Похожие
Текст
УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ ДЛЯ ШКОЛ I и И СТУПЕНИ
51ф
Д. БЕМ, А. ВОЛКОВ, Р, СТРУВЕ Б' 45
СОКРАЩЕННЫЙ СБОРНИК
УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОМУ КУРСУ
АЛГЕБРЫ
ЧАСТЬ II
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ
Научно - Педагогической Секцией
Государственного Ученого Совета
допущено для школ л ступени
181—19В тысяча
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА * 1926 * ЛЕНИНГРАД
4W-A
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДШНЮ.
Выпуская „Сокращенный сборник упражнений и задач по
элементарному курсу алгебры^, составители руководились тою
же основной мыслью, что и при издании двухтомного „Сборника
упражнений и задач“, а именно, что идеи функциональной зави¬
симости и графического представления функций должны быть вве¬
дены в изложение алгебры с первых ступеней ее преподавания.
Выпускаемый сборник содержит разбор на задачах основных вопро¬
сов алгебры, кончая теорией квадратных уравнений и учением
о логарифмах и прогрессиях. Он предназначается для тех учеб¬
ных заведений, где курс алгебры ограничивается перечисленными
отделами.
I. Бем, А. Волков, Р. Струве.
Июнь 1916 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание представляет собою переработку пре¬
дыдущего.
Введен ряд новых задач, часть задач изменена, а некоторые
отделы дополнены.
Для облегчения пользования первыми изданиями на-ряду
с третьим приняты следующие меры: 1) сохранена нумерация
задач предыдущих изданий; 2) в случае пропуска каких-либо задач,
бывших во втором издании, № пропущенной задачи не запол¬
няется следующей задачей, а просто опускается; 3) вновь при¬
бавленные задачи получают № предшествующей задачи с при¬
бавкой литер: а, б и т. д., №№ задач, в которых сделаны изменения,
помечены звездочкой.
Д. Бем, Р. Струве.
Октябрь 192] г.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И
РАДИКАЛЫ.
§ 1. Понятие етспенп п действие над степенями.
533. Составить таблицу квадратов натуральных чисел от
1 до 20.
534. Составить таблицу разностей квадратов пар последова¬
тельных натуральных чисел. На сколько единиц квадрат числа п
меньше квадрата следующего за ним числа?
535. Какими цифрами оканчиваются квадраты последователь¬
ных натуральных чисел? В какой последовательности повторяются
эти цифры?
536. Вычислить значение следующих выражений:
1) (-1)1+(-1)2+(-1)3+(- D4+(-1)5+(-1)6;
2) (-1)1 + (- 2)2 + (- 3)3 + (- 4)4 + (- 5)5 + (- 6)«;
3) (— гг)5 + (_ a-)4 -j- (— х)3 4- (— гг)2 + (— гг);
4) (+2Я + (-3)2; 5) (+3)з + (-3)3; 6) (+2)4 + (-2)4;
7) Зх6 — 4гг5 + 5ж4 + 6х3—7гг2 а)пригт = 2, б)пригс = — 2;
8) гг8 + у8 при х = 3, у — — 3;
9) гг9 + у9 при х = 2, у = — 2.
537. Упростить следующие выражения:
1) ** + (_*)*; 2) 2/3 + (-у)3; 3) а4 + (-а)4;
4) а- — (—а)2; 5) а3 — (—а)3; 6) хъ — (—гг)5;
7) (а— &)2+ (6_а)2; 8) (а—A)3 + (fc —а)3;
У) (;Г_г/)4 + (у__.<.)4; Ю) (j> — q) 5 + (g,_p)3.
538. Как называются числа а, п и Ь в равенстве ап = Ь?
При каких значениях п выражение ап не имеет смысла? Имеет
ли место для выражения ап переместительный закон? Сколько
обратных действий должно иметь возведение в степень? Всегда ли
можно найти такое х, что хп = Ъ? Всегда ли можно найти такое г,
что ах — Ь? При каких значениях а и 6 имеет место аь = Ь°? По¬
дыскать примеры, в которых аъ = Ь'1 при афЪ.
539. Подставляя вместо букв т, к, п, р, q произвольные нату¬
ральные числа, проверить справедливость следующих законов
действий над степенями:
1) ат-ак = ат+к;
2) ат:ак = ат-к при т > к",
ат:ак = 1 „ т = 7{;
1 ^.
а '":ак = -^-гг,1 „ ш < /,•;
3) (каУ = кпп‘5) (ат)к = (ак)т = ат‘;
4) (^jn =—• 6) («т)м = (а”р)9.
Почему написанные формулы должны иметь место при любых
натуральных значениях букв, входящих в показатели?
540. Упростить выражения:
1) а7-а"; 2) ж"-гг5; 3) #’-у; 4) б-б”1-1;
5) рп-рп; 6) qn-q5n; 7) gда-n•§,^; 8) а3-а*-4;
9) Ю) q2n-q3~n; 11) ^■г5-'2”; щ а3+п-ах~3;
13) h5~n‘hn+x; 14) хп+3-хп-*; 15) хп■ я"-1 • х°~Зп;
16) 5"-52“; 17) З3*-1 • 33х+1 • З5»-3*; 18) аЧ^-аЧ;
19) 9Ь2-Ъ2-\Ь-, 20) 0,6х3-0,25x.1,6а:»--; 21) a^b^-ab2.
22) х2у2-хп~ 2уп- 5; 23) а2Ъ:г ■ уab3y2• уanbxvy,
24) ап+п~7а2т~я+8.ап—зт- 25) р*х—зу+5.рЭх+2и—ь.рх+вц-
26) (—а)2"-а; 27) (—а)2"-(—а); 28) (—а)2".(—а)3;
29) (—а)2п+1-(—а); ‘ 30) (— а^-^Д+а);
31) (-а^-Ч— a)2m+J; 32) {у-хГДу-xy-
. „зп Л2« д»
33) (а Ъ)-(Ъ «)г"-3; 34) ^ ^ - ±-.
541. Разложить следующие выражения на множители:
1) а11 + а8 — а5; 2) а3Ы + а2Ъ* + аЧ3;
3) а2Ъ*с3 + а3Ъ*с2 + а4Ь3с2-, 4) а3п +а4п+!1 + а5п—
5^ х2а + ?>ь _|_ Х5а—2Ь ж2о + »<- 0) ГЬs-t r2t—Zl _|_ г3в—
— 7 —
542. Произвести деление:
1) ?"• 2) -•
1) а«’ ' ап’
ИЧ а^‘- 7i ж5 -
6) в , 7) ж5-т
м»®-* ^ fi1 ^
“> 5^ 12) г=*
. л5“*® /7.® + 5
3)
ж
ж"-2 ■
л\ **
4)
ж" 2
/v.n- *
5) V'
8)
7;1 .
Ь"-1’
n«-S
9) V;
13)
«2П .
ftn-x,
14)
15) £-1;
18)
а"6 .
аЪт’
19) ^S-
' 0*6“’
^ rt- ;
а а
e’"+V+*. „„«"-‘Ь»-1. O9,om+I6. 0/л<а-1),(а;-1)3
-1) ambn , 66) атьп , 6Л) ^п + {, й*) (а _ i)3(i _я.)|.
543. Упростить выражения:
. s 2а3ж5 баг/3 Ьг/ _ 0. 2аЧРс1 4а2£>*с*.
1 ЗЬ*</* ’ 5Ьж* ‘ eW’ 1 ' 5жг/».г‘ ’
„ч 4а7Ь* 15Ьс3 2ей _ .. 4а!л3.у _ 8а,а:«/|_
■’ 5с№' 8aW*' ЗаЬ > ’ 5Ь3сг» ' 3bc*z* ’
54 2aWc _ дтЪпсг _ 6а?"~у-8 . оа^-у-2 . За”~*6с"+|
> 3а?У ‘ ж’У* ’ om+,bn+Y+3’ 6a;"+y+V+s' 2xynzn+t
544. Произвести деление:
1) (аж7 -J- 6ж3): ж5; 2) (аж2т4~ Ьж2п):а:т+";
3) (ахт Ъхп -|- схт+«): жт ; 4) (ж2т— у2п): (хт — уп);
5) (ж3”* + У3п): (*”* + УпУ> 6) (ж” — У") ■’(ж — У)-
545. Привести к общему знаменателю и по возможности упро¬
стить:
1 \ l__L- 21 ^ I 1 ж.
; ж7 “•“ж5’ -* ж3 ^ ж4 ’
оч 1 1,1. 1 1 1—*
■1 а-n жп-1 I хп~2 ’ > Ж" ж71-1 ’
а3 — Ъч ах -|- Ъ» „ а*-}-6* а* — Ъ*
ах-\-Ь» ‘а* — й*’ ах — 6* а*-!-^
546. Упростить следующие выражения:
1) (U)46i)4; 2) (Ц)3-(№ 3) (7*)*.(Н)5:
4| 5) (aby-(ff. (-^j3;
— 8 —
547. Раскрыть скобки и, если возможно, упростить:
1) (а'У; 2) (я*)*-*; 3) О"*1)4; 4) (—а3)2;
5) (— а2)3; 6) (-—а3)5; 7) (—а3)2"; 8) (— а2")3;
9) (_asn-i)2n; Ю) (—а*)*"-1; 11) (— a2"-i)2; 12) (—о2»)*»;
13) (а4&2)5; 14) (— а5&')8; 15) (ж»у)3; 16) (ж“-ь)“+ь;
17> (^)‘ 18> ©'■ ©•■ CSf
548. Смешанные задачи (на раскрытие скобок и упрощение):
1) (—«)"■(—a)fl; 2) (—а)п+я-(— а)"-»; 3) (—а"-1)2;
1 —а , 1
•п—19
в, ).
549. На сколько единиц число ж" — 1 больше или меньше х‘
550. Решить показательные уравнения:
1) а*+т = я10; 2) *s—* =
3) р2х+ 3 р$~3х- Q ^3(я—5) == ^2(л:—4)^
.✓
551. Разлагая правые части уравнений на множители, решить
следующие показательные уравнения и сделать проверку:
1) 5* = 25; 2) 2*= 16; 3) 3*=27;
4) (—2)*= 16; 5) 2х= 1024; 6) (—5)^==— 125.
Степенная функция и ее графическое представление. Параболы.
552. Составить таблицу квадратов чисел 0,1, 0,2 и пр. до 2,0;
пользуясь полученными значениями, построить на миллиметровой
бумаге графику функции у = а2 в пределах от х ——2 до х = -\~2г
соединяя последовательные построенные точки: а) ломаной
линией, б) ’ округляя на глаз построенную ломаную линию;
проследить изменение функции вне промежутка —2
до х = + 2.
553. Построить графику функции у = с.х2 при: 1) с = 2;
2) с = 3; 3) с = г; 4) с = 0,1.
554. Построить графику функции у — — с.х2 при: 1) с = 1;
2) с — 2; 3) с = 3; 4) с = \-, 5) с = 0,1.
555. Построить графику функции у —а.г3.
556. Пользуясь графическим изображением функции у~хг,
557 При свободном падении тела путь s и время t связаны
следующей формулой: s = \gt2. Если s измерено в метрах, t в се¬
кундах, то д равно приблизительно 10. 1) Представить графически
путь как функцию времени в подходящем масштабе. 2) Какой
путь будет пройден в 1,3 секунды? 3) В 3,5 секунды (определить
по графике и путем вычисления)? 4) Во сколько секунд тело
пройдет путь в 10 м? 5) В 50 м (определить по графике; построе¬
ние сделать в подходящем масштабе)?
558. Представить площадь квадрата как функцию стороны
квадрата. Определить по кривой, при каком значении стороны
квадрата площадь приблизительно равна 2.
559. Представить графически объем куба как функцию его
ребра. Определить по кривой, при каком значении ребра объем
куба приблизительно равен 2. (Делийская задача.)
560. Построить параболу у = х1 и прямую у = Ьх — 6. Что
представляют значения абсцисс точек пересечения построенных
линий для уравнения х2 = 5ж — 6?
561. Пользуясь графикой параболы у = х2, определить по
чертежу корни следующих уравнений, пересекая эту параболу
прямой. Проверить подстановкой правильность полученных ре¬
шений:
562. Показать, пользуясь графикой параболы, какие из сле¬
дующих уравнений имеют два корня, один корень или совсем
не имеют корней:
1) ж2 = 4; 2) ж2=9; 3) ж2 = 2;
4) ж2=8; 5) ж2 — 2ж = 0; 6) x2 = x-j-2;
7) ж2 = 2,25; 8) ж2 = 5ж—4; 9) ж24-2 = 3ж.
1) ж2 -j- 2ж 4- 1 = 0;
3) ж2 ж 4- 1 =0;
5) х2 = 0;
2) ж2 —9 = 0;
4) ж2 — 4ж-)-3 = 0;
6) ж2 4-4 = 0.
— 10 —
§ 2. Понятие корня.
563. Определить сторону квадрата, равновеликого прямо¬
угольнику, со сторонами а см и Ь см при
а
8
5
10
0,1
2
т
Р
Ь
18
125
1000
1,«
2
тр
564. Определить ребро куба, равновеликого данному прямо-'
угольному брусу (параллелепипеду) с ребрами а см, Ъ см, с см, если
1
г
3
4
5
а
2 .
1
10
1
м
Ь
4
3
100
1
qr
с
8
^9
1000
2
(]
рг
565. Что значит извлечь квадратный (второй) корень из числа?
кубичный (третий) корень? ю-ый корень?
566. Какое действие определяют следующие уравнения:
1) х*=:а; 2) х* = а; 3) х" = а?
Как называется х в этом случае? Как обозначается квадратный
корень из числа а? ю-ый корень из числа а?
567. Определить значения следующих корней:
1) /9; 2) /16; 3) /36; 4) /25;
6) /8; 7) /27; 8) /64; 9) /125;
И) /8000; 12) /216; 13) /32;
16) j/g; 17) /0^5;
И)/|;
5) /ТОТ);
10) /1000;
14) /10000000;
18) /ЩЙ325.
568. Всегда ли выполнимо извлечение корня? Указать, какие
иэ следующих выражений имеют смысл (и какой) и какие смысла
не имеют:
1) /Г; 2) /1; 3) /=1; 4) /=1; 5)/4; 6)/5; 7) /=4;
8) /27; 9) /8; 10) /8; 11) /9; 12) /9; 13) /-27.
— 11 —
569. При выполнении каких условий имеет смысл выражение:
•1) /а; 2) |Л=6;
31 Г/а: 4) У~—Ь \ ПРИ " четном?
3 * 9 / при п нечетном?
§ 3. Квадратный корень. Извлечение квадрат¬
ного корня.
570. Чему равен квадрат числа 2? числа — 2? числа о?
числа — я? Сколько существует чисел, квадрат которых равен 4?
равен а2?
571. Какое из значений квадратного корня из числа А (если
этот корень имеет смысл) разумеют под знаком \/~А? Как обозна¬
чить второе значение квадратного корня из А?
572. Чему равен Yя2: 1) если а имеет положительное значе¬
ние? 2) если а имеет отрицательное значение? .
573. При выполнении какого условия справедливо равенство
|/я2 = я?
574. Проверить на числовых подстановках и возведением
в квадрат обеих частей следующие равенства:
\fabc = \fa ■ l/б • |/с: „
.— /_ Распределительный
л/ -=Ya ■ занон.
У Ь /Г
\/ат — ат:2 (а > О),
|/~ Yо = Y«,
если ]Лг, Yb, Vе имеет смысл, и если т есть четное число.
Извлечь п-ый корень из числа а — значит найти число, n-ая степень
которого равна а.
Число, н-ая степень которого равна данному числу а, называется п-ым
корнем из а и обозначается Yа.
Число п, указывающее, какой корень извлекается из данного числа п.
называется показателем корня.
Число, из которого извлекают корень, называется подкоренным числом.
Y называется знаком корня.
— 12 —
Извлечение корня есть обратное действие третьей ступени.
Вместо У а обычно пишут / а.
Под \Га (если зто выражение имеет смысл) разумеют положительное
число, квадрат которого равен а.
Второе (отрицательное) значение крадратного корня из а обозначается
посредством — /ст.
Извлечение квадратного корня из чисел.
575. Составить таблицу квадратов чисел:
1) 1, 2. 3... , 9;
2) 1, 10, 100, 1000... , 10*.
Сколько цифр имеет квадрат однозначного, двузначного..., Л-знач-
ного числа?
576. Извлечь квадратные корни:
1) /64; 2)/81; 3)/100; 4)/900; 5)/6400; 6) /810000;
7) /250000; 8) /16000000; 9) j/^; 10) -j/^g; И) ]/|;
12) /0764; 13) /0,0064;] 14) /ОД); 15) |/ 0,0009; 16) /РП
17) /(Щ; 18) /0^0004; 19) /0,000004; 20) /0,000025.
577. Представляя произведения и квадраты чисел в виде пря¬
моугольников и квадратов, дать геометрическое истолкование
формуле.
(ж + УУ = a?2 -f 2jpy -j- у~ = as2 -J- у (2з? -j- у).
Площадью какой фигуры изображается выражение у (2# -f-s/)1)?
578. На основании рассмотрения чертежа предыдущей задачи
определить значение у, если
1) (х-\-уУ= 144 и # = 10;
2) (х-\~уУ= 256 # = 10;
3) (#-f ?/)2= 729 # = 20;
4) (#-fy)2 = 2401 # = 40;
*) Фигуру вида
греческие геометры называли гном^оном.
— 13 —
579. Какими разрядными единицами выражается квадрат де¬
сятков? удвоенное произведение десятков на единицы? квадрат
единиц? Почему для приблизительного определения числа единиц
корня достаточно разделить на удвоенные десятки остаток, по¬
лученный после вычитания квадрата десятков?
580. Извлечь квадратные корни:
1) /Щ 2) /256; 3) /729; 4) /196; 5) /225; 6) /289
7) /ЗбГ; 8) /32400; 9) /84100; 10) /7840000; И) /4410000
12) /4356; 13) /Т22о; 14) /5329; 15) /1849; 16) /792Г
17) /2209; 18) /9409; 19) /8464; 20) /7225; 21) /193600
22) /67240000; 23) /240Г; 24) /1681000000"; 25) /54756
26) /18225; 27; /64009; 28) /42849; 29) /94864; 30) /687241
31) /499849; 32) |/879844; 33) [/826281; 34) /15129
35) /49284; 36) /11881; 37) /138384; 38) /241081; 39) /256036
40) [/257049; 41) [/ 497025; 42) [/1522756; 43) /5527201
44) /18215824; 45) / 57108249; 46) /4149369; 47) /13749264
48) /49098049; 49) [/12278016; 50) /Ш467364; 51) /32524209
52) /49434961; 53) /1703025; 54) /896809; 55) / 0,0484
56) [/0,0625; 57) /0,8649; 58) /0,9801; 59) / 0,015129
60) /277889; 61) /3906,25; 62) /48,8601; 63) /0,000576
64) /0,000169; 65) /19,0969; 66) /25,8064; 67) /0,450241
581. Найти, пользуясь приемом извлечения квадратного
корня, наибольшее число, квадрат которого меньше числа (или
ему равен):
1) 6 000; 2) 100000; 3) 1000000; 4) 57 897;
5) 99 999; 6) 888888; 7) 169296; 8)1111111.
582. 1) Вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника,
если катеты равны: а) 21 дм и 28 дм; б) 36 см и 48 см.
2) Вычислить один из катетов, если другой катет равен 27 см,
а гипотенуза равна 45 см.
68) V^0,054766; 70) yf71) /
121 .
12321’
— 14 —
583. Определить расстояние начала координат до следующих
точек: 1) (9,12); 2) (15,20); 3) (63,84).
584. Составить формулу, выражающую расстояние d от на¬
чала координат точки (х,у). Где располагаются все точки, рассто¬
яние которых от начала имеет постоянное значение d?
585. Ha-днях один студент на вопрос, сколько ему лет, дал
такой ответ: „Мне исполнится п лет в году, номер которого
есть и2“. В котором году родился студент?
§ 4. Иррациональное число.
586. Приняв за единицу масштаба 10 см, представить на оси
числа: 0, 1, 2. На отрезке 01 как на стороне построить квадрат
и отложить на оси от точки 0 его диагональ (конец отложенной
диагонали обозначить буквой Ж). Составить уравнение, из которого
определяется значение абсциссы х точки Ж. Может ли х быть целым
числом?Может ли х быть дробью?Существует ли рациональное
число, которое могло бы оказаться значением х абсциссы точки Ж?
587. Найти наибольшее десятичное число с знаменате¬
лем 10, 100, 1000..., квадрат которого меньше 2 (первая группа);
найти наименьшее десятичное число с каждым из указанных
выше знаменателей, квадрат которого больше 2 (вторая группа).
Построить точки, абсциссы которых равны этим числам. Что про¬
исходит при увеличении числа десятичных знаков с точками пер¬
вой группы? Что происходит с точками второй группы? Каким
способом удобнее всего находить числа, входящие в первую
группу? Может ли когда-либо закончиться определение десятич¬
ных чисел (с любым десятичным знаменателем), квадраты которых
приближаются к 2 с той и другой стороны? Существует ли в пер¬
вой группе последнее число? во второй группе первое число (если
эти числа располагать в порядке по величине)? Может ли
бесконечная десятичная дробь, приближенными значениями ко¬
торой являются найденные десятичные числа, быть периодиче¬
ской или нет? Почему?
588. Указать, какие из следующих бесконечных дробей опре¬
деляют иррациональные числа (если предполагать, что закон, по
которому пишутся дальнейшие десятичные знаки, ясен по напе¬
чатанной части этих дробей):
1) 0,727272..., 2) 0,727727772...; 3) 1,414141...;
4) 1,4142...; 5) 2,71828182818281828...; 6) 2,7182818281...
— 15 —
589. Показать, что: 1) 1,7 </3; 2) 1,8>/3; 3) / 7 <-g~-
590. Вычислить с точностью: а) до 1, б) до 0,1, в) до 0,01,
г) до 0,001:
I) /235; 2) /578; 3) /240; 4) /148,93; 5) /723;
6) V8,8888...; 7) /523; 8) /10; 9) /Тббб; 10) /М;
II) /ОббГ, 12) |/13) /6^5; 14) |/ 15) /33,333...;
16) |/^18-|-; 17) |/150|; 18) /44,1777...; 19) |/248^;
20) |/ 2400|-
591. Вычислить:
1) /10 с точностью до i, до 31..
91 i/K I 1 1 I
^ / г ° я » ” 3 ’ 4 > 7 ’ ii’
Система чисел, в которую входят числа целые и дробные, положи¬
тельные и отрицательные, называется системой рациональных чисел.
Обратное действие третьей ступени — извлечение корня из положитель¬
ного рационального числа — не всегда выполнимо в рациональных числах.
Чтобы извлечение корня из положительного числа оказывалось всегда вы¬
полнимым, введены иррациональные числа. Они определяются бес¬
конечными непериодическими десятичными дробями. Благодаря
введению иррациональных чисел, оказывается возможным обозначить числами
ке только точки, расстояния которых от начала соизмеримы с единицей
длины, но и такие, расстояния которых от начала несоизмеримы
с единицей длины.
Каждое иррациональное число можно сравнить с любым рациональным
числом, т.-е. узнать, будет ли выбранное рациональное число больше или
меньше данного иррационального числа. Поэтому каждое иррациональное
число занимает вполне определенное место в числовом ряду.
Числовой ряд, содержащий рациональные и иррациональные числа, рас¬
пространяется и на отрицательные числа, при чем отрицательным иррацио¬
нальным числом называется число, противоположное некоторой непериоди¬
ческой бесконечной дроби. Система чисел, в которую входят рациональ-
кые и иррациональные числа, называется системой действительных
или вещественных чисел.
Благодаря введению иррациональных чисел, каждой точке на оси соот¬
ветствует число рациональное или иррациональное — ее абсцисса, и для
— 16 —
каждого произвольно заданного числа на оси имеется точка, имеющая это
число своей абсциссой.
Ряд, образованный рациональными и иррациональными числами, назы¬
вается непрерывным числовым рядом.
Числа в непрерывном числовом ряду располагаются в том же порядке,
как и соответствующие им точки на оси.
§ 5. Действия над квадратными корнями. Преобра¬
зование радикалов.
/ а2Ъ — а /&.
592. Вынести рациональные множители из-под знака корня:
1) /8; 2) /12; 3) /27; 4) /28; 5) /320; 6) /45;
7) /18; 8) /24; 9) /32; 10) /96; И) /243; 12) /175; 13) j/T3;
14) \гхч\ 15) /ж*"+ i; 16) /ж2" + 3; 17) /4яР; 18) /9а[х-,
19) /7*V: 20) \faxhj\ 21) УЬаЬс2; 22) /9а*Ъ2с; 23) /16а2№;
24) YlaWx2', 25) /<Г+^; 26) У хЦ\ — а:)2; 27) /а5(а-f 6)а;
28) /3,43a6V; 29) /0,384a%3s*; 30) /1,25а568; 31) +1;
32) / 0,32*«"+»у*»-1 ; 33) |/l^a3"&3; 34) |/2|а«»66»+1; 35) 3/8;
36) 5/80; 37) 8/5; 38) 6/150.
593. 1) /2, вычисленный с точностью до 0,601, равен 1,414.
Вычислить значение: а) /8; б) /18; в) /32; г) /50.
2) /бсл>2,449. Вычислить: а) /24; б) /54; в) /96.
594. Подвести рациональные множители под знак корня:
1)0|/i; 2) 5|Л>,С; 3) 11 j/ IV *)V0?i
в)*/1' 7> 2“/'8> <Jj («+*/;rb;
Ю) ll)f|/j; 12)g/5;- 13)«JpA|
14) at?/1; 15)
595. Привести корни к нормальному виду:
1) /|; 2) /I; 3) /| 4) б) /I; б) ,/Х;
V |/§1 8) /; 9) у/Ц; 10) |/ 12i; 11) |/ 11»;
12)/з+; 13) /£; 14)/f; 15) 8(/-J“,:
1б> 16/:Щ>;17> 18> /Гг 19> /я: 2°) /^
21> /5: 22> '/l'. 23> /£ 24) /|g; 25) /fg;
28> г/н””: 27)2“-H/S; 28) l "2^-4* + 2.
596. Пользуясь приближенным значением: i) / 2 = 1,414, вы¬
числить: а) ]/ \\ б) в) |/” 4у;
^ 2) /бел 2,449, вычислить: а) ^ б) ~у/ ^; в)
ш/«. + n/ст = (т + п) /о.
597. Сделать приведение радикалов:
1) /3 + 2/3^ 2) 2/Т—3/7^ 3) 9|/5— /5;
4)/a-f-3/o; 5) a/ж— /ж; 6) 3/ж— &/ж.
7) а/ +W ж— т /•ж — 9 }/х-,
8) 8l/"о+5/ж— 7а —J— 4|/^в — б/ж— З/о;
9) /Т+ 2/Т — 3/T+ 5/T-f 2/T— 6/^
10) i/ж+5/2ж— |/Зж-|-/4ж— /8ж + / 12ж;
11) 2/a-j-5/i—ж/a — с/б-|-/(ж—l)2a-j-]/be2;
12) 3/T-f2/i — 4/T— 5/T+ /4o-f-/96;
13) 4/а2ж-|--3/Тж-f 2/-(-/++_2/(6 + й)2ж;
14) 7/4^+4/^ + 3/4J^+5/l^+2/S(b;
15) 2/8й — 3/24^+5/Ж+2/^—4/T00a;
16) 4/3o —7/1^ —/Ж+б/ЗПо2 — 5/750;
17) 3/'8+4/32+5/5б —7/72 + 6/9S;
18) 7/12—5/27+8/48 —6/75-f-2/108;
Сокращен, сборник алгебр, упранш. Ч. II. 2
— 18 —
597. 19) 1-|/20-Ь|-1/^—J 25-Ь 80 + ) 5;
20) i-/l8 + ~V50- 3 /? + J 200;
21) /(а-)-6)2ж + /(а —6)2ж— /а2ж + /(1—а)2ж— /ж;
22) / 4 + 4ж2 + /9 + 9ж2 + /а2 + а2ж2 —5/r+i2.
/ст • /& =Ь«б-
598. Произвести умножение:
1) /3 ■ /12; 2) /2 • /50; 3) /28 • |+7;
4) /16 • /15; 5) /14 • /35; 6) /20 • /30;
7) /а" • /л; 8) 2/я" • /Зж; 9) 5 /2а • 3 /5ж;
10) а/ж-б/ж; 11) 5/1Ь-2/~3; 12) 7/ж-а/ ж;
13) /2а • /8ж; 14) /За • /5а; 15) // //;
16) 2/2"- »/32 • 1+8; 17) / а*6 • • /а"3;
18> -г]7"? • -Ь/|; 19> /фу* ■ /|+ /Т55;
20) / жп+1^"-1 ■ /жп_1г/п+1; 21) a/a*"*^ • /a3m_n62n+1.
599. Произвести деление:
1 ч Ы2. 9ч Ь18 оч /7ж. ... Ьбж. р.. 1^48
7Г _2) 7Г 3) 7г 4) 7г?_ ^ 7§;
6) /5ж : / 5; 7) /аж:/ж; 8) /32:/2;
9) /бб : J+5; 10) /72:/Зб; И) 5/Т:2/"5;
12) 3/"6:2i+3; 13) 4/5": 5/"2, 14) 8/"9:3/"3;
15) /а3^: у/бб; 16) у/+/5 : /+/; 17) 0,75/2а:0,5/86;
1йл l/ZHEZ ■ 1 3ftS ■ ini /Ь2^2. |/ 15а»Ь .
18) У ж + у‘) (х + у)3’ 1У> V 5а 'Г ж2-?/2’
20) /а2™”1 : /а2т_3; 21) /ip* + i.g*-1'’:/pk~1-q^~k.
600. Выполнить умножение и по возможности упростить:
1) (3/8 + /1S + /56 — 2/72) • /2;
2) (4/12—2/27 + 3/50 — /75) • /"3;
3) (7/"2—5/"б—3/8+4/20). 3/2j
4) (2/20 —7i+8—3/"5+3/18)-4/Тб.
— 19 —
601. 1)(/жу + /жя — |/ у)|/
2) ТгУ^
3) (/8-/7) (/7-/7); 4) (/б+/7) (/7-/7);
5) (3/7-2/3) (7/7+5/7);
6) (5 /7— 2/7) (3 /7+10 /7);
7) (8-1-3/5) (2-/-5); 8) (3- /7) (2 +3/7):
9) (2а -{-31 7Ё) (За — 2/ж); 10) (4/7—/Зж) (/7+2/ Зл:);
11) (2/7+5/7— 7/7) (/6—2/7+ 4/7);
12) (2/30— 3/7+ 5/7) (/7+ /7-/7);
13) (/7+/7) (/7-/7); 14) (/3^ + /2Л) (/37 — /26).
602. Возвести в степень и по возможности упростить:
1) (/7+ /7)2; 2) (а-6/7/ 3) (/7+/7/
4) (/7-/7/ 5)(1+/7)2; 6) (—1 + /7)2;
7) (/7 —/7)2; 8) (3/7—2/7)2;
9) (/ж + У + /ж—у)2; 10) (/а —ж —/ж —б)2;
11) (а-j-/1 —Т2)2: 12) (/1+7^ _/Т^ТЙ}2;
13) (/*+7?)^ »>(/f+t7)!-
603. Выполнить деление и по возможности упростить:
1) (а/ж-)-/ж) :/ж; 2) (3/7+ /а62):/а;
3) (./аб+а/б + б/а) :/а;
(/ж3у + /ж2у2 —/жу2) :/жу;
5)в+|; !.) 15+|; 7) <+|: 8)
9) »*:)+; 10) -i : |/ю: !|))/+2; 12))/|:6;‘
13) /|:Ю; 14)/|4; 15) |/|;„; 1в)/|:й;
П) /£ = £ lS)|/»+f; 19),/й:,/“; 20),+/|.
