ее maximum’oM (наибольшим значением).
Геометрический смысл решения ура .нения ж2 -f- рж -^-q = O сводится
к отысканию точек пересечения параболы у = ж2 + рж + у с осью ж.
I- Р2
Если дискриминант уравнения —---q, равный по своему значению числу,
противоположному ординате вершины параболы, положителен, то функция
имеет отрицательный minimum, а парабола пересекает ось ж в двух точ-
ках; точки эти симметричны друг другу относительно прямой ж ——
Оси параболы), так как их ординаты равны О, и на основании теоремы
Виета полусумма абсцисс = — у, а если дискриминант равен нулю, то
— 45 —
minimum функции равен О, а парабола касается оси а в своей вершине
(уравнение имеет равные корни); если дискриминант отрицателен, то функ-
ция имеет положительный minimum, и кривая не пересекает оси х (урав-
нение не имеет действительных корней).
§ Производная и применение ее к исследованию
квадратного трехчлена.
695. Построить графику функции у=Ък-\- Ъ (напр., при 1с = 2,
6=1); вычислить значение функции при я-=1; ж, = 2; ж2 = 3;
х3 = 4. Вычислить приращения функции у : уг — у\ у2 — у, у3 — у,
соответствующие приращениям независимой переменной а",—ж=1т
хг — х — 2, х3— х = 3, если под у разуметь значение, соответ-
ствующее значению независимой переменной х = 1. Чему равны
значения
отношений:
Vi — Ч Ч* — Ч У* — Ч о тт »
————- ? На основании графики
ж,— ж х2—-х х3 — х , c i
функции объяснить тот факт, что значения этих отношений оди-
наковы. Вычислить значение этого отношения для произвольных
значений х2 и х (х-^х). Какой геометрический смысл имеет
найденное отношение приращений?
696. Построить графику функции у=х2. Полагая х= 1, хг = 2,
х2 = 3, ж3 = 4, вычислить значение отношений приращений: '^2^'
~; построить на чертеже точки с координатами (я, у)г
(я,, 2/1)’ (ж2, 2/г)» ^з> 2/з); соединить точку (х, у) с остальными
построенными точками прямыми и указать геометрический смысл
отношения приращений; почему значения этих отношений оказы-
ваются различными?
697. Найти общее выражение отношения приращения функ-
ции у — х2 к приращению независимой переменной, сокращая выраже-
ние ~на разность х, — х.
Подобным же образом найти выражение отношения при-
ращения функции к приращению независимой переменной
А у у, — у ,
для Функции:
1) у = х\ 2) у=2х; 3) «/= 2гс Ц— 3; 4) у — 2х—3:
5) г/ = 2тгж; 6) у = 2х?; 7) у—~х2; 8) у = х2-\-2.
— 46 —
698. Определить отношение приращений функции у~х2
/\ х
для точки, абсцисса которой ж = 3. Абсцисса другой точки полу-
чает последовательно значения #,=0; 1: 2; 2,9: 2.99;... Вычи-
слением и, насколько окажется возможным, на чертеже выяснить.
А?/
к какому пределу стремится отношение Л , если расстояние по-
А х
движной точки от неподвижной неограниченно уменьшается. Вы-
числить отношение приращений, принимая ж = 3, а ^ = 5; 4: 3,5;
3,1; 3,01. Показать, что и в этом случае
стремится к тому же пределу.
699. Вычислить предел отношения
= lim у'
= 3, a #j = 5; 4: 3,5;
отношение приращений
приращений: lim =
(производную) для следующих функций [производная
функции у обозначается посредством у': производная функции
обозначается посредством
1) у — х; 2) у=2х: 3) у - ах~
4) у = х-]-4; 5) у=— За 4-2: 6) ^ = ^4-/2:
7) у — ах -|- Ь; 8) у = 2х2; У)
Ю) у = ах2; 11) у = х2-\-2; 12)
13) а2 । i 14) у = х2-\-х-. 15) у = х2 — 2х + 3;
16) у — ах2 -ф Ьх; 17) y = x2-\-px-\-q\ 18) у = ах2-}- Ьх 4-с.
700.
угловые
Определить для функций, данных в предыдущей задаче,
коэффициенты касательных к их графикам в точках:
1) ж = 0, 2) х = 1, 3) ж = —3.
Minimum п maximum целой функции второй степени.
701. Начертить графики следующих функций и их про,
изводных:
1) у = х2; 2) г/ = re2I; 3) у — х2—1:
4) у = х2 -f- 2х -|- 1; 5) у = х2— 5х -|- 6: 6) у~ х2 4-5а -|- 6:
7) у — х2— х — 6; 8) у — х2-)-х — 6: 9) у=х2 — йкЦ-1.
Как располагается графика производной в той области зна-
чений х, в которой с возрастанием х функция у: а) убывает,
— 47 —
б) возрастает? Какой знак имеет значение производной в той
области изменения х, в которой функция: а) убывает? б) возра-
стает? Почему? Где лежит точка графики производной, соответ-
ствующей наименьшему значению у? Как располагается каса-
те.ц-ная к кривой y=f(x) в этой точке? Почему значение про-
из^дной должно в этой точке равняться О?
702. Проследить, как меняется с изменением (возрастанием)
х угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кри-
вой у=х2— 2 в точке с абсциссой х. 1) Указать наименьшее
абсолютное значение, которое получает при этом угловой коэф-
фициент, а вместе с ним и угол, и определить, при каком зна-
чении х получается это наименьшее абсолютное значение. 2) Ка-
кое значение принимает при этом у? 3) К какому значению
стремится угловой коэффициент и к какому значению стремится
угол, если х стремится к: а) 4- оо, б) — со? Все вопросы решить
как вычислением, так и из рассмотрения чертежа.
703. Определить minimum (значение переменного независи-
мого, которое соответствует наименьшему значению функции, и
значение самой функции) следующих функций:
1) у = х2-\-2',
3) г/ = 3#2— 1;
5) у = 2х\
7) у =. х2 4~ За? 4 4;
9) у=.2х2-^ + 4:
11) 2/=^4-Ж-17;
2) у = х2—3;
4) г/ = а:а4-3а;;
6) у = За:2 — х;
8) «/—ж2 — 4x4-2;
10) у — 2х2 — 8а;-{-1;
12) у = Юж2 -4- Юж + 7.
704. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
y = X2-\-pX-\-q
И значениями т и п координат точки, в которой функция дости-
гает своего minimum’a (вершина параболы)?
705. Какое соотношение имеется между коэффициентами
Функции
у = ах2 -|- Ъх -j- с
ПРИ а>0 и значениями т и п координат точки, в которой
Венеция достигает своего наименьшего значения*1 11
— 48 —
706. Какие значения должен имет коэффициент р функции
второй степени y = x2-\-px-\-q, если minimum ее соответствует
значению х\ 1) wm = 2; 2) хт = — 3; 3) жт = 0; Ь)хт = а? Написать
для каждого случая общее выражение функции.
707. Какой вид (т.-е. каковы значения коэффициентов р и q)
имеет функция второй степени
у = х2 -\-рх -ф q,
minimum которой имеет место при:
1) *,„=1 и Ут = — 3; 2) жт = 0 и ут = — 2,5:
3) ^т = +1,5 и 3/т = + 2; хт=Р и Ут = Я?
708. Исследовать, какое соотношение имеет место между ди-
скриминантом уравнения х2 -{-рх -ф- q — 0 и минимальным -значе-
нием функции
y = x2-\-px-\-q?
709. По графикам определить точки,'в которых производные
следующих функций получают значение 0:
1) У=~%; 2) </ = -2^ + 3;
3) у=— х2-$-2х—1; 4) у = — ах2 -ф Ъх -ф с приа>0;
5) у=(8 — 2х)2 — (1—Зж)2; 6) «/ = (ж— а) (6 — х).
Как следует назвать в этом случае то значение функции, кото-
рое соответствует обращению производной в 0?
710. В скольких точках ось х пересекает графику функции
у = — ах2 -ф- Ъх -ф- с,
если а есть положительное число, и если значение maximum'a ее:
1) положительно; 2) равно нулю; 3) отрицательно?
711. Какой вид имеет функция второй степени
У = — x2-\-px-\-q,
если она достигает своего minimum’a при значении:
1)жт = ф-1; 2)жт=—3?
712. Имеет ли функция у—1сх-\-Ъ maximum или minimum, или
нет? Почему?
— 49 —
713. В следующих задачах воспользоваться тем, что произ-
водная пройденного пути по времени равна скорости. При этом,
конечно, путь рассматривается как функция времени.
Путь, пройденный свободно падающим телом, определяется
формулой
Определить скорость падения: 1) по истечении 1, 2) 2;
3) 3,2 секунды после начала падения (</ = 9,81, если s дано
в метрах, t — в секундах).
2) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вниз
с начальной скоростью с, определяется формулой
s = ct + Т ff12-
Определить скорость, если с =12,5 м в секунду: 1) через 1;
2) через у; 3) через 2,5 секунды.
3) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вверх
с начальной скоростью с, определяется формулой
Определить скорость тела: 1) через 3 секунды; 2) через сек.,
3) сравнить скорости в момент — t и
Задачи на maxima и minima.
714. 1) Какой высоты достигает тело, брошенное вертикально
вверх с начальной скоростью с, т.-е. при каком значении t выра-
жение пути s = с/— Zi2, пройденного телом, достигнет своего
maximum’a? Определить значение этого maximum а.
2) Отрезок, в 100 .и длиною, разделить на два таких отрезка
чтобы площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках,
была наибольшая.
3) Разделить отрезок, длиною в 24 м, на такие две части,
чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих отрезках,
была бы наименьшей.
Сокращен, сборник алгебр, увражи. Ч. II.
4
— 50 —
714. 4) На какие слагаемые следует разбить число а, чтобы
произведение их было наибольшее?
5) Какой из прямоугольников с одним и тем же периметром
имеет наибольшую площадь?
6) Какой из всех треугольников, сумма основания и высоты
которых равна а, имеет наибольшую площадь? Как велико это
значение площади?
7) На сколько следует уменьшить большую сторону а прямо-
угольника и увеличить меньшую сторону Ъ, не изменяя при этом
периметра, чтобы площадь прямоугольника достигла своего maxi-
mum’a? Определить площадь нового прямоугольника и узнать,
насколько она больше площади первоначального прямоугольника.
8) Вписать в данный круг прямоугольник с наибольшей пло-
щадью.
9) В данный круг вписать прямоугольник с наибольшим
периметром.
Если от значения независимой переменной х мы переходим н значе-
нию жл, то разность жл— ж называется приращением независимой пере-
менной и обозначается либо
as3—х = Дх, либо so, — x = h.
Если при значении независимой переиенной .» значение функции
было у — а при значении независимой переменной х, значение фун-
кции был? то разность
!h — V=/(«i) —/(«) — /(•*'(- Д.г) /(*) =/(х + Л) —/ СО
называется приращением функции и обозначается:
Уг — У = Д!/;/('« + Д«й) /(&) = Д/(«).
Для линейной функции у = Ъж-\-Ъ отношение ~ приращения функ-
ции к приращению независимой переменкой имеет постоянное значение (не
зависящее ни от того, при каком значении ж мы вычисляем это отноше-
ние, ни от того, какое значение имеет Дх) и равно угловому коэффи-
циенту прямой, представляющей функцию у = кж-[-1>.
Для функции второй степени у = азо2 Ц- Ъж + с отношение пред-
ставляет величину переменную, зависящую 1) от того, каково то начальное
значение ж, котопому дается приращение Дх, и 2) от того, какое значе-
ние мы даем приращению Дх.
— 51
Если значение Аж неограниченно уменьшать, то для функции
у = ах- 4- Ьх с приближается к некотог ому пределу, равному 2ах и,
называемому производной этой функции. Производная квадратного трех-
члена у — ах- -]- йх сама представляет некс_орую функцию х: она
завиА 01 х. но уже не зависит от значения приращения.
;и тех значениях х. при которых производная положительна (каса-
тельная к кривой образует положительный острый угол с о»ью ж), функ-
ция возрастает с возрастанием ж: при тех значениях х, при ко-
торых производная отрицательна, функция убывает с возрастанием ж.
Если при некотором значении х производная обращается в 0, то ка-
сательная к кривой оказывается параллельной оси ж. В этом случае функ-
ция второй степени у — ах2 Ъх-\-с достигает своего minimuni а
(при « > 0) или maximum'a (при а < 0).
§ S. Уравнения, решение которых приводится
к решению квадратных уравнений.
Уравнение с легко угадываемыми (одним или несколькими)
корнями.
715. 1) Показать, что х3 ах- Ъх с делится без остатка
на х— ха, если хл есть корень уравнения х3 ах2 Ъх4~ с = 0.
2) Какого члена не должно содержать уравнение, если один
из его корней равен О?
716. Решить уравнения:
1) х3 — 4г-2 — х = 0; 2) х3 — 6х2 - 16х ~ 0;
3) х3 — 1 = 0; 4) х34-1=0;
5) х3 — 8 = 0; 6) х3 —0,001=0;
7) х34-,ЭТ=0; 8) х* — 16=0;
9) Xs X2 — х 4- 1 = Or Ю) х3 — х24-х —1=0;
1) X3 —27 = 7 (ж—3); 12) х4 —16 = 2 (х2 — 4);
13) х2 —21x4-1=0; 14) х2 4-31x4- 1=0;
15) (х—7)34-2(х-7)34-(х 7) = 0.
С равнения, решаемые введение ьспомогательного неизвестного.
Трехчленные уравнения.
717. 1) (З-г-4-1)2 —10(3x4-1)4-21 = 0;
2) (5«/4-4)2-5(5у4-4) — 36 = 0;
3) (3? — 8)3 5 (3^ — 8) — 150 = 0;
4’
— 52 —
717. 4) (7х4- 3)2 = 17(7x4-3)4- 60;
5) (mx 4- w)2 — (a 4- 2) (mx -j- n) 4“ 2a=0;
6) 4(у4-й)2 — 4а(у4-й)4-а2=-^2;
2х~6 7 I Зж — 4__ 17.
Зх-4-т_2.1—6~ 4’
в> £4г)’+|(|Й)+3=0- 91
718. li х4—10х24-9 = 0;
3) х4 — 20х2 4-64 = 0;
5) У4 4- 9у2 = 400;
7) х4—30х24-36 = 0;
9) х4 — 12х2 — 64 = 0;
11) (х2 — 10) • (х2 — 3) = 78;
13) (х2 —5)2-{-(х2—1)2 = 40;
15) х4 — 14а:2 — 15 = 0;
17) 10а:4 — 21 =х2;
19) а:4 —0,29а:2 4-0,01 = 0;
21) х4 —ах24-й2 = 0;
23) х4 — 4 (а2 4- й2)х2 4- 16а262 = 0;
24) (х2-}-ах)2-\-т(х2-\-ах)=р.
2) х4 —21x2=100;
4) х4 — 13а:24-36 = 0;
6) х4 —5х24-4 = 0;
8) ж4 —26x2 4-25 = 0;
10) х4 — 20х2 4- 64 = 0;
12) х4 4-9 = 10х2;
14) 6х4 — 35 = 11x2;
16) х4 4- 18x2 4-1=0;
18) х4 —8,6х2-|-18 = 0;
20) 4х4 — 41х24-Ю0 = 0;
22) 10(у4-3)44-19(у4-3)2 = 810;
719. 1)-<6 — 9x34-8 = 0; 2) х«—35х3-|-216=0;
3) хб —2x3-j-l=0; 4) х®4-7х3 —8 = 0;
5) (х 4- 2)8 — 97 (х 4- 2)4 4-1296 = 0;
6) 16x8 — 257х44_ 16 = 0;
7) х’о -33xE4-32 = 0;
9) х — 6l/x4-5 = 0;
ll)x-|-j/x = 30;
8) хю 4-ЗЗх® 4-32 = 0;
10) x4-10 = 7j/x;
12) х —3/х = 28.
Возвратные уравнения.
720. Решить уравнения:
1) X2 -2ух4-1 = 0;
3) х3-]-2х24“2х1 =0;
5) х3 —Зх2 — За +1 = 0;
7) 2х3— 7х24-7х — 2 = 0;
9) 6х3—19х24-19а 6 = 0;
11) 2х44-5хэ — 5х — 2 = 0;
13) 2О.г4 — 41Х3 4-41х — 20 = 0;
2) 10х2 4-101х-|-10 = 0;
4) х3 — 2х2-}-2х—1=0;
6) Зх3—7х2 — 7x4-3— 0;
8) 2х3 4-7х2 4-7x4-2 = 0;
10) 6х3—7х2 — 7х-}-6 = 0;
12) 6х4— 13х3-|-13т — 6= 0;
— 53 —
720. 14) (»ч4)' 4(a’+i) + 6 = 0;
* 15) «! + ^-4(«44)-:i=0;
16) ж*- 2rr3-|-2rr2 — 2а;4-1=0;
17) 2а;* —5х34-4а;2 5а;-}-2 = 0;
18) 2а;* —9а,-з 4-14а-2 _ 9^ 2 = 0;
19) 2а;* —я3 —ба;2 —ж 4.2 = 0;
20) 3z* —16а;34-26а;2 16а; 4-3 = 0;
21) 2.т54-3а^ —5жЗ —5а;2 4-Зз-4-2 = 0;
2 2) 2а;5 — 7.г* 4- 9а;3 — 9-с2 4~ 7а; — 2 = 0.
§ 9. Задачи на составление уравнений 2-й степени
с одним неизвестным.
721. 1а) Произведение четвертой и пятой долей некоторого
числа равно 500. Найти это число.
1б) Произведение третьей доли некоторого числа на число,
в 5 раз его большее, равно 540. Найти это число.
1) Произведение суммы некоторого числа и единицы на раз-
ность между тем же числом и единицей равно 360. Определить
это число.
2) Если к искомому числу прибавить 7, а затем от него от-
нять 7, то’ сумма квадратов полученных результатов равна 1066.
Определить число.
3) Квадрат суммы двух последовательных целых чисел ра-
вен 529. Найти эти числа.
4) Найти два числа, если известно, что одно из них на столько
больше 100, на сколько другое меньше 100, а произведение этих
чисел равно 9831.
5) Сумма квадратов двух чисел, из которых одно на столько
больше 5S, на сколько другое меньше этого числа, равна 6970.
Найти эти числа.
6) Сумма квадратных корней из двух чисел, из которых одно
на столько больше 37, на сколько другое меньше 37, равна корню
квадратному из 74. Найти эти числа.
6а) Решить предыдущую задачу, заменяя 37 числом 58 и по-
лагая сумму корней равной 14.
6в) Найти число, если известно, что число, в 29 раз большее
искомого, превышает его квадрат на 190.
— 54 —
721. 7) Если искомое число умножить на 10, то получится
число, которое на 999 меньше квадрата искомого числа. Определить
число.
8) Разложить 53 на два слагаемые, произведение кото-
рых равно 612.
9) Разложить 42 на два слагаемые, произведение которых 441.
10) Разложить на два слагаемые, произведение кото-
1
рых равно — («44-а2б2Ц-64).
4 ь
И) Разложить 384 на два множителя, разность между кото-
рыми равна 8.
12) Разложить 2268 на два множителя, сумма которых равна 99.
13) Сумма квадратов двух чисел, из которых одно больше
другого на 12, равна ИЗО. Найти эти числа.
14) На сколько следует увеличить каждый из сомножителей
произведения 24.20, чтобы произведение увеличилось на1 540?
15) Определить два числа, зная, что их произведение
равно Э00, а частное 4.
16) Два числа находятся в отношении 5:4. Если каждое из
них увеличить на 15, то разность квадратов вновь полученных
чисел будет равна 999. Найти эти числа.
17) Разложить 36 на два слагаемых, произведение которых
относилось бы к сумме их квадратов, как 3:10.
18) Разложить 70 на два слагаемых, произведение которых
относилось бы к разности их квадратов, как 6:5.
19) Если 4^- разделить на неизвестное число, то частное ока-
жется равным разности между 4-J и этим числом. Найти это число.
19а) Какое число при делении на 5 дает в результате еди-
ницей больше, чем при делении 360 на искомое число?
20) Произведение двух чисел равно 2744, а частное 1 i.
Найти эти числа.
21) Сумма двух чисел равна 40, а сумма их квадратов отно-
сится к разности квадратов, как 17:8. Определить эти числа.
22) Разложить 900 на два таких ^слагаемых, чтобы сумма их
обратных значений была равна обратному значению числа 221.
22а) При увеличении произведения двух чисел на их сумму
в результате получается 999. Найти эти числа, если известно,
что первое больше второго на 15.
— 55 —
721. 23) Знаменатель дроби на 4 больше числителя; если чи-
слитель уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на то же чи-
сло, то порченная дробь будет в два раза меньше первоначальной.
Найти дрЖ|.
24) Сумма числителя и знаменателя дроби равна 100; если бы
числитель был на 18 больше, а знаменатель на 16 меньше, то
значение дроби было бы в 2 раза больше первоначального.
Найти эту дробь.
25) Разность двух дробей, имеющих числителем единицу,
равна а сумма их знаменателей равна 42 Найти эти дроби.
26) Сумма двух дробей равна у, числитель первой дроби 1,
числитель второй 3, сумма знаменателей 48. Найти эти дроби.
27) Произведение двух дробей равно 1, разность их знаме-
нателей 4; числитель дроби, имеющей больший знаменатель,
на 7 меньше своего знаменателя, а числитель другой дроби на 1
меньше своего знаменателя. Найти эти дроби.
28) Дробь, у которой числитель на 1 меньше знаменателя,
будучи сложена с обратною ей дробью, т.-е. имеющею числи-
телем знаменатель, а знаменателем числитель первой, дает
в сумме 2 Найти эту дробь.
29) Найти двузначное число, зная, что сумма его цифр
равна 10; если цифры числа переставить и вновь полученное
число умножить на первоначальное, то получится 2944.
30) Сумма двух чисел равна 209. Если к квадратному
корню из первого числа прибавить второе, те получится 44.
Найти эти числа.
31) Сумма двух "чисел равна 290; сумма квадратных корней
из этих чисел равна 24. Найти эти числа.
32) Трехзначное число, изображенное одинаковыми цифрами,
по разделении его на произведение его цифр дает в частном 12у.
Найти это число.
33) Сумма двух чисел равна 40, сумма кубов этих чисел
равна 17080. Найти эти числа.
34; Разность двух чисел равна десяти, разность их кубов
равна 20530. Найти эти числа.
35) Разность кубов двух последовательных чисел равна 7.
Определить эти числа.
— 56 —
721. 35а ) Сумма двух чисел 7110, сумма кубичных корней из
этих чисел 30. Найти числа.
356) Если произведение трех целых последовательных чисел
разделить сперва на первое из них, потом на второе и, наконец,
на третье и полученные частные сложить, то получится 26.
Найти эти числа.
36) Найти три последовательных числа, произведение кото-
рых равно их сумме.