2*
— ‘20 —
604. Освободить следующие дроби от иррациональности в зна¬
менателе:
11)
16)
20)
24)
28)
32)
1
/З’
2) 7г
3)
1
»/а’
4)
а
Уа‘
5)
5
УГ
2
У¥
7>
8)
9
2 ^3~ ’
9)
48
5 >/32’
10)
54 .
|/72’
as
JO-V ху .
13)
1
14)
а
15)
1
У^’
1ш) / J
V %у
/ х2у ’
Ь V а ’
2+ t/3r
з+ /Г
1
У% -р Уз
Уь + Уз
17)
21)
3+ у'Ъ
5
18)
2— > 2
19)
1+ /2’
23>Tf=W
'■ 25"» ^ 5 /3 _ 3 \f 3 ~р V 6 _ 27-. о
/F-/3’ }7-3/Г } /3 + /б-’ } о-,/Г’
1
а —
а + 6 .
; 29)
1 ; 30) ^7 % з1)5+»/ж
V X — }/ у
; 33)
Ух -р / у ‘
т=; 34)-
5— /ж ’
с + й,/¥’ / /У-p |/У— |/5* — t^3-\- УЪ
605. Проверить справедливость равенств:
1 а -|- У Ь = \Уш -|- Уп и) а—У b= Ут—Уп.
т ■
и -р \f а2— Ь а — у'а2 — Ь
-> п= -
где ... - 2 2
возведя обе части их в квадрат и заменяя т и п их выраже¬
ниями через а и Ь.
Показать, что выражения тип можно получить, как значе»
ния х и у, если положить
У а Л- У Ь = У х -У У у
и, возведя обе части равенства в квадрат, отдельно приравнять
рациональные и иррациональные члены обеих частей получен¬
ного равенства.
При какой зависимости между а и Ъ преобразование по ука¬
занной формуле ведет к упрощению вида выражения
Va+уъ?
I
— 21 —
606. Преобразовать по формуле, данной в предыдущей задаче,
следующие выражения:
1) ) 8 +/28; 2) /9 — /17; 3) /15+/29;
4) / 7+2/1Г; 5) /ll—2/10; 6) | ' 12+3/7';
7) ]'10+1+50; ь) //+/Щ 9) /а + 6 — 2/аУ
§ 6. Приближенные вычисления с квадратными
корнями.
*
607. Вычислить с точностью до а) 0,01; б) 0,001:
1) 3/3; 2) 4/У; 3) 5/П; 4) 7/13;
5) 5/ОД; 0) 4/0Д25; 7) 7/|; 8) б)/Ь
• _
9) + 0,35; 10) 0,8/56, 11) Г,)/-’; 12) 2+ 2-1;
13) 14) |/1; 15) 16)
Почему при приближенном вычислении корней следует коэф¬
фициенты при корнях подводить под знаки корня?
608. На основании формулы (ас-\-^у=зс2-\-эс-\-\ выяснить,
какое из двух приближенных значений с точностью до 1 (по
избытку или по недостатку) является более точным для следую¬
щих корней:
1) /20; 2) /21; 3) /42; 4) /44;
6) /56; 6) /57; 7) /133'; 8) /156;
9) /306; 10) /210; 11) /Щ 12) /1260.
609. Составить, пользуясь формулами {ас—/|2=.*;2— ^ + у и
(* + yj2 = ге2 ге + У, таблицу квадратных радикалов из целых
чисел, если наиболее точные значения этих радикалов (с точностью
ДО 1) представляют числа:
1) 7; 2) 11; 3) 13; 4) 17; 5) 33; 6) 35; 7) 48; 8) 85.
— 22 —
610. Подыскать в неравенствах:
а<^%<С.Ь
такйе целые значения для а и Ъ, чтобы под х можно было разуметь
любое целое число, наиболее точным значением (с точностью*
до 1) квадратного корня из которого служило бы число:
I) 8; 2) 16; 3) 145; 4) 160; 5) 220; 6) 10000.
611. На основании формул (х-\- I)2 =х2 -\-2х 1 и
( I 1 V . . 2ж . 1
Г+10‘)=а: +То*+То^
указать наибольшее и наименьшее из целых чисел, приближен¬
ными значениями квадратного корня из которых служат числа:
1)
а)
4000
и
4001;
б)
400,0
и
409,1- в)
40,00
и
40,01;
2)
а)
1002
и
1003;
б)
100,2
и
100,3;
в)
10,02
и
10,03;
3)
а)
998
и
999;
б)
99,8
и
99,9;
в)
9,98
и
9,99;
4)
а)
9998
и
9999;
б)
999,8
и
999,9;
в)
99,98
и
99,99.
612. Сколько значащих цифр достаточно сохранить в подко¬
ренном числе, чтобы квадратный корень имел четыре точных,
значащих цифры? три? пять? две?
613. Вычислить, применяя при вычислении все допустимые-
сокращения:
1) /164,888888...; 2) /0,657796666...;
3) /3,14159...; 4) /28,754444...;
5) /7,8787...; 6) /3/7182818284...
с точностью до 0,01; до 0,001.
614. Вычислить с точностью до 0,01 следующие выражения*
(приводя все выражения к наиболее удобному для вычисления)
виду и производя все допустимые сокращения вычислений):
1)/зЧ-/Я; * 2) /5 -/2;
4ИЗ+/5)2;
5) 1 /2 + 7!; 6) V 2 — /2+ /3.
— 23 —
Задачи из геометрии ’).
615. В прямоугольном треугольнике даны катеты:
а) 5 см и 12 с.и; б) 12 см и 35 с.и;
в) 11 „ „ 15 „ г) 28 „ „ 195 „
Определить гипотенузу.
616. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза и катет:
а) 65 см и 16 см] б) 1898 см и 1702 с.и;
в) 365 „ „ 27 „ ; г) 514 „ „ 64 „ ;
д) 485 „ „ 44 „ ; е) 15 „ 9 „ .
Определить другой катет.
617. Площадь квадрата: а) 10, б) 40, в) 90 кв. см. Определить
сторону.
618. Преобразовать прямоугольник со сторонами: а) 9 см
и 16 см, б) 10 см и 40 см, в) 0,1 м и 0,3 м в равновеликий
квадрат. Определить сторону искомого квадрата.
619. Вычислить высоту равностороннего треугольника со сто¬
роной: а) 5 см, б) 13 см, в) Герберт (ставший позднее папой
Сильвестром t 1003) определяет высоту равностороннего тре-
0
угольника, умножая сторону на у» Герон (f 100 л. до нашей эры)
берет с тою же целью множитель в элементарных учебниках
7
настоящего времени взят множитель у Какая из этих дробей
дает лучшее приближение? Вычислить приближенно этот множи¬
тель и определить погрешность каждой из дробей (4 цифры).
620. Определить диагональ прямоугольника, стороны которого
равны: а) 12 см и 3 см\ б) 2,5 см и 17,2 см] в) 18,4 см и 34,5 см,
г) 2,08 м и 8,19 м.
§ 7. Общее понятие корня.
621. Что называется и-ым корнем из а? Как он обозначается?
Каким числом должно быть п? Имеет ли смысл Y а, если и чет¬
ное число, а число а имеет отрицательное значение? Что разумеют
') При приближенных вычислениях вести их так, чтобы в результате ока¬
зались верными три значащих цифры.
— 21 —
под Y~a при а положительном? Что разумеют под У—а (а>0)
при п нечетном? В каком случае Уа есть целое число? рацио¬
нальное число? иррациональное число?
622. Вычислить значения выражений:
1) VT, 2) У~8; 3) 3/27: 4) 3/Т25; 5) |/Тб;
6) |/б25; 7) 6/64; 8j 4/81; 9) (У 1 )3; 10) (3/27)з;
11) (4/П>; 12) 13) У~аЬ; 14) 4/х*; 15) 5/^;
16) 7/1ы; 17) б/525; 18)б/255 19) 5/32; 20) У^
21) 22) У^"; 23) 24)У^; 25) 33/27;
26) 13/27: 27) -1^125; 28) 5| 29) 30) |/~g-
623. Построив параболу у = х3, найти графически приближен¬
ные значения корней:
1)3/2; 2) У4; 3) 3/7; 4) 3/9; 5) /ОД 6) 3/0Д
Под н-ым корнем из числа и при а положительном разумеют поло¬
жительное число, «г-ая степень которого равна а.
Корень У а при п четном и а отрицательном не имеет смысла
е области действительных чисел, так как четная степень всякого действи¬
тельного числа есть число положительное.
Если п число нечетное, а подкоренное число отрицательное, то минус
может быть вынесен из-под знака корня:
н / п/
{/ — а = — |У а 9
Если У а при а целом и положительном не есть целое число, то он
представляет иррациональное число.
§ 8. Действия над корнями с любым натуральным
показателем. *
Уппь = п yV.
624. Вывести рациональные множители из-под знака корня:
1) */16; 2) /24; 3) 3/54; 4) 3/72,
5) 3/80; 6) У — 81; 7) 3/Ш; - 8) У — 648;
3) У&Ъ, 10) У 16с5с?6; И) уНхё*] 12) У~3^у-
— 25 —
13) V^+1\ 14) 15) У 5#2n + 1; 16) /а®»*-1;
17) 2 (/48: 18) 7 3/Т08; 19) 5— 320; 20) 8®/ —375.
625. Подвести рациональные множители под знак корня:
1) 3] % 2) 2 jAI; 3) «•j/1; 4) i: 5) 2
6)i>A|; Vij^S; 9)C]^*; 10)f|,Ag;
626. Следующие корни привести к нормальному виду:
ГЬ 2) Г?’ 3)2^1; 4) 81 \:
5) ]3/Г1. 6) а 1^1- 7) ж2 . 8) }' _*.
’ ' а ’ ' ' а&’ ' 2ж3 ’ * (о—Ь)г
тк/ Л»: *н/—г
/ а"4 = ^ я".
627. Сократить корни (если это возможно):
1) */а*; 2) в/а3;
3) ^0*6*;
4) е/а№]
5) 4/32;
6) 6/27; 7) */16;
8) 4/25;
9) УШ
10) У а3-,
11) У а*х2; 12) »/ а6х6;
13) 6/а2;
14) °/64;
153
ю
16) 764; 17) ^16;
18) ‘^68;
19) У?;
20) 9/d33;
21) 22)8/16а32;
23) У 8х°;
24) 4/9а2т*2;
25) У 25аг*+
628. Преобразовать: 1) У а; 2) У а в корень
степени.
6 й, 12-й и 1
629. Упростить следующие выражения:
1) 53/Гб + 33/^54 — б3 7 =^128 + 7 j/^250 + 23/432;
2) 73/24 + 53/8Т + 43/^Т92 + 2^/^375 — 3/Ш9;
3) 6s/^-f a3/^ + 23/^P;
4) i 4/32^ + 2ij/l62^— */2я;
5) + ] 172 —“/27;
6) 7 |/ic — 4 Ух-\- 5 3/ж — 6 Ух— ^-3.
7) а + 2 )/а +3 У а-4 3/« — 4/«® ~ 36/^ — 7^3-
— 26 —
630. Перемножить корни:
1) У 2- 3/4; 2) 3/3-3/!8; 3) 5 3/2а ■ УВЕ; 4) У а ■ 25/^;
5) УШ ■ 3уТй-, 6) yWx ■ У9^; 7) 3/2Ъу^ ■ 3/Щ2;
8) У а- УЪ- "А; 9) У а-У а2-3/х; 10) У а- У а? У/ах;
У0,8а2Ъ2с- У9,0iab2c2-, 14) Уа"-Чп+'-УаЪ2.
631. Произвести деление:
1) */28:3,/14; 2) 3/^27 : ; 3) */0Д : 4/Щ
4) 3/4^: 3/щ 5) 6,/2^: /<Щ; 6) УШ2:
7) У^-.Уа2«; 8) 2,1+/—.й2"+2 : 2,l+J/i; 9) 3/2а*тЬ2 : j/~ \а™Ъ
632. Выполнить действия и по возможности упростить:
1) (Уз+ у 2)- У 9- 2) ( У* - У а)-У а;
3) (а/Ъ + Ъ Уа) .Уа2Ь2; 4) (3/а — УЬ) (3/а + 3/b).
633. Произвести деление и по возможности упростить:
1) (3/9 _|_ 3/4): 3/з; 2) (3/30 — У15 + 3/5): 3/5;
3) (У041+ у ab2“— Унй): У^Ь-
4) (2 Уx4f -J- Vх3Уг — 4 VaV) '■ 2 Ух2у*.
634. Привести к общему показателю и выполнить действия.
1) У а- У а; 2) УЪ-3/Ь; 3) У У Yd\ 4) Ур- УЪ
5) Уа-УЪ; 6) Ус-У~с; 7)6/«.9/а; 8)Уй-Уй;г
9) У^-'Уу; ЩУх-]/Г11) Va-^f
12)
\Гъ.
X 3
1/6;
13>)/г
/§-
г 2’
15)
> -И
•Г
И
ш’
*> УI-
1 в’
17) у6-Уу;
1S)
19)
тУа-"УЬ-,
3/25
20> Vt
- «т */Ш.
’ ' I^IO ’
22)
•/«*
23)
V~“ .
У~а ’
l/ Ъ
24> •/7Г
; 25) fZ.
6/с
— 27
635. Освободить следующие дроби от иррациональности в зна¬
менателе:
3/2
а
2) Г
9
3)
4) •
’ У а •
У а? ’
6)+^; 1)~у=-,8)~=; 9) 10) -+.
У а* /а"-* У а* У«з У а
636. Возвести в степень и привести к нормальному виду:
1) (а /72)3; 2) (/а3)4; 3) (/§)*; 4) (/Т00)^
5) (а/Тй)3; 6)(1у^)4; 7)(-«/7*6>; 8)
637. Извлечь корень:
1) У а; 2) ]3/Л14 3) рАУс; , 4» ]3/ ? й;
5) /А/Щ 6) |3/ 7) ///1; 8) |А/И;
9) УАУ256; 10) У а /а;
12) 13)]/^®/®;
11) \Г хУх\
14) аУаУа;
15) }/~х х У х; 16) j/~ ауУЪ Ус; 17) j/~ х у У а;
18) «Уа; 19) ]ГЪ-У Ъ; 20) ]fAc /7.
§ 9. Уравнения, содержащие радикалы
(приводимые к уравнениям первой степени).
Решить следующие уравнения. При решении этих уравнений
следует проверить, удовлетворяет ли найденный корень данному
радикальному уравнению. Почему это необходимо сделать?
638. 1) /7+4 = 3;
3) /7+5 = 2;
5) Ух — о = 6;
7) 2/7=3,
9) /(7 = 6.
11) У2х — 3 = 7;
13) 2/3® —2 = 8;
2) /5 —я = 2;
4) /7+79=3;
6) У а — х = Ь;
8) 1/7=5;
10) /57= 10;
12) /17 —2® = 3;
14) 7/87+9 = 91;
— 28 —
€38.
15) у/ж + 17 = 3;
17) /Зж = /2ж;
19) 2/х — 1 — ЗУх^ЛТ,
21) 7 У х — 3 = 5 У2ж — 7;
23) 9 /ж^7 = 4 /5ж-— 31;
25) аУх — 1 = 6/1— ж;
27) 3 -f //=5;
29) 7 — I Аж = 4:
31) 5)^— 8 = 6;
33) 8 +3/^7 = 23;
■35) 13 — /Зж —5 = 8:
37)
3:
16)-|/99 —ж = 6;
18 -/&ж=3/7^;
20) 3/Tf3 = 2)/^+8;
22) 4 У^+1 = 3 Ух + 14;
24) 2/ж + 4 = 3УИГ—\.;
26) 5Уж— « = 8/«—ж;
28) Ух — 4 = 3;
30) 7 — 3/ж = 1;
32) 19 — 2/аГ=7;
34) 7 + 5/^+3 = 17;
,36) 7 + /19 + Зж=17;
\f X -}- 1 а
► ж — 2 Ъ ’
38)
1 -
-39) (7 — /ж)-(8 — /ж) = ж + 11;
4)) (3/ж—5)-(5/ж —3) = 5(3ж —31);
41) (3/ж — I)2 + (4 Ух — 7)2 = (5 /ж — б)2:
42) а(/ж — а) — Ь (/ж — 6) + а + Ъ = /ж;
43) /ж^3 = 3 —/ж; 44) /4а: —3 = 2 /ж— 1;
45) j/ж + а = а — р ж; 46) /ж + 6 — 1^ж — 1=1;
47) /а2 — ж + /б2— ж = а + 6;
48) У а — ж — 1 Ъ — х — У а — 6;
49) 1/ а — ж +,/6 — ж = j/ а + 6.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
§ 1. Решение уравнений разложением левой части
на множители.
639. Пользуясь тем свойством, что произведение двух или не¬
скольких чисел может обратиться в 0 лишь в том случае, когда
один из сомножителей обращается в нуль, найти корни ура¬
внений:
1) 5(а — 2) = 0; 2) (а—1)(а —2) = 0;
3) 6(а — 1)(я — 3) = 0; 4) а(а— 1)(а — 2)(а — 3) = 0;
5) (4а — 3) (2а - 5) (За — 7) =0; 6) 9(а + 1) (а — 2) = 0;
7) (5а— 1)(3а— 1)(4а+1) = 0; 8) (а + 1)(2а + 1)(3а+ 1) = 0.
640. Написать уравнение, корнями которого служили бы
1) 1 и 2; 2) 1, 2, 3; 3) 1, 2, 3, 4;
1_
2
4) 1,-1; 5) 1,-1, 2,-2: 6)1,2.
641. Разлагая левую часть уравнения на множители, решить
Уравнения:
1) х2 — 5а = 0; 2) а2 + 5а = 0;
3) 4а2-|-а; = 0; 4) х2 — 4 = 0;
5) х2 — 9 = 0; 6) 4а2 — 1=0;
7) 4а2 — 25 = 0; 8) 100а*— 1 = 0;
9) 0,01а2—1=0; 10) а2 —5а + 6 = 0:
И) а2 + За+2 = 0
13) а2 —2а —3 = 0
15) а2 — х — 56 = 0
12) а2 — 9а + 18 = 0:
14) а2 —16а+ 60 = 0:
16) 5а2 —9а + 4 = 0;
17) а2 — (а + 6)а+а6=0; 18) а2 — 2аа + а2 = 0
— 30 —
§ 2. Неполные и двучленные квадратные уравнения.
Понятие о мнимом числе.
642. Решить уравнения:
1) а:* — 3ж = 0; 2) 5^2— ж = 0; 3) 7ж2 + 2ж = 0;
4) ж2— игх = 0; 5) х2-\-рх = 0\ 6) ах2-\-Ьх = 0-,
7) (* —7)(* + 3) + (*—1)(* + 5)-|-26 = 0;
8) (3* — 8)s — (4ж — б)2 + (5ж - 2) (х + 2) = 24;
9) (Ж_ 1)2 + с*-|_1)< = 2;
10) (2х — 5) (За: — 4) — (За: + 4) (х— 2) — 10а; — 28 = 0;
11) (а; -)- 2) (ж — 3) (ж — 1) — х[х -f-1) (ж -f- 6) = 6;
12) (х а) (ж — Ъ) -f- (ж -f- Ъ) (ж — «) -f- 2иЪ = 0;
13) (ж+10)(ж — 0,l)-f-(a; — 10)(а;-|-0)1)-1-2 = 0;
14) (х -f- т) (х -f- п) (ж -]-р) — (х — т) (х — п)(х — р) — 2тпр.
643. Решить уравнения:
1) жз — 4 = 0; 2) ж2 = 25; 3) ж2— 100 = 0;
4) ж2 = 625; 5) ж2—а2 = 0; 6) х2 = ш2;
7) ж2 — и = 0; 8) х2 = Ц 9) х2-\-р = 0.
644. При каких значениях р существуют числа, удовлетворя¬
ющие уравнению ж2-\-р = 0?
645. Решить уравнения:
1)16ж2—1=0; 2)16х2 = 25; 3) 81ж2 — 4 = 0;
4) т2х2 — «2 = 0; 5) т2х2 = 1; 6) а2х2 — аЪ2 = 0;
7) 5ж2 —0,2 = 0; 8) 6ж2— § = 0; 9) ах2 —1 = 0;
10) ах2 — ^=0; 11) ах2 — т = 0; 12) ах2-\-с — 0.
646. Какими свойствами должны обладать числа а и с в ура¬
внении ах2 + с = О, чтобы это уравнение имело корни: 1) целые,
'2) дробные, 3) иррациональные? Какие знаки должны быть у «
и с во всех этих случаях?
647. Решить уравнения:
, ч 15ж 810 р\ 2ж 1050 д. 5х 800
J ~Т “ Зж ’ > Т ~Тх ’ ' 1Г~'б^Г;
4) (х+¥)[х-т)=4; 5> <3*+1,5)(Зж-1,5)=54;
6) (а -)- ж) (Ь — ж) -f- (а — ж) (b -f- ж) = 0;
— 31 —
11) (а + Ъху + (ах — й)2 = 2(аЧ* + 62);
12) (7 + х)(9-х) + (7-*)(9 + ;r) = 76;
13) (2х + 1)(Ьх — 9) +(2а;
7) (5а;-(-9) = 1874;
, ^ ах + Ъ сх + d _
' а+Ъх с + dx ’
а—х 1 — Ъх .
648. 1) Ученик решал уравнение (а; — 3)2 = (а;— 5)2 следующим
образом: „Если (х — 3)2 = (х — 5)2, то х — 3 = а; — 5, откуда сле¬
дует, что 3 — 5“. В чем заключалась ошибка в его рассуждении?
Чему равняется на самом деле корень написанного уравнения?
Как доказать таким же способом, что любые два числа равны?
2) Ученик на основании формул:
нашел, что а — й ^ й — а или, что 2а — 2Ь, откуда а = й; получив
нелепый результат, он решил, что его ошибка в том, что не всегда
а?—2ай-|-й2=й2—2аЬ-\-а2. Правильно ли он открыл свою ошибку?
Каким путем он заключил, что а — й = й— а? В чем его ошибка?
Уравнение х2-\-р = 0 при р положительном и уравнение ах2-\-с = 0
при одинаковых знаках у а и с не имеют корней среди действительных
чисел, так как квадраты и положительных и отрицательных чисел положи¬
тельны, а число х при указанных условиях должно иметь своим квадратом
отрицательное число.
Чтобы выразить корни двучленного уравнения и в этом случае, в алгебре
введены особые числа, нссящие название мнимых чисел.
Мнимые числа образуются при помощи мнимой единицы г.
Условия, которыми определяются свойства мнимых чисел, следующие:
2. <" -|- i -|- i -|- i -|- i -|-... -|- i === n i.
3. ai-\- Ы = (а + &)/.
4. Выражение « + Ы, определяющее соэдинение « действительных
единиц с Ь мнимыми, называется комплексным числом.
(а — ьу = а2 — 2ай-|-й2;
(й — а)2 = й2 — 2 ab 4- а2,
п раз
— 32 —
5. а-\-Ы = 0 лишь в том случае, когда а=0 и Ь = 0.
6. Сложение двух комплексных чисел определяется равенством
(ft + Ы) + (ft' + b'i) = п +«' + (6 + b')i.
7. Умножение комплексных чисел определяется равенством:
(а + Ы) (и1 + b'i) = cm' n'bl + ab'i + i3bb' =
= att' — ЬЪ1 -\-(ftb'
§ 3. Полные квадратные уравнения.
649. Решить уравнения:
1) (ж + 3)2 — 4^ = 0;
3) (2я + З)3— 169 = 0;
5) (За:-f 7)2=4а;2;
7) (30— 12у)> — 36у* = 0;
9) (я+ 3)» = (5а + 21)*;
И) (т-\-х)2 = (п — а;)2;
13) (ас — «)2 — Ь2 = 0;
15) а;2-)-2*4-1=9;
17) ** —8»4-16=1;
19) ас* 4* 2икг 4* и*2 — 12 = 0Г
21) z2 -\-<6ая-\-9а2 — т2 — 0;
23) *+х + ± = ^-, _
23) s«+3s+(4)!=e5;
27) ос2+рэс 4* ^ = чп2;
29) а22а: —8;
31) у2 -)- 32р = 144;
33) х2 4- 14а; = 15;
35) ж2 — 12*4-11 = 0;
37) ж2 4~ а: = 2;
39) а-2-а:4-^ = 0;
41) х2 — За; 4-2 = 0;
43) а;2 —9а; 4-20 = 0:
45) jr24-^.r = -|-/>2;
2) (х-б)2 = 25;
4) (8*4-3)2 = 361;
6) (5* — 3)2 = 16^2;
8) (2у -J- З)2 — у2 = 0;
10) (19* — 6)2 — (11* — 10)2 = 0^
12) (2а-|-3*)2 = (26 — *)*;
14) *2 — 2а* 4- а2 — с2 = 0;
16) .г2 — (jx -J- 9 = 16:
15) р24-144 = 169 — 24у-
20) у2 — 2ау-\-а2 = Ь2\
22) х2 — 8аа; -f 16а2 — Ъ2 = 0;
24) а;2-а;-Ц- = 4;
26) р2-7з/4-(з|)2=64:
28) z2 — mz + (™y = n2;
30) *2 —8* = 48;
32) *24г 10а; — 24 = 0:
34) х2—18* = 19;
36) а;2-)-18*4-17=0;
38) х2 —* = 12;
40) *2 4- *-f 0,24 = 0;
42) х2 4-3* 4-2 = 0;
44) а;2-)- 11ж —|— 30=0;
46) ж2 4" рж— 2р2 = 0;
«
— 33 —
64-9. 47) х2— тх-\- — m = 0;
49) х3 -|- тх = I2 -|- ml\ '
51) a?-j-2а;+ 1 = 7;
53) а2 + 4а; — 14 = 0;
55) а;2 а; = 3;
57) х2 — 2ma; + m2 = w;
59) х2 — 1х = п—~
61) гс2 + 2>аг — р2=.0\
48) х2 -\-рх + 0,21р2 = 0;
50) у2 — пу — q2 — nq = 0;
52) а:- — 2а; — 5 = 0;
54) х2 + 6ж + 7 = 0;
56) а;2 — а; — 1 = 0,
58) х2 + 2тх + т2 = и;
60) а;2 + 1х = и —
62) ж2 + рж + q = О.
650. Вычислить значения выражений:
:i=—f+|/г — q; Х2=
ж
если
1
2
3
4
5
6
2
8
9
10
11
12
12
— 10
7
— 7
9
6
-8
7
1,6
ct —I- Ъ
а — Ь
— (а + Ь) *
. (1 —
27
21
12
12
14
0
16
121
0.05
аЪ
— аЪ'
ab
Написать в каждом из этих случаев уравнение, в которое
при соответственной подстановке обращается
л
ж2 + рж -\-q = 0.
651. Решить, пользуясь выведенной формулой, квадратные
уравнения:
1) х2 + 2а; =63:
3) а:2 + 6а; = 91;
5) х2 + 2а; = 1;
7) а;2 — 2а;+ 2 = 0;
9) х2 + х — 56 = 0;
И) х2 — 7а; = 30;
13) а;2 + ж = 1,
15) =
17)а»_| = 8;
19) х2 — 2-^а;+1 = 0:
Сокращен, сборник алгебр, упражн. Ч. II.
2) х2 — 8а;+15=0;
4) Ж2_ 40а; +111 = 0;
6) х2 — 6а; + 4 = 0;
8) а;2 + 2,4а;+ 0,8 = 1;
10) а;2 — 11а; + 10 = 0;
12) а;2 —17а;+ 60 = 0;
14) а;2 —7а;+ 11 4- = °;
3 I 1 п
16) а;2- 4„ , g
18) * +у = 50;
20) хя — 5-4а; + 1 = 0;
— 34 —
651. 21) х2 ■
I 15 п
* + 64 = 0;
11
22) ж2 —3 £ я + 2 = 0:
12'
24) я._^а._2| = 0,
2G) ж2 —0,4а; —0,21 = 0:
28) а;2 —0,8а; —0.0704 = 0;
23) а;24-1^а;-1=0;
25) а;2 —0,9а; + 0,2 = 0;
27) х2-\-х — 4,59 = 0:
29) (х— l)2-f (х — 2)2— 1 = 0;
30) (х-— 1) (а; — 2) 4~ 2а; — 3 = 0;
31) (.г 4-'3) С*—2)4-(х4- 2)2 = 3*+10;
32) (х — 2)2 + (х — I)2 — (*— 2)(х— 1)- 1 = 0;
33) (х — 5)2 4- (х — З)2 4- 4 (х 4- 5) (х — 3)={х 4-1)2 4- 48;
34) {х — 3)(яг — 5) — (х— 3)24-(а; — 5)24-2(а- — 4) = 0;
35) (х 4- а)2 4" 0е — Ь~)2-\-(х — а) (а; 4~ &) = «2 4~ 4“ 2г2;
36) (х 4- а)2 (а; 4- а) (а; 4- i) 4- (а; 4- Ъ)2 = (о — 5)";
37) .T24-2wsr4-Q = 0.
652. Решить уравнения:
1) 2;г2 — 16а-4-30 = 0;
3) 5^ = 165*4-740;
5) 2а;2 — 11а; 4- 14 = 0:
7) З*2 4-23* —70 = 0:
9) За-2 —22а; 4-35 = 0;
И) 14а;2 — 33 = 71а;;
13) 25а;2 4-2 = 30а-;
15) 7а;24-25а;—12 = 0;
17) 7а;2 4- 9а; = 10;
19) За-2 —10а; 4- 3 = 0;
21) ах2 4" 2пх 4- Ь = О;
653. Вычислить значения:
2) За;2 4~ 9.г = 84;
4) 4у2 — 532 = 48у\
6) 2а-2 4-6 = 7а;;
8) 49^24-147t/ = 540;
10) 15а;2 4-21 = 44а-;
12) 15.г2 -f- 527 = 178а-;
14) 6а;2—13а;4-6 = 0;
16) 6а;2 4-5а;—56 = 0:
18) 6х2-\-5mx-\-tn2 = 0;
20) 10а-2 4-13а; — 3 = 0:
22) пх2 + 1>х + с = 0.
х■
— Ь № — 4пс . — Ь — ] 'b1 — 4пс
при
а
1
3
10
3
-»
10
4
21
5
15
1
3
Ъ
— 10
13
-13
— 13
80
- 7
8
с
3
— 3
— 3
— 20
-60
12
5
Какое упрощение получается в применении написанной фор¬
мулы при Ъ четном (задача 652,21)?
— 35 —
654. Как преобразовать уравнение
ах'г-\-Ъэг-\-с = 0 к виду гг2 + рх + q = 0?
Указать, какие значения получат р и q при этом преобра¬
зовании.
655. Решить уравнения:
1) 7х2 — 16х-{-9 = 0; 2) 4х2 — 20х —|— 9 0;
3) 12ж24-31ж +9 = 0: 4) 9а;2 — 31ж-[-12 = 0;
5) 14ж2— 9а; — 8 = 0; 6) 14х2 -{- 9х— 8 = 0;
7) 8ж2— 9а;—*14 = 0; 8) 8а;2-{-9а; — 14 = 0;
9) 5а;2—16а;-{-3=0; 10) Зг2=10.г — 3;
11) 10х2 + х = 3; 12) 6ж2-{-2 —7ж = 0;
13) 3?/2-1-2(/—1=0; 14) 7м2 -j- 7м — 2 = 0;
15) Юх2 = Зх -{- 1; 16) 10*»* 4- 49т = 5:
17) (*4-1)(*4-2) = (2* —1)(2*—10);
18) (у -3) (у 4- 4)4-(у 4- 5) {у-7) = 19;
19) 2а;2 — (Ъ — 2с)х = Ьг\ 20) 4а;2 — 4ах -j- а2 = Ь2-
21) mnz2 — mz — nz—1; 22) (az-\-c)(cz — d) = 0;
23) (x — 6)2 4- (x 4- 4)2 4- (x — 5)2 — (x -f 6)2 4- 4a; -{- 7 = 0;
24) (2a; — 1)24-(Зж — 2)2 — (a; — 2) 12,r 4- 3) — (2a; -{- l)2 = 0.
656. Решить уравнения:
1) a:2 —12a;4-36 = 0; 2) x2 — 10a;-{-25 = 0;
3) a-2 — 0,2a; + 0,01=0; 4) a2-{-1.6a; 4-0,64 = 0;
5) x2 — 2x-{-1=0; 6) a;2—6a;4-45 = 0;
7) a;24-8a-4-71=0; 8) x2-\- 12x-{-40 = 0;
9) 4r2 -)-6a- + 9 = 0; 10) 4a;2 —12a;-{-9 = 0;
Hj 3a;-|-8x-{-15 = 0; 12) 9x2 —6x-{-4 = 0.
657. 1) Сколько . корней имеет квадратное уравнение
•г~ + рх -\-q = 0, если ^ = q? Как в таком случае может быть
представлена левая часть квадратного уравнения?
2) Какому неравенству должны удовлетворять коэффициенты
квадратного уравнения, чтобы оно имело два различных между
собой действительных корня?
3) При какой зависимости между коэффициентами р и q ква¬
дратное уравнение не имеет действительных корней (имеет мни-
“bie корни)?
3*
658. Каким числом должен быть дискриминант Ъ2 — 4ас уравне
ния ах3 -J- Ъх-(- с = 0, чтобы уравнение «имело: а) два различных '
действительных корня? б) два равных корня? в) не имело дей 1
ствительных корней?
§ 4. Свойства корней квадратного уравнения. Иссле¬
дование квадратного уравнения.
659. Представить левые части следующих уравнений в виде
произведений двух множителей, из которых каждый содержит а-,
найти корни и составить их сумму и произведение:
1) а;2 — 6.г + 8 = 0; 2) х2+12х~ 64 = 0;
3) ж2 — 11а;-|-30 = 0: 4) я2 — За: — 4 = 0;
5) ж2 — 8х+ 3 = 0; 6) я2 — 9*4-11=0;
7) ос2—(a-f-P)a5 + ap = 0; 8) ж2-\-рзс-\-q = 0.
660. 1) Показать, что коэффициенты уравнения ас2 -f-poc-\-q=<t
р и q выражаются через корни уравнения хг и х2 следующим
образом (теорема Виета):
жл + Ж1 — — Pi SCjSCj = q.
2) Как выразятся сумма и произведение корней уравнения
ах2 + бас с = 0 через его коэффициенты?
661. Не решая следующих уравнений, указать их корни:
1) ж2 — 2у*-И = 0; 2) ar24-3-ia;+t = 0;
3) х2 — (^т -f- 1 =0; 4) х2 — (т — ^)х— 1=0;
5) ^_з1*+!- = 0; 6) af»+4i-af + 4=0.
662. Не решая следующих уравнений, указать: 1) какие из
уравнений не имеют действительных корней; 2) какие из уравне¬
ний имеют равные корни,- 3) какие из уравнений имеют оба
корня положительные; 4) какие из уравнений имеют оба корня
отрицательные; 5) какие из уравнений имеют корни: один поло¬
жительный, другой отрицательный:
1) ж2 —4а;-f-4 = 0; 2) ** — #* + 20 = 0;
3) х3 + 16® + 48 = 0; 4) а;2 — 9а;— 22=0;
5) 4а;26а--)-9 = 0; 6) 4а;2 4-12а-4-9 = 0;
I
— 37 —
662. 7) 10ж2-|-21ж— 22 = 0;
9) 4ж2 —а: —|— 1 = 0;
11) 7ж2— ж— 1 = 0;
8) 18ж2 — х — 1 = 0;
10) 12ж2+17ж-{-5 = 0;
12) 14ж2 + Пж — 3 = 0.
663. Составить квадратное уравнение, если его корни равны:
1)
5
и 7;
2)
— 3 и
-5;
3)-
4 и
— 8;
*)
5
и — 5;
&)
8 и.—
8;
6)-
9 и
+ 9;
7)
2
и 0;
8)
0 и 6;
9) 0
и -\-р\
10)
0
И — [К
И)
л Ь
0 и —
а
»
12) 0
и —
а.
а’
13)
5
и 5;
14)
1
2И-
1
' 2’
15)-
f и
Р.
2’
16)
11 и и;
17)
5 и —
1.
5’
18)-
1
-6;
19)
3
4
4
и у;
20)
5
-(Ги
6
5 ’
21)-
7
-8И
8.
7’
22)
а
-\-Ъ и а—Ь;
23)
т + п т — п
2 И 2 '
24)-
—2п 2м—и»
и
п т
25) 1+1^ и
26) a-\-\fb и а—\^Ъ.
664. Зная, что корнями уравнения ж4-}-^а;-|-? = 0 служат
jfj и ж2, составить уравнение, корнями которого служили бы:
1) 1 + жг и 1 + ж2^ 2) ж,2 и ж5
665. Разложить на множители:
1) зЛ— 40ж +391;
3) *1 4- — и ж2 -f- -
1 1 1 ж2 2 1 «,
3) ж2- 23.Г + 112;
• 5| ж2 + 42ж + 437;
7) ж2 — 17ж + 72;
9) ж2—11ж — 1452:
11) т2-\-'2\т — 442;
13) а2 + 55а + 736;
15) у2 — 37у -j- 342:
17) Юм24-23г/ — 21;
19) 2^2-2Ь + 10;
21) z2 — (2ab -\-c)z-\- 2abc;
2) ж2 — 18ж — 819;
4) ж2_31ж — 180;
6) ж2 — 19ж— 120;
8) ж2 —54ж + 665;
Ю) ж2 — 34ж -)- 285;
12) к2 30*4-209;
14) Ъ2 — 806+1431;
16) ж2 — 2лх-\-а2 — Ъ2\
18) Зж2 — 7ж+2;
20) 6ж2 — 35ж + 49;
22) 9г24-21*—170.
666. Найти два числа, если среднее арифметическое и среднее
геометрическое между ними равны соответственно:
1) 13 и 12: 2) 5 и 4; 3) 65 и 16;
4) 2( я2 —(— ) и 2аЪ: 5) р2 -{- q2 и pq\ 6)т и и 1 тп.
— 38 —
667. При каких значениях а следующие уравнения имеют по
два равных корня:
668. Квадратные уравнения были записаны вместе с их кор¬
нями; часть записей стерлась (обозначено точками); восстано¬
вить уравнения и найти вторые корни:
669. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты
а. Ь, с, чтобы уравнение ах2 -\-Ъх-\-с — 0 имело: 1) корни положи¬
тельные, 2) корни отрицательные. 3) один корень положительный,
другой отрицательный?
670. Может ли квадратное уравнение с действительными
коэффициентами иметь один корень действительный, другой
мнимый?
671. Какое значение должен иметь параметр я г, если урав¬
нение:
1) я2 —|- mz-\- 15 = 0 имеет одним корнем-f-3;
672. Корни уравнения л-2 -j- 8а; -}- к = 0 суть хЛ и х2; какие
значения следует придать параметру к. чтобы
4) уравнение это имело равные корни?
673. При каком соотношении между коэффициентами урав¬
нения ах2_-\-Ъх-\-с = {) в нем один корень: 11 в 2 раза больше
другого, 2) в 3 раза меньше другого?
674. В следующих уравнениях представить: 1) х. 2) у как
функцию остальных встречающихся величин.
1) 4ж2 + ах -f 9 = 0; 2) 9х2 + 6ж -f а = 0;
3) аж2+ 4х-1-1=0; 4) ж2 -f ах + Ъ = 0.
2) г2 -)- mz — IS = 0
3) z2 -f- mz — 35 = 0
4) z2 -f- mz — 24 = 0
5) mz2 15^—7 = 0
Я
1) .£j — x2 = (>; 2) 3хл — x2 = 4;
1) jr2b2-\-y2a2 = a2b2:
3) x2-\-xy-\-y2 = a;
о* _ -'/2 1 -
a* b*—1,
4i (у — 6)2 = 2р(ж - а);
— 39 —
674. 5) (х— »н)2-{- {у — nf = r'1\
* 6) ах2 -f- Ъху -f- су2 -{- dx -+ еу ф- f — 0; *
7 )^± = а; 8)^ = 6.
' 2 ху ’ ' 2di)
675. Длина пути, пройденного за время t телом, движущимся
з начальной скоростью с, выражается формулой:
, , цЬ-
Выразить t как функцию s.
§ 5. Задачи.
676. Решить уравнения:
1)(x + 8)(х — 9) = — 52;
2)(ж+1)(жф-2) = (2ж — 1)(2ж -10);
3) (ж-3)(ж + 4) + (ж-Ь5)0г-7)=19;
4) (Зж + 19)2 = (7ж —9)2;
5) ж — 6 + (2х +10)2 = (За. _|_ 4)2.
5*2 —72* + 448_ 3. 3*2 —8*+ 15 2.
3*2 + 56* — 320 5 ’ 7*2 — 15* + 27 5 ’
сч 2*-з — 3* + 10 2. m 3*з— 7*2 — 6 3.
йт-1-ьк.и*--14 а» '
3*3 + 5*2 — 14 3’ 4*з — 31* +1 4’
. 1Q1 3.1-з.т-— 8—о г- . .. 2л«—_9*2^pi2—g
* *2 + 2* — 1 ’ ' ** —5* + 3
.0. *2 — Зж + 7 * + 3_ 2.1-2 — 7*+5 2ж + 7.
' 2*2 —5* + 3 2г — 3’ ' 3*2 —7* + 8 3* + 8’
U)2* + i = 3; 15)£_|Ь|=1;
4СХ х , ж— 8 „ х 12—х 26
16)+=+Г + —= 3; 1/)^=T2--i-==-5;
j лл 5*с*-“1 I 3«i?—1 2 I я * лч 5д?—7 I 14 л
18)-д- + -5-=¥ + ^-1; 19)—+ 2^=3 = *-!;
9Q) ^-c~i~4 15—2* 7(* — 1)
5 * — 3 5
91-\~с+2 . 12 х—4 I * — 2
} 18 "Г" * + 4 “ 4 "Г 6 ’
22) 2^3 + ^Г-= & 23) ТгаГ + И'
— 40 —
676.24) *;-«*+!
26)
28)
6r + 9 —
5 + ж 8—Зж
а;— 3;
2ж”
33)
3 — ж
X
ж —2’
I 12
10 1
И 120
1 ж+1
ж — 1 1
ж ж2 — Г
*4-—=
1 ж
. 1
й+^>
1 а Ъш
ж b а
(а — ж)2 + (ж — Ъ)2
а- + Ь2.
36> g±-f-Ш±-5)+3=°;
2ж — 6 , Зж— 4 П.
4’
37)
Зж— 4
а + ж
2ж — 6"
& + ж
6+ж^а + ж 2’
41) |/гж-}-4 — \/х—4=Д^=1=;
/ж+ 4
42) \fж-|-3 — ]/5ж — 2Ъ —
43) J^^7 -f
г/Ж-
/2®+ 9;
44) /2® + 7 — Vx — 5 = -J=;
/ж — 5
45) ]/"а 4- ж 4- |/"а — ж := j/~2а:
46) )^4-ж4-/о—ж=2]/[а;
47) j/а — ж 4-/ж — 6 = |/а — 6;
48) j/7 — ж 4-1гос — 5 = 1^2.
25)
-ж -J- 3
ж2 — 4ж + 5'
27) — —q- -
ж ж — 2
ж + 3
"ж — 1
4
ж — 3
= 0;
30) в+*=1 + 1;
чо) ж4-- — izi*! fLt?-
М) х~\ х — а + Ъ^а—Ъ'
34)
аж + Ь
Ъх — а.
" аж—■ Ь’
&ж а
пл\ 17 а —|-ж /а-|-ж.2 п,
) 6"' Ь + х~ 1ь"+ж] — ’
^ Зж —16 | 2ж—12 5.
40)
2ж —12^3ж— 16 2’
и I и ш
7;+ л»
ж— Ь
+
х— а
§ 6. Исследование функции второй степени
(квадратного трехчлена).
677. Построить кривую, ординаты всех точек которой больше
ординат кривой у = ж2 на:
1)2; 2)4; 3)6; 4)—1; 5) —4: 6) —5.
678. Каким перемещением параболы у — х2 в плоскости чер-i
тежа могут быть получены построенные кривые (см. пред. задачу)?
— 41 —
В каждом из случаев составить выражения функций, имеющих
своей графикой построенную кривую.
679. Построить графики функций:
1) у = х2— 1; 2) у=х2-\- 1;
3) у — х2— 2: 4) у — х2-\-А.
Найти точки пересечения каждой кривой с осью х и срав¬
нить получаемые при этом результаты с результатами решения
уравнений:
1) ж2— 1 = 0; 2)ж2-{-1=0;
3) ж2 —2 = 0; 4) ж2 -f 2 = 0.
680. При каких значениях ж функции
1) у — х2 — 1; 2) у = х2-\-1;
3) г/ = ж2 —2; А)у = х2-\-2
имеют наименьшее значение (minimum)? Найти это наименьшее
значение. Указать точки, координатами которых являются най¬
денные значения ж и у. Пояснить на чертеже смысл полученного
результата. На основании чертежа и на основании выражения
функции выяснить в каждом случае, имеет ли функция наиболь¬
шее значение. *
681. Найти вершину параболы:
1) у = х2 — 4; 2) г/ = жа-|- 9;
3) г/ = ж2; 4) у = х2— 0,01.
682. Как располагается вершина параболы у — ж2 q: 1) отно¬
сительно оси ординат; 2) оси абсцисс, и какое значение при
этом имеет q, если: а) парабола пересекает ось ж; б) не пере¬
секает оси ж; в) касается оси ж?
683. Построить кривую, все точки которой имеют те же орди¬
наты, что н кривая у = х2, а абсциссы больше ее абсцисс на:
1) 1; 2) -1; 3) 4; 4) -4; 5) 0,5; 6) -0,5.
Каким перемещением в плоскости параболы у = х2 может быть
получена в каждом случае построенная кривая? Составить в ка¬
ждом случае выражение функции, имеющей своей графикой по¬
строенную кривую.
— 42 —
684. Построить графики функций:
1) 2/ = (ж-3)2; 2) у = (ж+1)2:
3) У = (ро—0,3)2; 4) у = х2— 4ж-ф4;
0) у = х2-\- Юж-ф 25; 6) у = х2 — ж-фф
Указать для каждой из этих функций: 1) ее нулевые значе¬
ния, если они существуют; 2) значение ж, при котором функция
имеет наименьшее значение; указать координаты вершины пара¬
болы, представляющей графику функции. Имеют ли заданные
функции наибольшее значение (maximum) или нет? Почему?
685. При каком значении q функция у = х2ух-\-q предста¬
вляет квадрат двучлена (полный квадрат)? Как располагается
в этом случае вершина параболы: 1) относительно оси ж; 2) отно¬
сительно оси у: а) при р > 0; б) р < 0; в) р — 0?
686. Указать, каким перемещением параболы у — х2 полу¬
чается каждая из кривых:
1) у = (л_2)»4-3; 2) у = (х-\-А)2 — 8;
3) у = х2 — 8ж-ф7; 4) у — х2-\-8ж-}-7:
5) г/ = ж2-ф4ж—12; 6) у = ж2 — 4ж—12:
7) y = x2 + px + q.
Найти в каждом случае наименьшее значение функции,
а также координаты вершины параболы.
687. Найти значение коэффициентов р я q функции
у=х2+рх -J- у:
1) если функция обращается в нуль лишь при ж = 3:
2) если графика функции касается оси ж в точке (5,0);
3) если наименьшее значение функции равно 0 и она при¬
нимает его при ж = — 1;
4) если функция принимает наименьшее свое значение 4 при
ж = 0; при каких значениях ж функция принимает зна¬
чение 0?
5) если функция принимает свое наименьшее значение — 9
при х — 0: при каких значениях ж функция принимает
значение 0?
6) если функция принимает свое наименьшее значение-ф 4
при х = 3; при каких значениях ж она обращается в 0?
7) если функция принимает свое наименьшее значение —
— 4 при ж — 2; в каких точках ее графика пересекает
ось ж?
— 43 —
688. Целая функция второй степени у = х2 + рх + q обра¬
щается в нуль при х —
1) —1 и -4-1; 2) —5 и ф5; 3)-}-2и-4-4; 4) —2и —4;
5) —2 и 4*3; 6) 4*4 и —1; 7) -|-те и —те; 8) те и п.
Определить в каждом случае положение вершины соответ¬
ствующей параболы и найти выражение функции.
689. Найти выражение функции у = х2 -{-рх -\- q, если
1) при х=1 она принимает значение 3; а при х = —1
значение — 3:
2) при х = — 2 она принимает значение — 2, а при х = 2
значение 2;
3) при х = 1 она принимает значение 0, а при х = 3 зна¬
чение 3.
В каждом случае найти минимальное значение функции.
690. Указать относительно функции у = х2 -{-рх -}- q =
= (ж-4--|)2—— gj: 1) чему равно ее наименьшее значение и
при каком значении х она его принимает? 2) при каком значе-
м2
нии дискриминанта ^—q функция имеет: а) одно нулевое
значение; б) два; в) ни одного? 3] есть ли среди значений функ¬
ции наибольшее значение, или всегда можно найти такие значе¬
ния х, при которых она оказывается больше любого заданного
числа?
691. Построить графику функции г/ = — х2. Чем отличается
графика этой функции от параболы у = ж2? Существует ли такое
значение х, при котором функция у — — х2 принимает минималь¬
ное значение, или нет? Существует ли такое значение х (и если
существует, то какое), при котором функция у = — х2 принимает
максимальное значение?
692. Какие значения должны иметь корни уравнения:
1) х2 — 6ж -f- q = 0; 2) х2 -f- 1х -{- q = 0:
3) x2-{-px-\-q = 0,
чтобы q приняло наибольшее возможное для него значение? Чему
равно это значение q?
693. Какие значения должны иметь два числа, чтобы при
заданной их сумме произведение их имело наибольшее из воз¬
можных для него значений?
44 -
694-. Какие значения должны иметь два числа, чтобы при
заданном их произведении их сумма приняла наименьшее из воз¬
можных для нее значений?
Графическим представлением функции у — х1 служит кривая, носящая
название параболы. Ось у служит осью симметрии параболы, так как
противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у
{у не меняет своего значения при перемене х на —х). Ось симметрии
параболы называется ее осью. Точка пересечения параболы с ее осью на¬
зывается вершиной параболы. Функция у = х2 достигает своего наи¬
меньшего значения (minimum’a) в вершине параболы при а? = 0; это
наименьшее значение функции у = х2 равно нулю; при всех других зна¬
чениях х как положительных, так и отрицательных, функция имеет значе¬
ния, большие нуля. В точке (0,0) парабола у = х2 касается оси х.
Фуннция y = x2-\-px + q = ^х + yj —|^ имеет своим
графическим представлением ту же параболу, но смещенную в плоскости
а ось параллельна оси у. Функция достигает своего minimum’a при
х = — у; minimum этот равен — . Таким образом координаты
вершины параболы представляют значения независимой переменной и функ¬
ции, соответствующие ее minimum’y.
Функция у = — х2 имеет своим геометрическим представлением пара¬
болу, симметричную параболе у = х2 относительно оси х. Все значения
этой функции отрицательны за исключением значения О, которое функция
принимает в вершине параболы при х = О. Это значение функции является
ее maximum’oM (наибольшим значением).
Геометрический смысл решения уравнения х2 -f- рх -|-q = 0 сводится
к отысканию точен пересечения параболы у = х2-\-рх q с осью х.
с Р2
Если дискриминант уравнения — q, равный по своему значению числу,
противоположному ординате вершины параболы, положителен, то функция
имеет отрицательный minimum, а парабола пересекает ось х в двух точ¬
ках; точки эти симметричны друг другу относительно прямой х = —-у
Оси параболы), так как их ординаты равны О, и на основании теоремы
Виета полусумма абсцисс = — у, а если дискриминант равен нулю, то
координат так, что вершина ее находится в точке
— 45 —
minimum функции равен ©, а парабола касается оси х в своей вершине
(уравнение имеет равные корни); если дискриминант отрицателен, то функ¬
ция имеет положительный minimum, и кривая не пересекает оси х (урав¬
нение не имеет действительных корней).
§ ^ Производная и применение ее к исследованию
квадратного трехчлена.
695. Построить графику функции у = кх -ф Ь (напр., при к = 2Т
6=1); вычислить значение функции при ж=1; ж., = 2; ж2 = 3;
х3 = 4. Вычислить приращения функции у : уг — у; у2 — у, у3 — у,
соответствующие приращениям независимой переменной гг,—ж=1,
х2—х — 2, х3 — х = 3, если под у разуметь значение, соответ¬
ствующее значению независимой переменной ж = 1. Чему равны
значения отношений; —, ————- ? На основании графики
ат—ж’ ж2—-ж ж8— ж , г ч*
функции объяснить тот факт, что значения этих отношений оди¬
наковы. Вычислить значение этого отношения для произвольных
значений ж, и ж (ж1^ж). Какой геометрический смысл имеет
найденное отношение приращений?
696. Построить графику функции у = х2. Полагая ж= 1, ж1 = 2,
ж, = 3, ж3 = 4, вычислить значение отношений приращений; ^ ~ .
щ — у ул — у
~———-; построить на чертеже точки с координатами (я, у)г
tCj OS ОС
(tfj, г/j), (ж2, у2), (ж3, у3)\ соединить точку (ж, у) с остальными
построенными точками прямыми и указать геометрический смысл
отношения приращений; почему значения этих отношений оказы¬
ваются различными?
697. Найти общее выражение ~ ^ отношения приращения функ¬
ции у—хг к приращению независимой переменной, сокращая выраже¬
ние УнцУ на разность ж. — ж.
ж, — ж г 1
Подобным же образом найти выражение отношения при¬
ращения функции к приращению независимой переменной
а!=1г-! для функций:
1 )» = *; 2) у = 2х\ '3)^ = 2ж + 3; 4) у = 2х—3:
5) у = 2тгж; 6) у = 2жг; 7) ?/ ж2; 8) г/ = жг-|-2.
— 46 —
А у
698. Определить отношение приращений^- функции у — х2
А х
для точки, абсцисса которой х = Ъ. Абсцисса другой точки полу¬
чает последовательно значения хг — 0; 1: 2; 2,9: 2,99;... Вычи¬
слением и, насколько окажется возможным, на чертеже выяснить,
А у
к какому пределу стремится отношение , если расстояние по-
А х
движной точки от неподвижной неограниченно уменьшается. Вы¬
числить отношение приращений, принимая ж = 3, а ху = 5; 4: 3,5;
3,1; 3,01. Показать, что и в этом случае отношение приращений
стремится к тому же пределу.
699. Вычислить предел отношения приращений: lim д ^ =
=zY\mv~ v (производную) для следующих функций [производная
JC £ ““ 00
функции у обозначается посредством у': производная функции /(jr)
обозначается посредством /'(гг)]:
1) у — х; 2) у = 2х: 3) у = ах:
4)^ = х + 4; 5)г/=— 3*4-2: 6) у =|+ /2:
7) 2/ = ах -[- Ъ; 8) у = 2х2; Q) у = — ~:
10) у = ах2; 11) 2/ = х2 -f2; 12)// = -^ — 4:
13) «/ = -+ 6; 14) у = х2 + х\ 15) у = х2 — 2.г-[-3;
а
16) у — ах2 -}- Ьх; 17) y = x2-{-j>x-\-q\ 18) у = ах2-\-Ъх-\-с.
700. Определить для функций, данных в предыдущей задаче,
угловые коэффициенты касательных к их графикам в точках:
1) х = 0, 2) ж = 1, 3) ж = —3.
Minimum п maximum целой функции второй степени.
701. Начертить графики следующих функций и их про*
изводных:
1)2/ = л:-; 2) у — х2-\-[; 3) у — х2—1:
4) у — х2-j- 2а; -(- 1; 5) у = х2 — 5лг —6: 6) у — х2 4-5* -|~ 6:
7) у — х2 — х — 6; 8) у — х2-\-х—6: 9) у = х2 — 2х-\-\.
Как располагается графика производной в той области зна¬
чений х, в которой с возрастанием х функция у: а) убывает,
— 47 —
б) возрастает? Какой знак имеет значение производной в той
области изменения х, в которой функция: а) убывает? б) возра¬
стает? Почему? Где лежит точка графики производной, соответ¬
ствующей наименьшему значению у? Как располагается каса-
те^ная к кривой у=f(x) в этой точке? Почему значение про-
из^дной должно в этой точке равняться О?
702. Проследить, как меняется с изменением (возрастанием)
х угловой коэффициент касательной, проведенной к данной кри¬
вой у=х2 — 2 в точке с абсциссой х. 1) Указать наименьшее
абсолютное значение, которое получает при этом угловой коэф¬
фициент, а вместе с ним и угол, и определить, при каком зна¬
чении х получается это наименьшее абсолютное значение. 2) Ка¬
кое значение принимает при этом у? 3) К какому значению
стремится угловой коэффициент и к какому значению стремится
угол, если х стремится к: а) оо, б) — оо? Все вопросы решить
как вычислением, так и из рассмотрения чертежа.
703. Определить minimum (значение переменного независи¬
мого, которое соответствует наименьшему значению функции, и
значение самой функции) следующих функций:
1) у = х2 + 2; 2) у = х2— 3;
3) у = Зх2—1; 4) у = хя -ф- За;;
Ь) у = %-\-2аг. 6)у = 3х2-х;
7) у = х2 -|- Зх 4; 8) у=х2 — ix -|- 2;
9) у = 2х2 —1 + 4: 10) у = 2х2 — 8* + l;
11) у= у + ж—17; 12) у = 10а;2-}-10* + 7.
704. Какое соотношение имеется между коэффициентами
функции
y = X2-\-px-\-q
и значениями ж и и координат точки, в которой функция дости¬
гает своего minimum'а (вершина параболы)?
705. Какое соотношение имеется между коэффициентами
Функции
у = ах2 Ъх с
ПРИ о>0 и значениями т и п координат точки, в которой
Функция достигает своего наименьшего значения?
— 48 —
706. Какие значения должен имет коэффициент р функции
второй степени y = x2-\-px-\-q, если minimum ее соответствует
значению х: 1) хт = 2; 2) хт = — 3; 3) хт = 0\ 4) хт = а? Написать
для каждого случая общее выражение функции.
707. Какой вид (т.-е. каковы значения коэффициентов р и q)
имеет функция второй степени
у = х2 -\-px-\-q,
minimum которой имеет место при:
1) и уп = — 3; 2) хт — 0 и ут = — 2,5;
3) = и ут = + 2; 4) хт=р и ym — q?
708. Исследовать, какое соотношение имеет место между ди¬
скриминантом уравнения х2-|-рх-f д=0 и минимальным -значе¬
нием функции
y = x2-\-px-\-q?
709. По графикам определить точки,'в которых производные
следующих функций получают значение 0:
1) У=~Х, 2) у = -2*s + 3;
3) у =— х2-^-2х—1; 4) у = — ах2 -\-Ъх-\-с приа>0;
5) у —(8 — 2х)2 — (1—Зх)2; 6) у — {х — а) (Ъ — х).
Как следует назвать в этом случае то значение функции, кото¬
рое соответствует обращению производной в 0?
710. В скольких точках ось х пересекает графику функции
у = — ах2 -\-bx-\-c,
если а есть положительное число, и если значение maximum'a ее:
1) положительно; 2) равно нулю; 3) отрицательно?
711. Какой вид имеет функция второй степени
У — — x2-\-px-\-q,
если она достигает своего minimum’a при значении:
1)*ж=+1; 2) хт— з?
712. Имеет ли функция y — lcx-\-b maximum или minimum, или
нет? Почему?
— 49 —
713. В следующих задачах воспользоваться тем, что произ¬
водная пройденного пути по времени равна скорости. При этом,
конечно, путь рассматривается как функция времени.
Путь, пройденный свободно падающим телом, определяется
формулой
Л,
Определить скорость падения: 1) по истечении 1; 2) 2;
3) 3,2 секунды после начала падения (</ = 9,81, если s дано
в метрах, t — в секундах).
2) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вниз
с начальной скоростью с, определяется формулой
s=ct+т gi2-
Определить скорость, если с =12,5 м в секунду: 1) через 1;
2) через 3) через 2,5 секунды.
3) Путь, пройденный телом, брошенным вертикально вверх
с начальной скоростью с, определяется формулой
s = c/_±^2
Q
Определить скорость тела: 1) через 3 секунды; 2) через - сек.;
С с
3j сравнить скорости в момент — — t и
•Задачи на maxima и minima.
714. 1) Какой высоты достигает тело, брошенное вертикально
вверх с начальной скоростью с, т.-е. при каком значении t выра¬
жение пути s = ct—g ^2> пройденного телом, достигнет своего
raaximum’a? Определить значение этого maximum'a.
2) Отрезок, в 100 .и длиною, разделить на два таких отрезка,
чтобы площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках,
была наибольшая.
3) Разделить отрезок, длиною в 24 м, на такие две части,
чтобы сумма площадей квадратов, построенных на этих отрезках^
была бы наименьшей.
Сокращен, сборник алгебр, упражн. Ч. II. 4
— 50 —
714. 4) На какие слагаемые следует разбить число а, чтобы
произведение их было наибольшее?
5) Какой из прямоугольников с одним и тем же периметром
имеет наибольшую площадь?
6) Какой из всех треугольников, сумма основания и высоты
которых равна и, имеет наибольшую площадь? Как велико это
значение площади?
7) На сколько следует уменьшить большую сторону а прямо¬
угольника и увеличить меньшую сторону Ь, не изменяя при этом
периметра, чтобы площадь прямоугольника достигла своего ma\i-
гапш’а? Определить площадь нового прямоугольника и узнать,
насколько она больше площади первоначального прямоугольника.
8) Вписать в данный круг прямоугольник с наибольшей пло¬
щадью.
9) В данный круг вписать прямоугольник с наибольшим
периметром.
Если от значения независимой переменной х мы переходим н значе¬
нию жл, то разность ха— ж называется приращением независимой пере¬
менной и обозначается либо
ж.,—х = Ах, либо Xj — x = h.
Если при значении независимой переменной ж значение функции
было y—f(pc), а при значении независимой переменной х, значение фун¬
кции было #/х=/(ж3), то разность
ih — //=/(Xj) — /(х) = / (х -f Д х) —/(х) =/(х Л) —/ (х)
называется приращением функции и обозначается:
уг — ?/ = Д 1/:/(х4-Лх) —/(х) = А/(х).
Для линейной функции y = Itx-\-b отношение ~ приращения функ¬
ции к приращению независимой переменкой имеет постоянное значение (не
зависящее ни от того, при каком значении х мы вычисляем это отноше¬
ние, ни от того, какое значение имеет Дх) и равно угловому коэффи¬
циенту прямой, представляющей функцию у = кх-\-Ь.
Для функции второй степени у = ах2 4- Ьх 4- ** отношение ~ пред¬
ставляет величину переменную, зависящую 1) от того, каково то начальное
значение х, которому дается приращение Дх, и 2) от того, какое значе¬
ние мы даем приращению Дх.
— 51 —
Если значение 1х неограниченно уменьшать, то для функции
у =«х2 + Ьх + с приближается к некоторому пределу, равному 2ах-}-о,
называемому производной этой функции. Производная нвадратного трех¬
члена у = их- -)- Ьх -}-с сама представляет некоторую функцию х: она
завись от х. но уже не зависит от значения приращения.
Щи тех значениях х. при которых производная положительна (каса¬
тельная к кривой образует положительный острый угол с осью я-), функ¬
ция возблистает с возрасншнием х: при тех значениях х, при ко¬
торых производная отрицательна, функция убывает с возрастанием х.
Если при некотором значении х производная обращается в О, то ка¬
сательная к кривой оказывается параллельной оси ж. В этом случае функ¬
ция второй степени у = «„г2 + Ьх+с достигает своего minimum'a
(при а > 0) или maximum'a (при а < О).
§ S. Уравнения, решение которых привидится
к решении» квадратных уравнении.
Уравнение с легко угадываемыми (одним или несколькими)
корнями.