37) При каком основании системы счисления число 7 оказы-
вается записанным в виде 111?
37а ) При каком основании системы счисления число 81 изо-
бразится в виде 311?
722. 1) Куплено сукна на 100 руб.; при покупке такого же
сукна во второй раз сделали уступку по 50 коп. на каждый метр,
вследствие чего получено на 100 рублей 10-ю метрами больше,
чем в первый раз. Сколько метров сукна куплено было в пер-
вый раз?
2) На 1 рубль куплены тетради. Если бы каждая тетрадь
стоила копейкой дешевле, то тетрадей было бы куплено на 5
больше. Что стоила тетрадь?
3) Если скорость поезда на расстоянии 1200 км увеличить
на 10 о в час, то поезд пройдет то же расстояние на 10 часов
скорее. Определить, сколько километров в час проходит поезд?
4) По обе стороны улицы, длиной в 1200 м, во вновь разби-
ваемом поселке лежат полосы земли, отведенные под участки,
одна шириною 50 я, а другая 60 м. На сколько участков разбит
поселок, если узкая сторона содержит на 5 участков больше,
чем широкая, но на ней участки каждый на 1200 кв. м меньше,
чем на последней?
5) Капитал, находившийся в предприятии, обратился через
5 лет в 11200 рублей. Найти капитал и таксу процентов, по ко-
торой он был отдан, если такса составляет тысячную долю числа
рублей капитала.
6) Посредством двух труб бассейн наполняется в 8 часов.
Во сколько времени каждая из труб может наполнить бассейн
отдельно, если первая труба наполняет его на 12 часов скорее,
чем вторая?
7) Расстояние между Москвою и Ленинградом равно 654 км.
Курьерский поезд проходит этот путь на 10 часов скорее поезда,
состоящего из вагонов четвертого класса, причем проходит в час
— 57 -
ria 32,6 км больше поезда четвертого класса. Во сколько часов
проезжает курьерский поезд -расстояние от Москвы до Ленин-
града?
72?. 81 в за пешехода вышли одновременно друг другу на-
встречу и Wr етияись через три часа; во сколько времени пройдет
все расстояние каждый из них, если первый пришел в то место,
из которого вышел второй, 2у часами позже, чем второй при-
шел в то место, откуда вышел первый?
9) Посредством двух труб бассейн наполняется в 4,2 час.
Вс сколько времени каждая из труб может наполнить бассейн
отдельно, если первая труба наполняет его на 8 час. медленнее,
чем вторая?
10) А может окончить некоторую работу пятью днями позже,
чем Б, и девятью днями позже, чем С; А и Б вместе могут окон-
чить ту же работу во столько дней, во сколько ее может окон-
чить С. Во сколько дней каждое лицо в отдельности может окон-
чить эту работу?
10а) На коллектив было получено 112 килограммов хлеба.
Если бы членов коллектива было 2-мя больше, то каждый из них
получил бы на 2,8 кг меньше. Сколько было членов коллектива?
10б ) Лист бумаги содержит 90 кв. см. Определить, какова ши-
рина этого листа, если известно, что длина его на 9 см больше
ширины.
10в) Лодка, идя все время на веслах, спускается по течению
реки на 7 километров и снова возвращается в исходный пункт.
На все это она тратит 2у часа. Определить скорость движения
лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км в час.
10г) Население двух дачных поселков состоит из 16000 че-
ловек. Население одного из поселков увеличивается ежегодно
ла 180 человек, а другого на 400 человек. Выразить в процентах
прирост населения, если известно, что прирост населения вто-
рого поселка на два процента больше первого.
с индусского из Бхаскары (род. в 1114 г. нашей эры). 11) Стая
обезьян забавлялась; число их, равное квадрату восьмой их ча-
сти, бегало в лесу, остальные двенадцать кричали на верхушке
холма. Сколько было обезья:!?
12) Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на 7, спря-
тался в гроте, одна обезьяна, взлезшая на дерево, была видна.
Кодько было обезьян?
— 58 —
Задачи с геометрическим содержанием.
723. 1) Определить диагональ квадрата, если его периметр!
равен: 1) 100 с.м; 2) а.
2) Радиус круга равен 100 см; определить сторону вписан-
ного квадрата.
3) Периметр вписанного в круг квадрата равен 20 сж. Опре-
делить диаметр круга.
4) Сторона вписанного в круг квадрата равна 20 см. Опре-
делить сторону описанного квадрата.
5) Диагональ квадрата на 5 см больше его стороны. Опре-
делить сторону.
6) Сумма стороны и диагонали квадрата равна 10 см. Опреде-
лить площадь квадрата.
7) Определить диаметр круга, если сторона квадрата, впи-
санного в этот круг, на 1 метр больше радиуса.
8) При увеличении стороны квадрата на: I) 3 с.и; 2) а см;
площадь его увеличивается в 4 раза. Определить первоначальную]
длину стороны квадрата.
9) Периметры двух квадратов дают в сумме: 1) 40 см: 2) а ев;
суммы площадей равны соответственно: 1) 58 кв. см; 2) Ь кв. св.
Определить стороны квадратов.
10) В квадрат вписан равносторонний треугольник так, что
одна из его вершин совпадает с вершиной квадрата, а две другие
лежат на сторонах его. 1) Определить сторону равностороннего
треугольника, если сторона квадрата а. 2) Определить сторону
квадрата, если сторона треугольника равна Ъ.
11) Стороны прямоугольника относятся, как 12:5; определить
стороны, если диагональ равна 29,9 см.
12) Площадь прямоугольника равна 1440 -кв. м. Как велики
его стороны, если одна длиннее другой на 18 .в?
13) Сумма двух неравных сторон прямоугольника равна 18,4 дм,
а площадь равна 84 кв. дм. Определить стороны.
14) Сад имеет вид прямоугольника, длина которого на 2 •«
больше ширины, а диагональ 58 ж. Определить площадь сада.
15) Одна из сторон прямоугольника на 19 ж больше другой.
Если бы меньшая была на своей длины больше, а большак
на -i- своей длины меньше, то площадь всего прямоугольника ока-
залась бы на 1320 кв. м меньше. Найти стороны.
— 59 —
723. 16) Периметр прямоугольника равен 78 м, а пло-
щадь 350 кв. м. Определить стороны.
17) Полупериметр прямоугольника равен р см, а площадь
равна площади квадрата со стороною в т ел. Чему равны стороны?
18) Найти прямоугольник, равновеликий квадрату со сторо-
ною т снесли разность сторон прямоугольника равна <1 см.
19) Жощадь прямоугольника, большая сторона которого на
99 л больше другой стороны, не изменится, если большую сто-
рону сделать равной 972 .и, а меньшую сторону уменьшить на
133 л. Определить площадь и стороны прямоугольника.
20) Внутри одного прямоугольника со сторонами 50 v и 48 л
помещен другой так, что расстояние между их сторонами везде
одинаково. Площадь полученной рамки в 19 раз больше площади
меньшего прямоугольника. Определить ширину рамки и ее
площадь.
21) Вокруг грядки, имеющей форму прямоугольника со сто-
ронами в 3 к и 4 л, следует положить газон одинаковой ширины,
площадь которого должна быть в 10 раз больше площади самой
грядки. Определить ширину газона.
22) Размеры прямоугольной клумбы равны 4,5 л и 2 л 37,5 см.
з
Определить ширину дернового бордюра, если он покрывает
всей площади клумбы.
23) Длина и ширина прямоугольной клумбы равны соответ-
ственно 2.5 л и 1,5 л; площадь, занятая цветами, равна 231 кв. дм.
Определить ширину дернового бордюра по краям клумбы.
24) План дома имеет вид прямоугольника; длина дома равна
1 м, ширина 10 и. Во сколько кирпичей построен дом, если
площадь дома внутри, включая перегородки, равна 180 кв. л
(ширина стен в „кирпичах" определяется числом кирпичей, ко-
торое можно положить поперек стены, кладя кирпичи их длинной
стороной), если размеры кирпича: 28 см, 14 см, 1 см?
25) Катеты прямоугольного треугольника относятся между
собой, как 3:4. Определить длину катетов, если гипотенуза
Равна 555 м.
26) Площадь прямоугольного треугольника содержит 216 кв. л,
№ма катетов равна 42 л. Определить катеты.
27) Определить площадь прямоугольного треугольника, в ко-
т°ром гипотенуза больше одного из катетов на 49 дм и больше
дРугого на 18 дм.
— RO —
723. 28) Определить периметр прямоугольного треугольника, пло.
04 3 I
щадь которого равна 24 кв. м и один из катетов составляет другого.
29) Определить площадь прямоугольного треугольника, в ко-
тором сумма катетов равна 127 дм, а гипотенуза больше одного
из них на 1 дм.
30) Определить стороны прямоугольного треугольника, в ко-
тором разность катетов равна 2 Ли, а гипотенуза больше мень-
шего катета на 18 дм.
31) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37 «.
а сумма катетов 47 м. Определить катеты.
32) Гипотенуза 17 м, а разность катетов 7 м. Определить катеты.
33) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 аги
потенуза 26 м. Определить катеты.
34) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла
треугольника на гипотенузу, равен 9,6 м; разность отрезков ги-
потенузы равна 5.6 м. Определить стороны.
35) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а, соот-
ветствующая ей высота h. Определить отрезки гипотенузы. Вы-
числить отрезки, полагая а = 34 см, h =15 см.
36) Сумма диагоналей ромба, сторона которого равна 1( ' вл.
равна 19 см. Найти диагонали.
37) Определить число сторон многоугольника, имеющего:!
1) 54; 2) 20; 3) п диагоналей.
38) Какой многоугольник имеет на 12 диагоналей больше,
чем сторон?
39) Диаметр круга равен 13 дм-, перпендикуляр, опущенный
на него из точки, находящейся на окружности, равен 6 дм. Опре-
делить отрезки диаметра.
40) Две секущие проведены из одной точки, взятой вв
круга; внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 ••
внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнег
ее отрезка. Определить длину второй секущей.
41) Секущая и касательная проведены из одной точки, взято'
вне круга; сумма их равна 84 см; внешний отрезок секущей на 9 4
меньше касательной. Определить длину каждой из этих двух линий
42) Хорда удалена от центра на: 1) 10 см; 2) а см. НанА
длину хорды, если она на: 1) 4 см; 2) Ъ см больше радиуса.
43) Из точки, удаленной от центра на: 1) 8 см, 2) d см, Щ
ведена касательная. Определить длину касательной, если раДн?
— 61 —
равен: 1) см-, 2) а см. Определить длину радиуса, если касатель-
ная равна: 1) 6 см-, 2) b см.
723. 44) Из данной точки проведены касательная и секущая
к данному кругу Касательная равна 32 см, образовавшаяся хорда
равна 4,8 см. Определить длину секущей.
45),Три измерения прямоугольного параллелепипеда находятся
в OlH JRhhhx 3:4:5. Поверхность его равна 376 кв. см. Найти ребра.
46) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
равны 12 м и 9 м, диагональ параллелепипеда равна 17 м. Опре-
делить высоту параллелепипеда.
47) Из железного листа приготовлена открытая сверху ко-
робка таким образом, что по углам вырезано по квадрату со сто-
роной в 4 й и края обрезов склепаны; какого размера был же-
лезный лист, если длина его вдвое больше ширины и если объем
коробки оказался равным 768 куб. дм?
48) Поверхность тетраэдра равна а) 100 кв. см, б) а кв. см.
Определить ребро.
49) Поверхность октаэдра равна: а) 100 кв. с.«; б) а кв. см.
Определить ребро.
50) Тетраэдр и октаэдр имеют равновеликие поверхности.
В каком отношении находятся ребра?
т
Из Бхаскары.
51) Цветок лотиса возвышался над поверхностью пруда
на 4 фута; под напором ветра он скрылся под водой на расстоя-
нии 16 футов от того места, где он раньше подымался над водой.
Какой гЛубины был пруд?
52) На самом берегу ручья растет тополь. Порыв ветра
сломил его на высоте 3 единиц длины от земли, и он упал
перпендикулярно к направлению ручья, ширина которого равна
4 единицам длины; при падении дерево уперлось в край противо-
положного берега. Как высок был тополь?
Из „Liber abaci" Леонардо Пизанского (1200 г.).
53) Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей
одна от другой. Высота одной 50 локтей, другой 40. Между
башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин
обеих башен. Спрашивается, как далеко находится колодец
От основания каждой башни?
— 62 —
Из Мюнхенской рукописи XV столетия.
723. 54) На расстоянии 6 футов от ручья стоит дерево высотой
в 20 локтей; спрашивается, на какой высоте должно сломитьс
дерево, чтобы вершина его коснулась края воды?
55) Лестница в 13 футов, отстоявшая своим основанием
от стены на 5 футов, была отодвинута еще на 7 футов, так что
оказалась удаленной от основания стены на 12 футов. Спраши
вается, на сколько футов опустилась она по стене?
Из арифметики Магницкого (1703 г.).
56) Сл^'чнса h'LtoemS1 чмок^к^ кт, CT'KIfE лФсткнцЯ прг
БрАТН, СТ’ЪнЬ! Ж£ ТОА ЕЫСОТД Г СТА 117 СТОПЯ. И ШБр'ЬтС лФ'С'1
бнц^ долготою 125 стопх. И к'1/датн ^ощ£тъ колике стоп
С£А Л'1/сТКНЦЫ ННЖНТЙ КОН£Ц% u) CT'L’Hhl vOcTOATH НМАТА й).
57) Н'Ькосмъ ' клХдсз^ постаелсна баш£ а^сткнца долго
ТОЮ 41 СТОПА, А КЛЛДА3А ШНрОТОЮ ЕО КС'К СТрАНЫ ПО 9 СТОП?
' бЬдатслно £СТА КОЛИК^ СЭн'А КЛЛДАЗЬ гл^бннХ нмашс.
58) Ил1АШ£ II^KIH Г£Н£рлГ.Х рлтныу'л 3600 Ч£ЛОБ^КХ, Й EOI
^отф нд'л постдкнтн таксе, чтобы 2500 чслок’Ька начал&ныд'
БЫЛИ К'А СрСДНСгЬ, А 1100 чслокфзтл рАДОКЫу'А ОЖЧСТЯ НАЧАЛ/
ныух рАКНО ТОЛЩИНОЮ СТОАЛН. И КФДАТ£ЛНО £СТА К'А КОЛИК*
ЧСЛОЕ’ЬкХ ТОЛЩИН 1СКр£СЧ”А СТЛН^Т'А рАДОКА1А.
59) 6ГДА Ж£ КТО МОжХш£ КО £ДНН^ Kip КА, которлА ДОЛГОТЫ
5 лршчнх СКАЗАТН 100 кегли, и кФдат/лно Теста колото такс
кыуа ж£ кошн козможно сЕАЗАтн другою к!рк|'ю АЖ£ долготою
gCTA 74 дршННА.
Задачи пз физики.
724. 1) Камень падает (с начальной скоростью —0) на дн
колодца глубиной 87 м. Через сколько времени с края колодца
а) будет видно; б) будет слышно падение камня, если </ = 9,8, а скс
рость звука = 333 .и в сек.
1 Древне-русскнц язык. Славянский шрифт. Текст по современной орфогра
фин приведен па стр. 12J
— 63 —
724. 2) Камень падает в колодец. Удар при падении на дно ко-
лодца слышен через 4 секунды после начала падения. Опреде-
лить глубину колодца (в метрах), полагая скорость звука 333 л»
в секунду и ускорение <у = 9,8.
3) Удар от падения камня, брошенного в колодец глубиной
в ИЗ л», был слышен через 3 секунды. Определить начальную
скорость.
4) М рела пущена вертикально вверх и поднимается на вы-
соту ТЖ .н. а) Через сколько времени она достигнет наиболее
высокой точки? б) Когда она снова упадет на землю? в) Какова
была ее начальная скорость?
5) Равнодействующая двух взаимно-перпендикулярных сил
равна 13 т. Если одну из этих сил увеличить в 3 раза, а другую
1
на ее уменьшить, то равнодействующая будет равна 17 hi.
Найти величину^ этих сил.
6) Из двух маятников более короткий совершает: а) 5; б) Ъ ко-
лебаний, в то время как более длинный делает: а) 4; б) а коле-
баний. Один маятник длиннее другого на 45 с.м; определить
длину маятников.
7) В вогнутом зеркале с фокусным расстоянием в 40 см пред-
мет и изоэражение располагаются на расстоянии 65 см один
от другого.' Определить их расстояние от зеркала.
8) Прй помощи собирательной линзы с фокусным расстоянием
в 30 с.и изображение получается на расстоянии 5 л» от предмета.
На каком расстоянии от линзы помещен предмет?
§ 10. Простейшие алгебраические функции.
X2 у2 = г”
725. Составить выражение квадрата расстояния г точки (т, у}
от начала координат.
726. Решить уравнение х2 -|- у2 = г2 относительно у и построить
графику функции при г = 5. При каких значениях х ордината у
не имеет действительных значений? Доказать, что построенная
кривая есть окружность.
727. Построить графику функции:
1) 2ж2 + 2г/-2 = 50; 2) бх®-|-2 = 60;
3)^+< = 8; + f =
— 64 —
728. Построить окружность, ординаты точек которой на а
больше ординат (абсцисс) точек окружности, соответствующих
тем же абсциссам (ординатам):
если: l)fl=l; 2) а =2; 3) а= — 2; 4) а = 1- 5).а = —~. '
Составить уравнение, связывающее у и х в каждом случае. Как
переместится при этом центр окружности?
729. Перенести центр окружности ж2-)-у2 = 9:
1) на 3 единицы вправо; 2) на 2 влево;
2
3) на 10 кверху; 4) на книзу;
о
5) на 3 вправо и на 2 кверху; 6) на 3 влево и на 2 книзу;
7) на а вправо и на Ь кверху.
Составить в каждом случае уравнение окружности и указать
нули функции у, если они существуют.
730. В следующих уравнениях определить положение центра
и радиус окружности:
1) (х З)2 -|- (у—-2,5)2 = 9; 2) ж24~4ж -|- у2 = 12;
Q
3) х2 у2 у = 3-j-; 4) х2 — 2х -|- у2 — ty — 20;
4
5) х2-\-у2— х—у—8~; 6) х2 у2-j-ахby = с.
731. 1) Какой вид примет уравнение окружности x2-j-y2=rti
если ее центр сдвинуть вправо на отрезок, равный радиусу
>- = а, и вверх на Ь?
2) Какому уравнению 2-й степени удовлетворяют значения х,
соответствующие точкам пересечения полученной окружности
с осью х?
3) Воспользоваться указаниями предшествующей задачи для
построения корней уравнения:
х2 — 2ах4-Ь2 = 0,
пользуясь пересечением подвижного круга с осью х.
732. При помощи циркуля построить корни уравнений:
1, х2-— 6х 4 = 0; 2) х2 — 4л 4- 9 = 0;
3) х2 — 2х4- 1=0; 4) .г2— 10^4-16 = 0.
— 65 —
В каждом случае решить уравнение также при помощи вычи-
сления.
733. Катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а=10 см
представить как функцию другого катета
Я'2 — у2 = г2.
734^1) Уравнение ж2— у2 —г2 решить относительно у и по-
строи^графику функции для г = 5.
2) Для каких значений х у не имеет действительных значений?
735. Придумать способ построения кривой я2 — у2 = г2 по точ-
кам, если г дано в виде отрезка (на основании теоремы Пифагора).
736. Построить графики функций:
1) 2ж2 — 2у2 = 32; 2) Зж2 = 27 ф- Зу2; 3) у — = 5.
Если зависимость между у и ж дана в виде уравнения, не разрешен-
ного относительно у, то у называется неясной функцией ж.
Координаты любой точки окружности с центром в начале и с радиусом
равным г удовлетворяют уравнению ж.2 -ф- у2 = г2', если рассматривать у
как функцию ж, то указанное уравнение определяет две функции:
„ у = |/ г2 — ж2 и у = — |Лг2 — ж2.
\
Если центр окружности радиуса г перенести в точку (а, Ь), то ура-
внение* ее примет вид (ж — a)2 -J- \у — &)2 = г2.
Уравнению ж2 — у2 = г2 удовлетворяют координаты точек, распола-
гающихся 'на равносторонней гиперболе; эта равносторонняя гипербола
отличается от гиперболы жу = т лишь своим положением относительно
осей координат; у гиперболы жу = т осями координат служат асимптоты,
а У гиперболы ж2 — у2 = г2 — ее оси (оси симметрии).
$ 11. Квадратные уравнения со многими
неизвестными.
737. Построить равностороннюю гиперболу ху = 6. Построить
прямую жф-у = 5. Найти их точки пересечения. Найти значения
координат общих точек этих линий, определяя из одного из ура-
внений значение у, подставляя его в другое уравнение и решая
полученное после подстановки квадратное уравнение. ,
Сокращен, сборник алгебр, упражв. Ч. II. 5
— 66 —
738. Решить подобные же образом системы уравнений (вычи
слением и графически);
1) ж-фу = 6, жу = 8; 4) у — х =— 3, <у = 4, 2) ж — у 2. 3) ж — у = 7, ху — 48; ху = 30; 5) ж — у = 5, 6) ж -ф у = 2, ху = 36; ху— 1.
739. Решить вычислением следующие системы уравнений:
1) я -\-у = а,
ху = Ь-
3) т--у = 2а,
ху = а2:
5) х-\-ху-\-у = 7,
х — ху -ф w = 1;
2) х — у = а,
ху=^Ь-,
4) х — у = а — Ь,
xy — atr,
6) 2ж — ху -ф 2у = 4,
2х-\-ху-}-2у = Ъ.
74-0, Построить равностороннюю гиперболу ху = 12; построить
круг х1 -фу2 = 25; определить точки пересечения этих кривых.
Определить из данных уравнений значение выражений (ж-фу)5 * 7 * 9
и (ж— у)2, а затем и х и у.
741. Подобным же образом (построением и вычислением) ре-
шить системы уравнений:
1) ж2-фу« = б, 2) -фу'2 = 40,
ху^=2, ту =12;
3) ж2-фу2 = 97,
ху = 36.
742. Решить вычислением следующие системы уравнении
1) я-24-у2 = а,
ту = Ь;
3) ж2-фу2=2о2-ф262,
ху = а2 — Ь2-
5) ж2-фагу = 78,
у2— ху= 7;
7) ж2- жу-фу2 = 49,
ж2 -ф ху -ф у2 = 19;
9) хг~1~3ху -ф j-2=61,
а-у = 12;
2) ж2-фу2 = 2а2,
ху = а2:
„ (а — 1)2
4) х2 -фу2=---,
(а — Ь)2.
ХУ = --- 4- ’
6) х2-]-ху= 5,
у2 —жу = 12;
8) ж2-фжу-фу2 = 2«,
ж2 — ху -ф у2 = 26;
10) ж2— бжу -фу2 = 35,
ху = 9.