715. 1) Показать, что х3 + ах2 + Ъх -}- с делится без остатка
на х — J-J, если хл есть корень уравнения а;3 + ше2 + 5 а; + с = 0.
2) Какого члена не должно содержать уравнение, если один
из его корней равен О?
716. Решить уравнения:
1) xs — 4а;2 — .т = 0; 2) х3—6а;2 — 16а; = 0;
3) а;3— 1=0; 4)а-3 + 1=0;
5) х3 — 8 = 0; 6) xs — 0,001=0;
7) а* + 27=0; 8) х* — 16 =0;
9) xs — х2 — х + 1=0;" 10) х3 — х2-\-х —1=0;
1) а;3 — 27 = 7 (.г —3); 12) х* — 16 = 2 (а;2 — 4);
13) х3 — 2=^а;+1=0; 14) а;2 +3-|-а;+1 = 0;
15) (х —7)3~+ 2 (а; — 7)2 + (а; — 7) = 0.
5 равнения, решаемые введение ьспомогательного неизвестного.
Трехчленные уравнения.
717. 1) (Зх+1)2 — 10(За:+1) + 21 = 0;
2) фу + 4)2 —5 фу + 4) — 36 = 0;
3) (З* — 8)2 + 5 (3* — 8) — 150 = 0;
4*
Ь + ж
— 52 —
717. 4) (7ж+ 3)2 = 17(7*4-3)-]- 60;
5) (тх + и)2 — (а -|- 2) (тх -}- ri) + 2а=0;
6) 4(у + Ъ)2 — 4а(у + *) -}- «2 = *2.
2ж — 6 . Зж — 4 _ 17.
' Зж — 4 ”1” 2ж — 6 4 ’
«тг+ц^+з=°--
718. 1) ж4 — 10ж2 + 9 = 0; 2) ж* — 21ж2=100;
3) ж4 —20ж2 + 64 = 0; 4) ж4 — 13ж2 —J— 36 = 0;
5) у4 + 9*/2 = 400; 6) ж4 — 5ж2 + 4 = 0;
7) ж4—ЗОж2 + 36 = 0; 8) ж4 — 26ж2 + 25 = 0;
9) ж4 — 12ж2 — 64 = 0; 10) ж4 — 20ж2 + 64 = 0;
11) (ж2 — 10) • (ж2 — 3) = 78; 12) ж4 + 9 = 10ж2;
13) (ж2 —5)2 + (ж2—1)2 = 40; 14) 6ж4 —35 = 11ж2;
15) ж4 - 14ж2 — 15 = 0; 16) ж4 + 18ж2 + 1=0;
17) 10ж4 — 21 =ж2; 18) ж4 — 8,6ж2+18 = 0;
19) ж4 — 0,29ж2 + 0,01 = 0; 20) 4ж4 — 41ж2 + 100 = 0;
21) ж4 — аж2 + й2 = 0; 22) 10(у + 3)4+19(«/ + 3)2 = 810;
23) ж4 — 4 (а2 + й2)ж2 + 16а262 = 0;
24) (ж2 + аж)2 + т (ж2+ ах) =р.
719. 1) ж« —9ж3 + 8 = 0; 2) ж« — 35ж3 + 216=0;
3) ж« — 2ж3 + 1=0; 4) ж« + 7ж3 — 8 = 0;
5) (ж + 2)з — 97 (ж + 2)4 +1296 = 0;
6) 16ж8 — 257ж4 + 16 = 0;
7) ж™ — ЗЗж5 + 32 = 0; 8) ж™ + ЗЗж3 + 32 = 0;
9) ж — 6улж+5 = 0; 10) ж+10 = 7/^;
11)ж+/ж = 30; 12) ж —3/ж = 28.
Возвратные уравнения.
720. Решить уравнения:
1) ж2 -2уЖ+1 = 0;
3) ж3 + 2ж2 + 2.г + 1 = 0;
5) ж3 —Зж2 —Зж + 1 = 0;
7) 2ж3—7ж2 + 7ж —2 = 0;
9) 6ж3—19ж2 + 19ж —6 = 0;
11) 2ж4 + 5ж3 —5ж —2 = 0;
13) 20ж4 —41ж3+41ж —20 = 0;
2) 10ж2 + 101ж +10 = 0;
4) ж3 — 2ж2 + 2ж—1=0;
6) Зж3—7ж2 — 7ж + 3 = 0;
8) 2ж3 + 7ж2 + 7ж + 2 = 0;
10) 6ж3 — 7ж2 — 7ж + 6 = 0;
12) 6ж4—13ж3+13ж —6 = 0;
— 53 —
720. 14) (*+i.)'-4-l-(*+i-) + 5 = 0;
* 15)*< + 1-4(ч4)1з=0;
16) *4 — 2*з -j- 2*2. _ 2x +1 = 0;
17) 2x* — 5*34-4*2 -5*4-2 = 0;
18) 2x* — 9*3 -j- 14*2 — 9* -|- 2 = 0;
19) 2xi — x3 — 6*2 — * 4” 2 = 0;
20) 3*4—16*34-26*2—10*4-3 = 0;
21) 2*54-3** — 5*з_5а;2_|_з.г._[_2 = 0;
2 2) 2*5 — 7*4 -|- 9*3 — 9*2 + 7* — 2 = 0.
§ 9. Задачи на составление уравнений 2-й степени
с одним неизвестным.
721. 1а) Произведение четвертой и пятой долей некоторого
числа равно 500. Найти это число.
1б) Произведение третьей доли некоторого числа на число,
в 5 раз его большее, равно 540. Найти это число.
1) Произведение суммы некоторого числа и единицы на раз¬
ность между тем же числом и единицей равно 360. Определить
это число.
2) Если к искомому числу прибавить 7, а затем от него от¬
нять 7, то’ сумма квадратов полученных результатов равна 1066.
Определить число.
3) Квадрат суммы двух последовательных целых чисел ра¬
вен 529. Найти эти числа.
4) Найти два числа, если известно, что одно из них на столько
больше 100, на сколько другое меньше 100, а произведение этих
чисел равно 9831.
5) Сумма квадратов двух чисел, из которых одно на столько
больше 58, на сколько другое меньше этого числа, равна 6970.
Найти эти числа.
6) Сумма квадратных корней из двух чисел, из которых одно
на столько больше 37, на сколько другое меньше 37, равна корню
квадратному из 74. Найти эти числа.
ба) Решить предыдущую задачу, заменяя 37 числом 58 и по¬
лагая сумму корней равной 14.
бб) Найти число, если известно, что число, в 29 раз большее
искомого, превышает его квадрат на 190.
— 54 —
721. 7) Если искомое число умножить на 10, то получится
число, которое на 999 меньше квадрата искомого числа. Определить
число.
8) Разложить 53 на два слагаемые, произведение кото¬
рых равно 612.
9) Разложить 42 на два слагаемые, произведение которых 441.
10) Разложить ы2 —|— fe2 на два слагаемые, произведение кото-
1
рых равно — (a4-{-a2&2-{-i4).
4
11) Разложить 384 на два множителя, разность между кото¬
рыми равна 8.
12) Разложить 226S на два множителя, сумма которых равна 99.
13) Сумма квадратов двух чисел, из которых одно больше
другого на 12, равна 1130. Найти эти числа.
14) На сколько следует увеличить каждый из сомножителей
произведения 24.20, чтобы произведение увеличилось на1 540?
15) Определить два числа, зная, что их произведение
равно 900, а частное 4.
16) Два числа находятся в отношении 5:4. Если каждое из
них увеличить на 15, то разность квадратов вновь полученных
чисел будет равна 999. Найти эти числа.
17) Разложить 36 на два слагаемых, произведение которых
относилось бы к сумме их квадратов, как 3:10.
18) Разлояшть 70 на два слагаемых, произведение которых
относилось бы к разности их квадратов, как 6:5.
19) Если 4 разделить на неизвестное число, то частное ока¬
жется равным разности между 4-J- и этим числом. Найти это число.
19а) Какое число при делении на 5 дает в результате еди¬
ницей больше, чем при делении 360 на искомое число?
20) Произведение двух чисел равно 2744, а частное 1 i.
Найти эти числа.
21) Сумма двух чисел равна 40, а сумма их квадратов отно¬
сится к разности квадратов, как 17:8. Определить эти числа.
22) Разложить 900 на два таких ^слагаемых, чтобы сумма их
обратных значений была равна обратному значению числа 221.
22а) При увеличении произведения двух чисел на их сумму
в результате получается 999. Найти эти числа, если известно,
что первое больше второго на 15.
— 55 —
721. 23) Знаменатель дроби на 4 больше числителя; если чи¬
слитель уменьшить на 3, а знаменатель увеличить на то же чи¬
сло, то порченная дробь будет в два раза меньше первоначальной.
Найти дрЩг
24) Сумма числителя и знаменателя дроби равна 100; если бы
числитель был на 18 больше, а знаменатель на 16 меньше, то
значение дроби было бы в 2 раза больше первоначального.
Найти эту дробь.
25) Разность двух дробей, имеющих числителем единицу,
равна а сумма их знаменателей равна 42. Найти эти дроби.
26) Сумма двух дробей равна g-, числитель первой дроби 1,
числитель второй 3, сумма знаменателей 48. Найти эти дроби.
■ 27) Произведение двух дробей равно разность их знаме¬
нателей 4; числитель дроби, имеющей больший знаменатель,
на 7 меньше своего знаменателя, а числитель другой дроби на 1
меньше своего знаменателя. Найти эти дроби.
28) Дробь, у которой числитель на 1 меньше знаменателя,
будучи сложена с обратною ей дробью, т.-е. имеющею числи¬
телем знаменатель, а знаменателем числитель первой, дает
в сумме 2 Найти эту дробь. \
29) Найти двузначное число, зная, что сумма его цифр
равна 10; если цифры числа переставить и вновь полученное
число умножить на первоначальное, то получится 2944.
30) Сумма двух чисел равна 209. Если к квадратному
корню из первого числа прибавить второе, то получится 44.
Найти эти числа.
31) Сумма двух "чисел равна 290; сумма квадратных корней
из этих чисел равна 24. Найти эти числа.
32) Трехзначное число, изображенное одинаковыми цифрами,
по разделении его на произведение его цифр дает в частном 12^-.
• О
Найти это число.
33) Сумма двух чисел равна 40, сумма кубов этих чисел
равна 170S0. Найти эти числа.
34) Разность двух чисел равна десяти, разность их кубов
равна 20530. Найти эти числа.
35) Разность кубов двух последовательных чисел равна 7.
Определить эти числа.
— 56 —
721. 35а ) Сумма двух чисел 7110, сумма кубичных корней из
этих чисел 30. Найти числа.
35б) Если произведение трех целых последовательных чисел
разделить сперва на первое из них, потом на второе и, наконец,
на третье и полученные частные сложить, то получится 26.
Найти эти числа.
36) Найти три последовательных числа, произведение кото¬
рых равно их сумме.
37) При каком основании системы счисления число 7 оказы¬
вается записанным в виде 111?
37а ) При каком основании системы счисления число 81 изо¬
бразится в виде 311?
722. 1) Куплено сукна на 100 руб.; при покупке такого нее
сукна во второй раз сделали уступку по 50 коп. на каждый метр,
вследствие чего получено на 100 рублей 10-ю метрами больше,
чем в первый раз. Сколько метров сукна куплено было в пер¬
вый раз?
2) На 1 рубль куплены тетради. Если бы каждая тетрадь
стоила копейкой д~шевле, то тетрадей было бы куплено на 5
больше. Что стоила тетрадь?
3) Если скорость поезда на расстоянии 1200 км увеличить
на 10 км в час, то поезд пройдет то же расстояние на 10 часов
скорее. Определить, сколько километров в час проходит поезд?
4) По обе стороны улицы, длиной в 1200 м, во вновь разби¬
ваемом поселке лежат полосы земли, отведенные под участки,
одна шириною 50 м, а другая 60 м. На сколько участков разбит
поселок, если узкая сторона содержит на 5 участков больше,
чем широкая, но на ней участки каждый на 1200 кв. м меньше,
чем на последней?
5) Капитал, находившийся в предприятии, обратился через
5 лет в 11200 рублей. Найти капитал и таксу процентов, по ко¬
торой он был отдан, если такса составляет тысячную долю числа
рублей капитала.
6) Посредством двух труб бассейн наполняется в 8 часов.
Во сколько времени каждая из труб может наполнить бассейн
отдельно, если первая труба наполняет его на 12 часов скорее,
чем вторая?
7) Расстояние между Москвою и Ленинградом равно 654 км.
Курьерский поезд проходит этот путь на 10 часов скорее поезда,
состоящего из вагонов четвертого класса, причем проходит в час
— 57 -
на 32,6 км больше поезда четвертого класса. Во сколько часов
проезжает курьерский поезд -расстояние от Москвы до Ленин¬
града?
72?. 8СДва пешехода вышли одновременно друг другу на¬
встречу иШретились через три часа; во сколько времени пройдет
все расстояние каждый из них, если первый пришел в то место,
из которого вышел второй, 2~ часами позже, чем второй при¬
шел в то место, откуда вышел первый?
9) Посредством двух труб бассейн наполняется в 4,2 час.
Во сколько времени каждая из труб может наполнить бассейн
отдельно, если первая труба наполняет его на 8 час. медленнее,
чем вторая?
10) А может окончить некоторую работу пятью днями позже,
чем Б, и девятью днями позже, чем G; А и Б вместе могут окон¬
чить ту же работу во столько дней, во сколько ее может окон¬
чить С. Во сколько дней каждое лицо в отдельности может окон¬
чить эту работу?
10а) На коллектив было получено 112 килограммов хлеба.
Если бы членов коллектива было 2-мя больше, то каждый из них
получил бы на 2,8 кг меньше. Сколько было членов коллектива?
10б ) Лист бумаги содержит 90 кв. см. Определить, какова ши¬
рина этого листа, если известно, что длина его на 9 см больше
ширины.
10в) Лодка, идя все время на веслах, спускается по течению
реки на 7 километров и снова возвращается в исходный пункт.
На все это она тратит 2-|- часа. Определить скорость движения
лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км в час.
Юг) Население двух дачных поселков состоит из 16000 че¬
ловек. Население одного из поселков увеличивается ежегодно
на 180 человек, а другого на 400 человек. Выразить в процентах
прирост населения, если известно, что прирост населения вто¬
рого поселка на два процента больше первого.
С индусского из Бхаскары (род. в 1114 г. нашей эры). 11) Стая
обезьян забавлялась; число их, равное квадрату восьмой их ча-
СТи> бегало в лесу, остальные двенадцать кричали на верхушке
холма. Сколько было обезьян?
12) Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на 7, спря¬
гался в гроте, одна обезьяна, взлезшая на дерево, была видна.
Нодько было обезьян?
— 58 —
Задачи с геометрическим содержанием.
723. 1) Определить диагональ квадрата, если его периметр
равен: 1) 100 с.и; 2) а.
2) Радиус круга равен 100 см; определить сторону вписан¬
ного квадрата. I
3) Периметр вписанного в круг квадрата равен 20 гм. Онре-1
делить диаметр круга.
4) Сторона вписанного в круг квадрата равна 20 с.и. Опре¬
делить сторону описанного квадрата.
5) Диагональ квадрата на 5 см больше его стороны. Опре¬
делить сторону.
6) Сумма стороны и диагонали квадрата равна 10 см. Опреде¬
лить площадь квадрата.
7) Определить диаметр круга, если сторона квадрата, впи- j
санного в этот круг, на 1 метр больше радиуса.
8) При увеличении стороны квадрата на: 1) 3 см; 2) а см;
площадь его увеличивается в 4 раза. Определить первоначальную
длину стороны квадрата.
9) Периметры двух квадратов дают в сум.ме: 1) 40 см; 2) а см;
суммы площадей равны соответственно: 1) 58 кв. см; 2) Ъ кв. см.
Определить стороны квадратов.
10) В квадрат вписан равносторонний треугольник так, что
одна из его вершин совпадает с вершиной квадрата, а две другие
лежат на сторонах его. 1) Определить сторону равностороннего
треугольника, если сторона квадрата а. 2) Определить сторону
квадрата, если сторона треугольника равна Ъ.
11) Стороны прямоугольника относятся, как 12:5; определить
стороны, если диагональ равна 29,9 см.
12) Площадь прямоугольника равна 1440 кв. м. Как валики
его стороны, если одна длиннее другой на 1S .в?
13) Сумма двух неравных сторон прямоугольника равна 1S,4 дм,'
а площадь равна 84 кв. дм. Определить стороны.
14) Сад имеет вид прямоугольника, длина которого на 2 •«
больше ширины, а диагональ 58 .и. Определить площадь сада.
15) Одна из сторон прямоугольника на 19 .« больше другой!
Если бы меньшая была на ^ своей длины больше, а большая
на y своей длины меньше, то площадь всего прямоугольника ока*
залась бы на 1320 кв. м меньше. Найти стороны. 1
— 59 —
723. 16) Периметр прямоугольника равен 78 м, а пло¬
щадь 350 кв. м. Определить стороны.
17) Полупериметр прямоугольника равен р см, а площадь
равна площади квадрата со стороною в т см. Чему равны стороны?
18) Найти прямоугольник, равновеликий квадрату со сторо¬
ною т снесли разность сторон прямоугольника равна й см.
19) Жощадь прямоугольника, большая сторона которого на
99 .и больше другой стороны, не изменится, если большую сто¬
рону сделать равной 972 м, а меньшую сторону уменьшить на
133 м. Определить площадь и стороны прямоугольника.
20) Внутри одного прямоугольника со сторонами 50 м и 4S .и
помещен другой так, что расстояние между их сторонами везде
одинаково. Площадь полученной рамки в 19 раз больше площади
меньшего прямоугольника. Определить ширину рамки и ее
площадь.
21) Вокруг грядки, имеющей форму прямоугольника со сто¬
ронами в 3 .и и 4 .и, следует положить газон одинаковой ширины,
площадь которого должна быть в 10 раз больше площади самой
грядки. Определить ширину газона.
22) Размеры прямоугольной клумбы равны 4,5 .и и 2 м 37,5 с.и.
Определить ширину дернового бордюра, если он покрывает —
всей площади клумбы.
23) Длина и ширина прямоугольной клумбы равны соответ¬
ственно 2,5 м и 1,5 м; площадь, занятая цветами, равна 231 кв. дм.
Определить ширину дернового бордюра по краям клумбы.
24) План дома имеет вид прямоугольника; длина дома равна
21 .н, ширина 10 .п. Во сколько кирпичей построен долг, если
площадь дома внутри, включая перегородки, равна 180 кв. .it
(ширина стен в „кирпичах" определяется числом кирпичей, ко¬
торое можно положить поперек стены, кладя кирпичи их длинной
стороной), если размеры кирпича: 28 см, 14 см, 7 см?
25) Катеты прямоугольного треугольника относятся между
с°бой, как 3:4. Определить длину катетов, если гипотенуза
Равна 555 .и.
26) Площадь прямоугольного треугольника содержит 216 кв. .и,
сУмма катетов равна 42 м. Определить катеты.
27) Определить площадь прямоугольного треугольника, в ко-
т°ром гипотенуза больше одного из катетов на 49 cbt и больше
дРугого на 18 дм.
723. 28) Определить периметр прямоугольного треугольника, пло-1
з
щадь которого равна 24 кв. м и один из катетов составляет -у другого.
29) Определить площадь прямоугольного треугольника, в ко-
тором сумма катетов равна 127 дм, а гипотенуза больше одного
из них на 1 дм.
30) Определить стороны прямоугольного треугольника, в ко¬
тором разность катетов равна 2 дм, а гипотенуза больше мень¬
шего катета на 18 дм.
31) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 37
а сумма кгтетов 47 м. Определить катеты.
32) Гипотенуза 17 м, а разность катетов 7 м. Определить катеты!
33) Периметр прямоугольного треугольника равен 60 аги«
потенуза 26 м. Определить катеты.
34) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла
треугольника на гипотенузу, равен 9,6 м; разность отрезков ги¬
потенузы равна 5.6 м. Определить стороны.
35) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а, сгоч
ветствующая ей высота h. Определить отрезки гипотенузы. Вт
числить отрезки, полагая а = 34 см, h =15 см.
36) Сумма диагоналей ромба, сторона которого равна 10-^ см.
равна 19 см. Найти диагонали.
37) Определить число сторон многоугольника, имеющего!
1) 54; 2) 20; 3) п диагоналей.
38) Какой многоугольник имеет на 12 диагоналей больше,
чем сторон?
39) Диаметр круга равен 13 дм\ перпендикуляр, опущенный
, на него из точки, находящейся на окружности, равен б дм. Опре¬
делить отрезки диаметра.
40) Две секущие проведены из одной точки, взятой вв
круга; внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 *
внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнее
ее отрезка. Определить длину второй секущей.
41) Секущая и касательная проведены из одной точки, взято!
вне круга; сумма их равна 84 см\ внешний отрезок секущей на 9 о
меньше касательной. Определить длину каждой из этих двух линий
42) Хорда удалена от центра на: 1) 10 см\ 2) а см. Нант-
длину хорды, если она на: 1) 4 см; 2) Ь см больше радиуса.
43) Из точки, удаленной от центра на: 1) 8 см, 2) d см, пр°]
ведена касательная. Определить длину касательной, если раднГj
1
равен: 1) см\ 2) а см. Определить длину радиуса, если касатель¬
ная равна: 1) 6 с.и; 2) Ь см.
723. 44) Из данной точки проведены касательная и секущая
к данному кругу. Касательная равна 32 см, образовавшаяся хорда
равна 4,8 см. Определить длину секущей.
451 Три измерения прямоугольного параллелепипеда находятся
в othJRiihhx 3:4:5. Поверхность его равна 376 кв. см. Найти ребра.
46) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда
равны 12 -и и 9 л, диагональ параллелепипеда равна 17 м. Опре¬
делить высоту параллелепипеда.
47) Из железного листа приготовлена открытая сверху ко¬
робка таким образом, что по углам вырезано по квадрату со сто¬
роной в 4 Ли и края обрезов склепаны; какого размера был же¬
лезный лист, если длина его вдвое больше ширины и если объем
коробки оказался равным 768 куб. дм?
48) Поверхность тетраэдра равна а) 100 кв. см, б) а кв. см.
(Определить ребро.
49) Поверхность октаэдра равна: а) 100 кв. см-, б) а кв. см.
Определить ребро.
50) Тетраэдр и октаэдр имеют равновеликие поверхности.
В каком отношении находятся ребра?
Г
Из Бхаскары.
51) Цветок лотоса возвышался над поверхностью пруда
на 4 фута; под напором ветра он скрылся под водой на расстоя¬
нии 16 футов от того места, где он раньше подымался над водой.
Какой гЛубины был пруд?
52) На самом берегу ручья растет тополь. Порыв ветра
сломил его на высоте 3 единиц длины от земли, и он упал
перпендикулярно к направлению ручья, ширина которого равна
4 единицам длины; при падении дерево уперлось в край противо¬
положного берега. Как высок был тополь?
Из „Liber abaci** Леонардо Пизанского (1200 г.).
53) Две башни в равнине находятся на расстоянии 60 локтей
одна от другой. Высота одной 50 локтей, другой 40. Между
башнями находится колодец, одинаково удаленный от вершин
обеих башен. Спрашивается, как далеко находится колодец
0т основания каждой башни?
— 62 —
Из Мюнхенской рукописи XV столетия.
723. 54) На рассюянии 6 футов от ручья стоит дерево высотой]
в 20 локтей; спраиивается, на какой высоте должно сломитьс^
дерево, чтобы вершина его коснулась края воды?
55) Лестница в 13 футов, отстоявшая своим основанием]
от стены на 5 футов, была отодвинута еще на 7 футов, так что]
оказалась удаленной от основания стены на 12 футов. Спраши*
вается, на сколько футов опустилась она по стене?
Из арифметики Магницкого (1703 г.).
56) Сл^ЧИСА Н'&КОСЛ^ чслок’&к^ кя ст'Ьн'Е л’КстеицУ прн-
ЕрЛТН, CT'blbl Ж£ ТОА ЕЫСОТЛ £СТЛ 117 СТОП*. И ШЕ^ТС A'feWfl
ЕИф^ ДОЛГОТОЮ 125 СТОПЯ. И K'L'AATH ^Оф£ТЯ колнко стопя*
С£А Л'ксТЕНЦЫ ННЖШН КОН£фЯ СО СТ'ЬнЫ СЗсТОАТИ ИЛМТЛ !).
57) Н'ЬкоШЯ / КЛЛД£3'Ь ПОСТЛЕЛ£НЛ ЕА1Ш Л'&СТЕНЦЛ долго-1
тою 41 стопа, д кладазь широтою ео кг£ стрлны по 9 стопя]
II Е'ЬдЛТСЛНО £СТЬ КОЛНК^ СЭнЯ КЛЛДАЗЬ ГЛ^ЕННй ИЛШШ.
58) Йл1АШ£ H'^KIH Г£Н£рлЛЯ рлтнЫ^Я 3600 ЧСЛОЕ'&КЯ, и ком
Д'ОтФ Н^Я ПОСТЛЕНТН TAKIO, ЧТОЕЫ 2500 ЧСЛОЕ’ЬкЯ НЛЧЛЛЫШД"'Л
ЕШН ЕЯ СрСДИН'Ь, А 1100 ЧСЛОЕ’&КЯ рАДОБЫ^Я Ц>Кр£СТЯ НЛЧЛЛьЛ
НЫД'Я рЛЕНО ТОЛфННОЮ СТОАЛИ. Ц Е'кдАТСЛНО £СТЛ ЕЯ КОЛИКЮ]
ЧСЛОЕ’ЬкЯ ТОЛфНН Ц>Кр£СТЯ СТ^Н^ТЯ рАДОЕ£ЯА.
59) бгдд Ж£ КТО ЛЮЖ^Ш£ ЕО СДИнМ E£j&EA0 КОТОрЛА ДОЛГОТЬМ
5 дршння СЕАЗАТИ 100 КОШИ, И Е'ЬдДЧ’СЛНО 'сеть КОЛНКО тлкоЛ
ЕЫ^'Я Ж£ КОШИ ЕОЗЛАОЖНО СЕАЗАТИ др^ГОЮ bfpEIKi АЖ£ ДОЛГОТОЙ
§'сть 74 дршнид.
Задачи из физики.
724. 1) Камень падает (с начальной скоростью = 0) на дно]
колодца глубиной 87 м. Через сколько времени с края колодца]
а) будет видно; б) будет слышно падение камня, если д = 9,8, а ско]
рость звука = 333 .и в сек.
1 Древне-русский язык. Славянский шрифт. Текст- по современной орфогра]
фпи приведен па стр. 12-4.
724. 2) Камень падает в колодец. Удар при падении на дно ко¬
лодца слышен через 4 секунды после начала падения. Опреде¬
лить глубину колодца (в метрах), полагая скорость звука 333 м
в секунду и ускорение <7 = 9,8.
3) Удар от шдения камня, брошенного в колодец глубиной
в 113 .и, был слышен через 3 секунды. Определить начальную
скорость.
41 Агрела пущена вертикально вверх и поднимается на вы¬
соту W .и. а) Через сколько времени она достигнет наиболее
высокой точки? б) Когда она снова упадет на землю? в) Какова
была ее начальная скорость?
5) Равнодействующая двух взаимно-перпендикулярных сил
равна 13 т. Если одну из этих сил увеличить в 3 раза, а другую
1
на ~д" ее уменьшить, то равнодействующая будет равна 17 ы.
Найти величину этих сил.
6) Нз двух маятников более короткий совершает: а) 5; б) Ъ ко¬
лебаний, в то время как более длинный делает: а) 4; б) а коле¬
баний. Один маятник длиннее другого на 45 с.и; определить
длину маятников.
7) В вогнутом зеркале с фокусным расстоянием в 40 см пред¬
мет и изображение располагаются на расстоянии 65 см один
от другого.' Определить их расстояние от зеркала.
8) Прй помощи собирательной линзы с фокусным расстоянием
в 30 с.и изображение получается на расстоянии 5 м от предмета.
На каком расстоянии от линзы помещен предмет?
§ 10. Простейшие алгебраические функции.
Ж2+ 1/2= г'1
725. Составить выражение квадрата расстояния г точки (г, у)
от начала координат.
726. Решить уравнение х- у2 = г2 относительно у и построить
графику функции при г = 5. При каких значениях х ордината у
но имеет действительных значений? Доказать, что построенная
кривая есть окружность.
727. Построить графику функции:
1) 2х2 -|- 2у- — 50; 2) 5ж* + 5у2 = 60;
— 64 —
728. Построить окружность, ординаты точек которой на а
больше ординат (абсцисс) точек окружности, соответствующих
тем же абсциссам (ординатам): ]
Составить уравнение, связывающее у и х в каждом случае. Как
переместится при этом центр окружности? \
729. Перенести центр окружности х2-\- у2 = 9: <
1) на 3 единицы вправо; 2) на 2 влево;
5) на 3 вправо и на 2 кверху; 6) на 3 влево и на 2 книзу;1
7) на а вправо и на Ь кверху.
Составить в каждом случае уравнение окружности и указать
нули функции у, если они существуют. ]
730. В следующих уравнениях определить положение центра
и радиус окружности: 4
731. 1) Какой вид примет уравнение окружности х2 -}- у2 = г2,
если ее центр сдвинуть вправо на отрезок, равный радиусу^
г = о, и вверх на b? I
2) Какому уравнению 2-й степени удовлетворяют значения т,
соответствующие точкам пересечения полученной окружности
с осью X? |
3) Воспользоваться указаниями предшествующей задачи для
построения корней уравнения: I
пользуясь пересечением подвижного круга с осью х.
732. При помощи циркуля построить корни уравнений:
1) af— 6х -f- 4 = 0; 2) х2 — 4х -f 9 = 0;
3) -г2 — 2ж+1=0; 4) .г2—Юж-f 16 = 0.
ж2 + у2= 1,
если: 1) о=1; 2)а=2; 3) о= —2; 4) « = |-; 5) .о = — ~
3) на 10 кверху;
4) на -д- книзу;
1) (х -f З)2 (у —- 2,5)2 = 9; 2) х2-\-4х -f у2= 12;
3) х2 -}- j*2 -f у = 3^-; 4) х2 — 2х~\-у2 — 4^ = 20;
5) х2-\-у2 — х—6) х2-fу2-fах-f by = с.
х2 — 2ож + Ь2 = 0,
— 65 —
13 каждом случае решить уравнение также при помощи вычи¬
сления.
733. Катет прямоугольного треугольника с гипотенузой а=10 см
представить как функцию другого катета
ж2 — у2 = г2.
734^1) Уравнение х2— у2 —г2 решить относительно у и по¬
строй Диграф ику функции для г = 5.
2) Для каких значений х у не имеет действительных значений?
735. Придумать способ построения кривой а2 — у2 = г2 по точ¬
кам, если г дано в виде отрезка (на основании теоремы Пифагора).
736. Построить графики функций:
1) 2а;2 — 2у2 = 32; 2) За;2 = 27 -f Зу2; 3) ~ — = 5.
Если зависимость между у и ж дана в виде уравнения, не разрешен¬
ного относительно у, то у называется неявной фуннцией ж.
Координаты любой точки окружности с центром в начале и с радиусом
равным г удовлетворяют уравнению ж2 + у2 = г2; если рассматривать у
нак функцию ж, то указанное уравнение определяет две функции:
у = |/п2 — ж2 и у — — |/V2 — ж2.
\
Если центр окружности радиуса г перенести в точку (а, V), то ура¬
внение' ее примет вид (ж — а)2 -\-(у — 6)2 = г2.
Уравнению ж2 — у2 = /*2 удовлетворяют координаты точек, распола¬
гающихся 'на равносторонней гиперболе; эта равносторонняя гипербола
отличается от гиперболы жу = т лишь своим положением относительно
осей координат; у гиперболы жу=т осями координат служат асимптоты,
х а У гиперболы ж2 — у2 = V2 — ее оси (оси симметрии).
§ 11. Квадратные уравнения со многими
неизвестными.
737. Построить равностороннюю гиперболу ху = 6. Построить
прямую х-\-у = Ъ. Найти их точки пересечения. Найти значения
координат общих точек этих линий, определяя из одного из ура¬
внений значение у, подставляя его в другое уравнение и решая
полученное после подстановки квадратное уравнение. ,
Сокращев. сборник алгебр, упр&же. Ч. И. 5
738. Решить подобным же образом системы уравнений (вычи
слением и графически):
1) ж-фу = 6, 2) ж — у=- 2. 3) х — у = 7,
ху = 8; ху = 48; ху = 30;
А) у — х =— 3, 5) ж—у = 5, 6) х 4- у = 2,
ху = 4; ху = 36; жгу — — 13.
739. Решить вычислением следующие системы уравнений:
1)ж4-у = а, 2) ж — у = а,
ху - Ь-, ху = Ь\
3) х-\-у-~2п, 4) ж — у = а— Ь,
ху = а2: ху = аЪ\
о) ж-фжу-фу -7, 6) 2ж — жу -ф 2у = 4,
х — жу-фу=1; 2ж-фжу-ф 2у = 6.
740. Построить равностороннюю гиперболу ху = 12; построить
круг ж®-фу2 = 25; определить точки пересечения этих кривых'
Определить из данных уравнений значение выражений (ж-f-у)
и (ж — у)2, а затем и ж и у.
741. Подобным нее образом (построением и вычислением) ре
шить системы уравнений:
1) аг* 4-//s = 5, 2) ж2-фу2 = 40, 3) ж2-фу2 = 97,
ху ~~2; ху = 12; ху = 36.
742. Решить вычислением следующие системы уравнений:
1) + уг = вг, 2) ж2-фу2 = 2я2,
ту — Ь; ,rw i= а2;
3) ж2 + у2=2я2 + 2Ь*, 4) ж2+у2 = ^^,
ху = а3 — J2; (o_J)2_
ду=—-- 4— »
5) ж2-фжу = 78, 6) ж2-фжу = 5,
у2 —жу= 7; у2 —жу = 12;
7) ж2 — жу-фу2 = 49, 8) ж2-фжу-фу2 = 2«,
ж2-фжу-фу2 = 19; ж2 — жу-фу2 = 26;
9) ж2-фЗжу-фу 2= 61, 10) ж2 — 5жу-фу2 = 35,
жу = 12; ху = 9.
— 67 —
743. Решить построением и вычислением следующие системы
уравнений:
1) а;2 _|_ у2 = 250, 2) X2 4- у2 = 90, 3) х2 + у2 = 25,
х — у = 4; х-\-у = 12; х — у—\\
4) х2 -|- у2 = 136, 5) х2 -|- у2 = 100, 6) х2-\-у2 = 25,
х-}-у = 16; х — у = 2: х-\-у = 5.
744. Решить вычислением следующие системы:
+ = 2) х2 + у2 = а, 3) *2 + у2 ^ «2,
х-\-у = Ь\ х— у = Ъ\ х-\-у=^2щ
4) а: + у = 58, 5) ж-f-у = 100, 6) ж + у = 25,
/ж+/^=10. -^у=14; 1 Т— /у~=1.
745. Решить графически и вычислением следующие системы
и выяснить на основании геометрического решения, почему
системы имеют лишь одну систему решений:
1)ж2-у2 = 7, 2) ж2 — у2 = 24, 3) х2 — у2 = 5,
х — у = 1: у 4~ж = 6; х — у = 4.
746. Решить вычислением следующие системы:
1) х2 — у2 —а, 2) х2 — у2 = я, 3) х2 — у2 = а2,
х—у — ft; х-\-у-=Ъ\ ж —у = ы;
4) х2—«/2 = a2— ft2; 5) х2 — у2 = т2 — и2:
х~\-у = а— ft; х — у — т-\-п.
747. ^Пользуясь теоремой Виета л\ -|-ас2 = — р; .>■1jc2 = q.
свести решение следующих систем на решение одного квадрат¬
ного уравнения:
1)ж-|-у=11, 2) х-\-у = 17, 3) х-f у = т,
ху — 30: ху = 72; ху — /»:
1 ,4 а2 +Ь2
* + У=%’ j)x + y=-8’ , 6) ж-|-у = -0,—.
жу = 1; 32 жу = 1: ху— 1:
7) ж + жу-)-у = 19, 8) х-\-у— ху=—1, 9) х-\-у-\-ху = 11,
жу = 12; ху — 6; х-\- у = 5;
Ю) х -\-xy-\-\f ху = 19, 11) х-\-у — 3 \гху — 0,
ху = 36: ху — 64;
5*
— 68 —
747. 12)* +у =4,
х 1 у 2
15) ж-фу-фжу= 19,
О+ у)жу = 84; -
18) ж2-фу2 = 25,
ху - 12;
21) ж —у = 1,
ху = 20:
24) ж-фжу —у=17,
ху — 15;
27) ж—у-ф2/жу=41,
—-ф — = ll:
ж 1 у I
13)* + у=12, 14) жу = 1,
J , _1_ _3.
ж у 8’
16) ж-фу-фЗжу=9, 17) 2ж-ф2у-фжу-^ К;.
жу(ж-фу) = 6: (ж-фу)лу = 30,1
19) ж2-фу2=58, 20) ж2 + у2 = 41,
жу = 21; ху= 9;
22) ж — у — 12, 23) ж —y = d,
ху — 28; жу = те2;
25) х-\-ху — у = 13, 26) ж-ф)/жу—у=19,
ж — у = 3: ху— 144:
28) ж—-у-фЗ |/жу =61,
29) ж — у — ху ■
ху—100;
= -д-. 30) х -|- ху у = 37,
ж2у— ху2— /0;
х — у — 16;
31) ж2 —у2 = 9,
Щ = 20.
(ж — у)жу= =
748. Решить следующие системы уравнений с однородной
левой частью, присоединяя к ним (к тем, в которые такое уравне¬
ние не входит) уравнение луча у —1-х и принимая за вспомога¬
тельное неизвестное угловой коэффициент к:
1) ж2-фу2 = 400, 2) ж2 — у2 = 14, 3) ж2 + жу = 84,
у:ж = 4:3; ж:у = 9:5; 5ж = 7у:
4) ж2 — жу-фу2=39, 5) 5ж2 — 6жу-ф5у2 = 29,
2ж2 — Зжу-j- 2у2 = 43; 7ж2 — 8жу'-ф7у2 = 43:
6) Зж2 -ф 11жу -ф Зу2 = 207, 7) Зж2 -ф 2жу — 4у2 = 543,
2ж2 — Зжу -ф2у2 = 14; ж2 —J— 2у = 173;
5) ж2 — жу -ф у2 = 3, 9) Зж2 -ф бжу — 4у2 = 38,
2ж2 — ху — у2 — 5; . 5ж2 — 9жу — Зу2=15.
Смешанные задачи. <
749. Решить системы и выяснить геометрический смысл реше¬
ния (решить также графически):
1) ж2-фу2 —25, 2) ж2-фу2 = 50, 3) ж2 — у2 = 40,
ж2 —у2 = 5; ж3 — у2 = — 48; жу = 21:
4) ж2 — у3 = 28,
ху 48;
5) ж2 — у2 = 5,
ху — 6;
6) ж2
-у2— 19,
ху — — 90.
— 69 —
750. 1) ж2 +J/2=4U, 2) xy=i2, 3)xy = o4,
x — 3y\ 2x-\- Зг/ = 18; Зж = 2у;
4)x2-{-y2 = 50, o) 4x—3y=p24, 6)3ж —2y=l,
9x-l~7y = 70j xy== 96; ж2-|-$/2 = 74;
7) ж2 + у2 = 100, 8) x2 —у2 = 640, 9) х'.у — 9:4,
х'.у = 3:4; у:х=3:1; ж: 12 = 12 :у;
1и) ж:$/ = 3:5, 11) ж-|-у=10, 12) 2х—жу-j-^-f-8 = 0»
ж; 5 = 12 ’.у] ху = 2(у 6); х-\-у = 10;
13) 2ж2—Зу2=24, 14) .г(ж+у)=25, 15) ж2+жг/-Н/2=343,
А 2г = 3 у; 2гс-|-Зу = 10; 2ж —у = 21;
16) ж2+2жу—у2=1(х—у), 17) 2х2—Ьху-\-у2-\-\0х+12у=т,
2х—у = 5; 2х—Зу= 1;
18) ж2 + у2=130, 19) (Зх — у)(3у — ж) = 36,
х-Л-у __ g. ж + у J+
х —у ’ х —у 2 ’
20) 14- - = 3 2D jy = «• 22) ж2 + у2 = о2
ж ж * х\у=Ъ\ х'.у~т'.п\
5 2 . 23) ж -|- ху = 3. 24) ж-|-ж^-f" — 7»
*+1 3/ 1 ж.«2-|-ж$/3= 12; жг/2-|-ж?/3-|-жу4=28;
25) х-\-ху — 4, 26) ху -\-ху2 = 12, 27) ж — — «=29,
аг + а®» = 38; х2у = 8; ж2+^2—(ж+у)=72.
Системы уравнении со многими неизвестными.
751.'Решить системы;
*
1) ж*+ ^8 = 61 2) Зж2 + 2г/2 =59 3) ж* + 2^ + За® = 70
vip- + г2 = 85 3«* + 2г* = 98 у2 + 2г* + Зж2 = 53
** + 02=74 За3 + 2ж* = 93 ^ + 2ж2 + Зу2 = 51
■4) ж(ж+ # + *) =—15 5) х(ж+ «/ + *) = а
М* +»+«) = 10 У(х + у + z) = Ъ
Кя + у + г) = 30 *(ж+ # + *)--= с
€) 2ж-4»-и = 0 вх = 1+1 + 1
/ /|* I лу I » ./
ж + ^ — 4г = 0 ' х г у ' z У -
?±1 »±* бу = 1 + 1 + ± ^Ш- = ъ
у—1 ~ +1 х ' у ' z х + Z
cz = — с
х 1 у 1 z х + у
S) ху = а 10) хз — ayz 11) x2yz — a 12) х(у + *) = 229
уг=Ъ у3 — Ьж* xy2z = 5 «/(* + ж) = 256
xz=c zP = сху xyz2 = с *(ж + у) — 196
— 70 —
751. 13) ,1;г ++-2=4В4 14) Xy + yz — zx—1
.г:у =1:3 згу — yz ex 11
y:x~2:S ~ xyyx-\- zx = 19
15) Ъху + 2:rz + 3yz = 240 1 6) a-® -(- ху + у * = 49
2 cу — Зж? + 6yz — 207 *2 -p xz -f- z'1 — 79
3.ry + Гад — 2yz = 68 V2 -t-F+i^l 09
17) Сл? + #)2 + (* + *)* + (» + *)* = 94J
2(.r + «/)* — 3 (jb + г)2 + 4 (y + z)* = 26
5(ж + yf — 4 (ж + г)* — 9 {у + г)2 = 20
18) аг:^ = .у: 19) а:y~y\z
+ # + г= 19 туг = 64я*
ж*+3)* +я* = 133 jr + y + z = 4\n
20) a:» — yz~zs~ II 21) а?-\-у'* +z* =35
«/г = 2 жу + .уг -f- га- = 23
л+У+*=7 аг+ #=8.
§ 12. Задачи на составление систем уравнении
второй етенени.
752. 1) Найти два числа, сумма квадратов которых равна 145,
а разность квадратов 17.
2) Произведение двух чисел, находящихся в отношении 3:4,
равно 588. Найти эти числа.
3) Отношение двух чисел равно 4:7; сумма их квадратов,
равна 585. Определить эти числа.
4) Разность квадратов двух чисел, отношение которых
равно 2:5, равна 1029. Найти эти числа.
5) Сумма двух чисел относится к их разности, как 7:2, а разн
ность квадратов этих чисел равна 56. Найти эти числа.
6) Сумма двух чисел равна 90, произведение их равно 2016..
Найти эти числа.
7) Число 864 разложить на два множителя, сумма которых
равна 60.
8) Разность квадратов двух чисел, произведение которых
равно 54, более квадрата их разности в 5 раз. Найти эти числа.-
9) Если произведение двух чисел увеличить на первое из них,,
то получится 300; если же произведение увеличить на второе из
них, то получится 304. Определить эти числа.
10) Сумма двух чисел, сложенная с суммой квадратов этих
чисел, равна 686, а сумма разности этих чисел и разности квад¬
ратов их равна 74. Определить эти числа.
752. 11) Сумма квадратов двух чисел составляет 370. Если бы
первое число было единицей больше, а второе тремя больше, то
сумма квадратов была бы равна 500. Определить эти числа.
12) Сумма суммы и произведения двух чисел равна 1063;
произведение этих чисел на 1099 меньше суммы их квадратов.
Найти эти числа.
13) Сумма цифр двузначного числа на 29 меньше произве¬
дения этих цифр и на 72 меньше суммы квадратов цифр. Опреде¬
лить это число.
14) Определить двузначное число, если известно, что оно
втрф больше произведения его цифр; если записать цифры
в ооратном порядке, то получится новое число, отношение кото¬
рого к искомому равно 7:4.
15) Если переставить цифры искомого двузначного числа, то
получится число, которое на 18 меньше искомого; произведение
обоих чисел в 126 раз больше произведения цифр, которыми они
записаны. Определить число.
16) Если искомое двузначное число разделить на произведе¬
ние его цифр, то получится 5 в частном и 2 в остатке; если пе¬
реставить цифры и произвести то же деление, то в частном по¬
лучится 2, а в остатке 5. Найти двузначное число.
17) Если числитель искомой дроби увеличить на 6, а зна¬
менатель ее уменьшить на 2, то вновь полученная дробь будет
вдвое больше первоначальной. Если же увеличить числитель
на 3, а знаменатель уменьшить на 3, то получится дробь, обрат¬
ная'первоначальной. Определить дробь.
18) Сумма двух чисел на ”76 больше их среднего геометриче¬
ского. 'Квадратный корень из одного числа на 6 больше квадрат¬
ного корня из другого числа. Определить эти числа.
19) Если попарно перемножить три искомых числа, то полу¬
чится соответственно 84, 120 и 280. Определить эти числа.
20) Если сумму трех чисел умножать на каждое из них, то
произведения дадут соответственно 240, 270 и 390. Найти эти числа.
21) Если 3 искомых числа, суыиа которых равна 100, разде¬
лить соответственно на 3, 4 и 5, то сумка полученных частных
будет равна 25. Произведение двух последних чисел в 2-|- раза
больше квадрата первого числа. Определить эти числа.
22) В непрерывной геометрической пропорции сумма ее трех
членов равна 39, сумма их квадратов равна 741. Найти пропорцию.
752. 23) Если из трех искомых' чисел сумму каждых двухя
из них умножить на третье, то получатся числа 810, 680, 572. я
Определить эти числа. я
24) Произведения по три четырех искомых чисел равны 120, ■
150, 240, и 40Э. Найти эти числа. Ц
25) Сумма крайних членов пропорции равна 24, сумма сред- ||
них равна 16; сумма первых трех членов втрое больше суммы Ц
трех последних. Составить пропорцию. ■
26) Четыре искомых числа составляют пропорцию. Сумма Ч
первого и четвертого членов равна 22, сумма второго и третьего J
равна 13; сумма квадратов всех четырех чисел равна 493 I
Найти эти числа. Щ
Задачи с геометрическим содержанием.
753. 1) Через точку внутри круга радиуса в 13 с.и, отстоящую
от центра на 5 см, проведена хорда длиною в 25 см. Определить ш
отрезки, на которые данная точка делит хорду. 4
2) В круге, радиус которого равен 20 см, проведена хорда
длиною в 24 см. Определить расстояние от центра точки пересе-
чения касательных, точками ^прикосновения которых являются I
концы данной хорды. i
3) В двух концентрических кругах, радиусы которых рав- i
ны г = 25 см и р = 17 с и, требуется провести хорду так, чтобы '
часть ее, лежащая во внутреннем круге, составляла всей *
хорды. Определить длину хорды и расстояние ее от центра. I
4) Вне круга, радиус которого равен 21 см, дана точка на I
расстоянии 29 см от центра. Провести через данную точку секу- i
щую так, чтобы внутренний отрезок ее был равен 9 см. Опреде- *
лить длину секущей. |
5) Периметр прямоугольника содержит 82 м, диагональ его t
равна 29 м. Определить стороны прямоугольника. *
6) Диагональ прямоугольника, площадь которого содержит
120 кв. м, равна 17 м. Определить стороны прямоугольника.
7) Диагональ прямоугольника равна 85 м. Если каждую из
сторон увеличить на 2 м, то площадь нового прямоугольника
будет на 230 кв. м больше первоначального. Определить стороны-
8) Площадь прямоугольника содержит 168 кв. м, периметр его
равен 62 м. Определить стороны.
— 73 —
753. 9) Данный прямоугольник со сторонами в 5 см и 7 см тре¬
буется превратить в равновеликий ему прямоугольник, периметр
которого втрое больше периметра данного. Определить стороны
нового прямоугольника.
10) Диагональ данного прямоугольника равна 89 м. Если бы
каждая из сторон была на 3 м короче, то диагональ была бы
на 4 м короче данной. Определить стороны данного прямо¬
угольника.
11) Диагональ данного прямоугольника равна 65 м. Если бы
меньшая сторона была на 17 м короче, а большая на 7 м длин-
нее^о диагональ прямоугольника была бы та же. Определить
стороны данного прямоугольника.
12) Площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза кото¬
рого равна 41 м, содержит 180 кв. м. Найти катеты.
13) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 30 см ;
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипоте¬
нузу, равен 12 см. Определщъ катеты.
14) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а; три сто¬
роны треугольника составляют непрерывную геометрическую про¬
порцию. Вычислить отрезки гипотенузы и указать способ их
построения.
15) Основание одного прямоугольника на 20 .« более осно¬
вания другого, а высота первого на 8 м меньше высоты второго;
площадь каждого из этих прямоугольников равна 600 кв. м. Опре¬
делить основание и высоту каждого из них.
16) Площадь ромба равна 480 кв. дм, а сторона 26 дм. Опре¬
делить диагонали.
17) По данным гипотенузе а и периметру р определить катеты
прямоугольного треугольника.
18) Определить периметр равнобедренного треугольника, если
t одна из равных сторон его равна а, а площадь s.
19) По данным периметру 2р и диагонали d прямоугольника
определить его стороны.
20) Определить стороны прямоугольника, равновеликого тре¬
угольнику и имеющего равный с треугольником периметр, если
периметр треугольника 2р, основание Ь и высота его h.
21) Равнобедренная трапеция, высота которой равна 9 см
11 разность оснований равна 18 см, вписана в круг, радиус ко¬
торого равен 25 см. Определить основания и расстояние их от
Центра.
753. 22) Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда*
содержит 56S кв. см. Одно из его измерений на 4 см больше второго!
и на 4 см короче третьего. Определить ребра параллелепипеда. (
23) Три измерения прямоугольного параллелепипеда находятся I
в отношениях 3:4:12. Диагональ параллелепипеда равна 91 гм.г
Вычислить ребра параллелепипеда. '
24) Объем прямоугольного параллелепипеда содержит
5S5 140 кб. м. Из трех его измерений можно построить прямоуголь¬
ный треугольник, площадь которого равна 2 730 кв. м. Опреде-1
лить ребра параллелепипеда.
25) Высота прямоугольного параллелепипеда равна 12 см,
диагональ его равна 13 см и объем 144 кб. см. Определить сто¬
роны его основания.
Задачи из физики. i
754. 1) Две силы, приложенные к одной и той же точке, на¬
правлены друг к другу под прямым углом; отношение сил равно 2:5; 1
равнодействующая равна 37,7 килограмма. Определить силы.
2) Определить удельный вес двух тел, если смесь, содержа- \
щая а т первого тела и Ь т второго имеет удельный вес р,
а смесь, содержащая с т первого и d кг второго, имеет удельный i
вес q.
3) На оси линзы находится светящая точка; изображение ее,
даваемое линзой, находится от этой точки на расстоянии 150 см. |
На каком расстоянии от линзы находится светящая точка, если
фокусное расстояние линзы равно 24 см? ♦
4) На вогнутое зеркало падает свет из некоторой точки его
оптической оси; если светящую точку приблизить к зеркалу \
на 40 см, то ее изображение удалится от зеркала на 5 см. Опре¬
делить расстояние от зеркала светящей точки и ее изображения,
если фокусное расстояние зеркала равно 20 см.
ОТДЕЛ восьмой.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
РЯДЫ (ПРОГРЕССИИ).
^ 1. Арифметическая прогрессия.
755. Вычислить значение функции ол = «, -{-г(х— 1) при х= 1У
2, 3 и т. д. до и. Записать полученные значения в ряд в порядке
их получения, отделяя полученные последовательные значения
друг от друга запятыми.
«1
1
1
100
5
а
а
г
1
2
-.0
0
«4-1
a
Какими свойствами обладают члены написанного ряда? Как
получить каждый член ряда из предыдущего? Как называется
написанный ряд? Что называется разностью арифметиче¬
ской прогрессии?
756. Первый член арифметической прогрессии равен ал, раз¬
ность г. Определить значения второго, третьего, седьмого,...
й-го членов.
757. Если ак_л, ак, ак+1 три последовательные члена арифметиче¬
ского ряда, то ак_1 — ак — а,. — ак+1, следовательно, ак=
В какой форме, согласно этому, можно дать определение арифме¬
тической прогрессии, пользуясь понятием среднего арифмети¬
ческого?
758. 1) Какая арифметическая прогрессия называется возра¬
стающей, какая—убывающей? 2 ) Какой вид будет иметь прогрессия
при г— О?
759. 1) Первый член арифметической прогрессии равен 1Т
разность 2, число членов 10. Написать ряд. 2) Вычислить наиболее
простым способом сумму всех членов этого ряда.
— 76 —
760. Первый и второй члены арифметической прогрессии cjti,:
1) 1 и 2: 2) 1 и 3: 3) 2 и 4:
4) 1 и —1; 5) 1 и —2: С)| и —1:
7) —и -j: 8) 0,1 и —0,2; 9) а и Ъ.
Написать следующие три члена прогрессии.
761. В'папирусе, найденном в Кагуне, к югу от пирамиды
Иллагун (Illahun), относящемся к двадцатому веку до нашей эры,
встречается десятичленный арифметический ряд, первые два
3 11
•члена которого суть 13 4 и 12^- Найти остальные члены.
762. Первый член некоторой прогрессии равен 0, разность 5:
последний член 30. Написать ряд, определить число членов
и сумму членов.
763. Решить предыдущую задачу для ряда: первый член
равен —10, разность 3 и последний член 17.
764. Представить прогрессии задачи 760 (с 1 по 10) графи¬
чески, принимая номера членов за абциссы точек, а значения чле¬
нов за ординаты этих точек. Что можно сказать относительно рас¬
положения точек, соответствующих отдельным членам этих рядов?
765. 1) Первый член прогрессии равен 496, седьмой 6; 2) первый
член равен 1, пятый член равен —5. Определить промежуточные
члены вычислением и графически.
766. 1) Как изменится разность прогрессии, если порядок ее чле¬
нов переменить на обратный? 2) Как изменится графика этого ряда?
Сумма членов арифметической прогрессии.
767. Вычислить наиболее коротким путем:
1) 1+2+3+4+5+6+ 7 + 8 + 9 + 10+11 + 12;
2) 30 + 31 + 32 + 33 + 34-1 1-40;
3) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6-1 (-100:
4) 101 +102 + 103 + 104 И h 1000;
5) 1+3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17+19;
6) 2 + 4 + 6 + 8 + 10+12 + 14-j 1-100;
7) л —I- 2a —J— 3ct —J— 4a —J— oa —1— 6a —J— 7a —J— 8й -1- 9a.
768. Прогрессия, первый член которой равен я1? разность г,
последний член а„, написана в обратном порядке. Определить
первый член нового ряда, второй член, третий, А--ый и последний.
— 77 —
769. В м-членной арифметической прогрессии сложить 1-ый
„ ю-ый члены, 2-ой и (и—1)-ый, и вообще &-ый и (и — h-\- 1)-ый.
Какой закон можно при этом подметить?
770. Под членами арифметической прогрессии аг, а2, а3...г
а,.---, ап подписать соответственные члены другой прогрессии,,
полученной из первой переменой порядка членов на обратный.
1) Чему равна сумма каждой пары членов, расположенных друг
под другом? 2) Как в силу этого можно найти сумму ряда, т.-е.
сумму всех членов ряда до м-го включительно?
771. 1) Как, пользуясь графикой членов арифметического ряда,
mo;iA> представить графически сумму членов этого ряда в виде
площади некоторой фигуры? 2) Пред¬
ставить геометрически данный в зада- 0000000000
___ ___ , оооооооооо
чах /68 — 770 вывод формулы суммы оооооооооо
членов арифметического ряда. оооооооооо
772. 1) При помощи фиг. 23 найти 000°оооооо
результат, полученный Ямвлихом (начало 0000000000
IV столетия нашей эры): оооооооооо
„ ОООООООООО
l + 2-f-3-j + 9-J- 10-}-9 \- о о о о о
О О О О О
(Соединяя точки, расположенные по параллелям к диагонали
квадрата, образованного точками.) 2) Представить а2 в виде суммы
членов ряда, начинающегося с 1 и кончающегося 1.
778. Пользуясь фиг. 23, показать, что 1 -f- 3 —J— 5 —J- 7 -}- 1-
4-19 = 102 (соединяя точки ломаными, образующими прямой
угол); 2) показать, что вообще квадрат каждого числа может
быть Ьредставлен в виде суммы ряда нечетных чисел, начи¬
ная с 1. Какое значение имеет последнее число этого ряда?
774. Если а,— первый член, г— разность, п—число чле¬
нов, ал — последний член и sn — сумма членов арифметической
прогрессии, то имеют место следующие соотношения:
I. «„ = «! + (!» —1)»7
тт Од +
н-
111. r = [oaj _ j) rj JC.
Кывести формулу III из первых двух основных.
— 78 —
775. Составить формулу суммы членов прогрессии, если
известны п, г, ап, и вывести эту формулу двумя способами из той'
или другой пары формул, данных в задаче 774.
776. Сколько величин достаточно дать для полного опреде-|
ления арифметической прогрессии? (Почему?!)
777. В арифметической прогрессии:
Дано
Определить
Дано
Определить
1)
It. Gu, Sn
l*„ r
6)
ai. u, s„
",
21
1 ? ''к
«1, w
7)
«„ и,
", "i.
i
3|
n ", sn
«1,
6)
о i, П s„
",
1
4)
г, n, a„
"t.
91
a,. r, «„
", s„
я)
(lli a,n •'V
Г, П
10)
ai, ", «
1
Почему задачи 2 и 8 приводятся к квадратным уравнениям
'(обратить внимание на формулы II и III)? Почему достаточно
знать, что задача 2 сводится к квадратному уравнению, чтобы
можно было заключить, что и задача 8 приводится к тому же?
■{Обратить внимание на одинаковую роль а, и обрати¬
мость ряда.)
§ 2. Примеры.
778. 1) Найти в натуральном ряде n-ое нечетное число
и сумму п первых нечетных чисел. Положить и = 20.
2) Найти в натуральном ряде и-ое четное число и определить
•сумму первых и четных чисел. Положить и = 24.
3) Определить сумму всех натуральных чисел: а) от 1 до 100;
б) от 1 до и.
4) Определить сумму всех трехзначных чисел.
5) Определить сумму всех нечетных чисел, начиная с 13
и кончая 81.
6) Определить сумму всех четных чисел от 24 до 98 вклю¬
чительно. —
7) Определить сумму всех чисел, кратных 3, начиная
ю 3 и кончая 99.
8) Определить сумму всех чисел, кратных .7, начиная
•с 7 и кончая 343.
— 7У —
778. 9) Определить сумму всех чисел, кратных р, начиная
с р и кончая пр.
10) Определить сумму всех чисел, кратных к, начиная с тк
л кончая пк.
779. Решить следующие задачи, полагая в нижепомещепной
таблице известными три величины из пяти (проверить таким
образоч таблицу):
1?
а.
Г
п
•
«1
г
п
«л
*я
\ ,
12
40
469
9400
Я)
Гг
-4
13
— 37
— 20В
2)
2
3
17
50
442
91
— 4
_ 1
37
188
3404
3)
21
— 5
17
— 59
— 323
ПО
-4
_ L
:>2
20
100
935
4)
-з4
4
22
*4
99
И)
4
4
24
34
448
о)
29
4
33
77
1749
12)
60
21
35
997-^
6)
25
-4
25
— 35
—125
13)
3,2
0,4
43
22
584,8
7)
—19
4
29
23
38
14)
2,3
1,3
19
25,7
266
780. 1) Между каждыми двумя последовательными членами
арифметического ряда 1, 5, 9, 13 и т. д. поместить по 5 таких
чисел, чтобы снова получить арифметический ряд (интерпо¬
ляция). Написать этот новый ряд. Получить члены этого ряда
на графике.
2) Между каждыми двумя последовательными членами ряда
14, 26 вставить по 7 средних арифметических. Составить
искомый ряд вычислением и путем построения.
3) 7-й член арифметической прогрессии равен 10; 17-й член
равен 50. Определить первый член и разность прогрессии.
Решить задачу: а) вычислением; б) при помощи графики.
4) Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 47,
девятнадцатый член 75. Определить 283-й член.
— 80 —
780. 5) Сумма четвертого и седьмого членов арифметической!
прогрессии = 100. Сумма 17-го и 29-го равняется 800. Найти I
прогрессию. I
6) Сумма тридцати семи первых членов арифметической I
прогрессии равна 888, разнссть между 13-м и 31-м членами I
равна 126. Определить первый член и разность прогрессии. I
7) Даны две прогрессии: первый член одной из них равен J. 1
а 7-й член равен 4; первый член другой прогрессии равен 11, *
а 6-й член единице. Определить графически член, общий обоим
рядам (т.-е. число, встречающееся в обоих рядах под одним и i
тем же номером). 1
8) Определить число членов и последний член арифметиче¬
ской прогрессии, если первый член ее равен —7, разность 3, i
а сумма всех членов 430.
9) Последний член' арифметической прогрессии равен 97,
разность 3, сумма 1612. Определить первый член и число членов. I
10) В арифметической прогрессии, состоящей из 20 членов,
произведение двух средних членов равно 725, сумма 3-го и 12-го
членов равна 30. Определить первый член и разность прогрессии.
11) Сумма крайних членов десятичленной арифметической I
прогрессии равна 67, сумма их квадратов равна 2609. Определить
первый член и разность. 1
12) Произведение крайних членов арифметической прогрессии,
состоящей из 14 членов, равна 276, произведение двух средних
членов равно 1326. Определить первый член и разность.
13) В арифметической прогрессии, состоящей из 100 членов,
сумма всех членов равна 8200. Произведение двух средних чле¬
нов равно 6723. Определить первый член и разность.
14) Какое натуральное число равно сумме всех ему пред¬
шествующих натуральных чисел?
15) Определить натуральное число, которое: 1) равно десятой
части: 2) £-ой части суммы всех предшествующих ему чисел.
Приложения.
I
781. Сколько ударов сделают часы за сутки: 1) если он»
11 3
отбивают лишь целые часы? 2) если отбивают также X’ У и Т
часа (1, 2, 3 ударами)?
782. Роют колодец, при чем платят за первый метр глубины
1 руб., а за каждый следующий на 5 коп. дороже. Во что обой-
t
— 81 —
дется весь колодец, и сколько будет стоить последний ыетр, если
глубина колодца равна 81 л?
783. Л держит пари с В. А должен пройти взад и вперед
6000 шагов раньше, чем В соберет в корзину 200 яблок; при этом
яблоки должны быть сперва раз южены в ряд, на расстоянии
шага друг от друга, и должны быть по очереди по одному поло¬
шены в корзину. Корзина поставлена возле первого яблока. Кто
из спорящих выиграет пари?