— 67 —
743. Решить построением и вычислением
уравнений-
1) ж2 + у2 = 250, 2) ж2-|-^2 = 90,
ж— у = 4; х-^-у = 12,
4) ж2 -|- у2 = 136, 5) ж2 + ?/2 =100,
ж-{-«/ = 16; ж — у = 2:
следующие системы
3) лг2 —1_ ^2 == 25,
ж —1:
6) ж2 -|- у2 = 25,
ж + у = 5.
744. Решить вычислением следующие системы
Л.г24-у2 = а,
х-\-у = Ь\
4) ж4-у = 58,
/ж-f- / ?/=10.
2) ж2-)-у2 = а,
ж—j/ = 6;
5) ж -J- У = 100,
/ ж + 1<2/=14;
3) ж2 + у2 «2,
ж-}-^ = 2а:
6) ж-|~(/ = 25,
I х—]/~у^ 1
745. Решить графически и вычислением следующие системы
и выяснить на основании геометрического решения, почему
системы имеют лишь одну систему решений:
1)ж2 —у2 = 7, 2) ж2 —^2 = 24, 3) ж2 — >2 = 5,
ж — у = 1: у-р.ж= 6; ж —// = 4.
746. Решить вычислением следующие системы:
1) ж2— у2 = а, 2) ж2 — у2 = а, 3) ж2 — 3/2 = «2,
ж—у = Ъ', ж _|_у = 6; ж — у = ы;
4) ж2—«/2 = а2— Ъ2; 5) ж2 — у2 = т2 — п2:
х-^-у — а— Ъ- х — у = т-\-п.
747. ^Пользуясь теоремой Виета л -|-а-2 =— р; .r1jc2 = <p
свести решение следующих систем на решение одного квадрат-
ного уравнения:
О х + у = 11,
ху — 30:
*) ж-|-$/=2у,
ху = 1;
2 ) x-\-y = i I, 3) ж-)-</ = >«,
ху = 72; ху — п:
°) ж -f- у — 8 , * 6) ж -|- у — у
32жу = 1: ху—1:
/) x-^-xy-j-y= 19, 8) х-\-у — ху-_-.— 1, 9) ж-|-у4-жу= И,
ж^/=12; жу = 6; ж-|-у = 5;
Ю) ж-р-ж$/-|-) ж<у=19,
ху = 36:
11) ж-|-у — 3[ iy 0,
ху — 64;
5*
— 68 —
747. 12) х 4-0 = А, 1 1 1 -9 1- х 1 у 2 15) х-\-у-\-ху=1$, (з-|-0)ж0 = 84; - 18) з2-|-02 = 25, ху - 12; 21) х — у—1, ху = 26: 13)3-4-0=12, 14)з0=1, JL-lA-^A- А_ । J_ = 7±. х ' у 8’ х * у 7 ’ 16) ж4-04-Зж0=9, 17) 2х-\-2у-\-ху~ 16. з-0(« + у) = 6: (з-]-0)а0 = ЗО, 19) х2 4-02=58, 20) ж24-02 = 41, з’0 = 21; ху = 9; 22) х — 0=12, 23) х — y — d, xy — 2ti; ху = т2;
24) х-\-ху — у =11, а-0=15; 25) х-]-ху — у = 13, 26) ж-|-|Аа-0--0=19, х — у = 3: 30=144;
27) х—у -ф 2 У ху = 41, 28) х—-0-|-3 |/з0 =61,
30=100; г — у = 16;
29) х — у— 30=А i 1 3 (з — 0)30=-; 30) х-\-ху — 0 = 37, 31) з2 — 02= 9, х2у — ху2 =70; ху = 20.
748. Решить следующие системы уравнений с однородной
левой частью, присоединяя к ним (к тем, в которые такое уравне-
ние не входит) уравнение луча у—Ы и принимая за вспомога-
тельное неизвестное угловой коэффициент 1".
1) з24~02 = 4ОО, 2) з2 — 3/2 = 14, 3)з2-|-з0 = 84,
0:з = 4:3; ж: 0 = 9: 5; 5ж = 7?/:
4) х2 — з0-|-02=39,
2х2 — 3я0 4-2у2 = 43;
6) Зж24- 11^0 4- 3У2 = 207,
2х2— Зху -|-2у2 = 14;
8) х2 — ху~1~у2 = 3,
2з2— ху— 02 = 5; „
5) 5з2— G30-|-502 = 29,
lx2 — 8ху '4~ 7у2 = 43:
7) Зж24-2з0— 4у2 = 543,
з2-|“20 = 173;
9) Зя2 4- оху — iy2 — 38,
5з2 — 9ху — Зу2 — 15.
Смешанные задачи.
749. Решить системы и выяснить геометрический смысл реше-
ния (решить также графически):
1) х2~1~у2 — 25, 2) з24- 02 = 5О, 3) х2 — 02 = 4О,
ж2 — у2= 5; ж2 — у2 -- 48: 30 = 21:
4) х2 — у2 —28, irf II са сч н к? 6) з2 — у2^= 19,
ху = 48; 30 = 6; а-0 = — 90.
— 69 —
750. 1) ж2-}-У2 = 40,
ж = Зу;
4) x2 -[-у2 = 50,
9.r 4- Чу = 70;
7) х2 -|- у2 = 100,
«:у = 3:4;
2> ху=12,
2х Зу = 18;
5) 4х — Зу=^24,
ху — 96;
8) х2—у2 = 640,
?/ :гс=3:7;
3) л/= 54,
Зх = 2у,
6) Зх— 2у — 1,
ж2 -|- у2 = 74.
9) р;:у = 9:4,
ж: 12 = 12 '.у.
10) я;:у = 3:5, 11) ж—j—;V= Ю, 12) 2х—ху-^-у-^- 8 = 0,
ж-5 = 12.у, ху = 2 (у -j- 6); х 4- у = 10;
13) 2х2—Зу2—24, 14) .ф4-у)=25, 15) х2+ху+у2=343,
2т —Зу; 2ж4-Зу = 10; 2х — у = 21;
16) х2-}-2ху—у2=1(х—у), 17) 2ж2- 5.гу4-^24-10ж4-12у=100,
2х—у = 5;
2 г—Зу=1;
18) ж24-у2=130,
» + У __ g.
ж— у
20) 14-1 = 3,
7 X 1 X ’
19) (Зх — у)(3у— х) = 36,
» + У_ 5.
х — у 2 ’
21) jyz=a. 22) x2-j-y2—a2
x'.y=b\ х:у~т:п]
5 ___. 2 . 23) х4-ху = 3. 24)c-^-xy-j-xy3 = 7,
ж+1 У 1 ху2~1~ху3= 12; жУа4—сУ3_Ьа:У*=28;
25) х-)-ху=4, 26) ху-\-ху2 = 12, 27) х — ху — у=29,
х-\-ху3 = 28; х2у = --8; х2-)-у2—(я;4_у)==,?2.
Системы уравнении со многими неизвестными.
751.'Решить системы:
1) .г2 + у2 =61
‘У2 + г2 = 85
z2 + а,'2 = 74
2) Зж2 + 2у2=59
Зу2+ 2^2 = 98
3^-2 + 2^2 = 93
3) ж2 + 2у2 + 3«2 = 70
уа + 2^ + Зх* = 53
z2 + 2ж2 + Зу3 = 51
5) х(х + у + z) = a
У(® + у + г,) = Ь
«(« + у + -г)--=с
4) х(х -J- у + z) = —15
У(« + У + = Ю
z[x -|- у + z) = 30
'б) 2.в — 4у — z — 0
х + у — 4^ = 0
7) ах = --\—~4~^ ^)
/ Х I у I g j
X + 1 _ У-1 У + 6 *+1 Ьу-^ cz = 4+7+т -4-1-4-X X 1 у 1 Z
S) ху = а 10) X3 — ays И) x2yz — a
УХ = Ъ У3 — bxz ху3х = Ъ
Х£=С Z3 = сху xyz2 = С
xyz =ъ
X +z
® + У
12) х(у + х)=229
y(z + х) — 256
*(® + У) = 196
— 70 —
751. 13) »* + $‘2 + .г2=4Ь4
-/:.¥= 1:3
у.х — 2:3
15) Ъху + 2.тг + 3gj — 240
2ху — Зж? + 6 yz = 207
З.г г/ |- 5.гг — 2 уз = 68
17)
14) хууз— зх=.\
ху — yz + ex ~ 11
~ ху + ух зх = 19
16) а*4-,п/4-з/г = 49
Xs-t-xz + ^>—79
у* + yz 4- г2 = 109
(* 4- Д)'2 4- (« 4- 4- 0/ 4- г)’ = 94[
2(л- 4- у)2 — 3 (ж 4- г)2 4- 4 4- г)2 = 26
5(ж 4- УТ- — 4 (ж 4- г)2 — 9 {у 4- г)» = 20
18) х-.у = у: z
ж + у-\-г= 19
ж2 4~ у2 4-г’= 133
20) а.ч — z^— II
у я—2
х+у+?=7
19) ж:у =1 у.е
ryz = 64я3
х 4* у + z = 21л
21) ж2 + $ Ег» = 35
г у 4* yz 4* zx — 23
х 4- У = 8.
§ 12. Задачи на составление истем уравнении
второй степени.
752. 1) Найти два числа, сумма квадратов которых равна 145,
а разность квадратов 17.
2) Произведение двух чисел, находящихся в отношении 3:4,
равно 588. Найти эти числа.
3) Отношение двух чисел равно 4:7; сумма их квадратов,
равна 585 Определить эти числа.
4) Разность квадратов двух чисел, отношение которых
равно 2:5, равна 1029. Найти эти числа.
5) Сумма двух чисел относится к их разности, как 7:2, а раз-
ность квадратов этих чисел равна 56. Найти эти числа.
6) Сумиа двух чисел равна 90, произведение их равно 2016.
Найти эти числа.
7) Число 864 разлоягить на два множителя, сумма которых
равна 60.
8) Разность квадратов двух чисел, произведение которых
равно 54, более квадрата их разности в 5 раз. Найти эти числа.
9) Если произведение двух чисел увеличить на первое из них,
то получится 300; если же произведение увеличить на второе из.
них, то получится 304. Определить эти числа.
10) Сумма двух чисел, сложенная с суммой квадратов этих
чисел, равна 686, а сумма разности этих чисел и разности квад-d
ратов их равна 74. Определить эти числа.
— 71
752. 11) Сумма квадратов двух чисел составляет 370. Если бы
первое число было единицей больше, а второе тремя больше, то
сумма квадратов была бы равна 500. Определить эти числа.
12) Сумма суммы и произведения двух чисел равна 1063;
произведение этих чисел на 1099 меньше суммы их квадратов.
Найти эти числа.
13) Сумма цифр двузначного числа на 29 меньше произве-
дения этих цифр и на 72 меньше суммы квадратов цифр. Опреде-
лить ото число.
14) Определить двузначное число, если известно, что оно
в больше произведения его цифр; если записать цифры
в обратном порядке, то получится новое число, отношение кото-
рого к искомому равно 7:4.
15) Если переставить цифры искомого двузначного числа, то
получится число, которое на 18 меньше искомого; произведение
обоих чисел в 126 раз больше произведения цифр, которыми они
записаны. Определить число.
16) Если искомое двузначное число разделить на произведе-
ние его цифр, то получится 5 в частном и 2 в остатке; если пе-
реставить цифры и произвести то же деление, то в частном по-
лучится 2, а в остатке 5. Найти двузначное число.
17) Если числитель искомой дроби увеличить на 6, а зна-
менатель ее уменьшить на 2, то вновь полученная дробь будет
вдвое больше первоначальной. Если же увеличить числитель
на 3, а знаменатель уменьшить на 3, то получится дробь, обрат-
ная'первоначальной. Определить дробь.
18) Сумма двух чисел на "76 больше их среднего геометриче-
ского. Квадратный корень из одного числа на 6 больше квадрат-
ного корня из другого числа. Определить эти числа.
19) Если попарно перемножить три искомых числа, то полу-
чится соответственно 84, 120 и 280. Определить эти числа.
20) Если сумму трех чисел умножать на каждое из них, то
произведения дадут соответственно 240, 270 и 390. Найти эти числа.
21) Если 3 искомых числа, сумма которых равна 100, разде-
лить соответственно на 3, 4 и 5, то сумка полученных частных
Судет равна 25. Произведение двух последних чисел в 2-^ раза
больше квадрата первого числа. Определить эти числа.
22) В непрерывной геометрической пропорции сумма ее трех
членов равна 39, сумма их квадратов равна 741. Найти пропорцию.
— 72 —
752. 23) Если из трех искомых' чисел сумму каждых двух
из них умножить на третье, то получатся числа 810, 680, 572.
Определить эти числа.
24) Произведения по три четырех искомых чисел равны 120,
150, 240, и 403. Найти эти числа.
25) Сумма крайних членов пропорции равна 24, сумма сред-
них равна 16; сумма первых трех членов втрое больше суммы
трех последних. Составить пропорцию.
26) Четыре искомых числа составляют пропорцию. Сумма
первого и четвертого членов равна 22, сумма второго и третьего
равна 13; сумма квадратов всех четырех чисел равна 493
Найти эти числа.
Задачи с геометрическим содержанием.
753. 1) Через точку внутри круга радиуса в 13 см, отстоящую
от центра на 5 см, проведена хорда длиною в 25 см. Определить
отрезки, на которые данная точка делит хорду.
2) В круге, радиус которого равен 20 см, проведена хорда
длиною в 24 см. Определить расстояние от центра точки пересе-
чения касательных, точками ^прикосновения которых являются
концы данной хорды.
3) В двух концентрических кругах, радиусы которых рав-
ны г = 25 см и р = 17 си, требуется провести хорду так, чтобы
2 *
часть ее, лежащая во внутреннем круге, составляла у всей
хорды. Определить длину хорды и расстояние ее от центра.
4) Вне круга, радиус которого равен 21 ext, дана точка на
расстоянии 29 см от центра. Провести через данную точку секу-
щую так, чтобы внутренний отрезок ее был равен 9 см. Опреде-
лить длину секущей.
5) Периметр прямоугольника содержит 82 .ад, диагональ его
равна 29 .ад. Определить стороны прямоугольника.
6) Диагональ прямоугольника, площадь которого содержит
120 кв. м, равна 17 м. Определить стороны прямоугольника.
7) Диагональ прямоугольника равна 85 м. Если каждую из
сторон увеличить на 2 м, то площадь нового прямоугольника
будет на 230 кв. м больше первоначально! о. Определить стороны-
8) Площадь прямоугольника содержит 168 кв. м, периметр его
равен 62 л. Определить стороны.
— 73 —
753. 9) Данный прямоугольник со сторонами в 5 см и 7 см тре-
буется превратить в равновеликий ему прямоугольник, периметр
которого втрое больше периметра данного. Определить стороны
нового прямоугольника.
10) Диагональ данного прямоугольника равна 89 м. Если бы
каждая из сторон была на 3 м короче, то диагональ была бы
на 4 м короче данной. Определить стороны данного прямо-
угольника.
И) Диагональ данного прямоугольника равна 65 м. Если бы
меньшая сторона была на 17 л короче, а большая на 7 м длин-
нееJ^o диагональ прямоугольника была бы та же. Определить
стороны данного прямоугольника.
12) Площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза кото-
рого равна 41 м, содержит 180 кв. лк Найти катеты.
13) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30 ем ;
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипоте-
нузу, равен 12 см. Определить катеты.
14) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а; три сто-
роны треугольника составляют непрерывную геометрическую про-
порцию. Вычислить отрезки гипотенузы и указать способ их
построения.
15) Основание одного прямоугольника на 20 и более осно-
вания другого, а высота первого на 8 м меньше высоты второго;
площадь каждого из этих прямоугольников равна 600 кв. м. Опре-
делить основание и высоту каждого из них.
16) Площадь ромба равна 480 кв. дм, а сторона 26 дм. Опре-
делить диагонали.
17) По данным гипотенузе а и периметру р определить катеты
прямоугольного треугольника.
18) Определить периметр равнобедренного треугольника, если
одна из равных сторон его равна а, а площадь s.
19) По данным периметру 2р и диагонали d прямоугольника
определить его стороны.
20) Определить стороны прямоугольника, равновеликого тре-
угольнику и имеющего равный с треугольником периметр, если
периметр треугольника 2р, основание Ъ и высота его А.
21) Равнобедренная трапеция, высота которой равна 9 см
и разность оснований равна 18 см, вписана в круг, радиус ко-
торого равен 25 см. Определить основания и расстояние их от
Центра.
— 74 —
753. 22) Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда
содержит 568 ив. см. Одно из его измерений на 4 см больше второго
и на 4 короче третьего. Определить ребра параллелепипеда.
23) Три измерения прямоугольного параллелепипеда находятся
в отношениях 3:4:12. Диагональ параллелепипеда равна 91 ем.
Вычислить ребра параллелепипеда.
24) Объем прямоугольного параллелепипеда содержит
585140 кб. м. Из трех его измерений можно построить прямоуголь-
ный треугольник, площадь которого равна 2 730 кв. м. Опреде-
лить ребра параллелепипеда.
25) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 12 см,
диагональ его равна 13 см. и объем 144 кб. см. Определить сто-
роны его основания.
Задачи из физики.
754. 1) Две силы, приложенные к одной и той же точке, на-
правлены друг к другу под прямым углом; отношение сил равно 2:5;
равнодействующая равна 37,7 килограмма. Определить силы.
2) Определить удельный вес двух тел, если смесь, содержа-
щая а кг первого тела и Ъ кг второго имеет удельный вес р,
а смесь, содержащая с кг первого и d кг второго, имеет удельный
вес 2-
3) На оси линзы находится светящая точка; изображение ее,
даваемое линзой, находится от этой точки на расстоянии 150 «ш
На каком расстоянии от линзы находится светящая точка, если
фокусное расстояние линзы равно 24 см?
4) На вогнутое зеркало падает свет из некоторой точки его
оптической оси; если светящую точку приблизить к зеркалу
на 40 см, то ее изображение удалится от зеркала на 5 см. Опре-
делить расстояние от зеркала светящей точки и ее изображения,
если фокусное расстояние зеркала равно 20 слг.
ОТ ДЕЯ восьмой
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
РЯДЫ (ПРОГРЕССИИ).
1. Арифметическая прогрессия.
755. Вычислить значение функции ау ал -ф- г (х — 1) при х ~ 1 г
2, 3 и т. д. до п. Записать полученные значения в ряд в порядке
их получения, отделяя полученные последовательные значения
друг от друга запятыми.
«1 1 1 100 5 а а
г 1 2 -10 0 аф-1 d
Какими свойствами обладают члены написанного ряда? Как
получить каждый член ряда из предыдущего? Как называется
нанизанный ряд? Что называется разностью арифметиче-
ской прогрессии?
756. Первый член арифметической прогрессии равен ап раз-
ность г. Определить значения второго третьего, седьмого,...
/>го членов.
757. Если ак, ак+1 три последовательные члена арифметиче-
ского ряда, то — ак~ак — ак+л, следовательно, ак= №|‘~*
В какой форме, согласно этому, можно дать определение арифме-
тической прогрессии, пользуясь понятием среднего арифмети-
ческого?
758. 1) Какая арифметическая прогрессия называется возра-
стающей, какая—убывающей? 2; Какой вид будет иметь прогрессия
при г —О?
759. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 1,
разность 2, число членов 10. Написать ряд. 2) Вычислить наиболее
простым способом сумму всех членов этого ряда.
— 76 —
760. Первый и второй члены арифметическом прогрессии сутф
1) 1 и 2: 2) 1 и 3: 3) 2 и 4:
4) 1 и —1; 5) 1 и —2. 6) у и —1:
7) —и 8) 0,1 и —0,2; 9) а и Ъ.
Написать следующие три члена прогрессии.
761. В'папирусе, найденном в Кагуне, к югу от пирамиды
Иллагун (Illahun), относящемся к двадцатому веку до нашей эры,
встречается десятичленный арифметический ряд, первые два
3 11
члена которого суть 13^ и 12 р,- Найти остальные члены.
762. Первый член некоторой прогрессии равен 0, разность 5:
последний член 30. Наппсать ряд, определить число членов
и сумму членов.
763. Решить предыдущую задачу для ряда: первый член
равен —10, разность 3 и последний член 17.
764. Представить прогрессии задачи 760 (с 1 по 10) графи-
чески, принимая номера членов за абциссы точек, а значения чле-
нов за ординаты этих точек. Что можно сказать относительно рас-
положения точек, соответствующих отдельным членам этих рядов?
765. 1) Первый член прогрессии равен 496, седьмой 6; 2) первый
член равен 1, пятый член равен —5. Определить промежуточные
члены вычислением и графически.
766. 1) Как изменится разность прогрессии, если порядок ее чле-
нов переменить на обратный? 2) Как изменится графика этого ряда?
Сумма членов арифметической прогрессии.
767. Вычислить наиболее коротким путем:
1) 1 + 2 4- 3 + 4 4- 5 + 6 4- 7 4- 8 + 9 + 10 + И +12;
2) зо+314-32 4-зз+ 34-1----f-4o;
3) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 64--1- 100:
4) 101 + 102 + 103 + 104 4-h 1000;
5) 1+3 + 5-4-7 + 9 + 11 + 13+15+17 + 19;
6) 2 + 44-64-8 + 10+12 + 144-----h 100;
7) й 4“ 2d + 3d + 4а + ad —|— 6d 4“ 7d —|— 8d 4~ 9a.
768. Прогрессия, первый член которой равен alt разность г,
последний член ап, написана в обратном порядке. Определить
первый член нового ряда, второй член, третий, Z-ый и последний.
— 77 —
769. В н-членной арифметической прогрессии сложить 1-ый
и и-ый члены, 2-ой и (и—1)-ый, и вообще Ar-ый и (п — 7с + 1)-ый.
Какой закон можно при этом подметить?
770. Под членами арифметической прогрессии ап а2, а3...,.
д ап подписать соответственные члены другой прогрессии,
полученной из первой переменой порядка членов на обратный.
1) Чему равна сумма каждой пары членов, расположенных друг
под другом? 2) Как в силу этого можно найти сумму ряда, т.-е.
сумму всех членов ряда до и-го включительно?
771. 1) Как, пользуясь графикой членов арифметического ряда.
молЛР представить графически сумму членов этого
площади некоторой фигуры? 2) Пред-
ставить геометрически данный в зада- ° ° ° ° °
чах 768 — 770 вывод формулы суммы о о о о °
членов арифметического ряда. о о о о о
772. 1) При помощи фиг. 23 найти ° о ° о о
результат, полученный Ямвлихом (начало ° ° ° °
IV столетия нашей эры): _ о . °
Г / о о о о о
ряда в виде
о о о о о
о о о о о
о о о о о
о о о о о
о о о о о
о о о о о
О О ООО-
ООО о о
1 + 2 + 3 -J-}-9-Н0 + 9--1-
4-3 + 2 + 1 = 10’.