784. 1) Тело при свободном падении в пустоте проходит
в первую секунду приблизительно 4,9 м, а в каждую следующую
на -м больше. Какой путь оно пройдет в 12 секунд и какой
лутьв 12-ю секунду?
2) Сколько метров пройдет тело, при условиях предыдущей
задачи, в ~ минуты и за 30-ю секунду?
3) Во сколько секунд, при тех же условиях, тело пройдет
расстояние в 490 м ?
785. 1) Вертикально брошенное вверх тело в каждую секунду
теряет в скорости 9,8 м. Сколько времени будет подниматься
кверху пуля, имеющая при выходе из дула скорость 490 .и
в секунду?
2) Тело, движущееся вертикально вверх, под действием силы
земного притяжения замедляет свое*движение настолько, насколько
падающее тело его ускоряет. Как высоко поднимется пуля, при
условиях движения предыдущей задачи, и через сколько вре¬
мени, сбитая от момента выстрела, она вернется на поверхность
земли?
3) Какую скорость имела при вылете из дула пуля, летевшая
кверху по вертикали, если она через минуту упала на поверх¬
ность земли?
4) Как высоко поднялась пуля, пущенная вверх по вертикали,
если она упала на поверхность земли через 80 секунд, и какова
была ее скорость при выходе из дула?
786. 1) Шар катится по наклонной плоскости. Движение
°о наклонной плоскости является равноускоренным, как и в случае
свободного падения. В 1-ю секунду шар проходит 1 метр.
Ь’акой путь он сделает в течение пяти секунд и какой в пятую
секунду?
2) Какой путь прошел шар в первую секунду по наклон¬
ной плоскости, если в 10-ю секунду он прошел 28 ~м?
Сокращен, сборник алгебр, упражн. Ч. II. 6
— 82 —
786. 3) Шар катился 6 секунд с наклонной плоскости длиною
в 54 м. Сколько метров прошел он в первую секунду?
Из папируса Ахмеса (около 1700 г. до нашей эры):
787. 1) Разделить 10 мер хлеба между 10 лицами так, чтобы
каждое следующее получило на ~ меры меньше предыдущего.
Из Диофантовой рукописи о многоугольных числах (300 г. нашей эры):
2) Доказать следующее предложение:
Если р, q, г суть три последовательных члена арифметического
ряда, то'p24-8g,j ==(2g'-j-r)2.
Из Герона Александрийского (I столетие до нашей эры):
3) Амфитеатр, состоящий из » рядов, в нижнем ряде имеет
а мест, а в верхнем г. Сколько зрителей может вместить амфитеатр?
Из арифметики Магницкого (1703 г.):
4) Купецкий некто человек имяше 14 чарок сребряных, ихжс)
каяждо превышает тягостью по чину прогрессии четырьмя
лотами, а последняя чарка весит 59 лотов. И ведательно есть,
колико вся чарки веса имут.
Если некоторые числа записаны в таком порядке, что значение каждого
из этих чисел определяется тем местом, которое занимает это число,
то говорят, что числа образуют числовой ряд.
Числа, составляющие ряд, называются его членами.
Арифметической прогрессией или арифметическим рядом называется
ряд чисел, из которых каждое последующее равно сумме своего преды¬
дущего и некоторого постоянного числа т.
Число г называется разностью прогрессии. Если «*> 0, то прогрессия
называется возрастающей, если г <0 — убывающей, если же i* = 0, то
все члены ряда равны одному и тому же числу.
Основные формулы, относящиеся к арифметическим прогрессиям, сле¬
дующие: *
Если а,, означает /с-ый член прогрессии, г — разность, ,чп — сумму
п членов прогрессии, то
I. ak = №l + »-(fc—-1)
II. мп = К + «п).1
III. s„ = пщ + v = [2a, + r(n — 1)] ^
Для определения арифметической прогрессии необходимо из пяти ве¬
личин, входящих в формулы II и III, дать три. |
— 83 —
§ 3. Конечные геометрические прогрессии.
788. Вычислить значения функции их=щд*, задавая х зна¬
чения О, 1, 2, 3,... к,... п (принимая при этом д° = 1); из полу¬
ченных чисел составить ряд (в порядке их получения), отделяя
члены ряда друг от друга запятыми, если
1 1
1 -
2 ' 3
4
5
6
«, 1
1
1
1
7
0,9
4
Ч 1 2
1
10
1
0,1
0,1
—4
Какими свойствами обладают члены написанного ряда? Как по¬
лучить каждый член ряда из члена, ему предшествующего? Как
называется написанный ряд чисел? Как называется число д?
789. Пусть иг обозначает первый член геометрической про¬
грессии, q—знаменатель. Как выразятся через иг и q 2-й, 3-й,...
л-ый члены (сделать вычисления, полагая м1==3, q = 2, п = 10)?
790. Определить знаменатель и м-ый член следующих про¬
грессий:
1) 2, 6, 18, 54, .. 2) 1, 0,1, 0,01, 0,001,...
3) 1, у, -4» й>- 4) °» °2* а4>-
i-5) 1, —3, 9, —27,... 6) 1, х, х2, я»,...
791. 1) Пусть гг,., ик+1 обозначают три последовательных
члена геометрической прогрессии; выразить ик через ик_г и м,£+1.
2) На основании полученного результата дать определение гео¬
метрической прогрессии.
792. 1) Когда геометрическая прогрессия называется возра¬
стающей, когда—убывающей? 2) Какой окажется прогрессия,
если д=1; 3) если q — —1?
793. Как изменится знаменатель прогрессии, если ее члены
написать в обратном порядке?
794. Полагая первые два члена геометрического ряда равными:
1) 1 и 2, 2) 1 и 3, 3) 2 и 4, 4) 1 и —1,
5) 1 и -2, 6) ± и 1, 7) 1 и 4, 8) 4 и 4',
9) 3 и 4, 10) 1 и 0,1, И) 1 и 10, 12) а и Ь,
Определить следующие три члена и и-ый член.
|
795. Написать прогрессию, первый и третий члены которой I
равны соответственно: 1) 1 и 9; 2) | и 3; 3) 1 и а2. ”
796. На одной из двух взаимно перпендикулярных прямых
(осей) от точки их пересечения отложен произвольный отрезок ult ■
на другой — произвольный отрезок и2У>и1г концы этих отрезков!
соединены, и к полученной гипотенузе прямоугольного треуголь¬
ника, в ее концах, восстановлены перпендикуляры, которые отсе¬
кают на осях новые отрезки и3 и м'2; в концах этих перпенди- |
куляров к ним восстановлены новые перпендикуляры, которые
отсекают на осях новые отрезки и4 и м'3, и т. д. Показать, что
отрезки «j, и2, м3, м4... образуют возрастающую геометрическую ..
прогрессию, а отрезки и2, и1г и'2, и’3... образуют убывающую гео- f
метрическую прогрессию. При какой зависимости между и3 и «г
полученная спираль обратится в квадрат?
797. Представить графически изменение членов геометриче¬
ской прогрессии, изображая ординатами значения соответствую¬
щих членов прогрессии, а абсциссами их номера (для построения
последовательных членов прогрессии по двум первым ее членам
можно воспользоваться приемом, указанным в предыдущей задаче),
и соединить последовательно точки при помощи ломаной.. Что
можно сказать об относительном расположении концов отрезков,
изображающих члены геометрической прогрессии, если: 1) знаме¬
натель >1 [для примера взять задачи 794 1), 2), 3), 9), 11)],
2) знаменатель — положительное число, меньшее 1 [задачи 794,
7), 8), 10)]; 3) отрицательное число (задача 794,5); 4) — 1 или -f 1
(задача 794,4)?
Сумма членов геометрической прогресснп.
798. 1) Составить ряд, члены которого получаются умноже¬
нием на q членов геометрической прогрессии .).
Wj, и2, и3,.... ип,
если q обозначает знаменатель прогрессии. Какую прогрессию
образует новый ряд? Как выразится сумма членов нового
ряда, если сумму членов первоначальной прогрессии обозначить
через Sn?
2) Какое уравнение получится для определения Sn, если
сумму первоначального ряда вычесть из суммы членов ряда, по*
лученного умножением членов первого ряда на q?
— 85 —
798. 3) Если Mj — первый член геометрического ряда, q — зна¬
менатель, ии — и-ый член, Sn — сумма всех п членов, то имеют
место следующие соотношения:
I. =
ту s = UnQ ~~ = ”* ~
" q — 1 1 — q ’
1IT у qn — 1 1 — qn
HI. N = it. “ _ == u, -z —.
n 1 q — 1 1 1 — q
При каком значении q не имеют смысла формулы II и III? а) Вы¬
вести формулу III из основных формул I и II. б) Какие виды
формул II и III удобны для возрастающей прогрессии и какие
для убывающей?
4) Указать, сколько величин необходимо и достаточно для
определения геометрической прогрессии и почему.
799. В геометрической прогрессии:
Дано
Найти
Дано
Найти
1)
М, Мц, $п
щ, q.
6)
и,, п, s„
Я, м„.
2)
Но п.
7)
п„ п, ип
Я, V
.3)
Я, п, Sn
Щ, н„
8)
Ml, Яу &п
п, ип.
4)
Я, п, ип
Ull &П'
9)
щ, q, ип
п, s„.
5)
7! > ^ ij 'М’п
Я, п.
10)
Щ, q, п
Мп, ^п-
Задачи с 2) по 5) и с 7) по 10) приводятся к простым алге¬
браическим или показательным уравнениям; напротив, задачи
1) и 6) — к уравнениям высших степеней, в общем случае эле¬
ментарными средствами не разрешимым. Почему достаточно знать,
что задача 1 приводится к уравнению высшей степени, чтобы
возможно было то же “сказать и относительно задачи 6?
(Обратить внимание на одинаковую роль иг и обратимость
Ряда.)
— 86 —
II р н я е р ы.
800. В следующих задачах, принимая три величины данными,
определить две остальные; проверить составленную таблицу:
1
И|
Q
п
"п
5.
1)
2
3
15
9 565 938
14 348906
2)
4
5
9
1 562 500
1 953 124
3)
1
7
9
5 764 801
6 725 601
4)
4
6
11
241 867 704
290237644
5)
1
2
19
262 144
174 763
6)
1
2
20
— 524 288
— 349 525
7)
32
2—
2
6
3 125
5 187
84
.312
2-
2
10
1 953 125
3 254 861
9)
1
9
3
10
2 187
3 280*
10)
11
61
2
13
64-
1271
И)
1024
4
13
132 860\
4
j 396 5324
12)
25 6ПО
0,5
13
6,25'
51193,75
801а. 1) Сумма 1-го и 2-го членов геометрической прогрессии
равна 3, а сумма 3-го и 4-го ее членов равна 12. Найти первый
член и знаменатель.
2) Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 7, а сумма 3-го, 4-го и 5-го членов равна 28. Найти про¬
грессию.
— 87 —
801 а. 3) Сумма 1-го и 2-го членов геометрической прогрессии
равна 4, а сумма 1-го и 4-го равна 28. Найти первый член и зна¬
менатель прогрессии.
4) Сумма 2-го и 3-го членов геометрической прогрессии
равна 12, а произведение 1-го члена на 2-ой равно 8. Найти
прогрессию.
5) Разность между вторым и первым членами геометриче¬
ской прогрессии равна 2, а разность между третьим и вторым
равна 4. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
6) Разность первого и второго членов геометрической про¬
грессии равна 54, а разность между первым и четвертым членами
равна 72. Написать прогрессию.
801 б. 1) В геометрической прогрессии, имеющей 20 членов,
сумма членов, стоящих на четных местах, равна а, сумма же чле¬
нов, стоящих на нечетных местах, равна Ъ. Определить первый
член и знаменатель прогрессии.
2) В геометрической прогрессии, имеющей 40 членов, сумма
первых 20 членов равна а, сумма последних 20 равна Ъ. Опре¬
делить первый член и знаменатель прогрессии.
3) В геометрической прогрессии, состоящей из 4 членов,
сумма крайних членов равна а, и сумма средних равна Ъ. Опре¬
делить первый член и знаменатель прогрессии.
4) В геометрической прогрессии, состоящей из трех членов,
сумма членов равна а, сумма их квадратов равна Ь. Определить
первый член и знаменатель прогрессии.
5) Решить предыдущую задачу для случая четырехчленной
прогрессии.
6) Поместить по одному члену между каждыми двумя чле¬
нами -ряда 1, 2, 4, 8 и т. д. так, чтобы вновь образовался гео¬
метрический ряд.
7) Поместить 6 средних геометрических между I и 7. Найти
знаменатель этого ряда.
8) Поместить 7 средних геометрических между а8 и Ь8.
II р и л о ж е н и я ]).
802. По свидетельству арабского писателя Асафада, Сисса-
нбн-Дохара, изобретатель шахматной доски просил выдать ему
в виде вознаграждения столько зерен пшеницы, сколько их по-
0 При решении этих задач удобнее всего'воспользоваться логарифмами.
— 88 — ■
лучится, если на первое поле шахматной доски положить*
одно зерно, па второе 2, на 3-е 4 и т. д., и на каждоеГ
последующее из всех 64 вдвое более, чем на предыдз'щее. I
Во сколько раз следует увеличить земную поверхность, чтобы
она могла дать необходимое количество хлеба, если принять
землю за шар радиуса 6 370000 метров, вся поверхность кото¬
рого представляет поле, дающее на гектар до 40 кг, а один
гектолитр содержит 1600 000 зерен (поверхность шара равна
4к2гг, где к = 3,14159...).
803. Одно лицо, желавшее сделать сбор с благотворительной
целью, придумало для этого такой способ (так наз. «лавину»):
оно разослало двадцати своим знакомым письма следующего со¬
держания. «№ 1, Лицо, которое получит это письмо, просят в те¬
чение суток разослать копию его 20 своим знакомым, пометив ее
№ 2, с тем, чтобы каждый, получивший № 2, сделал то же, т.-е.
в течение суток копию этого № разослал также 20 своим знако¬
мым, пометив ее № 3, и т. д. до № 20. Все лица, которые полу¬
чат письма за № 20, должны послать тем, от кого они получили
эти письма, по 20 коп.; лица, получившие письма за № 19, по
получении денег с тех лиц, которым они посылали письма за
№ 20, прикладывают к собранной ими сумме по 20 коп. и пере¬
сылают всю сумму тому лицу, от которого они получили письма,
т.-е. № 18, и т. д.». Решить: 1) может ли быть осуществлен при¬
думанный сбор; 2) каково должно быть,- по меньшей мере, насе¬
ление земного шара, чтобы каждое лицо получило письмо только
по одному разу; 3) какую сумму дал бы придуманный сбор, если бы
он мог быть осуществлен?
804. Несколько лет тому назад одно «Депо часов» сделало
такую публикацию: «Всякий может купить золотые часы за 5 руб¬
лей! Для этого нужно купить в Депо за 5 рублей квитанцию
с 10 талонами на получение часов; как только купивший квитанцию
распродаст свои талоны, он передает полученные деньги в Депо
и получает часы; всякое лицо, купившее-талон, получает даром
квитанцию с 10 талонами, по распродаже которых получает часы,
и т. д.». Объяснить, почему указанная операция, которую при¬
думал владелец «Депо часов», была запрещена.
805. Над 1250 литрами 80-градусного спирта три раза выпол¬
няют следующую операцию: отливают половину жидкости и до¬
бавляют водой. Сколько литров чистого спирта останется после
последнего переливания?
— 89 —
£ 4. Бесконечные геометрические ряды.— Сумма бес¬
конечного геометрического ряда.
806. 1) Члены геометрического ряда представить графически
при помощи ступенчатой кривой, ширина и высота ступеней
которой соответственно равны (в определенном масштабе) зна¬
чениям членов ряда, т.-е.
Ав1=°»
А2Ъ2 — А2Ъ\ = aq,
азвз = лзБ2 = п€->
АпВп — AnBn—i ~ айкг •
А*
At Д,
At. U
\ВЯ
aq*
aq-
д,
aq
aq
В.
Фиг. 24.
2) Показать, что точки Bv В2, В3,... Вп (фиг. 24) распола¬
гаются на одной прямой (прямая В), а точки Аг, А2, А3)... Ап —
на другой прямой (прямая А).
3) Составить уравнение прямой, проходящей через точки
-4ц А2, А3,... (прямой А), если начало координат поместить
в точке Aj, а ось х направить по А^В^, какой геометриче¬
ский смысл имеет в полученном уравнении знаменатель прогрес¬
сии q?
4) Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Bi, В2, В3,... (прямой В) относительно той же системы координат.
Чему равен угловой коэффициент этой прямой? Как расположатся
— 90 —
прямые А и В при: а) 2 — 1; б) 1; в) 1? В каждом случае
определить абсциссу точки пересечения прямых А и В.
806. 5) Спроектировать точки В2, Ва,... на продолжение А1Вг и
таким образом графически представить сумму членов ряда.
6) В каком из трех указанных в задаче случаев абсцисса
точки пересечения прямых А и В представляет предел суммы
членов прогрессии при безграничном возрастании числа их?
7) Пользуясь чертежом (фиг. 24), пояснить, почему такой ряд
называется сходящимся?
8) На основании результатов задач 6) и 7) определить, какой
ряд называется сходящимся?
9) На основании [результатов указанных задач решить вопрос,
при каких значениях знаменателя q прогрессия с неограниченно
возрастающим числом членов будет представлять ряд сходящийся
и при каких значениях «^расходящийся.
807. На основании результатов»* предыдущих задач показать,
что предел суммы {членов убывающей геометрической прогрессии
при неограниченном возрастании их числа определяется формулой:
1) Выразить м^как функцию S тл q.
2) Выразить q, как функцию- иг и*£.
3) Сколько величин необходимо и достаточно [для полного
определения бесконечной убывающей геометрической прогрессии?
Почему?
П р и м е р м.
808. Вычислить сумму членов бесконечного геометрического
ряда:
1+т+(т)’+(т)'+-
809. В следующих задачах, рассматривая две из величин
«„ q, S, как данные, определить третью:
2
3
4
о
6 ’
7
8
9
10
и,
i
1
5
14
12
117
10
0,88
0,94
1,32
3
i
3
■
'3
Л
Ь
0,2
— 0,3
0,96
— 0,76
0,53
-0,1
14
3
7i
10
15
90
250
0,5
2
1,2
— 91 —
810. 1) Определить первый член и знаменатель бесконечно
убывающей геометрической прогрессии, сумма которой имеет зна¬
чение —Ц-i и указать границу, которой не должно переходить
у — ^
значение у, чтобы эта дробь представляла предел суммы членов
убывающей геометрической прогрессии.
2) Решить тот же вопрос относительно дробей:
а) — б) -т-4—; в) .
7 а + 1у' ’ 4 + у ’ 3 — ly
811. 1) Составить беспредельно убывающую прогрессию, сумма
членов которой равна 1, и каждый член которой равен пределу
суммы членов, за ним следующих. Чему равны ее первый член
а знаменатель?
2) Составить бесконечный геометрический ряд, в котором
иь = yi а каждый член равен пределу суммы членов, за ним сле¬
дующих. Чему равна сумма этой прогрессии?
3) Составить прогрессию, первый член которой равен и.7,
а каждый член в 9 раз больше предела суммы членов, за ним
следующих. Чему равна сумма этой прогрессии?
4) Составить бесконечный ряд, первый член которого
й,У, а каждый член в 9 раз больше предела суммы чле¬
нов, за ним следующих. Чему равна сумма членов этой про¬
грессии?
812. I) Из произвольной точки одной из двух взаимно пер¬
пендикулярных прямых (осей) проведена прямая под углом к этой
оси, меньшим 45°; в другом конце отрезка, полученного от пере¬
сечения -прямой с другой осью, восставлен к нему перпенди¬
куляр; в точке пересечения последнего с первой осью к нему
восставлен новый перпендикуляр и т. д. Длина первого получен¬
ного отрезка = о; отношение второго отрезка к первому = q.
Будет .ли неограниченно возрастать длина получаемой при указан¬
ном построении спирали, если ее неограниченно продолжать, или
нет? Можно ли найти предел, к которому стремится эта длина?
Чему он равен?
2) На одной из сторон острого угла от вершины его отложен
°трезок а. Из конца этого отрезка опущен на другую сторону
перпендикуляр х, который отсекает от нее отрезок Ь. Из конца
°тРезка Ъ опущен на отрезок а перпендикуляр хл, из основания
п
— 92 —
этого перпендикуляра новый перпендикуляр х2 на отрезок Ь и т. д.
Найти предел длины ломаной, образованной перпендикулярами,
если неограниченно продолжать их построение.
812. 3) Решить предыдущую задачу, зная лишь длину первого
перпендикуляра с и длину второго перпендикуляра сг.
4) Дан равносторонний треугольник. Из высот этого треуголь¬
ника образован новый равносторонний треугольник; из высот
второго треугольника образован снова равносторонний треуголь¬
ник и т. д. Определить сумму площадей всех полученных тре¬
угольников при неограниченном продолжении построения.
5) В круг радиуса г вписан квадрат, в квадрат вписан круг,
в круг — квадрат и т. д. Вычислить сумму (предел) площадей всех
кругов, не считая первого, и сумму площадей всех квадратов.
6) В куб, ребро которого равно а, вписан шар, в шар впи¬
сан куб, в куб снова шар и т. д. Определить: 1) сумму объ¬
емов всех кубов; 2) сумму объемов всех шаров; 3) как изменится
результат 1) и 2), если каждый куб заменить цилиндром, осевое
сечение которого есть квадрат, а для первого цилиндра к= 2г = а?
Софизм философа Зенона Елейского (ок. 450 г. до нашей эры):
813. Ахиллес преследует черепаху со скоростью, в 10 раз
большей скорости черепахи. Когда Ахиллес достигнет того места,
где черепаха была, когда он ее увидел, последняя продвинется
на ^ первоначального расстояния между ними; когда Ахиллес
1
достигнет и этого места, черепаха продвинется на первона*
чального расстояния и т. д.; таким образом, Ахиллес должен сна-1
чала достигнуть того места, которое черепаха уже покинула, и
никогда черепахи не догонит. Указать ошибочность такого раем
суждения и определить, где Ахиллес догонит черепаху, если перво¬
начальное расстояние между ними равно а.
Задачи из арифметики.
814. 1) Записать в более коротком виде сумму прогрессив
(не вычисляя ее):
а) 1+0,1 + 0,01+0,001+...
б) 0,7 + 0,07 + 0,007 + 0,0007+...
в) 0,29 + 0,0029 + 0,000029+...
— 93 —
814. 2) Чистую периодическую десятичную дробь 1,2727...
представить как сумму членов бесконечно убывающего геометри¬
ческого ряда. Определить первый член и знаменатель.
3) Решить ту же задачу для следующих дробей:
а) 0,438438...; б) 0,06120612...; в| 0,428571428571...
4) Воспользоваться указанным в задачах 2) и 3) приемом для
обращения чистой периодической дроби в обыкновенную и затем
вывести отсюда общее правило для такого преобразования.
5) Смешанную периодическую дробь 0,3575757... разбить
на две части так, чтобы одна из частей представляла бесконечно
убывающую геометрическую прогрессию. Определить первый член
и знаменатель этой прогрессии.
6) Поступить таким же образом с дробью 0,8174242...
7) Приложить указанный выше прием к преобразованию любой
смешанной периодической дроби в обыкновенную.
8) Вывести общее правило для преобразования смешанной
периодической дроби в простую.
9) Рассматривая знаменатели обыкновенных дробей: 1) обра¬
щающихся в конечную десятичную дробь; 2) в чистую периоди¬
ческую; 3) в смешанную периодическую, указать условия, от ко¬
торых зависит обращение обыкновенной дроби в тот или другой
вид десятичной.
10) В какой системе счисления прогрессия
1+Т+Т+*+й+~
может-быть записана в виде 1,11111....?
11) В какой системе счисления периодическая дробь 0,22222
изображает прогрессию
Геометрической прогрессией называется числовой ряд, каждый после¬
дующий член которого равен произведению предшествующего ему члена
на некоторое определенное число q, называемое знаменателем прогрессии.
Если абсолютное значение q больше 1, то прогрессия называется воз¬
растающей, если оно меньше 1, то прогрессия называется убывающей,
если q = 1, то все члены ряда равны одному и тому же числу. Если че¬
рез ик обозначить А>ый член геометрической прогрессии, через q знаме¬
натель, а через Sn сумму п ее членов, то имеют место следующие соот¬
ношения:
'« q — 1
u„q — ut
Mi —
1 — q
Во всякой убывающей геометрической прогрессии всегда можно взять
такое число членов, чтобы последний член прогрессии был меньше любого
наперед заданного числа.
Если в числовом ряде неограниченно увеличивать число его членов,
то ряд называется бесконечным. Ряд называется сходящимся, если суще¬
ствует число, к которому сумма п членов зтого ряда приближается так, что
в ряду всегда можно взять столько членов, чтобы разность между этим
числом и их суммой (а также суммой любого большого числа членов) была
по абсолютному значению меньше накого угодно наперед заданного числа.
Сумма п членов ряда представляет переменную величину, зави¬
сящую от числа членов.
Число, к которому неограниченно приближается сумма п членов (при
неограниченном возрастании п) сходящегося ряда, называется суммон
бесконечного ряда.
Геометрическая убывающая прогрессия при неограниченном возрастании
числа ее членов представляет сходящийся ряд. Сумма этого ряда равна
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ.
ЛОГАРИФМЫ.
§ 1. Определение етснени е нулевым п отрицатель¬
ным показателем.
815. Проверить равенства ап:ат = ап-т (1;
(2)
т
5
5
5
о
IS
п
3
4
5
6
7
Какой смысл следует придать выражению а0, если мы желаем,
чтобы формула (1) имела место при т = п? Какой смысл следует
придать выражению а-*, если мы желаем, чтобы формула (1)
имела место при и <1 т?
816. 1) Выяснить, какие из законов действия над степенями
останутся в силе при м = 0, если выражению а0 (аф 0) придать
смысл: «°=1.
— 96 —
816. 2) При каком значении а а0 не имеет смысла и после
установления определения смысла а0?
3) Проверить, какие из перечисленных законов останутся
в силе, если выражению агк придать смысл:
при
«г
5
5
— 2
— 9
— 7
V
— V
-V
0
— 2
— V
я
-3
— 7
4
5
-2
— д
д
— 5
— 4
0
0
j
Р> о
5 > О
817. Вычислить:
1) 9-3-г;
5) 92 ■ З-5;
ч ({)-•
13) Fi
17) (0,5)-*;
2) 8-2-2;
6) 253-54;
1°)5.(!)-*;
В) pi
18) (1,5)-*;
3) 16-4-3;
7) 96-2«;
“>8'(тГ*
“) Pi!
19) (-0,1)"*; 20) 9 • (4,5)-
4) (-1)-*;
8) (- I)-3;
12) ( 10)—2;
16) (0,2)-»;
818. Освободить следующие выражения от нулевых и отри¬
цательных показателей:
1) а°х°; 2) За0; 3) 4(а - Ь)°;
5) 5°(х — ?/); 6) 7) (««)-
9) (о«)"; 10) И) (ip
13>(йтгГ; M)1-; I0)(i)"‘;
4) («+S)->;
8) (..")";
12) (f)"i
■ID (IP
819. Умножение и деление:
1) а5-а-з; 2) 6_*-й—7; 8) с7.с-8; 4) рьр~ъ\
5) хт ■ аТ'"; 6) ут-у~3; 7) 8) а-131 а4*;
9) 2,5a-7i-4a-2ft-3; Ю) 4,5а-2&~з.0,4а5й8;
in ь_‘- 194 " 4Ь"-з.
“) b=i> 7Й15 13) 140
15)
18)
54**у-‘л_* _
42ж-1^_8г-*’
«-*—Ь~*
в-2 + Ь-»;
16)
24ж-з^з--г
к-* —
У1
ж-я-t-у-
Ъ~«’
171 21a;~*ff**~3.
' 35a“-a^-|i
р~6—д~6
Р_3 + 4Г3
20)
— 97 —
820. Возведение в степень:
1) (в-*)"»;
4) (_в*)-б;
7) С—а3)-2";
2) (а-3)2;
5) (-а3)-*;
8) (— а2")-3;
3) (а-33)3;
6) (— а~вУ~2;
9) (—а-2")-3;
Смешанные задачи.
821. Следующие выражения записать без знаменателей, поль¬
зуясь степенями с отрицательными показателями:
822. В следующих выражениях заменить п через —п и
упростить:
Выражение а° само по себе не имеет смысла. Но, чтобы равен¬
ство ап:ат = а*~т имело место при т = п, введено определе¬
ние: «° = 1 (а=^ 0).
Выражение 0° и после «введения указанного определения остается не
имеющим смысла. _
Не имеет смысла также выражение Уа, так как нулевая степень вся¬
кого числа равна 1.
Выражение а к само по себе не имеет смысла. Но, чтобы равен¬
ство ап:ат — ап~т имело место и при т^>п, введено определе¬
ние: «-*= —.
При установленных определениях аи и а~к оказываются справедливыми
все установленные ранее для степени с натуральными показателями законы
действий над степенями, если подразумевать под показателями любые целые
относительные числа.
1) яг»;
п — 1
аи
Сокращен, сборник алгебр, упражн. Ч. II.
7
— 98 —
§ 2. Определение степени с дробным показателем.
823. Проверить равенство:
™/7i" = aVn
при
1
2
3
4
5 .
6
т
10
5
2
2
3
7
п
20
15
—6
5
2
5
824. Какой смысл следует придать выражению а™, чтобы pa-
П_
венство \Уап — ат имело место при п не кратном яг?
825. Преобразовать следующие радикалы в количества с дроб¬
ными показателями:
4) х2
1) 2) У а: 3)1 "х;
5) 6) (*а»; 7) 8)
9) гУ х-\-у\ №) 3/я — у\ П) а2 -\-Ъ2\ 12) У (a -J- Ъу2.
826. Записать следующие выражения в виде радикалов:
1) а2;
П
6) а-2;
2) « ;
7) а“2;
11) ж
0,5
12) а:
—0,3
з )6‘;
8) Г3;
1
13) (а2 — Ъ2)2;
5) в":
9) с 2; 10) х ’ :
14) х
CU
“67-2
827. Проверить, все ли законы действий над степенями со¬
храняют силу, если под яг и и разуметь любые положительные
дробные числа:
(п\т_ аГ
(«")" = "тп\
ат:«"
-а”
(« ■ (>)т = ат ■ Ьт;
г/"
■828. Выяснить, вое ли законы извлечения корня
?аЪ= У а ■ УЪ:
" « Г а
\
п / “ тпг
J У а = /я
сохранят силу, если под т и п разуметь любые положительные
дроби.
829. Проверить, какие из законов, перечисленных в за¬
даче 828, сохранят силу, если под тип разуметь любые рацио¬
нальные числа.
830. Вычислить выражения:
3 2 9 1 5
1) 16*; 2) 27^; 3) 25*"*; 4) 83; 5) 123 ;
з А А А А
6)12*; 7) 12~ 3; 8) 12~ 2; 9)64~6; 10)(—64)6.
831. Упростить выражения:
11 _2_ _1 5^ i 3
i \ 2 4 о v 3 6 п\ 6 2 «\ 8 8
1) а -а ; 2) х •х ; 3) х -х ; 4) а -a i ;
3 _Б 1 _± _1 |2_ ^ ^
Ъ) х5 -х; 6) а-а 3; 7) х2 -х 4 -х28) я3 -я1 -z 6 ;
2 i. 1 А ь/~пГ- 13 —
Л-У 7 Т —2 „5 1 ’ in ВI Х2\ «o'. О.1 0.5 -0Л
Щ а -а а ; 10) а ■' 11) х * ’ 12) х -х -х ;
A A A. A. A JL р*+9*
13) ар -а9 ; 14) а9 .ар .а2; 15) х 9 .х р -х ря ;
1 ц а А А А
16) 125 2 -25~4; 17) 24 • 161в; 18) х2-\П;
1 А
19) аГ2:УН 20) а3 : Уа?; 21) х1Л:х~л'*;
3 / £ 5 / ^_В_ / _1
22) \ х’.х 3 23) у х2'.х 5; 24) ^ х^х\хъ;
/ г - - - / - _ _А
25) | «1 а'а8; 26) ) х^ х\ хУх-х 16;
3/——з7^ - - - - -
27) У а! а] а-а27; 28) 164 :83; 29) 273 :92 ;
3 2 5 3
»3
30) 12э3 :2э 31)(0,008)3:(0,04) 2; 32) а5 :а 3 -а15;
Выражение ah при п не кратной к само по себе не имеет смысла. I
п
Но, чтобы равенство = ак имело место при п не кратном к, вве-
2L -
дено определение ан—^га.