ОООООООООО
ОООООООООО
Фиг. 23.
(Соединяя точки, расположенные по параллелям к диагонали
квадрата, образованного точками.) 2) Представить а- в виде суммы
членов ряда, начинающегося с 1 и кончающегося 1.
773. Пользуясь фиг. 23, показать, что 1 + 3 4-5 + 7+-1_
+19 = 102 (соединяя точки ломаными, образующими прямой
угол); 2) показать, что вообще квадрат каждого числа може-г
быть Представлен в виде суммы ряда нечетных чисел, начи-
ная с 1. Какое значение имеет последнее число этого ряда?
774. Если а, — первый член, г — разность, п—число чле-
нов, ап — последний член и зп — сумма членов арифметической
прогрессии, то имеют место следующие соотношения:
I- «n = ai + (H — 1)г;
1И. зп = «j п + м(” д1- г = [2«j + (п — 1) у] " -
вывести формулу III из первых двух основных.
— 78 —
775. Составить формулу с>ммы членов прогрессии, если
известны п, г, ап, и вывести эту формулу двумя способами из той
или другой пары формул, данных в задаче 774.
776. Сколько величин достаточно дать для полного опреде-
ления арифметической прогрессии? (Почему?1)
777. В арифметической прогрессии:
Дано Определить Дано Определить 1
1) 5И г 6) «!• 11, Я„ ", «„
2) 1 j с/1П sn ?( 7) «I, ", ",
3| ", Sn «1, 8) Л s„ ".
4) Г, Н, Я„ <*£,. 91 г, ап ". 8»
л) rtl> а,п хп Г, п Ю) Uh Г9 И
Почему задачи > и 8 приводятся к квадратным уравнениям
(обратить внимание на формулы II и III)? Почему достаточно
знать, что задача 2 сводится в квадратному уравнению, чтобы
можно было заключить, что и задача 8 приводится к тому же?
«(Обратить внимание на одинаковую роль а3 и обрати-
мость ряда.)
§ 2. Примеры.
778. 1) Найти в натуральном ряде n-ое нечетное число
и сумму п первых нечетных чисел. Положить п = 20.
2) Найти в натуральном ряде и-ое четное число и определить
•сумму первых п четных чисел. Положить п = 24.
3) Определить сумму всех натуральных чисел: а) от 1 до 100;
5) от 1 до п.
4) Определить сумму всех трехзначных чисел.
5) Определить сумму всех нечетных чисел, начиная с 13
и кончая 81.
6) Определить сумму всех четных чисел от 24 до 9b вклю-
чительно.
7) Определить сумму всех чисел, кратных 3, начиная
с 3 и кончая 99.
8) Определить сумму всех чисел, кратных .7, начиная
•с 7 и кончая 343.
— 79 —
778. 9) Определить сумму всех чисел, кратных р, начиная
с р и кончая пр.
10) Определить сумму всех чисел, кратных к, начиная с тк
й кончая пк.
779. Решить следующие задачи, полагая в нижепомещепной
таблице давестныши три величины из пяти (проверить таким
образе и таблицу):
г п • «1 Г п Ч'п •п
1Г | 1 12 40 469 9400 8) 5' -4 13 — 37 — 2<)Ь
2) 2 3 17 50 442 9) — 4 -1 ° 2 37 188 3404
3) 21 — 5 17 — 59 — 323 НО -4 . L *2 20 100 955
4) -5’4 4 22 4 99 П) W 4 24 34 448
5) 29 4 33 77 1749 12) 60 -4 21 35 997-1
6) 25 -4 25 — 35 —125 13) 5,2 0,4 43 22 584,8
7) —19 4 29 23 58 14) 2,3 1,3 19 25,7 266
780. 1) Между каждыми двумя последовательными членами
арифметического ряда 1, 5, 9, 13 и т. д. поместить по 5 таких
писел, чтобы снова получить арифметический ряд (интерпо-
ляция). Написать этот новый ряд. Получить члены этого ряда
на графике.
2) Между каждыми двумя последовательными членами ряда
14, 26 вставить по 7 средних арифметических. Составить
искомый ряд вычислением и путем построения.
3) 7-й член арифметической прогрессии равен 10; 17-й член
равен 50. Определить первый член и разность прогрессии.
Решить задачу: а) вычислением; б) при помощи графики.
4) Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 47,
девятнадцатый член 75. Определить 283-й член.
— 80 —
780. 5) Сумма четвертого и седьмого членов арифметической
прогрессии = 100. Сумма 17-го и 29-го равняется 800. Найтч
прогрессию.
6) Сумма тридцати семи первых членов арифметической
прогрессии равна 888, разнссть между 13-ь. и 31-м членами
равна 126. Определить первый член и разность прогрессии.
7) Даны две прогрессии: первый член одной из них равен J.
а 7-й член равен 4; первый член другой прогрессии равен 11,
а 6-й член единице. Определить графически член, общий обоим
рядам (т.-е. число, встречающееся в обоих рядах под одним и
тем же номером).
8) Определить число членов и последний член арифметиче-
ской прогрессии, если первый член ее равен —7, разность 3,
а сумма всех членов 430.
9) Последний член' арифметической прогрессии равен 97,
разность 3, сумма 1612. Определить первый член и число членов.
10) В арифметической прогрессии, состоящей из 20 членов,
произведение двух средних членов равно 725, сумма 3-го и 12-го
членов равна 30. Определить первый член и разность прогрессии.
11) Сумма крайних членов десятичленной арифметической
прогрессии равна 67, сумма их квадратов равна 2609. Определить
первый член и разность.
12) Произведение крайних членов арифметической прогрессии,
состоящей из 14 членов, равна 276, произведение двух средних
членов равно 1326. Определить первый член и разность.
13) В арифметической прогрессии, состоящей из 100 члене!
сумма всех членов равна 8200. Произведение двух средних чле-
нов равно 6723. Определить первый член и разность.
14) Какое натуральное число равно сумме всех ему пред-
шествующих натуральных чисел?
15) Определить натуральное число, которое: 1) равно десятой
части; 2) /.-ой части суммы всех предшествующих ему чисел.
Приложения.
781. Сколько ударов сделают часы за сутки: 1) если они
отбивают лишь целые часы? 2) если отбивают также ~
часа (1, 2, 3 ударами)?
782. Роют колодец, при чем платят за первый метр глубины
1 руб., а за каждый следующий на 5 коп. дороже. Во что обой-
3
И 4
— 81 —
дется весь колодец, и сколько будет стоить последний метр, если
глубина колодца равна 81 .«?
783. А держит пари с В. А должен пройти взад и вперед
6000 шагов раньше, чем В соберет в корзину 200 яблок; при этом
яблоки доля'ны быть сперва разложены в ряд, на расстоянии
шага друг от .друга, и должны быть по очереди по одному поло-
жены в корзину. Корзина поставлена возле первого яблока. Кто
из спорящих выиграет пари?
784. 1) Тело при свободном падении в пустоте проходит
в первую секунду приблизительно 4,9 м, а в каждую следующую
на « больше. Какой путь оно пройдет в 12 секунд и какой
путьв 12-ю секунду?
2) Сколько метров пройдет тело, при условиях предыдущей
задачи, в у минуты и за 30-ю секунду?
3) Во сколько секунд, при тех же условиях, тело пройдет
расстояние в 490 ле?
785. 1) Вертикально брошенное вверх тело в каждую секунду
теряет в скорости 9,8 ле. Сколько времени будет подниматься
кверху пуля, имеющая при выходе из дула скорость 490 ле
в секунду?
2) Тело, движущееся вертикально вверх, под действием силы
земного притяжения замедляет свое*движение настолько, насколько
падающее тело его ускоряет. Как высоко поднимется пуля, при
условиях движения предыдущей задачи, и через сколько вре-
мени, сбитая от момента выстрела, она вернется на поверхность
земли?
3) Какую скорость имела при вылете из дула пуля, летевшая
кверху по вертикали, если она через минуту упала на поверх-
ность земли?
4) Как высоко поднялась пуля, пущенная вверх по вертикали,
если она упала на поверхность земли через 80 секунд, и какова
была ее скорость при выходе из дула?
786. 1) Шар катится по наклонной плоскости. Движение
по наклонной плоскости является равноускоренным, как и в случае
свободного падения. В 1-ю секунду шар проходит 1 метр.
Какой путь он сделает в течение пяти секунд и какой в пятую
Сек5 нду?
2) Какой путь прошел шар в первую секунду по наклон-
Ной плоскости, если в 10-ю секунду он прошел 28 л(?
Сокращен. сборник алгебр, упражн. Ч. II. 6
— 82 —
786. 3) Шар катился 6 секунд с наклонной плоскости длиною
в 54 м. Сколько метров прошел он в первую секунду?
Из папируса Ахмеса (около 1700 г. до нашей эры):
787. 1) Разделить 10 мер хлеба между 10 лицами так, чтобы
каждое следующее получило на ~ меры меньше предыдущего. I
Из Диофантовой рукописи о многоугольных числах (300 г. нашей эры):
2) Доказать следующее предложение:
Если р, q, г суть три последовательных члена арифметического
ряда, то' р24-8дт = (2д’-|-г)2.
Из Герена Александрийского (I столетие до нашей эры):
3) Амфитеатр, состоящий из п рядов, в нижнем ряде имеет*
а мест, а в верхнем z. Сколько зрителей может вместить амфитеатр?
Из арифметики Магницкого (1703 г.):
4) Купецкий некто человек имяше 14 чарок сребряных, ихжс
каяждо превышает тягостью по чину прогрессии четырьмя,
лотами, а последняя чарка весит 59 лотов. И ведательно есть,
колико вся чарки веса имут.
Если некоторые числа записаны в таком порядке, что значение каждого
из этих чисел определяется тем местом, которое занимает это число,
то говорят, что числа образуют числовой ряд.
Числа, составляющие ряд, называются его членами.
Арифметической прогрессией или арифметическим рядом называется
ряд чисел, из которых каждое последующее равно сумме своего преды-
дущего и некоторого постоянного числа г.
Число г называется разностью прогрессии. Если «’>0, то прогрессия
называется возрастающей, если г<0 — убывающей, если же г = 0, то
все члены ряда равны одному и тому же числу.
Основные формулы, относящиеся к арифметическим прогрессиям, сле-
дующие:
Если nt. означает 7с-ый член прогрессии, г— разность, .чп — сумму
п членов прогрессии, то
I. a^d' + rik — 1)
II. «„ = («, + «„)-"
in. s„ = Г = [2»! + г(» —1)1 а
Для определения арифметической прогрессии необходимо из пяти ве-
личин, входящих в формулы II и III, дать три.
— 83 —
§ 3. Конечные геометрические прогрессии.
788. Вычислить значения функции ux=uyqx, задавая х зна-
чения О, 1, 2, 3,... к,... п (принимая при атом —1); из полу-
ченных чисел составить ряд (в порядке их получения), отделяя
члены ряда друг от друга запятыми, если
1 2 ' 3 1 '—' 4 5 6
1 1 1 7 0,9 4
ч 2 10 1 ОД од —4
Какими свойствам! обладают члены написанного ряда? Как по-
лучить каждый член ряда из члена, ему предшествующего? Как
называется написанный ряд чисел? Как называется число д?
789. Пусть «j обозначает первый член геометрической про-
грессии, q—знаменатель. Как выразятся через и q 2-й, 3-й,...
л-ый члены (сделать вычисления, полагая м1 = 3, g = 2, л = 10)?
790. Определить знаменатель и и-ый член следующих про-
грессий:
1) 2, 6, 18, 54, ..
3) 1. у, 4, й>-
• 5) 1, - 3, 9, — 27,...
2) 1, 0,1, 0,01, 0,001,...
4) а, а2, а3, а*,...
6) 1, х, х2, х3,...
791. 1) Пусть ик, ик+1 обозначают три последовательных
члена геометрической прогрессии; выразить wk через ик__г и w,c+1.
2) На основании полученного результата дать определение гео-
метрической прогрессии.
792. 1) Когда геометрическая прогрессия называется возра-
стающей, когда—убывающей? 2) Какой окажется прогрессия,
если д=1; 3) если q — —1?
793. Как изменится знаменатель прогрессии, если ее члены
написать в обратном порядке?
794. Полагая первые два члена геометрического ряда равными-
1) 1 и 2, 2) 1 и 3, 3) 2 и 4, 4) 1 и — 1,
5) 1 и —2, 6) 4 и 1, 7) 1 и h ТМ |*»< S •н 1СЧ Z—К оО
9) 3 и 4, 10) 1 и 0,1, И) 1 и 10, 12) а и Ь,
определить следующие три члена и и-ый член.
6’
— 84 —
795. Написать прогрессию, первый и третий члены которой
равны соответственно: 1) 1 и 9; 2) | и 3; 3) 1 и а2.
796. На одной из двух взаимно перпендикулярных пряных
(осей) от точки их пересечения отложен произвольный отрезок wlr
на другой — произвольный отрезок w2>mp концы этих отрезков
соединены, и к полученной гипотенузе прямоугольного треуголь-1}
ника, в ее концах, восстановлены перпендикуляры, которые отсе-
кают на осях новые отрезки м3 и м'2; в концах этих перпенди-|
куляров к ним восстановлены новые перпендикуляры, которые
отсекают на осях новые отрезки и4 и и'3, и т. д. Показать, что
отрезки м2, w3, м4... образуют возрастающую геометрическую
прогрессию, а отрезки м2, и1г u's, и’3... образуют убывающую гео-
метрическую прогрессию. При какой зависимости между иА и и!
полученная спираль обратится в квадрат?
797. Представить графически изменение членов геометриче-
ской прогрессии, изображая ординатами значения соответствую-
щих членов прогрессии, а абсциссами их номера (для построения
последовательных членов прогрессии по двум первым ее членам
можно воспользоваться приемом, указанным в предыдущей задаче),
и соединить последовательно точки при помощи ломаной. Что
можно сказать об относительном расположении концов отрезков,
изображающих члены геометрической прогрессии, если: 1) знаме-
натель >1 [для примера взять задачи 794 1), 2), 3), 9), 11)],
2) знаменатель — положите чьное число, меньшее 1 [задачи 794,
7}, 8), 10)]; 3) отрицательное число (задача 794,5); 4) — 1 или {- 1
^задача 794,4)?
Сумма членов геометрической прогресснп.
798. 1) Составить ряд, члены которого получаются умноже-
нием на q членов геометрической прогрессии .
Uj, w2, я3,.... мп,
если q обозначает знаменатель прогрессии. Какую прогрессию
образует новый ряд? Как выразится сумма членов нового
ряда, если сумму членов первоначальной прогрессии обозначить
через 8В?
2) Какое уравнение получится для определения Sn, если
сумму первоначального ряда вычесть из суммы членов ряда, по*
лученного умножением членов первого ряда на д?
— 85 —
798. 3) Если w, — первый член геометрического ряда, q — зна-
менатель, — и-ый член, — сумма всех п членов, то имеют
место следующие соотношения:
I. =
Л _ •- ч — «< __ щ — wnq.
n q — 1
HI. S.=u 9"-1
1- «7. ’
1 — <f
—T(, -j---
q — i 1 t-ч
При каком значении q не имеют смысла формулы II и III? а) Вы-
вести формулу III из основных формул I и И. б) Какие виды
формул II и III удобны для возрастающей прогрессии и какие
для убывающей?
4) Указать, сколько величин необходимо и достаточно для
шределения геометрической прогрессии и почему.
799. В геометрической прогрессии:
Дано Найти Дан о Найти
1) И, ?(,, q. 6) «1. п, sn в, ип-
2) «1, «- 7) Wi, п, Q,
.3) q, п, sn W|, 8) 5, Sn и, ип.
4) Q, п, ип s„. 9) «Ц, «п п, 8„.
5) 5, п- Ю) в. п Ц» $п-
Задачи с 2) по 5) и с 7) по 10) приводятся к простым алге-
браическим или показательным уравнениям; напротив, задачи
1) и 6) — к уравнениям высших степеней, в общем случае эле-
ментарными средствами не разрешимым. Почему достаточно знать,
что задача 1 приводится к уравнению высшей степени, чтобы
возможно было то же “сказать и относительно задачи 6?
(Обратить внимание на одинаковую роль «j и wn; обратимость
Ряда.)
— se-
ll p и м e p i.i.
800. В следующих задачах, принимая три величины данными,
опре, (елить две остальные; проверить составленную таблицу:
1 и. п "п
1) 9 3 15 9 565 938 14 348906
?) 4 5 9 1 562 500 1 953 124
3) 1 7 - 9 5 764 801 6 725 601
4) 4 6 11 241 867 704 290237644
5) 1 — 2 19 262 144 174 763
6) 1 — 2 20 — 524 288 — 349 525
7) 32 2— 2 6 3 125 5 187
8) 512 21 10 1 953 125 3 254 861
9) 1 9 3 10 2187 3 280|
Ю) U 61 2 13 64- 127^
П) 1024 4 13 132 860,- 396 532|
12) 25 600 0,5 13 6,?'5‘ 51193,75
801а. 1) Сумма 1-го и 2-го членов геометрической прогрессии
равна 3, а сумма 3-го и 4-го ее членов равна 12. Найти первый
член и знаменатель.
2) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 7, а сумма 3-го, 4-го и 5-го членов равна 28. Найти про-
грессию.
— 87 —
801 a. 3) Сумма 1-го и 2-го членов геометрической прогрессии
равна 4, а сумма 1-го и 4-го равна 28. Найти первый член и зна-
менатель прогрессии.
4) Сумма 2-го и 3-го членов геометрической прогрессии
равна 12, а произведение 1-го члена на 2-ой равно 8. Найти
прогрессию.
5) Разность между вторым и первым членами гео гетриче-
ской прогрессии равна 2, а разность между третьим и вторым
равна 4. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
6) Разность первого и второго членов геометрической про-
грессии равна 54, а разность между первым и четвертым членами
равна 72. Написать прогрессию.
801 б. 1) В геометрической прогрессии, имеющей 20 членов,
сумма членов, стоящих на четных местах, равна а, сумма же чле-
нов, стоящих на нечетных местах, равна Ь. Определить первый
член и знаменатель прогрессии.
2) В геометрической прогрессии, имеющей 40 членов, сумма
первых 20 членов равна а, сумма последних 20 равна Ъ. Опре-
делить первый член и знаменатель прогрессии.
3) В геометрической прогрессии, состоящей из 4 членов,
сумма крайних членов равна а, и сумма средних равна Ь. Опре-
делить первый член и знаменатель прогрессии.
4) В геометрической прогрессии, состоящей из трех членов,
сумма членов равна а, сумма их квадратов равна Ъ. Определить
первый член и знаменатель прогрессии.
5) Решить предыдущую задачу для случая четырехчленной
прогрессии.
6) Поместить по одному члену между каждыми двумя чле-
нами -ряда 1, 2, 4, 8 и т. д. так, чтобы вновь образовался гео-
метрический ряд.
7) Поместить 6 средних геометрических между I и 7. Найти
знаменатель этого ряда.
8) Поместить 7 средних геометрических между а8 и Ь8.
II р и л о ж е н и я ]).
802. По свидетельству арабского писателя Асафада, Сисса-
ибн-Дохара, изобретатель шахматной доски просил выдать ему
в виде вознаграждения столько зерен пшеницы, сколько их по-
П При решении этих задач удобнее всего'воспользоваться логарифмами.
— 88 —
лучится, если на первое поле шахматной доски положить
одно зерно, на второе 2, на 3-е 4 и т. д., и на каждое I
последующее из всех 64 вдвое более, чем на предыдущее.!
Во сколько раз следует увеличить земную поверхность, чтобы
она могла дать необходимое количество хлеба, если принять
землю за шар радиуса 6 370000 метров, вся поверхность кото-
рого представляет поле, дающее на гектар до 40 кг, а один
гектолитр содержит 1600 000 зерен (поверхность шара равна
4njR3, где п = 3,14159...).
803. Одно лицо, желавшее сделать сбор с благотворительной
целью, придумало для этого такой способ (так наз. «лавину»):
оно разослало двадцати своим знакомым письма следующего со-
держания. «№ 1. Лицо, которое получит это письмо, просят в те-
чение суток разослать копию его 20 своим знакомым, пометив ее
№ 2, с тем, чтобы каждый, получивший № 2, сделал то же, т.-е.
в течение суток копию этого № разослал также 20 своим знако-
мым, пометив ее № 3, и т. д. до № 20. Все лица, которые полу-
чат письма за № 20, должны послать тем, от кого они получили
эти письма, по 20 коп.; лица, получившие письма за № 19, по
получении денег с тех лиц, которым они посылали письма за
№ 20, прикладывают к собранной ими сумме по 20 коп. и пере-
сылают всю сумму тому лицу, от которого они получили письма,
т.-е. № 18, и т. д.». Решить: 1) может ли быть осуществлен при-
думанный сбор; 2) каково должно быть,- по меньшей мере, насе-
ление земного шара, чтобы каждое лицо получило письмо только
по одному разу; 3) какую сумму дал бы придуманный сбор, если бы
он мог быть осуществлен?
804. Несколько лет тому назад одно «Депо часов» сделало
такую публикацию: «Всякий может купить золотые часы за 5 руб-
лей! Для этого нужно купить в Депо за 5 рублей квитанцию
с 10 талонами на получение часов; как только купивший квитанцию
распродаст свои талоны, он передает полученные деньги в Депо
и получает часы; всякое лицо, купившее .алон, получает даром
квитанцию с 10 талонами, по распродаже которых получает часы,
и т. д.». Объяснить, почему указанная операция, которую при-
думал владелец «Депо часов», была запрещена.
805. Над 1250 литрами 80-градусного спирта три раза выпол-
няют следующую операцию: отливают половину жидкости и до-
бавляют водой. Сколько литров чистого спирта останется после
последнего переливания?
— 89 —
£ 4, Бесконечные геометрические ряды.— Сумма бес-
конечного геометрического ряда.
806. 1) Члены геометрического ряда, представить графически
при помощи ступенчатой кривой, ширина и высота ступеней
которой соответственно равны (в определенном масштабе) зна-
чениям членов ряда, т.-е.
Abj=o»
Л2Ь'2 = A2Bj = aq,
A,B„ = A,B, = aq2.
O 0 <л X -X *
aq
В, Фиг. 24.
2) Показать, что точки Ви В2, В3,... Вп (фиг. 24) распола-
гаются на одной прямой (прямая В), а точки Л2, Л3,... Ап —
на другой прямой (прямая Л).
3) Составить уравнение прямой, проходящей через точки
А2, А3,... (прямой Л), если начало координат поместить
в точке А,, а ось х направить по АгВ3, какой геометриче-
ский смысл имеет в полученном уравнении знаменатель прогрес-
сии q?
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точки
В2, В3,... (прямой В) относительно той же системы координат.
Чему равен угловой коэффициент этой прямой? Как расположатся
— 90 —
прямые А и В при: а) 2 = 1; б) 2<1; в) В каждом случае
определить абсциссу точки пересечения прямых А и В.
806. 5) Спроектировать точки В2, В3,... на продолжение АгВг и
таким образом графически представить сумму членов ряда.
6) В каком из трех указанных в задаче случаев абсцисса I
точки пересечения прямых А и В представляет предел суммы I
членов прогрессии при безграничном возрастании числа их?
7) Пользуясь чертежом (фиг. 24), пояснить, почему такой ряд
называется сходящимся?
8) На основании результатов задач 6) и 7) определить, какой
ряд называется сходящимся?
9) На основании 'результатов указанных задач решить вопрос,
при каких значениях знаменателя q прогрессия с неограниченно
возрастающим числом членов будет представлять ряд сходящийся
и при каких значениях «/^расходящийся.
807. На основании результатов»» предыдущих задач показать,
что предел суммы {членов убывающей геометрической прогрессии
при неограниченном возрастании их числа определяется формулой:
• «_- »1 >
‘1-7 •.
1) Выразить wn?,KaK функцию S и q.
2) Выразить q, как функцию- w1 и»?.
3) Сколько величин необходимо и достаточно |для полного
определения бесконечной убывающей геометрической прогрессии?
Почему?
II р и я е р 1,1.
808. Вычислить сумму членов бесконечного геометрического
ряда:
‘+4+(lf+(b’+... 1
809. В следующих задачах, рассматривая две из величин
м1» *?> как данные, определить третью:
£ 2 3 4 5 6 ' 7 8, 9 10
1‘1 t 1 5 14 12 117 10 0,88 0,94 1,32
q I ““ 3 — f 0,2 — 0,3 0,96 — 0,76 0,53 -0,1
S 14 -3 7a 10 15 9o 250 0,5 2 1,2
— 91 —
810. 1) Определить первый член и знаменатель бесконечно
убывающей геометрической прогрессии, сумма которой имеет зна-
чение —и указать границу, которой не должно переходить
значение у, чтобы эта дробь представляла предел суммы членов
убывающей геометрической прогрессии.
2) Решить тот же вопрос относительно дробей:
а) — б) —у—; в) г,.
' » + iy ’ 4 + у ' 3 — !у
811. 1) Составить беспредельно убывающую прогрессию, сумма
членов которой равна 1, и каждый член которой равен пределу
суммы членов, за ним следующих. Чему равны ее первый член
п знаменатель?
2) Составить бесконечный геометрический ряд, в котором
1 ч
п5 = а каждый член равен пределу суммы членов, за ним сле-
дующих. Чему равна сумма этой прогрессии?
3) Составить прогрессию, первый член которой равен 0,7,
а каждый член в 9 раз больше предела суммы членов, за ним
следующих. Чему равна сумма этой прогрессии?
4) Составить бесконечный ряд, первый член которого
9,9, а каждый член в 9 раз больше предела суммы чле-
нов, за ним следующих. Чему равна сумма членов этой про-
грессии?
812. 4) Из произвольной точки одной из двух взаимно пер-
пендикулярных прямых (осей) проведена прямая под углом к этой
оси, меньшим 45°; в другом конце отрезка, полученного от пере-
сечения -прямой с другой осью, восславлен к нему перпенди-
куляр; в точке пересечения последнего с первой осью к нему
восставлен новый перпендикуляр и т. д. Длина первого получен-
ного отрезка = а; отношение второго отрезка к первому — q.
Будет .ли неограниченно возрастать длина получаемой при указан-
ном построении спира ли, если ее неограниченно продолжа гь, или
нет? Можно ли найти предел, к которому стремится эта длина?
Чему он равен?
2) На одной из сторон острого угла от вершины го отложен
отрезок а. Из конца этого отрезка опущен на другую сторону
перпендикуляр х, который отсекает от нее отрезок Ъ. Из конца
°тРезка Ъ опущен на отрезок « перпендикуляр х,, из основания
— 92 —
этого перпендикуляра новый перпендикуляр х2 на отрезок Ь и т. д.
Найти предел длины ломчной, образованной перпендикулярами,
Ж + Ж1+Ж2+->
если неограниченно продолжать их построение.
812. 3) Решить предыдущую задачу, зная лишь длину первого
перпендикуляра с и длину второго перпендикуляра сп
4) Дан равносторонний треугольник. Из высот этого треуголь-
ника образован новый равносторонний треугольник; из высот
второго треугольника образован снова равносторонний треуголь-
ник и т. д. Определить сумму площадей всех полученных тре-
угольников при неограниченном продолжении построения.
5) В круг радиуса г вписан квадрат, в квадрат вписан круг,
в круг — квадрат и т. д. Вычислить сумму (предел) площадей всех
кругов, не считая первого, и сумму площадей всех квадратов.
6) В куб, ребро которого равно а, вписан шар, в шар впи-
сан куб, в куб снова шар и т. д. Определить: 1) сумму объ-
емов всех кубов; 2) сумму объемов всех шаров; 3) как изменится
результат 1) и 2), если каждый куб заменить цилиндром, осевое
сечение которого есть квадрат, а для первого цилиндра к= 2г = а?
Софизм философа Зенона Елейского (ок. 450 г. до нашей эры): '
813. Ахиллес преследует черепаху со скоростью, в 10 раз
большей скорости черепахи. Когда Ахиллес достигнет того места,
где черепаха была, когда он ее увидел, последняя продвинется
на первоначального расстояния между ними; когда Ахиллес
1
достигнет и этого места, черепаха продвинется на первона-
чального расстояния и т. д.; таким образом, Ахиллес должен сна-
чала достигнуть того места, которое черепаха уже покинула, и
никогда черепахи не догонит. Указать ошибочность такого рас-
суждения и определить, где Ахиллес догонит черепаху, если первс-
начальное расстояние между ними равно а.
Задачи из арифметики.
814. 1) Записать в более коротком виде сумму прогрессив
(не вычисляя ее):
а) 14-0,14-0,014-0,0014-...
б) 0,7 4-0,07 4-0,007 4-0,0007 4-...
в) 0,29 4-0,0029 4-0,000029 4-...
— 93 —
814. 2) Чистую периодическую десятичную дробь 1,2727...
представить как сумму членов бесконечно убывающего геометри-
ческого ряда. Определить первый член и знаменатель.
3) Решить ту же задачу для следующих дробей:
а) 0,438438...; б) 0,06120612...; в( 0,428571428571...
4) Воспользоваться указанным в задачах 2) и 3) приемом для
обращения чистой периодической дроби в обыкновенную и затем
вывести отсюда общее правило для такого преобразования.
5) Смешанную периодическую дробь 0,3575757... разбить
на две части так, чтобы одна из частей представляла бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию. Определить первый член
и знаменатель этой прогрессии.
6) Поступить таким же образом с дробью 0,8174242...
7) Приложить указанный выше прием к преобразованию любой
смешанной периодической дроби в обыкновенную.
8) Вывести общее правило для преобразования смешанной
периодической дроби в простую.
9) Рассматривая знаменатели обыкновенных дробей: 1) обра-
щающихся в конечную десятичную дробь; 2) в чистую периоди-
ческую; 3) в смешанную периодическую, указа!ь условия, от ко-
торых зависит обращение обыкновенной дроби в тот или другой
вид десятичной.
10) В какой системе счисления прогрессия
1+I+1+I+4+-
может-быть записана в виде 1,11111....?
11) В какой системе счисления периодическая дробь 0,22222.
изображает прогрессию
3 9 г27^81 Г-”
Геометрической прогрессией называется числовой ряд, каждый после
Дующий член которого равен произведению предшествующего ему члена
на некоторое определенное число q, называемое знаменателем прогрессии.
Если абсолютное значение q больше 1, то прогрессия называется воз-
растающей, если оно меньше 1, то прогрессия называется убывающей,
если q = 1, то все члены ряда равны одному и тому же числу. Если че-
рез uL обозначить Л-ый член геометрической прогрессии, через Q знаме-
натель, а через Sn сумму п ее членов, то имеют мьсто следующие соот-
ношения:
I. =
if с Unq *4 .
“• ---q — 1 — l — <z ’
itt «, 9n— 1 1 — qn
Во всякой убывающей геометрической прогрессии всегда можно взять
такое число членов, чтобы последний член прогрессии был меньше любого
наперед заданного числа.
Если в числовом ряде неограниченно увеличивать число его членов,
то ряд называется бесконечным. Ряд называется сходящимся, если суще
ствует число, к которому сумма п членов этого ряда приближается так, что
в ряду всегда можно взять стольг членов, чтобы разность между этим
числом и их суммой (а также суммой любого большого числа членов) была
по абсолютному значению меньше накого угодно наперед заданного числа.
Сумма п членов ряда представляет переменную величину, зави-
сящую от числа членов.
Число, к которому неограниченно приближается сумма п членов (при
неограниченном возрастании п) сходящегося ряда, называется суммой
бесконечного ряда.
Геометрическая убывающая прогрессия при неограниченном возрастании
числа ее членов представляет сходящийся ряд. Сумма этого ряда равна
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ('ТЕПЕН И.
ЛОГАРИФМЫ.
§ 1. Онред< гейме степени с нулевым и отрицатель-
ным показателем.
815. Проверить равенства ая:ат = ап~т (1)
(’2)
при т 5 5 5 5 л
п 3 4 О 6 7
Какой смысл следует придать выражению а°, если мы желаем,
чтобы формула (1) имела место при т=п? Какой смысл следует
придать выражению а-*, если мы желаем, чтобы формула (1)
имела ь есто при п < т?
816. 1) Выяснить, какие из законов действия над степенями
останутся в силе при п = 0, если выражению а° (а^О) придать
смысл: «°=1.
<ln = re>« + "j
п,
(п • by = а” • Ьп,
(атУ = ат-п
н
— 96 —
816. 2) При каком значении а а° не имеет смысла и после
установления определения смысла а0?
3) Проверить, какие из перечисленных законов останутся
в силе, если выражению а-* придать смысл:
817. Вычислить:
1) 9-3-2; 5) 92-3~Б; *> (4)-; 2) 8-2~2; 6) 253.54; 3) 16-4-3; 7) 96 -2°; 4) (-1)”4; 8) (-1)"3; 12) (-10)-2;
’3) jt,; “>) Д; 16) (0,2)-1;
17) (0,5)-2; 18) (1,5)-2; 19) (—0,1)-2; 20) 9-(4,5)-1.
818. Освободить следующие нательных показателей: выражения от нулевых и отри-
1) (Аг0; 5) 5°(х— ?/); 2) Зе°; 6) 7°(*+з/)°; 3) 4(« ft)0; 7) (а0)»; 4) («+ft)-i; 8) (а«)°:
9) («°)°; 10) аА; »> (I)-" 12) (i)";
*3) ет’ 14) 1-"; 16) (тП .««) (I)”
819. Умножение и деление:
1) а5-а з; 2) 8) с7.с 8; 4) рър 5;
5) я™-а;—"; 6) ут-у~3; 7) ёп+з-и~ъ\ 8) ar3x-aix\
9) 2,5«-7ft-4«-2ft-3; Ю) 4,5a-2ft—3.0,4a5fts;
Н) ftj. 19ч °’s. iQA - in b"-s. ft-9’ *2) a‘«’ 13) 14) fc-s’
15) 54ж«у-»г-« l&t-«</-».? . 21a?-»y^~»,
18) - 1Q. a-"* —y~«. p-s-.g-i „-z-l-b-v »-94-y-2’ ' p~3 + q~3
— 97 —
820. Возведение в степень:
1) («-г)-3;
4j
7) (—ct3)-2";
Ю)
7 \.г—*г/—*/ ’
2) (a-3)2;
о) (-а3)"3;
8) (—-а2")-3;
3) (а-зо)»;
6) (- а-вГ2;
9) (—а-2")-3;
и)
&;т-
Смешанные задачи.
821. Следующие выражения записать без знаменателей, поль-
зуясь степенями с отрицательными показателями:
. /Л В Д- 1 W — 1 jt’i j 1 ргх а । 1
1( s*; 2> 3) -vt; 4) *+5) ° +^;
Ч Г + 1; 7) S) « _£ 9) _1_; 10)^-
822. В следующих выражениях заменить п через — п и
упростить:
1) 2) х 3) а-п+1. 4) ж"’
о) Ц- ; (>) (п 1 J^+1; 7) д.П+1 . н + Г 8) й;"-1 П — 1
Выражение а° само по себе не имеет смысла. Но, чтобы равен-
ство а':ат = ап~т имело место при т=п, введен) определе-
ние: а°,= 1 (а =т^0).
Выражение 0° и после -введения указанного определения остается не
имеющим смысла.
Не имеет смысла также выражение а, так как нулевая степень вся-
кого числа равна 1.
Выражение а к само по себе не имеет смысла. Но, чтобы равен-
ство ап-.ат — ап~т имело место и при »г>>и, введено определе-
ние: а~л= —.
а“
При установленных определениях аи и аг* оказываются справедливыми
все установленные ранее для степени с натуральными показателями законы
действий над степенями, если подразумевать под показателями любые целые
относительные числа.
Сокращен. сборник алгебр, уиражн. Ч. II.
7
— 98 —
§ 2. Определение степени с дробным показателем.
823. Проверить равенство:
1 2 V'a," 3 л 4 5 6
при т 10 5 2 2 3 7
п 20 15 —6 5 2 5
824. Какой смысл следует придать выражению ат, чтобы ра-
п
венство ап — а™ имело место при п не кратном т?
825. Преобразовать следующие радикалы в количества с дроб-
ными показателями:
1) i4/«3;
5) ,/^3;
9)
2)
6)
Ю) ^х — у,
3) | х;
7) /«",
4) Z.*-2,
8)
11) ^«2 + i2; 12) ^(а-^-Ъу.
826. Записать следующие выражения в виде радикалов:
1 2_ 1 2 1_
1) а2; 2) а3; 3) &Г; 4) е5; 5) £г7':
п £ 2 „ 1
6) а-2; 7) а“2; 8) б“3; —2" 9) с 2; 10) 0,5 Х •
_0,5 11) X —0,3 12) х ; 1 0.1
13) (а2— i2)2; 14) я“0-2
827. Проверить, все ли законы действий над степенями со-
храняют силу, если под т и п разуметь любые положительные
дробные числа:
ат ап = ат~п—^ъ, («’’)" = а"‘";
п
(а &)т = ат bm; I «’ = «”•.
- 99 —
828 Выяснить, все ли законы извлечения корня
,"/„&= «'а .
«охранят силу, если под т и п разуметь любые положительные
дроби.
829. Проверить, какие из законов, перечисленных в за-
даче 828, сохранят силу, если под иг и и разуметь любые рацио-
нальные числа.
830. Вычислить выражения;
1) 164;
3
6) 1*5
1 s± £ -
2) 273; 3)25/; 4) 83; 5)Г23;
7) 12~ 3; 8) 12~Т; 9) 64~"®; 10; (—64)"®.
631. Упростить выражения:
11 2 1 5 1 3 _3
л \ 2 4 л \ 3 6 гъ \ 6 2 •\ 8 8
1) а •а ; 2) х • х ; 3) х -х ; 4) a -a ь ;
з __ь J_ 1 1 .2 3 £
5) ж5 -аг; 6) а-а 3; 7) х2 -х4 -xf8) z8 -zl -z 6 ;
з i i з ъ/~7л. £3 ~—
A. i T —г „5 V a ’ si а:2; « ох од -o.*
9) a -a a ; 10) a ’ 11) x > ’ 12) x -x -x ;
13) ap -aq ;
il’ _1
16) 125 2 -25 4;
19) x 2 :\/~x
3 /— £
22) 1 x:x 3
v_ _2_ JL JL Р*+^*
14) aq.ap .<*, 15) xq .xp-x pq ;
17)2’4-164®; 18)
20) a"3:21) a;1’1:^-1’®;
5 /-----------/------------------------------- 1
23) f x2'.x 5; 24) J x J^x:x8;
25) | <3 al ага8;
/-----~~ ~ J 2
26) ) x^ xt xl' x-x 16;
3/—V—за5 - 3 Л
27) V al a] a-a27; 28) 164 :83;
1 £ 2 _£
30) Г253 :25~ 2, 31) (0,008) 3 : (0,04)“ 2;
Л 2
29) 27 3 :92 ;
5_ 16
9 0) „ о . „ 3 „15
♦>-jу tl * Cl ‘ d j
— 100 —
б 5 16 3 2 3 I J_
831. 33) х3:х3:х 15; 34) 16Г:83.4-2; 35) (>)“ 2 : (т) Т; ]
36) (ъП: (I)37> ^6)У; 38> 39>
(3\ 5 / 3\_6_ / _-®\0
г5) 3; 41)U5?6; 42)U’J; 43) (^) 7:
« QS
( \-°’5 ( У-2 ( «\~PJ / ₽
44Да-0’6/ ; 45) \ж-0’®79; 46) \хр) ; 47) \aJbs) .
п
Выражение ак при п не кратном к само по себе не имеет смысла,
п
Но, чтобы равенство У а71 = ак имело место при п не кратном к, ~ве-
1
дено определение ак=^а.
При установленном определении извлечение корня всегда может быть
заменено возведением в степень.
1
При установленном определении ак (а также и а~к) оказываются
справедливыми две установленные ранее для степеней с натуральными показа-
телями законы действий над степенями и в 1 м случае, если под показа-
телями разуметь любые рациональные числа.
§ 3. Показательная и логарифмическая функции.
Показательная функция.
832. Представить графически функцию у = 2х, давая показа-
телю х значения: 1) целые и положительные, 2) целые и отри-
цательные, 3) ±у; ±у и т. д., 4) я = ±у. ±-|- и т. д.
(вычисляя корни с точностью до 0,01).
13 5
Вычислить значения функции для х = ±-г-, -+- -<=, ± о и т- д-
СТ О о
Какой числовой ряд образуют абсциссы построенных точек?
Какой ряд образуют их ординаты?
833. Представить, как и в задаче, графически следующие
функции:
1)2/=Зт; 2)?/ = 5*; 3)у=10’; 4> з/ = 1-10\
834. 1) Описать изменение показательной функции у=ах,
если а есть произвольное положительное число, большее 1.
— 101 —
834. 2) Какой вид принимает эта показательная функция,
если а = 1?
835. Какой вид имеет графика показательной функции, если
а есть положительное число < 1, например: у, -у,
Понятие логарифма.
х = 1диу.
836. Что называется логарифмом числа у при основании а?
Переписать следующие показательные равенства в виде лога-
рифмических.
1) 52 = 25; 2) 4* = 256; 3) 26 = 32; 4) З3 = 27;
5) 73 = 343; 6) 53 = 125; 7) 37 = 2187; 8) 83 = 512.
837. Переписать следующие логарифмические равенства в виде
показательных:
1) lg1010=l; 2)lg33=l; 3) lg749 = 2; 4) lg5125 = 3;
5) lg216 = 4; 6) lg416 = 2; 7) lg7343 = 3; 8) lg49343 = l,5.
838. Определить при основании 2 логарифмы следующих
чисел: 1) 2; 2) 4; 3) 64; 4) 16; 5) 128; 6) 1; 7) 1 8) 9) 1
839. Определить при основании 3 логарифмы следующих
чисел: 1) 9; 2) 81; 3) 3; 4) 1; 5) 243; 6) 7)
840. Определить бригговы логарифмы (основание = 10) сле-
дующих чисел: 1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) W00000- о) 1; 6) 0,1;
7) 0,001; 8) 0,000001.
841. Определить при основании 2 логарифмы следующих
чисел: 1) /2; 2) /2; 3) ^2; 4) J<23; 5) 6) ^4; 7) /8?
842. Определить ’при основании 3 логарифмы следующих
чисел1 1) ^3; 2) ^Зг; 3) /I; 4) ^27; 5) ^9; 6) ^27.
843. Определить бригговы логарифмы следующих чисел: 1) j/10;
2) k4/10; 3) 4) г10; 5) ^ТОО; 6) ^1000.
844. Определить при основании а (а положительное число 1)
логарифмы следующих чисел: 1) а2; 2) -; 3)1; 4) а"; 5)
«) 7) i; 8) 9) •
“ I/ ат
— 102 —
845, В следующих уравнениях найти значение х на основания
определения логарифма:
1) M=lg2t),25; 2) o; = lg464; 3) x = lgK64;
4) a; = lg1664; 5) x = Ig927; 6) я = 1^0,04:
7) ^ = lg5125; 8) a;=lg20,12o; - 9) x = lg19343;
10) lg2.r = 3; 11) lg-a; = 2; 12) Ig2a:=5;
13) lg4a; = 4; 14) Ig5a; = —4; to) lg4.r = — 5;
16) lg9*=l|; 17) l-g8* = f. 18) lg27* = -if;
19) lgx4 = 2; 20) IgJ6 = 4; 21) Igx343 = 3;
22) 1g ,1024= 10; 23) lgT2192 = 3; 24) IgJ 728 = 3;
25) lg.10= —1; 26) lgl2 = -| 27) lgl9=-|_
846. Составить ряд чисел, логарифмы которых образуют ряд
целых чисел, если основанием системы является 1) число 2;
2) число 3; 3) число 10 (бригговы логарифмы).
Логарифмическая функция.
847. 1) Построить графику функции ?/ = lg2rr на том же чер-
теже, где уже построена графика функпии у = 2*. Как графина
логарифмической функции может быть получена на графики по-
казательной функции при том же основании?
Построить таким же образом графику функции y=Agax.
2) Построить графику функции ?/= приняв вертикаль-
ный масштаб (по оси у) в 10 раз крупнее горизонтального (по
оси .-»). Для построения по точкам -этой графини воспользо-
1 2 а
ваться логарифмами чисел 108; 108;... 108 определяемых последо-
вательным извлечением квадратных корней.
Какими функциями являются по отношению друг к другу
функции показательная и логарифмическая?
3) При помощи построенной графики определить (по чер-
тежу) lglt)2, 3, 4, 5,... 9.
4) Описать вид кривой 3/ = lgoa при а = 2, 3, 10,...
5) Какая точка является общей для всех логарифмических
кривых?
— 103 —
6) Выяснить, на какое число отличаются друг от друга
бригговы логарифмы чисел: Igw, IglOra, IglOOn, IglOuOn,... lg^,
i n 1 n
1S100’ Jg1000‘
7) Составить ряд чисел:
n, Юп, lOOn и т. д.
РСакой ряд образуют самые числа? Какой ряд образуют их
логарифмы?
Понятие об иррациональном показателе (логарифме). Элементар-
ный прием вычисления бригговых логарифмов.
848. 1) Составить ряд степеней числа 2 с показателями: 2,
3, 5, 10, 20, 40. Между какими степеням™ числа 10 лежит 25?
На основании составленных для 25 неравенств определить, между
какими степенями 10 лежит число 2.