При установленном определении извлечение корня всегда может быть
заменено возведением в степень.
1
При установленном определении ак (а также и п~к) оказываются
справедливыми две установленные ранее для степеней с натуральными показа¬
телями законы действий над степенями и в том случае, если под показа¬
телями разуметь любые рациональные числа.
§ 3. Показательная и логарифмическая функции.
Показательная функция.
832. Представить графически функцию у = 2*, давая показа¬
телю х значения: 1) целые и положительные, 2) целые и отри-
13 13 5
цательные, 3) ±у; ±у и т. д., 4) х = ±—, if. if и т-Д-
(вычисляя корни с точностью до 0,01).
13 5
Вычислить значения функции для ж = , ±-g-, ig и т- д-
Какой числовой ряд образуют абсциссы построенных точек?
Какой ряд образуют их ординаты?
833. Представить, как и в задаче, графически следующие
функции:
1) 2/ =3^; 2) = 5*; 3)у=Ю"; 4) =
834. 1) Описать изменение показательной функции у=о*,
если а есть произвольное положительное число, большее 1. j
I
— 101 —
834. 2) Какой вид принимает эта показательная функция,
если а = 1?
835. Какой вид имеет графика показательной функции, если
а есть положительное число < 1, например: у, у,
Понятое логарифма.
у=а*; х = 1диу.
836. Что называется логарифмом числа у при основании а?
Переписать следующие показательные равенства в виде лога¬
рифмических:
1) 52 = 25; 2) 44 = 256; 3) 26 = 32; 4) З3 = 27;
5) 73 = 343; 6) 53 = 125; 7) 37 = 2187; 8) 8® = 512.
837. Переписать следующие логарифмические равенства в виде
показательных:
1) lg1010 = 1; 2)lga3=l; 3) lg749 = 2; 4) lgs125 = 3;
5) lg,16 = 4; 6) lg416 = 2; 7) lg7343 = 3; 8) lg49343 = 1,5.
838. Определить при основании 2 логарифмы следующих
чисел: 1) 2; 2) 4; 3) 64; 4) 16; 5) 128; 6) 1; 7) 1 8) 9) 1
839. Определить при основании 3 логарифмы следующих
чисел: 1) 9; 2) 81; 3) 3; 4) 1; 5) 243; 6) 7)
840. Определить бригговы логарифмы (основание = 10) сле¬
дующих чисел: 1) 10; 2) 100; 3) 1000; 4) 1000000; 5) 1; 6) 0,1;
7) 0,001; 8) 0,000001.
841. Определить при основании 2 логарифмы следующих
чисел: 1) /2; 2) /2; 3) /2; 4) УЩ 5) У 2*; 6) /4; 7) УК
842. Определить ’при основании 3 логарифмы следующих
чисел: 1) УЗ-, 2) УЗ2-, 3) /3; 4) /27; 5) /9; 6) /27. -
843. Определить бригговы логарифмы следующих чисел: 1) /10;
•2) /10; 3) /Тб1; 4) /Тб; 5) /ТОО; 6) /ТббО.
844. Определить при основании а (а положительное число ф 1)
логарифмы следующих чисел: 1) а2; 2) —; 3) 1; 4) а"; 5) ]/а;
«) Ущ 7) В S) 9) -Ц-
“ I/ ат
845. В следующих уравнениях найти значение х на основания
определения логарифма:
1) х — lg20,25; 2) a; = lg464; 3) x = lg864;
4) х = lg1664; 5) ar = Igs27; 6) a; = lg50,04;
7) s = lg5125; 8) a;=lg20,125; - 9) a; = lg49343;
10) lg2a: = 3; 11) lg5a: = 2; 12) lg2ar=5;
13) Ig4a; = 4; 14) Ig5a; = —4; 15) lg4a:r= —5;
16)lg9*=l|. 17) lg8a:=|. 18) lg27x = — 1 -i
19) lgi4 = 2; 20) lg*16 = 4; 21) Ig*343 = 3;
22) lg„1024=10; 23) lg*2192 = 3; 24) lg*l 728 = 3;
25) lg*t 0 = - 1; 26) lg,2 = -± 27) lg*9= -§ _
846. Составить ряд чисел, логарифмы которых образуют ряд
целых чисел, если основанием системы является: 1) число 2;
2) число 3; 3) число 10 (бригговы логарифмы).
Логарифмическая функция.
847. 1) Построить графику функции y = lg2x на том же чер¬
теже, где уже построена графика функпии у = 2*. Как графина I
логарифмической функции может быть получена иг графики по- |
казательной функции при том же основании?
Построить таким же образом графику функции 4/ = lg3a\
2) Построить графику функции 2/ = ]gl0a;, приняв вертикалы- *
ный масштаб (по оси у) в 10 раз крупнее горизонтального (по ■
оси х). Для построения по точкам этой графики воспользо¬
ваться логарифмами чисел 10®; 108;... 108 определяемых последо¬
вательным извлечением квадратных корней.
Какими функциями являются по отношению друг к другу
функции показательная и логарифмическая?
3) При помощи построенной графики определить (по чер¬
тежу) lg102, 3, 4, 5,... 9.
4) Описать вид кривой y = lgax при а = 2, 3, 10,...
5) Какая точка является общей для всех логарифмических
кривых?
— 103 —
О) Выяснить, на какое число отличаются друг от друга
бригговы логарифмы чисел: lgп, lglOn, lglOOw, lglOOOw,... lg^ ,
i Л- l n
*-100’ g1000‘
7) Составить ряд чисел:
и, 10м, 100и и т. д.
Какой ряд образуют самые числа? Какой ряд образуют их
логарифмы?
Понятие об иррациональном показателе (логарифме). Элементар¬
ный прием вычисления бригговых логарифмов.
848. 1) Составить ряд степеней числа 2 с показателями:
3, о, 10, 20, 40. Между какими степенями числа 10 лежит 25?
На основании составленных для 25 неравенств определить, между
какими степенями 10 лежит число 2. ч
2) Между какими степенями числа 10 лежит 210? На основа¬
нии написанного неравенства для 210 определить, между какими
степенями 10 находится число 2. Существует ли степень 10с ра¬
циональным показателем, которая бы равнялась 2? Можно ли
вычислить логарифм числа 2 с любой степенью точности? Что
для этого следует сделать? Какое число представляет lgio2?s
849. 1) Составить таблицу чисел, логарифмы которых
равныч1, у, -j-, Первое число равно 10. Как определить
второе число, затем третье число? Проверить следующую таблицу,
где в левом столбце помещены числа, а в правом — соответствую¬
щие ий трехзначные логарифмы:
N
L
N
L
10,000
1,000
1,037
0,015б
3,162
0,500
1,018
0,008
1,178
0,250
1,009
0,004
1,3335
0,125
1,005
0,002
1,155
0,0625
1,002
0,001
1,075
0,031
1,000в
0,0005
2) Число 6 разложить на множители, встречающиеся в левом
столбце нашей таблицы. (Указание: наибольший из встречаю-
'II
t
щихся сомножителей есть 3,162; 6:3,162 = 1,898; отсюда
6 = 3,162-1,898. Наибольший сомножитель числа 1,898 есть 1,77S;
теперь 1,898=1,778-1,068. Следовательно, 6 = 3,162-1,778-1,068
и т. д.).
Функция у = ах называется показательной функцией («> О
а=£= 1).
Число ас, являющееся показателем степени при основании а, называется Я
логарифмом числа у при основании а и обозначается ос = *Ojf-
Логарифмом числа при данном основании называется показатель той
степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это числе.
Функция у = 1дах является функцией, обратной показательной функ¬
ции у — ах.
Согласно первоначально установленному определению степени, как про¬
изведения равных сомножителей, ас может принимать только целые число¬
вые значения.
Благодаря установленному определению чисел с отрицательными и дроб¬
ными показателями, функция у = ах оказывается определенной для любого
рационального значения ас.
При рациональном а степени а с целым (положительным и отрицатель¬
ным) показателем (т.-е. числа, имеющие логарифмами целые числа) суть
числа рациональные.
При рациональном а числа, которым соответствуют дробные показа¬
тели, оказываются вообще числами иррациональными.
Если при рациональном а рациональное число у не имеет логарифмом
целого числа, то око не может иметь и дробного логарифма.
Чтобы иметь возможность рассматривать функцию у = ах при любых
значениях ас, рациональных и иррациональных (при непрерывном
изменении ас), а также и для того, чтобы иметь возможность рассма
тривать функцию у = 1уиос при любом (главным образом, рациональ¬
ном) значении ас,, необходимо установить определение степени с ирра¬
циональным показателем.
Если оказывается невозможным решить в рациональных числах показа¬
тельное уравнение А = ах, то всегда возможно подыскать такие два числа
и+1
^ п — итп лк / Л //
(с произвольным знаменателем к) ~ и п что ак<^А<^а к (а > О):
иррациональное число, определяемое значениями ~ и ■” ^ 1 (при любых зна-
*С К
чениях к), и принимается за значение показателя ос в уравнении А = ах
(логарифма числа А при основании а). -
— 105 —
Свойства показательной п логарифмической функции.
«/*>-0 при любом действительном значении ж.
При п Ф 1:
ах при ж = 0 равно 1 при всяком значении а\
ах при .г = 1 равно м.
При ft > 1:
«*>1 при йс>0; 1 при
ах при неограниченно Еозргстающих положительных значениях ос не¬
ограниченно возрастает [г*00 = оо].
ах, при неограниченно возрастающих по абсолютной величине отрица¬
тельных значениях ж, неограниченно убывает [гг 03 = 0].
Логарифм отрицательного числа не межет быть выражен действитель¬
ным числом.
При основании системы г*>1 логарифмы чисел, ббльших единицы, по¬
ложительны, меньших единицы отрицательны.
Логарифм единицы = 0. Логарифм основания = 1.
При неограниченном возрастании числа, логарифм его неограниченно воз¬
растает [lg оо = оо].
При неограниченном убывании числа логарифм его принимает отрица¬
тельные значения, неограниченно возрастающие по абсолютной величине
[lgO = — оо].
§ 4. (Преобразование выражений, содержащих лога¬
рифмы.
850. Пользуясь тождествами вида: А = а"“Л, В = а°"Б, до¬
казать справедливость следующих законов преобразования лога¬
рифмов:
lg(-4 + В) не может быть выражен через lg А й lg В.
ig А ■ В = lg А + lg В; lg ^ = lg А — lg В;
lg Ап = п lg A; lg у А = ^ lg А.
851. 1) Каким действием какой ступени заменяется при пере¬
ходе от действий над числами к действиям над их логарифмами:
а) умножение, б) деление, в) возведение в степень, г) извлечение
корня?
— 106 —
851. 2) Объяснить смысл следующей таблицы, иллюстрирующей
законы логарифмирования:
Числа.
Возведение в степ.
Извлечение корня.
Логарифмы.
Сложение.
I вычитание.
852. Прологарифмировать следующие выражения:
1) lg abc; 2) lg mnpqrst\ 3) lg Зах(х-\-уУ,
db с:. i _ dbedi
4) Ц
о; lg
с(х + 7) ’
7) lg ой2;
10) lg (a2-62);
13) lg a |Tb\
16) lg Ьа2Ь ,3/с;
19) lg 31гс(7гс — 8)3;
21) lg 5a3 y/lc ^{x2-\-y2)2 ;
23) lg 9xy3 y/~ (a2 b2)c;
fgke ’
8) lg (a&)2;
11) lg (a2— 1);
14) lg yfab\
17) lg Ix foP-,
i„ («+ b)x
6) lg <c-d)y’
25) lg
db3
28) lg
cy/d ’
23a(x — y)3
26) lg
a2 \f x
bey*
9) lg аЪЧЧ*\
12) lg (я*-a*);
15) lg abc;
18) lg ay/x y¥xy3-y
20) lg 8a26(6c — d)2\
22) lg 5x yfa(8y —e);
24) lg "j/~ ж I ж V x x;
I x
27) lg
324 (ax — y)3
29) Ц
yV yV yyf у
о» у/ c{ax— Ъ)
(x-\- z) f ex—d ’
30) 1;
V xfxy/~x
"W/gD’i
36) lg
m V n j/n
n У^я» я |/»»
ni (t /”ex3
34)lgbV -d*;
i
оЕч i « — b 3 f cx— d
35) lg jzraV
; 37) i
° (a + 6*)7 ’
38) lg
afc— я
— 107 —
852. 39) lg
J al b a j/ b
2
41) lg (
ax — Ъ \ з _
;У3; 42) lg (i/^« • j/b — Уьуу.
X \/y — z ' ’
853. Преобразовать следующие суммы логарифмов в логарифмы
произведений и частных:
1) lg a + lgi — lg с;
2) lg a —lg 6-fig c — lg d;
3) lg a —(lg 6-f lg c)+lg d;
4) 31g a-f 2 lg 6 — 4 lg c;
5) у ^ж —у lg2,-f llg*;
6) 21ga —у lg&-fy ^ж—3Ig2/;
7) 71g(a-f 6)—у lg(a — 6)-(- *- lg ж — 4 lg y\
8) у lg (аж —6)—у lg (Cx — d)-\-~ lg (w-и);
9) |lg (a2 + 6’)-l[lg(a + 6)-fIg(a-6)];
10) 2 lg (ж — у) — i- lg (x*-Xy-\-y*)— У lg (ж-f 2/);
§ 5. Употребление логарифмических таблиц Бриггса..
854. Зная, что четырехзначный lg 2 = 0,3010, написать лога¬
рифмы чисел:
Объяснить, почему характеристика lg 2 равна 0.
855. Зная, что lg 7,9 = 0,8976, написать логарифмы чисел:
1) 79; 2) 7900; - 3) 790000; 4) 0,79; 5) 0,0079
1) 20; 2) 200; 3) 2000; 4) 2000000;
5) 0,2; 6) 0,02; 7) 0,0002; 8) 0,000002.
— 108 —
В каждом случае указать высшие разрядные единицы, входя
Ещие в состав логарифмируемого числа; как определяется харак
теристика логарифма в зависимости от того, какие высшие раз¬
рядные единицы входят в состав логарифмируемого числа?
856. Найти четырехзначные логарифмы следующих чисел
(см. таблицы, стр. 122, 123):
I
1) 28;
6) 2,8;
11) 0,0056;
16) 243;
21) 7,86;
2) 3,5;
7) 3500;
12) 9,6;
17) 443:
22) 10,1;
3) 50;
8) 96;
13) 44000;
18) 49600;
23) 8,94;
4) 5;
9) 100;
14) 9900;
19) 0,368;
24) 0,648;
5) 2;
10) 260000:
15) 0,98:
20) 0,998;
25) 0,101.
857. Найти по логарифмам числа, если эти логарифмы встре¬
чаются непосредственно в таблицах:
1)
0,9031;
2)
0,7160;
СО
0,7482;
4)
0,8774;
5)
0,0086:
6)
1,7033;
7)
1,8567;
S)
9,3424;
9)
1,9122;
10)
3,8842;
11)
4,9330;
12)
0,9988;
13)
0,4771;
14)
1,8960;
15)
4,9614:
16)
2,0531;
17)
0,0043;
18)
6,6201;
19)
0,4116;
20)
2,7059.
858. lg 2 = 0,3010, lg 3 = 0,4771; на логарифмической кривой
отметить эти точки и соединить их прямой линией. 1) Опреде¬
лить построением и вычислением точки, в которых эта прямая
пересекает прямые х = 2,1; а; = 2,2 и т. д. до х = 2,9. 2) Соста¬
вить таблицы отклонения значений, полученных интерполяцией,
от значений (взятых из таблиц) lg 2,1; lg 2,2 и т. д. Где будет
наибольшее отклонение и где наименьшее?
859. Найти пятизначные логарифмы следующих чисел:
1) 248; 2) 101; 3) 20,8; 4) 1,44; 5) 0,996:
6) 4425; 7) 2135; 8) 2,165; 9) 0,4135; 10) 0,4136:
11) 41,38; 12) 4,558; 13) 0,4579; 14) 752,5; 15) 9524;
16) 28,88; 17) 0,4694; 18) 0,6887; 19) 2.6S3; 20) 0.042S7-
Сохранить в найденных логарифмах по четыре десятичных
знака (выбирая наиболее точное из двух приближенных значений).
Найти те же логарифмы по четырехзначным таблицам, поль¬
зуясь интерполяцией. Объяснить на основании рассмотре¬
ния таблиц, почему значения, полученные тем и другим способом,
должны совпадать (в крайнем случае разниться на единицу по¬
следнего знака).
— 109 —
860. Найти числа по соответствующим им пятизначным лога-
рифмам (если последние непосредственно встречаются в таблицах):
1) 1,97722;
2) 2,69425;
3) 0,93611;
4) 2,74819;.
5) 0,47770;
6) 1,56820;
7) 0,70027;
8) 0,99021;
9) 1,71003;
10) 1,73030;
И) 0,56820;
12) 3,43457;
13) 4,58636;
14) 4,70053;
15) 2,40088;
16) 2,56820;
17) 1,83020;
18) 0,75043;
19) 7,30081;
20) 3,19005.
861. Пользуясь таблицами и интерполяцией, отыскать лога¬
рифмы следующих чисел:
а) (по четырехзначным таблицам):
1) 2307;
6) 4175;
11) 357,6;
16) 0,03875;
20) 0,0001248;
3
2) 403Э; 3) 5751; 4) 8973; 5) 4987000;
7) 813700; 8) 6548; 9) 91380000; 10) 0,4596;
12) 47,28; 13) 5,831; 14) 0,7356; 15) 0,7326;
19) 0,0009246;
17) 0,08423;
21) 5б|
,5
24) 4-2-; 25) 3^ ;
28) 0,10484; 29) 2,0065;
б) (по пятизначным таблицам):
18) 0,09387;
22) 42Зу;
26) 124,55;
23) 215-J-
27) 100,08;.
30) 1,6996.
1) 53843;
5) 265780;
9/ 83638000;
13) 0,57654;
17> 0,38471;
21) 73б{;
25) 2,00088;
2) 74067;
6) 3805700;
10) 10101000;
14) 0,084375;
18) 0,075638;
99у А -
““0 32 >
26) 200,006;
3) S0 395;
7) 74183000;
И) 34,043;
15) 0,0043896;
19) 0,32689;
23)24;
27) 1006,08;
4) 76306;
8) 626260;
12) 3,7408;
16) 4,7385;
20) 47-|;
241 I9—•
' 64’
28) 300,684.
852. Найти: 1) четырехзначные логарифмы чисел:
а) 405; б) 405,6; в) 405,67; г) 405,678; д) 405,6785;.
2) пятизначные логарифмы тех же чисел. Сколько знаков доста¬
точно было сохранить в числе, увеличивая в случае необходи¬
мости на 1 последний удержанный знак [в примерах в, г, д], чтобы*
Получить четырехзначный (пятизначный) логарифм? Почему?
— 110 —
863. Найти четырехзначные и пятизначные логарифмы чисел:
а) 685; б) 685,3; в) 685,34; г) 685,348; д) 685,3484.
Какие десятичные знаки и в каких из данных примеров
не влияют на значение: а) четырехзначного, б) пятизначного ло¬
гарифма и поэтому могут быть отброшены (с соответственным уве¬
личением, в случае необходимости, последнего удержанного знака)?
864. Найти четырехзначные и пятизначные логарифмы чисел:
а) 12,42; б) 12,426; в) 12,4264; г) .12,42648; д) 12,426485.
Какие знаки и в каких из данных примеров не влияют на зна¬
чение: а) четырехзначного, б) пятизначного логарифма?
865. Сколько значащих цифр достаточно сохранить в числе
при определении его: 1) четырехзначного, 2) пятизначного лога¬
рифма, если табличная разность > 10 (единиц последнего деся¬
тичного знака)? 10? При какой первой значащей цифре числа
табличная разность приблизительно равна 10?
866. Найти логарифмы следующих чисел (удержав в них нуж¬
ное число десятичных знаков). [NB. Простые дроби должны быть
предварительно обращены в десятичные]:
1) 3,141592653....;
4) 43
3) 4;
2) 2,7182818284...;
1
5 ’ ' 24 !
7) 2,347 347...;
9) 0,389389...:
5)~f,
8) 0,303303...;
10) 335,888...
867. Найти числа, соответствующие логарифмам:
а) (по четырехзначным таблицам):
1) 0,9193;
6) 1,9017;
41) 2,0440;
16) 0,1462;
2) 0,6307
7) 0,1626
12) 1,1305
17) 0,1000
3) 0,2937;
8) 3,7080;
13) 3,3580;
18) Г,0537;
4) 0,S850;
9) 5,9000;
14) 4,5675;
19) 0,0180;
5) 0,6247;
10) 0,5000;
15) 0,3333;
20) 2,0007.
б) (по пятизначным таблицам):
1) 4,37875;
5) 0,28888;
9) 1,37605;
13) 3,75431;
17) 2,10000;'
2) 3,05867
6) 0,83705
10) 6,44444
14) 2,57093
18) 1,00100
3) 2,75306;
7) 2,85439;
11) 0,08375;
15) 0,33333;
19) 170010;
4) 1.65073;
8) 0,40765;
12) 0,95368:
16) 3,16667;
20) 2,00070.
— Ill —
За основание логарифмической функции обычно принимается число 10.
Значения логарифма, вычисленные при определенном основании для ряда
значений аргумента, образуют таблицу логарифмов.
Если за основание логарифмичесной функции принято число 10, то ло¬
гарифмы называются десятичными или Бригговыми (по имени Бриггса, впер¬
вые составившего вместе с Непером — изобретателем логарифмов — деся¬
тичные таблицы логарифмов).
Свойства десятичных логарифмов;
При умножении числа на 10* его логарифм увеличивается на к.
Логарифмы двух десятичных чисел, разнящихся тольно местом запятой
(записанных одинаиозыми значащими цифрами), имеют одинаковую дробную
часть (мантиссу).
Целая часть десятичного логарифма числа (характеристика) равна лога¬
рифму той разрядной единицы, которую означает первая значащая цифра
числа.
Применение логарифмических таблиц к вычислениям.
868. Вычислить при помощи четырехзначных или пятизнач¬
ных таблиц (или при помощи логарифмической линейки) значе¬
ния нижеследующих выражений. В каждом случае сохранить
в данных числах лишь нужное число значащих цифр. (Все ли
из указанных ниже задач могут быть решены при помощи кар¬
тонной логарифмической линейки?)
1) 948,8-0,04388;
3) 0,0003769-830,8;
#5) 276,568-0,037948;
7ч 2,3768.
. ' 0,87534’
‘ 73,5875 .
J 0,895347’
2) 3,410 ■ 0,008763;
4) 8,440 • 98,27;
6) 538,974 0,14839;
О, 34,785
} 3,8768 •
1fjs 3,78548
' 0,40382’
93,706 ’
10ч 17,539-0,87643.
' 49 9Q7 ’
42,397
736,894-0,09387 .
23,6053 ’
19,7508 ’
.р-ч шц.ц.та .
' 24,6893-8,4957’
754,098
■J ЭО|ОУи 1
' 0,76085-58,9673'
98,3907
17 . 839 - 0,75436
976 • 0,08754’
1 0,43687 • 47643 .
Q . а Гl7RFi ’
9,7685 • 8,0765 ’
1 пч 576 • 0,38954 • 37,807 .
4 Qoa . О . к,; 7.R/I ’
983 • 0,07549 • 56,754 ’
от 3754 - 45,786 • 0,78394 .
“ 1 Л С17Я . О Я.Ч7 . П ЯЛП7К »
4573 • 9,837 • 0,34075 ’
— 112
—
868.21) (1,3578)5;
22) (1,5097)®;
23) (1 4987)7;
24) (2,7359)4
*> (Г’
26) (i)s;
т-’
«о®'
404 /0,30854\6.
' VO,16687/ ’
з1> О1’
оол /0,75834.&]
> \0,47039/ »
S3) ( 8g)e:
34) (1 §)’;
35)(2«)*;
36> (>ш)' !
37) /9;
38) /9876;
39) /19;
40) /837; j
41) /ТБ;
42)1/8507;
43) /738;
44)/58076-
45) /1000;
46) /93,768;
47)/ТОО;
48) /876,39J
49) /0,764;
50) /0,078549; 51) /0,9876; j
52) /0,003879;
55) /0,2376;
53) /0,876;
56) /0,007934;
58)
/0,07365;
59) /0,008394
61)
/1
62)
3 Г 789
У 315
63)
65)
66)
/
67)
69)
l/ёз
|/ 97’
70)
3 / 973.
У 8745’
71)
73)
V~
У 9873’
74)
6 /“Г.
У 3769’
75)
91
17
54) /0,08395;
57) //837;
60) /0,01769;
; 64)
/
j/l
11’
197.
873’
V
19 .
89057’
»4]
3 /173
У 1708’
76) |/^98471’]
68)
72)
77) (0,74287337)1’2;
79) (0,6942832)’4;
81) 73,845 -/0,0970093;
83) 78,9466-//8574;
78) (0,6894191 )°-е;
80) (0,8602648)°’7;
82) 37,468-//887005;
84) 45,6372 -//6573;
85) ]/3’8057
0,59463 ’
йо, 9807 /0,7873 у>
4 2908 ' 1о,9175/ 5
85,39/45
ос-, / 8,376 .
' 0,5788264’
1 5,6047.
0,73058 ;
38075
91)
708.73
87)
9°) "83746
0,8948 /83_
6.0S95 ’
88)
УТа
0,6576708
г,5 .
/0,0857 \5
(0,0683 ) ’
— 113 —
3,8497 УШ)
868■ 93) 0,т4 =
95)
> 1—0,0625*’
' 4—1,25678 ’
до, /5-/5
> 1 — 1,23456* 1
nj% 0,80947|/10
' 0.23095 ’
1/^14,4444 — ^ 4,4444
1 — 0,18973* ’
96)
98)
(^5-1)(^5'+1)
1 — 0,03033* ’
) 1 — 0,35035* ‘
Логарифмические шкалы. Логарифмическая линейка.
869. Пользуясь масштабом, в 10 раз большим для оси у, чем для
оси х, построить логарифмическую кривую у =lgl0x и спроектиро¬
вать на ось у значения, соответствующие х, равному: 1) 1, 2 и т. д.
до 10, затем 2) 20, 30 и т. д. до 100. (Ввиду больших размеров
получаемого чертежа последнее (2) построение следует сделать
в меньшем масштабе.) 3) Отметить на кривой точки, соответствую¬
щие значениям х =1,5; 2,5 и т. д. Полученная таким образом
на оси у шкала называется логарифмической.
870. Отметить на логарифмической шкале: 1) точки, соответ¬
ствующие числам 2, 4, 8, 16, 32, 64: 2) 3, 9, 27, 81. Что можно
сказать относительно размеров интервалов?
871. На логарифмической шкале от ее начала отложен ряд
равных отрезков. Конец первого отрезка соответствует числу 1,1.
Написать ряд чисел, которые соответствуют построенным указан-
ным'образом точкам.
872. Построить логарифмическую шкалу, принимая для интер¬
вала от 1 до 2-х (т.-е. для lg 2) масштаб в 1 с.и. 1) Где при этом
расположатся точки 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024?
2) Отметить на глаз точки, соответствующие числам 100, 200, 300
' И т. д. до 1000.
873. 1) Построить логарифмическую шкалу, выбрав для интер¬
вала от 1 до 2 (т.-е. для логарифма 2) масштаб в 1 миллиметр.
2) Принимая 1024 с/э 1000, таким же образом продолжить шкалу
до 1000 ООО, до 10е, до 1012, до 1015.
874. Построить на одном и том же чертеже две равных лога¬
рифмических шкалы так, чтобы они располагались на двух па¬
раллельных прямых, имели одно и то же направление и чтобы
начало одной шкалы (т.-е. точка с пометкой 1) оказалось против
окращрп. сборник алгебр, упражн. Ч. II. 8
— 114 —
пометки 2 другой шкалы. Какие пометки второй шкалы ока¬
жутся против пометок 2, 3, 4, 5, 6...-, 7,5; 2,25 первой шкалы?
Как следует поместить начало первой шкалы, чтобы ее пометки
оказались против пометок другой шкалы, имеющих значения
в 3 раза бблыпие? в 4 раза большие? в 3 раза меньшие?
875. Как, имея две равных логарифмических шкалы, могущих
скользить одна по другой, можно производить умножение и деле¬
ние? Почему при перемножении чисел соответствующие числам
отрезки шкал складываются, а при делении вычитаются?
876. Построить на двух параллельных прямых в одном и том же
направлении две логарифмические шкалы так, чтобы начала их
оказались одно против другого, а масштаб на нижней из них был
I
щшт
0
2
3
i
4 Щ
ШИ
-ID
1
I
II
Г
|
|
4^
] |
= |
{{-
41
IRI
А
2
3
L
Гр
6
;
0
UD
"HiШ
1 2 3*5
)
2—fi
Фиг. 25.
вдвое крупнее масштаба верхней. Какие пометки верхней шкалы
окажутся против пометок 1, 2, 3, 4... нижней? Как при помощи
этих шкал производить возведение в степень? извлечение квадрат¬
ного корня?
877. Обыкновенная логарифмическая линейка (фиг. 25 и 26)
состоит из четырех логарифмических шкал: две из них помещены
на линейке, две на движке А, который может скользить в пазах
линейки; нижние шкалы построены в масштабе вдвое более круп¬
ном, чем верхние. Для удобства вычислений линейка имеет еще
подвижной указатель В.
877а. Объяснить на фиг. 27, как на нижней шкале при имею¬
щемся расположении движка А производится умножение на 2?
деление на 2? Как на верхней шкале производится умножение
на 4? деление на 4? Найти на чертеже результаты следующих
действий:
1) 1,5-2; 2) 3:2; 3) 1,4-2; 4) 3,4:2: 5) 2-4; 6) 2,5-4:
7) 2,4-4; 8) 8,4:4.
115 —
8776. Какие действия и над какими числами представлены
на фиг. 28 (верхняя шкала)? Указать числа, действия и результаты.
877в. Какие действия и над какими
числами представлены на фиг. 29? Как,
пользуясь указателем, производить на ло¬
гарифмической линейке возведение в квад¬
рат и извлечение квадратного корня?
877г. Произвести при помощи лога¬
рифмической линейки следующие вычис¬
ления:
1) 72;
4) 23г;
7) 12,32;
10) /И;
13) /3,5;
16) /26,9Г
19) 7,4-6,9
22) 13,2-17,5;
24) 425-316;
26) 1,31-1,62-3,84;
28) 16,2:3,1;
30) 8710:78;
32) 3,45:11,3;
34) 315:0,78;
36) 213’828
38)
4°) J
2) 152; -
5) 1,342;
8) 18,12;
11) /18; _
14) /17,4;
17) 2,3-4,5:
20) 5,3-0,75:
3) 172;
6) 7,862;
9) /5;
12) /85;
15) /65Д
18) 23-35;
21) 2,25-5,7;
23) 8,18-16,5;
25) 1,26-7,36-1,3:
27) 579-6,4-14.4:
29) 87,5:5,6;
31) 123:17,5;
33) 32,8:189;
■35) 22,5:813;
3,14-33а
314 ’
3.14-5,8-2'2.
6(5
14*
3,14 ’
37)
39)
41)
1,33
1 /
12’
1 .
f 17,3-2,45.
\ 3,14
я
В основу устройства логарифмической ли¬
нейки положены следующие соображения.
Пусть'выбран отрезок какой-либо длины, например в a с.и, за еди¬
ницу масштаба.