2) Между какими степенями числа 10 лежит 210? На основа-
нии написанного неравенства для 210 определить, между какими
степенями 10 находится число 2. Существует ли степень 10с ра-
циональным показателем, которая бы равнялась 2? Можно ли
вычислить логарифм числа 2 с любой степенью точности? Что
для этого следует сделать? Какое число представляет ^вю2?з
849. 1) Составить таблицу чисел, логарифмы которых
равныч1, у, у, Первое число равно 10. Как определить
второе число, затем третье число? Проверить следующую таблицу,
где в левом столбце помещены числа, а в правом — соответствую-
щие ий трехзначные логарифмы:
N L N L
10,000 1,000 1,037 0,0155
3,162 0,500 1,018 0,008
1,178 0,250 1,009 0,004
1,3335 0,125 1,005 0,002
1,155 0,0625 1,002 0,001
1,075 0,031 1,0005 0,0005
2) Число 6 разложить на множители, встречающиеся в левом
столбце нашей таблицы. (Указание: наибольший из встречаю-
— 104 —
щихся сомножителей есть 3,162, 6:3,162 = 1,898; отсюда
6 = 3,162-1,898. Наибольший сомножитель числа 1,898 есть 1,778;
теперь 1,898=1,778-1,068. Следовательно, 6 = 3,162-1,778-1,068
и т. д.).
Функция у = ах называется показательной функцией («>О;
Число зс, являющееся показателем степени при основании а, называется
логарифмом числа у при основании а и обозначается ос = >!/,.<!
Логарифмом числа при данном основании называется показатель той
степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это числе.
Функция у = 1дах является функцией, обратной показательной функ-
ции у = ах.
Согласно первоначально установленному определению степени, как про-
изведения равных сомножителей, ж может принимать только целые число-
вые значения.
Благодаря установленному определению чисел с отрицательными и дроб-
ными показателями, функция у = ах оказывается определенной для любого
рационального значения х.
При рациональном а степени а с целым (положительным и отрицатель-
ным) показателем (т.-е. числа, имеющие логарифмами целые числа) суть
числа рациональные.
При рациональном а числа, которым соответствуют дробные показа-
тели, оказываются вообще числами иррациональными.
Если при рациональном а рациональное число у не имеет логарифмом
целого числа, то око не может иметь и дробного логарифма.
Чтобы иметь В03.ЮЯ1 ность рассматривать функцию у = ах при любых
значениях ж, рациональных и иррациональных (при неп 2ое2>ывном
изменении ж), а также и для того, чтобы иметь возможность рассма
тривать функцию у = 1уиж при любом (главным образом, рац-нонстлъ-
ном) значении ж, необходимо установить определение степени с ирра-
циональным показателей.
Если оказывается невозможным решить в рациональных числах показа-
тельное уравнение А = ах, то всегда возможно подыскать такие два числа
(с произвольным знаменателем к) "• и п что к (а"> О):
к К
иррациональное число, определяемое значениями ~ и п + 1 (при любых зна-
К- к
чениях к), и принимается за значение показателя ж в уравнении А = ах
(логарифма числа А при основании а).
105 —
Свойства показательной и логарифмической функции.
при любом действительном значении ж.
При а 1:
аа при ж = 0 равно 1 при всяком значении и\
ах при .г = 1 равно «.
При a > 1:
(tx > 1 при ж > 0; ах •< 1 при ж < 0.
<ix при неограниченно гозргстающих положительных значениях ж не-
ограничен^ зэзрастает [ас° = оо].
ах, при неограниченно возрастающих по абсолютной величине отрица-
тельных значениях ж, неограниченно убывает [а-оо = 0].
Логарифм отрицательного числа не может быть выражен действитель-
ным числом.
При основании системы а>1 логарифмы чисел, ббльших единицы, по-
ложительны, меньших единицы отрицательны.
Логарифм единицы = 0. Логарифм основания = 1.
При неограниченном возрастании числа, логарифм его неограниченно воз-
растает [1g оо = оо].
При неограниченном убывании числа логарифм его принимает отрица-
тельные значения, неограниченна возрастающие по абсолютной величине
[1g 0 = — оо].
§ 4. Преобразование выражений, содержащих лога-
рифмы.
850. Пользуясь тождествами вида: А = а"‘Л, В = а°аВ, до-
казать справедливость следующих законов преобразования лога-
рифмов:
IgM + В) не может быть выражен через 1g Л й 1g В.
1g А • В = 1g А + 1g В; lg = 1g А — 1g В;
& А” = п lg A; lg j А = 1g А.
851. 1) Каким действием какой ступени заменяется при пере-
ходе от действий над числами к действиям над их логарифмами:
а) умножение, б) деление, в) возведение в степень, г) извлечение
корня?
— 106 —
851. 2) Объяснить смысл следующей таблицы, иллюстрируюшей
законы логарифмирования:
Числа.
Логарифмы
852. Прологарифмировать следующие выражения:
1) 1g абс; 2) 1g mnpqrst-, 3) lg 3az(a;4-3/);
4) Irr 7 ° c(o:+7)’ =”lg fSk.: 1rr (a+b)x. 6) lg (C_d)2/'’
7) 1g ai2; 8) lg (a6)2; 9) lg abW*;
10) 1g (a2-62); 11) lg (a2— 1); 12) lg (a*-a‘);
13) 1g а ; 14) lg /a6; 15) lg abet,
16) lg5a26,3/7; 17) lg 7а- /^з. 18) lg a\Tx y^xy\
19) 1g 31a-(7ж — 8)3; 20) lg
21) 1g 5а3 /х ^(ж2 -f-^2)2';
23) 1g 9ж«/3 /(а2 -ф 62)с;
„ 3/—
а? V х
5суЗ
22) 1g 5х /а(8г/ — г);
25) 1g
су d
26) 1g
2 . 1<r _i3/f(ax-b)
J 324 ^(ах — у)* ’ “ } ° (»+ г) ^сх— d ’
mi 1а—Ъ\5
36) 1g Зу— — , 31) 1g 1 __ ; 3-) 1g I _ I ,
у X ft X r x у x у
33> (/!§)’: 33 34'13 j : 35’ lg :
rn V n v m i/n i 1
36) 1g - X: ; 37) 1g 38) 1g aJ4=
ny my ny m f
— 107 —
852. 39) lg
ax
x Vу — z
40) 1g
_i
a (bx — c) 2
w(x — n) ~s ’
5
42) lg(^a- f/Ъ-
853. Преобразовать следующие суммы логарифмов в логарифмы
произведений и частных:
1) 1g a4-lg6 —lg с;
2) lg a — 1g Ъ -f- lg с — 1g </;
3) lg a —(lg бф-lg c)4-lg d;
4) 31g а-ф2 lg 6 — 4 lg c;
5) llga; —1-lg j/-}-! ]g^;
6) 21ga—llg&4-llga; —31g?/;
7) 71g(a4-6)—1 lg (a —6)_|_llga; —4]g2/;
8) 4 Jg («ж — 6)—1 lg (cx-d)-\-~ lg (mt-я);
9) -j-lg (^4-d2)_l[ig(a4-d)4-ig(a-6)];
10) 21g (x — y) — 11g (x^-xy-\-y2)— 11g (ж4-^/);
<14x1 CL t * i i i Q>X
ii) 1g-!,- + 1?T + lg^ —lg^;
12) lg|4-lg^-3 1g^-l/)-lg}/-y
§ о. Употребление логарифмических таблиц Бриггса.-
854. Зная, что четырехзначный 1g 2 = 0,3010, написать лога
рифмы чисел:
1) 20; 2) 200; 3) 2000; 4) 2000000;
5) 0,2; 6) 0,02; 7) 0,0002; 8) 0,000002.
Объяснить, почему характеристика 1g 2 равна 0.
855. Зная, что 1g 7,9 = 0,8976, написать логарифмы чисел:
1) 79; 2) 7900; - 3) 790000; 4) 0,79; 5) 0,0079
— 108 —
В каждом случае указать высшие разрядные единицы, входя-
щие в состав логарифмируемого числа; как определяется харак-
теристика логарифма в зависимости от того, какие высшие раз-
рядные единицы входят в состав логарифмируемого числа?
856. Найти четырехзначные логарифмы следующих чисел
(см. таблицы, стр. 122, 123):
1) 28; 2) 3,5; 3) 50; 4) 5; 5) 2;
6) 2,8; 7) 3500; 8) 96; 9) 100; 10) 260000:
И) 0,0056; 12) 9,6; 13) 44000; 14) 9900; 15) 0,98:
16) 243; 17) 443, 18) 49600; 19) 0,368; 20) 0,998;
21) 7,86; 22) 10,1; 23) 8,94; 24) 0,648; 25) 0,101.
857. Найти по логарифмам числа, если эти логарифмы встре-
чаются непосредственно в таблицах:
1) 0,9031; 2) 0,7160; 3) 0,7482; 4) 0,8774; 5) 0,0086:
6) 1,7033; 7) 1,8567; 8) 9,3424; 9) 1,9122; 10) 3,8842;
11) 4,9330; 12) 0,9988; 13) 0,4771; 14) 1,8960; 15) 4,9614
16) 2,0531; 17) 0,0043; 18) 6,6201; 19) 0,4116; 20) 2,7059.
858. 1g 2 = 0,3010, 1g 3 = 0,4771; на логарифмической кривой
отметить эти точки и соединить их прямой линией. 1) Опреде-
лить построением и вычислением точки, в которых эта прямая
пересекает прямые а: = 2,1; а: = 2,2 и т. д. до а; = 2.9. 2) Соста-
вить таблицы отклонения значений, полученных интерполяцией,
•от значений (взятых из таблиц) 1g 2,1; 1g 2,2 и т. д. Где будет
.наибольшее отклонение и где наименьшее?
859. Найти пятизначные логарифмы следующих чисел:
1) 248; 2) 101; 3) 20,8; 4) 1,44; 5) 0,996:
6) 4425; 7) 2135: 8) 2,165; 9) 0,4135; 10) 0,4136;
11) 41,38; 12) 4,558; 13) 0,4579; 14) 752,5; 15) 9524;
16) 28,88, 17) 0,4694; 18) 0,68X7; 19) 2,683; 20) 0,04287
Сохранить в найденных логарифмах по четыре десятичных
знака (выбирая наиболее точное из двух приближенных значений).
Найти те же логарифмы по четырехзначным таблицам, поль-
зуясь интерполяцией. Объяснить на основании рассмотре-
ния таблиц, почему значения, полученные тем и другим способом,
должны совпадать (в крайнем случае разниться на единицу по-
следнего знака).
— 109 —
860 Найти числа по соответствующим им пятизначным лога-
рифмам (если последние непосредственно встречаются в таблицах):
1) 1,97722; 2) 2,69425; 3) 0,93611; 4) 2,74819;.
5) 0,47770; 6) 1,56820; 7) 0,70027; 8) 0,99021;
9) 1,71003: 10) 1,73030; И) 0,56820; 12) 3,43457;
13) 4,58636; 14) 4,70053; 15) 2,40088; 16) 2,56820;.
17) 1,83020; 18) 0,75043; 19) 7,30081; 20) 3,19005.
861. Пользуясь таблицами и интерполяцией, отыскать лога-
рифмы следующих чисел:
а) (по четырехзначным таблицам):
1) 2307; 2) 4033; 3) 5751; 4) 8973; 5) 4987000; 6) 4175; 7) 813700; 8) 6548; 9) 91380000; 10) 0,4596; 11) 357,6; 12) 47,28; 13) 5,831; 14) 0,7356; 15) 0,7326;
16) 0,03875; 17) 0,08423; 18) 0,09387; 19) 0,0009246;.
20) 0,0001248; 21) 5б|; 22) 423у; 23) 215-Ь
4 5 26) Зга; 26) 124,55; 27) 100,08;.
28) 0,10484; 29) 2,0065; 30) 1,6996.
б) (по пятизначным таблицам):
1) 53843; 2) 74067; 3) 80395; 4) 76306;
5) 265780; 6) 3805700; 7) 74183000; 8) 626260;
9/ 83638000; 10) 10101000; И) 34,043; 12) 3,7408;
13) 0,57654; 14) 0,084375; 15) 0,0043896; 16) 4,7385;
17> 0,38471; 18) 0,075638; 19) 0,32689; 20) 471;
21) 736—; 994 А - 32’ 23) 232’5 ; 24M2g;
25) 2,00088; 26) 200,006; 27) 1006 08: 28) 300,684.
832. Найти: 1) четырехзначные логарифмы чисел:
а) 405; б) 405,6; в) 405,67, г) 405,678; д) *05,6785;.
2) пятизначные логарифмы тех же чисел. Сколько знаков доста-
точно было сохранить в числе, увеличивая в случае необходи-
мости на 1 последний удержанный знак [в примерах в, г, д], чтобы:
Получить четырехзначный (пятизначный) логарифм? Почему?
по —
С63. Найти четырехзначные и пятизначные логарифмы чисел:
а) 685; б) 685,3; в) 685,34; г) 685,348; д) 685,3484.
Какие десятичные знаки и в каких из данных примеров
не влияют на значение: а) четырехзначного, б) пятизначного ло-
гарифма и поэтому могут быть отброшены (с соответственным уве-
личением, в случае необходимости, последнего удержанного знака)?
864. Найти четырехзначные и пятизначные логарифмы чисел:
а) 12,42; б) 12,426; в) 12,4264; г) .12,42648; д) 12,426485.
Какие знаки и в каких из данных примеров не влияют на зна-1
чение: а) четырехзначного, б) пятизначного логарифма?
865. Сколько значащих цифр достаточно сохранить в числе
при определении его: 1) четырехзначного, 2) пятизначного лога-
рифма, если табличная разность > 10 (единиц последнего деся-
тичного знака)? ^10? При какой первой значащей цифре числа
табличная разность приблизительно равна 10?
866. Найти логарифмы следующих чисел (удержав в них нуж-
ное число десятичных знаков). [NB. Простые дроби должны быть
предварительно обращены в десятичные]:
1) 3,141592653....;
9 , /2. 43.
3) Ц 1 24’
7) 2,347347...;
9) 0,389389...:
2) 2,7182818284...;
5)3}-; .6)g;
8) 0,303303...;
10) 335,888...
867. Найти числа, соответствующие логарифмам:
а) (по четырехзначным таблицам):
1) 0,9193; 2) 0,6307; 3) 0,2937; 4) 0,8850; 5) 0,6247;
6) 1,9017; 7) 0,1626; 8) 3,7080; 9) 5,9000; 10) 0,5000;
11) 2,0440; 12) 1,1305; 13) 3,3580; 14) 4,5675; 15) 0,3333;
16) 0,1462; 17) 0,1000; 18) Г,0537; 19) 0,0180; 20) 2,0007.
б) (по пятизначным таблицам к
1) 4,37875; 2) 3,05867; 3) 2,75306; 4) 1.65073;
5) 0,28888; 6) 0,83705; 7) 2,85439; 8) 0,40765;
9) 1,37605; 10) 6,*44*4; 11) 0,08375; 12) 0,95368:
13) 3,75431; 14) 2^57093; 15) 0,33333; 16) 3.16667;
17) 2,10000;’ 18) Г,00100; 19) 170010; 20) 2,00070.
Ill —
За основание логарифмической функции обычно принимается число 10.
Значения логарифма, вычисленные при определенном основании для ряда
значений аргумента, образуют таблицу логарифмов.
Если за основание логарифмической функции принято число 10, то ло-
гарифмы называются десятичными или Бригговыми (по имени Бриггса, впер-
вые составившего вместе с Непером — изобретателем логарифмов — деся-
тичные таблицы логарифмов).
Свойства десятичных логарифмтв;
При умножении числа на 10* его логарифм увеличивается на к.
Логарифмы двух десятичных чисел, разнящихся тольно местом запятой
(записанных одинаковыми значащими цифрами), имеют одинаковую дробную
часть (мантиссу).
Целая часть десятичного логарифма числа (характеристика) равна лога-
рифму той разрядной единицы, которую означает первая значащая цифра
числа.
Применение логарифмических таблиц к вычислениям.
868. Вычислить при помощи четырехзначных или пятизнач-
ных таблиц (или при помощи логарифмической линейки) значе-
ния нижеследующих выражений. В каждом случае сохранить
в данных числах лишь нужное число значащих цифр. (Все ли
из указанных ниже задач могут быть решены при помощи кар-
тонной логарифмической линейки?)
1) 948,8-0,04388; 2) 3,410 0,008763;
3) 0,0003769 • 830,8; 4) 8,440 • 98,27;
*5) 276,568-0,037948; 6) 538,974 0,14839;
.7) 2,3768 8) 34,785
0,87534 ’ 3.8768 ‘
9) 73,5875 Ю) 3,78548
0,895347 ’ 0,40382 ’
П) 7,8564-3,7653 . 93,706 ’ 12) 17,539-0,87643 . 42,397 ’
13) 5,4763-19,8547 23,6053 ’ 14) 736,894-0,09387 . 19,7508 ’
15) 754,098 16) 98,3907
24,6893-8,4957 ’ 0,76085-58,9673'
17» 839 - 0,75436 976 • 0,08754’ 18) 0,43687 - 47643 _ 9,7685 • 8,0765 ’
19) 576 • 0,38954 • 37,807 . 20) 3754 - 45,786 • 0,78394 .
983 • 0,07549 • 56,754 ’ 4573 • 9,837 • 0,34075 ’
— 112 —
868.21) (1,3578)5; 22) (l,5097)G; 23) (1 4987)’; 24) (2,7359)‘; MS)’ 2O' 2O‘ /5768.4, /0,30854\б, /7638X2 ,0,75834.!» ЬЗО7) ’ \0,16687/ ’ 31) U075; ’ < 0,47031)) i 33) (2g)*: 34) (lg)’; 35) ( 2'/; 36) ( 1^)* 37) /9; 38) /9876; 39) /19; 40) ^83* 41) /15; 42) /8507; 43) j/ 738 ; 44) / 58076 ; 45) /1000; 46)/93,768; 47)/100; 48)/876,39;
49) /0,764; 50) /0,078549; 51) /0,9876;
52) ]/ 0,003879; 53) /0,876; 54) / 0,08395;
55) / 0,2376; 56) /6,007934. 57) /0,837;
58) /0,07365; 59) /0,008394 ; 60) /0,01769; M)j/| вЗ)|/“; 65) р/ 17f; 66) 627|; 67) |/ 23^; 68) |/ 19зВ| 89) |/®; 70) р/ 71) j/$ 72) I 73) у/'9873’ |/^3769’ 75) 89057’ 76) J, 98471* 77) (0,74287337)1-2; 78) (0,6894191 )°-е; 79) (0,6942832)’4; 80) (0,8602648)°-’; 81) 73,845-/0,0970093; 82) 37,468 •/0,887005; 83) 78,9466 /0,8574; 84) 45,6372 / 0 6573; с -ч /3,8057 . „ / 8,376 . о7ч / 5,6047 R . / L68*T5. 0,59463’ OD^ 0,5788264’ ° 0,73058’ 0,6576708’ опч 9807 /0,7873\\ 38075 /0,0857X5 ' 2908 \О,9Г75/ ’ 83746 (QjQ683) ’ 85,39/45 0,8948 /83 ’ 708.73 ’ У_-’ 6.0895 ’
— 113 —
868. 93)
3,8497 ^ТОб
0,7308
95)
97)
99)
1—0,0625» ’
,/'10— /6Д
4—1,25678 ’
/У - /У
1 —1,23456» ’
0,80947|/10
0.23095
1—0,18973» ’
по. (Л-1)(^+1).
' 1—0,03033» ’
100)
' ] _ 0,35035»
Логарифмические шкалы. Логарифмическая линейка.
869. Пользуясь масштабом, в 10 раз большим для оси у, чем для
оси х, построить логарифмическую кривую у = lg10rr и спроектиро-
вать на ось у значения, соответствующие х, равному: 1) 1, 2 и т. д.
до 10, затем 2) 20, 30 и т. д. до 100. (Ввиду больших размеров
получаемого чертежа последнее (2) построение следует сделать
в меньшем масштабе.) 3) Отметить на кривой точки, соответствую-
щие значениям х = 1,5; 2,5 и т. д. Полученная таким образом
на оси у шкала называется логарифмической.
870. Отметить на логарифмической шкале: 1) точки, соответ-
ствующие числам 2, 4, 8, 16, 32, 64: 2) 3, 9, 27, 81. Что можно
сказать относительно размеров интервалов?
871. На логарифмической шкале от ее начала отложен ряд
равных отрезков. Конец первого отрезка соответствует числу 1,1.
Написать ряд чисел, которые соответствуют построенным указан-
ным* образом точкам-
872. Построить логарифмическую шкалу, принимая для интер-
вала от 1 до 2-х (т.-е. для 1g 2) масштаб в 1 с м. 1) Где при этом
расположатся точки 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024?
2) Отметить на глаз точки, соответствующие числам 100, 200, 300
' и т. д. до 1000.
873. 1) Построить логарифмическую шкалу, выбрав для интер-
вала от 1 до 2 (т.-е. для логарифма 2) масштаб в 1 миллиметр.
2) Принимая 1024сл> 10<Х), таким же образом продотжить шкалу
до 1 О00 ООО, до 109, до 1012, до 1015.
874. Построить на одном и том же чертеже две равных лога-
рифмических шкалы так, чтобы они располагались на двух па-
раллельных прямых, имели одно и то же направление и чтобы
начало одной шкалы (т.-е. точка с пометкой 1) оказалось против
окращев. сборник алгебр. увражи Ч. II. 8
114 —
пометки 2 другой шкалы. Какие пометки второй шкалы ока-
жутся против пометок 2, 3, 4, 5, 6...-, 7,5; 2,25 первой шкалы?
Как следует поместить начало первой шкалы, чтобы ее пометки
оказалис против пометок другой шкалы, имеющих значения
в 3 раза большие? в 4 раза большие? в 3 раза меньшие?
17Ъ. Как, имея две равных логарифмических шкалы, могущих
скользить одна по другой, можно производить умножение и деле-
ние? Почему при перемножении чисел соответствующие числам
отрезки шкал складываются, а при делении вычитаются?
876. Построить на двух параллельных прямых в одном и том же
направлении две ло! арифмические шкалы так, чтобы начала их
оказались одно против другого, а масштаб на нижней из них был
Фиг. 25.
вдвое крупнее масштаба верхней. Какие пометки верхней шкалы
окажутся против пометок 1, 2, 3, 4... нижней? Как при помощи
этих шкал производить возведение в степень? извлечение квадрат-
ного корня?
877. Обыкновенная логарифмическая линейка (фиг. 25 и 26)
состоит из четырех логарифмических шкал: две из них помещены i
на линейке, две на движке А, который может скользить в пазах
линейки; нижние шкалы построены в масштабе вдвое более круп-
ном, чем верхние. Для удобства вычислений линейка имеет еще
подвижной указатель В.
877а. Объяснить на фиг. 27, как на нижней шкале при имею-
щемся расположении движка А производится умножение на 2?
деление на 2? Как на верхней шкале производится умножение
на 4? деление на 4? Найти на чертеже результаты следующих
действий:
1) 1,5-2; 2)3:2; 3) 1,4-2; 4) 3,4:2: 5)2-4; 6) 2,5-4:
7) 2,4-4; 8) 8,4:4.
— 115 —
8776. Какие действия и над какими числами представлены
на фиг. 28 (верхняя шкала)? Указать числа, действия и результаты.
877в. Какие действия и над какими
числами представлены на фиг. 29? Как,
пользуясь указателем, производить на ло-
гарифмической линейке возведение в квад-
рат и извлечение квадратного корня?
877г. Произвести при помощи лога-
рифмической линейки следующие вычис-
ления:
1) 72; 2) 15’-; 3) 17 s;
4) 232; 5) 1,34 s; 6) 7,86s;
7) 12,32; 8) 18, Р; 9) /5;
10) /Т1; И) /1Ь; 12) /85;
13) /р; 14) /17,4; 15) /65,8;
16) /26,9” 17) 2,3-4,5; 18) 23-35;
19) 7,4-6,9; 20) 5,3-0,75: 21) 2,25-5,7
22) 13,2 17,5; 23) 8,18*16,5;
24) 425-316; 25) 1,26-7,36-1,3:
26) 1,31-1,62-3,84; 27) 579-6,4-14.4;
28) 16,2:3,1; 29) 87,5:5,6;
30) 8710:78; 31) 123:17,5;
32) 3,45:11,3; 33) 32,8:189;
34) 315:0,78; 35) 22,5:813;
213-828 37) 3-з ' 7 1,33 ’
3.14-5,8-2?. ’ 6b 39) | / 17 г гу
«) 1 / 41) -j / 17,3-2.45 3,14
В основу устройства логарифмической ли-
венки положены следующие соображения.
Пусть выбран отрезок какой-либо длины.
например в а с.м, за еди-
ницу масштаба.
Составим теперь следующую таблицу:
fog 10=1, а следовательно, в нашем масштабе изобразится отрезком
8*
Фиг 27. Фиг. 28. Фиг. 29.
- По-
длипок) в см; 1g 9 = 0,9542, а следовательно, в^выбранном масштабе
изобразится отрезком длиною t а 0,9542 с.ч;-1д 8 = 0,9030, и в нашем
масштабе получится отрезок а-0,9030 см и т д.'Таким образом получим
следующую таблицу:
N - Log Длина отрезка, изображающая ло- гарифм в выбранной масштабе
10 1 а см
9 0,9542 п- 0,9542 см
8 0.9030 а 0.9030 см
3 0,4771 « 0,4771 см
2 0,3010 а 0,3010 см
1 0 а-0 см
Возьмем произвольную прямую линию и от выбранного начала нанесем
отрезки, длины которых записаны в столбце 3-м. Пусть концы соответ-
ствующих отрезков будут А, В, С, D и т. д. Над концами отрезков
надпишем те числа, логарифмы которых изображают каждый из получен-
ных отрезков.
Тогда будем иметь следующую шкалу:
1 0 1 2 3 8 9 10
и 1 ч а см —>
/ Е С В Л.
Изготовим точно такую же вторую шкалу. Поместим начало второй
Шкалы под отметкой 2 первой шкалы и посмотрим, накое число 1 -й шкалы
придется над отметкой 3 второй шкалы. Оказывается, это число будет 6
Действительно, отрезок 02 первой шкалы есть 1g 2, отрезок 03 второй
Шкалы есть 1g 3: отрезок 06 первой шкалы есть сумма отрезков 02
и 03, т.-е. равен !д 2 1д 3 или 1д 6. Таким образом перемножение чисел
— 118 —
сводится к сложению отрезков на шкале. Очевидно, что деление чисел
св.дется к вычитанию соответствующих отрезков.
Пусть у нас будет еще изготовлена шкала в масштабе, в 2 раза мень-
шем, чем первая; тогда отрезку первой шкалы 02 будет соответствовать
стрезок 2.02 второй шкалы, но так как отрезок 02 на второй шкапе
есть 1g 2, то против деления 2 первой шкалы придется конец деления
2-ой шкалы, соответствующий 21g 2, т.-е. логарифм 2s; следовательно,
пользуясь шкалой, устроенной таким образом, будем иметь возможность 1
вычислить 2-ые степени чисел. Очевидно, что шкала с масштабом, в 2 раза I
большим, дает значения корней. Таким образом логарифмическая линейка
вполне обслуживается четырьмя шкалами.
§ 6. Смешанные задачи-
878. Вычислить-
1) V 2 при и = 2, 3, 4,..., 10; 2) V 3 при и = 2, 3‘..., 10;
3) при п = 2, 3, 4,..., 10; 4) при м = 2, 3,..., 10.
879. На основании результатов предыдущей задачи выяснить,
как меняется значение j/ А с возрастанием показателя корня:
1) при A^>i, 2) при Л<1.
880. Вычислить:
1) I «2 — & при а) « = 6,369, 6 = 5,321; б) а = 0,8460, 6 = 0,6824;
2) у/при/> = 0,471, 2 = 0,399;
3) — ~ при а = 273,86, 6 =194,38;
4) |/а2-|~62 при а = 3,768, 6 = 2,391;
5) при а) а — 7,831, 6 = 4,392; б) а= 18,74, 6= 17.91;
6)] 1+^при а) « = 4,837, 6 = 5,704, с = 9,368;
б) а = 48,71, 6 = 91,72, с= 63,47;
7) | Л1—^при а) « = 28,37, 6 = 39,83, с =41,50;
б) а =173,5, 6 = 375,4, с = 280,2.
881. Корни квадратного уравнения ах-— 2Ъх-\-с = Ъ опреде-
ляются по формуле:
— 119 —
При вычислении значений корней следует сперва вычислить зна-
ас
чение № а затем каждое пз слагаемых в выражении яг1)2.
Найти ьорни уравнения при
1) a = 237,1, 6 = 349,4, c = —193,2;
2) a = 41,74, 6 = 53,83, c = 93,59;
3) a = 1,835, 6 = 7,494, c = 9,876.
Показательные и логарифмические уравнения.
882. Решить следующие уравнения:
1) а= = 6;
3) ах, Ь",п = с;
5) а’пх~1’= br,x~i;
1) 10* = 3;
7а) 3^ = 769;
9)" 1000* = 0,093768;
П) 7* = 100;
13) 3,111“ = 1,7497;
15) 10*= 1,371310;
17) 104* = 5,7544;
19) 7,8886* = 9,92126;
2) а—т\
4) ап~~х = пЪх.
6) aSx~'2 . б2*--3 = с*®-5;
8) 100* = 0,005736;
8а) 10* = 3250;
Ю) 5* =10;
12) 0’025229*= 100Э;
14) 2,506184*= 10;
16) (1,04952х)1,05 = (ЮО1.05)104952,
18) 5,188* = 88238;
20) 1428,57*= 0,0007.
2) ax = a~6',
5) Ц5=-=-2 = 1214;
S) a®-7 = a7-*;
>o ({r=g;
14) 0,5®—2 - 4^=“ 8=8;
17) ^27=9^;
3) =
6) 9^ = 27;
9) (a^-7)7-1 = a-1
12) 9^ -7 = 27;
15) 9-».= (4)"3;
18) /16 = /4*;
883. 1) 7* = 79;
4) а3х13 = а12;
7) (а®42)*-2 = а;
10) з-=4
13) 32л-1 •9!1_2 = 27;
16) /а3*т5 = а4;
19) S4 • 2а,“/4«; 20) Зх/I3 = ^+^8 - 2ж+/8®;
21) 51g х = 31g 32; 22) 31g х= 21g 27;
23) | lg x* = 7 lg 22; 24) | lg x9=| lg 27,
25) lg 4т + lg t2 = 2 lg t2 + 2 lg л-;
26) lg] ^j/^7T=2) 2/2;
— 120 —
883. 27) lg(a--2) + lg(x4-2)=0’);
28) lg (я; —3)-|-lg C-r— l) = lg 3 0-
29) lgw(*-^ + lg10(* + 5)==2i);
30) lg10 (*-5X+ lg10 (*-*) = 3 0-
884. 1) 5х — 5r-i .= 4; 2) 5** = 25 4~ 24.5’;
3) 15T. (-1)”=4) 8- — 0,4 = ^16^;
5) 9^1 = 243; 6) 'V 27 = 3-+3;
7) x4+'^=-100000; 8) lg (xs — 3*4- 12) — lg(<r —1) = 1;
9) lg /^5 4- lg p'2^3 = lg 30 — 1;
J lg2 ' 1^ — 2) 2
*) Выяснить, все ли найденные корни удовлетворяют данным уравнениям.
ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ
ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ
чисел от 1 до 1009.
122 —
ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ ТАБЛНЦц
N. L . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 р. р. >
10 0 ООО 043 086 128 170 212 9S4 294 334 374 43 42 41 "3
П 414 453 492 531 569 607 645 682 719 755 1 2 4.3 8.6 4.2 8.4 4 1^> 8 9 .
12 792 828 864 899 934 969 004 038 072 106 3 12.fi 12.6 12.3
13 1 139 173 206 239 271 303 335 367 399 430 4 5 17.2 21 5 16.8 21 0 16.4 20.5 24.6
14 461 492 523 553 584 614 644 6<3 703 732 6 25.8 25.2
30.1 34.4 38.7 20.4 33.6 37.8 28.7 32.8 36.с
15 1 761 790 818 847 87Е 903 931 959 987 614 8
16 2 041 068 095 122 148 175 201 227 253 279
17 304 330 355 380 405 430 455 480 504 529
18 553 577 601 625 648 672 695 718 742 765 38 37 36
19 788 810 833 856 878 900 923 945 977 989 1 3.8 3.7 3.6
2 7.6 7.4 7.2
20 3 010 032 054 075 096 118 139 160 181 201 3 4 11.4 15.2 11.1 14.8 10.8 14.4
21 222 213 263 284 304 324 345 365 385 404 5 19.0 18.5 18.0
22 424 444 464 483 502 522 541 560 579 598 6 22.8 26 6 22.2 25 9 21.6
23 617 636 655 674 692 711 729 747 766 784 8 30.4 29.6 28.8
24 802 820 838 856 874 892 909 927 945 962 9 34.2 33 3 32-4
25 3 979 997 014 031 018 065 232 082 249 099 265 “16 281 133 298 34 33 32 1
26 4 150 166 183 200 216 3.4 3.3 3 2
27 314 330 346 362 378 393- 409 425 440 456 2 6.8 6.6 6.4 «
2S 472 487 502 518 533 548 564 579 594 609 3 10.2 9-9 9.С
29 624 639 654 669 683 698 713 728 742 757 4 Б 13.6 17.0 13.2 16.5 12.8 16.0 г
6 7 8 20.4 23.8 27.2 19.2 22.4 25.6
30 4 771 786 800 814 829 843 857 871 886 900 23.1 26.4 К
31 911 928 942 955 969 983 997 011 024 038 9 30.6 29.7 28.8
32 33 34 5 051 185 315 065 198 328 079 211 340 092 224 353 105 237 366 119 250 378 132 263 391 145 276 403 159 289 416 172 302 428 29 28 27
1 2.9 2.8 О 7
527 539 551 2 5.8 5.6 5.4
35 5 441 453 465 478 490 502 514 3 8.7 8.4 8.1
36 563 575 ,587 599 611 623 635 647 658 670 4 11.6 11.2 10.8
37 682 691 705 717 729 740 752 763 775 786 5 17.4 16.8 13.5 16.2
38 798 8и9 821 832 843 855 866 877 888 899 7 20.3 19.6 н.й
39 911 922 933 914 955 966 977 9S8 999 010 8 9 23.2 26.1 22.4 25.2 21.6 24.3
40 6 021 031 042 053 064 075 OS5 096 107 117
41 128 138 149 160 170 180 191 201 212 222 25 24 23 _ jj
42 232 243 253 263 274 284 294 304 314 325 1 2.5 2 4 2.3
43 335 345 355 365 375 385 395 405 415 425 2 5.0 4.8 4.6 6.9 Э.Г
44 435 444 454 464 474 484 493 503 513 522 3 й 10.0 9-6
5 6 12 5 12.0 11.5 13.Ь 16.1 .
45 6 532 542 551 561 571 580 590 599 609 618 15.0 17.5 14.4 16 8
46 628 637 646 656 665 675 681 693 702 712 8 20.0 19.2 1М
47 721 730 739 749 758 767 776 785 794 803 9 22.5 21.6 21.1
48 812 821 830 839 848 857 866 875 884 893
49 902 911 920 928 937 946 955 964 972 981 21 19 Л-
1 2.1 1,0 1.-
50 6 990 998 (к >7 016 024 033 042 050 059 067 2 4.2 3.8 ЗА J
51 7 076 084 093 101 110 11S 126 135 143 152 3 6.3 5.7 ^3
52 160 168 177 185 193 202 210 218 226 235 4 5 8.4 9-5 8.С
53 243 251 259 267 275 281 292 300 308 316 6 12.6 11-4 10 *
51 324 332 340 348 356 364 372 380 388 396 8 14.7 16.8 13.3 15.2 17 1 12 л 14 * ?
। 412 459 18.9
55 7 4Н4 419 | 427 435 443 451 466 474
123 —
[ФМОВ ЧИСЕЛ ОТ 1 ДО 1009.
IIL-0 1 ’ 2 3 1 4 5 1 6 7 8 9 | Р. Р.
1 7 401 412 419 427 435 443 451 466 474 16 15
482 490 497 505 513 520 528 536 543 551 1 1.6 1.5
559 566 574 582 589 597 604 612 619 627 2 з 3.2 3.0
634 642 649 657 664 672 679 686 694 701 *4 6.4 6.0
709 716 723 731 738 745 752 760 767 774 5 6 8.0 9.6 7.5 9.0
| 7 782 789 11.2 10.5
796 803 810 818 825 832 839 846 8 12.8 12.0
853 860 868 875 8'2 889 896 903 910 917 е 14.4 13.5
924 931 938 945 952 959 966 973 980 987
993 ООО 007 014 021 028 035 041 018 055 и 13
|| 8 062 069 075 0S2 089 096 102 109 116 122 1 1.4 1.3
2.8 4.2 5 6 2.6 3.9
8 129 136 142 149 156 162 169 176 182 189 3 4
195 202 209 215 222 228 235 241 248 254 7.0 6.5
261 267 274 289 287 293 299 306 312 319 6 8.4 7.8
325 331 338 344 351 357 363 370 376 382 7 8 9.8 И 2 9.1 10 4
388 395 401 407 414 420 426 432 439 445 9 12.6 11.7
8 451 513 457 519 463 525 470 531 476 537 482 543 488 549 494 555 500 561 506 567 12 и
573 579 585 591 597 603 609 615 621 627 1 2 1.2 2.4 1.1 2.2
633 639 645 651 657 663 669 675 681 686 3 3.6 3.3
| 692 698 704 710 716 722 727 733 ‘739 745 4 5 4.8 6.0 4.4 5.5
6 7.2 6.6
8 751 756 762 768 774 779 785 791 797 802 1 8.4 7.7
808 814 820 825 831 837 842 848 854 859 8 9 9.6 10.8 8.8 9.9
। 865 871 876 882 887 893 899 904 910 915
921 927 932 938 913 949 954 960 965 971
1 976 982 987 993 998 004 009 615 020 025 9 я
1 2 3 0.9 1.8 2.7 0.8 1.6 2 4
9 031 036 042 047 053 058 063 069 074 079
085 090 096 101 106 112 117 122 128 133 4 3.6 3.2
138 143 149 154 159 165 170 175 180 186 5 4.5 4.0
191 196 201 206 212 217 222 227 232 238 5.4 6 3 4.8 5.6
243. 248 253 258 263 269 274 279 284 289 8 7.2 6.4
9 8.1 7.2
1 9 294' 299 304 309 315 320 325 330 335 340
1 345 350 355 360 365 370 375 380 385 390 7 6
395 400 405 410 415 420 425 430 435 440 1 0.7 0.6
445 450 455 460 465 469 474 479 484 489 о 1.4 1.2
494 499 504 509 513 518 523 528 533 538 3 4 5 2.1 2.8 3.5 1.8 2.4
9 542 547 552 557 562 566 571 576 581 586 6 4.2 3.6
590 595 600 605 609 614 619 624 628 633 8 5.6 4.8
638 643 647 652 657 661 666 671 675 680 9 6.3 5.4
685 689 694 699 703 708 713 717 722 727
731 736 741 745 750 754 759 763 768 773 5 4
'19 Z77 782 786 791 795 800 805 809 814 818 1 2 0.5 1.0 0.4 0.8
823 827 832 836 841 845 850 854 859 863 3 1.-5 1.2
' 868 872 877 881 886 890 894 899 903 908 4 2.0 2.5 3.0 1.6 2.0 2.4
!i 912 917 921 226 930 934 939 943 948 952 6
1 956 961 965 969 974 978 983 987 991 996 7 3.5 2.8
8 4.0 3.2
1 о ООО | 004 | 009 013 017 | 022 026 030 035 039 9 4.5 3.6
Текст старинных древне-русских задач (см. стр. 62) при по-
мощи современной орфографии изобразится так:
56) Случйся некоему человеку к стенё лёствицу прибрати,
стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрёте лёствицу долготою
125 стоп. И вёдати хбщет колйко стоп сея лёствицы нижний ко-
нбц от стены отстояти ймать.
57) Нёкоем кладезе поставлена бяше лёствица долготою 41 стопа,
а кладязь широтою во все страны по 9 стоп. И вёдательно есть '
колику он кладязь глубину имяше.
58) Ймяше некий генерал рйтных 3 600 человек и восхотё их
постйвити тйко, чтобы 2 500 человёк начальных были в средине,
а 1100 рядовых окрест начальных рйвно толщиною стояли. И вё-
дательно есть в колйко человёк толщины окрест станут рядовые.
59) Егда же кто можаше во едйну вервь, которая долготы
5 аршин, связати 100 копий, и вёдательно есть колйко таковых же
копий возможно связати другою вёрвью яже долготою есть
71/, аршйна.
ОТВЕТЫ.
541i-l) аЧо' +а» —1¥, J3) a*Wc а& + а2); 5) а»’-26^® — ®3®—0^»)-
544. 1) а.»’ + А; 3) ах” + 6л’” + ел2”; 5) х2т — хтуп + 'А
• • ।___г.. 1 а2® _i_ ь2к
545. 3) /—- ; (5) 2 -2i\_ bs}- 550. 1) 3; 3) 1. 551. Il 2; 3) 3; 5) 3.
580. 1) 12; 3) 27; 5) 15; 7) 19; 9) 290; 11) 2100; 13) 35; 15) 43; 17) 47; 19) 92;
21) 440; 23) 49; 25) 234; 27) 253; 29) 308; 31) 707; 33) 909; 35) 222; 37) 372;
19) 506; ,41) 705; 43) 2351; 45) 7557; 47) 3708; 49) 3504; 51) 5703; 53) 1305;
55) 0,22;’ 57) 0,93; 59) 0,123; 61)62,5; 63) 0,024; 65) 4,37; 67) 0,671; 69)
71) Ш’ 73) 1Т>’ 597. 13) (4« + 5 + 2с—rf)j 7; 15) 8/а; 117)— 3/2:
19) 5( ^б-— П; 21) 0. 600.1)4; 3, 6-30/3 + 24/20.
601. 1) /#»+*-]; 3)3/6-7; 5) 12 + /б; 7)1— 2. Г 5;
9) ба2 + 5а/7-6.г; 11) 3 /2 + 2 /3 + 34 /6 — 74; 13) (а— 5).
602. 13) <£±_Я2 604. 33) 2 /~3 + 3]/2 + /30 629 р % g) 0;.
5) А- з/9 - /2 - 3: 7) а + 4 Д'а. 632. 1) 3 + ®z18; 3) ab{Ь2).
638. 1) 5; 3) 3; 5) а + &2; 7) 2-Ь 9) 12; 11) 26; 13) 6; 15) 19; 17) 0; 19) 25;
21) 28; 23) 71: 25) 1; 27) 4; 29) 9; 31) 9; 33) 32; 35> 10; 37) ; 39) 9; 41)*49;
43)4; 45),а"г1)2; 47)0; 49)-^-. 639. 5) А 2,5 и 2-|; 7)1 А-
641.1)5,0; 3) — 4, 0; 5) +3,-3; 7) +2,5;—2,5 9) ± 10; 11) 0,—2;
1В? 0,3; 15) 8, — 7; 17) — а и — Ъ. 647. 5) ± 2,5; 7) zt 4; 9) zt 4 I 13;
111 ± 1; 13) i. 10; 15) 1; 17) 23. 649. 1) - 7 и 1; 3» 5 и — 8; 5) — 7 и —1,4;
7> 5 и 1-А; 9)—4 и — 4-А; И) и— т; 13) а — Ь на + 5; 15) 2 и —4;
17) —3 и —5; 191 —fwi+1) и Z — nr. 21) т—За и —т — За; 23) 1 и —2;
25) 3-А и бА.; 27) ~т ~^> и —'g- Р; 29) 2 и — 1; 31) 4 и — 36;
3 1
33) 1 и —15; 35) 11 И 1; 37) —2 и 1; 39) 4 и 41) 2 и 1; 43) 4 и 5г
4 4
— 126
45) -ъ и 47'. — и — 49) I п — in + 1; 51) — 1 ± 2 i/ 2:
Z Z 4 4 “
53) —2± ) 10 ' 55) ~ I- Ы г. 57, щ±\/п: 59) rr j/jj:
61) £ (-1 + j/5); 651. 23) и - 25) | и |; 27) 1,7 и - 2,7;
29) 2 и 1; 31) 2 и — 3; 33) 5 и — 3; 35) — а и Ь. 652. 5) а + 1 и а — 1;
7)2^и—10; 9)—2-|п—5; 11) 5^ и-А; 13) 3 - 15)-4 и^;
о о Zig t
S7)-4h1; 17) —2 и-|; 19) 3 и 21) ~ » ± |4К-аб 655. 17) 8 и -1;
1 ‘ ~ а 3
19) -^-и —с; 21) 4 н X 23) 3 п 8. 656.1) 6; 3,0,1; 5)1; 7) —4±|/55„
9- —3±3)/3 г; И) — 4 ± )/29 г. 665. Ц) (щ—13) (»Ц-34);
4 3
13) «а + 23) (а + 32); 15) (3/ —19) (г/ — 18); 17) {у + 3) (Ю.у — 7i
19) 2^ — 10) (s — 0,5); 21) (.? — 2аЬ) (.? + 2а6). 676. 7) 3 н 7:
9 1
9) ~ и 3; 11) 4^ и 1; 13) 4 п -2; 15) 6 ± 8г; 17) — 3 и + 15; 19) 5 п — 3;
Zo Z
21) 8 и — 7 Д-; 23) 1 к - 10; 25) 9 и 2; 27) 7 и 2 = 29) ан —; 31) ~ п -;
11 с а о а
33) О и 2(‘-,; 35)-^и “; 37) 4 и 1; 39)46 — А41)"±5; 43)-
а 4 Ь 3 5 а 4
45) а и — а; 47) а и Ь. 699. 1) 1; 3> а; 5) —3; 7) а; 9) — 4; 11) 2л;1
о
13) 2= 15) 2(ж — 1); 17) 2г + р. 703. 1) х =0, у = 2; 3) г — 0, у = 1
5) х = — 4; у = — 4; 7)ж = —-|-; 2/ = ^-; 9) a; = -i; l/ = + 3^:
11) — 1, 2/= 17,5. 706. 1) р = — 4; 3) р = 0. 707. 1) р = — 2, q = — 2;
3) р = — 3, q= — 4,25. 711. 1) — Xs + 2.г 4- q- 2) ?/ = — л2 — 6х ц-
713. 1) 1) 9, 81 м в сек.; 2)19,62; 3)31,39; 3) lie —29,43; 2) gt ; — fjt-
С С“
714. 1) t = —; 8 = 5-;
д
3) 12 .и;
5) квадрат; 7) больше на полуразность
с орон, s = ; 9) квадрат. 716. 3) —1 ± * И3; 5) 2 и — 1 zt г {/ 3:
7) — 3 н 3(1 4- * у 3\ 9)±1; 11) 3,-2 и—1; 15) 7 и 6
« 2
717. 5) — 5-i?, —и—2, —а; 7) 1 п 4; 9) а — 26; 6 — 2о-
т т
— 127 —
718. 21) ±1 г'о -46» __ ! g + 2/>+ ]/ С---26; 23) ± 2а, ± 2Ь.