Составим теперь следующую таблицу:
9од10=1, а следовательно, в нашем масштабе изобразится отрезком
8*
Фиг. 59-
Ct'BH. WlOtHANM.
- По¬
длинен» в см; lg 9 = 0,9542, а следовательно, в^выбранном масштабе
изобразится отрезком длиною в а -0,9542 с.м;-1д 8 = 0,9030, и в нашем
масштабе получится отрезон п-0,9030 см и т д.'Таким образом получим
следующую таблицу:
N •
f.og
Длина отрезка, изображающая ло¬
гарифм в выбранной масштабе
10
1
а см
9
0.9542
а -0.9542 см
8
0.9030
«•0.9030 см
3
0,4771
« 0,4771 см
2
0.3010
« 0,3010 см
1
0
« 0 см
Возьмем произвольную прямую линию и от выбранного начала нанесем
стрежни, длины которых записаны в столбце 3-м. Пусть концы соответ¬
ствующих отрезнов будут А, В, С, D и т. д. Над нонцами отрезков
надпишем те числа, логарифмы которых изображают наждый из получен¬
ных -отрезков.
Тогда будем иметь следующую шкалу:
1 2 3 8 9 10
о | 1 !- —I 1
< а см >
F Е С В А
Изготовим точно такую же вторую шкалу. Поместим начало второй
Шкалы под отметной 2 первой шналы и посмотрим, накое число 1 -й шналы
придется над отметкой 3 второй шкалы. Оказывается, это число будет 6
Действительно, отрезок 02 первой шкалы есть lg 2, отрезон 03 второй
Шкалы есть lg 3: отрезок 06 первой шкалы есть сумма отрезнов 02
н 03. т.-е. равен lg 2 lg 3 или lg 6. Таким образом перемножение чисел
/
— 118 —
сводится н сложению отрезков на шкале. Очевидно, что деление чисел
сведется к вычитанию соответствующих отрезков.
Пусть у нас будет еще изготовлена шкала в масштабе, в 2 раза мень¬
шем, чем первая; тогда отрезку первой шкалы 02 будет соответствовать
отрезок 2.02 второй шкалы, но так как отрезок 02 на второй шкале
есть lg 2, то против деления 2 первой шкалы придется конец деления
2-ой шкалы, соответствующий 2 lg 2, т.-е. логарифм 22; следовательно,
пользуясь шкалой, устроенной таким образом, будем иметь возможность
вычислить 2-ые степени чисел. Очевидно, что шкала с масштабом, в 2 раза
большим, дает значения корней. Таким образом логарифмическая линейка
вполне обслуживается четырьмя шкалами.
§ 6. Смешанные задачи.
878. Вычислить:
1) У~2 при и = 2, 3, 4,..., 10; 2) V 3 при я = 2, 3‘,..., 10;
3) при п = 2, 3, 4,..., 10; 4) при я = 2, 3,..., 10.
879. На основании результатов предыдущей задачи выяснить,
как меняется значение |/" А с возрастанием показателя корня:
1) при А^> 1, 2) при Л<^1.
880. Вычислить:
1) J^o2— 62 при а) « = 6,369, 6 = 5,321; б) а = 0,8460, 6 = 0,6824;
2) |/при 1» = 0,471, 2 = 0,399;
3) при « = 273,86, 6 =194,38;
4) |/«2-|-62 при « = 3,768, 6 = 2,391;
5) (^«зТИр при а) о = 7,831, 6 = 4,392; б) о = 18,74, 6= 17.91;
6) i+^при а) о = 4,837, 6 = 5,704, с = 9,368;
б) а = 48,71, 6 = 91,72, с= 63,47;
у-
7) | 1— рпри а) 0 = 28,37, 6 = 39,83, с =41,50;
б) 0=173,5, 6 = 375,4, с = 280,2.
881. Корни квадратного уравнения ах- — 2bx-\-c = Q опреде¬
ляются по формуле:
* ^ = 7,
— 119 —
При вычислении значений корней следует сперва вычислить зна-
ас
чение а затем каждое пз слагаемых в выражении x1J2.
Найти корни уравнения при
1) а = 237,1, Ъ = 349,4, с = —193,2;
2) а = 41,74, Ъ = 53,83, с = 93,59;
3) а = 1,835, 6 = 7,494, с = 9,876.
Показательные п логарифмические уравнения.
882. Решить следующие уравнения:
1) ах=Ъ\ 2) у/а — тп\
3) ах, Ьтп = с; 4) а"-* = пЪх\
5) атх~>'= Ьпх~ч-, 6) а?х~2 . 62*-3 = cJir_5;
7) 10" = 3; 8) 100" = 0,005736;
7a) 3" = 769; 8a) 10" = 3250;
9)" 1000" = 0,093768; 10) 5" = 10;
11) 7" = 100; 12) 0;025229"=100Э;
13) 3,111" = 1,7497; 14) 2,506184"= 10;
15) 10r= 1,371310; 16) (1,04952*)1,05 = (1001 .°5)104952;
17) 104" = 5,7544; 1S) 5,188" = 88238;
19) 7,8886" = 9,92126; 20) 1428,57"= 0,0007.
#
883. 1) 7" = 79; 2) ах = а~ъ; 3) 6*-7 = 63;
4) а3113 = а12; 5) 113*-2 = 1214; 6) 9^ = 27;
7) (а®42)*-2 = а; S) ах^ = а7~х\ 9) (а*-7)7-* = а-1;
10) 3- = 4: 11) Ц)Я==Ё’> 12> 9е*-7 = 27;
13) 32л_1 •9!1_2 = 27; 14) 0,5*~2-4*-8=8; 15) 9-3*=(i)“+3-
16)/^=^; 17) ?'27=9*; 18)^16 = /?;
19) • 2а,“1,У41; 20) Зж //43 = 4ж+/4^8 -
21) 51g* = 31g32; 22) 31ga; = 21g 27;
23) i lg ** = 7 lg 22; 24) \ lg | lg 27;
25) lg 4a: -j- lg a;2 = 2 lg a:2 -j- 2 lg
26) Igl 2|Л2;
883. 27) lg(* —2) + lg(a: + 2)=0’);
28) lg(*-3) + lg(.r-l) = lg3’):
29) lg10(* — 5) + lgxo(a: + 5) = 21);
30) lgl0 (*-5)H- lg10 (*—*) = 3 J).
884. 1) 51 — 5”-1 = 4; 2) 52* = 25 -f 24.5’;
3) 15”. (y)Sl = 4) 87* - 0,4 = ^16^;
5) ,^9^ = ^243; 6) '^'27 =3-+5;
7) **+■•*'= 100ООО; 8) lg(z» —Зж+12) —lg(ar —1) = 1;
9) lg+ lg/2^3 = lg30 — 1;
*) Выяснить, все ли найденные корни удовлетворяют данным уравнениям-
ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ
ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ
чисел от 1 до 1009.
I
— 122 —
123 —
ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ Щ''И<1>Я°1{ ЧДСЕЛ 0Т 1 Д° Ш)!)-
N.
L. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 ООО
043
086
128
170
212
253
294
334
374
11
414
453
492
531
569
607
645
682
719
755
12
792
828
864
899
934
969
004
038
072
106
13
1 139
173
206
239
271
303
335
367
399
430
14
461
492
523
553
584
614
644
6/3
703
732
15
1 761
790
818
847
875
903
931
959
987
014
16
2 041
068
095
122
148
175
201
227
253
279
17
304
330
355
380
405
430
455
480
504
529
18
553
577
601
625
648
672
695
718
742
765
19
788
810
833
856
878
900
923
945
9/7
989
20
3 010
032
054
075
096
118
139
160
181
201
21
222
243
263
284
304
324
345
365
385
404
22
424
444
464
483
502
522
541
560
579
598
23
617
636
655
674
692
711
729
747
766
784
24
802
820
838
856
874
892
909
927
945
962
25
3 979
997
014
031
048
065
082
099
116
133
26
4 150
166
183
200
216
232
249
265
281
298
27
314
330
346
362
378
393-
409
425
440
456
28
472
487
502
518
533
548
564
579
594
609
29
624
639
654
669
683
.698
713
728
742
757
30
4 771
786
800
814
829
843
857
871
886
900
31
914
928
942
955
969
983
997
Oil
024
038
32
5 051
065
079
092
105
119
132
145
159
172
33
185
198
211
224
237
250
263
276
289
302
34
315
328
340
353
366
378
391
403
416
428
35
5 441
453
465
478
490
502
514
527
539
551
36
563
575
.587
599
611
623
635
647
658
670
37
682
694
705
717
729
740
752
763
775
786
38
798
809
821
832
843
855
866
877
888
899
39
911
922
933
914
955
966
977
988
999
010
40
6 021
031
042
053
064
075
OS5
096
107
117
41
128
138
149
160
170
180
191
201
212
212
42
232
243
253
263
274
284
294
304
314
325
43
335
345
355
365
375
385
395
405
415
425
44
435
444
454
464
474
484
493
503
513
522
45
6 532
542
551
561
571
580
590
599
609
618
46
628
637
646
656
665
675
681
693
702
712
47
721
730
739
749
758
767
776
7S5
794
803
48
812
821
830
839
848
857
866
875
884
893
49
902
911
920
928
937
946
955
964
972
981
50
6 990
998
оо7
016
"24
033
042
U50
059
067
51
7 076
084
093
101
110
118
126
135
143
152
52
160
168
177
185
193
202
210
218
226
235
53
243
251
259
267
275
284
292
300
308
316
54
324
332
340
348
356
364
372
380
388
396
55
7 401
1 412
419
427
435
443
451
459
466
474
Р. Р.
42
38
3.4
6.8
10.2
13.6
17.0
20.4
23.8
27.2
30.6
29
25
37
34 33
32
13.2
16.5
19.8
23.1
26.4
29.7
28
24
23
L. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 7 404
412
419
427
435
I 443
451
459
466
474
, 482
490
497
505
513
520
528
536
543
551
559
566
574
582
589
597
604
612
619
627
1 634
642
649
657
664
672
679
686
694
701
709
-716
723
731
738
745
752
760
767
774
II 7 782
789
793
803
810
818
825
832
839
846
п 853
860
868
875
8-2
889
896
903
910
917
1 924
931
938
945
952
959
966
973
980
987
993
ООО
007
014
021
028
035
041
048
055
1 8 062
069
0/5
0S2
089
096
102
109
116
122
8 129
136
142
149
156
162
169
176
182
189
195
202
209
215
222
228
235
241
248
254
261
267
274
280
287
293
299
306
312
319
325
331
338
344
351
357
363
370
376
382
388
395
401
407
414
420
426
432
439
445
8 451
457
463
470
476
482
488
494
500
506
513
519
525
531
537
543
549
555
561
567
573
679
585
591
597
603
609
615
621
627
633
639
645
651
657
663
669
675
681
686
692
698
704
710
716
722
727
733
*739
745
8 751
756
762
768
774
779
785
791
797
802
808
814
820
825
831
837
842
848
854
859
865
871
876
882
887
893
899
904
910
915
921
927
932
938
913
949
954
960
965
971
976
982
987
993
998
004
009
015
020
025
9 031
036
042
047
053
058
063
069
074
079
085
090
096
101
106
112
117
122
128
133
138
143
149
154
159
165
170
175
180
186
191
196
201
206
212
217
222
227
232
238
243,
248
253
258
263
269
274
279
284
289
9 294'
299
304
309
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
375
380
385
390
395
400
405
410
415
420
425
430
435
440
445
450
455
460
465
469
474
479
484
489
494
499
504
509
513
518
523
528
533
538
9 542
547
552
557
562 |
566
571
576
581
5S6
590
595
600
605
609
614
619
624
628
633
638
643
647
652
657
661
666
671
675
680
685
689
694
699
703
708
713
717
722
727
| 731
736
741
745
750
754
759
763
768
773
1 9 777
782
786
791
795 1
800
803
809
814
818
1 823
827
832
836
841
845
850
854
859
863
1 868
872
877
881
8b6
890
894
899
903
908
| 912
917
921
226
940
934
939
943
948
952
956
961
965
969
974
978
983
987
991
996
0 ООО
004 |
009
013
017
022
026
030 |
035
039
Р. Р.
16
1.6
3.2
4.8
6.4
8.0
9.6
11.2
12.8
14.4
15
1.5
3.0
4.5
6.0
7.5
9.0
10.5
12.0
13.5
U | 13
1
1.4
1.3
2
2.8
2.6
3
4.2
3.9
4
5.6
5.2
5
7.0
6.5
6
8.4
7.8
7
9.8
9.1
8
И.2
10.4
0
12.6
11.7
12
11
1
1.2
1.1
2
2.4
2.2
3
3.6
3.3
4
4.8
4.4
5
6.0
5.5
6
7.2
6.6
7
8.4
7.7
8
9.6
8.8
9
10.8
9.9
9
8
1
0.9
0.8
2
1.8
1.6
3
2.7
2.4
4
3.6
3.2
5
4.5
4.0
6
5.4
4.8
7
. 6.3
5.6
8
7.2
6.4
9
8.1
7.2
7 1
6
1
0.7
0.G
о
1.4
1.2
3
2.1
1.8
4
2.8
2.4
5
3.5
3.0
6
4.2
3.6
7
4.9
4.2
8
5.6
4.8
9
6.3
5.4
5
4
1
0.5
0.4
2
1.0
0.8
3
1:5
1.2
4
2.0
1.6
5
2.5
2.0
6
3.0
2.4
7
3.5
2.8
8
4.0
3.2
9
4.5
3.6
Текст старинных древне-русских задач (см. стр. 62) при по¬
мощи современной орфографии изобразится так:
56) Случйся некоему человеку к стенё лёствицу прибрати,
стены лее тоя высота есть 117 стоп. И обрёте лёствицу долготою
125 стоп. И вёдати хбщет колйко стоп сея лёствицы нйжний ко-
нёц от стены отстояти ймать.
57) Нёкоем кладезе поставлена бяше лёствица долготою 41 стопа ,
а кладязь широтою во все страны по 9 стоп. И вёдательно есть
колику он кладязь глубину имяше.
58) Ймяше нёкий генерал рАтных 3 600 человёк и восхотё их
постАвити тАко, чтобы 2 500 человёк начальных были в средине,
а 1100 рядовых окрест начАльных рАвно толщиною стояли. И вё¬
дательно есть в колйко человёк толщины окрест станут рядовые.
59) Егда же кто можаше во едйну вервь, которая долготы
5 аршин, связАти 100 копий, и вёдательно есть колйко таковых же
копий возможно связати другою вёрвью яже долготою есть
71/, аршйна.
ОТВЕТЫ.
541 лЛ) а\о6 -\-аъ — Л; [3) а*ЫсЦЬс а5 + а2); 5) az'-i\x-.B
544. 1) о.»» + I*; 3) ах* + Ьх2’1-"1 + сЛ 5) агт — х'"у* + г/2";
• ш I ™ 1 а2* _i_ тА»
545. —; 15) 2• a**Zh*r 55а ') 3; 3) 1. 551. 1) 2; 3) 3; 5) 3.
580. 1) 12; 3) 27; 5) 15; 7) 19; 9) 290; 11) 2100; 13) 35; 15) 43; 17) 47; 19) 92;
21) 440; 23) 49; 25) 234; 27) 253; 29) 308; 31) 707; 33) 909; 35) 222; 37) 372;
39) 506; 41) 705; 43) 2351; 45) 7557; 47) 3708; 49) 3504; 51) 5703; 53) 1305;
•>о
55) 0,22? 57) 0,93; 59) 0,123; 01)62,5; 63) 0,024; 65) 4,37; 67) 0,671; 69) ^;
71} П1; 73) ТГ;‘ 597‘ 13) (1а + Ь + 2с “ rf) * ^ 15) 8 /а; 117) - 3 »'2:
19) 5( I'T— I); 21) 0. 600.1)4; 3) 6 — 30/3 + 24 i'»)..
601. 1) \']р 4 г— 1; 3) 3 /6 — 7; 5) 12 + »/б; 7) 1 —2; »'5;
9) Ра2 + 5а \G— 6.г; 11) 3 /2 + 2 /3 + 34 /6 — 74; 13) (а — Ъ).
602. 13) —i1-2 604. 33) 2 /3 + 3^2+ ^ 629. 1'Д^2; 3) 0;
5) 1.3/9 - ^ /2 - 3: 7) а + 4,3/а. 632. 1) 3 + 3/18; 3) «ь|^а2 +
638. 1) 5; 3) 3; 5) а + 62; 7) 2^-; 9) 12; 11) 26; 13) 6; 15) 19; 17) 0; 19) 25;
21) 28; 23) 71: 25) 1; 27) 4; 29) 9; 31) 9; 33) 32; 35) 10; 37) ; 39) 9: 41)*49;
“*1 «>Ъ 639. 5) 1 2,5 „ 2i 7>i, 1 — 4.
641. 1) 5, 0; 3) — 4, 0; 5) +3,-3; 7) + 2,5; — 2,5 9) zt 10; 11) 0, —2;
13i 0, 3; 15) Ч, — 7; 17) — а и — Ь. 647. 5) rt 2,5; 7) zt 4; 9) zt 4 I 13;
И) zt 1; 13) zt 10; 15) zt 1; 17) 23. 649. 1) - 7 и 1; 3i 5 и — 8; 5) — 7 и —1,4;
7| 5 и 1-^-; 9) —4 и —4-^; 11) п—т; 13) а — Ъ и а + Ь; 15) 2 и —4;
17) —3 и —5; 191 —(т + I) и I — иг; 21) т—За и —т — За; 23) 1 и —2;
25) п fri; 27) и —Р; 29) 2 и - 4; 31) 4 и — 36;
33) 1 и —15; 35) 11 и 1; 37) —2 и 1; 39) j и 41) 2 и 1; 43) 4 и 5г
— 126 —
45j — у и у; 471 — “ и — 49) I п ~ ш + I, 51) — 1 zt 2 j/ 2:
53) —2 zt I 10 7; 55) — 1 ± ) 13 г_ 571 w zt |/м; 59) 4 l/it-
• 9 » r 2 1
61) | (-1 zt |/5); 651. 23) | и - 25) I и ?; 27) 1,7 и - 2,7:
29) 2 и 1; 31) 2 н — 3; 33) 5 и — 3; 35) — а и Ь. 652. 5) а 4-1 и а — 1:
7) 2^ и -10; 9) —2-| п -5; 11) 5у н'-у 13) 3±j/j; 15) -4 л!:
5 *
97)—4 и = 17)-2 и-1; 19) 3 п 21) — » ± |/й*—«6 655. 17) 8 и -Ь
7 7 d ' а 3
19) 4й —с; 21) ^ 11 23) 3 п 8. 656. 1) 6; 3) 0,1; 5) 1; 7) — 4 zt |755 ;■
9. —3±3)/3 г; 11) — 4 ±|/29 г. 665. 11) (щ—13) (ад + 34);
4 3
13) (а + 23) (а + 32); 15) (у —19) (г/ — 18); 17) (у + 3) (10.у — Т с
19) 21* — 10) (г — 0,5); 21) (г — 2аЬ) (z + 2ab). 676. 7) 3 и 7;
9) |g и 3; 11) 4у и 1, 13) 4 и —2; 15) 6 zt 8г; 17) —3 и + 15; 19) 5 п —3;
21) 8 и —7= 23) 4 и - 10; 25) 9 и 2; 27) 7 и 2= 29) а и = 31) у п
33) 0 и 2ууу 35) у и 37) 4 и 1; 39) 45 — 4ц5; 43) о;
9г
45) а и — а; 47) а и Ь. 699. 1) 1; 3. а; 5) —3; 7) а; 9) — у; 11) 2л-:
13) 15) 2{х — 1); 17) 2г + р. 703. 1) х = 0, у = 2\ 3) * = 0, у — 1
3 7 1 31
5) ж = —4; ?) = —4; 7)а= —= 2/ = у; 9)гс = у; «/=-(-3^:
11) ж=-1, у = 17,5. 706. 1) р = —4; 3) р = 0. 707. 1) р = — 2, д= —2:
3)р = —3, д =— 4,25. 711. 1) ^ = — я* + 2.r-f д; 2) у = — л2 — 6яН Ц-
713. 1) 1) 9, 81 м в сек.; 2)19,62; 3)31,39; 3) 116=29,43; 2) rjt v— gt.
С С“
714. 1) 1 = —; s = ys 3) 12 .и; 5) квадрат; 7) больше на полуразность
с о рои, s = -а ; 9) квадрат. 716. 3) — 1 —J 1/з: 5) 2 и — 1 zt i j/3:
7) — ЗдЗП± « /31 9) ziz 1; 11) 3,-2 и—1; 15) 7 п 6-
- 2
717. 5) — ^-i=, — и— 2, — а; 7) 1 ц 4; 9) « — 25; Ь — 2а.
т т
— 127 —
718. 21) zfl/"a± \/a + 26 -f ]/ p. —2b- 23) zt 2a, zt2 b.
I 2 2
719. 1) 2, 1, У-1 ^ ^ и — 1 zt i |/3; 3)1 и —1 ±г]/3.
5) а? + 2 = zt 2, zt 2i, zt 3, zt 3i; 7) 2. 1 и др.; 9) 25 п 1; 11) 36 и 25.
720. 1) 2 п j; 3i —1 и ~ 1 ^ ^3; 5) - 1. 2 zt (А 7) 1, 2 и-Ь
9) 1, 1,5 и |; 11) 1,4 и 13) ztl.'i-, 15) -1,-1,2-i-; 17) 2,-i zt i;
19) -1,-1,2 и^; 21) - l, + l. + 1.2ny. 722.1) 40; 3)30; 5) 8000 p.
7) 10 ч.; 9) 6 ч. и 14 ч.; 10,i) 8; 105) 6; Шв) 8.723. .5) 17,05 c.u; 7) 4,2 м; 9) Зел
v — 4»н-
я 7 ел; 11) 27,6 с. it; 13) 10 дм п 8.4 дм, 15) 36 и и 55 м; 17) — ;
19i 684 .к и 783 188 .и и 28S .и; 21) 12 л и 11 л; 23) 0,2 .и;
25) 333 444 л; 27) 2730 Эл2; 29) 1400 Эл2; 31) 32 м, 15 л;
37) 1) 12; 3) 5; 39) 9 и 4; 41) 36, 48; 45) 1) 6, 8 и Ю ел; 47) 512 Эл2
724. 1) а) около 3 сек.; б) ок. 3.3 сек.; 3)сп 25 и в сек.; 5) 12 и 5 кг.
739. 1) -|± 3) а; 5| 3. 1. 741. 1) 1. 2; 3) 9 и 4, — 9 и —4.
л/а + 26 + л/а — 26 i/a 26 — 1/а —26
742. 1) zt — g-* и zt ^ ;
3i (zt a -f- 6), zt (a—6); 5) ± 6 и ± 7; 7) zt 3 n zt 5; 9) zt 3 и zt 4.
744. 3) 3a и — a, zt a; 5) 64,36. 746. 1) н 3) a и 0;
747. 11) 12 + 4|/5 и 12 — 4 j/5; 13) 8 и'4; 15) 3 и 4; 17) 3 и 2;
19) zt 7 и ± 3; 23) r = 25) 5 n 2, —2 11 —5;
27) 25 и —4, 4 и —25; 29) 2 n \ 11 —2; 3t) zt 5 и zt 4;
748. 1) zt 12 и 16; 3) zt 7 11 zt 5; 5) zt 2 и zt3; 7) zt 13 и zt 2;
9) 3 и 1, — 3 11 — 1. 750.5) 12 и —- 6, 8 n — 16; 7) zt 6 n zt 8; 9)ztl8iizt8; 11) 411 6,
8 и 2;] 13) zt 6 n zt 4; 15)14,7,1,-19; 17) И и 7; 19) 7 | 'lU; 3 | УГО:
21) zt j/apztJ-—; 231 1 и 2; 25) 2 и 3; 27) 13 и 10. 751. 5) zt 0 -
0 j/o t b+c’
l/a-h 6 + с i/ abc- . a „ ,
«>±У -- 9) ±2-—; 11)^7==; 13) z£ 4, zfc 12 и zt Id;
a с abc
15) a; = zt3, ?/ = zt7; 17) t — zt 5: 19) 16a, 4a и a; 21) с = + 1 и —17.
— 128 —
752. 9) 15, 19; 11) 13 и 19, 17 и 9; 13) 67 и 76; 15) 42; 17) tL
19) 14, 6, 20; 25) 9, 3, 21, 7. 753. 1) 16 с.н и 9 с.н; 3) 40 с.« и 15 с.и;
5) 25 .« и 16 .и; 7) 77 .и, 36 9) 35 см и 1 с.и; 11) 33 с.н и 56 с.и;
13) 12 j/ 5 с.н и 6 j/5 с.н; 15) 20 .« и 30 .и; 17) -—(/?— а А: 2ар—р2);
19) (Р — I 8с!2 — р2>; 21) меиьш. ст. 25,19 с.н; 23) 7, 9*, 28; 25) 3 и 4.
754. 1) сг> 14 кг, сп 35 кг\ 3) 120 с.н, 30 с.н. 778. 1) ап — 1 + 2(«— 1):
3) а) 5050; 5) 1645; 7) 1683; 9) 780. 3) я, = — 14;
а
5; — 40, — 20, 0, 20, 40, 60, 80; 7) п ~ 5; 9) а = 7,- п = 31; 11) а, = 20, г =.
13) — 17 и 2; —2 и 181. 781. 1) 52. 782. 5 р.; 243 р. 783. Л кыиграет пари
784. 1) 112,7 .и и 705,6 3) ]0. 785. 1) 4S сек. 786. 2) 1,5 .
831а. 1) 3, —2 и 1, 2; 3) 3, —2 и 1, — 4 5) 2, 2.
я_ &ю
891. 1) q = -р «1 — + о«Ь« + я*61* + ... +о'б5« +
31 q = - A/n^tlllbsdib:; 7) q=Vf- 808. 1 J-. 810. «,=-2, if > 2.
811. 1) /0 = 7=1; 3, 0,7; 0,07; s — 812.1)^; 3)
5) S кругов = r\'2 (2 — |, '2)\ S квадр. = 4 П. 814. 10) 2; 11) 3.
8S8. 1) 41,633; 3) 0,31313; 5) 10,495; 7) 2,7152; 9) S2,188; 11) 0.;29969; 13) 4,6'Hil;
15) 3,5952; 17) 7,4077; 19) 2,0142; 21) 4,6153; 23) 16,9S1; 25) 44,473; 27) 16.349;
291 3,2169; 31) 3,5132; 33) 111,96; 35) 39,678; 37) 2,0801; 39) 2,6684; 41) З.аГЗ;
43) 27,166; 45) 2,6827; 47) 1,6681; 49) 0,8741; 51) 0,99378; 53) 0,95682; 55) 0,61937;
57) 0,9565; 59) 0,45081; 61) 1,3343; 63) 2,3137; 65) 4,189; 67) 4,843: 69) 0,9251;
71) 0,47504; 73) 0,16318; 75) 0,18442; 77) 0,69998; 79) 0,60001; 81) 23; 83) 75;
85) 3,2808; 87) 3,24046; 89) 2,1308; 91) 0,80822; 93) 24,541; 95) 1,0702; 97) 0,61616;
99) 1,634. 882. 3) кг*; 5) ~ 4-4% 7) ,r go 0,47712; 9) сл — 0,34265;
w* ' m lg о — n lg b
11) .-■?=; 13) GO 0,4929: 15) 1,3713: 17) 0,1900; 19) 1,111. 883.5) 2;
J§ io<
7) ±}/% 9) 8, 6: 11) —3; 13) 2; 15) 3; 17) 3; 19) 2 (другой корень дробный);
21)8; 23) 128; 25) П; 27) )/5; 29)
ОГЛАВЛЕНИЕ.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
Степени с натуральным показателем п радикалы.
Стр.
§ 1. Понятие степени и действия над степенями (533—551). Степенная
функция и ее графическое представление. Параболы (552—562). 5— 9
§ 2. Понятие корня (563—569) 10—11
§ 3. Квадратный корень. Извлечение квадратного корня (570—574).
Извлечение квадратного корня из чисел (575—585) 11—14
§ 4. Иррациональное число (586—591) 14—16
§ 5. Действия над квадратными корнями. Преобразование радикалов
(592-606) 16—21
§ 6. Приближенные вычисления с квадратными корнями (607—614).
Задачи из геометрии (615—620) 21—23
§ 7. Общее понятие корня (621—623) 23—24
§ 8. Действия над корнями-с любым натуральным показателем (624—637) 24—27
§i 9. Уравнения, содержащие радикалы (приводимые к уравнениям пер-
4 вой степени) (638) 27—28
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
Квадратные уравнения.
§ 1. Решение уравнений разложением левой части на множители
(639—641) 29
§ 2. Неполные и двучленные квадратные уравнения. Понятие о мни¬
мом числе (642—648) 30—32
§ 3. Полные квадратные уравнения (649—658) 32—36
§ 4. Свойства корней квадратного уравнения. Исследование квадрат¬
ного уравнения (659—675) 36—39
Сокращен, сборник алгебр, упращн. Ч. II. 9
— 130 -
Стр.
§ 5. Задачи (676) 39—40
§ 6. Исследование функции второй степени (квадратного трехчлена)
(677—694). . . 40—45
§ 7. Производная и ее применение к исследованию квадратного трех¬
члена (695—700). Minimum и maximum целой функции второй
степени (701—713). Задачи на maxima и minima (714) 45—51
§ 8. Уравнения, решение которых приводится к решению квадрат¬
ных уравнений. Уравнения с легко угадываемыми (одним или
несколькими) корнями (715—716). Уравнения, решаемые введе¬
нием вспомогательного неизвестного: трехчленные уравнения
(717—719). Возвратные уравнения (720) 51—53
§ 9.' Задачи на составление уравнений 2-й степени с одним неизвест¬
ным (721—722).. Задачи с геометрическим содержанием (723).
Задачи из физики (724) 53—63
§ 10. Простейшие алгебраические функции (725—736) 63—65
§ 11. Квадратные уравнения со многими неизвестными (737—748). Сме¬
шанные задачи (749—750). Системы уравнений со многими не¬
известными (751) 65—70
§ 12. Задачи на составление систем уравнений второй степени (752).
Задачи с геометрическим содержанием (753). Задачи из фи¬
зики (754) - • . . 70—74
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
Гяды (прогрессии).
§ 1. Арифметическая прогрессия (755—766). Сумма членов арифмети¬
ческой прогрессии (767—777) 75—78
§ 2. Примеры (778—780). Приложения (781—787) 78—82
§ 3. Конечные геометрические прогрессии (788—797). Сумма членов
геометрической прогрессии (798—799). Примеры (800—801). При¬
ложения (802—805) • 83—88
§ 4. Бесконечные геометрические ряды. Сумма бесконечного геометри¬
ческого ряда (806—807). Примеры (808—813). Задачи из арифме¬
тики (814) Ь9—94
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
Расширение ноиятия степени. Логарифм.
§ 1. Определение степени с нулевым и отрицательным показателем
(815—820). Смешанные задачи (821—822) 95— 97
§ 2. Определение степени с дробными показателем (823—8-31) 98—100
ил
— 131 —
Стр.
§ 3. Показательная и логарифмическая функции. Показательная функ¬
ция (832—835). Понятие логарифма (836—846) Логарифмическая
функция (847). Понятие об иррациональном показателе (лога¬
рифме). Элементарный прием вычисления брнгговых логариф¬
мов (848—849) 100—105
§ 4. Преобразование выражений, содержащих логарифмы (850—853). . 105—107
§ 5. Употребление логарифмических таблиц Брпггса (854—867). Приме¬
нение логарифмических таблиц к вычислениям (868). Логариф¬
мические шкалы. Логарифмическая линейка (869—877) 1')7—118
6. Смешанные задачи (878—881). Показательные и логарифмические
уравнения (882 -884) 11с—120
Четырехзначные таблицы логарифмов чисел от 1 до 1009 . . . 122—123
Текст старинных русских задач в современной орфографии . . 124
Ответы 125—12с
\
\