F 2 2
719. 1) 2, 1, —1 * 3 и — 1 ± I j/З; 3) 1 и —1
5) х + 2 - ± 2, ± 2i, ± 3, ± 3<; 7) 2, 1 и др.; 9> 25 п 1; 11) 36 и 25.
720. 1) 2 п 3) -1 я"1 +? 3; 5) - 1. 2 ± / 3; 7)1, 2 и 4-;
9) 1, 1,5 и 4; п) № 11 4; 13> 4; 15) -1, —1,2 -Ь 17) 2,-1± «;
19) —1,-1,2 и 4; 21)- 1. + 1. + 1-2 и у. 722.1) 40; 3)30; 5; 8000 р.
7) 10 ч.; 9) 6 ч. и 14 ч.; 10а) 8; 105) 6; IQe) 8.723. .5) 17,05 см; 7) 4,2 м; 9)3с.и
п ]/р2 — 4;н-
и 7 см; 11) 27,6 см; 13) 10 дм п 8,4 дм, 15) 36 и и 55 и; 17)--——------;
19) 684 м и 783 188 м и 288 .и; 21) 12 и и 11 23) 0,2
25) 333 л, 444 м; 27) 2730 З.и2; 29) 1400 дм* 31) 32 м, 15 .ir
37) 1) 12; 3) 5; 39) 9 п 4; 41) 36, 48; 45) 1) 6, 8 и 10 см; 47) 512 3ir3
724. 1) а) около 3 сек, б) ок. 3.3 сек.; 3)со25 м в сек.; 5) 12 н 5 кг.
739. 1)-^± —6; 3) а; 5)3.1. 741.1)1.2; 3) 9 и 4, — 9и — 4.
1/а + 26 + 1/а — 2Ь i/а +2Ь — i/a —2b
742. 1) ± -I---------------- и ± -------;
3) (± а + 6), ± (а—6); 5) ±6 и ±7; 7) ± 3 и ± 5; 9) ± 3 и ± 4.
744. 3) За и — а, ± а; 5) 64,36. 746. 1)^Ц^ п 3) а и 0;
747 11) 12 + 4J/5 и 12 —4|/5; 13) 8 и 4, 15) 3 и 4; 17) 3 и 2;
19)±7и±3; 23) х = ~ 25) 5 п 2, — 2 и — 5:
27) 25 и — 4, 4 п—25, 29) 2 и у,—| и—2; 31) ±5 и ±4;
748. 1) ± 12 и 16; 3) ±7 и ±5; 5) ± 2 и ±3; 7) ± 13 и ± 2;
9)3и1, — Зи — 1. 750.5) 12 и — 6,8п — 16; 7)±6п±8; 9) ±18 и ±8; 11) 4 и 6,
s и 2:) 13) ±6 и ±4; 15)14,7.1,-19; 17) И и 7; 19) 7 j'10; 3 J'10.
21) ± j/ab;±J-—’ 231 1 и 2; 25) 2 и 3; 27) 13 и 10. 751. 5) ± - '
___________° у/а 1 Ь+с’
i/a + b-1-с т abc , - а , .
<) ±— -----------; 9) ±-! -----; 11) ----; 13) ± 4, ± 12 и ± Ь;
а с ’ t аос
15) ж = ±3, «/ = ±7; 17) £'=±5: 19) 16а, 4а и а; 21) z = + 1 и —17.
— 128 —
752. 9) 15, 19; 11) 13 и 19, 17 и 9; 13) 67 и 76; 15) 42; 17)
19) 14, 6, 20; 25) 9, 3, 21, 7. 753. 1) 16 с.и и 9 с.и; 3) 40 см и 15 с.и;
5) 25 м и 16 .в; 7) 77 36 .в; 9) 35 см и 1 с.и; И) 33 с.и и 56 с.и;
13) 12 5 с.и и 6 ,/ 5 с.и; 15) 20 .и и 30 .и; 17) i — я — я1—2ар=р2 * * * *);
19) (pi | 8d2 —р*;; 21) меиып. ст. 25,19 с.и; 23) 7, э|, 28; 25) 3 и 4.
754. 1) со 14 Ki, сг> 35 кг; 3) 120 с.и, 30 см. 778. 1) Дп = 1 + 2(м— 1);
3) а) 5050, 5) 1645; 7) 1683. 9) . 780. 4) д, = —14; >•- 4;
5; — 4о, — 20, 0, 20, 40, 60, 80; 7) w = 5; 9)л = 7,-н —31; 11) 20, г=-3;
13) — 17 и 2; —2 и 181. 781. 1) 52. 782. 5 р.; 243 р. 783. А рыиграет пари.
781. 1) 112,7 .» и 705,6 .и; 3) 10. 785. 1) 48 сек. 786 2) 1,5 л;
8Э1а. 1) 3, —2 и 1, 2; 3) 3, — 2 и 1, — 4 5) 2, 2.
__ в_ ____ 5*°
891. 1) q = «О — Ь18 мю + ai6tl + +а,бб2 + ^Гв:
3> = — 7) 5=^7. воз. 1-1. 810. в, = 2, ?/> 2.
811. 1) и| = !7^ 1; 3) 0,7; 0,07; >'=7' - 812. ; 3)
5) 8 кругов = г |/ 2 (2 — j.'2); S квадр.- 4 г2. 814. 10) 2; 11) 3.
8S8. 1) 41,633; 3) 0,31313; 5) 10,495; 7) 2,7152; 9) 82,188; 11) 0.;29969; 13) 4,6<Hil;
15) 3,5952; 17) 7,4077; 19) 2,0142; 21) 4,6153; 23) 16,981; 25) 44,473; 27) 16.349;
291 3,2169; 31) 3,5132; 33) 111,96; 35) 39,678; 37) 2,08711; 39) 2,6684; 41) 3X3;
43) 27,166; 45) 2,6827; 47) 1,6681; 49) 0,8741; 51) 0,99.378; 53) 0,95682; 55) 0,61937;
57) 0,9565; 59) 0,45081; 61) 1,3343; 63) 2,3137; 65) 4,189; 67) 4,843. 69) 0,9251;
71) 0,47504; 73) 0,16318; 75) 0,18442; 77) 0,69998; 79) 0,60001; 81) 23; 83) 75.
85) 3,2808; 87) 3,24046; 89) 2,1308: 91) 0,80822; 93) 24,541; 95) 1,0702; 97) 0,61616;
1g с* /* 1° о, — о I*7 Ь .Я
99) 1,634. 882.3)^; 5)Ц^---------7) J сл 0,47712; 9) сл —О,342£Я
“' ' т lg а — и 1g о
2 I
11) 13) ап 0.4929: 15) 1,3713: 17) 0,1900; 191 1,111. 883.5) 2;
1g ю ‘
7) *t)/5; 9) 8, 6: 11) —3; 13) 2; 15) 3; 17) 3; 19) 2 (другой корень фсбный);
21)5; 23) 128; 25)^4; 27) J 5; 29) 5]z^
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть II.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
Степени с натуральным показателем и радикалы.
Стр.
§ 1. Понятие степени и действия над степенями (533—551). Степенная
функции и ее графическое представление. Параболы (.552—562). 5— 9
§ 2. Понятие корня (563—569)............................... 10—11
§ 3. Квадратный корень. Извлечение квадратного корня (570—574).
Извлечение квадратного корня из чисел (575—5851............ 11—14
§ 4. Иррациональное число (586—591)........................ 14—16
§ 5. Действия над квадратными корнями. Преобразование радикалов
(592-606).................................................. 16—21
§ 6. Приближенные вычисления с квадратными корнями (607—614,.
Задачи из геометрии (615—620).............................. 21—23
§ 7. Общее понятие корня (621—623)......................... 23—24
§ 8. Действия над корнями-с любым натуральным показателем (624—637) 24- -27
§к 9. Уравнения, содержащие радикалы (приводимые к уравнениям пер-
t вол степени) (638)........................... ........... 27—28
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
Квадратные уравнения.
§ 1. Решение уравнений разложением левей части на множители
(639—641).................................................. 29
§ 2. Неполные и двучленные квадратные уравнения. Понятие о мни-
мом числе (612—648)................................... 30—32
§ 3. Полные квадратные уравнения (649—658)................ 32—36
§ 4. Свойства корней квадратного уравнения. Исследование квадрат-
ного уравнения (659—675)................................... 36—39
Сокращен. оборпик алгебр, упражя. Ч- II. 9
130 -
Ciiqi.
§ 5. Задачи (676)............................................ 39—40
§ 6. Исследование функции второй степени (квадратного трехчлена)
(677- 694). . . .................... . ....................... 40—4.5
§ 7. Производная и ее применение к исследованию квадратного трех-
члена (695—700). Minimum и marimum целой функции второй
степени (701—713). Задачи на maxima и minima (714).......... 45—51
§ 8. Уравнения, решение которых приводится к решению квадрат-
ных уравнений. Уравнения с легко угадываемыми (одним или
несколькими) корнями (715—716). Уравнения, решаемые введе-
нием вспомогательного неизвестного: трехчленные уравнения
(717—719). Возвратные уравнения (720).......................... 51—53
§ 9.' Задачи на составление уравнений 2-й степени с одним неизвест-
ным (721—722).. Задачи с геометрическим содержанием (723).
Задачи из физики (724)...................................... 53—63
§ 10. Простейшие алгебраические функции (725—736)............. 63—65
§ 11. Квадратные уравнения со многими неизвестными (737—748). Сме-
шанные задачи (749—750). Системы уравнений со многими не-
известными (751)............................................ 65—70
§ 12. Задачи на составление систем уравнений второй степени (752).
Задачи с геометрическим содержанием (753). Задачи из фи-
зики (754)....................................• . - . . • . . 70—74
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Ряды (прогрессии).
§ 1. Арифметическая прогрессия (755—766). Сумма членов арифмети-
ческой прогрессии (767—777).................................... 75—78
§ 2. Примеры (77S—780). Приложения (781—787).................. 78—82
§ 3. Конечные геометрические прогрессии (788—797). Сумма членов
геометрической прогрессии (798—799). Примеры (800—801). При-
ложения (802—805)............•................................. 83—88
§ 4. Бесконечные геометрические ряды. Сумма бесконечного геометри-
ческого ряда (806—807). Примеры (808—813). Задачи из арифме-
тики (814).................................................. 89—94
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Расширение понятия степени Логарифм.
§ 1. Определение степени с нулевым и отрицательным показателем
(815—820). Смешанные задачи (821—822)....................... 95— 97
§ 2. Определение степени с дробными показателем (823—831).... 98—100
1-31
Стр.
§ 3. Показательная и логарифмическая функции. Показательная функ
ция (832—835). Понятие логарифма (836—846) Логарифмическая
функция (847). Понятие об иррациональном показателе (лога-
рифме). Элементарный прием вычисления бригговых логариф-
мов (848—8491................................................. 100—105
S 4. Преобразование выражений, содержащих ло1арифмы (850—853). . 105—107
§ 5. Употребление логарифмических таблиц Бриггса (854—867i. Приме-
нение логарифмических таблиц к вычислениям (868). Логариф-
мические шкалы. Логарифмическая линейка (869—877)............. 107—118
sj 6. Смешанные задачи (878 -881). Показательные и логарифмические
уравнения (882 - 884)......................................... 118—120
Четырехзначные таблицы логарифмов чисел от 1 до 1009 . . . 122—123
Текст старинных русских задач в современной орфографии . . 124
Ответы................................................... 125— 12с
Государственное Издательство РСФСР
________________Москва — Ленинград_____________________
МАТЕМАТИКА* Книги для учителя
Беллюстин, В. К^к постепенно дошли люди до настоящей арифме-
тики. Стр. 203. Ц 1 р.
Борель, Э. Арифметика. Первый цикл. Перев. А. Долгова. Под ред.
Д. Л. Волковского. Стр. 168. Ц. 60 к.
Грацианский, И. М. и Кавун, И. Н. Математика в школе. Сбор-
ник 1-й (печ.); Сборник 2-й (печ.).
Дианина, Н. Опыт наглядного ознакомления с основными поняти-
ями теории пределов. Применительно к курсу геометрии в сред-
них учебных заведеньях. Стр. 51. П. 15 к.
Доклады, читанные на II Всероссийском Съезде преподавателей
математики в Москве. Стр. 320. Ц. 50 к.
Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки или арифметика для всех.
Книга I. Стр. 244. Ц. 1 р. 10 к.; Книга II. Стр. 208. Ц. 1 р. 40 к.;
Книга Ill. Стр. 272. Ц. 2 р. 25 к.
Кавун, И. Н. Приближенны' вычисления. Курс элементарный.
Стр. 125. Ц. 60 к.
Карасев, П. А. Элементы геометрии, изучаемые на перегибании
листка бумаги. Стр. 106. Ц. 40 к.
Карасев, П. А. Геометрия на подвижных моделях. Изготовление и
применение подвижных моделей геометрических форм (Плани-
метрия). Стр. 104. Д. 40 к.
Козюлькин, С. А. Опыт комплексно-лабораторного изучения мате-
матики. Стр. 204. Ц. 1 р. 80 к-
Коломенский, В. А. и Кремнев, М. Г. Курс геометрического
черчения, Стр. 83. Ц. 50 к.
Математика в школе. Сборник IV, посвященный вонросам пре-
подавания математики в трудовой школе II ступени. Под ред.
И. И. Грацианского. (Научно-метод. Совет Ленингр. ГУБОНО.
Математич. комиссия). Стр. 176. Ц. 1 р 75. к.
Перельман, Я. И. Практические занятия по геометрии. Образцы,
темы и материалы для упражнений. Стр. 136. Ц. 60 к.
Перельман, Я. И. Руководство по метр, системе мер. Стр. 50. Ц. 25 к.
Рорберг, А. Треугольник и его практическое применение. Обще-
понятное введение в геометрию. Перев. с нем. Б. Д. Камин-
ского. Под ред. Я. И. Перельмана. С 93 чертежами в тексте.
Стр. 180. Ц. 75 к.
Сигов, И. Д. Проекционное черчение в курсе геометрии единой
тру довой школы I и II ступени. Методический очерк для пре-
подавателей школ I и II ступени и слушателей педагогических
учебных заведений. Стр. 70. Ц. 65 к.
Трейтлен, П. Наглядное обучение геометрии. Перев. с нем. Б. Кро-
гиуса. С 82 чертежами в тексте и атласом чертежей. Стр 89
(tp,kct)4-XXVIII (атлас чертежей). Ц. 80 к.
Юнг, В. А., проф. Как преподавать математику в школе I и II
ступени Перев. санглийск., дополнен. А. Р Кулишер. С 20 чертеж.
Стр. 296. П 1 р. 60 к.
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
для второй ступени, школ фабзавуча, крестьянской моло-
дежи и рабфаков
МАТЕМАТИКА
Добровольский, В. В. Математика для школ ФЗУ и профшкол. Стр. 176. Ц. 1 р.
Извольский, М Геометрия на плоскости (Планиметрия.) Стр. 2S6. Ц. 2 р.
Извольский, Н. Геометрия в пространстве. (Стереометрия.) Стр. 140.
Ц. 1 р. 30 к.
Иовлев, М. Н. Математика для школ крестьянской молодежи. Стр. 212.
Ц. 1 р. 25 к.
Кавуи, И, Н. проф. Гсометрця в природе и технике. (Печ.)
Базаров, А. Сборник задач по аналитической геометрии на плоскости.
Стр. 72. Ц. 30 к.
Карминский, Л. Прямолинейная тригонометрия. Лабораторно-индуктивный
метод изложения. Стр. 201. Ц. 1 р. 20 к.
Козюлькин, С. А. Практическое руководство по математике для школ
рабочей молодежи.
Ч. I Под ред. и с предпел. В. И. Хотимского. Стр. 302. Ц. 1 р. 85 к.
Ч. 11. Под ред. и с предчел. В. И. Хотимского. Стр. 126. Ц. 75 к.
Коломенский, В. А. и Кремнев, М. Г. Курс геометрического черчения.
Стр. 83. Ц. 50 к.
Комариицкий, В. И. Основания аналитической геометрии на плоскости и I
в пространстве. Огр. 276. Ц. 1 р. 75 к. '
Крогиус, В. А. Прямолинейная тригонометрия. Курс трудовой школы.
Лайков, А. В. Алгебраический задачник на основе техники и экономики.
Ч. I. Стр. 172. Ц. 75 к.
Ч. II. Стр. 132. Ц. 60 к.
Лебедиицев. К. Ф. Руководство алгебры.
Ч. I. Стр. 144- -4 таблицы. Й 75 к. I
Ч. II. Стр. 203-|-4 таблицы. Ц. 1 р. 10 к.
Лебедиицев, К. Ф. Сборник задач и других упражнений по курсу алгебры.
Для трудовой школы и самообразования. Ч. I. Стр. 142. Ц. 75 к.
' Михайлов, А. Таблицы логарифмов с четырьмя десятичными знаками. 1
, Стр. 87. Ц. 20 к. I
Норрис, Э. и Крего, Р. Ооновы алгебры, геометрии и тригонометрии. |
Перев. с английск. Стр. 304. Ц. 1. 20 к.
Образцов, В. Н. и Журавлев, В. В. Графическая грамотность. Черчение.
(Рекомендовано ГУС’ом для пабфаков, ФЗУ и профшкол). Стр. 84. |
С атласом чертежей и 28 таблпь Ц. 3 р. 50 к.
Орлов, С. Первые работы пэ измерению земли. Руководство для трудовой 1
школы. Стр. 88. Ц. 45 к.
Пенионжкевич, К. Основания аналитической геометрии. Стр. 188. Ц. 1 р.
Пеиионжкевич, К. Прямолинейная тригонометрия. Стр. 39‘). Ц. 2 р. 25 к.
Перельман, Я. И. Новый задачник по геометрии. Стр. 175. Ц. 60 к.
Перельман, Я. И. Хрестоматия-задачник по начальной-математике. Чело-
век-прпрота-техника. Для трудовой школы и обучения взрослых.
Стр. 186. Ц. 75 к.
Перельман и В( "ьберг. Практические занятия по алгебре.
Часть I. (Печ.)
Часть П. (Печ)
ц. /и и,—у. 1
ОАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
ступени, школ фабзавуча, крестьянской моле
дежи и рабфаков
МАТЕМАТИКА
Поляков, Л. П., проф. Аналитическая геометрия. Стр. 316. Ц. 3 р.
Пржевальский, Е. Пятизначные таблицы логарифмов чисел и ^ригономет
рических величин, с прппавдение и логарифмов Гаусса, квадратот
чисел, квадратных и кубических корней из чисел и некоторые
других таблиц. Стр. 203 (В папке.) Ц. 85 к.
Рашевсчий, К. Систематический курс еометрии. Стр. 252. Ц. 1 р. 20 к.
Рашевский, К. Элементарная атгебрч. Стр. 238. Ц. 1 р. 10 к.
Рыбкин, Н. Сборник геометрически^ задач на вычисление.
Часть I. Планиметрия. Стр. 120. Ц. 60 к.
г1асп II. Стереометрия. Стр. 104 Ц. 60 к.
Рыбкин, Н. Сборни.; термометрических задач, требующих применения
тригонометрии. Стр. 81. Ц. 25 к.
Рыбкин, Н. Учебник приме линейной тригонометрии и собрание задач.
Стр. 178. Ц. 80 к.
Сигов, И. А. Нг ча 1ьная математика для рабочих.
Часть I. Стр. 269 + Щ. Ц. 85 к.
Ч еть II. Стр. 198. IL 85 к.
Сигов, И. А. Практические занятия по геометрии. Теневые силуэты.
Пособие для учащихся. Стр. 47- Ц. 25 к.
Фридман, В. Г. Производственный учебник математики. Для совпарт-
школ и комвузов.
Часть I. Стр- 405. Ц. 1 р. 80 к.
Часть II. Стр. 243. Ц. 1 р. 50 к.
Фридман, В. Г. Сокращенный коицентрическип учебник алгебры. Для
школ II ступени и техникумов. Стр. 360. Ц. 1 р. 75 к.
РАБОЧАЯ БИБЛИОТЕЧКА ПО МАТЕМАТИКЕ
Под общей редакцией А. Воронца
Виноградов, С. П. Элементы теории вероятностей. (Печ.)
Добровольский, В. Паровоз иа уроках математики. (Печ.)
Добровольский В. Самолет на уроках математики. (Печ.)
Попов, Г. Н. Как применялась и применяется тригонометрия на практик^. '
цТеч.)
Щетинин, Н. И. Приближенные вычисления. (Печ.)
ЗАКАЗЫ НАПРАВЛЯТЬ в торговый сектор Госиздата рсфср
Москва, Ильинка, Богоявленский пер., 4. Тел. 1-91-49, 3-71-37 и 5-04-56;
Ленинград, „Дом Книги", проспект 25 Октября, 28. Тел. 5-34-18; и во все
отделения и магазины Госиздата РСФСР.
ОТДЕЛ ПОЧТОВЫХ ОТПРАВЛЕНИЙ ГОСИЗДАТА (Москва, проезд Худо-
жественного театра, 6) высылает все книги немедленно по получении
заказа почтовыми посылками или бандеролью наложенный платежом. При
высылке денег вперед (до 1 рубля можно почтовыми марками) пересылка
бесплатно.